Funcións chan e teito

En matemáticas, a **función chan** (ou **parte enteira** cando son positivos) é a función que toma como entrada un número real , e dá como saída o maior enteiro menor ou igual a , denotado . Do mesmo xeito, a **función teito** mapea  co número enteiro máis pequeno maior ou igual que , denotado . 

Por exemplo, para o chan: , , e para o teito:  e .

## Notación 
A *parte enteira* ou *parte enteira* dun número ( no orixinal) foi definido por primeira vez en 1798 por Adrien-Marie Legendre na súa proba da fórmula de Legendre.

A parte fracciónal denótase por {{Math|{*x*}}} para  real e definida pola fórmula

: {{Math|1={*x*} = *x* − ⌊*x*⌋}}

Para todo *x*,

: {{Math|0 ≤ {*x*} \mathbb{Z}, chan e teito poden ser definidos polas ecuacións

:  \lfloor x \rfloor=\max \{m\in\mathbb{Z}\mid m\le x\},

:  \lceil x \rceil=\min \{n\in\mathbb{Z}\mid n\ge x\}.

### Equivalencias 
Estas fórmulas pódense usar para simplificar expresións que inclúen chan e teito. 

: 
\begin{alignat}{3}
\lfloor x \rfloor &= m \ \ &&\mbox{ se e só se } &m &\le x 

Para  enteiros  temos:

: 
\begin{align}
\lfloor x+n \rfloor &= \lfloor x \rfloor+n,\\
\lceil x+n \rceil &= \lceil x \rceil+n,\\
\{ x+n \} &= \{ x \}.
\end{align}

Para  e  reais temos as seguintes desigualdades:

: \begin{align}
\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor &\leq \lfloor x + y \rfloor \leq \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1,\\[3mu]
\lceil x \rceil + \lceil y \rceil -1 &\leq \lceil x + y \rceil \leq \lceil x \rceil + \lceil y \rceil.
\end{align}

### Monótonas 
Tanto as funcións  chan como teito son funcións monótonamente non decrecentes:

: 
\begin{align}
x_{1} \le x_{2} &\Rightarrow \lfloor x_{1} \rfloor \le \lfloor x_{2} \rfloor, \\
x_{1} \le x_{2} &\Rightarrow \lceil x_{1} \rceil \le \lceil x_{2} \rceil. 
\end{align}

### Relacións entre as funcións 
: \lfloor x \rfloor \le \lceil x \rceil,&nbsp;con igualdade se e só se *x* é un número enteiro, é dicir
: \lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor = \begin{cases}
0&\mbox{ if } x\in \mathbb{Z}\\
1&\mbox{ if } x\not\in \mathbb{Z}
\end{cases}

Ao negar o argumento muda o chan e o teito e mudao signo:

:  \begin{align}
\lfloor x \rfloor +\lceil -x \rceil &= 0 \\
-\lfloor x \rfloor &= \lceil -x \rceil \\
-\lceil x \rceil &= \lfloor -x \rfloor
\end{align}

e:

: \lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor = \begin{cases}
0&\text{if } x\in \mathbb{Z}\\
-1&\text{if } x\not\in \mathbb{Z},
\end{cases}

: \lceil x \rceil + \lceil -x \rceil = \begin{cases}
0&\text{if } x\in \mathbb{Z}\\
1&\text{if } x\not\in \mathbb{Z}.
\end{cases}

A negación do argumento complementa a parte fraccional:

: \{ x \} + \{ -x \} = \begin{cases}
0&\text{if } x\in \mathbb{Z}\\
1&\text{if } x\not\in \mathbb{Z}.
\end{cases}

As funcións  chan, teito e parte fraccional son idempotentes:

: 
\begin{align}
\big\lfloor \lfloor x \rfloor \big\rfloor &= \lfloor x \rfloor, \\
\big\lceil \lceil x \rceil \big\rceil &= \lceil x \rceil, \\
\big\{ \{ x \} \big\} &= \{ x \}.
\end{align}

O resultado das funcións aniñadas chan ou teito é a función máis interna:

: 
\begin{align}
\big\lfloor \lceil x \rceil \big\rfloor &= \lceil x \rceil, \\
\big\lceil \lfloor x \rfloor \big\rceil &= \lfloor x \rfloor.
\end{align}

### constante de Euler gamma (\gamma ) 
Existen fórmulas para a  constante de Euler \gamma  = 0,57721 56649... que inclúen o chan e o teito, por exemplo 

: \gamma =\int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx.

: \gamma = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left( \left \lceil \frac{n}{k} \right \rceil - \frac{n}{k} \right).

### Fórmulas para números primos 
A función chan aparece en varias fórmulas que caracterizan os números primos. Por exemplo, xa que \bigl\lfloor\frac{n}{m} \bigr\rfloor -\bigl\lfloor\frac{n-1}{m}\bigr\rfloor é igual a 1 se *m* divide *n*, e a 0 en caso contrario, dedúcese que un enteiro positivo *n* é primo se e só se 

: \sum_{m=1}^\infty \left(\biggl\lfloor\frac{n}{m}\biggr\rfloor-\biggl\lfloor\frac{n-1}{m}\biggr\rfloor\right) = 2.

### Problemas resolvidos 
Ramanujan presentou estes problemas ao *Journal of the Indian Mathematical Society*. 

Se *n* é un número enteiro positivo, proba que

# \left\lfloor\tfrac{n}{3}\right\rfloor + \left\lfloor\tfrac{n+2}{6}\right\rfloor + \left\lfloor\tfrac{n+4}{6}\right\rfloor = \left\lfloor\tfrac{n}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\tfrac{n+3}{6}\right\rfloor,
# \left\lfloor\tfrac12 + \sqrt{n+\tfrac12}\right\rfloor = \left\lfloor\tfrac12 + \sqrt{n+\tfrac14}\right\rfloor,
# \left\lfloor\sqrt{n}+ \sqrt{n+1}\right\rfloor = \left\lfloor \sqrt{4n+2}\right\rfloor.

Probáronse tamén algunhas xeneralizacións das fórmulas anteriores. 

### Problema sen resolver 
O estudo do problema de Waring levou a un problema sen resolver:

Existe algún número enteiro positivo *k* ≥ 6 tal que 

: 3^k-2^k\Bigl\lfloor \bigl(\tfrac 3 2\bigr)^k \Bigr\rfloor > 2^k-\Bigl\lfloor \bigl(\tfrac 3 2\bigr)^k \Bigr\rfloor -2 \ ?

Mahler demostrou que só pode haber un número finito deses *k.* De momento non se coñece ningún.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
*
*
*
*Nicholas J. Higham, *Handbook of writing for the mathematical sciences*, SIAM. , p.&nbsp;25
*ISO/IEC. *ISO/IEC 9899::1999(E): Programming languages — C* (2nd ed), 1999; Section 6.3.1.4, p.&nbsp;43.
*
*
*
*
*Michael Sullivan. *Precalculus*, 8th edition, p.&nbsp;86
*

### Outros artigos 
* Función paso
* Operación Módulo
### Ligazóns externas 
* 
* Štefan Porubský, "Integer rounding functions" , *Interactive Information Portal for Algorithmic Mathematics*, Institute of Computer Science of the Czech Academy of Sciences, Prague, Czech Republic, retrieved 24 October 2008
* 
*