Espazo completo

Na análise matemática, un espazo métrico  chámase **completo** (ou **espazo de Cauchy**) se toda secuencia de Cauchy de puntos en  ten un límite que tamén está en 

Intuitivamente, un espazo é completo se non lle faltan "puntos" (dentro ou no límite). Por exemplo, o conxunto de números racionais non é completo, porque por exemplo \sqrt{2} "falta" nel, aínda que se poida construír unha secuencia de Cauchy de números racionais que converxa a el (ver  exemplos máis abaixo). 

Sempre é posíbel "encher todos os buratos", levando a *completar* un espazo determinado, como se explica a continuación.

## Definición 
**Secuencia de Cauchy**

Unha secuencia x_1, x_2, x_3, \ldots de elementos de X dun espazo métrico (X, d) chámase de **Cauchy** se para cada número real positivo r > 0 hai un número enteiro positivo N tal que para todos os enteiros positivos m, n > N,d(x_m, x_n) 

**Espazo completo**

Un espazo métrico (X, d) está **completo** se se cumpre algunha das seguintes condicións equivalentes:

:# Toda secuencia de Cauchy de puntos en X ten un límite que tamén está dentro de X.
:# Toda secuencia de Cauchy en X converxe en X (é dicir, a algún punto de X).
:# Toda secuencia decrecente de subconxuntos pechados non baleiros de X, con diámetros tendentes a&nbsp;0, ten unha intersección non baleira: se F_n está pechado e non baleiro, F_{n+1} \subseteq F_n para cada n, e \operatorname{diam}\left(F_n\right) \to 0, entón hai un punto único x \in X común a todos os conxuntos F_n.

## Exemplos 
O espazo **Q** dos números racionais, coa métrica estándar dada polo valor absoluto da diferenza, non é completo. Considere, por exemplo, a secuencia definida por x_1 = 1 e x_{n+1} = \frac{x_n}{2} + \frac{1}{x_n}. Esta é unha sucesión de Cauchy de números racionais, mais non converxe cara a ningún límite racional: se a secuencia tivese un límite x, entón ao resolver x = \frac{x}{2} + \frac{1}{x} necesariamente x^2 = 2, e resulta que ningún número racional ten esta propiedade. Porén, considerada como unha secuencia de números reais, converxe ao número irracional \sqrt{2} .

O intervalo aberto (0,1), de novo coa métrica de diferenza absoluta, tampouco non é completo. A secuencia definida por x_n = \tfrac{1}{n} é de Cauchy, mais non ten límite no espazo indicado. No entanto, o intervalo pechado [0,1] é completo; por exemplo, a secuencia dada ten un límite neste intervalo, é dicir, cero.

O espazo **R** dos números reais e o espazo **C** dos complexos (coa métrica dada pola diferenza absoluta) son completos, e tamén o é o espazo euclidiano **R***n*, coa métrica de distancia habitual. Pola contra, os espazos vectoriais normados de dimensións infinitas poden ser completos ou non; os que son completos son os espazos de Banach. O espazo C[a, b] de funcións continuas de valores reais nun intervalo pechado e limitado é un espazo de Banach, e polo tanto un espazo métrico completo, con respecto á norma do supremo. Porén, a norma do supremo non dá unha norma sobre o espazo C (a, b) de funcións continuas en (a, b), pois pode conter funcións non limitadas. Pola contra, coa topoloxía da converxencia compacta, C (a, b) pódese dar a estrutura dun espazo de Fréchet: un espazo vectorial topolóxico localmente convexo cuxa topoloxía pode ser inducida por unha métrica completa invariante de translación.

O espazo **Q***p* dos números *p*-ádicos é completo para calquera número primo p. Este espazo completa **Q** coa métrica *p*-ádica do mesmo xeito que **R** completa **Q** coa métrica habitual.

As variedades de Riemann que son completas chámanse variedades xeodésicas; que sexan completas dedúcese do  teorema de Hopf-Rinow.

## Algúns teoremas 
Todo espazo métrico compacto é completo, aínda así os espazos completos poden non ser compactos. De feito, un espazo métrico é compacto se e só se é completo e totalmente limitado. Isto é unha xeneralización do teorema de Heine–Borel , o cal expón que calquera subespazo S limitado e pechado de  é compacto e por tanto completo.

Se X é un espazo topolóxico e M é un espazo métrico completo, entón o conxunto C_b(X, M) que consta de todas as funcións limitadas continuas f : X \to M é un subespazo pechado de B(X, M) e, polo tanto, tamén completo.

O teorema das categorías de Baire di que todo espazo métrico completo é un espazo de Baire. É dicir, a unión de moitos subconxuntos densos en ningún lugar do espazo ten un interior baleiro.

## Completamento 
Para calquera espazo métrico *M*, é posíbel construír un espazo métrico completo *M′* (que tamén se denota como \overline{M}), que contén a *M* como un subespazo denso. Ten a seguinte propiedade universal: se *N* é calquera espazo métrico completo e *f* é calquera función uniformemente continua de *M* a *N*, entón existe unha única función uniformemente continua *f′* de *M′* a *N* que estende *f*. O espazo *M*' determínase ata isometría por esta propiedade (entre todos os espazos métricos completos que conteñen isométricamente *M*), e chámase *completamento* de *M* .

O completamento de *M* pódese construír como un conxunto de clases de equivalencia de secuencias de Cauchy en *M*. Para dúas secuencias de Cauchy calquera x_{\bull} = \left(x_n\right) e y_{\bull} = \left(y_n\right) en *M*, podemos definir a súa distancia como d\left(x_{\bull}, y_{\bull}\right) = \lim_n d\left(x_n, y_n\right)

(Este límite existe porque os números reais son completos.) Esta é só unha pseudométrica, aínda non unha métrica, xa que dúas secuencias de Cauchy diferentes poden ter a distancia 0. Mais "ter a distancia 0" é unha relación de equivalencia no conxunto de todas as secuencias de Cauchy, e o conxunto de clases de equivalencia é un espazo métrico, o completamento  de *M*. O espazo orixinal está mergullado neste espazo mediante a identificación dun elemento *x* de *M*' coa clase de equivalencia de secuencias en *M* que converxen en *x* (é dicir, a clase de equivalencia que contén a secuencia con valor constante *x*). Isto define unha isometría nun subespazo denso, segundo sexa necesario. Observe, porén, que esta construción fai un uso explícito da completude dos números reais, polo que o completamento dos números racionais necesita un tratamento lixeiramente diferente.

Para un primo p, os números -ádicos xorden completando os números racionais en relación a unha métrica diferente.

Se o procedemento de completamento anterior se aplica a un espazo vectorial normado, o resultado é un espazo de Banach que contén o espazo orixinal como subespazo denso, e se se aplica a un espazo prehilbertiano (de produto interno), o resultado é un espazo de Hilbert que contén o espazo orixinal como un subespazo denso.

## Espazos topoloxicamente completos 
A completude é unha propiedade da *métrica* e non da *topoloxía*, o que significa que un espazo métrico completo pode ser homeomórfico a un espazo non completo. Un exemplo son os números reais, que son completos pero homeomórficos ao intervalo aberto (0,1), que non é completo.

En topoloxía considéranse os *espazos completamente metrizábeis*, espazos para os que existe polo menos unha métrica completa que induce a topoloxía dada. Os espazos completamente metrizábeis pódense caracterizar como aqueles espazos que se poden escribir como unha intersección de numerábeis moitos subconxuntos abertos dun espazo métrico completo. Dado que a conclusión do teorema das categorías de Baire é puramente topolóxica, aplícase tamén a estes espazos.

Os espazos completamente metrizábeis adoitan chamarse *topoloxicamente completos*. Algúns autores usan o termo *topoloxicamente completo* para unha clase máis ampla de espazos topolóxicos, os espazos completamente uniformizábeis. 

Un espazo topolóxico homeomorfo a un espazo métrico completo separábel chámase espazo polaco.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* Kreyszig, Erwin, *Introductory functional analysis with applications* (Wiley, New York, 1978). 
* Lang, Serge, "Real and Functional Analysis" 
* 

### Outros artigos 
* 
* 
* 
* 
### Ligazóns externas 
* Completion (MathWorld).