Subgrupo característico

En matemáticas, particularmente na área da álxebra abstracta coñecida como teoría de grupos, un **subgrupo característico** é un subgrupo que é asignado a si mesmo por cada automorfismo do grupo pai. Debido a que cada mapa de conxugación é un automorfismo interno, cada subgrupo característico é normal; aínda que a inversa non está garantida. Exemplos de subgrupos característicos inclúen o subgrupo conmutador e o centro dun grupo.

## Definición 
Un subgrupo  dun grupo  chámase **subgrupo característico** se para cada automorfismo  de , temos  ; entón escríbese ''''*.

Sería equivalente a esixir a condición máis forte  =  para cada automorfismo  de , porque  implica a inclusión inversa  .

## Propiedades básicas 
Dado , todo automorfismo de  induce un automorfismo do grupo cociente , que produce un homomorfismo  .

Se  ten un único subgrupo  dun índice dado, entón  é característico en .

## Conceptos relacionados 
### Subgrupo normal 
Un subgrupo de  que é invariante baixo todos os automorfismos internos chámase normal; tamén, un subgrupo invariante.

: 

Dado que  e un subgrupo característico é invariante baixo todos os automorfismos, todo subgrupo característico é normal. No entanto, non todos os subgrupos normais son característicos. Aquí temos algún exemplo:

* Sexa  un grupo non trivial e sexa  o produto directo, . Entón os subgrupos, {{Math|{1} × *H*}} e {{Math|*H* × {1}}, son normais, mais ningún é característico. En particular, ningún destes subgrupos é invariante baixo o automorfismo, , que troca os dous factores.
* Para un exemplo concreto disto, sexa  o  grupo-catro de Klein (que é isomorfo ao produto directo, \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2). Dado que este grupo é abeliano, cada subgrupo é normal; mais cada permutación dos 3 elementos que non son a identidade é un automorfismo de , polo que os 3 subgrupos de orde 2 non son característicos. Aquí, tendo {{Math|V  {*e*, *a*, *b*, *ab*}}}. Considere {{Math|H  {*e*, *a*}} e considere o automorfismo, ; entón  non está contido en .

## Transitividade 
A propiedade de ser característico ou totalmente característico é transitiva; se  é un subgrupo (totalmente) característico de , e  é un subgrupo (totalmente) característico de , entón  é un subgrupo (totalmente) característico de  .

: .

A maiores, aínda que a normalidade non é transitiva, é certo que todo subgrupo característico dun subgrupo normal é normal.

: .

Porén, a diferenza da normalidade, se  e  é un subgrupo de  que contén , entón en xeral  non é necesariamente característico en  .

: .

## Exemplos 
### Exemplo finito 
Considere o grupo {{Math|*G''  S × \mathbb{Z}_2}} (o grupo de orde 12 que é o produto directo do grupo simétrico de orde 6 e un grupo cíclico de orde 2). O centro de  é isomorfo ao seu segundo factor \mathbb{Z}_2. Teña en conta que o primeiro factor, , contén subgrupos isomorfos a \mathbb{Z}_2, por exemplo {{Math|{e, (12)}}} ; sexa f: \mathbb{Z}_2  o mapa do morfismo \mathbb{Z}_2 no subgrupo indicado. A continuación, a composición da proxección de  sobre o seu segundo factor \mathbb{Z}_2, seguido de , seguido da inclusión de  en  como o seu primeiro factor, proporciona un endomorfismo de  baixo o cal a imaxe do centro, \mathbb{Z}_2, non está contido no centro, polo que aquí o centro non é un subgrupo totalmente característico de .

### Grupos cíclicos 
Todo subgrupo dun grupo cíclico é característico.

### Grupos topolóxicos 
O compoñente identidade dun grupo topolóxico é sempre un subgrupo característico.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Subgrupo.
* Grupo (matemáticas)
### Ligazóns externas 
*  CharacteristicSsubgroup (planetmath).