Operador de Laplace

En cálculo vectorial, o **operador laplaciano** é un operador diferencial elíptico de segunda orde, denotado como Δ, relacionado con certos problemas de minimización de certas magnitudes sobre un certo dominio. O operador ten ese nome en recoñecemento a Pierre Simon Laplace que estudou solucións de ecuacións diferenciais en derivadas parciais nas que aparecía dito operador.

Expresado en coordenadas cartesianas é igual á suma de todas as segundas derivadas parciais *non mixtas* dependentes dunha variable. Corresponde á div (grad φ), de onde sae o uso do símbolo delta (Δ) ou nabla cadrado (\nabla^2) para representalo. Se \phi e \mathbf{A} son un campo escalar e un campo vectorial respectivamente, o laplaciano de ambos pode escribirse en termos do operador nabla como:
{{ecuación|
\Delta\phi= (\nabla\cdot\nabla)\phi = \nabla^2 \phi \qquad \qquad
\Delta\mathbf{A} = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) =  (\nabla\cdot\nabla)\mathbf{A}
||left}}

## Problemas relacionados co operador laplaciano 
En física, o laplaciano aparece en múltiples contextos como a teoría do potencial, a propagación de ondas, a condución da calor, a distribución de tensións nun sólido deformable etc. Pero de todas estas situacións ocupa un lugar destacado na electrostática e na mecánica cuántica. Na electrostática, o operador laplaciano aparece na ecuación de Laplace e na ecuación de Poisson. Mentres que na mecánica cuántica o laplaciano da función de onda dunha partícula da enerxía cinética da mesma.
En matemáticas, as funcións tales que o seu laplaciano se anula nun determinado dominio, chámanse funcións harmónicas sobre o dominio. Estas funcións teñen unha excepcional importancia na teoría de funcións de variable complexa. Ademais o operador laplaciano é o ingrediente básico da teoría de Hodge e os resultados da cohomoloxía de Rham.

## Motivación da ubicuidade do operador laplaciano 
Unha das motivacións polas cales o laplaciano aparece en numerosas áreas da física é que as solucións da ecuación  \Delta f = 0 nunha rexión *U* son funcións que minimizan o funcional de enerxía:

: E(f) = \frac{1}{2} \int_U \Vert \nabla f \Vert^2 \mathrm{d}x

Para ver isto, supóñase que f\colon U\to \mathbb{R} é unha función, e 
u\colon U\to \mathbb{R} é unha función que se anula sobre a fronteira de *U*. Entón, 
 
: \frac{d}{d\varepsilon}\Big|_{\varepsilon = 0} E(f+\varepsilon u) = \int_U \nabla f \cdot \nabla u \mathrm{d} x = -\int_U u \Delta f \mathrm{d} x 

onde a última igualdade séguese usando a primeira identidade de Green. Este cálculo mostra que se  \Delta f = 0, entón o funcional de enerxía *E* é estacionario arredor de *f*. Reciprocamente, se *E* é estacionario arredor de *f*, entón \Delta f=0 polo teorema fundamental do cálculo integral.

Outra razón da súa ubicuidade é que cando un escribe a ecuación de Laplace en forma diferenzas finitas apréciase que o laplaciano nun punto é a diferenza entre o valor da función no punto e o valor da función arredor do mesmo. É dicir, calquera magnitude que pode expresarse como unha magnitude fluxo que se conserva e satisfai a ecuación de Laplace.

## Propiedades do operador laplaciano 
O laplaciano é linear:

: \nabla^2 (\lambda f + \mu g) = \lambda \nabla^2 f + \mu \nabla^2 g

A seguinte afirmación tamén é certa:

:\nabla^2(fg)=(\nabla^2f)g+2(\nabla f)\cdot(\nabla g)+f(\nabla^2g)

## Operador laplaciano en diversos sistemas de coordenadas 
### Coordenadas cartesianas 
En coordenadas cartesianas (plano) bidimensionais, o laplaciano dunha función *f* é:
{{ecuación|
\Delta f=\nabla^2 f= {\partial^2 f \over \partial x^2 } +
{\partial^2 f \over \partial y^2 } 
||left}}
En coordenadas cartesianas tridimensionais:
{{ecuación|
\Delta f = \nabla^2 f = 
{\partial^2 f \over \partial x^2 } +
{\partial^2 f \over \partial y^2 } +
{\partial^2 f \over \partial z^2 } 
||left}}
En coordenadas cartesianas en \mathbb{R}^n:
{{ecuación|
\Delta f(x_1,...,x_n)= \sum_{k=1}^n
{\partial^2 f \over \partial x_k^2 }(x_1,...,x_n) 
||left}}

### Coordenadas cilíndricas 
En coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z)\,:
{{Ecuación|
 \Delta f = \nabla^2 f 
= {1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho}
  \left( \rho {\partial f \over \partial \rho} \right) 
+ {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
+ {\partial^2 f \over \partial z^2 } 
= {1 \over \rho} {\partial f \over \partial \rho} 
+ {\partial^2 f \over \partial \rho^2}
+ {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
+ {\partial^2 f \over \partial z^2 }
.

||left}}

### Coordenadas esféricas 
En coordenadas esféricas (r,\theta,\phi)\,: 
{{ecuación|
\Delta f = \nabla^2 f
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2} 
||left}}

### Coordenadas curvilíneas ortogonais 
En coordenadas ortogonais xerais (u_1,u_2,u_3)\,: 
{{Ecuación|
\Delta f = \nabla^2 f = \frac{1}{h_1 h_2 h_3}\left[
\frac{\partial}{\partial u_1} \left(\frac{h_2 h_3}{h_1} \frac{\partial f}{\partial u_1}\right)+
\frac{\partial}{\partial u_2} \left(\frac{h_3 h_1}{h_2} \frac{\partial f}{\partial u_2}\right)+
\frac{\partial}{\partial u_3} \left(\frac{h_1 h_2}{h_3} \frac{\partial f}{\partial u_3}\right) \right]
||left}}
Onde (h_1,h_2,h_3)\, son os factores de escala do sistema de coordenadas, que en xeral serán tres funcións dependentes das tres coordenadas curvilíneas.

## Función harmónica 
Unha función f: E \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} dise que é harmónica en *E* se:

:\forall x \in E, \,\, \Delta f(x) = 0

Exemplos de funcións harmónicas:

* f(x,y) = log (\sqrt{x^{2}+y^{2}}) sobre o plano euclídeo.
* O potencial gravitatorio dado por \phi(x,y,z) = GM/(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}) é harmónico sobre o espazo euclídeo tridimensional.
* os harmónicos esféricos son funcións harmónicas sobre un dominio finito ou infinito, que aparecen na resolución de problemas con simetría esférica.

## Xeneralizacións do Laplaciano 
O laplaciano pode ser estendido a funcións definidas sobre superficies, ou en forma máis xeral, en variedades de Riemann e variedades seudoriemannianas.

### Operador de Laplace-Beltrami 
Unha extensión do laplaciano a funcións reais definidas sobre unha variedade é o **operador de Laplace-Beltrami** (denotado \nabla^2). Defínese, en forma similar ao laplaciano, como a diverxencia do gradiente, onde o gradiente unha función *f* definida nunha variedade (seudo)riemaniana e a diverxencia dun campo vectorial *X* sobre a mesma veñen dados en compoñentes por:
{{Ecuación|(\mbox{grad}\ f)^i = g^{ij}\frac{\partial f}{\partial x^j} \qquad \mbox{div}\ X = \frac{1}{\sqrt}\frac{\partial}{\partial x^j}\left(\sqrtX^i\right)||left}}
Onde:
g^{ij}, é tensor 2-contravariante asociado ao tensor métrico.
\sqrt, é a raíz cadrada do valor absoluto do determinante do tensor métrico.
O operador de Laplace-Beltrami dunha función escalar obtense como a diverxencia e o gradiente definidos como anteriormente, é dicir:
{{Ecuación|\nabla^2 f = \frac{1}{\sqrt}\frac{\partial}{\partial x^k}\left(\sqrtg^{ik}\frac{\partial f}{\partial x^i}\right)||left}}

### Operador de Laplace-deRham 
En variedades riemannianas e seudoriemanninas existe outra xeneralización do laplaciano que o estende a k-formas, que é a base da cohomoloxía de Hodge-deRham. Esta extensión chamada **operador de Laplace-deRham**, e denotado como \boldsymbol\Delta, defínese en termos da diferencial exterior (*d*) e a codiferencial exterior (δ) de *k*-formas ou alternativamente en termos da diferencial exterior e o operador dual de Hodge. Este operador de Laplace-deRham defínese como:
{{Ecuación|\boldsymbol{\Delta}\alpha = (d\delta+\delta d) \alpha = (d+\delta)^2 \alpha  ||left}}
Onde a codiferencial pode reescribirse en termos da diferencial exterior e o operador dual de Hodge:
{{Ecuación|\delta = (-1)^{n(k+1)+1}*d* \;||left}}
Onde *n* é a dimensión da variedade (seudo)riemanniana e *k* é a orde da *k*-forma α.

## Véxase tamén 
### Ligazóns externas 
* O operador laplaciano en MathWorld