Constante de Apéry

En matemáticas, a **constante de Apéry** é a suma infinita dos recíprocos ao cubo dos números enteiros positivos. É dicir, defínese como o número

: 
 \begin{align}
 \zeta(3) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} \\
      &= \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{1^3} + \frac{1}{2^3} + \cdots + \frac{1}{n^3}\right),
 \end{align}

onde  é a función zeta de Riemann. Ten un valor aproximado de 

:  .

Leva o nome de Roger Apéry, quen demostrou que é un número irracional.

## Propiedades 
 foi chamada *constante de Apéry* en honor ao matemático francés Roger Apéry, quen demostrou en 1978 que se trata dun número irracional. Este resultado é coñecido como *Teorema de Apéry*. A proba orixinal é complexa e difícil de comprender, e máis tarde atopáronse probas máis sinxelas.

A demostración de irracionalidade simplificada de Beukers implica aproximar o integrando da integral tripla coñecida para  ,

: \zeta(3) = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1-xyz}\, dx\, dy\, dz,

polos polinomios de Legendre. En particular, o artigo de van der Poorten fai unha crónica deste enfoque sinalando que

: I_3 := -\frac{1}{2} \int_0^1 \int_0^1 \frac{P_n(x) P_n(y) \log(xy)}{1-xy}\, dx\, dy = b_n \zeta(3) - a_n, 

onde |I| \leq \zeta(3) (1-\sqrt{2})^{4n}, P_n(z) son os polinomios de Legendre e as subsecuencias b_n, 2 \operatorname{lcm}(1,2,\ldots,n) \cdot a_n \in \mathbb{Z} son enteiros ou case enteiros.

Moita xente tentou estender a demostración de Apéry de que  é irracional a outros valores da función zeta de Riemann con argumentos impares. Aínda que ata agora isto non deu ningún resultado sobre números específicos, sábese que infinitas das constantes zeta impares  son irracionais. En particular, polo menos un de entre , ,  e  debe ser irracional.

## Representacións en series 
### Clásica 
A maiores da serie fundamental:

: \zeta(3) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3},

Leonhard Euler deu a representación en serie:

: \zeta(3) = \frac{\pi^2}{7} \left(1 - 4\sum_{k=1}^\infty \frac{\zeta (2k)}{2^{2k}(2k + 1)(2k + 2)}\right)

en 1772, que posteriormente foi redescuberta varias veces.

### Converxencia rápida 
A seguinte representación da serie foi atopada por A. A. Markov en 1890, redescuberta por Hjortnaes en 1953, e redescuberta unha vez máis e amplamente anunciada por Apéry en 1979: 

: \zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{k!^2}{(2k)! k^3}.

A seguinte representación en serie dá (asintoticamente) 5,04 novas cifras decimais correctas por termo:

:  \zeta(3) = \frac{1}{24} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{(2k + 1)!^3 (2k)!^3 k!^3 (126392k^5 + 412708k^4 + 531578k^3 + 336367k^2 + 104000k + 12463)}{(3k + 2)! (4k + 3)!^3}.

Utilizouse para calcular a constante de Apéry con varios millóns de cifras decimais correctas.

Ramanujan atopou a seguinte representación da serie : 

: \zeta(3) = \frac{7}{180} \pi^3 - 2 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} - 1)}.

## Representacións con integrais 
### Fórmulas sinxelas 
A seguinte fórmula segue directamente da definición integral da función zeta:

: \zeta(3) = \frac1{2}\int_0^\infty \frac{x^2}{e^x - 1} \,dx

Unha conexión coas derivadas da función gamma 

: \zeta(3) = -\tfrac{1}{2}(\Gamma'''(1) + \gamma^3+ \tfrac{1}{2}\pi^2\gamma) = -\tfrac{1}{2} \psi^{(2)}(1)

tamén é moi útil para a dedución de varias representacións integrais a través das fórmulas integrais coñecidas para as funcións gamma e poligamma.

## Fracción continua 
A constante de Apéry está relacionada coa seguinte fracción continua:

: \frac{6}{\zeta(3)}=5-\cfrac{1}{117-\cfrac{64}{535-\cfrac{729}{1436-\cfrac{4096}{3105-\cfrac{15625}{\dots}}}}}

con a_n=34n^3+51n^2+27n+5 e b_n=-n^6 .

A súa fracción continua simple vén dada por:

: \zeta(3)=1+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{18+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\dots}}}}}}

## Díxitos coñecidos 
O número de díxitos coñecidos da constante  de Apéry aumentou drasticamente durante as últimas décadas, e agora sitúase en máis de 2 \cdot 10^{12}. Isto débese tanto ao aumento do rendemento dos ordenadores como ás melloras algorítmicas.
: 

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*.
*.
*.
*.
* (Message to Simon Plouffe, with original text but only some decimal places).

*

*
*.
*.
### Outros artigos 
*  Función zeta de Riemann.
* Medida da irracionalidade.
### Ligazóns externas 
*
*
*.