Matriz nilpotente

En álxebra linear, unha **matriz nilpotente** é unha matriz cadrada *N* tal que
:N^k = 0\,
para algún enteiro k. O k máis pequeno deste tipo chámase **índice** de N,  ou ás veces o **grao** de N.

De xeito máis xeral, unha **transformación nilpotente** é unha transformación linear L dun espazo vectorial tal que L^k = 0 para algún enteiro positivo k (e, polo tanto, L^j = 0 para todos os j \geq k).

Estes dous conceptos son casos especiais dun concepto máis xeral de nilpotencia que se aplica aos elementos dos aneis.

## Exemplos
### Exemplo 1
A matriz
: 
A = \begin{bmatrix} 
0 & 1 \\
0 & 0 
\end{bmatrix}

é nilpotente de índice 2, xa que A^2 = 0.

### Exemplo 2
De forma máis xeral, calquera matriz triangular de n dimensións con ceros ao longo da diagonal principal é nilpotente, con índice \le n. Por exemplo, a matriz
: 
B=\begin{bmatrix} 
0 & 2 & 1 & 6\\
0 & 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0 
\end{bmatrix}

é nilpotente, con

:
B^2=\begin{bmatrix} 
0 & 0 & 2 & 7\\
0 & 0 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 
\end{bmatrix}
;\ 

B^3=\begin{bmatrix} 
0 & 0 & 0 & 6\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 
\end{bmatrix}
;\ 

B^4=\begin{bmatrix} 
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 
\end{bmatrix}

O índice de B é polo tanto 4.

### Exemplo 3
Aínda que os exemplos anteriores teñen un gran número de entradas cero, unha matriz nilpotente típica non o ten. Por exemplo,
: 
C=\begin{bmatrix} 
5 & -3 & 2 \\
15 & -9 & 6 \\
10 & -6 & 4
\end{bmatrix}
\qquad
C^2=\begin{bmatrix} 
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}

aínda que a matriz non ten entradas cero.

### Exemplo 4
Alén diso, calquera matriz da forma

:
\begin{bmatrix}
a_1 & a_1 & \cdots & a_1 \\
a_2 & a_2 & \cdots & a_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
-a_1-a_2-\ldots-a_{n-1} & -a_1-a_2-\ldots-a_{n-1} & \ldots & -a_1-a_2-\ldots-a_{n-1} 
\end{bmatrix}

como

:
\begin{bmatrix}
5 & 5 & 5 \\
6 & 6 & 6 \\
-11 & -11 & -11
\end{bmatrix}

ou

:\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 2 & 2 & 2 \\
4 & 4 & 4 & 4 \\
-7 & -7 & -7 & -7
\end{bmatrix}

elévase ao cadrado dando cero.

### Exemplo 5
Se cadra algúns dos exemplos máis sorprendentes de matrices nilpotentes sexan as matrices cadradas n\times n da forma:

:\begin{bmatrix}
2 & 2 & 2 & \cdots & 1-n \\
n+2 & 1 & 1 & \cdots & -n \\
1 & n+2 & 1 & \cdots & -n \\
1 & 1 & n+2 & \cdots & -n \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\end{bmatrix}

As primeiras delas son:

:\begin{bmatrix}
2 & -1 \\
4 & -2
\end{bmatrix}
\qquad
\begin{bmatrix}
2 & 2 & -2 \\
5 & 1 & -3 \\
1 & 5 & -3
\end{bmatrix}
\qquad
\begin{bmatrix}
2 & 2 & 2 & -3 \\
6 & 1 & 1 & -4 \\
1 & 6 & 1 & -4 \\
1 & 1 & 6 & -4
\end{bmatrix}
\qquad
\begin{bmatrix}
2 & 2 & 2 & 2 & -4 \\
7 & 1 & 1 & 1 & -5 \\
1 & 7 & 1 & 1 & -5 \\
1 & 1 & 7 & 1 & -5 \\
1 & 1 & 1 & 7 & -5
\end{bmatrix}
\qquad
\ldots

Estas matrices son nilpotentes mais non hai entradas cero en ningunha das súas potencias inferiores ao índice.

### Exemplo 6
Considere o espazo linear de polinomios de grao limitado. O operador derivada é un mapa linear. Sabemos que ao aplicar a derivada a un polinomio diminúe o seu grao en un, polo que ao aplicalo de forma iterativa, acabaremos por obter cero. Polo tanto, en tal espazo, a derivada é representábel por unha matriz nilpotente.

## Caracterización
Para unha matriz cadrada n \times n, N, con entradas reais (ou complexas), as seguintes afirmacións son equivalentes:
* N é nilpotente.
* O polinomio característico para N é \det \left(xI - N\right) = x^n.
* O polinomio mínimo para N é x^k para algún número enteiro positivo k \leq n.
* O único eigenvalor complexo para N é 0.
O último teorema é certo para matrices sobre calquera corpo de característica 0 ou característica suficientemente grande. (cf. Identidades de Newton)

Este teorema ten varias consecuencias, incluíndo:
* O índice dunha matriz nilpotente n \times n sempre é menor ou igual a n. Por exemplo, cada matriz 2 \times 2  nilpotente elevada ao cadrado é cero.
* O determinante e a traza dunha matriz nilpotente son sempre cero. En consecuencia, unha matriz nilpotente non pode ser invertíbel.
* A única matriz diagonalizábel nilpotente é a matriz cero.

Ver tamén: Descomposición de Jordan-Chevalley.

## Clasificación
Considere a matriz de desprazamento n \times n (superior):
:S = \begin{bmatrix} 
   0 & 1 & 0 & \ldots & 0  \\
   0 & 0 & 1 & \ldots & 0  \\
   \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
   0 & 0 & 0 & \ldots & 1  \\
   0 & 0 & 0 & \ldots & 0
\end{bmatrix}.
Esta matriz ten 1 ao longo da superdiagonal e 0s no resto da matriz. Como transformación linear, a matriz de desprazamento "despraza" as compoñentes dun vector unha posición cara á esquerda, aparecendo un cero na última posición:
:S(x_1,x_2,\ldots,x_n) = (x_2,\ldots,x_n,0).
Esta matriz é nilpotente con grao n, e é a matriz nilpotente canónica.

Especificamente, se N é calquera matriz nilpotente, entón N é semellante a unha matriz diagonal en bloques da forma
: \begin{bmatrix} 
   S_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 
   0 & S_2 & \ldots & 0 \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
   0 & 0 & \ldots & S_r 
\end{bmatrix} 
onde cada un dos bloques S_1,S_2,\ldots,S_r é unha matriz de desprazamento (posibelmente de diferentes tamaños). Esta forma é un caso especial da forma canónica de Jordan para matrices.

Por exemplo, calquera matriz 2&times;2 nilpotente distinta de é semellante á matriz
: \begin{bmatrix} 
   0 & 1 \\
   0 & 0
\end{bmatrix}. 
É dicir, se N é calquera matriz 2&times;2 
nilpotente distinta de cero, entón existe unha base **b**1,**b**2 de tal forma que *N***b**1=0 e *N***b**2=**b**1.

Este teorema de clasificación cúmprese para matrices sobre calquera corpo. (Non é necesario que o corpo estea pechado alxebricamente.)

## Bandeira de subespazos
Unha transformación nilpotente L en \mathbb{R}^n determina naturalmente unha bandeira de subespazos
: \{0\} \subset \ker L \subset \ker L^2 \subset \ldots \subset \ker L^{q-1} \subset \ker L^q = \mathbb{R}^n
e unha sinatura
: 0 = n_0 

A sinatura caracteriza L ata unha transformación linear invertíbel. A maiores, satisfai as desigualdades
: n_{j+1} - n_j \leq n_j - n_{j-1}, \qquad \mbox{para todos os } j = 1,\ldots,q-1. 
Pola contra, calquera secuencia de números naturais que satisfaga estas desigualdades é a sinatura dunha transformación nilpotente.

## Propiedades adicionais
* Se N é nilpotente con índice k, entón I+N e I-N son invertíbeis, onde I é a matriz identidade n \times n. As inversas veñen dadas por
: \begin{align}
(I + N)^{-1} &= \displaystyle\sum^k_{m=0}\left(-N\right)^m = I - N + N^2 - N^3 + N^4 - N^5 + N^6 - N^7 + \cdots +(-N)^k \\
(I - N)^{-1} &= \displaystyle\sum^k_{m=0}N^m = I + N + N^2 + N^3 + N^4 + N^5 + N^6 + N^7 +  \cdots + N^k \\
\end{align}

* Se N é nilpotente, entón
: \det (I + N) = 1.

: Pola contra, se A é unha matriz e
: \det (I + tA) = 1\!\,
: para todos os valores de t, entón A é nilpotente. De feito, dado que p(t) = \det (I + tA) - 1 é un polinomio de grao n, abonda con ter este valor para n+1 valores distintos de t.
* Toda matriz singular pódese escribir como produto de matrices nilpotentes.
*  Unha matriz nilpotente é un caso especial dunha matriz converxente.

## Xeneralizacións
Un operador linear T é **localmente nilpotente** se para cada vector v, existe un k\in\mathbb{N} tal que
:T^k(v) = 0.\!\,
Para os operadores nun espazo vectorial de dimensións finitas, a nilpotencia local é equivalente á nilpotencia.

## Notas
## Véxase tamén 
## Bibliografía
* 
*
* 
### Outros artigos 
* Matriz (matemáticas).
* Nilpotente.
* Descomposición de Jordan-Chevalley.
### Ligazóns externas 
* Nilpotent matrix e [transformación nilpotente  en PlanetMath(https://gl.wikipedia.org/wiki/PlanetMath).