Descomposición en fraccións simples

O método de **descomposición en fraccións simples** ou ** descomposición en fraccións parciais** consiste en descompor un cociente de polinomios nunha suma de fraccións de polinomios de menor grao. Utilízase principalmente en cálculo integral. Para aplicar os métodos explicados no artigo o grao do polinomio do denominador g(x) debe ser estritamente maior que o do numerador f(x), en caso contrario deberíamos aplicar antes unha división de polinomios para obter un numerador con grao menor:
:\frac{f(x)}{g(x)}=p(x) + \frac{f_1(x)}{g(x)} ,

onde f_1(x) sería de grao menor a g(x).

## Características 
Para maior claridade, sexa:

: \frac{A(x)}{B(x)}= \frac{a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_1x+a_0}{b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_1x+b_0}

onde m. Para reducir a expresión a fraccións parciais débese expresar a función B(x) da forma:

: B(x)= (x+a_n)(x+a_{n-1})...(x+a_1)(x+a_0) \,
: ou
: B(x)= (a_nx^2+b_nx+c_n)(a_{n-1}x^2+b_{n-1}x+c_{n-1})...(a_1x^2+b_1x+c_1)(a_0x^2+b_0x+c_0) \,

é dicir, como o produto de factores lineares ou cadráticos.

## Casos 
Distínguense 4 casos:

### Factores lineares distintos 
Onde ningún par de factores é idéntico.

: \frac{A_1}{(x+a_1)} + \frac{A_2}{(x+a_2)} + ... + \frac{A_n}{(x+a_n)}

Onde A_1, A_2, ..., A_n \, son constantes a determinar, e ningún denominador anúlase.

### Factores lineares repetidos 
Onde os pares de factores son idénticos.

: \frac{A_1}{(x+a_1)} + \frac{A_2}{(x+a_1)^2} + ... + \frac{A_n}{(x+a_1)^n}

Onde A_1, A_2, ..., A_n \, son constantes a determinar, e ningún denominador anúlase.

### Factores cadráticos distintos 
Onde ningún par de factores é igual.

: \frac{A_1 x +B_1}{(a_1 x^2+b_1 x+c_1)} + \frac{A_2 x +B_2}{(a_2 x^2+b_2 x+c_2)} + ... + \frac{A_n x +B_n}{(a_n x^2+b_n x+c_n)}

Onde A_1, B_1, A_2, B_2, ..., A_n, B_n \, son constantes a determinar, e ningún denominador anúlase.

### Factores cadráticos repetidos 
: \frac{A_1 x +B_1}{(a_1 x^2+b_1 x+c_1)} + \frac{A_2 x +B_2}{(a_1 x^2+b_1 x+c_1)^2}  + ... + \frac{A_n x +B_n}{(a_1 x^2+b_1 x+c_1)^n}

Onde  A_1, B_1, A_2, B_2, ..., A_n, B_n \, son constantes a determinar, e ningún denominador anúlase.

## Cómputo das constantes 
Para achar as constantes, no caso de *factores lineares distintos* pódese utilizar a seguinte fórmula:

: A_k = \left[\frac{A(x)}{B(x)}(x+a_k)\right]_{x=-a_k}

onde k = (1, 2, ..., n).

Para os outros casos non existe unha formulación específica. Con todo, estes pódense resolver simplificando e formando un sistema de ecuacións con cada unha das A_k.

### Exemplo 1 
Sexa \frac{x+3}{(x+1)(x+2)}.

Pódese descompor en \frac{x+3}{(x+1)(x+2)}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x+2}. 

Necesitamos atopar os valores **a** e **b**.

O primeiro paso é desfacernos do denominador, o que nos leva a:

: \frac{x+3}{(x+1)(x+2)}=\frac{a(x+2) + b(x+1)}{(x+1)(x+2)}

Simplificando

: x+3= a (x+2)+ b (x+1).

O seguinte paso é asignar valores a x, para obter un sistema de ecuacións, e deste xeito
calcular os valores **a** e **b**.

Porén, podemos facer algunhas simplificacións asignando 

: 
\begin{array}{rlr}
 x    & =-2 & \; \mbox{o que produce}\\
 -2+3 & = a (-2+2)+b(-2+1) & \; calculando\\
 1    & = -b  & \; \mbox{ é decir}\\
 b    & = -1
\end{array}
.

Para o caso de **a** observamos que x=-1 facilita o proceso

: 
\begin{array}{rlr}
 x    & =-1                & {} \\
 -1+3 & = a (-1+2)+b(-1+1) & {} \\
 2    & = a                & {} \\
 a    & = 2                & {}
\end{array}

Sendo o resultado 

: 
\frac{x+3}{(x+1)(x+2)}=\frac{2}{x+1}+\frac{-1}{x+2}
.

### Exemplo 2 
Sexa \frac{x^2+3x+1}{(x+1)^3}.

Pódese descompor desta maneira

: \frac{a}{x+1}+\frac{b}{(x+1)^2}+\frac{c}{(x+1)^3}

multiplicando por (x+1)^3, temos:

: \frac{(x^2+3x+1)(x+1)^3}{(x+1)^3}=\frac{a(x+1)^3}{x+1}+\frac{b(x+1)^3}{(x+1)^2}+
\frac{c(x+1)^3}{(x+1)^3}.

Simplificando

: x^2+3x+1=a(x+1)^2+b(x+1)+c.

Procedemos a asignar valores a x, para formar un sistema de ecuacións.

: 
\begin{array}{lrclr}
\text{Sexa} &  x & =  & 0          & \mbox{resulta en} \\
       {}  &  1 & =  & a + b + c  & {} \\
\text{Sexa} &  x & =  & 1          & {} \\
       {}  &  5 & =  & 4a +2b + c & {} \\
\text{Sexa} &  x & =  & -1         & {} \\
       {}  & -1 & =  & 0 + 0 + c  & {} 
\end{array}

Resolvendo o sistema de ecuacións, temos finalmente 

: 
\frac{x^2+3x+1}{(x+1)^3} = \frac{1}{x+1}+\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{-1}{(x+1)^3}
.

### Exemplo 3 
Temos \frac{1}{x(x^2+1)}  que se pode converter en \frac{a}{x}+\frac{bx+c}{x^2+1}.

Multiplicamos por x(x^2+1) temos:

: \frac{x(x^2+1)}{x(x^2+1)}=\frac{ax(x^2+1)}{x}+\frac{(bx+c)x(x^2+1)}{x^2+1}.

Simplificando,

: 1=a(x^2+1)+(bx+c)x.

Agora podemos asignar valores a **x**

: 
\begin{array}{lrcl}
\text{Se} &  x & = & 0                   \\
       {} &  1 & = & a                   \\
\text{Se} &  x & = & 1                   \\
       {} &  1 & = & 2a + (b+c) \cdot 1 \\
       {} &  1 & = & 2 \cdot 1 + b + c  \\
       {} & -1 & =  & b+c                \\
\text{Se} &  x & =  & -1                 \\
       {} &  1 & =  & 2a + (-b+c) \cdot -1 \\
       {} & -1 & =  & b -c
\end{array}

Resolvendo o sistema, resulta a = 1 \; b=-1 \; c=0 

E o problema resólvese desta maneira

: \frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{1}{x}+\frac{-x}{x^2+1}.

## Integración de fraccións simples 
Para atopar as antiderivadas de fraccións simples pódense distinguir seis casos, dependendo de se o grao do numerador é 0 ou 1, se os polos, é dicir, os ceros do denominador, son reais ou non e se son únicos ou múltiples.

### Fraccións simples con polos reais 
Hai dous casos para fraccións simples con polos reais, xa que o numerador só pode ter grao 0.

Para polos reais e simples temos

: (1) \qquad \int \frac{A}{x - a} dx = A \cdot \ln|x - a| + c

e para polos reais e múltiples (n\neq 1), temos

: (2) \qquad \int \frac{A}{{(x - a)}^n} dx = \frac{-A \cdot (x - a)^{-(n - 1)} }{n-1} + c.

### Fraccións simples con polos complexos 
Hai catro casos para fraccións simples con polos complexos, xa que o grao do numerador pode ser tanto 0 como 1.

No caso de polos complexos e simples e grao de numerador 0, temos

: (3) \qquad \int \frac{B}{x^2 + px +q} dx = \frac{2B}{\sqrt{4q-p^2}} \cdot \arctan \left( \frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}\right) + c.

No caso con polos complexos e simples e o grao de numerador 1 pódese reducir a expresión a outras na forma de (3):

: (4) \qquad \int \frac{Bx+C}{x^2 + px +q} dx = \frac{B}{2} \cdot \ln (x^2 + px +q) + \left(C - \frac{pB}{2}\right) \cdot \int \frac{1}{x^2 + px +q} dx + c

Para os dous casos con múltiples polos, as funcións antiderivadas non se poden determinar directamente, mais pódense atopar regras de recursión.

No caso de polos complexos e múltiples (n\neq 0) e grao de numerador 0. temos

:(5) \qquad \int \frac{B}{(x^2+px+q)^{n+1}}dx = \frac{B}{(4q-p^2) \cdot n} \cdot \frac{2x+p}{(x^2+px+q)^n} + \frac{2}{4q-p^2} \cdot \frac{2n-1}{n} \cdot \int \frac{B}{(x^2+px+q)^n}dx + c.

O caso con polos complexos e múltiples e o grao de reconto 1 pódese reducrir a expresión a outras do tipo (5) (n\neq 1)

: (6) \qquad \int \frac{Bx + C}{(x^2+px+q)^n}dx = - \frac{B}{2(n-1)} \cdot \frac {1}{{(x^2 + px + q)}^{n-1}} + \left(C - \frac{pB}{2}\right) \cdot \int \frac{1}{ (x^2+px+q)^n}dx + c.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
*
*
*
* 
*
*
*
*
*
*
*
*
### Outros artigos 
* Integral.
### Ligazóns externas 
* 
* 
* Make partial fraction decompositions with Scilab.