Número de Bernoulli

En matemáticas, os **números de Bernoulli**  son unha sucesión de números racionais que ocorren con frecuencia na análise matemática. Os números de Bernoulli aparecen na (e poden definirse por) expansión da serie de Taylor das funcións tanxente e tanxente hiperbólica, na fórmula de Faulhaber para a suma das *m-avas potencias* dos primeiros *n* enteiros positivos, na fórmula de Euler-Maclaurin, e en expresións para certos valores da función zeta de Riemann.

Os valores dos primeiros 20 números de Bernoulli están indicados na táboa adxacente. Na literatura utilízanse dúas convencións, denotadas aquí por B^{-{}}_n e B^{+{}}_n; difiren só para , onde B^{-{}}_1=-1/2 e B^{+{}}_1=+1/2. Para todo impar , . Para todo  par,  é negativo se  é divisíbel por 4 e positivo no caso contrario. Os números de Bernoulli son valores especiais dos polinomios de Bernoulli B_n(x), con B^{-{}}_n=B_n(0) e B^+_n=B_n(1).

## Notación 
O superíndice  usado neste artigo distingue as dúas convencións de signos para os números de Bernoulli. Só afecta ao termo :

*  with  ( / ) é a convención de signos prescrita polo NIST e a maioría dos libros de texto modernos.
*  with  ( / ) utilizouse nos artigos antigos, e (desde 2022) por Donald Knuth seguindo o "Bernoulli Manifesto" de Peter Luschny.

Nas fórmulas seguintes, pódese mudar dunha convención de signos a outra coa relación B_n^{+}=(-1)^n B_n^{-}, ou para o número enteiro  = 2 ou maior, simplemente ignoralo.

Dado que  para todos , e moitas fórmulas só implican números de Bernoulli de índice par, algúns autores escriben " " en lugar de . Este artigo non segue esa notación.

## Historia 
### Primeiros tempos 
Os números de Bernoulli teñen raíces na historia do cálculo de sumas de potencias enteiras, que foron de interese para os matemáticos desde a antigüidade.
dereita|miniatura| Unha páxina do *Katsuyō Sanpō* de Seki Takakazu (1712), que tabula coeficientes binomiais e números de Bernoulli.
O resultado de Bernoulli foi publicado postumamente en *Ars Conjectandi* en 1713. Seki Takakazu descubriu independentemente os números de Bernoulli e o seu resultado foi publicado un ano antes, tamén postumamente, en 1712. Porén, Seki non presentou o seu método como unha fórmula baseada nunha secuencia de constantes.

A fórmula de Bernoulli para as sumas de potencias é a formulación máis útil e xeneralizábel ata a data. Os coeficientes da fórmula de Bernoulli chámanse agora números de Bernoulli, seguindo unha suxestión de Abraham de Moivre.

A fórmula de Bernoulli chámase ás veces fórmula de Faulhaber por Johann Faulhaber quen atopou formas notábeis de calcular a suma de potencias pero nunca enunciou a fórmula de Bernoulli. Segundo Knuth Carl Jacobi publicou por primeira vez unha proba rigorosa da fórmula de Faulhaber en 1834.

### Reconstrución de "Summae Potestatum" 
dereita|miniatura|"Summae Potestatum", de Jakob Bernoulli, 1713⋮
Os números de Bernoulli  (n)/ OEIS  (n) foron introducidos por Jakob Bernoulli no libro *Ars Conjectandi* publicado postumamente en 1713, páxina 97. A fórmula principal pódese ver na segunda metade do facsímile correspondente. Os coeficientes constantes denotados , ,  e  por Bernoulli son mapeados coa notación que agora prevalece como , , , . A expresión  significa , os pequenos puntos úsanse como símbolos de agrupación. 

Usando a terminoloxía actual estas expresións son factoriais descendentes . A notación factorial  como atallo para   non se introduciu ata 100 anos despois. O símbolo integral do lado esquerdo remóntase a Gottfried Wilhelm Leibniz en 1675 que o usou como unha letra longa  para "summa" (suma).  A letra  do lado esquerdo non é un índice de suma, senón que dá o límite superior do intervalo de suma que debe entenderse como  . Xuntando estas cousas, para un  positivo, hoxe é probábel que un matemático escriba a fórmula de Bernoulli como:

:  \sum_{k=1}^n k^c = \frac{n^{c+1}}{c+1}+\frac 1 2 n^c+\sum_{k=2}^c \frac{B_k}{k!} c^{\underline{k-1}}n^{c-k+1}.

Esta fórmula suxire estabelecer , así temos

:  \sum_{k=1}^n k^c = \sum_{k=0}^c \frac{B_k}{k!}c^{\underline{k-1}} n^{c-k+1}

se , recuperando o valor que Bernoulli lle deu ao coeficiente nesa posición.

A fórmula para \textstyle \sum_{k=1}^n k^9 na primeira metade da cita de Bernoulli anterior contén un erro no último termo; debería ser -\tfrac {3}{20}n^2 en vez de -\tfrac {1}{12}n^2.

## Definicións 
Atopáronse moitas caracterizacións dos números de Bernoulli nos últimos 300 anos, e cada unha delas podería usarse para introducir estes números. Aquí só se mencionan catro das máis útiles:

* unha ecuación recursiva,
* unha fórmula explícita,
* unha función xeradora,
* unha expresión integral.

Para a proba da equivalencia dos catro enfoques podemos ver a referencia de Ireland e Rosen.

### Definición recursiva 
Os números de Bernoulli obedecen ás fórmulas de suma 

:  \begin{align} \sum_{k=0}^{m}\binom {m+1} k B^{-{}}_k &= \delta_{m, 0} \\ \sum_{k=0}^{m}\binom {m+1} k B^{+{}}_k &= m+1 \end{align}

onde m=0,1,2... e  denota o delta de Kronecker.

A primeira delas ás veces escríbese  como a fórmula (para m > 1) 
:(B+1)^m-B_m=0, 
onde a potencia se expande formalmente usando o teorema binomial e B^k substitúese por B_k.

Resolvendo para B^{\mp{}}_m dá as fórmulas recursivas 

: \begin{align}
 B_m^{-{}} &= \delta_{m, 0} - \sum_{k=0}^{m-1} \binom{m}{k} \frac{B^{-{}}_k}{m - k + 1}, \\
 B_m^+ &= 1 - \sum_{k=0}^{m-1} \binom{m}{k} \frac{B^+_k}{m - k + 1}.
\end{align}

### Definición explícita 
En 1893 Louis Saalschütz enumerou un total de 38 fórmulas explícitas para os números de Bernoulli, normalmente dando algunha referencia na literatura máis antiga. Unha delas é (por m\geq 1):

: \begin{align}
 B^-_m &= \sum_{k=0}^m \frac1{k+1} \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} (-1)^j j^m, \\
 B^+_m &= \sum_{k=0}^m \frac1{k+1} \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} (-1)^j (j + 1)^m.
\end{align}

### Función xeradora 
As funcións xeradoras exponenciais son

: \begin{alignat}{3}
 \frac{t}{e^t - 1}  &= \frac{t}{2} \left( \operatorname{coth} \frac{t}{2} -1 \right) &&= \sum_{m=0}^\infty \frac{B^{-{}}_m t^m}{m!},\\
 \frac{te^t}{e^t - 1} = \frac{t}{1 - e^{-t}} &= \frac{t}{2} \left( \operatorname{coth} \frac{t}{2} +1 \right) &&= \sum_{m=0}^\infty \frac{B^+_m t^m}{m!}.
\end{alignat}

A función xeradora ordinaria
:  z^{-1} \psi_1(z^{-1}) = \sum_{m=0}^{\infty} B^+_m z^m

é unha serie asintótica. Contén a función trigamma  (segunda derivada do logaritmo da función gamma).

### Expresión con integral 
Das funcións xeradoras anteriores, pódese obter a seguinte fórmula con integral para os números pares de Bernoulli:

: B_{2n} = 4n (-1)^{n+1} \int_0^{\infty} \frac{t^{2n-1}}{e^{2 \pi t} -1 } \mathrm{d} t .

## Os números de Bernoulli e a  función zeta de Riemann 
dereita|miniatura| Os números de Bernoulli dados pola función zeta de Riemann.
Os números de Bernoulli pódense expresar en termos da función zeta de Riemann:

:   para .

Aquí o argumento da función zeta é *0* ou negativo. Como \zeta(k) é cero para os enteiros pares negativos (os ceros triviais), se *n>1* é impar, \zeta(1-n) é cero.

Mediante a ecuación funcional da zeta e a fórmula de reflexión gamma pódese obter a seguinte relación:

:  B_{2n} = \frac {(-1)^{n+1}2(2n)!} {(2\pi)^{2n}} \zeta(2n) \quad  para .

Agora o argumento da función zeta é positivo.

De  (  ) e da fórmula de Stirling despréndese que

:  |B_{2 n}| \sim 4 \sqrt{\pi n} \left(\frac{n}{ \pi e} \right)^{2n} \quad  para .

### Análise asintótica 
Sen dúbida, a aplicación máis importante dos números de Bernoulli en matemáticas é o seu uso na fórmula de Euler-Maclaurin. A fórmula de Euler-Maclaurin proporciona expresións para a diferenza entre a suma e a integral en termos da derivada máis alta  avaliada nos extremos do intervalo.

Asumindo que  é unha función suficientemene diferenciábel ( veces diferenciábel) , a fórmula de Euler-Maclaurin pódese escribir como

: \sum_{k=a}^{b-1} f(k) = \int_a^b f(x)\,dx + \sum_{k=1}^m \frac{B^-_k}{k!} (f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_-(f,m).

Esta formulación asume a convención .

: \sum_{k=a+1}^{b} f(k) = \int_a^b f(x)\,dx + \sum_{k=1}^m \frac{B^+_k}{k!} (f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_+(f,m).

Aquí f^{(0)}=f (é dicir, a derivada de orde cero de f é xusto f). Alén diso, sexa f^{(-1)} a antiderivada de f. Segundo o teorema fundamental do cálculo temos,

: \int_a^b f(x)\,dx = f^{(-1)}(b) - f^{(-1)}(a).

Así, a última fórmula pódese simplificar aínda máis á seguinte forma sucinta da fórmula de Euler-Maclaurin

:  \sum_{k=a+1}^{b} f(k)= \sum_{k=0}^m \frac{B_k}{k!} (f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R(f,m). 

Onde R(f,m) é o termo de erro, que adoita ser pequeno para valores adecuados de .

Esta forma é, por exemplo, a fonte da importante expansión de Euler-Maclaurin da función zeta

:  \begin{align}
 \zeta(s) & =\sum_{k=0}^m \frac{B^+_k}{k!} s^{\overline{k-1}} + R(s,m) \\
      & = \frac{B_0}{0!}s^{\overline{-1}} + \frac{B^+_1}{1!} s^{\overline{0}} + \frac{B_2}{2!} s^{\overline{1}} +\cdots+R(s,m) \\
      & = \frac{1}{s-1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{12}s + \cdots + R(s,m).
\end{align} 

Aquí  denota o factorial ascendente.

Os números de Bernoulli tamén se usan con frecuencia noutros tipos de expansións asintóticas. O seguinte exemplo é a clásica expansión asintótica de tipo Poincaré da función digamma  (derivada do logaritmo da función gamma).

: \psi(z) \sim \ln z - \sum_{k=1}^\infty \frac{B^+_k}{k z^k} .

### Suma de potencias 
Os números de Bernoulli teñen un lugar destacado na expresión en forma pechada da suma das potencias -ésimas dos primeiros  números enteiros positivos. Para  definimos

: S_m(n) = \sum_{k=1}^n k^m = 1^m + 2^m + \cdots + n^m. 

Esta expresión sempre pode reescribirse como un polinomio en  de grao . Os coeficientes destes polinomios están relacionados cos números de Bernoulli pola **fórmula de Bernoulli**:

: S_m(n) = \frac{1}{m + 1} \sum_{k=0}^m \binom{m + 1}{k} B^+_k n^{m + 1 - k} = m! \sum_{k=0}^m \frac{B^+_k n^{m + 1 - k}}{k! (m+1-k)!},

onde  denota o coeficiente binomial.

Por exemplo, tomando  como 1 dá os números triangulares  .

:  1 + 2 + \cdots + n = \frac{1}{2} (B_0 n^2 + 2 B^+_1 n^1) = \tfrac12 (n^2 + n).

### Serie de Taylor 
Os números de Bernoulli aparecen na expansión da serie de Taylor de moitas funcións trigonométricas e funcións hiperbólicas.

:\begin{align}
\tan x &= \hphantom \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} }{(2n)!}\; x^{2n-1}, && \left|x \right| 

### Serie Laurent 
Os números de Bernoulli aparecen na  serie de Laurent  da
función digamma:  \psi(z)= \ln z- \sum_{k=1}^\infty \frac {B_k^{+{}}} {k z^k} .

## Conexións con números combinatorios 
A conexión do número de Bernoulli con varios tipos de números combinatorios baséase na teoría clásica das diferenzas finitas e na interpretación combinatoria dos números de Bernoulli como exemplo dun principio combinatorio fundamental, o principio de inclusión-exclusión.

### Conexión cos números de Stirling do segundo tipo 
Se se definen os polinomios de Bernoulli  como:

:  B_k(j)=k\sum_{m=0}^{k-1}\binom{j}{m+1}S(k-1,m)m!+B_k 

onde  para  son os números de Bernoulli e  é un número de Stirling do segundo tipo.

Tamén obtemos o seguinte para os polinomios de Bernoulli,

:  B_k(j)=\sum_{n=0}^k \binom{k}{n} B_n j^{k-n}. 

O coeficiente de  en  é .

Comparando o coeficiente de  nas dúas expresións dos polinomios de Bernoulli temos:

:  B_k=\sum_{m=0}^{k-1} (-1)^m \frac{m!}{m+1} S(k-1,m)

que é unha fórmula explícita para os números de Bernoulli e pode usarse para demostrar o Teorema de Von-Staudt Clausen..

### Conexión cos números de Stirling do primeiro tipo 
As dúas fórmulas principais que relacionan os números de Stirling sen signo do primeiro tipo  cos números de Bernoulli (con ) son:

:  \frac{1}{m!}\sum_{k=0}^m (-1)^{k} \left[{m+1\atop k+1}\right] B_k = \frac{1}{m+1}, 

e a inversión desta suma (para ,  )

:  \frac{1}{m!}\sum_{k=0}^m (-1)^k \left[{m+1\atop k+1}\right] B_{n+k} = A_{n,m}. 

Aquí o número  son os números racionais de Akiyama-Tanigawa, os primeiros deles aparecen na seguinte táboa.
:

Os números de Akiyama-Tanigawa satisfán unha relación de recorrencia sinxela que se pode explotar para calcular iterativamente os números de Bernoulli.  Ver  / .

### Conexión co triángulo de Pascal 
Hai fórmulas que conectan o triángulo de Pascal cos números de Bernoulli 

:  B^{+}_n=\frac{(n+1)!}~~~

onde |A_n| é o determinante dunha matriz de Hessenberg da parte n-por-n do triángulo de Pascal cuxos elementos son: 
a_{i, k} = \begin{cases} 
0 & \text{se } k>1+i \\
{i+1 \choose k-1} & \text{noutro caso}
\end{cases}

Exemplo:

:  B^{+}_6 =\frac{\det\begin{pmatrix}
1& 2& 0& 0& 0& 0\\
1& 3& 3& 0& 0& 0\\
1& 4& 6& 4& 0& 0\\
1& 5& 10& 10& 5& 0\\
1& 6& 15& 20& 15& 6\\
1& 7& 21& 35& 35& 21
\end{pmatrix}}{7!}=\frac{120}{5040}=\frac 1 {42}
.

### Relación cos números eulerianos 
Hai fórmulas que relacionan os números eulerianos  cos números de Bernoulli:

: \begin{align}
\sum_{m=0}^n (-1)^m \left \langle {n\atop m} \right \rangle &= 2^{n+1} (2^{n+1}-1) \frac{B_{n+1}}{n+1}, \\
\sum_{m=0}^n (-1)^m \left \langle {n\atop m} \right \rangle \binom{n}{m}^{-1} &= (n+1) B_n.
\end{align}

Ambas as fórmulas son válidas para  se  se vale . Se  vale − só son válidas para  e  respectivamente.

## Representación integral e continuación analítica 
A integral

:  b(s) = 2e^{s i \pi/2}\int_0^\infty \frac{st^s}{1-e^{2\pi t}} \frac{dt}{t} = \frac{s!}{2^{s-1}}\frac{\zeta(s)}{{  }\pi^s{ }}(-i)^s= \frac{2s!\zeta(s)}{(2\pi i)^s}

ten como valores especiais  para  .

Por exemplo,  e . Onde,  denota a Función zeta de Riemann, e  denota a unidade imaxinaria.

Leonhard Euler (*Opera Omnia*, Ser. 1, Vol. 10, p. 351) considerou estes números e calculou
:  \begin{align}
 p &= \frac{3}{2\pi^3}\left(1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots \right) = 0.0581522\ldots \\
 q &= \frac{15}{2\pi^5}\left(1+\frac{1}{2^5}+\frac{1}{3^5}+\cdots \right) = 0.0254132\ldots
\end{align}

Outra representación integral similar é
:  b(s) = -\frac{e^{s i \pi/2}}{2^{s}-1}\int_0^\infty \frac{st^{s}}{\sinh\pi t} \frac{dt}{t}= \frac{2e^{s i \pi/2}}{2^{s}-1}\int_0^\infty \frac{e^{\pi t}st^s}{1-e^{2\pi t}} \frac{dt}{t}. 

## A relación cos números de Euler e  
Os números de Euler son ​​unha sucesión de números enteiros intimamente relacionados cos números de Bernoulli. Comparando as expansións asintóticas dos números de Bernoulli e de Euler mostran que os números de Euler  teñen unha magnitude aproximadamente  veces maior que os números  de Bernoulli  . 

En consecuencia:

:  \pi \sim 2 (2^{2n} - 4^{2n}) \frac{B_{2n}}{E_{2n}}. 

Esta ecuación asintótica revela que  reside na raíz común tanto dos números de Bernoulli como dos de Euler. De feito  podería calcularse a partir destas aproximacións racionais.

Os números de Bernoulli pódense expresar a través dos números de Euler e viceversa. Xa que, para  impar,  (coa excepción de ), abonda con considerar o caso cando  é par.

:\begin{align}
 B_n &= \sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k} \frac{n}{4^n-2^n}E_k & n&=2, 4, 6, \ldots \\[6pt]
 E_n &= \sum_{k=1}^n \binom{n}{k-1} \frac{2^k-4^k}{k} B_k & n&=2,4,6,\ldots
\end{align}

## Unha visión algorítmica: o triángulo de Seidel 
A secuencia *S**n* ten outra propiedade inesperada pero importante: os denominadores de *S**n*+1 dividen o factorial de . Noutras palabras: os números  son números enteiros. Ás veces chamados números en zigzag de Euler ou permutacións alternadas.

:  T_n = 1,\,1,\,1,\,2,\,5,\,16,\,61,\,272,\,1385,\,7936,\,50521,\, 353792,\ldots \quad n=0, 1, 2, 3, \ldots  (). Consulte ().

A súa función xeradora exponencial é a suma das funcións secante e tanxente.

:  \sum_{n=0}^\infty T_n \frac{x^n}{n!} = \tan \left(\frac\pi4 + \frac x2\right) = \sec x + \tan x.

Así, as representacións anteriores dos números de Bernoulli e Euler poden reescribirse en termos desta secuencia como

:\begin{align}
 B_n &= (-1)^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor} [n\text{ par}] \frac{n }{2^n-4^n}\, T_{n-1}\ & n &\geq 2 \\
 E_n &= (-1)^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor} [n\text{ par}] T_{n} & n &\geq 0
\end{align}

Estas identidades facilitan o cálculo dos números de Bernoulli e Euler: os números de Euler  veñen dados inmediatamente por  e os números de Bernoulli  son fraccións obtidas de  mediante un troco sinxelo, evitando a aritmética racional.

O que fica é atopar un xeito cómodo de calcular os números . Porén, xa en 1877 Philipp Ludwig von Seidel publicou un enxeñoso algoritmo, que facilita o cálculo de .

{{image frame|align=none|caption=Algoritmo de Seidel para 
|content=
\begin{array}{crrrcc}
 { } & { } & {\color{red}1} & { } & { } & { } \\
 { } & {\rightarrow} & {\color{blue}1} & {\color{red}1} & { } \\
 { } & {\color{red}2} & {\color{blue}2} & {\color{blue}1} & {\leftarrow} \\
 {\rightarrow} & {\color{blue}2} & {\color{blue}4} & {\color{blue}5} & {\color{red}5} \\
 {\color{red}16} & {\color{blue}16} & {\color{blue}14} & {\color{blue}10} & {\color{blue}5} & {\leftarrow} 
\end{array}
}}
#Comece poñendo 1 na fila 0 e sexa   o número da fila que se está a cubrir actualmente.
#Se  é impar, poña o número no extremo esquerdo da fila  na primeira posición da fila , e encha a fila de esquerda a dereita, sendo cada entrada a suma do número á esquerda e o número na parte superior.
#Ao final da fila duplique o último número.
#Se  é par, proceda de xeito similar na outra dirección.

O algoritmo de Seidel é de feito moito máis xeral (ver a exposición de Dominique Dumont ) e foi redescuberto varias veces despois.

Similar ao enfoque de Seidel, D. E. Knuth e T. J. Buckholtz deron unha ecuación de recorrencia para os números  e recomendaron este método para calcular  e  "en computadoras electrónicas usando só operacións simples en números enteiros".

V. I. Arnold redescubriu o algoritmo de Seidel e máis tarde Millar, Sloane e Young popularizaron o algoritmo de Seidel baixo o nome de transformada do bustrófedon (onde Bustrófedon fai referencia a un sistema de escritura que muda alternativamente de sentido de liña en liña).

## Propiedades aritméticas dos números de Bernoulli
Os números de Bernoulli pódense expresar en termos da función zeta de Riemann como  para números enteiros  (para  a expresión  enténdese como o valor límite). 

Isto relaciónaos intimamente cos valores da función zeta en números enteiros negativos. Como tal, podería esperarse que teñan propiedades aritméticas profundas. Por exemplo, a conxectura de Agoh-Giuga postula que  é un número primo se e só se  é congruente con −1 módulo . 

Por un teorema de Kummer as propiedades de divisibilidade dos números de Bernoulli están relacionadas cos grupo de clases de ideais dos corpos ciclotómicos. Nunha versión máis forte temos o teorema de Herbrand-Ribet. E unha relación a maiores cos números de clase de corpos cadráticos reais pola congruencia de Ankeny-Artin-Chowla.

### Os teoremas de Kummer 
Os números de Bernoulli están relacionados co Último Teorema de Fermat (FLT) polo teorema de Kummer, que di:

:Se o primo impar  non divide ningún dos numeradores dos números de Bernoulli  daquela  non ten solucións en números enteiros distintos de cero.

Os números primos con esta propiedade chámanse primos regulares. 

Outro resultado clásico de Kummer son as seguintes congruencias.

: Sexa  un número primo impar e  un número par tal que  non divida . Entón, para calquera número enteiro non negativo 
::  \frac{B_{k(p-1)+b}}{k(p-1)+b} \equiv \frac{B_{b}}{b} \pmod{p}. 

Unha xeneralización destas congruencias leva o nome de continuidade -ádica.

### Continuidade -ádica
(Para unha introdución aos números p-ádicos ver número p-ádico).

Se ,  e  son números enteiros positivos tal que  e  non son divisíbeis por  e , entón

:(1-p^{m-1})\frac{B_m}{m} \equiv (1-p^{n-1})\frac{B_n} n \pmod{p^b}. 

Dado que , isto tamén se pode escribir como

:\left(1-p^{-u}\right)\zeta(u) \equiv \left(1-p^{-v}\right)\zeta(v) \pmod{p^b },

onde  e , polo que que  e  non son positivos e non son congruentes con 1 módulo .

Isto indícanos que a función zeta de Riemann, con  eliminado da fórmula do produto de Euler, é continua nos números -ádicos en enteiros negativos impares congruentes módulo  a un determinado  a \not\equiv 1 \pmod{p-1}, polo que se pode estender a unha función continua  para todos os -ádicos enteiros \mathbb{Z}_p, a función zeta -ádica.

### Congruencias de Ramanujan 
As seguintes relacións, debidas a Ramanujan, proporcionan un método para calcular números de Bernoulli que é máis eficiente que o dado pola súa definición recursiva orixinal:
:\binom{m+3}{m} B_m=\begin{cases}
\frac{m+3}{3}-\sum\limits_{j=1}^\frac{m}{6}\binom{m+3}{m-6j}B_{m-6j}, & \text{se } m\equiv 0\pmod 6;\\
\frac{m+3}{3}-\sum\limits_{j=1}^\frac{m-2}{6}\binom{m+3}{m-6j}B_{m-6j}, & \text{se } m\equiv 2\pmod 6;\\
-\frac{m+3}{6}-\sum\limits_{j=1}^\frac{m-4}{6}\binom{m+3}{m-6j}B_{m-6j}, & \text{se } m\equiv 4\pmod 6.\end{cases}

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* .
* 
* .
* .
* .
* .
*.
* .
* .
* 
* 
* .
* .
* 
* .
*.
*.
*.
*.
* .
* .
* .
*.
* .
* .

### Outros artigos 
* Polinomio de Bernoulli
* Polinomio de Bernoulli do segundo tipo
* Bernoulli sombra
* Número de Bell
* Números de Euler
* Número de Genocchi
* Congruencias de Kummer
* Función zeta de Hurwitz
* Sumatorio de Euler
* Polinomio de Stirling
* Sumas de potencias
### Ligazóns externas 
* 
* *The first 498 Bernoulli Numbers* from Project Gutenberg
* A multimodular algorithm for computing Bernoulli numbers
* The Bernoulli Number Page
* Bernoulli number programs at LiteratePrograms
* 
* 
* 
* 
*