Mecánica lagranxiana

A **mecánica lagranxiana** é unha reformulación da mecánica clásica introducida por Lagrange en 1788. Na mecánica lagranxiana, a traxectoria dun obxecto é derivada atopando a traxectoria que reduce ó mínimo a acción, que é a suma do lagranxiano ó longo do tempo; e este é a enerxía cinética menos a enerxía potencial.

A formulación lagranxiana simplifica moitos problemas físicos. Por exemplo, os sistemas de referencia inerciais son tratados en pé de igualdade e a diferenza das leis de Newton, a forma das ecuacións do movemento non depende do sistema de referencia elixido.

## Motivación 
A utilidade da formulación lagranxiana apréciase ata en exemplos sinxelos. Por exemplo, considérese unha conta nun aro. Se se calculara o movemento da conta usando a mecánica newtoniana, teríamos un sistema complicado de ecuacións que considerarían as forzas que o aro exerce na conta en cada momento. Ollaríamos todos os movementos posibles que a conta podería tomar no aro e atoparíamos matematicamente o que reduce ó mínimo a acción. Hai moi poucas ecuacións posto que non estamos calculando directamente a influencia do aro na conta nun momento dado.
Outro exemplo é o caso do estudo do movemento nun sistema que vira, por exemplo o planeta Terra: na formulación newtoniana é necesario introducir a man as forzas ficticias ou forzas de inercia como a forza centrípeta ou a forza de Coriolis mentres que na formulación lagranxiana estas aparecen de modo natural.

Estes dous problemas considerados anteriormente son moito máis sinxelos de resolver empregando a formulación lagranxiana.

## Ecuacións de Lagrange 
As ecuacións do movemento en mecánica lagranxiana son as *ecuacións de Lagrange*, tamén coñecidas como as ecuacións de Euler-Lagrange. A continuación bosquexamos a derivación da ecuación de Lagrange das leis de Newton do movemento. (Ver as referencias para derivacións máis detalladas e máis xerais).

Considere unha soa partícula con masa *m* e o vector de posición **r**. A forza aplicada, **F**, se é unha **forza conservativa** pode ser expresada como o gradiente dunha función potencial escalar *V*(**r**, *t*):

:\mathbf{F} = - \nabla V
 	
tal forza é independente das terceiras (ou de orde superior) derivadas de **r**, xa que logo a segunda lei de Newton forma un sistema de 3 ecuacións diferenciables ordinarias de segunda orde. Polo tanto, o movemento da partícula pódese describir totalmente por 6 variables independentes, ou *graos de liberdade*. Un sistema obvio de variables é {rj, r′j|j = 1, 2, 3}, as compoñentes cartesianos de **r** e as súas derivadas temporais, nun instante dado do tempo.

Máis xeralmente, podemos traballar cun sistema de **coordenadas xeneralizadas** e das súas derivadas temporais, as **velocidades xeneralizadas**: {*q*j, *q*′j}. **r** está relacionado coas coordenadas xeneralizadas por unha *ecuación de transformación*:

:\mathbf{r} = \mathbf{r}(q_1 , q_2 , q_3, t)

Considere un desprazamento arbitrario δ**r** da partícula. O traballo feito pola forza aplicada *F* é δ*W* = **F** · δ**r**.

Usando a segunda lei de Newton, obtemos:

:\begin{matrix}
    \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r} & = & m\mathbf{r}* \cdot \delta \mathbf{r}
\end{matrix}
 	
xa que o traballo é unha cantidade escalar física, debemos poder poñer esta ecuación en termos das coordenadas e das velocidades xeneralizadas. No lado esquerdo,

:
  \begin{matrix}
    \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r}
      & = & - \nabla V \cdot \sum_i {\partial r \over \partial q_i} \delta q_i \\  \\
      & = & - \sum_{i,j} {\partial V \over \partial r_j} {\partial r_j \over \partial q_i} \delta q_i \\  \\
      & = & - \sum_i {\partial V \over \partial q_i} \delta q_i \\
  \end{matrix}

O dereito é máis difícil, pero logo temos:
:
  m \mathbf{r*} \cdot \delta \mathbf{r}
= \sum_i \left[{d \over dt}{\partial T \over \partial q'_i}-{\partial T \over \partial q_i}\right]\delta q_i

onde *T* = 1/2*m* r′ 2 é a enerxía cinética da partícula. A nosa ecuación para o traballo realizado convértese así en

:
\sum_i \left[{d\over dt}{\partial{T}\over \partial{q'_i}}-{\partial{(T-V)}\over \partial q_i}\right]
\delta q_i = 0

porén, esta debe ser verdade para *calquera* conxunto de desprazamentos xeneralizados δ*q*i, polo que

:
\left[ {d\over dt}{\partial{T}\over \partial{q'_i}}-{\partial{(T-V)}\over \partial q_i}\right] = 0

para cada coordenada xeneralizada δ*q*i. Podemos simplificar aínda máis observando que *V* é unha función só de **r** e *t*, e **r** das coordenadas xeneralizadas e *t*. Polo tanto, *V* é independente das velocidades xeneralizadas:

:
{d\over dt}{\partial{V}\over \partial{q'_i}} = 0

Inserindo isto na ecuación anterior e substituíndo *L* = *T* - *V*, obtemos as ecuacións de Lagrange:

:
{\partial{L}\over \partial q_i} = {d\over dt}{\partial{L}\over \partial{q'_i}}

Hai unha ecuación de Lagrange para cada coordenada xeneralizada qi. Cando qi = ri (é dicir, as coordenadas xeneralizadas son sinxelamente as coordenadas cartesianas), é inmediato comprobar que as ecuacións de Lagrange redúcense á segunda lei de Newton.

A derivación anterior pódese xeneralizar a un sistema de *N* partículas. Haberá 6*N* coordenadas xeneralizadas, relacionadas ás coordenadas de posición por 3N ecuacións de transformación. En cada unha das 3N ecuacións de Lagrange, *T* é a enerxía cinética total do sistema, e *V* a enerxía potencial total.

Na práctica, é a miúdo máis fácil solucionar un problema usando as ecuacións de Euler-Lagrange que as leis de Newton. Isto é porque as coordenadas xeneralizadas apropiadas *q*i pódense elixir para aproveitar as simetrías no sistema.

### Principio de Hamilton 
A acción, denotada por *S*, é a integral temporal do lagranxiano:

:S = \int L\,dt
 	
Sexan *q*0 e *q*1 as coordenadas nos instantes inicial e final, *t*0 e *t*1 respectivamente. Usando o cálculo de variacións, pódese amosar que as ecuacións de Lagrange son equivalentes ó *Principio de Hamilton*:

:*o sistema experimenta aquela traxectoria entre t0 e t1 cuxa acción ten un valor estacionario.*

Por *estacionario*, entendemos que a acción non varía na primeira orde para as deformacións infinitesimais da traxectoria, cos puntos límites (*q0*, *t0*) e (*q1*, *t1*) fixados. O principio de Hamilton pódese escribir como:

:δ*S* = 0

Así, no canto de pensar en partículas que aceleran en resposta a forzas aplicadas, un pode pensar nelas seleccionando a traxectoria cunha acción estacionaria.

O principio de Hamilton é coñecido, ás veces, como *principio de mínima acción*. Con todo, isto non é apropiado: a acción só necesita ser estacionaria, e a traxectoria correcta poderíase producir por un máximo, punto de ensilladura, ou mínimo na acción.

### Extensións da mecánica lagranxiana 
O hamiltoniano, denotado por *H*, é obtido executando unha transformación de Legendre no lagranxiano. O hamiltoniano é a base para unha formulación alternativa da mecánica clásica coñecida como mecánica hamiltoniana. É unha cantidade particularmente ubicua na mecánica cuántica.

No 1948, Feynman descubriu a formulación por integral de traxectorias estendendo o principio de menor acción á mecánica cuántica. Nesta formulación, as partículas percorren cada traxectoria posible entre os estados iniciais e finais; a probabilidade dun estado final específico é obtida sumando sobre todas as traxectorias posibles que conduce a el. No réxime clásico, a formulación por integral de traxectorias reproduce o principio de Hamilton.

## Mecánica lagranxiana en variedades diferenciables 
A formulación máis moderna da mecánica lagranxiana realízase con toda xeneralidade sobre unha variedade diferenciable chamada espazo fásico (ou espazo das fases) Γ (gamma) que se constrúe como o fibrado tanxente do chamado espazo de configuración.

Sobre o espazo fásico de dimensión 2*N*, , sendo *N* o número de graos de liberdade, defínese unha función lagranxiana, que pode expresarse termos dunha carta local de coordenadas sobre ℝ2*N*:

:\mathcal{L}:\Gamma \to \mathbb{R} \qquad \mathcal{L}(p;\mathbf{v}) = L(q_1,...,q_N; \dot{q}_1, ..., \dot{q}_N) \,

## Notas 
* Goldstein, H.: "Mecánica clásica", Ed. Reverté, 1994.

## Véxase tamén 
* Para un enfoque máis moderno, ver lagranxiano.
* Teorema de Noether

## Ligazóns externas 
* Rychlik, Marek: mecánicas lagranxiana e hamiltoniana - breve introdución (inglés) 
* Lagrange (en español)