Álxebra multilinear

Na matemática, a **álxebra multilinear** é unha área de estudo que xeneraliza os métodos da álxebra linear. Os obxectos de estudo son os produtos tensoriais de espazos vectoriais e as transformacións multilineares entre os espazos.

## Notación 
A álxebra multilinear fai un uso intensivo da notación multiíndice. Unha notación dese tipo representa as combinacións lineares por un conxunto de dous ou máis índices repetidos.

* No caso elemental (tensores de *rango un contravariantes*) tense, empregando a convención da suma de Einstein: \scriptstyle  X=X^se_s\,. O que indica que o obxecto X, é a combinación linear:
{{ecuación|
\sum_{s=1}^{n}X^se_s=X^1e_1+X^2e_2+\cdots+X^ne_n
||left}}
:sobre os *vectores básicos* \scriptstyle e_s\,, e os \scriptstyle X^s\, chamados *compoñentes* de X. Aquí n é a dimensión alxébrica do espazo ao que pertence X. Por convención chámaselles 1-contra-tensores. 
* En **rango un** tamén están os 1-co tensores, é dicir aplicacións lineares dende o espazo escollido ata o corpo dos escalares. Escríbense como combinación linear dos funcionais lineares e^s, transformacións lineares \scriptstyle V\to\mathbb{K} que satisfán: \scriptstyle e^s(e_{\sigma})={\delta^s}_{\sigma}, onde se está empregando o delta de Kronecker. Deste xeito, calquera covector \scriptstyle f\colon V\to\mathbb{K} se escribe como \scriptstyle f=f_se^s\,, notación que se abrevia como \scriptstyle f=f_1e^1+\cdots+f_ne^n\,.
* Tensores de **rango dous**:
** Un tensor de **rango dous contravariante** é \scriptstyle B=B^{st}e_s\otimes e_t.
** Un tensor de **rango dous covariante** é \scriptstyle C=C_{st}e^s\otimes e^t.
** E un tensor de rango dous mixto é \scriptstyle D={D^s}_t e_s\otimes e^t. Isto indica unha combinación linear *biindexada*.
:Por exemplo,
{{ecuación|
B=B^{11}e_1\otimes e_1+B^{12}e_1\otimes e_2+B^{21}e_2\otimes e_1+B^{22}e_2\otimes e_2 
||left}}
:se a dimensión do espazo é dous.
* Xeneralizando o anterior escríbese \scriptstyle {A^{i_1i_2...i_p}}_{j_1j_2...j_q} para representar *os compoñentes* dun *tensor mixto*  A, que é p-contravariante e q-covariante. Pero
{{ecuación|
A={A^{i_1i_2...i_p}}_{j_1j_2...j_q}e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_p}\otimes e^{j_1}\otimes\cdots\otimes e^{j_q}
||left}}
:representa unha combinación linear multiindexada.

Todo o anterior só foi considerando que o espazo vectorial é de dimensión finita igual a *n*.

## Produto tensorial 
Tendo dous espazos vectoriais *V*, *W*, con bases respectivas \{b_1,...,b_n\}, \{c_1,...,c_m\} defínese o seu produto tensorial
{{ecuación|
V\otimes W:=\langle\{ b_i\otimes c_j\}\rangle
||left}}
é dicir o espazo vectorial xerado polos novos símbolos 
{{ecuación|
\{b_1\otimes c_1, b_1\otimes c_2,...,b_n\otimes c_{m-1},b_n\otimes c_m\}
||left}}

Polo tanto se un obxecto *X* que pertence a \scriptstyle V\otimes W pode representarse como unha combinación linear
{{ecuación|
X=X^{11}b_1\otimes c_1+X^{12}b_1\otimes c_2+\cdots+
X^{ij}b_i\otimes c_j+\cdots+X^{nm} b_n\otimes c_m
||left}}
e que se abrevia como
{{ecuación|
X=X^{st}b_s\otimes c_t
||left}}
os índices repetidos *s*  ou *t*, indican, cada un, a suma.

Esta definición é absolutamente abstracta, pero dende o punto de vista alxébrico non hai ningún problema en explorar todas as posibilidades do produto tensorial. Xorde unha gran cantidade de espazos simplemente ao considerar un espazo vectorial *V* e o seu dual V^*, obténdose os espazos:
{{ecuación|
V\otimes V\otimes V=V^{3\otimes}
||left}}
\scriptstyle V\otimes V^*={\rm Hom}(V)

\scriptstyle V^*=\Lambda^1(V)\,

\scriptstyle V\wedge V

\scriptstyle \Lambda^k(V)\,

Todos eles de uso cotián en xeometría diferencial, xeometría alxébrica, relatividade e outros campos.

## Tensores e formas 
Sexa V xerado polos b_i. Simbolizando con 
\beta^{\mu} a base do dual \scriptstyle V^* calquera elemento de \scriptstyle V^*\otimes V^* escríbese da forma
\scriptstyle B_{\mu\nu}\beta^{\mu}\otimes\beta^{\nu}. Esta mesma expresión pode ser vista como unha función bilinear

::\scriptstyle V\times V
\stackrel{B_{\mu\nu}\beta^{\mu}\otimes\beta^{\nu}
}
\longrightarrow \mathbb{R}

:::\scriptstyle(b_i,b_j)\mapsto B_{\mu\nu}\beta^{\mu}\otimes\beta^{\nu}(b_i,b_j)=B_{ij}
sabiendo que 
\scriptstyle
\beta^{\mu}\otimes\beta^{\nu}(b_i,b_j)={\delta^{\mu}}_i{\delta^{\nu}}_j
 - kronecker.

Outro de rango dous é \scriptstyle V\otimes V^*. Os elementos de aquí vense como combinacións lineares biindexadas \scriptstyle {B^{\mu}}_\nu b_{\mu}\otimes \beta^{\nu}.

## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Robert M. Wald, *General Relativity*, Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2.