Hermann Grassmann

**Hermann Günther Grassmann**, nado en Stettin o 15 de abril de 1809 e finado o 26 de setembro de 1877, foi un lingüista e matemático alemán. Tamén foi físico, humanista, erudito e editor.

## Traxectoria 
Hermann Grassmann era o terceiro dos doce fillos de Justus Günter Grassmann e Johanne Luise Friederike Medenwald. A súa nai era filla dun pastor de Klein-Schönfeld. O seu pai fora tamén consagrado pastor pero conseguiu unha praza de profesor de matemáticas e física no Instituto de Stettin e foi un académico notábel, autor de varios libros de texto escolar de Física e Matemáticas, ademais de levar a cabo interesantes investigacións no campo da cristalografía. Outro irmán de Hermann, Robert, tamén se dedicou ás matemáticas e ambos traballaron conxuntamente en moitos proxectos.

Durante a súa mocidade, Hermann foi educado pola súa nai, muller dunha vasta cultura. Logo acudiu a unha escola privada, antes de ingresar no Instituto de Stettin, no que daba clases o seu pai. A maioría dos matemáticos despuntan ante os seus profesores desde moi novos, con todo, e a pesar de ter unhas extraordinarias oportunidades ao pertencer a unha familia proclive á educación, Hermann non destacou de modo especial nos seus anos de estudos secundarios, até o punto de que o seu pai pensou que debía dedicarse a algún tipo de traballo manual, como o de xardineiro ou artesán.

Hermann apreciaba a música e aprendeu a tocar o piano, á vez que proseguía os seus estudos, nos que aos poucos ía mellorando e nos exames finais dos estudos secundarios, con 18 anos, terminou o segundo da súa promoción. Tras demostrar ao final dos seus estudos a súa competencia académica, Hermann decidiu estudar teoloxía e en 1827 trasladouse a Berlín xunto ao seu irmán máis vello para cursar estudos na súa Universidade. Realizou estudos de teoloxía, linguas clásicas, filosofía e literatura, e non parece que acudise a ningunha clase de matemáticas ou física.

Malia que parece evidente que Hermann non tivo formación universitaria formal ningunha en matemáticas, esta era a materia que máis lle interesaba cando regresou a Stettin, no outono de 1830, tras completar os seus estudos universitarios en Berlín. Evidentemente, a influencia do seu pai nesta vía foi moi importante, e puido chegar a ser profesor de matemáticas, pero xa se decidiu a levar a cabo investigacións matemáticas pola súa conta. Despois de pasar un ano investigando en matemáticas e preparando o exame para profesor de instituto, Hermann foise á Berlín en decembro de 1831, para presentarse aos devanditos exames.
Parece ser que os seus exercicios escritos non deberon ser moi ben valorados, posto que os seus examinadores lle deron o título para ensinar só nos primeiros niveis da secundaria. Díxoselle que antes de poder ensinar nos niveis superiores debería volver examinarse e demostrar uns maiores coñecementos nos temas polos que concursara. Na primavera de 1832 obtivo unha praza de profesor axudante no Instituto de Stettin.

Foi sobre esta época cando realizou os seus dous primeiros descubrimentos matemáticos significativos, que estaban destinados a levalo ás importantes ideas que desenvolvería anos despois. Na premisa da súa *Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik* (Teoría da extensión lineal, unha nova rama da matemática – 1844), Grassmann describe como fora chegando a estas ideas xa ao redor do ano 1832.

En 1834 Grassmann empezou a dar clases de matemáticas na *Gewerbeschule* de Berlín. Un ano máis tarde regresou a Stettin para dar clases de matemáticas, física, lingua alemá, latín, e relixión nun centro educativo novo, a *Otto Schule*. Esta gran variedade de materias a impartir é proba de que aínda estaba habilitado soamente para impartir clases nas escolas nos niveis máis baixos. No catro anos seguintes, Grassmann superou os exames que lle permitiron dar clases de matemáticas, física, química e mineraloxía en todos os niveis dos centros de educación secundaria.

Grassmann sentíase en parte frustrado polo feito de ter que dar clases só en niveis de secundaria, a pesar de ser capaz de elaborar unha matemática innovadora. En 1847 pasa a ser "Oberlehrer". En 1852 asignóuselle o posto que anteriormente desempeñara o seu pai no Instituto de Stettin, e obtivo dese modo o título de profesor. En 1847 solicitou ao ministro prusiano de Educación ser tido en conta para o desempeño dun posto de profesor universitario, e o ministro solicitou a Ernst Eduard Kummer a súa opinión acerca de Grassmann. Kummer contestou dicindo que o ensaio de Grassman, que fora premiado en 1846, tiña "(...) bo material expresado de modo inadecuado". Este informe de Kummer acabou coa esperanza de Grassmann de chegar a obter unha praza de profesor universitario. Este episodio confirma ademais o feito de que as autoridades coas que Grassmann contactou nunca recoñeceron a importancia real das súas ideas.

Durante os disturbios políticos que se desenvolven en Alemaña en 1848-49, Hermann e Robert Grassmann editaron un xornal en Stettin para apoiar a unificación de Alemaña no marco dunha monarquía constitucional. Despois de escribir unha serie de artigos sobre leis constitucionais, Hermann, cada vez menos de acordo coa liña política do xornal, deixouno.

Grassmann tivo once fillos, dos que sete chegaron a adultos. Un dos seus fillos, Hermann Ernst Grassmann, chegou a profesor de matemáticas na Universidade de Giessen.

### Matemático 
Entre os moitos temas que abordou Grassman está o seu ensaio sobre a teoría das mareas. Elaborouno en 1840, tomando como base a teoría da *Méchanique analytique* de Lagrange e da *Méchanique céleste* de Laplace, pero expondo esta teoría por métodos vectoriais, sobre os que traballaba desde 1832. Este ensaio, publicado por primeira nos *Collected Works* de 1894-1911, contén o primeiro testemuño escrito do que hoxe se coñece como álxebra lineal e a noción de espazo vectorial. Grassmann desenvolveu estes métodos en *Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik* e *Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet*.

En 1844, Grassmann publica a súa obra mestra, *Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik*, máis coñecido como *Ausdehnungslehre*, que se pode traducir como "teoría da extensión" ou "teoría das magnitudes extensivas". Despois de propor en *Ausdehnungslehre* novas bases para toda as matemáticas, o traballo empeza con definicións de natureza máis ben filosófica. Grassmann demostrou ademais que se a xeometría se expresou en forma alxébrica como el propuña, o número tres non desempeñase o papel privilexiado que ten como número que expresa as dimensións espaciais; de feito, o número de posíbeis dimensións de interese para a xeometría é ilimitado.

Fearnley-Sander (1979) describe a creación da álxebra lineal de Grassmann deste xeito:

Desenvolvendo unha idea de seu pai, Grassmann definiu tamén en *Ausdehnungslehre* o produto exterior, chamado tamén "produto combinatorio" (en alemán: *äußes Produkt* ou *kombinatorisches Produkt*), a operación clave na álxebra que hoxe se coñece como álxebra externa. (Convén non esquecer que nos tempos de Grassmann a única teoría axiomática dispoñíbel era a xeometría euclidiana, e que a noción xeral de álxebra abstracta aínda non fora definida.) En 1878, William Kingdon Clifford uniu a álxebra externa cos cuaternións de William Rowan Hamilton, substituíndo a regra de Grassmann *epep* = 0 por *epep* = 1. Para maior detalle véxase álxebra externa.

O *Ausdehnungslehre* foi un texto revolucionario, moi avanzado na súa época como para poder ser apreciado. Grassmann expúxoo como tese doutoral, pero Möbius non se considerou capaz de valoralo e remitiullo a Ernst Kummer, que o rexeitou sen levar a cabo unha lectura atenta. Nos dez anos seguintes, Grassmann escribiu unha serie de traballos aplicando a súa teoría da extensión, incluíndo unha *Neue Theorie der Elektrodynamik* de 1845, e diversos traballos sobre curvas e superficies alxébricas, coa esperanza de que estas aplicacións movesen aos demais a tomar máis en serio a súa teoría.

En 1846, Möbius convidou a Grassmann a unha competición para resolver un problema orixinalmente exposto por Leibniz: idear un cálculo xeométrico privado de coordenadas e propiedades métricas.*Geometrische Analyse geknüpft an die von Leibniz erfundene geometrische Charakteristik* de Grassmann, foi a idea gañadora. Hai que dicir con todo que o resultado de Grassmann foi o único presentado. De calquera xeito, Möbius, que era un dos membros do xurado, criticou o modo en que Grassmann introduciu a noción abstracta sen proporcionar ao lector intuición algunha sobre a validez destas nocións.

En 1853, Grassmann publicou unha teoría sobre o modo en que se mesturan as cores; esta e as súas tres leis das cores seguen ensinándose hoxe en día. O traballo de Grassman entraba en contradición co de Helmholtz. Grassmann escribiu tamén sobre cristalografía, electromagnetismo, e mecánica.

En 1861 Grassmann expuxo a primeira formulación axiomática da aritmética, usando amplamente o principio de indución. Giuseppe Peano e os seus seguidores citaron amplamente este traballo a partir de 1890.

En 1862, Grassman, tratando de conseguir o recoñecemento da súa teoría da extensión, publicou a segunda edición da 'Ausdehnungslehre', amplamente reescrita, e coa exposición definitiva da súa álxebra lineal. O resultado, *Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet*, que se coñece como "Ensino da dilatación" non foi mellor considerada que a edición orixinal, a pesar de que o método de exposición desta segunda versión de 'Ausdehnungslehre' se anticipase ao que foron os libros de texto no século XX. Nesta obra desenvolve un cálculo operatorio directo para as diversas magnitudes xeométricas, que se coñece como números de Grassmann.

O único matemático que valorou na súa xusta medida as ideas Grassmann en vida deste foi Hermann Hankel. Na súa obra *Theorie der complexen Zahlensysteme* (1867) axudou a que se coñecesen mellor as ideas de Grassmann. Este traballo:
 

Tardouse en adoptar os métodos matemáticos de Grassmann pero influíron directamente en Felix Klein e Élie Cartan. A primeira monografía de A. N. Whitehead, *Universal Algebra* de 1898, incluía a primeira exposición sistemática en inglés da teoría da extensión e da álxebra exterior. A teoría da extensión aplicouse ao estudo das formas diferenciais e nas aplicacións das devanditas formas á análise e á xeometría. A xeometría diferencial usa a álxebra exterior. Para unha introdución sobre a importancia do traballo de Grassmann na física matemática ver Penrose (2004: caps. 11, 12).

### Lingüista 
Contrariado pola súa incapacidade de conseguir que o recoñecesen como matemático, Grassmann dedicouse á lingüística histórica. Escribiu libros de gramática alemá, elaborou catálogos de cancións populares e aprendeu sánscrito. O seu dicionario e a súa tradución do Ayurveda (que se segue publicando hoxe en día) tiveron un gran recoñecemento entre os filólogos. Formulou unha lei relativa aos fonemas das linguas indoeuropeas, que se coñece hoxe como lei de Grassmann na súa honra. Tamén elaborou un *Dicionario sobre o Rig-veda* (1873-1875).
As súas calidades filolóxicas foron recoñecidas en vida; foi admitido na American Oriental Society e en 1876 foi nomeado doutor honoris causa pola Universidade de Tubinga.

## Véxase tamén 
### Bibliografía 
**Primarias**
* 1844. *Die lineale Ausdehnungslehre*. Leipzig: Wiegand.
* 1861. *Lehrbuch der Mathematik für höhere Lehrenstalten, Band 1*. Berlín: Enslin.
* 1862. *Die Ausdehnungslehre, vollstandig und in strenger Form bearbeitet*. Berlín: Enslin. 
* 1894-1911. *Gesammelte mathematische und physikalische Werke,* in 3 vols. Friedrich Engel ed. Leipzig: B.G. Teubner.

**Secundarias**
* Crowe, Michael, 1967. *A History of Vector Analysis*. Notre Dame University Press. 
* Fearnley-Sander, Desmond, 1979, "Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra," *American Mathematical Monthly 86*: 809-17.
* --------, 1982, "Hermann Grassmann and the Prehistory of Universal Algebra," *Am. Math. Monthly 89*: 161-66.
* -------, and Stokes, Timothy, 1996, "Area in Grassmann Geometry". *Automated Deduction in Geometry*: 141-70
* Roger Penrose, 2004. *The Road to Reality*. Alfred A. Knopf.
* Schlege, Victor, 1878. *Hermann Grassmann: Sein Leben und seine Werke*. Leipzig: F.A. Brockhaus.
* Schubring, G., ed., 1996. *Hermann Gunther Grassmann (1809-1877): visionary mathematician, scientist and neohumanist scholar*. Kluwer.
* Hans-Joachim Petsche: *Graßmann.* Basel [usw.] 2006 (Vita Mathematica 13), ISBN 3-7643-7257-5
Unha extensa biografía online revela repercusións substanciais da vida e traballos de Grassmann nos nosos días.

### Outros artigos 
* produto exterior.
### Ligazóns externas 
* Abstract Linear Spaces. Discusses the role of Grassmann and other 19th century figures in the invention of linear algebra and vector spaces. (inglés)
* Fearnley-Sander's home page. (inglés)