Serie converxente

En matemáticas, unha serie é a suma dos termos dunha secuencia infinita de números. Máis precisamente, unha secuencia infinita (a_1, a_2, a_3, \ldots) define unha serie  que se denota

: S=a_1 + a_2 + a_3 + \cdots=\sum_{k=1}^\infty a_k.

A -ésima suma parcial  é a suma dos  primeiros termos da secuencia; é dicir,

: S_n = a_1 +a_2 + \cdots + a_n = \sum_{k=1}^n a_k.

Unha serie é **converxente** (ou **converxe**) se e só se a secuencia (S_1, S_2, S_3, \dots) das súas sumas parciais tende a un límite; iso significa que, ao engadir un a_k despois do outro*, na orde dada polos índices*, un obtén sumas parciais que se achegan cada vez máis a un número determinado. Máis precisamente, unha serie converxe, se e só se existe un número \ell tal que para cada número positivo arbitrariamente pequeno \varepsilon, hai un enteiro (suficientemente grande). N tal que para todos os n \ge N,

: \left | S_n - \ell \right | 

Se a serie é converxente, o número (necesariamente único) \ell chámase *suma da serie*.

A mesma notación

: \sum_{k=1}^\infty a_k

úsase para a serie e, se é converxente, para a súa suma. Esta convención é semellante á que se usa para a suma:  que denota a *operación de sumar  e  ,* así como o resultado desta *suma*, que se chama *suma* de  e .

Calquera serie que non sexa converxente dise que é diverxente ou diverxe.

## Exemplos de series converxentes e diverxentes 
* Os inversos dos enteiros positivos producen unha serie diverxente (serie harmónica):
*: {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots \rightarrow \infty. 
* Alternar os signos dos inversos dos enteiros positivos produce unha serie converxente:
*: {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots = \ln(2)
* Os recíprocos dos números primos producen unha serie diverxente:
*: {1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots \rightarrow \infty.
* Os recíprocos dos  números triangulares producen unha serie converxente:
*: {1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+{1 \over 21}+\cdots = 2.
* Os recíprocos dos  factoriais producen unha serie converxente (ver número e):
*: \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24}  + \frac{1}{120} + \cdots = e.
* Os recíprocos dos  números cadrados producen unha serie converxente (problema de Basilea):
*: {1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots = {\pi^2 \over 6}.
* Os recíprocos das potencias de 2 dan unha serie converxente:
*: {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots = 2.
* Os recíprocos dos  potencias de calquera n>1 producen unha serie converxente:
*: {1 \over 1}+{1 \over n}+{1 \over n^2}+{1 \over n^3}+{1 \over n^4}+{1 \over n^5}+\cdots = {n\over n-1}.
* Alternar os signos dos recíprocos das potencias de 2 tamén produce unha serie converxente:
*: {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 4}-{1 \over 8}+{1 \over 16}-{1 \over 32}+\cdots = {2\over3}.
* Alternar os signos dos recíprocos das potencias de calquera n>1 fai unha serie converxente:
*: {1 \over 1}-{1 \over n}+{1 \over n^2}-{1 \over n^3}+{1 \over n^4}-{1 \over n^5}+\cdots = {n\over n+1}.
* Os recíprocos dos números de Fibonacci produce unha serie converxente (ver número áureo):
*: \frac{1}{1} +  \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8} + \cdots = \psi.

## Tests de converxencia 
Existen varios métodos para determinar se unha serie converxe ou diverxe.
dereita|miniatura|250x250px| Se a serie azul, \Sigma b_n, pódese probar que converxe, entón a serie menor, \Sigma a_n debe converxer. Por contraposición, se a serie vermella \Sigma a_n está demostrado que diverxe, entón \Sigma b_n tamén debe diverxer.

Se unha serie \sum_{n=0}^{\infty} a_n é converxente entón \lim_{a_n \to \infty} = 0. Esta é unha condición necesaria mais non suficiente pois, por exemplo, a serie harmónica ten o termo enésimo con valor cero cando tende a infinito e porén é unha serie diverxente.  

**Test de comparación**. Os termos da secuencia \left \{ a_n \right \} compáranse cos doutra secuencia \left \{ b_n \right \}. Se, para todo *n*, 0 \le \ a_n \le \ b_n, e \sum_{n=1}^\infty b_n converxe, entón tamén o fai \sum_{n=1}^\infty a_n.

No entanto, se, para todo *n*, 0 \le \ b_n \le \ a_n, e \sum_{n=1}^\infty b_n diverxe, entón tamén o fai \sum_{n=1}^\infty a_n.

**Test da razón (ou ratio)**. Supón que para todo *n*, a_n non é cero. Supoñamos que existe r tal que

: \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n+1}}{a_n}}\right| = r.

Se *r* r = \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n],

: onde "lim sup" denota o límite superior.

Se *r* f(n) = a_n  unha función positiva e monótonamente decrecente. Se

: \int_{1}^{\infty} f(x)\, dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} f(x)\, dx 

entón a serie converxe. Mais se a integral diverxe, entón a serie tamén o fai.

**Test de comparación de límites** . Se \left \{ a_n \right \}, \left \{ b_n \right \} > 0, e o límite \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} existe e non é cero, entón \sum_{n=1}^\infty a_n converxe se e só se \sum_{n=1}^\infty b_n converxe.

**Test de serie alternada**. Tamén coñecido como *criterio de Leibniz.* A tes de series alternadas indica que para unha serie alternada da forma \sum_{n=1}^\infty a_n (-1)^n, se \left \{ a_n \right \} é monótonamente decrecente, e ten un límite de 0 no infinito, entón a serie converxe.

**Test de condensación de Cauchy**. Se \left \{ a_n \right \} é unha secuencia decrecente monótona positiva, entón  \sum_{n=1}^\infty a_n  converxe se e só se  \sum_{k=1}^\infty 2^k a_{2^{k}}  converxe.

**Test de Dirichlet**. O test indica que se (a_n) é unha secuencia monótona de números reais con \lim_{n \to \infty} a_n = 0 e (b_n) é unha secuencia de números reais ou números complexos con sumas parciais limitadas, entón a serie
:\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n
converxe.

**Test de Abel**. Supoña que as seguintes afirmacións son verdadeiras:

# \sum a_n  é unha serie converxente,
# b_n  é unha secuencia monótona e
# b_n  está limitada.

Daquela \sum a_n b_n  tamén é converxente.

## Converxencia condicional e absoluta 
Se a serie \sum_{n=1}^\infty \left| a_n \right| converxe daquela a serie \sum_{n=1}^\infty a_n é absolutamente converxente. Toda serie absolutamente converxente é converxente, pero a inversa non é verdade. Por exemplo, a serie de Maclaurin da función exponencial é absolutamente converxente para cada valor complexo da variabel.

Se a serie \sum_{n=1}^\infty a_n converxe pero a serie \sum_{n=1}^\infty \left| a_n \right| diverxe, entón a serie \sum_{n=1}^\infty a_n é condicionalmente converxente. Por exemplo, a serie de Maclaurin da función logaritmo \ln(1+x) é condicionalmente converxente para .

O teorema de Riemann das series afirma que se unha serie converxe condicionalmente, é posíbel reorganizar os termos da serie de tal xeito que a serie converxa a calquera valor, ou mesmo diverxa. O teorema de Agnew caracteriza os reordenamentos que preservan a converxencia para todas as series.

## Converxencia uniforme 
Sexa \left \{ f_1,\ f_2,\ f_3,\dots \right \} unha secuencia de funcións. A serie \sum_{n=1}^\infty f_n dise que converxe uniformemente a *f* se a secuencia \{s_n\} de sumas parciais definidas por

:  s_n(x) = \sum_{k=1}^n f_k (x)

converxe uniformemente a *f*.

Hai un análogo do test de comparación para series infinitas de funcións chamada test M de Weierstrass.

## Criterio de converxencia de Cauchy 
O criterio de converxencia de Cauchy estabelece que unha serie

: \sum_{n=1}^\infty a_n

converxe se e só se a secuencia de sumas parciais é unha secuencia de Cauchy. Isto significa que para cada  \varepsilon > 0,  hai un número enteiro positivo N tal que para todos os n \geq m \geq N temos que

:  \left| \sum_{k=m}^n a_k \right| 

Isto é equivalente a

\lim_{m \to \infty} \left(\sup_{n>m} \left|\sum_{k=m}^{n} a_k \right| \right) = 0.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
### Outros artigos 
* Lista de series matemáticas
* Función zeta de Riemann
### Ligazóns externas 
* 
* Weisstein, Eric (2005). Riemann Series Theorem. Consultado o 16 de maio de 2005.