Función de partición

[miniatura| Os valores p(1), \dots, p(8) da función de partición (1, 2, 3, 5, 7, 11, 15 e 22) pódese determinar contando os [Diagrama Young|diagramas de Young para as particións dos números do 1 ao 8.]]
En teoría de números, a **función de partición**  representa o número de posíbeis particións dun enteiro non negativo . Por exemplo,  porque o número enteiro 4 ten as cinco particións ; ; ;  e .

Non se coñece ningunha expresión de forma pechada para a función de partición, mais ten tanto expansións asintóticas que a aproximan con precisión como relacións de recorrencia polas que se pode calcular exactamente. Medra como función exponencial da raíz cadrada do seu argumento. O inverso multiplicativo da súa función xeradora é a función de Euler; polo teorema dos números pentagonais de Euler esta función é unha suma alterna de potencias numéricas pentagonais do seu argumento.

Srinivasa Ramanujan descubriu por primeira vez que a función de partición ten patróns non triviais en aritmética modular, agora coñecidos como congruencias de Ramanujan. Por exemplo, sempre que a representación decimal de  remate no díxito 4 ou 9, o número de particións de  será divisíbel por 5.

## Definición e exemplos 
Para un número enteiro positivo ,  é o número de formas distintas de representar  como unha suma de números enteiros positivos. Para os efectos desta definición, a orde dos termos na suma é irrelevante: dúas sumas cos mesmos termos nunha orde diferente non se consideran distintas.

Por convención , xa que hai unha forma (a suma baleira ) de representar cero como unha suma de enteiros positivos. A maiores  cando  é negativo.

Os primeiros valores da función de partición, comezando por , son:

## Función xeradora 
A función xeradora para *p* (*n*) vén dada por  \begin{align}
\sum_{n=0}^\infty p(n)x^n &= \prod_{k=1}^\infty \left(\frac {1}{1-x^k} \right)\\
&=\left(1+x+x^2+x^3+\cdots\right) \left(1+x^2+x^4+x^6+\cdots\right) \left(1+x^3+x^6+x^9+\cdots\right) \cdots \\
&=\frac{1}{1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} - \cdots}\\
&=1 \Big/ \sum_{k=-\infty}^{\infty} (-1)^k x^{k(3k-1)/2}.
\end{align}A igualdade entre os produtos da primeira e segunda liñas desta fórmula obtense coa expansión de cada factor 1/(1-x^k) na serie xeométrica (1+x^k+x^{2k}+x^{3k}+\cdots). Para ver que o produto expandido é igual á suma da primeira liña, aplicamos a lei distributiva. Isto expande o produto nunha suma de monomios da forma x^{a_1} x^{2a_2} x^{3a_3} \cdots para algunha secuencia de coeficientes a_i, só un número finito deles poden ser distintos de cero. O expoñente do termo é n = \sum i a_i, e esta suma pódese interpretar como unha representación de n como partición en a_i copias de cada número i. Polo tanto, o número de termos do produto que teñen expoñente n é exactamente p(n), o mesmo que o coeficiente de x^n na suma da esquerda. Polo tanto, a suma é igual ao produto.

A función que aparece no denominador na terceira e cuarta liñas da fórmula é a función de Euler. A igualdade entre o produto da primeira liña e as fórmulas da terceira e cuarta liñas é o teorema dos números pentagonais de Euler. Os expoñentes de x nestas liñas son os números pentagonais P_k = k(3k-1)/2 para k \in \{ 0, 1,-1,2,-2,\dots\}.

## Relacións de recorrencia 
A mesma secuencia de números pentagonais aparece nunha relación de recorrencia para a función de partición: \begin{align}
p(n) &= \sum_{k \in \Z\setminus\{0\}} (-1)^{k+1} p(n-k(3k-1)/2) \\
&= p(n-1) + p(n-2)-p(n-5)-p(n-7) +p(n-12) +p(n-15) - p(n-22) -\cdots
\end{align}Como casos básicos considramos  p(0) igual 1, e p(k)igual a cero para&nbsp;k negativo. Aínda que a suma do lado dereito parece infinita, só ten un número finito de termos distintos de cero, procedentes dos valores de k distintos de cero na franxa  - \frac{\sqrt{24n+1}-1}{6} \leq k \leq \frac{\sqrt{24n+1}+1}{6}. A relación de recorrencia tamén se pode escribir na forma equivalente 
p(n) = \sum_{k = 1}^\infty (-1)^{k+1} \big(p(n-k(3k-1)/2) + p(n-k(3k+1)/2)\big) .

## Congruencias 
Srinivasa Ramanujan descubriu que a función de partición ten modelos non triviais na aritmética modular. Por exemplo, o número de particións é divisíbel por cinco sempre que a representación decimal de n remata no díxito 4 ou 9, como se expresa pola congruenciap(5k+4) \equiv 0 \pmod 5Por exemplo, o número de particións para o número enteiro 4 é 5. Para o número enteiro 9  é 30; para 14 hai 135 particións. Esta congruencia vén implicada pola identidade máis xeral  \sum_{k=0}^\infty p(5k+4)x^k = 5~ \frac{ (x^5)^5_\infty } {(x)^6_\infty},tamén debida a Ramanujan,  onde a notación (x)_\infty denota o produto definido por (x)_\infty = \prod_{m=1}^\infty (1-x^m).Unha pequena proba deste resultado pódese obter a partir da función xeradora da función de partición.

Ramanujan tamén descubriu congruencias módulo 7 e 11:   \sum_{k=0}^\infty p(7k+5)x^k =
  7~ \frac{ (x^7)^3_\infty} {(x)^4_\infty}
  +49x ~ \frac{ (x^7)^7_\infty } {(x)^8_\infty}.

## Fórmulas de aproximación 
Existen fórmulas de aproximación que son máis rápidas de calcular que a fórmula exacta indicada anteriormente.

Unha expresión asintótica para *p*(*n*) vén dada por

: p(n) \sim \frac {1} {4n\sqrt3} \exp\left({\pi \sqrt {\frac{2n}{3}}}\right) cando n \to \infty .

Esta fórmula asintótica foi obtida por primeira vez por GH Hardy e Ramanujan en 1918 e de forma independente por JV Uspensky en 1920. Considerando p(1000), a fórmula asintótica dá aproximadamente 2.4402 \times 10^{31}, razoabelmente preto da resposta exacta  (un 1,415 % maior que o valor verdadeiro).

  publicou unha proba elemental da fórmula asintótica de p(n).

## Función de partición estrita 
### Definición e propiedades 
Unha partición na que ningunha parte aparece máis dunha vez chámase *estrita*. A función *q*(*n*) dá o número destas particións estritas con suma *n*. Por exemplo, *q*(3) = 2 porque as particións 3 e 1 + 2 son estritas, mentres que a terceira partición 1 + 1 + 1 de 3 ten partes repetidas. 

Pore outro parte resulta que o número *q*(*n*) coincide co número de particións de *n* nas que só se permiten sumandos impares.

### Función xeradora 
A función xeradora dos números *q*(*n*) vén dada por un produto infinito simple: \sum_{n=0}^{\infty} q(n)x^n = \prod_{k = 1}^\infty (1 + x^k) = (x;x^2)_{\infty}^{-1},onde a notación (a;b)_{\infty} representa o símbolo de Pochhammer (a;b)_{\infty} = \prod_{k = 0}^{\infty} (1 - ab^{k}). A partir desta fórmula, pódense obter facilmente os primeiros termos : \sum_{n=0}^{\infty} q(n)x^n = 1+1x+1x^2+2x^3+2x^4+3x^5+4x^6+5x^7+6x^8+8x^9+10x^{10}+\ldots.

## Función de partición restrinxida 
De forma máis xeral, é posíbel considerar particións restrinxidas só a elementos dun subconxunto *A* dos números naturais (por exemplo, unha restrición no valor máximo das partes), ou cunha restrición no número de partes ou á diferenza máxima entre as partes. Cada restrición particular dá lugar a unha función de partición asociada con propiedades específicas. A continuación móstranse algúns exemplos comúns.

### Teorema de Euler e Glaisher 
Dous exemplos importantes son as particións restrinxidas só a partes enteiras impares ou só a partes enteiras pares, coas funcións de partición correspondentes a miúdo denotadas p_o(n) e p_e(n) (do inglés odd e even).

Un teorema de Euler mostra que o número de particións estritas é igual ao número de particións con só partes impares: para todo *n*, q(n) = p_o(n). Isto xeneralízase no teorema de Glaisher, que afirma que o número de particións con non máis de *d-1* repeticións de calquera parte é igual ao número de particións sen parte divisíbel por *d*.

### Coeficiente binomial de Gauss 
Se denotamos p(N, M, n) o número de particións de *n* como máximo en *M* partes, sendo cada parte menor ou igual a *N*, entón a función xeradora de p(N, M, n) é o seguinte coeficiente binomial de Gauss:

: \sum_{n=0}^\infty p(N, M, n)q^n = {N+M \choose M}_q
=
\frac{(1-q^{N+M})(1-q^{N+M-1})\cdots(1-q^{N+1})} {(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^M)}

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 

* 

* 

* 

*  

* 

* 

* 

* 

* 

* 

* . Reprinted in *Collected papers of Srinivasa Ramanujan*, Amer. Math. Soc. (2000), pp. 276–309.

* 

* 

* 

*

*  

*  

* 

### Outros artigos 
* Función xeradora.
### Ligazóns externas 
* First 4096 values of the partition function