Progresión aritmética

En matemáticas, unha **progresión aritmética** é unha sucesión de números que cumpre que a diferenza entre dous termos consecutivos é constante. Por exemplo, a sucesión 5, 7, 9, 11, 13, 15. . . é unha progresión aritmética con diferenza 2.

Se o termo inicial dunha progresión aritmética é a_1 e a diferenza é *d*, entón o termo *n*-ésimo da sucesión (a_n) vén dado por:
:\ a_n = a_1 + (n - 1)d,
e en xeral
:\ a_n = a_m + (n - m)d.

O comportamento dunha progresión aritmética depende da diferenza *d*:
*Se é positiva os termos crecerán ata máis infinito.
*Se é negativa, os termos irán cara ao menos infinito.

## Suma 

Cálculo da suma 2 + 5 + 8 + 11 + 14. Cando a sucesión se escribe ao revés e se suma termo a termo, a sucesión resultante ten un único valor repetido, igual á suma do primeiro e o último número (2 + 14 = 16). Así, 16 &times; 5 = 80 é o dobre da suma.

A suma dos membros dunha progresión aritmética chámase **serie aritmética**. Por exemplo, considera a suma:
:2 + 5 + 8 + 11 + 14

Esta suma pode atoparse rapidamente tomando o número de termos que se queren sumar (no exemplo, 5), multiplicándoos pola suma do primeiro e do último número da progresión (aquí 2 + 14 = 16) e dividindo entre 2:
:\frac{n(a_1 + a_n)}{2}

No caso superior dá a ecuación:
:2 + 5 + 8 + 11 + 14 = \frac{5(2 + 14)}{2} = \frac{5 \times 16}{2} = 40.

Esta fórmula funciona para calquera números reais a_1 e a_n. Por exemplo:
:\left(-\frac{3}{2}\right) + \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} = \frac{3\left(-\frac{3}{2} + \frac{1}{2}\right)}{2} = -\frac{3}{2}.

### Obtención da fórmula 
miniatura|Proba animada da fórmula que dá a suma dos primeiros enteiros 1+2+...+n.
Para obter a fórmula superior, comeza por expresar a serie aritmética de dúas formas diferentes:
: S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\cdots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)

: S_n=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\cdots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n.

Engadindo en ambos os membros as dúas ecuacións desaparecen todos os termos con *d*:
:\ 2S_n=n(a_1 + a_n).

Dividindo ambos os membros entre 2 aparece a ecuación:
: S_n=\frac{n}{2}( a_1 + a_n).

Unha forma alternativa aparece volvendo substituír: a_n = a_1 + (n-1)d:
: S_n=\frac{n}{2}[ 2a_1 + (n-1)d].

Ademais, o valor medio da serie pode calcularse como: S_n / n:
: \overline{n} =\frac{a_1 + a_n}{2}.

No ano 499 o matemático e astrónomo indio Aryabhata publicou este método no *Aryabhatiya* (sección 2.18).

## Produto 
O produto dos termos dunha progresión aritmética finita que comeza con *a*1, ten diferenza *d*, e *n* elementos está determinado pola expresión
:a_1a_2\cdots a_n = d \frac{a_1}{d} d \left (\frac{a_1}{d}+1 \right )d \left ( \frac{a_1}{d}+2 \right )\cdots d \left ( \frac{a_1}{d}+n-1 \right )=d^n {\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\overline{n}} = d^n \frac{\Gamma \left(a_1/d + n\right) }{\Gamma \left( a_1 / d \right) },

onde x^{\overline{n}} denota o factorial crecente e \Gamma a función gamma. Porén, a fórmula non é válida se a_1/d é un enteiro negativo ou cero.

Isto é unha xeneralización do feito de que o produto da progresión 1 \times 2 \times \cdots \times n vén dado polo factorial n! e que o produto
:m \times (m+1) \times (m+2) \times \cdots \times (n-2) \times (n-1) \times n \,\!

para enteiros positivos m e n vén dado por
:\frac{n!}{(m-1)!}.

No exemplo superior, o produto dos 50 primeiros termos da progresión aritmética dada por *a**n* = 3 + (*n*-1)(5) é
:P_{50} = 5^{50} \cdot \frac{\Gamma \left(3/5 + 50\right) }{\Gamma \left( 3 / 5 \right) } \approx 3.78438 \times 10^{98}. 

## Desviación típica 
A desviación típica dalgunha parte das progresións aritméticas pode calcularse mediante: 
: \sigma = |d|\sqrt{\frac{(n-1)(n+1)}{12}}
onde  n é o número de termos da progresión e  d a diferenza entre os termos.

## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
### Outros artigos 
* Progresión xeométrica