Grupo cíclico

En álxebra abstracta, un **grupo cíclico** ou **grupo monóxeno** é un grupo, denotado C*n* (tamén frecuentemente **\Z***n*, que non debe confundirse co anel conmutativo dos números -ádicos), que é xerado por un só elemento. É dicir, é un conxunto de elementos invertibles cunha única operación binaria asociativa e contén un elemento&nbsp;*g* tal que calquera outro elemento do grupo pode obterse aplicando repetidamente a operación de grupo a&nbsp;*g* ou a súa inversa. Cada elemento pódese escribir como unha potencia enteira de&nbsp;*g* en notación multiplicativa, ou como un múltiplo enteiro de *g* en notación aditiva. Este elemento&nbsp;*g* chámase *xerador* do grupo.

Para evitar esta confusión, Bourbaki introduciu o termo **grupo monóxeno** para un grupo cun só xerador e restrinxiu "grupo cíclico" para significar un grupo monóxeno finito, evitando o termo "grupo cíclico infinito".

## Exemplos 
### Suma enteira e modular 
O conxunto de enteiros&nbsp;**Z**, coa operación de suma, forma un grupo. É un **grupo cíclico infinito**, porque todos os números enteiros poden escribirse sumando ou restando repetidamente o número único 1. Neste grupo, 1 e −1 son os únicos xeradores. Todo grupo cíclico infinito é isomorfo a&nbsp;**Z** .

Para todo número enteiro positivo&nbsp;*n*, o conxunto de números enteiros módulo&nbsp;*n*, de novo coa operación de suma, forma un grupo cíclico finito, denotado **Z**/*n***Z**. Un enteiro modular&nbsp;*i* é un xerador deste grupo se *i* é coprimo a *n*, porque estes elementos poden xerar todos os demais elementos do grupo mediante a suma de enteiros. (O número de eses xeradores é *φ* (*n*), onde *φ* é a función totiente de Euler). Todo grupo cíclico finito *G* é isomorfo a **Z**/*n***Z**, onde *n* =   é a orde do grupo.

As operacións de adición sobre enteiros e enteiros modulares, utilizadas para definir os grupos cíclicos, son as operacións de adición de aneis conmutativos, tamén denotados **Z** e **Z**/*n**Z***. Se *p* é un primo, entón **Z**/*p**Z*** é un corpo finito, e normalmente denotase **F***p* ou GF(*p*) para o corpo de Galois.

### Multiplicación modular 
Para cada número enteiro positivo&nbsp;*n*, o conxunto dos enteiros módulo&nbsp;*n* que son coprimos con&nbsp;*n* escríbese como (**Z**/*n***Z**)×; forma un grupo baixo a operación de multiplicación. Este grupo non sempre é cíclico, pero o é sempre que *n* é 1, 2, 4, unha potencia dun primo impar ou dúas veces a potencia dun primo impar .  Este é o grupo multiplicativo de unidades do anel **Z**/*n***Z**; hai *φ*(*n*) deles, onde  *φ* é a función totiente de Euler. Por exemplo, (**Z**/6**Z**)× = { 1, 5 }, e como 6 é o duplo dun primo impar, este é un grupo cíclico. Pola contra, (**Z**/8 **Z**)× = { 1, 3, 5, 7 } é un grupo-4 de Klein e non é cíclico. Cando (**Z**/*n***Z**)× é cíclico, os seus xeradores chámanse raíces primitivas módulo *n*.

Para un número primo *p*, o grupo (**Z**/*p***Z**)× é sempre cíclico, composto polos elementos distintos de cero do corpo finito de orde *p*. De forma máis xeral, cada subgrupo finito do grupo multiplicativo de calquera corpo é cíclico. 

### Simetrías de rotación 
O conxunto de simetrías de rotación dun polígono forma un grupo cíclico finito. Se hai *n* formas diferentes de mover o polígono sobre si mesmo mediante unha rotación (incluída a rotación nula), entón este grupo de simetría é isomorfo a **Z**/*n***Z**. 

O grupo de todas as rotacións dunha circunferencia (o grupo  circular, tamén denotado *S*1) *non* é cíclico, porque non hai unha única rotación cuxas potencias enteiras xeren todas as rotacións. De feito, o grupo cíclico infinito C∞ é numerábel, mentres que *S*1 non o é. O grupo de rotacións por ángulos racionais *é* numerábel, máis non é cíclico.

### Teoría de Galois 
Unha *n-*ésima raíz da unidade é un número complexo cuxa *n-*ésima potencia é&nbsp;1, unha raíz do polinomio . O conxunto de todas as *n-*ésimas raíces da unidade forma un grupo cíclico de orde *n* baixo a multiplicación. Os xeradores deste grupo cíclico son as *enésimas* raíces primitivas da unidade; son as raíces do polinomio ciclotómico *n-*ésimo. Por exemplo, o polinomio  factoriza como , onde ; o conxunto { 1, *ω*, *ω*2 }      = { *ω*0, *ω*1, *ω*2 }          forma un grupo cíclico baixo a multiplicación. O grupo de Galois da extensión do corpo dos números racionais xerados polas *n*-ésimas raíces da unidade forma un outro grupo diferente, isomorfo ao grupo multiplicativo (**Z/***n***Z**)× de orde *φ*(*n*), que é cíclico para algúns pero non para todos os *n* (ver arriba).

Unha extensión dun corpo chámase extensión cíclica se o seu grupo de Galois é cíclico. Para os corpos de característica cero, esas extensións son o tema da teoría de Kummer, e están intimamente relacionadas coa solubilidade por radicais.

## Subgrupos 
Todos os subgrupos e grupos cocientes de grupos cíclicos son cíclicos. En concreto, todos os subgrupos de **Z** teñen a forma ⟨*m*⟩ = *m***Z**, sendo *m* un enteiro positivo. Todos estes subgrupos son distintos entre si, e á parte do grupo trivial {0} = 0**Z**, todos son isomorfos a **Z**.

Todos os grupos cocientes **Z**/*n***Z** son finitos, coa excepción {{Nowrap|1=**Z**/0**Z** = **Z**/{0}.}} Para cada divisor positivo *d* de *n*, o grupo cociente **Z**/*n***Z** ten precisamente un subgrupo de orde *d*, xerado pola clase de residuos de *n*/*d*. Non hai outros subgrupos.

## Propiedades adicionais 
Todo grupo cíclico é abeliano. É dicir, a súa operación de grupo é conmutativa:  (para todo *g* e *h* en *G*). Isto é claro para os grupos de suma enteira e modular xa que , e isto dedúcese para todos os grupos cíclicos xa que todos son isomorfos a estes grupos estándar. Para un grupo cíclico finito de orde *n*, *g**n* é o elemento de identidade para calquera elemento&nbsp;*g*. Isto de novo dedúcese usando o isomorfismo á adición modular, xa que  para cada número enteiro&nbsp;*k*. (Isto tamén é certo para un grupo xeral de orde *n*, debido ao teorema de Lagrange).

Para unha potencia dun primo  p^k, o grupo Z/p^k Z chámase grupo cíclico primario. O teorema fundamental dos grupos abelianos afirma que todo grupo abeliano finitamente xerado é un produto directo finito de grupos cíclicos primarios e infinitos cíclicos.

Como un grupo cíclico é abeliano, cada unha das súas clases de conxugación consta dun único elemento. Un grupo cíclico de orde&nbsp;*n* ten polo tanto *n* clases de conxugación.

Se *d* é un divisor de&nbsp;*n*, entón o número de elementos en **Z**/*n***Z** que teñen orde *d* é *φ*(*d*), e o número de elementos cuxa orde divide *d* é exactamente&nbsp;*d*. Se *G* é un grupo finito no que, para cada , *G* contén como máximo *n* elementos de orde que dividen *a n*, entón *G* debe ser cíclico. A orde dun elemento *m* en **Z**/*n***Z** é *n*/mcd(*n*,*m*).

Se *n* e *m* son coprimos, entón o produto directo de dous grupos cíclicos **Z**/*n***Z** e **Z**/*m***Z** é isomórfico ao grupo cíclico **Z**/*nm***Z**, e tamén se verifica a inversa: esta é unha forma do teorema do resto chinés. Por exemplo, **Z**/12**Z** é isomorfo ao produto directo  baixo o isomorfismo ; mais non é isomorfo a , no que cada elemento ten orde como máximo&nbsp;6.

Se *p* é un número primo, entón calquera grupo con *p* elementos é isomorfo ao grupo simple **Z**/*p***Z** . Un número *n* chámase número cíclico se **Z**/*n***Z** é o único grupo de orde&nbsp;*n*, que é verdade exactamente cando . A secuencia de números cíclicos inclúe todos os primos, pero algúns son compostos como&nbsp;15. Non obstante, todos os números cíclicos son impares agás o&nbsp;2. Os números cíclicos son:

: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 35, 37, 41, 43, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 67, 69, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 87, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 123, 127, 13, 13, 13, 13, 13, 13 141, 143,... .    

A definición implica inmediatamente que os grupos cíclicos teñen presentación de grupo  e  para *n* finito.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
### Outros artigos 
* Grupo simétrico.
* Grupo de permutacións.

### Ligazóns externas 
*Milne, Group theory, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/gt.html
* An introduction to cyclic groups
*
* Cyclic groups of small order on GroupNames
* Every cyclic group is abelian