Ortonormal

miniatura|Fig.1 Exemplo de vectores ortonormais
Na álxebra linear, dous vectores nun espazo de produto interno son **ortonormais** se son vectores unitarios ortogonais. Un vector unitario significa que o vector ten unha lonxitude de 1, que tamén se coñece como normalizado. 

Ortogonal significa que os vectores son todos perpendiculares entre si. Un conxunto de vectores forma un **conxunto ortonormal** se todos os vectores do conxunto son mutuamente ortogonais e todos teñen a unidade por lonxitude. Un conxunto ortonormal que forma unha base chámase *base ortonormal*.

### Exemplo teórico básico 
Como é un par de vectores ortonormais no espazo euclidiano 2D?

Sexan **u** = (x1, y1) e **v** = (x2, y2). Considere as restricións sobre x 1, x 2, y 1, y 2 necesarias para que **u** e **v** formen un par ortonormal.

* A partir da restrición de ortogonalidade, **u** • **v** = 0.
* A partir da restrición de lonxitude 1 en **u**, ||**u**|| = 1.
* A partir da restrición de lonxitude 1 en **v**, ||**v**|| = 1.

Con estas condicións temos 3 ecuacións:

# x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0 \quad
# \sqrt{{x_1}^2 + {y_1}^2} = 1
# \sqrt{{x_2}^2 + {y_2}^2} = 1

Convertendo de coordenadas cartesianas a polares, e considerando a ecuación (2) e a ecuación (3) inmediatamente dá o resultado r1 = r2 = 1. 

Despois da substitución, a ecuación (1) convértese en  \cos \theta _1 \cos \theta _2 + \sin \theta _1 \sin \theta _2 = 0 . Reordenar dá \tan \theta _1 = - \cot \theta _2. Usando unha identidade trigonométrica para converter o termo cotanxente dá

:  \tan ( \theta_1 ) = \tan \left( \theta_2 + \tfrac{\pi}{2} \right) 
:  \Rightarrow \theta _1 = \theta _2 + \tfrac{\pi}{2} 

Está claro que no plano, os vectores ortonormais son simplemente raios da circunferencia unitaria cuxa diferenza de ángulos é igual a 90°.

## Definición 
Sexa \mathcal{V} un espazo de produto interno. Un conxunto de vectores

:  \left\{ u_1, u_2, \ldots, u_n, \ldots \right\} \in \mathcal{V} 

chámase **ortonormal** se e só se

:  \forall i,j : \langle u_i, u_j \rangle = \delta_{ij} 

onde \delta_{ij} \, é o delta de Kronecker e \langle \cdot, \cdot \rangle  é o produto interno definido sobre \mathcal{V}.

### Propiedades 
Os conxuntos ortonormais teñen certas propiedades moi atractivas, que fan especialmente doado traballar con eles.

* **Teorema** . Se { **e**1, **e**2, ..., **e***n* } é unha lista ortonormal de vectores, entón  \forall \textbf{a} := [a_1, \cdots, a_n]; \ \|a_1 \textbf{e}_1 + a_2 \textbf{e}_2 + \cdots + a_n \textbf{e}_n\|^2 = |a_1|^2 + |a_2|^2 + \cdots + |a_n|^2
* **Teorema** . Toda lista ortonormal de vectores é linearmente independente.

### Existencia 
* **Teorema de Gram-Schmidt**. Se { **v**1, **v**2 ,..., **v**n } é unha lista linearmente independente de vectores nun espazo de produto interno \mathcal{V}, entón existe unha lista ortonormal {**e**1, **e**2 ,..., **e**n} de vectores en \mathcal{V} tal que *span* (**e**1, **e**2 ,..., **e**n) = *span* (**v**1, **v**2 ,..., **v**n ).

Onde a función **span** representa a xeración do espazo vectorial por un conxunto de vectores.

A demostración do teorema de Gram-Schmidt é construtiva. 

Existe unha relación profunda entre a diagonalización dun operador e como actúa sobre os vectores de base ortonormais. Esta relación está caracterizada no Teorema espectral.

## Exemplos 
### Base estándar 
A base estándar para o espazo de coordenadas **F***n* é
:

Dous vectores calquera **e**i, **e**j onde i≠j son ortogonais, e todos os vectores son claramente de lonxitude unidade. Logo {**e**1, **e**2 ,..., **e**n} forma unha base ortonormal.

### Funcións con valores reais 
Cando se refire a funcións con valores reais, normalmente asúmese o produto interno L² a non ser que se indique o contrario. Dúas funcións \phi(x) e \psi(x) son ortonormais no intervalo [a,b] se

: (1)\quad\langle\phi(x),\psi(x)\rangle = \int_a^b\phi(x)\psi(x)dx = 0,\quad{\rm e}
: (2)\quad||\phi(x)||_2 = ||\psi(x)||_2 = \left[\int_a^b|\phi(x)|^2dx\right]^\frac{1}{2} = \left[\int_a^b|\psi(x)|^2dx\right]^\frac{1}{2} = 1.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 

### Outros artigos 
*Ortogonal
*Polinomios ortogonais