Elemento inverso

En matemáticas, o concepto de **elemento inverso** xeneraliza os conceptos de oposto () e recíproco () para os números.

Dada unha operación denotada aquí , e un elemento neutro (ou identidade) denotado , se , dise que  é un **inverso pola esquerda** de , e que  é un **inverso pola dereita** de . (Un elemento neutro é un elemento tal que , tamén  para todos  e  para os que se definen os lados esquerdos.)

Cando a operación  é asociativa, se un elemento  ten un inverso pola esquerda e pola dereita, entón estes dous inversos son iguais e únicos; chámanse *elemento inverso* ou simplemente *inverso*. Moitas veces engádese un adxectivo para especificar a operación, como en inverso aditivo (elemento simétrico ou oposto), inverso multiplicativo e inverso funcional. 

Os inversos úsanse habitualmente en grupos (onde cada elemento é invertible), e os aneis (onde os elementos invertibles tamén se chaman unidades, o que o fai un bocadiño confuso en relación aos propios elementos 1). Tamén se usan habitualmente para operacións que non están definidas para todos os operandos posibles, como matrices inversas e funcións inversas. Isto xeneralizouse á teoría de categorías, onde, por definición, un isomorfismo é un morfismo invertible.

## Propiedades básicas 
Nesta sección,  é un conxunto  no que se define unha operación parcial (posiblemente total), que se denota con *.

Unha operación parcial é asociativa se

: x*(y*z)=(x*y)*z

para cada  en .

Exemplos de operacións asociativas non totais son a multiplicación de matrices de tamaño arbitrario e a composición de funcións.

### Elementos identidade ou neutros 
Sexa *  unha operación asociativa posiblemente parcial nun conxunto  .

Un *elemento neutro*, ou *identidade* é un elemento  tal que

: x*e=x \quad\text{and}\quad e*y=y

para cada  e .

De aquí segue que unha operación total ten como máximo un elemento de identidade.

Por exemplo, no caso da multiplicación de matrices, hai unha matriz identidade  para cada número enteiro positivo , e dúas matrices identidade de tamaño diferente non se poden multiplicar xuntas.

### Inversos pola esquerda e pola dereita 
Se x*y=e, onde  é un elemento neutro, dise que  é un *inverso pola esquerda* de  e  é un *inverso pola dereita* de .

Os inversos pola esquerda e pola dereita non sempre existen, aínda que a operación sexa total e asociativa. Por exemplo, a suma é unha operación asociativa total sobre enteiros non negativos, que ten  como identidade aditiva (ou neutro da suma) e   sería o único elemento con aditiva inversa, porque o resto serían enteiros negativos. Esta falta de inversos é a principal motivación para estender os números naturais aos enteiros.

### Inversos 
Un elemento é *invertible* baixo unha operación se ten un inverso pola esquerda e outro pola dereita.

No caso común onde a operación é asociativa, o inverso esquerdo e dereito dun elemento coinciden e son únicos.

Se a operación é a suma, a inversa ou a inversa aditiva dun elemento   denótase por -x. No caso da multiplicación, a inversa de  denótase por x^{-1}ou \frac 1x.

Un homomorfismo invertible chámase isomorfismo. 

## En grupos 
Un grupo é un conxunto cunha operación asociativa que ten un elemento identidade, e para o que cada elemento ten un inverso.

## En monoides 
Un monoide é un conxunto cunha operación asociativa que ten un elemento  identidade.

## En aneis 
Un anel é unha estrutura alxébrica con dúas operacións, *suma* e *multiplicación*, que son como se chaman as operacións habituais sobre números.

Baixo a suma, un anel é un grupo abeliano, o que significa que a suma é conmutativa e asociativa; ten unha identidade, chamada identidade aditiva, escrita como ; e todo elemento  ten un inverso, chamado inverso aditivo e escrito . Debido á conmutividade, os conceptos de inverso esquerdo e dereito carecen de sentido xa que non se diferencian dos inversos.

Baixo a multiplicación, un anel é un monoide; isto significa que a multiplicación é asociativa e ten unha identidade chamada identidade multiplicativa que escribimos . Un *elemento invertible* para a multiplicación chámase unidade. O inverso ou multiplicativo inverso (para evitar confusións cos inversos aditivos) dunha unidade  denótanse x^{-1} ou, cando a multiplicación é conmutativa, \frac 1x.

A identidade aditiva  nunca é unha unidade, agás cando o anel é o anel cero, que ten  como elemento único.

Se  é o único elemento non invertíbel (único non unidade), o anel é un corpo se a multiplicación é conmutativa, ou é un anel de división (corpo non conmutativo) no caso contrario.

## Matrices 
A multiplicación de matrices defínese comunmente para matrices sobre un corpo, e esténdese directamente a matrices sobre aneis, rngs e semianeis. Non obstante, *nesta sección só se consideran matrices sobre un anel conmutativo*, debido ao uso do concepto de rango e determinante.

Se  é unha matriz  (é dicir, unha matriz con  filas e  columnas), e  é unha matriz , o produto  está definido no caso que , e só neste caso. Unha matriz identidade, é dicir, un elemento de identidade para a multiplicación de matrices é unha matriz cadrada (o mesmo número para filas e columnas) cuxas entradas da diagonal principal son todas iguais a  e todas as demais entradas son .

Unha matriz invertible é un elemento invertible baixo a multiplicación de matrices. Unha matriz sobre un anel conmutativo  é invertible se e só se o seu determinante é unha unidade en  (é dicir, é invertible en ). Neste caso, a súa matriz inversa pódese calcular coa regra de Cramer.

Se  é un corpo, o determinante é invertible se e só se non é cero. Como o caso dos corpos é o máis común, vese moitas veces que as matrices invertibles son as matrices cun determinante distinto de cero, mais isto é incorrecto sobre os aneis.

## Funcións, homomorfismos e morfismos 
A composición é unha operación parcial que xeneraliza os homomorfismos de estruturas alxébricas e os   morfismos de categorías en operacións que tamén se denominan *composición* e comparten moitas propiedades coa composición de funcións.

En todos os casos, a composición é asociativa .

Se f\colon X\to Y e g\colon Y'\to Z, a composición g\circ f defínese se e só se Y'=Y ou, nos casos de función e homomorfismo, Y\subset Y'. Nos casos de función e homomorfismo, isto significa que o codominio de f é igual ou está incluído no dominio de . No caso do morfismo, isto significa que o codominio de f é igual ao dominio de .

Hai unha *identidade* \operatorname{id}_X \colon X \to X para cada obxecto  (conxunto, estrutura alxébrica ou obxecto ), que tamén se denomina función identidade no caso da función.

Unha función é invertible se e só se é unha bixección. Un homomorfismo ou morfismo invertible chámase isomorfismo. Un homomorfismo de estruturas alxébricas é un isomorfismo se e só se é unha bixección. A inversa dunha bixección chámase función inversa. Nos outros casos, fálase de *isomorfismos inversos*.

Unha función ten unha inversa pola esquerda ou pola dereita se e só é inxectiva ou sobrexectiva, respectivamente.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, *Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs*, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, , p.&nbsp;15 (def in unital magma) and p.&nbsp;33 (def in semigroup)
* contains all of the semigroup material herein except *-regular semigroups.
* Drazin, M.P., *Regular semigroups with involution*, Proc. Symp. on Regular Semigroups (DeKalb, 1979), 29–46
* Miyuki Yamada, *P-systems in regular semigroups*, Semigroup Forum, 24(1), December 1982, pp.&nbsp;173–187
*Nordahl, T.E., and H.E. Scheiblich, Regular * Semigroups, Semigroup Forum, 16(1978), 369–377.

### Outros artigos 
* Grupo (matemáticas)
* Anel (álxebra)
* Anel de división
* Unidade (teoría de aneis)