Esfera

A **esfera** é o lugar xeométrico dos puntos do espazo que teñen unha distancia constante respecto a outro chamado centro. Non debe confundirse o valor areal da súa superficie co volumétrico do espazo que pecha. Os dous están en función desa distancia constante chamada raio (R), pero a medida deste último ten o valor de:

V = \frac{4}{3} \pi R^{3} 

mentres que o valor da súa superficie é:

S = 4 \pi R^{2}

Podería definirse tamén a **esfera** coma un poliedro de infinitas caras. A importancia desta figura na xeometría levou á creación do sistema de coordenadas polares en oposición ás tradicionais coordenadas cartesianas.

## Terminoloxía básica
thumb|upright=1.1|Dous raios ortogonais dunha esfera

Como se mencionou anteriormente  ou  é o raio da esfera; calquera liña dende o centro ata un punto da esfera tamén se chama raio. "Raio" úsase en dous sentidos: como segmento de liña e tamén como lonxitude.

Sexan  números reais con  e facemos
: x_0 = \frac{-b}{a}, \quad y_0 = \frac{-c}{a}, \quad z_0 = \frac{-d}{a}, \quad \rho = \frac{b^2 +c^2+d^2 - ae}{a^2}.
Así a ecuación
:f(x,y,z) = a(x^2 + y^2 +z^2) + 2(bx + cy + dz) + e = 0
non ten puntos reais como solucións se \rho  e chámase a ecuación dunha **esfera imaxinaria**. Se \rho = 0, a única solución de f(x,y,z) = 0 é o punto P_0 = (x_0,y_0,z_0) e dise que a ecuación é a ecuación dunha **esfera puntual**. Finalmente, no caso \rho > 0, f(x,y,z) = 0 é unha ecuación dunha esfera cuxo centro é P_0 e cuxo raio é \sqrt \rho.

Se  na ecuación anterior é cero, entón  é a ecuación dun plano. Así, pódese pensar que un plano é unha esfera de raio infinito cuxo centro é un punto no infinito.

### Paramétricas
Unha ecuación paramétrica para a esfera con raio r > 0 e centro (x_0,y_0,z_0) pódese parametrizar usando función trigonométricas.
:\begin{align}
x &= x_0 + r \sin \theta \; \cos\varphi\\
y &= y_0 + r \sin \theta \; \sin\varphi\\
z &= z_0 + r \cos \theta \,\end{align}

Os símbolos usados ​​aquí son os mesmos que os usados ​​nas coordenadas esféricas. Así,  é constante, mentres que  varía de 0 a  e \varphi varía de 0 a 2.

### Fórmulas 
A área dunha esfera de raio r é:
:A=4\pi r^2.

O volume da bóla que contén é:
:V=\frac{4\pi r^3}3.

A súa “compacidade”, é dicir, a súa proporción área-volume, é polo tanto:
:C=\frac AV=\frac3r.

O momento de inercia dunha **bóla** homoxénea de raio r, densidade \rho e masa *M*, con respecto a un eixo que pasa polo seu centro é:

:
I=\frac{2M r^2}{5}=\frac{8 \pi \rho r^5}{15}
.

O momento de inercia dunha **esfera** homoxénea de raio r e masa *M*, en relación a un eixe que pasa polo seu centro é:

:
I=\frac{2Mr^2}{3}=\frac{8 \pi \rho r^5}{9}
.

O elemento de área da esfera de raio r en coordenadas latitude-lonxitude (\lambda-\varphi) é  \mathrm d\sigma=r^2\cos\lambda\,\mathrm d\lambda\,d\varphi. Deducimos disto que a área dunha porción limitada por dous semicírculos que unen os polos e forman un ángulo \alpha expresado en radiáns) é 2\alpha\,r^2.

Isto tamén permite calcular a área dunha **zona esférica**, é dicir, unha porción dunha esfera limitada por dous planos paralelos que cortan a esfera (ou son tanxentes). Atopamos 2\pi rh onde h designa a distancia dos dous planos: a área é a mesma que a dun cilindro circular da mesma altura tanxente á esfera (cilindro circunscrito). Este notable resultado é demostrado por Arquímedes no seu tratado *Sobre a esfera e o cilindro*. Segundo Cicerón, Arquímedes pediría que se gravaran na súa tumba unha esfera e o seu cilindro circunscrito, en lembranza deste resultado.

O cilindro circunscrito por unha esfera dada ten un volume igual a 1.5 veces o volume da esfera.

A esfera ten a menor área entre as superficies que encerran un determinado volume e encerra o maior volume entre as superficies dunha determinada área. É a resposta á pregunta da isoperimetría para o espazo euclidiano de dimensión 3. Por este motivo, a esfera aparece na natureza, por exemplo as burbullas e as pingas de auga (en ausencia de gravidade) son esferas, porque a tensión superficial intenta minimizar a área.
## Rexións
300px|dereita|Esfera celeste
Pódense definir unha serie de rexións especiais para unha bóla:
**casquete*, limitado por un plano.
**sector*, limitado por un límite cónico cun ápice no centro da esfera.
**segmento*, limitado por un par de planos paralelos.
**coroa*, limitado por dúas esferas concéntricas de diferentes raios.
**cuña*, limitada por dous planos que pasan polo centro da esfera e pola superficie da esfera.
*Hemisferio
*lúa esférica, área nunha esfera delimitada por dous semicírculos grandes que se atopan en puntos antípodas.
*polígono esférico, polígono na superficie da esfera

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Número pi