Homotecia

miniatura| Homotecia: Exemplo con k>0 Para k=1 obtense a *identidade* (non se move punto ningún),Para k>1  unha *ampliación*Para k unha *redución*
[miniatura| Exemplo con k  
Para k=-1 obtense unha [simetría central nun punto S]]
miniatura| Homotecia dunha pirámide
En matemáticas, unha **homotecia** é unha transformación dun espazo afín determinada por un punto *S* chamado *centro* e un número distinto de cero k chamado o seu *ratio*, que envía o punto X ata un punto X' mediante a regra 

: \overrightarrow{SX'}=k\overrightarrow{SX} para un número fixo k\ne 0.

Usando vectores de posición:

: \mathbf x'=\mathbf s + k(\mathbf x -\mathbf s) .

No caso de S=O (Orixe):

: \mathbf x'=k\mathbf x ,

que é unha escala uniforme, onde temos algunhas opcións especiais para k :

: para k=1 obtemos o mapeo *de identidade*,
: para k=-1obtemos o *reflexo* no centro,

Para 1/k obtense o mapa *inverso* definida por k .

Na xeometría euclidiana as homotecias son as semellanzas que fixan un punto e conservan (se k>0) ou inverten (se k ) a dirección de todos os vectores. Xunto coas translacións, todas as homotecias dun espazo afín (ou euclidiano) forman un grupo, o grupo de **homotecías-translacións**. Estas son precisamente as transformacións afines coa propiedade de que a imaxe de cada recta *g* é unha liña paralela a *g*.

En xeometría proxectiva, unha transformación homotética é unha transformación de semellanza (é dicir, fixa unha involución elíptica dada) que deixa a recta no infinito invariante.

Na xeometría euclidiana, unha homotecia de razón k multiplica *as distancias* entre puntos por |k|, *áreas* por k^2 e volumes por |k|^3. Aquí k é o *factor de aumento ou dilatación* ou *o factor de escala* ou *a razón de semellanza*. Tal transformación pódese chamar **ampliación** se o factor de escala supera&nbsp;1. O punto fixo *S* mencionado anteriormente chámase *centro homotético* ou *centro de semellanza*.

As homotecias utilízanse para escalar o contido das pantallas de ordenador; por exemplo, teléfonos intelixentes, notebooks e portátiles.

## Propiedades 
As seguintes propiedades cúmprense en calquera dimensión.

### Mapeo de liñas, segmentos e ángulos 
* Unha *liña* mapea nunha liña paralela. Polo tanto: *os ángulos* permanecen inalterados.
* Consérvase a *razón de dous segmentos de liña* .

Ambas as propiedades mostran:

* Unha homotecia é unha *semellanza* .

Consecuencias: un triángulo mapea sobre outro semellante. A imaxe homotética dun círculo é un círculo. A imaxe dunha elipse é semellante, é dicir, a razón dos dous eixes non muda.
[miniatura| Con [Teorema de Tales]]

### Composición 
miniatura| A composición de dúas homotecias con centros S_1,S_2 e ratios  k_1=2,k_2=0{.}3 mapeando P_i\to Q_i\to R_i é unha homotecia de novo co seu centro S_3 na liña \overline{S_1S_2} con proporción k\cdot l=0{.}6 .

* A composición de dúas homotecias co *mesmo centro* S volve ser unha homotecia co centro S . As homotecias con centro S formar un grupo.
* A composición de dúas homotecias con *centros diferentes* S_1,S_2 e as súas razóns k_1,k_2 resulta en

:: en caso de k_1k_2\ne 1 unha *homotecia* co centro na liña \overline{S_1S_2} e proporción k_1k_2 ou
:: en caso de k_1k_2= 1 unha *translación* na dirección \overrightarrow{S_1S_2}. Sobre todo, se k_1=k_2=-1 (reflexións centrais).

miniatura| Composición con translación

* A composición dunha homotecia e dunha translación é unha homotecia.

*Demostración:*

A composición da homotecia

: \sigma: \mathbf x \to \mathbf s +k(\mathbf x-\mathbf s),\; k\ne 1,\; e a translación
: \tau: \mathbf x \to \mathbf x +\mathbf v  é
: \tau\sigma: \mathbf x \to \mathbf s +\mathbf v +k(\mathbf x-\mathbf s)
::: =\mathbf s +\frac{\mathbf v}{1-k}+k\left(\mathbf x-(\mathbf s+\frac{\mathbf v}{1-k})\right)

que é unha homotecia con centro \mathbf s'=\mathbf s +\frac{\mathbf v}{1-k} e razón k.

### En coordenadas homoxéneas 
A homotecia \sigma: \mathbf x \to \mathbf s+k(\mathbf x -\mathbf s) con centro S=(u,v) pódese escribir como a composición dunha homotecia con centro O e unha translación:

: \mathbf x \to k\mathbf x + (1-k)\mathbf s .

De aí que \sigma pódese representar en coordenadas homoxéneas pola matriz:

: \begin{pmatrix}
k & 0 & (1-k)u\\
0 & k & (1-k)v\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} 

Unha transformación linear de homotecia pura tamén é conforme porque está composta por translación e escala uniforme.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* H.S.M. Coxeter, "Introduction to geometry" , Wiley (1961), p.&nbsp;94
* 
* 
* 
### Outros artigos 
*Escala (xeometría) noción similar en espazos vectoriais
*Translación (xeometría)
*Rotación (xeometría)
### Ligazóns externas 
* Homothety, interactivo de Cut-the-Knot.