Dominio de ideais principais

En matemáticas, un **dominio de ideais principais**, ou **PID**, é un dominio de integridade (é dicir, un anel conmutativo sen divisores de cero distintos de cero) no que todo ideal é principal (é dicir, está formado polos múltiplos dun só elemento). Algúns autores como Bourbaki fan referencia aos PID como **aneis principais**.

Os dominios de ideais principais son obxectos matemáticos que se comportan como os números enteiros, en relación á divisibilidade: calquera elemento dun PID ten unha factorización única en elementos primos (polo que cumpren con un análogo do teorema fundamental da aritmética); dous elementos calquera dun PID teñen un máximo común divisor (aínda que quizais non sexa posíbel atopalo usando o algoritmo euclidiano). Se  e  son elementos dun PID sen divisores comúns, entón cada elemento do PID pode escribirse na forma , etc.

Os dominios de ideais principais son noetherianos, son dominios de integridade pechados, son dominios de factorización única e dominios de Dedekind. Todos os dominios euclidianos e todos os corpos son dominios de ideais principais.

Os dominios de ideais principais aparecen na seguinte cadea de inclusións de clases:

## Exemplos 
* K: calquera corpo,
* \mathbb{Z} : o anel de enteiros,
* K[x]: aneis de polinomios nunha variábel con coeficientes nun corpo. (O contrario tamén é certo, é dicir, se A[x] é un PID entón A é un corpo). A maiores, un anel de serie de potencias formais nunha variábel sobre un corpo é un PID xa que cada ideal é da forma (x^k) ,
* \mathbb{Z}[i]: o anel de enteiros gaussianos, 
* \mathbb{Z}[\omega] (onde \omega é unha raíz cúbica primitiva de 1): os enteiros de Eisenstein,
* Calquera anel de valoración discreta, por exemplo o anel de enteiros -ádicos \mathbb{Z}_p.

### Non exemplos 
* \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] é un exemplo de anel que non é un dominio de factorización única, xa que 4 = 2\cdot 2 = (1+\sqrt{-3})(1-\sqrt{-3}). Polo tanto, non é un dominio de ideais principais porque os dominios de ideais principais son dominios de factorización única. Alén diso, \langle 2, 1+\sqrt{-3} \rangle é un ideal que non pode ser xerado por un só elemento.
* \mathbb{Z}[x]: o anel de todos os polinomios con coeficientes enteiros. Non é principal porque \langle 2, x \rangle é un ideal que non pode ser xerado por un só polinomio.
* K[x, y, \ldots], o anel de polinomios en polo menos dúas variábeis sobre un anel  non é principal, xa que o ideal \langle x, y \rangle non é principal.
* A maioría dos aneis de enteiros alxébricos non son dominios de ideais principais. Esta é unha das principais motivacións detrás da definición de Dedekind dos dominios de Dedekind, que permite substituír a factorización única de elementos por unha factorización única de ideais. En particular, moitos \mathbb{Z}[\zeta_p], para a raíz p-ésimo primitiva da unidade \zeta_p, non son dominios de ideais principais. O número de clase dun anel de enteiros alxébricos dá unha medida de "a que distancia" está o anel de ser un dominio de ideais principais.

## Módulos 
O resultado clave é o teorema da estrutura: se *R* é un dominio de ideais principais e *M* é un módulo *R* finitamente xerado, entón M é unha suma directa de módulos cíclicos, é dicir, módulos cun xerador. Os módulos cíclicos son isomorfos a R/xR para algún x\in R  (nótese que x pode ser igual a 0, nese caso R/xR é R).

Se *M* é un módulo libre sobre un dominio de ideais principais *R*, daquela cada submódulo de *M* é de novo libre. Isto non se cumpre para módulos sobre aneis arbitrarios, como mostra o exemplo (2,X) \subseteq \mathbb{Z}[X] de módulos sobre \mathbb{Z}[X].

## Propiedades 
Nun dominio de ideais principais, dous elementos calquera  teñen un máximo común divisor, que se pode obter como xerador do ideal  .

Todos os dominios euclidianos son dominios de ideais principais, mais a inversa non é verdade. Un exemplo dun dominio de ideais principais que non é un dominio euclidiano é o anel \mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-19}} 2\right], isto foi probado por Theodore Motzkin e foi o primeiro caso coñecido. Neste dominio non existen  e , con , que consigan a igualdade (1+\sqrt{-19})=(4)q+r, a pesar de que 1+\sqrt{-19} e 4 teñen un máximo común divisor de .

Todo dominio de ideais principais é un dominio de factorización única (UFD). Non se verifica a inversa xa que para calquera UFD , o anel  de polinomios en 2 variábeis é un UFD pero non é un PID. (Para demostrar isto pódese ver o ideal xerado por \left\langle X,Y \right\rangle. Non é o anel completo xa que non contén polinomios de grao 0, pero non pode ser xerado por ningún elemento único.)

# Todo dominio de ideais principal é noetheriano.
# En todos os aneis unitarios, os ideais maximais son primos. Nos dominios de ideais principais cúmprese un caso inverso: todo ideal primo distinto de cero é máximal.
# Todos os dominios de ideais principais son dominios de integridade pechados.

As tres afirmacións anteriores dan a definición dun dominio de Dedekind e, polo tanto, todo dominio de ideais principais é un dominio de Dedekind.

Sexa *A* un dominio de integridade, as seguintes afirmacións son equivalentes.

# *A* é un PID.
# Todo ideal primo de *A* é principal.
# *A* é un dominio de Dedekind que é un UFD.
# Todo ideal finitamente xerado de *A* é principal (é dicir, *A* é un dominio de Bézout) e *A* satisfai a condición de cadea ascendente nos ideais principais.
# *A* admite unha norma de Dedekind–Hasse.

Calquera norma euclidiana é unha norma de Dedekind-Hasse; así,(5) mostra que un dominio euclidiano é un PID. (4) pódese comparar con:

* Un dominio de integridade é un UFD se e só se é un dominio GCD (é dicir, un dominio onde cada dous elementos teñen un máximo común divisor) que satisfai a condición de cadea ascendente nos ideais principais.

Un dominio de integridade é un dominio de Bézout se e só se dous elementos nel teñen un mcd *que é unha combinación linear dos dous.* Un dominio de Bézout é, polo tanto, un dominio GCD, e (4) dá outra proba de que un PID é un UFD.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, V. V. Kirichenko. *Algebras, rings and modules*. Kluwer Academic Publishers, 2004. 
* John B. Fraleigh, Victor J. Katz. *A first course in abstract algebra*. Addison-Wesley Publishing Company. 5 ed., 1967. 
* Nathan Jacobson. Basic Algebra I. Dover, 2009. 
* Paulo Ribenboim. *Classical theory of algebraic numbers*. Springer, 2001. 

### Outros artigos 
* Dominio de integridade.
* Algoritmo de Euclides.
* Ideal (teoría dos aneis).
### Ligazóns externas 
* Principal ring on MathWorld