Polígono regular

right|250px|Un polígono regular de sete lados
En xeometría, denomínase **polígono regular** a un polígono con lados e ángulos interiores iguais entre si. Os polígonos regulares de tres e catro lados chámanse triángulo equilátero e cadrado, respectivamente. Para polígonos de máis lados, engádese o termo *regular* (pentágono regular, hexágono regular, octógono regular etc). Só algúns polígonos regulares poden ser construídos con regra e compás.

## Elementos dun polígono regular 
right|250px
* Lado, **L**: é cada un dos segmentos que forman o polígono.
* Vértice, **V**: o punto de unión de dous lados consecutivos.
* Centro, **C**: o punto central equidistante de todos os vértices.
* Raio, **r**: o segmento que une o centro do polígono cun dos seus vértices.
* Apotema, **a**: segmento perpendicular a un lado, ata o centro do polígono.
* Diagonal, **d**: segmento que une dous vértices non contiguos.
* Perímetro, **P**: é a suma da medida da súa contorna.
* Semiperímetro, **SP**: é a semisuma do perímetro.
* Saxita, **S**: parte do raio comprendida entre o punto medio do lado e o arco de circunferencia. A suma do apotema: **a** máis a saxita: **S**, é igual ao raio: **r**.

## Propiedades dun polígono regular 
* os polígonos regulares son equiláteros, posto que todos os seus lados son da mesma medida.
* os polígonos regulares son *equiangulares*, posto que todos os seus ángulos interiores teñen a mesma medida.
* os polígonos regulares pódense inscribir nunha circunferencia.

## Ángulos dun polígono regular 
250px|miniatura|Ángulos dun polígono regular.
* Todos os ángulos centrais dun polígono regular son congruentes e a súa medida **α** pode obterse a partir do número de lados **n** do polígono como segue:
:  \alpha = \frac{360^\circ}{n} \;  en graos sexaxesimais
:  \alpha = \frac{2\pi}{n} \;  en radiáns

* O ángulo interior,  \beta \,, dun polígono regular mide:
:  \beta = 180^\circ \cdot \frac{(n-2)}{n} \;  en graos sexaxesimais
:  \beta = \pi \cdot \frac{(n-2)}{n} \;  en radiáns

* A suma dos ángulos interiores,  \sum \beta \; , dun polígono regular é de:
:  \sum \beta = 180^\circ \cdot {(n-2)} \;  en graos sexaxesimais
:  \sum \beta = \pi \cdot {(n-2)} \;  en radiáns

* O ángulo exterior,  \gamma \; , dun polígono regular é de:
:  \gamma = 180^\circ - \beta = \frac{360^\circ}{n} \;  en graos sexaxesimais
:  \gamma = \pi - \beta = \frac{2 \pi}{n} \;  en radiáns

* A suma dos ángulos exteriores,  \sum \gamma \,, dun polígono regular é:
:  \sum \gamma = 360^\circ \;  en graos sexaxesimais
:  \sum \gamma = 2 \pi \;  en radiáns

## Galería de polígonos regulares 

Image:Polig 03b.svg|Triángulo equilátero (Triángulo regular) (3)
Image:Polig 04b.svg|Cadrado (cuadrilátero regular) (4)
Image:Polig 05b.svg|Pentágono regular (5)
Image:Polig 06b.svg|Hexágono regular (6)
Image:Polig 07b.svg|Heptágono regular (7)
Image:Polig 08b.svg|Octógono regular (8)
Image:Polig 09b.svg|Enneágono regular (9)
Image:Polig 10b.svg|Decágono regular (10)
Image:Polig 11b.svg|hendecágono regular (11)
Image:Polig 12b.svg|Dodecágono regular (12)
Image:Polig 13b.svg|Tridecágono regular (13)
Image:Polig 14b.svg|Tetradecágono regular (14)

**Observación**: A medida que aumenta o número de lados dun polígono regular, aseméllase máis a unha circunferencia.

## Área dun polígono regular 
right|250px
Existen diversas fórmulas para calcular a área dun polígono regular, dependendo dos elementos coñecidos.

### En función do perímetro e o apotema 
A área dun polígono regular, coñecendo o perímetro e o apotema é:

:  A = \frac {P \cdot a}{2} 

{{cita|
*Partindo do triángulo que ten por base un lado **L**, do polígono e altura o seu apotema **a**, a área deste triángulo, é:
:  A_t = \frac{L \cdot a}{2} \; 

*Un polígono de **n** lados, ten **n** destes triángulos, polo tanto a área do polígono será:
:  A_p = \frac{L \cdot a}{2} \cdot n \; 

*Sabendo que a lonxitude dun lado **L**, polo número **n** de lados, é o perímetro **P**, tense:
:  A_p = \frac{P \cdot a}{2} \; 
}}

### En función do número de lados e o apotema 
right|250px
Sabendo que:
: 
 A_p =
 \frac {L \cdot n \cdot a} {2}

Ademais  \delta = \frac {\pi} {n} \ , xa que é a metade dun ángulo central (considerado en radiáns).

Observando a imaxe, é posible deducir que:
: 
 L =
 2 \cdot a \cdot \tan
 \left (
 \frac {\pi} {n}
 \right )

Substituíndo o lado:
: 
 A_p =
 \frac
 {
 \left (
 2 \cdot a \cdot \tan
 \left (
 \frac {\pi} {n}
 \right )
 \right )
 \cdot n \cdot a
 }
 {2}

Finalmente:
: 
 A_p =
 a^2 \cdot n \cdot \tan
 \left (
 \frac {\pi} {n}
 \right )

Con esta fórmula pódese determinar a área co número de lados e o apotema, sen necesidade de recorrer ao perímetro.

### En función do número de lados e o raio 
Un polígono queda perfectamente definido polo seu número de lados **n**, e o raio **r**, polo tanto pódese determinar cal é a súa área; á vista da figura, tense que:
:  L = 2 r \sin({\delta}) \; 
:  a = r \cos({\delta}) \; 

onde o ángulo central é:
:  \alpha = 2 \delta = \frac{2\pi}{n} \; 

sabendo que a área dun polígono é:
:  A_p = \frac{L \cdot n \cdot a}{2} \; 

e substituíndo o valor do lado e o apotema calculados antes, tense:
:  A_p = \frac{2 r \sin({\delta}) \cdot n \cdot r \cos({\delta})}{2} \; 

ordenando:
:  A_p = \frac{n r^2 \cdot 2 \sin({\delta}) \cos({\delta})}{2} \; 

sabendo que:
: 2 \sin({\delta}) \cos({\delta}) = \sin({2 \delta}) \; 

resulta:
:  A_p = \frac{n r^2 \sin({\alpha})}{2} \; 

ou o que é o mesmo:
:  A_p = \frac{n r^2 \sin({\frac{2\pi}{n}})}{2} \; 

Con esta expresión pódese calcular a área do polígono, coñecendo só o número de lados e o seu raio, o que resulta útil en moitos casos.

### En función da lonxitude e o número de lados 
right|250px
Se se quere expresar a área en función do lado, pódese calculalo da seguinte maneira:
: 
 A_p =
 n \cdot \frac{L \cdot a}{2}

Sexa  \varphi  o ángulo formado polo Lado "**L**" e o raio "**r**":
: 
 \varphi =
 \frac{\pi-\alpha}{2} \ =
 \frac{\pi-\frac{2\pi}{n}}{2} \ =
 \frac{\pi}{2} \; \frac{(n-2)}{n}

O valor do apotema en función do lado será, pola definición da tanxente:
: 
 \tan \varphi =
 \frac{a}{\frac{L}{2}} =
 \frac{2a}{L}

Despexando o apotema tense:
: 
 a = \frac{L \cdot \tan \varphi}{2}

Substituíndo o apotema polo seu valor:
: 
 \left .
 \begin{array}{l}
 A_p = n \cdot \cfrac{L \cdot a}{2} \\
 \\
 a = \cfrac{L \cdot \tan \varphi}{2} \\
 \\
 \varphi = \cfrac{\pi}{2} \; \cfrac{(n-2)}{n}
 \end{array}
 \right \}
 \longrightarrow \quad
 A_p =
 n \cdot \cfrac{L^2}{4} \cdot
 \tan
 \left (
 \cfrac{\pi}{2} \; \cfrac{(n-2)}{n}
 \right )

Pódese ver no debuxo que  tan(\delta) = \frac{1}{tan(\varphi)}  e a fórmula pode escribirse tamén como 
A_p = \frac{n \cdot L^2}{4 \cdot \tan\left( \frac{180^{o}}{n}\right)} .

Co que coñecendo o número de lados do polígono regular e a lonxitude do lado pódese calcular a súa superficie.

## Diagonais dun polígono regular 
### Número de diagonais 
right|250px
Para determinar o número de diagonais **Nd**, dun polígono de **n** vértices realízase o seguinte razoamento:

* Dun vértice calquera partirán (n – 3) diagonais, onde n é o número de vértices, dado que non hai ningún diagonal que o unha consigo mesmo nin con ningún dos dous vértices contiguos.
* Isto é válido para os n vértices do polígono.
* Unha diagonal une dous vértices, polo que aplicando o razoamento anterior teríanse o dobre de diagonais das existentes.

Segundo o razoamento tense que:
:  N_d = \frac{n (n-3)}{2} 

### Lonxitude da diagonal máis pequena 
right|250px
A diagonal máis pequena dun polígono regular é a que une dous vértices alternos. Para determinar a súa lonxitude, pártese do ángulo central e do raio, o raio que pasa polo vértice intermedio, corta a diagonal no punto **A**; este raio e a diagonal son perpendiculares en **A**.

O triángulo **VAC** é rectángulo en **A**, polo tanto:
:  \sin({\alpha}) = \frac{\frac{d}{2}}{r} 

que resulta: 
:  \sin({\alpha}) = \frac{d}{2r} 

de onde se deduce que:
:  d = 2r \sin({\alpha}) \, 

Sabendo o valor do ángulo central:
:  d = 2r \sin \left ({\frac{2\pi}{n}}\right ) 

A diagonal máis pequena dun polígono regular, só depende do raio e do número de lados, sendo maior canto maior sexa o raio e diminuíndo de lonxitude cando aumenta o número de lados do polígono.

### Lonxitude das diagonais 
En xeral a lonxitude das diagonais dun polígono regular vén dada pola relación de recorrencia

:  d_k^2 = L^2 + d_{k-1}^2 + 2 \cdot L \cdot d_{k-1} \cdot \cos{ \left ( \frac{k+1}{n} \pi \right ) } 

:  L = 2 \cdot r \cdot \sin \left ( \frac{\pi}{n} \right ) 

:  d_1 = 4 \cdot r \cdot \sin \left ( \frac{\pi}{n} \right ) \cdot \cos \left ( \frac{\pi}{n} \right ) = 2 \cdot r \cdot \sin \left ( \frac{2 \cdot \pi}{n} \right ) 

:  d_2 = 2 \cdot r \cdot \sin \left ( \frac{\pi}{n} \right ) \sqrt{ 1 + 4 \cos^{2} \left ( \frac{\pi}{n} \right ) + 4 \cos \left ( \frac{\pi}{n} \right ) \cos \left ( \frac{ 3 \cdot \pi}{n} \right ) } 

:  d_3^{2} = 4 \cdot r^{2} \cdot \sin^{2} \left ( \frac{\pi}{n} \right ) \left (
2 + 4 \cos^{2} \left ( \frac{\pi}{n} \right ) + 4 \cos \left ( \frac{\pi}{n} \right ) \cos \left ( \frac{ 3 \cdot \pi}{n} \right )
+ 2 \sqrt{ 1 + 4 \cos^{2} \left ( \frac{\pi}{n} \right ) + 4 \cos \left ( \frac{\pi}{n} \right ) \cos \left ( \frac{ 3 \cdot \pi}{n} \right ) } \cos \left ( \frac{ 4 \cdot \pi}{n} \right ) 
 \right ) 
:  ... 
:  d_k = r \cdot\sqrt{ 2 \left ( 1 - \cos \left ( \frac{ 2 \left ( k+1 \right ) \pi}{n} \right ) \right ) } 
:  d_k = 2 \cdot r \cdot \sin \left ( \frac{ \left ( k+1 \right ) \pi}{n} \right ) 

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
### Ligazóns externas 
* Polígono regular