Teorema da función inversa

Na rama da matemática denominada análise matemática, o **teorema da función inversa** proporciona as condicións suficientes para que unha aplicación sexa invertíbel localmente no contorno dun punto p en termos da súa derivada no punto. O teorema pódese enunciar para aplicacións en **R**n ou xeneralizar a variedades diferenciábeis ou espazos de Banach.

O teorema estabelece que se o campo vectorial está definido entre dous conxuntos da mesma dimensión topolóxica, o campo ten as súas primeiras derivadas continuas e a xacobiana nun punto do dominio é invertíbel, entón o campo tamén é invertible localmente. Máis aínda, o xacobiano da inversa no punto imaxe é igual á inversa do xacobiano no punto.

::(F^{-1}(p))'=(F'(p))^{-1}\,

## Enunciado 
A versión en \mathbb{R}^n do teorema é a seguinte:

Sexa f:A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n unha función **C1**. Supoñendo que para a \in A, a diferencial Df(a)\, é invertible e que f(a)=b\,, entón existen abertos U,V \subset \mathbb{R}^n de modo que a\in U, b\in V e f:U\rightarrow V é unha función bixectiva, polo que a inversa f^{-1}:V\rightarrow U de f\, é **C1** e polo tanto Df^{-1}(b)=[Df(a)]^{-1}\,.

## Exemplo 
Considerando a función **F** de **R**2 en **R**2 definida por
:
\mathbf{F}(x,y)=
\begin{bmatrix}
 {e^x \cos y}\\
 {e^x \sin y}\\
\end{bmatrix}

O seu xacobiano é

:
J_F(x,y)=
\begin{bmatrix}
 {e^x \cos y} & {-e^x \sin y}\\
 {e^x \sin y} & {e^x \cos y}\\
\end{bmatrix}

e o seu determinante

:
\det J_F(x,y)=
e^{2x} \cos^2 y + e^{2x} \sin^2 y=
e^{2x}.
\,\!

Coma o determinante e2x é non nulo en todo punto, aplicando o teorema, para cada punto *p* de **R**2, existe unha contorna de *p* na que *F* é invertible.

## Variedades diferenzables 
Neste contexto, o teorema afirma que dada unha aplicación *F* : *M* → *N* entre dúas variedades diferenzables, se aa diferencial de *F*,

:(d*F*)*p* : T*p**M* → T*F*(*p*)*N*

é un isomorfismo linear (é dicir, isomorfismo entre espazos vectoriais) nun punto *p* de *M*, entón existe unha contorna aberta *U* de *p* tal que

:*F*|*U* : *U* → *F*(*U*)

é un difeomorfismo.

Expresado doutra maneira, se a diferencial de *F* é un isomorfismo en tódolos puntos *p* de *M*, entón a aplicación *F* é un difeomorfismo local.

## Inversa global 
O teorema da función inversa só garante localmente a existencia dunha función inversa. Os requirimentos para a existencia dunha inversa global son algo máis complexos e non están garantidos polo cumprimento das condicións do teorema da función inversa.

Dada unha función diferenciable:

Pode demostrarse que existe unha constante \scriptstyle c(\Omega) se cumpre:
{{ecuación|
\max_{x\in \bar{\Omega}} \|Du_f(x)\| =
\sup_{x\in \Omega} \|Du_f(x)\| 
||left}}
De maneira que a función *f* admite inversa global, onde *uf* é o  vector de desprazamento asociado á función definido como a resta vectorial entre a imaxe dun punto e a súa posición inicial:

Pode demostrarse que \scriptstyle c(\Omega) = 1  se o dominio \scriptstyle \Omega é convexo, mentres que un dominio non convexo require \scriptstyle c(\Omega) .

## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Bombal, Marin & Vera: *Problemas de Análisis matemático: Cálculo Diferencial*, 1988, ed. AC, ISBN 84-7288-101-6. 
### Outros artigos 
* Teorema da función implícita
### Ligazóns externas 
* Alejandro Jofré, Patricio Felmer, Paul Bosch, Matías Bulnes, Arturo Prat, Luis Rademacher, José Zamora, y Mauricio Vargas. "*Cálculo en Varias Variables - Apunte Completo*" (2010)