Teorema do resto

En álxebra, o **teorema do resto** ou **pequeno teorema de Bézout** é un resultado que provén da división euclidiana de polinomios, que expón que o resto da división dun polinomio f(x) polo polinomio linear x-r é igual a f(r). Deste xeito, pódese enunciar un resultado aínda máis en particular, x-r é un divisor de f(x) se e só se f(r)=0, unha propiedade coñecida coma o teorema do factor.

## Proba 
Malia que é un resultado moi sinxelo, existen diferentes formas de probar a súa veracidade, entre as cales se atopan as seguintes.

### Proba 1 
O teorema do resto é deducido desde o teorema da división euclidiana, o cal, dados dous polinomios f(x) (o *dividendo*) e g(x) (o *divisor*), afirma a existencia e a unicidade dun *cociente* q(x) e un *resto* R(x) tal que:f(x)=q(x)g(x)+R(x) \ \text{ e } \ R(x)=0 \ \text{ ou } \  \operatorname{deg}(R) Escollendo o divisor como g(x) = x-r, o resto é R=0 ou o seu grao é cero, mais en ámbolos dous casos, R é unha constante independente de *x*; isto é

:f(x)=q(x)(x-r) + R\,.

Avaliando x=r nesta fórmula, obtense:

:f(r)=R\,.

### Proba 2 
Unha proba lixeiramente diferente, que pode semellar máis elemental, comeza coa observación de que f(x)-f(r)é unha combinación linear dos termos da forma x-r porque x^k-r^k=(x-r)(x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots+xr^{k-2}+r^{k-1}). Deste xeito, se f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0 tense que:f(x) - f(r) = a_n(x^n - r^n) + a_{n-1}(x^{n-1}-r^{n-1}) + \ldots + a_1(x-r) = \sum_{k=1}^n a_k(x^k-r^k)Tódolos termos da dereita teñen factor común (x-r), así que usando a propiedade distributiva:\begin{align}
f(x) - f(r) &= (x-r)\sum_{k=1}^n a_k(x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots+xr^{k-2}+r^{k-1}) \\
f(x) &= (x-r)\sum_{k=1}^n a_k(x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots+xr^{k-2}+r^{k-1}) + f(r)
\end{align}E substituíndo x=r, obtense f(r)=R\,.

### Proba 3 
Esta proba baséase na idea de substituír a variábel x  no polinomio inicialf(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0 = \sum_{k=0}^n a_kx^k o binomio (x-r)+r , observando que f(x) = f((x-r)+r) . Entón, tense que \begin{align}
f(x) &= f((x-r)+r) = a_0 + \sum_{k=1}^n a_k((x-r)+r)^k =\\
&= a_0 + \sum_{k=1}^n a_k \left( \sum_{i=0}^k  (x-r)^i r^{k-i}\right) = a_0 + \sum_{k=1}^n a_k \left( r^k + \sum_{i=1}^k  (x-r)^i r^{k-i}\right) \\
&= a_0 + \sum_{k=1}^n a_kr^k + \sum_{k=1}^n a_k \left(\sum_{i=1}^k  (x-r)^i r^{k-i}\right) = f(r) + \sum_{k=1}^n a_k \left(\sum_{i=1}^k  (x-r)^i r^{k-i}\right) \\
&= f(r) + \sum_{k=1}^n a_k(x-r)\left(\sum_{i=1}^k  (x-r)^{i-1} r^{k-i}\right)  = f(r) + (x-r)\sum_{k=1}^n a_k\left(\sum_{j=0}^k  (x-r)^{j} r^{k-j+1}\right) \\
&= f(r) + (x-r)q(x)
\end{align} onde o que se fixo foi aplicar a expansión do binomio de Newton, observando que tódolos termos da expansión malia un son divisíbeis por (x-r), que é o termo da forma r^k . Ao xuntar todos estes termos, tense o resto ao dividir por (x-r), e ao os sumar, tense que o resto é f(r).

## Exemplos 
### Exemplo 1 
Sexa o polinomio f(x) = x^3 - 12x^2 - 42. División polinómica de f(x) por (x-3) ten como resultado o cociente x^2 - 9x - 27 e o resto -123.

Por outro lado, f(3) = (3)^3 - 12(3)^2 - 42=-123, coincidindo co resto antes calculado.

### Exemplo 2 
Pódese observar que o teorema do resto é satisfeito para polinomios arbitrarios de segundo grao f(x) = ax^2 + bx + c usando manipulacións alxébricas semellantes ás da terceira proba, pero no caso particular de  n , podendo ser así máis doada de entender.

:
\begin{align}
\frac{f(x)} &= \frac{{a{x^2} + bx + c}} \\
 &= \frac{{a{x^2} - arx + arx + bx + c}} \\
 &= \frac \\
 &= ax + \frac \\
 &= ax + b + ar + \frac \\
 &= ax + b + ar + \frac{{a{r^2} + br + c}}
\end{align}

Multiplicando ámbolos dous lados por (*x* &#x2212; *r*) resulta en

:f(x) = ax^2 + bx + c = (ax + b + ar)(x - r) + {a{r^2} + br + c}

Xa que R = ar^2 + br + c é o resto, demostrouse que f(r) = R.

## Aplicacións 
Ademais da aplicación directa de calcular o resto da división entre o polinomio linear e un polinomio f(x), o teorema do resto ten outras aplicacións.

### Teorema do factor 
Unha consecuencia directa do teorema do resto provén da seguinte observación: tense un polinomio f(x) e divídese polo polinomio linear (x-r) e o resto é 0, entón f(r)=0. Ademais, se f(r)=0, entón a división de f(x) por (x-r) ten o resto nulo. Este resultado é coñecido polo nome é o **teorema do factor**, que enuncia resumidamente que un polinomio f(x) ten como factor (x - r) se e só se f(r)=0, é dicir r é unha raíz.

Dous problemas nos que se emprega a miúdo este teorema son os de factorizar un polinomio e atopar as raíces dunha ecuación polinomial, que como unha consecuencia directa do teorema tense que ámbolos dous problemas son esencialmente equivalentes. Ademais, o teorema do factor tamén se usa para eliminar raíces coñecidas dun polinomio, deixando o resto de raíces sen cambios e producindo así un polinomio de grao inferior cuxas raíces poden ser máis doadas de atopar, facilitando a factorización do polinomio. Os pasos a seguir neste método son os seguintes:

# "Adiviñar" unha raíz a do polinomio f(x). En xeral, isto pode chegar a ser moi difícil, mais en certos casos pódense descubrir certas raíces. Por exemplo, se o polinomio só ten coeficientes enteiros, o resultado do teorema das raíces racionais sería de axuda.
# Usar o teorema do factor para concluír que (x - a) é un factor de f(x).
# Calcular o polinomio g (x) = f (x) / (x - a), por exemplo, usando a regra de Ruffini.
# Concluír que calquera raíz x \neq a de f(x)=0 é raíz de g(x)=0. Xa que o grao polinomial de g é un menor que o de f, suponse que é máis sinxelo atopar o resto de raíces de g.

##### Exemplo de atopar de raíces 
Atopar os factores de

:x^3 + 7x^2 + 8x + 2.

Pódese actuar por proba e erro (ou co teorema das raíces racionais) para atopar o primeiro valor *x* que fai que a expresión sexa igual a cero. Para saber se (x - 1) é un factor, substitúese x = 1 no polinomio anterior:

:\begin{align}
    x^3 + 7x^2 + 8x + 2 =& (1)^3 + 7(1)^2 + 8(1) + 2 \\
    =& 1 + 7 + 8 + 2 \\
    =& 18 \\
\end{align}

Isto é igual a 18 e non é 0 e, polo tanto x-1 non é un factor. Así, téntase ver se x+1 é factor e para iso, substitúese x = -1 no polinomio anterior:

(-1)^3 + 7(-1)^2 + 8(-1) + 2

Isto é 0. Por tanto x-(-1), é dicir x+1, é un factor, e -1 é unha raíz de x^3 + 7x^2 + 8x + 2.

As seguintes dúas raíces pódense atopar dividindo alxebricamente x^3 + 7x^2 + 8x + 2 por (x+1), para obter unha cadrática:

:{x^3 + 7x^2 + 8x + 2 \over x + 1} = x^2 + 6x + 2,

e, por tanto, (x+1) e x^2 + 6x + 2 son factores de x^3 + 7x^2 + 8x + 2. Destes, o factor cadrático pode ser aínda factorizado resolvendo unha ecuación de segundo grao, que terá as raíces -3\pm \sqrt{7}. Así, os tres factores irredutíbeis do polinomio orixinal son x+1,  x-(-3+\sqrt{7}), e x-(-3-\sqrt{7}).

### Cálculo de valores dun polinomio 
O teorema do resto adóitase empregar para avaliar f(r) calculando o resto R. Malia que a división longa de polinomios é máis difícil que avaliar a función, a división sintética é computacionalmente máis doada. A aplicación da división sintética, neste caso usando a regra de Ruffini, e o teorema do resto para avaliar un polinomio é equivalente á aplicación do algoritmo de Horner.

É salientábel que o algoritmo de Horner só precisa *n* sumas e *n* produtos cando o grao do polinomio é *n*, sendo este o número mínimo de operacións de cada tipo que se precisa para avaliar un polinomio. Deste xeito, en canto ao número de operacións, o algoritmo de Horner, e polo tanto o algoritmo equivalente de usar a regra de Ruffini e o teorema do resto, é óptimo. As minimalidades de cada unha das operacións foi demostrada por separado: o número de sumas foi probado por Alexander Ostrowski en 1954, e o número de produtos por Victor Pan en 1966.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 
* .
* 
*
*