Área

**Área** é a extensión ou superficie comprendida dentro dunha figura (de dúas dimensións), expresada en unidades de medida denominadas superficiais. Para superficies planas o concepto é intuitivo. Calquera superficie plana de lados rectos pode triangularse e pódese calcular a súa área como suma de triángulos.

Con todo, para calcular a área de superficies curvas requírese introducir métodos de xeometría diferencial.

Para poder definir a área dunha superficie en xeral, que é un concepto métrico, tense que definir un tensor métrico sobre a superficie en cuestión: cando a superficie está dentro dun espazo euclidiano, a superficie herda unha estrutura métrica natural inducida pola métrica euclídea.

## Historia 
[miniatura|300px|Os [Antigo Exipto|exipcios desenvolveron a xeometría pola necesidade que tiveron de medir as terras á beira do río Nilo.]]
A idea de que a área é a medida que proporciona o tamaño da rexión encerrada nunha figura xeométrica provén da antigüidade. No Antigo Exipto, tras a crecida anual do río Nilo inundando os campos, xorde a necesidade de calcular a área de cada parcela agrícola para restablecer os seus límites; para liquidar iso, os exipcios inventaron a xeometría, segundo Heródoto. Heródoto *Historias*, Libro II.

O modo de calcular a área dun polígono como a suma das áreas dos triángulos, é un método que foi proposto por primeira vez polo sabio grego Antifón cara ao ano 430 a. C. Achar a área dunha figura curva entraña máis dificultade. O método de esgotamento consiste en inscribir e circunscribir polígonos na figura xeométrica, aumentar o número de lados de devanditos polígonos e achar a área buscada. Con este sistema, que se coñece como método de exhaución de Eudoxo, conseguiu achar a fórmula para calcular a área dun círculo. Devandito sistema foi empregado tempo despois por Arquimedes para resolver outros problemas similares: o problema da área así como o cálculo aproximado do número π.

## Área de figuras planas 
### Área dun triángulo 
A área dun triángulo calcúlase mediante a seguinte fórmula:
{{ecuación|
A =\frac{l\cdot h}{2}
||left}}
onde *l* é calquera dos lados e *h* é a altura correspondente a ese lado.

Se o triángulo é rectángulo, a altura coincide cun dos catetos, e a fórmula quedaría da seguinte forma: 
:A =\frac{a\cdot b}{2}
onde **a** e **b** son os catetos.
 
Se o que coñecemos é a lonxitude dos seus lados aplicamos a fórmula de Herón.
:S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

onde a, b , c son os valores das lonxitudes dos seus lados 
*s*&nbsp;=&nbsp;&frac12;&nbsp;(*a*&nbsp;+&nbsp;*b*&nbsp;+&nbsp;*c*) é o **semiperímetro** do triángulo.

Se o triángulo é equilátero, de lado *a*, a súa área está dada por

A =\frac{\sqrt{3}\cdot a^2}{4}
miniatura|200 px|Áreas

### Área dun cuadrilátero 
miniatura|200px|Trapezoide.
* O trapezoide ou cuadrilátero totalmente irregular que ten os seus catro ángulos diferentes e lados de lonxitudes desiguais. Neste caso a área pódese obter mediante triangulación sendo:
{{ecuación|
A = \frac {a \cdot d \cdot \sin \alpha + b \cdot c \cdot \sin \gamma}{2} 
||left}}
:Sendo:
::\alpha\, o ángulo comprendido entre os lados a\, e d\,.
::\gamma\, o ángulo comprendido entre os lados b\, e c\,.

* O rectángulo é un paralelogramo cuxos ángulos son todos de 90º; a área sería a multiplicación de dúas dos seus lados contiguos *a* e *b*:

* O rombo, cuxos 4 lados son iguais, ten a súa área dada polo semiproduto das súas dúas diagonais:
{{ecuación|
A = \frac{AC\cdot BD}{2}
||left}}

* O cadrado é o polígono regular de catro lados, é á vez un rectángulo e un rombo, polo que a súa área pode ser calculada da mesma maneira que a destes dous. En particular, dado que os seus lados son iguais, úsase a fórmula:

* Os paralelogramos en xeral teñen a súa área dada polo produto un dos seus lados e a súa altura respectiva:

* O trapecio (que ten dous lados paralelos entre si e dous lados non paralelos) cuxa área vén dada pola media aritmética dos seus lados paralelos multiplicado pola distancia entre eles (altura):
{{ecuación|
A = \frac{a + b}{2} \cdot h 
||left}}

### Área do círculo e a elipse 
A área dun círculo, ou a delimitada por unha circunferencia, calcúlase mediante a seguinte expresión matemática:

miniatura|200px|A área delimitada entre a gráfica de dúas curvas pode calcularse mediante a diferenza entre as integrais de ambas as funcións.

A área delimitada por unha elipse é similar e obtense como produto do semieixe maior polo semieixe menor multiplicados por π:

### Área delimitada entre dúas funcións 
Unha forma para achar a área delimitada entre dúas funcións, é utilizando o cálculo integral:

O resultado desta integral é a área comprendida entre as curvas: f(x)\, e g(x) [ no intervalo [a,b]\,.

;Exemplo
Se se quere achar a área delimitada entre o eixo x e a función f(x) = 4 - x^2 no intervalo [-2;2], utilízase a ecuación anterior, neste caso: g(x)=0 entón avaliando a integral, obtense:
{{ecuación|
 A(-2,2) = \int^2_{-2} | 4 - x^2 - 0 | dx = 2 \int^2_0 4 - x^2 dx = 2 \left[ 8 - \left(\frac{2^3 - 0}{3}\right) \right] = \frac{32}{3}
||left}}
Polo que se conclúe que a área delimitada é \frac{32}{3}..

O volume encerrado entre dúas funcións tamén pode ser reducido ao cálculo dunha integral, similar.

## Área de superficies curvas 
[esquerda|miniatura|Dous exemplos de [conos.]]
A área dunha superficie curva é máis complexo e en xeral supón realizar algún tipo de idealización ou límite para medilo.

* Cando a superficie é desenvolvíbel, como sucede coa área lateral dun cilindro ou dun cono a área da superficie pode calcularse a partir da área desenvolvida que sempre é unha figura plana. Unha condición matemática necesaria para que unha superficie sexa desenvolvíbel é que a súa curvatura gaussiana sexa nula.
* Cando a superficie non é desenvolvíbel, o cálculo da superficie ou a fórmula analítica para atopar devandito valor é máis traballoso. Un exemplo de superficie non desenvolvíbel é a esfera xa que a súa curvatura gaussiana coincide co inverso do seu radio ao cadrado, e por tanto non é cero. Con todo a esfera é unha superficie de revolución.

### Superficie de revolución 
miniatura|200px|Unha superficie de revolución xerada por un tramo da curva *y*=2+cos&nbsp;*x* rotada arredor do eixo *x*.

Cando unha superficie curva pode ser xerada facendo virar unha curva plana ao redor dun eixo directriz, a superficie resultante chámase superficie de revolución e a súa área pode ser calculada facilmente a partir da lonxitude da curva xeratriz que ao virar conforma a superficie. Se *y*=*f*(*x*) é a ecuación que define un tramo de curva, ao virar esta curva ao redor do eixo X xérase unha superficie de revolución cuxa área lateral vale:
{{ecuación|
A_r(a,b) = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+\left(\frac{df(x)}{dx}\right)^2}\ dx
||left}}

### Cálculo xeral de áreas 
Mediante a xeometría diferencial de superficies ou máis xeralmente a xeometría riemanniana pode calcularse a área de calquera superficie curva finita. Se a superficie vén dada pola función explícita *z* = *f*(*x, y*) entón, dada unha rexión Ω contida nunha superficie a súa área resultar ser:
{{ecuación|
 A(\Omega) = \iint_\Omega \sqrt{1+
\left(\frac{\partial f}{\partial x} \right )^2+
\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right )^2} dxdy
||left}}
De maneira un pouco máis xeral se coñecemos a ecuación paramétrica da superficie en función de dúas coordenadas calquera *o* e *v* entón a área anterior pode escribirse como:
{{ecuación|
 A(\Omega) = \iint_\Omega \sqrt{EG-F^2}\ dudv
||left}}
Onde *E*, *F* e *G* son as compoñentes do tensor métrico ou primeira forma fundamental da superficie nas coordenadas paramétricas *u* e *v*.

## Unidades de medida de superficies 
### Sistema métrico (SI) 
**Múltiplos:**
* Quilómetro cadrado: 106 metros cadrados
* Hectárea: 104 metros cadrados
* Área: 10² metros cadrados

**Unidade básica:**
* metro cadrado: Unidade derivada do SI

**Submúltiplos:**
* centímetro cadrado: 10−4 metros cadrados
* barn: 10−28 metros cadrados

### Sistema inglés de medidas 
* polgada cadrada
* pé cadrado
* iarda cadrada
* acre
* milla cadrada
* legua cadrada

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía