Funcións trigonométricas inversas

En matemáticas, as **funcións trigonométricas inversas** (tamén chamadas funcións *arco*) son as funcións inversas das funcións trigonométricas, baixo dominios debidamente restrinxidos. Concretamente, son as inversas das funcións seno, coseno, tanxente, cotanxente, secante e cosecante, e úsanse para obter un ángulo a partir de calquera das razóns trigonométricas do ángulo. As funcións trigonométricas inversas úsanse amplamente en enxeñaría, navegación, física e xeometría.

## Notación 
thumb|
Para unha circunferencia de raio 1, arcsin e arccos son as lonxitudes dos arcos reais determinadas polas cantidades en cuestión.

Existen varias notacións para as funcións trigonométricas inversas. A convención máis común é nomear as funcións trigonométricas inversas mediante un prefixo de arco (arc): , , , etc. (Esta convención úsase ao longo deste artigo).

Esta notación xorde das seguintes relacións xeométricas:
ao medir en radiáns, un ángulo de  radiáns corresponderá a un arco cuxa lonxitude é , onde  é o raio da circunferencia. Así, na función da circunferencia goniométrica, o coseno de x é tanto o arco como o ángulo, porque o arco dunha circunferencia de raio 1 é o mesmo que o ángulo. Ou, "o arco cuxo coseno é " é o mesmo que "o ángulo cuxo coseno é ", porque a lonxitude do arco da circunferencia en raios é a mesma que a medida do ángulo en radiáns.

Nas linguaxes de programación de ordenadores, as funcións trigonométricas inversas denomínanse frecuentemente polas formas abreviadas \operatorname{asin}, \operatorname{acos}, \operatorname{atan}.

As notacións \sin^{-1}(x), \cos^{-1}(x), tan^{-1}(x), etc., introducidas por John Herschel en 1813,  utilízanse a miúdo,

Estas fórmulas implican, en particular, que se cumpre o seguinte:

:
\begin{align}
\sin \theta
&= -\sin(-\theta)
&&= -\sin(\pi+\theta)
&&= \phantom{-}\sin(\pi-\theta) \\
&= -\cos\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)
&&= \phantom{-}\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)
&&= -\cos\left(-\frac{\pi}{2}-\theta\right) \\
&= \phantom{-}\cos\left(-\frac{\pi}{2}+\theta\right)
&&= -\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\theta\right)
&&= -\cos\left(-\frac{3\pi}{2}+\theta\right)
\\[0.3ex]
\cos \theta
&= \phantom{-}\cos(-\theta)
&&= -\cos(\pi+\theta)
&&= -\cos(\pi-\theta) \\
&= \phantom{-}\sin\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)
&&= \phantom{-}\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) 
&&= -\sin\left(-\frac{\pi}{2}-\theta\right) \\
&= -\sin\left(-\frac{\pi}{2}+\theta\right)
&&= -\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\theta\right)
&&= \phantom{-}\sin\left(-\frac{3\pi}{2}+\theta\right)
\\[0.3ex]
\tan \theta
&= -\tan(-\theta)
&&= \phantom{-}\tan(\pi+\theta)
&&= -\tan(\pi-\theta) \\
&= -\cot\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)
&&= \phantom{-}\cot\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)
&&= \phantom{-}\cot\left(-\frac{\pi}{2}-\theta\right) \\
&= -\cot\left(-\frac{\pi}{2}+\theta\right)
&&= \phantom{-}\cot\left(\frac{3\pi}{2}-\theta\right)
&&= -\cot\left(-\frac{3\pi}{2}+\theta\right)
\\[0.3ex]
\end{align}

onde trocando \sin \leftrightarrow \csc, trocando \cos \leftrightarrow \sec, e trocando \tan \leftrightarrow \cot dá as ecuacións análogas para \csc, \sec, \cot, respectivamente.

Así, por exemplo, usando a igualdade \sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta \right) = \cos \theta, a ecuación \cos \theta = x pódese transformar en \sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) = x, o que permite usar a solución da ecuación ;\sin \varphi = x; (onde \varphi := \frac{\pi}{2}-\theta); esa solución é:
\varphi  = (-1)^k \arcsin (x)+\pi k ; \text{ para algún } k \in Z,
que pasa a ser:
:\frac{\pi}{2}-\theta = (-1)^k \arcsin (x)+\pi k \quad \text{ para algún } k \in Z
onde úsase o feito de que (-1)^{k} = (-1)^{-k} e substituíndo h :=-k demostra que outra solución a ;\cos \theta = x; é:
:\theta = (-1)^{h+1} \arcsin (x)+\pi h+\frac{\pi}{2} \quad \text{ para algún } h \in Z.
A substitución \arcsin x = \frac{\pi}{2}-\arccos x; pódese usar expresando o lado dereito da fórmula anterior en termos de \arccos x; en lugar de \arcsin x.

### Relacións entre funcións trigonométricas e funcións trigonométricas inversas 
As funcións trigonométricas das funcións trigonométricas inversas están tabuladas a continuación. Unha forma rápida de derivalas é considerando a xeometría dun triángulo rectángulo, cun lado de lonxitude 1 e outro lado de lonxitude x, despois aplicando o Teorema de Pitágoras e as definicións das razóns trigonométricas. 

Paga a pena notar que para arco secante e arco cosecante, o diagrama asume que x é positivo e, polo tanto, o resultado ten que ser corrixido mediante o uso de valor absoluto e a operación signo (sgn).

|\cos(\arcsec(x)) = \frac{1}{x}
|\tan(\arcsec(x)) = \sgn(x)\sqrt{x^2-1}
|150px
|-
!\arccsc(x)
|\sin(\arccsc(x)) = \frac{1}{x}
|\cos(\arccsc(x)) = \frac{\sqrt{x^2-1}}
|\tan(\arccsc(x)) = \frac{\sgn(x)}{\sqrt{x^2-1}}
|150px
|-
|}

### Relacións entre as funcións trigonométricas inversas
168px|right|thumb|Os valores principais habituais das funcións arcsin(*x*) (vermello) e arccos(*x*) (azul) representados no plano cartesiano.
294px|right|thumb|Os valores principais habituais das funcións arctan(*x*) e arccot(*x*) representadas gráficamente no plano cartesiano.
294px|right|thumb|Valores principais  das funcións arcsec(*x*) e arccsc(*x*) representadas gráficamente no plano cartesiano.

Ángulos complementarios:
:\begin{align}
\arccos(x) &= \frac{\pi}{2} - \arcsin(x) \\[0.5em]
\arccot(x) &= \frac{\pi}{2} - \arctan(x) \\[0.5em]
\arccsc(x) &= \frac{\pi}{2} - \arcsec(x)
\end{align}

Argumentos negativos:
:\begin{align}
\arcsin(-x) &= -\arcsin(x) \\
\arccsc(-x) &= -\arccsc(x) \\
\arccos(-x) &= \pi -\arccos(x) \\
\arcsec(-x) &= \pi -\arcsec(x) \\
\arctan(-x) &= -\arctan(x) \\
\arccot(-x) &= \pi -\arccot(x)
\end{align}

Argumentos recíprocos:
:\begin{align}
\arcsin\left(\frac{1}{x}\right) &= \arccsc(x) & \\[0.3em]
\arccsc\left(\frac{1}{x}\right) &= \arcsin(x) & \\[0.3em]
\arccos\left(\frac{1}{x}\right) &= \arcsec(x) & \\[0.3em]
\arcsec\left(\frac{1}{x}\right) &= \arccos(x) & \\[0.3em]
\arctan\left(\frac{1}{x}\right) &= \arccot(x)       &= \frac{\pi}{2} - \arctan(x) \, , \text{ se } x > 0 \\[0.3em]
\arctan\left(\frac{1}{x}\right) &= \arccot(x) - \pi &= -\frac{\pi}{2} - \arctan(x) \, , \text{ se } x  0 \\[0.3em]
\arccot\left(\frac{1}{x}\right) &= \arctan(x) + \pi &= \frac{3\pi}{2} - \arccot(x) \, , \text{ se } x 
As identidades anteriores pódense usar polo feito de \sin e \csc seren recíprocas (é dicir, \csc = \tfrac{1}{sin}), como o son \cos e \sec, e \tan e \cot.

Identidades útiles se só se ten un fragmento dunha táboa seno:
:\begin{align}
\arcsin(x) &= \frac{1}{2}\arccos\left(1-2x^2\right) \, , \text{ if } 0 \leq x \leq 1 \\
\arcsin(x) &= \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\right) \\
\arccos(x) &= \frac{1}{2}\arccos\left(2x^2-1\right) \, , \text{ if } 0 \leq x \leq 1 \\
\arccos(x) &= \arctan\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}\right) \\
\arccos(x) &= \arcsin\left(\sqrt{1 - x^2}\right) \, , \text{ se } 0 \leq x \leq 1 \text{ , do que obtemos} \\
\arccos    &\left(\frac{1-x^2}{1 + x^2}\right) = \arcsin \left (\frac{2x}{1 + x^2}\right) \, , \text{ se } 0 \leq x \leq 1 \\
\arcsin    &\left(\sqrt{1 - x^2}\right) =\frac{\pi}{2}-\sgn(x)\arcsin(x) \\
\arctan(x) &= \arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right) \\
\arccot(x) &= \arccos\left(\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right)
\end{align}

Sempre que aquí se usa a raíz cadrada dun número complexo, escollemos a raíz coa parte real positiva (ou a parte imaxinaria positiva se o cadrado fose real negativo).

Unha forma útil que se desprende directamente da táboa anterior é

:\arctan(x) = \arccos\left(\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}\right)\, , \text{ if } x\geq 0 .

Obtense ao recoñecer que \cos\left(\arctan\left(x\right)\right) = \sqrt{\frac{1}{1+x^2}} = \cos\left(\arccos\left(\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}\right)\right).

Da fórmula do ángulo metade, \tan\left(\tfrac{\theta}{2}\right) = \tfrac{\sin(\theta)}{1 + \cos(\theta)}, obtemos:
:\begin{align}
\arcsin(x) &= 2 \arctan\left(\frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}}\right) \\[0.5em]
\arccos(x) &= 2 \arctan\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{1 + x}\right) \, , \text{ if } -1 .

### Fórmula de adición arctanxente
:\arctan(u) \pm \arctan(v) = \arctan\left(\frac{u \pm v}{1 \mp uv}\right) \pmod \pi \, , \quad u v \ne 1 \, .
Isto derívase da fórmula da suma de ángulos da tanxente
:\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan(\alpha) \pm \tan(\beta)}{1 \mp \tan(\alpha)\tan(\beta)} \, ,
sendo
:\alpha = \arctan(u) \, , \quad \beta = \arctan(v) \, .

## En cálculo
### Derivadas de funcións trigonométricas inversas
As derivadas para valores complexos de *z* son as seguintes:
:\begin{align}
\frac{d}{dz} \arcsin(z) &{} = \frac{1}{\sqrt{1-z^2}} \; ;   &z &{}\neq -1, +1 \\
\frac{d}{dz} \arccos(z) &{} = -\frac{1}{\sqrt{1-z^2}} \; ;  &z &{}\neq -1, +1 \\
\frac{d}{dz} \arctan(z) &{} = \frac{1}{1+z^2} \; ;          &z &{}\neq -i, +i\\
\frac{d}{dz} \arccot(z) &{} = -\frac{1}{1+z^2} \; ;         &z &{}\neq -i, +i \\
\frac{d}{dz} \arcsec(z) &{} = \frac{1}{z^2 \sqrt{1 - \frac{1}{z^{2}}}} \; ;   &z &{}\neq -1, 0, +1 \\
\frac{d}{dz} \arccsc(z) &{} = -\frac{1}{z^2 \sqrt{1 - \frac{1}{z^{2}}}} \; ;  &z &{}\neq -1, 0, +1
\end{align}
Só para valores reais de *x*:
:\begin{align}
\frac{d}{dx} \arcsec(x) &{} = \frac{1}

## Aplicacións 
### Atopar o ángulo dun triángulo rectángulo 
[right|thumb|A [triángulo rectángulo con lados relativos a un ángulo no punto A.]]
As funcións trigonométricas inversas son útiles cando se intenta determinar os dous ángulos restantes dun triángulo rectángulo cando se coñecen as lonxitudes dos lados do triángulo. Lembrando as definicións de triángulo rectángulo de seno e coseno, despréndese que

:\theta = \arcsin \left( \frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}} \right) = \arccos \left( \frac{\text{contiguo}}{\text{hipotenusa}} \right) .

Moitas veces, a hipotenusa é descoñecida e habería que calculala antes de usar o arcoseno ou arcocoseno usando o teorema de Pitágoras: a^2+b^2=h^2 onde h é a lonxitude da hipotenusa. O arcotanxente é útil nesta situación, xa que non se precisa a lonxitude da hipotenusa.

:\theta = \arctan \left( \frac{\text{oposto}}{\text{contiguo}} \right).

Por exemplo, supoña que un tellado **baixa** 8 metros mentres **avanza** 20 metros. O tellado forma un ángulo *θ* coa horizontal, onde *θ* pódese calcular do seguinte xeito:

:\theta
= \arctan \left( \frac{\text{oposto}}{\text{contiguo}} \right)
= \arctan \left( \frac{\text{baixa}}{\text{avanza}} \right)
= \arctan \left( \frac{8}{20} \right) \approx 21.8^{\circ} \, .

#### Función arcotanxente con parámetro de localización
En moitas aplicacións a solución y da ecuación x=tan(y) é aproximarse o máis posíbel  a un valor dado -\infty . A solución adecuada prodúcese pola función arcotanxente modificada por un parámetro
:
y = \arctan_\eta(x) := \arctan(x) + \pi \, \operatorname{rni}\left(\frac{\eta - \arctan(x)}{\pi} \right)\, .

A función \operatorname{rni} redondea ao enteiro máis próximo.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
### Outros artigos 
*Funcións hiperbólicas inversas
*Lista de identidades trigonométricas
*Función trigonométrica

### Ligazóns externas 
*