Produto infinito

En matemáticas, para unha secuencia de números complexos *a*1, *a*2, *a*3, ... o **produto infinito**

: 
\prod_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 a_2 a_3 \cdots

defínese como o límite dos produtos parciais *a*1 *a*2 ... *a**n*, a medida que *n* aumenta sen límite. Dise que o produto *converxe* cando existe o límite e non é cero. En caso contrario, dise que o produto *diverxe*. Un límite cero é tratado especialmente para obter resultados análogos aos de sumas infinitas.  Se o produto converxe, entón o límite dao valor de *a**n* a medida que *n* aumenta ata o infinito debe ser 1, mentres que a inversa en xeral non é certa.

Os exemplos máis coñecidos de produtos infinitos son probablemente algunhas das fórmulas para &#x3C0;, como os seguintes dous produtos, respectivamente de Viète (a fórmula de Viète, o primeiro produto infinito publicado en matemáticas) e John Wallis (produto de Wallis):

: \frac{2}{\pi} = \frac{ \sqrt{2} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} }{ 2 } \cdot \; \cdots = \prod_{n=1}^{\infty} \cos \frac{\pi}{2^{n+1}}
: \frac{\pi}{2} = \left(\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3}\right) \cdot \left(\frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5}\right) \cdot \left(\frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7}\right) \cdot \left(\frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9}\right) \cdot \; \cdots = \prod_{n=1}^{\infty} \left( \frac{ 4n^2 }{ 4n^2 - 1 } \right). 

## Criterios de converxencia 
O produto de números reais positivos

: \prod_{n=1}^{\infty} a_n

converxe a un número real distinto de cero se e só se a suma

: \sum_{n=1}^{\infty} \log(a_n)

converxe. Isto permite traducir os criterios de converxencia para sumas infinitas en criterios de converxencia para produtos infinitos. 

Se a serie \sum_{n=1}^{\infty} \log(a_n) diverxe a -\infty, entón a secuencia de produtos parciais da *a**n* converxe a cero. Dise que o produto infinito **diverxe a cero**.

## Representacións de funcións de produtos 
Un resultado importante sobre produtos infinitos é que toda función enteira *f*(*z*) (é dicir, cada función que é holomorfa sobre todo o plano complexo) pode factorizarse nun produto infinito de funcións enteiras, cada unha cunha única raíz como máximo. En xeral, se *f* ten unha raíz de orde *m* na orixe e ten outras raíces complexas en *u*1, *u*2, *u*3, ... (listados con multiplicidades iguais ás súas ordes), entón

: f(z) = z^m e^{\phi(z)} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z}{u_n} \right) \exp \left\lbrace \frac{z}{u_n} + \frac{1}{2}\left(\frac{z}{u_n}\right)^2 + \cdots + \frac{1}{\lambda_n} \left(\frac{z}{u_n}\right)^{\lambda_n} \right\rbrace 

onde *λ**n* son enteiros non negativos que se poden escoller para facer converxer o produto, e \phi (z) é algunha función enteira (o que significa que o termo anterior ao produto non terá raíces no plano complexo). A factorización anterior non é única, xa que depende da escolla dos valores para *λ**n*. No entanto, para a maioría das funcións, haberá algún número enteiro non negativo *p* tal que *λ**n* = *p* dea un produto converxente, chamado representación canónica do produto. Este *p* chámase *rango* do produto canónico. No caso de que *p* = 0, esta toma a forma

: f(z) = z^m e^{\phi(z)} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z}{u_n}\right).

Isto pódese considerar como unha xeneralización do teorema fundamental da álxebra, xa que para polinomios, o produto faise finito e \phi (z) é constante.

A maiores destes exemplos, destacan as seguintes representacións:

A última delas non é unha representación de produto do mesmo tipo que se discutiu anteriormente, xa que *ζ* non é unha función enteira. Pola contra, a representación do produto anterior de *ζ*(*z*) converxe precisamente para Re( *z* ) &#x3E; 1, onde é unha función analítica. Mediante técnicas de continuación analítica, esta función pódese estender unicamente a unha función analítica (aínda denotada *ζ* (*z*)) en todo o plano complexo agás no punto *z* = 1, onde ten un polo simple.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 

### Outros artigos 
*Series infinitas
*Teorema do número pentagonal

### Ligazóns externas 
*Infinite products from Wolfram Math World
*A Collection of Infinite Products – I
*A Collection of Infinite Products – II