Matriz invertíbel

miniatura|Unha interpretación espacial dunha matriz  3x3 é a de 3 planos secantes só na orixe. As coordenadas da matriz serían os coeficientes dos tres vectores normais ao plano nunha base dada.

En matemáticas, en particular en álxebra linear, unha matriz cadrada  de orde  dise que é **invertíbel**, **non singular**, **non dexenerada** ou **regular** se existe outra matriz cadrada de orde , chamada **matriz inversa** de   e denotada por A^{-1} se  A\cdot A^{-1} = A^{-1}\cdot A = I_{n} , onde I_n é a matriz identidade de orde  e o produto utilizado é o produto de matrices usual.

Unha matriz cadrada non invertíbel dise que é **singular** ou **dexenerada**. Unha matriz é singular se e só se o seu determinante é nulo. A matriz singular A caracterízase porque a súa multiplicación pola matriz columna  X é igual a cero para algún X non nulo. O conxunto destes vectores (e ao subespazo vectorial formado por eles) chamarase ker A (de kernel, núcleo en inglés), para unha matriz **invertíbel** ker A é o vector nulo.

A inversión *de matrices* é o proceso de atopar a matriz inversa dunha matriz dada.

## Exemplos 
### Matriz de dúas filas (matriz adxunta) 
Dada unha matriz  de tamaño  con determinante non nulo, temos

: A^{-1}= 
\begin{bmatrix} 
    a & b \\ 
    c & d 
\end{bmatrix}^{-1} 
=
\frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} \,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\ 
\end{bmatrix} =
\frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix}
\,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\ 
\end{bmatrix}

e esta está definida a condición de que ad-bc \ne 0 con a,b,c,d\in\mathbb{R} . Así por exemplo a inversa da matriz

:     \begin{bmatrix}  2 & 1 \\  5 & 3 \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix}  2 & 1 \\  5 & 3 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix}  3 & -1 \\  -5 & 2 \end{bmatrix},

xa que

:  \begin{bmatrix}  2 & 1 \\  5 & 3 \end{bmatrix}  \begin{bmatrix}  3 & -1 \\  -5 & 2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}  1 & 0 \\  0 & 1 \end{bmatrix}  

### Matriz de tres filas 
Dada unha matriz A de tamaño 3\times 3  con determinante non nulo:

: A^{-1} = \begin{bmatrix}
a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i\\
\end{bmatrix}^{-1} =
\frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix}
\, A & \, B & \,C \\ \, D & \, E & \, F \\ \, G & \, H & \, I\\
\end{bmatrix}^T =
\frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix}
\, A & \, D & \,G \\ \, B & \, E & \,H \\ \, C & \,F & \, I\\
\end{bmatrix}

onde se definen

: \begin{matrix}
A = (ei-fh)  & D = -(bi-ch) & G = (bf-ce)  \\
B = -(di-fg) & E = (ai-cg)  & H = -(af-cd) \\
C = (dh-eg)  & F = -(ah-bg) & I = (ae-bd)  \\
\end{matrix}

Coa notación de cofactores teríamos

:\mathbf C = \begin{bmatrix}
 A= C_{11} & B = C_{12} & C =  C_{13} \\
 D =C_{21} & E=C_{22}  & F= C_{23} \\
 G= C_{31} & H= C_{32} & I =C_{33}
\end{bmatrix} 

:\mathbf A^{-1} = \frac{1}{\operatorname{det}(\mathbf A)} \mathbf C^\mathsf{T}.

Se temos
: A= \begin{bmatrix}
3 & 0 & 2\\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1\\
\end{bmatrix}.
:  \det(A) = 3\cdot 2 - 2\cdot (-2) - 0\cdot 0 =10.  
: C= \begin{bmatrix}
2 & -2 & 2\\ 2 & 3 & -3 \\ 0 & 10 & 0\\
\end{bmatrix};  \quad C^T= \begin{bmatrix}
2 & 2 & 0\\-2 & 3 & 10 \\ 2 & -3 & 0\\
\end{bmatrix}.
: A^{-1}= \begin{bmatrix}
0.2 & 0.2 & 0\\-0.2 & 0.3 & 1 \\ 0.2 & -0.3 & 0\\
\end{bmatrix}.

## Propiedades da Matriz Inversa 
Sexa A\in\mathbb{R}^{n\times n}  unha matriz de rango máximo

* A matriz inversa de A  é única.
* Se B\in\mathbb{R}^{n\times n}  e C\in\mathbb{R}^{n\times n}  daquela a matriz inversa do produto BC  é

: \left(BC\right)^{-1}={C}^{-1}{B}^{-1} 

* Se a matriz A  é invertíbel, tamén o é a súa transposta, e a inversa da súa transposta é a transposta da súa inversa, é dicir

: \left(A^{T}\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^{T}

* E, evidentemente:

: \left((A^{-1})^{-1}\right) = A

* Unha matriz con coeficientes nos reais é invertíbel se e só se o determinante de A  é distinto de cero. A maiores, a inversa satisfai a igualdade:

: {A^{-1}} =  {1 \over {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}} \operatorname{adj} (A) \ 

onde   { {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}} é o determinante de A e  \operatorname{adj}{(A)} \ é a matriz de adxuntos de A, entendida como á matriz de cofactores transposta. (adj do inglés *adjugate*).

* O conxunto de matrices *n\times n* con compoñentes sobre o corpo \mathbf{K} que admiten inversa, co produto de matrices, ten unha estrutura isomorfa ao grupo linear  \text{GL}(n,\mathbf{K}) de orde. Neste grupo a operación de inversa é un automorfismo (\cdot)^{-1}: \text{GL}(n,\mathbf{K}) \to \text{GL}(n,\mathbf{K}).

### Demostración da unicidade da inversa 
Supoñamos que B e C son inversas de A {{Ecuación| AB=BA=I, \quad\text{e} \quad AC=CA=I ||left}}Multiplicando ambas as relacións por C {{Ecuación| (BA)C=IC=C, \quad\text{e} \quad (BA)C=B(AC)=BI=B ||left}}De modo que B=C e próbase que a inversa é única.

### Demostración do criterio de invertibilidade das matrices cadradas 
Probarase a dupla implicación.

#### Suficiencia(\Rightarrow) 
Supoñamos que existe B tal que AB = BA = I. Entón ao aplicar a función determinante obtense

: \det\left(AB\right)=\det\left(BA\right)=\det\left(I\right).

Utilizando a propiedade multiplicativa do determinante e sabendo que \det(I) = 1 temos

: \det\left(A\right)\det\left(B\right)=1,

polo que deducimos que \det(A) é distinto de cero.

#### Necesidade(\Leftarrow) 
Supoña que o determinante de A é diferente de cero. Sexa a_{ij} o elemento ij da matriz  A  e sexa A_{ij} a matriz A sen a liña i e a columna j (comunmente coñecido como j-ésimo menor de A). Entón temos que

:  \det(A)= \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij}).

A maiores, se k\neq j, entón podemos deducir que

:  \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ik}\det(A_{ij})=0,

xa que a parte esquerda da relación é o determinante de A coa columna j substituída pola columna k e, de novo debido ás propiedades do determinante, sabemos que unha matriz con dúas filas iguais ten determinante cero.

Das dúas ecuacións anteriores podemos obter

:  \delta_{jk}\det\left(A\right)= \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}\det\left(A_{ij}\right)a_{ik}.

onde \delta_{jk} é o delta de Kronecker.

Polo tanto, sabendo qie (I)_{ij} = \delta_{ij} temos que

: \det\left(A\right)I = \left(\mbox{adj}(A)\right)A,

é dicir, que A ten inversa pola esquerda

: \frac{\left(\text{adj}(A)\right)^T}{\det\left(A\right)}.

Como \left(\text{adj}(A)\right)^T = \text{adj}\left(A^T\right), así A^T  tamén ten unha inversa pola esquerda que é

: \frac{\left(\text{adj}(A^T)\right)^T}{\det\left(A^T\right)}= \frac{\text{adj}(A)}{\det\left(A\right)}.

Daquela

: \frac{\text{adj}(A)}{\det\left(A\right)}A^T=I,

logo, aplicando a transposta

: A\frac{\left(\text{adj}(A)\right)^T}{\det\left(A\right)}=I,

que é o que se quería demostrar.

## Métodos de inversión de matrices 
### Solución analítica 
#### Inversión de matrices 2×2 
Pódese facer do seguinte xeito: 

: \mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix}
a & b \\ c & d \\ 
\end{bmatrix}^{-1} =
\frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin{bmatrix}
\,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\ 
\end{bmatrix} =
\frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix}
\,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\ 
\end{bmatrix}

Isto é posíbel sempre que ad-bc\neq 0, é dicir, o determinante da matriz non é cero.

**Exemplo numérico:**

: 
C = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\ 
3 & 4
\end{bmatrix},   \   
C^{-1} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\ 
3 & 4
\end{bmatrix}^{-1} =
\frac1{-2} \begin{bmatrix}
\,\,\,\,\, 4 &      -2 \\ 
     -3 & \,\,\,\,\, 1
\end{bmatrix}

#### Inversión de matrices de orde superior 
Para matrices de orde superior pódese utilizar a seguinte fórmula:

: {A^{-1}} = {1 \over {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}} \ \operatorname{adj} (A) \ 

Onde  { {\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}} é o determinante de A e  \ \operatorname{adj}{(A)} \  é a matriz adxunta de A.

Cando a matriz ten máis de tres filas, esta fórmula é moi ineficiente e leva a longos cálculos. Existen métodos alternativos para calcular a matriz inversa que son moito máis eficientes.

### Métodos numéricos 
O método de eliminación de Gauss-Jordan pódese usar para determinar se unha matriz dada é invertíbel e para atopar a súa inversa. Unha alternativa é a descomposición LU, que descompón unha matriz dada como produto de dúas matrices triangulares, unha inferior e outra superior, moito máis fácil de inverter. Usando o método de Gauss-Jordan, a matriz dada colócase á esquerda e a matriz de identidade á dereita. Despois, mediante o uso de pivotes, inténtase formar a matriz identidade da esquerda e a matriz que resulte á dereita será a matriz inversa da dada.

Por exemplo, considere a seguinte matriz:

A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 4 \\
5 & 6 & 0
\end{pmatrix}

Para atopar a matriz inversa A^{-1}, seguimos estes pasos:

Formar a matriz aumentada [A | I]:

[A | I] = \left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\
5 & 6 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right)

Aplicar operacións elementais de fila:

Paso 1: Restar 5 veces a primeira fila da terceira fila:

\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -4 & -15 & -5 & 0 & 1
\end{array}
\right)

Paso 2: Sumar 4 veces a segunda fila á terceira fila:

\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1
\end{array}
\right)

Paso 3: Restar 3 veces a terceira fila da primeira fila e 4 veces a terceira fila da segunda fila:

\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 2 & 0 & 16 & -12 & -3 \\
0 & 1 & 0 & 20 & -15 & -4 \\
0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1
\end{array}
\right)

Paso 4: Restar 2 veces a segunda fila da primeira fila:

\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & -24 & 18 & 5 \\
0 & 1 & 0 & 20 & -15 & -4 \\
0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1
\end{array}
\right)

No lado dereito da matriz aumentada temos a matriz inversa da orixinal.

## Grupo linear 
O conxunto de todas as matrices n\times n que admite inverso é unha representación linear do grupo linear de orde *n*, denotado como \textrm{GL}(n). Este grupo ten importantes aplicacións en álxebra e física. A maiores \textrm{GL}(n) \subset M_{n\times n} é un conxunto aberto (coa topoloxía inducida de \R ^{n^2}).
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 

*
*

### Outros artigos 
* Matriz (matemáticas).
### Ligazóns externas 
*Exercicios resolvidos de matrices inversas
*