Teoría de números alxébricos

A **teoría de números alxébricos** ou **teoría alxébrica de números** é unha rama da teoría dos números na cal o concepto de número se expande aos números alxébricos, os cales son as raíces dos polinomios con coeficientes racionais.

Un corpo de números alxébricos é unha extensión finita (alxébricos) do corpo dos números racionais. O anel dos enteiros dun corpo de números alxébricos é o conxunto dos enteiros en devandito corpo, é dicir, o subconxunto do corpo que consta dos elementos que son raíces de polinomios con coeficientes enteiros.

Pódese ver, e tratar, un corpo de números alxébrico como un análogo dos racionais, e o seu anel de enteiros como un análogo dos enteiros. Agora ben, a analoxía non é perfecta: algunhas das propiedades familiares dos racionais e os enteiros non se conservan, por exemplo, a factorización única. (A teoría de ideais suple en parte a falta de factorización única.)

Os corpos de números alxébricos, así como os corpos de funcións, son chamados corpos globais. Gran parte da teoría pódese desenvolver de maneira paralela para ambos os tipos de obxectos. A localización consiste na pasaxe dun corpo global a un corpo local: no caso dos corpos de funcións, este procedemento consiste simplemente en dirixir a mirada a un punto en particular da superficie ou variedade estudada, e concentrarse en como as funcións se comportan na súa veciñanza inmediata.

## Historia 
### Diofanto 
[200px|miniatura|Portada da obra de Diofanto, *[Arithmetica*.]]
Os inicios da teoría de números alxébricos pode estudarse ata as ecuacións diofantianas, chamadas así polo matemático Diofanto de Alexandría, que as estudou e desenvolveu métodos para resolver algunhas delas. Un problema típico de Diofanto é atopar dous enteiros *x* e *y* tales que a súa suma e a suma dos seus cadrados sexa igual a dous números dados *A* e *B*, respectivamente:
:A = x + y\ 
:B = x^2 + y^2.\ 

As ecuacións diofantianas foron estudadas durante centos de anos. Por exemplo, as solucións á ecuación *x*2 + *y*2 = *z*2 están dadas polas ternas pitagóricas, resoltas polos babilonios (c. 1800 a.C.). Solucións a outras ecuacións lineares como 26*x* + 65*y* = 13, poden atoparse co algoritmo de Euclides (arredor do século V a.C.).

### Fermat 
O último teorema de Fermat foi conxecturado por Pierre de Fermat en 1637, mais non se demostrou até 1995 a pesar dos esforzos dos matemáticos durante 358 anos. O problema estimulou o desenvolvemento da teoría de números alxébricos no século XIX e a demostración da teorema de modularidade no século XX.

### Gauss
miniatura|Portada do *Disquisitiones Arithmeticae* de Carl Friedrich Gauss.
Unha das obras fundadoras da teoría de números alxébricos, as *Disquisitiones Arithmeticae* é un libro de texto de teoría de números ecrito en latín por Carl Friedrich Gauss en 1798 cando tiña 21 anos e publicada en 1801, aos 24 anos. No libro Gauss achega resultados na teoría de números obtidos por matemáticos como Fermat, Euler, Lagrange e Legendre e engade importantes novos resultados propios. Antes de que as *Disquisitiones* se publicasen, a teoría de números consistía nunha colección de teoremas illados e conxecturas. Gauss xuntou o traballo dos seus predecesores coa súa obra orixinal nun marco sistemático, completou os ocos, corrixiu demostracións e estendeu a materia de numerosas formas.

As *Disquisitiones* foron o punto de partida para o traballo doutros matemáticos do século XIX como Ernst Kummer, Peter Gustav Lejeune Dirichlet e Richard Dedekind. Moitas das anotacións dadas por Gauss son anuncios de investigacións propias posteriores, algunhas delas inéditas. Pódense considerar como os xermes das teorías das funcións L e a multiplicación complexa.

### Dirichlet 
Nun par de artigos en 1838 e 1839, Peter Gustav Lejeune Dirichlet probou a primeira fórmula de clase numérica, para formas cuadráticas (posteriormente refinada polo seu estudante Leopold Kronecker). A fórmula, que Jacobi chamou resultado "tocando o máximo da agudeza humana", abriu o camiño para resultados máis xerais dos corpos numéricos. Baseada nas investigacións da estrutura do grupo unidade de corpos cuadráticos, probou o teorema unidade de Dirichlet, resultado fundamental da teoría de números alxébricos.

Usou por primeira vez o principio do pombal, argumento básico de reconto, na demostración dun teorema de aproximación diofantiana, posteriormente chamado teorema de aproximación de Dirichlet. Publicou importantes contribucións ao último teorema de Fermat, para o que probou os casos *n*&nbsp;=&nbsp;5 e *n*&nbsp;=&nbsp;14, e á lei de reciprocidade bicuadrática. Dedekind definiu un ideal como o subconxunto dun conxunto de números, composto por enteiros alxébricos que satisfai ecuacións polinómicas con coeficientes enteiros. O cencepto evolucionou nas mans de Hilbert e especialmente nas de Emmy Noether. Os ideais xeneralizan os números ideais de Ernst Eduard Kummer, que formaban parte do intento deste de 1843 para probar o teorema de Fermat.

### Hilbert
miniatura|Hilbert en 1912.
David Hilbert unificou o campo da teoría de números alxébricos co seu tratado de 1897 *Zahlbericht* (literalmente, "informe sobre números"). Tamén resolveu un importante problema formulado por Waring en 1770. Empregou demostracións existentes para demostrar que debe haber solucións para o problema en lugar de ofrecer mecanismos para producir as respostas. Fixo tamén conxecturas sobre teoría de corpos. Estes conceptos foron enormemente influentes e a súa propia contribución aparece en nomes como o símbolo de Hilbert. Os resultados foron provados en 1930 co traballo de Teiji Takagi.

### Artin
Emil Artin estableceu a lei de reciprocidade de Artin nunha serie de artigos (1924; 1927; 1930). Esta lei é un teorema xeral na teoría de números. A expresión "lei de reciprocidade" refírese a unha longa serie de afirmacións da teoría de números que xeneraliza, dende a lei de reciprocidade cuadrática e as leis de reciprocidade de Eisenstein e Kummer á fórmula do produto de Hilbert para a norma símbolo. O resultado de Artin dá unha solución parcial ao noveno problema de Hilbert.

### Teoría moderna 
Arredor de 1955, os matemáticos xaponeses Goro Shimura e Yutaka Taniyama observou a posible relación entre dúas ramas das matemáticas aparentemente distintas, as curvas elípticas e as formas modulares. O resultante teorema da modularidade, coñecido nese momento como conxectura de Taniyama–Shimura, afirma que toda curva elíptica é modular, o que quere dicir que pode asociarse cunha única forma modular.

Isto foi inicialmente desbotado como altamente especulativo, mais foi tomado máis en serio cando o teórico dos números André Weil atopou evidencias que o apoiaban, mais non unha demostración; con este sorprendente resultado a conxectura era coñecida como conxectura de Taniyama–Shimura-Weil. Converteuse nunha parte do programa Langlands, listaxe de importantes conxecturas que necesitan ser comprobadas.

Entre 1993 e 1994, Andrew Wiles deu unha demostración para o teorema da modularidade para curvas elípticas semiestables, que xunto co teorema de Ribet proporcionou unha proba para o último teorema de Fermat. Wiles anunciou por primeira vez a súa demostración en xuño de 1993 nunha versión que axiña se comprobou que tiña un problema nun punto clave. A demostración foi corrixida por Wiles, en parte en colaboración con Richard Taylor, e a versión final amplamente aceptada foi presentada en setembro de 1994 e publicada formalmente en 1995. A proba usa moitas técnicas da xeometría alxébrica e a teoría de números e ten moitas ramificacións nestas ramas das matemáticas. Tamén emprega construcións típicas da xeometría alxébrica moderna como a categoría dos esquemas e a teoría de Iwasawa, así como outras técnicas do século XX non dispoñibles para Fermat.

## Nocións básicas
### Fallo da factorización única
Unha propiedade importante do anel de enteiros é que satisfai o teorema fundamental da aritmética, 
que todo número enteiro (positivo) ten unha factorización nun produto de números primos, 
e esta factorización é única ata a ordenación dos factores. 
Isto pode non ser certo no anel de números enteiros  dun corpo numérico alxébrico .

Un *elemento primo* é un elemento  de  tal que se  divide un produto , 
entón divide un dos factores  ou . Esta propiedade está moi relacionada coa primalidade dos enteiros, 
porque calquera enteiro positivo que satisfaga esta propiedade é  ou un número primo. 
Non obstante, é estritamente unha condición máis débil. Por exemplo,  non é un número primo porque é negativo, 
mais é un elemento primo. Se se permiten factorizacións en elementos primos, daquela, mesmo en números enteiros, hai factorizacións alternativas como
:6 = 2 \cdot 3 = (-2) \cdot (-3).

En xeral, se  é unha unidade, é dicir un número cun inverso multiplicativo en , e se  é un elemento primo, daquela  tamén é un elemento primo. 
Números como  e  dise que son *asociados*. Nos números enteiros, os primos  e  están asociados, 
mais só un deles é positivo. Ao esixir que os números primos sexan positivos conseguimos un elemento único entre un conxunto de elementos primos asociados.
Cando *K* non son os números racionais, porén, non hai análogo de positividade. 
Por exemplo, nos números enteiros gaussianos , os números  e  son asociados porque o segundo é o produto do primeiro por , 
mais non hai forma de sinalar un deles como máis canónico que o outro. Isto leva a ecuacións como
:5 = (1 + 2i)(1 - 2i) = (2 + i)(2 - i),
que demostran que en , non é certo que as factorizacións sexan únicas ata a orde dos factores. 
Por este motivo, adoptamos a definición de factorización única usada nos dominios de factorización única (UFD). Nun UFD, só se espera que os elementos primos que se producen nunha factorización sexan únicos ata as unidades (elementos con multiplicativo inverso) e a súa ordenación.

No entanto, aínda con esta definición máis feble, moitos aneis de números enteiros en corpos numéricos alxébricos non admiten factorización única. 
Hai unha obstrución alxébrica chamada grupo de clases de ideais. Cando o grupo de clases de ideais é trivial, o anel é un UFD. 
Cando non o é, hai unha distinción entre un elemento primo e un elemento irredutible. Un *elemento irredutible*  é un elemento tal que se , entón ou  ou  é unha unidade. 
Son os elementos que non poden ser factorizados. 

Cada elemento en *O* admite unha factorización en elementos irredutibles, mais pode admitir máis dunha. 
Isto débese a que, aínda que todos os elementos primos son irredutibles, algúns elementos irredutibles poden non ser primos.
Por exemplo, considere o anel . Neste anel, os números ,  e  son irredutibles. Isto significa que o número  ten dúas factorizacións en elementos irredutibles,
:9 = 3^2 = (2 + \sqrt{-5})(2 - \sqrt{-5}).
Esta ecuación mostra que  divide o produto  . Se  fose un elemento primo, entón dividiría  ou , mais non o fai, porque todos os elementos divisibles por  teñen a forma . 
Do mesmo xeito,  e  dividen o produto , mais ningún destes elementos divide a , polo que ningún deles é primo. 
Como de ningún modo poden ser equivalentes os elementos ,  e , a factorización única falla en . 
A diferenza da situación coas unidades, onde a singularidade podería repararse debilitando a definición, superar este fallo require unha nova perspectiva.

### Factorización en ideais primos
Se  é un ideal en , sempre hai unha factorización
:I = \mathfrak{p}_1^{e_1} \cdots \mathfrak{p}_t^{e_t},
onde cada \mathfrak{p}_i é un ideal primo, e cumpre que é única ata a orde dos factores. 
En particular, isto é certo se  é o ideal principal xerado por un só elemento. 
Este é o sentido máis forte no que o anel de números enteiros dun corpo numérico xeral admite a factorización única. 
Na linguaxe da teoría de aneis, os aneis de enteiros son dominios de Dedekind.

Cando  é un UFD, cada ideal primo é xerado por un elemento primo. 
De non ser un  UFD hai ideais primos que non son xerados por elementos primos. 
En , por exemplo, o ideal  é un ideal primo que non pode ser xerado por un só elemento.

Historicamente, a idea de factorizar ideais en ideais primos foi precedida pola introdución de números ideais de Ernst Kummer. 
Estes son números que se atopan nun corpo de extensión  de . 
Este extensión do corpo coñécese agora como corpo de clase Hilbert. Polo teorema do ideal principal, todo ideal primo de  xera un ideal principal do anel de enteiros de . 
Un xerador deste ideal principal chámase número ideal. Kummer utilizou estes como substitutos no caso do fallo da factorización única nos corpos ciclotómicos. 
Finalmente levaron a Richard Dedekind a introducir un precursor dos ideais e a proporcionar unha factorización única dos ideais.

Un ideal que é primo no anel de números enteiros dun corpo numérico pode non ser primo cando se estende a un corpo numérico maior. 
Considere, por exemplo, os números primos. Os ideais correspondentes  son ideais primos do anel . 
Porén, cando este ideal se estende aos enteiros gaussianos para obter , pode ser primo ou non. Por exemplo, a factorización  implica que
:2 \mathbf{Z}[i] = (1 + i) \mathbf{Z}[i] \cdot (1 - i) \mathbf{Z}[i] = ((1 + i) \mathbf{Z}[i])^2;
teña en conta que como , entón os ideais xerados por  e  son iguais. 
Unha resposta completa á pregunta de cal son os ideais que permanecen primos nos enteiros de Gauss é proporcionada polo teorema de Fermat sobre as sumas de dous cadrados. 
Implica que para un número primo impar ,  é un ideal primo se  e non é un ideal primo se . 
Isto, xunta a observación de que o ideal  é primo, proporciona unha descrición completa dos ideais primos nos enteiros gaussianos. 
Xeneralizar este resultado sinxelo a aneis de números enteiros máis xerais é un problema básico na teoría alxébrica de números. 
A teoría de corpos de clases logra este obxectivo cando *K* é unha extensión abeliana de **Q** (é dicir, unha extensión de Galois con grupo de Galois abeliano ).

### Grupo de clases de ideais
A factorización única falla se e só se hai ideais primos que non poden ser principais. 
O obxecto que mide o fracaso dos ideais primos para ser principais chámase grupo de clase ideal. 
Definir o grupo de clase ideal require ampliar o conxunto de ideais nun anel de enteiros alxébricos para que admitan unha estrutura de grupo. 
Isto faise xeneralizando ideais a ideais fraccionais. 

Un ideal fraccional é un subgrupo aditivo  de  pechado pola multiplicación por elementos de , 
significando que  se . Todos os ideais de  tamén son ideais fraccionais. Se  e  son ideais fraccionais, entón o conxunto  de todos os produtos dun elemento en  e un elemento en  tamén é un ideal fraccional. 

Esta operación converte o conxunto de ideais fraccionais distintos de cero nun grupo. 

A identidade do grupo é o ideal , e a inversa de  é un (xeneralizado) cociente ideal :

:J^{-1} = (O:J) = \{x \in K: xJ \subseteq O\}.

Os principais ideais fraccionais, é dicir, os da forma  onde , 
forman un subgrupo do grupo de todos os ideais fraccionais distintos de cero. 
O cociente do grupo de ideais fraccionais distintos de cero deste subgrupo é o grupo de clase ideal. 
Dous ideais fraccionais  e  representan o mesmo elemento do grupo da clase ideal se e só se existe un elemento  
tal que . 
Polo tanto, o grupo de clase ideal fai que dous ideais fraccionais sexan equivalentes se un está tan preto de ser principal como o outro.
O grupo da clases de ideais denótase xeralmente como ,  ou  (na último notación identifícase co grupo de Picard en xeometría alxébrica).

O número de elementos do grupo de clases de ideais chámase **número de clase** de *K*. 
O número de clase de  é 2. 
Isto significa que só hai dúas clases ideais, a clase dos ideais fraccionais principais e a clase dun ideal fraccional non principal como .

O grupo de clases de ideais ten outra descrición en termos do divisors. Estes son obxectos formais que representan posibles factorizacións de números. O grupo divisor  defínese como o grupo abeliano libre xerado polos ideais primos de . Hai un homomorfismo de grupos desde  a , onde  son os elementos distintos de cero de  ata a multiplicación. Supoña que  satisfai
:(x) = \mathfrak{p}_1^{e_1} \cdots \mathfrak{p}_t^{e_t}.
Daquela  defínese como o divisor
:\operatorname{div} x = \sum _{i=1}^t e_i[\mathfrak{p}_i].
O kernel de  é o grupo de unidades en , mentres que o cokernel é o grupo de clases de ideais. 
Na linguaxe da álxebra homolóxica, isto di que hai unha secuencia exacta de grupos abelianos (escritos multiplicativamente),
:1 \to O^\times \to K^\times \xrightarrow{\text{div}} \operatorname{Div} K \to \operatorname{Cl} K \to 1.

### Insercións reais e complexas (embeddings)
Algúns corpos numéricos, como , pódense especificar como subcorpos dos números reais. 
Outros, como , non poden. 
En abstracto, tal especificación corresponde a un homomorfismo de corpo  ou . 
Estes chámanse **insercións reais** e **insercións complexas**, respectivamente.

Un corpo cuadrático real , con , e  non é un cadrado perfecto, chámase así porque admite dúas insercións reais mais non insercións complexas. Estes son os homomorfismos de corpo que envían  a  e a , respectivamente. Nun sentido similar, un corpo cuadrático imaxinario  non admite insercións reais mais admite un par conxugado de insercións complexas. Unha destas insercións envía  a , mentres que a outra envíao ao seu conxugado complexo, .

Convencionalmente, o número de insercións reais de  denomínase , mentres que o número de pares conxugados de insercións complexas denotase . A **sinatura** de *K* é o par . Existe un teorema onde vemos que  , sendo  o grao.

### Lugar
As insercións reais e complexas poden equipararse cos ideais primos adoptando unha perspectiva baseada nas valoracións. Consideremos, por exemplo, os números enteiros. 
Ademais da función habitual valor absoluto |·| : **Q** → **R**, hai funcións con valor absoluto p-ádico |·|p : **Q** → **R**, definidas para cada número primo *p*, que miden a divisibilidade por *p*.
O Teorema de Ostrowski afirma que estas son todas as funcións de valor absoluto posibles en **Q** (ata equivalencia). 
Polo tanto, os valores absolutos son unha linguaxe común para describir tanto os mergullos reais de **Q** como os números primos.

Un **lugar** dun corpo de números alxébricos é unha clase de equivalencia de funcións valor absoluto en *K*. Hai dous tipos de lugares. 
Hai un valor absoluto \mathfrak{p}-ádico para cada ideal primo \mathfrak{p} de *O* e, igual que os valores absolutos *p*-ádicos, mide a divisibilidade. Estes chámanse **lugares finitos**.
O outro tipo de lugar especifícase mediante un mergullo real ou complexo de **K** e a función de valor absoluto estándar en **R** ou **C**. Estes son **lugares infinitos**. 

Como os valores absolutos son incapaces de distinguir entre un mergullo complexo e o seu conxugado, un mergullo complexo e o seu conxugado determinan o mesmo lugar. 
Polo tanto, hai  lugares reais e  lugares complexos. 
Debido a que os lugares engloban os primos, ás veces denomínanse "primos". Cando se fai isto, os lugares finitos chámanse **primos finitos** e os lugares infinitos chámanse **primos infinitos**. 
Se  é unha valoración correspondente a un valor absoluto, entón adoita escribirse v \mid \infty para significar que  é un lugar infinito e v \nmid \infty para significar que é un lugar finito.

Considerando todos os lugares do corpo xuntos, prodúcese o anel de adeles (ou adélico) do corpo numérico. O anel de adeles permite rastrexar simultaneamente todos os datos dispoñibles utilizando valores absolutos. 
Isto produce vantaxes significativas en situacións nas que o comportamento nun lugar pode afectar o comportamento noutros lugares, como na Lei de reciprocidade de Artin.

### Unidades
Os números enteiros só teñen dúas unidades,  e , porque o resto de inversos pertencen aos racionais. 
Outros aneis de enteiros poden admitir máis unidades. Os enteiros gaussianos teñen catro unidades, as dúas anteriores así como . Os Enteiros de Eisenstein  teñen seis unidades.
Os números enteiros dos corpos de números cuadráticos reais teñen infinitamente moitas unidades. Por exemplo, en , cada potencia de  é unha unidade , e todos estas potencia son distintas.

En xeral, o grupo de unidades de , denotado , é un grupo abeliano finitamente xerado. 
O teorema fundamental dos grupos abelianos finitamente xerados implica, polo tanto, que é unha suma directa de elementos de torsión e de elementos libres. 
Reinterpretando isto no contexto dun corpo numérico, a parte de torsión consiste nas raíces da unidade que se atopan en . Este grupo é cíclico. 
A parte libre descríbese polo teorema das unidades de Dirichlet. Este teorema di que o rango da parte libre é . 
Así, por exemplo, os únicos corpos para os que o rango da parte libre é cero son  e os corpos cuadráticos imaxinarios. 
Tamén se pode dar outra definición para a estrutura de *O*× ⊗**Z** **Q** como un [[módulo de Galois] ] para o grupo de Galois de *K*/**Q**. 
page 78. The order of the class group is called the class number, and is often denoted by the letter *h*páxina 78. 

A orde do grupo de clases chámase número de clase, e a miúdo denótase coa letra *h*.

## Resultados Principais
### Finitude do grupo clase
Un dos resultados clásicos da teoría alxébrica de números é que o grupo de clases de ideais dun corpo numérico alxébrico *K* é finito.
Esta é unha consecuencia do límite de Minkowski xa que só hai un número finito de ideais enteiros cunha norma menor que un enteiro positivo fixo
 page 78. A orde do grupo de clases chámase número de clase, e a miúdo denótase coa letra *h*.

### Teorema da unidade de Dirichlet
O teorema da unidade de Dirichlet ofrece unha descrición da estrutura do grupo multiplicativo de unidades *O*× do anel de enteiros *O*.

### Leis de reciprocidade
En termos do símbolo de Legendre, a lei da reciprocidade cadrática para primos impares positivos estabelece
: \left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}.

Unha **lei de reciprocidade** é unha xeneralización da lei da reciprocidade cadrática.

Hilbert reformula as leis de reciprocidade dicindo que un produto sobre *p* dos símbolos de Hilbert (*a*, *b*/*p*), que toman valores nas raíces da unidade, 
é igual a 1. 

A Lei de reciprocidade de Artin afirma que o símbolo de Artin desde ideais (ou ideles) até elementos dun grupo de Galois é trivial nun determinado subgrupo.

### Fórmula do número de clase
A **fórmula do número de clase** relaciona moitas invariantes importantes dun corpo numérico cun valor especial da súa función zeta de Dedekind.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Kenneth Ireland e Michael Rosen, "A Classical Introduction to Modern Number Theory, Second Edition", Springer-Verlag, 1990
* Ian Stewart e David O. Tall, "Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem," A. K. Peters, 2002
* Daniel A. Marcus, "Number Fields"
*
*
*