Categoría (matemáticas)

miniatura|Categoría formada por unha colección de tres obxectos: *A*, *B*, *C* e unha colección de morfismos denotados por *f*, *g*, e g&nbsp;∘&nbsp;f; os lazos son identidades.
En teoría de categorías, unha **categoría** é unha estrutura alxébrica que consta dunha colección de *obxectos*, conectados uns con outros mediante *frechas* tales que se cumpren as seguintes propiedades básicas: as frechas pódense compor unhas con outras de maneira asociativa, e para cada obxecto existe unha frecha que se comporta como un elemento neutro baixo a composición.

Un exemplo clásico é a categoría de conxuntos, no que os obxectos son conxuntos e as frechas son as funcións, e onde a composición de frechas é a composición usual de funcións. En xeral, os obxectos e as frechas poden ser obxectos abstractos de calquera tipo, e a noción de categoría prové dunha maneira abstracta e fundamental para describir entidades matemáticas e as súas relacións. Esta é a idea central da teoría de categorías, unha rama das matemáticas que busca xeneralizar todas as demais teorías matemáticas en termos de obxectos e frechas. Practicamente calquera rama das matemáticas modernas pódese describir en termos de categorías, e mediante esta descrición é común que se revelen propiedades e similitudes moi profundas entre áreas aparentemente distintas.

Dúas categorías son iguais se teñen a mesma colección de obxectos, a mesma colección de frechas, e a mesma forma asociativa de compor frechas. Dúas categorías tamén se poden considerar equivalentes mesmo se non son precisamente a mesma. Moitas categorías moi cotiás denótanse comunmente cunha abreviación do tipo dos seus obxectos, por exemplo: **Con** refírese á categoría de conxuntos, **Top** refírese á categoría de espazos topolóxicos, **Ab** refírese á categoría de grupos abelianos etc.

## Definición 
Hai varias definicións equivalentes dunha categoría. A máis habitual é a seguinte: unha categoría **C** consta de:
* unha clase ob(**C**) de **obxectos**
* para cada par de obxectos *A*, *B* en ob(**C**) un conxunto **C**(A,B) de **frechas** ou morfismos de *A* a *B*.
* para cada terna de obxe*c*tos *A*, *B*, *C* de **C** unha función ∘:**C**(A,B)×**C**(B,C)→**C**(A,C) onde ∘(*f*,*g*) se denota *g*&nbsp;∘&nbsp;*f*.
Ademais, os seguintes axiomas deben ser certos:
* Asociatividade: para calquera terna de frechas *f*, *g*, *h* cúmprese que *h*&nbsp;∘&nbsp;(*g*&nbsp;∘&nbsp;*f*)=(*h*&nbsp;∘&nbsp;*g*)&nbsp;∘&nbsp;*f*, se é que estas composicións están definidas.
* Identidade: para todo obxecto *A* en ob(**C**) existe unha frecha en **C**(*A*,*A*) comunmente denotada 1A tal que para toda frecha *f* en **C**(*A*;*B*) *f*=1B&nbsp;∘&nbsp;*f* e *f*=*f*&nbsp;∘&nbsp;1A.
Destes axiomas pódese deducir facilmente que existe unha única frecha identidade para cada obxecto.

## Historia 
A noción de categoría, e en xeral, as primeiras nocións de teoría de categorías, apareceron por primeira vez en 1945 nun artigo de Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane chamado "*General Theory of Natural Equivalences*" (*Teoría xeral das equivalencias naturais*).

## Exemplos 
* A categoría **Con** é aquela que ten como obxectos todos os conxuntos e se A e B son conxuntos, entón **Con**(A,B) é o conxunto de funcións con dominio A e codominio B. Esta é a categoría máis comunmente empregada nas matemáticas.
* Calquera clase pode ser vista como unha categoría que so ten como morfismos os morfismos identidade. Chámanse categorías discretas e son o tipo máis simple de categoría.
* Carquer conxunto preordenado (*P*, ≤) forma unha categoría na que os obxectos son os elementos de *P* e os morfismos as frechas que van de *x* a *y* cando *x* ≤ *y*.
* Calquera monoide, grupo e grupoide poden considerarse categorías.
125px|miniatura|Grafo orientado
* Un grafo orientado xera unha categoría: os obxectos son os vértices do grafo e os morfismos os camiños do grafo. A composición dos morfismos é a concatenación de camiños.

## Construción de novas categorías 
### Categoría dual 
Calquera categoría *C* pode ser considerada unha nova categoría cunha forma diferente: os obxectos son os mesmos que na categoría orixinal pero as frechas son as que estaban na categoría orixinal invertidas. Chámase categoría dual ou oposta e denótase *C*op.

### Categorías produto 
Se *C* e *D* son categorías, pódese construír a categoría produto *C*&nbsp;×&nbsp;*D*: os obxectos son pares que consisten nun obxecto de *C* e outro de *D*, e os morfismos son tamén pares que consisten nun morfismo de *C* e outro de *D*. Estes pares poden tamén comporse.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*  (now free on-line edition, GNU FDL).
* .
* .
* . 
* .
* .
* .
* .
* .
* .
* .
### Outros artigos 
* Categoría enriquecida
* Teoría de categorías de orde superior