Lista de identidades trigonométricas

En trigonometría, **as identidades trigonométricas** son igualdades que implican funcións trigonométricas e son verdadeiras para cada valor das variábeis que se producen para as que se definen ambos os dous lados da igualdade. Xeométricamente, estas son identidades que implican certas funcións dun ou máis ángulos. Son distintas das identidades de triángulos, que son identidades que poden implicar ángulos mais que tamén inclúen lonxitudes de lados ou outras lonxitudes dun triángulo.

## Identidades pitagóricas 
miniatura|400x400px| O triángulo sombreado en azul ilustra a identidade 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta, e o triángulo vermello mostra que \tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta .
A relación básica entre o seno e o coseno vén dada pola identidade pitagórica:

: \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1,

onde \sin^2 \theta significa (\sin \theta)^2 e \cos^2 \theta significa (\cos \theta)^2.

Isto pódese ver como unha versión do teorema de Pitágoras, e dedúcese a partir da ecuación x^2 + y^2 = 1 para a circunferencia unitaria. Esta ecuación pódese resolver tanto para o seno como para o coseno:

: \begin{align}
\sin\theta &= \pm \sqrt{1 - \cos^2\theta}, \\
\cos\theta &= \pm \sqrt{1 - \sin^2\theta}.
\end{align}

onde o signo depende do cuadrante de \theta.

Dividindo esta identidade por \sin^2 \theta, \cos^2 \theta, ou ambos os dous, proporcionan as seguintes identidades: 
: \begin{align}
&1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta \\
&1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta \\
&\sec^2\theta + \csc^2\theta = \sec^2\theta\csc^2\theta
\end{align}

Usando estas identidades, é posíbel expresar calquera función trigonométrica en termos de calquera outra (ata un signo máis ou menos):

## Reflexións, desprazamentos e periodicidade 
Examinando a circunferencia unitaria, pódense estabelecer as seguintes propiedades das funcións trigonométricas.

### Reflexións 
Se unha liña (vector) con dirección \theta reflíctese sobre unha liña con dirección \alpha, daquela o ángulo de dirección \theta^{\prime} desta liña reflectida (vector) ten o valor 
: \theta^{\prime} = 2 \alpha - \theta.

Os valores das funcións trigonométricas destes ángulos \theta,\;\theta^{\prime} para ángulos específicos \alpha satisfán identidades simples: ou son iguais, ou teñen signos opostos, ou empregan a función trigonométrica complementaria. Tamén se coñecen como fórmulas de redución ().

### Desprazamentos e periodicidade 
### Signos 
O signo das funcións trigonométricas depende do cuadrante do ángulo. Se {-\pi}  e  é a función signo,

:\begin{align}
\sgn(\sin \theta) = \sgn(\csc \theta) &= \begin{cases}
 +1 & \text{if}\ \ 0 

As funcións trigonométricas son periódicas con período común 2\pi, polo que para valores de  fóra do intervalo ({-\pi}, \pi], toman valores repetitivos.

## Identidades de suma e diferenza de ángulos 
miniatura| Ilustración de fórmulas de suma de ángulos para o seno e o coseno dos ángulos agudos. O segmento enfatizado é de lonxitude unidade.
Estes tamén se coñecen como fórmulas da suma de ángulos. 
:\begin{align}
\sin(\alpha + \beta) &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\
\sin(\alpha - \beta) &= \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \\
\cos(\alpha + \beta) &= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ 
\cos(\alpha - \beta) &= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta
\end{align}

Estas identidades resúmense nas dúas primeiras filas da seguinte táboa, que tamén inclúe identidades de suma e diferenza para as outras funcións trigonométricas.

## Fórmulas de ángulos múltiples e ángulos metade 
### Fórmulas de ángulos múltiples 
#### Fórmulas de ángulo duplo 
Fórmulas para dúas veces un ángulo. 
* \sin (2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta = (\sin \theta +\cos \theta)^2 - 1 = \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta}
* \cos (2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta = \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta}
* \tan (2\theta) = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}
* \cot (2\theta) = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta} = \frac{1 - \tan^2 \theta} {2 \tan \theta}
* \sec (2\theta) = \frac{\sec^2 \theta}{2 - \sec^2 \theta} = \frac{1 + \tan^2 \theta} {1 - \tan^2 \theta}
* \csc (2\theta) = \frac{\sec \theta \csc \theta}{2} = \frac{1 + \tan^2 \theta} {2 \tan \theta}

#### Fórmulas de ángulos múltiples 
: \begin{align}
  \sin(n\theta) &= \sum_{k\text{ impar}} (-1)^\frac{k-1}{2} {n \choose k}\cos^{n-k} \theta \sin^k \theta =
  \sin\theta\sum_{i=0}^{(n+1)/2}\sum_{j=0}^{i} (-1)^{i-j} {n \choose 2i + 1}{i \choose j}
  \cos^{n-2(i-j)-1} \theta \\
  {}&=\sin(\theta)\cdot\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor}(-1)^k\cdot {(2\cdot \cos(\theta))}^{n-2k-1}\cdot {n-k-1 \choose k} \\
  {}&=2^{(n-1)} \prod_{k=0}^{n-1} \sin(k\pi/n+\theta)
  \end{align}

:  \begin{align}\cos(n\theta) &= \sum_{k\text{ par}} (-1)^\frac{k}{2} {n \choose k}\cos^{n-k} \theta \sin^k \theta =
  \sum_{i=0}^{n/2}\sum_{j=0}^{i} (-1)^{i-j} {n \choose 2i}{i \choose j} \cos^{n-2(i-j)} \theta \\
{} &= \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} (-1)^k\cdot {(2\cdot \cos(\theta))}^{n-2k}\cdot {n-k \choose k}\cdot\frac{n}{2n-2k}
  \end{align}

* \cos((2n+1)\theta)=(-1)^n 2^{2n}\prod_{k=0}^{2n}\cos(k\pi/(2n+1)-\theta)
* \cos(2 n \theta)=(-1)^n 2^{2n-1} \prod_{k=0}^{2n-1} \cos((1+2k)\pi/(4n)-\theta)
* \tan(n\theta) = \frac{\sum_{k\text{ impar}} (-1)^\frac{k-1}{2} {n \choose k}\tan^k \theta}{\sum_{k\text{ par}} (-1)^\frac{k}{2} {n \choose k}\tan^k \theta} 

#### Método de Chebyshev 
O método Chebyshev é un algoritmo recursivo para atopar a fórmula -ésima de ángulos múltiples coñecendo os valores de multiplicidade (n-1) e (n-2).

Así \cos(nx) pódese calcular a partir de \cos((n-1)x), \cos((n-2)x), e \cos(x) con

: \cos(nx)=2 \cos x \cos((n-1)x) - \cos((n-2)x).

Dedúcese por indución que \cos(nx) é un polinomio de \cos x, o chamado polinomio de Chebyshev do primeiro tipo, véxase Polinomios de Chebyshev.

Similarmente
: \sin(nx)=2 \cos x \sin((n-1)x) - \sin((n-2)x).

### Fórmulas de ángulo métade 
: \begin{align}
\sin \frac{\theta}{2} &= \sgn\left(\sin\frac\theta2\right) \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} \\[3pt]

\cos \frac{\theta}{2} &= \sgn\left(\cos\frac\theta2\right) \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} \\[3pt]

\tan \frac{\theta}{2}
&= \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}
= \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}
= \csc \theta - \cot \theta
= \frac{\tan\theta}{1 + \sec{\theta}} \\[6mu]

&= \sgn(\sin \theta) \sqrt\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}
= \frac{-1 + \sgn(\cos \theta) \sqrt{1+\tan^2\theta}}{\tan\theta} \\[3pt]

\cot \frac{\theta}{2}
&= \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}
= \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta}
= \csc \theta + \cot \theta
= \sgn(\sin \theta) \sqrt\frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta} \\

\sec \frac{\theta}{2}
&= \sgn\left(\cos\frac\theta2\right) \sqrt{\frac{2}{1 + \cos\theta}} \\

\csc \frac{\theta}{2}
&= \sgn\left(\sin\frac\theta2\right) \sqrt{\frac{2}{1 - \cos\theta}} \\

\end{align}  

## Fórmulas de redución de potencias 
Obtido resolvendo a segunda e terceira versións da fórmula do ángulo duplo do coseno.

## Identidades produto a suma e suma a produto 
### Identidades produto a suma 
: \begin{align}
\cos \theta\, \cos \varphi &= \tfrac12\bigl(\!\!~\cos(\theta - \varphi) + \cos(\theta + \varphi)\bigr) \\[3mu]
\sin \theta\, \sin \varphi &= \tfrac12\bigl(\!\!~\cos(\theta - \varphi) - \cos(\theta + \varphi)\bigr) \\[3mu]
\sin \theta\, \cos \varphi &= \tfrac12\bigl(\!\!~\sin(\theta + \varphi) + \sin(\theta - \varphi)\bigr) \\[3mu]
\cos \theta\, \sin \varphi &= \tfrac12\bigl(\!\!~\sin(\theta + \varphi) - \sin(\theta - \varphi)\bigr)
\end{align}

* \tan \theta\, \tan \varphi =\frac{\cos(\theta-\varphi)-\cos(\theta+\varphi)}{\cos(\theta-\varphi)+\cos(\theta+\varphi)}
* \tan \theta\, \cot \varphi = \frac{\sin(\theta + \varphi) + \sin(\theta - \varphi)}{\sin(\theta + \varphi) - \sin(\theta - \varphi)}
* \begin{align} \prod_{k=1}^n \cos \theta_k & = \frac{1}{2^n}\sum_{e\in S} \cos(e_1\theta_1+\cdots+e_n\theta_n) \\[6pt]
  & \text{where }e = (e_1,\ldots,e_n) \in S=\{1,-1\}^n
\end{align}
* 
\prod_{k=1}^n \sin\theta_k=\frac{(-1)^{\left\lfloor\frac
        {n}{2}\right\rfloor}}{2^n}\begin{cases}
  \displaystyle\sum_{e\in S}\cos(e_1\theta_1+\cdots+e_n\theta_n)\prod_{j=1}^n e_j \;\text{if}\; n\; \text{is even},\\
  \displaystyle\sum_{e\in S}\sin(e_1\theta_1+\cdots+e_n\theta_n)\prod_{j=1}^n e_j \;\text{if}\; n\; \text{is odd}
  \end{cases}

### Identidades suma a produto 
As identidades de suma a produto son as seguintes: 
* \sin \theta \pm \sin \varphi = 2 \sin\left( \frac{\theta \pm \varphi}{2} \right) \cos\left( \frac{\theta \mp \varphi}{2} \right)
* \cos \theta + \cos \varphi = 2 \cos\left( \frac{\theta + \varphi} {2} \right) \cos\left( \frac{\theta - \varphi}{2} \right)
* \cos \theta - \cos \varphi = -2\sin\left( \frac{\theta + \varphi}{2}\right) \sin\left(\frac{\theta - \varphi}{2}\right)
* \tan\theta\pm\tan\varphi=\frac{\sin(\theta\pm \varphi)}{\cos\theta\,\cos\varphi} 

## Relación coa función exponencial complexa 
A fórmula de Euler indica que, para calquera número real *x*:  
: e^{ix} = \cos x + i\sin x,onde *i* é a unidade imaxinaria. Substituíndo *−x* por *x* dános: 
: e^{-ix} = \cos(-x) + i\sin(-x) = \cos x - i\sin x.

Estas dúas ecuacións pódense usar para resolver o coseno e o seno en termos da función exponencial. En concreto,   
:\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}
:\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}

Estas fórmulas son útiles para demostrar moitas outras identidades trigonométricas. Por exemplo, que  significa que

:.

Que a parte real do lado esquerdo sexa igual á parte real do lado dereito é unha fórmula de suma de ángulos para o coseno. A igualdade das partes imaxinarias dá unha fórmula de suma de ángulos para o seno.

A seguinte táboa expresa as funcións trigonométricas e as súas inversas en función da función exponencial e do logaritmo complexo.

Nota: **cis** é unha notación que indica *coseno* e a parte imaxinaria (i) para o *seno*.

## Relación con funcións hiperbólicas complexas 
As funcións trigonométricas pódense deducir de funcións hiperbólicas con argumentos complexos. As fórmulas para as relacións móstranse a continuación 
: \begin{align}
\sin x &= -i \sinh (ix) \\
\cos x &= \cosh (ix) \\
\tan x &= -i \tanh (i x) \\
\cot x &= i \coth (i x) \\
\sec x &= \operatorname{sech} (i x) \\
\csc x &= i \operatorname{csch} (i x) \\
\end{align}

## Expansión en series 
Cando se utiliza unha expansión de serie de potencias para definir funcións trigonométricas, obtéñense as seguintes identidades: 

: \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},
:\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}.

## Fórmulas infinitas de produtos 
Para aplicacións con funcións especiais, son útiles as seguintes fórmulas de produtos infinitos para funcións trigonométricas.  

: \begin{align}
&\text{Funcións trigonométricas circulares:}\\
  \sin x &= x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right), &
  \cos x &=  \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2\left(n - \frac{1}{2}\right)\!\vphantom)^2}\right). \\
[10mu]
&\text{Funcións trigonométricas hiperbólicas:}\\
[10mu]
 \sinh x &= x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right), &
 \cosh x &=  \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2\left(n - \frac{1}{2}\right)\!\vphantom)^2}\right).
\end{align}

## Funcións trigonométricas inversas 
As seguintes identidades dan o resultado de compoñer unha función trigonométrica cunha función trigonométrica inversa.

: 
\begin{align}
  \sin(\arcsin x) &=x
& \cos(\arcsin x) &=\sqrt{1-x^2}
& \tan(\arcsin x) &=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}
\\
  \sin(\arccos x) &=\sqrt{1-x^2}
& \cos(\arccos x) &=x
& \tan(\arccos x) &=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}
\\
  \sin(\arctan x) &=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
& \cos(\arctan x) &=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}
& \tan(\arctan x) &=x
\\
  \sin(\arccsc x) &=\frac{1}{x}
& \cos(\arccsc x) &=\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}
& \tan(\arccsc x) &=\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}
\\
  \sin(\arcsec x) &=\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}
& \cos(\arcsec x) &=\frac{1}{x}
& \tan(\arcsec x) &=\sqrt{x^2 - 1}
\\
  \sin(\arccot x) &=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}
& \cos(\arccot x) &=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
& \tan(\arccot x) &=\frac{1}{x}
\\
\end{align}

Tomando o inverso multiplicativo de ambos os dous lados de cada ecuación anterior resultan as ecuacións para \csc = \frac{1}{\sin}, \;\sec = \frac{1}{\cos}, \text{ and } \cot = \frac{1}{\tan}.

O lado dereito da fórmula anterior sempre se invertirá.
Por exemplo, a ecuación para \cot(\arcsin x) é:
: \cot(\arcsin x) = \frac{1}{\tan(\arcsin x)} = \frac{1}{\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}} = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}
mentres que as ecuacións para \csc(\arccos x) e \sec(\arccos x) son:
:\csc(\arccos x) = \frac{1}{\sin(\arccos x)} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
: \sec(\arccos x) = \frac{1}{\cos(\arccos x)} = \frac{1}{x}.

As seguintes identidades están implicadas polas identidades de reflexión. Mantéñense sempre que x, r, s, -x, -r, \text{ e } -s estean nos dominios das funcións relevantes.
:\begin{alignat}{9}
\frac{\pi}{2} ~&=~ \arcsin(x) &&+ \arccos(x) ~&&=~ \arctan(r) &&+ \arccot(r) ~&&=~ \arcsec(s) &&+ \arccsc(s) \\[0.4ex]
\pi ~&=~ \arccos(x) &&+ \arccos(-x) ~&&=~ \arccot(r) &&+ \arccot(-r) ~&&=~ \arcsec(s) &&+ \arcsec(-s) \\[0.4ex]
0 ~&=~ \arcsin(x) &&+ \arcsin(-x) ~&&=~ \arctan(r) &&+ \arctan(-r) ~&&=~ \arccsc(s) &&+ \arccsc(-s) \\[1.0ex]
\end{alignat}

Tamén ,
: \begin{align}
\arctan x + \arctan \dfrac{1}{x}
&= \begin{cases}
   \frac{\pi}{2},  & \text{se } x > 0 \\
 - \frac{\pi}{2},  & \text{se } x  0 \\
   \frac{3\pi}{2}, & \text{se } x 
: \arccos \frac{1}{x} = \arcsec x \qquad \text{ e } \qquad \arcsec \frac{1}{x} = \arccos x
: \arcsin \frac{1}{x} = \arccsc x \qquad \text{ e } \qquad \arccsc \frac{1}{x} = \arcsin x

A función arcotanxente pódese expandir como unha serie:
: 
\arctan(nx) = \sum_{m = 1}^n \arctan\frac{x}{1 + (m - 1)mx^2}

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
### Outros artigos 
* Trigonometría.
* Lei dos senos.
* Teorema de Ptolomeo
* Función hiperbólica
### Ligazóns externas 
* Valores de sin e cos, expresado en xordos (raíz non resolvida), para múltiplo de enteiros de 3° e de °, e para os mesmos ángulos csc and sec e tan