Segundo axioma de numerabilidade

En topoloxía, un **segundo espazo numerábel**, tamén chamado **espazo completamente separábel**, é un espazo topolóxico cuxa topoloxía ten unha base numerábel. Máis explicitamente, un espazo topolóxico T é segundo numerábel se existe algunha colección numerábel \mathcal{U} = \{U_i\}_{i=1}^{\infty} de subconxuntos abertos de T tal que calquera subconxunto aberto de T pódese escribir como unha unión de elementos dalgunha subfamilia de \mathcal{U}. Dise que un segundo espazo numerábel satisfai o **segundo axioma de numerabilidade**. Como outros axiomas de numerabilidade, a propiedade de ser segundo numerábel restrinxe o número de conxuntos abertos que pode ter un espazo.

Moitos espazos con "bo comportamento" en matemáticas son segundos numerábeis. Por exemplo, o espazo euclidiano (**R***n*) coa súa topoloxía habitual é segundo numerábel. Aínda que a base habitual das bólas abertas é non numerábel, pódese limitar á colección de todas as bólas abertas con raios racionais e cuxos centros teñen coordenadas racionais. Este conxunto restrinxido é numerábel e aínda forma unha base.

## Propiedades 
A segunda numerabilidade é unha noción máis forte que a primeira numerabilidade. Un espazo é primeiro numerábel se cada punto ten unha base local numerábel. Dada unha base para unha topoloxía e un punto *x*, o conxunto de todos os conxuntos de bases que conteñen *x* forma unha base local en *x* . Así, se temos unha base numerábel para unha topoloxía, entón ten unha base local numerábel en cada punto e, polo tanto, cada espazo segundo numerábel é tamén un espazo primeiro numerábel. No entanto, calquera espazo discreto non numerábel é primeiro numerábel mais non segundo numerábel.

A segunda numerabelidade implica outras propiedades topolóxicas. En concreto, cada espazo segundo numerábel é separábel (contén un subconxunto denso numerábel) e Lindelöf (toda cuberta aberta ten unha subcuberta contábel). As implicacións inversas non valen. Por exemplo, a topoloxía de límite inferior na liña real é primeiro numerábel, separábel e Lindelöf, mais non segundo numerábel. Porén, para os espazos métricos, as propiedades de ser segundo numerábeis, separábeis e Lindelöf son todas equivalentes. Polo tanto, a topoloxía de límite inferior na liña real non é metrizábel.

Nos espazos segundo numerábeis, como nos espazos métricos, a compacidade, a compacidade secuencial e a compacidade numerábel son propiedades equivalentes.

O teorema de metrización de Urysohn afirma que todo espazo regular de Hausdorff segundo numerábel é metrizábel. Polo tanto, cada un destes espazos é completamente normal e tamén paracompacto. Ser segundo numerábel é, polo tanto, unha propiedade bastante restritiva nun espazo topolóxico, que require só un axioma de separación para implicar metrizabilidade.

### Outras propiedades 
* Unha imaxe continua e aberta dun espazo segundo segundo numerábel é segundo numerábel.
* Cada subespazo dun espazo segundo numerábel é segundo numerábel.
* Os cocientes dos espazos segundos numerábeis non teñen por que ser segundo numerábeis; con todo, os cocientes *abertos* sempre o son.
* Calquera produto numerábel dun segundo espazo numerábel é segundo numerábel. Os produtos non numerábeis non teñen por que ser numerábeis.
* A topoloxía dun espazo segundo numerábel T1 ten cardinalidade menor ou igual a *c* (a cardinalidade do continuo).
* Calquera base para un espazo segundo numerábel  ten unha subfamilia numerábel que aínda é unha base.
* Cada colección de conxuntos abertos disxuntos nun espazo segundo numerábel é numerábel.

## Exemplos 
* Considere a unión numerábel disxunta  X = [0,1] \cup [2,3] \cup [4,5] \cup \dots \cup [2k, 2k+1] \cup \dotsb . Definamos unha relación de equivalencia e unha topoloxía cociente identificando os extremos esquerdos dos intervalos, é dicir, identifique 0 ~ 2 ~ 4 ~ ... ~ 2k, etc. *X* é segundo numerábel, como unha unión numerábel de espazos segundo  numerábeis. Porén, *X* /~ non é primeiro numerábel na clase dos puntos identificados e, polo tanto, tampouco non é o segundo numerábel.
* O espazo anterior non é homeomórfico ao mesmo conxunto de clases de equivalencia dotadas da métrica obvia: é dicir, a distancia euclidiana regular para dous puntos no mesmo intervalo, e a suma das distancias ao punto da esquerda para os puntos que non están no mesmo intervalo;  dando unha topoloxía estritamente máis grosa que o espazo anterior. É un espazo métrico separábel (considere o conxunto de puntos racionais) e, polo tanto, é segundo numerábel.
* A liña longa non é segundo numerábel, senón que é primeiro numerábel.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Stephen Willard, *General Topology*, (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts. 
* John G. Hocking and Gail S. Young (1961). *Topology.* Corrected reprint, Dover, 1988.  
### Outros artigos 
* Espazo primeiro numerábel.