Teorema do número pentagonal

En matemáticas, **o teorema do número pentagonal** de Euler relaciona as representacións de produtos e series da función de Euler. Afirma que

: \prod_{n=1}^{\infty}\left(1-x^{n}\right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(-1\right)^{k}x^{k\left(3k-1\right)/2}=1+\sum_{k=1}^\infty(-1)^k\left(x^{k(3k+1)/2}+x^{k(3k-1)/2}\right).

Noutras palabras,

: (1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} - \cdots.

Os expoñentes 1, 2, 5, 7, 12,... no lado dereito están dadas pola fórmula  para *k* = 1, −1, 2, −2, 3, ... e chámanse números pentagonais (xeneralizados) . (O termo constante 1 corresponde a k=0) Isto cúmprese como identidade da serie de potencias converxentes para |x|, e tamén como unha identidade de serie formal de potencias.

## Relación coas particións 
A identidade implica unha recorrencia para o cálculo p(n), o número de particións de *n*:

: p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+\cdots

ou máis formalmente,

: p(n)=\sum_{k\neq 0} (-1)^{k-1}p(n-g_k)

onde a suma é sobre todos os enteiros *k* (positivos e negativos) distintos de cero e g_k  é o *k-ésimo* número pentagonal xeneralizado. Posto que p(n)=0 para todos os n, a serie aparentemente infinita da dereita ten só un número finito de termos distintos de cero, o que permite un cálculo eficiente de *p* (*n*).

## Recorrencia da partición 
Usando particións dun enteiro, que denotamos como:
n = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_\ell,
onde \lambda_1\geq \lambda_2\geq\ldots\geq\lambda_\ell > 0.
O número de particións de *n* é a función de partición *p*(*n*) que ten a función xeradora:

:\sum_{n=0}^\infty p(n) x^n = \prod_{k=1}^\infty (1 - x^k)^{-1}

Teña en conta que é o recíproco do produto no lado esquerdo da nosa identidade:

: \left( \sum_{n=0}^\infty p(n) x^n \right) \cdot \left(\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)\right)
 = 1 

Denotemos a expansión do noso produto por  \prod_{n=1}^\infty (1-x^n) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n, así

:  \left( \sum_{n=0}^\infty p(n) x^n \right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\right) = 1. 

Multiplicando o lado esquerdo e igualando os coeficientes dos dous lados, obtemos *a*0 *p*(0) = 1 e \sum_{i=0}^n p(n-i) a_i = 0 para todos os n\geq 1. Isto dá unha relación de recorrencia que define *p*(*n*) en termos de *an*, e viceversa unha recorrencia para *an* en termos de *p*(*n*). Daquela o noso resultado desexado:

: a_i := \begin{cases}1 & \text{ se } i = \frac{1}{2}(3k^2 \pm k) \text{ e } k \text{ par}\\
       -1 & \text{ se } i = \frac{1}{2}(3k^2 \pm k) \text{ e } k \text{ impar }\\
       0 & \text{ noutro caso }\end{cases}

para i\geq 1 é equivalente á identidade \sum_i (-1)^i p(n-g_i) = 0, onde g_i := \textstyle\frac{1}{2}(3i^2-i) e *i* varía sobre todos os números enteiros tal que g_i \leq n (este intervalo inclúe tanto i positivo como negativo, para usar ambos os tipos de números pentagonais xeneralizados). Isto á súa vez significa:

: \sum_{i \mathrm{\ par}} p(n-g_i) = \sum_{i \mathrm{\ impar}} p(n-g_i).

En termos de conxuntos de particións, isto equivale a dicir que os seguintes conxuntos son de igual cardinalidade:

: \mathcal{X} := \bigcup_{i \mathrm{\ par}} \mathcal{P}(n-g_i)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;e&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;\mathcal{Y} := \bigcup_{i \text{ impar }} \mathcal{P}(n-g_i),

onde \mathcal{P}(n) denota o conxunto de todas as particións de n. Só falta dar unha bixección dun conxunto a outro, que se realiza mediante a función *φ* de *X* a *Y* que mapea a partición. \mathcal{P}(n-g_i) \ni \lambda : n-g_i = \lambda_1 + \lambda_2 + \dotsb + \lambda_\ell á partición \lambda' = \varphi(\lambda) definido por:

:  \varphi(\lambda) := 
\begin{cases}
\lambda' : n - g_{i-1} = (\ell + 3i -2) + (\lambda_1 - 1) + \dotsb + (\lambda_\ell - 1) &\text{ se } \ell+3i > \lambda_1\\
\\
\lambda' : n - g_{i+1} = (\lambda_2 + 1) + \dotsb + (\lambda_\ell + 1) + \underbrace{1+\dotsb+1}_{\lambda_1 - \ell - 3i} &\text{ se } \ell+3i \leq \lambda_1.
\end{cases}

Trátase dunha involución (un mapeo auto-inverso), e polo tanto en particular unha bixección, que proba a nosa premisa e a identidade.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
* Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008) [1938]. An Introduction to the Theory of Numbers. Revised by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. (6th ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. MR 2445243. Zbl 1159.11001.

### Outros artigos 
* Produto triplo de Jacobi.

### Ligazóns externas 
* 
* On Euler's Pentagonal Theorem at MathPages
*  a(n) = number of partitions of n (the partition numbers)}}
* De mirabilis proprietatibus numerorum pentagonalium at Scholarly Commons.