Matriz triangular

En álxebra linear, unha **matriz triangular** é unha clase especial de matriz cadrada. Unha matriz cadrada é chamada **triangular inferior** se todas as entradas *por riba* da diagonal principal son nulos. De xeito semellante, unha matriz cadrada é chamada **triangular superior**  se todas as entradas *por debaixo* da diagonal principal son nulos. Unha matriz triangular é unha matriz dun dos dous tipos, ou é triangular superior ou triangular inferior. Unha matriz que é de ámbolos tipos coñécese como matriz diagonal.

Como as ecuacións matriciais con matrices triangulares son doadas de resolver, estas matrices teñen moita importancia na análise numérica. Polo algoritmo de descomposición LU, unha matriz invertíbel pode ser escrita como o produto dunha matriz triangular inferior *L* e unha matriz triangular superior *U*, se e só se todos os seus menores principais son non nulos.

## Descrición 
Unha matriz da forma

: L = \begin{bmatrix}
  \ell_{1,1} &            &        &              &          0 \\
  \ell_{2,1} & \ell_{2,2} &        &              &            \\
  \ell_{3,1} & \ell_{3,2} & \ddots &              &            \\
      \vdots &     \vdots & \ddots &       \ddots &            \\
  \ell_{n,1} & \ell_{n,2} & \ldots & \ell_{n,n-1} & \ell_{n,n}
\end{bmatrix}

é chamada un **matriz triangular inferior** ou **matriz triangular esquerda**. Do mesmo xeito, unha matriz da forma

: U = \begin{bmatrix}
  u_{1,1} & u_{1,2} & u_{1,3} & \ldots &   u_{1,n} \\
          & u_{2,2} & u_{2,3} & \ldots &   u_{2,n} \\
          &         &  \ddots & \ddots &    \vdots \\
          &         &         & \ddots & u_{n-1,n} \\
        0 &         &         &        &   u_{n,n}
\end{bmatrix}

é chamada unha **matriz triangular superior** ou **matriz triangular dereita**. Adóitase empregar a variábel *L* para denotar unha matriz triangular inferior, e as variábeis *U* ou *R* para denotar unha matriz triangular superior.

Unha matriz que é triangular superior e inferior dise que é diagonal. As matrices que son semellantes (*A* e *B* son semellantes se *A=M-1BM* para algunha matriz M) a unha matriz triangular chámanse **triangularizábeis**.

A triangularidade superior é preservada por moitas operacións:

* A suma de dúas matrices triangulares superior é triangular superior.
* O produto de dúas matrices triangulares superior é triangular superior.
* O inversa dunha triangular superior, de existir, é triangular superior.
* O produto dunha triangulares superior e un escalar é triangular superior.

Xunto estes feitos significan que as matrices triangulares superiores forman unha subálxebra da álxebra asociativa das matrices cadradas de certa orde.

Todos estes resultados seguen a cumprise ao substituír *triangular superior* por triangular inferior. Con todo, as operacións que mesturan superior e triangular inferior  as matrices en xeral non producen matrices triangulares. Para o caso, a suma dunha matriz triangular superior e unha triangular inferior pode ser calquera matriz, e o produto tampouco é necesariamente triangular.

## Exemplos 
Esta matriz

: \begin{bmatrix}
  1 & 4 & 1 \\
  0 & 6 & 4 \\
  0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}

é triangular superior, e estoutra

: \begin{bmatrix}
  1 & 0 & 0 \\
  2 & 8 & 0 \\
  4 & 9 & 7 \\
\end{bmatrix}

é triangular inferior.

## Substitución cara adiante e cara atrás
Unha ecuación matricial da forma L\mathbf{x} = \mathbf{b} ou U\mathbf{x} = \mathbf{b} é moi fácil de resolver mediante un proceso iterativo chamado **substitución cara adiante** para matrices triangulares inferiores e análogamente **substitución cara atrás** para matrices triangulares superiores. O proceso chámase así porque para as matrices triangulares inferiores, primeiro se calcula x_1, despois substitímos esa variábel na ecuación "seguinte" para resolver x_2, e repítese ata x_n. Nunha matriz triangular superior, trabállase *cara atrás*, primeiro calculando x_n, despois substituíndo esa variábel na ecuación *anterior* para resolver  x_{n -1}, e repetimos ata x_1.

Teña en conta que isto non require a inversión da matriz.

### Substitución cara adiante
A ecuación matricial L x= b pódese escribir como un sistema de ecuacións lineares

:\begin{matrix}
  \ell_{1,1} x_1 &   &                &   &        &   &                & = &    b_1 \\
  \ell_{2,1} x_1 & + & \ell_{2,2} x_2 &   &        &   &                & = &    b_2 \\
          \vdots &   &         \vdots &   & \ddots &   &                &   & \vdots \\
  \ell_{m,1} x_1 & + & \ell_{m,2} x_2 & + & \dotsb & + & \ell_{m,m} x_m & = &    b_m \\
\end{matrix}

Observe que a primeira ecuación (\ell_{1,1} x_1 = b_1) só implica a x_1, polo que se pode resolver directamente para x_1. A segunda ecuación só implica x_1 e x_2, polo que se pode  resolver unha vez que se substitúa o valor xa resolvido de x_1. Continuando deste xeito, a k-ésima ecuación só implica x_1,\dots,x_k, e pódese resolver para x_k usando o resolvido previamente cos valores para x_1,\dots,x_{k-1}. As fórmulas resultantes son:
:\begin{align}
 x_1 &= \frac{b_1}{\ell_{1,1}}, \\
 x_2 &= \frac{b_2 - \ell_{2,1} x_1}{\ell_{2,2}}, \\
 &\ \ \vdots \\
 x_m &= \frac{b_m - \sum_{i=1}^{m-1} \ell_{m,i}x_i}{\ell_{m,m}}.
\end{align}

Unha ecuación matricial cunha matriz triangular superior *U* pódese resolver dun xeito análogo, só funcionando cara atrás.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
### Outros artigos 
* Factorización de Cholesky.
* Descomposición LU.
### Ligazóns externas