Teorema do binomio

{{Image frame|content=
\begin{array}{c}
 1 \\
 1 \quad 1 \\
 1 \quad 2 \quad 1 \\
 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \\
 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \\
 1 \quad 5 \quad 10 \quad 10 \quad 5 \quad 1 \\
 1 \quad 6 \quad 15 \quad 20 \quad 15 \quad 6 \quad 1 \\
 1 \quad 7 \quad 21 \quad 35 \quad 35 \quad 21 \quad 7 \quad 1
\end{array}
|width=215|caption=O coeficiente binomial \tbinom{n}{k} aparece como a entrada -ésima na -ésima fila do triángulo de Pascal (onde a fila superior é a fila 0, \tbinom{0}{0}=1). Cada entrada é a suma das dúas superiores.}} 
En álxebra elemental, o **teorema do binomio** (ou **expansión binomial**) describe a expansión alxébrica das potencias dun binomio. Segundo o teorema, é posible expandir o polinomio  nunha suma que implique termos da forma , onde os expoñentes  e  son enteiros non negativos con  e o coeficiente  de cada termo é un número enteiro positivo específico que depende de  e  . Por exemplo, para ,(x+y)^4 = x^4 + 4 x^3y + 6 x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4. O coeficiente  no termo de  coñécese como coeficiente binomial \tbinom{n}{b} ou \tbinom{n}{c} (os dous teñen o mesmo valor). Estes coeficientes para variar  e  pódense ordenar para formar o triángulo de Pascal. Estes números tamén aparecen en combinatoria, onde \tbinom{n}{b} dá o número de combinacións diferentes (é dicir, subconxuntos) de  elementos que se poden escoller entre un conxunto de  elementos, e de aí podemos ler " sobre " ou " en ". 

## Teorema 
Segundo o teorema, a expansión de calquera potencia enteira non negativa  do binomio  é unha suma da forma(x+y)^n = {n \choose 0}x^n y^0 + {n \choose 1}x^{n-1} y^1 + {n \choose 2}x^{n-2} y^2 + \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^{n-1} + {n \choose n}x^0 y^n,onde cada un  \tbinom nk  é un número enteiro positivo coñecido como coeficiente binomial, definido como\binom nk = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k + 1)}{k(k-1)(k-2)\cdots2\cdot1}.Usando o sumatorio, pódese escribir de forma máis concisa como(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^k = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{k}y^{n-k}.Para o binomio con resta temos alternancia no signo de cada termo:
(x-y)^n = \sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k}x^{n-k}y^k .

Unha variante simple da fórmula binomial obtense substituíndo  por , de xeito que só implica unha única variábel:\begin{align}
(1+x)^n
&= {n \choose 0}x^0 + {n \choose 1}x^1 + {n \choose 2}x^2 + \cdots + {n \choose {n-1}}x^{n-1} + {n \choose n}x^n \\[4mu]
&= \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k. \vphantom{\Bigg)}
\end{align}

## Exemplos 
Aquí vemos os primeiros casos do teorema binomial:\begin{align}
(x+y)^0 & = 1, \\[8pt]
(x+y)^1 & = x + y, \\[8pt]
(x+y)^2 & = x^2 + 2xy + y^2, \\[8pt]
(x+y)^3 & = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3, \\[8pt]
(x+y)^4 & = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4, \\[8pt]
(x+y)^5 & = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5, \\[8pt]
(x+y)^6 & = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6, \\[8pt]
(x+y)^7 & = x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + y^7, \\[8pt]
(x+y)^8 & = x^8 + 8x^7y + 28x^6y^2 + 56x^5y^3 + 70x^4y^4 + 56x^3y^5 + 28x^2y^6 + 8xy^7 + y^8.
\end{align}

* os expoñentes de  nos termos son   (o último termo contén implicitamente  );
* os expoñentes de  nos termos son   (o primeiro termo contén implicitamente  );
* os coeficientes forman a  ésima fila do triángulo de Pascal;
* hai  termos, e os seus coeficientes suman  .

## Coeficientes binomiais 
Os coeficientes que aparecen na expansión binomial chámanse **coeficientes binomiais** . Estes adoitan escribirse \tbinom{n}{k}, e pódese ler como " sobre ", combinacións de  elementos tomados en grupos de  elementos.

O coeficiente de  vén dado pola fórmula\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \; (n-k)!}. O coeficiente binomial  \tbinom nk  pódese interpretar como o número de formas de escoller  elementos dun conxunto de  elementos.

## Xeneralizacións 
### Teorema binomial xeneralizado de Newton 
Isaac Newton xeneralizou a fórmula para exponentes reais, considerando unha serie infinita:

:{(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty{r \choose k} x^{r-k} y^{k}}

onde r pode ser calquera número real e os coeficientes están dados polo produto:

:{r \choose k}={1 \over k!}\prod_{n=0}^{k-1}(r-n)=\frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-k+1)}{k!} = \frac{r!}{(r-k)!k!}

Expresado co símbolo de Pochhammer:
{r \choose k}=\frac{r^\underline{k}}{k!}.

Estas fórmulas converxen e a igualdade é certa sempre que os números reais ou complexos x e y sexan suficientemente próximos, no sentido de que x > y e o valor absoluto de \Big|\frac{x}{y}\Big| sexa menor que 1.

A expansión para a potencia recíproca é a seguinte:
:\frac{1}{(1-x)^r}=\sum_{k=0}^\infty{r+k-1 \choose k} x^k

Exemplos (lembrando que  |x| ):
:\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + \frac{7}{256}x^5 - \cdots.
: \frac{1}{\sqrt{1+x}} = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 + \frac{35}{128}x^4 - \frac{63}{256}x^5 + \cdots.

### Teorema Multinomial 
O teorema do binomio pode ser xeneralizado para incluír potencias de sumas de máis de dous termos. En xeral:

:(x_1 + x_2 + \cdots + x_m)^n
 = \sum_{k_1+k_2+\cdots +k_m = n} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m}
 x_1^{k_1} x_2^{k_2} \cdots x_m^{k_m}. 

Nesta fórmula, a suma faise sobre tódolos valores enteiros naturais desde k_1 ata k_m de tal modo que a suma de todos estes valores sexa igual a n. Os coeficientes do sumatorio, calcúlanse segundo a fórmula:

: {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdots k_m!}.

Desde o punto de vista da combinatoria, o coeficiente multinomial conta o número de diferentes maneiras de dividir un conxunto de n elementos en subconxuntos disxuntos de tamaños  k_1, k_2, \ldots, k_m

## Teorema multi-binomial 
A miúdo é útil, cando se traballa en máis dunha dimensión, usar produtos de expresións binomiais: 

: (x_{1}+y_{1})^{n_{1}}\dotsm(x_{d}+y_{d})^{n_{d}} = \sum_{k_{1}=0}^{n_{1}}\dotsm\sum_{k_{d}=0}^{n_{d}} \binom{n_{1}}{k_{1}}\, x_{1}^{k_{1}}y_{1}^{n_{1}-k_{1}}\;\dotsc\;\binom{n_{d}}{k_{d}}\, x_{d}^{k_{d}}y_{d}^{n_{d}-k_{d}}. 

A fórmula anterior pode ser escrita usando a notación multi-índice como segue:

: (x+y)^\alpha = \sum_{\nu \le \alpha} \binom{\alpha}{\nu} x^\nu y^{\alpha - \nu}.

### Regra xeral de Leibniz 
A regra xeral de Leibniz dá a derivada -ésima dun produto de dúas funcións nunha forma similar á do teorema do binomio:  (fg)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(n-k)}(x) g^{(k)}(x).Aquí, o superíndice  indica a derivada -ésima dunha función, f^{(n)}(x) = \tfrac{d^n}{dx^n}f(x).

## Aplicacións 
### Identidades de ángulos múltiples 
Para os números complexos o teorema binomial pódese combinar coa fórmula de De Moivre para obter fórmulas de ángulos múltiples para o seno e o coseno. Segundo a fórmula de De Moivre,\cos\left(nx\right)+i\sin\left(nx\right) = \left(\cos x+i\sin x\right)^n.e nesa expresión podemos usar o teorema do binomio, por exemplo\left(\cos x + i\sin x\right)^2 = \cos^2 x + 2i \cos x \sin x - \sin^2 x
= (\cos^2 x-\sin^2 x) + i(2\cos x\sin x),Mais a fórmula de De Moivre identifica o lado esquerdo con (\cos x+i\sin x)^2 = \cos(2x)+i\sin(2x), así\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x \quad\text{and}\quad\sin(2x) = 2 \cos x \sin x,que son as identidades habituais de ángulo duplo. Do mesmo xeito, xa que\left(\cos x + i\sin x\right)^3 = \cos^3 x + 3i \cos^2 x \sin x - 3 \cos x \sin^2 x - i \sin^3 x,A fórmula de De Moivre resulta\cos(3x) = \cos^3 x - 3 \cos x \sin^2 x \quad\text{and}\quad \sin(3x) = 3\cos^2 x \sin x - \sin^3 x.En xeral,\cos(nx) = \sum_{k\text{ par}} (-1)^{k/2} {n \choose k}\cos^{n-k} x \sin^k xe\sin(nx) = \sum_{k\text{ impar}} (-1)^{(k-1)/2} {n \choose k}\cos^{n-k} x \sin^k x.Tamén hai fórmulas similares usando os polinomios de Chebyshev.

### Serie para *e* 
O número adoita definirse pola fórmulae = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n.Aplicando o teorema binomial a esta expresión obtense a serie infinita usual para :\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = 1 + {n \choose 1}\frac{1}{n} + {n \choose 2}\frac{1}{n^2} + {n \choose 3}\frac{1}{n^3} + \cdots + {n \choose n}\frac{1}{n^n}.O -ésimo termo desta suma é{n \choose k}\frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!}\cdot\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^k}Cando , a expresión racional da dereita achégase a , e polo tanto\lim_{n\to\infty} {n \choose k}\frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!}.Isto indica que  pódese escribir como unha serie:e=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}=\frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots.

### Probabilidade 
O teorema binomial está intimamente relacionado coa función de masa de probabilidade da distribución binomial negativa. A probabilidade dunha colección (contábel) de ensaios Bernoulli independentes \{X_t\}_{t\in S} con probabilidade de éxito p\in [0,1] nos que  non aconteza ningún sería

:  P\left(\bigcap_{t\in S} X_t^C\right) = (1-p)^ = \sum_{n=0}^ . 

## En álxebra abstracta 
O teorema binomial é válido de xeito máis xeral para dous elementos  e  nun anel, ou mesmo nun semianel, sempre que . Por exemplo, vale para dúas matrices , sempre que esas matrices conmuten; isto é útil para calcular as potencias dunha matriz. 

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 

### Outros artigos 
* Distribución binomial
* Teorema binomial inverso
* Aproximación de Stirling
* Teorema de Tannery
* Grupo simétrico
* Coeficeinte binomial de Gauss
### Ligazóns externas 
* 
* Binomial Theorem by Stephen Wolfram, and "Binomial Theorem (Step-by-Step)" by Bruce Colletti and Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project, 2007.