Función divisor

dereita|miniatura| Función divisor σ0 (*n*) ata *n* = 250
dereita|miniatura| Función sigma σ1 (*n*) ata *n* = 250
En matemáticas, e concretamente na teoría de números, unha **función divisor** é unha función aritmética relacionada cos divisores dun número enteiro. Aparece en varias identidades notables, incluíndo relacións coa función zeta de Riemann e a serie de Eisenstein de formas modulares. As funcións divisor foron estudadas por Ramanujan, que deu unha serie de congruencias e identidades importantes; estas son tratados por separado no artigo Suma de Ramanujan (de momento en inglés).

Unha función relacionada é a función sumatorio da función divisor, D(x).

## Definición 
A **función suma de divisores positivos** σ*z*(*n*), para un número real ou complexo *z*, defínese como a suma das potencias *z*-ésimas dos divisores positivos de *n*. Pódese expresar como

: \sigma_z(n)=\sum_{d\mid n} d^z,

onde {d\mid n} é a abreviatura de "*d* divide a *n*". O **número de divisores** é \sigma_0 = d(x)  e a **suma de divisores** é \sigma_1,  moitas veces omitindo o subíndice polo que σ(*n*) é o mesmo que σ1(*n*) .

## Nomenclatura 
Hai que ter coidado coa nomenclatura desta función e outras relacionadas cos divisores, tendo en conta tamén os usos en varios idiomas.
Hai fundamentalmente 3 funcións relacionadas,
* d(n): **función número de divisores**. Dá o número de divisores e coincide con \sigma_0(n). Fálase dela no artigo divisor.
* \sigma_z(n): **función suma de divisores positivos**.É a función tratada neste artigo. É a función que suma os valores das potencias  dos divisores. \sigma_1(n) escríbese moitas veces sen subíndice e representa a suma dos divisores.
* D(x): **función sumatorio da función divisor**. Que dá como valor o sumatorio do número de divisores d(n) para os  menores que .

Para a **función suma de divisores positivos** úsase frecuentemente o reducido **función divisor**,  en francés denomínase de xeito moi descritivo "Fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs" e en italiano "funzione sigma", na maioría de resto de linguas denomínase "función divisor".

Para a función "número de divisores", úsase aproximadamente esa mesma nomenclatura mais as veces tamén a inclúen como función divisor, pola súa igualdade con \sigma_0(n).

En canto a función sumatorio da función divisor non atopamos moitas referencias sendo en inglés "Divisor summatory function" e en español "Función suma de divisores".

## Exemplos 
Por exemplo, σ0 (12) é o número dos divisores de 12:

: 
\begin{align}
\sigma_{0}(12) & = 1^0 + 2^0 + 3^0 + 4^0 + 6^0 + 12^0 \\
& = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6,
\end{align}

mentres que σ1 (12) é a suma de todos os divisores:

: 
\begin{align}
\sigma_{1}(12) & = 1^1 + 2^1 + 3^1 + 4^1 + 6^1 + 12^1 \\
& = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28,
\end{align}

e podemos ver tamén para a potencia 2

: 
\begin{align}
\sigma_{2}(12) & = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 6^2 + 12^2 \\
& = 1 + 4 + 9 + 16 + 36 + 144 = 210,
\end{align}

para a primeira potencia negativa temos
: 
\begin{align}
\sigma_{-1}(12) & = 1^{-1} + 2^{-1} + 3^{-1} + 4^{-1} + 6^{-1} + 12^{-1} \\
& = \tfrac11 + \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac14 + \tfrac16 + \tfrac1{12} \\
& = \tfrac{12}{12} + \tfrac6{12} + \tfrac4{12} + \tfrac3{12} + \tfrac2{12} + \tfrac1{12} \\
& = \tfrac{12 + 6 + 4 + 3 + 2 + 1}{12} = \tfrac{28}{12} = \tfrac73 = \tfrac{\sigma_1(12)}{12}
\end{align}

σ-1 ( *n* ) está relacionado co número abundante.

Para a función D(x), función sumatorio da función divisor, , que é o sumatorio do número de divisores \sigma_0(i) para   de 0 ata un número determinado , temos por exemplo: D(12)=\sum_{n\le 12} \sigma_0(n)= 1 + 2 + 2 + 3 + 2 + 4 + 2 + 4+ 3+ 4+ 2+ 6 =37 .

## Táboa de valores 
Para \sigma_z, os casos *z* = 2 a 5 están listados desde a  ata a , para *z* = 6 a 24 están listados desde a  ata a .

## Propiedades 
### Fórmulas para potencias de primos 
Para un número primo *p*,
: \begin{align}
\sigma_0(p) & = 2, \\
\sigma_0(p^n) & = n+1, \\
\sigma_1(p) & = p+1,
\end{align} 

porque por definición, os factores dun número primo son 1 e el mesmo.
A maiores, se *pn* # denota o primorial (produto dos primeiros n primos), temos 
:  \sigma_0(p_n\#) = 2^n .

A función divisor é multiplicativa (xa que cada divisor *c* do produto *mn* con \gcd(m, n) = 1 corresponde claramente cun divisor *a* de *m* e un divisor *b* de *n*), mais non completamente multiplicativa,

: \gcd(a, b)=1 \text{ implica } \sigma_x(ab)=\sigma_x(a)\sigma_x(b).

A consecuencia disto é que, se escribimos

: n = \prod_{i=1}^r p_i^{a_i}

onde *r* = *ω*(*n*) é o número de factores primos distintos de *n*, *pi* é o *i-ésimo* factor primo e *ai* é a potencia máxima de *pi* pola cal *n* é divisible, daquela temos: 

: \sigma_x(n) = \prod_{i=1}^r \sum_{j=0}^{a_i} p_i^{j x} = \prod_{i=1}^r \left (1 + p_i^x + p_i^{2x} + \cdots + p_i^{a_i x} \right ).

que, cando *x* &#x2260; 0, é equivalente á útil fórmula: 

: \sigma_x(n) = \prod_{i=1}^{r} \frac{p_{i}^{(a_{i}+1)x}-1}{p_{i}^x-1}.

Cando *x* = 0, \sigma_0(n) é: 

: \sigma_0(n)=\prod_{i=1}^r (a_i+1).

Por exemplo, se *n* é 24, hai dous factores primos (*p1* é 2 e *p2* é 3); tendo en conta que 24 é o produto de 23 × 31, *a*1 é 3 e a2 é 1. Así podemos calcular \sigma_0(24) do seguinte modo:

: \sigma_0(24) = \prod_{i=1}^{2} (a_i+1) = (3 + 1)(1 + 1) = 4 \cdot 2 = 8.

Os oito divisores contados por esta fórmula son 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 e 24.

### Outras propiedades e identidades 
Euler demostrou a notable recorrencia:   

: \begin{align}
\sigma_1(n) &= \sigma_1(n-1)+\sigma_1(n-2)-\sigma_1(n-5)-\sigma_1(n-7)+\sigma_1(n-12)+\sigma_1(n-15)+ \cdots \\[12mu]
 &= \sum_{i\in\N} (-1)^{i+1}\left( \sigma_1 \left( n-\frac{1}{2} \left( 3i^2-i \right) \right) + \sigma_1 \left( n-\frac{1}{2} \left( 3i^2+i \right) \right) \right),
\end{align}

onde \sigma_1(0)=n cando acontece, e \sigma_1(x)=0 para x , e \tfrac{1}{2} \left( 3i^2 \mp i \right) son pares consecutivos de números pentagonais xeneralizados (, comezando con desprazamento 1). De feito, Euler demostrou isto mediante a diferenciación logarítmica da identidade no seu teorema dos números pentagonais.

Tamén temos *s* (*n*) = *σ* (*n*) − *n*. Onde *s*(*n*) denota a suma dos divisores *propios* de *n*, é dicir, os divisores de *n* excluíndo o propio *n* . Esta función úsase para recoñecer números perfectos, que son os *n* tal que *s*(*n*) = *n*. Se *s* (*n*) > *n*, entón *n* é un número abundante, e se *s* (*n*) n = 2^k, entón \sigma(n) = 2 \cdot 2^k - 1 = 2n - 1 e s(n) = n - 1, o que fai *n* case perfecto.

Como exemplo, para dous primos p,q:p, e sexa

: n = p\,q .

Daquela

: \sigma(n) = (p+1)(q+1) = n + 1 + (p+q), 
: \varphi(n) = (p-1)(q-1) = n + 1 - (p+q), 

e

: n + 1 = (\sigma(n) + \varphi(n))/2, 
: p + q = (\sigma(n) - \varphi(n))/2, 

onde \varphi(n) é a función totiente de Euler.

Entón, as raíces de

: (x-p)(x-q) = x^2 - (p+q)x + n = x^2 - [(\sigma(n) - \varphi(n))/2]x + [(\sigma(n) + \varphi(n))/2 - 1] = 0 

e podemos expresar *p* e *q* só en termos de *σ* (*n*) e *φ* (*n*), sen necesidade de coñecemento de n \text{ ou } p+q, como

: p = (\sigma(n) - \varphi(n))/4 - \sqrt{[(\sigma(n) - \varphi(n))/4]^2 - [(\sigma(n) + \varphi(n))/2 - 1]}, 
: q = (\sigma(n) - \varphi(n))/4 + \sqrt{[(\sigma(n) - \varphi(n))/4]^2 - [(\sigma(n) + \varphi(n))/2 - 1]}. 

En 1984, Roger Heath-Brown demostrou que a igualdade \sigma_0(n)=\sigma_0(n+1)

é certa para infinitos valores de , consulte .

## Relacións con series 
Dúas series de Dirichlet que inclúen a función divisor son: 

: \sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s} = \zeta(s) \zeta(s-a)\quad\text{for}\quad s>1,s>a+1,

onde \zeta é a función zeta de Riemann. 

A serie para *d*(*n*)&nbsp;=&nbsp;*&#x3C3;*0 (*n*) dá: 

: \sum_{n=1}^\infty \frac{d(n)}{n^s} = \zeta^2(s)\quad\text{for}\quad s>1,

e unha identidade de Ramanujan 

: \sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s) \zeta(s-a) \zeta(s-b) \zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)},

que é un caso especial da convolución de Rankin-Selberg .

Unha serie de Lambert que inclúe a función divisor é: 

: \sum_{n=1}^\infty q^n \sigma_a(n) = \sum_{n=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty n^a q^{j\,n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^a q^n}{1-q^n}

para dous complexos arbitrarios |*q*|&nbsp;≤&nbsp;1 e&nbsp;*a*. Esta suma tamén aparece como a serie de Fourier da serie de Eisenstein e as invariantes das funcións elípticas de Weierstrass .

Para k>0, hai unha representación explícita como serie coa suma de Ramanujan  c_m(n)  como: 

: \sigma_k(n) = \zeta(k+1)n^k\sum_{m=1}^\infty \frac {c_m(n)}{m^{k+1}}.

O cálculo dos primeiros termos de c_m(n) mostra as súas oscilacións arredor do "valor medio" \zeta(k+1)n^k:

: \sigma_k(n) = \zeta(k+1)n^k \left[ 1 + \frac{(-1)^n}{2^{k+1}} + \frac{2\cos\frac {2\pi n}{3}}{3^{k+1}} + \frac{2\cos\frac {\pi n}{2}}{4^{k+1}} + \cdots\right]

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*.
* Bach, Eric; Shallit, Jeffrey, *Algorithmic Number Theory*, volume 1, 1996, MIT Press.  , see page 234 in section 8.8.
* 
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

### Outros artigos
* Función totiente de Euler
* Táboa de divisores

### Ligazóns externas 
* 
* 
* Elementary Evaluation of Certain Convolution Sums Involving Divisor Functions PDF of a paper by Huard, Ou, Spearman, and Williams. Contains elementary.