Anel de matrices

Na álxebra abstracta, un **anel de matrices** ou **anel matricial** é un conxunto de matrices con entradas nun anel *R* que forman un anel baixo a suma e a multiplicación de matrices. 

O conxunto de todas as matrices  con entradas en *R* é un anel de matrices denotado como M*n* (*R*)     (notacións alternativas: Mat*n* (*R*)  e  ). Algúns conxuntos  de matrices infinitas forman **aneis de matrices infinitas**. 

Un subanel dun anel matricial é tamén un anel matricial. Sobre un rng, pódense formar rngs de matrices.

Cando *R* é un anel conmutativo, o anel de matrices M*n*(*R*) é unha álxebra asociativa sobre *R*, e pódese chamar **álxebra de matrices**. Nesta configuración, se *M* é unha matriz e *r* está en *R*, entón a matriz *rM* é a matriz *M* con cada unha das súas entradas multiplicada por *r*.

## Exemplos 
* O conxunto de todas as  matrices cadradas  sobre *R*, denotadas M*n*(*R*). Isto ás veces chámase "anel completo de matrices *n*-por-*n*".
* O conxunto de todas as matrices triangulares superiores sobre *R*.
* O conxunto de todas as matrices triangulares inferiores sobre *R*.
* O conxunto de todas as matrices diagonais sobre *R*. Esta subálxebra de M*n*(*R*) é isomorfa ao produto directo de *n* copias de *R*.

* A intersección dos aneis da matriz finita fila e columna finita forma un anel \mathbb{RCFM}_I(R).
* Se *R* é conmutativo, entón M*n*(*R*) ten unha estrutura de *-álxebra sobre *R*, onde a involución * en M*n*(*R*) é unha transposición de matriz.

* Un anel matricial sobre un corpo é unha álxebra de Frobenius, coa forma de Frobenius dada pola traza do produto: .

## Estrutura 
* O anel matricial M*n*(*R*) pódese identificar co anel de endomorfismos do módulo libre pola dereita *R* de rango *n*; é dicir, . A multiplicación de matrices corresponde á composición de endomorfismos.
* O anel M*n*(*D*) sobre un anel de división *D* é un anel simple artiniano, un tipo especial de anel semisimple. Os aneis \mathbb{CFM}_I(D) e \mathbb{RFM}_I(D) son *non* simples e non artinianos se o conxunto *I* é infinito, mais aínda son aneis lineares completos.
* O teorema de Artin-Wedderburn afirma que todo anel semisimple é isomorfo a un produto directo \prod_{i=1}^r \operatorname{M}_{n_i}(D_i), para algúns enteiros non negativos *r*, e enteiros positivos *n**i* e aneis de división *D**i*.
* Cando vemos M*n*(**C**) como o anel de endomorfismos lineares de **C***n*, aquelas matrices que desaparecen nun subespazo dado *V* forman un ideal pola esquerda. Pola contra, para un ideal esquerdo dado *I* de M*n*(**C**) a intersección de espazos nulos de todas as matrices en *I* dá un subespazo de **C***n*. Baixo esta construción, os ideais pola esquerda de M*n*(**C**) están en bixección cos subespazos de **C***n*.

## Propiedades 
* Se *S* é un subanel de *R*, entón M*n*(*S*) é un subanel de M*n*(*R*). Por exemplo, M*n*(**Z**) é un subanel de M*n*(**Q**).
* O anel de matrices M*n*(*R*) é conmutativo se e só se ,  ou *R* é conmutativo e . De feito, isto é certo tamén para o subanel de matrices triangulares superiores. Aquí temos un exemplo que mostra dúas matrices triangulares superiores  que non conmutan, asumindo  en *R* :
*:: 
 \begin{bmatrix}
  1 & 0 \\
  0 & 0 
 \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix}
  1 & 1 \\
  0 & 0
 \end{bmatrix}
=
 \begin{bmatrix}
  1 & 1 \\
  0 & 0
 \end{bmatrix}

*: e
*::  \begin{bmatrix}
  1 & 1 \\
  0 & 0 
 \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix}
  1 & 0 \\
  0 & 0
 \end{bmatrix}
=
 \begin{bmatrix}
  1 & 0 \\
  0 & 0
 \end{bmatrix}.

* Para , o anel de matrices M*n*(*R*) sobre un anel distinto de cero ten divisores nulos e elementos nilpotentes; o mesmo ocorre co anel de matrices triangulares superiores. Un exemplo en matrices  sería
*::  \begin{bmatrix}
  0 & 1 \\
  0 & 0 
 \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix}
  0 & 1 \\
  0 & 0
 \end{bmatrix}
=
 \begin{bmatrix}
  0 & 0 \\
  0 & 0
 \end{bmatrix}.

* O centro de M*n*(*R*) está formado polos múltiplos escalares da matriz identidade, *I**n*, nos que o escalar pertence ao centro de *R*.
* O grupo unitario de M*n*(*R*), formado polas matrices invertíbeis baixo multiplicación, denomínase GL*n*(*R*).
* Se *F* é un corpo, daquela para dúas matrices calquera *A* e *B* en M*n*(*F*), a igualdade  implica . No entanto, isto non é certo para todos os aneis *R.* Un anel *R* cuxos aneis matriciais teñen todos a propiedade mencionada coñécese como un anel establemente finito .

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

### Outros artigos 
* Álxebra central simple
* Álxebra  de Clifford
* Teorema de Hurwitz (algebras de división)
* Lei de inercia de Sylvester