Anel (álxebra)

Na álxebra, un **anel** é unha estrutura alxébrica formada por un conxunto (A) e dúas operacións: chamadas habitualmente suma e produto: (A, +, \cdot); de tal xeito que (A, +) é un grupo conmutativo con elemento neutro (que designamos 0), e o produto \cdot é asociativo, ten un elemento neutro (que designamos 1) e ten a propiedade distributiva respecto da suma. 

Se o produto é conmutativo falaremos dun anel conmutativo.

Se o anel non posúe un elemento neutro para o produto, chamarase rng.

Ao anel aquí definido algúns autores o denominan **anel unitario** (ou **anel con unidade**).

## Definición formal 
Sexa A un conxunto non baleiro, e sexan + e \cdot dúas operacións binarias en A, dise que o conxunto (A,+,\cdot) \, é un **anel** se se cumpren as seguintes propiedades:

: 

Estas catro condicións definen un grupo. Unha quinta condición define un grupo abeliano:

:

Para definir un anel, é necesario agregar catro condicións máis que falan acerca da segunda operación binaria:

:

E agregando unha décima condición, defínese un anel conmutativo:

:

### Variacións na definición 
Na terminoloxía deste artigo, defínese que un anel ten unha identidade multiplicativa, mentres que unha estrutura coa mesma definición axiomática mais sen o requisito dunha identidade multiplicativa chámase, pola contra, **rng** (non é un erro, sería ring sen o "i"). Por exemplo, o conxunto de enteiros pares cos usuais + e \cdot  é un rng, mais non un anel. Moitos autores aplican o termo **anel** sen esixir unha identidade multiplicativa e falan de **anel con unidade** ou **anel unitario** cando consideran que inclúe a identidade multiplicativa.

Incídese neste aspecto da nomenclatura xa comentado na introdución porque nas diversas páxinas da Galipedia poderá aparecer con ambos os nomes segundo as fontes do autor.

### Definición sintética 
Un anel A é un conxunto con dúas leis de composición, chamadas *adición* e *multiplicación*, cumprindo as seguintes condicións:
* A é grupo abeliano para a adición; o elemento neutro nesta adición noméase *cero* do anel, e denótase usualmente 0.
* A é un monoide para a multiplicación.
* A multiplicación é distributiva (polos dous lados) en relación á adición.

## Exemplos 
O exemplo máis intuitivo e familiar de anel é o conxunto dos números enteiros:

:... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...

xunto coas operacións binarias da suma e a multiplicación. Historicamente, o conxunto Z dos enteiros coas súas dúas operacións serviu de base para a formulación do concepto de anel. A razón pola cal estas tres cousas forman un anel, é porque posúen as seguintes propiedades:

# Os números enteiros están pechados baixo a suma: dados dous números enteiros *a* e *b*, cúmprese que *a* + *b* é un número enteiro.
# A suma é asociativa: dados tres números enteiros *a*, *b* e *c*, cúmprese que (*a* + *b*) + *c* = *a* + (*b* + *c*).
# Existe un elemento neutro para a suma: para todo número enteiro *a*, *a* + 0 = 0 + *a* = *a*.
# Existe un elemento inverso para a suma (inverso aditivo): para todo número enteiro *a*, sempre existe algún número enteiro *b*, tal que *a* + *b* = 0.
# A suma é conmutativa: dados dous números enteiros *a* e *b*, cúmprese que *a* + *b* = *b* + *a*.
# Os números enteiros están pechados baixo a multiplicación: dados dous números enteiros *a* e *b*, cúmprese que *a* × *b* é un número enteiro.
# A multiplicación é asociativa: dados tres números enteiros *a*, *b* e *c*, cúmprese que (*a* × *b*) × *c* = *a* × (*b* × *c*).
# Existe un elemento neutro para a multiplicación: para todo número enteiro *a*, *a* × 1 = *a*.
# A multiplicación é distributiva respecto da suma: *a* × (*b* + *c*) = (*a* × *b*) + (*a* × *c*).

;Outros exemplos:
* O conxunto dos enteiros gaussianos \mathbf{Z}[i]=\{a+bi \mid a,b\in \mathbf{Z} \}, \quad \text{ onde } i^2 = -1., \mathbf{Z}[i] é un subconxunto do conxunto C dos complexos, coa adición e multiplicación usuais.
* O conxunto das matrices cadradas 2-por-2 con coeficientes nun corpo  \operatorname{M}_2(F) = \left\{ \left.\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right|\  a, b, c, d \in F \right\}, coa suma de matrices e multiplicación de matrices é un anel non conmutativo.
* O conxunto   dos restos módulo 6; coa adición e multiplicación de restos; é un anel finito con divisores de 0.
* O conxunto F[x] dos polinomios con coeficientes en \mathbb{Z}, conxunto dos enteiros, coa adición e multiplicación. Véxase: anel de polinomios.

## Elementos destacables dun anel 
* **Elemento cero**: denotado por 0. É o neutro para a suma. Sexa A un anel arbitrario. 0x = 0 \; \forall x \in A  A súa demostración sería:  0x = (0+0)x = 0x+0x. Logo 0x= 0x + 0x. Restando o inverso aditivo de 0x, que existe dado que A é un grupo para a suma, 0x -0x = 0x
Pero 0x-0x= 0. Finalmente 0 = 0x \forall x\in A

* **Elemento unitario** ou **identidade**: se un elemento, que denotamos 1, cumpre 1 \cdot a = a \cdot 1 = a para todo elemento  do anel, denomínase elemento unitario ou identidade. Úsase identidade cando se quere evitar a confusión entre elemento unitario e unidade (unit en inglés, elementos con inverso multiplicativo).

O elemento cero e o elemento unitario só coinciden no caso de que o anel sexa trivial ( {0} ):
Demostración: Sexa a\in A a=a1 = a0 =0 Logo, \forall a\in A , a=0

* **Inverso multiplicativo**: b é inverso multiplicativo pola esquerda (ou simplemente inverso pola esquerda) de a se b \cdot a=1. Así mesmo, c é inverso multiplicativo pola dereita (ou simplemente inverso pola dereita) de a se a \cdot c=1. Un elemento a^{-1} dise que é inverso multiplicativo (ou simplemente inverso) de a se a^{-1} é inverso pola esquerda de a e inverso pola dereita de a, é dicir, a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1. Se existe o inverso dun elemento, entón este é único (pois se existise outro, "este deixaría de ser inverso").

* **Elemento inversible**, ou **elemento invertible** ou **unidade**: é todo aquel elemento que posúe inverso multiplicativo.
* **Divisor de cero**: un elemento a \neq 0 é divisor do cero pola esquerda, se existe algún b distinto de 0, tal que a·b=0. Éo pola dereita se existe un c distinto de 0 tal que c·a=0. Dirase que a é divisor de cero se o é tanto pola dereita como pola esquerda.
* **Elemento regular**: un elemento a \neq 0 dun anel é regular se non é divisor de cero. Todo elemento invertible é regular.
* **Elemento idempotente**: é calquera elemento e do anel que ao multiplicarse por si mesmo non varía, é dicir, tal que e \cdot e=e (isto adóitase escribir como e^2=e). O cero é sempre idempotente nun anel, e tamén o 1 é idempotente.
* **Elemento nilpotente** (ou **nihilpotente**): é calquera elemento x do anel para o que existe un número natural n de forma que x^n = 0 (onde x^n se define por recorrencia: x^0 = 1, x^n = x \cdot x^{n-1}). O 0 é sempre un nilpotente de calquera anel. Todo elemento nilpotente é divisor de cero.

## Tipos de aneis 
Algúns tipos destacables de aneis son:
* **Anel conmutativo**: aquel no que o produto é conmutativo, isto é, a·b=b·a para todo a e b (non debe confundirse con **anel abeliano**).
* **Anel unitario** (definido neste artigo): aquel que posúe un elemento unitario e ademais, este é distinto do neutro da suma.
* **Rng**: anel sen identidade multiplicativa.
* **Anel de división**: é o anel no cal todo elemento, a excepción do 0, ten inverso.
* **Anel con leis de simplificación**: aquel no que se cumpren as leis de simplificación. Se un anel non ten divisores do cero, cúmprense as leis de simplificación, e o recíproco tamén é certo.
* **Dominio de integridade**: se un anel non posúe divisores do cero, é un dominio de integridade (tamén se adoita esixirlle que se trate dun anel conmutativo e unitario, mais esta esixencia non é aceptada por todos os autores).
* **Corpo**: trátase dun anel de división conmutativo.
* **Anel abeliano**: é un anel no que todo elemento idempotente pertence ao centro do anel, é dicir, todo elemento idempotente conmuta con calquera elemento do anel.
* **Anel euclidiano** (nome dado por A.I. Kostrikin). Un dominio de integridade R dise que é un *anel euclidiano* se para calquera elemento x distinto de 0 en R está determinado un enteiro n(x) maior ou igual que 0 e cumpre:

i)Para x e y elementos calquera de R, ningún nulo, n(x) menor ou igual que n(xy).

ii)Para x, y calquera, dous elementos non nulos á vez de R, existen q e r en R, de modo que x=qy+r, sendo r=0 o n(r) menor que n(y). 
* n(x) é unha aplicación de R* en Z≥0, onde R* é o anel sen o seu 0.

Son aneis euclidianos o anel dos enteiros, o dos enteiros gaussianos e os aneis de polinomios.
Fraleigh denomínao *dominio euclidiano*.

## Subsistemas notables 
### Subaneis e ideais 
Un subanel S dun anel R =(A,+,·) é un subconxunto S \subset R que cumpre que é cerrado para a suma e a multiplicación no anel, isto é, se a,b \in S, entón a+b \in S e a\cdot b \in S. Se 1 \in R (é dicir, se o anel é unitario), entón esixirase ademais que 1 \in S. Nótese que neste caso, cando o anel é unitario, {0} non será subanel de R, e so o será se R non é unitario.

Un subanel S é propio cando non coincide con todo o anel, é dicir, se R \neq S.

Resulta pois que un subanel é un anel dentro doutro anel (para as mesmas operacións). En particular, (S,+) é un subgrupo de (R,+).

Pero na Teoría de aneis hai un tipo de subconxunto máis notable que o de subanel, o de **ideal**.

Un subconxunto I \subset R é un ideal pola esquerda dun anel (A,+,·) se (I,+) é un subgrupo de (R,+) e dados calquera r \in R e x \in I tense que r \cdot x \in I.

Un subconxunto I \subset R é un ideal pola dereita dun anel (A,+,·) se (I,+) é un subgrupo de (R,+) e dados calquera r \in R e x \in I se ten que x \cdot r \in I.

Cando un subconxunto I é ideal pola dereita e ideal pola esquerda dise que é un ideal bilátero (do anel), ou simplemente que é un ideal (do anel).

A propiedade conmutativa asegúranos que en todo anel conmutativo todo ideal pola esquerda é ideal pola dereita, e todo ideal pola dereita é ideal pola esquerda, isto é, todos os ideais (pola esquerda ou pola dereita) dun anel conmutativo son ideais biláteros.

Un ideal I (pola esquerda, pola dereita ou bilátero) dise que é propio se é distinto de todo o anel, isto é, I \neq R.

### Unidades 
O conxunto de elementos invertibles dun anel unitario (R,+,\cdot,1_R) denomínase **conxunto de unidades (do anel)**, e denótase por U(R).

Se I é ideal (pola esquerda, pola dereita ou bilátero) propio dun anel unitario R e U(R) son as súas unidades ou elementos invertibles, entón I \cap U(R) = \varnothing, isto é, ningún ideal propio ten elementos invertibles. En particular, ningún ideal (pola esquerda, pola dereita ou bilátero) propio ten por elemento a 1, o que impide aos ideais ser subaneis de aneis unitarios.

### Centro 
O centro dun anel (R,+,\cdot) (denotado por Z(R)) é o conxunto de elementos que conmutan para o produto, é dicir Z(R):= \{ r \in R : r \cdot s = s \cdot r , \forall s \in R \}. O centro dun anel vén a ser como "a parte conmutativa do anel". Nótese que sempre se ten que 0 \in Z(R). Os aneis conmutativos son, logo, aqueles que coinciden co seu centro, i.e., R=Z(R).

* O centro do anel das matrices cadradas de orde n constitúese unicamente das matrices escalares.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* Atiyah M. F., Macdonald, I. G., *Introduction to commutative algebra*. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. 1969 ix+128 pp.
* Beachy, J. A. Introductory Lectures on Rings and Modules. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999.
* 
* Dresden, G. "Small Rings." https://web.archive.org/web/20100717021842/http://home.wlu.edu/~dresdeng/smallrings/
* Ellis, G. Rings and Fields. Oxford, England: Oxford University Press, 1993.
* Goodearl, K. R., Warfield, R. B., Jr., *An introduction to noncommutative Noetherian rings*. London Mathematical Society Student Texts, 16. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. xviii+303 pp.&nbsp;ISBN 0-521-36086-2
* Herstein, I. N., *Noncommutative rings*. Reprint of the 1968 original. With an afterword by Lance W. Small. Carus Mathematical Monographs, 15. Mathematical Association of America, Washington, D.C., 1994. xii+202 pp.&nbsp;ISBN 0-88385-015-X
* 
* Nagell, T. "Moduls, Rings, and Fields." §6 in Introduction to Number Theory. Nova York: Wiley, pp.&nbsp;19–21, 1951
* Nathan Jacobson, *Structure of rings*. American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. 37. Revised edition American Mathematical Society, Providence, R.I. 1964 ix+299 pp.
* Nathan Jacobson, *The Theory of Rings*. American Mathematical Society Mathematical Surveys, vol. I. American Mathematical Society, Nova York, 1943. vi+150 pp.
* 
* Lam, T. Y., *A first course in noncommutative rings*. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 131. Springer-Verlag, Nova York, 2001. xx+385 pp.&nbsp;ISBN 0-387-95183-0
* Lam, T. Y., *Exercises in classical ring theory*. Second edition. Problem Books in Mathematics. Springer-Verlag, Nova York, 2003. xx+359 pp.&nbsp;ISBN 0-387-00500-5
* Lam, T. Y., *Lectures on modules and rings*. Graduate Texts in Mathematics, 189. Springer-Verlag, Nova York, 1999. xxiv+557 pp.&nbsp;ISBN 0-387-98428-3
* .
* 
* McConnell, J. C.; Robson, J. C. *Noncommutative Noetherian rings*. Revised edition. Graduate Studies in Mathematics, 30. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. xx+636 pp.&nbsp;ISBN 0-8218-2169-5
* 
* Rowen, Louis H., *Ring theory*. Vol. I, II. Pure and Applied Mathematics, 127, 128. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988. ISBN 0-12-599841-4, ISBN 0-12-599842-2
* Sloane, N. J. A. Sequences A027623 and A037234 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
* Zwillinger, D. (Ed.). "Rings." §2.6.3 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp.&nbsp;141–143, 1995

### Outros artigos 
* Teoría de aneis
* Anel de polinomios