Integración por cambio de variábeis

En cálculo, **a integración por cambio de variábeis**, tamén coñecida como i**ntegración por substitución**,  é un método para avaliar integrais e antiderivadas. É a contrapartida da regra da cadea para a diferenciación, e pode considerarse que usa a regra da cadea "ao revés".

## Cambio dunha única variábel 
### Introdución (integrais indefinidas) 
Consideremos un caso sinxelo que utiliza integrais indefinidas.

Calcular \int(2x^3+1)^7(x^2)\,dx. 

Facemos u=2x^3+1. Isto significa que \frac{du}{dx}=6x^2, ou como forma diferencial, du=6x^2\,dx. Agora: 
:\begin{aligned}
  \int(2x^3 +1)^7(x^2)\,dx
  &= \frac{1}{6}\int\underbrace{(2x^3+1)^{7}}_{u^{7}}\underbrace{(6x^2)\,dx}_{du} \\
  &= \frac{1}{6}\int u^{7}\,du \\
  &= \frac{1}{6}\left(\frac{1}{8}u^{8}\right)+C \\
  &= \frac{1}{48}(2x^3+1)^{8}+C,
\end{aligned} 
onde C é unha constante arbitraria de integración.

Este procedemento utilízase con frecuencia, mais non todas as integrais teñen unha forma que permita a súa aplicación. En todo caso, o resultado debe verificarse diferenciando e comparando co integrando orixinal. 
:\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{48}(2x^3+1)^{8}+C\right] = \frac{1}{6}(2x^3+1)^{7}(6x^2) = (2x^3+1)^7(x^2).
Para as integrais definidas, tamén se deben axustar os límites de integración, mais o procedemento é o mesmo na súa maior parte.

### Enunciado para integrais definidas 
Sexa g:[a,b]\to I  unha función diferenciábel cunha derivada continua, onde I \subset \mathbb{R} é un intervalo. Supoñamos que f:I\to\mathbb{R} é unha función continua. Entón:  
:\int_a^b f(g(x))\cdot g'(x)\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\ du. 

En notación de Leibniz, a substitución u=g(x) produce:
: \frac{du}{dx} = g'(x).
Isto produce a ecuación du = g'(x)\,dx. 

A fórmula úsase para transformar unha integral noutra integral que sexa máis fácil de calcular. 

### Exemplos: Antiderivadas (integrais indefinidas) 
O cambio de variábeis pódese usar para determinar as antiderivadas. Escollemos unha relación entre x e u, determinamos a correspondente relación entre dx e du diferenciando, e realizamos as substitucións. Tentamos que este cambio produza unha integral máis simple de resolver como integral inmediata.

#### Exemplo 1 
Considere a integral: 
:\int x \cos(x^2+1)\ dx. 
Facemos a substitución u = x^{2} + 1 e diferenciando esa ecuación temos du = 2x\ dx, e por tanto x\ dx = \frac{1}{2}\ du. Polo tanto: 
: \begin{align}
\int x \cos(x^2+1) \,dx
&= \frac{1}{2} \int 2x \cos(x^2+1) \,dx \\[6pt]
&= \frac{1}{2} \int\cos u\,du \\[6pt]
&= \frac{1}{2}\sin u + C \\[6pt]
&= \frac{1}{2}\sin(x^2+1) + C,
\end{align}
onde C é a constante de integración.

#### Exemplo 2: Antiderivada da tanxente 
A función tanxente pódese integrar mediante a substitución expresándoa en termos de seno e coseno: \tan x = \tfrac{\sin x}{\cos x} .

Usando a substitución u = \cos x dá du = -\sin x\,dx e 
:\begin{align}
  \int \tan x \,dx &= \int \frac{\sin x}{\cos x} \,dx \\
  &= \int -\frac{du}{u} \\
  &= -\ln \left|u\right| + C \\
  &= -\ln \left|\cos x\right| + C \\
  &= \ln \left|\sec x\right| + C.
 \end{align}

### Exemplos: Integrais definidas 
Ao avaliar integrais definidas por cambio de variábel, pódese calcular a antiderivada completamente primeiro e despois aplicar as condicións de contorno.

#### Exemplo 1 
Considere a integral: \int_0^2 \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} dx.

Facemos a substitución u = x^{2} + 1 e derivando obtemos du = 2x\ dx, e de aí temos x\ dx = \frac{1}{2}\ du. Polo tanto: 
:\begin{align}
\int_{x=0}^{x=2} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \ dx
&= \frac{1}{2} \int_{u=1}^{u=5} \frac{du}{\sqrt{u}} \\[6pt]
&= \frac{1}{2} \left(2\sqrt{5}-2\sqrt{1}\right) \\[6pt]
&= \sqrt{5}-1.
\end{align}
Onde o límite inferior x = 0 foi substituído en  u = x^{2} + 1 dando u = 1, e o límite superior x = 2 danto  2^{2} + 1 = 5.

#### Exemplo 2: Substitución trigonométrica 
Para a integral \int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx, podemos facer o seguinte. Aplicamos a substitución x = \sin u, e derivando temos dx = \cos u \,du, un cambio útil porque \sqrt{1-\sin^2 u} = \cos u. Temos así: 
: \begin{align}
\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\ dx
&= \int_0^{\pi/2} \sqrt{1-\sin^2 u} \cos u\ du \\[6pt]
&= \int_0^{\pi/2} \cos^2 u\ du \\[6pt]
&= \left[\frac{u}{2} + \frac{\sin(2u)}{4}\right]_0^{\pi/2} \\[6pt]
&= \frac{\pi}{4} + 0 \\[6pt]
&= \frac{\pi}{4}.
\end{align}

A integral resultante pódese calcular mediante a integración por partes ou unha fórmula de dobre ángulo, 2\cos^{2} u = 1 + \cos (2u), seguido dunha substitución máis.

## Substitución por varias variábeis 
Tamén se pode usar a substitución ao integrar funcións de varias variábeis.

Aquí, a función de substitución  debe ser inxectiva e continuamente derivábel, e as diferenciais transfórmanse como: 
: dv_1 \cdots dv_n = \left|\det(D\varphi)(u_1, \ldots, u_n)\right| \, du_1 \cdots du_n,
onde  denota o determinante da matriz jacobiana de derivadas parciais de  no punto . Esta fórmula expresa o feito de que o valor absoluto do determinante dunha matriz é igual ao volume do paralelotopo expandido polas súas columnas ou filas.

Máis precisamente, a fórmula *do cambio de variábeis* está indicada no seguinte teorema:

## Aplicación en probabilidade 
O cambio de variábeis pódese usar para responder á seguinte pregunta importante en probabilidade: dada unha variábel aleatoria  con densidade de probabilidade  e outra variábel aleatoria  tal que  para unha  inxectiva (un a un), cal é a densidade de probabilidade de  ?

É máis doado responder a esta pregunta respondendo primeiro a unha pregunta lixeiramente diferente: cal é a probabilidade de que  tome un valor nalgún subconxunto  en particular? Denotamos esta probabilidade  Por suposto, se  ten densidade de probabilidade , entón a resposta é: 
:P(Y \in S) = \int_S p_Y(y)\,dy,
mais isto non é realmente útil porque non coñecemos  que é o que estamos tentando atopar. Podemos avanzar considerando o problema na variábele . Temos que  toma un valor en  sempre que  toma un valor en \phi^{-1}(S), logo: 
:P(Y \in S) = P(X \in \phi^{-1}(S)) = \int_{\phi^{-1}(S)} p_X(x)\,dx.

O cambio de variábel de  a  dá: 
:P(Y \in S) = \int_{\phi^{-1}(S)} p_X(x)\,dx = \int_S p_X(\phi^{-1}(y)) \left|\frac{d\phi^{-1}}{dy}\right|\,dy. 
Ao combinar isto coa nosa primeira ecuación temos: 
:\int_S p_Y(y)\,dy = \int_S p_X(\phi^{-1}(y)) \left|\frac{d\phi^{-1}}{dy}\right|\,dy, así: 
:p_Y(y) = p_X(\phi^{-1}(y)) \left|\frac{d\phi^{-1}}{dy}\right|.

No caso en que  e  dependen de varias variábeis non correlacionadas (isto é, p_X=p_X(x_1, \ldots, x_n) e y=\phi(x) ), p_Y pódese atopar por substitución en varias variábeis comentado anteriormente. O resultado é: 
:p_Y(y) = p_X(\phi^{-1}(y)) \left|\det D\phi ^{-1}(y) \right|.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
*
* .
* .
* 
* .
* 
* .

### Outros artigos 
*Cambio de variábel
*Substitución trigonométrica
*Substitución de Weierstrass
*Substitución de Euler

### Ligazóns externas 
* Integration by substitution en Encyclopedia of Mathematics
* Area formula en Encyclopedia of Mathematics