Teorema chinés do resto

miniatura|Formulación orixinal de Sunzi:   \equiv 2 (mod 7) coa solución  con k enteiro
En matemáticas, o teorema **teorema chinés do resto** expón que se coñecemos os restos da división euclidiana  dun enteiro  por varios enteiros, daquela podemos determinar  o resto da división de  polo produto destes enteiros, baixo a condición de que os divisores sexan coprimos por pares (ningunha parella de divisores comparte un factor común  á parte do 1).

As palabras resto e residuo son equivalentes, e ambas as dúas pódense ver nos documentos existentes. 

Por exemplo, se sabemos que o resto de *n* dividido por 3 é 2, o resto de *n* dividido por 5 é 3, e o resto de n dividido por 7 é 2, daquela sen saber o valor de n, podemos determinar que o resto de n dividido por 105 (produto de 3, 5, e 7) é 23. Importante: isto dinos  que se n é un número natural menor de 105, entón 23 é o único valor posíbel de .

A redacción coñecida máis antiga do teorema foi feita polo matemático chinés Sunzi no *Sunzi Suanjing* entre os séculos III e V (d.C).

O teorema chinés  do resto úsase amplamente para computar enteiros grandes, pois permite traballar con números de tamaño limitado.

O teorema chinés  do resto (expresado como congruencias) é certo sobre todo dominio ideal principal. Está xeneralizado a calquera anel, cunha formulación que implica  ideais bilaterais.

## Historia 
A cita do matemático chinés Sunzi no *Sunzi Suanjing foi:*

O que ven sendo un algoritmo para resolver este problema foi descrito por Aryabhata (século VI). Tamén Brahmagupta (no século VII) trataba casos especiais do teorema chinés do resto e aparecen no Liber Abaci (1202) de Fibonacci. O resultado foi máis tarde xeneralizado cunha solución completa chamada *Da-yan-shu* () en Qin Jiushao  1247 *Tratado Matemático  en Nove Seccións*  que foi traducido a inglés no século XIX polo misioneiro británico Alexander Wylie.
[miniatura|O teorema chinés do resto aparece no libro de  [Carl Friedrich Gauss|Gauss de *Disquisitiones Arithmeticae*.]]
A noción de congruencia foi introducida e utilizada por Carl Friedrich Gauss no seu *Disquisitiones Arithmeticae* de 1801. Gauss Ilustra o teorema chinés  do resto nun problema que implica calendarios, "atopar os anos que teñen un determinado número de período en relación ao ciclo solar e lunar e a indición romana (período de 15 anos)." Gauss Presenta un procedemento para solucionar o problema que xa era utilizado por Leonhard Euler.

## Enunciado 
Sexan n_1, \ldots, n_k enteiros superiores a 1, chamados *módulos*. Denotamos por  o produto dos n_i.

Enunciando o teorema chinés do resto podemos dicir que se os n_i son coprimos por pares, e se a_1, \ldots, a_k son enteiros tal que 0 \le a_i  para cada , daquela hai  un e só *un* enteiro x, tal que 0 \le x  e o resto da  división euclidiana de *x* por n_i é a_ipara cada .

Isto pódese reformular do seguinte xeito en termos de congruencias: Se os n_i son coprimos por pares, e se 

a_1, \ldots, a_k  son enteiros calquera, daquela o sistema

: \begin{align}
 x &\equiv a_1  \pmod{n_1} \\
  &\,\,\,\vdots \\
 x &\equiv a_k \pmod{n_k},
\end{align}

ten solución, e dúas solucións calquera, digamos x_1  e x_2 , son congruentes módulo *N*, é dicir, .

En álxebra abstracta, o teorema adoita ser reformulado como: se os n_ison coprimos por pares, o mapa

: x \bmod N \;\mapsto\;(x \bmod n_1,\, \ldots,\, x \bmod n_k)

Define un isomorfismo de aneis

: \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/n_1\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/n_k\mathbb{Z}

entre o anel de enteiros módulo *N* e o produto directo dos aneis de enteiros módulo os n_i. Isto significa que para facer unha secuencia de operacións aritméticas en \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}, pódese facer o mesmo cálculo independentemente en cada  \mathbb{Z}/n_i\mathbb{Z} e despois obtér o resultado aplicando o isomorfismo (de dereita a esquerda). Isto será máis rápido que o cálculo directo se *N* e o número de operacións son grandes. Isto é amplamente usado, baixo o nome de *computación multimodular*, en álxebra linear sobre os números enteiros ou os números racionais.

O teorema tamén se pode reformular na linguaxe da combinatoria porque as infinitas progresións aritméticas de números enteiros teñen a propiedade de Helly.

## Proba 
A existencia e a unicidade da solución poden probarse independentemente. Con todo, a primeira proba de existencia, dada abaixo, utiliza a unicidade.

### Unicidade 
Se  e  son ambas as dúas solucións a todas as congruencias. Como  e  dan o mesmo resto, ao dividirse entre , temos que a súa diferenza  é múltiplo de cada . Como os  son coprimos por pares, o seu produto  tamén divide , polo que  e  son congruentes módulo . Se  e  se supón que non son negativos e son menores que  (como no primeiro enunciado do teorema), entón a súa diferenza só pode ser múltiplo de  se .

### Existencia (primeira proba) 
Temos

: x \bmod N \mapsto (x \bmod n_1, \ldots, x\bmod n_k)

este mapa asigna clases de congruencia módulo  a múltiples clases de congruencia módulo  . A proba de unicidade mostra que este mapa é inxectivo. Como o dominio e o codominio deste mapa teñen o mesmo número de elementos, o mapa tamén é sobrexectivo, o que proba a existencia da solución.

Esta proba é moi sinxela mais non proporciona ningún xeito directo de calcular unha solución. Ademais, non se pode xeneralizar a outras situacións nas que a seguinte proba si.

### Existencia e solución 
A existencia pódese establecer mediante unha construción explícita de . Esta construción pódese dividir en dous pasos, primeiro resolvendo o problema no caso de dous módulos, e despois estendendo esta solución ao caso xeral por indución sobre o número de módulos.

#### Caso de dous módulos 
Queremos solucionar o sistema:

: 
\begin{align}
  x &\equiv a_1 \pmod {n_1}\\
  x &\equiv a_2 \pmod {n_2},
\end{align}

onde n_1 e n_2 son coprimos.

Pola  identidade de Bézout sabemos da existencia de dous números enteiros m_1 e m_2 tal que

: m_1n_1+m_2n_2=1.

Os enteiros m_1 e m_2 pódense calcular mediante o algoritmo euclidiano estendido.

Unha solución vén dada por

: x_0 = a_1m_2n_2+a_2m_1n_1.

Comprobamos,

: \begin{align}
x_0&=a_1m_2n_2+a_2m_1n_1\\
&=a_1(1 - m_1n_1) + a_2m_1n_1 \\
&=a_1 + (a_2 - a_1)m_1n_1,
\end{align}

iso implica que x_0 \equiv a_1 \pmod {n_1}. A segunda congruencia próbase de xeito similar, trocando os subíndices 1 e 2.

O conxunto total de solucións será logo 
x = x_0 + n_1n_2k para  enteiro. 

#### Caso xeral 
Considere unha secuencia de ecuacións de congruencia:

: 
\begin{align} 
 x &\equiv a_1 \pmod{n_1} \\ 
 &\vdots       \\ 
 x &\equiv a_k \pmod{n_k},
\end{align}

imos ver unha proba por construción e un exemplo por un método moi rápido 

: x \equiv a_iM_iN_i \equiv a_i(1-m_in_i) \equiv a_i \pmod{n_i}, 

Sexa N_i = N/n_i o produto de todos os módulos menos un. Como os n_i son coprimos por pares, N_i e n_i son coprimos. Aplícamos a identidade de Bézout, e existen números enteiros M_i e m_i tal que

: M_iN_i + m_in_i=1.

Unha solución do sistema de congruencias é

: x=\sum_{i=1}^k a_iM_iN_i.

De feito, como N_j é múltiplo de n_i para i\neq j, temos

para cada i.

## Exemplos 
Para o caso de dúas congruencias imos ver dúas versións do problema dos piratas.

a) 17 piratas reparten un botín de máis de 100 moedas e sobra 1. Despois morre 1 pirata, reparten e segue a sobrar unha.
:
\begin{align} 
 x &\equiv 1 \pmod{17} \\ 
 x &\equiv 1 \pmod{16} \\
\end{align}

Aquí 
: m_1n_1+m_2n_2=1.
: 1 \cdot 17+ (-1)16=1.
: x_0=1\cdot 1 \cdot 17+ 1 \cdot (-1)16=1.
: x=1 + 17\cdot 16 \cdot k = 1 + 272k 
Por tanto, a primeira solución  x>100 = 273. 

Cando a  identidade de Bézout non é evidente pódese calcular co algoritmo de Euclides estendido.

b) 17 piratas reparten un botín de máis de 100 moedas e sobra 1. Despois morre 1 pirata, reparten e sobran 7.
:
\begin{align} 
 x &\equiv 1 \pmod{17} \\ 
 x &\equiv 7 \pmod{16} \\
\end{align}

Aquí 
: m_1n_1+m_2n_2=1.
: 1 \cdot 17+ (-1)16=1.
: x_0=1\cdot 7 \cdot 17+ 1\cdot (-1)16=103.
: x=103 + 17\cdot 16 \cdot k = 103 + 272k 
Por tanto, a primeira solución  x>100 = 103. 

### Caso xeral 
Exemplo con catro congruencias,

:
\begin{align} 
 x &\equiv 6 \pmod{11} \\ 
 x &\equiv 13 \pmod{16} \\
 x &\equiv 9 \pmod{21} \\
 x &\equiv 19 \pmod{25} \\
\end{align}

Solución: o módulo da solución completa debe ser 11\cdot16\cdot21\cdot25 = 92500, por seren coprimos.

E comezamos os cálculos

\begin{align}
z_1 &= m/m_1=m_2 m_3 m_4=16 \cdot 21 \cdot 25=8400. \\
z_2 &= m/m_2=m_1 m_3 m_4=11 \cdot 21 \cdot 25=5775.\\
z_3 &= m/m_3=m_1 m_2 m_4=11 \cdot 16 \cdot 25=4400.\\
z_4 &= m/m_4=m_1 m_2 m_3=11 \cdot 16 \cdot 21=3696.\\
\end{align}   

\begin{align}
y_1 &= z_1^{-1} \pmod{11}=7^{-1}\pmod{11}=8\pmod{11}.  \\
y_2 &= z_2^{-1} \pmod{16}=15^{-1}\pmod{16}=15\pmod{16}.  \\
y_3 &= z_3^{-1} \pmod{21}=11^{-1}\pmod{21}=2\pmod{21}.  \\
y_4 &= z_4^{-1} \pmod{25}=21^{-1}\pmod{25}=6\pmod{25}.  \\
\end{align} 
 

\begin{align}
w_1 &= y_1 z_1 \pmod{92400}=67200\pmod{92400}.\\
w_2 &= y_2 z_2 \pmod{92400}=86625\pmod{92400}.\\
w_3 &= y_3 z_3 \pmod{92400}=8800\pmod{92400}.\\
w_4 &= y_4 z_4 \pmod{92400}=22176 \pmod{92400}.\\
\end{align}   

x = a_1 w_1 + a_2 w_2 + a_3 w_3 + a_4 w_4   \pmod{92400}.
x=2029869 \pmod{92400}=89469 \pmod{92400}.

### Como un sistema diofantiano linear 
O sistema de congruencias resolvido polo teorema chinés do resto pódese reescribir como un sistema de ecuacións diofantianas lineares:

: \begin{align} 
 x &= a_1 +x_1n_1\\ 
 &\vdots  \\ 
 x &=a_k+x_kn_k, 
\end{align}

Polo tanto, pódense usar todos os métodos xerais para resolver tales sistemas, como a redución da matriz do sistema á forma normal de Smith ou á forma normal de Hermite.

## Sobre dominios de ideais principais 
O teorema  enunciouse de tres formas diferentes: en termos de restos, de congruencias e dun isomorfismo de anel. A declaración en termos de restos non se aplica, en xeral, aos dominios de ideais principais, xa que os restos non se definen nestes aneis. Non obstante, as outras dúas versións teñen sentido sobre un dominio ideal principal : abonda con substituír "enteiro" por "elemento do dominio" e \mathbb Z por . Estas dúas versións do teorema son certas neste contexto, porque as demostracións (excepto a primeira proba de existencia), baséanse no lema de Euclides e na identidade de Bézout, que son certas en todos os dominios principais.

## Sobre aneis de polinomios dunha  variábel e dominios euclidianos 
Os polinomios univariados sobre un corpo son o exemplo típico dun dominio euclidiano que non son os enteiros. Polo tanto, enunciamos o teorema para o caso do anel R=K[X] para un corpo K. Para obter o teorema nun dominio euclidiano en xeral, abonda con substituír o grao pola función euclidiana do dominio euclidiano.

O teorema chinés do resto para polinomios é así: Sexan P_i(X) (os módulos), para i = 1, \dots, k, polinomios coprimos por pares en R=K[X] . Sexa d_i =\deg P_i o grao de P_i(X), e D a suma dos d_i. Se A_i(X), \ldots,A_k(X) son polinomios tales que A_i(X)=0 ou \deg A_i para cada , daquela, hai un e só un polinomio P(X), tal que \deg P e o resto da división euclidiana de P(X) por P_i(X) é A_i(X) por cada .

Polo tanto, agora queremos atopar un polinomio P(X), que satisfai as congruencias

: P(X)\equiv A_i(X) \pmod {P_i(X)},

para i=1,\ldots,k.

Considere os polinomios

: \begin{align}
  Q(X) &= \prod_{i=1}^{k}P_i(X) \\
 Q_i(X) &= \frac{Q(X)}{P_i(X)}.
\end{align}

A descomposición en fraccións parciais de 1/Q(X) dá  polinomios S_i(X) de grao \deg S_i(X)  tal que

: \frac{1}{Q(X)} = \sum_{i=1}^k \frac{S_i(X)}{P_i(X)},

e así

: 1 = \sum_{i=1}^{k}S_i(X) Q_i(X).

Por tanto unha solución do sistema de congruencias simultáneas vén dada polo polinomio

: \sum_{i=1}^k A_i(X) S_i(X) Q_i(X).

De feito, temos

: \sum_{i=1}^k A_i(X) S_i(X) Q_i(X)= A_i(X)+ \sum_{j=1}^{k}(A_j(X) - A_i(X)) S_j(X) Q_j(X) \equiv A_i(X)\pmod{P_i(X)},

para 1 \leq i \leq k.

A solución pode ter un grao superior a D=\sum_{i=1}^k d_i. Podemos deducir a única solución de grao menor que D se consideramos o resto B_i(X) da división euclidiana de A_i(X)S_i(X) por P_i(X). Esta solución é

: P(X)=\sum_{i=1}^k B_i(X) Q_i(X).

### Interpolación de Lagrange 
Un caso especial  para polinomios é a interpolación de Lagrange. Para isto, considere  polinomios mónicos de grao un:

: P_i(X)=X-x_i.

Son coprimos por pares se os x_i son todos diferentes. O resto da división por P_i(X) dun polinomio P(X) é P(x_i), polo teorema do resto.

Agora, sexan A_1, \ldots, A_k constantes (polinomios de grao 0) en K. Tanto a interpolación de Lagrange como o teorema chinés do resto  afirman a existencia dun polinomio único P(X), de grao inferior a k tal que

: P(x_i)=A_i,

para cada i.

A fórmula de interpolación de Lagrange é exactamente o resultado, neste caso, da construción anterior da solución. Máis precisamente, se temos

: \begin{align}
 Q(X) &= \prod_{i=1}^{k}(X-x_i) \\[6pt]
 Q_i(X) &= \frac{Q(X)}{X-x_i}.
\end{align}

A descomposición parcial da fracción  \frac{1}{Q(X)} é

: \frac{1}{Q(X)} = \sum_{i=1}^k \frac{1}{Q_i(x_i)(X-x_i)}.

Agora, se reducimos o lado dereito a un denominador común obtemos

:  \sum_{i=1}^k \frac{1}{Q_i(x_i)(X-x_i)}= \frac{1}{Q(X)} \sum_{i=1}^k \frac{Q_i(X)}{Q_i(x_i)},

e o numerador é igual a 1, xa que é un polinomio de grao menor que k, que toma o valor 1 para k diferentes valores de X. Desta fórmula, podemos obter a fórmula de interpolación de Lagrange:

: P(X)=\sum_{i=1}^k A_i\frac{Q_i(X)}{Q_i(x_i)}.

### Interpolación de Hermite 
A interpolación de Hermite é unha aplicación do teorema  para polinomios univariados, que admite módulos de graos arbitrarios (a interpolación de Lagrange só admite módulos de grao un).

Debemos conseguir un polinomio do menor grao posible, de xeito que o polinomio e as súas primeiras derivadas tomen valores dados nalgúns puntos fixos.

Sexan x_1, \ldots, x_k,  k elementos do corpo  K, e, para i=1,\ldots, k, sexan a_{i,0}, a_{i,1}, \ldots, a_{i,r_i-1} os valores das primeiras derivadas r_i  en x_i do polinomio buscado (incluída a derivada 0, que é o valor do propio polinomio). O problema consiste en atopar un polinomio P(X) tal que a súa derivada *j*&#x200A;-ésima tome o valor a_{i,j}  en  x_i, para i=1,\ldots,k e j=0,\ldots,r_j.

Considere o polinomio

: P_i(X) = \sum_{j=0}^{r_i - 1}\frac{a_{i,j}}{j!}(X - x_i)^j.

Este é o polinomio de Taylor de orde r_i-1 en x_i do polinomio descoñecido P(X). Polo tanto, debemos ter

: P(X)\equiv P_i(X) \pmod {(X-x_i)^{r_i}}.

Pola contra, calquera polinomio P(X)  que satisfai estas k congruencias, en particular verifica, para calquera i=1, \ldots, k

: P(X)= P_i(X) +o(X-x_i)^{r_i-1} 

polo tanto P_i(X) é o seu polinomio de Taylor de orde  r_i - 1 en x_i, e con iso temos que P(X) resolve o problema inicial da interpolación de Hermite. O teorema chinés do resto afirma que existe exactamente un polinomio de grao menor que a suma dos r_i, que satisfai estas k congruencias.

## Xeneralización a módulos non coprimos 
O teorema chinés do resto pódese xeneralizar a módulos non coprimos. Sexa m, n, a, b ser calquera número enteiro, deixe g = \gcd(m,n) ; M = \operatorname{lcm}(m,n), e considere o sistema de congruencias:

: 
\begin{align}
x &\equiv a \pmod m \\
x &\equiv b \pmod n,
\end{align}

Se a \equiv b \pmod g, entón este sistema ten unha solución única módulo M = mn/g. En caso contrario, non ten solucións.

Se usamos a identidade de Bézout para escribir g = um + vn, daquela a solución vén dada por

:  x = \frac{avn+bum}{g}.

Isto define un número enteiro, xa que  divide tanto  como . A demostración é moi semellante á dos módulos coprimos. 

## Xeneralización a aneis arbitrarios 
O teorema chinés do resto pódese xeneralizar a calquera anel, usando ideais coprimos (tamén chamados ideais comaximais). Dous ideais  e  son coprimos se hai elementos i\in I e j\in J tal que i+j=1. Esta relación xoga o papel da identidade de Bézout nas probas relacionadas con esta xeneralización, que polo demais son moi semellantes. A xeneralización pódese expresar do seguinte xeito.  

Sexan   ideais bilaterais dun anel R e sexa  a súa intersección. Se os ideais son coprimos por pares, temos o isomorfismo:

: \begin{align}
  R/I &\to (R/I_1) \times \cdots \times (R/I_k) \\
 x \bmod I &\mapsto (x \bmod I_1,\, \ldots,\, x \bmod I_k),
\end{align}

entre o anel cociente R/I e o produto directo de R/I_i, onde " x \bmod I " denota a imaxe do elemento x no anel cociente definido polo ideal I. Alén diso, se R é conmutativo, daquela, o ideal intersección  dos ideais coprimos par pares é igual ao seu produto; é dicir

: 
I= I_1\cap I_2 \cap\cdots\cap I_k= I_1I_2\cdots I_k,

se  e  son coprimos para todo .

### Interpretación en termos de idempotentes 
Sexan I_1, I_2, \dots, I_k  ideais bilaterais coprimos por pares con  \bigcap_{i = 1}^k I_i = 0, e sexa

: \varphi:R\to (R/I_1) \times \cdots \times (R/I_k)

o isomorfismo definido anteriormente. Sexa f_i=(0,\ldots,1,\ldots, 0)  o elemento de (R/I_1) \times \cdots \times (R/I_k) cuxos compoñentes son todos  agás o elemento -ésimo que é  e e_i=\varphi^{-1}(f_i).

Os e_i son idempotentes centrais que son ortogonais por pares; isto significa, en particular, que e_i^2=e_i e e_ie_j=e_je_i=0 para cada  e  . Máis aínda, un ten e_1+\cdots+e_n=1, e I_i=R(1-e_i).

En resumo, esta xeneralización do teorema chinés do resto  é a equivalencia entre  ideais bilaterais coprimos por pares con intersección cero e idempotentes centrais e ortogonais  por pares que suman .

## Aplicacións 
### Numeración secuencial 
O teorema chinés do resto  utilizouse para construír unha numeración de Gödel para as secuencias, que forma parte da demostración dos teoremas de incompletitude de Gödel.

### Transformada de Fourier rápida (FFT) 
O algoritmo FFT de factor primo  usa o teorema chinés do resto para reducir o cálculo dunha transformada de Fourier rápida de tamaño n_1n_2 ao cálculo de dúas transformadas rápidas de Fourier de tamaños menores n_1 e n_2 (coa condición de n_1 e n_2 seren coprimos).

### Cifrado 
Na sinatura de certificados HTTPS e durante o descifrado utilízase habitualmete o algoritmo RSA que usa o teorema chinés do resto.

### Resolución de ambigüidade de rango 
As técnicas de resolución de ambigüidade de rango utilizadas co radar de frecuencia de repetición de pulso medio poden verse como un caso especial do teorema chinés do resto.

### Descomposición de funcións sobrexectivas de grupos abelianos finitos 
Dada unha función sobrexectiva \mathbb{Z}/n \to \mathbb{Z}/m de grupos abelianos finitos, podemos usar o teorema chinés do resto para dar unha descrición completa de calquera mapa deste tipo. En primeiro lugar, o teorema dá isomorfismos

: \begin{align}
\mathbb{Z}/n &\cong \mathbb{Z}/p_{n_1}^{a_1} \times \cdots \times \mathbb{Z}/p_{n_i}^{a_i} \\
\mathbb{Z}/m &\cong \mathbb{Z}/p_{m_1}^{b_1} \times \cdots \times \mathbb{Z}/p_{m_j}^{b_j}
\end{align}

onde \{p_{m_1},\ldots,p_{m_j} \} \subseteq \{ p_{n_1},\ldots, p_{n_i} \}. Alén diso, para calquera mapa inducido

: \mathbb{Z}/p_{n_k}^{a_k} \to \mathbb{Z}/p_{m_l}^{b_l}

da sobrexección orixinal, temos a_k \geq b_l e p_{n_k} = p_{m_l}, xa que para un par de primos p,q, as únicas sobrexeccións diferentes de cero

: \mathbb{Z}/p^a \to \mathbb{Z}/q^b

poden definirse se p = q e a \geq b.

Estas observacións son fundamentais para construír o anel de enteiros profinitos, que se dá como o límite inverso de todos estes mapas.

### Teorema de Dedekind 
**Teorema de Dedekind sobre a independencia linear dos caracteres.** Sexa  un monoide e  un dominio integral, visto como un monoide considerando a multiplicación en . Daquela calquera familia finita  de distintos homomorfismos monoides  é linearmente independente. Noutras palabras, toda familia  de elementos  que satisfai

: \sum_{i \in I}\alpha_i f_i = 0

debe ser igual á familia  .

**Proba.** Primeiro supoña que  é un corpo, se non, substitúa o dominio integral  polo seu corpo cociente, e nada mudará. Podemos estender linearmente os homomorfismos monoides a  homomorfismos de k-álxebra (álxebra de corpo ) , onde  é o anel monoide de  sobre . Así, por linearidade, a condición

: \sum_{i\in I}\alpha_i f_i = 0,

produce

: \sum_{i \in I}\alpha_i F_i = 0.

Proseguimos, para  os dous mapas  -lineais  e  non son proporcionais entre si. En caso contrarioetamén serían proporcionais e, polo tanto, iguais xa que como homomorfismos monoides satisfán:, o que contradí a suposición de que son distintos.

Polo tanto, os kernels  e  son distintos. Xa que  é un corpo,  é un ideal máximo de  para cada  en  . Como  os ideais  e  son distintos e máximos tamén son coprimos sempre que . O teorema chinés do resto (para aneis en xeral) produce un isomorfismo:

: \begin{align}
 \phi: k[M] / K &\to \prod_{i \in I}k[M] / \mathrm{Ker} F_i \\
   \phi(x + K) &= \left(x + \mathrm{Ker} F_i\right)_{i \in I}
\end{align}

onde

: K = \prod_{i \in I}\mathrm{Ker} F_i = \bigcap_{i \in I}\mathrm{Ker} F_i.

En consecuencia, o mapa

: \begin{align}
 \Phi: k[M] &\to \prod_{i \in I}k[M]/ \mathrm{Ker} F_i \\
   \Phi(x) &= \left(x + \mathrm{Ker} F_i\right)_{i \in I}
\end{align}

é sobrexectivo. Baixo os isomorfismos  o mapa  corresponde a:

: \begin{align}
 \psi: k[M] &\to \prod_{i \in I}k \\
   \psi(x) &= \left[F_i(x)\right]_{i \in I}
\end{align}

Agora,

: \sum_{i \in I}\alpha_i F_i = 0

produce

: \sum_{i \in I}\alpha_i u_i = 0

para cada vector  na imaxe do mapa . Dado que  é sobrexectivo, isto significa que

: \sum_{i \in I}\alpha_i u_i = 0

para cada vector

: \left(u_i\right)_{i \in I} \in \prod_{i \in I}k.

En consecuencia, . QED.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
*
*
*. See in particular Section 2.5, "Helly Property", pp.&nbsp;393–394.
* 
* 
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*. See Section 31.5: The Chinese remainder theorem, pp.&nbsp;873–876.
*
*
*. See Section 4.3.2 (pp.&nbsp;286–291), exercise 4.6.2–3 (page 456).

### Outros artigos
* Cobertura
* Principio de Hasse

## Ligazóns externas 
* Calculadora online dun sistema de congruencias
*Calculadora online do algoritmo de Euclides estendido
* Texto completo de Sun-tzu Suan-ching (Chinés)