Función exponencial

dereita|miniatura| Curva da función exponencial e^x
dereita|miniatura|200x200px| Funcións exponenciais con bases 2 e 1/2
A **función exponencial** é unha función matemática denotada por f(x)=\exp(x) ou e^x (onde o argumento  escríbese coma un expoñente). A menos que se especifique o contrario, o termo refírese xeralmente á función con valores positivos dunha variábel real, aínda que se pode estender aos números complexos ou xeneralizarse a outros obxectos matemáticos como matrices ou álxebras de Lie. A función exponencial orixinouse da operación de tomar potencias dun número (multiplicación repetida), mais varias definicións modernas permiten estendela rigorosamente a todos os argumentos reais x, incluíndo os números irracionais. 

As funcións f(x) = b^x para números reais positivos b tamén se coñecen como **funcións exponenciais** e satisfán a identidade de exponenciación:

:b^{x+y} = b^x b^y para tódolos x,y\in\mathbb{R}.
Isto implica que para os números enteiros positivos n temos 
b^n= b\times\cdots\times b (con n factores), onde b=b^1, relacionando as funcións exponenciais coa noción elemental de potenciación. A base natural e = \exp(1)=2.71828\ldots é unha constante matemática ubicua chamada número de Euler. Para distinguilo, \exp(x)=e^x chámase '''*función* exponencial** ou **función exponencial natural''': é a única función con valor real dunha variábel real cuxa derivada é ela mesma e cuxo valor en  é :
:\exp'(x)=\exp(x) para todos os x\in \R, e \exp(0)=1.
A relación b^x = e^{x\ln b} para b>0 e x real ou complexa, permite expresar funcións exponenciais xerais en termos da exponencial natural.

De xeito máis xeral, calquera función f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por

:f(x)=c e^{ax}=c b^{kx}, \text{ con }k=a/ \ln b,\ a\neq 0,\ b ,c>0

tamén se coñece como función exponencial, xa que resolve o problema do valor inicial f'=af,\ f(0)=c, é dicir, a súa taxa de cambio en cada punto é proporcional ao valor da función nese punto. Este comportamento modela diversos fenómenos nas ciencias biolóxicas, físicas e sociais, por exemplo, o crecemento sen restricións dunha poboación que se reproduce por si mesmo, a desintegración dun elemento radioactivo, o interese composto que se acumula nun fondo financeiro ou  a lei de Moore.

A función exponencial tamén se pode definir como unha serie de potencias, que se aplica facilmente a números reais, números complexos e mesmo matrices. A función exponencial complexa \exp:\mathbb{C}\to\mathbb{C} toma todos os valores complexos agás 0 e está estreitamente relacionado coas funcións trigonométricas complexas pola fórmula de Euler:e^{x+iy} = e^x\cos(y) \,+\, i \,e^x\sin(y). A función exponencial dos números reais é unha bixección de \mathbb{R} no intervalo (0,\infty). A súa función inversa é o logaritmo natural, denotado ,  ou 

## Gráfica 
A gráfica de y=e^x ten pendente ascendente e aumenta máis rápido a medida que  aumenta. A gráfica atópase sempre por riba do eixo , mais atópase arbitrariamente preto del para un  negativo grande; así, o eixo  é unha asíntota horizontal. A ecuación \tfrac{d}{dx}e^x = e^x significa que a pendente da tanxente á gráfica en cada punto é igual á súa coordenada  nese punto.

## Definición formal 
dereita|miniatura| A función exponencial (en azul) e a suma dos primeiros  termos da súa serie de potencias (en vermello)
A función exponencial \exp pode caracterizarse de diversas formas equivalentes. Normalmente defínese pola seguinte serie de potencias: 
:\exp x := \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots

Dado que o raio de converxencia desta serie de potencias é infinito, esta definición é aplicábel a todos os números complexos; ver plano complexo.

Resolvendo a ecuación diferencial ordinaria y'(x) = y(x) coa condición inicial y'(0)=1 usando o método de Euler dá outra caracterización común, a fórmula do límite do produto:   \exp x = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n.

Pódese demostrar que toda solución continua e distinta de cero da ecuación funcional f(x+y)=f(x)f(y) para f: \C \to \C é unha función exponencial no sentido máis xeral, f(x) = \exp(kx) con k\in\C.

## Derivadas e ecuacións diferenciais 
dereita|miniatura|391x391px| A derivada da función exponencial é igual ao valor da función. Desde calquera punto  da curva (azul), trázase unha recta tanxente (vermello) e unha vertical (verde) de altura , formando un triángulo rectángulo con base  no eixo . Dado que a pendente da recta tanxente vermella (a derivada) en  é igual á relación entre a altura do triángulo e a base do triángulo, e a derivada é igual ao valor da función,  debe ser igual á relación de  con . Polo tanto, a base  debe ser sempre&nbsp;1.
A importancia da función exponencial en matemáticas e ciencias deriva principalmente da súa propiedade como función única que é igual á súa derivada e é igual a 1 cando  . É dicir, \frac{d}{dx}e^x = e^x,\quad e^0=1.

As funcións da forma  para a constante  son as únicas funcións que son iguais á súa derivada (polo teorema de Picard-Lindelöf). 

Tamén, para calquera función diferenciábel , atopamos, pola regra da cadea: \frac{d}{dx} e^{f(x)} = f'(x)e^{f(x)}.

## Fraccións continuas para  
Unha fracción continua para  pódese obter mediante unha identidade de Euler:  e^x = 1 + \cfrac{x}{1 - \cfrac{x}{x + 2 - \cfrac{2x}{x + 3 - \cfrac{3x}{x + 4 - \ddots}}}}

A seguinte fracción continua xeneralizada para  converxe máis rapidamente:   e^z = 1 + \cfrac{2z}{2 - z + \cfrac{z^2}{6 + \cfrac{z^2}{10 + \cfrac{z^2}{14 + \ddots}}}}

## Plano complexo 
alt=The exponential function e^z plotted in the complex plane from -2-2i to 2+2i|miniatura| A función exponencial e^z representada no plano complexo de -2-2i a 2+2i
Como no caso real, a función exponencial pódese definir no plano complexo de varios xeitos equivalentes.

A definición máis común da función exponencial complexa é paralela á definición da serie de potencias para argumentos reais, onde a variábel real é substituída por outra complexa: \exp z := \sum_{k = 0}^\infty\frac{z^k}{k!} 

O mesmo pasa coa definición baseada no límite: \exp z := \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n 

Para a definición en serie de potencias, a multiplicación por termos de dúas copias desta serie de potencias no sentido de Cauchy, permitida polo teorema de Mertens, mostra que a propiedade multiplicativa definitoria das funcións exponenciais segue a ser válida para todos os argumentos complexos: \exp(w+z)=\exp w\exp z \text { para todos os } w,z\in\mathbb{C}

A definición da función exponencial complexa leva á súa vez ás definicións adecuadas que estenden as funcións trigonométricas a argumentos complexos.

En particular, cando  (  real), a definición da serie produce a expansión \exp(it) = \left( 1-\frac{t^2}{2!}+\frac{t^4}{4!}-\frac{t^6}{6!}+\cdots \right) + i\left(t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \frac{t^7}{7!}+\cdots\right).

Nesta expansión, a reordenación dos termos en partes reais e imaxinarias está xustificada pola converxencia absoluta da serie. As partes real e imaxinaria da expresión anterior corresponden de feito ás expansións en serie de  e , respectivamente.

Esta correspondencia proporciona un motivo para definir o coseno e o seno para todos os argumentos complexos en termos de \exp(\pm iz) e a serie de potencias equivalentes:  \begin{align}
  & \cos z:= \frac{\exp(iz)+\exp(-iz)}{2} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{z^{2k}}{(2k)!}, \\[5pt]
 \text{ e } \quad & \sin z := \frac{\exp(iz)-\exp(-iz)}{2i} =\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}
 \end{align}

para todo  z\in\mathbb{C}.

Estas definicións para as funcións exponenciais e trigonométricas conducen trivialmente á fórmula de Euler: :\exp(iz)=\cos z+i\sin z, \text{ para todo } z\in\mathbb{C}.

A función exponencial complexa é periódica con período  e \exp(z+2\pi i k)=\exp z cúmprese para todo z \in \mathbb{C}, k \in \mathbb{Z} .

Cando o seu dominio se estende desde a recta real ata o plano complexo, a función exponencial conserva as seguintes propiedades: \begin{align}
  & e^{z + w} = e^z e^w, \\[5pt]
  & e^0 = 1, \\[5pt]
  & e^z \ne 0, \\[5pt]
  & \frac{d}{dz} e^z = e^z, \\[5pt]
  & \left(e^z\right)^n = e^{nz}, n \in \mathbb{Z},
 \end{align} 

para todos os  w,z\in\mathbb C.

A extensión do logaritmo natural a argumentos complexos obtemos o logaritmo complexo , que é unha función multivalorada.
Ficheiro:ExponentialAbs_real_SVG.svg|alt=z = Re(ex + iy)| 
Ficheiro:ExponentialAbs_image_SVG.svg|alt=z = Im(ex + iy)| 
Ficheiro:ExponentialAbs_SVG.svg|alt=| 

### Cálculo de  onde tanto  como  son complexos 
A exponenciación complexa  pódese definir convertendo  en coordenadas polares e utilizando a identidade 
: a^b = \left(re^{\theta i}\right)^b = \left(e^{(\ln r) + \theta i}\right)^b = e^{\left((\ln r) + \theta i\right)b}

Cando  non é un número enteiro, esta función ten varios valores, porque  non é único.

## Álxebras de Lie 
Dado un grupo de Lie  e a súa álxebra de Lie asociada \mathfrak{g}, o mapa exponencial é un mapa \mathfrak{g}  que satisfai propiedades similares. De feito, dado que  é a álxebra de Lie do grupo de Lie de todos os números reais positivos baixo multiplicación, a función exponencial ordinaria para argumentos reais é un caso especial da álxebra de Lie. Do mesmo xeito, dado que o grupo de Lie  das matrices invertíbeis  ten como álxebra de Lie , o espazo de todas as matrices , a función exponencial para matrices cadradas é un caso especial do Mapa exponencial da álxebra de Lie.

A identidade \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y) pode fallar para os elementos da álxebra de Lie  e  que non conmuten; a fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff proporciona os termos de corrección necesarios.

## Transcendencia 
A función  non está no anel das funcións racionais \C(z): non é o cociente de dous polinomios con coeficientes complexos.

Se   son números complexos distintos, entón   son linearmente independentes sobre \C(z), e polo tanto  é transcendental en \C(z).
## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Lista de funcións matemáticas.
### Ligazóns externas 
*