Tetración

[alt=Un gráfico en cor con bucles de cores brillantes que medran en intensidade a medida que o ollo se dirixe á dereita|miniatura|Coloreado do dominio da tetración definida como [función holomorfa {}^{z}e, co ton representando o argumento e o brillo representando o módulo.]]
En matemáticas, a **tetración** (ou **hiper-4**) é o seguinte hiperoperador despois da potenciación, e é definida como unha potenciación iterada. A palabra provén de tetra (catro) e ción (de iteración). A tetración é usada para a notación dos números moi grandes.

## Introdución 
Para entender a tetración hai que entender a relación xerárquica que teñen a suma, a multiplicación e a exponenciación: as multiplicacións poden entenderse como sumas repetidas, a potenciación como multiplicacións repetidas e a tetración como potenciacións repetidas. Todas estas operacións repetidas forman unha xerarquía de "hiperoperacións" que consisten en repetir certo número de veces a operación do nivel inferior. Aquí preséntanse exemplos dos primeiros catro operadores, coa tetración como o primeiro hiperoperador.

# Adición
#: a + n = a+\!\underbrace{1+1+...+1}_{n}
#:: a unidade 1 añadida a  "*a"*  n veces.
# Multiplicación
#: a \times n = \underbrace{a + a + \cdots + a}_n
#: *a* sumado *n* veces.
# Potenciación
#: a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_n
#:: *a* multiplicado *n* veces.
# Tetración
#: {^{n}a} = \underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}_n  
 copias de  combinadas por exponenciación, de dereita a esquerda.

Teña en conta que os expoñentes aniñados interprétanse convencionalmente de arriba abaixo: {{tmath|a^{b^c} }} significa {{tmath|a^{\left(b^c \right)} }} e non 

Na tetración cada operación é definida mediante a iteración da operación previa (a seguinte operación na sucesión é a pentación). A peculiaridade da tetración entre estas operacións é que para as tres primeiras (adición, multiplicación e potenciación) poden ser xeneralizadas para valores complexos de *n*, mentres que para a tetración, tal xeneralización regular non está actualmente establecida; a tetración non é considerada unha función elemental.

A adición (a + n) é a operación máis básica, a multiplicación (an) é tamén unha operación primaria, aínda que para os números naturais pode ser pensada como a adición encadeada que implica *n* números *a*, e a potenciación (a^{n}) pode ser pensada como unha multiplicación encadeada que implica *n* números *a*.

Análogamente, a tetración ({}^{n}a) pode ser pensada como unha potencia encadeada con *n* expoñentes *a*. O parámetro *a* chámase *base*, mentres que o parámetro *n,* *altura* (que é enteiro na primeira aproximación, pero pódese xeneralizar a *alturas* fraccionais, reais e complexas)

## Definición 
Para calquera número real positivo  a > 0  e un número enteiro non negativo  n \ge 0 , defínese \,\! {^{n}a}  como:

: {^{n}a} := \begin{cases} 1 &\text{se }n=0 \\ a^{\left[^{(n-1)}a\right]} &\text{se }n>0 \end{cases} 

### Exemplos de potencias iteradas contra bases iteradas/potenciación 
Como se pode ver da definición, ao avaliar a tetración, esta exprésase como unha "torre de expoñentes", a potenciación realízase no nivel máis alto primeiro para que esta sexa irreducible. Dito doutro modo:

: \,\! ^{4}2 = 2^{(2^{(2^{2})})} = 2^{(2^{4})} = 2^{16} = 65536

Nótese que a potenciación non é asociativa, así que avaliar a expresión  noutra orde proporcionará unha resposta diferente ademais de incorrecta:

: \,\!\ ^{4}2 = ((2^{2})^{2})^{2} = ({4^{2}})^{2} = 16^{2} = 256

Simplificaríase a 2^(2^(4-1))=2^(2^3)=2^8=256, que é unha dobre exponencial.

Polo tanto, as torres exponenciais deben ser avaliadas de arriba abaixo (ou de dereita a esquerda), xa que a tetración é unha función exponencial iterada.

## Propiedades 
A tetración ten varias propiedades que son similares á potenciación, así como propiedades que son específicas da operación e que se perden ou gañan coa potenciación. Debido a que a potenciación non é conmutativa, as regras do produto e da potencia non teñen un análogo coa tetración; as afirmacións {}^a \left({}^b x\right) = \left({}^{ab} x\right) e {}^a \left(xy\right) = {}^a x {}^a y non son certas para a maioría dos casos.

Pola contra, a tetración segue unha propiedade diferente, onde {}^a x = x^{\left({}^{a-1} x\right)}. Este feito vese máis claramente usando unha definición recursiva. Desta propiedade séguese que \left({}^b a\right)^{\left({}^c a\right)} = \left({}^{c+1} a\right)^{\left({}^{b-1} a\right)}, o que permite intercambiar *b* e *c* en determinadas ecuacións. A demostración desta propiedade é a seguinte:

: \begin{align}
      &\left({}^b a\right)^{\left({}^c a\right)}         \\
  ={} &\left(a^{{}^{b-1} a}\right)^{\left({}^c a\right)} \\
  ={} &a^{\left({}^{b-1} a\right)\left({}^c a\right)}    \\
  ={} &a^{\left({}^c a\right)\left({}^{b-1} a\right)}    \\
  ={} &\left({}^{c+1} a\right)^{\left({}^{b-1} a\right)}
\end{align}

Cando un número *x* e 10 son coprimos, entón pódense computar as últimas *m* cifras decimais de \,\!\ ^{a}x empregando o teorema de Euler, para calquera enteiro *m*. Isto é certo tamén noutras bases: por exemplo, as últimas *m* cifras octais de \,\!\ ^{a}x pódense calcular cando *x* e 8 son coprimos.

## Xeneralizacións 
A tetración pódese xeneralizar de dúas maneiras diferentes; na ecuación ^na!, tanto a base  como a súa altura  pódense xeneralizar empregando a definición e as propiedades da tetración. Aínda que a base e a altura pódense xeneralizar máis alá dos enteiros non negativos a diferentes dominios, incluíndo {^n 0}, funcións complexas como {}^{n}i, e alturas de infinito , as propiedades máis limitadas da tetración reducen a capacidade de xeneralizala.

### Base cero ou complexa 
#### Base cero 
A potencia 0^0 non está definida de forma consistente. Polo tanto, as tetracións \,{^{n}0} tampouco están claramente definidas pola fórmula dada anteriormente. Pola contra, \lim_{x\rightarrow0} {}^{n}x está ben definida, e existe:

: \lim_{x\rightarrow 0} {}^{n}x = \begin{cases}
  1, & n \text{ par} \\
  0, & n \text{ impar} \end{cases}

Por ende, poderíamos definir consistentemente {}^{n}0 = \lim_{x\rightarrow 0} {}^{n}x. Isto é análogo a definir 0^0 = 1.
Baixo esta xeneralización, {}^{0}0 = 1, polo que a regra {{0}a} = 1 da definición orixinal segue vixente.

#### Bases complejas 
alt=Un colorido gráfico que mostra o período facéndose moito máis grande|miniatura|Tetración por período
alt=Un colorido gráfico que mostra o escape facéndose moito máis grande|miniatura|Tetración por escape
Dado que os números complexos pódense elevar a potencias, a tetración pódese aplicar a *bases* da forma  (onde *a* e *b* son reais). Por exemplo, en *n**z* con *z* = *i*, a tetrización obtense empregando a rama principal do logaritmo natural; utilizando a fórmula de Euler obtemos a relación:

: i^{a+bi} = e^{\frac{1}{2}{\pi i} (a + bi)} = e^{-\frac{1}{2}{\pi b}} \left(\cos{\frac{\pi a}{2}} + i \sin{\frac{\pi a}{2}}\right)

Isto suxire unha definición recursiva para {}^{n+1}i = a' + b' i dado calquera {}^{n}i = a + bi:

: \begin{align}  a' &= e^{-\frac{1}{2}{\pi b}} \cos{\frac{\pi a}{2}} \\[2pt]
  b' &= e^{-\frac{1}{2}{\pi b}} \sin{\frac{\pi a}{2}}\end{align}

Isto permite encontrar os seguintes valores aproximados:

### Xeneralizacións para diferentes alturas 
#### Alturas infinitas 
alt=Un gráfico de líñas cunha rápida curva cara arriba a medida que aumenta a base|miniatura|\textstyle \lim_{n\rightarrow \infty} {}^nx da potencial infinitamente iterada converxe para as bases  \textstyle \left(e^{-1}\right)^e \le x \le e^{\left(e^{-1}\right)}.
alt=Una gráfica cartesiana tridimensional con un punto en el centro|miniatura|A función left| \frac{\mathrm{W}(-\ln{z})}{-\ln{z}} \ln{z}| no plano complexo, mostrando a función exponencial infinitamente iterada de valor real (curva negra)
A tetración pódese estender ás alturas infinitas; é dicir, para certos valores de *a* e *n* en {}^{n}a, existe un resultado ben definido para un *n* infinito. Isto débese a que para bases dentro dun certo intervalo, a tetrización converxe a un valor finito a medida que a altura tende ao infinito. Por exemplo, \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdot^{\cdot^{}}}}} converxe a 2, e por tanto pódese dicir que é igual a 2. A tendencia a 2 pódese ver avaliando unha pequena torre finita:

: \begin{align}
  \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.414}}}}}
    &\approx \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.63}}}} \\
    &\approx \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.76}}} \\
    &\approx \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1.84}} \\
    &\approx \sqrt{2}^{1.89} \\
    &\approx 1.93
\end{align}

En xeral, a pontencial infinitamente iterada x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}\!\!, definida como o límite de {}^{n}x a medida que *n* crece a infinito, converxe para e^{-e} \le x \le e^{1/e}, aproximadamente o intervalo de 0.066 a 1.44, resultado demostrado por Leonhard Euler. O límite, se existe, é unha solución real positiva da ecuación 1=*y* = *x**y*. Así,  1 =*x* = *y*1/*y*. O límite que define a exponencial infinita de *x* non existe cando *x* > *e*1/*e* porque o máximo de *y*1/*y* é *e*1/*e*. O límite tampouco existe cando 0 -*e*.
Isto pódese estender aos números complexos *z* coa definición:

: {}^{infty}z = z^{z^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}} = \frac{\mathrm{W}(-\ln{z})}{-\ln{z}} ~,

onde W representa a función W de Lambert.

Como o límite 1=*y* = ∞*x* (se existe na recta real positiva, é dicir para *e*-*e* ≤ *x* ≤ *e*1/*e*) debe satisfacer 1=*x**y* = *y* vemos que 1=*x* ↦ *y* = ∞*x* é (a rama inferior de) a función inversa de 1=*y* ↦ *x* = *y*1/*y*.

#### Alturas negativas 
Podemos utilizar a regra recursiva da tetración,

: {^{k+1}a} = a^{\left({^{k}a}\right)},

para demostrar que {}^{-1}a:

: ^{k}a = \log_a \left(^{k+1}a\right);

Substituíndo -1 por  obtense

: {}^{-1}a = \log_{a} \left({}^0 a\right) = \log_a 1 = 0.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Daniel Geisler, *tetration.org*
* Ioannis Galidakis, *On extending hyper4 to nonintegers* (undated, 2006 or earlier) *(A simpler, easier to read review of the next reference)*
* Ioannis Galidakis, ''On Extending hyper4 and Knuth's Up-arrow Notation to the Reals* (undated, 2006 or earlier).
* Robert Munafo, *Extension of the hyper4 function to reals* *(An informal discussion about extending tetration to the real numbers.)*
* Lode Vandevenne, *Tetration of the Square Root of Two*, (2004). *(Attempt to extend tetration to real numbers.)*
* Ioannis Galidakis, *Mathematics*, *(Definitive list of references to tetration research. Lots of information on the Lambert W function, Riemann surfaces, and analytic continuation.)*
* 
* Joseph MacDonell, *Some Critical Points of the Hyperpower Function *.
* Dave L. Renfro, *Web pages for infinitely iterated exponentials* *(Compilation of entries from questions about tetration on sci.math.)*
* R. Knobel. "Exponentials Reiterated." *American Mathematical Monthly* **88**, (1981), p.&nbsp;235–252.
* Takeji Ueda. *Extension of tetration to real and complex heights* (2021).
* Hans Maurer. "Über die Funktion y=x^{[x^{[x(\cdots)]}]} für ganzzahliges Argument (Abundanzen)." *Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft in Hamburg* **4**, (1901), p.&nbsp;33–50. *(Reference to usage of \ {^{n} a} from Knobel's paper.)*
* Ripà, Marco (2011). *La strana coda della serie n^n^...^n'', Trento, UNI Service. ISBN 978-88-6178-789-6
### Outros artigos 
* Hiperoperación
* Pentación
### Ligazóns externas 
* Andrew Robbins' site on tetration
* Daniel Geisler's site on tetration
* Tetration Forum
* tetration at citizendium
* Gottfried Helms' site on tetration