Espazo ba

En matemáticas, o **espazo ba** ba(\Sigma) dunha álxebra de conxuntos \Sigma é o espazo de Banach que consiste en todas as medidas con signo finitamente aditivas e limitadas en \Sigma. A norma defínese como a variación, é dicir \|\nu\|=|\nu|(X).

Se Σ é unha sigma-álxebra, entón o espazo ca(\Sigma) defínese como o subconxunto de ba(\Sigma) que consiste en medidas numerabelmente aditivas. A notación *ba* é unha abreviatura de bounded additive (*aditivo limitado)* e *ca* é a abreviatura de countably additive (*aditivo numerábel)*.

Se *X* é un espazo topolóxico e Σ é a sigma-álxebra dos conxuntos de Borel en *X*, entón rca(X) é o subespazo de ca(\Sigma) que consiste en todas as medidas regulares de Borel en *X.* 

## Propiedades 
Os tres espazos son completos (son espazos de Banach) en relación á mesma norma definida pola variación total, e polo tanto ca(\Sigma) é un subconxunto pechado de ba(\Sigma), e rca(X) é un conxunto pechado de ca(\Sigma) para Σ a álxebra dos conxuntos de Borel en *X.* O espazo de funcións simples en \Sigma é denso en ba(\Sigma).

O espazo ba do conxunto de partes dos números naturais, *ba* (2**N**), denótase a miúdo simplemente como ba e é isomorfo ao espazo dual do espazo ℓ∞.

### Dual de B(Σ) 
Sexa B(Σ) o espazo de funcións Σ-medíbeis limitadas, equipadas coa norma uniforme. Entón *ba* (Σ) = B(Σ)* é o espazo dual continuo de B(Σ). Isto débese a Hildebrandt  e Fichtenholtz e Kantorovich . 

Este é un tipo de teorema da representación de Riesz que permite representar unha medida como un funcional linear en funcións medíbeis. En particular, este isomorfismo permite *definir* a integral en relación a unha medida aditiva finitamente (téñase en conta que a integral de Lebesgue habitual require aditividade *numerábel*). Isto débese a Dunford e Schwartz  e úsase a miúdo para definir a integral en relación ás medidas vectoriais  e, especialmente, ás medidas de Radon con valores vectoriais.

A dualidade topolóxica *ba* (Σ) = B(Σ)* é doada de ver. Existe unha dualidade *alxébrica* evidente entre o espazo vectorial de *todas* as medidas finitamente aditivas σ en Σ e o espazo vectorial de funcións simples ( \mu(A)=\zeta\left(1_A\right) ). É doado comprobar que a forma linear inducida por σ é continua na norma superior se σ está limitada, e o resultado dedúcese por mor de que unha forma linear no subespazo denso de funcións simples esténdese a un elemento de B(Σ)* se é continua na norma superior.

### Dual de *L*∞(*μ*) 
Se Σ é unha sigma-álxebra e *μ* é unha medida positiva sigma-aditiva en Σ , entón o Lp-espazo *L*∞(*μ*) dotado da norma suprema esencial é por definición o espazo cociente de B(Σ) polo subespazo pechado de funcións *μ*-nulas limitadas:

: N_\mu:=\{f\in B(\Sigma) : f = 0 \ \mu\text{-case en todas as partes} \}.

Polo tanto , o espazo dual de Banach *L*∞(*μ*)* é isomorfo a

: N_\mu^\perp=\{\sigma\in ba(\Sigma) : \mu(A)=0\Rightarrow \sigma(A)= 0 \text{ para calquera }A\in\Sigma\},

é dicir, o espazo de medidas con signo finitamente aditivas en *Σ* que son absolutamente continuas en relación a *μ* ( *μ*-ac para abreviar).

Cando o espazo de medidas é tamén sigma-finito, entón *L*∞(*μ*) é á súa vez dual de *L*1(*μ*), que polo teorema de Radon-Nikodym identifícase co conxunto de todas as medidas *μ*-ac numerabelmente aditivas. Noutras palabras, a inclusión no bidual

: L^1(\mu)\subset L^1(\mu)^{**}=L^{\infty}(\mu)^*

é isomorfo á inclusión do espazo de medidas *μ*-ac numerabelmente aditivas limitadas dentro do espazo de todas as medidas  *μ*-ac finitamente aditivas limitadas.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 

### Outros artigos 
* Espazo de Banach
* Teoría da medida