Distribución lognormal

{{Modelo de distribución de probabilidade|
  nome       =Log-normal|
  tipo       =densidade|
  pdf_image  =325px|Gráfico da Lognormal PDF&mu;=0|
  cdf_image  =325px|Gráfico da Lognormal CDF&mu;=0|
  parámetros =s \ge 0-\infty \le \mu \le \infty|
  soporte    =x \in [0; +\infty)\!|
  pdf        =\frac{e^{-[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma}]^2/2]}}{x\sigma \sqrt{2\pi}}|
  cdf       =\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{Erf}\left[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right]|
  media       =e^{\mu+\sigma^2/2}|
  mediana     =e^{\mu}|
  moda       =e^{\mu-\sigma^2}|
  varianza   =(e^{\sigma^2}\!\!-1) e^{2\mu+\sigma^2}|
  asimetría   =e^{-\mu-\sigma^2/2}(e^{\sigma^2}\!\!+2)\sqrt{e^{\sigma^2}\!\!-1}|
  curtose   =e^{4\sigma^2}\!\!+2e^{3\sigma^2}\!\!+3e^{2\sigma^2}\!\!-6|
  entropía    =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln(2\pi\sigma^2)|
  mgf        =(ver no texto os momentos)|
  char       =|
}}

En probabilidade e estatística, a **distribución log-normal** é a distribución de probabilidade de calquera variable aleatoria con seu logaritmo normalmente distribuído (a base da función logarítmica non é importante xa que se log*a* *X* está distribuída normalmente se e só se log*b* *X* está distribuída normalmente).  Se *X* é unha variable aleatoria cunha distribución normal, entón exp(*X*) ten unha distribución log-normal.

"Log-normal" tamén se escribe "log normal" ou "lognormal".

Unha variable pode ser modelada como log-normal se pode ser considerada como o produto multiplicativo de moitos pequenos factores independentes. Un exemplo típico é o retorno a longo prazo dun investimento nunha acción: pódese considerar como o produto dos retornos diarios.

A distribución log-normal ten a función densidade de probabilidade

:f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{x \sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-(\ln x - \mu)^2/2\sigma^2}

para x>0, onde \mu e \sigma son a media e o desvío estándar do logaritmo da variable. O valor esperado é

:\mathrm{E}(X) = e^{\mu + \sigma^2/2}

e a varianza é

:\mathrm{var}(X) = (e^{\sigma^2} - 1) e^{2\mu + \sigma^2}.

## Relación coa media e o desvío estándar xeométrico
A distribución log-normal, a media xeométrica, e o desvío estándar xeométrico están relacionadas.  Neste caso, a media xeométrica é igual a \exp(\mu) e o desvío estándar xeométrico é igual a\exp(\sigma).

Se unha mostra de datos determinase que provén dunha poboación distribuída seguindo unha log-normal, a media xeométrica e o desvío estándar xeométrico pódense utilizar para estimar os intervalos de confianza tal como a media aritmética e o desvío estándar se usan para estimar os intervalos de confianza para un dato distribuído normalmente.

Onde a media xeométrica \mu_\mathrm{geo} = \exp(\mu) e o desvío estándar xeométrico \sigma_\mathrm{geo} = \exp(\sigma)

## Momentos
Os primeiros momentos son:

:\mu_1=e^{\mu+\sigma^2/2}
:\mu_2=e^{2\mu+4\sigma^2/2}
:\mu_3=e^{3\mu+9\sigma^2/2}
:\mu_4=e^{4\mu+16\sigma^2/2}

ou de forma xeral:

:\mu_k=e^{k\mu+k^2\sigma^2/2}.

## Estimación de parámetros  Maximum likelihood 
Para determina-los estimadores que máis aproximan os parámetros &mu; e &sigma; da distribución log-normal, podemos utilizar o mesmo procedemento que para a distribución normal. Para non repetilo, obsérvese que

: f_L (x;\mu, \sigma) = \frac 1 x \, f_N (\ln x; \mu, \sigma)

onde por f_L (\cdot) denotamos a función de densidade de probabilidade da distribución log-normal, e por f_N (\cdot)&mdash; a da distribución normal. Polo tanto, utilizando os memos índices para denotar as distribucións, podemos escribir que

: \begin{matrix}
  \ell_L (x_1, x_2, ..., x_n; \mu, \sigma)
  & = & - \sum _k \ln x_k + \ell_N (\ln x_1, \ln x_2, ..., \ln x_n; \mu, \sigma) = \\
\ & = & \operatorname {const} (\mu, \sigma) + \ell_N (\ln x_1, \ln x_2, ..., \ln x_n; \mu, \sigma).
\end{matrix}

Xa que o primeiro termo é constante respecto a &mu; e &sigma;, ambas funcións logarítmicas, \ell_L e \ell_N, obteñen o seu máximo co mesmo &mu; e &sigma;. Polo tanto, utilizando as fórmulas para os estimadores dos parámetros da distribución normal, e a inigualdade de arriba, deducimos que para a distribución log-normal cúmprese

: \widehat \mu = \frac {\sum_k \ln x_k} n, \ 
        \widehat \sigma^2 = \frac {\sum_k {\left( \ln x_k - \widehat \mu \right)^2}} n.

## Distribución relacionadas
* Y \sim N(\mu, \sigma^2) é unha distribución normal se Y = \ln(X) e X \sim \operatorname{Log-N}(\mu, \sigma^2).
* Se X_m \sim \operatorname {Log-N} (\mu, \sigma_m^2), \ m = \overline {1 ... N} son variables independentes log-normalmente distribuídas co mesmo parámetro &mu; e permitindo que varie &sigma;, e Y = \prod_{m=1}^N X_m, entón *Y* é unha variable distribuída log-normalmente como: Y \sim \operatorname {Log-N} \left( \mu, \sum _m \sigma_m^2 \right).

## Véxase tamén
### Outros artigos 
* Media xeométrica
* Desvío estándar xeométrico
* Función error