Subgrupo

Na teoría de grupos, unha rama das matemáticas, dado un grupo  baixo unha operación binaria&nbsp;∗, un subconxunto  de  chámase **subgrupo** de  se  tamén forma un grupo baixo a operación&nbsp;∗. Máis precisamente,  é un subgrupo de  se a restrición de ∗ a  é unha operación de grupo en . Isto denótase tamén como , lido como " é un subgrupo de  ".

O **subgrupo trivial** de calquera grupo é o subgrupo {*e*} que consiste só no elemento identidade.

Un **subgrupo propio** dun grupo  é un subgrupo  que é un subconxunto propio de  (é dicir, ). Isto represéntase  por , lido como " é un subgrupo propio de ". Algúns autores tamén exclúen que o grupo trivial sexa propio (é dicir, {{Math|*H* ≠ {*e*}} }).  

## Comprobación de subgrupos 
Temos que  é un grupo e  é un subconxunto de  e a operación de grupo de   escríbese multiplicativamente.

* Daquela  é un subgrupo de  se e só se  non é baleiro e é pechado baixo produtos e inversos. *Pechado baixo produtos* significa que para cada  e  en , o produto  está en . *Pechado baixo inversos* significa que para cada  en , o inverso  está en . Estas dúas condicións pódense combinar nunha soa, que para cada  e  en , o elemento  está en .
* Cando  é *finito*, a proba pódese simplificar:  é un subgrupo se e só se non é baleiro e é pechado baixo produtos. Estas condicións implican que cada elemento  de  xera un subgrupo cíclico finito de , digamos de orde , e entón o inverso de  é . 

[miniatura| é o grupo \Z/8\Z, que son os [Aritmética modular|enteiros mod 8 mediante adición. O subgrupo  contén só o 0 e o 4, e é isomorfo a \Z/2\Z. Hai catro clases de  á esquerda:  en si, ,  e  (escribindo con notación aditiva xa que este é un grupo aditivo). Entre todos dividen todo o grupo  en conxuntos de igual tamaño e non superpostos. O índice  é 4.]]

## Cosets e teorema de Lagrange 
Dado un subgrupo  e algún  en , definimos o **coset (ou conxunto lateral, ou coclase) esquerdo** {{Math|1=*aH* = {*ah* : *h* in *H*}.}} Como  é invertible, o mapa  dado por  é unha bixección. Alén diso, cada elemento de  está contido precisamente nun coset esquerdo de ; as clases secundarias da esquerda son as clases de equivalencia correspondentes á relación de equivalencia  se e só se {{Tmath|a_1^{-1}a_2}} está en . O número de clases esquerdas de  chámase índice de  en  e o denotamos por  .

O teorema de Lagrange afirma que para un grupo finito  e un subgrupo ,

:  [ G : H ] = { |G| \over |H| }

onde  e  denotan as ordes (ou cardinalidades, número de elementos) de  e , respectivamente. En particular, a orde de cada subgrupo de  (e a orde de cada elemento de ) debe ser un divisor de . 

**Os cosets pola dereita** defínense de xeito análogo: {{Math|1=*Ha* = {*ha* : *h* in *H*}.}} 

Se  para cada  en , entón dise que  é un subgrupo normal.

## Exemplo: subgrupos de Z8 
Sexa  o grupo cíclico  cuxos elementos son

: G = \left\{0, 4, 2, 6, 1, 5, 3, 7\right\}

e cuxa operación de grupo é a suma módulo 8. A súa táboa de Cayley é

Este grupo ten dous subgrupos non triviais: {{Math|{{color|orange|*J*  {0, 4} }}}} e {{Math|{{color|red|*H*  {0, 4, 2, 6} }}}}, onde  tamén é un subgrupo de . O grupo  é cíclico, e tamén o son os seus subgrupos. En xeral, os subgrupos de grupos cíclicos tamén son cíclicos.

## Exemplo: Subgrupos de S4 
 é o Grupo simétrico cuxos elementos corresponden ás permutacións de 4 elementos.
A continuación móstranse todos os seus subgrupos, ordenados por cardinalidades.
Cada grupo  (agás os de cardinalidade 1 e 2) está representado pola súa Táboa de Cayley.

### 24 elementos 
Como en todos os grupo,  é un subgrupo de si mesmo (non é subgrupo propio).

### 12 elementos 
O grupo alternante  contén só as permutacións pares. É un dos dous subgrupos normais propios non triviais de . (O outro é o seu subgrupo de Klein). [esquerda|miniatura|323x323px|Grupo alternante Subgrupos:[Ficheiro:Klein_four-group;_Cayley_table;_subgroup_of_S4_(elements_0,7,16,23).svg|70x70px60x60px60x60px60x60px60x60px]]

### 8 elementos
### 6 elementos 
### 4 elementos 
### 3 elementos 
### 2 elementos 
Cada permutación  de orde 2 xera un subgrupo {{Math|{1, *p* }}. Estas son as permutacións que só teñen 2 ciclos:

* Hai 6 transposicións cun 2 ciclos.&nbsp;(fondo verde)
* E 3 permutacións con dous ciclos.&nbsp;(fondo branco, números en grosa)

### 1 elemento 
O subgrupo trivial é o único subgrupo de orde 1.

## Outros exemplos 
* Os enteiros pares forman un subgrupo  do anel dos enteiros  a suma de dous enteiros pares é par e o negativo dun enteiro par é par.
* Un ideal nun anel  é un subgrupo do grupo aditivo de .
* Un subespazo linear dun espazo vectorial é un subgrupo do grupo aditivo de vectores.
* Nun grupo abeliano, os elementos de orde finita forman un subgrupo chamado subgrupo de torsión.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* .
* .
* .
* 
* 
* 
* 
### Outros artigos 
*Grupo (matemáticas).