Converxencia absoluta

En matemáticas, dise que unha serie infinita de números **converxen absolutamente** (ou son **absolutamente converxentes**) se a suma dos valores absolutos dos sumandos é finita. Máis precisamente, unha serie real ou complexa \textstyle\sum_{n=0}^\infty a_n dise que **converxe absolutamente** se \textstyle\sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right| = L para algún número real \textstyle L. 

Do mesmo xeito, unha integral impropia dunha función, \textstyle\int_0^\infty f(x)\,dx, dise que converxe absolutamente se a integral do valor absoluto do integrando é finita, é dicir, se \textstyle\int_0^\infty |f(x)|dx = L. 

Unha serie converxente que non é absolutamente converxente chámase condicionalmente converxente.

## Contexto 
Ao engadir un número finito de termos, a suma é tanto asociativa como conmutativa, o que significa que o agrupamento e a reordenación non alteran a suma final. Por exemplo, (1+2)+3 é igual a ambos 1+(2+3) e (3+2)+1. Porén, a asociatividade e a conmutatividade non se cumpren necesariamente para sumas infinitas. Un exemplo é a serie harmónica alterna

S = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}=1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\frac16+\cdots 

cuxos termos son fraccións que se alternan en signo. Esta serie é converxente e pódese avaliar usando a serie de Maclaurin para a función \ln(1+x) , que converxe para todos os x  que satisfán -1:

\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots 

Substituíndo x=1  revela que a suma orixinal é igual a \ln2 . 

Mais resulta que a suma tamén se pode reorganizar do seguinte xeito:

S=\left(1-\frac12\right)-\frac14+\left(\frac13-\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{8}+\left(\frac15-\frac{1}{10}\right)-\frac{1}{12}+\cdots 

Nesta reordenación, o recíproco de cada número impar agrúpase co recíproco do duplo do seu valor, mentres que os recíprocos de cada múltiplo de 4 avalíanse por separado. Con esta reordenación avaliando os termos entre parénteses temos o resultado

S=\frac12-\frac14+\frac16-\frac18+\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+\cdots 

que é a metade da serie orixinal. 

A violación da asociatividade e da conmutividade deste tipo de sumas revela que a serie harmónica alterna é condicionalmente converxente. 

A suma dos valores absolutos de cada termo da serie harmónica 1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots  é diverxente. Segundo o teorema de reordenación de Riemann, calquera serie condicionalmente converxente pode ser reordenada de tal modo que a súa suma sexa calquera número real finito ou para que diverxa. 

Pola contra, cando se reordena unha serie absolutamente converxente, a súa suma sempre se conserva.

## Definición para números reais e complexos 
Unha suma de números reais ou complexos \sum_{n=0}^{\infty} a_n é absolutamente converxente se a suma dos valores absolutos dos termos \sum_{n=0}^{\infty} |a_n| converxe.

## Sumas de elementos máis xerais 
A mesma definición pódese usar para as series \sum_{n=0}^{\infty} a_n cuxos termos a_n non son números senón elementos dun grupo topolóxico abeliano arbitrario. Nese caso, en lugar de usar o valor absoluto, a definición require que o grupo teña unha norma, que é unha función positiva con valor real \|\cdot\|: G \to \R_+ nun grupo abeliano G (escrito aditivo, co elemento de identidade 0) tal que:

# A norma do elemento identidade de G é cero: \|0\| = 0.
# Para todo x \in G,\|x\| = 0 implica x = 0.
# Para todo x \in G,\|-x\| = \|x\|.
# Para todo x, y \in G,\|x+y\| \leq \|x\| + \|y\|.

Neste caso, a función d(x,y) = \|x-y\| induce a estrutura dun espazo métrico (un tipo de topoloxía) sobre G.

Entón, unba  serie don valores en  G é absolutamente converxente se \sum_{n=0}^{\infty} \|a_n\| 

## Converxencia absoluta de integrais 
A integral \int_A f(x)\,dx dunha función real ou de valores complexos dise que **converxe absolutamente** se \int_A \left|f(x)\right|\,dx  

Tamén se di que  f é **absolutamente integrábele**. A cuestión da integrabilidade absoluta é complicada e depende de se se considera a integral de Riemann, Lebesgue ou Kurzweil-Henstock.

Para a integral de Riemann, tamén depende de se só consideramos a integrabilidade no seu sentido propio (f e A ambos os dous limitados) ou permiten o caso máis xeral de integrais impropias.

Como propiedade estándar da integral de Riemann, cando A=[a,b] é un intervalo limitado, toda función continua é  limitada e (Riemann) integrábel, e xa que f continua implica |f| continua, toda función continua é absolutamente integrábel. 

De feito, xa que g\circ f é Riemann  integrábel en [a,b] se f é (propiamente) integrábel e g é continua, dedúcese que |f|=|\cdot|\circ f é propiamente Riemann  integrábel  se o é f. 

No entanto, esta implicación non se aplica no caso das integrais impropias. Por exemplo, a función f:[1,\infty) \to \R : x \mapsto \frac{\sin x}{x} é unha integral impropia de Riemann con dominio ilimitado (infinito na parte superior), mais non é absolutamente integrable: \int_1^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx = \frac{1}{2}\bigl[\pi - 2\,\mathrm{Si}(1)\bigr] \approx 0.62, \text{ mais } \int_1^\infty \left|\frac{\sin x}{x}\right| dx = \infty.De feito, de xeito máis xeral, dada calquera serie \sum_{n=0}^\infty a_n pódese considerar a función en escada asociada f_a: [0,\infty) \to \R definida por f_a([n,n+1)) = a_n. Así \int_0^\infty f_a \, dx converxe absolutamente, converxe condicionalmente ou diverxe segundo o comportamento correspondente de \sum_{n=0}^\infty a_n.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Walter Rudin, *Principles of Mathematical Analysis* (McGraw-Hill: New York, 1964).
*  

### Outros artigos 
* Serie harmónica.
* Constante de Apéry.