Topoloxía relativa

En topoloxía e outras áreas relacionadas das matemáticas, un **subespazo** dun espazo topolóxico *X* é un subconxunto *S* de *X* que está equipado cunha topoloxía inducida a partir da de *X* chamada **topoloxía relativa** (ou **topoloxía traza**,  **topoloxía inducida**,   **topoloxía do subespazo**).

## Definición 
Dado un espazo topolóxico (X, \tau) e un subconxunto S de X, a **topoloxía relativa** en S está definida por

: \tau_S = \lbrace S \cap U \mid U \in \tau \rbrace.

É dicir, un subconxunto de S é aberto na topoloxía relativa se e só se é a intersección de S cun conxunto aberto en (X, \tau). Se S está equipado coa topoloxía relativa, entón é un espazo topolóxico por dereito propio e chámase **subespazo** de (X, \tau). Os subconxuntos de espazos topolóxicos suponse normalmente que están equipados coa topoloxía relativa a non ser que se indique o contrario.

Alternativamente, podemos definir a topoloxía relativa para un subconxunto S de X como a topoloxía máis fina para a cal o mapa de inclusión

: \iota: S \hookrightarrow X

é continuo.

De xeito máis xeral, supoñamos que \iota é unha inxección dun conxunto S nun espazo topolóxico X. Entón a topoloxía relativa en S defínese como a topoloxía máis grosa para a cal \iota é continua. Os conxuntos abertos nesta topoloxía son precisamente os da forma \iota^{-1}(U) para U aberto en X. Daquela S  é homeomórfico á súa imaxe en X (tamén coa topoloxía relativa) e \iota chámase mergullo topolóxico.

Un subespazo S chámase **subespazo aberto** se a inxección \iota é un mapa aberto, é dicir, se a imaxe cara adiante dun conxunto aberto de S está aberto en X. Así mesmo chámase **subespazo pechado** se a inxección \iota é un mapa pechado.

## Terminoloxía 
A distinción entre un conxunto e un espazo topolóxico adoita estar esvaída notacionalmente, por comodidade, o que pode ser unha fonte de confusión cando estas definicións se atopan por primeira vez Así, sempre que S é un subconxunto de X, e (X, \tau) é un espazo topolóxico, entón os símbolos sen outras marcas, "S" e "X", adoitan usarse para referirse a ambos os S e X considerados como dous subconxuntos de X, e tamén a (S,\tau_S) e (X,\tau) como os espazos topolóxicos relacionados como se comentou anteriormente. Así que frases como "S un subespazo aberto de X" úsanse co significado de (S,\tau_S) é un subespazo aberto de (X,\tau), no sentido usado anteriormente; é dicir: (i) S \in \tau ; e (ii) S considérase que está dotado da topoloxía relativa.

## Exemplos 
No seguinte, \mathbb{R} representa os números reais coa súa topoloxía habitual.

* A topoloxía do subespazo dos números naturais, como subespazo de \mathbb{R}, é a topoloxía discreta.
* Os números racionais \mathbb{Q} considerados como subespazo de \mathbb{R} non teñen a topoloxía discreta ({0} por exemplo, non é un conxunto aberto en \mathbb{Q} porque non hai un subconxunto aberto de \mathbb{R} cuxa intersección con \mathbb{Q}  pode dar como resultado *só* o conxunto unitario {0}). Se *a* e *b* son racionais, entón os intervalos (*a*, *b*) e [*a*, *b*] están respectivamente abertos e pechados, mais se *a* e *b* son irracionais, entón o conxunto de todos os racionais *x* con *a* \mathbb{R} é aberto e pechado, mentres que como subconxunto de \mathbb{R} só é pechado.
* Como subespazo de \mathbb{R}, [0, 1] &#x222A; [2, 3] componse de dous subconxuntos *abertos* disxuntos (que tamén están pechados), polo que é un espazo desconexo.
* Sexa *S* = [0, 1) un subespazo da recta real \mathbb{R}. Entón [0, ) está aberto en *S* mais non en \mathbb{R} (como, por exemplo, a intersección entre (-, ) e *S* resultan [0, )). Do mesmo xeito [, 1) está pechado en *S* pero non en \mathbb{R} (xa que non hai un subconxunto aberto de \mathbb {R} que pode ter unha intersección con [0, 1) para dar como resultado [, 1) ). *S* é aberto e pechado como un subconxunto de si mesmo mais non como un subconxunto de \mathbb{R}.

## Propiedades 
A topoloxía do subespazo ten a seguinte propiedade característica. Sexa Y un subespazo de X e sexa i : Y \to X  o mapa de inclusión. Daquela para calquera espazo topolóxico Z, un mapa f : Z\to Y é continuo se e só se o mapa composto i\circ f é continuo.
alt=Characteristic property of the subspace topology|centro| Propiedade característica da topoloxía subespacial
Esta propiedade é característica no sentido de que se pode usar para definir a topoloxía relativa Y.

Enumeramos algunhas propiedades máis da topoloxía do subespazo. No seguinte  S é un subespazo de X.

* Se f:X\to Y é continua, a restrición a S é continua.
* Se f:X\to Y é continua, entón f:X\to f(X) é continua.
* Os conxuntos pechados en S son precisamente as interseccións de S con conxuntos pechados en X.
* Se A é un subespazo de S, entón A tamén é un subespazo de X coa mesma topoloxía. Noutras palabras, a topoloxía relativa que A herda de S é a mesma que herda de X.
* Supoñamos que S é un subespazo aberto de X (polo tanto, S\in\tau). Entón un subconxunto de S é aberto en S se e só se é aberto en X.
* Supoñamos que S é un subespazo pechado de X (polo tanto, X\setminus S\in\tau). Entón un subconxunto de S é pechado en S se e só se é pechado en X.
* Se B é unha base para X, entón B_S = \{U\cap S : U \in B\} é unha base para S.
* A topoloxía inducida nun subconxunto dun espazo métrico ao restrinxir a métrica a este subconxunto coincide coa topoloxía relativa para este subconxunto.

## Conservación das propiedades topolóxicas 
Se un espazo topolóxico que ten algunha propiedade topolóxica implica que os seus subespazos teñen esa propiedade, entón dicimos que a propiedade é **hereditaria**. Se só os subespazos pechados deben compartir a propiedade chamámoslle **debilmente hereditaria**.

* Todo subespazo aberto e todo subespazo pechado dun espazo completamente metrizábel é completamente metrizábel.
* Cada subespazo aberto dun espazo de Baire é un espazo de Baire.
* Todo subespazo pechado dun espazo compacto é compacto.
* Ser un espazo de Hausdorff é hereditario.
* Ser un espazo normal é debilmente hereditario.
* Ser un espazo totalmente limitado é hereditario.
* Ser un espazo totalmente desconexo é hereditario.
* Ser un espazo primeiro numerábel ou segundo numerábel é hereditario.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Bourbaki, Nicolas, *Elements of Mathematics: General Topology*, Addison-Wesley (1966)
* 
* Willard, Stephen. *General Topology*, Dover Publications (2004) 
### Outros artigos 
* Espazo cociente (topoloxía) 
* Topoloxía produto
* Topoloxía suma directa