Vector

miniatura|Vector tridimensional.
Un **vector ** en física e mais no cálculo vectorial é un concepto caracterizado por un valor, é dicir, un escalar (magnitude numérica), e por un sentido (que pode ser definido nun espazo 3-dimensional, ou en xeral p-dimensional). Os vectores utilízanse para describir magnitudes vectoriais tales como velocidades, aceleracións ou forzas, nas cales é importante considerar non só o valor senón tamén a dirección e máis o sentido.

Aínda que frecuentemente se describa a un vector por un número de "compoñentes", cada un deles dependente do sistema de coordenadas particular que se use, as propiedades dun vector non dependen do sistema de coordenadas usado para o describir.

Un exemplo común dun vector é a forza. Ten un valor e unha orientación en tres dimensións (a diferenza de moitas dimensións espaciais, que teñen dúas), e a suma múltipla das forzas de acordo coa lei do paralelogramo.

En matemáticas, un **vector** é un elemento dunha estrutura alxébrica chamada espazo vectorial, que esencialmente é un conxunto de elementos cun conxunto de axiomas que debe satisfacer cada un deles.

Matematicamente un vector pode ser tamén un conxunto de elementos ordenados entre si mais, a diferenza dun conxunto normal como o dos números naturais, neste caso o conxunto está ordenado.

Represéntase por un segmento orientado para denotar o seu sentido (o da frecha), a súa magnitude (a lonxitude da frecha) e mais o punto de onde parte. Para este tipo de vectores (xeralmente bi ou tridimensionais) defínense **módulo**, **dirección** e **sentido**.

## Notación 
miniatura|250px|Compoñentes dun vector nun sistema tridimensional.
Os eixos do sistema de coordenadas descríbense xeralmente empregando as letras x, y e z, xeramente o eixo z representa o perpendicular ao plano. Os vectores pódense representar con letras, cunha frecha enriba (\vec{a}), ou simplemente en letra grosa (\mathbf{a}). As coordenadas ou compoñentes dun vector nun sistema de referencia poden escribirse entre parénteses e separadas con comas:
{{ecuación|
 \vec{a} = (a_1, a_2, a_3, ..., a_n) .
||left}}

No espazo vectorial de tres dimensións empréganse tres compoñentes:

{{ecuación|
 \vec{a} = (a_x, a_y, a_z) .
||left}}

Outro xeito típico de anotar un vector nas tres dimensións é definilo como a combinación dos vectores unitarios cartesianos i, j e k:

{{ecuación| \vec{a} = a_x \, \vec{i}+ a_y \, \vec{j} + a_z \, \vec{k} ||left}}

### Compoñentes dun vector
Como se comentou anteriormente, un vector descríbese a miúdo por un conxunto de compoñentes vectoriais que suman para formar o vector dado. Normalmente, estes compoñentes son as proxeccións do vector nun conxunto de eixos de referencia mutuamente perpendiculares (vectores base). Dise que o vector pode *descompoñerse* en relación a eses vectores base.

A descomposición dun vector en compoñentes non é único, porque depende da escolla dos eixos sobre os que se proxecta o vector.

Alén diso, non é obrigatorio o uso de vectores unitarios cartesianos como \mathbf{\hat{x}}, \mathbf{\hat{y}}, \mathbf{\hat{z}} como base no que representar un vector. Os vectores tamén se poden expresar en termos de outra base arbitraria, incluíndo os vectores unitarios dun sistema de coordenadas cilíndrico (\boldsymbol{\hat{\rho}}, \boldsymbol{\hat{\phi}}, \mathbf{\hat{z}}) ou un sistema de coordenadas esféricas (\mathbf{\hat{r}}, \boldsymbol{\hat{\theta}}, \boldsymbol{\hat{\phi}}). As dúas últimas opcións son máis convenientes para resolver problemas que posúen simetría cilíndrica ou esférica, respectivamente.

A escolla dunha base non afecta ás propiedades dun vector nin ao seu comportamento baixo transformacións.

Un vector tamén se pode dividir en relación a vectores de base "non fixos" que mudan a súa orientación en función do tempo ou do espazo. Por exemplo, un vector no espazo tridimensional pódese descompoñer en relación a dous eixos, respectivamente *normal* e *tanxente* a unha superficie (ver figura). 

Outra descomposición pode ser nunha compoñente *radial* e outra *compoñente tanxencial* que están relacionadas co *raio de rotación* dun obxecto. A primeira é paralela ao raio e a segunda é ortogonal a el.

Nestes casos, cada un dos compoñentes pode descompoñerse á súa vez en relación a un sistema de coordenadas fixo ou conxunto de bases (por exemplo, un sistema de coordenadas *global* ou sistema de referencia inercial).

### Exemplo 1 
Nun plano, usualmente, temos a base cos vectores unitarios do eixo , \vec{x} = (1, 0), e do eixo , \vec{y} = (0, 1).

O vector \vec{v} = (4, 3) pódese descompoñer como 
\vec{v} = 4\vec{x} + 3\vec{y}.

### Exemplo 2 
Sexa P_3 o espazo de todos os polinomios alxébricos de grao como máixmo 3 (isto é, o expoñente máis alto de *x* só pode ser 3). este espazo é linear e xerado polos seguintes polinomios:
:B_P = \left\{  1,  x,  x^2,  x^3 \right\}

que forman a seguinte base
:
    1 := \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} ; \quad
    x := \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} ; \quad
  x^2 := \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} ; \quad
  x^3 := \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

así o vector de coordenadas correspondente ao polinomio sería
:p \left( x \right) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3

como vector columna
:\begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}.

Segundo esa representación, o operador de diferenciación *d*/*dx* que denotamos como *D* estará representado pola seguinte matriz:
:Dp(x) = P'(x) ; \quad [D] = 
  \begin{bmatrix}
    0 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 2 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 3 \\
    0 & 0 & 0 & 0 \\
  \end{bmatrix} 

Usando ese método é fácil explorar as propiedades do operador, como: invertibilidade, hermitiano ou anti-hermitiano ou ningún dos dous, espectro e eigenvalores, etc.

## Propiedades 
Un vector ten as seguintes propiedades:

- **Punto de aplicación**, é a orixe do vector.

- **Módulo**, expresa o valor numérico da magnitude vectorial. Represéntase pola lonxitude do segmento, sempre en valor absoluto. Por exemplo, se se quere expresar que o módulo de \vec{a} vale 5 unidades, faise así: |\vec{a}|=5u. Expresado con fórmulas, dado un vector \vec{a} de coordenadas  (a_x, a_y, a_z)  o seu módulo é |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}.

- **Dirección**, que é a da recta soporte, que se expresa matematicamente cunha ecuación de recta, que se lle chama *liña de acción*.

- **Sentido**, distinguíndose dous sentidos sobre a recta de aplicación do vector, graficamente, a punta da frechiña.

### Clasificación dos vectores 
:Segundo o seu punto de aplicación:

- **Vector fixo**, que ten un punto de aplicación definitorio, do que non se despraza.

- **Vectores deslizantes**, o seu punto de aplicación pode estar en calquera punto dunha recta soporte definida.

- **Vector libre**, non ten relevancia o seu punto de aplicación.

:Outros vectores significantes:

- **Vector unitario**, un vector cuxo módulo é unha unidade, que se calcula:
\vec{u_a} = \frac{(a_x , a_y , a_z)}. Os vectores unitarios correspondentes a (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1) denomínanse \hat{\imath}, \hat{\jmath} e \hat{k}, sendo  \hat{\imath}  o vector unitario do eixe do x,  \hat{\jmath}  o vector unitario do eixo y, e  \hat{k}  o do z.

- **Vector oposto** a outro é o que ten o mesmo punto de aplicación, módulo e dirección mais sentido contrario. Así o vector oposto a \vec{a} é -\vec{a}.

- **Vectores equipolentes**, vectores con igual módulo e sentido, e rectas soporte paralelas e, entón, tamén distintos puntos de aplicación.

- **Vectores paralelos**, que teñen coordenadas proporcionais entre si (equipolentes con distinto módulo, por exemplo).

- **Vectores concorrentes**, cando teñen o mesmo punto de aplicación, no caso de vectores fixos, ou cando simplemente teñen un punto en común (punto de concorrencia).

- **Vectores coplanares**, todos os vectores están contidos no mesmo plano.

- **Vectores colineares**, que comparten unha mesma recta de acción

## Suma e resta de vectores 
miniatura|250px|Suma de vectores
miniatura|250px|Resta de vectores

### Método gráfico 
A suma e resta de vectores ten en conta, ademais da magnitude escalar ou módulo, o sentido das magnitudes intervenientes. Nas figuras achegadas nesta páxina esquematízase o método gráfico para buscar o resultado.

#### Método do paralelogramo 
Consiste en pór graficamente os dous vectores de xeito que as respectivas orixes coincidan nun punto, completando o resto do paralelogramo por paralelas. O resultado da suma é a diagonal de dito paralelogramo.

#### Método do triángulo 
Consiste en poñer graficamente un vector a continuación doutro, facendo coincidir o extremo inicial dun vector co extremo final do outro vector. O vector suma resultante forma un triángulo canda estes dous vectores, que corresponde ao lado oposto ao vértice dos vectores colocados correctamente, ou dito doutro xeito, vai dende a orixe dun vector até a fin do outro (**a** e **b** respectivamente no debuxo adxacente)

### Método analítico 
* A suma
Con dous vectores de coordenadas,

:  \vec{a} = (a_x , a_y , a_z) 

:  \vec{b} = (b_x , b_y , b_z ) 

o resultado da suma é:
: 
   \vec{a}+ \vec{b} =
   [(a_x + b_x) , (a_y + b_y) , (a_z + b_z)] 

* A resta
Para restar dous vectores libres  \vec{a}  e  \vec{b}  súmase  \vec{a}  co oposto de  \vec{b} :
: 
   \vec{a} - \vec{b} =
   \vec{a} + ( - \vec{b})

O resultado da resta é:
: 
   \vec{a} - \vec{b} =
   [(a_x - b_x) , (a_y - b_y) , (a_z - b_z)]

#### Módulo resultante 
Dados dous vectores \vec{a} e \vec{b}, de módulos coñecidos e que forman o ángulo \theta entre si, pódese obter o módulo \left|\vec{a}+\vec{b}\right| coa seguinte fórmula:

\left| \vec{a} + \vec{b} \right| = \sqrt{\left. | \vec{a} \right|^2 + \left| \vec{b}
\right|^2 + 2| \vec{a} | \left| \vec{b} \right| \cos \theta }

##### Dedución da expresión 
Sexan dous vectores \vec{a} e \vec{b} que forman un ángulo \theta entre
si:

centro|Imaxe de vectores colocados

A fórmula para calcular \left| \vec{a} + \vec{b} \right| dedúcese observando os triángulos rectángulos que se forman, OCB e ACB, e aplicando o Teorema de Pitágoras. No triángulo OCB:

OB^2 = OC^2 + CB^2

OB = | \vec{a} + \vec{b} |

OC = \left| \vec{a} \left| + AC \right. \right.

Resultando:

\left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = \left( | \vec{a} | + AC \right)^2
+ CB^2

No triángulo ACB :

\frac{AC} = \cos \theta

AC = | \vec{b} | \cos \theta 

\frac{CB} = sen \theta

CB = | \vec{b} | sen \theta

Substituíndo isto na igualdade de antes resulta:

\left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = \left( | \vec{a} | + | \vec{b} | \cos
\theta \right)^2 + \left( \left| \vec{b} | sen \theta \right)^2 \right.

\left. \left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | |
\vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right|^2 \cos^2 \theta + \left|
\vec{b} \right|^2 sen^2 \theta

\left. \left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | |
\vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right|^2 \left( \cos^2 \theta +
sen^2 \theta \right)

\left. \cos^2 \theta + sen^2 \theta = 1 \rightarrow \left| \vec{a} +
\vec{b} \right|^2 = | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | | \vec{b} \right| \cos \theta
+ \left| \vec{b} \right|^2

\left| \vec{a} + \vec{b} \right| = \sqrt{\left. | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | |
\vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right|^2}

\left| \vec{a} + \vec{b} \right| = \sqrt{\left. | \vec{a} |^2 + \left| \vec{b}
\right|^2 + 2| \vec{a} | | \vec{b} \right| \cos \theta}

##### Obtención da Dirección 
Para obter os ángulos \alpha, \beta directores no anterior exemplo temos que coñecer o ángulo \theta e ter calculado \left|\vec{a}+\vec{b}\right| .

Podemos usar esta fórmula:

\frac{sen \alpha }=\frac{sen \beta }=\frac{\left|\vec{a}+\vec{b}\right|}{sen \theta }

Coa fórmula obteremos os seos, despois para achar o ángulo a partir do seo temos que ter en conta que:

\alpha + \beta = \theta

## Produto dun vector por un escalar 
miniatura|250px|Produto por un escalar
O produto dun vector cun escalar é outro vector que conserva a dirección orixinal, o seu módulo é o produto do escalar polo módulo do vector e o sentido é o mesmo ou oposto segundo o escalar sexa positivo ou negativo respectivamente.

Graficamente sería poñer, sobre a mesma recta da dirección, o módulo tantas veces como marque o escalar, e de ser negativo, viralo sentido do vector (mire o debuxo).

Analiticamente, un número  n \, e un vector \vec a, o produto  n \, \vec a realízase multiplicando cada unha das compoñentes do vector polo escalar. Dado o vector de tres compoñente

: \vec a = ( a_x , a_y , a_z )

o seu produto polo escalar é

: n \, \mathbf{a} = ( na_x, na_y, na_z )

é dicir, multiplícase por n \, cada unha das compoñentes do vector.

## Ángulo entre dous vectores 
Dados os vectores  \vec{a} = (a_x , a_y , a_z)  e  \vec{b} = (b_x , b_y , b_z ) , o ángulo  \theta  calcúlase polo seu coseno:

:  cos \theta = \frac{a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z} 

Isto deriva do produto escalar.

## Produto escalar 
* 

miniatura|300px|dereita|**A** • **B** = **A** **B** cos(θ). **A** cos(θ) é a proxección escalar de **A** sobre **B**.

{{Ecuación|
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=
|\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \cos \theta =
A \,B \,\cos \theta
||}}

## Produto vectorial 
{{Ecuación|
|\mathbf{A} \times \mathbf{B}|=
|\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \sin \theta =
A \,B \,\sin \theta
||}}

## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Escalar
* Espazo vectorial
* Cálculo vectorial

### Ligazóns externas 
* Xoga con vectores
* Suma e resta de vectores