Función por tramos

[miniatura|280x280px| Gráfico da [función linear por tramos f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} -3-x & \text{if} & x \leq -3 \\ x+3 & \text{if} & -3 \leq x \leq 0 \\ 3-2x & \text{if} & 0 \leq x \leq 3 \\ 0.5x - 4.5 & \text{if} & 3 \leq x \\ \end{array} \right.]]
En matemáticas, unha **función por tramos** (tamén chamada **definición por casos**) é unha función cuxo dominio está dividido en varios intervalos ("subdominios") nos que a función pode definirse de forma diferente. A definición por tramos é en realidade unha forma de especificar a función, máis que unha característica da propia función resultante.

## Notación e interpretación 
dereita|miniatura|280x280px| Gráfica da función de valor absoluto, y=|x|
As funcións por tramos pódense definir usando a notación funcional común, onde o corpo da función son varias liñas de funcións e subdominios asociados. Un punto e coma ou coma pode seguir as columnas da subfunción ou do subdominio. O "\text{se}" ou "\text{para}" raramente se omiten ao comezo da columna da dereita.  Por exemplo, vexamos a definición por tramos da función valor absoluto:

: |x| = \begin{cases}
 -x, & \text{se } x 

## Exemplos 
* Función linear por tramos, unha función composta por segmentos de liña
** Función en escada, unha función composta por subfuncións constantes.
** Valor absoluto 
** Función triangular
* Lei potencial, unha función composta por subfuncións da lei potencial.
* Spline, unha función composta por subfuncións polinómicas, que posúe un alto grao de suavidade nos lugares onde se conectan os tramos polinómicos.
* PDIFF, variedade diferenciábel por tramos.
* f(x)= \begin{cases}
 \exp\left( -\frac{1}{1 - x^2}\right), & x \in (-1,1) \\ 
 0,                  & \text{noutro caso}
\end{cases}

## Continuidade e diferenciabilidade das funcións por tramos 
[miniatura|280x280px| Gráfico dunha [Función cadrática|función cuadrática por tramos f(x) = \left\{ \begin{array}{lll} x^2 & \text{if} & x  A súa única descontinuidade está en x_0 = 0.707.]]
Unha función definida por tramos é continua nun intervalo dado no seu dominio se se cumpren as seguintes condicións:

* as súas subfuncións son continuas nos intervalos correspondentes (subdominios),
* non hai descontinuidade nun punto final de ningún subdominio dentro dese intervalo.

A función representada, por exemplo, é continua por tramos nos seus subdominios, mais non é continua en todo o dominio, xa que contén unha descontinuidade de salto en x_0. O círculo recheo indica que nesa posición úsase o valor da subfunción dereita.

Para que unha función definida por tramos sexa diferenciábel nun intervalo dado do seu dominio, deben cumprirse as seguintes condicións a maiores das anteriores que se deron para a continuidade:

* as súas subfuncións son diferenciábeis nos intervalos *abertos* correspondentes,
* as derivadas unilaterais existen nos extremos de todos os intervalos,
* nos puntos onde se tocan dous subintervalos, coinciden as correspondentes derivadas unilateraiss dos dous subintervalos veciños.

## Conceptos relacionados 
O concepto de funcións definidas por tramos adoita xeneralizarse a curvas, como as *curvas lineares por tramos* e os *splines*, que son curvas polinómicas por tramos. O concepto tamén se pode estender a construcións máis abstractas, como as *variedades lineares por tramos*.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Función en escada
* Función de Cantor
* Integral de Lebesgue