Función medible

En matemáticas, e en particular na teoría da medida, unha función medible é unha función entre os conxuntos subxacentes de dous espazos medíbeis que preserva a estrutura dos espazos: a preimaxe de calquera conxunto medíbel é medíbel. Isto é en analoxía directa coa definición de que unha función continua entre espazos topolóxicos preserva a estrutura topolóxica: a preimaxe de calquera conxunto aberto é aberto. Na análise real, utilízanse funcións medíbeis na definición da integral de Lebesgue. Na teoría da probabilidade, unha función medíbel nun espazo de probabilidade coñécese como variábel aleatoria.

## Definición 
Imos mostrar dúas defincións de función medíbel, unha delas máis usada na Teoría da medida e outra de uso máis frecuente na Teoría da probabilidade:

* Sexan os espazos medíbeis (X,\Sigma) e (Y,\Tau), significando que X e Y son conxuntos equipados con cadansúa \sigma-álxebras \Sigma e \Tau. Unha función f:X\to Y dise medíbel se para todo E\in \Tau a preimaxe de E baixo f está en \Sigma; isto é, para todo E \in \Tau  temos f^{-1}(E) := \{ x\in X \mid f(x) \in E \} \in \Sigma.

* Consideremos o espazo medible (X,\Sigma). Sexan E\subset X e f\colon E\to \overline{\mathbb{R}} (onde \overline{\mathbb{R}} é a recta real estendida). Dicimos que f é medible en E se \{x\in E \ \colon \  f(x)> \alpha\}\in\Sigma para todo \alpha\in\mathbb{R}. 

## Función característica dun conxunto 
Dado E\in\Sigma, a **función indicadora** ou **función característica** de E é a seguinte función medible
:\chi_E \ \colon \ x\in X \to \chi_E(x) = \begin{cases} 
     1, \ x\in E, \\ 
     0, \ x\notin E. 
 \end{cases}
En efecto, dado \alpha\in\mathbb{R} temos que
:\{x\in E\ \colon \ \chi_E(x) > \alpha\} = \begin{cases}
     X, &\alpha 
e nos tres casos obtemos un conxunto pertencente á \sigma-álxebra.

## Propiedades das funcións medibles 
* Consideremos E\in\Sigma e f\ \colon E\to \overline{\mathbb{R}} unha función medible. Para cada E_0\subset E con E_0\in\Sigma temos que a restricción de f a E_0 é medible en E_0.
* Consideremos unha colección numerable de conxuntos medibles \{E_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\Sigma e f unha función medible en cada E_n, \ n\in\mathbb{N}. Temos que f é medible no conxunto \bigcup_{n\in\mathbb{N}} E_n.
* Unha función f\colon E\to \overline{\mathbb{R}}, con E\in\Sigma un conxunto medible, é medible se, e só se, f^{-1}(G)\in\Sigma para cada G\subset \mathbb{R} aberto e, ademais, f^{-1}(\infty), \ f^{-1}(-\infty) \in \Sigma.
* Dadas f, g\ \colon \ E\to\overline{\mathbb{R}} con E\in\Sigma un conxunto medible, tamén serán funcións medibles f\pm g, \ \alpha f, \ f^2, \ |f|, \ fg , con \alpha\in\mathbb{R}.

## Propiedades das funcións características 
* \chi_\emptyset = 0, \quad \chi_X = 1. 
* Se E_1\subset E_2, entón \chi_{E_1} \leq \chi_{E_2}.
* \chi_{E_1\cap E_2} = \chi_{E_1}\cdot\chi_{E_2}
* \chi_{E_1\cup E_2} = \chi_{E_1} + \chi_{E_2} - \chi_{E_1\cap E_2}.
* \chi_{E^c} = 1-\chi_{E}.
* \chi_{E_1\setminus E_2} = \chi_{E_1} - \chi_{E_1\cap E_2}.

## Definición de función simple e función simple medible 
Dado un subconxunto E\subset X, dicimos que unha función f\colon E\to \mathbb{R} é unha **función simple** se existen

* Unha colección de conxuntos \{E_k\}_{k=1}^n \subset X disxuntos dous a dous cuxa unión coincida co conxunto E,
* Unha colección de escalares \{\alpha_k\}_{k=1}^n\subset\mathbb{R},

de maneira que 
:f(x) = \sum_{k=1}^n \alpha_k \chi_{E_k}(x).
Se, considerando agora o espazo medible (X,\Sigma), temos que E\in\Sigma e a colección de conxuntos é tal que \{E_k\}_{k=1}^n\subset \Sigma, entón a función f\colon E\to\mathbb{R} chamarase función simple medible.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

### Outros artigos 
* Teoría da medida.
* Teoría da probabilidade.
* Sigma-álxebra
### Ligazóns externas 
* Función medíbel para procesos estocásticos
* Measurable functions