Suma directa

A **suma directa** é unha operación entre estruturas na álxebra abstracta, unha rama das matemáticas. Defínese de forma diferente, pero de xeito análogo, para diferentes tipos de estruturas. Como exemplo, a suma directa de dous grupos abelianos A e B é outro grupo abeliano A\oplus B constituído polos pares ordenados (a,b) onde a \in A e b \in B. Para sumar pares ordenados, definimos a suma (a, b) + (c, d) como (a + c, b + d); noutras palabras, a suma defínese en función das coordenadas. Por exemplo, a suma directa  \Reals \oplus \Reals , onde  \Reals  é o espazo de coordenadas real, é o plano cartesiano,  \R ^2 . Pódese usar un proceso similar para formar a suma directa de dous espazos vectoriais ou dous módulos.

Tamén podemos formar sumas directas con calquera número finito de sumandos, por exemplo A \oplus B \oplus C, sempre que A, B, e C son os mesmos tipos de estruturas alxébricas (por exemplo, todos os grupos abelianos ou todos os espazos vectoriais). Isto descansa no feito de que a suma directa é asociativa ata isomorfismo. É dicir, (A \oplus B) \oplus C \cong A \oplus (B \oplus C) para calquera estrutura alxébrica A, B, e C do mesmo tipo. A suma directa tamén é conmutativa ata isomorfismo, é dicir A \oplus B \cong B \oplus A para calquera estrutura alxébrica A e B do mesmo tipo.

A suma directa dun número finito de grupos abelianos, espazos vectoriais ou módulos pode ser canonicamente isomorfa ao produto directo correspondente. Non obstante, isto é falso para algúns obxectos alxébricos, como os grupos non abelianos.

No caso de que se combinen infinitos obxectos, a suma directa e o produto directo non son isomorfos, mesmo para grupos abelianos, espazos vectoriais ou módulos. 

## Exemplos 
O plano *xy*, un espazo vectorial bidimensional, pódese considerar como a suma directa de dous espazos vectoriais unidimensionais, é dicir, os eixos *x* e *y*. Nesta suma directa, os eixos *x* e *y* córtanse só na orixe (o vector cero). A adición defínese por coordenadas, é dicir (x_1,y_1) + (x_2,y_2) = (x_1+x_2, y_1 + y_2), que é o mesmo que a suma vectorial.

Dadas dúas estruturas A e B, a súa suma directa escríbese como A\oplus B. Dada unha familia indexada de estruturas A_i, indexados con i \in I, pódese escribir a suma directa como  A=\bigoplus_{i\in I}A_i. Cada *Ai* chámase **sumando directo** de *A*. No caso dos grupos, se a operación de grupo se escribe como + úsase a frase "suma directa", mentres que se se escribe a operación de grupo * utilízase a frase "produto directo". Cando o conxunto de índices é infinito, a suma directa non é o mesmo que o produto directo xa que a suma directa ten o requisito adicional de que todas as coordenadas, menos un número finito, deben ser cero.

### Sumas directas internas e externas 
Faise unha distinción entre sumas directas internas e externas, aínda que as dúas son isomorfas. Se primeiro se definen os sumandos, e despois a suma directa defínese en termos dos sumandos, temos unha suma directa externa. Por exemplo, se definimos os números reais \mathbb{R} e despois definimos \mathbb{R} \oplus \mathbb{R} dise que a suma directa é externa.

Se, pola contra, definimos primeiro algunha estrutura alxébrica S e despois escribimos S como suma directa de dúas subestruturas V e W, entón dise que a suma directa é interna. Neste caso, cada elemento de S é expresábel unicamente como combinación alxébrica dun elemento de V e un elemento de W. Para un exemplo de suma directa interna, considere \mathbb Z_6 (os enteiros módulo seis), cuxos elementos son \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}. Isto é expresábel como unha suma directa interna \mathbb Z_6 = \{0, 2, 4\} \oplus \{0, 3\}.

## Tipos de suma directa 
### Suma directa de grupos abelianos 
A **suma directa de grupos abelianos** é un exemplo prototípico de suma directa. Dados dous grupos deste tipo (A, \circ) e (B, \bullet), a súa suma directa A \oplus B é o mesmo que o seu produto directo. É dicir, o conxunto subxacente é o produto cartesiano A \times B e a operación do grupo \,\cdot\, defínese por compoñentes: \left(a_1, b_1\right) \cdot \left(a_2, b_2\right) = \left(a_1 \circ a_2, b_1 \bullet b_2\right).Esta definición xeneralízase a sumas directas dun número finito de grupos abelianos.

### Suma directa de módulos 
A *suma directa de módulos* é unha construción que combina varios módulos nun novo módulo.

Os exemplos máis familiares desta construción ocorren cando se consideran espazos vectoriais, que son módulos sobre un corpo. A construción tamén se pode estender aos espazos de Banach e aos espazos de Hilbert.

### Suma directa en categorías 
Unha categoría aditiva é unha abstracción das propiedades da categoría de módulos. Nesta categoría coinciden os produtos finitos e os coprodutos e a suma directa é calquera deles.

Caso xeral:  En teoría de categorías a suma directa é moitas veces, pero non sempre, o coproduto na categoría dos obxectos matemáticos en cuestión. Por exemplo, na categoría de grupos abelianos, a suma directa é un coproduto. Isto tamén é certo na categoría de módulos.

#### Sumas directas versus coprodutos en categoría de grupos 
Porén, a suma directa S_3 \oplus \Z_2 (definida de forma idéntica á suma directa de grupos abelianos) non é un coproduto dos grupos S_3 e \Z_2 na categoría de grupos. Polo tanto, para esta categoría, unha suma directa categórica adoita chamarse simplemente coproduto para evitar calquera posible confusión.

### Suma directa de aneis 
Algúns autores falan da suma directa R \oplus S de dous aneis cando queren dicir o produto directo R \times S, pero isto debería evitarse xa que R \times S non recibe homomorfismos de aneis naturais de R e S: en particular, o mapa R \to R \times S enviando r a (r, 0) non é un homomorfismo de anel xa que non pode enviar 1 a (1, 1) (asumindo que 0 \neq 1 en S). Así R \times S non é un coproduto na categoría de aneis e non debe escribirse como unha suma directa. (O coproduto na categoría de aneis conmutativos é o produto tensor de aneis. Na categoría de aneis, o coproduto vén dado por unha construción similar ao produto libre de grupos.)

### Suma directa de matrices 
Para calquera matrices arbitrarias \mathbf{A} e \mathbf{B}, a suma directa \mathbf{A} \oplus \mathbf{B} defínese como a matriz diagonal de bloques de \mathbf{A} e \mathbf{B} se ambas as dúas son matrices cadradas. \mathbf{A} \oplus \mathbf{B} = \begin{bmatrix}
\mathbf{A} & 0     \\
0     & \mathbf{B}
\end{bmatrix}.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001
### Outros artigos 
* Pruduto directo.
### Ligazóns externas 
* Suma Directa en MathWorld