Constante de Catalan

En matemáticas, **a constante de Catalan **, tamén denominada coa letra '***, defínese por

: G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \frac{1}{9^2} - \cdots,

onde  é a función beta de Dirichlet. O seu valor numérico é aproximadamente     

:  

Non está demostrado que  é irracional, e moito menos transcendental. De  díxose "sen dúbida a constante máis básica cuxa irracionalidade e transcendencia (aínda que se sospeita fortemente) seguen sen probarse".
A constante de Catalan recibiu o nome de Eugène Charles Catalan, quen atopou series de rápida converxencia para o seu cálculo e publicou unha memoria sobre ela en 1865.

## Usos 
En combinatoria e mecánica estatística, xorde en relación coa contaxe de mosaicos de dominó, árbore de extensión, e ciclos hamiltonianos de grafos de retícula.

En teoría de números, a constante de Catalan aparece nunha fórmula conxecturada para o número asintótico de primos da forma n^2+1 segundo a conxectura F de Hardy e Littlewood. Porén, é un problema sen resolver (un dos problemas de Landau) se hai incluso infinitos números primos desta forma. 

## Identidades en forma de integral 
A constante de Catalan permite resolver moitas integrais con logaritmos. A maiores móstrase unha lista de integrais con valor G:\begin{align}
G &= \int_1^\infty \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt \\[3pt]
G &= -\int_0^1 \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt \\[3pt]
G &= \frac{1}{2} \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{t}{\sin t} \,dt \\[3pt]
G &= \int_0^\frac{\pi}{4} \ln \cot t \,dt \\[3pt]
G &= \frac{1}{2} \int_0^\frac{\pi}{2} \ln \left( \sec t +\tan t \right) \,dt \\[3pt]
G &= \int_0^1 \frac{\arccos t}{\sqrt{1+t^2}} \,dt \\[3pt]
G &= \int_0^1 \frac{\operatorname{arcsinh} t}{\sqrt{1-t^2}} \,dt \\[3pt]
G &= \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{\operatorname{arctan} t}{t\sqrt{1+t^2}} \,dt \\[3pt]
G &= \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{\operatorname{arctanh} t}{\sqrt{1-t^2}} \,dt \\[3pt]
G &= \int_0^\infty \arccot e^{t} \,dt \\[3pt]
G &= \frac{1}{4} \int_0^{{\pi^2}/{4}} \csc \sqrt{t} \,dt \\[3pt]
G &= \frac{1}{16} \left(\pi^2 + 4\int_1^\infty \arccsc^2 t \,dt\right) \\[3pt]
G &= \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{t}{\cosh t} \,dt \\[3pt]
G &= \frac{\pi}{2} \int_1^\infty \frac{\left(t^4-6t^2+1\right)\ln\ln t}{\left(1+t^2\right)^3} \,dt \\[3pt]
G &= -\frac{1}{\pi i}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln\ln \tan x \ln \tan x \,dx \\[3pt]
G &= \iint_{[0,1]^2} \! \frac{1}{1+x^2 y^2} \,dx\, dy \\[3pt] 
G &= \int_0^1\int_0^{1-x} \frac{1}{1 -x^2-y^2} \,dy\,dx \\[3pt]
G &= \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{\arcsin \left(\sin t\right)}{t} \,dt \\[3pt]
G &= 1 + \lim_{\alpha\to{1^-}}\!\left\{\int_0^{\alpha}\!\frac{\left(1+6t^2+t^4\right)\arctan{t}}{t\left(1-t^2\right)^2}\, dt 
+ 2\operatorname{artanh}{\alpha} - \frac{\pi\alpha}{1-\alpha^2} \right\} \\[3pt]
G &= 1 - \frac18 \iint_{\R^2}\!\!\frac{x\sin\left(2xy/\pi\right)}{\,\left(x^2+\pi^2\right)\cosh x\sinh y\,} \,dx\,dy \\[3pt]
G &= \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{\sqrt[4]{x} \left(\sqrt{x} \sqrt{y}-1\right)}{(x+1)^2 \sqrt[4]{y} (y+1)^2 \log (x y)}dxdy
\end{align}Se  é a integral elíptica completa do primeiro tipo, en función do módulo elíptico , daquela G = \tfrac{1}{2} \int_0^1 \mathrm{K}(k)\,dk Se  é a integral elíptica completa do segundo tipo, en función do módulo elíptico , daquela G = -\tfrac{1}{2}+\int_0^1 \mathrm{E}(k)\,dk Coa función gamma \begin{align}
G &= \frac{\pi}{4} \int_0^1 \Gamma\left(1+\frac{x}{2}\right)\Gamma\left(1-\frac{x}{2}\right)\,dx \\
&= \frac{\pi}{2} \int_0^\frac12\Gamma(1+y)\Gamma(1-y)\,dy
\end{align}A integral G = \operatorname{Ti}_2(1)=\int_0^1 \frac{\arctan t}{t}\,dt é unha función especial coñecida, chamada integral tanxente inversa, e foi estudada amplamente por Srinivasa Ramanujan .

## Relación con outras funcións especiais 
 aparece en valores da segunda función poligamma, tamén chamada función trigamma, con argumentos con fraccións:\begin{align}
\psi_1 \left(\tfrac14\right) &= \pi^2 + 8G \\
\psi_1 \left(\tfrac34\right) &= \pi^2 - 8G.
\end{align}A constante de Catalan ocorre con frecuencia en relación coa función de Clausen, a integral tanxente inversa, a integral do seno inverso, a función  de Barnes, así como as integrais e series sumables en función das funcións mencionadas anteriormente.

Se se define o **trascendente de Lerch*'  (relacionado coa función zeta de Lerch) por\Phi(z, s, \alpha) = \sum_{n=0}^\infty \frac { z^n} {(n+\alpha)^s},daquela G = \tfrac{1}{4}\Phi\left(-1, 2, \tfrac{1}{2}\right).

## Series de converxencia rápida 
As dúas fórmulas seguintes implican series de converxencia rápida e, polo tanto, son apropiadas para o cálculo numérico:\begin{align}
G & = 3 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{4n}}
\left(-\frac{1}{2(8n+2)^2}+\frac{1}{2^2(8n+3)^2}-\frac{1}{2^3(8n+5)^2}+\frac{1}{2^3(8n+6)^2}-\frac{1}{2^4(8n+7)^2}+\frac{1}{2(8n+1)^2}\right)- \\
& \qquad -2 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{12n}}
\left(\frac{1}{2^4(8n+2)^2}+\frac{1}{2^6(8n+3)^2}-\frac{1}{2^9(8n+5)^2}-\frac{1}{2^{10} (8n+6)^2}-\frac{1}{2^{12} (8n+7)^2}+\frac{1}{2^3(8n+1)^2}\right)
\end{align}eG = \frac{\pi}{8}\log\left(2 + \sqrt{3}\right) + \frac{3}{8}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2 \binom{2n}{n}}.Os fundamentos teóricos destas series son dados por Broadhurst, para a primeira fórmula, e Ramanujan, para a segunda fórmula. Os algoritmos para a avaliación rápida da constante de Catalan foron construídos por E. Karatsuba. Usando estas series, calcular a constante de Catalan é case tan rápido como calcular a constante de Apery \zeta(3).

## Fracción continua 
 pode expresarse do seguinte xeito 

: G=\cfrac{1}{1+\cfrac{1^4}{8+\cfrac{3^4}{16+\cfrac{5^4}{24+\cfrac{7^4}{32+\cfrac{9^4}{40+\ddots}}}}}}
: A fracción continua simple vén dada por 
: G=\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{10+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{8+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{88+\ddots}}}}}}
: Esta fracción continua tería infinitos termos se e só se G é irracional, que aínda está sen resolver.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 

### Outros artigos 
* Lista de constantes matemáticas
* Valores particular da función zeta de Riemann zeta

### Ligazóns externas 
*  (Dá máis de 100 identidades diferentes).
* 

*