Espazo compacto

[[Ficheiro:Compact.svg|miniatura|O intervalo A=(-\infty, -2] non é compacto porque non é limitado. O intervalo C=(2, 4) non é compacto porque non é pechado. O intervalo B=[0, 1] é compacto porque é pechado e limitado.]]
En topoloxía, un **espazo compacto** é un espazo que ten propiedades similares a un conxunto finito, en canto a que as sucesións contidas nun conxunto finito sempre conteñen unha subsucesión converxente. A noción de **compacidade** é unha versión máis xeral desta propiedade.

Un **conxunto compacto** é un subconxunto dun espazo topolóxico, que como subespazo topolóxico (coa topoloxía inducida) é en si mesmo un espazo topolóxico compacto.

## Definición 
A definición moderna de compacidade require primeiro especificar a noción de cobertura aberta:
{{cita|1=Unha **cobertura aberta** dun subconxunto *A* ⊆ *X* dun espazo topolóxico, é unha familia de conxuntos abertos {*Oi*}*i* ∈ *I* de *X*, tales que a súa unión "cobre" *A* :
\bigcup_{i\in I}O_i\supseteq A
}}

Dada unha cobertura *C* dun conxunto *A*, unha subcobertura *D* é unha subfamilia de *C*, *D* ⊆ *C* que segue a ser unha cobertura de *A*, é dicir, unha subcolección de conxuntos de *C* que aínda cobre *A*.

A definición de compacidade é entón:

### Exemplos 
* O conxunto *K* = {1, 1/2, 1/3, 1/4,..., 0} ⊆ ℝ coa topoloxía hedada da estándar de ℝ é compacto. Dada unha veciñanza de 0, esta inclúe todos os 1/*n* agás un número finito, posto que a sucesión {1/*n*}n ∈ ℕ converxe a 0. Polo tanto, dado unha cobertura aberta de *K*, tomando un aberto *O* que conteña a 0 e un aberto que conteña cada punto 1/n non contido en *O*, esta subcolección finita cobre *K*.
* O intervalo aberto (0, 1) ⊆ ℝ non é compacto (coa topoloxía usual herdada de ℝ). A familia { (0, 1 − 1/*n*) }n> 1 é unha cobertura aberta do intervalo, pero dada calquera subfamilia finita, existe un intervalo (0, 1 − 1/*k*) nela que contén os demais —buscando aquel con *k* máximo—. Como 1 − 1/*p* non está en (0, 1 − 1/*k*) se *p* ≥ *k*, ningunha subfamilia finita cobre (0, 1).

### Caracterizacións equivalentes 
A compacidade dun espazo topolóxico *X* admite varias formulacións alternativas. As seguintes afirmacións son equivalentes:
# *X* es compacto.
# Se {*Fi*}*i* ∈ *I* é unha familia de subconxuntos pechados en *X* coa propiedade da intersección finita, entón ∩*I**Fi ≠ ∅.
# Toda rede en *X* admite unha subrede converxente.
# A función ao punto X\to\ast é propia.

### Compacidade en espazos métricos 
Un subconxunto *A* dun espazo métrico e, en particular, do espazo euclidiano \mathbb{R}^n é compacto se cumpre algunha das catro condicións da definición xeral. Non obstante, a terceira delas admite a seguinte reescritura neste contexto: *toda sucesión en A admite unha subsucesión converxente*.

## Exemplos 
* O exemplo máis sinxelo dun subconxunto compacto da recta euclidiana é un intervalo pechado [*a*,&nbsp;*b*] da mesma (Teorema de Heine-Borel).
* Máis xeralmente, tamén o é calquera conxunto pechado e limitado do espazo euclidiano. Por exemplo, calquera círculo no plano euclidiano.
* Todo espazo *X* cofinito é compacto.
* Un exemplo de espazo non compacto é a recta real, pois non é limitada e contén sucesións que tenden a infinito. Ademais ningunha subfamilia finita da cobertura de abertos {(-*n*,&nbsp;*n''): n∈ℕ} recobre a recta real.
* Tampouco é compacto o conxunto dos números racionais. En efecto, unha sucesión de racionais que converxe a un irracional (ao ser vista como sucesión nos reais) non ten ningunha subsucesión converxente a un racional.

## Teoremas asociados á compacidade 
* Teorema de Heine-Borel: un espazo métrico é compacto se e só se é completo e totalmente limitado. Para subconxuntos do espazo euclidiano, abonda con que este sexa pechado e limitado, que é unha caracterización útil. Con todo en dimensión infinita isto non é verdade e, de feito, neste contexto a bóla unitaria pechada xamais será precompacta; polo mesmo, é moito máis difícil verificar a compacidade.
* Teorema de Arzelà-Ascoli

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
### Outros artigos 
* Compacidade local
* Soporte compacto