Ecuación de Helmholtz

A **ecuación de Helmholtz**, chamada así por Hermann von Helmholtz, vén dada por:

onde \scriptstyle \nabla^2 é o laplaciano, \scriptstyle k é un número real positivo e \scriptstyle \phi un campo escalar.

A ecuación aparece en varios contextos da física onde \scriptstyle k se interpreta como o número de onda. A ecuación aparece no electromagnetismo, na teoría do potencial de Yukawa e como caso particular da ecuación de Klein-Gordon para un campo estacionario.

## Ecuación en electromagnetismo 
Vamos amosar como se deduce a ecuación de Helmholtz a partir das ecuacións de Maxwell. Para medios non condutores libres de fontes caracterizados por \scriptstyle \epsilon e \scriptstyle \mu (\sigma=0), as ecuacións de Maxwell redúcense a:
{{ecuación|
 \vec{\nabla} \times \vec{E} = - \mu \frac{\partial \vec{H}}{ \partial t}  
|1|left}}
{{ecuación| \vec{\nabla} \times \vec{H} =  \epsilon \frac{\partial \vec{E}}{ \partial t} |2|left}}
{{ecuación| \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 0 |3|left}} 
{{ecuación| \vec{\nabla} \cdot \vec{H} = 0 |4|left}}
As ecuacións anteriores , ,  e  son ecuacións diferenciais de primeiro grao para os campos \vec{E} e \vec{H}. Podemos combinalas para producir unha ecuación de segundo grao contendo unicamente \vec{E} ou \vec{H}. Usamos as ecuacións  e  e operando obtense:
{{ecuación|
\vec{\nabla} \times \vec{\nabla} \times \vec{E} = - \mu \frac{\partial (\vec{\nabla} \times \vec{H})}{ \partial t} = - \mu \cdot \epsilon \frac{\partial^2 \vec{E}}{ \partial t^2} 
||left}}
Mais sabemos que:
{{ecuación|
\vec{\nabla} \times \vec{\nabla} \times \vec{E} = \vec{\nabla}(\vec{\nabla} \cdot \vec{E}) - \vec{\nabla^2}\vec{E}
||left}}
e usando a ecuación  temos que:
{{ecuación|
\vec{\nabla} \times \vec{\nabla} \times \vec{E} = - \vec{\nabla^2}\vec{E}
||left}}
Polo tanto, substituíndo os termos temos finalmente que:
{{ecuación|
\vec{\nabla^2}\vec{E} = \mu \cdot \epsilon \frac{\partial^2 \vec{E}}{ \partial t^2}
||left}}
A velocidade de fase vén dada por:
{{ecuación|
v_\mathrm{p} = \frac{\omega}{k}
||left}}
o que significa que: v_\mathrm{p} = \frac {1}{\sqrt{\mu \epsilon}}

e polo tanto, substituíndo, temos:

\vec{\nabla^2}\vec{E} - \frac {1}{v_\mathrm{p}^2} \frac{\partial^2 \vec{E}}{ \partial t^2} = 0

Analogamente podemos sacar a ecuación para \vec{H}:
{{ecuación|
\vec{\nabla^2}\vec{H} - \frac {1}{v_\mathrm{p}^2} \frac{\partial^2 \vec{H}}{ \partial t^2} = 0
||left}}
Como podemos apreciar, as dúas ecuacións anteriores son **as ecuacións de onda vectoriais homoxéneas**. Descompoñendo estas dúas ecuacións obtidas en coordenadas cartesianas podemos descompoñelo en tres ecuacións de ondas escalares, homoxéneas e unidimensionais. Cada compoñente do campo eléctrico e magnético debe satisfacer unha ecuación cuxa solución representa unha onda.
Se se supón que o campo ten dependencia harmónica co tempo da forma \vec{\psi}=\mbox{Re}(\vec{\psi_{0}}e^{-i\omega t}), onde \psi pode ser tanto \vec{E} como \vec{H}, chégase á conclusión:
{{ecuación|
\vec{\nabla^2}\vec{E_\mathrm{s}} + \frac {\omega^2}{v_\mathrm{p}^2} \vec{E_\mathrm{s}} = 0 
||left}}
ou
{{ecuación|
\vec{\nabla^2}\vec{E_\mathrm{s}} + k^2 \vec{E_\mathrm{s}} = 0 
||left}}
Analogamente encontramos a seguinte ecuación para o campo electromagnético:
{{ecuación|
\vec{\nabla^2}\vec{H_\mathrm{s}} + k^2 \vec{H_\mathrm{s}} = 0 
||left}}

## Véxase tamén 
### Bibliografía
* David K. Cheng "Fundamentos de Electromagnetismo para ingeniería"
* Pozar D.M. "Microwave engineering"