Regra de Cramer

En álxebra lineal, a **regra de Cramer** é unha fórmula explícita para a solución dun sistema de ecuacións lineais con tantas ecuacións como incógnitas, válido cando o sistema ten unha solución única. Expresa a solución en termos dos determinantes da matriz (cadrada) de coeficientes e das matrices que se obtiveron dela substituíndo unha columna polo vector columna do lado dereito do sistema de ecuacións. É nomeado após Gabriel Cramer (1704–1752), quen publicou a regra para un número arbitrario de incógnitas en 1750{Sfn|Kosinski||||2001|p=310-312}}, a pesar de que Colin Maclaurin tamén publicou casos especiais da regra en 1748 (e posibelmente soubo de ela xa en 1729). 

A regra de Cramer implementada nun xeito inxenuo é computacionalmente ineficiente para sistemas de máis que dúas ou tres ecuacións. No caso de  ecuacións con  incógnitas, require a computación de n+1 determinantes, mentres que a eliminación de Gauss produce o resultado coa mesma complexidade computacional que a da computación dun só determinante. A regra de Cramer tamén pode ser numéricamente inestábel incluso para sistemas 2×2. Con todo, recentemente atopouse que a regra de Cramer pode ser aplicada en tempo O(n3) o cal é comparábel a métodos máis comúns de solucionar sistemas de ecuacións lineais, como eliminación de Gauss, e exhibindo unha estabilidade numérica comparábel na maioría de casos.

## Caso xeral 
Sexa un sistema lineal de *n* ecuacións con *n* incógnitas representado en forma de produto de matrices como o seguinte:

:  Ax = b

onde a matriz A *n*×*n* ten determinante non nulo e o vector  x = (x_1, \ldots, x_n)^\mathrm{T}  é o vector columna das variábeis. Entón o teorema di que neste caso o sistema ten unha única solución cuxos valores individuais para as incógnitas veñen dados por:

:  x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} \qquad i = 1, \ldots, n

Onde  A_i  é a matriz formada por substituír a *i*-ésima columna de *A* polo vector columna *b*.

Unha versión máis xeral da regra de Cramer considera a ecuación matricial AX = Bonde a matriz *A* *n*x*n* ten determinante non nulo, e *X*, *B* son matrices *n*×*m*. Dadas as secuencias 1\leq i_{1}e 1\leq j_{1}, sexan X_{I,J} submatrices *k*×*k* de *X* con filas en I:=(i_{1},\ldots ,i_{k}) e columnas en J:=(j_{1},\ldots ,j_{k}). Entón

:  \det X_{I,J} = \frac{\det(A_{B}(I,J))}{\det(A)}. 

No caso k=1, redúcese á regra normal de Cramer.

A regra serve para sistemas de ecuacións con coeficientes e incógnitas que pertenzan a calquera corpo, non só nos números reais.

## Proba 
A proba da regra de Cramer  usa só dúas propiedades dos determinantes: linealidade con respecto a calquera columna dada (tomando para aquela columna unha combinación lineal de vectores columna produce como determinante a combinación lineal correspondente dos seu determinantes), e o feito de que o determinante é cero cando dúas columnas son iguais (o cal vén implicado pola propiedade básica de que o signo do determinante cambia ao cambiar dúas columnas).

Fixamos o índice *j* dunha columna. A linealidade implica que se soamente consideramos a columna *j* como variábel (fixando o resto de xeito arbitrario), temos unha función **R***n*&nbsp;→&nbsp;**R** (supoñendo que os elementos da matriz tamén están en **R**) que vén dada por unha matriz, unha fila e *n* columnas, que actúa na columna *j*. De feito, isto é precisamente o que fai a expansión de Laplace, escribindo det(*A*)&nbsp;=&nbsp;*C*1*a*1,*j* + ... + *Cnan,j* para certos coeficientes *C*1, ..., *Cn* que dependen nas columnas de A que non son a columna *j* (a expresión exacta destes cofactores non importa agora). Este valor det(*A*) é o resultado de aplicar a matriz fila *L*(*j*)&nbsp;=&nbsp;(*C*1 *C*2 ... *Cn*) á columna *j* de *A*. Se *L*(*j*) se aplica a calquera outra columna *k* de *A*, o resultado é o determinante da matriz que se obtén ao substituír a columna *j* pola columna *k*, polo que o determinante é 0 (ao ter dúas columnas iguais).

Agora consideramos un sistema lineal de *n* ecuacións con *n* incógnitas x_{1},\ldots ,x_{n} cuxa matriz de coeficientes é *A*, cun determinante non nulo:\begin{matrix}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\
\vdots &\vdots &\vdots \\
a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}&=&b_{n}.
\end{matrix}Ao combinar estas ecuación, tomando *Ci* a ecuación *i*-ésima, entón o coeficiente de xj convértese en *C*1*a*1, *j* + ... + *Cnan,j* = det(*A*), mentres os outros coeficientes de todas as outras incógnitas tornan 0: o lado esquerdo simplemente é det(*A*)*xj*. O lado dereito é *C*1*b*1 + ... + *Cnbn*, onde *L*(*j*) é aplicado ao vector columna **b** do lado dereito *bi*.

En efecto o que temos feito é o produto pola esquerda da ecuación matricial *A***x**&nbsp;=&nbsp;**b** por *L*(*j*). Dividindo por det(*A*) (que é diferente de 0), achamos a seguinte ecuación, que é necesaria para satisfacer o sistema:x_{j}={\frac {L_{(j)}\cdot \mathbf {b} }{\det(A)}}Mais por construción, o numerador é o determinante da matriz obtida de *A* ao substituír a columna *j* por **b**, polo que a expresión da regra de Cramer é condición necesaria para unha solución. O mesmo procedemento pódese repetir para todos os valores de *j* para achar os valores do resto de incógnitas. Deste xeito, o único punto que queda por probar é que estes valores posíbeis forman xuntos unha solución. Observamos que se a matriz *A* é invertíbel con inversa *A*−1, temos que **x**&nbsp;=&nbsp;*A*−1**b** é solución e, polo tanto, temos a existencia de solución.

Para ver que é invertíbel cando det(*A*) é non nulo, consideramos a matriz *M* de *n×n* obtida apiñando as matrices fila *L*(*j*) unhas enriba doutras para *j* = 1, ..., *n* (isto dános a matriz adxunta de *A*). Xa mostramos que *L*(*j*)*A*&nbsp;=&nbsp;(0 ... 0 det(*A*) 0 ... 0) onde det(*A*) aparece na posición *j*; de aquí séguese que *MA* = det(*A*)*In*. Logo,\frac {1}{\det(A)}M=A^{-1}rematando así proba.

Para outras probas, ler abaixo.

## Atopando matriz inversa 
Sexa *A* unha matriz . Entón

: A\,\operatorname{adj}A = (\operatorname{adj}A)\,A=\operatorname{det}(A) I

onde  denota á matriz adxunta de *A*,  é o determinante e *I* é a matriz identidade. Se det(*A*) é invertíbel en *R*, entón a matriz inversa de *A* é:

: A^{-1} = \frac{1}{\operatorname{det}(A)} \operatorname{adj}(A).

Se *R* é un corpo (como o corpo dos números reais), entón isto dá unha fórmula para a inversa de A, dado que det(A) ≠ 0. De feito, esta fórmula funciona cando R é un anel conmutativo, pola condición de que det(A) é unha unidade. Se det(*A*) non é unha unidade, entón A non é invertíbel.

## Interpretación xeométrica 
[miniatura|563x563px|Interpretación xeométrica da regra de Cramer. As áreas do segundo e terceiro [paralelogramos sombreados son iguais e a segunda é x_1 veces a primeira. A partir desta igualidade deducimos a regra de Cramer.]]
A regra de Cramer ten unha interpretación xeométrica que pode considerarse incluso unha proba ou que simplemente dá unha visión sobre a súa natureza xeométrica. Estes argumentos xeométricos funcionan en xeral e non só no caso de dúas ecuacións con dúas incógnitas, como veremos aquí.

Dado o sistema de ecuacións\begin{matrix}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}&=b_{1}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}&=b_{2}
\end{matrix}pode considerarse como unha ecuación entre vectoresx_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}+x_{2}{\binom {a_{12}}{a_{22}}}={\binom {b_{1}}{b_{2}}}.A área do paralelogramo determinada por \binom {a_{11}}{a_{21}}e \binom {a_{12}}{a_{22}} vén dada polo determinante do sistema de ecuación:\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}En xeral, cando hai máis variábeis e ecuacións, o determinante de *n* vectores de lonxitude *n* dará o volume do paralelepípedo determinado por devanditos vectores no espazo euclidiano *n* dimensional.

Polo tanto, a área do paralelogramo determinada por x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}} e {\binom {a_{12}}{a_{22}}} ten que ser x_{1}
 veces a área do primeiro xa que un dos costados foi multiplicado por devandito factor. Agora, este último paralelogramo, polo principio de Cavalieri, ten a mesma área que o paralelogramo determinado por \binom {b_{1}}{b_{2}}}=x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}+x_{2}{\binom {a_{12}}{a_{22}} e {\binom {a_{12}}{a_{22}}}.

Ao igualar as áreas deste último e do segundo paralelogramo dá a ecuación

\begin{vmatrix}
b_{1}&a_{12}\\
b_{2}&a_{22}
\end{vmatrix}
=\begin{vmatrix}
a_{11}x_{1}&a_{12}\\
a_{21}x_{1}&a_{22}
\end{vmatrix}
=x_{1}\begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{vmatrix}

de onde deducimos a regra de Cramer.

## Aplicacións 
### Fórmulas explícitas para sistemas pequenos 
Considerando o sistema lineal

: \left\{\begin{matrix}a_1x+b_1y&={\color{red}c_1}\\ a_2x + b_2y&= {\color{red}c_2}\end{matrix}\right.

que en forma matricial é:

: \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{red}c_1} \\ {\color{red}c_2} \end{bmatrix}.

Supoñemos que  é non nulo. Entón, usando os determinantes, podemos achar *x* e *y* coa regra de Cramer

: \begin{align}
x &= \frac{\begin{vmatrix} {\color{red}{c_1}} & b_1 \\ {\color{red}{c_2}} & b_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}} = { {\color{red}c_1}b_2 - b_1{\color{red}c_2} \over a_1b_2 - b_1a_2}, \quad y = \frac{\begin{vmatrix} a_1 & {\color{red}{c_1}} \\ a_2 & {\color{red}{c_2}} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}  = { a_1{\color{red}c_2} - {\color{red}c_1}a_2 \over a_1b_2 - b_1a_2}
\end{align}.

A regra para matrices  é similar. Considerando

: \left\{\begin{matrix}a_1x + b_1y + c_1z&= {\color{red}d_1}\\a_2x + b_2y + c_2z&= {\color{red}d_2}\\a_3x + b_3y + c_3z&= {\color{red}d_3}\end{matrix}\right.

que en forma matricial é:

\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{red}d_1} \\ {\color{red}d_2} \\ {\color{red}d_3} \end{bmatrix}.

Entón, usando os determinantes, podemos achar *x* e *y* coa regra de Cramer

: x = \frac{\begin{vmatrix} {\color{red}d_1} & b_1 & c_1 \\ {\color{red}d_2} & b_2 & c_2 \\ {\color{red}d_3} & b_3 & c_3 \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}}, \quad y = \frac {\begin{vmatrix} a_1 & {\color{red}d_1} & c_1 \\ a_2 & {\color{red}d_2} & c_2 \\ a_3 & {\color{red}d_3} & c_3 \end{vmatrix}} {\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}}, \text{ and }z = \frac { \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & {\color{red}d_1} \\ a_2 & b_2 & {\color{red}d_2} \\ a_3 & b_3 & {\color{red}d_3} \end{vmatrix}} {\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} }.

### Programación enteira 
A regra de Cramer pode usarse para demostrar que un problema de programación enteira cuxa matriz de restrición é totalmente unimodular (o determinante é 1 ou -1) e cuxo lado dereito é enteiro, ten solucións básicas enteiras. Isto fai que o programación enteira resulte máis fácil de resolver.

### Ecuacións diferenciais ordinarias 
A regra de Cramer úsase para achar solución xeral a unha ecuación diferencial lineal non homoxénea polo método de variación de parámetros.

## Outras probas
### Proba por álxebra abstracta lineal 
Esta é unha reformulación da proba anterior en linguaxe abstracta.

Consideramos a aplicación \vec{x}=(x_1,\ldots, x_n) \mapsto  \frac{1}{\det A} (\det (A_1),\ldots, \det(A_n)), onde A_i é a matriz A con \vec{x} substituíndo a i-ésima columna, como na regra de Cramer. Debido á linearidade do determinante en cada columna, esta aplicación é lineal e observamos que envía i-ésima columna de A ao i-ésimo vector canónico \vec{e}_i=(0,\ldots, 1, \ldots, 0)  (con 1 na posición i do vector), porque o determinante dunha matriz cunha columna repetida é 0. Polo tanto, temos unha aplicación lineal que coincide coa inversa de A no espazo das columnas; de aí acepta A^{-1} na extensión do espazo da columnas. Xa que A é invertible, a extensión do espazo dos vectores columna é todo \mathbb{R}^n, entón a nosa aplicación é en de verdade a inversa de A.

### Proba curta
Unha proba curta da regra de Cramer provén da observación de que x_1 é o determinante da matriz

:X_1=\begin{bmatrix}
x_1 & 0 & 0 & \dots & 0\\
x_2 & 1 & 0 & \dots & 0\\
x_3 & 0 & 1 & \dots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
x_n & 0 & 0 & \dots & 1
\end{bmatrix}

Por outra parte, supoñendo que a matriz orixinal Aé invertible, esta matriz X_1 ten como columnas A^{-1}b, A^{-1}v_2, \ldots, A^{-1}v_n , onde v_n é a *n*-ésima columna da matriz A. Lembrando que a matriz A_1 ten as columnas b, v_2, \ldots, v_n , temos que

: x_1= \det (X_1) = \det (A^{-1}) \det (A_1)= \frac{\det (A_1)}{\det (A)}.

A proba para as outras x_j é análoga.

### Proba usando álxebra de Clifford
Considérese o sistema de tres ecuacións escalares en tres escalares descoñecidos x_1, x_2, x_3

:\begin{align}
  a_{11} x_{1} +a_{12} x_{2} +a_{13} x_{3} & =  c_{1}\\
  a_{21} x_{1} +a_{22} x_{2} +a_{23} x_{3} & =  c_{2}\\
  a_{31} x_{1} +a_{32} x_{2} +a_{33} x_{3} & =  c_{3}
\end{align}

e asignámoslle unha base de vectores ortonormais \mathbf{e}_{1} ,\mathbf{e}_{2} ,\mathbf{e}_{3} para \mathcal{G}_{3} como

:\begin{align}
  a_{11} \mathbf{e}_{1} x_{1} +a_{12} \mathbf{e}_{1} x_{2} +a_{13} \mathbf{e}_{1} x_{3} & = c_{1} \mathbf{e}_{1}\\
  a_{21} \mathbf{e}_{2} x_{1} +a_{22} \mathbf{e}_{2} x_{2} +a_{23} \mathbf{e}_{2} x_{3} & = c_{2} \mathbf{e}_{2}\\
  a_{31} \mathbf{e}_{3} x_{1} +a_{32} \mathbf{e}_{3} x_{2} +a_{33} \mathbf{e}_{3} x_{3} & = c_{3} \mathbf{e}_{3} 
\end{align}

Sexan os vectores

:\begin{align}
  \mathbf{a}_{1} & = a_{11} \mathbf{e}_{1} +a_{21} \mathbf{e}_{2} +a_{31} \mathbf{e}_{3}\\
  \mathbf{a}_{2} & = a_{12} \mathbf{e}_{1} +a_{22} \mathbf{e}_{2} +a_{32} \mathbf{e}_{3}\\
  \mathbf{a}_{3} & = a_{13} \mathbf{e}_{1} +a_{23} \mathbf{e}_{2} +a_{33} \mathbf{e}_{3}
\end{align}

Engadindo o sistema de ecuacións, vese que

:\begin{align}
  \mathbf{c} & = c_{1} \mathbf{e}_{1} +c_{2} \mathbf{e}_{2} +c_{3} \mathbf{e}_{3}\\
  & = x_{1} \mathbf{a}_{1} +x_{2} \mathbf{a}_{2} +x_{3} \mathbf{a}_{3}
\end{align}

Usando o produto exterior, cada escalar descoñecido x_{k} pode ser resolto como

:\begin{align}
\mathbf{c} \wedge \mathbf{a}_{2} \wedge \mathbf{a}_{3} &= x_{1} \mathbf{a}_{1} \wedge \mathbf{a}_{2} \wedge \mathbf{a}_{3}\\
\mathbf{c} \wedge \mathbf{a}_{1} \wedge \mathbf{a}_{3} &= x_{2} \mathbf{a}_{2} \wedge \mathbf{a}_{1} \wedge \mathbf{a}_{3}\\
\mathbf{c} \wedge \mathbf{a}_{1} \wedge \mathbf{a}_{2} &= x_{3} \mathbf{a}_{3} \wedge \mathbf{a}_{1} \wedge \mathbf{a}_{2}\\
x_{1} &= \frac{\mathbf{c} \wedge \mathbf{a}_{2} \wedge \mathbf{a}_{3}}{\mathbf{a}_{1} \wedge \mathbf{a}_{2} \wedge \mathbf{a}_{3}}\\
x_{2} &= \frac{\mathbf{c} \wedge \mathbf{a}_{1} \wedge \mathbf{a}_{3}}{\mathbf{a}_{2} \wedge \mathbf{a}_{1} \wedge \mathbf{a}_{3}} = \frac{\mathbf{a}_{1} \wedge \mathbf{c} \wedge \mathbf{a}_{3}}{\mathbf{a}_{1} \wedge \mathbf{a}_{2} \wedge \mathbf{a}_{3}}\\
x_{3} &= \frac{\mathbf{c} \wedge \mathbf{a}_{1} \wedge \mathbf{a}_{2}}{\mathbf{a}_{3} \wedge \mathbf{a}_{1} \wedge \mathbf{a}_{2}} = \frac{\mathbf{a}_{1} \wedge \mathbf{a}_{2} \wedge \mathbf{c}}{\mathbf{a}_{1} \wedge \mathbf{a}_{2} \wedge \mathbf{a}_{3}} 
\end{align}

Para *n* ecuacións con *n* variábeis descoñecidas a solución para a *k*-ésima variábel descoñecida x_{k} xeneralízase a

:\begin{align}
x_k &= \frac{\mathbf{a}_{1} \wedge \cdots \wedge (\mathbf{c})_k \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_{n}}{\mathbf{a}_{1} \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_{k} \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_{n}}\\
    &= (\mathbf{a}_{1} \wedge \cdots \wedge (\mathbf{c})_k \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_{n}) (\mathbf{a}_{1} \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_{k} \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_{n} )^{-1}\\
    &= \frac{(\mathbf{a}_{1} \wedge \cdots \wedge (\mathbf{c})_k \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_{n}) (\mathbf{a}_{1} \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_{k} \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_{n})}{(\mathbf{a}_{1} \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_{k} \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_{n}) (\mathbf{a}_{1} \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_{k} \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_{n})}\\
    &= \frac{( \mathbf{a}_{1} \wedge \cdots \wedge (\mathbf{c})_k \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_{n} ) \cdot ( \mathbf{a}_{1} \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_{k} \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_{n} )}{(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}  ( \mathbf{a}_{n} \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_{k} \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_{1} ) \cdot (\mathbf{a}_{1} \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_{k} \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_{n} )}\\
    &= \frac{( \mathbf{a}_{n} \wedge \cdots \wedge (\mathbf{c})_k \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_{1} ) \cdot (\mathbf{a}_{1} \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_{k} \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_{n} )}{( \mathbf{a}_{n} \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_{k} \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_{1} ) \cdot ( \mathbf{a}_{1} \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_{k} \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_{n} )} 
\end{align}

Se  son linealmente independentes, entón x_{k} pode expresarse en termos de determinantes identicamente á regra de Cramer

:\begin{align}
x_k &= \frac{( \mathbf{a}_{n} \wedge \cdots \wedge ( \mathbf{c} )_{k} \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_{1} ) \cdot ( \mathbf{a}_1 \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_{k} \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_{n} )}{(\mathbf{a}_{n} \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_{k} \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_1 ) \cdot ( \mathbf{a}_1 \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_{k} \wedge \cdots \wedge \mathbf{a}_{n})}\\ [8pt]
&= \begin{vmatrix}
    \mathbf{a}_{1} \cdot \mathbf{a}_1 & \cdots & \mathbf{a}_{1} \cdot (
    \mathbf{c} )_{k} & \cdots & \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{a}_{n}\\
    \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
    \mathbf{a}_{k} \cdot \mathbf{a}_{1} & \cdots & \mathbf{a}_{k} \cdot (
    \mathbf{c} )_{k} & \cdots & \mathbf{a}_{k} \cdot \mathbf{a}_{n}\\
    \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
    \mathbf{a}_{n} \cdot \mathbf{a}_{1} & \cdots & \mathbf{a}_{n} \cdot (
    \mathbf{c} )_{k} & \cdots & \mathbf{a}_{n} \cdot \mathbf{a}_{n}
  \end{vmatrix} \begin{vmatrix}
    \mathbf{a}_{1} \cdot \mathbf{a}_{1} & \cdots & \mathbf{a}_{1} \cdot
    \mathbf{a}_{k} & \cdots & \mathbf{a}_{1} \cdot \mathbf{a}_{n}\\
    \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
    \mathbf{a}_{k} \cdot \mathbf{a}_{1} & \cdots & \mathbf{a}_{k} \cdot
    \mathbf{a}_{k} & \cdots & \mathbf{a}_{k} \cdot \mathbf{a}_{n}\\
    \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
    \mathbf{a}_{n} \cdot \mathbf{a}_{1} & \cdots & \mathbf{a}_{n} \cdot
    \mathbf{a}_{k} & \cdots & \mathbf{a}_{n} \cdot \mathbf{a}_{n}
  \end{vmatrix}^{-1}  \\ [8pt]
&= \begin{vmatrix} \mathbf{a}_{1}\\ \vdots\\ \mathbf{a}_{k}\\ \vdots\\ \mathbf{a}_{n} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} \mathbf{a}_{1} & \cdots & ( \mathbf{c} )_{k} & \cdots & \mathbf{a}_{n} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} \mathbf{a}_{1}\\ \vdots\\ \mathbf{a}_{k}\\ \vdots\\
\mathbf{a}_{n} \end{vmatrix}^{-1} \begin{vmatrix} \mathbf{a}_{1} & \cdots & \mathbf{a}_{k} & \cdots & \mathbf{a}_{n} \end{vmatrix}^{-1}\\ [8pt]
&= \begin{vmatrix} \mathbf{a}_1 & \cdots & (\mathbf{c})_{k} & \cdots & \mathbf{a}_{n} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} \mathbf{a}_{1} & \cdots & \mathbf{a}_{k} & \cdots & \mathbf{a}_{n} \end{vmatrix}^{-1} \\ [8pt]
&= \begin{vmatrix}
    a_{11} & \ldots & c_{1} & \cdots & a_{1n}\\
    \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
    a_{k1} & \cdots & c_{k} & \cdots & a_{k n}\\
    \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
    a_{n1} & \cdots & c_{n} & \cdots & a_{n n}
  \end{vmatrix} \begin{vmatrix}
    a_{11} & \ldots & a_{1k} & \cdots & a_{1n}\\
    \vdots
  \end{vmatrix}^{-1}
\end{align}

onde  denota a substitución do vector  co vector  na posición *k*-ésima do numerador.

## Casos incompatíbeis e indeterminados 
Un sistema de ecuacións dise incompatíbel cando non ten solución e é chamado indeterminado cando ten máis dunha solución. Para ecuacións lineais, un sistema indeterminado ten infinitas solucións (se estamos sobre un corpo infinito, como no caso dos reais), xa que as solucións poden ser expresadas en termos dun ou máis parámetros que poden tomar valores arbitrarios.

A regra de Cramer aplícase no caso onde o determinante da matriz de coeficientes é non nulo. No caso 2×2, se o determinante é cero, entón o sistema é incompatíbel se o determinante do numerador é non nulo, ou indeterminado se o determinante do numerador é cero.

Para sistemas 3×3 ou maiores, o único que se pode concluír cando o determinante da matriz de coeficientes é nulo, é que se algún dos determinantes dos numeradores  é non nulo, entón o sistema ten que ser incompatíbel. Con todo, tendo todos os determinantes nulos non implica que o sistema é indeterminado. Un exemplo sinxelo onde todos os determinantes son iguais a cero mais o sistema é aínda incompatíbel é o 3×3 sistema x+y+z=1, x+y+z=2, x+y+z=3.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
* 
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*