Anel de polinomios

En matemáticas, no campo da álxebra, un **anel de polinomios** ou **álxebra de polinomios** ou **anel polinómico**, é un anel formado no conxunto de polinomios en un ou máis indeterminados (tamén chamados variábeis) con coeficientes en outro anel, a miúdo outro corpo.

A miúdo, o termo "anel polinómico" refírese implícitamente ao caso especial dun anel polinómico dunha variábel sobre un corpo. A importancia destes aneis polinómicos depende do elevado número de propiedades que teñen en común co anel dos enteiros.

Unha noción relacionada é a do anel de funcións polinómicas nun espazo vectorial, e, máis xeralmente do  anel de funcións regulares nunha variedade alxébrica.

## Definición (caso univariado) 
Sexa  un corpo ou (máis xeralmente) un anel conmutativo.

O **anel polinómico** en  sobre , que se denota , pódese definir de varias maneiras equivalentes. Unha delas é definir  como o conxunto de expresións, chamadas **polinomios** en , da forma 

: p = p_0 + p_1 X + p_2 X^2 + \cdots + p_{m - 1} X^{m - 1} + p_m X^m,

onde , os **coeficientes** de , son elementos de ,  se , e  son símbolos, que se consideran "potencias" de , e seguen as regras habituais de exponenciación: , , ... e  X^k X^l = X^{k+l} para calquera números enteiros non negativos  e . 

O símbolo  chámase indeterminado  ou variábel. (O termo de "variábel" provén da terminoloxía das funcións polinómicas. No entanto, aquí,  non ten ningún valor, á parte de si mesmo, e non pode variar, sendo unha *constante* no anel polinómico).

Dous polinomios son iguais cando os coeficientes correspondentes de cada  son iguais.

O anel polinómico en  sobre  está equipado cunha suma, unha multiplicación e unha multiplicación escalar que o converten nunha álxebra conmutativa. Estas operacións defínense segundo as regras ordinarias de manipulación de expresións alxébricas. En concreto, se temos

: p = p_0 + p_1 X + p_2 X^2 + \cdots + p_m X^m,
: q = q_0 + q_1 X + q_2 X^2 + \cdots + q_n X^n,

entón

: p + q = r_0 + r_1 X + r_2 X^2 + \cdots + r_k X^k,
: pq = s_0 + s_1 X + s_2 X^2 + \cdots + s_l X^l,

onde  ,

: r_i = p_i + q_i,
: s_i = p_0 q_i + p_1 q_{i-1} + \cdots + p_i q_0.  (Ver convolución discreta).

Nestas fórmulas, os polinomios  e  esténdense engadindo "termos ficticios" con  coeficientes cero, de xeito que se definen todos os  e  que aparecen nas fórmulas. En concreto, se , entón  para .

A multiplicación escalar é o caso especial da multiplicación onde  se reduce ao seu *termo constante* (o termo que é independente de  ); é dicir

: p_0\left(q_0 + q_1 X + \dots + q_n X^n\right) = p_0 q_0 + \left(p_0 q_1\right)X + \cdots + \left(p_0 q_n\right)X^n

É directo verificar que estas tres operacións satisfán os axiomas dunha álxebra conmutativa sobre . Polo tanto, os aneis polinómicos tamén se denominan *álxebras polinómicas*.

### Terminoloxía 
Sexa

: p = p_0 + p_1 X + p_2 X^2 + \cdots + p_{m - 1} X^{m - 1} + p_m X^m,

un polinomio distinto de cero con p_m\ne 0.

O *termo constante* de  é p_0. É cero no caso do polinomio cero.

O *grao* de , escrito  é m, o maior  tal que o coeficiente de  non é cero.

O *coeficiente principal* de  é p_m.

Un *polinomio constante* é o polinomio cero ou un polinomio de grao cero.

Un polinomio distinto de cero é mónico se o seu coeficiente principal é 1.

Dados dous polinomios  e , se o grao do polinomio cero se define como -\infty, temos

: \deg(p+q) \le \max (\deg(p), \deg (q)),

e, sobre un corpo, ou máis xeralmente un dominio de  integridade, 

: \deg(pq) = \deg(p) + \deg(q).

Dedúcese inmediatamente que, se  é un dominio de integridade, entón tamén o é . 

Tamén se deduce que, se  é un dominio de integridade, un polinomio é unha unidade (é dicir, ten unha inversa multiplicativa) se e só se é constante e é unha unidade en .

Dous polinomios son asociados  se un é o produto do outro por unha unidade (elemento invertíbel).

Un polinomio é irredutíbel se non é o produto de dous polinomios non constantes, ou de forma equivalente, se os seus divisores son polinomios constantes ou teñen o mesmo grao.

### Avaliación polinómica 
Sexa  un corpo ou, máis xeralmente, un anel conmutativo, e  un anel que contén . Para calquera polinomio  en  e calquera elemento  en , a substitución de  por  en  define un elemento de , que se denota . Este elemento obtense realizando en  despois da substitución as operacións indicadas pola expresión do polinomio. Este cálculo chámase **avaliación** de  en . Por exemplo, se temos

: P = X^2 - 1,

vemos dous exemplos con dúas avaliacións:

: \begin{align}
   P(3) &= 3^2-1 = 8, \\
 P(X^2+1) &= \left(X^2 + 1\right)^2 - 1 = X^4 + 2X^2
\end{align}

(no primeiro exemplo , e no segundo  ). 

A imaxe do mapa P \mapsto P(a), é dicir, o subconxunto de  obtido ao substituír  por  en elementos de , denotase .  Por exemplo, \Z[\sqrt{2}]=\{P(\sqrt{2})\mid P(X)\in\Z[X]\}, e as regras de simplificación para as potencias dunha raíz cadrada implican \Z[\sqrt{2}]= \{a+b\sqrt 2 \mid a\in \Z, b\in \Z\}.

## Polinomios univariados sobre un corpo 
Se  é un corpo, o anel polinómico  ten moitas propiedades similares ás do anel de enteiros \Z. A maioría destas semellanzas resultan da semellanza entre a división longa de números enteiros e a división longa de polinomios.

A maioría das propiedades de  que se enumeran nesta sección non permanecen certas se  non é un corpo, ou se se consideran polinomios en varios indeterminados.

Como para os enteiros, a división euclidiana de polinomios ten unha propiedade de unicidade. É dicir, dados dous polinomios  e  en , hai un único par  de polinomios tal que , e  ou . Isto fai de  un dominio euclidiano. Porén, a maioría dos outros dominios euclidianos (excepto os enteiros) non teñen ningunha propiedade de unicidade para a división nin un algoritmo sinxelo (como a división longa) para calcular a división euclidiana.

A división euclidiana é a base do algoritmo euclidiano para polinomios que calcula un máximo común divisor polinómico de dous polinomios. Aquí, "maior" significa "ter un grao máximo" ou, equivalentemente, ser máximo para a orde previa definida polo grao. Dado un máximo común divisor de dous polinomios, os outros máximos comúns divisores obtéñense multiplicando por unha constante distinta de cero (é dicir, todos os máximos comúns divisores de  e  están asociados). En particular, dous polinomios que non son ambos cero teñen un único máximo común divisor que é mónico (coeficiente inicial igual a ).

O algoritmo euclidiano estendido permite calcular (e probar) a identidade de Bézout. No caso de , pódese afirmar do seguinte xeito. Dados dous polinomios  e  de respectivos graos  e , se o seu máximo común divisor mónico  ten o grao , entón hai un único par  de polinomios tal que

: ap + bq = g,

e

: \deg (a) \le n-d, \quad \deg(b) 

(Para facer isto certo no caso límite onde  ou , hai que definir como negativo o grao do polinomio cero. A maiores, a igualdade \deg (a)= n-d só pode ocorrer se  e  están asociados). A propiedade de unicidade é bastante específica de . No caso dos enteiros a mesma propiedade é verdade, se os graos son substituídos por valores absolutos, pero, para ter unicidade, hai que esixir .

O lema de Euclides aplícase a . É dicir, se  divide  e é coprimo con , entón  divide . Aquí, *coprimo* significa que o máximo común divisor mónico é . *Proba:* Por hipótese e identidade de Bézout, hai ,  e  tal que  e  . Entón c=c(ap+bq)=cap+aeq=a(cp+eq).

A propiedade factorización única resulta do lema de Euclides. No caso dos enteiros, este é o teorema fundamental da aritmética. No caso de , pódese afirmar como: *todo polinomio non constante pode expresarse dun xeito único como o produto dunha constante e dun ou varios polinomios mónicos irredutíbeis; esta descomposición é única ata a orde dos factores.* 

Noutros termos  é un dominio de factorización única. Se  é o corpo dos números complexos, o teorema fundamental da álxebra afirma que un polinomio univariado é irredutíbel se e só se o seu grao é un. 

Neste caso, a propiedade única de factorización pódese reformular como: *todo polinomio univariado non constante sobre os números complexos pode expresarse dun xeito único como o produto dunha constante e un ou varios polinomios da forma* ; *esta descomposición é única ata a orde dos factores.* 

Para cada factor,  é unha raíz do polinomio e o número de aparicións dun factor é a multiplicidade da raíz correspondente.

### Derivadas 
A derivada (formal) do polinomio

: a_0+a_1X+a_2X^2+\cdots+a_nX^n

é o polinomio

: a_1+2a_2X+\cdots+na_nX^{n-1}.

No caso de polinomios con coeficientes reais ou complexos, esta é a derivada estándar. A derivada fai do anel polinómico unha álxebra diferencial.

A existencia da derivada é unha das principais propiedades dun anel polinómico que non se comparte cos números enteiros, e facilita algúns cálculos nun anel polinómico o que non acontece cos números enteiros.

#### Interpolación de Lagrange 
Dado un conxunto finito de pares ordenados (x_j, y_j) con entradas nun corpo e valores distintos x_j, entre os polinomios f(x) que interpolan estes puntos (de xeito que f(x_j) = y_j para todos os j ), hai un polinomio único de menor grao. Este é o *polinomio de interpolación de Lagrange* L(x). Se hai k pares ordenados, o grao de L(x) é como máximo k - 1. O polinomio L(x) pódese calcular explicitamente en función dos datos de entrada (x_j, y_j).

### Factorización 
Excepto a factorización, todas as propiedades anteriores de  son efectivas, xa que as súas demostracións, como se esboza anteriormente, están asociadas a algoritmos para probar a propiedade e calcular os polinomios cuxa existencia se afirma. Adlén diso, estes algoritmos son eficientes, xa que a súa complexidade computacional é unha función cadrática do tamaño da entrada.

No caso de , os factores e os métodos para calculalos dependen fortemente de . Sobre os números complexos, os factores irredutíbeis (os que non se poden factorizar máis) son todos de grao un, mentres que, sobre os números reais, hai polinomios irredutíbeis de grao 2 e, sobre os números racionais, hai polinomios irredutíbeis de calquera grao. Por exemplo, o polinomio X^4-2 é irredutíbel sobre os números racionais, factorízase como (X - \sqrt[4]2)(X+\sqrt[4]2)(X^2+\sqrt 2) sobre os números reais e, e como (X-\sqrt[4]2)(X+\sqrt[4]2)(X-i\sqrt[4]2)(X+i\sqrt[4]2) sobre os números complexos.

A existencia dun algoritmo de factorización depende tamén do corpo base. No caso dos números reais ou complexos, o teorema de Abel-Ruffini mostra que as raíces dalgúns polinomios e, polo tanto, os factores irredutíbeis, non se poden calcular con exactitude. Polo tanto, un algoritmo de factorización só pode calcular aproximacións dos factores. Téñense  deseñado varios algoritmos para calcular estas aproximacións, vexa algoritmo para atopar&amp;nbsp; raíces de polinomios.

Hai un exemplo dun corpo  tal que existen algoritmos exactos para as operacións aritméticas de , mais non pode existir ningún algoritmo para decidir se un polinomio da forma X^p - a é irredutíbel ou é produto de polinomios de grao inferior.

### Polinomio mínimo 
Se  é un elemento dunha -álxebra asociativa , a avaliación polinómica en  é o único homomorfismo de álxebra  de  en  que mapea  en  e non afecta os elementos de  en si (é o mapa de identidade en ). Consiste en *substituír*  por  en cada polinomio. É dicir,

: 
 \varphi\left(a_m X^m + a_{m - 1} X^{m - 1} + \cdots + a_1 X + a_0\right) = 
 a_m \theta^m + a_{m - 1} \theta^{m - 1} + \cdots + a_1 \theta + a_0.

Se o homomorfismo de avaliación non é inxectivo, isto significa que o seu núcleo é un ideal distinto de cero, composto por todos os polinomios que se converten en cero cando  é substituído por . Este ideal consiste en todos os múltiplos dalgún polinomio mónico, que se denomina **polinomio mínimo** de . O termo *mínimo* vén motivado polo feito de que o seu grao é mínimo entre os graos dos elementos do ideal.

Hai dous casos principais nos que se consideran polinomios mínimos.

En teoría de corpos e teoría de números, un elemento  dunha extensión de corpo  de  é alxébrico sobre  se é unha raíz dalgún polinomio con coeficientes en . O polinomio mínimo sobre  de  é polo tanto o polinomio mónico de grao mínimo que ten  como raíz. Como  é un corpo, este polinomio mínimo é necesariamente irredutíbel sobre . Por exemplo, o polinomio mínimo (sobre os reais e tamén sobre os racionais) do número complexo  é X^2 + 1. Os polinomios ciclotómicos son os polinomios mínimos das raíces da unidade.

En álxebra linear, as  matrices cadradas  sobre  forman unha -álxebra asociativa de dimensión finita (como espazo vectorial). Polo tanto, o homomorfismo de avaliación non pode ser inxectivo, e toda matriz ten un polinomio mínimo (non necesariamente irredutíbel). Polo teorema de Cayley-Hamilton, o homomorfismo de avaliación mapea en cero o polinomio característico dunha matriz. Dedúcese que o polinomio mínimo divide o polinomio característico e, polo tanto, o grao do polinomio mínimo é como máximo .

### Anel cociente 
No caso de , o anel cociente por un ideal pódese construír, como no caso xeral, como un conxunto de clases de equivalencia. No entanto, como cada clase de equivalencia contén exactamente un polinomio de grao mínimo, adoita ser máis conveniente outra construción.

Dado un polinomio  de grao , o *anel cociente* de  polo ideal xerado por  pódese identificar co espazo vectorial dos polinomios de graos inferiores a , coa "multiplicación módulo  " como multiplicación, a *multiplicación módulo*  que consiste no resto baixo a división por  do produto (habitual) dos polinomios. Este anel cociente denotado de varias maneiras como K[X]/pK[X],K[X]/\langle p \rangle,K[X]/(p), ou simplemente K[X]/p.

O anel K[X]/(p) é un corpo se e só se  é un polinomio irredutíbel. De feito, se  é irredutíbel, todo polinomio  distinto de cero de grao inferior é coprimo  con , e a identidade de Bézout permite calcular  e  tal  que ; polo tanto,  é o inverso multiplicativa de  módulo . Pola contra, se  é reducíbel, entón existen polinomios  de graos inferiores a  tal  que ; polo que  son divisores de cero distintos de cero módulo  e non poden ser invertíbeis.

Por exemplo, a definición estándar do corpo dos números complexos pódese resumir dicindo que é o anel cociente

: \mathbb C =\mathbb R[X]/(X^2+1),

e que a imaxe de  en \mathbb C está denotada como . De feito, pola descrición anterior, este cociente está formado por todos os polinomios de grao un en , que teñen a forma , con  e  en \mathbb R. O resto da división euclidiana que se necesita para multiplicar dous elementos do anel cociente obtense substituíndo  por  no seu produto como polinomios (esta é exactamente a definición habitual do produto dos números complexos).

### Módulos 
O teorema de estrutura para módulos xerados finitamente sobre un dominio ideal principal aplícase a *K*[*X*], cando *K* é un corpo. Isto significa que todo módulo finitamente xerado sobre *K*[*X*] pode descompoñerse nunha suma directa dun módulo libre e un número finito de módulos da forma K[X]/\left\langle P^k \right\rangle, onde *P* é un polinomio irredutíbel sobre *K* e *k* un enteiro positivo.

## Definición (caso multivariante) 
Dados  símbolos X_1, \dots, X_n, chamados indeterminados, un monomio (tamén chamado *produto de potencias*)

: X_1^{\alpha_1}\cdots X_n^{\alpha_n}

é un produto formal destes indeterminados, posibelmente elevados a unha potencia non negativa. Como é habitual, pódense omitir expoñentes iguais a un e factores cun expoñente cero. En particular, X_1^0\cdots X_n^0 =1.

A tupla de expoñentes  chámase vector *de varios graos* ou *expoñente* do monomio. Para unha notación menos engorrosa, a abreviatura

: X^\alpha=X_1^{\alpha_1}\cdots X_n^{\alpha_n}

úsase a miúdo. O *grao* dun monomio , denotado frecuentemente  ou , é a suma dos seus expoñentes:

:  \deg \alpha = \sum_{i=1}^n \alpha_i. 

Un *polinomio* nestes indeterminados, con coeficientes nun corpo , ou máis xeralmente un anel, é unha combinación linear finita de monomios

:  p = \sum_\alpha p_\alpha X^\alpha

con coeficientes en . O *grao* dun polinomio distinto de cero é o máximo dos graos dos seus monomios con coeficientes distintos de cero.

O conxunto de polinomios en X_1, \dots, X_n, denotado K[X_1,\dots, X_n], é así un espazo vectorial (ou un módulo libre, se  é un anel) que ten como base os monomios.

K[X_1,\dots, X_n] está naturalmente equipado cunha multiplicación que fai un anel, e unha álxebra asociativa sobre , chamado *anel polinómico en  indeterminados* sobre . Se o anel  é conmutativo, K[X_1,\dots, X_n] é tamén un anel conmutativo.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
*
*
*
*

### Outros artigos 
* Polinomio de Laurent
* Polinomio
* Interpolación polinómica
* Factorización de polinomios