Función limitada

dereita|miniatura| Unha ilustración esquemática dunha función limitada (vermello) e outra non limitada (azul). Intuitivamente, a gráfica dunha función limitada permanece dentro dunha banda horizontal, mentres que a gráfica dunha función non limitada non permanece.
En matemáticas, unha función f definida nalgún conxunto X con valores reais ou complexos denomínase **limitada** se o conxunto dos seus valores está limitado. Noutras palabras, existe un número real M tal que

: |f(x)|\le M

para todo x en X. No caso contrario a función dise que é **non limitada**. 

Un caso especial importante é unha **sucesión limitada**, onde *X* tómase como o conxunto \mathbb N dos números naturais. Así unha secuencia f = (a_0, a_1, a_2, \ldots) está limitada se existe un número real M tal que

: |a_n|\le M

para cada número natural n. O conxunto de todas as secuencias limitadas forma o espazo das sucesións  l^\infty. 

A definición de limitado pódese xeneralizar a funcións f: X \rightarrow Y tomando valores nun espazo máis xeral Y ao esixir que a imaxe f(X) sexa un conxunto limitado Y. 

## Nocións relacionadas 
Máis débil que o concepto de limitado é o concepto de  limitado localmente, cando está limitada en cada punto. 

Unha familia de funcións limitadas pode estar limitada uniformemente, cando toda a familia está limitada pola mesma constante.

## Exemplos 
* A función seno, \sin: \mathbb R \rightarrow \mathbb R está limitada xa que |\sin (x)| \le 1 para todas as x \in \mathbb{R} .
* A función f(x)=(x^2-1)^{-1}, definida para todos os x reais agás para −1 e 1, non ten límites. A medida que *x* se achega a −1 ou 1, os valores desta función aumentan en magnitude. Esta función pódese limitar se se restrinxe o seu dominio a, por exemplo, [2, \infty) ou (-\infty, -2].
* A función f(x)= (x^2+1)^{-1}, definida para todos os *x* reais, *está* limitada, xa que |f(x)| \le 1 para todos os *x*.
* A función trigonométrica inversa arco tanxente definida como: y= \arctan (x) ou x = \tan (y) é crecente para todos os números reais *x* e limitados por -\frac{\pi}{2}  radiáns
* Polo Teorema de Weierstrass, toda función continua nun intervalo pechado, como f: [0, 1] \rightarrow \mathbb R, está limitada. De forma máis xeral, calquera función continua dun espazo compacto a un espazo métrico está limitada.
*Todas as funcións de valores complexos f: \mathbb C \rightarrow \mathbb C que son enteiras son ​​non limitadas ou constantes como consecuencia do Teorema de Liouville. En particular, a función complexa \sin: \mathbb C \rightarrow \mathbb C debe ser non limitada xa que é enteira.
* A función f que toma o valor 0 para x número racional e 1 para *x* número irracional (cf. Función de Dirichlet) *está* limitada. Así, unha función non precisa ter un aspecto usual para estar limitada. O conxunto de todas as funcións limitadas definidas en [0, 1] é moito maior que o conxunto das función continuas nese intervalo. Ademais, as funcións continuas non teñen por que estar limitadas; por exemplo, as funcións g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} e h: (0, 1)^2\to\mathbb{R} definida por g(x, y) := x + y e h(x, y) := \frac{1}{x+y} son ambas as dúas continuas, mais ningunha das dúas está limitada.(No entanto, unha función continua debe estar limitada se o seu dominio está pechado e limitado.)

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Límite dunha función.
* Límite dunha sucesión.
* Conxunto limitado