Centroide (Baricentro)

dereita|miniatura| Baricentro (Centroide) dun triángulo
En matemáticas e física, o **centroide**, tamén coñecido como **centro xeométrico**, dunha figura plana ou sólida é a posición media aritmética de todos os puntos da superficie da figura. A mesma definición esténdese a calquera obxecto nun espazo euclidiano n-dimensional.

Outra definición de **centroide** dun plano ou domínio espacial é a de ser un punto de equilíbrio para unha determinada medida nese domínio.  Corresponde ao centro de simetría cando o domínio ten dito centro de simetría. A súa existéncia e exclusividade son garantidas cando o dominio for de medida finita..

En **xeometría**, adóitase asumir unha densidade de masa uniforme, nese caso o **baricentro** e o **centro de masas** coinciden co centroide. Informalmente, pódese entender como o punto no que un obxecto (con masa uniformemente distribuída) podería estar perfectamente equilibrado na punta dun alfinete.

En xeografía, o centroide dunha proxección radial dunha rexión da superficie terrestre ata o nivel do mar é o centro xeográfico da rexión.

## Propiedades 
O centroide xeométrico dun obxecto convexo sempre reside no obxecto. Un obxecto non convexo pode ter un centroide que estea fóra da propia figura. O centroide dun anel ou dunha cunca, por exemplo, atópase no oco central do obxecto.

Se o centroide está definido, é un punto fixo de todas as isometrías do seu grupo de simetría. En particular, o centroide xeométrico dun obxecto atópase na intersección de todos os seus hiperplanos de simetría. O centroide de moitas figuras (polígono regular, poliedro regular, cilindro, rectángulo, rombo, círculo, esfera, elipse, elipsoide, superelipse, superelipsoide, etc.) pódese determinar só por este principio.

En particular, o centroide dun paralelogramo é o punto de encontro das súas dúas diagonais. Isto non é certo para outros cuadriláteros.

Polo mesmo motivo, o centroide dun obxecto con simetría de translación non está definido (ou está fóra do espazo circundante), porque unha translación non ten punto fixo.

## Exemplos 
O baricentro dun triángulo é a intersección das tres medianas do triángulo (cada mediana conecta un vértice co punto medio do lado oposto). 

## Determinación 
### Dun conxunto finito de puntos 
O centroide dun conxunto finito de k puntos \mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\ldots,\mathbf{x}_k en \R^n é  \mathbf{C} = \frac{\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2 + \cdots + \mathbf{x}_k}{k} .Este punto minimiza a suma das distancias euclidianas ao cadrado entre el mesmo e cada punto do conxunto.

### Por descomposición xeométrica 
O centroide dunha figura plana X pódese calcular dividíndoo nun número finito de figuriñas máis sinxelas X_1, X_2, \dots, X_n, calculando o centroide C_i e zona A_i de cada parte, e despois calculando para as coordenadas x e y

C_x = \frac{\sum_i {C_i}_x A_i}{\sum_i A_i}, \quad
C_y = \frac{\sum_i {C_i}_y A_i}{\sum_i A_i}.

Por exemplo, a figura seguinte (a) divídese facilmente nun cadrado e nun triángulo, ambos con área positiva; e un buraquiño circular, con área negativa (b).

O centroide de cada parte pódese atopar nunha lista de centroides de formas simples (c). Logo, o centroide da figura é a media ponderada dos tres puntos. A posición horizontal do centroide, dende o bordo esquerdo da figura é x = \frac{5 \times 10^2 + 13.33 \times \frac{1}{2}10^2 - 3 \times \pi2.5^2}{10^2 + \frac{1}{2}10^2 -\pi2.5^2} \approx 8.5 \text{ unidades}. A posición vertical do centroide atópase do mesmo xeito.

A mesma fórmula vale para calquera subconxunto de \R^d, para calquera dimensión d, coas áreas substituídas polas d-medidas dimensionais das pezas.

### Por fórmula integral 
O centroide dun subconxunto X de \R^n tamén se pode calcular mediante a fórmula

C = \frac{\int x g(x) \ dx}{\int g(x) \ dx}

onde as integrais son tomadas sobre todo o espazo \R^n, e g é a función indicadora do subconxunto X de \R^n \! : \ g(x) = 1 se x \in X e g(x) = 0 en caso contrario. Teña en conta que o denominador é simplemente a medida do conxunto X. Esta fórmula non se pode aplicar se o conxunto X ten medida cero, ou se calquera das integrais diverxe.

### Dunha rexión delimitada 
O centroide (\bar{x},\;\bar{y}) dunha rexión limitada polas gráficas das funcións continuas f e g tal que f(x) \geq g(x) no intervalo [a, b],a \leq x \leq b está dada por  

\begin{align}
\bar{x} &= \frac{1}{A}\int_a^b x\bigl(f(x) - g(x)\bigr)\,dx, \\[5mu]
\bar{y} &= \frac{1}{A}\int_a^b \tfrac12\bigl(f(x) + g(x)\bigr)\bigl(f(x) - g(x)\bigr)\,dx,
\end{align}

onde A é a área da rexión (dada por \int_a^b \bigl(f(x) - g(x)\bigr) dx ).  

### Dun triángulo 
O centroide ou baricentro dun triángulo é o punto de intersección das súas medianas (as liñas que unen cada vértice co punto medio do lado oposto). O centroide divide cada unha das medianas na relación 2:1, é dicir está situado \tfrac13 da distancia de cada lado ao vértice oposto (ver as figuras laterais).  As súas coordenadas cartesianas son as medias das coordenadas dos tres vértices. É dicir, se os tres vértices o son L = (x_L, y_L),M= (x_M, y_M), e N= (x_N, y_N), a continuación, o centroide (indicado C aquí pero denotado máis habitualmente G en xeometría do triángulo ) é

C = \tfrac13(L+M+N)
= \bigl( \tfrac13 (x_L+x_M+x_N), \tfrac13 (y_L+y_M+y_N) \bigr).

O centroide está polo tanto en \tfrac13:\tfrac13:\tfrac13 en coordenadas baricéntricas.

En coordenadas triliniares o centroide pódese expresar de calquera destes xeitos equivalentes en termos de lonxitudes dos lados a, b, c e ángulos vértices 

\begin{align}
C &= \frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}
  = bc:ca:ab = \csc L :\csc M:\csc N \\[6pt]
 &= \cos L + \cos M \cdot \cos N :
   \cos M + \cos N \cdot \cos L :
   \cos N + \cos L \cdot \cos M \\[6pt]
 &= \sec L + \sec M \cdot \sec N :
   \sec M + \sec N \cdot \sec L :
   \sec N + \sec L \cdot\sec M.
\end{align}

O centroide tamén é o centro físico de masas se o triángulo está feito dunha folla uniforme de material.

O conxugado isogonal do centroide dun triángulo é o seu punto simediano.

### Dun polígono 
O centroide dun polígono pechado non autointersecante definido por n vértices (x_0, y_0),\;(x_1, y_1),\; \ldots,\;(x_{n-1}, y_{n-1}), é o punto (C_x, C_y),  

C_{\mathrm x} = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{n-1}(x_i+x_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i),

C_{\mathrm y} = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{n-1}(y_i+y_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i),

e onde A é a área con signo do polígono, como se describe pola fórmula da área de Gauss:

A = \frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n-1} (x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i).

Nestas fórmulas, suponse que os vértices están numerados por orde de aparición ao longo do perímetro do polígono; ademais, o vértice (x_n, y_n) suponse que é o mesmo que (x_0, y_0), pechando o polígono.

### Dun tetraedro e un simplex -dimensional 
Un tetraedro é un obxecto no espazo tridimensional que ten como caras catro triángulos. Un segmento de liña que une un vértice dun tetraedro co centroide da cara oposta chámase *mediana*, e un segmento de liña que une os puntos medios de dúas arestas opostas chámase *bimediana*. Polo tanto, hai catro medianas e tres bimedianas. Estes sete segmentos de liña reúnense no *centroide* do tetraedro. As medianas divídense polo centroide na relación 3:1. O centroide dun tetraedro é o punto medio entre o seu punto de Monge e o circuncentro (centro da esfera circunscrita). Estes tres puntos definen a *recta de Euler* do tetraedro que é análoga á recta de Euler dun triángulo.

Estes resultados xeneralízanse a calquera simplex n-dimensional do seguinte xeito. Se o conxunto de vértices dun simplex é {v_0,\ldots,v_n}, entón considerando os vértices como vectores, o centroide é

C = \frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^n v_i.

O centroide xeométrico coincide co centro de masas se a masa se distribúe uniformemente por todo o simplex ou se concentra nos vértices como n+1 masas iguais.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

### Outros artigos 
* Centro de Chebyshev
* algoritmo das k-medias
* Lista de centroides
* Teorema de Pappus-Guldin
### Ligazóns externas 
* 
* *Encyclopedia of Triangle Centers* by Clark Kimberling. O baricentro está indicado como X(2).
* Characteristic Property of Centroid en cut-the-knot
* Animacións interactivas a mostrar o baricentro do triángulo e a construción do centroide con compás e regra
* procura experimentalmente as medianas e o centroide dun triángulo en Dynamic Geometry Sketches, un bosquexo interactivo de xeometría dinámica usando o simulador de gravidade de Cinderella.