Primo xemelgo

Un número **primo xemelgo** é un número primo que é 2 menos ou 2 máis que outro número primo, por exemplo, un membro do par ou do par  Noutras palabras, un primo xemelgo é un primo que ten un intervalo entre primos de dous. Tamén pode darse o nome a ambos os dous como **par primo**.

Os primos xemelgos vólvense cada vez máis raros a medida que se examinan intervalos máis grandes, de acordo coa tendencia xeral das diferenzas entre números primos adxacentes a facerse máis grandes a medida que os propios números se fan máis grandes. Porén, descoñécese se hai infinitos números primos xemelgos (a chamada **conxectura dos primos xemelgos**). O significativo avance dado polo traballo de Yitang Zhang no 2013, así como o traballo de James Maynard, Terence Tao e outros, foi un progreso substancial para demostrar que hai infinitos números primos xemelgos, mais polo momento isto segue sen resolverse.

## Propiedades 
Os primeiros pares primos xemelgos son (sen considerar o 2)

:     

Cinco é o único primo que pertence a dous pares, xa que cada par primo xemelgo maior que  ten a forma (6n-1, 6n+1) para algún número natural ; é dicir, o número entre os dous primos é múltiplo de 6. Por tanto, a suma de calquera par de primos xemelgos (que non sexan 3 e 5) é divisible por 12.

### Teorema de Brun 
En 1915, Viggo Brun demostrou que a suma dos recíprocos dos primos xemelgos era converxente. Este famoso resultado, chamado teorema de Brun, foi o primeiro uso da criba de Brun e axudou a iniciar o desenvolvemento da moderna teoría da criba. A versión moderna do argumento de Brun pode usarse para mostrar que o número de primos xemelgos menores que  non supera

: \frac{CN}{(\log N)^2}

para algunha constante  De feito, está limitado superiormente por \frac{8 C_2 N}{(\log N)^2} \left[ 1 + \operatorname{\mathcal O}\left(\frac{\log \log N}{\log N} \right) \right], onde C_2 é a *constante primo xemelgo* (lixeiramente menor que 2/3), que se indica a continuación.

## Conxectura dos primos xemelgos 
A cuestión de se existen infinitos números primos xemelgos ten sido unha das grandes cuestións abertas na teoría dos números durante moitos anos. En 1849, de Polignac fixo a conxectura máis xeral de que para cada número natural , hai infinitos números primos  tal que  tamén é primo. O  da conxectura de Polignac é a conxectura do primo xemelgo.

Unha forma máis forte da conxectura do primo xemelgo, a conxectura de Hardy-Littlewood (ver máis abaixo), postula unha lei de distribución para os primos xemelgos semellante ao teorema dos números primos.

O 17&nbsp;de abril do 2013, Yitang Zhang anunciou unha proba de que para algún  enteiro que é inferior a 70 millóns, hai infinitos pares de primos que difiren en . O artigo de Zhang foi aceptado a principios de maio do 2013.  Terence Tao propuxo posteriormente un proxecto colaborativo, o Proxecto Polymath, para optimizar o límite de Zhang.

A partir do 14 de abril do 2014, un ano despois do anuncio de Zhang, o límite reduciuse a 246. Estes límites mellorados foron descubertos mediante un enfoque diferente que era máis sinxelo que o de Zhang e foi descuberto de forma independente por James Maynard e Terence Tao. Este segundo enfoque tamén deu límites para o  máis pequeno necesario para garantir que infinitos intervalos de ancho  conteñan polo menos  primos. A maiores (ver tamén a seguinte sección) asumindo a conxectura de Elliott-Halberstam e a súa forma xeneralizada, a wiki do Proxecto Polymath afirma que a cota é 12 e 6, respectivamente. é dicir

: \liminf_{n\to\infty} \left( \frac{ p_{n+1} - p_n }{\log p_n} \right) = 0 ~.

Asumindo a conxectura de Elliott-Halberstam ou unha versión lixeiramente feble, puideron demostrar que hai infinitos  tal que polo menos dous de , , , , ,  ou  son primos. Baixo unha hipótese máis forte demostraron que para infinitos , polo menos dous de , ,  e  son primos.

O resultado de Yitang Zhang,

:  \liminf_{n\to\infty} (p_{n+1} - p_n) 

é unha gran mellora no resultado Goldston–Graham–Pintz–Yıldırım. A optimización do proxecto Polymath do límite de Zhang e o traballo de Maynard reduciron o límite: o límite inferior é como máximo 246.

## Conxecturas 
### Primeira conxectura de Hardy-Littlewood 
A primeira conxectura de Hardy-Littlewood (chamada en honor a GH Hardy e John Littlewood) é unha xeneralización da conxectura dos primos xemelgos. Trata da distribución de constelacións de primos, incluíndo números primos xemelgos, en analoxía co teorema dos números primos.  denota o número de primos  tal que  tamén é primo. Definimos a *constante primo xemelgo*  como  
C_2 = \prod_{\textstyle{p \; \mathrm{prime,}\atop p \ge 3}} \left(1 - \frac{1}{(p-1)^2} \right) \approx 0.66016 18158 46869 57392 78121 10014 \ldots .
 (Aquí o produto esténdese sobre todos os números primos ), daquela un caso especial da primeira conxectura de Hardy-Littlewood resulta en
\pi_2(x) \sim 2 C_2 \frac{x}{(\ln x)^2} \sim 2 C_2 \int_2^x {\mathrm{d} t \over (\ln t)^2}
 no sentido de que o cociente das dúas expresións tende a 1 cando  se achega ao infinito. (O segundo ~ non forma parte da conxectura e está demostrado pola integración por partes).

A conxectura pódese xustificar (mais non probarse) supoñendo que \tfrac{1}{\ln t} describe a función de densidade da distribución dos primos. Esta suposición, que é suxerida polo teorema dos números primos, implica a conxectura dos primos xemelgos, como se mostra na fórmula para .

### A conxectura de Polignac 
A conxectura de Polignac de 1849 afirma que para cada número enteiro par positivo , hai infinitos pares primos consecutivos  e  tal que  (é dicir, hai infinitos intrvalos entre primos de tamaño  ). O caso  é a **conxectura dos primos xemelgos**. A conxectura aínda non foi comprobada nin desmentida para ningún valor específico de , mais o resultado de Zhang demostra que é certo para polo menos un valor de  (actualmente descoñecido). De feito, se tal  non existise, daqula para calquera número natural par positivo  hai como máximo un número finito  tal que p_{n+1} - p_n = m para todo  e así para  suficientemente grande temos p_{n+1} - p_n > N, o que contradiría o resultado de Zhang. 

## Primos xemelgos grandes 
A partir de 2007, dous proxectos de computación distribuída, Twin Prime Search e PrimeGrid, produciron varios récords números primos xemelgos máis grandes. No 2016 o par primo xemelgo máis grande coñecido era  con 388&nbsp;342&nbsp;díxitos decimais. Foi descuberto en setembro de 2016.

Hai 808.675.888.577.436&nbsp;pares de primos xemelgos inferiores 10^{18}.

## Primo illado 
Un **primo illado** (ou **primo non xemelgo**) é un número primo *p* tal que nin *p*&nbsp;−&nbsp;2 nin *p*&nbsp;+&nbsp;2 é primo. Noutras palabras, *p* non forma parte dun par primo xemelgo. Por exemplo, 23 é un primo illado, xa que 21 e 25 son ambos os dous compostos.

Os primeiros primeiros illados son

: 2, 23, 37, 47, 53, 67, 79, 83, 89, 97 ,... .

Do teorema de Brun despréndese que case todos os primos están illados no sentido de que a razón entre o número de primos illados inferiores a un determinado limiar *n* e o número de todos os primos inferiores a *n* tende a 1 segundo *n* tende ao infinito.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
### Outros artigos 
* Primo sexy
* Primo curmán
* Intervalo entre primos

### Ligazóns externas 
* 
* Top-20 Twin Primes at Chris Caldwell's Prime Pages
* Xavier Gourdon, Pascal Sebah: ''Introduction to Twin Primes and Brun's Constant''
* "Official press release"  of 58711-digit twin prime record
* 
* The 20 000 first twin primes
* Polymath: Bounded gaps between primes
* Sudden Progress on Prime Number Problem Has Mathematicians Buzzing