Número irracional

Os **números irracionais** son aqueles elementos da recta real que non son expresables mediante fraccións usando as operacións internas deste conxunto. É dicir, un número irracional non pode expresarse da forma *a*/*b* sendo *a* e *b* enteiros.

Os números irracionais caracterízanse por posuír infinitas cifras decimais que non seguen ningún patrón repetitivo, e isto os diferenza dos números racionais. Os máis célebres números irracionais son identificados mediante símbolos. Algúns destes son:

* π (pi): relación entre o perímetro dunha circunferencia e o seu diámetro.
* e ( = 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...): 
:e = \lim_{x \to \infin} \left ( 1 + \frac {1} {x} \right ) ^x
* \Phi (Número áureo):= \frac {1 + \sqrt 5} {2}.
* Algúns logaritmos:   \log_2{3}

[miniatura|290px|centro|Os [números reais  están divididos nos **números irracionais \mathbb{I}** e nos números racionais , estes últimos inclúen os enteiros , que á súa vez inclúen os números naturais .]]
## Demostración 
Un exemplo destes números irracionais é a raíz cadrada de 2. Para comprobalo podemos partir inicialmente de que a raíz cadrada de 2 si pode ser un número racional.
:\sqrt 2=\frac {m}{n}

Iso significaría que *m* e *n* non teñen factores comúns, porque se non, poderiamos simplificar esa fracción ata atopar un factor común. Se elevamos os dous termos da ecuación ao cadrado temos

:2=\frac {m^2}{n^2}

Aquí podemos deducir que *m* é un número par, porque dado que n^2 \times 2 = m^2 , *m* sempre será par ao proceder dun produto de 2.

Polo tanto, se *m* é par podemos expresalo como m=2k. E se elevamos isto ao cadrado temos que

:m^2 = 4k^2

Ou o que é o mesmo

:2n^2 = 4k^2 \rightarrow n^2 = 2k^2

Co que chegamos á conclusión de que *n* tamén é par. Pero iso non é posible, porque levaría a que *m* e *n* tivesen un factor común, e iso descartámolo ao comezo. Esta reductio ad absurdum é a que nos indica que as nosas premisas eran erróneas e que \sqrt{2} non pode ser racional.

## Tipos
Un número irracional pode ser alxébrico, é dicir, unha raíz real dun polinomio con coeficientes enteiros. Os que non son alxébricos son transcendentais.

### Alxébrico 
Os números alxébricos reais son as solucións reais de ecuacións polinómicas

:p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 = 0\;, 

onde os coeficientes a_i son números enteiros e a_n \ne 0. Un exemplo de número alxébrico irracional é  x_0= (2^{1/2} + 1)^{1/3}. É claramente alxébrico xa que é a raíz dun polinomio enteiro,  (x^3 - 1)^2= 2 , que é equivalente a   x^6 - 2x^3-1 = 0 . Este polinomio non ten raíces racionais, xa que o teorema das raíces racionais mostra que as únicas posibilidades son ±1, pero *x*0 é maior que 1. Así que *x*0 é un número alxébrico irracional. 

### Transcendental 
Os números transcendentais non poden ser solución de ningunha ecuación alxébrica. Por exemplo, o número áureo é unha das raíces da ecuación x^2-x-1=0, polo que non é un número transcendente. Pola contra, pi e *e* si son transcendentes.

Case todos os números irracionais son transcendentais. Exemplos son e ^r e mais \pi ^r que son transcendentais para todos os  racionais distintos de cero.

Como os números alxébricos forman un subcorpo dos números reais, pódense construír moitos números reais irracionais combinando números transcendentais e alxébricos. Por exemplo, 3\pi+2, \pi+\sqrt{2}, e\sqrt{3} , son irracionais (e mesmo transcendentais).

Os números irracionais non son numerables ou contables, é dicir que entre dous irracionais calquera existen infinitos números irracionais. Por extensión os números reais tampouco son contables xa que inclúen o conxunto dos irracionais.

## Preguntas abertas 
* Varias combinacións de ,  e funcións elementais (como *, *, , , **, ) non se sabe se son irracionais, en parte porque non se sabe que  e  sexan alxebricamente independentes. A conxectura de Schanuel implicaría que todos os números anteriores son irracionais e mesmo transcendentes.
* A pregunta sobre a irracionalidade da constante de Euler-Mascheroni '''' é un problema aberto de longa data na teoría dos números.
* Outros números importantes que non se sabe que son irracionais son as constantes zeta impares  para  e a constante de Catalan .

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Número.
* Matemáticas.
* Xerardo de Cremona.
* Medida da irracionalidade
* Proba da irracionalidade de π