Función suave

[miniatura|dereita|Unha [función croque é unha función suave con soporte compacto.]]

En análise matemática, a **suavidade** dunha función é unha propiedade medida polo número de derivadas continuas (*clase de diferenciabilidade*) que ten sobre o seu dominio.

Unha función de **clase** C^k é unha función con suavidade de polo menos ; é dicir, unha función de clase C^k é unha función que ten unha -ésima derivada que é continua no seu dominio.

Unha función de clase C^\infty ou función C^\infty (pronunciada **función C-infinito**) é unha **función infinitamente diferenciábel**, é dicir, unha función que ten derivadas de todas as ordes (isto implica que todas estas derivadas son continuas).

Xeralmente, o termo **función suave** refírese a unha función C^{\infty}. No entanto, tamén pode significar "suficientemente diferenciábel" para o problema baixo consideración.

## Clases de diferenciabilidade
A **clase de diferenciabilidade** é unha clasificación de funcións segundo as propiedades das súas derivadas. É unha medida da orde máis alta de derivada que existe e é continua para unha función.

Consideremos un conxunto aberto U na recta real e unha función f definida en U con valores reais. Sexa *k* un enteiro non negativo. A función f dise que é de clase de diferenciabilidade **C^k** se as derivadas f',f'',\dots,f^{(k)} existen e son continuas en U. Se f é k-diferenciábel en U, entón está polo menos na clase C^{k-1} xa que f',f*,\dots,f^{(k-1)} son continuas en U. A función f dise que é **infinitamente diferenciábel**, **suave**, ou de **clase C^\infty,** se ten derivadas de todas as ordes en U. (Así, todas estas derivadas son funcións continuas sobre U.) A función f dise que é de **clase C^\omega,** ou *analítica*, se f é suave (é dicir, f está na clase C^\infty) e a súa expansión en serie de Taylor arredor de calquera punto do seu dominio converxe á función nalgunha veciñanza do punto. Existen funcións que son suaves pero non analíticas; C^\omega está estritamente contido en C^\infty. As funcións croque son exemplos de funcións con esta propiedade.

### Exemplos
#### Exemplo: continua (*C*0) mais non diferenciábel 
miniatura|A función *C*0  para  e 0 en caso contrario.
miniatura|A función  para .
miniatura|dereita|A función f:\R\to\R con f(x)=x^2\sin\left(\tfrac 1x\right) para x\neq 0 e f(0)=0 é diferenciábel. No entanto, esta función non é continuamente diferenciábel.
miniatura|dereita|Unha función suave que non é analítica.
A función
f(x) = \begin{cases}x  & \mbox{se } x \geq 0, \\ 0 &\text{se } x 
é continua, pero non diferenciábel en , polo que é de clase *C*0, pero non de clase *C*1.

#### Exemplo: finitamente diferenciábel (*C*) 
Para cada enteiro par , a función
f(x)=|x|^{k+1}
é continua e  veces diferenciábel en todos os . En , non obstante, f non é  veces diferenciábel, polo que f é de clase *C*, mais non de clase *C* onde .

#### Exemplo: diferenciábel mais non continuamente diferenciábel (non *C''1)
A función
g(x) = \begin{cases}x^2\sin{\left(\tfrac{1}{x}\right)} & \text{se }x \neq 0, \\ 0 &\text{se }x = 0\end{cases}
é diferenciábel, con derivada
g'(x) = \begin{cases}-\mathord{\cos\left(\tfrac{1}{x}\right)} + 2x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right) & \text{se }x \neq 0, \\ 0 &\text{se }x = 0.\end{cases}

Como \cos(1/x) oscila cando  → 0, g'(x) non é continua en cero. Polo tanto, g(x) é diferenciábel mais non de clase *C*1.

#### Exemplo: diferenciábel mais non Lipschitz continua 
A función
h(x) = \begin{cases}x^{4/3}\sin{\left(\tfrac{1}{x}\right)} & \text{se }x \neq 0, \\ 0 &\text{se }x = 0\end{cases}
é diferenciábel pero a súa derivada non está limitada nun conxunto compacto. Polo tanto, h é un exemplo dunha función que é diferenciábel mais non localmente Lipschitz continua.

#### Exemplo: analítica (*C*) 
A función exponencial e^{x} é analítica, e polo tanto cae na clase *C*ω (onde ω é o menor ordinal transfinito). As funcións trigonométricas tamén son analíticas onde estean definidas, xa que son combinacións lineares de funcións exponenciais complexas e^{ix} e e^{-ix}.

#### Exemplo: suave (*C*) mais non analítica (*C*) 
A función croque
f(x) = \begin{cases}e^{-\frac{1}{1-x^2}} & \text{ se } |x| 
é suave, polo que é de clase *C*∞, pero non é analítica en , e polo tanto non é de clase *C*ω. A función  é un exemplo dunha función suave con soporte compacto.

### Clases de diferenciabilidade multivariábel
Unha función f:U\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} definida nun conxunto aberto U de \mathbb{R}^n dise que é de clase C^k en U, para un enteiro positivo k, se todas as derivadas parciais 
\frac{\partial^\alpha f}{\partial x_1^{\alpha_1} \, \partial x_2^{\alpha_2}\,\cdots\,\partial x_n^{\alpha_n}}(y_1,y_2,\ldots,y_n)
existen e son continuas, para cada \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n enteiros non negativos, tal que \alpha=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n\leq k, e cada (y_1,y_2,\ldots,y_n)\in U. Equivalentemente, f é de clase C^k en U se a derivada de Fréchet de orde k de f existe e é continua en cada punto de U. A función f dise que é de clase C ou C^0 se é continua en U. As funcións de clase C^1 tamén se din *continuamente diferenciábeis*.

Unha función f:U\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m, definida nun conxunto aberto U de \mathbb{R}^n, dise que é de clase C^k en U, para un enteiro positivo k, se todas as súas compoñentes
f_i(x_1,x_2,\ldots,x_n)=(\pi_i\circ f)(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\pi_i(f(x_1,x_2,\ldots,x_n)) \text{ para } i=1,2,3,\ldots,m
son de clase C^k, onde \pi_i son as proxeccións naturais \pi_i:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R} definidas por \pi_i(x_1,x_2,\ldots,x_m)=x_i. Dise que é de clase C ou C^0 se é continua, ou equivalentemente, se todas as compoñentes f_i son continuas, en U.

### O espazo das funcións *C**k*
Sexa D un subconxunto aberto da recta real. O conxunto de todas as funcións reais de clase C^k definidas en D é un espazo vectorial de Fréchet, coa familia contábel de seminormas
p_{K, m}=\sup_{x\in K}\left|f^{(m)}(x)\right|
onde K varía sobre unha secuencia crecente de conxuntos compactos cuxa unión é D, e m=0,1,\dots,k.

O conxunto das funcións C^\infty sobre D tamén forma un espazo de Fréchet. Úsanse as mesmas seminormas que antes, excepto que m pode variar sobre todos os valores enteiros non negativos.

Os espazos anteriores ocorren naturalmente en aplicacións onde se requiren funcións con derivadas de certas ordes; no entanto, especialmente no estudo de ecuacións diferenciais parciais, ás veces pode ser máis produtivo traballar con espazos de Sobolev.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* 
* }
* 
* 
*  
* Mapa de Sobolev