Medida de Lebesgue

Na teoría da medida, unha rama das matemáticas, a **medida de Lebesgue**, chamada así polo matemático francés Henri Lebesgue, é a forma estándar de asignar unha medida a subconxuntos de *[[Espazo euclidiano|]]*-espazos  de dimensión superior. Para as dimensións baixas  ou , coincide coa medida estándar de lonxitude, área ou volume. En xeral, tamén se lle chama **volume **'-dimensional**, **'**-volume**, **hipervolume** ou simplemente **volume**. Úsase en toda a análise real, en particular para definir a integración de Lebesgue. Os conxuntos aos que se lles pode asignar unha medida de Lebesgue chámanse **Lebesgue-medíbeis**; a medida do conxunto Lebesgue-medíbel A denótase aquí como \lambda(A).

Henri Lebesgue describiu esta medida no ano 1901, á que seguiu un ano despois a súa descrición da integral de Lebesgue. Ambas as dúas foron publicadas como parte da súa disertación en 1902.

## Definición 
Para calquera intervalo I = [a,b], ou I = (a, b), no conxunto \mathbb{R} de números reais, denote \ell(I)= b - a  a súa lonxitude. Para calquera subconxunto E\subseteq\mathbb{R}, a medida exterior de Lebesgue \lambda^{\!*\!}(E) defínese como un ínfimo

:\lambda^{\!*\!}(E) = \inf \left\{\sum_{k=1}^\infty \ell(I_k) : {(I_k)_{k \in \mathbb N}} \text{ é unha secuencia de intervalos abertos con } E\subset \bigcup_{k=1}^\infty I_k\right\}.

A definición anterior pódese xeneralizar a dimensións superiores do seguinte xeito. Para calquera cuboide rectangular C que é un produto cartesiano C=I_1\times\cdots\times I_n de intervalos abertos, denotamos \operatorname{vol}(C)=\ell(I_1)\times\cdots\times \ell(I_n) (un produto de números reais) como o seu volume. Para calquera subconxunto E\subseteq\mathbb{R^n},

:\lambda^{\!*\!}(E) = \inf \left\{\sum_{k=1}^\infty \operatorname{vol}(C_k) : {(C_k)_{k \in \mathbb N}} \text{ é unha secuencia de intervalos abertos con } E\subset \bigcup_{k=1}^\infty C_k\right\}.

Algúns conxuntos E satisfán o criterio de Carathéodory, que require que para todo  A\subseteq \mathbb{R^n} ,

:\lambda^{\!*\!}(A) = \lambda^{\!*\!}(A \cap E) + \lambda^{\!*\!}(A \cap E^c).

Aquí E^c denota o conxunto complemento. Os conxuntos E que satisfán o criterio de Carathéodory dise que son medíbeis por Lebesgue, sendo a súa medida de Lebesgue definida como a súa medida exterior de Lebesgue: \lambda(E) = \lambda^{\!*\!}(E). 

O conxunto de todos estes E forma unha *σ*-álxebra.

Un conxunto E que non cumpre o criterio de Carathéodory non é medíble  por Lebesgue. ZFC demostra que existen conxuntos non medíbeis; exemplos diso son os conxuntos de Vitali.

### Intuición 
A primeira parte da definición afirma que o subconxunto E dos números reais redúcese á súa medida externa mediante a súa cobertura por conxuntos de intervalos abertos. Cada un destes conxuntos de intervalos I cobre E nun sentido, xa que a unión destes intervalos contén E. A lonxitude total de calquera conxunto de intervalos de cobertura pode sobreestimar a medida de E, porque E é un subconxunto da unión dos intervalos, polo que os intervalos poden incluír puntos que non están en E. A medida externa de Lebesgue emerxe como o límite inferior máximo (ínfimo) das lonxitudes de entre todos os conxuntos posibles. Intuitivamente, é a lonxitude total deses conxuntos de intervalos que se axustan a E o máis axustados posíbel e sen se solaperen.

Iso caracteriza a medida externa de Lebesgue. Que esta medida externa se traduza á medida de Lebesgue propiamente dita depende dunha condición adicional. Esta condición compróbase tomando subconxuntos A dos números reais usando E como instrumento para dividir A en dúas particións: a parte de A que se interseca con E e a parte restante de A que non está en E: a diferenza de conxuntos de A e E. Estas particións de A están suxeitas á medida externa. 

Se para todos os posíbeis subconxuntos deste tipo A dos números reais, as particións de A cortadas por E teñen medidas externas cuxa suma é a medida externa de A, entón a medida de Lebesgue exterior de E dá a súa medida de Lebesgue. 

Intuitivamente, esta condición significa que o conxunto E non debe ter algunhas propiedades curiosas que causen unha discrepancia na medida doutro conxunto cando E se usa como unha "máscara" para "recortar" ese conxunto, o que suxire a existencia de conxuntos para os que a medida externa de Lebesgue non dá a medida de Lebesgue. (De feito, estes conxuntos non son medíbeis segundo o criterio de Lebesgue).

## Exemplos 
* Calquera intervalo pechado [a, b] de números reais é medíbel por Lebesgue, e a súa medida de Lebesgue é a lonxitude b - a. O  intervalo aberto  (a, b) ten a mesma medida, xa que a diferenza entre os dous conxuntos consiste só nos puntos extremos a e b, que teñen cada un medida cero.
* Calquera produto cartesiano de intervalos [a, b] e [c, d] é medíbel de Lebesgue, e a súa medida de Lebesgue é (b - a)(c-d), a área do rectángulo correspondente.
* A maiores, todo conxunto de Borel é medíbel segundo Lebesgue. No entanto, hai conxuntos medíbeis segundo Lebesgue que non son conxuntos de Borel.
* Calquera conxunto numerábel de números reais ten a medida de Lebesgue . En particular, a medida de Lebesgue do conxunto de números alxébricos é , mesmo se o conxunto é denso en \mathbb{R}.
* O conxunto de Cantor e o conxunto de números de Liouville son ​​exemplos de conxuntos non numerábeis que teñen a medida de Lebesgue .
* Se o axioma de determinación se cumpre, entón todos os conxuntos de reais son medíbeis de Lebesgue. No entanto, a determinación non é compatébel co axioma de escolla.
* Os conxuntos de Vitali son ​​exemplos de conxuntos que son non medíbeis en relación á medida de Lebesgue. A súa existencia baséase no axioma de escolla.
* As curvas de Osgood son ​​curvas planas simples con medida de Lebesgue positiva (pódese obter cunha pequena variación da construción da curva de Peano). A curva do dragón é outro exemplo infrecuente. 
* Calquera recta en \mathbb{R}^n, para n \geq 2, ten unha medida de Lebesgue cero. En xeral, todo hiperplano propio ten unha medida de Lebesgue cero no seu espazo ambiente.
* O volume dunha ''*-bóla pódese calcular en termos da función gamma de Euler.

## Propiedades 
miniatura|300x300px| Invariancia de translación: a medida de Lebesgue de A e A+t son a mesma.
A medida de Lebesgue \mathbb{R}^n ten as seguintes propiedades:

# Se A é un produto cartesiano de intervalos I_1 \times I_2 \times ... \times I_n, entón *A* é medíbel por Lebesgue e \lambda (A)=|I_1|\cdot |I_2|\cdots |I_n|.
# Se *A* é unha unión de conxuntos  numerabelmente moitos  conxuntos medíbeis de Lebesgue disxuntos por pares, entón *A* é en si mesmo medíbel de Lebesgue e *\lambda(A)* é igual á suma (ou serie infinita) das medidas dos conxuntos medíbeis implicados.
# Se *A* é medíbel segundo Lebesgue, entón tamén o é o seu complemento.
# *\lambda(A) \geq 0* para todo conxunto medíbel segundo Lebesgue *A*.
# Se *A* e *B* son medíbeis segundo Lebesgue e *A* é un subconxunto de *B*, entón *\lambda(A) \leq \lambda(B)*. (Unha consecuencia de 2).
# As unións e as interseccións numerábeis de conxuntos medíbeis de Lebesgue son medíbeis de Lebesgue. (Non é unha consecuencia de 2 e 3, porque unha familia de conxuntos que está pechada baixo complementarios e unións numerábeis disxuntas non necesita estar pechada baixo unións numerábeis: \{\emptyset, \{1,2,3,4\}, \{1,2\}, \{3,4\}, \{1,3\}, \{2,4\}\}).
# Se *A* é un subconxunto aberto ou  pechado de \mathbb{R}^n (ou mesmo un conxunto de Borel, véxase espazo métrico), entón *A* é medíbel por Lebesgue.
# Se *A* é un conxunto medíbel segundo Lebesgue, entón é "aproximadamente aberto" e "aproximadamente pechado" no sentido da medida de Lebesgue.
# Un conxunto medíbel segundo Lebesgue pode ser "comprimido" entre un conxunto aberto contedor e un conxunto pechado contido. Esta propiedade utilizouse como unha definición alternativa da medida de Lebesgue. Máis precisamente, E\subset \mathbb{R} é medíbel segundo Lebesgue se e só se para cada \varepsilon>0 existe un conxunto aberto G e un conxunto pechado F tal que F\subset E\subset G e \lambda(G\setminus F).
# A medida de Lebesgue é tanto localmente finita como regular interna, e polo tanto é unha Medida de Radon.
# A medida de Lebesgue é estritamente positiva en conxuntos abertos non baleiros, e polo tanto o seu soporte é a totalidade de \mathbb{R}^n.
# Se *A* é un conxunto medíbel  de Lebesgue con *\lambda(A) = 0* *(un conxunto nulo), *entón cada subconxunto de *A* tamén é un conxunto nulo. Con máis forza, cada subconxunto de A é medíbel.
# Se *A* é medíbel de Lebesgue e *x* é un elemento de \mathbb{R}^n, entón a *translación de A* *por x*, definida por A + x := \{a + x: a \in A\}, tamén é medíbel de Lebesgue e ten a mesma medida que *A*. 
# Se *A* é medíbel por Lebesgue e \delta>0, entón a *dilatación de A por \delta* definida por \delta A=\{\delta x:x\in A\} tamén é medíbel por Lebesgue e ten medida \delta^{n}\lambda\,(A).
# De xeito máis xeral, se *T* é unha transformación linear e *A* é un subconxunto medíbel de \mathbb{R}^n, entón *T(A)* tamén é medíbel de Lebesgue e ten a medida \left|\det(T)\right| \lambda(A).

Todo o anterior pódese resumir sucintamente do seguinte xeito (aínda que as dúas últimas afirmacións non están trivialmente ligadas ao seguinte):

:Os conxuntos medíbeis de Lebesgue forman unha -álxebra que contén todos os produtos de intervalos, e \lambda é a única medida completa invariante na translación nesa -álxebra con \lambda([0,1]\times [0, 1]\times \cdots \times [0, 1])=1.

A medida de Lebesgue tamén ten a propiedade de ser -finita.

## Construción da medida de Lebesgue 
A construción moderna da medida de Lebesgue é unha aplicación do teorema de extensión de Carathéodory. Procede do seguinte xeito.

Fixamos n \in \mathbb N. Unha **caixa** en \mathbb{R}^n é un conxunto da forma B=\prod_{i=1}^n [a_i,b_i] \, ,onde b_i \geq a_i, onde o símbolo do produto aquí representa un produto cartesiano. O volume desta caixa defínese como \operatorname{vol}(B)=\prod_{i=1}^n (b_i-a_i) \, .Para *calquera* subconxunto *A* de \mathbb{R}^n, podemos definir a súa medida externa \lambda^{\!*\!}(A) por: \lambda^*(A) = \inf \left\{\sum_{B\in \mathcal{C}}\operatorname{vol}(B) : \mathcal{C}\text{ é unha colección numerábel de caixas cuxa unión cobre }A\right\}.Despois definimos o conxunto *A* como Lebesgue-medíbel se para todo subconxunto *S* de \mathbb{R}^n, \lambda^*(S) = \lambda^*(S \cap A) + \lambda^*(S \setminus A) \, .Estes conxuntos medíbeis de Lebesgue forman unha *σ-* álxebra, e a medida de Lebesgue defínese por \lambda(A) = \lambda^{\!*\!}(A) para calquera conxunto medíbel de Lebesgue *A*.

A existencia de conxuntos que non son medíbeis segundo Lebesgue é unha consecuencia do axioma da escolla da teoría de conxuntos, que é independente de moitos dos sistemas convencionais de axiomas da teoría de conxuntos. 

O teorema de Vitali, que se deduce do axioma, afirma que existen subconxuntos de **\mathbb{R}** que non son medíbeis de Lebesgue. Asumindo o axioma da escolla, demostráronse conxuntos non medíbeis con moitas propiedades sorprendentes, como os do paradoxo de Banach-Tarski.

## Relación con outras medidas 
A medida de Borel coincide coa medida de Lebesgue nos conxuntos para os que está definida; no entanto, hai moitos máis conxuntos medíbeis de Lebesgue que conxuntos medíbeis de Borel. Mentres que a medida de Lebesgue \mathbb{R}^n é automaticamente unha medida de Borel localmente finita, non todas as medidas de Borel localmente finitas en \mathbb{R}^n son necesariamente unha medida de Lebesgue. A medida de Borel é invariante na translación, mais  non é completa.

A medida de Haar pódese definir en calquera grupo localmente compacto e é unha xeneralización da medida de Lebesgue (\mathbb{R}^n coa adición é un grupo localmente compacto).

A medida de Hausdorff é unha xeneralización da medida de Lebesgue que resulta útil para medir os subconxuntos de \mathbb{R}^n de dimensións inferiores a *'', como subvariedades, por exemplo, superficies ou curvas en \mathbb{R}^3 e conxuntos fractais. A medida de Hausdorff non se debe confundir coa noción de dimensión de Hausdorff.

Pódese demostrar que non existe un análogo de dimensión infinita da medida de Lebesgue.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Torema da densidade de Lebesgue
* Número de Liouville
* Conxunto non medíbel
** Conxunto de Vitali
* Medida de Peano–Jordan