Desigualdade AM-GM

[thumb|{}|[Proba sen palabras da PR é o diámetro dunha circunferencia centrada en O; o seu raio AO é a media aritmética de *a* e *b*. Usando o teorema da media xeométrica, a altura GQ do triángulo PGR é a media xeométrica. Para calquera proporción  temos que ]]

En matemáticas, a **desigualdade das medias aritmética e xeométrica**, ou máis brevemente a **desigualdade AM-GM**, afirma que a media aritmética dunha lista de números reais non negativos é maior ou igual á media xeométrica da mesma lista; e a maiores, que as dúas medias son iguais se e só se todos os números da lista son iguais (neste caso o resultado é precisamente ese número).

O caso non trivial máis sinxelo é para dous números non negativos  e&nbsp;, é dicir,

: \frac{x+y}2 \ge \sqrt{xy}

con igualdade se e só se . Isto débese ao feito de que o cadrado dun número real é sempre non negativo (maior ou igual a cero) e da identidade  :

: \begin{align}
0 & \le (x-y)^2 \\
& = x^2-2xy+y^2 \\
& = x^2+2xy+y^2 - 4xy \\
& = (x+y)^2 - 4xy.
\end{align}

Polo tanto , con igualdade cando , é dicir, . A desigualdade AM-GM dedúcese logo de tomar a raíz cadrada positiva de ambos os dous lados e despois dividir os dous lados por *2*.

O caso máis sinxelo está implícito nos Elementos de Euclides, Libro 5, Proposición 25.

As extensións da desigualdade AM-GM tratan as medias ponderadas e as medias xeneralizadas.

## Fundamentos 
A *media aritmética*, ou menos precisamente a *media*, dunha lista de  números    é a suma dos números divididos entre :

: \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}.

A *media xeométrica* é similar, agás que só se define para unha lista de números reais *non negativos*, e usa multiplicación e raíz en lugar de suma e división:

: \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}.

Se   , isto é igual á exponencial da media aritmética dos logaritmos naturais dos números:

: \exp \left( \frac{\ln {x_1} + \ln {x_2} + \cdots + \ln {x_n}}{n} \right).

## A desigualdade 
Reformulando a desigualdade usando notación matemática, temos que para calquera lista de  números reais non negativos    ,

: \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}\,,

e o caso da igualdade cúmprese se e só se  .

## Interpretación xeométrica 
En dúas dimensións, 2 x_1 + 2 x_2  é o perímetro dun rectángulo con lados de lonxitude  e . Podemos ver que, 4 \sqrt{x_1 x_2 } é o perímetro dun cadrado coa mesma área  x_1 x_2   que ese rectángulo. Así, para  a desigualdade AM-GM indica que un rectángulo dunha área determinada ten o perímetro máis pequeno se ese rectángulo tamén é un cadrado.

## Exemplos 
### Exemplo 1 
Se a,b,c>0, entón a desigualdade AM-GM dinos que

: (1+a)(1+b)(1+c)\ge 2\sqrt{1\cdot{a}} \cdot 2\sqrt{1\cdot{b}} \cdot 2\sqrt{1\cdot{c}} = 8\sqrt{abc}

### Exemplo 2 
Pódes atopar un límite superior simple para o factorial n!. AM-GM dinos

: 1+2+\dots+n \ge n\sqrt[n]{n!}

: \frac{n(n+1)}{2} \ge n\sqrt[n]{n!}

e así

: \left(\frac{n+1}{2}\right)^n \ge n!

con igualdade en n=1 .

De forma equivalente,

: (n+1)^n \ge 2^nn!

### Exemplo 3 
Considere a función

: f(x,y,z) = \frac{x}{y} + \sqrt{\frac{y}{z}} + \sqrt[3]{\frac{z}{x}}

para todos os números reais positivos ,  e . Supoñamos que queremos atopar o valor mínimo desta función. Pódese reescribir como:

: 
\begin{align}
f(x,y,z)
&= 6 \cdot \frac{ \frac{x}{y} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{y}{z}} + \frac{1}{2} \sqrt{\frac{y}{z}} + \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{z}{x}} + \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{z}{x}} + \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{z}{x}} }{6}\\
&=6\cdot\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6}{6}
\end{align}

con

:
 x_1=\frac{x}{y},\qquad x_2=x_3=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{y}{z}},\qquad x_4=x_5=x_6=\frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{z}{x}}.

Aplicando a desigualdade AM-GM para , obtemos

: 
\begin{align}
f(x,y,z)
&\ge 6 \cdot \sqrt[6]{ \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\frac{y}{z}} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\frac{y}{z}} \cdot \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{z}{x}} \cdot \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{z}{x}} \cdot \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{z}{x}} }\\
&= 6 \cdot \sqrt[6]{ \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} \frac{x}{y} \frac{y}{z} \frac{z}{x} }\\
&= 2^{2/3} \cdot 3^{1/2}.
\end{align}

A maiores, sabemos que os dous lados son iguais exactamente cando todos os termos da media son iguais:

: f(x,y,z) = 2^{2/3} \cdot 3^{1/2} \quad \mbox{cando} \quad \frac{x}{y} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{y}{z}} = \frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{z}{x}}.

Todos os puntos  que cumpren estas condicións atópanse nunha media recta que comeza na orixe e están dados por

: (x,y,z)=\biggr(t,\sqrt[3]{2}\sqrt{3}\,t,\frac{3\sqrt{3}}{2}\,t\biggr)\quad\mbox{con}\quad t>0.

## Aplicacións 
### Rendibilidades anualizadas 
En matemáticas financeiras, a desigualdade AM-GM mostra que o rendemento anualizado, a media xeométrica, é menor que o rendemento anual medio, a media aritmética.

### Polinomios non negativos 
O polinomio de Motzkin x^4y^2+x^2y^4-3x^2y^2+1 é un polinomio non negativo que non é unha suma de polinomios cadrados. Pódese demostrar que é non negativo usando a desigualdade AM-GM con x_1 = x^4 y^2, x_2 = x^2 y^4, e x_3 = 1,  é dicir, 
:{\sqrt[3]{(x^4 y^2) \cdot (x^2 y^4) \cdot (1)}} \le {{(x^4 y^2)+(x^2 y^4)+(1)}\over{3}}. 
Simplificando e multiplicando ambos os lados por 3 dá:
:{3 x^2 y^2} \le {x^4 y^2 + x^2 y^4 + 1}, 
así  
:{0 \le x^4 y^2 + x^2 y^4 - 3 x^2 y^2 + 1}.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Desigualdade dos produtos de Young
* Desigualdades QM-AM-GM-HM

### Ligazóns externas 
*