Retícula (teoría da orde)

Unha **retícula** (en inglés **lattice**) é unha estrutura abstracta estudada nas subdisciplinas matemáticas da teoría da orde e da álxebra abstracta. Consiste nun conxunto parcialmente ordenado no que cada par de elementos ten un supremo único (tamén chamado límite superior mínimo ou join) e un ínfimo único (tamén chamado límite inferior máximo ou meet). Un exemplo é o conxunto de partes dun conxunto, parcialmente ordenado por inclusión, para o cal o supremo é a unión e o ínfimo é a intersección. Outro exemplo son os números naturais, parcialmente ordenados pola divisibilidade, para os que o supremo é o mínimo común múltiplo e o ínfimo é o máximo común divisor.

## Definición 
Unha retícula pode definirse tanto na teoría da orde como un conxunto parcialmente ordenado ou como unha estrutura alxébrica.

### Como conxunto parcialmente ordenado 
Un conxunto parcialmente ordenado (poset) (L, \leq) chámase **retícula** se é á vez unha semiretícula join e meet, é dicir, cada subconxunto de dous elementos \{ a, b \} \subseteq L ten unha join (é dicir, límite superior mínimo, denotado por a \vee b ) e dualmente un meet (é dicir, límite inferior máximo, denotado por a \wedge b). Esta definición fai \,\wedge\, e \,\vee\, operacións binarias. Ambas as operacións son monótonas en relación á orde dada: a_1 \leq a_2 e b_1 \leq b_2 implica que a_1 \vee b_1 \leq a_2 \vee b_2 e a_1 \wedge b_1 \leq a_2 \wedge b_2.

### Como estrutura alxébrica 
Unha **retícula** é unha estrutura alxébrica (L, \vee, \wedge), composta por un conxunto L e dúas operacións binarias, conmutativas e asociativas \vee e \wedge en L satisfacendo as seguintes identidades axiomáticas para todos os elementos a, b \in L (ás veces chamadas ): a \vee (a \wedge b) = aa \wedge (a \vee b) = a

As dúas identidades seguintes tamén son consideradas como axiomas, aínda que se deducen das dúas leis de absorción anteriores. Estas son as chamadas  . a \vee a = aa \wedge a = a

## Retícula limitada 
Unha **retícula limitada** é unha retícula que ten a maiores un elemento maior (denotado por 1, ou por  e un elemento  menor(denotado por 0 ou por  que satisfán 0 \leq x \leq 1 \;\text{ para todo } x \in L.

Unha retícula limitada tamén se pode definir como unha estrutura alxébrica da forma (L, \vee, \wedge, 0, 1) tal que (L, \vee, \wedge) é unha retícula, 0 (o elemento menor) é o elemento identidade para a operación join \vee, e 1 (o elemento maior) é o elemento  identidade para a operación meet \wedge.a \vee 0 = a.a \wedge 1 = a.

Un conxunto parcialmente ordenado é unha retícula limitada se e só se cada conxunto finito de elementos (incluíndo o conxunto baleiro) ten un join e un meet.

Toda retícula pode ser mergullada nunha retícula limitada engadindo un elemento maior e un menor. A maiores, toda retícula finita non baleira está limitada, tomando o join (respectivamente o meet) de todos os elementos, denotado por 1 = \bigvee L = a_1 \lor \cdots \lor a_n (respectivamente 0 = \bigwedge L = a_1 \land \cdots \land a_n ) onde L = \left\{a_1, \ldots, a_n\right\} é o conxunto de todos os elementos.

## Conexión con outras estruturas alxébricas 
As retículas teñen algunhas conexións coa familia de estruturas alxébricas de tipo grupo. Debido a que o join e o meet teñen a propiedade conmuttiva e asociativa, unha retícula pode ser vista como dous semigrupos conmutativos que teñen o mesmo dominio. Para unha retícula limitada, estes semigrupos son de feito monoides conmutativos. A lei de absorción é a única identidade definitoria que é propia da teoría de retículas. Unha retícula limitada tamén se pode pensar como un semianel conmutativo sen o axioma distributivo.

## Exemplos 

Ficheiro:Hasse_diagram_of_powerset_of_3.svg|**Imaxe.1:** Subsconxuntos de  \{x, y, z\}, baixo a inclusión de conxuntos.
Ficheiro:Lattice_of_the_divisibility_of_60.svg|**Imaxe.2:** Retícula de enteiros divisores de 60, ordenados por  "*divide a*".
Ficheiro:Lattice_of_partitions_of_an_order_4_set.svg|**Imaxe.3:** Reticula de particións de \{1, 2, 3, 4\}, ordenado por "*refina*".
Ficheiro:Nat_num.svg|**Imaxe.4:**Retícula de enteiros positivos, ordenados por \,\leq,
Ficheiro:N-Quadrat,_gedreht.svg|**Imaxe.5:** Retícula de pares de enteiros non negativos, ordenados compoñente a compoñente.

## Exemplos de non retículas 

## Morfismos de retículas 
miniatura| **Imaxe.&nbsp;9:** Mapa monótono f entre retículas que non conserva nin joins nin meets, xa que f(u) \vee f(v) = u^{\prime} \vee u^{\prime}= u^{\prime}\neq1^{\prime} = f(1) = f(u \vee v) e f(u) \wedge f(v) = u^{\prime} \wedge u^{\prime} = u^{\prime}\neq0^{\prime} = f(0) = f(u \wedge v).
A noción apropiada dun morfismo entre dúas retículas flúe facilmente da definición alxébrica dada previamente na parte superior do artigo. Dadas dúas retículas \left(L, \vee_L, \wedge_L\right) e \left(M, \vee_M, \wedge_M\right), un **homomorfismo reticular** de *L* a *M* é unha función f : L \to M tal que para todos os a, b \in L:f\left(a \vee_L b\right) = f(a) \vee_M f(b), \text{ e mesmo }f\left(a \wedge_L b\right) = f(a) \wedge_M f(b).

En particular, un **homomorfismo de retícula limitada** (xeralmente chamado só "homomorfismo de retícula") f entre dúas retículas limitadas L e M tamén debe ter as seguintes propiedades: f\left(0_L\right) = 0_M, \text{ e }f\left(1_L\right) = 1_M.

## Subretícula 
Unha subretícula dunha retícula L é un subconxunto de L que é unha retícula coas mesmas operacións de join e meet que L. É dicir, se L é unha retícula e M é un subconxunto de L tal que para cada par de elementos a, b \in M ambos os a \wedge b e a \vee b están en M, entón M é unha subretícula de L.

Unha subretícula M dunha retícula L é unha **retícula convexa** de L, se x \leq z \leq y e x, y \in M implica que z pertence a M, para todos os elementos x, y, z \in L.

## Propiedades das retículas 
Agora introducimos unha serie de propiedades importantes que levan a clases especiais interesantes das retículas. Unha delas xa foi tratada co concepto de **limitada**.

### Completude 
Un poset chámase **retícula completa** se todos os seus subconxuntos teñen un join e un meet. En particular, toda retícula completa é unha retícula limitada. Mentres que os homomorfismos de retículas limitadas en xeral só conservan os joins e os meets finitos, para os homomorfismos de retículas completas é necesario preservar joins e meets arbitrarios.

"Reticula parcial" non é o contrario de "retícula completa"; máis ben, "retícula parcial", "retícula" e "retícula completa" son definicións cada vez máis restritivas.

### Completude condicional 
Unha **retícula condicionalmente completa** é unha retícula na que cada subconxunto non baleiro que ten un límite superior ten un join (é dicir, un límite superior mínimo). Esas retículas proporcionan a xeneralización máis directa do axioma de completude dos números reais. Unha retícula condicionalmente completa é unha retícula completa ou unha retícula completa sen o seu elemento máximo 1, o seu elemento mínimo 0, ou sen ambos os dous.

### Distributividade 
Dado que as retícula veñen con dúas operacións binarias, é natural preguntarse se unha delas se distribúe sobre a outra, é dicir, se unha ou outra das seguintes leis duais cúmprese para cada tres elementos. a, b, c \in L, :

; Distributividade de \vee sobre \wedge

a \vee (b \wedge c) = (a \vee b) \wedge (a \vee c).

; Distributividade de \wedge sobre \vee

a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c).

Unha retícula que satisfai o primeiro ou o segundo axioma, chámase **retícula** **distributiva**. As únicas retículas non distributivas con menos de 6 elementos chámanse M3 e N5; móstranse nas imaxes 10 e 11, respectivamente. Unha retícula é distributiva se e só se non ten unha subretícula isomorfa a M3 ou N5. Cada retícula distributiva é isomorfa a unha retícula de conxuntos (con unión e intersección como join e meet, respectivamente). 

### Modularidade 
Para algunhas aplicacións a condición de distributividade é demasiado forte, e a seguinte propiedade máis débil adoita ser útil. Unha retícula (L, \vee, \wedge) é modular se, para todos os elementos a, b, c \in L, ten a seguinte identidade: (a \wedge c) \vee (b \wedge c) = ((a \wedge c) \vee b) \wedge c. (Identidade modular)Esta condición é equivalente ao seguinte axioma: a \leq c implica a \vee (b \wedge c) = (a \vee b) \wedge c. (Lei modular)Unha retícula é modular se e só se non ten unha subretículas  isomorfas a N5 (mostrada na Fig.&nbsp;11). A maiores das retículas distributivas, exemplos de retículas modulares son as retículas de submódulos dun módulo (polo tanto, *modular*), a retícula de ideais bilaterais dun anel e a retícula de subgrupos normais dun grupo. 

### Semimodularidade 
Unha retícula finita é modular se e só se é semimodular tanto superiormente como inferiormente. Para unha retícula graduada, a semimodularidade (superior) é equivalente á seguinte condición na función de rango r\colon

: r(x) + r(y) \geq r(x \wedge y) + r(x \vee y).

### Continuidade e alxebricidade 
Na teoría de dominios, é natural buscar aproximar os elementos nunha orde parcial mediante elementos "moito máis simples". Isto leva á clase de posets continuos, que consiste en posets onde todo elemento se pode obter como o supremo dun conxunto dirixido de elementos que están moi por debaixo do elemento. Se se pode restrinxir adicionalmente estes aos elementos compactos dun poset para obter estes conxuntos dirixidos, entón o poset é mesmo alxébrico. Ambos os conceptos pódense aplicar ás retículas do seguinte xeito:

* Unha  **retícula** **continua** é unha retícula completa que é continua como poset.
* Unha **retícula alxébrica** é unha retícula completa que é alxébrica como poset.

### Complementos e pseudocomplementos 
Sexa L unha retícula limitada co elemento maior 1 e o elemento menor 0. Dous elementos x e y de L son **complementos** entre si, se e só se: x \vee y = 1 \quad \text{ e } \quad x \wedge y = 0.

### Condición de cadea de Jordan-Dedekind 
Unha **cadea** de x_0 a x_n é un conxunto \left\{ x_0, x_1, \ldots, x_n\right\}, onde x_0  A **lonxitude** desta cadea é *n*, ou un menos que o seu número de elementos. Unha cadea é **máximal** se x_i cobre x_{i-1} para todos os 1 \leq i \leq n.

Se para calquera par, x e y, onde x  todas as cadeas maximais de x a y teñen a mesma lonxitude, entón dise que a retícula satisfai a **condición da cadea de Jordan-Dedekind**.

## Importantes nocións teóricas de retículas 
Definimos agora algunhas nocións da teoría da orde importantes para a teoría de retículas. No seguinte, denominamos como x un elemento dalgunha retícula L. Así x chámase:

* **Join irreducíbel** se x = a \vee b implica x = a \text{ ou } x = b. para todos os a, b \in L. Se L ten un elemento menor 0, algúns autores requiren x \neq 0. Cando a primeira condición se xeneraliza a joins arbitrarios \bigvee_{i \in I} a_i, x chámase **join completamente irreducíbel** (ou \vee-irreducíbel). A noción dual é **meet irreducíbel** (\wedge-irreducíbel). Por exemplo, na imaxe.2, os elementos 2, 3, 4 e 5 son join irreducíbeis, mentres que 12, 15, 20 e 30 son meet irreducibeis. Dependendo da definición, o elemento menor 1 e o elemento maior 60 poden considerarse ou non join irreducíbeis e meet irreducíbeis respectivamente. Na retícula de números reais coa orde habitual, cada elemento é join irreducíbele mais ningún é completamente join irreducíbel.
* **Join primo** se x \leq a \vee b implica x \leq a \text{ ou } x \leq b. De novo algúns autores requiren x \neq 0, aínda que isto é infrecuente. Isto tamén se pode xeneralizar para obter a noción **join completamente primo**. A noción dual é **meet primo**. Todo elemento join primo tamén é join irreducíbel, e todo elemento meet primo tamén é meet irreducíbel. A inversa cúmprese se L é distributiva.

Teña L un elemento menor 0. Un elemento x de L é un átomo se 0  e non existe ningún elemento y \in L tal que 0  Entón L chámase:

* Atómica se para cada elemento distinto de cero x de L, existe un átomo a de L tal que a \leq x; 
* Atomista se cada elemento de L é un supremo de átomos. 

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Burris, Stanley N., and Sankappanavar, H. P., 1981. *A Course in Universal Algebra.*  Springer-Verlag. .
* Jipsen, Peter, and Henry Rose, *Varieties of Lattices*, Lecture Notes in Mathematics 1533, Springer Verlag, 1992. .

Textos elementais:
* Donnellan, Thomas, 1968. *Lattice Theory*. Pergamon.
* Grätzer, George, 1971. *Lattice Theory: First concepts and distributive lattices*. W. H. Freeman.

Texto contemporáneos introdutorios, algo máis duros que os anteriores:
* 
### Outros artigos 
* Join e meet
* Mapa de retículas
* Retícula ortocomplementeda
* Orde total
* Ideal (teoría da orde) e Filtro (matemáticas) (nocións duais)
* Retícula Euleriana
* Retícula de Post
* Retícula de Tamari

### Ligazóns externas 
* 
* 
* J.B. Nation, *Notes on Lattice Theory*, course notes, revised 2017.
* Ralph Freese, "Lattice Theory Homepage".
*  Number of unlabeled lattices with *n* elements