Diferencial dunha función

En cálculo, o **diferencial** representa a parte principal do cambio nunha función y = f(x) en relación a cambios na variábel independente. O diferencial dy defínese como:

dy = f'(x)\,dx,

onde f'(x) é a derivada de  en relación a x, e dx é unha variábel real adicional (de modo que dy é unha función de x e dx).   

Tamén se escribe:

df(x) = f'(x)\,dx.

Tradicionalmente, as variábeis dx e dy considéranse moi pequenas (infinitesimais), e esta interpretación faise rigorosa na análise non estándar.

## Historia e uso
O diferencial foi introducido por primeira vez mediante unha definición intuitiva ou heurística por Isaac Newton e desenvolvido por Gottfried Leibniz, quen considerou o diferencial&nbsp; como un cambio infinitamente pequeno (ou infinitesimal) no valor&nbsp; da función, correspondente a un cambio infinitamente pequeno&nbsp; no argumento&nbsp; da función. Por esa razón, a taxa de cambio instantánea de  en relación a , que é o valor da derivada da función, denótase como a fracción:

\frac{dy}{dx}

no que se chama a notación de Leibniz para as derivadas. O cociente dy/dx non é infinitamente pequeno; máis ben é un número real.

Augustin-Louis Cauchy (1823) definiu o diferencial sen recorrer ao atomismo dos infinitesimais de Leibniz. No canto diso, Cauchy, seguindo a d'Alembert, inverteu a orde lóxica de Leibniz e os seus sucesores: a derivada converteuse no obxecto fundamental, definida como un límite de cocientes de diferenzas, e os diferenciais definíronse entón en termos dela. É dicir, era libre de *definir* o diferencial dy mediante unha expresión:

dy = f'(x)\,dx

na que dy e dx son simplemente novas variábeis que toman valores reais finitos, non infinitesimais fixos como o eran para Leibniz.

## Definición
O diferencial defínese nos tratados modernos de cálculo diferencial do seguinte xeito. O diferencial dunha función f(x) dunha única variábel real x é a función df de dúas variábeis reais independentes x e \Delta x dada por:

df(x, \Delta x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ f'(x)\,\Delta x.

Un ou ambos os argumentos poden suprimirse, é dicir, pódese ver df(x) ou simplemente df. 

Se y = f(x), o diferencial tamén se pode escribir como dy. Dado que dx(x,\Delta x)=\Delta x, é convencional escribir dx=\Delta x de modo que se cumpra a seguinte igualdade:

df(x) = f'(x) \, dx

Esta noción de diferencial é amplamente aplicábel cando se busca unha aproximación linear a unha función, na que o valor do incremento \Delta x é suficientemente pequeno. Máis precisamente, se f é unha función diferenciábel en x, entón a diferenza nos valores de y:

\Delta y \ \stackrel{\rm{def}}{=}\ f(x+\Delta x) - f(x)

cumpre:

\Delta y = f'(x)\,\Delta x + \varepsilon = df(x) + \varepsilon\,

onde o erro \varepsilon na aproximación cumpre \varepsilon /\Delta x\rightarrow 0 cando \Delta x\rightarrow 0. Noutras palabras, tense a identidade aproximada:

\Delta y \approx dy

na que o erro pode facerse tan pequeno como se desexe en relación a \Delta x limitando \Delta x a ser suficientemente pequeno; é dicir:

\frac{\Delta y - dy}{\Delta x}\to 0

cando \Delta x\rightarrow 0. Por esta razón, o diferencial dunha función coñécese como a parte principal (linear) no incremento dunha función: o diferencial é unha función linear do incremento \Delta x, e aínda que o erro \varepsilon poida ser non linear, tende a cero rapidamente cando \Delta x tende a cero.

## Diferenciais en varias variábeis
Seguindo a , para funcións de máis dunha variábel independente,

 y = f(x_1,\dots,x_n), 

o **diferencial parcial** de  en relación a calquera unha das variábeis&nbsp; é a parte principal do cambio en  resultante dun cambio&nbsp; nesa variábel. O diferencial parcial é, polo tanto,

 \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 

que implica a derivada parcial de  en relación a&nbsp;. A suma dos diferenciais parciais en relación a todas as variábeis independentes é o **diferencial total**

 dy = \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} dx_n, 

que é a parte principal do cambio en  resultante de cambios nas variábeis independentes&nbsp;.

Máis precisamente, no contexto do cálculo multivariábel, seguindo a , se  é unha función diferenciábel, entón, pola definición de diferenciabilidade, o incremento:

\begin{align}
\Delta y &{}~\stackrel{\mathrm{def}}{=}~ f(x_1+\Delta x_1, \dots, x_n+\Delta x_n) - f(x_1,\dots,x_n)\\
&{}= \frac{\partial y}{\partial x_1} \Delta x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \Delta x_n + \varepsilon_1\Delta x_1 +\cdots+\varepsilon_n\Delta x_n
\end{align}

onde os termos de erro  tenden a cero cando os incrementos  tenden conxuntamente a cero. O diferencial total defínese entón rigorosamente como:

dy = \frac{\partial y}{\partial x_1} \Delta x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \Delta x_n.

Dado que, con esta definición,
dx_i(\Delta x_1,\dots,\Delta x_n) = \Delta x_i,
tense:
dy = \frac{\partial y}{\partial x_1}\,d x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n}\,d x_n.

Como no caso dunha variábel, cúmprese a identidade aproximada:

dy \approx \Delta y

na que o erro total pode facerse tan pequeno como se desexe en relación a \sqrt{\Delta x_1^2+\cdots +\Delta x_n^2} limitando a atención a incrementos suficientemente pequenos.

## Diferenciais de orde superior
Os diferenciais de orde superior dunha función  dunha única variábel  pódense definir mediante:

:d^2y = d(dy) = d(f'(x)dx) = (df'(x))dx = f*(x)\,(dx)^2,

e, en xeral,

:d^ny = f^{(n)}(x)\,(dx)^n.

Informalmente, isto motiva a notación de Leibniz para as derivadas de orde superior:

:f^{(n)}(x) = \frac{d^n f}{dx^n}.

Cando a variábel independente  permítese que dependa doutras variábeis, a expresión faise máis complicada, xa que debe incluír tamén diferenciais de orde superior en  mesma. Así, por exemplo,

:
\begin{align}
d^2 y &= f*(x)\,(dx)^2 + f'(x)d^2x \\[1ex]
d^3 y &= f'*(x)\, (dx)^3 + 3f*(x)dx\,d^2x + f'(x)d^3x 
\end{align}

e así sucesivamente.

Consideracións similares aplícanse á definición de diferenciais de orde superior para funcións de varias variábeis. Por exemplo, se  é unha función de dúas variábeis  e , entón

d^nf = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{\partial^n f}{\partial x^k \partial y^{n-k}}(dx)^k(dy)^{n-k},

onde \binom{n}{k} é un coeficiente binomial. En máis variábeis, mantense unha expresión análoga, pero cunha expansión multinomial apropiada no canto dunha expansión binomial.

Os diferenciais de orde superior en varias variábeis tamén se volven máis complicados cando as variábeis independentes poden depender doutras variábeis. Por exemplo, para unha función  de  e  que poden depender de variábeis auxiliares, temos:

:d^2f = \left(\frac{\partial^2f}{\partial x^2} (dx)^2 + 2\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y} dx\,dy + \frac{\partial^2f}{\partial y^2} (dy)^2\right) + \frac{\partial f}{\partial x}d^2x + \frac{\partial f}{\partial y} d^2y.

## Propiedades
Unha serie de propiedades do diferencial dedúcense de maneira directa das propiedades correspondentes da derivada, a derivada parcial e a derivada total. Estas inclúen:

* Linearidade: Para constantes  e  e funcións diferenciábeis  e , 

:d(af+bg) = a\,df + b\,dg.

* Regra do produto: Para dúas funcións diferenciábeis  e , 

:d(fg) = f\,dg+g\,df.

Unha operación  con estas dúas propiedades coñécese en álxebra abstracta como unha derivación. Estas implican a regra da potencia:

: d( f^n ) = n f^{n-1} df 

A maiores, cúmprense varias formas da regra da cadea, con niveis crecentes de xeneralidade:

* Se  é unha función diferenciábel da variábel  e  é unha función diferenciábel de , logo:

:dy = f'(u)\,du = f'(g(x))g'(x)\,dx.

* Se  e todas as variábeis&nbsp; dependen doutra variábel&nbsp;, entón, pola regra da cadea para varias variábeis, temos:

\begin{align}
dy = \frac{dy}{dt} dt
&= \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} dx_n\\[1ex]
&= \frac{\partial y}{\partial x_1} \frac{dx_1}{dt} \, dt + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \frac{dx_n}{dt} \, dt.
\end{align}

Heuristicamente, a regra da cadea para varias variábeis pode entenderse dividindo ambos os lados desta ecuación pola cantidade infinitamente pequena .

* Expresións análogas máis xerais cúmprense, nas que as variábeis intermedias  dependen de máis dunha variábel.

## Formulación xeral
Pode desenvolverse unha noción consistente de diferencial para unha función  entre dous espazos euclidianos. Sexan  un par de vectores euclidianos. O incremento na función  é:

:\Delta f = f(\mathbf{x}+\Delta\mathbf{x}) - f(\mathbf{x}).

Se existe unha matriz   tal que:

\Delta f = A\Delta\mathbf{x} + \|\Delta\mathbf{x}\|\boldsymbol{\varepsilon}

na que o vector  cando , entón  é, por definición, diferenciábel no punto . 

A matriz  ás veces coñécese como a matriz jacobiana, e a transformación linear que asocia ao incremento  o vector  é, neste contexto xeral, coñecida como o diferencial  de  no punto . Esta é precisamente a derivada de Fréchet, e a mesma construción pode facerse funcionar para unha función entre calquera espazo de Banach.

Outro punto de vista fructífero é definir o diferencial directamente como un tipo de derivada direccional:

df(\mathbf{x},\mathbf{h}) = \lim_{t\to 0}\frac{f(\mathbf{x}+t\mathbf{h})-f(\mathbf{x})}{t} = \left.\frac{d}{dt} f(\mathbf{x}+t\mathbf{h})\right|_{t=0},

que é o enfoque xa tomado para definir diferenciais de orde superior (e é o máis próximo á definición estabelecida por Cauchy). 

Se '*** representa o tempo e **x** a posición, entón **h*' representa unha velocidade no canto dun desprazamento, como o consideramos ata agora. Isto ofrece outra refinación da noción de diferencial: que debe ser unha función linear dunha velocidade cinemática. O conxunto de todas as velocidades a través dun punto dado do espazo coñécese como o espazo tanxente, e así  ofrece unha función linear no espazo tanxente: unha forma diferencial. Con esta interpretación, o diferencial de  coñécese como a derivada exterior, e ten unha ampla aplicación en xeometría diferencial, xa que a noción de velocidade e o espazo tanxente ten sentido en calquera variedade diferenciábel. Se, a maiores, o valor de saída de  tamén representa unha posición (nun espazo euclidiano), entón unha análise dimensional confirma que o valor de saída de *df* debe ser unha velocidade. Se se trata o diferencial deste xeito, entón coñécese como o pulo (diferencial), xa que "empurra" velocidades dun espazo fonte a velocidades nun espazo destino.

## Exemplos e aplicacións
Os diferenciais poden usarse efectivamente na análise numérica para estudar a propagación de erros experimentais nun cálculo e, polo tanto, a estabilidade numérica global dun problema . Supóñase que a variábel  representa o resultado dun experimento e  é o resultado dun cálculo numérico aplicado a *x*. A cuestión é ata que punto os erros na medida de  inflúen no resultado do cálculo de *y*. Se  se coñece dentro dun intervalo Δ*x* do seu valor real, entón o teorema de Taylor ofrece a seguinte estimación do erro Δ*y* no cálculo de *y*:

\Delta y = f'(x)\Delta x + \frac{(\Delta x)^2}{2}f*(\xi)

onde  para algún . Se  é pequeno, entón o termo de segunda orde é desprezábel, de modo que Δ*y'' está, para efectos prácticos, ben aproximado por .

O diferencial é a miúdo útil para reescribir unha ecuación diferencial:

 \frac{dy}{dx} = g(x) 

na forma:

 dy = g(x)\,dx, 

en particular cando se queren separar as variábeis.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* .
*derivada total
*derivada
### Ligazóns externas 
*Differential Of A Function en  Wolfram Demonstrations Project