Series de Eisenstein

As **series de Eisenstein**, que reciben o nome do matemático alemán Gotthold Eisenstein,  son formas modulares particulares con expansións de series infinitas que se poden escribir directamente. Definidas orixinalmente para o grupo modular, as series de Eisenstein pódense xeneralizar na teoría das formas automorfas.

## Series de Eisenstein para o grupo modular 
miniatura| A parte real de  en función de  no disco unitario. Os números negativos están en negro.
dereita|miniatura|
Sexa  un número complexo con parte imaxinaria estritamente positiva. Definamos a **serie holomorfa de Eisenstein**  de peso , onde  é un número enteiro, pola seguinte serie: 

: G_{2k}(\tau) = \sum_{ (m,n)\in\Z^2\setminus\{(0,0)\}} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}.

Esta serie converxe absolutamente a unha función holomorfa de  no semiplano superior e a súa expansión de Fourier indicada a continuación mostra que se estende a unha función holomorfa en . É un feito notable que a serie Eisenstein é unha forma modular. De feito, a propiedade clave é a súa covarianza {{Math|SL(2, **\mathbb{Z}**)}}. Explicitamente se {{Math|*a*, *b*, *c*, *d* ∈ **\mathbb{Z}**}} e  entón

: G_{2k} \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = (c\tau +d)^{2k} G_{2k}(\tau)

Nótese que  é necesario para que a serie converxa absolutamente, mentres que  debe ser par, se non, a suma desaparece porque os termos  e  anúlanse. Para  a serie converxe mais non é unha forma modular.

## Relación con invariantes modulares 
As invariantes modulares  e  dunha curva elíptica veñen dados polas dúas primeiras series de Eisenstein: 

: \begin{align} g_2 &= 60 G_4 \\ g_3 &= 140 G_6 .\end{align}

Existen expresións destas dúas funcións en termos das funcións theta.

## Relación de recorrencia 
Calquera forma modular holomorfa para o grupo modular  pódese escribir como un polinomio en  e . En concreto, a orde superior  pódese escribir en termos de  e  mediante unha relación de recorrencia. Sexa , polo que, por exemplo,  e . Daquela o  satisfai a relación

: \sum_{k=0}^n {n \choose k} d_k d_{n-k} = \frac{2n+9}{3n+6}d_{n+2}

para todo  . Onde  é o coeficiente binomial.

Os  tamén aparecen na expansión en serie para as funcións elípticas de Weierstrass:

: \begin{align}
\wp(z) &=\frac{1}{z^2} + z^2 \sum_{k=0}^\infty \frac {d_k z^{2k}}{k!} \\
&=\frac{1}{z^2} + \sum_{k=1}^\infty (2k+1) G_{2k+2} z^{2k}.
\end{align}

## Series de Fourier 
Definimos , (algúns libros máis antigos definen que  como o nome , mais agora  é o estándar.) Daquela a serie de Fourier da serie de Eisenstein  é

: G_{2k}(\tau) = 2\zeta(2k) \left(1+c_{2k}\sum_{n=1}^\infty \sigma_{2k-1}(n)q^n \right)

onde os coeficientes  están dados por

: \begin{align}
c_{2k} &= \frac{(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)! \zeta(2k)} \\[4pt]
&= \frac {-4k}{B_{2k}} = \frac 2 {\zeta(1-2k)}.
\end{align}

Onde  son os números de Bernoulli,  é a función zeta de Riemann e  é a función suma dos divisores. En particular temos

: \begin{align}
G_4(\tau)&=\frac{\pi^4}{45} \left( 1+ 240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^{n} \right) \\[4pt]
G_6(\tau)&=\frac{2\pi^6}{945} \left( 1- 504\sum_{n=1}^\infty \sigma_5(n) q^n \right).
\end{align}

A suma sobre  pódese representar como unha serie de Lambert e teríamos

: \sum_{n=1}^{\infty} q^n \sigma_a(n) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^a q^n}{1-q^n}

para complexos arbitrarios  e . Cando se traballa coa '**-expansión da serie de Eisenstein, adoita introducirse esta notación alternativa:

: \begin{align}
E_{2k}(\tau)&=\frac{G_{2k}(\tau)}{2\zeta (2k)}\\
&= 1+\frac {2}{\zeta(1-2k)}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2k-1} q^n}{1-q^n} \\
&= 1- \frac{4k}{B_{2k}}\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{2k-1}(n)q^n \\
&= 1 - \frac{4k}{B_{2k}} \sum_{d,n \geq 1} n^{2k-1} q^{nd}. \end{align} 

## Identidades coa serie de Eisenstein 
### Como funcións theta 
Fonte: 

Dado , temos

: \begin{align}
E_4(\tau)&=1+240\sum_{n=1}^\infty \frac {n^3q^n}{1-q^n} \\
E_6(\tau)&=1-504\sum_{n=1}^\infty \frac {n^5q^n}{1-q^n} \\
E_8(\tau)&=1+480\sum_{n=1}^\infty \frac {n^7q^n}{1-q^n}
\end{align}

e definimos as funcións theta de Jacobi, que normalmente usan a función nome ,

: \begin{align}
a&=\theta_2\left(0; e^{\pi i\tau}\right)=\vartheta_{10}(0; \tau) \\
b&=\theta_3\left(0; e^{\pi i\tau}\right)=\vartheta_{00}(0; \tau) \\
c&=\theta_4\left(0; e^{\pi i\tau}\right)=\vartheta_{01}(0; \tau)
\end{align}

onde  e  representan notacións alternativas. Entón temos as relacións simétricas,

: \begin{align}
E_4(\tau)&= \tfrac{1}{2}\left(a^8+b^8+c^8\right) \\[4pt]
E_6(\tau)&= \tfrac{1}{2}\sqrt{\frac{\left(a^8+b^8+c^8\right)^3-54(abc)^8}{2}} \\[4pt]
E_8(\tau)&= \tfrac{1}{2}\left(a^{16}+b^{16}+c^{16}\right) = a^8b^8 +a^8c^8 +b^8c^8
\end{align}

Unha transformación alxébrica básica implica inmediatamente

: E_4^3-E_6^2 = \tfrac{27}{4}(abc)^8 

unha expresión relacionada co discriminante modular,

: \Delta = g_2^3-27g_3^2 = (2\pi)^{12} \left(\tfrac{1}{2}a b c\right)^8

### Produtos das series de Eisenstein 
As series de Eisenstein forman os exemplos máis explícitos de formas modulares para o grupo modular completo {{Math|SL(2, **\mathbb{Z}**)}}. Dado que o espazo das formas modulares de peso  ten  dimensión 1 para , os diferentes produtos das series de Eisenstein que teñen eses pesos teñen que ser iguais a un múltiplo escalar. De feito, obtemos as identidades: 

: E_4^2 = E_8, \quad E_4 E_6 = E_{10}, \quad E_4 E_{10} = E_{14}, \quad E_6 E_8 = E_{14}. 

Usando as **'-expansións da serie de Eisenstein indicadas anteriormente, poden ser reformuladas como identidades que implican as sumas de potencias dos divisores:

: \left(1+240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^n\right)^2 = 1+480\sum_{n=1}^\infty \sigma_7(n) q^n,

polo tanto

: \sigma_7(n)=\sigma_3(n)+120\sum_{m=1}^{n-1}\sigma_3(m)\sigma_3(n-m),

e do mesmo xeito para os demais. A función theta dunha retícula unimodular par de oito dimensións  é unha forma modular de peso 4 para o grupo modular completo, que dá as seguintes identidades:

:  \theta_\Gamma (\tau)=1+\sum_{n=1}^\infty r_{\Gamma}(2n) q^{n} = E_4(\tau), \qquad r_{\Gamma}(n) = 240\sigma_3(n) 

para o número  de vectores de lonxitude cadrada  na retícula raíz do tipo .

Usando a relación de recorrencia anterior, todos os  superiores poden expresarse como polinomios en  e  . Por exemplo:

: \begin{align}
E_{8} &=  E_4^2 \\
E_{10} &= E_4\cdot E_6 \\
691 \cdot E_{12} &= 441\cdot E_4^3+  250\cdot E_6^2 \\
E_{14} &= E_4^2\cdot E_6 \\
3617\cdot E_{16} &= 1617\cdot E_4^4+  2000\cdot E_4 \cdot E_6^2 \\
43867 \cdot E_{18} &= 38367\cdot E_4^3\cdot E_6+5500\cdot E_6^3 \\
174611 \cdot E_{20} &= 53361\cdot E_4^5+ 121250\cdot E_4^2\cdot E_6^2 \\
77683 \cdot E_{22} &= 57183\cdot E_4^4\cdot E_6+20500\cdot E_4\cdot E_6^3 \\
236364091 \cdot E_{24} &= 49679091\cdot E_4^6+ 176400000\cdot E_4^3\cdot E_6^2 + 10285000\cdot E_6^4
\end{align}

Moitas relacións entre produtos da serie de Eisenstein pódense escribir dun xeito elegante usando determinantes de Hankel, por exemplo, a identidade de Garvan

:  \left(\frac{\Delta}{(2\pi)^{12}}\right)^2=-\frac{691}{1728^2\cdot250}\det \begin{vmatrix}E_4&E_6&E_8\\ E_6&E_8&E_{10}\\ E_8&E_{10}&E_{12}\end{vmatrix}

onde

:  \Delta=(2\pi)^{12}\frac{E_4^3-E_6^2}{1728}

é o discriminante modular.

### Identidades de Ramanujan 
Srinivasa Ramanujan deu varias identidades interesantes entre as primeiras series de Eisenstein usando a diferenciación.   Sexan

: \begin{align}
L(q)&=1-24\sum_{n=1}^\infty \frac {nq^n}{1-q^n}&&=E_2(\tau) \\
M(q)&=1+240\sum_{n=1}^\infty \frac {n^3q^n}{1-q^n}&&=E_4(\tau) \\
N(q)&=1-504\sum_{n=1}^\infty \frac {n^5q^n}{1-q^n}&&=E_6(\tau),
\end{align}

daquela

: \begin{align}
q\frac{dL}{dq} &= \frac {L^2-M}{12} \\
q\frac{dM}{dq} &= \frac {LM-N}{3} \\
q\frac{dN}{dq} &= \frac {LN-M^2}{2}.
\end{align}

Estas identidades, como as identidades entre as series, producen identidades de convolución aritméticas que implican a función suma de divisores. Seguindo a Ramanujan, para poñer estas identidades na forma máis simple é necesario estender o dominio de  para incluír o cero, configurando

: \begin{align}\sigma_p(0) = \tfrac12\zeta(-p) \quad\Longrightarrow\quad
\sigma(0) &= -\tfrac{1}{24}\\
\sigma_3(0) &= \tfrac{1}{240}\\
\sigma_5(0) &= -\tfrac{1}{504}.
\end{align}

Logo, por exemplo

: \sum_{k=0}^n\sigma(k)\sigma(n-k)=\tfrac5{12}\sigma_3(n)-\tfrac12n\sigma(n).

## Xeneralizacións 
As formas automorfas xeneralizan a idea de formas modulares para os grupos de Lie xenéricos; e as series de Eisenstein xeneralízanse dun xeito similar.

Definindo  como o anel de números enteiros dun corpo numérico alxébrico totalmente real , defínese entón o grupo modular de Hilbert–Blumenthal como . Podemos entón asociar unha serie de Eisenstein a cada cúspide do grupo modular Hilbert–Blumenthal.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía
*  Translated into English as 
* 
* 
* 
*