Norma dun corpo

En matemáticas, a **norma dun corpo** é unha asignación particular definida na teoría de corpos, que mapea elementos dun corpo máis grande nun subcorpo.

## Definición formal 
Sexa *K* un corpo e *L* unha extensión finita (e polo tanto unha extensión alxébrica) de *K*.

O corpo *L* é entón un espazo vectorial de dimensión finita sobre *K* .

A multiplicación por *α*  dun elemento de *L*,

: m_\alpha\colon L\to L
: m_\alpha (x) = \alpha x,

é unha transformación *K*-linear deste espazo vectorial en si mesmo.

A **norma**, **N** *L*/*K* (*α*), defínese como o determinante desta transformación linear.

Se *L*/*K* é unha extensión de Galois, pódese calcular a norma de *α* &#x2208; *L* como o produto de todos os conxugados de Galois de *α*:

: \operatorname{N}_{L/K}(\alpha)=\prod_{\sigma\in\operatorname{Gal}(L/K)} \sigma(\alpha),

onde Gal(*L*/*K*) denota o grupo de Galois de *L*/*K*. (Teña en conta que pode haber unha repetición nos termos do produto).

Para unha extensión xeral do corpo *L*/*K*, e *α* distinto de cero en *L*, sexan *σ*(*α*), ... , σ (*α*) as raíces do polinomio mínimo de *α* sobre *K* (raíces listadas con multiplicidade e situadas nalgún corpo de extensión de *L*); entón

: \operatorname{N}_{L/K}(\alpha)=\left (\prod_{j=1}^n\sigma_j(\alpha) \right )^{[L:K(\alpha)]} .

Se *L*/*K* é separábel, entón cada raíz aparece só unha vez no produto (aínda que o expoñente, o grao da extensión [*L*:*K*(*α*)], aínda pode ser maior que 1).

## Exemplos 
### Extensións de corpo cadrático 
Un dos exemplos básicos de normas provén das extensións de corpos cadráticos \Q(\sqrt{a})/\Q onde a é un enteiro libre de cadrados.

Despois, o mapa de multiplicación por \sqrt{a} sobre un elemento x + y \cdot \sqrt{a} é

: \sqrt{a}\cdot (x + y\cdot\sqrt{a}) = y \cdot a + x \cdot \sqrt{a}.

O elemento x + y \cdot \sqrt{a} pode ser representado polo vector

: \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix},

xa que hai unha descomposición de suma directa \Q(\sqrt{a}) = \Q\oplus \Q\cdot\sqrt{a} como a \Q-espazo vectorial.

A matriz de m_\sqrt{a} é daquela

: m_{\sqrt{a}} = \begin{bmatrix}
0 & a \\
1 & 0
\end{bmatrix}

e a norma é N_{\Q(\sqrt{a})/\Q}(\sqrt{a}) = -a, xa que é o determinante desta matriz.

#### Norma de Q(√2) 
Considere o corpo de números alxébricos K=\Q(\sqrt{2}) .

O grupo de Galois de K sobre \Q ten orde d = 2 e é xerado polo elemento que envía \sqrt{2} a -\sqrt{2}. Logo, a norma de 1+\sqrt{2} é:

: (1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2}) = -1.

A norma do corpo tamén se pode obter sen o grupo de Galois .

Fixemos  unha \Q-base de \Q(\sqrt{2}), digamos:

: \{1,\sqrt{2}\} .

Daquela a multiplicación polo número 1+\sqrt{2} envía

: 1 a 1+\sqrt{2} e
: \sqrt{2} a 2+\sqrt{2} .

Daquela, o determinante de "multiplicar por 1+\sqrt{2} " é o determinante da matriz que envía o vector

: \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix} (correspondente ao primeiro elemento da base, é dicir, 1) a \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix},
: \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix} (correspondente ao segundo elemento da base, é dicir, \sqrt{2} ) a \begin{bmatrix}2 \\ 1\end{bmatrix},

a saber:

: \begin{bmatrix}1 & 2 \\1 & 1 \end{bmatrix}. 

O determinante desta matriz é −1.

### extensións do corpo raíz *p*-ésima 
Outra clase sinxela de exemplos provén das extensións de corpo da forma \mathbb{Q}(\sqrt[p]{a})/\mathbb{Q} onde a factorización prima de a \in \mathbb{Q}  non contén potencias p-ésimas, para p un primo impar fixo.

O mapa de multiplicación por \sqrt[p]{a} dun elemento é\begin{align}
m_{\sqrt[p]{a}}(x) &= \sqrt[p]{a} \cdot (a_0 + a_1\sqrt[p]{a} + a_2\sqrt[p]{a^2} + \cdots + a_{p-1}\sqrt[p]{a^{p-1}} )\\
&= a_0\sqrt[p]{a} + a_1\sqrt[p]{a^2} + a_2\sqrt[p]{a^3} + \cdots + a_{p-1}a 
\end{align}dando a matriz\begin{bmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 & a \\
1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & 0
\end{bmatrix}O determinante dá a norma

: N_{\mathbb{Q}(\sqrt[p]{a})/\mathbb{Q}}(\sqrt[p]{a}) = (-1)^{p-1} a = a.

### Números complexos sobre os reais 
A norma de corpo dos números complexos nos números reais envía

: 

a

: ,

porque o grupo de Galois de \Complex sobre \R ten dous elementos,

* o elemento identidade e
* a conxugación complexa,

e tomando o produto obtense .

### Corpos finitos 
Sexa *L* = GF(*q**n*) unha extensión finita dun corpo finito *K* = GF( *q*).

Dado que *L*/*K* é unha extensión de Galois, se *α* está en *L*, entón a norma de *α* é o produto de todos os conxugados de Galois de *α*, é dicir 

:  \operatorname{N}_{L/K}(\alpha)=\alpha \cdot \alpha^q \cdot \alpha^{q^2} \cdots \alpha^{q^{n-1}} = \alpha^{(q^n - 1)/(q-1)}. 

Nesta configuración temos as propiedades adicionais, 

* \forall \alpha \in L, \quad \operatorname{N}_{L/K}(\alpha^q) = \operatorname{N}_{L/K}(\alpha) 
* \forall a \in K, \quad \operatorname{N}_{L/K}(a) = a^n.

## Propiedades da norma 
Hai varias propiedades da función norma para calquera extensión finita. 

### Homomorfismo de grupos 
A norma **N** : *L** → *K** é un homomorfismo de grupos do grupo multiplicativo de *L* no grupo multiplicativo de *K*, é dicir

: \operatorname{N}_{L/K}(\alpha \beta) = \operatorname{N}_{L/K}(\alpha) \operatorname{N}_{L/K}(\beta) \text{ para todo }\alpha, \beta \in L^*.

A maiores, se *a* en *K* :

: \operatorname{N}_{L/K}(a \alpha) = a^{[L:K]} \operatorname{N}_{L/K}(\alpha) \text{ para todo }\alpha \in L.

Se *a* ∈ *K* entón \operatorname{N}_{L/K}(a) = a^{[L:K]}.

### Composición con extensións de corpo 
A maiores, a norma compórtase ben en torres de corpos :

se *M* é unha extensión finita de *L*, entón a norma de *M* en *K* é só a composición da norma de *M* en *L* coa norma de *L* en *K*, é dicir.

: \operatorname{N}_{M/K}=\operatorname{N}_{L/K}\circ\operatorname{N}_{M/L}.

### Redución da norma 
A norma dun elemento nunha extensión de corpo arbitraria pode reducirse a un cálculo máis sinxelo se xa se coñece o grao da extensión de corpo. Isto éN_{L/K}(\alpha) = N_{K(\alpha)/K}(\alpha)^{[L:K(\alpha)]} Por exemplo, para \alpha = \sqrt{2} na extensión de corpo L = \mathbb{Q}(\sqrt{2},\zeta_3), K =\mathbb{Q}, a norma de \alpha é\begin{align}
N_{\mathbb{Q}(\sqrt{2},\zeta_3)/\mathbb{Q}}(\sqrt{2}) &= N_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}}(\sqrt{2})^{[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\zeta_3):\mathbb{Q}(\sqrt{2})]}\\
&= (-2)^{2}\\
&= 4
\end{align}xa que o grao de extensión do corpo L/K(\alpha) é 2.

### Detección de unidades 
Para \mathcal{O}_K o anel de números enteiros dun corpo numérico alxébrico K, un elemento \alpha \in \mathcal{O}_K é unha unidade se e só se N_{K/\mathbb{Q}}(\alpha) = \pm 1 .

Por exemplo

: N_{\mathbb{Q}(\zeta_3)/\mathbb{Q}}(\zeta_3) = 1

onde

: \zeta_3^3 = 1 .

Así, calquera corpo numérico K cuxo anel de enteiros \mathcal{O}_K contén \zeta_3 teno como unidade.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 

### Outros artigos 
* Traza dun corpo.
* Norma dun ideal.