Redes neuronais informadas fisicamente

miniatura|307x307px|Redes neuronais informadas fisicamente para resolver as ecuacións de Navier-Stokes
As **redes neuronais informadas fisicamente** ou "*Physics-informed neural networks*" (**PINNs**) en inglés son un tipo de redes neuronais que actúan como aproximadores universais de funcións integrando o coñecemento de leis física descritas por ecuacións en derivadadas parciais (EDPs). Unha das súas principais vantaxes é o feito de non requirir unha gran cantidade de datos para o seu adestramento, problema especialmente urxente nalgúns sistemas de enxeñaría ou nalgúns modelos biolóxicos. O coñecemento previo de leis físicas xerais actúa no adestramento das redes neuronais como forma de regularización limitando o espazo de solucións admisíbeis. Deste xeito, integrar esta información previa na rede neuronal complementa a información que se pode extraer directamente do conxunto de datos dispoñíbeis, facilitando así que o algoritmo aprenda unha mellor aproximación da verdadeira función e cunha mellor xeneralización a partir dunha cantidade baixa de datos de adestramento.

## Modelaxe e computación 
Unha ecuación en derivas parciais xeral pode ser:

u_t + N[u; \lambda]=0, \quad x \in \Omega, \quad t \in[0, T]

onde u(t,x) denota a solución, N[\cdot; \lambda] é un operador non-linear parametrizado por \lambda, e \Omega é un subconxunto de \mathbb{R}^{D}. Esta forma xeral de describir as ecuacións resume unha gama ancha de problemas na física matemática, como as leis de conservación, os procesos de difusión, os sistemas de advección-difusión, e ecuacións cinéticas. Dados datos con ruído dun sistema dinámico xenérico descrito pola ecuación anterior, as PINNs poden ser deseñadas para solucionar dúas clases de problemas:

* resolución a partir de datos
* descubrimento a partir de datos

de ecuacións en derivadas parciais.

### Resolución a partir de datos de ecuacións en derivadas parciais 
A resolución a partir de datos das EDPs calcula o estado escondido do sistema,u(t,x), dadas as condicións de fronteira, z, e/ou os parámetros fixados do modelo, \lambda. O problema a resolver é:

u_t + N[u]=0, \quad x \in \Omega, \quad t \in[0, T].

Definindo o residuo f(t,x) como

 f := u_t + N[u]=0,

e aproximando u(t,x) por unha rede neuronal profunda. Esta rede pode ser obtida utilizando diferenciación automática. Entón, os parámetros de u(t,x) e f(t,x) poden ser aprendidos para minimizar a seguinte función de perda:

L_{tot} = L_{u} + L_{f},

onde L_{u} = \Vert u-z\Vert_{\Gamma}  é o erro entre a aproximación de u(t, x) feita pola PINN e o conxunto de condicións de fronteira e datos no conxunto de puntos \Gamma onde as condicións de fronteira están definidas, e L_{f} = \Vert f\Vert_{\Gamma} é o erro cadrático medio da función de residuos. Esta segunda compoñente estimula á rede neuronal a aprender a información estrutural expresada pola ecuación en derivadas parciais durante o proceso de adestramento.

Este método foi empregado para desenvolver modelos aproximados eficientes computacionalmente con aplicacións no prognóstico de procesos físicos, modelando a predición de control, a modelase multi-física e de escala múltiple, e en simulacións.

### Descubrimento a partir de datos de ecuacións en derivadas parciais 
Dadas medidas con ruído e/ou incompletas, z, do estado do sistema, o *descubrimento a partir de datos de EDPs* consiste en calcular o estado descoñecido u(t,x) e aprender os parámetros \lambda do modelo  que mellor describen os datos observados e que pode ser descrito da seguinte maneira:

u_t + N[u; \lambda]=0, \quad x \in \Omega, \quad t \in[0, T],

e definindo f(t,x) como

 f := u_t + N[u; \lambda]=0.

e aproximando u(t,x) por unha rede neuronal profunda. Esta rede pode ser obtida utilizando diferenciación automática. Os parámetros \lambda e o estado descoñecido u(t,x) poden ser aprendidos minimando a función de perda seguinte:

L_{tot} = L_{u} + L_{f},

onde L_{u} = \Vert u-z\Vert_{\Gamma}  é o erro entre a aproximación de u(t, x) feita pola PINN nos datos contidos no conxunto \Gamma de condicións de fronteira e L_{f} = \Vert f\Vert_{\Gamma} é o erro cadrático medio da función de residuos

Esta estratexia permite obter os modelos dinámicos descritos pocas EDPs non-lineais cun custo computacional reducido, podendo atopar aplicación en prognóstico preditivo, control, e asimilación de datos.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Ligazóns externas 
* PINN – repositorio para implementar redes neuronais informadas fisicamente en Python
* XPINN – repositorio para implementar redes neuronais informadas fisicamente e estendidas en Python
* PIPN [1]– repositorio para implementar redes neuronais informadas fisicamente de tipo PointNet en Python