Tautoloxía (lóxica)

[alt=Diagrama de Venn dunha tautoloxía|miniatura|[Diagrama de Venn dunha tautoloxía]]Na lóxica proposicional, unha **tautoloxía** (grego antigo: ταυτολογία) é unha fórmula ben formada que resulta verdadeira baixo calquera interpretación; é dicir, para calquera asignación de valores de verdade que se faga ás súas fórmulas atómicas. A construción dunha táboa de verdade é un método efectivo para determinar se unha fórmula calquera é unha tautoloxía ou non.

Durante a década dos 30, desenvolveuse a formalización da semántica da lóxica proposicional en termos de asignacións de valores de verdade. Así, a palabra "tautoloxía" comezou a aplicarse a aquelas fórmulas proposicionais que son verdadeiras con independencia da verdade ou falsidade das variables proposicionais que as compoñen. Algúns traballos temperáns, como a *Symbolic Logic* (1932) de C. I. Lewis e C. H. Langford, usaban "tautoloxía" no sentido de proposicións universalmente válidas. Autores posteriores, coma Stephen Kleene ou Herbert Enderton, empregaron "tautoloxía" para referirse a unha fórmula proposicional loxicamente válida, mais estableceron unha distinción entre "tautoloxía" e "validez lóxica" no contexto da lóxica de primeira orde.

## Táboas de verdade 
Nun sistema de lóxica proposicional, unha interpretación é unha asignación de valores de verdade (verdadeiro ou falso) a cada unha das fórmulas atómicas baixo consideración. Xa que logo, as diferentes interpretacións difiren só nas asignacións de valores de verdade que fan. Nesta liña, unha tautoloxía é unha fórmula ben formada que resulta verdadeira baixo todas as intepretacións posibles das súas fórmulas atómicas.

Polo tanto, para determinar se unha fórmula calquera é unha tautoloxía, abonda con considerar todas as posibles interpretacións das súas fórmulas atómicas, e calcular o valor de verdade da fórmula completa. Isto pódese facer mediante unha táboa de verdade. Por exemplo, considérese a fórmula *p* ∧ *q* (en galego, "*p* e *q*"). Como a cada fórmula atómica (*p* e *q*, neste caso) se lle pode asignar un dos dous posibles valores de verdade, entón existen *22 = 4* posibles combinacións de valores de verdade. Isto é, hai catro interpretacións posibles: ou ambas son verdadeiras; ou *p* é verdadeira e *q* falsa; ou *p* é falsa e *q* verdadeira; ou ámbalas dúas son falsas. Esta información pode recollerse nunha táboa:

\begin{array}{c|c}
		p & q \\
		\hline
		V & V \\
		V & F \\
		F & V \\
		F & F \\
	\end{array}

Para cada unha destas interpretacións, pódese calcular o valor de verdade da fórmula *p &#x2227; q*. Os resultados serían os seguintes:

\begin{array}{c|c|c}
		p & q & p \land q \\
		\hline
		V & V & V \\
		V & F & F \\
		F & V & F \\
		F & F & F \\
	\end{array}

No caso dunha tautoloxía, o resultado de calcular o valor de verdade da fórmula completa sempre será verdadeiro, con indepdendencia dos valores aplicados ás fórmulas atómicas. Tómese como exemplo a fórmula tautolóxica *p &#x2227; q → p* ("se *p* e *q*, entón *p*"):

\begin{array}{c|c|c|c}
		p & q & p \land q & (p \land q) \to p \\
		\hline
		V & V & V & V \\
		V & F & F & V \\
		F & V & F & V \\
		F & F & F & V \\
	\end{array}

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Lóxica proposicional
* *Tratado lóxico-filosófico*