Atlas (topoloxía)

En matemáticas, particularmente en topoloxía, un **atlas** é un concepto usado para describir unha variedade. Un atlas está formado por *cartas* individuais que, grosso modo, describen rexións individuais da variedade. En xeral, a noción de atlas subxace na definición formal dunha variedade e outras  estruturas relacionadas, tal como fibrados de vectores e outros fibrados.

## Cartas 
A definición dun atlas depende da noción de *carta*. Unha **carta** para un espazo topolóxico *M* é un homeomorfismo \varphi dun subconxunto aberto *U* de *M* cara a un subconxunto aberto dun espazo euclidiano. Tradicionalmente, a carta escríbese como o par ordenado (U, \varphi).

Cando se escolle un sistema de coordenadas no espazo euclidiano, este define as coordenadas U: as coordenadas dun punto P de U defínense como as coordenadas de \varphi(P). A parella formada por unha carta e un tal sistema de coordenadas chámase **sistema de coordenadas local**, **carta de coordenadas**, **parche de coordenadas**, **mapa de coordenadas** ou **marco local**.

## Definición formal de atlas 
Un **atlas** para un espazo topolóxico M é unha familia indexada \{(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha}) : \alpha \in I\} de cartas sobre M que é unha cobertura de M (é dicir, \bigcup_{\alpha\in I} U_{\alpha} = M). Se para algún *n* fixo, a imaxe de cada carta é un subconxunto aberto do espazo euclidiano *n-*dimensional, entón M dise que é unha variedade *n* -dimensional.

Un atlas \left( U_i, \varphi_i \right)_{i \in I} nunha variedade n-dimensional M chámase **atlas adecuado** se se cumpren as seguintes condicións: 

* A imaxe de cada carta é un de \R^n ou \R_+^n, onde \R_+^n é o semiespazo pechado, 
* \left( U_i \right)_{i \in I} é unha cobertura aberta localmente finita de M, e
* M = \bigcup_{i \in I} \varphi_i^{-1}\left( B_1 \right), onde B_1 é a bóla aberta de raio 1 centrada na orixe.

Toda variedade segundo numerábel admite un atlas adecuado. A maiores, se \mathcal{V} = \left( V_j \right)_{j \in J} é unha cobertura aberta da variedade segundo contábel M, entón hai un atlas adecuado \left( U_i, \varphi_i \right)_{i \in I} en M, tal que \left( U_i\right)_{i \in I} é un refinamento de \mathcal{V}.

## Mapas de transición 
{{ Annotated image | caption=Dúas cartas dunha variedade e o seu  **mapa de transición**
| image=Two coordinate charts on a manifold.svg
| image-width = 250
| annotations =

{{Annotation|87|109|\tau_{\alpha,\beta}}}
{{Annotation|90|145|\tau_{\beta,\alpha}}}

}}
Un mapa de transición proporciona unha forma de comparar dúas cartas dun atlas. Para facer esta comparación, consideramos a composición dunha carta coa inversa da outra. Esta composición non está ben definida a non ser que restrinximos ambas as cartas á intersección dos seus dominios de definición. 

Supoña que (U_{\alpha}, \varphi_{\alpha}) e (U_{\beta}, \varphi_{\beta}) son dúas cartas para unha variedade *M* tal que U_{\alpha} \cap U_{\beta} non está baleira. O **mapa de transición**  \tau_{\alpha,\beta}: \varphi_{\alpha}(U_{\alpha} \cap U_{\beta}) \to \varphi_{\beta}(U_{\alpha} \cap U_{\beta}) é o mapa definido por \tau_{\alpha,\beta} = \varphi_{\beta} \circ \varphi_{\alpha}^{-1}.

Teña en conta que dado que \varphi_{\alpha} e \varphi_{\beta} ambos os dous son homeomorfismos, o mapa de transición  \tau_{\alpha, \beta} é tamén un homeomorfismo.

## Máis estrutura 
A miúdo desexamos máis estrutura nunha variedade que simplemente a estrutura topolóxica. Por exemplo, se queremos unha noción inequívoca de diferenciación de funcións nunha variedade, entón é necesario construír un atlas cuxas funcións de transición sexan diferenciábeis. Tal variedade chámase diferenciábel. Dada unha variedade diferenciábel, pódese definir sen ambigüidades a noción de vectores tanxentes e logo derivadas direccionais.

Se cada función de transición é un mapa suave, entón o atlas chámase atlas suave, e a variedade en si denomínase suave. Alternativamente, pódese esixir que os mapas de transición teñan só *k* derivadas continuas, en cuxo caso dise que o atlas é  C^k .

Moi xeralmente, se cada función de transición pertence a un pseudogrupo  \mathcal G dos homeomorfismos do espazo euclidiano, entón o atlas chámase a \mathcal G-atlas. Se os mapas de transición entre as cartas dun atlas conservan unha trivialización local, daquela o atlas define a estrutura dun fibrado.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Función suave
* Variedade (xeometría)

### Ligazóns externas 
* Atlas by Rowland, Todd