Triángulo rectángulo

miniatura|Triángulo rectángulo
Un **triángulo rectángulo** é un triángulo en que un dos seus ángulos é recto, é dicir, mide 90 graos. A relación entre os lados e os ángulos dun triángulo rectángulo é a base da trigonometría.

O lado oposto ao ángulo recto chámase hipotenusa (lado *c* da imaxe). Os lados adxacentes a este chámanse catetos. O lado *a* pode identificarse como o lado *adxacente ao ángulo B* e *oposto ao ángulo A*, mentres que o lado *b* é o lado *adxacente ao ángulo A* e *oposto ao ángulo B*.

Se as lonxitudes dos tres lados dun triángulo rectángulo son enteiros, o triángulo chámase triángulo pitagórico, e as lonxitudes coñécense como terna pitagórica.

## Propiedades principais 
### Área 
Como en calquera triángulo, a área é igual á metade da base multiplicada pola altura correspondente. Nun triángulo rectángulo, se se toma como base un cateto entón o outro é a altura, polo que a área do triángulo rectángulo é a metade do produto dos dous catetos. Alxebricamente, a área *T* é
:T=\tfrac{1}{2}ab
onde *a* e *b* son os catetos do triangle.

Se a circunferencia inscrita é tanxente á hipotenusa AB no punto P, entón denotando o semiperíodo  como *s*, tense   e , e a área vén dada por
:T=\text{PA} \cdot \text{PB} = (s-a)(s-b).

Esta fórmula só se aplica aos triángulos rectángulos.

### Altitudes
miniatura|Altura dun triángulo rectángulo
Se se debuxa a altura dende o vértice no ángulo recto á hipotenusa, entón o triángulo queda dividido en dous triángulos máis pequenos que son semellantes ao orixinal e polo tanto semellantes entre eles. Disto:
* A altura á hipotenusa é a media xeométrica (media proporcional dos dous segmentos da hipotenusa. Thus
:f=\frac{ab}{c}.

Ademais, a altura á hipotenusa está relacionada cos catetos do triángulo rectángulo por
:\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{f^2}.

A altura de cada cateto coincide co outro cateto. Dado que estas se intersecan no vértice do ángulo recto, o ortocentro do triángulo rectángulo (intersección das alturas) coincide con ese punto.

### Teorema de Pitágoras 
O teorema de Pitágoras afirma que:

Isto pode ser escrito nunha ecuación como
:\displaystyle a^2+b^2=c^2
onde *c* é a lonxitude da hipotenusa e *a* e *b* son as lonxitudes dos catetos.

As ternas pitagóricas son enteiros *a, b, c* que satisfán esta ecuación.

### Inraio e circunraio 
miniatura|200x200px|Ilustración do teorema de Pitágoras
O raio da circunferencia inscrita dun triángulo rectángulo con catetos *a* e *b* e hipotenusa *c* é
:r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{ab}{a+b+c}.

O raio da circunferencia circunscrita é a metade da lonxitude da hipotenusa,
:R = \frac{c}{2}.

Polo tanto, a suma dos raios das circunferencias circunscrita e inscrita é a metade da suma dos catetos:

:R+r = \frac{a+b}{2}.

Un dos catetos pode expresarse en termos do raio da circunferencia inscrita e o outro cateto como
:\displaystyle a=\frac{2r(b-r)}{b-2r}.

## Caracterización 
Un triángulo *ABC* con lados a \le b , semiperímetro *s*, área *T*, altura *h* oposta ao lado máis longo, radio da circunferencia circunscrita *R*, inraio *r*, exraios *ra*, *rb*, *rc* (tanxentes a *a*, *b*, *c* respectivamente), e medianas *ma*, *mb*, *mc* é un triángulo rectángulo se e só se calquera das afirmacións das seguintes categorías é certa. Todas son propiedades dun triángulo rectángulo, xa que as caracterizacións son equivalentes.

### Lados e semiperímetro 
* \displaystyle a^2+b^2=c^2\quad (\text{Pythagorean theorem})
* \displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)
* \displaystyle s=2R+r.
* \displaystyle a^2+b^2+c^2=8R^2.
* \displaystyle \cos{A}\cos{B}\cos{C}=0.
* \displaystyle \sin^2{A}+\sin^2{B}+\sin^2{C}=2.

### Inraio e exraios
* \displaystyle r=s-c=(a+b-c)/2
* \displaystyle r_a=s-b=(a-b+c)/2
* \displaystyle r_b=s-a=(-a+b+c)/2
* \displaystyle r_c=s=(a+b+c)/2
* \displaystyle r_a+r_b+r_c+r=a+b+c
* \displaystyle r_a^2+r_b^2+r_c^2+r^2=a^2+b^2+c^2
* \displaystyle r=\frac{r_ar_b}{r_c}

### Alturas e medianas 
[miniatura|A altura do triángulo rectángulo dende o seu ángulo recto á hipotenusa é a media xeométrica das lonxitudes dos segmentos en que divide a hipotenusa. Empregando o [teorema de Pitágoras sobre os tres triángulos de lados ,  e ,
\begin{align}
    (p + q)^2 \quad &= \quad\;\, r^2 \quad + \quad s^2 \\
  p^2 \!+ 2pq + q^2 &= \left(h^2 \!\!+\! p^2\right) \!+\! \left(h^2 \!\!+\! q^2\right) \\
       2pq \qquad\, &= 2h^2 \quad \therefore h = \sqrt{pq} \\
\end{align}]]
* \displaystyle h=\frac{ab}{c}
* \displaystyle m_a^2+m_b^2+m_c^2=6R^2.
* O ortocentro cae sobre a circunferencia circunscrita.

Nun triángulo rectángulo con catetos *a*, *b* e hipotenusa *c*,
:c \geq \frac{\sqrt{2}}{2}(a+b)
dándose a igualdade só no caso de que sexa isóscele.
:p^2 + q^2 = 5\left(\frac{c}{3}\right)^2.

O triángulo rectángulo é o único triángulo que ten dous, en lugar dun ou de tres, cadrados inscritos diferentes.

Sexan *h* e *k* (*h* > *k*) os lados de dous cadrados inscritos nun triángulo rectángulo de hipotenusa *c*. Entón
:\frac{1}{c^2} + \frac{1}{h^2} = \frac{1}{k^2}.

Tres lados e o raio da circunferencia inscrita *r* están relacionados nunha fórmula similar:
:\displaystyle \frac{1}{r}=-{\frac{1}{c}}+\frac{1}{h}+\frac{1}{k}.

O perímetro dun triángulo rectángulo é igual á suma dos raios da circunferencia inscrita e das tres excritas:
:a+b+c=r+r_a+r_b+r_c.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
### Ligazóns externas 
* Triángulo rectángulo en MathWorld
* Calculator for right triangles
* Advanced right triangle calculator