Sólido de revolución

miniatura| Rotación dunha curva. A superficie formada é unha superficie de revolución
[miniatura|280x280px|Revolución de [Poliedro|poliedros (Matemateca Ime-Usp)]]
En matemáticas, enxeñería e na industria, un **sólido de revolución** é unha figura sólida que obtida pola rotación dun plano de curva arredor dunha recta (o eixo), que se atopa no mesmo plano.

Supondo que a curva non cruce o eixo, o volume do sólido será igual á lonxitude do círculo descrito polo centroide da figura, multiplicada pola área da figura (segundo o teorema do centroide de Papo-Guldino).

Un **disco** **representativo** é un elemento de volume tridimensional dun sólido de revolución. O elemento créase facendo xirar un segmento de liña (de lonxitude w ) arredor dalgún eixe (situado a r unidades de distancia), de xeito que se pecha un volume cilíndrico de  unidades.

 obtense pola rotación dun círculo.]]

## Achar o volume 
Dous métodos comúns para atopar o volume dun sólido de revolución son: o método de disco e o método de integración de capas. Para aplicar estes métodos, é máis doado debuxar a gráfica en cuestión; identificar a zona que se xira arredor do eixo de revolución; determinar o volume dun disco en forma de rebanda dun sólido, con espesor δx, ou unha capa cilíndrica de ancho δx ; e despois atopar o límite da suma destes volumes cando δx se achega a 0, un valor que pode ser encontrado escollendo unha integral adecuada.

### Método de disco 
dereita|miniatura| Disco de integración no eixo y
O método do disco utilízase cando a porción que foi debuxada é *perpendicular ao* eixe de revolución; é dicir, cando a integración é *paralela ao* eixe de revolución.

O volume do sólido formado pola rotación da área entre as curvas de  e  e as liñas de  e  arredor do eixo x vén dado por

: V = \pi \int_a^b \left| f(x)^2 - g(x)^2\right|\,dx\, .

Se  (por exemplo, xirando unha área entre a curva e o eixo x), redúcese a:

: V = \pi \int_a^b f(x)^2 \,dx\, .

O método pódese visualizar considerando un rectángulo horizontal delgado entre *y* e  na parte superior e  na parte inferior, e tendo no eixe *y* a forma dun anel (ou disco no caso de que  ), con raio externo  e raio interior  . A área dun anel é , onde R é o raio exterior no (neste caso,  ) e r é o raio interno (neste caso,  ) . O volume de cada disco infinitesimal é polo tanto  . O límite de Riemann é a suma dos volumes do disco entre a e b que se fan integral (1).

### Método do cilindro 
dereita|miniatura| A integración de capas
O método da capa cilíndrica utilízase cando a porción que foi debuxada é *paralela ao* eixo de revolución; é dicir, cando a integración é *perpendicular ao eixo de revolución*.

O volume do sólido formado ao xirar a área comprendida entre as curvas de  e  e as liñas de  e  arredor do eixe y vén dado por:

: V = 2\pi \int_a^b x |f(x) - g(x)|\,dx\, .

Se  e g xirando unha área entre a curva e o eixo *y*, redúcese a:

: V = 2\pi \int_a^b x | f(x) | \,dx\, .

miniatura| Sólidos en repouso
miniatura| Sólidos rotativos formando Sólidos de revolución
O método pódese visualizar considerando un rectángulo vertical delgado en x con altura , e tendo no eixe *y*, a forma dunha capa cilíndrica. A superficie lateral dun cilindro é , onde r é o raio (neste caso x) e h é a altura (neste caso ). Sumando todas as áreas de superficie ao longo do intervalo dáse o volume total.

## Forma paramétrica 
[miniatura| [Matemáticas e arte: estudo dun vaso como sólido de revolución por Paolo Uccello; século XV]]
Cando unha curva se define pola súa forma paramétrica  nalgún intervalo , os volumes dos sólidos xerados ao xirar a curva ao redor do eixo x ou do eixo *y* veñen dados por: 

: V_x = \int_a^b \pi y^2 \, \frac{dx}{dt} \, dt \, ,

: V_y = \int_a^b \pi x^2 \, \frac{dy}{dt} \, dt \, .

Nas mesmas circunstancias, as áreas superficiais dos sólidos xerados ao xirar a curva ao redor do eixo *x* ou do eixo y veñen dadas por 

: A_x = \int_a^b 2 \pi y \, \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt \, ,

: A_y = \int_a^b 2 \pi x \, \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt \, .

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Matemáticas e arte
* Superficie de revolución
* Teoremas de Pappus-Guldinus
* Sólidos platónicos

### Ligazons externas 
* 
*  ()
* Weisstein, Eric W. «Solid of Revolution» (en inglés). *MathWorld*