Ceros e polos

Na análise complexa (unha rama das matemáticas), un **polo** é un tipo determinado de singularidade dunha función de valor complexo dunha variábel complexa. É o tipo máis simple de singularidade non evitábel desa función (véxase singularidade esencial). Tecnicamente, un punto  é un polo dunha función  se é un cero da función  e  é holomorfa (é dicir, diferenciábel complexa) nalgunha veciñanza de .

Unha función  é meromorfa nun conxunto aberto  se para todo punto  de  existe unha veciñanza de  na que polo menos unha das funcións  e  é holomorfa.

Se  é meromorfa en , entón un cero de  é un polo de , e un polo de  é un cero de . Isto induce unha dualidade entre *ceros* e *polos*, que é fundamental para o estudo das funcións meromorfas.

## Definicións 
Unha función dunha variábel complexa  é holomorfa nun dominio aberto  se é diferenciábel respecto a  en cada punto de . Equivalentemente, é holomorfa se é analítica, é dicir, se a súa serie de Taylor existe en cada punto de  e converxe á función nalgunha veciñanza do punto. Unha función é meromorfa en  se todo punto de  ten unha veciñanza na que polo menos unha das funcións  e  é holomorfa.

Un **cero** dunha función meromorfa  é un número complexo  tal que . Un **polo** de  é un cero de .

Se  é unha función que é meromorfa nunha veciñanza dun punto z_0 do plano complexo, entón existe un enteiro  tal que 
:(z-z_0)^n f(z)
é holomorfa e non nula nunha veciñanza de z_0 (isto é unha consecuencia da propiedade analítica).
Se , entón z_0 é un *polo* de **orde** (ou multiplicidade)  de . Se , entón z_0 é un cero de orde |n| de . 

**Cero simple** e **polo simple** son termos usados para ceros e polos de orde |n|=1. Ás veces úsase *grao* como sinónimo de orde.

Esta caracterización de ceros e polos implica que os ceros e polos están illados, é dicir, todo cero ou polo ten unha veciñanza que non contén ningún outro cero ou polo.

Un punto que non é nin un polo nin un cero considérase un polo (ou cero) de orde 0.

Unha función meromorfa pode ter infinitos ceros e polos. Este é o caso da función gamma, que é meromorfa en todo o plano complexo e ten un polo simple en cada enteiro non positivo. A función zeta de Riemann tamén é meromorfa en todo o plano complexo, cun único polo de orde 1 en . Os seus ceros no semiplano esquerdo son todos os enteiros pares negativos, e a hipótese de Riemann é a conxectura de que todos os demais ceros están sobre .

Nunha veciñanza dun punto z_0, unha función meromorfa non nula  é a suma dunha serie de Laurent cunha *parte principal* finita (os termos con valores de índice negativos):
:f(z) = \sum_{k\geq -n} a_k (z - z_0)^k,
onde  é un enteiro, e a_{-n}\neq 0. De novo, se  (a suma comeza con a_{-|n|} (z - z_0)^{-|n|}, a parte principal ten  termos), tense un polo de orde , e se  (a suma comeza con a_ (z - z_0)^, non hai parte principal), tense un cero de orde |n|.

## No infinito 
Unha función  z \mapsto f(z) é *meromorfa no infinito* se é meromorfa nalgunha veciñanza do infinito (é dicir, fóra dun disco), e existe un enteiro  tal que 
:\lim_{z\to \infty}\frac{f(z)}{z^n}
existe e é un número complexo non nulo.

Neste caso, o punto no infinito é un polo de orde  se , e un cero de orde |n| se .

Por exemplo, un polinomio de grao  ten un polo de grao  no infinito.

O plano complexo estendido por un punto no infinito chámase esfera de Riemann.

Se  é unha función que é meromorfa en toda a esfera de Riemann, entón ten un número finito de ceros e polos, e a suma das ordes dos seus polos é igual á suma das ordes dos seus ceros. 

Toda función racional é meromorfa en toda a esfera de Riemann, e, neste caso, a suma das ordes dos ceros ou dos polos é o máximo dos graos do numerador e do denominador.

## Exemplos 
[dereita|miniatura|300px|Un polinomio de grao 9 ten un polo de orde 9 no \infty, aquí representado mediante a [coloración do dominio da esfera de Riemann.]]
* A función
::f(z) = \frac{3}{z}
: é meromorfa en toda a esfera de Riemann. Ten un polo de orde 1 ou polo simple en  z= 0, e un cero simple no infinito.

* A función
:: f(z) = \frac{z+2}{(z-5)^2(z+7)^3}
: é meromorfa en toda a esfera de Riemann. Ten un polo de orde 2 en  z=5, e un polo de orde 3 en  z = -7. Ten un cero simple en  z=-2, e un cero cuádruplo no infinito.

* A función
:: f(z) = \frac{z-4}{e^z-1}
: é meromorfa en todo o plano complexo, mais non no infinito. Ten polos de orde 1 en  z=2\pi ni\text{ para } n\in\mathbb Z. Isto pódese ver escribindo a serie de Taylor de  e^z arredor da orixe.

* A función
::f(z) = z
: ten un único polo no infinito de orde 1, e un único cero na orixe.

Todos os exemplos anteriores, agás o terceiro, son funcións racionais.

## Función nunha curva 
O concepto de ceros e polos esténdese de forma natural a funcións nunha *curva complexa*, é dicir, unha variedade analítica complexa de dimensión un (sobre os números complexos). Os exemplos máis simples desas curvas son o plano complexo e a superficie de Riemann. Esta extensión faise transferindo estruturas e propiedades mediante cartas, que son isomorfismos analíticos.

Máis precisamente, sexa  unha función dunha curva complexa  nos números complexos. Esta función é holomorfa (resp. meromorfa) nunha veciñanza dun punto  de  se existe unha carta \phi tal que  f \circ \phi^{-1} é holomorfa (resp. meromorfa) nunha veciñanza de \phi(z). Entón,  é un polo ou un cero de orde  se o mesmo é certo para \phi(z).

Se a curva é compacta, e a función  é meromorfa en toda a curva, entón o número de ceros e polos é finito, e a suma das ordes dos polos é igual á suma das ordes dos ceros. Este é un dos feitos básicos que están implicados no teorema de Riemann-Roch.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
*
*

### Outros artigos 
* Teorema de Gauss-Lucas
* Teorema de Hurwitz (análise complexa)
* Residuo (análise complexa)
### Ligazóns externas 
*