Ortogonalidade (matemáticas)

En matemáticas, a **ortogonalidade** é a xeneralización da noción xeométrica de *perpendicularidade* á álxebra linear das formas bilineares.

Dous elementos  e  dun espazo vectorial con forma bilinear B son **ortogonais** cando B(\mathbf{u},\mathbf{v})= 0. Dependendo da forma bilinear, o espazo vectorial pode conter vectores nulos, vectores autoortogonais distintos de cero, nese caso a perpendicularidade substitúese pola ortogonalidade hiperbólica.

No caso dos espazos de funcións, as familias de funcións utilízanse para formar unha base ortogonal, como nos contextos de polinomios ortogonais, funcións ortogonais e combinatorias.
[miniatura|350x350px| Ortogonalidade e rotación dos sistemas de coordenadas en comparación entre a **esquerda:** [Espazo euclidiano a través do ángulo circular *ϕ*, e a  **dereita:** no espazo-tempo de Minkowski a través do ángulo hiperbólico *ϕ* (as liñas vermellas etiquetadas con *c* denotan as liñas do universo dun sinal luminoso, un vector é ortogonal a si mesmo se se atopa nesta liña).]]

## Definicións 
* En xeometría, dous vectores euclidianos son ​​**ortogonais** se son perpendiculares, *é dicir* forman un ángulo recto.
* Dous vectores  e  nun espazo de produto interno V son *ortogonais* se o seu produto interno  \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle é cero. Esta relación denomínase \mathbf{u} \perp \mathbf{v}.
* Un conxunto de vectores no espazo de produto interno chámanse **ortogonais por pares** se cada parella deles é ortogonal entre si. Tal conxunto chámase **conxunto ortogonal** (ou **sistema ortogonal**). Se os vectores están normalizados, forman un **sistema ortonormal**.
* Unha matriz ortogonal é unha matriz cuxos vectores columna son ortonormais entre si.
* Unha **base ortonormal** é unha base cuxos vectores son á vez **ortogonais** e normalizados (son vectores unitarios).
* Unha transformación linear conforme conserva ángulos e relacións de distancia, o que significa que transformar vectores **ortogonais** pola mesma transformación linear conforme manterá eses vectores **ortogonais**.
* Dous subespazos vectoriais A e B dun espazo produto interno V chámanse **subespazos ortogonais** se cada vector de A é ortogonal a cada vector de B. O subespazo máis grande de V que é ortogonal a un subespazo dado é o seu complemento ortogonal.
* Dado un módulo M e o seu dual M^*, un elemento m' de M^* e un elemento m de M son cero se o seu emparellamento natural é cero. \langle m',m \rangle = 0. Dous conxuntos S' \subseteq M^*  e S \subseteq M  son ortogonais se cada elemento de S'  é ortogonal a cada elemento de S ..

Nalgúns casos, a palabra *normal* úsase para significar *ortogonal*, particularmente no sentido xeométrico como  normal a unha superficie. Por exemplo, o eixo  *y* é normal á curva y = x^2  na orixe. 

No entanto,  *normal* tamén pode referirse á magnitude dun vector. En particular, un conxunto chámase ortonormal (ortogonal e tamén normal) se é un conxunto ortogonal de vectores unitarios. Como resultado, adoita evitarse o uso do termo *normal* para significar "ortogonal". A palabra "normal" tamén ten un significado diferente en probabilidade e estatística.

Un espazo vectorial cunha forma bilinear xeneraliza o caso dun produto escalar. Cando a forma bilinear aplicada a dous vectores resulta en cero, entón son **ortogonais**. O caso dun plano pseudo-euclidiano usa o termo ortogonalidade hiperbólica. Na figura, os eixos x′ e t′ son hiperbólico-ortogonais para calquera \phi  dado.

## Espazos vectoriais euclidianos 
No espazo euclidiano, dous vectores son ortogonais se e só se o seu produto escalar é cero, é dicir, forman un ángulo de 90° (\frac{\pi}{2}  radiáns ), ou un dos vectores é cero.  Polo tanto, a ortogonalidade dos vectores é unha extensión do concepto de vectores perpendiculares a espazos de calquera dimensión.

O complemento ortogonal dun subespazo é o espazo de todos os vectores que son ortogonais a todos os vectores do subespazo. Nun espazo vectorial euclidiano tridimensional, o complemento ortogonal dunha recta que pasa pola orixe é o plano que pasa pola orixe perpendicular a ela, e viceversa.

## Funcións ortogonais 
Usando o cálculo integral, é común usar o seguinte para definir o produto interno de dúas funcións f  e g  en relación a unha función peso non negativa w  nun intervalo [a,b] :

: \langle f, g\rangle_w = \int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx.

En casos simples, w(x) = 1 .

Dicimos que as funcións f  e g  son **ortogonais** se o seu produto interno (equivalentemente, o valor desta integral) é cero:

: \langle f, g\rangle_w = 0.

A ortogonalidade de dúas funcións en relación a un produto interno non implica a ortogonalidade en relación a outro produto interno.

Escribimos a norma  en relación a este produto interno como

: \|f\|_w = \sqrt{\langle f, f\rangle_w}

Os membros dun conxunto de funcións {f_i \mid i \in \mathbb{N}}  son *ortogonais*  en relación a w  no intervalo [a,b]  se

: \langle f_i, f_j \rangle_w=0 \mid i \ne j.

Os membros de tal conxunto de funcións son *ortonormais*  en relación a w no intervalo [a,b]  se

: \langle f_i, f_j \rangle_w=\delta_{ij},

onde

: \delta_{ij}=\left\{\begin{matrix}1, & & i=j \\ 0, & & i\neq j\end{matrix}\right.

é o delta de Kronecker.

Noutras palabras, cada par deles (excluíndo o emparellamento dunha función consigo mesma) é ortogonal e a norma de cada un é 1. Véxase en particular os polinomios ortogonais.

## Exemplos 
* Os vectores (1,3,2)^\text{T} , (3,-1,0)^\text{T} , (1,3,-5)^\text{T}  son ortogonais entre si, posto que (1)(3) + (3)(-1) + (2)(0) = 0 \ ,  \ (3)(1) + (-1)(3) + (0)(-5) = 0 \ ,  and (1)(1) + (3)(3) + (2)(-5) = 0 .
* Os vectores (1,0,1,0, \ldots)^\text{T}  e (0,1,0,1,\ldots)^\text{T}  son ortogonais. O produto escalar deles é cero.
* As funcións 2t+3 e 45t^2 + 9t - 17 son ortogonais en relación a un peso unidade no intervalo de −1 a 1: 
:\int_{-1}^1 \left(2t+3\right)\left(45t^2+9t-17\right)\,dt = 0
* As funcións 1, \sin{(nx)}, \cos{(nx)} \mid n \in \mathbb{N} son ortogonais en relación a integración de Riemann nos intervalos [0,2\pi],[-\pi,\pi], ou calquera outro intervalo pechado de lonxitude  2\pi. Este feito é central nas series de Fourier.

### Polinomios ortogonais 
Varias secuencias polinómicas nomeadas con nomes de matemáticos do pasado son secuencias de polinomios ortogonais. En particular:

* Os polinomios de Hermite son ortogonais en relación á distribución gaussiana cun valor medio cero.
* Os polinomios de Legendre son ortogonais en relación á distribución uniforme no intervalo [-1,1] .
* Os polinomios de Laguerre son ortogonaisen relación á distribución exponencial . As secuencias polinómicas de Laguerre algo máis xerais son ortogonais en relación ás distribucións gamma.
* Os polinomios de Chebyshev do primeiro tipo son ortogonais en relación  á medida \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
* Os polinomios de Chebyshev do segundo tipo son ortogonais en relación á distribución semicírculo de Wigner.

## Combinatoria 
En combinatoria, dous  cadrados latinos n \times n son ortogonais se a súa superposición dá todas posíbeis  combinacións de entradas n^2.

## Completamente ortogonal 
Dous planos planos (non curvos) A e B dun espazo euclidiano de catro dimensións chámanse *completamente ortogonais* se e só se cada recta que está en A é ortogonal a cada recta en B. Nese caso os planos A e B cortaránse nun único punto O, de xeito que se unha recta en A corta cunha recta en B, crúzanse en O. A e B son perpendiculares *e* paralelas de Clifford.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Número imaxinario
* Complemento ortogonal
* Grupo ortogonal
* Matriz ortogonal
* Polinomios ortogonais
* Poliedro ortogonal
* Traxectoria ortogonal
* Ortogonalización
** Proceso de Gram-Schmidt
* Base ortonormal
* Ortonormal