Transformada de Laplace

En matemáticas, e en particular na análise funcional, a **transformada de Laplace** dunha función *f*(*t*) definida para todo número real *t* ≥ 0 é a función *F*(*s*), definida por:

: F(s) 
  = \mathcal{L}\{f\}(s)
  =\int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt.

As propiedades desta transformada tórnanna útil para a análise de sistemas dinámicos lineares. A vantaxe máis interesante desta transformada é que a integración e a derivación tórnanse multiplicacións e divisións, da mesma maneira que o logaritmo transforma a multiplicación en adición. Ela permite levar a resolución de ecuacións diferenciais á resolución de ecuacións polinomiais, que son moito máis simples de resolver.

A transformada de Laplace ten o seu nome en homenaxe ao matemático francés Pierre Simon Laplace.

## Notación en Enxeñaría/Física 
Un abuso ás veces conveniente de notación, que acontece principalmente entre enxeñeiros e físicos, espreme iso da forma seguinte:

: F(s)
  = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}
  =\int_{0^-}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.

Cando se fala de transformada de Laplace, reférese xeralmente á versión unilateral. Existe tamén a transformada de Laplace *bilateral*, que se define como segue:

: F_B(s)
  = \left\{\mathcal{L} f\right\}(s)
  =\int_{-\infty}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.

A transformada de Laplace *F*(*s*) existe tipicamente para todos os números reais *s* > *a*, onde *a* é unha constante que depende do comportamento de crecemento de *f*(*t*).

A transformada de Laplace tamén pode utilizarse na resolución de ecuacións diferenciais, e é extensamente utilizada en enxeñaría eléctrica.

Un aspecto interesante da transformada de Laplace é que os matemáticos, ata hoxe, non coñecen o seu dominio. En outras palabras, non existe ningún conxunto de regras co cal se pode verificar se a transformada de Laplace pode ou non se aplicar a unha función.

## Propiedades 
### Linearidade 
: \mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\}
  = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} +
    b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}

### Derivada 
: \mathcal{L}\{f'\}
  = s \mathcal{L}\{f\} - f(0)
: \mathcal{L}\{f''\}
  = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0) - f'(0)
: \mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\}
  = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)
: \mathcal{L}\{ t f(t)\}
  = -F'(s)
: \mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\} = \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma
### Integral 
: \mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau) d\tau \right\}
  = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}

### Composición 
: \mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\}
  = F(s - a) Amortización
: \mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\}
  = e^{at} f(t)
: \mathcal{L}\left\{ f(ta) \right\}
  = e^{as}F(s) Atraso
: \mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\}
  = e^{as} F(s)
: \mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{as} F(s) \right\}
  = f(t - a) u(t - a)
Nota: u(t) é a función de etapa de Heaviside.
### Valor Final 
: \lim_{t \to \infty} f(t)=\lim_{s \to 0} sF(s)

### Convolución 
: \mathcal{L}\{f \otimes g\}
  = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}

### Transformada de Laplace dunha función de período *p* 
: \mathcal{L}\{ f \}
  = {1 \over 1 - e^{-ps}} \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt

## Algunhas transformadas usuais 
### Potencia *n* 
: \mathcal{L}\{\,t^n\} = \frac {n!}{s^{n+1}}
### Exponencial 
: \mathcal{L}\{\,e^{-at}\} = \frac {1}{s+a}
### Seno 
: \mathcal{L}\{\,\sin(bt)\} = \frac {b}{s^2 + b^2}
### Coseno 
: \mathcal{L}\{\,\cos(bt)\} = \frac {s}{s^2 + b^2}
### Seno hiperbólico 
: \mathcal{L}\{\,\sinh(bt)\} = \frac {b}{s^2-b^2}
### Coseno hiperbólico 
: \mathcal{L}\{\,\cosh(bt)\} = \frac {s}{s^2 - b^2}

### Logaritmo natural 
: \mathcal{L}\{\,\ln(t)\} = - \frac{\ln(s)+\gamma}{s}
### Raíz *n* 
: \mathcal{L}\{\,\sqrt[n]{t}\} = s^{-\frac{n+1}{n}} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)
### Función de Besel do primeiro tipo 
: \mathcal{L}\{\,X_n(t)\} = \frac{\left(s+\sqrt{1+s^2}\right)^{-n}}{\sqrt{1+s^2}}
### Función de Besel modificada do primeiro tipo 
: \mathcal{L}\{\,I_n(t)\} = \frac{\left(s+\sqrt{-1+s^2}\right)^{-n}}{\sqrt{-1+s^2}}
### Función erro 
: \mathcal{L}\{\,\operatorname{erf}(t)\} = {e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}

## Outras transformadas comúns