Cuadratura do círculo

[miniatura| A cuadratura círculo: As áreas deste cadrado e este círculo son iguais. En 1882, demostrouse que esta figura non se podía construír nun número finito de pasos con [ Construcción con regra e compás |regra e compás . ]]
A **cuadratura do círculo** é un problema xeométrico proposto polos matemáticos da Grecia clásica. Consiste en facer a construción con regra e compás dun cadrado coa mesma área que un círculo dado usando só un número finito de pasos. 

En 1882 demostrouse que o problema era irresoluble, como consecuencia do teorema de Lindemann-Weierstrass que demostra que pi (π) é un número transcendente, no canto de ser un número alxébrico . É dicir, pi (π) non é a raíz de ningún polinomio con coeficientes racionais. Unhas décadas antes de 1882 demostrouse que se π é un número transcendente, sería imposible a construción con regra e compás . Non foi ata este ano que se demostrou que π transcendente. Polo tanto, non se poden facer construcións xeométricas exactas da cuadratura do círculo. Por outra banda, é posible deseñar unha boa aproximación nun número finito de pasos, como consecuencia de que hai números racionais tan preto de π como queiramos. 

Dun xeito máis abstracto este problema tamén se pode entender do seguinte xeito. Dados certos axiomas da xeometría euclidiana respecto da existencia de liñas e círculos, determinan estes axiomas a existencia deste cadrado? 
[miniatura| Algunhas aproximacións parciais deron durante moito tempo falsas esperanzas sobre a resolubilidade do problema. Neste debuxo a área da figura sombreada é igual á área do triángulo ABC (atopada por [Hipócrates de Quíos ). ]]
O termo *cuadratura* do círculo ás veces úsase para referirse á aproximación por métodos numéricos da área dun círculo. 

## Historia 
[esquerda|miniatura| [ Oronce Finé |Oronce Finé, *Quadratura* circuli, 1544 ]]
[miniatura| [ JP de Faurè |JP de Faurè, *Dissertation, découverte, et demonstrations de la quadrature mathematique du cercle*, 1747 ]]
Os matemáticos babilonios xa coñecían diferentes métodos para aproximar a área dun círculo cun cadrado. O papiro exipcio Rhind de 1800 a.C. establece a área dun círculo como (64/81) &nbsp; *d* 2, onde *d* é o diámetro do círculo, e π é aproximadamente 256/81, un número que aparece no antigo papiro matemático de Moscova e usa aproximacións por volume (é dicir, hekat). Os matemáticos indios tamén atoparon un método aproximado, aínda que menos preciso, documentado no *Sulba Sutra*. Arquímedes demostrou que o valor de π está entre 3 + 1/7 (aproximadamente 3.1429) e 3 + 10/71 (aproximadamente 3.1408). 

Anaxágoras foi o primeiro grego en asociarse co problema, que traballou na prisión. Hipócrates de Quios cuadrou algunhas lúas, esperando que isto o levase a unha solución. Antifonte, o sofista, considera que inscribir polígonos regulares dentro dun círculo e duplicar o número de pezas encherá a área do círculo e, dado que un polígono pode ser cadrado, significa que o círculo pode ser cadrado. Con todo houbo escépticos; por exemplo, Eudemo (escritor dunha obra de astronomía) postulou que as magnitudes non se poden dividir indefinidamente, polo que a área do círculo nunca se alcanzará. O problema é mencionado incluso na obra de teatro de Aristofanes *As aves*. 

Crese que Oenopides foi o primeiro grego en esixir unha solución usando só unha regra e un compás. James Gregory intentou demostrar a súa imposibilidade na *Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura* (a verdadeira cuadratura do círculo e a hipérbole) en 1667. Aínda que a súa proba é incorrecta, foi o primeiro documento que intentou resolver o problema empregando as propiedades alxébricas de π . Non foi ata 1882 cando Ferdinand von Lindemann demostrou rigorosamente a súa imposibilidade.

## Imposibilidade 
Unha extensión cuadrática dun conxunto *A* de números son os números que se poden obter coas operacións da extracción de raíces cadradas dos números de *A* e as operacións de suma, resta, multiplicación e división aplicadas a pares de números que, ou son de *A*, ou raíces cadradas de números de *A.* 

O conxunto de números que se poden construír con regra e compás (os números construíbles ) son os números que se poden obter como un número finito de extensións cuadráticas dos racionais. 

Unha xeneralización do conxunto de números construíbles son os números definidos por radicais, a definición é a mesma que antes, pero non só se permiten raíces cadradas senón que son raíces de calquera índice racional (de feito coas raíces con índices de números primos chegaría). 

O conxunto de números construíbles é un subconxunto propio de números definidos por radicais, é dicir, hai números definidos por radicais que non son construíbles, como \sqrt{3}, pero todos os números construíbles están definidos por radicais. 

Os números reais que son raíces de polinomios con coeficientes racionais chámanse números alxébricos . O teorema de Abel-Ruffini demostra que hai números alxébricos que non están definidos por radicais, pero todos os números definidos por radicais son alxébricos. 

Os números que non son alxébricos chámanse transcendentes . 

A solución do problema de cuadrar o círculo con regra e compás require a construción do número \sqrt{\pi} , e a imposibilidade desta construción dedúcese do feito de que π é un número transcendente ( non alxébrico e, polo tanto, non construíble ). Se o problema de cuadrar o círculo se resolvese usando só regra e compás chegariamos a un valor alxébrico de π, un absurdo. Johann Heinrich Lambert conxectura en 1768 que π é transcendente no mesmo documento que demostrou a súa irracionalidade . Non foi ata 1882 cando Ferdinand von Lindemann demostrou a súa transcendencia (como corolario do teorema de Lindemann-Weierstrass ). 

É posible construír un cadrado cunha área *arbitrariamente próxima* á dun círculo dado. Se se usa un número racional como aproximación a π, é posible obter o cadrado do círculo en función dos valores escollidos. No entanto, isto só é unha aproximación e non cumpre as limitacións das antigas normas para resolver o problema. Varios matemáticos demostraron procedementos factibles baseados nunha variedade de enfoques. 

Ao flexibilizar as normas permitindo un número infinito de operacións con regra e compás ou realizando operacións en determinados espazos non euclidianos, tamén é posible cuadrar o círculo. Por exemplo, aínda que o círculo non pode ser cadrado no espazo euclídiano, é posible facelo no espazo Gauss-Bolyai-Lobachevsky (espazo da xeometría hiperbólica). 

Nótese que a transcendencia de π implica tanto a incapacidade de "redondear" exactamente o cadrado como a imposibilidade de cuadrar exactamente o círculo.

## Construcións aproximadas  
Aínda que a cuadratura do círculo é un problema imposible empregando só regra e compás, poden realizarse aproximacións á cuadratura mediante aproximacións a π. Só fai falta un mínimo de coñecemento da xeometría elemental para converter calquera aproximación racional de π nunha construción con regra e compás. A pesar disto, as construcións realizadas deste xeito adoitan ser moi longas en comparación coa precisión que se pode conseguir.  

Frei Martín Sarmiento achou dúas cuadraturas moi aproximadas. Para comprobarmos a súa precisión basta indicar que unha delas era equivalente a dar o número π con 6 cifras decimais exactas e a outra con 10. 

Despois de que se demostrou a irresolubilidade do problema, algúns matemáticos aplicaron o seu enxeño para atopar aproximacións *elegantes* á cuadratura do círculo.   

Entre as construcións aproximadas modernas, Ernest William Hobson en 1913 (ver o seu libro  ). Esta foi unha construción moi precisa que está baseada na construción do valor aproximado de 3.14164079 ..., que ten unha precisión de 4 decimais. 

O matemático indio Srinivasa Ramanujan en 1913, CD Olds en 1963, Martin Gardner en 1966 e Benjamin Bold en 1982 deron construcións xeométricas de 
: \tfrac{355}{113} = 3.1415929203539823008\dots
que coincide en 6 decimais con π. 
[miniatura| Construción aproximada de [ Adam Adamandy Kochański |Kochański ]]
miniatura| Construción aproximada de Kochański
Srinivasa Ramanujan en 1914 atopou unha construción de regra e compás que equivalía a tomar a seguinte aproximación de π 

: \left(9^2 + \frac{19^2}{22}\right)^{1/4} = \sqrt[4]{\frac{2143}{22}} = 3.1415926525826461252\dots

dando a notable aproximación de 8 díxitos decimais correctos de π. 

En 1991, Robert Dixon presentou construcións para 

: \frac{6}{5} (1 + \varphi) e \sqrt{{40 \over 3} - 2 \sqrt{3}\ } 

(Aproximación de Kochański), pero estas foron boas aproximacións ata o cuarto decimal de π. 

## O cuadratura ou integración 
O problema de atopar a área baixo unha curva, coñecida como integración no cálculo ou cuadratura de análise numérica, coñécese como *cuadratura* antes da invención do cálculo. Antes de que apareza o cálculo infinitesimal, suponse que unha cuadratura debe facerse mediante construcións xeométricas, é dicir, con regra e compás. Por exemplo, Newton escribiulle a Oldenberg en 1676 "Creo que ao señor Leibniz non lle gustará o teorema ao comezo da miña páxina páxina 4 para *cuadrar xeométricamente liñas curvas* ". (énfase engadido) http://books.google.cat/books?vid=OCLC14437781&id=OVPJ6c9_kKgC&pg=PA259&vq=squaring&dq=newton+squaring-curves+date:0-1923 Despois de que Newton e Leibniz inventasen o cálculo, aínda se fai referencia aos problemas de integración como cuadratura ou rectificación dunha curva. 

## A cuadratura do círculo como metáfora 
A imposibilidade de resolver a cuadratura do círculo empregouse metaforicamente para describir a esperanza de resolver un problema que é ou semella imposible.

## Ver tamén 
* Os outros dous problemas xeométricos clásicos foron a duplicación do cubo e a " trisección do ángulo ", descritos no artigo "construcións con regra e compás". Ao contrario de cadrar o círculo, estes dous problemas pódense resolver empregando métodos de construción máis potentes como o origami, como se describe no artigo "Matemáticas da papiroflexia".
* Para atopar problemas relacionados máis modernos, visite o problema de cadrar o círculo de Tarski.
* O Proxecto de lei de Indiana sobre pi, en 1897, intentou nunha lexislatura estatal de Indiana fortalecer a procura dunha solución ao problema por decreto.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Ligazóns externas 
* *Cadrando o círculo* ao cortar o nó 
* *O círculo cadrado* en MathWorld, inclúe información sobre procedementos baseados en varias aproximacións de π 
* Cadrar o círculo en converxencia 
* A cuadratura do círculo e as lunes de Hipócrates en converxencia 
* *Como desenrolar un círculo*  Pi preciso ata 8 decimais, empregando recta e compás. 
* *Cadrado do círculo e outras imposibilidades* , conferencia de Robin Wilson, no colexio Gresham, o 16 de xaneiro de 2008 (dispoñible para a súa descarga en ficheiro de texto, son ou vídeo). 
* *Cuadratura 1 de Frei Martín Sarmiento*, Paulo Porta. Xeometría e debuxo técnico 
* *Cuadratura 2 de Frei Martín Sarmiento*, Paulo Porta. Xeometría e debuxo técnico