Integración por partes

En cálculo, e máis xeralmente na análise matemática, **a integración por partes** é un proceso que atopa a integral dun produto de funcións en termos da integral do produto da súa derivada e antiderivada. A regra pódese pensar como unha versión para unha integral da regra de diferenciación do produto.

A fórmula de integración por partes di: 
:\begin{align}
  \int_a^b u(x) v'(x) \, dx 
  & = \Big[u(x) v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x) v(x) \, dx\\
  & = u(b) v(b) - u(a) v(a) - \int_a^b u'(x) v(x) \, dx.
 \end{align}

Ou, sendo u = u(x) e du = u'(x) \,dx mentres que v = v(x) e dv = v'(x) \, dx, a fórmula pódese escribir de forma máis compacta: 
:\int u \, dv \ =\ uv - \int v \, du.

A primeira expresión escríbese como unha integral definida e a segunda escríbese como unha integral indefinida. 

O matemático Brook Taylor descubriu a integración por partes, publicando a idea por primeira vez en 1715. Existen formulacións máis xerais de integración por partes para as integrais de Riemann-Stieltjes e Lebesgue-Stieltjes. O análogo discreto para secuencias chámase sumatorio por partes.

## Teorema 
### Produto de dúas funcións 
O teorema pódese derivar do seguinte xeito. Para dúas funcións continuamente diferenciábeis u(x) e v(x), a regra do produto estabelece:

:\Big(u(x)v(x)\Big)' = u'(x) v(x) + u(x) v'(x).

Integrando ámbolos dous lados con respecto a x,

:\int \Big(u(x)v(x)\Big)'\,dx = \int u'(x)v(x)\,dx + \int u(x)v'(x) \,dx, 

e observando que unha integral indefinida é unha antiderivada dá

:u(x)v(x) = \int u'(x)v(x)\,dx + \int u(x)v'(x)\,dx,

onde prescindimos de escribir a constante de integración. Isto dá a fórmula da  **integración por partes**:

:\int u(x)v'(x)\,dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) \,dx, 

ou en termos de diferenciais  du=u'(x)\,dx, dv=v'(x)\,dx, \quad

:\int u(x)\,dv = u(x)v(x) - \int v(x)\,du.

## Aplicacións 
### Calcular antiderivadas 
A integración por partes é unha heurística máis que un proceso puramente mecánico para resolver integrais; dada unha única función para integrar, a estratexia típica é separar coidadosamente esta única función nun produto de dúas funcións *u*(*x*) *v*(*x*) de forma que a integral residual da fórmula de integración por partes sexa máis fácil de avaliar que a función unida. 

Como exemplo sinxelo, consideremos:

:\int\frac{\ln(x)}{x^2}\,dx\,.

Xa que a derivada de ln(*x*) é, tomamos (ln(*x*)) como parte *u*; xa que a antiderivada de  é − tomamos  como part *.* A fórmula agora dá:

:\int\frac{\ln(x)}{x^2}\,dx = -\frac{\ln(x)}{x} - \int \biggl(\frac1{x}\biggr) \biggl(-\frac1{x}\biggr)\,dx =-\frac{\ln(x)}{x}-\frac{1}{x} + C.

A antiderivada de − atópase coa regra da potencia.

Alternativamente, pódese escoller *u* e *v* de tal forma que o produto *u* ′ (∫*v* *dx*) simplifica debido á cancelación. Por exemplo, supoñamos que se quere integrar:

:\int\sec^2(x)\cdot\ln\Big(\bigl|\sin(x)\bigr|\Big)\,dx.

Se escollemos *u*(*x*) = ln(|sin( *x* )|) e *v* (*x*) = sec2x, entón *u* diferénciase como \frac{1}{\tan x} usando a regra da cadea e *v* intégrase como tan *x*; polo que a fórmula dá:

:\int\sec^2(x)\cdot\ln\Big(\bigl|\sin(x)\bigr|\Big)\,dx = \tan(x)\cdot\ln\Big(\bigl|\sin(x)\bigr|\Big)-\int\tan(x)\cdot\frac1{\tan(x)} \, dx\ = \tan(x)\cdot\ln\Big(\bigl|\sin(x)\bigr|\Big)-x + C.

#### Polinomios e funcións trigonométricas 
Para calcular

:I=\int x\cos(x)\,dx\,,

facemos: 
:\begin{alignat}{3}
  u &= x\ &\Rightarrow\ &&du &= dx \\
 dv &= \cos(x)\,dx\ &\Rightarrow\ && v &= \int\cos(x)\,dx = \sin(x)
\end{alignat}

daquela:

:\begin{align}
 \int x\cos(x)\,dx & = \int u\ dv \\
 & = u\cdot v - \int v \, du \\
 & = x\sin(x) - \int \sin(x)\,dx \\
 & = x\sin(x) + \cos(x) + C,
 \end{align}

onde *C, coma sempre* é unha constante de integración.

#### Funcións exponenciais e trigonométricas 
Un exemplo que se usa habitualmente para entender o funcionamento da integración por partes é

:I=\int e^x\cos(x)\,dx.

Aquí, a integración por partes realízase dúas veces. Primeiro facemos

:\begin{alignat}{3}
  u &= \cos(x)\ &\Rightarrow\ &&du &= -\sin(x)\,dx \\
 dv &= e^x\,dx\ &\Rightarrow\ &&v &= \int e^x\,dx = e^x
\end{alignat}

daquela:

: \int e^x\cos(x)\,dx = e^x\cos(x) + \int e^x\sin(x)\,dx.

Agora, para avaliar a integral restante, usamos de novo a integración por partes, con:

: \begin{alignat}{3}
  u &= \sin(x)\ &\Rightarrow\ &&du &= \cos(x)\,dx \\
 dv &= e^x\,dx\,&\Rightarrow\ && v &= \int e^x\,dx = e^x.
\end{alignat}

Entón:

:\int e^x\sin(x)\,dx = e^x\sin(x) - \int e^x\cos(x)\,dx.

Xuntando as dúas,

:\int e^x\cos(x)\,dx = e^x\cos(x) + e^x\sin(x) - \int e^x\cos(x)\,dx.

A mesma integral aparece a ambos os dous lados desta ecuación. A integral pódese engadir simplemente a ambos os dous lados para obter

:2\int e^x\cos(x)\,dx = e^x\bigl[\sin(x)+\cos(x)\bigr] + C,

que reordenamos como

:\int e^x\cos(x)\,dx = \frac{1}{2}e^x\bigl[\sin(x)+\cos(x)\bigr] + C'

onde outra vez C (e C' = \frac{C}{2} ) é unha constante de integración.

#### Funcións multiplicadas pola unidade 
Outros dous exemplos coñecidos son cando a integración por partes se aplica a unha función expresada como produto de 1 e de si mesma. Isto funciona se se coñece a derivada da función e tamén a integral desta derivada multiplicada por x.

O primeiro exemplo é \int \ln(x) dx . Escribimos isto como:

:I=\int\ln(x)\cdot 1\,dx\,.

Sexa:

:u = \ln(x)\ \Rightarrow\ du = \frac{dx}{x}
:dv = dx\ \Rightarrow\ v = x

logo:

:
\begin{align}
\int \ln(x)\,dx & = x\ln(x) - \int\frac{x}{x}\,dx \\
& = x\ln(x) - \int 1\,dx \\
& = x\ln(x) - x + C
\end{align}

O segundo exemplo é a función inversa da tanxente  \arctan(x) :

:I=\int\arctan(x)\,dx.

Reescribe isto como

:\int\arctan(x)\cdot 1\,dx.

Agora temos:

:u = \arctan(x)\ \Rightarrow\ du = \frac{dx}{1+x^2}

:dv = dx\ \Rightarrow\ v = x

entón

:
\begin{align}
\int\arctan(x)\,dx
& = x\arctan(x) - \int\frac{x}{1+x^2}\,dx \\[8pt]
& = x\arctan(x) - \frac{\ln(1+x^2)}{2} + C
\end{align}

utilizando unha combinación do método da regra da cadea inversa e a integral do logaritmo natural.

#### regra LÍATE 
A regra LÍATE é unha regra mnemotécnica para a integración por partes. Implica escoller como *u* a función que aparece primeiro na seguinte lista:

* **L** - funcións logarítmicas : \ln(x),\ \log_b(x), etc.
* **I** – funcións trigonométricas inversas (incluíndo as súas análogas hiperbólicas): \arctan(x),\ \arcsec(x),\ \operatorname{arsinh}(x), etc.
* **A** – funcións alxébricas (como polinomios): x^2,\ 3x^{50}, etc.
* **T** - funcións trigonométricas (incluíndo análogas hiperbólicas ): \sin(x),\ \tan(x),\ \operatorname{sech}(x), etc.
* **E** - funcións exponenciais : e^x,\ 19^x, etc.

A función que debe ser *dv* é a que aparece en último lugar da lista. O motivo é que as funcións inferiores na lista xeralmente teñen antiderivadas máis simples que as funcións anteriores. A regra ás veces escríbese como "DETAIL", onde *D* significa *dv* e a parte superior da lista é a función escollida para ser *dv*. 

Para demostrar a regra LÍATE, considere a integral

:\int x \cdot \cos(x) \,dx.

Seguindo a regra LÍATE, *u* = *x*, e *dv* = cos(*x*) *dx*, polo tanto *du* = *dx*, e *v* = sin(*x*), o que fai que a integral se converta en
:x \cdot \sin(x) - \int 1 \sin(x) \,dx, que é igual a
:x \cdot \sin(x) + \cos(x) + C.

### Identidade da función gamma 
A función gamma é un exemplo dunha función especial, definida como unha integral impropia para z > 0 . A integración por partes ilustra que é unha extensión da función factorial:

:\begin{align}
\Gamma(z) & = \int_0^\infty e^{-x} x^{z-1} dx \\[6pt]
 & = - \int_0^\infty x^{z-1} \, d\left(e^{-x}\right) \\[6pt]
 & = - \Biggl[e^{-x} x^{z-1}\Biggl]_0^\infty + \int_0^\infty e^{-x} d\left(x^{z-1}\right) \\[6pt]
 & = 0 + \int_0^\infty \left(z-1\right) x^{z-2} e^{-x} dx\\[6pt]
 & = (z-1)\Gamma(z-1).
\end{align} 

Posto que

:\Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-x} \, dx = 1,

cando z é un número natural, é dicir,  z = n \in \mathbb{N} , aplicando esta fórmula repetidamente dá o factorial: \Gamma(n+1) = n!

### Uso na análise harmónica 
A integración por partes utilízase a miúdo na análise harmónica, particularmente na análise de Fourier, para mostrar que as integrais que oscilan rapidamente con integrandos suficientemente suaves decaen rapidamente. O exemplo máis común disto é o seu uso para mostrar que a decadencia da transformada de Fourier da función depende da suavidade desa función, como se describe a continuación.

#### Transformada de Fourier da derivada 
Se f é unha k-veces función continuamente diferenciábel e todas as derivadas ata k decaen a cero no infinito, entón a súa transformada de Fourier satisfai

:(\mathcal{F}f^{(k)})(\xi) = (2\pi i\xi)^k \mathcal{F}f(\xi),

onde f^{(k)} é a k-ésima derivada de f. (A constante exacta da dereita depende da convención da transformada de Fourier usada.) Isto móstrase observando que

:\frac{d}{dy} e^{-2\pi iy\xi} = -2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi},

polo que empregando a integración por partes na transformada de Fourier da derivada obtemos

:\begin{align}
(\mathcal{F}f')(\xi) &= \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi iy\xi} f'(y)\,dy \\
&=\left[e^{-2\pi iy\xi} f(y)\right]_{-\infty}^\infty - \int_{-\infty}^\infty (-2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi}) f(y)\,dy \\[5pt]
&=2\pi i\xi \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi iy\xi} f(y)\,dy \\[5pt]
&=2\pi i\xi \mathcal{F}f(\xi).
\end{align}

Aplicando isto de forma indutiva dá o resultado para un k en xeral. Pódese usar un método similar para atopar a transformada de Laplace dunha derivada dunha función.

#### Decadencia da transformada de Fourier 
O resultado anterior fálanos sobre a decadencia da transformada de Fourier, xa que se segue que se f e f^{(k)} son integrábeis entón

:\vert\mathcal{F}f(\xi)\vert \leq \frac{I(f)}{1+\vert 2\pi\xi\vert^k}, \text{ onde } I(f) = \int_{-\infty}^\infty \Bigl(\vert f(y)\vert + \vert f^{(k)}(y)\vert\Bigr) \, dy.

Noutras palabras, se f satisfai estas condicións, entón a súa transformada de Fourier decae no infinito polo menos tan rápido como . En particular, se k \geq 2 entón a transformada de Fourier é integrábel.

A proba usa o feito, que é inmediato pola definición da transformada de Fourier,  de que

:\vert\mathcal{F}f(\xi)\vert \leq \int_{-\infty}^\infty \vert f(y) \vert \,dy.

Usando a mesma idea sobre a igualdade indicada ao comezo deste subapartado dáse

:\vert(2\pi i\xi)^k \mathcal{F}f(\xi)\vert \leq \int_{-\infty}^\infty \vert f^{(k)}(y) \vert \,dy.

Sumando estas dúas desigualdades e dividindo despois entre  dá a desigualdade declarada.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
*
*
*
### Outros artigos 
* Integral de Lebesgue–Stieltjes
* Integración por cambio de variábel

### Ligazóns externas 
* Calculadora de integração por partes.