Media (estatística)

[miniatura|250x250px|Construción xeométrica para achar as medias [Media aritmética|aritmética, xeométrica, harmónica e cuadrática de dous números *a* e *b*.]]
[miniatura|Comparación da [media aritmética, a mediana e a moda de dúas distribucións log-normal con diferente asimetría.]]
En matemáticas e estatística unha **media** é unha medida de tendencia central. Existen distintos tipos de medias, tales como a media xeométrica, a media ponderada e a media harmónica aínda que na linguaxe común, o termo refírese xeralmente á media aritmética.

## Exemplos de medias 
Existen numerosos exemplos de medias \scriptstyle \bar{x} = m_i(x_1, \dots, x_n). Unha das poucas propiedades compartidas por todas as medias é que calquera media está comprendida entre o valor máximo e o valor mínimo do conxunto de variables:
{{ecuación|
\min \{x_1, x_2, \dots x_n\} \le \bar{x} \le \max \{x_1, x_2, \dots x_n\}
||left}}

Ademais debe cumprirse que:
{{ecuación|
\bar{x} = x_1, \quad \mbox{si}\ x_1 = x_2 = \dots = x_n
||left}}

### Media aritmética 
A media aritmética é unha media estándar que a miúdo se denomina simplemente "media".
{{ecuación|
 \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n{x_i} 
||left}}

A media confúndese ás veces coa mediana ou a moda. A media aritmética é a media dun conxunto de valores, ou a súa distribución; con todo, para as distribucións con nesgo, a media non é necesariamente o mesmo valor que a mediana ou que a moda. A media, moda e mediana son parámetros característicos dunha distribución de probabilidade. É ás veces unha forma de medir o nesgo dunha distribución tal e como se pode facer nas distribucións exponencial e de Poisson.

Por exemplo, a media aritmética de 34, 27, 45, 55, 22 e 34 (seis valores) é  \tfrac{34+27+45+55+22+34}{6}\ = \tfrac{217}{6}\approx 36,167
  
#### Media aritmética ponderada 
Ás veces pode ser útil outorgar pesos ou valores aos datos dependendo da súa relevancia para determinado estudo. Neses casos pódese utilizar unha media ponderada. Se 
X_1,X_2,...,X_n é un conxunto de datos ou media muestral e w_1,w_2,...,w_n son números reais positivos, chamados "pesos" ou factores de ponderación, defínese a media ponderada relativa a eses pesos como:
{{Ecuación|
\bar{X}_w = \frac{X_1\cdot w_1 + X_2\cdot w_2 + ... + X_n\cdot w_n}{w_1+w_2+...+w_n} = \frac{\sum_{i=1}^n X_i\cdot w_i}{\sum_{i=1}^n w_i}
||left}}

A media é invariante fronte a transformacións lineares, cambio de orixe e escala, das variables, é dicir se *X* é unha variable aleatoria e Y é outra variable aleatoria que depende linearmente de *X*, é dicir, *Y = a·X + b* (onde *a* representa a magnitude do cambio de escala e *b* a do cambio de orixe) tense que:
{{Ecuación|
\bar{Y} = a\bar{X} + b
||left}}

### Media xeométrica 
A media xeométrica é unha media moi útil en conxuntos de números que son interpretados en orde do seu produto, non da súa suma (tal e como ocorre coa media aritmética). Por exemplo, as velocidades de crecemento.

:\bar{x} = \left ( \prod_{i=1}^n{x_i} \right ) ^{1/n}

Por exemplo, a media xeométrica da serie de números 34, 27, 45, 55, 22 e 34 (seis valores) é (34\cdot27\cdot45\cdot55\cdot22\cdot34)^{1/6} = 1699493400^{1/6} \approx 34,545

### Media harmónica 
A media harmónica é unha media moi útil en conxuntos de números que se definen en relación con algunha unidade, por exemplo a velocidade (distancia por unidade de tempo).

: \bar{x} = n \cdot \left ( \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} \right ) ^{-1}

Por exemplo, a media harmónica dos números: 34, 27, 45, 55, 22, e 34 é \frac{6}{\frac{1}{34}+\frac{1}{27}+\frac{1}{45} + \frac{1}{55} + \frac{1}{22}+\frac{1}{34}}\approx 33,018

### Xeneralizacións da media 
Existen diversas xeneralizacións das medias anteriores.

#### Media xeneralizada 
As medias xeneralizadas, tamén coñecidas como medias de Hölder, son unha abstracción das medias cuadráticas, aritméticas, xeométricas e harmónicas. Defínense e agrúpanse a través da seguinte expresión:
{{ecuación|
 \bar{x}(m) = \left ( \frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^n{x_i^m} \right ) ^{1/m} 
||left}}

Escollendo un valor apropiado do parámetro *m*, tense:
* m\rightarrow\infty - máximo,
* m=2 \, - media cuadrática,
* m=1 \, - media aritmética,
* m\rightarrow0 - media xeométrica,
* m=-1 \, - media harmónica,
* m\rightarrow-\infty - mínimo.

#### Media-f xeneralizada 
Esta media pode xeneralizarse para unha función monótona como a media-f xeneralizada:
{{ecuación|
 \bar{x} = f^{-1}\left({\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^n{f(x_i)}}\right) 
||left}}

onde f:I \to I é unha función inxectiva e I \subset \R un intervalo. Escollendo formas particulares para f obtéñense algunhas das medias máis coñecidas:
* f(x) = x \, - media aritmética, I = \R
* f(x) = \frac{1}{x} - media harmónica, I = (0,\infty)
* f(x) = x^m \, - media xeneralizada, I = (0,\infty)
* f(x) = \ln x \, - media xeométrica, I = (0,\infty).

#### Media dunha función 
Para unha función continua f sobre un intervalo [a,b], pódese calcular o valor medio da función f sobre [a,b] como: 
{{ecuación|
\bar{f} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(t) dt
||left}}

De feito a definición anterior cúmprese tamén para unha función limitada aínda que non sexa continua, coa condición de que sexa medible.

## Media estatística 
A **media estatística** emprégase en estatística para dous conceptos diferentes aínda que numericamente similares:
* A **media da mostra**, que é un estatístico que se calcula a partir da media aritmética dun conxunto de valores dunha variable aleatoria.
* A **media da poboación**, valor esperado ou esperanza matemática dunha variable aleatoria.
Na práctica dada unha mostra estatística suficientemente grande o valor da media muestral da mesma é numericamente moi próximo á esperanza matemática da variable aleatoria medida nesa mostra. O devandito valor esperado, só é calculable se se coñece con toda exactitude a distribución de probabilidade, cousa que raramente sucede na realidade, e por esa razón, a efectos prácticos a chamada media refírese normalmente á media da mostra.

### Media da mostra 
A media da mostra é unha variable aleatoria, xa que depende da mostra, aínda que é unha variable aleatoria en xeral cunha varianza menor que as variables orixinarias empregadas no seu cálculo. Se a mostra é grande e está ben escollida, pode tratarse a media da mostra como un valor numérico que aproxima con precisión a media de poboación, que caracteriza unha propiedade obxectiva da poboación. Defínese como segue: se se ten unha mostra estatística de valores (X_1,X_2,...,X_n) de valores para unha variable aleatoria X con distribución de probabilidade *F(x, θ)* [onde *θ* é un conxunto de parámetros da distribución] defínese a media da mostra *n*-ésima como:
{{Ecuación|\bar{X}_n = T(X_1,X_2,...,X_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \frac{X_1+X_2+...+X_n}{n}||left}}

### Media da poboación 
A media da poboación tecnicamente non é unha media senón un parámetro fixo que coincide coa esperanza matemática dunha variable aleatoria. O nome "media da poboación" emprégase para indicar que valor numérico dunha media muestral é numericamente próximo ao parámetro media da poboación, para unha mostra adecuada e suficientemente grande.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Media cuadrática
* Media aritmética xeométrica
* Media heroniana
* Media (matemáticas)