Función monótona

dereita|miniatura| Figura 1. Gráfica dunha función monótona (función crecente).
dereita|miniatura| Figura 2. Gráfico dunha función monótona (función decrecente).
dereita|miniatura| Figura 3. Gráfica dunha función que non é monótona.
En matemáticas, unha **función monótona** é unha función entre conxuntos ordenados que conserva ou inverte a orde. No primeiro caso, fálase dunha **función crecente** e no outro de **función decrecente**. Este concepto apareceu por primeira vez na análise real de funcións numéricas e despois xeneralizouse no marco máis abstracto da teoría da orde.

## Monotonía na análise real 
Intuitivamente (ver as figuras ao lado), a representación gráfica dunha función monótona nun intervalo é unha curva que “sobe» constantemente ou «baixa» constantemente. Se este aspecto gráfico é inmediatamente revelador, non é, porén, a única forma na que se revela a propiedade da monotonía: unha función monótona é unha función que sempre ten o mesmo efecto sobre a relación de orde. Para unha función crecente, a orde que existe entre dúas variábeis atópase na orde das súas imaxes, para unha función decrecente, a orde das imaxes invírtese en comparación coa orde dos antecedentes.

Para unha función con derivada nun intervalo, o estudo da monotonía está ligado ao estudo do signo da derivada, que é constante: sempre positivo ou sempre negativo.

### Definición 
Sexa I un intervalo de \mathbb R e f unha función de valores reais, cuxo dominio de definición contén este intervalo I.

**Monotonía en sentido amplo.** Dise que f é  :

* **crecente** (ou: crecente en sentido amplo) sobre I se 
:: para todo par (x,y)\in I^2 tal que *x*, temos f(x )\leqslant f(y);
* **decrecente** (ou : decrecente en sentido amplo) sobre I se 
:: para todo par (x,y)\in I^2 tal que x, temos f(x)\geqslant f( y);
* **monótona** (ou: monótona no sentido amplo) en I se é crecente en I ou decrecente en I.

**Exemplo**: para todo real x, denotado E(x) a parte enteira de x (é o único enteiro relativo k tal que k\leqslant x). A función E: \mathbb R\to \mathbb R vai crecendo en \mathbb R pero non é  estritamente crecente (ver *máis abaixo*), porque é constante en cada intervalo [i,i+1[ de extremos enteiros.

**Estritamente monótona.** Dise que f é:

* **estritamente crecente** en I se 
:: para todo par (x,y)\in I^2 tal que *x*, temos f(x ) ;
* **estritamente decrecente** en I se 
:: para todo par (x,y)\in I^2 tal que x, temos f(x) > f(y);
* **estritamente monótona** sobre I se é estritamente  crecente en I ou estritamente decrecente en  I.

**Exemplos** : sexa n un enteiro estritamente positivo.

* A función f: \mathbb R_+\to \mathbb R: x\mapsto x^n, é estritamente crecente en \mathbb R_+ .En efecto, se a, b, a' e b' son números reais tal que 0\leqslant a e 0\leqslant a', entón aa'. *Deducimos por indución sobre o número enteiro n que para calquera parella (x,y) de positivos reais ou ceros tal que x, temos x^n.*
* Cando n é impar, a función f: \mathbb R\to \mathbb R: x\mapsto x^n, é estritamente crecente en \mathbb R.
* De feito, é estritamente crecente en \mathbb R_+ (*ver* o exemplo anterior) e impar.

**Nota 1**: para que unha función f sexa crecente (respectivamente estritamente crecente) en I, é necesario e suficiente que -f sexa decrecente (resp. estritamente decrecente) en I.

**Nota 2** : para que unha función monótona f: I\to \mathbb R non o sexa estritamente, é necesario (e desde logo é suficiente) que I conteña un intervalo non trivial (é dicir, non baleiro e non reducido a un punto) no que f é constante.

### Propiedades elementais 
#### Operacións alxébricas 
Sexan dúas funcións crecentes I. Temos:

* a súa suma é crecente;
* se teñen valores positivos, o seu produto é crecente.

Existe a propiedade análoga para funcións estritamente crecentes.

#### Composición 
Sexan dúas funcións f: I\to \mathbb R e g: J\to \mathbb R, onde I e J son dous intervalos reais tal que f(I)\subset J; podemos definir a función composta g\circ f: I\to \mathbb R.

Se f é monótona en I e g é monótona en J, daquela g\circ f é monótona en I. Máis precisamente :

* se f e g ambos as dúas son crecentes ou decrecentes, entón g\circ f é crecente;
* se unha das dúas funcións f ou g é crecente e a outra decrecente, entón g\circ f é decrecente.

Exste a propiedade análoga para as funcións estritamente monótonas.

#### Inxectividade 
Unha función estritamente monótona nun intervalo I é inxectiva, é dicir que dous elementos de I distintos teñen imaxes distintas.  

Esta propiedade, combinada co teorema do valor intermedio, é útil para atopar o número de ceros nunha función.

### Propiedades relativas á continuidade e  límites 
#### Teorema do límite monótono para unha función 
Sexa ]a,b[ un intervalo aberto (limitado ou non) e unha función crecente f: ]a,b[\to \mathbb R . Así:

* f admite en todos os puntos  x de ]a,b[ un límite pola esquerda e un límite pola dereita, finitos, que denotamos respectivamente f(x^{-}) e f(x^{+}); verifican a dobre desigualdade f(x^{-})\leqslant f(x)\leqslant f(x^{+});
* f admite un límite pola esquerda b, finito ou igual a +\infty; este límite é finito se e só se f é maior.
* f admite un límite pola dereita en a, finito ou igual a -\infty; este límite é finito se e só se f é menor.

Un teorema análogo para funcións decrecentes dedúcese inmediatamente substituíndo f por -f.

Un corolario deste teorema é a continuidade de calquera sobrexección monótona dun intervalo sobre un intervalo.

#### Puntos de descontinuidade 
Teorema de Froda (1929): o conxunto D de puntos de descontinuidade dunha función monótona é finito ou numerábel (dicimos que é *numerábel como máximo* ). Efectivamente, denotando \varepsilon_x=f(x^{+})-f(x^{-}), a familia \left(\varepsilon_x\right)_{x\in D\cap [c,d]} de reais estritamente positivos é sumábel e, polo tanto, como moito numerábel para todos os [c,d] incluídos no intervalo de monotonía. Froda demostrou de feito que para *calquera* función real, o conxunto de puntos de descontinuidade *do primeiro tipo* é como moito numerábel. Ou para unha función monótona, o teorema do límite monótono di exactamente que este tipo de descontinuidade é a única posíbel.

### Monotonía e signo da derivada 
Un uso clásico e importante do cálculo diferencial é a caracterización, entre as funcións diferenciábeis (dunha variábel real, e con valores reais), das que son monótonas (en sentido amplo ou en sentido estrito) nun intervalo.

**Teorema:**

; Observacións
:* Dedúcese que unha condición **suficiente** para que unha función derivábel f: I\to \mathbb R sexa  estritamente crecente en I é que para todo x\in I,f'(x)>0. Pero esta condición non é de ningún xeito necesaria, como mostra o enunciado do teorema e os dous exemplos seguintes.
:* Este teorema xeneralízase a funcións continuas nun intervalo mais derivábeis só no complemento dun subconxunto numerábel: cf. Teorema do valor medio.

; Exemplo 1
: A función f: \mathbb R\to \mathbb R: x\mapsto x^3, é estritamente crecente en \mathbb R. O criterio anterior permítenos volver demostralo:
:* é derivábel, e para todo real x,f'(x)=3x^2;
:* a maiores, o conxunto de puntos onde desaparece a súa derivada é \{0\}; é de interior baleiro.

; Exemplo 2
: A función f: \mathbb R\to \mathbb R: x\mapsto \cos x+x, é estritamente crecente en \mathbb R. De feito:
:* é derivábel, e para calquera real x,\; f'(x)=1-\sin x\geqslant 0;
:* a maiores, o conxunto de puntos onde desaparece a súa derivada é \left(\dfrac \pi 2\right)+2\pi \mathbb Z=\left\{x\in \mathbb R\mid \exists k\in \mathbb Z,x=\left(\dfrac \pi 2\right)+2k\pi\right\}, que é internamente baleiro (mesmo é contábel).

; Exemplo 3
: A función f: [-1, 1]\to \mathbb R: x\mapsto \arccos x+\arcsin x é constante. En efecto, as derivadas de \arccos e \arcsin, definidas en ]-1,1[, son opostas entre si e en ]-1,1[,f' é cero e f é constante. Así, para todo x En ]-1,1[ (e mesmo en [-1,1], por continuidade), f(x)=f(0)=\dfrac \pi 2 .

## Monotonía na topoloxía 
Unha aplicación f: X \rightarrow Y entre dous espazos topolóxicos dise que é **monótona** se cada unha das súas fibras é conexa, é dicir que para todos os y en Y o conxunto f^{-1}(y) (que pode estar baleiro) é conexo.

## Monotonía na análise funcional 
En análise funcional, un operador T: X \rightarrow X^* nun espazo vectorial topolóxico X (que pode ser non linear) chámase **operador monótono** se

: (Tu - Tv, u - v) \geq 0 \quad \forall u,v \in X.

O teorema de Kachurovskii mostra que as derivadas das funcións convexas nos espazos de Banach son operadores monótonos.

## A monotonía na teoría da orde 
A teoría da orde trata de conxuntos parcialmente ordenados e conxuntos preordenados en xeral, ademais dos intervalos reais. A definición anterior de monotonía tamén é relevante nestes casos. Por exemplo, considere unha aplicación f dun conxunto ordenado (A,\leqslant_A) nun conxunto ordenado (B,\leqslant_B).

* f chámase **aplicación crecente** (respectivamente, **aplicación estritamente crecente**) se conserva a orde (respectivamente, a orde estritamente), é dicir, se dous elementos x e y de A verifican x\leqslant _A y (resp. x ), e as súas respectivas imaxes por f verifican f(x)\leqslant _B f(y) (respectivamente, f(x) ).
* f chámase **aplicación decrecente** (resp. **aplicación estritamente decrecente** ) se inverte a orde (resp. a orde estritamente), é dicir, se dous elementos x e y de A verifican x\leqslant _A y (resp. x ), e as súas respectivas imaxes por f verifican f(x)\geqslant_B f(y) (resp. f(x)>_B f(y) )

As aplicacións monótonas son fundamentais na teoría da orde. Algunhas aplicacións monótonas notábeis son os mergullos de ordes (aplicacións para as que x\leqslant y se e só se f(x)\leqslant f(y) e os isomorfismos de orde (os mergullos de orde que son sobrexectivos).
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
### Outros artigos 
* Operador monótono.