Isomorfismo de grupos

En teoría de grupos, dise que dous grupos son **isomorfos** se existe un isomorfismo entre eles, é dicir, un homomorfismo de **grupos** bixectivo. 

Desde un punto de vista abstracto, os grupos isomorfos teñen a mesma estrutura e mesmas propiedades e só se diferencian polos símbolos utilizados para denotar ao conxunto subxacente, os seus elementos e a operación.

Un isomorfismo de grupos é unha relación de equivalencia, e por tanto permite clasificar os grupos «ata isomorfismo». Cando dous grupos son isomorfos, dise que pertencen á mesma **clase de isomorfía** ou que teñen o mesmo **tipo de isomorfismo**.

## Definición 
Unha aplicación \phi : G \longrightarrow \bar G   entre os grupos (G, \cdot) e (\bar G, *) é un **isomorfismo de grupos** se se cumpren as dúas condicións seguintes:

# \phi é un homomorfismo de grupos: para todo par de elementos x,y \in G, cúmprese que \phi(x \cdot y) = \phi(x) * \phi(y)
# \phi é unha bixección: fai corresponder de maneira biunívoca os elementos de G  cos de \bar G.

Nesa situación dise que os grupos G e \bar G son isomorfos e denótase por G \thickapprox \bar G .

### Exemplos 
* O grupo multiplicativo dos reais positivos e o grupo aditivo dos reais son isomorfos baixo a aplicación exponencial:f(x) = e^x.
* O grupo diedral do triángulo *D3* e o grupo de permutacións de tres elementos *S3* son isomorfos.
* O grupo de Klein *V* (das simetrías dun rectángulo) é isomorfo ao produto directo *C2&#xD7;* *C2*.
* Dado un número primo *p*, todos os grupos de orde p son isomorfos entre si.

## Equivalencia de grupos isomorfos 
Os isomorfismos de *g*rupos permiten describir unha relación, que podemos expresar como: «o grupo G é isomorfo ao grupo H» se existe un isomorfismo  G \to H. Esta relación é unha relación de equivalencia:

* é reflexiva: Todo *g*rupo G é isomorfo a si mesmo baixo a función identidade id_G : G \to G : x \mapsto x. Esta función é obviamente unha bixección, e tamén é un homomorfismo, pois

: . id_G (x \cdot y) = x \cdot y = id_G (x) \cdot id_G(y)

* é simétrica: se G é isomorfo a H entón *H* é isomorfo a *G*. Dado un isomorfismo \phi: G \to H, a aplicación inversa \phi^{-1}: H \to G  é tamén un isomorfismo.

* é transitiva: se G é isomorfo a H e *H* é isomorfo a K entón *G* é isomorfo a *K*. Sexan (G, \cdot), \ (H, *) e  (K, \times) tres grupos, e sexan \phi:G \to H e \phi:G \to H isomorfismos. Entón a composición  \psi \circ \phi : G \to K é tamén un isomorfismo.

## Teoremas de isomorfismo de grupos 
Existen tres importantes teoremas, formulados por Emmy Noether, que relacionan cocientes, subgrupos normais e homomorfismos, e que teñen análogos para a maioría das estruturas alxébricas.

* O primeiro teorema é un caso particular do teorema fundamental de homomorfismos:

* Segundo teorema:

* Terceiro teorema:

## Grupos de automorfismos
En xeral, un homomorfismo é unha función entre dous grupos distintos. Con todo, dado un grupo *G* é posible definir endomorfismos: funcións  \phi : G \to G que son homomorfismos de G en si mesmo. Non todos son bixectivos, mais cando o son dicimos que  \phi é un automorfismo.

O conxunto de automorfismos dun grupo *G*, xunto coa operación de composición de funcións, ten estrutura de grupo, e se denomina **grupo de automorfismos** de G, que denotamos como  Aut(G). Entre estes hai un importante sub*g*rupo  formado polos automorfismos interiores de G, que son aqueles definidos pola conxugación respecto dun elemento do grupo. Este subgrupo, que é normal, denótase por Inn(G). O cociente Aut(G)/Inn(G) denomínase grupo de automorfismos exteriores, e denótase por Out(G).

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
### Ligazóns externas 
*