Sistema dinámico

[miniatura|O [atractor de Lorenz xorde no estudo do oscilador de Lorenz, un sistame dinámico.]]
Un **sistema dinámico** é un sistema cun estado que evoluciona co tempo. Os sistemas físicos en situación non estacionaria son exemplos de sistemas dinámicos, pero tamén existen modelos económicos, matemáticos e doutros tipos que son sistemas abstractos que son, ademais, sistemas dinámicos. O comportamento en devandito estado pódese caracterizar determinando os límites do sistema, os elementos e as súas relacións; desta forma pódense elaborar modelos que buscan representar a estrutura do mesmo sistema.

Ao definir os límites do sistema faise, en primeiro lugar, unha selección daqueles compoñentes que contribúan a xerar os modos de comportamento, e logo determínase o espazo onde levará a cabo o estudo, omitindo toda clase de aspectos irrelevantes.

## Historia 
Adoita considerarse a Henri Poincaré como o fundador dos sistemas dinámicos. Poincaré publicou dous monografías clásicas, "New Methods of Celestial Mechanics" (1892–1899) e "Lectures on Celestial Mechanics" (1905–1910). Nelas, aplicou con éxito os resultados das súas investigacións ao problema do movemento de tres corpos e estudou detalladamente o comportamento das solucións (frecuencia, estabilidade, asíntotas etc). Estes artigos incluían o teorema da recorrencia de Poincaré, que afirma que certos sistemas, despois dun tempo suficientemente longo mais finito, volverá a un estado moi próximo ao inicial.

Aleksandr Lyapunov desenvolveu moitos métodos importantes de aproximacións. Os seus métodos, que desenvolveu en 1899, fixeron posible definir a estabilidade de conxuntos de ecuacións diferenciais ordinarias. Creou a teoría moderna da estabilidade dun sistema dinámico.

En 1913, George David Birkhoff probou o último teorema xeométrico de Poincaré, caso especial do problema dos tres corpos, resultado que o fixo célebre. En 1927 publicou *Dynamical Systems* e en 1931 descubriu o que se coñece como teorema ergódico, que resolveu, polo menos en principio, un problema fundamental de mecánica estatística. O teorema ergódico tamén ten repercusións na dinámica.

Stephen Smale tamén fixo avances significativos. A súa primeira contribución foi a *ferradura de Smale* que deu pulo a investigación dos sistemas dinámicos. Oleksandr Mykolaiovych Sharkovsky desenvolveu o teorema de Sharkovsky sobre os períodos dos sistemas dinámicos discretos en 1964. Unha das implicacións do teorema é que se un sistema dinámico discreto na recta real ten un punto periódico de período&nbsp;3, entón debe ter puntos periódicos de calquera outro período.

## Elementos para ter en conta 
En canto á elaboración dos modelos, os elementos e as súas relacións, débese ter en conta:
# Un sistema está formado por un conxunto de elementos en interacción.
# O comportamento do sistema pódese mostrar a través de diagramas causais.
# Hai varios tipos de variables: variables exóxenas (son aquelas que afectan o sistema sen que este as provoque) e as variables endóxenas (afectan o sistema pero este si as provoca).

## Exemplo de sistema dinámico 
Un exemplo dun sistema dinámico pódese ver nunha especie de peces que se reproduce de tal forma que este ano a cantidade de peixes é X_{k}, o ano próximo será X_{k+1}. Desta maneira pódese pór nomes ás cantidades de peixes que haberá cada ano, así: ano inicial X_0, ano primeiro X_1,...........  ......, ano *k* X_k.

Como se pode observar: x_ {k+1} = f (x_k)\, \!, cúmprese para calquera ano *k*; o cal significa que a cantidade de peixes pode determinarse se se coñece a cantidade do ano anterior. Por conseguinte esta ecuación representa un sistema dinámico.

## Tipos de sistemas dinámicos 
Os sistemas dinámicos divídense en sistemas *discretos* no tempo e *continuos* no tempo. Un sistema dinámico chámase *discreto* se o tempo se mide en pequenos intres; estes son modelados como relacións recursivas, tal como a ecuación loxística:
{{ecuación|
x_{t+1} = ax_t (1 - x_t)\,\!
||left}}
onde *t* denota os pasos discretos do tempo e *x* é a variable que cambia con este. Un sistema dinámico discreto determinista xeral pode modelarse mediante unha ecuación abstracta do tipo:

Se o tempo se mide en forma continua, o sistema dinámico *continuo* resultante exprésase como unha ecuación diferencial ordinaria; por exemplo:
:\frac{dx}{dt} = ax (1-x)
onde *x* é a variable que cambia co tempo *t*. A variable *x* é normalmente un número real, aínda que tamén pode ser un vector en **R***k*.

## Sistemas lineares e non lineares 
Distínguese entre *sistemas dinámicos lineares* e *sistemas dinámicos non lineares*. Nos sistemas lineares, o segundo membro da ecuación é unha expresión que depende en forma linear de *x*, tal como:

Se se coñecen dúas solucións para un sistema linear, a suma delas é tamén unha solución; isto coñécese como *principio de superposición.* En xeral, as solucións provenientes dun espazo vectorial permiten o uso da álxebra linear e simplifican significativamente a análise. Para sistemas lineares continuos, o método da transformada de Laplace tamén pode empregarse para transformar a ecuación diferencial nunha ecuación alxébrica; así mesmo que para os sistemas lineares discretos, o método da transformada Z tamén pode empregarse para transformar a ecuación diferencial nunha ecuación alxébrica.

Os sistemas non lineares son moito máis difíciles de analizar e a miúdo exhiben un fenómeno coñecido como caos, con comportamentos totalmente impredicibles.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* *Encyclopaedia of Mathematical Sciences* () has a sub-series on dynamical systems with reviews of current research.
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

### Outros artigos 
* Sistema non linear
* Cibernética
* Teoría de sistemas
* Retroalimentación
* Serie temporal
* Plan de negocio
* Sistema de control

### Ligazóns externas 
* Teoría y ejercicios prácticos de Dinámica de Sistemas 
*Boletín de Dinámica de Sistemas
*Revista de Dinámica de Sistemas