Módulo (álxebra)

Un **módulo** sobre un anel *R* é unha estrutura alxébrica que se define sobre un conxunto *M*. Sobre este conxunto defínese unha operación interna que o cualifica como grupo abeliano e unha operación entre os elementos de *R* e os de *M* que verifica certas propiedades.

## Definición 
Especificamente, un **módulo pola esquerda** sobre o anel *R* consiste nun grupo abeliano (*M*, +) e unha operación *R* × *M* → *M* (multiplicación escalar, xeralmente escrita como xustaposición, é dicir, *rx* para *r* en *R* e *x* en *M*) tal que

Para todo *r*, *s* en *R*, *x*, *y* en *M*, temos
# (*rs*)*x* = *r*(*sx*)
# (*r*+*s*)*x* = *rx*+*sx*
# *r*(*x*+*y*) = *rx*+*ry*
# 1*x* = *x*

Xeralmente, escríbese simplemente "un R - módulo *pola esquerda* *M*" ou *R**M*.

Un **R** **módulo pola dereita** *M* ou *M**R* defínese de forma semellante, só que o anel actúa pola dereita, é dicir, a multiplicación escalar é da forma *M* × *R* → *M*, e as tres propiedades escríbense cos escalares *r* e *s* á dereita de *x* e *y*.

Se *R* é conmutativo, entón os *R*-módulos pola esquerda son iguais cós *R*-módulos pola dereita e chámanse simplemente *R*-módulos.

## Exemplos 
* Se *K* é un corpo, entón os conceptos de  "*K*-espazo vectorial" e de *K*-módulo son idénticos.
* Cada grupo abeliano *M* é un módulo sobre o anel dos números enteiros **Z** se definimos *nx* = *x* + *x* +... + *x* (*n* sumandos) para *n* > 0, 0 *x* = 0, e (- *n*) *x* = - (*nx*) para *n* &lt; 0.
* Se *R* é un anel calquera e *n* un número natural, entón o produto cartesiano *R**n* é un módulo pola esquerda e pola dereita sobre *R* se empregamos as operacións compoñente a compoñente. O caso *n* = 0 dá o trivial *R*-módulo {0} que consiste soamente no elemento identidade (aditiva).
* Se *X* é unha variedade diferenciable, entón as funcións diferenciables de *X* ós números reais *R* forman un anel. O conxunto de todos os campos vectoriais diferenciables definidos en *X* forman un módulo sobre *R*, e o mesmo os campos tensoriais e as formas diferenciais en *X*.
* As matrices cadradas de orde *n* con elementos reais forman un anel *R*, e o espazo euclidiano **R** *n* é un módulo pola esquerda sobre este anel se definimos a operación de módulo empregando o produto de matrices.
* Se *R* é un anel calquera e *I* é calquera ideal pola esquerda en *R*, entón *I* é un módulo pola esquerda sobre *R*. Analogamente os ideais pola dereita son módulos pola dereita.

## Submódulos e homomorfismos 
Se *M* é un *R*-módulo pola esquerda e *N* é un subgrupo de *M*. Entón *N* é un **submódulo** (o *R*-submódulo, para ser máis explícito) se, para calquera *n* en *N* e calquera *r* en *R*, o produto *rn* está en *N* (ou o *nr* para un módulo pola dereita).
Se *M* e *N* son *R* - módulos, entón unha función *f*: *M* → *N* é un '*homomorfismo de *R* - módulos*' se, para calquera *m*, *n* en *M* e *r*, *s* en *R*,

: *f* (*rm* + *sn*) = *rf*(*m*) + *sf*(*n*).

Isto, como calquera homomorfismo entre obxectos matemáticos, é precisamente unha función que conserva a estrutura dos obxectos.
Un homomorfismo bixectivo de módulos é un isomorfismo de módulos, e os dous módulos chámanse *isomorfos*. Dous módulos isomorfos son idénticos para todos os propósitos prácticos, diferenciándose soamente na notación dos seus elementos.

O núcleo dun homomorfismo de módulos *f*: *M* → *N* é o submódulo de *M* que consiste en todos os elementos teñen imaxe cero por *f*. Os teoremas de isomorfía familiares de grupos abelianos e de espazos vectorias son tamén válidos para *R*-módulos.

Os *R-módulos* pola esquerda, xunto cos seus homomorfismos de módulo, forman unha categoría, escrita como *R***Mod**. Esta é unha categoría abeliana.

## Tipos de módulos 
* Finitamente xerado: Un módulo *M* é finitamente xerado se existe un número finito de elementos *x*1..., *x**n* en *M* tales que cada elemento de *M* é unha combinación linear dos elementos con coeficientes do anel escalar *R*.
* Libre: Un módulo libre é un módulo que ten unha base libre, ou equivalentemente, un que é isomorfo a unha suma directa de copias do anel escalar *R*. Estes son os módulos que se comportan de xeito análogo aos espazos vectoriais.
* Proxectivo: Os módulos proxectivos son sumandos directos de módulos libres e comparten moitas das súas propiedades.
* Inxectivo: Os módulos inxectivos defínenese dualmente aos módulos proxectivos.
* Simple: Un módulo simple *S* é un módulo que non é {0} cuxos únicos submódulos son {0} e *S*. Os módulos simples chámanse ás veces *irreducibles*.
* Indescompoñible: Un módulo indescompoñible é un módulo non nulo que no se pode escribir como unha suma directa de dous submódulos diferentes a cero. Cada módulo simple é indescompoñible.
* Fiel: Un módulo fiel *M* é un onde a acción de cada *r* (distinto de cero) en *R* é non trivial (é dicir, existe algún m en *M* tal que *rm* ≠ 0). Equivalente, o anulador de *M* é o ideal cero.
* Noetheriano: Un módulo noetheriano é un módulo tal que cada submódulo é finitamente xerado. Equivalente, cada cadea crecente de submódulos chega a ser estacionaria nun número finito de pasos.
* Artiniano:  Un módulo artiniano é un módulo no que cada cadea decrecente de submódulos chega a ser estacionaria nun número finito de pasos.

## Definición alternativa como representacións 
Se *M* é un *R-módulo* pola esquerda, entón a *acción* dun elemento *r* en *R* se define como a función *M* → *M* que envía cada *x* ao *rx* (ou ao *xr* no caso dun módulo pola dereita), e é necesariamente un endomorfismo de grupo do grupo abeliano (*M*, +). O conxunto de todos os endomorfismos de grupo de *M* denótase End**Z**(*M*) e forma un anel baixo a adición e a composición, e enviando un elemento r do *anel* *R* a súa acción define realmente un homomorfismo de anel de *R* a End**Z**(*M*).

O homorfismo *R* do anel → End**Z**(*M*) chámase *representación* de *R* no grupo abeliano *M*; unha maneira alternativa e equivalente de definir R-módulos pola esquerda é dicir que un R-módulo pola esquerda é un grupo abeliano *M* xunto cunha representación de *R* nel.

Unha representación chámase *fiel* se e só se a *función* R → End**Z**(*M*) é inxectiva. En termos de módulos, isto significa que se *r* é un elemento de *R* tal que *rx* = 0 para todo *x* en *M*, entón *r* = 0. Cada grupo abeliano é un módulo fiel sobre os números enteiros ou sobre unha certa aritmética modular **Z**/*n* **Z**.

## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* F.W. Anderson e K.R. Fuller: *Rings and Categories of Modules*, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 13, 2.ª Ed., Springer-Verlag, Nova York, 1992
*