Derivación (matemática)

: *Para a derivación en cálculo, véxase Derivada*.

: *Para a técnica de análise numérica, véxase Derivación numérica*.

dereita|300px|Derivación.

A **derivación**, matematicamente, é un concepto esencial para determinar os espazos tanxentes sobre variedades diferenciábeis, e as súas calidades, propiedades e consecuencias.

É unha peza fundamental, clave no desenvolvemento da teoría para a xeometría diferencial tal e como está estruturada actualmente.

## Definición de derivación
Sexa M unha variedade diferenciábel e p \in M, chamaremos **derivación** no punto p a

: \forall \delta_p : \mathcal{F}(M) \longrightarrow \mathbb{R} aplicación \mathbb{R}- lineal, é dicir:

::\forall f,g \in \mathcal{F}(M),  \forall \lambda \in \mathbb{R},

:::*\delta_p(g+f)=\delta_p(g)+\delta_p(f),

:::*\delta_p(\lambda f)=\lambda \delta_p(f).

:e tal que \delta_p(f \cdot g)=\delta_p(f)g_{|p}+f_{|p}\delta_p(g),  \forall f,g \in \mathcal{F}(M), é dicir, que cumpre a regra de Leibniz.

**Observación**

:\mathcal{F}(M) é o conxunto de funcións diferenciábeis en M, e é un \mathbb{R}- álxebra conmutativa, (é un \mathbb{R}-espazo vectorial).

:f_{|p} é equivalente a  f(p) , é dicir, f avaliado no punto p.

### Exemplos de derivación
#### A derivada parcial
Sexa M=\mathbb{R}^n e p \in M, vexamos que a aplicación seguinte é derivación:

::\begin{matrix} \cfrac{\partial \; \cdot}{\partial x_i}_{|p}: & \mathcal{F}(M) & \longrightarrow & \mathbb{R} \; . \\ & f & \mapsto & \cfrac{\partial f}{\partial x_i}_{|p} \end{matrix}

**Demostración: **

:Vexamos primeiro que é \mathbb{R}-lineal, é dicir, que \forall f,g \in \mathcal{F}(M) e \forall \lambda \in \mathbb{R} vemos que:

::*\frac{\partial (f+g)}{\partial x_i}_{|p}=\frac{\partial f}{\partial x_i}_{|p}+\frac{\partial g}{\partial x_i}_{|p},

::*\frac{\partial (\lambda g)}{\partial x_i}_{|p}=\lambda \frac{\partial g}{\partial x_i}_{|p}.

:Vexamos finalmente que é unha derivación:

::\frac{\partial (f \cdot g)}{\partial x_i}_{|p}=\frac{\partial f}{\partial x_i}_{|p} g_{|p} + f_{|p} \frac{\partial g}{\partial x_i}_{|p}.

:Queda, así, demostrado que a derivada parcial é unha derivación.

#### A derivada direccional
Sexa M=\mathbb{R}^n, p \in M e v \in M:\|v\|=1, pódese ver, de igual modo que no exemplo anterior, que a aplicación seguinte é derivación:

::\begin{matrix} \cfrac{\partial \cdot}{\partial v}_{|p}: & \mathcal{F}(M) & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & f & \mapsto & \cfrac{\partial f}{\partial v}_{|p} \end{matrix}.

## Definicións
dereita|250px|Plano tanxente.

Sexa M unha variedade diferenciábel e p \in M, chamaremos **espazo tanxente** a M en p ao \mathbb{R}-espazo vectorial das derivacións de M en p, notado por  \mathcal{T}_p M, e os seus elementos chamaranse **vectores tanxentes** a M en p.

## Consecuencias
### Propiedade da derivación dunha función localmente constante
Sexa M unha variedade diferenciábel, p \in M, \forall \delta_p \in \mathcal{T}_p M e f  \in \mathcal{F}(M) tal que \exists U contorno aberto en p onde f(x)=\lambda, \forall x \in M, entón temos que \delta_p f=0.

**Demostración:**

:Por linealidade de \delta_p temos

::\delta_p(f)=\delta_p(\lambda)=\delta_p(\lambda \cdot 1)=\lambda \delta_p(1),

:aquí, aplicando a condición de derivación a \delta_p(1) temos

::\delta_p(1)=\delta_p(1 \cdot 1)=\delta_p(1) 1+1 \delta_p(1)=\delta_p(1)+\delta_p (1),

:de simplificar este último, resulta \delta_p(1)=0, aplicándoo ao anterior resulta que \delta_p(f)=0.

#### Exemplo
Interésanos que a función localmente constante sexa infinitamente diferenciábel en todas as partes, é dicir, de clase \mathcal{C}^\infty:

* a función meseta \rho asociada a (p,V), onde \rho (x) = 1, \forall x \in k \subset V, \; k compacto cuxo interior contén a p.

### Propiedade da derivación do produto coa función meseta
Sexa M unha variedade diferenciábel, p \in M, \forall \delta_p \in \mathcal{T}_p M, f \in \mathcal{F}(M) e \rho unha función meseta asociada a (p,V), temos que:

:\delta_p(\rho \cdot f)=\delta_p(f).

**Demostración:**

:Aplicando a regra de Leibniz temos que \delta_p (\rho \cdot f)=\delta_p(\rho) f(p) + \rho(p) \delta_p(f), pola propiedade anterior temos que \delta_p(\rho \cdot f)=0 \cdot f(p)+1 \cdot \delta_p(f)=\delta_p(f).

### Propiedade
Sexa M unha variedade diferenciábel,  p \in M , \; \forall \delta_p \in \mathcal{T}_p M  e f,g  \in \mathcal{F}(M) tal que \exists V contorno aberto en p onde f_{|V}=g_{|V}, entón temos que:

:\delta_p (f)=\delta_p (g).

**Demostración:**

:Sexa \rho unha función meseta asociada a (p,V), temos así que \rho \cdot f = \rho \cdot g en todo M tamén \rho \cdot f,\rho \cdot g \in \mathcal{F}(M) por tanto \delta_p (\rho \cdot f)=\delta_p (\rho \cdot g), e pola propiedade anterior temos que \delta_p (f)=\delta_p (g).

## Véxase tamén
### Bibliografía
* Carlos Currás Bosch, *Geometria diferencial: varietats diferenciables i varietats de Riemann*, Ed:UB. 2003.