Bóla (matemáticas)

[miniatura| No [espazo euclidiano, unha **bóla** é o volume limitado por unha esfera]]

En matemáticas, unha **bóla** é a figura sólida limitada por unha *esfera*; tamén se lle chama **esfera sólida**. Pode ser unha **bóla pechada** (incluíndo os puntos límite que constitúen a esfera) ou unha **bóla aberta** (excluíndoos).

Estes conceptos defínense non só no espazo euclidiano tridimensional senón tamén para dimensións máis baixas e maiores, e para espazos métricos en xeral. Unha *bóla* de  dimensións chámase **hiper-bóla** ou **-bóla** e está limitada por unha *hiperesfera* ou ()-esfera . Así, por exemplo, unha bóla no plano euclidiano é o mesmo que un disco, a área delimitada por un circunferencia. No espazo 3-euclidiano , considérase que unha bóla é o volume limitado por unha esfera bidimensional. Nun espazo unidimensional, unha bola é un segmento de liña.

Noutros contextos, como na xeometría euclidiana e no uso informal, *a esfera* úsase ás veces para significar *bóla*. No campo da topoloxía o bóla pechada n-dimensional adoita denotarse como B^n ou D^n mentres que a bóla  aberta n-dimensional é \operatorname{int} B^n ou \operatorname{int} D^n.

## No espazo euclidiano 
No -espazo euclidiano, unha -bóla (aberta) de raio  e centro  é o conxunto de todos os puntos de distancia menor que  desde . Unha -bola pechada de raio  é o conxunto de todos os puntos de distancia menor ou igual a  desde .

No espazo -euclidiano, toda bóla está limitada por unha hiperesfera. A bóla é un intervalo limitado cando , é un **disco** limitado por unha circunferencia cando  e está limitado por unha esfera cando .

## En espazos métricos en xeral 
Sexa  un espazo métrico, é dicir, un conxunto  cunha métrica (función de distancia) , e sexa  un número real positivo. A **bóla aberta (métrica) de raio**  centrada nun punto  en , normalmente denotada como  ou , defínese do mesmo xeito que unha bóla euclidiana, como o conxunto de puntos en  con distancia a   menor que , B_r(p) = \{ x \in M \mid d(x,p) 

A bóla *pechada* (métrica), ás veces denotada como  ou , igual que antes pero con menor ou igual, B_r[p] = \{ x \in M \mid d(x,p) \le r \}.

En particular, unha bóla (aberta ou pechada) sempre inclúe a propia . Unha **bóla unitaria** (aberta ou pechada) é unha bola de raio 1.

Unha bola nun espazo métrico en xeral non ten por que ser redonda. Por exemplo, unha bola no espazo de coordenadas reais baixo a distancia de Chebyshev é un hipercubo e unha bóla baixo a distancia do taxista é un politopo cruzado. Unha bóla pechada tampouconon ten por que ser compacta. Por exemplo, unha bóla pechada en calquera espazo vectorial normado de dimensións infinitas nunca é compacta. Porén, unha bóla nun espazo vectorial será sempre convexa como consecuencia da desigualdade do triángulo.

Un subconxunto dun espazo métrico está limitado se está contido nalgunha bóla. Un conxunto está totalmente limitado se, dado algún raio positivo, está cuberto por un número finito de bólas dese raio.

As bólas abertas dun espazo métrico poden servir de base, dándolle a este espazo unha topoloxía, cuxos conxuntos abertos son todas as posíbeis unións de bólas abertas. Esta topoloxía nun espazo métrico chámase **topoloxía inducida** pola métrica  .

Sexa \overline{B_r(p)}  o fechamento da bóla aberta B_r(p) nesta topoloxía. Sempre temos que B_r(p) \subseteq \overline{B_r(p)} \subseteq B_r[p], mais   sempre temos que \overline{B_r(p)} = B_r[p]. Por exemplo, nun espazo métrico X coa métrica discreta, temos \overline{B_1(p)} = \{p\} mais B_1[p] = X para calquera p \in X.

## En espazos vectoriais normados 
Calquera espazo vectorial normado  con norma \|\cdot\| tamén é un espazo métrico coa métrica d (x,y)= \|x - y\|. Neses espazos, unha bóla arbitraria B_r(y) de puntos x arredor dun punto y cunha distancia inferior a r pode verse como unha copia con escala (por r) e trasladado (por y) dunha *bóla unitaria* B_1(0). Esas bólas "centradas" con y=0 denótanse con B(r).

As bólas euclidianas comentadas anteriormente son un exemplo de bólas nun espazo vectorial normado.

### -norma 
Nun espazo cartesiano  coa -norma , é dicir, se escolle algún p \geq 1 e definimos \left\| x \right\| _p = \left( |x_1|^p + |x_2|^p + \dots + |x_n|^p \right) ^{1/p}, A continuación, unha bóla aberta arredor da orixe con raio r vén dada polo conxunto  B(r) = \left\{ x \in \R^n \,:\left\| x \right\| _p = \left( |x_1|^p + |x_2|^p + \dots + |x_n|^p \right) ^{1/p} Para , nun plano bidimensional \R^2, as "bólas" segundo a norma  (moitas veces chamada métrica *do taxista* ou *Manhattan*) están limitadas por cadrados coas súas *diagonais* paralelas aos eixos de coordenadas; para os que seguen a norma , tamén chamada métrica de Chebyshev, teñen como límites cadrados cos seus *lados* paralelos aos eixos de coordenadas. A norma , coñecida como métrica euclidiana, xera os discos coñecidos dentro de circunferencias, e para outros valores de , as bólas correspondentes son áreas limitadas por curvas de Lamé (hipoelipse ou hiperelipse).

Para , as bólas  están dentro de octaedros con *diagonais* aliñadas nos eixos, as bólas  están dentro de cubos con *lados* aliñados en eixos e os límites das bólas para  con  son superelipsoides. Con  xérase o interior das esferas habituais.

Moitas veces tamén se pode considerar o caso de p = \infty, nese caso definimos \lVert x \rVert_\infty = \max\{\left|x_1\right|, \dots, \left|x_n\right|\}

### Norma xeral convexa 
De forma máis xeral, dado calquera subconxunto  con  simetría central, limitado, aberto e convexo de , pódese definir unha norma sobre  onde as bólas sexan todas copias de &nbsp;transladadas e escaladas uniformemente. Teña en conta que este teorema non se cumpre se o subconxunto "aberto" é substituído por un subconxunto "pechado", porque o punto de orixe cualifica pero non define unha norma sobre&nbsp;.

## En espazos topolóxicos 
Pódese falar de bólas en calquera espazo topolóxico , non necesariamente inducidas por unha métrica. Unha **bóla topolóxica** (aberta ou pechada) -dimensional de  é calquera subconxunto de  que sexa homeomorfo para unha bola  euclidiana (aberta ou pechada). As -bólas topolóxicas son importantes na topoloxía combinatoria.

Calquera bola topolóxica aberta  é homeomorfa ao espazo cartesiano  e ao -cubo unidade (hipercubo) . Calquera bóla topolóxica  pechada é homeomorfa ao -cubo pechado .

Unha bóla  é homeomorfa a unha bóla  se e só se . Os homeomorfismos entre unha -bóla aberta  e  pódense clasificar en dúas clases, que se poden identificar coas dúas posíbeis orientacións topolóxicas de .

Unha bóla topolóxica  non precisa ser suave; se é suave, non ten por que ser difeomorfa a unha -bola euclidiana.

## Rexións
Pódense definir unha serie de rexións especiais para unha bóla:
**casquete*, limitado por un plano.
**sector*, limitado por un límite cónico cun ápice no centro da esfera.
**segmento*, limitado por un par de planos paralelos.
**coroa*, limitado por dúas esferas concéntricas de diferentes raios.
**cuña*, limitada por dous planos que pasan polo centro da esfera e pola superficie da esfera.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 

### Outros artigos 
*Disco (matemáticas)
*Veciñanza (matemáticas)
*Esfera
*-esfera, ou hiperesfera
*Variedade (xeometría)