Forma cadrática

En matemáticas, unha **forma cadrática** é un polinomio con termos todos de grao dous (un polinomio homoxéneo de grao 2). Por exemplo, 4x^2 + 2xy - 3y^2

é unha forma cadrática nas variábeis  e . Os coeficientes adoitan pertencer a un corpo fixo , como os números reais ou complexos, e fálase dunha forma cadrática sobre . Se , e a forma cadrática é igual a cero só cando todas as variábeis son simultaneamente cero, entón é unha forma cadrática definida; se non é unha forma cadrática isotrópica.

As formas cadráticas non se deben confundir cunha ecuación cadrática, que só ten unha variábel e inclúe termos de grao dous ou menos. Unha forma cadrática é un caso do concepto máis xeral de polinomios homoxéneos.

## Introdución 
As formas cadráticas son polinomios cadráticos homoxéneos en  variábeis. Nos casos dunha, dúas e tres variábeis chámanse **unarias**, **binarias** e **ternarias** e teñen a seguinte forma explícita: \begin{align}
   q(x) &= ax^2&&\textrm{(unaria)} \\
  q(x,y) &= ax^2 + bxy + cy^2&&\textrm{(binaria)} \\
 q(x,y,z) &= ax^2 + bxy + cy^2 + dyz + ez^2 + fxz&&\textrm{(ternaria)}
\end{align}
onde  , ... ,  son os **coeficientes**.

Usando coordenadas homoxéneas, unha forma cadrática distinta de cero en  variábeis define unha cádrica  dimensional no espazo proxectivo  dimensional. Esta é unha construción básica en xeometría proxectiva. Deste xeito pódense visualizar formas cadráticas reais tridimensionais como seccións cónicas. Un exemplo é o espazo euclidiano tridimensional e o cadrado da norma euclidiana que expresa a distancia entre un punto con coordenadas  e a orixe: q(x,y,z) = d((x,y,z), (0,0,0))^2 = \left\|(x,y,z)\right\|^2 = x^2 + y^2 + z^2.

## Matriz simétrica asociada 
Calquera matriz  denotada por  determina unha forma cadrática  en  variábeis por 
:q_A(x_1,\ldots,x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}{x_i}{x_j} = \mathbf x^\mathsf{T} A \mathbf x,  onde .

### Exemplo 
Considere o caso das formas cadráticas en tres variábeis . A matriz  ten a forma 
:A=\begin{bmatrix}
 a&b&c\\d&e&f\\g&h&k
\end{bmatrix}.

A fórmula anterior dá 
:q_A(x,y,z)=ax^2 + ey^2 +kz^2 + (b+d)xy + (c+g)xz + (f+h)yz.

Así, dúas matrices diferentes definen a mesma forma cadrática se e só se teñen os mesmos elementos na diagonal e os mesmos valores para as sumas ,  e máis . En particular, a forma cadrática  está definida por unha matriz simétrica única 
A=\begin{bmatrix}
 a&\frac{b+d}2&\frac{c+g}2\\
 \frac{b+d}2&e&\frac{f+h}2\\
 \frac{c+g}2&\frac{f+h}2&k
\end{bmatrix}.

Isto xeneralízase a calquera número de variábeis do seguinte xeito.

### Caso xeral 
Dada unha forma cadrática , definida pola matriz , a matriz 
:B = \left(\frac{a_{ij}+a_{ji}} 2\right)
é simétrica, define a mesma forma cadrática que , e é a única matriz simétrica que define .

Así, sobre os números reais (e, máis xeralmente, sobre un corpo de característica diferente de dous), hai unha correspondencia un a un entre as formas cadráticas e as matrices simétricas que as determinan.

## Formas cadráticas reais 
Un problema fundamental é a clasificación de formas cadráticas reais baixo un cambio linear de variábeis.

Jacobi demostrou que, para cada forma cadrática real, hai unha diagonalización ortogonal; é dicir, un cambio ortogonal de variábeis que pon a forma cadrática nunha "forma diagonal" 
: \lambda_1 \tilde x_1^2 + \lambda_2 \tilde x_2^2 + \cdots + \lambda_n \tilde x_n^2,
onde a matriz simétrica asociada é diagonal. A maiores, os coeficientes   determínanse unicamente ata unha permutación.

Se o cambio de variábeis vén dado por unha matriz invertíbel que non é necesariamente ortogonal, pódese supoñer que todos os coeficientes  son 0, 1 ou −1. A lei de inercia de Sylvester estabelece que as cantidades de cada 0, 1 e −1 son invariantes da forma cadrática, no sentido de que calquera outra diagonalización conterá as mesmo cantidades. A **sinatura** da forma cadrática é a terna , onde se contan o número de 0s, o número de 1s e o número de −1s, respectivamente. A lei de inercia de Sylvester mostra que esta é unha cantidade ben definida unida á forma cadrática.

O caso no que todos  teñen o mesmo signo é especialmente importante: neste caso a forma cadrática chámase **definida positiva** (todo 1) ou **definida negativa** (todo -1). Se ningún dos termos é 0, entón chámase forma **non dexenerada**; isto inclúe as formas cadráticas definidas positivas, definidas negativas e isotrópicas (unha mestura de 1 e −1); de xeito equivalente, unha forma cadrática non dexenerada é aquela cuxa forma simétrica asociada é unha forma *bilinear* non dexenerada. Un espazo vectorial real cunha forma cadrática indefinida non dexenerada de índice  (onde  denota o número de 1s e  denota o número de −1s) é a miúdo escrito como  particularmente na teoría física do espazo-tempo.

Tamén se pode definir o discriminante dunha forma cadrática, concretamente a clase do determinante dunha matriz representativa en  (ata cadrados distintos de cero) e para unha forma cadrática real, resulta ser unha invariante máis  forte que a sinatura, tomando valores de só "positivo, cero ou negativo". O cero corresponde a dexenerada, mentres que para unha forma non dexenerada é a paridade do número de coeficientes negativos,  .

Estes resultados reformúlanse a continuación dun xeito diferente.

Sexa  unha forma cadrática definida nun espazo vectorial real -dimensional. Sexa  a matriz da forma cadrática  nunha base dada. Isto significa que  é unha matriz  simétrica tal que
:q(v) = x^\mathsf{T} Ax,
onde *x* é o vector columna de coordenadas de  na base escollida. Baixo un cambio de base, a columna  multiplícase pola esquerda por unha matriz invertíbel , , e a matriz cadrada simétrica  transfórmase noutra matriz cadrada simétrica  do mesmo tamaño segundo a fórmula
: A\to B=S^\mathsf{T}AS.

Calquera matriz simétrica  pode transformarse nunha matriz diagonal 
: B=\begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & \lambda_2 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & 0\\
0 & 0 & \cdots & \lambda_n
\end{pmatrix}
mediante unha elección axeitada dunha matriz ortogonal , e as entradas diagonais de  determínanse de forma única: este é o teorema de Jacobi. Se se permite que  sexa calquera matriz invertíbel, pódese facer que  teña só 0, 1 e -1 na diagonal, e o número de entradas de cada tipo ( para 0,  para 1 e  para −1) depende só de . Esta é unha das formulacións da lei de inercia de Sylvester e os números  e  chámanse **índices de inercia** **positivo** e **negativo**. Aínda que a súa definición implicaba unha elección dunha base e a consideración da correspondente matriz simétrica real , a lei de inercia de Sylvester significa que son invariantes da forma cadrática .

## Definicións 
Unha **forma cadrática** sobre un corpo  é un mapa  dun espazo vectorial de dimensión finita en  tal que  para todo ,  e a función  é bilinear.

Máis concretamente, unha **forma cadrática** -aria sobre un corpo  é un polinomio homoxéneo de grao 2 en  variábeis con coeficientes en : 
:q(x_1,\ldots,x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}{x_i}{x_j}, \quad a_{ij}\in K.

Esta fórmula pódese reescribir usando matrices: sexa  o vector columna con compoñentes , ... ,  e sexa  a matriz  sobre  cuxas entradas son os coeficientes de . Entón 
: q(x) = x^\mathsf{T} A x.

Un vector  é un vector nulo se .

Dúas formas cadráticas -arias  e  sobre  son **equivalentes** se existe unha transformación linear non singular  tal que 
: \psi(x) = \varphi(Cx).

Sexa a característica de  diferente de 2. A matriz de coeficientes  de  pode substituírse pola matriz simétrica  coa mesma forma cadrática, polo que se pode asumir desde o principio que  é simétrica. A maiores, unha matriz simétrica  está determinada de forma única pola forma cadrática correspondente. Baixo unha equivalencia , a matriz simétrica  de  e a matriz simétrica  de  están relacionadas do seguinte xeito: 
: B = C^\mathsf{T} A C.

A **forma bilinear asociada** dunha forma cadrática  defínese por 
: b_q(x,y)=\tfrac{1}{2}(q(x+y)-q(x)-q(y)) = x^\mathsf{T}Ay = y^\mathsf{T}Ax.

Así,  é unha forma bilinear simétrica sobre  con matriz . Pola contra, calquera forma bilinear simétrica  define unha forma cadrática 
: q(x)=b(x,x), 
e estes dous procesos son inversos entre si. Como consecuencia, sobre un corpo de característica non igual a 2, as teorías das formas bilineares simétricas e das formas cadráticas en  variábeis son esencialmente as mesmas.

### Espazo cadrático 
Dado un espazo vectorial -dimensional  sobre un corpo , unha *forma cadrática* en  é unha función  que ten a seguinte propiedade: para algunha base, a función  que mapea as coordenadas de  en  é unha forma cadrática. En particular, se  coa súa base estándar, temos 
: q(v_1,\ldots, v_n)= Q([v_1,\ldots,v_n])\quad \text{para} \quad [v_1,\ldots,v_n] \in K^n.

As fórmulas de cambio de base mostran que a propiedade de ser unha forma cadrática non depende da elección dunha base específica en , aínda que a forma cadrática  depende da elección da base.

Un espazo vectorial de dimensión finita cunha forma cadrática chámase **espazo cadrático** .

O mapa  é unha función homoxénea de grao 2, o que significa que ten a propiedade de que, para todo  en  e  en : 
: Q(av) = a^2 Q(v).

Cando a característica de  non é 2, o mapa bilinear  sobre  defínese: 
: B(v,w)= \tfrac{1}{2}(Q(v+w)-Q(v)-Q(w)).
Esta forma bilinear  é simétrica. É dicir,  para todo ,  en , e determina :  para todo  en .

O par  formado por un espazo vectorial de dimensión finita  sobre  e un mapa cadrático  de  en  chámase **espazo cadrático**, e  tal como se define aquí é a forma bilinear simétrica asociada a . A noción de espazo cadrático é unha versión sen coordenadas da noción de forma cadrática. Ás veces,  tamén se denomina forma cadrática.

Dous espazos cadráticos de dimensión    e  son **isométricos** se existe unha transformación linear invertíbel  (**isometría**) tal que 
: Q(v) = Q'(Tv) \text{ para todo } v\in V.

As clases de isometría de espazos cadráticos -dimensionais sobre  corresponden ás clases de equivalencia de formas cadráticas  -arias sobre .

### Conceptos relacionados 
Dous elementos  e  de  chámanse **ortogonais** se . O **kernel** dunha forma bilinear  está formado polos elementos que son ortogonais a todo elemento de .  é **non singular** se o kernel da súa forma bilinear asociada é . Se existe un  distinto de cero en  tal que , a forma cadrática  é **isotrópica**, doutro modo é **definida**. Esta terminoloxía tamén se aplica aos vectores e subespazos dun espazo cadrático. Se a restrición de  a un subespazo  de  é idéntico a cero, entón  é **totalmente singular**.

O grupo ortogonal dunha forma cadrática non singular  é o grupo dos automorfismos lineares de  que conservan : é dicir, o grupo de isometrías de  en si mesmo.

Se un espazo cadrático  ten un produto polo que  é unha álxebra sobre un corpo e cumpre 
:\forall x, y \isin A \quad Q(x y) = Q(x) Q(y),
entón é unha álxebra de composición.

## Equivalencia de formas 
Toda forma cadrática  en  variábeis sobre un corpo de característica non igual a 2 é equivalente a unha **forma diagonal** 
:q(x)=a_1 x_1^2 + a_2 x_2^2+ \cdots +a_n x_n^2.

Tal forma diagonal é a miúdo denotada como . A clasificación de todas as formas cadráticas ata  equivalencia pódese reducir así ao caso das formas diagonais.

## Significado xeométrico 
Usando coordenadas cartesianas en tres dimensións, sexa , e sexa  unha matriz simétrica de 3 por 3. Entón, a natureza xeométrica do conxunto solución da ecuación  depende dos eigenvalores da matriz .

Se todos os eigenvalores de  son distintos de cero, entón o conxunto de solucións é un elipsoide ou un hiperboloide.  Se todos os valores propios son positivos, entón é un elipsoide; se todos os eigenvalores son negativos, entón é un *elipsoide imaxinario* (obtemos a ecuación dun elipsoide mais con raios imaxinarios); se algúns valores propios son positivos e outros son negativos, entón é un hiperboloide.

Se existen un ou máis valores propios , entón a forma depende do  correspondente. Se o correspondente  , entón o conxunto solución é un paraboloide (xa sexa elíptico ou hiperbólico); se o correspondente , entón a dimensión  dexenera e non entra en xogo, e o significado xeométrico estará determinado por outros valores propios e outros compoñentes de . Cando o conxunto solución é un paraboloide, se é elíptico ou hiperbólico está determinado por se todos os demais valores propios distintos de cero son do mesmo signo: se o son, entón é elíptico; no caso contrario, é hiperbólico.

## Formas cadráticas integrais 
As formas cadráticas sobre o anel de enteiros chámanse **formas cadráticas integrais**, mentres que os módulos correspondentes son **retículas cadráticas**. Xogan un papel importante na teoría de números e na topoloxía.

Unha forma cadrática integral ten coeficientes enteiros, como ; de forma equivalente, dada unha retícula  nun espazo vectorial  (sobre un corpo con característica 0, como  ou ), unha forma cadrática  é integral *en relación a*  se e só se ten un valor enteiro en , o que significa  se .

Este é o uso actual do termo; no pasado ás veces utilizábase de forma diferente.

### Formas cadráticas universais 
Unha forma cadrática integral cuxa imaxe consta de todos os enteiros positivos chámase ás veces *universal*. O teorema dos catro cadrados de Lagrange mostra que  é universal. Ramanujan xeneralizou este  e atopou 54 multiconxuntos  que poden xerar todos os números enteiros positivos, propiamente,

Tamén hai formas cuxa imaxe está formada por todos os enteiros positivos menos un. Por exemplo,  ten o 15 como excepción. Recentemente, os teoremas 15 e 290 caracterizaron completamente as formas cadráticas integrais universais: se todos os coeficientes son enteiros, entón representa a todos os enteiros positivos se e só se representa todos os enteiros ata 290; se ten unha matriz de enteiros, representa todos os enteiros positivos se e só se representa todos os números enteiros ata 15.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
### Outros artigos 
* Teorema de Hasse–Minkowski
* Cádrica
* Forma ternaria cadrática de Ramanujan
### Ligazóns externas 
* 
*