Genus (matemáticas)

miniatura| Unha superficie de genus-2
En matemáticas, o **genus** (ou **xénero**) ten varios significados diferentes, mais moi relacionados. Intuitivamente, o genus é o número de "buratos" dunha superficie. Unha esfera ten genus 0, mentres que un toro ten genus 1.

## Topoloxía 
### Superficies orientábeis 
miniatura| A cunca de café e a rosquilla que se mostran nesta animación teñen genus 1.
O **genus** dunha superficie conexa e orientábel é un número enteiro que representa o número máximo de cortes ao longo de curvas simples pechadas que non se intersecan sen que se desconecte a variedade resultante. É igual ao número de asas que hai. 

Alternativamente, pódese definir en termos da característica de Euler \chi, a través da relación \chi=2-2g para superficies pechadas, onde g é o genus. Para superficies con b compoñentes fronteira, a ecuación sería \chi=2-2g-b.

Por exemplo:

* A esfera S^2 e un disco ambos os dous teñen genus cero.
* Un toro ten genus 1, así como a superficie dunha cunca de café con asa.

A construción explícita de superficies do genus *g* dáse no artigo sobre o polígono fundamental.
Ficheiro:Green_Sphere_illustration.png|alt=Planar graph: genus 0| Grafo plano: genus 0
Ficheiro:Torus_illustration.png|alt=Toroidal graph: genus 1| Grafo toroidal: genus 1
Ficheiro:Double_torus_illustration.png|alt=Teapot: Double Toroidal graph: genus 2| Teteira: Duplo grafo toroidal: genus 2
Ficheiro:Triple_torus_illustration.png|alt=Pretzel graph: genus 3| Grafo de Pretzel: genus 3

### Superficies non orientábeis 
O **genus non orientábel**, **demigenus** ou **genus de Euler** dunha superficie pechada non orientábel conexa é un número enteiro positivo que representa o número de casquetes cruzados unidos a unha esfera. Alternativamente, pódese definir para unha superficie pechada en termos da característica de Euler χ, mediante a relación χ = 2 − *k*, onde *k* é o genus non orientábel.

Por exemplo:

* Un plano proxectivo real ten un genus 1 non orientábel.
* Unha botella Klein ten o genus 2 non orientábel.

### Nó 
O **genus** dun nó *K* defínese como o genus mínimo de todas as superficies de Seifert para *K*. Unha superficie de Seifert dun nó é, porén, unha variedade con fronteira, sendo a fronteira o nó, é dicir, homeomorfo á circunferencia unitaria. O genus de tal superficie defínese como o genus da 2-variedade, que se obtén colando o disco unitario ao longo da fronteira.

### Corpo con asas 
O **genus** dun corpo con asas tridimensional é un número enteiro que representa o número máximo de cortes ao longo dos discos mergullados sen que sexa non conexa a variedade resultante. É igual ao número de asas que ten.

Por exemplo:

* Unha bóla ten genus 0.
* Un toro sólido *D*2 × *S*1 ten genus 1.

### Teoría de grafos 
O **genus** dun grafo é o número enteiro mínimo *n* tal que o grafo pode ser debuxado nunha esfera con *n* asas sen cruzarse (é dicir, unha superficie orientada de genus *n*). Así, un grafo plano ten o genus 0, porque se pode debuxar nunha esfera sen cruzarse.

Na teoría de grafos topolóxicos hai varias definicións do genus dun grupo. Arthur T. White introduciu o seguinte concepto: o genus dun grupo *G* é o genus mínimo dun grafo de Cayley (conexo, non orientado) para *G*.

## Xeometría alxébrica 
Hai dúas definicións relacionadas de **genus** de calquera esquema alxébrico proxectivo X: o  genus aritmético e o  genus xeométrico.  Cando X é unha curva alxébrica con corpo de definición os números complexos, e se X non ten puntos singulares, entón estas definicións coinciden e coinciden coa definición topolóxica aplicada á superficie de Riemann de X (a súa variedade de puntos complexos). Por exemplo, a definición de curva elíptica a partir da xeometría alxébrica está *ligada á curva proxectiva non singular de genus 1 cun punto racional dado sobre ela*.

Polo teorema de Riemann-Roch, unha curva plana de grao irredutíbel d dada polo lugar de esvaecemento dunha sección s \in \Gamma(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(d)) ten genus xeométrico

: g=\frac{(d-1)(d-2)}{2}-s,

onde s é o número de singularidades cando se contan correctamente.

## Xeometría diferencial 
En xeometría diferencial, o genus dunha variedade orientada M pode definirse como un número complexo \Phi(M) suxeito ás condicións

* \Phi(M_{1}\amalg M_{2})=\Phi(M_{1})+\Phi(M_{2})
* \Phi(M_{1}\times M_{2})=\Phi(M_{1})\cdot \Phi(M_{2})
* \Phi(M_{1})=\Phi(M_{2}) se M_{1} e M_{2} son cobordantes.

Noutras palabras, \Phi é un homomorfismo de aneis R\to\mathbb{C}, onde R é o anel de cobordismo orientado de Thom.

O genus \Phi é multiplicativo para todos os fibrados de variedades de espinor cunha estrutura compacta conexa se \log_{\Phi} é unha integral elíptica como \log_{\Phi}(x)=\int^{x}_{0}(1-2\delta t^{2}+\varepsilon t^{4})^{-1/2}dt para algúns \delta,\varepsilon\in\mathbb{C}. 

Este genus chámase genus elíptico.

A característica de Euler \chi(M) non é un genus neste sentido xa que non é invariante en relación aos cobordismos.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
### Outros artigos 
* Grupo (matemáticas)
* Genus aritmético
* Genus xeométrico
* Genus dunha forma cadrática
* Espinor