Centro (teoría de grupos)

En álxebra abstracta, o **centro** dun grupo  é o conxunto de elementos que conmutan con cada elemento de . Denomínase , do alemán '**. 

: .

O centro é un subgrupo normal, , e tamén un subgrupo característico, pero non é necesariamente totalmente característico. O grupo cociente, , é isomorfo ao grupo do automorfismo interno, .

Un grupo  é abeliano se e só se . No outro extremo, dise que un grupo é **sen centro** se  é trivial; é dicir, consiste só no elemento identidade.

Os elementos do centro son **elementos centrais'*.

## Como subgrupo 
O centro de *G* é sempre un subgrupo de . En particular:

#  contén o elemento neutro de , porque conmuta con todos os elementos de , por definición: , onde  é o elemento neutro;
# Se  e  están en , daquela tamén está , pola asociativa:  para todo ; i.e.,  é pechado;
# Se  está en , daquela tamén está  pois, para todo  en ,  conmuta con : .

A maiores, o centro de  é sempre un subgrupo abeliano e normal de . Dado que todos os elementos de  se conmutan, está pechado baixo conxugación.

Un homomorfismo de grupo  pode non restrinxirse a un homomorfismo entre os seus centros. Os elementos da imaxe  conmutan coa imaxe , mais non precisan conmutar con todo  a non ser que  sexa sobrexectivo. Así o mapeo do centro G\to Z(G) non é un functor entre as categorías Grp e Ab, xa que non induce un mapa de frechas.

## Clases de conxugación e centralizadores 
Por definición, un elemento é central sempre que a súa clase de conxugación contén só o propio elemento; é dicir {{Math|1=Cl(*g*) = {*g*}}}.

O centro é a intersección de todos os centralizadores de elementos de :Z(G) = \bigcap_{g\in G} Z_G(g).  Como os centralizadores son subgrupos, isto mostra de novo que o centro é un subgrupo.

## Conxugación 
Considere o mapa , dende  ata o grupo de automorfismos de  definido por , onde  é o automorfismo de  definido por

: .

A función,  é un homomorfismo de grupos, e o seu kernel é precisamente o centro de , e a súa imaxe chámase grupo de automorfismo interno de , denotado . Polo primeiro teorema do isomorfismo obtemos:

: .

O cokernel deste mapa é o grupo  de automorfismos externos, e estes forman a secuencia exacta

: .

## Exemplos 
* O centro dun grupo abeliano, , é todo .
* O centro do grupo de Heisenberg, , , que son as matrices de forma:\begin{pmatrix}
 1 & a & c\\
 0 & 1 & b\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}, é o conxunto de matrices da forma:  \begin{pmatrix}
   1 & 0 & z\\
   0 & 1 & 0\\
   0 & 0 & 1
 \end{pmatrix}.
* O centro dun grupo non abeliano simple é  trivial.
* O centro do grupo diédrico, , é trivial para  impar.  Para  par, o centro consiste do elemento identidade xunto cunha rotación de 180° do polígono.
* O centro do grupo de cuaternións, {{Math|1=Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}}, é {{Math|{1, −1}}}.
* O centro do grupo simétrico, , é trivial para .
* O centro do grupo linear xeral sobre un corpo , , é a colección de matrices diagonais, {{Math|{ sI*n* ∣ s ∈ F \ {0} }}}.
* O centro do grupo ortogonal,  é {{Math|{I*n*, −I*n*}}}.
* O centro do grupo ortogonal especial,  é o grupo completo cando , e  {{Math|{I*n*, −I*n*}} cando *n* é par, e trivial cando *n'' é impar.
* O centro do grupo unitario, U(n) é \left\{ e^{i\theta} \cdot I_n \mid \theta \in [0, 2\pi) \right\}.
* Se o grupo cociente  é cíclico,  é abeliano (e por tanto , logo   é trivial).

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
### Outros artigos 
* Centro (teoría de aneis).
* Subgrupo normal.
### Ligazóns externas 
*