Identidade de Vandermonde

En combinatoria, **a identidade de Vandermonde** (ou **a convolución de Vandermonde** ) é a seguinte identidade para os coeficientes binomiais:

: {m+n \choose r}=\sum_{k=0}^r{m \choose k}{n \choose r-k}

para calquera enteiros non negativos *r*, *m*, *n*. A identidade leva o nome de Alexandre-Théophile Vandermonde (1772), aínda que xa era coñecida en 1303 polo matemático chinés Zhu Shijie.

Existe un q-análogo a este teorema chamado identidade *q*-Vandermonde.

A identidade de Vandermonde pódese xeneralizar de moitas maneiras, incluíndo a identidade

: 
{ n_1+\dots +n_p \choose m }= \sum_{k_1+\cdots +k_p = m} {n_1\choose k_1} {n_2\choose k_2} \cdots {n_p\choose k_p}. 

## Probas 
### Demostración alxébrica 
En xeral, o produto de dous polinomios con graos *m* e *n*, respectivamente, vén dado por

: \biggl(\sum_{i=0}^m a_ix^i\biggr) \biggl(\sum_{j=0}^n b_jx^j\biggr)
= \sum_{r=0}^{m+n}\biggl(\sum_{k=0}^r a_k b_{r-k}\biggr) x^r,

onde usamos a convención de que *ai* = 0 para todos os números enteiros *i*>*m* e *bj* = 0 para todos os números enteiros *j* > *n*. Polo teorema binomial,

: (1+x)^{m+n} = \sum_{r=0}^{m+n} {m+n \choose r}x^r. 

Usando o teorema do binomio para os expoñentes *m* e *n*, e despois a fórmula anterior para o produto de polinomios, obtemos

: \begin{align}
\sum_{r=0}^{m+n} {m+n \choose r}x^r
&= (1+x)^{m+n}\\
&= (1+x)^m (1+x)^n \\
&= \biggl(\sum_{i=0}^m {m\choose i}x^i\biggr)
  \biggl(\sum_{j=0}^n {n\choose j}x^j\biggr)\\
&=\sum_{r=0}^{m+n}\biggl(\sum_{k=0}^r {m\choose k} {n\choose r-k}\biggr) x^r,
\end{align}

Comparando os coeficientes de *x**r*, temos a identidade de Vandermonde para todos os números enteiros *r* con 0 ≤ *r* ≤ *m* + *n*. Para os enteiros maiores que *r*, ambos os dous lados da identidade de Vandermonde son cero debido á definición de coeficientes binomiais.

### Proba combinatoria 
A identidade de Vandermonde tamén admite unha proba combinatoria de duplo reconto, como segue. Supoñamos que un comité está formado por *m* homes e *n* mulleres. De cantas formas se pode formar un subcomité de *r* membros? A resposta é

: {m+n \choose r}.

A resposta tamén é a suma de todos os valores posibles de *k*, do número de subcomités formados por *k* homes e *r* − *k* mulleres:

: \sum_{k=0}^r{m \choose k}{n \choose r-k}.

## Xeneralizacións 
### Identidade xeneralizada de Vandermonde 
Pódese xeneralizar a identidade de Vandermonde do seguinte xeito:

: 
\sum_{k_1+\cdots +k_p = m} {n_1\choose k_1} {n_2\choose k_2} \cdots {n_p\choose k_p} = { n_1+\dots +n_p \choose m }.

Esta identidade pódese obter mediante a derivación alxébrica anterior cando se usan máis de dous polinomios, ou mediante un simple argumento de conta dupla.

Por unha banda, un elixe \textstyle k_1 elementos dun primeiro conxunto de \textstyle n_1 elementos; despois \textstyle k_2  doutro conxunto de \textstyle n_2 elementos, e así para \textstyle p deses conxuntos, en total temos \textstyle m elementos escollidos entre os \textstyle p conxuntos. Un, polo tanto, elixe \textstyle m elementos de\textstyle n_1+\dots +n_p no lado esquerdo, que tamén é exactamente o que se fai no lado dereito.

### Identidade Chu-Vandermonde 
Esta identidade xeneralízase a argumentos non enteiros. Neste caso, coñécese como a **identidade Chu-Vandermonde**  e pode tomar distintas formas:

#### Como convolución de binomiais 
: {s+t \choose n}=\sum_{k=0}^n {s \choose k}{t \choose n-k}

para *s* e *t sendo* valores complexos en xeral e calquera número enteiro non negativo *n*. Pódese demostrar igual que a proba alxébrica anterior multiplicando as series de  (1+x)^s e (1+x)^t e comparando termos coa serie binomial para (1+x)^{s+t}.
#### Exemplo 
 \binom{e+\pi}{2}=\dfrac{(e+\pi)(e+\pi-1)}{2\cdot 1}=\dfrac{e^2+2e\pi+\pi^2-e-\pi}{2}.

 
\begin{aligned} 
\sum_{k=0}^2 \binom{e}{2}\binom{\pi}{2-k} &= \binom{e}{0} \binom{\pi}{2} + \binom{e}{1} \binom{\pi}{1} +  \binom{e}{2} \binom{\pi}{0} \\
&= \dfrac{\pi(\pi-1)}{2}+e\pi+\dfrac{e(e-1)}{2}\\
&=\dfrac{\pi^2-\pi+2e\pi+ e^2 -e}{2}.
\end{aligned} 

#### Con factoriais descendentes
: (s+t)^{\underline{n}}= \sum_{k=0}^n {n \choose k} s^{\underline{k}} t^{\underline{n-k}}

Nesta forma é claramente recoñecible como unha variante sombra do teorema binomial. 
#### Exemplo 
(e+\pi)^{\overline{2}}= (e+\pi)(e+\pi-1)=e^2+2e\pi+\pi^2-e-\pi .

 
\begin{aligned} 
\sum_{k=0}^2 \binom{2}{k} e^{\overline{2}}\pi^{\overline{2-k}} &= \binom{2}{0} 1\cdot e (e-1)  + \binom{2}{1} \pi e  +  \binom{2}{2} \\
&=  \pi(\pi-1)+e\pi+ e(e-1) \\
&= \pi^2- \pi+2e\pi+ e^2 -e.
\end{aligned} 

#### Como variante do  teorema hiperxeométrico de Gauss 
A identidade Chu-Vandermonde tamén se pode ver como un caso especial do teorema hiperxeométrico de Gauss, usando a función hiperxeométrica con *z* = *1* e *a* = − *n*.
: \;_2F_1(-n,b;c;1) = \frac{\Gamma(c)\Gamma(c-b+n)}{\Gamma(c+n)\Gamma(c-b)} = 
\dfrac{(c-b)^{\overline{n}}}{c^{\overline{n}}}

onde \;_2F_1 é a función hiperxeométrica e \Gamma(n+1)=n! é a función gamma.

: \dfrac 1 { c^{\overline n} } \sum_{k \mathop = 0}^n \dbinom n k  ({1 - b - k})^{\overline k}({c + k})^{\overline {n - k}}  
= \dfrac {({c - b})^{\overline n}} {c^{\overline n} }.

#### Xeneralización 
A identidade Rothe-Hagen é unha xeneralización adicional desta identidade:
:\sum_{k=0}^n\frac{x}{x+kz}{x+kz \choose k}\frac{y}{y+(n-k)z}{y+(n-k)z \choose n-k}=\frac{x+y}{x+y+nz}{x+y+nz \choose n}.

## Distribución de probabilidade hiperxeométrica 
Se dividimos os dous lados pola expresión da esquerda, de xeito que a suma sexa 1, entón os termos da suma poden interpretarse como probabilidades. A distribución de probabilidade resultante é a distribución hiperxeométrica. Esa é a distribución de probabilidade do número de bólas vermellas en *r* escollas *sen substitución* dunha urna que contén *n* bólas vermellas e *m* azuis.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Identidade de Rothe–Hagen