Ecuación linear

Unha **ecuación de primeiro grao** ou **ecuación linear** significa que é unha ecuación que involucra unha ou máis variables elevadas á primeira potencia, que non contén produtos entre as variables, é dicir, que só inclúe sumas e restas de variables á **primeira potencia**. En todo anel conmutativo poden definirse ecuacións de primeiro grao.

## Cunha incógnita 
Unha ecuación dunha variable mx + n = 0 definida sobre un corpo \mathbb{K}, é dicir, con \{m,n,x\} \subset \mathbb{K}, m\neq 0 onde *x* é a variable, admite a seguinte solución:

{{ecuación|x = - \frac{n}{m}||left}}

Cando tanto a incógnita como os coeficientes son elementos dun anel que non é un corpo, o asunto é máis complicado xa que só existirán solucións cando *m* divide a *n*:

## Con dúas incógnitas 
No sistema cartesiano representan rectas. Unha forma común das ecuacións lineares de dúas variables é:

Onde m representa a pendente e o valor de n determina o punto onde a recta corta o eixe Y (a *ordenada na orixe*).
 
Algúns exemplos de ecuacións lineares:

### Formas alternativas 
Formas complexas como as anteriores poden reescribirse empregando as regras da álxebra elemental en formas máis simples. As letras maiúsculas representan constantes, mentres *x* e *y* son variables.

* **Ecuación xeral**
:: Ax + By + C = 0
:*A* e *B* non son ambos cero. Representa unha liña no plano cartesiano. É posible atopar os valores onde *x* e *y* se anulan.

* **Ecuación segmentaria ou simétrica**
:: \frac{x}{E} + \frac{y}{F} = 1
: Nin *E* nin *F* poden ser cero. O gráfico desta ecuación corta o eixe X e o eixe Y en *E* e *F* respectivamente.

* **Forma paramétrica**
# x = Ut + x_0
# y = Vt + y_0
: Dúas ecuacións que deben cumprirse de xeito simultáneo, cada unha na variable *t*. Pode converterse á forma xeral despexando *t* en ambas as ecuacións e igualando. Nesta representación pode afirmarse que a recta pasa polo punto (x_0, y_0) e forma co eixe de abscisas un ángulo con tanxente: \tan \alpha = V/U

* **Casos especiales:**
:: y = F
: Un caso especial é a forma estándar onde  A = 0  y  B = 1  . O gráfico é unha liña horizontal sen intersección co eixe X ou (si *F* = 0) coincidente con ese eixe.

:: x = E

: Outro caso especial da forma xeral onde  A = 1  e  B = 0 . O gráfico é unha liña vertical que interseca o eixe X en *E*.

:: 0 = 0

: Neste caso, todas as variables foron canceladas, deixando unha ecuación que é verdadeira en todos os casos. A forma orixinal (non unha tan trivial como a do exemplo) chámase identidade. O gráfico é todo o plano cartesiano, xa que a satisfai todos os pares de números reais *x* e *y*.

Se a manipulación alxébrica leva a unha ecuación como **1 = 0** entón a orixinal chámase *inconsistente*, ou sexa que non se cumpre para ningún par de números *x* e *y*. Un exemplo podería ser:  3 x + 2 =3 x  .

Adicionalmente podería haber máis de dúas variables, en ecuacións simultáneas.

## Ecuación linear no espazo n-dimensional 
As ecuacións lineares de varias variables admiten tamén interpretacións xeométricas, cando os coeficientes da ecuación pertencen a un corpo. Así, unha función linear de dúas variables da forma

representa unha recta nun plano. En varias variables asumendo que tanto as variables x_i \in \mathbb{K} e os coeficientes x_i \in \mathbb{K}, onde \mathbb{K} é un corpo entón unha ecuación linear como

representa un hiperplano de *n*-1 dimensións no espazo vectorial n-dimensional \mathbb{K}^n.

### Sistemas de ecuacións lineares 
Os sistemas de ecuacións lineares expresan varias ecuacións lineares simultaneamente e admiten un tratamento matricial. Para a súa resolución debe haber tantas ecuacións como incógnitas e o determinante da matriz ha de ser real e non nulo. Xeometricamente corresponden a interseccións de liñas nun único punto (sistema linear de dúas ecuacións con dúas incógnitas), planos nunha recta (dúas ecuacións lineares de tres incógnitas) o un único punto (tres ecuacións lineares de tres incógnitas). Os casos nos que o determinante da matriz é nulo non posúen solución.
{{ecuación|
    \left \{
        \begin{array}{rcrcrcr}
             5 \,x & - & 3 \,y & + & 4 \,z & = & 8 \\
            -3 \,x & + & 2 \,y & + &  6 \,z & = & 5 \\
             4 \,x & - & 5  \,y & + & 3 \,z & = & 3
        \end{array}
    \right .
||left}}
Se se consideran *n* ecuacións de primeiro grao linearmente independentes definidas sobre un corpo entón existe solución única para o sistema se se dan as condicións do teorema de Rouché-Frobenius, e pode ser calculada mediante a regra de Cramer que é aplicable a calquera corpo. Se as ecuacións non son linearmente independentes ou non se dan as condicións do teorema a situación é máis complicada. Se o sistema se formula sobre un anel conmutativo que non sexa un corpo, a existencia de solucións é tamén máis complexa.

## Linearidade 
Unha función definida sobre un espazo vectorial é linear se e só se cumpre a seguinte proposición:

onde *α* é calquera escalar. Tamén se chama a *f* operador linear

## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Función linear
* Ecuación de segundo grao
### Ligazóns externas 
* Exercicios de ecuacións de primeiro grao