Produto cartesiano

Na Matemática, dados dous conxuntos *X* e *Y*, o **produto cartesiano** (ou *produto directo*) dos dous conxuntos (escrito como *X* × *Y*) é o conxunto de todos os pares ordenados cuxo primeiro elemento pertence a *X* e o segundo, a *Y*.

:X\times Y = \{(x,y) \mid x\in X\;\wedge\;y\in Y\}. 

O produto cartesiano recibe o seu nome de René Descartes, cuxa formulación da xeometría analítica deu orixe a este concepto.

Por exemplo, se o conxunto X é o dos trece elementos da baralla inglesa 
: X = \{\mathrm{A}, \mathrm{K}, \mathrm{Q}, \mathrm{J}, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2\}  
e o Y é o dos catro paus: 
: *Y* = {♠, ♥, ♦, ♣}

entón o produto cartesiano deses dous conxuntos será o conxunto coas 52 cartas da baralla:

: *X* × *Y* = {(A, ♠), (K, ♠), ..., (2, ♠), (A, ♥), ..., (3, ♣), (2, ♣) }.

Outro exemplo é o plano bidimensional **R** × **R**, onde **R** é o conxunto de números reais e os pares ordenados teñen a forma de (*x*,*y*), onde *x* e *y* son números reais (vexa o sistema de coordenadas cartesiano). Subconxuntos do produto cartesiano son chamados relacións binarias, e as funcións, un dos conceptos máis importantes da matemática, son definidas como tipos especiais de relacións.

## Cardinal 
O cardinal do produto cartesiano de dous conxuntos é o produto dos cardinais dos conxuntos individuais:

: |X \times Y| = |X| \cdot |Y|

## Xeneralización 
O produto cartesiano pode ser xeneralizado para máis de dous conxuntos:

:*X*1 × ... × *Xn* = { (*x*1,... ,*xn*) | *x*1 pertence a *X*1 e ... e *xn* pertence a *Xn* }

ou intuitivamente (*X*1 × ... × *Xn-1*) × *Xn*.

Un exemplo é o seguinte. Sexa o conxunto L con tres elementos: 
: {1, 2, 3} 
o conxunto M con dous elementos: 
: {a,b}, 
e o conxunto N con 2 elementos: 
: {$, %}, 
o produto cartesiano L × M × N é: 
: {(1 ,a, $), (1 ,a ,%), (2 ,a ,$), (2 ,a ,%), (2 ,a ,$), (2 ,a ,%), (3 ,a ,$), (3 ,a ,%), (1 ,b, $), (1 ,b ,%), (2 ,b ,$), (2 ,b ,%), (2 ,b ,$), (2 ,b ,%), (3 ,b ,$), (3 ,b ,%) }

Outro exemplo diso é o espazo euclidiano de tres dimensións \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}.

## Notación potencial 
Para expresar o produto cartesiano dun conxunto por si mesmo está permitida a notación potencial:

\begin{matrix} 
& \underbrace{ X \times X \times \cdots \times X } & = X^n \\ & n \mathrm{veces} 
\end{matrix}

Así, o mencionado espazo euclidiano tridimensional pódese representar como \mathbb{R}^3.

## Produto infinito 
A observación de que a estrutura do produto cartesiano X^n\, ten unha estrutura semellante ao conxunto das funcións de dominio {1, 2, ..., n} e imaxe *X* suxire que o produto cartesiano pode ser xeneralizado para infinitas parcelas, como un conxunto de funcións.

Sexa \Lambda\, un conxunto (non-baleiro), chamado conxunto de índices. Sexa X_{\lambda}\, un conxunto definido para cada índice \lambda \in \Lambda\, (poden ser iguais ou non). Entón o **produto** destes conxuntos é definido por: 
* \prod_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda} = \{ f : \Lambda \rightarrow \bigcup_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda} \, \ f(a) \in X_a \} \, 

### Exemplo 
Sexa \Lambda = \mathbb{N^\star}\,, ou sexa, estamos indexando polos números naturais (sen o cero). Sexa X_i = \{ 1, 2, \ldots, i \} \,. Entón \prod X_i\, é o conxunto das secuencias de números naturais en que o primeiro termo é 1, o segundo termo é 1 ou 2, o terceiro termo é 1, 2 ou 3 etc.

## Proxección canónica 
As funcións máis importantes que teñen como dominio un **produto cartesiano** son as proxeccións canónicas.

No caso finito, a *i-ésima* proxeción canónica é a función que retorna a *i-ésima* coordenada.

Ou sexa:

* \pi_i(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n) = x_i\,

No caso infinito, como cada elemento de \Pi_{\lambda} X_{\lambda}\, é unha función, temos que:

* \pi_{\lambda}(f) = f(\lambda)\,

### Exemplos 
* En \mathbb{R}^2\,, as dúas proxecións canónicas son: 
:: \pi_1(x, y) = x\, 
:: \pi_2(x, y) = y\, 
* No conxunto das secuencias de números reais, que pode ser visto como o produto \Pi_{i \in \mathbb{N^{\star}}} \mathbb{R}\,, a *i-ésima* proxeción canónica é a función que retorna o *i-ésimo* elemento. Por exemplo: 
:: \pi_{10} (2, 4, 8, 16, \ldots) = 1024\,

## Produtos de Estruturas Matemáticas 
Varias estruturas matemáticas son mantidas, dunha forma natural (canónica) ao se pasar para os produtos cartesianos. Por exemplo: 
* o produto cartesiano de grupos é un grupo. 
* o produto cartesiano de espazos vectoriais sobre o mesmo corpo é un espazo vectorial. 
* o produto cartesiano de topoloxías é unha topoloxía, a topoloxía produto.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* 
* Familia indexada
* Produto (teoría das categorías)

### Ligazóns externas 
* produto cartesiano