Operador nabla

**Del**, ou nabla, é un operador utilizado en matemáticas (particularmente en cálculo vectorial) como un operador diferencial vectorial, normalmente representado por **∇** (o símbolo **nabla**). Cando se aplica a unha función definida nun dominio uni-dimensional , denota a derivada estándar da función, definida no cálculo diferencial.  Cando se aplica a un campo (unha función definida nun dominio multi-dimensional), pode denotar calquera de tres operacións que dependen do xeito en que é aplicado: o gradiente ou pendente máis empinada (localmente)  dun campo escalar (ou ás veces dun campo vectorial), para dar un  campo vectorial, chamado o gradiente, como nas Ecuacións de Navier-Stokes); como un produto escalar formal (a diverxencia dun campo vectorial);  e por último, pode actuar en  campos vectoriais como un produto vectorial formal, para dar un campo chamado o rotacional.

Estes tres usos están resumidos como:

* Gradiente:\operatorname{grad}f = \nabla f 
* Diverxencia:\operatorname{div}\mathbf v =  \nabla \cdot \mathbf v  
* Rotacional:\operatorname{curl}\mathbf v =  \nabla \times \mathbf v 

## Definición 
No sistema de coordenadas cartesianas de \mathbb{R}^n, con coordenadas  (x_1, \dots, x_n) respecto da base canónica \{\mathbf e_1, \dots,  \mathbf e_n \}, Del é un operador vectorial cuxas  compoñentes son os operadores derivadas parciais {\partial \over \partial x_1}, \dots, {\partial \over \partial x_n}; isto é,
:  \nabla = \sum_{i=1}^n \mathbf e_i {\partial \over \partial x_i} = \left({\partial \over \partial x_1}, \ldots, {\partial \over \partial x_n} \right)

onde a expresión entre parénteses é un vector  fila.   No sistema cartesiano tridimensional de coordenadas  \mathbb{R}^3, con coordenadas  (x, y, z) e a base canónica de vectores unitarios dos eixos \{\mathbf e_x, \mathbf e_y, \mathbf e_z \}, Del escríbese como: 

\nabla = \mathbf{e}_x {\partial \over \partial x} + \mathbf{e}_y {\partial \over \partial y} + \mathbf{e}_z {\partial \over \partial z}= \left({\partial \over \partial x}, {\partial \over \partial y}, {\partial \over \partial z} \right) 

Como operador vectorial, Del actúa naturalmente sobre campos escalares a través da multiplicación por escalares, e actúa naturalmente sobre  campos vectoriales mediante o produto escalar e o produto vectorial.

Máis especificamente, para calquera  campo escalar f e calquera campo vectorial \mathbf{F}=(F_x, F_y, F_z), se definimos

: \left(\mathbf{e}_i {\partial \over \partial x_i}\right) f := {\partial \over \partial x_i}(\mathbf{e}_i f) = {\partial f \over \partial x_i}\mathbf{e}_i
: \left(\mathbf{e}_i {\partial \over \partial x_i}\right) \cdot \mathbf{F} := {\partial \over \partial x_i}(\mathbf{e}_i\cdot \mathbf{F}) = {\partial F_i \over \partial x_i}
: \left(\mathbf{e}_x {\partial \over \partial x}\right) \times \mathbf{F} := {\partial \over \partial x}(\mathbf{e}_x\times \mathbf{F}) = {\partial \over \partial x}(0, -F_z, F_y)
: \left(\mathbf{e}_y {\partial \over \partial y}\right) \times \mathbf{F} := {\partial \over \partial y}(\mathbf{e}_y\times \mathbf{F}) = {\partial \over \partial y}(F_z,0,-F_x)
: \left(\mathbf{e}_z {\partial \over \partial z}\right) \times \mathbf{F} := {\partial \over \partial z}(\mathbf{e}_z\times \mathbf{F}) = {\partial \over \partial z}(-F_y,F_x,0),

entón utilizando a definición de \nabla de máis arriba, un pode escribir

: 
\nabla f =\left(\mathbf{e}_x {\partial \over \partial x}\right)f + \left(\mathbf{e}_y {\partial \over \partial y}\right)f + \left(\mathbf{e}_z {\partial \over \partial z}\right)f = {\partial f \over \partial x}\mathbf{e}_x + {\partial f \over \partial y}\mathbf{e}_y + {\partial f \over \partial z}\mathbf{e}_z,

: 
\nabla \cdot \mathbf{F} = \left(\mathbf{e}_x {\partial \over \partial x}\cdot \mathbf{F}\right) + \left(\mathbf{e}_y {\partial \over \partial y}\cdot \mathbf{F}\right) + \left(\mathbf{e}_z {\partial \over \partial z}\cdot \mathbf{F}\right)= {\partial F_x \over \partial x} + {\partial F_y \over \partial y} +  {\partial F_z \over \partial z}

e

: \begin{align}
\nabla \times \mathbf{F} &= \left(\mathbf{e}_x {\partial \over \partial x}\times \mathbf{F}\right) + \left(\mathbf{e}_y {\partial \over \partial y}\times \mathbf{F}\right) + \left(\mathbf{e}_z {\partial \over \partial z}\times \mathbf{F}\right)\\
&= {\partial \over \partial x}(0, -F_z, F_y) + {\partial \over \partial y}(F_z,0,-F_x) + {\partial \over \partial z}(-F_y,F_x,0)\\
&= \left({\partial F_z \over \partial y}-{\partial F_y \over \partial z}\right)\mathbf{e}_x + \left({\partial F_x \over \partial z}-{\partial F_z \over \partial x}\right)\mathbf{e}_y + \left({\partial F_y \over \partial x}-{\partial F_x \over \partial y}\right)\mathbf{e}_z
\end{align}

: **Exemplo:**
: f(x, y, z) = x + y + z 
: \nabla f = \mathbf{e}_x {\partial f \over \partial x} + \mathbf{e}_y {\partial f \over \partial y} + \mathbf{e}_z {\partial f \over \partial z} = \left(1, 1, 1 \right) 
:

Del tamén pode ser expresado noutros sistemas de coordenadas, ver por exemplo Del  en coordenadas esféricas  e coordenadas cilíndricas.

## Etimoloxía
O símbolo \nabla coñécese habitualmente como **nabla** ou **del**. O nome **nabla** provén do grego ναβλά, que designaba un instrumento musical semellante a unha arpa triangular, cuxa forma lembra a do símbolo. 

O nome **del**, pola súa banda, é un termo informal utilizado para referirse ao operador diferencial \nabla. Foi introducido por William Rowan Hamilton no contexto do seu traballo sobre os cuaternións, e popularizado posteriormente no século XIX na formulación do cálculo vectorial. O nome pode derivar da palabra *delta*, empregada para diferenzas e derivadas, ou simplemente ser unha forma breve e fonética derivada da letra *d* empregada nas derivadas.

Mentres *nabla* se refire propiamente ao símbolo \nabla, *del* designa o seu uso como operador.

## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Historia do símbolo Nabla: "Nabla no es una letra griega"
* Cleve Moler, ed., "History of Nabla", *NA Digest* **98** (Jan. 26, 1998).