Matriz (matemáticas)

En matemáticas, unha **matriz** é un conxunto de números ordenados en filas e columnas de forma rectangular, na que se pode definir un conxunto de operacións. As matrices teñen múltiples aplicacións, como na resolución de sistemas de ecuacións lineais, e son fundamentais na álxebra lineal.

## Definición 
Unha **matriz** en *R* é unha colección dobremente indexada de elementos dun anel *R*, é dicir, que os elementos disporanse en *filas* e *columnas* e que os elementos teñen definidos operacións semellantes a suma e ao produto. A meirande parte deste artigo referirase as matrices de elementos nun corpo *K*, en particular, ás *matrices reais* ou *complexas*, é dicir, matrices cuxos elementos son números reais ou complexos, respectivamente. Un exemplo dunha matriz sería:

:
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}

Os obxectos matemáticos que conforman a matriz son os seus *elementos*. As liñas horizontais chámanse *filas*, e as verticais, *columnas*.

### Orde 
Unha *matriz de orde {m \times n}* ou, xeralmente, unha *matriz {m \times n}* é unha matriz con *m* filas e *n* columnas, e *m* e *n* son as dimensións da matriz. Por exemplo, a matriz **A** anterior é unha matriz {2 \times 3}. A matriz {1 \times n} será unha matriz fila, e a matriz {n \times 1} será unha matriz columna. 

Para referirmos ao conxunto de matrices de orde *{m \times n}*, usaremos \mathcal{M}_{m\times n}(\mathcal{R}), onde \mathcal{R} é o anel ao que pertencen os elementos. No caso do conxunto de matrices cadradas e *{m = n}*, usaremos a notación de  \mathcal{M}_{n}(\mathcal{R})

## Notación 
As matrices adoitan denotarse con letras maiúsculas, en tanto que os seus elementos son denotados por letras minúsculas con dous índices. Aquí, usaremos a notación de dobre subindexado para falar dos elementos dunha matriz **A**: o elemento de **A** na fila *i* e na columna *j* denótase por *a*ij. Normalmente, unha matriz escribirase da seguinte forma:

:
\mathbf{A} = 
 \begin{bmatrix}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
 \end{bmatrix} = 
 \begin{pmatrix}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
 \end{pmatrix}=\left(a_{ij}\right)
.

Deste xeito, se:

:\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 4 & 7 & 1\\ -1 & 0 & 3 \end{pmatrix}

entón *a*23 = 1 e *a*11 = 4. Ás veces, utilizarase *Aij* para representar *aij* e a notación de (*aij*) para referirse á matriz *A* cando a súa orde estea clara polo contexto. Hai que ter en conta que existen outra notación, na que se escribirá a_j^i  para indicar o mesmo elemento. Ás veces, para traballar comodamente coas columnas dunha matriz, escribiremos \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_1, \ldots, a_n \end{pmatrix} onde a_i é a columna i-ésima.

Diremos que dúas matrices \mathbf{A} e \mathbf{B} son iguais cando teñen a mesma orde *m×n* e todos os elementos correspondentes son iguais, é dicir, a_{ij} = b_{ij}, \, 1 \leq m, \, 1 \leq n.

No estudo das matrices, adoitase chamar *escalar* aos elementos do anel, é dicir, os escalares serán os números reais se o noso anel son os reais.

## Operacións de matrices 
### Multiplicación por un escalar 
A multiplicación é unha das operacións máis sinxelas que poden ser feitas con matrices. Para multiplicar un número  calquera por unha matriz *m*×*n*  \mathbf{A} , basta multiplicar cada elemento de  \mathbf{A}  por  k . Así, a matriz resultante  \mathbf{B}  será tamén *m*×*n* e  b_{ij} = k \cdot a_{ij} . Con iso, pódese pensar tamén na noción de dividir unha matriz por un número: basta multiplicala polo inverso dese número. Mais esa noción pode ser perigosa: en canto a multiplicación entre un número e unha matriz pode ser dita "conmutativa", o mesmo non vale para a división, pois non se pode dividir un número por unha matriz.

Por exemplo:

:2
  \begin{pmatrix}
    1 & 8 & -3 \\
    4 & -2 & 5
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
    2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\
    2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
    2 & 16 & -6 \\
    8 & -4 & 10
  \end{pmatrix}

### Adición de matrices 
Se  \mathbf{A}  e  \mathbf{B}  son dúas matrices da mesma orde *m*×*n*, entón a **suma**  \mathbf{A + B}  é a matriz de orde  *m*×*n* que se obtén ao sumar os elementos de  \mathbf{A}  cos elementos de  \mathbf{B}  que lle corresponden, é dicir, dadas as matrices \mathbf{A} e \mathbf{B} da mesma orde, \mathbf{A} = (a_{ij})  e  \mathbf{B} = (b_{ij}) , entón a suma  \mathbf{A+B} = (a_{ij}+b_{ij}) .

Por exemplo:
:
  \begin{pmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 0 & 0 \\
    1 & 2 & 2
  \end{pmatrix}
+
  \begin{pmatrix}
    0 & 0 & 5 \\
    7 & 5 & 0 \\
    2 & 1 & 1
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
    1+0 & 3+0 & 2+5 \\
    1+7 & 0+5 & 0+0 \\
    1+2 & 2+1 & 2+1
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
    1 & 3 & 7 \\
    8 & 5 & 0 \\
    3 & 3 & 3
  \end{pmatrix}
.

A matriz  (-1)\mathbf{A}  escríbese  -\mathbf{A} , e entón podemos definir a diferenza de dúas matrices: dadas as matrices  A  e  B  da mesma orde,  \mathbf{A} = (a_{ij})  e  \mathbf{B} = (b_{ij}) , entón a diferenza  \mathbf{A-B} = \mathbf{A+(-B)} = (a_{ij}-b_{ij}) .

### Transposición 
Se  \mathbf{A}  é unha matriz de orde *m*×*n*, entón a matriz trasposta de  \mathbf{A}  é a matriz *n*×*m*  \mathbf{A}^\mathrm{T} que se forma intercambiando as filas e as columnas de  \mathbf{A} , isto é,  (\mathbf{A}_{ij})^\mathrm{T} = \mathbf{A}_{ji}.

Por exemplo:

:  \begin{pmatrix}
    1 & 8 & -3 \\
    4 & -2 & 5
  \end{pmatrix}^\mathrm{T}
=
  \begin{pmatrix}
    1 & 4 \\
    8 & -2 \\
    -3 & 5
  \end{pmatrix}

### Produto de matrices 
O produto de dúas matrices é só posíbel se o número de columnas da matriz da esquerda é o mesmo número de liñas da matriz da dereita. Se  \mathbf{A} é unha matriz *m*×*n* e  \mathbf{B}  é unha matriz *n*×*p*, entón o produto \mathbf{C} = \mathbf{AB}  é unha matriz *m*×*p* é  c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \ldots + a_{in}b_{nj} .

Por exemplo:
:
  \begin{pmatrix}
    1 & 0 & 2 \\
    -1 & 3 & 1 \\
  \end{pmatrix}
\times
  \begin{pmatrix}
    3 & 1 \\
    2 & 1 \\
    1 & 0
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
     (1 \times 3  +  0 \times 2  +  2 \times 1) & (1 \times 1   +   0 \times 1   +   2 \times 0) \\
    (-1 \times 3  +  3 \times 2  +  1 \times 1) & (-1 \times 1   +   3 \times 1   +   1 \times 0) \\
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
    5 & 1 \\
    4 & 2 \\
  \end{pmatrix}

### Potencia dunha matriz cadrada 
A potencia dunha matriz sería unha multiplicación repetida, o que pode realizarse cando a matriz é cadrada.

Cando unha matriz A cadrada é diagonalizábel
esta diagonalización A = PDP^{-1}, onde D é unha matriz diagonal, pódese usar para calcular eficientemente as potencias dunha matriz:

: \begin{align}
 A^k &= \left(PDP^{-1}\right)^k = \left(PDP^{-1}\right) \left(PDP^{-1}\right) \cdots \left(PDP ^{-1}\right) \\
 &= PD\left(P^{-1}P\right) D \left(P^{-1}P\right) \cdots \left(P^{-1}P\right) D P^{-1 } = PD^kP^{-1},
\end{align}

e isto último é doado de calcular xa que só implica as potencias dunha matriz diagonal (e finalmente dúas multiplicacións).

## Álxebra de matrices 
### Propiedades da adición de matrices e da multiplicación por escalares 
Dadas as matrices  \mathbf{A} ,  \mathbf{B} ,  \mathbf{C}  da mesma orde e c, d escalares, entón cúmprense as seguintes propiedades:

# **Conmutativa**:  \mathbf{A}+\mathbf{B} = \mathbf{B}+\mathbf{A}  
# **Asociativa**:  (\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C} = \mathbf{A}+(\mathbf{B}+\mathbf{C})  
# **Elemento neutro da suma de matrices**: Para todas as matrices da mesma orde, existe unha matriz  \mathbf{O}  tal que  \mathbf{A}+\mathbf{O} = \mathbf{A}  para calquera matriz  \mathbf{A} 
# **Elemento oposto da suma de matrices**: Para toda matriz A existe unha matriz   -\mathbf{A} tal que  \mathbf{A}+(-\mathbf{A})=\mathbf{O} 
# **Distributiva respecto á suma de matrices**:  c(\mathbf{A}+\mathbf{B})=c\mathbf{A}+c\mathbf{B}  
# **Distributiva respecto á suma de escalares**: (c+d)\mathbf{A} = c\mathbf{A}+d\mathbf{A}  
#  c(d\mathbf{A})=(cd)\mathbf{A}  
#  1\mathbf{A} = \mathbf{A}  onde 1 é o elemento neutro do produto do anel *R* ao que pertence o escalar.

### Propiedades do produto de matrices 
Dadas as matrices  \mathbf{A} ,  \mathbf{B} ,  \mathbf{C}  das ordes axeitadas para que as operacións estean definidas, e k  un escalar, entón cúmprense as seguintes propiedades:

# **Asociativa**:  \mathbf{A}(\mathbf{BC})=(\mathbf{AB})\mathbf{C} 
# **Distributiva pola esquerda**:  \mathbf{A}(\mathbf{B+C})=\mathbf{AB+AC} 
# **Distributiva pola dereita**:  (\mathbf{A+B})\mathbf{C} = \mathbf{AC+BC} 
#  k(\mathbf{AB}) = (k\mathbf{A})\mathbf{B} = \mathbf{A}(k\mathbf{B}) 
# Se \mathbf{A} ten orde *m*×*n*,  \mathbf{I}_m\mathbf{A} = \mathbf{A} = \mathbf{AI}_n 

En xeral, observamos que o produto de dúas matrices   \mathbf{A}  e  \mathbf{B}  é **non conmutativo**:

* Se as matrices non son cadradas, polo menos un dos dous produtos non estará definido.
* De seren dúas matrices cadradas, os produtos  \mathbf{AB}  e  \mathbf{BA} estarán definidos, pero non teñen por que coincidir, como no seguinte exemplo:

 Exemplo:  \begin{pmatrix} 1 & 2  \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0  \\ 
    0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 2  \\  0 & 4 \end{pmatrix}   e  \begin{pmatrix} 0 & 0  \\  0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2  \\ 3 & 4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 0  \\  3 & 4 \end{pmatrix}  as matrices non conmutan.
De coincidiren,  \mathbf{AB} = \mathbf{BA}  e diremos que as matrices  \mathbf{A}  e  \mathbf{B}  conmutan.

### Propiedades da transposición 
Dadas as matrices  \mathbf{A} ,  \mathbf{B}  das ordes axeitadas para que as operacións estean definidas, e k  un escalar, entón cúmprense as seguintes propiedades:

#  (\mathbf{A}^\mathrm{T})^\mathrm{T} = \mathbf{A} 
#  (k\mathbf{A})^\mathrm{T} = k\mathbf{A}^\mathrm{T} 
#  (\mathbf{A+B})^\mathrm{T} = \mathbf{A}^\mathrm{T} + \mathbf{B}^\mathrm{T} 
#  (\mathbf{AB})^\mathrm{T} = \mathbf{B}^\mathrm{T} \mathbf{A}^\mathrm{T} 

## Matriz cadrada 
Unha matriz cadrada é unha matriz co mesmo número de filas que de columnas, é dicir, son as matrices de orde *n*x*n* ou, simplemente, de orde *n*. Chamaremos ao conxunto de elementos da forma  a_{ii}  como diagonal principal.

### Principais tipos 
#### Matrices diagonais e triangulares 
:
Se todos os elementos da matriz  \mathbf{A}  por debaixo da diagonal principal son nulos ,  \mathbf{A}  é unha matriz triangular superior. Analogamente, se os elementos que están por riba da diagonal principal son cero, entón  \mathbf{A}  é unha matriz diagonal inferior. Se todas os elementos que no estean na diagonal principal son nulos, diremos que  \mathbf{A}  é unha matriz diagonal.

Se os elementos da diagonal son  \lambda_1 \ldots \lambda_n , defínese   \operatorname{diag}(\lambda_1 \ldots \lambda_n)  como a matriz diagonal na que  a_{ii} = \lambda_i .

#### Matriz identidade 
A matriz identidade \mathbf{I}_nde orde *n* é a matriz de orde *n*x*n* tal que todos os elementos da diagonal principal son iguais a 1, e o resto de elementos son iguais a 0, como:

:
\mathbf{I}_1 = \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}
,\ 
\mathbf{I}_2 = \begin{pmatrix}
         1 & 0 \\
         0 & 1 
      \end{pmatrix}
,\ \cdots ,\ 
\mathbf{I}_n = \begin{pmatrix}
         1 & 0 & \cdots & 0 \\
         0 & 1 & \cdots & 0 \\
         \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
         0 & 0 & \cdots & 1
      \end{pmatrix}

Son un tipo especial de matrices cadradas, que toman o seu nome porque manteñen as matrices despois do produto: \mathbf{A}\mathbf{I}_n = \mathbf{I}_n\mathbf{A} para toda matriz  \mathbf{A} de orde *m*x*n*.

#### Matriz simétrica e antisimétrica 
Unha matriz cadrada  \mathbf{A}  é unha matriz simétrica se  \mathbf{A} = \mathbf{A}^\mathrm{T} , mais se  \mathbf{A} = -\mathbf{A}^\mathrm{T} , entón   \mathbf{A}  é unha matriz antisimétrica.

Pódense construír matrices destes tipos a partir doutras que non pertence, por exemplo, se  \mathbf{A} é unha matriz cadrada,  \mathbf{A}+\mathbf{A}^\mathrm{T} é unha matriz simétrica e   \mathbf{A}-\mathbf{A}^\mathrm{T} é unha matriz antisimétrica,  e para calquera matriz  \mathbf{A} ,  \mathbf{AA}^\mathrm{T} é unha matriz simétrica.

#### Matriz invertible e matriz inversa 
Unha matriz cadrada  \mathbf{A}  de orde *n*, é *invertible* o *non singular* se existe unha matriz  B  tal que  \mathbf{AB} = \mathbf{BA} = \mathbf{I}_n , onde \mathbf{I}_n é a matriz identidade *n*x*n*. Se  \mathbf{B}  existe, entón denotarémola como a matriz inversa de  \mathbf{A}  ou  \mathbf{A}^{-1} .  A matriz inversa ten as seguintes propiedades:

* Se  \mathbf{C} = \mathbf{AB}  e todas son matrices cadradas e invertibles, entón  \mathbf{C}^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}.
*  (\mathbf{A}^{-1})^\mathrm{T} = (\mathbf{A}^\mathrm{T})^{-1}   
* Se  \mathbf{A} é simétrica, entón  \mathbf{A}^{-1} tamén.
* Se existe a matriz inversa, entón esta ha de ser única.

#### Matriz ortogonal 
Unha matriz cadrada  \mathbf{A}  é unha matriz ortogonal con elementos reais  se a súa matriz trasposta é igual á súa matriz inversa: \mathbf{A}^\mathrm{T} = \mathbf{A}^{-1}. Deste xeito, temos que \mathbf{A}^\mathrm{T}\mathbf{A} = \mathbf{A}\mathbf{A}^\mathrm{T} = \mathbf{I}_n.

#### Matriz nilpotente 
Unha matriz nilpotente é unha  matriz cadrada  *N* tal que
N^k = 0\,
para algún enteiro k.  O menor deses k chámase **índice** de N.

Por exemplo a matriz
: 
A = \begin{bmatrix} 
0 & 1 \\
0 & 0 
\end{bmatrix}

é nilpotente con índice 2, pois A^2 = 0.

### Operacións principais 
#### Traza 
A traza,  \operatorname{tr}(\mathbf{A}) , dunha matriz cadrada \mathbf{A} é a suma dos elementos da súa diagonal, é dicir,  \operatorname{tr}(\mathbf{A}) = \sum_{i=1}^n a_{ii} . Un exemplo sería

:
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
         a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
         a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
         a_{31} & a_{32} & a_{33}
      \end{pmatrix}
,\ 
\mathbf{B} = \begin{pmatrix}
         3 & -4 & 3 & 6\\
         1 & 8 & -7 & 5 \\
         -2 & 0 & 1 & -2 \\
         4 & 1 & 5 & -9
      \end{pmatrix}

:
\operatorname{tr}(\mathbf{A}) = a_{11} + a_{22} + a_{33}
,\  
\operatorname{tr}(\mathbf{B}) = 3 + 8 + 1 -9 = 3

Pódese deducir pola definición de produto de matrices que:

:
\operatorname{tr}(\mathbf{AB}) = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^n a_{ij}b_{ji} = \operatorname{tr}(\mathbf{BA})

Disto conclúese que a traza dun produto de máis de dúas matrices é independente dunha permutación cíclica de matrices, mais isto non se aplica en xeral a permutacións arbitrarias, por exemplo  \operatorname{tr}(\mathbf{ABC}) = \operatorname{tr}(\mathbf{CAB}) = \operatorname{tr}(\mathbf{BCA}) \neq \operatorname{tr}(\mathbf{BAC}) . Tamén temos que a traza dunha matriz ten a mesma traza que a súa transposta, isto é,  \operatorname{tr}(\mathbf{A^\mathrm{T}}) = \operatorname{tr}(\mathbf{A}) .

#### Determinante 
[thumb|300px|right|Unha transformación linear en **R** dada pola matriz indicada. O determinante desta matriz é −1, xa que a área do paralelogramo verde á dereita é 1, mais o mapa inverte a [orientación (xeometría)|orientación, xa que xira a orientación antihorario dos vectores cara a un sentido horario.]]

O *determinante* dunha matriz cadrada **A** (denominado det(**A**) ou |**A**|) é un número que codifica certas propiedades da matriz. Unha matriz é invertíbel se e só se o seu determinante é distinto de cero. 

O seu valor absoluto é igual á área (en **R**) ou volume (en **R**) da imaxe do cadrado (ou cubo), mentres que o seu signo corresponde á orientación do mapa linear correspondente: o determinante é positivo se e só se se conserva a orientación.

O determinante  \operatorname{det}(\mathbf{A}) ou  |\mathbf{A}| dunha matriz cadrada é a única función matricial que leva ao conxunto \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) a \mathbb{K} que cumpre:

#  \operatorname{det}(\ldots, b_i+c_i, \ldots) = \operatorname{det}(\ldots, b_i, \ldots) + \operatorname{det}(\ldots, c_i, \ldots) 
#  \operatorname{det}(\ldots, \lambda a_i, \ldots) = \lambda \operatorname{det}(\ldots, a_i, \ldots) 
#  \operatorname{det}(a_1, \ldots, a_i, \ldots, a_j, \ldots, a_n) = -\operatorname{det}(\ldots, a_j, \ldots, a_i, \ldots) 
#  \operatorname{det}(\mathbf{I}_n)=1 

Ás propiedades 1 e 2 din que é unha función n-linear para as columnas e a propiedade 3 di que é alternada para as columnas.

O determinante ten diferentes propiedades, entre as que salientan:

* Unha matriz é invertíbel se e só se o seu determinante non é cero.
*  \operatorname{det}(\mathbf{A}^\mathrm{T}) = \operatorname{det}(\mathbf{A})  , polo que temos as mesmas propiedades para as filas que para as columnas.
*  \operatorname{det}(\mathbf{AB})=\operatorname{det}(\mathbf{A})\operatorname{det}(\mathbf{B}) 
* O seu valor absoluto equivale á área (en \mathbb{R}^2), ao volume (en \mathbb{R}^3) ou ao volume xeneralizado (en \mathbb{R}^n) do cubo que ten por costados aos vectores que corresponden coas columnas da matriz.
* Mediante a regra de Cramer, pódese usar para resolver sistemas de ecuacións lineais.

#### Eigenvalores e eigenvectores 
Un número \lambda e un vector distinto de cero **v** que satisfán
:\mathbf{A} \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}
chámanse *eigenvalor* (ou *valor propio*) e *eigenvector* (ou *vector propio*) de **A**, respectivamente. O número λ é un eigenvalor dunha matriz *n*×*n*-**A** se e só se **A**−λ**I** non é invertíbel, o que é equivalente a
:\det(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}) = 0.
O polinomio p_A nunha  variable  indeterminada  dada pola avaliación do determinante \operatorname{det}(X I_n - A) chámase polinomio característico de **A**. É un polinomio mónico de grao . Polo tanto, a ecuación polinómica p_A(\lambda)=0 ten como máximo *n* solucións diferentes, é dicir, *n* eigenvalores da matriz. Poden ser complexos aínda que as entradas de **A** sexan reais. 

Segundo o teorema de Cayley-Hamilton, p_A(A)=0, é dicir, o resultado de substituír a propia matriz no seu polinomio característico obtén a matriz cero.

## Ecuacións lineais 
A álxebra de matrices é interesante para a representación de sistemas de ecuacións lineais. Por exemplo, supoñamos que queremos resolver o seguinte sistema:

: \begin{align}
  5x_1 + 10x_2 + 20x_3 & = 40 \\  
  3x_1 - 9x_2 + 27x_3 & = -54 \\
  -2x_1 + 15x_2 + 10x_3 &= 4 \\
\end{align}   

Entón poderemos representalo pola ecuación de matrices  \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b} , onde

:
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
         5 & 10 & 20 \\
         3 & -9 & 27 \\
         -2 & 15 & 10
      \end{pmatrix}
,\ 
\mathbf{x} = \begin{pmatrix}
         x_1\\
         x_2 \\
         x_3
      \end{pmatrix}
,\ 
\mathbf{b} = \begin{pmatrix}
         40\\
         -54 \\
         4
      \end{pmatrix}

Como neste caso temos que \mathbf{A} é invertíbel, entón:

: \begin{align}
  \mathbf{A}^{-1}\cdot\mathbf{A} \mathbf{x}&= \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b} \\  
 \mathbf{x} &=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b} \\
\end{align}   

En xeral, se \mathbf{A} é unha matriz *m*x*n*, \mathbf{x} é unha matriz columna *n*×1 e \mathbf{b} é outra matriz columna *m*×1, entón a ecuación  \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b} é equivalente ao sistema de ecuacións

:\begin{align}
  a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 + &\cdots + a_{1,n}x_n = b_1 \\
                            &\ \ \vdots \\
  a_{m,1}x_1 + a_{m,2}x_2 + &\cdots + a_{m,n}x_n = b_m 
\end{align}

Como no caso anterior, se *n* = *m* e \mathbf{A} é invertible (as ecuacións son independentes), podemos escribir  \mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1} \mathbf{b}  para resolver o sistema. En calquera outro caso, ou ben o sistema non té solucións ou ben té infinitas.

## Descomposición 
Hai diferentes métodos para traballar coas matrices  dun xeito máis sinxelo, para o cal unha posibilidade é o uso de técnicas coñecidas como "descomposición matricial" ou "factorización matricial". Debido a que estas transformacións manteñen certas propiedades da matriz orixinal, como o determinante, o rango ou os autovalores, estas propiedades poden ser calculadas a partir da descomposición no canto da matricial orixinal. Deste xeito son utilizadas na análise numérica para realizar certas operacións matriciais de maneira máis eficiente.

## Aplicacións 
### Teoría de grafos 
En teoría de grafos, usando as matrices pódense representar grafos, atopar caracterizacións e demostrar resultados con técnicas de álxebra lineal. Entre as matrices que se utilizan salientan:

* A **matriz de adxacencia**, que garda a información de que vértices están conectados por unha aresta. 
* A **matriz de incidencia**, que almacena en a_{ij} un -1 se a aresta j sae do vértice i, 1 se entra e 0 no outros casos.
* A **matriz laplaciana**, que se define como a matriz diferenza entre a matriz de graos e a matriz de adxacencia.
* A **matriz de distancias**, que é a matriz que garda a distancia entre os vértices dun grafo.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
*
*
*
*
*
*
*
*

### Ligazóns externas 
* MIT Linear Algebra Video Lectures de Gilbert Strang