Relación reflexiva

En matemáticas, unha relación binaria R nun conxunto X é **reflexiva** se relaciona cada elemento de X consigo mesmo.  

Un exemplo de relación reflexiva é a relación "é igual a" no conxunto de números reais, xa que cada número real é igual a si mesmo. Xunto coa simetría e a transitividade, a reflexividade é unha das tres propiedades que definen as relacións de equivalencia.

## Definición 
Sexa R unha relación binaria nun conxunto X, que por definición é só un subconxunto de X \times X. Para calquera x, y \in X, a notación x R y significa que (x, y) \in R mentres "non x R y " significa que (x, y) \not\in R.

A relación R chámase reflexiva se x R x para todo x \in X.

De forma equivalente, se \operatorname{I}_X := \{ (x, x) ~:~ x \in X \} denota a relación de identidade en X, a relación R é reflexiva se \operatorname{I}_X \subseteq R.

O **peche reflexivo** de R é a unión R \cup \operatorname{I}_X, que se pode definir equivalentemente como a menor (con respecto a \subseteq) relación reflexiva en X que é un superconxunto de R. Unha relación R é reflexiva se e só se é igual ao seu peche reflexivo.

A **redución reflexiva** ou **kernel irreflexivo** de R é a relación máis pequena (con respecto a \subseteq) en X  que ten o mesmo peche reflexivo que R. É igual a R \setminus \operatorname{I}_X = \{ (x, y) \in R ~:~ x \neq y \}. 

A redución reflexiva de R pode, en certo sentido, ser vista como unha construción que é o "oposto" ao peche reflexivo de R. 
Por exemplo, o peche reflexivo da desigualdade estrita canónica   nos reais \mathbb{R} é a desigualdade non estrita habitual \leq mentres que a redución reflexiva de \leq é 

### Definicións relacionadas 
Hai varias definicións relacionadas coa propiedade reflexiva. A relación R chámase:
:; '***, ****: se non relaciona ningún elemento consigo mesmo; é dicir, se x R x non vale para ningún x \in X. Unha relación é irreflexiva se e só se é o seu complemento en X \times X é reflexivo. Unha relación asimétrica é necesariamente irreflexiva. Unha relación transitiva e irreflexiva é necesariamente asimétrica.
:; ****: se sempre que x, y \in X son tal que x R y, entón necesariamente x R x.
:; ****: se sempre que x, y \in X son tal que  x R y, entón necesariamente y R y.
:; **** : se cada elemento que forma parte dalgunha relación está relacionado consigo mesmo. Explicitamente, isto significa que sempre que x, y \in X sexan tal que x R y, entón necesariamente x R x e y R y. De forma equivalente, unha relación binaria é case-reflexiva se e só se é case reflexiva pola esquerda e quase-reflexiva pola dereita. Unha relación R é case- reflexiva se e só se o seu peche simétrico R \cup R^{\operatorname{T}} é pola esquerda (ou pola dereita) case reflexivo.
:; **antisimétrica**: se sempre que x, y \in X son tal que x R y \text{ e } y R x, entón necesariamente x = y.
:; ***': se sempre que x, y \in X son tal que x R y entón necesariamente x = y. Unha relación R é coreflexiva se e só se o seu peche simétrico é simétrica.

Unha relación reflexiva nun conxunto non baleiro X non pode ser irreflexiva, nin asimétrica (R chámase  se  x R y non implica y R x), nin antitransitiva (R é  se x R y \text{ e } y R z implica non x R z).

## Representación 
Sexa R unha relación reflexiva ou antirreflexiva aplicada sobre un conxunto *A*, entón *R* ten unha representación particular para cada forma de describir unha relación binaria.

## Exemplos 
Exemplos de relacións reflexivas inclúen:

* "é igual a" (igualdade)
* "é un subconxunto de" 
* "divide a" (divisibilidade)
* "é maior ou igual a"
* "é menor ou igual a"

Exemplos de relacións irreflexivas inclúen:

* "non é igual a"
* "é coprimo a" nos enteiros maiores que 1
* "é un subconxunto propio de"
* "é maior que"
* "é menor que"

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*   (Online corrected edition, Feb 2010)
* 
### Outros artigos 
* Relación simétrica.
* Relación transitiva.
* Relación de equivalencia.
### Ligazóns externas 
*