Álxebra exterior

En matemáticas, a **álxebra exterior** ou **álxebra de Grassmann** dun espazo vectorial V é unha álxebra asociativa que contén V, que ten un produto, chamado **produto exterior** (ou tamén en inglés **wedge product**)  e denotado co símbolo \wedge, tal que v\wedge v=0 para todo vector v en V. 

A álxebra exterior recibe o nome de Hermann Grassmann,  e os nomes do produto proceden do símbolo "wedge" \wedge e por outra parte do feito de que o produto de dous elementos de V está "fóra" de V.

O produto exterior de k vectores v_1 \wedge v_2 \wedge \dots \wedge v_k chámase *lámina de grao k* ou *k-lámina*. O produto exterior foi introducido orixinalmente como unha construción alxébrica usada en xeometría para estudar áreas, volumes e os seus análogos de dimensións superiores: a magnitude dunha 2-lámina v\wedge w é a área do paralelogramo definida por v e w, e, de xeito máis xeral, a magnitude da k-lámina é o (hiper)volume do paralelotopo definido polos vectores constituíntes. 

A propiedade alternante que fai v\wedge v=0 implica unha propiedade simétrica nesgada que fai v \wedge w = -w \wedge v, e, máis xeralmente, calquera mudanza de signo de lámina sempre que se trocan dous dos seus vectores constituíntes, correspondentes a un paralelótopo de orientación oposta.

A definición da álxebra exterior pódese ampliar para espazos construídos a partir de espazos vectoriais, como campos vectoriais e funcións cuxo dominio é un espazo vectorial. A maiores, o corpo dos escalares pode ser calquera corpo. De forma máis xeral, a álxebra exterior pódese definir para módulos sobre un anel conmutativo. En particular, a álxebra das formas diferenciais en k variables é unha álxebra exterior sobre o anel das funcións suaves en k variábeis.

## Exemplos básicos 
### Áreas no plano 
dereita|miniatura| A área dun paralelogramo en función do determinante da matriz de coordenadas de dous dos seus vértices.
O espazo vectorial euclidiano bidimensional  \mathbf{R}^2  é un espazo vectorial real equipado cunha base formada por un par de vectores unitarios ortogonais 
:\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\quad \mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}.

Supoñamos que 
:\mathbf{v} = \begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}
= a \mathbf{e}_1 + b \mathbf{e}_2, \quad \mathbf{w}
= \begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}
= c \mathbf{e}_1 + d \mathbf{e}_2

son un par de vectores dados en {{Tmath|\mathbf{R}^2}} escrito en compoñentes. Hai un paralelogramo único que ten \mathbf{v} e \mathbf{w} como dous dos seus lados. A *área* deste paralelogramo vén dada pola fórmula do determinante estándar: 
\text{Area}
= \left| \det \begin{bmatrix} \mathbf{v} & \mathbf{w} \end{bmatrix} \right|
= \left| \det \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} \right|
= \left| ad - bc \right| .

Consideremos agora o produto exterior de \mathbf{v} and {{tmath|\mathbf{w} }}:
:\begin{align}
\mathbf{v} \wedge \mathbf{w}
&= (a\mathbf{e}_1 + b\mathbf{e}_2) \wedge (c\mathbf{e}_1 + d\mathbf{e}_2) \\
&= ac\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_1 + ad\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 + bc\mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_1 + bd\mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_2 \\
&= \left( ad - bc \right)\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2,
\end{align}
onde o primeiro paso utiliza a lei distributiva para o produto exterior, e o último usa o feito de que o produto exterior é un mapa alternante, e en particular \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_1 = -(\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2).  Nótese que o coeficiente desta última expresión é precisamente o determinante da matriz  . O feito de que isto poida ser positivo ou negativo ten o significado intuitivo de que **v** e **w** poden estar orientados no sentido antihorario ou no sentido horario como os vértices do paralelogramo que definen. Tal área chámase área con signo do paralelogramo: o valor absoluto da área con signo é a área ordinaria e o signo determina a súa orientación.

En detalle, se  denota a área con signo do paralelogramo do cal o par de vectores **v** e **w** forman dous lados adxacentes, entón A debe satisfacer as seguintes propiedades:

#  para todo número real r, s. 
# .
# .
#   para todo número rea *r*.
# .

miniatura| O produto vectorial (vector **azul**) en relación co produto exterior (paralelogramo **azul claro**). A lonxitude do produto vectorial é proporcional á lonxitude do vector unitario paralelo (**vermello**) coa mesma proporción que o tamaño do produto exterior (paralelogramo **azul claro**) é ao tamaño do paralelogramo de referencia (**vermello claro**).

### Produtos vectoriais e triplos 
dereita|miniatura| Descomposición en bases dun 2-vector
Para os vectores en **R** 3, a álxebra exterior está moi relacionada co produto vectorial e o produto triplo. Usando a base estándar , o produto exterior dun par de vectores

:  \mathbf{u} = u_1 \mathbf{e}_1 + u_2 \mathbf{e}_2 + u_3 \mathbf{e}_3 

:  \mathbf{v} = v_1 \mathbf{e}_1 + v_2 \mathbf{e}_2 + v_3 \mathbf{e}_3 

sería 
:  \mathbf{u} \wedge \mathbf{v} = (u_1 v_2 - u_2 v_1) (\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2) + (u_3 v_1 - u_1 v_3) (\mathbf{e}_3 \wedge \mathbf{e}_1) + (u_2 v_3 - u_3 v_2) (\mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_3) 

onde   é a base para o espazo tridimensional ⋀2(**R**3). Os coeficientes anteriores son os mesmos que os da definición habitual do produto vectorial de vectores en tres dimensións, a única diferenza é que o produto exterior non é un vector común, senón que é un bivector.

Traendo un terceiro vector

:  \mathbf{w} = w_1 \mathbf{e}_1 + w_2 \mathbf{e}_2 + w_3 \mathbf{e}_3, 

o produto exterior de tres vectores é

:  \mathbf{u} \wedge \mathbf{v} \wedge \mathbf{w} = (u_1 v_2 w_3 + u_2 v_3 w_1 + u_3 v_1 w_2 - u_1 v_3 w_2 - u_2 v_1 w_3 - u_3 v_2 w_1) (\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_3) 
onde **e**1 ∧ **e**2 ∧ **e**3 é a base de vectores para o espazo un dimensional  ⋀3(**R**3). O coeficiente escalar é o produto triplo dos tres vectores.

## Definición formal 
A álxebra exterior \bigwedge (V) dun espazo vectorial V sobre un corpo K defínese como a álxebra cociente da álxebra tensorial *T* (*V*), onde

: T(V)= \bigoplus_{k=0}^\infty T^kV = K\oplus V \oplus (V\otimes V) \oplus (V\otimes V\otimes V) \oplus \cdots,

polo ideal bilateral I xerado por todos os elementos da forma x \otimes x tal que x\in V. Simbólicamente,

: \bigwedge (V) := T(V)/I.\, 

O produto exterior \wedge de dous elementos de \bigwedge (V) está definido por

: \alpha\wedge\beta = \alpha\otimes\beta \pmod I.

## Propiedades alxébricas 
### Produto alternante 
O produto exterior é, por construción, *alternante* en elementos de  o que significa que  x \wedge x = 0  para todos os  x \in V,  pola construción anterior. Polo tanto, o produto tamén é anticomutativo en elementos de  por exemplo, para 

: 
0 = (x + y) \wedge (x + y)
= x \wedge x + x \wedge y + y \wedge x + y \wedge y
= x \wedge y + y \wedge x

polo tanto

:  x \wedge y = -(y \wedge x). 

### Potencia exterior 
A -ésima **potencia exterior** de  {{Tmath|{\textstyle\bigwedge}^{\!k}(V)}}, é o subespazo vectorial de {{Tmath|{\textstyle\bigwedge}(V)}} expandidos por elementos da forma
: x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_k,\quad x_i \in V, i=1,2, \dots, k .
Se {{Tmath|\alpha \in {\textstyle\bigwedge}^{\!k}(V)}} entón \alpha dise que é un **K-vector** . Se, alén disto, \alpha pódese expresar como un produto exterior de k elementos de  entón \alpha dise que é **descompoñíbel** (ou **simple**, para algúns autores; ou unha **lámina**, para outros). 

#### Base e dimensión 
Se a dimensión de V é n e \{e_1,\dots,e_n\} é unha base para V, entón o conxunto
: 
\{\,e_{i_1} \wedge e_{i_2} \wedge \cdots \wedge e_{i_k} ~
\big| ~~ 1 \le i_1 

é unha base {{Tmath|{\textstyle\bigwedge}^{\!k}(V)}}. O motivo é o seguinte: dado calquera produto exterior da forma

:  v_1 \wedge \cdots \wedge v_k, 

todo vector v_j pódese escribir como unha combinación linear dos vectores base  usando a bilinearidade do produto exterior, este pódese expandir a unha combinación linear de produtos exteriores deses vectores base. 

En xeral, os coeficientes resultantes dos -vectores da base pódense calcular como os menores da matriz que describe os vectores v_j en termos da base .

Calquera elemento da álxebra exterior pode escribirse como unha suma de k-vectores. Polo tanto, como espazo vectorial a álxebra exterior é unha suma directa
: 
{\textstyle\bigwedge}(V)
= {\textstyle\bigwedge}^{\!0}(V)
 \oplus {\textstyle\bigwedge}^{\!1}(V)
 \oplus {\textstyle\bigwedge}^{\!2}(V)
 \oplus \cdots \oplus {\textstyle\bigwedge}^{\!n}(V)

(onde, por convención, {{Tmath|1={\textstyle\bigwedge}^{\!0}(V) = K}} o corpo  {{Tmath|1={\textstyle\bigwedge}^{\!1}(V) = V}}), e polo tanto a súa dimensión é igual á suma dos coeficientes binomiais, que é .

#### Rango dun *k*-vector 
Se {{Tmath|\alpha \in {\textstyle\bigwedge}^{\!k}(V)}} entón é posíbel expresar \alpha como unha combinación linear de -vectores descompoñíbeis:

:  \alpha = \alpha^{(1)} + \alpha^{(2)} + \cdots + \alpha^{(s)} 

onde cada  \alpha^{(i)} é descompoñíbel, digamos

: 
\alpha^{(i)}
= \alpha^{(i)}_1 \wedge \cdots \wedge \alpha^{(i)}_k,\quad i 
= 1,2,\ldots, s.

O **rango** do k-vector  \alpha é o número mínimo de -vectores descompoñíbeis nunha expansión deste tipo de . Isto é semellante á noción de rango tensorial.

### Estrutura graduada 
O produto exterior dun -vector cun -vector é un (k + p)-vector, invocando unha vez máis a bilinearidade. Como consecuencia, a descomposición de suma directa do apartado anterior

: 
{\textstyle\bigwedge}(V) = {\textstyle\bigwedge}^{\!0}(V) \oplus {\textstyle\bigwedge}^{\!1}(V) \oplus {\textstyle\bigwedge}^{\!2}(V) \oplus \cdots \oplus {\textstyle\bigwedge}^{\!n}(V)

dálle á álxebra exterior a estrutura adicional dunha álxebra graduada, é dicir

: 
{\textstyle\bigwedge}^{\!k}(V)
\wedge {\textstyle\bigwedge}^{\!p}(V)
\sub {\textstyle\bigwedge}^{\!k+p}(V).

### Propiedade universal 
Sexa  un espazo vectorial sobre o corpo . Informalmente, a multiplicación en  {\textstyle\bigwedge}(V)  realízase manipulando símbolos e impoñendo unha lei distributiva, unha lei asociativa e utilizando a identidade  v \wedge v = 0  para . 

Formalmente,  {\textstyle\bigwedge}(V)  é a álxebra "máis xeral" na que se aplican estas regras para a multiplicación, no sentido de que calquera -álxebra asociativa unitaria que conteña  con multiplicación alternante en  debe conter unha imaxe homomorfa de {{Tmath|{\textstyle\bigwedge}(V)}}. Noutras palabras, a álxebra exterior ten a seguinte propiedade universal: 
Dado calquera -álxebra asociativa unitaria  e calquera -mapa linear  j : V \to A  tal que  j(v)j(v) = 0  para todo  en , entón existe *precisamente un* homomorfismo de álxebra unitaria f : {\textstyle\bigwedge}(V)\to A  tal que  para todo  en  (aquí  é a inclusión natural de  en {{Tmath|{\textstyle\bigwedge}(V)}} ver arriba).

alt=Universal property of the exterior algebra|centro|150x150px| Propiedade universal da álxebra exterior

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 

* 
*: Esta é a *principal referencia matemática* para o artigo.    ver §III.7 e §III.11.
* 
*: Este libro contén aplicacións de álxebras exteriores a problemas en  ecuacións diferenciais parciais . 
* 
*: Capítulo XVI seccións 6–10 dan unha explicación máis elemental da álxebra exterior.
* 
*: Contén un tratamento clásico da álxebra exterior como tensores alternantes e aplicacións á xeometría diferencial.

### Outros artigos 
* 
* Álxebra de Clifford
* Álxebra tensorial
* Álxebra de Weyl
* Álxebra multilinear