Fórmula de Leibniz para π

En matemáticas, a **fórmula de Leibniz para [[Número pi|]]** (tamén **serie de Leibniz**), que recibe o nome de Gottfried Wilhelm Leibniz, da o valor de pi cuartos como serie alternada 
:
\frac{\pi}{4} = 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{2k + 1}.

Ás veces chámase a serie **Madhava-Leibniz** xa que foi descuberta por primeira vez polo matemático indio Madhava de Sangamagrama ou os seus seguidores entre os séculos XIV e XV, e posteriormente foi redescuberta independentemente por James Gregory en 1671 e Leibniz en 1673. A serie de Taylor para a función da tanxente inversa, a miúdo chamada serie de Gregory, é 

:
\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots
= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kx^{2k+1}}{2k+1}.

A fórmula de Leibniz é o caso especial \arctan 1 = \tfrac14\pi.

Tamén é a serie  de Dirichlet do carácter de Dirichlet non principal  módulo 4 avaliado en s=1, e polo tanto o valor  da función beta de Dirichlet.

## Probas 
### Proba 1 
Consideramos a seguinte descomposición:

:\frac{1}{1+x^2} \;=\;1 \,-\, x^2 \,+\, x^4 \,-\, \cdots \,+\, (-1)^n x^{2n} \;+\; \frac{(-1)^{n+1}\,x^{2n+2} }{1+x^2}.\!

Para |*x*|&nbsp;&lt;&nbsp;1, a fracción da dereita é a suma dos termos restantes da serie xeométrica.

Agora aplicaremos esa descomposición á integral do arcotanxente.

:\begin{align}
\frac{\pi}{4} &= \arctan(1) \\ &= \int_0^1 \frac 1{1+x^2} \, dx \\[8pt]
& = \int_0^1\left(\sum_{k=0}^n (-1)^k x^{2k}+\frac{(-1)^{n+1}\,x^{2n+2} }{1+x^2}\right) \, dx \\[8pt]
& = \left(\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1}\right)
+(-1)^{n+1} \left(\int_0^1\frac{x^{2n+2}}{1+x^2} \, dx\right)
\end{align}

Considerando só a integral do último termo, temos: 
:0 \le \int_0^1 \frac{x^{2n+2}}{1+x^2}\,dx \le \int_0^1 x^{2n+2}\,dx = \frac{1}{2n+3} \;\rightarrow 0 \text{ cando } n \rightarrow \infty.

Polo tanto, cando , ficamos coa serie de Leibniz: 
:\frac{\pi}4 = \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{2k+1}

### Proba 2 
Sexa f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}z^{2n+1}, cando |z|, a serie  \sum_{k=0}^\infty (-1)^k z^{2k} converxe uniformemente, entón 
:\arctan(z) = \int_{0}^{z} \frac {1}{1+t^2} dt =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}z^{2n+1} = f(z) \ (|z|

Polo tanto, se f(z) aproxima f(1) de tal xeito que é continua e converxe uniformemente, a demostración é completa, onde, a serie \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}  converxe polo test de Leibniz.

## Converxencia 
A fórmula de Leibniz converxe moi lentamente: presenta converxencia sublinear. Calcular  a 10 decimais correctos mediante a suma directa da serie require precisamente cinco mil millóns de termos porque
 para .

Para obter 4 cifras decimais correctas (erro de 0.00005) necesítanse 5000 termos.

No entanto, a fórmula de Leibniz pódese usar para calcular  con alta precisión (centos de díxitos ou máis) utilizando varias técnicas aceleración da converxencia. Por exemplo, pódense aplicar efizcamente a transformación de Shanks, a transformación de Euler ou a  transformación de Van Wijngaarden, que son métodos xerais para series alternadas. A maiores, a combinación de termos por parellas dá a serie non alternada 
:\frac{\pi}{4} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{4n+1}-\frac{1}{4n+3}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{(4n+1)(4n+3)}.

## Produto de Euler 
A fórmula de Leibniz pódese interpretar como unha serie de Dirichlet usando o  único carácter de Dirichlet non principal módulo 4. Como con outras series de Dirichlet, isto permite converter a suma infinita nun produto infinito cun termo para cada número primo. Este produto chámase produto de Euler: 
:\begin{align}
\frac\pi4 &= \biggl(\prod_{p \,\equiv\, 1\ (\text{mod}\ 4)}\frac{p}{p-1}\biggr)
       \biggl( \prod_{p\,\equiv\, 3\ (\text{mod}\ 4)}\frac{p}{p+1}\biggr) \\[7mu]
     &= \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{8} \cdot
       \frac{11}{12} \cdot \frac{13}{12} \cdot \frac{17}{16} \cdot
       \frac{19}{20} \cdot \frac{23}{24} \cdot \frac{29}{28} \cdots
\end{align}
Neste produto, cada termo é unha razón superparticular, cada numerador é un número primo impar e cada denominador é o múltiplo de 4 máis próximo ao numerador. O produto é condicionalmente converxente; os seus termos deben tomarse por orde crecente de .

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Número pi
### Ligazóns externas