Regresión (xeometría diferencial)

Sexa \phi:M\to N un mapa suave entre variedades suaves M e N. Daquela hai unha aplicación linear asociada a partir do espazo das 1-formas N (o espazo linear das seccións do fibrado cotanxente) no espazo das 1-formas en M. Este mapa linear coñécese como **regresión** ou **pullback** (mediante \phi), e denótase frecuentemente  por \phi^*. De forma máis xeral, calquera campo tensor covariante, en particular calquera forma diferencial, en N pode ser retrocedido a M usando \phi .

## Regresións de funcións suaves e mapas suaves 
Sexa \phi:M\to N un mapa suave entre variedades (suaves), M e N, e supoñamos que f:N\to\R é unha función suave en N. Daquela a **regresión** de f por \phi é a función suave \phi^*f en M definida por (\phi^*f)(x)=f(\phi(x)). Do mesmo xeito, se f é unha función suave nun conxunto aberto U en N, entón a mesma fórmula define unha función suave no conxunto aberto \phi^{-1}(U). (Na linguaxe de feixes, unha regresión define un morfismo a partir do feixe de funcións suaves N na imaxe directa por \phi do feixe de funcións suaves sobre M.)

De xeito máis xeral, se f:N\to A é un mapa suave de N en calquera outra variedade A, daquela (\phi^*f)(x)=f(\phi(x)) é un mapa suave de M en A.

## Regresión de fibrados e seccións 
Se E é un fibrado vectorial (ou realmente calquera fibrado) sobre N e \phi:M\to N é un mapa suave, daquela o **fibrado de regresión** \phi^*E é un fibrado vectorial (ou fibrado) sobre M cuxa fibra sobre x en M está dada por (\phi^*E)_x=E_{\phi(x)}.

## Regresión de formas multilineares 
Sexa  unha aplicación linear entre espazos vectoriais *V* e *W* (é dicir, Φ é un elemento de , tamén denotado ), e sexa

:F:W \times W \times \cdots \times W \rightarrow \mathbf{R}

unha forma multilinear en *W* (tamén coñecida como tensor, que non debe confundirse cun campo tensor, de rango , onde *s* é o número de factores de *W* no produto). Entón a regresión Φ∗*F* de *F* por Φ é unha forma multilinear en *V* definida precompoñendo *F* con Φ. Máis precisamente, dados os vectores *v*1, *v*2, ..., *v**s*  en *V*, Φ∗*F* defínese pola fórmula

:(\Phi^*F)(v_1,v_2,\ldots,v_s) = F(\Phi(v_1), \Phi(v_2), \ldots ,\Phi(v_s)), 

que é unha forma multilinear en *V*. Polo tanto, Φ∗ é un operador (linear) desde formas multilineares en *W* ata formas multilineares en *V*. Como caso especial, teña en conta que se *F* é unha forma linear (ou (0,1)-tensor) en *W*, de xeito que *F* é un elemento de *W* ∗, o espazo dual de *W*, entón Φ∗*F* é un elemento de *V*∗, polo que a regresión por Φ define un mapa linear entre espazos duais que actúa na dirección oposta ao propio mapa linear Φ:

:\Phi\colon V\rightarrow W, \qquad \Phi^*\colon W^*\rightarrow V^*.

Desde o punto de vista tensorial, é natural tentar estender a noción de regresión a tensores de rango arbitrario, é dicir, a mapas multilineares en *W* tomando valores nun produto tensorial de *r* copias de *W*, é dicir, . Porén, os elementos deste produto tensor non regresan de forma natural. Mais hai unha operación de pulo de  a  dado por

:\Phi_*(v_1\otimes v_2\otimes\cdots\otimes v_r)=\Phi(v_1)\otimes \Phi(v_2)\otimes\cdots\otimes \Phi(v_r).

No entanto, disto dedúcese que se Φ é invertíbel, a regresión pódese definir usando un pulo mediante a función inversa Φ−1. A combinación destas dúas construcións produce unha operación de pulo, ao longo dun mapa linear invertíbel, para tensores de calquera rango .

## Regresión de vectores cotanxentes e 1-formas 
Sexa \phi:M\to N un mapa suave entre variedades suaves. Entón o diferencial de \phi, escrito \phi_*, d\phi ou  D\phi, é un morfismo de fibrado vectorial (sobre M) do fibrado tanxente TM de M na regresión do fibrado \phi^*TN. A transposición de \phi_* é polo tanto un mapa de fibrados de \phi^*T^*N en T^*M, o fibrado cotanxente de M.

Supoña agora que \alpha é unha sección de T^*N (unha 1-forma en N), e precompón \alpha con \phi para obter unha sección de regresión de \phi^ *T^*N. Ao aplicar o mapa do fibrado anterior (por puntos) a esta sección obtemos a **regresión** de \alpha por \phi, que é a 1-forma  \phi^*\alpha en M definida por
 (\phi^*\alpha)_x(X) = \alpha_{\phi(x)}(d\phi_x(X))
para x en M e X en T_xM.

## Regresión de campos tensoriais (covariantes). 
A construción da sección anterior xeneralízase inmediatamente para un fibrado de tensores de rango (0,s), para calquera número natural s: a (0,s) campo tensorial nunha variedade N é unha sección do fibrado tensor en N cuxa fibra en y en N é o espazo das s-formas multilineares
: F: T_y N\times\cdots \times T_y N\to \R.
Tomando \phi igual ao diferencial dun mapa suave \phi de M en N, a regresión de formas multilineares pódese combinar coa regresión de seccións para producir un campo tensorial (0,s) en M. Máis precisamente, se S é un campo tensorial (0,s) en N, daquela o **pullback** de S mediante \phi é o (0,s)-campo tensorial \phi^*S en M definido por 
: (\phi^*S)_x(X_1,\ldots, X_s) = S_{\phi(x)}(d\phi_x(X_1),\ldots, d\phi_x(X_s)) 
para x en M e X_j en T_xM.

## Regresión de formas diferenciais 
Un caso particular e importante da regresión de campos tensoriais covariantes é a regresión de formas diferenciais. Se \alpha é unha k-forma diferencial, é dicir, unha sección do fibrado exterior \Lambda^k(T^*N) de formas k alternadas (en fibras) en TN, entón o retroceso de \alpha é a k-forma diferencial en M definida pola mesma fórmula que na sección anterior:
: (\phi^*\alpha)_x(X_1,\ldots, X_k) = \alpha_{\phi(x)}(d\phi_x(X_1),\ldots, d\phi_x(X_k))
para x en M e X_j en T_xM.

A regresión das formas diferenciais ten dúas propiedades que a fan moi útil.

# É compatíbel co produto exterior no sentido de que para as formas diferenciais \alpha e \beta en N, 
:\phi^*(\alpha \wedge \beta)=\phi^*\alpha \wedge \phi^*\beta,
# É compatible coa derivada exterior d: se \alpha é unha forma diferencial en N entón 
:\phi^*(d\alpha) = d(\phi^*\alpha).

## Regresión por difeomorfismos 
Cando o mapa \phi entre variedades é un difeomorfismo, é dicir, ten unha inversa suave, entón pódese definir a regresión para os campos vectoriais así como para 1-formas, e así, por extensión, para un campo tensor mixto arbitrario na variedade. O mapa linear
:\Phi = d\phi_x \in \operatorname{GL}\left(T_x M, T_{\phi(x)}N\right)
pódese inverter para dar
:\Phi^{-1} = \left({d\phi_x}\right)^{-1} \in \operatorname{GL}\left(T_{\phi(x)} N, T_x M\right).

Un campo tensor mixto xeral transformarase usando \Phi e \Phi^{-1} segundo o produto tensorial descomposición do fibrado tensor en copias de TN e T^*N. Cando M=N, entón o pullback e o pushforward describen as propiedades de transformación dun tensor na variedade M. En termos tradicionais, a regresión describe as propiedades de transformación dos índices covariantes dun tensor; pola contra, a transformación dos índices contravariantes vén dada por un pulo.

## Regresión por automorfismos 
A construción da sección anterior ten unha interpretación teórica da representación cando \phi é un difeomorfismo dunha variedade M en si mesma. Nese caso, a derivada d\phi é unha sección de \operatorname{GM}(TM,\phi^*TM). Isto induce unha acción de regresión en seccións de calquera fibrado asociado ao fibrado de marcas \operatorname{GM}(m) de M mediante unha representación do grupo linear xeral \operatorname{GM}(m) (onde m = \dim M).

## Regresión e derivada de Lie 
Ver derivada de Lie. Aplicando as ideas anteriores ao grupo local difeomorfismos de 1-parámetro definido por un campo vectorial en
, e diferenciando con respecto ao parámetro, obtense unha noción de derivada de Lie en calquera feixe asociado.

## Regresión de conexións (derivadas covariantes) 
Se \nabla é unha conexión (ou derivada covariante) nun fibrado vectorial E sobre N e \phi é un mapa suave de M en N, daquela hai unha **conexión de regresión** \phi^*\nabla en \phi^*E sobre M, determinado exclusivamente pola condición de que
:\left(\phi^*\nabla\right)_X\left(\phi^*s\right) = \phi^*\left(\nabla_{d\phi(X)} s\right).

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*  *See sections 1.5 and 1.6*.
*  *See section 1.7 and 2.3*.

### Outros artigos 
* Pulo (diferencial)
* Pulo de fibrado
* Regresión (teoría das categorías)