Integral

No cálculo, a **integral** dunha función foi creada orixinalmente para determinar a área baixo unha curva no plano cartesiano, mais tamén xorde naturalmente en ducias de problemas de Física, como por exemplo na determinación da posición en todos os instantes dun obxecto, sendo coñecida a súa velocidade en todos os instantes.

O proceso de calcular a integral dunha función chámase **integración**.

Diferentemente da noción asociada de derivación, existen varias definicións para a integración. Todas elas tratando de resolver algúns problemas conceptuais relacionadas con límites, continuidade e existencia de certos procesos utilizados na definición. Porén todas estas definicións dan a mesma resposta para o resultado final dunha integración.

Cando a integral é sobre un intervalo definido trátase dunha **integral definida**  \int_{a}^{b} f(x) dx = F(x) \bigg|_{a}^{b} = F(b) - F(a) = S , con resultado un valor numérico. Cando a integral non ten un intervalo definido chámase **antiderivada**  \int_{}^{} f(x) dx = F(x) , ou **integral indefinida**, ou **primitiva**, ou **inversa da derivada** con resultado unha función.
## Definición conceptual
miniatura|dereita|Integrando a área dunha función abaixo dunha curva.
Para describir a integral dunha función f(x) dun intervalo x entre [a, b] utilízase a notación:
:  S = \int_{a}^{b} f(x) dx

A idea desta notación utilizando un *S* dado é xeneralizar a noción de sumatorio. Isto porque intuitivamente a integral de f(x) pode ser entendida como a suma de pequenos rectángulos de base dx e altura f(x), onde o produto f(x) dx é a área deste rectángulo. A suma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. Máis precisamente pode dicirse que a integral de riba é o valor límite da suma:
:  \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x.  
onde:
:\Delta x = \frac{b-a}{N}

é a lonxitude dos pequenos intervalos nos cales se divide o intervalo [a, b], f(x_i) é o valor da función nalgún punto deste intervalo. O que se espera é que cando N for moito grande o valor da suma se aproxime do valor da área debaixo da curva e, polo tanto, da integral de f(x) no intervalo. Ou sexa que o límite

: \lim_{N\to\infty} \sum_{i=0}^{N} f(x_i) \Delta x =  \int_{a}^{b} f(x) dx = S 

estea definido. O problema é que este raciocinio intuitivo é difícil de expresar en linguaxe matemática precisa. Por isto existen varias formas de definir a integración dun xeito formal. O resultado, no entanto, é coherente entre elas.

## Teorema do valor medio do cálculo integral
thumb|dereita|Xeometricamente: interpretando f(c) como a altura dun rectángulo e *b*–*a* como o ancho, este rectángulo ten a mesma área que a rexión embaixo da curva de *a* a *b*
Sexa *f* : [*a*, *b*] → **R** unha función continua. Entón existe *c* en (*a*, *b*) tal que

:\int_a^b f(x) \, dx = f(c)(b - a).

Isto dedúcese tamén do teorema fundamental do cálculo, xunto co teorema do valor medio para as derivadas. Dado que o valor medio de *f* en [*a*, *b*] defínese como

:\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx,

podemos interpretar a conclusión como *f* alcanza o seu valor medio nalgún *c* en (*a*, *b*).

En xeral, se *f* : [*a*, *b*] → **R** é continua e *g* é unha función integrábel que non muda de signo en [ *a*, *b*], entón existe *c* en (*a*, *b*) tal que

:\int_a^b f(x) g(x) \, dx = f(c) \int_a^b g(x) \, dx.

## Teorema fundamental do Cálculo
{{Teorema|título=Teorema fundamental do cálculo|1=Sexa f continua en [a,b] e F(x)=\int_{a}^{x} f a función integral definida para todo x \in [a,b], daquela F^' (x)=f(x).}}

A función procurada *F(x)* é unha función tal que, ao tomar a súa derivada obtense a función *f(x)*. 
Esta propiedade móstranos que a integración na verdade é a operación inversa da derivación, pois ao derivar unha función e deseguido a integrarmos, obterase a función orixinal. 
### Demostración 
F^'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{F(x+h)-F(x)}{h}=\lim_{h \to 0} \dfrac{\int_{a}^{x+h}f-\int_{a}^{x}f}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{\int_{x}^{x+h}f}{h}.

Polo teorema do valor medio do cálculo integral existe un punto c_h \in (x, x+h) tal que \int_{x}^{x+h}f = h f(c_h).   

A maiores se h \to 0, entón c_h \to x e temos finalmente que
: \lim_{h \to 0} \dfrac{h f(c_h)}{h} =  \lim_{h \to 0} f(c_h) = f(x).

### Demostración 2 
Ao resolver a integral de riba entre os límites *a* e *b*, o resultado final pódese escribir como:
 
: S =  \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) 

Onde a función *F(x)* é a función resultante da integración da función *f(x)*. O problema da integración, isto é, atopar a solución para unha integral, resúmese polo tanto a atopar a función *F(x)*.

Para ver isto, supoña que o límite superior da integral, isto é, *b* é moito próximo de *a*, tal que se poida escribir:
: b = a + \Delta x 

Como os puntos límites da integral están moito próximos pode escribirse:

: \int_{a}^{a+\Delta x} f(x) dx = F(a + \Delta x) - F(a) 

E ollando na definición da integración como un límite, dada arriba, pode dicirse que a integral, neste caso resúmese a só un dos termos na suma, e polo tanto pode dicirse, sen causar un erro moi grande, que:

: \int_{a}^{a+\Delta x} f(x) dx = f(a) \Delta x = F(a + \Delta x) - F(a) 

Comparando coa definición da derivada dunha función:

: f(x) = \frac{ F(x + \Delta x) - F(x) }{ \Delta x } \rightarrow f(x) = \frac{d}{dx} F(x) 

## Exemplo de cálculo paso a paso para un polinomio 
Calculando primeiro as primitivas (integral indefinida) e despois aplicando os valores do intervalo (integral definida).

**Fórmula da primitiva para as potencias de x**

: \int c x^{n} dx = \frac{c  x^{n+1}} {n+1}  

sendo c unha constante.

Exemplo cun polinomio:

: \int_{0}^{3} (x^2+2x+4) dx 
Trátase cada membro da función como unha función separada, e deseguido efectúase a suma entre eles e xérase outra función, a función na cal se substituirá o valor de X polos valores do intervalo; deste xeito, úsase o teorema do cálculo para chegar ao valor da integral.

:Intervalo  (0,3). 

: f(x) = x^2+2x+4.  

: \int (x^2) dx + \int (2x) dx + \int (4) dx.

Aquí úsase a Fórmula da Primitiva para cada integral.

: F(x) = \frac{x^{2+1}} {2+1} + \frac{2x^{1+1}} {1+1} + \frac{4x^{0+1}} {0+1}.

Isto xera a función que se usará para substituír os valores do intervalo.

: F(x)= \frac{x^3} {3} + x^2 + 4x .

Para x = 0 = a. 
: F(a) = 0 

Para x = 3 = b. 
: F(b) = \frac{3^3} {3} + 3^2 + 4 \cdot 3 = 30 

**TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO.**

: \int_{a}^{b} f(x) dx = F(x) \bigg|_{a}^{b} = F(b) - F(a) 

: \int_{0}^{3} (x^2+2x+4) dx = \frac{3^3} {3} + 3^2 + 12 - 0 

: \int_{0}^{3} (x^2+2x+4) dx = 30 

## Exemplos de integrais
Unha breve lista das integrais indefinidas máis frecuentes son

* Se {\mathrm{d} \over \mathrm{d}x} f(x) = g(x), daquela \int g(x) \mathrm{d}x = f(x) + C.
* \int 1\ \mathrm{d}x = x + C
* \int a\ \mathrm{d}x = ax + C
* \int x^n \mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C;\ n \neq -1
* \int \sin{x}\ \mathrm{d}x = -\cos{x} + C
* \int \cos{x}\ \mathrm{d}x = \sin{x} + C
* \int \sec^2{x}\ \mathrm{d}x = \tan{x} + C
* \int \csc^2{x}\ \mathrm{d}x = -\cot{x} + C
* \int \sec{x}\tan{x}\ \mathrm{d}x = \sec{x} + C
* \int \csc{x}\cot{x}\ \mathrm{d}x = -\csc{x} + C
* \int \frac{1}{x}\ \mathrm{d}x = \ln|x| + C
* \int \mathrm{e}^{x} \mathrm{d}x = \mathrm{e}^{x} + C
* \int a^{x} \mathrm{d}x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C;\ a > 0,\ a \neq 1
* \int \frac{1}\sqrt{a^2 - x^2}\ \mathrm{d}x = \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C
* \int \frac{1}{a^2 + x^2}\ \mathrm{d}x = \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C

E tres exemplos para obter a integral definida dadas as correspondentes primitivas:

: \int_{a}^{b} 1 dx = x|_a^b  = b-a (Integral da función constante  f(x)=1)
: \int_{a}^{b} x dx = \frac{1}{2} x^2|_a^b  = \frac{1}{2}(b^2-a^2) (Integral dunha función f(x) = x)
: \int_0^\pi \sin(x) \,dx = -\cos(x) \big|^{x = \pi}_{x = 0} = -\cos(\pi) - \big(-\cos(0)\big) = 2.

Por definición, a barra  f(x) |_a^b  utilízase co significado da diferenza  f(b) - f(a)

## Definicións de integral
Hai moitas formas de definir formalmente unha integral, non todas son equivalentes. As diferenzas existen principalmente para tratar casos especiais diferentes que poden non ser integrábeis baixo outras definicións, mais tamén son ocasionalmente por razóns pedagóxicas. As definicións máis utilizadas son as de **integral de Riemann** e **integral de Lebesgue**.

### Integral de Riemann 
thumbnail|Integral baixo o punto de visda das sumas de Riemann baseadas nunha *partición etiquetada*, con posicións de mostraxe e anchos irregulares (máximo en vermello).
A integral de Riemann defínese en termos de sumas de Riemann de funcións en relación ás *particións etiquetadas* dun intervalo. Sexa [*a*,*b*] un intervalo pechado da recta real; entón unha *partición etiquetada* de [*a*,*b*] é unha secuencia finita:

: a = x_0 \le t_1 \le x_1 \le t_2 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le t_n \le x_n = b. \,\!

thumbnail|left|Converxencia das sumas de Riemann como intervalos divididos, cando a mostraxe faise á ■ dereita, ■ o mínimo, ■ o máximo ou  ■ a esquerda.
Isto divide o intervalo [*a*,*b*] en subintervalos *i* [*x**i*−1, *x* *i*], onde cada un deles está "etiquetado" cun punto específico *t**i* de  [*x**i*−1, *x**i*]. Sexa Δ*i* = *x**i*−*x**i*−1 o ancho do subintervalo *i*. Unha *suma de Riemann* dunha función *f* en relación a esta partición etiquetada defínese como
:\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta_i. 
Así, cada termo da suma é a área do rectángulo cunha altura igual ao valor da función no punto especificado do subintervalo dado e do mesmo ancho que o ancho do subintervalo. O paso desta partición etiquetada é o ancho do maior subintervalo obtido pola partición, isto é, max*i*=1…*n* Δ*i*. A *integral de Riemann* dunha función *f* sobre o intervalo [*a*,*b*] é igual a *S* se:
:Para todos os ε &gt; 0 existe δ &gt; 0 tal que, para calquera partición etiquetada [*a*,*b*] cun paso menor que δ, temos
::\left| S - \sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta_i \right| 
Cando as etiquetas escollidas dan o valor máximo (ou mínimo) da función na integral respectiva, a suma de Riemann convértese nunha suma de Darboux superior (ou inferior), o que suxire a estreita conexión que existe entre a integral de Riemann e a integral de Darboux.

### Integral de Lebesgue
A integral de Riemann non está definida para unha ampla gama de funcións e situacións de importancia práctica (e de interese teórico). Por exemplo, a integral de Riemann pode integrar facilmente a densidade para obter a masa dunha trabe de aceiro, mais non se pode adaptar a unha bola de aceiro que descansa sobre ela. Isto motiva a creación doutras definicións, baixo as que se poden integrar unha variedade máis ampla de funcións. A integral de Lebesgue, en particular, alcanza unha gran flexibilidade baseada en centrar a atención nos pesos da suma ponderada.

Así, a definición da integral de Lebesgue comeza cunha medida, μ. No caso máis sinxelo, a medida de Lebesgue μ(*A*) dun intervalo *A* = [*a*,*b*] é o seu ancho, *b* − *a*, polo que a integral de Lebesgue coincide coa integral de Riemann cando ambas as dúas existen. En casos máis complicados, os conxuntos que se van medir poden estar moi fragmentados, sen continuidade nin semellanza de intervalos.

Para sacar proveito desta flexibilidade, a integral de Lebesgue inverte o enfoque da suma ponderada. Como di Folland: "Para calcular a integral de Riemann de *f*, o dominio [*a*,*b*] está dividido en subintervalos", mentres que na integral de Lebesgue, "de feito o que se está a dividir é o camiño de *f* ".

Un enfoque común é definir primeiro a integral da función característica dun conxunto medible *A* como:
:\int 1_A d\mu = \mu(A).
Isto esténdese por linearidade a unha función en escada simple, que só teñen un número finito *n* de valores distintos non negativos:
:\begin{align}
 \int s \, d\mu &{}= \int\left(\sum_{i=1}^{n} a_i 1_{A_i}\right) d\mu \\
 &{}= \sum_{i=1}^{n} a_i\int 1_{A_i} \, d\mu \\
 &{}= \sum_{i=1}^{n} a_i \, \mu(A_i)
\end{align}
(onde a imaxe de *A**i* cando se aplica a función en escada *s* é o valor constante *a**i*). Entón, se *E* é un conxunto medíbel, defínese
: \int_E s \, d\mu = \sum_{i=1}^{n} a_i \, \mu(A_i \cap E). 
Entón, para calquera función medible non negativa defínese *f*
:\int_E f \, d\mu = \sup\left\{\int_E s \, d\mu\, \colon 0 \leq s\leq f\text{ e } s\mbox{ é unha función en escada}\right\};
É dicir, estabelécese que a integral de *f* é o supremo de todas as integrais de función en escada que son menores ou iguais a *f*.
Calquera función medíbel "f" sepárase entre os seus valores positivos e negativos en función da definición
:\begin{align}
 f^+(x) &{}= \begin{cases}
 f(x), & \text{se } f(x) > 0 \\
 0, & \text{se non}
 \end{cases} \\
 f^-(x) &{}= \begin{cases}
 -f(x), & \text{se } f(x) 
Finalmente, *f* é Lebesgue integrábel se
:\int_E |f| \, d\mu 
E entón a integral defínese por
:\int_E f \, d\mu = \int_E f^+ \, d\mu - \int_E f^- \, d\mu. \,\!

Cando o espazo métrico no que se definen as funcións tamén é un espazo topolóxico localmente compacto (como é o caso dos números reais ℝ), as medidas son compatíbeis coa topoloxía en certo sentido apropiado (medida de Radon). Este é o enfoque adoptado por Bourbaki e un certo número doutros autores. Para máis detalles, consulte Medidas de Radon.

### Outras definicións de integral 
Aínda que as integrais de Riemann e Lebesgue son as definicións máis importantes dunha integral, hai algunhas outras, incluíndo:
* A integral de Riemann-Stieltjes, unha extensión da integral de Riemann.
* A integral de Lebesgue-Stieltjes, desenvolvida por Johann Radon, que xeneraliza as integrais de Riemann-Stieltjes e Lebesgue.
* A integral de Daniell, que inclúe a integral de Lebesgue e a integral de Lebesgue-Stieltjes sen necesidade de depender de ningunha medida.
* A integral de Henstock-Kurzwe, definida de varias maneiras por Arnaud Denjoy, Oskar Perron e (na forma máis elegante) Jaroslav Kurzweil, é desenvolvida por Ralph Henstock.
* A integral de Darboux, que é equivalente á integral de Riemann.
* A integral de Haar, que é a integral de Lebesgue coa medida de Haar.

## Propiedades da integral definida 
* \int_{a}^{b}(f(x) \pm g(x))dx=\int_{a}^{b} f(x)dx \pm \int_{a}^{b} g(x)dx.
*  \int_{a}^{b} k f(x) dx= k \int_{a}^{b} f(x)dx.
* Se  f(x) \ge 0 \in [a, b], daquela  \int_{a}^{b} f(x)dx \ge 0.
*  \int_{a}^{a} f(x)dx = 0.
* Se  f(x) \le g(x) \in [a, b], daquela  \int_{a}^{b} f(x)dx \le  \int_{a}^{b} g(x)dx.
* Se  c \in [a, b], temos  \int_{a}^{b} f(x)dx =  \int_{a}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{b} f(x)dx.

## Cálculo de integrais 
Para calcular unha integral pódese buscar unha primitiva da función e despois aplicar o teorema fundamental do cálculo para determinar o valor da integral. 

Pódese tentar automatizar esta técnica usando programas informáticos que implementen algoritmos de integración simbólica. Non sempre é posible atopar a primitiva dunha función e ás veces, aínda que sexa posible, o resultado é moi complexo.

Outra forma de atopar un valor aproximado da integral é utilizar o que se chama cadratura numérica, que é un conxunto de algoritmos que permiten calcular aproximadamente o valor da integral directamente sen atopar antes a función primitiva. 

### Mediante cálculo de primitivas 
A técnica máis básica para calcular integrais dunha variable real baséase no teorema fundamental do cálculo. Proceda do seguinte xeito:
# Escolla unha función *f*(*x*) e un intervalo [*a*, *b*].
# Procure unha primitiva de *f*, é dicir, unha función *F* tal que *F*' = *f*.
# Usando o teorema fundamental do cálculo, asumindo que nin o integrando nin a integral teñen singularidades no camiño da integración,
#: \int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).
# Polo tanto, o valor da integral é *F*(*b*) − *F*(*a*).

O paso difícil neste proceso é moitas veces atopar unha primitiva de *f*. Raramente é posible botarlle unha ollada a unha función e escribir a súa primitiva directamente. Moitas veces, é necesario utilizar unha das moitas técnicas que se desenvolveron para calcular integrais. A maioría destas técnicas transforman unha integral noutra que se espera que sexa máis sinxeliña. Estas técnicas inclúen:
* Integración por cambio de variábel
* Integración por partes
* Integración por redución
* Integración por substitución trigonométrica
* Integración de fraccións racionais

Aínda que estas técnicas fracasen, aínda é posíbel avaliar unha integral dada. Outras técnicas son:
* cálculo de residuos
* Integración por serie, usando por exemplo a serie de Taylor da *f* correspondente.
* Identidade de Parseval
* Integral de Gauss.

O cálculo de volumes de sólidos de revolución normalmente pódese facer con integración por discos ou integración por capas.

Os resultados específicos atopados usando as diferentes técnicas están listados na lista de integrais.

### Algoritmos de cálculo simbólico 
Moitos problemas de matemáticas, física e enxeñaría implican a integración onde se desexa unha fórmula explícita para a integral. Para este fin, ao longo dos anos publicáronse extensas listas de integrais. Coa expansión dos computadores, moitos profesionais, educadores e estudantes recorreron aos sistemas alxébricos computacionais que foron deseñados especificamente para realizar tarefas tediosas ou difíciles, incluída a integración. A integración simbólica presenta un reto especial no desenvolvemento deste tipo de sistemas.

Na altura do 2024 algún destes sistemas son: Maxima, Maple, Mathematica, Sage.

### Integración numérica
right|thumb|Métodos de cadratura numérico: método do rectángulo, regra trapezoidal, método de Romberg, cadratura gaussiana
As integrais definidas pódense aproximar usando varios métodos de integración numérica. 

O método do rectángulo consiste en dividir a rexión baixo a función nunha serie de rectángulos correspondentes aos valores da función e multiplícase polo ancho do paso para atopar a suma. 

Un enfoque mellor, a regra trapezoidal, substitúe os rectángulos usados ​​nunha suma de Riemann por trapecios. A regra trapezoidal pondera os valores primeiro e último pola metade, despois multiplica polo ancho do paso para obter unha mellor aproximación. 

A idea que está detrás da regra trapezoidal, que as aproximacións máis precisas da función producen mellores aproximacións da integral, pódese levar máis aló: a regra de Simpson aproxima o integrando mediante unha función cadrática por tramos.

As sumas de Riemann, a regra trapezoidal e a regra de Simpson son exemplos dunha familia de regras de cadratura chamadas fórmulas de Newton-Cotes. A regra de cadratura de grao  Newton-Cotes aproxima o polinomio en cada subintervalo cun polinomio de graos ''*. Escóllese este polinomio para interpolar os valores da función no intervalo. As aproximacións de Newton–Cotes de grao superior poden ser máis precisas , mais requiren máis avaliacións de funcións e poden sufrir imprecisións numéricas debido ao fenómeno de Runge. Unha solución a este problema é a cadratura de Clenshaw-Curtis, na que se aproxima o integrando expandíndoo en termos de polinomios de Chebyshev.

O método de Romberg reduce á metade o ancho de pasos de forma incremental, dando aproximacións trapezoidais indicadas por , , e así seguido, onde  é a metade de . Para cada tamaño de paso novo, só hai que calcular a metade dos novos valores da función; o resto tómanse do tamaño anterior. Despois interpola un polinomio a través das aproximacións, e extrapola a . 

A cadratura gaussiana avalía a función nas raíces dun conxunto de polinomios ortogonais. O método gaussiano de  puntos é exacto para polinomios de grao ata .

O cálculo de integrais de dimensións superiores (por exemplo, cálculos de volume) fai un uso importante de alternativas como a integración de Monte Carlo.

## Extensións 
### Integrais impropias 
[dereita|thumb|A [integral impropia\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(x+1)\sqrt{x}} = \pi
ten intervalos ilimitados tanto para o dominio como para o intervalo.]]
Unha integral de Riemann "propia" asume que o integrando está definido e é finito nun intervalo pechado e limitado, entre corchetes polos límites da integración. Unha integral impropia ocorre cando unha ou máis destas condicións non se cumpren. Nalgúns casos, esas integrais pódense definir considerando o límite dunha sucesión de integrais de Riemann propias en intervalos progresivamente maiores.

Se o intervalo está ilimitado, por exemplo no seu extremo superior, entón a integral impropia é o límite cando ese punto final vai cara a infinito:

: \int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)\,dx.

Se o integrando só está definido ou finito nun intervalo semiaberto, por exemplo  , de novo un límite pode proporcionar un resultado finito:

: \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{a+\epsilon}^{b} f(x)\,dx.

É dicir, a integral impropia é o límite das integrais propias xa que un punto final do intervalo de integración aproxímase a un número real específico, ou , ou . En casos máis complicados, esíxense límites en ambos os puntos finais ou nos puntos interiores.

### Integración múltiple 
right|thumb|A dobre integral calcula o volume baixo unha superficie z=f(x,y)
Do mesmo xeito que a integral definida dunha función positiva dunha variábel representa a área da rexión entre a gráfica da función e o eixo *x*, a *integral dobre* dunha función positiva de dúas variábeis representa o volume da rexión entre a superficie definida pola función e o plano que contén o seu dominio. Por exemplo, unha función en dúas dimensións depende de dúas variábeis reais, *x* e *y*, e da integral dunha función *f* sobre o rectángulo *R* dado como o produto cartesiano de dous intervalos R=[a,b]\times [c,d]

: \int_R f(x,y)\,dA

onde o diferencial  indica que a integración se toma con respecto á área. Esta integral dobre pódese definir usando suma de Riemann, e representa o volume (con signo) baixo a gráfica de  sobre o dominio *R*. En condicións axeitadas (por exemplo, se *f* é continua), o teorema de Fubini indica que esta integral pode expresarse equivalentemente como dúas integrais consecutivas 

: \int_a^b\left[\int_c^d f(x,y)\,dy\right]\,dx.

Isto reduce o problema de calcular unha integral dobre a calcular dúas integrais unidimensionais consecutivas. Por iso, outra notación para a integral sobre *R* usa un signo de dobre integral: Están en uso varias integrais de liña diferentes. 

A función a integrar pode ser un campo escalar ou un campo vectorial. O valor da integral da liña é a suma dos valores do campo en todos os puntos da curva, ponderado por algunha función escalar na curva (normalmente a lonxitude do arco ou, para un campo vectorial, o produto escalar do campo vectorial cun vector diferencial na curva). Esta ponderación distingue a integral de liña das integrais máis simples definidas en intervalos. Moitas fórmulas sinxelas en física teñen análogos continuos naturais en termos de integrais de liña; por exemplo, o feito de que o traballo sexa igual a forza, , multiplicado polo desprazamento, , pódese expresar (en termos de cantidades vectoriais) como:

: W=\mathbf F\cdot\mathbf s.

Para un obxecto que se move por un camiño  nun campo vectorial  como un campo eléctrico ou un campo gravitacional, o traballo total realizado polo campo sobre o obxecto obtense sumando o traballo diferencial realizado ao pasar de  a . Isto dá a integral de liña

: W=\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf s.
right|thumb|A definición de integral de superficie basease en dividir a superficie en pequenos elementos de superficie.
Unha *integral de superficie'' xeneraliza as integrais dobres á integración sobre unha superficie (que pode ser un conxunto curvo no espazo); pódese pensar como a integral dobre análogo da integral de liña. A función a integrar pode ser un campo escalar ou un campo vectorial. O valor da integral da superficie é a suma do campo en todos os puntos da superficie. Isto pódese conseguir dividindo a superficie en elementos de superficie, que proporcionan a partición para as sumas de Riemann.

Para un exemplo de aplicacións de integrais de superficie, considere un campo vectorial  nunha superficie ; é dicir, para cada punto  en ,  é un vector. Imaxine que un fluído flúe a través de , de tal xeito que  determina a velocidade do fluído en . O fluxo defínese como a cantidade de fluído que flúe por  nunha unidade de tempo. Para atopar o fluxo, hai que realizar o produto escalar de  coa normal unitaria da superficie a  en cada punto, que dará un campo escalar, que será o que integemos sobre a superficie:

: \int_S {\mathbf v}\cdot \,d{\mathbf S}.

O fluxo de fluído neste exemplo pode ser dun fluído físico como auga ou ar, ou dun fluxo eléctrico ou magnético. Así as integrais de superficie teñen aplicacións en física, particularmente coa teoría clásica do electromagnetismo.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*  
* 
* . In particular chapters III and IV.
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*
* (Originally published by Cambridge University Press, 1897, based on J. L. Heiberg's Greek version.)
* 
* 
*
*
*
* 
* 
* 
* 
*
* 
* 
* .
* 
* .
* 
* 
### Outros artigos 
* Lista de integrais
* Antiderivada ou Integral indefinida
### Ligazóns externas 
* 
* Online Integral Calculator, Wolfram Alpha.
* Keisler, H. Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, University of Wisconsin
* Stroyan, K. D., A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, University of Iowa
* Mauch, Sean, ''Sean's Applied Math Book*, CIT, an online textbook that includes a complete introduction to calculus
* Crowell, Benjamin, *Calculus*, Fullerton College, an online textbook
* Garrett, Paul, Notes on First-Year Calculus
* Hussain, Faraz, Understanding Calculus, an online textbook
* Johnson, William Woolsey (1909) Elementary Treatise on Integral Calculus, link from HathiTrust.
* Kowalk, W. P., *Integration Theory* , University of Oldenburg. A new concept to an old problem. Online textbook
* Sloughter, Dan, Difference Equations to Differential Equations , an introduction to calculus
* Numerical Methods of Integration at *Holistic Numerical Methods Institute''
* P. S. Wang, Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation (1972)&nbsp;— a cookbook of definite integral techniques