Espazo vectorial xerado

dereita|miniatura|280x280px| O plano sombreado é o espazo linear xerado por **u** e **v** tanto en **R**2 como en **R**3, aquí mostrado en perspectiva. Dous vectores, que non están na mesma recta, xeran un plano nas tres dimensións (**R**3

En matemáticas, o **espazo vectorial xerado**  por un conxunto S (**sistema xerador,** en inglés **span**) dalgúns elementos dun espazo vectorial V é o subespazo linear máis pequeno de V que contén S. 

É o conxunto de todas as combinacións lineares finitas dos elementos de ,  e tamén se pode ver como a intersección de todos os subespazos lineares que conteñen S. Moitas veces denotado como   ou \langle S \rangle.

Por exemplo, en xeometría, dous vectores linearmente independentes xeran un plano.

## Definición 
Dado un espazo vectorial  sobre un corpo , o espazo vectorial xerado por un conxunto  de vectores (non necesariamente finito) defínese como a intersección  de todos os subespazos de  que conteñen a . É polo tanto o subespazo máis pequeno (na inclusión de conxuntos) que contén . Denomínase subespazo *xerado por* , ou polos vectores en . Se trocamos a orde da frase,  é o sistema *xerador*  de , e dicimos que  *xera* .

Desta definición despréndese que o espazo vectorial xerado por  é o conxunto de tódalas combinacións lineares finitas de elementos (vectores) de , e pódese definir como tal.   É dicir,  \operatorname{span}(S) = \biggl \{ \lambda_1 \mathbf v_1 + \lambda_2 \mathbf v_2 + \cdots + \lambda_n \mathbf v_n \mid n \in \N,\; \mathbf v_1,...\mathbf v_n  \in S, \; \lambda_1,...\lambda_n \in K \biggr \}

## Exemplos 
O espazo vectorial real \mathbb R^3 ten {(−1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} como sistema xerador. Este conxunto  tamén é unha base. Se (−1, 0, 0) fose substituído por (1, 0, 0), tamén formaría unha base denominada base canónica de \mathbb R^3.

Outro sistema xerador para o mesmo espazo vén dado por {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1,, 3), (1, 1, 1)}, mais este conxunto non é unha base, porque é linearmente dependente.

O conxunto {{Math|{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)}} } non é un conxunto xerador de \mathbb R^3, porque o que xera ese conxunto é un espazo con todos os vectores en \mathbb R^3 cuxo último compoñente é cero. Ese espazo tamén se pode xerar polo conxunto de só dous vectores {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}, xa que o terceiro (1, 1, 0) é unha combinación linear de (1, 0, 0) e (0, 1, 0). Por tanto, o espazo xerado non é \mathbb R^3, senón un plano de dúas dimensións dentro de \mathbb R^3.

O conxunto de monomios , onde  é un número enteiro non negativo, xera o espazo dos polinomios.

## Teoremas 
### Equivalencia de definicións 
O conxunto de todas as combinacións lineares dun subconxunto  de , un espazo vectorial sobre , é o subespazo linear máis pequeno de  que contén a .

### O tamaño do sistema xerados é polo menos o tamaño do conxunto linearmente independente 
Todo sistema xerador  dun espazo vectorial xerado    debe conter polo menos tantos elementos como calquera conxunto linearmente independente de vectores de .

### O sistema xerador pódese reducir a unha base 
Sexa  un espazo vectorial de dimensión finita. Calquera conxunto de vectores que xera  pódese reducir a unha base de , descartando algúns vectores se é necesario (é dicir, se hai vectores linearmente dependentes no conxunto). 

Se o axioma de escolla é válido, isto é certo tamén para dimensión infinita. Isto tamén indica que unha base é un sistema xerador mínimo cando  é de dimensión finita.

## Espazo vectorial xerado pechado (análise funcional) 
Na análise funcional, unha espazo vectorial pechado xerado por un conxunto de vectores é o conxunto pechado mínimo que contén o sistema xerador dese conxunto.

Supoña que  é un espazo vectorial normado e sexa  calquera subconxunto non baleiro de . O **espazo vectorial pechado xerado**  por , denotado como \overline{\operatorname{Sp}}(E) ou \overline{\operatorname{Span}}(E), é a intersección de todos os subespazos lineares pechados de  que conteñen .

Unha formulación matemática disto é

: \overline{\operatorname{Sp}}(E) = \{u\in X | \forall\varepsilon > 0\,\exists x\in\operatorname{Sp}(E) : \|x - u\|

### Un lema útil 
Sexa  un espazo normado e sexa  calquera subconxunto non baleiro de . Daquel{{ordered list|\overline{\operatorname{Sp}}(E) is a closed linear subspace of *X* which contains *E*,|\overline{\operatorname{Sp}}(E) = \overline{\operatorname{Sp}(E)}, viz. \overline{\operatorname{Sp}}(E) is the closure of \operatorname{Sp}(E),|E^\perp = (\operatorname{Sp}(E))^\perp = \left(\overline{\operatorname{Sp}(E)}\right)^\perp.|(E^\perp)^\perp = ((\operatorname{Sp}(E))^\perp)^\perp = \overline{\operatorname{Sp}(E)}.|list-style-type=lower-alpha}}(Por tanto, a forma habitual de atopar o espazo vectorial pechado xerado é atopar primeiro o espazo vectorial  xerado e despois o peche dese espazo vectorial).

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* Lay, David C. (2021) *Linear Algebra and Its Applications (6th Edition)*. Pearson.

### Outros artigos 
* Espazo vectorial.
* Sistema de ecuacións lineares
* Envolvente convexa

### Ligazóns externas 
* Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors, khanacademy.org.