Proporcionalidade (matemáticas)

dereita|Variábeis proporcionais relacionadas por unha función linear.

A **proporcionalidade** é unha relación entre magnitudes. É un dos escasos conceptos matemáticos amplamente difundidos entre a poboación debido a que é en boa medida unha noción intuitiva e de uso moi común.

Dúas funcións f(x) e g(x) son *proporcionais* se a súa proporción \frac{f(x)}{g(x)} é unha función constante k.

Se varios pares de variábeis comparten a mesma constante de proporcionalidade directa, a ecuación que expresa a igualdade destas razóns chámase **proporción**,  (para outros detalles véxase Ratio).

A proporcionalidade está moi relacionada coa *linearidade*.

Se temos dúas variábeis relacionadas x e y:
*A **proporcionalidade directa** dáse cando un incremento na variábel x produce un incremento na variábel y. Logo x e y son directamente proporcionais.
*A **proporcionalidade inversa** dáse cando un incremento na variábel x produce unha diminución na variábel y. Logo x e y son inversamente proporcionais.

O factor constante de proporcionalidade pode utilizarse para expresar as relacións entre as magnitudes.

## Símbolo
O símbolo matemático '∝' utilízase para indicar que dous valores son proporcionais. Por exemplo, A ∝ B.

En Unicode este é o símbolo: U+221D.

## Proporcionalidade directa
Dada unha variábel independente x e unha variable dependente y, temos que y é **directamente proporcional** a 'x se hai unha constante positiva k tal que:
: y = kx.

A k pode chamarlle **constante de proporcionalidade**.

### Exemplo 
A receita dunha torta de vainilla indica que para catro persoas necesítanse 200 g de fariña, 150 g de manteiga, catro ovos e 120 g de azucre vainillado. Como adaptar a receita para cinco persoas? 

Segundo varios estudos, a maioría da xente calcularía as cantidades para unha persoa (dividindo entre catro) e logo as multiplicaría polo número real de persoas, cinco; outras só lle sumarían o que a unha persoa lle corresponde. Unha minoría non sente a necesidade de pasar polas cantidades unitarias (é dicir, por persoa) e multiplicaría os números da receita por 5/4 = 1,25 (o que equivale a engadir cinco ovos, 250 g de fariña, 187,5 g de manteiga e 150 g de azucre), e a torta terá o mesmo sabor que a outra, se o cociñeiro afeccionado é tan bo como o *chef* que escribiu a receita.

Dise que a cantidade de cada ingrediente é **proporcional** ao número de persoas (ou **directamente proporcional**), e se representa esta situación mediante unha táboa de proporcionalidade: coeficiente **k** non nulo ( \tfrac{5}{4} no exemplo) tal que 

:y_1 = k\cdot x_1, y_2= k\cdot x_2 \quad...\quad y_n= k\cdot x_n.

Se consideramos x_1, x_2 ... x_n \  e y_1, y_2 ... y_n \  como valores de variábeis x e y, entón dise que estas variábeis son proporcionais; a igualdade **y = k·x** significa que *y* é unha función lineal de *x*.

A representación gráfica desta función é unha recta que pasa pola orixe do sistema de coordenadas. Unha variación (incremento ou decremento) de x dá lugar a unha variación proporcional de y (e reciprocamente, posto que k \ne 0: y = \tfrac{1}{k} \cdot x): 
:\Delta y = k \cdot \Delta x \ 
 
Son as funcións máis sinxelas que existen e as primeiras que se estudan na clase de matemáticas, con alumnos de trece anos aproximadamente.

A relación "Ser proporcional a" é 
* reflexiva (toda variábel es proporcional a si mesma, co coeficiente 1)
* simétrica (cando *y* é proporcional a *x* entón *x* o é a *y*, co coeficiente inverso) e 
* transitiva (se *x* é proporcional a *y*, e *y* a *z*, entón *x* o é con *z*, multiplicando os coeficientes)

polo que se trata dunha relación de equivalencia. En particular dúas variábeis proporcionais a unha terceira serán proporcionais entre si).

A táboa do primeiro exemplo pódese descompoñer en tres de formato dous por dous:
none|Exemplo proporcionalidade directa

por tanto as propiedades da proporcionalidade ilústranse preferentemente con táboas de catro cuadrículas.

centro|Tres maneiras de ver a proporcionalidade.

Unha **proporción** está formada polos números a, b, c, d, se a razón entre a e b é a mesma que entre c e d.

Unha proporción está formada por dúas razóns iguais:
a : b = c : d , onde a, b, c, d son distintos de cero e lese a é a b como c é a d.

Na proporción hai catro termos; a e d denomínase **extremos**; c e b chámanse **medios**. En toda proporción *o produto dos extremos é igual ao produto dos medios*.

Para establecer que unha táboa é proporcional, pódese: 
# verificar que a segunda columna é múltiplo da primeira, (primeira táboa: para pasar do primeiro cadro ao segundo, hai que multiplicar por  b \over a; na segunda liña tense que multiplicar por  d \over c, logo estas fraccións deben ser iguais para obter columnas proporcionais)
# verificar que a segunda liña é múltiplo da primeira (segunda táboa, cun razoamento parecido) ou 
# verificar a igualdade dos produtos cruzados: a \cdot d = b \cdot c. (terceira táboa: as igualdades anteriores equivalen a a \cdot d = b \cdot c, cando non hai valores nulos, que por certo non teñen un grande interese neste contexto).

**Proporción múltipla**:
Unha serie de razóns está formada por tres ou máis razóns iguais:
a : b = c : d = e : f

### Exemplo múltiple
Dous albaneis constrúen un muro de doce metros de superficie en tres horas; que superficie construirán cinco albaneis en catro horas?

Hai dous parámetros que inflúen na superficie construída: o número de albaneis e o tempo de traballo. Non hai que resistir a tentación de aplicar dúas veces a proporcionalidade pero, iso si, explicitando as hipóteses subxacentes.

Afirmar que o traballo realizado é proporcional ao número de albaneis equivale a dicir que todos os obreiros teñen a mesma eficacia no traballo (son intercambiábeis); e afirmar que a superficie á proporcional ao tempo de traballo supón que o rendemento non cambia co tempo: os albaneis non se cansan.

esquerda|Proporcionalidade múltipla.

Admitindo estas dúas hipóteses, pódese contestar á pregunta pasando por unha etapa intermedia:  que superficie construirían dous albaneis en catro horas?

O parámetro "número de albaneis" ten un valor fixo, logo aplicamos a proporcionalidade co tempo (subtáboa vermella). A superficie construída será multiplicada por 4 \over 3.
Logo, fixando o parámetro tempo en catro horas, e variando o número de obreiros de 2 a 5, a superficie se multiplicará por 5 \over 2 (a subtáboa azul é proporcional).

A proporcionalidade múltipla resólvese así, multiplicando polos coeficientes correspondentes a cada factor:

centro|Caso xeral da proporcionalidade múltipla.

## Proporcionalidade inversa
thumb|300x300px|Proporcionalidade inversa con produto
Dúas variábeis son **inversamente proporcionais** (ou están en **proporción inversa**)se cada unha das variábeis é directamente proporcional ao inverso multiplicativo (recíproco) da outra, ou de forma equivalente se o seu produto é unha constante.

Por tanto y é inversamente proporcional a x se existe unha constante k distinta de 0 tal que
: y = \frac{k}{x}
ou equivalentemente, xy = k. De aí a constante k é o produto de  x e y.

### Exemplo
Dous autos percorren exactamente o mesmo camiño. O primeiro tardou dúas horas e media en chegar ao destino, rodando a unha velocidade media de 70&nbsp;km/h. O segundo roda a 100&nbsp;km/h. Canto tempo tardará en chegar?

Canto maior sexa a velocidade, menor tempo durará a viaxe. Se multiplicamos por dous a velocidade, a duración da viaxe se dividirá por dous. Aquí, claramente o tempo do percorrido non é proporcional á velocidade senón xustamente o contrario: é **inversamente proporcional**, é dicir, proporcional á inversa da velocidade. Isto permite responder á pregunta:

centro|Exemplo de proporcionalidade inversa.

cambiando unha multiplicación por unha división (primeira táboa) ou aplicando a proporcionalidade coa inversa da velocidade (segunda táboa). 

O tempo será 2,5 \times \frac{7}{10} = 1,75, é dicir, unha hora e 45 minutos. 
 
Máis xeralmente, se unha variábel *y* é inversamente proporcional a outra variábel *x*, pódese aplicar a proporcionalidade con \tfrac{1}{x} .

É dicir, que o produto dos valores correspondentes (aquí na mesma liña) é constante. No exemplo:  70 \times 2,5 = 100 \times 1,75 = 175km, que é a lonxitude do percorrido.

Podemos dicir que velocidade e tempo son **inversamente proporcionais**, a máis velocidade menos tempo.

## Táboa de variación proporcional
Unha **táboa de variación proporcional** é aquela que segue unha secuencia utilizando de base o prezo dalgún obxecto ou outra cousa que poida aumentar ou diminuír certo número ou obxecto de forma proporcional.

:Exemplo: 
:**nº de bólas** / ** prezo** 
:: 2 bólas / 50 céntimos
:: 4 bólas / 1 euro
:: 6 bólas / 1,50 euros

## Magnitudes directamente proporcionais
Dúas magnitudes son **directamente proporcionais** cando ao multiplicar ou dividir unha delas por un número, a outra queda multiplicada ou dividida respectivamente polo mesmo número.

:Exemplo:
:Un automóbil consome 10 litros de gasolina por cada 120 km de percorrido. Cantos quilómetros percorre con 30 litros?

:Observamos que as magnitudes son directas. Se a razón ou cociente entre elas é un valor constante. Cos datos da táboa, achamos a razón.

:Elaboramos unha táboa de proporcionalidade:

:Gasolina 10 1 10 20 40
:(litros)

:Percorrido 120 12 240 480
:(quilómetros)

:Con 20 litros de gasolina, o coche percorre 240 quilómetros: cantos máis quilómetros se percorran, máis litros de gasolina se consumirán. O número de quilómetros percorridos é directamente proporcional (D.P.) ao número de litros de gasolina, sempre que as demais condicións se manteñan constantes, isto é, que non se modificaran as condicións climáticas ou xeográficas que modificaran o consumo. Polo tanto, con 30 litros de gasolina o coche percorrerá 360 quilómetros.

## Aplicación en xeometría
O concepto de proporcionalidade é equivalente ao de semellanza cando se comparan dous triángulos semellantes. De feito, as propiedades da proporcionalidade (reflexividade, simetría e transitividade) son as mesmas que as da semellanza.

## Proporcionalidade nas ciencias
A proporcionalidade  en ciencias é unha relación matemática que se define como unha correspondencia unívoca entre magnitudes medidas. Alén das matemáticas, a proporcionalidade é fundamental en moitas outras disciplinas científicas para describir relacións consistentes e previsíbeis entre variábeis. 

### En física 
En física, a proporcionalidade xoga un papel crucial en leis como a de Hooke para resortes, onde a forza é directamente proporcional á extensión, e na Lei de Ohm, onde a corrente é directamente proporcional á tensión aplicada e inversamente proporcional á resistencia.

### En química 
En química, a lei das proporcións constantes indica que en compostos químicos definidos, as proporcións en masa dos elementos son constantes, independentemente da orixe da mostra ou do método de preparación.

### En bioloxía 
Na bioloxía, a proporcionalidade pode observarse nos ritmos metabólicos, onde cambios na masa corporal teñen efectos proporcionais na taxa metabólica.

## Notas
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Eudoxo de Cnido
* Número áureo
* Triángulo
* Proporción
* Proporción (arquitectura)
* Escala (cartografía)
* Razón (matemáticas)

### Ligazóns externas 
* Proporcionalidade https://www.edu.xunta.gal/centros/iesnumero1ribeira/?q=system/files/3ESO%205%20Proporcionalidad_1.pdf edu.xunta.gal
* Wolfram MathWorld .
* *Teoria da Proporcionalidade: a famosa "Regra de Três" * - Mundo da Matemática