Subespazo vectorial

En matemáticas, e máis concretamente en álxebra linear, un **subespazo linear** ou **subespazo vectorial**   é un espazo vectorial que é un subconxunto dalgún espazo vectorial maior. Un subespazo linear adoita chamarse simplemente *subespazo* cando o contexto serve para distinguilo doutros tipos de subespazos.

## Definición 
Se *V* é un espazo vectorial sobre un corpo *K*, un subconxunto *W* de *V* é un **subespazo vectorial** de *V* se é un espazo vectorial sobre *K* coas operacións de *V*. 

De forma equivalente, un subespazo vectorial de *V* é un subconxunto *W* non baleiro tal que, sempre que  son elementos de *W* e  son elementos de *K*, temos que  está en *W*.     

O conxunto unitario formado só polo vector cero e o propio espazo vectorial son subespazos vectoriais que se denominan **subespazos triviais** do espazo vectorial.

## Exemplos 
### Exemplo I 
No espazo vectorial *V* = **R**3 (o espazo de coordenadas reais en 3 dimensións sobre o corpo **R** de números reais), tomamos *W* como  o conxunto de todos os vectores de *V* cuxa última compoñente é 0. Entón *W* é un subespazo de *V*.

*Proba:*

# Dados **u** e **v** en *W*, entón poden expresarse como  e . Así temos . Por tanto, **u** + **v** tamén é un elemento de *W.*
# Dado **u** en *W* e un escalar \lambda en **R**, se  temos \lambda \textbf{u} = (\lambda u_1, \lambda u_2, \lambda 0)= (\lambda u_1,  \lambda u_2, 0). Por tanto, \lambda**u** tamén é un elemento de *W.*

### Exemplo II 
Sexa de novo o corpo **R**, mais agora sexa o espazo vectorial *V* o plano cartesiano **R**2. Considere *W* como o conxunto de puntos (*x*, *y*) de **R** 2 tal que *x* = *y*. Entón *W* é un subespazo de **R**2.

### Exemplo III 
De novo tome o corpo **R**, mais agora sexa o espazo vectorial *V* o conxunto **R****R** de todas as funcións de **R** en **R**. Sexa C(**R**) o subconxunto formado polas funcións continuas. Entón C(**R**) é un subespazo de **R****R**.

*Proba:*

# Sabemos polo cálculo que .
# Sabemos polo cálculo que a suma de funcións continuas é continua.
# De novo, sabemos polo cálculo que o produto dunha función continua e un número é continua.

### Exemplo IV 
Manteña o mesmo corpo e espazo vectorial que antes,mais agora considere o conxunto Diff(**R**) de todas as funcións diferenciábeis. O mesmo tipo de argumento que antes mostra que este tamén é un subespazo vectorial.

## Propiedades dos subespazos 
Da definición de espazos vectoriais, despréndese que os subespazos non están baleiros e están pechados baixo as sumas e baixo a multiplicación escalar. 

Isto é equivalente a dicir que os subespazos poden caracterizarse pola propiedade de estaren pechados baixo combinacións lineares. É dicir, un conxunto non baleiro *W* é un subespazo vectorial se e só se toda combinación linear de elementos finitos de *W* tamén pertence a *W*. 

Nun espazo vectorial topolóxico *X*, un subespazo *W* non necesita estar pechado topoloxicamente, mais un subespazo de dimensión finita sempre está pechado.  

## Tipos frecuentes de subespazos 
Algúns tipos frecuentes de subespazos inclúen o conxunto solución dun sistema homoxéneo de ecuacións lineares, o subconxunto do espazo euclidiano descrito por un sistema de ecuacións paramétricas homoxéneas lineares, o subespazo vectorial xerado por unha colección de vectores, o  espazo nulo ou kernel, e tamén os  espazos de columnas e os  espazos de filas dunha matriz (combinacións lineares das columnas ou filas da matriz). 

Xeometricamente (especialmente sobre o corpo de números reais e os seus subcorpos), un subespazo é un hiperplano nun n-espazo que pasa pola orixe.

### Independencia, base e dimensión 
dereita|miniatura|280x280px| Os vectores **u** e **v** son unha base deste subespazo bidimensional de **R**3.
En xeral, un subespazo de *K**n* determinado por *k* parámetros (ou estendido por *k* vectores) ten dimensión *k*. No entante, hai excepcións a esta regra. Por exemplo, o subespazo de *K*3 estendido polos tres vectores (1,0,0), (0,0,1), e (2,0,3) é só o plano *xz*, con cada punto do plano descrito por infinitos valores diferentes de .

En xeral, os vectores **v**1,&nbsp;...&nbsp;,&nbsp;**v***k* chámanse **linearmente independentes** se

: t_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + t_k \mathbf{v}_k \;\ne\; u_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + u_k \mathbf{v}_k

para (*t*1 ,*t*2 ,...,*t k* )≠ (*u*1,*u* 2 ,...,*uk* ). 

Isto pódese expresar tamén como: os vectores **v**1, ..., **v***k* son **linearmente independentes** se

: para .

Se   son linearmente independentes, entón as **coordenadas**   para un vector xerado están determinadas de forma única.

Unha **base** para un subespazo *S* é un conxunto de vectores linearmente independentes cuxa combinación linear (ou extensión) é *S*. O número de elementos nunha base é sempre igual á dimensión xeométrica do subespazo. 

; Exemplo
: Sexa *S* o subespazo de **R**4 definido polas ecuacións
:: x_1 = 2 x_2\;\;\;\;\text{e}\;\;\;\;x_3 = 5x_4.
: Entón os vectores (2, 1, 0, 0) e (0, 0, 5, 1) son unha base para *S*. En particular, cada vector que satisfaga as ecuacións anteriores pódese escribir de forma única como unha combinación linear dos dous vectores básicos:

:: (2t_1, t_1, 5t_2, t_2) = t_1(2, 1, 0, 0) + t_2(0, 0, 5, 1).

: O subespazo *S* é bidimensional. Xeométricamente, é o plano en **R**4 que pasa polos puntos (0,0,0,0), (2,1,0,0), e (0,0,5,1).

## Operacións e relacións con subespazos 
### Intersección 
dereita|miniatura| En **R**3, a intersección de dous subespazos bidimensionais distintos é unidimensional
Dados os subespazos *U* e *W* dun espazo vectorial *V*, entón a súa intersección *U*&nbsp;∩&nbsp;*W*&nbsp;:= { **v**&nbsp;∈&nbsp;*V*&nbsp;: **v**&nbsp;é un elemento tanto de *U* como *W* } tamén é un subespazo de *V*.

### Suma 
Se *U* e *W* son subespazos, a súa **suma** é o subespazo   U + W = \left\{ \mathbf{u} + \mathbf{w} \colon \mathbf{u}\in U, \mathbf{w}\in W \right\}.

Por exemplo, a suma de dúas rectas é o plano que as contén. A dimensión da suma satisfai a desigualdade \max(\dim U,\dim W) \leq \dim(U + W) \leq \dim(U) + \dim(W).

Aquí, o mínimo só ocorre se un subespazo está contido no outro, mentres que o máximo é o caso máis xeral. A dimensión da intersección e a suma están relacionadas coa seguinte ecuación:  \dim(U+W) = \dim(U) + \dim(W) - \dim(U \cap W).

Un conxunto de subespazos é **independente** cando a única intersección entre calquera par de subespazos é o subespazo trivial. 

A **suma directa** é a suma de subespazos independentes, escritos como U \oplus W. Unha reformulación equivalente é que unha suma directa é unha suma de subespazos baixo a condición de que cada subespazo contribúa na extenxión da suma.    

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
*
* 
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
* 

### Outros artigos 
* Suma directa.
* Produto vectorial.
* Espazo cociente.
### Ligazóns externas 
*