Función cadrática

En matemáticas, un **polinomio cadrático** é un polinomio de grao dous nunha ou máis variables. Unha **función cadrática** é a función polinómica definida por un polinomio cadrático. 
[dereita|miniatura| Un polinomio cadrático con dúas [Raíz dunha función|raíces reais (cruces do eixe *x*) e, polo tanto, sen raíces complexas. Algúns outros polinomios cadráticos teñen o seu mínimo por riba do eixe *x*, nese caso non hai raíces reais e dúas raíces complexas.]]
Por exemplo, unha función cadrática cun unha única variábel ten a forma 

: f(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz +j,

onde  é a súa variable. A gráfica dunha función cadrática univariada é unha parábola, unha curva que ten un eixe de simetría paralelo ao eixe .

O caso bivariábel en termos de variábeis  e  ten a forma

: f(x)=ax^2+bx+c,\quad a \ne 0,

con polo menos un de  non igual a cero. Os ceros desta función cadrática son, en xeral, unha sección cónica (un círculo ou outra elipse, unha parábola ou unha hipérbole ).

Unha función cadrática en tres variábeis , , e  contén exclusivamente termos , , ,  e unha constante:

:  f(x,y) = a x^2 + bx y+ cy^2 + d x+ ey + f ,

Unha función cadrática pode ter un número arbitrariamente grande de variábeis. 

## Terminoloxía 
### Coeficientes 
Os coeficientes dunha función cadrática adoitan ser números reais ou complexos, mais pódense tomar en calquera anel, nese caso o dominio e o codominio son ese anel (ver avaliación polinomial).

### Grao 
Cando se usa o termo "polinomio cadrático", os autores normalmente queren dicir "ter o grao exactamente 2", mais ás veces pode ser "ter o grao como máximo 2". Se o grao é inferior a 2, pódese denominar como un " caso dexenerado ". Normalmente o contexto establecerá cal dos dous quere dicir.

### Variábeis 
Un polinomio cadrático pode implicar unha única variábel *x* (o caso univariábel) ou varias variábeis como *x*, *y* e *z* (o caso multivariábel).

#### O caso dunha soa variábel 
Calquera polinomio cadrático dunha soa variábel pódese escribir como

: ax^2 + bx + c,

onde *x* é a variábel e *a*, *b* e *c* representan os coeficientes. Tales polinomios xorden a miúdo nunha ecuación de segundo grao ax^2 + bx + c = 0. As solucións desta ecuación chámanse raíces e pódense expresar en termos de coeficientes como a fórmula cadrática. Cada polinomio cadrático ten asociada unha función cadrática, cuxa gráfica é unha parábola.

#### Casos bivariados e multivariados 
Calquera polinomio cadrático con dúas variábeis pódese escribir como

: a x^2 + b y^2 + cxy + dx+ e y + f,

onde  e  son as variábeis e  son os coeficientes, e un de ,  e  é distinto de cero. Estes polinomios son fundamentais para o estudo das seccións cónicas, xa que a ecuación implícita dunha sección cónica obtense igualando a cero un polinomio cadrático, e os ceros dunha función cadrática forman unha sección cónica (posiblemente dexenerada).

Do mesmo xeito, os polinomios cadráticos con tres ou máis variábeis corresponden a superficies cádricas ou hipersuperficies.

Os polinomios cadráticos que só teñen termos de grao dous chámanse formas cadráticas.

## Formas dunha función cadrática univariábel 
Unha función cadrática univariábel pódese expresar en tres formatos:

* f(x) = a x^2 + b x + c chámase **forma estándar** ,
* f(x) = a(x - r_1)(x - r_2) chámase **forma factorizada**, onde  e  son as raíces da función cadrática e as solucións da ecuación cadrática correspondente.
* f(x) = a(x - h)^2 + k chámase **forma de vértice**, onde  e  son as coordenadas  e  do vértice, respectivamente.

O coeficiente  é o mesmo valor nas tres formas. Para converter a **forma estándar** en **forma factorizada** só se necesita a fórmula cadrática para determinar as dúas raíces  e . Para converter a **forma estándar** en **forma de vértice**, necesítase un proceso chamado completar o cadrado. Para converter a forma factorizada (ou forma de vértice) a forma estándar, hai que multiplicar, expandir e/ou distribuír os factores.

## Gráfico da función univariábel 
miniatura|350x350px|f(x) = ax^2 |_{a=\{0.1,0.3,1,3\}}
miniatura|375x375px|f(x) = x^2 + bx |_{b=\{1,2,3,4\}}
miniatura|375x375px|f(x) = x^2 + bx |_{b=\{-1,-2,-3,-4\}}
Independentemente do formato, a gráfica dunha función cadrática univariábel f(x) = ax^2 + bx + c é unha parábola (como se mostra á dereita). De forma equivalente, esta é a gráfica da ecuación cadrática bivariábel y = ax^2 + bx + c .

* Se , a parábola ábrese cara arriba.
* Se , a parábola ábrese cara abaixo.

O coeficiente  controla o grao de curvatura da gráfica; unha maior magnitude de  dálle á gráfica unha aparencia máis pechada (con curvas pronunciadas).

Os coeficientes  e  controlan xuntos a localización do eixe de simetría da parábola (tamén a coordenada  do vértice e o parámetro *h* na forma do vértice) que está en

: x = -\frac{b}{2a}.

O coeficiente  controla a altura da parábola; máis concretamente, é a altura da parábola onde intercepta o eixe .

### Vértice 
O **vértice** dunha parábola é o lugar onde xira; polo tanto, tamén se lle chama **punto de inflexión**. Se a función cadrática está en forma de vértice, o vértice é . 

#### Puntos máximos e mínimos 
Usando o cálculo, o punto vértice, como é un máximo ou mínimo da función, pódese obter atopando as raíces da derivada:

: f(x)=ax^2+bx+c \quad \Rightarrow \quad f'(x)=2ax+b

 é a raíz de  if 
resultando en

: x=-\frac{b}{2a}

co valor da función correspondente

: f(x) = a \left (-\frac{b}{2a} \right)^2+b \left (-\frac{b}{2a} \right)+c = c-\frac{b^2}{4a},

polo que as coordenadas do punto vértice, , pódense expresar como

:  \left (-\frac {b}{2a}, c-\frac {b^2}{4a} \right). 

## Raíces da función univariábel 
### Raíces exactas 
As raíces (ou *ceros*),  e , da función cadrática univariábel

: \begin{align}
 f(x) &= ax^2+bx+c \\ 
 &= a(x-r_1)(x-r_2), \\ 
\end{align}

son os valores de  para os que .

Cando os coeficientes ,  e , son reais ou complexos, as raíces o son

: r_1=\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}, 

: r_2=\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}. 

## Función cadrática bivariábel (dúas variables). 
Unha **función cadrática bivariábel** é un polinomio de segundo grao da forma

:  f(x,y) = A x^2 + B y^2 + C x + D y + E x y + F,

onde *A, B, C, D* e *E* son coeficientes fixos e *F* é o termo constante. Tal función describe unha superficie cadrática. Se facemos f(x,y) igual a cero describe a intersección da superficie co plano z=0, que é un lugar xeométrico de puntos equivalente a unha sección cónica.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Forma cadrática
* Ecuación de segundo grao
* Cádrica

### Ligazóns externas 
*