Teoría da representación

A **teoría da representación** é unha rama das matemáticas que estudas as estruturas alxébricas abstractas *representando* os seus elementos como transformación lineares de espazos vectoriais e estuda os módulos sobre esas estruturas. En esencia, unha representación converte un obxecto alxébrico abstracto nun ente máis concreto describindo os seus elementos mediante matrices e as súas operacións en termos de suma e produto de matrices. Os obxectos alxébricos que poden ter estas descricións inclúen os grupos, as álxebras asociativas e a álxebra de Lie. O primeiro e máis destacado destes obxectos é a teoría de representación de grupo, na que os elementos dun grupo se representan mediante matrices invertibles de xeito que a operación do grupo é a multiplicación de matrices.

A teoría da representación é un método útil porque reduce problemas da álxebra abstracta a problemas da álxebra linear, materia ben coñecida. Ademais, o espazo vectorial no que un grupo se representa pode ser infinito-dimensional, permitindo por exemplo que for un espazo de Hilbert, e poden aplicarse logo métodos da análise matemática. A teoría da representación tamén é importante na Física porque por exemplo describe como un grupo de simetría dun sistema físico afecta as solucións das ecuacións que describen o sistema.

A teoría da representación aparece en varios campos das matemáticas por dúas razóns. Primeiro, as aplicacións da teoría son variadas: Ademais do seu impacto na álxebra a teoría da representación:
* aclara e xeneraliza a análise de Fourier a través da análise harmónica, 
* conecta coa xeometría mediante a teoría dos invariantes e o programa Erlangen,
* ten impacto na teoría de números a través das formas automórficas e o programa Langlands.

En segundo lugar, hai diferentes aproximacións á teoría da representación. Os mesmos obxectos poden estudarse empregando métodos da xeometría alxébrica, a teoría de módulos, a teoría de módulos analítica, a xeometría diferencial, a teoría dos operadores, a combinatoria alxébrica e a topoloxía.

O éxito da teoría da representación deu lugar a numerosas xeneralizacións. Unha das máis xerais é a teoría das categorías Os obxectos alxébricos sobre os que se aplica a teoría poden ser vistos como tipos particulares de categoría e as representacións como functores da categoría dos obxectos á categoría dos espazos vectoriais. Isto apunta a dúas xeneralizacións obvias: primeiro, os obxectos alxébricos poden substituírse por categorías máis xerais; segundo, a categoría obxectivo dos espazos vectoriais pode substituírse por outras categorías máis coñecidas.

## Definicións e conceptos 
Sexa *V* un espazo vectorial sobre un corpo *K*.
* O conxunto de todas as matrices invertibles *n*×*n* é un grupo co produto de matrices e a teoría de representación de grupo analiza un grupo describindo ("representando") os seus elementos en termos de matrices invertibles.
* A suma e multiplicación de matrices fai que o conxunto de todas as matrices *n*×*n* sexa unha álxebra asociativa e polo tanto correspóndese coa teoría de representación de álxebras asociativas.
Se substituímos a multiplicación de matrices polo conmutador de matrices *MN* &minus; *NM*, entón as matrices *n*×*n* convértese nunha álxebra de Lie, pasando á teoría de representación de álxebras de Lie.

Isto xeneralízase para calquera corpo *K* e calquera espazo vectorial *V* sobre *F* con aplicacións lineares substituíndo as matrices e a composición substituíndo á multiplicación de matrices: hai un grupo GL(*V*,**F**) de automorfismos de *V*, unha álxebra asociativa End**F**(*V*) de todos os endomorfismos de *V* e a álxebra de Lie correspondente **gl**(*V*,**F**).

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* .
* .
* .
* .
* .
* .
* .
* .
* .
* 
* 
* .
* 
* .
* .
* .
* .
* .
* .
* .
* Yurii I. Lyubich. *Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups*. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
*
* .
* .
* .
* .
* .
* .
* .
* .
* 
* .
* .
* .
### Ligazóns externas 
* Representation Theory