Orde total

En matemáticas, unha **orde total** ou **orde linear** é unha orde parcial na que dous elementos calquera son comparables. É dicir, unha orde total é unha relación binaria \leq nalgún conxunto X, que satisfaga o seguinte para todos os a, b e c en X:

# a \leq a (reflexiva).
# Se a \leq b e b \leq c entón a \leq c (transitiva).
# Se a \leq b e b \leq a entón a = b (antisimétrica).
# a \leq b ou b \leq a (fortemente conexa, antes chamada total).

A orde total ás veces tamén se chama **simple**, **connex**, ou  **orde completa**.

Un conxunto equipado cunha orde total é un **conxunto totalmente ordenado**;  tamén se usan os termos **conxunto ordenado simple**,  **conxunto ordenado lineaemente**,   e **loset** . O termo ***cadea*** defínese ás veces como un sinónimo de *conxunto totalmente ordenado*,  mais refírese xeralmente a  subconxuntos totalmente ordenados dun conxunto parcialmente ordenado.

A extensión dunha orde parcial dada a unha orde total chámase extensión linear desa orde parcial.

## Orde total estrita e non estrita 
Unha **orde total estrita** nun conxunto X é unha orde parcial estrita X no que calquera dous elementos distintos son comparables. É dicir, unha orde total estrita é unha relación binaria  nalgún conxunto X, que satisfaga o seguinte para todos os a, b e c en X:

# Non a  (irreflexiva).
# Se a  entón non  b  (asimétrica).
# Se a  e b  entón a  (transitiva).
# Se a \neq b, entón a  ou b  (conexa).

Por cada orde total (non estrita) \leq existe unha relación asociada , chamada *orde total estrita* asociada a \leq que se pode definir de dúas formas equivalentes:

* a  se a \leq b e a \neq b (redución reflexiva).
* a  se non b \leq a (é dicir,  é o complemento da inversa de \leq ).

No outro sentido, o pechamento reflexivo dunha orde total estrita  é unha orde total (non estrita).

## Exemplos 
* Calquera subconxunto dun conxunto  totalmente ordenado está totalmente ordenado para a restrición da orde en .
* A única orde no conxunto baleiro, , é unha orde total.
* Calquera conxunto de números cardinais ou números ordinais (de feito son ben-ordes).
* Se  é calquera conxunto e  unha función inxectiva de  a un conxunto totalmente ordenado, entón   induce unha orde total en  establecendo  se e só se  .
* A orde lexicográfica sobre o produto cartesiano dunha familia de conxuntos totalmente ordenados, indexados por un conxunto ben-ordenado, é en si mesma unha orde total.
* O conxunto de números reais ordenados polas relacións habituais "menor ou igual a" (≤) ou "maior ou igual a" (≥) está totalmente ordenado. Polo tanto, cada subconxunto dos números reais está totalmente ordenado, como os números naturais, os enteiros e os números racionais. Pódese demostrar que cada un destes é o "exemplo inicial" único (ata un isomorfismo de orde) dun conxunto totalmente ordenado cunha determinada propiedade (aquí, unha orde total  é *inicial* para unha propiedade, se, sempre que  ten a propiedade, hai un isomorfismo de orde de  a un subconxunto de ):  
** Os nú&#x5B; *cita necesaria* &#x5D;meros naturais forman un conxunto inicial totalmente ordenado non baleiro sen elemento maiorante.
** Os enteiros forman un conxunto inicial totalmente ordenado non baleiro sen elemento maiorante nin minorante.
** Os números racionais forman un conxunto inicial totalmente ordenado que é denso nos números reais. Ademais, a redución reflexiva \{a\vee b, a\wedge b\} = \{a, b\} para todos os *a*, *b*.

Escribimos entón *a* ≤ *b* se e só se a = a\wedge b . Polo tanto, un conxunto totalmente ordenado é unha retícula distributiva.

### Orde total finita 
Unha orde total nun conxunto con *k* elementos induce unha bixección cos primeiros *k* números naturais. Polo tanto, é común indexar unha orde total finita ou unha boa orde con tipo de orde \omega  cos números naturais de xeito que respecte a ordenación (pode comezar por cero ou por un).

### Teoría de categorías 
Os conxuntos totalmente ordenados forman unha subcategoría completa da categoría de conxuntos parcialmente ordenados, sendo os morfismos mapas que respectan as ordes, é dicir, mapas *f* tal que se *a* ≤ *b* entón *f*(*a*) ≤ *f*(*b*).

Un mapa bixectivo entre dous conxuntos totalmente ordenados que respecta as dúas ordes é un isomorfismo nesta categoría.

### Topoloxía da orde 
Para calquera conxunto  totalmente ordenado podemos definir os *intervalos abertos*

* ,
* ,
* , 
* .

Podemos usar estes intervalos abertos para definir unha topoloxía en calquera conxunto ordenado, a topoloxía de orde.

Cando se usa máis dunha orde nun conxunto fálase da topoloxía da orde inducida por unha orde particular. Por exemplo, se **N** son os números naturais,  maior do que poderiamos referirnos á topoloxía de orde en **N** inducida por  (neste caso son idénticas mais poden en xeral non selo).

A topoloxía da orde inducida por unha orde total pode mostrarse que é hereditariamente normal.

### Completude 
Un conxunto totalmente ordenado dise que é **completo** se cada subconxunto non baleiro que teña un elemento maiorante ten un supremo. Por exemplo, o conxunto de números reais **R** é completo pero o conxunto de números racionais **Q** non. Noutras palabras, os distintos conceptos de integridade (que non deben confundirse con "total") non se trasladan ás restricións. Por exemplo, sobre os números reais unha propiedade da relación ≤ é que todo subconxunto non baleiro *S* de **R** cun elemento maiorante en **R** ten un supremo en **R**. Non obstante, para os números racionais este supremo non é necesariamente racional, polo que a mesma propiedade non se aplica á restrición da relación ≤ cos números racionais.

Un conxunto totalmente ordenado (coa súa topoloxía da orde) que é unha retícula completa é compacto. Exemplos son os intervalos pechados de números reais, por exemplo, o intervalo unidade [0,1], e o sistema de números reais estendido. Tamén hai homeomorfismos que conservan a orde entre estes exemplos.

### Sumas de ordes 
Para dúas ordes totais disxuntas calquera (A_1,\le_1) e (A_2,\le_2), hai unha orde natural \le_+ no conxuntoA_1\cup A_2, que se chama  suma das dúas ordes ou ás veces só A_1+A_2:

: Para x,y\in A_1\cup A_2, x\le_+ y cúmprese se e só se cumpre un dos seguintes:
:# x,y\in A_1 e x\le_1 y
:# x,y\in A_2 e x\le_2 y
:# x\in A_1 e y\in A_2

Intuitivamente, isto significa que os elementos do segundo conxunto superpóñense aos elementos do primeiro conxunto.

De xeito máis xeral, se (I,\le) é un conxunto de índices totalmente ordenado, e para cada  i\in I a estrutura (A_i,\le_i) é unha orde linear, onde os conxuntos A_i son disxuntas por parellas, entón a orde total natural \bigcup_i A_i está definida por

: Para x,y\in \bigcup_{i\in I} A_i, x\le y cúmprese se:
:# Ou hai algún i\in I con  x\le_i y 
:# ou hai algúns i en I con  x\in A_i,  y\in A_j

### Decidibilidade 
A teoría de ordes totais de primeira orde é decidible, é dicir, hai un algoritmo para decidir que declaracións de primeira orde se cumpren para toda orde total. Usando a interpretabilidade en S2S, a teoría monádica de segunda orde das ordes totais numerables tamén é decidible. 

## Orde sobre o produto cartesiano de conxuntos totalmente ordenados 
En orde crecente de forza, tres das posibles ordes do produto cartesiano de dous conxuntos totalmente ordenados son:

* Orde lexicográfica: ( *a*, *b* ) ≤ ( *c*, *d* ) se e só se *a* *n*, cada un delas convérteno nun espazo vectorial ordenado.

Unha función real de *n* variables reais definidas nun subconxunto de **R***n* define unha orde débil estrita e unha preorde total correspondente nese subconxunto.

## Estruturas relacionadas 
Unha relación binaria que é antisimétrica, transitiva e reflexiva (mais non necesariamente total) é unha orde parcial.

Un grupo cunha orde total compatíbel é un grupo totalmente ordenado.

## Notas 
## Véxaxe tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* George Grätzer (1971). *Lattice theory: first concepts and distributive lattices.* W. H. Freeman and Co. 
* 
* John G. Hocking and Gail S. Young (1961). *Topology.* Corrected reprint, Dover, 1988.  
* 
* 

### Outros artigos 
* Teoría da orde
* Problema de Suslin
* Relación ben ordenada

### Ligazóns externas 
*