Expansión de Engel

A **expansión de Engel** dun número real positivo *x* é a única secuencia non decrecente de números enteiros positivos (a_1,a_2,a_3,\dots) tal que

: x=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_1a_2a_3}+\cdots = \frac{1}{a_1}\!\left(1 + \frac{1}{a_2}\!\left(1 + \frac{1}{a_3}\left(1+\cdots\right)\right)\right)

Por exemplo, o número *e* ten unha expansión de Engel 

: 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...

correspondente á serie infinita

: e=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\cdots

Os números racionais teñen unha expansión de Engel finita, mentres que os números irracionais teñen unha expansión de Engel infinita. Se *x* é racional, a súa expansión de Engel proporciona unha representación de *x* como unha fracción exipcia. As expansións de Engel reciben o nome de Friedrich Engel, quen as estudou en 1913.

Unha expansión análoga a unha **expansión de Engel**, na que os termos alternos son negativos, chámase expansión de Pierce.

## Expansións de Engel, fraccións continuas e Fibonacci 
 observe que unha expansión de Engel tamén se pode escribir coma unha variante ascendetnte dunha fracción continua:

: x = \cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cdots}{a_3}}{a_2}}{a_1}.

Afirman que as fraccións continuas ascendentes como esta foron estudadas xa no *Liber Abaci* de Fibonacci (1202). Esta afirmación parece referirse á notación de fracción composta de Fibonacci na que unha secuencia de numeradores e denominadores que comparten a mesma barra de fracción representa unha fracción continua ascendente:

: \frac{a\ b\ c\ d}{e\ f\ g\ h} = \dfrac{d+\cfrac{c+\cfrac{b+\cfrac{a}{e}}{f}}{g}}{h}.

## Algoritmo para calcular as expansións de Engel 
Para atopar a expansión de Engel de *x*, sexa

: u_1 = x,

: a_k = \left \lceil \frac{1}{u_k} \right \rceil\!,

e

: u_{k+1} = u_k a_k - 1

onde \left \lceil r \right \rceil é a función  teito (o número enteiro máis pequeno non inferior a *r*).

Se u_i=0 para calquera *i*, remata o algoritmo.

## Exemplo 
Para atopar a expansión de Engel de 1.175, realizamos os seguintes pasos.

: u_1 = 1.175, a_1 = \left\lceil \frac{1}{1.175} \right\rceil = 1; 

: u_2 = u_1a_1 - 1 = 1.175\cdot 1 - 1 = 0.175, a_2 = \left\lceil\frac{1}{0.175}\right\rceil = 6

: u_3 = u_2a_2 - 1 = 0.175\cdot 6 - 1 = 0.05, a_3 = \left\lceil\frac{1}{0.05}\right\rceil = 20

: u_4 = u_3a_3 - 1 = 0.05\cdot 20 - 1 = 0

A serie remata aquí. Así,

: 1.175=\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot6}+\frac{1}{1\cdot6\cdot20}

e a expansión de Engel de 1.175 é&nbsp;(1,&nbsp;6,&nbsp;20).

## A expansión de Engel para progresións aritméticas 
Considere esta suma:

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{ \prod_{i = 0}^{k - 1} (\alpha + i\beta)}= \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\alpha(\alpha+\beta)} + \frac{1}{\alpha(\alpha+\beta)(\alpha+2\beta)} + \cdots,

onde \alpha, \beta \in \mathbb{N} e 0  . Así, en xeral

\left(\frac{1}{\beta}\right)^{1 - \frac{\alpha}{\beta}} e^{\frac{1}{\beta}} \gamma\left(\frac{\alpha}{\beta}, \frac{1}{\beta}\right)=\{{\alpha}, \alpha(\alpha+\beta), \alpha(\alpha+\beta)(\alpha+2\beta), \dots\}\; ,

onde \gamma representa a función gamma incompleta minúscula.

En concreto, se \alpha=\beta ,

: e^{1/\beta}-1=\{1\beta, 2\beta, 3\beta, 4\beta, 5\beta, 6\beta, \dots\}\; .

## Expansión de Engel para potencias de q 
A identidade de Gauss do q-análogo pódese escribir como:

\prod_{n=1}^{\infty} \frac{1 - \frac{1}{q^{2n}}}{1 - \frac{1}{q^{2n-1}}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{q^{\frac{n(n+1)}{2}}}, \quad q \in \mathbb{N}.

Usando esta identidade, podemos expresar a expansión de Engel para potencias de q do seguinte xeito:

\prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{q^n} \right)^{(-1)^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\prod_{i=1}^{n} q^i}.

A maiores, esta expresión pódese escribir en forma pechada como:

\frac{q^{1/8}\vartheta_2\left(\frac{1}{\sqrt{q}}\right)}{2} = \{1, q, q^3, q^6, q^{10}, \ldots\}

onde \vartheta_2 é a segunda función theta.

## Expansións de Engel para algunhas constantes coñecidas 
: \pi = (1, 1, 1, 8, 8, 17, 19, 300, 1991, 2492, ...)     

: \sqrt{2} = (1, 3, 5, 5, 16, 18, 78, 102, 120, 144, ...)     

: e = (1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...)  
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*.
* 
*.
*.
*
*.
*.
*.
*.
### Outros artigos 
* Fracción continua de Euler.
### Ligazóns externas 
*