Polinomio simétrico elemental

En matemáticas, concretamente en álxebra conmutativa, os **polinomios simétricos elementais** son un tipo de bloque básico para polinomios simétricos, no sentido de que calquera polinomio simétrico pode expresarse como polinomio en polinomios simétricos elementais. É dicir, calquera polinomio simétrico  vén dado por unha expresión que só implica sumas e multiplicacións de constantes e polinomios simétricos elementais. Hai un polinomio simétrico elemental de grao  en  variábeis para todo número enteiro positivo , e fórmase sumando todos os produtos distintos de  variábeis distintas.

## Definición 
Os polinomios simétricos elementais en  variábeis  , escritos  para  , defínense por

: \begin{align}
 e_1 (X_1, X_2, \dots,X_n) &= \sum_{1 \leq j \leq n} X_j,\\
 e_2 (X_1, X_2, \dots,X_n) &= \sum_{1 \leq j 

e igual para o resto, rematando con

:  e_n (X_1, X_2, \dots,X_n) = X_1 X_2 \cdots X_n.

En xeral, para  definimos

:  e_k (X_1, \ldots, X_n )=\sum_{1\le j_1 

de xeito que   se . (Ás veces,  inclúese entre os polinomios simétricos elementais, pero excluíndoo permite unha formulación xeralmente máis sinxela de resultados e propiedades.)

Así, para cada número enteiro positivo  menor ou igual a  existe exactamente un polinomio simétrico elemental de grao  en  variábeis. Para formar o que ten o grao , sumamos todos os produtos de subconxuntos das  variábeis . (Polo contrario, se se realiza a mesma operación usando *varios conxuntos* de variábeis, é dicir, tomando variábeis con repetición, chégase aos polinomios simétricos homoxéneos completos).

Dada unha partición enteira (é dicir, unha secuencia finita non crecente de números enteiros positivos) , defínese o polinomio simétrico , tamén chamado polinomio simétrico elemental, por

: e_\lambda (X_1, \dots,X_n) = e_{\lambda_1}(X_1, \dots, X_n) \cdot e_{\lambda_2}(X_1, \dots, X_n) \cdots e_{\lambda_m}(X_1, \dots, X_n) .

Ás veces úsase a notación  en lugar de  .

## Exemplos 
A continuación enuméranse os  polinomios simétricos elementais para os catro primeiros valores positivos de .

Para :

: e_1(X_1) = X_1.

Para  :

: \begin{align}
 e_1(X_1,X_2) &= X_1 + X_2,\\ 
 e_2(X_1,X_2) &= X_1X_2.\,\\
\end{align}

Para  :

: \begin{align}
 e_1(X_1,X_2,X_3) &= X_1 + X_2 + X_3,\\ 
 e_2(X_1,X_2,X_3) &= X_1X_2 + X_1X_3 + X_2X_3,\\
 e_3(X_1,X_2,X_3) &= X_1X_2X_3.\,\\
\end{align}

Para  :

: \begin{align}
 e_1(X_1,X_2,X_3,X_4) &= X_1 + X_2 + X_3 + X_4,\\
 e_2(X_1,X_2,X_3,X_4) &= X_1X_2 + X_1X_3 + X_1X_4 + X_2X_3 + X_2X_4 + X_3X_4,\\
 e_3(X_1,X_2,X_3,X_4) &= X_1X_2X_3 + X_1X_2X_4 + X_1X_3X_4 + X_2X_3X_4,\\
 e_4(X_1,X_2,X_3,X_4) &= X_1X_2X_3X_4.\,\\
\end{align}

## Propiedades 
Os polinomios simétricos elementais aparecen cando expandimos unha factorización linear dun polinomio mónico: temos a identidade

: \prod_{j=1}^n ( \lambda - X_j)=\lambda^n - e_1(X_1,\ldots,X_n)\lambda^{n-1} + e_2(X_1,\ldots,X_n)\lambda^{n-2} + \cdots +(-1)^n e_n(X_1,\ldots,X_n).

É dicir, cando substituímos valores numéricos polas variábeis  , obtemos o polinomio mónico univariado (con variábel ) cuxas raíces son os valores substituídos por   e cuxos coeficientes son, ata o seu signo, os polinomios simétricos elementais. Estas relacións entre as raíces e os coeficientes dun polinomio chámanse fórmulas de Viète.

O polinomio característico dunha matriz cadrada é un exemplo de aplicación das fórmulas de Vieta. As raíces deste polinomio son os eigenvalores da matriz. Cando substituímos estes eigenvalores nos polinomios simétricos elementais, obtemos, ata o seu signo, os coeficientes do polinomio característico, que son invariantes da matriz. En particular, a traza (a suma dos elementos da diagonal) é o valor de  e, polo tanto, a suma dos eigenvalores. Do mesmo xeito, o determinante é, ata o signo, o termo constante do polinomio característico, é dicir, o valor de . Así, o determinante dunha matriz cadrada é o produto dos eigenvalores.

O conxunto de polinomios simétricos elementais en  variábeis xera o anel de polinomios simétricos en  variábeis. Máis concretamente, o anel de polinomios simétricos con coeficientes enteiros é igual ao anel polinómico de enteiros {{Math|\mathbb{Z}[*e*1(*X*1, ..., *X**n*), ..., *en*(*X*1, ..., *X**n*)]}}. (Consulte a continuación para unha definición máis xenérica.) Este feito é un dos fundamentos da teoría dos invariantes. Para outro sistema de polinomios simétricos coa mesma propiedade consulte Polinomios simétricos homoxéneos completos, e para un sistema cunha propiedade similar, pero lixeiramente máis débil, consulte Polinomio simétrico de suma de potencias.

## Teorema fundamental dos polinomios simétricos 
Para calquera anel conmutativo , denote o anel de polinomios simétricos nas variábeis   con coeficientes en  como  . Este é un anel polinómico nos *n* polinomios elementais simétricos  para .

Isto significa que todo polinomio simétrico  ten unha representación única

:  P(X_1,\ldots, X_n)=Q\big(e_1(X_1, \ldots ,X_n), \ldots, e_n(X_1, \ldots ,X_n)\big) 

para algún polinomio . Outra forma de dicir o mesmo é que o homomorfismo de aneis que envía  a  para   define un isomorfismo entre  e .

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
### Outros artigos 
* Anel polinómico.
* Función simétrica.
* Desigualdade de Maclaurin.
### Ligazóns externas 
*