Suma de matrices

[[Ficheiro:Matrix addition qtl1.svg|miniatura| Ilustración da adición de dúas matrices .]]
En matemáticas, **a suma de matrices** é a operación entre matrices que se realiza sumando os elementos que están nas mesmas posicións.

Para un vector, \vec{v}\!, engadir dúas matrices tería o efecto xeométrico de aplicar cada transformación matricial por separado \vec{v}\!, engadindo despois os vectores transformados.

: \mathbf{A}\vec{v} + \mathbf{B}\vec{v} = (\mathbf{A} + \mathbf{B})\vec{v}\!

No entanto, hai outras operacións que tamén se poden considerar sumas para matrices, como a suma directa e a suma de Kronecker.

## Suma  
Dúas matrices deben ter un número igual de filas e columnas para engadir. Nese caso, a suma de dúas matrices **A** e **B** será unha matriz que teña o mesmo número de filas e columnas que **A** e **B.** A suma de **A** e **B**, denotada , calcúlase sumando os elementos cos mesmos subíndices de **A** e **B**:  

: \begin{align}
\mathbf{A}+\mathbf{B} & = \begin{bmatrix}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{bmatrix} +

\begin{bmatrix}
 b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
 b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\
\end{bmatrix} \\
& = \begin{bmatrix}
 a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\
 a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \\
\end{bmatrix} \\

\end{align}\,\!

Ou de forma máis concisa, se temos :

: c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}

Por exemplo:

: 
 \begin{bmatrix}
  1 & 3 \\
  1 & 0 \\
  1 & 2
 \end{bmatrix}
+
 \begin{bmatrix}
  0 & 0 \\
  7 & 5 \\
  2 & 1
 \end{bmatrix}
=
 \begin{bmatrix}
  1+0 & 3+0 \\
  1+7 & 0+5 \\
  1+2 & 2+1
 \end{bmatrix}
=
 \begin{bmatrix}
  1 & 3 \\
  8 & 5 \\
  3 & 3
 \end{bmatrix}

## Suma directa 
Outra operación, que se usa con menos frecuencia, é a suma directa (indicada por ⊕). A suma de Kronecker tamén se denota ⊕; o contexto debe deixar claro o uso. A suma directa de calquera par de matrices **A** de tamaño *m* &#xD7; *n* e **B** de tamaño *p* &#xD7; *q* é unha matriz de tamaño ( *m* + *p* ) &#xD7; ( *n* + *q* ) definida como:  

: **
 \mathbf{A} \oplus \mathbf{B} =
 \begin{bmatrix} \mathbf{A} & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \mathbf{B} \end{bmatrix} =
 \begin{bmatrix}
   a_{11} & \cdots & a_{1n} &   0 & \cdots &   0 \\
   \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  a_{m 1} & \cdots & a_{mn} &   0 & \cdots &   0 \\
     0 & \cdots &   0 & b_{11} & \cdots & b_{1q} \\
   \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
     0 & \cdots &   0 & b_{p1} & \cdots & b_{pq}
 \end{bmatrix}
**

Por exemplo,

: 
 \begin{bmatrix}
  1 & 3 & 2 \\
  2 & 3 & 1
 \end{bmatrix}
\oplus
 \begin{bmatrix}
  1 & 6 \\
  0 & 1
 \end{bmatrix}
=
 \begin{bmatrix}
  1 & 3 & 2 & 0 & 0 \\
  2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\
  0 & 0 & 0 & 0 & 1
 \end{bmatrix}

A suma directa de matrices é un tipo especial de matriz de bloques. En particular, a suma directa das matrices cadradas é unha matriz diagonal de bloques.

En xeral, a suma directa de *n* matrices é: 

: 
\bigoplus_{i=1}^{n} \mathbf{A}_{i} = \operatorname{diag}( \mathbf{A}_1, \mathbf{A}_2, \mathbf{A}_3, \ldots, \mathbf{A}_n) =
\begin{bmatrix}
 \mathbf{A}_1 & \boldsymbol{0} & \cdots & \boldsymbol{0} \\
 \boldsymbol{0} & \mathbf{A}_2 & \cdots & \boldsymbol{0} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0} & \cdots & \mathbf{A}_n \\
\end{bmatrix}\,\!

onde os ceros son realmente bloques de ceros (é dicir, matrices cero).

## Suma de Kronecker 
A suma de Kronecker é diferente da suma directa, mais tamén se denota por ⊕. Defínese usando o produto de Kronecker ⊗ e a suma matricial normal. Se **A** é a \times a, **B** é b \times b e \mathbf{I}_n denota a matriz de identidade de orde n, entón a suma de Kronecker defínese por:

:  \mathbf{A} \oplus \mathbf{B} = \mathbf{A} \otimes \mathbf{I}_b + \mathbf{I}_a \otimes \mathbf{B}. 

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
### Outros artigos 
* Produto de matrices.
* Matriz (matemáticas).
### Ligazóns externas 
*
* Abstract nonsense: Direct Sum of Linear Transformations and Direct Sum of Matrices
* Mathematics Source Library: Arithmetic Matrix Operations 
* Matrix Algebra and R