Agregación limitada por difusión

miniatura| Simulación de crecemento dun DLA.
miniatura| Estrutura de cobre formada por un DLA formado a partir dunha solución de sulfato de cobre nunha célula de electrodeposición.
A **agregación limitada por difusión** (en inglés *Diffusion-limited aggregation*, *DLA*) é un proceso estocástico no que as partículas encadenadas aleatorias, liberadas debido ao movemento browniano, agloméranse para formar agregados, aferrándose unhas ás outras. Esta teoría, proposta por Thomas Witten e Leonard Sander en 1981, é aplicable á agregación de calquera sistema onde a difusión é o principal medio de transporte. Deste xeito obtéñense estruturas moi ramificadas e a súa complexidade pódese analizar mediante xeometría fractal.

O DLA pódese usar para modelar algúns patróns naturais, e pódese observar en sistemas como a electrodeposición, o fluxo de Hele-Shaw, os depósitos minerais e a descomposición dieléctrica.

DLA ten algunhas propiedades compartidas cos fractais; ten unha estrutura ben definida a escalas moi pequenas e a súa dimensión de Haussdorff é maior que a dimensión topolóxica.

## Descrición 
O algoritmo de Witten e Sander baséase no modelo de crecemento aleatorio da agregación de partículas. Dado un grupo de *n* partículas, un camiñante aleatorio tenderá a unirse para formar un grupo de *n + 1* partículas. Canto maior sexa o clúster, máis puntos de unión coas partículas non unidas haberá, acelerando así o proceso de ramificación da estrutura. Este é un proceso estocástico, debido á natureza probabilística do camiñante aleatorio.

As estruturas construídas por este algoritmo son moi ramificadas e a súa dimensión fractal pódese calcular a partir do número de partículas e do seu raio medio. Para calquera dimensión topolóxica d, a dimensión fractal D_f ten un valor enteiro que tende a d - 1 . Non obstante, a natureza fractal do DLA é débil polo que non está lonxe d, especialmente en dúas dimensións. Ademais, isto varía moito dependendo da estrutura da rede e da xeometría da simulación. 

Hai que ter en conta que calcular a dimensión nunha soa mostra non é suficiente, xa que hai moitas estruturas posibles e a dimensión fractal entre elas varía moito (por exemplo, se se formase unha liña recta de partículas a dimensión sería 1, pero o probabilidade de que ocorra é moi baixa). Polo tanto, para facer un cálculo máis fiable da dimensión fractal da estrutura, hai que facer moitas réplicas, utilizando un modelo de Monte Carlo.

## Fluxo Hele-Shaw 
[miniatura| A rotura dieléctrica de alta tensión dentro dun bloque de [Polimetilmetacrilato|plexiglás crea un patrón fractal chamado figura de Lichtenberg. As descargas de ramas ocorren finalmente, pero crese que se estenden ao nivel molecular.]]
A velocidade dun fluído nun ambiente poroso é proporcional ao gradiente de presión dun fluído: \vec{v}=-\frac{k}{\mu}\nabla p on k é a permeabilidade do medio poroso e \mu a viscosidade do fluído.

Se se considera un fluído non compresible, a ecuación anterior leva á ecuación de Laplace. Ao introducir un segundo fluído cunha viscosidade moito menor, obtense un fluxo Hele-Shaw. A presión deste novo fluído pódese considerar constante, debido á súa baixa viscosidade, polo que segue sendo aplicable a ecuación de Laplace. O proceso DLA é similar, se estes parámetros se usan para definir a probabilidade de adhesión aleatoria do andador. Aínda que o fluxo de Hele-Shaw é de natureza determinista (mentres que o DLA é estocástico), en ambos os casos o crecemento da interface é o suficientemente lento como para usar a ecuación de Laplace en lugar da ecuación de difusión. Polo tanto, o modelo de Laplace é útil para explicar patróns formados no DLA. Do mesmo xeito, o DLA ou as súas variantes utilizáronse para modelar procesos como a electrodeposición ou a fractura dieléctrica.

## Método de Hastings-Levitov 
Dado que as funcións analíticas bidimensionais satisfán a ecuación de Laplace para calquera punto non singular, a teoría do mapeo conforme proporciona outro mecanismo para construír formas. Así, pódese crear un DLA bidimensional aplicando repetidamente iteracións estocásticas de mapeo conforme. O mapeo conforme defínese como a función f(z) dende o plano complexo ata a rexión conectada a D, onde a súa derivada df/dz nunca é cero para D. Como resultado, un proporciona unha asignación a outra rexión que simplemente está conectada internamente por D, mapeando os límites dunha rexión cos límites da outra. Riemann demostrou que para rexións finitas o mapa é único. A función inversa tamén é única, g(f(z)) = z .

Se definimos un mapa de raio circular r onde se forman picos de radio a, o método de Hastings-Levitov pódese usar para definir a función de mapeo:

w=f_a(z)=(z-a+\frac{r^2}{z-a})/2

Por este método, obtense un DLA cando estes picos se aplican aleatoriamente e todos teñen o mesmo tamaño. O número de picos é igual ao tamaño dos grupos.

Este método é análogo ao fluxo de Hele-Shaw descrito anteriormente: a probabilidade de que unha partícula atope a estrutura satisfai a ecuación de Laplace \nabla^2 \psi(z)=0, coas condicións:

* A probabilidade será cero no bordo do cúmulo (xa que a partícula se pega cando toca unha partícula do cúmulo): \psi(z)=0, z \in \partial C
* A función \psi(z) debe ser independente do enderezo: \psi(z)=\frac{1}{2\pi}\ln{\vert z\vert}, \vert z \vert \rightarrow \infty

A probabilidade de crecemento acumulada no punto z é dP(z)=\vert \nabla \psi(z)\vert dl . Segundo a teoría do mapeo de Riemann, existe un mapeo conforme que sinala o exterior do círculo unitario cara ao exterior do cluster. Esta propiedade tamén permite calcular a dimensión fractal, pola relación entre o raio e o número de picos. Nos cúmulos isótropos, a densidade de correlación depende só da distancia r .

## Multifractalidade 
Os clústeres dun DLA teñen *multifractalidade*, é dicir, teñen diferentes tipos de fractais en diferentes rexións do DLA. A probabilidade de que unha nova partícula se insira no cúmulo por contacto cunha partícula concreta p_i do cúmulo non é uniforme entre todas as partículas do cúmulo. É máis fácil que se poña en contacto cos de fóra que cos de dentro, xa que para chegar aos de dentro ten que esquivar aos demais. Como a distribución das partículas é multifractal, pódese definir unha función para calcular estas diferenzas e obter a dimensión fractal en cada partícula. A dimensión fractal conxunta calculada será a máxima obtida con este método.

A multifractalidade é especialmente interesante neste caso porque as características multifractais son leis de escala que se relacionan coas probabilidades da dimensión fractal.

## Outras técnicas 
A autosemellanza do DLA pódese analizar mediante a teoría da renormalización e os resultados obtidos. Outro enfoque para examinar o problema é considerar que as ramas se solapan ao mesmo tempo nun sistema dinámico. Deste xeito tamén se pode obter información sobre a multifractalidade do sistema. 

## Notas 
## Véxase tamén 
### Ligazóns externas 
* Paul Bourke, DLA - Diffusion Limited Aggregation - Process Description and Examples  [Acceso: 28 de marzo de 2020]
* Agregación limitada de difusión (un modelo de crecemento fractal) [ Consultado: 28 de marzo de 2020]
* Agregación limitada por difusión e a súa simulación  consultado: 28 de marzo de 2020]