Enteiro cadrático

En teoría de números, **enteiro cadrático** é unha xeneralización dos  enteiros habituais aos corpos cadráticos. Un número complexo é chamado un enteiro cadrático se é raíz dalgún polinomio mónico (un polinomio cuxo coeficiente principal é 1) de grao con coeficientes enteiros; é dicir, os enteiros cadráticos son enteiros alxébricos de grao dous.  Así, os enteiros cadráticos son aqueles números complexos que son solucións de ecuacións da forma 

: *x*2 + *bx* + *c* = 0,

con  e  enteiros (habituais). Cando se consideran enteiros alxébricos, ós enteiros habituais chamáselles *enteiros racionais*.

Exemplos comúns de enteiros cadráticos son as raíces cadradas de enteiros racionais, como \sqrt{2}, e o número complexo i = \sqrt{-1}, que xera os enteiros de Gauss. Outro exemplo habitual é a raíz cúbica  da unidade (non real) \frac{-1+\sqrt{-3}}{2}, que xera os enteiros de Eisenstein.

Os enteiros cadráticos aparecen nas solucións de moitas ecuacións diofantianas, como as ecuacións de Pell, e noutros problemas relacionados con formas cadráticas con coeficientes enteiros. O estudo dos **aneis de enteiros cadráticos** é fundamental para moitas cuestións da teoría dos números alxébricos.

## Definición 
Un **enteiro cadrático** é un enteiro alxébrico de grao dous. Máis explicitamente, é un número complexo

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4c}}{2},

solución dunha ecuación da forma , onde  e  son números enteiros. Cada enteiro cadrático que non sexa un enteiro ordinario tampouco é racional: é un número irracional real se , e non real (complexo con parte imaxinaria non nula) se . En calquera caso, pertence a un corpo cadrático unívocamente determinado \mathbb{Q}(\sqrt{D}), que é a extensión de \mathbb{Q} xerada pola raíz cadrada do único enteiro libre de cadrados  tal que  para algún enteiro . Se  é positivo, o enteiro cadrático é real; se , é *imaxinario* (isto é, complexo non real).

Os enteiros cadráticos (incluídos os enteiros ordinarios) que pertencen a un corpo cadrático \mathbb{Q}(\sqrt{D}) forman un dominio de integridade chamado *anel de enteiros de* \mathbb{Q}(\sqrt{D}).

Aínda que os enteiros cadráticos dun corpo cadrático determinado forman un anel, o conxunto de *todos* os enteiros cadráticos non o fai, xa que non está pechado para a suma nin para o produto. Por exemplo, 1+\sqrt{2} e \sqrt{3} son enteiros cadráticos, pero 1+\sqrt{2}+\sqrt{3} e (1+\sqrt{2})\cdot\sqrt{3} non o son, pois os seus polinomios mínimos teñen grao catro.

## Representación explícita 
Aquí e no que segue, considéranse enteiros cadráticos que pertencen a un corpo cadrático \mathbb{Q}(\sqrt{D}), onde  é un enteiro libre de cadrados. Isto non supón ningunha perda de xeneralidade, pois a igualdade \sqrt{a^2D} = a\sqrt{D} (para calquera enteiro positivo ) implica que \mathbb{Q}(\sqrt{D}) = \mathbb{Q}(\sqrt{a^2D}).

Un elemento  de \mathbb{Q}(\sqrt{D}) é un enteiro cadrático se e só se existen dous enteiros  e  tales que se verifica unha das seguintes expresións:
: x = a + b\sqrt{D},
ou, se  é múltiplo de , entón
: x = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} \sqrt{D},
onde  e  son ambos impares.

Noutras palabras, todo enteiro cadrático pode escribirse como *a* + *ωb*, onde  e  son enteiros, e  vén dado por:
:\omega = \sqrt{D}, se D \equiv 2, 3 \pmod{4}
:\omega = \frac{1 + \sqrt{D}}{2}, se D \equiv 1 \pmod{4}

(Dado que se supuxo que  é libre de cadrados, o caso D \equiv 0 \pmod{4} é imposible, pois implicaría que  é divisible polo cadrado 4).

## Norma e conxugación 
Un enteiro cadrático en \mathbb{Q}(\sqrt{D}\,) pode escribirse como  
:a+b\sqrt{D},  
onde  e  son ambos enteiros ou, unicamente no caso de que , ambos metades de enteiros impares. A **norma** dun enteiro cadrático deste tipo é  
:N(a+b\sqrt{D})=a^2-Db^2.

A norma dun enteiro cadrático é sempre un número enteiro. Se , a norma dun enteiro cadrático coincide co cadrado do seu valor absoluto como número complexo (isto non é certo se D > 0). A norma é unha función completamente multiplicativa, o que significa que a norma dun produto de enteiros cadráticos é igual ao produto das súas normas.

Todo enteiro cadrático a+b\sqrt{D} ten un **conxugado**  
:\overline{a+b\sqrt{D}} = a-b\sqrt{D}.

Un enteiro cadrático ten a mesma norma que o seu conxugado, e esta norma é o produto do enteiro cadrático polo seu conxugado. O conxugado dunha suma ou dun produto de enteiros cadráticos é, respectivamente, a suma ou o produto dos seus conxugados. Isto significa que a conxugación é un automorfismo do anel dos enteiros cadráticos de \mathbb{Q}(\sqrt{D}\,); véxase a sección *Anel dos enteiros cadráticos* máis abaixo.

## Anel dos enteiros cadráticos 
Todo número enteiro sen cadrados (distinto de 0 e 1), denotado por , define un **anel de enteiros cadráticos**, que é o dominio de integridade formado polos enteiros alxébricos contidos en \mathbb{Q}(\sqrt{D}\,). Este conxunto é 
: \mathbb{Z}[\omega] = \{ a + \omega b : a,b \in \mathbb{Z} \} ,  
onde \omega = \tfrac{1+\sqrt D}{2} se *D* = 4*k* + 1, e \omega = \sqrt{D} noutro caso. Adoita denotarse por \mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{D}\,)}, pois é o anel de enteiros de \mathbb{Q}(\sqrt{D}\,), é dicir, o peche integral de \mathbb{Z} en \mathbb{Q}(\sqrt{D}\,).

O anel  \mathbb{Z}[\omega] contén todas as raíces das ecuacións da forma *x*2 + *Bx* + *C* = 0 cuxo discriminante *B*2 − 4*C* é igual ao produto de  polo cadrado dun número enteiro. En particular, \sqrt{D} pertence a \mathbb{Z}[\omega], pois é raíz da ecuación *x*2 − *D* = 0, que ten discriminante igual a 4*D*.

A raíz cadrada de calquera número enteiro é un enteiro cadrático, xa que todo enteiro pode escribirse como *n* = *m*2*D*, onde  é un número libre de cadrados, e a súa raíz cadrada é raíz de *x*2 − *m*2*D* = 0.

O teorema fundamental da aritmética non é válido en moitos aneis de enteiros cadráticos. Porén, si existe unha factorización única para os ideais, o que se expresa dicindo que todo anel de enteiros alxébricos é un anel de Dedekind. Sendo os exemplos máis sinxelos de enteiros alxébricoss, os enteiros cadráticos son normalmente o punto de partida na maioría dos estudos de teoría dos números alxébricos.

Os aneis de enteiros cadráticos clasifícanse en dous tipos segundo o signo de . Se , todos os elementos de \mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{D}\,)} son reais, e o anel chámase *anel de enteiros cadráticos reais*. Se *D* \mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{D}\,)} son os enteiros ordinarios, e o anel chámase *anel de enteiros cadráticos complexos*.

No caso dos aneis de enteiros cadráticos reais, o número de clase —que mide o fallo da factorización única— está recollido en OEIS A003649; no caso imaxinario, en OEIS A000924.
### Unidades 
Un enteiro cadrático é unha unidade no anel dos enteiros de \mathbb{Q}(\sqrt{D}\,) se e só se a súa norma é *1* ou *−1*. No primeiro caso, o seu inverso multiplicativo é o seu conxugado; no segundo caso, é o oposto do seu conxugado.

Se *D* \mathbb{Q}(\sqrt{D}\,) ten como moito seis unidades. No caso dos enteiros gaussianos (*D* = *−1*), as catro unidades son 1, -1, \sqrt{-1}, -\sqrt{-1}. No caso dos enteiros de Eisenstein (*D* = −3), as seis unidades son \pm 1, \frac{\pm 1 \pm \sqrt{-3}}{2}. Para todos os demais  negativos, só hai dúas unidades: 1 e −1.

Se *D* > 0, o anel dos enteiros de \mathbb{Q}(\sqrt{D}\,) ten infinitas unidades, todas da forma \pm u^i, onde  é un enteiro calquera, e  é unha unidade particular chamada *unidade fundamental*. Dada unha unidade fundamental , hai outras tres: o seu conxugado \overline{u}, e tamén -u e -\overline{u}. Normalmente, chámase *a* unidade fundamental á única con valor absoluto maior ca 1 (como número real). É tamén a única unidade fundamental que pode escribirse como a + b\sqrt{D}, con  e  positivos (enteiros ou medios de enteiros).

As unidades fundamentais para os dez valores positivos máis pequenos de  sen cadrados son:

:1+\sqrt{2}, 
2+\sqrt{3}, 
\frac{1+\sqrt{5}}{2} (a proporción áurea), 
5+2\sqrt{6}, 
8+3\sqrt{7}, 
3+\sqrt{10}, 
10+3\sqrt{11}, 
\frac{3+\sqrt{13}}{2}, 
15+4\sqrt{14}, 
4+\sqrt{15}.

Para valores máis grandes de , os coeficientes da unidade fundamental poden ser moi grandes. Por exemplo, para *D* = 19, 31, 43, as unidades fundamentais son, respectivamente:  
:170+39\sqrt{19},  
:1520+273\sqrt{31} e  
:3482+531\sqrt{43}.

### Exemplos de aneis de enteiros cadráticos complexos 
thumb|right|105px|Enteiros gaussianos
thumb|right|120px|Primos de Eisenstein

Cando &nbsp;\mathbf{Z}[\sqrt{-1}\,], os enteiros gaussianos, introducidos por Carl Friedrich Gauss cara ao ano 1800 para formular a súa lei de reciprocidade biquadrática.
* Os elementos de \mathcal{O}_{\mathbf{Q}(\sqrt{-3}\,)} = \mathbf{Z}\left[\tfrac12\bigl(1 + \sqrt{-3}~\!\bigr)\right] chámanse enteiros de Eisenstein.
* Os elementos de \mathcal{O}_{\mathbf{Q}(\sqrt{-7}\,)} = \mathbf{Z}\left[\tfrac12\bigl(1 + \sqrt{-7}~\!\bigr)\right] chámanse enteiros kleinianos.

Os dous primeiros aneis mencionados son aneis de enteiros de corpos ciclotómicos: respectivamente, **Q**(*ζ*4) e **Q**(*ζ*3). En cambio, o anel \mathbf{Z}\bigl[\sqrt{-3}~\!\bigr] nin sequera é un anel de Dedekind.

Todos os exemplos anteriores son aneis de ideais principais e tamén dominios euclideanos para a norma. Non ocorre o mesmo con  
:\mathcal{O}_{\mathbf{Q}(\sqrt{-5}\,)} = \mathbf{Z}\left[\sqrt{-5}\,\right],  
que nin sequera é un dominio de factorización única.

Isto pode demostrarse do seguinte xeito. En \mathcal{O}_{\mathbf{Q}(\sqrt{-5}\,)} temos:  
:9 = 3 \cdot 3 = (2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5}).

Os factores 3, 2+\sqrt{-5} e 2-\sqrt{-5} son irredutibles, xa que todos teñen norma igual a 9; e se non fosen irredutibles, deberían ter un divisor de norma 3, o cal é imposible, pois a norma de calquera elemento distinto de  é polo menos 4. Así, a factorización de 9 en elementos irredutibles non é única.

Os ideais \langle 3, 1+\sqrt{-5}\,\rangle e \langle 3, 1-\sqrt{-5}\,\rangle non son principais, como se pode comprobar sinxelamente observando que o seu produto é o ideal xerado por 3. Se fosen principais, iso implicaría que 3 non sería irredutible.

### Exemplos de aneis de enteiros cadráticos reais 
thumb|right|Potencias da proporción áurea

Se *D* > 0, o número  é un número real irracional positivo, e o correspondente anel de enteiros cadráticos é un subconxunto de números reais alxébricos. As solucións da ecuación de Pell  
:X^2 - DY^2 = 1,  
unha ecuación diofantina amplamente estudada, son precisamente as unidades destes aneis cando temos D \equiv 2,\,3 \pmod{4}.

* Para *D* = 5, temos \omega = \tfrac{1}{2}(1+\sqrt{5}), que é a proporción áurea. Este anel, ás veces chamado de enteiros áureos, foi estudado por Peter Gustav Lejeune Dirichlet. As súas unidades son da forma \pm \omega^n, onde  é un número enteiro calquera. Este anel tamén aparece no estudo da simetría de rotación de orde 5 no plano euclidiano, por exemplo, nos empotramentos de Penrose.

* O matemático indio Brahmagupta estudou a ecuación de Pell  
:X^2 - 61Y^2 = 1,  
correspondente ao anel \mathbb{Z}[\sqrt{61}]. 

### Aneis principais de enteiros cadráticos 
A propiedade de factorización única non sempre se verifica nos aneis de enteiros cadráticos, como se viu máis arriba no caso de \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]. Porén, como ocorre en todo anel de Dedekind, un anel de enteiros cadráticos é un dominio de factorización única se e só se é un anel de ideais principais. Isto sucede se e só se o número de clase do correspondente corpo cadrático é igual a un.

Os aneis imaxinarios de enteiros cadráticos que son aneis de ideais principais foron completamente determinados. Son os aneis \mathcal{O}_{\mathbf{Q}(\sqrt{D}\,)} cos seguintes valores de *D*:  
:D = -1,\ -2,\ -3,\ -7,\ -11,\ -19,\ -43,\ -67,\ -163.

Este resultado foi conxecturado por Carl Friedrich Gauss e posteriormente demostrado por Kurt Heegner, aínda que a súa demostración non foi aceptada ata que Harold Stark presentou outra proba en 1967 (vexa *Teorema de Stark–Heegner*). Este resultado constitúe un caso particular do famoso problema do número de clase.

Existen moitos enteiros positivos D > 0 para os que o anel de enteiros cadráticos é un anel de ideais principais. Porén, a lista completa destes valores non se coñece; nin sequera se sabe se o número de tales aneis principais é finito ou infinito.

### Aneis euclídeos de enteiros cadráticos 
Cando un anel de enteiros cadráticos é un anel de ideais principais, é natural preguntarse se tamén é un dominio euclidiano. Este problema foi completamente resolto do seguinte xeito.

Dotado da norma  
:N(a + b\sqrt{D}) = |a^2 - Db^2|  
como función euclídea, o anel \mathcal{O}_{\mathbf{Q}(\sqrt{D})} é un dominio euclidiano para os valores negativos de :

:D = -1,\ -2,\ -3,\ -7,\ -11,

e para os valores positivos de :

:D = 2,\ 3,\ 5,\ 6,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 21,\ 29,\ 33,\ 37,\ 41,\ 57,\ 73 .

Non existe ningún outro anel de enteiros cadráticos que sexa euclídeo usando a norma como función euclídea.

Para *D* D = -19,\ -43,\ -67,\ -163,

os correspondentes aneis son aneis de ideais principais que non son dominios euclídeos: trátase de casos raros coñecidos onde a factorización única non implica a propiedade euclídea.

Por outra banda, a hipótese de Riemann xeneralizada implica que todo anel de enteiros cadráticos *reais* que sexa un anel de ideais principais tamén é un dominio euclidiano para algunha función euclídea, que pode ser distinta da norma habitual.

Os valores *D* = 14, 69, foron os primeiros casos nos que se demostrou que o anel de enteiros cadráticos é euclídeo, pero non normeuclídeo.
## Notas 
## Referencias 
* 
* Bourbaki, Nicolas — *Algèbre commutative. Chapitres 1 à 7*. Éléments de mathématique (en francés). Masson.
* 
* 
* 
* 
* {{Cita publicación periódica
 | apelidos=Harper
 | nome=M.
 | título=Z[sqrt{14}] is Euclidean
 | revista=Canadian Journal of Mathematics
 | volume=56
 | ano=2004
 | páxinas=55–70
 | doi=10.4153/CJM-2004-003-9
 | lingua=inglés
}}
* 

## Lectura adicional 
*