División (matemáticas)

miniatura|División de 20 entre 4. Resultado 5.
En matemáticas, especificamente en aritmética elemental, a **división** é unha operación aritmética que é a inversa da multiplicación e ás veces pode interpretarse como unha resta repetida.

Noutras palabras, consiste en pescudar cantas veces un número (o *divisor*) está contido noutro número (o *dividendo*). Na división de números enteiros ademais do dividendo e o divisor interveñen outros números. Así ao resultado enteiro da división denomínaselle *cociente* e se a división non é exacta, é dicir, o divisor non está contido un número exacto de veces no dividendo, a operación terá un *resto* ou residuo, onde:

:

Que tamén pode expresarse:
:  Dividendo = (Cociente * Divisor) + Resto \,

## Representación e terminoloxía 
Sexan **a** e **b** elementos do conxunto dos números enteiros, e **b** diferente de cero. Podemos representar unha división da seguinte forma:
* Como unha fracción: \frac{a}{b}, (utilizando unha barra horizontal entre os dous números);
* Mediante unha barra inclinada: {}^a\!{/}\!{}_b.
* Coa simboloxía usual da división, utilizando dous puntos e unha barra horizontal entre eles: a\div b; 
* Utilizando dous puntos entre os dous números en horizontal:  a:b;
* Usando a notación do inverso multiplicativo: ab^{-1}.

Outros termos relacionados co concepto de división:
* A **razón**: resultado da división entre dous números.
* A **ratio**: resultado da división entre dous números.
* Unha **fracción**: representación dunha división.
* Un **cociente**: fórmula que representa dalgunha forma unha división, por exemplo cociente Hare, cociente intelectual.

## Táboa 
O algoritmo constrúese a partir dunhas táboas elementais. A lectura da táboa faise da forma 10 : 5 = 2 , que se le: "Dez entre cinco igual a dous".

miniatura|Exemplo dunha división

O algoritmo realízase da forma seguinte:

Consideremos o dividendo 8593, e o divisor 23.

Escríbese o dividendo á esquerda e o divisor na dereita contido nunha escuadra aberta cara á dereita.

Tómase a primeira cifra do dividendo (8); divídese pola primeira do divisor (2). (No caso de que a primeira cifra do dividendo sexa menor que a do divisor tómanse dúas cifras do dividendo.

Agora trátase de atopar o máximo cociente que multiplicado polo divisor sexa menor que as dúas primeiras cifras do dividendo (ou tres na excepción sinalada).

8:2=4; multiplícase 4x23=92, que excede, 85 29 * 32 + 20 = 928 + 20 = 948

esta é o xeito en que se realiza a verificación para ver se esta ben a conta.

## *Álxebra:* división de monomios 
*Regra:*

Para dividir dous monomios divídense os seus coeficientes e réstanse os expoñentes da parte literal.

Se unha división de coeficientes non é exacta, represéntase como fracción. Tamén se deixa indicado o cociente de calquera letra que ao restar expoñentes dea expoñente negativo.

Deste xeito, ao dividir, por exemplo, a / ab a resposta non é b senón 1 / b.

O cociente de dous monomios será outro monomio só cando a parte literal do  dividendo  sexa múltiplo da parte literal do divisor.
;Exemplos
: 
 \frac{7x^2y}{2xy}=
 \frac{7}{2} x.
 Si é un monomio porque: x^2 y \, é un múltiplo de xy \,;

:
 \frac{7x^2y}{2xyz} =
 \frac{7x}{2z} =
 \frac{7}{2} \; \frac{x}{z} =
 \frac{7}{2} x \; \frac{1}{z} =
 \frac{7}{2} x z^{-1}.
 Non é un monomio porque: x^2 y \, non é un múltiplo de xyz \, e o expoñente do factor z \, (de cociente) non é un número natural.

## Dividir dous polinomios 
*Regra para a división de dous polinomios*:

1. Ordénanse os polinomios dados en relación a unha letra. Se falta algún termo para ordenar o dividendo, déixase o espazo ou se pon cero.

2. Divídese o primeiro termo do dividendo entre o primeiro termo do divisor.

3. Multiplícase este cociente por cada termo do divisor e este produto réstase do dividendo.

4. Á diferenza obtida agrégaselle o seguinte termo do dividendo e repítese a operación ata que se dividiron todos os termos do dividendo.

5. Para desenvolvelo con máis rapidez debemos utilizar os métodos Horner; Ruffini; Teorema do resto, estes tres métodos resolven o problema con máis eficacia.

### Exemplo 
Encontre o cociente e o resto da división de x^3 - 2x^2 - 4 (dividendo) polo divisor x-3.

No dividendo, todos os termos con expoñentes inferiores ao maior deben ser escritos explicitamente, mesmo que os seus coeficientes sexan cero:

: x^3 - 2x^2 + 0x - 4.

O cociente e o resto poden ser determinados como segue:

1. Divídese o primeiro termo do dividendo pelo termo de maior grao do divisor (aquel coa maior potencia de x*)* e insírese o resultado (x^3\div x=x^2) abaixo do divisor:

:\begin{matrix} 
x^3 - 2x^2 + 0x - 4 & \underline{\left | x-3 \right.} \\ 
\, & x^2 
\end{matrix}.

2. Multiplícase o divisor polo resultado obtido (o primeiro termo de eventual cociente) e escríbese o resultado (x^2(x-3)=x^3-3x^2) baixo o dividendo:

:
:\begin{array}{lc} 
x^3 - 2x^2 + 0x - 4 & \underline{\left | x-3 \right.} \\ 
x^3-3x^2 & x^2 
\end{array}

3. Réstase o produto acabado de obter do dividendo e escríbese o resultado (x^3-2x^2-4-(x^3-3x^2)=x^2-4) embaixo:

:\begin{array}{lc} 
x^3 - 2x^2 + 0x - 4 & \underline{\left | x-3 \right.} \\ 
\underline{x^3-3x^2 {\color{White} {00000000}} }& x^2 \\
 {\color{White} {00000}} x^2+0x-4 & \,
\end{array}
:

4. Repítense as tres etapas anteriores, coa observación que desta vez o polinomio que acaba de ser escrito é usado como dividendo:

:
:\begin{array}{lc} 
x^3 - 2x^2 + 0x - 4 & \underline{\left | x-3 \right.} \\ 
\underline{x^3-3x^2 {\color{White} {00000000}} }& x^2+x \\
 {\color{White} {00000}} x^2+0x-4 & \,\\
 {\color{White} {00000}} \underline{x^2-3x {\color{White} {0000}} }& \, \\
 {\color{White} {00000000-}} 3x-4  & \,
\end{array}
:

5. Repítense  a etapa 4 até que o polinomio resultado da resta fique con grao menor do que o grao do divisor. Tal polinomio é o resto da división, sendo neste exemplo obtido no paso seguinte:

:
:\begin{array}{lc} 
x^3 - 2x^2 + 0x - 4 & \underline{\left | x-3 \right.} \\ 
\underline{x^3-3x^2 {\color{White} {00000000}} }& x^2+x+3 \\
 {\color{White} {00000}} x^2+0x-4 & \,\\
 {\color{White} {00000}} \underline{x^2-3x {\color{White} {0000}} }& \, \\
 {\color{White} {00000000-}} 3x-4  & \, \\
 {\color{White} {00000000-}} \underline{3x-9 }  & \, \\
 {\color{White} {00000000000000}} 5 & \,
\end{array}
:

Finalizado o proceso, pódese escribir:

: {x^3 - 2x^2 - 4} = (x-3)\,\underbrace{(x^2 + x + 3)}_{q(x)}  +\underbrace{5}_{r(x)}.

### Dividir un polinomio entre un monomio 
É un caso particular do método anterior.

Divídese cada termo do polinomio polo monomio separando os coeficientes parciais cos seus propios signos.

## División de números complexos 
Dividir dous número complexos (cando o divisor é distinto de cero) dá como resultado outro número complexo, que se atopa usando o conxugado do denominador:
:{p+iq \over r+is} = {(p+iq)(r-is) \over (r+is)(r-is)} = {pr+qs + i (qr-ps) \over r^2+s^2} = {pr+qs \over r^2+s^2} + i{qr-ps \over r^2+s^2}.

Este proceso de multiplicación e división por r-is chámase por analoxía racionalización. As catro cantidades *p*, *q*, *r*, *s* son números reais e *r* e *s* poden non ser ambas as dúas 0.

A división de números complexos expresados ​​en forma polar é máis sinxela que a definición anterior:
:{p e^{iq} \over r e^{is}} = {p e^{iq} e^{-is} \over r e^{is} e^{-is}} = {p \over r}e^{i(q - s)}. 

De novo, as catro cantidades *p*, *q*, *r*, *s* son números reais e *r* non pode ser 0.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
### Outros artigos 
* División euclidiana.
* Fracción continua.
## Ligazóns externas 
* (Matemáticas na BBC)

* Exemplos de divisións (Álxebra)