Teorema de Fermat sobre a suma de dous cadrados

En matemáticas, o **teorema dos dous cadrados de Fermat** enuncia as condicións para que un número enteiro sexa a suma de dous cadrados de enteiros, e precisa de cantos xeitos diferentes pode selo. Por exemplo, segundo este teorema, un número primo impar é a suma de dous cadrados de enteiros só se o residuo da súa división euclidiana entre 4 é 1; neste caso, os cadrados quedan determinados de xeito único, en termos de aritmética modular
:p \equiv 1 \pmod{4}.
Pódese verificar sobre 17 = 4 \times 4 + 1 ou 97 = 4 \times 24 + 1, que ámbolos dous se poden expresar dun único xeito como unha suma de dous cadrados 17 = 1^2 + 4^2 e 97 = 9^2 + 4^2; tamén, que números primos, como 7 = 4 \times 1 + 3 ou 31 = 4 \times 7 + 3, non se poden expresar como a suma de dous cadrados. Este resultado tamén é chamado sinxelamente **teorema dos dous cadrados**.

Inscríbese na longa historia da representación de números como a suma de cadrados que se remonta até a antigüidade. Foi expresado de forma explícita por Pierre de Fermat (1601-1665) no século XVII, pero a primeira proba publicada coñecida é obra de Leonhard Euler, un século máis tarde. Malia isto, a súa demostración non pecha todos os interrogantes. No devir dos séculos posteriores propuxéronse novas probas e diversas xeneralizacións. Estas contribucións representaron un papel importante no desenvolvemento da póla das matemáticas chamada teoría alxébrica dos números.

A semellanza de moitas ecuacións diofantianas, é dicir, de ecuacións nas cales os coeficientes e as solucións buscadas son números enteiros ou racionais, a sinxeleza do enunciado agocha unha dificultade real na súa demostración. Algunhas das probas propostas axudaron á posta a punto de ferramentas por veces sofisficadas, como as curvas elípticas ou a xeometría dos números, relacionando así a teoría dos números elemental con outras pólas das matemáticas.

## Probas
### Proba de Euler por descenso infinito
Euler logrou demostrar o teorema de Fermat sobre as sumas de dous cadrados en 1749, cando tiña corenta e dous anos. Comunicouno nunha carta a Goldbach de data 12 de abril de 1749. A proba baséase só no descenso infinito esbozado na carta. A proba completa consta de cinco pasos e publícase en dous artigos. Os catro primeiros pasos son as proposicións 1 a 4 do primeiro traballo e non se corresponden exactamente cos catro pasos seguintes. O quinto paso a continuación é do segundo artigo.48.

Para evitar ambigüidades, cero sempre será un posíbel constituínte válido de "sumas de dous cadrados", polo que, por exemplo, cada cadrado dun número enteiro é trivialmente expresábel como a suma de dous cadrados configurando un deles como cero.

1. *O produto de dous números onde cada un deles é unha suma de dous cadrados, é en si mesmo unha suma de dous cadrados.*
::Esta é unha propiedade coñecida, baseada na identidade
:::(a^2+b^2)(p^2+q^2) = (ap+bq)^2 + (aq-bp)^2

::debida á Diofanto de Alexandría coñecida como identidade de Brahmagupta-Fibonacci ou identidade de Diofanto.

2. *Se un número que é unha suma de dous cadrados é divisíbel por un primo que é unha suma de dous cadrados, entón o cociente é unha suma de dous cadrados.*
(Esta é a primeira proposición de Euler).

::De feito, supoña, por exemplo, que a^2 + b^2 é divisíbel por p^2+q^2 e que este último é primo. Entón p^2 + q^2 divide
:::(pb-aq)(pb+aq) = p^2b^2 - a^2q^2 = p^2(a^2+b^2) - a^2(p^2+q^2).

::Como p^2+q^2 é primo, divide un dos dous factores. Supoñamos que divide pb-aq. Dadi que
:::(a^2+b^2)(p^2+q^2) = (ap+bq)^2 + (aq-bp)^2

::(pola Identidade de Diofanto) dedúcese que p^2+q^2 debe dividir (ap+bq)^2. Polo tanto, a ecuación pódese dividir polo cadrado de p^2+q^2. Dividindo a expresión entre (p^2+q^2)^2 obtemos:
:::\frac{a^2+b^2}{p^2+q^2} = \left(\frac{ap+bq}{p^2+q^2}\right)^2 + \left(\frac{aq-bp}{p^2+q^2}\right)^2

::e así expresamos o cociente como unha suma de dous cadrados, como se afirmaba.

::Por outro lado, se p^2+q^2 divide pb+aq, un argumento similar cúmprese se usamos a seguinte variante da identidade de Diofanto:
:::(a^2+b^2)(q^2+p^2) = (aq+bp)^2 + (ap-bq)^2. 

3. *Se un número que se pode escribir como unha suma de dous cadrados é divisíbel por un número que non é unha suma de dous cadrados, entón o cociente ten un factor que non é unha suma de dous cadrados.* (Esta é a segunda proposición de Euler).
::Supoñamos que q é un número que non se pode expresar como unha suma de dous cadrados, que divide a^2+b^2. Escribimos o cociente, factorizado nos seus factores primos (posíbelmente repetidos), como p_1p_2\cdots p_n e por tanto a^2+b^2 = q p_1p_2\cdots p_n. Se todos os factores p_i poden escribirse como sumas de dous cadrados, entón podemos dividir a^2+b^2 sucesivamente por p_1, p_2, etc., e aplicando o paso (2.) anterior deducimos que cada cociente sucesivo máis pequeno é unha suma de dous cadrados. Se chegamos ata q, entón o propio q tería que ser igual á suma de dous cadrados, o que é unha contradición. Polo tanto, polo menos un dos números primos p_i non é a suma de dous cadrados.

4. *Se a e b son números enteiros positivos relativamente primos, todo factor de a^2 + b^2 é unha suma de dous cadrados.*
(Este é o paso que usa o paso (3.) para producir un "descenso infinito" e foi a Proposición 4 de Euler. A demostración que se esboza a continuación tamén inclúe a proba da súa Proposición 3).

::Sexan a,b números enteiros positivos relativamente primos: sen perda de xeneralidade a^2+b^2 non é primo en si mesmo, se non, non hai nada que demostrar. Sexa q polo tanto un factor *propio* de a^2+b^2, non necesariamente primo: queremos mostrar que q é unha suma de dous cadrados. De novo, non perdemos nada ao supoñer  q > 2  xa que o caso  q = 2 = 1^2 + 1^2  é obvio.

::Sexan m,n números enteiros non negativos tal que mq,nq son os múltiplos máis próximos de q (en valor absoluto) a a,b respectivamente. Nótese que as diferenzas c = a-mq e d = b-nq son números enteiros de valor absoluto estritamente inferiores a q/2: de feito, cando q > 2  é par, mcd(a,q/2)=1; se non, xa que mcd(a,q/2) \mid q/2 \mid q \mid a^2+b^2, tamén teríamos mcd(a,q/2) \mid b.

::Substituíndo e operando obtemos
:::a^2 + b^2 = m^2q^2 + 2mqc + c^2 + n^2q^2 + 2nqd + d^2 = Aq + (c^2+d^2)
::definindo de forma única un enteiro non negativo A. Dado que q divide os dous extremos desta secuencia de ecuacións, dedúcese que c^2+d^2 tamén debe ser divisíbel por q: digamos c^2+d^2 = qr. Sexa g o mcd de c e d que, por seren coprimos  a,b son relativamente primos a q. Así, g^2 divide r, polo que escribindo e = c/g, f = d/g e s = r/g^2, obtemos a expresión e^2+f^2 = qs para os primos relativos e, f, e con  s , xa que
:::qs = e^2 + f^2 \leq c^2+d^2 

::Agora, finalmente, o paso do *descenso*: se q non é a suma de dous cadrados, entón no paso (3.) debe haber un factor q_1 digamos de s que non é a suma de dous cadrados. Pero q_1 \leq s  e así repetindo estes pasos (inicialmente con e,f;q_1 en lugar de a,b;q, e así sucesivamente *ad infinitum*) poderemos atopar unha secuencia infinita estritamente decrecente  q, q_1, q_2  de números enteiros positivos que non son en si mesmos a suma de dous cadrados senón que teñen un factor como suma de dous cadrados relativamente primos. Dado que tal **descenso infinito** é imposíbel, concluímos que q debe ser expresábel como unha suma de dous cadrados, como se afirmaba.

5. *Todo número primo da forma 4n+1 é unha suma de dous cadrados.*
(Este é o principal resultado do segundo traballo de Euler).

::Se p=4n+1, entón polo pequeno teorema de Fermat cada un dos números 1, 2^{4n}, 3^{4n},\dots, (4n)^{4n} é congruente con 1 módulo p. Polo tanto, as diferenzas 2^{4n}-1, 3^{4n}-2^{4n},\dots,(4n)^{4n}-(4n-1)^{4n} son todas divisíbeis por p. Cada unha destas diferenzas pódese factorizar como
:::a^{4n}-b^{4n} = \left(a^{2n}+b^{2n}\right)\left(a^{2n}-b^{2n}\right).
::Dado que p é primo, debe dividir un dos dous factores. Se nalgún dos casos 4n-1 divide o primeiro factor, entón no paso anterior concluímos que p é en si mesma unha suma de dous cadrados (xa que a e b difiren en 1, son relativamente primos). Polo tanto, abonda con demostrar que p non sempre pode dividir o segundo factor. 
::Se divide todas as 4n-1 diferenzas  2^{2n}-1, 3^{2n}-2^{2n},\dots,(4n)^{2n}-(4n-1)^{2n}, entón dividiría todas as 4n-2 diferenzas de termos sucesivos, todas as 4n-3 diferenzas de termos sucesibo, etc. Dado que as k-ésimas diferenzas da secuencia 1^k, 2^k, 3^k,\dots son de cantidade un número igual a k! (ver Diferenza finita), as 2n-ésimas diferenzas serían todas constantes e igual a (2n)!, que certamente non é divisíbel por p. Polo tanto, p non pode dividir todos os segundos factores o que demostra que p é efectivamente a suma de dous cadrados.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
**Richard Dedekind, *The theory of algebraic integers*.
*L. E. Dickson. *History of the Theory of Numbers* Vol. 2. Chelsea Publishing Co., New York 1920
*Harold M. Edwards, ''Fermat's Last Theorem. A genetic introduction to algebraic number theory*. Graduate Texts in Mathematics no. 50, Springer-Verlag, NY, 1977.
*C. F. Gauss, *Disquisitiones Arithmeticae* (English Edition). Transl. by Arthur A. Clarke. Springer-Verlag, 1986.
*
*D. R. Heath-Brown, *Fermat's two squares theorem*. Invariant, 11 (1984) pp.&nbsp;3–5.
*John Stillwell, Introduction to *Theory of Algebraic Integers* by Richard Dedekind. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, 1996.  
*Don Zagier, *A one-sentence proof that every prime p ≡ 1 mod 4 is a sum of two squares''. Amer. Math. Monthly 97 (1990), no. 2, 144, 
### Outros artigos 
* Teorema de Legendre dos tres cadrados
* Teorema de Lagrange dos catro cadrados
* Constante de Landau-Ramanujan
* Lema de Thue
* Teorema de Friedlander-Iwaniec
### Ligazóns externas 
* Somme de carrés  
* Sur les sommes de carrés