Raíz cadrada de dous

miniatura|200x200px| A hipotenusa dun triángulo rectángulo cuxos catetos miden 1 ten unha raíz cadrada de dous.

A **raíz cadrada de dous**, denotada como \sqrt{2}, é o único número real positivo cuxo cadrado (é dicir, o resultado da súa multiplicación por si mesmo) é dous: \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 .

A raíz cadrada de dous é un número irracional,  é dicir, **non** é posíbel atopar dous enteiros a e b tal que \frac{a}{b}=\sqrt{2}.

Crese que \sqrt{2} foi o primeiro número irracional recoñecido como tal. Este importante descubrimento atribúeselle a Hippaso de Metaponto, da escola de Pitágoras. Segundo a lenda, a demostración custoulle a vida ao seu descubridor, xa que contradí as ideas predominantes entre os pitagóricos de que *todo era un número (enteiro)*.

Un triángulo rectángulo cuxos catetos miden **1** ten unha hipotenusa de lonxitude \sqrt{2} .

A fracción  (≈ **1,4142** 857) úsase ás veces como unha boa aproximación racional cun denominador razoábelmente pequeno.

A secuencia  na Enciclopedia en liña de secuencias enteiras está formada polos díxitos da expansión decimal da raíz cadrada de 2, aquí truncadas a 65 cifras decimais:

: 

## Notación 
A raíz cadrada de dous pódese escribir como:

* \sqrt{2}, lea "raíz cadrada de dous" ou "raíz de dous".
* 2^{\frac{1}{2}} ou 2^{1/2}, lese como "dous elevado a un medio".

## Secuencia converxente á raíz cadrada de dous 
Pódese construír facilmente unha secuencia de números racionais que se achegan (converxen) a \sqrt{2} :

: \left\{
\begin{array}{l}
x_0=1\\
x_{n+1}=\frac{x_n}{2}+\frac{1}{x_n}
\end{array}\right.

Esta relación de recorrencia produce a secuencia:

: 1; ~~\frac{3}{2};~~ \frac{17}{12}; ~~\frac{577}{408};~~ \frac{665857}{470832};~~ \frac{886731088897}{627013566048} 

Ou, aproximadamente:

: 1;~~ 1,5;~~ 1.416666667;~~ 1.414215686;~~ 1.414213562;~~ 1.414213562

Teña en conta que o método estabiliza o noveno decimal despois de só cinco pasos.

## Recíproco
O inverso multiplicativo (recíproco) da raíz cadrada de dous é unha constante amplamente utilizada, co valor decimal:

:

Atópase a miúdo en xeometría e trigonometría porque o vector unitario, que forma un ángulo de 45° cos eixos nun plano, ten coordenadas
:\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\!.
Cada coordenada cumpre
:\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{\tfrac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin 45^\circ = \cos 45^\circ.

## Representacións
### Serie e produto
A identidade , xunto coas representacións infinitas do produto para  seno e coseno, leva a produtos como
:\frac{1}{\sqrt 2} = \prod_{k=0}^\infty \left(1-\frac{1}{(4k+2)^2}\right) =
\left(1-\frac{1}{4}\right)\!\left(1-\frac{1}{36}\right)\!\left(1-\frac{1}{100}\right) \cdots

:\sqrt{2} = \prod_{k=0}^\infty\frac{(4k+2)^2}{(4k+1)(4k+3)} =
\left(\frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3}\right)\left(\frac{6 \cdot 6}{5 \cdot 7}\right)\left(\frac{10 \cdot 10}{9 \cdot 11}\right)\left(\frac{14 \cdot 14}{13 \cdot 15}\right) \cdots
ou equivalentemente,
:\sqrt{2} = \prod_{k=0}^\infty\left(1+\frac{1}{4k+1}\right)\left(1-\frac{1}{4k+3}\right) =
\left(1+\frac{1}{1}\right)\!\left(1-\frac{1}{3}\right)\!\left(1+\frac{1}{5}\right)\!\left(1-\frac{1}{7}\right) \cdots.

O número tamén se pode expresar tomando a serie de Taylor dunha función trigonométrica. Por exemplo, a serie para  dá
:\frac{1}{\sqrt{2}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \left(\frac{\pi}{4}\right)^{2k}}{(2k)!}.
A serie de Taylor de  con  e usando o duplo factorial  dá

:\sqrt{2} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^{k+1} \frac{(2k-3)!!}{(2k)!!} =
1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2\cdot4} + \frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} - \frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6\cdot8} + \cdots = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16} - \frac{5}{128} + \frac{7}{256} + \cdots.

A converxencia desta serie pódese acelerar cunha transformada de Euler, producindo

:\sqrt{2} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(2k+1)!}{2^{3k+1}(k!)^2 } = \frac{1}{2} +\frac{3}{8} + \frac{15}{64} + \frac{35}{256} + \frac{315}{4096} + \frac{693}{16384} + \cdots.
Non se sabe se \sqrt{2} se póode representar cunha fórmula de tipo BBP. No entanto, coñécense fórmulas de tipo BBP para  e .

O número pódese representar mediante unha serie infinita de fraccións exipcias, con denominadores definidos por termos 2*n*-ésimos dunha relación de recorrencia de tipo Fibonacci  a(n) =34 a(n-1) - a(n-2),  a (0) = 0,  a(1) = 6. 

:\sqrt{2}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{a(2^n)}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{204}+\frac{1}{235416}+\dots \right) 

### Fracción continua
[miniatura|335px|A raíz cadrada de 2 e aproximacións por [Fracción continua#Fraccións continuas infinitas e converxentes|converxentes de fraccións continuas]]
A raíz cadrada de dous ten a seguinte representación como fracción continua regular :
:\sqrt2 = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac1\ddots}}}. 
en forma abreviada  [1, 2, 2, 2, \ldots ]

Os converxentes  formados ao truncar esta representación forman unha secuencia de fraccións que aproximan a raíz cadrada de dous con precisión crecente e que se describen polos número de Pell (é dicir, ). Os primeiros converxentes son:  e o converxente seguinte a  é . A función converxente  difire de \sqrt{2} en case exactamente {{math|{{sfrac|1|2}*q*}}}}, o que se deduce de:
:\left|\sqrt2 - \frac{p}{q}\right| = \frac{q^2\!\left(\sqrt{2}+\frac{p}{q}\right)} = \frac{1}{q^2\!\left(\sqrt2 + \frac{p}{q}\right)} \thickapprox \frac{1}{2\sqrt{2}q^2}

### Cadrado aniñado
As seguintes expresións con cadrados aniñadas converxen a 
:\begin{align}
\sqrt{2}
&= \tfrac32 - 2 \left( \tfrac14 - \left( \tfrac14 - \bigl( \tfrac14 - \cdots \bigr)^2 \right)^2 \right)^2 \\[10mu]
&= \tfrac32 - 4 \left( \frac18 + \left( \frac18 + \bigl( \frac18 + \cdots \bigr)^2 \right)^2 \right)^2.
\end{align}

## Aplicacións 
### Tamaño do papel 
En 1786, o profesor alemán de física Georg Christoph Lichtenberg  Hoxe, a relación (aproximada) de tamaños de papel en ISO 216 (A4, A0, etc.) é 1: \sqrt{2}

### Ciencias físicas 
Existen algunhas propiedades interesantes que inclúen a raíz cadrada de 2 nas ciencias físicas:

* A raíz cadrada de dous é a relación de frecuencias dun intervalo de trítonos na música de doce tons de temperamento igual.
* A raíz cadrada de dous forma a relación de f-paradas en lentes fotográficas, o que á súa vez significa que a relación das áreas entre dúas aberturas sucesivas é 2.
* A latitude celeste (declinación) do Sol durante os puntos astronómicos dun cuarto de día cruzado é igual á inclinación do eixo do planeta dividida por \sqrt{2}

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 

### Outros artigos 
* Número pi
* Teorema de Pitagoras
### Ligazóns externas 
* Cinco milhões de casas decimais da raiz quadrada de 2