Teorema do trisector de Morley

dereita|conmarco| Se cada ángulo vértice do triángulo externo se divide en trisectores, o teorema do trisector de Morley indica que o triángulo rosa do centro será equilátero.
En xeometría plana, **o teorema do trisector de Morley** afirma que en calquera triángulo, os tres puntos de intersección dos trisectores angulares adxacentes forman un triángulo equilátero, chamado **primeiro triángulo de Morley** ou simplemente **triángulo de Morley**. O teorema foi descuberto en 1899 polo matemático angloamericano Frank Morley. Ten varias xeneralizacións; en particular, se se cortan todos os trisectores, obtéñense outros catro triángulos equiláteros.

## Probas 
Hai moitas probas do teorema de Morley, algunhas delas son moi técnicas. Varias das primeiras probas baseáronse en delicados cálculos trigonométricos. As probas recentes inclúen unha demostración alxébrica de Alain Connes (estendendo o teorema a corpos xerais distintos da característica tres), e a demostración de xeometría elemental de John Conway.   Este último comeza cun triángulo equilátero e mostra que se pode construír arredor del un triángulo que será semellante a calquera triángulo seleccionado. O teorema de Morley non aplica na xeometría esférica e hiperbólica.
dereita|miniatura|480x480px| Figura 1.&nbsp;Demostración elemental do teorema do trisector de Morley
Unha proba usa a identidade trigonométricana que, empregando a identidade da suma de dous ángulos, pódese demostrar que é igual a

:: \sin(3\theta)=-4\sin^3\theta+3\sin\theta.

A última ecuación pódese verificar aplicando dúas veces a identidade da suma de dous ángulos ao lado esquerdo e eliminando o coseno.

Os puntos D, E, F están construídos sobre \overline{BC} como se mostra. Temos 3\alpha+3\beta+3\gamma=180^\circ, a suma dos ángulos de calquera triángulo, polo que \alpha+\beta+\gamma=60^\circ. Polo tanto, os ángulos do triángulo XEF son \alpha, (60^\circ+\beta), e (60^\circ+\gamma).

A partir da figura{{Bloque numerado|::|\sin(60^\circ+\beta)=\frac{\overline{DX}}{\overline{XE}}|}}e{{Bloque numerado|::|\sin(60^\circ+\gamma)=\frac{\overline{DX}}{\overline{XF}}.|}}Tamén da figura

:: \angle{AYC}=180^\circ-\alpha-\gamma=120^\circ+\beta

e{{Bloque numerado|::|\angle{AZB}=120^\circ+\gamma.|}}A lei dos senos aplicada aos triángulos AYC e AZB produce{{Bloque numerado|::|\sin(120^\circ+\beta)=\frac{\overline{AC}}{\overline{AY}}\sin\gamma|}}e{{Bloque numerado|::|\sin(120^\circ+\gamma)=\frac{\overline{AB}}{\overline{AZ}}\sin\beta.|}}
Expresamos a altura do triángulo ABC de dous xeitos

:: h=\overline{AB} \sin(3\beta)=\overline{AB}\cdot 4\sin\beta\sin(60^\circ+\beta)\sin(120^\circ+\beta)

e

:: h=\overline{AC} \sin(3\gamma)=\overline{AC}\cdot 4\sin\gamma\sin(60^\circ+\gamma)\sin(120^\circ+\gamma).

Onde se utilizou a ecuación (1) para substituír \sin(3\beta) e \sin(3\gamma) nestas dúas ecuacións. Substituíndo as ecuacións (2) e (5) na ecuación con \beta e as ecuacións (3) e (6) na ecuación con \gamma, temos:

:: h=4\overline{AB}\sin\beta\cdot\frac{\overline{DX}}{\overline{XE}}\cdot\frac{\overline{AC}}{\overline{AY}}\sin\gamma

e

:: h=4\overline{AC}\sin\gamma\cdot\frac{\overline{DX}}{\overline{XF}}\cdot\frac{\overline{AB}}{\overline{AZ}}\sin\beta.

Xa que os numeradores son iguais

:: \overline{XE}\cdot\overline{AY}=\overline{XF}\cdot\overline{AZ}

ou

:: \frac{\overline{XE}}{\overline{XF}}=\frac{\overline{AZ}}{\overline{AY}}.

Posto que o ángulo EXF e o ángulo ZAY son iguais e os lados que forman estes ángulos están na mesma proporción, os triángulos XEF e AZY son semellantes.

Os ángulos semellantes AYZ e XFE igualan (60^\circ+\gamma), e os ángulos semellantes AZY e XEF igualan (60^\circ+\beta). Con argumentos similares temos os ángulos base dos triángulos BXZ e CYX.

En particular o ángulo BZX ven sendo (60^\circ+\alpha) e pola figura vemos que

:: \angle{AZY}+\angle{AZB}+\angle{BZX}+\angle{XZY}=360^\circ.

Substituindo temos

:: (60^\circ+\beta)+(120^\circ+\gamma)+(60^\circ+\alpha)+\angle{XZY}=360^\circ

onde se utilizou a ecuación (4) para o ángulo AZB e, por conseguinte

:: \angle{XZY}=60^\circ.

Facendo do mesmo xeitoc os outros ángulos do triángulo XYZ vemos que son de 60^\circ.

## Lado e área 
O primeiro triángulo de Morley ten lonxitude de lado 

a^\prime=b^\prime=c^\prime=8R\,\sin\tfrac13A\,\sin\tfrac13B\,\sin\tfrac13C,

onde *R* é o radio circundante do triángulo orixinal e *A, B* e *C* son os ángulos do triángulo orixinal. Xa que a área dun triángulo equilátero é \tfrac{\sqrt{3}}{4}a'^2, a área do triángulo de Morley pódese expresar como

\text{Área} = 16 \sqrt{3}R^2\, \sin^2\!\tfrac13A\, \sin^2\!\tfrac13B\, \sin^2\!\tfrac13C.

## Triángulos de Morley 
O teorema de Morley implica 18 triángulos equiláteros. O triángulo descrito no teorema do trisector anterior, chamado **primeiro triángulo de Morley**, ten como vértices, dados en coordenadas trilineares en relación a un triángulo *ABC,* do seguinte xeito:

\begin{array}{ccccccc}
 \text{vértice } A &=& 1 &:& 2 \cos\tfrac13 C &:& 2 \cos\tfrac13 B \\[5mu]
 \text{vértice } B &=& 2 \cos\tfrac13 C &:& 1 &:& 2 \cos\tfrac13 A \\[5mu]
 \text{vértice } C &=& 2 \cos\tfrac13 B &:& 2 \cos\tfrac13 A &:& 1
\end{array}

Outro dos triángulos equiláteros de Morley que tamén é un triángulo central chámase **segundo triángulo de Morley** e vén dado polos seguintes vértices:

\begin{array}{ccccccc}
  \text{vértice } A &=& 1 &:& 2 \cos\tfrac13(C - 2\pi) &:& 2 \cos\tfrac13(B - 2\pi) \\[5mu]
  \text{vértice } B &=& 2 \cos\tfrac13(C - 2\pi) &:& 1 &:& 2 \cos\tfrac13(A - 2\pi) \\[5mu]
  \text{vértice } C &=& 2 \cos\tfrac13(B - 2\pi) &:& 2 \cos\tfrac13(A - 2\pi) &:& 1
\end{array}

O terceiro dos 18 triángulos equiláteros de Morley que tamén é un triángulo central chámase **terceiro triángulo de Morley** e vén dado polos seguintes vértices:

\begin{array}{ccccccc}
 \text{vértice } A &=& 1 &:& 2 \cos\tfrac13(C + 2\pi) &:& 2 \cos\tfrac13(B + 2\pi) \\[5mu]
 \text{vértice } B  &=& 2 \cos\tfrac13(C + 2\pi) &:& 1 &:& 2 \cos\tfrac13(A + 2\pi) \\[5mu]
 \text{vértice } C &=& 2 \cos\tfrac13(B + 2\pi) &:& 2 \cos\tfrac13(A + 2\pi) &:& 1
\end{array}

O primeiro, segundo e terceiro triángulos de Morley son homotéticos por pares. Outro triángulo homotético está formado polos tres puntos *X* da circunferencia circunscrita do triángulo *ABC* no que a recta *XX*&nbsp;&#x2212; 1 é tanxente á circunferencia, onde *X*&nbsp;&#x2212; 1 denota o conxugado isogonal de *X*. Este triángulo equilátero, chamado **triángulo circumtanxente**, ten estes vértices:

\begin{array}{lllllll}
 \text{vértice } A &=& \phantom{-}\csc\tfrac13(C - B) &:& \phantom{-}\csc\tfrac13(2C + B) &:& -\csc\tfrac13(C + 2B) \\[5mu]
 \text{vértice } B &=& -\csc\tfrac13(A + 2C) &:& \phantom{-}\csc\tfrac13(A - C) &:& \phantom{-}\csc\tfrac13(2A + C) \\[5mu]
 \text{vértice } C &=& \phantom{-}\csc\tfrac13(2B + A) &:& -\csc\tfrac13(B + 2A) &:& \phantom{-}\csc\tfrac13(B - A)
\end{array}

Un quinto triángulo equilátero, tamén homotético cos outros, obtense facendo xirar o triángulo circumtanxente /6 arredor do seu centro. Chamado **triángulo circunnormal**, os seus vértices son os seguintes:

\begin{array}{lllllll}
 \text{vértice } A &=& \phantom{-}\sec\tfrac13(C - B) &:& -\sec\tfrac13(2C + B) &:& -\sec\tfrac13(C + 2B) \\[5mu]
  \text{vértice } B &=& -\sec\tfrac13(A + 2C) &:& \phantom{-}\sec\tfrac13(A - C) &:& -\sec\tfrac13(2A + C) \\[5mu]
  \text{vértice } C &=& -\sec\tfrac13(2B + A) &:& -\sec\tfrac13(B + 2A) &:& \phantom{-}\sec\tfrac13(B - A)
\end{array}

Unha operación chamada "extraversión" pódese utilizar para obter un dos 18 triángulos de Morley a partir doutro. Cada triángulo pode ser extravertido de tres formas diferentes; os 18 triángulos de Morley e os 27 pares extravertidos de triángulos forman os 18 vértices e as 27 arestas da grafo de Pappus (debido a Pappus de Alexandría).

## Centros triangulares relacionados 
Usando os números da **Encyclopedia of Triangle Centers (ETC)** temos:

O **centro de Morley**, *X*(356), centroide do primeiro triángulo de Morley, vén dado en coordenadas trilineares por

\cos\tfrac13A + 2\cos\tfrac13B\,\cos\tfrac13C \,:\, \cos\tfrac13B + 2\cos\tfrac13C\,\cos\tfrac13A \,:\, \cos\tfrac13C + 2\cos\tfrac13A\,\cos\tfrac13B

**O 1º centro de Morley–Taylor–Marr**, *X*(357): O primeiro triángulo de Morley é homólogo ao triángulo  As liñas que conectan cada unha un vértice do triángulo orixinal con cadanseu vértice oposto do triángulo de Morley coinciden no punto

\sec\tfrac13A \,:\, \sec\tfrac13B \,:\, \sec\tfrac13C

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*.
*.
*
*.
*.
*.
*.

### Outros artigos 
*Trisección do ángulo
*Puntos de Hofstadter
*Centros de Morley
### Ligazóns externas 
* Morley's Miracle.