Función analítica

En matemáticas, unha **función analítica** é unha función que está dada localmente por unha serie de potencias converxente. Existen **funcións analíticas reais** e **funcións analíticas complexas**. As funcións de cada tipo son infinitamente diferenciábeis, mais as funcións analíticas complexas presentan propiedades que xeralmente non se cumpren para as funcións analíticas reais.

Unha función é analítica se e só se para cada  x_0  no seu dominio, a súa serie de Taylor en  x_0  converxe á función nalgunha veciñanza de  x_0 . Isto é máis forte que simplemente ser infinitamente diferenciábel en  x_0 , e polo tanto ter unha serie de Taylor ben definida; a función de Fabius ofrece un exemplo dunha función que é infinitamente diferenciábel mais non analítica.

## Definicións 
Formalmente, unha función f é *unha función analítica real* nun conxunto aberto D na liña real se para algún x_0\in D  podemos escribir 
:
f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_{n} \left( x-x_0 \right)^{n} = a_0 + a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2 + \cdots

no que os coeficientes a_0, a_1, \dots son números reais e a serie é converxente a f(x) para x nunha veciñanza de x_0.

Alternativamente, unha función analítica real é unha función infinitamente diferenciable tal que a serie de Taylor en calquera punto x_0 no seu dominio

: T(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}

converxe a f(x) para x nunha veciñanza punto por punto de x_0 . O conxunto de todas as funcións analíticas reais nun conxunto dado D adoita denotarse por \mathcal{C}^{\,\omega}(D), ou só por \mathcal{C}^{\,\omega} se se sobreentende o dominio.

A definición dunha *función analítica complexa* obtense substituíndo, nas definicións anteriores, "real" por "complexo" e "recta real" por "plano complexo". Unha función é analítica complexa se e só se é holomorfa, é dicir, é derivábel complexa. Por esta razón, os termos "holomorfo" e "analítica" adoitan usarse indistintamente para esas funcións.

## Exemplos 
Exemplos típicos de funcións analíticas son

* As seguintes funcións elementais:
** Todos os polinomios: se un polinomio ten grao *n*, calquera termo de grao maior que *n* na súa expansión da serie de Taylor debe desaparecer inmediatamente a 0, polo que esta serie será trivialmente converxente. A maiores, todo polinomio é a súa propia serie de Maclaurin.
** A función exponencial é analítica. Calquera serie de Taylor para esta función converxe non só para *x* o suficientemente próximo a *x*0 (como na definición) senón para todos os valores de *x* (real ou complexo).
** As funcións trigonométricas, o logaritmo e as funcións de potencias son analíticas en calquera conxunto aberto do seu dominio.
* A maioría das funcións especiais (polo menos nalgún rango do plano complexo):
** Funcións hiperxeométricas
** Funcións de Bessel
** Funcións gamma

Exemplos típicos de funcións que non son analíticas son

* A función de valor absoluto cando se define no conxunto de números reais ou complexos non é analítica en todas as partes porque non é diferenciábel en 0.
* As funcións definidas por intervalos (funcións dadas por diferentes fórmulas en diferentes rexións) normalmente non son analíticas onde se atopan os intervalos.
* A función conxugada complexa *z* &#x2192; *z* * non é analítica complexa, aínda que a súa restrición á liña real é a función de identidade e, polo tanto, analítica real, e é analítica real como función de \mathbb{R}^{2} a \mathbb{R}^{2}.
* Outras funcións suaves non analíticas e, en particular, calquera función suave f con soporte compacto, é dicir f \in \mathcal{C}^\infty_0(\R^n), non pode ser analítica en \R^n.

## Caracterizacións alternativas 
As seguintes condicións son equivalentes:

# f é analítica real nun conxunto aberto D.
# Hai unha extensión analítica complexa de f a un conxunto aberto G \subset \mathbb{C} que contén D.
# f é suave e para todo conxunto compacto K \subset D existe unha constante C tal que para cada x \in K e todo número enteiro non negativo k o seguinte límite cúmprese 
: \left| \frac{d^k f}{dx^k}(x) \right| \leq C^{k+1} k!

As funcións analíticas complexas son exactamente equivalentes ás funcións holomorfas e, polo tanto, caracterízanse moito máis facilmente.

## Propiedades das funcións analíticas 
* As sumas, produtos e composicións das funcións analíticas son analíticas.
* O recíproco dunha función analítica que non é cero en ningún lugar  é analítica, así como a inversa dunha función analítica invertíbel cuxa derivada non é cero. (Véxase tamén o teorema de inversión de Lagrange).
* Calquera función analítica é suave, é dicir, infinitamente diferenciábel. O inverso non é certo para as funcións reais; de feito, en certo sentido, as funcións analíticas reais son escasas en comparación con todas as funcións reais infinitamente diferenciábeis. Para os números complexos, a inversa vale, e de feito calquera función diferenciábel *unha vez* nun conxunto aberto é analítica nese conxunto.
* Para todo conxunto aberto \Omega \subseteq \mathbb{C}, o conxunto *A*(Ω) de todas as funcións analíticas u:\Omega \to \mathbb{C} é un espazo de Fréchet en relación á converxencia uniforme en conxuntos compactos. O feito de que os límites uniformes dos conxuntos compactos de funcións analíticas sexan analíticos é unha consecuencia sinxela do teorema de Morera. O conxunto A_\infty(\Omega) de todas as funcións analíticas limitadas coa norma suprema é un espazo de Banach.

## Analítica e diferenciábel 
Existen funcións reais suaves que non son analíticas, de feito, hai moitas funcións deste tipo.

A situación é ben diferente cando se consideran funcións analíticas complexas e derivadas complexas. Pódese probar que calquera función complexa diferenciábel (no sentido complexo) nun conxunto aberto é analítica. En consecuencia, na análise complexa, o termo *función analítica* é sinónimo de *función holomorfa*.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
*
*
### Outros artigos 
*Ecuacións de Cauchy–Riemann
*Función holomorfa
*Teorema de Paley–Wiener
*Función suave non analítica
### Ligazóns externas 
* 
* 
* Solver for all zeros of a complex analytic function that lie within a rectangular region by Ivan B. Ivanov