Logaritmo integral

alt=Plot of the logarithmic integral function li(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D|miniatura| Gráfico da función integral logarítmica li(z) no plano complexo de -2-2i a 2+2i con cores creadas coa función de Mathematica 13.1 ComplexPlot3D
En matemáticas, a **función integral logarítmica** ou **logaritmo integral** li( *x* ) é unha función especial. É relevante en problemas de física e ten importancia na teoría de números. En particular, segundo o teorema dos números primos, é unha moi boa aproximación á función de contaxe de primos, que se define como o número de números primos menores ou iguais a un determinado valor .
dereita|miniatura|300x300px| Gráfica de función integral logarítmica

## Representación como integral 
O logaritmo integral ten unha representación enteira definida para todos os números reais positivos  ≠ 1 pola integral definida

:  \operatorname{li}(x) = \int_0^x \frac{dt}{\ln t}. 

Aquí,  denota o logaritmo natural. A función  ten unha singularidade en , e a integral para  interprétase como un valor principal de Cauchy,

:  \operatorname{li}(x) = \lim_{\varepsilon \to 0+} \left( \int_0^{1-\varepsilon} \frac{dt}{\ln t} + \int_{1+\varepsilon}^x \frac{dt}{\ln t} \right).

## Logaritmo integral desprazado 
O l**ogaritmo integral desprazado** ou **integral logarítmica euleriana** defínese como

:  \operatorname{Li}(x) = \int_2^x \frac{dt}{\ln t} = \operatorname{li}(x) - \operatorname{li}(2). 

Como tal, a representación integral ten a vantaxe de evitar a singularidade no dominio da integración.

De forma equivalente,

:  \operatorname{li}(x) = \int_0^x \frac{dt}{\ln t} = \operatorname{Li}(x) + \operatorname{li}(2). 

## Valores especiais 
A función li(*x*) ten un único cero positivo; ocorre en *x* ≈ 1,45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744 94930... ; este número coñécese como constante de Ramanujan-Soldner.

\operatorname{li}(\text{Li}^{-1}(0)) = \text{li}(2) ≈ 1,045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151... 

Isto é -(\Gamma(0,-\ln 2) + i\,\pi) onde \Gamma(a,x) é a función gamma incompleta. Debe entenderse como o valor principal de Cauchy da función.

## Representación en serie 
A función li(*x*) está relacionada coa *integral exponencial* Ei(*x*) mediante a ecuación

: \operatorname{li}(x)=\hbox{Ei}(\ln x) ,

que é válido para *x* > 0. Esta identidade proporciona unha representación en serie de li(*x*) como

:  \operatorname{li}(e^u) = \hbox{Ei}(u) = 
\gamma + \ln |u| + \sum_{n=1}^\infty {u^{n}\over n \cdot n!} 
\quad \text{ para } u \ne 0 \,, 

onde *γ* ≈ 0,57721 56649 01532...  é a constante de Euler-Mascheroni. Unha serie máis rapidamente converxente de Ramanujan  é

: 
 \operatorname{li}(x) =
 \gamma
 + \ln |\ln x|
 + \sqrt{x} \sum_{n=1}^\infty
        \left( \frac{ (-1)^{n-1} (\ln x)^n} {n! \, 2^{n-1}}
        \sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} \frac{1}{2k+1} \right).

## Expansión asintótica 
O comportamento asintótico para x\to\infty é

:  \operatorname{li}(x) = O \left( \frac{x }{\ln x} \right) . 

onde O é a notación O grande. A expansión asintótica completa é

:  \operatorname{li}(x) \sim \frac{x}{\ln x} \sum_{k=0}^\infty \frac{k!}{(\ln x)^k} 

ou

:  \frac{\operatorname{li}(x)}{x/\ln x} \sim 1 + \frac{1}{\ln x} + \frac{2}{(\ln x)^2} + \frac{6}{(\ln x)^3} + \cdots. 

Isto dá o seguinte comportamento asintótico máis preciso:

:  \operatorname{li}(x) - \frac{x}{ \ln x} = O \left( \frac{x}{(\ln x)^2} \right) . 

Como expansión asintótica, esta serie non é converxente: é unha aproximación razoábel só se a serie se trunca nun número finito de termos e só se empregan valores grandes de *x*. Esta expansión segue directamente da expansión asintótica para a integral exponencial.

Isto implica, por exemplo, que podemos a podemos limitar por ambos lados como:

:  1+\frac{1}{\ln x} 

para todo \ln x \ge 11 .

## Importancia en teoría de números 
A integral logarítmica é importante na teoría de números, xa que aparece nas estimacións do número de números primos inferiores a un valor dado. Por exemplo, o teorema dos números primos indica que:

: \pi(x)\sim\operatorname{li}(x)

onde \pi(x) indica o número de primos menores ou iguais a x.

Asumindo a hipótese de Riemann, temos unha relación aínda máis forte: 

: |\operatorname{li}(x)-\pi(x)| = O(\sqrt{x}\log x)

De feito, a hipótese de Riemann é equivalente á afirmación de que:

: |\operatorname{li}(x)-\pi(x)| = O(x^{1/2+a}) para calquera a>0.

Para pequenos x, \operatorname{li}(x)>\pi(x) mais a diferenza muda de signo un número infinito de veces cando x aumenta, e a primeira vez que isto ocorre é entre 1019 e .

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*  
* 

### Outros artigos 
### Ligazóns externas