Divisor de cero

En álxebra abstracta, un elemento  dun anel  chámase **divisor de cero pola esquerda** se existe un  distinto de cero en  tal que , ou de forma equivalente se o mapa de  a  que envía  a  non é inxectivo. Do mesmo xeito, un elemento  dun anel chámase **divisor de cero pola dereita** se existe un  distinto de cero en  tal que . Este é un caso parcial de divisibilidade nos aneis. Un elemento que é un divisor de cero pola esquerda ou pola dereita chámase simplemente **divisor de cero**. Un elemento&nbsp; divisor de cero á esquerda e á dereita chámase **divisor de cero bilateral** (o  distinto de cero tal que  pode ser diferente do  distinto de cero tal que ). Se o anel é conmutativo, entón os divisores cero pola esquerda e pola dereita son iguais.

Un elemento dun anel que non é un divisor de cero pola esquerda (respectivamente, non é un divisor de cero pola dereita) chámase **esquerdo regular** ou **esquerdo cancelábel** (respectivamente, **dereito regular** ou **dereito cancelábel**).
Un elemento dun anel que é cancelábel pola esquerda e pola dereita, e polo tanto non é un divisor cero, chámase **regular** ou **cancelábel**. Un anel non cero sen divisores de cero non triviais chámase  dominio.

## Exemplos 
* No ring \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, a clase de residuos \overline{2} é un divisor de cero xa que \overline{2} \times \overline{2}=\overline{4}=\overline{0} .
* O único divisor de cero do anel \mathbb{Z} de enteiros é 0.
* Un elemento nilpotente dun anel distinto de cero é sempre un divisor de cero bilateral.
* Un elemento idempotente e\ne 1 dun anel é sempre un divisor de cero bilateral, xa que e(1-e)=0=(1-e)e .
* O anel de matrices *n*&#x2009;×&#x2009;*n* sobre un corpo ten divisores de cero distintos do cero se *n* ≥ 2. Abaixo móstranse exemplos de divisores de cero no anel de matrices 2 x 2:

:\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.

* Un produto directo de dous ou máis aneis distintos de cero sempre ten divisores de cero distintos de cero. Por exemplo, en R_1 \times R_2 con cada  R_i distinto de cero, (1,0)(0,1) = (0,0), así que (1,0) é un divisor de cero.
* Sexa K un corpo e G un grupo. Supoñamos que G ten un elemento g de orde finita n > 1. Entón no grupo anel (módulo libre e ao mesmo tempo anel) K[G] temos (1-g)(1+g+ \cdots +g^{n-1})=1-g^{n}=0, sen que ningún dos factores sexa cero, polo tanto 1-g é un divisor de cero distinto de cero en K[G].

### Divisor de cero unilateral 
* Considere o anel de matrices  \begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix} con x,z\in\mathbb{Z} e y\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}. Entón \begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}xa&xb+yc\\0&zc\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}xa&ya+zb\\0&zc\end{pmatrix}. Se x\ne0\ne z, entón \begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix} é un divisor de cero pola esquerda se e só se x é par, pois\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&x\\0&0\end{pmatrix}, e temos que é un divisor de cero pola dereita se e só se z é par por razóns similares. Se calquera dos x,z é 0, entón é un divisor de cero bilateral.

## Non exemplos 
* O anel de enteiros módulo un número primo non ten divisores de cero distintos de cero. Dado que cada elemento distinto de cero é unha unidade, este anel é un corpo finito.
* De forma máis xeral, un anel de división non ten divisores de cero distintos de cero.
* Un anel conmutativo distinto de cero cuxo único divisor de cero é 0 chámase dominio de integridade.

## Propiedades 
* No anel de matrices &#x2009;×&#x2009; sobre un corpo, os divisores de cero pola esquerda e pola dereita coinciden; son precisamente as matrices invertíbeis. No anel de matrices  &#x2009;×&#x2009; sobre un dominio de integridade, os divisores de cero son precisamente as matrices con determinante cero.
* Os divisores de cero pola esquerda ou pola dereita nunca poden ser unidades, porque se  é invertíbel e  para algún  distinto de cero, entón , é unha contradición.
* Un elemento é cancelábel no lado no que é regular. É dicir, se  é  regular esquerdo,  implica que , e do mesmo xeito para regular dereito.

## Cero como divisor de cero 
Non hai necesidade dunha convención separada para o caso , porque a definición tamén se aplica neste caso:

* Se  é un anel distinto do anel cero, entón  é un divisor de cero (bilateral), porque calquera elemento distinto de cero  satisfai .
* Se  é o anel cero, no que , entón  non é un divisor de cero, porque non hai ningún elemento *distinto de cero* que, multiplicado por  dea .

## Divisor de cero nun módulo 
Sexa  un anel conmutativo, sexa  un módulo  e sexa  un elemento de . Dise que  é **-regular** se a "multiplicación por ", o mapa M \,\stackrel{a}\to\, M é inxectivo, e dise que  é un **divisor de cero en ** en caso contrario. O conxunto de elementos -regulares é un conxunto multiplicativo en .  O conxunto de elementos -regulares é un conxunto multiplicativo en .

Especializando as definicións de "-regular" e "divisor de cero en " para o caso  cobre as definicións de "regular" e "divisor de cero" dadas anteriormente neste artigo.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
### Outros artigos 
* Sedenion.
* Anel cociente.
### Ligazóns externas 
* Zero Divisor (MathWorld).