Semigrupo

En  álxebra abstracta, un **semigrupo** é unha estrutura alxébrica constituída por un conxunto provisto dunha lei de composición interna asociativa. Dise que é conmutativo se a súa lei é tamén conmutativa.

En relación cos axiomas de grupo fáltalle a existencia de elemento identidade e por tanto tamén o axioma de inverso.

Un monoide é unha estrutura alxébrica intermedia entre semigrupos e grupos, é un semigrupo que a maiores ten un elemento identidade, polo que obedece a todos menos un dos axiomas dun grupo: a existencia de inversos non se require nun monoide.

## Definición 
Un semigrupo é un magma asociativo. Noutras palabras, é unha par (S,\star) composto por un conxunto  e unha operación \star que verifica a propiedade de asociatividade: (a \star b) \star c = a \star ( b \star c) para todos ,  e  en 

## Exemplos 
* O conxunto de números naturais distintos de cero provistos de suma é un semigrupo. Por non teren o cero non teñen elemento identidade e por non teren os negativos non teñen inversos.
* Todo monoide é un semigrupo.
* Se (A,+,*) é un rng (ou pseudoanel), entón (A,*) é un medio grupo.
* Calquera conxunto ordenado no que calquera par de elementos teña unha límite inferior, provisto da lei que lles asocia este límite inferior, constitúe un  semigrupo conmutativo.
* Para calquera semigrupo (S,*), o conxunto de partes de  é tamén un semigrupo para a operación definida por A\cdot B=\{a*b\mid a\in A, b\in B\}.

## Conceptos esenciais 
### Elementos neutro e cero 
Un *elemento identidade pola esquerda* dun semigrupo *S* (ou máis xeralmente dun magma), é un elemento *e* tal que para todos os *x* en *S*, . Do mesmo xeito, un *elemento identidade pola dereita* é un elemento *f* tal que para todas os *x* en *S*, . Un semigrupo pode ter un ou máis elementos identidade pola esquerda mais ningún pola dereita, e viceversa.

Cando  ten un elemento neutro, dicimos que é un monoide.

Un semigrupo *S* pode mergullarse nun monoide que se forma agregando a *S* un elemento   e definindo  para todos os .  A notación *S*1 denota un monoide obtido de *S* xunto cunha identidade *se é necesario* ( para un monoide).

Do mesmo xeito, cada magma ten como máximo un elemento absorbente, que na teoría de semigrupos chámase **cero**. De xeito análogo á construción anterior, para cada semigrupo *S* pódese definir *S*0, un semigrupo con 0 que incorpora a *S*.

### Morfismo de semigrupos 
Sexan (S,\cdot) E (T,\star) dous semigrupos. Unha aplicación f:S\to T é un morfismo de semigrupos se f(s\cdot t) = f(s)\star f(t) para tódolos s,t \in S. Por exemplo, a aplicación f:n\mapsto 2^n é un morfismo do semigrupo dos enteiros naturais provistos de suma ao semigrupo de potencias enteiras de 2 provistos de multiplicación.

Dous semigrupos *S* e *T* dise que son **isomorfos** se existe un homomorfismo de semigrupo bixectivo . Os semigrupos isomorfos teñen a mesma estrutura.
### Ideais 
A operación do semigrupo induce unha operación na colección dos seus subconxuntos: dados os subconxuntos *A* e *B* dun semigrupo *S*, o seu produto , escrito habitualmente como *AB*, é o conxunto {{nowrap|{ *ab*  *a* en *A* e *b* en *B* }.}} (Esta noción defínese de forma idéntica como se define para grupos.) En termos desta operación, un subconxunto de *A* chámase
* un **subsemigrupo** se *AA* é un subconxunto de *A*,
* un **ideal pola dereita** se *AS* é un subconxunto de *A*, e
* un **ideal pola esquerda** se *SA* é un subconxunto de *A*.

Se *A* é á vez un ideal pola esquerda e un ideal pola dereita, daquela chámase **ideal** (ou **ideal bilateral**).

Se *S* é un semigrupo, entón a intersección de calquera colección de subsemigrupos de *S* tamén é un subsemigrupo de *S*.
Polo tanto, os subsemigrupos de *S* forman unha reticula completa.

Un exemplo de semigrupo sen ideal mínimo é o conxunto de enteiros positivos baixo adición. O ideal mínimo dun semigrupo conmutativo, cando existe, é un grupo.

As relacións de Green, un conxunto de cinco relacións de equivalencia que caracterizan os elementos en función dos ideais principais que xeran, son ferramentas importantes para analizar os ideais dun semigrupo e as nocións relacionadas de estrutura.

O subconxunto coa propiedade que cada elemento conmuta con calquera outro elemento do semigrupo chámase **centro** do semigrupo.
O centro dun semigrupo é un subsemigrupo.

### Cociente 
As seguintes nocións introduce a idea de que un semigrupo está contido noutro.

Un semigrupo *T* é un cociente dun semigrupo *S* se hai un morfismo de semigrupo surxectivo de *S* a *T*. Por exemplo,  é un cociente de , utilizando o morfismo consistente en tomar o resto módulo 2 dun número enteiro.

Un semigrupo *T* divide un semigrupo *S*, denotado  se *T* é un cociente dun subsemigrupo ''S' '. En particular, os subsemigrupos de *S* dividen a *T*, aínda que non é necesariamente o caso de que haxa un cociente de *S*.

Ambas as dúas relacións son transitivas.

## Tipos de semigrupos 
* Un monoide é un semigrupo cun elemento identidade.
* Un grupo é un monoide no que cada elemento ten un elemento inverso.
* Un subsemigrupo é un subconxunto dun semigrupo que está pechado baixo a operación de semigrupo.
* Un semigrupo cancelativo é aquel que ten a propiedade de cancelación:  implica  e de xeito similar para . Todo grupo é un semigrupo cancelativo, e todo semigrupo cancelativo finito é un grupo.
* Unha semigrupo idempotente é un semigrupo cuxa operación é idempotente.
* Unha semireticula é un semigrupo cuxa operación é idempotente e conmutativa.
* Os semigrupos 0-simple.
* Os Semigrupos de transformación: calquera semigrupo finito *S* pode representarse mediante transformacións dun conxunto (estado) *Q* de como máximo  estados. Cada elemento *x* de *S* mapea *Q* a si mesmo  e a secuencia *xy * defínese por  para cada *q* en *Q*. A secuenciación é claramente unha operación asociativa, aquí equivalente a unha composición de funcións. Esta representación é básica para calquera autómata ou máquina de estados finitos (FSM).
* O semigrupo bicíclico é de feito un monoide, que se pode describir como o semigrupo libre con dous xeradores *p* e *q*, baixo a relación .
* Os C0-semigrupos.
* Semigrupos regulares. Cada elemento *x* ten polo menos unha *y* inversa que satisfaga  e ; os elementos *x* e *y* ás veces chámanse "mutuamente inversos".
* Os semigrupos inversos son ​​semigrupos regulares onde cada elemento ten exactamente un inverso. Alternativamente, un semigrupo regular é inverso se e só calquera dous elementos idempotentes conmutan.
* Semigrupo afín: un semigrupo isomorfo a un subsemigrupo finitamente xerado de Zd. Estes semigrupos teñen aplicacións á álxebra conmutativa.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
### Outros artigos 
* Elemento neutro.
* Semigrupo compacto.
* Rng. Anel sen elemento identidade multiplicativa.

### Ligazóns externas 
* MathWorld semigroup.