Sistema de coordenadas cartesianas

[dereita|miniatura|238x238px|Tres exemplos de coordenadas asignadas a tres puntos diferentes (verde, vermello e azul), as súas [Proxección ortogonal|proxeccións ortogonales sobre os eixes constitúen as súas coordenadas cartesianas e a orixe de coordenadas (0,0) en maxenta.]]
As **coordenadas cartesianas** ou **coordenadas rectangulares** (plano cartesiano) son un tipo de coordenadas ortogonais usadas en espazos euclidianos, para a representación gráfica dunha función, en xeometría analítica , ou do movemento ou posición en física, caracterizadas porque emprega como referencia eixes ortogonais entre si que se cortan nun punto orixe. As coordenadas cartesianas defínense así como a distancia á orixe das proxeccións ortogonais dun punto dado sobre cada un dos eixes. A denominación de 'cartesiano' introduciuse en honra de René Descartes, quen o utilizou de maneira formal por primeira vez.

Se o sistema en si é un sistema bidimensional, denomínase **plano cartesiano**. O punto de corte das rectas faise coincidir co punto cero das rectas e coñécese como orixe do sistema. Ao eixe horizontal ou das abscisas asígnaselle os números enteiros dos xes ("x"); e ao eixe vertical ou das ordenadas asígnanselle os números enteiros dos is gregos ("y").
[miniatura|99x99px|[Círculo.]]
Ao cortárense as dúas rectas, dividen o plano en catro rexións, que se coñecen co nome de cuadrantes:
* Primeiro cuadrante "I": Rexión superior dereita
* Segundo cuadrante "II": Rexión superior esquerda
* Terceiro cuadrante "III": Rexión inferior esquerda
* Cuarto cuadrante "IV": Rexión inferior dereita
O plano cartesiano emprégase para asignar unha localización a calquera punto no plano. Na gráfica indícase o punto +2 nas abscisas e +3 nas ordenadas. O conxunto (2,&nbsp;3) denomínase "par ordenado" e do mesmo xeito pódense situar outros puntos.

As coordenadas cartesianas empréganse por exemplo para definir un **sistema cartesiano** ou sistema de referencia xa sexa respecto a un só eixe (liña recta), respecto de dous eixes (un plano) ou respecto de tres eixes (no espazo), perpendiculares entre si (plano e espazo), que se cortan nun punto chamado *orixe de coordenadas*. No plano, as coordenadas cartesianas denomínanse **abscisa** e **ordenada** A abscisa é a coordenada horizontal e represéntase habitualmente pola letra **x**, mentres que a ordenada é a coordenada vertical e represéntase polo **y**.

## Historia 
[miniatura|205x205px|Gráfica de dúas [Hipérbole (xeometría)|hipérboles e as súas asíntotas.]]
Denomínanse "coordenadas cartesianas" en honra a René Descartes (1596-1650), o célebre filósofo e matemático francés que quixo fundamentar o seu pensamento filosófico no método de tomar un «punto de partida» evidente sobre o que edificaría todo o coñecemento.

Como creador da xeometría analítica, Descartes tamén comezou tomando un «punto de partida» nesta disciplina, o sistema de referencia cartesiano, para poder representar a xeometría plana, que usa só dúas rectas perpendiculares entre si que se cortan nun punto denominado «orixe de coordenadas».

## Recta euclidiana 
Un punto calquera dunha recta pode asociarse e representarse cun número real, positivo se está situado á dereita dun punto **O**, e negativo se está á esquerda. O devandito punto chámase orixe de coordenadas O (letra **O**) e asóciase ao valor 0 (cero).

Corresponde á dimensión un, que se representa co eixe X, no que se define unha orixe de coordenadas, simbolizado coa letra O (**O** de *orixe*) e un vector unitario na dirección positiva das x: \mathbf{i}.

Este sistema de coordenadas é un espazo vectorial de dimensión un, e pódenselle aplicar todas as operacións correspondentes a espazos vectoriales. Tamén se lle chama recta real.
dereita|400x400px|Sistema de coordenadas na recta.
Un punto:
:A= ({x_A})\,

tamén se pode representar:
: \vec {OA}= x_A\,\mathbf{i}

A distancia entre dous puntos **A** e **B** é:
:d_{AB} = |x_A - x_B| \,

## Plano euclidiano 
Cun sistema de referencia conformado por dúas rectas perpendiculares que se cortan na orixe, cada punto do plano pode "nomearse" mediante dous números: (x, y), que son as coordenadas do punto, chamadas *abscisa* e ordenada, respectivamente, que son as distancias ortogonais do devandito punto respecto dos eixes cartesianos.
miniatura|Sistema de coordenadas cartesianas.
A ecuación do eixe x é y = 0, e a do eixe y é x = 0, rectas que se cortan na orixe O, que ten coordenadas (0, 0).

Denomínanse tamén *eixe das abscisas* ao eixe x, e *eixe das ordenadas* ao eixe y. Os eixes dividen o espazo en catro cuadrantes I, II, III e IV, nos que os signos das coordenadas alternan de positivo a negativo (por exemplo, as dúas coordenadas do punto A serán positivas, mentres que as do punto B serán ambas as dúas negativas).

As coordenadas dun punto calquera virán dadas polas proxeccións do segmento entre a orixe e o punto sobre cada un dos eixes.

Sobre cada un dos eixes defínense vectores unitarios (**i** e **j**) como aqueles paralelos aos eixes e de módulo (lonxitude) a unidade. En forma vectorial, a posición do punto **A** defínese respecto da orixe coas compoñentes do vector OA.
: \overline{OA} = x_A \, \mathbf{i} + y_A  \, \mathbf{j} 

A posición do punto **A** será:
: A = ( x_A , \, y_A ) 

Cómpre salientar que a lista de coordenadas pode expresar tanto a posición dun punto como as compoñentes dun vector en notación matricial.

A distancia entre dous puntos calquera virá dada pola expresión:
:d_{\overline{AB}} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \,

Aplicación do teorema de Pitágoras ao triángulo rectángulo ABC.

Un vector calquera **AB** definirase restando, coordenada a coordenada, as do punto de orixe das do punto de destino:
: \overline{AB} = (x_B - x_A) \, \mathbf{i} + (y_B - y_A)\, \mathbf{j} 

Evidentemente, o módulo do vector AB será a distancia dAB entre os puntos A e B antes calculada.

## Espazo euclidiano 
De ter un sistema de referencia formado por tres rectas perpendiculares entre si (X, Y, Z), que se cortan na orixe (0, 0, 0), cada punto do espazo pode *nomearse* mediante tres números: (x, y, z), denominados *coordenadas do punto*, que son as distancias ortogonales aos tres planos principais: os que conteñen as parellas de eixes YZ, XZ e YX, respectivamente.
miniatura|Coordenadas cartesianas espaciais.
Os planos de referencia XY (z = 0); XZ (y = 0); e YZ (x = 0) dividen o espazo en oito cuadrantes nos que, como no caso anterior, os signos das coordenadas poden ser positivos ou negativos.

A xeneralización das relacións anteriores ao caso espacial é inmediata considerando que agora é necesaria unha terceira coordenada (z) para definir a posición do punto.
: 
   \overline{OA} =
   x_A \, \mathbf{i} +
   y_A \, \mathbf{j} +
   z_A \, \mathbf{k}

  
As coordenadas do punto **A** serán:
: 
   A = ( x_A , \, y_A , \, z_A )

e o **B**:
: 
   B = ( x_B , \, y_B , \, z_B )

A distancia entre os puntos **A** e **B** será:
: 
   d_{\overline{AB}} =
   \sqrt{
      (x_B - x_A)^2 +
      (y_B - y_A)^2 + 
      (z_B - z_A)^2
   } \,

  
O segmento **AB** será:
: 
   \overline{AB} =
   (x_B - x_A) \, \mathbf{i} +
   (y_B - y_A) \, \mathbf{j} +
   (z_B - z_A) \, \mathbf{k}

## Cambio do sistema de coordenadas 
Tanto no caso plano como no caso espacial poden considerarse tres transformacións elementais: translación da orixe, rotación ao redor dun eixe e cambio de escala.

### Translación da orixe 
miniatura|Translación da orixe en coordenadas cartesianas.
Supondo un sistema de coordenadas inicial **S1** con orixe en **O** e eixes x e y
:  S1 = \{O;\; x,y \} 
  
e as coordenadas dun punto **A** dado, sexan no sistema **S1**:
:  A = (x_A ,\; y_A ) 
  
dado un segundo sistema de referencia **S2**
:  S2 = \{O^\prime ;\; x^\prime,y^\prime \} 
  
Sendo os centros de coordenadas dos sistemas **0** e **0´**, puntos distintos, e os eixes **x**, **x´**; e **y**, **y´** paralelos dous a dous, e as coordenadas de **O´**, respecto de **S1**:
:  O^\prime = (x_{O^\prime} , \; y_{O^\prime}) 
  
Chámase translación da orixe a calcular as coordenadas de **A** en **S2**, segundo os datos anteriores, que se chamarán:
:  A^\prime = (x^\prime_A ,\; y^\prime_A ) 
  
Dados os puntos **O**, **O´** e **A**, tense a suma de vectores:
: \overline{OA} = \overline{O O^\prime} + \overline{O^\prime A} 

despexando
: \overline{O^\prime A} = \overline{OA} - \overline{O O^\prime} 

O que é o mesmo que:
: (x^\prime_A ,\; y^\prime_A ) = (x_A ,\; y_A ) - (x_{O^\prime} , \; y_{O^\prime}) 

Separando os vectores por coordenadas:
: x^\prime_A = x_A - x_{O^\prime} 
: y^\prime_A = y_A - y_{O^\prime} 

e ampliándoo a tres dimensións:
: z^\prime_A = z_A - z_{O^\prime} 

### Rotación ao redor da orixe 
miniatura|Rotación ao redor da orixe en coordenadas cartesianas.
Dado un sistema de coordenadas no plano **S1** con orixe en **O** e eixes x e y:
:  S_1 = \{ O; \; x,y \} 
  
e unha base ortonormal deste sistema:
:  B_1 = \{ \mathbf{i} , \mathbf{j} \} 
  
Un punto **A** do plano representarase neste sistema segundo as súas coordenadas:
:  \mathbf{A} = x_A\,\mathbf{i} +y_A\,\mathbf{j}
  
Para un segundo sistema S2 de referencia xirado un ángulo \alpha \, , respecto ao primeiro:
: S_2 =\{ O; \; x^\prime , y^\prime \}
  
e cunha base ortonormal:
: \mathbf B_2 = \{ \mathbf{i^\prime} , \mathbf{j^\prime} \} 
  
Ao cálculo das coordenadas do punto **A**, respecto deste segundo sistema de referencia, xirado respecto ao primeiro, chámase *rotación ao redor da orixe*, sendo a súa representación:
:  {\mathbf A^\prime} = x^\prime_A \, \mathbf{i^\prime} + y^\prime_A \, \mathbf{j^\prime}
  
Hai que ter en conta que o punto  \mathbf A \,  e  \mathbf A^\prime \,  son o mesmo punto,  \mathbf A \equiv \mathbf A^\prime ; emprégase unha denominación ou outra para indicar o sistema de referencia empregado. O valor das coordenadas respecto dun ou doutro sistema, si son diferentes, e é o que se pretende calcular.

A representación de B1 en B2 é:
:  \mathbf{i} = \cos {\alpha} \, \mathbf{i^\prime} - \sin {\alpha} \, \mathbf{j^\prime} 
:  \mathbf{j} = \sin {\alpha} \, \mathbf{i^\prime} + \cos {\alpha} \, \mathbf{j^\prime} 
  
Dado que o punto A en B1 é:
:  \mathbf {A} = x_A \, \mathbf{i} + y_A \, \mathbf{j}
  
coa transformación anterior tense:
:  \mathbf {A} = x_A \,(\cos {\alpha} \, \mathbf{i^\prime} - \sin {\alpha} \, \mathbf{j^\prime}) + y_A \, (\sin {\alpha} \, \mathbf{i^\prime} + \cos {\alpha} \, \mathbf{j^\prime})
  
E, quitando as parénteses:
:  \mathbf {A} = x_A \, \cos {\alpha} \, \mathbf{i^\prime} - x_A \, \sin {\alpha} \, \mathbf{j^\prime} + y_A \, \sin {\alpha} \, \mathbf{i^\prime} + y_A \, \cos {\alpha} \, \mathbf{j^\prime} 
  
reordenando:
:  \mathbf {A} = (x_A \, \cos {\alpha}+ y_A \, \sin {\alpha}) \, \mathbf{i^\prime} +(- x_A \, \sin {\alpha} + y_A \, \cos {\alpha}) \, \mathbf{j^\prime} 

Como:
:  \mathbf A \equiv A^\prime ;

Tense que:
:  \mathbf {A^\prime} = (x_A \, \cos {\alpha} + y_A \, \sin {\alpha}) \, \mathbf{i^\prime} +(- x_A \, \sin {\alpha} + y_A \, \cos {\alpha}) \, \mathbf{j^\prime} 
 
Como se sabía:
:  \mathbf {A^\prime} = x^\prime_A \, \mathbf{i^\prime} + y^\prime_A \, \mathbf{j^\prime}

Por identificación de termos:
:  x^\prime_A = \; x_A \, \cos {\alpha} + y_A \, \sin {\alpha} 
:  y^\prime_A = - x_A \, \sin {\alpha} + y_A \, \cos {\alpha} 

Que son as coordenadas de A en B2, en función das coordenadas da en B1 e de  {\alpha} \, .

### Cambio de escala 
Sexa un punto con coordenadas (x,y) no plano. Se se cambiase a escala de ambos os eixes nun factor *λ*, as coordenadas do devandito punto no novo sistema de coordenadas pasarán a ser:
:(x',y') = (\lambda x,\lambda y)\,

O factor de escala *λ* non ten que ser necesariamente o mesmo para ambos os eixes.

## Cálculo matricial 
Se [T] é a **matriz** **de transformación** e con filas que son igualmente as compoñentes dos vectores unitarios **i**' e **j**' respecto dos orixinais **i** e **j**, ou se se prefire, con columnas que son as compoñentes dos vectores unitarios orixinais no sistema de referencia rotado.
Ficheiro:Matriz_de_transformación_(rotación).png
Nota: *As magnitudes vectoriales están en grosa*.

## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Weisstein, Eric W. «Sistema de coordenadas».  En Weisstein, Eric W. *MathWorld* (en inglés). Wolfram Research. 
* Weisstein, Eric W. «Coordenadas cartesianas».  En Weisstein, Eric W. *MathWorld* (en inglés). Wolfram Research. 
### Outros artigos 
* Base
* Base canónica
* Base ortogonal
* Base ortonormal
* Coordenadas polares
* Espazo vectorial
### Ligazóns externas 
* Coordenadas cartesianas, explicación interactiva
* Proxecto didáctico para introdución ao plano cartesiano en linguaxe de programación Logo.
* 
*