Progresión xeométrica

miniatura|300px|Diagrama que representa tres sucesións de termo xeral 1(*r**n*−1) ata 6 iteracións. O primeiro bloque é unha unidade e a liña é a suma infinita da sucesión: 2, 3/2 e 4/3
En matemáticas, unha **progresión xeométrica** é unha sucesión de números onde cada termo despois do primeiro atópase multiplicando o anterior por un número fixo diferente de cero denominado *razón*. Por exemplo, a sucesión 2, 6, 18, 54, ... é unha progresión xeométrica de razón 3. Analogamente 10, 5, 2.5, 1.25, ... é unha progresión xeométrica de razón 1/2.

Exemplos de sucesións xeométricas son as potencias *r**k* dun número determinado *r*, como 2*k* e 3*k*. A forma xeral dunha sucesión xeométrica é
:a,\ ar,\ ar^2,\ ar^3,\ ar^4,\ \ldots

onde *r* ≠ 0 é a razón e *a* é o factor de escala, igual ao primeiro valor da sucesión.

## Propiedades elementais 
O termo *n*-ésimo dunha progresión xeométrica con valor *a* e razón *r* vén dado por
:a_n = a\,r^{n-1}.

Unha progresión xeométrica segue a relación recursiva
:a_n = r\,a_{n-1} for every integer n\geq 1.

En xeral, para comprobar se unha sucesión é xeométrica, abonda con comprobar se cada un dos termos consecutivos teñen a mesma razón.

A razón dunha progresión xeométrica pode ser negativa, dando lugar a unha sucesión alternada, con números positivos e negativos alternativamente. Por exemplo
:1, −3, 9, −27, 81, −243, …
é unha progresión xeométrica de razón −3.

O comportamento dunha progresión xeométrica depende do valor da razón. Se esta é:
* Positiva, os termos terán o mesmo signo que o inicial.
* Negativa, os termos terán signos alternos.
* Maior que 1, terá crecemento exponencial cara a máis ou menos infinito, dependendo do signo do primeiro termo.
* 1, a progresión será unha sucesión constante.
* Entre -1 e 1, pero non cero, sufrirá decrecemento exponencial cara ao cero.
* −1, a progresión será unha sucesión alternada.
* Menor que -1, os valores absolutos dos termos crecerán exponencialmente cara ao infinito.

As progresión xeométricas (con razón diferente a −1, 1 ou 0) amosan crecemento o decrecemento exponencial, en oposición ao crecemento ou decrecemento linear dunha progresión aritmética como 4, 15, 26, 37, 48, … (con diferenza  11). Este resultado foi tomado por T.R. Malthus como fundamento matemático da súa obra *Principle of Population*.

Un resultado interesante das progresións xeométricas é que para cada valor da razón común, tres termos consecutivos *a*, *b* e *c* satisfarán a ecuación
::b^2=ac
onde *b* se considera a media xeométrica entre *a* e *c*.

## Series xeométricas 

Cálculo da suma 2 + 10 + 50 + 250. A sucesión consiste en multiplicar termo a termo por 5, e logo subtraer da sucesión orixinal. Permanencen dous termos: o primeiro termo, *a*, e o termo seguinte ao último, *ar**m*. O resultado desexado, 312, atópase subtraendo estes dous termos e dividindo por 1&nbsp;&minus;&nbsp;5.

Unha **serie xeométrica** é a suma dos termos dunha progresión xeométrica. Por exemplo:
:2 + 10 + 50 + 250 = 2 + 2 \times 5 + 2 \times 5^2 + 2 \times 5^3. \,

Se *a* é o primeiro termo (neste caso 2), *n* o número de termos (aquí 4) e *r* a constante pola que se multiplica cada termo para atopar o seguinte (aquí 5), a suma vén dada por:
:\frac{a(1-r^n)}{1-r}

No exemplo anterior, resulta:
:2 + 10 + 50 + 250 = \frac{2(1-5^4)}{1-5} = \frac{-1248}{-4} = 312.

A fórmula funciona para calquera números reais *a* e *r* (agás *r* = 1, que resulta nunha división entre cero). Por exemplo:
:-2\pi + 4\pi^2 - 8\pi^3 = -2\pi + (-2\pi)^2 + (-2\pi)^3 = \frac{-2\pi(1 - (-2\pi)^3)}{1-(-2\pi)} = \frac{-2\pi(1 + 8\pi^3)}{1+2\pi} \approx -214.855. 

### Obtención da fórmula 
Para obter a fórmula escríbese primeiro unha serie xeométrica como:
:\sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = ar^0+ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}. \,

Pódese atopar unha fórmula máis simple para a suma multiplicando ambos os membros da ecuación superior por 1 − *r*, e verase que
:\begin{align}
(1-r) \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} & = (1-r)(ar^0 + ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}) \\
 & = ar^0 + ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1} - ar^1-ar^2-ar^3-\cdots-ar^{n-1} - ar^n \\
 & = a - ar^n
\end{align}
posto que todos os outros termos se cancelan. Se *r* ≠ 1, pódese reordenar a expresión superior para conseguir a fórmula conveniente dunha serie xeométrica que calcule a suma de *n* termos:
:\sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = \frac{a(1-r^n)}{1-r}.

### Fórmulas relacionadas 
Se a suma non comezase en k=1, senón nun índice diferente *m*, entón
:\sum_{k=m}^n ar^k=\frac{a(r^m-r^{n+1})}{1-r}.

Derivando esta fórmula respecto de *r* pódese chegar ás fórmulas das dumas da forma
:\sum_{k=0}^n k^s r^k.

Por exemplo:
:\frac{d}{dr}\sum_{k=0}^nr^k = \sum_{k=1}^n kr^{k-1}=
\frac{1-r^{n+1}}{(1-r)^2}-\frac{(n+1)r^n}{1-r}.

Para series xeométricas que conteñen só potencias de *r* multiplicadas por&nbsp;1 &minus; *r*2&nbsp; :
:(1-r^2) \sum_{k=0}^{n} ar^{2k} = a-ar^{2n+2}.
Entón
:\sum_{k=0}^{n} ar^{2k} = \frac{a(1-r^{2n+2})}{1-r^2}.

Equivalentemente, tomando *r*2&nbsp; como a razón e empregando a formulación estándar.

Para unha serie que só ten potencias impares de *r*
:(1-r^2) \sum_{k=0}^{n} ar^{2k+1} = ar-ar^{2n+3}
e
:\sum_{k=0}^{n} ar^{2k+1} = \frac{ar(1-r^{2n+2})}{1-r^2}.

### Series xeométricas infinitas 
Unha serie xeométrica infinita é unha serie infinita con termos consecutivos que teñen unha razón común. Estas series converxen se e só se o valor absoluto da razón é menor que 1 (&nbsp;\sum_{k=0}^\infty ar^k = \lim_{n\to\infty}{\sum_{k=0}^{n} ar^k} = \lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}= \frac{a}{1-r} - \lim_{n\to\infty}{\frac{ar^{n+1}}{1-r}} 

miniatura|350px|Diagrama que amosa a serie xeométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ que converxe a 2.
Dado que:
: r^{n+1} \to 0 \mbox{ as } n \to \infty \mbox{ when } |r| 

Entón:
:\sum_{k=0}^\infty ar^k = \frac{a}{1-r} - 0 = \frac{a}{1-r}

Para unha serie que contén só potencias pares de r,
:\sum_{k=0}^\infty ar^{2k} = \frac{a}{1-r^2}

e se só contén potencias impares,
:\sum_{k=0}^\infty ar^{2k+1} = \frac{ar}{1-r^2}

Nos casos nos que a suma non comeza en *k* = 0,
:\sum_{k=m}^\infty ar^k=\frac{ar^m}{1-r}

As fórmulas dadas arriba só son válidas para &nbsp;*p*&nbsp;\frac{d}{dr}\sum_{k=0}^\infty r^k = \sum_{k=1}^\infty kr^{k-1}=
\frac{1}{(1-r)^2}

Esta fórmula só funciona para &nbsp;\sum_{k=0}^{\infty} k r^k = \frac{r}{\left(1-r\right)^2} \,;\, \sum_{k=0}^{\infty} k^2 r^k = \frac{r \left( 1+r \right)}{\left(1-r\right)^3} \, ; \, \sum_{k=0}^{\infty} k^3 r^k = \frac{r \left( 1+4 r + r^2\right)}{\left( 1-r\right)^4}

Tamén a serie infinita 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ é un exemplo elemental dunha serie que converxe absolutamente.

É unha serie xeométrica con primeiro termo igual a 1/2 e razón 1/2, logo a súa suma é
:\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots=\frac{1/2}{1-(+1/2)} = 1.

A serie 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ é un exemplo sinxelo dunha serie alternada que converxe absolutamente.

É unha serie xeométrica con primeiro termo e razón −1/2, polo que a súa suma é
:\frac12-\frac14+\frac18-\frac{1}{16}+\cdots=\frac{1/2}{1-(-1/2)} = \frac13.

### Número complexos 
A fórmula da suma de series xeométricas é válida mesmo cando a razón é un número complexo. Neste caso a condición de que o valor absoluto de *r* sexa menor que 1 convértese en que o módulo de *r* sexa menor que 1. É posible calcular as sumas dalgunhas series xeométricas non obvias. Por exemplo, considérese a proposición
:  \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin(kx)}{r^k} = \frac{r \sin(x)}{1 + r^2 - 2 r \cos(x)} 

A demostración procede do feito de que
: \sin(kx) = \frac{e^{ikx} - e^{-ikx}}{2i} , 
que é consecuencia da fórmula de Euler. Substituíndo na serie orixinal
:  \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin(kx)}{r^k} = \frac{1}{2 i} \left[ \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{e^{ix}}{r} \right)^k - \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{e^{-ix}}{r}\right)^k\right].

Esta é a diferenza entre dúas series xeométricas, e é unha aplicación directa da fórmula das series infinitas xeométricas que completa a demostración.

## Produto 
O produto dunha progresión xeométrica é o produto dos seus termos. Se todos os termos son positivos entón pode calcularse rapidamente tomando a media xeométrica do primeiro e do último termo da progresión e elevando o valor á potencia dada polo número de termos:
:\prod_{i=0}^{n} ar^i = \left( \sqrt{a_0 \cdot a_{n}}\right)^{n+1} (if a,r > 0).

Demostración:

Sexa *P* o produto:
:P=a \cdot ar \cdot ar^2 \cdots ar^{n-1} \cdot ar^{n}.

Realizando as multiplicacións, conclúese que
:P=a^{n+1} r^{1+2+3+ \cdots +(n-1)+(n)}.

Aplicando a suma dunha serie aritmética, a expresión resultará
:P=a^{n+1} r^{\frac{n(n+1)}{2}}.
:P=(ar^{\frac{n}{2}})^{n+1}.

Elevando ao cadrado ambos os membros:
:P^2=(a^2 r^{n})^{n+1}=(a\cdot ar^n)^{n+1}.

Consecuentemente,
:P^2=(a_0 \cdot a_{n})^{n+1}, e por tanto,
:P=(a_0 \cdot a_{n})^{\frac{n+1}{2}},
que conclúe a demostración.

## Relación entre as progresións xeométricas e a obra de Euclides 
Os libros VIII e IX dos *Elementos* de Euclides analizan as progresións xeométricas e dan varios exemplos das súas propiedades.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Hall & Knight, *Higher Algebra*, p.&nbsp;39, ISBN 81-8116-000-2
### Outros artigos 
* Progresión aritmética
### Ligazóns externas 
* Derivation of formulas for sum of finite and infinite geometric progression at Mathalino.com
* Geometric Progression Calculator
* Nice Proof of a Geometric Progression Sum at sputsoft.com