Cuantificador (lóxica)

En lóxica formal, un **cuantificador** é unha expresión que indica o número de veces que se cumpre un predicado ou propiedade **P** dentro dunha determinada clase (por exemplo, pertenza, equivalencia ou orde). Existen moitos tipos de cuantificadores, entre os máis utilizados están: 

* **Cuantificador universal**

: \forall \, x, y \ldots 
: Para todo x, y...

* **Cuantificador existencial**

: \exists \, x, y \ldots 
: Existe polo menos un x, y...

* Cuantificador existencial único

: \exists ! \, x, y \ldots 
: Existe exactamente un x, y...

* Negación do cuantificador existencial

: \nexists \, x, y \ldots 
: Non existe ningún x, y...

## Declaracións cuantificadas 
As declaracións cuantificadas escríbense na forma:

*  \forall \, x \in \mathbb{R} \;, \quad 2x \in \mathbb{R} 

Para todo **x** que pertence a **R**, é certo que **2x** pertence a **R**.

*  \forall \, a \in \mathbb{R}, \quad \exists \, x \in \mathbb{R} \; : \quad a 

Para todo **a** que pertence a **R**, existe algún ou varios **x** que pertencen a **R**, que está entre **a** e **a+1**.

*  \forall \, a \in \mathbb{R}-\left\{{0}\right\}, \quad \exists ! \, x \in \mathbb{R} \; : \quad a \cdot x=1 

Para todo **a** pertencente a **R** que é diferente de cero, existe un único **x** que pertence a **R**, que satisfai que **a** por **x** é igual a **1**.

## Proposicións 
### Cuantificación universal 
O cuantificador universal úsase para afirmar que *todos* os elementos dun conxunto satisfán unha determinada propiedade. Por exemplo:

: 
  \forall x \in A
  \; : \quad
  P(x)

: Para todo **x** pertencente a **A**, cúmprese **P(x)** .

Esta afirmación úsase a miúdo como o equivalente da seguinte proposición:

: 
  A =
  \{x \in U \; : \quad P(x)\}

: O conxunto **A** defínese como o conxunto de elementos **x** de **U** que satisfán **P(x)** .

### Cuantificación existencial 
O cuantificador existencial úsase para indicar que hai un ou máis elementos no conxunto ~A (non necesariamente únicos) que cumpren unha determinada propiedade. Por exemplo:

: 
  \exists \, x \in A
  \; : \quad
  P(x)

: Existe polo menos un **x** en **A** que satisfai **P(x)** .

Esta proposición adoita interpretarse como o equivalente á seguinte proposición:

: 
  \{ x \in A
  \; : \quad
  P(x) \}
  \neq \emptyset

: O conxunto de elementos **x** de **A**, que satisfán **P(x)** é diferente do conxunto baleiro.

### Cuantificación existencial única 
O cuantificador existencial marcado pola unicidade utilízase para indicar que existe un único elemento dun conxunto **A** que satisfai unha determinada propiedade. Escríbese como:Lese:

: Existe un único elemento **x** de **A**, que satisfai **P(x)** .

## Equivalencias 
Existen as seguintes relacións universais:

: 
  \forall x \in A: \ P(x)
  \qquad \longleftrightarrow \qquad
  \neg \exists x \in A\ : \neg P(x)

:: Para todo **x** en **A**, cúmprese **P(x)** se e só se non existe ningún **x** en **A** que **non** satisfaga **P(x)**.

: 
  \exists x \in A\ : P(x)
  \qquad \longleftrightarrow \qquad
  \neg \forall x\in A \ : \neg P(x)

:: Existe polo menos un **x** en **A** que satisfai **P(x)** se e só se **non** é certo que para todo **x** en **A**, **P(x)** **non se** cumpre.

## Leis de De Morgan 
As leis de De Morgan para os cuantificadores son as seguintes:

* \neg \forall x P(x)\equiv \exists x \neg P(x)

: A negación é falsa se para todo x o predicado é verdade. Pola contra, é certo se existe un x para o cal P(x) é falsa.

* \neg \exists x P(x)\equiv \forall x \neg P(x)

: A negación é verdadeira se para todo x a función proposicional P de x é falsa e é falsa se existe un x para o cal P(x) é verdadeira.

## Precedencia dos cuantificadores 
A orde de prioridade (precedencia) dos cuantificadores \forall e \exist é de maior grao de preferencia que os outros operadores lóxicos.

Exemplos:

Cando poñemos \forall x P(x) \land M(x), a orde de prioridade obríganos a realizar primeiro o cuantificador universal aplicado a  
  P(x)
 (indicado cun paréntese a maiores) e a ese resultado aplicar o and lóxico ( \land )  con 
  M(x)
, isto é: (\forall x P(x)) \land M(x). Este exemplo pódese ver para os diferentes cuantificadores.

No caso de querer dar prioridade ao operador lóxico ( \land ) teremos que poñer parénteses para forzar a prioridade desa operación \forall x (P(x) \land M(x)).

Un erro moi común é considerar que \forall x P(x) \land M(x) É o mesmo que \forall x (P(x) \land M(x)) que non é o caso, xa que non se respecta a orde de prioridade, polo que o correcto sería (\forall x P(x)) \land M(x).

## Regras de troco 
* **Primeira regra** :

: Un cuantificador universal ( \forall ) afirmativo equivale á negación dun cuantificador existencial.  
:(\forall xP(x))\leftrightarrow (\neg \exists x\neg P(x))   
: Para todo x
  , P é certo, **equivale a** que sexa falso que algúns x
   non cumpran P.

* **Segunda regra** :

: Un cuantificador existencial ( \exist ) afirmativo equivale á negación do cuantificador universal negación ( \neg\forall ) xunto á negación do predicado. 
:( \exists x P(x))\leftrightarrow (\neg \forall x\neg P(x))   

: Que exista algún x
   para o que P é certo, **equivale a** dicir que non acontece que para todo x
   non cumpre P.

* **Terceira regra** :

: A negación dun cuantificador universal ( \neg\forall ) equivale a un cuantificador existencial ( \exist ) co predicado negado. 
:(\neg\forall x P(x))\leftrightarrow (\exist x \neg P(x)) 
: É falso que todos os x
   cumpren P, **é equivalente a** algúns x
   non cumpren P.

* **Cuarta regra** :

: A negación dun cuantificador existencial ( \neg\exist ) equivale a un cuantificador universal ( \forall ) co predicado negado. 
:(\neg \exist x P(x)) \leftrightarrow (\forall x \neg P(x)) 
: É falso que algún x
   cumpra P, **é equivalente a** todos os x
   non cumpren P.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Stanford Encyclopedia of Philosophy:
** Shapiro, Stewart (2000). "Classical Logic" (Covers syntax, model theory, and metatheory for first order logic in the natural deduction style.)
** Westerståhl, Dag (2005). "Generalized quantifiers"
* Peters, Stanley; Westerståhl, Dag (2002). "Quantifiers" 

### Outros artigos 
### Ligazóns externas 
* 
* . From College of Natural Sciences, University of Hawaii at Manoa.