Función hiperxeométrica

alt=Plot of the hypergeometric function 2F1(a,b; c; z) with a=2 and b=3 and c=4 in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D|miniatura| Gráfica da función hiperxeométrica 2F1(a,b; c; z) con a=2 e b=3 e c=4 no plano complexo de -2-2i a 2+2i.
En matemáticas, a **función hiperxeométrica** gaussiana ou ordinaria 2*F*1 (*a*,*b*; *c*; *z*) é unha función especial representada pola **serie hiperxeométrica**, que inclúe moitas outras funcións especiais como casos específicos. É unha solución dunha ecuación diferencial ordinaria linear de segunda orde (EDO). Cada EDO linear de segunda orde con tres puntos singulares regulares pódese transformar nesta ecuación..

## Serie hiperxeométrica 
A función hiperxeométrica está definida para  pola serie de potencias

{}_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n (b)_n}{(c)_n} \frac{z^n}{n!} = 1 + \frac{ab}{c}\frac{z}{1!} + \frac{a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}\frac{z^2}{2!} + \cdots.

Está  indefinida (ou é infinita) se  é igual a un enteiro non positivo. Aquí  é o símbolo de Pochhammer ( ascendente),  que se define por:

(q)_n = \begin{cases} 1 & n = 0 \\
 q(q+1) \cdots (q+n-1) & n > 0
 \end{cases}

A serie remata se  ou  é un número enteiro non positivo, nese caso a función redúcese a un polinomio:

{}_2F_1(-m,b;c;z) = \sum_{n=0}^m (-1)^n \binom{m}{n} \frac{(b)_n}{(c)_n} z^n.

Para argumentos complexos  con  pódese continuar analiticamente por calquera camiño do plano complexo que evite os puntos de ramificación 1 e infinito. Na práctica, a maioría das implementacións informáticas da función hiperxeométrica adoptan un corte de rama ao longo da liña .

Cando , onde  é un número enteiro non negativo, temos . Dividindo polo valor  da función gamma, temos o límite:

\lim_{c\to -m}\frac{{}_2F_1(a,b;c;z)}{\Gamma(c)}=\frac{(a)_{m+1}(b)_{m+1}}{(m+1)!}z^{m+1}{}_2F_1(a+m+1,b+m+1;m+2;z)

 é o tipo máis común das series hiperxeométricas xeneralizadas , e ás veces denótase simplemente como .

## Casos especiais 
Moitas das funcións matemáticas comúns pódense expresar en termos da función hiperxeométrica, ou como casos límites desta. Algúns exemplos típicos son

\begin{align}
_2F_1\left(1, 1; 2; -z\right) &= \frac{\ln(1+z)}{z} \\
_2F_1(a, b; b; z) &= (1-z)^{-a} \quad (b \text{ arbitrario}) \\
_2F_1\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; \frac{3}{2}; z^2\right) &= \frac{\arcsin(z)}{z} \\
\,_2F_1\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}; \frac{3}{2}; -\frac{27x^2}{4}\right) &= \frac{\sqrt[3]{\frac{3x\sqrt{3}+\sqrt{27x^2+4}}{2}}-\sqrt[3]{\frac{2}{3x\sqrt{3}+\sqrt{27x^2+4}}}}{x\sqrt{3}} \\
\end{align}

Cando *a* = 1 e *b* = *c*, a serie redúcese a unha serie xeométrica simple, é dicir

\begin{align}
_2F_1\left(1, b; b; z\right) &= {}_1F_0\left(1;;z\right) = 1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + \cdots \end{align}

de aí, o nome *hiperxeométrico*. Esta función pódese considerar como unha xeneralización da serie xeométrica.

A función hiperxeométrica confluente (ou función de Kummer) pódese dar como límite da función hiperxeométrica

M(a,c,z) = \lim_{b\to\infty}{}_2F_1(a,b;c;b^{-1}z)

polo que todas as funcións que son esencialmente casos especiais dela, como as funcións de Bessel, poden expresarse como límites de funcións hiperxeométricas. Estes inclúen a maioría das funcións de uso común da física matemática.

## Ecuación diferencial hiperxeométrica 
A función hiperxeométrica é unha solución da ecuación diferencial hiperxeométrica de Euler

z(1-z)\frac {d^2w}{dz^2} + \left[c-(a+b+1)z \right] \frac {dw}{dz} - ab\,w = 0.

que ten tres puntos singulares regulares: 0,1 e ∞. A xeneralización desta ecuación a tres puntos singulares regulares arbitrarios vén dada pola ecuación diferencial de Riemann. Calquera ecuación diferencial linear de segunda orde con tres puntos singulares regulares pódese converter á ecuación diferencial hiperxeométrica mediante un cambio de variables.

## Fórmulas integrais 
### Tipo Euler 
Se *B* é a función beta, entón

\Beta(b,c-b)\,_2F_1(a,b;c;z) = \int_0^1 x^{b-1} (1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a} \, dx \qquad \real(c) > \real(b) > 0, 

sempre que *z* non sexa un número real maior ou igual a 1. Isto pódese demostrar expandindo (1&nbsp;−&nbsp;*zx* )−*a* utilizando o teorema binomial e logo integrando termo por termo para *z* cun valor absoluto menor que 1, e por continuación analítica. Cando *z* é un número real maior ou igual a 1, debe utilizarse a continuación analítica, porque (1&nbsp;−&nbsp;*zx* ) é cero nalgún punto do soporte da integral, polo que o valor da integral pode estar mal definido. Isto foi dado por Euler en 1748 e implica as transformacións hiperxeométricas de Euler e Pfaff.

### Integral de Barnes 
Barnes utilizou a teoría dos residuos para avaliar a integral de Barnes

\frac{1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty} \frac{\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(-s)}{\Gamma(c+s)} (-z)^s \, ds

como

\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(c)}\,_2F_1(a,b;c;z),

onde se debuxa o contorno para separar os polos 0, 1, 2... dos polos −*a*, −*a*−1,&nbsp;... , - *b*, - *b*−1,&nbsp;...&nbsp;. Isto é válido sempre que z non sexa un número real non negativo.

## Fracción continua de Gauss 
Gauss utilizou as fraccións continuas para dar varias formas de escribir un cociente de dúas funcións hiperxeométricas como unha fracción continua, por exemplo:

\frac{{}_2F_1(a+1,b;c+1;z)}{{}_2F_1(a,b;c;z)} = \cfrac{1}{1 + \cfrac{\frac{(a-c)b}{c(c+1)} z}{1 + \cfrac{\frac{(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)} z}{1 + \cfrac{\frac{(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)} z}{1 + \cfrac{\frac{(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)} z}{1 + {}\ddots}}}}}

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Paul Appell et Joseph Kampé de Fériet, *Fonctions hypergéométriques et hypersphériques*, Gauthier-Villars, Paris, 1926
* Daniel Duverney, *Introduction aux fonctions hypergéométriques*, Ellipses, 2020
*Édouard Goursat, ''Leçons sur les séries hypergéométriques et sur quelques fonctions qui s'y rattachent*, coll. « Actualités scientifiques et industrielles » (n° 333), Hermann, 1936
* R. Groux et P. Soulat, *Les fonctions spéciales vues par les problèmes*, Éditions Cépaduès, 2009
* Alfred Pringsheim et Georg Faber, « Séries hypergéométriques », dans Jules Molk (éd.), *Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées'', , vol. 2, Gauthier-Villars, 1911 (Fonctions de variables complexes, )
### Outros artigos 
*Distribución hiperxeométrica
*Ecuación diferencial de Riemann
*Serie hiperxeométrica xeneralizada

### Ligazóns externas 
* 
* John Pearson, Computation of Hypergeometric Functions (University of Oxford, MSc Thesis)
* Marko Petkovsek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger, The book "A = B" 
*