Número tetraédrico

miniatura| Unha pirámide cunha lonxitude de lado 5 contén 35 esferas. As capas son os primeiros números triangulares.
Un **número tetraédrico**, ou **número piramidal triangular**, é un número figurado que representa un tetraedro, unha pirámide triangular que ten triángulos equiláteros nas catro caras . O  ésimo número tetraédrico, , é a suma dos  primeiros números triangulares, é dicir,

:  Te_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2} = \sum_{k=1}^n \left(\sum_{i=1}^k i\right)

Os números tetraédricos son:

: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220,...    

## Fórmula 
[miniatura|Os números Tetraédricos aparecendo no [triángulo de Pascal]]
A fórmula para o  ésimo número tetraédrico está representada polo 3º factorial ascendente de  dividido polo factorial de 3:

: Te_n= \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2} = \sum_{k=1}^n \left(\sum_{i=1}^k i\right)=\frac{n(n+1)(n+2)}{6} = \frac{n^{\overline 3}}{3!}

Os números tetraédricos tamén se poden representar como coeficientes binomiais :

: Te_n=\binom{n+2}{3}.

Ao representarse desta maneira, é fácil ver que os números tetraédricos pódense atopar na cuarta posición dende a esquerda (ou a dereita, por simetría) no triángulo de Pascal .

### Probas da fórmula 
Sabemos que o *n*-ésimo número triangular vén dado por:

: T_n=\frac{n(n+1)}{2}.

Empregando indución :

; Caso para n = 1
: Te_1 = 1 = \frac{1\cdot 2\cdot 3}{6}.

; Supoñendo que sexa certo para n = k, facemos o paso indutivo para n = k + 1
: \begin{align} 
Te_{k+1} \quad 
&= Te_k + T_{k+1} \\
&= \frac{k(k+1)(k+2)}{6} + \frac{(k+1)(k+2)}{2} \\
&= (k+1)(k+2)\left(\frac{k}{6}+\frac{1}{2}\right) \\
&= \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{6}.
\end{align}

Esta proba pode facerse de forma alternativa co algoritmo de Gosper .

### Relación recursiva 
Como comentamos anteriormente, os números tetraédricos derivan directamente dos triangulares, polo que nace esta relación entre estes:

: \begin{align}
& Te_n = Te_{n-1} + T_n &(1)\\
& T_n = T_{n-1} + n &(2)
\end{align}

A ecuación (1) convértese en

: \begin{align}
& Te_n = Te_{n-1} + T_{n-1} + n
\end{align}

Substituíndo n-1 por n na ecuación (1)

: \begin{align}
& Te_{n-1} = Te_{n-2} + T_{n-1}
\end{align}

Por ende, o n o número tetraédrico cumpre que:

: \begin{align}
& Te_{n} = 2Te_{n-1} - Te_{n-2} + n
\end{align}

## Xeneralización 
O patrón atopado para os números triangulares  \sum_{n_1=1}^{n_2}n_1=\binom{n_2+1}{2} e para números tetraédricos  \sum_{n_2=1}^{n_3}\sum_{n_1=1}^{n_2}n_1=\binom{n_3+2}{3} pódese xeneralizar. Isto leva á fórmula: \sum_{n_{k-1}=1}^{n_k}\sum_{n_{k-2}=1}^{n_{k-1}}\ldots\sum_{n_2=1}^{n_3}\sum_{n_1=1}^{n_2}n_1=\binom{n_k+k-1}{k}

## Interpretación xeométrica 
A interpretación xeométrica vén de representar tetraedros mediante o uso de esferas ou calquera outro obxecto. Por exemplo, podemos comezar a partir do triángulo das bólas de billar coas que se comeza o xogo, son 15 bólas, o quinto número triangular, se imos amoreando máis bólas ata completar o tetraedro, en total empregaremos 35 bólas o quinto número tetraédrico. 

## Propiedades 
*: , o número n-ésimo número piramidal cadrado .
*: , suma dos cadrados dos impares.
*: , suma dos cadrados dos pares.
* A. J. Meyl provou en 1878 que solo 3 números tetraédricos son tamén cadrados perfectos:
*: 
*: 
*: .
* Sir Frederick Pollock fixo unha conxectura de que todo número enteiro positivo, pódese escribir como suma de 5 números tetraédricos.
* O único número tetraédrico que tamén é  número triangular cadrado é 1 (Beukers, 1988), é o único que tamén é un cubo perfecto é 1.
* A suma infinita dos recíprocos dos números tetraédricos é , pódese calcular empregando series telescópicas:
*:  \sum_{n=1}^{\infty} \frac{6}{n(n+1)(n+2)} = \frac{3}{2}.
* A paridade dos números tetraédricos segue a secuencia, impar-par-par-par.
* Unha observación:
*: 
* Os números que son á vez tetraédricos e triangulares, cumplen a ecuación:T_{n} = \binom{n + 1}{2} = \binom{m+2}{3} = T_{em}
*:

[miniatura| O terceiro número tetraédrico é igual ao cuarto número triangular xa que o *n* -ésimo número *k* -simple é igual ao *k* -ésimo número *n* -símplex debido á simetría do [triángulo de Pascal, e as súas diagonais son números simples; do mesmo xeito, o quinto número tetraédrico (35) é igual ao cuarto número de pentácoron, e así por diante]]

: Os únicos números que son tanto tetraédricos como triangulares son      :
:: 
:: 
:: 
:: 
:: 

*  é a suma dos produtos *p* × *q* cando (*p*, *q*) son pares ordenados e *p* + *q* = *n* + 1
* O número tetraédrico máis grande da forma 2^a+3^b+1 para enteiros *a* e *b* é   8436.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Ligazóns externas 
* 
* Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula by Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project.