Teorema de Bolzano-Weierstrass

Na análise real, o **teorema de Bolzano–Weierstrass** é un importante teorema que caracteriza os conxuntos secuencialmente compactos.
## Enunciado 
Na análise real, o teorema de Bolzano-Weierstrass é un resultado fundamental referente á converxencia nun espazo euclidiano dimensionalmente finito **R***n*. O teorema establece que cada sucesión limitada en **R***n* ten unha subsucesión converxente. Unha formulación equivalente é que un subconxunto de **R***n* é secuencialmente compacto se e só se é pechado e limitado.

## Demostración 
Primeiro demostramos o teorema para \mathbb{R}^1 (conxunto de todos os números reais), nese caso podemos aproveitar a orde en \mathbb{R}^1. Así, temos o seguinte resultado:

**Lema**: Toda sucesión infinita (x_n) en \mathbb{R}^1 ten unha subsucesión monótona infinita (unha subsucesión que é non decrecente ou non crecente).

**Proba**: Chamemos "pico" da sucesión a un índice de valores enteiros positivos n dunha sucesión cando x_m \leq x_n para todo m > n. Supoña primeiro que a sucesión ten infinitos picos, o que significa que hai unha subsucesión cos seguintes índices n_1 e os seguintes termos x_{n_1 } \geq x_{n_2} \geq x_{n_3} \geq \dots \geq x_{n_j} \geq \dots. Entón, a sucesión infinita (x_n) en \mathbb{R}^1 ten unha subsucesión  monótona (non crecente), que é (x_{n_j}). Mais supoñamos agora que só hai un número finito de picos, sexa N o pico final se o existe (se non N=0) e coloquemos en n_1=N+1 o primeiro índice dunha nova subsucesión  (x_{n_j}). Daquela n_1 non é un pico, xa que n_1 vén despois do pico final, o que implica a existencia de n_2 con n_1 e x_{n_1} . De novo, n_2 vén despois do pico final, polo que hai un n_3 onde n_2 con x_{n_2} \leq x_ {n_3}. A repetición deste proceso leva a unha subsucesión  infinita non decrecente x_{n_1} \leq x_{n_2} \leq x_{n_3} \leq \ldots, demostrando así que toda sucesión infinita (x_n) en \mathbb {R}^1 ten unha subsucesión monótona infinita.

Supoñamos agora que se ten unha sucesión limitada en \mathbb{R}^1; polo lema demostrado anteriormente existe unha subsucesión  monótona, igualmente tamén limitada. Do teorema da converxencia monótona despréndese que esta subsucesión  converxe.

Finalmente, o caso xeral (\mathbb{R}^n), pódese reducir ao caso de \mathbb{R}^1 como segue: dada unha sucesión limitada en \mathbb{R}^n, a sucesión das primeiras coordenadas é unha sucesión de números reais limitada, polo que ten unha subsucesión  converxente. Pódese entón extraer unha sub-subsucesión  na que converxen as segundas coordenadas, e así sucesivamente, ata que ao final pasamos da sucesión orixinal a unha subsucesión n veces, que segue a ser unha subsucesión  do sucesión  orixinal, na que converxe cada sucesión de coordenadas, polo que a propia subsucesión  é converxente.

## Compactidade secuencial en espazos euclidianos 
**Definición:** Un conxunto *A \subseteq \mathbb{R}^n* é secuencialmente compacto se toda sucesión *\{x_n\}* en *A* ten unha subsucesión  converxente que converxe a un elemento de *A*.

**Teorema:** *A \subseteq \mathbb{R}^n* é  secuencialmente compacto  se e só se *A * é pechado e limitado.

**Proba:** (A compactidade secuencial implica pechado e limitado)

Supoña que *A* é un subconxunto de \R^n coa propiedade de que cada sucesión en *A* ten unha subsucesión  converxendo nun elemento de *A*. daquela, *A* debe estar limitado, xa que, no caso contrario, pódese construír a sucesión sen límites \{x_n\} \in A, do seguinte modo. Para cada n \in \mathbb{N}, defina x_n como un punto arbitrario tal que || x_n || \geq n. Entón, cada subsucesión de \{x_n\} é ilimitada e, polo tanto, non é converxente. Ademais, *A* debe estar pechado, xa que calquera punto límite de *A*, que ten unha sucesión de puntos en *A* que converxe a si mesmo, tamén debe estar en *A.*

**Proba:** (pechado e limitado implica compactidade secuencial)

Dado que *A* está limitada, calquera sucesión *\{x_n\}\in A* tamén está limitada. Do teorema de Bolzano-Weierstrass, *\{x_n\}* contén unha subsucesión que converxe nalgún punto x \in\R^n. Xa que x é un  punto límite  de *A* e *A* é un conxunto pechado, *x* debe ser un elemento de *A*.

Así, os subconxuntos *A* de \R^n para os que cada sucesión en *A* ten unha subsucesión que converxe a un elemento de * A*, é dicir, os subconxuntos que son  secuencialmente compactos  na topoloxía subespacial, son precisamente os subconxuntos pechados e limitados.

Esta forma do teorema deixa especialmente clara a analoxía co teorema de Heine–Borel, que afirma que un subconxunto de \R^n é compacto se e só se está pechado e limitado. De feito, a topoloxía xeral dinos que un espazo metrizable é compacto se e só se é secuencialmente compacto, polo que os teoremas de Bolzano–Weierstrass e Heine–Borel son esencialmente iguais.

## Historia 
O teorema de Bolzano-Weierstrass leva o nome de matemáticos Bernard Bolzano e Karl Weierstrass. En realidade, foi demostrado por primeira vez por Bolzano en 1817 como un lema na demostración do teorema de valor intermedio. Uns cincuenta anos máis tarde, o resultado foi identificado como significativo por dereito propio, e demostrado unha vez máis por Weierstrass. Desde entón converteuse nun teorema fundamental da análise.

## Véxase tamén 
### Outros artigos
* Teorema de Heine-Borel

### Bibliografía 
* Fitzpatrick, Patrick M. (2006) Advanced Calculus (2nd ed.). Belmont, CA: Thompson Brooks/Cole. ISBN 0-534-37603-7.
* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Bolzano-Weierstrass theorem», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104
* Weisstein, Eric W. «Bolzano-Weierstrass Theorem».  En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.