Matriz e determinante jacobianos

En cálculo vectorial, a **matriz jacobiana**, dunha función vectorial de varias variábeis é a matriz de todas as súas derivadas parciais de primeira orde. Cando esta matriz é cadrada, é dicir, cando a función toma o mesmo número de variábeis como entrada que o número de compoñentes vectoriais da súa saída, o seu determinante denomínase **determinante jacobiano**. Tanto a matriz como (se é aplicábel) o determinante adoitan denominarse simplemente como **jacobiano**. Reciben o nome do Carl Gustav Jacob Jacobi.

## Definición 
Supoña que  é unha función tal que cada unha das súas derivadas parciais de primeira orde existe en . Esta función toma un punto  como entrada e produce o vector  como saída. Entón, a matriz jacobiana de , denotada como , defínese de tal xeito que a súa entrada  é \frac{\partial f_i}{\partial x_j}, ou explicitamente 
:\mathbf{J_f} = \begin{bmatrix}
  \dfrac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial \mathbf{f}}{\partial x_n}
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
  \nabla^{\mathsf{T}} f_1 \\  
  \vdots \\
  \nabla^{\mathsf{T}} f_m   
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
    \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}\\
    \vdots                             & \ddots & \vdots\\
    \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n}
\end{bmatrix} onde \nabla^{\mathsf{T}} f_i é a transposta (vector fila) do gradiente da compoñente i-ésima.

A matriz jacobiana, cuxas entradas son funcións de , denótase de varias maneiras; outras notacións comúns inclúen , \nabla \mathbf{f}, e \frac{\partial(f_1,\ldots,f_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}. 

Algúns autores definen o jacobiano como a transposta da forma dada anteriormente.

A matriz jacobiana representa o diferencial de  en cada punto onde  é diferenciábel. En detalle, se  é un vector de desprazamento representado por unha matriz columna, o produto de matrices  é outro vector de desprazamento, que é a mellor aproximación linear do cambio de  nunha veciñanza de , se  é diferenciábel en . Isto significa que a función que mapea  en  é a mellor aproximación linear de  para todos os puntos  próximos a . O mapa linear  coñécese como a *derivada* ou a *diferencial* de  en .

Cando , a matriz jacobiana é cadrada, polo que o seu determinante é unha función ben definida de , coñecida como o **determinante jacobiano** de . Contén información importante sobre o comportamento local de . En particular, a función  ten unha función inversa diferenciábel nunha veciñanza dun punto  se e só se o determinante jacobiano é non nulo en  (véxase o teorema da función inversa para unha explicación disto e a conxectura de Jacobi para un problema relacionado de invertibilidade global). O determinante jacobiano tamén aparece ao mudar as variábeis por integrais múltiples (véxase regra de substitución para varias variábeis).

Cando , é dicir, cando  é unha función escalar, a matriz jacobiana redúcese ao vector fila \nabla^{\mathsf{T}} f; este vector fila de todas as derivadas parciais de primeira orde de  é a transposta do gradiente de , é dicir,
\mathbf{J}_{f} = \nabla^{\mathsf{T}} f. Especializando aínda máis, cando , é dicir, cando  é unha función escalar dunha única variábel, a matriz jacobiana ten unha única entrada; esta entrada é a derivada da función .

Estes conceptos reciben o nome do matemático Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851).

## Matriz jacobiana 
O jacobiano dunha función vectorial en varias variábeis xeneraliza o gradiente dunha función escalar en varias variábeis, que á súa vez xeneraliza a derivada dunha función escalar dunha única variábel. Noutras palabras, a matriz jacobiana dunha función escalar en varias variábeis é (a transposta do) seu gradiente e o gradiente dunha función escalar dunha única variábel é a súa derivada.

En cada punto onde unha función é diferenciábel, a súa matriz jacobiana tamén pode considerarse como que describe a cantidade de "estiramento", "rotación" ou "transformación" que a función impón localmente preto dese punto. Por exemplo, se  se usa para transformar suavemente unha imaxe, a matriz Jacobiana , describe como se transforma a imaxe na veciñanza de .

Se unha función é diferenciábel nun punto, a súa diferencial dase en coordenadas pola matriz jacobiana. No entanto, unha función non precisa ser diferenciábel para que a súa matriz jacobiana estea definida, xa que só se require que as súas derivadas parciais de primeira orde existan.

Se  é diferenciábel nun punto  en , entón a súa diferencial represéntase por . Neste caso, a transformación linear representada por  é a mellor aproximación linear de  preto do punto , no sentido de que

\mathbf f(\mathbf x) - \mathbf f(\mathbf p) = \mathbf J_{\mathbf f}(\mathbf p)(\mathbf x - \mathbf p) + o(\|\mathbf x - \mathbf p\|) \quad (\text{as } \mathbf{x} \to \mathbf{p}),

onde  é unha cantidade que se aproxima a cero moito máis rápido que a distancia entre  e  a medida que  se aproxima a . Esta aproximación especialízase na aproximación dunha función escalar dunha única variábel polo seu polinomio de Taylor de grao un, é dicir,

:f(x) - f(p) = f'(p) (x - p) + o(x - p) \quad (\text{as } x \to p).

Neste sentido, o jacobiano pode considerarse como un tipo de "derivada de primeira orde" dunha función vectorial de varias variábeis. En particular, isto significa que o gradiente dunha función escalar de varias variábeis tamén pode considerarse como a súa "derivada de primeira orde".

As funcións diferenciábeis baixo composición  e  cumpren a regra da cadea, é dicir, \mathbf{J}_{\mathbf{g} \circ \mathbf{f}}(\mathbf{x}) = \mathbf{J}_{\mathbf{g}}(\mathbf{f}(\mathbf{x})) \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}) para  en .

O jacobiano do gradiente dunha función escalar de varias variábeis ten un nome especial: a matriz hessiana, que nun sentido é a "segunda derivada" da función en cuestión.

## Determinante jacobiano 
miniatura|400px|Un mapa non linear f \colon \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2} envía un pequeno cadrado (esquerda, en vermello) a un paralelogramo distorsionado (dereita, en vermello). O jacobiano nun punto dá a mellor aproximación linear do paralelogramo distorsionado preto dese punto (dereita, en branco translúcido), e o determinante jacobiano dá a razón da área do paralelogramo aproximado en relación á do cadrado orixinal.

Se , entón  é unha función de  en si mesma e a matriz Jacobiana é unha matriz cadrada. Podemos entón formar o seu determinante, coñecido como o **determinante Jacobiano** ou simplemente  "o jacobiano".

O determinante jacobiano nun punto dado proporciona información importante sobre o comportamento de  preto dese punto. Por exemplo, a función continuamente diferenciábel  é invertíbel preto dun punto  se o determinante jacobiano en  é non nulo. Este é o teorema da función inversa. Ademais, se o determinante jacobiano en  é positivo, entón  preserva a orientación preto de ; se é negativo,  inverte a orientación. O valor absoluto do determinante Jacobiano en  dános o factor polo que a función  expande ou contrae volumes preto de ; esta é a razón pola que aparece na regra de substitución xeral.

O determinante jacobiano úsase ao facer un cambio de variábeis ao avaliar unha integral múltiple dunha función sobre unha rexión dentro do seu dominio. Para acomodar o cambio de coordenadas, a magnitude do determinante jacobiano aparece como un factor multiplicativo dentro da integral. Isto débese a que o elemento -dimensional  é en xeral un paralelepípedo no novo sistema de coordenadas, e o -volume dun paralelepípedo é o determinante dos seus vectores nos bordos.

## Inversa 
Segundo o teorema da función inversa, a inversa da matriz da matriz jacobiana dunha función invertíbel  é a matriz Jacobiana da función *inversa*. É dicir, a matriz Jacobiana da función inversa nun punto  é

:\mathbf J_{\mathbf{f}^{-1}}(\mathbf{p}) = {\mathbf J^{-1}_{\mathbf{f}}(\mathbf{f}^{-1}(\mathbf{p}))},

e o determinante jacobiano é

:\det(\mathbf{J}_{\mathbf{f}^{-1}}(\mathbf{p})) = \frac{1}{\det(\mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{f}^{-1}(\mathbf{p})))}.

Se o jacobiano é continuo e non singular no punto  en , entón  é invertíbel cando se restrinxe a algunha veciñanza de . Noutras palabras, se o determinante Jacobiano non é cero nun punto, entón a función é *localmente invertíbel* preto dese punto.

A (non demostrada) conxectura de Jacobi está relacionada coa invertibilidade global no caso dunha función polinómica, é dicir, unha función definida por *n* polinomios en *n* variábeis. Afirma que, se o determinante jacobiano é unha constante non nula (ou, equivalentemente, que non ten ningún cero complexo), entón a función é invertíbel e a súa inversa é unha función polinómica.

## Puntos críticos 
Se  é unha función diferenciábel, un *punto crítico* de  é un punto onde o rango da matriz jacobiana non é máximo. Isto significa que o rango no punto crítico é menor que o rango nalgún punto veciño. Noutras palabras, sexa  a dimensión máxima das bólas abertas contidas na imaxe de ; entón un punto é crítico se todos os menores de rango  de  son cero.

No caso onde , un punto é crítico se o determinante jacobiano é cero.

## Exemplos 
### Exemplo 1 
Considere unha función  con   dada por

:\mathbf f\left(\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} f_1(x,y)\\f_2(x,y)\end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}  x^2 y \\5 x + \sin y 
  \end{bmatrix}.

Entón temos

:f_1(x, y) = x^2 y,

:f_2(x, y) = 5 x + \sin y.

A matriz jacobiana de  é

:\mathbf J_{\mathbf f}(x, y) = \begin{bmatrix}
  \dfrac{\partial f_1}{\partial x} & \dfrac{\partial f_1}{\partial y}\\[1em]
  \dfrac{\partial f_2}{\partial x} & \dfrac{\partial f_2}{\partial y} \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
  2 x y & x^2    \\
  5     & \cos y \end{bmatrix}

e o determinante jacobiano é

:\det(\mathbf J_{\mathbf f}(x, y)) = 2 x y \cos y - 5 x^2.

### Exemplo 2: transformación de polar a cartesianas 
A transformación de coordenadas polares  a coordenadas cartesianas (*x*, *y*), vén dada pola función  con compoñentes

:\begin{align}
x &= r \cos \varphi ; \\
y &= r \sin \varphi .
\end{align}

:\mathbf J_{\mathbf F}(r, \varphi)
= \begin{bmatrix}
    \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial\varphi}\\[0.5ex]
    \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial\varphi}
  \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
    \cos\varphi & - r\sin \varphi \\
    \sin\varphi &   r\cos \varphi
  \end{bmatrix}

O determinante jacobiano é igual a . Isto pode usarse para transformar integrais entre os dous sistemas de coordenadas:

\iint_{\mathbf F(A)} f(x, y) \,dx \,dy = \iint_A f(r \cos \varphi, r \sin \varphi) \, r \, dr \, d\varphi .

### Exemplo 3: transformación de esféricas a cartesianas 
A transformación de coordenadas esféricas  a coordenadas cartesianas (*x*, *y*, *z*), vén dada pola función  con compoñentes

:\begin{align}
x &= \rho \sin \varphi \cos \theta ; \\
y &= \rho \sin \varphi \sin \theta ; \\
z &= \rho \cos \varphi .
\end{align}

A matriz jacobiana para esta mudanza de coordenadas é

:\mathbf J_{\mathbf F}(\rho, \varphi, \theta)
= \begin{bmatrix}
  \dfrac{\partial x}{\partial \rho} & \dfrac{\partial x}{\partial \varphi} & \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \\[1em]
  \dfrac{\partial y}{\partial \rho} & \dfrac{\partial y}{\partial \varphi} & \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \\[1em]
  \dfrac{\partial z}{\partial \rho} & \dfrac{\partial z}{\partial \varphi} & \dfrac{\partial z}{\partial \theta}
  \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
      \sin \varphi \cos \theta & \rho \cos \varphi \cos \theta & -\rho \sin \varphi \sin \theta \\
      \sin \varphi \sin \theta & \rho \cos \varphi \sin \theta & \rho \sin \varphi \cos \theta \\
      \cos \varphi & - \rho \sin \varphi & 0
  \end{bmatrix}.

O determinante é . 

Dado que  é o volume para un elemento diferencial de volume rectangular (porque o volume dun prisma rectangular é o produto dos seus lados), podemos interpretar  como o volume do elemento diferencial de volume esférico. A diferenza do volume do elemento diferencial de volume rectangular, o volume deste elemento diferencial de volume non é unha constante e varía coas coordenadas ( e ). Pode usarse para transformar integrais entre os dous sistemas de coordenadas:

:\iiint_{\mathbf F(U)} f(x, y, z) \,dx \,dy \,dz = \iiint_U f(\rho \sin \varphi \cos \theta, \rho \sin \varphi\sin \theta, \rho \cos \varphi) \, \rho^2 \sin \varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta .

### Exemplo 4 
A matriz jacobiana da función  con compoñentes

:\begin{align}
y_1 &= x_1 \\
y_2 &= 5 x_3 \\
y_3 &= 4 x_2^2 - 2 x_3 \\
y_4 &= x_3 \sin x_1
\end{align}

é

:\mathbf J_{\mathbf F}(x_1, x_2, x_3) = \begin{bmatrix}
  \dfrac{\partial y_1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_3} \\[1em]
  \dfrac{\partial y_2}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_3} \\[1em]
  \dfrac{\partial y_3}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_3}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_3}{\partial x_3} \\[1em]
  \dfrac{\partial y_4}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_4}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_4}{\partial x_3} \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & 5 \\
  0 & 8 x_2 & -2 \\
  x_3\cos x_1 & 0 & \sin x_1 \end{bmatrix}.

Este exemplo mostra que a matriz jacobiana non ten por que ser unha matriz cadrada.

### Exemplo 5 
O determinante jacobiano da función  con compoñentes

:\begin{align}
  y_1 &= 5x_2 \\
  y_2 &= 4x_1^2 - 2 \sin (x_2 x_3) \\
  y_3 &= x_2 x_3
\end{align}

é

:\begin{vmatrix}
  0 & 5 & 0 \\
  8 x_1 & -2 x_3 \cos(x_2 x_3) & -2 x_2 \cos (x_2 x_3) \\
  0 & x_3 & x_2
\end{vmatrix} = -8 x_1 \begin{vmatrix}
  5 & 0 \\
  x_3 & x_2
\end{vmatrix} = -40 x_1 x_2.

A partir disto vemos que  inverte a orientación preto dos puntos onde  e  teñen o mesmo signo; a función é localmente invertíbel en todas as partes agás preto dos puntos onde  ou . 

Intuitivamente, se se comeza cun obxecto pequeno arredor do punto  e se aplica  a ese obxecto, obterase un obxecto resultante con aproximadamente  veces o volume do orixinal, coa orientación invertida.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 

### Outros artigos 
* Variedade central
* Matriz Hessiana
* Pulo (diferencial)
### Ligazóns externas 
* 
* Mathworld A more technical explanation of Jacobians