OR exclusivo

{{infobox
|title       = *OR exclusivo*  XOR
|image = 230px
|caption= Diagrama de Venn do OR exclusivo (en vermello a parte verdadeira)
|label2 = Outros nomes
|data2 =  OU exclusivo disxunción exclusiva non equivalencia lóxica desigualdade lóxica
|label4 = linguaxe natural
|data4 = A ou B mais non ambos os dous
|label5 = linguaxe formal
|data5 = A \oplus B
|label6 = outros símbolos
|data6 = \nleftrightarrow, \overline{\vee}, \underline{\vee}, **⩛**,
|label7 = táboa de verdade
|data7 =
\begin{array}{c|c||c}
A & B & A \oplus B \\
\hline
V & V & F \\
V & F & V \\
F & V & V \\
F & F & F \\
\end{array}

|label8 = porta lóxica
|data8 = 
}}

[dereita|miniatura|220x220px| [Diagrama de Venn A \oplus B \oplus C]]

**OR exclusivo**, **OU exclusivo**, **disxunción exclusiva**, **non equivalencia lóxica** ou desigualdade lóxica é un operador lóxico cuxa negación é o bicondicional lóxico. Con dúas entradas, XOR é verdadeiro se e só se as entradas difiren (unha é verdadeira, outra é falsa). Con varias entradas, XOR é verdadeiro se e só se o número de entradas verdadeiras é impar.

Simbolízase polos operadores infixos: **XOR**,  \overline{\vee}, \underline{\vee}, **⩛**, \oplus, \nleftrightarrow, e \not\equiv  e polo operador de prefixo J.

## Definición 
A táboa de verdade de A \oplus B mostra que ten resultado verdadeiro sempre que as entradas sexan diferentes:

## Equivalencias, eliminación e introdución 
A disxunción exclusiva significa esencialmente "un, pero non os dous nin ningún". Noutras palabras, a afirmación é verdadeira se e só se unha é verdadeira e a outra é falsa. Por exemplo, se dous cabalos corren, entón un dos dous gañará a carreira, mais non os dous. A disxunción exclusiva p \nleftrightarrow q, tamén denotada como p\operatorname{?}q ou Jpq, pódese expresar en termos da conxunción lóxica ("E lóxico", \wedge ), a disxunción ("OU lóxico", \lor ), e a negación (\lnot) do seguinte xeito:

: \begin{matrix}
 p \nleftrightarrow q & = & (p \lor q) \land \lnot (p \land q)
\end{matrix}

A disxunción exclusiva p \nleftrightarrow q tamén se pode expresar do seguinte xeito:

: \begin{matrix}
 p \nleftrightarrow q & = & (p \land \lnot q) \lor (\lnot p \land q)
\end{matrix}

Esta representación de XOR pode resultar útil á hora de construír un circuíto ou rede, porque só ten unha operación \lnot e un número pequeno de opracións \land e \lor. A proba desta identidade dáse a continuación:

: \begin{matrix}
 p \nleftrightarrow q & = & (p \land \lnot q) & \lor & (\lnot p \land q) \\[3pt]
       & = & ((p \land \lnot q) \lor \lnot p) & \land & ((p \land \lnot q) \lor q) \\[3pt]
       & = & ((p \lor \lnot p) \land (\lnot q \lor \lnot p)) & \land & ((p \lor q) \land (\lnot q \lor q)) \\[3pt]
       & = & (\lnot p \lor \lnot q) & \land & (p \lor q) \\[3pt]
       & = & \lnot (p \land q) & \land & (p \lor q)
\end{matrix}

Ás veces é útil escribir p \nleftrightarrow q do seguinte xeito:

: \begin{matrix}
 p \nleftrightarrow q & = & \lnot ((p \land q) \lor (\lnot p \land \lnot q))
\end{matrix}

ou:

: \begin{matrix}
 p \nleftrightarrow q & = & (p \lor q) \land (\lnot p \lor \lnot q)
\end{matrix}

Esta equivalencia pódese estabelecer aplicando as leis de De Morgan dúas veces á cuarta liña da proba anterior.

O OR exclusivo tamén é equivalente á negación dun bicondicional lóxico, polas regras de implicación material (un condicional material equivale á disxunción da negación do seu antecedente e do seu consecuente) e da equivalencia material.

En resumo, temos, en notación matemática e en enxeñaría:

: \begin{matrix}
 p \nleftrightarrow q & = & (p \land \lnot q) & \lor & (\lnot p \land q) & = & p\overline{q} + \overline{p}q \\[3pt]
       & = & (p \lor q) & \land & (\lnot p \lor \lnot q) & = & (p + q)(\overline{p} + \overline{q}) \\[3pt]
       & = & (p \lor q) & \land & \lnot (p \land q) & = & (p + q)(\overline{pq})
\end{matrix}

## Negación do operador 
Ao aplicar o espírito das leis de De Morgan, obtemos: 
: \lnot(p \nleftrightarrow q) \Leftrightarrow \lnot p \nleftrightarrow q \Leftrightarrow p \nleftrightarrow \lnot q.

## Relación coa álxebra abstracta 
Aínda que os operadores \wedge ( conxunción ) e \lor ( disxunción ) son moi útiles en sistemas lóxicos, non serven para unha estrutura máis xeneralizábel pola seguinte razón:

Os sistemas (\{T, F\}, \wedge) e (\{T, F\}, \lor) son monoides, mais non son un grupo. Desafortunadamente, isto impide a combinación destes dous sistemas en estruturas máis grandes, como un anel matemático.

No entanto, usando o sistema con OR exclusivo(\{T, F\}, \oplus) *temos* un grupo abeliano. A combinación de operadores \wedge e \oplus sobre elementos \{T, F\} producen o coñecido corpo de dous elementos \mathbb{F}_2. Este corpo pode representar calquera lóxica obtida co sistema (\land, \lor) e ten a vantaxe adicional do arsenal de ferramentas de análise alxébrica para corpos.

Máis concretamente, se se asocia F con 0 e T con 1, pódese interpretar a operación lóxica "AND" como multiplicación en \mathbb{F}_2 e a operación "XOR" como suma en \mathbb{F}_2:

: \begin{matrix}
  r = p \land q & \Leftrightarrow & r = p \cdot q \pmod 2 \\[3pt]
 r = p \oplus q & \Leftrightarrow & r = p + q \pmod 2 \\
\end{matrix}

A descrición dunha función booleana como polinomio en \mathbb{F}_2, usando esta base, chámase forma normal alxébrica da función.

## OU exclusivo en linguaxe natural 
A disxunción enténdese a miúdo exclusivamente nas linguas naturais. En galego, a palabra  "ou" adoita entenderse exclusivamente, precisamente como é no caso do XOR. Por exemplo: *"Temos partida o sábado ou o domingo"*, que se interpreta como que temos partida un deses dous días mais non os dous.

## Símbolos alternativos 
A maiores da abreviatura "XOR", tamén se pode ver calquera dos seguintes símbolos:
* + foi usado por George Boole in 1847.
* \overline{\vee} usouse por Christine Ladd-Franklin en 1883.
* \not=, denotando a negación da equivalencia, foi usado por Ernst Schröder en 1890, 
* \circ foi usado por Giuseppe Peano in 1894.
* \oplus foi usado por Claude Shannon en 1938.
* \not\equiv, denotanto tamén a negación da equivalencia, foi usado por Alonzo Church en 1944.
* J (como un operador prefixo, J\phi\psi) usouse por Józef Maria Bocheński en 1949.

## Propiedades 
Ao usar os valores binarios true (1) e false (0) entón o *OR exclusivo * funciona exactamente iguaol que a suma módulo 2. 

## Informática 
[dereita|miniatura|114x114px| Representación simbólica tradicional dunha [porta lóxica XOR]]

### Operación bit a bit 
A disxunción exclusiva úsase a miúdo para operacións bit a bit. Exemplos:

* 1 XOR 1 = 0
* 1 XOR 0 = 1
* 0 XOR 1 = 1
* 0 XOR 0 = 0
* 11102 XOR 10012 = 01112 (isto é equivalente á suma sen acarreo)

Como se indicou anteriormente, dado que a disxunción exclusiva é idéntica á suma módulo 2, a disxunción exclusiva bit a bit de dúas cadeas *de n* bits é idéntica ao vector estándar de suma no espazo vectorial (\Z/2\Z)^n.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Condicional material
* Disxunción lóxica
* Valor lóxico
### Ligazóns externas 
* All About XOR
* Proofs of XOR properties and applications of XOR, CS103: Mathematical Foundations of Computing, Stanford University