Números de Euler

En matemáticas, os **números de Euler** son unha secuencia *En* de enteiros     definida pola expansión da serie de Taylor

: \frac{1}{\cosh t} = \frac{2}{e^{t} + e^ {-t} } = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_n}{n!} \cdot t^n ,

onde \cosh (t) é a función coseno hiperbólica. Os números de Euler están relacionados cos polinomios de Euler, E_n(x) avaliados no valor \frac{1}{2}, a saber:

: E_n=2^nE_n(\tfrac 12).

Os números de Euler aparecen nas expansións da serie de Taylor das funcións secante e secante hiperbólica. Esta última é a función na definición. Tamén ocorren en combinatoria, concretamente cando se conta o número de permutacións alternadas dun conxunto cun número par de elementos.

## Exemplos 
Os números de Euler impares son todos cero. Os de índice par      teñen signos alternados. Algúns valores son:

## Fórmulas explícitas 
### En termos de números de Stirling do segundo tipo 
As dúas fórmulas seguintes expresan os números de Euler en termos de números de Stirling do segundo tipo:

:  E_{n}=2^{2n-1}\sum_{\ell=1}^{n}\frac{(-1)^{\ell}S(n,\ell)}{\ell+1}\left(3\left(\frac{1}{4}\right)^{\overline{\ell\phantom{.}}}-\left(\frac{3}{4}\right)^{\overline{\ell\phantom{.}}}\right), 
:  E_{2n}=-4^{2n}\sum_{\ell=1}^{2n}(-1)^{\ell}\cdot \frac{S(2n,\ell)}{\ell+1}\cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{\overline{\ell\phantom{.}}},

onde  S(n,\ell)  denota os números de Stirling do segundo tipo, e  x^{\overline{\ell\phantom{.}}}=(x)(x+1)\cdots (x+\ell-1)  denota o factorial ascendente.

### Como dobre suma 
As dúas fórmulas seguintes expresan os números de Euler como sumas dobres

: E_{2n}=(2 n+1)\sum_{\ell=1}^{2n} (-1)^{\ell}\frac{1}{2^{\ell}(\ell +1)}\binom{2 n}{\ell}\sum _{q=0}^{\ell}\binom{\ell}{q}(2q-\ell)^{2n}, 
: E_{2n}=\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k} \frac{1}{2^{k}}\sum_{\ell=0}^{2k}(-1)^{\ell } \binom{2k}{\ell}(k-\ell)^{2n}. 

### Como suma iterada 
Unha fórmula explícita para os números de Euler é:
: E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1} \sum _{\ell=0}^k \binom{k}{\ell}\frac{(-1)^\ell(k-2\ell)^{2n+1}}{2^k i^k k},

onde  denota a unidade imaxinaria con .

### Como suma sobre particións 
O número de Euler  pódese expresar como unha suma sobre as particións pares de ,

:  E_{2n} = (2n)! \sum_{0 \leq k_1, \ldots, k_n \leq n} \binom K {k_1, \ldots, k_n}
	\delta_{n,\sum mk_m} \left( -\frac{1}{2!} \right)^{k_1} \left( -\frac{1}{4!} \right)^{k_2}
	\cdots \left( -\frac{1}{(2n)!} \right)^{k_n} ,

así como unha suma sobre as particións impares de , 

:  	 E_{2n} = (-1)^{n-1} (2n-1)! \sum_{0 \leq k_1, \ldots, k_n \leq 2n-1}
  \binom K {k_1, \ldots, k_n}
  \delta_{2n-1,\sum (2m-1)k_m }  \left( -\frac{1}{1!} \right)^{k_1} \left( \frac{1}{3!} \right)^{k_2}
  \cdots \left( \frac{(-1)^n}{(2n-1)!} \right)^{k_n} , 

onde en ambos os casos  e

:  \binom K {k_1, \ldots, k_n}
     \equiv \frac{ K!}{k_1! \cdots k_n!}

é un coeficiente multinomial. Os deltas de Kronecker nas fórmulas anteriores restrinxen as sumas sobre os s a  e a , respectivamente.

Como exemplo,

: 
\begin{align}
E_{10} & = 10! \left( - \frac{1}{10!} + \frac{2}{2!\,8!} + \frac{2}{4!\,6!}
	- \frac{3}{2!^2\, 6!}- \frac{3}{2!\,4!^2} +\frac{4}{2!^3\, 4!} - \frac{1}{2!^5}\right) \\[6pt]
& = 9! \left( - \frac{1}{9!} + \frac{3}{1!^2\,7!} + \frac{6}{1!\,3!\,5!}
	+\frac{1}{3!^3}- \frac{5}{1!^4\,5!} -\frac{10}{1!^3\,3!^2} + \frac{7}{1!^6\, 3!} - \frac{1}{1!^9}\right) \\[6pt]
& = -50\,521.
\end{align}

### Como determinante 
 is given by the determinant

: 
\begin{align}
E_{2n} &=(-1)^n (2n)!~ \begin{vmatrix}  \frac{1}{2!}& 1 &~& ~&~\\
                               \frac{1}{4!}& \frac{1}{2!} & 1 &~&~\\
                                 \vdots & ~ & \ddots~~ &\ddots~~ & ~\\
                                \frac{1}{(2n-2)!}& \frac{1}{(2n-4)!}& ~&\frac{1}{2!} & 1\\
                                \frac{1}{(2n)!}&\frac{1}{(2n-2)!}& \cdots & \frac{1}{4!} & \frac{1}{2!}\end{vmatrix}.

\end{align}
 

### Como integral 
 is also given by the following integrals:

: 
\begin{align}
(-1)^n E_{2n} & = \int_0^\infty \frac{t^{2n}}{\cosh\frac{\pi t}2}\; dt =\left(\frac2\pi\right)^{2n+1} \int_0^\infty \frac{x^{2n}}{\cosh x}\; dx\\[8pt]
&=\left(\frac2\pi\right)^{2n} \int_0^1\log^{2n}\left(\tan \frac{\pi t}{4} \right)\,dt =\left(\frac2\pi\right)^{2n+1}\int_0^{\pi/2} \log^{2n}\left(\tan \frac{x}{2} \right)\,dx\\[8pt]
&= \frac{2^{2n+3}}{\pi^{2n+2}} \int_0^{\pi/2} x \log^{2n} (\tan x)\,dx = \left(\frac2\pi\right)^{2n+2} \int_0^\pi \frac{x}{2} \log^{2n} \left(\tan \frac{x}{2} \right)\,dx.\end{align}
 

## Límite inferior 
Os números de Euler medran bastante rapidamente para índices grandes, xa que teñen o seu límite inferior

:  |E_{2 n}| > 8 \sqrt { \frac{n}{\pi} } \left(\frac{4 n}{ \pi e}\right)^{2 n}. 

## Números en zigzag de Euler 
A serie de Taylor \sec x + \tan x = \tan\left(\frac\pi4 + \frac x2\right) é

: \sum_{n=0}^{\infty} \frac{A_n}{n!}x^n,

onde  son os números en zigzag de Euler, comezando por

: 1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 19037573145, 19037573151, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832,...     

Para todos os  pares temos

: A_n = (-1)^\frac{n}{2} E_n,

onde  é o número de Euler.  

Para todo  impar temos,

: A_n = (-1)^\frac{n-1}{2}\frac{2^{n+1}\left(2^{n+1}-1\right)B_{n+1}}{n+1},

onde  son os números de Bernoulli.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
### Outros artigos 
* Número de Bernoulli.
* Constante de Euler-Mascheroni
### Ligazóns externas 
* 
*