Translación (xeometría)

dereita|miniatura| Unha translación move todos os puntos dunha figura ou dun espazo na mesma cantidade nunha dirección determinada.
Na xeometría euclidiana, unha **translación** é unha transformación xeométrica que move cada punto dunha figura, forma ou espazo na mesma distancia nunha dirección determinada. Unha translación tamén se pode interpretar como a adición dun vector constante a cada punto, ou como un desprazamento da orixe do sistema de coordenadas. Nun espazo euclidiano, calquera tradución é unha isometría.

## Como función 
Se \mathbf{v}  é un vector fixo, coñecido como *vector de translación*, e \mathbf{p} é a posición inicial dalgún obxecto,  a función de translación T_{\mathbf{v}}  será  T_{\mathbf{v}}(\mathbf{p})=\mathbf{p}+\mathbf{v}.

### Aplicación na física clásica 
Na física clásica, o movemento de translación é un movemento que muda a posición dun obxecto con desprazamento linear, e se  complementa coa rotación que dá un desprazamento angular. 

Para trasladar un obxecto séguese a fórmula

: (x,y,z) \to (x+\Delta x,y+\Delta y, z+\Delta z)

onde (\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z) é o mesmo vector para cada punto do obxecto. 

## Como grupo 
O conxunto de todas as translacións forma o **grupo de translación** \mathbb{T} , que é isomorfo ao propio espazo, e un subgrupo normal do grupo euclidiano  E(n) . O grupo cociente de E(n)  por \mathbb{T}  é isomorfo ao grupo de movementos ríxidos que fixan un punto de orixe particular, o grupo ortogonal  O(n):

: E(n)/\mathbb{T}\cong O(n) 

Como a translación é conmutativa, o grupo de translación é abeliano. Hai un número infinito de translacións posibles, polo que o grupo de translación é un grupo infinito.

Na teoría da relatividade, debido ao tratamento do espazo e do tempo como un espazo-tempo único, as translacións tamén poden afectar a coordenada do tempo. Por exemplo, o grupo galileano e o grupo de Poincaré inclúen translacións en relación ao tempo.

### Grupos de retículas 
Un tipo de subgrupo do grupo de translación tridimensional son os retículas, que son grupos infinitos, pero a diferenza dos grupos de translación , xéranse de forma finita. É dicir, un conxunto xerador finito xera todo o grupo.

## Representación matricial 
Unha translación é unha transformación afín *sen* puntos fixos. As multiplicacións matriciais teñen *sempre* a orixe como punto fixo. Podemos usar coordenadas homoxéneas para representar a translación dun espazo vectorial coa multiplicación matricial: escríbese o vector tridimensional \mathbf{v}=(v_x, v_y, v_z)  utilizando 4 coordenadas homoxéneas como \mathbf{v}=(v_x, v_y, v_z, 1) . 

Para mover un obxecto por un vector \mathbf{v} , cada vector homoxéneo \mathbf{p}  pódese multiplicar por esta **matriz de translación**:

:  T_{\mathbf{v}} = 
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & v_x \\
0 & 1 & 0 & v_y \\
0 & 0 & 1 & v_z \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

E a multiplicación dará o resultado esperado:

:  T_{\mathbf{v}} \mathbf{p} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & v_x \\
0 & 1 & 0 & v_y\\
0 & 0 & 1 & v_z\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
p_x \\ p_y \\ p_z \\ 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
p_x + v_x \\ p_y + v_y \\ p_z + v_z \\ 1
\end{bmatrix}
= \mathbf{p} + \mathbf{v} 

A inversa dunha matriz de translación pódese obter invertendo a dirección do vector:

:  T^{-1}_{\mathbf{v}} = T_{-\mathbf{v}} . \! 

Do mesmo xeito, o produto das matrices de translación dáse sumando os vectores:

:  T_{\mathbf{v}}T_{\mathbf{w}} = T_{\mathbf{v}+\mathbf{w}} . \! 

Como a suma de vectores é conmutativa, a multiplicación de matrices de translación tamén é conmutativa (a diferenza da multiplicación de matrices arbitrarias).

## Translación de eixes 
Aínda que a translación xeométrica adoita ser vista como un proceso activo que muda a posición dun obxecto xeométrico, pódese conseguir un resultado similar mediante unha transformación pasiva que move o propio sistema de coordenadas pero deixa o obxecto fixo. A versión pasiva dunha tradución xeométrica activa coñécese como translación de eixes.

## Simetría de translación 
Dise que un obxecto que ten o mesmo aspecto antes e despois da translación ten simetría de translación. Un exemplo común é unha función periódica, que é unha función propia dun operador de translación.

## Translacións dunha gráfica 
miniatura| En comparación coa gráfica , a gráfica  trasladouse horizontalmente por , mentres que a gráfica  trasladouse verticalmente por .
Partindo da gráfica de , unha **translación horizontal** significa compoñer  cunha función , para algún número constante , o que resulta nunha gráfica formada por puntos . Cada  da gráfica orixinal corresponde ao punto  no novo gráfico, o que representa gráficamente un desprazamento horizontal.

Igualmente temos unha **translación** **vertical** para a variábel ,  coa función . 

Por exemplo, tomando a función cadrática , cuxa gráfica é unha parábola cun vértice en , unha translación horizontal de 5 unidades á dereita sería a nova función  cuxo vértice está en . Unha translación vertical de 3 unidades cara arriba sería a nova función  con vértice en .
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*Zazkis, R., Liljedahl, P., & Gadowsky, K. Conceptions of function translation: obstacles, intuitions, and rerouting. Journal of Mathematical Behavior, 22, 437-450. 
*Transformations of Graphs: Horizontal Translations. (2006, xaneiro 1). BioMath: Transformation of Graphs. 
### Outros artigos 
* Gráficos de ordenador 2D
* Matriz de rotación
* Matriz de transformación

### Ligazóns externas 
* Translation Transform en cut-the-knot
* Geometric Translation (Interactive Animation) en Math Is Fun
* Understanding 2D Translation e máis Understanding 3D Translation by Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project.