Teorema fundamental dos homomorfismos

En álxebra abstracta, o **teorema fundamental dos homomorfismos**, tamén coñecido como **primeiro teorema do isomorfismo**, relaciona a estrutura de dous obxectos entre os que se dá un homomorfismo, e do núcleo e a imaxe do homomorfismo.

Este teorema utilízase para demostrar os teoremas do isomorfismo .

## Versión para grupos 
miniatura| Diagrama do teorema fundamental dos homomorfismos, onde *f* é un homomorfismo, *N* é un subgrupo normal de *G, e temos que e* define o elemento de identidade de *G*.
Dados dous grupos *G* e *H* e un homomorfismo de grupos , sexa *N* un subgrupo normal en *G* e *φ* o homomorfismo sobrectivo natural  (onde  é o grupo cociente de *G* por *N*). Se *N* é un subconxunto de ker(*f*) entón existe un único homomorfismo  tal que .

Noutras palabras, a proxección natural *φ* é universal entre os homomorfismos en *G* que mapean *N* no elemento identidade.

A situación descríbese no seguinte diagrama conmutativo:

: Ficheiro:Fundamental_Homomorphism_Theorem_v2.svg

*h* é inxectiva se e só se . Polo tanto, estabelecendo , obtemos inmediatamente o primeiro teorema do isomorfismo .

Podemos escribir o enunciado do teorema fundamental dos homomorfismos de grupos como "toda imaxe homomorfa dun grupo é isomorfa a un grupo cociente".

## Proba 
A demostración dedúcese a partir de dous feitos básicos sobre homomorfismos, a saber, a súa conservación da operación de grupo e a súa correspondencia entre os elementos identidade. Temos que demostrar que se \phi: G \to H é un homomorfismo de grupos, entón:

# \text{im}(\phi) é un subgrupo 
# G / \ker(\phi) é isomorfo a {{Tmath|\text{im}(\phi)}}

### Proba de 1 
A operación que se conserva por \phi é a operación do grupo. Se {{Tmath|a, b \in \text{im}(\phi)}}, entón existen elementos a', b' \in G tal que \phi(a')=a e . Para estes a e  temos ab = \phi(a')\phi(b') = \phi(a'b') \in \text{im}(\phi) (posto que \phi preserva a operación do grupo), e así, a propiedade de peche está satisfeita en {{Tmath|\text{im}(\phi)}}. O elemento identidade e \in H tamén está en \text{im}(\phi) porque \phi mapea o elemento de identidade de G no identidade de . Posto que cada elemento a' en G ten un inverso (a')^{-1} tal que \phi((a')^{-1}) = (\phi(a'))^{-1} (porque \phi preserva a propiedade inversa tamén), temos un inverso para cada elemento \phi(a') = a en {{Tmath|\text{im}(\phi)}}, polo tanto, \text{im}(\phi) é un subgrupo de&nbsp;. 

### Proba de 2 
Construír un mapa \psi: G / \ker(\phi) \to \text{im}(\phi) por . Este mapa está ben definido, pois se , entón b^{-1}a \in \ker(\phi) e así \phi(b^{-1}a) = e \Rightarrow \phi(b^{-1})\phi(a) = e que dá . Este mapa é un isomorfismo. \psi é sobrexectivo sobre \text{im}(\phi) por definición. Para mostrar a inxectividade, se \psi(a\ker(\phi)) = \psi(b\ker(\phi)), entón , o que implica b^{-1}a \in\ker(\phi) así que . 
Finalmente,
:\psi((a\ker(\phi))(b\ker(\phi))) = \psi(ab\ker(\phi)) = \phi(ab) = \phi(a)\phi(b) = \psi(a\ker(\phi))\psi(b\ker(\phi)),
por tanto \psi preserva a operación do grupo. Por tanto \psi é un isomorfismo entre G / \ker(\phi) e {{Tmath|\text{im}(\phi)}}, o que completa a proba.

## Aplicacións 
A versión de grupos do teorema fundamental dos homomorfismos pode ser usada para mostrar que dous grupos son isomorfos. A continuación móstranse dous exemplos.

### Enteiros módulo *n* 
Para cada {{Tmath|n \in \mathbb{N} }}, considere os grupos  \mathbb{Z}  e  \mathbb{Z}_n  e un homomorfismo de grupo  f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_n  definido por  m \mapsto m \text{ mod }n  (ver aritmética modular). A continuación, considere o kernel de , {{Tmath|1=\text{ker} (f) = n \mathbb{Z} }}, que é un subgrupo normal en {{Tmath|\mathbb{Z} }}. Existe un homomorfismo sobrexectivo natural  \varphi : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}  definido por {{Tmath|m \mapsto m+n\mathbb{Z} }}. O teorema afirma que existe un isomorfismo  h  entre  \mathbb{Z}_n  e {{Tmath|\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} }}, ou noutras palabras {{Tmath|\mathbb{Z}_n \cong \mathbb{Z}/n \mathbb{Z} }}. O diagrama conmutativo está ilustrado a continuación.

: 150x150px

### *Teorema N*/*C* 
Sexa G un grupo con subgrupo . Sexan , N_G(H) e  \text{Aut}(H)  o centralizador, o normalizador e o grupo de automorfismos de  H  en , respectivamente. Daquela, o teorema *N*/*C* afirma que N_G(H)/C_G(H) é isomorfo a un subgrupo de {{Tmath|\text{Aut}(H)}}.

#### A proba 
Podemos atopar un homomorfismo de grupos  f: N_G(H) \rightarrow \text{Aut}(H)  definido por {{Tmath|g \mapsto ghg^{-1} }}, para todo . Claramente, o kernel de  f  é . Por tanto, temos un homomorfismo sobrexectivo natural  \varphi : N_G(H) \rightarrow N_G(H)/C_G(H)  definido por . O teorema fundamental dos homomorfismos afirma entón que existe un isomorfismo entre  N_G(H)/C_G(H)  e , que é un subgrupo de {{Tmath|\text{Aut}(H)}}.

## Outras versións 
Teoremas similares son válidos para monoides, espazos vectoriais, módulos e, aneis.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 

### Outros artigos 
* Categoría cociente.
### Ligazóns externas 
*Matthew Macauley The fundamental homomorphism theorem.