Determinante (matemáticas)

[miniatura|A área do [paralelogramo é o valor absoluto do determinante da matriz formada polos vectores que represenetan os lados do paralelogramo.]] 
En matemáticas, o **determinante** é unha ferramenta moi potente en numerosos dominios (estudo de endomorfismos, busca de valores propios, cálculo diferencial). É así como se define o determinante dun sistema de ecuacións, o determinante dun endomorfismo, ou o determinante dun sistema de vectores. Foi introducido inicialmente na álxebra para resolver o problema de determinar o número de solucións dun sistema de ecuacións lineais.

Coma en moitas outras operacións, o determinante pode ser definido por unha colección de propiedades, axiomas que se resumen coa expresión «forma n-lineal alternada». Esta definición permite facer un estudo teórico completo e ampliar aínda máis os seus campos de aplicación. Mais o determinante tamén se pode concibir como unha xeneralización no espazo de dimensión *n* da noción de superficie ou de volume orientados. Este aspecto, a miúdo esquecido, é un enfoque práctico e luminoso das propiedades do determinante.

## Significado xeométrico 
miniatura|upright=0.9|esquerda|O determinante dos vectores *X* e ''X' '' é a superficie azul.
Se temos un paralelogramo  que ten vértices en (0, 0), (x, y), (x + x', y + y') e (x', y'), como se mostra no diagrama que se acompaña, podémolo expresar matematicamente en forma de matriz e calcular o seu determinante, que dará por valor a súa área:
:\det(X,X')=\begin{vmatrix} x & x' \\ y & y'\end{vmatrix}=xy'-yx' 

A expresión xeométrica equivalente:

:\det(X,X')=\|X\|\cdot\|X'\|\cdot\sen \theta
onde \theta é o ángulo formado polos vectores X e X'.

O determinante dá o volume *n*-dimensional correspondente  do paralelótopo (paralelepípedo de n dimensións) con signo, \det(A) = \pm \text{vol}(P).

## Definición 
Sexa *A* unha matriz cadrada con *n* filas e *n* columnas
: A = \begin{bmatrix}
 a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
 a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n}
\end{bmatrix}.

As entradas a_{1,1} etc. son, para moitos propósitos, números reais ou complexos. O determinante tamén se define para matrices cuxas entradas están nun anel conmutativo.

O determinante de A denotado como  \det(A), ou pódese denotar directamente en termos de entradas da matriz escribindo barras en lugar de corchetes:
:\begin{vmatrix}
 a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
 a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n}
\end{vmatrix}.

### Fórmula de Leibniz 
[thumb|[Regra de Sarrus (esquema mnemotécnico)]]
O determinante dunha matriz  é
: \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}= aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh.

Por exemplo:
:\det \begin{pmatrix} 3 & 7 \\1 & -4 \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 7 \\ 1 & {-4} \end{vmatrix} = (3 \cdot (-4)) - (7 \cdot 1) = -19.

:A = \det \begin{pmatrix}
 -2 & -1 & 2 \\
  2 & 1 & 4 \\
 -3 & 3 & -1
\end{pmatrix} = \begin{vmatrix}
 -2 & -1 & 2 \\
  2 & 1 & 4 \\
 -3 & 3 & -1
\end{vmatrix} =   
: = (-2 \cdot 1 \cdot (-1)) + (-1 \cdot 4 \cdot (-3)) + (2\cdot 2 \cdot 3) - (2 \cdot 1 \cdot (-3)) - (-1 \cdot 2 \cdot (-1)) - (4\cdot 3 \cdot (-2)) = 54. 

## Propiedades 
Os determinantes tamén se poden definir por algunhas das súas propiedades. É dicir, o determinante é a función única definida nas matrices  que ten as catro propiedades seguintes:
# O determinante da matriz identidade é .&nbsp;&nbsp;\left| I_n \right| = 1;
# O troco de dúas filas multiplica o determinante por .
# Ao multiplicar unha fila por un número multiplica o determinante por ese número (podemos comprobar para dimensión 2x2):&nbsp;&nbsp;\begin{vmatrix} r \cdot a & b \\ r \cdot c & d \end{vmatrix} = rad - brc = r(ad-bc) = r \cdot \begin{vmatrix} a & b \\c & d \end{vmatrix}.
# Engadir un múltiplo dunha fila a outra fila non modifica o determinante.

### Outras propiedades básicas 
O determinante ten varias propiedades clave que se poden probar mediante a avaliación directa da definición de matrices 2 \times 2, e que seguen válido para os determinantes de matrices máis grandes. 
* o determinante é cero se dúas filas son iguais:
:\begin{vmatrix} a & b \\ a & b \end{vmatrix} = ab - ba = 0.
:tamén para dúas columnas. 
* Se descompoñemos unha columna en sumas podemos descompoñer en suma de determinantes:
:\begin{vmatrix}a & b + b' \\ c & d + d' \end{vmatrix} = a(d+d')-(b+b')c = \begin{vmatrix}a & b\\ c & d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix}a & b' \\ c & d' \end{vmatrix}.

* O determinante dunha matriz é igual ao determinante da súa transposta:&nbsp;&nbsp; \left| A^{-1} \right| = \frac{1}{\left| A\right|}. 

:Resulta desta propiedade que para matrices invertíbeis o determinante non pode ser nulo;
* O determinante do produto de matrices cadradas de mesma orde é o produto dos determinantes (teorema de Binet):&nbsp;&nbsp; \left| AB \right| = \left| A \right| \left| B \right|
* O determinante da multiplicación dun escalar por unha matriz cadrada de orde n é igual a ese escalar, elevado a n, multiplicado polo determinante da matriz
* Se a matriz é triangular (superior ou inferior) o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 
* 
*

### Outros artigos 
* Matriz inversa
* Valor propio, vector propio e espazo_propio 
### Ligazóns externas 
* 
* 
* 
* Determinant Interactive Program and Tutorial
* Determinant Calculator  Calculadora, até orde 8.
* Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages
* de curso de Álxebra linear.