Problema de Monty Hall

O **problema de Monty Hall** ou **paradoxo de Monty Hall** é un problema matemático de probabilidade baseado no concurso televisivo estadounidense *Trato feito* (''Let's Make a Deal*). O problema foi exposto e resolto polo matématico Steve Selvin, na revista American Statistician en 1975. O problema foi bautizado co nome do presentador de devandito concurso, Monty Hall. En España o mesmo tipo de problema aparecía no concurso televisivo Un, dos, tres... responda otra vez.

## A premisa 
O concursante debe escoller unha porta entre tres (todas pechas); o premio consiste en levarse o que se atopa detrás da escollida. Sábese con certeza que tras unha delas ocúltase un automóbil, e tras as outras dúas hai cabras. Unha vez que o concursante elixa unha porta e comunicado a súa elección aos presentes, o presentador, que sabe o que hai detrás de cada porta, abrirá unha das outras dúas, na que haberá unha cabra. A continuación, dálle a opción ao concursante de mudar, se o desexa, de porta (ten dúas opcións). Debe o concursante manter a súa elección orixinal ou escoller a outra porta? Hai algunha diferenza?

Esa pregunta xerou un intenso debate. Como a resposta correcta parece contradicir a intuición, é un paradoxo. 

No concurso "*un, dos, tres ... responda otra vez*", unha porta tiña un coche, outra unha cabaza e outra un regalo ruín.

### A premisa concreta 
A mecánica do concurso é a seguinte:

* Ao concursante ofréceselle a posibilidade de escoller unha entre tres portas. Tras unha delas atópase un coche, e tras as outras dúas hai senllas cabras. O concursante gaña o premio que se oculta detrás da porta que escolla.
* Despois de que o concursante escolla unha porta, o presentador abre unha das outras dúas portas, mostrando unha cabra. Sempre pode facelo, xa que mesmo se o concursante escolleu unha cabra, fica outra entre as portas que descartou e o presentador coñece o que hai detrás de cada porta.
* Entón, ofrece ao concursante a *posibilidade de cambiar a súa elección inicial* e escoller a outra porta que descartou orixinalmente, que continúa pechada.

A pregunta oportuna é: debe facelo ou non?

## A solución 
### Un estudo probabilístico 
A probabilidade de que o concursante escolla na súa primeira oportunidade a porta que oculta o coche é de 1/3, polo que a probabilidade de que o coche se atope nunha das portas que non escolleu é de 2/3. Que muda cando o presentador mostra unha cabra tras unha das outras dúas portas?

Unha suposición errónea é que, unha vez só fiquen dúas portas, ambas teñen a mesma probabilidade (é 1/2) de conter o coche. É errónea xa que o presentador abre a porta *despois* da elección do xogador. Isto é, a elección do xogador afecta á porta que abre o presentador. Non é un suceso aleatorio nin inconexo.

Se o xogador escolle na súa primeira opción a porta que contén o coche (cunha probabilidade de 1/3), entón o presentador pode abrir calquera das outras dúas portas. Ademais, o xogador perde o coche se cambia cando se lle ofrece a oportunidade, posto que acertara na primeira escolla.

Mais, se o xogador escolle unha cabra na súa primeira opción (cunha probabilidade de 2/3), o presentador *só* ten a opción de abrir unha porta, e esta é a única porta restante que contén unha cabra. Nese caso, a porta restante *ten* que conter o coche, polo que mudando gaña o coche con seguridade, posto que escollera unha cabra na primeira opción.

En resumo, se mantén a súa elección orixinal gaña se escolleu orixinalmente o coche (con probabilidade de 1/3), mentres que se muda, gaña se escolleu orixinalmente unha das dúas cabras (con probabilidade de 2/3). Por tanto, o concursante debe cambiar a súa elección se quere maximizar a probabilidade de gañar o coche.

## Fórmula matemática 
A solución cunha ecuación matemática para un problema xenérico cun total de  portas totais,  portas escollidas ao principio e  portas que se abren nas que  non está o coche.{{Ecuación|P[A]=100\times \frac{n+l}{t}\%||center}}

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Bapeswara Rao, V. V. and Rao, M. Bhaskara (1992). "A three-door game show and some of its variants". *The Mathematical Scientist* 17, no. 2, pp. 89–94
* Bohl, Alan H.; Liberatore, Matthew J.; and Nydick, Robert L. (1995). "A Tale of Two Goats... and a Car, or The Importance of Assumptions in Problem Solutions". *Journal of Recreational Mathematics* 1995, pp.1–9.
* Joseph Bertrand (1889) *Calcul des probabilites*
* Gardner, Martin (1959). "Mathematical Games" column, *Scientific American*, October 1959, pp. 180–182. Reprinted in *The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions*.
* Gnedin, Sasha  "The Mondee Gills Game."  *The Mathematical Intelligencer*, 2011  
* Martin, Phillip (1989). "The Monty Hall Trap", *Bridge Today*, May-June 1989. Reprinted in Granovetter, Pamela and Matthew, ed. (1993), *For Experts Only*, Granovetter Books.

* Nahin, Paul J. *Duelling idiots and other probability puzzlers*. Princeton University Press, Princeton, NJ: 2000, pp. 192-193. (ISBN 0-691-00979-1).
* Selvin, Steve (1975a). "A problem in probability" (letter to the editor). *American Statistician* 29(1):67 (February 1975).
* Selvin, Steve (1975b). "On the Monty Hall problem" (letter to the editor). *American Statistician'' 29(3):134 (August 1975).
* Tierney, John (1991). "Behind Monty Hall's Doors: Puzzle, Debate and Answer?", *The New York Times* 21 July 1991, Sunday, Section 1; Part 1; Page 1; Column 5
* Tijms, Henk (2004). *Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life*. Cambridge University Press, New York, pp. 213-215.
* Ziemer, Rodger E. (1997). *Elements of Engineering Probability & Statistics*. Prentice Hall, pp. 31-32.