Converxencia uniforme

miniatura|300x300px| Unha secuencia de funcións (f_n) converxe uniformemente a f cando para pequenos arbitrarios \epsilon hai un índice N tal que a gráfica de f_n está no \epsilon-intervalo arredor de f sempre que n\ge N.
miniatura|300x300px| O límite dunha secuencia de funcións continuas non ten por que ser continuo: a secuencia de funcións f_n(x)=\sin^n(x) (marcado en verde e azul) converxe punto a punto sobre todo o dominio, pero a función límite é descontinua (marcada en vermello).

No campo matemático da análise, a **converxencia uniforme** é un modo máis forte de converxencia das funcións  que a converxencia punto a punto. Unha secuencia de funcións (f_n)  **converxe uniformemente** a unha función límite f nun conxunto E como dominio da función se dado calquera  número positivo arbitrariamente pequeno \epsilon, pode atoparse un número N tal que cada unha das funcións  f_N, f_{N+1},f_{N+2},\ldotsdifire de f  por non máis de \epsilon *en todo punto x*  *de*  E.  

## Definición 
Primeiro definimos a converxencia uniforme para funcións con valores reais, aínda que o concepto se xeneraliza facilmente a funcións que mapean espazos métricos e, de xeito máis xeral, espazos uniformes (ver máis abaixo).

Supoñamos que E é un conxunto e (f_n)_{n \in \N} é unha secuencia de funcións con valores reais. Dicimos que a secuencia (f_n)_{n \in \N} é **uniformemente converxente** en E con límite f: E \to \R se para todo \epsilon > 0, existe un número natural N tal que para todos os n \geq N e para todos os x \in E

: |f_n(x)-f(x)|

A notación para a converxencia uniforme de f_n a f non está moi estandarizado, por exemplo:

: f_n\rightrightarrows f, \quad \underset{n\to\infty}{\mathrm{unif\ lim}}f_n = f, \quad f_n \overset{\mathrm{unif.}}{\longrightarrow} f, \quad f=\mathrm{u}\!\!-\!\!\!\lim_{n\to\infty} f_n .

Con frecuencia, non se usa ningún símbolo especial e os autores simplemente escriben

: f_n\to f \quad \mathrm{uniformemente}

Dado que \R é un espazo métrico completo, o criterio de Cauchy pódese usar para dar unha formulación alternativa equivalente para a converxencia uniforme: (f_n)_{n\in\N} converxe uniformemente en E (no sentido anterior) se e só se para todo  \epsilon > 0 , existe un número natural N tal que

: x\in E, m,n\geq N \implies |f_m(x)-f_n(x)| .

A secuencia (f_n)_{n \in \N} dise que é **localmente uniformemente converxente** co límite f se E  é un espazo métrico e para todo x\in E, existe un r > 0 tal que (f_n) converxe uniformemente en B(x,r)\cap E. 

Está claro que a converxencia uniforme implica a converxencia uniforme local, que implica a converxencia punto a punto.

### Notas 
Intuitivamente, unha secuencia de funcións f_n converxe uniformemente a f se, dado un arbitrariamente pequeno \epsilon>0, podemos atopar un N\in\N para o que as funcións f_n con n>N caian todas dentro dun "tubo" de ancho 2\epsilon centrado arredor de f (é dicir, entre f(x)-\epsilon e f(x)+\epsilon ) para *todo o dominio* da función.

### Xeneralizacións 
Pódese estender directamente o concepto ás funcións *E* → *M*, onde (*M*, *d*) é un espazo métrico, substituíndo |f_n(x)-f(x)| con d(f_n(x),f(x)) .

A situación máis xeral é a converxencia uniforme das redes de funcións *E* → *X*, onde *X* é un espazo uniforme.

## Exemplos 
Para x \in [0,1), un exemplo básico de converxencia uniforme pódese ilustrar do seguinte xeito: a secuencia (1/2)^{x+n} converxe uniformemente, mentres x^n non. En concreto, asumimos \epsilon=1/4. Toda función (1/2)^{x+n} é menor ou igual a 1/4 cando n \geq 2, independentemente do valor de x. Por outra banda, x^n é só menor ou igual a 1/4 en valores cada vez máis elevados de n cando os valores de x son seleccionados cada vez máis preto de 1 (explicado máis en profundidade máis abaixo).

A secuencia de funcións (f_n)

: \begin{cases} f_n:[0,1]\to [0,1] \\ f_n(x)=x^n \end{cases}

é un exemplo clásico dunha secuencia de funcións que converxe nunha función f punto a punto pero non uniformemente. Para mostrar isto, primeiro observamos que o límite punto a punto de (f_n) cando n\to\infty é a función f, dada por

: f(x) = \lim_{n\to \infty} f_n(x) = \begin{cases} 0, & x \in [0,1); \\ 1, & x=1. \end{cases} 

*Converxencia punto a punto:* A converxencia é trivial para x=0 e x=1, xa que f_n(0)=f(0)=0 e f_n(1)=f(1)=1, para todos os n. Para x \in (0,1) e dado \epsilon>0, podemos asegurarnos de que |f_n(x)-f(x)| sempre que n\geq N escollendo N = \lceil\log\epsilon/\log x\rceil que é o mínimo expoñente enteiro de x que lle permite chegar ou baixar por debaixo de \epsilon (aquí os corchetes superiores indican o redondeo cara arriba, consulte función teito). Polo tanto, f_n\to f punto a punto para todos os x\in[0,1]. Teña en conta que a elección de N depende do valor de \epsilon e x. Alén diso, para unha escolla fixa de \epsilon, N (que non se pode definir  menor) medra sen límite a medida que x se achega a 1. Estas observacións exclúen a posibilidade dunha converxencia uniforme.

*Converxencia non uniforme:* a converxencia é non uniforme, porque podemos atopar un \epsilon>0 para o que por grande que escollamos N, haberá valores de x \in [0,1] e n \geq N tal que |f_n(x)-f(x)|\geq\epsilon. Para ver isto, primeiro observamos que independentemente do  tamaño de n, sempre hai un x_0 \in [0,1) tal que f_n(x_0)=1/2. Así, se escollemos \epsilon = 1/4, nunca podemos atopar un N tal que |f_n(x)-f(x)| para todos os x\in[0,1] e n\geq N. Explicitamente, sexa cal sexa o candidato que escollamos N, consideramos o valor de f_N en x_0 = (1/2)^{1/N}. Posto que

: \left|f_N(x_0) - f(x_0)\right| = \left| \left[ \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{N}} \right]^N - 0 \right| = \frac{1}{2} > \frac{1}{4} = \epsilon,

o candidato falla porque atopamos un exemplo dun x\in[0,1] que "escapou" ao noso intento de "confinar" cada  f_n\ (n\geq N) dentro dunha distancia \epsilon de f  para todos os  x\in[0,1]. De feito, é fácil ver que

: \lim_{n\to\infty}\|f_n-f\|_{\infty}=1,

contrariamente ao requisito de que \|f_n-f\|_{\infty}\to 0 se f_n \rightrightarrows f.

Neste exemplo pódese ver facilmente que a converxencia punto a punto non preserva a diferenciabilidade nin a continuidade. Mentres que cada función da secuencia é suave. Iso é como dicir que para todo *n*, f_n\in C^{\infty}([0,1]), o límite \lim_{n\to \infty}f_n non é continuo.

### Función exponencial 
Pódese demostrar que a expansión en serie da función exponencial é uniformemente converxente en calquera subconxunto limitado S \subset \C utilizando o test M de Weierstrass.

**Teorema (test M de Weierstrass).** *Sexa (f_n) unha secuencia de funcións f_n:E\to \C e sexa M_n   unha secuencia de números reais positivos tal que |f_n(x)|\le M_n para tódolos x\in E e n=1,2, 3, \ldots Se \sum_n M_n converxe, entón \sum_n f_n converxe absoluta e uniformemente en E.*

A función exponencial complexa pódese expresar como a serie:

: \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}.

Calquera subconxunto limitado é un subconxunto dalgún disco D_R de raio R, centrado na orixe no plano complexo. O test M de Weierstrass esixe que atopemos un límite superior M_n nos termos da serie, con M_n independentemente da posición no disco:

: \left| \frac{z^n}{n!} \right|\le M_n, \forall z\in D_R.

Para iso, decatámonos de que

: \left| \frac{z^n}{n!}\right| \le \frac{|z|^n}{n!} \le \frac{R^n}{n!}

e tomamos M_n=\tfrac{R^n}{n!}.

Se \sum_{n=0}^{\infty}M_n é converxente, entón o test M afirma que a serie orixinal é uniformemente converxente.

Agora podemos usar o test da razón para a sucesión de cantidades M_n:

: \lim_{n \to \infty}\frac{M_{n+1}}{M_n}=\lim_{n \to \infty}\frac{R^{n+1}}{R^n}\frac{n!}{(n+1)!}=\lim_{n \to \infty}\frac{R}{n+1}=0

o que significa que a serie dos M_n é converxente. Así, a serie orixinal converxe uniformemente para todos os z\in D_R, e posto que S\subset D_R, a serie tamén é uniformemente converxente en S.

## Propiedades 
* Toda sucesión uniformemente converxente é localmente uniformemente converxente.
* Toda secuencia localmente uniformemente converxente é compacta converxente.
* Para espazos localmente compactos coinciden a converxencia uniforme local e a converxencia compacta.
* Unha secuencia de funcións continuas en espazos métricos, sendo o espazo métrico da imaxe completo, é uniformemente converxente se e só se é unha sucesión uniforme de Cauchy.
* Se S é un intervalo compacto (ou en xeral un espazo topolóxico compacto), e  (f_n) é unha secuencia monótona crecente  (significando que  f_n(x) \leq f_{n+1}(x) para todas as *n* e *x*) de funcións *continuas* cun límite punto a punto  f que tamén é continua, entón a converxencia é necesariamente uniforme (teorema de Dini). Tamén se garante a converxencia uniforme se  S é un intervalo compacto e (f_n) é unha sucesión equicontinua que converxe punto a punto.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, Londres, 1954, reimpreso por Dover Publications, .
* G. H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, **19**, pp.&nbsp;148–156 (1918)
* Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Capítulos 5-10 (paperback); 
* Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw–Hill, 1976.
* Gerald Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1999, .
* William Wade,  An Introduction to Analysis, 3rd ed., Pearson, 2005

### Outros artigos 
* Converxencia (matemáticas)
* Límite dunha función
* Test de converxencia

### Ligazóns externas 
* 
*Exemplos gráficos de converxencia uniforme de series de Fourier da University of Colorado