Análise de escala

A **análise de escala** (ou **análise de orde de magnitude**) é unha poderosa ferramenta utilizada nas ciencias matemáticas para a simplificación de ecuacións con moitos termos. Primeiro determínase a magnitude aproximada dos termos individuais nas ecuacións. Daquela algúns termos insignificante poden ser ignorados.

## Exemplo: momento vertical na meteoroloxía a escala sinóptica 
Considere, por exemplo, a ecuación do momento das ecuacións de Navier-Stokes na dirección das coordenadas verticais da atmosfera
{{Bloque numerado|:|\frac{\partial w }{\partial t } + u {\frac{\partial w}{\partial x}} + v {\frac{\partial w}{\partial y}} + w {\frac{\partial w}{\partial z}} - {\frac{u^2 + v^2}{R}}
= - { { \frac{1}{\varrho}}{\frac{\partial p}{\partial z}}} - g +2{\Omega u \cos \varphi} + \nu \left({\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}}+{\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}}+{\frac{\partial^2 w}{\partial z^2}}\right), |}}
onde *R* é o raio terrestre, Ω é a frecuencia de rotación da Terra, *g* é a aceleración da gravidade, φ é a latitude, ρ é a densidade do aire e ν é a viscosidade cinemática do ar (podemos desprezar a turbulencia na atmosfera libre).

Na escala sinóptica podemos esperar velocidades horizontais de aproximadamente *U* = 101ms−1 e vertical sobre *W* = 10−2ms-1. A escala horizontal é *L* = 106m e a escala vertical é *H* = 104m. A escala de tempo típica é *T* = *L*/*U* = 105s. As diferenzas de presión na troposfera son Δ*P* = 10 4 Pa e densidade do ar ρ = 100kg⋅m−3 . Outras propiedades físicas son aproximadamente:

: *R* = 6,378 × 10 6 m;
: Ω = 7,292 × 10 −5 rad⋅s−1;
: ν = 1,46 × 10 −5 m2 ⋅s−1;
: *g* = 9,81 m⋅s−2.

Pódense facer estimacións dos distintos termos da ecuación () utilizando as súas escalas:

: 
\begin{align}
{\frac{\partial w }{\partial t }} &\sim \frac{W}{T} \\[1.2ex]
u {\frac{\partial w}{\partial x}} &\sim U\frac{W}{L} &\qquad
v {\frac{\partial w}{\partial y}} &\sim U\frac{W}{L} &\qquad
w {\frac{\partial w}{\partial z}} &\sim W\frac{W}{H} \\[1.2ex]
{\frac{u^2}{R}} &\sim \frac{U^2}{R} &\qquad
{\frac{v^2}{R}} &\sim \frac{U^2}{R} \\[1.2ex]
\frac{1}{\varrho}\frac{\partial p}{\partial z} &\sim \frac{1}{\varrho}\frac{\Delta P}{H} &\qquad
\Omega u \cos \varphi &\sim \Omega U \\[1.2ex]
\nu \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} &\sim \nu \frac{W}{L^2} &\qquad
\nu \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} &\sim \nu \frac{W}{L^2} &\qquad
\nu \frac{\partial^2 w}{\partial z^2} &\sim \nu \frac{W}{H^2}
\end{align}

Agora podemos introducir estas escalas e os seus valores na ecuación ():

{{Bloque numerado|:|\begin{align}
&{} {\frac{10^{-2}}{10^5}}+10{\frac{10^{-2}}{10^6}}
+10{\frac{10^{-2}}{10^6}}
+10^{-2}{\frac{10^{-2}}{10^4}}
-{\frac{10^2+10^2}{10^6}}
\\[12pt]
&{} = - {{\frac{1}{1}} {\frac{10^4}{10^4}} } - 10 + 2 \times 10^{-4} \times 10 + 10^{-5} \left({\frac{10^{-2}}{10^{12}}} + {\frac{10^{-2}}{10^{12}}} + {\frac{10^{-2}}{10^{8}}}  \right).
\end{align}|}}

Podemos ver que todos os termos, excepto o primeiro e o segundo no lado dereito, son insignificantes. Así, podemos simplificar a ecuación do momento vertical á ecuación de equilibrio hidrostático:

{{Bloque numerado|:| \frac{1}{\varrho} \frac{\partial p}{\partial z} = - g.|}}

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
*
*
*

### Outros artigos 
* Aproximación
* Notación O grande
* Análise dimensional
### Ligazóns externas 
*Scale analysis and Reynolds numbers