Peche alxébrico

En matemáticas, particularmente en álxebra abstracta, un **peche alxébrico** dun corpo *K* é unha extensión alxébrica de *K* que é alxebraicamente pechado. É un dos moitos pechamentos en matemáticas.

Usando o lema de Zorn    ou o lema máis débil de ultrafiltro,  pódese demostrar que todo corpo ten un peche alxébrico e que o peche alxébrico dun corpo *K* é único ata un isomorfismo que fixa todo  membro de *K*. Debido a esta singularidade esencial, a miúdo falamos *do* peche alxébrico de *K*, máis que *dun* peche alxébrico de *K*.

O peche alxébrico dun campo *K* pódese pensar como a maior extensión alxébrica de *K*.

O peche alxébrico dun corpo *K* ten a mesma cardinalidade que *K* se *K* é infinito, e é infinita numerábel se *K* é finito.

## Exemplos 
* O teorema fundamental da álxebra afirma que o peche alxébrico do corpo dos números reais é o corpo dos complexos.
* O peche alxébrico do corpo dos números racionais é o corpo dos números alxébricos.
* Dentro dos números complexos hai moitos corpo numerábeis alxébricamente pechados e que conteñen estritamente o corpo dos números alxébricos; estes son os peches alxébricos de extensións transcendentais dos números racionais, por exemplo, o peche alxébrico de **Q**(π).
* Para un corpo finito de orde de potencia prima *q*, o peche alxébrico é un corpo infinito numerábel que contén unha copia do corpo de orde *q**n* para cada número enteiro positivo *n* (e de feito é a unión destas copias).

## Existencia dun peche alxébrico e corpos  de descomposición 
Sexa S = \{ f_{\lambda} | \lambda \in \Lambda\}  o conxunto de todos os polinomios irredutíbeis mónicos en *K* [*x*]. Para cada  f_{\lambda} \in S, introducimos novas variábeis u_{\lambda,1},\ldots,u_{\lambda,d} onde d = {\rm degree}(f_{\lambda}). Sexa *R* o anel polinómico sobre *K* xerado por u_{\lambda,i} para todos os \lambda \in \Lambda e todo i \leq {\rm degree}(f_{\lambda}). Escribimos

: f_{\lambda} - \prod_{i=1}^d (x-u_{\lambda,i}) = \sum_{j=0}^{d-1} r_{\lambda,j} \cdot x^j \in R[x]

con r_{\lambda,j} \in R. 

Sexa *I* o ideal en *R* xerado polo r_{\lambda,j}. Dado que *I* é estritamente menor que *R*, o lema de Zorn implica que existe un *M* ideal máximal en *R* que contén *I*. 

O corpo *K*1 = *R* / *M* ten a propiedade de que todo polinomio f_{\lambda} con coeficientes en *K* descomponse como produto de x-(u_{\lambda,i} + M), e polo tanto ten todas as raíces en *K*1. 

Do mesmo xeito, pódese construír unha extensión *K*2 de *K*1, etc. A unión de todas estas extensións é o peche alxébrico de *K*, porque calquera polinomio con coeficientes neste novo corpo ten os seus coeficientes nalgún *K**n* con *n* suficientemente grande, e entón as súas raíces están en *K**n* +1 e, polo tanto, na propia unión.

Pódese mostrar nas mesmas liñas que para calquera subconxunto *S* de *K* [*x*], existe un corpo de descomposición de *S* sobre *K*.

## Peche separábel 
Un peche alxébrico *Kalg* de *K* contén unha extensión separábel única *Ksep* de *K* que contén todas as extensións separábeis (alxébricas) de *K* dentro de *Kalg*. 

Esta subextensión chámase **peche separábel** de *K*. Dado que unha extensión separábel dunha extensión separábel é de novo separébel, non hai extensións separábeis finitas de *Ksep*, de grao > 1. Dicindo isto doutro xeito, *K* está contida nun corpo de extensión alxébrica *separadamente pechado*. É único (ata isomorfismo). 

O peche separábel é o peche alxébrico completo se e só se *K* é un corpo perfecto. Por exemplo, se *K* é un corpo de característica *p* e se *X* é transcendental sobre *K*, K(X)(\sqrt[p]{X}) \supset K(X) é unha extensión de corpo alxébrico non separábel.

En xeral, o grupo de Galois absoluto de *K* é o grupo de Galois de *Ksep* sobre *K*.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 

### Outros artigos 
* Extensión alxébrica
* Pechamento
* Elemento alxébrico