Serie Flint Hills

{{unsolved|matemáticas|2=É a serie Flint Hills  \sum_{k=1}^\infty \dfrac{\csc^2{n}}{n^3} converxente ou diverxente?}}
A **serie Flint Hills** é unha serie numérica que é significativa debido a que se descoñece a súa natureza converxente ou diverxente. Outro trazo característico é que a súa diverxencia está relacionado coa medida da irracionalidade do número pi.

## Definición
A serie Flint Hills está definida polo sumatorio:
: S_1 = \sum_{k=1}^\infty \dfrac{\csc^2{n}}{n^3}
que ven sendo o mesmo que:
: S_1 = \sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{n^3 \sin^2{n}}.

Non se sabe se esta serie converxe, xa que csc^2{n} pode ter esporadicamente valores grandes. Os valores de  que fan grande esa función son precisamente os numeradores dos converxentes da fracción continua de \pi .

Alekseyev (2011) demostrou que a cuestión da converxencia da serie Flint Hill está relacionada coa medida da irracionalidade de \pi, e en particular, a converxencia implicaría \mu(\pi), que é moito máis forte que o mellor límite superior coñecido actualmente. 

### Proba da converxencia en función da medida de irracionalidade 
Imos mostrar a proba de Alekseyev (2011): 

Sexa \epsilon > 0 e k = \mu(\pi) + \frac{\epsilon}{v}. Entón, a desigualdade

\left|\pi - \frac{p}{q}\right|  só se cumpre para un número finito de pares de enteiros positivos coprimos p e q (ver medida da irracionalidade).

Para un enteiro positivo  n, sexa m = \lfloor n/\pi \rfloor, de modo que |n/\pi - m| \leq 1/2 e, polo tanto, |n - m\pi| \leq \pi/2. Entón,

|\sin(n)| = |\sin(n - m\pi)| \geq \frac{2}{\pi} \cdot |n - m\pi| = \frac{2}{\pi} \cdot m \cdot \left|\frac{n}{m} - \pi\right|.

Por outra parte, para n e m suficientemente grandes, temos \left|\frac{n}{m} - \pi\right| \geq \frac{1}{m^{k}}, o que implica que

|\sin(n)| \geq \frac{2}{\pi} \cdot m \cdot \left|\frac{n}{m} - \pi\right| \geq \frac{2}{\pi} \cdot \frac{1}{m^{k-1}} \geq c \cdot \frac{1}{n^{k-1}},

onde c>0 é unha constante que depende só de k mais  non de n (xa que n/m tende a \pi cando n medra). 

Polo tanto, para todo n suficientemente grande, temos

\frac{1}{n^{u} \cdot |\sin(n)|^{v}} \leq \frac{1}{c^{v} \cdot n^{u - (k-1)v}} = O\left(\frac{1}{n^{u - (\mu(\pi) - 1)v - \epsilon}}\right).

Daquela dedúcese que se \mu(\pi) , tomamos  \epsilon = \frac{v}{2} \cdot \left(1 + \frac{u}{v} - \mu(\pi)\right)  para obter

\frac{1}{n^{u} \cdot |\sin(n)|^{v}} = O\left(\frac{1}{n^{u - v(\mu(\pi) - 1) - \epsilon}}\right) = O\left(\frac{1}{n^{\epsilon}}\right).

E por tanto converxe a cero.

Por outra parte se \mu(\pi) > 1 + \frac{u}{v}, entón para k = 1 + \frac{u}{v}, a desigualdade inicial de irracionalidade cúmprese para infinitos pares de enteiros positivos coprimos p e q. É dicir, existe unha sucesión de racionais \frac{p_{i}}{q_{i}} tal que 
\left|p_{i} - \pi q_{i}\right| 

Entón,

|\sin(p_{i})| = |\sin(p_{i} - q_{i}\pi)| \leq |p_{i} - q_{i}\pi| 

onde C > 0 é unha constante que depende só de k. Polo tanto, para n = p_{i}, temos

\frac{1}{n^{u} \cdot |\sin(n)|^{v}} > C^{v} \cdot n^{v(k-1) - u} = C^{v}.

Por outra parte, temos

|\sin(1 + p_{i})| = |\sin(1 + p_{i} - q_{i}\pi)| \xrightarrow{i \to \infty} \sin(1),
 e polo tanto,

\frac{1}{(1 + p_{i})^{u} \cdot |\sin(1 + p_{i})|^{v}} \xrightarrow{i \to \infty} 0.

Concluímos que a sucesión \frac{1}{n^{u} \cdot |\sin(n)|^{v}} diverxe, xa que contén dúas subsucesións: unha limitada inferiormente por unha constante positiva e outra que tende a cero. 

Aplicando este resultado aos valores da serie Flint Hills, u=3; v=2 , temos que \mu(\pi) = 1 + \dfrac{u}{v} = 2.5 é o valor que determina a converxencia ou diverxencia da serie.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Pickover, C. A. "Flint Hills Series." Ch. 25 in The Mathematics of Oz: Mental Gymnastics from Beyond the Edge. New York: Cambridge University Press, pp. 57-59 and 265-268, 2002.
* Sloane, N. J. A. Sequence A046947 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

### Outros artigos 
* Lista de sumas de recíprocos.
### Ligazóns externas 
* Flint Hills Series (MathWorld).