Función inversa

dereita|miniatura| Unha función  e a súa inversa . Como   relaciona  con 3, a inversa   relaciona 3 con  .
En matemáticas, a **función inversa** dunha función   (ou simplemente **inversa** de  ) é unha función que desfai a operación de  . A inversa de  existe se e só se  é bixectiva, e se existe, denotase por f^{-1} .

Para unha función f\colon X\to Y, a súa inversa f^{-1}\colon Y\to X admite unha descrición explícita: envía cada elemento y\in Y ao elemento único x\in X tal que .

Como exemplo, considere a función con valores reais dunha variable real dada por . Para desfacer isto, temos a inversa de   , que sería a función f^{-1}\colon \R\to\R definida por f^{-1}(y) = \frac{y+7}{5} .

## Definicións 
dereita|miniatura|240x240px| Se  mapea  en , entón  mapea  de novo en .
Sexa  unha función cuxo dominio é o conxunto  e cuxo codominio é o conxunto  Entón  é *invertible* se existe unha función  de  a  tal que g(f(x))=x para todos os x\in X e f(g(y))=y para todos os y\in Y.

Se  é invertible, entón hai exactamente unha función  que satisfai esta propiedade.

A función  é invertible se e só se é bixectiva. Isto é porque a condición g(f(x))=x para todos os x\in X implica que  é Inxectiva e a condición f(g(y))=y para todos os y\in Y implica que  é sobrexectiva.

### Inversas e composición 
Lembre que se  é unha función invertible con dominio  e codominio , entón

:  f^{-1}\left(f(x)\right) = x, para cada x \in X e  f\left(f^{-1}(y)\right) = y para cada y \in Y .

Usando a composición de funcións, esta afirmación pódese reescribir coas seguintes ecuacións entre funcións:

:  f^{-1} \circ f = \operatorname{id}_X e f \circ f^{-1} = \operatorname{id}_Y, 

onde  é a función de identidade no conxunto ; é dicir, a función que deixa o seu argumento sen mudar. Na teoría de categorías, esta afirmación úsase como definición dun morfismo inverso.

### Notación 
Hai que ter coidado coa confusión na notación entre a función inversa e o inverso multiplicativo. Moitas veces o recíproco ou inverso multiplicativo usa a mesma nomenclatura e temos que prestar atención á notación.

Un exemplo típico é  que denota a función inversa do seno que sería o arco cuxo seno é  que denotamos tamén como . Isto sería diferente ao recíproco do seno (\sin{x})^{-1}=\dfrac{1}{\sin(x)}.

Para outras funcións debemos ter o mesmo coidado, como no exemplo da introdución temos 

\begin{aligned}
f(x)= 5x + 7, \text{ por exemplo } f(3)= 5\cdot 3 + 7 = 22. \\
f^{-1}(x)=\dfrac{x-7}{5}, \text{ aquí } f(22)= (22-7)/5 = 3. \\
(f(x))^{-1}=\dfrac{1}{5x+7}, \text{ o recíproco ou multiplicativo inverso } (f(3))^{-1}=\dfrac{1}{22}
\end{aligned}.  

## Exemplos 
### Funcións do cadrado e da raíz cadrada 
A función  dada por  non é inxectiva porque (-x)^2=x^2 para tódolos x\in\R. Polo tanto,    non é invertible se consideramos o dominio completo.

Se o dominio da función restrinxímolo aos reais non negativos, é dicir, tomamos a función f\colon [0,\infty)\to [0,\infty);\ x\mapsto x^2 coa mesma *regra* que antes, entón a función é bixectiva e, polo tanto, invertible.  A función inversa aquí denomínase *función raíz cadrada (positiva)* e denotase por x\mapsto\sqrt x .

### Funcións inversas estándar 
A seguinte táboa mostra varias funcións estándar e as súas inversas:

## Propiedades 
### Unicidade 
Se existe unha función inversa para unha función  dada, entón é única. 

### Simetría 
Hai unha simetría entre unha función e a súa inversa. En concreto, se  é unha función invertible con dominio  e codominio , entón a súa inversa  ten dominio  e imaxe , e a inversa de  é a función orixinal  .

Esta afirmación é consecuencia da implicación de que para que  sexa invertible debe ser bixectiva. 

: \left(f^{-1}\right)^{-1} = f.

dereita|miniatura|240x240px| O inverso de  é  .
A inversa dunha composición de funcións vén dada por 

: (g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}.

Observe que a orde de  e   foron invertidas; para desfacer  seguido de , primeiro debemos desfacer , e despois desfacer  .

Por exemplo, sexa  e sexa . Entón a composición  é a función que primeiro multiplica por tres e despois suma cinco,

: (g \circ f)(x) = 3x + 5.

Para inverter este proceso, primeiro debemos restar cinco e despois dividir entre tres,

: (g \circ f)^{-1}(x) = \tfrac13(x - 5).

Esta é a composición .

### Autoinversas 
Se  é un conxunto, entón a función de identidade en  é a súa propia inversa:

: {\operatorname{id}_X}^{-1} = \operatorname{id}_X.

Máis xeralmente, unha función  é igual á súa propia inversa, se e só se a composición  é igual a  . Tal función chámase involución.

### Gráfica da inversa 
dereita|miniatura| As gráficas de  e . A liña de puntos é .
Se  é invertible, entón a gráfica da función

: y = f^{-1}(x)

é a mesma que a gráfica da ecuación

: x = f(y) .

### Inversas e derivadas 
O teorema da función inversa afirma que unha función continua  é invertible no seu rango (imaxe) se e só se é estritamente crecente ou decrecente (sen máximos ou mínimos locais). Por exemplo, a función

: f(x) = x^3 + x

é invertible, xa que a derivada  é sempre positiva.

Se a función  é derivable nun intervalo  e  para cada , entón a inversa  é derivable en  . Se , a derivada da inversa vén dada polo teorema da función inversa,

: \left(f^{-1}\right)^\prime (y) = \frac{1}{f'\left(x \right)}. 

Usando a notación de Leibniz a fórmula anterior pódese escribir como

: \frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy / dx}. 

Este resultado despréndese da regra da cadea da diferenciación.

O teorema da función inversa pódese xeneralizar a funcións de varias variables. En concreto, unha función multivariable diferenciable  é invertible nunha veciñanza dun punto  sempre que a matriz xacobiana de  en  sexa invertible. Neste caso, o xacobiano de  en  é a matriz inversa do xacobiano de  en .

## Xeneralizacións 
### Inversas parciais
Aínda que unha función  non sexa un a un (inxectiva), pode ser posíbel definir unha **inversa parcial** de  mediante unha restricción do dominio. Por exemplo, a función

: f(x) = x^2

non é un a un, xa que . No entanto, a función pasa a ser un a un se restrinximos ao dominio , nese caso

: f^{-1}(y) = \sqrt{y}.

(Se en troques restrinximos ao dominio , entón o inverso é o negativo da raíz cadrada de ). Alternativamente, non hai que restrinxir o dominio se nos conformamos con que a inversa sexa unha función multivalor:

: f^{-1}(y) = \pm\sqrt{y}. 

[right|thumb|A inversa desta [función cúbica ten tres ramas.]]
Ás veces, este inverso multivalor chámase **inverso completo** de , e as porcións (como  e −) chámanse *ramas*. A rama máis importante dunha función multivalor (por exemplo, a raíz cadrada positiva) chámase *rama principal*, e o seu valor en  chámase *valor principal* de .

Para unha función continua na liña real, é necesaria unha rama entre cada par de extremos locais. Por exemplo, a inversa dunha función cúbica cun máximo local e un mínimo local ten tres ramas (ver a imaxe adxacente).

 é un inverso parcial da función seno.]]
Estas consideracións son particularmente importantes para definir as inversas das funcións trigonométricas. Por exemplo, a función seno non é un a un, xa que

: \sin(x + 2\pi) = \sin(x)

para cada  real (e máis xeralmente  para cada número enteiro ). Non obstante, o seno é un a un no intervalo
[, ], e a inversa parcial correspondente chámase arcoseno. Esta é considerada a rama principal do seno inverso, polo que o valor principal do seno inverso está sempre entre − e . A seguinte táboa describe a rama principal de cada función trigonométrica inversa:

### Inversos pola esquerda e pola dereita
A composición de funcións pola esquerda e pola dereita poden non coincidir. En xeral, as condicións
# "Existe  tal que " e
# "Existe  tal que "
implica propiedades diferentes de . Por exemplo, denotamos  o mapa de cadrados, de tal xeito que f(x) = x^2 para todos os  en , e denotamos  → **R** como o mapa da raíz cadrada, tal que g(x) =\sqrt{x} para todos os . Entón  para todos os  en [ 0, ∞); é dicir,  é unha inversa pola dereita de . No entanto,  non é unha inversa pola esquerda de , xa que, por exemplo, .

#### Inversos pola esquerda
Se , temos que unha **inversa pola esquerda** para  (ou *retracción* de  ) é unha función  de tal xeito que compoñer  con  desde a esquerda dá a función identidade :g \circ f = \operatorname{id}_X. Isto é, a función  cumpre a regra
: Se , entón .

A función  debe ser igual á inversa de  na imaxe de , mais pode tomar calquera valor para elementos de  que non sexan a imaxe.

Unha función  con dominio non baleiro é inxectiva se e só se ten unha inversa pola esquerda.

En matemáticas clásicas, toda función inxectiva  cun dominio non baleiro ten necesariamente unha inversa pola esquerda; porén, isto pode fallar nas matemáticas construtivas. 

#### Inversas pola dereita
thumb|Exemplo de **inversa pola dereita** con función sobrexectiva non inxectiva
Unha **inversa pola dereita** para  (ou *sección* de  ) é unha función  tal que

: f \circ h = \operatorname{id}_Y. 

É dicir, a función  cumpre a regra

: Se \displaystyle h(y) = x, entón \displaystyle f(x) = y.

Así,  pode ser calquera dos elementos de  que se asigna a  baixo .

Unha función  ten unha inversa pola dereita se e só se é sobrexectiva (aínda que construír tal inversa en xeral require o axioma da escolla).

: Se  é a inversa pola dereita de , entón  é sobrexectiva. Para todo y \in Y, hai x = h(y) tal que f(x) = f(h(y)) = y.
: Se  é sobrexectiva,  ten unha inversa pola dereita , que se pode construír do seguinte xeito: para todo y \in Y, hai polo menos un x \in X tal que f(x) = y (porque  é sobrexectiva), polo que escollemos un deles para ser o valor de .

#### Inversas bilaterais
Unha inversa que sexa á vez pola esquerda e pola dereita (unha **inversa bilateral**), se existe, debe ser única. De feito, se unha función ten unha inversa pola esquerda e outra pola dereita, ambas son a mesma inversa a dúas caras, polo que se pod chamar simplemente **inversa**.
: Se g é unha inversa pola esquerda e h unha inversa pola dereita de f, para todo y \in Y, g(y) = g(f(h(y)) = h(y).

Unha función ten unha inversabilateral se e só se é bixectiva.

### Preimaxes
Se  é calquera función (non necesariamente invertíbel), a **preimaxe** (ou a **imaxe inversa**)  dun elemento  defínese como o conxunto de todos os elementos de  que se asignan a :

: f^{-1}(\{y\}) = \left\{ x\in X : f(x) = y \right\} . 

A preimaxe de  pódese pensar como a imaxe de  baixo o inverso completo (multivalor) da función .

Do mesmo xeito, se  é calquera subconxunto de , a preimaxe de , denotada como f^{-1}(S) , é o conxunto de todos os elementos de  que se asignan a :

: f^{-1}(S) = \left\{ x\in X : f(x) \in S \right\}. 

Por exemplo, tome a función . Esta función non é invertíbel xa que non é bixectiva, mais pódense definir preimaxes para subconxuntos do codominio, por exemplo.

: f^{-1}(\left\{1,4,9,16\right\}) = \left\{-4,-3,-2,-1,1,2,3,4\right\}.

A preimaxe dun só elemento  (un conxunto unitario {{math|{*y*} }}), ás veces chámase *fibra* de . Cando  é o conxunto de números reais, é común referirse a {{math|*f* −1({*y*})}} como un *conxunto de nivel*.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
### Outros artigos 
* Extremos dunha función.
* Derivada.
### Ligazóns externas 
*