Comparación de topoloxías

En topoloxía, o conxunto de todas as posíbeis topoloxías dun conxunto dado forma un conxunto parcialmente ordenado. Esta relación de orde pódese usar para **a comparación das topoloxías**.

## Definición 
Unha topoloxía nun conxunto pódese definir como a colección de subconxuntos que se consideran "abertos". (Unha definición alternativa é a de colección de subconxuntos que se consideran "pechados". Estas dúas formas de definir a topoloxía son esencialmente equivalentes porque o complemento dun conxunto aberto é pechado e viceversa. A continuación, non importa a definición que se use).

O lector debería pensar nunha topoloxía como a familia de **conxuntos abertos** dun espazo topolóxico, xa que ese é o significado estándar da palabra "topoloxía".

Sexan *τ*1 e *τ*2 dúas topoloxías nun conxunto *X* tal que *τ*1 está contida en *τ*2:

: \tau_1 \subseteq \tau_2.

É dicir, todo elemento de *τ*1 é tamén un elemento de *τ*2. Entón dise que a topoloxía *τ*1 é unha **topoloxía** **máis grosa** (**máis débil** ou **menor**) que *τ*2, e que *τ*2 é unha **topoloxía** **máis fina** (**máis forte** ou **maior**) que *τ*1.

Se a maiores

: \tau_1 \neq \tau_2

dicimos que *τ*1 é **estritamente máis grosa** que *τ*2 e *τ*2 é **estritamente máis fina** que *τ*1. 

A relación binaria ⊆ define unha relación de ordenación parcial no conxunto de todas as posíbeis topoloxías en *X*.

## Exemplos 
* A topoloxía máis fina en *X* é a topoloxía discreta; esta topoloxía fai que todos os subconxuntos sexan abertos. A topoloxía máis grosa en *X* é a topoloxía trivial; esta topoloxía só admite o conxunto baleiro e todo o espazo como conxuntos abertos.

* Nos espazos de funcións e espazos de medidas hai moitas veces unha serie de posíbeis topoloxías. Vexa as topoloxías do conxunto de operadores nun espazo de Hilbert para ver algunhas relacións intricadas.

* Todas as posíbeis topoloxías polares nun par dual son máis finas que a topoloxía débil e máis grosas que a topoloxía forte.

* O espazo vectorial complexo **C***n* pode estar equipado coa súa topoloxía usual (euclidiana) ou coa súa topoloxía de Zariski. Nesta última, un subconxunto *V* de **C***n* está pechado se e só se consta de todas as solucións dalgún sistema de ecuacións polinómicas. Dado que calquera tal *V* tamén é un conxunto pechado no sentido ordinario, mais non *viceversa*, a topoloxía de Zariski é estritamente máis débil que a ordinaria.

*A topología máis fina sobre un conxunto dado é a topoloxía discreta e a topoloxía máis grosa é a trivial.
*Sobre os reais, a topoloxía usual é máis débil que a topoloxía de Sorgenfrey.
*Sobre \mathbb{R}^n, as topoloxías inducidas pola distancia euclidiana, distancia do máximo e distancia de Manhattan son ​​equivalentes.
*Sobre \mathbb{R}, a topoloxía cofinita é máis débil que a usual.

## Propiedades 
Sexan *τ*1 e *τ*2 dúas topoloxías nun conxunto *X*. Entón as seguintes afirmacións son equivalentes:

* *τ*1 ⊆ *τ*2
* o mapa de identidade idX : (*X*, *τ*2) → (*X*, *τ*1) é un mapa continuo.
* o mapa de identidade idX : (*X*, *τ*1) → (*X*, *τ*2) é un mapa fortemente/relativamente aberto .

(O  mapa de identidade idX é sobrexectivo e, polo tanto, está fortemente aberto se e só se é relativamente aberto.)

Dous corolarios inmediatos das afirmacións equivalentes anteriores son

* Un mapa continuo *f* : *X* → *Y* permanece continuo se a topoloxía en *Y* se fai *máis grosa* ou a topoloxía en *X* *máis fina*.
* Un mapa aberto (resp. pechado) *f* : *X* → *Y* permanece aberto (resp. pechado) se a topoloxía en *Y* se fai *máis fina* ou a topoloxía en *X* *máis grosa*.

Tamén se poden comparar topoloxías usando bases de veciñanzas. Sexan *τ*1 e *τ*2 dúas topoloxías nun conxunto *X* e sexa *B**i* (*x*) unha base local para a topoloxía *τ**i* en *x* ∈ *X* para *i* = 1,2. Entón *τ*1 ⊆ *τ*2 se e só se para todo *x* ∈ *X*, cada conxunto aberto *U* 1 en *B* 1 (*x*) contén algún conxunto aberto *U*2 en *B*2 (*x* ). Intuitivamente, isto ten sentido: unha topoloxía máis fina debería ter veciñanzas máis pequenas.

## Reticulas de topoloxías 
O conxunto de todas as topoloxías dun conxunto *X* xunto coa relación de ordenación parcial ⊆ forma unha retícula completa que tamén está pechada baixo interseccións arbitrarias. É dicir, calquera colección de topoloxías en *X* ten un *meet* (ou infimum) e un *join* (ou supremum). O meet dunha colección de topoloxías é a intersección desas topoloxías. Porén, a unión non é xeralmente a unión desas topoloxías (a unión de dúas topoloxías non ten por que ser unha topoloxía) senón a topoloxía xerada pola unión.

Toda retícula completa é tamén unha rede limitada, é dicir, ten un elemento maior e menor. No caso das topoloxías, o elemento máis grande é a topoloxía discreta e o menor é a topoloxía trivial .

A retícula de topoloxías nun conxunto X é un retícula complementada; é dicir, dada unha topoloxía \tau en X existe unha topoloxía \tau' en X tal que a intersección \tau\cap\tau' é a topoloxía trivial e a topoloxía xerada pola unión \tau\cup\tau' é a topoloxía discreta.

Se o conxunto X ten polo menos tres elementos, a retícula de topoloxías X non é modular, e, polo tanto, tampouco non é distributiva.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
### Outros artigos 
* Topoloxía inicial, a topoloxía máis grosa dun conxunto para facer que unha familia de mapeamentos a partir dese conxunto sexa continua.
* Topoloxía final, a topoloxía máis fina dun conxunto para facer que unha familia de mapeamentos neste conxunto sexa continua.