Media metálica

As **medias metálicas,** tamén coñecidas como **números metálicos** (ou **ratios** ou **constantes**) dos sucesivos números naturais son as fraccións continuas con coeficientes constantes:

n + \cfrac{1}{n+\cfrac{1} {n+\cfrac{1} {n+\cfrac{1} {n+\ddots\,}}}}
= [n;n,n,n,n,\dots] = \frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}.

A proporción áurea (1.618...) é a media metálica situada entre 1 e 2, mentres que a proporción de prata (2.414...) é a media metálica situada entre 2 e 3. O termo "proporción de bronce" (3.303...), e outros nomes de metais (como cobre ou níquel), empréganse ocasionalmente para denominar as medias metálicas posteriores.   Os valores das dez primeiras medias metálicas móstranse na táboa da dereita.   Observe que cada media metálica é unha raíz da ecuación cadrática simple: x^2-nx=1, onde n é calquera número natural positivo.

A proporción áurea está conectada co pentágono (primeira diagonal/lado), a proporción de prata está conectada co octógono (segunda diagonal/lado).  A proporción áurea está conectada aos números de Fibonacci, a proporción de prata está conectada aos números de Pell, e a proporción de bronce está conectada a .

Así para cada n temos as recorrencias lineais de segunda orde: a_i= n a_{i-1} + a_{i-2}, \text{ con } a_{0} = 0, a_{1}=1. 

Fibonacci (ouro): 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ...

Pell (prata): 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70 ...

 (bronce): 0, 1, 3, 10, 33, 109 ... 

## Propiedades 
Estas propiedades só son válidas para números enteiros. Para os non enteiros as propiedades son lixeiramente diferentes.

Chamamos S_n á media metálica relacionada coa constante .

Sendo \dfrac{p_i}{q_i} os converxentes da fracción continua   [n;n,n,n,n,\dots] temos que
:  {S_n} = \lim_{i \to \infty} \dfrac{p_i}{q_i}

A recorrencia asociada a cada S_n son os denominadores q_i (ou os numeradores p_i excluído o cero) dos converxentes da  fracción continua  [n;n,n,n,n,\dots].

Sendo a_i= n a_{i-1} + a_{i-2}, \text{ con } a_{0} = 0, a_{1}=1.  a recorrencia asociada a S_n temos que
:  {S_n} = \lim_{i \to \infty} \dfrac{a_i}{a_{i-1}}

Unha relación para a inversa da media metálica S_n
:  \frac{1}{S_n} = S_n - n 

por tanto os inversos das medias metálicas son a parte decimal do número correspondente.

Se descompomos S_n en para enteira  e parte fraccional , temos:

:  S_n = a + b ,  e resulta 

:  S_n^2 = a^2 + nb + 1. 

As medias metálicas de *n* en forma de integral,

:  S_n = \int_0^n {\left( \dfrac{x} {2\sqrt{x^2+4}} + \dfrac{n+2}{2n} \right)} \, dx. 

En relación a funcións hiperbólicas,

:  \frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2} = e^{\operatorname{arsinh(n/2)}} 

## Expresións trigonométricas 
## Construción xeométrica 
A media metálica S_n para calquera número enteiro dado n pódese construír xeométricamente do seguinte xeito. Defínese un triángulo rectángulo con lados A e B tendo lonxitudes  1 e n/2, respectivamente. A  media metálica S_n é simplemente a suma da lonxitude de B e a hipotenusa H. 

Para n = 1 ,
alt=Triangle with "embedded" golden ratio|miniatura|100x100px| N = 1
H = \sqrt{(n/2)^2 + 1^2} = \sqrt{5/4} = 1.1180339...

e logo

S_{1} = B + H = 1/2 + 1.1180339... = 1.6180339... =  φ.

Con n = 2 dá a proporción de prata.
alt=Triangle with "embedded" silver ratio|miniatura|100x100px| N = 2
H = \sqrt{(2/2)^2 + 1^2} = \sqrt{2} = 1.4142135...

S_2 = B + H = 2/2 + 1.4142135... = 2.4142135...

A proporción de bronce con n = 3,
alt=Triangle with "embedded" bronze ratio|miniatura|100x100px| N = 3
H = \sqrt{(3/2)^2 + 1^2} = \sqrt{13/4} = 1.8027756...

S_{3} = B + H = 3/2 + 1.8027756... = 3.3027756...

Os argumentos non enteiros ás veces producen triángulos cunha media que é un número enteiro. Un exemplo con n = 1.5, temos
alt=Triangle with "embedded" with the number 2|dereita|miniatura|100x100px| N = 1,5
H = \sqrt{(1.5/2)^2 + 1^2} = \sqrt{1.5625} = 1.25

S_{1.5} = B + H = 1.5/2 + 1.25 = 2

que é simplemente unha versión reducida do triángulo pitagórico 3–4–5.

## Denominación xeración 
Os números metálicos poden ser xerados por tres métodos diferentes:

### Ecuación cuadrática 
A solución xeral da ecuación de segundo grao vén dada por:x = \frac{n + \sqrt{n^2 + 4}}{2}

que para o rango inferior de n proporciona os valores que se mostran na Táboa 1.

### Fracción continua 
A ecuación xeral pode ser reordenada na forma:x = n + \frac{1}{x}Substituíndo a expresión da variable no denominador:x = n + \cfrac{1}{n + \cfrac{1}{x}}operación que pode continuarse até o infinito, resultando a expresión xeral da fracción continua.

### Límite dunha sucesión 
Denomínase sucesión de Fibonacci secundaria á sucesión infinita construída segundo o seguinte criterio:G(n+2) = G(n+1) + G(n)O límite no infinito da razón entre dous termos consecutivos:\frac{G(n)}{G(n - 1)}é, precisamente, o número áureo.

Xeneralizando o anterior resultado denominouse "*sucesión de Fibonacci secundaria xeneralizada*" á formada segundo a recurrencia:G(n+2) = n  G(n+1) + G(n)cuxos límites entre as razóns de dous termos consecutivos tenden aos correspondentes "números metálicos" con idéntico valor de n.

## Notas 
## Véxase tamén
### Bibliografía 
* Stakhov, Alekseĭ Petrovich (2009). *The Mathematics of Harmony: From Euclides to Contemporary Mathematics and Computer Science*, p.&nbsp;228, 231.World Scientific..

### Ligazóns externas 
* Cristina-Elena Hrețcanu and Mircea Crasmareanu (2013). "Metallic Structures on Riemannian Manifolds", *Revista de la Unión Matemática Argentina*.
* Rakočević, Miloje M. "Further Generalization of Golden Mean in Relation to Euler's 'Divine' Equation", *Arxiv.org*.