Mínimo común múltiplo

En matemáticas, o **mínimo común múltiplo** (abreviado **m.c.m.**) ou **mínimo múltiplo común** de dous ou máis números naturais é o menor número natural que é múltiplo común de todos eles (ou o ínfimo do conxunto dos múltiplos comúns). Este concepto estivo ligado historicamente cos números naturais, pero pódese empregar para enteiros negativos ou enteiros gaussianos.

## Cálculo do mínimo múltiplo común 
Partindo de dous ou máis números e por descomposición en factores primos, expresados como produto de factores primos, o seu mínimo múltiplo común será o resultado de multiplicar todos os factores comúns e non comúns elevados á maior potencia, por exemplo o mcm de 72 e 50 será:
dereita|200x200px

|
:
|}

Tomando os factores comúns e non comúns co seu maior expoñente, tense que:
: 
   \operatorname{mcm} (72, 50) =
   2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 =
   1800

Coñecendo o máximo divisor común de dous números, pódese calcular o mínimo múltiplo común deles, que será o produto de ambos os dous dividido entre o seu máximo común divisor.
: 
   \operatorname{mcm}(a, b) =
   \frac {a \cdot b}{\operatorname{mcd}(a, b)}

## Propiedades básicas 
# Se a é un enteiro, entón [*a*, *a*] = *a*
# Se *a* e *b* son enteiros, [*a*, *b*] = *b* se só se *b* é múltiplo de *a*.
# (*a*, *b*) = [*a*, *b*] se son iguais ou opostos.
# [*a*, *b*] = [*ab*] se e só se (*a*, *b*)= 1
# [*a*/*d*, *b*/*d*] = [*m*/*a*, *m*/*b*] onde *m* = mcm e *d* = mcd.
# [*ma*, *b*]= *m*[*a*, *b*] se ([*a*, *b*]/*a*, *m*) = 1
# [*a*, *b*, *c*]= *a*, *b*, *b*, *c*
# [*a*, *b*, *c*]|*ab*', onde *abc* ≠ 0
# [*a*, *b*, *c*] = *ab*' (*a*, *b*, *c*)/(*a*, *b*)(*b*, *c*)(*c*, *d*)

Outras propiedades son:
* Se se divide o produto de dous números polo seu máximo divisor común devandito cociente é o mínimo múltiplo común.
* O mínimo múltiplo común de dous números, onde o menor divide a maior, será o maior. É lóxico xa que un múltiplo de ambos inferior ao maior sería imposible xa que non sería múltiplo do maior.
* O mínimo múltiplo común de dous números primos é o total da súa multiplicación. Isto é lóxico xa que o seu máximo divisor común é 1.
* O mínimo múltiplo común de dous números compostos será igual ao cociente entre o seu produto e o m.c.d deles. É evidente segundo a propiedade 1.
* O máximo divisor común de varios números é un divisor do mínimo múltiplo común de tales números.
* Sexa *m*ℤ o conxunto dos múltiplos do enteiro *m* e *n*ℤ o do enteiro *n*. Entón o conxunto *n*ℤ∩*m*ℤ está formado polos múltiplos comúns de *m* e *n*; noutra notación é o conxunto [*m*, *n*]ℤ.

## Aplicacións do mínimo múltiplo común 
### Suma de fraccións 
O mcm pódese empregar para sumar ou restar fraccións de distinto denominador, tomando o mcm dos denominadores das fraccións, e converténdoas en fraccións equivalentes que poidan ser sumadas. Por exemplo:
: 
   \frac {1}{6} + \frac {4}{33}

Para poder efectuar a suma, primeiro débese buscar o mínimo múltiplo común dos denominadores (6 e 33)
dereita|200x200px

|
:
|}
daquela o mínimo común múltiplo de 6 e 33 é:
: 
   \operatorname{mcm} (6,33)=
   2 \cdot 3 \cdot 11 =
   66

que corresponde ao número 66; ambas as fraccións terán como denominador 66; agora só hai que achar a cada fracción a súa fracción equivalente, con denominador 66 e será posible a suma:
: 
   \cfrac {1}{6} + \frac {4}{33}
   \quad = \quad
   \cfrac {1}{6}  \cdot \cfrac {\cfrac{66}{6}}{\cfrac{66}{6}} \; + \;
   \cfrac {4}{33} \cdot \cfrac {\cfrac{66}{33}}{\cfrac{66}{33}}
   \quad = \quad
   \cfrac {1 \cdot \cfrac{66}{6}}{6 \cdot \cfrac{66}{6}} \; + \;
   \cfrac {4 \cdot \cfrac{66}{33}}{33 \cdot \cfrac{66}{33}}
   \quad = \quad
   \cfrac {1 \cdot \cfrac{66}{6}}{\cancel{6} \cdot \cfrac{66}{\cancel{6}}} \; + \;
   \cfrac {4 \cdot \cfrac{66}{33}}{\cancel{33} \cdot \cfrac{66}{\cancel{33}}}
   \quad =

operando as fraccións, pódese realizar a suma:
: 
   \cfrac {1 \cdot 11}{66} + \frac {4 \cdot 2}{66}
   \quad = \quad
   \cfrac {11}{66} + \frac {8}{66}
   \quad = \quad
   \cfrac {19}{66}

### Expresións alxébricas 
O m.c.m. para dúas expresións alxébricas, corresponde á expresión alxébricas de menor coeficiente numérico e de menor grao que é divisible exactamente por cada unha das expresións dadas. Esta teoría é de suma importancia para as fraccións e ecuacións.

Desta form o m.c.m. dos monomios  \ 4a e  \ 6a^2 é  \ 12a^2 igualmente para  \ 2x^2 , \ 6x^3  e  \ 9x^4 é  \ 18x^4.

## Algoritmo de cálculo 
Para máis de dous números, un algoritmo para calcular o mínimo múltiplo común é:
# Descompor cada un dos números nun produto de potencias de factores primos. Por exemplo, a descomposición factorial de 324 é 22·34.
# De entre todos as potencias de factores primos, escoller todos os existentes, e dentro dos comúns a todos os números, os de maior potencia.
# Multiplicar todos os factores escolleitos.

Por exemplo, calculando o mcm(324,16,7,5). A descomposición de 324 é 22·34.; a descomposición de 16 é: 24; a descomposición de 7 é 7 e a descomposición de 5 é 5.
:
 \begin{bmatrix}
 324 = & 2^{2} & 3^{4} &  &  \\
  16 = & 2^{4} &  &  \\
   5 = &  &  & 5 &  \\
   7 = &  &  &  & 7 
 \end{bmatrix}

Polo tanto, obtense o mcm 24·34·7·5 = 45360.

## Xeneralización do concepto de m.c.m. e m.c.d. 
O concepto de m.c.m. e de m.c.d. pódese estender ás fraccións ou números racionais positivos. Estritamente falando calquera número racional divide outro racional e non existe un racional maior ou menor que todos. No entanto, a extensión aquí descrita ten interese nalgúns problemas e está relacionada coa teoría de aneis, ideais, identidade de Bézout, teorema de Krull etc.

Sexan dúas fraccións \frac{a}{b} e \frac{c}{d} irreducibles

a = \prod_{i} p_i^{e_{i}(a)},

b = \prod_{i} p_i^{e_{i}(b)},

c = \prod_{i} p_i^{e_{i}(c)},

d = \prod_{i} p_i^{e_{i}(d)}

                                   
a descomposición en factores primos de a, b, c, d. Entón
:
\frac{\prod_{i} p_i^{\max(e_{i}(a),e_{i}(c))}}{\prod_{i} p_i^{\min(e_{i}(b),e_{i}(d))}}

é unha fracción que é múltiplo común de \frac{a}{b} e \frac{c}{d} e é o mínimo polas propiedades do m.c.m. e m.c.d. de dous enteiros non negativos xa que {\prod_{i} p_i^{\max(e_{i}(a),e_{i}(c))}} e o m.c.m. dos numeradores e {\prod_{i} p_i^{\min(e_{i}(b),e_{i}(d))}} é o m.c.d. dos denominadores de xeito que se pode concluír que
:
 \operatorname{mcm}\left ( \frac{a}{b},\frac{c}{d} \right ) = \frac{\operatorname{mcm}(a,c)}{\operatorname{mcd}(b,d)}.

Analogamente ou tendo en conta que o produto de dous números é igual ao do seu m.c.m. polo seu m.c.d. obtense:
:
\operatorname{mcd} \left ( \frac{a}{b},\frac{c}{d} \right ) = \frac{\operatorname{mcd}(a,c)}{\operatorname{mcm}(b,d)}.

As fórmulas anteriores son válidas para unha cantidade finita de fraccións. Ademais o cociente do mcm entre cada fracción é un enteiro e o conxunto dos cocientes forman un sistema de primos entre si. De igual maneira, o cociente de cada fracción entre o mcd é enteiro, os cocientes son primos entre si.

De maneira máis xeral, o concepto de m.c.m. ten sentido en calquera dominio enteiro.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
*
*
* 
* 
### Outros artigos 
* Máximo común divisor
* Número primo
* Mínimo común denominador
### Ligazóns externas 
* Calculador do MCM Online
* Calculador do MCM Online (2)
* Quiz do MCM
* Cálculo do MCM e do MCD