Lista de sumas de recíprocos

En matemáticas e especialmente na teoría de números, a **suma de recíprocos** xeralmente calcúlase para os recíprocos dalgúns ou todos os positivos enteiros, é dicir, é a suma de fraccións unitarias. Se se suman infinitamente moitos recíprocos, xeralmente, os termos danse nunha determinada secuencia e súmanse os primeiros *n* elementos, daquela inclúese un máis para dar a suma dos primeiros *n*+1 elementos da sucesión, etc.

Se só se inclúen un número finito de números, a cuestión clave adoita ser atopar unha expresión sinxela para o valor da suma, ou esixir que a suma sexa menor que un determinado valor, ou determinar se a suma é algunha vez un número enteiro.

Para unha serie infinita de recíprocos, as cuestións son dobres: en primeiro lugar, diverxe a secuencia de sumas?  é dicir, supera algún número dado? ou é unha serie converxente, o que significa que hai algún número ao que se achega arbitrariamente sen superar nunca?. 
(Un conxunto de enteiros positivos dise que é grande se a suma dos seus recíprocos diverxe, e pequeno se converxe.) En segundo lugar, se converxe, cal é unha expresión simple para o valor ao que converxe?, ese valor é racional ou irracional?, e ese valor é alxébrico ou transcendente?

## Número finito de termos
*A media harmónica  dunha cantidade finita de números é igual ao recíproco, ou inverso, da media aritmética dos recíprocos de ditos números.
*A ecuación óptica require a suma dos recíprocos de dous enteiros positivos *a* e *b* para igualar o recíproco dun terceiro número enteiro positivo *c*. Todas as solucións son dadas por a=mn + m^2, \ b=mn + n^2 \ c=mn. Esta ecuación aparece en varios contextos en xeometría elemental.
*A conxectura de Fermat-Catalan refírese a unha determinada ecuación diofantiana,  é que a^m + b^n = c^k ten só un número finito de solucións cando a, b, c son enteiros coprimos positivos e m, n, k son enteiros positivos que satisfán \frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}..
*O enésimo número harmónico, que é a suma dos recíprocos dos primeiros *n* enteiros positivos, nunca é un número enteiro excepto o caso *n* = 1. A maiores, József Kürschák demostrou en 1918 que a suma dos recíprocos dos números naturais consecutivos (xa sexa a partir de 1 ou non) nunca é un número enteiro.
*A suma dos recíprocos dos primeiros *n* primos non é un número enteiro para ningún *n*.
*Hai 14 combinacións distintas de catro enteiros de tal xeito que a suma dos seus recíprocos é 1, desas combinacións seis usan catro enteiros distintos e oito repiten polo menos un número enteiro.
*Unha fracción exipcia é a suma dun número finito de recíprocos de enteiros positivos. Segundo a proba do problema de Erdős-Graham, se o conxunto de enteiros maior que 1 está particionado nun número finito de subconxuntos, entón un dos subconxuntos pódese usar para formar unha representación en forma de fracción exipcia de 1.
*A conxectura de Erdős-Straus afirma que para todos os enteiros *n*&nbsp;≥&nbsp;2, o número racional 4/*n* pódese expresar como a suma de tres recíprocos de enteiros positivos.
*O cociente de Fermat con base 2, que é \frac{2^{p-1}-1}{p} para un primo impar *p*, cando se expresa en mod *p* e multiplicado por –2, é igual á suma dos recíprocos mod *p* dos números que se atopan na primeira metade do rango {1, *p* - 1}.
*En calquera triángulo, a suma dos recíprocos das alturas é igual ao recíproco do raio do círculo inscrito (independentemente de se son ou non enteiros).
*Nun triángulo rectángulo, a suma dos recíprocos dos cadrados das alturas dos catetos (equivalentemente, dos cadrados dos propios catetos) é igual ao recíproco do cadrado da altura da hipotenusa (o teorema de Pitágoras inverso). Isto cúmprese se os números son enteiros ou non; hai unha fórmula (ver ternas pitagóricas) que xera todos os casos enteiros.
*Un triángulo non necesariamente no plano euclidiano pódese especificar como con ángulos \frac{\pi}{p}, \frac{\pi}{q}, e \frac{\pi}{r}. Daquela o triángulo está no espazo euclidiano se a suma dos recíprocos de *p, q* e *r* é igual a 1, é un espazo esférico se esa suma é maior que 1, é un espazo hiperbólico se a suma é inferior a 1.
*Un número divisor harmónico é un número enteiro positivo cuxos divisores teñen unha media harmónica que é un número enteiro. Os cinco primeiros deles son 1, 6, 28, 140 e 270. Non se sabe se algún número divisor harmónico (ademais de 1) é impar, pero non os hai impares inferiores a 1024.
* A suma dos recíprocos dos divisores dun número perfecto é 2.
*Cando se distribúen oito puntos na superficie dunha esfera co obxectivo de maximizar a distancia entre eles nalgún sentido, a forma resultante corresponde a un antiprisma cadrado.  Os métodos específicos para distribuír os puntos inclúen, por exemplo, minimizar a suma de todos os recíprocos de cadrados de distancias entre puntos.

## Infinitamente moitos termos
### Series converxentes 
* Unha secuencia sen suma de números enteiros positivos crecentes é aquela para a que ningún número é a suma de ningún subconxunto dos anteriores. A suma dos recíprocos dos números en calquera secuencia sen suma é menor que .

* A suma dos recíprocos do número heptagonal converxe a un valor coñecido que non só é irracional senón tamén transcendente, e para o que existe unha fórmula complicada.

* Sábese que a suma dos recíprocos dos primos xemelgos, dos que non está demostrado que haxa infinitos, aínda que se supón que os hai, é finita e chámase constante de Brun, aproximadamente . 

* Sábese que a suma dos recíprocos dos Primos de Proth (o número deles pode ser finitamente moitos ou infinitos) é finita, 

* Os primos cádruples son pares de primos xemelgos con só un número impar entre eles. A suma dos recíprocos dos números primos cádruples é 

* A suma dos recíprocos das potencias perfectas (incluíndo duplicados) 

* A suma dos recíprocos das potencias perfectas (excluíndo os duplicados) é aproximadamente .

* A suma dos recíprocos das potencias \ n^n\  é aproximadamente igual a . A suma é exactamente igual á integral definida:  \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1 \ x}{n^n} = \int_0^1 \dfrac{\mathrm{d}}{x^x}.
: Esta identidade foi descuberta por Johann Bernoulli en 1697, e agora coñécese como unha das dúas identidades do soño do estudante de segundo ano (Sophomore's dream).

* O teorema de Goldbach-Euler afirma que a suma dos recíprocos dos números que son 1 menos que unha potencia perfecta (excluíndo os duplicados) é 1.
*A suma dos recíprocos de todos os  números triangulares, sacado o cero, 

* A constante recíproca de Fibonacci é a suma dos recíprocos da secuencia de Fibonacci, que se sabe que é finita e irracional e aproximadamente igual a 3,3599. Para outras sumas finitas de subconxuntos dos recíprocos dos números de Fibonacci, consulte Número de Fibonacci.

* Un factorial exponencial é unha operación definida recursivamente como \ a_0 = 1, ~ a_n = n^{a_{n - 1}}. Por exemplo, \ a_4 = 4^{3^{2^{1}}}\  onde os expoñentes son avaliados de arriba abaixo. A suma dos recíprocos dos factoriais exponenciais a partir de 1 é aproximadamente 1.6111 e é transcendental.

* Un "número potente" é un número enteiro positivo para o cal cada primo que aparece na súa factorización aparece polo menos dúas veces. A suma dos recíprocos dos números potentes é próxima a 1,9436.

* A suma dos recíprocos do factorial dá como suma o número e (constante matemática).

* A suma dos recíprocos dos números cadrados (o problema de Basilea), (Basel problem), é o número transcendente {{nobr| \frac{\pi^2}{6} \text{ ou } \zeta(2) }} sendo  \zeta  a función zeta de Riemann.

* A suma dos recíprocos dos cubos de enteiros positivos chámase constante de Apéry \zeta(3)  e é igual a aproximadamente 1,2021. Este número é irracional, pero non se sabe se é ou non transcendente.

* Os recíprocos dos números enteiros non negativos potencias de 2 suman   (tendo en conta tamén 2^0=1).  Este é un caso particular da suma dos recíprocos de calquera serie xeométrica onde o primeiro termo e a razón común son enteiros positivos. 

* A serie de Kempner é a suma dos recíprocos de todos os enteiros positivos que non conteñen o díxito "9" en  A diferenza da serie harmónica, que non exclúe eses números, esta serie converxe, concretamente a aproximadamente .

* Un  número palindrómico é aquel que permanece igual cando se inverten os seus díxitos. A suma dos recíprocos dos números palindrómicos converxe a aproximadamente .

* Un número pentatópico é un número da quinta cela de calquera fila do triángulo de Pascal que comeza coa fila de cinco termos . A suma dos recíprocos dos números pentatópicos é .

* A secuencia de Sylvester é unha secuencia de enteiros na que cada membro da secuencia é o produto dos membros anteriores máis un. Os primeiros termos da secuencia son . A suma dos recíprocos dos números na secuencia de Sylvester 

* A función zeta de Riemann  \zeta(s)  é unha función dunha variábel complexa  s que está definida, para valores complexos con parte real maior que 1, pola suma da serie infinita \ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\ n^s\ }. Esta serie converxe se e só se a parte real de  s é maior que 1.

* A suma dos recíprocos de todos os números de Fermat (números da forma \ 2^{(2^n)} + 1\ )  é irracional.

* A suma dos recíprocos do número oblongo (produtos de dous enteiros consecutivos ou duplo dos números triangulares) (excluíndo &nbsp;) é .

### Series diverxentes
* A suma parcial de  termos da harmónica, que é a suma dos recíprocos dos primeiros enteiros positivos , diverxe a medida que  vai ao infinito, aínda que moi lentamente: A suma dos 10^{43} primeiros termos, é menor que . A diferenza entre a suma acumulada e o logaritmo natural de  converxe á constante de Euler-Mascheroni, comunmente denotada como \ \gamma, que é aproximadamente .

* A suma dos recíprocos dos primos diverxe.

* A forma forte do teorema de Dirichlet sobre progresións aritméticas implica que a suma dos recíprocos dos primos da forma  é diverxente.
*Do mesmo xeito, a suma dos recíprocos dos primos da forma  é diverxente. Polo teorema de Fermat sobre a suma de dous cadrados, dedúcese que a suma de recíprocos de números da forma \ a^2 + b^2, onde  e  son enteiros non negativos, non ambos os dous iguais a , diverxe, con ou sen repetición. 

* Se  é calquera serie ascendente de números enteiros positivos coa propiedade de que existe  tal que  para todos os , daquela a suma dos recíprocos  \frac{1}{a(k)}  diverxe.

* A conxectura de Erdős sobre progresións aritméticas afirma que se a suma dos recíprocos dos membros dun conxunto  de enteiros positivos diverxe, entón  contén progresións aritméticas de calquera lonxitude, por grande que sexa. Ata o 2020 a conxectura segue sen estar probada.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
*Conxunto grande
*Suma de cadrados
*Suma de potencias