Paradoxo do litoral

miniatura|Animación que amosa como a lonxitude da costa aumenta conforme as unidades de medida decrecen.|337x337px
O **paradoxo do litoral,** ou paradoxo da liña de costa, é a observación antiintuitiva de que a liña de costa dunha masa terrestre non ten unha lonxitude ben definida. Isto resulta das propiedades tipo fractal das liñas de costa, é dicir, o feito de que unha liña de costa normalmente ten unha dimensión fractal (o que en realidade fai que a noción de lonxitude sexa inaplicable). A primeira observación rexistrada deste fenómeno foi de Lewis Fry Richardson e foi ampliada por Benoit Mandelbrot.

A extensión medida do litoral depende do método empregado para medilo e do grao de xeneralización cartográfica. Como unha masa terrestre ten características diversas a todas as escalas (dende centos de quilómetros ata pequenas fraccións de milímetro ou menos) non existe unha medida obvia do tamaño característico do menor obxecto que debería ser medido, e polo tanto non é posible establecer un perímetro ben definido da masa de terra. Tan só se poden facer algunas aproximacións mediante supostos específicos sobre a medida característica mínima a considerar (a Dimensión Minkowski-Bouligand, por exemplo).

## Fundamentos do paradoxo 
[miniatura|[Benoît Mandelbrot recorreu ao paradoxo do litoral para expoñer os fractais.]]
O paradoxo do litoral é unha incerteza matemática inherente á medición de límites que son irregulares. É posible medir con precisión a lonxitude dunha barra metálica recta usando un dispositivo de medición para determinar que a lonxitude é menor que unha determinada cantidade e maior que outra, é dicir, medila dentro dunha determinada referencia. Canto máis preciso sexa o dispositivo de medición, máis próximos estarán os resultados da lonxitude real do que se mide. Mais, cando se mide a extensión do litoral ou a liña de costa, o problema é que a medida que aumenta a precisión da medición, aumenta a lonxitude da mesma, pois non hai un valor máximo para a lonxitude da costa. No espazo tridimensional, o paradoxo do litoral estendese facilmente ao concepto de superficies fractais polo cal a área dunha superficie varía dependendo da resolución da medición.

A primeira abordaxe á cuestión foi a do matemático e pacifista británico Lewis Fry Richardson, quen, logo da segunda guerra mundial, estableceu unha relación entre a posibilidade de que dous países entren en guerra e a extensión da fronteira. Reunindo datos, reparou nos considerables desfases de lonxitude que os estados daban sobre as súas fronteiras internacionais: deste xeito, a fronteira de España e Portugal oscilaba entre os 987 e os 1 214 km, e a de Países Baixos e Bélxica entre os  380 e os 449 km. Esta problemática foi de novo abordada polo matemático Benoît Mandelbrot no artigo "Canto mide a costa de Gran Bretaña?" publicado pola revista *Science* en 1967. Nel consideraba que a medida que se gañaba en detalle na medición, aumentaba a extensión do litoral británico.

## Aspectos matemáticos 
O concepto básico de lonxitude deriva da distancia euclidiana. Na xeometría euclidiana, unha liña recta representa a distancia máis curta entre dous puntos. Polo tanto, esta liña ten só unha lonxitude. Pero, na superficie dunha esfera, esta substitúese pola lonxitude xeodésica (tamén chamada lonxitude do círculo máximo), que se mide ao longo da curva superficial que existe no plano que contén os dous extremos e o centro da esfera. A lonxitude do arco das curvas básicas é máis complicada, mais tamén  pode ser calculada. Medindo con regras, pódese aproximar a lonxitude dunha curva mediante a suma dos segmentos que unen os puntos:
centro|senmarco|336x336px
Empregar uns poucos segmentos para aproximar a lonxitude dunha curva producirá unha estimación á baixa: menor que o valor real. Cando se empregan segmentos máis máis curtos (e, polo tanto, máis numerosos), a suma achegarase máis a lonxitude real da curva. Un valor preciso desta lonxitude pódese lograr usando o cálculo, a rama das matemáticas que permite determinar cantidades infinitamente pequenas. A seguinte animación ilustra como se lle pode asignar unha lonxitude precisa a unha curva suave:
centro|senmarco|400x400px 

Non obstante, non todas as curvas poden medirse deste xeito. Un fractal é, por definición, unha curva cuxa complexidade cambia coa escala de medida. Aínda que as aproximacións dunha curva suave tenden a un único valor a medida que aumenta a precisión da medición, o valor medido para un fractal non converxe, podendo cambiar de forma brusca. 

Dado que a lonxitude dunha curva fractal sempre diverxe ata o infinito, se se mide unha liña de costa con resolución infinita ou case infinita, a lonxitude dos pregamentos infinitamente curtos da liña de costa aumentaría ata o infinito.  Non obstante, esta figura baséase na suposición de que o espazo pode subdividirse en seccións infinitesimais. O valor de verdade desta suposición -que subxace na xeometría euclidiana e serve como modelo útil na medición cotiá- é unha cuestión de especulación filosófica e pode reflectir ou non as realidades cambiantes do "espazo" e a "distancia" nun nivel cuasi atómico (aproximadamente a escala dun nanómetro). Por exemplo, a lonxitude de Planck, moitas ordes de magnitude máis pequena que un átomo, proponse como a unidade medible máis pequena posible no universo.

As liñas da costa están menos definidas na súa construción que os fractais idealizados, como o conxunto de Mandelbrot, porque están formados por  eventos naturais que crean patróns de xeito estatisticamente aleatorio, mentres que os fractais idealizados están formados por iteracións repetidas de secuencias simples e estereotipadas. 

## Notas 
## Bibliografía 
* Madelbrot, Benoît B. (1967) "How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractional dimension" Science **156** (3775): 636-638
* Post, David G. e Michael Eisen. (2000) "How Long is the Coastline of Law? Thoughts on the Fractal Nature of Legal Systems" *Journal of Legal Studies* **XXIX** (1): 545-587

## Ligazóns externas 
* " Coastlines " en *Fractal Geometry* (ed. Michael Frame, Benoit Mandelbrot e Nial Neger;  para Matemáticas 190a na Universidade de Yale)
* O Atlas de Canadá - Litoral e litoral
* Blog de NOAA GeoZone sobre Digital Coast 
* Que é o paradoxo da costa? – Vídeo de YouTube de Veritasium
* The Coastline Paradox Explained : vídeo de YouTube de RealLifeLore