Dualidade de Pontryagin

En matemáticas, particularmente na análise harmónica e na teoría de grupos topolóxicos, **a dualidade de Pontryagin** explica as principais propiedades da transformada de Fourier . Sitúa nun marco máis xeral certas observacións sobre funcións definidas en \mathbb R ou nun grupo abeliano finito :

* As funcións periódicas con valores complexos suficientemente regulares teñen unha serie de Fourier e pódense deducir a partir desta serie ;
* As funcións con valores complexos suficientemente regulares teñen unha transformada de Fourier e, do mesmo xeito que as funcións periódicas, pódense deducir a partir desta transformada. ;
* As funcións con valores complexos nun grupo abeliano finito teñen unha transformada discreta de Fourier definida no grupo dual, que non é canonicamente isomorfa ao grupo orixinal. Ademais, calquera función nun grupo abeliano finito pódese deducir a partir da súa transformada discreta de Fourier (agás homomorfismo).

A teoría, introducida por Lev Pontryagin e combinada coa medida de Haar introducida por John von Neumann, André Weil e outros, depende da teoría do grupo dual dun grupo abeliano localmente compacto .

## Medida de Haar 
Un grupo topolóxico G é localmente compacto se e só se o elemento neutro e do grupo admite unha veciñanza compacta, o que  é equivalente a e ter unha base de veciñanzas compactas. Un dos feitos máis chamativos sobre os grupos localmente compactos é que poden estar equipados cunha medida natural, única agás un factor multiplicativo: a medida de Haar, que permite medir o “tamaño“ dun subconxunto suficientemente regular de G. Aquí,  “suficientemente regular“ significa ser un Boreliano, é dicir, un elemento da tribo xerada polos conxuntos compactos. Máis precisamente, unha **medida de Haar pola dereita** nun grupo localmente compacto G é unha medida \mu definida nos borelianos de G, que é invariante por traslacións á dereita, no sentido de que \mu(Ax)=\mu(A) se A é un boreliano e x un elemento de G .

A medida de Haar permítenos definir a noción de integral para unha función medible a valores complexos definida no grupo. En particular, podemos considerar os espazos *Lp*asociados coa medida de Haar. Máis precisamente :

: \mathrm L^p_\mu(G) = \left\{f: G \rightarrow\Complex~\Bigg|~\int_G |f(x)|^p~\mathrm d \mu(x) 

Varios exemplos de grupos abelianos localmente compactos están dados por :

* \mathbb{R}^n coa suma como operación de grupo.
* Os reais estritamente positivos provistos da multiplicación. Este grupo é claramente isomorfo a (\mathbb{R}, +), sendo este isomorfismo a función exponencial.
* Calquera grupo abeliano finito, provisto da topoloxía discreta. Polo teorema sobre a estrutura destes grupos, son produtos de grupos cíclicos.
* O grupo dos enteiros (\mathbb{Z}, +), tamén provisto da topoloxía discreta.
* O circunferencia unidade \mathbb{U}  de  \mathbb{C} (é dicir, o grupo dos complexos de módulo 1).  \mathbb{U}  é isomorfo ao grupo topolóxico cociente  \mathbb{R} / \mathbb{Z} .
* O corpo  \mathbb{Q}_p   dos números *p*-ádicos provisto da suma, coa topoloxía *p*-ádica habitual.

## O grupo dual 
Se *G* é un grupo abeliano localmente compacto,
un *carácter de G* é un
morfismo de grupos
continuo de G en
\mathbb{U}.
Pódese demostrar que o conxunto dos caracteres de *G* é el mesmo
un grupo abeliano localmente compacto, chamado *grupo dual* de *G*,
e denotado por *Ĝ*. O produto en *Ĝ* é o produto de dous caracteres
considerados como funcións con valores complexos, e o inverso dun
carácter é o seu conxugado complexo.
A topoloxía en *Ĝ* é a da
converxencia uniforme en todo
compacto. Non é metrizable
en xeral. Porén, se o grupo *G* é ademais
separable, entón a topoloxía definida en *Ĝ*
é metrizable.

**Teorema.** \widehat{\hat G} é canonicamente isomorfo a
G, é dicir, G é canonicamente isomorfo ao
dual do seu dual.

Canónico significa que o isomorfismo está
dado por unha aplicación «natural» de G en
\widehat{\hat G}. Este termo achega un matiz importante:
por exemplo, calquera grupo abeliano finito é isomorfo ao seu dual,
pero o isomorfismo non é canónico. O isomorfismo canónico defínese así:

: x \mapsto (\chi \mapsto \chi(x) ) 

É dicir, cada elemento x de G identifícase
coa súa avaliación polos caracteres do dual.

## Exemplos 
Un carácter do
grupo cíclico infinito dos
enteiros (\mathbb{Z},+)
está determinado polo seu valor en 1, xerador de \mathbb{Z}.
En efecto, para todo carácter \chi de \mathbb{Z} tense
\chi(n)=\chi(1)^n pois \chi é un
morfismo de grupos, e esta fórmula mostra que
se define de maneira única un carácter polo seu valor en 1.
Así, o dual de \mathbb{Z}  é alxebraicamente isomorfo ao
circunferencia unidade \mathbb{U}.
A topoloxía de converxencia
sobre os compactos é daquela a topoloxía da
converxencia simple.
Pódese mostrar facilmente que é a
topoloxía inducida polo plano complexo.

O grupo dual de \mathbb{Z} é, pois, canonicamente isomorfo a
\mathbb{U}.

Reciprocamente, un carácter de \mathbb{U} é da forma
z \mapsto z^n, con *n* enteiro. Como \mathbb{U} é compacto,
a topoloxía no grupo dual é a da converxencia
uniforme, que neste caso é a topoloxía discreta.
Así, o dual de \mathbb{U} é canonicamente isomorfo a \mathbb{Z}.

O grupo dos reais é isomorfo ao seu dual, sendo os
caracteres de \mathbb{R} da forma
x\mapsto e^{ix\theta}, con *\theta* real.
Con estas dualidades, a nova versión da transformada
de Fourier presentada a continuación coincide coa transformada de
Fourier clásica en \mathbb{R}.

## Transformada de Fourier 
O grupo dual dun grupo abeliano localmente compacto
serve como espazo base dunha versión máis abstracta da
transformada de Fourier.
Se f pertence a L^{1}(G),
entón a súa transformada de Fourier é a función definida en *Ĝ* por:
: \widehat{f}(\chi) = \int_G f(x) \overline{\chi(x)}~\mathrm{d}\mu(x) 
onde a integral se toma respecto da medida de Haar
\mu sobre *G*. Non é demasiado difícil demostrar que
a transformada de Fourier dunha función L^{1} sobre *G*
é unha función continua acoutada sobre *Ĝ*. Do mesmo xeito, a
*transformada de Fourier inversa* dunha función L^{1}
sobre *Ĝ* vén dada por:

: \check{g}(x) = \int_{\widehat{G}} g(\chi) \chi(x)~\mathrm{d}\nu(\chi) 

onde a integral é relativa á medida de Haar \nu
sobre o grupo dual *Ĝ*.