Factorial

Nas matemáticas, a **factorial** dun número natural *n* é o produto de todos os enteiros positivos menores ou iguais a *n*. Iso é escrito como *n!* e lido como "factorial de *n* ". A notación *n!* foi introducida por Christian Kramp en 1808.

## Definición 
A función factorial é definida como o produton!  = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-2) \cdot (n-1) \cdot n,que se pode escribir comon!=\prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{para todo }n\ge0.Por exemplo,
:5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120

A secuencia das factoriais  para  comeza con:

:1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800,...

### Factorial de cero 
A factorial de 0, 0!, é 1. Hai diversas razóns que xustifican esta definición:

* Para , a definición de  como produto precisa do produto de ningún número, é a convención estendida di que o produto de ningún factor é igual a identidade na multiplicación, 1.
* Estende a relación de recorrencia  a .

### Factorial de non enteiros 
A definición de factorial tamén se pode definir para valores non enteiros a través da función gamma, detallado máis abaixo:

: z!=\Gamma(z+1)=\int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt

## Aplicacións 
Aínda que a función factorial ten os seus inicios na combinatoria, as súas aplicacións esténdense por moitas áreas da matemática.

* Existen *n*! camiños diferentes de arranxar *n* obxectos distintos nunha secuencia, chamados permutacións. 
* A miúdo aparece en contexto de contar cousas onde a orde non é importante. Por exemplo, no caso de contar o número de escoller *k* elementos dun conxunto de *n* é dado polo coeficiente binomial
:{n\choose k}={n!\over k!(n-k)!}.
* Os factoriais tamén aparecen en cálculo. Por exemplo, na serie de Taylor, que expresa a función *f*(*x*) como unha serie de serie de potencias en *x*. A razón principal é que o *n* derivativo de *x**n* é *n*!.
* Os factoriais tamén son usados extensamente na teoría da probabilidade.
* Os factoriais tamén son frecuentemente utilizados como exemplos simplificados de recursividade, en ciencias da computación, porque satisfán as seguintes relacións recursivas: (se *n* ≥ 1):
:*n*! = *n*&nbsp;(*n* − 1)!

## Como calcular factoriais 
O valor numérico de *n*! pode ser calculado por multiplicación repetida se *n* non for grande de máis. É iso o que as calculadoras fan. O maior factorial que a maioría das calculadoras aguantan é 69!, porque 70!&nbsp;>&nbsp;10100.

Cando *n* é grande de máis , *n*! pode ser calculado cunha boa precisión usando a fórmula de Stirling:
:n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.

Esa é unha versión simplificada que pode ser probada usando matemática básica de ensino secundario; a ferramenta esencial é a indución matemática. Ela é presentada aquí na forma dun exercicio:
:\left({n \over 3}\right)^n 

## Logaritmo de factorial 
O logaritmo dun factorial pode ser usado para calcular o número de díxitos que a base dun factorial  irá ocupar. log *n*! pode ser facilmente calculado da seguinte maneira:
:\sum_{k=1}^n{\log k}

Nótese que esa función, demostrada graficamente, é case linear para valores baixos; mais o factor {\log n!} \over n crece de maneira arbitraria, aínda que vagarosa. Por exemplo, este é o gráfico os seus primeiros 20 mil valores:

Ficheiro:Log-factorial.PNG

Unha boa aproximación para log n! é facer o logaritmo da aproximación de Stirling.

## Factorial para valores non enteiros 
### A función gamma 
A función gamma Γ(*z*) é definida para todos os números complexos *z* excepto os enteiros non positivos (*z*&nbsp;=&nbsp;0,&nbsp;−1,&nbsp;−2,&nbsp;−3,&nbsp;...). Ela relaciónase cos factoriais polo feito de que satisfai unha relación recursiva semellante a aquela da función factorial:
:n!=n(n-1)!
:\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)

Xunto coa definición Γ(1)&nbsp;=&nbsp;1 iso xera a ecuación
:\Gamma(n+1)=n!\qquad\mbox{para todo }n\in\mathbb{N},n\ge1.

Por causa desa relación, a función gamma é frecuentemente tida como unha xeneralización da función factorial para o dominio dos números complexos. Iso é xustificado polas seguintes racións:
* Significado compartido: A definición canónica da función factorial é a relación recursiva mencionada, compartida por ambos.
* Unicidade: A función gamma é a única función que satisfai a relación recursiva mencionada para o dominio dos números complexos e é holomórfica e cuxa restrición ao eixo positivo real é convexa no log. Ou sexa, é a única función que podería ser unha xeneralización da función factorial. 
* Contexto: A función gamma é xeralmente usada nun contexto similar ao dos factoriais (mais, é claro, onde un dominio máis xeral for de interese).

## Funcións semellantes á factorial 
### Multifactoriais 
Unha notación relacionada común é o uso de múltiplos puntos de exclamación para simboliar un **multifactorial**, o produto de enteiros en pasos de (*n*!!), tres (*n*!!!), ou máis.

*n*!! denota o **factorial duplo** de *n* e é definido recursivamente por

:
  n!!=
  \left\{
   \begin{matrix}
    1,\qquad\quad\ &&\mbox{if }n=0\mbox{ or }n=1;
   \\
    n(n-2)!!&&\mbox{if }n\ge2.\qquad\qquad
   \end{matrix}
  \right.
 

Por exemplo, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 e 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945. A secuencia de factoriais duplos para *n* = 0, 1, 2,... é :1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...

Algunhas identidades que envolven factoriais duplos son:
:n!=n!!(n-1)!!

:(2n)!!=2^nn!

:(2n+1)!!={(2n+1)!\over(2n)!!}={(2n+1)!\over2^nn!}

:\Gamma\left(n+{1\over2}\right)=\sqrt\pi{(2n-1)!!\over2^n}

Débese ser coidadoso para non interpretar *n*!! como a factorial de *n*!, que debería ser escrito (*n*!)! e é un número moito maior (para *n*>2).

A factorial dupla é a variante máis comumente usada, mais pódese definir a factorial tripla do mesmo modo (*n*!!!) e así por diante. En xeral, a *k*-ésima factorial, notado por *n*!(*k*), é definido recursivamente como

:
  n!^{(k)}=
  \left\{
   \begin{matrix}
    1,\qquad\qquad\ &&\mbox{if }0\le n

### Hiperfactoriais 
Ocasionalmente o **hiperfactorial** de *n* é considerado. É escrito como *H*(*n*) e definido por

:
  H(n)
  =\prod_{k=1}^n k^k
  =1^1\cdot2^2\cdot3^3\cdots(n-1)^{n-1}\cdot n^n
 

Para *n* = 1, 2, 3, 4,... os valores de *H*(*n*) son 1, 4, 108, 27648,...

A función hiperfactorial é similar á factorial, mais produce números maiores. A taxa de crecemento desa función, con todo, non é moito maior que un factorial regular.

### Superfactoriais 
Neil Sloane e Simon Plouffe definiron o **superfactorial** en 1995 como o produto dos primeiros *n* factoriais.  Así, o superfactorial de 4 é 
:sf(4)=1!*2!*3!*4!=288.
No xeral,
:
  \mathrm{sf}(n)
  =\prod_{k=1}^n k! =\prod_{k=1}^n k^{n-k+1}
  =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n^1.
 
A secuencia de superfactoriais comeza (de *n*=0) como:
:1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, ... 

Esa idea pode ser facilmente estendida para **superduperfactorial** como o produto dos primeiros *n* superfactoriais (iniciando con n=0), así
:1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, ... 
e aí en diante, recursivamente para todos os **factoriais múltiplos**, onde o *m*-factorial de *n* é o produtod dos primeiros *n* *(m-1)*-factorials, i.e.
:\mathrm{mf}(n,m) = \mathrm{mf}(n-1,m)\mathrm{mf}(n,m-1)
  =\prod_{k=1}^n k^{n-k+m-1 \choose n-k} 
onde \mathrm{mf}(n,0)=n para n>0 e \mathrm{mf}(0,m)=1.

### Superfactoriais (definición alternativa) 
Clifford Pickover, no seu libro *Keys to Infinity*, de 1995, definiu o **superfactorial** de *n*, escrito como *n*$ (o $ debería, na verdade, ser un sinal de factorial ! cun S sobreposto) como
:n\$=n^{(4)}n
onde a notación (4) denota o operador hyper4, ou usando a notación de frecha de Knuth,
:n\$=(n!)\uparrow\uparrow(n!)
Esa secuencia de superfactoriais comeza:
:1\$=1
:2\$=2^2=4
:3\$=6\uparrow\uparrow6=6^{6^{6^{6^{6^6}}}}

### Factoración prima de factoriais 
A potencia de *p* que ocorre na factoración prima de *n!* é

:\sum_{i=1}^{\infty} \lfloor n/p^i \rfloor

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 

### Ligazóns externas 
* Táboa de 2! - 256! (exacta)
* Factorial n!
* O dicionario dos números grandes
* Algoritmo factorial - Pascal