Serie harmónica

En matemáticas, a **serie harmónica** é a serie infinita formada pola suma de todas as fraccións unitarias positivas: 
:\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots.

Os primeiros n  termos da serie suman aproximadamente \ln n + \gamma, onde \ln é o logaritmo natural e \gamma\approx0.577 é a constante de Euler-Mascheroni. Como o logaritmo ten valores arbitrariamente grandes, a serie harmónica non ten un límite finito: é unha serie diverxente. A súa diverxencia foi probada no século XIV por Nicole Oresme utilizando un precursor da proba de condensación de Cauchy para a converxencia de series infinitas. Tamén se pode demostrar que diverxe comparando a suma cunha integral, segundo a proba de converxencia da integral.

## Definición e diverxencia 
A serie harmónica é a serie infinita 
:\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdotsna que os termos son todas as fraccións unitarias positivas. É unha serie diverxente: a medida que se inclúen máis termos da serie nas sumas parciais da serie, os valores destas sumas parciais medran arbitrariamente, máis aló de calquera límite finito. Debido a que é unha serie diverxente, debería interpretarse como unha suma formal, unha expresión matemática abstracta que combina as fraccións unitarias, máis que como algo que se pode avaliar a un valor numérico. Hai moitas probas diferentes da diverxencia da serie harmónica, analizadas nun artigo de 2006 por SJ Kifowit e TA Stamps. Dúas das    máis coñecidas están listadas a continuación.

### Proba por comparación 
Unha forma de probar a diverxencia é comparar a serie harmónica con outra serie diverxente, onde cada denominador é substituído pola seguinte potencia de dous: 
:\begin{alignat}{8}
  1 & + \frac{1}{2} && + \frac{1}{3} && + \frac{1}{4} && + \frac{1}{5} && + \frac{1}{6} && + \frac{1}{7} && + \frac{1}{8} && + \frac{1}{9} && + \cdots \\[5pt]

  {} \geq 1 & + \frac{1}{2} && + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{4}}} && + \frac{1}{4} && + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{8}}} && + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{8}}} && + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{8}}} && + \frac{1}{8} && + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{16}}} && + \cdots \\[5pt]
 \end{alignat}A agrupación de termos iguais mostra que a segunda serie diverxe (porque é unha suma infinita de cantidades 1/2): 
:\begin{align}
  & 1 + \left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{16} + \cdots + \frac{1}{16}\right) + \cdots \\[5pt]
  {} = {} & 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots.
 \end{align}Debido a que cada termo da serie harmónica é maior ou igual ao termo correspondente da segunda serie (e os termos son todos positivos), e dado que a segunda serie diverxe, dedúcese (polo test de comparación) que a serie harmónica tamén diverxe. O mesmo argumento demostra con máis forza que, para todo enteiro positivo k,
:\sum_{n=1}^{2^k} \frac{1}{n} \geq 1 + \frac{k}{2}
Esta é a proba orixinal dada por Nicole Oresme en torno a 1350. A proba de condensación de Cauchy é unha xeneralización deste argumento.

### Proba por comparación cunha integral 
miniatura| Os rectángulos, con área dada pola serie harmónica, e a hipérbola y=1/x polas esquinas superiores esquerdas destes rectángulos
É posíbel demostrar que a serie harmónica diverxe comparando a súa suma cunha integral impropia. Concretamente, considere a disposición dos rectángulos que se mostra na figura da dereita. Cada rectángulo ten 1 unidade de ancho e \tfrac1n unidades altas, polo que se a serie harmónica converxe, a área total dos rectángulos sería a suma das series harmónicas. A curva y=\tfrac1x permanece totalmente por debaixo do límite superior dos rectángulos, polo que a área baixo a curva (no rango de x do un ao infinito que está cuberto por rectángulos) sería menor que a área de unión dos rectángulos. No entanto, a área baixo a curva vén dada por unha integral impropia diverxente, 
:\int_1^\infty\frac{1}{x}\,dx = \ln(x)]_1^\infty = \infty.Como esta integral non converxe, a suma tampouco non pode converxer. 

## Sumas parciais 
Sumando os primeiros n termos da serie harmónica temos unha suma parcial chamada número harmónico e denotado como H_n: 
:H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}.

De feito, a serie harmónica diverxe, as súas sumas parciais tenden cara a .

### Taxa de crecemento 
Estes números medran moi lentamente, cun crecemento logarítmico, como se pode ver na proba da integral. Máis precisamente, pola fórmula de Euler-Maclaurin, 
:H_n = \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} - \varepsilon_n onde \gamma\approx 0.5772 é a constante de Euler-Mascheroni e 0\le\varepsilon_n\le 1/8n^2 que se achega a 0 cando n vai ao infinito.

### Interpolación 
[miniatura| A [función digamma sobre os números complexos]]
A función digamma defínese como a derivada logarítmica da función gamma 
:\psi(x)=\frac{d}{dx}\ln\big(\Gamma(x)\big)=\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}.Así como a función gamma proporciona unha interpolación continua dos factoriais, a función digamma proporciona unha interpolación continua dos números harmónicos, no sentido de que \psi(n)=H_{n-1}-\gamma. Esta ecuación pódese usar para estender a definición a números harmónicos con índices racionais.

## Series relacionadas 
### Serie harmónica alternada 
dereita|miniatura|240x240px| As primeiras catorce sumas parciais da serie harmónica alterna (segmentos de liña negra) mostradas converxen ao logaritmo natural de 2 (liña vermella).
A serie 
:\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \cdotscoñécese como **serie harmónica alternada**. É condicionalmente converxente polo test de serie alternada, pero non é absolutamente converxente. A súa suma é o logaritmo neperiano de 2.

A expansión asintótica da serie comeza como 
:\frac{1}{1} - \frac{1}{2} +\cdots + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} = H_{2n} - H_n = \ln 2 - \frac{1}{4n} + O(n^{-2}).Isto resulta da igualdade H_n=2\sum_{k=1}^n \frac 1{2k} e a fórmula de Euler-Maclaurin.

### Función zeta de Riemann 
A función zeta de Riemann defínese para  x>1 real pola serie converxente 
:\zeta(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^x}=\frac1{1^x}+\frac1{2^x}+\frac1{3^x}+\cdots,que para x=1 sería a serie harmónica. Pódese estender mediante o prolongamento analítico a unha función holomorfa en todos os números complexos agás  onde a función estendida ten un polo simple. Outros valores importantes da función zeta inclúen  que é a solución ao problema de Basilea, a constante de Apéry  que Roger Apéry demostrou que é un número irracional, e a "liña crítica" dos números complexos con parte real  conxecturado pola hipótese de Riemann como os únicos valores distintos dos enteiros negativos onde a función pode ser cero.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*  ver problema 52: De homine patrefamilias – A lord of the manor, pp. 124–125.
* 
* 
* 
*  
*  
*  
*  
*  
*  
*  
*  
*  
*  
*  
*  
*  
*  
* From p. 250, prop. 16: "''XVI. Summa serei infinita harmonicè progressionalium,  
*  proba de Johann Bernoulli tamén por contradición.
*  See also unpublished addendum, "More proofs of divergence of the harmonic series" por Kifowit. 
* 
* 
*  
*  
*  A proba de Mengoli é por contradición 
*   
*  ver en particular Teorema 1, p. 516. 
*  
*  
*  
*  
*  
*  
*  
*  
*  
*  
*  
*  
* 
* 
* 

### Outros artigos 
* Serie diverxente.
* Función zeta de Riemann.
* 1 %2B 2 %2B 3 %2B 4 %2B ⋯.
### Ligazóns externas 
*