Cálculo multivariábel

O **cálculo multivariábel** (ou cálculo en varias variábeis) é máis a extensión do cálculo infinitesimal a funcións escalares e vectoriais de varias variábeis.
miniatura|Campo escalar con dúas variábeis

## Cálculo diferencial en campos escalares e vectoriais 
### Funcións de Rn en Rm. Campos escalares e vectoriales 
Formularanse as definicións para campos vectoriais, que tamén son válidas para campos escalares. Sexa
:\mathbf{f}:V \longrightarrow W
un campo vectorial que fai corresponder a todo punto *P* definido biunivocamente polo seu vector posición un vector \mathbf{f}\big (\mathbf{OP}\big ) onde o punto **O** é a orixe de coordenadas.
:V \subseteq \mathbb{R}^n, W \subseteq \mathbb{R}^m, con n > 1 e m \geqslant 1. Cando m=1 tense un campo escalar. Para m>1 tense un campo vectorial. Utilizarase a norma euclidiana para achar a magnitude dos vectores.

### Límites e continuidade 
Sexan \mathbf{a} \in \mathbb{R}^n e \mathbf{b} \in \mathbb{R}^m. Escríbese:
:\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )=\mathbf{b},
:ou ben,
:\mathbf{f}(\mathbf{x}) \rightarrow \mathbf{b} cando \mathbf{x} \rightarrow \mathbf{a}
:para expresar o seguinte:
:\lim_{\big \|\mathbf{x-a}\big \| \to 0}\big \|\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) - \mathbf{b}\big \| = 0
onde \big \|\mathbf{x}\big \| é a norma euclidiana de \mathbf{x}.
Expresándoo en función das compoñentes de \mathbf{x} = \big (x_1,\ldots,x_n\big ), \mathbf{a} = \big (a_1,\ldots,a_n\big ),
:\lim_{\big (x_1,\ldots,x_n\big ) \to \big (a_1,\ldots,a_n\big )}\mathbf{f}\big (x_1,\ldots,x_n\big ) = \mathbf{b}
ou, de forma equivalente,
:\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{b}
{{Cita|1=Dise que unha función \mathbf{f} é *continua* en \mathbf{a} \Leftrightarrow \lim_{\mathbf{x}\to \mathbf{a}}\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{f}\big (\mathbf{a}\big )}}
{{Cita|1=Teorema: \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{b}, \lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{a}}\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{c} \Rightarrow
:a) \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\big [\mathbf{f} + \mathbf{g}\big ]\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{b} + \mathbf{c}
:b) \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\lambda\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) = \lambda\mathbf{b} \quad\forall\lambda \in \mathbb{R}
:c) \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\big (\mathbf{f}\cdot\mathbf{g}\big )\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{b}\cdot\mathbf{c}
:(produto escalar de \mathbf{b} con \mathbf{c}).
:d) \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\Big \|\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )\Big \|=\big \|\mathbf{b}\big \|}}
{{Cita|1=Teorema: Sexan \mathbf{f} e \mathbf{g} dúas funcións tales que a función composta \mathbf{f}\circ\mathbf{g} está definida en \mathbf{a}, sendo
:\big (\mathbf{f}\circ\mathbf{g}\big )\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{f}\Big [\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )\Big ]
:\mathbf{g} é continua en \mathbf{a} e \mathbf{f} é continua en \mathbf{g}\big (\mathbf{a}\big ) \Rightarrow \big (\mathbf{f}\circ\mathbf{g}\big ) é continua en \mathbf{a}.}}

### Derivadas direccionais 
#### Derivada dun campo escalar respecto dun vector 
miniatura
Sexa f:S \subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}. Sexa \mathbf{x} un vector con orixe na orixe de coordenadas e con extremo \in S, e \mathbf{y} un vector arbitrario de \mathbb{R}^n. Defínese a derivada de f en \mathbf{x} respecto a \mathbf{y} como
:f'\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ) = \lim_{h \to 0}\cfrac{f\big (\mathbf{x}+h\mathbf{y}\big )-f\big (\mathbf{x}\big )}{h}

#### Derivadas parciais 
\cfrac{\partial f}{\partial x_k} = \lim_{h \to 0}\cfrac{f\big (x_1,\ldots,x_k+h,\ldots,x_n\big )-f\big (x_1,\ldots,x_k,\ldots,x_n\big )}{h}

Se se deriva a expresión anterior respecto dunha segunda variábel, x_j, tense \cfrac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_k}. Na práctica, calcularase \cfrac{\partial f}{\partial x_k} derivando respecto a x_k e supondo x_j, \quad \forall j \ne k constante.

### A diferencial 
#### Definición de campo escalar diferenciábel 
Dise que f é diferenciábel en \mathbf{a} \Leftrightarrow 
:\exists f_L:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}\Big |\lim_{\big \|\mathbf{v}\big \| \to \mathbf{0}}f\big (\mathbf{a}+\mathbf{v}\big ) = f\big (\mathbf{a}\big )+f_L\big (\mathbf{v}\big ).
:f_L ten que ser unha aplicación linear, que se define como a diferencial de *f* en **a**.
A anterior ecuación é a  fórmula de Taylor de primeira orde para f\big (\mathbf{a}+\mathbf{v}\big ).

#### Teorema de unicidade da diferencial 
f é diferenciábel en \mathbf{x} con diferencial f_L\big (\mathbf{y}\big ) \Rightarrow
:a) \exists f'\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ) \quad \forall\mathbf{y} \in \mathbb{R}^n
:b) f'\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ) = \sum_{k=1}^n y_k \cfrac{\partial f}{\partial x_k}

#### Regra da cadea 
Sexa f:S \subset \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} un campo escalar e \mathbf{x}:J \in \mathbb{R} \longrightarrow S. Defínese a función composta g = f \circ \mathbf{x} como g(t) = f\Big [\mathbf{x}\big (t\big )\Big ], entón \quad g'\big (t\big ) = \sum_{k=1}^n \cfrac{\partial f}{\partial x_k}\cdot\cfrac{dx_k}{dt}

#### Diferencial dun campo vectorial 
Sexa \mathbf{f}:S \subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m un campo vectorial. Sexa \mathbf{x} \in S e \mathbf{y} un vector calquera. Defínese a derivada
:\mathbf{f'}\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ) = \lim_{h \to 0}\cfrac{\mathbf{f}\big (\mathbf{x}+h\mathbf{y}\big )-\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )}{h}}}
Expresando \mathbf{f'}\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ) en función das súas compoñentes, tense \mathbf{f'}\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ) = \Big [f'_1\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ),\ldots,f'_m\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big )\Big ]

Dise que \mathbf{f} é diferenciábel \Leftrightarrow  \exists \mathbf{f}_L:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m, aplicación linear que verifica:
:\lim_{\big \|\mathbf{v}\big \|\to 0}\mathbf{f}\big (\mathbf{x}+\mathbf{v}\big ) = \mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )+\mathbf{f}_L\big (\mathbf{v}\big ).}}
:Esta é a fórmula de Taylor de primeira orde para \mathbf{f}.\quad \mathbf{f}_L\big (\mathbf{v}\big )=\mathbf{f}'\big( \mathbf{x};\mathbf{v}\big ).
A matriz de \mathbf{f}' é a súa matriz jacobiana.

#### Diferenciabilidade implica continuidade 
Se un campo vectorial \mathbf{f} é *diferenciábel* en \mathbf{x} \Rightarrow é *continuo* en \mathbf{x}.
Dedúcese facilmente da fórmula de Taylor de primeira orde xa vista.

#### Regra da cadea para diferenciais de campos vectoriais 
Sexa \mathbf{h}\big (\mathbf{x}\big )=\big (\mathbf{f} \circ \mathbf{g}\big )\big (\mathbf{x}\big ) un campo vectorial definido e diferenciábel en \mathbf{x}. A súa diferencial \mathbf{h}'\big (\mathbf{x}\big ) é
:\mathbf{h}'\big (\mathbf{x}\big )=\mathbf{f}'\Big [\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )\Big ]\circ\mathbf{g}'\big (\mathbf{x}\big )}}

### Condición suficiente para a igualdade das derivadas parciais mixtas 
\cfrac{\partial^2 f} {\partial x_i \partial x_j}=\cfrac{\partial^2 f} {\partial x_j \partial x_i} \quad \forall i \ne j \Leftrightarrow ambas as derivadas parciais existen e son continuas en \mathbf{x}.

## Aplicacións do cálculo diferencial 
### Cálculo de máximos, mínimos e puntos de sela para campos escalares 
miniatura|Función cun punto de sela
Defínense os seguintes conceptos:
* Un campo escalar ten un **máximo** en \mathbf{x} = \mathbf{a} \Leftrightarrow existe unha n-bola B\big (\mathbf{a}\big )\Big |\forall\mathbf{x} \in B\big (\mathbf{a}\big ) \quad f\big (\mathbf{x}\big ) \leqslant f\big (\mathbf{a}\big )
* Un campo escalar ten un **mínimo** en \mathbf{x} = \mathbf{a} \Leftrightarrow existe unha n-bola B\big (\mathbf{a}\big )\Big |\forall\mathbf{x} \in B\big (\mathbf{a}\big ) \quad f\big (\mathbf{x}\big ) \geqslant f\big (\mathbf{a}\big )
* Un campo escalar ten un punto de sela \Leftrightarrow \forall B\big(\mathbf{a}\big ) \quad \exists \mathbf{x}\big |f\big (\mathbf{x}\big ) \leqslant f\big (\mathbf{a}\big ) \land \exists \mathbf{x}\big |f\big (\mathbf{x}\big ) \geqslant f\big (\mathbf{a}\big )

Para saber se é un dos casos anteriores:
# Obtense \mathbf{x}\Big |\cfrac{\partial f}{\partial x_k}=0 \qquad \forall k\Big |1\leqslant k\leqslant n 
# Obtense a matriz hessiana de *f*. Sexa esta \mathbf{F}\big (\mathbf{x}\big ).
## \mathbf{F}\big (\mathbf{x}\big ) é definida positiva \Rightarrow f ten un *mínimo relativo* en \mathbf{x}.
## \mathbf{F}\big (\mathbf{x}\big ) é **definida negativa** \Rightarrow f ten un *máximo relativo* en \mathbf{x}.
## \mathbf{F}\big (\mathbf{x}\big ) é **indefinida** \Rightarrow f ten un *punto de sela* en \mathbf{x}.

No anterior supúxose que \cfrac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} é continua \forall i,j\big |1\leqslant i\leqslant n, 1\leqslant j\leqslant n

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Apostol, Tom M., *Calculus*, volume 2, editorial Reverté, S. a., ISBN 84-291-5003-X
* 
### Ligazóns externas 
* UC Berkeley video lectures on Multivariable Calculus, Fall 2009, Professor Edward Frenkel
* MIT video lectures on Multivariable Calculus, Fall 2007
* *Multivariable Calculus*: A free online textbook by George Cain and James Herod
* *Multivariable Calculus Online*: A free online textbook by Jeff Knisley
* *Multivariable Calculus – A Very Quick Review* , Prof Blair Perot, University of Massachusetts Amherst