Número aleph

dereita|miniatura|154x154px| Aleph-cero, alef-cero ou aleph-nulo, o número cardinal infinito máis pequeno
En matemáticas, particularmente na teoría de conxuntos, os **números aleph (**ou **alef)** son unha secuencia de números que se usa para representar a cardinalidade (ou tamaño) de conxuntos infinitos. Foron introducidos polo matemático Georg Cantor e reciben o nome do símbolo que utilizaba para denotalos, a letra do hebreo aleph (ℵ).

A cardinalidade máis pequena dun conxunto infinito é a dos números naturais, denotado por \aleph_0 (léase *alef-cero* ou *aleph-nulo*); a seguinte cardinalidade maior dun conxunto ben ordenado é \aleph_1, despois \aleph_2, despois \aleph_3, e así seguido. Continuando deste xeito, é posíbel definir un número cardinal infinito \aleph_{\alpha} para cada número ordinal \alpha.

O concepto e a notación débense a Georg Cantor, que definiu a noción de cardinalidade e deuse conta de que os conxuntos infinitos poden ter cardinalidades diferentes.

Os números aleph difiren do infinito (\infty) que adoita atoparse en álxebra e cálculo, xa que os alefs miden o tamaño dos conxuntos, mentres que o infinito defínese habitualmente como un límite extremo da recta numérica real (aplicado a unha función ou secuencia que "diverxe ata o infinito" ou "aumenta sen límite"), ou como un punto extremo da recta numérica real estendida.

## Aleph-cero 
\aleph_0 (aleph-cero) é a cardinalidade do conxunto de todos os números naturais, e é un cardinal infinito. O conxunto de todos os ordinais finitos, chamado \omega ou \omega_0 (onde \omega é a letra grega minúscula omega), tamén ten cardinalidade \aleph_0. Un conxunto ten cardinalidade \aleph_0 se e só se é numerabelmente infinito, é dicir, hai unha bixección (correspondencia un a un) entre el e os números naturais. Exemplos destes conxuntos son

* o conxunto de números naturais,
* o conxunto de todos os números enteiros ,
* calquera subconxunto infinito de números enteiros, como o conxunto de todos os números cadrados ou o conxunto de todos os números primos,
* o conxunto de todos os números racionais ,
* o conxunto de todos os números construíbeis (no sentido xeométrico),
* o conxunto de todos os números alxébricos,
* o conxunto de todas as funcións computábeis,
* o conxunto de todas as cadeas binarias de lonxitude finita 
* o conxunto de todos os subconxuntos finitos de calquera conxunto numerábel infinito dado.

Entre os conxuntos numerábeis infinitos atópanse certos ordinais infinitos,incluíndo por exemplo \omega, \omega+1, \omega \cdot 2, \omega^2, \omega^\omega,  
\varepsilon _{0}

Por exemplo, a secuencia (con tipo de orde \omega \cdot 2 ) de todos os enteiros impares positivos seguidos de todos os enteiros pares positivos \{1, 3, 5, 7, 9, \cdots; 2, 4, 6, 8, 10, \cdots\} é unha ordenación (con cardinalidade \aleph_0 ) do conxunto de enteiros positivos.

## Aleph-un 
\aleph_1 é a cardinalidade do conxunto de todos os números ordinais numerábeis. Este conxunto é denotado como \omega_1 (ou ás veces Ω). O conxunto \omega_1 é en si un número ordinal maior que todos os numerábeis, polo que é un conxunto non numerábel. Polo tanto, \aleph_1 é a cardinalidade máis pequena que é maior que \aleph_0, a menor cardinalidade infinita.

A definición de \aleph_1 implica (en ZF, teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel *sen* o axioma de escolla) que ningún número cardinal está entre \aleph_0 e \aleph_1. Se se usa o axioma da escolla, pódese probar a maiores que a clase de números cardinais está totalmente ordenada e, polo tanto, \aleph_1 é o segundo número cardinal infinito máis pequeno. 

Pódese demostrar unha das propiedades máis útiles do conxunto : Calquera subconxunto numerábel de \omega_1 ten un límite superior dentro de \omega_1 (Isto dedúcese do feito de que a unión dun número numerábel de conxuntos numerábeis é en si mesmo numerábel). Este feito é análogo á situación en \aleph_0 : Todo conxunto finito de números naturais ten un máximo que tamén é un número natural, e as unións finitas de conxuntos finitos son finitas.

Un exemplo de aplicación do ordinal \omega_1 consiste en "pechar" en relación ás operacións numerábeis; por exemplo, tentando describir explicitamente a σ-álxebra xerada por unha colección arbitraria de subconxuntos (ver por exemplo a xerarquía de Borel). 

Isto é máis difícil que a maioría das descricións explícitas de "xeración" en álxebra (espazos vectoriais, grupos, etc.) porque neses casos só temos que pechar en relación a operacións finitas, como sumas, produtos, etc. 

O proceso implica definir, para cada ordinal numerábel, mediante indución transfinita, un conxunto considerando todas as unións posíbeis e os complementos e tomando de todas elas sobre todas as de  \omega_1.

## Hipótese do continuo 
A cardinalidade do conxunto de números reais ( cardinalidade do continuo) é 2 \aleph_0. Non se pode determinar a partir de ZFC (Teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel aumentada co axioma de escolla) onde este número encaixa exactamente na xerarquía de números aleph, mais de ZFC despréndese que a hipótese do continuo (CH) é equivalente á identidade

: 2\aleph_0 = \aleph_1.

## Aleph-omega 
Aleph-omega é 
:\aleph_\omega = \sup\{\aleph_n| n \in \omega\} = \sup\{\aleph_n| n \in \{0, 1, 2,\cdots\}\} 
onde o menor ordinal infinito denotase como \omega. É dicir, o número cardinal \aleph_\omega é o límite superior mínimo de \sup\{\aleph_n| n \in \{0, 1, 2,\cdots\}\}.

Notabelmente, \aleph_\omega é o primeiro número cardinal non numerábel que se pode demostrar dentro da teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel *que non* é igual á cardinalidade do conxunto de todos os números reais 2^{\aleph_0}: Para calquera número natural  n \ge 1 , podemos asumir coherentemente que 2^{\aleph_0} = \aleph_n, e a maiores é posíbel supor que 2^{\aleph_0} é tan grande como calquera número cardinal que nos guste. 

## Aleph-*α* para un *α en xeral* 
Para definir \aleph_\alpha para un número ordinal arbitrario \alpha, debemos definir a operación cardinal sucesora, que asigna a calquera número cardinal \rho o seguinte cardinal máis grande e ben ordenado \rho^{+} (se se cumpre o axioma de escolla, este é o cardinal máis grande (único) seguinte).

Entón podemos definir os números aleph do seguinte xeito:

: \aleph_0 = \omega
: \aleph_{\alpha+1} = (\aleph_{\alpha})^{+}
: \aleph_{\lambda} = \bigcup\{\aleph_\alpha | \alpha  para \lambda un ordinal límite infinito.

O \alpha-ésimo ordinal inicial infinito escríbese \omega_\alpha. A súa cardinalidade escríbese  \aleph_\alpha.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Número beth
* Cardinalidade
* Infinito
* Número transfinito
* Número ordinal

### Ligazóns externas 
* 
*