Desigualdade triangular

miniatura| Triángulo.
En xeometría, a **desigualdade triangular** é o feito de que, nun triángulo, a lonxitude dun lado é menor que a suma das lonxitudes dos outros dous lados. Esta desigualdade é relativamente intuitiva. Na vida ordinaria, como na xeometría euclidiana, isto tradúcese no feito de que *a liña recta é o camiño máis curto*: o camiño máis curto do punto A ao punto B é ir recto alí, sen pasar por un terceiro punto C que non estea na recta.

## Enunciados 
### En xeometría 
Nun plano euclidiano, sexa un triángulo *ABC*. Entón, as lonxitudes *AB*, *AC* e *BC* satisfán as seguintes tres desigualdades:

* AB \leqslant AC + CB;
* AC \leqslant AB + BC;
* BC \leqslant BA + AC.

A conxunción destas tres desigualdades é equivalente á dupla desigualdade: |AC - CB| \leqslant AB \leqslant AC+CB.

A primeira destas últimas desigualdades reflicte que nun triángulo, a lonxitude dun lado é maior que a diferenza das lonxitudes dos outros dous.

O caso da igualdade na segunda desigualdade sería: 

AB = AC + CB \Leftrightarrow C \in [AB].

### Para os números complexos 
Usando unha representación complexa do plano euclidiano, podemos observar

*  x=\text{afixo de }\overrightarrow{AC}
* y=\text{afixo de }\overrightarrow{CB}

Obtemos esta formulación equivalente.

Para (x, y) \in\Complex^2, temos :

* |x+y| \leqslant |x|+|y|;
* |x+y| = |x|+|y| \Longleftrightarrow \exists (\lambda,\mu) \in\R_+^2\setminus\{(0,0)\},\ \lambda y= \mu x .

### Xeneralización a espazos prehilbertianos 
Sexa (E,\langle\cdot|\cdot\rangle) un  espazo prehilbertiano real. Denotamos \|\cdot \| como a norma asociada ao produto escalar. Para (x,y)\in E^2, usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz e o seu caso de igualdade, entón demostramos a desigualdade de Minkowski:

* \|x+y\| \leqslant \|x\| + \|y\| ;
* \|x+y\| = \|x\| + \|y\| \Longleftrightarrow \exists (\lambda,\mu) \in\R_+^2\setminus\{(0,0)\},\ \lambda y=\mu x ( x e y relacionados positivamente).

(Todo espazo pre-hilbertiano complexo (E, \langle \cdot | \cdot \rangle') é un espazo real pre-hilbertiano, para o produto escalar \langle x|y\rangle:=\mathrm{Re}(\langle x|y\rangle'), que induce a mesma norma que o produto hermitiano \langle \cdot | \cdot \rangle'.)

### Punto de vista axiomático 
Sexa  un conxunto e d : E\times E\to\R^+. Dicimos que  é unha distancia en  se:

* \forall (x,y)\in E^2,\ d(x,y)=d(y,x)
* \forall (x,y)\in E^2,\ d(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y
* \forall (x,y,z)\in E^3,\ d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)

A terceira propiedade require que para que d sexa unha distancia debe verificar a desigualdade triangular. Xunto coa primeira, implica:

* \forall (x,y,z)\in E^3,\ |d(x,z)-d(y,z)|\leqslant d(x,y)

e máis xeralmente, para calquera parte  non baleira de , |d(x,A)-d(y,A)|\leqslant d(x,y) (ver " Distancia").

Reciprocamente, |d(x,z)-d(y,z)|\leqslant d(x,y)\Longrightarrow d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z) .

Todo espazo vectorial normado (E,\|~\|), especialmente (\Complex,|~|), está naturalmente provisto dunha distancia d, definido por d(x,y)=\|x-y\|, para o que o incremento |d(x,0)-d(y,0)|\leqslant d(x,y) reescríbese:

* \Big|\|x\|-\|y\|\Big|\leqslant\|x-y\| .

## Desigualdade triangular xeneralizada 
Podemos iterar a desigualdade triangular para un número finito de elementos.

En xeometría, isto dá :

A_1A_n\leqslant A_1A_2+\cdots A_{n-1}A_n, sendo o caso de igualdade para A_1,A_2,\cdots,A_n na mesma recta nesta orde.

Para complexos, isto dá :

|z_1+z_2+\cdots+z_n|\leqslant|z_1|+|z_2|+\cdots+|z_n| , sendo o caso de igualdade se z_1\neq0: z_k/z_1 é un real estritamente positivo para k=1\cdots n.

Para un espazo vectorial normado:

\|x_1+x_2+\cdots+x_n\|\leqslant\|x_1\|+\|x_2\|+\cdots+\|x_n\| .

Sendo o caso de igualdade no caso prehilbertiano: Os x_k vinculados positivamente de dous en dous.

## Desigualdade triangular para integrais 
Se f é unha función integrábel no sentido de Riemann (en particular se é continua por intervalos) nun intervalo [a,b],a, con valores nun espazo vectorial estandarizado, entón:

\left \Vert \int_a^bf(x)dx \right \Vert\leqslant
\int_a^b\left \Vert f(x)\right \Vert dx

Sendo o caso de igualdade se f é continua con valores complexos: hai unha constante k de módulo 1 tal que f=k|f| en [a,b].

No caso real, isto é equivalente a que f sexa de signo constante en [a,b].
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
### Outros artigos 
* Orde total.