Teorema de inversión de Lagrange

En análise matemática, o **teorema de inversión de Lagrange**, tamén coñecido como a **fórmula de Lagrange–Bürmann**, fornece o desenvolvemento en serie de Taylor da función inversa dunha función analítica. A inversión de Lagrange é un caso particular do teorema da función inversa.

## Enunciado
Sexa  unha función de  dada por unha ecuación da forma

:z = f(w)

onde  é analítica nun punto  e f'(a)\neq 0. Entón é posible *inverter* ou *resolver*
a ecuación para , expresándoa na forma w=g(z) dada por unha serie de potencias

: g(z) = a + \sum_{n=1}^{\infty} g_n \frac{(z - f(a))^n}{n!}, 

onde

: g_n = \lim_{w \to a} \frac{d^{n-1}}{dw^{n-1}}
 \left[\left( \frac{w-a}{f(w) - f(a)} \right)^n \right]. 

O teorema afirma ademais que esta serie ten un raio de converxencia non nulo,é dicir, g(z) representa unha función analítica de  nunha veciñanza de z= f(a). Isto tamén se chama **reversión de series**.

Se se omiten as condicións de analiticidade, a fórmula tamén é válida para series formais
e pode xeneralizarse de varias maneiras: pódese formular para funcións de varias variables; esténdese para dar unha fórmula directa para  para calquera función analítica ; e pode xeneralizarse ao caso f'(a)=0, onde o inverso  é unha función multivalorada.

O teorema foi probado por Lagrange
e xeneralizado por Hans Heinrich Bürmann,
a finais do século XVIII.

Existe unha dedución sinxela empregando análise complexa
e integración de contorno;
a versión formal complexa é consecuencia
da fórmula para polinomios,
aplicando a teoría de función analítica.
En realidade, a maquinaria da análise complexa
intervén de forma só formal nesta proba,
pois o que se precisa é unha propiedade
do residuo formal,
e existe unha proba máis directa e puramente formal.
O teorema de inversión de Lagrange ten, de feito,
moitas outras probas distintas,
incluíndo argumentos de  contaxe de árbores
ou probas por indución.

Se  é unha serie formal,
a fórmula anterior non dá directamente
os coeficientes da serie inversa 
en termos dos coeficientes de .
Se se expresan  e 
como series formais

:f(w) = \sum_{k=0}^\infty f_k \frac{w^k}{k!}
 \qquad \text{e} \qquad
 g(z) = \sum_{k=0}^\infty g_k \frac{z^k}{k!}

con  e ,
entón pode darse unha forma explícita dos coeficientes inversos
en termos dos polinomios de Bell:

: g_n = \frac{1}{f_1^n} \sum_{k=1}^{n-1} (-1)^k
 n^\overline{k} B_{n-1,k}(\hat{f}_1,\hat{f}_2,\ldots,\hat{f}_{n-k}),
 \quad n \geq 2, 

onde

:\begin{align}
  \hat{f}_k &= \frac{f_{k+1}}{(k+1)f_{1}}, \\
  g_1 &= \frac{1}{f_{1}}, \text{ e} \\
  n^{\overline{k}} &= n(n+1)\cdots (n+k-1)
 \end{align}

é o factorial ascendente.

Cando ,
a última fórmula pode interpretarse
en termos das caras dos asociaedros

: g_n = \sum_{F \text{ cara de } K_n} (-1)^{n-\dim F} f_F , \quad n \geq 2, 

onde  f_{F} = f_{i_{1}} \cdots f_{i_{m}} 
para cada cara  F = K_{i_1} \times \cdots \times K_{i_m} 
do asociaedro  K_n .

## Exemplo
Por exemplo, a ecuación alxébrica de grao 

: x^p - x + z = 0

pódese resolver para 
mediante a fórmula de inversión de Lagrange
para a función ,
obtendo así unha solución en serie formal

: x = \sum_{k=0}^\infty \binom{pk}{k}
 \frac{z^{(p-1)k+1} }{(p-1)k+1} . 

Mediante as probas de converxencia,
esta serie é, de feito, converxente para
|z| \leq (p-1)p^{-p/(p-1)},
que é tamén o maior disco no que se pode definir
un inverso local de .

## Notas