Teorema do ideal principal de Krull

En álxebra conmutativa, o **teorema do ideal principal de Krull**, que recibe o nome de Wolfgang Krull (1899–1971), dá un límite da altura dun ideal principal nun anel noetheriano conmutativo. O teorema é ás veces referido polo seu nome alemán, *Krulls Hauptidealsatz* (de *Haupt-* ("Principal") + *ideal* + *Satz* ("teorema").

Precisamente, se *R* é un anel de Noether e *I* é un ideal principal e propio de *R*, entón cada ideal primo mínimal que contén a *I* ten altura como máximo un.

Este teorema pódese xeneralizar a ideais que non son principais, e o resultado é frecuentemente chamado **teorema da altura de Krull**. Isto di que se *R* é un anel noetheriano e *I* é un ideal propio xerado por *n* elementos de *R*, entón cada primo minimal sobre *I* ten altura como máximo *n*. O inverso tamén é certo: se un ideal primo ten altura *n*, entón é un ideal primo minimal sobre un ideal xerado por *n* elementos. 

O teorema ideal principal e a xeneralización, o teorema da altura, dedúcense do teorema fundamental da teoría da dimensión en álxebra conmutativa. En *Éléments de mathématique* de Bourbaki dá unha proba directa. En *Commutative Rings* de Kaplansky inclúese unha proba debida a David Rees.

## Probas 
### Demostración do teorema do ideal principal 
Sexa A un anel noetheriano, *x* un elemento del e \mathfrak{p} un primo minimal sobre x. Substituíndo A pola localización A_\mathfrak{p}, podemos supor  que A é local co ideal maximal \mathfrak{p}. Sexa \mathfrak{q} \subsetneq \mathfrak{p} un ideal primo estritamente máis pequeno e sexa \mathfrak{q}^{(n)} = \mathfrak{q}^n A_{\mathfrak{q}} \cap A, o cal é un \mathfrak{q}-ideal primario chamodo  n-ésima potencia simbólica de \mathfrak{q}. Forma unha cadea descendente de ideais A \supset \mathfrak{q} \supset \mathfrak{q}^{(2)} \supset \mathfrak{q}^{(3)} \supset \cdots Así, hai  unha cadea descendente de ideais \mathfrak{q}^{(n)} + (x)/(x) no anel \overline{A} = A/(x). Agora, o radical  \sqrt{(x)} é a intersección de todos os ideais primos minimais que conteñen x; \mathfrak{p} entre eles  Mais \mathfrak{p} é un ideal maximal único e logo \sqrt{(x)} = \mathfrak{p}. Xa que (x) co*n*tén algunha potencia do seu radical, dedúcese que \overline{A} é un anel de Artin e por isto a cadea \mathfrak{q}^{(n)} + (x)/(x) estabiliza e tan hai algún n tal que\mathfrak{q}^{(n)} + (x) = \mathfrak{q}^{(n+1)} + (x). Isto implica:

: \mathfrak{q}^{(n)} = \mathfrak{q}^{(n+1)} + x \, \mathfrak{q}^{(n)} ,

polo feito \mathfrak{q}^{(n)} é \mathfrak{q}-primario (se y está  en \mathfrak{q}^{(n)}, entón y = z + ax con z \in \mathfrak{q}^{(n+1)} e a \in A. Xa que \mathfrak{p} é minimal sobre x, x \not\in \mathfrak{q} e así ax \in \mathfrak{q}^{(n)} que  implica que a está en \mathfrak{q}^{(n)}). Agora, facendo o cociente por ambos os dous lados por     \mathfrak{q}^{(n+1)} temos \mathfrak{q}^{(n)}/\mathfrak{q}^{(n+1)} = (x)\mathfrak{q}^{(n)}/\mathfrak{q}^{(n+1)}. Daquela, polo lema de Nakaya*m*a  (que di que un módulo M xerado finitamente  é cero se  M = IM para algún ideal contido no radical), conseguimos M = \mathfrak{q}^{(n)}/\mathfrak{q}^{(n+1)} = 0; isto é, \mathfrak{q}^{(n)} = \mathfrak{q}^{(n+1)} e por tanto \mathfrak{q}^{n} A_{\mathfrak{q}} = \mathfrak{q}^{n+1} A_{\mathfrak{q}}. Utilizando o lema de Nakayama  outra vez \mathfrak{q}^{n} A_{\mathfrak{q}} = 0,  e A_{\mathfrak{q}} é un anel de Artin; así, a altura de \mathfrak{q} é cero.\square 

### Demostración do teorema da altura 
O teorema da altura de Krull pódese demostrar como consecuencia do teorema do ideal principal por indución sobre o  número de elementos. Sexan x_1, \dots, x_n os elementos en A, \mathfrak{p} un primo minimal sobre (x_1, \dots, x_n) e \mathfrak{q} \subsetneq \mathfrak{p} un ideal primo tal que non hai un primo estritamente entre eles. Substituíndo A pola localización A_{\mathfrak{p}} podemos supoñer que (A, \mathfrak{p}) é un anel local; note que temos logo \mathfrak{p} = \sqrt{(x_1, \dots, x_n)} . Por minimalidade de \mathfrak{p}, despréndese que \mathfrak{q} non pode conter todos os x_i; reetiquetando os subíndices, por exemplo, x_1 \not\in \mathfrak{q}. Xa que todo ideal primo que contén \mathfrak{q} + (x_1) está entre \mathfrak{q} e \mathfrak{p}, \sqrt{\mathfrak{q} + (x_1)} = \mathfrak{p} e así podemos escribir para cada  i \ge 2,

: x_i^{r_i} = y_i + a_i x_1

con y_i \in \mathfrak{q} e a_i \in A. Agora consideramos o anel \overline{A} = A/(y_2, \dots, y_n) e a cadea correspondente \overline{\mathfrak{q}} \subset \overline{\mathfrak{p}} nel. Se \overline{\mathfrak{r}} é un primo minimal sobre \overline{x_1}, entón \mathfrak{r} contén x_1, x_2^{r_2}, \dots, x_n^{r_n} e así \mathfrak{r} = \mathfrak{p}; é dicir, \overline{\mathfrak{p}} é un primo minimal sobre \overline{x_1} e así, polo teorema do ideal principal de Krull, \overline{\mathfrak{q}} é un primo minimal (sobre cero); \mathfrak{q} é un primo mínimo sobre (y_2, \dots, y_n). Por hipótese inductiva, \operatorname{ht}(\mathfrak{q}) \le n-1 e así \operatorname{ht}(\mathfrak{p}) \le n. \square
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* , see in particular section (12.I), p.&nbsp;77
*http://www.math.lsa.umich.edu/~hochster/615W10/supDim.pdf
### Outros artigos 
* ideal primario.