Restrición (matemáticas)

En matemáticas, unha **restrición** pode referirse a dous conceptos:

* unha condición dun problema de optimización que a solución debe satisfacer. Hai varios tipos de restricións, principalmente restricións de igualdade, restricións de desigualdade e restricións de números enteiros. O conxunto de solucións candidatas que satisfai todas as restricións denomínase conxunto factible.

*  a **restrición** dunha función f é unha función nova, denotada f\vert_A ou f {\restriction_A}, obtida escollendo un dominio máis pequeno A para a función orixinal f. A función f dise logo que  **estende** f\vert_A.

## Restrición en problemas
### Exemplo de condición de problema
O seguinte é un problema de optimización simple:
:\min f(\mathbf x) = x_1^2+x_2^4

suxeito a

:x_1 \ge 1 e mais x_2 = 1,

onde \mathbf x denota o vector (*x*1, *x*2).

Neste exemplo, a primeira liña define a función que se vai minimizar (chamada función obxectivo ou función de custo). A segunda liña define dúas restricións, a primeira delas é unha restrición de desigualdade e a segunda é unha restrición de igualdade. Estas dúas restricións son restricións fortes, o que significa que é necesario que se cumpran; definen o conxunto factíbel de solucións candidatas.

Sen as restricións, a solución sería (0,0), onde f(\mathbf x) ten o valor máis baixo. Mais esta solución non satisfai as condicións. A solución do problema de optimización restrinxida indicada anteriormente é \mathbf x = (1,1), que é o punto co menor valor de f(\mathbf x) que satisfai as dúas restricións.

### Terminoloxía 
* Se se mantén unha restrición de desigualdade con *igualdade* no punto óptimo, dise que a restrición é unha  **restrición efectiva**, xa que o punto *non se pode* variar na dirección da restrición aínda que facelo melloraría o valor da función obxectivo.
* Se unha restrición de desigualdade se mantén como unha *desigualdade estrita* no punto óptimo (é dicir, non se cumpre coa igualdade), dise que a restrición é **non efectiva**, xa que o punto *podería* variar na dirección da restrición, aínda que non sería óptimo facelo. Baixo certas condicións, como por exemplo na optimización convexa, se unha restrición é non efectiva, o problema de optimización tería a mesma solución aínda en ausencia desa restrición.
* Se unha restrición non se cumpre nun punto dado, dise que o punto é **inviábel**.

## Restrición dunha función 
Sexa f : E \to F unha función dun conxunto E nun conxunto F e sexa A un subconxunto de E.

Informalmente, a restrición da función f ao subconxunto A é a mesma función que f, mais só se define en A.

### Definición formal 
Sexa f : E \to F unha función dun conxunto E a un conxunto F. Se un conxunto A é un subconxunto de E, entón a **restrición de** f **a** A é a función  
:{f|}_A : A \to F
dada por {f|}_A(x) = f(x) para x \in A. 
### Exemplos 
# A restrición da función non inxectiva f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ x \mapsto x^2 ao dominio \mathbb{R}_{+} = [0,\infty) é a inxección f:\mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}, \ x \mapsto x^2.
# A función factorial é a restrición da función gamma aos enteiros positivos, co argumento desprazado en un: {\Gamma|}_{\mathbb{Z}^+}\!(n) = (n-1)!

## Notas 
### Outros artigos 
* Restrición dunha función
### Ligazóns externas 
*Nonlinear programming FAQ 
*Mathematical Programming Glossary