Serie de potencias

En matemáticas, unha **serie de potencias** (nunha variábel) é unha serie infinita da forma \sum_{n=0}^\infty a_n \left(x - c\right)^n = a_0 + a_1 (x - c) + a_2 (x - c)^2 + \dotsonde *a_n* representa o coeficiente do *n*-ésimo termo e *c* é unha constante chamada *centro* da serie. As series de potencias son útiles na análise matemática, onde xorden como series de Taylor de funcións infinitamente diferenciábeis. De feito, o teorema de Borel implica que toda serie de potencias é a serie de Taylor dalgunha función suave.

En moitas situacións, o centro *c* é igual a cero, por exemplo para a serie de Maclaurin. Nestes casos, a serie de potencias toma a forma máis sinxela \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots.

## Exemplos 
### Serie xeométrica, función exponencial e seno 
A fórmula da serie xeométrica \frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots,que é válida para |x| , é un dos exemplos máis importantes dunha serie de potencias, así como a fórmula da función exponencial e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots e a fórmula do seno \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n + 1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots, válida para todos *os x* reais. Estas series de potencias son exemplos das series de Taylor (ou, máis concretamente, das series de Maclaurin).

## Raio de converxencia 
Unha serie de potencias  \sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n é converxente para algúns valores da variábel , que sempre incluirá  xa que (x-c)^0 = 1 e a suma da serie é logo a_0 para . A serie pode diverxer para outros valores de , posibelmente todos. Se  non é o único punto de converxencia, sempre hai un número  con  tal que a serie converxe sempre que  e diverxe sempre que . O número  chámase raio de converxencia da serie de potencias; en xeral dáse como r = \liminf_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{-\frac{1}{n}} ou, equivalentemente, r^{-1} = \limsup_{n\to\infty} \left|a_n\right|^\frac{1}{n}.Este é o teorema de Cauchy-Hadamard; ver límite superior e límite inferior para unha explicación da notación. A relación r^{-1} = \lim_{n\to\infty}\left|{a_{n+1}\over a_n}\right| tamén se cumpre, se existe este límite.

O conxunto dos números complexos tal que  chámase disco de converxencia da serie. A serie converxe absolutamente dentro do seu disco de converxencia e converxe uniformemente en cada subconxunto compacto do disco de converxencia.

Para , non hai unha afirmación xeral sobre a converxencia da serie. Porén, o teorema de Abel afirma que se a serie é converxente para algún valor  tal que , entón a suma da serie para  é o límite da suma da serie para  onde  é unha variábel real menor que  que tende a .

## Funcións analíticas 
Unha función *f* definida nalgún subconxunto aberto *U* de **R** ou **C** chámase analítica se está dada localmente por unha serie de potencias converxentes. Isto significa que todo *a* ∈ *U* ten unha veciñanza aberta *V* ⊆ *U*, tal que existe unha serie de potencias con centro *a* que converxe a *f* (*x*) para todo *x* ∈ *V*.

Toda serie de potencias cun raio de converxencia positivo é analítica no interior da súa rexión de converxencia. Todas as funcións holomorfas son analíticas complexas. As sumas e produtos das funcións analíticas son analíticas, así como os cocientes sempre que o denominador sexa distinto de cero.

Se unha función é analítica, entón é infinitamente diferenciábel, mais no caso real a inversa non é xeralmente verdadeira. Para unha función analítica, os coeficientes *a**n* pódense calcular como a_n = \frac{f^{\left( n \right)} \left( c \right)}{n!}

onde f^{(n)}(c) denota a derivada *n*-ésima de *f* en *c*, e f^{(0)}(c) = f(c). Isto significa que toda función analítica está representada localmente pola súa serie de Taylor.

## Serie formal de potencias 
Na álxebra abstracta, inténtase captar a esencia das series de potencias sen restrinxirse aos corpos dos números reais e complexos, e sen necesidade de falar de converxencia. Isto leva ao concepto de serie formal de potencias, un concepto de gran utilidade na combinatoria alxébrica.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
### Outros artigos 
* Serie de Taylor.
### Ligazóns externas 
* 
* 
* Powers of Complex Numbers by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project.