Automorfismo

[miniatura|300x300px| Un automorfismo do [grupo de Klein mostrado de dous xeitos: unha permutación na notación de ciclos e unha correspondencia entre dúas táboas de Cayley.]]
En matemáticas, un **automorfismo** é un isomorfismo dun obxecto matemático en si mesmo. É, en certo sentido, unha simetría do obxecto e unha forma de mapear o obxecto en si mesmo conservando toda a súa estrutura. O conxunto de todos os automorfismos dun obxecto forma un grupo, chamado grupo de automorfismos.  

## Definición 
Nunha estrutura alxébrica como un grupo, un anel ou espazo vectorial, un *automorfismo* é simplemente un homomorfismo bixectivo dun obxecto en si mesmo.

Para un obxecto dalgunha categoría, un automorfismo é un morfismo do obxecto en si mesmo que ten un morfismo inverso; é dicir, un morfismo f: X\to X é un automorfismo se hai un morfismo g: X\to X tal que g\circ f= f\circ g = \operatorname {id}_X, onde \operatorname {id}_X é o morfismo de identidade de . 

## Grupo de automorfismos 
Os automorfismos dun obxecto  forman un grupo baixo composición de morfismos, que se chama *grupo de automorfismos* de .

O grupo de automorfismos dun obxecto  nunha categoría  denomínase a miúdo , ou simplemente Aut (*X*) se a categoría esta clara no contexto.

## Exemplos 
* En teoría de conxuntos, unha permutación arbitraria dos elementos dun conxunto *X* é un automorfismo. O grupo de automorfismos de *X* tamén se chama o grupo simétrico en *X*.
* En aritmética elemental, o conxunto de enteiros, **Z**, considerado como un grupo baixo adición, ten un automorfismo non trivial único: a negación. Porén, considerado como un anel, só ten o automorfismo trivial. En xeral, a negación é un automorfismo de calquera grupo abeliano, pero non dun anel ou dun corpo.
* Un automorfismo de grupo é un isomorfismo de grupos dun grupo en si mesmo. Informalmente, é unha permutación dos elementos do grupo de tal xeito que a estrutura permanece inalterada. Para cada grupo *G* hai un homomorfismo de grupo natural *G* → Aut(*G*) cuxa imaxe é o grupo Inn(*G*) de automorfismos internos e cuxo kernel é o centro de *G* Así, se *G* ten un centro trivial pode ser inserido no seu propio grupo de automorfismos.
* En álxebra linear, un endomorfismo dun espazo vectorial *V* é un operador lineal *V* → *V.* Un automorfismo é un operador linear invertible en *V*. Cando o espazo vectorial é de dimensión finita, o grupo de automorfismos de *V* é o mesmo que o grupo linear xeral GL(*V*). 
* Un automorfismo de corpos é un  homomorfismo de anel bixectivo dun corpo en si mesmo. 
** O corpo \Q  dos números racionais non ten outro automorfismo que a identidade, xa que un automorfismo debe fixar a identidade aditiva  e a identidade multiplicativa .
** O corpo \R  dos números reais non ten outro automorfismo que a identidade. 
** O corpo \Complex dos números complexos, ten un único automorfismo non trivial, que envía \R  a \R , a conxugación complexa. Por outro lado, hai infinitamente moitos (incontables) automorfismos, se asumimos o axioma de escolla.
** O estudo dos automorfismos das extensións de campo alxébrico é o punto de partida e o principal obxecto da Teoría de Galois.
* O grupo de automorfismos dos cuaternións (**H**) como un anel son os automorfismos internos, polo teorema de Skolem-Noether son os mapas da forma . Este grupo é isomorfo a SO (3), o grupo de rotacións no espazo tridimensional.
* O grupo de automorfismos dos octonións (**O**) é o  grupo de Lie G2.
* En teoría de grafos un automorfismo dun grafo é unha permutación dos nodos que conserva arestas e non arestas. En particular, se dous nodos están unidos por unha aresta, tamén o están as súas imaxes baixo a permutación.
* En xeometría, un automorfismo pode ser chamado un movemento no espazo. Tamén se usa terminoloxía especializada:
** En espazo métrico un automorfismo é unha auto-isometría. O grupo de automorfismos tamén se chama o grupo de isometrías.
** Na categoría dsa superficies de Riemann, un automorfismo é un mapa biholomorfo  (tamén chamado a mapa conforme), dunha superficie en si mesma. Por exemplo, os automorfismos da esfera de Riemann son transformacións de Möbius.
** Un automorfismo dunha variedade *M* é un difeomorfismo de *M* en si mesmo. O grupo de automorfismos denótase Diff(*M*).
** En topoloxía, os morfísmos entre espazos topolóxicos son chamados mapas continuos, e un automorfismo dun espazo topolóxico é un homeomorfismo do espazo en si mesmo, ou auto-homeomorfismo (ver grupo de homeomorfismos). Neste exemplo *non é abondo* que un morfismo sexa bixectivo para ser un isomorfismo.

## Automorfismos internos e externos 
Nalgunhas categorías, en particular grupos, aneis e álxebras de Lie, é posible separar os automorfismos en dous tipos, chamados automorfismos "interiores" e "exteriores". Nalgunhas categorías, en particular grupos, aneis e álxebras de Lie, é posible separar os automorfismos en dous tipos, chamados automorfismos "interiores" e "exteriores".

No caso dos grupos, os automorfismos internos son as conxugacións polos elementos do propio grupo. Para cada elemento *a* dun grupo *G*, a conxugación por *a* é a operación  dada por  (ou *a*−1 *ga*). Pódese comprobar facilmente que a conxugación por *a* é un automorfismo de grupo. Os automorfismos internos forman un subgrupo normal de Aut( *G* ), denotado por Inn(*G*); isto chámase lema de Goursat.

Os outros automorfismos chámanse automorfismos externos. O grupo cociente  adoita denotarse por Out(*G*); os elementos non triviais son as coclases (cosets) que conteñen os automorfismos exteriores.

A mesma definición vale para calquera anel ou álxebra onde  é calquera elemento invertible. Para as álxebras de Lie a definición é lixeiramente diferente.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Anel de endomorfismos
* Automorfismo de Frobenius
* Morfismo
### Ligazóns externas 
* *Automorphism* at Encyclopaedia of Mathematics
*