Punto singular dunha variedade alxébrica

No campo matemático da xeometría alxébrica, un **punto singular** dunha variedade alxébrica  é un punto  que é "especial" (así, singular), no sentido xeométrico de que neste punto o espazo tanxente na variedade pode non estar definido regularmente. No caso de variedades definidas sobre os reais, esta noción xeneraliza a noción de non ser plano localmente. Un punto dunha variedade alxébrica que non é singular dise que é **regular**. Unha variedade alxébrica que non ten punto singular dise que **non é singular** ou que é **suave**. O concepto xeneralízase a esquemas suaves na linguaxe moderna da teoría de esquemas.
[miniatura| A [curva alxébrica plana (unha curva cúbica) da ecuación  crúzase na orixe . A orixe é un punto duplo desta curva. É *singular* porque unha única tanxente pode non estar correctamente definida nese punto.]]

## Definición 
Unha curva plana definida por unha ecuación implícita

: F(x,y)=0 ,

onde  é unha función suave dise que é *singular* nun punto se a serie de Taylor de  ten orde polo menos  neste punto.

A razón disto é que, no cálculo diferencial, a tanxente no punto  de tal curva está definida pola ecuación

: (x-x_0)F'_x(x_0,y_0) + (y-y_0)F'_y(x_0,y_0)=0,

cuxo lado esquerdo é o termo de grao un da expansión de Taylor. Así, se este termo é cero, a tanxente pode non estar definida da forma estándar, xa sexa porque non existe ou se debe proporcionar unha definición especial.

En xeral para unha hipersuperficie

: F(x,y,z,\ldots) = 0

os **puntos singulares** son aqueles nos que todas as derivadas parciais desaparecen simultaneamente. Estando definida unha variedade alxébrica xeral  como os ceros comúns de varios polinomios, a condición de que un punto  de  sexa un punto singular é que a matriz jacobiana das derivadas parciais de primeira orde dos polinomios teña un rango en  inferior ao rango noutros puntos da variedade.

Os puntos de  que non son singulares chámanse **non singulares** ou **regulares**. Sempre é certo que case todos os puntos son non singulares, no sentido de que os puntos non singulares forman un conxunto que é á vez aberto e denso na variedade (para a topoloxía de Zariski, así como para a topoloxía habitual, no caso das variedades definidas sobre os números complexos ).

No caso dunha variedade real (é dicir, o conxunto dos puntos con coordenadas reais dunha variedade definida por polinomios con coeficientes reais), a variedade é unha variedade preto de cada punto regular. 

É importante ter en conta que unha variedade real pode ser unha variedade e ter puntos singulares. Por exemplo, a ecuación  define unha variedade analítica real mais ten un punto singular na orixe. Isto pódese explicar dicindo que a curva ten dúas ramas conxugadas complexas que cortan a rama real na orixe.

## Puntos singulares de mapas suaves 
Como a noción de puntos singulares é unha propiedade puramente local, a definición anterior pódese estender para abranguer a clase máis ampla de mapas suaves (funcións de  en  onde existen todas as derivadas). A análise destes puntos singulares pódese reducir ao caso da variedade alxébrica tendo en conta os chorros do mapa. O chorro  é a serie de Taylor do mapa truncada no grao  e eliminando o termo constante.

## Nós 
Na xeometría alxébrica clásica, certos puntos singulares especiais tamén foron chamados **nós**. Un nó é un punto singular onde a matriz de Hesse non é singular; isto implica que o punto singular ten multiplicidade dous e o cono tanxente non é singular fóra do seu vértice.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
*Resolución of singularidades
*Punto singular dunha curva
*Teoría da singularidade
*Esquema suave
*Espazo tanxente de Zariski