Anel de división

En álxebra, un **anel de división**, é un anel non trivial no que se define a división por elementos distintos de cero. En concreto, é un anel non trivial no que todo elemento distinto de cero  ten un inverso multiplicativo, é dicir, un elemento normalmente denotado como , tal que . Así, *a división* (pola dereita) pódese definir como , mais evítase esta notación, xa que se pode ter .

Un anel de división e conmutativo é un corpo. O  teorema de Wedderburn afirma que todos os aneis de división finitos son conmutativos e, polo tanto, corpos finitos.

Todos os aneis de división son simples. É dicir, non teñen ningún ideal bilateral á parte do ideal cero e el mesmo.

## Relación con corpos e álxebra linear 
Todos os corpos son aneis de división e todos os aneis de división que non sexan un corpo non son conmutativos. 

O exemplo máis coñecido é o anel de cuaternións. Se se permite só coeficientes racionais en lugar de reais nas construcións dos cuaternións, obtemos outro anel de división. 

En xeral, se  é un anel e  é un módulo simple sobre , entón, segundo o lema de Schur, o anel de endomorfismos de  é un anel de división;  todo anel de división xorde deste xeito a partir dalgún módulo simple.

Gran parte da álxebra linear pódese formular, e segue sendo correcta, para módulos sobre un anel de división  en lugar de espazos vectoriais sobre un corpo. 

En particular, cada módulo ten unha base, e pódese usar a eliminación gaussiana . Así, todo o que se pode definir con estas ferramentas funciona en álxebras de división. As matrices e os seus produtos defínense de xeito similar. Porén, unha matriz que é invertíbel pola esquerda non ten por que ser invertíbel pola dereita e, se o é, a súa inversa pola dereita pode diferir da súa inversa pola esquerda.

Os determinantes non se definen sobre álxebras de división non conmutativas.

Todo módulo sobre un anel de división é libre; é dicir, ten unha base, e todas as bases dun módulo teñen o mesmo número de elementos. 

Os mapas lineares entre módulos de dimensión finita sobre un anel de división pódense describir mediante matrices.

O centro dun anel de división é conmutativo e, polo tanto, un corpo. Todo anel de división é polo tanto unha álxebra de división sobre o seu centro. 

Os aneis de división pódense clasificar grosso modo segundo sexan ou non de dimensión finita ou infinita sobre os seus centros. Os primeiros chámanse *centralmente finitos* e os segundos *centralmente infinitos*. Todo corpo é unidimensional sobre o seu centro. O anel dos cuaternións hamiltonianos forma unha álxebra de catro dimensións sobre o seu centro, que é isomorfo aos números reais.

## Exemplos 
* Como se indicou anteriormente, todos os corpos son aneis de división.
* Os cuaternións forman un anel de división non conmutativo.
* O subconxunto dos cuaternións , tal  que , ,  e  pertencen a un subcorpo fixo dos números reais, é un anel de división non conmutativo. Cando este subcorpo é o corpo dos números racionais, este é o anel de división dos *cuaternións racionais*.
* Sexa  \sigma: \Complex \to \Complex un automorfismo do corpo  Denotamos como \Complex((z,\sigma))  o anel das series formais de Laurent con coeficientes complexos, onde a multiplicación se define como segue: en lugar de simplemente permitir que os coeficientes conmuten directamente coa indeterminada  para  definimos z^i\alpha := \sigma^i(\alpha) z^i para cada índice {{Nowrap|i\in\mathbb{Z}.}} Se \sigma é un automorfismo non trivial de números complexos (como por exemplo a  conxugación), entón o anel resultante da serie de Laurent é un anel de división non conmutativo coñecido como *anel nesgo da serie de Laurent*;  se , entón presenta a multiplicación estándar de series formais. Este concepto pódese xeneralizar ao anel da serie de Laurent sobre calquera corpo fixo  dado un   non trivial.

## Principais teoremas 
**Teorema de Wedderburn**: Todos os aneis de división finitos son carpos conmutativos e, polo tanto, finitos. (Ernst Witt deu unha proba simple.)

**Teorema de Frobenius**: as únicas álxebras de división asociativa de dimensión finita sobre os reais son os propios reais, os números complexos e os cuaternións.

## Nocións relacionadas 
Mentres que os aneis de división e as álxebras, como se comenta aquí, asúmese que teñen multiplicación asociativa, as álxebras de división non asociativas como os octóns tamén son de interese.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 

### Outros artigos 
* Identiadade de Hua
* Ideal (teoría dos aneis)
* Divisor de cero

### Ligazóns externas 
* proba do teorema de Wedderburn en Planet Math
* Grillet's Abstract Algebra, section VIII.5's caracterización de aneis de división a través dos seus módulos libres.