Número e

[thumb|237px|direita|Gráfico da equación . Aquí,  é o único número maior que 1 que fai que a [integral|área baixo da curva sexa igual a 1.]]
O número '*** é unha constante matemática que é aproximadamente igual a 2,71828. 

Os seus usos máis frecuentes son como función exponencial ( e^x ) e como a súa inversa o logaritmo en base e chamado logaritmo natural ( \log(x)). 

É o único número positivo  tal que o gráfico da función  ten unha pendente de 1 cando .

Por outra parte se temos a área baixo a curva  entre  e ; daquela o número  sería o valor de  para o cal esta área é igual a 1. 

O número  tamén é coñecido como o **número de Euler** (non confundir coa constante de Euler ), nomeado en honor ao matemático suízo Leonhard Euler, ou como a constante de Neper, en homenaxe a John Napier. Esta constante foi descuberta polo matemático suízo Jacob Bernoulli mentres estudaba intereses compostos.

O número  ten unha grande importancia na matemática, xunto con 0, 1, [[Número pi|]] e [[Unidade imaxinaria|]]. Todos os cinco aparecen nunha formulación da identidade de Euler  e desempeñan papeis importantes e recorrentes na matemática. Semellante á constante , a constante  é irracional (non pode ser representada como unha razón de dous enteiros) e transcendente (non é unha raíz de ningunha función polinomial con coeficientes racionais).

Con 50 cifras decimais, o valor de  é :
:2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...
## Definicións 
O número  é o límite

:\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac 1n\right)^n,
unha expresión que xorde no cálculo do xuro composto.

É a suma da serie infinita
: e = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1} {1\cdot 2} + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} + \cdots.

É o número positivo único  tal que a gráfica da función  ten unha pendente de 1 en .

Temos tamén que 
:e=\exp(1), 
onde \exp é a función exponencial (natural), a función única que é igual á súa propia derivada e satisfai a ecuación \exp(0)=1.. De feito a función exponencial natural escríbese tanto e^x como \exp(x) (normalmente nesta segunda forma cando o expoñente é unha expresión grande e non se visualiza ben na parte superior).

O logaritmo de base  pódese definir como a función inversa da función x\mapsto b^x. Como b=b ^1, temos que \log_b b= 1. A ecuación e=e^1 implica, polo tanto, que  é a base do logaritmo natural. Normalmente escríbese o logaritmo natural (base ) sen especificar a base \log(x) e tamén é frecuente escribilo e lelo como logaritmo neperiano \ln(x).

O número  tamén se pode caracterizar en termos dunha integral:
: \int_1^e \frac {dx}x =1.

Para outras caracterizacións, consulte .
## Historia
As primeiras referencias á constante foron publicadas en 1618 na táboa dun apéndice dun traballo sobre logaritmos de John Napier.

A constante en si foi introducida por Jakob Bernoulli en 1683, para resolver o problema dos xuros composto. Na súa solución, a constante  aparece como un límite dunha sucesión
: \lim_{n\to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n,
onde  representa o número de intervalos nun ano nos que se avalía o xuro composto (por exemplo, n=12 para un xuro composto mensual).

O primeiro símbolo utilizado para esta constante foi a letra  de Gottfried Leibniz nas cartas a Christiaan Huygens en 1690 e 1691.

A notación coa letra **e*', de 1728,  é debida a Leonhard Euler, que superou outras propostas.

Euler demostrou que  é a suma da serie infinita
:e = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots ,
onde  é o factorial de .

## Propiedades
### Cálculo 
thumb|dereita|Móstranse as gráficas das funcións  para  (punteada),  (azul) e  (con trazos). Todas pasan polo punto , pero a liña vermella (que ten pendente ) é tanxente só a  nese punto.
A principal motivación para introducir o número , particularmente no cálculo, é realizar diferenciais e cálculo integral coa función exponencial e o logaritmo.

Tanto para a derivada como para a integral da función exponencial e da función logaritmo temos expresións sinxelas:

:\frac{d}{dx}e^x = e^x.

:\frac{d}{dx}\log x = \frac{1}{x}.

: \int e^x\,dx = e^x + C .

: \int log(x)\,dx = x log(x) - x + C .

A maiores, a familia de funcións

:y(x) = Ke^x

onde  é calquera número real ou complexo, é a solución completa da ecuación diferencial

: y' = y .

### Desigualdades 
En primeiro lugar podemos ver que
:\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x 

para todos os  reais positivos.

Tamén temos a desigualdade
:e^x \ge x + 1
para todo número real , dándose a igualdade se e só se . 

### Funcións de tipo exponential 
O problema de Steiner pide atopar o máximo global para a función
:  f(x) = x^\frac{1}{x}.

Este máximo ocorre precisamente en . (Pódese comprobar que a derivada de  é cero só para ese valor de ).

Do mesmo xeito,  é onde se produce o mínimo global para a función

: f(x) = x^x .

### Teoría de números 
O número real  é irracional. Euler demostrou isto mostrando que a súa expansión en fracción continua simple non termina.

Aínda máis, polo teorema de Lindemann-Weierstrass,  é transcendental, o que significa que non é unha solución de ningunha ecuación polinómica distinta de cero con coeficientes racionais. Foi o primeiro número que se demostrou transcendental sen ter sido construído especificamente para este propósito (comparar co número de Liouville); a proba foi dada por Charles Hermite en 1873.

O número  é un dos poucos números transcendentais para os que se coñece que o seu expoñente de irracionalidade é \mu(e)=2.

Un problema sen solucionar ata agora é a cuestión de se os números  e  son ou non alxébricamente independentes.

### Números complexos 
A función exponencial  pódese escribir como unha serie de Taylor ou Maclaurin

: e^{x} = 1 + {x \over 1!} + {x^{2} \over 2!} + {x^{3} \over 3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}.

Dado que esta serie é converxente para todo valor complexo  de , úsase habitualmente para ampliar a definición de  aos números complexos: 

: e^{ix} = \cos x + i\sin x ,

que se cumpre para todo complexo .

### Resumo 
* O número ***e*** é un número real irracional, é dicir, ten infinitos decimais e é aperiódico.
* O logaritmo natural de **e ** é 1.
* É a base dos logaritmos neperianos ou naturais (\log(x)  ou \ln(x) ).
* É a base da función exponencial (\exp(x)  ou e^x ).
* A identidade de Euler relaciona ao número ***e ***co valor imaxinario, i, π, 1 e 0, sendo considerada coma "unha das fórmulas máis bonitas das matemáticas".
:  e^{i \pi} + 1 = 0 .
*   \rho(cos \theta +i sen \theta) = \rho e^{i \theta} .
* É un número real transcendente, feito demostrado por Charles Hermite en 1874. Non é a raíz da ecuación alxébrica. 
* Como unha serie infinita (serie de Maclaurin):  e= 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} +\frac{1}{3!} +...+ \frac{1}{n!}+...  
*  2 \le  \left(1+\frac{1}{n} \right) ^n  

## Representacións 
Áparte das fórmulas vistas anteriormente tamén se pode representar das seguintes formas:

Euler demostrou que o número  represéntase como a fracción continua simple infinita:
:
  e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, \ldots, 1, 2n, 1, \ldots]

Como produto infinito:
: e = \frac{2}{1} \left(\frac{4}{3}\right)^{1/2} \left(\frac{6 \cdot 8}{5 \cdot 7}\right)^{1/4} \left(\frac{10 \cdot 12 \cdot 14 \cdot 16}{9 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 15}\right)^{1/8} \cdots.

Como serie infinita:
:e = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!},
:e^{-1} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!}.
Vexamos algunha serie máis:
:e =  \frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{k!}

:e =  2 \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{(2k+1)!}

Temos a fórmula de Stirling como aproximación asintótica do factorial
:n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n.
o que nos leva a outra definición como límite dunha sucesión
: e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} .

Aplicando o teorema do binomio
:e_n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} \frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^{n} \frac{n^{\underline{k}}}{k!} \frac{1}{n^k}
que tende a e segundo n tende a \infty. (O termo n^{\underline{k}} é o k-ésimo factorial descendente de n).

En trigonometría, vimos anteriormente a relación coas funcións trigonométricas circulares, mais tamén existe unha relación simple coas funcións trigonométricas hiperbólicas, 

: e^x = \sinh(x) + \cosh(x).

## Notas
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* for another stochastic representation
* 
### Outros artigos 
* Medida de irracionalidade
* Fracción continua xeneralizada
* Aproximación de Stirling
* Constante matemática

### Ligazóns externas 
* 10 000 díxitos do número e 
* Aproximações de   no Wolfram MathWorld
* Primeiros usos de símbolos para constantes  13 de xaneiro de 2008
* A história de  , por Robin Wilson no Gresham College, 28 de febreiro de 2007 (download disponíbel do áudio e vídeo)