Teorema de Størmer

En teoría de números, **o teorema de Størmer**, que recibe o nome de Carl Størmer, dá un límite finito sobre o número de pares consecutivos de números suaves que existen, para un determinado grao de suavidade, e proporciona un método para atopar todos eses pares utilizando as ecuacións de Pell. Do teorema de Thue-Siegel-Roth despréndese que só hai un número finito de pares deste tipo, mais Størmer deu un procedemento para atopalos todos.

## Enunciado 
Se se escolle un conxunto finito P=\{p_1,p_2,\dots p_k\} de números primos, entón os números -suaves defínense como o conxunto de números enteiros

: \left\{p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}\mid e_i\in\{0,1,2,\ldots\}\right\}

que poden ser xerados por produtos de números en . Daquela o teorema de Størmer afirma que, para cada opción de , só hai un número finito de pares de números -suaves consecutivos. Ademais, dá un método para atopalos todos usando as ecuacións de Pell.

## O procedemento 
O procedemento orixinal de Størmer implica resolver un conxunto de aproximadamente 3*k* ecuacións de Pell, atopando en cada unha só a solución máis pequena. A continuación descríbese unha versión simplificada do procedemento, debido a D. H. Lehmer; resolve menos ecuacións mais da atopado máis solucións en cada ecuación.

Sexa P o conxunto dado de primos e definimos un número como P-suave se todos os seus factores primos pertencen a P. Supoñamos que P1 = 2; se non, non podería haber números P-suaves consecutivos, porque todos os números P-suaves serían impares. O método de Lehmer implica resolver a ecuación de Pell

: x^2-2qy^2 = 1

para cada número P-suave libre de cadrados q distinto de 2. Cada número q xérase como produto dun subconxunto de P, polo que hai que resolver  2^k-1 ecuacións de Pell. Para cada ecuación deste tipo, sexan x_i, y_i as solucións xeradas para i no intervalo de 1 a \max(3,(p_k + 1)/2) (inclusive), onde p_k é o maior dos primos de P.

Entón, como mostra Lehmer, todos os pares consecutivos de números P-suaves teñen a forma (x_i-1)/2, (x_i+1)/2 e só temos que comprobar a P-suavidade destes pares.

## Exemplo 
Imos atopar os dez pares consecutivos de {2,3,5}-números suaves. Hai sete números *P*-suaves libres de cadrados *q* (omitindo o oitavo número *P*-suave sen cadrados: 1, 3, 5, 6, 10, 15 e 30, e cada un deles leva a unha ecuación de Pell. O número de solucións por ecuación de Pell requirido polo método de Lehmer é \max(3, (5+1)/2)=3, polo que este método xera tres solucións para cada ecuación de Pell, como veremos a continuación.

* Para *q* = 1, as tres primeiras solucións da ecuación de Pell x^2 - 2y^2 =1  son (3,2), (17,12) e (99,70). Así, para cada un dos tres valores *xi* = 3, 17 e 99, o método de Lehmer proba o par ( (x_i - 1)/2, (x_i + 1)/2 ),  os tres pares a probar son logo (1,2), (8,9) e (49,50). Tanto (1,2) como (8,9) son pares de números *P*-suaves consecutivos, mais (49,50) non o é, xa que 49 ten 7 como factor primo.
* Para *q* = 3, as tres primeiras solucións da ecuación de Pell x^2 - 6y^2 =1  son (5,2), (49,20) e (485,198). A partir dos tres valores *xi* = 5, 49 e 485 os tres pares candidatos de números consecutivos son: (2,3), (24,25) e (242,243). Deles, (2,3) e (24,25) son pares de números *P*-suaves consecutivos pero (242,243) non o é.
* Para *q* = 5, as tres primeiras solucións da ecuación de Pell x^2 - 10y^2 =1  son (19,6), (721,228) e (27379,8658). A solución de Pell (19,6) leva ao par de números *P*-suaves consecutivos (9,10); as outras dúas solucións da ecuación de Pell non dan lugar a pares *P*-suaves.
* Para *q* = 6, as tres primeiras solucións da ecuación de Pell x^2 - 12y^2 = 1  son (7,2), (97,28) e (1351,390). A solución de Pell (7,2) leva ao par de números *P*-suaves consecutivos (3,4).
* Para *q* = 10, temos x^2 - 20y^2 =1  con solucións (9,2), (161,36) e (2889,646). Aquí (9,2) conduce ao par de números *P*-suaves consecutivos (4,5) e (161,36) a (80,81).
* Para *q* = 15, temos x^2 - 30y^2 =1  con solucións (11,2), (241,44) e (5291,966). Aquí para (11,2) temos os *P*-suaves consecutivos (5,6).
* Para *q* = 30, as tres primeiras solucións da ecuación de Pell x^2 - 60y^2 =1  son (31,4), (1921,248) e (119071,15372). A solución de Pell (31,4) conduce ao par de números *P*-suaves consecutivos (15,16).

## Contaxe de solucións 
O resultado orixinal de Størmer pódese usar para mostrar que o número de pares consecutivos de números enteiros que son suaves en relación a un conxunto de *k* primos é como máximo 3^k - 2^k. O resultado de Lehmer produce un límite máis axustado para conxuntos de números primos pequenos: 
2^{k-1} \cdot \max(3, (p_k+1)/2) .

O número de pares consecutivos de números enteiros que son suaves en relación aos primeiros *k* primos son

: 1, 4, 10, 23, 40, 68, 108, 167, 241, 345,...      .

O maior número enteiro de todos estes pares, para cada *k*, é

: 2, 9, 81, 4375, 9801, 123201, 336141, 11859211,...  .

## Xeneralizacións e aplicacións 
Louis Mordell escribiu sobre este resultado, dicindo que "é moi feituco, e hai moitas aplicacións del". 

Chein (1976) utilizou o método de Størmer para demostrar a conxectura de Catalan sobre a inexistencia de potencias perfectas consecutivas (diferentes a 8,9) no caso de que unha das dúas potencias sexa un cadrado.

Mabkhout (1993) demostrou que todo número x^4 + 1, para x > 3, ten un factor primo maior ou igual a 137. O teorema de Størmer é unha parte importante da súa demostración, na que reduce o problema á solución de 128 ecuacións de Pell.

Varios autores ampliaron o traballo de Størmer proporcionando métodos para enumerar as solucións de ecuacións diofántianas máis xerais, ou proporcionando criterios de divisibilidade máis xerais para as solucións das ecuacións de Pell.

Conrey, Holmstrom e McLaughlin (2013) describen un procedemento computacional que, empíricamente, atopa moitos mais non todos os pares consecutivos de números suaves descritos polo teorema de Størmer, e é moito máis rápido que usar a ecuación de Pell para atopar todas as solucións.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*

### Outros artigos 
* Suavidade.
* Ecuación de Pell