1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

é a súa asíntota suavizada; a súa intersección *no eixo y* é −1/12.]]

A serie infinita cuxos termos son os números naturais ''''* é unha serie diverxente. A *n-* ésima suma parcial da serie é o número triangular

: \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n + 1)}{2},

que aumenta sen límite cando *n* vai ao infinito. Debido a que a secuencia de sumas parciais non consegue converxer a un límite finito, a serie non ten unha suma.

En matemáticas úsanse moitos métodos de suma para asignar valores numéricos mesmo a unha serie diverxente. En particular, os métodos de regularización da función zeta e a  suma de Ramanujan asignan á serie un valor de que se expresa mediante unha famosa fórmula:

: 1 + 2 + 3 + 4 + \cdots = -\frac{1}{12},

onde o valor obtido debe ser interpretado como o valor obtido mediante un dos métodos de suma mencionados anteriormente e non como a suma dunha serie infinita no seu significado habitual. Estes métodos teñen aplicacións noutros campos como a análise complexa, a teoría cuántica de campos e a teoría de cordas.

## Sumas parciais 
miniatura| Os seis primeiros números triangulares
As sumas parciais da serie  son , etc. A *n-*ésima suma parcial vén dada por unha fórmula sinxela:

: \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n + 1)}{2}.

Esta ecuación era coñecida polos pitagóricos xa no século VI a.C. Os números desta forma chámanse números triangulares, porque poden ordenarse como un triángulo equilátero.

## Sumabilidade 
[miniatura| Pasaxe do primeiro caderno de [Srinivasa Ramanujan|Ramanujan que describe a "constante" da serie]]
Srinivasa Ramanujan presentou dúas deducións de "  no capítulo 8 do seu primeiro caderno.

### Baseado na serie alternada 
A primeira idea clave é que a serie de números positivos  parécese moito á serie alternada . Esta última serie tamén é diverxente, mais é moito máis doado de traballar; existen varios métodos clásicos que lle atribúen un valor, que se exploran dende o século XVIII.

: 
\begin{alignat}{7}
 c   = {}&& 1 + 2 &&{} + 3 + 4 &&{} + 5 + 6 + \cdots \\
 4c   = {}&&   4 &&{}   + 8 &&{}  + 12 + \cdots \\
 c - 4c = {}&& 1 - 2 &&{} + 3 - 4 &&{} + 5 - 6 + \cdots
\end{alignat}

A segunda idea clave é que a serie alternada  é a expansión formal da serie de potencias (para *x* no punto 0) da función \dfrac{1}{1+x} que é 1-2x+3x^2-4x^3+\ldots avaliada para x=1 . En consecuencia, Ramanujan escribe

: -3c = 1 - 2 + 3 - 4 + \cdots = \frac{1}{(1 + 1)^2} = \frac14.

Dividindo ambos os dous lados por −3, obtense -\frac{1}{12}.

### Regularización da función zeta 
miniatura| Gráfica de *ζ*(*s*). Para , a serie converxe e . O prolongamento analítico arredor do polo en  leva a unha rexión de valores negativos, incluíndo
Na regularización da función zeta, a serie \sum_{n=1}^\infty n substitúese pola serie \sum_{n=1}^\infty n^{-s}. Esta última serie é un exemplo dunha serie de Dirichlet. Cando a parte real de *s* é maior que 1, a serie de Dirichlet converxe, e a súa suma é a función zeta de Riemann *ζ*(*s*). Por outra banda, a serie de Dirichlet diverxe cando a parte real de *s* é menor ou igual a 1, polo que, en particular, a serie  que resulta de estabelecer  non converxe. O beneficio de introducir a función zeta de Riemann é que se pode definir para outros valores de *s* mediante a continuación analítica. Pódese entón definir a suma zeta-regularizada de  como *ζ* (−1).

A partir deste punto, hai algunhas formas de demostrar que 

: 
\begin{alignat}{7}
\zeta(s)&{}={}&1^{-s}+2^{-s}&&{}+3^{-s}+4^{-s}&&{}+5^{-s}+6^{-s}+\cdots& \\
2\times2^{-s}\zeta(s)&{}={}& 2\times2^{-s}&& {}+2\times4^{-s}&&{} +2\times6^{-s}+\cdots& \\
\left(1-2^{1-s}\right)\zeta(s)&{}={}&1^{-s}-2^{-s}&&{}+3^{-s}-4^{-s}&&{}+5^{-s}-6^{-s}+\cdots&=\eta(s).
\end{alignat}

A identidade (1 - 2^{1-s}) \zeta(s) = \eta(s) séguese cumprindo cando ambas as funcións se estenden mediante o prolongamento analítico para incluír valores de *s* para os que diverxen as series anteriores. Substituíndo , obtense . Agora, calcular *η*(−1) é unha tarefa máis sinxela, xa que a función eta é igual á suma de Abel da serie que a define, que é un límite unilateral:

: 
 -3\zeta(-1) =
 \eta(-1) = \lim_{x\to 1^-} \left(1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \cdots\right) =
 \lim_{x\to 1^-}\frac{1}{(1 + x)^2} =
 \frac14.

Dividindo ambos os dous lados por −3, obtense \zeta(-1) = -\frac{1}{12} 

### Sumatorio de Ramanujan 
A suma Ramanujan de  tamén é&nbsp;. Está recollido nunha carta que envía a G. H. Hardy, no 27 de febreiro de 1913.

A suma de Ramanujan é un método para illar o termo constante na fórmula de Euler-Maclaurin para as sumas parciais dunha serie. Para unha función *f*, a suma clásica de Ramanujan da serie \textstyle\sum_{k=1}^\infty f(k) defínese como

: c = -\frac{1}{2} f(0) - \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{(2k)!} f^{(2k-1)}(0),

onde *f*(2*k*−1) é a (2*k*&nbsp;−&nbsp;1)-ésima derivada de *f* e * B*2*k* é o (2*k*)-ésimo número de Bernoulli: , , etc. Facendo , a primeira derivada de *f* é 1, e todos os demais termos desaparecen, polo que

: c = -\frac16 \times \frac{1}{2!} = -\frac{1}{12}.

Para evitar inconsistencias, a teoría moderna do sumatorio de Ramanujan require que *f* sexa "regular" no sentido de que as derivadas de orde superior de *f'' decaen o suficientemente rápido como para que os termos restantes na fórmula de Euler-Maclaurin tenden a 0. Ramanujan asumiu tácitamente esta propiedade.  O requisito de regularidade impide o uso da suma Ramanujan en series espazadas como , porque ningunha función regular toma eses valores. Pola contra, tal serie debe interpretarse mediante a regularización da función zeta. Por este motivo, Hardy recomenda "gran precaución" ao aplicar as sumas Ramanujan das series coñecidas para atopar as sumas das series relacionadas.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
### Outros artigos 
* Serie diverxente.
### Ligazóns externas 
* Lamb E. (2014), "Does 1+2+3... Really Equal –1/12?", Scientific American Blogs.
* This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 124), (Week 126), (Week 147), (Week 213)
** Euler's Proof That 1 + 2 + 3 + ⋯ = −1/12 – by John Baez
** 
* The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation by Terence Tao
* A recursive evaluation of zeta of negative integers by Luboš Motl

** Suma de números naturais (segunda proba e imaxes extra) inclúe unha demostración do método de Euler.
** Why –1/12 is a gold nugget vídeo de seguimento de Numberphile de Edward Frenkel
* Divergent Series: why 1 + 2 + 3 + ⋯ = −1/12 por Brydon Cais daUniversity of Arizona