Característica de Euler

En matemática, e en particular en topoloxía alxébrica, a **característica de Euler** ou **característica de Euler-Poincaré** é un invariante topolóxico, un número definido que serve para ampliar unha clase de espazos topolóxicos. Denótase xeralmente por \chi (a letra grega khi).

## Característica de Euler en poliedros 
A característica de Euler dun politopo de tres dimensións (poliedro) pode calcularse empregando a fórmula seguinte:

:\chi=C-A+V \,\!

onde *C*, *A* e *V* son os números de caras, de arestas e de vértices respectivamente. En particular, para calquera poliedro homeomorfo a unha esfera tense

:\chi=C-A+V=2 \,\!

Por exemplo, para un cubo tense 6 - 12 + 8 = 2 e para un tetraedro tense 4 - 6 + 4 = 2. A fórmula anterior tamén se chama **fórmula de Euler**, que se pode demostrar por indución matemática.

Outros exemplos poden atoparse na seguinte táboa

Un poliedro que non sexa homeomorfo a unha esfera, como o poliedro toroidal da figura, que ten 48 caras, 22 vértices e 70 arestas obtense 22 - 70 + 48 = 0.

miniatura|Poliedro toroidal de 48 caras
Táboa coas característica de Euler doutros poliedros 

## Xeneralización ás superficies 
miniatura|Esfera triangulada a partir dun icosaedro.
Unha superficie compacta como a esfera, o toro, o bitoro, un disco con bordo etc. xorde de deformar de forma continua un poliedro. Por exemplo, se se deforma un icosaedro ata obter unha esfera as arestas transfórmanse en curvas sobre a esfera, as caras son "triángulos" e os vértices puntos sobre as mesmas. Así, a esfera quedará "triangulada". Para definir a característica dunha superficie empréganse estas triangulacións realizando a fórmula análoga χ(*S*) = Triángulos - Lados + Vértices. En realidade as triangulacións non deben facerse necesariamente con triángulos, senón con calquera polígono, tendo en conta que dous polígonos só compartan unha aresta como máximo, e que, se comparten un lado, só compartan os dous vértices dese lado. Así a xeneralización da característica de Euler para unha superficie cerrada S é

: \chi(S) = \mbox{Polígonos - Lados + Puntos} \,\!

A característica de Euler de superficies orientadas pechadas relaciónase co seu xénero *g*, que é un número que describe a cantidade de «asas» que ten a superficie. A relación vén dada por:
 
: \chi(S) = 2 - 2 g \,\!

Por exemplo: o toro ten unha asa e polo tanto  \chi = 2 - 2 g= 2-2=0.

## Definición xeral e propiedades 
Para un CW-complexo finito e en particular para un complexo simplicial finito, a característica de Euler pode definirse como a suma alternada

:\chi=k_0-k_1+k_2-\cdots,

onde *k**i* denota o número de células de dimensión *i*.

Entón, pode definirse a característica de Euler dunha variedade como a característica de Euler dun complexo simplicial homeomorfo a el. Por exemplo, o círculo e o toro teñen característica de Euler 0 e as bólas sólidas teñen característica de Euler 1.
 
A característica de Euler é independente da triangulación. A fórmula pode tamén empregarse para as descomposicións en polígonos arbitrarios.

Para as variedades pechadas, a característica de Euler coincide co **número de Euler**, é dicir, a clase de Euler do seu fibrado tanxente avaliado na clase fundamental da variedade.

Para as variedades de Riemann pechadas, a característica de Euler pode atoparse tamén integrando a curvatura. Un análogo discreto do teorema de Gauss-Bonnet é o teorema de Descartes que indica que o "defecto total" dun poliedro, medido en círculos completos, é a característica de Euler do poliedro.

Máis xeralmente aínda, para calquera espazo topolóxico, podemos definir o *n*-ésimo número de Betti *b**n* como o rango do *n*-ésimo grupo de homoloxía. A característica de Euler pode definirse entón como a suma alternada

:\chi=b_0 - b_1 + b_2 - b_3 +\, \cdots.

Esta definición ten sentido se os números de Betti son todos finitos e cero máis aló dun determinado índice *n*0.

Dous espazos topolóxicos que son equivalentes homotópicos teñen grupos isomorfos de homoloxía e polo tanto a mesma característica de Euler.

Desta definición e a dualidade de Poincaré, séguese que a característica de Euler de calquera variedade pechada de dimensión impar é cero.

Se *M* e *N* son espazos topolóxicos, entón a característica de Euler do seu produto *M* × *N* é

:\chi(M \times N) = \chi(M) \cdot \chi(N).

## Conxunto parcialmente ordenado 
O concepto de característica de Euler dun conxunto parcialmente ordenado finito limitado é outra xeneralización, importante en combinatoria. Un conxunto parcialmente ordenado é limitado se ten elementos mínimos e máximos, que podemos chamar 0 e 1. A característica de Euler dese conxunto é &mu;(0,1), onde &mu; é a función de Möbius na álxebra de incidencia do conxunto.

## Véxase tamén 
### Outros artigos 
*Teorema de poliedros de Euler
*Xénero
*Teorema de Pick

### Ligazóns externas 
* Característica de Euler en Encyclopaedia of Mathematics