Inverso multiplicativo

[alt=Graph showing the diagrammatic representation of limits approaching infinity|dereita|miniatura|300x300px| A función recíproca: . Para cada *x* agás 0, *y* representa a súa inversa multiplicativa. A gráfica forma unha [Hipérbole (xeometría)|hipérbola rectangular.]]

En matemáticas, un **inverso multiplicativo** ou **recíproco** para un número *x*, denotado como 1/*x* ou *x*&#x2212;1, é un número que cando se multiplica por *x* dá a identidade multiplicativa, 1. O inverso multiplicativo dunha fracción *a*/*b* é *b*/*a*. Por exemplo, o recíproco de 5 é un quinto (1/5 ou 0,2) e o recíproco de 0,25 é 1 dividido por 0,25 ou 4. A **función recíproca**, a función *f*(*x*) que asigna *x* a 1/*x*, é un dos exemplos máis sinxelos dunha función que é a súa propia inversa (unha involución).

Na frase *inverso multiplicativo*, o cualificativo *multiplicativo* adoita omitirse e logo enténdese implicitamente (en contraste co inverso da suma). Os inversos multiplicativos pódense definir en moitos dominios matemáticos. Nestes casos pode ocorrer que ; daquela "inverso" normalmente implica que un elemento é á vez un elemento inversa pola esquerda e pola dereita.

A notación *f* −1 ás veces tamén se usa para a función inversa da función *f*, que para a maioría das funcións non é igual á inversa multiplicativa. Por exemplo, o inverso multiplicativo  é a cosecante de x, e non o seno inverso de *x* indicado por  ou .

## Exemplos 
Nos números reais, o cero non ten un recíproco (a división por cero non está definida) porque ningún número real multiplicado por 0 produce 1. A propiedade de que todo elemento distinto de cero ten un inverso multiplicativo forma parte da definición dun corpo. Por outra banda, ningún número enteiro diferente a 1 e −1 ten un recíproco nos enteiros (o resultado sería un número con decimais), polo que os enteiros non son un corpo.

En aritmética modular, tamén se define o inverso multiplicativo modular de *a*: é o número *x* tal que . Este inverso multiplicativo existe se e só se *a* e *n* son coprimos. Por exemplo, o inverso de 3 módulo 11 é 4 porque  . O algoritmo de Euclides estendido pódese utilizar para calculalo.

Unha matriz cadrada ten unha inversa se e só se o seu determinante ten unha inversa no anel de coeficientes.

As dúas nocións de función inversa coinciden ás veces, por exemplo para a función f(x)=x^i=e^{i\ln(x)} onde \ln é a rama principal do logaritmo complexo e e^{-\pi}:

: ((1/f)\circ f)(x)=(1/f)(f(x))=1/(f(f(x)))=1/e^{i\ln(e^{i\ln(x)})}=1/e^{ii\ln(x)}=1/e^{-\ln(x)}=x .

As funcións trigonométricas están relacionadas pola identidade recíproca: a cotanxente é o recíproco da tanxente; a secante é o recíproco do coseno; a cosecante é o recíproco do seno.

Un anel no que cada elemento distinto de cero ten un inverso multiplicativo é un anel de división; do mesmo xeito, unha álxebra na que isto cúmprose é unha álxebra de división.

## Números complexos 
O recíproco de todo número complexo distinto de cero z=a+bi é complexo. Pódese atopar multiplicando a parte superior e inferior de 1/*z* polo seu complexo conxugado \bar z = a - bi e utilizando a propiedade que z\bar z = \|z\|^2, o valor absoluto de *z* cadrado, que é o número real  :

: \frac{1}{z} = \frac{\bar z}{z \bar z} = \frac{\bar z}{\|z\|^2} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2} = \frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}i.

En particular, se || *z* ||=1 , entón 1/z = \bar z . En consecuencia, as unidades imaxinarias, , teñen inverso aditivo igual a inverso multiplicativo e son os únicos números complexos con esta propiedade. Por exemplo, os inversos aditivos e multiplicativos de  son  e , respectivamente.

Para un número complexo en forma polar , o recíproco simplemente toma o valor recíproco da magnitude e negativo do ángulo:

: \frac{1}{z} = \frac{1}{r}\left(\cos(-\varphi) + i \sin(-\varphi)\right).

miniatura| Intuición xeométrica para a integral de 1/*x*. As tres integrais de 1 a 2, de 2 a 4 e de 4 a 8 son todas iguais. Cada rexión é a rexión anterior reducida á metade verticalmente e duplicada horizontalmente. Ampliando isto, a integral de 1 a 2*k* é *k* veces a integral de 1 a 2, do mesmo xeito que ln 2*k* = *k* ln 2.

## Cálculo 
No cálculo real, a derivada de  vén dada pola regra da potencia coa potencia −1:

:  \frac{d}{dx} x^{-1} = (-1)x^{(-1)-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}.

A integral vén dada por: \int_1^a \frac{dx}{x} = \ln a,\int \frac{dx}{x} = \ln x + C. onde ln é o logaritmo natural. Para mostrar isto, teña en conta que \frac{d}{dy} e^y = e^y, así que se x = e^y e y = \ln x, temos:\begin{aligned}
&\frac{dx}{dy} = x\quad \Rightarrow \quad \frac{dx}{x} = dy \\[10mu]
&\quad\Rightarrow\quad \int \frac{dx}{x} = \int dy = y + C = \ln x + C.
\end{aligned}

## Algoritmos 
O recíproco pódese calcular a man co uso da división longa.

Calcular o recíproco é importante en moitos algoritmos de división, xa que o cociente *a*/*b* pódese calcular primeiro calculando 1/*b* e despois multiplicándoo por *a*. Observando iso f(x) = \dfrac{1}{x} - b, ten un cero en *x* = 1/ *b*, co método de Newton pódese atopar ese cero, comezando cunha suposición x_0 e iterando usando a regra:

: x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n - \frac{1/x_n - b}{-1/x_n^2} = 2x_n - bx_n^2 = x_n(2 - bx_n).

E repítese o bucle ata alcanzar a precisión desexada. Por exemplo, supoñamos que queremos calcular 1/17 ≈ 0,0588 con 3 díxitos de precisión. Tomando *x*0 = 0,1, prodúcese a seguinte secuencia:

: *x* 1 = 0,1 (2 − 17 × 0,1) = 0,03
: *x* 2 = 0,03 (2 − 17 × 0,03) = 0,0447
: *x* 3 = 0,0447(2 − 17 × 0,0447) ≈ 0,0554
: *x* 4 = 0,0554 (2 − 17 × 0,0554) ≈ 0,0586
: *x* 5 = 0,0586 (2 − 17 × 0,0586) ≈ 0,0588

Esta iteración tamén se pode xeneralizar a un tipo máis amplo de inversos; por exemplo a matriz inversa.

## Recíprocos de números irracionais 
Todo número real ou complexo excluíndo o cero ten un recíproco, e os recíprocos de certos números irracionais poden ter propiedades especiais importantes.

Os exemplos inclúen o recíproco de *e* (≈&nbsp;0,367879) e o recíproco da razón áurea (≈&nbsp;0,618034). O primeiro recíproco é especial porque ningún outro número positivo pode producir un número inferior cando se eleva a unha potencia de si mesmo; f(1/e) é o mínimo global de f(x)=x^x. O segundo número é o único número positivo que é igual ao seu recíproco máis un: \varphi = 1/\varphi + 1. O seu inverso aditivo é o único número negativo que é igual ao seu recíproco menos un: -\varphi = -1/\varphi - 1.

Para as raíces, cun método similar aos números complexos, podemos multiplicar e dividir polo propio número:

\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{x}. Isto leva a resultados curiosos como que o recíproco de \sqrt{2} é a súa metade.

A función recíproca xoga un papel importante nas fraccións continuas, que teñen unha serie de propiedades notables relacionadas coa representación de números (tanto racionais como irracionais).

## Máis observacións 
Se a multiplicación é asociativa, un elemento *x* cunha inversa multiplicativa non pode ser un divisor de cero (*x* é un divisor de cero se para algún *y* diferente de cero, ). Para ver isto, abonda con multiplicar a ecuación  pola inversa de *x* (pola esquerda), e logo simplificar usando a asociatividade. En ausencia de asociatividade, os sedenións proporcionan un contraexemplo (na álxebra abstracta, os sedenions forman unha álxebra non conmutativa e non asociativa de 16 dimensións sobre os números reais, normalmente representados pola letra **S** maiúscula).

A viceversa non se verifica: un elemento que non é un divisor de cero non se garante que teña un inverso multiplicativo. Dentro de **Z**, todos os números enteiros agás −1, 0, 1 proporcionan exemplos; non son divisores de cero nin teñen inversos en **Z** . No entanto, se o anel ou a álxebra é finita, todos os elementos *a* que non son divisores de cero teñen un inverso (esquerda e dereita). Por exemplo, primeiro observe que o mapa  debe ser inxectivo:  implica  :

: \begin{align}
 ax &= ay &\quad \rArr & \quad ax-ay = 0 \\
 & &\quad \rArr &\quad a(x-y) = 0 \\
 & &\quad \rArr &\quad x-y = 0 \\
 & &\quad \rArr &\quad x = y.
\end{align}

Elementos distintos mapean a elementos distintos, polo que a imaxe consta do mesmo número finito de elementos e o mapa é necesariamente sobrexectivo. En concreto, ƒ (é dicir, a multiplicación por *a*) debe mapear algún elemento *x* a 1, , de xeito que *x* sexa inverso para *a*.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*Maximally Periodic Reciprocals, Matthews R.A.J. *Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications* vol 28 pp 147–148 1992
### Outros artigos 
* Aritmética modular.
* Matriz invertíbel.
* Anel (álxebra)