Aplicación linear

En matemáticas unha **aplicación linear** é unha aplicación entre dous espazos vectoriais, que preserva as operacións de adición de vectores e multiplicación por un escalar.

En álxebra abstracta e en álxebra linear unha aplicación linear é un homomorfismo entre espazos vectoriais ou na linguaxe da teoría de categorías un morfismo sobre a categoría dos espazos vectoriais sobre un corpo dado.

## Definición 
Denomínase aplicación linear, función linear ou transformación linear á aplicación en que os seus dominio e codominio sexan espazos vectoriais que cumpra a seguinte definición:
:Sexan V e W espazos vectoriais sobre o mesmo corpo K. Unha aplicación T de V en W é unha transformación linear se para todo par de vectores u, v \in V e para todo escalar k \in K, se satisfai que:
:# T(u+v) = T(u) + T(v) \,
:# T(ku) = kT(u) \,.

## Exemplos 
# A aplicación  B:\mathbb C\to \mathbb C  que envía  \alpha  en  \bar\alpha  (o seu conxugado) é unha transformación linear se se considera  \mathbb C  como un  \mathbb R-espazo vectorial. Non obstante, non o é se se pensa como  \mathbb C-espazo vectorial, xa que B(i)=-i\neq iB(1) = i .
# Dado un espazo vectorial calquera, pódese definir a función identidade T:V \rarr V \quad/\quad T(x) = x, \forall x \in V, que resulta unha transformación linear.
# As homotecias: T:\mathbb{K}^n \rarr \mathbb{K}^n \quad/\quad T(x) = kx con k \in \mathbb{K}. Se *k* > 1 denomínanse dilatacións e se *k* A\in M_{n\times m}(K), a función L_A:K^m\rightarrow K^n definida como L_A(x) = Ax é unha transformación linear. Grazas á matriz asociada, pódese concluír que calquera transformación linear definida entre espazos vectoriais de dimensión finita pode verse como multiplicar por unha matriz.
# Sexa V o conxunto de funcións continuas en \mathbb{R} e defínase \phi:V \rarr V mediante  \phi(f)(t) = \int_0^t f(x)\,dx , ocorre que:
:  \int_0^t (f(x) + g(x))\,dx = \int_0^t f(x)\,dx + \int_0^t g(x)\,dx 
: e
:  \int_0^t cf(x)\,dx = c \int_0^t f(x)\,dx  para  c \in \mathbb{R} 
: Polo tanto, cúmprese que \phi(f +g) = \phi(f) + \phi(g) e \phi(cf)= c\, \phi(f) para todo f e g en V e todo  c \in \mathbb{R} , así que \phi é unha aplicación linear de V en V.

## Propiedades das transformacións lineares 
Sexan V_{}^{} e W_{}^{} espazos vectoriais sobre K_{}^{} (onde K_{}^{} representa o corpo), satisfaise que:
Se T: V \rarr W é linear, defínese o núcleo (ker) e a imaxe (Im) de T_{}^{} como:
{{ecuación|
:\operatorname{ker}(T)=\{\,v\in V:T(v)=0_W\,\}
:\operatorname{Im}(T)=\{\,w\in W: \exists v\in V:T(v)=w\,\}
||left}}
É dicir, que o núcleo dunha transformación linear está formado polo conxunto de todos os vectores do dominio que teñen por imaxe o vector nulo do codominio.

O núcleo de toda transformación linear é un subespazo vectorial do dominio:
# 0_V \in \operatorname{ker}(T) dado que T(0_V) = 0_W (para probar isto, obsérvese que  T(0_V) = T(0_V+0_V)=T(0_V)+T(0_V) ).
# Dados u , v \in \operatorname{ker}(T) : T(u+v) = T(u) + T(v) = 0_W + 0_W = 0_W \Rightarrow u + v \in \operatorname{ker}(T)
# Dados u \in \operatorname{ker}(T) \land k \in \real : T(ku) = k T(u) \land T(ku) = k 0_W = 0_W \Rightarrow ku \in \operatorname{ker}(T)

Denomínase nulidade á dimensión do núcleo. \operatorname{null}(T) = \operatorname{dim}(\operatorname{ker}(T))

A imaxe dunha transformación linear está formada polo conxunto de todos os vectores do codominio que son imaxe de polo menos algún vector do dominio.
* A imaxe de toda transformación linear é un subespazo do codominio.
* O rango dunha transformación linear é a dimensión da imaxe. 
:\operatorname{ran}(T) = \operatorname{dim}(\operatorname{Im}(T))

## Obtención de novas transformacións lineares a partir doutras dadas 
Se *f*1:V→W e *f*2:V→W son lineares, entón tamén o é a súa suma *f*1+*f*2 (definida como (*f*1+*f*2)(*x*)=*f*1(*x*)+*f*2(*x*)).

Se *f* :V→W é linear e *a* é un elemento do corpo *K*, entón a función *af*, definida como (*af*)(*x*) = *a*(*f*(*x*)), tamén é linear.

Grazas a estas dúas propiedades, e a que a función que envía todo ao elemento nulo é unha aplicación linear, é que o conxunto de transformacións lineares *f*:V→W forma un subespazo das funcións de V en *W*. A este subespazo denótase *L*(W,W) ou Hom(W,W). A dimensión de *L*(V,W) é igual ao produto das dimensións de V e W.

Se *f*:V→W e *g*:W→Z son lineares entón a súa composición *g*∘*f*:V→Z tamén o é.

Dado un espazo vectorial V, o espazo vectorial *L*(V,V), que adoita denotarse End(V), forma unha álxebra asociativa sobre o corpo base, onde a multiplicación é a composición e a unidade é a transformación identidade.

Se *f*:V→W é unha transformación linear bixectiva, entón a súa inversa tamén é transformación linear.

## Teoremas básicos das transformacións
* Sexa *B* = {*v**i*: *i* ∈ *J*} base de V e *C* = {*w**i*: *i* ∈ *J*} unha colección de vectores de W non necesariamente distintos, entón existe unha única transformación linear **T: V → W** que satisfai: 
: T(v_i) = w_i, \  \forall  i\in J
* Sexa T:V\rightarrow W unha transformación linear.
:entón  \dim(V)=\dim(N(T))+\dim (\operatorname{Im}(T))

Como corolario básico deste teorema, obtense que unha transformación linear dun espazo vectorial de dimensión finita nel mesmo é un isomorfismo se e só se é un epimorfismo se e só se é un monomorfismo.

## Clasificación das transformacións lineares 
* Funcional linear: So as transformación lineares T: V \rarr \mathbb K (onde \mathbb K é o corpo base de V).
* Monomorfismo: Se T: V \rarr W é inxectiva; equivalentemente, se o único elemento do núcleo é o vector nulo. \operatorname{ker}(T) = {0_V}
* Epimorfismo: Se T: V \rarr W é sobrexectiva.
* Isomorfismo: Se T: V \rarr W é bixectiva (inxectiva e sobrexectiva)
* Endomorfismo: Transformación linear en que dominio e codominio coinciden.
* Automorfismo: Endomorfismo bixectivo.

## Matriz asociada a unha transformación linear 
Se V e W teñen dimensión finita e se teñen escollidas bases en cada un dos espazos, entón toda transformación linear de V en W pode representarse por unha matriz. Reciprocamente, toda matriz representa unha transformación linear.

Sexan T:V→W unha transformación linear, *B*={**v**1, ..., **v***n*} unha base de V, *C*={**w**1, ..., **w***m*} base de W. Para calcular a matriz asociada a T bas bases *B* e *C* cómpre calcular T(**v**i) para cada *i*=1,...,*n* e escribilo como combinación linear da base *C*:
T(**v**1)=*a**11***w**1+ ...+a*m1* **w***m*, ..., T(**v**n)=*a**1n***w**1+ ...+a*mn* **w***m*.

A matriz asociada denótase C[T]B e é:
:_C[T]_B=\begin{pmatrix}a_{11} &...& a_{1n}\\ ...& ... & ...\\ a_{m1}& ... & a_{mn}\end{pmatrix} .

Como un vector de W se escribe de forma única como combinación linear de elementos de *C*, a matriz é única.

Como dada calquera escolla de *u1*, ..., *un* existe e é única a transformación linear que envía *v*i en *u*i, entón, dada *A* calquera matriz *m*×*n*, existe e é única a transformación linear T:V→W tal que *C* [*T*] *B*=*A*.

Ademais, as matrices asociadas cumpren que *C* [*aT*+*bS*] *B* = *a* *C* [*T*] *B* + *b* *C* [*S*] *B* para calquera *a*,*b*∈ℝ, *T*,*S*∈ *L*(*V*,*W*). Por isto, a aplicación que fai corresponder cada transformación linear coa súa matriz asociada é un isomorfismo entre *L*(V,W) e *M**n*×*mC* (*K*).

De restrinxirse ao caso V=W, *C*=*B*, tense ademais que esta aplicación é un isomorfismo entre álxebras.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 
* 
### Outros artigos 
* Álxebra linear
* Teorema rango-nulidade
* Lista de funcións matemáticas
* Operador linear limitado
### Ligazóns externas 
* Universidad Politécnica de Madrid: Aplicaciones lineales
* Universidad Politécnica de Catalunya: Aplicaciones Lineales 
* Matemáticas para todos: Aplicaciones Lineales
* Universidad de Cantabria: Aplicaciones lineales