Paradoxo de Arrow

miniatura|Kenneth Arrow
Na teoría da decisión, o **paradoxo de Arrow** ou **teorema de imposibilidade de Arrow** establece que cando os votantes teñen tres ou máis alternativas, non é posible deseñar un sistema de votación que permita reflectir as preferencias dos individuos nunha preferencia global da comunidade de modo que ao mesmo tempo se cumpran certos criterios "racionais":

* Ausencia dun "ditador", é dicir, dunha persoa que teña o poder para cambiar as preferencias do grupo.
* Eficiencia de Pareto
* Independencia de alternativas irrelevantes.

Este teorema foi dado a coñecer e demostrado por primeira vez polo Premio Nobel de Economía Kenneth Arrow na súa tese doutoral *Social choice and individual values*, e popularizado no seu libro do mesmo nome editado en 1951. O artigo orixinal, *A Difficulty in the Concept of Social Welfare*, foi publicado en *The Journal of Political Economy*, en agosto de 1950.

## Descrición do teorema 
No campo microeconómico estúdase o comportamento dos axentes económicos individuais supondo que son racionais. Por racionalidade quérese dicir que as preferencias que dos axentes teñen son transitivas, completas e reflexivas.

Podemos dicir que as preferencias son transitivas cando, se a situación A é preferida á situaciónB , e a situaciónB  é preferida á situación C, entón a situación A é preferida á situación C; esta característica da relación de preferencia permite establecer unha orde preferente nas diferentes alternativas que se nos presentan.

O problema xorde cando pasamos do nivel das preferencias individuais ás preferencias ou decisións sociais, isto é, cando tentamos construír unha regra que permita establecer unha orde entre as distintas alternativas, non xa a nivel individuo, senón a nivel social (grupal). Neste caso, pódense dar relacións circulares onde desaparece a transitividade da relación de preferencia (intransitividade).

Un caso de intransitividad dáse, por exemplo, cando un conxunto de tres votantes elixe entre tres alternativas, utilizando a elección por maioría simple como método de votación. O votante A, prefire a opción X  sobre a Y  e Y sobre Z , o votante B prefire aY  sobre Z e a Z sobre X , o votante C prefire a Z sobre X e a X  sobre Y. Nesta situación cal é a escala de preferencia do conxunto? É un exemplo do que se coñece como o paradoxo de Condorcet.

Neste suposto, as ordes de preferencias individuais son:

A)  X > Y ; Y > Z ; X > Z (por transitividade)

B)  Y > Z ; Z > X ; Y > X (por transitividade) 

C)  Z > X ; X > Y ; Z > Y (por transitividade)

Así, mediante a regra da maioría, teriamos as seguintes preferencias do conxunto:

2) Y > Z   (votantes A eB )

e

3)  Z > X   (votantes B e C )

Agora ben, pola regra de transitividade, temos tamén X > Z, o que nos leva a unha situación contraditoria.

A pregunta que formula a teoría da 'elección social' é: baixo que condicións resulta posible que as preferencias agregadas dun conxunto de individuos sexan racionais (reflexivas, transitivas e completas), e a un tempo satisfán determinadas condicións axiolóxicas?

É posible unha función que agregue todas as preferencias individuais e cumpra un mínimo de condicións que poidamos considerar como democráticas? Arrow condiciona a regra de agregación non só a criterios racionais (transitividade, completitude, reflexividade), senón tamén a dous criterios que podemos denominar "democráticos": o **principio de non-ditadura** (non existen individuos que determinen a ordenación das preferencias sociais con independencia das preferencias do resto) e o **principio de non-imposición** (a ordenación das preferencias sociais depende das ordenacións individuais e non se impón por outros criterios, como poden ser a tradición ou o azar).

O resultado do **Teorema de Arrow** conclúe que non existe ningunha regra de agregación de preferencias que teña tales propiedades normativas desexables (que a agregación resulte en preferencias racionais, que a regra e os resultados sexan válidos para calquera configuración de preferencias, que non vaian contra a unanimidade e que a preferencia social entre dúas alternativas sexa independente da existencia ou non de terceiras alternativas), a non ser que as preferencias sexan o fiel reflexo das preferencias dalgún individuo, denominado "ditador".

## Enunciado simplificado do teorema 
O Teorema de Imposibilidade de Arrow parte de establecer que unha sociedade necesita acordar unha orde de preferencia entre diferentes opcións ou situacións sociais. Cada individuo na sociedade ten a súa propia orde de preferencia persoal e o problema é atopar un mecanismo xeral (unha *regra de elección social*) que transforme o conxunto das *ordes de* preferencia individuais nunha orde de *preferencia* para toda a sociedade, o cal debe satisfacer varias propiedades desexables:

* **Dominio non restrinxido** ou **universalidade**: a *regra de elección social* debería crear unha orde completa por cada posible conxunto de ordes de preferencia individuais (o resultado do voto debería poder ordenar entre si todas as preferencias e o mecanismo de votación debería poder procesar todos os conxuntos posibles de preferencias dos votantes)
* **Non imposición** ou **criterio de Pareto débil**: se A resulta socialmente preferido a B, debe existir polo menos un individuo para o cal A sexa preferido a B. Isto implica que a regra non vai contra o criterio de unanimidade.
* **Ausencia de ditadura**: a *regra de elección social* non debería limitarse a seguir a orde de preferencia dun único individuo ignorando aos demais.
* **Asociación positiva dos valores individuais e sociais** ou **monotonía**: se un individuo modifica a súa orde de preferencia ao promover unha certa opción, a orde de preferencia da sociedade debe responder promovendo esa mesma opción ou, como máximo, sen cambiala, pero nunca degradándoa.
* **Independencia das alternativas irrelevantes**: se restrinximos a nosa atención a un subconxunto de opcións e lles aplicámos a *regra de elección social* só a esas opcións, entón o resultado debese ser compatible co correspondente para o conxunto de opcións completo. Os cambios na forma que un individuo ordene as alternativas "irrelevantes" (é dicir, as que non pertencen ao subconxunto) non debesen ter impacto no ordenamento que faga a sociedade do subconxunto "relevante".

O teorema de Arrow di que se o corpo que toma as decisións ten polo menos dous integrantes e polo menos tres opcións entre as que debe decidir, entón é imposible deseñar unha regra de elección social que satisfaga simultaneamente todas estas condicións. Formalmente, o conxunto de regras de decisión que satisfán os criterios requiridos resulta baleiro.

Monge (2021) demostra unha versión alternativa do teorema a partir de funcións de utilidade, en lugar de regras de decisión. Concretamente, demostra que ningunha función de benestar social pode incorporar todas as transformacións monótonamente crecentes das funcións de utilidade de cada individuo; en consecuencia, ningún criterio de utilidade agregada ordinal representa autenticamente as preferencias dos individuos.

## Demostración 
Para demostralo tomaremos como certos os axiomas e veremos que hai un votante decisivo que é un ditador (contradición co axioma 3). Comecemos cunha definición.

Un conxunto V de votantes dise **decisivo para a alternativa x**  **contra y**  se x é elixido sempre que todo votante de V prefira  x a y 

**Demostración**: Paso I {(Hai un votante decisivo)} Para cada par de alternativas x, y existe polo menos un conxunto non baleiro decisivo, o conxunto de todos os votantes. Entre todos estes conxuntos collamos o conxunto mínimo, chamemoslle V. Se este conxunto ten un único votante entón xa está, este é o noso votante decisivo. Vexamos o caso de que teña polo menos dous votantes. Sexa V^* o conxunto contido en V e formado por un único votante, e sexa \hat{V}=V-V^*. Sexa V'=V^c. Imos ver que V^* é decisivo para algunha elección, chegando así a contradición con que V era mínimo. Sexa V decisivo para x ou y , e sexa z calquera outra alternativa. Supoñamos queV^*  elixe (x y z), \hat{V} vota (zxy) e todos en V' votan (yzx). Hai que notar que todos en V prefiren x a y e todos en  V' prefiren y a  x, entón, como V era decisivo na elección, a sociedade prefire x a  en lugar de y . Agora ben,  \hat{V} é menor que V, logo non é decisivo para nada, en particular non é decisivo na elección de  y ou z, entón a sociedade prefire  y a z . Usemos a transitividade, a sociedade prefire x a y pero tamén y a z, entón prefire x a z . Pero se vemos as votacións, o único que votou x por encima de z é V^*, logo V^* é decisivo para x ou z e aquí temos a contradición con que V era mínimo.

**Demostración**: Paso II (este votante decisivo é un ditador), Sexa J un membro da sociedade, dicimos que a\bar{D}b se a é preferido pola sociedade sempre que J prefira a a e sen importar o resto dos votos. E dicimos aDb se a é preferido pola sociedade se J prefire a a e o resto da sociedade a b.Vemos que a\bar{D}b é a condición de ditadura, mentres que aDb é a de ser decisivo.

Chegados a este punto debemos demostrar un lema que nos será útil.

**Lema**: Supoñamos que temos tres alternativas, a,b,c, entón:

aDb\Rightarrow a\bar{D}c

aDb\Rightarrow c\bar{D}b

Demostración (do lema): Teña J esta prioridade, abc, e supoñamos que o resto prefire a b antes que a a ou a c. Como aDb, entón a sociedade prefire a a b . Como todos os individuos prefiren b a c, entón, por transitividade, a sociedade prefire a a c. O axioma 5 asegúranos que sempre que J prefira  a a c  tamén o fará a sociedade. Isto é a\bar{D}c. 

Para probar que aDb \Rightarrow c\bar{D}b supoñamos que J ordena as alternativas en orde cab e todos os outros votantes ordénanos  cba ou bca. Como temos aDb, a sociedade prefire a a  en lugar de b . Por unanimidade a sociedade prefire c a a. A transitividade dános que a sociedade prefire c sobre b. E, polo axioma 5 temos que c\bar{D}b.\quad \blacksquare 

Demostración (da lema): Teña J esta prioridade, abc, e supoñamos que o resto prefire a b antes que a a  ou a c . Como aDb, entón a sociedade prefire a a b. Como todos os individuos prefiren b ac  tamén a sociedade, entón, por transitividade, a sociedade prefire a a c. O axioma 5 asegúranos que sempre que J prefira a a c tamén o fará a sociedade. Isto é a\bar{D}c . 

Para probar que aDb \Rightarrow c\bar{D}b supoñamos que J ordena as alternativas en orde cab e todos os outros votantes ordénanos cba ou bca. Como temos aDb, a sociedade prefire a a en lugar de b . Por unanimidade a sociedade prefire c a a. A transitividade dános que a sociedade prefire c sobre b. E, polo axioma 5 temos que c\bar{D}b.\quad \blacksquare 

Podemos seguir agora coa proba. Temos que ver que a\bar{D}b para todo par de alternativas.1.x\bar{D}z \quad   2.z\bar{D}y \quad
3.x\bar{D}y \quad   4.y\bar{D}z \quad
5.z\bar{D}x \quad   6.y\bar{D}x 

A proba de 1 vén directamente do lema con a=x,b=y ec=z . De maneira similar temos 2. Agora temos que a=x,b=z e c=y dannos 3 e 4. As probas de 5 e 6 son semellantes.\blacksquare 

## Interpretacións do teorema de Arrow 
O Teorema de Arrow adoita expresarse en linguaxe non matemática coa frase "Ningún sistema de voto é xusto". Con todo, esta frase é incorrecta ou, no mellor dos casos, imprecisa, xa que compriría clarificar que se entende por un mecanismo de voto xusto. Aínda que o propio Arrow emprega o termo "xusto" para referirse aos seus criterios, non é en absoluto evidente que así sexa.

O criterio máis discutido é o de **independencia das alternativas irrelevantes** xa que parece excesivamente "forte". E así, cunha definición máis restrinxida de "alternativas irrelevantes" que exclúa a aqueles candidatos do conxunto de Smith, algúns métodos de Condorcet satisfán as propiedades de Arrow.

*O teorema de imposibilidade de Arrow parte dunha situación moi curiosa* que é a seguinte: se enfrontamos as tres alternativas simultaneamente ao voto social teriamos un **triplo empate a un voto**, posto que o axente A votaría a opción X, B a Y e C a Z. Aínda máis, se observamos detidamente, cada unha das tres votacións nas que hai que votar entre dúas alternativas, obtemos un triplo empate a dous votos, isto é: como moi ben se expón máis arriba, entre X e Y temos que  X obtiña dous votos de A e C fronte a Y co voto de B ( apartado 1), no apartado (2) gañaba Y fronte a Z e no  3) gañaba Z fronte a X con outros dous votos. **Triplo empate a dous votos**. Cando se enfrontan alternativas dúas a dúas vólvese a mostrar que non hai posibilidade lóxica de elixir, de feito, a **contradición que se obtén é indicativa desa imposibilidade** (que X é preferida a Z indirectamente e que Z era preferida a X na votación directa). **Isto lévanos á seguinte pregunta**, non será que a situación de partida é a causa da imposibilidade?. Estamos a buscar un sistema de decisión social partindo dunha situación na cal xa existe en si mesma unha imposibilidade de elixir nas condicións formuladas *a posteriori*, dado o empate a tres inicialmente e os empates posteriores a dous votos. Pero podemos ir máis aló, dado que as preferencias individuais, e por extensión as funcións de utilidade ordinais de cada individuo son incomparables entre si e por iso tampouco se poden agregar obxectivamente. Así o teorema de Arrow é unha consecuencia lóxica do modelo de partida.

## Referencias 

## Enlaces externos 
* Tres probas sucintas do Teorema de Imposibilidade de Arrow (en inglés)
* Unha proba pedagóxica do Teorema de Imposibilidade de Arrow (en inglés)
* Discusión do Teorema de Arrow e o método de Condorcet (en inglés)