Polinomios de Chebyshev

Os **polinomios de Chebyshev** son dúas secuencias de polinomios relacionadas coas funcións coseno e seno, escritas como T_n(x) e U_n(x). Pódense definir de varias formas equivalentes, unha das cales comeza con funcións trigonométricas:

Os **polinomios de Chebyshev do primeiro tipo** T_n están definidos por
: T_n(\cos \theta) = \cos(n\theta).
Os **polinomios de Chebyshev do segundo tipo** U_n están definidos por
: U_n(\cos \theta) \sin \theta = \sin\big((n + 1)\theta\big).
Que estas expresións definen polinomios en \cos\theta pode non ser obvio a primeira vista, mais conséguese escribindo \cos(n\theta) e \sin\big((n+1)\theta\big) coa  fórmula de de Moivre ou mediante as fórmulas de suma de ángulos para \cos e \sin repetidamente. Por exemplo, coas fórmulas de ángulo duplo, obtemos 
: T_2(\cos\theta) = \cos(2\theta) = 2\cos^2\theta-1,
: U_1(\cos\theta)\sin\theta = \sin(2\theta) = 2\cos\theta\sin\theta, 

que son respectivamente un polinomio en \cos\theta e un polinomio en \cos\theta multiplicado por \sin\theta. De aí 
: T_2(x) = 2x^2 - 1 e 
: U_1(x) = 2x.

Unha propiedade importante e conveniente dos  é que son *ortogonais* con respecto ao produto interno
: \langle f, g\rangle = \int_{-1}^1 f(x) \, g(x) \, \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1 - x^2}},
e os  son ortogonais con respecto a outro produto interno análogo, que se indica máis abaixo.

Os polinomios de Chebyshev  son polinomios co maior coeficiente posible cuxo valor absoluto no intervalo [−1, 1] está limitado por 1. Tamén son os polinomios "extremos" de moitas outras propiedades.

En 1952, Cornelius Lanczos demostrou que os polinomios de Chebyshev son importantes na teoría da aproximación para a solución de sistemas lineares; as raíces de , que tamén se denominan *nós de Chebyshev*, úsanse como puntos de correspondencia para optimizar a interpolación polinómica. O polinomio de interpolación resultante minimiza o problema do fenómeno de Runge e proporciona unha aproximación que se aproxima á mellor aproximación polinómica a unha función continua baixo a norma máxima, tamén chamada criterio minimax. Esta aproximación leva directamente ao método da cuadratura de Clenshaw-Curtis.

Estes polinomios recibiron o nome de Pafnuty Chebyshev  A letra  úsase polas transliteracións alternativas do nome *Chebyshev* como , (francés) ou  (alemán).

## Definicións 
### Definición de recorrencia 
miniatura| Gráfico dos primeiros cinco polinomios  de Chebyshev (primeiro tipo)
Os **polinomios de Chebyshev do primeiro tipo** obtéñense da relación de recorrencia:\begin{align}
T_0(x) & = 1 \\
T_1(x) & = x \\
T_{n+1}(x) & = 2 x\,T_n(x) - T_{n-1}(x).
\end{align}
A recorrencia permite tamén unha representación explícita como o determinante dunha matriz tridiagonal de tamaño k \times k :
T_k(x) = \det
\begin{bmatrix}
     x &   1 &   0 & \cdots & 0   \\
     1 &   2x &   1 & \ddots & \vdots \\
     0 &   1 &   2x & \ddots & 0   \\
  \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1   \\
     0 & \cdots &   0 &   1 & 2x
\end{bmatrix}

A función xeradora ordinaria ven dada por \sum_{n=0}^{\infty}T_n(x)\,t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}.
A función xeradora exponencial é:
\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x)\frac{t^n}{n!} = \frac{1}{2}\!\left( e^{t\left(x-\sqrt{x^2 - 1} \right)} + e^{t\left(x+\sqrt{x^2 -1}\right)}\right)
= e^{tx}\cosh\left(t\sqrt{x^2-1}\right).
miniatura| Gráfico dos primeiros cinco polinomios  de Chebyshev (segundo tipo)
Os **polinomios de Chebyshev do segundo tipo** están definidos por unha relación de recorrencia:\begin{align}
U_0(x) & = 1 \\
U_1(x) & = 2 x \\
U_{n+1}(x) & = 2 x\,U_n(x) - U_{n-1}(x).
\end{align}
Observemos que os dous conxuntos de relacións de recorrencia son idénticos, agás T_1(x) = x versus 

A función xeradora ordinaria para  é:
\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x)\,t^n = \frac{1}{1 - 2 t x+t^2},
e a función xeradora exponencial é:
\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x)\frac{t^n}{n!} = e^{tx}\!\left(\!\cosh\left(t\sqrt{x^2-1}\right) + \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \sinh\left(t\sqrt{x^2-1}\right)\!\right).

### Definición trigonométrica 
Como se describe na introdución, os polinomios de Chebyshev do primeiro tipo poden definirse como os polinomios únicos que satisfán:
T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta)
ou, noutras palabras, como os únicos polinomios  que satisfán:
T_n(x) = \begin{cases}
\cos(n \arccos x) & \text{ if }~ |x| \le 1 \\
\cosh(n \operatorname{arcosh} x)      & \text{ if }~ x \ge 1 \\ 
(-1)^n \cosh(n \operatorname{arcosh}(-x) ) & \text{ if }~ x \le -1 
\end{cases}

Os polinomios do segundo tipo satisfán:
U_{n-1}(\cos\theta) \sin\theta = \sin(n\theta),
que ven sendo
U_n(\cos\theta) = \frac{\sin\big((n+1)\,\theta\big)}{\sin\theta},para .

Os polinomios de Chebyshev pódense definir desta forma cando se estudan polinomios trigonométricos..
Dita forma ten unha estrutura bastante semellante ao núcleo de Dirichlet 
D_n(x) = \frac{\sin\left((2n+1)\dfrac{x}{2}\,\right)}{\sin \dfrac{x}{2}} 
= U_{2n}\!\!\left(\cos \frac{x}{2}\right).
(O núcleo de Dirichlet, de feito, coincide co que agora se coñece como o polinomio de Chebyshev do cuarto tipo).

Unha forma equivalente de ver isto  é mediante a exponenciación dun número complexo, dado un número complexo  con valor absoluto de 1:
z^n = T_n(a) + ib U_{n-1}(a).

Que  é un polinomio de grao   en  pódese ver observando que  é a parte real do lado dereito da fórmula de Moivre:\cos n \theta + i \sin n \theta = (\cos \theta + i \sin \theta)^n.A parte real  é un polinomio en  e , no que todas as potencias de  son pares e así substituíbles mediante a identidade . Polo mesmo razoamento,  é a parte imaxinaria do polinomio, na que todas as potencias de  son impares e, polo tanto, se se factoriza un factor de , os restantes factores pódense substituír para crear un polinomio de grao  en .

### Definición mediante a ecuación de Pell 
Podemos definir os polinomios de Chebyshev como as solucións da ecuación de Pell :
T_n(x)^2 - \left(x^2 - 1\right) U_{n-1}(x)^2 = 1
nun anel . Así, pódense xerar mediante a técnica estándar para as ecuacións de Pell de toma de potencias dunha solución fundamental:T_n(x) + U_{n-1}(x)\,\sqrt{x^2-1} = \left(x + \sqrt{x^2-1}\right)^n~. 

## Relacións entre os dous tipos de polinomios de Chebyshev 
Os polinomios de Chebyshev do primeiro e do segundo tipo corresponden a un par complementario de secuencias de Lucas  e  cos parámetros  e :
\begin{align}
{\tilde U}_n(2x,1) &= U_{n-1}(x), \\
{\tilde V}_n(2x,1) &= 2\, T_n(x).
\end{align}

Así conseguimos tamén  un par de ecuacións de recorrencia mutua: 
\begin{align}
T_{n+1}(x) &= x\,T_n(x) - (1 - x^2)\,U_{n-1}(x), \\
U_{n+1}(x) &= x\,U_n(x) + T_{n+1}(x).
\end{align}

Podemos reorganizar o segundo usando a definición de recorrencia para os polinomios de Chebyshev do segundo tipo para dar:
T_n(x) = \frac{1}{2} \big(U_n(x) - U_{n-2}(x)\big).

Usando iterativamente esta ecuación dá a fórmula da suma:
U_n(x) = \begin{cases}
2\sum_{\text{ odd }j}^n T_j(x)      & \text{ for odd }n.\\
2\sum_{\text{ even }j}^n T_j(x) + 1      & \text{ for even }n,
\end{cases}
aquí substituímos U_n(x) e U_{n-2}(x) utilizando a fórmula da derivada para T_n(x) dá a relación de recorrencia para a derivada de T_n:
2\,T_n(x) = \frac{1}{n+1}\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\, T_{n+1}(x) - \frac{1}{n-1}\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\, T_{n-1}(x), \qquad n=2,3,\ldots
Os polinomios de Chebyshev cumpren as  desigualdades de Turán coa seguinte expresión:

\begin{align}
T_n(x)^2 - T_{n-1}(x)\,T_{n+1}(x)&= 1-x^2 > 0 &&\text{ for } -1 0~.
\end{align}
As relacións con integrais son  
\begin{align}
\int_{-1}^1 \frac{T_n(y)}{y-x} \, \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{1 - y^2}} &= \pi\,U_{n-1}(x)~, \\[1.5ex]
\int_{-1}^1\frac{U_{n-1}(y)}{y-x}\, \sqrt{1 - y^2}\mathrm{d}y &= -\pi\,T_n(x)
\end{align}
onde as integrais son consideradas como valor principal.

## Expresións explícitas 
Diferentes enfoques para definir os polinomios de Chebyshev conducen a diferentes expresións explícitas. A definición trigonométrica dá unha fórmula explícita como segue:\begin{align}
T_n(x)  & = \begin{cases}
\cos(n\arccos x) \qquad \quad & \text{ para }~ -1 \le x \le 1 \\
\cosh(n \operatorname{arcosh}x) \qquad \quad & \text{ para }~ 1 \le x \\
(-1)^n \cosh\big(n \operatorname{arcosh}(-x)\big) \qquad \quad & \text{ para }~ x \le -1
\end{cases}
\end{align}A partir desta forma trigonométrica, podemos calcular a recorrencias con condicións iniciais:T_0(\cos\theta) = \cos(0\theta) = 1T_1(\cos\theta) = \cos\theta ,e tendo en conta que a identidade trigonométrica de produto a suma cumpre:2\cos n\theta\cos\theta = \cos \lbrack (n+1)\theta \rbrack +\cos\lbrack (n-1)\theta\rbrack.Usando a definición de exponenciación de números complexos dos polinomios de Chebyshev, pódese obter as seguintes expresións equivalentes: T_n(x) = \dfrac{1}{2} \bigg( \Big(x-\sqrt{x^2-1} \Big)^n + \Big(x+\sqrt{x^2-1} \Big)^n \bigg)  \qquad \text{ para }~ x \in \mathbb {R}
 T_n(x) = \dfrac{1}{2} \bigg( \Big(x-\sqrt{x^2-1} \Big)^n + \Big(x-\sqrt{x^2-1} \Big)^{-n} \bigg)  \qquad \text{ para }~ x \in \mathbb {R}
As dúas son equivalentes porque (x + \sqrt{x^2 - 1})(x - \sqrt{x^2 - 1}) = 1.

Tamén temos unha expresión con monomios  que se obtén da fórmula de Moivre:T_n(\cos(\theta)) = \operatorname{Re}(\cos n \theta + i \sin n \theta) = \operatorname{Re}((\cos \theta + i \sin \theta)^n),onde  denota a parte real. Se expandimos a fórmula, obtemos:
(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \sum\limits_{j=0}^n \binom{n}{j} i^j \sin^j \theta \cos^{n-j} \theta.
A parte real obtense cos sumandos dos índices pares. Decatándonos de que i^{2j} = (-1)^j e \sin^{2j} \theta = (1-\cos^2 \theta)^j, obtemos a fórmula explícita:
\cos n \theta = \sum\limits_{j=0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom{n}{2j} (\cos^2 \theta - 1)^j \cos^{n-2j} \theta,
que representa:
T_n(x) = \sum\limits_{j=0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom{n}{2j} (x^2-1)^j x^{n-2j}.
E á súa vez pode ser escrita como unha función hiperxeométrica :
\begin{align}
T_n(x) & = \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} \binom{n}{2k} \left (x^2-1 \right )^k x^{n-2k} \\
& = x^n \sum_{k=0}^{\left  \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} \binom{n}{2k} \left (1 - x^{-2} \right )^k \\
& = \frac{n}{2} \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor}(-1)^k \frac{(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}~(2x)^{n-2k}  \qquad\qquad \text{ para }~ n > 0 \\
\\
& = n \sum_{k=0}^{n}(-2)^{k} \frac{(n+k-1)!} {(n-k)!(2k)!}(1 - x)^k \qquad\qquad ~ \text{ para }~ n > 0 \\
\\
& = {}_2F_1\!\left(-n,n;\tfrac 1 2; \tfrac{1}{2}(1-x)\right) \\
\end{align}
e os seus inversos:

x^n = 2^{1-n}\mathop{{\sum}'}^n_{j=0\atop j \,\equiv\, n \pmod 2} \!\!\binom{n}{\tfrac{n-j}{2}}\!\;T_j(x),
onde a vírgual da suma indica que para  toma a metade do valor.

Relacionado con isto   como suma de monomios con coeficientes binomiais e potencias de 2 é
T_{n}\left(x\right) = \sum\limits_{m=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor}\left(-1\right)^{m}\left(\binom{n-m}{m} + \binom{n-m-1}{n-2m}\right)\cdot 2^{n-2m-1}\cdot x^{n-2m}.

 tamén pode expresarse como unha función hiperxeométrica:
\begin{align}
U_n(x) & = \frac{\left (x+\sqrt{x^2-1} \right )^{n+1} - \left (x-\sqrt{x^2-1} \right )^{n+1}}{2\sqrt{x^2-1}} \\
& = \sum_{k=0}^{\left \lfloor {n}/{2} \right \rfloor} \binom{n+1}{2k+1} \left (x^2-1 \right )^k x^{n-2k} \\
& = x^n \sum_{k=0}^{\left \lfloor {n}/{2} \right \rfloor} \binom{n+1}{2k+1} \left (1 - x^{-2} \right )^k \\
& = \sum_{k=0}^{\left \lfloor {n}/{2} \right \rfloor} \binom{2k-(n+1)}{k}~(2x)^{n-2k} & \text{ para }~ n > 0 \\
& = \sum_{k=0}^{\left \lfloor {n}/{2} \right \rfloor} (-1)^k \binom{n-k}{k}~(2x)^{n-2k} & \text{ para }~ n > 0 \\
& = \sum_{k=0}^{n}(-2)^{k} \frac{(n+k+1)!} {(n-k)!(2k+1)!}(1 - x)^k & \text{ para }~ n > 0 \\
& = (n+1) \ {}_2F_1\left(-n,n+2; \tfrac{3}{2}; \tfrac{1}{2}(1-x) \right). \\
\end{align}

## Propiedades 
### Simetría 
\begin{align}
 T_n(-x) &= (-1)^n\, T_n(x)
 = \begin{cases}
 T_n(x)  \quad & ~\text{ para }~n~\text{ par} \\
 -T_n(x) \quad  & ~\text{ para }~n~\text{ impar}
 \end{cases}
\\
\\
U_n(-x) &= (-1)^n\, U_n(x)
= \begin{cases}
 U_n(x)  \quad & ~\text{ para }~n~\text{ par} \\
 -U_n(x) \quad & ~\text{ para }~n~\text{ impar}
 \end{cases}
\end{align}

### Raíces e extremos 
Un polinomio de Chebyshev de calquera tipo con grao  ten  raíces simples diferentes, chamadas **raíces de Chebyshev**, no intervalo [ −1, 1]. Usando a definición trigonométrica e o feito de que:\cos\left((2k+1)\frac{\pi}{2}\right)=0pódese demostrar que as raíces de  son:
 x_k = \cos\left(\frac{\pi(k+1/2)}{n}\right),\quad k=0,\ldots,n-1.
As raíces de  son:
 x_k = \cos\left(\frac{k}{n+1}\pi\right),\quad k=1,\ldots,n.
os máximos e mínimos de  no intervalo  son:
 x_k = \cos\left(\frac{k}{n}\pi\right),\quad k=0,\ldots,n.
Unha propiedade única dos polinomios de Chebyshev do primeiro tipo é que no intervalo  todos os extremos teñen valores que son −1 ou 1. Tanto o primeiro como o segundo tipo de polinomio de Chebyshev teñen extremos nos puntos finais, dados por:\begin{align}
T_n(1) &= 1 \\
T_n(-1) &= (-1)^n \\
U_n(1) &= n+1 \\
U_n(-1) &= (-1)^n (n+1).
\end{align}Os extremos de T_n(x) no intervalo -1 \leq x \leq 1 están situados en n+1 valores de x. Son  \pm 1, ou  \cos\left(\frac{2\pi k}{d}\right) onde d > 2, d \;|\; 2n, 0  e (k, d) = 1, é dicir, k e d son números coprimos.

### Diferenciación e integración 
Ao diferenciar os polinomios nas súas formas trigonométricas, pódese demostrar que:\begin{align}
\frac{\mathrm{d}T_n}{\mathrm{d}x} &= n U_{n - 1} \\
\frac{\mathrm{d}U_n}{\mathrm{d}x} &= \frac{(n + 1)T_{n + 1} - x U_n}{x^2 - 1} \\
\frac{\mathrm{d}^2 T_n}{\mathrm{d}x^2} &= n\, \frac{n T_n - x U_{n - 1}}{x^2 - 1} = n\, \frac{(n + 1)T_n - U_n}{x^2 - 1}.
\end{align}Para a derivada  do polinomio  nos puntos 
\pm 1
 temos\left.\frac{d^p T_n}{d x^p} \right|_{x = \pm 1} \!\! = (\pm 1)^{n+p}\prod_{k=0}^{p-1}\frac{n^2-k^2}{2k+1}~,que é de gran utilidade na resolución numérica de problemas de valores propios.

En canto á integración, a derivada primeira de  implica que:\int U_n\, \mathrm{d}x = \frac{T_{n + 1}}{n + 1}a maiores a relación de recorrencia para os polinomios de primeiro tipo que inclúen derivadas establece que para :\int T_n\, \mathrm{d}x = \frac{1}{2}\,\left(\frac{T_{n + 1}}{n + 1} - \frac{T_{n - 1}}{n - 1}\right) = \frac{n\,T_{n + 1}}{n^2 - 1} - \frac{x\,T_n}{n - 1}.Podemos manipular a última fórmula  para expresar a integral de  só en función dos polinomios de Chebyshev do primeiro tipo:\begin{align}
\int T_n\, \mathrm{d}x &= \frac{n}{n^2 - 1} T_{n + 1} - \frac{1}{n - 1} T_1 T_n \\
&= \frac{n}{n^2 - 1}\,T_{n + 1} - \frac{1}{2(n - 1)}\,(T_{n + 1} + T_{n - 1}) \\
&= \frac{1}{2(n + 1)}\,T_{n + 1} - \frac{1}{2(n - 1)}\,T_{n - 1}.
\end{align}Ademais, temos:\int_{-1}^1 T_n(x)\, \mathrm{d}x =
\begin{cases}
\frac{(-1)^n + 1}{1 - n^2} & \text{ if }~ n \ne 1 \\
0             & \text{ if }~ n = 1.
\end{cases}

### Propiedades de composición e divisibilidade 
As definicións trigonométricas de  e  implican a composición ou propiedades de aniñamento: \begin{align}
T_{mn}(x) &= T_m(T_n(x)),\\
U_{mn-1}(x) &= U_{m-1}(T_n(x))U_{n-1}(x).
\end{align}
Para  a orde de composición pódese inverter, e conseguimos que as funcións polinómicas  sexan un semigrupo conmutativo baixo composición.

Dado que  é divisible por  se  é impar, deducimos que  é divisible por  se  é impar. Alén diso,  é divisible por , e para o caso de que  sexa par, é divisible por .

### Ortogonalidade 
Tanto  como  forman unha secuencia de polinomios ortogonais. Os polinomios do primeiro tipo  son ortogonais con respecto ao peso:\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}},no intervalo [ −1, 1 ], é dicir, temos:\int_{-1}^1 T_n(x)\,T_m(x)\,\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}} = 
\begin{cases}
0       & ~\text{ se }~ n \ne m, \\[5mu]
\pi      & ~\text{ se }~ n=m=0, \\[5mu]
\frac{\pi}{2} & ~\text{ se }~ n=m \ne 0.
\end{cases}Isto pódese probar con  e usando a identidade da definición  .

Do mesmo xeito, os polinomios  son ortogonais con respecto ao peso:\sqrt{1-x^2}no intervalo [ −1, 1 ], é dicir, temos:\int_{-1}^1 U_n(x)\,U_m(x)\,\sqrt{1-x^2} \,\mathrm{d}x =
\begin{cases}
0       & ~\text{ se }~ n \ne m, \\[5mu]
\frac{\pi}{2} & ~\text{ se }~ n = m.
\end{cases}(Con unha constante normalizadora  é  a distribución do semicírculo de Wigner).

Estas propiedades de ortogonalidade danse porque os polinomios de Chebyshev resolven as ecuacións diferenciais de Chebyshev:\begin{align}
(1 - x^2)T_n'' - xT_n' + n^2 T_n &= 0, \\[1ex]
(1 - x^2)U_n'' - 3xU_n' + n(n + 2) U_n &= 0,
\end{align}que son ecuacións diferenciais de Sturm-Liouville. É unha característica xeral destas ecuacións diferenciais que hai un conxunto significativo de solucións ortonormais. 

O  tamén satisfai unha condición de ortogonalidade discreta:\sum_{k=0}^{N-1}{T_i(x_k)\,T_j(x_k)} =
\begin{cases}
0      & ~\text{ se }~ i \ne j, \\[5mu]
N      & ~\text{ se }~ i = j = 0, \\[5mu]
\frac{N}{2} & ~\text{ se }~ i = j \ne 0,
\end{cases} onde o número  é calquera enteiro maior que , e  son os  nós de Chebyshev (ver arriba) de  :x_k = \cos\left(\pi\,\frac{2k+1}{2N}\right) \quad ~\text{ para }~ k = 0, 1, \dots, N-1.Para os polinomios  e calquera número enteiro  cos mesmos nós de Chebyshev , hai sumas similares:\sum_{k=0}^{N-1}{U_i(x_k)\,U_j(x_k)\left(1-x_k^2\right)} =
\begin{cases}
0      & \text{ se }~ i \ne j, \\[5mu]
\frac{N}{2} & \text{ se }~ i = j,
\end{cases}e sen a función de peso:\sum_{k=0}^{N-1}{ U_i(x_k) \, U_j(x_k) } =
\begin{cases}
0             & ~\text{ se }~ i \not\equiv j \pmod{2}, \\[5mu]
N \cdot (1 + \min\{i,j\}) & ~\text{ se }~ i \equiv j\pmod{2}.
\end{cases} Para todo número enteiro , baseado nos  ceros de :
y_k = \cos\left(\pi\,\frac{k+1}{N+1}\right) \quad ~\text{ para}~ k=0, 1, \dots, N-1,pódese obter a suma:\sum_{k=0}^{N-1}{U_i(y_k)\,U_j(y_k)(1-y_k^2)} =
\begin{cases}
0 & ~\text{ if } i \ne j, \\[5mu]
\frac{N+1}{2} & ~\text{ se } i = j,
\end{cases}e de novo sen a función de peso:\sum_{k=0}^{N-1}{U_i(y_k)\,U_j(y_k)} =
\begin{cases}
0 & ~\text{ se }~ i \not\equiv j \pmod{2}, \\[5mu]
\bigl(\min\{i,j\} + 1\bigr)\bigl(N-\max\{i,j\}\bigr) & ~\text{ se }~ i \equiv j\pmod{2}.
\end{cases}

## Exemplos 
### Primeiro tipo 
Os primeiros polinomios de Chebyshev do primeiro tipo son  \begin{align}
T_0(x) &= 1 \\
T_1(x) &= x \\
T_2(x) &= 2x^2 - 1 \\
T_3(x) &= 4x^3 - 3x \\
T_4(x) &= 8x^4 - 8x^2 + 1 \\
T_5(x) &= 16x^5 - 20x^3 + 5x \\
T_6(x) &= 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \\
T_7(x) &= 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \\
T_8(x) &= 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \\
T_9(x) &= 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x \\
T_{10}(x) &= 512x^{10} - 1280x^8 + 1120x^6 - 400x^4 + 50x^2-1 \\
T_{11}(x) &= 1024x^{11} - 2816x^9 + 2816x^7 - 1232x^5 +220x^3 - 11x
\end{align}

### Segundo tipo 
Os primeiros polinomios de Chebyshev do segundo tipo son \begin{align}
U_0(x) &= 1 \\
U_1(x) &= 2x \\
U_2(x) &= 4x^2 - 1 \\
U_3(x) &= 8x^3 - 4x \\
U_4(x) &= 16x^4 - 12x^2 + 1 \\
U_5(x) &= 32x^5 - 32x^3 + 6x \\
U_6(x) &= 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1 \\
U_7(x) &= 128x^7 - 192x^5 + 80x^3 - 8x \\
U_8(x) &= 256x^8 - 448 x^6 + 240 x^4 - 40 x^2 + 1 \\
U_9(x) &= 512x^9 - 1024 x^7 + 672 x^5 - 160 x^3 + 10 x
\end{align}

## Como conxunto de bases 
No espazo de Sobolev apropiado, o conxunto de polinomios de Chebyshev forma unha base ortonormal, de xeito que unha función no mesmo espazo pode, en , expresarse mediante a expansión:
f(x) = \sum_{n = 0}^\infty a_n T_n(x).Os polinomios de Chebyshev forman unha base ortogonal que implica que os coeficientes  poden determinarse facilmente mediante a aplicación dun produto interno. Esta suma chámase unha **serie de Chebyshev** ou unha **expansión de Chebyshev** .

Unha serie de Chebyshev está relacionada cunha serie coseno de Fourier mediante un cambio de variables. Así  todos os teoremas, identidades, etc. que se aplican ás series de Fourier teñen unha contraparte de Chebyshev.  Estes atributos inclúen:

A abundancia de teoremas e identidades herdados das series de Fourier fan que os polinomios de Chebyshev sexan ferramentas importantes na análise numérica; por exemplo, son as funcións básicas de propósito xeral máis populares utilizadas no método espectral, moitas veces máis favorables que as series trigonométricas debido á converxencia xeralmente máis rápida para funcións continuas (o fenómeno de Gibbs segue sendo un problema).

### Exemplo 1 
Vemos a expansión de Chebyshev de :  \log(1+x) = \sum_{n = 0}^\infty a_n T_n(x)~. Podemos atopar os coeficientes  mediante a aplicación dun produto interno ou pola condición de ortogonalidade discreta. Para o produto interno:\int_{-1}^{+1}\,\frac{T_m(x)\,\log(1 + x)}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = \sum_{n=0}^{\infty}a_n\int_{-1}^{+1}\frac{T_m(x)\,T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x,que dá:a_n = \begin{cases}
-\log 2      & \text{ para }~ n = 0, \\
\frac{-2(-1)^n}{n} & \text{ para }~ n > 0.
\end{cases}Como alternativa, cando non se pode avaliar o produto interno da función que se está a aproximar, a condición de ortogonalidade discreta dá un resultado frecuentemente útil para obter os coeficientes *aproximados*:a_n \approx \frac{\,2-\delta_{0n}\,}{N}\,\sum_{k=0}^{N-1}T_n(x_k)\,\log(1+x_k),onde o  é a función delta de Kronecker e os  son os  ceros de Gauss–Chebyshev de  : x_k = \cos\left(\frac{\pi\left(k+\tfrac{1}{2}\right)}{N}\right) .Así podemos calcular os coeficientes aproximados  de forma moi eficiente mediante a transformada do coseno discreta:a_n \approx \frac{2-\delta_{0n}}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\cos\left(\frac{n\pi\left(\,k+\tfrac{1}{2}\right)}{N}\right)\log(1+x_k).

### Exemplo 2 
Para poñer outro exemplo:\begin{align}
\left(1-x^2\right)^\alpha &= -\frac{1}{\sqrt{\pi}} \, \frac{\Gamma\left(\tfrac{1}{2} + \alpha\right)}{\Gamma(\alpha+1)} + 2^{1-2\alpha}\,\sum_{n=0} \left(-1\right)^n \, {2 \alpha \choose \alpha-n}\,T_{2n}(x) \\[1ex]
 &= 2^{-2\alpha}\,\sum_{n=0} \left(-1\right)^n \, {2\alpha+1 \choose \alpha-n}\,U_{2n}(x).
\end{align}

### Sumas parciais 
As sumas parciais de:f(x) = \sum_{n = 0}^\infty a_n T_n(x)son moi útiles na aproximación de varias funcións e na resolución de ecuacións diferenciais (ver método espectral). Dous métodos comúns para determinar os coeficientes  son o uso do produto interno como no método de Galerkin e o uso da colocación que está relacionada coa interpolación.

Como interpolante, os  coeficientes das   primeiras sumas parciales adoitan obterse nos puntos Chebyshev–Gauss–Lobatto (ou retícula de Lobatto), o que resulta nun erro mínimo e evita o fenómeno de Runge asociado a unha retícula uniforme.
Esta colección de puntos ven dada por:
x_k = -\cos\left(\frac{k \pi}{N - 1}\right); \qquad k = 0, 1, \dots, N - 1.

## Familias de polinomios relacionados cos polinomios de Chebyshev 
Moitas veces son usados os polinomios denotados como C_n(x) e S_n(x) relacionados cos de Chebyshev do seguinte modo: C_n(x) = 2T_n\left(\frac{x}{2}\right),\qquad S_n(x) = U_n\left(\frac{x}{2}\right)
e satisfai:C_n(x) = S_n(x) - S_{n-2}(x).AF Horadam chamou aos polinomios C_n(x) **Polinomios de Vieta–Lucas** con nomenclatura v_n(x) e chamou aos S_n(x) **Polinomios de Vieta–Fibonacci** con nomenclatura  As listas dos dous conxuntos de polinomios aparecen na *Opera Mathematica* de Viète, capítulo IX, teoremas VI e VII. Os polinomios de Vieta–Lucas e Vieta–Fibonacci do argumento real son, ata unha potencia de i e un desprazamento de índice no caso deste último, igual aos polinomios de Lucas e Fibonacci  e  de argumento imaxinario.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
*
*
*
*

*
* 
*
*
*

### Outros artigos 
*Filtro de Chebyshev
*Polinomios de Hermite
*O sistema Chebfun
*Transformada discreta de Chebyshev
*Algoritmo de Clenshaw

### Ligazóns externas 
* 
* 
*  – includes illustrative Java applet.
* 
* 
*