Teorema de factorización de Weierstrass

En matemáticas, e particularmente no campo da análise complexa, o **teorema de factorización de Weierstrass** afirma que toda función enteira (ou completa) pode representarse como un produto (posibelmente infinito) que inclúe os seus ceros. O teorema pódese ver como unha extensión do teorema fundamental da álxebra, que afirma que cada polinomio pode factorizarse en factores lineares, un por cada raíz.

## Motivación 
Está claro que calquera conxunto finito \{c_n\} de puntos do plano complexo ten un polinomio asociado p(z) = \prod_n (z-c_n) cuxos ceros están precisamente nos puntos dese conxunto. A inversa é unha consecuencia do teorema fundamental da álxebra: calquera función polinómica p(z) no plano complexo ten unha factorización p(z) = a\prod_n(z-c_n), onde  é unha constante distinta de cero e \{c_n\} é o conxunto de ceros de p(z). 

As dúas formas do teorema de factorización de Weierstrass pódense considerar como extensións do anterior a funcións enteiras. A necesidade de termos adicionais no produto demóstrase cando se considera \prod_n (z-c_n) onde a secuencia \{c_n\} non é finita. Nunca pode definir unha función enteira, porque o produto infinito non converxe. Así, en xeral, non se pode definir unha función enteira a partir dunha secuencia de ceros prescritos nin representar unha función enteira polos seus ceros usando as expresións que proporciona o teorema fundamental da álxebra. Pola contra, o teorema de Weierstrass  substitúe estes por outros factores.

Unha condición necesaria para a converxencia do produto infinito en cuestión é a de cada un z, os factores substituíndo  (z-c_n)  debe achegarse a 1 cando n\to\infty. Polo tanto, é lóxico que se procuren funcións de factor que poidan ser 0 nun punto prescrito, aínda que permanezan preto de 1 cando non se atopen nese punto e, a maiores, non introduzan máis ceros que os prescritos. *Os factores elementais* de Weierstrass teñen estas propiedades e teñen o mesmo propósito que os factores  (z-c_n)  da factorización polinómica indicada enriba.

## Factores elementais 
Considere as funcións da forma \exp\left(-\tfrac{z^{n+1}}{n+1}\right) para n \in \mathbb{N}. En z=0, avalían a 1 e teñen pendente plana de orde ata n. Xusto despois de z=1, caen drasticamente a algún pequeno valor positivo. En cambio, considere a función 1-z que non ten pendente plana pero, en z=1, avalía exactamente a  cero. Teña en conta tamén que para ,

: (1-z) = \exp(\ln(1-z)) = \exp \left( -\tfrac{z^1}{1} - \tfrac{z^2}{2} - \tfrac{z^3}{3} + \cdots \right).

[[Ficheiro:First_5_Weierstrass_factors_on_the_unit_interval.svg|alt=First 5 Weierstrass factors on the unit interval.|dereita|miniatura| Gráfica de E_n(x) para n = 0,... ,4 e x no intervalo [-1,1]*.*]]
Os *factores elementais*, tamén coñecidos como *factores primarios*,  son funcións que combinan as propiedades de pendente cero e valor cero (ver gráfico):

: E_n(z) = \begin{cases} (1-z) & \text{if }n=0, \\ (1-z)\exp \left( \frac{z^1}{1}+\frac{z^2}{2}+\cdots+\frac{z^n}{n} \right) & \text{otherwise}. \end{cases} 

Para  e n>0, pódese expresar como E_n(z)=\exp\left(-\tfrac{z^{n+1}}{n+1}\sum_{k=0}^\infty\tfrac{z^k}{1+k/(n+1)}\right) e pódese ver como se executan esas propiedades.

A utilidade dos factores elementais E_n(z) reside no seguinte lema: 

**Lema (15.8, Rudin)** para , n \in \mathbb{N}

: \vert 1 - E_n(z) \vert \leq \vert z \vert^{n+1}.

### Existencia dunha función enteira con ceros especificados 
Sexa \{a_n\} unha sucesión de números complexos distintos de cero tal que |a_n|\to\infty. Se \{p_n\} é calquera sucesión de enteiros non negativos tal que para todos os r>0,

:  \sum_{n=1}^\infty \left( r/|a_n|\right)^{1+p_n} 

logo a función

: E(z) = \prod_{n=1}^\infty E_{p_n}(z/a_n)

é enteira con ceros só nos puntos a_n. Se un número z_0 ocorre na sucesión \{a_n\} exactamente  veces, entón a función  ten un cero en z=z_0 de multiplicidade .

* A sucesión \{p_n\} no enunciado do teorema sempre existe. Por exemplo, sempre poderiamos tomar p_n=n e ter a converxencia. Tal sucesión non é única: mudala nun número finito de posicións ou tomar outra sucesión , non romperá a converxencia.
* O teorema xeneralízase no seguinte: as sucesións en subconxuntos abertos (e, polo tanto, rexións) da esfera de Riemann teñen funcións asociadas que son holomorfas neses subconxuntos e teñen ceros nos puntos da sucesión .

## Teorema de factorización de Weierstrass 
Sexa  unha función enteira, e sexan \{a_n\} os ceros distintos de cero de  repetidos segundo a multiplicidade; supoña tamén que  ten un cero en  de orde . Daquela existe unha función  enteira e unha secuencia de números enteiros \{p_n\} tal que

: f(z)=z^m e^{g(z)} \prod_{n=1}^\infty E_{p_n}\!\!\left(\frac{z}{a_n}\right). 

Inclúese aquí o caso dado polo teorema fundamental da álxebra. Se a secuencia \{a_n\} é finita entón podemos tomar p_n = 0, m=0 e e^{g(z)}=c para obter \, f(z) = c\,{\displaystyle\prod}_n (z-a_n).

### Exemplos de factorización 
As funcións trigonométricas seno e coseno teñen as factorizacións 
:\sin \pi z = \pi z \prod_{n\neq 0} \left(1-\frac{z}{n}\right)e^{z/n} = \pi z\prod_{n=1}^\infty \left(1-\left(\frac{z}{n}\right)^2\right)
:\cos \pi z = \prod_{q \in \mathbb{Z}, \, q \; \text{odd} } \left(1-\frac{2z}{q}\right)e^{2z/q} = \prod_{n=0}^\infty \left( 1 - \left(\frac{z}{n+\tfrac{1}{2}} \right)^2 \right) 
mentres que a función gamma \Gamma ten factorización 
:\frac{1}{\Gamma (z)}=e^{\gamma z}z\prod_{n=1}^{\infty }\left ( 1+\frac{z}{n} \right )e^{-z/n}, 
onde \gamma é a constante de Euler-Mascheroni.

A identidade coseno pódese ver como un caso especial de 
:\frac{1}{\Gamma(s-z)\Gamma(s+z)} = \frac{1}{\Gamma(s)^2}\prod_{n=0}^\infty \left( 1 - \left(\frac{z}{n+s} \right)^2 \right)  
para s=\tfrac{1}{2}. 

## Teorema de factorización de Hadamard 
Un caso especial do teorema de factorización de Weierstraß dáse para funcións enteiras de orde finita. Neste caso, o p_n pódese tomar independente de n e a función g(z) é un polinomio. 
Así, 
:f(z)=z^me^{P(z)}\prod_{k=1}^\infty E_p(z/a_k)
onde a_k son esas raíces de fque non son cero (a_k \neq 0), m é a orde do cero de f en z = 0 (o caso m = 0 tómase como f(0) \neq 0), P un polinomio (cuxo grao chamaremos q), e chamaremos p ao número enteiro non negativo máis pequeno tal que a serie
:\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{|a_n|^{p+1}} converxe. 

Isto chámase representación canónica de Hadamard. O número enteiro non negativo g=\max\{p,q\} chámase o xénero (ou genus) da  función enteira f. A orde \rho de f satisfai 
:g \leq \rho \leq g + 1.
Noutras palabras: se a orde \rho non é un número enteiro, entón g = [ \rho ] é a parte enteira de \rho. Se a orde é un número enteiro positivo, hai dúas posibilidades: g = \rho-1 ou g = \rho .

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*  
### Outros artigos 
* Teoremas de Weierstrass.
* Función holomorfa.
### Ligazóns externas 
* 

*