Número hexagonal

miniatura| Proba visual de que un número hexagonal (columna do medio) pode ser reordenado como números rectangulares e triangulares de lados impares
Un **número hexagonal** é un número figurado que estende o concepto de cadrados perfectos e números triangulares ao hexágono. Está extensión non é total, o modelo para a construción dos números hexagonais non ten simetrías. O *n-*ésimo número hexagonal *hn* é o número de puntos *distintos* nun modelo de puntos que consiste nos *contornos* de hexágonos regulares que comparten un vértide de lados de 1 punto ata de lados de n puntos. 
alt=The first four hexagonal numbers.|ningún| Os catro primeiros números hexagonais.
A fórmula do *n-* ésimo número hexagonal

: h_n= 2n^2-n = n(2n-1) = \frac{2n(2n-1)}{2}.

Os primeiros números hexagonais    son:

: 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946...

Todo número hexagonal é un número triangular, pero só os números triangulares que ocupan unha posición impar (o 1º, 3º, 5º, 7º, etc.) son números hexagonais.

Todo número perfecto par é hexagonal, dado pola fórmula

: M_p 2^{p-1} = M_p \frac{M_p + 1}{2} = h_{(M_p+1)/2}=h_{2^{p-1}}
: onde *M* *p* é un primo de Mersenne . Non se coñecen números perfectos impares, polo que todos os números perfectos coñecidos son hexagonais.
: 
: Por exemplo, o segundo número hexagonal é 2×3 = 6; o 4º é 4×7 = 28; o 16 é 16×31 = 496; e o número 64 é 64×127 = 8128.

Adrien-Marie Legendre demostrou en 1830 que calquera número enteiro maior que 1791 pode expresarse como suma de catro números hexagonais. O maior número que non se pode escribir desta maneira é o 130.

Ademais, se buscamos expresar todos os enteiros positivos empregando cinco números hexagonais, só dous números non se poden expresar así, sendo os 11 e 26.

Non debemos confundir os números hexagonais, cos números hexagonais centrados, que se difiren pola construción da malla de puntos.

## Proba de números hexagonais 
Pódese probar que número enteiro positivo *x* é un número hexagonal empregando a fórmula:

: n = \frac{\sqrt{8x+1}+1}{4}.

Se *n* é un número enteiro, entón *x* é o *n-* ésimo número hexagonal. Se *n* non é un número enteiro, entón *x* non é hexagonal.

## Relacións de congruencia 
* h_n \equiv n \pmod{4}
* h_{3n}+h_{2n}+h_{n} \equiv 0 \pmod{2}

## Outras propiedades 
### Expresión mediante sumatorio 
O *n-* ésimo número da secuencia hexagonal tamén se pode expresar usando un sumatorio como

:  h_n = \sum_{k=0}^{n-1}{(4k+1)} 

### Suma dos recíprocos dos números hexagonais 
A suma dos recíprocos dos números hexagonais é , onde  denota logaritmo natural .

: \begin{align} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(2k-1)} &= \lim_{n \to \infty}2\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k} \right)\\              &= \lim_{n \to \infty}2\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2k-1} + \frac{1}{2k} - \frac{1}{k} \right)\\ &= 2 \lim_{n \to \infty}\left(\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\right)\\                             &= 2 \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k} \\ &= 2 \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}\\ &= 2 \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}dx \\ &= 2 [ \ln(1+x) ]_{0}^{1} \\ &= 2 \ln{2}\\
           & \approx{1.386294}
\end{align}

### Multiplicando o índice 
Usando a reordenación, dáse o seguinte conxunto de fórmulas:

 h_{2n} = 4h_n+2n 

 h_{3n} = 9h_n+6n 

...

 h_{m*n} = m^{2}h_n+(m^{2}-m)n

### Relación de proporción 
Empregnado a fórmula anterior con respecto a *m* e despois *n*, e logo reducindo e movendo, pódese chegar á seguinte ecuación:

\frac{h_{m}+m}{h_{n}+n}=\left(\frac{m}{n}\right)^2

## Números cadrados hexagonais 
A secuencia de números que son á vez hexagonais e cadrados perfectos comeza por 1, 1225, 1413721,...  

## Notas 
# 

## Véxase tamén 
**Outros artigos**
* Número hexagonal centrado
* Número triangular
* Número cadrado perfecto