Distribución t de Student

{{Modelo de distribución de probabilidade
|nome       = Distribución t de Student
|tipo       =densidade
|pdf_image  =325px
|cdf_image  =325px
|parámetros = \nu > 0\! graos de liberdade (real)
|soporte    =x \in (-\infty; +\infty)\!
|pdf        =\frac{\Gamma((\nu+1)/2)} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\nu/2)} (1+x^2/\nu)^{-(\nu+1)/2}\!
|cdf =\begin{matrix}
     \frac{1}{2} + x \Gamma \left( \frac{\nu+1}{2} \right)  \cdot\\[0.5em]
     \frac{\,_2F_1 \left ( \frac{1}{2},\frac{\nu+1}{2};\frac{3}{2};
           -\frac{x^2}{\nu} \right)}
     {\sqrt{\pi\nu}\,\Gamma \left(\frac{\nu}{2}\right)}
     \end{matrix} onde \,_2F_1  é a función hiperxeométrica
|media =0 para \nu>1, indefinida para outros valores
|mediana=0
|moda=0
| varianza   =\frac{\nu}{\nu-2}\! para \nu>2, indefinida para outros valores
|asimetría   = 0 para \nu>3
|curtose   =\frac{6}{\nu-4}\! para \nu>4
|entropía    =\begin{matrix}
         \frac{\nu+1}{2}\left[ 
             \psi(\frac{1+\nu}{2}) 
               - \psi(\frac{\nu}{2})
         \right] \\[0.5em]
+ \log{\left[\sqrt{\nu}B(\frac{\nu}{2},\frac{1}{2})\right]}
\end{matrix}
* \psi: función digamma,  
* B: función beta
|mgf        =(Non definida)
|char=
|}}
A **distribución t** (**de Student**) é unha distribución de probabilidade que xorde do problema de estimar a media dunha poboación normalmente distribuída cando o tamaño da mostra é pequeno.

Aparece de xeito natural ao realizar a proba t de Student para a determinación das diferenzas entre dúas medias das mostras e para a construción do intervalo de confianza para a diferenza entre as medias de dúas poboacións cando se descoñece o desvío estándar dunha poboación e esta debe ser estimada a partir dos datos dunha mostra.

## Caracterización 
A distribución t de Student é a distribución de probabilidade do cociente

:T = \frac{Z}{\sqrt{V/\nu\ }} = Z \sqrt{ \frac{\nu\ }{V} }

onde

* *Z* é unha variable aleatoria distribuída segundo unha normal típica (de media nula e varianza 1).
* *V* é unha variable aleatoria que segue unha distribución χ² con  \nu\  graos de liberdade.
* *Z* e *V* son independentes

Se *μ* é unha constante non nula, o cociente  \frac{Z+\mu}{\sqrt{V/\nu\ }}  é unha variable aleatoria que segue a distribución t de Student non central con parámetro de non-centralidade \mu.

## Aparición e especificacións da distribución *t* de Student 
Supóñase que *X*1,..., *X**n* son variables aleatorias independentes distribuídas normalmente, con media μ e varianza σ2

Sexa

:\overline{X}_n=(X_1+\cdots+X_n)/n

a media da mostra. Entón

:Z=\frac{\overline{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}

segue unha distribución normal de media 0 e varianza 1.

Non obstante, dado que o desvío estándar non sempre se coñece previamente, Gosset estudou un cociente relacionado,

:T=\frac{\overline{X}_n-\mu}{S_n/\sqrt{n}},

:S ^ 2(x) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x}) ^ 2 

é a varianza da mostra e demostrou que a función de densidade de *T* é

:f(t) = \frac{\Gamma((\nu+1)/2)}{\sqrt{\nu\pi\,}\,\Gamma(\nu/2)} (1+t^2/\nu)^{-(\nu+1)/2}

onde  \nu\  é igual a  *n* − 1.

A distribución de *T* chámase agora a '*distribución-*t* de Student*'.

O parámetro  \nu\  representa o número de *graos de liberdade*. A distribución depende de  \nu\ , pero non de \mu ou \sigma, o que é moi importante na práctica.

## Intervalos de confianza derivados da distribución *t* de Student 
O procedemento para o cálculo do intervalo de confianza baseado na *t* de Student consiste en estimar o desvío estándar dos datos S e calcular o erro estándar da media:  \overline X = \frac{S}{\sqrt{n}} , sendo entón o intervalo de confianza para a media:  \overline{X} = \pm t_{\alpha/2,n-1} \frac{S}{\sqrt{n}}  .

Este resultado é o que se emprega no test de Student: posto que a diferenza das medias de mostras de dúas distribucións normais distribúese tamén normalmente, a distribución *t* pode empregarse para examinar se esa diferenza se pode supor razoablemente igual a cero.

Para efectos prácticos o valor esperado e a varianza son:

 E(t(n))= 0 e Var (t(n-1)) = n/(n-2) para  n > 3 
 E(t(n))= 0 e Var (t(n-1)) = n/(n-2) para  n > 3 
 E(t(n))= 0 e Var (t(n-1)) = n/(n-2) para  n > 3 
 E(t(n))= 0 e Var (t(n-1)) = n/(n-2) para  n > 3 

## Historia 
A distribución de Student foi descrita en 1908 por William Sealy Gosset. Gosset traballaba nunha fábrica de cervexa, Guinness, que prohibía aos seus empregados a publicación de artigos científicos debido a unha difusión previa de segredos industriais. Por ese motivo, Gosset publicou os seus resultados baixo o pseudónimo de *Student* (“estudante”).

## Distribución t de Student non estandarizada 
A distribución t pode xeralizarse a 3 parámetros, introducindo un parámero locacional \mu e outro de escala \sigma. O resultado é unha distribución t de Student non estandarizada cunha densidade que está definida por:

:p(x|\nu,\mu,\sigma) = \frac{\Gamma(\frac{\nu + 1}{2})}{\Gamma(\frac{\nu}{2})\sqrt{\pi\nu}\sigma} \left(1+\frac{1}{\nu}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right)^{-\frac{\nu+1}{2}} 

Equivalentemente, pode escribirse en termos de \sigma^2 (correspondente á varianza en vez de ao desvío estándar):
:p(x|\nu,\mu,\sigma^2) = \frac{\Gamma(\frac{\nu + 1}{2})}{\Gamma(\frac{\nu}{2})\sqrt{\pi\nu\sigma^2}} \left(1+\frac{1}{\nu}\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}} 

Outras propiedades desta versión da distribución t son:

:
\begin{align}
\operatorname{E}(X) &= \mu \quad \quad \quad \text{para }\,\nu > 1 ,\\
\text{Var}(X) &= \sigma^2\frac{\nu}{\nu-2}\, \quad \text{para }\,\nu > 2 ,\\
\text{Moda}(X) &= \mu .
\end{align}

## Notas 
## Véxase tamén 
### Ligazóns externas 
* Tabla de distribución de t de Student
* Prueba t de Student na UPTC de Colombia
* Distribución t-Student: Puntos porcentuais para probabilidade superior
* Cálculo da probabilidade dunha distribución t de Student con R (linguaxe de programación)