Fracción (matemáticas)

En matemáticas, unha **fracción** (do latín *fractus, -a, um*, 'roto', adxectivo que é o participio pasado de *frango, frēgi, fractum*, 'romper', 'quebrar') é a expresión dunha cantidade dividida entre outra.

Diversas fraccións poden ter o mesmo valor (chamadas fraccións equivalentes); o conxunto de todas as fraccións equivalentes denomínase número racional. É a división racional que hai entre o numerador e o denominador.

## Vocabulario 
Nunha fracción, o **numerador** é o termo matemático que define ao número dunha fracción que representa o número de partes congruentes que se consideraron despois de dividir a unidade (sempre maior que 0) en tantas partes iguais como indica o denominador.

A fracción quedará claramente definida mediante a parella de termos numerador e denominador. Normalmente, ámbolos dous aparecen xuntos para representar á fracción e son distinguíbeis pola súa localización na fracción: o numerador ocupa unha posición superior e o denominador, inferior. No caso de atoparse ámbolos dous á mesma altura, ocuparán as posicións de esquerda e dereita, respectivamente.

Pódese dicir que o denominador dá nome, *denomina*, á fracción, e clasifícaa como: medio, terzo, cuarto, quinto, sexto, dezaseisavo, etc. segundo se o seu denominador é 2,3,4,5,6,16, etc.miniatura|180px|\frac{3}{4} + \frac{1}{4}  = 1

tres cuartos máis un cuarto

## Representación das fraccións 
As fraccións pódense representar de diversas formas; así, a fracción "tres dividido entre catro", "tres entre catro", "tres partido por catro" ou "tres cuartos" pode escribirse de calquera destas formas:

* \dfrac{3}{4}
* 3 ÷ 4
* 3 : 4
* 3 / 4
* 3/4 (¾)

Neste exemplo, o número **3** chámase *numerador* e o **4** *denominador*. As fraccións son números racionais, o que significa que o numerador e o denominador son números enteiros. O seu valor, en forma decimal, é **0,75**, o mesmo resultado que se obtén ao dividir 3 entre 4.

No caso dunha representación gráfica, pódese trazar un círculo dividido en catro partes iguais, das que se retiraría unha das catro partes: as tres partes sobrantes representan a fracción ¾.

## Clasificación das fraccións 
Existen diversas formas para clasificar as fraccións, entre as que están as seguintes:
* Segundo a relación entre o numerador e o denominador:
** **Fracción propia**: fracción que ten o denominador maior que o numerador: ⅓, ⅜, ¾…
** **Fracción impropia**: fracción na que o numerador é maior que o denominador: 13/6, 18/8, 5/2…
* Segundo a relación entre os denominadores:
** **Fraccións homoxéneas**: fraccións que teñen o mesmo denominador: ¼ e ¾
** **Fraccións heteroxéneas**: fraccións que teñen diferentes denominadores: ¼ e ⅔
* Segundo a relación entre o numerador e o denominador:
** **Fracción reducíbel**: fracción na que o numerador e o denominador non son primos entre si e pode simplificarse: 6/12
** **Fracción irredutíbel**: fracción na que o numerador e o denominador son primos entre si e, por tanto, non pode simplificarse: ½
* Outras clasificacións:
** **Fracción unitaria**: fracción común de numerador 1.
** **Fracción exipcia**: sistema de representación das fraccións no antigo Exipto no que cada fracción se expresa como suma de fraccións unitarias.
** **Fracción aparente** ou **enteira**: fracción que representa calquera número pertencente ao conxunto dos enteiros: 3/3=1, ¹⅔=4…
miniatura|200px|Exemplo de fracción aparente.
** **Fracción decimal**: fracción cuxo denominador é unha potencia de dez. Tamén pode ser unha fracción expresada en base 10, en contraposición coas **fraccións binarias** e demais, que están expresadas noutros sistemas de numeración.
** **Fracción mixta**: suma dun enteiro e unha fracción propia. As fraccións mixtas pódense expresar como fraccións impropias: 3¼
** Unha **fracción irracional** é, dado que todas as fraccións deben poder ser expresadas como fraccións vulgares, un termo autocontraditorio. Un número irracional é, por definición, non racional, é dicir, non pode expresarse como unha fracción vulgar.
** Unha **fracción continua** é unha expresión como esta:
:x = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3+\dots}}}
:onde os *ai* son enteiros positivos.
** **Fracción composta**: fracción cuxo numerador ou denominador (ou os dous) contén á súa vez fraccións.
** **Fracción parcial**: fracción que pode usarse para descompoñer unha función racional.
** **Fracción como razón**: fracción que serve para responder á pregunta *en que relación están?*, xa que pon de manifesto a relación que manteñen un par de números que poden provir dunha comparación.

## Fracción dunha cantidade 
De querermos **dividir** unha cantidade en varias partes e indicar un número destas partes, podemos facelo mediante fraccións, dividindo a cantidade polo denominador e multiplicando o resultado polo numerador. Así, se queremos indicar ¾ (tres cuartos, ou tres cuartas partes) de 453, hai que dividir 453 entre o denominador (neste caso, 4) e multiplicar o resultado polo numerador (neste caso, 3). O número obtido é a fracción que queremos indicar.

## Operacións con fraccións 
### Amplificación e simplificación de fraccións 
A amplificación dunha fracción consiste en multiplicar o numerador e o denominador por un mesmo número enteiro. Da mesma maneira, a simplificación dunha fracción consiste en dividir o numerador e o denominador entre un mesmo número enteiro, que xeralmente será un dos seus factores comúns. En ambos os casos, obtense unha fracción equivalente.

Exemplos:
* \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12} (Nesta amplificación da fracción ⅔, multiplícase numerador e denominador por 4)
* \frac{10}{25} = \frac{\frac{10}{5}}{\frac{25}{5}} = \frac{2}{5} (Aquí simplifícase 10/25 a ⅖ dividindo numerador e denominador entre 5)

### Comparación de fraccións 
A comparación de dúas fraccións utilízase para comprobar cal é maior. Existen varios métodos:
# O método xeral consiste en amplificar as dúas fraccións de modo que teñan o mesmo denominador (por exemplo, que teñan o mínimo común múltiplo (MCM) das fraccións orixinais.
#* Por exemplo, para \frac{5}{12} e \frac{3}{8}, o MCM de 12 e 8 é 24, polo que bastaría con multiplicar (amplificar) a primeira fracción nun factor de 2 e a segunda nun factor de 3. Obtense \frac{5}{12}=\frac{10}{24}, que é maior que \frac{3}{8}=\frac{9}{24}
# Se o numerador das dúas fraccións é o mesmo, a fracción co menor denominador é maior cá outra. Isto é bastante natural: se temos dúas tortas iguais, unha para repartir entre máis persoas que a outra, a que se reparta entre menos persoas estará partida en porcións máis grandes.
# Se o denominador das dúas fraccións é o mesmo, a fracción co maior numerador é maior cá outra.

### Suma e resta de fraccións 
Para sumar ou restar fraccións, temos dous casos:
#### Teñen o mesmo denominador 
Entón súmanse ou réstanse os numeradores e deixase o denominador común.
* Exemplo 1: \frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}

É posíbel que o resultado poida simplificarse.
* Exemplo 2: \frac{7}{12}-\frac{1}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}

#### Teñen distinto denominador 
Entón hai que amplificar as fraccións para que teñan o mesmo denominador e despois sumar (ou restar).
* Fórmula típica para a suma: \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}=\frac{ad+bc}{bd}
* Fórmula típica para a resta: \frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}-\frac{bc}{bd}=\frac{ad-bc}{bd}
* Exemplo 1: \frac{2}{7}+\frac{1}{3}=\frac{6}{21}+\frac{7}{21}=\frac{6+7}{21}=\frac{13}{21}

Observación: En realidade, non fai falta amplificar as fraccións de modo que o denominador resultante sexa o produto dos denominadores das fraccións iniciais. Basta con tomar o mínimo común múltiplo dos denominadores:
* Fórmula para a suma: \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a \cdot \frac{mcm(b,d)}{b} + c \cdot \frac{mcm(b,d)}{d}}{mcm(b,d)}
* Fórmula para a resta: \frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{a \cdot \frac{mcm(b,d)}{b} - c \cdot \frac{mcm(b,d)}{d}}{mcm(b,d)}
* Exemplo 2: \frac{7}{8}-\frac{5}{12}=\frac{7 \cdot 3 - 5 \cdot 2}{24} = \frac{21-10}{24} = \frac{11}{24}

Ao final da operación, pode que sexa preciso realizar outra simplificación.

### Produto e cociente de fraccións 
Para multiplicar dúas fraccións basta con multiplicar os numeradores por unha parte e os denominadores por outra:
* Fórmula para o produto: \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}
* Exemplo: \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 2} = \frac{15}{8}

No cociente de fraccións, o numerador da fracción resultante é o produto do numerador da fracción dividindo polo denominador da fracción divisor, mentres que o denominador é igual ao denominador da fracción dividendo multiplicado polo numerador da fracción divisor. Outra maneira de imaxinalo é que dividir entre un número é o mesmo que multiplicar polo inverso dese número, polo que o cociente entre dúas fraccións é igual ao produto da primeira fracción polo inverso da segunda:
* \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Número racional.
### Ligazóns externas 
* Operacións con fraccións .