C*-álxebra

As C*-álgebras estúdanse en análise funcional e utilízanse nalgunhas formulacións da mecánica cuántica. Unha C*-álgebra é unha álxebra de Banach sobre o corpo dos números complexos, xunto cunha función *: A → A chamada *involución* que ten as propiedades seguintes:
* (x + y)_{}^{*} = x_{}^{*} + y_{}^{*} para todo *x*, *y* en *A*
* (\lambda x)_{}^{*} = \bar\lambda x_{}^{*} para cada λ en **C** e cada *x* en *A*; aquí, λ* significa a conxugación complexa de λ.
* (xy)_{}^{*} = y_{}^{*}x_{}^{*} para todo *x*, *y* en '*A*
*  x^{**} = (x^*)^* =  x  para todo *x* en *A* (involución).
* a C* identidade:
:   \|x x^* \| = \|x\|\|x^*\|,
: que equivale a \|x x_{}^{*}\| = \|x\|_{}^{2} para todo *x* en *A*.

As álxebras C* son tamén *-álxebras, simplemente cumprindo as catro primeiras propiedades.

Nalgún tempo faláase de B*-álxebras, mais o termo xa foi abandonado.

Polo teorema de Gelfand-Naimark, as C*-álgebras son (módulo un isomorfismo) exactamente aquelas álxebras de operadores limitados nos espazos de Hilbert que son pechadas na topoloxía da norma e baixo tomar adxuntos, coa función de involución dada polo tomar adxunto.

### *-Homomorfismos e *-Isomorfismos 
A función f: *A* → *B* entre B*-álxebras *A* e *B* chámase un *-**homomorfismo** se:

* *f* é **C***-lineal
* *f*(*xy*) = *f*(*x*)*f*(*y*) para *x* e *y* en *A*
* *f*(*x**) = *f*(*x*)* para *x* en *A*.

Tal función f é automaticamente continua. Se *f* é bixectiva, entón a súa inversa é tamén un *-homorfismo e *f* chámase un ***-isomorfismo** e *A* e *B* dinse ***-isomorfos.** Nese caso, *A* e *B* son para todos os propósitos practicamente iguais; diferéncianse soamente na notación dos seus elementos. A estrutura dunha C*-álxebra forza calquera *-homomorfismos a ser contractivos; e un homomorfismo é inxectivo se e soamente se é isométrico.

### Exemplos de C*-álxebras 
A álxebra das  matrices *n*-por-*n*  sobre **C** convértese nunha C*-álxebra se utilizamos a norma da matriz ||.||2 que xorde como a norma de operador da norma euclidiana en **C***n*. A involución vén dada pola trasposta conxugada. O exemplo motivante dunha C*-álxebra é a álxebra dos operadores lineais continuos definidos nun espazo de Hilbert complexo *H*; aquí *x** denota o operador adxunto do operador *x*: *H* → *H*. De feito, cada C*-álxebra é *-isomorfa a unha subálxebra pechada de tal álxebra de operadores para un espazo de Hilbert *H* conveniente; este é o contido do teorema de Gelfand-Naimark.

Un exemplo dunha C*-álxebra conmutativa é a álxebra C(*X*) de todas as funcións continuas complexo-valoradas definidas nun compacto de Hausdorff *X*. Aquí a norma dunha función é o supremo do seu valor absoluto, e a operación estrela é a conxugación complexa. Cada C*-álxebra conmutativa con elemento unidade é *-isomorfa a unha tal álxebra C(*X*) usando a representación de Gelfand.

Se patimos dun espazo localmente compacto de Hausdorff *X* e consideramos as funcións continuas complexo-valoradas en *X* que se *anulan no infinito* (definido no artigo sobre a compacidade local), entón estas forman unha C*-álxebra conmutativa C0(*X*); se *X* non é compacto, entón C0(*X*) non ten elemento unidade. Unha vez máis a representación de Gelfand demostra que cada C*-álxebra conmutativa é *-isomorfa a unha álxebra da forma C0(*X*).

### Álxebras de von Neumann 
As álxebras de von Neumann, coñecidas como W*-álxebras antes dos anos 60, son unha clase especial de C*-álxebras. Requíreselles ser pechadas nunha topoloxía que é máis débil que a topoloxía da norma. O seu estudo é unha rama en si mesma das matemáticas, á parte das C-álxebras.

### C*-álxebras e a teoría cuántica de campos 
En teoría cuántica de campos, descríbese tipicamente un conxunto físico cunha C*-álxebra *A* con elemento unidade; os elementos auto-adxuntos de *A* (elementos *x* con *x* = x*) interprétanse como observables, as cantidades medibles, do sistema. Un *estado* do sistema defínese como unha funcional positiva en *A*, unha función **C**-lineal φ: *A* → **C** con φ(*u, u**) > 0 para todo *u *∈* A*, tal que φ(1) = 1. O valor esperado do observable *x*, se o sistema está no estado φ, é entón φ(*x*).

## Véxase tamén 
### Outros artigos
* Física local cuántica
* Álxebra sobre un corpo
* Álxebra asociativa
* *-álxebra
* B*-álxebra