Coordenadas baricéntricas

miniatura| Coordenadas baricéntricas (\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) nun triángulo equilátero e nun triángulo rectángulo.
miniatura| Un 3-simplex, con subdivisións baricéntricas de 1-caras (arestas), 2-caras (triángulos) e 3-caras (corpo).

En xeometría, as **coordenadas baricéntricas** son un sistema de coordenadas no que a localización dun punto especifícase por referencia a un simplex (un triángulo para puntos nun plano, un tetraedro para puntos no espazo tridimensional, etc.). As **coordenadas baricéntricas** dun punto pódense interpretar como masas situadas nos vértices do simplex, de xeito que o punto é o centro de masas (ou *baricentro*) destas masas. Estas masas poden ser nulas ou negativas; todas son positivas se e só se o punto está dentro do simplex.

Todo punto ten coordenadas baricéntricas, e a súa suma nunca é cero. Dúas tuplas de coordenadas baricéntricas especifican o mesmo punto se e só se son proporcionais.

As coordenadas baricéntricas foron introducidas por August Möbius en 1827. 

As coordenadas baricéntricas son particularmente útiles na xeometría do triángulo para estudar propiedades que non dependen dos ángulos do triángulo, como o teorema de Ceva, o teorema de Routh e o teorema de Menelao. No deseño asistido por ordenador, son útiles para definir algúns tipos de superficies de Bézier. 

## Definición 
Sexan A_0, \ldots, A_n,  puntos nun espazo euclidiano, un espazo afín \mathbf A de dimensión , que son puntos afinmente independentes; isto significa que non hai un subespazo afín de dimensión  que conteña tódolos puntos, ou equivalentemente, que os puntos definan un simplex. Dado calquera punto P\in \mathbf A, existen os escalares a_0, \ldots, a_n, que non son todos cero, tal que ( a_0 + \cdots + a_n ) \overset{}\overrightarrow{OP} = a_0 \overset{}\overrightarrow {OA_0} + \cdots + a_n \overset{}\overrightarrow {OA_n}, para calquera punto  (Como é habitual, a notación \overset{}\overrightarrow {AB} representa o vector de translación ou vector libre que mapea o punto  no punto ).

Os elementos dunha tupla (a_0: \dotsc: a_n) con  elementos que satisfagan esta ecuación denomínanse *coordenadas baricéntricas* de  en relación a A_0, \ldots, A_n. O uso dos dous puntos na notación da tupla significa que as coordenadas baricéntricas son unha especie de coordenadas homoxéneas, é dicir, o punto non muda se todas as coordenadas se multiplican pola mesma constante distinta de cero. A maiores, as coordenadas baricéntricas tampouco non se modifican se muda o punto auxiliar , a orixe.

Como xa se comentou  dúas tuplas de coordenadas baricéntricas especifican o mesmo punto se e só se son proporcionais. É dicir, dúas tuplas (a_0: \dotsc: a_n) e (b_0: \dotsc: b_n) son coordenadas baricéntricas do mesmo punto se e só se hai un escalar distinto de cero \lambda tal que b_i=\lambda a_i por cada . Por tanto pódense restrinxir os valores ao intervalo [0,1] dividindo cada a_i pola suma de todos os a_i. Deste modo nos referimos a **coordenadas baricéntricas normalizadas ou absolutas.**

## Coordenadas baricéntricas en triángulos 
No contexto dun triángulo, as coordenadas baricéntricas tamén se coñecen como **coordenadas de área**, porque as coordenadas de *P* en relación ao triángulo *ABC* son equivalentes ás razóns (con signos) das áreas de *PBC*, *PCA* e *PAB* á área do triángulo de referencia *ABC*. As coordenadas de área e  as coordenadas trilineares utilízanse con fins similares en xeometría.

Considere un triángulo ABC con vértices A=(a_1,a_2), B=(b_1,b_2), C=(c_1,c_2) no plano \mathbb{R}^2. Cada triángulo ABC ten unha área con signo que imos denominar *sarea*:

:\operatorname{sarea}(ABC) = \pm \operatorname{area}(ABC).

O signo é positivo se o camiño de A-B-C-A vai no sentido contrario ás agullas do reloxo e negativo se o camiño vai no sentido das agullas do reloxo.

Sexa P un punto no plano e (\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) as súas *coordenadas baricéntricas normalizadas* en relación ao triángulo ABC, así temos 
:P = \lambda_1 A + \lambda_2 B + \lambda_3 C.
Onde
:1 = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3.
:\begin{align}\lambda_1 &= \operatorname{sarea}(PBC)/\operatorname{sarea}(ABC).\\
            \lambda_2 &= \operatorname{sarea}(APC)/\operatorname{sarea}(ABC). \\
            \lambda_3 &= \operatorname{sarea}(ABP)/\operatorname{sarea}(ABC).\end{align}

### Proba
Sexa  D = -A+B+C,

daquela ABCD é un paralelogramo porque os seus pares de lados opostos, representados polos pares de vectores de desprazamento D-C=B-A, e D-B=C-A, son paralelos e congruentes.

O triángulo ABC é a metade do paralelogramo ABDC, polo que o duplo da súa área con signo é igual á área con signo do paralelogramo, que vén dada polo determinante 2\times 2, \det(B-A,C-A) cuxas *columnas* son os vectores de desprazamento B-A e C-A
:\operatorname{sarea}(ABCD)=\det\begin{pmatrix}b_1-a_1 & c_1-a_1 \\ b_2-a_2 & c_2-a_2\end{pmatrix}
que podemos escribir como
:\begin{align}\det(B-A,C-A) &= \det(B,C)-\det(A,C)-\det(B,A)+\det(A,A) \\ 
  &= \det(A,B)+\det(B,C)+\det(C,A) \end{align}
así
:2 \operatorname{sarea}(ABC) = \det(A,B)+\det(B,C)+\det(C,A),
e tamén temos que
:2 \operatorname{sarea}(PBC) = \det(P,B)+\det(B,C)+\det(C,P) .
Para obter a ratio destas áreas con signo, expresamos P na segunda fórmula en función das súas coordenadas baricéntricas:
:\begin{align}2 \operatorname{sarea}(PBC) 
   &= \det(\lambda_1 A + \lambda_2 B + \lambda_3 C, B) + \det(B,C) 
   + \det(C,\lambda_1 A + \lambda_2 B + \lambda_3 C)\\
   &= \lambda_1 \det(A,B) + \lambda_3 \det(C,B) + \det(B,C) 
   + \lambda_1 \det(C,A) + \lambda_2 \det(C,B)\\
   &= \lambda_1 \det(A,B) + \lambda_1 \det(C,A) 
   + (1-\lambda_2 - \lambda_3) \det(B,C) \end{align}.
Metendo este resultado  na primeira fórmula obtemos
:\begin{align}2 \operatorname{sarea}(PBC) &= \lambda_1 (\det(A,B)+\det(B,C)+\det(C,A)) \\ 
   &= (\lambda_1)(2 \operatorname{sarea}(ABC))\end{align}.
Polo tanto
:\lambda_1 = \operatorname{sarea}(PBC)/\operatorname{sarea}(ABC) 
 .
De forma similar teríamos
:\lambda_2 = \operatorname{sarea}(APC)/\operatorname{sarea}(ABC)
:\lambda_3 = \operatorname{sarea}(ABP)/\operatorname{sarea}(ABC).

### Exemplos 
Aquí móstranse as coordenadas baricéntricas dalgúns puntos notables do triángulo:
* A(1,0,0)
* B(0,1,0)
* C(0,0,1)
* punto medio de [BC]  \, (0,1,1)
* punto medio de [CA] \, (1,0,1)
* punto medio de [AB] \, (1,1,0)
* centro de gravidade G(1,1,1)
* centro do circunferencia inscrita I(a,b,c) ou (\sin \widehat A , \sin \widehat B , \sin \widehat C).
* centro do circunferencia circunscrita O(a\cos \widehat A , b\cos \widehat B , c\cos \widehat C) ou (\sin 2\hat A,\sin 2\hat B,\sin 2\hat C)  ou \left(a^2(b^2+c^2-a^2),b^2(c^2+a^2-b^2),c^2(a^2+b^2-c^2)\right).
* ortocentro H(a/\cos \widehat A , b/\cos \widehat B , c/\cos \widehat C) ou (\tan \widehat A , \tan \widehat B , \tan \widehat C)
* centro do circunferencia dos nove puntos (circunferencia de Euler) \Omega(a\cos(\widehat B-\widehat C),b\cos(\widehat C-\widehat A),
c\cos(\widehat A-\widehat B))
* punto simediano (a^2 , b^2, c^2) 

As coordenadas baricéntricas de miles de puntos notables do triángulo pódense atopar na encyclopedia of triangle centers (ETC).

## Relación con outras coordenadas 
### Relación coas coordenadas trilineares
As coordenadas trilineares (\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3) de P son distancias de P ás liñas BC, AC e AB con signo, respectivamente. O signo de \gamma_1 é positivo se P e A se atopan no mesmo lado de BC, negativo en caso contrario. Similarmente para  \gamma_2 e \gamma_3.

Sexa
:a = \operatorname{length}(BC) , b = \operatorname{length}(CA), c = \operatorname{length}(AB).

Daquela
:\begin{align}\gamma_1 a &= \pm 2\operatorname{sarea}(PBC)\\
            \gamma_2 b &= \pm 2\operatorname{sarea}(APC)\\
            \gamma_3 c &= \pm 2\operatorname{sarea}(ABP)\end{align}.

Os tres signos son positivos se o triángulo ABC está orientado positivamente e negativos no caso contrario. As relacións entre coordenadas trilineares e baricéntricas obtéñense substituíndo estas fórmulas nas fórmulas anteriores que expresan coordenadas baricéntricas como ratios entre áreas.

Un punto con coordenadas trilineares *x* : *y* : *z* ten coordenadas baricéntricas *ax* : *by* : *cz* onde *a*, *b*, *c* son as lonxitudes dos lados do triángulo. Pola contra, un punto con baricéntricas \lambda_1 : \lambda_2 : \lambda_3 ten trilineares \lambda_1/a:\lambda_2/b:\lambda_3/c.

### Conversión entre coordenadas baricéntricas e cartesianas 
Podemos escribir as coordenadas cartesianas do punto \mathbf{r} como ás compoñentes cartesianas dos vértices do triángulo
\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \mathbf{r}_3 onde \mathbf{r}_i = (x_i, y_i) e así temos ás coordenadas baricéntricas de \mathbf{r} como
:\begin{align}
 x &= \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + \lambda_3 x_3 \\[2pt]
 y &= \lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2 + \lambda_3 y_3
\end{align}
É dicir, as coordenadas cartesianas de calquera punto son unha media ponderada das coordenadas cartesianas dos vértices do triángulo, sendo os pesos as coordenadas baricéntricas normalizadas do punto.

Para atopar a transformación inversa, de coordenadas cartesianas a coordenadas baricéntricas, primeiro substituímos \lambda_3 = 1 - \lambda_1 - \lambda_2 no anterior para obter
:\begin{align}
 x &= \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + (1 - \lambda_1 - \lambda_2) x_3. \\[2pt]
 y &= \lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2 + (1 - \lambda_1 - \lambda_2) y_3.
\end{align}
Reorganizando, isto é
:\begin{align}
 \lambda_1(x_1 - x_3) + \lambda_2(x_2 - x_3) + x_3 - x &= 0. \\
 \lambda_1(y_1 - y_3) + \lambda_2(y_2 -\, y_3) + y_3 - \, y &= 0. 
\end{align}
Esta transformación linear pódese escribir de forma máis sucinta como
:
\mathbf{T} \cdot \lambda = \mathbf{r}-\mathbf{r}_3

onde \lambda é o vector das dúas primeiras coordenadas baricéntricas, \mathbf{r} é o vector de coordenadas cartesianas, e \mathbf{T} é unha matriz dada por
:
\mathbf{T} = \left(\begin{matrix}
x_1-x_3 & x_2-x_3 \\
y_1-y_3 & y_2-y_3
\end{matrix}\right)

Agora a matriz \mathbf{T} é invertíbel, xa que \mathbf{r}_1-\mathbf{r}_3 e \mathbf{r}_2-\mathbf{r}_3 son linearmente independentes (se non fose o caso, entón \mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, e \mathbf{r}_3 serían colineares e non formarían un triángulo). Así, podemos reorganizar a ecuación anterior para obter
:
\left(\begin{matrix}\lambda_1 \\ \lambda_2\end{matrix}\right) = \mathbf{T}^{-1} ( \mathbf{r}-\mathbf{r}_3 )

Achar as coordenadas baricéntricas reduciuse así a atopar a matriz inversa de \mathbf{T}.

Explicitamente, as fórmulas para as coordenadas baricéntricas do punto \mathbf{r} en función das súas coordenadas cartesianas (*x, y*) e en función das coordenadas cartesianas dos vértices do triángulo son:
\begin{align}
 \lambda_1 =&\ \frac{(y_2-y_3)(x-x_3) + (x_3-x_2)(y-y_3)}{\det(\mathbf T)} \\[4pt]
 &= \frac{(y_2-y_3)(x-x_3) + (x_3-x_2)(y-y_3)}{(y_2-y_3)(x_1-x_3) + (x_3-x_2)(y_1-y_3)} \\[4pt]
&= \frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r_3})\times(\mathbf{r_2}-\mathbf{r_3})}{(\mathbf{r_1}-\mathbf{r_3})\times(\mathbf{r_2}-\mathbf{r_3})} \\[12pt]
 \lambda_2 =&\ \frac{(y_3-y_1)(x-x_3) + (x_1-x_3)(y-y_3)}{\det(\mathbf T)} \\[4pt]
 &= \frac{(y_3-y_1)(x-x_3) + (x_1-x_3)(y-y_3)}{(y_2-y_3)(x_1-x_3) + (x_3-x_2)(y_1-y_3)} \\[4pt]
&= \frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r_3})\times(\mathbf{r_3}-\mathbf{r_1})}{(\mathbf{r_1}-\mathbf{r_3})\times(\mathbf{r_2}-\mathbf{r_3})} \\[12pt]
 \lambda_3 =&\ 1 - \lambda_1 - \lambda_2 \\[4pt]
&= 1-\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r_3})\times(\mathbf{r_2}-\mathbf{r_1})}{(\mathbf{r_1}-\mathbf{r_3})\times(\mathbf{r_2}-\mathbf{r_3})} \\[4pt]
&= \frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r_1})\times(\mathbf{r_1}-\mathbf{r_2 })}{(\mathbf{r_1}-\mathbf{r_3})\times(\mathbf{r_2}-\mathbf{r_3})} 
\end{align}

### Ecuacións en coordenadas baricéntricas 
Os tres lados *a, b, c* teñen, respectivamente, ecuacións
:\lambda_1=0, \quad \lambda_2=0, \quad \lambda_3=0.
A ecuación da recta de Euler dun triángulo é 
: \begin{vmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 & \lambda_3 \\1 & 1 & 1\\\tan A & \tan B & \tan C \end{vmatrix} =0.

### Distancia entre puntos 
O vector de desprazamento de dous puntos P=(p_1,p_2,p_3) e Q=(q_1,q_2,q_3) é
:\overset{}\overrightarrow{P Q}=(p_1-q_1,p_2-q_2,p_3-q_3).

A distancia  entre  e , é  
:\begin{align}
 d^2 &= |PQ|^2 \\[2pt]
 &= -a^2yz - b^2zx - c^2xy \\[4pt]
 &= \frac{1}{2} \left[x^2(b^2+c^2-a^2) + y^2(c^2+a^2-b^2) + z^2(a^2+b^2-c^2)\right].
\end{align}onde *a, b, c* son as lonxitudes dos lados do triángulo. A equivalencia das dúas últimas expresións segue de x+y+z=0, que se cumpre porque
:\begin{align}
 x+y+z &= (p_1-q_1) + (p_2-q_2) + (p_3-q_3) \\[2pt]
 &= (p_1+p_2+p_3) - (q_1+q_2+q_3) \\[2pt]
 &= 1 - 1 = 0.
\end{align}
As coordenadas baricéntricas dun punto pódense calcular en función das distancias *d**i* aos tres vértices do triángulo resolvendo a ecuación
:
\left(\begin{matrix}
 -c^2 & c^2 & b^2-a^2 \\
 -b^2 & c^2-a^2 & b^2 \\
 1 & 1 & 1
\end{matrix}\right)\boldsymbol{\lambda} = \left(\begin{matrix}
 d^2_A - d^2_B \\
 d^2_A - d^2_C \\
 1
\end{matrix}\right).

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*Scott, J. A. *Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry*, Mathematical Gazette 83, novembro 1999, 472–477.
*Schindler, Max; Chen, Evan (xullo 13, 2012). *Barycentric Coordinates in Olympiad Geometry* (PDF). accedido 14 xaneiro 2016.
*Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangles Encyclopedia of Triangle Centers. Archived from the original on 2012-04-19.
* 
* 
* Barycentric Calculus In Euclidean And Hyperbolic Geometry: A Comparative Introduction, Abraham Ungar, World Scientific, 2010
* Hyperbolic Barycentric Coordinates, Abraham A. Ungar, The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol.6, No.1, Article 18, pp.&nbsp;1–35, 2009
* 
* 
* Barycentric coordinates computation in homogeneous coordinates, Vaclav Skala, Computers and Graphics, Vol.32, No.1, pp.&nbsp;120–127, 2008

### Outros artigos 
* Coordenadas homoxéneas.
### Ligazóns externas 
* Law of the lever
* The uses of homogeneous barycentric coordinates in plane euclidean geometry
* Barycentric Coordinates – unha colección de documentos científicos about sobre coordenadas baricéntricas
* Barycentric coordinates: A Curious Application *(solución ao problema dos "tres vasos ")* en cut-the-knot
* Accurate point in triangle test
* Barycentric Coordinates in Olympiad Geometry  by Evan Chen e Max Schindler
* Barycenter command e TriangleCurve command en Geogebra