Anel cociente

Na teoría de aneis, unha rama da álxebra abstracta, un **anel cociente**, tamén coñecido como **anel de factorización** ou **anel de clase de residuos**, é unha construción bastante similar ao grupo cociente na teoría de grupos e ao espazo cociente na álxebra linear.  É un exemplo específico de cociente, visto desde o escenario xeral da álxebra universal. Comezando cun anel R e un ideal bilateral I en R, constrúese un novo anel, o anel cociente R / I, cuxos elementos son as coclases de I en R suxeito a operacións específicas + e \cdot  (A notación de anel cociente sempre usa unha barra de fracción "/".)

Os aneis cocientes son distintos do chamado "corpo cociente", ou corpo de fraccións, dun dominio de integridade, así como dos "aneis de cocientes" que son máis xerais e obtéñense por localización.

## Construción formal do anel cociente 
Dado un anel R e un ideal bilateral I en R, podemos definir unha relación de equivalencia \sim en R do seguinte xeito:

: a \sim b se e só se a - b está en I.

Usando as propiedades do ideal, non é difícil comprobar que \sim é unha relación de congruencia. No caso a \sim b, dicimos que a e b son *congruentes*  *módulo* I (por exemplo, 1 e 3 son congruentes módulo 2 xa que a súa diferenza é un elemento do ideal 2 \mathbb{Z}, os enteiros pares). A clase de equivalencia do elemento a en R vén dada por: 
:\left[ a \right] = a + I := \left\lbrace a + r : r \in I \right\rbrace

Esta clase de equivalencia tamén se escribe ás veces como a \bmod I e chámase a "clase de residuos de a módulo I ".

O conxunto de todas esas clases de equivalencia desígnase por R / I; convértese nun anel, o **anel de factorización** ou **anel cociente** de R módulo I, se definimos as súas operacións específicas

* (a + I) + (b + I) = (a + b) + I;
* (a + I)(b + I) = (ab) + I.

O mapa p dende R a R / I definido por p(a) = a + I é un homomorfismo de aneis sobrexectivo, ás veces chamado ***mapa cociente natural*** ou ***homomorfismo canónico***.

## Exemplos 
* Considere o anel de enteiros \mathbb{Z} e o ideal dos números pares, denotado por 2 \mathbb{Z}. Daquela o anel cociente \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} ten só dous elementos, a clase 0 + 2 \mathbb{Z} composto polos números pares e a clase 1 + 2 \mathbb{Z} consistente en números impares; aplicando a definición, \left[ z \right] = z + 2 \mathbb{Z} = \left\lbrace z + 2y : 2y \in 2\mathbb{Z} \right\rbrace, onde 2 \mathbb{Z} é o ideal dos números pares. É naturalmente isomorfo ao corpo finito con dous elementos, F_{2}. Intuitivamente: se pensamos en todos os números pares como 0, entón todo número enteiro é 0 (se é par) ou 1 (se é impar e, polo tanto, difire dun número par por 1). A aritmética modular é esencialmente aritmética no anel cociente \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} (que ten n elementos).

* Agora consideremos o anel de polinomios na variábel X con coeficientes reais, \mathbb{R} [X], e o ideal I = \left( X^2 + 1 \right) consistente en todos os múltiplos do polinomio X^2 + 1. O anel cociente \mathbb{R} [X] / ( X^2 + 1 ) é naturalmente isomorfo ao corpo de números complexos \mathbb{C}, coa clase [X] desempeñando o papel da unidade imaxinaria i. A razón é que "forzamos" X^2 + 1 = 0, é dicir, X^2 = -1, que é a propiedade definidora de i. Posto que calquera expoñente enteiro de i debe ser \pm i ou \pm 1, iso significa que todos os posíbeis polinomios simplifican esencialmente na forma a + bi. (Para aclarar, o anel cociente \mathbb{R} [X] / ( X^2 + 1 ) é naturalmente isomorfo ao corpo de todos os polinomios lineares aX + b; a,b \in \mathbb{R}, onde se realizan as operacións módulo X^2 + 1. A cambio, temos X^2 = -1, e isto é como facer coincidir X coa unidade imaxinaria no corpo isomorfo dos números complexos).

* Xeneralizando o exemplo anterior, os aneis cocientes adoitan usarse para construír extensións dun corpo. Supoñamos que K é algún corpo e f é un polinomio irredutíbel en K[X]. Entón L = K[X] / (f) é un corpo cuxo polinomio mínimo sobre K é f, que  contén K e tamén un elemento x = X + (f).

* Os aneis de variedades afíns (tamén chamadas variedades de coordenadas) das variedades alxébricas son exemplos importantes de aneis cocientes na xeometría alxébrica. Como caso sinxelo, considere a variedade real V = \left\lbrace (x,y) | x^2 = y^3 \right\rbrace como un subconxunto do plano real \mathbb{R}^2. O anel de funcións polinómicas de valores reais definido en V pódese identificar co anel cociente \mathbb{R} [X,Y] / (X^2 - Y^3), e este é o anel da variedade afín de V. Agora podemos investigar a variedade V estudando o seu anel de coordenadas.

* Supoñamos que M é unha variedade \mathbb{C}^{\infty}, e p é un punto de M. Considere o anel R = \mathbb{C}^{\infty}(M) de todas as funcións \mathbb{C}^{\infty} definidas en M e sexa I o ideal en R composto por esas funcións f que son idénticamente nulas nalgúnha veciñanza U de p (onde U pode depender de f). Daquela o anel cociente R / I é o anel dos xermolos de funcións \mathbb{C}^{\infty} sobre M en p.

### Variacións de planos complexos 
Os cocientes \mathbb{R} [X] / (X), \mathbb{R} [X] / (X + 1), e \mathbb{R} [X] / (X - 1) son todos isomorfos a \mathbb{R} e teñen pouco interese en principio. Mais consideremos \mathbb{R} [X] / (X^2), chamado plano numérico dual en álxebra xeométrica. Consta só de binomios lineares como "restos" despois de reducir un elemento de \mathbb{R} [X] por X^2. Esta variación dun plano complexo xorde como unha subálxebra sempre que a álxebra contén unha recta real e un nilpotente.

A maiores, o cociente do anel \mathbb{R} [X] / (X^2 - 1) descomponse (split) en \mathbb{R} [X] / (X + 1) e \mathbb{R} [X] / (X - 1), polo que este anel adoita considerarse como a suma directa \mathbb{R} \oplus \mathbb{R}. Con todo, unha variación dos números complexos z = x + yj é o que suxire  j como raíz de X^2 - 1 = 0, en comparación con i como raíz de X^2 + 1 = 0. Este plano de números complexos descompostos 
normaliza a suma directa \mathbb{R} \oplus \mathbb{R} proporcionando unha base \left\lbrace 1, j \right\rbrace para un 2-espazo onde a identidade da álxebra está a unha unidade de distancia do cero. Con esta base pódese comparar unha hipérbole unitaria coa circunfetencia unitaria do plano complexo ordinario.

## Propiedades 
Claramente, se R é un anel conmutativo, entón tamén o é R / I; o contrario, porén, en xeral non é certo.

O mapa do cociente natural p ten I como o seu kernel; xa que o kernel de cada homomorfismo de aneis é un ideal bilateral, podemos afirmar que os ideais bilaterais son precisamente os kernels dos homomorfismos de aneis.

A íntima relación entre os homomorfismos de aneis, kernels e aneis cocientes pódese resumir do seguinte xeito: os homomorfismos de aneis definidos en R / I son esencialmente os mesmos que os homomorfismos de aneis definidos en R que desaparecen (é dicir, son cero) en I. Máis precisamente, dado un ideal bilateral I en R e un homomorfismo de aneis f: R \to S cuxo kernel contén I, existe precisamente un homomorfismo de aneis g: R / I \to S con gp = f (onde p é o mapa do cociente natural). O mapa g aquí vén dado pola regra ben definida g([a]) = f(a) para todos os a en R. De feito, esta propiedade universal pódese usar para *definir* aneis cocientes e os seus mapas cocientes naturais.

Como consecuencia do anterior, obtense a afirmación fundamental: todo homomorfismo de aneis f: R \to S induce un isomorfismo de aneis entre o anel cociente R / \ker (f) e a imaxe \mathrm{im} (f). (Ver tamén: *Teorema fundamental sobre homomorfismos*).

Os seguintes feitos resultan útiles en álxebra conmutativa e xeometría alxébrica: para R \neq \lbrace 0 \rbrace conmutativo, R / I é un corpo se e só se I é un ideal máximal, mentres que R / I é un dominio de integridade se e só se I é un ideal primo. Unha serie de afirmacións similares relacionan propiedades do ideal I ás propiedades do anel cociente R / I.

O teorema chinés do resto afirma que, se o ideal I é a intersección (ou equivalentemente, o produto) dos ideais coprimos por parellas I_1, \ldots, I_k, entón o anel cociente R / I é isomorfo ao produto dos aneis cocientes R / I_n,\; n = 1, \ldots, k .

## Para álxebras sobre un anel 
Unha álxebra asociativa A sobre un anel conmutativo R é un anel en si. Se I é un ideal en A (pechado baixo multiplicación en R), entón A / I herda a estrutura dunha álxebra en R sendo a **álxebra cociente**.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* F. Kasch (1978) *Moduln und Ringe*, translated by DAR Wallace (1982) *Modules and Rings*, Academic Press, page 33.
* Neal H. McCoy (1948) *Rings and Ideals*, §13 Residue class rings, page 61, Carus Mathematical Monographs #8, Mathematical Association of America.
* 
* B.L. van der Waerden (1970) *Algebra*. ver capítulo 3.5, "Ideals. Residue Class Rings", pp. 47–51.

### Outros artigos 
* Corpo de residuos
* Módulo cociente
### Ligazóns externas 
* 
* Ideals and factor rings from John Beachy's *Abstract Algebra Online*