Multiplicación

miniatura|250px|Propiedade conmutativa da multiplicación: 3×4 = 12 = 4×3  Doce elementos poden ser ordenados en tres filas de catro, ou catro columnas de tres.

A **multiplicación** é unha operación matemática que consiste en sumar un número tantas veces como indica outro número. Así, *4×3* (léase "catro multiplicado por tres" ou, simplemente, "catro por tres") é igual a sumar tres veces o valor **4** por si mesmo (**4+4+4**).

A multiplicación está asociada ao concepto de área xeométrica.

O resultado da multiplicación de varios números chámase **produto**. Os números que se multiplican chámanse ***factores*** ou ***coeficientes*** e individualmente, ***multiplicando*** (número que se suma ou número que se está multiplicando) e ***multiplicador*** (veces que se suma o multiplicando).

Esta diferenciación entre "multiplicando" e "multiplicador" pode ser superfluo nalgúns contextos, por exemplo, cando o conxunto onde está definido o produto verifica a propiedade conmutativa da multiplicación (por exemplo, no conxunto dos números reais); pero pode ser útil cando nos referimos ao multiplicador dunha expresión alxébrica (por exemplo, en "a2b + a2b + a2b" ou "3a2b", 3 é o multiplicador, mentres que "a2b" é o multiplicando).

En álxebra moderna adóitase usar a denominación ***cociente*** ou ***multiplicación***, coa súa notación habitual ("**·**") para designar a operación externa nun módulo, para designar tamén a segunda operación que se define nun anel (aquela para a que non está definido o elemento inverso do 0), ou para designar a operación que dota a un conxunto de estrutura de grupo.

A operación inversa da multiplicación de números é a división.

## Notación 
A multiplicación indícase cunha "aspa" (×) ou cun punto medio (**·**). En ausencia destes caracteres adoita usarse o asterisco (*), sobre todo en computación (este uso ten a súa orixe no FORTRAN), pero está desaconsellado noutros contextos e só se debe empregar cando non hai outra alternativa.

Ás veces utilízase a letra **xe** (x), pero isto tamén é desaconsellable porque crea unha confusión innecesaria coa letra, que adoita representar unha incógnita nunha ecuación.

Tamén adoitan utilizarse signos de agrupación, como parénteses ( ), corchetes [ ] ou chaves { }. Estes, as máis das veces, utilízanse para multiplicar números negativos entre si ou por números positivos.

Se os factores non se escriben de forma individual pero pertencen a unha lista de elementos con certa regularidade, pódese escribir o produto mediante unha elipse, é dicir, escribir explicitamente os primeiros termos e os últimos, (ou en caso dun *produto de infinitos termos* só os primeiros), e substituír os demais por puntos suspensivos. Isto é análogo ao que se fai con outras operacións aplicadas a infinitos números (como as sumas). O produto de infinitos termos defínese como o límite do produto dos *n* primeiros termos cando *n* crece indefinidamente.

Así, o produto de todos os números naturais desde o 1 até o 100 pódese escribir:
:1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 99 \cdot 100
mentres que o produto dos números pares entre o 1 e o 100 escribiríase:
:2\cdot 4\cdot 6 \cdots 100.

Isto tamén pode denotarse escribindo os puntos suspensivos na parte media da liña de texto:
:1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot 99 \cdot 100

En calquera caso, deben estar claros cales son os termos omitidos.

Por último, pódese denotar o produto mediante o símbolo productorio, que provén da letra grega Π (*Pi* maiúscula).

Isto defínese así:
: \prod_{i=m}^{n} x_{i} = x_{m} \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \cdots \cdot x_{n-1} \cdot x_{n}. 

O subíndice i \, indica unha variábel que toma como valores os números enteiros desde un valor mínimo (m \,, indicado no subíndice) a un valor máximo (n \,, indicado no superíndice).

Finalmente, pódese omitir o signo de multiplicación, a menos que se multipliquen números ou que se poida xerar confusión sobre os nomes das incógnitas, constantes ou funcións, por exemplo, cando o nome dalgunha incógnita ten máis dunha letra e podería confundirse co produto doutras dúas.

## Definición 
miniatura|180px|Catro bolsas de tres globos dá un total de doce globos (3×4=12).

A multiplicación de dous números enteiros *n* e *m* exprésase como:

:\sum_{k=1}^n m=mn

Isto non é máis que unha forma de simbolizar a expresión "sumar *m* a si mesmo *n* veces". Pode facilitar a comprensión ao expandirse a expresión anterior:

:m·n = m + m + m +...+ m

tal que hai *n* sumandos. Así, por exemplo:

* 5×2 = 5 + 5 = 10
* 2×5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
* 4×3 = 4 + 4 + 4 = 12
* m·6 = m + m + m + m + m + m = 6m
* m·5 = m + m + m + m + m  = 5m

## Propiedades 
As seguintes propiedades son válidas no conxunto dos números reais e dos complexos.
### Propiedade conmutativa 
Utilizando esta definición, é fácil demostrar algunhas propiedades interesantes da multiplicación. Como indican os dous primeiros exemplos, a orde en que se multiplican dous números é irrelevante, o que se coñece como **propiedade conmutativa**, que se cumpre en xeral para dous números calquera *x* e *y*:

:x·y = y·x

### Propiedade asociativa 
A multiplicación tamén verifica a **propiedade asociativa**, que consiste en que, para tres números calquera *x*, *y*, *z*, tense que:

:(x·y)z = x(y·z)

Na notación alxébrica, as parénteses indican que as operacións dentro dos mesmos deben ser realizadas con preferencia a calquera outra operación.

Por exemplo:
:(8×3)×2 = 8×(3×2)
:24×2 = 8×6
:48 = 48

### Propiedade distributiva 
A multiplicación tamén verifica a **propiedade distributiva** coa suma, porque:
:x.(y + z) = x.y + x.z
Así mesmo:
:(x + t).(y + z) = x(y + z) + t(y + z) = xy + xz + ty + tz
9×(3+5)=(9×3)+(9×5)=27+45=72

### Elemento neutro 
Calquera número multiplicado pola unidade (1) é igual a si mesmo.

Exemplo:1·x = x 1 x 4 =4

é dicir, a multiplicación ten un **elemento neutro** que é o 1.

### Cero 
Todo número multiplicado por cero dá cero.

## Conexión coa xeometría 
Desde un punto de vista puramente xeométrico, a multiplicación entre dous valores determina unha área que é representable. Do mesmo xeito, o produto de tres valores determina un volume igualmente representable.

En xeral, o produto de calquera cantidade maior que cero de números produce un resultado xeométrico representable, sexa este máis ou menos intuitivo e máis ou menos fácil de representar.

## Produto de números negativos 
Para definir o produto de números negativos considérase o número -1. Para calquera enteiro positivo *m*:

:(-1)m = (-1) + (-1) +...+ (-1) = -m

Este é un resultado interesante que mostra que calquera número negativo non é máis que un número positivo multiplicado por -1. Polo que a multiplicación de enteiros se pode representar pola multiplicación de enteiros positivos e factores -1. O único que queda por definir é o produto de (-1)(-1):

(-1)(-1) = -(-1) = 1

## Desde números enteiros a números complexos 
Desta forma, defínese a multiplicación de dous enteiros. As definicións poden ampliarse a conxuntos cada vez maiores de números: primeiro ao conxunto das fraccións ou números racionais, despois a todos os números reais e finalmente aos números complexos e outras extensións dos números reais.

## Definición recursiva 
Unha definición recursiva da multiplicación pode darse segundo estas regras:
: *x*·0 = 0
: *x*·*y* = *x* + *x*·(*y*-1)
onde *x* é unha cantidade arbitraria, e *y* é un número natural. Unha vez que o produto está definido para os números naturais, pódese ampliar a conxuntos máis grandes, como xa se indicou anteriormente.

## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* División
* Táboa de multiplicar

### Ligazóns externas