Función diferenciábel

miniatura|dereita|Unha función diferenciábel
En matemáticas, unha **función diferenciábel** dunha variábel real é unha función cuxa derivada existe en cada punto do seu dominio. Unha función diferenciábel é suave (a función está localmente ben aproximada como unha función linear en cada punto interior) e non contén ningún salto ou cúspide.

Se  é un punto interior no dominio dunha función , entón  dise que é *diferenciábel en*  se a derivada f'(x_0) existe.  dise que é *continuamente diferenciábel* se a súa derivada é tamén unha función continua sobre o dominio da función f. En xeral,  dise que é de clase  se as súas primeiras k derivadas f^{\prime}(x), f^{\prime\prime}(x), \ldots, f^{(k)}(x) existen e son continuas sobre o dominio da función f.

Para unha función multivariábel, como se mostra embaixo, a diferenciabilidade é algo máis complexa que a existencia das derivadas parciais.

## Diferenciabilidade de funcións reais dunha variábel
Unha función f:U\to\mathbb{R}, definida nun conxunto aberto U\subset\mathbb{R}, dise que é *diferenciábel* en a\in U se a derivada
:f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} 
existe. Isto implica que a función é continua en .

Esta función  dise que é *diferenciábel* en  se é diferenciábel en cada punto de . Neste caso, a derivada de  é así unha función de  en \mathbb R. 

Unha función dise que é *continuamente diferenciábel* se a súa derivada é tamén unha función continua; existen funcións que son diferenciábeis mais non continuamente diferenciábeis (un exemplo dase na sección Clases de diferenciabilidade).

## Diferenciabilidade e continuidade
[esquerda|miniatura|A función [valor absoluto é continua (é dicir, non ten ocos). É diferenciábel en todas as partes *agás* no punto  = 0, onde fai un xiro brusco ao cruzar o eixo .]]
[miniatura|dereita|Unha [cúspide (singularidade)|cúspide na gráfica dunha función continua. En cero, a función é continua mais non diferenciábel.]]
Se  é diferenciábel nun punto , entón  debe tamén ser continua en . En particular, calquera función diferenciábel debe ser continua en cada punto do seu dominio. *O contrario non é certo*: unha función continua non ten por que ser diferenciábel. Por exemplo, unha función cunha curva, cúspide ou tanxente vertical pode ser continua, pero non ser diferenciábel no lugar da anomalía.

A maioría das funcións que aparecen na práctica teñen derivadas en todos os puntos ou en case todos os puntos. O primeiro exemplo coñecido dunha función que é continua en todas partes pero non diferenciábel en ningunha parte é a función de Weierstrass.

## Clases de diferenciabilidade
300px|miniatura|As funcións diferenciábeis poden ser aproximadas localmente por funcións lineares.
miniatura|300px|A función f : \R \to \R con f(x) = x^2\sin\left(\tfrac 1x\right) para x \neq 0 e f(0) = 0 é diferenciábel. No entanto, esta función non é continuamente diferenciábel.

Unha función f dise que é  se a derivada f^{\prime}(x) existe e é ela mesma unha función continua. Aínda que a derivada dunha función diferenciábel nunca ten unha descontinuidade de salto, é posíbel que a derivada teña unha descontinuidade esencial. Por exemplo, a función
f(x) \;=\; \begin{cases} x^2 \sin(1/x) & \text{ se }x \neq 0 \\ 0 & \text{ se } x = 0\end{cases}
é diferenciábel en 0, xa que
f'(0) = \lim_{\varepsilon \to 0} \left(\frac{\varepsilon^2\sin(1/\varepsilon)-0}{\varepsilon}\right) = 0
existe. No entanto, para x \neq 0, as regras de diferenciación implican
f'(x) = 2x\sin(1/x) - \cos(1/x)\;,
que non ten límite cando x \to 0. Así, este exemplo mostra a existencia dunha función que é diferenciábel pero non continuamente diferenciábel (é dicir, a derivada non é unha función continua). Con todo, o teorema de Darboux implica que a derivada de calquera función satisfai a conclusión do teorema do valor intermedio.

De xeito similar a como as funcións continuas se din que son de  as funcións continuamente diferenciábeis ás veces dinse que son de . Unha función é de  se a primeira e a segunda derivada da función existen e son continuas. Máis xeralmente, unha función dise que é de  se as primeiras k derivadas f^{\prime}(x), f^{\prime\prime}(x), \ldots, f^{(k)}(x) existen e son continuas. Se as derivadas f^{(n)} existen para todos os enteiros positivos n, a función é suave ou equivalentemente, de {{em|clase C^{\infty}.}}

## Diferenciabilidade en dimensións superiores
Unha función de varias variábeis reais  dise que é diferenciábel nun punto  se existe unha aplicación linear  tal que
:\lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0}} \frac{\|\mathbf{f}(\mathbf{x_0}+\mathbf{h}) - \mathbf{f}(\mathbf{x_0}) - \mathbf{J}\mathbf{(h)}\|_{\mathbf{R}^{n}}}{\| \mathbf{h} \|_{\mathbf{R}^{m}}} = 0.

Se unha función é diferenciábel en , entón todas as derivadas parciais existen en , e a aplicación linear  vén dada pola matriz jacobiana, unha matriz *n* × *m* neste caso. 

Se todas as derivadas parciais dunha función existen nunha veciñanza dun punto  e son continuas no punto , entón a función é diferenciábel nese punto .

No entanto, a existencia das derivadas parciais (ou mesmo de todas as derivadas direccionais) non garante que unha función sexa diferenciábel nun punto. Por exemplo, a función  definida por

:f(x,y) = \begin{cases}x & \text{se }y \ne x^2 \\ 0 & \text{se }y = x^2\end{cases}

non é diferenciábel en , pero todas as derivadas parciais e direccionais existen neste punto. Para un exemplo continuo, a función

:f(x,y) = \begin{cases}y^3/(x^2+y^2) & \text{se }(x,y) \ne (0,0) \\ 0 & \text{se }(x,y) = (0,0)\end{cases}

non é diferenciábel en , mais de novo todas as derivadas parciais e direccionais existen.

## Diferenciabilidade en análise complexa
En análise complexa, a diferenciabilidade complexa defínese usando a mesma definición que as funcións reais dunha variábel. Isto é debido á posibilidade de dividir números complexos. Así, unha función f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} dise que é diferenciábel en x=a cando

:f'(a)=\lim_{\underset{h\in\mathbb C}{h\to 0}}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.

Aínda que esta definición parece similar á diferenciabilidade das funcións reais dunha variábel, é unha condición máis restritiva. Unha función f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}, que é complexo-diferenciábel nun punto x=a, é automaticamente diferenciábel nese punto, cando se ve como unha función f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2. Isto débese a que a diferenciabilidade complexa implica que

:\lim_{\underset{h\in\mathbb C}{h\to 0}}\frac=0.

No entanto, unha función f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} pode ser diferenciábel como unha función multivariábel, mentres non é complexo-diferenciábel. Por exemplo, f(z)=\frac{z+\overline{z}}{2} é diferenciábel en cada punto, vista como a función real de 2 variábeis f(x,y)=x, mais non é complexo-diferenciábel en ningún punto porque o límite \lim_{h\to 0}\frac{h+\bar h}{2h} non existe (o límite depende do ángulo de aproximación).

Calquera función que é complexo-diferenciábel nunha veciñanza dun punto chámase holomorfa nese punto. Tal función é necesariamente infinitamente diferenciábel, e de feito analítica.

## Funcións diferenciábeis en variedades
Se *M* é unha variedade diferenciábel, unha función real ou complexa *f* en *M* dise que é diferenciábel nun punto *p* se é diferenciábel en relación a algún (ou calquera) carta de coordenadas definida arredor de *p*. Se *M* e *N* son variedades diferenciábeis, unha función *f*:&nbsp;*M*&nbsp;→&nbsp;*N* dise que é diferenciábel nun punto *p* se é diferenciábel en relación a algún (ou calquera) carta de coordenadas definida arredor de *p* e *f*(*p*).
## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
*Derivada
*Función suave