Conxectura de Erdős-Straus

A **conxectura de Erdős-Straus** é un problema sen resolver en Teoría de números. A conxectura consiste en que, por cada enteiro n igual ou maior que 2, existen enteiros positivos x, y, e z para os que 
:\frac{4}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}.
En outras palabras, o número 4/n pode ser escrito como a suma de tres fraccións unitarias.

O nome da conxectura débese a Paul Erdős e Ernst G. Straus, quen a formularon en 1948. As sumas de fraccións unitarias, como a deste problema, coñécense como fracción exipcia, polo seu uso nas matemáticas do antigo Exipto. A conxectura de Erdős–Straus é un problema matemático relativo a ecuacións diofantianas.

Aínda que non se coñece unha solución para todos os valores de n, existen infinitos valores de certas infinitas progresións aritméticas que teñen fórmulas sinxelas para a súa solución. Se omitimos estes valores coñecidos podemos acelerar a procura de contraexemplos. Ademais, estas buscas só precisan considerar valores de números primos, porque calquera contraexemplo composto tería un contraexemplo menor entre os seus factores primos. As buscas informáticas verificaron a verdade da conxectura ata  n\le 10^{17}.

Se a conxectura é reformulada para permitir fraccións unitarias negativas, entón sábese que é verdadeira. Tamén se estudaron as xeneralizacións da conxectura a fraccións con numerador 5 ou superior.

## Antecedentes e historia
Cando un número racional se expande nunha suma de fraccións unitarias, a expansión chámase  unha fracción exipcia. Nesta conxectura as veces se inclúe o requisito de que todas as fraccións sexan diferentes, mais iso non é unha diferenza significativa porque para n>2 calquera solución a \tfrac4n=\tfrac1x+\tfrac1y+\tfrac1z onde haxa fraccións iguais pódese converter a fraccións diferentes doadamente; ver abaixo.

## Formulación
A conxectura di que, para cada enteiro n\ge 2, existen enteiros positivos x, y e z tal que

:\frac4n = \frac1x + \frac1y + \frac1z.
Por exemplo, para n=5, hai 2 solucións:

:\frac45=\frac12+\frac14+\frac1{20}=\frac12+\frac15+\frac1{10}.

Multiplicando ambos os lados da ecuación \tfrac4n=\tfrac1x+\tfrac1y+\tfrac1z por nxyz leva a unha forma  polinomial equivalente 4xyz=n(xy+xz+yz).

### Fraccións unitarias distintas
Algúns investigadores requiren ademais que os números enteiros x, y e z sexan distintos. Para n\ge 3, ese requisito non é importante:  Isto débese a que dúas fraccións unitarias idénticas pódense substituír mediante unha das dúas expansións seguintes
:
\begin{align}
\frac{1}{2r}+\frac{1}{2r} &\Rightarrow \frac{1}{r+1}+\frac{1}{r(r+1)}\\
\frac{1}{2r+1}+\frac{1}{2r+1} &\Rightarrow \frac{1}{r+1}+\frac{1}{(r+1)(2r+1)}\\
\end{align}
(segundo se a fracción repetida ten un denominador par ou impar) e esta substitución pódese repetir ata que non fiquen fraccións duplicadas. Para n=2, no entanto, as únicas solucións son as permutacións de \tfrac42=\tfrac12+\tfrac12+\tfrac11.

### Solucións con números negativos
A conxectura de Erdős–Straus require que os tres x, y e z sexan positivos. Este requisito é esencial para a dificultade do problema. Realmente a conxectura the Erdős–Straus só é difícil para valores impares de n, e se se permiten valores negativos, daquela para os valores impares de n pode resolverse coa seguinte fórmula:
:\frac{4}{n}=\frac{1}{(n-1)/2}+\frac{1}{(n+1)/2}-\frac{1}{n(n-1)(n+1)/4}.

## Resultados computacionais
Se a conxectura é falsa, poderíase probar atopando un único número \tfrac4n que non teña representación con tres termos. Para comprobar iso, varios autores realizaron unha procura de contraexemplos por forza bruta. Os intentos deste tipo confirmaron que a conxectura é verdade para todos os n ata 10^{17}.

Nesas buscas só é necesario atopar expansións \tfrac4n onde n é un número primo. Isto é porque, cando \tfrac4n ten unha expansión de tres termos, daquela tamén a ten \tfrac4{mn} para todos os enteiros positivos m. Para unha solución de \tfrac4{mn}, só hai que dividir a solución para \tfrac4n por m:
:\frac{4}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}
\ \Rightarrow\ \frac{4}{mn}=\frac{1}{mx}+\frac{1}{my}+\frac{1}{mz}.
Se \tfrac4n fose un contraexemplo da conxectura, para un número composto n, cada factor primo p de n sería tamén un contraexamplo \tfrac4p que tería sido atopado antes na busca por forza bruta. Alén diso, as identidades modulares coñecidas para a conxectura (ver abaixo) poden acelerar as buscas saltándose os valores dos que é sabido teren solucion. Por exemplo, o algoritmo exhaustivo dá atopado unha expansión con tres ou menos termos para todo número \tfrac4n onde n non é  1 módulo 4. Un xeito de progresar neste problema é obter máis identidades modulares, reducindo o número de comprobacións necesarias.

O número de solucións distintas ao problema \tfrac4n, en función de n, tamén se atopou mediante buscas informáticas de n pequenos e aparece crecer de forma algo irregular con n. Comezando por n=3, os números de solucións distintas con denominadores distintos son
1, 1, 2, 5, 5, 6, 4, 9, 7, 15, 4, 14, 33, 22, 4, 21, 9, ... .
Mesmo para n máis grandes ás veces pode haber relativamente poucas solucións; por exemplo, só hai sete solucións distintas para n=73.

## Resultados teóricos
Na forma 4xyz=n(xy+xz+yz), unha ecuación polinomial con variables enteiras, a conxectura de Erdős–Straus é un exemplo de ecuación diofantiana. O principio de Hasse para as ecuacións Diofantianas suxire que estas ecuacións deberían estudarse usando aritmética modular. Se unha ecuación polinómica ten unha solución nos números enteiros, entón tomando esta solución módulo q, para calquera enteiro q, proporciona unha solución en aritmética módulo q. Na outra dirección, se unha ecuación ten unha solución módulo q para cada potencia prima q, daquela nalgúns casos é posible reunir estas solucións modulares, usando métodos relacionados co teorema chinés do resto, para obter unha solución nos enteiros. A capacidade do principio de Hasse para solucionar algúns problemas está limitado pola Obstrución de Manin, mais para a conxectura de Erdős–Straus non existe esta obstrución.

Para cada n, a ecuación 4xyz=n(xy+xz+yz) é facilmente resolúbel módulo calquera primo ou potencia de primo, mais parece que non hai forma de xuntar esas solucións para obter unha solución enteira positiva da ecuación. Non obstante, a aritmética modular e as identidades baseadas na aritmética modular demostraron ser unha ferramenta moi importante no estudo da conxectura.

### Identidades modulares
Para valores de n que satisfán certas relacións de congruencia, pódese atopar automaticamente unha expansión para \tfrac4n como unha instancia dunha identidade polinomial. Por exemplo, cando n é 2 módulo 3, \tfrac4n ten a expansión

:\frac{4}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)/3} + \frac{1}{n(n+1)/3}.
Aquí cada un dos denominadores n, (n+1)/3, e n(n+1)/3 son un polinomio en n, e cada un deles é un enteiro cando n é 2 módulo 3. O algoritmo cobizoso para as fraccións exipcias dá atopado a solución en tres ou menos termos cando n non é 1 ou 17 mod 24, e o caso 17 mod 24 está coberto pola relación 2 mod 3, así que só os valores de n para os que estes dous métodos non atopan expansión en tres ou menos termos son as congruencias de 1 mod 24.

As identidades polinomiais listadas por  dan unha fracción exipcia de tres termos para \tfrac4n cando n é algún de:
*2 mod 3,
*3 mod 4,
*2 ou 3 mod 5,
*3, 5, ou 6 mod 7, ou
*5 mod 8.
As combinacións das identidades de Mordell poden usarse para expandir \tfrac4n para todo n, agás posiblemente algún de entre 
: \{1, 121=11^2, 169=13^2, 289=17^2, 361=19^2, 529=23^2\} \pmod{840}.  
O menor primo que estas identidades non cobren é 1009. Webb e outros, combinando clases máis longas de identidades modulares, mostraron que a densidade natural de contraexemplos potenciais da conxectura é cero: cando un parámetro N tende a infinito, os valores da fracción no intervalo [1,N], que poderían ser contraexemplos, tende a cero no límite.

## Xeneralizacións
Do mesmo xeito que coas fraccións da forma \tfrac{4}{n}, tamén se conxectura que \tfrac{5}{n} (para n>1) pode expresarse como suma de tres fraccións unitarias positivas. Unha versión xeneralizada da conxectura afirma que, para calquera k positivo, todas as fraccións \tfrac{k}{n}, menos un número finito, pódense expresar como unha suma de tres fraccións positivas unitarias. A conxectura para as fraccións \tfrac{5}{n} foi feita por Wacław Sierpiński nun artigo de 1956, que atribuíu a conxectura completa ao seu estudante Andrzej Schinzel.

Aínda que a conxectura xeneralizada sexa falsa para calquera valor fixo de k, entón o número de fraccións \tfrac{k}{n} con n no intervalo de 1 a N que non teñen expansións de tres termos deben medrar só de forma sublinear en función de N. En particular, se a propia conxectura de Erdős–Straus (o caso k=4) é falsa, entón o número de contraexemplos medra só de forma sublinear. Aínda temos unha proposición máis forte, para calquera k fixo, só un número sublinear de valores de n precisa máis de dous termos nas súas expansións de fracción exipcia. A versión xeneralizada da conxectura é equivalente á afirmación de que o número de fraccións non expandibles non é só sublinear senón limitado.

Cando n é un número impar, por analoxía co problema das expansións exhaustivas de números impares mediante fraccións exipcias, un pode preguntarse por solucións a \tfrac{k}{n}=\tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{y}+\tfrac{1}{z} no que x, y e z son números impares positivos distintos. Sábese que sempre existen solucións a esta ecuación para o caso no que .

## Notas 
## Véxase tamén
### Outros artigos
*Lista de sumas de recíprocos

### Bibliografía
*.
*.
*.
*.
*.
* Ver en particular a sección "Small numerators" 
*.
*
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*{{Cita libro
 | last = Salez | first = Serge E.
 | title = The Erdős-Straus conjecture New modular equations and checking up to  N=10^{17} 
 | arxiv = 1406.6307
 | year = 2014| bibcode = 2014arXiv1406.6307S}}
*.
*.
*. Reprinted with additional annotations in .
*.
*.
*
*.
*.
*.