Distribución khi cadrado

{{Modelo de distribución de probabilidade
|nome       = Distribución χ² (khi cadrado)
|tipo       =densidade
|pdf_image  =325px
|cdf_image  =325px
|parámetros =k > 0\, graos de liberdade
|soporte    =x \in [0; +\infty)\,
|pdf =\frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}\,
|cdf =\frac{\Gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}\,
|media =k\,
|mediana=aproximadamente k-2/3\,
|moda=k-2\, if k\geq 2\,
| varianza  =2\,k\,
|asimetría  =\sqrt{8/k}\,
|curtose   =12/k\,
|entropía =\frac{k}{2}\!+\!\ln(2\Gamma(k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi(k/2)
|mgf =(1-2\,t)^{-k/2} for 2\,t
|char =(1-2\,i\,t)^{-k/2}\,
|}}
A **distribución khi cadrado** (**χ²**), chamada tamén **distribución de Pearson**  é unha distribución de probabilidade continua cun parámetro k que representa os graos de liberdade da variable aleatoria:

Onde Z_i son variables aleatorias normais independentes de media cero e varianza un. Se a variable aleatoria X segue esta distribución represéntase habitualmente X\sim\chi^2_k .

## Propiedades 
### Función de densidade 
A súa función de densidade é:

:
f(x;k)=
\begin{cases}\displaystyle
\frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}\,x^{(k/2) - 1} e^{-x/2}&\text{para }x>0,\\
0&\text{para }x\le0
\end{cases}

onde \Gamma é a función gamma.

#### Demostración 
A función densidade de X_1=Z^2 se Z é tipo N(0,1) vén dada por

P(x,x+dx)=f(x_1)dx_1=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}dz

Despexando e tendo en conta as contribucións positivas e negativas de z

f(x_1)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x_1/2}x_1^{-\frac{1}{2}}

A función distribución de X=X_1+X_2+...+X_n vén dada pola súa convolución

f(x;k)=f(x_1) * f(x_2) * ... * f(x_k)

Aplicando a transformada de Laplace

\mathcal{L}\left \{ f(x;k) \right \} =(\mathcal{L}\left \{ f(x_1) \right \} )^k=\frac{1}{(2(s+\frac{1}{2}))^{\frac{k}{2}}}

Aplicando a antitransformada obtense f(x;k)

f(x;k)=\mathcal{L}^{-1}\left \{ \frac{1}{(2(s+\frac{1}{2}))^{\frac{k}{2}}} \right \}=\frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}\,x^{(k/2) - 1} e^{-x/2}

### Función de distribución 
A súa función de distribución é  
{{ecuación| F_k(x) = \frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)} ||left}}
onde \ \gamma(k,z) é a función gamma incompleta.

O valor esperado e a varianza dunha variable aleatoria X con distribución χ² son, respectivamente, *k* e 2*k*.

## Relación con outras distribucións 
A distribución χ² é un caso especial da distribución gamma. De feito, X \sim \Gamma \left(\frac{k}{2}, \theta=2\right).
Como consecuencia, cando k=2, a distribución χ² é unha distribución exponencial de media k=2.

Se *k* é suficientemente grande, como consecuencia do teorema central do límite, pode aproximarse por unha  distribución normal:

{{ecuación| \lim_{k \to \infty} \frac{\chi^2_k (x)}{ k }  = N_{(1,\sqrt{2/k})} (x) ||left}}

## Aplicacións 
A distribución χ² ten moitas aplicacións en inferencia estatística. A máis coñecida é a denominada proba χ², empregada como proba de independencia e como proba da bondade do axuste e na estimación de varianzas. Tamén aparece no problema de estimar a media dunha poboación normalmente distribuída e no problema de estimar a pendente dunha recta de regresión linear, a través do seu papel na distribución t de Student.

Aparece tamén en todos os problemas da análise da varianza pola súa relación coa distribución F de Snedecor, que é a distribución do cociente de dúas variables aleatorias independentes con distribución χ².

## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Táboa de continxencia
* Coeficiente de continxencia
* Coeficiente fi
* Jean-Paul Benzécri
### Ligazóns externas 
* Cálculo da probabilidade dunha distribución khi cadrado con R (linguaxe de programación)