Ángulo inscrito

miniatura|O ángulo inscrito *θ* é a metade do ángulo central 2θ que subtende o mesmo arco no círculo. Así, os ángulos *θ* non mudan cando o seu vértice se move pola circunferencia.
En xeometría, un **ángulo inscrito** é o ángulo formado no interior dun círculo cando dúas rectas secantes (ou, no caso límite, cando unha recta secante e unha recta tanxente á circunferencia) intersecta na circunferencia. Tamén pódese definir como o ángulo subtendido nun punto da circunferencia por dous puntos dados da circunferencia. Ao fixar estes puntos, todos os ángulos da mesma amplitude que subtenden a corda definida polos puntos están nun mesmo arco de circunferencia, que é o **arco capaz**.

Outra definición equivalente é a de que un ángulo inscrito está definido por dúas cordas que cordas do círculo que comparten un extremo.

O **teorema do ángulo inscrito** relaciona a amplitude dun ángulo inscrito á do ángulo central subtendido polo mesmo arco.

## Teorema 
### Enunciado 
miniatura|Para dous puntos fixos *A* e *B*, o conxunto de puntos *M* do plano para os cales o ángulo *AMB* é igual a *&#x3B1;* é o arco dunha circunferencia. A amplitude de ∠ *AOB*, *o*nde O é o centro do círculo, é 2α.
O *teorema do ángulo inscrito* expón que un ángulo *θ* inscrito nunha circunferencia ten a metade de amplitude que o ángulo central 2θ que é subtendido polo mesmo arco.  Polo tanto, os ángulo non mudan cando o seu vértice é movido a diferentes posicións na circunferencia.

### Proba 
#### Ángulos inscritos onde unha corda é un diámetro 
miniatura|Caso: Un corda é un diámetro
Sexa *O* o centro da circunferencia, ao xeito do debuxo.  Escollemos d*o*us puntos na circunferencia, que serán V e *A*. Estendemos a recta *V*O de xeito que intersecta a circunferencia no punto *B*, que é diametralmente oposto ao punto *V*. Debuxamos un ángulo cuxo vértice  é o punto V e cuxos costados pasan polos puntos *A* e *B*.

Debuxamos a recta *OA*. O ángulo *BOA* é un ángulo central e chamarémolo θ. As rectas *OV* e *OA* son dous raios do círculo, así que logo teñen a mesma lonxitude.  Por tanto, o triángulo *VOA* é isóscele, de aí que o ángulo *BVA* (o ángulo inscrito) e o ángulo *VAO* son iguais; denotaremos ámbolos ángulos como *ψ*.

Os ángulos *BOA* e *AOV* son suplementarios, xa que suman 180° porque a recta *VB* que atravesa O é unha liña recta.  Daquela, o ángulo *AOV* mide 180° &#x2212; *θ*.

É un resultado coñecido que os tres ángulos dun triángulo suman 180°, e os tres ángulos do triángulo *VOA* son:

: 180° &#x2212; *θ*
: *ψ*
: *ψ*.

Daquela,

:  2 \psi + 180^\circ - \theta = 180^\circ. 

Restando 180° a ámbolos dous lados,

:  2 \psi = \theta, 

onde *θ* é o ángulo central subtendido polo arco AB e *ψ* é o ángulo inscrito subtendido polo arco *AB*.

#### Ángulos inscritos co centro do círculo no seu interior 
miniatura|Caso: Centro no interior do ángulo
Dado unha circunferencia cuxo centro é o punto O, escollemos tres puntos V, C, e D da circunferencia. Trazamos as rectas *VC* e *VD*, formando o ángulo inscrito *DVC*.  Logo trazamos a recta *VO* estendéndoa pasando polo punto *O* e intersectando o circunferencia no punto *E*. O ángulo *DVC* está subtendido polo arco *DC* da circunferencia.

Supoñemos que este arco inclúe o punto *E* dentro del.  O punto *E* é diam*e*tralmente oposto ao punto V. Os ángulos  *DVE* e *EVC* son tamén ángulos inscritos, mais estes ángulos teñen un costado que pasa polo centro do círculo, polo que podémoslle aplicar o teorema anterior.

Daquela,

:  \angle DVC = \angle DVE + \angle EVC. 

logo sexan

:  \psi_0 = \angle DVC, 
:  \psi_1 = \angle DVE, 
:  \psi_2 = \angle EVC, 

conque

:  \psi_0 = \psi_1 + \psi_2. \qquad \qquad (1) 

Debuxamos as rectas *OC* e OD. O ángulo *DOC* é un ángulo central, mais tamén os ángulos *DOE* e *EOC*, e

:  \angle DOC = \angle DOE + \angle EOC. 

Sexa

:  \theta_0 = \angle DOC, 
:  \theta_1 = \angle DOE, 
:  \theta_2 = \angle EOC, 

De modo que

:  \theta_0 = \theta_1 + \theta_2. \qquad \qquad (2) 

Temos que  \theta_1 = 2 \psi_1 e  \theta_1 = 2 \psi_1 , que ámbolos dous combinados coa ecuación (2), obtemos

:  \theta_0 = 2 \psi_1 + 2 \psi_2 

Daquela, pola ecuación (1),

:  \theta_0 = 2 \psi_0. 

#### Ángulos inscritos co centro do círculo no seu exterior 
miniatura|Caso: Centro entro exterior ao ángulo
O caso anterior pode ser estendido para cubrir o caso onde a amplitude do ángulo inscrito é a *diferenza* entre dous ángulos inscritos, como se verá na primeira parte desta proba.

Dado unha circunferencia con centro no punto O, escollemos tres puntos *V*, *C*, e *D* da circunferencia. Trazamos as rectas *VC* e *VD*, definindo o ángulo inscrito *DVC*. Despois estendemos a recta *VO* a fin de que atravese o punto *O* e intersectando a circunferencia no punto *E*. Así, o arco *DC* subtende o ángulo *DVC*.

Supoñemos que este arco non inclúe o punto *E* nel. Sabemos que o punto *E* é diam*e*tralmente oposto a *V*. Os ángulos *EVD* e *EVC* son ángulos inscritos, mais ámbolos dous teñen un costado que pasa polo centro *O*, polo que se lles pode aplicar o teorema anterior

Daquela,

:  \angle DVC = \angle EVC - \angle EVD 

entón sexan

:  \psi_0 = \angle DVC, 
:  \psi_1 = \angle EVD, 
:  \psi_2 = \angle EVC, 

deste xeito

:  \psi_0 = \psi_2 - \psi_1. \qquad \qquad (3) 

Trazamos as rectas *OC*  e OD e formamos o ángulo  *DOC*, que é un ángulo central, como tamén o son *EOD*  e *EOC*, e \angle DOC = \angle EOC - \angle EOD Sexa

:  \theta_0 = \angle DOC, 
:  \theta_1 = \angle EOD, 
:  \theta_2 = \angle EOC, 

entón

:  \theta_0 = \theta_2 - \theta_1. \qquad \qquad (4) 

Temos que  \theta_1 = 2 \psi_1 e  \theta_2 = 2 \psi_2 , que combinas ámbolos dous resultados coa ecuación (2) obtemos

:  \theta_0 = 2 \psi_2 - 2 \psi_1 

Por tanto, pola ecuación (3),

:  \theta_0 = 2 \psi_0. 

### Corolarios 
Por un argumento similar, o ángulo entre unha corda e a recta tanxente a unha dos puntos de intersección é igual a metade do ángulo central subtendido pola corda.

Dous resultados directos do teorema sería:

* Dous ángulos inscritos que subtenden o mesmo arco teñen a mesma amplitude.
* Dous ángulos inscritos que subtenden arcos complementarios (que xuntos forman a circunferencia toda) son suplementarios.

## Aplicacións 
O teorema do ángulo inscrito é utilizado en moitas probas de xeometría euclidiana no plano. Un caso especial é o do teorema de Tales, que expón que o ángulo subtendido polo diámetro é sempre un ángulo recto, 90º.

Outra consecuencia é que os ángulos de oposto de cuadrilátero cíclico suman 180° e ao revés, calquera cuadrilátero para o cal isto é certo é inscribíbel nunha circunferencia.

Outro exemplo, o teorema do ángulo inscrito é parte da base de varios teoremas relacionados coa potencia dun punto respecto á circunferencia. Entre eles, permite demostrar que cando dúas cordas intersectan dentro da circunferencia, os produtos das lonxitudes das súas partes son iguais.

## Par de arcos capaces 
ligazón=https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Par_de_arcos_capazes.png|dereita|miniatura|388x388px|Par de arcos capaces de 60º.
Debido para dous puntos fixos *A* e *B*, o conxunto de puntos *M* do plano para os cales o ángulo *AMB* é igual a *&#x3B1;* é o arco dunha circunferencia, é razoábel pensar definir o *lugar xeométrico* dos puntos que enxergan un segmento *AB* nun determinado ángulo *&#x3B1;*, que se chama **par de arcos capaces**, por estar formado por dos arcos, que son simétricos polo segmento *AB*.

Pódese observar que os puntos *A* e *B* non comparten das propiedades do lugar xeométrico. Por exemplo, a circunferencia ten como unha das súas características ser un par de arcos capaces dos puntos que enxergan o seu diámetro *AB* a 90º, exceptuando-se os puntos *A* e *B* do propio diámetro.

### Proceso de construción 
#### Arcos menores do que 90º 
Os pasos para a construción do par de arcos capaces dun  ángulo *α* e un segmento *AB* son os seguintes:

# Deseñar un ángulo *α* (*α=*60º na figura), tal que *B* sexa o vértice e *AB* un dos segmentos que o forma.
# No lado oposto, trazar o ángulo complementario, é dicir, 90º-*α* (neste caso, o de 30º).
# Determinar o punto *O* mediante a intersección da mediatriz de *AB* co costado do ángulo de  90º-*α*. Este é o centro dun dos arcos capaces de *α*°.
# A fin de achar o outro arco, este pode ser obtido por simetría en relación ao segmento *AB*.

#### Arcos maiores do que 90º 
O arco de circunferencia desprezado na construción do arco capaz de *α*, o cal completaría a circunferencia, é o arco capaz do ángulo de 180º-*α*, ou sexa, na figura sería o 120º.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
*
*
*
*