Cardinalidade

miniatura| Dise que a cardinalidade de dous conxuntos A e B é igual, se e só se existe unha función f que fai corresponder a cada elemento do conxunto A, un único elemento do conxunto B (é dicir, se f é bixectiva).
En matemáticas, a **cardinalidade** dun conxunto é unha medida do "número de elementos do conxunto". Por exemplo, o conxunto A={2,4,6} contén 3 elementos e, polo tanto, ten a cardinalidade 3. Existen dúas aproximacións á cardinalidade: unha que compara conxuntos directamente, usando funcións bixectivas e funcións inxectivas, e outra que usa números cardinais .

A cardinalidade dun conxunto A adoita denotarse |A|, cunha barra vertical a cada lado. Esta é a mesma notación usada para o valor absoluto, polo que o significado depende do contexto. A cardinalidade dun conxunto pódese indicar tamén como \overline{\overline{A}}\, ou #*A*.

## Comparación de conxuntos 
=== Caso 1: |A|=|B| ===

: Dous conxuntos A e B teñen a mesma cardinalidade se hai entre eles unha bixección.

: Por exemplo, o conxunto P={0, 2, 4, 6, ...} de números pares non negativos ten a mesma cardinalidade que o conxunto N={0, 1, 2, 3, ...} de números naturais, xa que a función *f* (*n*) = *2n* é unha bixección de N en P.

### Caso 2: |A|≥|B| 
: A ten unha cardinalidade maior ou igual á cardinalidade de B se hai unha función inxectiva de B a A.

### Caso 3: |A|>|B| 
: A ten unha cardinalidade estritamente maior que a cardinalidade de B se hai unha función inxectiva de B a A, mais non hai unha función inxectiva de B a A.

: Por exemplo, o conxunto **R** de todos os números reais ten unha cardinalidade estritamente maior que a cardinalidade do conxunto **N** de todos os números naturais porque a función de identidade *i*: **N** → **R**, definida como i(x)=x, é inxectiva. Por outra banda, é posíbel demostrar a inexistencia dunha función bixectiva de **N** a **R** (ver Argumento de diagonalización de Cantor ou a Primeira proba da non numerabilidade de Cantor).

## Números cardinais 
A relación de ter a mesma cardinalidade chámase equipotencia, e é unha relación de equivalencia sobre a clase de todos os conxuntos. A clase de equivalencia dun conxunto A baixo esta relación consiste logo en tódolos conxuntos que teñen a mesma cardinalidade que A. Hai dúas formas de definir a "cardinalidade dun conxunto":

# A cardinalidade dun conxunto *A* defínese como a súa clase de equivalencia baixo equipotencia.
# A cada clase de equivalencia asígnaselle un conxunto representativo. A opción máis común é o ordinal inicial da clase. Isto normalmente consiste na definición dun número cardinal na teoría de conxuntos.

As cardinalidades de conxuntos infinitos denótanse:

: \aleph_0 

Para cada ordinal α, α + 1 é o número cardinal máis pequeno maior que α.

A cardinalidade dos números enteiros denomínase aleph-cero (0), mentres que a cardinalidade dos números reais denotase **c**, e tamén se coñece como cardinalidade do continuo. É posible demostrar que **c** = 20; esta é tamén a cardinalidade do conxunto de todos os subconxuntos de enteiros. A hipótese do continuo di que 1 = 20, é dicir, que 20 é o menor número cardinal maior que 0, é dicir, que non hai ningún conxunto cuxa cardinalidade estea situada estritamente entre a dos enteiros e a dos números reais. A hipótese do continuo segue sen resolverse nun sentido "absoluto" . Vexa embaixo para obter máis detalles sobre a cardinalidade do continuo.

## Conxuntos finitos, numerables e incontables 
Se o axioma da escolla é verdadeiro, entón a Lei da Tricotomía é certa para a cardinalidade. Polo tanto, é posible realizar os seguintes axustes:

* Calquera conxunto *X* cunha cardinalidade menor que a do conxunto de números naturais, ou |&#x2009;*X*&#x2009;| 0, chámase conxunto **infinito numerable**.
* Calquera conxunto *X* cunha cardinalidade maior que a do conxunto de números naturais, ou |&#x2009;*X*&#x2009;| > |&#x2009;**N**&#x2009;|, por exemplo |&#x2009;**R**&#x2009;| = **c** > |&#x2009;**N**&#x2009;|, chámase conxunto **incontábel** ou **non numerábel**.

## Conxuntos infinitos 
Dedekind simplemente definiu un conxunto infinito como aquel que ten o mesmo tamaño (no sentido de Cantor) que polo menos un subconxunto propio de si mesmo. Esta noción de infinito chámase Infinito de Dedekind. Esta definición, porén, só é válida na presenza dalgunha forma do axioma de escolla, polo que non é considerada válida por algúns matemáticos.

Cantor introduciu os números cardinais mencionados anteriormente e demostrou que algúns conxuntos infinitos son máis grandes que outros. A cardinalidade infinita máis pequena é a dos números naturais (0).

### Cardinalidade do continuo 
Un dos resultados máis importantes do traballo de Cantor foi a demostración de que a cardinalidade do continuo (\mathfrak{c}) é maior que a dos números naturais (0); é dicir, hai máis números reais en **R** que enteiros en **N.** Cantor demostrou que

: \mathfrak{c} = 2^{\aleph_0} > {\aleph_0}
: (ver o argumento da diagonalización de Cantor).

A hipótese do continuo di que non existe un número cardinal entre a cardinalidade dos números reais e a cardinalidade dos naturais, é dicir,

: \mathfrak{c} = \aleph_1 = \beth_1
: (ver Número Beth 1)

Porén, esta hipótese non pode ser nin probada nin refutada dentro da teoría de conxuntos axiomáticos de ZFC amplamente aceptada, se é consistente.

As igualdades cardinais \mathfrak{c}^2 = \mathfrak{c}, \mathfrak c^{\aleph_0} = \mathfrak c, e \mathfrak c ^{\mathfrak c} = 2^{\mathfrak c} pódense demostrar mediante a aritmética cardinal:

: \mathfrak{c}^2 = \left(2^{\aleph_0}\right)^2 = 2^{2\times{\aleph_0}} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak{c},
: \mathfrak c^{\aleph_0} = \left(2^{\aleph_0}\right)^{\aleph_0} = 2^{{\aleph_0}\times{\aleph_0}} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak{c},
:  \mathfrak c ^{\mathfrak c} = \left(2^{\aleph_0}\right)^{\mathfrak c} = 2^{\mathfrak c\times\aleph_0} = 2^{\mathfrak c}.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
*Número Aleph
*Número Beth
*Conxunto contábel