Derivada parcial

En matemáticas, unha **derivada parcial** dunha función de diversas variables, é a súa derivada respecto a unha desas variables mantendo as outras como constantes. As derivadas parciais son útiles no cálculo vectorial e na xeometría diferencial.

A derivada parcial dunha función *f* respecto á variable *x* represéntase con calquera das seguintes notacións equivalentes:
{{ecuación|
\frac{ \partial f }{ \partial x }  =  \partial_xf  =  f'_{x} 
||left}}
Onde \scriptstyle \partial é a letra 'd' redondeada, coñecida como o 'd de Jacobi'.

Cando unha magnitude A é función de diversas variables (x,y,z,...), é dicir:

Ao realizar esta derivada obtemos a expresión que nos permite obter a pendente da recta tanxente a dita función A nun punto dado. Esta recta é paralela ao plano formado polo eixe da incógnita respecto á cal se fixo a derivada e o eixe z.

Analiticamente o gradiente dunha función é a máxima pendente de dita función na dirección que se elixa. Visto desde a álxebra linear, a dirección do gradiente indícanos cara a onde hai maior variación na función.

## Introdución 
Supoñamos que \scriptstyle f é unha función de máis dunha variable, é dicir, unha función real de variable vectorial. Para o caso,

miniatura|300px|Un gráfico de *z*&nbsp;=&nbsp;*x*2&nbsp;+&nbsp;*xy*&nbsp;+&nbsp;*y*2. Queremos encontrar a derivada parcial en (1,&nbsp;1,&nbsp;3) que deixa *y* constante; a correspondente liña tanxente é paralela ao eixe *x*.

É difícil describir a derivada de tal función, xa que existe un número infinito de liñas tanxentes en cada punto da súa superficie. A derivación parcial é o acto de elixir unha desas liñas e encontrar a súa pendente. Xeralmente, as liñas que máis interesan son aquelas que son paralelas ao eixe *x*, e aquelas que son paralelas ao eixe *y*.

left|miniatura|300px|Este é un corte do gráfico á dereita de *y*&nbsp;=&nbsp;1.Unha boa maneira de encontrar os valores para esas liñas paralelas é a de tratar as outras variables como constantes mentres se deixa a variar só unha. Por exemplo, para encontrar a liña tanxente da función de arriba en (1,&nbsp;1,&nbsp;3) que é paralela o eixe *x*, tratamos a variable *y* como constante. O gráfico da función e o plano y = 1 móstranse á dereita. Á esquerda, vemos como se ve a función, no plano *y*&nbsp;=&nbsp;1. Encontrando a liña tanxente neste gráfico, descubrimos que a pendente da liña tanxente de *ƒ* en (1,&nbsp;1,&nbsp;3) que é paralela ao eixe x é tres. Que escribimos:
{{ecuación|
\frac{\partial z}{\partial x} = 3
||left}}
no punto (1,&nbsp;1,&nbsp;3),

ou como "a derivada parcial de *z* con respecto a *x* en (1,&nbsp;1,&nbsp;3) é 3."

## Exemplos 
miniatura|O volume dun cono depende da altura (h) e o radio (r)
* Considera o volume *V* dun cono, este depende da altura *h* do cono e o seu radio *r* de acordo coa fórmula
{{ecuación|
V(r,h) = \frac{ r^2 h \pi }{3}
||left}}
As derivadas parciais de *V* respecto a *r* e *h* son:
{{ecuación|
\frac{ \partial V}{\partial r}(r, h) = \frac{ 2r h \pi }{3}, \qquad \frac{ \partial V}{\partial h}(r, h) = \frac{ r^2 \pi }{3}
||left}}
* Outro exemplo, dada a función F : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}  tal que:
: F(x,y) = 3x^3 y + 2x^2 y^2 -7y\,
a derivada parcial de F  respecto de x é:
:\frac{\partial F}{\partial x}(x, y) =  9x^2y + 4xy^2 
mentres que con respecto de y é:
:\frac{\partial F}{\partial y}(x, y) = 3 x^3 + 2 x^2 2y - 7 = 3 x^3 + 4 x^2 y - 7 

## Definición formal 
Como as derivadas nunha variable, as derivadas parciais están definidas como o límite. Onde *U* é un subconxunto aberto de **R***n* e *f* : *U* → **R** unha función. Definimos derivada parcial de *f* no punto ***a*** = (*a*1,..., *a**n*) ∈ *U* con respecto á  *i*-ésima variable *x**i* como:
{{ecuación|
\frac{ \partial }{\partial x_i }f(\mathbf{a}) =
\lim_{h \rightarrow 0}{ 
f(a_1, \dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \dots ,a_n) - 
f(a_1, \dots ,a_n) \over h }

||left}}
Ou visto respecto á derivada direccional:
{{ecuación|
\frac{ \partial}{\partial x_i} f(\vec{x}_0) = D_{\vec{v}}f \left( \vec{x}_0 \right) =
\underset{t\rightarrow 0}{\lim }\frac{f\left(\overrightarrow{x_0}+t\vec{v}\right)-f\left( \vec{x}_0 \right)}{t}}}
onde \vec{v} é o vector unitario do eixe respecto ao que se deriva ({x_i}).

Se todas as derivadas parciais existen no punto *a*, a función non necesariamente é continua nese punto. Mais, se todas as derivadas parciais existen **arredor** de *a* e son continuas, entón a función non só é continua senón ademais diferenciable onda *a*. Neste caso, *f* é unha función C1.

## Notación 
Para o seguinte exemplo, *f* será unha función de *x* e *y*.

* Derivadas parciais de primeira orde:
{{ecuación|
\frac{\partial f}{\partial x} = f'_x = \partial_x f
||left}}
Derivadas parciais (dobres) de segunda orde:
{{ecuación|
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = f*_{xx} = \partial_{xx} f, \qquad
      \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = f*_{yy} = \partial_{yy} f,
||left}}
Derivadas cruzadas de segunda orde:
{{ecuación|
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = f*_{yx} = \partial_{xy} f, \qquad
      \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} = f*_{xy} = \partial_{yx} f,
||left}}

### Termodinámica 
En termodinámica e outras áreas da física emprégase a seguinte notación:
{{ecuación|
\left( \frac{\partial Y}{\partial X} \right)_Z
||left}}
Que significa que \exists f_{XZ}(\cdot):\ Y = f_{XZ}(X,Z)\, e entón:
{{ecuación|
\left( \frac{\partial Y}{\partial X} \right)_Z := \frac{\partial f_{XZ}(X,Z)}{\partial X}
||left}}
Esta notación úsase pois frecuentemente unha magnitude pode expresarse como función de diferentes variables polo que en xeral:
{{ecuación|
\left( \frac{\partial Y}{\partial X} \right)_{Z_1} \ne
\left( \frac{\partial Y}{\partial X} \right)_{Z_2}
||left}}
Xa que a forma precisa das funcións f_{XZ_1}(\cdot,\cdot) e f_{XZ_2}(\cdot,\cdot) é diferente, é dicir, trátanse de funcións diferentes.

## Derivadas parciais de orde superior 
Á súa vez, a derivada parcial \partial_{x_i} f pode verse como outra función definida en *U* e derivarse parcialmente. Se todas as súas derivadas parciais existen e son continuas, chamamos a *f* unha función C2; neste caso, as derivadas parciais poden ser intercambiadas polo teorema de Clairaut tamén coñecido como teorema de Schwartz.
{{ecuación|
\frac{\partial^2f}{\partial x_i\, \partial x_j} =
\frac{\partial^2f} {\partial x_j\, \partial x_i}.
||left}}
En **R***2*, se se cumpre o xa dito, asegúrase que:
{{ecuación|
\frac{ \partial^2 f}{\partial x\,\partial y} = \frac{ \partial^2 f}{\partial y\,\partial x} = f_{xy} = f_{yx} 
||left}}

## Véxase tamén 
### Outros artigos
* Derivada
* Derivada total
* Derivada de Lie
* Derivada covariante
* Jacobiano