Q-símbolo de Pochhammer

No campo matemático da combinatoria, o '* *q*-símbolo de Pochhammer**, tamén chamado ** *q*-factorial desprazado*', é o produto 
:(a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)=(1-a)(1-aq)(1-aq^2)\cdots(1-aq^{n-1}), con (a;q)_0 = 1.
É un *q*-análogo do símbolo de Pochhammer (x)_n = x(x+1)\dots(x+n-1), no sentido de que 
:\lim_{q\to1} \frac{(q^x;q)_n}{(1-q)^n} = (x)_n.
O *q*-símbolo de Pochhammer é un bloque importante na construción de *q*-análogos; por exemplo, na teoría das series hiperxeométricas básicas, xoga o papel que xoga o símbolo común de Pochhammer na teoría das series hiperxeométricas xeneralizadas.

A diferenza do símbolo de Pochhammer común, o *q*-símbolo *de* Pochhammer pódese estender a un produto infinito: 
:(a;q)_\infty = \prod_{k=0}^{\infty} (1-aq^k).
Esta é unha función analítica de *q* no interior do disco unidade, e tamén se pode considerar como unha serie de potencias formal en *q*. O caso especial 
:\phi(q) = (q;q)_\infty=\prod_{k=1}^\infty (1-q^k)
coñécese como función de Euler, e é importante en combinatoria, teoría de números e teoría de formas modulares.

## Identidades 
O produto finito pódese expresar en termos de produto infinito: 
:(a;q)_n = \frac{(a;q)_\infty} {(aq^n;q)_\infty}, 
que estende a definición aos enteiros negativos *n*. Así, para *n* non negativo, temos
:(a;q)_{-n} = \frac{1}{(aq^{-n};q)_n}=\prod_{k=1}^n \frac{1}{(1-a/q^k)} e 
:(a;q)_{-n} = \frac{(-q/a)^n q^{n(n-1)/2}} {(q/a;q)_n}. 
Alternativamente, 
:\prod_{k=n}^\infty (1-aq^k)=(aq^n;q)_\infty = \frac{(a;q)_\infty} {(a;q)_n}, 
que é útil para algunhas das función xeradoras das  funcións de partición.

O *q*-símbolo *de* Pochhammer é o obxecto dunha serie de identidades de *q*-series, particularmente as expansións da serie infinita 
:(x;q)_\infty = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_n} x^n e 
:\frac{1}{(x;q)_\infty}=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{(q;q)_n},
que son ambos os dous casos especiais do teorema *q*-binomial : 
:\frac{(ax;q)_\infty}{(x;q)_\infty} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n} x^n.
Fridrikh Karpelevich atopou a seguinte identidade (ver    para a proba): 
:\frac{(q;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_n(1-zq^{-n})}, \ |z|

## Interpretación combinatoria 
O *q*-símbolo *de* Pochhammer está moi relacionado coa combinatoria enumerativa das particións. 

O coeficiente de q^m a^n en 
:(a;q)_\infty^{-1} = \prod_{k=0}^{\infty} (1-aq^k)^{-1}
é o número de particións de *m* como máximo en *n* partes. 

Dado que, pola conxugación de particións, este é o mesmo que o número de particións de *m* en partes de tamaño como máximo *n*, mediante a identificación de series xeradoras obtemos a identidade 
:(a;q)_\infty^{-1} = \sum_{k=0}^\infty \left(\prod_{j=1}^k \frac{1}{1-q^j} \right) a^k
             = \sum_{k=0}^\infty \frac{a^k}{(q;q)_k} 
como no apartado anterior.

Tamén temos que o coeficiente de q^m a^n en 
:(-a;q)_\infty = \prod_{k=0}^{\infty} (1+aq^k)
é o número de particións de *m* en *n* ou *n* -1 partes distintas.

O recíproco da función (q)_{\infty} := (q; q)_{\infty} de xeito similar xorde como a función xeradora da función de partición, p(n), que tamén se amplía coas dúas segundas expansións da *q*-serie que se indican a continuación:
:\frac{1}{(q; q)_{\infty}} = \sum_{n \geq 0} p(n) q^n = \sum_{n \geq 0} \frac{q^n}{(q; q)_n} = \sum_{n \geq 0} \frac{q^{n^2}}{(q; q)_n^2}.

O teorema *q*-binomial en si tamén se pode manexar mediante un argumento combinatorio lixeiramente máis complicado de aspecto similar (ver tamén as expansións dadas na seguinte subsección).

Do mesmo xeito, 
:(q; q)_{\infty} = 1 - \sum_{n \geq 0} q^{n+1}(q; q)_n = \sum_{n \geq 0} q^{\frac{n(n+1)}{2}}\frac{(-1)^n}{(q; q)_n}.

## Convención de argumentos múltiples 
Dado que as identidades que inclúen *q*-símbolos *de* Pochhammer implican con tanta frecuencia produtos de moitos símbolos, a convención estándar é escribir un produto como un único símbolo de múltiples argumentos: 
:(a_1,a_2,\ldots,a_m;q)_n = (a_1;q)_n (a_2;q)_n \ldots (a_m;q)_n.

## *q*-serie 
Unha *q-serie* é unha serie na que os coeficientes son funcións de *q*, normalmente expresións de (a; q)_{n}. Os primeiros resultados débense a Euler, Gauss e Cauchy. O estudo sistemático comeza con Eduard Heine (1843).

## Relación con outras *q*-funcións 
O *q*-análogo de *n*, tamén coñecido como '* *q*-corchete** ou ** *q*-número*' de *n*, defínese como 
:[n]_q=\frac{1-q^n}{1-q}. A partir deste pódese definir o *q*-análogo do factorial, o '''*q*-factorial'*, como

:
\begin{align}
\left[n\right]!_q & = \prod_{k=1}^n [k]_q = [1]_q \cdot [2]_q \cdots [n-1]_q \cdot [n]_q \\
& = \frac{1-q}{1-q} \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \frac{1-q^n}{1-q} \\
& = 1 \cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots + q^{n-2}) \cdot (1+q+\cdots + q^{n-1}) \\
& = \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n} \\
\end{align}

Estes números son análogos no sentido de que 
:\lim_{q\rightarrow 1}[n]_q = n, 
e tamén 
:\lim_{q\rightarrow 1}[n]!_q = n!.

Un produto de *q*-corchetes enteiros negativos pódese expresar en termos do factor *q* como  
:\prod_{k=1}^n [-k]_q = \frac{(-1)^n\,[n]!_q}{q^{n(n+1)/2}}

A partir dos *q*-factoriais, pódese pasar a definir os *q''-'coeficientes binomiais, tamén coñecidos como coeficientes binomiais gaussianos, como 
:
\begin{bmatrix}
n\\
k
\end{bmatrix}_q
=
\frac{[n]!_q}{[n-k]!_q [k]!_q}, 

onde é fácil ver que o triángulo destes coeficientes é simétrico no sentido de que
: \begin{bmatrix} n \\ m \end{bmatrix}_q = \begin{bmatrix} n \\ n-m \end{bmatrix}_q
para tódolos 0 \leq m \leq n. 

Pódese comprobar que
:
\begin{align}
\begin{bmatrix}
n+1\\
k
\end{bmatrix}_q
 & =
\begin{bmatrix}
n\\
k
\end{bmatrix}_q
+
q^{n-k+1}
\begin{bmatrix}
n\\
k-1
\end{bmatrix}_q \\ 
 & = 
\begin{bmatrix} n \\ k-1 \end{bmatrix}_q + q^k \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}_q.
\end{align}

Tamén se pode ver nas relacións de recorrencia anteriores que as seguintes variantes do teorema *q*-binomial amplíase en función destes coeficientes do seguinte xeito:
:
\begin{align} 
(z; q)_n & = \sum_{j=0}^n \begin{bmatrix} n \\ j \end{bmatrix}_q (-z)^j q^{\binom{j}{2}} = (1-z)(1-qz) \cdots (1-z q^{n-1}) \\ 
(-q; q)_n & = \sum_{j=0}^n \begin{bmatrix} n \\ j \end{bmatrix}_{q^2} q^j \\ 
(q; q^2)_n & = \sum_{j=0}^{2n} \begin{bmatrix} 2n \\ j \end{bmatrix}_q (-1)^j \\ 
\frac{1}{(z; q)_{m+1}} & = \sum_{n \geq 0} \begin{bmatrix} n+m \\ n \end{bmatrix}_q z^n. 
\end{align}

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* George Gasper and Mizan Rahman, *Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition*, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, **96**, Cambridge University Press, Cambridge. .
* Roelof Koekoek and Rene F. Swarttouw, *The Askey scheme of orthogonal polynomials and its q-analogues*, section 0.2.
* Exton, H. (1983), *q-Hypergeometric Functions and Applications*, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ,  , 
*M.A. Olshanetsky and V.B.K. Rogov (1995), The Modified q-Bessel Functions and the q-Bessel-Macdonald Functions, arXiv:q-alg/9509013.

### Outros artigos 
* Serie hiperxeométrica
* Función theta de Jacobi
* Función *q*-theta
* Identidade de *q*-Vandermonde
* Identidades de Rogers-Ramanujan
* Fracción continua de Rogers-Ramanujan

### Ligazóns externas 
* 
* 
* 
* 
*