Regra da cadea

En cálculo, a **regra da cadea** é unha fórmula que expresa a derivada da composición de dúas funcións diferenciábeis  e  en termos das derivadas de  e de . Máis precisamente, se h=f\circ g é a función tal que h(x)=f(g(x)) para cada , entón a regra da cadea é, na notación de Lagrange, 
:h'(x) = f'(g(x)) g'(x). 
ou equivalentemente, 
:h'=(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'.

A regra da cadea tamén se pode expresar na notación de Leibniz. Se unha variábel  depende da variábel , que a si mesmo depende da variábel  (é dicir,  e  son variábeis dependentes), entón  depende tamén de , a través da variábel intermedia . Neste caso, a regra da cadea exprésase como 
:\frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}, e 
: \left.\frac{dz}{dx}\right|_{x} = \left.\frac{dz}{dy}\right|_{y(x)}
\cdot \left. \frac{dy}{dx}\right|_{x},
para indicar en que puntos se teñen que avaliar as derivadas.

Na integración, a contrapartida da regra da cadea é o cambio de variábel.

## Enunciado 
A forma máis sinxela da regra da cadea é para funcións con valores reais dunha variábel real. Afirma que se '** é unha función que é derivábel nun punto **' (isto é, a derivada  existe) e '** é unha función que é derivábel en , entón a función composta f \circ g é diferenciábel en **', e a derivada é 
: (f\circ g)'(c) = f'(g(c))\cdot g'(c).  
A regra ás veces abreviase como 
:(f\circ g)' = (f'\circ g) \cdot g'.

Continuando o mesmo razoamento, dadas '''' funcións f_1, \ldots, f_n\! coa función composta f_1 \circ ( f_2 \circ \cdots (f_{n-1} \circ f_n) )\!, se cada función f_i\! é diferenciábel na súa entrada inmediata, entón a función composta tamén é diferenciábel pola aplicación repetida da regra da cadea, onde a derivada é (en notación de Leibniz): 
:\frac{df_1}{dx} = \frac{df_1}{df_2}\frac{df_2}{df_3}\cdots\frac{df_n}{dx}.

## Aplicacións 
### Composición de máis de dúas funcións 
A regra da cadea pódese aplicar a compostos de máis de dúas funcións. Podemos velo cun exemplo:

Consideremos a función 
y = e^{\sin (x^2)}.
Isto pódese descompoñer como a composición de tres funcións: 
: \begin{align}
y &= f(u) = e^u, \\
u &= g(v) = \sin v, \\
v &= h(x) = x^2.
\end{align} Así que  y = f(g(h(x)))  .

As súas derivadas son: 
:\begin{align}
\frac{dy}{du} &= f'(u) = e^u, \\
\frac{du}{dv} &= g'(v) = \cos v, \\
\frac{dv}{dx} &= h'(x) = 2x.
\end{align}

A regra da cadea estabelece que a derivada da súa composición no punto  é: 
:\begin{align}
(f \circ g \circ h)'(a) & = f'((g \circ h)(a)) \cdot (g \circ h)'(a) \\
& = f'((g \circ h)(a)) \cdot g'(h(a)) \cdot h'(a) \\
& = (f' \circ g \circ h)(a) \cdot (g' \circ h)(a) \cdot h'(a).
\end{align}

En notación de Leibniz, isto é: 
:\frac{dy}{dx} = \left.\frac{dy}{du}\right|_{u=g(h(a))}\cdot\left.\frac{du}{dv}\right|_{v=h(a)}\cdot\left.\frac{dv}{dx}\right|_{x=a}, 
ou para abreviar, 
:\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}. 
Polo tanto, a función derivada é: 
:\frac{dy}{dx} = e^{\sin(x^2)}\cdot\cos(x^2)\cdot 2x.

Outra forma de calcular esta derivada é ver a función composta  como a composición de  e *h*. Aplicando a regra da cadea deste xeito obterase: 
: (f \circ g \circ h)'(a) = (f \circ g)'(h(a))\cdot h'(a) = f'(g(h(a)))\cdot g'(h(a))\cdot h'(a).

Isto é o mesmo que o calculado anteriormente. Isto debería esperarse porque .

### Regra do cociente 
A regra da cadea pódese usar para derivar algunhas regras de diferenciación coñecidas. Por exemplo, a regra do cociente é unha consecuencia da regra da cadea e da regra do produto. Para ver isto, escribimos a función  como o produto  . Primeiro aplicamos a regra do produto: 
:\begin{align}
\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)
&= \frac{d}{dx}\left(f(x)\cdot\frac{1}{g(x)}\right) \\
&= f'(x)\cdot\frac{1}{g(x)} + f(x)\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{g(x)}\right).
\end{align}

Para calcular a derivada de , observamos que é a composición de  coa función recíproca, é dicir, a función que envía  a . A derivada da función recíproca é -1/x^2\!. Ao aplicar a regra da cadea, a última expresión pasa a ser: 
:f'(x)\cdot\frac{1}{g(x)} + f(x)\cdot\left(-\frac{1}{g(x)^2}\cdot g'(x)\right)
= \frac{f'(x) g(x) - f(x) g'(x)}{g(x)^2}, 
que é a fórmula habitual da regra do cociente.

### Derivadas de funcións inversas 
Supoñamos que  ten unha función inversa. Chamamos á súa función inversa  para que teñamos . Hai unha fórmula para a derivada de  en termos da derivada de . Para ver isto, temos en conta que  e  satisfán a fórmula 
:f(g(x)) = x.

E como as funcións f(g(x)) e  son iguais, as súas derivadas deben ser iguais. A derivada de  é a función constante con valor 1, e a derivada de f(g(x)) está determinada pola regra da cadea. Polo tanto, temos que: 
:f'(g(x)) g'(x) = 1.

Para expresar f' como función dunha variábel independente y, substituímos f(y) por x onde queira que apareza. Entón podemos resolver para f'. 
:\begin{align}
f'(g(f(y))) g'(f(y)) &= 1 \\
f'(y) g'(f(y)) &= 1 \\
f'(y) = \frac{1}{g'(f(y))}.
\end{align}

Por exemplo, consideremos a función g(x) = e^x. Ten unha inversa f(y) = \ln{y}. Dado que para a función exponencial a derivada é igual á función temos que g'(x) = e^x, e por tanto a fórmula anterior ficaría como 
:\frac{d}{dy}\ln y = \frac{1}{e^{\ln y}} = \frac{1}{y}.

Esta fórmula é certa sempre que  é diferenciábel e a súa inversa  tamén é diferenciábel.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 

### Outros artigos 
* Derivada.
### Ligazóns externas 
* 
*