Matriz transposta conxugada

En matemáticas, a **matriz transposta conxugada**, tamén coñecida como **transposición hermitiana**, dun  matriz complexa \mathbf{A} m \times n é unha  matriz n \times mobtida por transposición de \mathbf{A} e aplicando a  conxugación complexa a cada entrada (sendo a-ib o conxugado complexo de a+ib sendo, con números reais a e b). Hai varias notacións, como \mathbf{A}^\mathrm{H} ou \mathbf{A}^*,  \mathbf{A}', ou (a miúdo en física) \mathbf{A}^{\dagger}.

Para matrices reais, a transposición conxugada é só a transposición, \mathbf{A}^\mathrm{H} = \mathbf{A}^\operatorname{T}.

Nalgúns contextos, \mathbf{A}^* denota a matriz con só entradas conxugadas complexas e sen transposición.

## Definición 
A conxugada transposta dunha matriz \mathbf{A} m \times n  defínese formalmente por{{Equation box 1|border|indent=|title=|equation={{NumBlk||\left(\mathbf{A}^\mathrm{H}\right)_{ij} = \overline{\mathbf{A}_{ji}}|}}|cellpadding=6|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}}onde o subíndice ij denota a (i,j)-ésima entrada (elemento da matriz), para 1 \le i \le n e 1 \le j \le m, e a barra superior denota un conxugado complexo escalar.

Esta definición tamén se pode escribir como

: \mathbf{A}^\mathrm{H} = \left(\overline{\mathbf{A}}\right)^\operatorname{T} = \overline{\mathbf{A}^\operatorname{T}}

onde \mathbf{A}^\operatorname{T} denota a transposta e \overline{\mathbf{A}} denota a matriz con entradas complexas conxugadas.

## Exemplo 
Supoñamos que queremos calcular a transposición conxugada da seguinte matriz \mathbf{A},

: \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & -2 - i & 5 \\ 1 + i & i & 4-2i \end{bmatrix}

Primeiro transpoñemos a matriz:

: \mathbf{A}^\operatorname{T} = \begin{bmatrix} 1 & 1 + i \\ -2 - i & i \\ 5 & 4-2i\end{bmatrix}

Entón conxugamos cada entrada da matriz:

: \mathbf{A}^\mathrm{H} = \begin{bmatrix} 1 & 1 - i \\ -2 + i & -i \\ 5 & 4+2i\end{bmatrix}

## Observacións básicas 
Unha matriz cadrada \mathbf{A} con entradas a_{ij} chámase

* Hermitiana ou autoadxunta se \mathbf{A}=\mathbf{A}^\mathrm{H}; é dicir, a_{ij} = \overline{a_{ji}}.
* Matriz  antihermitiana  se \mathbf{A}=-\mathbf{A}^\mathrm{H} ; é dicir, a_{ij} = -\overline{a_{ji}} .
* Normal se \mathbf{A}^\mathrm{H} \mathbf{A} = \mathbf{A} \mathbf{A}^\mathrm{H}.
* Unitaria se \mathbf{A}^\mathrm{H} = \mathbf{A}^{-1}, de forma equivalente \mathbf{A}\mathbf{A}^\mathrm{H} = \boldsymbol{I}, de forma equivalente \mathbf{A}^\mathrm{H}\mathbf{A} = \boldsymbol{I} .

Aínda se \mathbf{A} non é cadrada, as dúas matrices \mathbf{A}^\mathrm{H}\mathbf{A} e \mathbf{A}\mathbf{A}^\mathrm{H} son matrices hermitianas e, de feito, semidefinidas positivas.

A matriz "adxunta" transposta conxugada \mathbf{A}^\mathrm{H} non debe confundirse coa matriz adxunta, \operatorname{adj}(\mathbf{A}).

A transposta conxugada dunha matriz \mathbf{A} con entradas reais redúcese á transposición de \mathbf{A}, xa que o conxugado dun número real é o propio número.

A transposta conxugada pódese motivar observando que os números complexos poden ser representados útilmente por matrices reais 2 \times 2, obedecendo á suma e á multiplicación matricial: 
:a + ib \equiv \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}.

Para unha explicación desta notación para os complexos, comezamos representando números complexos e^{i\theta} como a matriz de rotación, é dicir, 
:
e^{i\theta} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} = \cos \theta \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \sin \theta \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Posto que e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta, lévanos ás representacións matriciais dos números unitarios como 
:
1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad i = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Un número complexo en xeral z=x+iy represéntase logo como 
z = \begin{pmatrix} x & -y \\ y & x \end{pmatrix}.
  A operación complexo conxugado (que envía a + bi a a - bi para números reais a, b) está recollida como a matriz transposta.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Matriz adxunta.
* Matriz inversa.
### Ligazóns externas 
*