Recta real estendida

dereita|miniatura| Números reais estendidos: a) Números reais estendidos afinmente e b) Números reais estendidos proxectivamente

En matemáticas, o **sistema de números reais estendido** obtense a partir do sistema de números reais \R engadindo dous elementos infinitos: +\infty e -\infty,  onde os infinitos son tratados como números reais. É útil para describir a álxebra sobre infinitos e os distintos comportamentos limitantes en cálculo e análise matemática, especialmente na teoría da medida e da integración. Denotase o sistema de números reais estendidos \overline{\R} ou [-\infty, +\infty] ou {{Nowrap|\R\cup\left\{-\infty,+\infty\right\}.}} É o completamento de Dedekind–MacNeille dos números reais.

Cando o significado é claro polo contexto, o símbolo +\infty adoita escribirse simplemente como 

Tamén está a recta real estendida proxectivamente  onde +\infty e -\infty non se distinguen polo que o infinito denotase só por  \infty .

## Motivación 
### Límites 
Moitas veces é útil describir o comportamento dunha función f cando o argumento x ou o valor da función f faise "infinitamente grande" nalgún sentido. Por exemplo, considere a función f definido por

: f(x) = \frac{1}{x^{2}}.

A gráfica desta función ten unha asíntota horizontal en y = 0. Xeométricamente, ao moverse cada vez máis á dereita ao longo do eixo x, o valor de {1}/{x^2} achégase a . Este comportamento limitante é semellante ao límite dunha función \lim_{x \to x_0} f(x) no que o número real x aproxima a x_0, agás que non hai un número real ao que x se aproxime.

Ao engadir os elementos +\infty e -\infty a \R, isto permite a formulación dun "límite ao infinito", con propiedades topolóxicas similares ás de \R.

Para facer as cousas completamente formais, a definición de secuencias de Cauchy en \R permite definir +\infty como o conxunto de todas as secuencias (a_n) de números racionais tal que cada M \in \R está asociado cun correspondente N \in \N para o cal a_n > M para todos n > N. A definición de -\infty pódese construír de xeito similar.

### Medida e integración 
Na teoría da medida, adoita ser útil permitir conxuntos que teñen unha medida infinita e integrais cuxo valor pode ser infinito.

Esas medidas xorden naturalmente do cálculo. Por exemplo, ao asignar unha medida a \R que concorde coa lonxitude habitual dos intervalos, esta medida debe ser maior que calquera número real finito. Ademais, ao considerar integrais impropias, como

: \int_1^{\infty}\frac{dx}{x}

xorde o valor "infinito". Finalmente, adoita ser útil considerar o límite dunha secuencia de funcións, por exemplo

: f_n(x) = \begin{cases}
2n(1-nx), & \mbox{if } 0 \leq x \leq \frac{1}{n} \\
0, & \mbox{if } \frac{1}{n} 

Sen permitir que as funcións tomen valores infinitos, resultados tan esenciais como o teorema da converxencia monótona e o teorema da converxencia dominada non terían sentido.

## Operacións aritméticas 
As operacións aritméticas de \R pódense estender parcialmente a \overline\R do seguinte xeito: 

: \begin{align}
a \pm \infty = \pm\infty + a & = \pm\infty, & a & \neq \mp\infty \\
a \cdot (\pm\infty) = \pm\infty \cdot a & = \pm\infty, & a & \in (0, +\infty] \\
a \cdot (\pm\infty) = \pm\infty \cdot a & = \mp\infty, & a & \in [-\infty, 0) \\
\frac{a}{\pm\infty} & = 0, & a & \in \mathbb{R} \\
\frac{\pm\infty}{a} & = \pm\infty, & a & \in (0, +\infty) \\
\frac{\pm\infty}{a} & = \mp\infty, & a & \in (-\infty, 0)
\end{align}

As expresións \infty - \infty, 0 \times (\pm\infty) e \pm\infty/\pm\infty (chamadas formas indeterminadas ) adoitan quedar sen definir. Estas regras están modeladas nas leis de límites infinitos. Non obstante, no contexto da teoría da probabilidade ou da medida, 0 \times \pm\infty a miúdo defínese como 

## Varios 
Varias funcións pódense estender con continuidade a \overline\R tomando límites. Por exemplo, pódense definir os puntos extremos das seguintes funcións como:

: \exp(-\infty) = 0,
: \ln(0) = -\infty,
: \tanh(\pm\infty) = \pm 1,
: \arctan(\pm\infty) = \pm\frac{\pi}{2}.

Tamén se poden eliminar algunhas singularidades. Por exemplo, a función 1/x^2 pódese estender con continuidade a \overline\R (baixo *algunhas* definicións de continuidade), estabelecendo o valor en +\infty para x = 0, e 0  para x = +\infty e x = -\infty. Por outra banda, a función 1/x *non* se pode estender con continuidade, porque a función se achega a -\infty cando x aproxima a 0  dende abaixo, e +\infty cando x aproxima a 0  desde arriba, é dicir, a función non converxe ao mesmo valor cando a súa variábel independente tamén se achega ao mesmo elemento do dominio tanto do lado positivo como do negativo.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 

### Outros artigos 
* División por cero.
* Infinito.