Fórmula de Stirling

miniatura|dereita|350px|A diferenza relativa entre (ln *x*!) e (*x* ln *x* - *x*) tende a cero ao crecer *x*.
En matemáticas, a **fórmula de Stirling** é unha aproximación para factoriais grandes. Leva o nome en honor de James Stirling.

A aproximación exprésase como

::\ln n! \approx n \ln n - n \,

para *n* suficientemente grande, onde ln é o logaritmo natural.

Escrito coa notación O grande sería 
: \ln(n!) = n\ln n - n +O(\ln n),.

E a forma máis utilizada é 
:n! \approx \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n}.

## Dedución 
En liñas xerais, a versión máis sinxela da fórmula de Stirling pódese obter rapidamente aproximando a suma
: \ln(n!) = \sum_{j=1}^n \ln j
cunha integral:
: \sum_{j=1}^n \ln j \approx \int_1^n \ln x \,{\rm d}x = n\ln n - n + 1.

A fórmula completa, xunto coas estimacións precisas do seu erro, pódese deducir do seguinte xeito. En lugar de aproximar n!, considérase o seu logaritmo natural, xa que esta é unha función que varía lentamente:
:\ln(n!) = \ln 1 + \ln 2 + \cdots + \ln n.

O lado dereito desta ecuación menos
\tfrac{1}{2}(\ln 1 + \ln n) = \tfrac{1}{2}\ln n
é a aproximación pola regra do trapecio da integral
:\ln(n!) - \tfrac{1}{2}\ln n \approx \int_1^n \ln x\,{\rm d}x = n \ln n - n + 1 ,

e o erro nesta aproximación vén dado pola fórmula de Euler–Maclaurin:
:\begin{align}
\ln(n!) - \tfrac{1}{2}\ln n & = \tfrac{1}{2}\ln 1 + \ln 2 + \ln 3 + \cdots + \ln(n-1) + \tfrac{1}{2}\ln n\\
& = n \ln n - n + 1 + \sum_{k=2}^{m} \frac{(-1)^k B_k}{k(k-1)} \left( \frac{1}{ n^{k-1}} - 1 \right) + R_{m,n},
\end{align}

onde B_k é un número de Bernoulli, e  é o termo residual na fórmula de Euler-Maclaurin. 

Tomando límites para atopalo
:\lim_{n \to \infty} \left( \ln(n!) - n \ln n + n - \tfrac{1}{2}\ln n \right) = 1 - \sum_{k=2}^{m} \frac{(-1)^k B_k}{k(k-1)} + \lim_{n \to \infty} R_{m,n}.

Denotamos este límite como y. Como o resto
 na fórmula de Euler–Maclaurin satisfai
:R_{m,n} = \lim_{n \to \infty} R_{m,n} + O \left( \frac{1}{n^m} \right),

onde se usa a notación O grande, combinando as ecuacións anteriores obtemos a fórmula de aproximación na súa forma logarítmica:
:\ln(n!) = n \ln \left( \frac{n}{e} \right) + \tfrac{1}{2}\ln n + y + \sum_{k= 2}^{m} \frac{(-1)^k B_k}{k(k-1)n^{k-1}} + O \left( \frac{1}{n^m} \right) .

Tomando a exponencial en ambos os dous lados e escollendo calquera número enteiro positivo m, obtense unha fórmula que inclúe unha cantidade descoñecida e^y. Para , a fórmula é
:n! = e^y \sqrt{n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \left( 1 + O \left( \frac{1}{n} \right) \right).

A cantidade e^y pódese atopar tomando o límite en ambos os dous lados xa que n tende ao infinito e usando o Produto de Wallis, o que mostra que e^y=\sqrt{2\pi}. Polo tanto, obtense a fórmula de Stirling:
:n! = \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \left( 1 + O \left( \frac{1}{n} \right) \right).

### Dedución alternativa 
Unha fórmula alternativa para n! usando a función gamma é
: n! = \int_0^\infty x^n e^{-x}\,{\rm d}x.
(como se pode ver pola integración repetida por partes). Reescribindo e mudadno as variábeis , obtense
: n! = \int_0^\infty e^{n\ln x-x}\,{\rm d}x = e^{n \ln n} n \int_0^\infty e^{n(\ln y -y)}\ ,{\rm d}a.
Aplicando o método de Laplace tense
:\int_0^\infty e^{n(\ln y -y)}\,{\rm d}y \sim \sqrt{\frac{2\pi}{n}} e^{ -n},
co que volvemos a obter a fórmula de Stirling:
:n! \sim e^{n \ln n} n \sqrt{\frac{2\pi}{n}} e^{-n}
= \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.

## Serie de Stirling e límite do erro  
Como vimos na introdución a fórmula máis usada é 
:n! \approx \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n}
que provén de 
:\lim_{n \rightarrow \infty} {n!\over \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n} } = 1
que á súa vez provén 
máis exactamente da fórmula
::n! = \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n} {e}^{
    {1\over12n}
   -{1\over360n^3}
   +{1\over1260n^5}
   -{1\over 1680n^7}
   +\cdots }
onde o último termo (a exponencial) tende a 1 cando n tende a infinito.

A lista dos denominadores : 12, 360, 1260, 1680, 1188, 360360, 156, 122400, 244188, 125400, 5796, 1506960, 300, ...

Desenvolvendo este último termo tamén se pode reescribir a fórmula como (chamada **serie de Striling**

:n! = \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n}
\left(
   1
   +{1\over12n}
   +{1\over288n^2}
   -{139\over51840n^3}
   -{571\over2488320n^4}
   + \cdots
  \right).
Que ten límites superior e inferior 
:\sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n} {e}^{\frac{1}{12n+1}} 

G. Nemes deu unha fórmula explícita para os coeficientes desta serie. Na OEIS aparecen outros termos e .

Podemos ver un exemplo calculado destes límites:
::29! = 8841761993739701954543616000000
::{e}^{\frac{1}{12 \; 29 + 1}} = 1,002869438...
::{e}^{\frac{1}{12 \; 29}} = 1,002877696...
::29! = \sqrt{2 \pi 29} \; \left(\frac{29}{e}\right)^{29} 1,002877577...

## Fórmula de Stirling para a función Gamma
Para todos os números enteiros positivos,
:n! = \Gamma(n + 1),
onde  denota a función Gamma.

Porén, a función gamma, a diferenza do factorial, está definida de xeito máis amplo para todos os números complexos que non sexan os enteiros non positivos; así, a fórmula de Stirling aínda se pode aplicar. Se , temos
:\ln\Gamma (z) = z\ln z - z + \tfrac12\ln\frac{2\pi}{z} + \int_0^\infty\frac{2\arctan\left( \frac{t}{z}\right)}{e^{2\pi t}-1}\,{\rm d}t.

A integración por partes repetida dá
:\ln\Gamma(z) \sim z\ln z - z + \tfrac12\ln\frac{2\pi}{z} + \sum_{n=1}^{N-1} \frac{B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}},

onde B_n é o n-ésimo número de Bernoulli (nótese que o límite da suma cando N \to \infty non é converxente , polo que esta fórmula é só unha expansión asintótica). A fórmula é válida para z o suficientemente grande en valor absoluto, cando , onde  é positivo, cun termo de erro de . Así pódese escribir a aproximación correspondente:
:\Gamma(z) = \sqrt{\frac{2\pi}{z}}\,{\left(\frac{z}{e}\right)}^z \left(1 + O\left(\frac{1}{z}\right)\right),

onde a expansión é idéntica á da serie de Stirling anterior para n!, excepto que n substitúese por .

Outra aplicación desta expansión asintótica é para argumentos complexos  con constante . Vexa por exemplo a fórmula de Stirling aplicada en  da función theta de Riemann–Siegel na liña recta .
## Usos 
A fórmula resulta útil en diversas áreas como a mecánica estatística, onde aparecen ecuacións que conteñen factoriais do número de partículas. Posto que na materia ordinaria os sistemas macroscópicos típicos teñen en torno a N \approx 10^{23} partículas a fórmula de Stirling resulta moi aproximada. Ademais a fórmula é diferenciable, o cal permite o cálculo moi aproximado de máximos e mínimos en expresións con factoriais.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
### Outros artigos 
* Aproximación de Lanczos
* Aproximación de Spouge
* Factorial
### Ligazóns externas 
* 
* Peter Luschny, *Approximation formulas for the factorial function n!*
* 
*