Produto directo

En matemáticas, pódese definir a miúdo un **produto directo** de obxectos xa coñecidos, dando un novo. Isto induce unha estrutura sobre o produto cartesiano dos conxuntos subxacentes a partir dos obxectos contribuíntes. De forma máis abstracta, fálase do produto na teoría de categorías, que formaliza estas nocións.

Exemplos son o produto de conxuntos, grupos, aneis e outras estruturas alxébricas. tamén temos o produto dos espazos topolóxicos.

## Exemplos 
* Se pensamos \R como o conxunto de números reais sen máis estrutura, entón o produto directo \R \times \R é só o produto cartesiano \{(x,y) : x,y \in \R\}.
* Se pensamos \R como o grupo de números reais baixo adición, entón o produto directo \R\times \R aínda ten \{(x,y) : x,y \in \R\} como o seu conxunto subxacente. A diferenza entre este e o exemplo anterior é que \R \times \R agora é un grupo, polo que tamén temos que dicir como engadir os seus elementos. Isto faise definindo (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d).
* Se pensamos \R como o anel dos números reais, daquela o produto directo \R\times \R de novo ten \{(x,y) : x,y \in \R\} como o seu conxunto subxacente. A estrutura do anel consiste na suma definida por (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) e na multiplicación definida por (a,b) (c,d) = (ac, bd).
* Aínda que o anel \R é un corpo, \R \times \R non o é, porque o elemento distinto de cero (1,0) non ten inverso multiplicativo .

De xeito semellante, podemos falar do produto directo dun número finito de estruturas alxébricas, por exemplo, \R \times \R \times \R \times \R. Isto é posíbel debido a que o produto directo é asociativo ata isomorfismo. É dicir, (A \times B) \times C \cong A \times (B \times C) para calquera estruturas alxébricas A,B, e C do mesmo tipo. O produto directo tamén é conmutativo ata isomorfismo, é dicir, A \times B \cong B \times A para calquera estrutura alxébrica A e B do mesmo tipo. Mesmo podemos falar do produto directo de infinitas estruturas alxébricas; por exemplo podemos tomar o produto directo de moitas copias contables de \mathbb R, que escribimos como \R \times \R \times \R \times \dotsb.

## Produto directo de grupos 
Na teoría de grupos pódese definir o produto directo de dous grupos (G, \circ) e (H, \cdot), denotado por G \times H. Para os grupos abelianos que se escriben aditivamente, tamén se pode denominar suma directa de dous grupos, denotada por G \oplus H.

Defínese do seguinte xeito:

* o conxunto dos elementos do novo grupo é o *produto cartesiano* dos conxuntos de elementos de G \text{ e } H, é dicir \{(g, h) : g \in G, h \in H\};
* sobre estes elementos ponse unha operación, definida a nivel de elementos: 
:(g, h) \times \left(g', h'\right) = \left(g \circ g', h \cdot h'\right)

Teña en conta que (G, \circ) pode coincidir con (H, \cdot).

Esta construción dá un novo grupo. Ten un subgrupo normal isomorfo a G (dado polos elementos da forma (g, 1) ), e outro isomorfo a H (que comprende os elementos (1, h) ).

Na dirección contraria tamén se cumpre.  Se un grupo K contén dous subgrupos normais G \text{ and } H, tal que K = GH e a intersección de G \text{ and } H contén só a identidade, daquela K é isomorfo a G \times H. Unha relaxación desta condición, de modo que só necesitásemos que un subgrupo fose normal, entón temos un produto semidirecto.

Como exemplo, tome como G \text{ e } H dúas copias do único grupo (ata isomorfismos) de orde 2, C^2: digamos \{1, a\} \text{ e } \{1, b\}. Entón C_2 \times C_2 = \{(1,1), (1,b), (a,1), (a,b)\}, coa operación realizada elemento por elemento. Por exemplo, (1,b)^* (a,1) = \left(1^* a, b^* 1\right) = (a, b), e (1,b)^* (1, b) = \left(1, b^2\right) = (1, 1).

Cun produto directo, obtemos a maiores algúns homomorfismos de grupos naturais: os mapas de proxección definidos por 
:\begin{align}
 \pi_1: G \times H \to G, \ \ \pi_1(g, h) &= g \\
 \pi_2: G \times H \to H, \ \ \pi_2(g, h) &= h
\end{align} 
e chámanse **funcións de coordenadas**.

Para calquera grupo (G, \circ) e calquera número enteiro n > 0, a aplicación repetida do produto directo dá o grupo de todas as n-tuplas G^n  por exemplo \Z^n e \R^n.

## Produto directo de módulos 
O produto directo para módulos (que non debe confundirse co produto tensorial) é moi semellante ao definido para os grupos anteriormente, utilizando o produto cartesiano coa operación de adición por compoñentes, e a multiplicación escalar  distribuíndose por todos os compoñentes. A partir de \R obtemos o espazo euclidiano \R^n, o exemplo prototípico dun  espazo vectorial real  n-dimensional. O produto directo de \R^m e \R^n é \R^{m+n}.

Teña en conta que un produto directo para un índice finito \prod_{i=1}^n X_i é canonicamente isomorfo á suma directa \bigoplus_{i=1}^n X_i. A suma directa e o produto directo non son isomorfos para índices infinitos.

## Produto directo de espazos topolóxicos 
O produto directo para unha colección de espazos topolóxicos X_i para i en I, algún conxunto de índices, unha vez máis fai uso do produto cartesiano 
:\prod_{i \in I} X_i.

Defínese a topoloxía para finitamente moitos factores: simplemente tomamos como base de conxuntos abertos a colección de todos os produtos cartesianos de subconxuntos abertos de cada factor: 
:\mathcal B = \left\{U_1 \times \cdots \times U_n\ : \ U_i\ \mathrm{aberto \in}\ X_i\right\}.

Esta topoloxía chámase topoloxía do produto . Por exemplo, para definir directamente a topoloxía do produto \R^2 polos conxuntos abertos de \R (unións disxuntas de intervalos abertos), a base desta topoloxía consistiría en todas as unións disxuntas de rectángulos abertos no plano (como se ve, coincide coa topoloxía métrica habitual).

Para obter máis propiedades e formulacións equivalentes, consulte a topoloxía produto.

## Produto directo de relacións binarias 
Sobre o produto cartesiano de dous conxuntos con relacións binarias R \text{ e } S, definimos (a, b) T (c, d) como a R c \text{ e } b S d. Se R \text{ and } S son ambos os dous reflexivos, irreflexivos, transitivos, simétricos ou antisimétricos, entón T tamén o será.  Do mesmo xeito, a totalidade de T é herdada de R \text{ and } S. Ao combinar propiedades despréndese que isto tamén se aplica ao ser unha preorde e unha relación de equivalencia. Porén, se R \text{ and } S son relacións conectadas, T non precisa estar conectado; por exemplo, o produto directo de \,\leq\, sobre \N consigo mesmo non  relaciona (1, 2) \text{ con } (2, 1).

## Produto directo en álxebra universal 
Se \Sigma é unha sinatura fixada, I é un conxunto de índices arbitrario (posiblemente infinito) e \left(\mathbf{A}_i\right)_{i \in I} é unha familia indexada de \Sigma álxebras, o **produto directo** \mathbf{A} = \prod_{i \in I} \mathbf{A}_i é unha \Sigma álxebra definida como segue:

* O conxunto universo A de \mathbf{A} é o produto cartesiano dos conxuntos universo A_i de \mathbf{A}_i, formalmente: A = \prod_{i \in I} A_i.
* Para cada n e cada n-aria operación de símbolo f \in \Sigma, a súa interpretación f^{\mathbf{A}} en \mathbf{A} defínese por compoñentes, formalmente: para todos os a_1, \dotsc, a_n \in A e cada i \in I, o i-ésimo compoñente de f^{\mathbf{A}}\!\left(a_1, \dotsc, a_n\right) defínese como f^{\mathbf{A}_i}\!\left(a_1(i), \dotsc, a_n(i)\right).

## Produto directo interno e externo 
Algúns autores fan unha distinción entre un **produto directo interno** e un **produto directo externo.** Por exemplo, se A e B son subgrupos dun grupo abeliano aditivo G, tal que A + B = G e A \cap B = \{0\}, entón A \times B \cong G, e dicimos que G é o produto directo *interno* de A e B. Para evitar ambigüidades, podemos referirnos ao conxunto \{\, (a,b) \mid a \in A, \, b \in B \,\} como produto directo *externo* de A e B.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
### Outros artigos 
* Suma directa.
* Produto tensorial.
### Ligazóns externas 
* Produto directo en MathWorld.