Análise de sensibilidade baseado na varianza

**O Análise de sensibilidade baseado na varianza** (a miúdo referido coma **método de** **Sobol,** referido ao matemático ruso Ilya M. Sobol) é unha forma de análise de sensibilidade global. Traballando dentro dun marco probabilistico, o método descompón a varianza da saída do modelo nun conxunto de farccións que poden ser atribuídas aos diferentes conxuntos de entradas do modelo. Por exemplo, dado un modelo con dúas entradas e unha saída, un podería descubrir que o 60% da varianza na variable de saída débese a varianza da primeira entrada, o 20% débese á varianza da segunda entrada e o 20% restante débese a interaccións entre ambas entradas. Estas porcentaxes permiten avaliar qué entradas do modelo son máis sensibles e tamén como de relevantes son as súas influencias individuais e conxuntas. Ao ser un método global, permite tratar respostas non-lineais e poden medir o efecto de interaccións en sistemas non aditivos.

## Descomposición da varianza 
*D*ende unha perspectiva de caixa negra, calquera modelo matemático pode ser visto coma unha función Y=f(X), onde  X  é un vector coas  d  entradas do modelo \{X_1,X_2,\cdots X_d\}, e Y representa a saída escalar do modelo (se o modelo matemático consta de saídas vectoriais; bastaría con estudar cada saída por separado). Ademais,  imos supor que as entradas do modelo son independentes entre si e uniformemente distribuídas dentro do hipercubo unitario, i.e.  X_i \in [0,1]  para . i=1,2,...,d . Esta última hipótese non implica perda de xeralidade pois calquera espazo de entradas pode ser transformado no hipercubo unitario. Entón, existe a descomposición

:  Y = f_0 + \sum_{i=1}^d f_i(X_i) + \sum_{i,

onde  f_0  é un constante e  f_i  é unha función de  X_i ,  f_{ij}  unha función de  X_i  e  X_j , etc. Unha condición desta descomposición é que,

:  \int_0^1 f_{i_1 i_2 \dots i_s}(X_{i_1},X_{i_2},\dots,X_{i_s}) dX_{k}=0, \quad k = i_1,...,i_s ,

é dicir, que tódolos termos da descomposición funcional son ortogonais. Isto permite definir os termos da descomposición previa en función das esperanzas condicionais:

:  f_0 = E(Y) ,

:  f_{ij}(X_i,X_j) = E(Y|X_i,X_j) - f_0 - f_i - f_j,\quad i,j=1\dots,d ,

:  f_i(X_i) = E(Y|X_i) - f_0,\quad i=1,\dots,d .

Das expresións previas extráese que  f_i  representa o efecto individual da variábel  X_i  (tamén coñecido coma efecto principal de  X_i ) e que  f_{ij}  representa os efectos das variábeis  X_i e  X_i simultaneamente, *adicional ao efecto das súas variacións individuais*. Este tipo de interaccións coñecense coma interaccións de segunda orde. Análogamente podemos definir as interaccións de orde superior.

Se ademais asumimos que  f(X)  é cadrado-integrable, a descomposición funcional pode elevarse ao cadrado e integrarse para obter

:  \int f^2(X) dX - f_0^2 = \sum_{s=1}^d \sum_{i_1.

Nótese que o lado de man esquerda representa a varianza total da saida *Y*, o que permite expresar

:  \operatorname{Var}(Y) = \sum_{i=1}^d V_i + \sum_{i,

sendo

:  V_{i} = \operatorname{Var}_{X_i} \left( E_{X_{\sim i}} (Y \mid X_{i}) \right),\quad i=1,\dots,d ,

:  V_{ij} = \operatorname{Var}_{X_{ij}} \left( E_{X_{\sim ij}} \left( Y \mid X_i, X_j\right)\right) - V_{i} - V_{j},\quad i,j=1,\dots,d .

A notación  X_{\sim i}  indica o conxunto de todas as variábeis *excepto*  X_{i} .  A descomposición da varianza previa amosa como a varianza na saída do modelo pódese descompoñer en termos atribuíbeis a cada entradas, así coma aos efectos de interacción entre entradas. Sumando tódolos termos obtemos a varianza total na saída do modelo.

## Índices de sensibilidade de primeira orde 
Podemos calcula o índice de sensibilidade de primeira orde, tamén coñecido coma índice de Sobol de primeira orde ou índice de efecto principal,

:  S_i = \frac{V_i}{\operatorname{Var}(Y)}, \quad i=1,\dots, d .

Este termo representa a contribución na varianza de sáida do efecto principal de  X_{i} , polo que mide o efecto de variar  X_{i}  individualmente, pero promedidado sobre a variación no resto de variábeis de entrada. Definindo de xeito análogo os índices de sensibilidade de orde superior obtemos:

:  \sum_{i=1}^d S_i + \sum_{i.

## Índices de sensibilidade totais 
Outra medida de sensibilidade é a sensibilidade total asociada a unha variábel, definida como: 

:  S_{Ti} = \frac{E_{X_{\sim i}} \left(\operatorname{Var}_{X_i} (Y \mid X_{\sim i}) \right)}{\operatorname{Var}(Y)} = 1 - \frac{\operatorname{Var}_{X_{\sim i}} \left(E_{X_i} (Y \mid X_{\sim i}) \right)}{\operatorname{Var}(Y)},\quad i=1,\dots, d 

Notése que, a diferenza de  S_i ,

:  \sum_{i=1}^d S_{Ti} \geq 1 

debido a que o efecto de interacción entre  X_{i}  e  X_{j}  tense en conta tanto en  S_{T_i}  coma en  S_{T_i} . De feito, a suma previa só será igual a 1 cando o modelo sexa puramente aditivo.

## Cálculo dos índices de sensibilidade 
En certos casos é posíbel calcular de xeito analítico os índices previos resolvendo as integrais multidimensionais asociadas, máis na maior parte dos casos recórrese a técnicas de integración numérica. Debido a maldición da dimensionalidade, as técnicas clásicas de integración numérica non soen ser apropiadas polo que soe recurrirse ao método de Monte Carlo e variantes, moito máis indicadas para o cálculo de integrais de alta dimensión.

### Mostraxe 
:

## Vexase tamén 
* Análise de sensibilidade
* Método de Monte Carlo
* Método de Quasi-Monte Carlo
* Secuencia de Sobol
* Mostraxe de hipercubo latino

## Referencias