Álxebra de Lie

En matemáticas, unha **álxebra de Lie** é a estrutura alxébrica definida sobre un espazo vectorial, asociada habitualmente aos grupos de Lie e empregadas no estudo xeométrico deses propios grupos e doutras variedades diferenciábeis. O vocábulo "álxebra de Lie" (referido a Sophus Lie) foi creado por Hermann Weyl na década de 1930, para o que se denominaba "grupo infinitesimal".

Se un grupo de Lie pode interpretarse en física como un grupo de transformacións sobre unha variedade diferenciábel, a álxebra de Lie fisicamente pode concibirse como un conxunto de transformacións infinitesimais.

## Definición 
Unha álxebra de Lie \mathfrak{a} é un espazo vectorial sobre un certo corpo \mathbb{F} xunto cunha operación binaria [•,&nbsp;•]: \mathfrak{a}\times\mathfrak{a}\to\mathfrak{a}, chamada  corchete de Lie, que satisfai as propiedades seguintes:  
* é bilinear, é dicir, [*a x* + *b y*, *z*] = *a* [*x*, *z*] + *b* [*y*, *z*]  e  [*z*, *a x* + *b y*] = *a* [*z*, *x*] + *b* [*z*, *y*] para todo *a*, *b* en \mathbb{F} e todo *x*, *y*, *z* en \mathfrak{a}.
* satisfai a identidade de Jacobi, é dicir, [[*x*, *y*], *z*] + [[*z*, *x*], *y*] + [[*y*, *z*], *x*] = 0 para todo *x*, *y*, *z* en \mathfrak{a}.
* [*x*, *x*] = 0 para todo *x* en \mathfrak{a}.

Obsérvese que a primeira propiedade e a terceira xuntas implican [*x*, *y*] = − [*y*, *x*] para todo *x*, *y* en \mathfrak{a} ("anti-simetría") se o corpo \mathbb{F} é de característica diferente de dous. Obsérvese tamén que a multiplicación representada polo corchete de Lie non é, en xeral, asociativa, é dicir, *x*, *y*], *z*] non é igual necesariamente a [*x*, [*y*, *z*]].

## Exemplos 
*Cada espazo vectorial convértese nunha álxebra de Lie abeliana trivial se se define o corchete de Lie como identicamente a cero.
*O espazo euclidiano \R^3 convértese nunha álxebra de Lie co corchete de Lie dado polo produto vectorial.
*Se se dá unha álxebra asociativa *A* coa multiplicación * , pódese dar unha álxebra de Lie definindo [*x*, *y*] = *x* * *y* − *y* * *x*. Esta expresión chámase *conmutador* de *x* e *y*.
*Inversamente, pode demostrarse que cada álxebra de Lie pódese mergullar noutra que xurda dunha álxebra asociativa dese xeito.
*Outro exemplo importante vén da topoloxía diferencial: os campos vectoriais  nunha variedade diferenciábel forman unha álxebra de Lie de dimensión infinita. Estes campos vectoriais actúan como operadores diferenciais sobre as funcións diferenciábeis sobre a variedade. Dados dous campos vectoriais *X* e *Y*, o corchete de Lie \scriptstyle [X, Y] defínese como:

e pode comprobarse que este operador corresponde a un campo vectorial. As xeneralizacións axeitadas da teoría de variedades ao caso de dimensión infinita mostran que esta álxebra de Lie é a asociada ao grupo de Lie dos difeomorfismos da variedade.
*No caso dunha variedade que sexa un grupo de Lie G á súa vez, un subespazo dos campos vectoriais queda inalterado polas transformacións dadas polo propio grupo, no sentido de que en cada punto g do mesmo, o campo non é máis que:

Este subespazo é de dimensión finita (e igual á do grupo), dado que se corresponde co espazo tanxente na identidade. Ademais herda a estrutura de álxebra de Lie definida no punto anterior e denomínase a álxebra de Lie asociada ao grupo G.
*Como exemplo concreto, considérese o grupo de Lie **SL**(n, **R**) de todas as matrices n\times n con valores reais e determinante 1. O espazo tanxente na matriz identidade pode identificarse co espazo de todas as matrices reais n\times n con traza 0 e a estrutura de álxebra de Lie que vén do grupo de Lie coincide co que xorde do conmutador da multiplicación de matrices.

## Homomorfismos, subálxebras e ideais 
Un homomorfismo \varphi: \mathfrak{a}\to \mathfrak{b} entre as álxebras de Lie \mathfrak{a} e \mathfrak{b} sobre o mesmo corpo de base \mathbb{F} é unha función \mathbb{F}-linear tal que [\varphi(x),\varphi(y)] = \varphi([x,y]) para todo *x* e *y* en \mathfrak{a}. A composición deses homomorfismos é outra vez un homomorfismo, e as álxebras de Lie sobre o corpo \mathbb{F}, xunto con estes morfismos, forman unha categoría.  Se ese homomorfismo é bixectivo, chámase isomorfismo, e as dúas álxebras de Lie \mathfrak{a} e \mathfrak{b} chámanse isomorfas. Para todos os efectos prácticos, as álxebras de Lie isomorfas son idénticas.

Unha subálxebra da álxebra de Lie \mathfrak{a} é un subespazo vectorial \mathfrak{b} de \mathfrak{a} tal que [x,y] \in \mathfrak{b} para todo x,y \in \mathfrak{b}. É dicir, [\mathfrak{b},\mathfrak{b}]\subset \mathfrak{b}. A subálxebra é entón unha álxebra de Lie.

Un ideal da álxebra de Lie **A** é un subespazo vectorial **I** de **A** tales que [*a*, *y*]∈**I** para todo *a*∈**A** *y*∈**I**. i.e. [**A**, **I**] ⊆ **I**. Todos os ideais son subálxebras. Se **I** é un *ideal* de **A**, entón o espazo cociente **A**/**I**  convértese nunha álxebra de Lie definindo [*x* + **I**, *y* + **I**] = [*x*, *y*] + **I** para todo *x*, *y* ∈ **A**. Os ideais son precisamente os núcleos de homomorfismos, e o teorema fundamental de homomorfismos é válido para as álxebras de Lie.

## Clasificación das álxebras de Lie
As álxebras de Lie reais e complexas poden clasificarse ata un certo grao, e esta clasificación é un paso importante cara a clasificación dos grupos de Lie. Cada álxebra de Lie real ou complexa finito-dimensional preséntase como a álxebra de Lie dun único grupo de Lie simplemente conexo real ou complexo (teorema de Ado), mais pode haber máis dun grupo, aínda máis dun grupo conexo, dando lugar á mesma álxebra. Por exemplo, os grupos **SO**(3) (matrices ortogonais 3×3 de determinante 1) e **SU**(2) (matrices unitarias 2×2 de determinante 1), dan lugar á mesma álxebra de Lie, que resulta **R**³ co produto vectorial. Unha álxebra de Lie é abeliana se o corchete de Lie se anula, é dicir [*x*, *y*] = 0 para todo *x* e *y*. Máis xeralmente, unha álxebra de Lie **A** é nilpotente se a serie central é descendente

:**A** ⊇ [**A**, **A**] ⊇ **A**, **A**]], **A**] ⊇ **A**, **A**]], **A**], **A**] ⊇... 
acaba facéndose cero. Polo teorema de Engel, unha álxebra de Lie é nilpotente se e só se para cada *x* en **A**, a función ad(*x*):  **A** -> **A** definida por 
:ad(*x*)(*y*) = [*x*, *y*]
é nilpotente. Máis xeralmente aínda, unha álxebra de Lie **A** é *solúbel* se a serie derivada
:**A** ⊇ [**A**, **A**] ⊇ **A**, **A**]], **A**, **A** ⊇ **A**, **A**, **A**, **A**,**A**, **A**, [**A**, **A** ⊇ ... 
acaba facéndose cero. Unha subálxebra solúbel maximal denomínase subálxebra de Borel.

Unha álxebra de Lie **A** denomínase semisimple se o único ideal solúbel de **A** é trivial. Equivalentemente, **A** é semisimple se e só se a *forma de Killing* *K*(*x*, *y*) = tr(ad(*x*)ad(*y*)) é non-dexenerada;  aquí tr denota o operador de traza. Cando o corpo **F** é de característica cero, **A** é semisimple se e só se cada representación é totalmente reducíbel, é dicir, que para cada subespazo invariante da representación hai un complemento invariante (teorema de Weyl).

Unha álxebra de Lie é simple se non ten ningún ideal non trivial. En particular, unha álxebra de Lie *simple* é *semisimple*, e máis xeralmente, as álxebras de Lie *semisimples* son suma directa de *simples*. As álxebras de Lie complexas *semi-simples* clasifícanse a través dos seus *sistemas de raíz*.

## Véxase tamén 
### Outros artigos 
*Superálxebra de Lie
*Alxebroide de Lie
* Álxebra de Virasoro
*E8 (matemáticas)

### Ligazóns externas 
* Miguel A. Rodríguez (2007) Álgebras de Lie de Universidade Complutense de Madrid.
* McKenzie, Douglas, (2015), "An Elementary Introduction to Lie Algebras for Physicists"