Isometría

[miniatura| Unha [Composición de funcións|composición de dúas isometrías opostas é unha isometría directa. Unha reflexión nunha liña é unha isometría oposta, como  ou  na imaxe. A translación  é unha isometría directa. ]]

En matemáticas, unha **isometría** (ou **congruencia** ou **transformación congruente**) é unha transformación que preserva a distancia entre espazos métricos, normalmente se supón que é bixectiva. |name=CoxeterIsometryDef}} A palabra isometría deriva do grego antigo: ἴσος *isos* que significa "igual", e μέτρον *metron* que significa "medida". Se a transformación é dun espazo métrico a si mesmo, é unha especie de transformación xeométrica coñecida como movemento.

## Introdución 
Dado un espazo métrico (vagamente, un conxunto e un esquema para asignar distancias entre os elementos do conxunto), unha isometría é unha transformación que mapea elementos ao mesmo ou a outro espazo métrico de forma que a distancia entre os elementos da imaxe no novo espazo métrico é igual á distancia entre os elementos no espazo métrico orixinal. Nun espazo euclidiano bidimensional ou tridimensional, dúas figuras xeométricas son congruentes se están relacionadas por unha isometría; a isometría que os relaciona é ou ben un movemento ríxido (translación ou rotación) ou unha composición dun movemento ríxido e unha reflexión.

## Definición 
Sexan X e Y espazos métricos con métricas (por exemplo, distancias) d_X  e d_Y. Un mapa f\colon X \to Y  chámase **isometría** ou **mapa de preservación da distancia,** se para todos os a, b \in X,

: d_X(a,b)=d_Y\!\left(f(a),f(b)\right).

Unha isometría é automaticamente inxectiva; se non, dous puntos distintos, *a* e *b*, poderían ser mapeados no mesmo punto, contradicindo así o axioma de coincidencia da métrica *d*, é dicir, d(a,b) = 0 se e só se a=b. 

Unha **isometría global**, **isomorfismo isométrico** ou **mapeo de congruencia** é unha isometría bixectiva. Como calquera outra bixección, unha isometría global ten unha función inversa. A inversa dunha isometría global é tamén unha isometría global.

Dous espazos métricos *X* e *Y* chámanse **isométricos** se hai unha isometría bixectiva de *X* a *Y*. O conxunto de isometrías bixectivas desde un espazo métrico ata si mesmo forma un grupo con respecto á composición da función, chamado **grupo de isometría**.

Unha **isometría de camiño** ou **isometría de arco** é un mapa que conserva as lonxitudes das curvas; tal mapa non é necesariamente unha isometría no sentido de preservación da distancia, e non ten por que ser necesariamente bixectivo, nin sequera inxectivo. Este termo adoita abreviarse simplemente a *isometría*, polo que hai que ter coidado de determinar a partir do contexto que tipo se pretende.

; Exemplos

* Calquera reflexión, translación e rotación é unha isometría global sobre espazos euclidianos.
* O mapa x \mapsto |x|  en \mathbb R  é unha *isometría de camiño* pero non unha isometría (xeral). Teña en conta que a diferenza dunha isometría, esta isometría de camiño non precisa ser inxectiva.

## Grupo de isometría 
O conxunto de todos os mapas que son isometrías dun conxunto contido nun espazo métrico forma un grupo coñecido como **grupo de isometría** do conxunto. Nun espazo euclidiano de dimensión *n* o grupo de isometría G_{iso}\, de calquera conxunto é un subgrupo do grupo de produtos formado a partir do grupo ortogonal e o grupo de translaciones:
{{ecuación|G_{iso} \subset O(n)\times\R^n
||esquerda}}
## Isometrías entre espazos normados 
### Isometría linear 
Dados dous espazos vectoriais normados *V* e *W*, unha isometría linear é unha aplicación linear f\colon V\rightarrow W que conserva a norma:
:\|f(v)\| = \|v\|
para todas as v\in V. Neste sentido, unha isometría conserva a distancia inducida pola norma do espazo vectorial. Unha isometría chámase global se é unha función sobrexectiva.

Nun espazo pre-hilbertiano (un espazo vectorial dotado de produto escalar), a definición anterior equivale a que

\langle f(v), f(v)\rangle=\langle v,v\rangle \quad\forall v\in V

e isto é equivalente a que se conserve o produto escalar:

\langle f(u), f(v)\rangle=\langle u, v \rangle\quad\forall u, v\in V.

En efecto, que esta igualdade implique a anterior é trivial; o recíproco dedúcese do feito de que o produto escalar está determinado pola norma segundo a identidade do paralelogramo:

\langle u, v\rangle={\|u+v\|^2-\|u-v\|^2\over 4}.

Se se conserva a norma, tamén se conserva o produto escalar, dado por esta identidade.

Segundo o teorema de Mazur-Ulam, calquera isometría dun espazo vectorial normado no corpo do números reais é afín.

Debido a como se definen ángulos nun espazo vectorial, toda isometría linear conserva os ángulos, é dicir, unha isometría linear é unha aplicación conforme linear.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
### Outros artigos 
* Grupo de isometría.
* Rotación
* Translación (xeometría)