Dimensión dun espazo vectorial

miniatura| Un diagrama das dimensións 1, 2, 3 e 4
En matemáticas, a **dimensión** dun espazo vectorial *V* é a cardinalidade (é dicir, o número de vectores) dunha base de *V* sobre o seu corpo base. Ás veces chámase **dimensión de Hamel** ou **dimensión alxébrica** para distinguilo doutros tipos de dimensión.

Para todo espazo vectorial existe unha base, e todas as bases dun espazo vectorial teñen a mesma cardinalidade; como resultado, a dimensión dun espazo vectorial defínese de forma única. dicimos V é de '*** se a dimensión de V é finita e de ***' se a súa dimensión é infinita.

A dimensión do espazo vectorial V sobre o corpo F pódese escribir como \dim_F(V) ou como [V : F], lendo "dimensión de Vsobre F". Cando F pódese inferir do contexto adoita escribirse \dim(V).

## Exemplos 
O espazo vectorial \R^3 ten como base estándar
:\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right\}, 
e polo tanto \dim_{\R}(\R^3) = 3. De forma máis xeral, \dim_{\R}(\R^n) = n, e aínda máis en xeral, \dim_{F}(F^n) = n para calquera corpo F.

Os números complexos \Complex son un espazo vectorial real e complexo; temos \dim_{\R}(\Complex) = 2 e \dim_{\Complex}(\Complex) = 1. Podemos ver os complexos como un vector de dous números reais. Polo tanto, a dimensión depende do corpo base.

## Propiedades 
Se W é un subespazo linear de V entón \dim (W) \leq \dim (V).

O espazo \R^n ten a base estándar \left\{e_1, \ldots, e_n\right\}, onde e_i é a i-ésima columna da matriz de identidade correspondente . Polo tanto, \R^n ten dimensión n.

Calquera espazos vectoriais de dúas dimensións finitas sobre F coa mesma dimensión son isomorfos. Calquera mapa bixectivo entre as súas bases pódese estender de forma única a un mapa linear bixectivo entre os espazos vectoriais. Se B é algún conxunto, un espazo vectorial con dimensión |B| sobre F pódese construír do seguinte xeito: tomamos o conxunto F(B) de todas as funcións f : B \to F tal que f(b) = 0 para todos menos finitamente moitos b en B. Estas funcións pódense sumar e multiplicar con elementos de F para obter o desexado espazo vectorial Fl.

Un resultado importante sobre as dimensións vén dado polo teorema de rango-nulidade para mapas lineares.

Se F / K é unha extensión de corpo, entón F é en particular un espazo vectorial sobre K. Ademais, todo F-espazo vectorial V tamén é un K-espazo vectorial. As dimensións están relacionadas coa fórmula \dim_K(V) = \dim_K(F) \dim_F(V).En particular, todo espazo vectorial complexo de dimensión n é un espazo vectorial real de dimensión 2n.

Algunhas fórmulas relacionan a dimensión dun espazo vectorial coa cardinalidade do corpo base e a cardinalidade do propio espazo. Se V é un espazo vectorial sobre un corpo F e se a dimensión de V denotase por \dim V, entón:

: Se dim V é finito entón |V| = |F|^{\dim V}.
: Se dim V é infinito entón |V| = \max (|F|, \dim V).
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* .
### Outros artigos 
* Dimensión de Krull.
* Matriz (matemáticas).
### Ligazóns externas 
* Conferencia de álxebra linear do MIT sobre a independencia, a base e a dimensión de Gilbert Strang no MIT OpenCourseWare