Bixección, inxección e sobrexección

En matemáticas, **as inxeccións**, **as sobrexeccións** e **as bixeccións** son clases de funcións que se distinguen pola forma en que *os argumentos* (expresións de entrada do dominio) e as *imaxes* (expresións de saída do codominio) están relacionados ou *mapeadas entre* si.

Unha función mapea elementos do seu dominio a elementos do seu codominio. Dada unha función f \colon X \to Y:

* A función é **inxectiva**, ou **un a un**, se cada elemento do codominio está asignado *como moito* a un elemento do dominio, ou de forma equivalente, se distintos elementos do dominio se asignan a distintos elementos do codominio. Unha función inxectiva tamén se denomina **inxección**.Notacionalmente:
:\forall x, x' \in X, f(x) = f(x') \implies x = x',
 
* A función é **sobrexectiva**, ou **onto**, se cada elemento do codominio está asignado a *polo menos* un elemento do dominio. É dicir, a imaxe e o codominio da función son iguais. Unha función surxectiva é unha **sobrexección**.. Notacionalmente:

:: \forall y \in Y, \exists x \in X \text{ such that } y = f(x).   

* A función é **bixectiva** (**un-a-un e onto**  ou **invertible** ) se cada elemento do codominio está mapeado por *exactamente* un elemento do dominio. É dicir, a función é *tanto* inxectiva como sobrexectiva. Unha función bixectiva tamén se denomina **bixección**. .  É dicir, combinando as definicións de inxectiva e sobrexectiva temos

:: \forall y\in Y, \exists! x\in X \text{ such that } y=f(x),
: onde \exists! x significa " existe exactamente unha ".

* En calquera caso (para calquera función), vale o seguinte:

:: \forall x\in X, \exists! y\in Y \text{ such that } y=f(x).

As catro combinacións posibles de características inxectivas e sobrexectivas están ilustradas nos diagramas superiores.

## Inxección 
miniatura|300x300px| Composición inxectiva: a segunda función non ten por que ser inxectiva.
Os seguintes son algúns feitos relacionados coas inxeccións:
* Unha función f \colon X \to Y é inxectiva se e só se X está baleiro ou f é invertible pola esquerda; é dicir, hai unha función g \colon f(X) \to X tal que g\circ f= función de identidade en *X.* Aquí, f(X) é a imaxe de f.
* Dado que toda función é sobrexectiva cando o seu codominio está restrinxido á súa imaxe, cada inxección induce unha bixección na súa imaxe. Máis precisamente, cada inxección f \colon X \to Y pódese factorizar como unha bixección seguida dunha inclusión do seguinte modo: sexa f_{R}\colon X\rightarrow f(X) unha f con codominio restrinxido á súa imaxe, e sexa i \colon f(X) \to Y  o mapa de inclusión de f(X) en Y. Daquela f=i\circ f_{R}. Dáse a continuación unha factorización dual para as sobrexeccións.
* A composición de dúas inxeccións é de novo unha inxección, mais se g\circ f é inxectiva, entón só se pode concluír que f é inxectiva (ver figura).
* Toda inserción é inxectiva.

## Sobrexección 
miniatura|300x300px| Composición sobrexectiva: a primeira función non ten por que ser sobrexectiva.
Os seguintes son algúns feitos relacionados coas sobrexeccións:

* Unha función f \colon X \to Y é sobrexectiva se e só se é inversible pola dereita, é dicir, se e só se existe unha función g \colon Y \to X tal que f\circ g= función de identidade en Y.
* Ao contraer todos os argumentos que se mapean cunha imaxe dada, cada sobrexección induce unha bixección dun conxunto cociente do seu dominio ao seu codominio. Máis precisamente, as preimaxes baixo *f* dos elementos da imaxe de f son as clases de equivalencia dunha relación de equivalencia no dominio de f, tal que *x* e *y* son equivalentes se e só teñen a mesma imaxe baixo f. Como todos os elementos de calquera destas clases de equivalencia están mapeados por *f* sobre o mesmo elemento do codominio, isto induce unha bixección entre o conxunto cociente  por esta relación de equivalencia (o conxunto das clases de equivalencia) e a imaxe de f (que é o seu codominio cando f é sobrexectiva). A maiores, *f* é a composición da proxección canónica de *f* ao conxunto cociente, e a bixección entre o conxunto cociente e o codominio de f.
* A composición de dúas sobrexeccións volve ser unha sobrexección, mais se g\circ f é sobrexectiva, entón só se pode concluír que g é sobrexectiva (ver figura).

## Bixección 
miniatura|300x300px| Composición bixectiva: a primeira función non ten por que ser sobrexectiva e a segunda función non ten por que ser inxectiva.
Os seguintes son algúns feitos relacionados coas bixeccións:

* Unha función f \colon X \to Y é bixectiva se e só se é invertible, é dicir, hai unha función g \colon Y \to X tal que g\circ f= función de identidade en *X* e f\circ g= función de identidade en Y. Esta función asigna cada imaxe á súa preimaxe única.
* A composición de dúas bixeccións volve ser unha bixección,  mais se g\circ f é unha bixección, entón só se pode concluír que f é inxectiva e g é sobrexectiva (ver a figura anterior e as observacións anteriores sobre inxeccións e sobrexeccións).
* As bixeccións dun conxunto en si mesmo forman un grupo baixo composición, chamado grupo simétrico.

### Cardinalidade 
Pódese definir que dous conxuntos  "teñen o mesmo número de elementos" se hai unha bixección entre eles. Neste caso, dise que os dous conxuntos teñen a mesma cardinalidade.

## Exemplos 
É importante especificar o dominio e o codominio de cada función, xa que ao mudar estes, as funcións que parecen ser iguais poden ter propiedades diferentes.

; Inxectiva e sobrexectiva (bixectiva)
* A función de identidade id*X* para cada conxunto non baleiro *X*, e polo tanto especificamente\mathbf{R} \to \mathbf{R} : x \mapsto x.
Para dominios positivos \mathbf{R}^+:
* \mathbf{R}^+ \to \mathbf{R}^+ : x \mapsto x^2 , e así tamén a súa inversa \mathbf{R}^+ \to \mathbf{R}^+ : x \mapsto \sqrt{x}.
* A función exponencial \exp \colon \mathbf{R} \to \mathbf{R}^+ : x \mapsto \mathrm{e}^x  (é dicir, a función exponencial co seu codominio restrinxido á súa imaxe), e así tamén o seu inverso o logaritmo natural ou neperiano \ln \colon \mathbf{R}^+ \to \mathbf{R} : x \mapsto \ln{x}.

; Inxectiva e non sobrexectiva
* A función exponencial \exp \colon \mathbf{R} \to \mathbf{R} : x \mapsto \mathrm{e}^x.

; Non inxectiva e si sobrexectiva
* \mathbf{R} \to \mathbf{R} : x \mapsto (x-1)x(x+1) = x^3 - x .
* \mathbf{R} \to [-1,1] : x \mapsto \sin(x).

; Non inxectiva e non sobrexectiva
* \mathbf{R} \to \mathbf{R}: x \mapsto \sin(x).
* \mathbf{R} \to \mathbf{R} : x \mapsto x^2 

## Propiedades 
* Para cada función , sexa  un subconxunto do dominio e  un subconxunto do codominio. Tense sempre  e , onde  é a imaxe de  e  é a preimaxe de  baixo  . Se  é inxectiva, entón , e se  é surxectiva, entón  .
* Para cada función , pódese definir unha sobrexección  e unha inxección  . Segue que . Esta descomposición como a composición dunha sobrexección e dunha inxección é única ata un isomorfismo, no sentido de que, dada tal descomposición, hai unha bixección única \varphi:h(X)\to H(X) tal que H(x)=\varphi(h(x)) e I(\varphi(h(x)))=h(x) para cada x\in X.

## Teoría de categorías 
Na categoría de conxuntos, inxeccións, sobrexeccións e bixeccións corresponden precisamente a monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos, respectivamente.

## Historia 
Cando o grupo francés Bourbaki acuñou a terminoloxía inxectiva, sobrexectiva e bixectiva (como substantivos e como adxectivos) foi o momento no que acadou unha ampla adopción.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Ligazóns externas 
*Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.