Posición (xeometría)

miniatura| O vector de raio \vec{r} representa a posición dun punto \mathrm{P}(x,y,z) en relación á orixe O. No sistema de coordenadas cartesianas \vec{r}=x\,\hat{e}_x+y\,\hat{e}_y+z\,\hat{e}_z.
En xeometría, unha **posición** ou **vector** **de posición**,  é un vector euclidiano que representa un punto *P* no espazo. A súa lonxitude representa a distancia en relación a unha orixe de referencia arbitraria *O*, e a súa dirección representa a orientación angular con respecto a eixes de referencia dados. Normalmente denotado por **x**, **r** ou **s**, corresponde ao segmento de recta de *O* a *P*. Noutras palabras, é o desprazamento que asigna a orixe a *P*: 

: \mathbf{r}=\overrightarrow{OP}.

O termo **vector de posición** úsase principalmente nos campos da xeometría diferencial, mecánica e ocasionalmente cálculo vectorial. 

## Posición relativa 
A **posición relativa** dun punto *Q* con respecto ao punto *P* é o vector euclidiano resultante da resta dos dous vectores de posición absoluta (cada un respecto á orixe):

: \Delta \mathbf{r}=\mathbf{s} - \mathbf{r}=\overrightarrow{PQ},

onde \mathbf{s}=\overrightarrow{OQ}.

A **dirección relativa** entre dous puntos é a súa posición relativa normalizada como un vector unitario:

: \Delta \mathbf{\hat{r}}=\Delta \mathbf{r} / \|\Delta \mathbf{r}\|,

onde o denominador é a distancia entre os dous puntos, \| \Delta \mathbf{r} \|. Unha dirección relativa é un vector ligado, en contraste cunha dirección ordinaria, que é un vector libre.

## Definición e representación 
### En tres dimensións 
[miniatura| [Curva|Curva espacial en 3D. O vector de posición **r** está parametrizado por un escalar *t*. En **r** = **a** a liña vermella é a tanxente á curva e o plano azul é normal á curva.]]
En tres dimensións, pódese usar calquera conxunto de coordenadas tridimensionais e os seus correspondentes vectores de base para definir a localización dun punto no espazo; pódese utilizar o que sexa o máis sinxelo para a tarefa que se está a realizar.

Comunmente, úsase o sistema de coordenadas cartesiano, ou ás veces coordenadas polares esféricas ou coordenadas cilíndricas:

:  \begin{align} 
 \mathbf{r}(t) 
 & \equiv \mathbf{r}(x,y,z) \equiv x(t)\mathbf{\hat{e}}_x + y(t)\mathbf{\hat{e}}_y + z(t)\mathbf{\hat{e}}_z \\
 & \equiv \mathbf{r}(r,\theta,\phi) \equiv r(t)\mathbf{\hat{e}}_r\big(\theta(t), \phi(t)\big) \\
 & \equiv \mathbf{r}(r,\phi,z) \equiv r(t)\mathbf{\hat{e}}_r\big(\phi(t)\big) + z(t)\mathbf{\hat{e}}_z, \\
\end{align}

onde *t* é un parámetro, debido á súa simetría rectangular ou circular. Estas diferentes coordenadas e os correspondentes vectores de base representan o mesmo vector de posición. No seu lugar pódense usar coordenadas curvilíneas máis xerais e están en contextos como a mecánica de continuos e a relatividade xeral (neste último caso necesítase unha coordenada temporal adicional).

### *n* dimensións 
A álxebra linear permite a abstracción dun vector de posición *n*-dimensional. Un vector de posición pódese expresar como unha combinación linear de vectores dunha base: 

: \mathbf{r} = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf{e}_i = x_1 \mathbf{e}_1 + x_2 \mathbf{e}_2 + \dotsb + x_n \mathbf{e}_n. 

## Derivadas 
miniatura| Cantidades cinemáticas dunha partícula clásica: masa&nbsp;*m*, posición&nbsp;**r**, velocidade&nbsp;**v**, aceleración&nbsp;**a**
Para un vector de posición **r** que é función do tempo *t*, podemos calcular as derivadas en relación ao tempo *t*. Estas derivadas teñen unha utilidade común no estudo da cinemática, a teoría do control, enxeñaría e outras ciencias.

; Velocidade
: \mathbf{v} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t},
: onde d **r** é un desprazamento infinitesimalmente pequeno.
; Aceleración
: \mathbf{a} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}.
; Sobreaceleración ou arrincada
: \mathbf{j} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}^2\mathbf{v}}{\mathrm{d}t^2} = \frac{\mathrm{d}^3\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^3}.

Estes nomes para as derivadas primeira, segunda e terceira de posición úsanse habitualmente na cinemática básica. 

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Keller, F. J., Gettys, W. E. et al. (1993). "Physics: Classical and modern" 2nd ed. McGraw Hill Publishing.
### Outros artigos 
* Sistema de coordenadas.