Derivada total

En matemáticas, a **derivada total** dunha función  nun punto é a mellor aproximación linear preto deste punto da función en relación aos seus argumentos. A diferenza das derivadas parciais, a derivada total aproxima a función en relación a todos os seus argumentos, non só a un. En moitas situacións, isto é o mesmo que considerar todas as derivadas parciais simultaneamente. 

Sería a derivada dunha función de varias variábeis en relación a unha delas, sen manter constantes as demais.

O termo "derivada total" úsase principalmente cando  é unha función de varias variábeis, porque cando  é unha función dunha única variábel, a derivada total é a mesma que a derivada ordinaria da función.

A derivada total incorpora estas *dependencias indirectas* sobre *t* (é dicir, *x(t)* e *y(t)*) para describir a dependencia de *f* sobre *t*.

## A derivada total como unha aplicación linear 
Sexa U \subseteq \R^n un subconxunto aberto. Entón, dise que unha función f:U \to \R^m é  **diferenciábel** (**totalmente**)  nun punto a\in U se existe unha aplicación linear df_a:\R^n \to \R^m tal que

:\lim_{x \to a} \frac{\|f(x)-f(a)-df_a(x-a)\|}{\|x-a\|}=0.

A aplicación linear df_a chámase **derivada** (**total**) ou  **diferencial**  (**total**)  de f en a. Outras notacións para a derivada total inclúen D_a f e Df(a). Unha función é **diferenciábel** (**totalmente**)  se a súa derivada total existe en cada punto do seu dominio.

Conceptualmente, a definición da derivada total expresa a idea de que df_a é a mellor aproximación linear a f no punto a. Isto pódese precisar cuantificando o erro na aproximación linear determinada por df_a. Para facelo, escríbese
:f(a + h) = f(a) + df_a(h) + \varepsilon(h),
onde \varepsilon(h) é igual ao erro na aproximación. Dicir que a derivada de f en a é df_a é equivalente á afirmación
:\varepsilon(h) = o(\lVert h\rVert),
onde o é a notación o pequena e indica que \varepsilon(h) é moito máis pequeno que \lVert h\rVert cando h \to 0. A derivada total df_a é a *única* aplicación linear para a cal o termo de erro é tan pequeno, e este é o sentido no que é a mellor aproximación linear a f.

A función f é diferenciábel se e só se cada unha das súas compoñentes f_i \colon U \to \R é diferenciábel, polo que, ao estudar derivadas totais, a miúdo é posíbel traballar unha coordenada de cada vez no codominio. Se todas as derivadas parciais de f en a existen e son continuas nunha veciñanza de a, entón f é diferenciábel en a. Cando isto ocorre, ademais, a derivada total de f é a aplicación linear correspondente á matriz jacobiana de derivadas parciais nese punto.

## A derivada total como unha forma diferencial 
Cando a función en cuestión é de valor real, a derivada total pode reformularse usando formas diferenciais. 

Por exemplo, supoña que f \colon \R^n \to \R é unha función diferenciábel de variábeis x_1, \ldots, x_n. A derivada total de f en a pódese escribir en termos da súa matriz jacobiana, que neste caso é unha matriz fila:
:D f_a = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1}(a) & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_n}(a) \end{bmatrix}.
A propiedade de aproximación linear da derivada total implica que se
:\Delta x = \begin{bmatrix} \Delta x_1 & \cdots & \Delta x_n \end{bmatrix}^\mathsf{T}
é un vector pequeno (onde o \mathsf{T} denota a transposta, de xeito que este vector é un vector columna), entón
:f(a + \Delta x) - f(a) \approx D f_a \cdot \Delta x = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) \cdot \Delta x_i.
Heuristicamente, isto suxire que se dx_1, \ldots, dx_n son incrementos infinitesimals nas direccións das coordenadas, entón
:df_a = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) \cdot dx_i.

Supoña agora que f é unha función vectorial, é dicir, f \colon \R^n \to \R^m. Neste caso, as compoñentes f_i de f son funcións de valor real, polo que teñen formas diferenciais asociadas df_i. A derivada total df combina estas formas nun único obxecto e, polo tanto, é un exemplo dunha forma diferencial vectorial.

## A regra da cadea para derivadas totais 
A regra da cadea ten unha formulación particularmente elegante en termos de derivadas totais. Di que, para dúas funcións f e g, a derivada total da composición de funcións f \circ g en a satisfai
:d(f \circ g)_a = df_{g(a)} \cdot dg_a.
Se as derivadas totais de f e g se identifican coas súas matrices xacobianas, entón a composición do lado dereito é simplemente a multiplicación de matrices. Isto é enormemente útil en aplicacións, xa que permite ter en conta dependencias esencialmente arbitrarias entre os argumentos dunha función composta.

### Exemplo: diferenciación con dependencias directas 
Supoña que *f* é unha función de dúas variábeis, *x* e *y*. Se estas dúas variábeis son independentes, de xeito que o dominio de *f* é \R^2, entón o comportamento de *f* pódese entender en termos das súas derivadas parciais nas direccións *x* e *y*. 

No entanto, nalgúns casos, *x* e *y* poden ser dependentes. Por exemplo, pode ocorrer que *f* estea restrinxida a unha curva y = y(x). Neste caso, estamos realmente interesados no comportamento da función composta f(x, y(x)). A derivada parcial de *f* en relación a *x* non dá a verdadeira taxa de cambio de *f* en relación ao cambio de *x*, porque mudar *x* necesariamente muda *y*. Porén, a regra da cadea para a derivada total ten en conta estas dependencias. 

Se temos \gamma(x) = (x, y(x)). Entón, a regra da cadea di
:d(f \circ \gamma)_{x_0} = df_{(x_0, y(x_0))} \cdot d\gamma_{x_0}.
Expresando a derivada total usando matrices xacobianas, isto convértese en:
:\frac{df(x, y(x))}{dx}(x_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y(x_0)) \cdot \frac{dx}{dx}(x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y(x_0)) \cdot \frac{dy}{dx}(x_0).
Suprimindo a avaliación en x_0 para maior claridade, tamén podemos escribir isto como
:\frac{df(x, y(x))}{dx} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dx} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dx}.
Isto dá unha fórmula directa para a derivada de f(x, y(x)) en termos das derivadas parciais de f e da derivada de y(x).

Por exemplo, supoña
:f(x,y)=xy.
A taxa de cambio de *f* en relación a *x* é normalmente a derivada parcial de *f* en relación a *x*; neste caso,
:\frac{\partial f}{\partial x} = y.
No entanto, se *y* depende de *x*, a derivada parcial non dá a verdadeira taxa de cambio de *f* a medida que *x* cambia, porque a derivada parcial asume que *y* é fixo. Supoña que estamos restrinxidos á liña
:y=x.
Entón
:f(x,y) = f(x,x) = x^2,
e a derivada total de *f* respecto a x  é
:\frac{df}{dx} = 2 x,
que vemos que non é igual á derivada parcial \partial f/\partial x que era y . En vez de substituír inmediatamente y  en termos de x , tamén podemos usar a regra da cadea como antes:
:\frac{df}{dx} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dx} = y+x \cdot 1 = x+y = 2x.

### Exemplo: Diferenciación con dependencias indirectas 
Aínda que a miúdo se poden realizar substitucións para eliminar dependencias indirectas, a regra da cadea proporciona unha técnica máis eficiente e xeral. 

Supoña que L(t,x_1,\dots,x_n) é unha función do tempo t e n variábeis x_i que dependen do tempo. Entón, a derivada temporal de L é
:\frac{dL}{dt} = \frac{d}{dt} L \bigl(t, x_1(t), \ldots, x_n(t)\bigr).

A regra da cadea expresa esta derivada en termos das derivadas parciais de L e as derivadas temporais das funcións x_i:
:\frac{dL}{dt}
= \frac{\partial L}{\partial t} + \sum_{i=1}^n \frac{\partial L}{\partial x_i}\frac{dx_i}{dt}
= \biggl(\frac{\partial}{\partial t} + \sum_{i=1}^n \frac{dx_i}{dt}\frac{\partial}{\partial x_i}\biggr)(L).

Esta expresión úsase a miúdo en física para unha transformación de escala do lagrangiano, xa que dous lagrangianos que difiren só pola derivada temporal total dunha función do tempo e as n coordenadas xeneralizadas levan ás mesmas ecuacións de movemento. Un exemplo interesante refírese á resolución da causalidade na teoría simétrica no tempo de Wheeler-Feynman. 

O operador entre parénteses (na expresión final anterior) tamén se chama operador de derivada total (en relación a t).

Por exemplo, a derivada total de f(x(t),y(t)) é

:\frac{df}{dt} = { \partial f \over \partial x}{dx \over dt} + {\partial f \over \partial y}{dy \over dt }.

Aquí non hai un termo \partial f / \partial t xa que f non depende directamente de t.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, *Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition)*, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. 
* De thesaurus.maths.org total derivative

### Outros artigos 
* Derivada de Fréchet, xeneralización de derivada total 
* Gradiente

### Ligazóns externas 
* 
* Ronald D. Kriz (2007) Envisioning total derivatives of scalar functions of two dimensions using raised surfaces and tangent planes  de Virginia Tech