Veciñanza (matemáticas)

[miniatura| Un conxunto V no [Plano (xeometría)|plano é unha veciñanza dun punto p se un pequeno disco ao redor de p está contido en V. O pequeno disco ao redor de p é un conxunto aberto U.]]
En topoloxía e outras áreas relacionadas das matemáticas, unha **veciñanza** é un dos conceptos básicos nun espazo topolóxico. Está moi relacionado cos conceptos de conxunto aberto e interior. Falando intuitivamente, unha veciñanza dun punto é un conxunto de puntos que contén ese punto e a partir do que nos podemos mover algunha cantidade en calquera dirección sen saír do conxunto.

## Definicións 
### Veciñanza dun punto 
Se X é un espazo topolóxico e p é un punto X, entón unha **veciñanza** de p é un subconxunto V de X que inclúe un conxunto aberto U que contén p, p \in U \subseteq V \subseteq X.

Isto é equivalente a que o punto p \in X pertence ao interior topolóxico de V en X.

A veciñanza V non ten que ser un subconxunto aberto de X. Cando V é aberto (resp. pechado, compacto, etc.) en X, chámase unha **veciñanza aberta** (resp. veciñanza pechada, veciñanza compacta, etc.). Algúns autores  requiren que a veciñanza sexa aberta, polo que é importante ter en conta as súas convencións.
dereita|miniatura| Un rectángulo pechado non ten unha veciñanza  en ningunha das súas esquinas nin nos seus lados xa que non hai un conxunto aberto dentro de V que conteña ningunha esquina ou lados.
Un conxunto que é unha veciñanza de cada un dos seus puntos é aberto xa que se pode expresar como a unión de conxuntos abertos que contén cada un dos seus puntos. Un rectángulo pechado, como se ilustra na figura, non é unha veciñanza de todos os seus puntos; os puntos dos lados e os das esquinas do rectángulo non están contidos en ningún conxunto aberto que estea contido dentro do rectángulo.

A colección de todos as veciñanzas dun punto chámase base de veciñanza no punto.

### Veciñanza dun conxunto 
Se S é un subconxunto dun espazo topolóxico X, entón unha **veciñanza** de S é un conxunto V que inclúe un conxunto aberto U que contén S, S \subseteq U \subseteq V \subseteq X.Deducimos que un conxunto V é unha veciñanza de S se e só se é unha veciñanza de todos os puntos en S. A maiores, V é unha veciñanza de S se e só se S é un subconxunto do interior de V. Unha veciñanza de S que tamén é un subconxunto aberto de X chámase unha **veciñanza aberta** de S. A veciñanza dun punto é só un caso especial desta definición.

## Nun espazo métrico 
dereita|miniatura| Un conxunto S no plano e unha veciñanza uniforme V de S.
dereita|miniatura| A veciñanza épsilon dun número a na recta numérica real.
Nun espazo métrico M = (X, d), un conxunto V é unha **veciñanza** dun punto p se existe unha bóla aberta con centro p e raio r>0, tal que B_r(p) = B(p; r) = \{ x \in X : d(x, p)  está contido en V.

V chámase **veciñanza uniforme** dun conxunto S se existe un número positivo r tal que para todos os elementos p de S,B_r(p) = \{ x \in X : d(x, p)  está contido en V.

Baixo a mesma condición, para r > 0, a **r-veciñanza** S_r dun conxunto S é o conxunto de todos os puntos en X que están a menos distancia r dende S (ou equivalente, S_r é a unión de todas as bólas abertas de raio r que están centradas nun punto S ): S_r = \bigcup\limits_{p\in{}S} B_r(p).

Dedúcese directamente que unha r-veciñanza é unha veciñanza uniforme, e que un conxunto é unha veciñanza uniforme se e só se contén unha r-veciñanza  para algún valor de r.

## Exemplos 
miniatura| O conxunto M é unha veciñanza do número *a*, porque hai unha veciñanza ε de *a* que é un subconxunto de M.
Dado o conxunto de números reais \R coa métrica euclidiana habitual e un subconxunto V definido como V := \bigcup_{n \in \N} B\left(n\,;\,1/n \right),entón V é unha veciñanza para o conxunto \N de números naturais, pero  é unha veciñanza uniforme deste conxunto.

## Topoloxía das veciñanzas 
A definición anterior é útil se a noción de conxunto aberto xa está definida. Hai unha forma alternativa de definir unha topoloxía, definindo primeiro a base de veciñanzas e despois os conxuntos abertos como aqueles conxuntos que conteñen unha veciñanza de cada un dos seus puntos.

Unha base de veciñanzas  en X é a asignación dun filtro N(x) de subconxuntos de X a cada x en X, tal que

# o punto x é un elemento de cada U en N(x)
# cada U en N(x) contén algún V en N(x) tal que para cada y en V, U está en N(y).

Pódese demostrar que ambas as definicións son compatíbeis.

## Veciñanzas  uniformes 
Nun espazo uniforme S = (X, \Phi),V chámase un **veciñanza**  **uniforme** de P se existe un acompañamento (entourage) U \in \Phi tal que V contén todos os puntos de X que son U-próximos dalgún punto de P; é dicir, U[x] \subseteq V para todos os x \in P.

## Veciñanza eliminada 
Unha **veciñanza eliminada** dun punto p (ás veces chamada **veciñanza perforada**) é unha veciñanza de p, sen \{p\}. Por exemplo, o intervalo (-1, 1) = \{y : -1  é unha veciñanza de p = 0 na liña real, polo que o conxunto (-1, 0) \cup (0, 1) = (-1, 1) \setminus \{0\} é unha veciñanza eliminada de 0. Unha veciñanza eliminada dun punto dado non é en realidade unha veciñanza do punto. O concepto de veciñanza eliminada dáse na definición do límite dunha función e na definición dos puntos límite (entre outras cousas).
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 

### Outros artigos 
* 
* 
* 
*