Ínfimo e supremo

[miniatura| Un conxunto P de números reais (círculos ocos e cheos), un subconxunto S de P (círculos cheos), e o ínfimo de S. Teña en conta que para conxuntos finitos totalmente ordenados, o ínfimo e o [Extremos dunha función|mínimo son iguais.]]
miniatura| Un conxunto A de números reais (círculos azuis), un conxunto de límites superiores de A (rombo vermello e círculos), e o máis pequeno de eses límites superiores, é dicir, o supremo de A (diamante vermello).
En matemáticas, o **ínfimo** (abreviado **inf**) dun subconxunto S dun conxunto parcialmente ordenado P é o maior elemento en P que é menor ou igual a cada elemento de S, se tal elemento existe.  Se o ínfimo de S existe, é único, e se *b* é un límite inferior de S, entón *b* é menor ou igual ao ínfimo de S. En consecuencia, o termo *límite inferior máximo* (abreviado como GLB en inglés) tamén se usa habitualmente.  que f(\sup S) é un punto adherente do conxunto f(S) \,\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}\, \{f(s) : s \in S\}. Se ademais do asumido, a función continua f é tamén unha función crecente ou non decrecente, entón incluso é posible concluír que \sup f(S) = f(\sup S). Isto pódese aplicar, por exemplo, para concluír que sempre que g é unha función de valor real (ou complexa ) con dominio \Omega \neq \varnothing cuxa norma sup \|g\|_\infty \,\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}\, \sup_{x \in \Omega} |g(x)| é finita, entón para cada número real non negativo q,

O produto dun número real r e un conxunto B dos números reais é o conxunto

## Ínfimo e supremo dos números reais 
Que o conxunto dos números reais sexa completo iimplica (e é equivalente a) que calquera subconxunto non baleiro limitado S dos números reais ten un ínfimo e un supremo. Se S non está limitado por baixo, adoita escribirse formalmente \inf_{} S = -\infty. Se S está baleiro, escríbese \inf_{} S = +\infty.

### Propiedades 
Se A é calquera conxunto de números reais entón A \neq \varnothing se e só se \sup A \geq \inf A, e doutro xeito -\infty = \sup \varnothing  

Se A \subseteq B son conxuntos de números reais entón \inf A \geq \inf B (a non ser que A = \varnothing \neq B ) e \sup A \leq \sup B.

**Identificando o ínfimo e o supremo**

Se o ínfimo de A existe (é dicir, \inf A é un número real) e se p é calquera número real entón p = \inf A se e só se p é un límite inferior e para cada \epsilon > 0 hai un a_\epsilon \in A con a_\epsilon  Do mesmo xeito, se \sup A é un número real e se p é calquera número real entón p = \sup A se e só se p é un límite superior e se para cada \epsilon > 0 hai un a_\epsilon \in A con a_\epsilon > p - \epsilon.

**Relación cos límites de secuencias**

Se S \neq \varnothing é calquera conxunto non baleiro de números reais, entón sempre existe unha secuencia non decrecente s_1 \leq s_2 \leq \cdots en S tal que \lim_{n \to \infty} s_n = \sup S. Do mesmo xeito, existirá unha secuencia non crecente (posiblemente diferente). s_1 \geq s_2 \geq \cdots en S tal que \lim_{n \to \infty} s_n = \inf S.

Expresar o ínfimo e o supremo como límite dunha secuencia deste tipo permite aplicar teoremas de varias ramas das matemáticas. Considere por exemplo o feito ben coñecido en topoloxía que se f é unha función continua e s_1, s_2, \ldots é unha secuencia de puntos do seu dominio que converxe a un punto p, entón f\left(s_1\right), f\left(s_2\right), \ldots converxe necesariamente a f(p). Implica que se \lim_{n \to \infty} s_n = \sup S é un número real (onde todos s_1, s_2, \ldots están en S ) e se f é unha función continua cuxo dominio contén S e \sup S, entón\|g\|_\infty^q ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \left(\sup_{x \in \Omega} |g(x)|\right)^q = \sup_{x \in \Omega} \left(|g(x)|^q\right)posto que o mapa f : [0, \infty) \to \R definido por f(x) = x^q é unha función continua non decrecente cuxo dominio [0, \infty) sempre contén S := \{|g(x)| : x \in \Omega\} e \sup S \,\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}\, \|g\|_\infty.A + B ~:=~ \{a + b : a \in A, b \in B\}Aínda que esta discusión centrouse en \sup, pódese chegar a conclusións semellantes con \inf cos cambios adecuados (como esixir que f ser non crecente en lugar de non diminuír). Outras normas definidas en termos de \sup ou \inf inclúen as normas de  espazos febles L^{p,w}(para 1 \leq p  ), a norma no espazo de Lebesgue L^\infty(\Omega, \mu), e normas de operador. As secuencias monótonas en S que converxen a \sup S (ou a \inf S) tamén se pode usar para axudar a probar moitas das fórmulas que se indican a continuación, xa que a suma e a multiplicación de números reais son operacións continuas.

### Operacións aritméticas sobre conxuntos 
As seguintes fórmulas dependen dunha notación que xeneraliza convenientemente as operacións aritméticas sobre conxuntos. En todo o que segue, A, B \subseteq \R son conxuntos de números reais.

**Suma de conxuntos**

A suma de Minkowski de dous conxuntos A e B dos números reais é o conxunto\inf (A + B) = (\inf A) + (\inf B)composto por todas as posibles sumas aritméticas de pares de números, un de cada conxunto. O ínfimo e o supremo da suma de Minkowski satisfai\sup (A + B) = (\sup A) + (\sup B).A multiplicación de dous conxuntos A e B dos números reais defínese de forma similar á súa suma de Minkowski:A \cdot B ~:=~ \{a \cdot b : a \in A, b \in B\}.**Produto de conxuntos**r B ~:=~ \{r \cdot b : b \in B\}.Se A e B son conxuntos non baleiros de números reais positivos daquela \inf (A \cdot B) = (\inf A) \cdot (\inf B) e do mesmo xeito para o supremo \sup (A \cdot B) = (\sup A) \cdot (\sup B). 

**Produto escalar dun conxunto**\inf (r \cdot A) = r (\inf A) \quad \text{ and } \quad \sup (r \cdot A) = r (\sup A),Se r \geq 0 daquela\inf (r \cdot A) = r (\sup A) \quad \text{ and } \quad \sup (r \cdot A) = r (\inf A).mentres que se r \leq 0 entón\inf (- A) = - \sup A \quad \text{ and } \quad \sup (- A) = - \inf A.\frac{1}{S} ~:=\; \left\{\tfrac{1}{s} : s \in S\right\}.**Inverso multiplicativo dun conxunto**

Para calquera conxunto S que non contén 0, sexa\frac{1}{\sup_{} S} ~=~ \inf_{} \frac{1}{S}Se S \subseteq (0, \infty) non está baleiro entónx \leq y \text{ en } P^{\operatorname{op}} \quad \text{ se e só se } \quad x \geq y \text{ en } P,onde esta ecuación tamén vale cando \sup_{} S = \infty se usamos a definición \frac{1}{\infty} := 0.  Esta igualdade pódese escribir alternativamente como \frac{1}{\displaystyle\sup_{s \in S} s} = \inf_{s \in S} \tfrac{1}{s}. Alén diso, \inf_{} S = 0 se e só se \sup_{} \tfrac{1}{S} = \infty, onde se  \inf_{} S > 0, entón \tfrac{1}{\inf_{} S} = \sup_{} \tfrac{1}{S}.

## Dualidade 
Se se denota por P^{\operatorname{op}} o conxunto parcialmente ordenado P coa relación de orde oposta; é dicir, para todo x \text{ e } y, declaramos:\sup \{ f(t) + g(t) : t \in A \} ~\leq~ \sup \{ f(t) : t \in A \} + \sup \{ g(t) : t \in A \}entón o ínfimo dun subconxunto S en P é igual ao supremo de S en P^{\operatorname{op}} e viceversa.

Para os subconxuntos dos números reais, cúmprese outro tipo de dualidade: \inf S = - \sup (- S), onde -S := \{ -s ~:~ s \in S \}.

## Exemplos 
### Ínfimo 
* O ínfimo do conxunto dos números \{2, 3, 4\} é 2. O número 1 é un límite inferior, mais non o límite inferior maior e, polo tanto, non é o ínfimo. Para conxuntos finitos totalmente ordenados, o ínfimo e o mínimo son iguais.
* Máis xeralmente, se un conxunto ten un elemento máis pequeno, entón o elemento máis pequeno é o ínfimo para o conxunto. Neste caso, tamén se denomina mínimo do conxunto.
* \inf \{ x \in \R : 0 
* \inf \left\{ x \in \Q : x^3 > 2 \right\} = \sqrt[3]{2}.
* \inf \left\{ (-1)^n + \tfrac{1}{n} : n = 1, 2, 3, \ldots \right\} = -1.
* Se \left(x_n\right)_{n=1}^{\infty} é unha secuencia decrecente con límite x, entón \inf x_n = x.

### Supremo 
* O supremo do conxunto de números \{1, 2, 3\} é 3. O número 4 é un límite superior, mais non é o límite superior mínimo e, polo tanto, non é o supremo. Para conxuntos finitos totalmente ordenados, o supremo e o máximo son iguais.
* \sup \{ x \in \R : 0 
* \sup \left\{ (-1)^n - \tfrac{1}{n} : n = 1, 2, 3, \ldots \right\} = 1.
* \sup \{ a + b : a \in A, b \in B \} = \sup A + \sup B.
* \sup \left\{ x \in \Q : x^2 

No último exemplo, o supremo dun conxunto de racionais é irracional, o que significa que os racionais son incompletos.

Unha propiedade básica do supremo é\sup \{ f(t) + g(t) : t \in A \} ~\leq~ \sup \{ f(t) : t \in A \} + \sup \{ g(t) : t \in A \}
para calquera funcionais f e g.

O supremo dun subconxunto S de (\N, \mid\,) onde \,\mid\, denota " divide", é o mínimo común múltiplo dos elementos de S.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos
* Elemento maximal e minimal
* Límite superior e límite inferior
* Elemento maiorante e minorante

### Ligazóns externas 
* https://encyclopediaofmath.org/wiki/Upper_and_lower_bounds, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
*