Teorema integral de Cauchy

Na matemática, o **Teorema Integral de Cauchy** (tamén coñecido como **Teorema de Cauchy-Goursat**) en análise complexa, nomeado logo de Augustin-Louis Cauchy, é unha igualdade notable acerca das integrais dun camiño para funcións holomorfas no plano complexo. De xeito sinxelo, a igualdade di que se dúas funcións son holomorfas en todo punto dos seus camiños de integración, e se estes camiños conectan dous puntos comúns, entón o resultado das integrais das funcións é o mesmo indo por calquera dos dous camiños.

## Formulación 
O teorema é polo común formulado para camiños pechados: Sexa A un subconxunto aberto e simplemente conexo do plano complexo \mathbb{C}. Sexa f: A \rightarrow \mathbb{C} unha función holomorfa e sexa \gamma un camiño rectificable no subconxunto A no que o punto inicial e final son coincidentes. Entón:
: 
   \oint_\gamma f(z)dz = 0

A condición de camiño rectificábel pódese expresar como, sexa \gamma: [a,b] \to A unha curva pechada suave e \gamma é homotópico a unha curva constante.

Tamén se poden expresar as condicións do seguinte xeito: Sexa A \subseteq \Complex un conxunto aberto simplemente conexo, e sexa f: A \to \Complex  unha función holomorfa e sexa \gamma: [a,b] \to A unha curva pechada suave.

### Teorema fundamental para integrais de liña no plano complexo 
Se  é unha función holomorfa nunha rexión  aberta e \ gamma é unha curva en  de z_0 a z_1, entón,
:\int_{\gamma}f'(z) \, dz = f(z_1)-f(z_0).

A maiores, cando  ten unha antiderivada dun só valor nunha rexión aberta , entón a integral de camiño \int_{\gamma}f'(z) \, dz é independente do camiño para tódolos camiños en .

Unha consecuencia importante do teorema é que as integrais de camiño das funcións holomorfas en dominios simplemente conexos poden calcularse dun xeito igual ao do teorema fundamental do cálculo. Se temos na curva un punto inicial  e outro final ,  sería a fórmula coñecida de integral definida consistente en calcular a antiderivada e restar os valores no punto inicial e no final:
:\int_\gamma f(z)\,dz=F(b)-F(a).

## Caso no que non aplica 
Como demostrou Édouard Goursat, o teorema integral de Cauchy pódese probar asumindo só que a derivada complexa f'(z) existe en todas as partes en A. Isto é significativo porque entón pódese probar a fórmula integral de Cauchy para estas funcións, e a partir diso deducir que estas funcións son infinitamente diferenciábeis ou suaves.

A condición de que A sexa simplemente conexo significa que A non ten "buratos". A condición é crucial; consideremos
:\gamma(t) = e^{it} \quad t \in \left[0, 2\pi\right]
que traza o círculo unidade, e agora a integral de liña
:\oint_\gamma \frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{e^{it}}(ie^{it} \,dt) = \int_0^{2\pi}i\,dt = 2\pi i 
é distinto de cero; o teorema integral de Cauchy non  aplica aquí xa que f(z) = 1/z non está definida (e certamente non é holomorfa) en z = 0.

O teorema integral de Cauchy é válido cunha hipótese máis feble que a dada anteriormente, por exemplo, dado A'', un subconxunto aberto simplemente conexo de \Complex, podemos debilitar as suposicións de que f é holomorfa en  A e continua en \overline{A} para que  \gamma sexa un bucle sinxelo rectificábel en \overline{A}.

O teorema integral de Cauchy conduce á fórmula integral de Cauchy e ao teorema dos residuos.

## Proba
Se se asume que as derivadas parciais dunha función holomorfa son continuas, o teorema integral de Cauchy pódese probar como consecuencia directa do teorema de Green e do feito de que as partes real e imaxinaria de f=u+iv  debe satisfacer as ecuacións de Cauchy-Riemann na rexión limitada por \gamma, e a maiores na veciñanza aberta  desta rexión. Cauchy proporcionou esta proba, pero máis tarde foi probada por Goursat sen requirir técnicas de cálculo vectorial ou a continuidade das derivadas parciais.

Podemos dividir o integrando  así como o diferencial dz nas súas compoñentes reais e imaxinarias:

: f=u+iv .
: dz=dx+i\,dy .

Neste caso temos
:\oint_\gamma f(z)\,dz = \oint_\gamma (u+iv)(dx+i\,dy) = \oint_\gamma (u\,dx-v\,dy) +i\oint_\gamma (v\,dx+u\,dy).

Polo teorema de Green, podemos entón substituír as integrais arredor do contorno pechado \gamma cunha área integral en todo o dominio D que está choída por \gamma do seguinte xeito:

:\oint_\gamma (u\,dx-v\,dy) = \iint_D \left( -\frac{\partial v}{\partial x} -\frac{\partial u} {\partial y} \right) \,dx\,dy .
:\oint_\gamma (v\,dx+u\,dy) = \iint_D \left( \frac{\partial u}{\partial x} -\frac{\partial v}{\partial y} \right) \,dx\,dy .

Mais como as partes real e imaxinaria dunha función holomorfa no dominio  u e v deben satisfacer as ecuacións de Cauchy-Riemann logo:
:\frac{ \partial u }{ \partial x } = \frac{ \partial v }{ \partial y } .
:\frac{ \partial u }{ \partial y } = -\frac{ \partial v }{ \partial x } .

Polo tanto, atopamos que ambos os integrandos (e, polo tanto, as súas integrais) son cero

:\iint_D \left( -\frac{\partial v}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial y} \right )\,dx\,dy = \iint_D \left( \frac{\partial u}{\partial y} - \frac{\partial u}{\partial y} \right ) \, dx \, dy =0.
:\iint_D \left( \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y} \right )\,dx\,dy = \iint_D \left( \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial x} \right ) \, dx \, dy = 0.

Isto dá o resultado desexado
:\oint_\gamma f(z)\,dz = 0.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 
### Outros artigos 
*Teorema de Morera
*Métodos de integración de contorno
### Ligazóns externas 
* 
* 
*Jeremy Orloff, 18.04 Complex Variables with Applications Spring 2018 Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare Creative Commons.