Sumatorio

En matemáticas, o **sumatorio** \Big(\sum \Big) é a suma dunha secuencia de números, chamadas *sumandos*; o resultado é a súa *suma* ou *total*. Ademais dos números, tamén se poden sumar outros tipos de valores: funcións, vectores, matrices, polinomios e, en xeral, elementos de calquera tipo de obxectos matemáticos sobre os que se define unha operación denotada como "+".

Os sumatorios de secuencias infinitas chámanse series. Implican o concepto de límite, e non se consideran neste artigo.

Para sumas longas e sumatorios de lonxitude variable  é un problema común atopar formas pechadas para o resultado. Por exemplo, 

: \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}.

## Notación 
miniatura|74x74px| O símbolo do sumatorio
A notación matemática usa a letra grega grega maiúscula sigma para representar de forma compacta a suma de moitos termos similares, por exemplo:

: \sum_{i \mathop =m}^n a_i = a_m + a_{m+1} + a_{m+2} + \cdots + a_{n-1} + a_n.

Onde  é o **índice da suma**;  é unha variable indexada que representa cada termo da suma;  é o **índice inferior da suma** e  é o **índice superior da suma**. Por tanto no exemplo de enriba a suma irá desde o elemento número  ata o elmento número  indo o índice aumentando dun en un.

Isto lese como "suma de , de  igual a  ata  igual a ".

Un exemplo que mostra a suma dalgúns cadrados consecutivos:

: \sum_{i = 3}^6 i^2 = 3^2+4^2+5^2+6^2 = 86.

E outro exemplo é a suma dos primeiros  números da secuencia de Fibonacci
: \sum_{i = 0}^{n} f_i = f_{n+2}-1.

Ás veces o índice e os límites dos índices do sumatorio omítense da definición do sumatorio se o contexto é suficientemente claro. Isto aplícase especialmente cando o índice vai de 1 a *n*. Por exemplo, pódese escribir que:

: \sum a_i^2 = \sum_{i = 1}^n a_i^2.

Outro xeito é poñer a condición do índice toda no lado inferior, por exemplo:

: \sum_{0 \le k .

Tamén se pode expresar como o percorrido polos elementos dun conxunto:

: \sum_{x \mathop \in S} f(x) é a suma de f(x) sobre todos os elementos x no conxunto S.

: \sum_{d\,|\,n}\;\mu(d) é a suma de \mu(d) sobre todos os números enteiros positivos d que dividen n. 

Tamén hai formas de xeneralizar o uso de moitos signos sigma. Por exemplo,

: \sum_{i,j} é o mesmo que \sum_{i}\sum_{j}.

Unha notación similar úsase para o produto dunha secuencia, usando \prod, que é unha forma ampliada da letra maiúscula grega pi.

Un sumatorio alterno de sumas e restas podemos definilo como: 

\sum_{i = 0}^{n} (-1)^n a_i.

:

## Cálculo de diferenzas finitas 
Dada unha función  que se define sobre os enteiros do intervalo , cúmprese a seguinte ecuación:

: f(n)-f(m)= \sum_{i=m}^{n-1} (f(i+1)-f(i)).

Esta coñécese como serie telescópica e é o análogo do teorema fundamental do cálculo no cálculo de diferenzas finitas, que afirma que:

: f(n)-f(m)=\int_m^n f'(x)\,dx, onde

: f'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} é a derivada de .

Un exemplo de aplicación da ecuación anterior é o seguinte:

: n^k=\sum_{i=0}^{n-1} \left((i+1)^k-i^k\right).

Usando o teorema binomial, isto pódese reescribir como:

: n^k=\sum_{i=0}^{n-1} \biggl(\sum_{j=0}^{k-1} \binom{k}{j} i^j\biggr).

A fórmula anterior úsase máis habitualmente para inverter o operador diferenza \Delta, definido por:

: \Delta(f)(n)=f(n+1)-f(n), 

onde  é unha función definida nos enteiros non negativos. Así, dada tal función , o problema é calcular a antidiferenza de , unha función F=\Delta^{-1}f tal que \Delta F=f. É dicir, F(n+1)-F(n)=f(n). Esta función defínese ata a adición dunha constante, e pódese escoller como 

: F(n)=\sum_{i=0}^{n-1} f(i).

Non sempre hai unha expresión en forma pechada para tal suma, mais a fórmula de Faulhaber proporciona unha forma pechada no caso en que f(n)=n^k e, por linearidade, para cada función polinómica de .

## Aproximación por integrais definidas 
Moitas aproximacións deste tipo pódense obter mediante a seguinte conexión entre sumas e integrais, que vale para calquera función crecente *f*:

: \int_{s=a-1}^{b} f(s)\ ds \le \sum_{i=a}^{b} f(i) \le \int_{s=a}^{b+1} f(s)\ ds.

e para calquera función decrecente *f*:

: \int_{s=a}^{b+1} f(s)\ ds \le \sum_{i=a}^{b} f(i) \le \int_{s=a-1}^{b} f(s)\ ds.

Para aproximacións máis xerais, consulte a fórmula de Euler-Maclaurin.

Para sumatorios nos que o sumando está dado (ou pode ser interpolado) por unha función integrable do índice, o sumatorio pode interpretarse como unha suma de Riemann que se produce na definición da integral definida correspondente. Polo tanto, pódese esperar que, por exemplo,

: \frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1} f\left(a+i\frac{b-a}n\right) \approx \int_a^b f(x)\ dx,

xa que o lado dereito é por definición o límite para n\to\infty do lado esquerdo. Porén, para unha suma dada *n* é fixo, non tende a infinito, e pouco se pode dicir sobre o erro na aproximación anterior sen presupostos adicionais sobre *f*: está claro que para funcións con oscilacións a grande escala a suma de Riemann pode estar arbitrariamente lonxe da integral de Riemann.

## Identidades 
As fórmulas seguintes implican sumas finitas; para sumas infinitas ou sumas finitas de expresións que impliquen funcións trigonométricas ou outras funcións transcendentais, consulte a lista de series matemáticas.

### Identidades xerais 
: \sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n) \quad (distributiva).
: \sum_{n=s}^t f(n) \pm \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left(f(n) \pm g(n)\right)\quad (conmutativa e asociativa).
: \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+p}^{t+p} f(n-p)\quad (desprazamento do índice).
: \sum_{n\in B} f(n) = \sum_{m\in A} f(\sigma(m)), \quad (bixección  dun conxunto finito  nun conxunto , mudar o índice, xeneraliza a fórmula precedente).
: \sum_{n=s}^t f(n) =\sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n)\quad (subdividir unha suma, usando asociatividade).
: \sum_{n=a}^{b}f(n)=\sum_{n=0}^{b}f(n)-\sum_{n=0}^{a-1}f(n)\quad (outra variante da anterior).
: \sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=0}^{t-s} f(t-n).
: \sum_{n=0}^t f(n) = \sum_{n=0}^{t} f(t-n). 
: \sum_{i=k_0}^{k_1}\sum_{j=l_0}^{l_1} a_{i,j} = \sum_{j=l_0}^{l_1}\sum_{i=k_0}^{k_1} a_{i,j}\quad (conmutatividade e asociatividade).
: \sum_{k\le j \le i\le n} a_{i,j} = \sum_{i=k}^n\sum_{j=k}^i a_{i,j} = \sum_{j=k}^n\sum_{i=j}^n a_{i,j} =
\sum_{j=0}^{n-k}\sum_{i=k}^{n-j} a_{i+j,i}\quad (outra aplicación de conmutatividade e asociatividade).
: \sum_{n=2s}^{2t+1} f(n) = \sum_{n=s}^t f(2n) + \sum_{n=s}^t f(2n+1)\quad (subdividir o sumatorio en índices pares e impares).
: \sum_{n=2s+1}^{2t} f(n) = \sum_{n=s+1}^t f(2n) + \sum_{n=s+1}^t f(2n-1)\quad (subdividir unha suma en partes pares e impares, para índices impares).
: \biggl(\sum_{i=0}^{n} a_i\biggr) \biggl(\sum_{j=0}^{n} b_j\biggr)=\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^n a_ib_j \quad (distributiva).
: \sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \biggl(\sum_{i=s}^m a_i\biggr) \biggl( \sum_{j=t}^n c_j \biggr)\quad (A distributividade permite a factorización).
: \sum_{n=s}^t \log_b f(n) = \log_b \prod_{n=s}^t f(n).
: C^{\sum\limits_{n=s}^t f(n) } = \prod_{n=s}^t C^{f(n)}.
: \sum^{k}_{m = 0}\sum^{m}_{n = 0}f(m,n)=\sum^{k}_{m = 0}\sum^{k}_{n = m}f(n,m),\quad para calquera función f de \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}.

### Potencias e logaritmo das progresións aritméticas 
: \sum_{i=1}^n c = nc\quad para todo  que non depende de .
: \sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}.
: \sum_{i=1}^n (2i-1) = n^2\qquad (Suma dos primeiros números naturais impares).
: \sum_{i=0}^{n} 2i = n(n+1)\qquad (Suma dos primeiros números naturais pares).
: \sum_{i=1}^{n} \log i = \log n!\qquad (A suma dos logaritmos é o logaritmo do produto).
: \sum_{i=0}^n i^2 = \sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6}. 
: \sum_{i=0}^n i^3 = \biggl(\sum_{i=0}^n i \biggr)^2 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^4}{4} + \frac{n^3}{2} + \frac{n^2}{4}\qquad (Teorema de Nicómaco) 

### Índice do sumatorio en expoñentes 
Nos seguintes sumatorios, asúmese que  é diferente de 1.

: \sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a} (suma dunha progresión xeométrica).
: \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{2^i} = 2-\frac{1}{2^{n-1}} (caso especial para ).
: \sum_{i=0}^{n-1} i a^i =\frac{a-na^n+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^2} ( veces a derivada en relación a  da progresión xeométrica).
: \begin {align}
\sum_{i= 0}^{n-1} \left(b + i d\right) a^i &= b \sum_{i= 0}^{n-1} a^i + d \sum_{i= 0}^{n-1} i a^i\\
 & = b \left(\frac{1-a^n}{1-a}\right) + d \left(\frac{a-na^n+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^2}\right)\\
 & = \frac{b(1-a^n) - (n - 1)d a^n}{1 - a}+\frac{da(1 - a^{n - 1})}{(1 - a)^2}
\end {align}
::: (suma dunha secuencia aritmético-xeométrica)

### Coeficientes binomiais e factoriais 
Existen moitas identidades con sumatorios que implican coeficientes binomiais. Algunhas das máis básicas son as seguintes.

#### Implicando o teorema do binomio 
: \sum_{i=0}^n {n \choose i}a^{n-i} b^i=(a + b)^n, o teorema do binomio. 
: \sum_{i=0}^n {n \choose i} = 2^n, caso especial onde .
: \sum_{i=0}^n {n \choose i}p^i (1-p)^{n-i}=1, o caso especial onde , que, para 0 \le p \le 1, expresa a suma da distribución binomial.
: \sum_{i=0}^{n} i{n \choose i} = n(2^{n-1}), o valor en  da derivada con respecto a  do teorema do binomio.
: \sum_{i=0}^n \frac{n \choose i}{i+1} = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}, o valor en  da antiderivada con respecto a  do teorema do binomio.

#### Implicando números de permutación 
Nos seguintes sumatorios, {}_{n}P_{k} é o número de -permutacións de.

: \sum_{i=0}^{n} {}_{i}P_{k}{n \choose i} = {}_{n}P_{k}(2^{n-k})
: \sum_{i=1}^n {}_{i+k}P_{k+1} = \sum_{i=1}^n \prod_{j=0}^k (i+j) = \frac{(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}
: \sum_{i=0}^{n} i!\cdot{n \choose i} = \sum_{i=0}^{n} {}_{n}P_{i} = \lfloor n! \cdot e \rfloor, \quad n \in \mathbb{Z}^+, onde e \lfloor x\rfloor denota a función chan.

#### Outros 
: \sum_{k=0}^{m} \binom{n+k}{n} = \binom{n+m+1}{n+1}
: \sum_{i=k}^{n} {i \choose k} = {n+1 \choose k+1}
: \sum_{i=0}^n i\cdot i! = (n+1)! - 1
: \sum_{i=0}^n {m+i-1 \choose i} = {m+n \choose n}
: \sum_{i=0}^n {n \choose i}^2 = {2n \choose n}
: \sum_{i=0}^n \frac{1}{i!} = \frac{\lfloor n!\; e \rfloor}{n!}

### Números harmónicos 
: \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} = H_n\quad (o -ésimo número harmónico )
: \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^k} = H^k_n\quad (o número harmónico xeneralizado)

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 

### Outros artigos 
* Notación pi maiúscula.
* Sumatorio por partes