Distribución de Pareto

{{Modelo de distribución de probabilidade|
  nome       =Pareto|
  tipo       =densidade|
  pdf_image  =325px|Función densidade de probabilidade para varios *α*. Funcións de densidade de probabilidade para diferentes *α*&nbsp; con *x*m&nbsp;=&nbsp;1. o eje horizontal é o parámetro *x*. Como *α*&nbsp;→&nbsp;∞ a distribución se aproxima δ(*x*&nbsp;−&nbsp;*x*m) onde δ é a delta de Dirac.|
  cdf_image  =325px|Función de distribución varios *α*.Funcións de densidade de probabilidade para diferentes *α*&nbsp; con *x*m&nbsp;=&nbsp;1. o eje horizontal é o parámetro *x*.|
  parámetros =x_\mathrm{m}>0\, escala (real)\alpha>0\, forma (real)|
  soporte    =x \in [x_\mathrm{m}; +\infty)\!|
  pdf        =\frac{\alpha\,x_\mathrm{m}^\alpha}{x^{\alpha+1}}\text{ for }x>x_m\!|
  cdf        =1-\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^\alpha \!|
  media       =\frac{\alpha\,x_\mathrm{m}}{\alpha-1}\text{ for }\alpha>1\,|
  mediana     =x_\mathrm{m} \sqrt[\alpha]{2}|
  moda       =x_\mathrm{m}\,|
  varianza   =\frac{x_\mathrm{m}^2\alpha}{(\alpha-1)^2(\alpha-2)}\text{ for }\alpha>2\,|
  asimetría   =\frac{2(1+\alpha)}{\alpha-3}\,\sqrt{\frac{\alpha-2}{\alpha}}\text{ for }\alpha>3\,|
  curtose   =\frac{6(\alpha^3+\alpha^2-6\alpha-2)}{\alpha(\alpha-3)(\alpha-4)}\text{ for }\alpha>4\,|
  entropía    =\ln\left(\frac{\alpha}{x_\mathrm{m}}\right) - \frac{1}{\alpha} - 1\!|
  mgf        =\alpha(-x_\mathrm{m}t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-x_\mathrm{m}t)\text{ for }t|
  char       =\alpha(-ix_\mathrm{m}t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-ix_\mathrm{m}t)\,|
}}
En estatística a **distribución de Pareto**, formulada polo sociólogo Vilfredo Pareto, é unha distribución de probabilidade continua con dous parámetros, que ten aplicación en disciplinas como a socioloxía, a xeofísica e a economía. Nalgunhas disciplinas refírense ás veces como a lei de Bradford. O equivalente discreto da distribución de Pareto é a distribución zeta (a lei de Zipf).

## Probabilidade acumulada 
Se *X* pertence ao  dominio da variable da distribución de Pareto, entón a probabilidade de que *X* sexa maior que un número *x* vén dada por:

:Pr(X>x) = \begin{cases}
\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^\alpha & \text{si }x\ge x_\mathrm{m}, \\
1 & \text{si } x 

onde *x*m é o valor mínimo posible (positivo) de *X*, e *α* é un parámetro. A familia das distribucións de Pareto parametrízanse con dúas cantidades, *x*m e *α*.  Cando esta distribución se emprega nun modelo sobre a distribución de riqueza, o parámetro *α* é coñecido como índice de Pareto.

## Función de densidade 
A partir da probabilidade acumulada, pode deducirse mediante unha derivada que a función de densidade de probabilidade é:

:
f_X(x)= \begin{cases} 
 \alpha\, \dfrac{x_\mathrm{m}^\alpha}{x^{\alpha+1}} & \text{si } x > x_\mathrm{m},
 \\[12pt] 0 & \text{si } x 

## Propiedades 
* A media ou valor esperado dunha variable aleatoria *X*, que segue unha distribución de Pareto con parámetro *α*&nbsp;>&nbsp;1 é
:
:: E(X)=\frac{\alpha x_\mathrm{m}}{\alpha-1} \,
:
: (se *α*&nbsp;≤&nbsp;1, o valor esperado non existe).

* A varianza é
:
:: \mathrm{var}(X)=\left(\frac{x_\mathrm{m}}{\alpha-1}\right)^2 \frac{\alpha}{\alpha-2}.
:
: (Si *α*&nbsp;≤&nbsp;2, a varianza non existe).

* Os momentos son
:
:: \mu_n'=\frac{\alpha x_\mathrm{m}^n}{\alpha-n}, \,
:
: pero o *n*-ésimo momento existe só para *n*&nbsp;M\left(t,\alpha,x_\mathrm{m}\right) = E(e^{tX}) = \alpha(-x_\mathrm{m} t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-x_\mathrm{m} t)\text{ and }M\left(0,\alpha,x_\mathrm{m}\right)=1.\,

### Caso dexenerado 
A función da delta de Dirac é un caso límite da densidade de Pareto:

: \lim_{\alpha\rightarrow \infty} f(x;\alpha,x_\mathrm{m})=\delta(x-x_\mathrm{m}). \, 

## Distribución simétrica 
Pode definirse unha Distribución de Pareto simétrica segundo:

: f(x;\alpha,x_\mathrm{m}) = \begin{cases}
(\alpha x_\mathrm{m}^{\alpha}/2) |x|^{-\alpha-1}  & \text{si }|x|>x_\mathrm{m} \\
0 & \text{resto}.
\end{cases}

## Distribución xeneralizada de Pareto 
{{ Modelo de distribución de probabilidade |
  nome       = Pareto xeneralizado |
  tipo       =densidade|
  parámetros =
\mu \in (-\infty,\infty) \, localización (real)
\sigma \in (0,\infty)    \, escala (real)
\xi\in (-\infty,\infty)  \, forma (real)|
  soporte    =x \geqslant \mu\,\;(\xi \geqslant 0)
\mu \leqslant x \leqslant \mu-\sigma/\xi\,\;(\xi |
  pdf        =\frac{1}{\sigma}(1 + \xi z )^{-(1/\xi +1)} 
onde z=\frac{x-\mu}{\sigma}|
  cdf        =1-(1+\xi z)^{-1/\xi} \,|
  media    =\mu + \frac{\sigma}{1-\xi}\, \; (\xi |
  mediana    =\mu + \frac{\sigma( 2^{\xi} -1)}{\xi} |
  varianza   =\frac{\sigma^2}{(1-\xi)^2(1-2\xi)}\, \; (\xi |
}}
A familia de **distribucións xeneralizadas de Pareto (GPD)** teñen tres parámetros  \mu,\sigma \, e  \xi \,.

A función de probabilidade acumulada é

: F_{(\xi,\mu,\sigma)}(x) = \begin{cases}
1 - \left(1+ \frac{\xi(x-\mu)}{\sigma}\right)^{-1/\xi} & \text{si }\xi \neq 0, \\
1 - \exp \left(-\frac{x-\mu}{\sigma}\right) & \text{si }\xi = 0.
\end{cases}

Para  x \geqslant \mu , con  \xi \geqslant 0 \,,  e  x \leqslant \mu - \sigma /\xi   con  \xi , onde \mu\in\mathbb R é o parámetro *localización*, \sigma>0 \, é o parámetro *escala* e \xi\in\mathbb R é o parámetro *forma*.  Algunhas referencias toman o parámetro *forma* como  \kappa =  - \xi \,.

A función de densidade de probabilidade es:

: f_{(\xi,\mu,\sigma)}(x) = \frac{1}{\sigma}\left(1 + \frac{\xi (x-\mu)}{\sigma}\right)^{\left(-\frac{1}{\xi} - 1\right)}.

ou

: f_{(\xi,\mu,\sigma)}(x) = \frac{\sigma^{\frac{1}{\xi}}}{\left(\sigma + \xi (x-\mu)\right)^{\frac{1}{\xi}+1}}.

de novo, para  x \geqslant \mu , e  x \leqslant \mu - \sigma /\xi   se  \xi 

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Barry C. Arnold (1983). *Pareto Distributions*, International Co-operative Publishing House, Burtonsville, Maryland. ISBN 0-899974-012-1.
* Christian Kleiber e Samuel Kotz (2003). *Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences*, Nova York:Wilei. xi+332 pp. ISBN 0-471-15064-9.
* Lorenz, M. O. (1905). "Methods of measuring the concentration of wealth". Publications of the American Statistical Association. 9: 209–219.

### Ligazóns externas 
* Calculadora - Distribución de Pareto