Ecuación diferencial ordinaria

En matemática e en particular na análise, unha **ecuación diferencial ordinaria** (ou **EDO**) é unha ecuación que envolve as derivadas dunha función descoñecida dunha variable. Un exemplo simple dunha ecuación diferencial ordinaria é
:f' = f,\,

onde f é unha función descoñecida, e f' a súa derivada.

## Definición 
Se*x*a *y* unha función de x e que
:y', y'',\ \dots,\ y^{(n)}
denote as súas derivadas
:\frac{dy}{dx},\ \frac{d^{2}y}{dx^2},\ \dots,\ \frac{d^{n}y}{dx^{n}}.

Unha **ecuación diferencial ordinaria** (EDO) é unha ecuación que envolve
:x,\ y,\ y',\ y'',\ \dots.
A orde dunha ecuación diferencial é a **orde** n da maior derivada na ecuación.

Unha **solución** dunha EDO é unha función y(x) cuxas derivadas satisfán a ecuación. Non está garantido que tal función exista, e no caso de que exista, normalmente non é única.

Sobre a **linearidade** dunha ecuación diferencial ordinaria de orde n pode ser vista como unha función
:F(x, y', y'',\ \dots,\ y^{(n)}) = 0, e dise que a ecuación diferencial é linear se F for linear en y,y'(x),\ \dots ,\ y^(x). 
No que se refire aos coeficientes, unha ecuación diferencial pode ter coeficientes constantes ou funcións da variable independente.

Cando unha ecuación diferencial de orde n ten a forma
:F(x, y', y'',\ \dots,\ y^{(n)}) = 0
denomínase ecuación diferencial implícita, mentres que a forma
:F(x, y', y*,\ \dots,\ y^{(n-1)}) = y^{(n)}
denomínase ecuación diferencial explícita.

Unha ecuación diferencial é autónoma se non depende explicitamente de *x*, e homoxénea se todos os termos da ecuación diferencial dependen exclusivamente de x.

## Exemplos prácticos 
As ecuacións diferenciais empréganse frecuentemente para describir procesos nos que a mudanza dunha medida ou dimensión é causada polo propio proceso.

Historicamente, as primeiras ecuacións diferenciais foron as relativas á aceleración igual ou desigual, que Galileo Galilei puido medir, aínda que con métodos xeométricos.

Isaac Newton e Gottfried Leibniz introduciron o cálculo diferencial e, este último, as ecuacións diferenciais como as coñecemos hoxe.

Por exemplo na Física, a lei da vida media prevé que o número de átomos que se decompón por unidade de tempo nunha masa de átomos inestables dependen do total N dos átomos existentes (aquí é necesario considerar que, por ser N un número moi grande, pode tomarse a súa variación *continua* e *determinista*; no caso de N ser un número pequeno débese considerar a súa variación *discreta* e *estocástica'', e o método máis adecuado é outro).

Deste xeito, a diminución do número de átomos é proporcional ao total de átomos:
:  \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}N(t) = c\; N(t). 

Polo cálculo da función N(t)\! nesta ecuación diferencial, tórnase posible determinar o número total de átomos a cada momento no tempo.

Un outro exemplo simple é o oscilador inalterado harmónico coa ecuación diferencial
:  m\;a = m\; \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}x(t) = -k \; x(t). 
A función procurada aquí é a función x(t), cuxa segunda derivada en relación ao tempo procede das leis do movemento.

## Ecuacións diferenciais específicas 
### Ecuacións diferenciais lineares 
Unha EDO é linear cando os termos que envolven a función que se precisa determinar aparecen só de forma linear, ou sexa, pódese escribir a EDO como
:f_n(x) y^{(n)}(x) + f_{n-1}(x) y^{(n-1)}(x) + \ldots + f_1(x) y'(x) + f_0(x) y(x) = q(x)\,

Esta ecuación é de grao n cando a función fn(x) non é identicamente nula.

## Solución dunha ecuación diferencial ordinaria 
Unha solución para unha ecuación diferencial é unha función que satisfai a identidade da ecuación. A solución máis xeral posible que admite unha ecuación diferencial denomínase solución xeral mentres que outra solución chámase solución particular.

**Exemplo**: y'+y=0

Solución particular: y(x)=e^{-x}
  
Solución xeral: y(x)=Ce^{-x} (C constante)

As solucións clasifícanse en:
* *Solución xeral* - presenta *n* constantes independentes entre si (*n*=orde da EDO). Esas constantes, segundo a conveniencia, podem ser escritas C, 2C, C^{2}, \ln{C},...
* *Solución particular* - obtida da xeral, mediante condicións dadas (chamadas condicións iniciais ou condicións de contorno).

## Métodos para resolución de EDO 
A habilidade en encontrar solucións exactas en xeral depende da habilidade en recoñecer certos tipos de ecuacións diferenciais e da aplicación dun método específico. Noutras palabras, o que funciona para un tipo de ecuacións diferenciais non necesariamente se aplica a outro tipo.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Ecuación diferencial
* Sistemas dinámicos

### Ligazóns externas 
* CEFET/RJ materia de E.D.O.
* EDO