Función racional

En matemáticas, unha **función racional** é calquera función que se pode definir mediante unha **fracción racional**, onde tanto o numerador como o denominador son polinomios. Os coeficientes dos polinomios non necesitan ser números racionais; poden tomarse en calquera corpo . Neste caso, fálase dunha función racional e dunha fracción racional *sobre *. Os valores das variables pódense tomar en calquera corpo  que conteña . Logo, o dominio da función é o conxunto dos valores das variables para as que o denominador non é cero, e o codominio é .

O conxunto de funcións racionais sobre un corpo  é un corpo, o corpo de fraccións do anel das funcións polinómicas sobre .

## Definicións 
Unha función f chámase función racional se se pode escribir na forma

:  f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} 

onde P e Q son funcións polinómicas de x e Q non é a función cero. O dominio de f é o conxunto de todos os valores de x para o que o denominador Q(x) non é cero.

Unha **función racional propia** é unha función racional na que o grao de P(x) é menor que o grao de Q(x) e ambos os dous son polinomios reais, chamados así por analoxía a unha fracción propia en \mathbb{Q}. 

### Grao 
O *grao* dunha función racional é o máximo dos graos dos seus polinomios constituíntes  e , cando a fracción se reduce aos termos máis simplificados. Se o grao de  é , entón a ecuación
: f(z) = w 

ten  solucións distintas en  agás certos valores de , chamados *valores críticos*, onde coinciden dúas ou máis solucións ou onde algunha solución vai para o infinito.

No caso de coeficientes complexos, unha función racional de grao un é unha *transformación de Möbius*.

Nalgúns contextos, como na análise asintótica, o *grao* dunha función racional é a diferenza entre os graos do numerador e do denominador.

## Exemplos 
{{multiple image
 | header = Examplos de funcións racionais
 | align = right
 | direction = vertical
 | width = 300
 | image1 = RationalDegree3.svg
 | alt1 = Función racional de grao 3
 | caption1 = Función racional de grao 3, con gráfica de grao  3: y = \frac{x^3-2x}{2(x^2-5)}
 | image2 = RationalDegree2byXedi.svg
 | alt2 = Función racional de grao 2
 | caption2 = Función racional de grao 2, con gráfica de grao 3: y = \frac{x^2-3x-2}{x^2-4}
}}

A función racional

: f(x) = \frac{x^3-2x}{2(x^2-5)} non está definida en x^2=5 \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{5}. É asintótica a \tfrac{x}{2} cando x\to \infty.

A función racional

: f(x) = \frac{x^2 + 2}{x^2 + 1}

está definida para todos os números reais, mais non a está para todos os números complexos, xa que se *x* fose unha raíz cadrada de -1 (é dicir, a unidade imaxinaria ou a súa negativa), daquela a avaliación formal levaría á división por cero:

: f(i) = \frac{i^2 + 2}{i^2 + 1} = \frac{-1 + 2}{-1 + 1} = \frac{1}{0},

que está indefinido.

Unha función constante como  é unha función racional xa que as constantes son polinomios. A función en si é racional, aínda que o valor de  sexa irracional para todo .

Toda función polinómica f(x) = P(x) é unha función racional con Q(x) = 1. Unha función que non se pode escribir desta forma, como f(x) = \sin(x), non é unha función racional. Non obstante, o adxectivo "irracional" **non** se usa xeralmente para as funcións.

## Serie de Taylor 
Os coeficientes dunha serie de Taylor de calquera función racional satisfán unha relación de recorrencia linear, que se pode atopar igualando a función racional a unha serie de Taylor con coeficientes indeterminados e xuntando termos do mesmo grao despois de eliminar o denominador.

Por exemplo,

: \frac{1}{x^2 - x + 2} = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k.

Multiplicando polo denominador e distribuíndo,

: 1 = (x^2 - x + 2) \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k

: 1 = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^{k+2} - \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^{k+1} + 2\sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k.

Despois de axustar os índices das sumas para obter as mesmas potencias de *x*, obtemos

: 1 = \sum_{k=2}^{\infty} a_{k-2} x^k - \sum_{k=1}^{\infty} a_{k-1} x^k + 2\sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k.

A combinación de termos do mesmo grao dá

: 1 = 2a_0 + (2a_1 - a_0)x + \sum_{k=2}^{\infty} (a_{k-2} - a_{k-1} + 2a_k) x^k.

Dado que isto vale para todo *x* no raio de converxencia da serie de Taylor orixinal, podemos calcular do seguinte xeito. Dado que o termo constante da esquerda debe ser igual ao termo constante da dereita, segue que

: a_0 = \frac{1}{2}.

Entón, como non hai potencias de *x* á esquerda, todos os coeficientes da dereita deben ser cero, polo que se segue que

: a_1 = \frac{1}{4}

: a_k = \frac{1}{2} (a_{k-1} - a_{k-2})\quad \text{for}\ k \ge 2.

No outro sentido, calquera secuencia que satisfaga unha recorrencia linear determina unha función racional cando se usa como coeficientes dunha serie de Taylor. Isto é útil para resolver esas recorrencias, xa que mediante a descomposición en fraccións simples podemos escribir calquera función racional propia como unha suma de factores da forma  e expandir estes como series xeométricas, dando unha fórmula explícita para os coeficientes de Taylor; este é o método usado nas funcións xeradoras.

## Álxebra abstracta e noción xeométrica 
Na álxebra abstracta o concepto de polinomio esténdese para incluír expresións formais nas que os coeficientes do polinomio poden ser tomados de calquera corpo. Neste escenario, dado un corpo *F* e algún *X* indeterminado, unha **expresión racional** (tamén coñecida como **fracción racional** ou, en xeometría alxébrica, **función racional**) é calquera elemento do corpo de fraccións do anel polinómico *F*[*X*]. Calquera expresión racional pódese escribir como o cociente de dous polinomios *P* / *Q* con *Q* ≠ 0, aínda que esta representación non é única. *P* / *Q* é equivalente a *R* / *S*, para polinomios *P*, *Q*, *R* e *S*, cando *PS* = *QR* . Non obstante, dado que *F*[*X*] é un dominio de factorización única, hai unha representación única para calquera expresión racional *P* / *Q* con polinomios *P* e *Q* de grao máis baixo e *Q* escollido para ser mónico. Isto é semellante ao que acontece nunha fracción de números enteiros, sempre se pode escribir de forma única en termos máis baixos ao cancelar os factores comúns.

O corpo de expresións racionais denótase *F*(*X*). Dise que este corpo é xerado (como un corpo) sobre *F* por (un elemento transcendental) *X*, porque *F*(*X*) non contén ningún subcorpo propio que conteña tanto *F* como o elemento *X*.

### Funcións racionais complexas 

Ficheiro:Julia_set_f(z)=1_over_az5+z3+bz.png| \frac{1}{ az^5+z^3+bz}
Ficheiro:Julia_set_f(z)=1_over_z3+z*(-3-3*I).png|\frac{1}{z^3+z(-3-3i)}
Ficheiro:Julia_set_for_f(z)=(z2+a)_over_(z2+b)_a=-0.2+0.7i_,_b=0.917.png|\frac{z^2 - 0.2 + 0.7i}{z^2 + 0.917}
Ficheiro:Julia_set_for_f(z)=z2_over_(z9-z+0.025).png| \frac{z^2}{z^9 - z + 0.025}
Na análise complexa, unha función racional

: f(z) = \frac{P(z)}{Q(z)}

é a razón de dous polinomios con coeficientes complexos, onde  non é o polinomio cero e  e  non teñen ningún factor común (isto evita que   tome o valor indeterminado 0/0).

As funcións racionais son exemplos representativos de funcións meromorfas .

### Noción dunha función racional nunha variedade alxébrica 
En xeometría alxébrica úsase unha versión estendida da idea abstracta da función racional. Alí o corpo de funcións dunha variedade alxébrica *V* fórmase como o corpo de fraccións do anel de coordenadas de *V* (con máis precisión, dun conxunto aberto afín de Zariski denso en *V*). Os seus elementos *f* considéranse funcións regulares no sentido da xeometría alxébrica en conxuntos abertos non baleiros *U*, e tamén se poden ver como morfismos á liña proxectiva.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
*
### Outros artigos 
* Polinomio.
* Lista de funcións matemáticas
* Forma modular
### Ligazóns externas 
* Dynamic visualization of rational functions with JSXGraph