Factorial descendente e ascendente

En matemáticas, o **factorial descendente**,   defínese como o polinomio,
:
\begin{align}
(x)_n = x^\underline{n} &= \overbrace{x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)}^{n\text{ factores}} \\
&= \prod_{k=1}^n(x-k+1) = \prod_{k=0}^{n-1}(x-k) .
\end{align}
O **factorial ascendente** (ás veces chamado **función de Pochhammer** ) defínese como
:
\begin{align}
x^{(n)} = x^\overline{n} &= \overbrace{x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)}^{n\text{ factores}} \\
&= \prod_{k=1}^n(x+k-1) = \prod_{k=0}^{n-1}(x+k) .
\end{align}
En ambos os casos o valor é 1 cando . Estes símbolos chámanse colectivamente **potencias factoriais**.

O **símbolo de Pochhammer**, introducido por Leo August Pochhammer, é a notación , onde  é un número enteiro non negativo. Pode representar o factorial ascendente *ou* descendente, con diferentes artigos e autores usando convencións diferentes. O propio Pochhammer utilizou realmente  con outro significado, a saber, para denotar o coeficiente binomial \tbinom{x}{n}. 

Neste artigo usaremos dous tipos de símbolos, o símbolo  úsase para representar o factorial descendente e o símbolo  para o factorial ascendente. Estas convencións úsanse en combinatoria,  aínda que as notacións de subliñado e sobreliñado de Knuth x^\underline{n} e x^\overline{n} son cada vez máis populares.

Son moi usados na función hiperxeométrica.

## Exemplos e interpretación combinatoria 
Os primeiros factoriais descendentes son os seguintes:
:
\begin{alignat}{2}
(x)_0 & &&= 1 \\
(x)_1 & &&= x \\
(x)_2 &= x(x-1) &&= x^2-x \\
(x)_3 &= x(x-1)(x-2) &&= x^3-3x^2+2x \\
(x)_4 &= x(x-1)(x-2)(x-3) &&= x^4-6x^3+11x^2-6x
\end{alignat}
Os primeiros factoriais ascendentes son os seguintes:
:
\begin{alignat}{2}
x^{(0)} & &&= 1 \\
x^{(1)} & &&= x \\
x^{(2)} &= x(x+1) &&=x^2+x \\
x^{(3)} &= x(x+1)(x+2) &&=x^3+3x^2+2x \\
x^{(4)} &= x(x+1)(x+2)(x+3) &&=x^4+6x^3+11x^2+6x
\end{alignat}
Os coeficientes que aparecen nas expansións son os números de Stirling do primeiro tipo.

## Propiedades 
Os factoriais ascendentes e descendentes están relacionados entre si de xeito simple:
:
\begin{alignat}{2}
{(x)}_n &= {(x-n+1)}^{(n)} &&= (-1)^n (-x)^{(n)},\\
x^{(n)} &= {(x+n-1)}_{n} &&= (-1)^n (-x)_n.
\end{alignat}
Os factoriais descendentes e ascendentes de números enteiros están directamente relacionados co factorial ordinario:
:
\begin{align}
n! &= 1^{(n)} = (n)_n,\\[6pt]
(m)_n &= \frac{m!}{(m-n)!},\\[6pt]
m^{(n)} &= \frac{(m+n-1)!}{(m-1)!}.
\end{align}

Os factoriais descendentes e ascendentes pódense usar para expresar un coeficiente binomial:
:
\begin{align}
\frac{(x)_n}{n!} &= \binom{x}{n},\\[6pt]
\frac{x^{(n)}}{n!} &= \binom{x+n-1}{n}.
\end{align}
O factorial descendente pódese estender a valores reais de  usando a función gamma sempre que  e  sexan números reais que non son enteiros negativos:
:
(x)_n = \frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}\ ,

e tamén pode o factorial ascendente:
:
x^{(n)} = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}\ .

O factorial ascendente tamén está na definición da función hiperxeométrica: A función hiperxeométrica defínese para  pola serie de potencias
:
{}_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{a^{(n)} b^{(n)}}{c^{(n)}} \frac{z^n}{n!}
sempre que  Teña en conta, porén, que a literatura sobre funcións hiperxeométricas normalmente usa a notación  para factoriais ascendentes.

## Notacións alternativas 
Unha notación alternativa para o factorial ascendente
:
x^\overline{m} \equiv (x)_{+m} \equiv (x)_m = \overbrace{x(x+1)\ldots(x+m-1)}^{m \text{ factores}} \quad \text{para enteiros } m\ge0 e para o factorial descendente
:
x^\underline{m} \equiv (x)_{-m} = \overbrace{x(x-1)\ldots(x-m+1)}^{m \text{ factores}} \quad \text{para enteiros } m \ge 0

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
*Pochhammer -symbol
*Identidade de Vandermonde
### Ligazóns externas 
* 
*  — Elementary proofs