Relación inversa

En matemáticas, a **inversa** dunha relación binaria é a relación que se produce cando se troca a orde dos elementos na relación. Por exemplo, a inversa da relación 'fillo&nbsp;de' é a relación 'pai&nbsp;de'. En termos formais, se X e Y son conxuntos e L \subseteq X \times Y é unha relación de X a Y, entón L^{\operatorname{T}} é a relación definida detal forma que yL^{\operatorname{T}}x se e só se xLy.

: L^{\operatorname{T}} = \{ (y, x) \in Y \times X : (x, y) \in L \}.

Se representamos a relación como unha matriz a relación inversa sería a matriz transposta, de aí a nomenclatura co superíndice "T": L^{\operatorname{T}}.

Por analoxía coas funcións pode verse escrita co superíndice "-1": L^{-1}. Aínda que moitas funcións non teñen unha inversa, toda relación ten unha única inversa.

Outras formas usadas menos frecuentes son: L^{\operatorname{C}}, L^{V}, \breve{L}, L^{\circ}.

## Exemplo 
Para as relacións de orde habituais (estritas ou parciais), a inversa é a orde "oposta" elementalmente esperada, por exemplo, {\leq^\operatorname{T}} = {\geq},\quad {}.

Unha relación pode ser representada por unha matriz lóxica como \begin{pmatrix}
 1 & 1 & 1 & 1 \\
 0 & 1 & 0 & 1 \\
 0 & 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.

Logo, a relación inversa represéntase pola matriz transposta:
\begin{pmatrix}
 1 & 0 & 0 & 0 \\
 1 & 1 & 0 & 0 \\
 1 & 0 & 1 & 0 \\
 1 & 1 & 0 & 1
\end{pmatrix}.

## Inversas 
No monoide das relacións homoxéneas binarias nun conxunto (sendo a operación binaria sobre relacións a composición das relacións), a relación inversa non satisfai a definición de inverso da teoría de grupos, é dicir, se L é unha relación arbitraria sobre X, entón L \circ L^{\operatorname{T}} non é igual, en xeral, á relación de identidade en X. A relación inversa satisfai os axiomas (máis débiles) dun semigrupo con involución: \left(L^{\operatorname{T}}\right)^{\operatorname{T}} = L e (L \circ R)^{\operatorname{T}} = R^{\operatorname{T}} \circ L^{\operatorname{T}}.

Se I representa a relación de identidade, daquela unha relación R pode ter unha **inversa** do seguinte xeito: R chámase

; 
: se existe unha relación X, chamada '*** de R, que satisfai R \circ X = I.
; 
: se existe unha relación  Y, chamada   ****  of R, que satisfai Y \circ R = I.
; 
: no caso de ser invertíbel bilateral.

Para unha relación homoxénea invertíbel R, todas as inversas dereita e esquerda coinciden; este conxunto único chámase a súa **** e denotase por R^{-1}. Neste caso si que se cumpre que R^{-1} = R^{\operatorname{T}}.
### Relación inversa dunha función 
Unha función é invertíbel se e só se a súa relación inversa é unha función, nese caso a relación inversa é a función inversa.

A relación inversa dunha función f : X \to Y é a relación f^{-1} \subseteq Y \times X definida por \operatorname{graph}\, f^{-1} = \{ (y, x) \in Y \times X : y = f(x) \}.

Isto non é necesariamente unha función: unha condición necesaria é que f sexa inxectiva, xa que senón f^{-1} é multivaluada. Entón f^{-1}  é unha función (total) se e só se f é sobrexectiva. No caso de que f é bixectiva, f^{-1} pódese chamar **función inversa*' de f.

Por exemplo, a función f(x) = 2x + 2 ten a función inversa f^{-1}(x) = \frac{x}{2} - 1.

Porén, a función g(x) = x^2 ten a relación inversa g^{-1}(x) = \pm \sqrt{x}, que non é unha función, por ser multivaluada.

## Composición con relación 
Usando a composición de relacións, a inversa pódese compor coa relación orixinal. Por exemplo, a relación de subconxunto composta coa súa inversa é sempre a relación universal:

: &#x2200; A &#x2200; B &#x2205; &#x2282; A &#x2229; B ⇔ A &#x2283; &#x2205; &#x2282; B ⇔ A &#x2283; &#x2282; B. Do mesmo xeito,
: Para U = universo, A &#x222A; B &#x2282; U ⇔ A &#x2282; U &#x2283; B ⇔ A &#x2282; &#x2283; B.

Considere agora a relación de pertenza do conxunto e a súa inversa.

: A \ni z \in B \Leftrightarrow z \in A \cap B \Leftrightarrow A \cap B \ne \empty.

Así A \ni \in B \Leftrightarrow A \cap B \ne \empty . A composición contraria \in \ni é a relación universal.

As composicións pódense utilizar para clasificar as relacións segundo o tipo: para unha relación *Q*, cando a relación de identidade no rango de *Q* contén *Q*T*Q*, entón *Q* denomínase *univalente* . Cando a relación de identidade no dominio de *Q* está contida en *QQ* T, entón *Q* chámase *total* . Cando *Q* é univalente e total, entón é unha *función*. Cando *Q* T é univalente, entón *Q* denomínase *inxectiva* . Cando *Q*T é total, Q denomínase *sobrexectiva* . 

Se *Q* é univalente, entón *QQ*T é unha relación de equivalencia no dominio de *Q*, consulte Relación transitiva#Propiedades relacionadas.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
### Outros artigos 
* Grafo transposto.