Mergullo (matemáticas)

En matemáticas, un **mergullo** é unha instancia dalgunha estrutura matemática contida dentro doutra instancia, como por exemplo un subgrupo que como índica o nome está incluído nun grupo.

Cando algún obxecto X se di que está mergullado noutro obxecto Y, o mergullo vén dado por algún mapa inxectivo e preservador da estrutura f:X\rightarrow Y. O significado preciso de "preservar a estrutura" depende do tipo de estrutura matemática da cal X e Y son instancias. Na terminoloxía da teoría de categorías, un mapa que preserva a estrutura chámase morfismo.

O feito de que un mapa f:X\rightarrow Y é un mergullo adoita indicarse mediante o uso dunha "frecha con gancho"  f : X \hookrightarrow Y..  (por outra parte, esta notación ás veces resérvase para as inxeccións canónicas (función inclusión).

Dados X e Y, poden darse varios mergullos diferentes de X en Y. En moitos casos de interese existe un mergullo estándar (ou "canónico"), como o dos números naturais nos números enteiros, os enteiros nos números racionais, os números racionais nos números reais e os números reais nos números complexos. Nestes casos é habitual identificar o dominio X coa súa imaxe f(X) contida en Y, así que X\subseteq Y.

## Topoloxía e xeometría 
### Topoloxía xeral 
En topoloxía xeral, un mergullo é un homeomorfismo na súa imaxe. Máis explicitamente, un mapa continuo inxectivo f : X \to Y entre espazos topolóxicos X e Y é un **mergullo topolóxico** se f produce un homeomorfismo entre X e f(X) (onde f(X) leva a topoloxía relativa herdada de Y). Intuitivamente logo, o mergullo f : X \to Y permítenos tratar X como subespazo de Y. Todo mergullo é inxectivo e continuo. Todo mapa que é inxectivo, continuo e aberto ou pechado é un mergullo; porén tamén hai mergullos que non están nin abertos nin pechados. Isto último ocorre se a imaxe f(X) non é un conxunto aberto nin un conxunto pechado Y.

Para un espazo determinado Y, a existencia dun mergulo X \to Y é unha invariante topolóxica de X. Isto permite distinguir dous espazos se un é capaz de mergullarse nun espazo mentres que o outro non.

#### Definicións relacionadas 
Se o dominio dunha función f : X \to Y é un espazo topolóxico, entón dise que é unha función '** se existe algunha veciñanza U deste punto tal que a restrición f\big\vert_U : U \to Y é inxectiva. Chámase **' se é localmente inxectiva en cada punto do seu dominio. Do mesmo xeito, un '** é unha función para a cal cada punto do seu dominio ten algunha veciñanza na que a súa restrición é un mergullo (topolóxico, resp. suave).

Toda función inxectiva é localmente inxectiva mais non á inversa. Os difeomorfismos locais, os  homeomorfismos locais e as inmersións suaves son todas funcións localmente inxectivas que non son necesariamente inxectivas. O teorema da función inversa dá unha condición suficiente para que unha función continuamente derivable sexa (entre outras cousas) localmente inxectiva. Cada fibra dunha función localmente inxectiva f : X \to Y é necesariamente un subespazo discreto do seu dominio X.

### Topoloxía diferencial 
En topoloxía diferencial: Sexan M e N  variedades  suaves e f:M\to N un mapa suave. Daquela f chámase inmersión se a súa derivada (ou pulo diferencial) é inxectiva en tódalas partes. Un **mergullo**, ou un **mergullo suave**, defínese como unha inmersión que é un mergullo no sentido topolóxico mencionado anteriormente (é dicir, homeomorfismo na súa imaxe). 

Noutras palabras, o dominio dun mergullo é difeomorfo á súa imaxe e, en particular, a imaxe dun mergullo debe ser unha subvariedade. Un mergullo é precisamente un **mergullo local**, é dicir, para calquera punto x\in M hai unha veciñanza x\in U\subset M tal que f:U\to N é un mergullo.

Cando a variedade de dominio é compacta, a noción de mergullo suave é equivalente á de inmersión inxectiva.

Un caso importante é N = \mathbb{R}^n. O interese aquí está en saber como debe ser o tamaño n para unha mergullo, en canto á dimensión m de M. O teorema do mergullo de Whitney  afirma que n = 2m é suficiente e é o mellor límite linear posible. Por exemplo, o espazo proxectivo real \mathbb{R}\mathrm{P}^m de dimensión m, onde m é unha potencia de dous, esixe que sexa n = 2m para ter un mergullo. No entanto, isto non se aplica ás inmersións; por exemplo, \mathbb{R}\mathrm{P}^2 pode estar inmerso en \mathbb{R}^3 como mostra explicitamente a superficie de Boy (que ten autointerseccións).

### Xeometría de Riemann e pseudoriemanniana 
Nas xeometría de Riemann e xeometría pseudoriemanniana: Sexan (M,g) e (N,h) variedades riemannianas ou máis xeralmente variedades pseudoriemannianas. Un **mergullo isométrico** é un mergullo suave f:M\rightarrow N que conserva a (pseudo-) métrica no sentido de que g é igual á regresión de h por f, é dicir g=f^{*}h. Explicitamente, para dous vectores tanxentes calquera v,w\in T_x(M) temos

: g(v,w)=h(df(v),df(w)).

Na xeometría de Riemann, un mergullo isométrico é un mergullo suave que conserva a lonxitude das curvas (Teorema de mergullo de Nash).

## Álxebra 
En xeral, para unha categoría alxébrica C, un mergullo entre dúas C-estruturas alxébricas X e Y é un C-morfismo  que é inxectivo.

### Teoría de corpos 
Na teoría de corpos, un **mergullo'* dun corpo E nun corpo F é un homomorfismo de anéis .

O kernel de \sigma é un Ideal de E, que non pode ser todo o corpo E, por mor da condición . Alén diso, calquera corpo ten como ideais só o ideal cero e o propio corpo (porque se hai algún elemento do corpo distinto de cero nun ideal, é invertíbel, mostrando que o ideal é todo o corpo). Polo tanto, o kernel é 0, polo que calquera mergullo de corpos é un monomorfismo. Polo tanto, E é isomorfo ao subcorpo \sigma(E) de F. Isto xustifica o nome de *mergullo* para un homomorfismo arbitrario de corpos.

### Álxebra universal e teoría de modelos 
Se \sigma é unha sinatura e A,B son \sigma-estruturas (tamén chamadas \sigma-álxebras en álxebra universal ou modelos en teoría dos modelos), daquela un mapa h:A \to B é un \sigma-mergullo exactamente se todo o seguinte se cumpre:

* h é inxectivo,
* para cada símbolo de n argumentos f \in\sigma e a_1,\ldots,a_n \in A^n, temos h(f^A(a_1,\ldots,a_n))=f^B(h(a_1),\ldots,h(a_n)) ,
* para cada símbolo de relación de n argumentos  R \in\sigma e a_1,\ldots,a_n \in A^n, temos A \models R(a_1,\ldots,a_n) se B \models R(h(a_1),\ldots,h(a_n)).

Aquí A\models R (a_1,\ldots,a_n) é unha notación de teoría de modelos equivalente a (a_1,\ldots,a_n)\in R^A. Na teoría de modelos tamén hai unha noción máis forte que sería o mergullo elemental.

## Teoría da orde e teoría do dominio 
Na teoría da orde, un mergullo de conxuntos parcialmente ordenados é unha función F entre conxuntos parcialmente ordenados X e Y tal que

: \forall x_1,x_2\in X: x_1\leq x_2 \iff F(x_1)\leq F(x_2).

A inxectividade de F obtense rapidamente desta definición. 

Na teoría dos dominios, un requisito adicional é que

:  \forall y\in Y:\{x \mid F(x) \leq y\} é un conxunto dirixido.

## Espazos métricos 
Un mapa \phi: X \to Y de espazos métricos denomínase *mergullo* (con distorsión C>0) se

:  L d_X(x, y) \leq d_Y(\phi(x), \phi(y)) \leq CLd_X(x,y) 

para todo x,y\in X e algunha constante L>0.

### Espazos normados 
Un caso especial importante é o dos espazos normados; neste caso é natural considerar mergullos lineares.

Unha das preguntas básicas que se poden facer sobre un espazo normado de dimensión finita (X, \| \cdot \|) é, *cal é a dimensión máxima k tal que o espazo de Hilbert \ell_2^k pódese mergullar linearmente en X con distorsión constante?''

A resposta vén dada polo teorema de Dvoretzky.

## Teoría de categorías 
Na teoría de categorías, non existe unha definición satisfactoria e xeralmente aceptada de **mergullo** que sexa aplicable en todas as categorías. Cabería esperar que todos os isomorfismos e todas as composicións de mergullos sexan mergullos, e que todos os mergullos sexan monomorfismos. Outros requisitos típicos son: calquera monomorfismo extremo é un mergullo e os mergullos son estables baixo regresións (pullbacks).

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
*
* 
* 
* 
*
*
*
* 
* .
* 
* .
### Outros artigos 
*Inmersión (matemáticas)
*Subvariedade
*Cobertura

### Ligazóns externas 
*
* Embedding of manifolds  on the Manifold Atlas.
* Subvariedades Notas de J.C. Díaz sobre topoloxía diferencial