Cuaternión

: *Para outros significados da palabra "cuaternión", véxase Cuaternión (homónimos)*

[miniatura| Grafo de Cayley Q8 que mostra os seis ciclos de multiplicación por ,  e . (Se a imaxe se abre en [Wikimedia Commons premendo dúas veces nela, pódense resaltar os ciclos pasando o cursor sobre eles ou facendo clic neles).]]

En matemáticas, o sistema numérico **de cuaternións** estende os números complexos. Os cuaternións foron descritos por primeira vez polo matemático irlandés William Rowan Hamilton en 1843 e aplicados á mecánica no espazo tridimensional. A álxebra dos cuaternións adoita denotarse por  (por *Hamilton*), ou por \mathbb H. Os cuaternións non son un corpo, porque a multiplicación de cuaternións non é, en xeral, conmutativa. Os cuaternións proporcionan unha definición do cociente de dous vectores nun espazo tridimensional. Os cuaternións son xeralmente representados na forma

:a + b\,\mathbf i + c\,\mathbf j +d\,\mathbf k,

onde os coeficientes , , ,  son números reais e ,  son os *vectores* ou *elementos da* base.

Os cuaternións utilízanse en matemáticas puras, pero tamén teñen usos prácticos en matemáticas aplicadas, particularmente para cálculos que implican rotacións tridimensionais, como en gráficos tridimensionais por ordenador, visión por ordenador, robótica, resonancia magnética e análise de texturas cristalográficas. Pódense empregar xunto a outros métodos de rotación, como os ángulos de Euler e as matrices de rotación, ou como alternativa a eles, segundo a aplicación.

En termos modernos, os cuaternións forman unha álxebra de división normada asociativa de catro dimensións sobre os números reais e, polo tanto, un anel, tamén un anel de división e un dominio. É un caso especial dunha álxebra de Clifford, clasificada como \operatorname{Cl}_{0,2}(\mathbb R)\cong \operatorname{Cl}_{3,0}^+(\mathbb R). Foi a primeira álxebra de división non conmutativa que se descubriu.

Os cuaternións unitarios dan unha estrutura de grupo nas esferas de   isomorfas aos grupos Spin(3) e SU(2), é dicir, o grupo de recubrimento universal SO(3). Os vectores da base positivos e negativos forman o grupo de cuaternións de oito elementos.
dereita|miniatura| Representación gráfica de produtos de  cuaternións unitarios como rotacións de 90° nos planos do espazo de 4 dimensións estendidos por dous de {{Math|{1, **i**, **j**, **k**}.}} O factor esquerdo pódese ver como rotado polo factor dereito para chegar ao produto. Visualmente .

## Definición 
Un *cuaternión* é unha expresión da forma

:a + b\,\mathbf{i} + c\,\mathbf{j} + d\,\mathbf{k},

onde , , , , son números reais e , , , son símbolos que se poden interpretar como vectores unitarios que apuntan ao longo dos tres eixes espaciais. 

Hamilton describe un cuaternión q = a + b\,\mathbf{i} + c\,\mathbf{j} + d\,\mathbf{k}, de forma que consta dunha parte escalar e unha parte vectorial. O cuaternión  b\,\mathbf{i} + c\,\mathbf{j} + d\,\mathbf{k} chámase *parte vectorial* (ás veces *parte imaxinaria*) de , e  é a *parte escalar* (ás veces *parte real*) de . 

O conxunto de cuaternións é un espazo vectorial de 4 dimensións sobre os números reais, con \left\{ 1, \mathbf i, \mathbf j, \mathbf k\right\} como base, pola adición de compoñentes

:\begin{align}
&(a_1 + b_1\mathbf i + c_1\mathbf j + d_1\mathbf k) + (a_2 + b_2\mathbf i + c_2\mathbf j + d_2\mathbf k) \\[3mu]
&\qquad = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)\mathbf i + (c_1 + c_2)\mathbf j + (d_1 + d_2)\mathbf k,
\end{align}

e a multiplicación escalar por compoñentes

:\lambda(a + b\,\mathbf i + c\,\mathbf j + d\,\mathbf k) = \lambda a + (\lambda b)\mathbf i + (\lambda c)\mathbf j + (\lambda d)\mathbf k.

Unha estrutura de grupo multiplicativa, chamada *produto de Hamilton*, denotada por xustaposición, pódese definir nos cuaternións do seguinte xeito:

* O cuaternión real  é o elemento de identidade.
* Os cuaternións **reais** conmutan con todos os outros cuaternións, é dicir,  para cada cuaternión  e cada cuaternión real . En terminoloxía alxébrica isto quere dicir que o corpo dos cuaternións reais é o *centro* desta álxebra cuaterniónica.
* Primeiro dáse o produto para os elementos básicos (ver subsección seguinte), e despois esténdese a todos os cuaternións utilizando a propiedade distributiva e a propiedade central dos cuaternións reais. O produto de Hamilton non é conmutativo, pero é asociativo, polo que os cuaternións forman unha álxebra asociativa sobre os números reais.
* A maiores, cada cuaternión distinto de cero ten unha inversa con respecto ao produto de Hamilton: 
:(a + b\,\mathbf i + c\,\mathbf j + d \,\mathbf k)^{-1} = \frac{1}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}\,(a - b\,\mathbf i - c\,\mathbf j- d\,\mathbf k).

Así, os cuaternións forman unha álxebra de división.

### Multiplicación dos elementos da base 
A multiplicación por  dos elementos da base  e  defínese polo feito de que  é unha identidade multiplicativa, é dicir,

:\mathbf i \, 1 = 1 \, \mathbf i = \mathbf i, \qquad \mathbf j \, 1 = 1 \, \mathbf j = \mathbf j, \qquad \mathbf k \, 1 = 1 \, \mathbf k= \mathbf k .

Os produtos dos outros elementos da base son

:\begin{align}
\mathbf i^2 &= \mathbf j^2 = \mathbf k^2 = -1, \\[5mu]
\mathbf{i\,j} &= - \mathbf{j\,i} = \mathbf k, \qquad
\mathbf{j\,k} = - \mathbf{k\,j} = \mathbf i, \qquad
\mathbf{k\,i} = - \mathbf{i\,k} = \mathbf j.
\end{align}

Combinando estas regras,

:\begin{align}
\mathbf{i\,j\,k}&=-1.
\end{align}

### Centro 
O *centro* dun anel non conmutativo é o subanel dos elementos  tal que  para todo . O centro da álxebra de cuaternións é o suborpo dos cuaternións reais. De feito, forma parte da definición que os cuaternións reais pertencen ao centro. Pola contra, se  pertence ao centro, entón

:0 = \mathbf i\,q - q\,\mathbf i = 2c\,\mathbf{ij} + 2d\,\mathbf{ik} = 2c\,\mathbf k - 2d\,\mathbf j,

e . Un cálculo similar con  en lugar de  mostra que tamén se ten . Por tanto  é un cuaternión *real*.

### Produto de Hamilton 
Para dous elementos  e , o seu produto, chamado **produto de Hamilton** () (  ), está determinado polos produtos dos elementos da base e a lei distributiva. A lei distributiva permite ampliar o produto para que sexa unha suma de produtos de elementos da base. Isto dá a seguinte expresión:

:\begin{alignat}{4}
    &a_1a_2 &&+ a_1b_2 \mathbf i  &&+ a_1c_2 \mathbf j  &&+ a_1d_2 \mathbf k\\
 {}+{} &b_1a_2 \mathbf i &&+ b_1b_2 \mathbf i^2 &&+ b_1c_2 \mathbf{ij} &&+ b_1d_2 \mathbf{ik}\\
 {}+{} &c_1a_2 \mathbf j &&+ c_1b_2 \mathbf{ji} &&+ c_1c_2 \mathbf j^2 &&+ c_1d_2 \mathbf{jk}\\
 {}+{} &d_1a_2 \mathbf k &&+ d_1b_2 \mathbf{ki} &&+ d_1c_2 \mathbf{kj} &&+ d_1d_2 \mathbf k^2
\end{alignat}

Agora os elementos da base pódense multiplicar usando as regras indicadas anteriormente para obter: 

:\begin{alignat}{4}
     &a_1a_2 &&- b_1b_2 &&- c_1c_2 &&- d_1d_2\\
  {}+{} (&a_1b_2 &&+ b_1a_2 &&+ c_1d_2 &&- d_1c_2) \mathbf i\\
  {}+{} (&a_1c_2 &&- b_1d_2 &&+ c_1a_2 &&+ d_1b_2) \mathbf j\\
  {}+{} (&a_1d_2 &&+ b_1c_2 &&- c_1b_2 &&+ d_1a_2) \mathbf k
\end{alignat}

### Partes escalares e vectoriais 
Un cuaternión da forma , onde  é un número real, chámase **escalar**, e un cuaternión da forma , onde ,  e  son números reais, e polo menos un de ,  ou  é distinto de cero, chámase **cuaternión vectorial**. Se  é calquera cuaternión, entón  chámase a súa **parte escalar** e  a súa **parte vectorial**. Aínda que cada cuaternión pode ser visto como un vector nun espazo vectorial de catro dimensións, é común referirse á parte **vectorial** como vectores nun espazo tridimensional. Con esta convención, un vector é o mesmo que un elemento do espazo vectorial \mathbb R^3. 

Se un cuaternión se divide nunha parte escalar e unha parte vectorial, é dicir,

:
\mathbf q = (r,\,\vec{v}),\ \mathbf q \in \mathbb{H},\ r \in \mathbb{R},\ \vec{v}\in \mathbb{R}^3,

entón as fórmulas para a suma, a multiplicación e a inversa multiplicativa son

:\begin{align}
(r_1,\,\vec{v}_1) + (r_2,\,\vec{v}_2)
&= (r_1 + r_2,\,\vec{v}_1 + \vec{v}_2), \\[5mu]
(r_1,\,\vec{v}_1) (r_2,\,\vec{v}_2)
&= (r_1 r_2 - \vec{v}_1\cdot\vec{v}_2,\,r_1\vec{v}_2+r_2\vec{v}_1 + \vec{v}_1\times\vec{v}_2), \\[5mu]
(r,\,\vec{v})^{-1}
&= \left(\frac{r}{r^2 + \vec{v}\cdot\vec{v}},\ \frac{-\vec{v}}{r^2 + \vec{v}\cdot\vec{v}}\right),
\end{align}

onde "{}\cdot{}" e "\times" indican respectivamente o produto escalar e o produto vectorial.

## A conxugación, a norma e a recíproca 
A conxugación de cuaternións é análoga á conxugación de números complexos e á transposición (tamén coñecida como reversión) de elementos das álxebras de Clifford. Para definilo, temos o cuaternión q = a + b\,\mathbf i + c\,\mathbf j + d\,\mathbf k . O **conxugado** de  é o cuaternión  q^* = a - b\,\mathbf i - c\,\mathbf j - d\,\mathbf k . Denotase por , *qt*, \tilde q ou . A conxugación é unha involución, o que significa que é a súa propia inversa, polo que conxugar un elemento dúas veces devolve o elemento orixinal. O conxugado dun produto de dous cuaternións é o produto dos conxugados *na orde inversa*. É dicir, se  e  son cuaternións, entón , non .

A conxugación dun cuaternión, en marcado contraste cos complexos, pódese expresar coa multiplicación e adición de cuaternións:

:
q^* = - \tfrac{1}{2} (q + \mathbf i \,q \,\mathbf i + \mathbf j \,q \,\mathbf j + \mathbf k \,q \,\mathbf k).

A conxugación pódese usar para extraer as partes escalares e vectoriais dun cuaternión. A parte escalar de  é , e a parte vectorial de  é .

A raíz cadrada do produto dun cuaternión co seu conxugado chámase *norma* e denótase \lVert q \rVert. En fórmulas, isto exprésase do seguinte xeito:

:\lVert q \rVert = \sqrt{qq^*} = \sqrt{q^*q} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}.

Isto é sempre un número real non negativo, e é o mesmo que a norma euclidiana en \mathbb H considerado como o espazo vectorial \mathbb R^4. Multiplicando un cuaternión por un número real escala a súa norma polo valor absoluto do número. É dicir, se  é real, entón

:\lVert\alpha q\rVert = \left| \alpha\right|\,\lVert q\rVert.

Este é un caso especial do feito de que a norma é *multiplicativa*, é dicir

:\lVert pq \rVert = \lVert p \rVert\,\lVert q \rVert

para dous cuaternións  e  calquera. A multiplicatividade é unha consecuencia da fórmula do conxugado dun produto. Alternativamente, dedúcese da identidade

: \det \begin{pmatrix}
a + i b & i d + c \\
 i d - c & a - i b
\end{pmatrix} = a^2 + b^2 + c^2 + d^2,

(onde  denota a unidade imaxinaria habitual) e, polo tanto, a partir da propiedade multiplicativa dos determinantes das matrices cadradas.

Esta norma permite definir a **distancia**  entre  e  como a norma da súa diferenza:

:d(p, q) = \lVert p - q \rVert.

Isto fai de \mathbb H un espazo métrico. A suma e a multiplicación son continuas en relación coa topoloxía métrica asociada. Isto dedúcese exactamente coa mesma proba que para os números reais \mathbb R do feito de que \mathbb H é unha álxebra normada.

### Cuaternión unitario 
Un **cuaternión unitario** é un cuaternión de norma 1. Dividindo un cuaternión  distinto de cero pola súa norma produce un cuaternión unitario  chamado *versor* de :

:\mathbf{U}q = \frac{q}{\lVert q\rVert}.

Todo cuaternión distinto de cero ten unha descomposición polar única  q = \lVert q \rVert \cdot \mathbf{U} q,  mentres que o cuaternión cero pode formarse a partir de calquera cuaternión unitario.

Usando a conxugación e a norma permite definir o recíproco dun cuaternión distinto de cero. O produto dun cuaternión co seu recíproco debe ser igual a 1, e as consideracións anteriores implican que o produto de q e q^* / \left \Vert q \right \| ^2 é 1 (para calquera orde de multiplicación). Polo tanto, o *recíproco* de  defínese como

:q^{-1} = \frac{q^*}{\lVert q\rVert^2}.

Dado que a multiplicación é non conmutativa, as cantidades cocientes  e  son diferentes (agás se  e  son múltiplos escalares entre si ou se un deles é escalar): a notación

## Os cuaternións e a xeometría tridimensional 
A parte vectorial dun cuaternión pódese interpretar como un vector de coordenadas en \mathbb R^3; polo tanto, as operacións alxébricas dos cuaternións reflicten a xeometría de \mathbb R^3. Operacións como o produto escalar e o produto vectorial poden definirse en termos de cuaternións, e isto fai posíbel aplicar técnicas de cuaternións alí onde xurdan vectores espaciais. Unha aplicación útil dos cuaternións foi interpolar as orientacións de fotogramas clave en gráficos por ordenador. 

Para o resto desta sección, ,  e  denotarán os tres vectores da base imaxinarios  de \mathbb H e unha base para \mathbb R^3. Substituíndo  por ,  por  e  por  envía un vector ao seu inverso aditivo, polo que o inverso aditivo dun vector é o mesmo que o seu conxugado como un cuaternión. Por esta razón, a conxugación ás veces chámase *inverso espacial*.

Para dous cuaternións vectoriais  e  o seu produto escalar, por analoxía cos vectores en \mathbb R^3, é

:p \cdot q = b_1 b_2 + c_1 c_2 + d_1 d_2.

Tamén se pode expresar de forma sen compoñentes como

:p \cdot q = \textstyle\frac{1}{2}(p^*q + q^*p) = \textstyle\frac{1}{2}(pq^* + qp^*).

Isto é igual ás partes escalares dos produtos . Teña en conta que as súas partes vectoriais son diferentes.

O produto vectorial de  e  en relación coa orientación determinada pola base ordenada  e  é

:p \times q = (c_1 d_2 - d_1 c_2)\mathbf i + (d_1 b_2 - b_1 d_2)\mathbf j + (b_1 c_2 - c_1 b_2)\mathbf k.

(Lembre que a orientación é necesaria para determinar o signo.) Isto é igual á parte vectorial do produto  (como cuaternións), así como á parte vectorial de  . Tamén ten a fórmula

:p \times q = \textstyle\tfrac{1}{2}(pq - qp).

Para o conmutador, , de dous cuaternións vectoriais temos

:[p,q]= 2p \times q.

En xeral, sexan  e  cuaternións e escribimos

:\begin{align}
p &= p_\text{s} + p_\text{v}, \\[5mu]
q &= q_\text{s} + q_\text{v},
\end{align}

onde  e  son as partes escalares, e  e  son as partes vectoriais de  e . Logo temos a fórmula

:pq = (pq)_\text{s} + (pq)_\text{v} = (p_\text{s}q_\text{s} - p_\text{v}\cdot q_\text{v}) + (p_\text{s} q_\text{v} + q_\text{s} p_\text{v} + p_\text{v} \times q_\text{v}).

Os cuaternións unitarios pódense identificar con rotacións en \mathbb R^3 e foron chamados versores por Hamilton. Consulte tamén Cuaternións e rotación espacial para obter máis información sobre como modelar rotacións tridimensionais mediante cuaternións.

## Representacións en matrices 
Do mesmo xeito que os números complexos poden ser representados como matrices, tamén poden representarse os cuaternións. Hai polo menos dúas formas de representar os cuaternións como matrices de tal xeito que a suma e a multiplicación de cuaternións correspondan á suma e á multiplicación da matriz. Unha delas é usar matrices complexas 2 × 2, e outra é usar matrices reais de 4 × 4. En cada caso, a representación dada é unha dunha familia de representacións linearmente relacionadas. Estas son homomorfismos inxectivos de \mathbb H nos aneis de matrices  e , respectivamente.

O cuaternión  pódese representar usando unha matriz complexa 2 × 2 como

:\begin{bmatrix}
\phantom-a + bi & c + di \\
    -c + di & a - bi
\end{bmatrix}.

Usando matrices reais 4 × 4, ese mesmo cuaternión pódese escribir como

:\begin{align}
\left[ \begin{array}{rrrr}
 a & -b & -c & -d \\
 b & a & -d & c \\
 c & d & a & -b \\
 d & -c & b & a
\end{array} \right]
&= a
\left[ \begin{array}{rrrr}
 1 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right]
+ b
\left[ \begin{array}{rrrr}
 0 & -1 & 0 & 0 \\
 1 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & -1 \\
 0 & 0 & 1 & 0
\end{array} \right] \\[10mu]
&\qquad + c
\left[ \begin{array}{rrrr}
 0 & 0 & -1 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 1 \\
 1 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & -1 & 0 & 0
\end{array} \right]
+ d
\left[ \begin{array}{rrrr}
 0 & 0 & 0 & -1 \\
 0 & 0 & -1 & 0 \\
 0 & 1 & 0 & 0 \\
 1 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right].
\end{align}

Porén, a representación dos cuaternións en  non é única. Por exemplo, o mesmo cuaternión tamén se pode representar como

:\begin{align}
\left[ \begin{array}{rrrr}
 a & d & -b & -c \\
 -d & a & c & -b \\
 b & -c & a & -d \\
 c & b & d & a
\end{array} \right]
&= a
\left[ \begin{array}{rrrr}
 1 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right]
+ b
\left[ \begin{array}{rrrr}
 0 & 0 & -1 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & -1 \\
 1 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 0 & 0
\end{array} \right] \\[10mu]
&\qquad + c
\left[ \begin{array}{rrrr}
 0 & 0 & 0 & -1 \\
 0 & 0 & 1 & 0 \\
 0 & -1 & 0 & 0 \\
 1 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right]
+ d
\left[ \begin{array}{rrrr}
 0 & 1 & 0 & 0 \\
 -1 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & -1 \\
 0 & 0 & 1 & 0
\end{array} \right].
\end{align}

## Teorema dos catro cadrados de Lagrange 
Os cuaternións tamén se usan nunha das demostracións do teorema dos catro cadrados de Lagrange na teoría de números, que afirma que todo número enteiro non negativo é a suma de catro cadrados enteiros. Alén de ser un teorema elegante por dereito propio, o teorema dos catro cadrados de Lagrange ten aplicacións útiles en áreas das matemáticas fóra da teoría de números, como a teoría do deseño combinatorio. A proba baseada en cuaternións usa cuaternións de Hurwitz, un subanel do anel de todos os cuaternións para os que hai un análogo do algoritmo euclidiano.

## Raíces cadradas de −1 
Nos números complexos, \mathbb C, hai exactamente dous números,  e , que dan −1 ao cadrado. En \mathbb H hai infinitas raíces cadradas de menos un: a solución do cuaternión para a raíz cadrada de −1 é a esfera da unidade en \mathbb R^3. Para ver isto, sexa  un cuaternión, e supoña que o seu cadrado é −1. En termos de , ,  e , isto significa que

:\begin{align}
a^2 - b^2 - c^2 - d^2 &= -1, \vphantom{x^|} \\[3mu]
2ab &= 0, \\[3mu]
2ac &= 0, \\[3mu]
2ad &= 0.
\end{align}

Para satisfacer as tres últimas ecuacións,  ou ,  e { {mvar|d}} son todos 0. O último é imposíbel porque *a* é un número real e a primeira ecuación implicaría que  Polo tanto,  e  Noutras palabras: un cuaternión elévase ao cadrado a −1 se e só se é un cuaternión vectorial coa norma 1. Por definición, o conxunto de todos eses vectores forma a esfera unitaria.

Só os cuaternións reais negativos teñen infinitas raíces cadradas. Todos os demais teñen só dúas (ou unha no caso de 0).

## Grupos de rotación tridimensionais e de catro dimensións
A palabra "conxugación", a maiores do significado dado anteriormente, tamén pode significar levar un elemento  a  onde  é algún cuaternión distinto de cero. Todos os elementos que se conxugan cun elemento dado (neste sentido da palabra conxugado) teñen a mesma parte real e a mesma norma da parte vectorial. (Así o conxugado noutro sentido é un dos conxugados neste sentido.) 

Así, o grupo multiplicativo de cuaternións distintos de cero actúa por conxugación sobre a copia de \mathbb R^3 formada por cuaternións con parte real igual a cero. A conxugación por un cuaternión unitario (un cuaternión de valor absoluto 1) con parte real  é unha rotación dun ángulo , sendo o eixo da rotación a dirección da parte vectorial. As vantaxes dos cuaternións son:

* Evitando o bloqueo do cardán, un problema con sistemas como os ángulos de Euler.
* Máis rápido e máis compacto que as matrices.
* Representación non singular (comparada cos ángulos de Euler, por exemplo).
* Os pares de cuaternións unitarios representan unha rotación no espazo 4D.

O conxunto de todos os cuaternións unitarios (versores) forma unha esfera de  e un grupo (un grupo de Lie) baixo multiplicación, como cubrimento do grupo \text{SO}(3,\mathbb{R}) de matrices ortogonais 3×3 reais de determinante 1 xa que "dous" cuaternións unitarios corresponden a cada rotación baixo a correspondencia anterior. Ver truco do cinto de Dirac.
## Álxebras de cuaternións 
Os cuaternións pódense xeneralizar en outras álxebras chamadas *álxebras de cuaternións*. Considere  calquera corpo con característica diferente de 2, e  e  son elementos de ; unha álxebra asociativa unitaria de catro dimensións pódese definir sobre  con base  e , onde  ,  e  (así temos ).

As álxebras de cuaternións son isomorfas á álxebra de matrices 2×2 sobre  ou forman álxebras de división sobre , dependendo da escolla de  e .

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 

### Outros artigos 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

### Ligazóns externas 
* Paulson, Lawrence C. Quaternions (Formal proof development in Isabelle/HOL, Archive of Formal Proofs) 
* Quaternions – Visualisation