Función de densidade

e función de densidade dunha distribución normal .]]
En matemáticas e estatística, a **función de densidade** (en inglés, *probability density function*: *pdf*) serve para representar a distribución de probabilidade en termos de integrais.  Unha función de densidade de probabilidade é sempre non-negativa e a súa integral dende &minus;&infin; ata +&infin; é igual a 1.  Se unha distribución de probabilidade ten densidade *f*(*x*), entón, intuitivamente o intervalo infinitesimal [*x*, *x* + d*x*] ten probabilidade *f*(*x*)&nbsp;d*x*. A función de densidade de probabilidade pode verse como unha versión "suavizada" dun histograma: se alguén mide empiricamente valores dunha variable aleatoria continua repetidamente e produce un histograma coas frecuencias relativas dos rangos de saída, entón este histograma dará lugar á densidade de probabilidade da variable aleatoria (asumindo que sobre a variable se escollen mostras suficientemente a miúdo e os rangos de saída son suficientemente pequenos).

Formalmente, unha distribución de probabilidade ten densidade *f*(*x*) se *f*(*x*) é unha función non-negativa Lebesgue-integrable **R** &rarr; **R** de xeito que a probabilidade do intervalo [*a*, *b*] vén dada por

:\int_a^b f(x)\,dx

para calquera dous números *a* e *b*. Isto implica que a integral total de *f* debe ser 1. Á inversa, calquera función non-negativa integrable por Lebesgue con integral total 1 é a densidade de probabilidade dunha distribución de probabilidade definida axeitadamente.

## Explicación simplificada
A función de densidade de probabilidade é calquera función *f*(*x*) que describe a densidade de probabilidade en termos da variable de entrada *x* do seguinte xeito: 
* *f*(*x*) é maior ou igual a cero para tódolos valores de *x* 
* A área total baixo a gráfica é 1:
:: \int_{-\infty}^\infty \,f(x)\,dx = 1 

A probabilidade actual pode ser calculada mediante a integral da función *f*(*x*) no intervalo de integración da variable de entrada *x*.

Por exemplo: a variable *x* no intervalo 4.3 \Pr(4.3

## Máis detalles
Por exemplo, a distribución uniforme continua no intervalo [0,1] ten densidade de probabilidade *f*(*x*) = 1 para 0 &le; *x* &le; 1 e cero no resto. A distribución normal estándar ten densidade de probabilidade

:f(x)={e^{-{x^2/2}}\over \sqrt{2\pi}}.

Dada unha variable aleatoria *X*, se a súa distribución admite a función de densidade de probabilidade *f*(*x*), entón o valor esperado de *X* (se existe) pode ser calculado como

:\operatorname{E}(X)=\int_{-\infty}^\infty x\,f(x)\,dx.

Non todas as distribucións de probabilidade teñen función de densidade: as distribucións de variables aleatorias discretas non teñen, tampouco a distribución de Cantor aínda que non ten compoñente discreta e non asigna probabilidade positiva a ningún punto individual.

Unha distribución ten función de densidade se e só se a súa función de distribución de probabilidade *F*(*x*) é absolutamente continua. Nese caso, *F* é  diferenciable en todo o rango, e a súa derivada pode ser usada como densidade de probabilidade:

:\frac{d}{dx}F(x) = f(x).

Se a distribución de probabilidade admite unha densidade, entón a probabilidade de cada conxunto dun só punto {*a*} é cero.

É un erro común pensar que *f*(*a*) é a probabilidade de {*a*}; de feito, *f*(*a*) será a miúdo maior que 1. Pódese considerar por exemplo unha variable aleatoria con distribución uniforme entre 0 e 1/2.

Dúas densidades de probabilidade *f* e *g* representan a mesma distribución de probabilidade se e só se se diferencian nun conxunto de medidas cero de Legesgue.

No campo da física estatística, unha reformulación non formal da relación entre a derivada da función de distribución de probabilidade e a función de densidade de probabilidade é usada como a definición da función de densidade de probabilidade. Esta definición alternativa é a seguinte:

Se *dt* é un número infinitamente pequeno, a probabilidade de que X estea incluído no intervalo [*t*,&nbsp;*t*&nbsp;+&nbsp;*dt*] é igual a f(t)\,dt, ou:

:\Pr(t

## Relación entre distribucións continuas e discretas
A definición da función de densidade de probabilidade fai posible describir a variable asociada cunha distribución continua usando un conxunto de variables binarias discretas asociadas cos intervalos [a;b] (por exemplo, unha variable con valor *1* se *X* está en [a;b], e *0* se non).

É posible tamén representar certas variables aleatorias discretas usando unha densidade de probabilidade mediante a función delta de Dirac. Por exemplo, consideremos unha variable aleatoria discreta binaria que toma como valores -1 e 1, con probabilidade 1/2 cada un; a densidade de probabilidade asociada con esta variable é:

:f(t) = \frac{1}{2}(\delta(t+1)+\delta(t-1)).

Máis xeralmente, se unha variable discreta pode tomar *n* valores diferentes entre os números reais, entón a función de densidade de probabilidade asociada é: 
:f(t) = \frac{1}{n}\Sigma_{i=1}^nP_i\, \delta(t-x_i), onde x_1, \ldots, x_n son os valores discretos posibles da variable e P_1, \ldots, P_n son as probabilidades asociadas con cada un destes valores.

Esta expresión permite determinar características estatísticas de dita variable discreta (como a súa media, varianza e curtose), mediante as fórmulas dadas para unha distribución continua.

Na física, esta descrición é tamén útil para caracterizar matematicamente a configuración inicial dun movemento Browniano.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
*  Capítulos 7 a 9s.

### Outros artigos 
* Función de distribución.
### Ligazóns externas 
* 
*