Epimorfismo

dereita|miniatura|220x220px
Na teoría das categorías, un **epimorfismo** é un morfismo *f* : *X* → *Y* que é cancelativo pola dereita no sentido de que, para todos os obxectos *Z* e todos os morfismos ,

: g_1 \circ f = g_2 \circ f \implies g_1 = g_2.

Os epimorfismos son análogos categóricos das funcións sobrexectivas (e na categoría de conxuntos o concepto ten unha correspondencia exacta ás funcións sobrexectivas), mais poden non coincidir exactamente en todos os contextos; por exemplo, a inclusión  \mathbb{Z}\to\mathbb{Q}  é un epimorfismo de anel. O dual dun epimorfismo é un monomorfismo (é dicir, un epimorfismo dunha categoría *C* é un monomorfismo da categorías dual *C*op).

## Exemplos 
Todo morfismo nunha categoría concreta cuxa función subxacente é sobrexectiva é un epimorfismo. Por exemplo, nas seguintes categorías, os epimorfismos son exactamente aqueles morfismos que son sobrexectivos sobre os conxuntos subxacentes:

* **Conxunto**: conxuntos e funcións. Para probar que cada epimorfismo *f*: *X* → *Y* en **Conxunto** é sobrexectivo, compomos con ambos os función indicadora *g*1: *Y* → {0,1} da imaxe *f*(*X*) e o mapa *g*2: *Y* → {0,1} que é a constante 1.
* **Rel**: conxuntos con relacións binarias e funcións con preservación de relacións. Aquí podemos usar a mesma proba que para **Conxunto**, equipando {0,1} coa relación completa {0,1}&#xD7;{0,1}.
* **Pos**: conxuntos parcialmente ordenados e funcións monótonas. Se *f* : (*X*,&nbsp;≤) → (*Y*,&nbsp;≤ ) non é sobrexectivo, elixe *y*0 en *Y* \ *f*(*X*) e sendo *g*1 : *Y* → {0,1} a función característica de {*y* | *y*0 ≤ *y*} e *g*2 : *Y* → {0,1} a función indicadora de {*y* | *y*0 1: *Y* → *Y*/*f*(*X*) e o mapa cero *g*2: *Y* → *Y*/*f*(*X*).
* **Top**: espazos topolóxicos e funcións continuas. Para probar que cada epimorfismo en **Top** é sobrexectivo, procedemos exactamente como en **Conxunto**, dando a {0,1} a topoloxía trivial, que asegura que todos os mapas considerados sexan continuos.

Porén, tamén hai moitas categorías concretas de interese onde os epimorfismos fallan como sobrexectivos. Algúns exemplos son:

* Na categoría de monoides, **Mon**, o mapa de inclusión **N** → **Z** é un epimorfismo non sobrexectivo. Para ver isto, supoña que *g*1 e *g*2 son dous mapas distintos de **Z** a algún monoide *M*. Entón, para algúns *n* en **Z**, *g*1(*n*) ≠ *g*2 (*n*), polo que *g*1(−*n*) ≠ *g*2(−*n*). Ou *n* ou −*n* está en **N**, polo que as restricións de *g*1 e *g*2 a **N** son desiguais.
* Na categoría de álxebras sobre un anel conmutativo **R**, tomamos **R**[**N**] → **R** [**Z**], onde **R**[**G**] é o anel do grupo **G** e o morfismo indúcese pola inclusión **N** → **Z** como no exemplo anterior.  Isto segue da observación de que **1** xera a álxebra **R**[**Z**] (nótese que a unidade en **R**[**Z**] vén dada por **0** de **Z**), e a inversa do elemento representado por **n** en **Z** é só o elemento representado por −**n**. Así, calquera homomorfismo de **R**[**Z**] está determinado unicamente polo seu valor no elemento representado por **1** de **Z**.
* Na categoría de aneis, **Anel**, o mapa de inclusión **Z** → **Q** é un epimorfismo non sobrxectivo; para ver isto, teña en conta que calquera homomorfismo de anel en **Q** está determinado enteiramente pola súa acción sobre **Z**, semellante ao exemplo anterior. Un argumento similar mostra que o homomorfismo de anel natural de calquera anel conmutativo *R* a calquera das súas localizacións é un epimorfismo.
* Na categoría de aneis conmutativos, un homomorfismo finitamente xerado de aneis *f*: *R* → *S* é un epimorfismo se e só se para todos os ideais primos *P* de *R*, o ideal *Q* xerado por *f* (*P*) é *S* ou é primo, e se *Q* non é *S*, o mapa inducido (do corpo das fraccións) Frac(*R*/*P*) → Frac(*S*/*Q*) é un isomorfismo (EGA IV 17.2.6).
* Na categoría de espazos de Hausdorff, **Haus**, os epimorfismos son precisamente as funcións continuas con imaxes densas. Por exemplo, o mapa de inclusión **Q** → **R**, é un epimorfismo non sobrexectivo.

## Propiedades 
Todo isomorfismo é un epimorfismo; de feito só se necesita un inverso pola dereita: se existe un morfismo *j* : *Y* → *X* tal que *fj* = id*Y*, entón *f* : *X* → *Y* é un epimorfismo. Un mapa con tal inverso á dereita chámase epimorfismo dividido. Nun topos, un mapa que é á vez un monomorfismo (ou morfismo mónico) e un epimorfismo é un isomorfismo.

A composición de dous epimorfismos é de novo un epimorfismo. Se a composición *fg* de dous morfismos é un epimorfismo, entón *f* debe ser un epimorfismo.

A definición de epimorfismo pódese reformular para afirmar que *f* : *X* → *Y* é un epimorfismo se e só se os mapas inducidos

: \begin{matrix}\operatorname{Hom}(Y,Z) &\rightarrow& \operatorname{Hom}(X,Z)\\
g &\mapsto& gf\end{matrix}

son inxectivos para cada escolla de *Z*. Isto á súa vez é equivalente á transformación natural inducida

: \begin{matrix}\operatorname{Hom}(Y,-) &\rightarrow& \operatorname{Hom}(X,-)\end{matrix}

sendo un monomorfismo na categoría de functores **Set***C*.

Todo coigualador é un epimorfismo. Dedúcese en particular que todo cokernel é un epimorfismo. O contrario, é dicir, que todo epimorfismo sexa un coigualador, non é certo en todas as categorías.

## Terminoloxía 
Os termos complementarios *de epimorfismo* e *monomorfismo* foron introducidos por primeira vez por Bourbaki. Bourbaki usa *o epimorfismo* como abreviatura dunha función sobrexectiva. Os primeiros teóricos de categorías crían que os epimorfismos eran o análogo correcto das sobrexeccións nunha categoría arbitraria, de xeito similar a como os monomorfismos son case un análogo exacto das inxeccións. Desafortunadamente, isto é incorrecto; os epimorfismos fortes ou regulares compórtanse moito máis preto das sobrexeccións que os epimorfismos ordinarios. 

## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
*
*
*
*
*
*
*
### Outros artigos 
*monomorfismo.
### Ligazóns externas 
*
*