Hipérbole unitaria

miniatura|dereita|A hipérbole unitaria é azul, a súa conxugada é verde e as asíntotas son vermellas.
En xeometría, a **hipérbole unitaria** é o conxunto de puntos (*x*,*y*) no plano cartesiano que satisfán a ecuación implícita x^2 - y^2 = 1 . No estudo dos grupos ortogonais indefinidos, a hipérbole unidade forma a base para unha *lonxitude radial alternativa*
: r = \sqrt {x^2 - y^2} .
Mentres que a circunferencia unitaria rodea o seu centro, a hipérbole unitaria require a  hipérbole conxugada  y^2 - x^2 = 1  para complementala no plano. Este par de hipérboles comparten as asíntotas *y* = *x* e *y* = −*x*. Cando se usa a conxugada da hipérbole unidade, a lonxitude radial alternativa é r = \sqrt{y^2 - x^2} .

A hipérbole unitaria é un caso especial da hipérbole rectangular, cunha orientación, localización e escala particulares. Como tal, a súa excentricidade é igual a \sqrt{2}.

A hipérbole unitaria atopa aplicacións onde a circunferencia debe ser substituída pola hipérbole para fins de xeometría analítica. Un exemplo destacado é a representación do espazo-tempo como un espazo pseudo-euclidiano. Alí, as asíntotas da hipérbole unitaria forman un cono de luz.

A  atención ás áreas dos sectores hiperbólicos por Gregoire de Saint-Vincent levou á función logaritmo e á moderna parametrización da hipérbole por áreas de sectores. Cando se comprenden as nocións de hipérboles conxugadas e ángulos hiperbólicos, entón os números complexos clásicos, que se constrúen arredor da circunferencia unitaria, poden ser substituídos por números construídos arredor da hipérbole unitaria.

## Asíntotas
Xeralmente, as liñas asintóticas a unha curva dinse que converxen cara á curva. En xeometría alxébrica e na teoría das curvas alxébricas hai un enfoque diferente ás asíntotas. A curva interprétase primeiro no plano proxectivo usando coordenada homoxénea. Entón, as asíntotas son liñas que son tanxentes á curva proxectiva nun punto no infinito, evitando así a necesidade dun concepto de distancia e converxencia. Nun marco común (*x, y, z*) son coordenadas homoxéneas coa liña no infinito (recta impropia) determinada pola ecuación *z* = 0. Por exemplo, C. G. Gibson escribiu:
:Para a hipérbole rectangular estándar f = x^2 - y^2 -1 en \mathbb{R}^{2}, a curva proxectiva correspondente é F = x^2 - y^2 - z^2, que se encontra con *z* = 0 nos puntos *P* = (1 : 1 : 0) e *Q* = (1 : &minus;1 : 0). Tanto *P* como *Q* son simples en *F*, con tanxentes *x* + *y* = 0, *x* &minus; *y* = 0; así recuperamos as 'asíntotas' familiares da xeometría elemental.

## Diagrama de Minkowski
O diagrama de Minkowski está deseñado nun plano de espazo-tempo onde o aspecto espacial foi restrinxido a unha única dimensión. As unidades de distancia e tempo nun plano deste tipo son 
* unidades de 30 centímetros de lonxitude e nanosegundos, ou
* unidades astronómicas e intervalos de 8 minutos e 20 segundos, ou
* anos luz e anos.
Cada unha destas escalas de coordenadas resulta en conexións de fotóns de eventos ao longo de liñas diagonais de pendente máis ou menos un.

Cinco elementos constitúen o diagrama que Hermann Minkowski usou para describir as transformacións da relatividade: a hipérbole unitaria , a súa hipérbole conxugada, os eixos da hipérbole, un diámetro da hipérbole unitaria e o diámetro conxugado.
O plano cos eixos refírese a un sistema de referencia en repouso. O diámetro da hipérbole unitaria representa un sistema de referencia en movemento con rapidez a onde \tanh a =  y / x  e ( x , y ) é o punto final do diámetro na hipérbole unitaria. O diámetro conxugado representa o *hiperplano espacial de simultaneidade* correspondente á rapidez a.

## Parametrización
miniatura|296px|dereita|As ramas da hipérbole unitaria evolucionan como os puntos (\cosh a, \sinh a) e (-\cosh a, -\sinh a) dependendo do parámetro do ángulo hiperbólico a.

Un xeito directo de parametrizar a hipérbole unitaria comeza coa hipérbole *xy* = 1 parametrizada coa función exponencial: ( e^t, \ e^{-t}).

Esta hipérbole transfórmase na hipérbole unitaria mediante unha aplicación linear que ten por matriz A = \tfrac {1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\ :
:(e^t, \ e^{-t}) \ A = (\frac{e^t + e^{-t}}{2},\ \frac{e^t - e^{-t}}{2}) = (\cosh t,\ \sinh t).

Este parámetro *t* é o *ángulo hiperbólico*, que é o argumento das funcións hiperbólicas.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* F. Reese Harvey (1990) *Spinors and calibrations*, Figure 4.33, page 70, Academic Press,  .

### Outros artigos 
Hipérbole