Estatística de Bose-Einstein

A **estatística de Bose-Einstein** é un tipo de mecánica estatística aplicable á determinación das propiedades estatísticas de grandes conxuntos de partículas indistinguibles capaces de coexistir no mesmo estado cuántico (bosóns) en equilibrio térmico. A baixas temperaturas, os bosóns tenden a ter un comportamento cuántico similar que pode chegar a ser idéntico a temperaturas próximas ao cero absoluto nun estado da materia coñecido como condensado de Bose-Einstein, producido por primeira vez en laboratorio no ano 1995. O condensador Bose-Einstein funciona a temperaturas próximas do cero absoluto, -273,16&nbsp;°C (0 Kelvin).

A estatística de Bose-Einstein foi introducida para estudar as propiedades estatísticas dos fotóns en 1920 polo físico hindú Satyendra Nath Bose e xeneralizada para átomos e outros bosóns por Albert Einstein en 1924. Este tipo de estatística está intimamente relacionada coa estatística de Maxwell-Boltzmann (derivada inicialmente para gases) e as estadísticas de Fermi-Dirac (aplicables a partículas denominadas fermións sobre as que rexe o principio de exclusión de Pauli que impide que dous fermións compartan o mesmo estado cuántico).

A estatística de Bose-Einstein redúcese á estatística de Maxwell-Boltzmann para enerxías suficientemente elevadas.

## Formulación matemática 
O número de partículas nun estado de enerxía *i* é:
{{ecuación|
{{Ecuación|n_{i}\left( \varepsilon _{i}\text{, }T \right)=\frac{g_{i}}{e^{{\left( \varepsilon _{i}-\mu  \right)}/{k_{B}T}\;}-1}||left}}
||left}}
onde:
:n_i\, é o número de partículas nun estado *i*.
:g_i\, é a dexeneración cuántica do estado *i* ou número de funcións de onda diferentes que posúen dita enerxía.
:\epsilon_i\, é a enerxía do estado *i*.
:\mu\, é o potencial químico.
:k_B\, é a constante de Boltzmann.
:T\, é a temperatura.

A estatística de Bose-Einstein redúcese á estadística de Maxwell-Boltzmann para enerxías: (\epsilon_i - \mu)>> kT

## Derivación
Dado que os sistemas bosónicos son sistemas de partículas indistinguibles, os estados cuxa única diferenza é a permutación de estados de dúas partículas son idénticos. Deste xeito, un estado do sistema estará univocamente definido polo número de partículas que se encontren nun determinado estado enerxético. Denotarase por  \epsilon_r  o estado enerxético r-ésimo, por  n_r  o número de partículas no estado r-ésimo e R cada unha das posibles combinacións de números de ocupación. A función de partición resulta:
:
\mathcal{Z}=\sum_l e^{-\beta (E_l-\mu n_l)}=\sum_R e^{-\beta \sum_r(\epsilon_r n_r-\mu n_r)}=\sum_R \prod_r e^{-\beta (\epsilon_r n_r-\mu n_r)}

A anterior expresión contén todas as combinacións posibles de  n_r  entre 0 e  \infty  (posto que nun sistema bosónico o número de partículas por estado cuántico non está limitado) de forma que pode ser reescrita do seguinte xeito:
:
\mathcal{Z}=\prod_r\sum_{n_r=0}^{\infty}e^{-\beta (\epsilon_r n_r-\mu n_r)}=\prod_r\frac{1}{1-e^{-\beta (\epsilon_r -\mu )}}

Aplicando que:
:
\Phi=k_BTln\mathcal{Z}\quad y \quad \frac{\partial \Phi}{\partial \mu}=-N

Tense que:
:
\Phi=k_BTln\mathcal{Z}=-k_BT\sum_rln(1-e^{-\beta (\epsilon_r -\mu )})\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial \Phi}{\partial \mu}=-N=-\sum_r n_r=-\sum_r\frac{e^{-\beta (\epsilon_r -\mu )}}{1-e^{-\beta (\epsilon_r -\mu )}}

De modo que:
:
n_r=\frac{1}{e^{\beta (\epsilon_r -\mu )}-1}

Debido a que poden existir diferentes estados cuánticos cunha mesma enerxía, o número de partículas cunha determinada enerxía virá dado por:
:
n_\epsilon=\frac{g_\epsilon}{e^{\beta (\epsilon -\mu )}-1}

sendo  g_E  a dexeneración de tal enerxía.

Na anterior expresión obsérvase que o potencial químico será menor que todas as enerxías, do contrario o número medio de partículas nun estado podería ser negativo.

## Aplicacións 
* A distribución de enerxía da radiación do corpo negro dedúcese da aplicación da estatística de Bose-Einstein aos fotóns que compoñen a radiación electromagnética.
* A capacidade calorífica dos sólidos tanto a altas como a baixas temperaturas pode ser deducida a partir da estatística de Bose-Einstein aplicada aos fonóns, cuasipartículas que dan conta das excitacións da rede cristalina. En particular a lei de Dulong-Petit pode ser deducida da estatística de Bose-Einstein.