Función de contaxe de números primos

En matemáticas, a **función de contaxe de números primos** é a función que conta o número de números primos menores ou igual a algún número real .  Desígnase por  (sen relación co número).
dereita|miniatura|400x400px| Os valores de  para os primeiros 60 enteiros positivos

## Taxa de crecemento 
De grande interese na teoría de números é a taxa de crecemento da función de contaxe de primos. Foi conxecturado a finais do século XVIII por Gauss e por Legendre como aproximadamente 
: \frac{x}{\log(x)}  
onde  é o logaritmo natural, no sentido de que 
:\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{\pi(x)}{x/\log(x)}=1.
Esta afirmación é o teorema dos números primos. Unha afirmación equivalente é 
:\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\pi(x)}{\operatorname{li}(x)}=1, 
onde  \operatorname{li}(x) = \int_0^x \frac{dt}{\ln t} é a función logaritmo integral. 

O teorema dos números primos foi probado por primeira vez en 1896 por Jacques Hadamard e por Charles de la Vallée Poussin de forma independente, utilizando as propiedades da función zeta de Riemann introducida por Riemann en 1859. Atle Selberg e Paul Erdős atoparon probas do teorema dos números primos que non empregaban a función zeta nin a análise complexa arredor de 1948 (na súa maior parte de forma independente).

### Estimacións máis precisas 
No 1899, de la Vallée Poussin probou que 
:\pi(x) = \operatorname{li} (x) + O \left(x e^{-a\sqrt{\log x}}\right) \quad\text{as } x \to \infty

Agora coñécense estimacións máis precisas de . Por exemplo, en 2002, Kevin Ford demostrou que
:\pi(x) = \operatorname{li} (x) + O \left(x \exp \left( -0.2098(\log x)^{3/5} (\log \log x)^{-1/5} \right) \right).

Para valores de  que non sexan excesivamente grandes,  é maior que . Porén,  sábese que muda de signo infinitas veces. Para unha discusión sobre isto, consulte o número de Skewes.

### Forma exacta 
Para  sexa  cando  é un número primo, e  doutro xeito. Bernhard Riemann, na súa obra *Sobre o número de primos menores que unha magnitude dada*, demostrou que  é igual a
miniatura|402x402px| Fórmula explícita de Riemann usando os primeiros 200 ceros non triviais da función zeta
:\pi_0(x) = \operatorname{R}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(x^\rho), 
onde 
:\operatorname{R}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n} \operatorname{li}\left(x^{1/n}\right), 
e aquí  é a función de Möbius,  é o logaritmo integral,  indexa cada cero da función zeta de Riemann. Se se recollen os ceros triviais e a suma tómase *só* sobre os ceros non triviais  da función zeta de Riemann, entón  pode ser aproximado por
:\pi_0(x) \approx \operatorname{R}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{R}\left(x^\rho\right) - \frac{1}{ \log(x)} + \frac{1}{\pi} \arctan{\frac{\pi}{\log(x)}}.

A hipótese de Riemann suxire que cada cero non trivial deste tipo está ao longo de .

## Táboa de  , , e  
A táboa mostra as tres funcións ,  e  comparadas nas potencias de 10. Ver tamén, e
:

thumb|300px|300px|Gráfica que mostra a relación da función de contaxe de primos  a dúas das súas aproximacións,  e . A medida que aumenta  (observe que o eixo  é logarítmico), ambas as razóns tenden cara a 1. A razón para  converxe desde arriba moi lentamente, mentres que a razón para  converxe máis rápido desde abaixo.
Na On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, a columna  é a ,  é a  e  é a .

O valor de  foi calculado orixinalmente por J. Buethe, J. Franke, A. Jost e T. Kleinjung asumindo a hipótese de Riemann. Máis tarde comprobouse sen condicións nun cálculo de DJ Platt. O valor de  débese a J. Buethe, J. Franke, A. Jost e T. Kleinjung. O valor de  foi calculado por DB Staple. Todas as demais entradas anteriores nesta táboa tamén foron verificadas como parte dese traballo.

Os valores para 1027, 1028 e 1029 foron anunciados por David Baugh e Kim Walisch en 2015, 2020, e 2022,  respectivamente.

## Algoritmos para avaliar  
Unha forma sinxela de atopar π(x), se x non é demasiado grande, é usar a creba de Eratóstenes para producir os primos menores ou iguais a x e despois contalos.

Unha forma máis elaborada de atopar  débese a Legendre (usando o principio de inclusión-exclusión): dado , se  son números primos distintos, entón o número de enteiros menor que ou iguais a  que non son divisíbeis por ningún  é

: \lfloor x\rfloor - \sum_{i}\left\lfloor\frac{x}{p_i}\right\rfloor + \sum_{i

(onde  denota a función chan). Este número é, polo tanto, igual a

: \pi(x)-\pi\left(\sqrt{x}\right)+1

cando os números  son os números primos menores ou iguais á raíz cadrada de .

### Algoritmo de Meissel-Lehmer 
Nunha serie de artigos publicados entre 1870 e 1885, Ernst Meissel describiu (e utilizou) unha forma combinatoria práctica de avaliar : Sexan  os primeiros  primos e denotémos por  o número de números naturais non superiores a  que non son divisíbeis por ningún dos  para calquera . Entón

: \Phi(m,n)=\Phi(m,n-1)-\Phi\left(\frac m {p_n},n-1\right).

Dado un número natural , se  e se , entón

: \pi(m) = \Phi(m,n)+n(\mu+1)+\frac{\mu^2-\mu} 2 - 1 - \sum_{k=1}^\mu\pi\left(\frac m {p_{n+k}}\right) .

Usando este enfoque, Meissel calculou , para  igual a , 106, 107, e 108.

En 1959, Derrick Henry Lehmer ampliou e simplificou o método de Meissel

## Outras funcións de contaxe de primos 
### Función de Riemann de contaxe de potencias de primos 
Adoita denotarse como  ou . Ten saltos de

Formalmente, podemos definir  por

: \Pi_0(x) = \frac{1}{2} \left( \sum_{p^n 

onde a variable  en cada suma varía sobre todos os primos dentro dos límites especificados.

Tamén podemos escribir

: \ \Pi_0(x) = \sum_{n=2}^x \frac{\Lambda(n)}{\log n} - \frac{\Lambda(x)}{2\log x} = \sum_{n=1}^\infty \frac 1 n \pi_0\left(x^{1/n}\right)

onde  é a función de von Mangoldt e

: \pi_0(x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\pi(x-\varepsilon) + \pi(x+\varepsilon)}{2}.

A fórmula de inversión de Möbius dá logo

: \pi_0(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n}\ \Pi_0\left(x^{1/n}\right),

onde  é a función de Möbius.

Coñecendo a relación entre o logaritmo da función zeta de Riemann e a función de von Mangoldt , e utilizando a fórmula de Perron temos

: \log \zeta(s) = s \int_0^\infty \Pi_0(x) x^{-s-1}\, \mathrm{d}x.

### Función de Chebyshev 
A **función de Chebyshev** pondera números primos ou potencias de primos  mediante  :

: \begin{align}
\theta(x) &= \sum_{p\le x} \log p . \\
\psi(x)&=\sum_{p^n \le x} \log p = \sum_{n=1}^\infty \theta \left( x^{1/n} \right) = \sum_{n \le x}\Lambda(n) .
\end{align}

Para ,

: \vartheta(x) = \pi(x)\log x - \int_2^x \frac{\pi(t)}{t}\, \mathrm{d}t 

e

: \pi(x)=\frac{\vartheta(x)}{\log x} + \int_2^x \frac{\vartheta(t)}{t\log^{2}(t)} \mathrm{d} t .

## Fórmulas para as funcións de contaxe de números primos 
As fórmulas para as funcións de contaxe de primos son de dous tipos: fórmulas aritméticas e fórmulas analíticas. As fórmulas analíticas para a contaxe de primos foron as primeiras utilizadas para demostrar o teorema dos números primos. Procedentes do traballo de Riemann e von Mangoldt, coñécense xeralmente como fórmulas explícitas.

Temos a seguinte expresión para a segunda función de Chebyshev :

: \psi_0(x) = x - \sum_\rho \frac{x^\rho}{\rho} - \log 2\pi - \frac{1}{2} \log\left(1-x^{-2}\right),

onde

: \psi_0(x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\psi(x - \varepsilon) + \psi(x + \varepsilon)}{2}.

Aquí  son os ceros da función zeta de Riemann na franxa crítica, onde a parte real de  está entre cero e un. A fórmula é válida para valores de  maiores que un, que é a rexión de interese. A suma sobre as raíces é condicionalmente converxente e debe tomarse por orde crecente do valor absoluto da parte imaxinaria. Teña en conta que a mesma suma sobre as raíces triviais dá o último sustraendo da fórmula.

Para  temos unha fórmula máis complicada

: \Pi_0(x) = \operatorname{li}(x) - \sum_{\rho} \operatorname{li}\left(x^\rho\right) - \log 2 + \int_x^\infty \frac{\mathrm{d}t}{t \left(t^2 - 1\right) \log t}.

De novo, a fórmula é válida para , mentres que  son os ceros non triviais da función zeta ordenados segundo o seu valor absoluto. A integral é igual á serie sobre os ceros triviais:

: \int_x^\infty \frac{\mathrm dt}{t \left(t^2 - 1\right) \log t}=\int_x^\infty \frac{1}{t\log t}
\left(\sum_{m}t^{-2m}\right)\,\mathrm dt=\sum_{m}\int_x^\infty \frac{t^{-2m}}{t\log t}
\,\mathrm dt \,\,\overset{\left(u=t^{-2m}\right)}{=}-\sum_{m} \operatorname{li}\left(x^{-2m}\right)

O primeiro termo  é o logaritmo integral usual; a expresión  no segundo termo debería considerarse como , onde  é a continuación analítica da función integral exponencial desde os reais negativos ata o plano complexo coa ramificación cortada ao longo dos reais positivos.

Así, a fórmula de inversión de Möbius dános 

: \pi_0(x) = \operatorname{R}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{R}\left(x^\rho\right) - \sum_{m} \operatorname{R}\left(x^{-2m}\right)

válido para , onde

: \operatorname{R}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n} \operatorname{li}\left(x^{1/n}\right) = 1 + \sum_{k=1}^\infty \frac{\left(\log x\right)^k}{k! k \zeta(k+1)}

é a función R de Riemann  e  é a función de Möbius. Esta última serie coñécese como serie de Gram. Como  para todo , esta serie converxe para todo  positivo en comparación coa serie para . 

A suma sobre os ceros non triviais de zeta na fórmula para  describe as flutuacións de  mentres que os termos restantes dan a parte "suave" da función de contaxe de primos,, así que pódese usar

: \operatorname{R}(x) - \sum_{m=1}^\infty \operatorname{R}\left(x^{-2m}\right)

como un bo estimador de  para . 

De feito, xa que o segundo termo achégase a 0 cando , mentres que a amplitude da parte "ruidosa" é heurísticamente aproximado a , estimando  só por  é igual de bo, e as flutuacións da distribución dos números primos poden representarse claramente coa función

: \bigl( \pi_0(x) - \operatorname{R}(x)\bigr) \frac{\log x}{\sqrt x}.

## A hipótese de Riemann 
A hipótese de Riemann implica un límite moito máis estreito do erro na estimación de  e, polo tanto, unha distribución máis regular dos números primos,

: \pi(x) = \operatorname{li}(x) + O(\sqrt{x} \log{x}).

En concreto,

: |\pi(x) - \operatorname{li}(x)| 

 probou que a hipótese de Riemann implica que para todo  hai un primo  a satisfacer

: x - \frac{4}{\pi} \sqrt{x} \log x 

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
### Outros artigos 
* Postulado de Bertrand
* Conxectura de Oppermann
* Número primo de Ramanujan
### Ligazóns externas 
*Chris Caldwell, *The Nth Prime Page* at The Prime Pages.
*Tomás Oliveira e Silva, Tables of prime-counting functions.