Último Teorema de Fermat

miniatura|dereita|200px|Pierre de Fermat
O **Último teorema de Fermat**, ou **teorema de Fermat-Wiles**, afirma que non existe ningún conxunto de enteiros positivos x, y, z e n con n maior que 2 que satisfaga
:x^n+y^n=z^n.
(Para os primeiros valores de n existe unha infinidade de solucións: o caso n=1 é evidente, o caso n=2 admite, entre outras, a solución clásica 42 + 32 = 52 e utiliza o método do círculo).

## Historia e características 
O teorema debe o seu nome a Pierre de Fermat, que escribiu ás marxes dunha tradución de *Arithmetica* de Diofanto, ao lado do enunciado deste problema:
:''J'ai découvert une preuve tout á fait remarcable, máis la marge est trop petite pour l'écrire.*
:*Atopei unha proba absolutamente remarcábel, mais a marxe é pequena demais para escribila*.

Despois de ter sido obxecto de fervorosas investigacións durante máis de 300 anos (esa nota insinuaba que unha demostración elementar era posíbel, o que atizou a curiosidade de todos), foi finalmente demostrado en 1994 polo matemático británico Andrew Wiles. A gran maioría dos matemáticos pensan hoxe que Fermat estaba enganado: a proba (retraballada desde entón) utiliza ferramentas matemáticas bastante elaboradas da Teoría dos números, ferramentas que aínda non existían na época en que viviu Fermat.

Máis precisamente, Wiles probou a conxectura de Shimura-Taniyama-Weil, pois sabíase xa había algún tempo que ela implicaba o teorema. A proba utiliza as formas modulares e as representacións galoisianas (de Évariste Galois, matemático francés).

Este teorema non ten aplicación ningunha *per se*: ten un valor importante, no entanto, debido ás ideas e ás ferramentas matemáticas que foron inventadas e desenvolvidas para probalo.

Pódese entender este teorema graficamente considerándose a curva da ecuación &nbsp;xn&nbsp;+&nbsp;yn&nbsp;=&nbsp;1 : se n&nbsp;>&nbsp;2, esa curva non pasa por ningún punto con coordenadas racionais diferentes de cero.

### Observación 
Sendo costume que se dea a un teorema o nome daquel que fixo a súa demostración, o título «teorema de Fermat» pode non ser apropiado. Deberíase falar ou dunha *conxectura de Fermat* ou do *teorema de Wiles*.

### O Último Teorema de Fermat e a Literatura 
Propiciando notábeis avances en varios ramos da matemática, a saga de 359 anos de tentativas, erros e acertos está admirabelmente descrita no libro *Fermat's Last Theorem*, do autor británico Simon Singh, con 300 páxinas.

## Visión xeral 
### Orixes pitagóricas 
A Ecuación de Pitágoras, , ten un número infinito de solucións enteiras positivas para *x*, *y* e *z*; estas solucións coñécense como ternas pitagóricas (sendo o exemplo máis sinxelo 3, 4, 5). Ao redor de 1637, Fermat escribiu na marxe dun libro que a ecuación máis xeral  non tiña solucións en números enteiros positivos se *n* é un número enteiro maior que 2. Aínda que el afirmou ter unha proba xeral da súa conxectura, Fermat non deixou detalles da súa proba, e nunca se atopou ningunha. A súa afirmación foi descuberta uns 30&nbsp;anos despois, despois da súa morte. Esta afirmación, que chegou a ser coñecida como *Último teorema de Fermat*, permaneceu sen resolver durante os seguintes tres séculos e medio.

A afirmación finalmente converteuse nun dos problemas de matemáticas sen resolver máis notables. Os intentos de demostralo provocaron un desenvolvemento substancial na teoría dos números, e co paso do tempo o Último Teorema de Fermat gañou protagonismo como problema non resolvido en matemáticas.

### Enunciados equivalentes do teorema 
Hai varias formas alternativas de enunciar o último teorema de Fermat que son matematicamente equivalentes ao enunciado orixinal do problema.

Para enuncialos empregamos as seguintes notacións: sexa  o conxunto de números naturais 1, 2, 3, ..., sexa  o conxunto de números enteiros 0, ±1, ±2, ..., e sexa  o conxunto de números racionais , onde  e  están en  con . No que segue chamaremos unha solución a  onde se un ou máis de ,  ou  son cero temos unha *solución trivial*. Unha solución na que os tres sexan diferentes de cero chamarase solución *non trivial*.

Por motivos de comparación comezamos coa formulación orixinal.
* **Declaración orixinal**. Con , , ,  ∈  (que significa que *n*, *x*, *y*, *z* son todos números enteiros positivos) e , a ecuación  non ten solucións.
* **Enunciado equivalente 1:** , onde o número enteiro  ≥ 3, non ten solucións non triviais , ,  ∈ .

A equivalencia é clara se  é par. Se  é impar e os tres  son negativos, sempre se pode facer a sustititución polo valor negativo da variábel e reorganizar a ecuación para obter a orixinal.

* **Enunciado equivalente 2:** , onde o número enteiro , non ten solucións non triviais .

Isto débese a que os expoñentes de  e  son iguais, polo que se hai unha solución en , entón pódese multiplicar por un denominador común apropiado para obter unha solución en , e polo tanto en .

* **Enunciado equivalente 3:** , onde o número enteiro , non ten solucións non triviais .

Unha solución non trivial , ,  ∈  de  dá a solución non trivial ,  ∈  para . Pola contra, unha solución ,  ∈  a  produce a solución non trivial  para .

Esta última formulación resulta especialmente fructífera, porque reduce o problema dun problema de superficies en tres dimensións a un problema de curvas en dúas dimensións. A maiores, permite traballar sobre o corpo , en lugar de sobre o anel ; Os corpos presentan máis estrutura que os aneis, o que permite unha análise máis profunda dos seus elementos.

* **Enunciado equivalente 4: conexión con curvas elípticas:** Se , ,  é unha solución non trivial de ,  primo impar, logo  (curva de Frey) será unha curva elíptica sen forma modular.

Examinando esta curva elíptica co teorema de Ribet móstrase que non ten unha forma modular. No entanto, a demostración de Andrew Wiles demostra que calquera ecuación da forma  ten unha forma modular. Calquera solución non trivial para  (con  un primo impar) polo tanto, crearía unha contradición, que á súa vez demostra que non existen solucións non triviais.

O descubrimento desta afirmación equivalente foi crucial para a solución final do Último Teorema de Fermat, xa que proporcionaba un medio polo cal podía ser "atacado" para todos os números á vez.

## Camiño da solución 
### Os primeiros avances modernos 
#### Sophie Germain 
A principios do século XIX, Sophie Germain desenvolveu varias novas aproximacións para demostrar o último teorema de Fermat para todos os expoñentes. En primeiro lugar, definiu un conxunto de números primos auxiliares *θ* construídos a partir do expoñente primo *p* pola ecuación , onde *h* é calquera número enteiro non divisíbel por tres. Mostrou que, se ningún enteiro elevado á potencia *p*-ésima era adxacente ao módulo *θ* (a *condición de non-consecutividade*), entón *θ* debe dividir o produto *xyz*. O seu obxectivo era usar a indución matemática para demostrar que, para calquera *p* dado, habería infinitos números primos auxiliares *θ* que satisfarían a condición de non-consecutividade e, polo tanto, dividirían *xyz*; xa que o produto *xyz* pode ter como máximo un número finito de factores primos, tal proba estabelecería o último teorema de Fermat. Como subproduto deste traballo, probou o teorema de Sophie Germain, que verifica o primeiro caso do Último Teorema de Fermat (é dicir, o caso no que *p* non divide *xyz*) para cada expoñente primo impar menor de 270, Esta conxectura foi probada en 1983 por Gerd Faltings, e agora coñécese como teorema de Faltings.

#### Estudos computacionais 
Na segunda metade do século XX, utilizáronse métodos computacionais para estender o enfoque de Kummer aos números primos irregulares. En 1954, Harry Vandiver utilizou un SWAC para demostrar o último teorema de Fermat para todos os números primos ata 2521. En 1978, Samuel Wagstaff estendera isto a todos os números primos inferiores a 125.000. En 1993, o último teorema de Fermat estaba demostrado para todos os números primos inferiores a catro millóns.

### Conexión con curvas elípticas 
A estratexia que finalmente levou a unha proba exitosa do Último Teorema de Fermat xurdiu da  conxectura de Taniyama–Shimura–Weil, proposta ao redor de 1955, que moitos matemáticos crían que sería case imposíbel de probar,)
: *y*2 = 
tería unhas propiedades tan pouco habituais que era improbábel que fose modular. Isto entraría en conflito co teorema da modularidade, que afirmaba que todas as curvas elípticas son modulares. Como tal, Frey observou que unha proba da conxectura de Taniyama–Shimura–Weil tamén podería demostrar simultaneamente o último teorema de Fermat. Por contraposición, unha refutación do Último teorema de Fermat refutaría a conxectura de Taniyama-Shimura-Weil.

Seguindo esta estratexia, unha proba do último teorema de Fermat requiriu dous pasos. En primeiro lugar, foi necesario probar o teorema da modularidade, ou polo menos demostralo para os tipos de curvas elípticas que incluían a ecuación de Frey (coñecida como curva elíptica semiestábel). En segundo lugar, era necesario demostrar que a intuición de Frey era correcta: que se unha elíptica era construída deste xeito, usando un conxunto de números que eran unha solución da ecuación de Fermat, a curva elíptica resultante non podía ser modular. Frey demostrou que isto era *plausible*, mais non chegou a dar unha proba completa. A peza que faltaba (a chamada "conxectura epsilon", agora coñecida como teorema de Ribet) foi identificada por Jean-Pierre Serre que tamén deu unha proba case completa e a ligazón suxerida por Frey foi finalmente probada en 1986 por Ken Ribet.

Seguindo o traballo de Frey, Serre e Ribet, aquí se situaron as cousas:

* O último teorema de Fermat debía ser demostrado para todos os expoñentes *n* que fosen números primos.
* O teorema da modularidade (se se demostra para curvas elípticas semiestábeis) significaría que todas as curvas elípticas semiestábeis "deben" ser modulares.
* O teorema de Ribet mostrou que calquera solución da ecuación de Fermat para un número primo podería usarse para crear unha curva elíptica semiestábel que *non podería* ser modular;
* O único xeito de que estas dúas afirmacións puidesen ser certas era se *non* existisen solucións para a ecuación de Fermat (porque entón non se podía crear esa curva), que era o que dicía o Último Teorema de Fermat. Como o teorema de Ribet xa estaba demostrado, isto significaba que unha demostración do teorema da modularidade probaría automaticamente que o último teorema de Fermat tamén era certo.

### Demostración xeral de Wiles 
[thumb|upright=0.65|matemático británico [Andrew Wiles]]

A proba de Ribet da conxectura épsilon en 1986 logrou o primeiro dos dous obxectivos propostos por Frey. Ao coñecer o éxito de Ribet, Andrew Wiles, adicouse a realizar a segunda metade: probando un caso especial do Teorema da modularidade (daquela coñecida como conxectura de Taniyama-Shimura) para as curvas elípticas semiestábeis curvas.

O seu estudo inicial suxeriu unha proba por indución,

Wiles presentou a súa proba da conxectura Taniyama-Shimura para curvas elípticas semiestábeis; xunto coa proba de Ribet da conxectura épsilon, isto implicaba o Último Teorema de Fermat. No entanto, durante a revisión por pares fíxose evidente que un punto crítico da proba era incorrecto. Contiña un erro nun límite na orde dun grupo. O erro foi detectado por varios matemáticos que revisaban o manuscrito de Wiles, incluído Katz (no seu papel de revisor),  que alertaron a Wiles o 23 de agosto de 1993.

O erro non faría inútil o seu traballo: cada parte da obra de Wiles era moi significativa e innovadora por si mesma, así como os moitos desenvolvementos e técnicas que creara durante o seu traballo, e só unha parte se viu afectada. e "Propiedades teóricas do anel de certas álxebras de Hecke", o segundo deles foi escrito en colaboración con Taylor e demostrou que se cumprían certas condicións que eran necesarias para xustificar o paso corrixido no artigo principal. Os dous artigos foron revisados ​​e publicados como a totalidade do número de maio de 1995 dos *Annals of Mathematics*. O método da demostración de identificación dun anel de deformación cunha álxebra de Hecke (agora denominada *teorema R=T'') para probar teoremas de levantamento de modularidade foi un desenvolvemento influente na teoría alxébrica de números.

Estes traballos estabeleceron o teorema de modularidade para as curvas elípticas semiestábeis, o último paso para demostrar o Último Teorema de Fermat, 358 anos despois de que se conxecturase.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
### Outros artigos 
* Conxectura da suma de potencias de Euler
* Proba de imposibilidade
* Primos de Wall–Sun–Sun

### Ligazóns externas 
* 
* 
*  Blog that covers the history of Fermat's Last Theorem from Fermat to Wiles.
* 
*  Discusses various material that is related to the proof of Fermat's Last Theorem: elliptic curves, modular forms, Galois representations and their deformations, Frey's construction, and the conjectures of Serre and of Taniyama–Shimura.
*  The story, the history and the mystery.
* 
* 
*  The title of one edition of the PBS television series NOVA, discusses Andrew Wiles's effort to prove Fermat's Last Theorem.
*  Simon Singh and John Lynch's film tells the story of Andrew Wiles.