Cadrado perfecto

Un número **cadrado perfecto** en matemáticas, ou un **número cadrado**, é un número enteiro que é o cadrado doutro; ou dito doutro xeito, é un número que ten como raíz cadrada un número natural.

Un número é un cadrado perfecto se se pode dispor nunha figura cadrada. Por exemplo, 9 é un número cadrado perfecto xa que pode ser escrito como 3 × 3, e pódese dispor do seguinte xeito:

Un número enteiro positivo que non ten divisores cadrados fóra do 1 denomínase número libre de cadrados.
[miniatura|dereita|Elevar 5 ao cadrado dá a [área dun cadrado de lado 5.]]
En álxebra, o cadrado dun número *n* exprésase como *n²*, e equivale a *n × n*. A operación alxébrica de elevar ao cadrado un número *n* proporciónanos a área dun cadrado xeométrico cun lado que mide *n*. Por tal razón, esta operación coñécese como *elevar ao cadrado*.

Un número natural *n* elevado ao cadrado pódese linearizar por medio da seguinte expresión:

: 
   n^2 =
   \sum_{i=1}^n{(2i-1)}

Así, por exemplo:

: 
   3^2 =
   \sum_{i=1}^3{(2i-1)} =
   1 + 3 + 5 =
   9

Que dá o mesmo resultado que a multiplicación:

: 
   3^2 =
   3\times 3=9

## Propiedades 
A fórmula xeral para o *n*-ésimo número cadrado é *n2*. Esta expresión é igual á suma dos *n* primeiros números impares, demostrable por indución matemática, rexistrada na seguinte fórmula:

:: n^2 = \sum_{k=1}^n \; (2k-1)
::: e.g. \ 5^2 = \sum_{k=1}^5 \; (2k-1) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Un cadrado par pódese expresar como a suma de dous impares consecutivos. Se cumpre a condición cabe pois  P = 4n^2   e exponse a seguinte ecuación:

:: P = (2n^2 + 1)+(2 n^2 -1)

Un número primo da forma 4k + 1 pódese expresar como a suma de dous cadrados:

::  4k+1 = m^2 + n^2  
::: e.g. \ k=4 \rightarrow 17 = 16+1 = 4^2 + 1^2; \quad k=9 \rightarrow 37 = 6^2 + 1^2= 36+1

Os babilonios usaban táboas de cadrados para a multiplicación aplicando a fórmula:

:: ab = \frac{1}{4} [(a+b)^2 - (a-b)^2]
::: e.g. \ 5\times 2 = \frac{1}{4} [(5+2)^2 - (5-2)^2] = \frac{49 - 9}{4}= \frac{40}{4} = 10

O teorema dos catro cadrados de Lagrange establece que calquera número enteiro positivo pode ser escrito como a suma de catro cadrados perfectos. Tres cadrados non son suficientes para ser representados como números da forma 4*k*(8*m* + 7). Un número positivo pode ser representado como unha suma de dous cadrados precisamente se a factorización en números primos non contén potencias impares da forma 4*k*&nbsp;+&nbsp;3. Esta é unha xeneralización do problema de Waring.

Segundo o último díxito do número *n* do que se quere calcular o seu cadrado pódese comprobar que este cadrado terá as propiedades seguintes:

# Se o último díxito é 0, o seu cadrado acaba en 00 e os díxitos precedentes forman un cadrado.
# Se o último díxito é 1 ou 9, o seu cadrado termina en 1 e os díxitos precedentes forman un múltiplo de 4.
# Se o último díxito é 2 ou 8, o seu cadrado termina en 4 e os díxitos precedentes forman un número par.
# Se o último díxito é 3 ou 7, o seu cadrado termina en 9 e os díxitos precedentes forman un múltiplo de 4.
# Se o último díxito é 4 ou 6, o seu cadrado termina en 6 e os díxitos precedentes forman un número impar.
# Se o último díxito é 5, o seu cadrado termina en 25 e os díxitos precedentes forman un número par.
# Polo tanto, ningún cadrado perfecto enteiro acaba en 2, 3, 7 nin 8.

## Exemplos 
A cantidade de factores (divisores) dun número cadrado perfecto é sempre impar. Ou dito doutro xeito, cúmprese que para todo número natural que non é cadrado perfecto, a cantidade dos seus factores é un número par.Todo número natural pódese descompor en factores primos e os seus correspondentes expoñentes:  N=p_1^a.p_2^b.p_3^c...,onde ***N*** é un número natural, p_1, p_2, ... son números primos e ***a**,**b**,**c**,*... os seus correspondentes expoñentes. Dado que todos os posibles divisores de ***N*** son unha combinación deste produto desde ***a***=0,1,2,..*a*, ***b***=0,1,2,...*b* e ***c***=0,1,2,...*c*, a cantidade de divisores de ***N*** é:***n** = (**a**+1).(**b**+1).(**c**+1)*...   onde ***n*** é a cantidade de factores ou divisores de calquera número natural.Posto que nun número cadrado perfecto os expoñentes *a*, *b*, *c*, ... son números pares, todos os factores de ***n*** serán impares e polo tanto o produto tamén é un número impar. Isto pode comprobarse revisando unha táboa de divisores.Os primeiros 50 cadrados perfectos son:

: 02 = 0 ((sucesión   )) (REVISAR ISTO)

: 12 = 1
: 22 = 4
: 32 = 9
: 42 = 16
: 52 = 25
: 62 = 36
: 72 = 49
: 82 = 64
: 92 = 81
: 102 = 100

: 112 = 121
: 122 = 144
: 132 = 169
: 142 = 196
: 152 = 225
: 162 = 256
: 172 = 289
: 182 = 324
: 192 = 361
: 202 = 400

: 212 = 441
: 222 = 484
: 232 = 529
: 242 = 576
: 252 = 625
: 262 = 676
: 272 = 729
: 282 = 784
: 292 = 841
: 302 = 900

: 312 = 961
: 322 = 1024
: 332 = 1089
: 342 = 1156
: 352 = 1225
: 362 = 1296
: 372 = 1369
: 382 = 1444
: 392 = 1521
: 402 = 1600

: 412 = 1681
: 422 = 1764
: 432 = 1849
: 442 = 1936
: 452 = 2025
: 462 = 2116
: 472 = 2209
: 482 = 2304
: 492 = 2401
: 502 = 2500

## Cadrados seguintes e anteriores a outro 
Pode calcularse un cadrado a partir do anterior ou do anterior cadrado par/impar respecto doutro coñecido.

* A distancia entre un cadrado e o seguinte, resulta de sumar ao cadrado primeiro, 2 veces o lado do seguinte e restarlle 1: Se para 42 = 16, para 52 = 42 + (2 * 5) - 1 = 16 + 10 - 1 = 25.

Exemplos:
: cadrado 0, calcular cadrado 1: 0 + (2 * 1) - 1 = 00 + 02 -1 = 00 + 01 = 01
: cadrado 1, calcular cadrado 2: 1 + (2 * 2) - 1 = 01 + 04 -1 = 01 + 03 = 04
: cadrado 2, calcular cadrado 3: 4 + (2 * 3) - 1 = 04 + 06 -1 = 04 + 05 = 09
: cadrado 3, calcular cadrado 4: 9 + (2 * 4) - 1 = 09 + 08 -1 = 09 + 07 = 16
: cadrado 4, calcular cadrado 5: 16 + (2 * 5) - 1 = 16 + 10 -1 = 16 + 09 = 25
: cadrado 5, calcular cadrado 6: 25 + (2 * 6) - 1 = 25 + 12 -1 = 25 + 11 = 36
: cadrado 6, calcular cadrado 7: 36 + (2 * 7) - 1 = 36 + 14 -1 = 36 + 13 = 49
Outra maneira de calcular a distancia é tendo en conta a seguinte propiedade:
A diferenza entre un número cadrado e o consecutivo (se se comeza co 0) son todos os números impares, en orde ascendente:

0 + 1 = 1

1 + 3 = 4

4 + 5 = 9

9 + 7 = 16

* A distancia entre un cadrado e o seguinte do seguinte, resulta de sumar ao cadrado primeiro, 4 veces o lado desexado -1: Se para 42 = 16, para 62 = 42 + (4 * (6-1)) = 16 + 20 = 36

Exemplos:
: cadrado 0, calcular cadrado 2: 0 + (4 * (2 - 1)) = 0 + 4 = 4
: cadrado 2, calcular cadrado 4: 4 + (4 * (4 - 1)) = 4 + 12 = 16
: cadrado 4, calcular cadrado 6: 16 + (4 * (6 - 1)) = 16 + 20 = 36
: cadrado 6, calcular cadrado 8: 36 + (4 * (8 - 1)) = 36 + 28 = 64

----

: cadrado 1, calcular cadrado 3: 1 + (4 * (3 - 1)) = 1 + 8 = 9
: cadrado 3, calcular cadrado 5: 9 + (4 * (5 - 1) = 9 + 16 = 25
: cadrado 5, calcular cadrado 7: 25 + (4 * (7 - 1) = 25 + 24 = 49
Estes casos resultan de interese con números moi grandes, para achar en bucles o seguinte cadrado ou o seguinte cadrado de lado par/impar, especialmente en computación onde as sumas son moito menos custosas que as multiplicacións e as multiplicacións por potencias de 2 poden ser realizadas con instrucións de desprazamento de bits. Á súa vez as multiplicacións ('2 * x' ou por '4 * x' segundo o caso), dentro dun bucle pode manterse como unha suma se se garda o valor previo de suma. Nótese como en ambos os casos á dereita do todo, o seguinte cadrado, para ambos os casos resólvense con sumas.

A operación á inversa é facilmente deducible, é dicir, achar o cadrado anterior a outro dado.

* A distancia entre un cadrado e o anterior, resulta de restar ao cadrado primeiro, 2 veces o lado actual e sumarlle 1:  Se para 62 = 36, para 52 = 62 - (2 * 6) + 1 = 36 - 12 + 1 = 25

* A distancia entre un cadrado e o anterior do anterior, resulta de restar ao cadrado 4 veces o lado actual -1: Se para 62 = 36, para 42 = 62 - (4 * (6-1)) = 36 - 20 = 16

## Cadrados como sumas 
O *n*-ésimo número cadrado pode ser calculado do resultado obtido nas dúas anteriores posicións e ao que se lle engade o (*n*&nbsp;−&nbsp;1)-ésimo cadrado de si mesmo, subtraendo o (*n*&nbsp;−&nbsp;2)-enésimo cadrado, e engadindo 2 (n^2 = 2(n-1)^2-(n-2)^2+2). Por exemplo,
2×52&nbsp;−&nbsp;42&nbsp;+&nbsp;2 = 2×25&nbsp;−&nbsp;16&nbsp;+&nbsp;2 =
50&nbsp;−&nbsp;16&nbsp;+&nbsp;2 = 36 = 62.

É a miúdo útil notar que o cadrado de calquera número pode ser representado como a suma 1 + 1 + 2 + 2 +... + *n*&nbsp;−&nbsp;1 + *n*&nbsp;−&nbsp;1 + *n*. Por exemplo, o cadrado de 4 ou 42 é igual a 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16. Este é o resultado de engadir unha columna de grosor un ao grafo cadrado de lado tres (como nun taboleiro de tres en raia). Pódese engadir tamén tres lados e catro á parte superior para obter un cadrado. Isto pode ser tamén útil para atopar o cadrado dun número grande de forma inmediata. Por exemplo, o cadrado de 52 = 502 + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704. É máis fácil así:1572=1502 + 7 sumandos que buscamos a continuación: 150+151= 301. É o primeiro sumando e os demais son máis fáciles de atopar, 303, 305,307, 309, 311, 313. Conclusión 22500+ 301+ 303 + 305 +307 + 309 + 311 + 313 = 24649

Un número cadrado pode ser considerado tamén como a suma de dous números triangulares consecutivos. A suma de dous números cadrados consecutivos é un número cadrado centrado. Cada cadrado impar é ademais un número octogonal centrado.

## Números cadrados pares e impares 
O cadrado dun número par sempre é par (de feito é divisible por 4), xa que (2*n*)2 = 4*n*2.

O cadrado dun número impar é sempre impar, xa que (2*n* + 1)2 = 4(*n*2 + *n*) + 1.

Disto séguese que a raíz cadrada dun cadrado perfecto par sempre é par, e a raíz cadrada dun cadrado perfecto impar sempre é impar. Este feito emprégase moito nas demostracións (véxase raíz cadrada de 2).

## Suma dos primeiros n cadrados 
Para o primeiros cinco cadrados perfectos

:: 
   
   \sum_{k=1}^5 \; k^2 =
   1 + 4 + 9+ 16+25  =\frac{5(5+1)(2\times5+1)}{6}
   

Xeneralizando para os primeiros *n* cadrados perfectos resulta a suma S_2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} 

## Construción de cadrados perfectos 
* O produto de dous pares consecutivos sumánolle 1 é un cadrado perfecto

 (2n)(2n+2)+1= 4n^2+ 4n +1= (2n+1)^2Exemplo: 52·54 + 1 = 2809, cadrado de 53.

* O produto de dous impares consecutivos máis 1 é un cadrado perfecto.

 (2n-1)(2n+1)+1= 4n^2 -1 +1= 4n^2Por exemplo, 95·97 + 1 = 9216. Nos dous casos achamos o cadrado da media aritmética dos factores.

* O produto de catro enteiros consecutivos aumentado en 1 é un cadrado perfecto. (n-1)(n)(n+1)(n+2)+1= (n^2+n-1)^2 

 Por exemplo 13·14·15·16 + 1 = 43681, cadrado de 209.

* O produto dun múltiplo dun número polo múltiplo transconsecutivo do mesmo máis o cadrado do xerador é cadrado perfecto.

 kn[(k+2)n]+ n^2 = n^2(k+1)^2 Por exemplo, 7, 14, 21, 28, 35 son múltiplos de 7. Logo 21·35 + 49 = 784, cadrado de 28.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Conway, J. H. and Guy, R. K. *The Book of Numbers*. New York: Springer-Verlag, pp. 30-32, 1996. ISBN 0-387-97993-X
* Weisstein, Eric W. «Square Number».  En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.&nbsp;
### Outros artigos 
* Potenciación
* Raíz cadrada
* Ecuación de segundo grao
* Número triangular
* Función cadrática

### Ligazóns externas 
* Alpertron.com.ar Un applet XAVA que descompón un número natural na suma de catro cadrados.