Desviación típica

[325px|miniatura|Imaxe dunha [distribución normal onde cada faixa ten unha largura de 1 desviación típica.]]
En probabilidade e estatística, a **desviación típica** ou **desvío padrón** (tamén desvío ou desviación **estándar**) é a medida máis común de dispersión. De xeito sinxelo, mide como están de dispersos os valores nunha colección de datos.

A desviación estándar está definida como a raíz cadrada da varianza. Defínese desta maneira para dar unha medida da dispersión que é un número non negativo que ten as mesmas unidades que os datos.

O termo *desviación estándar* foi introducido en estatística por Karl Pearson en 1894.

## Interpretación e aplicación 
A desviación estándar é unha medida do grao de dispersión dos datos do valor medio. Dito doutra maneira, a desviación estándar é simplemente a "media" ou variación esperada con respecto da media aritmética.

Unha desviación estándar grande indica que os puntos están lonxe da media e unha desviación pequeno indica que os datos están agrupados cerca da media.

Por exemplo, as tres mostras (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) e (6, 6, 8, 8) cada unha teñen unha media de 7. As súas desviacións estándar son 7, 5 e 1, respectivamente. A terceira mostra ten unha desviación moito menor que as outras dúas porque os seus valores están máis próximos a 7.

A desviación estándar pode ser interpretado como unha medida de incerteza. A desviación estándar dun grupo repetido de medidas dá a precisión destas. Cando se vai determinar se un grupo de medidas está de acordo co modelo teórico, a desviación estándar desas medidas é de vital importancia: se a media das medidas está demasiado afastada da predición (coa distancia medida en desviacións estándar), entón considérase que as medidas contradín a teoría. Isto é de esperarse xa que as medicións caen fóra do rango de valores dos cales sería razoable esperar que ocorresen se o modelo teórico fose correcto.

## Formulación 
A desviación estándar (DS/DE) é unha medida de dispersión usada en estatística que indica canto tenden a afastarse os valores puntuais da media nunha distribución. De feito, especificamente a desviación estándar é "a media da distancia de cada punto respecto do valor medio". Adóitase representar por un **S** ou coa letra sigma, \sigma^{}_{}. Esta medida é máis estable que o percorrido e toma en consideración o valor de cada dato.

É posible calcular a desviación estándar como a raíz cadrada da integral

:{\sigma}^2 = \int_{-\infty}^\infty {(x - \mu)}^2 f(x) dx

onde

:\mu = \int_{-\infty}^\infty x f(x) dx

*O DS é a raíz cadrada da varianza da distribución

:\sigma^2 = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n
 \left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2

Así a varianza é a media dos cadrados das diferenzas entre cada valor da variable e a media aritmética da distribución.

Aínda que esta fórmula é correcta, na práctica interesa realizar inferencias de poboación, polo que no denominador en vez de n, úsase n-1 (Corrección de Bessel)

:s^2 = \frac{ \sum_{i=1}^n \left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2 }{n-1}

Tamén temos outra función máis sinxela de realizar e con menos risco de ter equivocacións:

:s^2 = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i^2 }{n-1} - \overline{x}^2 

## Exemplo
Aquí móstrase como calcular a desviación estándar dun conxunto de datos. Os datos representan a idade dos membros dun grupo de nenos. { 5, 6, 8, 9 }

1. Calcular a media \overline{x}.

:\overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i.

Neste caso, *N* = 4 porque hai catro datos:

:x_1 = 5\,\!
:x_2 = 6\,\!
:x_3 = 8\,\!
:x_4 = 9\,\!

:\overline{x}=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^4 x_i &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Substituíndo *N* por 4
:\overline{x}=\frac{1}{4} \left ( x_1 + x_2 + x_3 +x_4 \right ) 

:\overline{x}=\frac{1}{4} \left ( 5 + 6 + 8 + 9 \right ) 

:\overline{x}= 7 &nbsp;&nbsp;Esta é a media.

2. Calcular a desviación estándar \sigma\,\!

:\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}

:\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \sum_{i=1}^4 (x_i - \overline{x})^2} &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Substituíndo *N* por 4

:\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \sum_{i=1}^4 (x_i - 7)^2} &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Substituíndo \overline{x} por 7

:\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left [ (5 - 7)^2 + (6 - 7)^2 + (8 - 7)^2 + (9 - 7)^2 \right ] }

:\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left ( (-2)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 2^2 \right ) }

:\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left ( 4 + 1 + 1 + 4 \right ) }

:\sigma = \sqrt{\frac{10}{4}}

:\sigma = 1.5811\,\!  &nbsp;&nbsp;Esta é a desviación estándar.

## Notas 
## Véxase tamén
### Outros artigos
*Estatística
*Varianza
*Valor esperado