Histograma

miniatura|260x260px| Histograma dun grupo de 18 pacientes. Recolección de HDL con 6 clases definidas e intervalos de 5 mg/dL.

O **histograma**, tamén coñecido como **distribución de frecuencias**, é a representación gráfica en columnas ou barras (rectángulos) dun conxunto de datos tabulados previamente e divididos en clases uniformes ou non uniformes. A base de cada rectángulo representa unha clase. A altura de cada rectángulo representa a cantidade ou frecuencia absoluta coa que se produce o valor da clase no conxunto de datos para as clases uniformes ou a densidade de frecuencia para as clases non uniformes.  Sendo unha ferramenta estatística importante, o histograma tamén é unha das chamadas sete ferramentas de calidade. 

Cando o volume de datos aumenta indefinidamente dentro do conxunto de datos e o rango de clases tende a cero (o que fai que os rectángulos sexan cada vez máis finos e máis altos), a distribución de frecuencias convértese nunha distribución de densidade de probabilidade. A construción de histogramas é preliminar en calquera estudo e é un indicador importante da distribución de datos. Os histogramas poden indicar se unha distribución se aproxima a unha función normal, así como indicar a mestura de poboacións cando son bimodais.

## Definición informal 
Un histograma representa unha distribución de frecuencias a través de rectángulos, cuxos anchos representan intervalos de clase e cuxas áreas son proporcionais ás frecuencias (absolutas ou relativas). A altura de cada rectángulo é a frecuencia dividida polo tamaño do intervalo. Se os intervalos de clase adxacentes non teñen ocos, os rectángulos tócanse para indicar que a variábel orixinal é continua. Por exemplo, un histograma pode conter dous intervalos de ligazóns 10,5 - 20,5 e 20,5 - 33,5, mais non pode conter dous intervalos de ligazóns 10,5 - 20,5 e 22,5 - 32,5. Os intervalos baleiros represéntanse como baleiros (non se ignoran).

Ás veces, os histogramas confúndense cos gráficos de barras.  Un histograma úsase para datos continuos, onde os intervalos de clase representan a extensión dos datos. Un gráfico de barras é un gráfico de variábeis discretas. Algúns autores recomendan que os gráficos de barras teñan espazos entre os rectángulos para aclarar a diferenza.

## Definición formal 
miniatura|350x350px| Un histograma acumulativo común dos mesmos datos. Os datos presentados son unha mostra aleatoria de 10.000 puntos dunha distribución normal cunha media de 0 e unha desviación estándar de 1.
En termos matemáticos, un histograma é unha función  m_i  que conta o número de observacións de cada un dos intervalos de clase. Un gráfico é só unha forma de representar un histograma. Entón, se n é o número total de observacións e se k é o número total de intervalos de clase, o histograma  m_i  cumpre a seguinte condición

n = \sum_{i=1}^k{m_i}. 

### Histograma acumulativo 
Un histograma acumulativo é unha asignación que conta o número acumulado de observacións en todos os intervalos de clase ata o intervalo de clase especificado. Un histograma acumulativo  M_i dun histograma m_j defínese como 
M_i = \sum_{j=1}^i{m_j}
.

### Número de barras e ancho 
Non existe un número ideal de intervalos de clase. Diferentes tamaños de intervalos de clases poden revelar diferentes características dos datos. A agrupación de datos é polo menos tan antiga como o traballo de John Graunt no século XVII, aínda que non xurdiu ningunha orientación sistemática ata o traballo de Herbert Sturges en 1926. 

#### Escolla do número de barras mediante a regra da amplitude 
O número de intervalos de clase k pódese calcular directamente ou a partir dun ancho de intervalo de clase suxerido  h como

k = \left \lceil \frac{ V_\max - V_\min}{h} \right \rceil, no que \lceil x \rceil  é o número enteiro mínimo maior ou igual a x , e V_\max, V_\min son os valores máximo e mínimo da mostra.

#### Escolla do número de barras como raíz cadrada do número de observacións 
k = \sqrt{n} , 

#### Escolla do número de barras mediante a fórmula de Sturges 
A fórmula de Sturges k = \lceil 3,\!322 \cdot\log n + 1 \rceil  baséase nunha aproximación da distribución binomial á normal, 

#### Escolla do número de barras mediante a fórmula de Doane 
A fórmula de Doane é unha modificación da fórmula de Sturges que tenta mellorar o seu rendemento con datos non normais. 

 k = 1 + \log_2( n ) + \log_2 \left( 1 + \frac { |g_1| }{\sigma_{g_1}} \right) , no que g_1 é a estimación da distorsión do terceiro momento da distribución e  \sigma_{g_1} = \sqrt { \frac { 6(n-2) }{ (n+1)(n+3) } }  .

#### Escolla de ancho pola referencia normal de Scott 
h = \frac{3,\!5 \hat \sigma}{n^{1/3}}, no que \hat \sigma é a desviación estándar da mostra. A regra de referencia normal de Scott  é ideal para mostras aleatorias de datos distribuídos normalmente, no sentido de que minimiza o erro cadrado medio integrado da estimación da densidade. 

#### Escolla de ancho mediante a fórmula de Freedman-Diaconi 
A escolla de Freedman–Diaconi  Obsérvase que \textstyle \bar{m} e v depende da escolla de h', \textstyle \bar{m} \equiv \bar{m}(h'), \textstyle v \equiv v(h'). É dicir, a regra escolle o valor h que minimiza a función  \frac{ 2 \bar{m}(h) - v(h) } {h^2}  .

## Exemplo 
A partir dunha análise estatística e datos demográficos dunha poboación é posíbel construír un histograma. Por exemplo, a Oficina do Censo dos Estados Unidos  ofrece datos de 124 millóns de persoas que traballan fóra das súas casas. Usando datos sobre o tempo de viaxe desde a casa ao traballo, a táboa seguinte mostra o número absoluto de persoas que usan determinado tempo de viaxe. 
centro

## Lectura dun histograma 
Nun histograma é a área a que indica a frecuencia de aparición de cada barra. Isto significa que a altura da barra non indica necesariamente o número de ocorrencias dentro dela. É o produto da altura e o ancho da barra a que indica a frecuencia de aparición dentro da barra. Unha das razóns polas que a altura da barra se confunde co indicador de frecuencia de barras é o feito que moitos histogramas teñen barras igualmente espazadas.

Aprender a ler os histogramas tamén require comprender as partes do gráfico. O eixo X ou eixo horizontal mostra o rango ou os valores dos rangos variábeis de interese. Denomínanse comunmente intervalos de clase, que representan ou resumen grandes conxuntos de datos. O eixo Y ou eixo vertical mostra os valores de altura das barras.

## Tipos gráficos dun histograma 
### Frecuencia absoluta 
Unha frecuencia absoluta é o número que representa a cantidade de datos nunha determinada mostra ou intervalo de clase específico.  Polo tanto, a gráfica de frecuencia absoluta é o histograma habitual, onde o eixo Y (ordenada) indica a frecuencia (absoluta) coa que aparece unha clase no conxunto de datos.

alt=Tabela wiki 1.1|Táboa Wiki 1.1
alt=grafico de histograma de frequências relativas e cumulativas|dereita|468x468px| gráfico de histograma de frecuencias relativas e acumulativas

### Frecuencia relativa 
Unha frecuencia relativa é o valor porcentual que se obtén a través do resultado de dividir o valor absoluto e o número de elementos da poboación ou mostra. Para construír a frecuencia relativa e acumulativa é necesario crear unha táboa asociando a clase coa porcentaxe na que aparece no conxunto de datos. Por exemplo, na clase entre 45 e 50 mg/dL da táboa seguinte, a frecuencia absoluta foi de 4 do total de 18 mostras enviadas para a análise. Entón,

\text{frecuencia relativa}=\frac{4}{18}\times 100\%=22,22\% .alt=Tabela wiki 2.1|Wiki Táboa 2.1

### Frecuencia acumulada 
A frecuencia acumulada está ligada á suma dos valores de frecuencia relativa. Para obter o gráfico de frecuencia acumulada, engadimos en orde ascendente o valor dunha frecuencia relativa de calquera clase con todas as clases con valores máis baixos. Este gráfico é útil para obter información sobre un rango de valores. Por exemplo, na táboa anterior pódese observar que o 61,11% das mostras teñen un valor inferior a 55 mg/dL. Deste xeito, obtense os seguintes datos, que representan os histogramas de frecuencia absoluta, relativa e acumulada

alt=táboa para confeción dun histograma indicando frecuencia absoluta, relativa e acumulativa.|táboa para crear un histograma que indique a frecuencia absoluta, relativa e acumulada.

### Polígono de frecuencia 
O polígono é unha forma xeométrica que, por definición, é unha rexión pechada dun plano limitada por un conxunto de segmentos finitos. A diversidade do concepto de polígonos permite a creación dunha área, conectando os puntos centrais na parte superior de cada barra dun histograma, dando como resultado a creación dun polígono de frecuencias.
esquerda|miniatura|300x300px| Histograma 2
centro|miniatura|300x300px| polígono de frecuencia, usado no Histograma anterior

### Exemplos de histogramas estándar 
Vemos exemplos de histogramas estándar simétricos e unimodais, inclinados á dereita, á esquerda, bimodais, multimodais e simétricos. Tamén é posible atopar medidas de tendencia central, media, moda e mediana. 
miniatura|207x207px| Uso do histograma para calcular a mediana da poboación {2, 2, 3, 7, 8, 9, 9}.
miniatura|207x207px| Uso do histograma para calcular a media aritmética da poboación {2, 2, 3, 7, 8, 9, 9}.
miniatura| Usando o histograma para calcular o modo de poboación {1, 7, 4, 6, 5, 5, 3, 5}.

#### Simétrico e unimodal 
alt=Simétrico unimodal|Unimodal simétrico

Un histograma unimodal ou simétrico centra os datos na media (medida central) e ten características mediante a distribución da media e a desviación estándar. Unha característica do histograma unimodal ou simétrico é que contén o maior número de datos do centro do gráfico. Por exemplo, comezando dende o centro da base das barras e sumando á dereita e restando a desviación estándar do gráfico á esquerda, atoparás o 68% dos datos. En estatística, este modelo denomínase normal e permítenos analizar cantos outros datos se desvían deste modelo.

#### Con nesgo á dereita 
alt=Distorcido à direita|Sesgado cara á dereita

Un histograma ten nesgo cara á dereita cando a distribución de datos indica a aparición de valores altos con baixa frecuencia. Este modelo emprégase xeralmente para representar fenómenos identificados na economía por variábeis como prezo, Produto Interior Bruto (PIB), salarios, entre outras.

#### Con nesgo cara á esquerda 
alt=Distorcido à esquerda|Sesgado cara á esquerda

Un histograma ten nesgo cara á esquerda cando a frecuencia de datos se concentra en valores altos. Obsérvase que hai máis información por riba da media pola falta de simetría.

#### Meseta 
alt=Simétrico|Simétrica
Un histograma ten o formato Meseta cando as súas barras teñen practicamente os mesmos tamaños de altura. Isto ocorre cando hai varias distribucións xuntas con diferentes medias.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Diagrama de Pareto
* Estimativa de densidade kernel
* Sete ferramentas da calidade
### Ligazóns externas 
*Um método para escolher o intervalo de classe de um histograma