Rango (álxebra linear)

* o **rango dunha familia de vectores** é a dimensión do subespazo vectorial xerado por esta familia. Por exemplo, para unha familia de vectores linearmente independentes, o seu rango é o número de vectores;
* o **rango dun mapa linear** 
 f
 de 
 E
 en 
 F
 é a dimensión da súa imaxe, que é un subespazo vectorial de 
 F
. O teorema do rango relaciona a dimensión de 
 E
, a dimensión do kernel de 
 f
 e o rango de 
 f
;
* o **rango dunha matriz** é o rango do mapa linear que representa, ou o rango da familia dos seus vectores columna;
* O **rango dun sistema de ecuacións lineares** é o número de ecuacións que ten calquera sistema escalonado equivalente. É igual ao rango da matriz de coeficientes do sistema.

## Rango dunha matriz 
O rango dunha matriz A (cuxos coeficientes pertencen a un corpo conmutativo de escalares, \mathbb{K} ), denotado \text{rank}(A), pode definirse mediante calquera dos seguintes enunciados:

* o número máximo de vectores fila (ou columna) linearmente independentes;
* a dimensión do subespazo vectorial xerado polos vectores fila (ou columna) de A;
* a maior orde das matrices cadradas invertíbeis extraídas de A;
* a maior das ordes de menores non nulos de A;
* o menor tamaño das matrices B e C cuxo produto é igual a A.

O rango pódese determinar realizando unha eliminación mediante o método Gauss-Jordan e examinando a forma escalonada obtida deste xeito.

### Exemplo 
Considere a seguinte matriz :

:
 A =
 \begin{pmatrix}
  1 & 0 & 2 & 3 \\
  2 & 0 & 4 & 6 \\
  0 & 2 & 2 & 0 \\
  1 & 2 & 4 & 3 \\
 \end{pmatrix}

Chamamos l_1,l_2,l_3,l_4 os vectores formados polas catro filas de A.

Vemos que o 2 fila é o duplo da primeira fila, polo que o rango de A é igual ao da familia (l_1,l_3,l_4) .

Tamén observamos que a fila cuarta pódese formar sumando as filas 1 e 3 (i.e. l_4 = l_1 + l_3 ). Entón o rango de (l_1,l_3,l_4) é igual ao de (l_1,l_3) .

As liñas 1 e 3 son linearmente independentes (é dicir, non proporcionais). Así temos que (l_1,l_3) é de rango 2 e por tanto o rango de A é 2.

## Rango dunha forma cuadrática 
O rango dunha forma cuadrática é o rango da matriz asociada.

## Rango dun mapa linear 
Dados dous K-espazos vectoriais E, F, onde K é un corpo conmutativo e un mapa linear f de E en F, o rango de f é a dimensión da imaxe f.

Se E e F son de dimensións finitas, tamén é o rango da matriz asociada f en dúas bases de E e F. En particular, o rango da matriz asociada f non depende das bases escollidas para representar f. De feito, a multiplicación pola dereita ou pola esquerda por unha matriz invertíbel non modifica o rango, o que leva \text{rank}\left(P^{-1}AQ\right) = \text{rank}(A), onde A é a matriz que representa f nun primeiro par de bases, e P, Q son as matrices de cambio de bases.

## Rango dunha familia de vectores 
* Para unha familia, o seu rango corresponde ao número máximo de vectores que pode conter unha subfamilia libre desta familia.
* Tamén podemos definir o rango dunha familia u por : \text{rank}(u) = \dim(\text{Vect}(u)) .

Nota : se (u_1,\dots,u_n) é unha familia de vectores indexados polos enteiros de 1 a n, entón o rango de u é o rango do mapa linear \mathbb{K}^n\rightarrow E:(r_1,\dots,r_n)\mapsto \sum r_iu_iOnde \mathbb{K} é o corpo dos escalares. A razón é esta : \text{Vect}(u) é a imaxe deste mapa linear.

## Teorema do rango 
Teorema do rango: sexa f unha aplicación linear de E en F, \dim(E) = \text{rank}(f) + \dim(\text{Ker}(f))

## Caso no que o corpo dos escalares non é conmutativo 
No anterior, asumimos que o corpo dos escalares é conmutativo. Podemos estender a noción de rango dunha matriz ao caso en que o corpo de escalares non é necesariamente conmutativo, pero a definición é un pouco máis delicada.

Sexa K un corpo non necesariamente conmutativo e M unha matriz con *m* filas e *n* columnas con coeficientes en \mathbb{K}. Chamamos **rango** de M (en relación con K) á dimensión do subespazo xerado polas columnas de M en 
K^{m} equipado coa súa estrutura de K-espazo vectorial pola **dereita**. Demostramos que o rango de M tamén é igual á dimensión do subespazo xerado polas filas de M en \mathbb{K}^n equipado coa súa estrutura de espazo vectorial K pola **esquerda**.

Considere por exemplo un corpo non conmutativo *K* e a matriz 
 A :=
 \begin{pmatrix}
  a & 1\\
  ca & c\\
  \end{pmatrix}
, onde a e c son dous elementos de K que non conmutan (e son distintos de cero).

As dúas filas desta matriz están relacionadas linearmente no espazo vectorial pola **esquerda** K^2, porque c(a, 1) - (ca, c) = (0, 0). Do mesmo xeito, as dúas columnas están relacionadas no espazo vectorial pola **dereita** K^2, porque (a, ca) - (1, c)a = (0, 0). O rango da matriz é, polo tanto, igual a 1.

Por outra banda, as dúas columnas non están relacionadas no espazo vectorial **pola esquerda** K^2. De feito, sexan d, e escalares tal que d(a, ca) + e(1, c) = (0, 0). Entón (primeiros compoñentes) e = -da, polo tanto (segundos compoñentes) dca - dac = 0. Posto que a, c  non  conmutan, isto resulta en d = 0 (ao multiplicar por d^{-1} obtemos unha contradición) . Demostramos así que as dúas columnas da matriz son linearmente independentes no espazo vectorial **pola esquerda** K^2.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* Kaw, Autar K. Two Chapters from the book Introduction to Matrix Algebra: 1. Vectors http://numericalmethods.eng.usf.edu/mws/che/04sle/mws_che_sle_bck_vectors.pdf and System of Equations http://numericalmethods.eng.usf.edu/mws/che/04sle/mws_che_sle_bck_system.pdf
* Mike Brookes: Matrix Reference Manual. http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/property.html#rank
### Outros artigos 
* Rango dun módulo libre.
### Ligazóns externas 
* WolframAlpha matrix rank calculator.