Módulo libre

En álxebra, un **módulo libre** é un módulo *M* que ten unha **base** *B*, é dicir, un subconxunto de *M* tal que cada elemento de *M* escríbese de forma única como unha combinación linear (finita) de elementos de *B.*

## Definicións 
Unha base de *M* é unha parte *B* de *M* que cumpre as dúas seguintes condicións :

* xerador para *M*, é dicir que cada elemento de *M* é unha combinación linear de elementos de *B*;
* libre, é dicir, que para todas as familias finitas (*ei*)*1≤i≤n* de elementos de *B* dous a dous distintos e (*ai*)*1≤i≤n* de elementos do anel subxacente tal que *a*1*e*1 +... + *anen* = **0**, temos que : *a*1 =... =  *an* = *0*.

Un **módulo libre** é un módulo que ten unha base.

## Exemplos e contraexemplos 
* Dado un anel *A*, o exemplo máis inmediato dun módulo libre *de A* é *An*. Recíprocamente, calquera módulo *A* libre básico con *n* elementos é isomorfo a *An*.
* Cada grupo abeliano admite unha estrutura única de ℤ-módulo.Os grupos abelianos libres son exactamente ℤ-módulos libres.
* A diferenza dos espazos vectoriais, casos particulares de módulos nun corpo, un módulo non sempre é libre. Por exemplo, os ℤ-módulos ℤ/2ℤ e ℚ non son libres. Por outra banda, calquera módulo é o cociente dun módulo libre.
* Un submódulo dun módulo libre xeralmente non é libre. Por exemplo, cada ideal (pola esquerda) de *A* é un *A-*módulo (pola esquerda), mais só é libre se é xerado por un só elemento.
* O teorema para construír bases partindo dunha parte libre ou xeradora non é válido para módulos. Así, a parte non libre {2,3} xera ℤ como un ℤ-módulo (porque xera 1 por 3 - 2 = 1). Por outra banda, nin o singleton {2} nin o {3} xeran ℤ eles soiños. Do mesmo xeito a parte libre {2} non se pode completar nunha base de ℤ.

## Propiedades xerais 
* Se (M_i)_i é unha familia de módulos libres en *A*, entón a súa suma directa \oplus_i M_i é libre en *A.*

Supoña que *M* e *N* son módulos libres en *A.*

* O seu produto tensorial *M* ⊗ *N* é libre.
* O conxunto Hom*A* (*M*, *N*) de mapas lineares *A*, que ten unha estrutura de módulo *A* natural, é libre. En particular, o dual Hom*A* (*M*, *A*) é libre.
* Se *C* é unha *A*-álxebra, entón M \oplus_A C  é libre en *C.*
* Nun anel principal, calquera submódulo dun módulo libre *F* é libre e de rango inferior ou igual ao de *F* .
* Calquera módulo libre é proxectivo e, en xeral, plano. Estas últimas propiedades son máis flexibles que ser módulo libre: por exemplo, se  é unha secuencia exacta de módulos con *N* e *L* libres, isto non implica en xeral que *M* sexa libre. Por outra banda, esta propiedade é certa para os módulos proxectivos e para os módulos planos.

## Rango dun módulo libre nun anel conmutativo ou noetheriano 
Unha cuestión natural é se, como acontece nos espazos vectoriais, todas as bases dun módulo libre teñen a mesma cardinalidade. A resposta é negativa en xeral, pero afirmativa con condicións adicionais febles no anel subxacente. Por exemplo, é suficiente que o anel sexa conmutativo, ou noetheriano, para que o resultado se manteña; neste caso podemos falar da dimensión, tamén chamada **rango**, do módulo libre.

Supoñamos no que segue que *A* é conmutativo e non cero.

* O rango dunha suma directa súmase, dun produto tensor multiplícase e permanece inalterado por extensión dos escalares.
* Se *P* é un ideal máximal de *A*, entón *M/PM* é un espazo vectorial no corpo *A/P*, de dimensión igual ao rango de *M.*
* Se *M* → *N* é un mapa linear inxectivo entre dous módulos libres con *N* de rango finito, entón *M* é de rango finito e menor ou igual ao de *N*.
* Se *M* → *N* é un mapa linear surxectivo entre dous módulos libres, entón o rango de *M* é maior ou igual que o de *N* (de feito temos entón un mapa linear sobrexectivo de espazos vectoriais *M/PM* → *N/PN*).
* Se *M* → *N* é un mapa linear sobrexectivo entre módulos libres do mesmo rango finito, entón é un isomorfismo (o seu determinante é invertible).

As propiedades anteriores tamén se traducen do seguinte xeito: nun módulo libre de rango \alpha (finito ou non), calquera parte xeradora ten unha cardinalidade maior ou igual a \alpha; nun módulo libre de rango finito *n*, calquera parte libre ten como máximo *n* elementos e calquera parte xeradora con *n* elementos é unha base.

* Calquera secuencia exacta curta 0 → *M* → *N* → *L* → 0 de módulos libres divídese (xa que *L* é proxectivo) e *N* é isomorfo a *M* ⊕ *L*, noutras palabras: o rango de *N* é a suma dos rangos de *M* e *L.* Isto pódese ver como a xeneralización do teorema do rango, que se refire aos espazos vectoriais.

* Supoña que *B* é un anel conmutativo que contén *A*, e tamén un módulo libre de *A* para o produto, con base \{ b_i \}. Se *C* é un módulo libre de *B* con base \{ c_j \}, entón *C* é un módulo libre *de A* con base \{ b_i c_j\}. En particular, o rango de *C* sobre *A* é o produto dos rangos de *B* sobre *A* e de *C* sobre *B* (finito ou infinito).

## Notas
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* .
*