Teorema fundamental da álxebra

O **teorema fundamental da álxebra** establece que todo polinomio con números complexos por coeficientes e grao distinto de cero ten polo menos unha raíz (que será, en xeral, un número complexo).

## Enunciado e equivalencias 
O enunciado máis utilizado do teorema é o seguinte:

Por exemplo, 1+i é unha raíz do polinomio X^4+4. 

Nesta forma, o teorema afirma a existencia dunha raíz do polinomio P(X) pero non explica como atopar esta raíz explicitamente. Esta afirmación existencial describe máis unha propiedade do corpo dos números complexos. Un corpo dise que é alxebricamente pechado se todo polinomio de grao estritamente positivo e con coeficientes neste corpo admite polo menos unha raíz neste corpo.

En ocasións emprégase tamén o seguinte enunciado: Un polinomio nunha variable, non constante e con coeficientes complexos, ten tantas raíces como indica o seu grao (contando as súas multiplicidades.

Son equivalentes as afirmacións:
* O corpo dos números complexos é alxébricamente pechado para as operacións alxébricas
* Todo polinomio complexo de grao *n* ≥ 1 é expresable como produto de polinomios de grao 1

::p(z) = \sum_{k=0}^n a_k \, z^k = a_n \, \prod_{i=1}^n (z-b_i).

Estes resultados, extendendo o sumatorio anterior, indican que un polinomio con coeficientes complexos de grao *n*, que se pode escribir a_n X^n+\ldots + a_1X+a_0  tamén se pode escribir a_n(X-\alpha_1)\ldots(X-\alpha_n). Aquí, a familia (\alpha_k), para k que varía de 1 a n, é a das raíces. Algúns números \alpha_k poden ser iguais; entón falamos de raíces múltiples.

## Usos 
### Análise 
Ás veces é necesario calcular unha función primitiva dunha función racional (función cociente de dúas funcións polinómicas). Podemos considerar a función f definida por:
:f(x) = \frac {5x^2 -3x - 11}{x^3 - 2x^2 - 5x + 6}.

Un corolario do teorema fundamental indica que o denominador factorízase en elementos de primeiro grao; aquí atopamos:
x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x -1)(x+2)(x-3).

Unha descomposición destes factores da función mostra a existencia de tres valores a,b e c tal  que:
:f(x) = \frac a{x-1} +\frac b{x+2} +\frac c{x-3}.

Un cálculo rápido mostra que a=\dfrac{3}{2},b=1 e c=\dfrac{5}{2}; o cálculo da primitiva faise logo facilmente.

### Álxebra linear 
A redución do endomorfismo utiliza polinomios. Podemos escoller como caso especial un endomorfismo autoadxunto a dun espazo euclidiano E para ilustrar o uso do teorema. 

A súa matriz nunha base ortonormal é, polo tanto, simétrica e todos os seus valores propios son reais. O polinomio característico de a admite, segundo o teorema fundamental da álxebra, unha raíz \lambda. Este é un valor propio de a. Observando que o espazo ortogonal F ao espazo propio con valor propio \lambda é estábel por a, entendemos que o endomorfismo é diagonalizábel. 

De feito, agora é suficiente aplicar a mesma redución á restrición de a en F, que tamén é autoadxunto. Paso a paso o endomorfismo a vaise diagonalizando.

A diagonalización dun endomorfismo aparece a miúdo como consecuencia da existencia dunha raíz do polinomio característico ou mínimo.

### Aritmética 
Un dos obxectos da teoría alxébrica de números tradicional é o estudo dos corpos numéricos, é dicir, das extensións finitas do corpo \mathbb Q dos racionais. Todos estes corpos son alxébricos sobre \mathbb Q polo que se mergullan no seu peche alxébrico, o corpo \overline{\mathbb Q} de números alxébricos. Segundo o teorema fundamental da álxebra, \overline{\mathbb Q} mergúllase en \Complex.
## Notas 
## Véxase tamén
### Bibliografía 
*  (tr. Course on Analysis of the Royal Polytechnic Academy, part 1: Algebraic Analysis)
* . English translation: 
* 

### Ligazóns externas 
* Fundamental Theorem of Algebra&nbsp;— a collection of proofs (en inglés)
* D. J. Velleman: *The Fundamental Theorem of Algebra: A Visual Approach*, PDF (unpublished paper), visualisation of d'Alembert's, Gauss's and the winding number proofs (en inglés)