Terna pitagórica

miniatura| Animación que demostra a terna pitagórica máis pequena,  .
Unha **terna pitagórica** consta de tres números enteiros positivos ,  e , de tal forma que . Tal terna escríbese habitualmente , un exemplo coñecido é . Se  é unha terna pitagórica, entón tamén o é  para calquera número enteiro positivo . Un triángulo cuxos lados son unha terna pitagórica é un triángulo rectángulo e chámase **triángulo pitagórico**.

Unha **terna pitagórica primitiva** é aquela na que ,  e  son coprimos (é dicir, non teñen un divisor común maior que 1). Por exemplo,  é unha terna pitagórica primitiva mentres que  non o é. 

Procurar solucións enteiras da ecuación  é unha ecuación diofantiana. Así, as ternas pitagóricas están entre as solucións máis antigas coñecidas dunha ecuación diofantiana non linear.

## Exemplos 
Hai 16 ternas pitagóricas primitivas de números por debaixo de 100:

## Xerando unha terna 
[miniatura|300x300px| Unha gráfica de ternas xerada pola fórmula de Euclides traza parte do cono  . Unha constante  ou  traza parte dunha [Sección cónica|parábola no cono.]]
A **fórmula de Euclides** é unha fórmula fundamental para xerar ternas pitagóricas dado un par arbitrario de números enteiros  e  con . A fórmula indica que os números enteiros

:  a = m^2 - n^2 ,\ \, b = 2mn ,\ \, c = m^2 + n^2 

forman unha terna pitagórica. Por exemplo, dado

:  m = 9 ,\ \, n = 2 

xera a terna primitiva (36,77,85):

:  b = 9^2 - 2^2 = 77 ,\ \, a = 2 \times 9 \times 2 = 36 ,\ \, c = 9^2 + 2^2 = 85. 

A terna xerada pola fórmula de Euclides é primitiva se e só se  e  son coprimos e exactamente un deles é par.

Malia xerar todas as ternas primitivas, a fórmula de Euclides non produce todas as ternas; por exemplo, (9, 12, 15) non se pode xerar usando os números enteiros  e .  Pódense conseguir todas incluíndo un parámetro:

:  a = k\cdot(m^2 - n^2)  ,\ \, b = k\cdot(2mn) ,\ \, c = k\cdot(m^2 + n^2)

Escoller  e  entre certas secuencias enteiras dá resultados interesantes. Por exemplo, se  e  son números de Pell consecutivos,  e  diferirán en 1. 

: x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\quad y=\frac{2t}{1+t^2}.

: 
P = \left(
 \frac{2\left(\frac{m}{n}\right)}{\left(\frac{m}{n}\right)^2+1},
 \frac{\left(\frac{m}{n}\right)^2-1}{\left(\frac{m}{n}\right)^2+1}
\right) =
\left(
 \frac{2mn}{m^2+n^2},
 \frac{m^2-n^2}{m^2+n^2}
\right).

## Propiedades elementais das ternas pitagóricas primitivas 
As propiedades dunha terna pitagórica primitiva  con  (sen especificar cal de  ou  é par e cal é impar) inclúen:

* \tfrac{(c-a)(c-b)}{2} é  sempre un cadrado perfecto. 

* Como moito un entre ,  e  é un cadrado.
* A area dun triángulo pitagórico non pode ser un cadrado nin dúas veces un cadrado dun enteiro  
* Exactamente un de  ou  é divisible por 3, mais nunca .
* Exactamente un de  ou  é divisible por 4, mais nunca .
* Exactamente un de ,  ou  é divisible por 5.
* Cada triángulo pitagórico primitivo ten unha proporción de área, , a semiperímetro cadrado, , que é única para si e vén dada por
:: \frac{K}{s^2} = \frac{n(m-n)}{m(m+n)} = 1-\frac{c}{s}.
* Ningún triángulo pitagórico primitivo ten unha altitude enteira a partir da hipotenusa. 
*Ningún dos ángulos agudos dun triángulo pitagórico pode ser un número racional en graos,(isto ven dado polo teorema de Niven.)

## Xeometría da fórmula de Euclides 
### Puntos racionais na circunferencia unitaria 
dereita|miniatura| 3,4,5 mapea no punto x,y (4/5,3/5) na círcunferencia unitaria
A fórmula de Euclides para unha terna pitagórica 
:a = m^2-n^2,\quad b=2mn,\quad c=m^2+n^2
pódese entender en termos da xeometría dos puntos racionais na círcunferencia unitaria .

De feito, un punto do plano cartesiano con coordenadas  pertence á circunferencia unitaria se . O punto é *racional* se  e  son números racionais, é dicir, se hai coprimos enteiros  tal que
:\biggl(\frac{a}{c}\biggr)^2 + \biggl(\frac{b}{c}\biggr)^2=1.

Ao multiplicar os dous membros por , pódese ver que os puntos racionais da circunferencia están en correspondencia un a un coas ternas pitagóricas primitivas.

O circunferencia unitaria tamén se pode definir mediante unha ecuación paramétrica
:x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\quad y=\frac{2t}{1+t^2}.
A fórmula de Euclides para as ternas pitagóricas e a relación inversa  significan que, agás para , un punto  na circunferencia é racional se e só se o valor correspondente de  é un número racional. Teña en conta que  tamén é a tanxente da metade do ángulo que está oposto ao lado do triángulo de lonxitude .

### Aproximación estereográfica 
dereita|miniatura| Proxección estereográfica da circunferencia unitaria sobre o eixo . Dado un punto  na circunferencia unitaria, traza unha recta dende  ata o punto  (*polo norte*). O punto ′ onde a recta corta co eixo  é a proxección estereográfica de . Inversamente, comezando cun punto ′ no eixo , e trazando unha liña de ′ a , a proxección estereográfica inversa é o punto  onde a recta corta a circunferencia unitaria.
Hai unha correspondencia entre os puntos da circunferencia unitaria con coordenadas racionais e as ternas pitagóricas primitivas. Neste punto, as fórmulas de Euclides pódense derivar mediante métodos de trigonometría ou de forma equivalente usando a proxección estereográfica.

Para o enfoque estereográfico, supoña que ′ é un punto no eixo  con coordenadas racionais

P' = \left(\frac{m}{n},0\right).

Daquela, pódese demostrar mediante álxebra básica que o punto  ten coordenadas

: \left(\frac{x}{1-y},0\right)

que é racional.

En termos de xeometría alxébrica, a variedade alxébrica de puntos racionais na circunferencia unitaria é biracional á recta afín sobre os números racionais. A circunferencia unitaria chámase así unha curva racional, e é este feito o que permite unha parametrización explícita dos puntos (número racional) sobre ela por medio de funcións racionais.

## Espinors e o grupo modular 
As ternas pitagóricas tamén se poden codificar nunha matriz cadrada da forma

: X = \begin{bmatrix}
c+b & a\\
a & c-b
\end{bmatrix}.

Unha matriz desta forma é simétrica con determinante 

: \det X = c^2 - a^2 - b^2\,

que é cero precisamente cando  é unha terna pitagórica. Se  corresponde a unha terna pitagórica, entón como matriz debe ter rango 1.

Dado que  é simétrico, dun resultado en álxebra linear dedúcese que hai un vector columna  tal que o produto externo{{Bloque numerado|:|X = 2\begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}[m\ n] = 2\xi\xi^T\,|}}cúmprese. Dado que ξ e -ξ producen a mesma terna pitagórica, o vector ξ pódese considerar un espinor (para o grupo de Lorentz SO(1, 2)). En termos abstractos, a fórmula de Euclides significa que cada terna pitagórica primitiva pode escribirse como o produto exterior consigo mesmo dun espinor con entradas enteiras, como en (1).

O grupo modular Γ é o conxunto de matrices 2×2 con coeficientes enteiros

: A = \begin{bmatrix}\alpha&\beta\\ \gamma&\delta\end{bmatrix}

con determinante igual a un: . O grupo modular actúa sobre a colección de todos os espinors enteiros. Ademais, o grupo é transitivo na colección de espinors enteiros con entradas coprimas. Pois se  ten coeficientes coprimos, entón

: \begin{bmatrix}m&-v\\n&u\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}

onde se seleccionan  e  (mediante o algoritmo de Euclides) para que cumpran .

Ao actuar sobre o espinor ξ en (1), a acción de Γ pasa a ser unha acción sobre as ternas pitagóricas, sempre que se permitan ternas con compoñentes posiblemente negativas. Así, se  é unha matriz en , entóndá lugar a unha acción sobre a matriz  en (1). 

Alternativamente, podemos restrinxir a acción a aqueles valores de  e  para os que  é impar e  é par. Sexa o subgrupo Γ(2) de Γ o kernel do homomorfismo de grupos

: \Gamma=\mathrm{SL}(2,\mathbf{Z})\to \mathrm{SL}(2,\mathbf{Z}_2)

onde  é o grupo linear especial sobre o corpo finito  de enteiros módulo 2. Entón Γ(2) é o grupo de transformacións unimodulares que conservan a paridade de cada entrada. Así, se a primeira entrada de ξ é impar e a segunda é par, entón o mesmo ocorre con  para todo . De feito, baixo a acción (2), o grupo Γ(2) actúa transitivamente sobre a colección das ternas pitagóricas primitivas .

Así temos que o grupo Γ(2) é o grupo libre cuxos xeradores son as matrices

: U=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix},\qquad L=\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix}.

En consecuencia, cada terna pitagórica primitiva pode obterse dun xeito único como produto das copias das matrices  e&nbsp;.

## Relación cos enteiros gaussianos 
Se consideramos o cadrado dun número enteiro gaussiano, obtemos a seguinte interpretación directa da fórmula de Euclides como a representación dun cadrado perfecto dun enteiro gaussiano.

:(m+ni)^2 = (m^2-n^2)+2mni.

Usando os feitos de que os enteiros gaussianos son un dominio euclidiano e que para un enteiro gaussiano p,  |p|^2 é sempre un cadrado, é posible demostrar que unha terna pitagórica corresponde ao cadrado dun primo enteiro gaussiano se a hipotenusa é un número primo.

Se o número enteiro gaussiano non é primo, entón é o produto de dous enteiros gaussianos p e q con |p|^2 e |q|^2 enteiros. Dado que as magnitudes se multiplican nos enteiros gaussianos, o produto debe ser |p||q|, que cando se eleva ao cadrado para atopar unha terna pitagórica debe ser composto. O contrapositivo completa a proba.

## Ecuacións relacionadas 
### Ecuación de Jacobi–Madden
:a^4+b^4+c^4+d^4 = (a+b+c+d)^4

é equivalente á terna especial Pitagórica,

:(a^2+ab+b^2)^2+(c^2+cd+d^2)^2 = ((a+b)^2+(a+b)(c+d)+(c+d)^2)^2

Hai un número infinito de solucións a esta ecuación xa que a resolución das variables implica unha curva elíptica. Algunhas solucións pequenas,

:a, b, c, d = -2634, 955, 1770, 5400

:a, b, c, d = -31764, 7590, 27385, 48150

### Sumas iguais de dous cadrados
Un xeito de xerar solucións a a^2+b^2=c^2+d^2 é parametrizar *a, b, c, d* en termos de enteiros *m, n, p, q* como segue:

:(m^2+n^2)(p^2+q^2)=(mp-nq)^2+(np+mq)^2=(mp+nq)^2+(np-mq)^2.

### Teorema do círculo de Descartes
Para o caso do Teorema do círculo de Descartes onde todas as variables son cadrados,

:2(a^4+b^4+c^4+d^4) = (a^2+b^2+c^2+d^2)^2

Euler demostrou que isto é equivalente a tres ternas pitagóricas simultáneas,

:(2ab)^2+(2cd)^2 = (a^2+b^2-c^2-d^2)^2

:(2ac)^2+(2bd)^2 = (a^2-b^2+c^2-d^2)^2

:(2ad)^2+(2bc)^2 = (a^2-b^2-c^2+d^2)^2

Tamén hai un número infinito de solucións, e para o caso especial cando a+b=c, a ecuación simplifícase a:

:4(a^2+a b+b^2) = d^2

con solucións pequenas como a, b, c, d = 3, 5, 8, 14 e pódense resolver como formas cadráticas binarias.

### Ternas do triángulo de Herón
Un **triángulo de Herón** defínese habitualmente como aquel con lados enteiros cuxa área tamén é un número enteiro. As lonxitudes dos lados deste triángulo forman unha **terna de Herón**  con .
Toda terna pitagórica é unha terna de Herón, porque na terna pitagórica polo menos un dos catetos ,  debe ser par, polo que a área *ab*/2 é un número enteiro. Non toda terna de Herón é unha terna pitagórica, como mostra o exemplo  de área 24.

Se  é unha terna de Herón, tamén o é  onde  é calquera número enteiro positivo; a súa área será o número enteiro que é  veces a área enteira do triángulo .
A terna de Herón  é **primitiva** cando *a*, *b*, *c* son coprimos en conxunto,(non é necesario que sexan coprimos por parellas). Aquí vemos algunhas das ternas de Herón primitivas máis simples que non son ternas pitagóricas:

: (4, 13, 15) con área 24
: (3, 25, 26) con área 36
: (7, 15, 20) con área 42
: (6, 25, 29) con área 60
: (11, 13, 20) con área 66

Pola fórmula de Herón, a condición adicional para que unha terna de números enteiros positivos  con  sexa terna de Herón é que

: 
ou equivalentemente
: 

sexa un cadrado perfecto distinto de cero divisíbel por 16.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
*
*
*
*
*
* 
*
*
*
*
*

### Outros artigos 
* Terna de Eisenstein
* Triángulo de Herón
* Primo Pitagórico
### Ligazóns externas 
* Clifford Algebras and Euclid's Parameterization of Pythagorean triples
* Curious Consequences of a Miscopied Quadratic
* Discussion of Properties of Pythagorean triples, Interactive Calculators, Puzzles and Problems
* Generating Pythagorean Triples Using Arithmetic Progressions
* 
* Interactive Calculator for Pythagorean Triples
* The negative Pell equation and Pythagorean triples
* Parameterization of Pythagorean Triples by a single triple of polynomials 
* 
* Pythagorean Triples and the Unit Circle, chap. 2–3, in "A Friendly Introduction to Number Theory" by Joseph H. Silverman, 3rd ed., 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 
* Pythagorean Triples at cut-the-knot Interactive Applet showing unit circle relationships to Pythagorean Triples
* Pythagorean Triplets
* The Remarkable Incircle of a Triangle
* Solutions to Quadratic Compatible Pairs in relation to Pythagorean Triples
* Theoretical properties of the Pythagorean Triples and connections to geometry
* The Trinary Tree(s) underlying Primitive Pythagorean Triples at cut-the-knot
*