Dominio de factorización única

En matemáticas, un **dominio de factorización única** (**UFD** en inglés) (tamén ás veces chamado **anel factorial** seguindo a terminoloxía de Bourbaki) é un anel no que se mantén un enunciado análogo ao teorema fundamental da aritmética. Especificamente, un UFD é un dominio de integridade (un anel conmutativo non trivial no que o produto de dous elementos distintos de cero é distinto de cero) no que cada elemento non unitario distinto de cero pode escribirse como produto de elementos irredutíbeis, de forma única ata orde e unidades.

Exemplos importantes de UFD son os enteiros e os aneis polinómicos nunha ou máis variábeis con coeficientes procedentes dos números enteiros ou dun corpo.

Os dominios de factorización única aparecen na seguinte cadea de inclusións de clases:

## Definición 
Formalmente, un dominio de factorización única defínese como un dominio de integridade *R* no que todo elemento *x* de *R* distinto de cero que non sexa unha unidade pode escribirse como un produto finito de elementos irredutíbeis *p**i* de *R*:

: *x* = *p*1 *p*2 ⋅⋅⋅ *p**n* con 

e esta representación é única no seguinte sentido: Se *q*1, ... , *q**m* son elementos irredutíbeis de *R* tal que

: *x* = *q*1 *q*2 ⋅⋅⋅ *q**m* con  ,

entón , e existe un mapa bixectivo  tal que *p**i* está asociado a *q**&#x3C6;*(*i*) para .

## Exemplos 
A maioría dos aneis familiares das matemáticas elementais son UFD:

* Todos os dominios de ideais principais, polo tanto, todos os dominios euclidianos, son UFD. En particular, os enteiros (ver tamén *Teorema Fundamental da aritmética*), os Enteiros gaussianos e os Enteiros de Eisenstein son UFD.
* Se *R* é un UFD, entón tamén o é *R*[*X*], o anel de polinomios con coeficientes en *R.* A menos que *R* sexa un corpo, *R*[*X*] non é un dominio de ideais principais. Por indución, un anel polinómico en calquera número de variábeis sobre calquera UFD (e en particular sobre un corpo ou sobre os enteiros) é un UFD.
* O anel de series formais de potencias   sobre un corpo *K*  é un UFD. Por outra banda, o anel de series formais de potencias sobre un UFD non precisa ser un UFD, aínda que o UFD sexa local. Por exemplo, se *R* é a localización de  no ideal primo  entón *R* é un anel local que é un UFD, pero o anel da serie formal de potencias *R* sobre *R* non é un UFD.
* O Teorema de Auslander-Buchsbaum afirma que todo anel local regular é un UFD.
* \mathbb{Z}\left[e^{\frac{2 \pi i}{n}}\right] é UN UFD para todos os enteiros , pero non para .
* Mori demostrou que se a completude dun anel de Zariski como un anel local noetheriano é un UFD, entón o anel é un UFD. O contrario disto non é certo: hai aneis locais de Noether que son UFDs pero cuxas completudes non o son. A cuestión de cando isto ocorre é bastante sutil: por exemplo, para o localización de  no ideal principal , tanto o anel local como a súa completude son UFD, mais no exemplo aparentemente similar da localización de  no ideal principal  o anel local é un UFD mais a súa completude non o é.
* O anel  é un UFD, pero o anel en complexos  non o é. Por outra banda, o anel  non é un UFD, mais o anel en complexos  si que o é. 

### Non exemplos 
* O anel de enteiros cadráticos \mathbb Z[\sqrt{-5}] de todos os números complexos da forma a+b\sqrt{-5}, onde *a* e *b* son números enteiros, non é un UFD porque o número 6 factoriza tanto en 2×3 como en \left(1+\sqrt{-5}\right)\left(1-\sqrt{-5}\right). Estas son factorizacións diferentes, porque as únicas unidades deste anel son 1 e &#x2212; 1; así, ningún dos números 2, 3, 1+\sqrt{-5}, e 1-\sqrt{-5} son asociados. Non é difícil demostrar que os catro factores tamén son irredutíbeis, aínda que isto non sexa obvio.  Vexa tamén *Enteiro alxébrico* .
* Para un enteiro positivo libre de cadrados *d*, o anel de enteiros de  \mathbb Q[\sqrt{-d}] non será un UFD a menos que *d* sexa un número de Heegner.
* O anel das series formais de potencias sobre os números complexos é un UFD, mais o subanel das que converxen en todas partes, é dicir, o anel de funcións enteiras nunha única variábel complexa, non é un UFD, xa que existen funcións enteiras cun número infinito de ceros, e polo tanto unha infinidade de factores irredutíbeis, mentres que unha factorización UFD debe ser finita, por exemplo:
*: \sin \pi z = \pi z \prod_{n=1}^{\infty} \left(1-{{z^2}\over{n^2}}\right).

## Propiedades 
Algúns conceptos definidos para números enteiros pódense xeneralizar a UFD:

* Nos UFD, cada elemento irredutíbel é primo. (En calquera dominio de integridade, todo elemento primo é irredutíbel, pero a inversa non sempre se cumpre. Por exemplo, o elemento  é irredutíbel, pero non primo). 
* Dous elementos calquera dunha UFD teñen un máximo común divisor e un mínimo común múltiplo. Aquí, un máximo común divisor de *a* e *b* é un elemento *d* que divide tanto *a* como *b*, e tal que todos os outros divisores comúns de *a* e *b* dividen *d*. Todos os máximos comúns divisores de *a* e *b* son asociados.
* Calquera UFD son dominios de integridade pechados. Noutras palabras, se *R* é un UFD con corpo cociente *K*, e se un elemento *k* en *K* é unha raíz dun polinomio mónico con coeficientes en *R*, entón *k* é un elemento de *R*.
* Sexa *S* un subconxunto multiplicativamente pechado dun UFD *A*. Entón a localización *S*−1*A* é un UFD. 

## Condicións equivalentes para que un anel sexa un UFD 
Un dominio de integridade de Noether é un UFD se e só se todo ideal primo de altura 1 é principal. A maiores, un dominio de Dedekind é un UFD se e só se o seu grupo de clase de ideais é trivial. Neste caso, é de feito un dominio de ideais principais.

En xeral, para un dominio de integridade *A*, as seguintes condicións son equivalentes:

# *A* é un UFD.
# Todo ideal primo distinto de cero de *A* contén un elemento primo.
# *A* satisfai a condición de cadea ascendente nos ideais principais (ACCP), e a localización *S*&#x2212;1*A* é un UFD, onde *S* é un subconxunto multiplicativamente pechado de *A* xerado por elementos primos (criterio de Nagata).

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
*   Chap. 4.
*  Chapter II.5
* 
* 
* 
* 
### Outros artigos 
* Factorización
* Dominio de ideais principais
* Ideal primo
* Anel conmutativo
### Ligazóns externas 
* Unique Factorization Domain (MathWorld)
* UFD is GCD Domain proofWiki