Número suave

En teoría de números, un **número** '''*n*-suave'* é un número enteiro cuxos factores primos son todos menores ou iguais a *n*. Por exemplo, un número  7-suave é un número cuxos factores primos son como máximo 7, polo que 49 = 7 2 e 15750 = 2 × 3 2 × 5 3 × 7 son ambos 7-suaves, mentres que 11 e 702 = 2 × 3 3 × 13 non son 7-suaves. O termo parece ser que foi acuñado por Leonard Adleman. Os números suaves son especialmente importantes na criptografía, que depende da factorización de números enteiros. Os números 2-suaves son só as potencias de 2, mentres que os números 5-suaves son coñecidos como números regulares.

## Definición 
Un número enteiro positivo chámase **B-suave** se ningún dos seus factores primos é maior que B . 

Por exemplo, 1620 ten factorización prima 22 × 34 × 5, polo tanto, 1620 é 5-suave porque ningún dos seus factores primos é maior que 5. Esta definición inclúe números que carecen dalgúns dos factores primos máis pequenos; por exemplo, tanto 10 como 12 son 5-suaves, aínda que perden os factores primos 3 e 5, respectivamente. Todos os números 5-suaves teñen a forma 2*a* × 3*b* × 5*c*, onde *a*, *b* e *c* son enteiros non negativos.

Aquí, teña en conta que B en si non está obrigado a aparecer entre os factores dun número B-suave. En moitos escenarios B é primo, mais tamén se permiten números compostos. Un número é B-suave se e só se é p-suave, onde p é o maior primo menor ou igual que B.

## Aplicación 
Unha aplicación práctica importante dos números suaves son os algoritmos da transformada rápida de Fourier (FFT) (como o algoritmo FFT de Cooley-Tukey ), que operan descompoñendo recursivamente un problema dun tamaño *n* dado en problemas do tamaño dos seus factores. Usando números *B-suaves*, asegúrase de que os casos base desta recursividade sexan números primos pequenos, para os que existen algoritmos eficientes. (Os tamaños primos grandes requiren algoritmos menos eficientes como o algoritmo FFT de Bluestein).

Os números *n*-suaves e *n*-potencia suave (ver abaixo) teñen aplicacións na teoría de números, como no  algoritmo *p-1* de Pollard e no ECM (factorización de curvas elípticas de Lenstra). 

## Números potencia suave 
Temos tamén que *m* se chama *' *n*-potencia suave'*  se todas *as potencias* primas p^{\nu} dividindo *m* satisfan:

: p^{\nu} \leq n.\,

Por exemplo, 720 (2 4 × 3 2 × 5 1) é 5-suave mais non 5-potencia suave (porque hai varias potencias primas superiores a 5, *p. ex.* 3^2 = 9 \nleq 5 e 2^4 = 16 \nleq 5 ).No entanto si que é 16-potencia suave xa que a súa maior potencia do factor primo é 24&#x2009;=&#x2009;16.

## Núemros suaves sobre un conxunto *A* 
Tamén se di que *m* é suave sobre un conxunto *A* se existe unha factorización de *m* onde os factores son potencias dos elementos en *A*. Por exemplo, xa que 12 = 4&#x2009;×&#x2009;3, temos que 12 é suave sobre os conxuntos *A*1 = {4,&#x2009;3}, *A*2 = {2,&#x2009;3}, no entanto, non sería suave sobre o conxunto *A*3 = {3,&#x2009;5}, xa que 12 contén o factor 4 = 2 2, e nin 4 nin 2 están en *A*3.

Teña en conta que o conxunto *A* non ten que ser un conxunto de factores primos, pero normalmente é un subconxunto propio dos primos como se ve na base de factores do método de factorización de Dixon e na criba cadrática. Así mesmo, é o concepto que usa a criba xeral do corpo de números (GNFS), baixo o homomorfismo \phi:\mathbb{Z}[\theta]\to\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* G. Tenenbaum, *Introduction to analytic and probabilistic number theory*, (AMS, 2015) 
* A. Granville, *Smooth numbers: Computational number theory and beyond*, Proc. of MSRI workshop, 2008

### Outros artigos 
* Teorema de Størmer.
### Ligazóns externas 
* 
A OEIS, On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, 
lista números *B*-suaves para pequenos *B*s:
* 2-smooth numbers: A000079 (2*i*)
* 3-smooth numbers: A003586 (2*i*3*j*)
* 5-smooth numbers: A051037 (2*i*3*j*5*k*)
* 7-smooth numbers: A002473 (2*i*3*j*5*k*7*l'')
* 11-smooth numbers: A051038 (etc...)
* 13-smooth numbers: A080197
* 17-smooth numbers: A080681
* 19-smooth numbers: A080682
* 23-smooth numbers: A080683