Teorema do número primo

En teoría de números o **teorema do número primo** é un enunciado que describe a distribución asintótica dos números primos. Este teorema achega unha descrición xeral de como están distribuídos os números primos no conxunto dos números naturais. Isto formaliza a idea intuitiva de que os primos son menos comúns canto máis grandes son. É un dos teoremas  máis importantes da historia das matemáticas, non só pola súa beleza senón pola súa influencia no desenvolvemento posterior da investigación dos números primos.

## Expresión do teorema 
miniatura|300px|Gráfico comparativo de π(*x*) (vermello), *x* / ln *x* (verde) e Li(*x*) (azul).
Sexa \pi(x)\, a función de contaxe de números primos, que denota a cantidade de primos que non exceden a x\,. O teorema establece que:

{{cita|\pi(x) \sim \frac{x}{\ln(x)}, onde *\ln (x)* é o logaritmo natural de x.}}

Esta expresión non implica que a diferenza das dúas partes da mesma para valores de x moi grandes sexa cero; só implica que o cociente destas para valores de x\, moi grandes é case igual a 1.

Unha mellor aproximación que a anterior vén dada pola integral logarítmica desprazada:

{{cita|\pi(x) \approx \operatorname{Li} (x) , onde *\operatorname{Li} (x)* é a integral logarítmica desprazada de x.}}

## Historia 
En 1792 ou 1793, estando aínda no Collegium Carolinum, e sempre segundo o propio Gauss («ins Jahr 1792 oder 1793»), este anotou no seu caderno de notas:
:: «Números primos menores que *a* (= ∞) *a*/l*a*» que na linguaxe moderna quere dicir que π(*a*) para valores cada vez maiores se achega ao cociente *a*/ln*a*) e considérase como "a primeira conxectura do teorema dos números primos". Ademais a función π(*x*) que indica a cantidade de números primos que non superan *x* foi definida por Gauss.

O teorema dos números primos tamén foi conxecturado por Adrien-Marie Legendre en 1798, indicando que π(*x*) parecía ter a forma  *a*/(*A* ln(*a*) + *B*), onde *A* e *B* son constantes non especificadas. Na segunda edición do seu libro de teoría de números (1808) fixo unha conxectura máis precisa, indicando que *A* = 1 e *B* = −1.08366. a conxectura foi posteriormente refinada por Gauss coa expresión que se asocia máis frecuentemente ao teorema. Prestaron contribucións significativas sobre esta proposición Legendre, Gauss, Dirichlet, Chebyshev e Riemann.

## Teorema dos números primos para progresións aritméticas 
Sexa \pi_{n,a}(x) a función que denota o número de primos nunha progresión aritmética *a*, *a* + *n*, *a* + 2*n*, *a* + 3*n*, … menor que *x*. Dirichlet e Legendre conxecturaron, e Vallée-Poussin demostrou, que, se *a* e *n* son coprimos, entón

:
\pi_{n,a}(x) \sim \frac{1}{\varphi(n)}\mathrm{Li}(x),

onde φ(•) é a función totiente de Euler. Noutras palabras, os números primos distribúense uniformemente entre os residuos de clases [*a*] módulo *n* con mcd(*a*, *n*) = 1. Isto pode demostrarse empregando métodos similares utilizados por Newman na súa demostración do teorema dos números primos.

O teorema de Siegel–Walfisz dá unha boa estimación da distribución dos números primos nos residuos de clases.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Ligazóns externas 
* Prime Number Theorem
*