Teorema central do límite

O **teorema do límite central** ou **teorema central do límite** indica que, en condicións moi xerais, se *S**n* é a suma de *n* variables aleatorias independentes e de varianza non nula pero finita, entón a función de distribución de *S**n* «aproxímase ben» a unha distribución normal (tamén chamada *distribución gaussiana*, *curva de Gauss* ou *campá de Gauss*). Así pois, o teorema asegura que isto ocorre cando a suma destas variables aleatorias independentes é o suficientemente grande.

## Definición 
Sexa \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) a función de densidade da distribución normal definida como

{{cita|**Teorema do límite central**: Sexa {X_1}, {X_2}, ..., {X_n} un conxunto de variables aleatorias, independentes e identicamente distribuídas  con media **μ** e varianza 0 . Sexa

Entón

: \lim_{n\to\infty} \Pr\left ( \frac{S_n - n \mu}{\sigma \sqrt{n}} \le z \right ) = \Phi(z)\, .}}

É moi común atopalo coa variable estandarizada *Z**n* en función da media da mostra \overline{X}_n,

:\frac{\overline{X}_n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}},

posto que son equivalentes, así como atopalo en versións non normalizadas como pode ser:

## Propiedades 
* O teorema central do límite garante unha distribución normal cando n é suficientemente grande.
* Existen diferentes versións do teorema, en función das condicións empregadas para asegurar a converxencia. Unha das máis simples establece que é suficiente que as variables que se suman sexan independentes, identicamente distribuídas, con valor esperado e varianza finitas.
* Este teorema, pertencente á teoría da probabilidade, atopa aplicacións en moitos campos relacionados, tales como a inferencia estatística ou a teoría de renovación.

## Varianza nula ou infinita 
No caso de *n* variables aleatorias *Xi* independentes e identicamente distribuídas, cada unha delas con varianza nula ou infinita, a distribución das variables:
{{ecuación|
S_n = \frac{X_1+\dots +X_n}{n}
||left}}
non converxen en distribución cara a unha normal. A continuación preséntanse os dous casos por separado.

### Varianza infinita 
Considérese o caso de variables que seguen unha distribución de Cauchy:
{{ecuación|
F_{X_i}(x) = \frac{1}{\pi} \arctan x 
||left}}
Neste caso pode demostrarse que a distribución asintótica de *Sn* vén dada por outra distribución de Cauchy, con menor varianza:
{{ecuación|
F_{S_n}(x) = \frac{1}{\pi} \arctan \frac{x}{n} 
||left}}
Para outras distribucións de varianza infinita non é fácil dar unha expresión pechada para a súa distribución de probabilidade aínda que a súa función característica si ten unha forma sinxela, dada polo teorema de Lévy-Khintchine:
{{ecuación|
\varphi_{S_n}(t) = \exp\left[ ist - c|t|^\alpha\left(1+ i\gamma\ \frac{t} u(t,\alpha) \right) \right]
||left}}
onde c \ge 0, -1 \ge \gamma \ge 1, 0  y:
{{ecuación|
u(t,\alpha) = \begin{cases}
\tan \cfrac{\pi\alpha}{2} & \alpha \ne 1\\
\cfrac{2}{\pi} \ln |t| & \alpha = 1 \end{cases}
||left}}
As condicións anteriores equivalen a que unha distribución de probabilidade sexa unha distribución estable.

### Varianza nula 
Este caso corresponde trivialmente a unha función dexenerada tipo delta de Dirac cunha función de distribución que vén dada por:
{{ecuación|
F_{X_i}(x) = \int_{-\infty}^x \delta(s-x_0)\ ds =
\begin{cases} 0 & x 
||left}}
Neste caso resulta que a variable S_n trivialmente ten a mesma distribución que cada unha das variables independentes.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Lei dos grandes números
* Distribución normal
* Teorema de De Moivre-Laplace
### Ligazóns externas 
* 
*