Coclase

[miniatura| é o grupo \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}, os [Aritmética modular|enteiros mod 8 baixo a suma. O subgrupo  contén só 0 e 4. Hai catro clases esquerdas de  :  o propio ,  ,  e  (escrito usando notación aditiva xa que este é o grupo aditivo). Xuntos dividen todo o grupo  en conxuntos de igual tamaño e non superpostos. O índice  é 4.]]
En matemáticas, especificamente na teoría de grupos, pódese usar un subgrupo  dun grupo  para descompoñer o conxunto subxacente de  en subconxuntos disxuntos e de igual tamaño chamados **coclases (**ou **cosets** en inglés**)**. Hai co*clases esquerdas* e *dereitas*. As coclases (tanto á esquerda como á dereita) teñen o mesmo número de elementos (cardinalidade) que . A maiores, o propio  é tanto un grupo esquerdo como un grupo dereito. O número de coclases esquerdas de  en  é igual ao número de coclases dereitas de  en . Este valor común chámase índice de  en  e normalmente denótase por .

As coclases son unha ferramenta básica no estudo dos grupos; por exemplo, desempeñan un papel central no teorema de Lagrange que afirma que para calquera grupo finito , o número de elementos de cada subgrupo  de  divide o número de elementos de . As coclases do subgrupo normal pódense usar como elementos doutro grupo chamado grupo cociente. As coclases tamén aparecen noutras áreas das matemáticas como os espazos vectoriais e os códigos de corrección de erros .

## Definición 
Sexa  un subgrupo do grupo  cuxa operación escríbese multiplicativamente (a xustaposición denota a operación do grupo). Dado un elemento  de , as **coclases esquerdas** de  en  son os conxuntos obtidos multiplicando cada elemento de  por un elemento fixo  de  (onde  é o factor esquerdo). En símbolos estas son,
: gH  = \{gh : h \text{ un elemento de H}\} \text{ para } g \in G.

As **coclases dereitas** defínense de xeito similar, agás que o elemento  agora é un factor pola dereita, é dicir,
: Hg  = \{hg : h \text{ un elemento de H}\} \text{ para } g \in G.
 
Dúas coclases esquerdas calquera (respectivamente dereitas) son disxuntas ou son idénticas como conxuntos.

Se a operación do grupo é  aditiva, como adoita suceder cando o grupo é abeliano, a notación utilizada muda a  ou , respectivamente.

O símbolo *G*/*H* ás veces úsase para o conxunto de coclases (esquerdas) { *gH* : *g* un elemento de *G* } (ver embaixo para unha extensión a coclases dereitas e duplas). No entanto, algúns autores (incluíndo Dummit & Foote e Rotman) reservan esta notación especificamente para representar o grupo cociente formado a partir das coclases 
no caso de que *H* sexa un subgrupo *normal* de *G.*

### Primeiro exemplo 
Sexa  o grupo diédrico de orde seis. Os seus elementos pódense representar por {{Math|{ *I*, *a*, *a*2, *b*, *ab*, *a*2*b* }}. Neste grupo,  e . Esta é información abonda para cubrir toda a táboa de Cayley:

Sexa  o subgrupo . As coclases pola esquerda (distintas) de  son:

* {{Math|1=*IT* = *T* = { *I*, *b* }}.
* {{Math|1=*aT* = { *a*, *ab*  }}.
* {{Math|1=*a*2*T* = {  *a*2, *a*2*b*   }}.

Dado que agora todos os elementos de  apareceron nunha destas coclases, xerar máis non pode dar novas coclases; calquera coclase nova tería que ter un elemento en común cunha destas e, polo tanto, sería idéntica a unha destas coclases. Por exemplo, .

As clases dereitas de  son:

* {{Math|1=*TI* = *T* = { *I*, *b*}.}},
* {{Math|1=*Ta* = {*a*, *ba*} = {*a*, *a*2*b*}} .
* {{Math|1=*Ta*2 = { *a*2, *ba*2} = { *a*2, *ab*}}.

Neste exemplo, menos para , ningunha coclase esquerda é tamén unha coclase dereita.

Sexa  o subgrupo {{Math|{*I*, *a*, *a*2}}. As coclases esquerdas de  son  e {{Math|1=*bH* = {*b*, *ba*, *ba*2}} . As coclases dereitas  son  e {{Math|1=*Hb* = {*b*, *ab*, *a*2*b*} = {*b*, *ba*2, *ba*}}. Neste caso, cada coclase esquerda de  tamén é unha coclase dereita de .

Sexa  un subgrupo do grupo  e supoña que , . As seguintes sentenzas son equivalentes:
* 
* 
* 
* 
* 

## Propiedades 
Todo elemento de  pertence exactamente a unha coclase esquerda do subgrupo , e  é en si mesmo unha coclase esquerda (e o que contén a identidade).

Dous elementos que están na mesma coclase esquerda tamén proporcionan unha relación de equivalencia natural. Defina dous elementos de ,  e , para que sexan equivalentes en relación ao subgrupo  se  (ou de forma equivalente se  pertence a ). As clases de equivalencia desta relación son as coclases esquerdas de . Como con calquera conxunto de clases de equivalencia, forman unha partición do conxunto subxacente. Un **representante de clase** é un representante no sentido da clase de equivalencia. Un conxunto de representantes de todos os grupos de clase chámase transversal. Existen outros tipos de relacións de equivalencia nun grupo, como a conxugación, que forman diferentes clases que non teñen as propiedades aquí comentadas.

Declaracións semellantes aplícanse ás coclases dereitas.

Se  é un grupo abeliano, entón  para todo subgrupo  de  e cada elemento  de . Para grupos en xeral, dado un elemento  e un subgrupo  dun grupo , a coclase dereita de  con relación a  é tamén a coclase esquerda do subgrupo conxugado  con relación a , é dicir, .

### Subgrupos normais 
Un subgrupo  dun grupo  é un subgrupo normal de  se e só se para todos os elementos  de  as coclases dereitas e esquerdas correspondentes son iguais, é dicir, . Este é o caso do subgrupo  no primeiro exemplo anterior. A maiores, as clases de  en  forman un grupo chamado grupo cociente ou grupo de factores /.

Se  non é normal en , entón as súas coclases esquerdas son diferentes das súas coclases dereitas. É dicir, hai un  en  tal que ningún elemento  satisfai . Isto significa que a partición de  nas coclases esquerdas de  é unha partición diferente que a partición de  nas coclases dereitas de . Isto é ilustrado polo subgrupo  no primeiro exemplo anterior. ( *Algunhas* clases poden coincidir. Por exemplo, se  está no centro de , entón ).

Por outra banda, se o subgrupo  é normal o conxunto de todas as coclases forman un grupo chamado grupo cociente /  coa operación  definida por . Dado que toda coclase dereita é unha coclase esquerda, non hai necesidade de distinguir as "coclases esquerdas" das "coclases dereitas".

### Índice dun subgrupo 
Cada clase esquerda ou dereita de  ten o mesmo número de elementos (ou cardinalidade no caso dun  infinito) que o propio . A maiores, o número de clases esquerdas é igual ao número de clases dereitas e coñécese como **índice** de  en *G*, escrito como . O teorema de Lagrange permítenos calcular o índice no caso de que  e  sexan finitos: |G| = [G : H]|H|. Esta ecuación tamén vale no caso de que os grupos sexan infinitos, aínda que o significado pode ser menos claro.

## Máis exemplos 
### Números enteiros 
Sexa  o grupo aditivo dos enteiros, {{Math|1=**Z** = ({..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, +)}} e  o subgrupo {{Math|1=(3**Z**, +) = ({..., −6, −3, 0, 3, 6, ...}, +)}}. Daquela as coclases de  en  son os tres conxuntos ,  e , onde . Estes tres conxuntos particionan o conxunto , polo que non hai outras clases dereitas de . Debido á conmutividade da suma  e . É dicir, cada coclase esquerda de  tamén é unha coclase dereita, polo que  é un subgrupo normal. (O mesmo argumento mostra que cada subgrupo dun grupo abeliano é normal).

### Vectores 
Outro exemplo de coclase provén da teoría dos espazos vectoriais. Os elementos (vectores) dun espazo vectorial forman un grupo abeliano baixo a suma de vectores. Os subespazos do espazo vectorial son subgrupos deste grupo. Para un espazo vectorial , un subespazo  e un vector fixo  en , os conxuntos 
:\{\mathbf{x} \in V \mid \mathbf{x} = \mathbf{a} + \mathbf{w}, \mathbf{w} \in W\}
chámanse subespazos afíns e son coclases (tanto pola esquerda como pola dereita, xa que o grupo é abeliano). En termos de vectores xeométricos tridimensionais, estes subespazos afíns son todas as "liñas" ou "planos" paralelos ao subespazo, que é unha liña ou plano que pasa pola orixe. Por exemplo, considere o plano . Se  é unha liña que pasa pola orixe , entón  é un subgrupo do grupo abeliano . Se  está en , entón o conxunto  é unha recta  paralela a  e que pasa por .

### Matrices 
Sexa  o grupo multiplicativo de matrices,  
:G = \left \{\begin{bmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{bmatrix} \colon a, b \in \R, a \neq 0 \right\},
e o subgrupo  de , 
:H= \left \{\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ c & 1 \end{bmatrix} \colon c \in \mathbb{R} \right\}. 
Para un elemento fixo de  considere a coclase esquerda 
:\begin{align}
\begin{bmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{bmatrix} H = &~ \left \{\begin{bmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ c & 1 \end{bmatrix} \colon c \in \R \right\} \\
=&~ \left \{\begin{bmatrix} a & 0 \\ b + c & 1 \end{bmatrix} \colon c \in \mathbb{R}\right\} \\
=&~ \left \{\begin{bmatrix} a & 0 \\ d & 1 \end{bmatrix} \colon d \in \mathbb{R}\right\}.
\end{align}
É dicir, as coclases esquerdas consisten en todas as matrices de  que teñen a mesma entrada superior esquerda. Este subgrupo  é normal en , mais o subgrupo 
:T= \left \{\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \colon a \in \mathbb{R} - \{0\} \right\} 
non é normal en .

## Como órbitas dunha acción de grupo 
Un subgrupo  dun grupo  pódese usar para definir unha acción de  sobre  de dúas formas naturais. Unha *acción pola dereita*,  dada por  ou unha *acción pola  esquerda*,  dada por  . A órbita de  baixo a acción pola dereita é a coclase esquerda , mentres que a órbita baixo a acción pola  esquerda é a coclase dereita .

## Coclases duplas 
Dados dous subgrupos,  e  (que non precisan ser distintos) dun grupo , as **coclases duplas** de  e  en  son os conxuntos da forma {{Math|1=*HgK* = { *hgk* : *h* un elemento de *H*, *k* un elemento de *K*  }}. Estas son as coclases esquerdas de  e as dereitas de  cando  ou  respectivamente.

Dúas coclases duplas  e  son disxuntas ou idénticas.  O conxunto de todas as coclases duplas para  e  fixos forman unha partición de .

Unha coclase dupla  contén as coclases dereitas completas de  (en ) da forma , con  un elemento de  e as coclases esquerdas completas de  (en ) da forma , con  en .

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
### Outros artigos 
* Grupo cociente.
* Subgrupo normal.
### Ligazóns externas 
* 
* 
* 
* 
* 
* Illustrated examples
*