Teorema de Hasse-Minkowski

O **teorema de Hasse-Minkowski** é un resultado fundamental na teoría de números que afirma que dúas formas cadráticas sobre un corpo numérico son equivalentes se e só se son equivalentes *localmente en todos os lugares*, é dicir, equivalentes en cada completamento do corpo (que pode ser real, complexo ou p-ádico). Un resultado relacionado é que   unha forma cadrática sobre un corpo numérico representa a cero de forma non trivial se e só se isto vale para tódolos completamentos do corpo.  O teorema foi demostrado no caso do corpo dos números racionais por Hermann Minkowski e xeneralizado aos corpos numéricos por Helmut Hasse. A mesma afirmación é aínda máis xeral para todos os corpos globais .

## Importancia 
A importancia do teorema de Hasse-Minkowski reside no novo paradigma que representa para responder a preguntas aritméticas: para determinar se unha ecuación dun determinado tipo ten unha solución en números racionais, é suficiente probar se ten solucións sobre corpos completos de números reais e *p*-ádicos, onde se aplican consideracións analíticas, como o método de Newton e o seu análogo *p*-ádico, o lema de Hensel. Isto está encapsulado na idea dun principio local-global, que é unha das técnicas fundamentais da xeometría aritmética.

## Enunciado 
Sexa f unha forma cadrática sobre \mathbb{Q} e para p \in V \text{ sexa } f_p a forma considerada sobre \mathbb{Q}_p (o que ten sentido pois \mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}_p). Daquela f representa 0 se e só se f_p representa 0 para todo p \in V .

## Exemplos 
Para demostrar que non existe solución para unha ecuación cadrática no corpo global \mathbb{Q} é abondo con probar que non existe solución nun corpo local (por exemplo un corpo p-ádico \mathbb{Q}_p). 

Porén, para demostrar que si existe solución para unha ecuación cadrática no corpo global \mathbb{Q} debemos probar que existe solución en todos os corpos locais \mathbb{Q}_p. 

### Exemplo de solución existente 
Temos f(x,y,z)=5x^2+7y^2-13z^2 e queremos saber se ten  solución f(x_0,y_0,z_0)=0 \in \mathbb{Q}^3.

Desglosamos varios casos:
* En  \mathbb{Q}_p onde p \not \  2 \cdot 5 \cdot x_0.
Logo, polo lema de Hensel podemos levantar a unha solución f(\overline{x_0},y_0,z_0)=0 \in \mathbb{Q_p}^3.
*  En \mathbb{Q}_2
Para y_0=0, z_0=1 temos f(x)=5x^2 -13  e f'(x_0)=10x_0.
Así  x_0=1 é unha solución de f con v_2(f(1)) = 3 e v_2(f'(1)) = 1, por tanto polo lema de Hensel podemos levantar a solución a f(\overline{x_0},y_0,z_0)=0 \in \mathbb{Q_2}^3.

* Repetimos o proceso para  \mathbb{Q}_5, \mathbb{Q}_7 \text{ e } \mathbb{Q}_{13} procurando solucións simples con valoracións maiores que 0 en 5, 7 e 13 (solución con eses valores como factor) e onde a derivada teña valoración 0:
**\mathbb{Q}_5, x_0=0, y_0=2, f(z_0)=28-13z_0^2, que para z_0=1  ten diferenza 15=3\cdot 5  e por tanto valoración 1.
**\mathbb{Q}_7, x_0=2, y_0=0, f(z_0)=20-13z_0^2, que para z_0=1  ten diferenza 7 e por tanto valoración 1.
**\mathbb{Q}_{13}, x_0=3, z_0=1, f(y_0)=45+7y_0^2, que para y_0=1  ten suma 52 = 13 \cdot 4 e por tanto valoración 1.
 
Por todo isto temos solución en todos os \mathbb{Q}_p^3 e ten solucións evidentes en \mathbb{R}^3 e por tanto existe solución en \mathbb{Q}.

## Aplicación na clasificación de formas cadráticas 
O teorema de Hasse-Minkowski reduce o problema de clasificar formas cadráticas sobre un corpo numérico *K* até a equivalencia,  a resolver as mesmas cuestións dun modo moito máis simple sobre corpos locais. As invariantes básicas dunha forma cadrática non singular son a súa **dimensión**, que é un número enteiro positivo, e o seu **discriminante** módulo os cadrados en **K**, que é un elemento do grupo multiplicativo **K*** / **K***2. Alén diso, para cada lugar *v* de *K*, hai unha invariante procedente do completamento de **K** v. Dependendo da elección de *v*, este completamento poden ser os números reais **R**, os números complexos **C**, ou un corpo de números p-ádicos, cada un deles ten diferentes tipos de invariantes:

* *Caso de* **R.** Pola lei de inercia de Sylvester, a sinatura (ou, alternativamente, o índice negativo de inercia) é unha invariante completa.
* *Caso de* **C.** Todas as formas cadráticas non singulares da mesma dimensión son equivalentes.
* *Caso de* **Q** *p* *e as súas extensións alxébricas* . As formas da mesma dimensión clasifícanse até a equivalencia pola súa invariante de Hasse.

Estas invariantes deben satisfacer algunhas condicións de compatibilidade: unha relación de paridade (o signo do discriminante debe coincidir co índice negativo de inercia) e unha fórmula do produto (unha relación local-global). Pola contra, para cada conxunto de invariantes que satisfán estas relacións, hai unha forma cadrática sobre **K** con estas invariantes.
## Notas 
## Véxase tamén
### Bibliografía 
* 
* 
### Outros artigos 
* Principio local-global.