Función de distribución

]]
]]
En teoría da probabilidade, a **función de distribución** ou **función de distribución acumulada**, é a función que describe completamente a distribución da probabilidade dunha variable aleatoria de valor real *X*. Para cada número real *x*, a función de distribución vén dada por:

F(x) = \operatorname{P}(X\leq x),

é dicir, a función de nome "F" é igual á probabilidade de que a variable aleatoria *X* tome un valor inferior ou igual a un determinado *x*. Segundo esta definición, para cada *x*, a función F asumirá un valor diferente.

A probabilidade de que *X* se sitúe nun intervalo ]*a*,&nbsp;*b*] (aberto en *a* e pechado en *b*) é *F*(*b*)&nbsp;−&nbsp;*F*(*a*) se *a*&nbsp;≤&nbsp;*b*. Por convención emprégase un *F* maiúsculo para a función de distribución, en contraste co *f* minúsculo empregado para a función de densidade e a función masa de probabilidade.

A función de distribución pode ser facilmente obtida a partir da función de probabilidade respectiva. No caso dunha variable aleatoria discreta:

F(x) = \sum_{x_i \leq x}^{}f(x_i)

Para unha variable aleatoria continua:

F(x) = \int_{-\infty}^{x}f(x_i)\,dx

Na definición, o signo "menor ou igual", '≤' podería ser substituído por "menor" '' e deducir as propiedades desta nova función. Porén, cómpre axustar a definición ao sinal pretendido.

## Exemplos 
Como exemplo, se a variable *X* é distribuída uniformemente no intervalo [0,&nbsp;1] a función de distribución vén dada por:
:*F*(*x*) = 0, se *x*  1.

Se *X* toma só os valores 0 e 1, con igual probabilidade, é dicir, se *X* segue a distribución de Bernoulli con p = 1/2, entón a función de distribución vén dada por:
:*F*(*x*) = 0, se *x* 1, *x*2, ... con probabilidade *p*1, *p*2 etc., a función de distribución de *X* é descontinua nos puntos *x**i* e constante entre eles.

Se a función de distribución *F* de *X* é continua, entón *X* é unha **variable aleatoria continua**; se alén diso *F* é absolutamente continua, entón existe unha función integral de Lebesgue *f*(*x*) tal que

:F(b)-F(a) = \operatorname{P}(a\leq X\leq b) = \int_a^b f(x)\,dx

para todos os números reais *a* e *b*.  A primeira das dúas igualdades non sería xeral se a distribución non fose continua. A continuidade da distribución implica que P(*X* = *a*) = P(*X* = *b*) = 0, de modo que a diferenza entre "F, tense:

*0 \le F(x) \le 1
*F é non decrecente (crecente ou constante): x_1 
*F(-\infty) = \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0
*F(+\infty) = \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1
*F é continua pola dereita: F(a^+) = \lim_{x \to a^+}F(x) = F(a)
*\operatorname{P}(x=a) = F(a) - F(a^-)
*\operatorname{P}(a , con a,b \in \mathbb{R}, e  a 

As seguintes propiedades permiten ligar os diferentes tipos de desigualdades, e que se aplican as funcións de distribución de variables aleatorias discretas:

*\operatorname{P}(X 
*\operatorname{P}(X > a) = 1 - F(a)
*\operatorname{P}(X \ge a) = 1 - F(a^-)
*\operatorname{P}(a 
*\operatorname{P}(a \le X 
*\operatorname{P}(a \le X \le b) = F(b) - F(a^-)

No caso das variables aleatorias continuas, cúmprense as seguintes propiedades:

*F é continua en todos os puntos (no caso das v. a. discretas era só continua pola dereita)
*\operatorname{P}(x = a) = \int_{a}^{a}f(x)\,dx = 0
*\operatorname{P}(a \le X \le b) = \operatorname{P}(a \le X 

O test de Kolmogorov-Smirnov baséase en funcións de distribución acumulada e pode empregarse para ver se dúas distribucións empíricas son diferentes ou se unha distribución empírica é diferente dunha distribución ideal. Relacionado con este está o test de Kuiper, que é útil se o dominio da distribución é cíclico como por exemplo nos días da semana. Por exemplo podemos usar o test de Kuiper para ver se o número de tornados varía durante o ano ou se as vendas dun produto varían día a día ou por día do mes.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*Concepto de variable aleatoria e de función de distribución 
*Portal Action