Madhava de Sangamagrama

**Iriññāttappiḷḷi Mādhavan Nampūtiri**, coñecido como **Mādhava de Sangamagrāma**, nado no reino de Cochim arredor de 1340 e finado arredor de 1425, foi un matemático e astrónomo indio, posiblemnte da cidade de Kallettumkara, Aloor Panchayath, Irinjalakuda no distrito de Thrissur, Kerala. Está considerado o fundador da Escola de Astronomía e Matemáticas de Kerala. Un dos maiores matemáticos da Idade media, Madhava realizou contribucións pioneiras no estudo das series infinitas, a análise, a trigonometría, a xeometría e a álxebra. Foi o primeiro que empregou aproximacións mediante series para as funcións trigonométricas, o que se denominou "o paso adiante decisivo dende os procedementos finitos da matemática antiga cara ao paso ao límite no infinito".

Algúns estudosos suxeriron que a obra de Madhava, mediante os escritos da escola de Kerala, foi transmitida a Europa mediante misioneiros xesuítas e comerciantes activos no antigo porto de Muziris nesa época. Como resultado, puido ter influencia no desenvolvemento posterior en Europa da análise e o cálculo.

## Contribucións 
### Series infinitas 
Entre as súas moitas contribucións, descubriu as series infinitas para as funcións trigonométricas do seno, o coseno e o arcotanxente e moitos métodos de cálculo da circunferencia dun círculo. Unha das series de Madhava coñécese polo texto do *Yuktibhāṣā*, que contén a a derivación e a demostración da serie de potencias para as función trigonométricas inversas, descubertas por Madhava. No texto, Jyeṣṭhadeva describe a serie do seguinte xeito:

Isto dá:
: r\theta={\frac {r\sin  \theta  }{\cos  \theta
 }}-(1/3)\,r\,{\frac { \left(\sin \theta   \right) ^
{3}}{ \left(\cos  \theta   \right) ^{3}}}+(1/5)\,r\,{\frac {
 \left(\sin \theta  \right) ^{5}}{ \left(\cos
\theta  \right) ^{5}}}-(1/7)\,r\,{\frac { \left(\sin \theta
 \right) ^{7}}{ \left(\cos \theta  \right) ^{
7}}} + \cdots

ou equivalentemente:
:\theta = \tan \theta - \frac{\tan^3 \theta}{3} + \frac{\tan^5 \theta}{5} - \frac{\tan^7 \theta}{7} + \cdots

Esta é a serie de Gregory (por James Gregory, que a redescubriu tres séculos despois de Madhava). Mesmo se consideramos esta serie particular como obra de Jyeṣṭhadeva, adiantouse a Gregory nun século e certamente outra serie infinita dunha natureza similar foi traballada por Madhava. Actualmente denomínase serie de Madhava-Gregory-Leibniz.

### Trigonometría 
Madhava compuxo unha táboa de senos ben axustada. Marcando un cuadrante con vinte e catro intervalos iguais, deu as lonxitudes das semicordas (senos) correspondentes a cada un deles. Crese que calculou estes valores baseándose nestas expansións en series:

:\sin{q} = q-\frac{q^3}{3!}+\frac{q^5}{5!}-\frac{q^7}{7!} +...
:\cos{q} = 1-\frac{q^2}{2!}+\frac{q^4}{4!}-\frac{q^6}{6!} + ...

### Valor de &pi; 
A obra de Madhava sobre o valor da constante pi foi citada no *Mahajyānayana prakāra* ("Método para os grandes senos"). Mentres algúns estudosos como Sarma cren que este libro puido ser escrito polo propio Madhava, é máis probable que fose obra dun sucesor do século XVI.

: \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{2n - 1},

que obtivo da expansión dunha serie de potencias da función arcotanxente. Porén, o máis impresionante é que tamén deu o termo de corrección *Rn* para o erro tras calcular a suma ata *n* termos, Son os primeiros tres converxentes dunha fracción continua finita, o que, combinado coa serie orixinal de Madhava avaliada en *n* termos, dando arredor de 3*n*/2 díxitos de corrección:

: \frac{\pi}{4} \approx 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots + \frac{(-1)^{n-1}}{2n - 1} + \cfrac{(-1)^n}{4n + \cfrac{1^2}{n + \cfrac{2^2}{4n + \cfrac{3^2}{n + \cfrac{4^2}{\dots + \cfrac{\dots}{\dots + \cfrac{n^2}{n[4 - 3(n \bmod 2)]}}}}}}}.

O valor absoluto do termo de corrección na seguinte orde superior é

: |R_n| = \frac{4n^3 + 13n}{16n^4 + 56n^2 + 9}.

Tamén deu unha serie que converxe máis rapidamente transformando a serie infinita orixinal de π, obtendo as series infinitas

: \pi = \sqrt{12}\left(1 - \frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{5 \cdot 3^2} - \frac{1}{7 \cdot 3^3} + \cdots\right).

Empregando os primeiros 21 termos para calcular unha aproximación de π, obtivo o valor correcto con 11 cifras dixitais (3,14159265359). Ás veces atribúese a Madhava o valor de 3,1415926535898, con trece cifras decimais, mais puido ser obra dun dos seus seguidores. Foron as mellores aproximacións de π dende o século V. O texto *Sadratnamala* parece dar un valor sorprendentemente exacto de π&nbsp;=&nbsp;3,14159265358979324 (17 decimais). Segundo isto, R. Gupta suxeriu que este texto tamén puido ser escrito por Madhava. Tamén descubriu as solucións das ecuacións transcendentes por iteración e atopou a aproximación de números transcendentes mediante fraccións continuas. Madhava tamén estendeu algúns resultados atopados en traballos anteriores, como os de Bhāskara II. Porén, é dubidoso se algunha destas ideas foron transmitidas a occidente, onde o cálculo se desenvolveu de xeito independente por Isaac Newton e Leibniz.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Ligazóns externas 
* Biography on MacTutor