Unión (conxuntos)

miniatura|200x200px| Unión de dous conxuntos: ~A \cup B
miniatura|200x200px| Unión de tres conxuntos: ~A \cup B \cup C
miniatura|200x200px| A unión de A, B, C, D e E é todo agás a área branca.
Na teoría de conxuntos, a **unión** dunha colección de conxuntos (denotada por ∪)  é o conxunto de todos os elementos da colección. É unha das operacións fundamentais mediante as que se poden combinar e relacionar conxuntos entre si. Unha **unión nula** refírese a unha unión de cero () conxuntos e é por definición igual ao conxunto baleiro.

Para a explicación dos símbolos utilizados neste artigo, consulte a táboa de símbolos matemáticos.

## Unión de dous conxuntos 
A unión de dous conxuntos *A* e *B* é o conxunto de elementos que están en *A*, en *B* ou en *A* e *B*. 

: A \cup B = \{ x: x \in A \text{ ou } x \in B\}.

Vemos un exemplo, se *A* = {1, 3, 5, 7} e *B* = {1, 2, 4, 6, 7} entón *A* ∪ *B* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Un exemplo con dous conxuntos infinitos pode ser:

: *A* =   
: *B* =   
: A \cup B = \{2,3,4,5,6, \dots\}

Un exemplo dun elemento non incluído na unión, o número 9 *non* está contido na unión do conxunto de números primos  e do conxunto de números pares , porque 9 non é nin primo nin par.

Os conxuntos non poden ter elementos duplicados,  polo tanto a unión dos conxuntos  e  é . As aparicións múltiples de elementos idénticos non teñen ningún efecto sobre a cardinalidade dun conxunto ou o seu contido.

## Propiedades alxébricas 
A unión binaria é unha operación asociativa; é dicir, para calquera conxunto {{Tmath|A, B, \text{ and } C}},A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C.Así, as parénteses pódense omitir sen ambigüidades: calquera das anteriores pódese escribir como . Ademais, a unión é conmutativa, polo que os conxuntos poden escribirse en calquera orde. O conxunto baleiro é un elemento identidade para o funcionamento da unión. É dicir, , para calquera conxunto . Ademais, a operación de unión é idempotente: . 

A intersección é distributiva  coa uniónA \cap (B \cup C) = (A \cap B)\cup(A \cap C)a unión é distributiva coa intersección A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C).O conxunto de partes dun conxunto , xunto coas operacións dadas pola unión, intersección e complemento, é unha álxebra de Boole. Nesta álxebra de Boole, a unión pódese expresar en termos de intersección e complementario pola fórmulaA \cup B = ( A^\complement \cap B^\complement )^\complement,onde o superíndice {}^\complement significa o complemento no conxunto universal .

## Unións finitas 
Unha **unión finita** é a unión dun número finito de conxuntos; a frase non implica que o conxunto de unión sexa un conxunto finito.  

## Unións arbitrarias 
A noción máis xeral é a unión dunha colección arbitraria de conxuntos. Se **M** é un conxunto ou clase cuxos elementos son conxuntos, entón *x* é un elemento da unión de **M** se e só se hai polo menos un elemento *A* de **M** tal que *x* é un elemento de *A*.  En símbolos:

: x \in \bigcup \mathbf{M} \iff \exists A \in \mathbf{M},\ x \in A.

### Notacións 
A notación para o concepto xeral pode variar considerablemente. Para unha unión finita de conxuntos S_1, S_2, S_3, \dots, S_n pódese escribir como  S_1 \cup S_2 \cup S_3 \cup \dots \cup S_n ou \bigcup_{i=1}^n S_i . As unións arbitrarias teñen varias notacións similares: \bigcup \mathbf{M}, \bigcup_{A\in\mathbf{M}} A, e \bigcup_{i\in I} A_{i}. A última destas notacións refírese á unión da colección \left\{A_i : i \in I\right\}, onde *I* é un conxunto de índices e A_i é un conxunto para todos eses índices . No caso de que o conxunto índice *I* sexa o conxunto de números naturais, utilízase a notación \bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}, que é análogo ao das sumas infinitas en serie. 

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Intersección.
* Complementario (conxuntos).
* Álxebra de conxuntos.

### Ligazóns externas 
* 
* Infinite Union and Intersection at ProvenMath De Morgan's laws formally proven from the axioms of set theory.