Integración por redución

No cálculo integral, as **fórmulas de redución na integración** constitúen un método baseado en relacións de recorrencia. Empregase cando unha expresión que contén un número enteiro como parámetro, xeralmente na forma de potencias de funcións elementais, ou produtos de funcións transcendentais e polinomios de grao arbitrario, non se pode integrar directamente. Utilizando outros métodos de integración pódese establecer unha fórmula de redución para obter a integral da mesma ou dunha expresión semellante cun parámetro enteiro menor, simplificando progresivamente a integral ata que se poida avaliar. Este método de integración é un dos empregados máis cedo na historia.

## Como atopar a fórmula de redución 
A fórmula de redución pode obterse empregando calquera dos métodos
comúns de integración, como a integración por substitución,
a integración por partes, a integración
por substitución trigonométrica, a integración por descomposición en fraccións simples,
etc. A idea principal é expresar unha integral que involucra un
parámetro enteiro (por exemplo, unha potencia) dunha función,
representada por *I**n*, en termos dunha integral que
involucra un valor menor do parámetro (potencia menor) desa función,
por exemplo *I**n*−1 ou *I**n*−2. Isto
converte a fórmula de redución nun tipo de
relación de recorrencia. Noutras palabras, a fórmula de redución
expresa a integral
:I_n =\int f(x,n) \,\text{d}x, 
en termos de
:I_k = \int f(x,k) \,\text{d}x, 
onde
:k 

## Como calcular a integral 
Para calcular a integral, dáselle a *n* o seu valor e utilízase a
fórmula de redución para expresala en termos da integral con índice
(*n* − 1) ou (*n* − 2). A integral co índice menor pódese usar para
calcular as de índice maior; o proceso continúa repetidamente ata
chegar a un punto no que a función a integrar se poida calcular,
xeralmente cando o índice é 0 ou 1. Logo substitúense cara atrás
os resultados anteriores ata obter *I**n*.

### Exemplos 
A continuación móstranse exemplos do procedemento.

#### Integral do coseno 
Normalmente, integrais como

:\int \cos^n x \,\text{d}x , \,\!

pódense avaliar mediante unha fórmula de redución.

miniatura|\int \cos^n (x) \,\text{d}x\!,
para *n* = 1, 2 ... 30

Comezando por definir:

:I_n = \int \cos^n x\,\text{d}x . \,\!

Reescribindo como:

:I_n = \int \cos^{n-1} x \cos x \,\text{d}x , \,\!

Integrando con esta substitución:

:\cos x \,\text{d}x = \text{d} ( \sen x) , \,\!

:I_n = \int \cos^{n-1} x \,\text{d}(\sen x) . \!

Agora, integrando por partes:

: \begin{align} \int \cos^n x \,\text{d}x
& = \int \cos^{n-1} x \,\text{d}(\sen x) \\
& = \cos^{n-1} x \sen x - \int \sen x \,\text{d}(\cos^{n-1} x) \\
& = \cos^{n-1} x \sen x + (n-1) \int \sen x \cos^{n-2} x\sen x \,\text{d}x\\
& = \cos^{n-1} x \sen x + (n-1) \int \cos^{n-2} x \sen^2 x \,\text{d}x\\
& = \cos^{n-1} x \sen x + (n-1) \int \cos^{n-2} x (1-\cos^2 x)\,\text{d}x\\
& = \cos^{n-1} x \sen x + (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n ,
\end{align} \,

resolvendo para *In*:

:I_n + (n-1) I_n = \cos^{n-1} x \sen x + (n-1) I_{n-2} , \,

:n I_n = \cos^{n-1} x \sen x + (n-1) I_{n-2} , \,

:I_n = \frac{1}{n}\cos^{n-1} x \sen x
+ \frac{n-1}{n} I_{n-2} , \,

polo que a fórmula de redución é:

:\int \cos^n x \,\text{d}x =
\frac{1}{n}\cos^{n-1} x \sen x +
\frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} x \,\text{d}x . \!

Por exemplo, isto pódese empregar para calcular a integral
para *n* = 5:

: I_5 = \int \cos^5 x \,\text{d}x . \,\!

Calculando índices máis baixos:

:n=5, \quad I_5 = \tfrac{1}{5} \cos^4 x \sen x
+ \tfrac{4}{5} I_3 , \,

:n=3, \quad I_3 = \tfrac{1}{3} \cos^2 x \sen x
+ \tfrac{2}{3} I_1, \,

substituíndo cara atrás:

:I_1 = \int \cos x \,\text{d}x = \sen x + C_1,\,

:I_3 = \tfrac{1}{3} \cos^2 x \sen x +
\tfrac{2}{3}\sen x + C_2, \quad C_2= \tfrac{2}{3} C_1,\,

:I_5 = \frac{1}{5} \cos^4 x \sen x +
\frac{4}{5}\left[\frac{1}{3} \cos^2 x \sen x +
\frac{2}{3} \sen x\right] + C,\,

onde *C* é unha constante.

#### Integral exponencial 
Outro exemplo típico é:

:\int x^n e^{ax} \,\text{d}x . \,\!

Comezando por definir:

:I_n = \int x^n e^{ax} \,\text{d}x . \,\!

Integrando por substitución:

:x^n \,\text{d}x = \frac{\text{d} ( x^{n+1})}{n+1} , \,\!

:I_n = \frac{1}{n+1} \int e^{ax} \,\text{d}(x^{n+1}) , \!

Integrando por partes:

:\begin{align} \int e^{ax} \,\text{d}(x^{n+1})
& = x^{n+1}e^{ax} - \int x^{n+1} \,\text{d}(e^{ax}) \\
& = x^{n+1}e^{ax} - a \int x^{n+1} e^{ax}\,\text{d}x ,
\end{align} \!

:(n+1) I_n = x^{n+1}e^{ax} - a I_{n+1} , \!

desprazando índices (*n+1* → *n*):

:n I_{n-1} = x^n e^{ax} - a I_n , \!

resolvendo para *In*:

:I_n = \frac{1}{a} \left ( x^n e^{ax} - n I_{n-1} \right ) , \,\!

polo que a fórmula de redución é:

:\int x^n e^{ax} \,\text{d}x =
\frac{1}{a} \left ( x^n e^{ax} - n \int x^{n-1} e^{ax} \,\text{d}x \right ). \!

Alternativamente, comezando con:

e^{ax} \,\text{d}x = \frac{\text{d} ( e^{ax})}{a} , \,\!

I_n = \frac{1}{a} \int x^{n} \,\text{d}(e^{ax}) , \!

Integrando por partes:

\begin{align} \int x^{n} \,\text{d}(e^{ax})
& = x^{n}e^{ax} - \int e^{ax} \,\text{d}(x^{n}) \\
& = x^{n}e^{ax} - n \int e^{ax} x^{n-1}\,\text{d}x ,
\end{align} \!

substituíndo de novo:

I_n = \frac{1}{a} \left ( x^n e^{ax} - n I_{n-1} \right ) , \,\!

que é equivalente a:

:\int x^n e^{ax} \,\text{d}x =
\frac{1}{a} \left ( x^n e^{ax} - n \int x^{n-1} e^{ax} \,\text{d}x \right ). \!

Outro camiño é integrar por partes directamente:

:I_n = \int x^{n} x e^{ax} \,\text{d}x, \!

:u = x^{n} ,\ dv = e^{ax} ,

:\frac{du}{dx} = nx^{n-1} ,\ v = \frac{e^{ax}}{a} 

:I_n = \frac{x^{n}e^{ax}}{a}
- \frac{n}{a} \int x^{n-1} e^{ax} \,\text{d}x

lembrando:

:I_{n-1} = \int x^{n-1} e^{ax} \,\text{d}x

:\therefore\ I_n = \frac{x^{n}e^{ax}}{a}
- \frac{n}{a} I_{n-1}

que leva á mesma fórmula de redución.

## Notas