Produto (teoría das categorías)

Na teoría das categorías, o **produto** de dous (ou máis) obxectos nunha categoría é unha noción deseñada para captar a esencia detrás das construcións noutras áreas das matemáticas, como o produto cartesiano de conxuntos, o produto directo de grupos ou aneis e o produto de espazos topolóxicos. Esencialmente, o produto dunha familia de obxectos é o obxecto "máis xeral" que admite un morfismo a cada un dos obxectos dados.

## Definición 
### Produto de dous obxectos 
Fixamos unha categoría C. Sexan X_1 e X_2  obxectos de C. Un produto de X_1 e X_2 é un obxecto X, normalmente denotado X_1 \times X_2, equipado cun par de morfismos \pi_1 : X \to X_1, \pi_2 : X \to X_2 que satisfán a seguinte propiedade universal:

* Para cada obxecto Y e cada par de morfismos f_1 : Y \to X_1, f_2 : Y \to X_2, existe un morfismo único f : Y \to X_1 \times X_2 tal que o seguinte diagrama conmuta:
*: alt=Universal property of the product|centro|280x280px| Propiedade universal do produto

A existencia dun produto pode depender de C ou deX_1 e X_2. Se existe, é único ata o isomorfismo canónico, por mor da propiedade universal, polo que se pode falar *do* produto. Isto ten o seguinte significado: se X', \pi_1', \pi_2' é outro produto, existe un isomorfismo único h : X' \to X_1 \times X_2 tal que \pi_1' = \pi_1 \circ h e \pi_2' = \pi_2 \circ h.

Os morfismos \pi_1 e \pi_2 chámanse **proxeccións canónicas** ou **morfismos de proxección**; a letra \pi alitera con proxección. Dado Y e f_1,f_2, o morfismo único f chámase **produto de morfismos** f_1 e f_2 e pode ser denotado \langle f_1, f_2 \rangle,  f_1 \times f_2, ou f_1 \otimes f_2.

### Produto dunha familia arbitraria 
En lugar de dous obxectos, podemos comezar cunha familia arbitraria de obxectos indexados por un conxunto I.

Dada unha familia \left(X_i\right)_{i \in I} dos obxectos, un **produto** da familia é un obxecto X equipado con morfismos \pi_i : X \to X_i, a satisfacer a seguinte propiedade universal:

* Para cada obxecto Y e cada I-familia indexada de morfismos f_i : Y \to X_i, existe un morfismo único f : Y \to X de tal xeito que os seguintes diagramas conmutan para tódolos i \in I:
*: alt=Universal product of the product|centro| Produto universal do produto

O produto denótase como \prod_{i \in I} X_i. Se I = \{1, \ldots, n\}, entón denótase como X_1 \times \cdots \times X_n e o produto dos morfismos denótase como \langle f_1, \ldots, f_n \rangle.

### Definición mediante ecuacións 
Alternativamente, o produto pódese definir mediante ecuacións. Así, por exemplo, para o produto binario:

* A existencia de f está garantida pola existencia da operación \langle \cdot,\cdot \rangle.
* A conmutatividade dos diagramas anteriores está garantida pola igualdade: para todos os f_1, f_2 e todo i \in \{1, 2\}, \pi_i \circ \left\langle f_1, f_2 \right\rangle = f_i
* A singularidade de f está garantida pola igualdade: para tódolos g : Y \to X_1 \times X_2,\left\langle \pi_1 \circ g, \pi_2 \circ g \right\rangle = g.

### Como límite 
O produto é un caso especial de límite (teoría das categorías). 

Isto pódese ver usando unha categoría discreta (unha familia de obxectos sen ningún morfismo, alén dos seus morfismos de identidade) como o diagrama necesario para a definición do límite. 

Os obxectos discretos servirán como índice dos compoñentes e proxeccións. Se consideramos este diagrama como un functor, é un functor do conxunto de índices I considerado como unha categoría discreta. 

A definición do produto coincide logo coa definición do límite, \{f\}_i sendo un cono e as proxeccións sendo o límite (cono limitante).

## Exemplos 
Na categoría de conxuntos, o produto (no sentido teórico da categoría) é o produto cartesiano. Dada unha familia de conxuntos X_i o produto defínese como \prod_{i \in I} X_i := \left\{\left(x_i\right)_{i \in I} : x_i \in X_i \text{ para todo } i \in I\right\} coas proxeccións canónicas \pi_j : \prod_{i \in I} X_i \to X_j, \quad \pi_j\left(\left(x_i\right)_{i \in I}\right) := x_j. Dado calquera conxunto Y cunha familia de funcións f_i : Y \to X_i, a frecha universal f : Y \to \prod_{i \in I} X_i está definida por f(y) := \left(f_i(y)\right)_{i \in I}.

Outros exemplos:

* Na categoría de espazos topolóxicos, o produto é o espazo cuxo conxunto subxacente é o produto cartesiano e que leva a topoloxía do produto. A topoloxía do produto é a topoloxía máis grosa (máis débil) para a cal todas as proxeccións son continuas.
* Na categoría de módulos sobre algún anel R, o produto é o produto cartesiano con suma definida por compoñentes e multiplicación distributiva.
* Na categoría de grupos, o produto é o produto directo de grupos dado polo produto cartesiano coa multiplicación definida por compoñentes.
* Un conxunto parcialmente ordenado pódese tratar como unha categoría, utilizando a relación de orde como os morfismos. Neste caso, os produtos e coprodutos corresponden aos límites inferiores maiores (meets) e mínimos límites superiores (joins).

## Distributividade 
Para calquera obxecto X, Y \text{ e } Z dunha categoría con produtos finitos e coprodutos, existe un morfismo canónico X \times Y + X \times Z \to X \times (Y + Z), onde o signo máis aquí indica o coproduto. Para ver isto, teña en conta que a propiedade universal do coproduto X \times Y + X \times Z garante a existencia de frechas únicas enchendo o seguinte diagrama (as frechas inducidas son as descontinuas):
centro|400x400px
A propiedade universal do produto X \times (Y + Z) garante logo un morfismo único X \times Y + X \times Z \to X \times (Y + Z) inducido polas frechas descontinuas do diagrama anterior. 

Unha categoría distributiva é aquela na que este morfismo é realmente un isomorfismo. Así, nunha categoría distributiva, existe o isomorfismo canónico X\times (Y + Z)\simeq (X\times Y) + (X \times Z).

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
*  Chapter 5.
* 
* Definition 2.1.1 in 

### Outros artigos 
* Límite (teoría das categorías)
* Coproduto
* Límite inverso
* Produto cartesiano
 

### Ligazóns externas 
* Páxina Interactiva que xera exemplos de produtos na categoría de conxuntos finitos.
*