Paradoxo de Russell

O **paradoxo de Russell** ou **paradoxo do barbeiro**, descrito por Bertrand Russell en 1901, demostra que a teoría orixinal de conxuntos formulada por Cantor e Frege é contraditoria.

## O paradoxo en termos de conxuntos 
Supoñamos os casos de conxuntos que son membros deles mesmos. Un exemplo descrito é o que supón un conxunto que consta de "ideas abstractas". O devandito conxunto é membro del mesmo porque o propio conxunto é unha idea abstracta. Outro exemplo sería unha bolsa con bolsas dentro. Doutra banda un conxunto que consta de "libros" non é membro de si mesmo porque o conxunto en si non é un libro. Russell preguntaba (nunha carta escrita a Frege en 1902), se o conxunto dos conxuntos que non forman parte deles mesmos (é dicir, aquel conxunto que engloba todos aqueles conxuntos que non están incluídos en si mesmos, como o de "libros" no exemplo anterior) forma parte de si mesmo. O paradoxo consiste en que se non forma parte de si mesmo, pertence ao tipo de conxuntos que non forman parte de si mesmos e por tanto forma parte de si mesmo. É dicir, *formará parte de si mesmo só se non forma parte de si mesmo*.

### Enunciado formal do paradoxo 
Chámese M_{}^{} ao "conxunto de todos os conxuntos que non se conteñen a si mesmos como membros". É dicir
{{Ecuación|M=\{x:x \notin x\}|1}}
Segundo a teoría de conxuntos de Cantor, a ecuación (1) pódese representar por

é dicir "Cada conxunto é elemento de M se e só se non é elemento de si mesmo".

Agora, como M é un conxunto, pódese substituír x por M na ecuación (2), de onde se obtén

É dicir que M é un elemento de M se e só se M non é un elemento de M, o que é absurdo.

## O paradoxo en termos do barbeiro 
O paradoxo de Russell foi expresada en varios termos máis cotiáns. O máis coñecido é o *paradoxo do barbeiro* que se pode enunciar da seguinte maneira:
: 
En lóxica de primeira orde, o paradoxo do barbeiro pódese expresar como:
{{Ecuación|\forall x\qquad\mathrm{afeita}(x,barbeiro)\iff \neg\mathrm{afeita}(x,x)|4}}

Onde \mathrm{afeita}(x,y) significa "x é afeitado por y". O anterior leríase como "cada persoa é afeitada polo barbeiro se e só se non se afeita a ela mesma". É importante notar a semellanza entre as ecuacións (2) e (4). Ao substituír x por barbeiro obtense
{{Ecuación|\mathrm{afeita}(barbeiro,barbeiro)\iff \neg\mathrm{afeita}(barbeiro,barbeiro)|5}}
É dicir que o barbeiro se afeita a si mesmo se e só se non se afeita a si mesmo, o cal é unha contradición.

Porén, Russell dubida sobre esta formulación, e el mesmo comentou "Nunha ocasión foime suxerida unha formulación que non era válida; a cuestión de se o barbeiro se afeita ou non a si mesmo. Vostedes poden definir o barbeiro como 'alguén que afeita a todos aqueles, e só aqueles, que non se afeitan a si mesmos'. A pregunta agora é: aféitase o barbeiro a si mesmo? Así formulada, a contradición non é moi difícil de resolver".

## Explicación do paradoxo 
Os conxuntos son reunións de *cousas*, por exemplo de coches, libros, persoas etc. e neste sentido chámanse *conxuntos normais*.

A característica principal dun conxunto normal é que non se contén a si mesmo. Pero tamén existen conxuntos de conxuntos, como P(M), que é o conxunto de subconxuntos de M.

Un conxunto de conxuntos é normal salvo se podemos facer que se conteña a si mesmo. Isto último non é difícil se temos o conxunto de todas as cousas que NON son libros e como un conxunto non é un libro, o conxunto de todas as cousas que NON son libros formará parte do conxunto de todas as cousas que NON son libros. Estes conxuntos que se conteñen a si mesmos chámanse *conxuntos singulares*.

Está claro que un conxunto dado ou ben é normal ou ben é singular; non hai termo medio: ou se contén a si mesmo ou non se contén. Agora tomando o conxunto C como o conxunto de todos os conxuntos normais. Que clase de conxunto é C? Normal ou Singular?

Se é normal, estará dentro do conxunto de conxuntos normais, que é C, logo xa non pode ser normal. Se é singular, non pode estar dentro do conxunto de conxuntos normais, logo non pode estar en C, pero se non pode estar en C entón non é singular.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Teoría de conxuntos
* Clase
### Ligazóns externas 
* Epsilones - Frege y la paradoja de Russell 
* López Mateos, Manuel. Los conjuntos en Academia.edu