Potencia perfecta

miniatura| Mostra, con regletas Cuisenaire, da natureza de potencia perfecta de 4, 8 e 9
En matemáticas, unha **potencia perfecta** é un número natural que é un produto de factores naturais iguais, ou, noutras palabras, un número enteiro que se pode expresar como un cadrado ou unha potencia enteira superior doutro enteiro maior que un. Máis formalmente, *n* é unha potencia perfecta se existen números naturais *m* > 1 e *k* > 1 tal que *mk* = *n*. Neste caso, *n* pódese chamar '''*k-*ésima potencia perfecta'*. Se *k* = 2 ou *k* = 3, entón *n* chámase cadrado perfecto ou cubo perfecto, respectivamente.

## Exemplos e sumas 
Pódese xerar unha secuencia de potencias perfectas iterando os posíbeis valores de *m* e *k*. As primeiras potencias perfectas ascendentes en orde numérica (mostrando potencias con valores duplicados) son      :

:  2^2 = 4,\ 2^3 = 8,\ 3^2 = 9,\ 2^4 = 16,\ 4^2 = 16,\ 5^2 = 25,\ 3^3 = 27,  2^5 = 32,\ 6^2 = 36,\ 7^2 = 49,\ 2^6 = 64,\ 4^3 = 64,\ 8^2 = 64, \dots 

A suma dos recíprocos das potencias perfectas (incluíndo duplicados como 34 = 81 e 92 = 81) é 1:

: \sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{m^k}=1.

que se pode demostrar do seguinte xeito:

: \sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{m^k}
=\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m^2} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{m^k}
=\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m^2} \left( \frac{m}{m-1} \right)
=\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m(m-1)}
=\sum_{m=2}^{\infty} \left( \frac {1}{m-1} - \frac {1}{m} \right) = 1 \, .

As primeiras potencias perfectas sen duplicados son:

: (ás veces 0 e 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 225, 52, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024,...     

A suma dos recíprocos das potencias perfectas *p* sen duplicados é: 

: \sum_{p}\frac{1}{p}=\sum_{k=2}^{\infty}\mu(k)(1-\zeta(k)) \approx 0.874464368 \dots

onde &#x3BC; (*k*) é a función de Möbius e &#x3B6;(*k*) é a función zeta de Riemann.

Segundo Euler, Goldbach mostrou (nunha carta agora perdida) que a suma de  sobre o conxunto de potencias perfectas *p*, excluíndo 1 e excluíndo os duplicados, é 1:

Isto ás veces coñécese como o teorema de Goldbach-Euler.

## Detección de potencias perfectas 
Detectar se un número natural *n* dado é ou non unha potencia perfecta pódese conseguir de moitas formas diferentes, con distintos niveis de complexidade. Un dos métodos máis sinxelos deste tipo é considerar todos os valores posíbeis para *k* en cada un dos divisores de *n*, ata k \leq \log_2 n. Logo, se os divisores de n son n_1, n_2, \dots, n_j entón un dos valores n_1^2, n_2^2, \dots, n_j^2, n_1^3, n_2^3, \dots debe ser igual a *n* se *n* é realmente unha potencia perfecta.

Este método pódese simplificar inmediatamente considerando só os valores primos de *k*. Isto é porque se n = m^k para un composto k = ap onde *p* é primo, entón isto pode simplemente reescribirse como n = m^k = m^{ap} = (m^a)^p . Debido a este resultado, o valor mínimo de *k* debe ser necesariamente primo.

Se se coñece a factorización completa de *n*, digamos n = p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2} \cdots p_r^{\alpha_r} onde o p_i son primos distintos, entón *n* é unha potencia perfecta se e só se \gcd(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r) > 1 onde mcd denota o máximo común divisor. Como exemplo, considere *n* = 296 ·360 ·724 . Dado que mcd(96, 60, 24) = 12, *n* é unha potencia 12 perfecta (e unha potencia 6, 4, cubo e cadrado perfectos, xa que 6, 4, 3 e 2 dividen a 12).

## Ocos entre potencias perfectas 
En 2002 o matemático romanés Preda Mihăilescu demostrou que o único par de potencias perfectas consecutivas é 23 = 8 e 32 = 9, demostrando así a conxectura de Catalan.

A conxectura de Pillai afirma que para calquera número enteiro positivo dado *k* só hai un número finito de pares de potencias perfectas cuxa diferenza é *k''. Este é un problema sen resolver.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
### Outros artigos 
* Función zeta de Riemann.
### Ligazóns externas 
*Lluís Bibiloni, Pelegrí Viader, and Jaume Paradís, On a Series of Goldbach and Euler, 2004 (Pdf)