Cálculo de variacións

O **cálculo de variacións** é un problema matemático consistente en buscar máximos e mínimos (ou máis xeralmente extremos relativos) de funcionais continuos definidos sobre algún espazo funcional.

Constitúen unha xeneralización do cálculo elemental de máximos e mínimos de funcións reais dunha variable

## Historia 
O cálculo de variacións desenvolveuse a partir do problema da curva braquistócrona, exposto inicialmente por Johann Bernoulli (1696). Inmediatamente este problema captou a atención de Jakob Bernoulli e o marqués de L'Hôpital, aínda que foi Leonhard Euler o primeiro que elaborou unha teoría do cálculo variacional. As contribucións de Euler iniciáronse en 1733 coa súa *Elementa Calculi Variationum* ("Elementos do cálculo de variacións") que deu nome á disciplina.

Lagrange contribuíu cumpridamente á teoría e Legendre (1786) asentou un método, non enteiramente satisfactorio para distinguir entre máximos e mínimos. Isaac Newton e Gottfried Leibniz tamén prestaron atención a este asunto. Outros traballos destacados foron os de Vincenzo Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Poisson (1831), Mikhail Ostrogradski (1834) e Carl Jacobi (1837). Un traballo xeral particularmente importante é o de Sarrus (1842) que foi resumido por Cauchy (1844). Outros traballos destacados posteriores son os de Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) e Carll (1885), aínda que quizais o máis importante dos traballos durante o século XIX é o de Weierstrass. Este importante traballo foi unha referencia estándar e é o primeiro que trata o cálculo de variacións sobre unha base firme e rigorosa. Os problemas 20 e 23 de Hilbert expostos en 1900 estimularon algúns desenvolvementos posteriores. Durante o século XX, David Hilbert, Emmy Noether, Leonida Tonelli, Henri Lebesgue e Jacques Hadamard, entre outros, fixeron contribucións notables. Marston Morse aplicou o cálculo de variacións ao que actualmente se coñece como teoría de Morse. Lev Semenovich Pontryagin, Ralph Rockafellar e Clarke desenvolveron novas ferramentas matemáticas dentro da teoría do control óptimo, xeneralizando o cálculo de variacións.

### Problema isoperimétrico 
Cal é a área máxima *A* que pode rodearse cunha curva de lonxitude *L* dada? De non existiren restricións adicionais, a solución é:
{{ecuación|
A = \frac{L^2}{4\pi}
||left}}
que é o valor que se obtén para un círculo de raio R = L / 2\pi.

Se se impoñen restricións adicionais a solución é diferente. Un exemplo é se se supón que *L* se considera sobre unha función f(x) e os extremos da curva están sobre os puntos A=(a,0), B=(b,0) onde a distancia entre eles está dada. É dicir AB = L\,. O problema de achar unha curva que maximice a área entre ela e o eixe *X* sería atopar unha función f(x) de modo que:
{{ecuación|
\max_{f:[a,b]\to\R} I[f]=\int_a^b f(x) dx 
||left}}
coas restricións:
{{ecuación|
\begin{cases} G[f] = \int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} dx = L & \mbox{longitud de arco} \\
f(a) = f(b) = 0 \end{cases}
||left}}

### Braquistócrona 
O problema da curva braquistócrona remóntase a Jakob Bernoulli (1696). Refírese a atopar unha curva no plano cartesiano que vaia do punto P = (x_0,y_0)  á orixe de modo que un punto material que se desliza sen fricción sobre ela tarda o menor tempo posible en ir de P á orixe. Usando principios de mecánica clásica o problema pode formularse como, 
{{ecuación|
\min_f T[f]=\int_{0}^{x_0}\frac {\sqrt{1+(f'(x))^2}}
{\sqrt{2g(y_0-y)}}\ dx
||left}}
onde *g* é a gravidade e as restricións son, f(0)=0, f(x_0)=y_0. Hai que notar que en x=x_0 existe unha singularidade.

## Formulación xeral 
Un dos problemas típicos en cálculo diferencial é o de atopar o valor de x\, para o cal a función f(x)\, alcanza un valor extremo (máximo ou mínimo). No cálculo de variacións o problema é atopar unha función  f(x)  para a cal un funcional J[f]\, alcance un valor extremo. O funcional J[f] está composto por unha integral que depende de x, da función f(x) e algunhas das súas derivadas.
{{ecuación|
\max_f / \min_f \left\{ I[f]=\int_a^b \mathcal{L}(x,f(x),f'(x),f*(x),\dots,f^{(n}(x))\,dx \right\}
|1a|left}}

Onde a función f(x) pertence a algún espazo de funcións (espazo de Banach, espazo de Hilbert), e tanto ela como as súas derivadas poden ter restricións. Esta fórmula integral pode ser máis complicada permitindo a x ser un vector, e polo tanto incluíndo derivadas parciais para f:
{{ecuación|
\max_\mathbf{f} / \min_\mathbf{f} \left\{ J[\mathbf{f}]=\int_{\mathcal{D}\subset \R^n}
\mathcal{L}(\mathbf{x},\mathbf{f}(\mathbf{x}),D\mathbf{f}(\mathbf{x}),\dots,D^n\mathbf{f}(\mathbf{x}))\,d^n\mathbf{x} \right\}
|1b|left}}

### Espazos funcionais 
A fundamentación rigorosa do cálculo de variacións require considerar variedades diferenciais lineares de dimensión infinita. De feito o punto de partida do cálculo de variacións é un teorema da análise funcional que proba que é posible considerar unha curva nun espazo funcional (p.ex. traxectoria no espazo fásico) simplemente como unha función cunha variable adicional, concretamente:

O teorema anterior pode aplicarse por exemplo ao principio de mínima acción onde trata de atoparse a traxectoria posible no espazo de fases que fai mínima a integral de acción. Dita traxectoria é unha curva suave no espazo de traxectorias *E*, considerando agora:

Tense que o problema de minimización pode reducirse a minimizar unha certa función real *f* de variable real:
{{ecuación|
f_{q_0}(\varepsilon):= S[q_0+\varepsilon \delta q], \qquad S:\Complex^\infty(\R^n)\to\R,\ 
S[q]:=\int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}(q(t),\dot{q}(t),t)\ dt,\  q(t)\in \R^n 
||left}}

### Extremos relativos débiles e fortes 
Un problema variacional require que o funcional \scriptstyle J(f) estea definido sobre un espazo de Banach \scriptstyle (V,\|\cdot\|_V) adecuado. A norma vectorial de devandito espazo é o que permite definir rigorosamente se unha solución é un mínimo ou un máximo relativo. Por exemplo unha función \scriptstyle f_0 é un mínimo relativo se existe un certo \scriptstyle \delta>0 tal que, para toda función \scriptstyle f se cumpre que:

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* A. Kriegl y P. W. Michor: "Aspects of the theory of inifinite dimensional manifolds", *Differential Geometry and its Applications*, **1**, 1991, pp.&nbsp;159–176.
* Leonida Tonelli: Fondamenti di calcolo delle variazioni,  N. Zanichelli, 1921-23
* Todhunter, I. A history of the calculus of variations, Chelsea, 1861
* Carll, L. B. A Treatise On The Calculus Of Variations John Wiley & sons, 1881 
* Hancock, H. Lectures on the calculus of variations (the Weierstrassian theory) Cincinnati University Press, 1904
* Bolza, O Lectures on the calculus of variations, Chicago University Press, 1904
* Byerly, W. E. Introduction to the calculus of variations Harvard University Press, 1917
* Weinstock, R. Calculus Of Variations With Applications To Physics And Engineering, McGrawHill, 1952
* Hadamard J. e Fréchet, M. Leçons sur le calcul des variations (francese) Hermann, 1910
* Fomin, S.V. and Gelfand, I.M.: Calculus of Variations, Dover Publ., 2000 
* Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1&nbsp;– 98
* Charles Fox: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ., 1987
* Giuseppe Buttazzo, Gianni Dal Maso, Ennio De Giorgi. [Variazioni, calcolo delle](http://www.treccani.it/enciclopedia/calcolo-delle-variazioni_(8Enciclopedia-Novecento)/), *Enciclopedia del Novecento'', II Supplemento (1998), Istituto dell'Enciclopedia italiana Treccani
*Gianni Dal Maso, Variazioni, calcolo delle, *Enciclopedia della Scienza e della Tecnica*, (2007), Istituto dell'Enciclopedia italiana Treccani
### Outros artigos 
* Charles-Augustin de Coulomb
* Ecuacións de Euler-Lagrange
* Derivada funcional
* Mecánica de chans
* Teoría de Mohr-Coulomb
* Torsión mecánica
### Ligazóns externas 
* Variational calculus. *Encyclopedia of Mathematics*.
* calculus of variations. *PlanetMath*.
* Calculus of Variations. *MathWorld*.
* Calculus of variations. Example problems.
* Mathematics - Calculus of Variations and Integral Equations. Lectures on YouTube.
* Selected papers on Geodesic Fields. Part I, Part II.