Teoremas do isomorfismo

En matemáticas, en concreto álxebra abstracta, os **teoremas do isomorfismo** (tamén coñecidos como **Teoremas de isomorfismo de Noether**) son teoremas que describen a relación entre cocientes, homomorfismos e, subobxectos. Existen versións dos teoremas para grupos, aneis, espazos vectoriais, módulos, Álxebras de Lie, e outras estruturas alxébricas. En álxebra universal, os teoremas de isomorfismo poden ser xeneralizados ao contexto de álxebras e congruencias.

## Historia 
Os teoremas do isomorfismo foron formulados nalgunha xeneralidade para homomorfismos de módulos por Emmy Noether no seu artigo *Abstrakter Aufbau der Idealtheorie en alxébrica Zahl - Und Funktionenkörpern*, que foi publicado en 1927 en Mathematische Annalen. As versións menos xerais destes teoremas pódense atopar no traballo de Richard Dedekind e documentos anteriores de Noether.

Tres anos despois, B. l. van der Waerden publicou a súa influente *Moderne Algebra*, o primeiro libro de texto de álxebra abstracta que levou unha aproximación a este tema en grupos-aneis-corpos. Van der Waerden utilizou as conferencias de Noether sobre teoría de grupos e Emil Artín sobre álxebra, así como un seminario realizado por Artin, Wilhelm Blaschke, Otto Schreier, e o propio van der Waerden sobre ideais como as principais referencias.

Imos ver os teoremas de isomorfismo referidos aos grupos. Os teoremas refírense pola orde ou as veces polas letras A, B e C.

### Primeiro teorema do isomorfismo 
miniatura|Diagrama do teorema fundamental sobre homomorfismos
Sexan *G* e *H*  grupos, e sexa *f*&nbsp;:&#x2009;*G*&nbsp;→&nbsp;*H*  un homomorfismo. Entón:

# O kernel de *f* é un subgrupo normal de *G.*
# A imaxe de *f* é un subgrupo de *H*.
# A imaxe de *f* é isomorfa ao grupo cociente *G*&#x2009;/&#x2009;ker(*f*).

En particular, se *f* é sobrexectivo entón *H* é isomorfo a *G*&#x2009;/&#x2009;ker(*f*).

### Segundo teorema do isomorfismo 
miniatura|Diagrama para o segundo teorema punto 4. Os dous grupos cocientes (punteados) son isomorfos.
Sexa G un grupo. Sexa S un subgrupo de G, e sexa N un subgrupo normal de G. Entón cúmprese o seguinte:

# O produto SN é un subgrupo de G.
# O subgrupo N é un subgrupo normal de SN.
# A intersección S \cap N é un subgrupo normal de S.
# Os grupos cocientes (SN)/N e S/(S\cap N) son isomorfos.

Tecnicamente, non é necesario que N sexa un subgrupo normal, sempre que S sexa un subgrupo do normalizador de N en G. Neste caso, N non é un subgrupo normal de G mais N é aínda un subgrupo normal do produto SN.

Unha aplicación do segundo teorema do isomorfismo é identificar os grupos lineares proxectivos, por exemplo, o grupo sobre a liña proxectiva complexa comeza facendo G = \operatorname{GL}_2(\mathbb{C}), o grupo de matrices complexas 2&#x2009;×&#x2009;2 invertíbeis, S = \operatorname{SL}_2(\mathbb{C}), o subgrupo de matrices de determinante 1, e N o subgrupo normal de matrices escalares \mathbb{C}^{\times}\!I = \left\{\left( \begin{smallmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{smallmatrix} \right) : a \in \mathbb{C}^{\times} \right\}, con eses grupos  temos S \cap N = \{\pm I\}, onde I é a matriz identidade e, SN = \operatorname{GL}_2(\mathbb{C}). Entón o segundo teorema do isomorfismo afirma que:

: \operatorname{PGL}_2(\mathbb{C}) := \operatorname{GL}_2 \left(\mathbb{C})/(\mathbb{C}^{\times}\!I\right) \cong \operatorname{SL}_2(\mathbb{C})/\{\pm I\} =: \operatorname{PSL}_2(\mathbb{C})

### Terceiro teorema do isomorfismo 
Sexa G un grupo, e N un subgrupo normal de G.
Entón

# Se K é un subgrupo de G tal que N \subseteq K \subseteq G, entón G/N ten un subgrupo isomorfo a K/N.
# Cada subgrupo de G/N é da forma K/N para algún subgrupo K de G tal que N \subseteq K \subseteq G.
# Se K é un subgrupo normal de G tal que N \subseteq K \subseteq G, entón G/N ten un subgrupo normal isomorfo a K/N.
# Cada subgrupo normal de G/N é da forma K/N para algún subgrupo normal K de G tal que N \subseteq K \subseteq G.
# Se K é un subgrupo normal de G tal que N \subseteq K \subseteq G, entón o grupo cociente (G/N)/(K/N) é isomorfo a G/K.

As catro primeiras afirmacións adoitan subsumirse baixo o Cuarto teorema do isomorfismo que mostramos a continuación.

### Cuarto teorema do isomorfismo 
Sexa G  un grupo, e N un subgrupo normal de G.
O homomorfismo da proxección canónica G\rightarrow G/N define unha correspondencia bixectiva
entre o conxunto de subgrupos de G contendo N e o conxunto dos (todos) subgrupos de G/N. Baixo esta correspondencia, os subgrupos normais correspóndense con subgrupos normais.

Este teorema denomínanse tamén como o **teorema da retícula**, **teorema de correspondencia**.

### Comentarios 
O primeiro teorema do isomorfismo pode ser expresado en teoría das categoría coomo que a categoría de grupos é (epi normal, mono) factorizábel; noutras palabras, os epimorfismos normais e os monomorfismos forman un sistema de factorización para a categoría. Isto está capturado no diagrama conmutativo na marxe, que mostra os obxectos e morfismos cuxa existencia pode deducirse do morfismo  f : G \rightarrow H. O diagrama mostra que cada morfismo na categoría de grupos ten un kernel no sentido da teoría das categorías; o morfismo arbitrario *f* factoriza en \iota \circ \pi, onde \iota é un monomorfismo e \pi é un epimorfismo (na categoría conormal, todos os epimorfismos son normais). Isto está representado no diagrama por un obxecto \ker f e un monomorfismo \kappa: \ker f \rightarrow G (os kernels son sempre monomorfismos), que completan a secuencia exacta curta que vai desde a parte inferior esquerda ata a parte superior dereita do diagrama. O uso da convención da secuencia exacta sálvanos de ter que debuxar os morfismos cero de \ker f cara a H e cara a G / \ker f.

No segundo teorema do isomorfismo, o produto *SN* é o join de *S* e *N* na rede de subgrupos de *G*, mentres que a intersección *S*&nbsp;∩&nbsp;*N* é o meet.

O terceiro teorema do isomorfismo é xeneralizado polo lema nove para categorías abelianas e máis en xeral mapas entre obxectos.

## Álxebra Universal 
Para xeneralizar o visto anteriormente para grupos na álxebra universal, os subgrupos normais deben ser substituídos por relacións de congruencia.

Imos mostra un exemplo para o teorema fundamental do isomorfismo.

### Primeiro teorema do isomorfismo na álxebra universal 
Sexa f:A \rightarrow B unha álxebra homomorfismo. Entón a imaxe de f é unha subalxebra de B, a relación dada por \Phi:f(x)=f(y) (é dicir, o kernel de f) é unha congruencia sobre A, e as álxebras A/\Phi e \operatorname{im} f son isomorfas. (Note que no caso dun grupo, f(x)=f(y) se e só se f(xy^{-1}) = 1, así cubrimos a noción de kernel usado na teoría de grupos neste caso.)

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Noether, Emmy, *Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern*, Mathematische Annalen **96**  (1927) pp.&nbsp;26–61
* McLarty, Colin, "Emmy Noether's 'Set Theoretic' Topology: From Dedekind to the rise of functors". *The Architecture of Modern Mathematics: Essays in history and philosophy* (edited by Jeremy Gray e José Ferreirós), Oxford University Press (2006) pp.&nbsp;211–35.
* 
* Cohn, Paul M., *Universal algebra*, Chapter II.3 p.&nbsp;57
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
### Outros artigos 
* Teoría das categorías.
* Isomorfismo.
* Conxunto cociente.
### Ligazóns externas 
*Daniel Miranda, Universidade Federal do ABC, Álgebra Linear Avançada Teoremas de Isomorfismo.