Polinomios ortogonais

En matemáticas, unha **secuencia polinómica ortogonal** é unha familia de polinomios tal que dous polinomios diferentes da secuencia son ortogonais entre si baixo algún produto interno.

Os polinomios ortogonais máis utilizados son os polinomios ortogonais clásicos, formados polos polinomios de Hermite, os polinomios de Laguerre e os polinomios de Jacobi. Os polinomios de Gegenbauer forman a clase máis importante de polinomios de Jacobi; inclúen os polinomios de Chebyshev e os polinomios de Legendre como casos especiais. Estes son frecuentemente dados pola fórmula de Rodrigues.

O campo dos polinomios ortogonais desenvolveuse a finais do século XIX a partir dun estudo de fraccións continuas por PL Chebyshev e seguírono AA Markov e TJ Stieltjes.

## Definición de caso de 1 variábel para unha medida real 
Dada calquera función non decrecente  sobre os números reais, podemos definir a integral de Lebesgue-Stieltjes 
:\int f(x) \, d\alpha(x)
dunha función *f*. Se esta integral é finita para todos os polinomios *f*, podemos definir un produto interno en pares de polinomios *f* e *g* por 
:\langle f, g \rangle = \int f(x) g(x) \, d\alpha(x).

Esta operación é un produto interno semidefinido positivo no espazo vectorial de todos os polinomios, e é definido positivo se a función α ten un número infinito de puntos de crecemento. Induce unha noción de ortogonalidade do xeito habitual, é dicir, que dous polinomios son ortogonais se o seu produto interno é cero.

Logo a secuencia  de polinomios ortogonais está definido polas relacións 
: \deg P_n = n~, \quad \langle P_m, \, P_n \rangle = 0 \quad \text{for} \quad m \neq n~.

Noutras palabras, a secuencia obtense a partir da secuencia de monomios 1, *x*, *x* 2, ... polo proceso de Gram-Schmidt en relación a este produto interno.

Normalmente a secuencia debe ser ortonormal, é dicir, 
: \langle P_n, P_n \rangle = 1, 
porén, ás veces utilízanse outras normalizacións.

### Caso absolutamente continuo 
Ás veces temos 
: d\alpha(x) = W(x) \, dx 
: onde W : [x_1, x_2] \to \Ré unha función non negativa con soporte nalgún intervalo  na recta real estendida (onde se permiten  e ). 

Tal  chámase **función de peso**. Así o produto interno vén dado por 
:\langle f, g \rangle = \int_{x_1}^{x_2} f(x) g(x) W(x) \, dx.Porén, hai moitos exemplos de polinomios ortogonais onde a medida  ten puntos con medida distinta de cero onde a función  é descontinua, polo que non se pode dar cunha función de peso  como a anterior.

## Exemplos de polinomios ortogonais 
Os polinomios ortogonais máis usados son ortogonais para unha medida con soporte nun intervalo real. Isto inclúe:

* Os polinomios ortogonais clásicos (polinomios de Jacobi, polinomios de Laguerre, polinomios de Hermite, e os seus casos especiais polinomios de Gegenbauer, polinomios de Chebyshev e polinomios de Legendre).
* Os polinomios de Wilson, que xeneralizan os polinomios de Jacobi. Inclúen moitos polinomios ortogonais como casos especiais, como os polinomios de Meixner-Pollaczek, os polinomios de Hahn continuos, os polinomios de Hahn duais continuos e os polinomios clásicos, descritos polo esquema de Askey.
* Os polinomios de Askey-Wilson introducen un parámetro *q* extra nos polinomios de Wilson.

Tamén se poden considerar polinomios ortogonais para algunha curva no plano complexo. O caso máis importante (á parte dos intervalos reais) é cando a curva é a circunferencia unitaria, dando polinomios ortogonais na circunferencia unitaria, como os polinomios de Rogers-Szegő.

Hai algunhas familias de polinomios ortogonais que son ortogonais en rexións planas como triángulos ou discos. Ás veces poden escribirse en termos de polinomios de Jacobi. Por exemplo, os polinomios de Zernike son ortogonais no disco unitario.

## Propiedades 
Os polinomios ortogonais dunha variábel definida por unha medida non negativa na recta real teñen as seguintes propiedades.

### Relación cos momentos 
Os polinomios ortogonais *P**n* poden expresarse en función dos momentos

:  m_n = \int x^n \, d\alpha(x) 

do seguinte xeito:

:  P_n(x) = c_n \, \det \begin{bmatrix}
m_0 & m_1 & m_2 &\cdots & m_n \\
m_1 & m_2 & m_3 &\cdots & m_{n+1} \\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots& \vdots \\
m_{n-1} &m_n& m_{n+1} &\cdots &m_{2n-1}\\
1 & x & x^2 & \cdots & x^n
\end{bmatrix}~,

onde as constantes *c**n* son arbitrarias (dependen da normalización de *P**n* ).

Isto vén directamente de aplicar o proceso de Gram-Schmidt aos monomios, impoñendo que cada polinomio sexa ortogonal en relación aos anteriores. Por exemplo, a ortogonalidade con P_0 prescribe que P_1 debe ter a forma 
:P_1(x) = c_1 \left(x- \frac{\langle P_0, x\rangle P_0}{\langle P_0,P_0\rangle} \right)
= c_1 ( x - m_1), 
que se pode ver que é coherente coa expresión dada anteriormente co determinante.

### Relación de recorrencia 
Os polinomios *P**n* satisfán unha relación de recorrencia da forma

:  P_n(x) = (A_n x + B_n) P_{n-1}(x) + C_n P_{n-2}(x)

onde *A n* non é 0. O recíproco tamén é certo; ver o  teorema de Favard.

### Fórmula de Christoffel-Darboux 
### Ceros 
Se a medida d*&#x3B1;* está soportada nun intervalo [*a* , *b*], todos os ceros de *P**n* están en [*a*, *b*]. Alén disto, os ceros teñen a seguinte propiedade de entrelazado: se *m* &#x3C; *n*, hai un cero de *P**n* entre dous ceros calquera de *P**m*.

## Outros tipos de polinomios ortogonais 
### Polinomios ortogonais multivariantes 
Os polinomios de Macdonald son polinomios ortogonais en varias variábeis, dependendo da elección dun sistema raíz afín. Inclúen moitas outras familias de polinomios ortogonais multivariábeis como casos especiais, incluíndo os polinomios de Jack, os polinomios de Hall-Littlewood, os polinomios de  Heckman-Opdam e os polinomios de Koornwinder. Os polinomios de Askey-Wilson son o caso especial dos polinomios de Macdonald para un determinado sistema raíz non reducido de rango 1.

### Polinomios ortogonais múltiples 
Os polinomios ortogonais múltiples son polinomios nunha variábel que son ortogonais en relación a unha familia finita de medidas.

### Polinomios ortogonais de Sobolev 
Trátase de polinomios ortogonais en relación a un produto interno de Sobolev, é dicir, un produto interno con derivadas. Incluír derivadas ten grandes consecuencias para os polinomios, en xeral xa non comparten algunhas das características agradábeis dos polinomios ortogonais clásicos.

### Polinomios ortogonais con matrices 
Os polinomios ortogonais con matrices teñen ou ben coeficientes que son matrices ou o indeterminado é unha matriz.

Hai dous exemplos populares: ou os coeficientes \{a_i\} son matrices ou x son matrices:

* Variante 1: P(x)=A_nx^n+A_{n-1}x^{n-1}+\cdots + A_1x +A_0, onde \{A_{i}\} son matrices p\times p.
* Variante 2: P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots + a_1X +a_0I_p onde X é unha matriz p\times p e I_p é a matriz  identidade.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
*
*
*
* 
*
*
*
*
* C. Chan, A. Mironov, A. Morozov, A. Sleptsov, .
* Herbert Stahl and Vilmos Totik: General Orthogonal Polynomials, Cambridge Univ. Press, ISBN 978-0-521-41534-7 (1992).
* G. Sansone: Orthogonal Functions, (Revised English Edition), Dover, ISBN 978-0-486-77730-0 (1991).

### Outros artigos 
* Sucesión de Appell
* Esquema de Askey ou polinomios ortogonais hiperxeométricos
* Teorema de Favard
* Polynomial sequences of binomial type
* Serie de Fourier xeneralizada
* Medida secundaria
* Sucesión de Sheffer
* Teoría de Sturm-Liouville
* Cálculo sombra