Identidade de Bézout

En teoría de números, a **identidade de Bézout** (tamén coñecido como **lema de Bézout**) é un teorema que se enuncia como:  
Os enteiros *x* e *y* son coñecidos como os **coeficientes de Bézout** para (*a*, *b*). Esta parella de enteiros non é única e pode calcularse usando o algoritmo de Euclides estendido. De ser ámbolos dous non nulos, o algoritmo de Euclides estendido produce unha das dúas parellas tales que |x|\leq \left|\frac{b}{c}\right|  e |y|\leq \left|\frac{a}{c}\right| (a igualdade só pode ocorrer se *a* é múltiplo de *b* ou, ao revés, se *b* é múltiplo de *a*).

Moitos outros teoremas elementais de teoría de números son consecuencias da identidade de Bézout, como o lema de Euclides  ou o  teorema chinés do resto.

Un dominio de Bézout é un dominio de integridade no que se cumpre a identidade de Bézout. En particular, a identidade de Bézout cúmprese nos dominios de ideais principais. Deste xeito, todo resultado que sexa demostrado a partir da  identidade de Bézout, tamén será certa en todos estes dominios.

Un caso particular importante do lema de Bézout é:

## Estrutura das solucións 
Ao calcular un par de coeficientes de Bézout  (por exemplo, utilizando o algoritmo de Euclides estendido), todos estes pares pódense representar da forma

: \left(x+k\frac{b}{\gcd(a,b)},\ y-k\frac{a}{\gcd(a,b)}\right), 

onde  é certo número enteiro, e as fraccións simplifican a enteiros.

Entre estes pares de coeficientes de Bézout, hai exactamente dous deles que satisfán

:  |x| \le \left |\frac{b}{\gcd(a,b)}\right |\quad \text{e}\quad |y| \le \left |\frac{a}{\gcd(a,b)}\right |,

e estes dous pares serán iguais de dividir  ou  ao outro.

Isto baséase nunha propiedade de división euclidiana: dado dous enteiros *c* e *d*, se *d* non divide *c*, entón hai exactamente unha parella  tal que  e , e outra tal que  e .

Estes dous pares de coeficientes de Bézout son obtidos do par  inicial, ao escoller o  na fórmula de riba algún dos dous enteiros próximos a \frac{x}{b/\gcd(a,b)}.

O algoritmo de Euclides estendido sempre produce un destes dous pares.

### Exemplo 
Sexa *a* = 12 e *b* = 42, gcd (12, 42) = 6. Entón temos as seguintes identidades de Bézout, cos coeficientes de Bézout escritos en vermello, no caso dos pares mínimos, e en azul tódolos demais.

: 
\begin{align}
\vdots \\
12 &\times ({\color{blue}{-10}}) & + \;\; 42  &\times \color{blue}{3} &= 6 \\
12 &\times ({\color{red}{-3}}) & + \;\;42  &\times \color{red}{1} &= 6 \\
12 &\times \color{red}{4}  & + \;\;42  &\times({\color{red}{-1}}) &= 6 \\
12 &\times \color{blue}{11} & + \;\;42  &\times ({\color{blue}{-3}}) &= 6 \\
12 &\times \color{blue}{18} & + \;\;42  &\times ({\color{blue}{-5}}) &= 6 \\
\vdots
\end{align}

Se  é o par orixinal de coeficientes de Bézout, entón  \frac{18}{42/6}=\frac{18}{7} \in [3,2] produce os pares mínimos con  e , respectivamente:  e .

## Proba 
Sexan *a* e *b* dous enteiros non nulos calquera. Definimos a partir deles o conxunto S=\{ax+by \mid x,y\in\mathbb{Z} \ \text{ e } \ ax+by>0\}, que trivialmente non é baleiro, xa que ten que conter aos enteiros *a* e *–a* (con  e ). Como *S* é un conxunto de enteiros positivo non baleiro, ten un elemento mínimo  d = as + bt, polo principio da boa ordenación. Para probar que *d* é o máximo común divisor de *a* e *b*, temos que probar dúas cousasː que *d* é un divisor común de *a* e *b*, e que para calquera outro común divisor *c* cumpre que .

A división euclidiana de *a* por *d* pode ser escrita como

:a=dq+r\quad\text{con}\quad 0\le r

O resto *r* pertence ao conxunto 
S \cup \{0\} 
, porque

: 
\begin{align}
r  & = a - qd \\
& = a - q(as+bt)\\
& = a(1-qs) - bqt.
\end{align} 

Como *d* é o menor enteiro positivo en S, o resto *r* é necesariamente 0, e isto implica que *d* é un divisor de *a*. Analogamente, próbase que *d* é tamén un divisor de *b*, e, en conclusión, *d* é un divisor común de *a* e *b*.

Agora, sexa *c* ser calquera divisor común de *a* e *b*. Isto implica que teñen que existir *u* e *v* tal que  e . Así tense que

: \begin{align}d&=as + bt\\ 
& =cus+cvt\\
&=c(us+vt).\end{align} 

Ao ser *c* é un divisor de *d*, e, por tanto, 

## Xeneralizacións 
### Para tres ou máis enteiros 
A identidade de Bézout pódese estender a máis de dous enteiros: se

: \gcd(a_1, a_2, \ldots, a_n) = d 

entón existen enteiros x_1, \ldots, x_n tales que

: d = a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n 

ten as propiedades seguintes:

* *d* é o menor enteiro positivo desta forma
* todo número desta forma é un múltiplo de d

### Para polinomios 
A identidade de Bézout  funciona para polinomios dunha variábel sobre un corpo exactamente do mesmo xeitos que cos enteiros. En particular os coeficientes de Bézout e o máximo común divisor pode ser computado co algoritmo de Euclides estendido.

Ao ser as raíces comúns de dous polinomios o máximo común divisor deles, da identidade de Bézout xunto co teorema fundamental da álxebra, dedúcese que:

: Para polinomios dunha variábel *f* e *g* con coeficientes nun corpo, existir polinomios *a* e *b* tal que *af* + *bg* = 1 se e só se *f* e *g* non teñen raíces comúns en calquera corpo alxebricamente pechado (xeralmente o corpo de números complexos).

A xeneralización deste resultado a calquera número de polinomios e indeterminates é o teorema dos ceros de Hilbert.

### Para dominios ideais principais 
A identidade de Bézout pode ser escrita non soamente no anel de enteiros relativos, mais tamén en calquera outro dominio de ideais principais (DIP). (Nótese que, neste caso, o máximo común divisor enténdese no sentido da relación de preorde fornecida pola divisibilidade no anel, e a unicidade deste preservase baixo un factor invertíbel do anel) Isto é que, se *R* é un DIP, e *a* e *b* pertencen a *R*, entón existe un máximo común divisor *d* de *a* e *b* e existen elementos *x* e *y* en R tal aquel *ax* + *py* = *d*.

A razón disto é que o ideal xerado por *Ra*+*Rb* é principal. De feito, ao pertencer a *R*, todo xerador *d* de *Ra*+*Rb* é un divisor común de *a* e *b,* e é o máximo no sentido de divisibilidade, isto é, para dicir que todo divisor común divide *d* (xa que *c* divide todo elemento de *Ra*+*Rb*).

Un dominio de integridade no que para toda parella de elementos temos un máximo común divisor dirase que é un dominio Bézout.

## Historia 
O matemático francés Étienne Bézout (1730–1783) probou esta identidade para polinomios. Con todo, esta afirmación para enteiros xa se atopa no traballo doutro matemático francés, Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581–1638).

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 
* 

### Ligazóns externas 
* "''Bézout's Identity*" en *MathWorld''