Regra de Ruffini

miniatura|Paolo Ruffini
En matemáticas, a **regra de Ruffini** facilita o cálculo rápido da división de calquera polinomio entre un binomio da forma (x-r)\ . Descrita por Paolo Ruffini en 1809, é un caso especial de *división sintética* (unha división de polinomios en que o divisor é un factor linear). O algoritmo de Horner para a división de polinomios emprega a regra de Ruffini. A regra de Ruffini permite ademais localizar as raíces dun polinomio e factorizalo en binomios da forma (x-r)\  (sendo r un número enteiro) se é coherente.

## Historia 
O método de Ruffini-Horner para a procura dun valor aproximado da raíz dun polinomio foi publicado con algúns anos de diferenza por Paolo Ruffini (1804-1807-1813) e por William George Horner (1819-1845, postumamente); seica Horner non tiña coñecementos dos traballos de Ruffini.

O método de Ruffini-Horner é dificilmente explotable se o polinomio posúe dúas raíces moi próximas. Ruffini non considera este problema, mais Horner propuxo un procedemento especial para estes casos. O método de Horner foi empregado polos matemáticos De Morgan e J.R. Young.

En tanto que técnica de *cambio de variable*, historicamente atópanse algoritmos semellantes, por exemplo na China, para a extracción da raíz *n-ésima* ou na obra de Al Samaw'al (século XII). O matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi (século XII) foi un dos primeiros en aplicalo ao caso xeral dunha ecuación de terceiro grao.

## Algoritmo 
A regra de Ruffini establece un método para a división do polinomio
{{ecuación|P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0}}
entre o binomio

para obter o cociente
{{ecuación|R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0}}
e o resto:

* 1. Trázanse dúas liñas como eixes e escríbense os coeficientes de *P*(*x*), ordenados e sen omitir termos nulos. Escríbese a raíz *r* do lado esquerdo e o primeiro coeficiente na ringleira inferior (*a**n*):
{{ecuación|\begin{array}{c|ccccc}
      {} & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0  \\
      r & {} & {} & {} & {} & {}  \\
      \hline     
      {}  & a_n & {} & {} & {} & {}  \\
      {}  & =b_{n-1} & {} & {} & {} & {}  \\
   \end{array}
}}

*2. Multiplícase (*a**n*) por *r* e escríbese debaixo de an-1:
{{ecuación|\begin{array}{c|ccccc}
      {} & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0  \\
      r & {} & b_{n-1}\,r & {} & {} & {}  \\
      \hline     
      {}  & a_n & {} & {} & {} & {}  \\
      {}  & =b_{n-1} & {} & {} & {} & {}  \\
   \end{array}
}}
                         
* 3. Súmanse os dous valores obtidos na mesma columna:
{{ecuación|\begin{array}{c|ccccc}
      {} & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0  \\
      r & {} & b_{n-1}\,r & {} & {} & {}  \\
      \hline     
      {}  & a_n & a_{n-1} + b_{n-1}\,r & {} & {} & {}  \\
      {}  & =b_{n-1} & =b_{n-2} & {} & {} & {}  \\
   \end{array}
}}

*4. Repítese o proceso:
{{ecuación|\begin{array}{c|ccccc}
      {} & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0  \\
      r & {} & b_{n-1}\,r & \dots & b_1\,r & b_0\,r  \\
      \hline     
      {}  & a_n & a_{n-1} + b_{n-1}\,r & \dots & a_1 + b_1\,r & a_0 + b_0\,r  \\
      {}  & =b_{n-1} & =b_{n-2} & \dots & =b_0 & =s  \\
   \end{array}
}}

Os valores *b* son os coeficientes do polinomio resultante R(x) \! de grao un menos que o grao de  P(x) \!. O valor final obtido, s, é o resto, que como amosa o teorema do resto, é igual a P(r) \!.

## Usos da regra 
### Atopar raíces 
Se P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 é un polinomio con coeficientes enteiros e con *a*0 e *a**n* distintos de cero, entón polo teorema das raíces racionais, todas as raíces racionais reais serán da forma *p*/*q*, onde *p* é un enteiro divisor de *a*0 e *q* é un enteiro divisor de *a**n*. Así por exemplo, se o polinomio é

:P(x)=x^3+2x^2-x-2=0\,\!,

entón as posibles raíces racionais son todos os enteiros divisores de *a*0 (&minus;2):

:\text{Posibles raíces:}\left\{+1, -1, +2, -2\right\}.

Isto resulta útil para poder factorizar un polinomio (en caso de ser factorizable) de coeficientes enteiros, empregando os divisores do termo independente.

## Exemplos 
### Exemplo 1 
División de P(x)=2x^3+3x^2-4\,\! entre Q(x)=x+1.\,\! empregando a regra de Ruffini.

1. Escríbese Q(x)=x+1=x-(-1)\,\! e o primeiro coeficiente (2) na primeira ringleira:
:\begin{array}{c|cccc}
      {} & 2 & 3 & 0 & -4   \\
      -1 & {} & {} & {} & {}  \\
      \hline     
      {}  & 2 & {} & {} & {}   \\

   \end{array}

2. Multiplícase pola raíz *r*=(-1):
:\begin{array}{c|rrrr}
      {} & 2 & 3 & 0 & -4   \\
      -1 & {} & {-2} & {} & {}  \\
      \hline     
      {}  & 2 & {} & {} & {}   \\

   \end{array}

3. Sumase a columna:
:\begin{array}{c|rrrr}
      {} & 2 & 3 & 0 & -4   \\
      -1 & {} & {-2} & {} & {}  \\
      \hline     
      {}  & 2 & {1} & {} & {}   \\

   \end{array}

4. O procedemento repítese ata obter o resto:
:\begin{array}{c|rrrr}
      {} & 2 & 3 & 0 & -4   \\
      -1 & {} & {-2} & {-1} & {1}  \\
      \hline     
      {}  & 2 & {1} & {-1} & {-3}   \\
      {}  & \mathrm{Coef.} & {} & {} & \mathrm{Resto}
   \end{array}

Se o polinomio orixinal = divisor&times;cociente+resto, entón
:P(x)=Q(x)R(x)+s\,\!, onde

:R(x) = 2x^2+x-1\,\! e s=-3.\,\!

### Exemplo 2 
Cando o resto é igual a 0; permite factorizar, como no seguinte exemplo:
:F(x)=x^3+x^2-x-1

Tomando
:G(x)=x+1 

Emprégase o método, e queda:
:\begin{array}{c|rrrr}
      {} & 1  & 1    & -1  & -1   \\
      -1 & {} & {-1} & {0} & {1}  \\
      \hline     
      {}  & 1 & {0} & {-1} & {0}   \\
      {}  & \mathrm{Coef.} & {} & {} & \mathrm{Resto}
   \end{array}

Entón *F*(*x*) factoriza como (x^2-1)(x+1)

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
*Operacións con polinomios
*Algoritmo de Horner
*Paolo Ruffini

### Ligazóns externas 
*