Brahmagupta

**Brahmagupta (ब्रह्मगुप्त)** (Bhinmal, Raxastán, 589 – 668) foi un matemático e astrónomo indio que escribiu dúas obras importantes de matemáticas e astronomía: o *Brahmasphuṭasiddhanta* (Tratado Extensivo de Brahma) (628), un tratado teórico, e o *Khaṇḍakhadyaka*, un texto máis práctico.

Hai razóns para crer que Brahmagupta era oriúndo de Bhillamala (actual Bhinmal) no imperio de Harsha. Debido a iso, Brahmagupta é frecuentemente denominado Bhillamalacarya, "o mestre de Bhillamala".

Foi o director do observatorio astronómico de Ujjain, o máis antigo e importante da India na súa época, e durante a súa estadía alí escribiu catro libros sobre matemática e astronomía: os dous anteriormente mencionados, o *Cadamekela* e o *Durkeamynarda*. Os textos de Brahmagupta teñen un certo aire poético pois están escritos en versos elípticos, práctica habitual entre os matemáticos indios daquel tempo.

Brahmagupta está considerado como o pai da aritmética, da álxebra e da análise numérica. A aritmética moderna usada actualmente espallouse pola India e por Arabia e, de alí, pasou a Europa. Inicialmente coñecíase como *Al Hind* (en árabe) e como *Modus Indoram* (en latín). *Modus Indoram* significa "método dos indios" e converteuse na aritmética usual, substituíndo aos numerais romanos e aos métodos baseados no ábaco. A adición, a subtracción, a división e outras operacións fundamentais usando numerais árabes apareceron na súa obra *Brahmasputhasiddhanta* (628).

O seu traballo tivo un impacto significativo nas construcións matemáticas. Brahmagupta popularizou o concepto do cero (na súa obra aparece por primeira vez esta noción), sendo o primeiro en dar regras para operar con el. Tamén definiu regras para a aritmética con números negativos en termos moi parecidos aos da matemática moderna. A maior diverxencia estriba en que Brahmagupta intentou definir a *división por cero*, considerada inexistente na matemática moderna. A súa definición de cero como un número era adecuada, agás o feito de considerar 0/0 igual a 0, en contra da opinión actual de que esa cantidade non pode definirse.

En 628, Brahmagupta proporcionou a primeira solución xeral para a ecuación de segundo grao.

Está considerado como o máis grande dos matemáticos da época, porén descoñécese as fontes das matemáticas de Brahmagupta.

## Vida e obra 
[miniatura|250px|[Reloxo de sol do observatorio de Ujjain, do que foi director Brahmagupta.]]
Nos versos 7 e 8 do capítulo XXIV do *Brāhmasphuṭasiddhānta* dise que Brahmagupta escribiu este texto á idade de 30 no ano 550 Śaka (que corresponde ao ano 628 d.C.), durante o reinado de Vyāghramukha. Dedúcese diso que naceu no ano 598. Os narradores refírense a el como un grande estudoso de Bhillamala, actual Bhinmal, unha cidade no estado de Rajasthan no noroeste da India,. Probabelmente viviu a maior parte da súa vida en Bhillamala durante o reinado, e posibelmente baixo o mecenado, do rei Vyaghramukha. En consecuencia, refírese con frecuencia a Brahmagupta como o Bhillamalacharya, é dicir, o *mestre de Bhillamala*. Foi o director do observatorio astronómico de Ujjain, e durante o seu mandato escribiu catro textos de matemáticas e astronomía: o *Cadamekela* en 624, o *Brahmasphutasiddhanta* en 628, o *Khandakhadyaka* en 665, e o *Durkeamynarda* en 672. O *Brahmasphutasiddhanta* (*Tratado Extensivo de Brahma*) é para algúns a súa obra máis famosa. O historiador musulmán al Biruni (c. 1050), no seu libro *Tariq al-Hind*, afirma que o califa abbásida al-Ma'mun tiña unha embaixada na India que mercou e enviou a Bagdad un libro que foi traducido ao árabe co título *Sindhind*. Está xeralmente aceptado que *Sindhind* é a tradución do *Brahmasphutasiddhanta* de Brahmagupta.

Aínda que Brahmagupta esta familiarizado cos traballos astronómicos que seguían a tradición do Aryabhatiya, non se sabe se estaba familiarizado coas obras de Bhaskara I, contemporáneo seu. O alcance da influencia grega nesta sincopación, se a houbo, non é coñecida e é posíbel que tanto a sincopación grega como a india derivaran dunha fonte babilonia común. A aritmética india foi coñecida na Europa medieval como "Modus Indoram" que significa "Método dos indios". No *Brahmasphutasiddhanta*, noméase a multiplicación como *Gomutrika*. Ao comezo do capítulo 12 do *Brahmasphutasiddhanta*, titulado *Cálculo*, Brahmagupta detalla as operacións con fraccións. Está escrito para lectores que se supón coñecen as operacións aritméticas básicas incluído o cálculo da raíz cadrada, porén explica como calcular o cubo e a raíz cúbica dun enteiro e máis adiante dá regras que facilitan o cálculo de cadrados e raíces cadradas. Posteriormente proporciona regras para manexarse con cinco tipos de combinacións de fraccións

\tfrac{a}{c} + \tfrac{b}{c}, \tfrac{a}{c} \cdot \tfrac{b}{d}, \tfrac{a}{1} + \tfrac{b}{d}, \tfrac{a}{c} + \tfrac{b}{d} \cdot \tfrac{a}{c} = \tfrac{a(d+b)}{cd}, e \tfrac{a}{c} - \tfrac{b}{d} \cdot \tfrac{a}{c} = \tfrac{a(d-b)}{cd}.

### Series 
Brahmagupta continúa logo a dar a suma dos cadrados e cubos dos primeiros *n* enteiros:

Aquí Brahmagupta achou o resultado en termos da *suma* dos primeiros *n* enteiros, no canto de facelo en termos de *n* como se fai na práctica moderna.

Brahmagupta deu a suma dos cadrados dos primeiros n números naturais como \scriptstyle n(n+1)(2n+1)/6, e a suma dos cubos dos primeiros n números naturais como \scriptstyle n(n+1)/2.

### Cero 
O *Brahmasphuṭasiddhanta* de Brahmagupta é o primeiro libro que menciona o cero como número. De aí que Brahmagupta estea considerado como o primeiro en formular o concepto do cero. Deu regras para usar o cero con números negativos e positivos. Cero máis un número positivo é o número positivo e un número negatvo máis cero é o número negativo etc. O *Brahmasphutasiddhanta* é o texto máis antigo coñecido que trata ao cero como un número por dereito propio, e non como un simple díxito simbólico que representa outro número como facían os babilonios, ou como un símbolo para a ausencia de cantidade como fixo Tolomeo e os romanos. No capítulo 18 do *Brahmasphutasiddhanta*, Brahmagupta describe operacións con números negativos. Primeiramente describe a adición e a subtracción:

Continúa describindo a multiplicación:

Mais a súa descrición da división por cero difire do noso entendemento moderno:

Aquí Brahmagupta establece que \scriptstyle \tfrac{0}{0} = 0, e para a cuestión \scriptstyle \tfrac{a}{0} onde \scriptstyle a \neq 0 non revelou o seu parecer. As súas regras para a aritmética dos números negativos e o cero aseméllanse bastante co coñecemento moderno, agás a división por cero que non está definida na nosa moderna matemática.

## Análise Diofantiana 
[miniatura|250px|[Terna pitagórica|Ternas pitagóricas formadas cos naturais máis pequenos.]]
### Ternas pitagóricas 
No capítulo 12 do seu *Brahmasphutasiddhanta*, Brahmagupta proporciona unha fórmula útil para xerar ternas pitagóricas:

Ou, noutras palabras, se *d = mx/(x + 2)*, entón un viaxeiro que "salta" verticalmente unha distancia *d*&nbsp; desde o cumio dunha montaña de altura *m*, e logo viaxa en liña recta a unha cidade a unha distancia horizontal *mx* desde a base da montaña, viaxa a mesma distancia que outro que descende verticalmente a montaña e logo viaxa horizontalmente á cidade:

A chave desta solución foi a identidade:
:(x^2_1 - Ny^2_1)(x^2_2 - Ny^2_2) = (x_1 x_2 + Ny_1 y_2)^2 - N(x_1 y_2 + x_2 y_1)^2
a cal é unha xeneralización da identidade descuberta por Diofanto:
:(x^2_1 - y^2_1)(x^2_2 - y^2_2) = (x_1 x_2 + y_1 y_2)^2 - (x_1 y_2 + x_2 y_1)^2.
Usando esta identidade e o feito de que se \scriptstyle (x_1, y_1) e \scriptstyle (x_2, y_2) son solucións das ecuacións \scriptstyle \scriptstyle x^2 - Ny^2 = k_1 e \scriptstyle x^2 - Ny^2 = k_2, respectivamente, entón \scriptstyle (x_1 x_2 + N y_1 y_2\ ,\  x_1 y_2 + x_2 y_1) é unha solución de \scriptstyle x^2 - Ny^2 = k_1 k_2, foi quen de achar solucións integrais da ecuación de Pell a través de series de ecuacións da forma \scriptstyle x^2 - Ny^2 = k_i. Desafortunadamente, Brahmagupta non foi quen de aplicar a súa solución uniformemente para todos os posíbeis valores de *N*, só conseguiu mostrar que se \scriptstyle x^2 - Ny^2 = k ten unha solución enteira para k = ±1, ±2, ou ±4, entón \scriptstyle x^2 - Ny^2 = 1 ten unha solución. A solución para a ecuación xeral de Pell tivo que agardar por Bhaskara II contra o ano 1150. A fórmula de Herón é un caso especial desta fórmula, supoñendo que un dos lados é igual a cero.

### Triángulos 
Brahmagupta dedicou unha parte substancial do seu traballo á xeometría. Un dos seus teoremas dá unha fórmula para calcular as lonxitudes dos segmentos nos que queda dividida a base cando se traza a altura correspondente:

Así, se *b* é a base do triángulo e *a* e *c* os outros dous lados (\scriptstyle a) entón as lonxitudes dos dous segmentos son \scriptstyle (1/2)b \pm (c^2 - a^2)/b.

Posteriormente dá un teorema para triángulos racionais. Un triángulo con lados racionais *a*, *b*, *c* é área racional é da forma:
:a = \frac{1}{2}\left(\frac{u^2}{v}+v\right), \ \ b =  \frac{1}{2}\left(\frac{u^2}{w}+w\right), \ \ c =  \frac{1}{2}\left(\frac{u^2}{v} - v + \frac{u^2}{w} - w\right) 
para algúns números racionais *u*, *v*, e *w*.

### Teorema de Brahmagupta 
miniatura|O teorema de Brahmagupta afirma que nun cuadrilátero cíclico ortodiagonal é *AF*=*FD*.

Continúa Brahmagupta:

Polo tanto, nun cuadrilátero cíclico "non-igual" (isto é, un trapecio isóscele), a lonxitude de cada diagonal é \scriptstyle \sqrt{pr + qs}.

Despois dá fórmulas para as lonxitudes e áreas de figuras xeométricas, como os circunraios dun trapecio isóscele e dun cuadrilátero escaleno, e as lonxitudes das diagonais dun cuadrilátero cíclico escaleno. Todo isto conduce ao famoso Teorema de Brahmagupta:

É dicir, se un cuadrilátero cíclico é ortodiagonal (isto é, ten as diagonais perpendiculares), entón a perpendicular a un lado desde o punto de intersección das diagonais bisecciona ao lado oposto.

### Pi 
No verso 40, Brahmagupta dá valores para *π*:

Polo tanto, Brahmagupta usa para *π* o valor "práctico de 3, e \scriptstyle \sqrt{10} como o seu valor exacto.

### Medidas e construcións 
Nalgùns dos versos anteriores ao 40, Brahmagupta dá construcións de varias figuras con lados arbitrarios. Esencialmente manipula triángulos rectángulos para producir triángulos isósceles, triángulos escalenos, rectángulos, trapecios isósceles, trapecios isósceles con tres lados iguais, e un cuadrilátero cíclico escaleno.

Despois de dar o valor de pi, trata problemas da xeometría de figuras planas e sólidos xeométricos, como o cálculo de volumes e áreas de superficies (ou espazos baleiros con forma de sólido xeometrico). Achou o volume de prismas rectangulares, pirámides, e troncos piramidais rectángulos. Posteriormente atopou a profundidade media dunha serie de furados. Para o volume dun tronco de pirámide, deu o valor "pragmático" como o produto da altura polo cadrado da media das arestas que van da cara superior á inferior, e o volume "superficial" como o produto da altura pola área media.

## Trigonometría 
### Táboa de senos 
No capítulo 2 do *Brahmasphutasiddhanta*, titulado "Lonxitudes planetarias verdadeiras", Brahmagupta presenta unha táboa de senos:

Aquí Brahmagupta usa nomes de obxectos para representar os díxitos numerais con valor posicional, como era común facer cos datos numéricos nos tratados sánscritos. Os Proxenitores representan aos 14 Proxenitores ("Manu") na cosmoloxía india ou 14, "xemelgos" significa 2, "Osa Maior" representa ás sete estrelas da Osa Maior ou 7, "Vedas" refírese aos 4 Vedas ou 4, dados representa o número de lados dun dado tradicional ou 6, e así sucesivamente. Esta información pode ser traducida como a lista dos senos, 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 1459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159, 3207, 3242, 3263, e 3270, co raio comezando en 3270.

### Fórmula de interpolación 
No 665 Brahmagupta deseñou e usou un caso especial da fórmula de interpolación de Newton-Stirling de segunda orde para interpolar novos valores da función seno a partir doutros valores xa tabulados. A fórmula dá unha estimación do valur dunha función *f* para un valor *a*&nbsp;+&nbsp;*xh* do seu dominio (con *h*&nbsp;&gt;&nbsp;0 e −1&nbsp;≤&nbsp;*x*&nbsp;≤&nbsp;1) cando o seu valor é xa coñecido para *a*&nbsp;−&nbsp;*h,&nbsp; a* e *a*&nbsp;+&nbsp;*h*.

A fórmula para a estimación é:
: f( a + x h ) \approx f(a) + x \left(\frac{\Delta f(a) + \Delta f(a-h)}{2}\right) + \frac{x^2 \Delta^2 f(a-h)}{2!}.
onde Δ é o operador diferenza de primeira orde, é dicir:
:  \Delta f(a) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ f(a+h) - f(a).

## Astronomía 
Foi a través do *Brahmasphutasiddhanta* que os árabes aprenderon a astronomía india. Edward Saxhau afirma que "Brahmagupta foi o que ensinou astronomía aos árabes". O famoso califa abbásida Al-Mansur (712–775) fundou Bagdad, situada nos bancos do Tigris, e fixo dela o centro do saber. O califa invitou a un sabio de Ujjain de nome Kankah cara ao ano 770. Kankah utilizaba o *Brahmasphutasiddhanta* para explicar o sistema de astronomía aritmética hindú. Muhammad al-Fazari traduciu o traballo de Brahmagupta ao árabe por petición do califa.

No capítulo sete do *Brahmasphutasiddhanta*, titulado *Luar Crecente*, Brahmagupta refuta a idea, sostida nalgúns escritos, de que a Lúa está máis lonxe da Terra co Sol. Explícao mediante a iluminación da Lúa polo Sol.

Algunhas das contribucións importantes feitas por Brahmagupta á astronomía son: métodos para calcular a posición de corpos celestes ao longo do tempo (efemérides), as súas elevación e posición, conxuncións, e o cálculo de eclipses solares e lunares. Brahmagupta criticaba o punto de vista puránico de que a Terra era plana ou oca. Pola contra, observou que a Terra e o ceo eran esféricos.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 
* 
### Ligazóns externas 
* Brahma-sphuta-siddhanta de Brahmagupta Texto en sánscrito cunha introdución en inglés e comentarios en sánscrito e hindi (PDF).