Grupo linear xeral

En matemáticas, o **grupo linear xeral** (ou **grupo lineal xeral**) de grao n  é o conxunto de  matrices cadradas invertibles n\times n, xunto coa operación de produto de matrices.  Isto forma un grupo, porque o produto de dúas matrices invertibles é outra vez invertible, e a inversa dunha matriz invertible é invertible, coa matriz  identidade como o elemento de identidade do grupo. O grupo é chamado así porque as columnas (e tamén as filas) dunha matriz invertible son linearmente independentes, por iso os vectores/puntos que definen están en posición xeral, e as matrices no grupo lineal xeral levan puntos en posición linear xeral a puntos en posición linear xeral.

Para ser máis preciso, é necesario  especificar que clase de obxectos poden aparecer nas entradas da matriz. Por exemplo, o grupo lineal xeral sobre  (o conxunto de números reais) é o grupo de matrices invertibles de números reais, e é denotado por \operatorname{GL}_n(\R) ou \operatorname{GL}(n,\R)

Máis xeralmente, o grupo lineal xeral de grao n sobre calquera corpo  (como os números complexos), ou un anel  (como o anel dos enteiros), é o conxunto de  matrices invertibles n\times n con entradas desde F (ou \R), outra vez coa multiplicación de matrices como operación do grupo. Unha notación típica é \mathrm{GL}(n,F) ou \mathrm{GL}_n(F) ou sinxelamente \operatorname{GL}(n) cando se sobreentende o corpo.

Máis xeralmente aínda, o grupo linear xeral \operatorname{GL}(V) dun espazo vectorial  V é o seu grupo de automorfismos, non necesariamente escritos como matrices.

O grupo linear especial, denotado como \operatorname{SL}(n,F) ou \operatorname{SL}_n(F) é o subgrupo de \operatorname{GL}(n,F) formado polas matrices con determinante igual a 1.

O grupo \operatorname{GL}(n,F) e os seus subgrupos adoitan chamarse grupos lineares ou grupos matriciais (o grupo de automorfismos \operatorname{GL}(V) é un grupo linear, pero non un grupo matricial). Estes grupos son importantes na teoría de representacións de grupos, e tamén aparecen no estudo das simetrías espaciais e das simetrías dos espazos vectoriais en xeral, así como no estudo dos polinomios. O grupo modular  \operatorname{PSL}(2,\mathbb Z) pode realizarse como un cociente do grupo linear especial \operatorname{SL}(2,\Z).

Se n\geq 2, entón o grupo \operatorname{GL}(n,F) non é abeliano.

## Grupo lineal xeral dun espazo vectorial
Se V é un espazo vectorial sobre o corpo F, o grupo lineal xeral de V, escrito \operatorname{GL}(V) ou \operatorname{Aut}(V), é o grupo de todos os automorfismos de V, é dicir, o conxunto de todas as transformacións lineais bixectivas V\to V, xunto coa composición de aplicacións como operación de grupo.  

Se V ten dimensión finita n, entón \operatorname{GL}(V) e \operatorname{GL}(n,F) son isomorfos. O isomorfismo non é canónico; depende da escolla dunha base en V. Dada unha base \{e_1,\dots,e_n\} de V e un automorfismo T en \operatorname{GL}(V), temos para cada vector base *e**i* que  
: T(e_i) = \sum_{j=1}^n a_{ji} e_j  
para certas constantes a_{ij} en F; a matriz correspondente a T é entón simplemente a matriz cos elementos dados polos a_{ji}.  

De xeito semellante, para un anel conmutativo R o grupo \operatorname{GL}(n,R) pode interpretarse como o grupo de automorfismos dun R-módulo libre M de rango n. Tamén se pode definir GL(*M*) para calquera R-módulo, pero en xeral isto non é isomorfo a \operatorname{GL}(n,R) (para ningún n).  

## En termos de determinantes 
Sobre un corpo F, unha matriz é invertible se e só se o seu determinante é distinto de cero. Polo tanto, unha definición alternativa de \operatorname{GL}(n,F) é como o grupo das matrices con determinante non nulo.  

Sobre un anel conmutativo R, cómpre ter máis coidado: unha matriz sobre R é invertible se e só se o seu determinante é unha unidade en R, é dicir, se o seu determinante é invertible en R. Polo tanto, \operatorname{GL}(n,R) pode definirse como o grupo das matrices cuxos determinantes son unidades.  

Sobre un anel non conmutativo R, os determinantes non teñen un bo comportamento. Neste caso, \operatorname{GL}(n,R) pode definirse como o grupo de unidades do anel de matrices M(n,R).

## Historia 
O grupo lineal xeral sobre un corpo primo, \operatorname{GL}(\nu,p), foi construído e a súa orde calculada por Évariste Galois en 1832, na súa última carta (a Chevalier) e no segundo dos (tres) manuscritos anexos, que empregou no contexto do estudo do grupo de Galois da ecuación xeral de orde p^\nu.

## Notas
## Véxase tamén 
### Ligazóns externas 
*