Lema de Hensel

En matemáticas, **o lema de Hensel**, tamén coñecido como **lema de levantamento de Hensel**, chamado así en honor de Kurt Hensel, é un resultado da aritmética modular, que indica que se un polinomio univariado ten unha raíz simple módulo un número primo , entón esta raíz pode *levantarse* a unha única raíz módulo calquera potencia de  maior. De forma máis xeral, se un polinomio factoriza módulo  en dous polinomios coprimos, esta factorización pódese levantar a unha factorización módulo calquera potencia de  superior (o caso das raíces corresponde ao caso de grao  para un dos factores).

Ao pasar ao "límite" (de feito este é un límite inverso) cando a potencia de  tende ao infinito, dedúcese que unha raíz ou unha factorización módulo  pode levantarse a unha raíz ou unha factorización sobre os enteiros -ádicos.

Estes resultados foron amplamente xeneralizados, baixo o mesmo nome, ao caso de polinomios sobre un anel conmutativo arbitrario, onde  é substituído por un ideal, e "polinomios coprimos" significa "polinomios que xeran un ideal que contén o ".

O lema de Hensel é fundamental na análise -ádica, unha rama da teoría analítica de números.

A demostración do lema de Hensel é construtiva, e leva a un algoritmo eficiente para **o levantamento de Hensel**, que é fundamental para factorizar polinomios, e dá o algoritmo máis eficiente coñecido para a álxebra linear exacta sobre os números racionais.

## Redución e levantamento modulares 
O lema orixinal de Hensel refírese á relación entre a factorización polinómica sobre os enteiros e sobre os enteiros módulo un número primo  e as súas potencias. Pódese estender directamente ao caso en que os números enteiros sexan substituídos por calquera anel conmutativo e  substitúese por calquera ideal máximal (de feito, os ideais maximais de \Z teñen a forma p\Z, onde  é un número primo).

Facer isto de xeito preciso require unha xeneralización da aritmética modular habitual, polo que é útil definir con precisión a terminoloxía que se usa habitualmente neste contexto.

O *proceso de levantamento* é o inverso da redución. É dicir, dados os obxectos que dependen dos elementos de R/I, o proceso de levantamento substitúe estes elementos por elementos de R (ou de R/I^k para algún ) que mapea con eles de forma que manteña as propiedades dos obxectos.

Sexa  un anel conmutativo e  un ideal de . *A redución módulo*  refírese á substitución de cada elemento de  pola súa imaxe baixo o mapa canónico R\to R/I. Por exemplo, se f\in R[X] é un polinomio con coeficientes en , a súa redución módulo , denotada como f \bmod I, é o polinomio en (R/I)[X]=R[X]/IR[X] obtido substituíndo os coeficientes de  pola súa imaxe en R/I. Dous polinomios  e  en R[X] son *congruentes módulo* , denotado como f\equiv g \pmod I se teñen os mesmos coeficientes módulo , é dicir se f-g\in IR[X]. Se h\in R[X], unha factorización de  módulo  consiste en dous (ou máis) polinomios  en R[X] tal que h\equiv fg \pmod I.

Por exemplo, dado un polinomio h\in R[X] e un módulo de factorización  expresado como h\equiv fg \pmod I, levantar esta factorización módulo I^k consiste en procurar polinomios f',g'\in R[X] tal que f'\equiv f \pmod I, g'\equiv g \pmod I, e h\equiv f'g' \pmod {I^k}. O lema de Hensel afirma que tal levantamento sempre é posíbel en condicións suaves; ver sección seguinte.
## Enunciado 
Orixinalmente, o lema de Hensel foi enunciado (e demostrado) para levantar unha factorización módulo un número primo  dun polinomio sobre os enteiros a unha factorización módulo calquera potencia de  e a unha factorización sobre os enteiros p-ádicos. Isto pódese xeneralizar facilmente, coa mesma proba, no caso de que os números enteiros sexan substituídos por calquera anel conmutativo, o número primo substitúese por un ideal máximal e os enteiros -ádicos substitúense polo completamento con respecto ao ideal maximal. É esta xeneralización, que tamén é moi utilizada, a que aquí se presenta.

Sexa \mathfrak m un ideal máximal dun anel conmutativo , e sexa

: h=\alpha_0X^n+\cdots +\alpha_{n-1}X+\alpha_n

un polinomio en R[X] cun coeficiente principal \alpha_0 non en \mathfrak m.

Posto que \mathfrak m é un ideal maximal, o anel cociente R/\mathfrak m é un corpo, e (R/\mathfrak m)[X] é un dominio de ideais principais (PID) e, en particular, un dominio de factorización única, o que significa que todo polinomio distinto de cero en (R/\mathfrak m)[X] pódese factorizar dun xeito único como o produto dun elemento distinto de cero de (R/\mathfrak m) e polinomios irredutíbeis que son mónicos (é dicir, os seus coeficientes principais son 1).

O lema de Hensel afirma que toda factorización de  módulo \mathfrak m en polinomios coprimos pódese levantar dun xeito único a un módulo de factorización \mathfrak m^k para todo .

Máis precisamente, coas hipóteses anteriores, se h\equiv \alpha_0 fg\pmod \mathfrak m, onde  e  son mónicos e coprimos módulo \mathfrak m, entón, para cada número enteiro positivo  hai polinomios mónicos f_k e g_k tal que

: \begin{align}
h&\equiv \alpha_0 f_kg_k \pmod{\mathfrak m^k},\\
f_k&\equiv f\pmod{\mathfrak m},\\
g_k&\equiv g\pmod{\mathfrak m},
\end{align}

e f_k e g_k son únicos (con estas propiedades) módulo \mathfrak m^k.

### Levantar raíces simples 
Un caso especial importante é cando f=X-r. Neste caso, a hipótese da coprimalidade significa que  é unha raíz simple de h \bmod \mathfrak m. Isto dá o seguinte caso especial do lema de Hensel.

Coas hipóteses e notacións anteriores, se  é unha raíz simple de h \bmod \mathfrak m, entón  pódese levantar dun xeito único a unha raíz simple de h \bmod {\mathfrak m^n} para cada número enteiro positivo . Explicitamente, para cada enteiro positivo , hai un único r_n\in R/{\mathfrak m}^n tal que r_n\equiv r \pmod \mathfrak m  e r_n é unha raíz simple de h \bmod \mathfrak m^n.

### Levantar ata o completamento ádico 
O feito de que se poida levantar a R/\mathfrak m^n para todo número enteiro positivo  suxire "pasar ao límite" cando  tende ao infinito. Esta foi unha das principais motivacións para introducir os enteiros -ádicos.

Dado un ideal máximal \mathfrak m dun anel conmutativo , as potencias de \mathfrak m forman unha base de veciñanzas abertas para unha topoloxía en , que se chama topoloxía m-ádica. O completamento desta topoloxía pódese identificar co completamento do anel local R_\mathfrak m, e co límite inverso \lim_\leftarrow R/\mathfrak m^n. Este completamento é un anel local completo, xeralmente denotado \widehat R_\mathfrak m. Cando  é o anel dos enteiros, e \mathfrak m=p\Z, onde  é un número primo, este completamento é o anel dos enteiros  -ádicos \Z_p.

A definición do completamento como un límite inverso e a afirmación anterior do lema de Hensel implican que toda factorización en polinomios coprimos por pares módulo \mathfrak m dun polinomio h\in R[X] pódese levantar de forma única a unha factorización da imaxe de  en \widehat R_\mathfrak m[X]. Do mesmo xeito, toda raíz simple de  módulo \mathfrak m pódese levantar a unha raíz simple da imaxe de  en \widehat R_\mathfrak m[X].

## Proba 
O lema de Hensel demóstrase xeralmente de forma incremental elevando unha factorización sobre R/\mathfrak m^n a unha factorización sobre R/\mathfrak m^{n+1} (Levantamento linear), ou unha factorización sobre R/\mathfrak m^{2n} (Levantamento cadrático).

O principal ingrediente da demostración é que os polinomios primos sobre un corpo satisfán a identidade de Bézout. É dicir, se  e  son polinomios univariados coprimos sobre un corpo (aquí R/\mathfrak m ), hai polinomios  e  tal  que \deg a  \deg b  e
:af+bg=1.

A identidade de Bézout permite definir polinomios coprimos e demostrar o lema de Hensel, aínda que o ideal \mathfrak m non sexa maximal. Polo tanto, nas seguintes demostracións, pártese dun anel conmutativo , un ideal , un polinomio h\in R [X] que ten un coeficiente principal que é invertíbel módulo  (é a súa imaxe en R/I é unha unidade en R/I), e a factorización de  módulo  ou módulo unha potencia de , tal que os factores satisfagan a identidade de Bézout módulo . Nestas probas,  A\equiv B \pmod I significa A-B\in IR[X].

### Levantamento linear 
Sexa  un ideal dun anel conmutativo , e h\in R[X]  un polinomio univariado  con coeficientes en  que ten un coeficiente principal \alpha que é invertíbel módulo  (é dicir, a imaxe de \alpha en R/I é unha unidade en R/I).

Supoña que para algún enteiro positivo  hai unha factorización
:h\equiv \alpha fg \pmod {I^k},
tal que  e  son polinomios mónicos que son coprimos módulo , no sentido de que existen a,b \ in R[X], tal que  af+bg\equiv 1\pmod I. Entón, hai polinomios \delta_f, \delta_g\in I^k R[X], tal que \deg \delta_f  \deg \delta_g  e
:h\equiv \alpha(f+\delta_f)(g+\delta_g) \pmod {I^{k+1}}.

Nestas condicións, \delta_f e \delta_g son únicos módulo I^{k+1}R[X].

A maiores, f+\delta_f e g+\delta_g satisfán a mesma identidade de Bézout que  e , é dicir,  a(f+\delta_f)+b(g+\delta_g)\equiv 1\pmod I. Isto dedúcese inmediatamente das afirmacións anteriores, mais é necesario para aplicar de forma iterativa o resultado con valores crecentes de .

### Unicidade 
Sexa , ,  e \alpha como no apartado anterior. Sexa

: h\equiv \alpha fg \pmod {I^k},

unha factorización en polinomios coprimos (no sentido anterior), tal que \deg f_0+\deg g_0=\deg h. A aplicación de levantamento linear para k=1, 2, \ldots, n-1 \ldots, mostra a existencia de \delta_f e \delta_g tal que \deg \delta_f \deg \delta_g  e

:h\equiv \alpha (f+\delta_f)(g+\delta_g) \pmod{I^n}.

Os polinomios \delta_f e \delta_g están definidos de forma única módulo I^n. Isto significa que, se outro par (\delta'_f, \delta'_g) cumpre as mesmas condicións, entón temos

: \delta'_f\equiv \delta_f \pmod{I^n}\qquad\text{e}\qquad \delta'_g\equiv \delta_g \pmod{I^n}.

### Levantamento cadrático 
O levantamento linear permite levantar unha factorización módulo  I^n a unha factorización módulo  I^{n+1}. O levantamento cadrático permite levantar directamente a unha factorización módulo I^{2n}, a costa de levantar tamén a identidade de Bézout e de computar módulo I^n en lugar de módulo  (se se utiliza a descrición anterior de levantamento linear).

O levantamento cadrático baséase na seguinte propiedade.

Supoña que para algún número enteiro positivo  hai unha factorización

:h\equiv \alpha fg \pmod {I^k}, 
tal que  e  son polinomios mónicos que son coprimos módulo , no sentido de que existen a,b \in R[X], tal que  af+bg\equiv 1\pmod {I^k}. Daquela, hai polinomios \delta_f, \delta_g\in I^k R[X], tal que \deg \delta_f  \deg \delta_g  e
:h\equiv \alpha(f+\delta_f)(g+\delta_g) \pmod {I^{2k}}.

A maiores, f+\delta_f e g+\delta_g satisfai a identidade de Bézout do seguinte xeito
: (a+\delta_a)(f+\delta_f)+(b+\delta_b)(g+\delta_g)\equiv 1\pmod {I^{2k}}.  
(Isto é necesario para permitir iteracións de levantameno cadrático.)

## Exemplo explícito 
Sexa f(X)= X^6 - 2 \in \mathbb{Q}[X].

Módulo 2, o lema de Hensel non se pode aplicar xa que a redución de f(X) módulo 2 é simplementepáxs 15-16

: \bar{f}(X) = X^6 - \overline{2} = X^6

con 6 factores X non sendo relativamente primos entre si. Polo criterio de Eisenstein, con todo, pódese concluír que o polinomio f(X) é irredutíbel en \Q_2[X].

Sobre k = \mathbb{F}_7, por outra parte, temos
: \bar{f}(X) = X^6 - \overline{2} = X^6 - \overline{16} = (X^3 - \overline{4})\;(X^3 + \overline{4})

onde 4 é a raíz cadrada de 2 en \mathbb{F}_7. Como 4 non é un cubo en \mathbb F_7, estes dous factores son irredutíbeis en \mathbb F_7. De aí a factorización completa de X^6-2 en \Z_7[X] e \Q_7[X] é

: f(X) = X^6 - 2 = (X^3-\alpha)\;(X^3 + \alpha),

onde \alpha = \ldots 450\,454_7 é unha raíz cadrada de 2 en  \Z_7 que se pode obter levantando a factorización anterior. A outra raíz sería o complemeto a 7 da anterior \alpha =\ldots 216213_{7} (ver exemplo de Número p-ádico).

Finalmente, en \mathbb F_{727}[X] o polinomio divídese en

: \bar{f}(X) = X^6 - \overline{2} = (X-\overline{3})\;(X-\overline{116})\;(X-\overline{119})\;(X-\overline{608})\;(X-\overline{611})\;(X-\overline{724})
con todos os factores relativamente primos entre si, de xeito que en \Z_{727}[X]  e \Q_{727}[X]  hai 6 factores X - \beta  cos enteiros 727-ádicos (non racionais).

: \beta = \left\{ \begin{array}{rrr} 3 \; +& \!\!\! 545\cdot 727 \; +& \!\!\! 537 \cdot 727^2 \,+& \!\!\! 161 \cdot 727^3 +\ldots \\116\; +& \!\!\! 48\cdot 727\; +& \!\!\! 130\cdot 727^2 \,+& \!\!\! 498 \cdot 727^3 +\ldots \\119\; +& \!\!\! 593\cdot 727\; +& \!\!\! 667\cdot 727^2 \,+& \!\!\! 659 \cdot 727^3 +\ldots \\608\; +& \!\!\! 133\cdot 727\; +& \!\!\! 59 \cdot 727^2 \,+& \!\!\! 67 \cdot 727^3 +\ldots \\611\; +& \!\!\! 678\cdot 727\; +& \!\!\! 596\cdot 727^2 \,+& \!\!\! 228 \cdot 727^3 +\ldots \\724\; +& \!\!\!181 \cdot 727\; +& \!\!\! 189\cdot 727^2 \,+& \!\!\! 565 \cdot 727^3 +\ldots \end{array} \right. 

## Usando derivadas para levantar raíces 
Sexa f(x)  un polinomio con coeficientes enteiros (ou enteiros -ádicos) e sexan *m*, *k* enteiros positivos tal que *m* ≤ *k*. Se *r* é un número enteiro tal que

: f(r) \equiv 0 \bmod p^k \quad \text{e} \quad f'(r) \not\equiv 0 \bmod p

daquela, para todo m>0 existe un enteiro *s* tal que

:f(s) \equiv 0 \bmod p^{k+m} \quad \text{e} \quad r \equiv s \bmod p^k.

A maiores, este *s* é único módulo *p**k*+*m*, e pódese calcular explicitamente como o número enteiro tal que

: s = r - f(r)\cdot a,

onde a é un número enteiro que satisfai

: a \equiv [f'(r)]^{-1} \bmod p^m.

(onde [f'(r)]^{-1} é o inverso multiplicativo de f'(r) módulo  p^m).

Teña en conta que f(r) \equiv 0 \bmod p^k  e así temos que a condición s \equiv r \bmod p^k  cúmprese. Por outra parte, se f'(r) \equiv 0 \bmod p, entón poden existir 0, 1 ou varios *s* (ver levantamento de Hensel  a continuación).

## Levantamento de Hensel 
Usando o lema, pódese "levantar" unha raíz *r* do polinomio *f* módulo *pk* a unha nova raíz *s* módulo *p* *k* +1 tal que  (asumindo ; tomando *m* maior dedúcese por indución). De feito, unha raíz módulo *p**k*+1 tamén é unha raíz módulo *p k*, polo que as raíces módulo *p**k*+1 son precisamente os levantamentos de raíces módulo *pk*. A nova raíz *s* é congruente con *r* módulo *p*, polo que a nova raíz tamén satisfai f'(s) \equiv f'(r) \not\equiv 0 \bmod p. Polo que o levantamento pódese repetir, e partindo dunha solución *rk* de f(x) \equiv 0 \bmod p^k podemos derivar unha secuencia de solucións *r**k*+1, *r**k*+2, ... da mesma congruencia para potencias sucesivamente superiores de *p*, sempre que f'(r_k) \not\equiv 0 \bmod p para a raíz inicial *rk*. Isto tamén mostra que *f* ten o mesmo número de raíces mod *pk* que mod *p**k* +1, mod *p**k* +2 ou calquera outra potencia superior de *p*, sempre que as raíces de *f* mod *p k* sexan todas simples.

Que pasa con este proceso se *r* non é unha raíz simple mod *p*? Supoñamos que

: f(r) \equiv 0 \bmod p^k \quad \text{and} \quad f'(r) \equiv 0 \bmod p.

Entón s \equiv r \bmod p^k  implica f(s) \equiv f(r) \bmod p^{k+1}. É dicir, f(r + tp^k) \equiv f(r)\bmod p^{k+1}  para todos os números enteiros *t*. Polo tanto, temos dous casos:

* Se  f(r) \not\equiv 0 \bmod p^{k+1}  entón non hai levantamento de *r* a unha raíz de *f* (*x*) módulo *p* *k* +1 .
* Se f(r) \equiv 0 \bmod p^{k+1}  entón cada levantamento de *r* módulo *p**k*+1 é unha raíz de *f* (*x*) módulo *p**k* +1 .

**Exemplo.** Para ver ambos os casos examinamos dous polinomios diferentes con  :

f(x) = x^2 +1 e . Entón f(1)\equiv 0 \bmod 2 e f'(1) \equiv 0 \bmod 2. Temos f(1) \not\equiv 0 \bmod 4 o que significa que ningún levantamento de 1 módulo 4 é unha raíz de *f* (*x*) módulo 4.

g(x) = x^2 -17 e . Entón g(1)\equiv 0 \bmod 2 e g'(1) \equiv 0 \bmod 2. Porén, xa que g(1) \equiv 0 \bmod 4, podemos levantar a nosa solución ao módulo 4 e os dous levantamentos (é dicir, 1, 3) son solucións. A derivada aínda é 0 módulo 2, polo que *a priori* non sabemos se podemos levantalas módulo 8, pero de feito podemos, xa que *g*(1) é 0 mod 8 e *g* (3) é 0 mod 8, dando solucións en 1, 3, 5 e 7 mod 8. Dado que deles só *g*(1) e *g* (7) son 0 mod 16, podemos levantar só 1 e 7  módulo 16, dando 1, 7, 9 e 15 mod 16. Deles, só 7 e 9 dan , polo que estes poden levantarse dando 7, 9, 23 e 25 mod 32. Resulta que para cada número enteiro , hai catro levantamentos de 1 mod 2 a unha raíz de .

## Lema de Hensel para números *p*-ádicos 
Nos números -ádicos, onde podemos dar sentido aos números racionais módulo potencias de *p* sempre que o denominador non sexa un múltiplo de *p*, a recursividade de *rk* (raíces mod *pk*) a *r**k* +1 (raíces mod *p**k* +1) pódese expresar dun xeito moito máis intuitivo. En lugar de escoller *t* para ser calquera enteiro que resolve a congruencia

: tf'(r_k) \equiv -(f(r_k)/p^{k})\bmod p^m,

sexa *t* o número racional (o *pk* aquí non é realmente un denominador xa que *f*(*rk*) é divisíbel por *pk*):

: -(f(r_k)/p^{k})/f'(r_k).

Entón temos

: r_{k+1} = r_k + tp^k = r_k - \frac{f(r_k)}{f'(r_k)}.

Esta fracción pode non ser un número enteiro, mais é un enteiro -ádico, e a secuencia de números *rk* converxe nos enteiros  -ádicos a unha raíz de *f*(*x*) = 0. A maiores, a fórmula recursiva mostrada para o (novo) número *r**k*+1 en termos de *rk* é precisamente o método de Newton para atopar raíces de ecuacións nos números reais.

Traballando directamente nos -ádicos e usando o valor absoluto -ádico, hai unha versión do lema de Hensel que se pode aplicar aínda que comecemos cunha solución de *f*(*a*) ≡ 0 mod *p* tal que f'(a)\equiv 0 \bmod p. Só temos que asegurarnos de que f'(a) é distinto de 0. Esta versión máis xeral é a seguinte: se hai un número enteiro *a* que satisfaga:

: |f(a)|_p 

entón hai un único enteiro -ádico *b* tal *f*(*b*) = 0 e |b-a|_p  A construción de *b* equivale a mostrar que a recursión do método de Newton co valor inicial *a* converxe nos -ádicos e *b* é  o límite. A singularidade de *b* como raíz que se axusta á condición |b-a|_p  precisa traballo adicional.

A definición do lema de Hensel dada anteriormente (tomando m=1) é un caso especial desta versión máis xeral, xa que as condicións de que *f* (*a*) ≡ 0 mod *p* e f'(a)\not\equiv 0 \bmod p quere dicir que  |f(a)|_p  e |f'(a)|_p = 1.

## Exemplos 
Supoñamos que *p* é un primo impar e *a* é un residuo cadrático distinto de cero módulo *p*. Entón o lema de Hensel implica que *a* ten unha raíz cadrada no anel de enteiros -ádicos \Z_p. De feito, sexa f(x)=x^2-a. Se *r* é unha raíz cadrada de *a* módulo *p,* entón:

: f(r) = r^2 - a \equiv 0 \bmod p \quad \text{e} \quad f'(r) = 2r \not\equiv 0 \bmod p,

onde a segunda condición depende do feito de que *p* é impar. A versión básica do lema de Hensel dinos que partindo de *r*1 = *r* podemos construír recursivamente unha secuencia de números enteiros \{r_k\} tal que:

: r_{k+1} \equiv r_k \bmod p^k, \quad r_k^2 \equiv a \bmod p^k. 

Esta secuencia converxe a algún enteiro -ádico *b* que satisfaga *b*2 = *a*. De feito, *b* é a única raíz cadrada de *a* en \Z_p congruente con *r*1 módulo *p*. No outro sentido, se *a* é un cadrado perfecto en \Z_p e non é divisíbel por *p*, entón é un residuo cadrático distinto de cero mod *p*. Teña en conta que a lei de reciprocidade cadrática permite probar facilmente se *a* é un residuo cadrático distinto de cero mod *p*, polo que obtemos un xeito práctico de determinar que números -ádicos (para *p* impar) teñen unha raíz cadrada -ádica, e pode ampliarse para cubrir o caso *p* = 2 usando a versión máis xeral do lema de Hensel (máis adiante dáse un exemplo con raíces cadradas 2-ádicas de 17).

**Exemplo sqrt(2)  7-ádica**.

Procuremos unha "raíz cadrada de 2" (a solución para x^2-2=0 ) nos enteiros 7-ádicos. Módulo 7 unha solución é 3 (tamén poderíamos tomar 4), así que establecemos r_1 = 3. O lema de Hensel permítenos entón atopar r_2 do seguinte xeito:

: \begin{align}
f(r_1) &= 3^2-2=7 \\
f(r_1)/p^1 &=7/7=1 \\
f'(r_1) &=2r_1=6 
\end{align}

En base a cal a expresión

: tf'(r_1) \equiv -(f(r_1)/p^k)\bmod p,

convértese en:

: t\cdot 6 \equiv -1\bmod 7

o que implica t = 1. Agora:

: r_2 = r_1 + tp^1 = 3+1 \cdot 7 = 10 = 13_7.

E, por suposto, 10^2\equiv 2\bmod 7^2. (Se usáramos o método de Newton a recursión directamente nos 7-ádicos, entón r_2 = r_1 - f(r_1)/f'(r_1) = 3 - 7/6 = 11/6, e 11/6 \equiv 10 \bmod 7^2.)

Podemos continuar e atopar r_3 = 108 = 3 + 7 + 2\cdot 7^2 = 213_7. Cada vez que realizamos o cálculo (é dicir, para cada valor sucesivo de *k*), engádese un díxito máis en base 7 para a potencia maior de 7 seguinte. Nos enteiros 7-ádicos esta secuencia converxe, e o límite é unha raíz cadrada de 2 en \Z_7 que ten unha expansión inicial en 7-ádicos

:3 + 7 + 2\cdot7^2 + 6\cdot 7^3 + 7^4 + 2\cdot 7^5 + 7^6 + 2\cdot 7^7 + 4\cdot 7^8 + \cdots.

Se comezamos coa opción inicial r_1 = 4, entón o lema de Hensel produciría unha raíz cadrada de 2 en \Z_7 que é congruente con 4 (mod 7) en lugar de 3 (mod 7) e de feito esta segunda raíz cadrada sería o negativo da primeira raíz cadrada (que é consistente con 4 = −3 mod 7).

**Exemplo sqrt(17)  2-ádica**. 

Neste exemplo a versión orixinal do lema de Hensel non é válida pero a máis xeral si que o é, sexa f(x) = x^2-17 e a=1. Entón f(a) =-16 e f'(a) = 2, polo que

:|f(a)|_2 

o que implica que hai un único enteiro 2-ádico *b* satisfactorio

:b^2 = 17 \quad \text{e} \quad |b-a|_2 

é dicir, *b* ≡ 1 mod 4. Hai dúas raíces cadradas de 17 nos enteiros 2- ádicos, que se diferencian por un signo, e aínda que son congruentes mod 2 non son congruentes mod 4. Isto é consistente coa versión xeral do lema de Hensel só nos dá unha única raíz cadrada 2-ádica de 17 que é congruente con 1 mod 4 en lugar de mod 2. Se comezaramos coa raíz aproximada inicial *a* = 3, entón poderiamos aplicar de novo o lema de Hensel máis xeral para atopar unha única raíz cadrada 2-ádica de 17 que sexa congruente co 3 mod 4. Este é o outro 2. - Raíz cadrada ádica de 17.

En termos de levantar as raíces de x^2-17 en módulo 2*k* a 2*k*+1 , os levantamentos que comezan coa raíz 1 mod 2 son os seguintes:

:1 mod 2 &rarr; 1, 3 mod 4
:1 mod 4 &rarr; 1, 5 mod 8 e 3 mod 4 &rarr; 3, 7 mod 8
:1 mod 8 &rarr; 1, 9 mod 16 e 7 mod 8 &rarr; 7, 15 mod 16, mentres que 3 mod 8 e 5 mod 8 non levantan a raíces mod 16
:9 mod 16 &rarr; 9, 25 mod 32 e 7 mod 16 &rarr; 7, 23 mod 16, mentres que 1 mod 16 e 15 mod 16 non se levantan a raíces mod 32.

Por cada *k* maior ou igual a 3, hai *catro* raíces de *x*2 − 17 mod 2*k*, mais se observamos as súas expansións 2-ádicas podemos ver que en parellas están converxendo a só *dous* límites 2-ádicos. Por exemplo, as catro raíces mod 32 divídense en dous pares de raíces coa mesma aparencia mod 16:

:9 = 1 + 23 e 25 = 1 + 23 + 24.
:7 = 1 + 2 + 22 e 23 = 1 + 2 + 22 + 24.

As raíces cadradas 2-ádicas de 17 teñen expansións

:1 + 2^3 +2^5 +2^6 +2^7 +2^9 + 2^{10} + \cdots 
:1 + 2 + 2^2 + 2^4 + 2^8 + 2^{11} + \cdots 

**Exemplo x^3 - c**.

Outro exemplo onde podemos usar a versión máis xeral do lema de Hensel mais non a versión básica é unha proba de que calquera enteiro en 3-ádicos *c* ≡ 1 mod 9 é un cubo en \Z_3. Sexa f(x) =x^3-c e tome a aproximación inicial *a* = 1. O lema básico de Hensel non se pode usar para atopar raíces de *f*(*x*) xa que f'(r)\equiv 0 \bmod 3 para cada *r*. Para aplicar a versión xeral do lema de Hensel queremos |f(1)|_3  que significa c\equiv 1 \bmod 27. 

É dicir, se *c* ≡ 1 mod 27 entón o lema xeral de Hensel dinos que *f*(*x*) ten unha raíz 3-ádica, polo que *c* é un cubo en 3-ádicos. No entanto, quereríamos ter este resultado baixo a condición máis débil de que *c* ≡ 1 mod 9. Se *c* ≡ 1 mod 9 entón *c* ≡ 1, 10 ou 19 mod 27. Podemos aplicar o lema xeral de Hensel tres veces dependendo do valor de *c* mod 27: se *c* ≡ 1 mod 27 entón usamos *a* = 1, se *c* ≡ 10 mod 27 entón usamos *a* = 4 (xa que 4 é unha raíz de *f*(*x*) mod 27), e se *c* ≡ 19 mod 27 entón usamos *a* = 7. (Non é certo que cada *c* ≡ 1 mod 3 sexa un cubo 3-ádico, por exemplo, 4 non é un cubo 3- ádico xa que non é un cubo módulo 9.)

De xeito similar, despois dun traballo preliminar, o lema de Hensel pódese usar para mostrar que para calquera número primo *impar* *p*, calquera enteiro -ádico *c* congruente a 1 módulo *p*2 é unha potencia *p*-ésima en \Z_p. (Isto é falso para *p* = 2.)

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 

### Outros artigos 
*Teorema de Hasse-Minkowski
*Lema Lifting-the-exponent

### Ligazóns externas 
* Hensel`s lemma KEITH CONRAD.