Densidade natural

Na teoría dos números, **a densidade natural**, tamén coñecida como **densidade asintótica** ou **densidade aritmética**, é un método para medir o "grande" que é un subconxunto do conxunto de números naturais . Depende principalmente da probabilidade de atopar membros do subconxunto desexado ao pasar polo intervalo  a medida que  aumenta.

Intuitivamente, vemos que hai máis números enteiros positivos que cadrados perfectos. No entanto, o conxunto de enteiros positivos non é de feito maior que o conxunto de cadrados perfectos: ambos os dous conxuntos son infinitos e contables e, polo tanto, pódense poñer en correspondencia un a un. Con todo, se un pasa polos números naturais, os cadrados fanse cada vez máis escasos. 

Se seleccionamos un número enteiro aleatoriamente do intervalo , entón a probabilidade de que pertenza a  é a relación entre o número de elementos de  en  e o número total de elementos en  . Se esta probabilidade tende a algún límite mentres  tende ao infinito, entón este límite denomínase densidade asintótica de . Esta noción pódese entender como unha especie de probabilidade de escoller un número do conxunto . De feito, a densidade asintótica (así como outros tipos de densidades) estúdase na teoría probabilística dos números .

## Definición 
Un subconxunto  de enteiros positivos ten densidade natural  se a proporción de elementos de  entre todos os números naturais de 1 a  converxe a  mentres  tende ao infinito.

Máis explicitamente, se se define para calquera número natural  a función de contaxe  como o número de elementos de  menor ou igual a , entón a densidade natural de  sendo  significa exactamente que 
 as . \underline{d}(A) = \liminf_{n \rightarrow \infty} \frac{a(n)}{n} Da definición despréndese que se un conxunto  ten densidade natural  entón .

### Densidade asintótica superior e inferior 
Define a *densidade asintótica superior* \overline{d}(A) de A (tamén chamada "densidade superior") por \underline{d}(A) = \liminf_{n \rightarrow \infty} \frac{ a(n) }{n} Do mesmo xeito, define a *densidade asintótica máis baixa* \underline{d}(A) de A (tamén chamada "densidade inferior") por d(A)=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a(n)}{n} Pódese dicir que A ten densidade asintótica d(A) se \underline{d}(A)=\overline{d}(A), nese caso d(A) é igual a este valor común se existe este límite. 

## Propiedades e exemplos 
* Para calquera conxunto finito *F* de enteiros positivos, *d* (*F*) = 0.

* Se *d* (*A*) existe para algún conxunto *A* e *A* c denota o seu conxunto complemento con respecto a \N, entón *d* (*A* c) = 1 − *d* ( *A* ).
** Corolario: Se F\subset \N  é finito (incluíndo o caso F=\emptyset ), d(\N \setminus F)=1.

* Se d(A), d(B), e d(A \cup B) existen, daquela
\max\{d(A),d(B)\} \leq d(A\cup B) \leq \min\{d(A)+d(B),1\}.

* Se A = \{n^2 : n \in \N\} é o conxunto de todos os cadrados, entón *d* (*A*) = 0.

* Se A = \{2n : n \in \N\} é o conxunto de todos os números pares, entón *d* (*A*) = 0,5. Do mesmo xeito, para calquera progresión aritmética A = \{an + b : n \in \N\} obtemos d(A) = \tfrac{1}{a}.

* Para o conxunto *P* de todos os primos obtemos do teorema dos números primos que *d* (*P*) = 0.

* O conxunto de todos os enteiros libres de cadrados ten densidade \tfrac{6}{\pi^2}. De forma máis xeral, o conxunto de todos *os* números libres dunha potencia *n* para calquera *n* natural, ten densidade \tfrac{1}{\zeta(n)}, onde \zeta(n) é a función zeta de Riemann .

* O conxunto de números abundantes ten unha densidade distinta de cero.  Marc Deléglise demostrou en 1998 que a densidade do conxunto de números abundantes está entre 0,2474 e 0,2480. 

* O conxunto
:: A=\bigcup_{n=0}^\infty \left \{2^{2n},\ldots,2^{2n+1}-1 \right \}
: de números cuxa expansión binaria contén un número impar de díxitos é un exemplo dun conxunto que non ten unha densidade asintótica, xa que a densidade superior deste conxunto é
:: \overline d(A)=\lim_{m \to \infty}\frac{1+2^2+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}=\lim_{m \to\infty} \frac{2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)} = \frac 23,
: mentres que a súa menor densidade é
:: \underline d(A)=\lim_{m \to\infty}\frac{1+2^2+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}=\lim_{m \to\infty} \frac{2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)} = \frac 13.

* Considera unha secuencia equidistribuída \{\alpha_n\}_{n\in\N} en [0,1] e define unha familia monótona \{A_x\}_{x\in[0,1]} de conxuntos:

:: A_x:=\{n\in\N : \alpha_n
: Daquela, por definición, d(A_x)= x para todos os x .

* Se *S* é un conxunto de densidades superiores positivas, entón o teorema de Szemerédi afirma que *S* contén progresións aritméticas finitas arbitrariamente grandes, e o teorema de Furstenberg–Sárközy afirma que algúns dous membros de *S* difiren por un número cadrado.

## Notas
## Véxase tamén 
### Bibliografía
* 
* 
* 
* 

### Outros artigos 
* Densidade de Dirichlet
* Conxectura de Erdős sobre progresións aritméticas