0,999...

En matemáticas, o número **0,999…** co 9 como un número decimal periódico, denota o número real **un**. Noutras verbas, as notacións «0,999…» e «1» representan o mesmo número no sistema de números reais. As demostracións desta igualdade formuláronse con diversos graos de rigor matemático, dependendo do xeito preferido para definir os números reais, as hipóteses e suposicións de partida, o contexto histórico e a audiencia de obxectivo.

Certos números reais pódense representar por máis dunha cadea de díxitos e este feito non é un caso que se limite ó sistema decimal. O mesmo fenómeno ocorre en todas as bases de enteiros, e os matemáticos tamén cuantificaron as formas para escribir 1 en bases non enteiras. Tampouco é un fenómeno único do 1: todos os números diferentes de cero cunha representación decimal finita teñen un xemelgo periódico puro rematado en cifras decimais iguais a 9, como 28,3287 e 28,3286999…. Para simplificalo, o decimal finito é case sempre a representación preferida, contribuíndo a unha mala interpretación o feito de que sexa a "única" representación. Mesmo de forma máis xeral, calquera sistema de numeración posicional contén unha cantidade infinda de números con representacións múltiples. Estas diversas identidades aplicáronse deste xeito para entender mellor os patróns nas expansións decimais de fraccións e a estrutura dun fractal sinxelo, o conxunto de Cantor. Tamén aparecen na investigación xa clásica da infinidade do conxunto enteiro dos números reais.

A igualdade 0,999...=1 estivo aceptada durante moito tempo polos matemáticos profesionais e ensinouse nos libros de texto. Nas últimas décadas, os expertos no ensino de matemáticas estudaron a percepción desta igualdade entre os estudantes, moitos dos cales inicialmente cuestionan ou rexeitan esta igualdade. Moitos baséanse nunha apelación á autoridade de acordo con determinados libros de texto e profesores, ou por razoamentos aritméticos como os de non aceptar que os dous sexan iguais. Ademais, algúns séntense a miúdo molestos por buscar outra xustificación. O razoamento dos estudantes para negar ou afirmar a igualdade baséase tipicamente nun erro –entre uns cantos erros comúns–, provocado polo comportamento contrario á intuición dos números reais. Por exemplo, que cada número real ten unha expansión decimal única, que os números reais infinitesimais diferentes de cero deberían existir, ou que a expansión de 0,999… finalmente acaba.

Pódense construír sistemas de números que cumpren algunhas destas intuicións, e nalgúns destes sistemas a igualdade é falsa. Cómpre considerar que estes sistemas de números son diferentes ó sistema de números reais estándar que se emprega nas matemáticas elementais, e que xa se comentou. En efecto, algunhas construcións de números conteñen números que son "infinitesimalmente" achegados a 1; xeralmente non están relacionados co 0,999…, pero son de interese considerable en análise matemática.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Ligazóns externas 
* .999999… = 1? a *Cut-the-knot*.. 
* Why does 0.9999… = 1?. 
* Ask A Scientist: Repeating Decimals. 
* Proof of the equality based on arithmetic. 
* Repeating Nines . 
* Point nine recurring equals one. 
* David Tall's research on mathematics cognition. 
* What is so wrong with thinking of real numbers as infinite decimals?
* Theorem 0.999... a *Metamath*. 
* "Hackenstrings, and the 0.999... ?= 1 FAQ" a *maths.nottingham.ac.uk*. 
* "A Friendly Chat About Whether 0.999… = 1".