Distribución de Cauchy

{{Modelo de distribución de probabilidade
|nome       = Distribución de Cauchy-Lorentz
|tipo       =densidade
|pdf_image  =325px|A liña verde é a distribución estándar de Cauchy
|cdf_image  =325px
|parámetros =x_0\! (real)\gamma > 0\! escala (real)
|soporte =x \in (-\infty; +\infty)\!
|pdf =\frac{1}{\pi\gamma\,\left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} \!
|cdf =\frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2}
|media =Non definida
|mediana=x_0
|moda=x_0
| varianza  = Non definida
|asimetría  = Non definida
|curtose   = Non definida
|entropía =\ln(4\,\pi\,\gamma)\!
|mgf =Non definida
|char =\exp(x_0\,i\,t-\gamma\,|t|)\!
|}}
A **distribución de Cauchy**, coñecida tamén como **distribución Cauchy-Lorentz** en honor a Augustin Cauchy e Hendrik Lorentz, é unha distribución de probabilidade continua. No campo da Física coñécese como **distribución de Lorentz**, **función Lorentziana** ou distribución de **Breit-Wigner**. A súa importancia na física vén dada por ser a solución da ecuación diferencial que describe a resonancia forzada. En espectroscopia describe a forma das liñas espectrais que son ampliadas por diversos mecanismos, en particular, o mecanismo de alargamento por colisión.

## Características 
* A función de densidade dunha distribución de Cauchy é:
:\begin{align}f(x; x_0,\gamma) &= \frac{1}{\pi\gamma \left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} \\[0.5em]&= { 1 \over \pi } \left[ { \gamma \over (x - x_0)^2 + \gamma^2  } \right]\end{align},
onde *x*0 é o parámetro que especifica a localización do pico da distribución, e *γ* é o parámetro de escala que especifica a largura media ao máximo medio (half-width at half-maximum, HWHM).

O caso especial no que *x*0 = 0 e *γ* = 1 denomínase distribución estándar de Cauchy, que ten a función de densidade de probabilidade:
: f(x; 0,1) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}. \!.

* En xeral a distribución de Cauchy non ten esperanza matemática nin varianza.
* A función de distribución é F(x; x_0,\gamma)=\frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2} e a función inversa de distribución é F^{-1}(p; x_0,\gamma) = x_0 + \gamma\,\tan\left[\pi\,\left(p-\tfrac{1}{2}\right)\right].
* A función característica da distribución Cauchy está ben definida:

:\phi_x(t; x_0,\gamma) = \mathrm{E}(e^{i\,X\,t}) = \exp(i\,x_0\,t-\gamma\,|t|). \!

## Propiedades 
A distribución de Cauchy é un exemplo dunha distribución que non ten momentos definidos. A súa moda e a súa mediana están ben definidas e son ambas iguais a x0.

Cando *U* e *V* son dúas variables aleatorias independendentes e normalmente distribuídas con media igual a 0 e varianza igual a 1, entón a razón *U*/*V* segue a distribución estándar de Cauchy.

Se *X*1, …, *X**n* son variables aleatorias, independentes e identicamente distribuídas, cada unha cunha distribución de Cauchy, entón a media da mostra (\frac {X_1 + ... + X_n}{n}) ten a mesma distribución Cauchy estándar (a media da mostra, que non está afectada polos valores extremos, pode ser empregada como medida da tendencia central). Para comprobar que isto é certo calcúlase a función característica da media da mostra:

:\phi_{\overline{X}}(t) = \mathrm{E}\left(e^{i\,\overline{X}\,t}\right) \,\!

onde \overline{X} é a media da mostra. Este exemplo serve para demostrar que a hipótese da varianza finita no teorema central do límite non pode ser eliminada, ao igual que a hipótese da esperanza finita na lei dos grandes números. É tamén un exemplo dunha versión máis xeneralizada do teorema central do límite que é característica de todas as distribucións asimétricas alpha-estables de Lévy, das que a distribución de Cauchy é un caso especial.

A distribución de Cauchy é unha función de distribución infinitamente divisible. É tamén unha distribución estritamente estable.

A distribución de Cauchy coincide coa distribución t de Student cun grao de liberdade.

Se U e V son dúas variables aleatorias uniformes entre -1 e 1 e U^2+V^2 , entón o cociente U/V segue a distribución de Cauchy.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Ligazóns externas 
* GNU Scientific Library - Reference Manual
* Calculadora da distribución de Cauchy