Hipótese do continuo

A **hipótese do continuo** é unha conxectura proposta por Georg Cantor. Esta conxectura consiste no seguinte:

: **Non existe ningún conxunto cun cardinalidade maior que a do conxunto dos números enteiros e menor que a do conxunto dos números reais.**

Aquí *máis elementos* e *menos elementos* teñen un significado moi preciso (ver número cardinal). Esta hipótese foi o número un dos 23 problemas de Hilbert presentados na conferencia do Congreso Internacional de Matemáticas de 1900, o que levou a que fose estudada en profundidade durante o século XX.

## Nin verdadeira nin falsa 
Cantor achaba que a conxectura era certa. No entanto:

* En 1938, Kurt Gödel demostrou que a negación da hipótese do continuo non se podía probar a partir dos axiomas de Zermelo-Fraenkel máis a escolla, se son consistentes.
* en 1963, Paul Cohen demostrou que a hipótese do continuo tampouco non poderia ser probada a partir dos axiomas de Zermelo-Fraenkel, se son consistentes.

Polo tanto, a hipótese do continuo é independente dos axiomas de Zermelo-Fraenkel. Esta independencia leva a algúns matemáticos a considerar que os axiomas de Zermelo-Fraenkel xa non son suficientes para resolver problemas significativos na teoría de conxuntos e que deberían considerarse axiomas adicionais para facer verdadeira ou falsa esta hipótese. En particular, Gödel, malia de demostrar a súa coherencia, considerou a posibilidade de que novos axiomas permitisen refutar a Hipótese do Continuo.

## Hipótese do continuo xeneralizada 
Aleph (**א**) é unha letra que se usa para representar infinitos cardinais. A cardinalidade do conxunto de enteiros é \aleph_0, o seguinte cardinal é \aleph_1, etc. Usando os números cardinais \aleph, a hipótese do continuo pódese escribir como:

: \aleph_1 = 2^{\aleph_0}

A xeneralización desta hipótese (que non se pode demostrar a partir dela) é que para calquera ordinal \alpha:

: \aleph_{\alpha+1}=2^{\aleph_\alpha}

Debemos ter unha precaución na fórmula anterior: o tratamento de &#x3B1; + 1 usa aritmética ordinal mentres que o tratamento de 2^{\aleph_\alpha}\, usa aritmética cardinal; todo número ordinal é, por definición, un número cardinal, mais a inversa non é verdade.

## Cardinalidade do continuo 
En **ZFC**, a teoría de conxuntos cos axiomas de Zermelo–Fraenkel máis o axioma de escolla, a cardinalidade do continuo é moi indeterminada. O primeiro resultado negativo foi demostrado por König, respecto dos valores que o continuo non pode tomar, como mostra o chamado teorema de König:

:  \mathbf{ZFC} \vdash 2^{\aleph_0} \ne \aleph_{\omega}\,

O mesmo sucede con outros cardonais da cofinalidade \omega^{\,}:

:  \mathbf{ZFC} \vdash 2^{\aleph_0} \ne \aleph_{\omega + \omega}\,
:  \mathbf{ZFC} \vdash 2^{\aleph_0} \ne \aleph_{\omega_{\omega}}\,

Sexa \mbox{Con} \left( T \right)  a declaración " T^{\,}  é consistente". Como se dixo anteriormente, Gödel demostrou:

: \mbox{Con} \left( \mathbf{ZFC} \right) \Rightarrow \mbox{Con} \left( \mathbf{ZFC} + 2^{\aleph_0} = \aleph_1\right)

Usando forzamento pódense demostrar os seguintes resultados *:*

: \mbox{Con} \left( \mathbf{ZFC} \right) \Rightarrow \mbox{Con} \left( \mathbf{ZFC} + 2^{\aleph_0} = \aleph_n\right)

para calquera  n \ge 2  . De forma máis xeral, o continuo pode ser calquera cardinal regular non contábel. Por exemplo:

: \mbox{Con} \left( \mathbf{ZFC} \right) \Rightarrow \mbox{Con} \left( \mathbf{ZFC} + 2^{\aleph_0} = \aleph_{\omega + 42} \right) 

: \mbox{Con} \left( \mathbf{ZFC} \right) \Rightarrow \mbox{Con} \left( \mathbf{ZFC} + 2^{\aleph_0} = \aleph_{\omega_1} \right) 

Se chamamos **WI** á afirmación "existe un cardinal debilmente inaccesíbel", entón  vale:

: \mbox{Con} \left( \mathbf{ZFC + WI} \right) \Rightarrow \mbox{Con} \left( \mathbf{ZFC} + \mbox{``}2^{\aleph_0} \;\;\mbox{é feblemente inaccesíbel''} \right) 

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 

### Outros artigos 
* Ligazóns entre .
### Ligazóns externas 
*