Corpo de fraccións

En álxebra abstracta, o **corpo de fraccións** dun dominio integridade é o corpo máis pequeno no que se pode mergullar. A construción do corpo de fraccións baséase na relación entre o dominio de integridade dos números enteiros e o corpo dos números racionais . Intuitivamente, consiste en relacións entre elementos integrais do dominio.

Non debe confundirse co cociente dun anel por un ideal, que é un concepto moi diferente. 

Para un anel conmutativo que non é un dominio integridade, a construción análoga chámase localización ou anel de cocientes.

## Definición 
Dado un dominio de integridade R e sendoR^* = R \setminus \{0\}, definimos unha relación de equivalencia sobre R \times R^* sendo (n,d) \sim (m,b) sempre que nb = md. Denotamos a clase de equivalencia de (n,d) por \frac{n}{d}. 

Esta noción de equivalencia está motivada polos números racionais \Q, que teñen a mesma propiedade en relación ao anel subxacente \Z de enteiros.

Entón o **corpo das fraccións** é o conxunto \text{Frac}(R) = (R \times R^*)/\sim con suma dada por

: \frac{n}{d} + \frac{m}{b} = \frac{nb+md}{db}

e multiplicación dada por

: \frac{n}{d} \cdot \frac{m}{b} = \frac{nm}{db}.

O corpo das fraccións de R caracterízase pola seguinte propiedade universal:

: se h: R \to F é un homomorfismo de anel inxectivo de R nun corpo F, entón existe un homomorfismo de anel único g: \operatorname{Frac}(R) \to F que estende h.

Hai unha interpretación categórica desta construción. Sexa  \mathbf{C} a categoría de dominios de integridade e mapas inxectivos de aneis. O functor de \mathbf{C} cara a categoría de corpos que leva cada dominio de integridade ao seu corpo de fraccións e cada homomorfismo ao mapa inducido sobre corpos (que existe pola propiedade universal) é o adxunto pola esquerda do functor de inclusión da categoría de corpos en \mathbf{C}. Así, a categoría de corpos (que é unha subcategoría completa) é unha subcategoría reflexiva de \mathbf{C}.

Non se require unha identidade multiplicativa para o papel do dominio de integridade; esta construción pódese aplicar a calquera rng conmutativo distinto de cero R sen divisores de cero distintos de cero. O mergullo vén dado por r\mapsto\frac{rs}{s} para calquera s\in R distinto de cero.

## Exemplos 
* O corpo de fraccións do anel de enteiros é o corpo dos racionais : \Q = \operatorname{Frac}(\Z) .
* Sexa R:=\{a+b\mathrm{i} \mid a,b \in \Z\} o anel de enteiros gaussianos. Entón \operatorname{Frac}(R)=\{c+d\mathrm{i}\mid c,d\in\Q\} é o corpo dos racionais gaussianos.
* O corpo de fraccións dun corpo é canonicamente isomorfo ao propio corpo.
* Dado un corpo K, o corpo de fraccións do anel polinómico nunha variábel indeterminada K[X] (que é un dominio de integridade), chámase ''*, *corpo de fraccións racionais* ou *corpo* *de expresións racionais''  sendo denotado como K(X) .
* O corpo de fraccións do anel de convolución das funcións de media recta produce un espazo de operadores, incluíndo a función delta de Dirac, o operador diferencial e o operador integral. Esta construción dá unha representación alternativa da transformada de Laplace que non depende explicitamente dunha transformada de integrais.

### Localización 
Para calquera anel conmutativo R e calquera conxunto multiplicativo S en R, a localización S^{-1}R é o anel conmutativo formado por fraccións

: \frac{r}{s}

con r\in R e s\in S, onde (r,s) é equivalente a (r',s') se e só se existe t\in S tal que t(rs'-r's)=0.

Destacan dous casos especiais:

* Se S é o complemento dun ideal primo P, entón S^{-1}R tamén se denota R_P.Cando R é un dominio de integridade e P é o ideal cero, R_P é o corpo das fraccións de R.
* Se S é o conxunto de elementos non divisores  de cero en R, entón S^{-1}R chámase anel cociente total.O anel cociente total dun dominio de integridade é o seu corpo de fraccións, pero o anel cociente total defínese para calquera anel conmutativo.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Corpo (álxebra)
* Anel de fraccións total