Centralizador e normalizador

En matemáticas, especialmente na teoría de grupos, o **centralizador** (tamén chamado **conmutador**) dun subconxunto *S* nun grupo *G* é o conxunto \operatorname{C}_G(S) de elementos de *G* que conmutan con cada elemento de *S*, ou equivalentemente, tal que a conxugación por g deixa fixo cada elemento de *S*. O **normalizador** de *S* en *G* é o conxunto de elementos \mathrm{N}_G(S) de *G* que satisfán a condición máis feble de deixar o conxunto S \subseteq G fixo baixo a conxugación. O centralizador e o normalizador de *S* son subgrupos de *G*. Moitas técnicas da teoría de grupos baséanse no estudo dos centralizadores e normalizadores de subconxuntos adecuados *S* .

Na teoría de aneis, o **centralizador dun subconxunto dun anel** defínese en relación á operación de semigrupo (multiplicación) do anel. O centralizador dun subconxunto dun anel *R* é un subanel de *R*. Este artigo tamén trata sobre centralizadores e normalizadores nunha álxebra de Lie.

O idealizador nun semigrupo ou anel é outra construción que vai na mesma liña que o centralizador e normalizador.

## Definicións 
### Grupo e semigrupo 
O **centralizador** dun subconxunto *S* do grupo (ou semigrupo) *G* defínese como 

: \mathrm{C}_G(S) = \left\{g \in G \mid gs = sg \text{ para todo } s \in S\right\} = \left\{g \in G \mid gsg^{-1} = s \text{ para todo } s \in S\right\},

onde só a primeira definición se aplica aos semigrupos. Se non hai ambigüidade sobre o grupo en cuestión, o *G* pódese suprimir da notación. Cando *S*&nbsp;=&nbsp;{ *a* } é un conxunto unitario, escribimos C*G* (*a*) en lugar de C*G* ({*a*}). Outra notación menos común para o centralizador é Z(*a*), que é paralela á notación para o centro. Con esta última notación, hai que ter coidado de evitar a confusión entre o **centro** dun grupo *G*, Z(*G*), e o *centralizador* dun *elemento* *g* en *G*, Z(*g*).

O **normalizador** de *S* no grupo (ou semigrupo) *G* defínese como

: \mathrm{N}_G(S) = \left\{ g \in G \mid gS = Sg \right\} = \left\{g \in G \mid gSg^{-1} = S\right\},

onde de novo só a primeira definición se aplica aos semigrupos. Se o conxunto S é un subgrupo de G, entón o normalizador N_G(S) é o subgrupo máis grande G' \subseteq G onde S é un subgrupo normal de G'. As definicións de *centralizador* e *normalizador* son similares mais non idénticas. Se *g* está no centralizador de *S* e *s* está en *S*, entón debe ser que , mais se *g* está no normalizador, entón  para algún *t* en *S*, con *t* posibelmente diferente de *s*. É dicir, os elementos do centralizador de *S* deben conmutar punto por punto con *S*, pero os elementos do normalizador de *S* só precisan conmutar con *S como un conxunto*. As mesmas convencións de notación mencionadas anteriormente para os centralizadores tamén se aplican aos normalizadores. Non se debe confundir o normalizador co pechamento normal .

Claramente C_G(S) \subseteq N_G(S) e ambos os dous son subgrupos de G.

### Anel, álxebra sobre un corpo, anel de Lie e álxebra de Lie 
Se *R* é un anel ou unha álxebra sobre un corpo, e *S* é un subconxunto de *R*, entón o centralizador de *S* é exactamente o mesmo que se definiu para os grupos, con *R* no lugar de *G.*

Se \mathfrak{L} é unha álxebra de Lie (ou un anel de Lie) con produto de Lie [*x*, *y*], dqquela o centralizador dun subconxunto *S* de \mathfrak{L} defínese como 

: \mathrm{C}_{\mathfrak{L}}(S) = \{ x \in \mathfrak{L} \mid [x, s] = 0 \text{ para todo } s \in S \}.

A definición de centralizadores para aneis de Lie está ligada á definición de aneis do seguinte xeito. Se *R* é un anel asociativo, entón *R* pode dar o produto de corchetes de Lie . Por suposto, entón  se e só se . Se denotamos o conxunto *R* co produto corchete como L*R*, entón claramente o *centralizador do anel* de *S* en *R* é igual ao *centralizador do anel de Lie* de *S* en L*R*.

O normalizador dun subconxunto *S* dunha álxebra de Lie (ou anel de Lie) \mathfrak{L} está dado por 

: \mathrm{N}_\mathfrak{L}(S) = \{ x \in \mathfrak{L} \mid [x, s] \in S \text{ for all } s \in S \}.

Aínda que este é o uso estándar do termo "normalizador" na álxebra de Lie, esta construción é en realidade o idealizador do conxunto *S* en \mathfrak{L}. Se *S* é un subgrupo aditivo de \mathfrak{L}, entón \mathrm{N}_{\mathfrak{L}}(S) é o subanel de Lie máis grande (ou subálxebra de Lie, segundo o caso) no que *S* é un ideal de Lie.

## Exemplo 
Considere o grupo

: G = S_3 = \{[1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1]\} (o grupo simétrico de permutacións de 3 elementos).

Tome un subconxunto H do grupo G:

: H = \{[1, 2, 3], [1, 3, 2]\}. 

Teña en conta que [1, 2, 3] é a permutación identidade en G e mantén a orde de cada elemento e [1, 3, 2] é a permutación que fixa o primeiro elemento e troca o segundo e o terceiro elemento.

O normalizador de H en relación ao grupo G son todos os elementos de G que dan o conxunto H (potencialmente permutado) cando se aplica a operación de grupo. Traballando o exemplo para cada elemento de G:

: [1, 2, 3] cando se aplica a H => \{[1, 2, 3], [1, 3, 2]\} = H ; polo tanto [1, 2, 3] está no Normalizador(H) con respecto a G.
: [1, 3, 2] cando se aplica a H => \{[1, 3, 2], [1, 2, 3]\} = H ; polo tanto [1, 3, 2] está no Normalizador(H) con respecto a G.
: [2, 1, 3] cando se aplica a H => \{[2, 1, 3], [3, 1, 2]\} \ne H ; polo tanto [2, 1, 3] non está no Normalizer(H) con respecto a G.
: [2, 3, 1] cando se aplica a H => \{[2, 3, 1], [3, 2, 1]\} \ne H ; polo tanto [2, 3, 1] non está no Normalizer(H) con respecto a G.
: [3, 1, 2] cando se aplica a H => \{[3, 1, 2], [2, 1, 3]\} \ne H ; polo tanto [3, 1, 2] non está no Normalizer(H) con respecto a G.
: [3, 2, 1] cando se aplica a H => \{[3, 2, 1], [2, 3, 1]\} \ne H ; polo tanto [3, 2, 2] non está no Normalizer(H) con respecto a G.

Polo tanto, o Normalizador(H) en relación a G é \{[1, 2, 3], [1, 3, 2]\} xa que os dous elementos do grupo conservan o conxunto H.

Un grupo considérase simple se o normalizador en relación a un subconxunto é sempre a identidade e el mesmo. Aquí, está claro que S3 non é un grupo simple.

O centralizador do grupo G é o conxunto de elementos que deixan cada elemento de H sen cambios. Está claro que o único elemento deste tipo en S3 é o elemento identidade [1, 2, 3].
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
*
*

### Outros artigos 
* Idealizador.
* Teorema do duplo centralizador.