Funcións pares e impares

[miniatura| A [Seno|función seno e todos os seus polinomios de Taylor son funcións impares.]]
[miniatura| A [Coseno|función coseno e todos os seus polinomios de Taylor son funcións pares.]]
En matemáticas, unha **función par** é unha función real tal que f(-x)=f(x) para cada x no seu dominio. Do mesmo xeito, unha **función impar** é unha función tal que f(-x)=-f(x) para cada x no seu dominio.

Noméanse pola paridade das potencias das funcións potencia que satisfán cada condición: a función f(x) = x^n é par se *n* é un enteiro par e é impar se *n* é un enteiro impar.

As funcións pares son aquelas funcións reais cuxa gráfica é autosimétrica en relación ao eixo  e as impares son aquelas cuxa gráfica é autosimétrica en relación á orixe.

## Definición e exemplos 
### Función par 
dereita|miniatura| f(x)=x^2 é un exemplo dunha función par.
Unha función real  é **par** se, para todo  no seu dominio,  tamén está no seu dominio ef(-x) = f(x) ou equivalentemente f(x) - f(-x) = 0.

Xeométricamente, a gráfica dunha función par é simétrica en relación ao eixo *y*, o que significa que a súa gráfica permanece sen mudanzas despois da reflexión sobre o eixo *y*.

Exemplos de funcións pares son:

* O valor absoluto x \mapsto |x|,
* x \mapsto x^2,
* x \mapsto x^n para calquera número enteiro par n,
* coseno \cos,
* coseno hiperbólico \cosh,
* Función gaussiana x \mapsto \exp (-x^2). 

### Función impar 
dereita|miniatura| f(x)=x^3 é un exemplo dunha función impar.
Unha función real  é **impar** se, para cada  no seu dominio,  tamén está no seu dominio e f(-x) = -f(x) ou equivalentemente f(x) + f(-x) = 0.

Xeométricamente, a gráfica dunha función impar ten simetría de rotación en relación á orixe, o que significa que a súa gráfica permanece sen mudanzas despois de xirar 180 graos sobre a orixe.

Se x=0 está no dominio dunha función impar f(x), entón f(0)=0.

Exemplos de funcións impares son:

* A función signo x \mapsto \sgn(x),
* A función de identidade x \mapsto x,
* x \mapsto x^n para calquera número enteiro impar n,
* seno \sin,
* seno hiperbólico \sinh,
* A función erro \operatorname{erf}.

dereita|miniatura| f(x)=x^3+1 non é par nin impar.

## Propiedades analíticas 
O feito de que unha función sexa par ou impar non implica diferenciabilidade nin continuidade. Por exemplo, a función de Dirichlet é par, mais non é continua.

A continuación considéranse propiedades que inclúen derivadas, series de Fourier e series de Taylor, e suponse que estes conceptos están definidos para as funcións consideradas.

### Propiedades analíticas básicas 
* A derivada dunha función par é impar.
* A derivada dunha función impar é par.
* A integral dunha función impar de −*A* a +*A* é cero (onde *A* pode ser finita ou infinita, e a función non ten asíntotas verticais entre −*A* e *A* ). Para unha función impar que é integrábel nun intervalo simétrico, p [-A,A], o resultado da integral sobre ese intervalo é cero; é 
*: \int_{-A}^{A} f(x)\,dx = 0 .
* A integral dunha función par de −*A* a +*A* é o dobre da integral de 0 a +*A* (onde *A* é finita, e a función non ten asíntotas verticais entre −*A* e *A*. Isto tamén é certo cando *A* é infinita, mais só se a integral converxe); é dicir
*: \int_{-A}^{A} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{A} f(x)\,dx .

### Series 
* A serie de Maclaurin dunha función par inclúe só potencias pares.
* A serie de Maclaurin dunha función impar inclúe só potencias impares.
* A serie de Fourier dunha función par periódica inclúe só termos coseno.
* A serie de Fourier dunha función periódica impar inclúe só termos seno.
* A transformada de Fourier dunha función par puramente real é real e par. 
* A transformada de Fourier dunha función impar puramente real é imaxinaria e impar.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
### Outros artigos 
*Función de Hermite para unha xeneralización en números  complexos
*Serie de Taylor
*Serie de Fourier
*Método de Holstein-Herring