Índice dun subgrupo

En matemáticas, especificamente na teoría de grupos, o **índice** dun subgrupo *H* nun grupo *G* é o número de coclases esquerdas de *H* en *G*, ou equivalentemente, o número de coclases dereitas de *H* en *G*. Indícase o índice como |G:H| ou [G:H] ou (G:H). Debido a que *G* é a unión disxunta das coclases esquerdas e porque cada coclase esquerda ten o mesmo tamaño que *H*, o índice está relacionado coas ordes dos dous grupos mediante a fórmula

: |G| = |G:H| |H|

(interprete as cantidades como números cardinais se algunhas delas son infinitas). Así o índice |G:H| mide os "tamaños relativos" de *G* e *H*.

Por exemplo, sexa G = \Z o grupo de enteiros baixo a suma, e sexa H = 2\Z o subgrupo formado polos enteiros pares. Daquela 2\Z ten dúas coclases en \Z, é dicir, o conxunto de enteiros pares e o conxunto de enteiros impares, polo que o índice |\Z:2\Z| é 2. De forma máis xeral, |\Z:n\Z| = n para calquera número enteiro positivo *n*.

Cando *G* é finito, a fórmula pódese escribir como |G:H| = |G|/|H|, e implica o teorema de Lagrange que |H| divide a |G|.

Cando *G* é infinito, |G:H| é un número cardinal distinto de cero que pode ser finito ou infinito. Por exemplo, |\Z:2\Z| = 2, mais |\R:\Z| é infinito.

Se *N* é un subgrupo normal de *G*, entón |G:N| é igual á orde do grupo cociente G/N, xa que o conxunto subxacente de G/N é o conxunto de coclases de *N* en *G*.

## Propiedades 
* Se *H* é un subgrupo de *G* e *K* é un subgrupo de *H*, daquela

:: |G:K| = |G:H|\,|H:K|.

* Se *H* e *K* son subgrupos de *G*, daquela

:: |G:H\cap K| \le |G : H|\,|G : K|,
: con igualdade se HK=G . (Se |G:H\cap K| é finito, entón a igualdade vale se e só se HK=G).

* De forma equivalente, se *H* e *K* son subgrupos de *G*, daquela

:: |H:H\cap K| \le |G:K|,
: con igualdade se HK=G . (Se |H:H\cap K| é finito, entón a igualdade vale se e só se HK=G).

* Se *G* e *H* son grupos e \varphi \colon G\to H é un homomorfismo, daquela o índice do kernel de \varphi en *G* é igual á orde da imaxe:

:: |G:\operatorname{ker}\;\varphi|=|\operatorname{im}\;\varphi|.

* Sexa *G* un grupo que actúa sobre un conxunto *X*, e sexa *x*&nbsp;∈&nbsp;*X*. Entón a cardinalidade da órbita de *x* baixo *G* é igual ao índice do estabilizador de *x*:

:: |Gx| = |G:G_x|.\!
: Isto coñécese como o teorema órbita-estabilizador.

* Como caso especial do teorema do estabilizador de órbita, o número de conxugados gxg^{-1} dun elemento x \in G é igual ao índice do centralizador de *x* en *G*.
* Do mesmo xeito, o número de conxugados gHg^{-1} dun subgrupo *H* en *G* é igual ao índice do normalizador de *H* en *G* .
* Se *H* é un subgrupo de *G*, o índice do corazón normal de *H* satisfai a seguinte desigualdade:

:: |G:\operatorname{Core}(H)| \le |G:H|!
: onde ! denota a función factorial.
:* Como corolario, se o índice de *H* en *G* é 2, ou para un grupo finito o primo máis baixo *p* que divide a orde de *G,* entón *H* é normal, xa que o índice do seu corazón tamén debe ser *p e,* polo tanto, *H* é igual ao seu corazón, é dicir, é normal.
:* Teña en conta que é posible que non exista un subgrupo do índice primo máis baixo, como en calquera grupo simple de orde non prima ou, de xeito máis xeral, en calquera grupo perfecto .

## Exemplos 
* O grupo alterno A_n ten índice 2 no grupo simétrico S_n, e por tanto é normal.
* O grupo ortogonal especial \operatorname{SO}(n) ten índice 2 no grupo ortogonal \operatorname{O}(n), e por tanto é normal.
* O grupo abeliano libre \Z\oplus \Z ten tres subgrupos de índice 2, a saber

:: \{(x,y) \mid x\text{ é par}\},\quad \{(x,y) \mid y\text{ é par}\},\quad\text{e}\quad
\{(x,y) \mid x+y\text{ é par}\} .

* En xeral, se *p* é primo, entón \Z^n ten (p^n-1)/(p-1) subgrupos de índice *p*, correspondentes aos (p^n-1) homomorfismos non triviais \Z^n \to \Z/p\Z .&#x5B; ''* &#x5D;
* Do mesmo xeito, o grupo libre F_n ten (p^n-1)/(p - 1) subgrupos do índice *p*.
* O grupo diédrico infinito ten un subgrupo cíclico de índice 2, que é necesariamente normal.

## Índice infinito 
Se *H* ten un número infinito de coclases en *G*, daquela dise que o índice de *H* en *G* é infinito. Neste caso, o índice |G:H| é en realidade un número cardinal. Por exemplo, o índice de *H* en *G* pode ser contábel ou incontábel, dependendo de se *H* ten un número contábel de coclases en *G.* Teña en conta que o índice de *H* é como máximo a orde de *G,* que acontece para o subgrupo trivial, ou de feito calquera subgrupo *H* de cardinalidade infinita menor que a de *G.*

## Índice finito 
Un subgrupo *H* de índice finito nun grupo *G* (finito ou infinito) sempre contén un subgrupo normal *N* (de *G*), tamén de índice finito. De feito, se *H* ten índice *n*, entón o índice de *N* será algún divisor de *n*! e un múltiplo de *n*; de feito, *N* pódese tomar como o núcleo do homomorfismo natural de *G* no grupo de permutacións das coclases esquerdas (ou dereitas) de *H* 

O índice do subgrupo normal non só ten que ser un divisor de *n*!, tamén debe satisfacer outros criterios. Dado que o subgrupo normal é un subgrupo de *H*, o seu índice en *G* debe ser *n* veces o seu índice dentro de *H* . O seu índice en *G* tamén debe corresponder a un subgrupo do grupo simétrico S, o grupo de permutacións de *n* obxectos. Así, por exemplo, se *n* é 5, o índice non pode ser 15 aínda que isto divida 5! , porque non hai un subgrupo de orde 15 en S.

Unha proba alternativa do resultado de que un subgrupo de índice primo *p* inferior é normal, e outras propiedades dos subgrupos de índice primo danse en  .

### Exemplos 
O grupo **O** de simetría octaédrica quiral ten 24 elementos. Ten un subgrupo D4 diédrico (de feito ten tres) de orde 8, e polo tanto de índice 3 en **O**, que chamaremos *H*. Este grupo diédrico ten un subgrupo D2 de 4 membros, que podemos chamar *A*. Multiplicando pola dereita calquera elemento dunha coclase dereita de *H* por un elemento de *A* dá un membro da mesma coclase de *H* (*Hca = Hc*). *A* é normal en **O.** Hai seis coclases de *A*, correspondentes aos seis elementos do grupo simétrico S3. Todos os elementos de calquera coclase particular de *A* realizan a mesma permutación das coclases de *H''.

Por outra banda, o grupo Th de simetría piritoédrica tamén ten 24 membros e un subgrupo de índice 3 (nesta vez é un grupo de simetría prismática D2h, ver grupos de puntos en tres dimensións), mais neste caso todo o subgrupo é un subgrupo normal. Todos os membros dunha determinada coclase realizan a mesma permutación destas coclases, mais neste caso representan só o grupo alternado de 3 elementos no grupo simétrico S3 de 6 membros.

## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Orde (teoría de grupos)
### Ligazóns externas 
* 
* "Subgroup of least prime index is normal" at Groupprops, The Group Properties Wiki