Función de Thomae

dereita|miniatura|200x200px|Puntos da gráfica da función no  (0,1)
A **Función de Thomae**, chamada así en honra a Carl Johannes Thomae, tamén coñecida como a **función das pipocas**, a **función gotas de choiva**, a **función das nubes numerables**, a **función modificada de** Dirichlet, a **función da regra**, ou as **estrelas sobre Babilonia** (por John Horton Conway) é unha modificación da función de Dirichlet. O valor real da función f(x) defínese como segue:

f(x) = \begin{cases} \frac{1}q, & \text{se }x \in \mathbb{Q} | x = \frac{p}{q}, q \in \mathbb{N}, p\in \mathbb{Z}\land \text{mcd}(p,q) \\ 0, & \text{se }x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}  \end{cases}

onde:

* ℚ é o conxunto dos números racionais
* ℕ é o conxunto dos números naturais
* ℤ é o conxunto dos números enteiros
* *mcd* é o máximo común divisor

Se *x* = 0, tómase *q* = 1. Asumindo que o mcd(*p*, *q*) = 1 e q > 0 dá unha representación única do número racional (exemplo, excluíndo a representación de 2/4 como 1/2) facendo de f unha función ben definida.

## Descontinuidades 
A función das pipocas é talvez o exemplo máis simple dunha función cun complexo conxunto de descontinuidades: f é continua en todos os números irracionais e descontinua en todos os números racionais.

### Demostración informal 
Claramente, *f* é descontinua en todos os racionais: desde que os irracionais son densos nos reais, para algún racional 'x', sen importar que \varepsilon  se elixa, podemos atopar un irracional 'a' a unha distancia menor que \varepsilon onde f(a) = 0 (pero f(x) é positivo). Noutras palabras, *f* non se pode aproximar a calquera número positivo, xa que o seu codominio está cheo de ceros.

Para mostrar a continuidade nos irracionais, sen perda de xeneralidade supomos que 
\varepsilon é racional (para algún \varepsilon irracional podemos optar por unha \varepsilon racional máis pequena e a proba é transitiva). Posto que \varepsilon é racional, pode ser expresada en termos máis sinxelos como a/b. Queremos mostrar que *f* é continua en 'x' cando 'x' é irracional.

Note que *f* toma o seu valor máximo de 1 en cada número enteiro, polo que podemos restrinxir o noso estudo entre   \lfloor x \rfloor e  \lceil x \rceil. Como \varepsilon ten un denominador finito b, os únicos valores para os que f pode devolver un valor maior a \varepsilon son os que teñen un denominador menor ou igual a *b*. Non só existe un número finito de valores entre dous enteiros con denominador menor ou igual que *b*, polo que estes pódense enumerar de maneira exhaustiva. Elixindo \delta como a distancia máis pequena próxima de 'x' a un destes valores garante que todos os valores cunha distancia menor teñan f(x) \varepsilon.

## Integrabilidade 
A función é Riemann integrable baixo o seguinte criterio: Ademais, o conxunto de descontinuidades son os números racionais, e os racionais son numerables, o conxunto ten medida cero, polo que a función no [0, 1], verifica o criterio de Lebesgue, e por tanto é Riemann integrable no [0, 1].

## Seguimento 
Unha pregunta natural é se hai unha función continua nos números racionais e descontinua nos números irracionais. Isto é imposible porque o conxunto de descontinuidades dunha función debe ser un conxunto F_{\sigma}, unión numerable de conxuntos pechados. Se tal función existise, os irracionais serían un  conxunto F_{\sigma} e por tanto, xa que non conteñen un intervalo, serían un conxunto escaso. Como os números reais, son a unión de racionais e irracionais, serían un conxunto escaso. Isto contradi o Teorema de categoría de Baire.

Unha variante da función das pipocas pode ser usada para mostrar que calquera conxunto F_{\sigma} de números reais pode ser un conxunto de descontinuidades dunha función. Se \scriptstyle A \;=\; \bigcup_{n=1}^{\infty}F_n é a unión numerable de conxuntos pechados \scriptstyle F_n, definimos

: f_A(x) = \begin{cases}
  \frac{1}{n}  \text{ se } x\in\mathbb{Q} \text{ e } n \text{ é mínima para que } x \in F_n\\
  -\frac{1}{n} \text{ se } x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} 
\text{ e } n \text{ é mínima para que } x \in F_n\\
  0            \text{ se } x \notin A
\end{cases}

Un argumento similar ao utilizado para a función das pipocas mostra que \scriptstyle f_A ten a *A* como conxunto de descontinuidades.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Robert G. Bartle and Donald R. Sherbert (1999), Introdución á Análise Real, 3.*ª Edición* (Exemplo 5.1.6 (h)). Wiley. ISBN 978-0-471-32148-4
* Spivak, M. Cálculo en variedades. 1965. Perseus Books. ISBN 0-8053-9021-9
* Abbot, Stephen. *Entendendo Análise*. Berlín: Springer, 2001. ISBN 0-387-95060-5

### Ligazóns externas 
* 
* Um gráfico Interessante