Función continua

En matemáticas, unha **función continua** é aquela para a que, intuitivamente, para puntos próximos do dominio prodúcense pequenas variacións nos valores da función; aínda que en rigor, nun espazo métrico significa o contrario, que pequenas variacións da **función** implican que deben estar próximos os puntos. Se a función non é continua, dise que é **descontinua**. Unha función continua de \R en \R é aquela cunha gráfica que pode debuxarse sen levantar o lapis do papel (máis formalmente a súa gráfica é un conxunto conexo).

A continuidade de funcións é un dos conceptos principais da análise matemática e da topoloxía.

## Historia 
Unha primeira forma da definición (ε, δ) de continuidade foi dada por Bernard Bolzano en 1817. Augustin-Louis Cauchy definiu a continuidade de y=f(x) como segue: un incremento infinitamente pequeno \alpha da variable independente *x* sempre produce un cambio infinitamente pequeno f(x+\alpha)-f(x) da variable dependente *y*. Cauchy definiu cantitades infinitamente pequenas en termos de cantidades variables, e a súa definición de continuidade é paralela á definición infinitesimal empregada na actualidade. A definición e a distinción entre continuidade nun punto e continuidade uniforme foi dada por primeira vez por Bolzano na década de 1830 mais a súa obra non foi publicada ata cen anos despois. Como Bolzano, Karl Weierstrass negou a continuidade dunha función nun punto *c* a menos que estivese definida a ambos os lados de *c*, mais Édouard Goursat permitía que unha función estivese definida só nun lado de *c*, e Camille Jordan incluso se a función estaba definida só no punto *c*. Todas estas definicións non equivalentes de continuidade nun punto aínda se empregan.

Eduard Heine achegou a primeira definición de continuidade uniforme en 1872, pero baseou estas ideas en traballos de Peter Gustav Lejeune Dirichlet de 1854.

## Funcións reais dunha variable real 
dereita|300x300px
Informalmente falando, unha función *f* definida sobre un intervalo **I** é continua se a curva que a representa, é dicir o conxunto dos puntos (*x*, *f*(*x*)), con *x* en **I**, está constituída por un trazo continuo, é dicir un trazo que non está roto, nin ten "ocos" nin "saltos", como na figura da dereita.

O intervalo **I** de *x* é o dominio de definición de *f*, definido como o conxunto dos valores de *x* para os cales existe *f*(*x*).

O intervalo **J** de *y* é o rango (tamén coñecido como imaxe) de *f*, o conxunto dos valores de *y*, tomados como *y* = *f*(*x*). Escríbese **J** = *f*(**I**). Notar que en xeral, non é igual que o codominio (só é igual se a función é sobrexectiva.)

O maior elemento de **J** chámase o máximo absoluto de *f* en **I**, e o menor valor de **J** é o seu mínimo absoluto no dominio **I**.

### Continuidade dunha función nun punto 
dereita|300x300px
Unha función *f* é continua nun punto *x*0 no dominio da función se: 
: 
   \forall \varepsilon > 0 \quad
   \exists \delta> 0 \;

tal que para toda *x* no dominio da función:
: 
   |x-x_0| 

Isto pódese escribir en termos de límites da seguinte maneira:
Se *x*0 é punto de acumulación do dominio da función entón é continua en *x*0 se e só se \lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0) . Cando *x*0 non é de acumulación do dominio, a función é continua nese punto.

No caso das aplicacións de  \mathbb{R}  en  \mathbb{R} , e dunha maneira máis rigorosa dise que unha función *f* é continua nun punto *x*1 se existe *f*(*x*1), se existe o límite de *f*(*x*) cando *x* tende a *x*1 pola dereita, se existe o límite de  (x) cando x tende a *x*1 pola esquerda, e ademais ambos coinciden con *f*(*x*1).
: 
   { \color{Blue}(7)} \;
   f(x_1) = L_{(x_1)}
   \left \{
      \begin{array}{l}
         { \color{Blue}(5)} \;
         L_{(x_1)} = L^{+}_{(x_1)} = L^{-}_{(x_1)}
         \left \{
            \begin{array}{l}
               { \color{Blue}(3)} \;
               \exists \; L^{+}_{(x_1)} \land \exists \; L^{-}_{(x_1)} \;
               \left \{
                  \begin{array}{l}
                     { \color{Blue}(1)} \;
                     \exists \; L^{+}_{(x_1)} =
                     {\displaystyle \lim_{x \to {x_1}^{+}} f(x)} \\ \\
                     { \color{Blue}(2)} \;
                     \exists \; L^{-}_{(x_1)} =
                     {\displaystyle \lim_{x \to {x_1}^{-}} f(x)}
                  \end{array}
               \right .
               \\
               { \color{Blue}(4)} \;
               L^{+}_{(x_1)} = L^{-}_{(x_1)}
            \end{array}
         \right .
         \\
         { \color{Blue}(6)} \;
         \exists f(x_1)
      \end{array}
   \right .

Así pois, unha función *f* continua no punto *x*1 implica o seguinte:
1. Existe o límite pola dereita:
: 
   \exists \lim_{x \to x_1^+} f(x) \in \mathbb{R}

2. Existe o límite pola esquerda:
: 
   \exists \lim_{x \to x_1^-} f(x) \in \mathbb{R}

3. A función ten límite pola dereita e pola esquerda do punto *x*1
: 
   \exists \lim_{x \to x_1^+} f(x) \in \mathbb{R}
   \quad \land \quad
   \exists \lim_{x \to x_1^-} f(x) \in \mathbb{R}

4. O límite pola dereita e o límite pola esquerda coinciden:
: 
   \lim_{x \to x_1^-} f(x) =
   \lim_{x \to x_1^+} f(x)

5. Se existen o límite pola dereita e pola esquerda e os seus valores coinciden, a función ten límite neste punto:
: 
   \lim_{x \to x_1} f(x) =
   \lim_{x \to x_1^-} f(x) =
   \lim_{x \to x_1^+} f(x)

6. Existe *f*(*x*1):
: 
   \exists f(x_1)

7. O límite e o valor da función coinciden:
: 
   \lim_{x \to x_1} f(x) =
   f(x_1)

A función é continua nese punto. Unha función é continua nun intervalo se é continua en todos os seus puntos.
dereita|300x300px
Se *f*(*x*1)= *y*1, a continuidade en *x*1 exprésase así:
: 
   \lim_{x \to x_1} f(x) =
   y_1

Parafraseando, cando **x** se aproxima a *x*1, *f*(*x*) aproxímase a *y*1. Por definición dos límites, isto significa que para todo intervalo aberto **J**, centrado en *y*1, existe un intervalo aberto **I**, centrado en *x*1, tal que  f(I) \in J .

Se *f* ten un salto no punto, o teorema non se cumpre. En efecto, non todo intervalo **I** ao redor de *x*1 ten a súa imaxe nun intervalo **J** centrado en *y*1, cun raio inferior ao salto de *f*; non importa o pequeno que este intervalo sexa, hai valores de *x* do intervalo **I** ao redor de *x*1 que ten a súa imaxe nun intervalo **K** centrado en *y*2, sendo *y*1 e *y*2 valores distintos, isto é: *x* ten imaxes que saen de **J**.

A vantaxe desta definición é que se xeneraliza a calquera espazo topolóxico.

### Continuidade lateral 
dereita|300x300px
Unha función *f* é **continua pola esquerda** no punto x = x_1 se o límite lateral pola esquerda e o valor da función no punto son iguais. É dicir: 
:  \lim_{x \to x_1^-} f(x) = f(x_1) 
como na figura.

Unha función *f* é **continua pola dereita** no punto x=x_1 se o seu límite lateral pola dereita e o valor da función no punto son iguais. É dicir: 
:  \lim_{x\to x_1^+ } f(x) = f(x_1) 

Unha función *f* é **continua nun punto** se é **continua pola esquerda** e é **continua pola dereita.** Isto é:
:  \lim_{x\to x_1^- } f(x) = \lim_{x\to x_1^+ } f(x) = f(x_1) 

### Continuidade dunha función nun intervalo aberto: (*a*, *b*) 
Un valor *c* pertence a un intervalo aberto **I**, de extremo esquerdo *a* e extremo dereito *b*, representado **I**= (*a*, *b*) se:
: 
   a 

Unha función *f* é continua nun intervalo aberto **I**= (*a*, *b*), se e só se a función é continua en todos os puntos do intervalo, é dicir:
: 
   \forall c \in I=(a,b): \quad
   \lim_{x \to c} f(x) = f(c)

### Continuidade dunha función nun intervalo pechado: [*a*, *b*] 
Un valor *c* pertence a un intervalo pechado **I**, de extremo esquerdo *a* e extremo dereito *b*, representado **I**= [*a*, *b*] se:
: 
   a \le c \le b \;

Unha función *f* é continua nun intervalo pechado [*a*, *b*] se a función é continua no intervalo aberto (*a*, *b*) e é continua pola dereita da e continua pola esquerda de *b*:
: 
   \forall c \in I= [a,b]: \quad
   \lim_{x \to c} f(x) = f(c)
   \quad \land \quad
   \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)
   \quad \land \quad
   \lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)

## Algunhas funcións continuas importantes 
miniatura|400x400px|Funcións seno e coseno.
As funcións polinómicas, trigonométricas: seno e coseno, as exponenciais e as logarítmicas son continuas nos seus respectivos dominios de definición.

A parábola, como función polinómica, é un exemplo de función continua ao longo de todo o dominio real.

Na gráfica vese a función seno que é periódica, limitada e continua en todo o domino real. Dado o seu carácter periódico, con ver un só dos ciclos é suficiente para comprobar a continuidade, porque o resto dos ciclos son exactamente iguais.

### Funcións definidas por intervalos 
dereita|300x300px
As funcións definidas para distintos intervalos de *x* poden ser descontinuas nos puntos de cambio de intervalo, por exemplo:
* A función parte enteira de *x*, *E*(*x*), onde *E*(*x*) é o maior número enteiro inferior ou igual a *x*, tal que:
: E(*x*) ≤ *x*  f(x) = \frac {1}{x} 

Esta función é unha hipérbole composta por dous tramos. *x*  0. Como se ve, efectivamente é continua en todo o dominio  \left(- \infty ,0 \right) \cup \left( 0 , + \infty \right)  porque non está definida en *x*= 0. Se se estende o dominio da función a ℝ (dándolle un valor arbitrario a *f*(0)) a función será descontinua.)

## Teoremas sobre funcións continuas 
Estes son algúns dos teoremas máis importantes sobre funcións continuas.
# Teorema de Weierstrass: Se *f* é continua en [a,b] entón presenta máximos e mínimos absolutos.
# Teorema de Bolzano: Se *f* é continua en [a,b] e f(a) f(b) , entón  \exists c \in (a,b) tal que  f(c) = 0.
# Teorema do valor intermedio: Se *f* é continua en [a,b] e  f(a)  entón \exists c \in (a,b)  tal que f(c) = k.

Anotación: Se *f* é unha función sobre un conxunto compacto entón, a función ten un máximo ou un mínimo. Sobre un conxunto aberto tense o seguinte contraexemplo: a función f(x) = 1/x é continua sobre (0,1) pero non é limitada.

### Derivabilidade e continuidade 
As funcións derivables son continuas. Se unha función é derivable en *x*=*a* entón é continua en *x*=*a*. De modo que a continuidade é unha condición necesaria para a derivabilidade. É dicir, o conxunto das funcións derivables é parte das funcións continuas.

Cómpre notar que o recíproco non é válido; é dicir que nada se pode afirmar sobre a derivabilidade dunha función continua. Un exemplo claro desta situación é a función valor absoluto *f*(*x*)= |*x*| que aínda que é continua en todo o seu dominio non é derivable en *x*=0. Mesmo hai funcións continuas en todo ℝ pero non derivables en ningún punto (as funcións do movemento browniano verifican isto con probabilidade 1).

#### Clase de continuidade 
Unha función f:\Omega\subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, dise que: 
* é de clase C^0(\Omega)\, cando é continua en todo o dominio \Omega
* é de clase C^k(\Omega)\, se está definida en todo o dominio \Omega xunto coas súas derivadas até orde k \ge 1 e todas elas son continuas.
* é de clase C^\infty(\Omega)\, se ten derivadas continuas de calquera orde. As funcións deste tipo non son nercesariamente analíticas.
* é de clase C^{-1}(\Omega)\, se é a derivada no sentido das distribucións dunha función de clase C^0(\Omega)\,.
* Unha función xeneralizada dise de clase C^{-k}(\Omega)\, se é a derivada k-ésima no sentido das distribucións dunha función de clase C^0(\Omega)\,.

Calquera función polinómica dunha variable é unha función de clase C^\infty(\R). A función xeneralizada denominada delta de Dirac é unha función de clase C^{-2}(\R)\, xa que é a derivada segunda da función rampla que é continua, e a derivada primeira da función en esqueira de Heaviside que é de clase C^{-1}
  
Pódense dar exemplos que mostran que hai funcións de clase C^k(\Omega)\, que non son de clase C^{k+1}(\Omega)\,. Os exemplos clásicos son f_k(x) = x^k\sen(1/x).

## Funcións continuas en espazos topolóxicos 
Sexan  (X,T_X)  e  (Y,T_Y)  dous espazos topolóxicos. Unha aplicación  f:X \longrightarrow Y  dise que é continua se  f^{-1}(G)  é un aberto de  X , calquera que sexa o aberto  G  de  Y . Esta é a continudade vista globalmente, a que segue é a continuidade nun punto do dominio.

Esta definición redúcese á definición ordinaria de continuidade dunha función f:\R^n\to \R^m se sobre \R^n e \R^m se considera a topoloxía inducida pola distancia euclidiana.

Coa mesma notación anterior, se  x \in X , dise que  f  é continua en  x  cando se obtén que  f^{-1}(V)  é unha veciñanza de  x , calquera que sexa a veciñanza  V  de  f(x) .

É inmediato entón comprobar que f é continua se e só se é continua en x \in X, calquera que sexa este, é dicir, cando sexa continua en cada un dos puntos do seu dominio.

## Funcións continuas sobre os números ordinais 
O termo función continua na parte da teoría de conxuntos que se refire aos números ordinais ten un sentido diferente ao referido ás funcións sobre espazos topolóxicos. Concretamente unha función *F* definida sobre a clase dos números ordinais \mathrm{On} é continua se para cada ordinal límite γ se cumpre a seguinte propiedade:
{{ecuación|
F(\gamma) = \bigcup \{F(\sigma)|\ \sigma 
||left}}

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Serge Lang (1990): *Introdución al análisis Matemático* , Wilmington Delaware.
* James R. Munkres (2002):  *Topología*, Madrid.
### Outros artigos 
* Clasificación de descontinuidades
* Lista de funcións matemáticas
* Derivación
* Continuo
* Continuidade uniforme
### Ligazóns externas 
* Visual Calculus  by Lawrence S. Husch, University of Tennessee (2001).