Magma (álxebra)

En álxebra abstracta, un **magma**, **binar**, ou **grupoide** é un tipo básico de estrutura alxébrica. En concreto, un magma consiste nun conxunto equipado cunha única operación binaria que debe ser pechado por definición. Non se impón outras propiedades.

## Definición 
Un magma é un conxunto *M* combinado cunha operación • que envía dous elementos calquera  a outro elemento, . O símbolo • é un marcador de posición xeral para unha operación correctamente definida. Para ser denominado como magma, o conxunto e a operación  deben cumprir o seguinte requisito (coñecido como pechamento do *magma*):

: Para todo *a*, *b* en *M*, o resultado da operación  tamén está en *M*.

E en notación matemática:

: a, b \in M \implies a \cdot b \in M.

Se • é en cambio unha operación parcial, entón  chámase **magma parcial**  ou, máis a miúdo, grupoide parcial.

## Morfismo dos magmas 
Un morfismo de magmas é unha función  que mapea magma  a magma  que conserva a operación binaria:

: *f* ( *x* • *y* ) = *f* ( *x* ) ∗ *f* ( *y* ).

Por exemplo, con *M* igual aos números reais positivos e * como media xeométrica, *N* igual á recta numérica real e • como media aritmética, un logaritmo *f* é un morfismo do magma (*M*, *) a (*N*, •).

: \log{\sqrt{x y} } \ = \ \frac{\log x + \log y}{2} 

Nótese que estes magmas conmutativos non son asociativos; e tampouco non teñen un elemento identidade.

## Notación 
A operación do magma pódese aplicar repetidamente, e no caso xeral, non asociativo, importa a orde, que se sinala entre parénteses. Ademais, a operación • adoita omitirse e anotarse por xustaposición:

: .

A miúdo utilízase unha escrita para reducir o número de parénteses, nas que se omiten as operacións máis internas e os pares de parénteses, substituíndose só por xustaposición: . Por exemplo, o anterior abreviase coa seguinte expresión, aínda contén parénteses:

: .

## Magma libre 
Un **magma libre** *MX* nun conxunto *X* é o magma "máis xeral posíbel" xerado por *X* (é dicir, non hai relacións nin axiomas impostos aos xeradores; ver obxecto libre). A operación binaria en *MX* fórmase envolvendo cada un dos dous operandos entre parénteses e xustapoñéndoos na mesma orde. Por exemplo:

: 
: 
: 

*MX* pódese describir como o conxunto de palabras non asociativas en *X* coas parénteses conservadas.

Tamén se pode ver, en termos familiares na informática, como o magma de árbores binarias completas con follas etiquetadas por elementos de *X.* A operación é a de operar atá unir árbores na raíz. Polo tanto, ten un papel fundamental na sintaxe.

Un magma libre ten a propiedade universal tal que se  é unha función de *X* a calquera magma *N*, entón hai unha extensión única de *f* a un morfismo de magmas  ′

: ′ : *MX* → *N*.

## Tipos de magma 
dereita|miniatura|300x300px| Estruturas alxébricas desde magmas ata grupos
Os magmas non se adoitan estudar como tal; porén, hai varios tipos diferentes de magma, dependendo dos axiomas que se requiren para a operación. Os tipos de magma comunmente estudados inclúen:

* **Cuasigrupo**: magma onde sempre é posible a división.
** **Bucle** : un cuasigrupo cun elemento de identidade.
* **Semigrupo** : magma onde a operación é asociativa .
** **Monoide**: Un semigrupo cun elemento de identidade.
* **Grupo**: Un magma con inverso, asociatividade e un elemento de identidade.

Teña en conta que as propiedades de divisibilidade e invertibilidade implican a propiedade de cancelación.

; Magmas con conmutividade
:

* **Magma conmutativo**: magma con conmutividade.
* **Monoide conmutativo**: monoide con conmutividade.
* **Grupo abeliano**: grupo con conmutividade.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
### Outros artigos 
* Grupo (matemáticas).
* Anel (matemáticas).
### Ligazóns externas 
* [magma MathWorld(https://gl.wikipedia.org/wiki/MathWorld) ].