Número hiperreal

miniatura|450x450px| Infinitesimais (ε) e infinitos (ω) na recta numérica hiperreal (1/ε = ω/1)

En matemáticas, **os números hiperreais** son unha extensión dos números reais para incluír certas clases de números infinitos e infinitesimais. Un número hiperreal x dise que é finito se, e só se, |x| para algún número enteiro n. x dise que é infinitesimal se, e só se, |x| para todos os números enteiros positivos n. Por exemplo, a lei conmutativa da suma, , vale para os hiperreais igual que para os reais; xa que **R** é un corpo pechado real, tamén o é ***R**. Posto que \sin({\pi n})=0 para todos os números enteiros *n*, tamén se ten \sin({\pi H})=0 para todos os hiperenteiros H. O principio de transferencia das ultrapotencias é unha consecuencia do teorema de Łoś de 1955.

A aplicación dos números hiperreais e en particular o principio de transferencia a problemas de análise chámase análise non estándar. Unha aplicación inmediata é a definición dos conceptos básicos da análise como a derivada e a integral de forma directa, sen pasar por complicacións lóxicas de múltiples cuantificadores. Así, a derivada de *f*(*x*) pasa a ser f'(x) = \operatorname{st}\left( \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \right) por un infinitesimal \Delta x, onde st(&#x22C5;) denota a función parte estándar, que "redondea" cada hiperreal finito ao real máis próximo. Do mesmo xeito, a integral defínese como a parte estándar dunha suma infinita adecuada.

## Principio de transferencia 
A idea do sistema hiperreal é estender os números reais **R** para formar un sistema ***R** que inclúa números infinitesimais e infinitos, mais sen mudar ningún dos axiomas elementais da álxebra. Calquera declaración da forma "para calquera número x ..." que é certo para os reais tamén é certa para os hiperreais. Por exemplo, o axioma que indica "para calquera número *x*, *x*&nbsp;+&nbsp;0&nbsp;=&nbsp;*x* " aplica para ambos os sistemas. O mesmo é certo para a cuantificación de varios números, por exemplo, "para calquera número *x* e *y*, *xy*&nbsp;=&nbsp;*yx*." Esta capacidade de trasladar enunciados dos reais aos hiperreais chámase principio de transferencia. Non obstante, as declaracións da forma "para calquera *conxunto* de números *S* ..." non poden transferirse. As únicas propiedades que difiren entre os reais e os hiperreais son aquelas que dependen da cuantificación sobre conxuntos ou outras estruturas de nivel superior, como funcións e relacións, que normalmente se constrúen a partir de conxuntos. Cada conxunto, función e relación real ten a súa extensión hiperreal natural, satisfacendo as mesmas propiedades de primeira orde. Os tipos de oracións lóxicas que obedecen a esta restrición na cuantificación denomínanse enunciados na lóxica de primeira orde.

O principio de transferencia, porén, non significa que **R** e ***R** teñan un comportamento idéntico. Por exemplo, en ***R** existe un elemento *&#x3C9;* tal que

:  1

mais non hai tal número en **R**. (Noutras palabras, ***R** non é Arquimediano.) Isto é posíbel porque a inexistencia de *&#x3C9;* non se pode expresar como un enunciado de primeira orde.

## Uso na análise 
### Diferenciación 
Un dos usos fundamentais do sistema numérico hiperreal é dar un significado preciso ao operador diferencial *d* como o emprega Leibniz para definir a derivada e a integral.

Para calquera función de valor real f, o diferencial df defínese como un mapa que envía cada par ordenado (x,dx) (onde x é real e dx é infinitesimal distinto de cero) a un infinitesimal

: df(x,dx) := \operatorname{st}\left(\frac{f(x + dx) - f(x)}{dx}\right) \ dx.

Teña en conta que a propia notación "dx" usada para denotar calquera infinitesimal é consistente coa definición anterior do operador d, pois se interpretamos x (como se fai habitualmente) como a función f(x)=x, entón para cada (x,dx) o diferencial d(x) será igual ao infinitesimal dx.

Unha función con valor real f dise que é diferenciábel nun punto x se o cociente

: \frac{df(x,dx)}{dx}=\operatorname{st}\left(\frac{f(x + dx) - f(x)}{dx}\right)

é o mesmo para todos os infinitesimais distintos de cero dx. Se é así, este cociente chámase derivada de f en x.

Por exemplo, para atopar a derivada da función f(x)=x^2, sendo dx un infinitesimal distinto de cero. Entón,
: 

### Integración 
Outro uso clave do sistema numérico hiperreal é dar un significado preciso ao signo integral ∫ usado por Leibniz para definir a integral definida.

Para calquera función infinitesimal  \ \varepsilon(x), \ pódese definir a integral \int(\varepsilon) \  como un mapa enviando calquera triplo ordenado (a,b,dx) (onde  \ a \  e  \ b \  son reais, e  \ dx \  é infinitesimal do mesmo signo que  \, b-a ) ao valor

: \int_a^b(\varepsilon,dx):=\operatorname{st}\left(\sum_{n=0}^N\varepsilon(a+n \ dx)\right),

onde  \ N \  satisfai calquera número hiperenteiro  \ \operatorname{st}(N \ dx) = b-a.

Unha función con valor real f dise entón que é integrábel nun intervalo pechado  \ [a,b] \  se para calquera infinitesimal distinto de cero  \ dx, \ a integral

: \int_a^b(f \ dx,dx)

é independente da escolla de \ dx. Se é así, esta integral chámase integral definida (ou antiderivada) de f en  \ [a,b].

Isto mostra que usando números hiperreais, a notación de Leibniz para a integral definida pode ser interpretada realmente como unha expresión alxébrica significativa (do mesmo xeito que a derivada pode ser interpretada como un cociente significativo).

## Propiedades 
Os hiperreais * **R** forman un corpo ordenado que contén os reais **R** como subcorpo. A diferenza dos reais, os hiperreais non forman un espazo métrico estándar, mais en virtude da súa orde levan unha topoloxía de orde.

A condición de ser un corpo hiperreal é máis forte que a de ser un corpo pechado real que contén estritamente **R**. Tamén é máis forte que o de ser un corpo superreal no sentido de Dales e Woodin.

## Propiedades dos números infinitesimais e infinitos 
Os elementos finitos **F** de ***R** forman un anel local, e de feito son un anel de valoración, sendo o único ideal máximo **S** os infinitesimais; o cociente **F**/**S** é isomorfo aos reais. Polo tanto, temos unha correspondencia homomorfa, st(*x*), de **F** a **R** cuxo kernel está formado polos infinitesimais e que envía cada elemento *x* de **F** a un único número real cuxa diferenza de x está en **S**; é dicir, é infinitesimal. Dito doutro xeito, todo número real *finito* non estándar está "moi preto" dun número real único, no sentido de que se *x* é un real finito non estándar, entón existe un e só un número real st(*x*) tal que *x*&nbsp;&#x2013;&nbsp;st(*x*) é infinitesimal. Este número st(*x*) chámase parte estándar de *x*, conceptualmente igual que *x* *ao número real máis próximo*. Esta operación é un homomorfismo que preserva a orde e, polo tanto, ten un bo comportamento tanto alxébricamente como teoricamente. É conservador da orde aínda que non isotónico; é dicir  x \le y implica \operatorname{st}(x) \le \operatorname{st}(y), maisx  non implica \operatorname{st}(x) .

* Temos, se *x* e *y* son finitos, 
: \operatorname{st}(x + y) = \operatorname{st}(x) + \operatorname{st}(y) .
: \operatorname{st}(x y) = \operatorname{st}(x) \operatorname{st}(y) .
* Se *x* é finito e non infinitesimal, 
: \operatorname{st}(1/x) = 1 / \operatorname{st}(x) .
* *x* é real se e só se 
: \operatorname{st}(x) = x .

O mapa st é continuo con respecto á topoloxía de orde nos hiperreais finitos; de feito é localmente constante.

## Corpos hiperreais 
Supoñamos que *X* é un espazo de Tychonoff, tamén chamado espazo T3.5, e que C(*X*) é a álxebra das funcións continuas de valores reais en *X.* Supoña que *M* é un ideal máximal en C(*X*). Entón a álxebra cociente *A* = C(*X*)/*M* é un corpo *F* totalmente ordenado que contén os reais. Se *F* contén estritamente **R**, entón *M* chámase **ideal hiperreal** (terminoloxía debida a Heitt (1948)) e *F* un **corpo hiperreal**. Teña en conta que non se está a supoñer que a cardinalidade de *F* sexa maior que **R**; de feito pode ter a mesma cardinalidade.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
### Outros artigos 
* 
* 
### Ligazóns externas 
* Crowell, *Brief Calculus*. Un texto sobre infinitesimais.
* Hermoso, *Nonstandard Analysis and the Hyperreals*. Unha introdución.
* Keisler, *Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals*.