Logaritmo complexo

[miniatura|Unha rama do logaritmo complexo. O [Ton (cor)|ton da cor úsase para amosar o argumento do logaritmo complexo. O brillo da cor  úsase para amosar o módulo do logaritmo complexo.]]
[miniatura|A parte real de log(z) é o [logaritmo natural de . A súa gráfica obtense rotando a gráfica de ln(x) ao redor do eixo OZ.]]
En matemáticas, un **logaritmo complexo** é unha xeneralización do logaritmo natural aos números complexos non nulos. O termo pode referirse a un dos seguintes conceptos, que están estreitamente relacionados:

* Un logaritmo complexo dun número complexo non nulo z, definido como calquera número complexo w tal que e^w = z. Tal número w denótase por \log z. Existen dúas solucións a este problema.

Unha é restrinxir o dominio da función exponencial a unha rexión que non conteña dous números que difiran en múltiplos enteiros de 2\pi i: isto leva naturalmente á definición das ramas de \log z, que son certas funcións que escollen un logaritmo de cada número nos seus dominios. Isto é análogo á definición de \arcsin x en [-1, 1] como a inversa da restrición de \sen \theta ao intervalo [-\pi/2, \pi/2]: hai infinitos números reais \theta con \sen \theta = x, pero elíxese arbitrariamente o que está en [-\pi/2, \pi/2].

Outra maneira de resolver a indeterminación é considerar o logaritmo como unha función cuxo dominio non é unha rexión do plano complexo, senón unha superficie de Riemann que recobre o plano complexo perforado dunha maneira infinita-a-1.
As ramas teñen a vantaxe de poderse definir como funcións de variable complexa.. Pola súa banda, a función sobre a superficie de Riemann é elegante porque reúne todas as ramas do logaritmo e non require unha elección arbitraria como parte da súa definición.

## Valor principal 
### Definición 
Para cada número complexo non nulo z, o *valor principal* \operatorname{Log} z é o logaritmo cuxa parte imaxinaria pertence ao intervalo (-\pi, \pi]. e foi mencionada posteriormente no traballo de David Jeffrey.
### Cortes de rama 
O razoamento anterior sobre a circunferencia unitaria xeralízase para mostrar que non pode existir ningunha rama de \log z nun conxunto aberto U que conteña unha curva pechada que se enrole arredor do 0. Dise entón que \log z ten un *punto de rama no 0*. Para evitar conter curvas pechadas que se enrolen arredor de 0, U adoita escollerse como o complemento dunha semirrecta ou curva no plano complexo que vaia desde 0 (incluído) ata o infinito en certa dirección. Nese caso, a curva chámase un *corte de rama*. Por exemplo, o valor principal ten un corte de rama ao longo do eixe real negativo.

Se se intenta estender a función \operatorname{L}(z) para que estea definida nun punto do corte de rama, entón será necesariamente descontinua nese punto; como moito poderá ser continua “por un lado”, como lle ocorre a \operatorname{Log} z nos números reais negativos.

### Derivada do logaritmo complexo 
Cada rama \operatorname{L}(z) de \log z nun conxunto aberto U é o inverso dunha restrición da función exponencial, concretamente a restrición á imaxe \operatorname{L}(U). Como a función exponencial é función holomorfa (é dicir, diferenciábel no sentido complexo) e ten derivada non nula, aplícase o análogo complexo do teorema da función inversa. Isto mostra que \operatorname{L}(z) é holomorfa en U e que \operatorname{L}'(z) = 1/z para todo z en U.

## O logaritmo complexo como aplicación conforme
200px|dereita|miniatura|Os círculos Re(Log *z*) = constante e os raios Im(Log&nbsp;*z*) = constante no plano complexo *z*.
miniatura|dereita|A aplicación logarítmica transforma raios en liñas horizontais e círculos en liñas verticais

Calquera aplicación holomorfa *f: U → ℂ* tal que ''f '(z) ≠ 0* para todo *z ∈ U* é unha aplicación conforme, o que significa que se dúas curvas que pasan por un punto *a* de *U* forman un ángulo *α* (no sentido de que as liñas tanxentes ás curvas en *a* forman un ángulo *α*), entón as imaxes das dúas curvas forman o *mesmo* ángulo *α* no punto *f(a)*.

Como unha rama de *log z* é holomorfa e a súa derivada *1/z* nunca se anula, defínese así unha aplicación conforme.

Por exemplo, a rama principal *w = Log z*, vista como unha aplicación desde *ℂ − ℝ_{≤ 0}* cara á banda horizontal definida por *|Im z| a e b son números complexos con a \not = 0, pódese usar o valor principal para definir a^b = e^{b \operatorname{Log} a}. Tamén se pode substituír \operatorname{Log} a por outros logaritmos de a para obter outros valores de a^b, que difiren por factores da forma e^{2\pi i nb}. A expresión a^b ten un único valor se e só se b é un número enteiro.
* Como as funcións trigonométricas poden expresarse como funcións racionais de e^{iz}, as funcións trigonométricas inversas poden expresarse en termos de logaritmos complexos.
* En enxeñaría eléctrica, a constante de propagación implica un logaritmo complexo.

## Xeneralizacións
### Logaritmos con outras bases
Do mesmo xeito que cos números reais, pódese definir para números complexos b e x:
: \log_b x = \frac{\log x}{\log b},
co único matiz de que o seu valor depende da elección dunha rama do logaritmo definida en b e x (e con \log b \not = 0). Por exemplo, usando o valor principal obtense:
: \log_i e = \frac{\operatorname{Log} e}{\operatorname{Log} i} = \frac1{\pi i/2} = -\frac{2i}{\pi}.

### Logaritmos de funcións holomorfas
Se f é unha función holomorfa nun subconxunto aberto e conexo U de \mathbb{C}, entón unha rama de \log f en U é unha función continua g sobre U tal que e^{g(z)} = f(z) para todo z en U. Dita función g é necesariamente holomorfa e cumpre g'(z) = f'(z)/f(z) para todo z en U.

Se U é un subconxunto aberto e simplemente conexo de \mathbb{C}, e f é unha función holomorfa en U que non se anula en ningún punto, entón pode construírse unha rama de \log f en U escollendo un punto inicial a en U, escollendo un logaritmo b de f(a), e definindo

:g(z) = b + \int_a^z \frac{f'(w)}{f(w)}\,dw

para cada z en U.

## Notas
## Véxase tamén
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* Calkin, Neil J.; Chan, Eunice Y. S.; Corless, Robert M. (2023). *Computational Discovery on Jupyter*. Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 978-1-61197-749-3.
* Jeffrey, D. J.; Hare, D. E. G.; Corless, Robert M. (1996). *Unwinding the branches of the Lambert W function*, *The Mathematical Scientist*, **21**, 1–7.