Produto triplo

dereita|miniatura|240x240px| Tres vectores que definen un paralelepípedo

O **produto triplo escalar** (tamén chamado **produto mixto**) defínese como o produto escalar dun dos vectores co produto vectorial dos outros dous.

### Interpretación xeométrica 
Xeométricamente, o produto triplo escalar

:  \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) 

é o volume (con signo) do paralelepípedo definido polos tres vectores indicados.

### Propiedades 
* O produto triplo escalar non muda baixo un desprazamento circular dos seus tres operandos (**a**, **b**, **c**):
*: 
  \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})=
  \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})=
  \mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})

* Trocar as posicións dos operadores sen reordenar os operandos deixa o produto triplo sen cambios:
*: 
   \mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) =
  (\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}

* O troco de dous dos tres operandos nega o produto triplo:
*: \begin{align}
 \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) 
    &= -\mathbf{a}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{b}) \\
    &= -\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{c}) \\
    &= -\mathbf{c}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{a})
\end{align}
* O produto triplo escalar tamén se pode entender como o determinante da matriz 3 x 3 que ten os tres vectores como filas ou columnas (unha matriz ten o mesmo determinante que a súa transposta):
*: \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})
= \det \begin{bmatrix}
  a_1 & a_2 & a_3 \\
  b_1 & b_2 & b_3 \\
  c_1 & c_2 & c_3 \\
\end{bmatrix}
= \det \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}
= \det \begin{bmatrix} \mathbf{a} & \mathbf{b} & \mathbf{c} \end{bmatrix} .
* Se o produto triplo escalar é igual a cero, entón os tres vectores **a**, **b** e **c** son coplanares, xa que o paralelepípedo definido por eles sería plano e non terá volume.
* Se dous vectores calquera do produto triplo escalar son iguais, entón o seu valor é cero:
*: 
  \mathbf{a} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) =
  \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{a}) =
  \mathbf{b} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{a}) = 0

* Tamén
*: 
  (\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}))\, \mathbf{a} =
  (\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times (\mathbf{a}\times \mathbf{c})

* A razón entre o produto triplo e o produto das tres normas vectoriais coñécese como seno polar:
\frac{\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})}{\|{\mathbf{a}}\| \|{\mathbf{b}}\| \|{\mathbf{c}}\|} = \operatorname{psin}(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})
que oscila entre −1 e 1.

### Como produto exterior 
dereita|miniatura| Os tres vectores que atravesan un paralelepípedo teñen un produto triplo igual ao seu volume. (No entanto, teña en conta que a dirección das frechas deste diagrama é incorrecta).
Na álxebra exterior e álxebra xeométrica o produto exterior de dous vectores é un bivector, mentres que o produto exterior de tres vectores é un trivector. Un bivector é un elemento plano orientado e un trivector é un elemento de volume orientado, do mesmo xeito que un vector é un elemento de recta orientada.

Dados os vectores **a**, **b** e **c**, o produto

: \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \mathbf{c}

é un trivector cunha magnitude igual ao produto triplo escalar, é dicir

: |\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \mathbf{c}| = |\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b} \times\mathbf{c})| ,

e é o dual de Hodge do produto triplo escalar. Como o produto exterior é asociativo non son necesarios corchetes xa que non importa cal de  ou  se calcula primeiro, aínda que a orde dos vectores no produto si importa. Xeométricamente o trivector **a** ∧ **b** ∧ **c** corresponde ao paralelepípedo abranguido por **a**, **b** e **c**, cos bivectores ,  e  coincidentes coas caras do paralelogramo do paralelepípedo.

## Produto triplo vectorial 
O **produto triplo vectorial** defínese como o produto cruzado dun vector co produto cruzado dos outros dous. Manténse a seguinte relación:

: \mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b} -(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}) \mathbf{c} .

Isto coñécese como **expansión do produto triplo**, ou **fórmula de Lagrange**, aínda que este último nome tamén se usa para outras fórmulas.

Dado que o produto vectorial é anticomutativo, esta fórmula tamén se pode escribir (ata a permutación das letras) como:

: (\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times \mathbf{c} = -\mathbf{c}\times(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = -(\mathbf{c}\cdot\mathbf{b})\mathbf{a} + (\mathbf{c}\cdot\mathbf{a})\mathbf{b}

Da fórmula de Lagrange despréndese que o produto do triplo vectorial satisfai:

: \mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) + \mathbf{b}\times (\mathbf{c}\times \mathbf{a}) + \mathbf{c} \times (\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = \mathbf{0}

que é a identidade de Jacobi para o produto vectorial. Outra fórmula útil é a seguinte:

: (\mathbf{a}\times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = \mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) - \mathbf{b} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{c})

Estas fórmulas son moi útiles para simplificar os cálculos vectoriais en física. Unha identidade relacionada con gradientes e útil no cálculo vectorial é a fórmula de Lagrange da identidade do produto vectorial :

: \boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}) = \boldsymbol{\nabla} (\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A}) - (\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{A}

Isto tamén pode considerarse como un caso especial do máis xeral operador de Laplace-de Rham  \Delta = d \delta + \delta d.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* 
* Vector
* Paralelepípedo