Teorema de Goldbach-Euler

En matemáticas, o **teorema de Goldbach-Euler** (tamén coñecido como **teorema de Goldbach**), afirma que a suma de 1/( *p* &#x2212; 1) sobre o conxunto de potencias perfectas *p*, excluíndo 1 e omitindo repeticións, converxe a 1:

: \sum_{p}^{\infty }\frac{1}{p-1}= {\frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}+ \frac{1}{15} + \frac{1}{24} + \frac{1}{26}+ \frac{1}{31}}+ \cdots = 1.

Este resultado foi publicado por primeira vez no artigo de Euler de 1737 " *Variae observations circa series infinitas*". Euler atribuíu o resultado a unha carta (agora perdida) de Goldbach.

## Proba 
A proba orixinal de Goldbach a Euler implicaba asignar unha constante á serie harmónica:  \textstyle x = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}, que é diverxente . Tal proba non se considera rigorosa polos estándares modernos. Hai unha gran semellanza entre o método de creba de potencias empregado na súa demostración e o método de factorización usado para derivar a fórmula do produto de Euler para a función zeta de Riemann.

Sexa x 

: x = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \cdots

Xa que a suma do recíproco de toda potencia de 2 é  \textstyle 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots, restando os termos con potencias de 2 de x dá

: x - 1 = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \cdots

Repetimos o proceso cos termos coas potencias de 3: \textstyle \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} + \cdots

: x - 1 - \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \cdots

Agora están ausentes da suma anterior todos os termos con potencias de 2 e 3. Continuamos a eliminar termos con potencias de 5, 6 e así sucesivamente ata que o lado dereito se esgote ata o valor de 1. Finalmente, obtemos a ecuación

: x - 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5} - \frac{1}{6} - \frac{1}{9} - \cdots = 1

na que reordenamos

: x - 1 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} + \cdots

onde os denominadores consisten en todos os enteiros positivos que son as non potencias menos 1. Restando a ecuación anterior da definición de x dado anteriormente, obtemos

: 1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}+ \frac{1}{15} + \frac{1}{24} + \frac{1}{26}+ \frac{1}{31} + \cdots

onde os denominadores consisten agora só en potencias perfectas menos 1.

Aínda que carece de rigor matemático, a demostración de Goldbach proporciona un argumento razoablemente intuitivo para a verdade do teorema. As probas rigorosas requiren un tratamento axeitado e máis coidadoso dos termos diverxentes da serie harmónica.

## Demostración rigorosa 
Esta demostración utiliza o feito de que podemos reducir o problema á suma dos recíprocos das potencias perfectas *con* repeticións, que é igual a 1.

De feito podemos notar que unha potencia perfecta son os enteiros a\geqslant2 que *non* son potencia perfecta elevados a unha potencia \geqslant2.
 
A suma solicitada é, polo tanto, igual a S=\sum_{a\in Q}\sum_{k\geqslant2}\frac1{a^k-1} onde Q  é o conxunto dos números que non son potencias perfectas.

Segundo a fórmula dunha serie xeométrica, podemos escribir S=\sum_{a\in Q}\sum_{k\geqslant2}\sum_{i\geqslant1}\frac1{a ^ {ik}}; pero o a^i onde a\geqslant2 non é unha potencia perfecta e i un enteiro \geqslant1 realmente cobre todos os \geqslant2 enteiros. Entón, S=\sum_{n\geqslant2}\sum_{k\geqslant2}\frac1{n^{k}} que é igual a 1 (ver tamén potencia perfecta):
: \sum_{n=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{n^k}
=\sum_{n=2}^{\infty} \frac {1}{n^2} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{n^k}
=\sum_{n=2}^{\infty} \frac {1}{n^2} \left( \frac{n}{n-1} \right)
=\sum_{n=2}^{\infty} \frac {1}{n(n-1)}
=\sum_{n=2}^{\infty} \left( \frac {1}{n-1} - \frac {1}{n} \right) = 1. 

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* .
* 
### Outros artigos 
* Lista de sumas de recíprocos.