Produto vectorial

dereita|Produto vectorial.
En matemática, o **produto vectorial** é unha operación binaria sobre vectores nun espazo vectorial. Pode ser denominado tamén como **produto externo** ou **produto cruz**.  O seu resultado difire do produto escalar por ser tamén un vector, ao contrario dun escalar. O seu principal uso baséase no feito de que o resultado dun produto vectorial é sempre perpendicular a ambos os vectores orixinais, así como que o módulo do vector resultante do produto é a área do paralelogramo que conformarían os vectores do produto.

## Definición 
A notación do produto vectorial entre dous vectores **a** e **b** é **a** &times; **b** (en manuscritos, algúns matemáticos escriben **a** &and; **b** para evitar a confusión coa *x*).
Podemos definilo como:

:\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{n} \left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right| sen \theta

onde &theta; é a medida do ángulo entre **a** e **b** (0&deg; &le; &theta; &le; 180&deg;) no plano definido polos dous vectores, e **n** é o vector unitario perpendicular a tanto **a** canto **b**.

O problema con esta definición é que existen *dous* vectores unitarios que son perpendiculares a **a** e **b** simultaneamente: se **n** é perpendicular, entón **&minus;n**  tamén o é.

O resultado correcto depende da **orientación** do espazo vectorial, i.e. da **quiralidade** do sistema de coordenadas (**i**, **j**, **k**). O produto vectorial **a** &times; **b** é definido de tal forma que (**a**, **b**, **a** &times; **b**) se torna *destro* se (**i**, **j**, **k**) é "a dereitas"  ou *zurdo* se (**i**, **j**, **k**) é "a esquerdas".

Unha forma fácil de calcular a dirección do vector resultante é a "regra da man dereita". Se un sistema de coordenadas é destro, basta apuntar o indicador na dirección do primeiro operando e o dedo medio na dirección do segundo operando. Desta forma, o vector resultante é dado pola dirección do polgar.

dereita|miniatura
Sexan dous vectores \mathbf a e \mathbf b no espazo vectorial \mathbb{R}^3. O produto vectorial entre \mathbf a\, e \mathbf b\, dá como resultado un novo vector, \mathbf c\,. Para definir este novo vector é necesario especificar o seu módulo e dirección:

* O **módulo** de \mathbf c\, está dado por
: c = a \, b \, \sin\theta
onde *θ* é o ángulo determinado polos vectores **a** e **b**.
* A **dirección** do vector **c**, que é ortogonal a **a** e ortogonal a **b**, está dada pola regra da man dereita.

## Computación 
### Notación de coordenadas 
[thumb|right|[Base estándar vectores **i**, **j**, **k** e compoñentes vectoriais de **a**, denotados aquí **a**x, **a**y, **a**z]]
Se (\mathbf{\color{blue}{i}}, \mathbf{\color{red}{j}}, \mathbf{\color{green}{k}}) é unha base ortonormal orientada positivamente, os vectores da base cumpren as seguintes igualdades
::\begin{alignat}{2}
  \mathbf{\color{red}{j}}&\times\mathbf{\color{blue}{i}} &&= -\mathbf{\color{green}{k}}\\
  \mathbf{\color{green}{k}}&\times\mathbf{\color{red}{j}} &&= -\mathbf{\color{blue}{i}}\\
  \mathbf{\color{blue}{i}}&\times\mathbf{\color{green}{k}} &&= -\mathbf{\color{red}{j}}
\end{alignat}
Unha regra mnemotécnica para estas fórmulas é que se poden deducir de calquera outra delas mediante unha permutación cíclica dos vectores base. Esta mnemotécnica aplícase tamén a moitas fórmulas que se dan neste artigo.

A anticonmutatividade do produto vectorial implica que
:\begin{alignat}{2}
\mathbf{\color{red}{j}}&\times\mathbf{\color{blue}{i}} &&= -\mathbf{\color{green}{k}}\\
\mathbf{\color{green}{k}}&\times\mathbf{\color{red}{j}} &&= -\mathbf{\color{blue}{i}}\\
\mathbf{\color{blue}{i}}&\times\mathbf{\color{green}{k}} &&= -\mathbf{\color{red}{j}}
\end{alignat}

A anticomutatividade do produto vectorial (e a evidente falta de independencia linear) tamén implica que
:\mathbf{\color{blue}{i}}\times\mathbf{\color{blue}{i}} = \mathbf{\color{red}{j}}\times\mathbf{\color{red}{j}} = \mathbf{\color{green}{k}}\times\mathbf{\color{green}{k}} = \mathbf{0} (o vector cero).

Estas igualdades, xunto coa distributividade e a linearidade do produto vectorial (aínda que ningunha das dúas se deduce facilmente da definición anterior), son suficientes para determinar o produto vectorial de dous vectores calquera **a** e **b**. Cada vector pódese definir como a suma de tres compoñentes ortogonais paralelos aos vectores de base estándar:
:\begin{alignat}{3} 
\mathbf{a} &= a_1\mathbf{\color{blue}{i}} &&+ a_2\mathbf{\color{red}{j}} &&+ a_3\mathbf{\color{green}{k}} \\ 
\mathbf{b} &= b_1\mathbf{\color{blue}{i}} &&+ b_2\mathbf{\color{red}{j}} &&+ b_3\mathbf{\color{green}{k}}
\end{alignat}

O seu produto vectorial  pódese expandir usando a distributividade:
: \begin{align}
 \mathbf{a}\times\mathbf{b} = {} &(a_1\mathbf{\color{blue}{i}} + a_2\mathbf{\color{red}{j}} + a_3\mathbf{\color{green}{k}}) \times (b_1\mathbf{\color{blue}{i}} + b_2\mathbf{\color{red}{j}} + b_3\mathbf{\color{green}{k}})\\
                            = {} &a_1b_1(\mathbf{\color{blue}{i}} \times \mathbf{\color{blue}{i}}) + a_1b_2(\mathbf{\color{blue}{i}} \times \mathbf{\color{red}{j}}) + a_1b_3(\mathbf{\color{blue}{i}} \times \mathbf{\color{green}{k}}) + {}\\
                                 &a_2b_1(\mathbf{\color{red}{j}} \times \mathbf{\color{blue}{i}}) + a_2b_2(\mathbf{\color{red}{j}} \times \mathbf{\color{red}{j}}) + a_2b_3(\mathbf{\color{red}{j}} \times \mathbf{\color{green}{k}}) + {}\\
                                 &a_3b_1(\mathbf{\color{green}{k}} \times \mathbf{\color{blue}{i}}) + a_3b_2(\mathbf{\color{green}{k}} \times \mathbf{\color{red}{j}}) + a_3b_3(\mathbf{\color{green}{k}} \times \mathbf{\color{green}{k}})\\
\end{align}

Isto pódese interpretar como a descomposición de  na suma de nove produtos vectoriais máis simples que involucran vectores aliñados con **i**, **j** ou **k**. Cada un destes nove produtos vecotriais opera en dous vectores que son fáciles de manexar xa que son paralelos ou ortogonais entre si. A partir desta descomposición, empregando as igualdades mencionada anteriormente e recompilando termos semellantes, obtemos:
:\begin{align}
 \mathbf{a}\times\mathbf{b} = {} &\quad\ a_1b_1\mathbf{0} + a_1b_2\mathbf{\color{green}{k}} - a_1b_3\mathbf{\color{red}{j}} \\
                                 &- a_2b_1\mathbf{\color{green}{k}} + a_2b_2\mathbf{0} + a_2b_3\mathbf{\color{blue}{i}} \\
                                 &+ a_3b_1\mathbf{\color{red}{j}}\ - a_3b_2\mathbf{\color{blue}{i}}\ + a_3b_3\mathbf{0} \\
                            = {} &(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{\color{blue}{i}} + (a_3b_1 - a_1b_3)\mathbf{\color{red}{j}} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{\color{green}{k}}\\
\end{align}

o que significa que as tres compoñentes escalares do vector resultante **s** = *s*1**i** + *s*2**j** + *s*3**k** =  son
:\begin{align}
s_1 &= a_2b_3-a_3b_2\\
s_2 &= a_3b_1-a_1b_3\\
s_3 &= a_1b_2-a_2b_1
\end{align}

Usando vector columnas, podemos representar o mesmo resultado do seguinte xeito:
:\begin{bmatrix}s_1\\s_2\\s_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{bmatrix}
### Produto vectorial usando matrices 
Sexan  \mathbf u = u_x \mathbf i + u_y \mathbf j + u_z \mathbf k  e  \mathbf v = v_x \mathbf i + v_y \mathbf j + v_z \mathbf k  dous vectores concorrentes de  \mathbb{R}^3 , o espazo afín tridimensional segundo a base anterior.

Defínese o produto  \times : \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3 , e escríbese  \mathbf u \times \mathbf v , como o vector:
{{ecuación|

\mathbf u \times \mathbf v = 
  \begin{vmatrix}u_y & u_z \\v_y & v_z \\\end{vmatrix} \mathbf i
  - \begin{vmatrix}u_x & u_z \\v_x & v_z \\\end{vmatrix} \mathbf j
  + \begin{vmatrix}u_x & u_y \\v_x & v_y \\\end{vmatrix} \mathbf k

||left}}
No que
:\begin{vmatrix}a & c \\ b & d \\ \end{vmatrix} = a \cdot d - b \cdot c , é o determinante de orde 2.
Ou usando unha notación máis compacta, mediante o desenvolvemento pola primeira fila dun determinante simbólico de orde 3 (simbólico xa que os termos da primeira fila non son escalares):
{{ecuación|

\mathbf u \times \mathbf v =
\begin{vmatrix}
\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\
u_x & u_y & u_z \\
v_x & v_y & v_z \\
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
u_y & u_z \\
v_y & v_z \\
\end{vmatrix}
\cdot \mathbf i -
\begin{vmatrix}
u_x & u_z \\
v_x & v_z \\
\end{vmatrix}
\cdot \mathbf j +
\begin{vmatrix}
u_x & u_y \\
v_x & v_y \\
\end{vmatrix}
\cdot \mathbf k

||left}}
Que dá orixe á chamada regra da man dereita ou regra do sacarrollas: xirando o primeiro vector cara ao segundo polo ángulo máis pequeno, a dirección de  \mathbf u \times \mathbf v  é o dun sacarrollas que xire na mesma dirección.

### Exemplo 
O produto vectorial dos vectores \mathbf a = (2,0,1) e \mathbf b = (1,-1,3) calcúlase do seguinte xeito: 
{{ecuación|
\mathbf a \times \mathbf b =
\begin{vmatrix}\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\2 & 0 & 1 \\1 & -1 & 3 \\\end{vmatrix} 
||left}}
Expandindo o determinante:
{{ecuación|
\mathbf a \times \mathbf b = \mathbf i \begin{vmatrix}0 & 1 \\-1 & 3 \\\end{vmatrix} - \mathbf j \begin{vmatrix}2 & 1 \\1 & 3 \\\end{vmatrix} +
\mathbf k \begin{vmatrix}2 & 0 \\1 & -1 \\\end{vmatrix} =
\mathbf i - 5 \mathbf j - 2 \mathbf k

||left}}
Pode verificarse facilmente que \mathbf a \times \mathbf b é ortogonal aos vectores \mathbf a e \mathbf b efectuando o produto escalar e verificando que este é nulo (condición de perpendicularidade de vectores).

### Usando os tensores de Levi-Civita 
* En calquera base, o produto vectorial a \times b vén dado pola fórmula tensorial E_{ijk}a^ib^j onde E_{ijk}  é o tensor covariante Levi-Civita (observamos a posición dos índices). Isto corresponde á fórmula intrínseca dada aquí.
* Nunha base ortonormal **que ten a mesma orientación que o espazo**, a \times b vén dado pola fórmula pseudotensorial  \varepsilon_{ijk}a^ib^j onde \varepsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita (que é un pseudotensor). Esa é a fórmula utilizada para a física cotiá, pero só funciona para esta elección especial de base.
* En calquera base ortonormal, a \times b vén dado pola fórmula pseudotensorial (-1)^B\varepsilon_{ijk}a^ib^j onde (-1)^B = \pm 1 indica se a base ten a mesma orientación que o espazo ou non.

A última fórmula evita ter que mudar a orientación do espazo cando invertimos unha base ortonormal.

## Como produto exterior 
[right|thumb|O produto vectorial en relación co produto exterior. En vermello están o [vector unitario ortogonal e o bivector unitario "paralelo".]]
O produto vectorial pódese definir en termos do produto exterior. Pódese xeneralizar a un produto exterior noutras dimensións que non sexan tres. Esta xeneralización permite unha interpretación xeométrica natural do produto vectorial. En álxebra exterior o produto exterior de dous vectores é un bivector. Un bivector é un elemento plano orientado, do mesmo xeito que un vector é un elemento de liña orientado. Dados dous vectores *a* e *b*, pódese ver o bivector  como o paralelogramo orientado abranguido por *a* e *b*. O produto vectorial obtense entón tomando a estrela de Hodge do bivector , mapeando 2-vectores a vectores:

: a \times b = \star (a \wedge b).

Isto pódese considerar como o elemento multidimensional orientado "perpendicular" ao bivector. Nun espazo *d-*dimensional, a estrela de Hodge toma un *k*-vector a un (*d–k*)-vector; polo tanto, só en *d =* 3 dimensións o resultado é un elemento de dimensión un (3–2 = 1), é dicir, un vector. Por exemplo, en 4 dimensións, o produto vectorial de dous vectores ten a dimensión 4–2 = 2, o que dá lugar a un bivector. Polo tanto, só en tres dimensións o produto vectorial define unha estrutura alxébrica para multiplicar vectores.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Produto escalar
* Álxebra linear
* Produto

### Ligazóns externas 
* 
* Unha dedución e interpretación xeométrica rápida dos produtos vectoriais
* Titorial Interactivo tutorial created at Syracuse University – (require Java)
* W. Kahan (2007). Cross-Products and Rotations in Euclidean 2- and 3-Space. University of California, Berkeley (PDF).
* O produto vectorial, Mathcentre (UK), 2009