Combinación linear

En matemática, particularmente en álxebra linear, unha **combinación linear** é unha expresión matemática que consiste na suma entre pares de elementos de determinados conxuntos multiplicados entre si.

En particular, a combinación linear dun sistema de vectores trátase dun vector da forma
{{Ecuación|1=
v = k_1 v_1 + k_2 v_2 + ... + k_n v_n = \sum_{i=1}^n k_i v_i
}}
cos k_i elementos dun corpo. A definición dá lugar a outras definicións e ferramentas importantes, como son os conceptos de independencia linear e base dun espazo vectorial.

## Definición 
Dados dous conxuntos calquera *A* e *B*, defínese como **combinación linear** toda expresión da forma
{{Ecuación|1=\sum_{\begin{smallmatrix}\alpha \in A \\ b\in B\end{smallmatrix}} \alpha b.}}
Resulta de especial interese a definición de combinación linear de vectores con respecto a un conxunto de escalares.

### Espazos vectoriais 
Dado un espazo vectorial *V* sobre un corpo \mathbb{K} e un conxunto \ A = \{ v_1, v_2, v_3,..., v_n \} de vectores en *V*, é dicir, A\subset V, dise que un vector v \in V é **combinación linear** de *A* se \exists k_1, \dots, k_n \in \mathbb{K} : v = \sum_{i=1}^n k_i v_i.

En termos informais, dise que v é combinación linear de vectores de A se se poden expresar como unha suma de produtos por escalar dunha cantidade finita de elementos de A. Neste caso, tamén se di que v depende linearmente dos vectores de A.

## Exemplos 
miniatura|Combinación linear de dous vectores no espazo.
# A terna ordenada (20, 12, 37) é unha combinación linear de (1, 3, 5) e (6, 2, 9): {{Ecuación|\begin{pmatrix} 20 \\ 12 \\ 37 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix}.}}
# En xeral, dado un vector *v* nun espazo vectorial, todo múltiplo seu \lambda v é combinación linear. Para o caso particular v \in \mathbb{R}^2, os seus múltiplos son vectores no plano coa mesma dirección, é dicir, paralelos.
# Dado v \in \mathbb{R}^3, dicir que *v* é combinación linear doutros dous vectores v_1, v_2 non paralelos equivale a afirmar que o tres vectores son coplanarios, é dicir, que se atopan nun mesmo plano.
# Na ecuación 2x + 3y - 2z = 0 dise que z é combinación linear de x e de y porque se pode escribir z = x + \frac{3}{2} y sen máis que despexar z. Do mesmo xeito, despexando oportunamente cada unha destas variables poderíase expresar como combinación linear das outras dúas.

## Espazo xerado 
Dado un conxunto de vectores *A* do espazo vectorial *V*, finito ou infinito, chámase **espazo xerado**, denotado como \mbox{gen}(A), ao conxunto:
{{ecuación|
\mbox{gen}(A) = \left\{v\in V | \exists a_1,\dots a_n\in \mathbb{K}, \exists v_1,\dots v_n \in A : v = \sum_{i=1}^n a_i v_i \right\}
||left}}
onde \mathbb{K} é o corpo sobre o cal está definido *V*. En termos informais, o espazo xerado a partir de *A* é o conxunto de todas as combinacións lineares que poden formarse cos vectores de *A*.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Independencia linear
* Base (álxebra)
* Sistema de coordenadas cartesianas
* Produto escalar
* Produto vectorial
* Produto mixto
* Produto tensorial
### Ligazóns externas 
* Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors, khanacademy.org.