Dominio de integridade

En matemáticas, un **dominio de integridade** é un anel conmutativo distinto de cero no que o produto de dous elementos distintos de cero é distinto de cero.   Os dominios de integridade son xeneralizacións do anel de enteiros e proporcionan un escenario natural para estudar a divisibilidade. Nun dominio de integridade, todo elemento distinto de cero *a* ten a propiedade de cancelación, é dicir, se , unha igualdade  implica .

Algúns tipos específicos de dominios de integridade danse coa seguinte cadea de inclusión de clases:

## Definición 
Un *dominio de integridade* é un anel conmutativo distinto de cero no que o produto de dous elementos calquera é distinto de cero. De forma equivalente:

* Un dominio de  integridade é un anel conmutativo distinto de cero sen divisores de cero distintos de cero.
* Un dominio de  integridade é un anel conmutativo no que o ideal cero {0} é un ideal primo.
* Un dominio de  integridade é un anel conmutativo distinto de cero para o cal cada elemento distinto de cero é cancelable baixo a multiplicación.
* Un dominio de  integridade é un anel para o cal o conxunto de elementos distintos de cero é un monoide conmutativo baixo a multiplicación (porque un monoide debe estar pechado baixo a multiplicación).
* Un dominio de  integridade é un anel conmutativo distinto de cero no que para cada elemento distinto de cero *r*, a función que mapea cada elemento *x* do anel co produto *xr* é inxectiva. Os elementos *r* con esta propiedade chámanse *regulares*, polo que é equivalente a esixir que todos os elementos do anel non nulos sexan regulares.
* Un dominio de  integridade é un anel isomorfo a un subanel dun corpo. (Dado un dominio de  integridade, pódese mergullar no seu corpo de fraccións.)

## Exemplos 
* O exemplo arquetípico é o anel \Z de tódolos enteiros.
* Todo corpo é un dominio de integridade. Por exemplo, o corpo \R de todos os números reais é un dominio de integridade. Por outra banda, cada  dominio de integridade de Artin é un corpo. En particular, todos os dominios de integridade finitos son corpos finitos (en xeral, polo teorema de Wedderburn, dominios finitos son corpos finitos). O anel de números enteiros \Z proporciona un exemplo dun dominio de integridade infinito non artiniano que non é un corpo, posuíndo secuencias infinitas descendentes de ideais como:
*: \Z \supset 2\Z \supset \cdots \supset 2^n\Z \supset 2^{n+1}\Z \supset \cdots
* Os aneis de polinomios son dominios de integridade se os coeficientes veñen dun dominio de integridade. Por exemplo, o anel \Z[x] de todos os polinomios nunha variábel con coeficientes enteiros é un dominio de integridade; así é o anel \Complex[x_1,\ldots,x_n] de todos os polinomios en *n*-variables con coeficientescomplexos.
* O anel \Z[x]/(x^2 - n) \cong \Z[\sqrt{n}] é un dominio de integridade para calquera número enteiro non cadrado n. Se n > 0, entón este anel é sempre un subanel de \R, se non, é un subanel de \Complex.
* O anel de enteiros *p*-ádicos \Z_p é un dominio de integridade.
* O anel de serie de potencias formais dun dominio de integridade é un dominio de integridade.
* Se U é un subconxunto aberto conexo do plano complexo \Complex, entón o anel \mathcal{H}(U) consistente en tódalas funcións holomorfas é un dominio de integridade. O mesmo é certo para os aneis de funcións analíticas sobre subconxuntos abertos  de variedades analíticas conexas.
* A anel local regular é un dominio de integridade. De feito, un anel local regular é un dominio de factorización única (UFD).

## Non exemplos 
Os seguintes aneis *non* son dominios de integridade.

* O anel cero (nese anel  0=1).
* O anel cociente \Z/m\Z cando *m* é un número composto. De feito, se escollemos unha factorización adecuada m = xy (onde  x e y non son iguais a 1 ou m). Temos x \not\equiv 0 \bmod{m} e y \not\equiv 0 \bmod{m} pero xy \equiv 0 \bmod{m}.
* O produto de dous aneis conmutativos diferentes de cero. Nun produto como este R \times S, temos (1,0) \cdot (0,1) = (0,0).
* O anel cociente \Z[x]/(x^2 - n^2) para calquera n \in \mathbb{Z}. As imaxes de x+n e x-n son diferentes de cero, mentres que o seu produto é 0 neste anel.
* O anel de  matrices *n* × *n* sobre calquera anel non cero cando *n* ≥ 2. Se M e N son matrices tal que a imaxe de N está contida no kernel de M, entón MN = 0. Por exemplo, isto ocorre para M = N = (\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}).
* O anel cociente k[x_1,\ldots,x_n]/(fg) para calquera corpo k e calquera polinomio non constante f,g \in k[x_1,\ldots,x_n]. As imaxes de  e  neste anel cociente son elementos diferentes de cero cuxo produto é 0. Este argumento mostra, de forma equivalente, que (fg) non é un ideal primo. A interpretación xeométrica deste resultado é que os ceros de  forman un conxunto alxébrico afín que non é irredutíbel (é dicir, non é un variedade alxébrica) en xeral. O único caso no que este conxunto alxébrico pode ser irredutíbel é cando  é a potencia dun polinomio irredutíbel, que define o mesmo conxunto alxébrico.
* O anel de funcións continuas sobre o intervalo unitario. Considere as funcións
*:  f(x) = \begin{cases} 1-2x & x \in \left [0, \tfrac{1}{2} \right ] \\ 0 & x \in \left [\tfrac{1}{2}, 1 \right ] \end{cases} \qquad g(x) = \begin{cases} 0 & x \in \left [0, \tfrac{1}{2} \right ] \\ 2x-1 & x \in \left [\tfrac{1}{2}, 1 \right ] \end{cases}

: Nigunha de f e g é cero en todas as partes, pero fg si que o é.

## Divisibilidade, elementos primos e elementos irredutíbeis 
Nesta sección, *R* é un dominio de integridade.

Dados os elementos *a* e *b* de *R*, dise que *a* *divide* *a b*, ou que *a* é un *divisor* de *b*, ou que *b* é un *múltiplo* de *a*, se existe un elemento *x* en *R* tal que  .

As *unidades* de *R* son os elementos que dividen a 1; que son precisamente os elementos invertíbeis en *R*. As unidades dividen todos os demais elementos.

Se *a* divide *a b* e *b* divide *a a*, entón *a* e *b* son **elementos asociados**. De forma equivalente, *a* e *b* son asociados se  para algunha unidade *u*.

Un *elemento irredutíbel* é unha non unidade distinta de cero que non se pode escribir como produto de dúas non unidades.

Un *p* non unitario distinto de cero é un *elemento primo* se, sempre que *p* divide un produto *ab*, entón *p* divide *a* ou *p* divide *b*. De forma equivalente, un elemento *p* é primo se e só se o ideal principal (*p*) é un ideal primo distinto de cero.

Tanto as nocións de elementos irredutíbeis como de elementos primos xeneralizan a definición ordinaria de números primos no anel \Z, se se consideran primos os primos negativos.

Todo elemento primo é irredutíbel. En xeral a inversa non é verdade: por exemplo, no anel de enteiros cadráticos \Z\left[\sqrt{-5}\right] o elemento 3 é irredutíbel (se factorizase de forma non trivial, cada un dos factores debería ter a norma 3, mais non hai elementos de norma 3 xa que a^2+5b^2=3 non ten solucións enteiras), mais non é primo (xa que 3 divide \left(2 + \sqrt{-5}\right)\left(2 - \sqrt{-5}\right) sen dividir ningún dos factores). Nun dominio de factorización única (UFD) un elemento irredutíbel é un elemento primo.

Aínda que a factorización única non se cumpre en \Z\left[\sqrt{-5}\right], si que hai unha factorización única dos ideais. Vexa o teorema de Lasker–Noether.

## Propiedades 
* Un anel conmutativo *R* é un dominio de integridade se e só se o ideal (0) de *R* é un ideal primo.
* Se *R* é un anel conmutativo e *P* é un ideal en *R*, entón o anel cociente *R/P* é un dominio de integridade se e só se *P* é un ideal primo.
* Sexa *R* un dominio de integridade. Entón os aneis polinómicos sobre *R* (en calquera número de indeterminados) son dominios de integridade. Este é o caso en particular se *R* é un corpo.
* A propiedade de cancelación cúmprese en calquera dominio de integridade: para calquera *a*, *b* e *c* nun dominio de integridade, se  e  entón . Outra forma de afirmalo é que a función  é inxectiva para calquera *a*  distinto de cero no dominio.
* A propiedade de cancelación cúmprese para os ideais en calquera dominio de integridade: se , entón *x* é cero ou .
* Un dominio de integridade é igual á intersección das súas localizacións nos ideais máximos.
* Un límite indutivo de dominios de integridade é un dominio de integridade.
* Se *A*, *B* son dominios de integridade sobre un corpo alxebraicamente pechado *k*, entón  é un dominio de integridade. Esta é unha consecuencia do nullstellensatz de Hilbert (teorema dos ceros de Hilbert), e en xeometría alxébrica, implica a afirmación de que o anel de coordenadas do produto de dúas variedades alxébricas afines sobre un corpo alxebricamente pechado é tamén un dominio de integridade.

## Corpo de fraccións 
O corpo das fraccións *K* dun dominio de integridade *R* é o conxunto de fraccións *a*/*b* con *a* e *b* en *R* e  módulo unha relación de equivalencia adecuada, equipada coas operacións habituais de suma e multiplicación.

## Xeometría alxébrica 
En xeometría alxébrica, un anel de coordenadas dun conxunto alxébrico afín é un dominio de integridade se e só se o conxunto alxébrico é unha variedade alxébrica.

De forma máis xeral, un anel conmutativo é un dominio de integradade se e só se o seu espectro é un esquema afín de integridade.

## Característica e homomorfismos 
A característica dun dominio de integridade é 0 ou un número primo.

Se *R* é un dominio integridade da característica prima *p*, entón o endomorfismo de Frobenius  é inxectivo.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

### Outros artigos 
* Norma de Dedekind–Hasse norm, a estrutura adicional necesaria para que un dominio de integridade sexa principal
* Propiedade do produto cero
### Ligazóns externas 
*