Ideal principal

En matemáticas, especificamente na teoría de aneis, un **ideal principal** é un ideal I nun anel R que é xerado por un só elemento a de R mediante a multiplicación por cada elemento de R. O termo tamén ten outro significado semellante en teoría da orde, onde se refire a un ideal (orde) nun poset P xerado por un único elemento x \in P, é dicir o conxunto de todos os elementos menores ou iguais a x en P.

O resto deste artigo só aborda o concepto da teoría de aneis.

## Definicións 
* un *ideal principal pola esquerda* R é un subconxunto de R dado por Ra = \{ra : r \in R\} para algún elemento a,
* un *ideal principal pola dereita* de R é un subconxunto de R dado por aR = \{ar : r \in R\} para algún elemento a,
* un *ideal principal bilateral* R é un subconxunto de R dado por RaR = \{r_1 a s_1 + \ldots + r_n a s_n: r_1,s_1, \ldots, r_n, s_n \in R\} para algún elemento a, é dicir, o conxunto de todas as sumas finitas de elementos da forma ras.

Se R é un anel conmutativo con identidade, entón as tres nocións anteriores son todas iguais. Nese caso, é habitual escribir o ideal xerado por a como \langle a \rangle ou (a).

## Exemplos de ideal non principal 
Non todos os ideais son principais. Por exemplo, considere o anel conmutativo \mathbb{C}[x, y] de todos os polinomios en dúas variabeis x e y, con coeficientes complexos. O ideal \langle x, y \rangle xerado por x e y, que consta de todos os polinomios en \mathbb{C}[x, y] que teñen cero como termo constante, non é principal. Para ver isto, supoña que p foron un xerador de \langle x, y \rangle. Entón x e y ambos os dous serían divisíbeis por p, que é imposíbel a non ser que p sexa unha constante distinta de cero. Pero cero é a única constante en \langle x, y \rangle, así que temos unha contradición.

No anel \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] = \{a + b\sqrt{-3}: a, b\in \mathbb{Z} \}, os números onde a + b son pares é un ideal non principal. Este ideal forma unha retícula hexagonal regular no plano complexo. Considere (a,b) = (2,0) e (1,1). Estes números son elementos deste ideal coa mesma norma (dous), mais pola mor de seren  1 e -1 as  únicas unidades do anel, non son asociados.

## Definicións relacionadas 
Un anel no que cada ideal é principal chámase *principal*, ou un *anel ideal principal*. Un *dominio de ideais principais* (PID) é un dominio de integridade no que cada ideal é principal. Calquera PID é un dominio de factorización única; a demostración normal da factorización única nos números enteiros (o chamado teorema fundamental da aritmética) cúmprese en calquera PID.

## Exemplos de ideal principal 
Os ideais principais en \mathbb{Z} son da forma \langle n \rangle = n\mathbb{Z}. De feito, \mathbb{Z} é un dominio ideal principal, e pódese mostrar como segue. Supoñamos I=\langle n_1, n_2, \ldots\rangle onde n_1\neq 0, e considere os homomorfismos sobrexectivos \mathbb{Z}/\langle n_1\rangle \rightarrow \mathbb{Z}/\langle n_1, n_2\rangle \rightarrow \mathbb{Z}/\langle n_1, n_2, n_3\rangle\rightarrow \cdots. Posto que\mathbb{Z}/\langle n_1\rangle é finito, para k suficientemente grande temos \mathbb{Z}/\langle n_1, n_2, \ldots, n_k\rangle = \mathbb{Z}/\langle n_1, n_2, \ldots, n_{k+1}\rangle = \cdots. Así I=\langle n_1, n_2, \ldots, n_k\rangle, o que implica que I sempre se xera de forma finita. Posto que o ideal \langle a,b\rangle xerado por calquera número enteiro a e b é exactamente \langle \mathop{\mathrm{gcd}}(a,b)\rangle, por indución sobre o número de xeradores dedúcese que I é principal.

No entanto, todos os aneis teñen ideais principais,  calquera ideal xerado por exactamente un elemento. Por exemplo, o ideal \langle x\rangle é un ideal principal de \mathbb{C}[x,y], e \langle \sqrt{-3} \rangle é un ideal principal de \mathbb{Z}[\sqrt{-3}]. De feito, \{0\} = \langle 0\rangle e R=\langle 1\rangle son os ideais principais de calquera anel R.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 

### Outros artigos 
* Dominio de ideais principais.
* Ideal (teoría dos aneis)
### Ligazóns externas 
* [Principal Ideals and Euclidean Domains (LibreTexts)](https://math.libretexts.org/Bookshelves/Abstract_and_Geometric_Algebra/Rings_with_Inquiry_(Janssen_and_Lindsey)/02%3A_Fields_and_Rings/2.04%3A_Principal_Ideals_and_Euclidean_Domains).