Número triangular

miniatura| Os seis primeiros números triangulares
Un **número triangular** conta os obxectos colocados en forma de triángulo equilátero. O -ésimo número triangular é o número de puntos na disposición triangular con  puntos a cada lado (ver figura), e é igual á suma dos  números naturais de 1 a . A secuencia de números triangulares, comezando co número triangular 0, é

## Fórmula 
Os números triangulares veñen dados polas seguintes fórmulas explícitas:
{{Bloque indentado|\displaystyle
\begin{align} T_n&= \sum_{k=1}^n k = 1+2+ \dotsb +n \\
& = \frac{n^2+n}{2} = \frac{n(n+1)}{2} \\
& = {n+1 \choose 2}
\end{align}|left=1.6}}
O feito de que o n o número triangular é igual n(n+1)/2 pódese ilustrar mediante unha proba visual. O exemplo T_4:
{{Bloque indentado| 2T_4 = 4(4+1) = 20  (verdes e amarelas) implica que T_4 = \frac{4(4+1)}{2} = 10  (verdes).&nbsp;&nbsp;&nbsp; }}

O número triangular  resolve o **problema do aperta de mans** de contar o número de apertas de mans se cada persoa nunha habitación con  persoas dá a man unha vez a cada persoa. Noutras palabras, a solución ao problema do apertas de mans de  persoas é . A función  é o análogo aditivo da función factorial, que son os *produtos* de números enteiros de 1 a .

## Relacións con outros números figurados 
Os números triangulares teñen unha gran variedade de relacións con outros números figurados (números que forman figuras).

Simplemente, a suma de dous números triangulares consecutivos é un número cadrado. Alxebraicamente,T_n + T_{n-1} = \left (\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}\right) + \left(\frac{\left(n-1\right)^2}{2} + \frac{n-1}{2} \right ) = \left (\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}\right) + \left(\frac{n^2}{2} - \frac{n}{2} \right ) = n^2 = (T_n - T_{n-1})^2.Hai infinitos números triangulares que tamén son números cadrados; por exemplo, 1, 36, 1225. Algúns deles pódense xerar mediante unha fórmula recursiva sinxela:S_{n+1} = 4S_n \left( 8S_n + 1\right)con S_1 = 1.

*Todos* os números triangulares cadrados atópanse a partir da recursividadeS_n = 34S_{n-1} - S_{n-2} + 2con S_0 = 0 e S_1 = 1.

Ademais, o cadrado do -ésimo número triangular é o mesmo que a suma dos cubos dos enteiros de 1 a . Isto tamén se pode expresar como \sum_{k=1}^n k^3 = \left(\sum_{k=1}^n k \right)^2.A suma dos  primeiros números triangulares é o  ésimo número tetraédrico: \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2} = \frac {n(n+1)(n+2)} {6}.A diferenza positiva de dous números triangulares é un número trapezoidal.

## Outras propiedades 
Os números triangulares corresponden ao caso de primeiro grao da fórmula de Faulhaber.

Os números triangulares alternados (1, 6, 15, 28, ...) tamén son números hexagonais.

Todo número perfecto par é triangular (así como hexagonal), dado pola fórmulaM_p 2^{p-1} = \frac{M_p (M_p + 1)}2 = T_{M_p}onde  é un primo de Mersenne. Non se coñecen números perfectos impares; polo tanto, todos os números perfectos coñecidos son triangulares.

Por exemplo, o terceiro número triangular é (3 × 2 =) 6, o sétimo é (7 × 4 =) 28, o 31 é (31 × 16 =) 496 e o 127 é (127 × 64 =) 8128.

A suma dos recíprocos de todos os números triangulares distintos de cero é \sum_{n=1}^{\infty}{1 \over {{n^2 + n} \over 2}} = 2\sum_{n=1}^{\infty}{1 \over {n^2 + n}} = 2 .Isto pódese mostrar usando a suma básica dunha **serie telescópica** (serie onde se eliminan elementos consecutivos por pares, ficando só o primeiro): \sum_{n=1}^{\infty}{1 \over {n(n+1)}} =\sum_{n=1}^{\infty} \Big( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \Big)=\sum_{n=1}^{\infty} \Big( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}- \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \cdots \Big)= 1.Outras dúas fórmulas relativas aos números triangulares sonT_{a+b} = T_a + T_b + abeT_{ab} = T_aT_b + T_{a-1}T_{b-1},En 1796, Gauss descubriu que todo número enteiro positivo é representable como unha suma de tres números triangulares (posiblemente incluíndo  = 0), escribindo no seu diario as súas famosas palabras, " ΕΥΡΗΚΑ!  ". 

O maior número triangular da forma  é 4095 (ver a ecuación de Ramanujan–Nagell ).

Wacław Franciszek Sierpiński formulou a pregunta sobre a existencia de catro números triangulares distintos en progresión xeométrica. Foi conxecturado polo matemático polaco Kazimierz Szymiczek como imposible e máis tarde foi probado por Fang e Chen en 2007. 

As fórmulas que implican expresar un número enteiro como suma de números triangulares están conectadas coas funcións theta, en particular á función theta de Ramanujan.

## Aplicacións 
Unha rede totalmente conectada de  dispositivos informáticos require a presenza de  cabos ou outras conexións.

Nun formato de torneo que utiliza unha fase de grupos round-robin, o número de partidos que hai que xogar entre  equipos é igual ao número triangular . Por exemplo, unha fase de grupos con 4 equipos require 6 partidos, e unha fase de grupos con 8 equipos require 28 partidos.

Usado tamén no problema bovino de Arquímedes.

## Raíces triangulares e probas de números triangulares 
Por analoxía coa raíz cadrada de , pódese definir a raíz triangular (positiva) de  como o número  tal que : n = \frac{\sqrt{8x+1}-1}{2}que segue inmediatamente da fórmula cadrática. Polo tanto, un número enteiro  é triangular se e só se  é un cadrado. De forma equivalente, se a raíz triangular positiva  de  é un número enteiro, entón  é o -ésimo número triangular.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Ligazóns externas 
* 
* Triangular numbers at cut-the-knot
* There exist triangular numbers that are also square at cut-the-knot
* 
* Hypertetrahedral Polytopic Roots by Rob Hubbard,