Función gamma

miniatura|325px|Función gamma no eixe real.
miniatura|Valor absoluto da función gamma no plano complexo.
En matemáticas, a **función gamma** (denotada como  \scriptstyle \Gamma(z)\,\!, onde  \scriptstyle \Gamma é a escritura en maiúscula da letra gamma do alfabeto grego) é unha aplicación que estende o concepto de factorial aos números complexos. A notación foi proposta por Adrien-Marie Legendre. Se a parte real do número complexo z é positiva, entón a integral
{{ecuación|
 \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,dt 
||left}}
converxe absolutamente; esta integral pode ser estendida a todo o plano complexo, agás aos enteiros negativos e ao cero. Se *n* é un enteiro positivo, entón

o que amosa a relación desta función co factorial. De feito, a función gamma estende o concepto de factorial a calquera valor complexo de *z*. A función gamma aparece en varias funcións de distribución de probabilidade, polo que é bastante empregada tanto en probabilidade e estatística como en combinatoria.

## Definición clásica 
miniatura|A función gamma no plano complexo.
Se a parte real do número complexo *z* é positiva (Re(*z*) > 0), entón a integral
:
\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,dt \,\!

converxe absolutamente. Empregando a integración por partes, obtense a seguinte propiedade:

:\Gamma(z+1)=z \, \Gamma(z)

Esta ecuación funcional xeneraliza a relación  n! = n (n-1)! do factorial. Pódese avaliar \Gamma(1) analiticamente:

: \Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-t} dt = \lim_{k \rightarrow \infty} \left. -e^{-t} \right |_0^k = -0 - (-1) = 1. 

Combinando estes dous resultados dedúcese que o factorial é un caso particular da función gamma:

:\Gamma(n+1) = n \, \Gamma(n) = \cdots = n! \, \Gamma(1) = n!\,

para os enteiros non negativos *n*.

A función gamma é unha función meromorfa de z\in\mathbb{C} con polos simples en z = -n\,\,(n = 0,\,1,\,2,\,3,\,\dots) e residuos  \operatorname{Res}(\Gamma(z),-n) = \frac{(-1)^{n}}{n!}. Estas propiedades poden ser empregadas para estender \Gamma(z) dende a súa definición inicial a todo o plano complexo (exceptuando os puntos nos que é singular) por continuación analítica.

## Definicións alternativas 
As seguintes definicións da función gamma mediante produtos infinitos, debidas a Euler e Weierstrass respectivamente, son vixentes en todo o plano complexo *z*, agás para valores enteiros negativos: 
:
\Gamma(z)= \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^z}{z \, (z+1)\cdots(z+n)} 
= \frac{1}{z} \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^z}{1+\frac{z}{n}}

:
\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}

onde \gamma é a constante de Euler-Mascheroni.

É sinxelo comprobar que a definición de Euler satisfai a ecuación funcional, dada arriba, como segue: sexa z\neq 0,\,-1,\,-2,\,-3,\,\dots
:
\begin{align}
\Gamma(z+1) &= \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^{z+1}}{(z+1) \; (z+2)\cdots(z+1+n)} \\
&= \lim_{n \to \infty} \left( z \; \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1) \; (z+2)\cdots(z+n)} \; \frac{n}{(z+1+n)}\right) \\
&= z \; \Gamma(z) \; \lim_{n \to \infty} \frac{n}{(z+1+n)} \\
&= z \; \Gamma(z). \\
\end{align}

Tamén se pode a seguinte representación integral:
:
\Gamma(z+1) = \int_0^\infty e^{-t^{1/z}}\,dt. \,\!

## Obtención da ecuación funcional empregando integración por partes 
Atopar \Gamma(1) é sinxelo:

\Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-x} x ^{1-1} dx = \int_0^\infty e^{-x} dx = -e^{-\infty} - (-e^0) = 0 - (-1) = 1 

Obtense logo unha fórmula para \Gamma(n + 1) como unha función de \Gamma(n):

\Gamma(n + 1) = \int_0^\infty e^{-x} x ^{n + 1 - 1} dx = \int_0^\infty e^{-x} x ^n dx

Empregando integración por partes para resolver a integral

\int_0^\infty e^{-x} x ^n dx = \left[\frac{-x^n}{e^x}\right]_0^\infty + n \int_0^\infty e^{-x} x ^{n - 1} dx

No límite inferior obtense directamente \frac{-0^n}{e^0} = \frac{0}{1} = 0. 

No infinito, empregando a regra de L'Hôpital:

\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-x^n}{e^x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-n! \cdot 1}{e^x} = 0.

Polo que se anula o primeiro termo, \left[\frac{-x^n}{e^x}\right]_0^\infty , o que nos dá o seguinte resultado:

\Gamma(n + 1) = n \int_0^\infty e^{-x} x ^{n - 1} dx

A parte dereita da ecuación é exactamente n\Gamma(n), co que se obtén unha relación de recorrencia:

:\Gamma(n + 1) = n \Gamma(n) .

Aplicando a fórmula a uns poucos valores:

:\Gamma(2) = \Gamma(1 + 1) = 1\Gamma(1) = 1! = 1\,

:\Gamma(3) = \Gamma(2 + 1) = 2\Gamma(2) = 2 \cdot 1! = 2! = 2\,

:\Gamma(4) = \Gamma(3 + 1) = 3\Gamma(3) = 3 \cdot 2! = 3! = 6\,

:\Gamma(n + 1) = n\Gamma(n) = n\cdot(n-1)! = n!

## Propiedades 
Da representación integral obtense:
{{ecuación|
\lim_{z\to 0^+}\Gamma(z)=\lim_{z\to 0^+}\frac{\Gamma(z+1)}{z}=\infty.
||left}}
Outras ecuacións funcionais importantes da función gamma son a fórmula de reflexión de Euler
{{ecuación|
 \Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\! 
||left}}
e a fórmula de duplicación
{{ecuación|
\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) =
 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z). \,\! 
}}
A fórmula de duplicación é un caso especial do teorema de multiplicación
{{ecuación|
 \Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right)
\cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz). \,\!

||left}}
Unha propiedade básica e moi útil da función gamma , que se pode obter a partir da definición mediante produtos infinitos de Euler é:
{{ecuación|
 \overline{\Gamma(z)} = \Gamma(\overline{z}) \,\! 
||left}}
Varios límites útiles para aproximacións asintóticas:
{{ecuación|
\lim_{n\to\infty} \frac{\Gamma(n+\alpha)}{\Gamma(n)n^{\alpha}} = 1, \quad
\lim_{n\to\infty} \frac{\Gamma(n-\alpha)\Gamma(n+\alpha)}{\Gamma(n-\beta)\Gamma(n+\beta)} = 1;
\qquad \alpha,\beta\in\R
||left}}

O valor máis coñecido da función gamma con argumento non enteiro é:
{{ecuación|
\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}, \,\!
||left}}
que se pode obter facendo z = 1/2 na fórmula de reflexión ou na fórmula de duplicación, empregando a relación da función gamma coa función beta dada máis abaixo con x = e = 1/2 ou facendo a substitución u = \sqrt{t} na definición integral da función gamma, co que se obtén unha integral Gaussiana. En xeral, para valores impares de *n* tense:
{{ecuación|
\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)= \sqrt{\pi}\, \frac{n!!}{2^{(n+1)/2}}&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(*n* impar)
||left}}
onde *n*!! denota o dobre factorial. As derivadas da función gamma veñen dadas pola función poligamma. Por exemplo:

A partir da representación integral da función gamma, obtense que a súa derivada *n*-ésima é:
{{ecuación|
{d^{n} \over (dx)^{n}}\,\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \ln^{n} t\,dt.
||left}}
A función gamma ten un polo de orde 1 en z = -n para todo número enteiro non negativo. O residuo en cada polo é:
{{ecuación|
\operatorname{Res}(\Gamma,-n)=\frac{(-1)^n}{n!}. \,\!
||left}}
O teorema de Bohr-Mollerup di que, entre todas as funcións que xeneralizan o factorial dos números naturais aos reais, só a función gamma é logaritmo convexa (o log-convexa), é dicir, o logaritmo natural da función gamma é unha función convexa.

O desenvolvemento en Serie de Laurent de \Gamma(z) para valores 0 \Gamma(z) \approx \frac{1}{z} -\gamma +
\left[\frac{\gamma^2}{2!}+ \frac{\zeta(2)}{2} \right]z+ 
\left[\frac{\gamma^3}{3!}+ \frac{\zeta(2)}{2}\gamma+ \frac{\zeta(3)}{3} \right]z^2+ 
\dots
||left}}
Onde \zeta(n) é a función zeta de Riemann.

## Función pi 
Gauss introduciu unha notación alternativa da función gamma denominada **función pi**, que en termos da función gamma é:

:\Pi(z) = \Gamma(z+1) = z \; \Gamma(z), \,\!

Así, a relación desta función pi co factorial é bastante máis natural que no caso da función gamma:

:\Pi(n) = n!.\!

A fórmula da reflexión toma a seguinte forma:

:\Pi(z) \; \Pi(-z) = \frac{\pi z}{\sin( \pi z)} = \frac{1}{\operatorname{sinc}(z)} \,\!

Onde sinc é a función sinc normalizada, o teorema da multiplicación escríbese así:

:
\Pi\left(\frac{z}{m}\right) \, \Pi\left(\frac{z-1}{m}\right) \cdots \Pi\left(\frac{z-m+1}{m}\right)
=
\left(\frac{(2 \pi)^m}{2 \pi m}\right)^{1/2} \, m^{-z} \, \Pi(z). \,\!

Ás veces atópase a seguinte definición

:\pi(z) = \frac{1}{\Pi(z)}, \,\!

onde \pi(z) é unha función enteira, definida para todo número complexo, pois non ten polos. A razón diso é que a función gamma e, polo tanto, a función pi, non teñen ceros.

## Relación con outras funcións 
* Na representación integral da función gamma, tanto o límite superior como o inferior da integración están fixados. A función gamma incompleta superior \gamma(a,x) e inferior \Gamma(a,x) obtéñense modificando os límites de integración superior ou inferior respectivamente.

: \Gamma(a,x) = \int_x^{\infty} t^{a-1}\,e^{-t}\,dt .\,\!

: \gamma(a,x) = \int_0^x t^{a-1}\,e^{-t}\,dt .\,\!

* A función gamma está relacionada coa función beta pola seguinte fórmula

:\Beta(x,y)=\frac{\Gamma(x) \; \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}. \,\!

* A derivada logarítmica da función gamma é a función digamma \psi^{(0)}(z). As derivadas de maior orde son as funcións poligamma \psi^{(n)}(z).

:\psi(z) =\psi^0(z) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\ln\Gamma(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}

:\psi^{(n)}(z) = \left(\frac{d}{dz}\right)^n \psi(z) = \left(\frac{d}{dz}\right)^{n+1} \log\Gamma(z)

* O análogo da función gamma sobre un corpo finito ou un anel finito son as sumas gaussianas, un tipo de suma exponencial.
* A función gamma inversa é a inversa da función gamma, que é unha función enteira.
* A función gamma aparece na definición integral da función zeta de Riemann \zeta(z):

:\zeta(z) = \frac{1}{\Gamma(z)}\int_{0}^{\infty} \frac{u^{z-1}}{e^u - 1} \; \mathrm{d}u \,\!. 

Fórmula válida só se \operatorname{Re}(z) > 1. Tamén aparece na ecuación funcional de \zeta(z):

:
\pi^{-z/2} \; \Gamma\left(\frac{z}{2}\right) \zeta(z) = \pi^{-\frac{1-z}{2}} \; \Gamma\left(\frac{1-z}{2}\right) \; \zeta(1-z).

## Valores da función gamma 
:
\begin{array}{lll}
\Gamma(-3/2) &= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} &\approx 2,363 \\
\Gamma(-1/2) &= -2\sqrt{\pi} &\approx -3,545 \\
\Gamma(1/2) &= \sqrt{\pi} &\approx 1,772 \\
\Gamma(1) &= 0! &= 1 \\
\Gamma(3/2) &= \frac {\sqrt{\pi}} {2} &\approx 0,886 \\
\Gamma(2) &= 1! &= 1 \\
\Gamma(5/2) &= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} &\approx 1,329 \\
\Gamma(3) &= 2! &= 2 \\
\Gamma(7/2) &= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} &\approx 3,323 \\
\Gamma(4) &= 3! &= 6 \\
\end{array}

## Aproximacións 
A función gamma pode calcularse numericamente con precisión arbitraria empregando a fórmula de Stirling, a aproximación de Lanczos ou a aproximación de Spouge.

Para argumentos que sexan múltiplos enteiros de 1/24, a función gamma pode ser avaliada rapidamente empregando iteracións de medias aritmético-xeométricas.

Debido a que tanto a función gamma como o factorial crecen moi rapidamente para argumentos moderadamente grandes, moitos programas de computación inclúen funcións que devolven o logaritmo da función gamma. Este crece máis lentamente, e en cálculos combinatorios é moi útil, pois pásase de multiplicar e dividir grandes valores a sumar ou restar os seus logaritmos.

## Aplicacións da función gamma 
### Cálculo fraccionario 
A n-ésima derivada de ax^b (onde n é un número natural) pode verse do seguinte xeito: 

\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(ax^{b}\right)=\left(b-n+1\right)\cdots\left(b-2\right)\left(b-1\right)bax^{b-n}=\frac{b!}{\left(b-n\right)!}ax^{b-n}

como n!=\Gamma(n+1) entón \frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(ax^{b}\right)=\frac{\Gamma\left(b+1\right)}{\Gamma\left(b-n+1\right)}ax^{b-n} onde n pode ser calquera número no que gamma estea definido ou se poida definir mediante límites.

Deste xeito pode calcularse por exemplo, a 1/2 derivada de x, de x^2 e inclusive dunha constante c=cx^0:

\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}\left(x\right)=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{\pi}}

\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}\left(x^{2}\right)=\frac{8\sqrt{x^{3}}}{3\sqrt{\pi}}

\frac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}\left(c\right)=\frac{c}{\sqrt{\pi}\sqrt{x}}

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* Murray R. Spiegel: *Transformadas de Laplace*, Edicións Schaumm.
* Makárenko, Krasnov e Kiselev: *Funcións de variable compleja, Cálculo operacional, Teoría de la estabilidad*, editorial Mir.
### Outros artigos 
* Función beta
* Función digamma
* Función gamma elíptica
* Distribución gamma
### Ligazóns externas 
* Exemplos de problemas que involucran a Función gamma en Exampleproblems.com 
* Cephes - Libraría de funcións especiais matemáticas de C e C++ 
* Fast Factorial Functions - Varios algoritmos.
* Approximation Formulas - Aproximacións.
* Avaliador da función gamma de Wolfram con precisión arbitraria.
* Volume of n-Spheres and the gamma Function en MathPages 
* Ferramenta para obter gráficas de funcións que conteñen a función gamma.
* Calculadora Función gamma