Grupo de Heisenberg

En matemáticas, o **grupo de Heisenberg** H, que recibe o nome de Werner Heisenberg, é o grupo de matrices triangulares superiores 3×3 da forma
: \begin{pmatrix}
 1 & a & c\\
 0 & 1 & b\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}
baixo a operación de multiplicación de matrices. Os elementos *a, b* e *c* poden ser tomados de calquera anel conmutativo con identidade, a miúdo o anel dos números reais (resultando no "grupo de Heisenberg continuo") ou o anel dos números enteiros (resultando no "grupo de Heisenberg discreto").

O grupo de Heisenberg continuo xorde na descrición de sistemas cuánticos unidimensionais, especialmente no contexto do teorema de Stone-von Neumann. Máis xeralmente, pódense considerar grupos de Heisenberg asociados a sistemas *n*-dimensionais, e de xeito máis xeral, a calquera espazo vectorial simpléctico.

## Caso tridimensional 
No caso tridimensional, o produto de dúas matrices de Heisenberg vén dado por
: \begin{pmatrix}
 1 & a & c\\
 0 & 1 & b\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 1 & a' & c'\\
 0 & 1 & b'\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
 1 & a+a' & c+ab'+c'\\
 0 & 1 & b+b'\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}.
Como se pode ver no termo , o grupo é non abeliano.

O elemento neutro do grupo de Heisenberg é a matriz identidade, e as inversas veñen dadas por
: \begin{pmatrix}
 1 & a & c\\
 0 & 1 & b\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}^{-1}=
\begin{pmatrix}
 1 & -a & ab-c\\
 0 & 1 & -b\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}.

O grupo é un subgrupo do grupo afín 2-dimensional Aff(2):
\begin{pmatrix}
 1 & a & c\\
 0 & 1 & b\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix} actuando sobre (\vec{x}, 1) corresponde á transformación afín \begin{pmatrix}
 1 & a\\
 0 & 1 
\end{pmatrix}{\vec x} + \begin{pmatrix}
 c\\
 b
\end{pmatrix}.

Hai varios exemplos destacados do caso tridimensional.

### Grupo de Heisenberg continuo 
Se , son números reais (no anel **R**), entón temos o **grupo de Heisenberg continuo** H3(**R**).

É un grupo de Lie real e nilpotente  de dimensión 3.

Ademais da representación como matrices reais 3×3, o grupo de Heisenberg continuo tamén ten varias representacións diferentes en termos de espazos de funcións. Polo teorema de Stone-von Neumann hai, salvo isomorfismo, unha única representación unitaria irreducible de H na que o seu centro actúa por un carácter non trivial dado. Esta representación ten varias realizacións importantes, ou modelos. No *modelo de Schrödinger*, o grupo de Heisenberg actúa sobre o espazo de funcións integrais cadradas. Na representación theta, actúa sobre o espazo de funcións holomorfas no semiplano superior; recibe este nome pola súa conexión coas funcións theta.

### Grupo de Heisenberg discreto 
[miniatura|350px|dereita|Unha porción do [grafo de Cayley do grupo de Heisenberg discreto, con xeradores *x*, *y*, *z* como no texto (a cor só é unha axuda visual)]]

Se  son enteiros (no anel **Z**), entón temos o **grupo de Heisenberg discreto** H3(**Z**). É un grupo non abeliano nilpotente. Ten dous xeradores:
: x = \begin{pmatrix}
 1 & 1 & 0 \\
 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 1
\end{pmatrix},\quad
y = \begin{pmatrix}
 1 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 1 \\
 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
e relacións
: z = xyx^{-1}y^{-1},\quad xz = zx,\quad  yz = zy,
onde
: z = \begin{pmatrix}
 1 & 0 & 1 \\
 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
é o xerador do centro de H3. (Nótese que os inversos de *x*, *y*, e *z* substitúen o 1 sobre a diagonal por −1).

Polo teorema de Bass, ten unha taxa de crecemento polinómica de orde 4.

Pódese xerar calquera elemento mediante
: \begin{pmatrix}
 1 & a & c \\
 0 & 1 & b \\
 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} = y^b z^c x^a.

### Grupo de Heisenberg módulo un primo impar *p* 
Se se toman *a*, *b*, *c* en **Z**/*p* **Z** para un primo impar *p*, entón temos o **grupo de Heisenberg módulo** ***p***. É un grupo de orde *p*3 con xeradores *x*, *y* e relacións
: z = xyx^{-1}y^{-1},\quad x^p = y^p = z^p = 1,\quad xz = zx,\quad yz = zy.

Os análogos dos grupos de Heisenberg sobre corpos finitos de orde prima impar *p* chámanse grupos extra especiais, ou máis propiamente, grupos extra especiais de expoñente *p*. Máis xeralmente, se o subgrupo derivado dun grupo *G* está contido no centro *Z* de *G*, entón a aplicación *G*/*Z* × *G*/*Z* → *Z* é un operador bilinear antisimétrico sobre grupos abelianos.

No entanto, requirir que *G*/*Z* sexa un espazo vectorial finito require que o subgrupo de Frattini de *G* estea contido no centro, e requirir que *Z* sexa un espazo vectorial unidimensional sobre **Z**/*p* **Z** require que *Z* teña orde *p*, así que se *G* non é abeliano, entón *G* é extra especial. Se *G* é extra especial pero non ten expoñente *p*, entón a construción xeral aplicada ao espazo vectorial simpléctico *G*/*Z* non produce un grupo isomorfo a *G*.

### Grupo de Heisenberg módulo 2 
O grupo de Heisenberg módulo 2 é de orde 8 e é isomorfo ao grupo diédrico D4 (as simetrías dun cadrado). Observe que se
: x = \begin{pmatrix}
 1 & 1 & 0 \\
 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 1
\end{pmatrix},\quad
y = \begin{pmatrix}
 1 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 1 \\
 0 & 0 & 1
\end{pmatrix},
entón
: xy = \begin{pmatrix}
 1 & 1 & 1 \\
 0 & 1 & 1 \\
 0 & 0 & 1
\end{pmatrix},
e
: yx = \begin{pmatrix}
 1 & 1 & 0 \\
 0 & 1 & 1 \\
 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.

Os elementos *x* e *y* corresponden a reflexións (con 45° entre elas), mentres que *xy* e *yx* corresponden a rotacións de 90°. As outras reflexións son *xyx* e *yxy*, e a rotación de 180° é *xyxy* (=&nbsp;*yxyx*).

## Álxebra de Heisenberg 
A álxebra de Lie \mathfrak h do grupo de Heisenberg H (sobre os números reais) coñécese como a álxebra de Heisenberg.  
Pódese representar usando o espazo de matrices 3×3 da forma
: \begin{pmatrix}
 0 & a & c \\
 0 & 0 & b \\
 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
con a, b, c \in \mathbb R. 

Os seguintes tres elementos forman unha base para \mathfrak h:
: 
X = \begin{pmatrix}
 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 0
\end{pmatrix},\quad
Y = \begin{pmatrix}
 0 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 1 \\
 0 & 0 & 0
\end{pmatrix},\quad
Z = \begin{pmatrix}
 0 & 0 & 1 \\
 0 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.

Estes elementos base cumpren as relacións de conmutación
: [X, Y] = Z,\quad [X, Z] = 0,\quad [Y, Z] = 0.

O nome "grupo de Heisenberg" está motivado polas relacións anteriores, que teñen a mesma forma que as relacións de conmutación canónicas na mecánica cuántica:
: [\hat x, \hat p] = i\hbar I,\quad [\hat x, i\hbar I] = 0,\quad [\hat p, i\hbar I] = 0,
onde \hat x é o operador de posición, \hat p é o operador de momento, e \hbar é a constante de Planck.

O grupo de Heisenberg  ten a propiedade especial de que o mapa exponencial é un mapa un a un e sobre entre a álxebra de Lie \mathfrak h e o grupo :
: \exp \begin{pmatrix}
 0 & a & c \\
 0 & 0 & b \\
 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
 1 & a & c + \frac{ab}2 \\
 0 & 1 & b \\
 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.

### En teoría conforme de campos 
En teoría conforme de campos, o termo álxebra de Heisenberg úsase para referirse a unha xeneralización infinita da álxebra anterior. Está estendida por elementos a_n, n \in \mathbb{Z} con relacións de conmutación
: [a_n, a_m] = \delta_{n + m, 0}.
Baixo un reescalado, isto é simplemente un número contablemente infinito de copias da álxebra anterior.

## Dimensións superiores 
Pódense definir grupos de Heisenberg máis xerais H_{2n+1} para dimensións superiores no espazo euclidiano, e de xeito máis xeral sobre espazos vectoriais simplécticos. O caso xeral máis sinxelo é o grupo de Heisenberg real de dimensión 2n + 1, para calquera enteiro n \geq 1. Como grupo de matrices, H_{2n+1} (ou H_{2n+1}(\mathbb R) para indicar que este é o grupo de Heisenberg sobre o corpo \mathbb R dos números reais) defínese como o grupo de matrices (n + 2) \times (n + 2) con entradas en \mathbb R e da forma
: \begin{bmatrix}
 1 & \mathbf a & c \\
 \mathbf 0 & I_n & \mathbf b \\
 0 & \mathbf 0 & 1
\end{bmatrix},
onde
: **a** é un vector fila de lonxitude *n*,
: **b** é un vector columna de lonxitude *n*,
: *I**n* é a matriz identidade de tamaño *n*.

### Estrutura do grupo 
Isto é de feito un grupo, como se mostra pola multiplicación:
: \begin{bmatrix}
 1 & \mathbf a & c \\
 0 & I_n & \mathbf b \\
 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
 1 & \mathbf a' & c' \\
 0 & I_n & \mathbf b' \\
 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
 1 & \mathbf a + \mathbf a' & c + c' + \mathbf a \cdot \mathbf b' \\
 0 & I_n & \mathbf b + \mathbf b' \\
 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
e
: \begin{bmatrix}
 1 & \mathbf a & c \\
 0 & I_n & \mathbf b \\
 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
 1 & -\mathbf a & -c + \mathbf a \cdot \mathbf b \\
 0 & I_n & -\mathbf b \\
 0 & 0 & 1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
 1 & 0 & 0 \\
 0 & I_n & 0 \\
 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}.

### Álxebra de Lie 
O grupo de Heisenberg é un grupo de Lie simplemente conexo cuxa álxebra de Lie consiste en matrices
: \begin{bmatrix}
 0 & \mathbf a & c \\
 0 & 0_n & \mathbf b \\
 0 & 0 & 0
\end{bmatrix},
onde
: **a** é un vector fila de lonxitude *n*, 
: **b** é un vector columna de lonxitude *n*,
: 0*n* é a matriz cero de tamaño *n*.

Se temos que e1, ..., e*n* son a base canónica de **R***n* e estabelecendo
: 
p_i = \begin{bmatrix}
 0 & \operatorname{e}_i^\mathrm{T} & 0 \\
 0 & 0_n & 0 \\
 0 & 0 & 0
\end{bmatrix},\quad
q_j = \begin{bmatrix}
 0 & 0 & 0 \\
 0 & 0_n & \operatorname{e}_j \\
 0 & 0 & 0
\end{bmatrix},\quad
z = \begin{bmatrix}
 0 & 0  & 1 \\
 0 & 0_n & 0 \\
 0 & 0 & 0
\end{bmatrix},

a álxebra de Lie asociada pódese caracterizar polas relacións de conmutación canónicas
{{NumBlk|:|
\begin{bmatrix} p_i, q_j \end{bmatrix} = \delta_{ij}z,\quad 
\begin{bmatrix} p_i, z \end{bmatrix} = 0,\quad
\begin{bmatrix}  q_j, z \end{bmatrix} = 0,|1}}
onde *p*1,&nbsp;...,&nbsp;*p**n*, *q*1,&nbsp;...,&nbsp;*q**n*, *z* son os xeradores da álxebra.

En particular, *z* é un elemento *central* da álxebra de Lie de Heisenberg. Nótese que a álxebra de Lie do grupo de Heisenberg é nilpotente.

### Mapa exponencial 
Sexa 
: u = \begin{bmatrix}
 0 & \mathbf a & c \\
 0 & 0_n & \mathbf b \\
 0 & 0 & 0
\end{bmatrix},
que cumpre u^3 = 0_{n+2}. O mapa exponencial avalíase como
: \exp(u) = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} u^k = I_{n+2} + u + \tfrac{1}{2}u^2 =
\begin{bmatrix}
 1 & \mathbf a & c + \frac{1}{2} \mathbf a \cdot \mathbf b \\
 0 & I_n & \mathbf b \\
 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}.
O mapa exponencial de calquera álxebra de Lie nilpotente é un difeomorfismo entre a álxebra de Lie e o único grupo de Lie asociado conexo e simplemente conexo.

Estas conclusións (agás as afirmacións que se refiren á dimensión e ao grupo de Lie) aplícase tamén ao substituírmos **R** por calquera anel conmutativo *A*. O grupo correspondente denótase como *H**n*(*A*).

Baixo a suposición adicional de que o primo 2 é invertíbel no anel *A*, o mapa exponencial tamén está definido, xa que se reduce a unha suma finita e ten a forma anterior (por exemplo, *A* podería ser un anel **Z**/*p*&nbsp;**Z** cun primo impar *p* ou calquera corpo de característica&nbsp;0).

## Teoría de representacións 
A teoría da representación unitaria do grupo de Heisenberg é relativamente sinxela, posteriormente xeneralizada pola teoría de Mackey, e foi a motivación para a súa introdución na física cuántica, como se discute a continuación.

Para cada número real non nulo \hbar, podemos definir unha representación unitaria irredutíbel \Pi_\hbar de H_{2n+1} que actúa sobre o espazo de Hilbert L^2(\mathbb R^n) mediante a fórmula
: \left[\Pi_\hbar \begin{pmatrix}
 1 & \mathbf a & c \\
 0 & I_n & \mathbf b \\
 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \psi\right](x) = e^{i\hbar c} e^{ib\cdot x} \psi(x + \hbar a).

Esta representación coñécese como a representación de Schrödinger. 

A motivación para esta representación é a acción dos operadores de posición e momento coa función exponencial na mecánica cuántica. O parámetro a describe traslacións no espazo de posición, o parámetro b describe translacións no espazo de momento, e o parámetro c proporciona un factor de fase global. O factor de fase é necesario para obter un grupo de operadores, xa que as translacións no espazo de posición e as translacións no espazo de momento non conmutan.

O resultado clave é o teorema de Stone-von Neumann, que afirma que toda representación unitaria irredutíbel (fortemente continua) do grupo de Heisenberg na que o centro actúa non trivialmente é equivalente a \Pi_\hbar para algún \hbar. Alternativamente, que todas son equivalentes á álxebra de Weyl (ou álxebra CCR) sobre un espazo simpléctico de dimensión 2*n*.

Dado que o grupo de Heisenberg é unha extensión central unidimensional de \mathbb R^{2n}, as súas representacións unitarias irredutíbeis pódense ver como representacións unitarias proxectivas irredutíbeis de \mathbb R^{2n}. Conceptualmente, a representación dada anteriormente constitúe o equivalente mecánico-cuántico do grupo de simetrías de translación no espazo de fase clásico, \mathbb R^{2n}. O feito de que a versión cuántica sexa só unha representación *proxectiva* de \mathbb R^{2n} suxírese xa ao nivel clásico. Os xeradores hamiltonianos das translacións no espazo de fase son as funcións de posición e momento. O espazo abranguido por estas funcións non forma unha álxebra de Lie baixo o corchete de Poisson, xa que \{x_i, p_j\} = \delta_{i,j}. Máis ben, o espazo abranguido polas funcións de posición e momento *e as constantes* forma unha álxebra de Lie baixo o corchete de Poisson. Esta álxebra de Lie é unha extensión central unidimensional da álxebra de Lie conmutativa \mathbb R^{2n}, isomorfa á álxebra de Lie do grupo de Heisenberg.

## Sobre espazos vectoriais simplécticos 
A abstracción xeral dun grupo de Heisenberg constrúese a partir de calquera espazo vectorial simpléctico.  Por exemplo, sexa (*V*, ω) un espazo vectorial simpléctico real de dimensión finita (así que ω é unha forma bilinear antisimétrica non dexenerada sobre *V*).  O grupo de Heisenberg H(*V*) sobre (*V*, *ω*) (ou simplemente *V* para abreviar) é o conxunto *V*×**R** dotado da lei de grupo
: (v, t)  \cdot \left(v', t'\right) = \left(v + v', t + t' + \frac{1}{2}\omega\left(v, v'\right)\right).

O grupo de Heisenberg é unha extensión central do grupo aditivo *V*.  Así, hai unha secuencia exacta
: 0 \to \mathbf{R} \to H(V) \to V \to 0.

Calquera espazo vectorial simpléctico admite unha base de Darboux {**e***j*, **f***k*}1 ≤ *j*,*k* ≤ *n* que cumpre *ω*(**e***j*, **f***k*) = *δ**j**k* e onde 2*n* é a dimensión de *V* (a dimensión de *V* é necesariamente par).  En termos desta base, cada vector descomponse como
: v = q^a\mathbf{e}_a + p_a\mathbf{f}^a.

Os *q**a* e *p**a* son coordenada canónicas conxugadas.

Se {**e***j*, **f***k*}1 ≤ *j*,*k* ≤ *n* é unha base de Darboux para *V*, entón sexa {*E*} unha base para **R**, e {**e***j*, **f***k*, *E*}1 ≤ *j*,*k* ≤ *n* é a base correspondente para *V*×**R**.  Un vector en H(*V*) vén dado entón por
: v = q^a\mathbf{e}_a + p_a\mathbf{f}^a + tE
e a lei de grupo convértese en
: (p, q, t)\cdot\left(p', q', t'\right) = \left(p + p', q + q', t + t' + \frac{1}{2}(pq' - p'q)\right).

Dado que a variedade subxacente do grupo de Heisenberg é un espazo linear, os vectores na álxebra de Lie pódense identificar canonicamente cos vectores no grupo.  A álxebra de Lie do grupo de Heisenberg vén dada pola relación de conmutación
: \begin{bmatrix} (v_1, t_1), (v_2, t_2) \end{bmatrix} = \omega(v_1, v_2)
ou escrita en termos da base de Darboux
: \left[\mathbf{e}_a, \mathbf{f}^b\right] = \delta_a^b
e todos os demais conmutadores son nulos.

Tamén é posíbel definir a lei de grupo dun xeito diferente pero que produce un grupo isomorfo ao que acabamos de definir. Para evitar confusións, usaremos *u* no canto de *t*, así que un vector vén dado por
: v = q^a\mathbf{e}_a + p_a\mathbf{f}^a + uE
e a lei de grupo é
: (p, q, u) \cdot \left(p', q', u'\right) = \left(p + p', q + q', u + u' + pq'\right).

Un elemento do grupo 
: v = q^a\mathbf{e}_a + p_a\mathbf{f}^a + uE 
pódese expresar entón como unha matriz
: 
\begin{bmatrix}
  1 & p   & u \\
  0 & I_n & q \\
  0 & 0   & 1
\end{bmatrix} ,
o que proporciona unha representación matricial fiel de H(*V*). O *u* nesta formulación está relacionado co *t* na nosa formulación anterior mediante u = t + \tfrac{1}{2}pq, de xeito que o valor de *t* para o produto vén dado por
: \begin{align}
      &u + u' + pq' - \frac{1}{2}\left(p + p'\right)\left(q + q'\right) \\
  ={} &t + \frac{1}{2}pq + t' + \frac{1}{2}p'q' + pq' - \frac{1}{2}\left(p + p'\right)\left(q + q'\right) \\
  ={} &t + t' + \frac{1}{2}\left(pq' - p'q\right)
\end{align},
como antes.

O isomorfismo co grupo que usa matrices triangulares superiores baséase na descomposición de *V* nunha base de Darboux, o que equivale a unha elección de isomorfismo *V* ≅ *U* ⊕ *U**. Aínda que a nova lei de grupo produce un grupo isomorfo ao dado anteriormente, o grupo con esta lei ás veces chámase **grupo de Heisenberg polarizado** como recordatorio de que esta lei de grupo depende dunha elección de base (unha escolla dun subespazo de Lagrange de *V* é unha polarización).

## Conexión coa álxebra de Weyl 
A álxebra de Lie \mathfrak{h}_n do grupo de Heisenberg describiuse anteriormente, (1), como unha álxebra de Lie de matrices. O teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt aplícase para determinar a álxebra envolvente universal U(\mathfrak{h}_n). Entre outras propiedades, a álxebra envolvente universal é unha álxebra asociativa na que \mathfrak{h}_n se mergulla inxectivamente.

Segundo o teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt, é así o espazo vectorial libre xerado polos monomios
:  z^j p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_n^{k_n} q_1^{\ell_1} q_2^{\ell_2} \cdots q_n^{\ell_n} ~,
onde os expoñentes son todos non negativos.

En consecuencia, U(\mathfrak{h}_n) consiste en polinomios reais 
:  \sum_{j, \vec{k}, \vec{\ell}} c_{j \vec{k} \vec{\ell}} \,\, z^j p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_n^{k_n} q_1^{\ell_1} q_2^{\ell_2} \cdots q_n^{\ell_n}   ~,
coas relacións de conmutación
: p_k p_\ell = p_\ell p_k, \quad q_k q_\ell = q_\ell q_k, \quad p_k q_\ell - q_\ell p_k = \delta_{k \ell} z, \quad z p_k - p_k z =0, \quad z q_k - q_k z =0~.

A álxebra U(\mathfrak{h}_n) está estreitamente relacionada coa álxebra de operadores diferenciais sobre \mathbb{R}^{n} con coeficientes polinómicos, xa que calquera operador ten unha representación única na forma
: P=\sum_{\vec{k}, \vec{\ell}} c_{\vec{k} \vec{\ell}} \,\, \partial_{x_1}^{k_1} \partial_{x_2}^{k_2} \cdots \partial_{x_n}^{k_n} x_1^{\ell_1} x_2^{\ell_2} \cdots x_n^{\ell_n}  ~.

Esta álxebra chámase álxebra de Weyl. A álxebra de Weyl *Wn* é un cociente de U(\mathfrak{h}_n) que se pode ver a partir das representacións anteriores; é dicir, mediante a aplicación
:  z^j p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_n^{k_n} q_1^{\ell_1} q_2^{\ell_2} \cdots q_n^{\ell_n} \, \mapsto \, \partial_{x_1}^{k_1} \partial_{x_2}^{k_2} \cdots \partial_{x_n}^{k_n} x_1^{\ell_1} x_2^{\ell_2} \cdots x_n^{\ell_n}~.

## Aplicacións 
### Parametrización de Weyl da mecánica cuántica 
A aplicación que levou a Hermann Weyl a unha realización explícita do grupo de Heisenberg foi a pregunta de por que a imaxe de Schrödinger e a imaxe de Heisenberg son fisicamente equivalentes. Abstractamente, a razón é o teorema de Stone-von Neumann: hai unha única representación unitaria coa acción dada do elemento central da álxebra de Lie *z*, ata unha equivalencia unitaria: os elementos non triviais da álxebra son todos equivalentes aos operadores de posición e momento habituais.

Así, a imaxe de Schrödinger e a imaxe de Heisenberg son equivalentes (só son formas diferentes de realizar esta representación esencialmente única).

### Representación theta 
O mesmo resultado de unicidade foi usado por David Mumford para os grupos de Heisenberg discretos, na súa teoría de ecuacións que definen variedades abelianas. Esta é unha gran xeneralización do enfoque usado nas funcións elípticas de Jacobi, que é o caso do grupo de Heisenberg módulo 2, de orde 8. O caso máis sinxelo é a representación theta do grupo de Heisenberg, do que o caso discreto dá a función theta.

### Análise de Fourier 
O grupo de Heisenberg tamén aparece na análise de Fourier, onde se usa nalgunhas formulacións do teorema de Stone-von Neumann. Neste caso, o grupo de Heisenberg pódese entender como actuando sobre o espazo de funcións de integrais cadradas; o resultado é unha representación dos grupos de Heisenberg ás veces chamada representación de Weyl.

## Como unha variedade subriemanniana 
miniatura|dereita|Unha animación dunha xeodésica no grupo de Heisenberg
O grupo de Heisenberg tridimensional *H*3(**R**) sobre os reais tamén se pode entender como unha variedade suave, e especificamente, un exemplo sinxelo dunha variedade subriemanniana. Dado un punto *p* = (*x*, *y*, *z*) en **R**3, defínese unha 1-forma diferencial Θ neste punto como
: \Theta_p = dz - \frac{1}{2}\left(xdy - ydx\right).

Esta 1-forma pertence ao fibrado cotanxente de **R**3; é dicir,
: \Theta_p: T_p\mathbf{R}^3 \to \mathbf{R}
é un mapa sobre o fibrado tanxente.  Sexa
: H_p = \left\{ v \in T_p\mathbf{R}^3 \mid \Theta_p(v) = 0 \right\}.

Pódese ver que *H* é un subfibrado do fibrado tanxente T**R**3.  Unha cométrica sobre *H* vén dada pola proxección de vectores no espazo bidimensional estendido por vectores nas direccións *x* e *y*.  É dicir, dados os vectores v = (v_1, v_2, v_3) e w = (w_1, w_2, w_3) en T**R**3, o produto interno vén dado por
: \langle v, w \rangle = v_1 w_1 + v_2 w_2.

A estrutura resultante converte *H* na variedade do grupo de Heisenberg. Un marco ortonormal na variedade vén dado polos campos vectoriais de Lie
: \begin{align}
  X &= \frac{\partial}{\partial x} - \frac{1}{2} y\frac{\partial}{\partial z}, \\
  Y &= \frac{\partial}{\partial y} + \frac{1}{2} x\frac{\partial}{\partial z}, \\
  Z &= \frac{\partial}{\partial z},
\end{align}
que cumpren as relacións [*X*, *Y*] = *Z* e [*X*, *Z*] = [*Y*, *Z*] = 0. Como campos vectoriais de Lie, forman unha base invariante pola esquerda para a acción do grupo.  As xeodésicas na variedade son espirais, proxectándose en círculos en dúas dimensións. É dicir, se
: \gamma(t) = (x(t), y(t), z(t))
é unha curva xeodésica, entón a curva c(t) = (x(t), y(t)) é un arco dunha circunferencia, e
: z(t) = \frac{1}{2}\int_c xdy - ydx
coa integral limitada ao plano bidimensional. É dicir, a altura da curva é proporcional á área do círculo subtendido polo arco de circunferencia, o que se deduce polo teorema de Green.

## Grupo de Heisenberg dun grupo abeliano localmente compacto 
É posible definir de forma máis xeral o grupo de Heisenberg dun grupo abeliano localmente compacto *K*, equipado cunha medida de Haar.  Tal grupo ten un dual de Pontrjagin \hat{K}, formado por todos os caracteres continuos con valores en U(1) sobre *K*, que tamén é un grupo abeliano localmente compacto se está dotado da topoloxía compacta-aberta.  O grupo de Heisenberg asociado ao grupo abeliano localmente compacto *K* é o subgrupo do grupo unitario de L^2(K) xerado por translacións de *K* e multiplicacións por elementos de \hat{K}.

En máis detalle, o espazo de Hilbert L^2(K) consiste en funcións complexas integrábeis cadradas f sobre *K*.  As translacións en *K* forman unha representación unitaria de *K* como operadores sobre L^2(K):
: (T_x f)(y) = f(x + y)
para x, y \in K.  O mesmo ocorre coas multiplicacións por caracteres:
: (M_\chi f)(y) = \chi(y)f(y)
para \chi\in\hat{K}.  Estes operadores non conmutan, e no seu lugar cumpren
: \left(T_x M_\chi T^{-1}_x M_\chi^{-1}f\right)(y) = \overline{\chi(x)}f(y)
a multiplicación por un número complexo de módulo unitario fixo.

Así, o grupo de Heisenberg H(K) asociado a *K* é un tipo de extensión central de K\times\hat{K}, mediante unha secuencia exacta de grupos:
: 1 \to U(1) \to H(K) \to K\times\hat{K} \to 0.

Os grupos de Heisenberg máis xerais descríbense mediante 2-cociclos no grupo de cohomoloxía H^2(K, U(1)).  A existencia dunha dualidade entre K e \hat{K} dá lugar a un cociclo canónico, pero xeralmente hai outros.

O grupo de Heisenberg actúa de forma irredutíbel sobre L^2(K). De feito, os caracteres continuos separan puntos así que calquera operador unitario de L^2(K) que conmute con eles é un multiplicador L^\infty. Mais conmutar con translacións implica que o multiplicador é constante.

Unha versión do teorema de Stone-von Neumann, demostrada por George Mackey, cúmprese para o grupo de Heisenberg H(K).  A transformada de Fourier é o único entrelazador entre as representacións de L^2(K) e L^2\left(\hat{K}\right).  Véxase a discusión en teorema de Stone-von Neumann#Relación coa transformada de Fourier para máis detalles.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

### Outros artigos 
* Transformada de Wigner-Weyl
* Teorema de Stone-von Neumann
* Representación proxectiva
* Conxectura de geometrización

### Ligazóns externas 
* Groupprops, The Group Properties Wiki [Unitriangular matrix group UT(3,p)](http://groupprops.subwiki.org/w/index.php?title=Unitriangular_matrix_group:UT(3,p))