Función aritmética

En teoría de números, unha **función** **aritmética**, ou **función de teoría de números**  é xeralmente calquera función *f*(*n*) cuxo dominio son os enteiros positivos e cuxo rango é un subconxunto dos números complexos. Hardy e Wright inclúen na súa definición o requisito de que unha función aritmética "expresa algunha propiedade aritmética de *n*". Hai unha clase máis grande de funcións de teoría de números que non se axustan a esta definición, por exemplo, as funcións de contaxe de primos. Este artigo ofrece ligazóns a funcións de ambas as clases.

Un exemplo de función aritmética é a función divisor cuxo valor para un número enteiro positivo *n* é igual ao número de divisores de *n*.

As funcións aritméticas adoitan ser extremadamente irregulares (ver táboa embaixo), mais algunhas delas teñen expansións en serie en termos da suma de Ramanujan.

## Funcións multiplicativas e aditivas 
Unha función aritmética "*a"* pode ser

* **completamente aditiva** se *a* (*mn*) = *a* (*m*) + *a*(*n*) para todos os números naturais *m* e *n*;
* **completamente multiplicativa** se *a* (*mn*) = *a*(*m*) *a*(*n*) para todos os números naturais *m* e *n*;

Dous números enteiros *m* e *n* chámanse coprimos se o seu máximo común divisor é 1, é dicir, se non hai ningún número primo que divida a ambos os dous.

Daquela unha función aritmética *pode ser*

* **aditiva** se *a* (*mn*) = *a*(*m*) + *a*(*n*) para todos os números naturais primos *m* e *n* ;
* **multiplicativa** se *a*(*mn*) = *a*(*m*) *a*(*n*) para todos os números naturais primos *m* e *n*.

## Notación 
Neste artigo, \sum_p f(p) e \prod_p f(p) significan que a suma ou produto está feito sobre todos os números primos: \sum_p f(p) = f(2) + f(3) + f(5) + \cdots e \prod_p f(p)= f(2)f(3)f(5)\cdots. Do mesmo xeito, \sum_{p^k} f(p^k) e \prod_{p^k} f(p^k) significa que a suma ou produto están feitos sobre todas as potencias de primos con expoñente estritamente positivo: \sum_{p^k} f(p^k) = \sum_p\sum_{k > 0} f(p^k) = f(2) + f(3) + f(4) +f(5) +f(7)+f(8)+f(9)+\cdots.

As notacións \sum_{d\mid n} f(d) e \prod_{d\mid n} f(d) significa que a suma ou o produto faise sobre todos os divisores positivos de *n*, incluíndo 1 e *n*. Por exemplo, se , entón \prod_{d\mid 12} f(d) = f(1)f(2) f(3) f(4) f(6) f(12). 

As notacións pódense combinar: \sum_{p\mid n} f(p) e \prod_{p\mid n} f(p) significa que a suma ou o produto faise sobre todos os divisores primos de *n*. Por exemplo, se *n* = 18, entón \sum_{p\mid 18} f(p) = f(2) + f(3), e do mesmo xeito \sum_{p^k\mid n} f(p^k) e \prod_{p^k\mid n} f(p^k) significan que a suma ou o produto están feitos sobre todas as potencias de primos que dividen *n*. Por exemplo, se *n* = 24, entón \prod_{p^k\mid 24} f(p^k) = f(2) f(3) f(4) f(8). 

## Ω(*n*), *ω* (*n*), *ν**p*( *n*), descomposición en potencias de primos 
O teorema fundamental da aritmética estabelece que calquera número enteiro positivo *n* pode representarse unicamente como un produto de potencias de números primos:  n = p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}  onde *p* 1 2 *k* son primos e os *aj* son enteiros positivos. 

Moitas veces é conveniente escribir isto como un produto infinito sobre todos os primos, onde todos, menos un número finito, teñen un expoñente cero. Defínese a valoración *p*-ádica '*ν*p* (*n*)*' como o expoñente da maior potencia do primo *p* que divide *n*. É dicir, se *p* é un dos *p**i* entón *ν**p* (*n*) = *a**i*, se non é cero. Logon = \prod_p p^{\nu_p(n)}.

En termos do anterior, as funcións omega de números primos ω e Ω defínense por
:\omega(n) = k, 
:\Omega(n)= a_1 + a_2  + ... + a_k .  

Para evitar a repetición, sempre que sexa posíbel as fórmulas para as funcións enumeradas neste artigo danse en termos de *n* e os correspondentes *p**i*, *a**i*, ω e Ω.

Exemplo para n = 1620 = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 5: 

v_2(1620)=2, \ v_3(1620)=4,  \ v_5(1620)=1, \ \omega(1620)=3, \Omega(1620)=7

## Funcións multiplicativas 
### σ*k*(*n*),  *d*(*n*), sumas de divisores 
'*σ*k*(*n*) (función divisor)*'  é a suma das *k*-ésimas potencias dos divisores positivos de *n*, incluíndo 1 e *n*, onde *k* é un número complexo.

'*σ1(*n*)*', é a suma dos divisores (positivos) de *n*, adoita denotarse por '*σ(*n*)** .

Dado que un número positivo para a potencia cero é 1, temos que **σ0(*n*)*' é polo tanto o número de divisores (positivos) de *n*; adoita denotarse por '''*d*(*n*)'*.

\sigma_k(n) = \prod_{i=1}^{\omega(n)} \frac{p_i^{(a_i+1)k}-1}{p_i^k-1}= \prod_{i=1}^{\omega(n)} \left(1 + p_i^k + p_i^{2k} + \cdots + p_i^{a_i k}\right).

Facendo *k* = 0 no segundo produto dá d(n) = (1 + a_{1})(1+a_{2})\cdots(1+a_{\omega(n)}).

### φ(*n*), Función totiente de Euler 
*'φ(*n*)'*, a función totiente de Euler, é o número de enteiros positivos non maiores que *n* que son coprimos con *n*.

### J*k* (*n*), Función totiente de Jordan 
*'J*k*(*n*)'*, a función totiente de Jordan, é o número de *k*-tuplas de enteiros positivos todos menores ou iguais a *n* que forman unha tupla coprima (*k* + 1) xunto con *n*. É unha xeneralización do totiente de Euler,  . J_k(n) = n^k \prod_{p\mid n} \left(1-\frac{1}{p^k}\right)
= n^k \left(\frac{p^k_1 - 1}{p^k_1}\right)\left(\frac{p^k_2 - 1}{p^k_2}\right) \cdots \left(\frac{p^k_{\omega(n)} - 1}{p^k_{\omega(n)}}\right)
.

### μ( *n* ), Función de Möbius 
*'μ(*n*)**, a función de Möbius, é importante debido á fórmula de  inversión de Möbius.

\mu(n)=\begin{cases}
(-1)^{\omega(n)}=(-1)^{\Omega(n)} &\text{se }\; \omega(n) = \Omega(n)\\
0&\text{se }\;\omega(n) \ne \Omega(n).
\end{cases}

Isto implica que μ(1) = 1. (Porque Ω(1) = ω(1) = 0.)

### \mathbf{\tau}(n), función tau de Ramanujan 
**\mathbf{\tau}(n)'*, a función tau de Ramanujan, defínese pola identidade da súa función xeradora:

\sum_{n\geq 1}\tau(n)q^n=q\prod_{n\geq 1}(1-q^n)^{24}.

É difícil dicir exactamente que "propiedade aritmética de *n* expresa"  (sería \tau(n) é (2π) −12 veces o *n*-ésimo coeficiente de Fourier na expansión q da función discriminante modular) (aparece nalgúns casos nos coeficientes da expansión de formas modulares).

### *c* *q* ( *n* ), suma de Ramanujan 
*'*c**q*(*n*)'*, a suma de Ramanujan, é a suma das potencias *n*-ésimas das raíces primitivas *q*-ésimas da unidade: c_q(n) = \sum_{\stackrel{1\le a\le q}{ \gcd(a,q)=1}} e^{2 \pi i \tfrac{a}{q} n}.

Aínda que se define como unha suma de números complexos (irracionais para a maioría dos valores de *q*), é un número enteiro. Para un valor fixo de *n* é multiplicativo en *q*:

: *'Se *q* e *r* son primos primos'*, entón c_q(n)c_r(n)=c_{qr}(n).

### *ψ* ( *n* ), función psi de Dedekind 
A función psi de Dedekind, usada na teoría das funcións modulares, defínese pola fórmula  \psi(n) = n \prod_{p|n}\left(1+\frac{1}{p}\right).

## Funcións completamente multiplicativas 
### λ(*n*), función de Liouville 
*'*λ*(*n*)'*, a función de Liouville, defínese por \lambda (n) = (-1)^{\Omega(n)}.

### *χ*(*n*), caracteres 
Todos os *'caracteres de Dirichlet *χ*(*n*)** son completamente multiplicativos. Dous caracteres teñen notacións especiais:

O **carácter principal (mod *n*)'* denótase por *χ*0(*a*)). Defínese como  \chi_0(a) = \begin{cases}
1 & \text{se } \gcd(a,n) = 1, \\
0 & \text{se } \gcd(a,n) \ne 1.
\end{cases} 

O *'carácter cadrático (mod *n*)'* denótase co símbolo de Jacobi para *n* impar (non está definido para *n* par): \left(\frac{a}{n}\right) = \left(\frac{a}{p_1}\right)^{a_1}\left(\frac{a}{p_2}\right)^{a_2}\cdots \left(\frac{a}{p_{\omega(n)}}\right)^{a_{\omega(n)}}.

Nesta fórmula (\tfrac{a}{p}) é o símbolo de Legendre, definido para todos os números enteiros *a* e todos os primos impares *p* por 
\left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases}
\;\;\,0 & \text{se } a \equiv 0 \pmod p,
\\+1 & \text{se }a \not\equiv 0\pmod p \text{ e para algun enteiro }x, \;a\equiv x^2\pmod p
\\-1 & \text{se non existe tal } x. \end{cases}

Seguindo a convención normal para o produto baleiro, \left(\frac{a}{1}\right) = 1.

## Funcións aditivas 
### *ω* (*n*), divisores primos distintos 
*'ω( *n* )'*, definido anteriormente como o número de números primos distintos que dividen *a n*, é aditiva.

## Funcións completamente aditivas 
### Ω( *n* ), divisores primos 
*'Ω(*n*)'*, definido anteriormente como o número de factores primos de *n* contados con multiplicidades, é completamente aditiva.

### *ν**p*(*n*), valoración p-ádica dun número enteiro *n* 
Para un primo fixo *p*, *'*ν**p*(*n*)'*, definida anteriormente como o expoñente da maior potencia de *p* dividindo *n'', é completamente aditiva.

### Derivada logarítmica 
\operatorname{ld}(n)=\frac{D(n)}{n} = \sum_{\stackrel{p\mid n}{p\text{ prime}}} \frac {v_p(n)} {p}, onde D(n) é a derivada aritmética.

## Primeiros 100 valores dalgunhas funcións aritméticas 
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
### Outros artigos 
* Lista de funcións matemáticas.
### Ligazóns externas 
* 
* Matthew Holden, Michael Orrison, Michael Varble Yet another Generalization of Euler's Totient Function
* Huard, Ou, Spearman, and Williams. Elementary Evaluation of Certain Convolution Sums Involving Divisor Functions 
* Dineva, Rosica, The Euler Totient, the Möbius, and the Divisor Functions 
* László  Tóth, Menon's Identity and arithmetical sums representing functions of several variables