Normal (xeometría)

alt=|miniatura| Un polígono e os seus dous vectores normais
dereita|miniatura| Unha normal a unha superficie nun punto é o mesmo que unha normal ao plano tanxente á superficie no mesmo punto.

En xeometría, unha **normal** é un obxecto (por exemplo, unha liña, un raio ou un vector) que é perpendicular a outro obxecto dado. Por exemplo, a **recta normal** a unha curva plana nun punto dado é a recta perpendicular á tanxente á curva no punto.

Un vector normal de lonxitude un chámase **vector normal unitario**. Un vector de curvatura é un vector normal cuxa lonxitude é a curvatura do obxecto. Multiplicando un vector normal por  resulta o vector oposto, que se pode usar para indicar os lados (por exemplo, interior ou exterior).

No espazo tridimensional, unha **superficie normal**, ou simplemente unha **normal**, a unha superficie no punto  é un vector perpendicular ao plano tanxente da superficie en . A palabra *normal* tamén se usa como adxectivo: unha liña *normal* a un plano, a compoñente *normal* dunha forza, o **vector normal**, etc. O concepto de normalidade xeneralízase á ortogonalidade (ángulos rectos ).

O concepto foi xeneralizado a variedades diferenciábeis de dimensión arbitraria mergulladas nun espazo euclidiano. O **espazo vectorial normal** ou **espazo normal** dunha variedade nun punto P é o conxunto de vectores ortogonais ao espazo tanxente en P. Os vectores normais son de especial interese no caso de curvas suaves e superficies suaves.

O **pé** dunha normal nun punto de interese *Q* (análogo ao pé dunha perpendicular) pódese definir no punto *P* da superficie onde o vector normal contén *Q*. A *distancia normal* dun punto *Q* a unha curva ou a unha superficie é a distancia euclidiana entre *Q* e o seu pé *P*.

## Normal de curvas no espazo 
esquerda|miniatura| Dirección normal (en vermello) a unha curva (en negro).
A dirección normal dunha curva espacial é:

:  \mathbf{N} = R \frac{\mathrm{d} \mathbf{T} }{ \mathrm{d} s } 

onde  R = \kappa^{-1} é o raio de curvatura (curvatura recíproca); \mathbf{T} é o vector tanxente, en termos da posición da curva \mathbf{r} e a lonxitude do arco s:

:  \mathbf{T} = \frac{\mathrm{d} \mathbf{r} }{ \mathrm{d} s } 

## Normal a planos e polígonos 
miniatura| Ecuación do plano en forma normal
Para un polígono convexo (como un triángulo), unha normal de superficie pódese calcular como o produto vectorial de dúas arestas (non paralelas) do polígono.

Para un plano dado pola ecuación do plano de forma xeral ax + by + cz + d = 0, o vector \mathbf n = (a, b, c) é a normal do plano.

Para un plano cuxa ecuación está dada en forma paramétrica \mathbf{r}(s,t) = \mathbf{r}_0 + s \mathbf{p} + t \mathbf{q},onde \mathbf{r}_0 é un punto do plano e \mathbf{p}, \mathbf{q} son vectores non paralelos que apuntan ao longo do plano, unha normal ao plano é un vector normal a ámbolos dous \mathbf{p} e \mathbf{q}, que se pode atopar como o produto vectorial \mathbf{n}=\mathbf{p}\times\mathbf{q}.

## Normal a superficies  xerais no espazo 3D 
miniatura| Unha superficie curva que mostra os vectores normais unitarios (frechas azuis) á superficie
Se unha superficie (posiblemente non plana) S no espazo 3D \R^3 está parametrizada por un sistema de coordenadas curvilíneas \mathbf{r}(s, t) = (x(s, t), y(s, t), z(s, t)), con s e t variables reais, entón unha normal a *S* é, por definición, unha normal a un plano tanxente, dada polo produto vectorial das derivadas parciais. \mathbf{n}=\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}.

Se unha superficie S dáse implícitamente como o conxunto de puntos (x, y, z) que satisfán F(x, y, z) = 0, entón unha normal nun punto (x, y, z) na superficie vén dada polo gradiente \mathbf{n} = \nabla F(x, y, z).xa que o gradiente en calquera punto é perpendicular ao conxunto de niveis S.

Para unha superficie S en \R^3 dada como gráfica dunha función z = f(x, y), pódese atopar unha normal cara arriba a partir da parametrización \mathbf{r}(x,y)=(x,y,f(x,y)), obtendo \mathbf{n} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y}
= \left(1,0,\tfrac{\partial f}{\partial x}\right) \times \left(0,1,\tfrac{\partial f}{\partial y}\right)
= \left(-\tfrac{\partial f}{\partial x},
-\tfrac{\partial f}{\partial y},1\right); ou máis simplemente desde a súa forma implícita F(x, y, z) = z-f(x,y) = 0, obtendo \mathbf{n} = \nabla F(x, y, z) = \left(-\tfrac{\partial f}{\partial x}, -\tfrac{\partial f}{\partial y}, 1 \right). Dado que unha superficie non ten un plano tanxente nun punto singular, non ten unha normal ben definida nese punto: por exemplo, o vértice dun cono. En xeral, é posible definir unha normal en case todas as partes para unha superficie que é unha función continua de Lipschitz.

### Orientación 
dereita|miniatura|300x300px| Un campo vectorial de normais a unha superficie
A normal a unha (hiper)superficie adoita escalarse para ter unha lonxitude unidade, mais non ten unha dirección única, xa que o seu oposto tamén é unha unidade normal. Para unha superficie que é o fronteira topolóxica dun conxunto en tres dimensións, pódese distinguir entre dúas **orientacións normais**, a **normal que apunta cara a dentro** e **a normal que apunta caara ao exterior**. Para unha superficie orientada, a normal adoita estar determinada pola regra da man dereita ou o seu análogo en dimensións superiores.

## Variedades definidas por ecuacións implícitas no espazo *n*-dimensional 
Unha **variedade diferencial** definida por ecuacións implícitas no n-espazo dimensional \R^n é o conxunto dos ceros comúns dun conxunto finito de funcións diferenciables en n variables  f_1\left(x_1, \ldots, x_n\right), \ldots, f_k\left(x_1, \ldots, x_n\right).A matriz jacobiana da variedade é a matriz k \times n cuxa i-ésima fila é o gradiente de f_i. Polo teorema da función implícita, a variedade é unha variedade na proximidade dun punto onde a matriz jacobiana ten rango k. En tal punto P, o **espazo vectorial normal** é o espazo vectorial xerado polos valores en P dos vectores de gradiente do f_i.

O **espazo normal (afín)** nun punto P da variedade é o subespazo afín que pasa por P e xerado polo espazo vectorial normal en P.

### Exemplo 
Sexa *V* a variedade definida no espazo tridimensional polas ecuacións x\,y = 0, \quad z = 0.Esta variedade é a unión do eixo x e o eixo y.

Nun punto (a, 0, 0), onde a \neq 0, as filas da matriz jacobiana son (0, 0, 1) e (0, a, 0). Así, o espazo afín normal é o plano de ecuación x = a. Do mesmo xeito, se b \neq 0, o *plano normal* en (0, b, 0) é o plano da ecuación y = b.

No punto (0, 0, 0) as filas da matriz jacobiana son (0, 0, 1) e (0, 0, 0). Así, o espazo vectorial normal e o espazo afín normal teñen dimensión 1 e o espazo afín normal é o eixo z.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
### Outros artigos 
* Compoñentes tanxencial e normal.
### Ligazóns externas 
* 
* [explanation of normal vectors](http://msdn.microsoft.com/en-us/library/bb324491(VS.85).aspx) 
* calculating a surface normal  pseudocódigo claro para calcular a normal dun triángulo ou polígono.