Contraposición

En lóxica e matemáticas, a **contraposición** refírese á inferencia de pasar dun enunciado condicional ao seu **contrapositivo** loxicamente equivalente, máis un método de demostración asociado coñecido como proba por contrapositiva. Na contrapositiva dun enunciado, o antecedente e o consecuente son invertidos e negados: a contrapositiva de  P \rightarrow Q  é, por tanto, \neg Q \rightarrow \neg P . Por exemplo, a proposición "*Todos os morcegos son mamíferos*" pode ser reescrita na súa forma condicional "*Se algo é morcego, entón é mamífero*". No final, temos que a proposición pode avaliarse mediante a súa contrapositiva "*Se algo non é mamífero, entón non é morcego*."

A contrapositiva pode ser comparada con outras tres relacións entre enunciados condicionais:

* **Inversión** (a **inversa**): \neg P \rightarrow \neg Q.

"*Se algo non é morcego, entón nón é mamífero*." Diferentemente da contrapositiva, o valor-verdade da inversa non depende de todo do valor-verdade do enunciado orixinal. A inversa, aqui, claramente non é verdadeira.

* **Reciprocidade** (a **recíproca**): Q \rightarrow P.

"*Se algo é mamífero, então é morcego*." A recíproca é, na verdade, a contrapositiva da inversa, logo, sempre posúe o mesmo valor-verdade da inversa, logo, non é necesariamente o mesmo que o enunciado orixinal.

* **Negación**: \neg (P \rightarrow Q).

"*Existe un morcego que non é mamífero*." Se a negação é verdadeira, a proposição orixinal (e, consecuentemente, a contrapositiva) é falsa. No exemplo mostrado, a negación é claramente falsa.

Note que se P \rightarrow Q é verdadeiro e somos informados de que *Q* é falsa, \neg Q, pode ser loxicamente inferido que *P* debe ser falsa, \neg P. Iso é, normalmente, chamado *principio da contrapositiva*, ou  regra de inferencia *modus tollens*.

## Explicación intuitiva 
dereita|miniatura
No diagrama de Euler que se mostra, se algo está en A, tamén debe estar en B. Polo tanto, podemos interpretar "todo A está en B" como:

: A \to B

Tamén está claro que calquera cousa que *non* estea dentro de B (a rexión azul) tampouco non *pode* estar dentro de A. Esta afirmación, que se pode expresar como:

: \neg B \to \neg A

é a contrapositiva da afirmación anterior. Polo tanto, pódese dicir que

: (A \to B) \leftrightarrow (\neg B \to \neg A).

Na práctica, esta equivalencia pódese utilizar para facilitar a proba dunha afirmación.

## Probas 
### Proba simple por definición de condicional 
Na lóxica de primeira orde, o condicional defínese como:

: A \to B \, \leftrightarrow \, \neg A \lor B

que se pode facer equivalente ao seu contrapositivo, como segue:

: 
\begin{align}
\neg A \lor B \,& \, \leftrightarrow B \lor \neg A \\ \, & \, \leftrightarrow \neg B \to \neg A
\end{align}

### Proba simple por contradición 
Sexa:

: (A \to B)\land \neg B

Dáse que, se A é verdade, entón B é verdade, e tamén se dá que B non é verdade. Podemos logo demostrar por contradición que A non debe ser verdadeira. Pois se A fose verdadeira, entón B tería que ser tamén verdadeira (por Modus Ponens). Porén, dáse que B non é verdade, polo que temos unha contradición. Polo tanto, A non é verdadeira (supoñendo que estamos ante afirmacións bivalentes que son verdadeiras ou falsas):

: (A \to B) \to (\neg B \to \neg A)

Podemos aplicar o mesmo proceso ao revés, comezando cos supostos de que:

: (\neg B \to \neg A)\land A

Aquí, tamén sabemos que B é verdadeira ou non. Se B non é verdade, entón A tampouco é verdade. Non obstante, dáse que A é verdade, polo que a suposición de que B non é verdade leva a unha contradición, o que significa que non é o caso de que B non sexa verdade. Polo tanto, B debe ser verdadeira:

: (\neg B \to \neg A) \to (A \to B)

Combinando os dous enunciados probados xuntos, obtemos a buscada equivalencia lóxica entre unha condición e a súa contrapositiva:

: (A \to B) \equiv (\neg B \to \neg A)

## Comparacións 
### Exemplo 
Considere a afirmación "Todo obxecto vermello ten cor. Pode expresarse, de forma equivalente, como "Se un obxecto é vermello, daquela ese obxecto ten cor."

 A **contrapositiva** é "Se un obxecto non ten cor, entón ese obxecto non é vermello". Iso segue loxicamente de nosa afirmación inicial e, así como a orixinal, é, evidentemente, verdadeira.

 A **inversa** é "Se um objeto non é vermello, entón non ten cor. Novamente, un obxecto que é azul non é vermello, e aínda así ten cor. Logo, nese caso, a inversión torna a afirmación falsa.

 A **recíproca** é "Se un obxecto ten cor, entón é vermello. Os obxectos poden ter outras cores, obviamente, logo, a recíproca de nosa afirmación é falsa.

 A **negación** é "Existe algún obxecto vermello que non ten propiedade de cor. Se iso fose verdade, entón tanto a recíproca como a inversa deberían ser verdadeiras só exactamente nese caso no que o vermello non sexa unha cor. Mais o vermello é unha cor e por tanto esa afirmación é falsa.

Noutras palabras, a contrapositiva é loxicamente equivalente a un dato condicional, aínda que non sexa válida para bicondicionais ("Se e somente se").

### Veracidade 
* Se unha afirmación é verdadeira, entón a súa contrapositiva é verdade (e viceversa).
* Se unha afirmación é falsa, entón a súacontrapositiva é falsa (e viceversa).
* Se a inversa dunha afirmación é verdadeira, entón a súa inversa é verdadeira (e viceversa).
* Se a inversa dunha afirmación é falsa, entón a súa inversa é falsa (e viceversa).
* Se a negación dunha afirmación é falsa, entón a afirmación é verdadeira (e viceversa).
* Se unha afirmación (ou a súa contrapositiva) e a inversa (ou a inversa) son verdadeiras ou falsas, entón coñécese como bicondicional lóxico.

## Proba por contrapositiva 
Dado que a **contrapositiva** dun enunciado sempre ten o mesmo valor de verdade (verdade ou falsidade) que o propio enunciado, pode ser unha poderosa ferramenta para demostrar teoremas matemáticos (especialmente se a verdade da contrapositiva é máis fácil de establecer que a verdade do enunciado en si). Unha **proba por contrapositiva** é unha proba directa da contrapositiva dunha afirmación. Porén, métodos indirectos como a proba por contradición tamén se poden usar con contraposición, como, por exemplo, na demostración da irracionalidade da raíz cadrada de 2. Pola definición dun número racional, pódese afirmar que "*Se \sqrt{2} é racional, entón pódese expresar como unha fracción irredutible*". Esta afirmación é **certa** porque é unha reformulación dunha definición. O contrapositivo desta afirmación é "*Se \sqrt{2} non se pode expresar como unha fracción irredutible, entón non é racional*". Esta contrapositiva, como a afirmación orixinal, tamén é certa. Polo tanto, se se pode demostrar que \sqrt{2} non se pode expresar como unha fracción irredutible, logo debe ser o caso de que \sqrt{2} non é un número racional. Isto último pódese probar por contradición.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Equivalencia lóxica.
* Proba por contradición.