Implicación recíproca

En lóxica e matemáticas, a **implicación recíproca** ou **inversa** dun enunciado categórico ou implicacional é o resultado de inverter os seus dous enunciados constituíntes. Para a implicación *P* → *Q*, a recíproca é *Q* → *P*. Para a proposición categórica *Todos os S son P*, a recíproca é *Todos os P son S*. De calquera xeito, a verdade do recíproco é xeralmente independente da afirmación orixinal.

## Implicación recíproca 
Sexa *S* un enunciado da forma *P implica Q* (*P* → *Q*). Entón a *recíproca* de *S* é a afirmación *Q implica P* (*Q* → *P*). En xeral, a verdade de *S* non di nada sobre a verdade da súa *recíproca*, a non ser que o antecedente *P* e o consecuente *Q* sexan loxicamente equivalentes.

Por exemplo, considere a afirmación verdadeira "Se son humano, entón son mortal". A inversa desa afirmación é "Se son mortal, entón son un humano", o que non é necesariamente certo (mortal tamén pode ser unha cobra ou un paporrubio).

No entanto, a recíproca dun enunciado con termos mutuamente inclusivos segue sendo certa, dada a verdade da proposición orixinal. Isto equivale a dicir que a recíproca dunha definición é verdade. Así, a afirmación "Se son un triángulo, entón son un polígono de tres lados" é loxicamente equivalente a "Se son un polígono de tres lados, entón son un triángulo", porque a definición de "triángulo" é " polígono de tres lados".

Unha táboa de verdade deixa claro que *S* e a recíproca de *S* non son loxicamente equivalentes, a non ser que ambos os termos se impliquen entre si:

Pasar dunha afirmación á súa recíproca é a falacia de afirmar o consecuente. Porén, se o enunciado *S* e o seu recíproco son equivalentes (é dicir, *P* é verdadeiro se e só se *Q* tamén é verdade), entón será válido afirmar a conclusión (lóxica).

A implicación recíproca é loxicamente equivalente á disxunción de P e \neg Q

### Recíproca dun teorema 
A recíproca dun teorema pode ser verdadeira ou non, e aínda que sexa verdade, a proba pode ser difícil. Por exemplo, o teorema dos catro vértices demostrouse en 1912, mais a súa recíproca só se demostrou en 1997.

A inversa de "Dado P, se Q entón R *"* será "Dado P, se R entón Q*"* . Por exemplo, o teorema de Pitágoras pódese enunciar como:*Dado* un triángulo con lados de lonxitude *a*, *b*, e *c*, *se* o ángulo oposto ao lado da lonxitude *c* é un ángulo recto, *entón* a^2 + b^2 = c^2**.**A recíproca, que tamén aparece nos *Elementos* de Euclides (Libro I, Proposición 48), pódese afirmar como:*Dado* un triángulo con lados de lonxitude *a*, *b*, e *c*, *se* a^2 + b^2 = c^2, *entón* o ángulo oposto ao lado da lonxitude *c* é un ángulo recto.

### Recíproca dunha relación 
miniatura| Recíproca dunha relación matemática sinxela
Se R é unha relación binaria con R \subseteq A \times B, entón a relación inversa R^T = \{ (b,a) : (a,b) \in R \} tamén se chama *transposta*.

## Notación 
A recíproca da implicación *P* → *Q* pódese escribir *Q* → *P*, P \leftarrow Q, e tamén se pode denotar P \subset Q.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Aristotle. *Organon*.
* Copi, Irving. *Introduction to Logic*.  MacMillan, 1953.
* Copi, Irving. *Symbolic Logic*.  MacMillan, 1979, fifth edition.
* Stebbing, Susan. *A Modern Introduction to Logic*. Cromwell Company, 1931.
### Outros artigos 
* Conectiva lóxica.
* Táboa de verdade.
* Teoría da orde.
### Ligazóns externas 
* forall x: Calgary An Introduction to Formal Logic.