Corpo de números alxébricos

En matemáticas, un **corpo de números alxébricos** (ou simplemente **corpo numérico**) *F* é unha extensión de corpos finita (e tamén alxébrica) dos números racionais ℚ. Así pois, *F* é un corpo que contén ℚ e ten dimensión finita cando se considera como un espazo vectorial sobre ℚ.

O estudo dos corpos de números alxébricos, e, máis xeralmente, das extensións alxébricas dos números racionais, é o tema central da teoría de números alxébricos.

## Definición 
### Cuestións previas 
A noción de corpo dos números alxébricos baséase no concepto de corpo. Un exemplo moi común de corpo é o conxunto dos números racionais, comunmente denotados por ℚ, xunto coas súas operacións usuais.

Outra noción necesaria para definir os corpos de números alxébricos é o de espazo vectorial. Na medida necesaria, os espazos vectoriais poden ser considerados como secuencias (ou tuplas) 
: (x1, x2, ...) 
coas súas partes constituíntes que son elementos dun corpo fixado, como pode ser o corpo ℚ. Calquera par destas secuencias pode ser sumada mediante a suma das partes constituíntes unha a unha. Ademais, calquera destas secuencias pode ser multiplicada por un elemento *c* dun corpo fixado. Estas dúas operacións son coñecidas como suma de vectores e multiplicación escalar satisfacendo un número de propiedades que serven para definir os espazos vectoriais abstractamente. Os espazos vectoriais tamén poden ser de «dimensión infinita», ou o que é o mesmo, que as secuencias constituíntes destes espazos vectoriais teñen lonxitude infinita. Con todo, se o espazo vectorial consiste nun grupo de *secuencias finitas*
: (x1, x2, ..., xn),
o espazo vectorial dise que ten dimensión finita *n*.

### Definición 
Un corpo de números alxébricos é por definición un grao finito de extensión de corpos do corpo dos números racionais. Este grao de extensión de ℚ chámase simplemente grao.

## Exemplos 
* O menor e máis básico corpo numérico é o corpo **Q** dos números racionais. Moitas propiedades dos corpos numéricos xerais, como a factorización única, modélanse con base nas propiedades de **Q**.
* Os racionais Gaussianos, denotados por **Q**(*i*) (lida como "**Q** adxunto *i*"), forman o primeiro exemplo non trivial dun corpo numérico. Os seus elementos son expresións da forma
:: *a*+*bi*
:en que *a* e *b* son ambos números racionais e *i* é a unidade imaxinaria. Estas expresións poden ser sumadas, subtraídas e multiplicadas de acordo coas regras usuais da aritmética e simplificadas usando a identidade
:: *i*2 = -1.
: Explicitamente,
:: (*a* + *bi*) + (*c* + *di*) = (*a* + *c*) + (*b* + *d*)*i*,
:: (*a* + *bi*) (*c* + *di*) = (*ac* − *bd*) + (*ad* + *bc*)*i*.
: Os racionais Gaussianos non nulos son invertibles, o que pode ser visto a partir da identidade
::(a+bi)\left(\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i\right)=\frac{(a+bi)(a-bi)}{a^2+b^2}=1.
: Séguese que os racionais Gaussianos forman un corpo numérico que é bidimensional como espazo vectorial sobre **Q**.
* Os números reais, **R**, e os números complexos, **C**, son corpos que teñen dimensión infinita como **Q**-espazos vectoriais, polo tanto, non son corpos numéricos. Iso provén da non numerabilidade de **R** e **C** como conxuntos, xa que todo corpo numérico é necesariamente contable.
* O conxunto **Q**2 de pares ordenados de números racionais, coa adición e a multiplicación coordenada a coordenada é unha álxebra conmutativa bidimensional sobre **Q**. No entanto, non é un corpo, pois posúe divisores de cero:
: (1, 0) · (0, 1) = (1 · 0, 0 · 1) = (0, 0).

## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Extensión de Kummer
### Bibliografía 
* 
* Serge Lang, *Algebraic Number Theory*, second edition, Springer, 2000
* Richard A. Mollin, *Algebraic Number Theory*, CRC, 1999
* Ram Murty, *Problems in Algebraic Number Theory*, Second Edition, Springer, 2005
* 
* 
* 
* Weil, André, *Basic Number Theory*, third edition, Springer, 1995