Límite dunha función

O **límite dunha función** é un concepto fundamental do cálculo diferencial matemático, un caso de límite aplicado ás funcións.

Informalmente, o feito de que unha función *f* teña un límite *L* nun punto *c* significa que o valor de *f* pode ser tan próximo a *L* como se desexe, tomando puntos suficientemente próximos a *c*, independentemente do que ocorra en *c*.

## Historia 
Aínda que implícita no desenvolvemento do cálculo dos séculos XVII e XVIII, a notación moderna do límite dunha función remóntase a Bolzano quen, en 1817, introduciu as bases da técnica épsilon-delta. Mais o seu traballo non foi coñecido mentres estivo vivo. Cauchy expuxo límites no seu ''Cours d'analyse* (1821) e parece ter expresado a esencia da idea, pero non dunha maneira sistemática. A primeira presentación rigorosa da técnica feita pública foi dada por Weierstrass nos 1850 e 1860 e desde entón converteuse no método estándar para traballar con límites.

A notación de escritura usando a abreviatura **lim** coa frecha debaixo é debida a Hardy, que a usou no seu libro *A Course of Pure Mathematics'' en 1908.

Supoñamos que \textstyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)=L , vexamos que non pode ser que  L'\neq L  tamén verifique a definición. Para isto tomamos unha veciñanza E de L e unha veciñanza E' de L' que non se interseccionen. Por definición de límite  f(x)\in E  para todo *x* nalgunha veciñanza oca de *c*, polo que non pode estar en E', evitando que o límite sexa L'.

## Propiedades dos límites 
### Propiedades xerais 
Se *k* é un escalar:

### Indeterminacións 
Hai varios tipos de indeterminacións, entre elas as seguintes (considere \infty \,\! como o límite que tende a infinito e 0 \,\! o límite cando tende a 0; e non o número 0):

;Exemplo.
0/0 é unha indeterminación, é dicir, non é posible, a priori, saber cal é o valor dun límite que tende a cero sobre outro que tamén tende a cero xa que o resultado non é sempre o mesmo. Por exemplo:

:

### Regra de l'Hôpital 
Esta regra fai uso da derivada e ten un uso condicional. Esta só pode usarse directamente en límites «equivalentes» a 0/0 ou a ±∞/±∞.
Outras indeterminacións requiren algunha manipulación alxébrica, polo xeral, establecer que o límite é igual a *y*, tomar o logaritmo natural en ambos membros, e entón aplicar a regra de l'Hôpital.

* \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}

Por exemplo:
\lim_{x \to 0} \frac{\sin (2x)}{\sin (3x)} =
\lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2x)}{3 \cos (3x)} =
\frac{2 \sdot 1}{3 \sdot 1} =
\frac{2}{3}.

### Límites trigonométricos 
#  {\lim_{x \to \infty} x \; \sin \left (\frac {2\pi}{x} \right ) \cos \left (\frac {2\pi}{x} \right )} =\,2\pi
#  {\lim_{x \to 0} {{\sin x} \over x}} = {\lim_{x \to 0} } =\, 1 \, 
#  {\lim_{x \to 0} {\tan x \over x}} = {\lim_{x \to 0} {x \over \tan x}} =\, 1 \,
#  {\lim_{x \to 0} {\sin x \over \tan x}}\, = {\lim_{x \to 0} {\tan x \over \sin x}} =\, 1 
#  {\lim_{x \to 0} \frac {1-\cos x}{x^2} } =\, 1/2 \,

#### Demostracións 
Nalgunhas demostracións, por exemplo, o segundo destes límites trigonométricos, utiliza a inecuación sin(*x*) 1 
Invertendo os termos da inecuación e cambiando os signos de desigualdade:
:\cos x 
Calculando o límite cando *x* tende a 0:
:\lim_{x\to 0} \cos x 
O que é igual a:
:1 
Aplicando o teorema do sandwich, o límite necesariamente vale 1:
:\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1

O terceiro dos límites demóstrase utilizando as propiedades dos límites e o valor obtido no límite anterior. É dicir:

: 
{\lim_{x \to 0} \left (\frac {\tan x}{x} \right )} =  
{\lim_{x \to 0} \left (\frac {\sin x}{x} \right )} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x}=
1 \cdot 1 = 1

## Notas 
## Véxase tamén 
* Límite matemático
* Límite superior e límite inferior
* Topoloxía de rede, unha xeneralización do concepto de límite.

### Ligazóns externas 
* Límites e continuidade de funcións  
* Límite en MathWorld