Toroide

miniatura|220x220px|Toroide xerado por un cadrado.
En xeometría o **toroide** é a superficie de revolución xerada por un polígono ou unha curva plana pechada simple que vira ao redor dunha recta exterior coplanar (o eixo de rotación) coa que non se intercepta. A súa forma correspóndese coa superficie dos obxectos que, na fala cotiá, se denominan *argolas*, *aneis*, *aros*, *rosquillas*, *donas* ou *donuts*. A palabra toroide tamén se usa para referirse a un poliedro toroidal, a superficie de revolución xerada por un polígono que vira ao redor dun eixo.
dereita|miniatura|220x220px|Toro, xerado por un círculo.
dereita|miniatura|220x220px|Toro, modelo en 3 dimensións.
Cando a curva pechada é unha circunferencia, a superficie denomínase toro. En linguaxe cotiá denomínase *anel* ao corpo cuxa superficie exterior é un *toro*, o que ilustra a diferenza entre unha superficie e o volume encerrado por ela.

## Volume 
O volume encerrado por un toroide é:

: 
   V = 2\pi RA \,

onde *R* é a distancia do eixo de rotación ao isobaricentro da figura plana xeratriz e *A* é a área limitada por devandita figura.

## Diversas ecuacións do toroide 
dereita|293x293px
Nun sistema de coordenadas cartesianas de centro **O**, eixos horizontais ***x*** e ***y*** e eixo vertical ***z***, a superficie do toro pódese xerar do modo seguinte. Constrúese sobre o plano ***xz*** unha circunferencia de raio ***r*** con centro no punto ***C*** que está sobre o eixo ***x*** e a distancia ***R*** de ***O***. A superficie do toro xérase cando se fai virar esta circunferencia ao redor do eixo ***z***.

### Ecuacións paramétricas 
As coordenadas dun punto calquera do toro obtéñense mediante as seguintes expresións, onde interveñen os parámetros: ***&#x3B1;*** é a latitude do punto respecto do plano ***xz***, e ***&#x3B2;*** o ángulo de rotación da circunferencia xeratriz ao redor do eixo **z** ou lonxitude. Tense entón que

: 
    \left \{
      \begin{array}{l}
         x = (R + r \cos \ \alpha) \cos \ \beta \\
         y = (R + r \cos \ \alpha) \sin \ \beta \\
         z = r \sin \ \alpha
      \end{array}
   \right .

A calquera par ordenado de valores dos ángulos ***&#x3B1;*** e ***&#x3B2;*** correspóndelle un punto do toro de coordenadas: **x**, **y**, **z**.

### Ecuación cartesiana 
Partindo das ecuacións:

: 
   \left .
      \begin{array}{l}
         x = (R + r \cos \ \alpha) \cos \ \beta \\
         y = (R + r \cos \ \alpha) \sin \ \beta \\
         \sin^2\beta + \cos^2\beta = 1
      \end{array}
   \right \}
   \quad \longrightarrow \quad
   x^2 + y^2  = (R + r \cos \ \alpha)^2

pódese eliminar o ángulo ***&#x3B2;***. A partir das seguintes ecuacións, pódese tamén eliminar ***&#x3B1;***:

: 
   \left .
      \begin{array}{l}
         x^2 + y^2  = (R + r \cos \ \alpha)^2 \\
         z = r \sin \ \alpha \\
         \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1
      \end{array}
   \right \}
   \quad \longrightarrow \quad
   x^2 + y^2  =
   \left ( 
      R + \sqrt{r^2 - z^2}
   \right ) ^2

### Ecuación cartesiana 
A ecuación en coordenadas cartesianas dun toro cuxo eixo de xiro é o eixo ***z***, **R** a distancia do centro do círculo ao eixo e **r** o raio do círculo, é:

: 
   \left (
      R - \sqrt{x^2 + y^2}
   \right )
   ^2 + z^2 =
   r^2

racionalizando

: 
   \left (
      x^2+y^2+z^2+R^2-r^2
   \right )^2 -
   4R^2(x^2+y^2)= 0
 

onde a expresión da dereita é a ecuación que deben satisfacer as coordenadas ***x***, ***y***, ***z*** de calquera punto do toro.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Toro (xeometría)
* Xeometría