Traza (álxebra linear)

En álxebra linear, a **traza** dunha matriz cadrada , denotada como ,  defínese como a suma de elementos da diagonal principal (desde a parte superior esquerda ata a inferior dereita) de . A traza só se define para unha matriz cadrada ().

A traza está relacionada coa derivada do determinante (ver fórmula de Jacobi).

## Definición 
A **traza** dunha matriz cadrada , , defínese como  \operatorname{tr}(\mathbf{A}) = \sum_{i=1}^n a_{ii} = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn} onde  denota a entrada na fila  e na columna  de . As entradas de  poden ser números reais, números complexos ou máis xeralmente elementos dun corpo . A traza non está definida para matrices non cadradas.

## Exemplo 
Sexa  unha matriz, con \mathbf{A} =
\begin{pmatrix}
 a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
 a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
 a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
  1 & 0 & 3 \\
 11 & 5 & 2 \\
  6 & 12 & -5
\end{pmatrix}

Logo \operatorname{tr}(\mathbf{A}) = \sum_{i=1}^{3} a_{ii} = a_{11} + a_{22} + a_{33} = 1 + 5 + (-5) = 1

## Propiedades 
### Propiedades básicas 
A traza é un aplicación linear. É dicir,  

Unha matriz e a súa transposta teñen a mesma traza:   \operatorname{tr}(\mathbf{A}) = \operatorname{tr}\left(\mathbf{A}^\mathsf{T}\right).

### Traza dun produto 
A traza dunha matriz cadrada que é o produto de dúas matrices pódese reescribir como a suma dos produtos de entrada dos seus elementos, é dicir, como a suma de todos os elementos do seu produto de Hadamard. Dito directamente, se  e  son dúas matrices , daquela: 
\operatorname{tr}\left(\mathbf{A}^\mathsf{T}\mathbf{B}\right) =
\operatorname{tr}\left(\mathbf{A}\mathbf{B}^\mathsf{T}\right) =
\operatorname{tr}\left(\mathbf{B}^\mathsf{T}\mathbf{A}\right) =
\operatorname{tr}\left(\mathbf{B}\mathbf{A}^\mathsf{T}\right) =
\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{ij}b_{ij} \; .

### Propiedade cíclica 
De forma máis xeral, a traza é *invariante baixo desprazamentos circulares*, é dicir,{{Equation box 1|border|indent=:|title=|equation=\operatorname{tr}(\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{C}\mathbf{D}) = \operatorname{tr}(\mathbf{B}\mathbf{C}\mathbf{D}\mathbf{A}) = \operatorname{tr}(\mathbf{C}\mathbf{D}\mathbf{A}\mathbf{B}) = \operatorname{tr}(\mathbf{D}\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{C}).|cellpadding=6|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}}Isto coñécese como a *propiedade cíclica*.

Non se permiten permutacións arbitrarias: en xeral, \operatorname{tr}(\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{C}) \ne \operatorname{tr}(\mathbf{A}\mathbf{C}\mathbf{B}).

### Traza dun produto Kronecker 
A traza do produto de Kronecker de dúas matrices é o produto das súas trazas: \operatorname{tr}(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}) = \operatorname{tr}(\mathbf{A})\operatorname{tr}(\mathbf{B}).

### Traza como suma de valores propios 
Dado calquera matriz , , temos{{Equation box 1|border|indent=:|title=|equation=\operatorname{tr}(\mathbf{A}) = \sum_{i=1}^n \lambda_i|cellpadding=6|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}}onde   son os eigenvalores de  contados con multiplicidade. Isto é certo aínda que  sexa unha matriz real e algúns (ou todos) os valores propios sexan números complexos. Isto pódese considerar como unha consecuencia da existencia da forma canónica de Jordan, xunto coa semellanza-invarianza da traza.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 

* 

* 

### Outros artigos 
* Matriz (matemáticas).

### Ligazóns externas 
*