Distribución binomial

{{Modelo de distribución de probabilidade|
  nome       =Binomial|
  tipo       =densidade|
  pdf_image  =325px|Función de masa de probabilidade da binomial|
  cdf_image  =325px|Función de distribución da binomial|
parámetros = n \geq 0 número de ensaios (enteiro)0\leq p \leq 1 probabilidade de éxito (real)|
  soporte    =k \in \{0,\dots,n\}\!|
  pdf        ={n\choose k} p^k (1-p)^{n-k} \!|
  cdf        =I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!|
  media       =np\!|
  mediana     = Un de \{\lfloor np\rfloor, \lceil np \rceil\}|
  moda       =\lfloor (n+1)\,p\rfloor\!|
  varianza   =np(1-p)\!|
  asimetría   = \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}\!|
  curtose   = \frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}\!|
  entropía    = \frac{1}{2} \ln \left( 2 \pi n e p (1-p) \right) + O \left( \frac{1}{n} \right) |
  mgf        =(1-p + pe^t)^n \!|
  char       =(1-p + pe^{it})^n \!|
}}
A **distribución binomial** é unha distribución de probabilidade discreta que conta o número de éxitos nunha secuencia de *n* ensaios de Bernoulli independentes entre si, cunha probabilidade fixa *p* de que ocorra un éxito no ensaio.

Un experimento de Bernoulli caracterízase por ser dicotómico, é dicir, só ten dous posibles resultados. Un destes resultados denomínase éxito e ten unha probabilidade de que suceda *p* e o outro denomínase fracaso, cunha probabilidade *q* = 1 - *p*. Na distribución binomial o experimento repítese *n* veces, de forma independente, e trátase de calcular a probabilidade dun número determinado de éxitos. Para *n* = 1, a binomial convértese nunha distribución de Bernoulli.

Para representar que unha variable aleatoria *X* segue unha distribución binomial de parámetros *n* e *p*, escríbese:

:X \sim B(n, p)\,

A distribución binomial é a base do test binomial de significación estatística.

## Experimento binomial 
Existen moitas situación nas que se presenta unha experiencia binomial. Cada un dos experimentos é independente dos demais (é dicir, a probabilidade do resultado dun experimento non depende do resultado do resto). O resultado de cada experimento só admite dúas categorías (“éxito” e “fracaso”) e as probabilidades deben de ser constantes en todos os experimentos (exprésanse como *p* e *q* ou *p* e 1-*p*).

Desígnase por *X* a variable que mide o número de éxitos que produciron nos *n* experimentos. Cando se dan estas circunstancias, dise que a variable *X* segue unha distribución de probabilidade binomial, e exprésase *B(n,p)*.

Exemplos de experimentos que se poden modelizar con esta distribución son:
* Lánzase un dado dez veces e cóntase o número *X* de treses obtidos. Entón *X* ~ *B*(10, 1/6).
* Lánzase unha moeda dúas veces e cóntase o número *X* de caras obtidas. Entón *X* ~ *B*(2, 1/2)

## Características analíticas 
A súa función de probabilidade é

:f(x)={n \choose x}p^x(1-p)^{n-x} \,\!

onde x = \{0, 1, 2, \dots , n\},

sendo  {n \choose x} = \frac{n!}{x!(n-x)!} \,\! as combinacións de n \,\! en x \,\! (n \,\! elementos tomados de x \,\! en x \,\!)

### Exemplo 
Se se lanza un dado (con 6 caras) 51 veces e queremos coñecer a probabilidade de que o número 3 saia vinte veces temos que X ~ B(51, 1/6) e a probabilidade sería P(X=20):
:P(X=20)={51 \choose 20}(1/6)^{20}(1-1/6)^{51-20} = 0.1898

## Propiedades 
:\mathbb{E}[X] = np\,
:\mathbb{V}\text{ar}[X] =np(1-p)\,

## Relación con outras variables aleatorias 
Se n tende a infinito e p é tal que o produto entre ambos os parámetros tende a \lambda \,\!, entón a distribución da variable aleatoria binomial tende a unha distribución de Poisson de parámetro \lambda.

Cando p =0.5 e *n* é moi grande (habitualmente esíxese que n \geq 30 ) a distribución binomial pode aproximarse mediante a distribución normal.

## Propiedades reprodutivas 
Dadas *n* variables binomiales independentes de parámetros *ni* (*i* = 1,..., *n*) e p, a súa suma é tamén unha variable binomial, de parámetros *n1*+... + *nn*, e p, é dicir,

:Y = \sum^{n}_{i = 1} X_i \sim B(\sum^{n}_{i = 1} n_i, p)\,

## Notas 
## Véxase tamén 
### Ligazóns externas 
* Calculadora (distribución binomial)
* Cálculo da probabilidade dunha  distribución binomial con linguaxe de programación R