Extensión de corpo

En matemáticas, particularmente en álxebra, unha **extensión de corpo** consiste nun par de corpos K \subseteq L, tal que as operacións de *K* son as de *L* restrinxidas a *K*. Neste caso, *L* é un **corpo de extensión** de *K* e *K* é un **subcorpo** de *L*. Por exemplo, baixo as nocións habituais de suma e multiplicación, os números complexos son un corpo de extensión dos números reais; os números reais son un subcorpo dos números complexos.

As extensións de corpo son fundamentais na teoría alxébrica de números, e no estudo das raíces polinómicas a través da teoría de Galois, e son moi utilizadas na xeometría alxébrica.

## Subcorpo 
Un **subcorpo** K dun corpo L é un subconxunto K\subseteq L que é un corpo en relación ás operacións de corpo herdadas de L. De forma equivalente, un subcorpo é un subconxunto que contén a identidade multiplicativa 1, e está pechado nas operacións de suma, resta, multiplicación e tomando a inversa dun elemento distinto de cero de K.

Por exemplo, o corpo dos números racionais é un subcorpo dos números reais, que é un subcorpo dos números complexos. De forma máis xeral, o corpo dos números racionais é (ou é isomorfo a) un subcorpo de calquera corpo de características 0.

A característica dun subcorpo é a mesma que a característica do corpo maior.

## Corpo de extensión 
Se K é un subcorpo de L, entón L é un **corpo de extensión** ou simplemente é unha **extensión** de K, e este par de corpos forman unha **extensión de corpo**. Tal extensión de corpo denotase L/K (léase como "L sobre K").

Se L é unha extensión de F, que á súa vez é unha extensión de K, entón F dise que é un **corpo intermedio** (ou **extensión** ou **subextensión** intermedia) de L/K.

Dada unha extensión de corpo L/K, o corpo máis grande L é un K-espazo vectorial. A dimensión deste espazo vectorial chámase **grao** da extensión e denótase por [L:K].

O grao dunha extensión é 1 se e só se os dous corpos son iguais. Neste caso, a extensión é a **extensión trivial**. As extensións de grao 2 e 3 chámanse **extensións cadráticas** e **extensións cúbicas**, respectivamente. Unha **extensión finita** é unha extensión que ten un grao finito.

Dadas dúas extensións L/K e M/L, a extensión M/K é finita se e só se ambas L/K e M/L son finitas. Neste caso, temos

: [M : K]=[M : L]\cdot[L : K].

Na característica 0, toda extensión finita é unha extensión simple (dun único elemento). Este é o teorema do elemento primitivo, que non é certo para corpos de característica distinta de cero.

Se unha  extensión simple K(s)/K non é finita, o corpo K(s) é isomorfo ao corpo das fraccións racionais en s sobre K .

## Advertencias 
A notación *L* / *K* é puramente formal e non implica a formación dun anel cociente ou grupo cociente nin ningún outro tipo de división. Pola contra, a barra expresa a palabra "sobre". Nalgunha literatura úsase a notación *L* : *K.*

## Exemplos 
O corpo dos números complexos \Complex é un corpo de extensión do corpo dos números reais \R, e \R á súa vez é un corpo de extensión do corpo dos números racionais \Q. Claramente entón, \Complex/\Q é tamén unha extensión de corpo. Temos [\Complex:\R] =2 porque \{1, i\} é unha base, polo que a extensión \Complex/\R é finita. Esta é unha extensión simple porque \Complex = \R(i).[\R:\Q] =\mathfrak c (a cardinalidade do continuo), polo que esta extensión é infinita.

O corpo

: \Q(\sqrt{2}) = \left \{ a + b\sqrt{2} \mid a,b \in \Q \right \},

é un corpo de extensión de \Q, tamén claramente unha extensión simple. O grao é 2 porque \left\{1, \sqrt{2}\right\} pode servir de base.

O corpo

: \begin{align}
\Q\left(\sqrt{2}, \sqrt{3}\right) &= \Q \left(\sqrt{2}\right) \left(\sqrt{3}\right) \\
&= \left\{ a+b\sqrt{3} \mid a,b \in \Q\left(\sqrt{2}\right) \right\} \\
&= \left\{ a + b \sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6} \mid a,b,c, d \in \Q \right\},
\end{align}

é un corpo de extensión de  \Q(\sqrt{2}) e tamén de \Q, de grao 2 e 4 respectivamente. Tamén é unha extensión simple, como se pode demostrar

: \begin{align}
\Q(\sqrt{2}, \sqrt{3}) &= \Q (\sqrt{2} + \sqrt{3}) \\
&= \left \{ a + b (\sqrt{2} + \sqrt{3}) + c (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 + d(\sqrt{2} + \sqrt{3})^3 \mid a,b,c, d \in \Q\right\}.
\end{align}

As extensións finitas de \Q tamén se denominan corpos numéricos alxébricos e son importantes na teoría dos números. Outro corpo de extensión dos racionais, que tamén é importante na teoría de números, aínda que non é unha extensión finita, é o corpo dos números p-ádicos \Q_p para un número primo *p*.

É común construír un corpo de extensión dun corpo dado *K* como un anel cociente do anel polinómico *K* [*X*] para "crear" unha raíz para un polinomio dado *f*(*X*). Supoña, por exemplo, que *K* non contén ningún elemento *x* con *x* 2 = −1. Logo o polinomio X^2+1 é irredutíbel en *K*[*X*], polo que o ideal xerado por este polinomio é máximal, e L = K[X]/(X^2+1) é un corpo de extensión de *K* que *contén* un elemento cuxo cadrado é −1 (é dicir, a clase de residuos de *X*).

Ao iterar a construción anterior, pódese construír un corpo de descomposición de calquera polinomio a partir de *K*[*X*]. Este é un corpo de extensión *L* de *K* no que o polinomio dado se descompón nun produto de factores lineares.

Se *p* é calquera número primo e *n* é un enteiro positivo, hai un corpo finito único (ata isomorfismo). GF(p^n) = \mathbb{F}_{p^n} con *p n* elementos; este é un corpo de extensión do corpo primo \operatorname{GF}(p) = \mathbb{F}_p = \Z/p\Z con *p* elementos.

Dado un corpo *K*, podemos considerar o corpo *K*(*X*) de todas as funcións racionais da variábel *X* con coeficientes en *K*; con esta consideración os elementos de *K*(*X*) son fraccións de dous polinomios sobre *K*, e de feito *K*(*X*) é o corpo de fraccións do anel polinómico *K*[*X*]. Este corpo de funcións racionais é un corpo de extensión de *K*. Esta extensión é infinita.

Dada unha superficie de Riemann *M*, o conxunto de todas as funcións meromórficas definidas en *M* é un corpo, denotado por \Complex(M). É un corpo de extensión transcendental de \Complex se identificamos cada número complexo coa función constante correspondente definida en *M*. Máis xeralmente, dada unha variedade alxébrica *V* sobre algún corpo *K*, o corpo de funcións *K*(*V*), que consiste nas funcións racionais definidas en *V*, é un corpo de extensión de *K*.

## Extensión alxébrica 
Un elemento *x* dunha extensión de corpo L/K é alxébrica sobre *K* se é unha raíz dun polinomio distinto de cero con coeficientes en *K*. Por exemplo, \sqrt 2 é alxébrica sobre os números racionais, porque é unha raíz de x^2-2. Se un elemento *x* de *L* é alxébrico sobre *K*, o polinomio mónico de menor grao que ten *x* como raíz chámase polinomio mínimo de *x*. Este polinomio mínimo é irredutíbel sobre *K*.

O conxunto dos elementos de *L* que son alxébricos sobre *K* forman unha subextensión, que se denomina peche alxébrico de *K* en *L*.

Unha *extensión alxébrica* L/K é unha extensión tal que todo elemento de *L* é alxébrico sobre *K*. De forma equivalente, unha extensión alxébrica é unha extensión que é xerada por elementos alxébricos. Por exemplo, \Q(\sqrt 2, \sqrt 3) é unha extensión alxébrica de \Q, porque \sqrt 2 e \sqrt 3 son alxébricas sobre \Q.

Unha extensión simple é alxébrica se e só se é finita. Isto implica que unha extensión é alxébrica se e só se é a unión das súas subextensións finitas, e que toda extensión finita é alxébrica.

Todo corpo *K* ten un peche alxébrico, que é ata un isomorfismo o corpo de extensión máis grande de *K* que é alxébrico sobre *K*, e tamén o corpo de extensión máis pequeno tal que todo polinomio con coeficientes en *K* ten unha raíz nel. Por exemplo, \Complex é un peche alxébrico de \R, pero non ´é un peche alxébrico de \Q, xa que non é alxébrico sobre \Q (por exemplo  non é alxébrico sobre \Q).

## Extensión transcendental 
Dada unha extensión de corpo L/K, un subconxunto *S* de *L* chámase alxebricamente independente sobre *K* se non existe unha relación polinómica non trivial con coeficientes en *K* entre os elementos de *S*. A maior cardinalidade dun conxunto alxebricamente independente chámase grao de transcendencia de *L* / *K*. 

Sempre é posíbel atopar un conxunto *S*, alxebricamente independente sobre *K*, tal que *L* / *K*(*S*) sexa alxébrico. Tal conxunto *S* denomínase base de transcendencia de *L* / *K*. 

Todas as bases de transcendencia teñen a mesma cardinalidade, igual ao grao de transcendencia da extensión. Unha extensión L/K dise que é ''''* se e só se existe unha base de transcendencia *S* de L/K tal que *L* = *K* ( *S* ). 

Tal extensión ten a propiedade de que todos os elementos de *L* agás os de *K* son transcendentais sobre *K*, mais, con todo, hai extensións con esta propiedade que non son puramente transcendentais: unha clase destas extensións toma a forma *L* / *K* onde tanto *L* como *K* están pechados alxebricamente.

Por exemplo, considere a extensión \Q(x, y)/\Q, onde x é transcendental \Q, e y é unha raíz da ecuación y^2-x^3=0. Tal extensión pódese definir como \Q(X)[Y]/\langle Y^2-X^3\rangle, no que x e y son as clases de equivalencia de X e Y. Obviamente, o conxunto singleton \{x\} é transcendental sobre \Q e a extensión \Q(x, y)/\Q(x) é alxébrica; polo tanto \{x\} é unha base de transcendencia que non xera a extensión \Q(x, y)/\Q(x). Do mesmo xeito, \{y\} é unha base de transcendencia que non xera toda a extensión. Porén a extensión é puramente transcendental xa que, se facemos  t=y/x, logo temos x=t^2 e y=t^3, e así t xera toda a extensión.

## Extensións normais, separábeis e de Galois 
Unha extensión alxébrica L/K chámase normal se todo polinomio irredutíbel en *K*[*X*] que ten unha raíz en *L* factoriza completamente en factores lineares sobre *L*. Toda extensión alxébrica *F* / *K* admite un peche normal *L*, que é un corpo de extensión de *F* tal que L/K é normal e que é mínimo con esta propiedade.

Unha extensión alxébrica L/K chámase separábel se o polinomio mínimo de todo elemento de *L* sobre *K* é separábel, é dicir, non ten raíces repetidas nun peche alxébrico sobre *K.* Unha extensión de Galois é unha extensión de corpo normal e separábel.

Unha consecuencia do teorema do elemento primitivo afirma que toda extensión finita separábel ten un elemento primitivo (é dicir, é simple).

Dada calquera extensión de corpo L/K, podemos considerar o seu **grupo de automorfismos** \text{Aut}(L/K), consistente en tódolos automorfismos do corpo, *α*: *L* → *L* con *α*(*x*) = *x* para todo *x* en *K*. Cando a extensión é Galois, este grupo de automorfismo chámase grupo de Galois da extensión. As extensións cuxo grupo de Galois é abeliano chámanse extensións abelianas.

Para unha determinada extensión de corpo L/K, adoitamos interesarnos polos corpos intermedios *F* (subcorpos de *L* que conteñen *K''). O significado das extensións de Galois e dos grupos de Galois é que permiten unha descrición completa dos corpos intermedios: hai unha bixección entre os corpos intermedios e os subgrupos do grupo de Galois, descrito polo teorema fundamental da teoría de Galois.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
*
*
*

### Outros artigos 
* Teoría de corpos
* Extensión regular
* Corpo finito

### Ligazóns externas 
*