Función lacunaria

miniatura| Coloración do dominio da suma parcial 128 da función lacunaria \sum_{n=0}^\infty z^{2^n}.
Na análise, unha **función lacunaria**, tamén coñecida como **serie lacunaria**, é unha función analítica que non se pode continuar analiticamente en ningún lugar fóra do raio de converxencia dentro do cal está definida por unha serie de potencias.

Os primeiros exemplos coñecidos de funcións lacunarias eran series de Taylor con grandes lagoas entre os coeficientes distintos de cero das súas expansións. Investigacións máis recentes tamén centraron a atención nas series de Fourier con lagoas similares entre coeficientes distintos de cero.

## Un exemplo sinxelo 
Escollemos un número enteiro a \geq 2 . Consideramos a seguinte función definida por unha serie de potencias simple:

: 
f(z) = \sum_{n=0}^\infty z^{a^n} = z + z^a + z^{a^2} + z^{a^3} + z^{a^4} + \cdots\,

A serie de potencias converxe localmente uniforme en calquera dominio aberto |*z*| 
f(1) = 1 + 1 + 1 + \cdots\,

é unha serie diverxente. Mais se se permite que *z* non sexa real, xorden problemas, xa que

: 
f\left(z^a\right) = f(z) - z \qquad f\left(z^{a^2}\right) = f(z^a) - z^a \qquad f\left(z^{a^3}\right) = f\left(z^{a^2}\right) - z^{a^2} \qquad \cdots \qquad f\left(z^{a^{n+1}}\right) = f\left(z^{a^n}\right)-z^{a^n}

podemos ver que *f* ten unha singularidade nun punto *z* cando *z*a = 1, e tamén cando *z*a2 = 1. Pola indución suxerida polas ecuacións anteriores, *f* debe ter unha singularidade en cada unha das raíces *a**n*-ésimas da unidade para todos os números naturais *n.* O conxunto de todos estes puntos é denso na circunferencia unitaria, polo que, por extensión continua, todo punto do circunferencia unitaria debe ser unha singularidade de *f.* 

## Serie trigonométrica lacunaria 
Os matemáticos tamén investigaron as propiedades das series trigonométricas lacunarias

: 
S((\lambda_k)_k,\theta) = \sum_{k=1}^\infty a_k \cos(\lambda_k\theta) \qquad 
S((\lambda_k)_k,\theta,\omega) = \sum_{k=1}^\infty a_k \cos(\lambda_k\theta + \omega) \,

para os que os &#x3BB;*k* están afastados. Aquí os coeficientes *a**k* son números reais. Neste contexto, a atención concentrouse en criterios suficientes para garantir a converxencia das series trigonométricas en case todas as partes (é dicir, para case todos os valores do ángulo *&#x3B8;* e do factor de distorsión *&#x3C9;*).

* Kolmogorov demostrou que se a secuencia {*&#x3BB;**k*} contén ocos de Hadamard, entón a serie *S*(*&#x3BB;**k*,&nbsp;*&#x3B8;*,&nbsp;*&#x3C9;*) converxe (diverxe) case en todas as partes cando

:: 
\sum_{k=1}^\infty a_k^2

: converxe (diverxe).

* Zygmund demostrou baixo a mesma condición que *S*( *&#x3BB;**k*,&nbsp;*&#x3B8;*,&nbsp;*&#x3C9;*) non é unha serie de Fourier que representa unha función integrábel cando esta suma de cadrados dos *a**k* é unha serie diverxente. 
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*Katusi Fukuyama and Shigeru Takahashi, *Proceedings of the American Mathematical Society*, vol. 127 #2 pp.&nbsp;599–608 (1999), "The Central Limit Theorem for Lacunary Series".
*Szolem Mandelbrojt and Edward Roy Cecil Miles, *The Rice Institute Pamphlet*, vol. 14 #4 pp.&nbsp;261–284 (1927), "Lacunary Functions".
*E. T. Whittaker and G. N. Watson, *A Course in Modern Analysis*, fourth edition, Cambridge University Press, 1927.

### Outros artigos 
*Continuación analítica
*Teorema do oco de Ostrowski-Hadamard
### Ligazóns externas 
*Fukuyama and Takahashi, 1999 A paper (PDF) entitled *The Central Limit Theorem for Lacunary Series*, from the AMS.
*Mandelbrojt and Miles, 1927 A paper (PDF) entitled *Lacunary Functions*, from Rice University.
*MathWorld article on Lacunary Functions