Fórmula cadrática

miniatura|As raíces da función cadrática  ⁠ son os lugares onde a gráfica corta o eixo x, os valores x = 1 e x = 5. Pódense atopar mediante a fórmula cadrática.
En álxebra elemental, a **fórmula cadrática** é unha expresión en forma pechada que describe as solucións dunha ecuación cadrática. Outras formas de resolver ecuacións de segundo grao, como completar o cadrado, dan as mesmas solucións.

Dada unha ecuación cadrática xeral da forma , sendo  unha incógnita, e coeficientes , ,  números reais ou complexos coñecidos con . Os valores  que satisfán a ecuación, chamadas *raíces* ou *ceros*, pódense atopar usando a fórmula cadrática,

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},

onde o símbolo máis–menos "" indica que a ecuación ten dúas raíces.  Escritos por separado, son:

x_1 = \frac{-b + \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}, \qquad
x_2 = \frac{-b - \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}.

A cantidade  coñécese como o discriminante da ecuación de segundo grao. Se os coeficientes  , , , son números reais daquela , a ecuación ten dúas raíces reais distintas; se , a ecuación ten unha raíz real repetida; e se , a ecuación *non* ten raíces reais mais ten dúas raíces complexas distintas, que son complexas conxugadas entre si.

Xeométricamente, as raíces representan os valores de   nos que a gráfica da función cadrática , unha parábola, cruza o eixe .  A fórmula cadrática tamén se pode usar para identificar o eixe de simetría da parábola.

## Obtención completando o cadrado 
miniatura| Para completar o cadrado, forma un binomio cadrado no lado esquerdo dunha ecuación cadrática, a partir da cal se pode atopar a solución tomando a raíz cadrada de ambos os dous lados.
A forma estándar de obter a fórmula cadrática é aplicar o método de completar o cadrado á ecuación cadrática xenérica      A idea é manipular a ecuación na forma  para expresións  e  en termos dos coeficientes; tomar a raíz cadrada de ambos os dous lados; e despois resolver .

Comezamos dividindo a ecuación polo coeficiente cadrático . Despois, restamos o termo constante  e  pasalo para o lado dereito:

\begin{align}
ax^{2\vphantom|} + bx + c &= 0 \\[3mu]
x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} &= 0 \\[3mu]
x^2 + \frac{b}{a} x &= -\frac{c}{a}.
\end{align}

O lado esquerdo agora ten a forma x^2 + 2kx e podemos "completar o cadrado" engadindo unha constante  e obter un cadrado  x^2 + 2kx + k^2 = x^2 + 2kx + k^2 =  . Neste exemplo se corresponde con engadirmos  a ambos os dous lados para que o lado esquerdo se poida poñer como un binomio:

\begin{align}
x^2 + 2\left(\frac{b}{2a}\right)x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2
&= -\frac{c}{a}+\left( \frac{b}{2a} \right)^2 \\[5mu]
\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2
&= \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} .
\end{align}

Como o lado esquerdo agora é un cadrado perfecto, podemos tomar facilmente a raíz cadrada de ambos os dous lados:

x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.

Finalmente

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} .

## Significado xeométrico 
En termos de xeometría de coordenadas, unha parábola  é unha curva cuxos  son a gráfica dun polinomio de segundo grao, da forma , onde , ,  son coeficientes constantes de valor real con .

Xeométricamente, a fórmula cadrática define os puntos  na gráfica, onde a parábola cruza o eixo . Ademais, pódese dividir en dous termos,

x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac }}{2a}
= -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.

O primeiro termo x = -\tfrac{b}{2a} describe o eixe de simetría, o segundo termo, \sqrt{b^2 - 4ac} / 2a, dá a distancia que están as raíces do eixe de simetría.

Se o vértice da parábola está no eixo , entón a ecuación correspondente ten unha única raíz repetida na liña de simetría e este termo de distancia é cero; alxebricamente, o discriminante .

Se o discriminante é positivo, entón o vértice non está exactamente sobre o eixo  mais a parábola ábrese na dirección do eixo , cruzándoo dúas veces, polo que a ecuación correspondente ten dúas raíces reais. Se o discriminante é negativo, a parábola ábrese na dirección oposta, sen cruzar nunca o eixo , e a ecuación non ten raíces reais; neste caso, as dúas raíces con valores complexos serán conxugados complexos cuxa parte real é o  do eixe de simetría.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
### Outros artigos 
* Ecuación de segundo grao
* Función cadrática
* Fórmulas de Viète