Raíz da unidade

[dereita|miniatura| As raíces 5 da unidade (puntos azuis) no [plano complexo]]

En matemáticas, unha **raíz da unidade**, ocasionalmente chamada **número de Moivre**, é calquera número complexo que dá 1 cando se eleva a unha potencia enteira positiva . As raíces da unidade utilízanse en moitas ramas das matemáticas, e son especialmente importantes na teoría dos números, na teoría dos caracteres de grupos e na transformada discreta de Fourier.

## Definición xeral 
Unha *raíz* *-ésima da unidade*, onde  é un número enteiro positivo, é un número  que satisfai a ecuación z^n = 1.  A menos que se especifique o contrario, as raíces da unidade pódense considerar números complexos (incluíndo o número 1 e o número −1 se  é par, que son complexos cunha parte imaxinaria cero), e neste caso, as raíces -ésimas da unidade son\exp\left(\frac{2k\pi i}{n}\right)=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n},\qquad k=0,1,\dots, n-1.

No  entanto, a ecuación definitoria das raíces da unidade é significativa sobre calquera corpo (e mesmo sobre calquera anel) , e isto permite considerar as raíces da unidade en . Sexa cal sexa o corpo , as raíces da unidade en  son números complexos, se a característica de  é 0, ou, en caso contrario, pertencen a un corpo finito. Pola contra, cada elemento distinto de cero nun corpo finito é unha raíz da unidade nese corpo. Consulte raíz da unidade módulo *n* e Corpo finito para obter máis detalles.

Dise que é unha raíz -ésima  da unidade é ''''* se non é unha raíz -éisma da unidade para algún  máis pequeno, é dicir se

: z^n=1\quad \text{e} \quad z^m \ne 1 \text{ for } m = 1, 2, 3, \ldots, n-1. 

Se *n* é un número primo, entón todas as raíces -ésimas da unidade, agás o 1, son primitivas. 

Na fórmula anterior en termos de funcións exponenciais e trigonométricas, as raíces -ésimas primitivas da unidade son aquelas para as que  e  son números enteiros primos.

## Propiedades elementais 
Cada -ésima raíz da unidade  é unha raíz primitiva -ésima da unidade para algún , que é o menor enteiro positivo tal que .

Calquera potencia enteira dunha raíz -ésima da unidade é tamén unha raíz -ésima da unidade, pois

: (z^k)^n = z^{kn} = (z^n)^k = 1^k = 1.

Isto tamén é certo para os expoñentes negativos. En particular, o recíproco dunha raíz -ésima da unidade é o seu complexo conxugado, e tamén é unha raíz -ésima da unidade:

: \frac{1}{z} = z^{-1} = z^{n-1} = \bar z.

Se  é unha raíz -ésima da unidade e  entón . De feito, pola definición de congruencia módulo *n*,  para algún número enteiro , e polo tanto

:  z^a = z^{b+kn} = z^b z^{kn} = z^b (z^n)^k = z^b 1^k = z^b.

Polo tanto, dada unha potencia  de , temos , onde  é o resto da división euclidiana de  por .

## Propiedades do grupo 
### Grupo de todas as raíces da unidade 
O produto e a inversa multiplicativa de dúas raíces da unidade tamén son raíces da unidade. De feito, se  e , entón  e , onde  é o mínimo común múltiplo de  e .

Polo tanto, as raíces da unidade forman un grupo abeliano baixo a multiplicación. Este grupo é o subgrupo de torsión do grupo circular.

### Grupo das raíces -ésimas da unidade 
Para un número enteiro *n*, o produto e o inverso multiplicativo de dúas raíces -ésimas da unidade tamén son raíces -ésimas da unidade. Polo tanto, as raíces -ésimas da unidade forman un grupo abeliano baixo a multiplicación.

Dada unha raíz primitiva -ésima da unidade , as outras raíces -ésimas son potencias de . Isto significa que o grupo das raíces -ésimas da unidade é un grupo cíclico. Cabe sinalar que o termo de *grupo cíclico* orixinouse de que este grupo é un subgrupo do grupo circular.

### Grupo de Galois das raíces -ésimas da unidade primitivas 
Sexa \Q(\omega) a extensión de corpo dos números racionais xerados sobre \Q por unha raíz  ésima primitiva da unidade . Como cada raíz -ésima da unidade é unha potencia de , o corpo \Q(\omega) contén todas as raíces -ésimas da unidade, e \Q(\omega) é unha extensión de Galois de \Q.

Se  é un número enteiro,  é unha raíz -ésima primitiva da unidade se e só se  e  son coprimos. Neste caso, o mapa

: \omega \mapsto \omega^k

induce un automorfismo de \Q(\omega), que mapea cada raíz  -ésima da unidade coa súa -ésima potencia. Todo automorfismo de \Q(\omega) obtense deste xeito, e estes automorfismos forman o grupo de Galois \Q(\omega) sobre o corpo dos racionais.

As regras de exponenciación implican que a composición de dous destes automorfismos se obtén multiplicando os expoñentes. Dedúces que o mapa

: k\mapsto \left(\omega \mapsto \omega^k\right)

define un isomorfismo de grupos entre as unidades do anel de enteiros módulo e o grupo de Galois de \Q(\omega).

Isto mostra que este grupo de Galois é abeliano, e implica así que as raíces primitivas da unidade poden expresarse en termos de radicais.

## Expresión trigonométrica 
dereita|miniatura| As raíces cúbicas da unidade
A fórmula de De Moivre, que é válida para todos os  reais e os enteiros , é

: \left(\cos x + i \sin x\right)^n = \cos nx + i \sin nx.

Facendo  dá unha raíz primitiva da unidade, temos

: \left(\cos\frac{2\pi}{n} + i \sin\frac{2\pi}{n}\right)^{\!n} = \cos 2\pi + i \sin 2\pi = 1,

mais

: \left(\cos\frac{2\pi}{n} + i \sin\frac{2\pi}{n}\right)^{\!k} = \cos\frac{2k\pi}{n} + i \sin\frac{2k\pi}{n} \neq 1

para . Noutras palabras,

: \cos\frac{2\pi}{n} + i \sin\frac{2\pi}{n}

é unha raíz primitiva -ésima da unidade.

A fórmula de Euler

: e^{i x} = \cos x + i \sin x,

que é válida para todos os  reais, pódese usar para poñer a fórmula das raíces -ésimas da unidade na forma

: e^{2\pi i \frac{k}{n}}, \quad 0 \le k 

Da discusión na sección anterior despréndese que esta é unha raíz primitiva -enéisma da unidade se e só se a fracción \tfrac{k}{n} está nos seus termos máis  pequenos.

## Expresión alxébrica 
As raíces -ésimas da unidade son, por definición, as raíces do polinomio  e, polo tanto, son números alxébricos. Como este polinomio non é irredutíbel (agás ), as raíces -ésimas primitivas da unidade son raíces dun polinomio irredutíbel (sobre os enteiros) de grao inferior, chamado polinomio ciclotómico -ésimo, e que moitas veces se denota . O grao de  vén dado pola función totiente de Euler, que conta (entre outras cousas) o número de raíces -ésimas primitivas da unidade. As raíces de  son exactamente as raíces primitivas  -ésimas raíces da unidade.

## Polinomios ciclotómicos 
Os ceros do polinomio

: p(z) = z^n - 1

son precisamente as raíces -ésimas da unidade, cada unha cunha multiplicidade 1. O *polinomio ciclotómico* -ésimo defínese polo feito de que os seus ceros son precisamente as raíces primitivas -ésimas da unidade, cada unha cunha multiplicidade 1.

: \Phi_n(z) = \prod_{k=1}^{\varphi(n)}(z-z_k)

onde  son as raíces primitivas -ésimas primitivas da unidade, e  é a función totiente de Euler. O polinomio  ten coeficientes enteiros e é un polinomio irredutíbel sobre os números racionais (é dicir, non se pode escribir como o produto de dous polinomios de grao positivo con coeficientes racionais).  O caso de  primo, que é máis doado que a afirmación xeral, dedúcese aplicando o criterio de Eisenstein ao polinomio

: \frac{(z+1)^n - 1}{(z+1) - 1},

e expandindo mediante o teorema binomial.

Cada raíz -ésima  da unidade é unha raíz primitiva -ésima da unidade para exactamente un divisor positivo  de . Isto implica que 

: z^n - 1 = \prod_{d \,|\, n} \Phi_d(z).

Esta fórmula representa a factorización do polinomio  en factores irredutíbeis:

: \begin{align}
z^1 -1 &= z-1 \\
z^2 -1 &= (z-1)(z+1) \\
z^3 -1 &= (z-1) (z^2 + z + 1) \\
z^4 -1 &= (z-1)(z+1) (z^2+1) \\
z^5 -1 &= (z-1) (z^4 + z^3 +z^2 + z + 1) \\
z^6 -1 &= (z-1)(z+1) (z^2 + z + 1) (z^2 - z + 1)\\
z^7 -1 &= (z-1) (z^6+ z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) \\
z^8 -1 &= (z-1)(z+1) (z^2+1) (z^4+1) \\
\end{align}

Aplicando a inversión de Möbius á fórmula temos

: \Phi_n(z) = \prod_{d \,|\, n}\left(z^\frac{n}{d} - 1\right)^{\mu(d)} = \prod_{d \,|\, n}\left(z^d - 1\right)^{\mu\left(\frac{n}{d}\right)},

onde  é a función de Möbius. Polo tanto, os primeiros polinomios ciclotómicos son

: 
: 
: 
: 
: 
: 
: 
: 

## Grupos cíclicos 
As raíces -ésimas da unidade forman baixo a multiplicación un grupo cíclico de orde , e de feito estes grupos comprenden todos os subgrupos finitos do grupo multiplicativo do corpo de números complexos. Un xerador para este grupo cíclico é unha raíz -ésima primitiva da unidade.

As raíces -ésimas da unidade forman unha representación irredutíbel de calquera grupo cíclico de orde . A relación de ortogonalidade tamén se deduce a partir dos principios da teoría de grupos tal como se describe en carácter dun grupo.

## Corpos ciclotómicos 
Ao achegar a unha raíz primitiva -ésima da unidade a \Q, obtense o -ésimo corpo ciclotómico \Q(\exp(2\pi i/n)). Este corpo contén todas as raíces -ésimas da unidade e é o corpo de descomposición do -ésimo polinomio ciclotómico sobre \Q. A extensión de corpo \Q(\exp(2\pi i /n))/\Q ten grao φ(*n'') e o seu grupo de Galois é isomorfo naturalmente ao grupo multiplicativo de unidades do anel \Z/n\Z.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

### Outros artigos 
* Carácter de Dirichlet
* Grupo cíclico