Complexo conxugado

[miniatura| Representación xeométrica (diagrama de Argand) de z e o seu conxugado \overline{z} no plano complexo. O complexo conxugado atópase [Reflexión (matemáticas)|reflectindo z a través do eixo real.]]

En matemáticas, o **complexo conxugado** dun número complexo é o número cunha parte real igual e unha parte imaxinaria igual en magnitude mais oposto en signo. É dicir, se a e b son números reais entón o complexo conxugado de  a + bi é a - bi. O complexo conxugado de z adoita denotarse como \overline{z} ou z^*.

En forma polar, se r e \varphi son números reais daquela o conxugado de r e^{i \varphi} é r e^{-i \varphi}. Isto pódese mostrar usando a fórmula de Euler.

O produto dun número complexo e o seu conxugado é un número real: a^2 + b^2&nbsp;(ou&nbsp;r^2 en coordenadas polares).

Se unha raíz dun polinomio univariado con coeficientes reais é complexa, daquela o súa conxugada complexa tamén é unha raíz.

## Propiedades 
Para dous números complexos calquera, a conxugación é distributiva sobre a suma, resta, multiplicación e división:  
:\begin{align}
           \overline{z + w} &= \overline{z} + \overline{w}, \\
           \overline{z - w} &= \overline{z} - \overline{w}, \\
            \overline{zw} &= \overline{z} \; \overline{w}, \quad \text{and} \\
 \overline{\left(\frac{z}{w}\right)} &= \frac{\overline{z}}{\overline{w}},\quad \text{if } w \neq 0.
\end{align}

Un número complexo é igual ao seu complexo conxugado se a súa parte imaxinaria é cero, é dicir, se o número é real. Noutras palabras, os números reais son os únicos puntos fixos de conxugación.

A conxugación non muda o módulo dun número complexo: \left| \overline{z} \right| = |z|.

A conxugación é unha involución, é dicir, o conxugado do conxugado dun número complexo z é z. En símbolos, 
:\overline{\overline{z}} = z.

O produto dun número complexo co seu conxugado é igual ao cadrado do módulo do número: 
:z\overline{z} = {\left| z \right|}^2.
Isto permite o cálculo doado do inverso multiplicativo dun número complexo dado en coordenadas rectangulares: 
:z^{-1} = \frac{\overline{z}}{{\left| z \right|}^2},\quad \text{ para todo } z \neq 0.

A conxugación é conmutativa baixo composición con exponenciación a potencias enteiras, coa función exponencial e co logaritmo natural para argumentos distintos de cero: 
:\overline{z^n} = \left(\overline{z}\right)^n,\quad \text{ para todos os } n \in \Z  
:\exp\left(\overline{z}\right) = \overline{\exp(z)}
:\ln\left(\overline{z}\right) = \overline{\ln(z)} \text{ se } z \text{ é distinto de cero e real negativo }

Se p é un polinomio con coeficientes reais e p(z) = 0, entón p\left(\overline{z}\right) = 0 tamén o sería. Así, as raíces non reais de polinomios reais ocorren en pares conxugados complexos (*ver* Teorema da raíz conxugada complexa).

En xeral, se \varphi é unha función holomorfa cuxa restrición aos números reais ten valores reais, e \varphi(z) e \varphi(\overline{z}) están definidos, daquela 
:\varphi\left(\overline{z}\right) = \overline{\varphi(z)}.\,\!

## Usar como variábel 
Unha vez dado un número complexo z = x + yi ou z = re^{i\theta}, o seu conxugado é suficiente para reproducir as partes da variábel :

* Parte real: x = \operatorname{Re}(z) = \dfrac{z + \overline{z}}{2}
* Parte imaxinaria: y = \operatorname{Im}(z) = \dfrac{z - \overline{z}}{2i}
* Módulo (ou valor absoluto) : r= \left| z \right| = \sqrt{z\overline{z}}
* Argumento : e^{i\theta} = e^{i\arg z} = \sqrt{\dfrac{z}{\overline z}}, por tanto \theta = \arg z = \dfrac{1}{i} \ln\sqrt{\frac{z}{\overline{z}}} = \dfrac{\ln z - \ln \overline{z}}{2i}

## Conxugado dun hipercomplexo 
A noción de número conxugado pódese estender a números hipercomplexos. Por exemplo, para un hipercomplexo (cuaternión ) temos:Pódese ver que a operación unitaria de conxugación hipercomplexa é o único automorfismo que deixinvariante a o subconxunto dos números reais diferenteade identidade. As mesmas propiedades que scumprenapara n á conxugación de números complexos cúmprense para a conxugación de números hipercomplexos.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
### Outros artigos 
* Número complexo.
* Plano complexo.
* Fórmula de Euler
### Ligazóns externas 
*