Teorema do coseno

O **teorema do coseno** é unha xeneralización do teorema de Pitágoras para triángulos non rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.

O teorema relaciona un lado dun triángulo cos outros dous e co coseno do ángulo formado por estes dous lados:

:Dado un triángulo ABC, sendo α, β, γ, os ángulos, e *a*, *b*, *c*, os lados respectivamente opostos a estes ángulos, entón:

Na maioría dos idiomas, este teorema é coñecido co nome de teorema ou lei dos cosenos, denominación non obstante relativamente tardía. En francés leva o nome do matemático persa Ghiyath al-Kashi que unificou os resultados dos seus predecesores.

miniatura|280px|dereita|Fig. 1 - Notación máis habitual dun triángulo.

## Historia 
*Os Elementos* de Euclides, que data do século III&nbsp;a.&nbsp;C., contén xa unha aproximación xeométrica da xeneralización do teorema de Pitágoras: as proposicións 12 e 13 do libro II, tratan separadamente o caso dun triángulo obtusángulo e o dun triángulo acutángulo.
A formulación da época é arcaica xa que a ausencia de funcións trigonométricas e da álxebra obrigou a razoar en termos de diferenzas de áreas. Por iso, a proposición 12 utiliza estes termos:

Sendo *ABC* o triángulo, co ángulo obtuso en *C*, e *BH* a altura respecto do vértice *B* (cf. Fig. 2 contigua), a notación moderna permite formular o enunciado así:

miniatura|Fig. 2 - Triángulo *ABC* con altura *BH*.

Faltaba esperar a trigonometría árabe-musulmá da Idade Media para ver o teorema evolucionar: o astrónomo e matemático al-Battani xeneralizou o resultado de Euclides na xeometría esférica a principios do século X, o que permitiu efectuar os cálculos da distancia angular entre o Sol e a Terra. Foi durante o mesmo período cando se estableceron as primeiras táboas trigonométricas, para as funcións seno e coseno. Iso permitiulle a Ghiyath al-Kashi, matemático da escola de Samarcanda, de poñer o teorema baixo unha forma utilizable para a triangulación durante o século XV. A propiedade foi popularizada en occidente por François Viète quen, ao parecer, redescubriuno independentemente.

Foi a finais do século XVII cando a notación alxébrica moderna, canda a notación moderna das funcións trigonométricas introducida por Euler no seu libro *Introductio in analysin infinitorum*, permitiron escribir o teorema baixo a súa forma actual, estendéndose o nome de teorema (ou lei) do coseno.

## O teorema e as súas aplicacións 
O teorema do coseno é tamén coñecido polo nome de **teorema de Pitágoras xeneralizado**, xa que o teorema de Pitágoras é un caso particular: cando o ángulo \gamma \, é recto ou, dito doutro xeito, cando \cos\gamma = 0 \,, o teorema do coseno redúcese a:

que é precisamente a formulación do teorema de Pitágoras.

miniatura|Fig. 3 - Utilización do teorema do coseno: ángulo ou lado descoñecido.
O teorema emprégase en triangulación (ver Fig. 3) para resolver un triángulo, e saber determinar
* o terceiro lado dun triángulo cando coñecemos un ángulo e os lados adxacentes:
{{Ecuación|c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}.}}
* os ángulos dun triángulo cando coñecemos os tres lados:
{{Ecuación|\gamma = \arccos \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.}}
Estas fórmulas son difíciles de aplicar no caso de medicións de triángulos moi agudos utilizando métodos simples, é dicir, cando o lado *c* é moi pequeno respecto os lados *a* e *b* —ou o seu equivalente, cando o ángulo *γ* é moi pequeno.

Existe un corolario do teorema do coseno para o caso de dous triángulos semellantes ABC e 

## Demostracións 
### Por repartición de áreas 
miniatura|280px|Fig. 4a - Demostración do teorema do coseno por repartición de áreas, cando o ángulo é agudo.Un certo número das demostracións do teorema fan intervir un cálculo de áreas. Convén en efecto remarcar que 
* *a²*, *b²*, c²* son as áreas dos cadrados de lados respectivos *a*, *b*, *c*.
* *ab* cos(γ) é a área dun paralelogramo de lados *a* e *b* que forman un ángulo de 90°-γ.

Dado que cos(γ) cambia de signo dependendo de se γ é maior ou menor a 90°, faise necesario dividir a proba en 2 casos

A figura 4a (contigua) divide un heptágono de dúas maneiras diferentes para demostrar o teorema do coseno no caso dun ángulo agudo. A división é a seguinte:
* En verde, as áreas *a²*, *b²* á esquerda, e a área , *c²* á dereita.
* En vermello, o triángulo *ABC* en ambos diagramas e en amarelo triángulos congruentes ao *ABC*.
* En azul, paralelogramos de lados *a* e *b* con ángulo *90*°-γ.

Igualando as áreas e cancelando as figuras iguais obtense que a^2+b^2 = c^2+2ab\, \cos\gamma, equivalente ao Teorema do coseno.

miniatura|280px|Fig. 4b - Demostración do teorema do coseno por repartición de áreas, cando o ángulo é obtuso.
A figura 4b (contigua) divide un hexágono de dúas maneiras diferentes para demostrar o teorema do coseno no caso dun ángulo obtuso. A figura mostra
* En verde *a²*, *b²* á esquerda e *c²* á dereita.
* En azul -*2ab* cos(γ), recordando que ao ser cos(γ) negativo, a expresión completa é positiva.
* En vermello, dúas veces o triángulo *ABC* para ambos lados da figura.

Igualando áreas e cancelando as zonas vermellas dá \,a^2+b^2-2ab\cos\gamma = c^2, como queríamos demostrar.

### Polo teorema de Pitágoras 
Notemos que o Teorema de Cosenos é equivalente ao Teorema de Pitágoras cando o ángulo \gamma é recto. Polo tanto só é necesario considerar os casos cando *c* é adxacente a dous ángulos agudos e cando *c* é adxacente a un ángulo agudo e un obtuso.

**Primeiro caso:** *c* é adxacente a dous ángulos agudos. miniatura|Caso 1: *c* é adxacente a dous ángulos agudos

Consideremos a figura adxunta. Polo teorema de Pitágoras, a lonxitude *c* é calculada así:

Pero, a lonxitude *h* tamén se calcula así: 

Sumando ambas ecuacións e logo simplificando obtemos:

Pola definición de coseno, tense:
{{Ecuación|cos\gamma\,= \frac{b-u}{a}|4=left}}
e polo tanto:

Substituímos o valor de u na ecuación para c^2, concluíndo que:

co que conclúe a proba do primeiro caso.

**Segundo caso:** *c* é adxacente a un ángulo obtuso. miniatura|Caso 2: *c* é adxacente a un ángulo obtuso

Consideremos a figura adxunta. O teorema de Pitágoras establece novamente c^2 = h^2 + u^2 pero neste caso h^2 = a^2 - (b+u)^2. Combinando ambas ecuacións obtemos  c^2 = u^2 + a^2 - b^2 - 2bu - u^2  e deste xeito:

Da definición de coseno, tense cos\gamma\,= \frac{b+u}{a} e polo tanto:

Substituímos na expresión para *c²* e simplificamos *c² = a²-b² -2b*(*a* cos(γ)-*b*), concluíndo novamente

Isto conclúe a demostración.

É importante notar, que se se considera a *u* como un segmento dirixido, entón só hai un caso e as dúas demostracións convértense na mesma.

### Pola potencia dun punto con respecto a un círculo 
[miniatura|Fig. 6 - Demostración do teorema do coseno utilizando a [potencia dun punto con respecto a un círculo.]]
Consideremos un círculo con centro en *B* e radio *BC*, como na figura 6. Se *AC* é tanxente ao círculo, novamente tense o Teorema de Pitágoras. Cando *AC* non é tanxente, existe outro punto *K* de corte co círculo. A potencia do punto A con respecto a dito círculo é

Por outro lado, *AL = c+a* e *AP = c-a* de modo que

Ademais, *CK= -2a cos(γ)* polo que

Igualando as expresións obtidas chégase finalmente a:

Contrariamente ás precedentes, para esta demostración, non é necesario recorrer a un estudo por caso pois as relacións alxébricas son as mesmas para o caso do ángulo agudo.

### Polo cálculo vectorial 
Utilizando o cálculo vectorial, máis precisamente o produto escalar, é posible encontrar o teorema do coseno nalgunhas liñas:
:

## Xeneralización en xeometrías non euclidianas 
miniatura|200px|Fig. 7 - Triángulo esférico: dimensións reducidas *a*, *b* e *c* ; ángulos α, β e γ.
Para unha superficie non euclidiana de curvatura *K*, sinalamos con *R* o radio de curvatura. Este verifica
:\,R = 1/\sqrt.
Definimos entón as dimensións reducidas do triángulo:
:\,a = BC/R,
:\,b = AC/R,
:\,c = AB/R.
No caso dun triángulo esférico, *a*, *b* e *c* corresponden á medida angular dos segmentos de circunferencia maximal [BC], [AC] e [AB] (ver Fig. 7).

### Xeometría esférica 
Cando o radio de curvatura é moi grande comparado coas dimensións do triángulo, é dicir cando
:\,a , 
esta expresión simplifícase para dar a versión euclidiana do teorema do coseno. Para facelo, :\,\cos a = 1 - a^2/2 + O(a^3) etc.

Existe unha identidade similar que relaciona os tres ángulos:
:\cos\gamma = - \cos\alpha\,\cos\beta + \sin\alpha\,\sin\beta\,\cos c

### Xeometría hiperbólica 
Nun triángulo hiperbólico ABC, o teorema do coseno escríbese
:\cosh c = \cosh a\,\cosh b - \sinh a\,\sinh b\,\cos\gamma.

Cando o radio de curvatura se volve moi grande fronte ás dimensións do triángulo, encontramos o teorema do coseno euclidiano a partir dos desenvolvementos limitados
:\,\sinh a = a + O(a^3) etc., 
:\,\cosh a = 1 + a^2/2 + O(a^3) etc.

## Xeneralización no espazo euclidiano 
miniatura|260px|Fig. 8 - Tetraedro: vértices, caras e ángulos. 
Consideremos un tetraedro A1A2A3A4 do espazo euclidiano, sendo:

:\,\mathrm S_k a cara oposta ao vértice \mathrm A_k\ ; 
:\,s_k a superficie de \mathrm S_k\ ; 
:\,\Delta_k o plano que contén a cara \mathrm S_k\ ; 
:\,\theta_{ij} o ángulo diedral \widehat{(\Delta_i, \Delta_j)}.

(A figura 8, contigua, presenta a notación dos vértices, caras e ángulos do tetraedro).

Entón, as superficies e ángulos verifican:

::\,s_4^2 = s_1^2+s_2^2+s_3^2 - 2s_1s_2\cos\theta_{12}\, 
::- 2s_1s_3\cos\theta_{13} - 2s_2s_3\cos\theta_{23}\,. 

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* *Los Elementos*, tomo II, Euclides. 
* *Law of cosines'', en Math World 
* 
* 
### Outros artigos 
* Trigonometría
** Triangulación
** Trigonometría esférica
** Función trigonométrica
* Xeometría do triángulo
** Teorema de Pitágoras
** Teorema do seno
* Matemáticos 
** Euclides
** al-Battani
** Ghiyath al-Kashi
** François Viète