Fórmula de Euler

A **fórmula de Euler** ou **relación de Euler**, atribuída a Leonhard Euler, establece o teorema, no que:
:e^{i x} = \cos x + i\,\sen x

para todo número real *x*, que representa un ángulo no plano complexo. Nela, *e* é a base do logaritmo natural, *i* é a unidade imaxinaria, \sen x e \cos x son as funcións trigonométricas seno e coseno.

Tamén adoita expresarse como:
:e^{z} = e^{x + i y} =e^{x}(\cos y + i\,\sen\,y)
onde z é a variábel complexa definida por z=x+iy

## Demostración 
Nótese que esta non é unha demostración baseada nas propiedades dos números complexos e da función exponencial, senón que é necesaria a definición da exponencial complexa como o equivalente á serie de Taylor sobre os números reais para parámetros complexos.

A fórmula pode interpretarse xeometricamente como unha circunferencia unitaria no plano complexo, debuxada pola función *e**ix* ao variar x sobre os números reais. Así, x é o ángulo dunha recta que conecta a orixe do plano e un punto sobre a circunferencia unidade, co eixe positivo real, medido no sentido contrario ás agullas do reloxo e en radiáns. A fórmula só é válida se tamén o seno e o coseno teñen os seus argumentos en radianes.

A fórmula de Euler foi formulada por primeira vez por Roger Cotes en 1714, e logo redescuberta e popularizada por Euler en 1748. É interesante notar que ningún dos descubridores viu a interpretación xeométrica sinalada anteriormente: a visión dos números complexos como puntos no plano xurdiu en 1787 por parte do matemático Caspar Wessel no seu único informe para a Real Academia Danesa.

### Demostración usando as series de Taylor 
miniatura|300x300px|A fórmula de Euler ilustrada no plano complexo.
Sabendo que:
: \begin{align}
i^0 &{}= 1, \quad &
i^1 &{}= i, \quad &
i^2 &{}=-1\quad &
i^3 &{}= -i, \\
i^4 &={} 1, \quad &
i^5 &={} i, \quad &
i^6 &{}= -1, \quad &
i^7 &{}= -i, \\
\end{align}

e así sucesivamente. Ademais disto, as funcións *e**x*, cos(*x*) e sen(*x*) (asumindo que *x* sexa un número real) poden ser expresadas empregando as súas series de Taylor ao redor de cero.
:  \begin{align}
 e^x &{}= \frac{x^0}{0!}  + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \\
 \cos x &{}= \frac{x^0}{0!} - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\
 \sin x &{}= \frac{x^1}{1!}  - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots
\end{align}
: Outra definición que se lle pode dar a *e* elevado a xe baseándose nas series de Taylor é a seguinte:
: e^x=1+\biggl(\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k!}\biggr)
: tamén valido para.
: \cos x=1+\biggl(\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k!}\biggr)
: \sin x=1+\biggl(\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k!}\biggr)
  
Defínese cada unha destas funcións polas series anteriores, substituíndo *x* por *i·z*, onde *z* é unha variable real e *i* a unidade imaxinaria. Isto é posible porque o raio de converxencia é infinito en cada serie. Entón atópase que:
: \begin{align}
 e^{iz} &{}= \frac{(iz)^0}{0!} + \frac{(iz)^1}{1!} + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots \\
        &{}= \frac{z^0}{0!} + i\frac{z^1}{1!} - \frac{z^2}{2!} - i\frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + i\frac{z^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - i\frac{z^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \\
        &{}= \left( \frac{z^0}{0!} - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( \frac{z^1}{1!} - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right) \\
        &{}= \cos (z) + i\sin (z)
\end{align}

O reordenamento é posible debido a que cada serie é absolutamente converxente. Substituíndo *z* = *x* como un número real resulta identidade orixinal como a descubriu Euler.

## Relevancia matemática 
A fórmula proporciona unha potente conexión entre a análise matemática e a trigonometría. Utilízase para representar os números complexos en coordenadas polares e permite definir o logaritmo para números negativos e números complexos.

### Logaritmo dun número negativo 
Neste caso, a fórmula de Euler avalíase en x=\pi, obtendo a identidade de Euler:
:e^{\mathrm{i}\pi} = \cos \pi+ \mathrm{i}\,\sen \pi=-1  
:e^{\mathrm{i}\pi} =-1 \,\!

Logo, ao aplicar o logaritmo natural obtense:
:\mathrm{i}\pi =\ln (-1) \,\!.

### Logaritmo dun número negativo calquera 
Como extensión da ecuación anterior, o logaritmo de calquera número negativo defínese como:
:\ln (-a) = \ln (a) + \ln (-1) = \ln (a) + \mathrm{i}\pi \,\!. Onde a>0.

Ademais pode definirse o logaritmo dun número negativo en calquera base, a partir do logaritmo natural e a fórmula de cambio de base.

### Integración e derivación 
Unha propiedade importante da fórmula de Euler é que é a única función matemática que permanece coa mesma forma (excepto pola unidade imaxinaria) coas operacións de integración e derivación do cálculo integral, o que permite que se empregue para converter ecuacións diferenciais en ecuacións con forma alxébrica, simplificando enormemente esas operacións.

Das regras da exponenciación
: e^{a + b} = e^a \cdot e^{b}
e
: (e^a)^b = e^{a \cdot b}
(válidas para todo par de números complexos a e b), pódense derivar varias identidades trigonométricas, así como a fórmula de De Moivre.

### Funcións trigonométricas 
A fórmula de Euler tamén permite interpretar as funcións seno e coseno como simples variacións da función exponencial:
: \cos x = {e^{ix} + e^{-ix} \over 2}
: \sen x = {e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}

A partir destas igualdades, é posible definir as funcións trigonométricas para os números complexos deste xeito: 
:\sen z=\cfrac {e^{zi}-e^{-zi}}{2i}
:\cos z=\cfrac {e^{zi}+e^{-zi}}{2}
:\tan z=\cfrac {e^{zi}-e^{-zi}}{e^{zi}+e^{-zi}}*\cfrac{1}{i}

sendo z \in \mathbb {C}, é dicir, que pertence ao conxunto de números complexos. Estas funcións trigonométricas cumpren as leis das súas similares aplicadas aos números reais. Sexan os números complexos z e w, é dicir z \land w \in \mathbb {C}, entón son válidas as seguintes igualdades:
:\cos^2{z}+\sen^2{z}=1

:\cos(-z)=\cos(z)

:\sen(-z)=-\sen(z)

:\sen(z+w)=\sen(z)\cos(w)+\sen(w)\cos(z)

:\cos(z+w)=\cos(z)\cos(w)-\sen(w)\sen(z)

### Ecuacións diferenciais 
Nas ecuacións diferenciais, a expresión e^{ix} é utilizada a miúdo para simplificar derivadas, mesmo se a resposta final é unha función real na que aparezan senos ou cosenos. A identidade de Euler é unha consecuencia inmediata da fórmula de Euler.

### Análise de sinais 
Os sinais que varían periodicamente adoitan describirse como unha combinación de funcións seno e coseno, como ocorre na análise de Fourier, e estas exprésanse máis convenientemente como a parte real dunha función exponencial con expoñente imaxinario, empregando a fórmula de Euler.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Número complexo
* Pi
### Ligazóns externas 
* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Euler formulas»
* Weisstein, Eric W. «Euler Formula».
*Elements of Algebra
*Euler's Formula and Euler's Identity : Rationale for Euler's Formula and Euler's Identity, video at Khanacademy.org