Octonión

En matemáticas, **os octonións** son unha extensión non asociativa dos cuaternións. Forman unha álxebra de oito dimensións sobre o corpo ℝ dos números reais. A álxebra de octonións é xeralmente denotada por 𝕆.

Ao perder a importante propiedade da asociatividade, os octonións recibiron menos atención que os cuaternións. Malia isto, conservan a súa importancia en álxebra e xeometría, especialmente entre os grupos de Lie.

## Definición 
### Estrutura do espazo vectorial 
O espazo 𝕆 de octonións é un espazo vectorial real de dimensión 8 relacionado cunha base denotada como  (anticipando lixeiramente a definición de multiplicación).

Noutras palabras : cada octonion  escríbese de forma única como unha combinación linear con coeficientes reais x_n  destes oito elementos:
:x=x_0+x_1{\rm i}+x_2{\rm j}+x_3{\rm k}+x_4{\rm l}+x_5{\rm il}+x_6{\rm jl}+x_7{\rm kl}
e as dúas operacións espaciais vectoriais (suma de dous octonións e multiplicación pola esquerda dun octonión por un número real) fanse coordenada por coordenada.

### Multiplicación 
A multiplicación de octonións defínese entón como a única aplicación bilinear, e verifica
:\forall a,b,c\in\mathbb O,\forall\lambda\in\R,\qquad\left\{\begin{matrix}(a+b)c=ac+bc\\a(b+c)=ab+ac\\(\lambda a)b=a(\lambda b)=\lambda(ab)\end{matrix}\right.
e cuxos valores nos vectores da base veñen dados pola táboa de multiplicación que aparece a continuación:

Inmediatamente notamos que:

* (casas brancas) 1 é neutro (primeira fila e columna da táboa) e os outros 7 elementos da base teñen o cadrado –1 (diagonal);
* (casas verdes) dous elementos distintos *a* e *b*, entre os 7 elementos da base distintos de 1, anticomutativo ( *ab = –ba* ) (agás nas filas e columnas 1 e na diagonal onde o produto é conmutativo, a táboa é antisimétrica en signo con respecto á diagonal).
* O cuarto superior esquerdo da táboa é idéntico á táboa de multiplicación de cuaternións. En particular: .

A escolla inicial de  como base é, madía leva, arbitraria: como veremos máis adiante, hai moitas outras opcións para  e  tal que, configurando  e escollendo  adecuadamente, obtemos a mesma táboa. A maiores, dada esa opción, outra base é por exemplo : a táboa modifícase logo por cambios de signos.

#### Plano mnemotécnico de Fano 
dereita|miniatura| Plano mnemotécnico de Fano
Unha forma mnemotécnica de lembrar os produtos dos *octonións unitarios* vén dada polo diagrama superior.

Este diagrama de sete puntos e sete "círculos" (na figura plana, os segmentos que unen 3 puntos considéranse círculos estendéndoos ata o infinito por cada lado onde se unen) chámase *plano de Fano* (en realidade é o plano proxectivo construído sobre o corpo de dous elementos **Z**/2**Z**). Os círculos están orientados neste diagrama. Os sete puntos corresponden aos sete elementos non reais da base de 𝕆. Cada par de puntos atópase nun único círculo, e cada círculo pasa exactamente por tres puntos.

Sexa  unha terna ordenada de puntos situados nun dos círculos dados coa orde dada pola dirección da frecha. A multiplicación vén dada por:

* , 

con permutacións circulares conservando a orde relativa dada pola dirección do círculo:

* , 
* , 

As multiplicacións operan coa oitava dimensión (real) do seguinte xeito :

*  é o elemento neutro para a multiplicación,
* e^2 = -1  para cada punto  do diagrama define completamente a estrutura alxébrica de octonións.

Cada un dos sete círculos xera unha subálxebra de 𝕆 isomorfa aos cuaternións ℍ.

#### Conxugado 
O *conxugado* dun octonión
:x=x_0+x_1{\rm i}+x_2{\rm j}+x_3{\rm k}+x_4{\rm l}+x_5{\rm il}+x_6{\rm jl}+x_7{\rm kl} 
está dado por 
:x^*=x_0-x_1{\rm i}-x_2{\rm j}-x_3{\rm k}-x_4{\rm l}-x_5{\rm il}-x_6{\rm jl}-x_7{\rm kl}.
A *conxugación* é unha involución de 𝕆 e satisfai
:(xy)^*=(y^*)(x^*) (nótese o cambio na orde de sucesión).

#### Partes reais e imaxinarias 
A *parte real* do octonión  defínese do seguinte xeito

* {\rm Re}(x)=\frac{x+x^*}2=x_0

e a súa *parte imaxinaria*

* {\rm Im}(x)=\frac{x-x^*}2=x_1{\rm i}+x_2{\rm j}+x_3{\rm k}+x_4{\rm l}+x_5{\rm il}+x_6{\rm jl}+x_7{\rm kl}

#### Norma 
A *norma* dun octonión *x* defínese como a raíz cadrada dun número real positivo :

* \|x\|\ =\ \sqrt{x\ \ x^*}=\sqrt{x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 + x_6^2 + x_7^2} .

Esta *norma* corresponde á norma euclidiana en \mathbb{R}^8.

: \|x\|^2=[{\rm Re}(x)]^2-[{\rm Im}(x)]^2 .

#### Inversa 
A existencia dunha norma en 𝕆 implica a existencia dun inverso para todo elemento distinto de cero en 𝕆. O inverso de calquera *x* distinto de cero vén dado por:
:x^{-1}\ =\ \|x\|^{-2}\ x^* = \frac{x^*}{\|x\|^2}.

## Propiedades 
Así como os cuaternións (definidos proporcionando unha multiplicación do espazo vectorial de base  ) forman unha ℝ.álxebra xerada por  e , os octonións (definidos proporcionando unha multiplicación do espazo vectorial de base  ) forma unha ℝ-álxebra xerada por ,  e  .

A multiplicación de octonións non é

* nin conmutativa:  ,
* nin asociativa:  .

Satisfai unha propiedade máis débil que a asociatividade: a alternatividade, é dicir que dous elementos calquera  e  satisfán:(ab)b=a(bb).A multiplicación de octonións é a maiores asociativa de potencias, é dicir, que as potencias están definidas de forma unívoca.

Os octonións comparten unha propiedade importante con ℝ, ℂ e ℍ: a *norma* sobre 𝕆  satisfai\|xy\|\ =\ \|x\|\ \ \|y\|.Isto implica que os octonións forman unha álxebra de división normada. As álxebras de dimensións superiores definidas pola construción de Cayley-Dickson (por exemplo os sedenións) non cumpren esta propiedade: todos teñen divisores de cero e as súas multiplicacións xa non satisfán a conservación das normas.

Segundo un teorema de Hurwitz, as únicas álxebras normadas ℝ con división son ℝ, ℂ, ℍ e 𝕆. Outro teorema, debido a Zorn, estabelece que estas catro álxebras tamén forman as únicas ℝ-álxebras de división alternativas de dimensión finita.

Dado que a multiplicación de octonións non é asociativa, os elementos distintos de cero de 𝕆 non forman un grupo senón só un cuasigrupo.

### Automorfismos 
Un automorfismo da álxebra dos octonións é un automorfismo do espazo vectorial  de 𝕆 que satisfai
: A(xy)=A(x)A(y).
O grupo de automorfismos de 𝕆 é o  grupo *G*. É un grupo de Lie real simplemente conexo e compacto, de dimensión 14. Este grupo é o máis pequeno dos cinco grupos de Lie excepcionais.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* .
*
* 
*
*
*
*
* 
*
### Outros artigos 
* Cuaternión.
* Sedenión.
* Número complexo.
### Ligazóns externas 
* 
* Images fractales octonioniques réalisées avec Gecif a partir dos octonións
* Octavions, Dicionario de números, Gérard Villemin