Grupo multiplicativo de enteiros módulo n

En aritmética modular, os enteiros coprimos (relativamente primos) con *n* do conxunto \{0,1,\dots,n-1\} dos *n* primeiros enteiros non negativos forman un grupo baixo a multiplicación módulo *n*, chamado '*grupo multiplicativo dos enteiros módulo *n'''*. 

De maneira equivalente, os elementos deste grupo poden interpretarse como as clases de congruencia, tamén chamadas *residuos* ou *restos*, módulo *n*, que son coprimos con *n*.  
Por iso, tamén se coñece como o grupo das *'clases de residuos primitivas módulo *n*'*.  

Na teoría dos aneis, unha rama da álxebra abstracta, este grupo descríbese como o grupo de unidades do anel dos enteiros módulo *n*. Aquí, as *unidades* son os elementos que teñen inverso multiplicativo, que neste anel son exactamente aqueles que son coprimos con *n*.

## Teoría de grupos
Este grupo, que se denota habitualmente como (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times, é fundamental na teoría dos números. Úsase en criptografía, na factorización de enteiros e nas probas de primalidade.  
É un grupo abeliano, finito, cuxa orde está dada pola  función φ de Euler: \left| (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \right| = \varphi(n) .  
Se *p* é primo, entón \varphi(p) = p - 1.

Se *n* é primo, o grupo é cíclico; e en xeral, a súa estrutura é doada de describir, aínda que non se coñece unha fórmula sinxela para atopar un conxunto xerador.

### Axiomas de grupo
É un exercicio directo demostrar que, baixo a multiplicación, o conxunto das clases de congruencia módulo *n* que son coprimas con *n* satisfán os axiomas dun grupo abeliano.

De feito, *a* é coprimo con *n* se e só se . Os enteiros pertencentes á mesma clase de congruencia  cumpren que ; polo tanto, un é coprimo con *n* se e só se o outro tamén o é. Así, a noción de clase de congruencia módulo *n* coprima con *n* está ben definida.

Como  e  implican que , o conxunto das clases coprimas con *n* é pechado baixo a multiplicación.

A multiplicación de enteiros respecta as clases de congruencia; é dicir,  e  implican que . Isto implica que a multiplicación é asociativa, conmutativa, e que a clase de 1 é a única identidade multiplicativa.

Finalmente, dado un *a*, o inverso multiplicativo de *a* módulo *n* é un enteiro *x* que satisfai . Existe precisamente cando *a* é coprimo con *n*, pois nese caso , e segundo o lema de Bézout, existen enteiros *x* e *y* que satisfán . Obsérvese que esta ecuación implica que *x* é coprimo con *n*, polo que o inverso multiplicativo pertence ao grupo.

## Notación
O conxunto das (clases de congruencia de) enteiros módulo *n*, xunto coas operacións de suma e multiplicación, forma un anel.
Denótase como \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} ou \mathbb{Z}/(n), notación que indica o anel cociente dos enteiros módulo o ideal n\mathbb{Z} ou (n), formado polos múltiplos de *n*.

Fóra do contexto da teoría dos números, úsase a miúdo a notación máis sinxela \mathbb{Z}_n, aínda que pode levar a confusión cos enteiros p-ádicos cando *n* é un número primo.

O grupo multiplicativo dos enteiros módulo *n*, que corresponde ao grupo de unidades deste anel, pode atoparse escrito (segundo o autor) como:  
(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times,  
(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*,  
\mathrm{U}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}),  
\mathrm{E}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) (do alemán *Einheit*, que significa *unidade*),  
\mathbb{Z}_n^*,  
ou notacións similares.  
Neste artigo empregarase (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times.

A notación \mathrm{C}_n refírese ao grupo cíclico de orde *n*.
Este grupo é isomorfo ao grupo dos enteiros módulo *n* con respecto á suma.
Cómpre notar que \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} ou \mathbb{Z}_n tamén poden facer referencia ao grupo aditivo.

Por exemplo, o grupo multiplicativo (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times para un número primo *p'' é cíclico e, polo tanto, é isomorfo ao grupo aditivo \mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}, aínda que o isomorfismo non é inmediato.