Límite matemático

Nas matemáticas, o **límite** é un concepto que describe a *tendencia* dunha sucesión ou unha función, cando os parámetros desa sucesión ou función se acercan a determinado valor. No cálculo (especialmente en análise real e matemática) este concepto utilízase para definir a converxencia, continuidade, derivación, integración etc.

## Límite dunha función 
miniatura|250px|Parámetros utilizados na definición de límite.

### Definición 
Informalmente, dise que '*o límite da función f(*x*) é *L* cando *x* tende a *p'''*, e escríbese:
:  \lim_{x\to p} \, \, f(x) = L

se se pode encontrar para cada ocasión un *x* suficientemente próximo de *p* tal que o valor de f(*x*) sexa tan próximo a L como se desexe. Formalmente, utilizando termos lóxico-matemáticos:

:
   \begin{array}{l}
      \underset {x\to p}{\lim} \, \, f(x) = L \iff  \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \delta > 0 :     \\
      \forall x(0

Esta definición denomínase frecuentemente **definición épsilon-delta** de límite, e lese como segue:

## Límites dunha función de dúas ou máis variables 
Nas funcións de dúas ou máis variables a definición de límite é a mesma que en todas as funcións numéricas, mais nestas non sempre é fácil de calcular e moitas veces é mesmo difícil afirmar que exista ou non un límite.
Unha función de dúas variables sería:

\mathbb{R}^2 \rightarrow  \mathbb{R}

\ (x,y) \longmapsto f(x,y) = z  

A función de dúas variables ten *dous graos de liberdade* (nas funcións dunha variable só existe verdadeiramente un *grao de liberdade* que é a recta real, onde os valores poden ir cara a dereita, no sentido de maiores números reais, ou cara a esquerda, no sentido de menores números reais) por consecuencia é difícil achar o límite.

Ora, para que exista un valor de límite, é necesario que o *independa* do camiño tomado para que o(s) valor(es) da(s) variable(s) independentes sexan alcanzados. Iso pasa no caso unidimensional, cando os dous límites laterais coinciden. No caso contrario, o límite non existe.

De forma parecida, cando se ten unha función bidimensional como:

\mathbb{R}^2 \rightarrow  \mathbb{R}

\ (x,y) \longmapsto f(x,y) = xy  

o límite pode comprobarse a través de varios camiños. Supoñamos que queremos verificar o límite L desta función cando tende a (0,0):

\lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y) = L
----
Podemos aproximarnos ao valor (0,0) a través de varias posibilidades:

\lim_{x \to 0}f(x,0) = L

Neste caso, o límite L é cero

\lim_{y \to 0}f(0,y) = L

Neste caso, o límite L é tamén cero
----
Poderíase ficar enumerando todas as posibilidades, mais sería ocioso. No caso desta función, o límite neste punto é sempre cero.

## Límite dunha sucesión 
dereita|250px|miniatura| a_{n} = \begin{cases} 16 & \mbox{se } n = 0 \\ \cfrac{a_{n-1}}{2} & \mbox{se } n > 0 \end{cases} 

A definición do límite matemático no caso dunha sucesión é moi semellante á definición do límite dunha función cando x tende a \infty. Dicimos que a sucesión a_n **tende até o seu límite a**, ou que **converxe** ou **é converxente** (a a), o que denotamos como:
:\lim_{n\to\infty}a_n = a

se podemos achar un número N tal que todos os termos da sucesión tenden a a cando n crece ilimitadamente. Formalmente:
: a_n \to a \Leftrightarrow \forall\epsilon>0, \exists N>0 : \forall n\ge N, |a_n - a|

## Propiedades dos límites 
Os límites cumpren as seguintes propiedades xerais, que son usadas moitas veces para simplificar o cálculo dos mesmos.

*  \lim_{x \to a} x = \, a \, 
* Límite por escalar.
: \lim_{x \to a} kf(x) =\, k\lim_{x \to a} f(x)\,  onde *k'' é un multiplicador escalar.

* Límite dunha suma.
: \lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) =\, \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)\, 

* Límite dunha resta.
: \lim_{x \to a} (f(x) - g(x)) =\, \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x)\, 

* Límite dunha multiplicación.
: \lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) =\, \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)\, 

* Límite dunha división.
: 
   \underset {x \to a} {\lim} \; \frac {f(x)}{g(x)} =
   \frac 
      {\underset {x \to a} {\lim} \; f(x)}
      {\underset {x \to a} {\lim} \; g(x)}
   \quad
   \mathrm{si}\ \lim_{x \to a} g(x) \ne 0

### Indeterminacións 
Hai límites que calculándoos directamente se obtén algunha das seguintes expresións:

{{ecuación|
\infty - \infty, \; \frac{\infty}{\infty}, \; \infty \cdot 0 , \; \frac{0}{0}, \; \infty ^0, \; 1^\infty,0^0 \,

||center}}

Denomínanse indeterminacións a estas expresións, xa que non teñen solución coñecible. Nalgúns casos, simplificando as expresións iniciais ou obtendo expresións equivalentes ás iniciais pódese resolver a indeterminación e calcular o límite. Outros casos requiren do uso doutras ferramentas como poden ser desigualdades ou a regra de l'Hopital.
 
Un exemplo de indeterminación do tipo \textstyle \frac{0}{0} é o que se dá nestes tres casos:

\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t^2}=\frac{0}{0} \quad \xrightarrow[\mathrm{simplificando}]{}  \quad  \lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t} = \infty
 
\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t}=\frac{0}{0} \quad \xrightarrow[\mathrm{simplificando}]{}  \quad  \lim_{t\rightarrow 0} 1 =1

\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t^2}{t}=\frac{0}{0} \quad \xrightarrow[\mathrm{simplificando}]{}  \quad  \lim_{t\rightarrow 0} {t} = 0

## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Regra de l'Hôpital

### Ligazóns externas 
* Límites de funcións. Introdución 
* Introdución do cálculo de límites (vídeo) 
* Mathwords: Limit