Cálculo sombra

En matemáticas anteriores á década de 1970, o termo **cálculo sombra** referíase á sorprendente semellanza entre ecuacións polinómicas aparentemente non relacionadas e certas técnicas paralelas utilizadas para "probalas". Estas técnicas foron introducidas por John Blissard e ás veces chámanse **método simbólico de Blissard**. Moitas veces atribúense a Édouard Lucas (ou James Joseph Sylvester), quen utilizou a técnica de forma extensiva.

Despois do 2000, *o cálculo sombra* refírese ao estudo das secuencias de Sheffer, incluídas as secuencias polinómicas de tipo binomial e as secuencias de Apell, pero pode abranguer técnicas de correspondencia sistemática do cálculo de diferenzas finitas.

## O cálculo sombra do século XIX 
O método é un procedemento de notación usado para derivar identidades que inclúen secuencias indexadas de números *finxindo que os índices son expoñentes*. Construído literalmente, é absurdo, mais ten éxito: as identidades derivadas mediante o cálculo sombra tamén se poden derivar correctamente mediante métodos máis complicados que poden estabelecerse literalmente sen dificultade lóxica.

Un exemplo inclúe os polinomios de Bernoulli. Considere, por exemplo, a expansión binomial ordinaria (que contén un coeficiente binomial):

: (y+x)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}y^{n-k} x^k

e a relación notablemente semellante nos polinomios de Bernoulli:

: B_n(y+x)=\sum_{k=0}^n{n\choose k}B_{n-k}(y) x^k.

Na expansión binomial temos os expoñente e nos polinomios de Bernoulli temos as súas sombras que son os subíndices.

Compare tamén a derivada ordinaria

:  \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} 

a unha relación moi semellante nos polinomios de Bernoulli:

:  \frac{d}{dx} B_n(x) = nB_{n-1}(x).

Así, por exemplo, pretendendo que o subíndice *n* &#x2212; *k* é un expoñente:

: B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n\choose k}b^{n-k}x^k=(b+x)^n,

e despois diferenciando, obtense o resultado desexado:

: B_n'(x)=n(b+x)^{n-1}=nB_{n-1}(x).

No anterior, a variable *b* ten unha "sombra".

Vexa tamén a fórmula de Faulhaber .

## Serie de Taylor sombra 
No cálculo diferencial, a serie de Taylor dunha función é unha suma infinita de termos que se expresan en termos de derivadas da función nun único punto. É dicir, unha función real ou complexa *f* (*x*) que é infinitamente derivable en a pódese escribir como:

f(x)=\sum_{n=0} ^ {\infty} \frac {f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}

Tamén temos relacións semellantes  na teoría das diferenzas finitas. A versión sombra da serie de Taylor vén dada por unha expresión similar que inclúe as *k*-ésimas diferenzas \Delta^k [f] dunha función polinómica,

: f(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{\Delta^k [f](a)}{k!}(x-a)_k

onde

: (x-a)_k=(x-a)(x-a-1)(x-a-2)\cdots(x-a-k+1)

é o símbolo de Pochhammer usado aquí para o produto factorial descendente.

Esta serie tamén se coñece como a *serie de Newton* ou **a expansión da diferenzas de Newton**. A analoxía coa expansión de Taylor utilízase no cálculo de diferenzas finitas.

## Bell e Riordan 
Nas décadas de 1930 e 1940, Eric Temple Bell intentou sen éxito facer este tipo de argumento loxicamente rigoroso. O combinatorialista John Riordan no seu libro *Combinatorial Identities* publicado na década de 1960, utilizou este tipo de técnicas amplamente.

## O cálculo sombra moderno 
Outro combinatorialista, Gian-Carlo Rota, sinalou que o misterio desaparece se se considera a función linear *L* en polinomios en *z* definidos por

: L(z^n)= B_n(0)= B_n.

Daquela, usando a definición dos polinomios de Bernoulli e a definición e linearidade de *L*, pódese escribir

: \begin{align}
B_n(x) &= \sum_{k=0}^n{n\choose k}B_{n-k}x^k \\
    &= \sum_{k=0}^n{n\choose k}L\left(z^{n-k}\right)x^k \\
    &= L\left(\sum_{k=0}^n{n\choose k}z^{n-k}x^k\right) \\
    &= L\left((z+x)^n\right)
\end{align}

Isto permite substituír ocorrencias de B_n(x) por L((z+x)^n), é dicir, mover o *n* dun subíndice a un superíndice (a operación clave do cálculo sombra). Por exemplo, agora podemos demostrar que:

: \begin{align}
\sum_{k=0}^n{n\choose k}B_{n-k}(y) x^k 
&= \sum_{k=0}^n{n\choose k}L\left((z+y)^{n-k}\right) x^k \\
&= L\left(\sum_{k=0}^n {n\choose k} (z+y)^{n-k} x^k \right) \\
&= L\left((z+x+y)^n\right) \\
&= B_n(x+y).
\end{align}

Rota afirmou máis tarde que moita da confusión era debida á falta de distinción entre tres relacións de equivalencia que ocorren con frecuencia neste tema, todas elas indicadas polo mesmo símbolo "=".

Nun artigo publicado en 1964, Rota utilizou métodos sombra para estabelecer a fórmula de recursión satisfeita polos números de Bell, que enumeran particións de conxuntos finitos.

No artigo de Roman e Rota citado a continuación, o cálculo sombra caracterízase como o estudo da **álxebra sombra**, definida como a álxebra de funcionais lineares no espazo vectorial de polinomios nunha variable *x*, cun produto *L* 1 *L* 2 de funcións lineares definido por

: \left \langle L_1 L_2 | x^n \right \rangle = \sum_{k=0}^n {n \choose k} \left \langle L_1 | x^k \right \rangle \left \langle L_2 | x^{n-k} \right \rangle.

Cando as secuencias polinómicas substitúen as secuencias de números como imaxes de *yn* baixo a correspondencia linear *L*, entón o método sombra é visto como un compoñente esencial da teoría xeral de polinomios especiais de Rota, e esa teoría é o **cálculo sombra** nalgunhas definicións máis modernas do termo. Unha pequena mostra desa teoría pódese atopar no artigo sobre secuencias polinómicas de tipo binomial. Outro é o artigo titulado Sheffer sequence.

Rota máis tarde aplicou extensamente o cálculo sombra no seu traballo con Shen para estudar as diversas propiedades combinatorias dos cumulantes.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
*
* G.-C. Rota, D. Kahaner, and A. Odlyzko, *"Finite Operator Calculus,"* Journal of Mathematical Analysis and its Applications, vol. 42, no. 3, June 1973.  Reprinted in the book with the same title, Academic Press, New York, 1975.
*. Reprinted by Dover, 2005.

### Outros artigos 
*Bernoulli sombra
*Diferenzas finitas
*Polinomios Pidduck
*Método simbólico

### Ligazóns externas 
* 
* 
* Roman, S. (1982), The Theory of the Umbral Calculus, I