Logaritmo natural

dereita|miniatura| Gráfica da función logaritmo natural. A función medra lentamente cara ao infinito positivo segundo  aumenta, e vai lentamente cara ao infinito negativo cando  aproxima a 0
O **logaritmo natural** ou **logaritmo neperiano** dun número é o seu logaritmo con base a constante matemática [[Número e|]], que é un número irracional e transcendental aproximadamente igual a . O logaritmo natural de  escríbese xeralmente como , , ou ás veces, se a base  está implícita, simplemente .  Ás veces engádense parénteses para claridade, dando ,  ou . Isto faise especialmente cando o argumento do logaritmo non é un só símbolo, para evitar ambigüidades.

O logaritmo natural de  é a potencia á que habería que elevar  para igualar . Por exemplo,  é  , porque . O logaritmo natural de , , é , porque , mentres que o logaritmo natural de  é , xa que .

O logaritmo natural pódese definir para calquera número real positivo  como a área baixo a curva  de  a   (sendo a área negativa cando  ).  A definición do logaritmo natural pódese ampliar daquela para dar valores de logaritmo para números negativos e para todos os números complexos distintos de cero, aínda que isto leva a unha función multivalor: ver logaritmo complexo para máis información.

A función logaritmo natural, se se considera como unha función con valores reais dunha variable real positiva, é a función inversa da función exponencial, dando lugar ás identidades: \begin{align}
  e^{\ln x} &= x \qquad \text{ if } x \in \R_{+}\\
  \ln e^x  &= x \qquad \text{ if } x \in \R
 \end{align}

Como todos os logaritmos, o logaritmo natural mapea a multiplicación de números positivos en suma:   \ln( x \cdot y ) = \ln x + \ln y~.

Pódense definir logaritmos para calquera base positiva que non sexa 1, non só . No entanto, os logaritmos noutras bases difiren só por un multiplicador constante do logaritmo natural, e pódense definir en termos deste último, \log_b x = \ln x / \ln b = \ln x \cdot \log_b e.

Os logaritmos son útiles para resolver ecuacións nas que a incógnita aparece como o expoñente dalgunha outra cantidade. Por exemplo, os logaritmos utilízanse para resolver a vida media, a constante de desintegración ou o tempo descoñecido en problemas de desintegración exponencial. Son importantes en moitas ramas das matemáticas e das disciplinas científicas, e úsanse para resolver problemas que impliquen xuro composto.

## Definicións 
O logaritmo natural pódese definir de varias maneiras equivalentes.

### Inversa de exponencial 
A definición máis xeral é como a función inversa de e^x, para que e^{\ln(x)} = x. Para os números complexos, e^z non é invertíbel, polo tanto \ln(z) é unha función multivalor. Para facer \ln(z) unha función propia de saída única, polo tanto, necesitamos restrinxila a unha rama principal particular, a miúdo denotada por \operatorname{Ln}(z).

Para os números complexos o logaritmo natural pode ter unha continuación analítica como
 \ln(z)=ln|z|+i \arg(z) 	
onde  |z|  é o módulo do complexo e \arg(z)  é o argumento do complexo, por exemplo  \ln(3 + 4i)=1.6094 + 0.9273 i.

### Definición como integral 
miniatura| como a área da rexión sombreada baixo a curva  de  a . Se  é menor que , a área considerada é negativa.
dereita|miniatura| A área baixo a hipérbole cumpre a regra do logaritmo. Aquí  denota a área baixo a hipérbole entre  e .

O logaritmo natural dun número real positivo  pódese definir como a área baixo a gráfica da hipérbole coa ecuación  entre  e . Esta é a integral  \ln a = \int_1^a \frac{1}{x}\,dx.Se  está dentro do intervalo (0,1), entón a rexión ten área negativa e o logaritmo é negativo.

O logaritmo natural tamén ten unha representación integral impropia, que se pode derivar co teorema de Fubini do seguinte xeito: \ln\left(x\right)=\int_1^x \frac{1}{u} du = \int_1^x \int_0^\infty e^{-tu}\ dt\ du = \int_0^\infty \int_1^x e^{-tu}\ du\ dt = \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-t}-e^{-tx}}{t}dt

## Propiedades 
O logaritmo natural ten as seguintes propiedades matemáticas:

* \ln 1 = 0
* \ln e = 1
* \ln(xy) = \ln x + \ln y \quad \text{para }\; x > 0\;\text{e }\; y > 0
* \ln(x/y) = \ln x - \ln y \quad \text{para }\; x > 0\;\text{e }\; y > 0
* \ln(x^y) = y \ln x \quad \text{para }\; x > 0
* \ln(\sqrt[y]{x}) = (\ln x) / y\quad \text{para  }\; x > 0\;\text{e }\; y \ne 0
* \ln x 
* \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1
* \lim_{\alpha \to 0} \frac{x^\alpha-1}{\alpha} = \ln x\quad \text{para }\; x > 0
* \frac{x-1}{x} \leq \ln x \leq x-1 \quad\text{para }\quad x > 0
* \ln{( 1+x^\alpha )} \leq \alpha x \quad\text{para }\quad x \ge 0\;\text{e }\; \alpha \ge 1

## Derivada 
A derivada do logaritmo natural como función con valores reais sobre os reais positivos vén dada por  \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}.

A maiores temos: \frac{d}{dx} \ln ax = \frac{d}{dx} (\ln a + \ln x) = \frac{d}{dx} \ln a +\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}.

polo tanto, a diferenza da súa función inversa e^{ax}, unha constante na función logaritmo non altera o diferencial.

## Serie 
dereita|miniatura|290x290px| Os polinomios de Taylor para  só proporcionan aproximacións precisas no intervalo . Máis aló dalgún , os polinomios de Taylor de grao superior son aproximacións cada vez *peores*.
Como o logaritmo natural non está definido en 0, \ln(x) en si non ten unha serie de Maclaurin, a diferenza de moitas outras funcións elementais. Mais temos expansións de Taylor arredor doutros puntos. Por exemplo, se \vert x - 1 \vert \leq 1 \text{ and } x \neq 0,  entón  \begin{align}
  \ln x &= \int_1^x \frac{1}{t} \, dt = \int_0^{x - 1} \frac{1}{1 + u} \, du \\
  &= \int_0^{x - 1} (1 - u + u^2 - u^3 + \cdots) \, du \\
  &= (x - 1) - \frac{(x - 1)^2}{2} + \frac{(x - 1)^3}{3} - \frac{(x - 1)^4}{4} + \cdots \\
  &= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1} (x-1)^k}{k}.
 \end{align}

Esta é a serie Taylor para \ln x arredor de 1. Un cambio de variábeis produce a serie de Mercator: \ln(1+x)=\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^k = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots, válido para |x| \leq 1 e x\ne -1.

Un caso especial útil para números enteiros positivos , tomando x = \tfrac{1}{n}, é:  \ln \left(\frac{n + 1}{n}\right) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k n^k} = \frac{1}{n} - \frac{1}{2 n^2} + \frac{1}{3 n^3} - \frac{1}{4 n^4} + \cdots

O logaritmo natural tamén se pode expresar como un produto infinito: \ln(x)=(x-1) \prod_{k=1}^\infty \left (\frac{2}{1+\sqrt[2^k]{x}} \right )

Dous exemplos poden ser: \ln(2)=\left ( \frac{2}{1+\sqrt{2}} \right )\left ( \frac{2}{1+\sqrt[4]{2}} \right )\left ( \frac{2}{1+\sqrt[8]{2}} \right )\left ( \frac{2}{1+\sqrt[16]{2}} \right )...

## O logaritmo natural na integración 
O logaritmo natural permite a integración sinxela de funcións da forma g(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}; unha antiderivada de  vén dada por \ln (|f(x)|). Este solución é debida á regra da cadea xunto coa derivada  da función elemental \ln | x |: \frac{d}{dx}\ln \left| x \right| = \frac{1}{x}, \ \ x \ne 0.

Noutras palabras, ao integrar sobre un intervalo da liña real que non inclúe x=0 temos \int \frac{1}{x} \,dx = \ln|x| + C onde  é unha constante arbitraria de integración.

Por tanto, cando a integral está definida sobre un intervalo onde f(x) \ne 0 temos

: \int { \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx} = \ln|f(x)| + C.

Por exemplo, considere a integral de \tan (x) nun intervalo que non inclúe puntos onde \tan (x) é infinito: \int \tan x \,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \,dx = -\int \frac{\frac{d}{dx} \cos x}{\cos x} \,dx = -\ln \left| \cos x \right| + C = \ln \left| \sec x \right| + C.

O logaritmo natural pódese integrar mediante integración por partes: \int \ln x \,dx = x \ln x - x + C.

Sexa: u = \ln x \Rightarrow du = \frac{dx}{x}dv = dx \Rightarrow v = x daquela: 
\begin{align}
\int \ln x \,dx & = x \ln x - \int \frac{x}{x} \,dx \\
& = x \ln x - \int 1 \,dx \\
& = x \ln x - x + C
\end{align}

### Logaritmo natural de 10 
O logaritmo natural de 10, aproximadamente igual a ,  xoga un papel importante, por exemplo, no cálculo de logaritmos naturais de números representados en notación científica, como unha mantisa multiplicada por unha potencia de 10: \ln(a\cdot 10^n) = \ln a + n \ln 10.

Isto significa que se poden calcular eficazmente os logaritmos de números con magnitude moi grande ou moi pequena usando os logaritmos dun conxunto relativamente pequeno de decimais no intervalo .

## Fraccións continuas 
Aínda que non hai fraccións continuas simples dispoñíbeis, existen varias fraccións continuas xeneralizadas, incluíndo: 
\begin{align}
\ln(1+x) & =\frac{x^1}{1}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\cdots \\[5pt]
& = \cfrac{x}{1-0x+\cfrac{1^2x}{2-1x+\cfrac{2^2x}{3-2x+\cfrac{3^2x}{4-3x+\cfrac{4^2x}{5-4x+\ddots}}}}}
\end{align}

\begin{align}
\ln\left(1+\frac{x}{y}\right) & = \cfrac{x} {y+\cfrac{1x} {2+\cfrac{1x} {3y+\cfrac{2x} {2+\cfrac{2x} {5y+\cfrac{3x} {2+\ddots}}}}}} \\[5pt]
& = \cfrac{2x} {2y+x-\cfrac{(1x)^2} {3(2y+x)-\cfrac{(2x)^2} {5(2y+x)-\cfrac{(3x)^2} {7(2y+x)-\ddots}}}}
\end{align}

Estas fraccións continuas, especialmente a última, converxen rapidamente para valores próximos a&nbsp;1. Porén, os logaritmos naturais de números moito maiores pódense calcular facilmente, sumando repetidamente os de números máis pequenos, cunha converxencia igualmente rápida.

## Logaritmos complexos 
A función exponencial pódese estender a unha función que dá un número complexo como  para calquera número complexo arbitrario ; simplemente úsase a serie infinita con =z complexo. Esta función exponencial pódese inverter para formar un logaritmo complexo que presenta a maioría das propiedades do logaritmo ordinario. Hai dúas dificultades implicadas: 
* ningún  ten ; 
* resulta que  e dado que a propiedade multiplicativa aínda funciona para a función exponencial complexa, , temos o mesmo valor para múltiples expoñentes, calquera complexo  cos múltiples enteiros .

Polo tanto temos dúas consecuencias: o logaritmo non se pode definir para todo o plano complexo, e por outra parte aínda así é multivaluada, isto é, calquera logaritmo complexo pode mudarse a un logaritmo "equivalente" engadindo calquera múltiplo enteiro de . O logaritmo complexo só se pode valorar nun plano de corte, que normalmente corresponde con  k=0 . Por exemplo, \ln(i)= \frac{\pi i}{2}.

Ficheiro:NaturalLogarithmRe.png|alt=z = Re(ln(x + yi))| 
Ficheiro:NaturalLogarithmImAbs.png|alt=| 
Ficheiro:NaturalLogarithmAbs.png|alt=| 
Ficheiro:NaturalLogarithmAll.png|alt=Superposition of the previous three graphs|Superposición das tres gráficas anteriores

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 

### Outros artigos 
* Polilogaritmo
* Logaritmo
### Ligazóns externas 
* [Logaritmo natural en MathWorld(https://gl.wikipedia.org/wiki/MathWorld)].