Dominio (teoría dos aneis)

En álxebra, un **dominio** é un anel distinto de cero no que  implica  ou .  (Ás veces dise que un anel deste tipo "ten a propiedade do produto cero"). De forma equivalente, un dominio é un anel no que 0 é o único divisor de cero pola esquerda (ou equivalentemente, o único divisor de cero pola dereita). Un dominio conmutativo chámase dominio de integridade. A literatura matemática contén múltiples variantes da definición de "dominio".

## Exemplos e non exemplos 
* O anel \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} non é un dominio, porque as imaxes de 2 e 3 neste anel son elementos distintos de cero co produto 0. De forma máis xeral, para un número enteiro positivo n, o anel \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} é un dominio se e só se n é primo.
* Un dominio *finito* é automaticamente un corpo finito, segundo o teorema de Wedderburn.
* Os cuaternións forman un dominio non conmutativo. De forma máis xeral, calquera anel de división é un dominio, xa que todo elemento distinto de cero é invertíbel.
* O conxunto de todos os cuaternións de Lipschitz, é dicir, os cuaternións da forma a+bi+cj+dk onde *a*, *b*, *c*, *d* son números enteiros, é un subanel non conmutativo dos cuaternións, polo tanto un dominio non conmutativo.
* Do mesmo xeito, o conxunto de todos os  cuaternións de Hurwitz, é dicir, os cuaternións da forma a+bi+cj+dk onde *a*, *b*, *c*, *d* son todos enteiros ou todos medios enteiros (enteiros dividos por 2), é un dominio non conmutativo.
* Un anel de matrices M*n* (*R*) para *n* ≥ 2 nunca é un dominio: se *R* é distinto de cero, tal anel matricial ten divisores distintos de cero e incluso elementos nilpotentes distintos de 0. Por exemplo, o cadrado da matriz estándar *E*12 é 0.
* A álxebra tensorial dun espazo vectorial ou, de xeito equivalente, a álxebra de polinomios en variábeis non conmutativas sobre un corpo,  \mathbb{K}\langle x_1,\ldots,x_n\rangle,  é un dominio. Isto pódese demostrar usando unha ordenación nos monomios non conmutativos.
* Se *R* é un dominio e *S* é unha extensión de Ore de *R,* entón *S* é un dominio.
* A álxebra de Weyl é un dominio non conmutativo.
* A álxebra envolvente universal de calquera álxebra de Lie sobre un corpo é un dominio. A demostración usa a filtración estándar na álxebra envolvente universal e o teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt.

## Os aneis de grupos e o problema do divisor cero 
Supoña que *G* é un grupo e *K* é un corpo. O anel de grupos  é un dominio? A identidade

:  (1-g)(1+g+\cdots+g^{n-1})=1-g^n,

mostra que un elemento *g* de orde finita  induce un divisor de cero  en *R*. O **problema do divisor cero** pregunta se este é o único obstáculo; noutras palabras,

: Dado un corpo *K* e un grupo libre de torsión *G*, é certo que *K* [*G*] non contén divisores de cero?

Non se coñecen contraexemplos, pero o problema segue aberto en xeral (até 2017).

## Espectro dun dominio de integridade 
Os divisores de cero teñen unha interpretación topolóxica, polo menos no caso dos aneis conmutativos: un anel *R* é un dominio de integridade se e só se é reducido e o seu espectro Spec *R* é un espazo topolóxico irredutíbel. A miúdo considérase que a primeira propiedade codifica algunha información infinitesimal, mentres que a segunda é máis xeométrica.

Un exemplo: o anel , onde *k* é un corpo, non é un dominio, xa que as imaxes de *x* e *y* neste anel son divisores de cero. Xeométricamente, isto correspóndese co feito de que o espectro deste anel, que é a unión das liñas  e , non é irredutíbel. De feito, estas dúas liñas son os seus compoñentes irredutíbeis.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 

### Outros artigos 
* Divisor de cero
* Dominio de integridade
* Divisibilidade (teoría dos aneis)