Logaritmo natural de 2

O valor decimal do logaritmo natural de 2  é aproximadamente

: \ln 2 \approx 0.693\,147\,180\,559\,945\,309\,417\,232\,121\,458.

O logaritmo decimal  é 

: \log_{10} 2 \approx 0.301\,029\,995\,663\,981\,195.

Segundo o teorema de Lindemann-Weierstrass, o logaritmo natural de calquera número natural que non sexa 0 e 1 (máis xeralmente, de calquera número alxébrico positivo que non sexa 1) é un número transcendental.

## Representacións en serie 
### Factorial alternativo ascendente 
: \ln 2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}=1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\frac16+\cdots. Esta é a coñecida "serie harmónica alterna".
: \ln 2 = \frac{1}{2} +\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}.
: \ln 2 = \frac{5}{8} +\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)}.
: \ln 2 = \frac{2}{3} +\frac{3}{4}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)}.
: \ln 2 = \frac{131}{192} +\frac{3}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}.
: \ln 2 = \frac{661}{960} +\frac{15}{4}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}.
: \ln 2 = \frac{2}{3}.(1+\frac{2}{4^3-4}+\frac{2}{8^3-8}+\frac{2}{12^3-12}+.........) .

### Factorial constante ascendente binario 
: \ln 2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n}.
: \ln 2 = 1 -\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n(n+1)}.
: \ln 2 = \frac{1}{2} + 2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)} .
: \ln 2 = \frac{5}{6} - 6 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)} .
: \ln 2 = \frac{7}{12} + 24 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)} .
: \ln 2 = \frac{47}{60} - 120 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)} .

### Outras representacións en serie 
: \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} = \ln 2.
: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(4n^2-1)} = 2\ln 2 -1.
: \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n(4n^2-1)} = \ln 2 -1.
: \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n(9n^2-1)} = 2\ln 2 -\frac{3}{2}.
: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4n^2-2n} = \ln 2.
: \sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^2-4n} = \ln 2.
: \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{3n+1} = \frac{\ln 2}{3}+\frac{\pi}{3\sqrt{3}}.
: \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{3n+2} = -\frac{\ln 2}{3}+\frac{\pi}{3\sqrt{3}}.
: \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(3n+1)(3n+2)} = \frac{2\ln 2}{3}.
: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sum_{k=1}^n k^2} = 18 - 24 \ln 2 usando \lim_{N\rightarrow \infty} \sum_{n=N}^{2N} \frac{1}{n} = \ln 2
: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4n^2-3n} = \ln 2 + \frac{\pi}{6}  (sumas dos recíprocos dos números decagonais)

### Implicando a función Zeta de Riemann 
: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}[\zeta(2n)-1] = \ln 2.
: \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2^n}[\zeta(n)-1] = \ln 2 -\frac{1}{2}.
: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n+1}[\zeta(2n+1)-1] = 1-\gamma-\frac{\ln 2}{2}.
: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{2n-1}(2n+1)}\zeta(2n) = 1-\ln 2.

( é a constante de Euler-Mascheroni e  a función zeta de Riemann).

### Representacións tipo BBP 
: \ln 2 = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^\infty \left(\frac{1}{2k}+\frac{1}{4k+1}+\frac{1}{8k+4}+\frac{1}{16k+12}\right) \frac{1}{16^k} .

(Consulte máis información sobre as representacións de tipo Bailey–Borwein–Plouffe (BBP).)

Aplicando as tres series xerais para o logaritmo natural a 2 directamente dá:

: \ln 2 = \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}.
: \ln 2 = \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{2^{n}n}.
: \ln 2 = \frac{2}{3} \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{9^{k}(2k+1)}.

## Representación como integrais 
O logaritmo natural de 2 ocorre con frecuencia como resultado da integración. Algunhas fórmulas explícitas para iso inclúen:

: \int_0^1 \frac{dx}{1+x} = \int_1^2 \frac{dx}{x} = \ln 2

: \int_0^\infty e^{-x}\frac{1-e^{-x}}{x} \, dx= \ln 2

: \int_0^\infty 2^{-x} dx= \frac{1}{\ln 2}

: \int_0^\frac{\pi}{3} \tan x \, dx=2\int_0^\frac{\pi}{4} \tan x \, dx = \ln 2

: -\frac{1}{\pi i}\int_{0}^{\infty} \frac{\ln x \ln\ln x}{(x+1)^2} \, dx= \ln 2

## Outras representacións 
A expansión de Pierce é 

:  \ln 2 = 1 -\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 12} -\cdots. 

A expansión de Engel é 

:  \ln 2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{2\cdot 3\cdot 7} + \frac{1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}+\cdots. 

A expansión cotanxente é 

:  \ln 2 = \cot({\arccot(0) -\arccot(1) + \arccot(5) - \arccot(55) + \arccot(14187) -\cdots}). 

A expansión como fracción continua simple é 

:  \ln 2 = \left[ 0; 1, 2, 3, 1, 6, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 10, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 2, 3, 1,...\right] ,

que produce aproximacións racionais, as primeiras das cales son 0, 1, 2/3, 7/10, 9/13 e 61/88.

Esta fracción continua xeneralizada :

:  \ln 2 = \left[ 0;1,2,3,1,5,\tfrac{2}{3},7,\tfrac{1}{2},9,\tfrac{2}{5},...,2k-1,\frac{2}{k},...\right] , 
: tamén expresábel como
:  \ln 2 = \cfrac{1} {1+\cfrac{1} {2+\cfrac{1} {3+\cfrac{2} {2+\cfrac{2} {5+\cfrac{3} {2+\cfrac{3} {7+\cfrac{4} {2+\ddots}}}}}}}}
= \cfrac{2} {3-\cfrac{1^2} {9-\cfrac{2^2} {15-\cfrac{3^2} {21-\ddots}}}} 

## Díxitos coñecidos 
Esta é unha táboa de rexistros recentes no cálculo de díxitos de . Desde decembro de 2018, calculáronse máis díxitos que os de calquera outro logaritmo neperiano   dun número natural, agás o de 1.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 
* 
### Outros artigos 
*Ecuación de Erdős–Moser: tódalas solucións deben vir dos converxentes de .
### Ligazóns externas 
* 
*