Automorfismo interno

En álxebra abstracta, un **automorfismo interno** é un automorfismo dun grupo, anel ou álxebra dado pola acción de conxugación dun elemento fixo, chamado *elemento conxugado*. Pódense realizar mediante operacións desde o propio grupo, de aí o adxectivo "interno". Estes automorfismos internos forman un subgrupo do grupo de automorfismos, e o cociente do grupo de automorfismos por este subgrupo defínese como o grupo de automorfismos externos.

## Definición 
Se  é un gruop e  é un  elemento de  (alternativamente, se  é un anel, e  é unha unidade), entón a función

: \begin{align}
  \varphi_g\colon G&\to G \\
  \varphi_g(x)&:= g^{-1}xg
 \end{align}

chámase **conxugación por ** **(pola derita)** (ver tamén clase de conxugación). Esta función é un endomorfismo de : para todos x_1,x_2\in G,

: \varphi_g(x_1 x_2) = g^{-1} x_1 x_2g = g^{-1} x_1 \left(g g^{-1}\right) x_2 g = \left(g^{-1} x_1 g\right)\left(g^{-1} x_2 g\right) = \varphi_g(x_1)\varphi_g(x_2),

onde a segunda igualdade vén dada pola inserción da identidade entre x_1 e x_2. Alén diso, ten unha inversa pola esquerda e pola dereita, a saber \varphi_{g^{-1}}. Así, \varphi_g é tanto un monomorfismo como un epimorfismo, polo que é un isomorfismo de  consigo mesmo, é dicir, un automorfismo. Un **automorfismo interno** é calquera automorfismo que xorde da conxugación. 
miniatura| Relación xeral entre varios homomorfismos.
Cando se fala da conxugación pola dereita, a expresión g^{-1}xg adoita denotarse exponencialmente por x^g. Esta notación úsase porque a composición das conxugacións satisfai a identidade: \left(x^{g_1}\right)^{g_2} = x^{g_1g_2} para tódolos g_1, g_2 \in G. Isto mostra que a conxugación pola dereita dá unha acción pola dereita de  sobre si mesmo.

Un exemplo común é o seguinte:
miniatura| Relación de morfismos e elementos
Descríbese un homomorfismo \Phi para o que a imaxe, \text{Im} (\Phi), é un subgrupo normal de automorfismos internos dun grupo G; alternativamente, descríbese un homomorfismo natural do que o núcleo de \Phi é o centro de G (todos os g \in G para os que conxugando por eles devolve o automorfismo trivial), noutras palabras, \text{Ker} (\Phi) = \text{Z}(G). Sempre hai un homomorfismo natural \Phi : G \to \text{Aut}(G) , que  asocia a cada g \in G un automorfismo (interno) \varphi_{g} en \text{Aut}(G). Poñamos de xeito idéntico, \Phi : g \mapsto \varphi_{g}.

Sexa \varphi_{g}(x) := gxg^{-1} como se definiu anteriormente. Isto require demostrar que 

(1) \varphi_{g} é un homomorfismo, 

(2) \varphi_{g} tamén é unha bixección, 

(3) \Phi é un homomorfismo.

# \varphi_{g}(xx')=gxx'g^{-1} =gx(g^{-1}g)x'g^{-1} = (gxg^{-1})(gx'g^{-1}) = \varphi_{g}(x)\varphi_{g}(x')
# A condición de bixectividade pódese verificar simplemente presentando unha inversa coa que podemos volver a x dende gxg^{-1}. Neste caso é a conxugación por g^{-1} denotado como \varphi_{g^{-1}}.
# \Phi(gg')(x)=(gg')x(gg')^{-1} e \Phi(g)\circ \Phi(g')(x)=\Phi(g) \circ (g'hg'^{-1}) = gg'hg'^{-1}g^{-1} = (gg')h(gg')^{-1}

## Grupos de automorfismos internos e externos 
A composición de dous automorfismos internos é de novo un automorfismo interno, e con esta operación, a colección de todos os automorfismos internos de  é un grupo, o grupo de automorfismos interno de  denotado .

 é un subgrupo normal do grupo de automorfismos completo  de . O grupo de automorfismos externo,  é o grupo cociente

: \operatorname{Out}(G) = \operatorname{Aut}(G) / \operatorname{Inn}(G).

O grupo de automorfismos externos mide, en certo sentido, cantos automorfismos de  non son internos. Todo automorfismo non interno produce un elemento non trivial de , pero diferentes automorfismos non internos poden producir o mesmo elemento de  .

Dicir que a conxugación de  por  deixa  sen cambios equivale a dicir que  e  conmutan:

: a^{-1}xa = x \iff xa = ax.

Polo tanto, a existencia e o número de automorfismos internos que non son o mapa de identidade é unha especie de medida do fallo da lei conmutativa no grupo (ou anel).

Ao asociar o elemento  co automorfismo interno  en  como anteriormente, obtense un isomorfismo entre o grupo cociente  (onde  é o centro de ) e o grupo de automorfismos internos:

: G\,/\,\mathrm{Z}(G) \cong \operatorname{Inn}(G).

Esta é unha consecuencia do primeiro teorema de isomorfismo, porque  é precisamente o conxunto daqueles elementos de  que dan a correspondencia de identidade como automorfismo interno correspondente (a conxugación non muda nada).

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 
* 

### Outros artigos 
* Centro (teoría de grupos)
* Matriz nilpotente
* Grupo (matemáticas)
* Grupo cociente
### Ligazóns externas 
*
*