Hipérbole (xeometría)

280px|miniatura|As asíntotas da hipérbole son as liñas descontinuas azuis que se cortan no centro da hipérbole (curvas rubias), **C**. Os dous puntos focais denomínanse **F**1 e **F**2, e a liña negra que os une é o eixe transversal. A liña fina perpendicular en negro que pasa polo centro é o eixe conxugado, mentres que as dúas liñas grosas en negro paralelas ao eixe conxugado (ou perpendiculares ao eixe transversal) son as dúas directrices, **D**1 e **D**2. A excentricidade **e** (e>1), é igual ao cociente entre as distancias (en verde) desde un punto **P** da hipérbole até un dos focos e a súa correspondente directriz. Os dous vértices atópanse no eixe transversal a unha distancia ±**a** con respecto ao centro.

Unha **hipérbole** (do grego ὑπερβολή) é unha sección cónica, unha curva aberta de dúas pólas obtida de cortar un cono recto por un plano oblicuo ao eixe de simetría cun ángulo menor que o da xeratriz respecto do eixe de revolución.

## Etimoloxía 
miniatura|Seccións cónicas.

*Hipérbole* deriva da verba grega ὑπερβολή (*exceso*), e é cognado de *hipérbole* (a figura literaria que equivale a *esaxeración*).

## Historia 
miniatura|Debido á inclinación do corte, o plano da hipérbole interseca ambas ramas do cono.

Segundo a tradición, as seccións cónicas foron descritas por primeira vez por Menecmo, no seu estudo do problema da duplicación do cubo, onde demostra a existencia dunha solución mediante o corte dunha parábola cunha hipérbole, o cal é confirmado posteriormente por Proclo e Eratóstenes.

Mais o primeiro en usar o termo de *hipérbole* foi Apolonio de Perge no seu tratado *Cónicas*, considerada a obra maior sobre o tema das matemáticas gregas, e onde se desenvolve o estudo das tanxentes das seccións cónicas.

## Ecuacións da hipérbole 
:**Ecuacións en coordenadas cartesianas:
Ecuación dunha hipérbole con centro na orixe de coordenadas (0, 0) \, (forma canónica). a \, é o semieixo maior (metade da distancia entre as dúas pólas), e b \, é o semieixo menor.

:\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 
   
Ecuación dunha hipérbole con centro en (h, k) \, 
   
:\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 

:**Ecuación da hipérbole na súa forma complexa:

Unha hipérbole no plano complexo é o lugar xeométrico formado por un conxunto de puntos z\, (complexos), no plano Re Im\,; tales que, calquera deles satisfai a condición xeométrica de que o valor absoluto da diferenza das súas distancias |z-w_1|-|z-w_2|\,, a dous puntos fixos chamados focosw_1\, e w_2\,, é unha constante positiva igual ao dobre da distancia (é dicir, 2l\, ) que existe entre o seu centro e calquera dos seus vértices do eixe focal.

A ecuación queda: |z-w_1|-|z-w_2|=2l\,

:'*Ecuacións en coordenadas polares:

[miniatura|Dúas hipérboles e as súas [asíntotas.]]

*Hipérbole aberta de dereita a esquerda:* 80px
:r^2 =a\sec 2\theta \,

*Hipérbole aberta de arriba a abaixo:*
:r^2 =-a\sec 2\theta \,

*Hipérbole aberta de nordeste a suroeste:* 80px
:r^2 =a\csc 2\theta \,

*Hipérbole aberta de noroeste a sueste:*
:r^2 =-a\csc 2\theta \,

:*'Ecuacións paramétricas:

*Hipérbole aberta de dereita a esquerda:*
:\begin{matrix}
 x = a\sec t + h \\
 y = b\tan t + k \\
\end{matrix}
\qquad \mathrm{o} \qquad\begin{matrix}
 x = \pm a\cosh t + h \\
 y = b\sinh t + k \\
\end{matrix}

*Hipérbole aberta de arriba a abaixo:*
:\begin{matrix}
 x = a\tan t + h \\
 y = b\sec t + k \\
\end{matrix}
\qquad \mathrm{o} \qquad\begin{matrix}
 x = a\sinh t + h \\
 y = \pm b\cosh t + k \\
\end{matrix}

En todas as formulas (*h*,*k*) son as coordenadas do centro da hipérbole, *a* é a lonxitude do semieixe maior, *b* é a lonxitude do semieixe menor.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Ligazóns externas 
* Animación dun plano seccionando un cono e determinando a curva cónica hipérbole 
* Derivación da hipérbole de Apollonius en Convergence