Ideal primario

En matemáticas, especificamente en álxebra conmutativa, dise que un ideal propio *Q* dun anel conmutativo *A* é **primario** se sempre que *xy* é un elemento de *Q* entón *x* ou *y**n* tamén é un elemento de *Q*, para algún *n* > 0. Por exemplo, no anel de enteiros **Z**, (*p* *n*) é un ideal primario se *p* é un número primo.

A noción de ideais primarios é importante na teoría de aneis conmutativos porque todo ideal dun anel de Noether ten unha descomposición primaria, é dicir, pódese escribir como unha intersección de infinitos ideais primarios. Este resultado coñécese como teorema de Lasker-Noether. En consecuencia,  un ideal irredutíbel dun anel noetheriano é primario.

Existen varios métodos para xeneralizar ideais primarios a aneis non conmutativos, mais o tema é estudado con máis frecuencia para aneis conmutativos. Polo tanto, os aneis deste artigo suponse que son aneis conmutativos con identidade.

## Exemplos e propiedades 
* A definición pode ser rescrita dun xeito máis simétrico: un ideal propio \mathfrak{q} é primario se, cando x y \in \mathfrak{q}, temos x \in \mathfrak{q} ou y \in \mathfrak{q}  ou x, y \in \sqrt{\mathfrak{q}} (aquí \sqrt{\mathfrak{q}} denota o radical de \mathfrak{q}).
* Un ideal propio *Q* de *R* é primario se e só se cada divisor de cero en R/Q é nilpotente (com*p*are isto co caso de ideais primos, onde P é primo se e só se cada divisor de cero en R/P é de feito cero).
* Calquera ideal primo é primario, e ademais un ideal é primo se e só se é primario e semiprimo (tamén chamado ideal radical no caso commutativo).
* Cada ideal primario é primal.
* Se Q é un ideal *p*rimario, entón o radical de *Q* é necesariamente un ideal primo P, e este ideal é chamado o ideal primo asociado de *Q*. Nesta situación dise que *Q* é  **P-primario**.
** Doutra banda, un ideal cuxo radical é primo non é necesariamente primario: por exemplo, se R = k[x,y,z]/(x y - z^2), \mathfrak{p} = (\overline{x}, \overline{z}), e \mathfrak{q} = \mathfrak{p}^2, entón \mathfrak{p} é primo e \sqrt{\mathfrak{q}} = \mathfrak{p}, mais temos  \overline{x} \overline{y} = {\overline{z}}^2 \in \mathfrak{p}^2 = \mathfrak{q},\overline{x} \not \in \mathfrak{q} , e {\overline{y}}^n \not \in \mathfrak{q}  para todo n > 0, así que \mathfrak{q} non é primario.  A descomposición primaria de \mathfrak{q} é (\overline{x}) \cap ({\overline{x}}^2, \overline{x} \overline{z}, \overline{y}); aquí (\overline{x}) é \mathfrak{p}-primario e ({\overline{x}}^2, \overline{x} \overline{z}, \overline{y}) é (\overline{x}, \overline{y}, \overline{z})-primario.
* Se P é un ideal *p*rimo maximal, entón calquera ideal contendo unha potencia de P é P-primario. Non todo ideal P-*p*rimario necesita ser *unha potencia* de *P*, mais si polo menos conter unha potenciar de P; por exemplo o ideal (*x*, *y*2) é P-primario para o ideal P = (x, y)  no anel k[x, y], mais non é unha potencia de P, no entanto contén P².
* Se *A* é *un* anel de Noether e P *un* ideal *p*rimo, entón o kernel de A \to A_P, o mapa desde *A* ata a localización de *A*  en P, é a intersección de todos os P-ideais primarios.
* Un produto finito non baleiro de ideais \mathfrak{p}-primarios é \mathfrak{p}-primario mais un produto infinito de ideais \mathfrak{p}-primarios pode non ser \mathfrak{p}-primario; xa que por exemplo, nun anel noetheriano local con ideal maximal \mathfrak m, \cap_{n > 0} \mathfrak{m}^n = 0 (Teorema da intersección de Krull) onde cada \mathfrak{m}^n  é \mathfrak{m}-primario, por exemplo o produto infinito do ideal maximal m=\langle x,y \rangle (e por tanto primo e primario) do anel local K[x,y]/\langle x^2, xy\rangle  produce o ideal cero, o cal neste caso non é primario (porque o devisor de cero y non é nilpotente). De feito, nun anel de Noether, un produto non baleiro de ideais Q_i \mathfrak{p}-primarios  é \mathfrak{p}-primario se e só se existe algún enteiro n > 0 tal que \mathfrak{p}^n \subset \cap_i Q_i.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
*
*
*
*
*On primal ideals, Ladislas  Fuchs
*
### Outros artigos 
* Ideal_(teoría_dos_aneis)#Tipos_de_ideais.
### Ligazóns externas 
*Primary ideal (Planetmath).