Relación de equivalencia

En teoría de conxuntos e álxebra a noción de **relación de equivalencia** sobre un conxunto, permite establecer unha relación entre os elementos do conxunto que comparten certa característica ou propiedade. Isto permite agrupar devanditos elementos en **clases de equivalencia**, é dicir, «paquetes» de elementos similares. Isto posibilita a construción de novos conxuntos engadindo todos os elementos dunha mesma clase como un só elemento que os representará e que define a noción de conxunto cociente.

[miniatura|upright=1.5|Neste conxunto de 8 libros, a relación « … ten o mesmo [ISBN que … » é unha relación de equivalencia.]]

## Definición 
Sexa K un conxunto dado non baleiro e \mathcal{R} unha relación binaria definida sobre K. Dise que \mathcal{R} é unha relación de equivalencia se cumpre as seguintes propiedades:
* Reflexividade: Todo elemento de K está relacionado consigo mesmo. É dicir, 
:: 
   \forall x\in K
   \; : \quad
   x \mathcal{R} x
.
* Simetría: Se un elemento de K está relacionado con outro, entón esoutro elemento tamén se relaciona co primeiro. É dicir,
:: 
   \forall x,y\in K
   \; : \quad
   x \mathcal{R} y \; \Rightarrow \; y \mathcal{R} x
.
* Transitividade: Se un elemento de K está relacionado con outro, e esoutro á súa vez relaciónase cun terceiro, entón o primeiro estará relacionado tamén con este último. É dicir,
:: 
   \forall x,y,z\in K
   \; : \quad
   x \mathcal{R} y \land y \mathcal{R} z
   \quad \Rightarrow \quad
   x \mathcal{R} z
.

**Notación:**
: En aritmética modular a relación de equivalencia entre dous elementos x e y denótase **x &equiv; y** (mod **R**) que se le "**x** é equivalente a **y** módulo **R**".

: Unha relación de equivalencia \sim sobre un corpo K pode denotarse co par (K,\sim)\,.

### Clase de equivalencia ou Relación de equivalencia 
En lóxica de clases e análise matemática, a relación de equivalencia \mathcal{R} define subconxuntos disxuntos en K chamados clases de equivalencia:

Dado un elemento a\in K, o conxunto dado por todos os elementos relacionados con a definen a clase 
:[a] = \{b\in K\,|\,b\mathcal{R}a\},
que se chama a clase de equivalencia asociada ao elemento a.

O elemento a chámase representante da clase.

Chámase orde ao número de clases que xera unha relación de equivalencia; se é finito, dise que a relación é de orde finito.

O concepto de clase de equivalencia ten importancia en ciencia; dado un conxunto de obxectos ou entidades abstractas (potencialmente infinitas), poden establecerse relacións de equivalencia sobre a base dalgún criterio, as clases resultantes son os "tipos" nos que se pode clasificar toda a gama de obxectos.

### Conxunto cociente 
Ao conxunto de todas as clases de equivalencia denomínase conxunto cociente e adóitase denotalo como 
:K/\mathcal{R} ou K/\sim

### Partición 
Unha relación de equivalencia sobre un conxunto induce unha partición do mesmo, é dicir, un conxunto no que se definiu unha relación de equivalencia pode ser dividido en varios subconxuntos de elementos equivalentes entre si e tales que a reunión deses subconxuntos coincide co conxunto enteiro. O seguinte teorema expresa en termos máis formais esa mesma idea:
: **Proposición**: Unha relación de equivalencia no conxunto non baleiro K determina unha partición deste, e toda partición de K determina unha relación de equivalencia neste.

A partición ten como elementos as clases de equivalencia. Estas son disxuntas dúas a dúas e a unión delas é igual ao conxunto K.
* para calquera par a_i,a_j non relacionados tense: [a_i]\cap[a_j]=\emptyset; 
* a unión de todos integra o total: \bigcup_s[a_s]=K

## Exemplos 
* Sexa N= {0,1,2, 3...}. Defínese unha relación de equivalencia en N×N, como segue: (a;b)\sim(c;d) se e só se a+d = b +c. Esta é unha relación de equivalencia en N×N e cada clase de equivalencia é un número enteiro. [(2;0)]= { (x;y)/ 2+y = 0 + x } a (2;0) chámase representante canónico e denótase, simplificadamente, 2.
* A igualdade matemática.
* A relación de congruencia módulo M no conxunto dos números enteiros (i.e. M\in\mathbb{Z}), onde se define: a \sim b se e só se a - b\, é múltiplo de M.
:Esta relación é de equivalencia porque:
:*É reflexiva: a - a = 0, que é múltiplo de M.
:*É simétrica: se a - b é múltiplo de M, entón b - a = -(a - b) tamén é múltiplo de M.
:*É transitiva: sexan k e l números enteiros tales que a - b = M k e b - c = M l. Entón, a - c = (a - b) + (b - c) = M k + M l = M(k + l) e polo tanto un múltiplo de M.

* Sexa *H* un subgrupo dun grupo de *G*. Definindo para elementos do grupo a \sim b se e só se ab^{-1}\in H, teremos a relación de equivalencia camada congruencia módulo *H*.
* Definindo, para elementos do grupo, a \sim b se e só se existe *g* en *G* tal que gag^{-1}=b, chámase relación de conxugación e as súas clases de equivalencia reciben o nome de **clase de conxugación**.

## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* James R.Munkres, *Topología*, (2002), Prentice Hall.

### Outros artigos 
* Teoría da orde
* Topoloxía cociente
* Espazo vectorial cociente
* Equivalencia lóxica
### Ligazóns externas 
* Weisstein, Eric W. Relación de equivalencia.