Divisor

En matemáticas, un **divisor** dun número enteiro n, tamén chamado **factor** de n, é un número enteiro m que se pode multiplicar por algún número enteiro para producir n.  Neste caso, tamén se di que n é **múltiplo** de m. Un número enteiro n é **divisible** por outro número enteiro m se m é un divisor de n; isto implica que ao dividir n por m non temos un resto.

## Definición 
Un número enteiro n é divisible por un número enteiro distinto de cero m se existe un número enteiro k tal que n=km. A nomenclatura habitual é

: m\mid n.

En latex sería "m \mid n".

Isto pódese ler así m divide a n, m é un divisor de n,m é un factor de n, ou n é múltiplo de m. Se m non divide a n, daquela a notación é m\not\mid n.  

Que en latex sería "m \not\mid n".

## Xeral 
Os divisores poden ser tanto negativos como positivos, aínda que moitas veces o termo está restrinxido a divisores positivos. Por exemplo, hai seis divisores de 4, que son 1, 2, 4, −1, −2 e −4, pero só se mencionarían os positivos (1, 2 e 4).

1, -1, n e -n coñécense como **divisores triviais** de n. Un divisor de n que non é un divisor trivial coñécese como un **divisor non trivial** (ou divisor estrito ). Un número enteiro distinto de cero con polo menos un divisor non trivial coñécese como número composto, mentres que as unidades −1 e 1 e os números primos non teñen divisores non triviais.

Os **divisores propios** son todos menos o número en si e o seu negativo, para o exemplo de 4 e tendo en conta só os divisores positivos, o 1 e o 2 son os divisores propios. 

Existen regras de divisibilidade que permiten recoñecer certos divisores dun número a partir dos díxitos do número.

## Exemplos 
* 7 é un divisor de 42 porque 7\times 6=42, así podemos dicir 7\mid 42. Tamén se pode dicir que 42 é divisible por 7, 42 é múltiplo de 7, 7 divide 42 ou 7 é un factor de 42.
* Os divisores non triviais de 6 son 2, &#x2212; 2, 3, &#x2212; 3.
* Os divisores positivos de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
* Os divisores positivos propios de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21.
* O conxunto de todos os divisores positivos de 60, A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}, parcialmente ordenado pola divisibilidade, ten o diagrama de Hasse:

centro|350x350px

## Outras nocións e feitos 
Algunhas regras elementais:

* Se a \mid b  e  b \mid c, entón a \mid c, é dicir, a divisibilidade é unha relación transitiva.
* Se a \mid b  e  b \mid a, entón a = b ou a = -b.
* Se a \mid b  e  a \mid c, entón cúmprese que   a \mid (b + c), igual para a resta  a \mid (b - c). 

Se a \mid bc, e \gcd(a, b) = 1, entón a \mid c.  Isto denómínase lema de Euclides.

Se p é un número primo e p \mid ab entón p \mid a ou p \mid b.

Un número enteiro n > 1 cuxo único divisor propio é 1 chámase número primo. 

Calquera divisor positivo de n é un produto de divisores primos de n elevado a algunha potencia. Esta é unha consecuencia do teorema fundamental da aritmética .

Un número n dise que é perfecto se é igual á suma dos seus divisores propios, deficiente se a suma dos seus divisores propios é menor que n, e abundante se esta suma supera n.

O número total de divisores positivos de n é unha función multiplicativa d(n), no caso de m e n seren relativamente primos, entón d(mn)=d(m)\times d(n). Por exemplo, d(42) = 8 = 2 \times 2 \times 2 = d(2) \times d(3) \times d(7) ; Os oito divisores de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 e 42. Esta función tamén se pode escribir como a número cero das funcións sigma \sigma_0 (n) 

A suma dos divisores positivos de n é outra función multiplicativa \sigma_1 (n) (p. ex \sigma_1 (42) = 96 = 3 \times 4 \times 8 = \sigma_1 (2) \times \sigma_1 (3) \times \sigma_1 (7) = 1+2+3+6+7+14+21+42 ). Esta última coñécese como función divisor e cada subíndice de sigma representa a potencia dos divisores cos que se fai a suma, por iso d(n)=\sigma_0 (n), pois os divisores elevados a cero é igual que contalos.

Se a factorización de n está dada polos primos

:  n = p_1^{\nu_1} \, p_2^{\nu_2} \cdots p_k^{\nu_k} 

daquela o número de divisores positivos de n é

:  d(n) = (\nu_1 + 1) (\nu_2 + 1) \cdots (\nu_k + 1), 

e cada un dos divisores ten a forma

:  p_1^{\mu_1} \, p_2^{\mu_2} \cdots p_k^{\mu_k} 

onde  0 \le \mu_i \le \nu_i  para cada 1 \le i \le k.

Para cada número natural n, temos d(n) 

## En álxebra abstracta 
### Teoría de aneis 
### Retícula de división 
Nas definicións que permiten que o divisor sexa 0, a relación de divisibilidade converte o conxunto \mathbb{N} de enteiros non negativos nun conxunto parcialmente ordenado que é unha retícula distributiva completa. O elemento maior desta retícula é 0 e o menor é 1. A operación de encontro **∧** ven dada polo máximo común divisor e a operación de unión **∨** polo mínimo común múltiplo. Esta retícula é isomorfa ao dual da retícula de subgrupos do grupo cíclico infinito Z.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* ; section B
* 
* 
* 
* Øystein Ore, Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).
* 
* 

### Outros artigos 
* Funcións aritméticas
* Algoritmo euclidiano
* Fracción (matemáticas)
* Factorización de enteiros
* Táboa de factores primos &#x2013; unha táboa de factores primos de 1 a 1000
* Divisor unitario
* Regras de Divisibilidade