Grupo fundamental

miniatura|250x250px|Mediante lazos con base nun punto fixo pódese explorar o espazo topolóxico ao que pertence. As clases de equivalencia destes lazos formarán o grupo fundamental.
En topoloxía, pódese asociar a cada punto *p* dun espazo topolóxico *X* un grupo que informa sobre a estrutura 1-dimensional da porción do espazo que rodea este punto. Os elementos deste grupo, chamado **grupo fundamental** de *X* relativo ao punto base *p*, son clases de equivalencia de lazos (curvas pechadas) con orixe no punto *p*.

Existen xeneralizacións a dimensións superiores deste grupo, que reciben o nome de grupos de homotopía. O grupo fundamental recibe tamén o nome de primeiro grupo de homotopía. De aí a forma común de notalo sexa \pi_1(X,p) \,.

## Definicións 
### Lazo 
Sexa X un espazo topolóxico, e p un punto fixo de X. Un **lazo** con base en p é unha aplicación continua \gamma : [0,1] \to X que verifica \gamma(0) = \gamma(1) = p.

O produto \alpha * \beta de dous lazos \alpha e \beta defínese como (\alpha * \beta)(t)= \begin{cases}\alpha(2t)& 0\leq t \leq \frac{1}{2}\\\beta(2t-1)& \frac{1}{2} \leq t \leq 1\end{cases}

Isto é, o lazo \alpha * \beta primeiro percorre o camiño de \alpha , pero a "dobre velocidade" e despois o de \beta, tamén a dobre velocidade.

### Clases de homotopía 
As clases de homotopía son as clases de equivalencia debidas á relación de ser homotópico. Dous lazos \alpha,\beta:[0,1]\to X \, con base nun punto común *p* son homotópicos se existe unha aplicación continua H:[0,1]\times [0,1]\to X\,  tal que

:H(s,0)=\alpha(s) \,
:H(s,1)=\beta(s) \,
:H(0,t)=p \,
:H(1,t)=p \,.

Intuitivamente unha clase de homotopía representa un conxunto de curvas que son deformables entre si.

### Grupo fundamental 
O produto de dúas clases de homotopía de lazos [*f*] e [*g*] defínese como [*f*∗*g*]. Pode demostrarse que este produto está ben definido ao ser independente da elección de representantes. Este produto permite obter unha estrutura de grupo: o elemento neutro será a clase [*γ*] do lazo trivial definido como *γ*(*t*) = *p* para todo *t*; o inverso da clase dun lazo [*f*] será a clase do mesmo lazo percorrido en sentido contrario (é dicir, *f*−1(*t*)=*f*(1-*t*))

O grupo fundamental dun espazo topolóxico X, baseado nun punto p\in X, notado como \pi_1(X,p), é o conxunto de clases de homotopía de curvas pechadas coa operación xustapor clases.

## Propiedades 
* Se o espazo é arcoconexo, os diferentes grupos \pi_1(X,p) \, e \pi_1(X,q) \, para dous puntos p,q \in X son isomorfos. Sendo posible falar do grupo fundamental do espazo: \pi_1(X) \,. Este isomorfismo non é natural en xeral.
* Unha aplicación continua f:X \to Y entre dous espazos topolóxicos induce unha aplicación do conxunto de lazos de *X* sobre o de lazos de *Y*. Esta aplicación indúcese tamén sobre as clases respectivas e convértese nun homomorfismo f_* entre os grupos fundamentais definido deste xeito: f_*[\alpha]=[f\circ\alpha].
* A asignación dada por X\to\pi_1(X) \, que vai da categoría de espazos topolóxicos á categoría de grupos é un functor. Este invariante pode ser calculado mediante a técnica de grafo de grupos coñecida como o teorema de Seifert-van Kampen. Con este resultado basta descompor o espazo en 2 espazos máis simples onde o grupo fundamental sexa coñecido.

## Exemplos 
* En moitos espazos só existe unha clase de homotopía de lazos, e en consecuencia o grupo fundamental é trivial. Un espazo topolóxico con grupo fundamental trivial chámase simplemente conexo. ℝ*n*, ou calquera subconxunto convexo de ℝ*n* sono. A esfera de dimensión *n* con *n* maior ou igual que 2 tamén o é.
* O espazo topolóxico máis simple non simplemente conexo é a circunferencia: o seu grupo fundamental é isomorfo ao grupo aditivo dos números enteiros ℤ. O número enteiro asociado a cada lazo de S^1 é o número de voltas que ese lazo dá ao redor dela.
* Se *X* e *Y* son dous espazos topolóxicos arcoconexos, o grupo fundamental do produto *X*×*Y* é isomorfo ao produto dos grupos de ambos os espazos. Por exemplo, se para a circunferencia, \pi_1(S^1)=\mathbb{Z}. Para o toro, homeomorfo a un produto de circunferencias, \pi_1(T^2)=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}.
* O grupo fundamental non ten por que ser conmutativo. Por exemplo, o grupo fundamental do plano privado de dous puntos  \mathbb R^2-\{a;b\} é isomorfo ao grupo libre con dous xeradores  F_2 . Estes dous xeradores son as clases dos lazos que pasando por un punto *p* rodean cada un dos puntos eliminados. Nalgunhas clases particulares de espazos topolóxicos, por exemplo na dos grupos topolóxicos, o grupo fundamental si resulta ser sempre abeliano.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* .
* 
* 
* 
### Ligazóns externas 
*
* Sets of base points and fundamental groupoids: mathoverflow discussion
* Groupoids in Mathematics
* Fundamental group in Conservapedia