Unidade (teoría dos aneis)

En álxebra, unha **unidade** ou **elemento invertíbel** dun anel é un elemento invertíbel para a multiplicación do anel. É dicir, un elemento  dun anel  é unha unidade se existe  en  tal que 
:vu = uv = 1,
onde  é a identidade multiplicativa; o elemento  é único para esta propiedade e chámase inverso multiplicativo de . O conxunto de unidades de  forma un grupo  baixo a multiplicación, chamado **grupo de unidades** ou **grupo de unidades** de . Outras notacións para o grupo de unidades son , .

## Exemplos 
A identidade multiplicativa  e a súa inversa aditiva  son sempre unidades. De xeito máis xeral, calquera raíz da unidade nun anel  é unha unidade: se , entón  é un inverso multiplicativo de . Nun anel distinto de cero, o elemento 0 non é unha unidade, polo que  non é pechado baixo a suma. Un anel distinto de cero  no que cada elemento distinto de cero é unha unidade (é dicir, ) chámase anel de división (ou corpo non conmutativo). Un anel de división conmutativo chámase corpo. Por exemplo, o grupo de unidade do corpo dos números reais  é  (todos os números agás o cero).

### Anel de enteiros 
No anel de enteiros , as únicas unidades son  e .

No anel  de enteiros módulo, as unidades son as clases de congruencia  representadas por enteiros coprimos a . Constitúen o grupo multiplicativo de números enteiros módulo.

### Anel de números enteiros dun corpo numérico 
No anel  obtido ao estender  co enteiro cadrático , temos , polo que  é unha unidade, e tamén o son as súas potencias, polo que  ten infinitas unidades.

De xeito máis xeral, para o anel de enteiros  nun corpo numérico , o teorema das unidades de Dirichlet afirma que  é isomorfo ao grupo 
:\mathbf Z^n \times \mu_R
onde \mu_R é o grupo (finito, cíclico) de raíces da unidade en , e  é o rango do grupo de unidades, con valor
:n = r_1 + r_2 -1, 
onde r_1, r_2 son o número de mergullos reais e o número de pares de mergullos complexos de , respectivamente.

Relacionando esta fórmula co exemplo : o grupo de unidades dun (o anel de enteiros dun)  corpo cadrático real é infinito de rango 2, xa que r_1=2, r_2=0.

### Polinomios e series formais de potencias 
Para un anel conmutativo , as unidades do anel de polinomios  son os polinomios 
:p(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n
tal que  é unha unidade en  e os restantes coeficientes a_1, \dots, a_n son nilpotentes, é dicir, satisfán a_i^N = 0 para algún  . En particular, se  é un dominio, entón as unidades de  son as unidades de . As unidades do anel da serie formal de potencias Rx son as series formais de potencias 
:p(x)=\sum_{i=0}^\infty a_i x^i 
tal que  é unha unidade en . 

### Aneis de matrices 
O grupo de unidades do anel  de matrices  sobre un anel  é o grupo  de matrices invertíbeis. Para un anel conmutativo , un elemento  de  é invertíbel se e só se o determinante de  é invertíbel en . Nese caso,  pódese dar explicitamente en termos da matriz adxunta.

### En xeral 
Para os elementos  e  nun anel , se 1 - xy é invertíbel, entón 1 - yx ten inverso 1 + y(1-xy)^{-1}x;  esta fórmula pódese intuir, mais non demostrar, mediante o seguinte cálculo nun anel de series formais de potencias non conmutativas: (1-yx)^{-1} = \sum_{n \ge 0} (yx)^n = 1 + y \left(\sum_{n \ge 0} (xy)^n \right)x = 1 + y(1-xy)^{-1}x. Consulte a identidade de Hua para ver resultados similares.

## Grupo das unidades 
Un anel conmutativo é un anel local se  é un ideal máximal.

Como pode verse, se  é un ideal, entón é necesariamente un ideal máximal e  é local xa que un ideal máximal é disxunto de .

Se  é un corpo finito, entón  é un grupo cíclico de orde .

Todo homomorfismo de aneis  induce un homomorfismo de grupos , xa que  mapea unidades en unidades. De feito, a formación do grupo de unidades define un functor dende a categoría de aneis ata a categoría de grupos. 

O esquema do grupo \operatorname{GL}_1 é isomorfo ao esquema de grupos multiplicativos \mathbb{G}_m sobre calquera base, polo que para calquera anel conmutativo , os grupos \operatorname{GL}_1(R) e \mathbb{G}_m(R) son canonicamente isomorfos a . Teña en conta que o functor \mathbb{G}_m (é dicir,  ) é representábel no sentido: \mathbb{G}_m(R) \simeq \operatorname{Hom}(\mathbb{Z}[t, t^{-1}], R) para aneis conmutativos . Explicitamente, isto significa que hai unha bixección natural entre o conxunto dos homomorfismos do anel \mathbb{Z}[t, t^{-1}] \to R e o conxunto de elementos unidade de  (en contraste, \mathbb{Z}[t] representa o grupo aditivo \mathbb{G}_a, o functor desmontaxe da categoría de aneis conmutativos á categoría dos grupos abelianos).

## Elemento asociado 
Supoña que  é conmutativo. Os elementos  e  de  chámanse *asociados* se existe unha unidade  en  tal que ; escrito . En calquera anel, os pares de elementos inversos aditivos   e  son ou están asociados, xa que calquera anel inclúe a unidade . Por exemplo, 6 e −6 están asociados en . En xeral,  é unha relación de equivalencia en .

A asociación tamén se pode describir en termos da acción de  en  mediante multiplicación: Dous elementos de  están asociados se están na mesma -órbita.

Nun dominio de integridade, o conxunto de asociados dun determinado elemento distinto de cero ten a mesma cardinalidade que .

A relación de equivalencia  pódese ver como calquera das Relacións de semigrupo de Green especializada no semigrupo multiplicativo dun anel conmutativo .

## Notas 
;Referencias

## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
### Outros artigos 
* Anel (álxebra)
* Localización (álxebra conmutativa)
* Inverso multiplicativo modular