Polinomio característico

Na álxebra linear, o **polinomio característico** dunha matriz cadrada é un polinomio que é invariante baixo a semellanza de matrices e ten os eigenvalores como raíces. Ten o determinante e a traza da matriz entre os seus coeficientes. 

O **polinomio característico** dun endomorfismo dun espazo vectorial de dimensión finita é o polinomio característico da matriz dese endomorfismo sobre calquera base (é dicir, o polinomio característico non depende da elección dunha base). 

A **ecuación característica**, tamén coñecida como **ecuación determinante**, é a ecuación obtida ao igualar o polinomio característico a cero.

Na teoría de grafos espectral, o **polinomio característico dun grafo** é o polinomio característico da súa matriz de adxacencia.

## Definición formal 
Considere unha matriz A  n \times n. O polinomio característico de A, denotado como p_A(t), é o polinomio definido por p_A(t) = \det (t I - A) onde I denota a matriz de identidade n \times n.

Algúns autores definen o polinomio característico ser \det(A - t I).

## Exemplos 
Para calcular o polinomio característico da matriz A = \begin{pmatrix}
2 & 1\\
-1& 0
\end{pmatrix},
 calcúlase o determinante da seguinte matriz: t I-A = \begin{pmatrix}
t-2&-1\\
1&t-0
\end{pmatrix}
e atopamos que o polinomio característico de A ven sendo (t-2)t - 1(-1) = t^2-2t+1 \,\!.

Segundo exemplo, esta vez usando funcións hiperbólicas dun ángulo hiperbólico &#x3C6; como coeficientes da matriz. Para a  matriz A = \begin{pmatrix} \cosh(\varphi) & \sinh(\varphi)\\ \sinh(\varphi)& \cosh(\varphi) \end{pmatrix},o seu polinomio característico é \det (tI - A) = (t - \cosh(\varphi))^2 - \sinh^2(\varphi) = t^2 - 2 t \ \cosh(\varphi) + 1 = (t - e^\varphi) (t - e^{-\varphi}).

## Propiedades 
O feito máis importante sobre o polinomio característico xa se mencionou no parágrafo inicial os autovalores de A son precisamente as raíces de p_A(t).

Para as  matrices A de dimensión 2 \times 2 o polinomio característico vén dado por t^2 - \operatorname{tr}(A) t + \det(A).

O teorema de Cayley-Hamilton estabelece que substituíndo t por A no polinomio característico (interpretando as potencias resultantes como potencias matriciais e o termo constante c como c veces a matriz identidade) dá a matriz cero. Informalmente falando, cada matriz satisfai a súa propia ecuación característica.

Dúas matrices semellantes teñen o mesmo polinomio característico. Porén, a inversa non é verdade en xeral: dúas matrices co mesmo polinomio característico poden non ser semellantes.

A matriz A e a súa transposta teñen o mesmo polinomio característico. A é semellante a unha matriz triangular se e só se o seu polinomio característico pode factorizarse completamente en factores lineares sobre K (o mesmo ocorre co polinomio mínimo en lugar do polinomio característico). Neste caso A é semellante a unha matriz na forma normal de Jordan.

## Polinomio característico de *A**k* 
Se \lambda é un eigenvalor dunha matriz cadrada A con eigenvector \mathbf{v}, entón \lambda^k é un eigenvalor de A^k porque A^k \textbf{v} = A^{k-1} A \textbf{v} = \lambda A^{k-1} \textbf{v} = \dots = \lambda^k \textbf{v}.

Tamén se pode demostrar que as multiplicidades coinciden, e isto xeneralízase a calquera polinomio en lugar de x^k:

{{Teorema|Sexa A unha matriz cadrada n \times n e sexa f(t) un polinomio. Se o polinomio característico de A ten unha factorización
p_A(t) = (t - \lambda_1) (t - \lambda_2) \cdots (t-\lambda_n)
entón o polinomio característico da matriz f(A) ven dado por
p_{f(A)}(t) = (t - f(\lambda_1)) (t - f(\lambda_2)) \cdots (t-f(\lambda_n)).}}

O teorema aplícase a matrices e polinomios sobre calquera caorpo ou anel conmutativo. Porén, a suposición de que p_A(t) ten unha factorización en factores lineares non sempre é verdade, a non ser que a matriz estea sobre un corpo alxebricamente pechado como os números complexos.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 

### Outros artigos 
* Valor propio, vector propio e espazo propio
### Ligazóns externas