Raíz da unidade módulo n

En teoría de números, e particularmente en aritmética modular, unha '*raíz k-ésima da unidade módulo *n'''* para os enteiros positivos *k*, *n*&nbsp;≥&nbsp;2, é unha raíz da unidade no anel de enteiros módulo *n*; é dicir, unha solución *x* da ecuación (ou *congruencia*) x^k \equiv 1 \pmod{n}. Se *k* é o expoñente máis pequeno deste tipo para *x*, entón *x* chámase *'raíz primitiva *k*-ésima da unidade módulo *n*'*.

As raíces da unidade módulo  son exactamente os números enteiros que son coprimos con . De feito, estes enteiros son raíces da unidade módulo  polo teorema de Euler, e os outros enteiros non poden ser raíces da unidade módulo , porque son divisores de cero módulo .

Unha raíz primitiva módulo, é un xerador do grupo de unidades do anel de enteiros módulo . Existen raíces primitivas módulo  se e só se \lambda(n)=\varphi(n), onde \lambda e \varphi son respectivamente a función de Carmichael e a función totiente de Euler.

Unha raíz de unidade módulo  é unha raíz primitiva  da unidade módulo  para algún divisor  de \lambda(n), e, pola contra, hai raíces primitivas -ésimas da unidade módulo  se e só se  é un divisor de \lambda(n).

## Raíces da unidade 
### Propiedades 
* Se *x* é unha raíz *k*-ésima da unidade módulo *n*, entón *x* é unha unidade (número invertíbel) cuxa inversa é x^{k-1}. É dicir, *x* e *n* son coprimos.
* Se *x* é unha unidade, entón é unha raíz (primitiva) *k*-ésima da unidade módulo *n*, onde *k* é a orde multiplicativa de *x* módulo *n*.
* Se *x* é unha raíz *k*-ésima da unidade e x-1 non é un divisor de cero, entón \sum_{j=0}^{k-1} x^j \equiv 0 \pmod{n}, porque

:: (x-1)\cdot\sum_{j=0}^{k-1} x^j \equiv x^k-1 \equiv 0 \pmod{n}.

A falta dun símbolo amplamente aceptado, denotamos o número de *k*-ésimas raíces da unidade módulo *n* como f(n,k). 

### Exemplos 
Sexa  n = 7  e  k = 3 . Neste caso, hai tres raíces cúbicas da unidade (1, 2 e 4). Temos que 1^3 = 1 \equiv 1 \pmod{7}, 2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7}, 4^3 = 64 = 9\cdot7+1 \equiv 1 \pmod{7}.

Cando  n = 11  porén, só hai unha raíz cúbica da unidade, a propia unidade 1. 

Este comportamento é bastante diferente do corpo dos números complexos onde cada número distinto de cero ten raíces *k*-ésimas.

## Raíces primitivas da unidade 
### Propiedades 
* O máximo expoñente base posíbel para raíces primitivas módulo n é \lambda(n), onde &#x3BB; denota a función de Carmichael.
* Un expoñente base para unha raíz primitiva da unidade é un divisor de \lambda(n).
* Cada divisor k de \lambda(n) dá unha raíz primitiva k-ésima da unidade. Pódese obter tal raíz escollendo unha \lambda(n)-ésima  raíz primitiva da unidade (que debe existir por definición de &#x3BB;), denominada x e calcular a potencia x^{\lambda(n)/k}.
* Se *x* é unha raíz primitiva *k*-ésima da unidade e tamén unha (non necesariamente primitiva) raíz *ℓ* da unidade, daquela *k* é un divisor de ℓ. Isto é certo, porque a identidade de Bézout produce unha combinación linealr enteira de *k* e *ℓ* igual a \gcd(k,\ell). Como *k* é mínimo, debe ser k = \gcd(k,\ell) e \gcd(k,\ell) é un divisor de&nbsp;*ℓ* .

### Comprobando se *x* é unha raíz *k*-ésima primitiva da unidade módulo *n* 
Por exponenciación rápida, pódese comprobar sex^k \equiv 1 \pmod{n}. Se isto é certo, *x* é unha raíz *k*-ésima da unidade módulo *n* mais non necesariamente primitiva. Se non é unha raíz primitiva, entón ha de haber algún divisor ℓ de *k*, con x^{\ell} \equiv 1 \pmod{n}. 

É dicir, *x* é unha raíz primitiva *k*-ésima da unidade módulo *n* se e só se x^k \equiv 1 \pmod{n} e  x^{k/p} \not\equiv 1 \pmod{n} para cada divisor primo *p* de *n*.

Por exemplo, se n=17, todo número enteiro positivo menor que 17 é unha raíz 16 da unidade módulo 17, e os enteiros que son raíces  primitivas 16-ésimas da unidade módulo 17 son exactamente aqueles tal que  x^{16/2} \not\equiv 1 \pmod{17}.

### Atopando unha raíz primitiva *k*-ésima da unidade módulo *n* 
Entre as raíces primitivas *k*-ésimas da unidade, as raíces primitiva \lambda(n)-ésimas son as máis frecuentes. Así, recoméndase probar algúns enteiros para ver se son unha raíz primitiva \lambda(n)-ésima, o que terá éxito rapidamente. Para unha raíz primitiva \lambda(n)-ésima *x*, o número x^{\lambda(n)/k} é unha raíz primitiva k-ésima   da unidade. Se *k* non divide \lambda(n), entón non haberá raíces *k''-ésimas  da unidade, en absoluto.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
*aritmética modular
*raíz da unidade