Dominio euclidiano

En matemáticas, máis concretamente en álxebra abstracta e teoría de aneis, un **dominio euclidiano** ou **anel euclidiano** (normalmente abreviado **DE** ) é un anel conmutativo no que se pode definir unha función euclidiana que permite xeneralizar a noción de división euclidiana habitual nos enteiros. Este algoritmo euclidiano xeneralizado pode usarse para os mesmos propósitos que o algoritmo euclidiano orixinal sobre o anel de enteiros: nun dominio euclidiano este algoritmo pódese usar para calcular o máximo común divisor de dous elementos calquera. En particular, o máximo común divisor de dous elementos sempre existe -o que xeralmente non é certo para un anel arbitrario- e pódese expresar como unha combinación linear deles (identidade de Bezout). Ademais, todo ideal dun dominio euclidiano é principal, o que implica que o teorema fundamental da aritmética pode ser xeneralizado: cada dominio euclidiano é un dominio de factorización única .

## Definición 
Un **dominio euclidiano** é un par (A,\phi) onde A É un dominio de integridade e \phi é unha aplicación \phi: A \setminus \{0\} \longrightarrow \mathbb{N} \cup \{0\} que reúne as dúas condicións seguintes:

1. Para calquera a,b \in A tal que b \neq 0 é certo que existen q,r \in A para que2 Para dous elementos calquera a,b \in A \setminus \{0\} :os elementos q e r chámanse respectivamente cociente e resto, como na división habitual.

Algúns autores consideran que a segunda condición é redundante e pode omitirse da definición.

### Terminoloxía 
Varios autores fan referencia á función \phi, (que define un dominio euclidiano), con diferentes nomes: “aplicación (ou función) euclidiana”, “función de medida” (ou tamaño), “grao” ou “función norma”. Nalgúns contextos fálase da "norma euclidiana", aínda que este nome pode levar a confusión coa norma vectorial que define a distancia usual.

É importante ter en conta que a función norma só toma valores enteiros, aínda que nalgún caso particular pode ampliarse \phi ao conxunto completo de números reais.

## Exemplos 
Os seguintes son exemplos de aneis que son dominios euclidianos:

* Se tomamos o conxunto de números enteiros \mathbb{Z} e como norma euclidiana tomamos o valor absoluto  | \cdot |, temos un dominio euclidiano, xa que |a| \leq |ab| para todo a,b \in \mathbb{Z} con b \neq 0. Usando esta definición, a propiedade   é equivalente ao algoritmo de división habitual entre números enteiros.

* En todo corpo \mathbb{K} pódese definir unha norma euclidiana, tomando esta como a función constante 1, xa que, para calquera elemento a e b de \mathbb{K}, as dúas propiedades son satisfeitas dun xeito trivial, a saber:

# tomando q = a/b temos que r=0.
# 1 = \phi(a) \leq \phi(a \cdot b) = 1.

* Considerando o anel de polinomios nunha variable \mathbb{K}[x] con coeficientes nun corpo \mathbb{K} e como norma euclidiana a función

:: \mathrm{grad}:\mathbb{K}[x] - \{0\} \longrightarrow\mathbb{N} \cup \{0\} 
: que a todo polinomio distinto de cero de \mathbb{K}[x] asigna o seu grao, o resultado é un dominio euclidiano.

* no anel de enteiros gaussianos, se para cada elemento \alpha = a +bi, onde a,b \in \mathbb{Z}, definimos a súa norma como N(\alpha) = a^2 + b^2, temos un dominio euclidiano.

Os seguintes son exemplos de aneis que **non** son dominios euclidianos:

* En xeral, o anel de polinomios con coeficientes nun anel A aínda que o propio A é un dominio euclidiano. Por exemplo \mathbb{Z}[X] non é un dominio euclidiano aínda que \mathbb{Z} si o é. (A diferenza do caso xeral co exemplo no que o anel de polinomios si que é dominio euclidiano é que non temos definida unha norma que cumpra a condición requirida, que si cumpre a norma definida polo grao do polinomio).

## Propiedades 
Nun dominio euclidiano, a identidade multiplicativa, o elemento 1_A, sempre ten a menor norma posíbel, é dicir. \phi(1_A)=1. Todas as unidades do anel teñen a mesma propiedade: \forall u \in A: u \ \text{ é unidade } \implies \phi(u)=1.

Todo dominio euclidiano A cumpre as seguintes propiedades:

* Cada par de elementos a,b \in A teñen o mínimo común múltiplo e o máximo común divisor, e verifícase a identidade de Bezout.
* Todo ideal A é principal, é dicir, A é un dominio de ideais principais. 
* Todo elemento a \in A ten unha descomposición única en factores irredutíbeis, é dicir, A é un domino de factorización única . 
* Nun dominio euclidiano todo elemento irredutíbel é primo. 
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
* 
* , exercice. 7
### Outros artigos 
* División euclidiana.
* Dominio de integridade.
### Ligazóns externas 
* Anel Euclidiano MathWorld .