Operación binaria

Unha **operación binaria** defínese como aquela operación matemática que precisa dun operador e de dous operandos (argumentos) para que se poida calcular un valor.

Dados tres conxuntos **A**, **B** e **C**, unha operación binaria é unha aplicación que asigna a cada par de valores **a** de **A** e **b** de **B** un só valor **c** de **C**, que podemos representar:
: 
   f: \; A \times B \to C

Representando a operación polo signo  \circledcirc  podemos expresar a operación:
: 
   a \circledcirc b = c
   \; , \quad
   \circledcirc (a, b) = c
   \; , \quad
   (a, b) \xrightarrow{\circledcirc} c

Por exemplo, o operador de suma «+» de números naturais é un operador binario, porque require dous argumentos:
: 
   \begin{array}{rcl}
      + : \; N \times N & \to & N       \\
      (a,b)             & \to & c = a + b
   \end{array} 

e temos que:
: 
   2 + 3 = 5
   \; , \quad
   +(2,3) = 5
   \; , \quad
   (2, 3) \xrightarrow{+} 5

O número de argumentos dunha función denomínase aridade.

## Clase de operación binaria 
Segundo os conxuntos **A**, **B** e **C** podemos diferenciar dous tipos de operacións, as internas nas que **A** = **B** = **C**, e as externas que son tódalas demais.

### Operación interna 
Se a cada par de valores (**a**, **b**) de  A^2  a operación lle corresponde un valor **c** de A:
: 
   f : \; A \times A \to A

dise que esta operación é interna, e así, por exemplo, dado o conxunto de vectores de tres dimensións V^3, e a suma de vectores, temos:
: 
   + : \; V^3 \times V^3  \to V^3

que a suma de dous vectores de V^3 é outro vector de V^3. Por exemplo, dados os vectores:
: 
   \mathbf{a} =
   a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k}

: 
   \mathbf{b} =
   b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k}

a súa suma é:
: 
   \mathbf{c} =  \mathbf{a} +  \mathbf{b}
   \; , \quad
   \mathbf{c} =
   (a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k}) +
   (b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k})
   \; , \quad
   \mathbf{c} =
   (a_x+b_x )\mathbf{i} + (a_y+b_y )\mathbf{j} + (a_z+b_z )\mathbf{k}

### Operación externa 
Se a operación non é interna, entón é externa, podéndose presentar os seguintes casos:

* Se a cada par de valores **a** de **A** e **b** de **B**, asígnaselle un valor **c** de **A**, 
: 
   f : \; A \times B \to A

a esta operación tamén se lle denomina **lei de composición externa**. Un exemplo sinxelo desta operación é o produto dun vector por un escalar:
: 
   \cdot : \; V^3 \times R \to V^3

así, dado o vector:
: 
   \mathbf{a} =
   a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k}

o resultado de multiplicalo por un escalar **b**, será:
: 
   \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot b
   \; , \quad
   \mathbf{c} = (a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k}) \cdot b
   \; , \quad
   \mathbf{c} = (a_x \cdot b) \mathbf{i} + (a_y \cdot b) \mathbf{j} + (a_z \cdot b) \mathbf{k}

* Se a operación é da forma:
: 
   f : \; A \times A \to B

na que a cada par de valores **a**, **b** de **A** se lle asigna un **c** de **B**, esta operación non se denomina lei de composición. Como exemplo podemos poñer o produto escalar de dous vectores, que da como resultado un número real:
: 
   \circ  : \; V^3 \times V^3 \to R

así pois, dados os vectores:
: 
   \mathbf{a} =
   a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k}

: 
   \mathbf{b} =
   b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k}

o seu produto escalar será:
: 
   \mathbf{c} = \mathbf{a} \circ \mathbf{b}
   \; , \quad
\mathbf{c} = (a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k}) \circ (b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k})
   \; , \quad
   \mathbf{c} = a_x \cdot b_x +a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z

* Se a operación lle asigna a cada par de valores **a** de **A** e **b** de **B** un **c** de **C**, sendo **A**, **B** e **C** conxuntos distintos:
: 
   f : \; A \times B \to C

é o caso máis xeral, e tampouco se denomina lei de composición. Podemos ver o exemplo da división dun número enteiro entre un número natural para dar como resultado un número racional
: 
   \begin{array}{rcl}
      / : \; Z \times N & \to & Q         \\
      (a,b)             & \to & c = a / b
   \end{array} 

## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Operador
* Operación unaria
* Operador ternario
* Conmutatividade
* Asociatividade
* Elemento neutro
* Elemento simétrico
* Distributividade