Grupo de automorfismos

En matemáticas, o **grupo de automorfismos** dun obxecto *X* é o grupo formado polos automorfismos de *X* baixo composición de morfismos. Por exemplo, se *X* é un espazo vectorial de dimensións finitas, entón o grupo de automorfismos de *X* é o grupo de transformacións lineares invertíbeis de *X* en si mesmo (o grupo linear xeral de *X*). Se *X* é un grupo, entón o seu grupo de automorfismos \operatorname{Aut}(X) é o grupo formado por todos os automorfismos de grupo de *X*.

Especialmente en contextos xeométricos, un grupo de automorfismos tamén se denomina grupo de simetría. Un subgrupo dun grupo de automorfismos ás veces chámase **grupo de transformación**.

Os grupos de automorfismos estúdanse de forma xeral no campo da teoría de categorías .

## Exemplos 
Se *X* é un conxunto sen estrutura adicional, entón calquera bixección de *X* en si mesmo é un automorfismo e, polo tanto, o grupo de automorfismos de *X* neste caso é precisamente o grupo simétrico de *X*. Se o conxunto *X* ten estrutura adicional, entón pode darse o caso de que non todas as bixeccións do conxunto conserven esta estrutura, nese caso o grupo de automorfismos será un subgrupo do grupo simétrico de *X*. Algúns exemplos disto son:

* O grupo de automorfismos dunha extensión dun corpo L/K é o grupo formado polos automorfismos do corpo de *L* que fixan *K*. Se a extensión do corpo é Galois, o grupo de automorfismo chámase grupo de Galois da extensión do corpo.
* O grupo de automorfismos do *n*-espazo proxectivo sobre un corpo *k* é o grupo linear proxectivo \operatorname{PGL}_n(k). 
* O grupo do automorfismos G dun grupo cíclico finito de orde *n* é isomorfo a (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times, o grupo multiplicativo dos números enteiros módulo *n*, co isomorfismo dado por \overline{a} \mapsto \sigma_a \in G, \, \sigma_a(x) = x^a. En particular, G é un grupo abeliano.
* O grupo de automorfismos dunha álxebra de Lie real de dimensión finita \mathfrak{g} ten a estrutura dun grupo de Lie (real) (de feito, mesmo é un grupo alxébrico linear: ver máis abaixo). Se *G* é un grupo de Lie con álxebra de Lie \mathfrak{g}, entón o grupo de automorfismos de *G* ten unha estrutura dun grupo de Lie inducida a partir do grupo de automorfismos de \mathfrak{g}. {{Efn|En primeiro lugar, se *G* é simplemente conexo, o grupo de automorfismos de *G* é o de \mathfrak{g}. En segundo lugar, cada grupo de Lie conexo ten a forma \widetilde{G}/C onde \widetilde{G} é un grupo de Lie simplemente conexo e *C* é un subgrupo central e o grupo de automorfismos de *G* é o grupo de automorfismos de G que conserva *C*. En terceiro lugar, por convención, un grupo de Lie é segundo numerábel e ten como moito moitos compoñentes conexos; así, o caso xeral redúcese ao caso conexo.}}

Se *G* é un grupo que actúa sobre un conxunto *X*, a acción equivale a un homomorfismo de grupos de *G* no grupo de automorfismos de *X* e viceversa. De feito, cada acción *G* pola esquerda nun conxunto *X* determina G \to \operatorname{Aut}(X), \, g \mapsto \sigma_g, \, \sigma_g(x) = g \cdot x, e viceversa, cada homomorfismo \varphi: G \to \operatorname{Aut}(X) define unha acción por g \cdot x = \varphi(g)x. Isto esténdese ao caso en que o conxunto *X* ten máis estrutura que só un conxunto. Por exemplo, se *X* é un espazo vectorial, entón unha acción de grupo de *G* sobre *X* é unha *representación de grupo* do grupo *G*, representando *a G* como un grupo de transformacións lineares (automorfismos) de *X*; estas representacións son o principal obxecto de estudo no campo da teoría da representación.

Aquí temos outros datos sobre o grupo de automorfismos:

* Sexan A, B  dous conxuntos finitos da mesma cardinalidade e \operatorname{Iso}(A, B) o conxunto de todas as bixeccións A \mathrel{\overset{\sim}\to} B. Entón \operatorname{Aut}(B), que é un grupo simétrico (ver arriba), actúa sobre \operatorname{Iso}(A, B) dende a esquerda libre e transitivamente; é dicir, \operatorname{Iso}(A, B) é un torsor para \operatorname{Aut}(B).
* Sexa *P* un módulo proxectivo finitamente xerado sobre un anel *R*. Daquela hai un mergullo \operatorname{Aut}(P) \hookrightarrow \operatorname{GL}_n(R), único ata os automorfismos internos.

## En teoría de categorías 
Os grupos de automorfismos aparecen moi naturalmente na teoría de categorías.

Se *X* é un obxecto nunha categoría, entón o grupo de automorfismos de *X* é o grupo formado por todos os morfismos invertibles de *X* en si mesmo. É o grupo unitario do monoide do endomorfismo de *X*. (Para algúns exemplos, consulte PROP .)

Se A, B son obxectos nalgunha categoría, entón o conxunto \operatorname{Iso}(A, B) de tódolos A \mathrel{\overset{\sim}\to} B é torsor pola esquerda \operatorname{Aut}(B). En termos prácticos, isto di que unha escolla diferente dun punto base de \operatorname{Iso}(A, B) difire sen ambigüidades por un elemento de \operatorname{Aut}(B), ou que cada escolla dun punto base é precisamente unha escolla dunha trivialización do torsor.

Se X_1 e X_2 son obxectos en categorías C_1 e C_2, e se F: C_1 \to C_2 é un mapeo de funtores X_1 a X_2, entón F induce un homomorfismo de grupos \operatorname{Aut}(X_1) \to \operatorname{Aut}(X_2), xa que mapea morfismos invertibles a morfismos invertibles.

En particular, se *G* é un grupo visto como unha categoría cun único obxecto * ou, de xeito máis xeral, se *G* é un grupoide, entón cada funtor F: G \to C, *C* unha categoría, chámase acción ou representación de *G* sobre o obxecto F(*), ou os obxectos F(\operatorname{Obj}(G)). Dise logo que eses obxectos son G-obxectos (pois son actuados por G); cf. \mathbb{S}-obxecto. Se C é unha categoría de módulo como a categoría de espazos vectoriais de dimensión finita, entón os G-obxectos tamén se chaman G-módulos.

## Functor do grupo de automorfismos 
Sexa M un espazo vectorial de dimensións finitas sobre un corpo *k* que está equipado con algunha estrutura alxébrica (é dicir, *M* é unha álxebra de dimensións finitas sobre *k*). Pode ser, por exemplo, unha álxebra asociativa ou unha álxebra de Lie.

Agora, considere os  mapas k-lineares M \to M que conservan a estrutura alxébrica: forman un subespazo vectorial \operatorname{End}_{\text{alg}}(M) de \operatorname{End}(M). O grupo unitario de \operatorname{End}_{\text{alg}}(M) é o grupo do automorfismo \operatorname{Aut}(M). Cando se escolle unha base en *M*, \operatorname{End}(M) é o espazo das matrices cadradas e \operatorname{End}_{\text{alg}}(M) é o conxunto cero dalgunhas ecuacións polinómicas, e a invertibilidade descríbese de novo mediante polinomios. Polo tanto, \operatorname{Aut}(M) é un grupo alxébrico linear sobre *k* .

Agora as extensións de base aplicadas á discusión anterior determinan un functor: é dicir, para cada anel conmutativo *R* sobre *k*, considere os mapas *R*-lineares M \otimes R \to M \otimes R preservando a estrutura alxébrica, que denotamos como \operatorname{End}_{\text{alg}}(M \otimes R). A continuación, o grupo unitario do anel matricial \operatorname{End}_{\text{alg}}(M \otimes R) sobre *R* é o grupo de automorfismos \operatorname{Aut}(M \otimes R) e  R \mapsto \operatorname{Aut}(M \otimes R) é un functor de grupo: un functor da categoría de aneis conmutativos sobre *k* ata a categoría de grupos. Aínda mellor, está representado por un esquema (xa que os grupos de automorfismos están definidos por polinomios): este esquema denomínase **esquema de grupo de automorfismos** e denótase por \operatorname{Aut}(M).

En xeral, porén, un functor de grupo de automorfismos pode non estar representado por un esquema.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 

### Outros artigos 
*Grupo de automorfismos externos
*Estrutura de nivel, unha técnica para eliminar un grupo de automorfismo
*Grupo de holonomía

### Ligazóns externas 
*  automorphism-group-of-a-scheme.