Produto de Cauchy

En matemáticas, defídese o **produto de Cauchy**, así denominado en honra do matemático francés Augustin Louis Cauchy, como unha convolución discreta de dúas series estritamente formais, que se manipulan sen prestar atención a aspectos de converxencia, xeralmente, de números reais ou complexos, tales como

: \sum_{n=0}^\infty a_n,\qquad \sum_{n=0}^\infty b_n,

Sendo pois o produto de Cauchy:

: \left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = \sum_{n=0}^\infty c_n,\qquad\mathrm{onde}\ c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}

para *n* = 0, 1, 2,...

Non é preciso que as series sexan converxentes. Véxase por exemplo Serie formal de potencias.

É de esperar, que por analoxía coas sumas finitas, no caso en que as dúas series fosen converxentes, a suma da serie infinita

: \sum_{n=0}^\infty c_n

sexa igual ao produto

: \left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right)

do mesmo xeito que isto sería correcto se cada unha das dúas sumas que se multiplican posúe un número finito de termos.

En casos suficientemente ben comportados, cúmprese coa expresión anterior. Pero, e este é un punto importante, o produto de Cauchy de dúas sucesións existe aínda no caso de que unha ou ambas as dúas series infinitas correspondentes non fosen converxentes.

## Exemplos 
### Serie finita 
x_i = 0 para todo i>n e y_i = 0 para todo i>m. Neste caso o produto de Cauchy de  \sum_{i=0}^{\infty} x_i e \sum_{i=0}^{\infty} y_i é (x_0+\cdots + x_n)(y_0+\dots+y_m). Polo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), a multiplicación de Cauchy é directamente a multiplicación das series.

### Serie infinita 
* Primeiro exemplo. Sexan a,b\in\mathbb{R}, sexa x_n = a^n/n!\, e y_n = b^n/n!\,. Entón

:  C(x,y)(n) = \sum_{i=0}^n\frac{a^i}{i!}\frac{b^{n-i}}{(n-i)!} = \frac{(a+b)^n}{n!}

: por definición e pola fórmula binomial. Dado que, formalmente, \exp(a) = \sum_{n=0}^{\infty} x_n e \exp(b) = \sum_{n=0}^{\infty} y_n, demostrouse que \exp(a+b) = \sum_{n=0}^{\infty} C(x,y)(n). 
: Como o límite do produto de Cauchy de dúas series absolutamente converxentes é igual ao produto dos límites desas series (véxase abaixo), demostrouse polo tanto a fórmula \exp(a+b) = \exp(a)\exp(b) para todo a,b\in\mathbb{R}a,b\in\mathbb{R}.

* Segundo exemplo. Sexa  x_n = 1 para todo n\in\mathbb{N}, temos
: c_0 = x_0 x_0 = 1, c_1 =x_0 x_1 + x_1 x_0 = 2, c_2 = x_0 x_2 + x_1 x_1 + x_2 x_0 = 3, \ldots
: logo C(x,x)(n) = n+1 para todo n\in\mathbb{N}.  
: Entón o produto de Cauchy é \sum_{n=0}^{\infty} C(x,x)(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \ldots e así \lim_{n \rightarrow +\infty} (1+2+3+4 + \dots + n + \dots) non é converxente.

### Serie infinita como convolución discreta 
Podemos organizar cada sumando do produto en forma de matriz cos coeficientes da combinación de elementos todos por todos: 
: A = \begin{pmatrix}
 a_0b_0 & a_{0}b_{1}  & a_{0}b_{2} & a_{0}b_{3} & \cdots  \\
 a_1 b_0 & a_{1}b_{1}  & a_{1}b_{2} & a_{1}b_{3} & \cdots  \\
 a_2b_0 & a_{2}b_{1}  & a_{2}b_{2} & a_{2}b_{3} & \cdots  \\
 a_3b_0  & a_{3}b_{1}   & \cdots & \cdots & \cdots \\ 
 a_4b_0 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots  \\
 \vdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots  \\
\end{pmatrix},
desde o punto de vista desta matriz o produto de Cauchy é unha convolución discreta  formada pola suma das antidiagonais:
: \left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = \sum_{n=0}^\infty \text{antidiagonais} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}.
: \left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) = (a_0 b_0) + (a_0 b_1 + a_1 b_0) + (a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0) + \cdots 

## Converxencia e teorema de Mertens 
Sexan *x*, *y* sucesións reais, Franz Mertens demostrou que se a serie \sum y converxe a *Y* e a serie \sum x converxe absolutamente a *X* entón o produto de Cauchy delas  \sum C(x,y) converxe a *XY*. Non é suficiente con que ambas as series sexan condicionalmente converxentes. Por exemplo, a sucesión x_n = (-1)^n / \sqrt{n+1} xera unha serie condicionalmente converxente pero a sucesión C(x,x) non converxe a 0.

### Demostración do teorema de Mertens 
Sexa X_n = \sum_{i=0}^n x_i, Y_n = \sum_{i=0}^n y_i e .C_n = \sum_{i=0}^n C(x,y)(i). Entón C_n = \sum_{i=0}^n \sum_{k=0}^i x_k y_{i-k} = \sum_{i=0}^n Y_i x_{n-i} se se reordena. Polo tanto C_n = \sum_{i=0}^n(Y_i-Y)x_{n-i}+YX_n. Fixando un \epsilon> 0. Dado que \sum x é absolutamente converxente e \sum y é converxente entón existe un enteiro *N* tal que para todo n\geq N |Y_n-Y| e un enteiro *M* tal que para todo n\geq M |x_{n-N}| (dado que a serie converxe, a sucesión debe converxer a 0). Tamén, existe un enteiro *L* tal que se n\geq L entón |X_n-X|. Polo tanto, 

: |C_n - XY| = |\sum_{i=0}^n (Y_i-Y)x_{n-i}+Y(X_n-X)| \leq \sum_{i=0}^{N-1} |Y_i-Y||x_{n-i}|+\sum_{i=N}^n |Y_i-Y||x_{n-i}|+|Y||X_n-X|

para todos os enteiros *n* maiores que *N*, *M* e *L*. Pola definición de converxencia dunha serie \sum C(x,y)\to XY.

## Teorema de Cesàro 
Se *x* e *y* son sucesións reais e \sum x\to A e \sum y\to B entón \frac{1}{n}\left(\sum_{i=0}^n C(x,y)_n\right)\to AB

## Xeneralizacións 
Todo o enunciado nas seccións precedentes é aplicable ás sucesións de números complexos \mathbb{C}. Pódese definir tamén o **produto de Cauchy** para series en espazos euclidianos \mathbb{R}^n onde a multiplicación é o produto interno. Neste caso, verifícase que se dúas series converxen en forma absoluta entón o seu produto de Cauchy converxe en forma absoluta ao produto interno dos límites.

## Véxase tamén 
### Bibliografía
* 
*