Constante de Khinchin

En teoría de números, Aleksandr Yakovlevich Khinchin demostrou que para case todos os números reais *x*, os coeficientes *a**i* da fracción continua de *x* teñen unha media xeométrica finita que é independente do valor de *x* e que se coñece como **constante de Khinchin**.

: x = a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cfrac{1}{\ddots}}}}\;

case sempre é certo que

: \lim_{n \rightarrow \infty } \left( a_1 a_2 ... a_n \right) ^{1/n} = 
K_0

onde K_0 é a constante de Khinchin

: K_0 = 
\prod_{r=1}^\infty {\left( 1+{1\over r(r+2)}\right)}^{\log_2 r} \approx 2.6854520010\dots    

(onde \prod denota o produto en todos os termos da secuencia).

Entre os números cuxas expansións de fraccións continuas aparentemente teñen esta propiedade (baseada na evidencia numérica) están π, a constante de Euler-Mascheroni γ, a constante de Apéry ζ(3) e a propia constante de Khinchin. Non obstante, isto non está probado.

Entre os números *x* cuxas expansións de fraccións continuas se sabe que *non* teñen esta propiedade están os números racionais, as raíces das ecuacións de segundo grao (incluíndo a razón áurea &#x3A6; e as raíces cadradas de números enteiros) e a base do logaritmo natural *e*. Isto é consecuente con que estes números teñen ou fracción continua finita ou fracción continua períodica (ou cuase-períodica no caso de *e*).

Khinchin ás veces escríbese Khintchine (a transliteración francesa do ruso Хинчин) na literatura matemática máis antiga. 

## Esbozo da proba 
A proba aquí presentada foi presentada por Czesław Ryll-Nardzewski  e é moito máis sinxela que a proba orixinal de Khinchin que non utilizaba a teoría ergódica .

Dado que o primeiro coeficiente *a*0 da fracción continua de *x* non xoga ningún papel no teorema de Khinchin e dado que os números racionais teñen a medida de Lebesgue cero, redúcese ao estudo dos números irracionais no intervalo I=[0,1]\setminus\mathbb{Q}. Estes números están en bixección con fraccións continuas infinitas da forma [0;&nbsp;*a*1 ,&nbsp;*a*2 ,&nbsp;...], que simplemente escribimos [*a*1, *a*2, ...], onde *a*1, *a*2, ... son enteiros positivos. Definamos unha transformación *T* : *I* &#x2192; *I*  por

: T([a_1,a_2,\dots])=[a_2,a_3,\dots].\,

A transformación *T* chámase operador de Gauss–Kuzmin–Wirsing. Para cada subconxunto de Borel *E* de *I*, tamén definimos a medida de Gauss-Kuzmin de *E*

: \mu(E)=\frac{1}{\log 2}\int_E\frac{dx}{1+x}.

Entón *&#x3BC;* é unha medida de probabilidade na σ-álxebra dos subconxuntos de Borel de *I*. A medida *&#x3BC;* é equivalente á medida de Lebesgue en *I*, mais ten a propiedade adicional de que a transformación *T* conserva a medida *&#x3BC;*. Ademais, pódese demostrar que *T* é unha transformación ergódica do espazo medible *dotado* coa medida de probabilidade *&#x3BC;* (esta é a parte difícil da demostración). O teorema ergódico di entón que para calquera función *f* integrable *&#x3BC;* en *I*, o valor medio de f \left( T^k x \right) é o mesmo para case todos os x:

: \lim_{n\to\infty} \frac 1n\sum_{k=0}^{n-1}(f\circ T^k)(x)=\int_I f d\mu\quad\text{para }\mu\text{-case todos }x\in I.

Aplicando isto á función definida por *f* ([*a*1, *a*2, ...]) = log(*a*1), obtemos que

: \lim_{n\to\infty}\frac 1n\sum_{k=1}^{n}\log(a_k)=\int_I f \, d\mu = \sum_{r=1}^\infty\log(r)\frac{\log\bigl(1+\frac{1}{r(r+2)}\bigr)}{\log 2}

para case todos [*a*1, *a*2, ...] en *I* cando *n* &#x2192; \infty.

Tomando a exponencial a ambos os dous lados, obtemos á esquerda a media xeométrica dos *n* primeiros coeficientes da fracción continua e á dereita a constante de Khinchin.

## Expresións en serie 
A constante de Khinchin pódese expresar como unha serie zeta racional na forma 

: \log K_0 = \frac{1}{\log 2} \sum_{n=1}^\infty 
\frac {\zeta (2n)-1}{n} \sum_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k+1}}{k}

## Media de Hölder 
A constante de Khinchin pódese ver como a primeira dunha serie de medias de Hölder dos termos das fraccións continuas. Dada unha serie arbitraria {*a**n*}, a media de Hölder de orde *p* da serie vén dada por

: K_p=\lim_{n\to\infty} \left[\frac{1}{n} 
\sum_{k=1}^n a_k^p \right]^{1/p}.

Cando os {*a**n*} son os termos da expansión da fracción continua, as constantes veñen dadas por

: K_p=\left[\sum_{k=1}^\infty -k^p 
\log_2\left( 1-\frac{1}{(k+1)^2} \right)
\right]^{1/p}.

Isto obtense tomando a *p*-ésima media en conxunto coa distribución de Gauss–Kuzmin. Isto é finito cando p  .

A media aritmética diverxe: \lim_{n\to\infty}\frac 1n \sum_{k=1}^n a_k = K_1 = +\infty, e así os coeficientes medran arbitrariamente: \limsup_n a_n = +\infty .

O valor de *K* 0 obtense no límite de *p*&nbsp;&#x2192;&nbsp;0.

A media harmónica ( *p*&nbsp;=&nbsp;&#x2212; 1) é

: K_{-1}=1.74540566240\dots .

## Problemas abertos 
* Pénsase que π, a constante &#x3B3; de Euler-Mascheroni e a propia constante de Khinchin, baseada en evidencias numéricas,     están entre os números cuxa media xeométrica dos coeficientes *a**i* na súa expansión como fracción continua tende á constante de Khinchin. No entanto, ningún destes límites foi establecido con rigor.
* Non se sabe se a constante de Khinchin é un número racional, alxébrico irracional  ou transcendental. 

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Teorema de Lochs
* A constante de Lévy
* Lista de constantes matemáticas