Estatística de Maxwell-Boltzmann

miniatura|Representación gráfica da función densidade de distribución de Maxwell-Boltzmann.

En física, a **estatística de Maxwell-Boltzmann** é unha función estatística desenvolvida para modelar o comportamento de sistemas físicos rexidos pola mecánica clásica. Esta función estatística clásica, formulada orixinalmente polos físicos J.C. Maxwell e L. Boltzmann, rexe a distribución dun conxunto de partículas en función dos posibles valores de enerxía dos estados que estas poden ocupar. Para cada sistema termodinámico, a distribución de Maxwell-Boltzmann non é outra cousa que a aplicación do colectivo canónico da mecánica estatística, baixo o suposto non-cuántico de que os números de ocupación de cada estado dispoñible son pequenos comparados co número máximo de ocupación.

Esta función é unha densidade de probabilidade cuxa expresión é:{{Ecuación|f(\epsilon_i) = A(N;T) e^{-\epsilon_i/k T}||left}}Ou de forma máis xeneralizada, pode expresarse como:

\frac{N_i}{N} = \frac{g_i}{e^{(\epsilon_i - \mu)/kT}} = \frac{g_i e^{-\epsilon_i/kT}}{Z}

Onde:

* A(N;T): é unha función dependente de N, o número de partículas no sistema e de T, a temperatura do sistema en Kelvin.
* N_i é o número de partículas no estado *i*.
* \epsilon_i é a enerxía do estado *i*-ésimo.
* g_i é a dexeneración do nivel de enerxía *i*, é dicir, o número de estados (excluíndo o estado de partícula libre) con enerxía \epsilon_i.
* \mu é o potencial químico.
* k é a constante de Boltzmann.
* N é o número total de partículas:

:: N=\sum_i N_i\,

* Z é a función partición:

:: Z=\sum_i g_i e^{-\epsilon_i/kT}

* e é o número de Euler.

A distribución de Maxwell-Boltzmann aplicouse especialmente á teoría cinética de gases, e outros sistemas físicos, ademais de en econofísica para predicir la distribución da renda. En realidade a distribución de Maxwell-Boltzmann é aplicable a calquera sistema formado por *N* "partículas" ou "individuos" que intercambian estacionariamente entre si unha certa magnitude *M* e cada un deles ten unha cantidade *mi* da magnitude *M* e ao longo do tempo se cumpre que *M* :=  *m*1+*m*2+...+ *mN*.

## Límites de aplicación 
Para un sistema de partículas cuánticas, a hipótese de que N_i sexa substancialmente menor que g_i para os estados diferentes do fundamental en xeral non se cumprirá e é necesario acudir á estatística de Bose-Einstein se as partículas son bosónicas ou á estatística de Fermi-Dirac si as partículas son fermiónicas.

As estatísticas de Fermi–Dirac (+) e Bose–Einstein (−) poden ser expresadas como:{{Ecuación|N_i = \frac{g_i}{e^{(\epsilon_i-\mu)/kT}\pm 1}||left}}Asumindo que o valor mínimo de \epsilon_i é bastante pequeno, pódese verificar que a condición na cal a distribución de Maxwell-Boltzmann é válida é cando se cumpre que:{{Ecuación|e^{-\mu/kT} \gg 1||left}}Para un gas ideal, podemos calcular os potenciais químicos utilizando o desenvolvemento da ecuación Sackur–Tetrode para demostrar que&nbsp;:{{Ecuación|\mu=\left(\frac{\partial E}{\partial N}\right)_{S,V}=-kT\ln\left(\frac{V}{N\Lambda^3}\right)||left}}onde E é a enerxía interna total, S é a entropía, V é o volume, e \Lambda é a lonxitude de onda térmica de De Broglie. A condición de aplicación para a distribución Maxwell-Boltzmann nun gas ideal resulta:{{Ecuación|\frac{V}{N\Lambda^3}\gg 1.||left}}

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos
* Distribución de probabilidade
* Estatística de Fermi-Dirac
* Estatística de Bose-Einstein

### Bibliografía 
*