Forzas xeneralizadas

En mecánica analítica (particularmente a mecánica lagranxiana), as **forzas xeneralizadas** son conxugadas das coordenadas xeneralizadas. Son obtidas das forzas aplicadas ***F**i; i = 1, ... , n*, actuando sobre un sistema que ten a súa configuración definida en función de coordenadas xeneralizadas.  Na formulación de traballo virtual, cada forza xeneralizada é o coeficiente da variación dunha coordenada xeneralizada.

## Traballo virtual 
As forzas xeneralizadas poden ser obtidas do cálculo do traballo virtual, δW, das forzas aplicadas.

O traballo virtual das forzas, ***F**i*, actuando nas partículas , vén dado por

: \delta W = \sum_{i=1}^n \mathbf F_i \cdot \delta \mathbf r_i

Onde *δri* é o desprazamento virtual da partícula *Pi*.

### Coordenadas xeneralizadas 
Sendo os vectores de posición de cada unha das partículas, ri, unha función das coordenadas xeneralizadas, , j = 1, ...,  Entón os desprazamentos virtuais *δri* veñen dados por

: \delta \mathbf{r}_i = \sum_{j=1}^m \frac {\partial \mathbf {r}_i} {\partial q_j} \delta q_j,\quad i=1,\ldots, n,

Onde *δqj* é o desprazamento virtual da coordenada xeneralizada *qj*.  

O traballo virtual para o sistema de partículas devén

: \delta W = \mathbf F_1 \cdot \sum_{j=1}^m \frac {\partial \mathbf r_1} {\partial q_j} \delta q_j +\ldots+ \mathbf F_n \cdot \sum_{j=1}^m \frac {\partial \mathbf r_n} {\partial q_j} \delta q_j.

Lembrando os coeficientes de *δqj* obtemos

: \delta W = \sum_{i=1}^n \mathbf F_i \cdot \frac {\partial \mathbf r_i} {\partial q_1} \delta q_1 +\ldots+ \sum_{i=1}^n \mathbf F_i \cdot \frac {\partial \mathbf r_i} {\partial q_m} \delta q_m.

### Forzas xeneralizadas 
O traballo virtual dun sistema de partículas pode ser escrito na forma

:  \delta W = Q_1\delta q_1 + \ldots + Q_m\delta q_m,

Onde

: Q_j = \sum_{i=1}^n \mathbf F_i \cdot \frac {\partial \mathbf r_i} {\partial q_j},\quad j=1,\ldots, m,

son chamadas forzas xeneralizadas asociadas coas coordenadas xeneralizadas , 

### Formulación da velocidade 
Na aplicación do principio de traballo virtual é a miúdo conveniente obter desprazamentos virtuais desde as velocidades do sistema.  Para a partícula n do sistema, notando a velocidade de cada partícula Pi ser Vi, entón o desprazamento virtual  *δri* tamén pode ser escrito na forma

: \delta \mathbf r_i = \sum_{j=1}^m \frac {\partial \mathbf V_i} {\partial \dot q_j} \delta q_j,\quad i=1,\ldots, n.

Isto significa que a forza xeneralizada, Qj, tamén pode ser determinado cando

: Q_j = \sum_{i=1}^n \mathbf F_i \cdot \frac {\partial \mathbf V_i} {\partial \dot{q}_j}, \quad j=1,\ldots, m.

## Principio de D'Alembert 
D'Alembert formulou a dinámica dunha partícula como o equilibrio das forzas aplicadas cunha forza de inercia (forza aparente), o chamado Principio de D'Alembert. A forza de inercia dunha partícula, Pi, de masa mi é

: \mathbf F_i^*=-m_i\mathbf A_i,\quad i=1,\ldots, n,

Onde *Ai* é a aceleración da partícula.

Se a configuración do sistema de partículas depende das coordenadas xeneralizadas , entón a forza de inercia xeneralizada vén dada por

: Q^*_j = \sum_{i=1}^n \mathbf F^*_{i} \cdot \frac {\partial \mathbf V_i} {\partial \dot q_j},\quad j=1,\ldots, m.

Forma de D'Alembert do principio de observación de traballo virtual

:  \delta W = (Q_1+Q^*_1)\delta q_1 + \ldots + (Q_m+Q^*_m)\delta q_m.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Graos de liberdade (física e química)