Función multiplicativa

En aritmética, unha **función multiplicativa** é unha función aritmética *f*: ℕ* → ℂ a cumprir as dúas condicións seguintes:

* *f* (1) = 1;
* para todos os números enteiros *a* e *b* > 0 coprimos entre si, temos: *f*(*ab*) = *f*(*a*)*f*(*b*).

Unha **función completamente multiplicativa** é unha función aritmética *g* que satisfai:

* *g* (1) = 1;
* para *todos* os números enteiros *a* e *b* > 0, temos: *g* (*ab*) = *g*(*a*)*g*(*b*).

As funcións multiplicativas ocorren en particular na teoría analítica de números, nas series de Dirichlet.

## Determinación e exemplos 
Unha función multiplicativa *ƒ* está totalmente determinada polos seus valores nas potencias distintas de cero dos números enteiros primos. De feito, segundo o teorema fundamental da aritmética, calquera número enteiro *n* > 0 admite unha descomposición nun produto de factores primos, único sen ter en conta a orde dos factores:n=\prod_{i=1}^rp_i^{k_i}onde os *p* son números primos e os *k* son enteiros naturais, con (para garantir a unicidade) : a secuencia finita de *p* é estritamente crecente e cada *k* (chamada valoración p-ádica de *n*) é distinto de cero.

Ao aplicar *ƒ*, temos:f(n)=\prod_{i=1}^rf(p_i^{k_i}).Non hai restricións adicionais: calquera secuencia de números complexos indexada polas potencias distintas de cero dos números enteiros primos dá, a través da fórmula anterior, unha función multiplicativa única.

Por razóns análogas, unha función completamente multiplicativa *g* está totalmente determinada polos seus valores nos números primos. Usando as notacións anteriores:g(n)=\prod_{i=1}^rg(p_i)^{k_i}.Estas consideracións proban que hai unha infinidade de funcións completamente multiplicativas.

## Exemplos 
Algunhas funcións multiplicativas defínense para facilitar a escritura de fórmulas:

* 1(*n*): a función constante, definida por 1(*n*) = 1 (completamente multiplicativa)
* Id(*n*): función de identidade, definida por Id(*n*) = *n* (completamente multiplicativa)
* Id*k*(*n*): as funcións de potenciación, definidas por Id*k*(*n*) = *n**k* para calquera número complexo *k* (completamente multiplicativa). Como casos especiais temos
** Id0(*n*) = 1(*n*).
** Id1(*n*) = Id(*n*).
* *ε*(*n*): a función definida por *ε*(*n*) = 1 se *n* = 1 e 0 en caso contrario, ás veces chamada *unidade de multiplicación para a convolución de Dirichlet* ou simplemente a *función unitaria* (completamente multiplicativa). Ás veces escríbese como *u*(*n*), mais non se debe confundir con *μ*(*n*) .
* 1*C*(*n*), a función indicadora do conxunto *C* ⊂ **Z**, para certos conxuntos *C*. A función indicadora 1*C*(*n*) é multiplicativa precisamente cando o conxunto *C* ten a seguinte propiedade para calquera número coprimo *a* e * b*: o produto *ab* está en *C* se e só se os números *a* e *b* están ambos os dous en *C*. Este é o caso se *C* é o conxunto de cadrados, cubos ou *k*-ésimas potencias, ou se *C* é o conxunto de números sen cadrados.

Outros exemplos de funcións multiplicativas inclúen moitas funcións de importancia na teoría de números, como:

* gcd(*n*,*k*): o máximo común divisor de *n* e *k*, en función de *n*, onde * k* é un número enteiro fixo.
* \varphi(n): función totiente de Euler \varphi, para contar os enteiros positivos coprimos ata *n*.
* *μ*(*n*): a función de Möbius, a paridade (−1 para impar, +1 para par) do número de factores primos de números libres de cadrados; 0 se *n* non está libre de cadrados.
* *σ**k*(*n*): a función divisor, que é a suma das *k*-ésimas potencias de todas os divisores positivos de *n* (onde *k* pode ser calquera número complexo). Casos especiais que temos
** *σ*0(*n*) = *d*(*n*) o número de divisores positivos de ''n' ',
** *σ*1(*n*) = *σ*(*n*), a suma de todos os divisores positivos de *n*.
*A suma das *k*-ésimas potencias dos divisores unitarios denótase por σ**k*(*n*):

:\sigma_k^*(n) = \sum_{d \,\mid\, n \atop \gcd(d,\,n/d)=1} \!\! d^k.
* *a*(*n*): o número de grupos abelianos non isomorfos de orde *n*.
* *λ*(*n*): a función de Liouville, *λ*(*n*) = (−1)Ω(*n*)  onde Ω(*n*) é o número total de primos (contados coa multiplicidade) que dividen *n*. (completamente multiplicativa).
* *γ*(*n*), definido por *γ*(*n*) = (&minus;1)*ω*(n), onde a función aditiva *ω*(*n*) é a cantidade de números primos distintos que dividen *n*.
* *τ*(*n*): a función tau de Ramanujan.
* Todos os caracteres de Dirichlet son ​​funcións completamente multiplicativas. Por exemplo
** \left ( \frac{n}{p} \right ), o símbolo de Legendre, considerado como función de *n* onde *p* é un número primo.

Un exemplo de función non multiplicativa é a función aritmética *r*2(*n*): o número de representacións de *n* como suma de cadrados de dous enteiros, positivo, negativo ou cero, onde ao contar o número de camiños se permite a inversión da orde. Por exemplo:

 1 = 12 + 02 = (−1)2 + 0 2 = 02 + 12 = 02 + (−1)2

e polo tanto *r*2(1) = 4 ≠ 1. Isto mostra que a función non é multiplicativa. No entanto, *r*2(*n*)/4 é multiplicativa.

Na Enciclopedia en liña de secuencias enteiras, as secuencias de valores dunha función multiplicativa teñen a palabra clave "mult".

Vexa función aritmética para algúns outros exemplos de funcións non multiplicativas.

## Propiedades elementais 
Ser multiplicativa e multiplicativa completa consérvase por produto, módulo e conxugación.

Na súa definición, a primeira condición (a imaxe de 1 é igual a 1) pódese substituír por: a función é distinta de cero.

Se *ƒ* é multiplicativa daquela

: \forall a,b\in\N^*,\quad f(a)~f(b)=f({\gcd}(a,b))~f(\operatorname{lcm}(a,b))

onde  é o máximo común divisor e  é o mínimo común múltiplo dos números enteiros.

## Convolución de Dirichlet 
A convolución de Dirichlet de dúas funcións aritméticas *ƒ* e *g* é a función  definida por:\forall n\in\N^*\quad (f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(n/d)Ou " *d|n* » significa que a suma faise sobre todos os enteiros positivos *d* divisores de *n*.

Demóstrase logo que se *ƒ* e *g* son multiplicativas,  tamén o é, e que o conxunto de funcións multiplicativas, equipadas con esta lei interna, é un grupo abeliano, con elemento neutro δ.

As relacións máis importantes verificadas son :

* μ ✻  = δ,
*  ✻  =  e (pola inversión de Möbius)  = μ ✻  , en particular
** φ ✻  =  e φ = μ ✻ ,
* σ  =   ✻  e (pola inversión de Möbius)   = σ  ✻ μ, en particular
** *d* =  ✻  e  = *d* ✻ μ,
** σ =  ✻  e  = σ ✻ μ,
* σ  =  ✻ *d* (a través de   ✻  =  ✻  ✻  ), en particular
** σ = *φ✻d* .

## Produto de Euler 
*Formalmente*, unha función aritmética *f* está asociada a unha serie de Dirichlet :

: \sum_{n=1}^\infty\frac{f(n)}{n^s} .

O *produto formal* da serie asociada a *f* e *g* é, por definición, a serie asociada a *f* ✻ *g*. Definimos de xeito análogo o produto formal dunha secuencia infinita de funcións aritméticas *f *, sempre que *f * (1) = 1 e que a serie que define cada coeficiente do produto sexa absolutamente converxente:

: \prod_i\sum_{n_i=1}^\infty\frac{f_i(n_i)}{n_i^s}:=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sum_{\prod n_i=n}\prod_if_i(n_i)}{n^s} .

O caso máis importante  é o dun produto de Euler, é dicir, onde os índices *i* son os números primos, entón soen denotarse máis ben pola letra *p*, no que as funcións aritméticas *f* están definidas a partir dunha función multiplicativa *f* por: *f* coincide con *f* nas potencias de *p* e é cero noutro lugar. Este produto (da serie asociada a *f*) é entón igual á serie asociada a *f*. Se esta última é absolutamente converxente, esta igualdade formal tamén é certa *no sentido da análise*. Vexa a sección de exemplos do artigo sobre a serie Dirichlet.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*S. Ramanujan, Some formulae in the analytic theory of numbers. Messenger 45 (1915), 81--84.

*E. Busche, Lösung einer Aufgabe über Teileranzahlen.  Mitt. Math. Ges. Hamb. 4, 229--237 (1906)

*A. Selberg: Remarks on multiplicative functions. Number theory day (Proc. Conf., Rockefeller Univ., New York, 1976), pp. 232–241, Springer, 1977.
### Outros artigos 
* Ecuación funcional.
* Función aditiva.
### Ligazóns externas 
*