Teorema de Stokes

dereita|miniatura|Unha ilustració do teorema de Stokes, cunha superficie Σ, a súa fronteira ∂ e o vector normal '**. A dirección de circulación positiva do contorno  , e a dirección **' do fluxo positivo a través da superficie Σ, están relacionados pola regra da man dereita (é dicir, os dedos da man dereita circulan ao longo de  e o polgar está dirixido cara a '**).
O **teorema de Stokes**, tamén coñecido como **teorema de Kelvin-Stokes**
após Lord Kelvin e George Stokes, **teorema fundamental para rotacionais**, ou sinxelamente **teorema do rotacional''', é un teorema do cálculo vectorial en \R^3. Dado un campo vectorial, o teorema relaciona a integral do rotacional do campo vectorial sobre unha superficie, coa integral de liña do campo ao redor da fronteira da superficie. O teorema clásico de Stokes pode ser enunciado nunha frase:

: A integral de liña dun campo vectorial sobre un lazo é igual á integral de superficie do seu rotacional sobre a superficie rodeada.

O teorema de Stokes é un caso especial do  teorema de Stokes xeneralizado. En particular, un campo de vectores en \R^3  pode ser considerado como unha 1-forma,  deste xeito o seu rotacional é a derivada exterior, unha 2-forma.

## Teorema
Sexa \Sigma unha superficie diferenciable orientada en \R^3  con fronteira \partial \Sigma \equiv \Gamma . Se un campo vectorial  \mathbf{F}(x,y,z) = (F_x(x, y, z), F_y(x, y, z), F_z(x, y, z)) está definido e ten derivadas parciais de primeira orde continuas nunha rexión que contén a \Sigma, entón 
\iint_\Sigma (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{\Sigma}  =  \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot 
\mathrm{d}\mathbf{\Gamma}.
Máis explicitamente, a igualdade di que
\begin{align}
&\iint_\Sigma \left(\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z} \right)\,\mathrm{d}y\, \mathrm{d}z +\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\, \mathrm{d}z\, \mathrm{d}x  +\left (\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\right) \\
& = \oint_{\partial\Sigma} \Bigl(F_x\, \mathrm{d}x+F_y\, \mathrm{d}y+F_z\, \mathrm{d}z\Bigr).
\end{align}

O principal  desafío nun enunciado preciso do teorema de Stokes é definir a noción de fronteira.  Superficies como o  copo de neve de Koch, por exemplo, sábese que teñen  unha  fronteira que non é Riemann-integrable, e a noción de medida de superficie na teoría de Lebesgue non se pode definir para unha superficie non Lipschitziana.  Unha técnica  (avanzada)  é pasar a unha formulación débil e  aplicar a maquinaria de teoría de medida xeométrica; para esta aproximación ver o  fórmula da coárea.  Neste artigo, polo contrario, utilizamos unha definición máis elemental, baseada no feito de que os subconxuntos de dimensión máxima de \R^2 teñen un bordo ben definido.

Daremos un enunciado máis detallado para discusións posteriores.  
Sexa \gamma:[a,b]\to\R^2 unha curva de Jordan diferenciable a anacos, é dicir, unha curva plana pechada e simple. O teorema da curva de Jordan implica que \gamma divide \R^2 en dous compoñentes, un compoñente compacto e outro que non o é. Denotemos por D a parte compacta; entón D está limitada por \gamma.  

Agora abonda con transferir esta noción de bordo ao longo dunha aplicación continua á nosa superficie en \R^3. Mais xa temos tal aplicación: a parametrización de \Sigma.  

Sexa \psi:D\to\R^3 diferenciable a anacos na veciñanza de D, con \Sigma=\psi(D).

Se \Gamma é a curva espacial definida por \Gamma(t)=\psi(\gamma(t)), entón chamamos a \Gamma o bordo de \Sigma, que escribimos como \partial\Sigma.  

Coa notación anterior, se \mathbf{F} é calquera campo vectorial suave en \R^3, entón  

\oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F}\,\cdot\, \mathrm{d}{\mathbf{\Gamma}} \;=\; \iint_{\Sigma} \nabla\times\mathbf{F}\,\cdot\, \mathrm{d}\mathbf{\Sigma}.   

Aquí, o "\cdot" representa o produto escalar en \R^3.

## Notas