Número transcendente

Un **número transcendente**, tamén ** número transcendental**, é un tipo de número irracional que non é raíz de ningún polinomio non nulo con coeficientes enteiros.

Neste sentido, **número transcendente** é antónimo de **número alxébrico**. A definición non provén dunha simple relación alxébrica, senón que se define como unha propiedade fundamental das matemáticas. Os números transcendentes máis coñecidos son π e *e*.

En xeral, se temos dous corpos \scriptstyle (K,+,\cdot) e \scriptstyle (L,+,\cdot) de forma que o segundo é extensión do primeiro, diremos que \scriptstyle \alpha \in L é transcendente sobre \scriptstyle K se non existe ningún polinomio \scriptstyle p \in K[x] do que \scriptstyle \alpha\, sexa raíz (\scriptstyle p(\alpha)=0\,).

O conxunto de números alxébricos é numerable, mentres que o conxunto de números reais é non numerable; polo tanto, o conxunto de números transcendentes é tamén non numerable. Non obstante, existen moi poucos números transcendentes coñecidos, e demostrar que un número é transcendente pode ser extremadamente difícil. Por exemplo, aínda non se sabe se a constante de Euler-Mascheroni (\scriptstyle \gamma\,) o é, sendo 

\textstyle \gamma\, = 
\textstyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\cdots + \frac{1}{n} - \ln(n),
cando \textstyle n \to +\infty \,\!. 

De feito, nin sequera se sabe se \scriptstyle \gamma é racional ou irracional.

A propiedade de normalidade dun número (a súa secuencia infinita de díxitos distribúese uniformemente) pode contribuír a demostrar se é transcendente ou non.

## Números demostrados como transcendentais
Números demostrados como transcendentais:

* [[número pi|]] (polo teorema de Lindemann-Weierstrass).
*  se  é alxébrico e distinto de cero (polo teorema de Lindemann–Weierstrass), en particular o número e.
* {{math| e^{\pi \sqrt n} }} onde  é un enteiro positivo; en particular a constante de Gelfond  (polo teorema de Gelfond-Schneider).
* Combinacións alxébricas de  e {{math| e^{\pi \sqrt n} , n\in\mathbb Z^{+}}} como  \pi + e^{\pi} e  \pi e^{\pi} (deducido da súa independencia alxébrica).
*  onde  é alxébrica pero non 0 nin 1, e  é alxébrica irracional, en particular a constante de Gelfond–Schneider 2^{\sqrt{2}} (polo Teorema de Gelfond-Schneider).
* O logaritmo natural \ln(a) se a é alxébrica e non é igual a 0 ou 1, para calquera rama da función logarítmica (polo teorema de Lindemann-Weierstrass).
*  se  e  son enteiros positivos non as dúas potencias do mesmo número enteiro, e  non é igual a 1 (polo teorema de Gelfond-Schneider).
* Todos os números da forma \pi + \beta_1 \ln (a_1) + \cdots + \beta_n \ln (a_n) son transcendentais, onde \beta_j son alxébricos para todos os 1 \leq j \leq n e a_j son alxébricos distintos de cero para todos os 1 \leq j \leq n (polo teorema de Baker).

*As funcións trigonométricas  e os seus homólogos hiperbólicos, para calquera número alxébrico distinto de cero , expresado en radiáns (polo teorema de Lindemann-Weierstrass).
*Resultados distintos de cero das funcións trigonométricas inversas  e as súas contrapartes hiperbólicas, para calquera número alxébrico  (polo teorema de Lindemann-Weierstrass).
*\pi^{-1}{\arctan(x)}, para  racional tal que x \notin \{0 ,\pm{1}\}.
*O  punto fixo  da función coseno (tamén coñecido como número de Dottie ), solución real única da ecuación , onde  está en radiáns (polo teorema de Lindemann-Weierstrass).
* se  é alxébrica e distinta de cero, para calquera rama da función W de Lambert (polo teorema de Lindemann-Weierstrass), en particular a constante omega .
*  se tanto  como a orde  son alxébricas tal que a \neq 0, para calquera rama da función  W xeneralizada de Lambert
* , a super-raíz cadrada de calquera número natural é un número enteiro ou transcendental (polo Gelfond-Teorema de Schneider).
* Valores da función gamma dos números racionais que teñen a forma \Gamma(n/2),\Gamma(n/3),\Gamma(n/4) ou \Gamma(n/6)..
* Combinacións alxébricas de  e  ou de  e  como a constante lemniscata \varpi (deducido a partir das súas respectivas independencias alxébricas).
* A función de Bessel do primeiro tipo , a súa primeira derivada e o cociente \tfrac{J'_\nu (x)}{J_\nu (x)} son transcendentais cando '** é racional e **' é alxébrica e distinta de cero, e todas as raíces distintas de cero de  e  son transcendentais cando '''' é racional.
* O número \tfrac{\pi}{2} \tfrac{Y_0 (2)}{J_0 (2)} - \gamma, onde  e  son funcións de Bessel e  é o Constante de Euler-Mascheroni.
* Calquera número de Liouville, en particular: a constante de Liouville.
* Números cunha medida de irracionalidade grande, como a constante de Champernowne C_{10} (polo teorema de Roth).
* Números construídos artificialmente para non ser períodicos alxébricos.
* Calquera número non computábel, en particular: a constante de Chaitin.
* Números irracionais construídos que non son simplemente normal en ningunha base.
* Calquera número para o cal os díxitos con respecto a algunha base fixa formen unha palabra de Sturmian.
* A Constante de Prouhet-Thue-Morse.
* A constante de Komornik-Loreti.
* Os valores da serie infinita cunha taxa de converxencia rápida, segundo a definición de Y. Gao e J. Gao, como \sum_{n=1}^\infty \frac{3^ n}{2^{3^n}}.
* Os valores da Fracción continua de Rogers-Ramanujan R(q) onde  \in \mathbb C é alxébrica e 0 . Os valores da lemniscáta da función theta \sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2} (nas mesmas condicións para  ) tamén son transcendentais 
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
*
*
*
*
*
### Outros artigos 
* Aproximación diofantiana.
* Medida da irracionalidade.
* Número e
### Ligazóns externas 
* 
* 
* 
* 
*