Multiplicidade (matemáticas)

En matemáticas, a **multiplicidade** dun membro dun multiconxunto é o número de veces que aparece no multiconxunto. Por exemplo, o número de veces que un polinomio dado ten unha raíz nun punto dado é a multiplicidade desa raíz.

A noción de multiplicidade é importante para poder contar correctamente sen especificar excepcións (por exemplo, *raíces duplas* contadas dúas veces). De aí a expresión, "contado con multiplicidade".

## Multiplicidade dun factor primo 
Na factorización prima, a **multiplicidade** dun factor primo é a súa valoracíon p-ádica. Por exemplo, a factorización prima do número enteiro  é

: 

a multiplicidade do factor primo  é , mentres que a multiplicidade de cada un dos factores primos  e  é . Así,  ten catro factores primos se permitimos multiplicidades, pero só tres factores primos distintos.

## Multiplicidade dunha raíz dun polinomio 
Sexa F ser un corpo e p(x)  un polinomio nunha variábel con coeficientes en F. Un elemento a \in F é unha **raíz de multiplicidade** k de p(x) se hai un polinomio s(x) tal que s(a)\neq 0 e p(x) = (x-a)^k s(x). Se k=1, entón *a* chámase **raíz simple**. Se k \geq 2, entón a chámase **raíz múltiple** .

Por exemplo, o polinomio p(x) = x^3 + 2x^2 - 7x + 4 ten 1 e −4 como raíces, e pódese escribir como p(x) = (x+4)(x-1)^2. Isto significa que 1 é unha raíz da multiplicidade&nbsp;2, e −4 é unha raíz simple (de multiplicidade&nbsp;1). A multiplicidade dunha raíz é o número de ocorrencias desta raíz na factorización completa do polinomio, mediante o teorema fundamental da álxebra.

O discriminante dun polinomio é cero se e só se o polinomio ten unha raíz múltiple.

## Multiplicidade dunha solución dun sistema de ecuacións non linear 
Para unha ecuación f(x)=0 cunha única solución variábel x_*, a multiplicidade é k se

: f(x_*)=f'(x_*) = \cdots = f^{(k-1)}(x_*)=0 e f^{(k)}(x_*)\neq0.

Noutras palabras, o funcional diferencial \partial_j, definido como a derivada \frac{1}{j!}\frac{d^j}{dx^j} dunha función en x_*, desaparece en f para j ata k-1. Eses funcionais diferenciais \partial_0, \partial_1,\cdots,\partial_{k-1} abranguen un espazo vectorial, chamado **espazo dual de Macaulay** en x_*, e a súa dimensión é a multiplicidade de x_* como un cero de f.

Sexa \mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{0}  un sistema de m ecuacións de n variábeis con solución \mathbf{x}_* onde \mathbf{f} é un mapeo de R^n a R^m ou dende C^n a C^m. Tamén hai un espazo dual de Macaulay de funcionais diferenciais en \mathbf{x}_* no que cada funcional desaparece en \mathbf{f}. A dimensión deste espazo dual de Macaulay é a multiplicidade da solución \mathbf{x}_* á ecuación \mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{0}. O espazo dual de Macaulay forma a estrutura de multiplicidade do sistema na solución.

Por exemplo, a solución \mathbf{x}_*=(0,0) do sistema de ecuacións en forma de \mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{0} con

: \mathbf{f}(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{c} \sin(x_1)-x_2+x_1^2 \\ x_1-\sin(x_2)+x_2^2 \end{array}\right] 

é de multiplicidade 3 porque o espazo dual de Macaulay

:  \operatorname{span} \{\partial_{00}, \partial_{10}+\partial_{01}, -\partial_{10}+\partial_{20}+\partial_{11}+\partial_{02}\}

é de dimensión 3, onde \partial_{ij} denota o funcional diferencial \frac{1}{i!j!}\frac{\partial^{i+j}}{\partial x_1^i \, \partial x_2^j} aplicado nunha función no punto \mathbf{x}_*=(0,0).

## Multiplicidade de intersección 
En xeometría alxébrica, a intersección de dúas subvariedades dunha variedade alxébrica é unha unión finita de variedades irredutíbeis. A cada compoñente de tal intersección está unida unha *multiplicidade de intersección*. Esta noción é local no sentido de que se pode definir observando o que ocorre nunha veciñanza de calquera punto xenérico deste compoñente. Dedúcese que sen perda de xeneralidade, podemos considerar, para definir a multiplicidade de intersección, a intersección de dúas variedades afíns (subvariedades dun espazo afín).

## Na análise complexa 
Sexa *z* 0 a raíz dunha función holomorfa *f* e sexa *n* o menor número enteiro positivo tal que a derivada *n-ésima* de *f* avaliada en *z*0 difire de cero. Entón a serie de potencias de *f* sobre *z* 0 comeza co *n-ésimo* termo, e dise que *f* ten unha raíz de multiplicidade (ou "orde")&nbsp;*n*. Se *n*&nbsp;=&nbsp;1, a raíz chámase raíz simple. 

Tamén podemos definir a multiplicidade dos ceros e polos dunha función meromorfa. Se temos unha función meromorfa f = \frac{g}{h}, tomamos as expansións de Taylor de *g* e *h* sobre un punto *z*0, e atopamos o primeiro termo distinto de cero en cada un (denotamos a orde dos termos como *m* e *n* respectivamente) entón se *m*&nbsp;=&nbsp;*n*, temos que o punto ten un valor distinto de cero. Se m>n, entón o punto é un cero de multiplicidade m-n. Se m, entón o punto ten un polo de multiplicidade n-m.

## Notas 
### Bibliografía 
*Krantz, S. G. *Handbook of Complex Variables*. Boston, MA: Birkhäuser, 1999. .

### Outros artigos 
* Descomposición en factores primos
* Ecuación de segundo grao
* Polinomio