Difeomorfismo

En matemáticas, un **difeomorfismo** é un isomorfismo na categoría habitual de variedades diferenciable: é unha bixección diferenciable dunha variedade a outra, cuxa bixección recíproca tamén é diferenciable.
miniatura|Imaxe dunha malla cadrada mediante un difeomorfismo do cadrado en si mesmo.

## Difeomorfismo entre conxuntos abertos de ℝ *n* 
Sexan:

* *E* e *F* dous espazos vectoriais normados reais de dimensión finita ;
* *U* un conxunto aberto de *E*, *V* un aberto de *F* ;
* *f unha* aplicación de *U* en *V.*

Dicimos que *f* é un *difeomorfismo* se se verifican as seguintes tres propiedades :

# *f* é bixectiva ;
# *f* é diferenciable en *U* ;
# a súa inversa é diferenciable en *V.*

Para 1 ≤ *k* ≤ ∞, un *difeomorfismo C k*  é unha aplicación de clase *C*k
, bixectiva, e cuxa función inversa tamén é de clase *C k* .

## Difeomorfismo entre variedades 
Do mesmo xeito que entre conxuntos abertos de ℝ *n* ,

* Un difeomorfismo entre dúas variedades é unha bixección bi-diferenciable,
* Un difeomorfismo *C k* é un difeomorfismo que é da clase C^k, así como o seu inverso,
* Dúas variedades difeomorfas teñen necesariamente a mesma dimensión.

## Difeomorfismo local 
### Definición 
Un difeomorfismo local&nbsp;é unha aplicación *f:* *M* → *N* dunha variedade noutra tal que para calquera punto *m* de *M*, existe unha veciñanza aberta *U* de *m* en *M* tal que *f* (*U*) é un aberto en *N* e a restrición de *f*, de *U* en *f* ( *U* ), é un difeomorfismo.

Se *f* : *M* → *N* é un difeomorfismo local, entón, para calquera punto *m* de *M*, a aplicación lineal *Tmf:* *Tm M* → *T**f* (*m*)*N* (diferencial de *f* no punto *m* ) é un isomorfismo (isto implica que *M* e *N* teñen a mesma dimensión, e entón equivale, en coordenadas locais, a dicir que o xacobiano de *f* en *m* é distinto de cero, ou de novo, que as partes lineares das aproximacións afíns das diferentes compoñentes de *f* son linealmente independentes. Segundo o Teorema da función inversa, o contrario é certo en canto *f* é de clase C^1.

### Pasando do local ao global 
Un difeomorfismo local é un difeomorfismo (global) se e só se é bixectivo. No caso de funcións numéricas entre intervalos, o teorema da bixección garante que calquera difeomorfismo local *C k* dun intervalo real a outro é un difeomorfismo *C k* (global). Este resultado elemental xeneralízase a dimensións superiores  e variedades na seguinte forma :
;Teorema
:Se a variedade *M* é conexa e a variedade *N* é conexa e simplemente conexa, entón todo difeomorfismo local propio *f*: *M* → *N* é un difeomorfismo.

## Exemplos 
* Todos os intervalos reais abertos non baleiros son difeomorfos.
* A aplicación *x* ↦ *x³*, de clase *C* ∞, é un homeomorfismo de ℝ a ℝ pero non é un difeomorfismo, porque a súa derivada en 0 é cero.

* Poñamos f(x,y)=(x^2+y^3,x^2-y^3) A matriz xacobiana de f en todos os puntos(x,y) é : J_f(x,y)=\begin{pmatrix}2x&3y^2\\2x&-3y^2\end{pmatrix}.

O determinante desta matriz é cero se e só se x ou y é cero. Polo tanto, a restrición de f ao plano privado dos dous eixes é un difeomorfismo local. Pero esta restrición non é inxectiva xa que f(x,y)=f(-x,y), nin sobrexectiva xa que se (u,v)=f(x,y) entón u+v>0 .

* \Phi (x,y):=(x+y^2,y),d\Phi=\begin{bmatrix} 1 & 2y \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, |d\Phi|=1. Temos \Phi^{-1}(x,y)=(x-y^2,y).

## Grupo de difeomorfismos 
O grupo de difeomorfismos dunha variedade *M* de clase *C k* é o grupo de *C k* -difeomorfismos de *M* en *M.* Denotámolo por Diff *k* (*M*) ou Diff(*M*) cando *k* é implícito. É " groso ", no sentido de que non é localmente compacto (a non ser que *M* teña dimensión 0).

As compoñentes conexas deste grupo son as difeotopías da variedade (que compoñen o seu '''' ).

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*