Pulo (diferencial)

alt="Se un mapa, φ, leva todo punto sobre unha variedade M a unha variedade N daquela o pulo de φ leva os vectores no espazo tanxente a cada punto en M cara ao espazo tanxente a cada punto en N."|miniatura| Se un mapa, *φ*, leva cada punto da variedade *M* á variedade *N,* daquela o pulo de *φ* leva os vectores no espazo tanxente en cada punto de *M* a un espazo tanxente en cada punto en *N*.

En xeometría diferencial, **o pulo (ou pushforward)** é unha aproximación linear de mapas suaves en espazos tanxentes. Supoñamos que \varphi\colon M\to N é un mapa suave entre variedades suaves; daquela **diferencial** de \varphi nun punto x, denotado \mathrm d\varphi_x, é, nalgún sentido, a mellor aproximación linear de \varphi preto de x. Pódese ver como unha xeneralización da derivada total do cálculo ordinario. Explicitamente, a diferencial é un mapa linear do espazo tanxente de M en x ao espazo tanxente de N en \varphi(x); expresado \mathrm d\varphi_x\colon T_xM \to T_{\varphi(x)}N. Polo tanto, pódese usar para *impulsar* vectores tanxentes M cara *adiante* ata os vectores tanxentes en N. O diferencial dun mapa \varphi tamén se denomina, por diversos autores, a **derivada** ou **derivada total** de \varphi.
## Motivación 
Sexa \varphi: U \to V un mapa suave dun subconxunto aberto U de \R^m a un subconxunto aberto V de \R^n. Para calquera punto x en U, o jacobiano de \varphi en  x (en relación ás coordenadas estándar) é a representación matricial da derivada total de \varphi en x, que é un mapa linear

: d\varphi_x:T_x\R^m\to T_{\varphi(x)}\R^n

entre os seus espazos tanxentes. Observe que os espazos tanxentes T_x\R^m,T_{\varphi(x)}\R^n son isomorfos a \mathbb{R}^m e \mathbb{R}^n, respectivamente. O pulo xeneraliza esta construción para o caso no que \varphi é unha función suave entre *calquera* variedades suaves M e N.

Se os vectores tanxentes se definen como clases de equivalencia das curvas \gamma para as que   \gamma(0) = x,  daquela o diferencial vén dado por

: d\varphi_x(\gamma'(0)) = (\varphi \circ \gamma)'(0).

Aquí,  \gamma  é unha curva en  M  con  \gamma(0) = x,  e \gamma'(0) é un vector tanxente á curva  \gamma  en  0.  Noutras palabras, o pulo do vector tanxente cara a curva  \gamma  en  0  é o vector tanxente á curva \varphi \circ \gamma en  0. 

Alternativamente, se os vectores tanxentes se definen como derivacións que actúan sobre funcións suaves de valores reais, entón a diferencial vén dada por

: d\varphi_x(X)(f) = X(f \circ \varphi),

para unha función arbitraria f \in C^\infty(N) e unha derivación arbitraria X \in T_xM nun punto x \in M (Unha derivación defínese como un mapa linear X \colon C^\infty(M) \to \R que satisfaga a regra de Leibniz, véxase: espazo tanxente). Por definición, o pulo de X está dentro de T_{\varphi(x)}N e polo tanto é unha derivación, d\varphi_x(X) \colon C^\infty(N) \to \R.

## A diferencial no fibrado tanxente 
O diferencial dun mapa suave \varphi induce, de forma obvia, un mapa de fibrados (de feito un homomorfismo de fibrado vectorial) a partir do fibrado tanxente de M cara ao fibrado tanxente de N, denotado por d\varphi, que encaixa no seguinte diagrama conmutativo:
centro
onde \pi_M e \pi_N denotan as proxeccións do fibrado dos fibrados tanxentes de M e N respectivamente.

\operatorname{d}\!\varphi induce un mapa de fibrados de TM cara ao fibrado de regresión *φ*∗*TN* sobre M vía

: (m,v_m) \mapsto (\varphi(m),\operatorname{d}\!\varphi (m,v_m)),

onde m \in M e v_m \in T_mM. O mapa de fibrados \operatorname{d}\!\varphi tamén se denota por T\varphi e chámase **mapa tanxente**. Deste xeito, T é un functor.

## Pulos de campos vectoriais 
Dado un mapa suave  e un campo vectorial *X* sobre *M*, normalmente non é posible obter un pulo de *X* mediante *φ* con algún campo vectorial *Y* sobre *N*. Por exemplo, se o mapa *φ* non é sobrexectivo, non hai unha forma natural de definir tal pulo fóra da imaxe de *φ*. Alén diso, se *φ* non é inxectivo, pode haber máis dunha opción de pulo nun punto dado. No entanto, pódese precisar esta dificultade, utilizando a noción de campo vectorial ao longo dun mapa.

### Exemplos 
#### Pulo mediante a multiplicación en grupos de Lie 
Dado un Grupo de Lie G, podemos usar o mapa do operador  multiplicación m(-,-) : G\times G \to G para obter os mapas de multiplicación pola esquerda L_g = m(g,-) e a multiplicación pola dereita R_g = m(-,g) de G \to G. Estes mapas pódense usar para construír campos vectoriais invariantes pola esquerda ou pola dereita en G dende o seu espazo tanxente na orixe \mathfrak{g} = T_e G (que é a súa álxebra de Lie asociada). Por exemplo, dado X \in \mathfrak{g} obtemos un campo vectorial asociado \mathfrak{X} on G definido por\mathfrak{X}_g = (L_g)_*(X) \in T_g Gpara cada g \in G . Isto pódese calcular facilmente usando a definición de curvas dos mapas de pulos diferenciais. Se temos unha curva\gamma: (-1,1) \to Gonde\gamma(0) = e \,, \quad \gamma'(0) = Xobtemos\begin{align}
(L_g)_*(X) &= (L_g\circ \gamma)'(0) \\
&= (g\cdot \gamma(t))'(0) \\
&= \frac{dg}{d\gamma}\gamma(0) + g\cdot \frac{d\gamma}{dt} (0) \\
&= g \cdot \gamma'(0)
\end{align}posto que L_g é constante con respecto a \gamma. Isto implica que podemos interpretar os espazos tanxentes T_g G como T_g G = g\cdot T_e G = g\cdot \mathfrak{g}.

#### Pulos para algúns grupos de Lie 
Por exemplo, se G é o grupo de Heisenberg dado polas matricesH = \left\{
\begin{bmatrix}
1 & a & b \\
0 & 1 & c \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} : a,b,c \in \mathbb{R}
\right\}ten álxebra de Lie dada polo conxunto de matrices\mathfrak{h} = \left\{
\begin{bmatrix}
0 & a & b \\
0 & 0 & c \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} : a,b,c \in \mathbb{R}
\right\}xa que podemos atopar un camiño \gamma:(-1,1) \to H dando calquera número real nunha das entradas da matriz superior con i  (i-ésima fila e j-ésima columna). Daquela, parag = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}temosT_gH = g\cdot \mathfrak{h} = 
\left\{
\begin{bmatrix}
0 & a & b + 2c \\
0 & 0 & c \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} : a,b,c \in \mathbb{R}
\right\}que é igual ao conxunto orixinal de matrices. 

Isto non sempre é así, por exemplo, no grupoG = \left\{
\begin{bmatrix}
a & b \\
0 & 1/a
\end{bmatrix} : a,b \in \mathbb{R}, a \neq 0
\right\}temos a súa álxebra de Lie como o conxunto de matrices\mathfrak{g} = \left\{
\begin{bmatrix}
a & b \\
0 & -a
\end{bmatrix} : a,b \in \mathbb{R}
\right\}polo tanto para algunha matrizg = \begin{bmatrix}
2 & 3 \\
0 & 1/2
\end{bmatrix}temosT_gG = \left\{
\begin{bmatrix}
2a & 2b - 3a \\
0 & -a/2
\end{bmatrix} : a,b\in \mathbb{R}
\right\}que non é o mesmo conxunto de matrices.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
*  *See section 1.6*.
*  *See section 1.7 and 2.3*.

### Outros artigos 
* Regresión.