Produto externo

En álxebra linear, o **produto externo** de dous vectores de coordenadas é a matriz cuxas entradas son tódolos produtos dun elemento no primeiro vector cun elemento no segundo vector. Se os dous vectores de coordenadas teñen dimensións *n* e *m*, entón o seu produto externo é unha matriz *n* × *m*. 

De forma máis xeral, dados dous tensores (matrices multidimensionais de números), o seu produto externo é un tensor. O produto externo dos tensores tamén se refire como o seu produto tensor, e pódese usar para definir a álxebra tensorial.

O produto externo contrasta con:

* O produto escalar (un caso especial de "produto interno"), que toma un par de vectores de coordenadas como entrada e produce un escalar
* O produto Kronecker, que toma un par de matrices como entrada e produce unha matriz de bloques
* Multiplicación matricial estándar
* O produto exterior con características similares ao produto vectorial

## Definición 
Dados dous vectores de tamaño m \times 1 e n \times 1 respectivamente

: \mathbf{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_m \end{bmatrix},
\quad
\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}

o seu produto externo, denotado como \mathbf{u} \otimes \mathbf{v}, defínese como a matriz m \times n \mathbf{A} obtida multiplicando cada elemento de \mathbf{u} por cada elemento de {{Nowrap|\mathbf{v}:}}

: 
 \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{A} =
 \begin{bmatrix}
  u_1v_1 & u_1v_2 & \dots & u_1v_n \\
  u_2v_1 & u_2v_2 & \dots & u_2v_n \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  u_mv_1 & u_mv_2 & \dots & u_mv_n
 \end{bmatrix}

Ou en notación de índice:

: (\mathbf{u} \otimes \mathbf{v})_{ij} = u_i v_j

Indicando o produto puntual por \,\cdot,\, se se dá un terceiro vector n \times 1 \mathbf{w}, entón (\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}) \mathbf{w} = (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}) \mathbf{u}. Se se dá un terceiro vector 1 \times m \mathbf{x}, entón \mathbf{x} (\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}) = (\mathbf{x} \cdot \mathbf{u}) \mathbf{v}^{\operatorname{T}}.

Se \mathbf{u} e \mathbf{v} son vectores da mesma dimensión maiores que 1, entón \det (\mathbf{u} \otimes\mathbf{v}) = 0 .

O produto externo \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} é equivalente a unha multiplicación matricial \mathbf{u} \mathbf{v}^{\operatorname{T}}, sempre que \mathbf{u} se represente como un  vector columna m \times 1 e \mathbf{v} como un vector columna n \times 1 (que fai \mathbf{v}^{\operatorname{T}} un vector fila).   Por exemplo, se m = 4 e n = 3, entón 

: 
 \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{u}\mathbf{v}^\textsf{T} =
 \begin{bmatrix}u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4\end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}v_1 & v_2 & v_3\end{bmatrix} =
 \begin{bmatrix}
  u_1 v_1 & u_1 v_2 & u_1 v_3 \\
  u_2 v_1 & u_2 v_2 & u_2 v_3 \\
  u_3 v_1 & u_3 v_2 & u_3 v_3 \\
  u_4 v_1 & u_4 v_2 & u_4 v_3
 \end{bmatrix}.

Para vectores complexos, adoita ser útil tomar a transposta conxugada de \mathbf{v}, denotada como \mathbf{v}^\dagger ou \left(\mathbf{v}^\textsf{T}\right)^* :

: \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{u} \mathbf{v}^\dagger = \mathbf{u} \left(\mathbf{v}^\textsf{T}\right)^*.

### Contraste co produto escalar euclidiano 
Se m = n, entón pódese tomar o produto da matriz do outro lado, obtendo un escalar (ou matriz 1 \times 1):

: \left\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\right\rangle = \mathbf{u}^\textsf{T} \mathbf{v}

### O produto externo de tensores 
Dados dous tensores \mathbf{u}, \mathbf{v} con dimensións (k_1, k_2, \dots, k_m) e (l_1, l_2, \dots, l_n), o seu produto externo \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} é un tensor con dimensións (k_1, k_2, \dots, k_m, l_1, l_2, \dots, l_n) e entradas

: (\mathbf{u} \otimes \mathbf{v})_{i_1, i_2, \dots i_m, j_1, j_2, \dots, j_n} = u_{i_1, i_2, \dots, i_m} v_{j_1, j_2, \dots, j_n}

Por exemplo, se \mathbf{A} é de orde 3 con dimensións (3, 5, 7) e \mathbf{B} é de orde 2 con dimensións (10, 100), entón o seu produto externo \mathbf{C} é de orde 5 con dimensións (3, 5, 7, 10, 100). Se \mathbf{A} ten unha compoñente  e \mathbf{B} ten unha compoñente , entón a compoñente de \mathbf{C} formado polo produto externo é .

### Conexión co produto de Kronecker 
O produto externo e o produto de Kronecker están intimamente relacionados; de feito o mesmo símbolo utilízase habitualmente para designar ambas as operacións.

Se \mathbf{u} = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3\end{bmatrix}^\textsf{T} e \mathbf{v} = \begin{bmatrix}4 & 5\end{bmatrix}^\textsf{T}, temos:

: \begin{align}
 \mathbf{u} \otimes_\text{Kron} \mathbf{v} &= \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 8 \\ 10 \\ 12 \\ 15\end{bmatrix}, &
 \mathbf{u} \otimes_\text{outer} \mathbf{v} &= \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 8 & 10 \\ 12 & 15\end{bmatrix}
\end{align}

No caso dos vectores columna, o produto de Kronecker pódese ver como unha forma de vectorización (ou aplanamento) do produto externo. En particular, para vectores de dúas columnas \mathbf{u} e \mathbf{v}, podemos escribir:

: \mathbf{u} \otimes_{\text{Kron}} \mathbf{v} = \operatorname{vec}(\mathbf{v} \otimes_\text{outer} \mathbf{u})

Outra identidade semellante que destaca aínda máis a semellanza entre as operacións é

: \mathbf{u} \otimes_{\text{Kron}} \mathbf{v}^\textsf{T} = \mathbf u \mathbf{v}^\textsf{T} = \mathbf{u} \otimes_{\text{outer}} \mathbf{v}

onde non é necesario inverter a orde dos vectores. A expresión do medio usa a multiplicación matricial, onde os vectores son considerados como matrices columna/fila.

### Conexión co produto matricial 
Dado un par de matrices \mathbf{A} de tamaño m\times p e \mathbf{B} de tamaño p\times n, considere o produto matricial \mathbf{C} = \mathbf{A}\,\mathbf{B} definido como é habitual como unha matriz de tamaño m\times n.

Agora sexa \mathbf a^\text{col}_k o k-ésimo vector columna de \mathbf A e sexa \mathbf b^\text{row}_k o k-ésimo vector fila de \mathbf B. Daquela \mathbf{C} pódese expresar como unha suma de produtos externos columna por fila:

: \mathbf{C} = \mathbf{A}\, \mathbf{B} =
\left(
   \sum_{k=1}^p {A}_{ik}\, {B}_{kj}
\right)_{
  \begin{matrix} 1\le i \le m \\[-20pt] 1 \le j\le n \end{matrix}
} =
\begin{bmatrix} & & \\ \mathbf a^\text{col}_{1} & \cdots & \mathbf a^\text{col}_{p} \\ & & \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} & \mathbf b^\text{row}_{1} & \\ & \vdots & \\ & \mathbf b^\text{row}_{p} & \end{bmatrix}
= \sum_{k=1}^p \mathbf a^\text{col}_k \mathbf b^\text{row}_k

## Propiedades 
O produto externo dos vectores cumpre as seguintes propiedades:

: \begin{align}
  (\mathbf{u} \otimes \mathbf{v})^\textsf{T} &= (\mathbf{v} \otimes \mathbf{u}) \\
 (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \otimes \mathbf{u} &= \mathbf{v} \otimes \mathbf{u} + \mathbf{w} \otimes \mathbf{u} \\
 \mathbf{u} \otimes (\mathbf{v} + \mathbf{w}) &= \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} + \mathbf{u} \otimes \mathbf{w} \\
       c (\mathbf{v} \otimes \mathbf{u}) &= (c\mathbf{v}) \otimes \mathbf{u} = \mathbf{v} \otimes (c\mathbf{u})
\end{align}

O produto externo dos tensores satisfai a propiedade de asociatividade adicional:

: 
 (\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}) \otimes \mathbf{w} =
 \mathbf{u} \otimes (\mathbf{v} \otimes \mathbf{w})

## Aplicacións 
Como o produto externo está moi relacionado co produto Kronecker, algunhas das aplicacións do produto Kronecker usan produtos externos. Estas aplicacións atópanse na teoría cuántica, procesamento de sinais e compresión de imaxes.

### Espinores (Spinors) 
Supoña  de xeito que  e  estean en . Entón o produto externo destes 2 vectores complexos é un elemento de , como matrices complexas 2 × 2:

: \begin{pmatrix} sw & tw \\ sz & tz \end{pmatrix}.

O determinante desta matriz é  debido á propiedade conmutativa de .

Na teoría dos espinores en tres dimensións, estas matrices están asociadas con vectores isótropos debido a esta propiedade nula. 

Élie Cartan describiu esta construción en 1937,  mais foi introducida por Wolfgang Pauli en 1927  polo que  pasou a chamarse álxebra de Pauli.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*

### Outros artigos 
* 
* Álxebra exterior
* Produto de Kronecker
* Produto de matrices