Raíz (matemáticas)

En Matemáticas, a **raíz enésima** dun número *x* é un número *r* que elevado á enésima potencia é igual a *x*
:r^n  =  x,
onde *n* é o *índice* da raíz. Unha raíz de índice 2 chámase *raíz cadrada* e a de índice 3, *raíz cúbica*. As raíces de índice superior chámanse empregando o ordinal, como *raíz cuarta* ou *raíz quinta*.

Por exemplo:
* 2 é a raíz cadrada de 4, porque 22 = 4.
* −2 tamén é raíz cadrada de 4, porque (−2)2 = 4.

Na análise matemática, as raíces son tratadas como un caso particular de potenciación, onde o exponente é unha fracción:
:\sqrt[n]{x} \,=\, x^{1/n}

As raíces adoitan ser escritas empregando o símbolo \sqrt{\,\,}, con \sqrt{x}\!\, indicando unha raíz cadrada, \sqrt[3]{x}\!\, unha raíz cúbica, \sqrt[4]{x} unha raíz cuarta e así sucesivamente. Na expresión \sqrt[n]{x}, *n* é o *índice* e *x* é o *radicando*. Calquera expresión que conteña unha raíz é chamada *expresión radical*.

## Historia 
A orixe do símbolo de raíz √ é dubidosa. Moitos expertos, incluíndo Leonhard Euler, cren que procede da letra "r", inicial da palabra latina "radix", que significa "raíz". O símbolo aparece impreso por vez primeira, sen o trazo horizontal, en 1525 na obra *Die Coss* do matemático alemán Christoff Rudolff.

## Propiedades 
miniatura|As catro raíces cuartas de -1, ningunha delas real
miniatura|As tres raíces cúbicas de −1, unha delas real negativa
Todos os números reais positivos teñen raíz real enésima. Se o índice da raíz é impar esta raíz é un único número positivo. Se o índice é par a raíz é dobre (un número e o seu oposto).

Os números reais negativos non teñen raíz real se o índice da raíz é par e teñen como raíz un único número real negativo se o índice da raíz é impar.

A raíz dun número real que non sexa potencia perfecta é un número irracional.

Un número complexo distinto de 0 ten *n* raíces distintas de índice *n*.

Os números reais cumpren: 
:\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \,,

:\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \,.

:\sqrt[n]{a^m} = \left(a^m\right)^{\frac{1}{n}} = a^{\frac{m}{n}}.

Porén, pode haber problemas no caso dos números complexos. Por exemplo:

:\sqrt{-1}\times\sqrt{-1} = -1
pero
:\sqrt{-1 \times -1} = 1

se tomamos un certo valor da raíz.

## Simplificación de expresións radicais 
Unha expresión radical está simplificada se
* Ningún factor do radicando pode ser escrito como potencia de expoñente maior có índice da raíz.
* Non hai fraccións baixo o símbolo de raíz.
* Non hai expresións radicais no denominador.

Por exemplo, para simplificar a expresión \sqrt{\tfrac{32}{5}} podemos buscar un cadrado perfecto dentro da raíz e sacalo fóra: 
:\sqrt{\tfrac{32}{5}} = \sqrt{\tfrac{16 \cdot 2}{5}} = 4 \sqrt{\tfrac{2}{5}}
Logo, ao haber unha fracción no radical cambiamos como segue: 
:4 \sqrt{\tfrac{2}{5}} = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}}
Finalmente quitamos a raíz do denominador: 
:\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{10}}{5}

Cando no denominador hai unha suma de raíces pódese atopar un factor polo que multiplicar numerador e denominador para simplificar a expresión, o que se denomina racionalizar:

:\frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} = \frac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})} = \frac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{a+b} \,.

## Serie infinita 
A raíz pode ser representada coa serie:

:
(1+x)^{s/t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\prod_{k=0}^{n-1} (s-kt)}{n!t^n}x^n

con |x|.

## Función raíz 
Sexa n un número natural non nulo. A aplicación x → xn define unha función, de \mathbb{R} en \mathbb{R} se n é impar, e de \mathbb{R}^+ = [0,\infty] se n é par. Chámase *raíz enésima*, ou *raíz de índice n* á súa función inversa, e indícase:
y = \sqrt[n]{x} = x^{1/n}.

No gráfico seguinte, están debuxadas as gráficas das funcións definidas por algunhas raíces, así como das súas funcións recíprocas, no intervalo [0;1]. A recta de ecuación y = x é o eixe de simetría entre cada curva e a curva da súa inversa.

Ficheiro:función_raíz_1.png

Cambiando de escala:

Ficheiro:función_raíz_2.png

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Raíz cadrada
* Lista de funcións matemáticas