Norma (matemáticas)

miniatura|Unha bóla centrada na orixe de \R^2 relativa a tres normas distintas.
Nas Matemáticas, unha **norma** consiste nunha función que a cada elemento dun espazo vectorial lle asocia un número real non-negativo. O concepto de *norma* está relacionado intuitivamente coa noción xeométrica de lonxitude.

## Definición 
Dado un espazo vectorial X sobre o corpo \mathbb{K} dos números reais ou complexos, unha función \| \cdot \|: X \to \mathbb{R}^{+} é chamada de norma se, para calquera \vec x, \vec y \in X  e todo \alpha \in \mathbb{K}:
*\|\vec x\| = 0 \Rightarrow  \vec x = \vec 0. Se esta condición non for atendida, a función será como máximo unha seminorma.
*\|\alpha \vec x\|=|\alpha| \|\vec x\|
*\|\vec x + \vec y\| \le \|\vec x\|+\|\vec y\| (desigualdade triangular)

Se o espazo vectorial X ten unha norma, pasa a coñecerse como espazo normado, e denótase por \left(X, \| \cdot \|\right).

## Métrica  e topoloxía inducida 
Toda norma induce de forma natural unha métrica d en X que ten valores dados por:
:d(\vec x , \vec y)=\|\vec x - \vec y\|\,.

Tamén induce unha topoloxía localmente convexa que é xerada por todas as bólas:
:B(\vec x_0 ,r)=\{\vec x \in X:\|\vec x - \vec x_0\|

## Normas equivalentes 
Dúas normas \|.\|_1 e \|.\|_2 sobre o mesmo espazo vectorial X chámanse *equivalentes* se existiren constantes reais positivas C_1 e C_2\, (C_1 \leq C_2) tales que:
:C_1\|\vec x\|_1 \leq \|\vec x\|_2 \leq C_2\|\vec x\|_1 ~~\forall \vec x\in X

Cando dúas normas son equivalentes, inducen a mesma topoloxía.

## Normas en espazos de dimensión finita 
Sexa \vec x=\left(x_1,x_2,\ldots,x_n\right)=\sum_{i=1}^nx_i \vec e_i a representación dun vector en \mathbb{R}^n ou \mathbb{C}^n.

As normas canónicas definidas nestes espazos son as chamadas *normas \ell^p*:
*\|\vec x\|_p=\left(\sum_{i=1}^n|x_i|^p\right)^{1/p}~~, 1\leq p
*\|\vec x\|_\infty=\max_{i=1}^n(|x_i|)
O caso particular no que p = 2 corresponde á norma euclidiana:
:\left(\sum_{i=1}^n|x_i|^2\right)^{1/2} =  \|\vec{x}\|_2 = \sqrt{|x_1|^2 +\ldots+|x_n|^2}
A norma euclidiana é a que mide a distancia entre dous puntos do plano usada habitualmente  \|\vec{x}\| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}. 

Pódense definir tamén outras normas, mais pódese demostrar que serán equivalentes.

## Norma matricial
Se o espazo vectorial considerado é o formado polas matrices reais ou complexas de orde n\times m, denotado por M^{n\times m}, unha norma sobre ese espazo é chamada de norma matricial.

Un exemplo de norma matricial é a norma *1*, denotada \|.\|_1 definida como o máximo da suma módulo dos elementos de cada liña, ou sexa se A = \left[ a_{ij} \right]_{r \times s} entón a norma do máximo da matriz A é o número non negativo dado por
:\|A\|_1 =  \max_{1 \le i \le r} \sum_{j=1}^s |a_{ij}|.

A norma do máximo da matriz A = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}, por exemplo, é
:\| A \|_1 = \max \left\{ |1| + |3|, |2| + |-1| \right\} = \max \left\{4, 3\right\} = 4.

## Normas en espazos de dimensión infinita 
### Espazos LP 
As normas \ell^p teñen análogos nalgúns espazos de dimensión infinita.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
### Outros artigos 
*Produto interno
*Espazo de Banach
*Espazo euclidiano
*Espazo métrico
*Espazo topolóxico
*Seminorma