Condición necesaria e suficiente

En lóxica e matemáticas, **necesario** e **suficiente** son termos usados para describir unha relación condicional ou implicacional entre dous enunciados. Por exemplo, no enunciado condicional: "Se  entón ",   é **suficiente** para , porque que  sexa verdadeiro sempre implica que  é verdadeira, mais que  non sexa verdadeira non sempre implica que  non sexa verdade, pode haber outras condicións que tamén impliquen . Por outra parte, é máis complicado de ver que   é **necesario** para  pois é imposíbel ter  sen , ou a falsidade de  asegura a falsidade de .

En xeral, unha condición necesaria é aquela (posiblemente unha de varias condicións) que debe estar presente para que se produza outra condición, mentres que unha condición suficiente é aquela que por si mesma produce a dita condición. A afirmación de que unha afirmación é unha condición "necesaria *e* suficiente" significa que a primeira afirmación é verdadeira se e só se a segunda é certa. É dicir, as dúas afirmacións deben ser simultaneamente verdadeiras ou simultaneamente falsas.

## Definicións 
No enunciado condicional, "se *S*, entón *N* ", a expresión representada por *S* chámase antecedente e a expresión representada por *N* denomínase consecuente. Esta declaración condicional pódese escribir de varias maneiras equivalentes, como "*N* se *S* ", "*S* só se *N* ", "*S* implica *N* ", "*N* está implicado por *S* ", ,  e "*N* sempre *que S*". 

## Necesario 
[dereita|miniatura|200x200px| Que o sol estea por riba do horizonte é unha condición necesaria para a luz solar directa; mais non é unha condición suficiente, xa que algo pode estar proxectando unha sombra, por exemplo, a lúa no caso dunha [Eclipse solar|eclipse.]]
A afirmación de que *Q* é necesaria para *P* é coloquialmente equivalente a "*P* non pode ser verdadeira a menos que *Q* sexa verdadeira" ou "se Q é falsa, entón P é falsa".   Por contraposición, isto é o mesmo que "sempre que *P* é verdadeira, tamén o é *Q* ".

A relación lóxica entre *P* e *Q* exprésase como "se *P*, entón *Q*" e denotase "*P* ⇒ *Q*" ( *P* implica *Q* ). Tamén se pode expresar como "*P* só se *Q*", " *Q*, se *P* ", "*Q* sempre que *P* " e "*Q* cando *P* ". A miúdo atópanse, na prosa matemática, por exemplo, varias condicións necesarias que, tomadas en conxunto, constitúen unha condición suficiente (é dicir, necesarias individualmente e suficientes conxuntamente ).

## Suficiente 
dereita|miniatura|200x200px| Que un tren circule a tempo pode ser unha condición suficiente para chegar a tempo (se un sube ao tren e sae a tempo, entón chegará a tempo); mais non sempre é unha condición necesaria, xa que hai outras formas de viaxar (se o tren non vai a tempo, aínda se podería chegar a tempo por outros medios de transporte).
Se *P* é suficiente para *Q*, entón saber que *P* é verdadeira é un motivo adecuado para concluír que *Q* é verdadeira; porén, saber que *P* é falsa non satisfai unha necesidade mínima de concluír que *Q* é falsa.

A relación lóxica exprésase, como antes, como "se *P*, entón *Q*" ou "*P* ⇒ *Q*". Isto tamén se pode expresar como "*P* só se *Q*", "*P* implica *Q*" ou varias outras variantes. Pode darse o caso de que varias condicións suficientes, tomadas en conxunto, constitúan unha única condición necesaria (é dicir, suficiente individual e necesariamente conxuntamente)

## Relación entre necesario e suficiente 
miniatura|260x260px| Estar na rexión morada (a intersección) é suficiente para estar en A, mais non é necesario. Estar en A é necesario para estar na rexión morada (a intersección), mais non suficiente. Estar en A e estar en B é necesario e suficiente para estar na rexión morada (a intersección).
Unha condición pode ser necesaria ou suficiente sen ser a outra. Por exemplo, *ser un mamífero* (*N*) é necesario mais non suficiente para *ser humano* (*S*), tamén un número x *é racional* (*S*) é suficiente mais non necesario para que x *sexa un número real* (*N*) (xa que hai números reais que non son racionais).

Unha condición pode ser necesaria e suficiente. Por exemplo,  "hoxe é o 25 de xullo" é unha condición necesaria e suficiente para "hoxe é o Día da Galicia". Do mesmo xeito, unha condición necesaria e suficiente para a invertibilidade dunha matriz *M* é que *M* teña un determinante distinto de cero.

## Necesario e suficiente simultáneas 
Dicir que *P* é necesario e suficiente para *Q* é dicir dúas cousas:

# que *P* é necesario para *Q*, P \Leftarrow Q, e que *P* é suficiente para *Q*, P \Rightarrow Q .
# equivalentemente, pódese entender que *P* e *Q* son necesarios para o outro, P \Rightarrow Q \land Q \Rightarrow P, que tamén se pode afirmar como cada un *é suficiente para* ou *implica* o outro.

Pódese resumir calquera, e polo tanto todos, estes casos coa afirmación "*P* se e só se *Q*", que se denota por P \Leftrightarrow Q, mentres que os casos dinnos iso P \Leftrightarrow Q é idéntico a P \Rightarrow Q \land Q \Rightarrow P .

En matemáticas, os teoremas adoitan expresarse na forma "*P* é verdadeira se e só se *Q* é verdade".

Podemos escribir P \Leftrightarrow Q \equiv Q \Leftrightarrow P porque as afirmacións "*P* é verdadeira se e só se *Q* é verdadeira" e "*Q* é verdadeira se e só se *P* é verdadeira" son equivalentes.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* se e só se.
* Modus ponens.
* Modus tollens.
### Ligazóns externas 
* Tutorial web de pensamenteo crítico: *Necessary and Sufficient Conditions*
*Simon Fraser University: Concepts with examples