Expresión matemática

[miniatura|239x239px| Na [ecuación 7x − 5 = 2, os lados da ecuación son expresións.]]

En matemáticas, unha **expresión** é unha disposición escrita de símbolos seguindo as convencións sintácticas dependentes do contexto da notación matemática. Os símbolos poden indicar números, variábeis, operacións e funcións. Outros símbolos inclúen signos de puntuación e corchetes, usados para agrupar onde non hai unha orde de operacións ben definida.

As expresións son comunmente distinguidas das *fórmulas*: as expresións son unha especie de obxecto matemático, mentres que as fórmulas son enunciados *sobre* obxectos matemáticos. Isto é análogo á linguaxe natural, onde unha frase nominal refírese a un obxecto e unha oración enteira refírese a un feito. Por exemplo, 8x-5 é unha expresión, mentres que a desigualdade 8x-5 \geq 3  é unha fórmula.

*Avaliar* unha expresión significa atopar un valor numérico equivalente á expresión.  As expresións pódense *avaliar* ou *simplificar* substituíndo as operacións que aparecen nelas polo seu resultado. Por exemplo, a expresión 8\times 2-5 simplifica a 16-5, e avalía 11.

Unha expresión utilízase a miúdo para definir unha función, tomando as variábeis como argumentos ou entradas da función, e asignando a saída como a avaliación da expresión resultante. Por exemplo, x\mapsto x^2+1 e f(x) = x^2 + 1 define a función que asocia a cada número o seu cadrado máis un. Unha expresión sen variábeis definiría unha función constante. Normalmente, dúas expresións considéranse iguais ou *equivalentes* se definen a mesma función. A tal igualdade chámase "igualdade semántica", é dicir, ambas as expresións "significan o mesmo".

## Variábeis e avaliación 
En álxebra elemental, unha *variábel* nunha expresión é unha letra que representa un número cuxo valor pode mudar. *Avaliar unha expresión* cunha variábel significa atopar o valor da expresión cando á variable se lle asigna un número determinado. As expresións pódense *avaliar* ou *simplificar* substituíndo as operacións que aparecen nelas polo seu resultado, ou combinando termos semellantes.

Por exemplo, tome a expresión 4 x^2 + 8; pódese avaliar en  nos seguintes pasos:

4(3)^2 + 3, (substitúe x por 3)

4 \cdot (3 \cdot 3 ) + 8 (use a definición de expoñente)

4 \cdot 9 + 8 (simplificar)

36 + 8

44

### Equivalencia 
A miúdo úsase unha expresión para definir unha función ou denotar composicións de funcións, tomando as variábeis como argumentos ou entradas da función e asignando a saída como a avaliación da expresión resultante. Por exemplo, x\mapsto x^2+1 e f(x) = x^2 + 1 define a función que asocia a cada número o seu cadrado máis un. Unha expresión sen variábeis definiría unha función constante. Deste xeito, dise que dúas expresións son equivalentes se, para toda combinación de valores das variábeis libres, teñen a mesma saída, é dicir, representan a mesma función.  A equivalencia entre dúas expresións chámase identidade e ás veces denotase con \equiv.

Por exemplo, na expresión \sum_{n=1}^{3} (2nx), a variábel  está ligada e a variábel  é libre. Esta expresión é equivalente á expresión máis simple ; é dicir 
:\sum_{n=1}^{3} (2nx)\equiv 12x. 
O valor de  é 36, que se pode denotar como 
:\sum_{n=1}^{3} (2nx)\Big|_{x=3}= 36.

## Expresións ben definidas 
A linguaxe das matemáticas presenta unha especie de gramática (chamada gramática formal) sobre como se poden escribir as expresións. Hai dúas consideracións para unha boa definición das expresións matemáticas, a sintaxe e a semántica. A sintaxe refírese ás regras utilizadas para construír ou transformar os símbolos dunha expresión sen ter en conta ningunha interpretación ou significado que se lles dea. As expresións sintácticamente correctas chámanse **ben formadas**. A semántica preocúpase do significado destas expresións ben formadas. As expresións que son semanticamente correctas chámanse **ben definidas**.

Por exemplo, en aritmética, a expresión *1 + 2 × 3* está ben formada, pero

: \times4)x+,/y .

non o está.

Porén, estar ben formado non é suficiente para ser considerado ben definido. Por exemplo en aritmética, a expresión \frac{1}{0} está ben formado, pero non está ben definido. (Ver División por cero). Esas expresións chámanse indefinidas.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
### Outros artigos 
* Fórmula (expresión).
* Variábel