Distribución gamma

{{Modelo de distribución de probabilidade
|nome       = Distribución gamma
|tipo       =densidade
|pdf_image  =325px
|cdf_image  =325px
|parámetros = *k* > 0 (forma), θ > 0 (escala)
|soporte    =\scriptstyle x \;\in\; (0,\, \infty)
| pdf        =\frac{1}{\Gamma(k) \theta^k} x^{k \,-\, 1} e^{-\frac{x}{\theta}}
| cdf        =\frac{1}{\Gamma(k)} \gamma\left(k,\, \frac{x}{\theta}\right)
|media =\scriptstyle \mathbf{E}[ X] = k \theta \scriptstyle \mathbf{E}[\ln X] = \psi(k) +\ln(\theta)
|mediana=
|moda=\scriptstyle (k \,-\, 1)\theta \text{ for } k \;{\geq}\; 1
| varianza =\scriptstyle\operatorname{Var}[ X] = k \theta^2 \scriptstyle\operatorname{Var}[\ln X] = \psi_1(k)
|asimetría   = \scriptstyle \frac{2}{\sqrt{k}}
|curtose   =\scriptstyle \frac{6}{k}
|entropía    =\scriptstyle \begin{align}
                      \scriptstyle k &\scriptstyle \,+\, \ln\theta \,+\, \ln[\Gamma(k)]\\
                      \scriptstyle   &\scriptstyle \,+\, (1 \,-\, k)\psi(k)
                    \end{align}
| mgf        =\scriptstyle (1 \,-\, \theta t)^{-k} \text{ for } t \;
| char       =\scriptstyle (1 \,-\, \theta i\,t)^{-k}
| parámetros2 =
* α > 0 shape
* β > 0 rate
| soporte2    =\scriptstyle x \;\in\; (0,\, \infty)
| pdf2        =\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha \,-\, 1} e^{- \beta x }
| cdf2        =\frac{1}{\Gamma(\alpha)} \gamma(\alpha,\, \beta x)
| media2 =\scriptstyle\mathbf{E}[ X] = \frac{\alpha}{\beta}\scriptstyle \mathbf{E}[\ln X] = \psi(\alpha) -\ln(\beta)(see digamma function)
| mediana2     =
| moda2       =\scriptstyle \frac{\alpha \,-\, 1}{\beta} \text{ for } \alpha \;{\geq}\; 1
| varianza2   =\scriptstyle \operatorname{Var}[ X] = \frac{\alpha}{\beta^2}\scriptstyle\operatorname{Var}[\ln X] = \psi_1(\alpha)(see trigamma function)
| asimetría2   =\scriptstyle \frac{2}{\sqrt{\alpha}}
| curtose2 =\scriptstyle \frac{6}{\alpha}
| entropía2 =\scriptstyle \begin{align}
                      \scriptstyle \alpha &\scriptstyle \,-\, \ln \beta \,+\, \ln[\Gamma(\alpha)]\\
                      \scriptstyle   &\scriptstyle \,+\, (1 \,-\, \alpha)\psi(\alpha)
                    \end{align}
| mgf2        =\scriptstyle \left(1 \,-\, \frac{t}{\beta}\right)^{-\alpha} \text{ for } t \;
| char2       =\scriptstyle \left(1 \,-\, \frac{i\,t}{\beta}\right)^{-\alpha}
}}
En estatística a **distribución gamma** é unha distribución de probabilidade continua con dous parámetros k e \lambda cunha función de densidade para valores x > 0 que ten como expresión:

:f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \frac{(\lambda x)^{k-1}}{\Gamma(k)}

onde e é o número e e \Gamma é a función gamma. Para valores k\in \N a función gamma é \Gamma(k)=(k-1)! (o factorial de k-1). Neste caso, por exemplo para describir un proceso de Poisson, chámase distribución Erlang cun parámetro \theta=1/\lambda.

O valor esperado e a varianza dunha variable aleatoria X de distribución gamma son

:E[X]=k/\lambda=k\theta
:V[X]=k/\lambda^2=k\theta^2

## Relacións 
O tempo ata que o suceso número k ocorre nun proceso de Poisson de intensidade \lambda é unha variable aleatoria con distribución gamma. Iso é a suma de k variables aleatorias independentes que seguen unha distribución exponencial con parámetro \lambda.

## Véxase tamén 
### Outros artigos 
*Distribución beta
*Distribución de Erlang
*Distribución χ²
### Ligazóns externas 
* Cálculo da probabilidade dunha  distribución gamma con R (linguaxe de programación)