Serie alternada

En matemáticas, unha **serie alternada** (ou **alterna**) é unha serie infinita de termos que alternan entre signos positivos e negativos. En notación capital-sigma isto exprésase 
:\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n ou 
:\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1} a_n con  para todos os .

Como calquera serie, unha serie alterna é unha serie converxente se e só se a secuencia de sumas parciais da serie converxe a un límite. O test de series alternadas garante que unha serie alterna é converxente se os termos  converxen a 0 de forma monótona, esta condición é suficiente mais pode non ser necesaria para a converxencia.

## Exemplos 
A serie xeométrica  −  +  −  + ⋯  suma  \frac{1}{3}.

A serie harmónica alterna ten unha suma finita mais a serie harmónica non. 

A serie 
:1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1} converxe a \frac{\pi}{4}, mais non é absolutamente converxente.

A serie de Mercator proporciona unha expresión en serie de potencias analíticas do logaritmo natural, dada por 
: \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = \ln (1+x),\;\;\;|x|\le1,
x\ne-1.

As funcións seno e coseno usadas en trigonometría e introducidas na álxebra elemental como a razón de lados dun triángulo rectángulo tamén se poden definir como series alternas no cálculo. 
:\sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} e 
:\cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}.
Cando se elimina o factor alternante  destas series obtéñense as funcións hiperbólicas sinh e cosh utilizadas en cálculo e estatística.

Para o índice enteiro ou positivo α a función de Bessel do primeiro tipo pódese definir coa serie alterna 
: J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \, \Gamma(m+\alpha+1)} {\left(\frac{x}{2}\right)}^{2m+\alpha}  onde  é a función gamma.

Se  é un número complexo, a función eta de Dirichlet fórmase como unha serie alternada 
:\eta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} \over n^s} = \frac{1}{1^s} - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \frac{1}{4^s} + \cdots
que se usa na teoría analítica de números.

## Test de serie alternada 
O teorema coñecido como "Test de Leibniz" ou test de series alternadas afirma que unha serie alternada converxerá se os termos  converxen a 0 de forma monótona.

Proba: supoña que a secuencia a_n converxe a cero e é monótona decrecente. Se m é impar  e m, obtemos a estimación S_n - S_m \le a_{m} mediante o seguinte cálculo: 
:\begin{align}
S_n - S_m & =
\sum_{k=0}^n(-1)^k\,a_k\,-\,\sum_{k=0}^m\,(-1)^k\,a_k\ = \sum_{k=m+1}^n\,(-1)^k\,a_k \\
& =a_{m+1} - a_{m+2} + a_{m+3} - a_{m+4} + \cdots + a_n\\
& = a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3}) - (a_{m+4}-a_{m+5}) - \cdots - a_n \le a_{m+1} \le a_{m}.
\end{align}

Posto que a_n é monótonamente decrecente, os termos -(a_m - a_{m+1}) son negativos. Así, temos a desigualdade final: S_n - S_m \le a_m. Do mesmo xeito, pódese demostrar que -a_m \le S_n - S_m . Posto que a_m converxe a 0, as sumas parciais S_m forman unha secuencia de Cauchy (é dicir, a serie cumpre o criterio de Cauchy) e polo tanto converxen. O argumento para m par é semellante.

## Converxencia absoluta 
Unha serie \sum a_n converxe absolutamente se a serie \sum |a_n| converxe.

Teorema: as series absolutamente converxentes son converxentes.

## Converxencia condicional 
Unha serie é condicionalmente converxente se converxe mais non converxe absolutamente.

Por exemplo, a serie harmónica 
:\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n},  diverxe, mentres que a versión alterna 
:\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n},  converxe, que se pode porbar  polo test de series alternas.

## Reordenacións 
Para calquera serie, podemos crear unha nova serie reorganizando a orde de suma. Unha serie é converxente incondicionalmente se calquera reordenación crea unha serie coa mesma converxencia que a serie orixinal. As series absolutamente converxentes son incondicionalmente converxentes. Mais o teorema das series de Riemann afirma que as series condicionalmente converxentes poden ser reordenadas para crear unha converxencia arbitraria. O teorema de Agnew describe os reordenamentos que preservan a converxencia para todas as series converxentes. O principio xeral é que a suma de sumas infinitas só é conmutativa para series absolutamente converxentes.

Por exemplo, unha proba falsa de que 1=0  utiliza  o fallo da asociatividade para sumas infinitas.

Outro exemplo: a serie de Mercator :
\ln(2) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots.

Mais, como a serie non converxe absolutamente, podemos reorganizar os termos para obter unha serie \tfrac 1 2 \ln(2): 
:\begin{align}
& {} \quad \left(1-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{4} +\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\right) -\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{5} -\frac{1}{10}\right)-\frac{1}{12}+\cdots \\[8pt]
& = \frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6} -\frac{1}{8}+\frac{1}{10}-\frac{1}{12} +\cdots \\[8pt]
& = \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2} + \frac{1}{3} -\frac{1}{4}+\frac{1}{5}- \frac{1}{6}+ \cdots\right)= \frac{1}{2} \ln(2).
\end{align}

## Aceleración de series 
Na práctica, a suma numérica dunha serie alternada pode acelerarse usando calquera das diversas técnicas de aceleración de series. Unha das técnicas máis antigas é a da suma de Euler, e hai moitas técnicas modernas que poden ofrecer unha converxencia aínda máis rápida.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Earl D. Rainville (1967) *Infinite Series*, pp 73–6, Macmillan Publishers.
### Outros artigos 
* serie de Grandi
* Integral de Nörlund–Rice
### Ligazóns externas 
*