Paralelismo (xeometría)

250px|right|miniatura|Dúas rectas paralelas.
miniatura|right|250px|Planos paralelos.
En xeometría, o **paralelismo** é unha relación que se establece entre calquera variedade linear de dimensión maior ou igual que 1 (rectas, planos, hiperplanos…). No plano cartesiano dúas rectas son paralelas se teñen a mesma pendente ou son perpendiculares a un dos eixes, por exemplo a función constante.

En xeometría afín, expresando unha variedade linear como *V = p + E*, con *p* punto e *E* espazo vectorial, dise que *A = a + F* é paralela a *B = b + G* se e só se *F* está contido en *G* ou *G* está contido en *F*, onde *A* e *B* son subvariedades lineares da mesma variedade linear *V* e *F* e *G* son subespazos vectoriales do mesmo espazo vectorial *E*. No plano (afín) (*V* = \mathbb R^2), tradúcese do seguinte xeito: dúas rectas son paralelas se teñen un mesmo vector director.

Nun espazo afín tridimensional, unha recta e un plano poden ser paralelos, e a coincidencia de variedades lineares é un caso particular de paralelismo. Así, dúas rectas, contidas nun plano, son paralelas se son a mesma recta (rectas coincidentes) ou, polo contrario, non comparten ningún punto.

De xeito análogo, no espazo, dous planos son paralelos se son o mesmo plano ou se non comparten ningunha recta.

## Rectas paralelas 
miniatura|250px|Construción dunha liña paralela por un punto dado, empregando só regra e compás
Dúas rectas son paralelas se os seus vectores directores son paralelos, é dicir, se son linearmente dependentes.

Tamén se denominan así aqueles pares de liñas que nunca se unen ou cruzan.

### Axioma de unicidadee 
O axioma que distingue a xeometría euclidiana doutras xeometrías é o seguinte: 
:Nun plano, por un punto exterior a unha recta pasa unha e só unha paralela a esa recta.

### Propiedades 
Dado o conxunto **P** de rectas no plano, podemos definir a relación binaria:  \parallel  que representamos do seguinte modo:
: 
  a \parallel b
  \quad , \quad
  \parallel (a,b)
  \quad , \quad
  (a,b) \in \parallel

Sendo **a**, **b**, **c** rectas no plano **P**, cúmprese:
* Reflexiva: Toda recta é paralela a ela mesma:
: 
  \forall a \in P
  : \quad
  a \parallel a

* Simétrica: se unha recta é paralela a outra, aquela é paralela á primeira:
: 
  \forall a, b \in P
  : \quad
  a \parallel b \longrightarrow \quad b \parallel a

Estas dúas propiedades dedúcense da intersección de conxuntos e non dependen do axioma de unicidade.

* Transitiva: se unha recta é paralela a outra, e esta á súa vez é paralela a unha terceira, a primeira é paralela á terceira:
: 
  \forall a, b, c \in P
  : \quad
  \Big( \; a \parallel b \; \land \; b \parallel c \; \Big) \longrightarrow \quad a \parallel c

Polo tanto a relación de paralelismo entre rectas do plano é unha relación de equivalencia. Estas mesmas propiedades pódense comprobar no conxunto de planos paralelos no espazo.

### Teoremas 
*Nun plano, dúas rectas perpendiculares a unha terceira son paralelas entre elas.
*Nun plano, se unha recta corta outra recta, entón corta todas as paralelas desta.

As demostracións destes dous teoremas e da terceira propiedade empregan o axioma de unicidade.

## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Perpendicularidade
* Quinto postulado de Euclides
* Ángulos entre paralelas
* Rectas paralelas cortadas por unha secante

### Bibliografía
* (1961): *Introduction to Geometry*. Nova York: Wiley.
* (1956): *Nuevo tratado del paralelismo*. Buenos Aires: Ed. Atlántida.
* (1958): *Elementare Einführung in die Lobatschewskische Geometrie*. Berlín: Deutscher Verlag der Wissenschaften.
* (1961): *Geometrías no euclidianas*. Buenos Aires: EUDEBA.

### Ligazóns externas 
* Paralelismo en MathWorld