Menor (álxebra linear)

[thumb|É posíbel utilizar os menores de orde 2 dunha [Matriz (matemáticas)|matriz de dimensión 3 para calcular o seu determinante.]]
En álxebra linealr, un **menor** dunha matriz  é o determinante dalgunha matriz cadrada máis pequena xerada a partir de  eliminando unha ou máis das súas filas e columnas. Os menores obtidos eliminando só unha fila e unha columna das matrices cadradas (**menores primeiros**) son necesarios para calcular os **cofactores** matriciais, que son útiles para calcular tanto o determinante como a  inversa das matrices cadradas.

## Definición e exemplo 
### Menores primeiros 
Se  é unha matriz cadrada, entón o *menor* da  fila  e a columna  (tamén chamado *menor*  ou un  *menor primeiro*  ) é o determinante da submatriz formada eliminando a fila  e a columna . Este número adoita denotarse . 

O ***cofactor***  obtense multiplicando o **menor** por .

Para ilustrar estas definicións, considere a seguinte matriz ,

:\begin{bmatrix}
1 & 4 & 7 \\
3 & 0 & 5 \\
-1 & 9 & 11 \\
\end{bmatrix}

Para calcular o menor  e o cofactor , atopamos o determinante da matriz anterior coa fila 2 e columna 3 eliminadas.

: M_{2,3} = \det \begin{bmatrix}
 1  & 4  & \Box \\
 \Box & \Box & \Box \\
 -1  & 9  & \Box \\
\end{bmatrix}= \det \begin{bmatrix}
 1 & 4 \\
 -1 & 9 \\
\end{bmatrix} = 9-(-4) = 13

Polo tanto, o cofactor da entrada  é

:C_{2,3} = (-1)^{2+3}(M_{2,3}) = -13.

### Definición xeral 
Sexa  unha matriz  e  un número enteiro con , e . Un *menor*   de , tamén chamado *determinante menor de orde * de ,  é o determinante dunha matriz  obtida de  eliminando   filas e  columnas. 

## Aplicacións de menores e cofactores 
### Expansión en cofactores do determinante 
Os cofactores ocupan un lugar destacado na fórmula de Laplace para a expansión dos determinantes, que é un método para calcular determinantes maiores en termos de determinantes máis pequenos. Dada unha matriz , , o determinante de , denotado como , pódese escribir como a suma dos cofactores de calquera fila ou columna da matriz multiplicada polas entradas que os xeraron. Noutras palabras, definindo C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} entón a expansión do cofactor ao longo da -ésima columna dá:

:\begin{align}
 \det(\mathbf A) &= a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + a_{3j}C_{3j} + \cdots + a_{nj}C_{nj} \\[2pt]
 &= \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij} \\[2pt]
 &= \sum_{i=1}^{n} a_{ij}(-1)^{i+j} M_{ij}
\end{align}

A expansión do cofactor ao longo da fila -ésima dá:

:\begin{align}
 \det(\mathbf A) &= a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + a_{i3}C_{i3} + \cdots + a_{in}C_{in} \\[2pt]
 &= \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij} \\[2pt]
 &= \sum_{j=1}^{n} a_{ij} (-1)^{i+j} M_{ij}
\end{align}

### Inversa dunha matriz 
Pódese obter a inversa dunha matriz invertíbel calculando os seus cofactores usando a regra de Cramer, como segue. A matriz formada por todos os cofactores dunha matriz cadrada  chámase **matriz de cofactores**:

:\mathbf C = \begin{bmatrix}
 C_{11} & C_{12} & \cdots &  C_{1n} \\
 C_{21} & C_{22} & \cdots &  C_{2n} \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 C_{n1} & C_{n2} & \cdots & C_{nn}
\end{bmatrix} 

Entón, a inversa de  é a transposición da matriz de cofactores multiplicada polo recíproco do determinante de :

:\mathbf A^{-1} = \frac{1}{\operatorname{det}(\mathbf A)} \mathbf C^\mathsf{T}.

A transposta da matriz cofactor chámase matriz adxunta  de .

## Unha observación sobre a notación 
Nalgúns libros, en lugar de *cofactor* úsase o termo *adxunto*. Ademais, denomínase  e defínese do mesmo xeito que o cofactor: :\mathbf{A}_{ij} = (-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ij}

Usando esta notación a matriz inversa escríbese deste xeito: 
:\mathbf{M}^{-1} = \frac{1}{\det(M)}\begin{bmatrix}
 A_{11} & A_{21} & \cdots &  A_{n1}  \\
 A_{12} & A_{22} & \cdots &  A_{n2}  \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}
\end{bmatrix} 

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Determinante (matemáticas)
* Matriz (matemáticas)
### Ligazóns externas 
* MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors en Google Video, de MIT OpenCourseWare
* PlanetMath *Cofactors* 
* Springer Encyclopedia of Mathematics  *Minor*