Euclides

**Euclides** (en grego antigo: Εὐκλείδης / Eukleídês), ás veces chamado **Euclides de Alexandría** para distinguilo de Euclides de Mégara, (floruit o 300 a.C.), foi un matemático e xeómetra grego. Considerado como "o pai da xeometría". coñéceselle principalmente polo tratado *Elementos*, que estableceu os fundamentos da xeometría que dominaron en gran parte este campo até principios do século XIX. O seu sistema, agora denominado  como xeometría euclidiana, incluía innovacións en combinación cunha síntese de teorías de matemáticos gregos anteriores, como Eudoxo de Cnido, Hipócrates de Quíos, Tales e Teeteto. Xunto con Arquímedes e Apolonio de Perge, Euclides está xeralmente considerado entre os máis grandes matemáticos da antigüidade, e un dos máis influentes na historia das matemáticas.

Sábese moi pouco da vida de Euclides, e a maior parte da información procede dos eruditos Proclo e Pappus de Alexandría moitos séculos despois. Os matemáticos islámicos medievais inventaron unha biografía fantasiosa, e os eruditos medievais do Bizantino e de principios do Renacemento confundírono co filósofo anterior Euclides de Megara. Na actualidade acéptase xeralmente que desenvolveu a súa carreira en Alexandría (Antigo Exipto) en tempos de Tolomeo I Sóter (323-283 a.C.) ao redor do ano 300 a.C., despois dos alumnos de Platón e antes de Arquímedes. Especúlase con que Euclides estudou na Academia Platónica, en pleno florecemento da cultura helenística, e máis tarde ensinou no Museion; considérase que tendeu unha ponte entre a tradición platónica anterior de Atenas e a posterior de Alexandría. Foi o fundador da escola de matemáticas na cidade.

Creador da famosa xeometría euclidiana: o espazo euclidiano, inmutable, simétrico e xeométrico, metáfora do saber na antigüidade clásica, que se mantivo incólume no pensamento matemático medieval e renacentista, pois só nos tempos modernos puideron ser construídos modelos de xeometrías non-euclidianas. Foi o fundador da escola de matemáticas na cidade. 

:*Data*, *Sobre as divisións*, *Catóptrica*, *Fenómenos do ceo* e *Óptica*. Por fontes árabes, atribúenselle a Euclides varios tratados sobre mecánica. *Sobre o pesado e o lixeiro* contén, en nove definicións e cinco proposicións, as nocións aristotélicas sobre o movemento dos corpos e o concepto de gravidade específica. *Sobre o equilibrio* trata a teoría da panca, tamén de forma axiomática, cunha definición, dous axiomas e catro proposicións. Un terceiro fragmento sobre os círculos descritos polos extremos dunha panca móbil contén catro proposicións. Estas tres obras compleméntanse de tal maneira unhas coas outras que se suxeriu que son remanentes dun único tratado de *Mecánica* escrito por Euclides.
### Os *Elementos* 
A súa obra *Elementos* é unha das producións científicas máis coñecidas do mundo e era unha recompilación do coñecemento impartido no ámbito académico de entón. Os *Elementos* non eran, como se pensa ás veces, un compendio de todos os coñecementos xeométricos, senón máis ben un texto introdutorio que cubría toda a matemática elemental, é dicir a aritmética, a xeometría sintética e o álxebra. 

Os *Elementos* están divididos en trece libros ou capítulos, dos cales a primeira media ducia son sobre xeometría plana elemental, os tres seguintes sobre teoría de números, o libro X *Sobre os inconmensurables* (isto é, sobre os números irracionais, probablemente unha refundición de Teéteto), e o tres últimos principalmente sobre xeometría de sólidos.

Nos libros dedicados a xeometría, partindo unicamente de cinco postulados, preséntase de maneira formal o estudo das propiedades de liñas e planos, círculos e esferas, triángulos e conos, etc.; é dicir, das formas regulares. Probablemente ningún dos resultados dos *Elementos* sexa demostrado por primeira vez por Euclides, pero a organización do material e a súa exposición sen ningunha dúbida débense a el. De feito, hai moita evidencia de que Euclides usase libros de texto anteriores cando escribía os *Elementos,* xa que presenta un gran número de definicións que non son usadas, tales como a dun oblongo, un rombo e un romboide. Os teoremas de Euclides son os que xeralmente se aprenden na escola moderna. Por citar algúns dos máis coñecidos:

* A suma dos ángulos interiores de calquera triángulo é 180°. 
* Nun triángulo rectángulo, o cadrado da hipotenusa é igual á suma dos cadrados dos catetos, que é o famoso teorema de Pitágoras. 

Nos libros VII, VIII e IX dos *Elementos* estúdase a teoría da divisibilidade. Considera a conexión entre os números perfectos e os números primos de Mersenne (coñecida como o teorema de Euclides-Euler), a infinitude dos números primos (Teorema de Euclides), o lema de Euclides sobre a factorización (que conduce ao teorema fundamental da aritmética sobre a unicidade das factorizacións dos números primos) e o algoritmo de Euclides para atopar o máximo común divisor de dous números.

A xeometría de Euclides, ademais de ser un poderoso instrumento de razoamento dedutivo, foi extremadamente útil en moitos campos do coñecemento; por exemplo, na física, na astronomía, na química e diversas enxeñarías. Desde logo, é moi útil nas matemáticas. Inspirada pola harmonía da presentación de Euclides, no século II formulouse a teoría tolemaica do universo, segundo a cal a Terra é o centro do universo, e os planetas, a Lúa e o Sol dan voltas ao seu ao redor en liñas perfectas, é dicir, circunferencias e combinacións de circunferencias. Con todo, as ideas de Euclides constitúen unha considerable abstracción da realidade. Por exemplo, supón que un punto non ten tamaño; que unha liña é un conxunto de puntos que non ten nin anchura nin grosor, soamente lonxitude; que unha superficie non ten groso, etcétera. En vista de que o punto, de acordo con Euclides, non ten tamaño, asígnaselle unha dimensión ou magnitude nula ou cero. Unha liña ten soamente lonxitude, polo que adquire unha dimensión igual a un. Unha superficie non ten espesor, non ten altura, polo que ten dúas dimensión: ancho e longo. Finalmente, un corpo sólido, como un cubo, ten tres dimensión: longo, ancho e alto. Euclides tentou resumir todo o saber matemático no seu libro *Os elementos*. A xeometría de Euclides foi unha obra que perdurou sen variacións até o século XIX.

Dos axiomas de partida, soamente o das liñas paralelas parecía menos evidente. Diversos matemáticos tentaron sen éxito prescindir de devandito axioma tentándoo deducir do resto dos axiomas e presentalo como un teorema, sen logralo.

Finalmente, algúns autores crearon xeometrías novas baseándose en invalidar ou substituír o axioma das paralelas, dando orixe ás "xeometrías non euclidianas". Devanditas xeometrías (a xeometría elíptica e a xeometría hiperbólica) teñen como característica principal que ao cambiar o axioma das paralelas os ángulos dun triángulo xa non suman 180 graos: a primeira suma máis, e a segunda menos.

### *Data* 
[miniatura|upright|A construción de Euclides dun [dodecaedro regular]]
A *Data* (*Δεδομένα*) é a única obra de Euclides que trata de xeometría e da cal se posúe unha versión en grego (está, por exemplo, no manuscrito do século X descuberto por François Peyrard). Tamén é descrito en detalle no libro VII da *Colección matemática* de Pappus, o «Tesouro da análise», moi relacionado cos primeiros catro libros dos *Elementos.* Trata do tipo de información usada nos problemas xeométricos, e da súa natureza. A *Data* sitúanse no marco da xeometría plana e é considerada polos historiadores como un complemento ou apéndice dos *Elementos*, baixo unha forma máis axeitada ou didáctica para analizar problemas. A obra contén 15 definicións, e explica o que significa un obxecto xeométrico, en posición, en forma, en tamaño, e 94 teoremas. Estes explican que, se se dan algúns elementos dunha figura, outras relacións ou elementos poden ser determinados.
concepto de gravidade específica. *Sobre o equilibrio*, que trata a teoría da panca de maneira semellante á euclidiana, contén unha definición, dous axiomas, e catro proposicións. Un terceiro fragmento, sobre os círculos descritos polas extremidades dunha panca en movemento, contén catro proposicións. Estas tres obras son complementarias entre si de tal xeito que se suxeriu que son os restos dun único tratado sobre mecánica escrito por Euclides.
### *Sobre as divisións* 
Esta obra (*Περὶ διαιρέσεων Βιβλίον*) é descrita no *Comentario* de Proclo, pero perdeuse na súa lingua orixinal grega; hai anacos en latín (*De divisionibus*), pero sobre todo consérvase un manuscrito en árabe descuberto no século XIX que contén 36 proposicións, catro das cales son demostradas.

Ocúpase da división de figuras xeométricas en dúas ou máis partes iguais ou en partes de proporcións dadas. É similar a unha obra do século III d.&nbsp;C. de Herón de Alexandría. Nesta obra trata de construír rectas que dividen figuras dadas en proporcións e formas dadas. Por exemplo, pídese, dado un triángulo e un punto interior ao triángulo, construír unha recta pasando polo punto e cortando o triángulo en dúas figuras de igual superficie; ou, dado un círculo, construír dúas rectas paralelas, de forma que a porción do círculo que limitan faga un terzo da superficie do círculo.
### *Catóptrica*
* *Catóptrica* refírese á teoría matemática dos espellos, en particular ás imaxes formadas en espellos cóncavos planos e esféricos, aínda que ás veces se cuestiona a súa atribución.
### *Fenómenos do ceo* 
*Fenómenos do ceo* ou simplemente *Fenomena* (*Φαινόμενα*) é un tratado sobre a Astronomía de posición, que se conserva en grego. É bastante similar a unha obra de Autólico (*Sobre a noción da esfera*) e fala sobre a aplicación da xeometría da esfera á astronomía. Sobreviviu en grego en varias versións manuscritas, a máis antiga das cales data do século X. Este texto explica o que se denomina «pequena astronomía» por contraste cos temas tratados na *Gran composición* (o *Almaxesto* de Tolomeo). Contén 18 proposicións e está preto das obras conservadas sobre o mesmo tema de Autólico de Pitane.
### *Óptica* 
*Óptica* (*Ὀπτικά*) é o tratado grego máis antigo que se conserva, en varias versións, consagrado a problemas que agora chamariamos de *perspectiva*. Aparentemente destinado a ser utilizado en astronomía, adopta a forma expositiva dos *Elementos*: é unha continuación de 58 proposicións das cales a proba descansa sobre definicións e postulados enunciados nos principios do texto. Nas súas definicións, Euclides segue a tradición platónica, que afirma que a visión é causada por raios que emanan do ollo. Euclides describe a medida aparente dun obxecto en relación coa súa distancia do ollo, e investiga as formas aparentes de cilindros e conos cando son vistos desde diferentes perspectivas.

Euclides mostra que as tallas aparentes de obxectos iguais non son proporcionais á súa distancia do noso ollo (proposición 8). Explica, por exemplo, a nosa visión dunha esfera (e outras superficies simples): o ollo ve unha superficie inferior en metade da esfera, unha proporción aínda máis pequena na medida que a esfera esta máis próxima, mesmo se a superficie ver parece máis grande, e o contorno do que é visto é un círculo. Detalla igualmente, segundo as posicións do ollo e do obxecto, de que forma nos aparece un círculo. O tratado, en particular, contradí unha opinión defendida nalgunhas escolas de pensamento, segundo a cal o tamaño real dos obxectos (en particular dos corpos celestes) é o do seu tamaño aparente, o que é visto.

Pappus considerou que estes resultados eran importantes en astronomía e incluíu a *Óptica* de Euclides, xunto cos seus *Fenómenos*, nun compendio de obras menores que había que estudar antes do *Almaxesto* de Claudio Tolomeo.
### *Tratado de música* 
Proclo atribúe a Euclides un *Tratado de música* (*Εἰσαγωγὴ, Ἁρμονική*), que, como a Astronomía, en forma de teoría da música, aplicando proporcións, figura entre as ciencias matemáticas. Dous pequenos escritos foron conservados en grego e foron incluídos en edicións antigas de Euclides, pero a súa adxudicación é incerta, así como os seus posibles vínculos cos *Elementos*. Os dous escritos (unha *Sección do canon* sobre os intervalos musicais e unha *Introdución harmónica*) son, doutra banda, considerados como contraditorios, e o segundo, polo menos, é agora considerado polos especialistas como doutro autor.

### Outras obras perdidas
[miniatura|upright|Estatua de Euclides na [Universidade de Oxford.]]
Outras obras atribuídas a Euclides, pero que se perderon:
 
* *Cónicas*, foi un tratado sobre seccións cónicas, posteriormente ampliado por Apolonio de Perge nun traballo famoso sobre o mesmo tema. É probable que os catro primeiros libros da obra de Apolonio veñan directamente de Euclides. Segundo Pappus, «Apolonio, completou os catro libros de Euclides de cónicas e despois de engadir catro máis, deixou oito volumes de cónicas.» O *Cónicas* de Apolonio substituíu rapidamente o antigo tratado, e polo tempo de Pappus, a obra de Euclides xa estaba perdida.
* *Tres libros de porismas* (*Πορισμάτων Βιβλία*) podería ser unha ampliación do seu traballo nas seccións cónicas, pero non se acaba de saber de certo o significado do título, pois ademais a obra perdeuse. Evócase, con todo, en dúas pasaxes de Proclo e, sobre todo, é obxecto dunha longa presentación no libro VII da *Colección* de Pappus, o «*Tesouro da análise*», como un exemplo significativo e de gran alcance do enfoque analítico. A palabra *porisma* ten varios usos: segundo Pappus, designaría aquí un enunciado de tipo intermediario entre os teoremas e os problemas. A obra de Euclides contería 171 enunciados deste tipo e 38 lemas. Pappus  dá exemplos como «se, a partir de dous puntos dados, trázanse rectas que intersecten nunha recta dada, e si unha desta talla sobre unha recta dada un segmento, o outro fará o mesmo sobre outra recta, cunha relación fixada entre os dous segmentos cortados.» Interpretar o sentido exacto de que é un porisma e restituír finalmente todo ou parte dos enunciados da obra de Euclides a partir das informacións deixadas por Pappus ocupou a numerosos matemáticos; as tentativas máis coñecidas son as de Pierre Fermat no século XVII e de Robert Simson no século XVIII, e, sobre todo, a de Michel Chasles no século XIX. Se a reconstitución de Chasles non foi tomada seriamente como tal polos historiadores actuais, polo menos deu a ocasión aos matemáticos de desenvolver a noción de relación anharmónica.
* *Dous libros sobre os lugares xeométricos*: (*Τόπων Ἐπιπέδων Βιβλία* ou en grego moderno *Τόποι προς επιφάνεια*) trataba sobre os lugares xeométricos ou sobre superficies ou lugares xeométricos que eran eles mesmos superficies. Nunha interpretación posterior, existe a hipótese que a obra podería tratar de superficies cuádricas. Trátase tamén dunha obra perdida en dous libros, mencionada no *Tesouro da análise* de Pappus. As indicacións dadas en Proclo ou Pappus sobre estes lugares de Euclides son ambiguas e o que se cuestionaba exactamente na obra non é coñecido. Na tradición das matemáticas gregas antigas, os "lugares" son conxuntos de puntos que verifican unha propiedade dada. Estes conxuntos son a miúdo liñas rectas ou seccións cónicas, pero tamén poden ser superficies planas, por exemplo. A maioría dos historiadores estiman que os lugares de Euclides poderían tratar sobre superficies de revolución, esferas, conos ou cilindros.
* *Sobre erros* (*Περὶ Ψευδαρίων*) é un texto sobre as falacias e defectos posibles no razoamento; é unha obra perdida, coñecida só pola descrición que ofrece Proclo. Segundo este, a obra tiña como obxectivo afacer aos principiantes a detectar os razoamentos falsos, en particular os que imitan os razoamentos dedutivos e teñen, pois, a aparencia da verdade. Daba exemplos de paraloxismos.
* *Catro libros sobre seccións cónicas* (*Κωνικῶν Βιβλία*) perdéronse. Foi un traballo sobre seccións cónicas que foi logo ampliado por Apolonio de Perge nun libro famoso sobre este mesmo tema. É probable que os primeiros catro libros da obra de Apolonio proviñesen directamente de Euclides. Segundo Pappus, "Apolonio, completando os *Catro libros de cónicas* de Euclides, e engadindo catro máis, deixou oito volumes de *Cónicas*". As *Cónicas* de Apolonio rapidamente substituíron á obra orixinal e, na época de Pappus, o traballo de Euclides xa se perdera.

**Tres libros de porismas* (*Πορισμάτων Βιβλία*) podería ser unha ampliación do seu traballo nas seccións cónicas, pero non se acaba de saber de certo o significado do título, pois ademais a obra perdeuse. Evócase, con todo, en dúas pasaxes de Proclo e, sobre todo, é obxecto dunha longa presentación no libro VII da *Colección* de Pappus, o *Tesouro da análise*, como un exemplo significativo e de gran alcance do enfoque analítico. A palabra *porisma* ten varios usos: segundo Pappus, designaría aquí un enunciado de tipo intermediario entre os teoremas e os problemas. A obra de Euclides contería 171 enunciados deste tipo e 38 lemas. Pappos dá exemplos como "se, a partir de dous puntos dados, trázanse rectas que intersecten nunha recta dada, e si unha desta talla sobre unha recta dada un segmento, o outro fará o mesmo sobre outra recta, cunha relación fixada entre os dous segmentos cortados." Interpretar o sentido exacto de que é un porisma e restituír finalmente todo ou parte dos enunciados da obra de Euclides a partir das informacións deixadas por Pappus ocupou a numerosos matemáticos; as tentativas máis coñecidas son as de Pierre Fermat no século XVII e de Robert Simson no século XVIII, e, sobre todo, a de Michel Chasles no século XIX. Se a reconstitución de Chasles non foi tomada seriamente como tal polos historiadores actuais, polo menos deu a ocasión ao matemático de desenvolver a noción de relación anharmónica.

Varios tratados sobre mecánica foron atribuídos a Euclides por fontes árabes. *Sobre o pesado e o lixeiro* contén, en nove definicións e cinco proposicións, nocións aristotélicas de corpos en movemento e do concepto de gravidade específica. *Sobre o equilibrio*, que trata a teoría da panca de maneira semellante á euclidiana, contén unha definición, dous axiomas, e catro proposicións. Un terceiro fragmento, sobre os círculos descritos polas extremidades dunha panca en movemento, contén catro proposicións. Estas tres obras son complementarias entre si de tal xeito que se suxeriu que son os restos dun único tratado sobre mecánica escrito por Euclides.

## Notas 
;Referencias

## Véxase tamén 
### Bibliografía
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*  
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

### Outros artigos 
* Adelard de Bath
* Xeometría

### Ligazóns externas 
* Biografía de Euclides en biografiasyvidas.com .
* Biografía de Euclides .
* Bibliografía de Euclides  .
* [Obras de Euclides en castelán(https://gl.wikipedia.org/wiki/Lingua_castel%C3%A1) e catalán] .