Simetría

[dereita|miniatura|Figuras con [simetría bilateral e sen ela (asimétrica)]]
[dereita|miniatura|[O home de Vitruvio de Leonardo da Vinci (ca. 1487) úsase frecuentemente como representación da *simetría* no corpo humano e, por extensión, en todo o universo.]]

O termo **simetría** (do grego συμμετρία *symmetría* "medida conxunta") ten xeralmente dous significados. O primeiro fai referencia a un concepto impreciso de harmonía ou estética que resulta agradábel e pracenteiro aos sentidos Así o escultor grego Policleto, nun libro seu sobre as proporcións, ligaba a *simetría* coa beleza. O segundo significado é máis preciso e está relacionado con certas propiedades xeométricas que denotan patróns de autosimilitude ou de repetición que posúen algúns corpos, como ocorre, por exemplo, na simetría bilateral.

Aínda que ambos significados son distinguíbeis nalgúns contextos, na maioría das ocasións aparecen intimamente ligados.

O concepto de simetría aparece en infinidade de situacións. Así, pode ser observada:
* con respecto ao paso do tempo;
* como unha relación espacial;
* en transformacións xeométricas como homotecias, reflexións e rotacións;
* a través doutras clases de transformacións funcionais como, por exemplo, na repetición regular dun patrón no pavimento, en transformacións complexas de ecuacións, ou na maneira en que se executa unha peza musical.
* como unha característica de obxectos abstractos, de teorías científicas, da linguaxe, da música e, mesmo, do coñecemento en si.

O contrario da simetría é a asimetría.

## Simetría en matemáticas 
### Simetría en xeometría 
O termo *simetría* ten dous posíbeis significados en xeometría:
#### A simetría como transformación xeométrica 
[miniatura|esquerda|[Simetría axial no plano. A recta *p* é o eixo de simetría.]]
A *simetría* é unha é unha transformación isométrica involutiva que altera a orientación. A isometría refírese a que non altera as medidas. A involución significa que aplicándoa dúas veces se volve ao estado inicial.
* A **simetría no plano** recibe o nome de simetría axial a cal, dada unha recta *e* do plano, que se denomina eixo de simetría, transforma un punto calquera P do plano, noutro punto P´ tal que a recta *e* é a mediatriz do segmento PP´.
* A **simetría no espazo** recibe o nome de simetría especular que se caracteriza porque, dado un plano Π do espazo, chamado plano de simetría, transforma un punto calquera P do espazo que non estea en Π, noutro punto P´ tal que o plano Π é perpendicular ao segmento PP´ no seu punto medio; se P está en Π entón o seu transformado é el mesmo.
Se multiplicamos (aplicamos sucesivamente ou compoñemos) simetrías tanto no plano como no espazo, se obtén unha transformación chamada movemento. Exemplos de movementos son:
* As propias simetrías axial e especular.
* Unha rotación ou *xiro* é un movemento que se obtén do produto, no plano ou no espazo, de dúas simetrías de eixos ou planos de simetría secantes, respectivamente. Se o número de simetrías que se multiplican é par, se di que a rotación é propia (conserva a orientación). En caso contrario é *impropia* (altera a orientación).
* Unha translación é un movemento que se obtén do produto, no plano ou no espazo, de simetrías de eixos ou planos de simetría paralelos, respectivamente. Ao igual cos xiros, as translacións poden ser propias ou impropias.
* Un movemento helicoidal no espazo é o produto dunha translación por unha rotación, ou viceversa. Tamén poden ser propias ou impropias.

#### A simetría como propiedade 
miniatura|dereita|200px|Figura con simetría de orde 7
A *simetría* é a propiedade que ten un corpo ou unha figura do plano ou do espazo, que consiste en permanecer invariante por algún dos movementos anteriores. O conxunto de tódolos movementos que deixan invariante un obxecto φ ten a estrutura matemática de grupo e recibe o nome de grupo de simetría de φ: Gφ.

Así, algúns exemplos de simetrías son:
* A simetría reflectiva, que é a axial no plano e a especular no espazo. Esta última é a que posúen os seres vivos con bilateria, chamada precisamente simetría bilateral. O plano de simetría é o plano saxital.
* A simetría helicoidal que caracteriza a algunhas plantas.
* A simetría de translación dalgúns pavimentos, cobertores, frisos etc.
* A simetría radial, visíbel nalgúns seres vivos como a estrela de mar, nas flores de certas plantas, en cristalografía etc.
:* Se Φ é unha figura do plano que permanece invariante ao lle aplicar xiros con centro nun certo punto O e amplitude un múltiplo de 360º/n; dise que Φ posúe unha *simetría de n-ésima orde* e O chámase *centro de simetría de n-ésima orde*. Neste caso, o grupo de simetría de Φ, GΦ, é un grupo cíclico de orde n.
:* Analogamente se define a simetría de n-ésima orde no espazo respecto dun eixo de simetría. Por exemplo, un cubo ten unha simetría de cuarta orde (tamén se di que é 4-simétrico) respecto da recta que pasa polos centros de dúas caras opostas; e unha simetría de terceira orde se o eixo de simetría é unha diagonal.

### Simetría en álxebra 
[miniatura|dereita|250px|Triángulo de [Tartaglia]]
* Certas fórmulas manteñen simetría na súa expresión como a fórmula das potencias enteiras dun binomio (a+b)n, debida en gran medida á simetría do triángulo de Tartaglia, cuxas filas son os coeficientes dos termos do desenvolvemento de (a+b)n.
* Unha relación binaria R nun conxunto A ten a **propiedade simétrica** se dados *a*,*b* elementos de A tal que *a*R*b*, entón se verifica tamén que *b*R*a*. Un exemplo de relación simétrica é a relación de congruencia módulo *m*, nos números naturais.
* Nun grupo, o **simétrico dun elemento** é aquel que operado con el, dá como resultado o elemento neutro do grupo. En grupos aditivos, o elemento neutro se denota por 0, e o simétrico dun elemento é o seu oposto. En grupos multiplicativos, o elemento neutro se denota por 1, e o simétrico dun elemento é o seu inverso.
* Unha matriz cadrada é **simétrica** se coincide coa súa trasposta.

Moitas máis definicións fan referencia á simetría, así hai polinomios simétricos, grupos simétricos e formas bilineais simétricas. En álxebra superior hai moitas máis situacións onde aparece o concepto de simetría, como na Teoría de Galois ou no estudo da dualidade.

### Simetría en topoloxía 
* Dado un conxunto X, unha **simétrica sobre X** é unha función real non negativa *d*, definida sobre os pares de X, que verifica os axiomas:
:# *d(x,y)*=0 se o só se *x*=*y*
:# *d(x,y)*=*d(y,x)* para calquera *x* e *y* de X
A diferenza da métrica ou da seudométrica, a simétrica non ter por que verificar a desigualdade triangular. Porén, permite definir unha topoloxía en X.
* Reciprocamente, un espazo topolóxico dise que é **simetrizábel** se a súa topoloxía está xerada por unha simétrica.

### Simetría en análise matemática 
miniatura|esquerda|Función par.
miniatura|esquerda|Función impar.
* Unha función real de variábel real é **par** ou **simétrica respecto do eixo vertical** se valores opostos teñen imaxes iguais, é dicir, se *f(-x)=f(x)* para calquera x do dominio de f.
* Unha función real de variábel real é **impar** ou **simétrica respecto da orixe de coordenadas** se valores opostos teñen imaxes opostas, é dicir, se *f(-x)=-f(x)* para calquera x do dominio de f.
* Unha **simetría** dunha ecuación diferencial é unha transformación que deixa invariante a ecuación diferencial. Unha simetría de Lie nun sistema de ecuacións diferenciais é unha simetría continua do sistema de ecuacións diferenciais. O coñecemento das simetrías e das simetrías de Lie é de moita axuda para resolver ecuacións e sistemas de ecuacións diferenciais.

Existen máis exemplos na Análise Matemática onde intervén o concepto de simetría, como no dominio de integración das integrais múltiples.

### Simetría no cálculo de probabilidades e estatística 
[miniatura|[Pierre Simon Laplace|Pierre-Simon de Laplace, un dos pais do Cálculo de Probabilidades.]]
* Se os sucesos elementais dun experimento aleatorio son equiprobábeis dise que hai simetría dos sucesos elementais. Cando isto ocorre, úsase a regra de Laplace (casos favorábeis/casos posíbeis) para calcular probabilidades de sucesos.
* Algunhas variábeis aleatorias son simétricas no sentido de que as probabilidades espállanse equitativamente á dereita e esquerda dun valor central, normalmente a media. Esta simetría apréciase na función de probabilidade da distribución binomial e nas funcións de densidade das distribucións uniforme, normal, de Laplace, ou a t de Student.
* En teoría de xogos, un xogo é simétrico cando as recompensas por xogar unha estratexia particular dependen só das outras estratexias empregadas, non de quen as xogue. Se se poden intercambiar as identidades dos xogadores sen cambiar as recompensas, o xogo é simétrico.

## Simetría en física 
[miniatura|esquerda|250px|Ilustración de [1874 explicativa da reflexión da luz]].
[miniatura|esquerda|250px|Partículas que constitúen o [Modelo estándar]]
Algúns exemplos de fenómenos físicos onde se observa simetría son:
* O movemento dunha partícula impulsada verticalmente cara a arriba (desprezando a resistencia do aire): A posición da partícula é simétrica con respecto ao instante no que o obxecto está á altura máxima. En cada punto da traxectoria a velocidade de subida é a mesma ca de baixada.
* O centro de gravidade dos corpos que posúen simetría radial coincide co centro de simetría. Se o corpo posúe un eixo de simetría, o centro de gravidade será algún punto de dito eixo.
* A reflexión da luz é un fenómeno con clara simetría reflectiva.
* O campo eléctrico debido a un cable ten simetría cilíndrica pois a intensidade do campo eléctrico a unha certa distancia *r* do cable cargado electricamente de lonxitude infinita, terá do mesmo valor en tódolos puntos da superficie dun cilindro (cuxo eixo é o cable) de radio *r*. Xirando o cable sobre o seu propio eixo, non varía a súa posición nin a súa densidade de carga, polo tanto o campo eléctrico tampouco e, en consecuencia, a intensidade do campo é a mesma e cada punto.
* Na electrónica de radiofrecuencia, fálase dunha *alimentación simétrica* de AC cando ningún dos condutores está á masa. Cando un dos condutores está á masa e o outro experimenta as variacións de tensión, dise que a alimentación é *asimétrica*.
* Na teoría da relatividade especial estúdanse certas simetrías espazo-temporais que conservan as distancias.
* No modelo estándar da física de partículas, a simetría CPT é unha simetría fundamental das leis físicas en transformacións onde interveñen simultaneamente a carga (C), a paridade (P) e o tempo (T).
* Unha clase de simetría coñecida como supersimetría, ou abreviadamente SUSY, está sendo usada para facer avances teóricos no modelo estándar. A supersimetría baséase na idea de que hai outra simetría física ademais das xa desenvolvidas no modelo estándar. A supersimetría afirma que cada partícula elemental ten a súa partícula supersimétrica. Aínda non foi verificada experimentalmente e de ser certa, suporía un grande avance para a teoría do campo unificado que unifica, introducindo principios comúns, os catro tipos de forza que se coñecen: a gravitacional, a electromagnética, a nuclear feble e a nuclear forte.
[miniatura|esquerda|150px|Unha rotación dun sexto de volta permuta os [átomos da molécula de benceno sen modificar a súa estrutura.]]
[miniatura|200px|dereita|Simetria radial de orde 5 na flor de [Estramonio]]

## Simetría en química 
A simetría molecular é importante en química porque explica moitas observacións en estrectroscopia, química cuántica e cristalografía. A base matemática é a teoría de grupos.

## Simetría na bioloxía 
Os animais e plantas poden ser asimétricos (os menos), ou ter algún tipo de simetría. Os seres vivos do grupo bilateria teñen simetría bilateral, mentres que outros, como a estrela de mar, posúen simetría radial de distintas ordes. Algunhas plantas e flores manifestan simetría helicoidal.

## Simetría na estética 
[miniatura|[Simetría bilateral no corpo humano: planos e eixes de simetría.]]
A relación entre a simetría e a estética é complexa. Certas simetrías simples, en particular a simetría bilateral, semellan estar profundamente arraigadas na percepción inherente que temos os humanos da saúde ou bo estado físico, como se pode observar co simple experimento de distorsionar un lado dunha imaxe dun rostro atractivo e pedirlle á xente que vexa a imaxe e que cualifique o seu grao de beleza. En consecuencia, estas simetrías que imitan a bioloxía teñen unha aparencia innata que induce unha forte tendencia a crear artefactos cunha simetría similar. Só se necesita imaxinar a dificultade en tratar de comercializar un automóbil asimétrico entre os posíbeis compradores para comprender o poder das simetrías, como a bilateral, inspiradas na bioloxía .

Outro aspecto sutil da simetría é a simplicidade, que produce unha sensación de seguridade e familiaridade. Por exemplo, unha habitación cun alto grao de simetría é tamén inevitabelmente unha habitación coa que unha persoa que está nun ambiente estraño ou potencialmente ameazada, se pode identificar fácil e rapidamente. Así mesmo, a xente que medrou nunha casa cun gran número de ángulos rectos e de obxectos idénticos, pode sentir desacougo a primeira vez que estea nunha habitación sen tantos ángulos rectos nin obxectos idénticos. A simetría por tanto pode ser unha fonte de confort non só como un indicador da saúde biolóxica, senón tamén proporcionando seguridade e comprensión dun ambiente.

Pola contra, a excesiva simetría pode ser percibida como aburrida ou carente de interese. En particular, os humanos temos un forte desexo de explorar novas oportunidades e posibilidades, e un excesivo grao de simetría pode levar a unha carencia de tales oportunidades. A maioría da xente mostra preferencia por figuras cun certo grao de simplicidade e simetría, pero coa suficiente complexidade para facelas interesantes.

Aínda se dá outra posibilidade cando as simetrías tórnanse demasiado complexas ou demasiado desafiantes. Neste caso a mente humana tende a ignoralas e percibilas como un *ruído* que non proporciona ningún tipo de información.

Finalmente, as percepcións e apreciacións das simetrías dependen da bagaxe cultural. Así, o grande uso que se fai das simetrías xeométricas complexas en moitas culturas islámicas, fai máis probábel que a xente desas culturas aprecie tales formas de arte (ou se rebele contra elas)

[miniatura|dereita|250px|Vista do [Taj Mahal]]

Como en moitas tentativas humanas, o resultado da confluencia de moitos deses factores é que o uso efectivo da simetría na arte e a arquitectura é complexo, intuitivo e altamente dependente das habilidades dos individuos que deben mesturar e combinar tales factores dentro do seu propio traballo creativo. Ao igual que a textura, a cor, a proporción, e outros factores, a simetría é un poderoso ingrediente nalgunhas desas sínteses. Só se necesita examinar o Taj Mahal para apreciar o poderoso papel que xoga a simetría na determinación da aparencia estética dun obxecto.

A arquitectura modernista rexeita a simetría, afirmando que *só un mal arquitecto se apoia na simetría*. No canto de proxectos simétricos de bloques, masas e estruturas, a arquitectura modernista baséase en ás e equilibrio de masas. A primeira interpretación desta arquitectura que ignora a simetría áchase no chamado Estilo Internacional. Algunhas persoas encontran revolucionarios os proxectos de edificios e estruturas asimétricas, mentres outras os consideran estresantes, aburridos e contranaturais.

## Simetría nas artes plásticas 
miniatura|dereita|150px|Vasilla persa do 4º milenio a.C.
[miniatura|esquerda|150px|Xerrón de [Entemena no Museo do Louvre]]
[miniatura|dereita|150px|Relevo dos lanceiros no palacio de [Darío I|Darío en Susa]]
[miniatura|esquerda|150px|[Pirámides de Gizeh|Pirámide de Quefrén]]

Desde a antigüidade, as civilizacións apreciaron o valor estético da simetría, usándoa profusamente nas súas manifestacións artísticas. A continuación amósanse algúns exemplos do escritor galego Gonzalo Navaza, cuxo título xa é un palíndromo, é un poemario en versos palíndromos.

## Simetría na ética 
Certos comportamentos e actitudes levan implícito unha noción de simetría. Exemplos son:
* A regra de ouro, que se pode resumir na frase *non fagas o que non desexas que che fagan*.
* A reciprocidade, que é a forma máis común de intercambio en sociedades de economía que prescinde do mercado, isto é, que non fan, venden ou compran bens ou servizos.
* A empatía ou sentimento de participación afectiva dunha persoa na realidade que afecta a outra.
* A simpatía vai máis alá cá empatía, é a capacidade de percibir a situación dunha maneira similar á persoa involucrada. Isto implica, xa que logo, a preocupación, ou a participación, ou o desexo de aliviar os sentimentos negativos que a outra está tendo.

## Simetría na historia, relixión e cultura 
En toda empresa humana na que un efecto visual impresionante forma parte do obxectivo desexado, as simetrías xogan un papel importante. O poder innato da simetría pódese achar nas nosas reaccións ante sucesos ou obxectos naturais con gran simetría, como as precisas formas dos cristais naturais ou as fermosas cunchas en espiral. Con frecuencia, a nosa primeira reacción ante estas formas é preguntarnos se foron feitos por seres humanos, rapidamente seguida pola sorpresa ao decatarnos que as simetrías que chamaron a nosa atención son de formación natural. En ambas reaccións tendemos a apreciar as simetrías tanto pola súa beleza como pola información que nos proporcionan do mundo que nos rodea.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Simetría bilateral.
* Simetría radial.
* Simetría en matemáticas
* Simetría en física

### Ligazóns externas 
* Visor de simetrías moleculares na web educativa otterbein.edu