Multiconxunto

En matemáticas, un **multiconxunto** ou **mset** (en ) é unha modificación do concepto de conxunto que, a diferenza deste, permite múltiples instancias para cada un dos seus elementos. O número de aparicións de cada elemento denomínase a súa multiplicidade nese multiconxunto. En consecuencia, existe un número infinito de multiconxuntos que conteñen só os elementos  e , pero con diferentes multiplicidades. Por exemplo:

* O multiconxunto {{Math|{*a*, *b*}} contén só os elementos  e , cada un deles cunha multiplicidade de 1.
* No multiconxunto {{Math|{*a*, *a*, *b*}}, o elemento  ten unha multiplicidade de 2, namentres a de  é 1.
* No multiconxunto {{Math|{*a*, *a*, *a*, *b*, *b*, *b*}}, tanto  como  teñen unha multiplicidade igual a 3.

Malia ser tres multiconxuntos diferentes, de ser considerados como conxuntos serían exactamente o mesmo, posto que teñen os mesmos elementos,  e . Porén, do mesmo xeito ca nos conxuntos, e en contraste coas tuplas, a orde dos elementos non é relevante. Xa que logo, {{Math|{*a*, *a*, *b*}} e {{Math|{*a*, *b*, *a*}} son dous xeitos diferentes de designar o mesmo multiconxunto. Para distinguir entre conxuntos e multiconxuntos, ás veces emprégase unha notación diferente, con corchetes; é dicir,  no canto de {{Math|{*a*, *a*, *b*}}.

A cardinalidade ou "tamaño" dun multiconxunto é a suma das multiplicidades de todos os seus elementos. Por exemplo, a cardinalidade de {{Math|{*a*, *a*, *b*, *b*, *b*, *c*}} é igual a 6, xa que os seus elementos ,  e  teñen multiplicidades de 2, 3 e 1, respectivamente.

## Historia 
O matemático holandés Nicolaas Govert de Brujin cuñou o termo inglés *multiset* na década dos 70, segundo Donald Knuth. Porén, o concepto de multiconxunto precede en séculos a aparición desta palabra. O propio Knuth atribúe ao polímata indio Bhāskarāchārya o primeiro estudo coñecido dos multiconxuntos, xa que describiu as permutacións de multiconxuntos cara a 1150.

## Exemplos
Un dos exemplos máis simples e naturais é o multiconxunto dos factores primos dun número natural . Aquí o conxunto de elementos subxacente é o conxunto de factores primos de . Por exemplo, o número 120 ten a descomposición en factores primos
120 = 2^3 3^1 5^1,
que dá o multiconxunto .

Un exemplo relacionado é o multiconxunto de solucións dunha ecuación alxébrica. Unha ecuación cuadrática, por exemplo, ten dúas solucións. No  entanto, nalgúns casos ambas as dúas solucións son o mesmo número. Así, o multiconxunto de solucións da ecuación pode ser , ou pode ser . Neste último caso ten unha solución de multiplicidade 2. De xeito máis xeral, o teorema fundamental da álxebra afirma que as solucións complexas dunha ecuación polinómica de grao  sempre forman un multiconxunto de cardinalidade .

## Contando multiconxuntos 
[thumb|370px|[Bixectiva|Bixección entre 3 subconxuntos dun conxunto de 7 (esquerda)e 3 multiconxuntos con elementos dun conxunto de 5 (dereita)Isto ilustra que  {7 \choose 3} = \left(\!\!{5 \choose 3}\!\!\right).]]

O número de multiconxuntos de cardinalidade , con elementos tomados dun conxunto finito de cardinalidade , ás veces chámase **coeficiente multiconxunto** ou **número multiconxunto**. Este número é escrito por algúns autores como \textstyle\left(\!\!{n\choose k}\!\!\right), unha notación que se quere parecer á dos coeficientes binomiais; utilízase, por exemplo, en (Stanley, 1997), e podería pronunciarse " sobre múltiple " para asemellarse a " sobre " para \tbinom n k. Do mesmo xeito que na distribución binomial están implicados os coeficientes binomiais existe a distribución binomial negativa na que se producen os coeficientes multiconxunto. 

Os coeficientes multiconxunto non deben confundirse cos coeficientes multinomiais que aparecen no teorema multinomial e non están relacionados.

O valor dos coeficientes multiconxunto pódese dar explicitamente como
:\left(\!\!{n\choose k}\!\!\right) = {n+k-1 \choose k} = \frac{(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!} = {n(n+1)(n+2)\cdots(n+k-1)\over k!},
onde a segunda expresión é un coeficiente binomial;{{efn|A fórmula {{tmath|\tbinom{n+k-1}k}} non funciona para  (onde necesariamente tamén ) }} de feito, moitos autores evitan a notación separada e simplemente escriben coeficientes binomiais. 

Así, o número de eses multiconxuntos é o mesmo que o número de subconxuntos de cardinalidade  dun conxunto de cardinalidade . 

A analoxía cos coeficientes binomiais pódese realzar escribindo o numerador na expresión anterior como factorial ascendente
:\left(\!\!{n \choose k}\!\!\right) = {n^{\overline{k}}\over k!},
e con iso temos unha expresión similar á dos coeficientes binomiais que usan un factorial descendente:
:{n \choose k} = {n^{\underline{k}}\over k!}.

### Exemplos 
*Co conxunto  que ten cardinalidade 2 podemos formar  4 multiconxuntos de cardinalidade 3. Para comprobolo temos (n = 2 ,  k = 3), e os conxuntos posíbeis son, , , , . 
:Botando contas co anterior n + k -1 = 3 + 2 - 1 = 4 podemos comparar o resultado co coeficiente binomial. Serían os subconxuntos de 4 elementos tomados de 3 en 3, por exemplo para o conxunto  temos  , , ,  que tamén son 4 elementos.

* Unha forma sinxela de probar a igualdade dos coeficientes multiconxuntos e dos coeficientes binomiais indicados anteriormente implica representar os multiconxuntos do seguinte xeito. 
:Primeiro, considere a notación para multiconxuntos que representarían  (6 as, 2 bes, 3 ces, 7 des) nesta forma (notación bóla trazo):

:

:Este é un multiconxunto de  elementos feito de elementos de 4 conxuntos . O número de caracteres que inclúe tanto puntos como liñas verticais usado nesta notación é . O número de liñas verticais é 4 − 1. O número de multiconxuntos de cardinalidade 18 é entón o número de formas de organizar as liñas verticais  entre os 18 + 4 − 1 caracteres. De forma equivalente, é o número de formas de ordenar os 18 puntos entre os caracteres . Isto é
:{4+18-1 \choose 4-1}={4+18-1 \choose 18} = 1330,
:así podemos ver o valor do coeficiente multiconxunto e as súas equivalencias:
:\begin{align}
\left(\!\!{4\choose18}\!\!\right)
&={21\choose18}=\frac{21!}{18!\,3!}={21\choose3}, \\[1ex]
&=\frac{{\color{red}{\mathfrak{
4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10\cdot11\cdot12\cdot13\cdot14\cdot15\cdot16\cdot17\cdot18}}}
\cdot
\mathbf{19\cdot20\cdot21}}{\mathbf{1\cdot2\cdot3}
\cdot
{\color{red}{\mathfrak{
4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10\cdot11\cdot12\cdot13\cdot14\cdot15\cdot16\cdot17\cdot18}}}}, \\[1ex]
&=\frac{
1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdots16\cdot17\cdot18\;\mathbf{\cdot\;19\cdot20\cdot21}}
{\,1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdots
16\cdot17\cdot18\;\mathbf{\cdot\;1\cdot2\cdot3\quad}}, \\[1ex]
&=\frac{19\cdot20\cdot21}{1\cdot2\cdot3}.
\end{align}

Da relación entre coeficientes binomiais e coeficientes multiconxuntos, despréndese que o número de multiconxuntos de cardinalidade  nun conxunto de cardinalidade  pódese escribir
:\left(\!\!{n\choose k}\!\!\right)=(-1)^k{-n \choose k}.
e tamén,
:\left(\!\!{n\choose k}\!\!\right)=\left(\!\!{k+1\choose n-1}\!\!\right).

### Relación de recorrencia 
Unha relación de recorrencia para os coeficientes multiconxunto pódese dar como
\left(\!\!{n\choose k}\!\!\right) = \left(\!\!{n\choose k - 1}\!\!\right) + \left(\!\!{n-1\choose k}\!\!\right) \quad \mbox{para } n,k>0
con
\left(\!\!{n \choose 0}\!\!\right) = 1,\quad n\in\N, \quad\mbox{e}\quad \left(\!\!{0 \choose k}\!\!\right) = 0,\quad k>0.

### Xeneralización e conexión coa serie binomial negativa 
A fórmula multiplicativa permite ampliar a definición de coeficientes multiconxuntos substituíndo  por un número arbitrario  (negativo, real ou complexo):
:\left(\!\!{\alpha\choose k}\!\!\right) = \frac{\alpha^{\overline k}}{k!} = \frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)\cdots(\alpha+k-1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}
  \quad\text{para } k\in\N, \alpha\text{ arbitrario}.

Con esta definición temos unha xeneralización da fórmula binomial negativa (cunha das variábeis con valor 1), o que xustifica chamar aos coeficientes\left(\!\!{\alpha\choose k}\!\!\right) coeficientes binomiais negativos:
:(1-X)^{-\alpha} = \sum_{k=0}^\infty \left(\!\!{\alpha\choose k}\!\!\right) X^k.

Esta fórmula da serie de Taylor é válida para todos os números complexos \alpha e X con . Tamén se pode interpretar como unha  identidade de serie formal de potencias en X, onde en realidade pode servir como definición de potencias arbitrarias de series cun coeficiente constante igual a 1.

A utilidade desta definición é que todas as identidades cumpren o que se espera para a exponenciación, en particular
:(1-X)^{-\alpha}(1-X)^{-\beta}=(1-X)^{-(\alpha+\beta)} ,
:((1-X)^{-\alpha})^{-\beta}=(1-X)^{-(-\alpha\beta)},
e fórmulas como estas pódense usar para probar identidades para o coeficiente multiconxuntos.

Se  é un número enteiro non positivo , entón todos os termos con  son cero e a serie infinita convértese nunha suma finita. No entanto, para outros valores de , incluídos os enteiros positivos e os números racionais, a serie é infinita.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
*