Espazo euclidiano

miniatura|dereita|250px|Representación gráfica de \R^3.
O **espazo euclidiano **é un espazo xeométrico no que se satisfán os axiomas de Euclides da xeometría. A recta real, o plano euclidiano e o espazo tridimensional da xeometría euclidiana son casos especiais de espazos euclidiano de dimensións 1, 2 e 3 respectivamente. O concepto abstracto de espazo euclídeo xeneraliza esas construcións a máis dimensións. Un espazo euclidiano é un espazo vectorial completo dotado dun produto interno (o cal o converte ademais nun espazo normado, un espazo métrico e unha variedade riemanniana ao mesmo tempo).

O termo **euclidiano** emprégase para distinguir estes espazos dos espazos "curvos" das xeometrías non euclidianas e do espazo da teoría da relatividade de Einstein. Para destacar o feito de que un espazo euclidiano pode posuír *n* dimensións, adóitase falar de "espazo euclidiano *n*-dimensional" (denotado \scriptstyle \mathbb{E}^n, E^n, ou mesmo \scriptstyle \mathbb{R}^n).

## Introdución 
Un espazo euclidiano de dimensión finita é un espazo vectorial normado sobre os números reais de dimensión finita, no que a norma é a asociada ao produto escalar ordinario. Para cada número enteiro non negativo n, o espazo euclidiano n-dimensional represéntase polo símbolo \mathbb{R}^n e é o conxunto de todas as tuplas ordenadas

onde cada x_i é un número real, xunto coa función distancia entre dous puntos (*x*1, ..., *x**n*) e (*y*1, ..., *y**n*) definida pola fórmula:
{{ecuación|
d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}
||left}}

Esta función distancia é unha xeneralización do teorema de Pitágoras e denomínase distancia euclidiana. O feito de que se definise unha distancia permite definir outros conceptos métricos como o de medida de Lebesgue (que permite á súa vez definir a lonxitude dunha curva (1-volume), as nocións de área (2-volume), volume (3-volume) e cando o espazo ten dimensión superior a 3 n-volume (para *n* > 3).

Ademais poden definirse ángulos, ao poder falar de proxectar unha lonxitude recta sobre a dirección doutra lonxitude recta non paralela, polo que o ángulo entre dúas rectas *r*1 e *r*2 con vectores unitarios tanxentes \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 se pode definir como:
{{ecuación|\theta = \arccos \left(\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2\right)||left}}

## Estruturas sobre o espazo euclidiano 
Os espazos euclidianos e as súas propiedades serviron de base para xerar gran cantidade de conceptos matemáticos relacionados coa xeometría analítica, a topoloxía, a álxebra e o cálculo. Aínda que o espazo euclidiano adoita ser introducido, por razóns didácticas, como espazo vectorial, en realidade sobre el pódense definir moitas máis estruturas. O espazo euclídeo é ademais dun espazo vectorial un caso de:
* Un espazo de Hilbert de dimensión finita, co produto escalar ordinario.
* Un espazo de Banach de dimensión finita, coa norma inducida polo produto escalar interior.
* Un espazo métrico completo, coa distancia inducida pola norma anterior.
* Un espazo topolóxico, inducido pola métrica euclídea.
* Un grupo de Lie, coa operación de adición.
* Unha álxebra de Lie co produto vectorial.

### O espazo euclidiano como espazo métrico 
Por definición, *E*&nbsp;*n* é un espazo métrico, e é polo tanto tamén un espazo topolóxico; é o exemplo prototípico dunha n-variedade, e é de feito unha *n*-variedade diferenciable. Para *n* ≠ 4, calqu*e*ra *n*-variedade diferenciable que sexa homeomorfa a *E*&nbsp;*n* é tamén difeomorfa a ela. O feito sorprendente é que isto non é certo tamén para *n* = 4, o que foi probado por Simon Donaldson no ano 1982; os contraexemplos chámanse 4-espazos exóticos (ou falsos).

### O espazo euclidiano como espazo topolóxico 
Pódese dicir moito sobre a topoloxía de *E*&nbsp;*n*. Un resultado importante, a invariancia do dominio de Brouwer, é o de que calquera subconxunto de *E*&nbsp;*n* que sexa homeomorfo a un subconxunto aberto de *E*&nbsp;*n* é en si mesmo aberto. Como consecuencia inmediata disto tense que E m non é homeomorfo a *E*&nbsp;*n* se *m* ≠ *n*, un resultado intuitivamente "obvio" que con todo non é doado de demostrar.

### O espazo euclidiano como espazo vectorial 
O n-espazo euclidiano pódese considerar tamén como un espazo vectorial n-dimensional real, de feito un espazo de Hilbert, de maneira natural. O produto escalar, de **x** = (*x*1,...,*x**n*) e y = (*y*1,...,*y**n*) está dado por:
{{ecuación|\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \sum_{i=1}^n x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n||left}}

## Espazo euclidiano de dimensión infinita 
Os espazos euclidianos considerados usualmente ten unha dimensión topolóxica finita. Iso fai que sexan localmente compactos. Con todo, é posíbel concibir estruturas de dimensión infinita que teñan propiedades análogas aos espazos euclidianos, polo que a extensión á dimensión infinita da noción de espazo euclidiano é posíbel cunhas poucas precaucións. En primeiro lugar pódese considerar o conxunto \R^\omega definido como:
{{ecuación|\R^\omega = \{(x_1,x_2,\dots)| \forall i: x_i \in \R \}||left}}
É dicir este conxunto é o produto cartesiano dun número infinito numerable de copias de \R. Con todo o conxunto de todas esas tuplas infinitas non ten a estrutura de espazo euclidiano porque non se pode dotar dunha norma euclidiana axeitada. Por exemplo as tuplas:
{{ecuación|\mathbf{x} = (1,1,1,\dots),\text{ ó } \mathbf{y} = (1,2,3,4,\dots)||left}}
non representan vectores cunha suma de compoñentes ao cadrado que sexa un número real finito. Por esta razón considérase o subconxunto:
{{ecuación|E_\infty = \{(x_1,x_2,\dots)| \forall i: x_i \in \R,\ \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N |x_n|^2 ||left}}
Este espazo vectorial E_\infty comparte a maior parte dos espazos euclidianos finitodimensionales e polo tanto pode considerarse un espazo euclidiano infinitodimensional; a principal propiedade é que o espazo euclidiano infinitodimensional a diferenza das súas versións finitodimensionais non é un espazo localmente compacto.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Xeometría euclidiana
* Xeometría analítica
* Medida de Lebesgue