Función bixectiva

miniatura| Unha función bixectiva, *f* : *X* → *Y*, onde o conxunto X é {1, 2, 3, 4} e o conxunto Y é {A, B, C, D}. Por exemplo, *f* (1) = D.

Unha **bixección**, **función bixectiva** ou **correspondencia un a un** entre dous conxuntos matemáticos é unha función tal que cada elemento do segundo conxunto (o codominio) é a imaxe de exactamente un elemento do primeiro conxunto (o dominio). De forma equivalente, unha bixección é unha relación entre dous conxuntos de tal xeito que cada elemento de calquera conxunto está emparellado exactamente cun elemento do outro conxunto.

Unha función é bixectiva se e só se é invertíbel; é dicir, unha función f:X\to Y é bixectiva se e só se hai unha función g:Y\to X, a *inversa* de , tal que cada unha das dúas formas de compoñer as dúas funcións produce unha función identidade: g(f(x)) = x para cada x en X e f(g(y)) = y para cada  y en Y.

Por exemplo, a *multiplicación por dous* define unha bixección dos enteiros nos números pares, que ten a *división por dous* como función inversa.

Unha función é bixectiva se e só se é tanto inxectiva (ou *un a un*), o que significa que cada elemento do codominio está asignado como máximo a un elemento do dominio, e sobrexectiva (ou *onto en inglés*), o que significa que cada elemento do codominio está mapeado cara a polo menos un elemento do dominio. O termo ***correspondencia un a un*** non debe confundirse coa *función un a un*, que significa inxectiva mais non necesariamente sobrexectiva.

Unha función bixectiva dun conxunto en si mesmo tamén se denomina permutación, e o conxunto de todas as permutacións dun conxunto forma o seu grupo simétrico.

## Definición 
Unha bixección de E en F é unha relación binaria R de E en F que é unha aplicación e da cal a relación inversa R^{-1} tamén é unha aplicación. Máis en detalle, R debe ter as catro propiedades seguintes:

* *Funcionalidade*: calquera elemento de E ten como máximo unha imaxe por R, é dicir,
:: \forall x \in E,\ \forall y,y' \in F,\quad[(xRy\text{ e }xRy')\Rightarrow y=y'];
* *Aplicatividade*: calquera elemento de E ten polo menos unha imaxe por R, é dicir,
:: \forall x\in E,\ \exists y \in F, \quad xRy ;
* *Inxectividade*: calquera elemento de F ten como máximo un antecedente por R, é dicir,
::\forall x,x' \in E,\ \forall y \in F,\quad[(xRy\text{ e }x'Ry)\Rightarrow x=x']
* *Sobrexectividade*: cada elemento de F ten polo menos un antecedente por R, é dicir,
:: \forall y\in F,\ \exists x \in E,\quad xRy.

A inxectividade de R é equivalente á funcionalidade de R^{-1} e a sobrexectividade de R é equivalente á aplicatividade de R^{-1}.

É habitual representar unha relación binaria *funcional* R por unha *función* f, e así temos
:\forall x \in E,\ \forall y \in F,\quad f(x) = y \Longleftrightarrow xRy.

de todo o anterior dedúcese que se R é unha relación bixectiva, entón R^{-1} tamén o é.

## Exemplos e contraexemplos 
*A función linear f:\R\to\R definida por  é bixectiva, xa que para cada  real, existe exactamente unha solución real da ecuación  de incógnita , a saber: .
*A función cadrado g:\R\to\R definida por  é *non* bixectiva, por dúas razóns. O primeiro é que temos (por exemplo)  e, polo tanto,  non é inxectiva; a segunda é que non hai (por exemplo) un  real tal que  e, polo tanto,  tampouco non é sobrexectiva. Unha ou outra destas observacións é abondo para afirmar que  non é bixectiva.Por outra banda, a aplicación \R_+\to\R_+,\, x\mapsto x^2 *é* bixectiva. A explicación é que para cada  real positivo, existe exactamente unha solución real positiva da ecuación  , que é . A función raíz cadrada é polo tanto a bixección inversa da función cadrada nestes conxuntos.
*Do mesmo xeito, a función seno, vista como unha aplicación de \R en \R, non é nin inxectiva nin sobrexectiva, polo tanto non é bixectiva;
**a súa correstrición \sin:\R\to[-1,1] é sobrexectiva mais non inxectiva (por exemplo, 0 e \pi teñen a mesma imaxe) polo tanto non é bixectiva;
**a súa restrición \sin:[-{\pi/2},{\pi/2}]\to\R é inxectiva mais non sobrexectiva (por exemplo, 2 non é a imaxe de ningún valor) polo tanto non é bixectiva;
**a súa restrición-correstrición \sin:[-{\pi/2},{\pi/2}]\to[-1,1] é bixectiva (como tamén unha infinidade doutras das súas restricións-correstricións);
**a súa bixección inversa é logo : [-1,1]\to[-{\pi/2},{\pi/2}];
**porén, a función arcoseno que toma os mesmos valores, mais vista como un mapa de [-1,1] en \R, é inxectiva amis non sobrexectiva (por exemplo , \pi non é a imaxe de ningún valor) polo tanto non é bixectiva.
*A función sigmoide f:\R\to]0,1[ definida por  f(x)=\frac{1}{1 + e ^{- x}} é bixectiva e úsase a miúdo en informática, particularmente en redes neuronais.

## Composición 
miniatura|300x300px| Unha bixección composta por unha inxección (X → Y) e unha sobrexección (Y → Z).
A composición g \,\circ\, f de dúas bixeccións *f* : *X → Y* e *g* : *Y → Z* é unha bixección, cuxa inversa vén dada por g \,\circ\, f é (g \,\circ\, f)^{-1} \;=\; (f^{-1}) \,\circ\, (g^{-1}) .

Viceversa, se a composición g \, \circ\, f de dúas funcións é bixectiva, dedúcese que *f* é inxectiva e *g* é sobrexectiva.

## Cardinalidade 
Se *X* e *Y* son conxuntos finitos, entón existe unha bixección entre os dous conxuntos *X* e *Y* se e só se *X* e *Y* teñen o mesmo número de elementos. De feito, na teoría axiomática de conxuntos, esta é a definición de "mesmo número de elementos" (equinumerosidade), e xeneralizar esta definición a conxuntos infinitos leva ao concepto de número cardinal, unha forma de distinguir os diversos tamaños de conxuntos infinitos.

## Propiedades 
*As bixeccións son os isomorfismos da categoría de conxuntos.
*Sexa f:E\to F e h:F\to G.
**Se f e h son bixectivas, entón h\circ f é bixectiva e (h\circ f)^{-1 }=f^{-1}\circ h^{-1}.
**Se h\circ f é bixectiva, entón f é inxectiva e h é sobrexectiva.
*Para calquera conxunto *E*, as bixeccións de *E* sobre si mesmas chámanse permutacións de *E*. Forman, coa operación ∘ de composición de aplicacións, un grupo chamado grupo simétrico de *E* e denotado *S*(*E*) ou \mathfrak S(E).
* O número de bixeccións entre dous conxuntos finitos do mesmo cardinal *n* é *n*!.
*Un mapa de ℝ en ℝ é bixectivo se e só se a súa gráfico corta calquera liña horizontal exactamente nun punto.
*Para que unha aplicación dun conxunto *finito* en si mesmo sexa bixectiva, abonda con que sexa *inxectiva* ou *sobrexectiva* (daquela son ambas as dúas). Pódese ver como unha consecuencia do principio do pombal.
*:Note: pode existir unha bixección entre dous conxuntos infinitos estando un deles estritamente incluído no outro. Atopamos moitos exemplos no caso contábel.

## Galería 
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
### Outros artigos 
* Bixección, inxección e sobrexección.

### Ligazóns externas 
* Bijective MathWorld.