Hipótese de Riemann

miniatura|Parte real (vermello) e parte imaxinaria (azul) da liña crítica Re(s) = 1/2 da función zeta de Riemann. Poden verse os primeiros ceros non triviais en Im(s) = ±14,135, ±21,022 e ±25,011.
[miniatura|Un [Coordenadas polares|gráfico polar de zeta, isto é, Re(zeta) vs. Im(ze*t*a), ao longo da liña crítica s=it+1/2, con t con valores desde 0 a 34.]]

En matemática pura, a **hipótese de Riemann**, formulada por primeira vez por Bernhard Riemann en 1859, é unha conxectura sobre a distribución dos ceros da función zeta de Riemann ζ(s).

A hipótese de Riemann, pola súa relación coa distribución dos números primos no conxunto dos naturais, é un dos problemas abertos máis importantes na matemática contemporánea.

O Instituto Clay de Matemáticas ofreceu un premio dun millón de dólares á primeira persoa que desenvolva unha demostración correcta da conxectura.
A maior parte da comunidade matemática pensa que a conxectura é correcta, aínda que outros grandes matemáticos como J. E. Littlewood e Atle Selberg se mostraron escépticos, aínda que o escepticismo de Selberg foi diminuíndo dende os seus días de mocidade. Nun artigo en 1989 suxeriu que un análogo debe ser certo para unha clase moito máis ampla de funcións (a clase de Selberg).

## Definición 
A función zeta de Riemann ζ(s) está definida da seguinte maneira:
:
\begin{align}
\zeta(s) & = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_{p\in\mathbb{P}} \frac{1}{1-p^{-s}} =\left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{8^s} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \frac{1}{27^s} + \cdots \right) \cdots \left(1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \cdots \right) \cdots
\end{align}

Para todos os números complexos *s* ≠ 1, pódese prolongar analiticamente mediante a ecuación funcional:
:\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sen\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s)
\!.

Esta posúe certos valores, chamados ceros "triviais" para os cales a función zeta se anula. Da ecuación pódese ver que *s* = −2, *s* = −4, *s* = −6, ... son ceros triviais. Existen outros valores complexos s comprendidos entre 0  0 tal que
:\left|\pi(x) - \int_2^x\frac{dt}{\ln(t)}\right|\le C\,\sqrt{x}\,\ln(x),
para todo *x* suficientemente grande, onde π(*x*) é a función contadora de primos e ln(*x*) é o logaritmo neperiano de *x*. Lowell Schoenfeld mostrou que se pode tomar C = 1/(8 π) para todo x ≥ 2657.

Os ceros da función zeta e os números primos satisfán certas propiedades de dualidade, coñecidas como fórmulas explícitas, que mostran, usando análises de Fourier, que os ceros da función zeta de Riemann poden interpretarse como frecuencias harmónicas na distribución dos números primos.

Máis aínda, se a conxectura de Hilbert-Polya é certa, entón calquera operador que nos dea as partes imaxinarias dos ceros como os seus valores propios debe satisfacer:
:miniatura|250x250px|Valor absoluto da ζ-function. \sum_{n}e^{-\beta E_{n}}=\operatorname{tr}[e^{-\beta \hat H}]=e^{u/2}-e^{-u/2} \frac{d\psi _{0}}{du}-\frac{e^{u/2}}{e^{3u}-e^{u}}, 

onde tr é a traza do operador (suma dos seus valores propios),  \beta \, é un número imaxinario e  \psi (x) \, é a función de Chebyshev que suma o log(*x*) sobre os primos e as súas potencias enteiras, dita fórmula é unha conclusión da fórmula explícita de V. Mangoldt. Varios operadores propostos por C. Perelman, J. Macheca e J. García, parecen corroborar os resultados da conxectura de Hilbert sobre o operador, reproducindo a parte imaxinaria dos ceros.

## Cálculo numérico 
No ano 2004 Xavier Gourdon verificou a conxectura de Riemann numericamente ao longo do primeiros dez trillóns de ceros non triviais da función. Con todo, isto non é estritamente unha demostración e numericamente sería máis interesante atopar un contraexemplo, é dicir un valor de cero que non cumpra con que a súa parte real é 1/2, pois isto botaría polos chans a validez da conxectura.

Até o 2005, o intento máis serio para explorar os ceros da función-ζ, é o ZetaGrid, un proxecto de computación distribuída coa capacidade de verificar billóns de ceros por día. O proxecto acabou en decembro de 2005, e ningún dos ceros puido ser identificado como contraexemplo da hipótese de Riemann.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Teorema dos números primos
* Función zeta de Riemann
* Teoría analítica de números
### Ligazóns externas 
* The Riemann Hypothesis in a Nutshell  
* Andrew Odlyzko: Tables of zeros of the Riemann zeta function 
* Riemann zeros Quantum chaos 
* Zetagrid 
* Algoritmos para calcular os ceros da función de Riemann, por Michael Rubinstein