Coeficiente binomial

[dereita|miniatura|200x200px| Os coeficientes binomiais pódense ordenar para formar [Triángulo de Pascal|o triángulo de Pascal, no que cada entrada é a suma das dúas inmediatamente anteriores.]]
Os **coeficientes binomiais** ou **números combinatorios** son os enteiros positivos que aparecen como coeficientes no teorema do binomio. Normalmente, un coeficiente binomial está representado por un par de números enteiros  e escríbese \tbinom{n}{k}. Correspóndese co coeficiente do termo  na expansión polinómica da potencia binomial ; este coeficiente pódese calcular mediante a fórmula 

: \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}.

Imos ver un exemplo, a cuarta potencia de () é

: \begin{align}
(1 + x)^4 &= \tbinom{4}{0} x^0 + \tbinom{4}{1} x^1 + \tbinom{4}{2} x^2 + \tbinom{4}{3} x^3 + \tbinom{4}{4} x^4 \\
&= 1 + 4x + 6 x^2 + 4x^3 + x^4,
\end{align}

e calculamos o coeficiente binomial \tbinom{4}{2} =\tfrac{4\times 3}{2\times1} = \tfrac{4!}{2!2!} = 6 é o coeficiente do termo .

Se ordenamos os números \tbinom{n}{0}, \tbinom{n}{1}, \ldots, \tbinom{n}{n} en filas sucesivas para  daquela temos unha matriz triangular chamada triángulo de Pascal, que satisfai a relación de recorrencia

: \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} .

En moitas áreas das matemáticas aparecen os coeficientes binomiais, e teñen especial incidencia na combinatoria. O símbolo \tbinom{n}{k} adoita lerse como " sobre ". Hai \tbinom{n}{k} formas de escoller un subconxunto (desordenado) de  elementos dun conxunto fixo de  elementos. Por exemplo, hai \tbinom{4}{2}=6 formas de escoller  elementos entre , é dicir, , , , ,  e .

Agora podemos xeneralizar para que \tbinom{z}{k} poida usarse para calquera número complexo  e enteiro , e moitas das súas propiedades seguen a manterse nesta forma máis xeral.

As notacións alternativas máis frecuentes son ,   , e , en todas elas o  significa *combinacións*. 

## Definición e interpretacións 
Para os números naturais *n* e *k*, o coeficiente binomial \tbinom nk pódese definir como o coeficiente do monomio *X**k* na expansión de . O mesmo coeficiente tamén ocorre (se  ) na fórmula binomial{{Bloque numerado|:|(x+y)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk x^ky^{n-k}|}}(válida para calquera elemento *x*, *y* dun anel conmutativo), o que explica o nome de "coeficiente binomial".

Tamén aparece na combinatoria, onde dá  o número de subconxuntos de  elementos (ou -combinacións) dun conxunto de  elementos.

## Cálculo do valor dos coeficientes binomiais 
### Fórmula recursiva 
: \binom nk = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}kpara todos os números enteiros n,k tal que 1 \le k 
con valores límite
:\binom n0 = \binom nn = 1
para todos os números enteiros .

### Fórmula multiplicativa 
\binom nk = \frac{n^{\underline{k}}}{k!} = \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-(k-1))}{k(k-1)(k-2)\cdots 1} = \prod_{i=1}^k\frac{ n+1-i}{ i},onde o numerador da primeira fracción n^{\underline{k}} exprésase como o símbolo de Pochhammer do factorial descendente. 

### Fórmula factorial 
: \binom nk = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} \quad \text{for }\ 0\leq k\leq n,onde  denota o factorial de  . A fórmula presenta unha simetría {{Bloque numerado|:| \binom nk = \binom n{n-k} \quad \text{for }\ 0\leq k\leq n.|}}

### Xeneralización e conexión coa serie binomial 
A fórmula multiplicativa permítenos ampliar a definición dos coeficientes binomiais substituíndo ''''* por un número arbitrario \alpha (negativo, real, complexo) ou mesmo un elemento de calquera anel conmutativo no que todos os enteiros positivos sexan invertibles:\binom \alpha k = \frac{\alpha^{\underline k}}{k!} = \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}
\quad\text{para } k\in\N \text{ e un arbitrario } \alpha.
Aproveitamos esta definición para ter unha xeneralización da fórmula binomial, cunha das variables posta a 1, :{{Bloque numerado|:| (1+X)^\alpha = \sum_{k=0}^\infty {\alpha \choose k} X^k.|}}Esta fórmula é válida para todos os números complexos *α* e *X* con |*X*|  {n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1},|}}que se pode utilizar para demostrar por indución matemática que  \tbinom n k é un número natural para todos os enteiros *n* ≥ 0 e todos os enteiros *k*, un feito que non é inmediatamente obvio a partir da fórmula (1).

A regra de Pascal dá lugar ao triángulo de Pascal:

O número de fila  contén os números \tbinom{n}{k} para . Constrúese colocando primeiro 1 nas posicións máis externas e despois enchendo cada posición interna coa suma dos dous números directamente enriba. 

## Combinatoria e estatística 
Os coeficientes binomiais son de importancia en combinatoria, porque proporcionan fórmulas feitas para certos problemas frecuentes de contaxe:

* Hai \tbinom n k formas de escoller *k* elementos dun conxunto de *n* elementos. Consulte Combinacións.
* Hai \tbinom {n+k-1}k formas de escoller *k* elementos dun conxunto de *n* elementos se se permiten as repeticións. Consulte Multiconxunto.
* Hai  \tbinom {n+k} k cadeas que conteñen *k* uns e *n* ceros.
* Hai  \tbinom {n+1} k cadeas formadas por *k* uns e *n* ceros de xeito que non hai dous uns adxacentes.
* Os números de Catalan son \tfrac{1}{n+1}\tbinom{2n}{n}.
* A distribución binomial en estatística é \tbinom n k p^k (1-p)^{n-k} .

## Coeficientes binomiais como polinomios 
Dado calquera enteiro non negativo *k*, a expresión \binom{t}{k} pódese simplificar e definir como un polinomio dividido por :

: \binom{t}{k} = \frac{t^\underline{k}}{k!} = \frac{t(t-1)(t-2)\cdots(t-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots2 \cdot 1};

isto presenta un polinomio en *t* con coeficientes racionais.

Os seus coeficientes poden expresarse en termos dos números de Stirling:

: \binom{t}{k} = \sum_{i=0}^k s(k,i)\frac{t^i}{k!}.

## Identidades que implican coeficientes binomiais 
Se *k* é un número enteiro positivo e *n* é arbitrario, entón{{Bloque numerado|:| \binom{n}{k} = \frac{n}{k} \binom{n-1}{k-1}.|}}

: \binom {n-1}{k} - \binom{n-1}{k-1} = \frac{n-2k}{n} \binom{n}{k}.

: \binom {n-1}{k} = \frac{n-k}{n} \binom {n}{k}.

: \binom{n}{h}\binom{n-h}{k}=\binom{n}{k}\binom{n-k}{h}=\binom{n}{h+k}\binom{h+k}{h}.

Para *n constnte*, temos a seguinte recorrencia:

:  \binom{n}{k} = \frac{n-k+1}{k} \binom{n}{k-1}.

: \binom {n}{k} = \binom n{n-k} = \frac{n-k+1}{k} \binom {n}{k-1} = \frac{n}{n-k} \binom {n-1}{k} = \frac{n}{k} \binom {n-1}{k-1} = \frac{n}{n-2k} \Bigg(\binom {n-1}{k} - \binom{n-1}{k-1}\Bigg) = \binom{n-1}k + \binom{n-1}{k-1}.

### Sumas dos coeficientes binomiais 
A fórmula{{Bloque numerado|:| \sum_{k=0}^n \binom n k = 2^n|}}expresa que os elementos da fila -ésima do triángulo de Pascal sempre suman 2 elevados á potencia -ésima. 

Temos dúas fórmulas máis, 
: \sum_{k=0}^n k \binom{n}{k} = n 2^{n-1}..
: \sum_{k=0}^n k^2 \binom n k = (n + n^2)2^{n-2}.

Estas dúas fórmulas séguense do teorema do binomio despois de diferenciar con respecto a  (dúas veces na segunda) e despois de substituír .

A identidade de Chu-Vandermonde, que se cumpre para calquera valores complexos *m* e *n* e calquera número enteiro non negativo *k*, é{{Bloque numerado|:| \sum_{j=0}^k \binom m j \binom{n-m}{k-j} = \binom n k.|}} No caso especial , usando (1), a expansión (7) fica como{{Bloque numerado|:| \sum_{j=0}^m \binom{m}{j} ^2 = \binom {2m} m,|}}onde o termo do lado dereito é un coeficiente binomial central.

Imos ver outra forma da identidade de Chu-Vandermonde que se aplica a calquera número enteiro *j*, *k* e *n* que satisfaga , é{{Bloque numerado|:|\sum_{m=0}^n \binom m j \binom {n-m}{k-j}= \binom {n+1}{k+1}.|}}Cando , a ecuación (9) dá 

: \sum_{m=k}^n \binom m k = \binom {n+1}{k+1}

Sexa *F* (*n*) o *n*-ésimo número de Fibonacci, entón

:  \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom {n-k} k = F(n+1).

#### Sumas de multiseccións 
Para os enteiros *s* e *t* tales que 0\leq t  as series de multisección (con termos igualmente espazados) dás a seguinte identidade para a suma dos coeficientes binomiais:

: \binom{n}{t}+\binom{n}{t+s}+\binom{n}{t+2s}+\ldots=\frac{1}{s}\sum_{j=0}^{s-1}\left(2\cos\frac{\pi j}{s}\right)^n\cos\frac{\pi(n-2t)j}{s}.

Para  pequenos, estas series teñen formas particularmente feitucas; por exemplo, 

:  \binom{n}{0} + \binom{n}{3}+\binom{n}{6}+\cdots = \frac{1}{3}\left(2^n +2 \cos\frac{n\pi}{3}\right) 
:  \binom{n}{1} + \binom{n}{4}+\binom{n}{7}+\cdots = \frac{1}{3}\left(2^n +2 \cos\frac{(n-2)\pi}{3}\right) 
:  \binom{n}{2} + \binom{n}{5}+\binom{n}{8}+\cdots = \frac{1}{3}\left(2^n +2 \cos\frac{(n-4)\pi}{3}\right) 
:  \binom{n}{0} + \binom{n}{4}+\binom{n}{8}+\cdots = \frac{1}{2}\left(2^{n-1} +2^{\frac{n}{2}} \cos\frac{n\pi}{4}\right) 

#### Sumas parciais 
:  \sum_{j=0}^k (-1)^j\binom{n}{j} = (-1)^k\binom {n-1}{k},

co caso especial 

: \sum_{j=0}^n (-1)^j\binom n j = 0

para . Este último resultado é tamén un caso especial do resultado da teoría das diferenzas finitas que para calquera polinomio *P*(*x*) de grao menor que *n*, 

:  \sum_{j=0}^n (-1)^j\binom n j P(j) = 0.

Cando *P*(*x*) é de grao menor ou igual a *n*,{{Bloque numerado|:| \sum_{j=0}^n (-1)^j\binom n j P(n-j) = n!a_n|}}onde a_n é o coeficiente de grao *n* en *P*(*x*).

### Identidade de Dixon 
A identidade de Dixon é

: \sum_{k=-a}^{a}(-1)^{k}{2a\choose k+a}^3 =\frac{(3a)!}{(a!)^3}

ou, máis xeralmente,

: \sum_{k=-a}^a(-1)^k{a+b\choose a+k} {b+c\choose b+k}{c+a\choose c+k} = \frac{(a+b+c)!}{a!\,b!\,c!}\,,

onde *a*, *b* e *c* son enteiros non negativos.

### Identidades continuas 
Existen certas integrais trigonométricas que teñen valores expresables en termos de coeficientes binomiais,  para calquera m, n \in \N,

: \int_{-\pi}^{\pi} \cos((2m-n)x)\cos^n(x)\ dx = \frac{\pi}{2^{n-1}} \binom{n}{m}
: 
\int_{-\pi}^{\pi} \sin((2m-n)x)\sin^n(x)\ dx =
\begin{cases}
(-1)^{m+(n+1)/2} \frac{\pi}{2^{n-1}} \binom{n}{m}, & n \text{ impar} \\
0, & \text{noutro caso}
\end{cases}
: 
\int_{-\pi}^{\pi} \cos((2m-n)x)\sin^n(x)\ dx =
\begin{cases}
(-1)^{m+(n/2)} \frac{\pi}{2^{n-1}} \binom{n}{m}, & n \text{ par} \\
0, & \text{noutro caso}
\end{cases}

Estas integrais pódense demostrar usando a fórmula de Euler para converter funcións trigonométricas en exponenciais complexas, expandindo usando o teorema binomial e integrando termo por termo.

### Congruencias 
Se *n* é primo, entón\binom {n-1}k \equiv (-1)^k \mod npor cada *k* con 0\leq k \leq n-1.

De xeito máis xeral, isto segue sendo certo se *n* é calquera número e *k* é tal que todos os números entre 1 e *k* son coprimos con *n*.

Daquela temos

: 
\binom {n-1} k = {(n-1)(n-2)\cdots(n-k)\over 1\cdot 2\cdots k}
= \prod_{i=1}^{k}{n-i\over i}\equiv \prod_{i=1}^{k}{-i\over i} = (-1)^k \mod n.

## Funcións xeradoras 
### Funcións xeradoras ordinarias 
Se temos un  fixo, a función xeradora ordinaria da secuencia \tbinom n0,\tbinom n1,\tbinom n2,\ldots é

: \sum_{k=0}^\infty {n\choose k} x^k = (1+x)^n.

Agora, se facemos que  sexa fixo, a función xeradora ordinaria da secuencia \tbinom 0k,\tbinom 1k, \tbinom 2k,\ldots, é

: \sum_{n=0}^\infty {n\choose k} y^n = \frac{y^k}{(1-y)^{k+1}}.

A función xeradora bivariada dos coeficientes binomiais é

: \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n {n\choose k} x^k y^n = \frac{1}{1-y-xy}.

### Función xeradora exponencial 
Para dúas variables, unha función xeradora  exponencial simétrica dos coeficientes binomiais é:

: \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^\infty {n+k\choose k} \frac{x^k y^n}{(n+k)!} = e^{x+y}.

## Propiedades de divisibilidade 
En 1852, Kummer demostrou (Teorema de Kummer) que se *m* e *n* son enteiros non negativos e *p* é un número primo, entón a maior potencia de *p* que divide \tbinom{m+n}{m} é igual *a p**c*, onde *c* é o número de carrexos cando *m* e *n* se suman na base *p*. Isto é valoración p-ádica dun coeficiente binomial. 

Os coeficientes binomiais teñen propiedades de divisibilidade relacionadas cos mínimos múltiplos comúns (lcm) de números enteiros consecutivos. Por exemplo:

: \binom{n+k}k  \text{ divide a }  \frac{\operatorname{lcm}(n,n+1,\ldots,n+k)}n.

: \binom{n+k}k  \text{ é múltiplo de } \frac{\operatorname{lcm}(n,n+1,\ldots,n+k)}{n\cdot \operatorname{lcm}(\binom{k}0,\binom{k}1,\ldots,\binom{k}k)}.

un dato máis en relación á divisibilidade: un número enteiro  é primo se e só se todos os coeficientes binomiais intermedios

:  \binom n 1, \binom n 2, \ldots, \binom n{n-1} 

son divisibles por *''*.

## Límites e fórmulas asintóticas 
Os seguintes límites para \tbinom n k cúmprense para todos os valores de *n* e *k* tal que :\frac{n^k}{k^k} \le {n \choose k} \le \frac{n^k}{k!} Das propiedades de divisibilidade podemos inferir que\frac{\operatorname{lcm}(n-k, \ldots, n)}{(n-k) \cdot \operatorname{lcm}\left(\binom{k}{0}, \ldots, \binom{k}{k}\right)}\leq\binom{n}{k} \leq \frac{\operatorname{lcm}(n-k, \ldots, n)}{n - k}.

### Tanto *n* como *k* grandes 
A aproximación de Stirling dá a seguinte aproximación, válida cando n-k,k  tenden ao infinito:{n \choose k} \sim
\sqrt{n\over 2\pi k (n-k)} \cdot
{n^n \over k^k (n-k)^{n-k}}
En particular, cando n é suficientemente grande, temos
: {2n \choose n} \sim \frac{2^{2n}}{\sqrt{n\pi }} .
:  \sqrt{n}{2n \choose n} \ge 2^{2n-1}.

Se *n* é grande e *k* é linear en *n*, existen varias estimacións asintóticas precisas para o coeficiente binomial  \binom{n}{k}. Por exemplo, se | n/2 - k | = o(n^{2/3}) entón \binom{n}{k} \sim \binom{n}{\frac{n}{2}} e^{-d^2/(2n)} \sim \frac{2^n}{\sqrt{\frac{1}{2}n \pi }} e^{-d^2/(2n)}onde *d* = *n* − 2*k*.

### moito maior que  
Se  é grande e  é  (é dicir, se ), entón \binom{n}{k} \sim \left(\frac{n e}{k} \right)^k \cdot (2\pi k)^{-1/2} \cdot \exp\left(- \frac{k^2}{2n}(1 + o(1))\right)onde de novo  é a notación o pequena. 

### Coeficientes binomiais xeneralizados 
Obtemos unha nova expresión para os coeficientes binomiais usando a fórmula do produto infinito para a función gamma(-1)^k {z \choose k}= {-z+k-1 \choose k} = \frac{1}{\Gamma(-z)} \frac{1}{(k+1)^{z+1}} \prod_{j=k+1} \frac{\left(1+\frac{1}{j}\right)^{-z-1}}{1-\frac{z+1}{j}}que produce as fórmulas asintóticas{z \choose k} \approx \frac{(-1)^k}{\Gamma(-z) k^{z+1}} \qquad \text{and} \qquad {z+k \choose k} = \frac{k^z}{\Gamma(z+1)}\left( 1+\frac{z(z+1)}{2k}+\mathcal{O}\left(k^{-2}\right)\right)cando k \to \infty.

## Xeneralizacións 
### Xeneralización a multinomial 
Os coeficientes binomiais pódense xeneralizarse a **coeficientes multinomiais** definidos como o número:

: {n\choose k_1,k_2,\ldots,k_r} =\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_r!}

onde
: \sum_{i=1}^rk_i=n.

Lembrando o que representan os coeficientes binomiais  de , vemos que os coeficientes multinomiais representan os coeficientes do polinomio

: (x_1 + x_2 + \cdots + x_r)^n.

O caso *r* = 2 dá os coeficientes binomiais:

: {n\choose k_1,k_2}={n\choose k_1, n-k_1}={n\choose k_1}= {n\choose k_2}.

A interpretación combinatoria dos coeficientes multinomiais sería que temos  *n* elementos distinguibles sobre *r* recipientes distinguibles, onde cada un contén exactamente *ki* elementos, onde *i* é o índice do recipiente.

### Serie de Taylor 
Usando os números de Stirling do primeiro tipo,s_{k,i}, temos que a expansión en serie arredor de calquera punto escollido arbitrariamente z_0 é

: \begin{align} {z \choose k} = \frac{1}{k!}\sum_{i=0}^k z^i s_{k,i}&=\sum_{i=0}^k (z- z_0)^i \sum_{j=i}^k {z_0 \choose j-i} \frac{s_{k+i-j,i}}{(k+i-j)!} \\ &=\sum_{i=0}^k (z-z_0)^i \sum_{j=i}^k z_0^{j-i} {j \choose i} \frac{s_{k,j}}{k!}.\end{align}

### Coeficiente binomial con  
Podemos estender a definición dos coeficientes binomiais ao caso en que n é real e k é enteiro.

En particular, a seguinte identidade cúmprese para calquera número enteiro non negativo k:

: {{1/2}\choose{k}}={{2k}\choose{k}}\frac{(-1)^{k+1}}{2^{2k}(2k-1)}.

Isto vese cando se expande \sqrt{1+x} nunha serie de potencias utilizando a serie binomial de Newton:

: \sqrt{1+x}=\sum_{k\geq 0}{\binom{1/2}{k}}x^k.

### Descomposición de fracción parcial 
A descomposición en fraccións parciais do recíproco vén dada por
: \frac{1}= \sum_{i=0}^{n-1} (-1)^{n-1-i} {n \choose i} \frac{n-i}{z-i}.

:  \frac{1}= \sum_{i=1}^n (-1)^{i-1} {n \choose i} \frac{i}{z +i}.

### Serie binomial de Newton 
A serie binomial de Newton, que recibe o nome de Isaac Newton, é unha xeneralización do teorema binomial a series infinitas:
:  (1+z)^{\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty}{\alpha\choose n}z^n = 1+{\alpha\choose1}z+{\alpha \choose 2}z^2+\cdots

A identidade pódese obter mostrando que ambos os dous lados satisfán a ecuación diferencial .

O raio de converxencia desta serie é 1. Unha expresión alternativa é
: \frac{1}{(1-z)^{\alpha+1}} = \sum_{n=0}^{\infty}{n+\alpha \choose n}z^n
onde se aplica a identidade
: {n \choose k} = (-1)^k {k-n-1 \choose k}.

### Coeficiente binomial multiconxunto (ascendente) 
Os coeficientes binomiais contan subconxuntos de tamaño prescrito dun conxunto dado. Un problema combinatorio relacionado é contar multiconxuntos  é dicir, contar o número de formas de seleccionar un determinado número de elementos dun conxunto dado incluíndo a posibilidade de seleccionar o mesmo elemento con repetición. Os números resultantes chámanse *coeficientes multiconxuntos*; o número resultante dunha "multiescolla" (isto é, escolla con substitución) de *k* elementos de  un conxunto de *n* elementos denótase cun duplo paréntese \left(\!\!\binom n k\!\!\right).

O valor dos coeficientes multiconxunto é 
\left(\!\!{n\choose k}\!\!\right) = {n+k-1 \choose k} = \frac{(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!} = {n(n+1)(n+2)\cdots(n+k-1)\over k!},

#### Xeneralización a enteiros negativos  
Para calquera *n*,
: \begin{align}\binom{-n}{k} &= \frac{-n\cdot-(n+1)\dots-(n+k-2)\cdot-(n+k-1)}{k!}\\
&=(-1)^k\;\frac{n\cdot(n+1)\cdot(n+2)\cdots (n + k - 1)}{k!}\\
&=(-1)^k\binom{n + k - 1}{k}\\
&=(-1)^k\left(\!\!\binom{n}{k}\!\!\right).\end{align}
En particular, os coeficientes binomiais para enteiros negativos *n* poden darse con coeficientes multiconxuntos negativos. 

Por exemplo, 
: \begin{align}\binom{-4}{7} &= \frac
{-10\cdot-9\cdot-8\cdot-7\cdot-6\cdot-5\cdot-4}
{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7}\\
&=(-1)^7\;\frac{4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10}
{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7}\\
&=\left(\!\!\binom{-7}{7}\!\!\right)\left(\!\!\binom{4}{7}\!\!\right)=\binom{-1}{7}\binom{10}{7}.\end{align}

### Dous argumentos reais ou complexos 
Xeneralízase a dous argumentos reais ou complexos usando a función gamma ou a función beta vía
: {x \choose y}= \frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(y+1) \Gamma(x-y+1)}= \frac{1}{(x+1) \Beta(y+1, x-y+1)}.
Esta definición herda as seguintes propiedades da \Gamma:
: {x \choose y}= \frac{\sin (y \pi)}{\sin(x \pi)} {-y-1 \choose -x-1}= \frac{\sin((x-y) \pi)}{\sin (x \pi)} {y-x-1 \choose y};
e tamén,
: {x \choose y} \cdot {y \choose x}= \frac{\sin((x-y) \pi)}{(x-y) \pi}.
A función resultante ten sido pouco estudada, ao parecer obtívose un gráfico dela por primeira vez en .

### Xeneralización a *q''-series 
O coeficiente binomial ten un q-análogo coñecido como coeficiente binomial gaussiano (ligazón en inglés).

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

### Outros artigos 
* Transformación binomial
* Número de Delannoy
* Número euleriano
* Función hiperxeométrica
* Número de Motzkin
* Número de Narayana
### Ligazóns externas 
* 
*