Función hiperbólica

As **funcións hiperbólicas** son unhas funcións con definicións baseadas na función exponencial, ligada mediante operacións racionais e son análogas ás funcións trigonométricas. Estas son:
dereita|miniatura|300x300px|Curvas das funcións hiperbólicas
sinh, cosh e tanh
dereita|miniatura|300x300px|Curvas das funcións hiperbólicas
csch, sech e coth
O seno hiperbólico
:\sinh(x) = \frac {e^{x} - e^{-x}} {2}
::
O coseno hiperbólico
:\cosh(x) = \frac {e^{x} + e^{-x}} {2}
::
A tanxente hiperbólica
:\tanh(x) = \frac {\sinh(x)} {\cosh(x)}
::
e outras derivadas:
:\coth(x) = \frac {\cosh(x)} {\sinh(x)}
::(*cotanxente hiperbólica*)
:\mbox{sech}(x) = \frac {1} {\cosh(x)}
::(*secante hiperbólica*)
:\mbox{csch}(x) = \frac {1} {\sinh(x)}
::(*cosecante hiperbólica*)

## Relación entre funcións hiperbólicas e funcións circulares 
As funcións trigonométricas sen(t) e cos(t) poden ser as coordenadas cartesianas (x,e) dun punto P sobre a circunferencia unitaria centrada na orixe, onde *t* é o ángulo, medido en radiáns, comprendido entre o semieixe positivo X, e o segmento OP, segundo as seguintes igualdades:
: 
\left \{ \begin{matrix}
           x(t) = \cos t \\
           y(t) = \sin t
\end{matrix}
\right .

Tamén pode interpretarse o parámetro *t* como a lonxitude do arco de circunferencia unitaria comprendido entre o punto (1,0) e o punto P, ou como o dobre da área do sector circular determinado polo semieixe positivo X, o segmento OP e a circunferencia unitaria.
dereita|miniatura|300x300px|Animación da representación do seno hiperbólico.
De modo análogo, pódense definir as funcións hiperbólicas, como as coordenadas cartesianas (x,e) dun punto P da hipérbole equilátera, centrada na orixe, cuxa ecuación é
:\ x^2-y^2=1 

onde *t* é o dobre da área da rexión comprendida entre o semieixe positivo *X*, e o segmento OP e a hipérbole, segundo as seguintes igualdades:
: 
\left \{ \begin{matrix}
           x(t) = \cosh t \\
           y(t) = \sinh t
\end{matrix}
\right .

Con todo, tamén pode demostrarse que é válida a seguinte descrición da hipérbole:
:\ x(t) = \frac {e^{t} + e^{-t}} {2}

:\ y(t) = \frac {e^{t} - e^{-t}} {2}

dado que
:\ \left ( \frac {e^{t} + e^{-t}} {2} \right )^2 - \left ( \frac {e^{t} - e^{-t}} {2} \right )^2 = 1

De modo que o coseno hiperbólico e o seno hiperbólico admiten unha representación en termos de funcións exponenciais de variable real:
:\ \cosh(t) = \frac {e^{t} + e^{-t}} {2}
:\ \sinh(t) = \frac {e^{t} - e^{-t}} {2}

### Relacións trigonométricas con argumentos complexos 
As funcións hiperbólicas tamén se poden deducir das función trigonométricas con argumentos complexos:

* Seno Hiperbólico: \sinh x = -i \sin (i x).
* Coseno Hiperbólico:
:\cosh(x+y) = \cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y)
o que leva á seguinte relación:
:\cosh(2x) = \cosh^2(x)+\,\mathrm{sinh}^2(x)
e por outra banda
:\mathrm{sinh}(x+y) = \mathrm{sinh}(x)\cosh(y)+\mathrm{sinh}(y)\cosh(x)
que leva a:
:\mathrm{sinh}(2x) = 2\,\mathrm{sinh}(x)\cosh(x)
tense estoutra relación
:\tanh(x + y)= \frac{\tanh (x) + \tanh (y)}{1 + \tanh (x) \tanh (y)}
que permite ter
:\tanh(2x) = \frac{2\tanh x}{1 + \tanh^2 x}

### Derivación e integración 
:\frac{d\ }{dx}(\cosh(x)) = \,\mathrm{sinh}\,(x)

:\frac{d\ }{dx}(\,\mathrm{sinh}\,(x)) = \cosh(x)

:\frac{d\ }{dx}(\,\tanh(x)) = \mathrm{sech}^2(x)

:\frac{d\ }{dx}(\mathrm{coth}(x)) = -\mathrm{csch}^2(x)

:\frac{d\ }{dx}(\mathrm{sech}(x)) = -\mathrm{sech}(x)\tanh(x)

:\frac{d\ }{dx}(\mathrm{csch}(x)) = -\mathrm{csch}(x)\mathrm{coth}(x)
Ademais a integración ao ser a operación inversa da derivación é trivial neste caso.

A derivada de sinh(x) está dada por cosh(x) e a derivada de cosh(x) é sinh(x). O gráfico da función cosh(x) denomínase catenaria.

## Inversas das funcións hiperbólicas e as súas derivadas 
As funcións inversas das funcións hiperbólicas e as súas derivadas son:
:\begin{align}
 
   \mbox {arg  sinh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right) &\frac{d}{dx} (\mbox {arg sinh}(x) ) &= \frac{1}{ \sqrt{x^{2} + 1} } \\

  \mbox {arg cosh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} - 1} \right); x \ge 1 &\frac{d}{dx}(\mbox {arg cosh(x)})&=\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}; x > 1\\

  \mbox {arg tanh} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right); \left| x \right|  1 & \frac{d}{dx}(\mbox  {arg coth(x)}) &= \frac{1}{1-x^2}; \left| x \right| > 1 \\

  \mbox {arg sech} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x} \right); 0 

## Series de Taylor 
As series de Taylor das funcións inversas das funcións hiperbólicas veñen dadas por:
:\mbox{arg sinh} (x) = x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} +\cdots =

:\mbox{arg sinh} (x) = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \left| x \right| 

: \mbox{arg cosh} (x) = \ln 2x - (\left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots ) = 

: \mbox{arg cosh} (x) = \ln 2x - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {(2n)} , x > 1 

:\mbox{arg tanh} (x) = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots =

:\mbox{arg tanh} (x) = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \left| x \right| 

:\mbox{arg csch} (x) = \mbox{arg sinh} (x^{-1}) = x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} +\cdots =

:\mbox{arg csch} (x) =\sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \left| x \right| > 1 

:\mbox{arg sech} (x) = \mbox{arg cosh} (x^{-1}) = \ln 2 - (\left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots ) = 

:\mbox{arg sech} (x) =\ln 2 - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {(2n)} , 0 

:\mbox{arg coth} (x) = \mbox{arg tanh} (x^{-1}) = x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots =

:\mbox{arg coth} (x) =\sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \left| x \right| > 1 

## Relación coa función exponencial 
Da relación do coseno e o seno hiperbólico pódense derivar as seguintes relacións:
:e^x = \cosh x + \sinh x\!
e
:e^{-x} = \cosh x - \sinh x.\!

Estas expresións son análogas ás que están en termos de senos e cosenos, baseadas na fórmula de Euler, como suma de exponenciais complexas.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Trigonometría
* Funcións trigonométricas
* Logaritmo neperiano
* Número e
* Hipérbole