Principio de Hasse

En matemáticas, o  **principio local-global** de Helmut Hasse, é a idea de que se pode atopar unha  solución en enteiros dunha ecuación utilizando o teorema chinés dos restos para unir solucións  módulo potencias de cada número primo diferente. Isto faise examinando a ecuación no completamento dos números racionais: os números reais e os números p-ádicos.

## Intuición 
Dado un polinomio con coeficientes racionais, se ten unha solución racional, daquela tamén produce unha solución real e unha solución p-ádica, xa que os racionais incorporan os reais e os p-ádicos: unha solución global produce solucións locais para cada primo. O *principio* de Hasse cuestiona cando se pode facer o contrario, ou visto desde outro punto de vista, cal é a obstrución, cando se poden unir solucións sobre os reais e os p-ádicos para producir unha solución sobre os racionais? cando se poden unir solucións locais para formar unha solución global?

Un pode cuestionarse este punto tamén para outros anéis ou corpos: enteiros   ou corpos de números alxébrico. Para corpos de números alxébricos úsanse mergullos (embeddings) complexos e  \mathfrak p-ádicos para ideais primos \mathfrak p.

## Exemplo 
Consideramos o polinomio  f(x)=x^3 - 2x + 17. Para determinar se ten solucións enteiras traballamos en módulo 5 e obtemos
: \overline{f}(x)=x^3 + 3x + 2 e comprobamos que non ten solucións en \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} (fácil pois só temos que comprobar 5 valores. Como non temos solucións localmente en \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} daquela non temos solucións globalmente en \mathbb{Z}. 

Nota: A implicación no outro sentido non ten por qué ser certa, a existencia dunha solución local non implica necesariamente solución global.

## As formas que representan cero 
### Formas cadráticas 
O teorema de Hasse-Minkowski declara que o principio local-global cúmprese para o problema da representación do 0 por formas cadráticas  sobre os números racionais (este  é o resultado de Minkowski); e máis xeralmente sobre calquera corpo numérico (camo probou Hasse), cando un utiliza todas as condicións necesarias apropiadas do corpo local. O teorema de Hasse  en extensións cíclicas afirma que o principio local-global aplica á condición de ser unha norma relativa para unha extensión cíclica dos corpos de números alxébricos.

### Formas cúbicas 
Un contraexemplo de Ernst S. Selmer mostra que o teorema de Hasse-Minkowski non pode ser estendido a formas de grao 3. A ecuación cúbica 3*x*3 + 4*y*3 + 5*z*3 = 0 ten unha solución en números reais, e en tódolos corpos p-ádicos, mais non ten  solución non trivial  na que  x, y, e z son tódolos números racionais.

Roger Heath-Marrón mostrou  que toda forma cúbica sobre os enteiros en polo menos 14 variábeis representa 0, mellorando os resultados anteriores de Davenport.  Xa que cada forma cúbica sobre os números p-ádicos con polo menos dez variábeis representa 0, o principio local-global cúmprese para formas cúbicas sobre os racionais en polo menos 14 variábeis.

### Formas de grao máis alto 
Os contraexemplos de Fujiwara e Sudo mostran que o teorema de Hasse–Minkowski non é extensíbel a formas de grao 10n + 5, onde *n* é un enteiro non negativo.

Doutra banda, o teorema de Birch  mostra que se *d* é calquera número natural impar, daquela hai  un número *N*(*d*) tal que calquera forma de grao *d* en máis de *N*(*d*) variábeis representa 0, e o principio de Hasse cúmprese trivialmente.

## Teorema de Albert–Brauer–Hasse–Noether 
O Teorema_de_Albert-Brauer-Hasse-Noether  estabelece un principio local-global local para a descomposición dunha álxebra simple central *A* sobre un corpo numérico alxébrico *K*.  O teorema di que se *A* descompón sobre cada completamento *Kv* entón é isomórfica a unha álxebra de matrices sobre K.

## Principio de Hasse Principio para grupos alxébricos 
O principio de Hasse principio para grupos alxébricos afirma que se *G* é un grupo alxébrico sinxelamente-conectado  definido sobre o corpo global *k* daquela o mapa 

:  H^1(k,G)\rightarrow\prod_s H^1(k_s,G)

é inxectivo, onde o produto é *s*obre todos os lugares *s* of *k*.

O principio de Hasse para grupos ortogonais está estreitamente relacionado co principio de Hasse para as formas cadráticas correspondentes.

 e varios outros verificaron o principio de Hasse con probas caso por caso para cada grupo. O último caso foi o grupo *E*8, que só foi completado por  moitos anos despois dos outros casos.

O principio de Hasse para os grupos alxébricos usouse nas probas da conxectura de Weil para os números de Tamagawa e o teorema de aproximación forte.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía
*
*
* 
* 

### Outros artigos
* Análise local
* Teorema de Grunwald–Wang
* Conxectura da p-curvatura de Grothendieck-Katz

### Outras ligazóns 
* PlanetMath article 
* Swinnerton-Dyer, *Diophantine Equations: Progress and Problems*, online notes
* J. Franklin, Global and local, *Mathematical Intelligencer* 36 (4) (Dec 2014), 4–9.