Plano complexo

En matemáticas, o **plano complexo** é unha forma de visualizar o espazo dos números complexos. Pódese entender como un plano cartesiano modificado, no que a parte real está representada no eixo x e a parte imaxinaria no eixo y. O eixo x tamén se denomina eixo real e o eixo y eixo imaxinario.
[miniatura| Un número pódese representar visualmente mediante un par de números que forman un vector nun diagrama chamado [diagrama de Argand.]]
O plano complexo tamén se denomina **plano de Argand**, xa que se usa nos **diagramas de Argand**. Estes levan o nome de Jean-Robert Argand (1768-1822). Os diagramas de Argand úsanse a miúdo para representar as posicións dos polos e ceros dunha función no plano complexo.

O concepto de plano complexo permite unha interpretación xeométrica dos números complexos. A adición de números complexos pódese relacionar coa suma de vectores e a multiplicación de dous números complexos pódese expresar máis facilmente en coordenadas polares: a magnitude ou módulo do produto é o produto dos dous valores absolutos, ou módulos, e o ángulo ou argumento do produto é a suma dos dous ángulos, ou argumentos. En particular, a multiplicación por un número complexo de módulo 1 actúa como unha rotación.

A teoría das funcións complexas é unha das áreas máis ricas das matemáticas, que atopa aplicación en moitas outras áreas das matemáticas e tamén na física, a electrónica e moitos outros campos.

## Convencións de notación 
### Números complexos 
Na análise complexa, os números complexos son normalmente representados polo símbolo *z*, que se pode separar nas súas partes reais (*x*) e imaxinarias (*y*): z = x + iy = |z|\left(\cos\theta + i\sin\theta\right) = |z|e^{i\theta}No plano cartesiano o punto (*x*, *y*) tamén se pode representar en coordenadas polares como |z| = \sqrt{x^2+y^2}; \quad \theta = \arg(z) = \frac{1}{i}\ln\frac{z} = -i\ln\frac{z}.No plano cartesiano pódese supoñer que a arcotanxente toma valores de − *π* /2 a *π* /2 (en radiáns), e hai que ter coidado de definir a función arcotanxente máis completa para os puntos (*x*, *y*) cando *x* ≤ 0. No plano complexo estas coordenadas polares adoptan a forma z = x + iy; \qquad f(z) = w = u + ivz = x + iyAquí |*z*| é o *valor absoluto* ou *módulo* do número complexo *z*; *θ é* o *argumento* de *z*, adoita tomarse no intervalo  ; e a última igualdade (z = |*z*|*e**iθ* ) tómase da fórmula de Euler. Sen a restrición de rango de *θ*, o argumento de *z* é multivalor, porque a función exponencial complexa é periódica, con período 2*πi*. Así, se *θ* é un valor de arg(*z*), os demais valores veñen dados por , onde *n* é calquera número enteiro distinto de cero.

Case toda  a análise complexa ten que ver con funcións complexas, é dicir, con funcións que mapean algún subconxunto do plano complexo noutro subconxunto (posíbelmente superposto, ou mesmo idéntico) do plano complexo. Aquí é costume falar do dominio de *f* (*z*) como situado no plano *z*, mentres se refire ao rango de *f* (*z*) como un conxunto de puntos no plano *w*. Escribimos con símbolos z = x + iy; \qquad f(z) = w = u + ive moitas veces pensas na función *f* como unha transformación do plano *z* (con coordenadas (*x*, *y*)) ao plano *w* (con coordenadas (*u*, *v*)).

O plano complexo denotase como \mathbb{C}.

## Proxección estereográfica 
Pode ser útil pensar que o plano complexo ocupa a superficie dunha esfera. Dada unha esfera de raio unidade, coloque o seu centro na orixe do plano complexo, orientado de xeito que o ecuador da esfera coincida co círculo unitario do plano, e o polo norte estea "por enriba" do plano.

Podemos estabelecer unha correspondencia un a un entre os puntos da superficie da esfera menos o polo norte e os puntos do plano complexo do seguinte xeito. Dado un punto no plano, traze unha liña recta que o conecte co polo norte da esfera. Esta liña corta a superficie da esfera exactamente noutro punto. O punto z = 0 proxéctase sobre o polo sur da esfera. Desde o interior do círculo unitario dentro da esfera, toda a rexión (|z|  1) mapearase ao hemisferio norte, menos o polo norte. Claramente, este procedemento é reversíbel: tendo en conta calquera punto da superficie da esfera que non sexa o polo norte, podemos trazar unha liña recta que une ese punto co polo norte e corta o plano exactamente nun punto.
[miniatura| [Esfera de Riemann que mapea todos os puntos dunha esfera menos un a todos os puntos do plano complexo]]
Esfera de Riemann. Falamos dun único *punto no infinito* cando falamos de análise complexa. Hai dous puntos no infinito (positivo e negativo) na recta numérica real, mais só hai un punto no infinito (o polo norte) no plano complexo estendido. 

## Diagrama de Argand 
**O diagrama de Argand** refírese a unha trama xeométrica de números complexos como puntos , como falado na introdución, úsanse a miúdo para representar as posicións dos ceros e polos dunha función no plano complexo.

[thumb|right|Un número pode ser visualmente representado por un par de números formando un vector nun diagrama chamado [diagrama de Argand.]] 
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
*
* Reprinted (1973) by Chelsea Publishing Company .
*
### Outros artigos 
* Número complexo.