Espazo ultramétrico

En matemáticas, un **espazo ultramétrico** é un espazo métrico no que a desigualdade do triángulo faise máis forte sendo d(x,z)\leq\max\left\{d(x,y),d(y,z)\right\} para todos os x, y, e z. Ás veces, a métrica asociada tamén se denomina **métrica non arquimediana** ou **supermétrica**.

## Definición formal 
Unha **ultramétrica** nun conxunto  é unha función con valores reais

: d\colon M \times M \rightarrow \mathbb{R}

(onde  denota os números reais), tal que para todo  :

# ;
#  (*simetría*);
# ;
# se  entón ;
# {{Math|*d*(*x*, *z*) &le; max {*d*(*x*, *y*), *d*(*y*, *z*)}}} (**desigualdade forte do triángulo** ou **desigualdade ultramétrica**).

Un **espazo ultramétrico** é un par  formado por un conxunto  xunto cunha distancia  ultramétrica en , que se denomina función de distancia asociada ao espazo (tamén chamada métrica).

Se  satisfai todas as condicións excepto posíbelmente a condición 4, entón  chámase **ultrapseudométrica** en . Un **espazo ultrapseudométrico** é un par  formado por un conxunto  e un ultrapseudométrico  sobre . 

No caso de que  sexa un grupo abeliano (escrito aditivamente) e  é xerada por unha función de lonxitude \|\cdot\| (para que d(x,y) = \|x - y\| ), a última propiedade pódese fortalecer usando a Krull, temos:

: \|x+y\|\le \max \left\{ \|x\|, \|y\| \right\} con igualdade se \|x\| \ne \|y\|.

## Propiedades 
miniatura| No triángulo da dereita, os dous puntos inferiores *x* e *y* violan a condición *d*(*x*,*y*) ≤ max{ *d* (*x*, *z*), *d* (*y*,*z*)}.
Da definición anterior, pódese concluír varias propiedades típicas da ultramétrica. Por exemplo, para todos os x,y,z \in M, cúmprese polo menos unha das tres igualdades d(x,y) = d(y,z) ou d(x,z) = d(y,z) ou d(x,y) = d(z,x). É dicir, cada tripla de puntos do espazo forma un triángulo isósceles.

Definimos a bóla (aberta) de raio r > 0 centrado en x \in M como B(x;r) := \{y \in M \mid d(x,y) , temos as seguintes propiedades:

* Todo punto dentro dunha bóla é o seu centro, é dicir, se d(x,y) entón B(x;r)=B(y;r) .
* As bólas que se cruzan están contidas entre si, é dicir, se B(x;r)\cap B(y;s) entón tampouco está baleiro B(x;r) \subseteq B(y;s) ou B(y;s) \subseteq B(x;r) .
* Todas as bólas de raio estritamente positivo son conxuntos abertos e pechados na topoloxía inducida. É dicir, as bólas abertas tamén están pechadas e as bólas pechadas (substitúe  con \leq ) tamén están abertas.
* O conxunto de todas as bólas abertas con raio r e centro nunha bóla pechada de raio r>0 forma unha partición deste último, e a distancia mutua de dúas bólas abertas distintas é (maior ou) igual a r.

## Exemplos 
* A métrica discreta é unha ultramétrica.
* Os números *p*-ádicos forman un espazo ultramétrico completo.
* Considere o conxunto de palabras de lonxitude arbitraria (finita ou infinita), Σ*, sobre algún alfabeto Σ. Definimos a distancia entre dúas palabras diferentes como 2−*n*, onde *n* é o primeiro lugar no que difiren as palabras. A métrica resultante é unha ultramétrica. 
* Se *r* = (*rn*) é unha secuencia de números reais que decrecen a cero, entón |*x*|*r* := lim sup *n* →∞ | *xn* |*rn* induce unha ultramétrica no espazo de todas as secuencias complexas para as que é finita. 
* Se *G* é un grafo non dirixido ponderado por arestas, todos os pesos das arestas son positivos, e *d*(*u*, *v*) é o peso do camiño mínimo entre *u* e *v* (é dicir, o maior peso dunha aresta, nun camiño escollido para minimizar este maior peso), entón os vértices do grafo, coa distancia medida por *d*, forman un espazo ultramétrico, e todos os espazos ultramétricos finitos poden representarse deste xeito.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* .
### Outros artigos 
* Espazo métrico.