Número cardinal

Os **números cardinais** indican a cantidade de elementos dun conxunto e reflíctense nos conceptos de números naturais e de números enteiros. Por exemplo, considerando o conxunto de extremidades do corpo humano e chamándolle a este conxunto E, *E = {brazo dereito, brazo esquerdo, perna dereita, perna esquerda}*, o cardinal do conxunto é 4. Pódese dicir, xa que logo, que:

* |E| = 4
* card(E) = 4
* #E = 4

4 é un número natural e un número enteiro positivo.

## Concepción gramatical 
### Definición 
O númeral cardinal é a categoría gramatical que indica o número de elementos dun conxunto. O numeral cardinal diferénciase do ordinal, do múltiplo e do partitivo.

### Lista 
Os principais numerais cardinais son: cero, un/unha, dous/dúas, tres, catro, cinco, seis, sete, oito, nove, dez, once, doce, trece, catorce, quince, dezaseis, dezasete, dezaoito, dezanove, vinte, vinte e un/unha, vinte e dous/dúas, trinta, trinta e un/unha, corenta, cincuenta, sesenta, setenta, oitenta, noventa, cen, cento un/unha, douscentos/duascentas, trescentos/as, catrocentos/as, cincocentos/as, quiñentos/as, seiscentos/as, setecentos/as, oitocentos/as, novecentos/as, mil.

### Función sintáctica 
O numeral cardinal adoita incluírse entre os determinantes. Pode ter función adxectiva ou pronominal:
* se acompaña a un nome (*cinco libros*) 
* Función pronominal: suple (*devolvín dúas*).

### Riscos morfolóxicos 
En galego, o numeral cardinal tén marca de xénero en: un/unha, dous/dúas, os centos (trescentas) e os seus derivados. Exemplos:
* un boi, unha vaca;
* dous cuxos, dúas becerras;
* trescentos libros, trescentas follas;
**Diferénciese "tres centos de libros" de "trescentos libros".**

### Substantivos equivalentes 
Existen algúns substantivos que equivalen a certos números cardinais e que algúns autores denominan *colectivos* (Carballo Calero, 1979, p.&nbsp;202 e Álvarez e Xove, 2002, p.&nbsp;526):
* un ≡ unidade
* dous ≡ par, parella
* tres ≡ trío, terna
* dez ≡ decena
* doce ≡ ducia
* cen ≡ centena

Nalgúns casos, son períodos de tempo:
* cinco anos ≡ lustro
* dez anos ≡ década
* cen anos ≡ século

Noutros casos, poden ter significados connotativos, por exemplo, do campo da música:
* un músico ≡ solo (non confundir con "só")
* dous músicos ≡ dúo
* tres músicos ≡ trío
* catro músicos ≡ cuarteto

Tamén sucede o mesmo en poesía cos nomes de estrofas e noutros campos.

## Concepción matemática 
### Historia 
O concepto de número cardinal foi proposto por Georg Cantor en 1874. A partir do concepto de *cardinalidade*, chegamos ao cardinal. A cardinalidade é a característica que define o número de elementos dun conxunto. Os seguintes conxuntos son diferentes pero ten a mesma cardinalidade:

*E = {brazo dereito, brazo esquerdo, perna dereita, perna esquerda}*
*C = {norte, sur, leste, oeste}*

Por tanto, |E| = |C|

Definindo unha correspondencia biunívoca entre dous conxuntos finitos, Cantor demostraba facilmente se tiñan a mesma cardinalidade cando había unha relación bixectiva entre os seus elementos. Esta correspondencia un a un tamén lle serviu para crear o concepto de conxunto infinito: todos os seus elementos están relacionados de forma bixectiva co conxunto de números naturais.

### Cardinais para particionar e ordenar os conxuntos 
Os conxuntos poden dividirse en clases de equivalencia definidas en función da relación de equivalencia que inclúa a un par de conxuntos se e só se entre estes existe unha bixección.
A cardinalidade dun conxunto sería a clase de equivalencia á que este pertence. Dous conxuntos A,B coa mesma cardinalidade (que pertencen ao mesmo cardinal) denótase:
{{ecuación|
  \left | A \right | = \left | B \right | \text{ ,ou ben }\# A= \# B  
||left}}
A existencia dunha función inxectiva entre dous conxuntos tamén define unha relación de orde entre os seus cardinais; é dicir:
{{ecuación|
\left | A \right | \le_{\#} \left | B \right | \Leftrightarrow \exists f:A \rightarrow B \text{, inxectiva} 
||left}}
A relación  exclúe a posibilidade de que os cardinais sexan iguais.

É posíbel demostrar que si
{{ecuación|
\left | A \right | \le_{\#} \left | B \right | e \left | B \right | \le_{\#} \left | A \right | isto implica que \left | A \right | = \left | B \right |
||left}}
O cardinal do conxunto baleiro denótase convencionalmente como 0 (cero) e contén ao único conxunto baleiro. E o coxunto baleiro desígnase ∅.

### Cardinais transfinitos 
Os números cardinais dalgúns conxuntos represéntanse con símbolos especiais:
* O cardinal dos números reais: \mbox{card}(\R) = c;
* O cardinal dos números naturais: \mbox{card}(\N) = \aleph_0 (Alef-0).
* O cardinal inmediatamente superior a \aleph_0: \aleph_1

Usando os axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF) pode comprobarse que os tres cardinais anteriores cumpren \aleph_0 . A hipótese do continuo afirma que de feito c = \aleph_1. Gödel probou en 1938 que esta hipótese é consistente cos axiomas ZF e, por tanto, pode ser tomado como un axioma novo para a teoría de conxuntos. Porén, en 1963, Paul Cohen probou que a negación da hipótese do continuo tamén é consistente cos axiomas ZF, o que proba que esta hipótese é totalmente independente dos axiomas ZF. É dicir, poden construírse tanto "teorías de conxuntos cantorianas" nas que a hipótese do continuo é unha afirmación certa coma "teorías de conxuntos non cantorianas" nas que a hipótese do continuo sexa falsa. Esta situación é similar á das xeometrías non euclídeas.

## Véxase tamén 
### Outros artigos
* Número ordinal

### Ligazóns externas 
* Vocabulario Ortográfico da Lingua Galega
* Normas Ortográficas e Morfolóxicas do Idioma Galego

### Bibliografía 
* Álvarez, R. e Xove, X. (2002) *Gramática da lingua galega*. Vigo: Ed. Galaxia. Acceso en Google books.
* Carballo Calero, R. (1979) *Gramática elemental del gallego común*. Vigo: Ed. Galaxia.  Acceso en Google Books