Multiplicación por un escalar

dereita|miniatura|250x250px| A multiplicación escalar dun vector por un factor de 3 estira o vector.
dereita|miniatura|250x250px| As multiplicacións escalares − **a** e 2**a** dun vector **a**
En matemáticas, **a multiplicación por un escalar** é unha das operacións básicas que definen un espazo vectorial en álxebra linealr (ou máis xeralmente, un módulo en álxebra abstracta). 

En contextos xeométricos comúns, a multiplicación escalar dun vector euclidiano real por un número real positivo multiplica a magnitude do vector sen mudar a súa dirección. 

A multiplicación escalar é a multiplicación dun vector por un escalar (onde o produto é un vector), e debe distinguirse do produto escalar ou  produto interno de dous vectores (onde o produto é un escalar).

## Definición 
En xeral, se *K* é un corpo e *V* é un espazo vectorial sobre *K*, entón a multiplicación escalar é unha función de *K* &#xD7; *V* en  *V*. O resultado de aplicar esta función a *k* en *K* e **v** en *V* denotase *k* **v**.

### Propiedades 
A multiplicación escalar obedece ás seguintes regras *(vector en grosa)*:

* Aditividade no escalar: (*c* + *d*)**v** = *c***v** + *d***v**;
* Aditividade no vector: *c*(**v** + **w**) = *c***v** + *c***w**;
* Compatibilidade do produto de escalares coa multiplicación escalar: (*cd*) **v** = *c*(*d***v**);
* Multiplicando por 1 non muda un vector: 1 **v** = **v**;
* Multiplicando por 0 dáse o vector cero: 0**v** = **0**;
* Multiplicando por −1 dáse a inversa aditiva: (−1) **v** = − **v**.

## Multiplicación escalar de matrices 
A **multiplicación escalar pola esquerda** dunha matriz  cun escalar  dá outra matriz do mesmo tamaño que . Desígnase por , cuxas entradas de  están definidas por

:  (\lambda \mathbf{A})_{ij} = \lambda\left(\mathbf{A}\right)_{ij}\,,

explicitamente:

:  \lambda \mathbf{A} = \lambda \begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1m} \\
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nm} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\lambda A_{11} & \lambda A_{12} & \cdots & \lambda A_{1m} \\
\lambda A_{21} & \lambda A_{22} & \cdots & \lambda A_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\lambda A_{n1} & \lambda A_{n2} & \cdots & \lambda A_{nm} \\
\end{pmatrix}\,.

Do mesmo xeito, aínda que non hai unha definición amplamente aceptada, a **multiplicación escalar pola dereita** dunha matriz  cun escalar  podería definirse como

:  (\mathbf{A}\lambda)_{ij} = \left(\mathbf{A}\right)_{ij} \lambda\,, 

Cando as entradas da matriz e dos escalares son do mesmo corpo conmutativo, por exemplo, o corpo numérico real ou o corpo numérico complexo, estas dúas multiplicacións son iguais e pódense denominar simplemente *multiplicación escalar*. Para matrices sobre un corpo máis xeral que *non* é conmutativo, poden non ser iguais.

Para un escalar e unha matriz real:

:  \lambda = 2, \quad \mathbf{A} =\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix} 

:  2 \mathbf{A} = 2 \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 \!\cdot\! a & 2 \!\cdot\! b \\
2 \!\cdot\! c & 2 \!\cdot\! d \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a \!\cdot\! 2 & b \!\cdot\! 2 \\
c \!\cdot\! 2 & d \!\cdot\! 2 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}2= \mathbf{A}2.

Para matrices e escalares de cuaternións:

:  \lambda = i, \quad \mathbf{A} = \begin{pmatrix}
  i & 0 \\
  0 & j \\
 \end{pmatrix} 

: 
 i\begin{pmatrix}
  i & 0 \\
  0 & j \\
 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
  i^2 & 0 \\
  0 & ij \\
 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
  -1 & 0 \\
   0 & k \\
 \end{pmatrix}
\ne \begin{pmatrix}
  -1 & 0 \\
  0 & -k \\
 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
  i^2 & 0 \\
  0 & ji \\
 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
  i & 0 \\
  0 & j \\
 \end{pmatrix}i\,,

onde  son as unidades de cuaternións. A non conmutatividade da multiplicación de cuaternións impide mudar  a .

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Produto escalar
* Produto interno
* Espazo preholbertiano

### Ligazóns externas