Join e meet

[miniatura| Este [diagrama de Hasse representa un conxunto parcialmente ordenado con catro elementos: **a**, **b**, o elemento máximal **a** \vee **b** igual ao join de **a** e **b**, e o elemento mínimal **a** \wedge **b** igual ao meet de **a** e **b**. O join/meet dun elemento maximal/minimal e outro elemento é o elemento maximal/minimal e, reciprocamente, o meet/join dun elemento maximal/minimal con outro elemento é o outro elemento. Así, cada parella deste poset ten tanto un meet como un join e o poset pódese clasificar como unha retícula.]]

En matemáticas, concretamente na teoría da orde, o **join** dun subconxunto S dun conxunto parcialmente ordenado P é o supremo (límite superior mínimo) de S, denotado \bigvee S, e do mesmo xeito, o **meet** de S é o infimo (maior límite inferior), denotado \bigwedge S. En xeral, o join e o meet dun subconxunto dun conxunto parcialmente ordenado poden non existir. Join e meet son duais entre si en relación á inversión de orde.

O join/meet dun subconxunto dun conxunto totalmente ordenado é simplemente o elemento maximal/minimal dese subconxunto, se tal elemento existe.

## Definicións 
Sexa A un conxunto cunha orde parcial \,\leq,\, e sexan x, y \in A. Un elemento m de A chámase o '*** (ou **** ou ****) de x \text{ e } y e denótase por x \wedge y, se se cumpren as dúas condicións seguintes:

# m \leq x \text{ e } m \leq y (é dicir, m é un límite inferior de x \text{ and } y ).
# Para calquera w \in A, se w \leq x \text{ and } w \leq y, entón w \leq m (é dicir, m é maior ou igual a calquera outro límite inferior de x \text{ and } y ).

O meet non ten por que existir, xa sexa porque o par non ten límite inferior en absoluto, ou porque ningún dos límites inferiores é maior que todos os demais. No entanto, se hai un meet de x \text{ e } y, entón é único, xa que se ambos os m \text{ e } m^{\prime} son límites inferiores maiores de x \text{ e } y, entón m \leq m^{\prime} \text{ e } m^{\prime} \leq m, e así m = m^{\prime}. Se non todos os pares de elementos de A teñen un meet, entón o meet aínda pode verse como unha operación binaria parcial en A.

Se o meet existe, denótase x \wedge y. Se todos os pares de elementos de A teñen un meet, entón o meet é unha operación binaria en A, e é fácil ver que esta operación cumpre as tres condicións seguintes: Para calquera elementos x, y, z \in A,

# x \wedge y = y \wedge x (conmutatividade),
# x \wedge (y \wedge z) = (x \wedge y) \wedge z (asociatividade), e
# x \wedge x = x (idempotencia).

Os join defínense dualmente como join de x \text{ e } y, se existe, denótase por x \vee y. Un elemento j de A é o **** (ou **** ou ***') de x \text{ e } y en A se se cumpren as dúas condicións seguintes:

# x \leq j \text{ e } y \leq j (é dicir, j é un límite superior de x \text{ e } y).
# Para calquera w \in A, se x \leq w \text{ e } y \leq w, entón j \leq w (é dicir, j é menor ou igual a calquera outro límite superior de x \text{ e } y ).

## Exemplos 
Se algún conxunto de partes \wp(X) está parcialmente ordenado da forma habitual (por \,\subseteq ) entón os joins son unións e os joins son interseccións; en símbolos, \,\vee \,=\, \cup\, \text{ e } \,\wedge \,=\, \cap\, (onde a semellanza destes símbolos pode usarse como regra  mnemotécnica).

Máis xeral sería o seguinte. Subpoña \mathcal{F} \neq \varnothing é unha familia de subconxuntos dun conxunto X que é un conxunto parcialmente ordenado por \,\subseteq.\, 
Se \mathcal{F} é pechado baixo unións arbitrarias e interseccións arbitrarias e se A, B, \left(F_i\right)_{i \in I} pertencen a \mathcal{F} daquela 
A \vee B = A \cup B, \quad A \wedge B = A \cap B, \quad \bigvee_{i \in I} F_i = \bigcup_{i \in I} F_i, \quad \text{ e } \quad \bigwedge_{i \in I} F_i = \bigcap_{i \in I} F_i.

Mais se \mathcal{F} non é pechado baixo unións daquela A \vee B existe en (\mathcal{F}, \subseteq) se e só se existe un único \,\subseteq-máis-pequeno J \in \mathcal{F} tal que A \cup B \subseteq J.
 
Por exemplo, se \mathcal{F} = \{ \{1\}, \{2\}, \{1, 2, 3\}, \R \} entón \{1\} \vee \{2\} = \{1, 2, 3\} mentres que se \mathcal{F} = \{ \{1\}, \{2\}, \{1, 2, 3\}, \{0, 1, 2\}, \R \} entón \{1\} \vee \{2\} non existe porque os conxuntos \{0, 1, 2\} \text{ e } \{1, 2, 3\} son límites superiores de \{1\} \text{ e } \{2\} en (\mathcal{F}, \subseteq) que poderían ser posíbelmente o  límite superior \{1\} \vee \{2\} mais \{0, 1, 2\} \not\subseteq \{1, 2, 3\} e \{1, 2, 3\} \not\subseteq \{0, 1, 2\}. 

Se \mathcal{F} = \{ \{1\}, \{2\}, \{0, 2, 3\}, \{0, 1, 3\} \} entón \{1\} \vee \{2\} non existe porque non existe un límite superior de  \{1\} \text{ e } \{2\} en (\mathcal{F}, \subseteq).
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
### Outros artigos 
* Orde parcial.