Problema do círculo de Gauss

miniatura| Un círculo de raio 5 centrado na orixe ten unha área de 25 , aproximadamente 78.54, mais contén 81 puntos enteiros, polo que o erro ao estimar a súa área contando os puntos da retícula é de aproximadamente 2.46. Para un círculo cun raio lixeiramente menor, a área é case a mesma, mais o círculo contén só 69 puntos, producindo un erro maior de aproximadamente 9.54. O problema do círculo de Gauss refírese a limitar este erro de forma máis xeral, en función do raio do círculo.

En matemáticas, o **problema do círculo de Gauss** é o problema de determinar cantos puntos da retícula de enteiros hai nun círculo centrado na orixe e con raio r. 

Este número aproxímase coa área do círculo, polo que o verdadeiro problema é limitar con precisión o termo de erro que describa como o número de puntos difire da área. O primeiro avance nunha solución realizouno Carl Friedrich Gauss, de aí o seu nome.

## O problema 
Considere un círculo en \mathbb{R}^2 con centro na orixe e raio r\ge 0. O problema do círculo de Gauss pregunta cantos puntos hai dentro deste círculo da forma (m,n) onde m e n son ambos os dous enteiros. Dado que a ecuación deste círculo está dada en coordenadas cartesianas por x^2+y^2= r^2, a pregunta é equivalente a preguntar cantos pares de enteiros *m* e *n* hai tal que

: m^2+n^2\leq r^2.

Se denotamos a resposta para un r dado como N(r) entón a seguinte lista mostra os primeiros valores de N(r) para un *r* enteiro entre 0 e 12 seguido da lista de valores  \pi r^2  redondeado ao número enteiro máis próximo:

: 1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441, \ldots     
: 0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452, \ldots    

Se eliminamos o centro e dividimos por cuadrantes temos a secuencia
: 0, 1, 3, 7, 12, 20, 28, 37, 49, \ldots      

## Límites dunha solución e conxectura 
N(r) é aproximadamente \pi r^2, a área dun círculo de raio r. Isto débese a que, de media, cada cadrado unidade contén un punto da retícula. Así, o número real de puntos da retícula no círculo é aproximadamente igual á súa área, \pi r^2. Así que hai que esperar que

: N(r)=\pi r^2 +E(r)\,

para algún termo de erro E(r) de valor absoluto relativamente pequeno. 

Atopar un límite superior correcto para \mid E(r)\mid é a forma que tomou o problema. Teña en conta que r non ten que ser un número enteiro. Despois de N(4)=49  temos N(\sqrt{17})=57 ,N(\sqrt{18})=61, N(\sqrt{20})=69, N(5)=81 . 

Nestes lugares  E(r) aumenta en 8,4,8,12 despois do cal diminúe (a unha taxa de  2 \pi r ) ata a próxima vez que aumenta.

Gauss conseguiu demostrar  que

: | E(r) |\leq 2\sqrt{2}\pi r.

Hardy e, independentemente, Landau atoparon un límite inferior mostrando que

: | E(r) |\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),

usando a notación o pequeno. 

Suponse  que o límite correcto é

: | E(r) |=O\left(r^{1/2+\varepsilon}\right).

Escribindo E(r)\le Cr^t, os límites actuais t son

: \frac{1}{2}

co límite inferior de Hardy e Landau en 1915, e o límite superior probado por Martin Huxley en 2000.

## Formas exactas 
O valor de N(r) pode ser dado por varias series. En termos dunha suma que implica a función chan pódese expresar como:

: N(r)=1+4 \lfloor r \rfloor + 4 \sum_{i=0}^{ \lfloor r \rfloor} \left(\left\lfloor \sqrt{r^2-i^2}\right\rfloor  \right)
::: =1+4\sum_{i=0}^{r^2}  (-1)^{i-1}\left(\left\lfloor\frac{r^2}{2i-1}\right\rfloor\right)
::: =1+4\sum_{i=0}^\infty \left(\left\lfloor\frac{r^2}{4i+1}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{r^2}{4i+3}\right\rfloor\right).

Esta é unha consecuencia do teorema dos dous cadrados de Jacobi, que se deduce case inmediatamente do produto triplo de Jacobi.

Aparece unha suma moito máis sinxela se a función suma de cadrados r_2(n) defínese como o número de formas de escribir o número n como a suma de dous cadrados. Entón

: N(r)=\sum_{n=0}^{r^2} r_2(n).

O progreso máis recente baséase na seguinte identidade, que foi descuberta por primeira vez por Hardy:

:  N(x)-\frac {r_2(x^2)}2 = \pi x^2 + x \sum_{n=1}^\infty \frac {r_2(n)}{\sqrt {n}} J_1(2 \pi x \sqrt n), 

onde J_1 denota a función de Bessel do primeiro tipo con orde 1.

## Xeneralizacións 
Aínda que o problema orixinal pide puntos de retícula enteiros nun círculo, non hai razón para non considerar outras formas, por exemplo as cónicas; de feito, o  problema do divisor de Dirichlet é o problema equivalente onde o círculo é substituído pola hipérbola rectangular. 

Do mesmo xeito pódese estender a pregunta de dúas dimensións a dimensións máis altas e pedir puntos enteiros dentro dunha esfera ou doutros obxectos. 

Existe unha ampla literatura sobre estes problemas. Se ignoramos a xeometría e só consideramos o problema como un problema alxébrico de desigualdades diofantianas, entón poderíase aumentar os expoñentes que aparecen no problema de cadrados a cubos, ou máis.

### O problema primitivo do círculo 
Outra xeneralización é calcular o número de solucións enteiras de coprimos m,n para a desigualdade

: m^2+n^2\leq r^2.\,

Este problema coñécese como **problema primitivo do círculo**, xa que implica buscar solucións primitivas ao problema orixinal do círculo. Pódese entender intuitivamente como a pregunta de cantas árbores a unha distancia de r son visíbes no pomar de Euclides, situado na orixe. 

Se se denota o número desas solucións comoV(r) entón os valores de V(r) para *r* tomando valores enteiros pequenos son

: 0, 4, 8, 16, 32, 48, 72, 88, 120, 152, 192, \ldots     .

Usando as mesmas ideas que o problema habitual do círculo de Gauss e o feito de que a probabilidade de que dous enteiros sexan coprimos é 6/\pi^2, é relativamente sinxelo demostrar que

: V(r)=\frac{6}{\pi}r^2+O(r^{1+\varepsilon}).
## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Teorema de Pick
* Retícula regular
### Ligazóns externas 
*
*