Relación ben ordenada

En matemáticas, unha **relación ben ordenada** nun conxunto  é unha orde total en  coa propiedade de que cada subconxunto non baleiro de  ten un elemento menor nesta ordenación. O conxunto  xunto coa ordenación chámase entón **conxunto ben ordenado**.

Todo conxunto ben ordenado non baleiro ten un elemento menor. Cada elemento  dun conxunto ben ordenado, agás un posíbel elemento maior, ten un sucesor único (elemento seguinte), é dicir, o elemento menor do subconxunto de todos os elementos maiores que . Pode haber elementos, alén do elemento menor, que non teñan antecesores (ver abaixo § Números naturais). Un conxunto  ben ordenado contén para cada subconxunto  cun límite superior un límite superior mínimo (supremo), é dicir, o elemento mínimo do subconxunto de todos os límites superiores de  en .

Se ≤ é unha relación ben ordenada non estrita, entón \begin{matrix}
0 & 2 & 4 & 6 & 8 & \dots & 1 & 3 & 5 & 7 & 9 & \dots
\end{matrix}

Este é un conxunto ben ordenado co  tipo de orde . Cada elemento ten un sucesor (non hai un elemento máis grande). Dous elementos carecen de predecesor: 0 e 1.

### Números enteiros 
A diferenza da ordenación estándar ≤ dos números naturais, a ordenación estándar ≤ dos enteiros non é unha relación ben  ordenada, xa que, por exemplo, o conxunto de enteiros negativos non contén un elemento menor.

A seguinte relación binaria  é un exemplo de relación ben ordenada dos números enteiros:  se e só se cumpre unha das seguintes condicións:

# 
#  é positivo, e  é negativo
#  e  son positivos, e 
#  e  son negativos, e 

Esta relación  pódese visualizar do seguinte xeito:

: \begin{matrix}
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & \dots & -1 & -2 & -3 & \dots
\end{matrix}

 é isomorfa ao número ordinal .

Outra relación ben ordenada dos números enteiros é a seguinte definición: x \leq_z y se e só se

: |x| 

Esta relación ben ordenada pódese visualizar do seguinte xeito:

: \begin{matrix}
0 & -1 & 1 & -2 & 2 & -3 & 3 & -4 & 4 & \dots
\end{matrix}

Esta ten o tipo de orde .

### Reais 
A ordenación estándar ≤ de calquera intervalo real non é unha relación ben ordenada, xa que, por exemplo, o intervalo aberto  non contén un elemento menor. A partir dos axiomas ZFC da teoría de conxuntos (incluíndo o axioma de escolla) pódese demostrar que hai unha relación ben ordenada dos reais. Tamén Wacław Sierpiński demostrou que ZF + GCH (a hipótese do continuo xeneralizada) implica o axioma da escolla e, polo tanto, unha relación ben ordenada dos reais. No entanto, é posíbel demostrar que os axiomas ZFC+GCH en solitario non son abondo para demostrar a existencia nos reais dunha relación ben ordenada definíbel (por unha fórmula).  No entanto, é coherente con ZFC que existe unha relación ben ordenada definíbel dos reais; por exemplo, é consistente con ZFC que V=L (axioma de construtibilidade), e de ZFC+V=L se desprende que unha fórmula particular ordena ben os reais, ou de feito calquera conxunto.

Un subconxunto incontábel dos números reais coa ordenación estándar ≤ non pode ser unha conxunto ben ordenado Por outra banda, un subconxunto numerábel infinito dos reais pode ser ou non ben ordenado co estándar ≤ . Por exemplo,

* Os números naturais están ben ordenados baixo a ordenación estándar ≤.
* O conxunto \{1/n \,|\, n=1,2,3,\dots\} non ten menor elemento e, polo tanto, non están ben ordenados baixo a ordenación estándar ≤.

## Formulacións equivalentes 
Se un conxunto está totalmente ordenado, entón os seguintes son equivalentes entre si:

# O conxunto está ben ordenado. É dicir, cada subconxunto non baleiro ten un elemento menor.
# A indución transfinita funciona para todo o conxunto ordenado.
# Toda secuencia estritamente decrecente de elementos do conxunto debe terminar despois dun número finito de pasos (asumindo o axioma da escolla dependente ).
# Toda suborde é isomorfa a un segmento inicial.

## Topoloxía de orde 
Todo conxunto ben ordenado pódese converter nun espazo topolóxico dotándoo da topoloxía de orde.

Con respecto a esta topoloxía pode haber dous tipos de elementos:

* puntos illados: estes son os mínimos e os elementos cun antecesor.
* puntos límite: este tipo non aparece en conxuntos finitos, e pode ou non ocorrer nun conxunto infinito; os conxuntos infinitos sen punto límite son os conxuntos de tipo de orde , por exemplo os números naturais 

Para os subconxuntos podemos distinguir:

* Subconxuntos cun máximo (é dicir, subconxuntos que están limitados en si mesmos); este pode ser un punto illado ou un punto límite de todo o conxunto; neste último caso pode ser ou non tamén un punto límite do subconxunto.
* Subconxuntos que non están limitados en si mesmos mais están limitados no conxunto completo; non teñen un máximo mais si teñen un supremo fóra do subconxunto; se o subconxunto non está baleiro este supremo é un punto límite do subconxunto e, polo tanto, tamén do conxunto completo; se o subconxunto está baleiro este supremo é o mínimo de todo o conxunto.
* Subconxuntos que son ilimitados en todo o conxunto.

Un subconxunto é cofinal en todo o conxunto se e só se é ilimitado en todo o conxunto ou ten un máximo que tamén é máximo de todo o conxunto.

Un conxunto ben ordenado como espazo topolóxico é un primeiro espazo contábel se e só se ten un tipo de orde menor ou igual a ω1 (omega-un), é dicir, só se o conxunto é contábel ou ten o menor número dentro dos tipos de orde incontábeis.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
### Outros artigos 
* Conxunto dirixido
* Conxunto parcialmente ordenado
* Relación binaria
### Ligazóns externas 
* Encyclopedia of mathematics.