Hexágono

miniatura|300x300px|Hexágono regular.
En xeometría, un **hexágono** (do grego ἕξ hex, "seis" e γωνία, gonía, "ángulos") é un polígono de seis lados.

## Propiedades 
Todo hexágono ten:

* 6 vértices e lados.
* 9 diagonais.
* Un conxunto de ángulos internos que suman 720 graos ou 4\pi  radiáns. 

## Parhexágono 
De forma análoga a un paralelogramo, un **parhexágono** é aquel hexágono particular, no que un lado é igual e paralelo a un lado opuesto, pero cada par de lados pode ser de diferente tamaño.

### Proposición 
Sexa ABCDEF un hexágono irregular calquera, únense A con C; B con D; C con E; D con F; E con A; F con B. Fórmanse os seis triángulos ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB. En cada un destes localízase o seu baricentro; que se denotan como A', B', C', D', E', F'. Únense sucesivamente eses puntos e obtemos o hexágono A'B'C'D'E'F' que é un parhexágono.

## Hexágono regular 
; *r* = Inraio; *t* = lonxitude do lado. 
O raio *r* da circunferencia inscrita coincide coa apotema.|300x300px]]
O **hexágono regular** é un hexágono convexo onde os seis lados e ángulos son iguais.

O hexágono regular cumpre as seguintes propiedades:
* Tódolos seus ángulos interiores miden 120º ou \frac{2\pi}{3} radiáns.

* Está ligado aos triángulos equiláteros:
** Unindo cada vértice co seu oposto, o hexágono regular queda dividido en seis triángulos equiláteros.
** Unindo tres vértices que non compartan aresta formamos un triángulo equilátero.
* A súa superficie obtense da seguinte forma:
** Superficie = (Perímetro * Apotema) / 2.
:Sendo a *apotema* o segmento que une perpendicularmente o centro cun lado. A apotema (chamada a_p neste artigo) coincide co inraio **r** que é o raio da circunferencia inscrita. 
* Son (despois dos cadrados e dos triángulos equiláteros) os poligonos congruentes (iguais) con menos lados que poden ser utilizados para realizar unha teselación regular ou teselación platónica.
* Situando un hexágono regular no centro do plano complexo atoparemos as raíces sextas complexas de 1 (é dicir, os números complexos que resolven z^6 -1 = 0) nos vértices do polígono.
* Podemos inscribir ou circunscribir un hexágono regular nunha circunferencia. Se chamamos r ao raio da circunferencia inscrita, R ao raio da circunferencia circunscrita e a á lonxitude dun lado vemos as seguintes igualdades
** r = \cos(30^\circ) R
, é dicir, r = \frac{\sqrt{3}}{2} R.
** a=R, e por tanto,  a = \frac{2r}{\sqrt{3}}.
: R é igual ao lado porque o hexágono regular pode dividirse en 6 triángulos equilateros desde o centro.
* As perpendiculares trazadas polos puntos medios dos lados e as bisectrices dos ángulos internos son eixes de simetría do hexágono regular.

### Perímetro 
O perímetro do hexágono regular pode calcularse en función de distintos datos:

* En función do lado do hexágono (l_6):

:P =  6\ l_6.

* En función da apotema (a_p):

:P = 4\cdot a_p \cdot \sqrt{3}.

* En función do raio da circunferencia circunscrita (R):

:P = 6\cdot R.

### Área 
A fórmula xeral para calcular a área é a seguinte:

A = \frac{P\cdot a_p}{2} = \frac{6l_6\cdot a_p}{2} = 3l_6 \cdot a_p.

En caso de coñecer soamente a apotema podemos utilizar:

A = 2\sqrt{3}\cdot a_p^2 .

E en caso de coñecer unicamente o lado utilizaremos:

A = l_6^2 \frac{3\sqrt{3}}{2}.

### Construción 
Nesta imaxe animada pódese ver como se constrúe un hexágono regular dun determinado lado empregando unha regra e un compás.
centro|frame|Paso a paso no debuxo dun hexágono regular empregando compás e regra.Os pasos son os seguintes:

# Dado un punto *O* calquera, trazar unha circunferencia cuxo raio sexa igual ao lado do hexágono a construír.
# Elixir un punto A sobre a circunferencia e trazar un diámetro que corte *O* e *A*. Marcar o outro punto onde este diámetro interseca a circunferencia como *D.*
# Apoiando o compás no punto *A*, trazar un arco que corte *O*, cortando á circunferencia en dous puntos, marcados como *B* e *F.*
# Apoiando o compás no punto *D*, trazar un arco que corte *O*, cortando á circunferencia en dous puntos, marcados como *C* e *E.*

## Punto no plano 
Para un punto arbitrario no plano dun hexágono regular con circunraio R, cuxas distancias ao baricentro do hexágono regular e aos seus seis vértices son L e d_i respectivamente, temos

:  d_1^2 + d_4^2 = d_2^2 + d_5^2 = d_3^2+ d_6^2= 2\left(R^2 + L^2\right), 
:  d_1^2 + d_3^2+ d_5^2 = d_2^2 + d_4^2+ d_6^2 = 3\left(R^2 + L^2\right), 
:  d_1^4 + d_3^4+ d_5^4 = d_2^4 + d_4^4+ d_6^4 = 3\left(\left(R^2 + L^2\right)^2 + 2 R^2 L^2\right). 

Se d_i son as distancias dende os vértices dun hexágono regular a calquera punto da súa circunferencia, entón **r12** é simetría completa, e **a1** non é simetría. **p6**,un hexágono isogonal construído por tres espellos pode alternar arestas longas e curtas, e **d6**, un hexágono isotoxal construído con lonxitudes de aresta iguais, pero vértices que alternan dous ángulos internos diferentes. Estas dúas formas son duais entre elas e teñen a metade de orde de simetría do hexágono regular. As formas **i4** son hexágonos regulares aplanados ou estirados ao longo dunha dirección de simetría. Pode verse como un rombo elongado, mentres que **d2** e **p2** poden verse como deltoides alongadas horizontal e verticalmente. Os hexágonos **g2**, con lados opostos paralelos, tamén se denominan paralelógonos hexagonais.

Cada simetría de subgrupo permite un ou máis graos de liberdade para formas irregulares. Só o subgrupo **g6** non ten graos de liberdade pero pode verse como un grafo orientado.

Os hexágonos de simetría **g2**, **i4**, e **r12**, como paralelógonos poden teselar o plano euclidiano por translación. Outros  hexágonos poden teselar o plano con diferentes orientacións.

### Grupos A2 e G2 
As 6 raíces do grupo de Lie simple A2, representadas por un diagrama de Dynkin , están nun modelo hexagonal regular. As dúas raíces simples teñen un ángulo de 120° entre elas.

As 12 raíces do Grupo de Lie excepcional G2, representadas por un Diagrama de Dynkin tamén teñen forma hexagonal. As dúas raíces simples de dúas lonxitudes teñen un ángulo de 150° entre elas.

## Disección 
Coxeter afirma que todo zonágono (un polígono de 2*m* lados no cal os opostos son paralelos e de igual lonxitude) pode diseccionarse en  paralelogramos. En particular, isto é certo para polígonos regulares con un número par de lados, en cuxo caso os paralelogramos son todos rombos. Esta descomposición dun hexágono regular basease nunha proxección dun polígono de Petrie dun cubo, con 3 de 6 caras cadradas. Outros paralelogramos e direccións proxectivas do cubo disecciónanse dentro de  cuboides rectangulares.

## Galería de hexágonos naturais e artificiais 

Ficheiro:564X573-Carte France geo verte.png|Francia continental ou a parte metropolitana de Francia recibe o sobrenome de Hexágono ('''' en francés), por ter unha forma vagamente hexagonal.
Ficheiro:Carapax DE.svg|Os escudos da cuncha dunha tartaruga están conformados por hexágonos.
Ficheiro:PIA20513 - Basking in Light.jpg|No polo norte de Saturno atópase un modelo de nubes formando un hexágono.
Ficheiro:Hexaschach.jpg|O xadrez hexagonal de Władysław Gliński.
Ficheiro:Chinese pavilion.jpg|Os pavillóns de estilo chino nos xardíns botánicos teñen unha estrutura hexagonal.
Ficheiro:Mustosen talon ikkuna 1870 1.jpg|Fiestra hexagonal dunha casa.
Ficheiro:Reading the Hexagon Theatre.jpg|O hexágono é un teatro de arquitectura de tipo hexagonal localizada en Reading, Reino Unido.
Ficheiro:HexagonalBarnKewauneeCountyWisconsinWIS42.jpg|Unha palleira hexagonal.
Ficheiro:Fort-Jefferson Dry-Tortugas.jpg|Vista aérea do Parque nacional de Tartarugas Secas (Parque Nacional de Dry Tortugas).
Ficheiro:Hanksite-32367.jpg|A hanksita, un dos moitos minerais do sistema cristalino hexagonal
Ficheiro:Honey comb02.jpg|Os favos están construídos con formas hexagonais.
Ficheiro:Giants causeway closeup.jpg|Columnas de basalto formadas naturalmente na Calzada do Xigante en Irlanda do Norte; que forman un modelo de fractura poligonal.
Ficheiro:Snowflake 300um LTSEM, 13368.jpg|A micrografía dunha folerpa de neve.
Ficheiro:Graphen.jpg|A estrutura cristalina do grafeno está formada por hexágonos.
Ficheiro:Hexa-peri-hexabenzocoronene ChemEurJ 2000 1834 commons.jpg|Estrutura cristalina de un hexágono molecular composto por aneis aromáticos hexagonais.
Ficheiro:Assembled E-ELT mirror segments undergoing testing.jpg|Segmentos do espello E-ELT ensamblados.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Triángulo.
* Número hexagonal.
### Ligazóns externas 
*Definición e propiedades dun hexágono con animación interactiva e construción con compás e regra.
*An Introduction to Hexagonal Geometry en Hexnet un sitio web dedicado ás matemáticas de hexágonos.