Matriz de Toeplitz

Na álxebra linear, unha **matriz de Toeplitz** ou **matriz constante diagonal**, que recibe o nome por Otto Toeplitz, é unha matriz na que cada diagonal descendente de esquerda a dereita é constante. Por exemplo, a seguinte matriz é unha matriz de Toeplitz:

: \qquad\begin{bmatrix}
a & b & c & d & e \\
f & a & b & c & d \\
g & f & a & b & c \\
h & g & f & a & b \\
i & h & g & f & a 
\end{bmatrix}.

Calquera matriz n \times n A da forma

: A = \begin{bmatrix}
 a_0 & a_{-1}  & a_{-2} & \cdots & \cdots & a_{-(n-1)} \\
 a_1 & a_0   & a_{-1} & \ddots &    & \vdots \\
 a_2 & a_1   & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 
 \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & a_{-1} & a_{-2} \\
 \vdots &    & \ddots & a_1  & a_0  & a_{-1} \\
a_{n-1} & \cdots & \cdots & a_2  & a_1  & a_0
\end{bmatrix}

é unha **matriz de Toeplitz**. 

:

Unha matriz de Toeplitz non é necesariamente cadrada.

## Resolver un sistema Toeplitz 
Unha ecuación matricial da forma

: Ax = b

chámase **sistema de Toeplitz** se A é unha matriz de Toeplitz. Se A é unha matriz n \times n de Toeplitz, entón o sistema ten como máximo 2n-1 valores únicos, en lugar de n^2. Poderíamos, polo tanto, esperar que a solución dun sistema Toeplitz fose máis fácil, e de feito ese é o caso.

Os sistemas Toeplitz pódense resolver mediante algoritmos como o algoritmo de Schur ou o algoritmo de Levinson en tempo O(n^2). 

Unha matriz de Toeplitz tamén se pode descompoñer (é dicir, factorizar) en  tempo O(n^2). O algoritmo de Bareiss para unha descomposición LU é estábel. Unha descomposición LU proporciona un método rápido para resolver un sistema de Toeplitz, e tamén para calcular o determinante.

## Propiedades 
* O conxunto das matrices n\times n  de Toeplitz son un subespazo do espazo vectorial das matrices n\times n (baixo suma matricial e multiplicación escalar).
* As matrices de Toeplitz son persimétricas . As matrices de Toeplitz simétricas son tanto centrosimétricas como bisimétricas.
* As matrices de Toeplitz tamén están estreitamente relacionadas coas series de Fourier, porque o operador de multiplicación por un polinomio trigonométrico, comprimido nun espazo de dimensión finita, pode ser representado por tal matriz. Do mesmo xeito, pódese representar a convolución linear como multiplicación por unha matriz de Toeplitz.
* As matrices de Toeplitz conmutan de forma asintótica. Isto significa que diagonalizan na mesma base cando a dimensión da fila e da columna tende ao infinito.

* Para as matrices de Toeplitz simétricas, existe a descomposición

:: \frac{1}{a_0} A = G G^\operatorname{T} - (G - I)(G - I)^\operatorname{T}

: onde G é a parte triangular inferior de \frac{1}{a_0} A.

* A inversa dunha matriz de Toeplitz simétrica non singular ten a representación

:: A^{-1} = \frac{1}{\alpha_0} (B B^\operatorname{T} - C C^\operatorname{T})

: onde B e C son matrices de Toeplitz triangulares inferiores e C é unha matriz triangular estritamente inferior.

## Convolución discreta 
A operación de convolución pódese construír como unha multiplicación matricial, onde unha das entradas se converte nunha matriz de Toeplitz. Por exemplo, a convolución de  h  e  x  pódese formular como:

: 
    y = h \ast x =
      \begin{bmatrix}
        h_1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
        h_2 & h_1 &   & \vdots & \vdots \\
        h_3 & h_2 & \cdots & 0 & 0 \\
        \vdots & h_3 & \cdots & h_1 & 0 \\
        h_{m-1} & \vdots & \ddots & h_2 & h_1 \\
        h_m & h_{m-1} &   & \vdots & h_2 \\
        0 & h_m & \ddots & h_{m-2} & \vdots \\
        0 & 0 & \cdots & h_{m-1} & h_{m-2} \\
        \vdots & \vdots &    & h_m & h_{m-1} \\
        0 & 0 & 0 & \cdots & h_m
      \end{bmatrix}
      \begin{bmatrix}
        x_1 \\
        x_2 \\
        x_3 \\
        \vdots \\
        x_n
      \end{bmatrix}

:  y^T =
      \begin{bmatrix}
        h_1 & h_2 & h_3 & \cdots & h_{m-1} & h_m
      \end{bmatrix}
      \begin{bmatrix}
        x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n & 0 & 0 & 0& \cdots & 0 \\
        0 & x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
        0 & 0 & x_1 & x_2 & x_3 & \ldots & x_n & 0 & \cdots & 0 \\
        \vdots &  & \vdots & \vdots & \vdots &  & \vdots & \vdots & & \vdots \\
        0 & \cdots & 0 & 0 & x_1 & \cdots & x_{n-2} & x_{n-1} & x_n & 0 \\
        0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & x_1 & \cdots & x_{n-2} & x_{n-1} & x_n
      \end{bmatrix}.

Este enfoque pódese estender para calcular a  autocorrelación, a correlación cruzada, a media móbil, etc.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*

### Outros artigos 
* Matriz circulante
* Matriz de Hankel
* 
### Ligazóns externas 
*R. M. Gray , Toeplitz and Circulant Matrices