Rectángulo dourado

[dereita|miniatura|Un rectángulo dourado cun lado maior ***a*** e cun lado menor ***b***. Cando se abate o rectángulo pequeno sobre o cadrado de lado ***a***, xérase un rectángulo dourado [Semellanza (xeometría)|similar co seu lado maior ***a + b*** e co seu lado máis curto a. Esta operación ilustra a relación matemática: \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi\,. ]]
O **rectángulo dourado** (denominado tamén **rectángulo áureo** ou **rectángulo de ouro**) é un rectángulo que posúe unha proporcionalidade entre os seus lados igual á razón áurea. Ao dividir a base deste rectángulo pola súa altura, obtense o número áureo 1.618. Ao subtraer a imaxe dun cadrado igual ao do seu lado menor, o rectángulo resultante é igualmente un rectángulo dourado. A partir deste rectángulo pódese obter a espiral dourada, que é unha espiral logarítmica.

## Construción 
miniatura|Un método para construír un rectángulo dourado. O cadrado está punteado en vermello. As dimensións resultantes son a razón áurea.
thumb|320px|Proceso de construción do rectángulo de ouro con medidas.
Na matemática clásica constrúese mediante regra e compás seguindo os pasos:

# Constrúese un cadrado de lado unidade ABCD
# Trázase unha liña desde a metade do lado do cadrado (G) até un dos vértices do lado oposto, dando un segmento GC
# Empregando esta liña GC como raio, colócase a punta do compás na metade do cadrado e abátese até cortar en E.
# Complétase o rectángulo AEDF así como o rectángulo BCEF.

## Desenvolvementos 
De acordo co divulgador científico Mario Greco, desde a publicación do libro de Bruno Miere titulado *Divina Proportione* en 1509, é cando a razón dourada aparece descrita nos tratados de arte e de arquitectura, facendo que moitos artistas e arquitectos a empregasen a súa cantidade no deseño por consideralo esteticamente agradable.

### Alxébrica 
Se a lonxitude do lado maior se denomina x, tense  por definición:

:  \frac{x}{1} = \frac{1}{x-1}

Isto leva a resolver a ecuación de segundo grao:

:  x^2 - x - 1 = 0

Na que unha das dúas raíces é a proporción dourada.

### O rectángulo de Euclides 
Trátase dunha das demostracións máis coñecidas desde a antigüidade.

[miniatura|esquerda|[Euclides obtén o rectángulo áureo AEFD a partir do cadrado ABCD. O rectángulo BEFC é así mesmo áureo.]]

O rectángulo cuxos vértices se definen polos puntos AEFD defínese como áureo debido a que o seu lado maior AE e o seu lado curto AD presentan a proporción do número áureo. O matemático grego Euclides, na súa obra *Os elementos*, obtén a súa construción. Sendo o triángulo GBC pitagórico, tense que GC (a hipotenusa) ten como valor:

:  GC = \sqrt{5}

Con centro en G, prolongando até a recta AE, obtense por intersección o punto E, e por tanto:

: GE=GC=\sqrt{5}

con todo iso pódese ver que resulta evidente que os lados:

:  AE = AG + GE = 1 + \sqrt{5}

de onde:

: \frac{AE}{AD} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}= \varphi

Por outra banda, os rectángulos AEFD e BEFC son semellantes, de modo que este último é así mesmo un rectángulo áureo.

## Na arquitectura 
O *rectángulo áureo* foi cualificado polos gregos clásicos como unha das figuras xeométricas máis belamente estruturadas. Por un longo lapso de séculos, os arquitectos utilizaron este cuadrilátero para templos, rañaceos e edificacións de diversa índole, desde o Partenón de Atenas (s. V&nbsp;a.C.), cuxa fachada dianteira se inscribe nun rectángulo áureo até a sede das Nacións Unidas.

## Galería 

Ficheiro:Golden spiral in rectangles.png|200px|A espiral dourada
Ficheiro:Icosahedron-golden-rectangles.svg|200px|O icosaedro posúeo nas súas caras interiores
Ficheiro:Sum gorden rectangle.svg|200px|Suma de rectángulos
Ficheiro:FibonacciBlocks.svg|200px|Rectángulo áureo mediante Fibonacci
Ficheiro:United Nations HQ - New York City.jpg|direita|thumb|300px|Sede das Nacións Unidas: a fachada do edificio é formada por rectángulos dourados.
Ficheiro:Parthenon_restoration.gif|O Partenon hoxe e como tería sido na súa época.

## O rectángulo dourado na industria 
* A norma DIN 476 é a que define a medida do DIN A4 e outros tamaños de papel. O DIN A4 e os seus derivados A3, A2... **non** manteñen as proporcións do rectángulo dourado, senón que manteñen a relación \sqrt{2} = 1.4142, casualmente a proporción que usaba Policleto para o seu canon.

## Investigacións psicolóxicas 
[thumb|[Gustav Theodor Fechner]]
As pescudas e debates sobre o tema naceron no s. XIX cos experimentos de Fechner, que tentou confirmar a superioridade estética do rectángulo dourado a través de investigacións dirixidas a demostrar a súa preferencia polos humanos.

A enquisa realizouse segundo tres metodoloxías complementarias.

* De elección (*Wahl*): solicitude aos suxeitos para escolleren os rectángulos que preferían.
* De produción (*Herstellung*): os suxeitos debuxan o rectángulo que consideran máis agradábel.
* De uso (*Verwendung*): medindo obxectos de uso cotián para verificar a presenza da proporción áurea.

Nos resultados publicados en 1879 só a primeira enquisa deu un resultado positivo, segundo as súas conviccións, cunha preferencia do 35% polo rectángulo dourado. Porén, de inmediato xurdiron críticas ao método do experimento. Fechner amosara a 347 persoas unha disposición de 10 rectángulos de igual área coa relación entre os lados en orde crecente (de 1:1 a 1:2,5), na que o rectángulo dourado ocupaba a 7ª posición, preguntando cal era máis agradábel. As críticas xurdiron en tres ordes de observación: 
# Ter desatendido a influencia da orientación vertical ou horizontal na elección das persoas.
# A influencia da posición mediana. Os suxeitos puideron estar orientados a indicar o rectángulo dourado xa que representaba a figura coas proporcións medias entre os presentados.
# Os suxeitos non foron escollidos ao azar e sobre todo eran conscientes das crenzas do científico, o que supón todos os posibles problemas para os que hoxe se adopta o procedemento de dobre cego.

Os experimentos, aínda que só un deu o resultado esperado, abriron unha liña de investigacións nas que a preferencia pola sección dourada resultou cada vez máis unha quimera, até que finalmente tivo unha conclusión negativa na última década do século XX.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Número áureo
### Ligazóns externas 
* The Golden Mean and the Physics of Aesthetics
* Golden rectangle demonstration With interactive animation
* From golden rectangle to golden quadrilaterals Explores some different possible golden quadrilaterals