Análise numérica

[miniatura|250px|dereita|Tableta de arxila babilónica [YBC 7289 (c. 1800–1600 a.C.) na que está impresa unha aproximación da raíz cadrada de 2 mediante o número sexaxesimal (1&nbsp;24&nbsp;51&nbsp;10), cunha exactitude ata as cenmilésimas decimais, xa que: 1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = 1,41421\overline{296} e  \sqrt{2}=1,41421356...]]

A **análise numérica** ou **cálculo numérico** é a rama das matemáticas que concirne coa derivación, descrición e análise de ferramentas e métodos para obter solucións numéricas de problemas matemáticos. A análise numérica está interesada en métodos matemáticos construtivos, isto é, aqueles métodos que mostran como construír solucións de problemas matemáticos. Por exemplo, unha proba construtiva da existencia dunha solución dun problema non só mostra que a solución existe, senón que tamén describe como debe ser determinada esa solución. Unha demostración da existencia dunha solución por *redución ao absurdo* non é construtiva.

Aínda que hoxe en día se deseñan moitos algoritmos numéricos para seren usados nos ordenadores dixitais, a análise numérica non debe confundirse coa programación computacional nin co procesamento de datos. A programación computacional concirne primariamente co problema de codificar algoritmos (non necesariamente numéricos) dunha forma axeitada para un ordenador; mentres que o procesamento de datos ten que ver cos problemas relativos a organizar un ordenador para que poidan ser manipulados os datos, os cales non teñen por que seren numéricos.

A análise numérica continúa esta longa tradición de cálculos matemáticos prácticos. Ao xeito da aproximación babilónica de \sqrt{2}, a análise numérica moderna non busca respostas exactas, xa que asume que estas son imposibles de obter na práctica. No canto disto, a análise numérica preocúpase de obter solucións aproximadas mantendo unhas marxes razoables de erro.

Un concepto paralelo á análise numérica é o da representación, tanto dos números como doutros conceptos matemáticos como os vectores, polinomios etc. Por exemplo, para a representación en ordenadores de números reais, emprégase o concepto de coma flotante que dista moito do empregado pola matemática convencional. En xeral, estes métodos aplícanse cando se precisa un valor numérico como solución a un problema matemático, e os procedementos "exactos" ou "analíticos" son incapaces de dar unha resposta. Debido a isto, son procedementos de uso frecuente por físicos e enxeñeiros, e o seu desenvolvemento viuse favorecido pola necesidade destes de obter solucións, aínda que a precisión non sexa total. A física experimental, por exemplo, non ofrece nunca valores exactos senón intervalos que abranguen a maioría dos resultados experimentais obtidos, xa que non é habitual que dúas medidas do mesmo fenómeno dean valores exactamente iguais.

## Historia 
miniatura|Explicación gráfica animada do *método da regula falsi* para aproximar solucións dunha ecuación.
Os algoritmos numéricos son case tan antigos coma a civilización humana. Os babilonios, vinte séculos antes de Cristo, xa posuían táboas de cadrados de todos os enteiros entre 1 e 60. Un dos primeiros escritos matemáticos, tamén de autoría babilonia, é a taboíña YBC 7289, que dá unha aproximación numérica sesaxesimal de \sqrt{2}, considerándoa coma a lonxitude da diagonal do cadrado de lado a unidade.

Os exípcios, que xa usaban fraccións, inventaron o chamado *método da regula falsi* para aproximar solucións dunha ecuación, descrito no papiro de Rhind (c. 1650 a.C.).

Na Grecia antiga foron moitos os matemáticos que contribuíron ao pulo desta disciplina. Así, Arquímedes (278-212 a.C.) demostrou que:
3 \frac{10}{71} 
e presentou o chamado método exhaustivo para calcular lonxitudes, áreas e volumes de figuras xeométricas, moi próximo ao que hoxe se fai en análise numérica. Así mesmo foi tamén un precursor do desenvolvemento do cálculo integral de Isaac Newton (1643-1729) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716):
 x_{n + 1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{a}{x_n} \right) 

No ano 250, Diofanto consegue un método para a determinación das solucións dunha ecuación cuadrática.

A análise numérica atopa aplicacións en tódolos campos da enxeñaría e as ciencias naturais, mais no século XXI, as ciencias sociais e incluso as artes adoptaron elementos do cálculo científico. As ecuacións diferenciais ordinarias aparecen nos movementos dos corpos celestes (planetas, estrelas e galaxias); a optimización ten lugar na xestión de catálogos; a álxebra lineal numérica é importante para a análise de datos; as ecuacións diferenciais estocásticas e as cadeas de Markov son esenciais na simulación de células vivas na medicina e a bioloxía.

## Problemas que trata e tipos de erros 
Os problemas desta disciplina pódense dividir en dous grupos fundamentais:

* Problemas en dimensión finita: aqueles de natureza numérica nos que interveñen números en cantidade finita, como o cálculo de solucións de ecuacións alxébricas, cálculo de determinantes, resolución de sistemas de ecuacións, inversión de matrices, cálculo de autovalores e autovectores etc.

En todos estes problemas, a análise numérica debe proporcionar algoritmos que permitan o cálculo exacto ou aproximado da solución.

* Problemas en dimensión infinita: problemas nos que interveñen elementos con infinitos graos de liberdade (por exemplo, funcións), como a interpolación e aproximación, a integración e a derivación numéricas, a resolucións de ecuacións diferenciais, a interpolación etc.

A análise numérica debe ocuparse da aproximación dun problema deste segundo tipo por outros do primeiro, de maneira que serán estes últimos os que se resolvan coa axuda dos ordenadores. O proceso de aproximación dun problema en dimensión infinita polo paso a dimensión finita coñécese como discretización, xa que reduce o número necesario de multiplicacións e sumas a realizar. Xeralmente, é importante estimar e controlar os erros de arredondamento derivados do uso da coma flotante aritmética.

A regresión é tamén similar, mais tendo en conta que os datos son imprecisos. Dados algúns puntos e unha medida, cun certo erro, do valor dunha función neses puntos, pódese encontrar unha aproximación á función descoñecida, máis ou menos precisa dependendo do tipo de función e do método usado. Uns destes métodos son os métodos numéricos dos mínimos cadrados.

### Resolución de ecuacións e sistemas de ecuacións 
Outro problema fundamental é calcular a solución dunha ecuación dada. Distínguense dous casos dependendo de se a ecuación é linear ou non. Por exemplo, a ecuación 2x+5=3 é linear, mentres que a ecuación de segundo grao 2x^2+5=3 non o é, son os preferidos normalmente para sistemas grandes. Os métodos iterativos xerais poden ser desenvolvidos usando a descomposición de matrices como suma ou diferenza doutras, que é un método de iteración de punto fixo. A linearización é outro método empregado para resolveren ecuacións non lineares. Os métodos máis populares empregan algunha das fórmulas de Newton–Cotes, como a regra de Simpson, ou o método da cuadratura gaussiana. Estes métodos baséanse nunha estratexia de "divide e vencerás", consistente en dividir o intervalo de integración en subintervalos máis pequenos para facilitar o cálculo da integral e sumando despois todas estas integrais para calcular a inicial; ou, para grandes dimensións máis modestas o método da cuadrícula dispersa. 

Os métodos empregados adoitan basearse en discretizar primeiramente a ecuación correspondente, traéndoa a un subespazo de dimensión finita. Isto pode facerse cun método dos elementos finitos, un método de diferenzas finitas ou, particularmente en enxeñaría, un método dos volumes finitos. A xustificación teórica destes métodos adoita implicar teoremas da análise funcional, co cal se reduce o problema á solución dunha ecuación alxébrica.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 
* 

### Ligazóns externas 
* Grupo de métodos numéricos en enxeñería (ETS Enxeñeiros de Camiños da Universidade da Coruña)
* Notas sobre métodos numéricos básicos para ingeniería 
* Numerical analysis DMOZ category
* Numerical Analysis Project by John H. Mathews
* Alternatives to Numerical Recipes
* The definition of numerical analysis