Número p-ádico

[miniatura| Os enteiros 3-ádicos, cos caracteres correspondentes seleccionados no seu [dualidade de Pontryagin|grupo dual de Pontryagin.]]
En teoría de números, dado un número primo , os **números -ádicos** forman unha extensión dos números racionais que é distinta dos números reais, aínda que con algunhas propiedades similares; os números -ádicos poden escribirse nunha forma similar aos números usuais (unha tira de números en base 10 posibelmente infinita), pero con díxitos baseados nun número primo  en lugar do número dez, e estendéndose cara á esquerda e non cara á dereita.

Formalmente, dado un número primo , un número -ádico pódese definir como unha serie formal de potencias

: s=\sum_{i=k}^\infty a_i p^i = a_k p^k + a_{k+1} p^{k+1} + a_{k+2} p^{k+2} + \cdots

onde  é un número enteiro (que pode ser negativo), e cada  a_i é un número enteiro tal que 0\le a_i  

Os **enteiros -ádicos** (\mathbb{Z}_p ) son as series só con potencias positivas k\ge 0. Cando as series que representan os números **-ádicos** teñen termos negativos entón temos os **racionais -ádicos** (\mathbb{Q}_p ).

Todo número racional pode expresarse de forma única como a suma dunha serie, como se indica arriba, con respecto ao valor absoluto -ádico. Isto permite considerar os números racionais como números -ádicos especiais e, alternativamente, definir os números -ádicos como o completamento dos números racionais para o valor absoluto -ádico, exactamente como os números reais son o completamento dos números racionais para o valor absoluto habitual.

## Motivación 
En liñas xerais, a aritmética modular módulo un número enteiro positivo  consiste en "aproximar" cada número enteiro polo resto da súa división por , chamado o seu *residuo módulo* . A principal propiedade da aritmética modular é que o residuo módulo  do resultado dunha sucesión de operacións sobre números enteiros é o mesmo que o resultado da mesma sucesión de operacións sobre residuos módulo . 

Un método antigo, aínda de uso común, consiste en utilizar varios módulos pequenos que son coprimos por pares e aplicar o teorema chinés do resto para recuperar o resultado módulo o produto dos módulos.

Outro método descuberto por Kurt Hensel consiste en utilizar un módulo primo , e aplicar o lema de Hensel para recuperar de forma iterativa o módulo resultado das potencias de , p^2, p^3, \ldots, p^n, \ldots Se o proceso continúa infinitamente, isto proporciona finalmente un resultado que é un número -ádico.

## Notación e exemplos 
Existen varios xeitos de escribir un número -ádico, as tres máis frecuentes son:
* Como unha serie de potencias de .
* Posicional: como unha tira de números que son os coeficientes da serie de potencias
* Como unha secuencia de números que representan o número módulo as potencias de .

Como se comentou na introdución os enteiros -ádicos son os que teñen na serie só potencias positivas (\mathbb{Z}_p ) e poden representar números usuais que son enteiros, racionais, irracionais e mesmo complexos. Por outra parte os racionais -ádicos (\mathbb{Q}_p ) ao ter potencias negativas, como se verá máis adiante, serían fraccións de \mathbb{Z}_p .

### Enteiros p-ádicos \mathbb{Z}_p 
11 en -ádico:
: 11_2 = 1\cdot 2^0 + 1\cdot 2^1 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^3
:  11_2 = \ldots 1011 (coincide con base 2)
:  11_2  = (11 \operatorname{mod} 2,  11 \operatorname{mod} 2^2,  11 \operatorname{mod} 2^3,  \ldots) = (1, 3, 3, 11, 11, \ldots) 

1/15 en -ádico:
: 1/15_{7} = 1\cdot 7^0 + 5\cdot 7^1 + 3\cdot 2^2 + 6\cdot 2^3 + 0\cdot 2^4 +  5\cdot 2^5 + 6\cdot 2^6 + \ldots
:  1/15_{7} = \ldots \overline{0635}1  (neste caso a similitude base 7, 0.\overline{0316} , é máis complicada pois sería o complemento en base 7 e temos que -1/15 = \overline{6130}_7  en 7-ádico. A maiores como en p-ádico non ten potencias negativas o número esténdese cara a esquerda mentres que nos racionais usuais esténdese en potencias negativas cara a dereita).
:  1/15_{7}  = (15x \equiv 1 \pmod{7}, 15x \equiv 1 \pmod{7^2}, 15x \equiv 1 \pmod{7^3},  \ldots) = (1, 36, 183, 2241, \ldots) .

Imos ver un cálculo de \sqrt{2}   en -ádico:

* Primeiro termo  x_0 :
:Queremos que  x_0^2 \equiv 2 \pmod{7} .
:Atopamos que  x_0 = 3  cumpre porque  3^2 = 9 \equiv 2 \pmod{7} .

* Segundo termo  x_1 :
:Agora, procuramos  x_1 = 3 + u \cdot 7 tal que (3 + u \cdot 7)^2 \equiv 2 \pmod{7^2}.
:(3 + u \cdot 7)^2 = 9 + 6 \cdot u \cdot 7 + (x_1 \cdot 7)^2 \equiv 2 \pmod{7^2}, \quad u=1
:por tanto temos   x_1 =10 

* Terceiro termo x_2 :
:Repetimos o proceso para   x_2 = 7^2 u + x_1  que satisfaga (7^2 u + x_1)^2 \equiv 2 \pmod{7^3}, lévanos a u = 2 , x_2 = 108.
: Logo temos \sqrt{2}_7 = (3, 10, 108 \ldots )
Se escribimos este resultado como serie formal de potencias temos (con máis termos):
: \sqrt{2}_7 = 3 + 1 \cdot 7 + 2 \cdot 7^2 + 6  \cdot 7^3 + 1  \cdot 7^4 + \ldots
Que posicionalmente sería:
: \sqrt{2}_7 = \ldots 16213 
esta secuencia é infinita non periódica e como a raíz ten dúas solucións con signo cambiado a outra solución será o complemento a 7 da anterior:
: \sqrt{2}_7 =\ldots 50454 

\sqrt{-1}   en -ádico, pódese calcular do mesmo modo que o exemplo anterior:
: Temos  x_0^2 \equiv -1 \pmod{5}  implica  x_0=2 \text{ ou }  x_0=3 e podemos seguir ambos os dous camiños.
: \sqrt{-1}_5 = \ldots 43212 ou \sqrt{-1}_5 = \ldots 13233 (con dous valores igual que acontece nas raíces dos números usuais, e vemos que módulo 5 suman cero).
: Para -1 non existe a raíz cadrada en 7-ádico pois non existe   x_0^2 \equiv -1 \pmod{7} .

### Racionais p-ádicos \mathbb{Q}_p 
\frac{22}{85}   en -ádico: Para \Z_p, isto resulta da representación  -ádica, que define unha bixección de \Z_p no conxunto de partes \{0,\ldots,p-1 \}^\N. Para \Q_p isto resulta da súa expresión como unha unión   
numerabelmente infinita de copias de \Z_p:
: \Q_p=\bigcup_{i=0}^\infty \frac 1{p^i}\Z_p.

## Principio local-global 
O  **principio local-global** de Helmut Hasse, é a idea de que se pode atopar unha  solución en enteiros dunha ecuación utilizando o teorema chinés dos restos para unir solucións  módulo potencias de cada número primo diferente. Isto faise examinando a ecuación no completamento dos números racionais: os números reais e os números p-ádicos.Este principio vale, por exemplo, para ecuacións dadas por formas cadráticas, pero falla para polinomios superiores en varias indeterminadas.

## Completamento dos racionais 
Os reais e os números -ádicos son os completamentos dos racionais; tamén é posíbel completar outros corpos, por exemplo os corpos numéricos alxébricos en xeral, dun xeito análogo, como imos ver.

Supoña que *D* é un dominio de Dedekind e que *E* é o seu corpo de fraccións. Escollemos un ideal principal distinto de cero *P* de *D*. Se *x* é un elemento distinto de cero de *E*, entón *xD* é un ideal fraccional e pódese factorizar de forma única como un produto de potencias positivas e negativas de potencias distintas de cero de ideais principais de *D*. Escribimos ord*P*(*x*) para denotar o expoñente de *P* nesta factorización, e para calquera opción de número *c* maior que 1 podemos definir
:|x|_P = c^{-\!\operatorname{ord}_P(x)}.
O completamento con respecto a este valor absoluto |⋅|*P* é un corpo *E**P* , esta é a xeneralización natural do corpo dos números *p*-ádicos para esta definición. A elección de *c* non muda o completamento (diferentes opcións producen o mesmo concepto de secuencia de Cauchy, polo tanto o mesmo completamento). É conveniente, cando o corpo de residuos *D*/*P* é finito, tomar como *c* o tamaño de *D*/*P*.

Por exemplo, cando *E* é un corpo numérico, o teorema de Ostrowski di que todo valor absoluto non arquimediano non trivial en *E* xorde como algún |⋅|*P*. Os restantes valores absolutos non triviais en *E* xorden dos diferentes metgullos de *E* nos números reais ou complexos. (De feito, os valores absolutos non arquimedianos poden considerarse simplemente como os diferentes mergullos de *E* nos corpos **C***p*, poñendo así o descrición de todos os valores absolutos non triviais dun corpo numérico nunha base común.)

Moitas veces, hai que facer un seguimento simultáneo de todos os completamentos arriba mencionados cando *E* é un corpo numérico (ou máis xeralmente un corpo global), que se ven como unha especie de codificación de información "local". Isto conséguese mediante os aneis adélicos e os grupos de ideles.

Os enteiros *p*-ádicos pódense estender a solenoides p-ádicos \mathbb{T}_p. Hai un mapa desde \mathbb{T}_p ata o grupo de círculos cuxas fibras son os enteiros *p*-ádicos \mathbb{Z}_p, en analoxía a como hai un mapa desde \mathbb{R} ata o círculo cuxas fibras son \mathbb{Z}.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* . &mdash; Translation into English by John Stillwell of *Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen* (1882).
* 
* 
* }}
* 
* 
* 
* 
* 
Outras obras:
* 
* |mr=0195803}}
* 
* 
* 
### Outros artigos 
* Non arquimedeano
* Mecánica cuántica p-ádica
* Teoría p-ádica de Hodge
* Teoría p-ádica de Teichmuller
* Análise p-ádia
* 1 + 2 + 4 + 8 + ...
* Lema de Hensel
* Teorema de Mahler
* Complemento a dous
### Ligazóns externas 
* 
* *p*-adic number  at Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics