Enteiro alxébrico

Na teoría de números alxébricos, un **enteiro alxébrico** é un número complexo que é un elemento enteiro sobre os enteiros. 

É dicir, un enteiro alxébrico é unha raíz complexa dalgún polinomio mónico (un polinomio cuxo coeficiente principal é 1) cuxos coeficientes son números enteiros. 

O conxunto de todos os enteiros alxébricos  está pechado baixo a suma, resta e multiplicación e, polo tanto, é un subanel conmutativo dos números complexos.

O anel de números enteiros dun corpo numérico , denotado como , é a intersección de  e : tamén se pode caracterizar como a orde máxima do corpo . Cada número enteiro alxébrico pertence ao anel de números enteiros dalgún corpo numérico. Un número  é un enteiro alxébrico se e só se o anel \mathbb{Z}[\alpha] se xera finitamente como un grupo abeliano, é dicir, como un \mathbb{Z} -módulo.

## Definicións 
As seguintes son definicións equivalentes dun número enteiro alxébrico. Sexa  un corpo numérico (é dicir, unha extensión finita de \mathbb{Q}, o corpo dos números racionais), noutras palabras, K = \Q(\theta) para algún número alxébrico \theta \in \Complex polo teorema dos elementos primitivos.

*  é un enteiro alxébrico se existe un polinomio mónico f(x) \in \Z[x] tal que .
*   é un enteiro alxébrico se o polinomio mónico mínimo de  sobre \mathbb{Q} está en \Z[x].
*   é un enteiro alxébrico se \Z[\alpha] é un \Z-modulo finitamente xerado.
*   é un enteiro alxébrico se existe un non cero \Z-submodulo finitamente xerado M \subset \Complex tal que .

Os enteiros alxébricos son un caso especial dos elementos enteiros dunha extensión dun anel. En particular, un enteiro alxébrico é un elemento enteiro dunha extensión finita K / \mathbb{Q}.

## Exemplos 
* Os únicos enteiros alxébricos que se atopan no conxunto dos números racionais son os enteiros. Noutras palabras, a intersección de \mathbb{Q} e  é exactamente \mathbb{Z}. O número racional  non é un enteiro alxébrico a non ser que  divida . O coeficiente principal do polinomio  é o número enteiro .
* A raíz cadrada \sqrt{n} dun enteiro non negativo  é un enteiro alxébrico, pero é irracional a non ser que  sexa un cadrado perfecto.
* Se  é un enteiro libre de cadrados entón a extensión K = \mathbb{Q}(\sqrt{d}\,) é unha corpo cadrático de números racionais. O anel de enteiros alxébricos  contén \sqrt{d} xa que esta é unha raíz do polinomio mónico . A maiores, se , entón o elemento \frac{1}{2}(1 + \sqrt{d}\,) tamén é un enteiro alxébrico. Satisfai o polinomio   onde o termo constante  é un número enteiro. O anel completo de números enteiros é xerado por \sqrt{d} ou \frac{1}{2}(1 + \sqrt{d}\,) respectivamente. Consulte Enteiro cadrático para obter máis información.
* Se  é unha primitiva -ésimo raíz da unidade, entón o anel de enteiros do corpo ciclotómico \Q(\zeta_n) é precisamente \Z[\zeta_n].
* Se  é un enteiro alxébrico, entón \beta=\sqrt[n]{\beta} é outro enteiro alxébrico. Un polinomio para  obtense substituíndo  no polinomio de .

## Non exemplo 
* Se  é un polinomio primitivo que ten coeficientes enteiros pero non é mónico, e  é irredutíbel sobre \mathbb{Q}, entón ningunha das raíces de  son números enteiros alxébricos (pero *son* números alxébricos). Aquí úsase *primitivo* no sentido de que o maior factor común dos coeficientes de  é 1, o que é máis débil que esixir que os coeficientes sexan relativamente primos por parellas.

## Xeración finita de extensión dun anel 
Para calquera , a extensión do anel (no sentido que é equivalente á extensión de corpo) dos números enteiros por , denotada como \Z(\alpha) \equiv \{\sum_{i=0}^n \alpha^i z_i | z_i\in \Z, n\in \Z\}, xérase finitamente se e só se  é un enteiro alxébrico.

## Anel 
A suma, a diferenza e o produto de dous enteiros alxébricos é un enteiro alxébrico. En xeral, o seu cociente non o é. Así, os enteiros alxébricos forman un anel.

Tamén se pode construír explicitamente o polinomio mónico implicado, que é xeralmente de maior grao que os dos enteiros alxébricos orixinais, tomando resultantes e factorizando. Por exemplo, se temos ,  e , eliminando  e  de  e os polinomios satisfeitos por  e  utilizando a resultante dáse , que é irredutíbel,  e é a ecuación mónica satisfeita polo produto. (Para ver que  é unha raíz do resultado  de  e , pódese usar o feito de que a resultante está contida no ideal xerado polos seus dous polinomios de entrada.)

### Pechamento integral 
Toda raíz dun polinomio mónico cuxos coeficientes son números enteiros alxébricos é en si mesma un enteiro alxébrico. Noutras palabras, os enteiros alxébricos forman un anel que é un peche integral en calquera das súas extensións.

A  demostración é análoga á proba correspondente para números alxébricos que están
pechados alxebricamente.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 

### Outros artigos 
*Elemento enteiro
*Enteiro de Gauss
*Raíz da unidada
*Teorema das unidades de Dirichlet
*Unidade fundamental (teoría de números)