Involución (matemáticas)

dereita|miniatura| Unha involución é unha función  que, aplicada dúas veces, devolve ao punto de partida.
En matemáticas, unha **función de involución** ou **función autoinversa**  é unha función  que é a súa propia inversa,

: 

para todo  no dominio de  .  De forma equivalente, aplicar  dúas veces produce o valor orixinal.

## Propiedades xerais 
Calquera involución é unha bixección.

O mapa identidade é un exemplo trivial de involución. Exemplos de involucións non triviais inclúen a negación (  ), a reciprocidade (  ) e a conxugación complexa (  ) en aritmética; reflexión, rotación de media volta e inversión en relación a unha circunferencia en xeometría; complementación na teoría de conxuntos.

A composición  de dúas involucións  e  é unha involución se e só se conmutan: .

## Involución nos distintos campos das matemáticas 
### Funcións con valores reais 
A gráfica dunha involución (sobre os números reais) é simétrica a través da recta . 

Algúns exemplos básicos de involucións inclúen as funcións
:\begin{alignat}{1}
f(x) &= a-x \;, \\
f(x) &= \frac{b}{x-a}+a
\end{alignat}
A maiores, podemos construír unha involución envolvendo unha involución  nunha bixección  e a súa inversa ( h^{-1} \circ g \circ h ). Por exemplo: 
:\begin{alignat}{2}
f(x) &= \sqrt{1 - x^2} \quad\textrm{en}\; [0;1] & \bigl(g(x) = 1-x \quad\textrm{e}\quad h(x) = x^2\bigr), \\
f(x) &= \ln\left(\frac {e^x+1}{e^x-1}\right) & \bigl(g(x) = \frac{x+1}{x-1}=\frac{2}{x-1}+1 \quad\textrm{e}\quad h(x) = e^x\bigr) \\
\end{alignat}

### Xeometría euclidiana 
Un exemplo sinxelo de involución do espazo euclidiano tridimensional é a reflexión a través dun plano. Realizar unha reflexión dúas veces trae un punto ás súas coordenadas orixinais.

### Xeometría proxectiva 
Unha involución é unha proxectividade de período 2, é dicir, unha proxectividade que troca pares de puntos.  

### Álxebra linear 
En álxebra linear, unha involución é un operador linear  nun espazo vectorial, tal que . Agás na característica 2, eses operadores son diagonalizábeis para unha base dada con só s e s na diagonal da matriz correspondente. Se o operador é ortogonal (unha **involución ortogonal**), é diagonalizábel ortonormalmente.

Por exemplo, supoña que se escolle unha base para un espazo vectorial  e que  e  son elementos de base. Existe unha transformación linear  que envía  a , e envía  a , e esa é a identidade en todos os demais vectores da base. Pódese comprobar que  para todo  en . É dicir,  é unha involución de .

### Teoría dos aneis 
Na teoría de aneis, a palabra *involución* adoita tomarse para significar un antihomomorfismo que é a súa propia función inversa. Exemplos de involucións en aneis comúns:

* conxugación complexa no plano complexo, e o seu equivalente nos números complexos hiperbólicos.
* a transposta nun anel de matrices.

### Teoría de grupos 
Unha permutación é unha involución se e só se pode escribirse como un produto finito de transposicións disxuntas.

As involucións dun grupo teñen un gran impacto na estrutura do grupo. O estudo das involucións foi fundamental na clasificación de grupos finitos simples. 

Os grupos de Coxeter son grupos xerados por un conxunto  de involucións suxeitos só a relacións que implican potencias de pares de elementos de . Os grupos de Coxeter pódense utilizar, entre outras cousas, para describir os posíbeis poliedros regulares e as súas xeneralizacións a dimensións superiores.

### Lóxica matemática 
A operación do complemento nas álxebras booleanas é unha involución. En consecuencia, a negación na lóxica clásica cumpre a *lei da dobre negación*:  equivale a .

### Informática 
A operación XOR bit a bit cun valor dado para un parámetro é unha involución do outro parámetro. Nalgúns casos, as máscaras XOR usáronse para debuxar gráficos en imaxes de tal xeito que debuxándoos dúas veces no fondo volva o fondo ao seu estado orixinal.

### Física 
A transformación de Legendre, que converte entre o Lagrangiano e o Hamiltoniano, é unha operación involutiva.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 

### Outros artigos 
* Idempotencia.
* Automorfismo.