Proba matemática

[miniatura|Portada do libro I dunha tradución [lingua española|española de 1576 dos Elementos de Euclides, no que se mostran algunhas das primeiras **probas matemáticas**.]]

Unha **proba** ou **demostración matemática** é un razoamento convincente dentro dos estándares vixentes conducente a que algunha proposición é necesariamente certa. Realízase cunha lóxica válida que progresa a partir de ideas que se dan por certas, chamadas hipóteses, ata a afirmación formulada, chamada tese, da que se quere obter a veracidade. Estes pasos deben estar fundamentados na aplicación de regras de dedución, fundadas xa sexa en enuciados xeralmente aceptados coñecidos como axiomas, ou en teoremas anteriormente demostrados, ou en regras básicas de dedución do sistema en cuestión.

## Características 
As probas obtéñense mediante o razoamento dedutivo máis que por argumentos indutivos ou empíricos. Ou sexa, unha proba debe demostrar que unha proposición é certa en tódolos casos, sen excepción (ocasionalmente enumerando todos os casos posíbeis e mostrando que se sostén en todos eles), máis ca enumerando moitos casos confirmatorios. Unha proposición non demostrada que se considera certa coñécese como conxectura.

Unha proposición probada adoita denominarse teorema. Unha vez que se proba unha proposición, pódese empregar coma base para probar outras proposicións. A un teorema pódeselle chamar tamén *lema*, especialmente se se pretende usar como paso na proba doutro teorema.

As probas empregan a lóxica mais adoitan incluír unha parte de linguaxe natural que polo xeral admite certa ambigüidade. De feito, a maior parte das probas das matemáticas escritas pódense considerar aplicacións da lóxica informal rigorosa. As probas formais, escritas en linguaxe simbólica e non en natural, trátanse na teoría da proba.

A distinción entre proba formal e proba informal liderou moita da investigación das matemáticas actuais e históricas, o cuasi-empirismo nas matemáticas e o presunto folclore matemático (en ámbolos dous sentidos do termo). A filosofía das matemáticas trata sobre o rol da linguaxe e a lóxica nas probas, e sobre as matemáticas en calidade de linguaxe.

## Historia e etimoloxía 
A palabra "proba" provén do latín *probare* co significado de "verificar". O termo equivalente "demostración" deriva tamén do latín "demonstrationem" (nominativo "demonstratio"), nome de acción cuxa raíz e o participio pasado de "demonstrare" que significa *sinalar*, *indicar*.

Argumentos que usaban dispositivos heurísticos como debuxos e analoxías poden considerarse como precedentes das demostracións matemáticas estritas.
É probábel que a idea de demostrar unha conclusión xurdira primeiramente en conexión coa xeometría, cuxo significado orixinal foi o de "medida da terra". O desenvolvemento da *proba matemática* foi primeiramente un produto dos matemáticos gregos antigos, e un dos seus máis grandes logros. Tales (624-546 a.C.) demostrou algúns teoremas de xeometría. Eudoxo (408-355 a.C.) e Teeteto (417-369 a.C.) formularon teoremas aínda que non os probaron. Aristóteles (384-322 a.C.) deu definicións que describían o concepto a partir doutros conceptos xa coñecidos. As demostracións matemáticas foron revolucionadas por Euclides, quen introduciu o método axiomático que ségue usándose hoxe en día, partindo de termos indefinidos e axiomas (proposicións referentes aos termos indefinidos que se admiten como verdades auto-evidentes; do grego "axios" que significa *algo meritorio*), proba teoremas usando a lóxica dedutiva. O seu libro, Os Elementos foi lido no mundo occidental por toda persoa considerada educada ata mediados do século XX. Ademais dos máis familiares teoremas de xeometría, como o teorema de Pitágoras, os *Elementos* inclúen demostracións de que a raíz cadrada de dous é irracional e de que hai infinitos números primos.

Posteriores avances tiveron lugar nas matemáticas islámicas do medievo. Mentres que as primeiras demostracións gregas baseábanse en longas probas xeométricas, o desenvolvemento da aritmética e da álxebra polos matemáticos islámicos permitiu demostracións máis xerais que non dependían da xeometría. No século X, o matemático do que hoxe é Iraq, Al-Hashimi deu demostracións xerais (máis ca xeométricas) para números, considerando a multiplicación, a división etc. como "liñas". Este método usouno para probar a existencia de números irracionais. Unha demostración indutiva para progresións aritméticas foi introducida no ano 1000 por Al-Karaji na súa obra *Al-Fakhri*, na que demostra a fórmula xeral da potencia dun binomio ( a + b ) ^ n, chamada ás veces teorema do binomio, e propiedades do triángulo de Pascal ou de Tartaglia. O método de demostración da redución ao absurdo foi desenvolvido por Alhazen, usándoo nunha primeira tentativa de probar o quinto postulado de Euclides.

A moderna teoría da proba trata as demostracións como estruturas de datos definidas indutivamente. Non hai unha asunción explícita de que os axiomas son "verdadeiros" dalgún xeito; isto permite construír teorías matemáticas paralelas con conxuntos de axiomas contraditorios entre si. Exemplos disto son a teoría axiomática de conxuntos e as xeometrías non euclidianas.

## Natureza e propósito 
Na práctica, unha demostración exprésase nunha linguaxe natural e é un argumento rigoroso destinado a convencer a unha audiencia da verdade dunha enunciado. O estándar de rigor non é absoluto e variou ao longo de historia. Unha demostración pode ser presentada de xeitos diferentes dependendo da audiencia prevista. Para gañar aceptación, unha proba ten que cumprir estándares de rigor xeralmente aceptados; un argumento considerado impreciso ou incompleto pode ser rexeitado.

O concepto de demostración formalízase no campo da lóxica matemática. Unha demostración formal escríbese nunha linguaxe formal en lugar dunha linguaxe natural. Unha proba formal defínese como unha secuencia de fórmulas nunha linguaxe formal na que cada fórmula é unha consecuencia lóxica das precedentes. Ter unha definición de demostración formal fai que o concepto de demostración sexa susceptíbel de estudo. De feito, a rama da teoría da proba estuda as demostracións formais e as súas propiedades, por exemplo, a propiedade de que un enunciado ten unha demostración formal. Unha aplicación da teoría da proba é mostrar que certos enunciados indecidíbeis non se poden demostrar.

A definición de demostración formal tende a captar o concepto das demostracións tal como se escriben na práctica das matemáticas. A solvencia desta definición equivale á crenza en que unha demostración publicada pode, en principio, converterse nunha demostración formal. Porén, fóra do campo dos asistentes de demostracións automatizadas, é raro que se faga isto na práctica. Unha cuestión clásica en filosofía é a de se as demostracións matemáticas son analíticas ou sintéticas. Kant, quen introduciu a distinción analítica-sintética, cría que as demostracións matemáticas son sintéticas.
[miniatura|[Paul Erdős dicía que as demostracións especialmente fermosas viñan do "Libro".]]
As demostracións poden considerarse como obxectos estéticos, admirados pola súa beleza matemática. O matemático húngaro Paul Erdős foi coñecido por describir aquelas demostracións que el achaba particularmente elegantes, como que proviñan do "Libro", un hipotético volume que contiña os métodos de demostración máis fermosos de cada teorema. O libro "Demostracións desde O LIBRO", publicado en 2003, presenta 32 demostracións que os seus editores acharon especialmente agradábeis.

## Métodos de proba 
### Proba directa 
Na proba directa, a conclusión establécese mediante a combinación lóxica de axiomas, definicións e teoremas previos: Sexa N = \{ 1 , 2 , 3 , 4 ... \} o conxunto dos números naturais, e sexa P ( n ) un enunciado matemático concerniente ao número natural *n* tal que:
:(i) P ( 1 ) é certo, isto é, P ( n ) é certo para n = 1.
:(ii) P ( n + 1 ) é certo se P ( n ) é certo, é dicir, a veracidade de P ( n ) implica a veracidade de P ( n + 1 ).
* Entón P ( n ) é certo para todos os números naturais n \in N.

Por exemplo, podemos probar por indución que todos os enteiros da forma 2*n*&nbsp;+&nbsp;1 son impares:
:(i) Para *n*&nbsp;=&nbsp;1, &nbsp;2*n*&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;2(1)&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;3, e *3* é impar. Polo tanto P ( 1 ) é certo.
:(ii) Sexa &nbsp;2*n*&nbsp;+&nbsp;1 para algún *n*, entón 2(*n*+1)&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;= (2*n*+1)&nbsp;+&nbsp;2. Se 2*n*&nbsp;+&nbsp;1}} é impar, entón (2*n*+1)&nbsp;+&nbsp;2 será tamén impar, pois engadindo *2* a un número impar resulta outro número impar. Polo tanto P ( n + 1 ) é certo se P ( n ) é certo.
:Entón 2*n*&nbsp;+&nbsp;1 é impar, para todo número natural *n*.

É habitual usar a frase "demostración por indución" no canto de "demostración por indución matemática

### Proba por contraposición 
A proba por contraposición infire a conclusión "se *p* entón *q*" da premisa "se *non q* entón *non p*". O enunciado "se *non q* entón *non p*" chámase o contrapositivo do enunciado "se *p* entón *q*". Por exemplo, a contraposición pode usarse para establecer que, dado un enteiro *x*, se *x*² é par, entón *x* é par:

: Supoñamos que *x* non é par. Entón *x* é impar. O produto de dous números impares é impar, polo tanto *x*² = *x*·*x* é impar. En conclusión *x*² non é par.

### Proba por redución ao absurdo 
Na demostración por redución ao absurdo, ou *reductio ad absurdum*, próbase que unha proposición matemática é certa supoñendo que non o é e chegando a unha contradición, co cal a proposición ten que ser verdadeira. Un famoso exemplo de demostración por redución ao absurdo é a proba de que a raíz cadrada de dous é irracional:

:Supóñase que \sqrt{2} é un número racional, entón por definición \sqrt{2} = {a\over b} onde *a* e *b* son enteiros non nulos primos entre si. Despexando *a*: b\sqrt{2} = a, e elevando ao cadrado ambos membros: 2*b*2 = *a*2. É dicir, 2 divide ao primeiro membro da igualdade e, xa que logo, 2 debe dividir tamén ao segundo membro (pois ambos membros son enteiros iguais). Polo tanto *a*2 é par, o cal implica que *a* debe ser tamén par. Logo podemos escribir *a* = 2*c*, onde *c* é tamén un enteiro. Substituíndo na igualdade inicial obtemos que: 2*b*2 = (2*c*)2 = 4*c*2. Dividindo ambos membros por 2: *b*2 = 2*c*2. Repedindo o razoamento anterior para esta última igualdade, resulta que 2 divide a *b*2, co cal *b* debe ser par. Porén, se *a* e *b* son ambos pares, teñen a 2 como factor común e non serían primos entre si, o cal está en contradición coa hipótese de que eran primos entre si. Isto lévanos a concluír que \sqrt{2} é un número irracional.

### Demostración construtiva 
Unha demostración construtiva, tamén chamada proba por exemplo, é unha demostración da existencia de obxectos matemáticos cunha certa propiedade, a través da súa construción dun exemplo concreto con esa propiedade. Joseph Liouville, por exemplo, probou a existencia de números transcendentais construíndo un exemplo explícito de tales números. A demostración construtiva úsase tamén para probar a falsidade dunha proposición mediante a construción dun contraexemplo que non verifica tal propiedade.

### Demostración por casos 
Na demostración por casos, ou demostración exhaustiva, a conclusión establécese dividindo o estudo nun número finito de casos e probándoa separadamente para cada un. O número de casos, ás veces, pode chegar a ser moi grande. Por exemplo, a primeira proba do teorema das catro cores incluía 1.936 casos. Esta demostración foi moi controvertida pois a maioría dos casos foron comprobados cun programa informático. A demostración máis curta deste teorema é de 2011 e aínda ten arredor de 600 casos.

### Demostración probabilística 
A demostración probabilística é aquela na que se mostra a existencia dun exemplo, con certeza, usando métodos da teoría de probabilidades. Non se debe confundir co argumento de que un teorema é *probabelmente* certo. Este último tipo de razoamento pode ser chamado *argumento plausíbel* mais non é unha demostración; no caso da conxectura de Collatz está claro o lonxe que está dunha auténtica demostración. A demostración probabilística, como a proba por construción, é unha das moitas maneiras que hai para mostrar teoremas de existencia.

### Demostración combinatoria 
Unha demostración combinatoria establece a equivalencia de expresións a priori diferentes establecendo unha identidade entre elas. Frecuentemente unha bixección entre dous conxuntos úsase para mostrar que as expresións dos seus dous tamaños son iguais. Altenativamente, un argumento de dobre contaxe proporciona dúas expresións diferentes para o tamaño dun mesmo conxunto, mostrando de novo que as dúas expresións son iguais.

### Proba non construtiva 
Unha proba non construtiva establece que un obxecto matemático cunha certa propiedade existe sen explicar como pode ser achado tal obxecto. A miúdo, toma a forma de demostración por contradición na que se proba a imposibilidade da non existencia do obxecto. Pola contra, a demostración construtiva establece que un obxecto concreto existe proporcionando un método para achalo. Un exemplo famoso de proba non construtiva é o teorema da existencia de dous números irracionais *a* e *b* tales que a^b é un número racional:

:* Sabemos que \sqrt{2} é irracional, e 2 é racional. Consideremos o número q = \sqrt{2}^{\sqrt2} que será racional ou irracional.

:* Se q é racional, entón o teorema é certo, con a e b igual a \sqrt{2}.

:* Se q é irracional, o teorema é tamén certo, con a igual a \sqrt{2}^{\sqrt2} e b igual a \sqrt{2}, pois
::\left (\sqrt{2}^{\sqrt2}\right )^{\sqrt2} = \sqrt{2}^{(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})} = \sqrt{2}^2 = 2.

### Probas estatísticas nas matemáticas puras 
A expresión demostración estatística debe usarse técnica ou coloquialmente en áreas da matemática pura, como aquelas que teñen que ver coa criptografía, series caóticas, e teoría de números probabilística ou analítica. É menos común usar este termo para referirse ás demostracións matemáticas na rama desta coñecida como estatística matemática. Ver tamén máis adiante neste artigo #Demostración estatística usando datos

### Demostracións asistidas por ordenador 
Ata o século XX asumíase que calquera proba podía, en principio, ser comprobada por un matemático competente para confirmar a súa validez.Co incremento do poder computacional na década de 1960, comezáronse a facer traballos significativos na investigación de obxectos matemáticos fóra da estrutura da teoría de probas, nas matemáticas experimentais. Os pioneiros destes métodos tentaron encaixalos dentro da teoría clásica de probas, como ocorreu, por exemplo, co desenvolvemento temperá da xeometría fractal, que foi ultimamente incorporada á teoría clásica.

## Conceptos relacionados 
### Demostración visual 
Se ben non é unha proba formal, unha demostración visual dalgún teorema matemático é chamado, ás veces, unha "proba sen palabras". Nas imaxes seguintes aprécianse tres demostracións visuais do Teorema de Pitágoras; a da esquerda é un exemplo histórico e as outras dúas son probas visuais animadas:

Image:Chinese pythagoras.jpg|Demostración visual do teorema de Pitágoras para o triángulo de lados 3, 4 e 5 tal como aparece no texto chinés Chou Pei Suan Ching, 500–200&nbsp;a.C.
File:Pythagoras-2a.gif|Demostración visual animada do teorema de Pitágoras por reagrupamento.
File:Pythag anim.gif|Unha segunda demostración visual animada do teorema de Pitágoras.

### Demostración elemental 
Unha demostración elemental é unha proba que só usa técnicas matemáticas básicas. Máis concretamente, o termo úsase en teoría de números para referirse a demostracións que non fan uso da análise complexa. Durante un tempo pensouse que certos teoremas, como o teorema dos números primos, só podían probarse usando matemáticas *superiores*. Porén, co paso do tempo, moitos destes resultados foron redemostrados usando só técnicas elementais.

### Demostración a dúas columnas 
thumb|right|Unha demostración a dúas columnas publicada en 1913.
A demostración a dúas columnas é unha particular forma de organizar unha demostración usando dúas columnas. En cada liña, a columna da esquerda contén unha proposición, mentres que a columna da dereita contén unha breve explicación de como a proposición correspondente na columna da esquerda é ou un axioma, ou unha hipótese, ou pode se loxicamente deducida de proposicións previas. A columna da esquerda encabézase como "Statements" (enunciados) e a da dereita como "Reasons" (razóns). A demostración a dúas columnas úsase frecuentemente nas clases elementais de xeometría nos Estados Unidos.

### Uso coloquial de "demostración matemática" 
A expresión "demostración matemática" úsaa a xente corrente para referirse ao uso de métodos ou argumentos con obxectos matemáticos, tales como números, coa fin de demostrar algo sobre a vida cotiá, ou cando os datos usados nun argumento son numéricos. Ás veces tamén se usa para referirse a unha demostración estatística, especialmente cando se argumenta con datos numéricos.

### Demostración estatística en datos numéricos 
A demostración estatística en datos numéricos refírese á aplicación deste tipo de demostración nos campos da estatística, a análise de datos ou a análise Bayesiana para inferir proposicións relacionadas coa probabilidade dos datos numéricos. Mentres que a demostración matemática se usa para establecer teoremas en estatística, o seu uso non é habitual cando se trata de verificar *suposicións* cuxos enunciados probabilísticos derivan de evidencias empíricas alleas ás matemáticas. En física, ademais de aos métodos estatísticos, o termo "demostración matemática" pode referirse aos especializados métodos matemáticos da física aplicados na análise de datos nos experimentos de física de partículas ou no estudo observacional en cosmoloxía. A "demostración estatística" pode tamén referirse aos datos en bruto ou a diagramas relativos a datos, como os diagramas de dispersión, cando os datos ou o diagrama son razoabelmente convincentes sen necesidade de análises posteriores.

### Demostracións lóxicas indutivas e análise Bayesiana 
As demostracións que usan a lóxica indutiva, cando se consideran de natureza matemática, buscan establecer proposiciones cun grao de certeza, que actúen do modo semellante á probabilidade, e que poden ser menos dunha certeza. A análise Bayesiana establece asertos como o do grao de crenza subxectiva dunha persoa. A lóxica indutiva non debe confundirse coa indución matemática.

### Demostracións como obxectos mentais 
O psicoloxismo contempla as demostracións matemáticas como obxectos mentais ou psicolóxicos. Filósofos matemáticos como Leibniz, Frege, e Carnap, tentaron desenvolver unha semántica para o que eles consideraban a linguaxe do pensamento, pola cal os estándares da demostración matemática deberían aplicarse á ciencia empírica.

### Influencia dos métodos da demostración matemática fóra das matemáticas 
Filósofo-matemáticos como Spinoza trataron de formular argumentos filosóficos dun xeito axiomático, polo cal os estándares da demostración matemática poderían aplicarse á argumentación na filosofía xeral. Outros matemático-filósofos tentaron usar estándares da demostración matemática e a razón, sen empirismo, para chegar a enunciados alleos ás matemáticas, mais coa certeza das proposicións deducidas nunha demostración matemática, tal e como fixo Descartes no seu argumento *cogito ergo sum*.

## Rematando unha demostración 
*"q.e.d."* escríbese ás veces ao remate dunha demostración para indicar a súa fin. É a abreviatura da expresión latina *"Quod Erat Demonstrandum"*. Tamén se usa o equivalente galego *"c.q.d."* (*"Como Queriamos Demostrar"*). Outra alternativa é usar un cadrado ou un rectángulo, como □ ou ∎, este último chamado ás veces "halmos" por ter sido o matemático Paul Halmos o primeiro en facer uso del. As abreviaturas anteriores tamén se escriben con maiúsculas e tamén sen puntos.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

### Ligazóns externas 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*