Regra de l'Hôpital

A '''regra de l'Hôpital** ou **regra de l'Hôpital-Bernoulli'* utilízase nas matemáticas, máis especificamente no cálculo infinitesimal, para determinar límites que doutro xeito sería complicado calcular. A regra di que, dadas dúas funcións *f*(*x*) e *g*(*x*) continuas e derivábeis en *x* = *c*, se *f*(*x*) e *g*(*x*) tenden ambas a cero ou a infinito cando *x* tende a *c*, entón o límite cando *x* tende a *c* do cociente de *f*(*x*) e *g*(*x*) é igual ao límite cando *x* tende a *c* do cociente das derivadas de *f*(*x*) e *g(*x*), sempre que este límite exista (*c* pode ser finito ou infinito):

{{ecuación|\lim_{x\to c}{f(x)\over g(x)}=\lim_{x\to c}{f'(x)\over g'(x)}||center}}

Esta regra recibe o seu nome na honra do matemático francés do século XVII Guillaume François Antoine, Marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quen deu a coñecer a regra na súa obra ''Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes'' (1692), considerado o primeiro texto escrito sobre cálculo diferencial, aínda que actualmente se sabe que a regra se lle debe a Johann Bernoulli, que foi quen a desenvolveu e demostrou. pódese esixir na definición do límite \lim \limits_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L que a función \frac{f'(x)}{g'(x)} debe estar definida en todos os valores no intervalo I\smallsetminus \{c\}. Outro método consiste en esixir que tanto  como  sexan diferenciábeis en tódalas partes nun intervalo que contén .

## Exemplos
Nos seguintes cálculos, indicamos cada aplicación da regra de L'Hopital co símbolo 
\ \stackrel{\mathrm{H}}{=}\ 
. 
* Aquí temos un exemplo básico que inclúe a función exponencial, que implica a forma indeterminada  en : 
:
\lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1}{x^2+x} \ \stackrel{\mathrm{H}}{=}\  
 \lim_{x\to 0} \frac{\frac{d}{dx}(e^x - 1)}{\frac{d}{dx}(x^2+x)} 
  = \lim_{x\to 0} \frac{e^x}{2x+1} = 1. 

* Este é un exemplo máis elaborado que inclúe . Aplicar a regra de L'Hôpital unha soa vez aínda dá como resultado unha forma indeterminada. Neste caso, o límite pódese avaliar aplicando a regra tres veces: 
:
\begin{align}
\lim_{x\to 0}{\frac{2\sin(x)-\sin(2x)}{x-\sin(x)}}
& \ \stackrel{\mathrm{H}}{=}\ \lim_{x\to 0}{\frac{2\cos(x)-2\cos(2x)}{1-\cos(x)}} \\[4pt]
& \ \stackrel{\mathrm{H}}{=}\ \lim_{x\to 0}{\frac{-2\sin(x)+4\sin(2x)}{\sin(x)}} \\[4pt]
& \ \stackrel{\mathrm{H}}{=}\ \lim_{x\to 0}{\frac{-2\cos(x)+8\cos(2x)}{\cos(x)}}
 ={\frac{-2+8}{1}} =6.
\end{align}
* Aquí temos un exemplo que inclúe : 
:
\lim_{x\to\infty}x^n\cdot e^{-x}
=\lim_{x\to\infty}{\frac{x^n}{e^x}}
\ \stackrel{\mathrm{H}}{=}\ \lim_{x\to\infty}{\frac{nx^{n-1}}{e^x}}
=n\cdot \lim_{x\to\infty}{\frac{x^{n-1}}{e^x}}.
 
:Aplicando repetidamente a regra de L'Hôpital ata que o expoñente sexa cero (se  é un número enteiro) ou negativo (se  é unha fracción) para concluír que o límite é cero.
* Aquí temos un exemplo que inclúe a forma indeterminada , que se reescribe como a forma : 
:\lim_{x\to 0^+}x \ln x =\lim_{x\to 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}}
  \ \stackrel{\mathrm{H}}{=}\  \lim_{x\to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}
  = \lim_{x\to 0^+} -x = 0.
*Aquí temos un exemplo que inclúe o fórmula do xuro composto e . Sexa  o principal (importe do préstamo),  o tipo de xuro por período e  o número de períodos. Cando  é cero, a cantidade de reembolso por período é \frac{P}{n} (xa que só se paga o principal); isto é consistente coa fórmula para tipos de xuro distintos de cero:  \lim_{r\to 0}\frac{Pr(1+r)^n}{(1+r)^n-1}
 \ \stackrel{\mathrm{H}}{=}\ P \lim_{r\to 0} \frac{(1+r)^n+rn(1+r)^{n-1}}{n(1+r)^{n-1}}
 = \frac{P}{n}.
* Tamén se pode usar a regra de L'Hôpital para demostrar o seguinte teorema. Se  é dúas veces diferenciábel nunha veciñanza de  e a súa segunda derivada é continua nesta veciñanza, entón 
:\begin{align}
 \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}
 &= \lim_{h\to 0}\frac{f'(x+h)-f'(x-h)}{2h} \\[4pt]
 &= \lim_{h\to 0}\frac{f*(x+h) + f*(x-h)}{2} \\[4pt]
 &= f''(x).
 \end{align} 
*Ás veces invócase a regra de L'Hôpital dun xeito complicado: supoñamos que  f(x) + f'(x) converxe cando  e que e^x\cdot f(x) converxe ao infinito positivo ou negativo. Daquela:
:
\lim_{x\to\infty }f(x)
= \lim_{x\to\infty}\frac{e^x\cdot f(x)}{e^x}
\ \stackrel{\mathrm{H}}{=}\ \lim_{x\to\infty}\frac{e^x\bigl(f(x)+f'(x)\bigr)}{e^x}
= \lim_{x\to\infty}\bigl(f(x)+f'(x)\bigr),
e así, existe \lim_{x\to\infty}f(x) e \lim_{x\to\infty}f'(x) = 0. 
:(Este resultado segue sendo certo sen a hipótese engadida de que e^x\cdot f(x) converxe a un infinito positivo ou negativo, mais a xustificación é entón incompleta.)
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
*
*
*
*

### Outros artigos 
* Derivada.
* Análise matemática.