Imaxe (matemáticas)

350px|miniatura|Para a función que relaciona unha persoa coa súa comida favorita, a imaxe de Gabriela é mazá (*apple*). A preimaxe de mazá é o conxunto {Gabriela, Maryam}. A preimaxe de peixe (*fish*) é o conxunto baleiro. A imaxe do subconxunto {Richard, Maryam} é {arroz (*Rice*), mazá (*Apple*)}. A preimaxe de {arroz (*Rice*), mazá (*Apple*)} é {Gabriela, Richard, Maryam}.
En matemáticas, para unha función f: X \to Y, a **imaxe** dun valor de entrada x é o valor de saída producido por f cando se aplica a x. A **preimaxe** dun valor de saída y é o conxunto de valores do dominio que producen y.

Xeneralizando, avaliar f para cada elemento dun subconxunto dado A do seu dominio X produce un conxunto chamado "**imaxe** de A baixo f". De xeito semellante, a **imaxe inversa** (ou **preimaxe**) dun subconxunto dado B do codominio Y é o conxunto de todos os elementos de X que producen un elemento de B.

A **imaxe** da función f é o conxunto de todos os valores de saída que pode producir, é dicir, a imaxe de X. A **preimaxe** de f, é dicir, a preimaxe de Y baixo f, é igual a X (o dominio de f); por iso, este último concepto apenas se emprega.

A imaxe e a imaxe inversa poden definirse tamén para relacións binarias, non só para funcións.

miniatura| f é unha función do dominio X no codominio Y. O óvalo amarelo por dentro de Y é a imaxe de f.

## Definición 
A palabra "imaxe" úsase de tres formas relacionadas. Nestas definicións, f : X \to Y é unha función do conxunto X no conxunto Y.

### Imaxe dun elemento 
Se x é membro de X, entón a imaxe de x baixo f, denotado como f(x), é o valor de f cando se aplica a x. f(x) coñécese alternativamente como a saída de f para o argumento x.

Dado y, a función f dise que *toma o valor*  se existe algún x no dominio da función tal que f(x) = y.

### Imaxe dun subconxunto 
Sexa f : X \to Y unha función. A imaxe baixo f dun subconxunto A de X é o conxunto de tódolos f(a) para a\in A. Desígnase por f[A], ou por f(A), cando non hai risco de confusión. Esta definición pódese escribir como f[A] = \{f(a) : a \in A\}.

### Imaxe dunha función 
A *imaxe* dunha función é a imaxe de todo o seu dominio, tamén coñecida como o rango da función. Este último uso debería evitarse porque a palabra "rango" tamén se usa habitualmente para significar o codominio de f.

### Xeneralización a relacións binarias 
Se R é unha relación binaria arbitraria en X \times Y, entón o conxunto \{ y \in Y : x R y  para algún  x \in X \} chámase imaxe ou rango de R. Dualmente, o conxunto \{ x \in X : x R y  para algún  y \in Y \} chámase dominio de R.

## Preimaxe ou imaxe inversa 
Sexa f unha función de X en Y. A **preimaxe** ou **imaxe inversa** dun conxunto B \subseteq Y baixo f, denotado como f^{-1}[B], é o subconxunto de X definido porf^{-1}[ B ] = \{ x \in X \,:\, f(x) \in B \}.Por exemplo, para a función f(x) = x^2, a preimaxe  de \{ 4 \} sería \{ -2, 2 \}. Se non hai risco de confusión, f^{-1}[B] pode denotarse por f^{-1}(B). A notación f^{-1} non se debe confundir coa de función inversa, aínda que coincide coa habitual das bixeccións en que a imaxe inversa de B baixo f é a imaxe de B baixo f^{-1}.

## Exemplos 
* f : \{ 1, 2, 3 \} \to \{ a, b, c, d \} definido por 
    \left\{\begin{matrix}
      1 \mapsto a, \\
      2 \mapsto a, \\
      3 \mapsto c.
    \end{matrix}\right.
  
A *imaxe* do conxunto \{ 2, 3 \} baixo f é f(\{ 2, 3 \}) = \{ a, c \}. A *imaxe* da función f é \{ a, c \}. A *preimaxe* de a é f^{-1}(\{ a \}) = \{ 1, 2 \}. A *preimaxe* de \{ a, b \} é tamén f^{-1}(\{ a, b \}) = \{ 1, 2 \}. A *preimaxe* de \{ b, d \} baixo f é o  conxunto baleiro \{ \ \} = \emptyset.

* f : \R \to \R definido por f(x) = x^2.
A *imaxe* of \{ -2, 3 \} baixo f é f(\{ -2, 3 \}) = \{ 4, 9 \}, e a *imaxe* de f é \R^+ (o conxunto de todos os números reais positivos e cero). A *preimaxe* de \{ 4, 9 \} baixo f é f^{-1}(\{ 4, 9 \}) = \{ -3, -2, 2, 3 \}. A *preimaxe* do conxunto N = \{ n \in \R : n  baixo f é o conxunto baleiro, porque os números negativos non teñen raíz cadrada nos reais.
* f : \R^2 \to \R definido por f(x, y) = x^2 + y^2.
As fibras f^{-1}(\{ a \}) son circunferencias concéntricas aorredor da orixe, a propia orixe e o conxunto baleiro, dependdendo do valor de , sea > 0, \ a = 0, \text{ or } \ a  (respectively). (No caso de a \ge 0, daquela a *fibra* f^{-1}(\{ a \})é o conxunto de todos os  (x, y) \in \R^2 que satisfán a ecuación x^2 + y^2 = a, isto é, as circunferencias centradas na orixe con raio \sqrt{a}.)
* Se M é unha variedade e \pi : TM \to M e a  proxección canónica desde fibrado tanxente TM en M, entón as *fibras* de \pi son os espazos tanxentes T_x(M) \text{ para } x \in M. isto é tamén un exemplo de fibrado tanxente.
* Un grupo cociente é unha *imaxe homomorfa*.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* .

* 
*