Fórmula de Herón

miniatura|198x198px| Un triángulo con lados *a*, *b*, *c e ángulos opostos* \alpha, \beta, \gamma
En xeometría, **a fórmula de Herón**  dá a área dun triángulo en función das tres lonxitudes dos lados    Sexa  o semiperímetro do triángulo, s = \tfrac12(a + b + c), a área  é 

: A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.

Leva o nome do enxeñeiro Herón de Alexandría do século I quen a demostrou na súa obra *Metrica*, aínda que probablemente se coñecía séculos antes.

## Exemplo 
Sexa  o triángulo con lados a = 4,b = 13, e c = 15. O semiperímetro deste triángulo é s = \tfrac12(a+b+c)= {}\tfrac12(4+13+15) = 16, a área será logo

: \begin{align}
A &= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{16 \cdot (16-4) \cdot (16-13) \cdot (16-15)} \\
&= \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{576} = 24.
\end{align}

## Expresións alternativas 
A fórmula de Herón tamén se pode escribir en termos só das lonxitudes, sen usar o semiperímetro,

: \begin{align}
A &=\tfrac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}. \\[6mu]

A &=\tfrac{1}{4}\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}.
\end{align}

A mesma relación pódese expresar usando o determinante de Cayley-Menger, 

:  -16A^2 = \begin{vmatrix}
 0 & a^2 & b^2 & 1 \\
a^2 & 0  & c^2 & 1 \\
b^2 & c^2 & 0  & 1 \\
 1 &  1 &  1 & 0
\end{vmatrix}. 

## Probas 
### Proba trigonométrica mediante a lei dos cosenos 
En primeiro lugar mostramos unha proba moderna, bastante diferente da proporcionada por Herón.  Sexan    os lados do triángulo e    os ángulos opostos a eses lados (figura inicial). Aplicando a lei dos cosenos obtemos

: \cos \gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

A partir deste coseno obtemos o seno,

: \sin \gamma = \sqrt{1-\cos^2 \gamma} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}.

A altura do triángulo con base  mide , e segue

: \begin{align}
A
&= \tfrac12 (\mbox{base}) (\mbox{altura}) \\[6mu]
&= \tfrac12 ab\sin \gamma \\[6mu]
&= \frac{ab}{4ab}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2} \\[6mu]
&= \tfrac14\sqrt{-a^4 - b^4 - c^4 + 2 a^2 b^2 + 2 a^2 c^2 + 2 b^2 c^2} \\[6mu]
&= \tfrac14\sqrt{(a + b + c)(- a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)} \\[6mu]
&= \sqrt{
 \left(\frac{a + b + c}{2}\right)
 \left(\frac{- a + b + c}{2}\right)
 \left(\frac{a - b + c}{2}\right)
 \left(\frac{a + b - c}{2}\right)} \\[6mu]
&= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.
\end{align}

### Proba alxébrica mediante o teorema de Pitágoras 
miniatura|270x270px|Triángulo coa altura  que corta a base  en
A seguinte proba é moi semellante á dada por Raifaizen.  Polo teorema de Pitágoras temos b^2 = h^2 + d^2 e a^2 = h^2 + (c - d)^2 segundo a figura de enriba. Restando temos, a^2 - b^2 = c^2 - 2cd. Esta ecuación permítenos expresar  en función dos lados do triángulo:

: d = \frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2c}.

Para a altura do triángulo temos  h^2 = b^2 - d^2. Se substituímos  coa fórmula dada anteriormente e aplicando a diferenza de cadrados obtemos

: 
\begin{align}
 h^2 &= b^2-\left(\frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2c}\right)^2 \\
   &= \frac{(2bc - a^2 + b^2 + c^2)(2bc + a^2 - b^2 - c^2)}{4c^2} \\
   &= \frac{\big((b + c)^2 - a^2\big)\big(a^2 - (b - c)^2\big)}{4c^2} \\
   &= \frac{(b + c - a)(b + c + a)(a + b - c)(a - b + c)}{4c^2} \\
   &= \frac{2(s - a) \cdot 2s \cdot 2(s - c) \cdot 2(s - b)}{4c^2} \\
   &= \frac{4s(s - a)(s - b)(s -c )}{c^2}.
\end{align}

E por último:

: 
\begin{align}
 A &= \frac{ch}{2} \\
  &= \sqrt{\frac{c^2}{4} \cdot \frac{4s(s - a)(s - b)(s - c)}{c^2}} \\
  &= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}.
\end{align}

### Proba trigonométrica mediante a lei das cotanxentes 
[dereita|miniatura|270x270px| Significado xeométrico de ,  e . Vexa a [lei das cotanxentes para coñecer o razoamento detrás disto.]]
Se  é o raio do círculo inscrito do triángulo, entón o triángulo pódese dividir en tres triángulos de igual altitude  e bases   e  A súa área combinada é

: A = \tfrac12ar + \tfrac12br + \tfrac12cr = rs,

onde s = \tfrac12(a + b + c) é o semiperímetro.

O triángulo pódese dividir alternativamente en seis triángulos (en pares congruentes) de altura  e bases   e  de área combinada (ver lei das cotanxentes)

: 
\begin{align}
 A &= r(s-a) + r(s-b) + r(s-c) \\[2mu]
  &= r^2\left(\frac{s - a}{r} + \frac{s - b}{r} + \frac{s - c}{r}\right) \\[2mu]
  &= r^2\left(\cot{\frac{\alpha}{2}} + \cot{\frac{\beta}{2}} + \cot{\frac{\gamma}{2}}\right) \\[3mu]
  &= r^2\left(\cot{\frac{\alpha}{2}} \cot{\frac{\beta}{2}} \cot{\frac{\gamma}{2}}\right)\\[3mu]
  &= r^2\left(\frac{s - a}{r} \cdot \frac{s - b}{r} \cdot \frac{s - c}{r}\right) \\[3mu]
  &= \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{r}.
\end{align}

O paso medio anterior é \cot{\tfrac{\alpha}{2}} + \cot{\tfrac{\beta}{2}} + \cot{\tfrac{\gamma}{2}} = {}\cot{\tfrac{\alpha}{2}}\cot{\tfrac{\beta}{2}}\cot{\tfrac{\gamma}{2}}, a identidade cotanxente tripla, que aplica porque a suma dos semiángulos é \tfrac\alpha2 + \tfrac\beta2 + \tfrac\gamma2 = \tfrac\pi2.

Combinando as dúas, conseguimos

: A^2 = s(s - a)(s - b)(s - c).

## Estabilidade numérica 
A fórmula de Herón, como se indica anteriormente, é numericamente inestable para triángulos cun ángulo moi pequeno cando se usa a aritmética de coma flotante. Unha alternativa estable consiste en organizar as lonxitudes dos lados de xeito que a \ge b \ge c e calcular 

: A = \tfrac14 \sqrt{\big(a + (b + c)\big) \big(c - (a - b)\big) \big(c + (a - b)\big) \big(a + (b - c)\big)}.

Respectando os corchetes na avaliación.

## Fórmulas semellantes da área do triángulo 
En función das  medianas ,      e a súa semisuma, \sigma = \tfrac12(m_a + m_b + m_c), daquela 

: A = \frac{4}{3} \sqrt{\sigma (\sigma - m_a)(\sigma - m_b)(\sigma - m_c)}.

En función das alturas,  , ,   e a semisuma dos seus recíprocos  H = \tfrac12\bigl(h_a^{-1} + h_b^{-1} + h_c^{-1}\bigr), daquela

: 
A^{-1} = 4 \sqrt{H\bigl(H-h_a^{-1}\bigr)\bigl(H-h_b^{-1}\bigr)\bigl(H-h_c^{-1}\bigr)}.

En función dos ángulos      e a semisuma dos seus senos S = \tfrac12(\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma), daquela

: \begin{align}
A &= D^{2} \sqrt{S(S-\sin \alpha)(S-\sin \beta)(S-\sin \gamma)} \\[5mu]
 &= \tfrac12 D^{2} \sin \alpha\,\sin \beta\,\sin \gamma,
\end{align}

onde  é o diámetro do círculo circunscrito, D = a/{\sin \alpha} = b/{\sin \beta} = c/{\sin \gamma}. Esta última fórmula coincide coa fórmula estándar de Herón cando o círculo circunscrito ten un diámetro unitario.

## Xeneralizacións 
dereita|miniatura|192x192px| Cuadrilátero cíclico
A fórmula de Herón é un caso especial da fórmula de Brahmagupta para a área dun cuadrilátero cíclico. A fórmula de Herón e a fórmula de Brahmagupta son casos especiais da fórmula de Bretschneider para a área dun cuadrilátero. A fórmula de Herón pódese obter a partir da fórmula de Brahmagupta ou da fórmula de Bretschneider poñendo un dos lados do cuadrilátero a cero.

A fórmula de Brahmagupta para a área  dun cuadrilátero cíclico cuxos lados teñen lonxitudes     sería

: K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}

onde s = \tfrac12(a + b + c + d) é o semiperímetro.

Outra xeneralización da fórmula de Herón para pentágonos e hexágonos inscritos nun círculo foi descuberta por David P. Robbins. 

### Fórmula tipo Herón para o volume dun tetraedro 
Se       son lonxitudes de arestas do tetraedro (os tres primeiros forman un triángulo;  oposto a  e igual para o resto), daquela 

: 
\text{volume} = \frac
 {\sqrt {\,( - a + b + c + d)\,(a - b + c + d)\,(a + b - c + d)\,(a + b + c - d)}}
 {192\,u\,v\,w}

onde

: \begin{align}
a &= \sqrt {xYZ} \\
b &= \sqrt {yZX} \\
c &= \sqrt {zXY} \\
d &= \sqrt {xyz} \\
X &= (w - U + v)\,(U + v + w) \\
x &= (U - v + w)\,(v - w + U) \\
Y &= (u - V + w)\,(V + w + u) \\
y &= (V - w + u)\,(w - u + V) \\
Z &= (v - W + u)\,(W + u + v) \\
z &= (W - u + v)\,(u - v + W).
\end{align}

### Fórmulas de Herón en xeometrías non euclidianas 
Tamén hai fórmulas para a área dun triángulo en función da lonxitude dos seus lados para os triángulos da esfera ou do plano hiperbólico.  Para un triángulo na esfera con lonxitudes de lados   e ,   semiperímetro s=\tfrac12(a+b+c) e área , temos

triángulo na esfera:

: 
\tan^2 \frac S 4 = \tan \frac s2 \tan\frac{s-a}2 \tan\frac{s-b}2 \tan\frac{s-c}2

triángulo no plano hiperbólico:

: 
\tan^2 \frac S 4 = \tanh \frac s2 \tanh\frac{s-a}2 \tanh\frac{s-b}2 \tanh\frac{s-c}2. 

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Shoelace formula

### Ligazóns externas 
* A Proof of the Pythagorean Theorem From Heron's Formula at cut-the-knot
* Interactive applet and area calculator using Heron's Formula
* J. H. Conway discussion on Heron's Formula
* A Geometric Proof of Heron's Formula 
* An alternative proof of Heron's Formula without words
* Factoring Heron