Función meromorfa

No campo matemático da análise complexa, unha **función meromorfa** nun subconxunto aberto *D* do plano complexo é unha función que é holomorfa en todo *D* *agás* nun conxunto de puntos illados, que son polos da función. O termo provén do grego *meros* (  ), que significa "parte". 

Toda función meromorfa en *D* pódese expresar como a razón entre dúas funcións holomorfas (co denominador distinto da constante 0) definidas en *D*: calquera polo debe coincidir cun cero do denominador.
[dereita|miniatura| A [función gamma é meromorfa en todo o plano complexo.]]

## Descrición intuitiva 
Intuitivamente, unha función meromorfa é unha relación de dúas funcións que se comportan ben (holomorfas). A función meromorfa aínda terá un bo comportamento en case todos os puntos, agás posibelmente nos puntos onde o denominador da fracción sexa cero. Se o denominador ten un cero en *z* e o numerador non, entón o valor da función achegarase ao infinito; se numerador e denominador teñen un cero en *z*, entón hai que comparar a multiplicidade destes ceros.

Desde un punto de vista alxébrico, se o dominio da función está conectado, entón o conxunto de funcións meromorfas é o corpo de fraccións do dominio de integridade do conxunto de funcións holomorfas. Isto é análogo á relación entre os números racionais e os enteiros.

## Propiedades 
Dado que os polos están illados, unha función meromorfa so pode ter  numerabelmente moitos polos. O conxunto de polos pode ser infinito, como exemplifica a función

:f(z) = \csc z = \frac{1}{\sin z}.

Usando a continuación analítica para eliminar as  singularidades eliminábeis, pódense engadir, restar, multiplicar funcións meromorfas, tamén se pode formar o cociente f/g  a non ser que g(z) = 0 nun conxunto conexo de *D.* Así, se *D* é conexo, as funcións meromorfas forman un corpo, de feito unha extensión do corpo dos números complexos .

## Exemplos 
* Todas as funcións racionais, por exemplo 
: f(z) = \frac{z^3 - 2z + 10}{z^5 + 3z - 1}, 
:son meromorfas en todo o plano complexo. A maiores, son as únicas funcións meromorfas no plano complexo estendido.
* As funcións  f(z) = \frac{e^z}{z} \quad\text{and}\quad f(z) = \frac{\sin{z}}{(z-1)^2} así como a función gamma e a función zeta de Riemann son meromorfas en todo o plano complexo.
* A función 
: f(z) = e^\frac{1}{z} 
:está definida en todo o plano complexo agás na orixe, 0. Porén, 0 non é un polo desta función, senón unha singularidade esencial. Así, esta función non é meromorfa en todo o plano complexo. No entanto, se sacamos o 0 do dominio, \mathbb{C} \setminus \{0\}, daquela a función é meromorfa e mesmo holomorfa no resto do dominio.  
* Función logarítmica complexa 
: f(z) = \ln(z) 
:non é meromorfa en todo o plano complexo, xa que non se pode definir en todo o plano complexo simplemente excluíndo un conxunto de puntos illados.
* A función 
: f(z) = \csc\frac{1}{z} = \frac1{\sin\left(\frac{1}{z}\right)} 
:non é meromorfa en todo o plano, xa que o punto z = 0 é un punto de acumulación de polos e, polo tanto, non é unha singularidade illada. 
* A función 
: f(z) = \sin \frac 1 z 
:tampouco non é meromorfa, xa que ten unha singularidade esencial en 0.

## Sobre superficies de Riemann 
Nunha superficie de Riemann, cada punto admite unha veciñanza aberta que é biholomorfa nun subconxunto aberto do plano complexo. Deste xeito, a noción de función meromorfa pódese definir para cada superficie de Riemann.

Cando *D* é a esfera de Riemann completa, o corpo das funcións meromorfas é simplemente o corpo das funcións racionais nunha variábel sobre o corpo complexo, xa que se pode probar que calquera función meromorfa na esfera é racional. (Este é un caso especial do chamado principio GAGA).

Para toda superficie de Riemann, unha función meromorfa é o mesmo que unha función holomorfa que se corresponde coa esfera de Riemann e que non é a función constante igual a \infty. Os polos corresponden a aqueles números complexos que están asignados a \infty.

Nunha superficie de Riemann non compacta, cada función meromorfa pódese realizar como un cociente de dúas funcións holomorfas (definidas globalmente). Pola contra, nunha superficie de Riemann compacta, toda función holomorfa é constante, mentres que sempre existen funcións meromorfas non constantes.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
*Teorema de Mittag-Leffler
*teorema da factorización de Weierstrass