Intervalo entre primos

[dereita|miniatura|400x400px| [Frecuencia (estatística)|Distribución de frecuencia de intervalos entre primos para números primos de ata 1.600 millóns. Os picos ocorren en múltiplos de 6.]]

Un **intervalo entre primos** é a diferenza entre dous números primos sucesivos. O intervalo entre o primo *n*-ésimo, denotado *g**n* ou *g*(*p**n*) é a diferenza entre o primo (*n*&nbsp;+&#x2009;1) e o primo *n*-ésimo , é dicir

: g_n = p_{n + 1} - p_n.\ 

Temos *g*1 = 1, *g*2 = *g*3 = 2 e *g*4 = 4. A secuencia (*g**n*) de intervalos primos foi moi estudada; con todo, moitas preguntas e conxecturas fican aínda sen resposta.

Os primeiros 60 intervalos primos son:

: 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2,...      .

: p_{n+1} = 2 + \sum_{i=1}^n g_i.

## Observacións sinxelas 
Para calquera número enteiro *n*, o factorial *n*! é o produto de todos os enteiros positivos ata *n* incluído. Logo na secuencia

: n!+2,\; n!+3,\; \ldots,\; n!+n

o primeiro termo é divisible por 2, o segundo termo é divisible por 3, etc. Así, esta é unha secuencia de  enteiros compostos consecutivos, e debe pertencer a un espazo entre números primos que teñan polo menos *n* de lonxitude. Dedúcese logo que hai intervalos entre primos que son arbitrariamente grandes, é dicir, para calquera número enteiro *N*, hai un enteiro *m* con .

O primeiro intervalo primo de tamaño maior que 14 ocorre entre os primos 523 e 541, mentres que 15! é un número moito maior 1307674368000.

O intervalo medio entre os primos aumenta a medida que o logaritmo natural destes primos e, polo tanto, a proporción entre os primos e os primos implicados diminúe (e é asintóticamente cero). Esta é unha consecuencia do teorema dos números primos. De feito, a relación entre o intervalo e o número de díxitos dos enteiros implicados aumenta sen límite. Esta é a consecuencia dun resultado de Westzynthius.

Na dirección oposta, a conxectura dos primos xemelgos postula que  para un número infinito de números enteiros *n*.

Para algún número primo *P*, escribimos *P*# para representar *P primorial*, ou sexa, o produto de todos os números primos menores ou iguais a *P*. Se *Q* é o número primo seguinte a  *P*, entón a secuencia

: P\#+2, P\#+3,\ldots,P\#+(Q-1)

é unha secuencia de *Q* &minus; 2 números enteiros compostos, onde temos un intervalo entre primos de tamaño mínimo *Q* &minus; 1. Por tanto, existen intervalos entre primos de tamaño arbitrariamente longos. Outra forma de ver que hai intervalos arbitrariamente grandes de primos é o feito de que a densidade de números primos aproxímase a cero, de acordo co  Teorema do número primo.

Na verdade, os intervalos entre primos de *P* números poden ocorrer con  números moito menores que *P*#. Por exemplo, a menor secuencia de 71 números enteiros compostos consecutivos ocorre entre 31398 e 31468, en cnto 71# ten *vinte e sete dígitos*, seu valor total é 557940830126698960967415390.

## Resultados numéricos
O maior intervalo entre dous primos coñecidos ata 2016 con primos probábeis identificados ten tamaño 4680156, con números primos de 99750 díxitos atopado por Martin Raab. O maior intervalo entre dous primos con primos xa probados ten tamaño 1113106, con números primos de 18662 díxitos atopados por P. Cami, M. Jansen e J. K. Andersen.

Dicimos que *g**n* é un *intervalo maximal*, se *g**m* *n*  \forall *m* \limsup_{n\to\infty}\frac{g_n}{\log p_n}=\infty.

Normalmente, a razón *g**n* / ln(*p**n*) chámase *mérito* dun intervalo entre primos *g**n*.

Ata novembro de 2016, o maior valor de "mérito" coñecido foi descoberto por Dana Jacobsen, sendo

: \frac{10716}{(\ln(p_{n}))^2} \approx 36,858288

onde 283# indica o primorial de 283. que existe unha constante θ \pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\log(x)} \text{para } x \to \infty, 

mostrando así que

:g_n

para *n* suficientemente grande.

Hoheisel obtivo un posíbel valor  \frac{32999}{33000}  para θ. O valor da constante foi posteriormente mellorado para  \frac{249}{250}  Heilbronn, e para θ = 3/4 + ε, para algún ε > 0, por Chudakov.

O mellor resultado é debido a Ingham, que mostrou que

:\zeta \left( \frac{1}{2} + it \right)=O(t^c)\,

para algunha constante positiva *c*, onde *O*' reférese à notación O grande, e

:\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\log(x)}

para algún  \theta > \frac{1 + 4c}{2 + 4c} . ζ denota a función zeta de Riemann e π a función contaxe de números primos. Sabendo que para algún  c > \frac{1}{6}  é admisíbel, obtense que θ é un número maior que  \frac{5}{8}.

Unha consecuencia inmediata do resultado de Ingham é que sempre hai un número primo entre *n*3 e (*n* + 1)3, se * n* é o suficientemente grande. A hipótese de Lindelöf pode implicar que a fórmula de Ingham funciona para calquera constante positiva *c*: mais mesmo isto non é suficiente para implicar que hai un número primo entre *n*2 e (*n* + 1)2 para *n* suficientemente grande ( ver Conxectura de Legendre). Para verificar isto, é necesario un resultado máis forte como a conxectura de Cramér.

Huxley en 1972 demostrou que se pode escoller θ = \frac{7}{12} = 0,58(3).

Un resultado, debido a Baker, Harman e Pintz en 2001, mostrou que θ pode considerarse 0,525.

En 2005, Daniel Goldston, János Pintz e Cem Yıldırım demostraron que

:\liminf_{n\to\infty}\frac{g_n}{\log p_n}=0

e dous anos máis tarde demostraron que 

:\liminf_{n\to\infty}\frac{g_n}{\sqrt{\log p_n}(\log\log p_n)^2}

En 2013, Yitang Zhang demostrou iso

:\liminf_{n\to\infty} g_n 

o que significa que hai infinitos interalos entre dous números primos consecutivos que non superan os 70 millóns. O proxecto Polymath Project realiza un esforzo de colaboración para optimizar o límite de Zhang. En novembro de 2013, James Maynard creou un novo perfeccionamento, permitindo reducir o límite a 600 e mostra que para algúns *m* hai un rango máximo de *m* primos. Usando as ideas de Maynard, o proxecto Polymath mellorou o límite a 46; asumindo a conxectura de Elliott–Halberstam, N pódese reducir a 12 e 6, respectivamente.

Paul Erdős ofreceu un premio de 10.000 dólares por unha proba ou refutación de que a constante *c* na desigualdade anterior pode considerarse arbitrariamente grande. Foi demostrado correcto en 2014 por Ford–Green–Konyagin–Tao e independentemente por James Maynard.

Máis tarde mellorouse o resultado

:g_n \gg \frac{\log n\log\log n\log\log\log\log n}{\log\log\log n}

para valores infinitos de *n* de Ford–Green–Konyagin–Maynard–Tao.

Pódense determinar entón límites inferiores para cadeas de primos.

## Conxecturas sobre o intervalo entre números primos
thumb|350px|A función de espazo principal.

Aínda mellores resultados están condicionados á hipótese de Riemann. Harald Cramér demostrou que a hipótese de Riemann implica que *g**n* satisfai
: g_n = O(\sqrt{p_n} \log p_n), 

Máis tarde conxeturou que estes valores son sempre menores. Noutras palabras, a conxectura de Cramér usa a seguinte afirmación:

: g_n = O\left((\log p_n)^2\right). 

A conxectura de Firoozbakht afirma que p_{n}^{1/n} (onde p_n é o *n*-ésimo número primo) é unha función estritamente decrecente de *n*, é dicir,

:p_{n+1}^{1/(n+1)} 

Se esta conxectura é certa, a función g_n = p_{n+1} - p_n  satisfai
: g_n  4. 

Isto implica a forma forte da conxectura de Crámer, pero é inconsistente coa heurística de Granville e Pintz que suxire que  g_n > \frac{2-\varepsilon}{e^\gamma}(\log p_n)^2 vale para \varepsilon>0, onde \gamma denota a constante de Euler-Mascheroni.

Mentres tanto, a conxectura de Oppermann é máis feble que a conxectura de Cramér. O tamaño esperado dun intervalo entre dous primos consecutivos coa conxectura de Oppermann é da orde de

: g_n 

Como resultado, isto significa (asumindo que a conxectura de Oppermann é verdadeira) m > 0 (probablemente m = 30) para cada número natural n > m satisfai  g_n 

A conxectura de Andrica, que é máis feble que a de Oppermann, afirma que

: g_n 

## Como función aritmética
O tamaño do intervalo *g**n* entre os números primos *n*-ésimo e (*n*&nbsp;+&nbsp;1)-ésimo é un exemplo de función aritmética. Neste contexto, adoita denotarse por *d**n* e chámase función de diferenza entre números primos.

## Programa en Python 
Varios tipos de programas poden ser feitos para calcular o valor de g_{n}, sendo un importante recurso para a matemática computacional. Abaixo, tense unha versión para Python, que calcula g_{n} para os números primos entre 1 e 10000 (ata ao número primo 9973):

```python
def prime(num):
    for divisor in range(2, num):
        if num % divisor == 0:
            return False
    return True

list_prime = []
for i in range(1,10000):
    if prime(i):
        list_prime.append(i)
        
for n in range(2, len(list_prime)):
    print(f'g({n-1}) = {list_prime[n] - list_prime[n-1]}')
```

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 

### Outros artigos 
* Desigualdade de Bonse
* Primo xemelgo
### Ligazóns externas 
* Thomas R. Nicely, Some Results of Computational Research in Prime Numbers -- Computational Number Theory. Inclúe unha lista de tódolos intervalos coñecidos.
* 
* 
* Armin Shams, Re-extending Chebyshev's theorem about Bertrand's conjecture.
* Chris Caldwell, *Gaps Between Primes*; unha introdución elemental
* Andrew Granville, *Primes in Intervals of Bounded Length*; inclúe o traballo de James Maynard de novembro do 2013.
* Birke Heeren, https://prime-numbers.de Aquí atópanse as grandes intervalos de números primos e un artigo sobre como calcular eses intervalos..