Circunferencia inscrita e exinscrita

dereita|miniatura|337x337px|**Circunferencia inscrita e exinscritas dun triángulo.**

En xeometría, a **circunferencia** **inscrita** dun triángulo é a círcunferencia máis grande que pode estar contida no triángulo; toca (é tanxente a) os tres lados. O centro da circunferencia é un centro do triángulo chamado **incentro** do triángulo.O raio chámase **inraio**.

Unha  **círcunferencia exinscrito** do triángulo é unha circunferenia situado fóra do triángulo, tanxente a un dos seus lados e tanxente ás extensións dos outros dous. Cada triángulo ten tres circunferencias exinscritas distintas, cada unha tanxente a un dos lados do triángulo.

O centro da circunferencia inscrita, chamado **incentro**, pódese atopar como a intersección das tres bisectrices do ángulo interno.  O centro dunha circunferencia exinscrita é a intersección da mediatriz interna dun ángulo (no vértice , por exemplo) e as mediatrices externas dos outros dous. O centro desta excircunferencia chámase **excentro** relativo ao vértice , ou **excentro** de . 
:r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}},

onde s = \tfrac12(a + b + c) é o semiperímetro.

Os puntos de tanxencia da circunferencia inscrita dividen os lados en segmentos de lonxitude s-a dende A, s-b dende B, e s-c dende C. 

Vexa a fórmula de Heron.

#### Distancias aos vértices 
Denotando o incentro de \triangle ABC  como I , as distancias do incentro aos vértices combinadas coas lonxitudes dos lados do triángulo obedecen á ecuación 
:\frac{\overline{IA} \cdot \overline{IA}}{\overline{CA} \cdot \overline{AB}} + \frac{\overline{IB} \cdot \overline{IB}}{\overline{AB} \cdot \overline{BC}} + \frac{\overline{IC} \cdot \overline{IC}}{\overline{BC} \cdot \overline{CA}} = 1.

A maiores, 
:\overline{IA} \cdot \overline{IB} \cdot \overline{IC} = 4Rr^2,

onde R  e r  son o circunraio e o inraio do triángulo respectivamente.

### Circunferencia inscritas e as súas propiedades do seu raio 
#### Distancias entre o vértice e os puntos de contacto máis próximos 
As distancias dun vértice aos dous puntos de contacto máis próximos son iguais; por exemplo:  
:d\left(A, T_B\right) = d\left(A, T_C\right) = \tfrac12(b + c - a) = s - a.

#### Outras propiedades 
Se as alturas dos lados de lonxitudes a, b, e c son h_a, h_b, e h_c, daquela o inraioi r é un terzo da media harmónica destas alturas; é dicir,  
: r = \frac{1}{\dfrac{1}{h_a} + \dfrac{1}{h_b} + \dfrac{1}{h_c}}.

O produto do raio da circunferencia r  e o raio da circunferencia R  dun triángulo con lados a, b, e c é  
:rR = \frac{abc}{2(a + b + c)}.

Algunhas relacións entre os lados, o raio da circunferencia inscrita e o raio da circunferencia dircunscrita son: 
:\begin{align}
   ab + bc + ca &= s^2 + (4R + r)r, \\
 a^2 + b^2 + c^2 &= 2s^2 - 2(4R + r)r.
\end{align}

Calquera liña a través dun triángulo que divide tanto a área do triángulo como o seu perímetro pola metade pasa polo incentro do triángulo (o centro da súa circunferencia inscrita). Hai un, dous ou tres destes para calquera triángulo dado. 

Indicando o centro da circunferencia inscrita de \triangle ABC  como I , temos

:\frac{\overline{IA} \cdot \overline{IA}}{\overline{CA} \cdot \overline{AB}} + \frac{\overline{IB} \cdot \overline{IB}}{\overline{AB} \cdot \overline{BC}} + \frac{\overline{IC} \cdot \overline{IC}}{\overline{BC} \cdot \overline{CA}} = 1

e 
:\overline{IA} \cdot \overline{IB} \cdot \overline{IC} = 4Rr^2.

O raio do circunferencia inscrita non é maior que a novena parte da suma das alturas. 

A distancia ao cadrado do incentro I  ao circuncentro O  vén dada por  
:\overline{OI}^2 = R(R - 2r) = \frac{a\,b\,c\,}{a+b+c}\left [\frac{a\,b\,c\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}-1 \right ]

e a distancia do incentro ao centro N  da circunferencia de nove puntos é  
:\overline{IN} = \tfrac12(R - 2r) 

O incentro sitúase no triángulo medial (cuxos vértices son os puntos medios dos lados).

As tres liñas AT_A , BT_B  e CT_C  córtanse nun único punto chamado **punto de Gergonne**, denotado como G_e  (ou centro do triángulo *X*7). O punto de Gergonne atópase no disco ortocentroidal aberto perforado no seu propio centro, e pode ser calquera punto do mesmo. 

O punto de Gergonne dun triángulo ten unha serie de propiedades, incluíndo que é o punto simediano do triángulo de Gergonne.

## Circunferencias exinscritas e excentros 
dereita|miniatura|337x337px|
Unha  **circunferencia exinscrita**  do triángulo é unha circunferencia situada fóra do triángulo, tanxente a un dos seus lados e tanxente ás extensións dos outros dous. Cada triángulo ten tres circunferencias distintas, cada unha tanxente a un dos lados do triángulo.

O centro dunha circunferencia exinscrita é a intersección da mediatriz interna dun ángulo (no vértice A, por exemplo) e as mediatrices externas das outras dúas. O centro desta circunferencia chámase **excentro** en relación ao vértice A, ou o **excentro** de A. Dado que a mediatriz interna dun ángulo é perpendicular á súa mediatriz externa, dedúcese que o centro da circunferencia inscrita xunto cos tres centros das circunferencia exinscritas forman un sistema ortocéntrico.

### Coordenadas trilineares dos excentros 
Mentres que o incentro de \triangle ABC ten coordenadas trilineares 1 : 1 : 1, as dos excentros son 
:\begin{array}{rrcrcr}
 J_A = & -1 &:& 1 &:& 1 \\
 J_B = & 1 &:& -1 &:& 1 \\ 
 J_C = & 1 &:& 1 &:& -1 
\end{array}

### Exraios 
Os raios das circunferencias exinscritas chámanse **exraios**.

O exraio da circunferencia exinscrita oposta a A (tocando  BC, centrado en J_A) é   
:r_a = \frac{rs}{s - a} = \sqrt{\frac{s(s - b)(s - c)}{s - a}}, onde s = \tfrac{1}{2}(a + b + c).

### Triángulo de Nagel e punto de Nagel 
dereita|conmarco|
O **triángulo de Nagel** ou **triángulo extratanxente** de \triangle ABC denotado polos vértices T_A, T_B, e T_C que son os tres puntos onde as circunferencia exinscritas tocan a \triangle ABC e onde T_A é oposto a A, etc. Este triángulo \triangle T_AT_BT_C tamén se coñece como o **triángulo extratanxente** de \triangle ABC. A circunferencia circunscrita  do triángulo extratanxente \triangle T_AT_BT_C chámase **circunferencia de Mandart** . 

Os tres segmentos de liña \overline{AT_A}, \overline{BT_B} e \overline{CT_C} chámanse os divisores do triángulo; cada un deles xunto ao lado bisecan o perímetro do triángulo,
:\overline{AB} + \overline{BT_A} = \overline{AC} + \overline{CT_A} = \frac{1}{2}\left( \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{AC} \right).

Os divisores crúzanse nun único punto, o punto de Nagel do triángulo N_a (ou centro do triángulo *X*8).

As coordenadas trilineares dos vértices do triángulo extratanxente veñen dadas por 
:\begin{array}{ccccccc}
 T_A &=& 0 &:& \csc^2\frac{B}{2} &:& \csc^2\frac{C}{2} \\[2pt]
 T_B &=& \csc^2\frac{A}{2} &:& 0 &:& \csc^2\frac{C}{2} \\[2pt]
 T_C &=& \csc^2\frac{A}{2} &:& \csc^2\frac{B}{2} &:& 0
\end{array}

As coordenadas trilineares para o punto de Nagel veñen dadas por 
:\csc^2\tfrac{A}{2} : \csc^2\tfrac{B}{2} : \csc^2\tfrac{C}{2},

ou, equivalentemente, pola Lei dos Senos, 
:\frac{b + c - a}{a} : \frac{c + a - b}{b} : \frac{a + b - c}{c}.

O punto de Nagel é o conxugado isotómico do punto de Gergonne.

## Construcións relacionadas 
### Circunferencia de nove puntos e punto de Feuerbach 
dereita|miniatura|250x250px| A circunferencia de nove puntos é tanxente á circunferencia inscrita e ás circunferencias exinscritas
En xeometría, a **circunferencia**  **de nove puntos** é unha circunferencia que se pode construír para calquera triángulo dado. Chámase así porque pasa por nove puntos concíclicos significativos definidos a partir do triángulo. Estes nove puntos son: 

* O punto medio de cada lado do triángulo
* O pé de cada altura
* O punto medio do segmento de liña desde cada vértice do triángulo ata o ortocentro (onde se atopan as tres alturas; estes segmentos de liña sitúanse nas súas respectivas alturas).

En 1822, Karl Feuerbach descubriu que a circunferencia de nove puntos de calquera triángulo é tanxente externamente ás tres circunferencias exinscritas dese triángulo e tanxente internamente á súa circunferencia inscrita; este resultado coñécese como teorema de Feuerbach.

O centro do triángulo no que se tocan a circunferencia inscrita e a circunferencia de nove puntos chámase punto de Feuerbach.

## Teorema de Euler 
O teorema de Euler estabelece que nun triángulo: (R - r)^2 = d^2 + r^2,

onde R e r son o circunraio e o inraio respectivamente, e d é a distancia entre o circuncentro e o incentro.

Para as circunferencias exinscritas  a ecuación é semellante: \left(R + r_\text{ex}\right)^2 = d_\text{ex}^2 + r_\text{ex}^2.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 
* 

### Outros artigos 
* Figura inscrita
* Circunferencia de nove puntos.
* Circunferencia circunscrita.
* Potencia dun punto.

### Ligazóns externas 
* Derivation of formula for radius of incircle of a triangle
* 
*Triangle incenter&nbsp; &nbsp;Triangle incircle&nbsp;&nbsp;Incircle of a regular polygon Con animacións interactivas