Corpo (álxebra)

Na álxebra abstracta, un **corpo** é unha estrutura alxébrica na cal se dan as operacións de adición e multiplicación que ademais cumpren as propiedades asociativa, conmutativa e distributiva, e posúen un inverso aditivo e un inverso multiplicativo, que permiten efectuar as operacións de resta e división (excepto a división por cero). Estas propiedades xa son familiares da aritmética de números ordinarios.

Os corpos son obxectos importantes de estudo na álxebra posto que proporcionan a xeneralización apropiada de dominios de números tales como os conxuntos de números racionais, dos números reais ou dos números complexos.

O concepto dun corpo emprégase tamén para definir o concepto de espazo vectorial e as transformacións nestes obxectos, dadas por matrices, obxectos que na álxebra linear os seus compoñentes poden ser elementos dun corpo arbitrario. A teoría de Galois estuda as relacións de simetría nas ecuacións alxébricas, desde a observación do comportamento das súas raíces e as extensións de corpos correspondentes e a súa relación cos automorfismos de corpos correspondentes.

## Definición 
Un corpo é un anel de división conmutativo, é dicir, un anel conmutativo e unitario no que todo elemento distinto de cero é invertible respecto do produto. Polo tanto, un corpo é un conxunto *K* no que se definiron dúas operacións, + e ·, chamadas *suma* e *multiplicación* respectivamente, que cumpren as seguintes propiedades:

'''*K* é cerrado para a suma e a multiplicación'*
: Para todo *a*, *b* en *K*, *a* + *b* e *a* * *b* pertencen a *K* (ou máis formalmente, + e * son operacións matemáticas en *K*);

**Asociatividade da suma e a multiplicación**
: Para todo *a*, *b*, *c* en *K*, *a* + (*b* + *c*) = (*a* + *b*) + *c* e *a* * (*b* * *c*) = (*a* * *b*) * *c*.

**Conmutatividade da suma e a multiplicación**
: Para todo *a*, *b* en *K*, *a* + *b* = *b* + *a* e *a* * *b* = *b* * *a*.

**Existencia dun elemento neutro para a suma e a multiplicación**
: Existe un elemento 0 en *K*, tal que para todo *a* en *K*, *a* + 0 = *a*. 
: Existe un elemento 1 en *K* diferente a 0, tal que para todo *a* en *K*, *a* * 1 = *a*.

**Existencia de elemento oposto e de inversos:**
: Para cada *a* en *K*, existe un elemento -*a* en *K*, tal que *a* + (- *a*) = 0. 
: Para cada *a* ≠ 0 en *K*, existe un elemento *a* -1 en *K*, tal que *a* * *a*-1 = 1.

**Distributividade da multiplicación respecto da suma**
: Para todo *a*, *b*, *c*, en *K*, *a* * (*b* + *c*) = (*a* * *b*) + (*a* * *c*).

O requisito a ≠ 0 asegura que o conxunto que contén só un cero non sexa un corpo, e de paso elimina a posibilidade de que no corpo existan divisores de cero distintos de 0, o que o converte tamén nun dominio de integridade. Directamente dos axiomas, pódese demostrar que (*K*, +) e (*K* - { 0 }, *) son grupos conmutativos e que polo tanto (véxase a teoría de grupos) o oposto -*a* e o inverso *a*−1 son determinados unicamente por *a*. Ademais, o inverso dun produto é igual ao produto dos inversos:

: (*a*b*)-1 = *a*-1 * *b*-1

con tal que *a* e *b* sexan diferentes de cero. Outras regras útiles son:

: -*a* = (-1) * *a*

e máis xeralmente

: - (*a* * *b*) = (-*a*) * *b* = *a* * (-*b*)

así como

: *a* * 0 = 0,

todas regras familiares da aritmética elemental.

## Exemplos de corpos 
### Racionais e alxébricos 
Os números racionais \mathbb Q = \{{ a \over b} | a, b \in \mathbb Z, b \neq 0\} onde está incluído o conxunto \mathbb Z dos números enteiros, forman un corpo.

Os números complexos conteñen o corpo de números alxébricos, a clausura alxébrica de **Q**.

### Números reais, complexos e *p*-ádicos 
Os números reais \mathbb R coas operacións usuais forman un corpo.

Os números hiperreais forman un corpo que contén os reais máis os números infinitesimais e infinitos. Os números surreais forman un corpo que contén os reais, a excepción do feito de que son unha clase propia, non un conxunto. O conxunto de todos os números surreais coa condición de seren menor que un certo cardinal inaccesible é un corpo.

Os números reais conteñen varios subcorpos interesantes: os números reais alxébricos, os números computables, e os números definibles.

Os números complexos \mathbb C consisten en expresións do tipo
:*a* + *b*i
onde i é a unidade imaxinaria, *i.e.*, un número (non real) que satisfai i2 = −1.
A adición e multiplicación dos números reais son definidos de tal maneira para que todos os axiomas do corpo se cumpren para **C**. Por exemplo, a lei distributiva cumpre

:(*a* + *b*i)·(*c* + *d*i) = *ac* + *bc*i + *ad*i + *bd*i2, que é igual a *ac*−*bd* + (*bc* + *ad*)i.
Os números racionais pódense ampliar aos corpos de números p-ádicos para cada número primo *p*.

### Corpos finitos 
O corpo máis pequeno ten só dous elementos: 0 e 1. É denotado por {\mathbb F}_2 o {\mathbb Z}_2 e pode ás veces ser visto nas dúas táboas que seguen:

:\begin{array}
      \hline
      + & \mathbf{0} & \mathbf{1} \\
      \hline
      \mathbf{0} & 0 & 1 \\
      \mathbf{1} & 1 & 0 \\
      \hline
   \end{array}
   \quad
   \begin{array}
      \hline
      \cdot & \mathbf{0} & \mathbf{1} \\
      \hline
      \mathbf{0} & 0 & 0 \\
      \mathbf{1} & 0 & 1 \\
      \hline
   \end{array}

Ten aplicacións importantes na informática, especialmente na criptografía e na teoría da codificación.

Máis xeralmente, para un número primo p, o conxunto dos números enteiros módulo p é un corpo finito cos p elementos: isto pode escribirse como {\mathbb Z}_p = \{ 0, 1,...,p-1\} onde as operacións son definidas realizando a operación en \mathbb Z, dividindo por p e tomando o resto, ver aritmética modular.

### Corpos de funcións 
Para un corpo dado *K*, o conxunto *K*(*X*) de funcións racionais na variable *X* con coeficientes en *K* é un corpo; isto defínese como o conxunto de cocientes de polinomios con coeficientes en *K*.

Se *K* é corpo, e *p*(*X*) é un polinomio irredutible nun anel de polinomios *F*[*X*], entón o cociente *F*[*X*]/ é un corpo cun subcorpo isomorfo a *K*. Por exemplo, **R**[*X*]/(*X*2+1) é un corpo (de feito, é isomorfo con respecto ao corpo dos números complexos).

Cando *K* é un corpo, o conxunto *K* de series formais de Laurent sobre *K* é un corpo.

Se *V* é unha variedade alxébrica sobre *K*, entón as funcións racionais *V* → *K* forman un corpo, o corpo de funcións *V*. Se *S* é unha superficie de Riemann, entón as funcións meromorfas de *S* → **C** forman un corpo.

### Ultrafiltros 
Se *I* é un conxunto de índices, *U* é un ultrafiltro sobre *I*, e *K**i* é un corpo para cada *i* en *I*, o ultraproduto de *K**i* (usando *U*) é un corpo.

### Subcorpos 
Sexan *E* e *K* dous corpos con *E* un subcorpo de *K* (é dicir, un subconxunto de *K* que contén 0 e 1, cerrado baixo as operacións + e * de *K* e coas súas propias operacións definidas por restrición). Sexa *x* un elemento de *K* non en *E*. Entón *E*(*x*) defínese como o subcorpo máis pequeno de *K* que contén a *E* e a *x*. Por exemplo, **Q**(*i*) é o subcorpo dos números complexos **C** que consisten en todos os números da forma *a+bi* onde *a* e *b* son números racionais.

## Algúns teoremas iniciais 
*O conxunto de elementos diferentes de cero dun corpo *K* (denotado tipicamente por *K*×) é un grupo abeliano baixo multiplicación. Cada subgrupo finito de *K*× é cíclico.
*A característica de calquera corpo é cero ou un número primo. A característica defínese como o número enteiro positivo máis pequeno *n* tal que *n*·1 = 0, ou cero se non existe tal *n*; aquí *n*·1 significa *n* sumandos 1 + 1 + 1 +... + 1).
*Se q > 1 é unha potencia dun número primo, entón existe (salvo isomorfismo) exactamente un corpo finito con q elementos. Ademais, estes son os únicos corpos finitos posibles.
*Como anel, un corpo non ten ningún ideal excepto {0} e el mesmo.
*Todo anel de división finito é un corpo (teorema de Wedderburn).
*Para cada corpo *K*, existe (salvo isomorfismo) un corpo único G que contén a *K*, é alxébrico sobre *K*, e é alxebricamente pechado. *G* denomínase clausura alxébrica de *K*.

## Construcións de corpos 
### Subcorpos e ideais 
Se un subconxunto *E* dun corpo (*K*,+,*) xunto coas operacións *, + restrinxido a *E* é en si mesmo un corpo, entón denominase subcorpo de *K*. Tal subcorpo ten os mesmos 0 e 1 que *K*.

Sexa (K,+,\cdot) un corpo, e E \subset K. Dise que \ E é subcorpo de \ K ou que \ K é extensión de \ E se se cumpre que (E,+,\cdot) é un corpo cando as operacións \ (+) e (\cdot) se restrinxen a \ E. En particular, \ E será entón un subanel de (K,+,\cdot). Tense logo que \ (E,+) e (E \setminus \{0\}, \cdot) son subgrupos respectivos dos grupos abelianos \ (K,+) e (K \setminus \{0\},\cdot).

Como todo corpo é un anel, poderíamos preguntarnos pola forma que teñen os seus ideais. Para empezar, como todo corpo é anel conmutativo, todo ideal pola esquerda é ideal (bilátero) e todo ideal pola dereita é tamén ideal (bilátero). Así pois, só hai que estudar os ideais do corpo.

Se \ I é ideal do corpo \ K, entón todo elemento non nulo a \in K terá inverso, a^{-1} \in K, logo \ a é unha unidade de \ K [isto é, a \in U(K)], e terase que I \cap U(K) \neq \varnothing, é dicir, \ I=R. Desta forma, os únicos ideais dun corpo son o propio corpo e o ideal nulo.

### Corpo de fraccións 
Dado un corpo K, o corpo polinómico *K*(*X*) é o corpo de fraccións de polinomios en *X* con coeficientes en *K*, é dicir, os seus elementos son funcións racionais con coeficientes en K.

### Extensión de corpos 
Unha extensión alxébrica dun corpo *K* é o corpo máis pequeno que contén a *K* e unha raíz dun polinomio irredutible *p*(*X*) en *K* [*X*]. Alternativamente, é idéntico ao anel factor (ou cociente) *K* [*X*]/(*p*(*X*)), onde (*p*(*X*)) é o ideal xerado por *p*(*X*).

## Véxase tamén 
### Ligazóns externas
* *Field'', en Math World