Sigma-álxebra

En análise matemática e teoría da probabilidade, unha **σ-álxebra** sobre un conxunto *X* é unha colección non baleira Σ de subconxuntos de *X* pechados baixo a complementación, a unión numerable e a intersección numerable. O par ordenado (X, \Sigma) chámase espazo medible.

## Definición 
Dado un conxunto non baleiro X, e P(X) o seu conxunto de partes, dicimos que \Sigma \subseteq \mathcal{P}(X) é unha '*\sigma*-álxebra en* X*' se se satisfán as seguintes condicións:

* O conxunto baleiro \emptyset e o conxunto total X son elementos de \Sigma.
* Dado un elemento E\in\Sigma, o seu conxunto complementario E^c = X\setminus E tamén pertence a \Sigma.
* (*\sigma-aditividade*) Dado un conxunto numerable \{E_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\Sigma , o conxunto unión E = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} E_n  tamén pertence a \Sigma.

Dado X un conxunto e \Sigma unha \sigma-álxebra en X, chamamos **espazo medible** ao par formado por (X,\Sigma).

## Propiedades das \sigma-álxebras 
Sexa (X,\Sigma) un espazo medible. Pódese demostrar que

* (*Aditividade finita*) Dado un conxunto finito \{E_k\}_{k=1}^n de elementos de \Sigma, o conxunto unión (finita) E = \bigcup_{k=1}^n E_k tamén é un elemento de \Sigma.
* Dado un conxunto numerable \{E_n\}_{n\in\mathbb{N}} de elementos de \Sigma, o conxunto intersección (numerable) E = \bigcap_{n\in\mathbb{N}} E_n  tamén pertence a \Sigma. Desta propiedade dedúcese que tamén ocorre o mesmo para a intersección finita de elementos de \Sigma.
* Dados dous elementos E, F de \Sigma, o conxunto E\setminus F tamén pertence a \Sigma.

## Exemplos de \sigma-álxebras 
* Chamamos **\sigma-álxebra trivial** á \sigma-álxebra formada polo conxunto baleiro e o total: \Sigma = \{\emptyset,X\}. Trátase da \sigma-álxebra máis pequena sobre X.

* A maior \sigma-álxebra posible sobre X é o conxunto \mathcal{P}(X). Calquera \sigma-álxebra \Sigma sobre X satisfai que \{\emptyset,X\}\subset\Sigma\subset\mathcal{P}(X).

* Dadas dúas \sigma-álxebras \Sigma_1 e \Sigma_2, a súa intersección \Sigma_1\cup\Sigma_2 é tamén unha \sigma-álxebra en X.

* Dado un subconxunto A\subset X, a menor \sigma-álxebra sobre X que contén a A é \Sigma = \{\emptyset,A,A^c,X\}.

* Dado \mathcal{S}\subset \mathcal{P}(X), a menor \sigma-álxebra sobre X que contén a \mathcal{S} é a intersección de todas as \sigma-álxebras que conteñen a \mathcal{S}. Denominámola **\sigma-álxebra xerada por \mathcal{S}**.

* Dado un conxunto A\subset X, denominamos **\sigma-álxebra inducida** a \Sigma_A = \{A\cap E\colon \ E\in\Sigma\}. Esta é unha \sigma-álxebra sobre o conxunto A.

## Funcións medibles e \sigma-álxebras 
Dicimos que unha función f:(X_1,\Sigma_1) \to (X_2,\Sigma_2) é medible se a preimaxe dun conxunto medible en (X_2,\Sigma_2) é medible en (X_1,\Sigma_1), isto é, se para cada X\in\Sigma_2 tense que f^{-1}(X)\in\Sigma_1.

A noción de función medible motiva a definición das seguintes \sigma-álxebras:
### σ-álxebra mínima 
{{Teorema|Sexa \Sigma_1 un conxunto, (X_2,\Sigma_2) un espazo medíbel e f:\Sigma_1 \to \Sigma_2 unha aplicación.

Daquela, a familia
:X_1 = \{f^{-1}(X):X \in X_2\} \subseteq \mathcal{P}(\Sigma_1)
é unha \sigma-álxebra sobre \Sigma_1.
}}
Por construción, esta é a **mínima** \sigma-álxebra (no sentido da inclusión) sobre \Sigma_1 tal que a función f:(X_1,\Sigma_1) \to (X_2, \Sigma_2) é medíbel.

### σ-álxebra máxima 
{{Teorema|Sexa (X_1, \Sigma_1) un espazo medíbel, \Sigma_2 un conxunto e f:\Sigma_1 \to \Sigma_2 unha aplicación.

Daquela, a familia
:X_2 = \{f(X):X \in X_1\} \subseteq \mathcal{P}(\Sigma_2)
é unha \sigma-álxebra sobre \Sigma_2.
}}

Trátase da **máxima** \sigma-álxebra (no sentido da inclusión) sobre \Sigma_2 tal que a función f:(X_1,\Sigma_1) \to (X_2,\Sigma_2) é medíbel.

## σ-álxebras de Borel e Lebesgue
Un exemplo importante é a álxebra de Borel sobre calquera espazo topolóxico: a σ-álxebra xerada polos conxuntos abertos (ou, equivalentemente, polos conxuntos pechados). Esta σ-álxebra non é, en xeral, o conxunto de partes completo. Para un exemplo non trivial que non é un conxunto de Borel, véxase o conxunto de Vitali ou o Conxuntos non borelianos.

No espazo euclidiano \Reals^n, outra σ-álxebra é importante: a de todos os conxuntos medíbeis de Lebesgue. Esta σ-álxebra contén máis conxuntos que a σ-álxebra de Borel en \Reals^n e é a preferida na teoría de integración, xa que dá un espazo de medida completo.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 

### Outros artigos 
* Función medible
* Medida (matemáticas)

### Ligazóns externas 
* 
* Sigma Algebra from PlanetMath.