Teorema dos ceros de Hilbert

En matemáticas, **o teorema dos ceros de Hilbert (**ou  **Nullstellensatz de Hilbert)** é un teorema que estabelece unha relación fundamental entre xeometría e álxebra. 

Esta relación é a base da xeometría alxébrica. Relaciona conxuntos alxébricos cos ideais en aneis polinómicos sobre corpos alxebraicamente pechados. 

Esta relación foi descuberta por David Hilbert, quen probou o Nullstellensatz no seu segundo artigo importante sobre a teoría invariante en 1893 (seguindo o seu artigo fundamental de 1890 no que demostrou o teorema da base de Hilbert).

## Formulación 
Sexa k un corpo (como os números racionais) e K unha extensión de corpo alxebricamente pechada de k (como os números complexos). Considere o anel polinómico k[X_1, \ldots, X_n] e sexa I un ideal neste anel. O conxunto alxébrico \mathrm V(I) definido por este ideal consta de todas as n-tuplas \mathbf x = (x_1, \dots, x_n) en K^n tal que  f(x)=0 para todas as f en I. O Nullstellensatz de Hilbert afirma que se *p* é algún polinomio en k[X_1, \ldots, X_n] que desaparece no conxunto alxébrico  \mathrm V(I), isto é, p(\mathbf x) = 0 para todo \mathbf x en \mathrm V(I), entón existe un número natural r tal que p^r está en I.

Un corolario inmediato é o **Nullstellensatz** **débil:** O ideal I \subseteq k[X_1, \ldots, X_n] contén 1  (ideal da unidade, todo o ideal é xerado por 1) se e só se os polinomios en I non teñen ningún cero común en *Kn*. Especializado para o caso k=K=\mathbb{C}, n=1, recuperase inmediatamente unha reformulación do teorema fundamental da álxebra: un polinomio *P* in \mathbb{C}[X] ten raíces en \mathbb{C} se e só se graos *P* ≠ 0. 

Por esta razón, o (débil) Nullstellensatz foi referido como unha xeneralización do teorema fundamental da álxebra para polinomios multivariábeis. O Nullstellensatz débil tamén se pode formular do seguinte xeito: se *I* é un ideal propio en k[X_1, \ldots, X_n], entón V( *I* ) non pode estar baleiro, é dicir, existe un cero común para todos os polinomios do ideal en cada extensión alxebricamente pechada de *k*. Esta é a razón para o nome do teorema.

A suposición de considerar ceros comúns nun corpo alxebricamente pechado é esencial aquí; por exemplo, os elementos do ideal propio (*X*2 + 1) en \R[X] non teñen un cero común en \R.

Coa notación común na xeometría alxébrica, o Nullstellensatz tamén se pode formular como

: \hbox{I}(\hbox{V}(J))=\sqrt{J}

para todo  ideal *J.* Aquí, \sqrt{J} denota o radical de *J* e I( *U*) é o ideal de todos os polinomios que esvaecen (fanse cero) no conxunto *U.*

Deste xeito, tomando k = K obtemos unha correspondencia bixectiva inversora de orde entre os conxuntos alxébricos en *K**n* e os ideais radicais de K[X_1, \ldots, X_n]. 

De feito, de xeito máis xeral, hai unha conexión de Galois entre subconxuntos do espazo e subconxuntos da álxebra, onde o "peche de Zariski" e o "radical do ideal xerado" son os operadores de pechamento.

Como exemplo particular, considere un punto P = (a_1, \dots, a_n) \in K^n. Entón I(P) = (X_1 - a_1, \ldots, X_n - a_n). De forma máis xeral,

: \sqrt{I} = \bigcap_{(a_1, \dots, a_n) \in V(I)} (X_1 - a_1, \dots, X_n - a_n).

E viceversa, todo ideal máximal do anel polinómico K[X_1,\ldots,X_n] (nótese que K está pechado alxebricamente) é da forma (X_1 - a_1, \ldots, X_n - a_n) para algúns a_1,\ldots,a_n \in K.

Como outro exemplo, un subconxunto alxébrico *W* en *K* *n* é irredutíbel (na topoloxía de Zariski) se e só se I(W) é un ideal primo.

## Probas 
Hai moitas demostracións coñecidas do teorema. Algunhas son non construtivas. Outras son construtivas, xa que se basean en algoritmos para expresar  ou  como unha combinación linear dos xeradores do ideal.

### Usando resultantes 
A seguinte proba construtiva da forma débil é unha das probas máis antigas (a forma forte resulta do truco de Rabinowitsch, que tamén é construtivo).

A resultante de dous polinomios que dependen dunha variábel  e doutras variábeis é un polinomio nas outras variábeis que está no ideal xerado polos dous polinomios, e ten as seguintes propiedades: se un dos polinomios é mónico en , todo cero (nas outras variábeis) da resultante pode estenderse nun cero común dos dous polinomios.

A proba é a seguinte.

Se o ideal é principal, xerado por un polinomio  non constante que depende de , escóllense valores arbitrarios para as outras variábeis. O teorema fundamental da álxebra afirma que esta elección pódese estender a un cero de .

No caso de varios polinomios p_1,\ldots, p_n, un cambio linear de variábeis permite supor que p_1 é mónico na primeira variábel . Logo, agora temos n-1 novas variábeis u_2, \ldots, u_n, e consideramos a resultante

: R=\operatorname{Res}_x(p_1,u_2p_2+\cdots +u_np_n).

Como  está no ideal xerado por p_1,\ldots, p_n, o mesmo ocorre cos coeficientes en  dos monomios en u_2, \ldots, u_n. Entón, se  está no ideal xerado por estes coeficientes, tamén está no ideal xerado por p_1,\ldots, p_n. Por outra banda, se estes coeficientes teñen un cero común, este cero pódese ampliar a un cero común de p_1,\ldots, p_n, pola propiedade anterior da resultante.

Isto proba o Nullstellensatz débil por indución sobre o número de variábeis.

## Xeneralizacións 
O Nullstellensatz está subsumido por un desenvolvemento sistemático da teoría dos aneis de Jacobson, que son aqueles aneis nos que todo ideal radical é unha intersección de ideais máximais. Tendo en conta o lema de Zariski, probar o Nullstellensatz equivale a mostrar que se *k* é un corpo, entón toda *k* -álxebra *R* xerada finitamente (necesariamente da forma R = k[t_1,\cdots,t_n]/I ) é de Jacobson. De forma máis xeral, temos o seguinte teorema:

: Sexa R un anel de Jacobson. Se S é unha R-álxebra finitamente xerada, entón S é un anel de Jacobson. A maiores, se \mathfrak{n}\subseteq S é un ideal maximal, entón \mathfrak{m} := \mathfrak{n} \cap R é un ideal maximal de R, e S/\mathfrak{n} é unha extensión finita de R/\mathfrak{m}.

## Nullstellensatz efectivo 
En todas as súas variantes, o Nullstellensatz de Hilbert afirma que algún polinomio  pertence ou non a un ideal xerado, por exemplo, por  ; temos  na versión forte,  na forma débil. Isto significa a existencia ou a inexistencia de polinomios   tal que   . As probas habituais do Nullstellensatz non son construtivas, son non efectivas, no sentido de que non dan forma de calcular o .

Polo tanto, é unha pregunta bastante natural preguntarse se hai un xeito eficaz de calcular o  (e o expoñente  na forma forte) ou de demostrar que non existen. 

Para resolver este problema, abonda con proporcionar un límite superior sobre o grao total do : tal límite reduce o problema a un sistema finito de ecuacións lineares que poden resolverse mediante técnicas habituais de álxebra linear. Calquera límite superior deste tipo chámase **Nullstellensatz efectivo**.

Un problema relacionado é o **problema de pertenza dun ideal**, que consiste en comprobar se un polinomio pertence a un ideal. Para este problema tamén, unha solución é proporcionada por un límite superior no grao do . Unha solución xeral do problema de pertenza dun ideal proporciona un Nullstellensatz efectivo, polo menos para a forma débil.

En 1925, Grete Hermann deu un límite superior para o problema de pertenza dun ideal que é dobremente exponencial no número de variábeis. En 1982 Mayr e Meyer deron un exemplo onde os  teñen un grao que é polo menos dobre exponencial, mostrando que cada límite superior xeral para o problema de pertenza do ideal é dobremente exponencial no número de variábeis.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
*
* 
*
*
*
*
* 

### Outros artigos 
*Lema de Artin-Tate
*Nullstellensatz diferencial
*Radical real
*Serie de potencias restrinxida
*Nullstellensatz de Weierstrass