Relación binaria

Unha **relación binaria** R é o subconxunto dos elementos do produto cartesiano  A_1 \times A_2 \ que cumpren a condición:

:  R = \{ (a_1,a_2): \; (a_1,a_2) \in A_1 \times A_2 \; \land \; R(a_1,a_2) = Verdadeiro \} 

## Clasificación das relacións binarias 

Ficheiro:Relación binaria 001.svg|700px|center|borde

No esquema pódese ver algunhas estruturas alxébricas ou subtipos de relación binaria. Empregaremos este esquema para ver estes casos.En primeiro lugar diferenciamos as relacións binarias homoxéneas, das heteroxéneas. Nas primeiras, a relación binaria establécese entre os elementos dun único conxunto, mentres que nas segundas establécense relacións entre dous conxuntos distintos. Unha relación homoxénea pode ser tratada como heteroxénea cos mesmos subtipos, mais non ao contrario.

### Relación homoxénea 
Unha *r*elación binaria R é homoxénea se os dous conxuntos implicados son o mesmo:

: 
R (a_1,a_2): \; (a_1,a_2)\in A_1 \times A_2 \land A_1 = A_2

Dado que 
   A_1
 e  
A_2
 son o mesmo conxunto, pode representarse como:

: 
   R (a_1,a_2): \; (a_1,a_2)\in A \times A
 ou tamén como

: 
 R (a_1,a_2): \; (a_1,a_2)\in A^2

### Relación heteroxénea 
Unha *r*elación binaria R é heteroxénea se os dous conxuntos implicados non son iguais:

: 
R (a_1,a_2): (a_1,a_2)\in A_1 \times A_2 \land A_1 \ne A_2

## Conceptos previos 
### Par ordenado 
Se temos os conxuntos **
A_1
** e  ** A_2
 **descríbese o par ordenado  **
(a_1,a_2)
** que cumpre
**
a_1 \in A_1
** e **
a_2\in A_2
**.

Represéntase como:

: 
   A_1 \times A_2 =
   \{(a_1,a_2) \; :
   a_1 \in A_1 \land a_2 \in A_2 \}

### Produto cartesiano 
      \hline
               a & (1,a) & (2,a) & (3,a) \\
               b & (1,b) & (2,b) & (3,b) \\
               c & (1,c) & (2,c) & (3,c) \\
      \hline
      A_1 \times A_2 &     1 &     2 &     3 \\
      \hline
   \end{array}

|}
Definidos os conxuntos:

:  A_1 = \{1, 2, 3 \} 
:  A_2 = \{a, b, c \} 

O produto cartesiano *
   A_1 \times A_2
* descríbese na táboa anterior.

A relación binaria R (a_1,a_2)  fica definida como
: 
   A_1 \times A_2 = \{
     (1,a), (1,b), (1,c),
     (2,a), (2,b), (2,c),
     (3,a), (3,b), (3,c)
   \}.

## Operacións con relacións binarias 
### Unión 
Se *R* e *S* son relacións binarias sobre os conxuntos *X* e *Y*, entón R \cup S = \{ (x, y) : xRy \text{ ou } xSy \} é a relación de unión de *R* e *S* sobre *X* e *Y*.

Por exemplo, \,\leq\, é a unión de R \cap S = \{ (x, y) : xRy \text{ e } xSy \} é a relación de intersección de *R* e *S* sobre *X* e *Y*.

Por exemplo, a relación "é divisible por 6" é a intersección das relacións "é divisible por 3" e "é divisible por 2".

### Composición 
Se *R* é unha relación binaria sobre os conxuntos *X* e *Y*, e *S* é unha relación binaria sobre os conxuntos *Y* e *Z* entón  S \circ R = \{ (x, z) : \text{ existe } y \in Y \text{ tal que } xRy \text{ e } ySz \} (tamén denotado como ) é a relación de composición de *R* e *S* sobre *X* e *Z*.

A orde de *R* e *S* na notación S \circ R, usada aquí concorda coa orde de notación estándar para composición de funcións. Por exemplo, a composición (é o pai de)\,\circ\,(é a nai de) produce (é o avó materno de).

### Inversa 
Se *R* é unha relación binaria sobre os conxuntos *X* e *Y*, entón R^\textsf{T} = \{ (y, x) : xRy \} é a relación inversa,  de *R* sobre *Y* e *X*. Tamén se pode representar como R^{-1}.

Por exemplo, \,=\, é a inversa de si mesmo, e \, e \,>\, son o inverso do outro.

### Complementario 
Se *R* é unha relación binaria sobre os  conxuntos *X* e *Y* entón \bar{R} = \{ (x, y) : \text{ non } xRy \} (tamén denotada por  ou ) é a relación complementaria de *R* sobre *X* e *Y*.

Por exemplo, \,=\, e \,\neq\, son complementarios mutuos.

O complemento da relación inversa R^\textsf{T} é a inversa do complemento: \overline{R^\mathsf{T}} = \bar{R }^\mathsf{T}.

### Restrición 
Se *R* é unha relación homoxénea binaria sobre un conxunto *X* e *S* é un subconxunto de *X* entón R_{\vert S} = \{ (x, y) \mid xRy \text{ e } x \in S \text{ e } y \in S \}  é a relación de restrición de *R* a *S* sobre *X*.

## Relación binaria homoxénea 
Unha relación binaria estabelécese entre os elementos dun único conxunto.

### Exemplo 
Se temos un único conxunto * A = \{a, b, c, d \} *, podemos definir unha relación binaria **R** como un conxunto de pares ordenados: 

:  R \subset A^2  ou   R: A \rightarrow A,

: 
   R = \{ (a,b),(b,a),(b,c),(c,d),(d,b),(d,d) \}.
 

center|200x200px

Se o elemento inicial está relacionado co elemento final, non implica necesariamente que haxa unha relación desde o elemento final ata o elemento inicial. Por iso é importante que sexan pares ordenados.

Imos representar agora esa mesma relación binaria como un subconxunto do produto cartesiano:

O subconxunto **R** da relación binaria son os pares en letra grosa e o podemos representar tamén como:

:  R = \{ ( a, b ), ( b, c ), ( b, a ), ( c, d ), ( d, b ), ( d, d ) \} \,

### Propiedades da relación binaria homoxénea 
#### Propiedade reflexiva 
Dicimos que unha relación ten a propiedade reflexiva, se todo elemento está relacionado consigo mesmo.

Isto é, para todo elemento **e** pertencente ao conxunto **A**, o par ordenado **(e,e)** pertence á relación binaria **R**.

#### Propiedade antirreflexiva 
Unha relación binaria ten a propiedade   antirreflexiva, ou irreflexiva, se ningún elemento do conxunto está relacionado consigo mesmo:

: 
   \forall a \in A : \;
   (a,a) \notin R

:

isto é, non existe ningún elemento **a** no conxunto **A** que cumpra que: **(a,a)** pertence a **R**.

#### Propiedade simétrica 
Dicimos que unha relación binaria ten a propiedade simétrica cando se se cumpre que un par ordenado **(a,b)** pertence á relación entón o par **(b,a)** tamén pertence a esa relación:

: 
   \forall a, b \in A : \;
   (a,b) \in R \quad
    \longrightarrow  \quad
   (b,a) \in R

#### Propiedade antisimétrica 
Dise que unha relación binaria ten a propiedade antisimétrica se os pares ordenados **(a,b)** e **(b,a)** pertencen á relación, entón **a = b**:

   \forall a,b \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,a) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad
   a = b

Isto é, non hai ningún par de elementos distintos relacionados entre si en ambos os sentidos.

#### Propiedade transitiva 
Unha relación binaria ten a propiedade transitiva cando, dados os elementos **a, b, c** do conxunto, se **a** está relacionado con **b** e **b** está relacionado con **c**, entón **a** está relacionado con **c**:

: 
   \forall a, b, c \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,c) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   (a,c) \in R

#### Propiedade intransitiva 
Unha relación binaria ten a propiedade intransitiva cando, dados os elementos **a, b, c** do conxunto, se **a** está relacionado con **b** e **b** está relacionado con **c**, entón **a** non está relacionado con **c**:
: 
   \forall a, b, c \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,c) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad
   (a,c) \notin R

#### Propiedade total 
Dicimos que unha relación binaria é total: se para todo elemento do conxunto: **a, b**; ou **a** está relacionado con **b** ou **b** está relacionado con **a**, isto é, o grafo da relación é conexo:

: 
   \forall a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \quad \lor \quad
   (b,a) \in R

### Relacións homoxéneas particulares 
Algunhas relacións homoxéneas particulares sobre un conxunto *X* (con elementos arbitrarios , ) son:
* **Relación baleira** 
*: ; isto é,  non acontece nunca;
***Relación universal**
*: ; isto é,  sempre acontece (están relacionados todos con todos);
***Relación identidade** (ver tamén *Función identidade*)
*: {{math|1=*I* = {(*x*, *x*)  *x* ∈ *X*}}}; isto é,  cúmprese se e só se .

### Clases das relacións binarias homoxéneas 
#### Relación reflexiva 
As relacións reflexivas son as definidas do seguinte modo:
{{Teorema|Dado un conxunto **A**, e unha relación binaria **R** entre os sus elementos:
: 
   R = 
   \{
      (a,b)\in \; A^2
      : \quad
      R(a,b)
   \}

Dise que **R** é unha **relación reflexiva**, se cumpre:

1.- A propiedade reflexiva:

: 
   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R

Todo elemento **a** de **A** está relacionado consigo mesmo.}}

O caso máis claro de propiedade reflexiva é o de igualdade matemática.

Vemos un exemplo:
center|200x200px
Temos un conxunto **A**, formado polos seguintes elementos:

: 
   A =
   \{ a, b, c, d \} \,

E temos unha relación **R** entre os elementos do conxunto, definida así:

:

   \R =
   \Big \{
   (a,a), (a,b), (b,b), (b,c), (c,c), (d,b), (d,d)
   \Big \}

Pódese ver que os pares ordenados que teñen os seus dous termos iguais pertencen á relación definida:

: 
   \forall a,b \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,a) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   a = b

Daquela a relación **R** é reflexiva.

#### Relación non reflexiva 
Se non todos os elementos están relacionados consigo mesmos a relación é non reflexiva.

Temos dous tipos:

* Se algún elemento, mais non todos, é reflexivo a relación é arreflexiva
* Se ningún elemento é reflexivo a relación é antirreflexiva (ou irreflexiva)

center|200x200px

Podemos ver que:

: 
   (a,a) \notin R \quad
   (b,b) \notin R \quad
   (c,c) \notin R \quad
   (d,d) \notin R

#### Relación de dependencia 
Unha relación binaria é unha relación de dependencia se é reflexiva e simétrica:
{{teorema|
Dado un conxunto **A**, e unha relación binaria **R** entre os seus elementos:
: 
   R = 
   \{
      (a,b)\in \; A^2
      : \quad
      R(a,b)
   \}

Dise que **R** é unha **relación de dependencia**, se cumpre:

1.- A propiedade é reflexiva:

: 
   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R

Todo elemento **a** de **A** está relacionado consigo mesmo.

2.- A propiedade é simétrica:

: 
   \forall a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \quad \longrightarrow \quad
   (b,a) \in R

Se un elemento **a** está relacionado con outro **b**, daquela o elemento **b** tamén está relacionado co elemento **a**.
}}
Por exemplo se temos o conxunto dos números naturais, e definimos a distáncia **D** entre dous números, como o valor absoluto da súa diferenza. 
: 
   \forall a, b \in \N :  D=|a-b| 
,

e dicimos que dous números están próximos se
: 
   \forall a \in \N : \;
   |a-b| \le D

Daquela para a relación de proximidade dentro dos números naturais é unha relación de dependencia, posto que:

1. Cúmprese a propiedade reflexiva posto que:

: 
   \forall a \in \N : \;
   |a-a| \le D

2. Cúmprese a propiedade simétrica:

: 
   \forall a, b  \in \Z : \;
   |a-b| \le D
   \longrightarrow \quad
   |b-ba| \le D

3. Non se cumpre a propiedade transitiva, dado que:

: 
   \forall a, b, c \in \N : \;
   \Big (
       |a-b| \le D
      \quad \land \quad
       |b-c| \le D
   \Big )
   \quad \nrightarrow \quad
    |a-c| \le D

que a distancia entre **a** e **b** sexa como máximo **D** e que a distancia entre **b** e **c** non supere **D**, non implica necesariamente que a distancia entre **a** e **c** non sexa maior que **D**.

Esta relación de dependencia entre os números pola súa distancia non é unha clase de equivalencia, como se verá máis adiante.

#### Conxunto preordenado 
Unha relación binaria define un conxunto preordenado se é reflexiva e transitiva.

{{teorema|
Dado un conxunto **A**, e unha relación binaria **R** entre os seus elementos:

: 
   R = 
   \{
      (a,b)\in \; A^2
      : \quad
      R(a,b)
   \}

Dise que **R** define un **conxunto preordenado**, se cumpre:

1.- A propiedade reflexiva:

: 
   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R

Todo elemento **a** de **A** está relacionado consigo mesmo.

2.- A propiedad transitiva:

: 
   \forall a, b, c \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,c) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   (a,c) \in R

 Se un elemento **a** está relacionado con outro **b**, e este **b** con outro **c**, daquela o elemento **a** esta tamén relacionado co elemento **c**.}}

#### Relación de equivalencia 
Unha relación binaria é unha relación de equivalencia se é reflexiva, simétrica e transitiva:

{{teorema|
Dado un conxunto **A**, e unha relación binaria **R** entre os seus elementos:

: 
   R = 
   \{
      (a,b)\in \; A^2
      : \quad
      R(a,b)
   \}

Dise que **R** é unha **relación de equivalencia**, se cumpre:

1.- A propiedade reflexiva:

: 
   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R

Todo elemento **a** de **A** está relacionado consigo mesmo.

2.- A propiedade simétrica:

: 
   \forall a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \longrightarrow \quad
   (b,a) \in R

Se un elemento **a** está relacionado con outro **b**, daquela o elemento **b** tamén está relacionado co elemento **a**.

3.- A propiedade transitiva:

: 
   \forall a, b, c \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,c) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   (a,c) \in R

Se un elemento **a** está relacionado con outro **b**, e este **b** con outro **c**, daquela o elemento **a** está tamén relacionado co elemento **c**.}}

Unha relación de equivalencia define dentro do conxunto **A** o que se denominan, clases de equivalencia, unha clase de equivalencia é cada un dos subconxuntos nos que a relación de equivalencia divide ao conxunto **A**, entre eles son disxuntos, e a unión de todos eles é o conxunto **A**, vexamos un exemplo.

A congruencia módulo **n** dos números naturais (residuo da división enteira entre **n**),  vemos que é unha relación de equivalencia. Por exemplo,

14  \equiv 4 \pmod 5,

19  \equiv 24 \pmod 5,

14  \equiv 24 \pmod 5.
 
Formalizamos as condicións:

é reflexiva:
: 
   \forall a \in \N : \;
   a  \equiv a \pmod n

é simétrica:
: 
   \forall a, b \in \N : \;
   a  \equiv b \pmod n
   \longrightarrow  
   b  \equiv a \pmod n 

é transitiva
: 
   \forall a, b, c \in \N : \;
   \Big (
a  \equiv b \pmod n \land
b  \equiv c \pmod n
   \Big )
   \longrightarrow \quad
 a  \equiv c \pmod n

#### Conxunto parcialmente ordenado 
Un conxunto A dise que está parcialmente ordenado respecto a unha relación binaria R se a relación R é reflexiva, transitiva e antisimétrica:

{{teorema|
Dado un conxunto **A**, e unha relación binaria **R** entre os seus elementos:

:
   R = 
   \{ (a,b)\in \; A^2 : \quad R(a,b) \}

Dise que **R** define un **conxunto parcialmente ordenado**, se cumpre:

1.- A propiedade reflexiva: 

: 
   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R

Todo elemento **a** de **A** está relacionado consigo mesmo.

2.- A propiedade transitiva:

: 
   \forall a, b, c \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,c) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   (a,c) \in R

Se un elemento **a** está relacionado con outro **b**, e este **b** con outro **c**, daquela o elemento **a** esta tamén relacionado co elemento **c**.

3.- A propiedade antisimétrica:

: 
   \forall a,b \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,a) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   a = b

Se os pares ordenados **(a,b)** e **(b,a)** pertencen .a relación **R** daquela **a** e **b** son iguais.}}

Tomando un conxunto **A**, formado, por exemplo, polos elementos:

: 
   A = \{ a, b, c \} \;

E o seu conxunto de partes

: 
   P (A) =
   \Big\{
      \{\}, \{a\}, \{b\}, \{c\},
      \{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}, \{a,b,c \}
   \Big\}

Imos chamar a cada un destes subconxuntos:

: 
   A_1 = \{ \} \;

: 
   A_2 = \{a\} \;

: 
   A_3 = \{b\} \;

: 
   A_4 = \{c\} \;

: 
   A_5 = \{a, b\} \;

: 
   A_6 = \{a, c\} \;

: 
   A_7 = \{b, c\} \;

: 
   A_8 = \{a, b, c\} \;

E tomando dous destes subconxuntos dicimos que están relacionados por pertenza se o primeiro é subconxunto do segundo:

: 
   R = 
   \Big\{
      (A_i , A_j )\in \; P (A)
      : \quad
      A_i \subseteq A_j
   \Big\}

A relación pertenza entre os conxuntos de partes de A, é un conxunto parcialmente ordenado, ao ser: 

Reflexiva

: 
   \forall A_i \in P (A) : \;
   A_i \subseteq A_i

Transitiva:

: 
   \forall A_i, A_j, A_k \in P (A) : \;
   \Big (
      A_i \subseteq A_j
      \quad \land \quad
      A_j \subseteq A_k
   \Big )
   \longrightarrow \quad
    A_i \subseteq A_k

Antisimetrica:

: 
   \forall A_i, A_j \in P (A) : \;
   \Big (
      A_i \subseteq A_j
      \quad \land \quad
      A_j \subseteq A_i
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   A_i = A_j

Por tanto o **conxunto de partes de A**, respecto da relación binaria **pertenza** é un **conxunto parcialmente ordenado**.

Esta relación non é total dado que:

: 
   \neg\forall (A_i, A_j) \in P (A) : \;
   A_i \subseteq A_j
   \quad \lor \quad
   A_j \subseteq A_i

Que se denominan elementos ou pares non comparables. Os pares de conxuntos *non comparables* son:
dereita|200x200px

: 
   1. \;
   \Big(\{a\}, \{b\} \Big) \notin R
   \; : \quad
   \{a\} \nsubseteq \{b\}
   \; \land \;
   \{b\} \nsubseteq \{a\}

: 
   2. \;
   \Big( \{a\}, \{c\} \Big) \notin R
   \; :\quad
   \{a\} \nsubseteq \{c\}
   \; \land \;
   \{c\} \nsubseteq \{a\}

: 
   3. \;
   \Big( \{b\}, \{c\} \Big) \notin R
   \; :\quad
   \{b\} \nsubseteq \{c\}
   \; \land \;
   \{c\} \nsubseteq \{b\}

: 
   4. \;
   \Big( \{a\}, \{b, c\} \Big) \notin R
   \; : \quad
   \{a\} \nsubseteq \{b, c\}
   \; \land \;
   \{b, c\} \nsubseteq \{a\}

: 
   5. \;
   \Big( \{b\}, \{a, c\} \Big) \notin R
   \; : \quad
   \{b\} \nsubseteq \{a, c\}
   \; \land \;
   \{a, c\} \nsubseteq \{b\}

: 
   6. \;
   \Big( \{c\}, \{a, b\} \Big) \notin R
   \; : \quad
   \{c\} \nsubseteq \{a, b\}
   \; \land \;
   \{a, b\} \nsubseteq \{c\}

: 
   7. \;
   \Big( \{a, b\}, \{a, c\} \Big) \notin R
   \; : \quad
   \{a, b\} \nsubseteq \{a, c\}
   \; \land \;
   \{a, c\} \nsubseteq \{a, b\}

: 
   8. \;
   \Big( \{a, b\}, \{b, c\} \Big) \notin R
   \; : \quad
   \{a, b\} \nsubseteq \{b, c\}
   \; \land \;
   \{b, c\} \nsubseteq \{a, b\}

: 
   9. \;
   \Big( \{a, c\}, \{b, c\} \Big) \notin R
   \; : \quad
   \{a, c\} \nsubseteq \{b, c\}
   \; \land \;
   \{b, c\} \nsubseteq \{a, c\}

Vendo o diagrama, os conxuntos que se poden alcanzar seguindo o sentido das frechas denomínanse comparables e determinan a estrutura da orde parcial.

#### Conxunto limitado 
Un conxunto de números reais está limitado se e só se ten un límite superior e outro inferior. Esta definición é extensible a subconxuntos de calquera conxunto parcialmente ordenado. Hai que ter en conta que este concepto máis xeral de dimensionamento non se corresponde cunha noción de tamaño.
Hai distintos tipos de límites e os seus elementos relacionados en función do tipo de orde, parcial ou total:
* Elemento maior e menor 
* Ínfimo e supremo 
* Elemento maiorante e minorante
* Límite superior e límite inferior

#### Conxunto con orde total e limitado 
Se temos un conxunto **A** e unha **relación binaria**  \precsim  definida entre os elementos de **A**, que expresaremos  (A, \precsim)  e a relación represéntase:

: 
   a \precsim b

Dicimos que se definiu unha *orde total* no conxunto A, se a relación  (A, \precsim)  cumpre as propiedades:

: **1**. Reflexiva.
: **2**. Antisimétrica.
: **3**. Transitiva.
: **4**. É, ademais, unha relación total, é dicir, cúmprese que todos os elementos dun conxunto con orde total son *comparables*:
:: 
   \forall a, b \in A: \quad
   a \precsim b
   \quad \lor \quad
   b \precsim a

Dado un conxunto **A** no que se definiu unha relación binaria  \precsim , sendo  (A, \precsim)  un conxunto totalmente ordenado, o elemento **y** de **A** que cumpre:

: 
   y \in A \; \text{é maximo se:}
   \quad
   \forall x \in A
   \; / \quad
   x \precsim y

Denomínase máximo e define un límite superior en A; o elemento máximo é único. Se o conxunto **A** e a relación binaria é unha orde total e ten máximo, entón é un conxunto con orde total e limitado superiormente.

Do mesmo xeito o elemento **z** de **A** que cumpre:

: 
   z \in A \; \text{é mínimo se:}
   \quad
   \forall x \in A
   \; / \quad
   z \precsim x

Denomínase mínimo e define un límite inferior en **A**; o elemento mínimo é único. Se o conxunto **A** e a relación binaria é unha orde total e ten mínimo, entón é un conxunto con orde total e limitada inferiormente.

Un conxunto con orde total dicimos simplemente que é  limitado, se está **limitado** superior e inferiormente.

## Relación heteroxénea 
Unha relación binaria entre dous conxuntos A e B, denomínase heteroxénea cando A é distinto de B:
: 
   R (a,b): \;
   (a,b) \in A \times B
   \quad \land \quad
   A \ne B

* O conxunto A é o **conxunto inicial** (dominio).

* O conxunto B é o **conxunto final** (codominio).

* O subconxunto de A  dos elementos **a** que forman parte dalgunha relación **R (a,b)** é o **conxunto orixe**.

* O subconxunto de B  dos elementos **b** que forman parte dalgunha relación **R (a,b)** é o **conxunto imaxe**.

## Conceptos previos 
* A **condición de existencia de imaxe** garantiza que tomando un elemento calquera **a** de **A** ten polo menos unha imaxe **b** en **B**.
: 
   \forall a \in A: \;
   \exists b \in B
   \quad \land \quad
   (a,b)\in R.

*A condición de **existencia de orixe** garantiza que todo elemento **b** de **B** ten polo menos unha orixe **a** en **A**.
: 
   \forall b \in B: \;
   \exists a \in A
   \quad \land \quad
   (a,b)\in R.

* A **condición de unicidade de imaxe** garantiza que os elementos **a** de **A** que están relacionados con algún **b** de **B** están relacionados con un único elemento **b** de **B**, é dicir:
: 
   \Big (
      (a,b_1)\in R
      \quad \land \quad
      (a,b_2) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   b_1 = b_2.

* A **condición de unicidade de orixe** di que os elementos **b** de **B** que están relacionados con algún **a** de **A** están relacionados só con un único elemento **a** de **A**, é dicir:
: 
   \Big (
      (a_1,b)\in R
      \quad \land \quad
      (a_2,b) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   a_1 = a_2.

### Tipos de relacións binarias heteroxéneas 
Partindo das características das relacións binarias heteroxéneas, podemos diferenciar os seguintes casos.

#### Correspondencia unívoca 
Unha correspondencia é unívoca se cumpre a condición de unicidade de imaxe:

Esta condición é necesaria e suficiente para que unha correspondencia sexa considerada unívoca.

#### Correspondencia biunívoca 
Unha correspondencia é biunívoca se cumpre as condicións de unicidade de imaxe e unicidade de orixe:

#### Aplicación 
Unha correspondencia R: A \to B denomínase aplicación se todo elemento de **A** admite unha única imaxe en **B**.,     isto é se cumpre a condición de unicidade de imaxe e de existencia de imaxe.

Unha aplicación *f* de **A** en **B**, sendo **A** e **B** dous conxuntos calquera, é unha correspondencia entre **A** e **B**, total e unívoca. 

Se a aplicación representámola como **R**, teremos:
: 
   \begin{array}{rcl}
      R : \; A & \longrightarrow & B       \\
      a &        \longmapsto     & b = R(a)
   \end{array}
 

pola que definimos unha aplicación que a cada elemento **a** de **A** asígnaselle un único **b** de **B**.
: 
   \forall a \in
   A \, : \quad
   \exists !  b \in
   B \; / \quad
   b = R(a)
 

Para todo **a** de **A**, cúmprese que existe un único **b** de **B**, tal que **b** é o resultado **R(a)**.

Se unha correspondencia cumpre estas dúas condicións denomínase aplicación.

#### Aplicación inxectiva 
Unha correspondencia é unha aplicación inxectiva se cumpre a condición de unicidade de imaxe, existencia de imaxe e unicidade de orixe.

#### Aplicación sobrexectiva 
Unha correspondencia chámase Aplicación sobrexectiva se cumpre a condición de unicidade de imaxe, existencia de imaxe e existencia de orixe:

#### Aplicación bixectiva 
Unha correspondencia é unha aplicación bixectiva se cumpre as condicións de unicidade de imaxe, existencia de imaxe, unicidade de orixe e existencia de orixe:

Unha Aplicación é bixectiva, se é inxectiva e sobrexectiva.

## Outros tipos de relación 
Se se permiten relacións sobre clases propias:
* **Tipo Conxunto** (tamén chamado **local**): para todas as x \in X, a clase de tódalas y \in Y tal que yRx, é dicir, \{y \in Y, yRx\}, é un conxunto. Por exemplo, a relación \in é de tipo conxunto, e todas as relacións de dous conxuntos son de tipo conxunto.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
# 
# 
# 
# 
# 
# 
# 
### Outros artigos 
* Teoría da orde.
* Teoría de conxuntos.

### Ligazóns externas 
* Relaciones binarias
* Relaciones binarias
* Conjuntos, aplicaciones y relaciones binarias.
* Relaciones binarias y grafos
* 
* Introducción a las estructuras algebraicas