Conxunto conexo

Un **conxunto conexo** é un subconxunto C \subseteq X dun espazo topolóxico (X,\mathcal{T}) \, é a colección de conxuntos abertos do espazo topolóxico) que non pode ser descrito como unión disxunta de dous conxuntos abertos non baleiros da topoloxía.

Intuitivamente, un conxunto conexo é aquel formado por unha soa 'peza', que non se pode 'dividir'. Cando un conxunto non sexa conexo, dise que é **disconexo.**

Formalmente, C \subseteq X é un conxunto conexo se e só se:
A,B\in\mathcal{T}, A\cap  B\cap  C=\emptyset, C\subseteq  A\cup  B implica  C\subseteq A \vee  C\subseteq B

Cómpre notar que se C=X , entón terase que X é conexo se e só se  A,B\in\mathcal{T},  A\cap  B=\emptyset, A\cup  B=X implica  A=X \vee B=X. Neste caso, (X,\mathcal{T}) \, chámase espazo topolóxico conexo.

Baixo estas definicións, tense que C \subseteq X é conexo se e só se é un espazo topolóxico conexo para a topoloxía traza.

## Exemplos 
miniatura|O espazo **A** é conexo.O espazo **B** non o é.
### Conxuntos conexos 
* As esferas S^n, n\geq 1, son conexas.
* Un punto \mathbb{R}^{n} é conexo.
* Un nó é un conxunto conexo en S^3 \,
* Un toro é un conxunto conexo en \mathbb{R}^3
* En \mathbb{R}, un intervalo pechado pola dereita ou pola esquerda é un conxunto conexo; de igual modo un punto da recta. 
* O complementario dun punto en \mathbb{R}^n, n\geq 2, é conexo.

## Subconxunto conexo na recta 
Sexa \mathbb{R} provisto da topoloxía usual T_u, ademais J un intervalo de \mathbb{R}, M e N subconxuntos abertos de \mathbb{R} tales que J é parte da unión de M e N,\,\,J\cap M\cap N=\emptyset. Entón J\cap M=\emptyset\,\,\vee J\cap N=\emptyset. Neste caso J é un subconxunto conexo da recta real.
* Un subconxunto H da recta é un subconxunto conexo da recta real cando, e só cando, é un intervalo. De calquera intervalo abonda retirar un punto, o que queda xa non é conexo, tampouco o é o conxunto K=\{\frac 1n, \textbf{para}\,n\,\textbf{entero}\,\textbf{positivo}\}

### Conxuntos non conexos 
* O complementario dun punto en \mathbb{R}
* O conxunto formado pola unión de dúas esferas disxuntas en \mathbb{R}^{n}
* Un enlace de n \, compoñentes (nós), n\ge 2

## Propiedades dos conxuntos conexos 
Cúmprese que se (X,\mathcal{T}) \, é un espazo topolóxico conexo, calquera espazo homeomorfo a el tamén o será. Esta propiedade dá unha caracterización moi útil dos conxuntos conexos: C \subseteq X é un conxunto conexo se e só se para toda función f \colon C \to \{0,1\} \  continua se cumpre que f é unha función constante, onde se dota a \{0,1\} da topoloxía discreta.

Outra propiedade interesante dos conxuntos conexos é que se ({X_i,\mathcal{T}_i})_{i\in I} é unha familia de espazos topóloxicos conexos (con I un conxunto de índices de calquera cardinalidade), entón (\prod_{i \in I} X_i,\mathcal{T}) tamén é conexo, onde \mathcal{T} é a topoloxía produto.

Por último, se X non é conexo, é dicir, se existen abertos U,V, disxuntos non baleiros tales que a súa unión é X, é fácil ver que cada aberto será o complemento do outro, logo serán complementos dun aberto e, polo tanto, serán pechados. É dicir, serán conxuntos *clopen*. Por isto, outra maneira de caracterizar a conexidade é dicir, X será conexo se e só se os únicos *clopen* son X e o baleiro (onde ambos os conxuntos son sempre *clopen*).

## Conexidade por camiños 
Dise que un conxunto X é **conexo por camiños** ou **conexo por arcos** se dados x_{1},x_{2} \in X existe un camiño continuo \alpha :[0,1]\rightarrow X tal que \alpha(0)=x_{1} e \alpha(1)=x_{2}.

miniatura|Peite do topólogo
A conexidade por camiños implica conexidade, pero o recíproco non é certo en xeral. Un contraexemplo moi típico é o chamado peite do topólogo, X=A \cup B, onde A=\{(0,1)\} e B=((0, 1] \times \{0\})\cup \left(\left\{\frac{1}{n} : n\in \mathbb{N}\right\}\times [0, 1]\right). X é conexo, pero non conexo por camiños.

Ser conexo por camiños non é unha propiedade hereditaria (isto é, se un conxunto é conexo por camiños, calquera subconxunto deste non é necesariamente conexo por camiños). Con todo, ser conexo por camiños é unha propiedade topolóxica (é dicir, a imaxe mediante unha aplicación continua dun conxunto conexo por camiños é conexa por camiños).

## Compoñentes conexas 
Dado un espazo topolóxico (X,\mathcal{T}) \, chámase compoñente conexa a cada un dos conxuntos maximais conexos. É dicir un subconxunto  Y \subset X \, é un compoñente conexo se se cumpren estas dúas condicións:
#  Y \subset X \, é conexo.
# Calquera conxunto  Z \, que contén propiamente  Y \, non é conexo.

Cúmprese que os compoñentes conexos de X forman unha partición de X. Se X é conexo, tense que X é a súa única compoñente conexa.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
*.