Sistema de veciñanzas

En topoloxía e outras áreas relacionadas das matemáticas, o **sistema de veciñanzas**, **ou sistema completo de veciñanzas**  ou **filtro de veciñanzas**  \mathcal{N}(x) por un punto x nun espazo topolóxico é a colección de tódalas veciñanzas de x.

## Definicións 
**Veciñanza dun punto ou conxunto**

Unha  dun punto (ou subconxunto) x nun espazo topolóxico X é calquera subconxunto aberto U de X que contén x.
Unha  é calquera subconxunto N \subseteq X que conteña  veciñanza aberta de x;
explicitamente, N é unha veciñanza de x en X se e só se existe algún subconxunto aberto U con x \in U \subseteq N.
De forma equivalente, unha veciñanza de x é calquera conxunto que conteña x no seu interior topolóxico.

**Filtro de veciñanzas**

O sistema de veciñanzas para un punto (ou subconxunto non baleiro) x é un filtro chamado  O filtro de veciñanzas para un punto x \in X é o mesmo que o filtro de veciñanzas do conxunto unitario \{x\}.

### Base de veciñanzas 
Unha  ou   para un punto x é un filtro base do filtro de veciñanzas; isto significa que é un subconxunto
\mathcal{B} \subseteq \mathcal{N}(x)
tal que para todo V \in \mathcal{N}(x), existe algunha B \in \mathcal{B} tal que B \subseteq V .
É dicir, para calquera veciñanza V podemos atopar unha veciñanza B na base de veciñanzas que está contida en V.

De forma equivalente, \mathcal{B} é unha base local en x se e só se o filtro de veciñanzas \mathcal{N} pode ser recuperado de \mathcal{B} no sentido de que se cumpre a seguinte igualdade: \mathcal{N}(x) = \left\{ V \subseteq X ~:~ B \subseteq V \text{ para algún } B \in \mathcal{B} \right\}\!\!\;.Unha familia \mathcal{B} \subseteq \mathcal{N}(x) é unha base de veciñanzas para x se e só se \mathcal{B} é un subconxunto cofinal de \left(\mathcal{N}(x), \supseteq\right) respecto da orde parcial \supseteq (importante, esta orde parcial é a relación de superconxunto e non a relación de subconxunto).

### Subbase de veciñanzas 
Unha  en x é unha familia \mathcal{S} de subconxuntos de X, onde cada un deles contén x, de xeito que a colección de todos as interseccións de elementos de \mathcal{S} forma unha base de veciñanzas en x.

## Exemplos 
Se \R ten a súa topoloxía euclidiana habitual entón as veciñanzas de 0 son todos eses subconxuntos N \subseteq \R para o que existe algún número real r > 0 tal que (-r, r) \subseteq N. Por exemplo, todos os seguintes conxuntos son veciñanzas  de 0 en \R : (-2, 2), \; [-2,2], \; [-2, \infty), \; [-2, 2) \cup \{10\}, \; [-2, 2] \cup \Q, \; \R pero ningún dos seguintes conxuntos son veciñanzas de 0: \{0\}, \; \Q, \; (0,2), \; [0, 2), \; [0, 2) \cup \Q, \; (-2, 2) \setminus \left\{1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \ldots\right\} onde \Q denota os números racionais.

Se U é un subconxunto aberto dun espazo topolóxico X, entón para cada u \in U, U é unha veciñanza de u en X. De xeito máis xeral, se N \subseteq X é calquera conxunto e \operatorname{int}_X N denota o interior topolóxico de N en X, entón N é unha veciñanza (en X) de cada punto x \in \operatorname{int}_X N e a maiores N  é unha veciñanza de ningún outro punto. Dito doutro xeito, N é unha veciñanza dun punto x \in X se e só se x \in \operatorname{int}_X N.

**Bases de veciñanzas**

En calquera espazo topolóxico, o sistema de veciñanzas para un punto tamén é unha base de veciñanzas para o punto. O conxunto de todas as veciñanzas abertas nun punto forma unha base de veciñanzas nese punto. Para calquera punto x nun espazo métrico, a secuencia de bólas abertas ao redor de x con raio 1/n forma unha base de veciñanzas numerábel \mathcal{B} = \left\{B_{1/n} : n = 1,2,3,\dots \right\} . Isto significa que todo espazo métrico é primeiro numerábel.

Dado un espazo X coa topoloxía non discreta o sistema de veciñanzas para calquera punto x só contén todo o espazo, \mathcal{N}(x) = \{X\}.

Na topoloxía débil sobre o espazo de medidas sobre un espazo E, unha base de veciñanzas sobre \nu está dada por \left\{\mu \in \mathcal{M}(E) : \left|\mu f_i - \nu f_i\right| onde as f_i son funcións limitadas continuas de E aos números reais e r_1, \dots, r_n son números reais positivos.

**Espazos seminormados e grupos topolóxicos**

Nun espazo seminormado, é dicir, un espazo vectorial coa topoloxía inducida por un seminorma, todos os sistemas de veciñanzas poden construírse mediante a translación do sistema de veciñanzas da orixe, \mathcal{N}(x) = \mathcal{N}(0) + x.

Isto débese a que, por suposto, a adición de vectores é separadamente continua  na topoloxía inducida. Polo tanto, a topoloxía está determinada polo seu sistema de veciñanzas na orixe. De forma máis xeral, isto segue a ser certo sempre que o espazo sexa un grupo topolóxico ou a topoloxía estea definida por unha pseudométrica.

## Propiedades 
Supoñamos que u \in U \subseteq X e sexa \mathcal{N} unha base de veciñanzas para u en X. Facemos \mathcal{N} un conxunto dirixido ordenándoo parcialmente por inclusión de superconxuntos \,\supseteq. Entón U  é unha veciñanza de u en X se e só se existe unha rede \mathcal{N}-indexada \left(x_N\right)_{N \in \mathcal{N}} en X \setminus U tal que x_N \in N \setminus U para todo N \in \mathcal{N} (o que implica que \left(x_N\right)_{N \in \mathcal{N}} \to u en X).

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*  
*  
*  
### Outros artigos 
* 
* 
* 
* 
* 
*