Función aditiva

En teoría de números, unha **función aditiva** é unha función aritmética *f*(*n*) da variábel enteira positiva *n* tal que sempre que *a* e *b* son coprimos, a función aplicada ao produto *ab* é a suma dos valores da función aplicada a *a* e *b*:

:f(a b) = f(a) + f(b).

## Completamente aditiva 
Unha función aditiva *f*(*n*) dise que é **completamente aditiva** sen se verifica f(a b) = f(a) + f(b)  *para todos* os enteiros positivos *a* e *b*, aínda que non sexan coprimos. **Completamente aditiva** tamén se usa neste sentido por analoxía coas funcións completamente multiplicativas. Se *f* é unha función completamente aditiva, entón *f*(1) = 0.

Toda función completamente aditiva é aditiva, mais non viceversa.

## Exemplos 
Exemplos de funcións aritméticas que son completamente aditivas:

* A restrición da función logarítmica a \N.
* A **multiplicidade** dun factor primo *p* en *n*, que é o maior expoñente *m* para o que *pm* divide *n*.
* *a*0(*n*), a suma de números primos que divide *n* contando a súa multiplicidade, ás veces chamada sopfr(*n*), a potencia de *n* ou o logaritmo enteiro de *n* . Por exemplo:

:: *a*0 (4) = 2 + 2 = 4.
:: *a*0 (20) = *a*0(22 · 5) = 2 + 2 + 5 = 9.
:: *a*0 (27) = 3 + 3 + 3 = 9.
:: *a*0 (144) = *a*0 (24 · 3 2 ) = *a*0 (24) + *a*0 (32) = 8 + 6 = 14.
:: *a*0 (2000) = *a*0 (2 4 · 5 3 ) = *a*0 (2 4 ) + *a*0 (5 3 ) = 8 + 15 = 23.
:: *a*0 (2003) = 2003.
:: 

* A función Ω(*n*), definida como o número total de factores primos de *n*, contando múltiples factores múltiples veces, ás veces chamada "función Omega maiúsculo" . Por exemplo;

:: Ω(1) = 0, xa que 1 non ten factores primos.
:: Ω(4) = 2.
:: Ω(16) = Ω(2·2·2·2) = 4.
:: Ω(20) = Ω(2·2·5) = 3.
:: Ω(27) = Ω(3·3·3) = 3.
:: Ω(144) = Ω(24 · 32) = Ω(24) + Ω(32) = 4 + 2 = 6.
:: Ω(2000) = Ω(2 4 · 5 3 ) = Ω(24 ) + Ω(53 ) = 4 + 3 = 7.
:: Ω(2001) = Ω(3·23·29)=3.
:: Ω(2002) = Ω(2·7·11·13)=3.
:: Ω(2003) = 1.
:: 

Exemplos de funcións aritméticas que son aditivas mais non completamente aditivas son:

* ω(*n*), definido como o número total de distintos factores primos de *n* . Por exemplo:

:: ω(4) = 1.
:: ω(16) = ω(24 ) = 1.
:: ω(20) = ω(22 · 5) = 2.
:: ω(27) = ω(33 ) = 1.
:: ω(144) = ω(24 · 32 ) = ω(24 ) + ω(32 ) = 1 + 1 = 2.
:: ω(2000) = ω(24 · 53) = ω(24 ) + ω(53 ) = 1 + 1 = 2.
:: ω(2001) = 3.
:: ω(2002) = 4.
:: ω(2003) = 1.
:: 

* *a*1(*n*), a suma dos distintos números primos que dividen *a n*, ás veces chamado sopf(*n*) . Por exemplo:

:: *a*1(1) = 0.
:: *a*1(4) = 2.
:: *a*1(20) = 2 + 5 = 7.
:: *a*1(27) = 3.
:: *a*1 (144) = *a*1(24 · 32) = *a*1(24) + *a*1(32) = 2 + 3 = 5.
:: *a*1 (2000) = *a*1(24 · 53 ) = *a*1(24) + *a*1(53) = 2 + 5 = 7.
:: *a*1(2001) = 55.
:: *a*1(2002) = 33.
:: *a*1(2003) = 2003.
::

## Funcións multiplicativas 
A partir de calquera función aditivaf(n) é posíbel crear unha  relacionada g(n), que é unha función coa propiedade que sempre que a e b son coprimos daquela: 
:g(a b) = g(a) \times g(b).
Un destes exemplos é g(n) = 2^{f(n)}. Así mesmo se f(n) é completamente aditiva, daquela g(n) = 2^{f(n)}  é completamente multiplicativa. De forma máis xeral, poderiamos considerar a función g(n) = c^{f(n)} , onde c é unha constante real distinta de cero.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Janko Bračič, *Kolobar aritmetičnih funkcij* (*Ring of arithmetical functions*), (Obzornik mat, fiz. **49** (2002) 4, pp.&nbsp;97–108)  (MSC (2000) 11A25) 
* Iwaniec and Kowalski, *Analytic number theory*, AMS (2004). 
### Outros artigos 
* Función aritmética.
* Ecuación funcional.

### Ligazóns externas 
* [Additive arithmetical functions and statistical independence Paul Erdős(https://gl.wikipedia.org/wiki/Paul_Erd%C5%91s) e Aurel Wiktker ].