Topoloxía alxébrica

[miniatura|250x250px|Un [toro (xeometría e topoloxía)|toro, un dos obxectos máis frecuentemente estudados en topoloxía alxébrica]]
A **topoloxía alxébrica** é unha rama da topoloxía na que se usan as ferramentas da álxebra abstracta para estudar os espazos topolóxicos. O obxectivo básico é atopar invariantes alxébricas que clasifican os espazos topolóxicos até o homeomorfismo, aínda que normalmente moitos se clasifican até a equivalencia homotópica.

## O método dos invariantes alxébricos 
O obxectivo da topoloxía alxébrica é clasificar os espazos topolóxicos. Un nome antigo para esta materia era o de **topoloxía combinatoria**, que puña a énfase en como un espazo dado *X* podía construírse a partir de espazos máis pequenos. O método básico que se aplica agora en topoloxía alxébrica é o de investigar os espazos por medio dos invariantes alxébricos: por exemplo aplicándoos, relacionándoos cos grupos, que teñen bastante estrutura utilizable, e de maneira que se respecte a relación de homeomorfismo de espazos.

As dúas formas principais como se fai isto son a través dos grupos fundamentais, ou máis en xeral a teoría de homotopía, e por medio dos grupos de homoloxía e de cohomoloxía. Os grupos fundamentais fornecen información básica sobre a estrutura dun espazo topolóxico; pero son a miúdo non abelianos e poden ser difíciles de empregar. O grupo fundamental dun complexo simplicial (finito) ten unha presentación finita.

Os grupos de homoloxía e cohomoloxía, por outra banda, son abelianos, e en moitos casos importantes son finitamente xerados. Os grupos abelianos finitamente xerados poden clasificarse completamente e son particularmente fáciles de usar.

## Resultados en homoloxía 
Varios resultados útiles séguense inmediatamente de traballar con grupos abelianos finitamente xerados. O rango libre do grupo de *n*-homoloxía dun complexo simplicial é igual ao *n*-número de Betti, así que se poden empregar os grupos de homoloxía dun complexo simplicial para calcular a súa característica de Euler-Poincaré. Se un grupo de *n*-homoloxía dun complexo simplicial ten torsión, entón o complexo é non orientable. Así que a homoloxía "codifica" gran parte da información topolóxica dun espazo topolóxico dado.

Máis aló da homoloxía simplicial, podemos usar a estrutura diferencial das variedades por medio da cohomoloxía de De Rham, ou a de Cech ou coa cohomoloxía de feixes para investigar a resolubilidade das ecuacións diferenciais definidas na variedade en cuestión. De Rham demostrou que todos estes tipos de aproximación están interrelacionados e que os números de Betti que se derivan da homoloxía simplicial eran os mesmos números de Betti que aqueles que se derivan da cohomoloxía de De Rham.

## Aplicacións 
Entre as aplicacións clásicas da topoloxía alxébrica atópanse:
* O teorema do punto fixo de Brouwer: toda aplicación continua *f* dun disco pechado en si mesmo admite polo menos un punto fixo.
* A *n*-esfera admite un campo vectorial unitario continuo, que non se anula nunca, se e só se *n* é impar; para *n* = 2, este resultado tamén se coñece como teorema da bóla peluda. 
* O teorema de Borsuk–Ulam.

## Posicionamento na teoría das categorías 
En xeral, todas as construcións da topoloxía alxébrica son functoriais: as nocións de categoría, functor e transformación natural orixináronse aquí. Os grupos fundamentais, de homoloxía e cohomoloxía non son só invariantes do espazo topolóxico subxacente, no sentido de que dous espazos topolóxicos son homeomorfos se teñen asociados os mesmos grupos; unha aplicación continua de espazos induce un homomorfismo entre os grupos asociados, e estes homomorfismos poden ser usados para probar a non-existencia (ou, máis profundamente, a existencia) de aplicacións.

## Problemas da topoloxía alxébrica 
O problema xeométrico, aberto por preto dun século, e máis famoso da topoloxía alxébrica é a conxectura de Poincaré, resolto polo ruso Grigori Perelman en 2002. O campo da teoría de homotopía contén moitos misterios, en particular a maneira correcta de describir os grupos de homotopía das esferas.

## Ferramentas importantes 
As ferramentas importantes (como teoremas fundamentais) para o cálculo de invariantes desta teoría son:
* Teorema de Seifert-van Kampen
* Sucesión de Mayer-Vietoris
* Fórmula de Künneth

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 

### Outros artigos 
* Homeomorfismo
* Topoloxía xeométrica
* Teoría xeométrica de grupos
### Ligazóns externas 
* *Algebraic Topology*, de Allen Hatcher