Curva de Lorenz

miniatura|Curva de Lorenz.
A **curva de Lorenz** é unha representación gráfica utilizada frecuentemente para plasmar a distribución relativa dunha variable nun dominio determinado. O dominio pode ser o conxunto de fogares ou persoas dunha rexión ou país, por exemplo. A variable cuxa distribución se estuda pode ser o ingreso dos fogares ou as persoas. Utilizando como exemplo estas variables, a curva trazaríase considerando no eixo horizontal a porcentaxe acumulada de persoas ou fogares do dominio en cuestión e no eixo vertical a porcentaxe acumulada do ingreso. A súa autoría é de Max O. Lorenz en 1905.

Cada punto da curva lese como porcentaxe acumulativa dos fogares ou as persoas. A curva parte da orixe (0,0) e termina no punto (100,100). Se o ingreso estivese distribuído de maneira perfectamente equitativa, a curva coincidiría coa liña de 45 graos que pasa pola orixe (por exemplo o 30% dos fogares ou da poboación percibe o 30% do ingreso). Se existise desigualdade perfecta, ou sexa, se un fogar ou persoa posuíse todo o ingreso, a curva coincidiría co eixo horizontal até o punto (100,0) onde saltaría ao punto (100,100). En xeral a curva atópase nunha situación intermedia entre estes dous extremos.

## Curva de Lorenz e desigualdade 
Se unha curva de Lorenz se atopa sempre por encima doutra (por tanto, está máis preto da liña de 45 graos que a outra), entón pódese dicir, sen ambigüidade, que a primeira exhibe menor desigualdade que a segunda. Esta comparación gráfica entre distribucións de distintos dominios xeográficos ou temporais é o principal emprego das curvas de Lorenz.
O indicador gráfico de benestar máis usado é a Curva de Lorenz Xeneralizada (CLX), que é unha derivación da curva de Lorenz habitual. A CLX só se diferencia da de Lorenz en que na escala vertical non se representan as cantidades relativas acumuladas senón as cantidades acumuladas (non relativas) divididas polo número N de elementos da poboación. A lóxica pretendida é representar que cantidade absoluta corresponde a cada porcentaxe de individuos. Para clarificar este aspecto, supóñase que a curva de Lorenz normal dunha poboación dinos que o 50% dos menos ricos posúen o 25% da riqueza total. Pódese comprender que é moi diferente a situación de benestar deste 50% da poboación segundo se a riqueza total é moi pequena ou moi grande. É obvio que é peor posuír o 50% dunha cantidade pequena que posuír o 25% dunha cantidade moito maior. Entón dividir as cantidades acumuladas polo total de elementos N é necesario para poder comparar riquezas entre poboacións distintas que teñan un número diferente de elementos: non é o mesmo unha riqueza total de 1.000.000€ nun conxunto de 10 persoas que esa mesma riqueza total nun conxunto formado por 1.000 persoas.

## Ecuación da curva de Lorenz 
Se se coñece a distribución da renda como densidade de probabilidade \scriptstyle f_r(r) para cada valor de renda, a curva de Lorenz pode calcularse analiticamente en función desta. A proporción de persoas ou unidades familiares cunha renda inferior a un nivel de renda *r* vén dada por:Mentres que a proporción de renda acumulada polas persoas con rendas iguais ou inferiores a *r* vén dada por:{{Ecuación|R(r) = \frac{\int_0^r \rho f_r(\rho)\ d\rho}{\int_0^\infty \rho f_r(\rho)\ d\rho} =
\frac{1}{R_m} \int_0^r \rho f_r(\rho)\ d\rho|2|left}}Onde R_m é a renda media. As ecuacións (1) e (2) constitúen xuntas as ecuacións paramétricas da curva en función do parámetro *r*.

### Propiedades 
A curva de Lorenz ten pendente positiva en todos os seus puntos como se deduce da seguinte relación:{{ecuación|\left(\frac{dR}{dP}\right)_{P_0 = P(r_0)} = \frac{\frac{dR(r_0)}{dr}}{\frac{dP(r_0)}{dr}} =
\frac{r_0 f_r(r_0)/R_m}{f_r(r_0)} = \frac{r_0}{R_m} \ge 0|3|left}}No punto inicial \scriptstyle r_0 = 0 a pendente será nula, aínda que no caso \scriptstyle f_r(0) = 0 o límite anterior segue sendo válido, pero no resto de puntos será estritamente positiva.

Ademais a curva de Lorenz é convexa xa que a súa derivada segunda sempre é positiva:{{Ecuación|\left(\frac{d^2 P}{dR^2}\right)_{P_0 = P(r_0)} = \frac{d}{dr}\left( \frac{dR}{dP} \right) \frac{dr}{dP} =
\frac{1}{R_m} \frac{dr(P_0)}{dP} = \frac{1}{R_m} \frac{1}{f_r(r_0)} \ge 0|4|left}}

### Exemplo 1 
Nesta sección calculamos a curva de Lorenz e o índice de Gini para unha distribución de renda exponencial. Aínda que esta non parece unha distribución adecuada para a renda nacional de ningún país, a sinxeleza das expresións obtidas permite entender de modo sinxelo a aplicación das ecuacións (1) a (4). Para un país cunha renda nacional media \scriptstyle R_m cunha distribución exponencial a densidade de probabilidade da distribución será:{{Ecuación|f_r(\rho) = \frac{1}{R_m} e^{-\frac{\rho}{R_m}}||left}}Esta expresión permite calcular a proporción de persoas por baixo dunha certa renda e a renda acumulada dese grupo de persoas facilmente:{{Ecuación|\begin{cases}
P = P(r) = \int_0^{r} \frac{e^{-\frac{\rho}{R_m}}}{R_m} d\rho = 1-e^{-\frac{r}{R_m}}\\
R = R(r) = \int_0^{r} \frac{\rho}{R_m}e^{-\frac{\rho}{R_m}} d\rho =
\left( 1-e^{ -\frac{r}{R_m} } \right)  \cfrac{r}{R_m}e^{-\frac{r}{R_m}} \end{cases}||left}}Despexando \scriptstyle r da primeira ecuación e substituíndo o resultado na segunda obtense a curva de Lorenz explicitamente:O índice de Gini pódese calcular simplemente como:Este é o valor exacto. Cando para calcular este valor en lugar dunha distribución continua úsase un cálculo aproximado por decís en cambio resulta só \scriptstyle IG\ \approx 0,4911.

### Exemplo 2 
[miniatura|281x281px|Índice de Gini para diferentes curvas de Lorenz asociadas a [Distribución gamma|distribucións gamma .\scriptstyle \Gamma_{n,\lambda} O valor de *n* corresponde a cada distribución, mentres que o factor \scriptstyle \lambda está relacionado coa renda media e non inflúe no índice de Gini.]]
Unha aproximación máis verosímil para a renda nacional é usar en lugar dunha simple distribución exponencial, unha distribución gamma:{{Ecuación|f_r(\rho) = \frac{\lambda^n}{\Gamma(n)} \rho^{n-1}e^{-\lambda\rho}||left}}Onde o parámetro \scriptstyle \lambda está relacionado coa renda media mediante \scriptstyle \lambda = n/R_m. Despois dunha certa cantidade de álxebra trivial pero dificultosa pode atoparse que a proporción de persoas por baixo dunha certa renda e a renda acumulada dese grupo de persoas veñen dadas por:{{Ecuación|\begin{cases}
P = P(r) = \int_0^{r} f_r(\rho) d\rho = 1-e^{-\lambda r}P_{n-1}(\lambda r)\\
R = R(r) = \int_0^{r} \rho f_r(\rho) d\rho = 1-e^{-\lambda r}P_{n}(\lambda r) \end{cases}||left}}Onde:

: P_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \dots +\frac{x^n}{n!}

Neste caso non é posible despexar explicitamente \scriptstyle r da primeira ecuación. Aínda que pode calcularse o índice de Gini mediante a expresión (para \scriptstyle n enteiro):{{Ecuación|IG = 1- 2\int_0^1 R\ dP = 1 - 2 \int_0^\infty R(r)\frac{dP(r)}{dr}\ dr
= \begin{cases}
\prod_{i=1}^n \frac{2k-1}{2k} & n\in \mathbb{N}\\
\frac{\Gamma(n+1/2)}{\Gamma(n+1)\Gamma(1/2)} & n\notin \mathbb{N} \end{cases} ||left}}Neste caso o coeficiente de Gini tampouco depende da renda media. Dado que o índice de Gini da maior parte de países está entre 0,50 e 0,25 a distribución gamma anterior pode usarse de maneira aproximada para reproducir a distribución real da renda.

## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Coeficiente de Gini
* Índice de Desenvolvemento Humano

### Ligazóns externas 
* La distribución de la renta, la curva de Lorenz y el índice de Gini
* Índice de Gini por países
* (en inglés) A complete handhout about the Lorenz curve including various applications, including an Excel spreadsheet graphing Lorenz curves and calculating Gini coefficients as well as coefficients of variation.