Trigonometría

miniatura|Expresión gráfica das funcións trigonométricas.
A **trigonometría** estuda as relacións entre os lados e os ángulos dun triángulo e, por extensión, as propiedades dos puntos (baricentro, circuncentro, incentro e ortocentro) e rectas (mediana, altura, mediatriz e bisectriz) notábeis dun triángulo.

A palabra deriva do grego *trigonon* (*tri*', tres e *gonia* ángulos), triángulo, e *metron*, medida; é dicir, etimoloxicamente trigonometría é a *medida de tres ángulos* ou *medida de triángulos*.

## Funcións directas principais 
En concreto, a trigonometría establece varias funcións trigonométricas para un ángulo, definibles graficamente segundo unha circunferencia de raio unidade de tal xeito que o devandito ángulo ten o seu vértice no centro do círculo (na figura, o ángulo abrangue a zona gris):
miniatura|Funcións trigonométricas directas
* a función chamada seno dun ángulo (abreviada *sen* ou **sin** en LaTeX) relaciona o valor do cateto oposto ó ángulo co da hipotenusa. Polo tanto tomando coma referencia a circunferencia de raio unidade da figura, se a hipotenusa ten valor 1 (o do raio), o seno será o segmento vermello, é dicir, o seno terá o valor do cateto oposto cando a hipotenusa vale a unidade;
:  \sin \alpha = \frac{\textrm{cateto} \, \, \textrm{oposto}}{\textrm{hipotenusa}} 
* a función chamada coseno dun ángulo (abreviada *cos*, inda que en portugués se escriba con dobre *s*) relaciona o valor do cateto contiguo (ou adxacente) co da hipotenusa. Na figura, para unha hipotenusa unitaria (o raio), o coseno será o segmento verde, é dicir, o coseno terá o valor do cateto contiguo cando a hipotenusa vale a unidade;
: \cos \alpha = \frac{\textrm{cateto} \, \, \textrm{adxacente}}{\textrm{hipotenusa}} 
* a función chamada tanxente (abreviada *tan*, inda que exista unha tendencia a notala como *tg*, seguindo e segundo a súa grafía en latín, castelán e inglés) relaciona as dúas anteriores: é dicir, é a relación entre o seno e o coseno. Para facer que o coseno teña valor unitario, faise coincidir co raio, e polo tanto a tanxente é o segmento azul, exterior á circunferencia, é dicir, a tanxente terá o valor do cateto oposto cando o cateto contiguo vale a unidade:
:\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\textrm{cateto} \, \, \textrm{oposto}}{\textrm{hipotenusa}}}{\frac{\textrm{cateto} \, \, \textrm{adxacente}}{\textrm{hipotenusa}}} = \frac{\textrm{cateto} \, \, \textrm{oposto}}{\textrm{cateto} \, \, \textrm{adxacente}}
O nome destas funcións procede de que estes segmentos marcados están no interior (no seo, para seno e coseno) ou na tanxente á circunferencia de raio unidade.

## Funcións directas secundarias (recíprocas ou inversas multiplicativas) 
Existen outras tres funcións trigonométricas que teñen o valor inversamente proporcional ás tres anteriores. Os seus nomes son secante, cosecante e cotanxente. Os seus nomes tamén proceden da posición do segmento en relación á circunferencia unidade. Estas inversas son (na figura, o ángulo abrangue tamén a mesma zona gris):
miniatura|Funcións trigonométricas recíprocas ou inversas multiplicativas
* a función chamada secante dun ángulo (abreviada *sec*) relaciona o valor da hipotenusa co do cateto continuo ó angulo. Polo tanto tomando coma referencia a circunferencia de raio unidade da figura, se o cateto contiguo ten valor 1 (o do raio), a secante será o segmento en trazos verdes, é dicir, a secante terá o valor da hipotenusa cando o cateto contiguo vale a unidade;
 \sec{\alpha} = \frac{\textrm{hipotenusa}}{\textrm{cateto} \, \, \textrm{adxacente}} = {1 \over \cos{\alpha} }
* a función chamada cosecante dun ángulo (abreviada *cosec* ou **csc** nas fórmulas LaTeX) relaciona o valor da hipotenusa co do cateto oposto. Na figura, para un cateto unitario de valor igual ó raio, a cosecante será o segmento en trazos vermellos, é dicir, a cosecante terá o valor da hipotenusa cando o cateto oposto vale a unidade;
 \csc{\alpha} = \frac{\textrm{hipotenusa}}{\textrm{cateto} \, \, \textrm{oposto}} = {1 \over \sin{\alpha}} 
* a función chamada cotanxente (abreviada *cotan*, inda que tamén se pode ver como *cotg* en outros idiomas,  e **cot** nas fórmulas LaTeX) relaciona as dúas anteriores e é inversa da tanxente: é dicir, é a relación entre o coseno e o seno ou entre a secante e a cosecante. Para facer que o coseno teña valor unitario, faise coincidir co raio, e polo tanto a tanxente é o segmento azul, exterior á circunferencia, é dicir, a cotanxente terá o valor do cateto contiguo cando o cateto oposto vale a unidade:
 \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\frac{\textrm{cateto} \, \, \textrm{adxacente}}{\textrm{hipotenusa}}}{\frac{\textrm{cateto} \, \, \textrm{oposto}}{\textrm{hipotenusa}}} = \frac{\sec \alpha}{\csc \alpha} = \frac{\textrm{cateto} \, \, \textrm{adxacente}}{\textrm{cateto} \, \, \textrm{oposto}} 

## Funcións inversas para a composición de funcións (funcións *arco*) 
thumb|Para unha circunferencia de raio 1, arcsin e arccos son as lonxitudes dos arcos reais determinadas polas cantidades en cuestión.
O concepto de inversión nestas funcións opostas non consiste no valor matematicamente inversamente proporcional segundo a matemática (inverso multiplicativo), senón no concepto contrario ou función inversa. 

O seu argumento son números reais e o seu resultado son os ángulos ou arcos (en radiáns). Debido a isto as funcións teñen por nome a denominación da función directa antecedido do prefixo *arco-*. Así, existen seis funcións inversas: arcoseno **(\arcsin)**, arcocoseno **(\arccos)**, arcotanxente **(\arctan)**, arcosecante** (\arcsec)**, arcocosecante **(\arccsc)** e arcocotanxente **(\arccot)**. 

Así, cando nunha fómula matemática lemos **\sin^{-1}{x}**, débese interpretar como **\arcsin{x}**. Para o inverso multiplicativo **\scriptstyle \dfrac{1}{\sin{x}}** usaríase (\sin{x})^{-1}'*.

## Teorema fundamental dos triángulos 
Enúnciase como: *a suma dos ángulos dun triángulo suma 180º*, medida que equivale a π radiáns. Para outros polígonos regulares se pode calcular (e tamén o ángulo interior de cada un dos seus vértices) mediante o seguinte construto baseado neste teorema (as cores son referidas ás da figura):
120px|miniatura|Cálculo do ángulo dun polígono regular
* Se un polígono ten *n* lados e se busca o centro de simetría radial, se pode unir os *n* vértices mediante *n* segmentos (en azul);
* Isto produce *n* triángulos interiores que terán  n \, 180^\circ 
* Tendo en conta que a suma dos ángulos que rodean ó centro de simetría é 360º (en vermello), o resto dos ángulos miden en conxunto:

 n \, 180^\circ - 360^\circ = (n-2) \, 180^\circ 
* Como o polígono ten *n* vértices, a cada un corresponderalle:

 \frac{(n-2) \, 180^\circ}{n} = \frac{n-2}{n} 180^\circ = \left ( 1 - \frac{2}{n} \right ) 180^\circ  (en verde)
* Este valor a medida que se vai aumentando (o seu límite cando *n'' tende a infinito) equivale a 180º, que é o valor da tanxente da circunferencia (o polígono de infinitos lados).

## Teorema fundamental da trigonometría 
Este teorema baséase no teorema de Pitágoras e relaciona o seno dun ángulo co seu coseno. A súa demostración é moi doada partindo do dito por Pitágoras e dividíndoo entre o cadrado da hipotenusa ( cateto_O \,  é o cateto oposto e  cateto_C \,  é o cateto contiguo):

\begin{matrix}
\mbox{cateto}_O^2 + \mbox{cateto}_C^2 
& = 
& \mbox{hipotenusa} ^2 
& \Rightarrow 
\\ \frac{\mbox{cateto}_O^2}{\mbox{hipotenusa}^2} + \frac{\mbox{cateto}_C^2}{\mbox{hipotenusa}^2} 
& = 
& \frac{\mbox{hipotenusa}^2}{\mbox{hipotenusa}^2} 
& \Rightarrow 
\\ \left ( \frac{\mbox{cateto}_O}{\mbox{hipotenusa}} \right )^2 + \left ( \frac{\mbox{cateto}_C}{\mbox{hipotenusa}} \right )^2 
& = 
& 1 
& \Rightarrow
\\ \cos ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha 
& = 
& 1 
\end{matrix}

## Relacións trigonométricas 
Existe unha relación entre as funcións trigonométricas de varios ángulos (restados ou sumados) e as funcións de cada un dos sumandos ou restandos individualmente. Disto dedúcese a relación entre as funcións dun ángulo e o do seu dobre (facendo a suma de si mesmo). Tamén hai unha equivalencia entre a función dun ángulo e o da súa metade.

Para coñecer o valor da derivada das funcións trigonométricas (directas, inversas e opostas) v. derivada.

## Notas