Fracción continua xeneralizada

Na análise complexa, unha rama das matemáticas, unha **fracción continua xeneralizada** é unha xeneralización das fraccións continuas regulares, na que os numeradores parciais e os denominadores parciais poden asumir valores complexos arbitrarios.

Unha fracción continua xeneralizada é unha expresión da forma

: x = b_0 + \cfrac{a_1}{b_1 + \cfrac{a_2}{b_2 + \cfrac{a_3}{b_3 + \cfrac{a_4}{b_4 + \ddots\,}}}}

onde  () son os numeradores parciais, os  os denominadores parciais e o termo principal  chámase parte *enteira* da fracción continua.

Os sucesivos **converxentes** da fracción continua fórmanse aplicando as **fórmulas  de recorrencia** :

:\begin{align}
A_n &= b_n A_{n-1} + a_n A_{n-2}, \\
B_n &= b_n B_{n-1} + a_n B_{n-2} \qquad \text{para } n \ge 1 
\end{align}

con valores iniciais

: \begin{align}
A_{-1} &= 1,& A_0&=b_0,\\ B_{-1}&=0, & B_0&=1.
\end{align}

onde  é o *numerador* e  o *denominador*, chamados continuantes,   do -ésimo converxente.

## Historia 
 ideou unha técnica para aproximar as raíces das ecuacións cadráticas con fraccións continuas a mediados do século XVI. Só 24 anos despois, en 1613, Pietro Cataldi introduciu a primeira notación formal para a fracción continua xeneralizada.  Cataldi representou unha fracción continua como

: {a_0\cdot} \,\&\, \frac{n_1}{d_1\cdot} \,\&\, \frac{n_2}{d_2\cdot} \,\&\, \frac{n_3}{d_3}

cos puntos que indican onde vai a seguinte fracción e cada  representando un signo máis moderno.

A finais do século XVII John Wallis introduciu o termo "fracción continua" na literatura matemática.  Recentemente entraran en escena novas técnicas de análise matemática (o cálculo de Newton e Leibniz), e unha xeración de contemporáneos de Wallis puxeron en uso a novo termo.

En 1748 Euler publicou un teorema que mostra que un tipo particular de fracción continua é equivalente a unha determinada serie infinita moi xeral.  A fórmula da fracción continua de Euler aínda é a base de moitas probas modernas de converxencia de fraccións continuas.

En 1761, Johann Heinrich Lambert deu a primeira proba de que π é irracional, usando a seguinte fracción continua para : 

: \tan(x) = \cfrac{x}{1 + \cfrac{-x^2}{3 + \cfrac{-x^2}{5 + \cfrac{-x^2}{7 + {}\ddots}}}}

As fraccións continuas tamén se poden aplicar a problemas de teoría de números, e son especialmente útiles no estudo das ecuacións diofántianas. A finais do século XVIII Lagrange utilizou as fraccións continuas para construír a solución xeral da ecuación de Pell, respondendo así a unha pregunta que fascinaba aos matemáticos durante máis de mil anos.  O descubrimento de Lagrange implica que a expansión de fracción continua regular da raíz cadrada de todo número enteiro non cadrado é periódica e que, se o período é de lonxitude , contén unha cadea palindrómica de lonxitude .

En 1813 Gauss derivou a partir de funcións hiperxeométricas de valores complexos o que agora se chama fraccións continuas de Gauss.  Pódense usar para expresar moitas funcións elementais e algunhas funcións máis avanzadas (como as funcións de Bessel), como fraccións continuas que converxen rapidamente en case todas partes do plano complexo.

## Notación 
A expresión de fracción continua longa que aparece na introdución é fácil de interpretar para un lector non familiar coas fraccións continuas. Máis hai notacións máis curtas: 

: 
x = b_0 +
\frac{a_1}{b_1}{{}\atop+}
\frac{a_2}{b_2}{{}\atop+}
\frac{a_3}{b_3}{{}\atop+\cdots}

Carl Friedrich Gauss  elaborou esta notación:

: 
x = b_0 + \underset{i=1}\overset{\infty}\operatorname{K} \frac{a_i}{b_i}.\,

Aquí a "" significa *Kettenbruch*, a palabra alemá para "fracción continua". 

## Algunhas consideracións elementais 
### Numeradores e denominadores parciais 
Se un dos numeradores parciais  é cero, a fracción continua infinita

: 
b_0 + \underset{i=1}\overset{\infty}\operatorname{K} \frac{a_i}{b_i}\,

é realmente só unha fracción continua finita con  termos fraccionarios e, polo tanto, unha función racional de  a  e  a . 

### Fórmula do determinante 
Cando o -ésimo converxente dunha fracción continua

: 
x_n = b_0 + \underset{i=1}\overset{n}\operatorname{K} \frac{a_i}{b_i}\,

exprésase como unha fracción simple  podemos usar a fórmula do determinante{{Bloque numerado|:|A_{n-1}B_n - A_nB_{n-1} = \left(-1\right)^na_1a_2\cdots a_n = \prod_{i=1}^n (-a_i)|}}para relacionar os numeradores e denominadores de converxentes sucesivos  e  entre si. A proba disto pódese ver facilmente por indución.

### Transformación de equivalencia 
Se {{Math|{*c**i*}  {*c*1, *c*2, *c*3, ...}}} é calquera sucesión infinita de números complexos distintos de cero podemos demostrar, por indución, que

: 
b_0 + \cfrac{a_1}{b_1 + \cfrac{a_2}{b_2 + \cfrac{a_3}{b_3 + \cfrac{a_4}{b_4 + \ddots\,}}}} =
b_0 + \cfrac{c_1a_1}{c_1b_1 + \cfrac{c_1c_2a_2}{c_2b_2 + \cfrac{c_2c_3a_3}{c_3b_3 + \cfrac{c_3c_4a_4}{c_4b_4 + \ddots\,}}}}

A transformación de equivalencia é perfectamente xeral, pero dous casos particulares merecen unha mención especial. En primeiro lugar, se ningún dos  é cero pódese escoller unha secuencia {{Math|{*c**i*}}} para que cada numerador parcial sexa 1:

: 
b_0 + \underset{i=1}\overset{\infty}\operatorname{K} \frac{a_i}{b_i} = 
b_0 + \underset{i=1}\overset{\infty}\operatorname{K} \frac{1}{c_i b_i}\,

onde , , , e en xeral .

En segundo lugar, se ningún dos denominadores parciais  é cero, podemos usar un procedemento similar para escoller outra secuencia {{Math|{*d**i*}}} para que cada denominador parcial sexa un 1:

: 
b_0 + \underset{i=1}\overset{\infty}\operatorname{K} \frac{a_i}{b_i} = 
b_0 + \underset{i=1}\overset{\infty}\operatorname{K} \frac{d_i a_i}{1}\,

onde  e tamén .

Estes dous casos especiais da transformación de equivalencia son de enorme utilidade cando se analiza o problema xeral de converxencia.

### Nocións de converxencia 
A fracción continua

: 
x = b_0 + \underset{i=1}\overset{\infty}\operatorname{K} \frac{a_i}{b_i}\,

converxe se a secuencia de converxentes {{Math|{*x**n*}}} tende a un límite finito. Esta noción de converxencia é moi natural. É útil introducir a noción de converxencia xeral dunha fracción continua. En liñas xerais, isto consiste en substituír a parte da fracción posterior a  , \operatorname{K}_{i = n}^\infty \tfrac{a_i}{b_i} por , en lugar de por 0, para calcular os converxentes. Os converxentes así obtidos chámanse *converxentes modificados*. Dicimos que a fracción continua *converxe xeralmente* se existe unha secuencia \{w_n^*\} tal que a secuencia de converxentes modificados converxe para todos os \{w_n\} suficientemente distinto de \{w_n^*\}. A secuencia \{w_n^*\} chámase entón unha *secuencia excepcional* para a fracción continua. Vexa o capítulo 2 de  para unha definición rigorosa.

Tamén existe unha noción de converxencia absoluta para fraccións continuas, baseada na noción de converxencia absoluta dunha serie: dise que unha fracción continua é *absolutamente converxente* cando a serie

:  f = \sum_n \left( f_n - f_{n-1}\right),

onde f_n = \operatorname{K}_{i = 1}^n \tfrac{a_i}{b_i} son os converxentes da fracción continua, converxe absolutamente.  O teorema de Śleszyński–Pringsheim proporciona unha condición suficiente para a converxencia absoluta.

Finalmente, unha fracción continua dunha ou máis variables complexas é *uniformemente converxente* nunha veciñanza aberta  cando os seus converxentes converxen uniformemente en ; é dicir, cando para cada  existe  tal que para todo , para todos z \in \Omega ,

: 
|f(z) - f_n(z)| 

### Condicións para a irracionalidade 
Se  e  son enteiros positivos con  para todos os  suficientemente grandes, daquela

: 
x = b_0 + \underset{i=1}\overset{\infty}\operatorname{K} \frac{a_i}{b_i}\,

converxe a un límite irracional. 

### Fórmulas fundamentais de recorrencia 
Os numeradores e denominadores parciais dos converxentes sucesivos da fracción están relacionados mediante as *fórmulas fundamentais de recorrencia* :

: 
\begin{align}
A_{-1}& = 1& B_{-1}& = 0\\
A_0& = b_0& B_0& = 1\\
A_{n+1}& = b_{n+1} A_n + a_{n+1} A_{n-1}& B_{n+1}& = b_{n+1} B_n + a_{n+1} B_{n-1}\,
\end{align}

Os converxentes sucesivos da fracción continua son logo

: x_n=\frac{A_n}{B_n}.\,

Estas relacións de recorrencia débense a John Wallis (1616–1703) e Leonhard Euler (1707–1783).  Estas relacións de recorrencia son simplemente unha notación diferente para as relacións obtidas por Pietro Antonio Cataldi (1548-1626).

## Fórmula de fracción continua de Euler 
Euler demostrou a seguinte identidade: 

: 
a_0 + a_0a_1 + a_0a_1a_2 + \cdots + a_0a_1a_2\cdots a_n =
\frac{a_0}{1-\frac{a_1}{1+a_1-\frac{a_2}{1+a_2-\cdots\frac{a_{n}}{1+a_n}}}}.\,

Disto pódense derivar moitos outros resultados, como

: 
\frac{1}{u_1}+
\frac{1}{u_2}+
\frac{1}{u_3}+
\cdots+
\frac{1}{u_n} =
\frac{1}{u_1-\frac{u_1^2}{u_1+u_2-\frac{u_2^2}{u_2+u_3-\cdots\frac{u_{n-1}^2}{u_{n-1}+u_n}}}},\,

e

: 
\frac{1}{a_0} + \frac{x}{a_0a_1} + \frac{x^2}{a_0a_1a_2} + \cdots +
\frac{x^n}{a_0a_1a_2 \ldots a_n} =
\frac{1}{a_0-\frac{a_0x}{a_1+x-\frac{a_1x}{a_2+x-\cdots\frac{a_{n-1}x}{a_n+x}}}}.\,

## Exemplos 
### Funcións e números transcendentais 
Aquí temos dúas fraccións continuas que se poden construír mediante a identidade de Euler.

: 
e^x = \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots 
= 1+\cfrac{x} {1-\cfrac{1x} {2+x-\cfrac{2x} {3+x-\cfrac{3x} {4+x-\ddots}}}}

: 
\log(1+x) = \frac{x^1}{1} - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots 
=\cfrac{x} {1-0x+\cfrac{1^2x} {2-1x+\cfrac{2^2x} {3-2x+\cfrac{3^2x} {4-3x+\ddots}}}}

Aquí temos fraccións continuas xeneralizadas adicionais:

: 
\arctan\cfrac{x}{y}=\cfrac{xy} {1y^2+\cfrac{(1xy)^2} {3y^2-1x^2+\cfrac{(3xy)^2} {5y^2-3x^2+\cfrac{(5xy)^2} {7y^2-5x^2+\ddots}}}}
=\cfrac{x} {1y+\cfrac{(1x)^2} {3y+\cfrac{(2x)^2} {5y+\cfrac{(3x)^2} {7y+\ddots}}}}

: 
e^\frac{x}{y} = 1+\cfrac{2x} {2y-x+\cfrac{x^2} {6y+\cfrac{x^2} {10y+\cfrac{x^2} {14y+\cfrac{x^2} {18y+\ddots}}}}} \quad\Rightarrow\quad
e^2 = 7+\cfrac{2} {5+\cfrac{1} {7+\cfrac{1} {9+\cfrac{1} {11+\ddots}}}}

: 
\log \left( 1+\frac{x}{y} \right) = \cfrac{x} {y+\cfrac{1x} {2+\cfrac{1x} {3y+\cfrac{2x} {2+\cfrac{2x} {5y+\cfrac{3x} {2+\ddots}}}}}} 
= \cfrac{2x} {2y+x-\cfrac{(1x)^2} {3(2y+x)-\cfrac{(2x)^2} {5(2y+x)-\cfrac{(3x)^2} {7(2y+x)-\ddots}}}}

Esta último baséase nun algoritmo derivado por Aleksei Nikolaevich Khovansky na década de 1970. 

Exemplo: o logaritmo neperiano de 2 (= 

: 
\log 2 = \log (1+1) = \cfrac{1} {1+\cfrac{1} {2+\cfrac{1} {3+\cfrac{2} {2+\cfrac{2} 
{5+\cfrac{3} {2+\ddots}}}}}} 
= \cfrac{2} {3-\cfrac{1^2} {9-\cfrac{2^2} {15-\cfrac{3^2} {21-\ddots}}}}

#### \pi 
Fórmula de Leibniz para  \pi:

: 
\pi = \cfrac{4} {1+\cfrac{1^2} {2+\cfrac{3^2} {2+\cfrac{5^2} {2+\ddots}}}}
= \sum_{n=0}^\infty \frac{4(-1)^n}{2n+1} 
= \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} +- \cdots

converxe demasiado lentamente, requirindo aproximadamente  termos para conseguir  cifras decimais correctas. A serie derivada por Nilakantha Somayaji:

: 
\pi = 3 + \cfrac{1^2} {6+\cfrac{3^2} {6+\cfrac{5^2} {6+\ddots}}}
= 3 - \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n} {n (n+1) (2n+1)} 
= 3 + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} - \frac{1}{2\cdot 3\cdot 5} + \frac{1}{3\cdot 4\cdot 7} -+ \cdots

aínda converxe bastante lentamente. Por outra banda:

: 
\pi = \cfrac{4} {1+\cfrac{1^2} {3+\cfrac{2^2} {5+\cfrac{3^2} {7+\ddots}}}}
= 4 - 1 + \frac{1}{6} - \frac{1}{34} + \frac {16}{3145} - \frac{4}{4551} + \frac{1}{6601} - \frac{1}{38341} +- \cdots

converxe *linearmente* a \pi, engadindo polo menos tres díxitos de precisión por catro termos.

### Raíces dos números positivos 
A raíz -ésima de calquera número positivo  pódese expresar reformulando , dando como resultado

: 
\sqrt[n]{z^m} = \sqrt[n]{\left(x^n+y\right)^m} = x^m+\cfrac{my} {nx^{n-m}+\cfrac{(n-m)y} {2x^m+\cfrac{(n+m)y} {3nx^{n-m}+\cfrac{(2n-m)y} {2x^m+\cfrac{(2n+m)y} {5nx^{n-m}+\cfrac{(3n-m)y} {2x^m+\ddots}}}}}}

que se pode simplificar, dobrando cada par de fraccións nunha fracción, a

: 
\sqrt[n]{z^m} = x^m+\cfrac{2x^m \cdot my} {n(2x^n + y)-my-\cfrac{(1^2n^2-m^2)y^2} {3n(2x^n + y)-\cfrac{(2^2n^2-m^2)y^2} {5n(2x^n + y)-\cfrac{(3^2n^2-m^2)y^2} {7n(2x^n + y)-\cfrac{(4^2n^2-m^2)y^2} {9n(2x^n + y)-\ddots}}}}}.

A raíz cadrada de  é un caso especial con  e :

: 
\sqrt{z} = \sqrt{x^2+y} = x+\cfrac{y} {2x+\cfrac{y} {2x+\cfrac{3y} {6x+\cfrac{3y} {2x+\ddots}}}} 
= x+\cfrac{2x \cdot y} {2(2x^2 + y)-y-\cfrac{1\cdot 3y^2} {6(2x^2 + y)-\cfrac{3\cdot 5y^2} {10(2x^2 + y)-\ddots}}}

que se pode simplificar observando que :

: 
\sqrt{z} = \sqrt{x^2+y} = x+\cfrac{y} {2x+\cfrac{y} {2x+\cfrac{y} {2x+\cfrac{y} {2x+\ddots}}}} 
= x+\cfrac{2x \cdot y} {2(2x^2 + y)-y-\cfrac{y^2} {2(2x^2 + y)-\cfrac{y^2} {2(2x^2 + y)-\ddots}}}.

A raíz cadrada tamén se pode expresar mediante unha fracción continua periódica, pero a forma anterior converxe máis rapidamente cos apropiados  e .

#### Exemplo 1 
A raíz cúbica de dous (2 1/3 ou 3  ≈ 1,259921...) pódese calcular de dúas formas:

En primeiro lugar, a "notación estándar" de ,  e :

: 
\sqrt[3]2 = 1+\cfrac{1} {3+\cfrac{2} {2+\cfrac{4} {9+\cfrac{5} {2+\cfrac{7} {15+\cfrac{8} {2+\cfrac{10} {21+\cfrac{11} {2+\ddots}}}}}}}} = 1+\cfrac{2 \cdot 1} {9-1-\cfrac{2 \cdot 4} {27-\cfrac{5 \cdot 7} {45-\cfrac{8 \cdot 10} {63-\cfrac{11 \cdot 13} {81-\ddots}}}}}.

En segundo lugar, unha converxencia rápida con ,  e :

: 
\sqrt[3]2 = \cfrac{5}{4}+\cfrac{0.5} {50+\cfrac{2} {5+\cfrac{4} {150+\cfrac{5} {5+\cfrac{7} {250+\cfrac{8} {5+\cfrac{10} {350+\cfrac{11} {5+\ddots}}}}}}}} = \cfrac{5}{4}+\cfrac{2.5 \cdot 1} {253-1-\cfrac{2 \cdot 4} {759-\cfrac{5 \cdot 7} {1265-\cfrac{8 \cdot 10} {1771-\ddots}}}}.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Fracción continua
* Fracción continua de Gauss
* Composicións infinitas de funcións analíticas
* Algoritmo de Lentz

### Bibliografía
*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

* (Covers both analytic theory and history.)

* (Covers primarily analytic theory and some arithmetic theory.)

*

*

*

*

*

*

*

* (This reprint of the D. Van Nostrand edition of 1948 covers both history and analytic theory.)

*

### Ligazóns externas 
* As vinte primeirs páxinas de  Steven R. Finch, *Mathematical Constants*, Cambridge University Press, 2003, , contén fraccións continuas xeneralizadas para  e a razón áurea.
* "Exact" continued fraction for Pi}}