Función theta de Ramanujan

En matemáticas, particularmente na teoría de -análogos, a **función theta de Ramanujan** xeneraliza a forma das funcións theta de Jacobi, ao tempo que captura as súas propiedades xerais. 

En particular, o produto triplo Jacobi adquire unha forma particularmente elegante cando se escribe en termos do theta Ramanujan. A función leva o nome do matemático Srinivasa Ramanujan.

## Definición 
A función theta de Ramanujan defínese como

: f(a,b) = \sum_{n=-\infty}^\infty
a^\frac{n(n+1)}{2} \; b^\frac{n(n-1)}{2} 

para . A identidade do produto triplo de Jacobi toma logo a forma

: f(a,b) = (-a; ab)_\infty \;(-b; ab)_\infty \;(ab;ab)_\infty.

Aquí, a expresión (a;q)_n denota o q-símbolo de Pochhammer. As identidades que se derivan deste inclúen

: \varphi(q) = f(q,q) = \sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2} = 
{\left(-q;q^2\right)_\infty^2 \left(q^2;q^2\right)_\infty} 

e

: \psi(q) = f\left(q,q^3\right) = \sum_{n=0}^\infty q^\frac{n(n+1)}{2} = 
{\left(q^2;q^2\right)_\infty}{(-q; q)_\infty} 

e

: f(-q) = f\left(-q,-q^2\right) = \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^\frac{n(3n-1)}{2} = 
(q;q)_\infty 

Esta última é a función de Euler, que está moi relacionada coa función eta de Dedekind. A función theta de Jacobi pódese escribir en termos da función theta de Ramanujan como:

: \vartheta_{00}(w, q)=f\left(qw^2,qw^{-2}\right)

## Representacións con integrais 
Temos a seguinte representación con integral para a forma completa de dous parámetros da función theta de Ramanujan:

:  
\begin{align}
f(a,b) = 1 + \int_0^{\infty} \frac{2a e^{-\frac12 t^2}}{\sqrt{2\pi}}\left[ 
   \frac{1 - a \sqrt{ab} \cosh\left(\sqrt{\log ab} \,t\right)}{ 
   a^3 b - 2a \sqrt{ab} \cosh\left(\sqrt{\log ab} \,t\right) + 1} 
   \right] dt + \\
   \int_0^{\infty} \frac{2b e^{-\frac12 t^2}}{\sqrt{2\pi}}\left[ 
   \frac{1 - b \sqrt{ab} \cosh\left(\sqrt{\log ab} \,t\right)}{ 
   a b^3 - 2b \sqrt{ab} \cosh\left(\sqrt{\log ab} \,t\right) + 1} 
   \right] dt
\end{align}

Os casos especiais das funcións theta de Ramanujan dados por   e   tamén teñen as seguintes representacións con integrais:

: 
\begin{align} 
\varphi(q) & = 1 + \int_0^{\infty} \frac{e^{-\frac12 t^2}}{\sqrt{2\pi}} 
   \left[\frac{4q \left(1-q^2 \cosh\left( 
   \sqrt{2 \log q} \,t\right)\right)}{q^4-2 q^2
   \cosh\left(\sqrt{2 \log q} \,t\right) + 1} 
   \right] dt \\[6pt] 
\psi(q) & = \int_0^{\infty} 
   \frac{2 e^{-\frac12 t^2}}{\sqrt{2\pi}} 
   \left[\frac{1-\sqrt{q} 
   \cosh\left(\sqrt{\log q} \,t\right)}{q-2 \sqrt{q} 
   \cosh\left(\sqrt{\log q} \,t\right) + 1} 
   \right] dt
\end{align}

Isto leva a varias integrais de casos especiais para constantes definidas por estas funcións cando . En particular, temos que 

:  
\begin{align} 
\varphi\left(e^{-k\pi}\right) & = 
   1 + \int_0^\infty \frac{e^{-\frac12 t^2}}{\sqrt{2\pi}} \left[ 
   \frac{4 e^{k\pi} \left(e^{2k\pi} - \cos\left(\sqrt{2\pi k} \,t\right) 
   \right)}{e^{4k\pi} - 2 e^{2k\pi} \cos\left(\sqrt{2\pi k} \,t\right) + 1} 
   \right] dt \\[6pt] 
\frac{\pi^\frac14}{\Gamma\left(\frac34\right)} & = 
   1 + \int_0^\infty \frac{e^{-\frac12 t^2}}{\sqrt{2\pi}} \left[ 
   \frac{4 e^\pi \left(e^{2\pi} - \cos\left(\sqrt{2\pi} \,t\right) 
   \right)}{e^{4\pi} - 2 e^{2\pi} \cos\left(\sqrt{2\pi} \,t\right) + 1} 
   \right] dt \\[6pt] 
\frac{\pi^\frac14}{\Gamma\left(\frac34\right)} \cdot 
   \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} & = 
   1 + \int_0^\infty \frac{e^{-\frac12 t^2}}{\sqrt{2\pi}} \left[ 
   \frac{4 e^{2\pi} \left(e^{4\pi} - \cos\left(2 \sqrt{\pi} \,t\right) 
   \right)}{e^{8\pi} - 2 e^{4\pi} \cos\left(2 \sqrt{\pi} \,t\right) + 1} 
   \right] dt \\[6pt] 
\frac{\pi^\frac14}{\Gamma\left(\frac34\right)} \cdot 
   \frac{\sqrt{1 + \sqrt{3}}}{2^\frac14 3^\frac38} & = 
   1 + \int_0^\infty \frac{e^{-\frac12 t^2}}{\sqrt{2\pi}} \left[ 
   \frac{4 e^{3\pi} \left(e^{6\pi} - \cos\left(\sqrt{6 \pi} \,t\right) 
   \right)}{e^{12\pi} - 2 e^{6\pi} \cos\left(\sqrt{6 \pi} \,t\right) + 1} 
   \right] dt \\[6pt] 
\frac{\pi^\frac14}{\Gamma\left(\frac34\right)} \cdot 
   \frac{\sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}}{5^\frac34} & = 
   1 + \int_0^\infty \frac{e^{-\frac12 t^2}}{\sqrt{2\pi}} \left[ 
   \frac{4 e^{5\pi} \left(e^{10\pi} - \cos\left(\sqrt{10 \pi} \,t\right) 
   \right)}{e^{20\pi} - 2 e^{10\pi} \cos\left(\sqrt{10 \pi} \,t\right) + 1} 
   \right] dt
\end{align} 

e que

:  
\begin{align} 
\psi\left(e^{-k\pi}\right) & = 
   \int_0^\infty \frac{e^{-\frac12 t^2}}{\sqrt{2\pi}} \left[ 
   \frac{\cos\left(\sqrt{k \pi} \,t\right) - e^\frac{k\pi}{2}}{ 
   \cos\left(\sqrt{k \pi} \,t\right) - \cosh\frac{k\pi}{2}} 
   \right] dt \\[6pt] 
\frac{\pi^\frac14}{\Gamma\left(\frac34\right)} \cdot 
   \frac{e^\frac{\pi}{8}}{2^\frac58} & = 
   \int_0^\infty \frac{e^{-\frac12 t^2}}{\sqrt{2\pi}} \left[ 
   \frac{\cos\left(\sqrt{\pi} \,t\right) - e^\frac{\pi}{2}}{ 
   \cos\left(\sqrt{\pi} \,t\right) - \cosh\frac{\pi}{2}} 
   \right] dt \\[6pt] 
\frac{\pi^\frac14}{\Gamma\left(\frac34\right)} \cdot 
   \frac{e^\frac{\pi}{4}}{2^\frac54} & = 
   \int_0^\infty \frac{e^{-\frac12 t^2}}{\sqrt{2\pi}} \left[ 
   \frac{\cos\left(\sqrt{2 \pi} \,t\right) - e^\pi}{ 
   \cos\left(\sqrt{2 \pi} \,t\right) - \cosh \pi} 
   \right] dt \\[6pt] 
\frac{\pi^\frac14}{\Gamma\left(\frac34\right)} \cdot 
   \frac{\sqrt[4]{1 + \sqrt{2}} \, e^\frac{\pi}{16}}{2^\frac{7}{16}} & = 
   \int_0^\infty \frac{e^{-\frac12 t^2}}{\sqrt{2\pi}} \left[ 
   \frac{\cos\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}} \,t\right) - e^\frac{\pi}{4}}{ 
   \cos\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}} \,t\right) - \cosh\frac{\pi}{4}} 
   \right] dt
\end{align} 

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 

### Outros artigos 
* Función theta
* Q-serie
* Q-símbolo de Pochhammer
### Ligazóns externas 
*