Matriz diagonalizable

En matemáticas, unha **matriz diagonalizable** é unha matriz cadrada similar a unha matriz diagonal. Esta propiedade é equivalente á existencia dunha base de autovectores, o que permite definir analogamente un **endomorfismo diagonalizable** dun espazo vectorial .

O feito de que unha matriz sexa diagonalizable depende do corpo no que se buscan os autovalores, o que confirma a caracterización de diagonalizable polo feito de que o polinomio mínimo se factorice con raíces simples .

Esta caracterización permítenos mostrar en particular que os proxectores son sempre diagonalizables, así como as involucións se o corpo de coeficientes ten unha característica distinta de 2. Máis en xeral, os endomorfismos e as matrices de orde finita son diagonalizables sobre o corpo de complexos . Pola contra, un endomorfismo nilpotente distinto de cero non pode ser diagonalizable.

As matrices reais simétricas son diagonalizables por unha matriz ortogonal . De xeito máis xeral, as matrices normais, incluíndo as matrices hermitianas, antihermitianas e unitarias, son diagonalizables usando unha matriz unitaria, o que leva ao teorema espectral .

A diagonalización consiste en determinar de maneira efectiva unha matriz de pasaxe que transforma unha matriz diagonalizable nunha matriz diagonal, ou en atopar a descomposición dun espazo vectorial nunha suma directa de rectas invariantes mediante un endomorfismo .
dereita|miniatura|Modificación por un endomorfismo diagonalizable dun paralelotopo cuxos lados están dirixidos por autovectores.

## Definicións 
### Enfoque matricial 
Unha matriz cadrada M con coeficientes nun corpo *K* dise que é diagonalizable sobre *K* se existe unha matriz invertible P (chamada matriz modal ) e unha matriz diagonal D con coeficientes en *K* que satisfán a relación :

: M = P D P^{-1}\,.

Neste caso, cada vector columna Y da matriz P é un autovector para a matriz M, é dicir, existe un escalar \lambda na diagonal de D tal que M Y = \lambda Y .

Recíprocamente, se unha matriz admite unha familia de autovalores que forman unha base do espazo de vectores columna, entón esta matriz é diagonalizable. Abonda con construír a matriz invertible formada pola xustaposición destes vectores, estando a matriz diagonal definida pola secuencia de autovalores asociados.

### Endomorfismo 
Dise que un endomorfismo dun espazo vectorial é diagonalizable se existe unha base de autovectores. Isto significa que o espazo vectorial pode descompoñerse nunha suma directa de rectas invariantes polo endomorfismo ou, noutras palabras, que o espazo vectorial é a suma directa dos autosubespazos do endomorfismo  .

En dimensión finita, esta definición significa que o endomorfismo está representado nesta base por unha matriz diagonal, de xeito que calquera representación matricial do endomorfismo é unha matriz diagonalizable por cambio de base .

## Exemplos
* Exemplo de matriz diagonalizable sobre o corpo dos complexos, pero non sobre o dos reais, tendo como polinomio característico X^2 + 1:

\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}

* Matriz cun polinomio característico X^2 pero cuxo núcleo coincide coa súa imaxe, polo que non é diagonalizable.
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

## Propiedades e criterios 
Por definición, calquera matriz similar a unha matriz diagonalizable tamén é diagonalizable, o que se pode traducir para os endomorfismos polo feito de que o conxugado dun endomorfismo diagonalizable por un automorfismo tamén é diagonalizable.

Outras propiedades dedúcense directamente da forma diagonal:

* o núcleo e a imaxe están en suma directa ;
* o polinomio característico factorízase : sendo invariante por semellanza, é o mesmo para unha matriz diagonalizable M e para unha matriz diagonal D asociado e escríbese : \chi_M(X) = \prod_i{(X-\lambda_i)}\,onde (\lambda_i) describe os coeficientes diagonais de D (o mesmo valor pode aparecer varias veces).

Polo contrario, unha matriz cuxo polinomio característico está factorizado non é necesariamente diagonalizable, como no caso das matrices nilpotentes distintas de cero.

Non obstante, se o polinomio característico se divide en raíces simples, cada unha das súas raíces está asociada a un autovalor e os autovectores asociados forman unha base, o que demostra que a matriz é diagonalizable.