Grupo de Galois

En matemáticas, na área da álxebra abstracta coñecida como teoría de Galois, o **grupo de Galois** dun certo tipo de extensión de corpos é un grupo asociado á extensión. O estudo das extensións de corpos e da súa relación cos polinomios que as xeran mediante grupos de Galois chámase teoría de Galois, na honra de Évariste Galois, quen os descubriu.

Para unha explicación máis elemental dos grupos de Galois como grupo de permutacións, véxase o artigo teoría de Galois.

## Definición 
Sexa E unha extensión do corpo F (escríbese como E/F, lido «*E* sobre *F*»). Un automorfismo de E/F é un automorfismo de E que fixa F punto por punto. É dicir, un isomorfismo \alpha : E \to E tal que \alpha(x) = x para todo x \in F.

O conxunto de todos os automorfismos de E/F forma un grupo baixo a composición de funcións. Este grupo denótase por \operatorname{Aut}(E/F).

Se E/F é unha extensión de Galois, entón \operatorname{Aut}(E/F) chámase o **grupo de Galois** de E/F e represéntase por \operatorname{Gal}(E/F).

Se E/F non é unha extensión de Galois, ás veces defínese o grupo de Galois como \operatorname{Aut}(K/F), onde K é o peche de Galois de E.

### Grupo de Galois dun polinomio 
Outra definición do grupo de Galois baséase
no grupo de Galois dun polinomio irreducible
f \in F[x]. Se existe un corpo
K/F tal que f se descompón
como produto de polinomios lineares distintos

:f(x) = (x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_k) \in K[x]

sobre o corpo K, entón o **grupo de
Galois do polinomio** f defínese como
o grupo de Galois de K/F, onde
K é o menor corpo posible para o cal
esa factorización ten lugar.
## Estrutura dos grupos de Galois 
### Teorema fundamental da teoría de Galois 
Un dos teoremas máis importantes da teoría
de Galois é o teorema fundamental da teoría
de Galois. Este establece que, dada unha
extensión de Galois finita K/k,
existe unha biyección entre o conxunto de
subcorpos k \subset E \subset K
e os subgrupos H \subset G.

O subcorpo E está formado polos
elementos de K que permanecen
fixos baixo a acción de H, é dicir:

:E = K^H = \{ a \in K : \ ga = a, \forall g \in H \}.

Ademais, se H é un subgrupo normal,
entón G/H \cong \operatorname{Gal}(E/k).
E recíprocamente, se E/k é unha extensión
normal de corpos, entón o subgrupo correspondente
en \operatorname{Gal}(K/k) é normal.

### Estrutura de reticulado 
Sexan K_1 e K_2 extensións
de Galois dun mesmo corpo k, cos seus
respectivos grupos de Galois G_1 e
G_2. O corpo composto
K_1K_2, de grupo de Galois
G = \operatorname{Gal}(K_1K_2/k),
ten unha inxección natural

:G \to G_1 \times G_2

que é un isomorfismo sempre que
K_1 \cap K_2 = k. é o seguinte: sexa f(x) \in F[x] un polinomio, e sexa E/F o seu corpo de descomposición. Entón a orde do grupo de Galois
coincide co grao da extensión:

:\left|\operatorname{Gal}(E/F)\right| = [E:F]

#### Criterio de Eisenstein 
Unha ferramenta útil para determinar o grupo
de Galois dun polinomio é o criterio de Eisenstein.
Se un polinomio f \in F[x] se descompón
como produto de polinomios irreducibles
f = f_1\cdots f_k, o grupo de Galois
de f pode determinarse a partir dos
grupos de Galois de cada f_i, pois
\operatorname{Gal}(f) contén cada un
dos \operatorname{Gal}(f_i).

### Grupo trivial 
\operatorname{Gal}(F/F) é o
grupo trivial, cun único elemento:
o automorfismo identidade.

Outro exemplo de grupo de Galois trivial
é \operatorname{Aut}(\R/\Q).
Pódese demostrar que todo automorfismo de
\R debe preservar a
orde dos reais, e polo tanto
é a identidade.

Consideremos o corpo K = \Q(\sqrt[3]{2}).
O grupo \operatorname{Aut}(K/\Q) só
contén a identidade, pois K non é unha
extensión normal, xa que lle faltan as outras dúas
raíces cúbicas de 2:

:{\exp} \bigl(\tfrac{2}{3} \pi i \bigr)\sqrt[3]{2},
\quad {\exp} \bigl(\tfrac{4}{3} \pi i \bigr)\sqrt[3]{2},

é dicir,  non é un corpo de descomposición.

### Grupos abelianos finitos 
O grupo \operatorname{Gal}(\Complex/\R)
ten dous elementos: a identidade e a conxugación complexa.

#### Extensións cuadráticas 
A extensión \Q(\sqrt{2})/\Q ten grupo
de Galois \operatorname{Gal}(\Q(\sqrt{2})/\Q)
con dous elementos: a identidade e o automorfismo
\sigma que troca \sqrt{2}
por -\sqrt{2}. Este exemplo xeneralízase
a calquera primo p \in \N.

#### Produto de extensións cuadráticas 
Usando a estrutura de reticulado, se
p_1, \ldots, p_k son primos distintos,
o grupo de Galois de

:\Q(\sqrt{p_1},\ldots,\sqrt{p_k})/\Q

é

:\operatorname{Gal}(\Q(\sqrt{p_1})/\Q) \times \cdots
\times \operatorname{Gal}(\Q(\sqrt{p_k})/\Q) \cong (\Z/2\Z)^k

#### Extensións ciclotómicas 
Outra clase importante de exemplos son os corpos
de descomposición dos polinomios
ciclotómicos. Estes polinomios, denotados \Phi_n,
defínense como

:\Phi_n(x) = \prod_{\begin{matrix} 1 \leq k \leq n \\
\gcd(k,n) = 1\end{matrix}} \left(x-e^{2ik\pi/n} \right)

O seu grao é \phi(n), a función fi de Euler.
O corpo de descomposición sobre \Q é
\Q(\zeta_n), onde \zeta_n é
unha raíz n-ésima primitiva da unidade.

Os automorfismos \sigma_a do grupo de Galois
envían \zeta_n \mapsto \zeta_n^a para
1 \leq a  tal que \gcd(a,n)=1.
Como o grao da extensión coincide co número destes
automorfismos, eles xeran o grupo de Galois.

Se n = p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}, entón:

:\operatorname{Gal}(\Q(\zeta_n)/\Q) \cong \prod_{i}
\operatorname{Gal}(\Q(\zeta_{p_i^{a_i}})/\Q)

Se n é un primo p, entón:

:\operatorname{Gal}(\Q(\zeta_p)/\Q) \cong \Z/(p-1)\Z

De feito, calquera grupo abeliano finito pode
realizarse como grupo de Galois dun subcorpo
dunha extensión ciclotómica, segundo o
teorema de Kronecker-Weber.

#### Corpos finitos 
Outra clase de exemplos útiles con grupos abelianos
finito vén dos corpos finitos. Se
 é unha potencia dun primo, e se
F = \mathbb{F}_q e
E = \mathbb{F}_{q^n}, entón
\operatorname{Gal}(E/F) é cíclico de orde
n e está xerado polo endomorfismo de Frobenius.

#### Exemplo de grao 4 
A extensión \Q(\sqrt{2}, \sqrt{3})/\Q
é unha extensión de grao 4

Ten dous automorfismos: \sigma, que troca
\sqrt{2} \mapsto -\sqrt{2}, e \tau,
que troca \sqrt{3} \mapsto -\sqrt{3}. Estes dous
xeradores forman un grupo de orde 4, o
grupo de Klein, que é todo o grupo de Galois.

#### Grupo simétrico de orde prima 
Se f é un polinomio irredutible
de grao primo p con coeficientes
racionais e exactamente dúas raíces non reais,
entón o grupo de Galois de f é o
grupo simétrico completo S_p.

Por exemplo, f(x) = x^5 - 4x + 2
é irreducible en \Q[x] polo
criterio de Eisenstein. Ao representar a súa gráfica,
vese que ten tres raíces reais, polo que quedan
dúas complexas conxugadas. Polo tanto,
\operatorname{Gal}(f) \cong S_5.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*