Triángulo de Pascal

miniatura|250px|Triángulo de Pascal ou de Tartaglia.
O triángulo de Pascal, tamén coñecido como triángulo de Tartaglia, é un triángulo de números enteiros, infinito e simétrico.

## Fundamentos 
Constrúese do seguinte xeito: 

Empézase polo «1» do cume. Dunha liña á seguinte convén escribir os números cun desfasamento de media casa. Así, as casas (que non se debuxan) terán cada unha dúas casas xusto encima, na liña anterior. O valor que se escribe nunha casa é a suma dos valores das dúas casas enriba dela. O valor cero non se escribe. Por exemplo, na última liña debuxada, o cuarto valor é 84 = 28 + 56, suma do terceiro e cuarto valor da liña anterior.

Obsérvase, e non é difícil demostralo, que a diagonal exterior está formada de *uns*, a segunda diagonal dos naturais en orde crecente, que os números non fan máis que aumentar dunha liña á seguinte e que existe un eixo de simetría vertical que pasa polo vértice.

Con todo, o interese deste triángulo non radica nestas propiedades, senón no vínculo que ten coa álxebra elemental. En efecto, as cifras *1; 2; 1* e *1; 3; 3; 1* recordan as identidades:
:(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
:(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b +3ab^2+ b^3  

pois son os coeficientes dos seus monomios. Este parecido non é casual e xeneralízase a calquera potencia do binomio *a + b*.

## Fórmula 
thumb|upright=1|No triángulo de Pascal, cada número é a suma dos dous números directamente enriba del.Na n-ésima fila do triángulo de Pascal, a entrada na posición k denótase como \tbinom n k, e pronúnciase como ** sobre **. Por exemplo, a entrada máis alta é \tbinom 00 = 1. Con esta notación, a construción do parágrafo da introdución pode escribirse como
: {n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}
para calquera número enteiro positivo n e calquera número enteiro 0 \le k \le n. Esta recorrencia para os coeficientes binomiais coñécese como  Regra de Pascal.

## Relación entre o triángulo de Pascal e o binomio de Newton 
A fórmula que dá o desenvolvemento de **(a+b)^n** segundo as potencias crecentes de *a* (e decrecentes de *b*) chámase **binomio de **Newton. Nesta expresión, o único que se descoñece son os coeficientes dos monomios **a^k b^{n-k}**.

**Teorema**

Os coeficientes da forma desenvolvida de (a + b)n son dados pola liña número *n+1* do triángulo de Pascal (a que empeza por *1* e *n*).

**Proba**

Xa está visto que é certo para n=2 e n=3. Tamén o é para n=0.
Para establecer o resultado para calquera valor de n ∈ ℕ, o máis natural é proceder por indución.
Supondo que é certo para un valor de *n*, hai que deducir que o é tamén para **n+1**. No canto de facelo no caso xeral (sería pouco claro) miremos que sucede ao pasar da liña n = 3 á liña n = 4.

dereita
Como mostra a figura, o desenvolvemento de (a + b)4 consiste en dúas copias do desenvolvemento de (a + b)3. Están desfasadas (unha corresponde a *a⋅(a + b)3* e a outra a *b⋅(a + b)3*) e cando se suman, un mesmo coeficiente aparece nunha posición dada e outra vez un paso á dereita.
Se se consideran só os coeficientes, inscritos en sendas casas, obtemos a suma seguinte:

esquerda

e obviamente non fai falta escribir dúas veces as mesmas cifras: a suma consiste en engadir a un coeficiente o coeficiente inmediatamente á súa dereita (o 1 co 3, o 3 co segundo 3 etc) e isto é xustamente o que se fai no triángulo de Pascal. Noutras palabras, o triángulo simula a multiplicación de (a + b), dunha liña á seguinte.

## Coeficientes do binomio de Newton 
dereita
Inscríbese o triángulo de Pascal nunha táboa para poder nomear a cada coeficiente do mesmo. O número na liña *n* e a columna *k* (que na figura aparecen como as antidiagonais con letra *p*) denótase:
:n \choose k  ou máis raramente C_n^k ou C(n,k).

("C" por "combinación") (por exemplo en calculadoras de peto, como a TI-86 e familia), e dise "n sobre k", "combinación de n en k" moito máis curto que "coeficiente binomial n, k". As casas baleiras corresponden a valores nulos. Por definición mesma, temos, (para todo *n* natural):

para calquera valor de *a* e *b*. De feito, é unha igualdade de polinomios en \mathbb{Z}[a, b]. Sen perder en xeneralidade, resulta ás veces máis práctica a *"definición"* :
: (x+1)^n = \sum_{k=0}^n {n\choose k} x^k  

vista como unha igualdade de polinomios en \mathbb{Z}[x]. Desta fórmula dedúcense dúas consecuencias:

*Tomando x = 1 obtense:  \sum_{k=0}^n {n\choose k} = 2^n  

:A suma dos coeficientes dunha mesma liña vale 2n. En efecto: 1 = 20, 1 + 1 =2= 2¹, 1 + 2 + 1 =4= 2², 1 + 3 + 3 + 1 =8= 2³, 1 + 4 + 6 + 4 + 1 =16= 24 ... · 
*Tomando x = -1 obtense, (para n > 0): \sum_{k=0}^n {n\choose k} (-1)^k = 0  
: a suma alterna dos números dunha mesma liña vale 0.

: En efecto: 1 - 1 = 0, 1 - 2 + 1 = 0, 1 - 3 + 3 - 1 = 0, 1 - 4 + 6 - 4 + 1 = 0, 1 - 5 + 10 - 10 + 5 - 1 = 0 ... 

As propiedades que observamos no triángulo pódense agora escribir con todo rigor (ter en conta de novo que usualmente úsase a letra **k** para a columna que aparece na figura como **p**):

E claro, a regra de construción do triángulo dá a relación fundamental dos coeficientes binomiais (escrita comezando cos sumandos no índice da fila inferior, mentres que no apartado da fórmula escríbese comezando co resultado do índice da fila superior):

 {n\choose k} + {n\choose {k+1}} = {{n+1}\choose {k+1}}

Ficheiro:triángulo de Pascal colores.png

## Diagonais 
As diagonais do triángulo de Pascal conteñen os números figurados dos simplex:
* As diagonais que van polos lados esquerdo e dereito só conteñen 1.
* As seguintes diagonais ás laterais conteñen os números naturais en orde. 
* Movéndose cara a dentro, o seguinte par de diagonais conteñen os números triangulares en orde.
* O seguinte par de diagonais contéñen os números tetraédricos en orde, e o seguinte par dá os números do pentatopo.

En xeral
::\begin{align}
P_0(n) &= P_d(0) = 1, \\
P_d(n) &= P_d(n-1) + P_{d-1}(n) \\
&= \sum_{i=0}^n P_{d-1}(i) = \sum_{i=0}^d P_i(n-1).
\end{align}

Unha fórmula alternativa que non implica recursión é
:P_d(n)=\frac{1}{d!}\prod_{k=0}^{d-1} (n+k) = {n^{(d)}\over d!} = \binom{n+d-1}{d},
onde *n*(*d*) é o factorial ascendente.

## Interpretación en combinatoria 
Os coeficientes binomiais son a base mesma da combinatoria. Vexamos o porqué:

Tomemos de novo un binomio, por exemplo (a+b)^3, e desenvolvémolo, pero dun xeito distinto do parágrafo anterior:

::(a+b)^3 = (a+b)\cdot (a+b) \cdot (a+b)
agora quitemos o paréntese, pero sen mudar a orde nos produtos, é dicir sen aplicar a conmutatividade:
:: (a+b)\cdot (a+b) \cdot (a+b)= (a a + ab + ba + bb )\cdot (a+b) 
:: = aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb \quad 
E agrupemos os termos que conteñen o mesmo número de a, (e de b):
:: = aaa + (aab + aba + baa) + (abb + bab + bba)  + bbb  \quad

A primeira paréntese contén todas as palabras constituídas dun *b* e dous *a*. Neste caso, é fácil ver que hai exactamente tres. No caso xeral, para contar as palabras, hai que aplicar a conmutatividade, pois as palabras que conteñen o mesmo número de a e de b darán o mesmo termo:

:: = 1\cdot a^3  + 3\cdot a^2b + 3\cdot ab^2 + 1\cdot b^3 

Obviamente, só hai unha palabra de tres letras constituídas de *a* soamente, e isto corresponde ao monomio **1·a³**, con 1 = {3 \choose 0} («0» por *ningunha b*).

No canto de falar de palabras formadas con *a* e *b*, é equivalente imaxinar unha fileira de *n* caixóns inicialmente baleiros, e *p* bólas intercambiables que se teñen que repartir, en cada caixón non cabendo máis dunha. Trátase en todos os casos de repartir *p* obxectos entre *n* sitios posibles, ou de escoller un grupo de *p* obxectos/sitios entre *n* obxectos/sitios. De aí a apelación *p entre n*.

Todo o anterior leva ao **teorema**:

En matemática formal, prefírese falar de conxuntos: 

Este punto de vista permite achar a fórmula para os coeficientes binomiais. En efecto, para elixir o «primeiro» elemento, hai *n* posibilidades, logo para escoller o segundo quedan *n-1* posibilidades e así sucesivamente ata o elemento número *p*, que ten *n-p+1*. A orde no que se escolleron estes *p* elementos non importa, podíase obter o mesmo subconxunto de *p* elementos noutra orde. Hai p! permutacións posibles destes *p* elementos, é dicir p! xeitos de obter o mesmo conxunto.

En conclusión:

 {n\choose p} = \frac {n \cdot (n-1) \cdot (n-2) ... (n-p+1)} {p \cdot (p-1) \cdot (p-2) ... 2 \cdot 1} =   \frac {n!} {p! \cdot (n-p)!}  

No triángulo, o valor na quinta liña e segunda columna é 10. Para rematar, listemos as palabras de cinco letras formadas de 2 *a* e 5-2 = 3 *b* (na orde alfabética, ou na orde crecente considerando que *a* é a cifra *0* e *b* a cifra *1*):
aabbb, ababb, abbab, abbba, baabb, babab, babba, bbaab, bbaba, bbbaa.

A fórmula permite verificar todas as propiedades do parágrafo anterior, con todo pódese prescindir dos cálculos na maioría dos casos, con tal de manipular os conceptos idóneos.

Un subconxunto A de E define unha *partición* de E en dúas partes E = A ∪ B, con A ∩ B = {} = ∅ (conxunto baleiro). Aquí  B = \overline{A} é o complementario de A en E.

Dá o mesmo escoller os *p* elementos de A que os *n-p* elementos de \overline{A}.

hai tantos xeitos de escoller subconxuntos de tamaño 1 que de elementos de E, e no segundo caso, só existe un conxunto con cero elementos: o conxunto baleiro.

A regra fundamental tamén ten explicación gráfica:

Proba: escóllese un elemento *e* calquera de *E*, que contén n+1 elementos: E = E' ∪ {e}. Logo considéranse os subconxuntos *A* de *E* de cardinal p+1. Son de dous tipos: ou conteñen e, ou non.

Sumando os dous casos, obtense todas as partes de p+1 elementos de E, constituído de n+1 elementos.

Un exemplo:

Ficheiro:suma de binomiales figura.png

Aquí vai unha propiedade aritmética, sen interpretación xeométrica: cando **n é primo**, os coeficientes binomiais na liña *n* son divisibles por *n*, excepto os dous *bordos* da mesma (que valen 1).
Escrito formalmente:

dereita

Na figura, os exemplos están en verde, e os contraexemplos (cando n non é primo e p divide n) en amarelo.

*n* aparece unha vez no numerador e xamais no denominador.
(O denominador é un produto de números entre 1 e n-1). Xa que logo a fracción é divisible por n.

## Xeneralización 
No canto de considerar as potencias de **a + b**, pódese mirar as do trinomio **a + b + c**.

**(a + b + c)n** é unha suma de monomios da forma *λp, q, r
·a p·bq·cr*, con *p*, *q* e *r* positivos, *p + q + r = n*, e λp, q, r un natural que se tería que chamar *coeficiente trinomial*.

Os cálculos son similares aos do coeficiente binomial, e dan a expresión seguinte:

 \lambda_{p,q,r} = \frac {n!} {p! q! r!}  
  
Corresponde ao número de partición en tres dun conxunto de *n* elementos, en subconxuntos de *p*, *q* e *r* elementos. Un exemplo:

esquerda

Estes coeficientes pódense achar na analoxía tridimensional do triángulo de Pascal: Poderíase chamar a *pirámide de Pascal*, é tamén infinita, con seccións triangulares, e o valor en cada casa é a suma dos valores das tres casas encima dela.

Debuxáronse as primeiras seccións a partir do cume.

Obsérvase unha invariante por rotación de 120 graos ao redor dun eixo vertical que pasa polo vértice.

O triángulo de Pascal aparece nas tres caras da pirámide.

Está claro que todo isto pódese xeneralizar a calquera dimensión finita, pero sen a posibilidade de facer debuxos explicativos.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
### Outros artigos 
* Coeficiente binomial.