Combinatoria

A **combinatoria** é a parte das matemáticas que estuda a aplicación inxectiva ou bixectiva, unívoca ou biunívoca dun conxunto noutro para esclarecer as súas posibilidades de combinación. O habitual é asocialo a problemas de escoller unha serie de elementos (**e** ou **n**) dun conxunto total para localizalos nun número determinado de lugares ou posicións (**p**) (por exemplo, as posibles localizacións de dúas pezas de xadrez nos escaques dun taboleiro), pero tamén se pode interpretar á viceversa, coma unha escolla un número determinado de veces (**p** ou **r**) de entre un grupo total de elementos (**e**) (como se se escollesen cartas dunha baralla). De calquera xeito, pódese tratar un problema combinatorio coma unha suma de varios experimentos aleatorios individualizables, analizables estatisticamente. É importante traballar cunha terminoloxía clara e explícita, pois é doado cometer erros lingüísticos e malentendidos nas caracterizacións dos problemas.

## Xeneralidades 
Inda que as posibilidades de análise combinatorio dependen do problema concreto, as operacións máis coñecidas son a permutación, a variación, a combinación e a ordenación. Debido á existencia dunha certa indefinición terminolóxica, definiranse os seus valores dependendo das características do problema. Para poder emprender a análise combinatoria, débense definir as propiedades do caso, que en termos xerais son as seguintes:
# Tras cada experimento individual, existe unha reposición de **e** no grupo onde estaba orixinariamente (se o grupo é aleatorio, a análise complícase moito máis) ou ben nestes grupos non hai repeticións nas circunstancias do experimento e polo tanto non son sorteos independentes: nesta caracterización, as palabras chave son **repetición =reposición=independencia** fronte a **dependencia= sen reposición**;
# Tras rematar toda a secuencia de experimentos, no resultado é pertinente a orde da secuencia ou ben non existe importancia na altura, posición ou tempo no que se conseguiu cada resultado de entre os experimentos: aquí as palabras definitorias serán **ordenada =con orde** e **non ordenada= sen orde**;
# Coincide que o número de experimentos aleatorios realizado (**p**) é igual ó número de elementos escollidos ou localizados (**e**) ou ben é menor (nunca pode ser maior se na característica 1 non hai experimentos independentes, se non hai reposición): isto definiráse cos propios valores numéricos de **p** e **e** (ou se se quere **r** e **n** respectivamente, como se adoita notar);
# Existen **subgrupos** internamente idénticos na identificación pero diferenciables entre si no universo estatístico de elementos, que obrigan a retomar unha variante especial da segunda característica pola cal a orde entre os elementos que son iguais non é discriminatoria (ou discriminante). Se tódolos elementos son distintos denominarase **distinguibles** ou **diferenciables**;

## Exemplo de caracterización 
Supóñase un conxunto de bólas: unha branca, unha azul, unha vermella e unha negra, que se abreviarán coa inicial da súa cor: BAVN. Se se meten nunha bolsa opaca e se extraen aleatoriamente unha serie de veces, pódese facer unha caracterización do problema segundo os puntos mencionados antes:
# Se despois de sacar unha bóla se volve a meter na bolsa habería experimentos **independentes** e **repetidos**, xa que na segunda extracción volven estar as catro bólas iniciais. Se se fai a proba **sen reposición**, os experimentos serán **dependentes**;
# Se tralo sorteo, poñamos sacar tres bólas, dése igual obter BAV que BVA ou VBA ou VAB ou ABV ou AVB nesa orde senón que o que importa é non sacar a bola N, estarase ante un problema **sen orde**. Se estas seis posibilidades se consideran distintas, o sorteo é **ordenado**;
# Se se teñen catro bólas na bolsa e se fan dúas ou tres extraccións con ou sen reposición **n** sería distinto de **r**. Se se fan catro extraccións, entón **n**=**r**. Se se fan máis de catro extraccións, necesariamente debe haber reposición, pois se se sacan as catro bólas sen reintegralas ó saco non haberá bólas tralo cuarto experimento.
# Se houbese dúas bólas da mesma cor e non se puidesen diferenciar (por exemplo, tendo inicialmente B, A e dúas V), entón a vermella que foi sacada primeira podería ser calquera das dúas da bolsa: isto débese ter en conta no cálculo numérico e habería **subgrupos**. Se as bolas fosen B, A, V e N, os elementos serían **diferenciables**.

## Posibilidades da análise 
Unha técnica de análise é a chamada árbore de experimentos, onde se vai estruturando a serie de posibles resultados dependendo das condicións dos experimentos. Esta técnica permite facerse unha idea das características do problema e acertar coa resolución. Velaí os exemplos definidos segundo as caracterizacións anteriores, para tres bolas de tres cores distintas:
* AAA
* AAB
* ABA
* ABB
* BAA
* BAB
* BBA
* BBB

Outra posibilidade é botar man directamente das ecuacións, que se representan na seguinte táboa tamén clasificadas segundo as súas características, numeradas igual cás anteriores, excluíndo a 4):

## Subprobabilidades 
En todo o anterior simplemente importa o resultado de cada extracción, pero pode acontecer que cada extracción teña unha probabilidade intrínseca. Isto vese máis claro no seguinte exemplo.

Supoñamos que nunhas oposicións se sacan cinco bolas consecutivamente **sen reposición** (**dependentes**) dunha caixa con 75 en total, que cada unha tén un tema do temario oficial (de 75 temas en total), que len os temas que lle corresponden a cada bola e a persoa que vai facer o exame escolle un de entre eses cinco. Disto dedúcese que **non hai subgrupos internos** porque tódalas bólas son distintas e a serie **non está ordenada** porque a orde de extracción non importa.

Loxicamente, quen realiza o exame quere estudar cantos menos mellor, co cal supoñamos que só aprendeu ben *x*, pero que os sabe moi ben. O mellor (para o cálculo, non para ser gafe) é calcular as probabilidades de que non saia ningún tema dos estudados. As probabilidades de que saquen unha primeira bola dun tema non estudado son de 75-x (=número de temas non estudados)/75. As de que saquen unha segunda bóla de tema descoñecido son 74-x/74 etc. As probabilidades finais de que tódolos temas fosen descoñecidos son:

 \frac{75-x}{75} * \frac{74-x}{74} * \frac{73-x}{73} * \frac{72-x}{72} * \frac{71-x}{71} = \frac{(75-x)!}{75!} * \frac{70!}{(70-x)!} 

Non tódalas calculadoras permiten cálculos con valores tan elevados, así que se pode pór isto nunha folla de cálculo e dándolle valores enteiros a *x* (número de temas estudados), as probabilidades de que saquen tódalas bólas con temas non estudados quedarían reflectidas nesta gráfica (loxicamente sae unha función polinómica de quinto grao que pasa por [0,100%] e [75,0%]):

centro|500px

Por exemplo, se se estudan só 20 temas, a probabilidade de non saber ningún deles é do 20,16% (é dicir, habería case un 80% de saber algún e, con sabelo ben, aprobar). Con 27 temas ben estudados, a probabilidade de descoñecer o correspondente a tódalas bólas é do 9,92%. Para ter un 50% de probabilidades de aprobar, habería que estudar máis de 9 temas e sabelos ben, pero sempre cómpre estudar cantos máis mellor para mellorar as posibilidades e non confiar só na estatística.