Disco unidade

dereita|miniatura| Un disco unidade euclidiano aberto
En matemáticas, o **disco unidade aberto** (ou **disco**) arredor de *P* (onde *P* é un punto dado no plano), é o conxunto de puntos cuxa distancia a *P* é menor que 1:

: D_1(P) = \{ Q : \vert P-Q\vert

O **disco unidade pechado** arredor de *P* é o conxunto de puntos cuxa distancia a *P* é menor ou igual a un:

: \bar D_1(P)=\{Q:|P-Q| \leq 1\}.\,

Os discos unidade son casos especiais de discos e bólas unidade; como tales, conteñen o interior da circunferencia unidade e, no caso do disco unidade pechado, a propia circunferencia unidade.

Sen máis especificacións, o termo *disco unidade* úsase para o disco unidade aberto sobre a orixe, D_1(0), en relación á métrica euclidiana estándar. É o interior dunha círcunferencia de raio 1, centrado na orixe. Este conxunto pódese identificar co conxunto de todos os números complexos de valor absoluto inferior a un. Cando se ve como un subconxunto do plano complexo (**C**), o disco unidade adoita denotarse \mathbb{D}.

## O disco unidade aberto, o plano e o semiplano superior 
A función

: f(z)=\frac{z}{1-|z|^2}

é un exemplo dunha función analítica e bixectiva real desde o disco unidade aberto até o plano; a súa función inversa tamén é analítica. Considerado como unha variedade analítica bidimensional real, o disco unidade aberto é isomorfo a todo o plano. En particular, o disco unidade aberto é homeomorfo a todo o plano.

Porén, non existe un mapa bixectivo conforme entre o disco unidade aberto e o plano. Considerado como unha superficie de Riemann, o disco unidade aberto é polo tanto diferente do plano complexo.

Existen mapas bixectivos conformes entre o disco unidade aberto e o semiplano superior aberto. Así, considerado como unha superficie de Riemann, o disco unidade aberto é isomorfo ("biholomorfo", ou "equivalente conforme") ao semiplano superior, e os dous adoitan usarse indistintamente.

Moito máis xeralmente, o teorema da aplicación conforme de Riemann afirma que todo subconxunto aberto simplemente conexo do plano complexo que é diferente do propio plano complexo admite un mapa conforme e bixectivo ao disco unidade aberto.

Un mapa  (ou aplicación) conforme bixectivo desde o disco unidade aberto ata o semiplano superior aberto é a transformación de Möbius

: g(z)=i\frac{1+z}{1-z}&nbsp;que é a inversa da transformada de Cayley.

## Plano hiperbólico 
O disco unidade aberto forma o conxunto de puntos para o modelo do disco de Poincaré do plano hiperbólico. 

Os arcos circulares perpendiculares á circunferencia unidade forman as "liñas" neste modelo.

Na linguaxe da xeometría diferencial, os arcos da circunferencia  perpendiculares á circunferencia unidade son xeodésicas que mostran a distancia máis curta entre os puntos do modelo. O modelo de disco pódese transformar ao modelo de semiplano de Poincaré mediante o mapeamento *g* indicado anteriormente.

Tanto o disco de Poincaré como o semiplano de Poincaré son modelos *conformes* do plano hiperbólico, é dicir, os ángulos entre curvas que se cruzan consérvanse polos movementos dos seus grupos isométricos.

## Discos unidade en relación a outras métricas 
[miniatura| De arriba a abaixo: disco unidade aberto na [Distancia euclidiana|métrica euclidiana, a métrica do taxi e a métrica de Chebyshev.]]
Tamén se poden considerar os discos unidade en relación a outras métricas. Por exemplo, coa métrica do taxi e a métrica de Chebyshev os discos parecen cadrados (aínda que as topoloxías subxacentes sexan as mesmas que a euclidiana).
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* S. Golab, "Quelques problèmes métriques de la géometrie de Minkowski", Trav. de l'Acad. Mines Cracovie 6 (1932), 179.
### Outros artigos 
* Circunferencia unidade
* Intervalo unidade
* Bóla (matemáticas)
### Ligazóns externas 
* 
* On the Perimeter and Area of the Unit Disc, by J.C. Álvarez Pavia and A.C. Thompson