Fórmulas de Viète

[miniatura| [François Viète]]
En matemáticas, **as fórmulas de Viète** (frecuentemente escrito **Vieta**) relacionan os coeficientes dun polinomio coas sumas e produtos das súas raíces. Levan o nome de François Viète.

## Fórmulas básicas 
Calquera polinomio xeral de grao *n* :P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0
(sendo os coeficientes números reais ou complexos e ) ten  raíces complexas (non necesariamente distintas)   polo teorema fundamental da álxebra. As fórmulas de Viète relacionan os coeficientes polinómicos con sumas con signo de produtos das raíces   do seguinte xeito:

:{{Bloque numerado||\begin{cases}
r_1 + r_2 + \dots + r_{n-1} + r_n = -\dfrac{a_{n-1}}{a_n} \\[1ex]
(r_1 r_2 + r_1 r_3 + \cdots + r_1 r_n) + (r_2r_3 + r_2r_4+\cdots + r_2r_n)+\cdots + r_{n-1}r_n = \dfrac{a_{n-2}}{a_{n}} \\[1ex]
{} \quad \vdots \\[1ex]
r_1 r_2 \cdots r_n = (-1)^n \dfrac{a_0}{a_n}.
\end{cases}|}}

As fórmulas de Viète pódense escribir equivalentemente como 
:\sum_{1\le i_1  para   
(os índices  ordénanse en orde crecente para garantir que cada produto de  raíces se use exactamente unha vez).

Os lados esquerdos das fórmulas de Viète son os polinomios simétricos elementais das raíces.

O sistema de Viète  pódese resolver polo método de Newton mediante unha fórmula explícita iterativa sinxela, o método Durand-Kerner.

## Xeneralización a aneis 
As fórmulas de Viète úsanse con frecuencia con polinomios con coeficientes en calquera dominio integridade . Daquela, os cocientes a_i/a_n pertencen ao corpo de fraccións de  (e posibelmente estean no propio  se a_n é invertíbel en ) e as raíces r_i tómanse nunha extensión alxebricamente pechada. Normalmente,  é o anel dos enteiros, o corpo das fraccións é o corpo dos números racionais e o corpo alxebricamente pechado é o dos números complexos.

As fórmulas de Viète son entón útiles porque proporcionan relacións entre as raíces sen ter que calculalas.

Para polinomios sobre un anel conmutativo que non é un dominio de integridade, as fórmulas de Viète só son válidas cando a_n non é un divisor de cero e P(x) factores como a_n(x-r_1)(x-r_2)\dots(x-r_n).

Por exemplo, no anel dos enteiros módulo 8, o polinomio cadrático P(x) = x^2-1 ten catro raíces: 1, 3, 5 e 7. As fórmulas de Viète non son certas se, por exemplo, r_1=1 e r_2=3, porque P(x)\neq (x-1)(x-3). No entanto, P(x) factoriza tamén como (x-1)(x-7) e tamén como (x-3)(x-5), e as fórmulas de Vieta cúmprense se estabelecemos calquera das dúas r_1=1 e r_2=7 ou r_1=3 e r_2=5.

## Exemplo 
As fórmulas de Viète aplicadas a polinomios cadráticos e cúbicos:

As raíces r_1, r_2 do polinomio cadrático P(x) = ax^2 + bx + c satisfán
: r_1 + r_2 = -\frac{b}{a}, \quad r_1 r_2 = \frac{c}{a}.

A primeira destas ecuacións pódese usar para atopar o mínimo (ou máximo) de .

As raíces r_1, r_2, r_3 do polinomio cúbico P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d satisfán 
: r_1 + r_2 + r_3 = -\frac{b}{a}, \quad r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3 = \frac{c}{a}, \quad r_1 r_2 r_3 = -\frac{d}{a}.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
### Outros artigos 
* Identidades de Newton
* Teorema de Gauss-Lucas
* Teorema das raíces racionais
* Polinomio simétrico e Polinomio simétrico elemental

### Ligazóns externas 
*