Fórmula de De Moivre

En matemáticas, a **fórmula de De Moivre** (tamén coñecida como **teorema de De Moivre** e **identidade de De Moivre**) afirma que para calquera número real  e  enteiro cúmprese que: 
:\big(\cos x + i \sin x\big)^n = \cos nx + i \sin nx,
onde  é a unidade imaxinaria (  ). A fórmula recibe o nome de Abraham de Moivre. A expresión  ás veces abréviase como .

A fórmula é importante porque conecta números complexos e trigonometría. Ao expandir o lado esquerdo e despois comparar as partes real e imaxinaria baixo o suposto de que  é real, é posíbel derivar expresións útiles para  e  en termos de  e .

Tal e como está escrito, a fórmula non é válida para potencias non enteiras . Porén, hai xeneralizacións desta fórmula válidas para outros expoñentes. Estas poden ser usadas para dar expresións explícitas para as raíces -ésimas da unidade, é dicir, números complexos  tal que .

## Exemplo 
Para  x = 30^\circ e  n = 2, a fórmula de Moivre afirma que 
:\left(\cos(30^\circ) + i \sin(30^\circ)\right)^2 = \cos(2 \cdot 30^\circ) + i \sin (2 \cdot 30^\circ), 
ou equivalentemente que
:\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{3}}{2}.
Neste exemplo, é fácil comprobar a validez da ecuación multiplicando o lado esquerdo.

## Relación coa fórmula de Euler 
A fórmula de De Moivre é un precursor da fórmula de Euler
:e^{ix} = \cos x + i\sin x,
con  expresado en radiáns en lugar de graos, o que estabelece a relación fundamental entre as funcións trigonométricas e a función exponencial complexa.

Pódese derivar a fórmula de De Moivre usando a fórmula de Euler e a lei exponencial de potencias enteiras.

: \left( e^{ix} \right)^n = e^{inx}, 

xa que a fórmula de Euler implica que o lado esquerdo é igual a \left(\cos x + i\sin x\right)^n mentres que o lado dereito é igual a \cos nx + i\sin nx.

## Fórmulas para coseno e seno individualmente 
Para unha igualdade de números complexos, temos necesariamente a igualdade tanto das partes reais como das partes imaxinarias de ambos os membros da ecuación. Se , e por tanto tamén  e , son números reais, entón a identidade destas partes pódese escribir usando coeficientes binomiais. Esta fórmula foi dada polo matemático francés do século XVI François Viète:

: \begin{align}
\sin nx &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (\cos x)^k\,(\sin x)^{n-k}\,\sin\frac{(n-k)\pi}{2} \\
\cos nx &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (\cos x)^k\,(\sin x)^{n-k}\,\cos\frac{(n-k)\pi}{2}.
\end{align}

Aquí están as instancias concretas destas ecuacións para  e  :

: \begin{alignat}{2}
 \cos 2x &= \left(\cos x\right)^2 +\left(\left(\cos x\right)^2-1\right)    &{}={}& 2\left(\cos x\right)^2-1    \\
 \sin 2x &= 2\left(\sin x\right)\left(\cos x\right)              &   &                \\
 \cos 3x &= \left(\cos x\right)^3 +3\cos x\left(\left(\cos x\right)^2-1\right) &{}={}& 4\left(\cos x\right)^3-3\cos x \\
 \sin 3x &= 3\left(\cos x\right)^2\left(\sin x\right)-\left(\sin x\right)^3  &{}={}& 3\sin x-4\left(\sin x\right)^3.
\end{alignat}

O lado dereito da fórmula para  é de feito o valor  do polinomio de Chebyshev  en .

## Análogos noutros escenarios 
### Trigonometría hiperbólica 
Dado que , un análogo á fórmula de Moivre tamén se aplica á trigonometría hiperbólica. Para todos os números enteiros  ,

: **(\cosh x + \sinh x)^n = \cosh nx + \sinh nx.**

Se  é un número racional (mais non necesariamente un enteiro), entón  será un dos valores de .

### Extensión a números complexos 
Para calquera número enteiro , a fórmula cúmprese para calquera número complexo z=x+iy

: ( \cos z + i \sin z)^n = \cos {nz} + i \sin {nz}.

onde

: \begin{align} \cos z = \cos(x + iy) &= \cos x \cosh y - i \sin x \sinh y\,, \\
\sin z = \sin(x + iy) &= \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y\, . \end{align}
## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Función trigonométrica

### Ligazóns externas 
* De Moivre's Theorem for Trig Identities by Michael Croucher, Wolfram Demonstrations Project.