Sedenión

Na álxebra abstracta, os **sedenións** forman unha álxebra non conmutativa e non asociativa de 16 dimensións sobre os números reais, normalmente representados pola letra S maiúscula,   ou \mathbb S.

Os sedenións obtéñense aplicando a construción de Cayley-Dickson aos octonións, que se poden expresar matematicamente como \mathbb{S}=\mathcal{CD}(\mathbb{O},1). Polo tanto, os octonións son isomorfos a unha subálxebra dos sedenións. A diferenza dos octonions, os sedenions non son unha álxebra alternativa. 

## Aritmética 
[miniatura| Unha visualización dunha extensión 4D do [octonión cúbico  que mostra as 35 tríadas como hiperplanos a través do vértice  real (e_0)  do exemplo de sedenión dado]]
Cada sedenión é unha combinación linear dos sedenións unitarios e_0, e_1, e_2, e_3 ,... , e_{15}, que forman unha base do espazo vectorial dos sedenións. Cada sedenión pódese representar na forma

: x = x_0 e_0 + x_1 e_1 + x_2 e_2 + \cdots + x_{14} e_{14} + x_{15} e_{15}.

A suma e a resta defínense pola suma e resta dos coeficientes correspondentes e a multiplicación é distributiva sobre a suma.

### Multiplicación 
Do mesmo xeito que os octonións, a multiplicación de sedenións non é nin conmutativa nin asociativa. No entanto, a diferenza dos octonións, os sedenións nin sequera teñen a propiedade de ser alternativos. No entanto, teñen a propiedade da asociatividade da potencia, que se pode definir así, para calquera elemento x de \mathbb{S}, a potencia x^n está ben definida. Tamén son unha álxebra flexíbel.

Os sedenións teñen un elemento de identidade multiplicativo e_0 e inversos multiplicativos, mais non son unha álxebra de división porque teñen divisores de cero: pódense multiplicar dous sedenións distintos de cero para obter cero, por exemplo (e_3 + e_{10})(e_6 - e_{15}). Todos os sistemas numéricos hipercomplexos despois dos sedenións que se basean na construción de Cayley-Dickson tamén conteñen divisores de cero.

A táboa de multiplicación dos sedenións móstrase a continuación:

### Propiedades dos sedenións 
Na táboa anterior podemos ver que:

: e_0e_i = e_ie_0 = e_i \, \text{for all} \, i,

: e_ie_i = -e_0 \,\, \text{for}\,\, i \neq 0, e

: e_ie_j = -e_je_i \,\, \text{for}\,\, i \neq j \,\,\text{with}\,\, i,j \neq 0.

#### Antiasociativa 
Os sedenións non son totalmente antiasociativos. Escollemos catro xeradores calquera, i,j,k e l. O seguinte ciclo de 5 mostra que estas cinco relacións non poden ser todas antiasociativas.

(ij)(kl) = -((ij)k)l = (i(jk))l = -i((jk)l) = i(j(kl)) = -(ij)(kl) = 0

En particular, na táboa anterior, usando e_1,e_2,e_4 e e_8 a última expresión asocia. (e_1e_2)e_{12} = e_1(e_2e_{12}) = -e_{15}

## Aplicacións 
 mostrou que o espazo de pares de sedenións norma un que se multiplican dando cero é homeomorfo á forma compacta do Grupo de Lie excepcional G2. (Teña en conta que no seu artigo, un "divisor de cero" significa un "par" de elementos que se multiplican dando cero.)

 demostraron que as tres xeracións de leptóns e quarks que están asociados coa simetría de gauge ininterrompida \mathrm {SU(3)_{c} \times U( 1)_{em}} pódese representar usando a álxebra dos sedenións complexos \mathbb {C \otimes S}. 

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Kevin Carmody, *Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions*, Applied Mathematics and Computation 28:47-72 (1988)
* Kevin Carmody, *Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions - Further results*, Applied Mathematics and Computation, 84:27-47 (1997)
* K. Imaeda et M. Imaeda, *Sedenions: algebra and analysis*, Applied Mathematics and Computation, 115:77-88 (2000)

### Outros artigos 
* Identidade dos dezaseis cadrados de Pfister
* Número complexo hiperbólico
* PG(3,2)
### Ligazóns externas 
* Kevin Carmody, *Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions - Part III*(2006)  .