Coordenadas esféricas

[miniatura|A ***convención física***. Coordenadas esféricas ('***, ****, ****) como se usan habitualmente: ([Organización Internacional para a Estandarización|ISO 80000-2:2019): distancia radial  (distancia  á orixe), ángulo polar  (theta) (ángulo en relación ao eixo polar positivo), e ángulo acimutal  (phi) (ángulo de rotación desde o plano meridiano inicial). ***Esta é a convención seguida neste artigo.***]]

En matemáticas, un **sistema de coordenadas esféricas** especifica un punto dado no espazo tridimensional usando unha distancia e dous ángulos como as súas tres coordenadas. Estas son

* a **distancia radial** **** ao longo da recta que conecta o punto cun punto fixo chamado a orixe;
* o **ángulo polar** ***' entre esta recta radial e un *eixo polar* dado; e
* o **ángulo acimutal** ''''*, que é o ángulo de rotación da recta radial ao redor do eixo polar.

(Véxase a gráfica sobre a "convención física".)

Unha vez que o raio está fixado, as tres coordenadas (*r*, *θ*, *φ*), coñecidas como unha 3-tupla, proporcionan un sistema de coordenadas sobre unha esfera, normalmente chamado **coordenadas polares esféricas**.
O plano que pasa pola orixe e é perpendicular ao eixo polar (onde o ángulo polar é un ángulo recto) chámase ***plano de referencia*** (ás veces *plano fundamental*).

## Terminoloxía
A distancia radial desde o punto fixo da orixe tamén se chama *raio*, ou *recta radial*, ou *coordenada radial*. O ángulo polar pode chamarse *ángulo de inclinación*, *ángulo cenital*, *ángulo normal* ou  *colatitude*. O usuario pode optar por substituír o ángulo de inclinación polo seu complemento, o *ángulo de elevación* (ou *ángulo de altitude*), medido cara arriba entre o plano de referencia e a recta radial, é dicir, desde o plano de referencia cara arriba (cara ao eixo *z* positivo) ata a recta radial. O *ángulo de depresión* é o negativo do ángulo de elevación. *(Véxase a gráfica sobre a "convención física", non a "convención matemática".)*

Tanto o uso de símbolos como a orde de nomenclatura das coordenadas da tupla difiren entre as varias fontes e disciplinas. Este artigo usará a convención ISO frecuentemente atopada en *física*, onde a tupla de nomenclatura dá a orde como: distancia radial, ángulo polar, ángulo acimutal, ou *(r,\theta,\varphi)*. (Véxase a gráfica sobre a "convención física".) 

En contraste, as convencións en moitos libros e textos de matemáticas dan a orde de nomenclatura de xeito diferente como: distancia radial, "ángulo acimutal", "ángulo polar", e (\rho,\theta,\varphi) ou (r,\theta,\varphi), o que troca os usos e significados dos símbolos θ e φ. 

Outras convencións tamén poden usarse, como *r* para un raio desde o eixo *z* que non é desde o punto de orixe. Debe terse especial coidado para comprobar o significado dos símbolos.

[miniatura|A ***convención matemática***. Coordenadas esféricas  como se usan habitualmente: distancia radial , ángulo acimutal  e ángulo polar . + *Os significados de  e  trócanse* en comparación coa **convención física**. O eixo *x'' na dirección 'sur' está representado, mais o eixo *x* na dirección 'norte' non. (Como en física,  ([rho) úsase a miúdo en lugar de  para evitar confusións co valor  en coordenadas cilíndricas e polares 2D.)]]

O sistema de coordenadas esféricas da *convención física* pode verse como unha xeneralización do sistema de coordenadas polares no espazo tridimensional.

## Definición 
Para definir un sistema de coordenadas esféricas, débese designar un punto de *orixe* no espazo, ''*, e dúas direccións ortogonais: a dirección de referencia *cenital* e a dirección de referencia *acimutal*. Estas escollas  determinan un plano de referencia que normalmente se define como que contén o punto de orixe e os eixos *x e y*, calquera dos cales pode designarse como a dirección de referencia *acimutal*. O plano de referencia é perpendicular (ortogonal) á dirección cenital, e normalmente se designa como "horizontal" en relación á dirección cenital, que é "vertical". As coordenadas esféricas dun punto  defínense entón do seguinte xeito:

* O *raio* ou *distancia radial'' é a distancia euclidiana desde a orixe '** ata **'.
* A *inclinación* (ou *ángulo polar*) é o ángulo con signo desde a dirección de referencia cenital ata o segmento de liña . (*Elevación* pode usarse como o ángulo polar no canto de *inclinación*; véxase abaixo.)
* O *acimut* (ou *ángulo acimutal*) é o ángulo con signo medido desde a dirección de referencia *acimutal* ata a proxección ortogonal do segmento de liña radial  no plano de referencia.
O signo do acimut determínase designando a rotación que é o sentido *positivo* de xiro ao redor do cenital. Esta elección é arbitraria e forma parte da definición do sistema de coordenadas.
(Se a inclinación é cero ou 180 graos (=  radiáns), o acimut é arbitrario. Se o raio é cero, tanto o acimut como a inclinación son arbitrarios.)

O *ángulo de elevación* é o ángulo con signo desde o plano de referencia *x-y* ata o segmento de recta radial , onde os ángulos positivos se designan cara arriba, cara á dirección de referencia cenital. O *ángulo de elevación* é de 90 graos (=  radiáns) *menos a inclinación*. Así, se a inclinación é de 60 graos (=  radiáns), entón o ángulo de elevación é de 30 graos (=  radiáns).

En álxebra linear, o vector desde a orixe  ata o punto  chámase a miúdo o *vector de posición* de *P*.

### Convencións 
Existen varias convencións diferentes para representar as coordenadas esféricas e prescribir a orde de nomenclatura dos seus símbolos. A tupla (r,\theta,\varphi) denota a distancia radial, o ángulo polar "inclinación", ou como alternativa, "elevación", e o ángulo acimutal. É a práctica común dentro da convención física, como se especifica no estándar ISO 80000-2:2019, e anteriormente en ISO 31-11 (1992).

No entanto, algúns autores (incluídos matemáticos) usan o símbolo *ρ* (rho) para o raio, ou distancia radial, *φ* para a inclinación (ou elevación) e *θ* para o acimu, mentres que outros seguen a usar *r* para o raio; todo o cal "proporciona unha extensión lóxica da notación habitual das coordenadas polares".

Cando o sistema úsase para designar o espazo físico tridimensional, é habitual asignar valores positivos aos ángulos acimutais medidos no sentido *contrario ás agullas do reloxo* desde a dirección de referencia no plano de referencia (visto desde o lado "cenital" do plano). Esta convención úsase en particular para as coordenadas xeográficas, onde a dirección "cenital" é norte e os ángulos acimutais positivos (lonxitude) mídense cara ao leste desde algún meridiano de referencia.

## Aplicacións 
### En xeografía 
No canto da inclinación, o sistema de coordenadas xeográficas usa o ángulo de elevación (ou *latitude*), no intervalo (tamén chamado dominio)  e rotado ao norte desde o plano do ecuador. 

A latitude (é dicir, *o ángulo* de latitude) pode ser *latitude xeocéntrica*, medida (rotada) desde o centro da Terra (}e designada de varias formas por ) ou *latitude xeodésica*, medida (rotada) desde a vertical local do observador, e normalmente designada .

O ángulo polar (inclinación), que é de 90° menos a latitude e varía de 0 a 180°, chámase *colatitude* en xeografía.

O ángulo acimutal (ou *lonxitude*) dunha posición dada na Terra, comunmente denotado por , mídese en graos ao leste ou ao oeste desde algún meridiano de referencia convencional (o máis común é o Meridiano de Referencia IERS); polo tanto, o seu dominio (ou intervalo) é  e unha lectura dada normalmente se designa como "Leste" ou "Oeste". 

Para posicións na Terra ou noutro corpo celeste sólido, o plano de referencia normalmente tómase como o plano perpendicular ao eixo de rotación. 

No canto da distancia radial , os xeógrafos usan habitualmente a *altitude* por enriba ou por debaixo dalgunha superficie de referencia local (*datum vertical*), que, por exemplo, pode ser o nivel medio do mar. Cando é necesario, a distancia radial pode calcularse a partir da altitude sumando o raio da Terra, que é aproximadamente  6360 ± 11km.

Porén, os sistemas de coordenadas xeográficas modernos son bastante complexos, e as posicións implicadas por estas fórmulas simples poden ser imprecisas en varios quilómetros. Os significados estándar precisos de *latitude, lonxitude* e *altitude* están actualmente definidos polo Sistema Xeodésico Mundial (WGS), e teñen en conta o achatamento da Terra nos polos e moitos outros detalles.

Os sistemas de coordenadas planetarias usan formulacións análogas ao sistema de coordenadas xeográficas.

### En astronomía 
Unha serie de sistemas de coordenadas astronómicas úsanse para medir o ángulo de elevación desde varios planos fundamentais. Estes planos de referencia inclúen: 
o horizonte do observador, o ecuador galáctico (definido pola rotación da Vía Láctea), o ecuador celeste (definido pola rotación da Terra), o plano da eclíptica (definido pola órbita da Terra ao redor do Sol), e o plano do terminador terrestre (normal á dirección instantánea ao Sol).

## Conversións entre sistemas de coordenadas 
Como o sistema de coordenadas esféricas é só un dos moitos sistemas de coordenadas tridimensionais, existen ecuacións para converter coordenadas entre o sistema de coordenadas esféricas e outros.

### Coordenadas cartesianas 
As coordenadas esféricas dun punto na convención ISO (é dicir, para a física: raio , inclinación , acimut ) pódense obter a partir das súas Coordenadas cartesianas  polas fórmulas

:\begin{align}
r &= \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\
\theta &= \arccos\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \arccos\frac{z}{r}=
\begin{cases}
 \arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} &\text{se } z > 0 \\
 \pi +\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} &\text{se } z  0, \\
 \arctan(\frac{y}{x}) + \pi &\text{se } x  0, \\
 -\frac{\pi}{2} &\text{se } x = 0 \text{ e } y 

A inversa da tanxente denotada como  debe definirse adecuadamente, tendo en conta o cuadrante correcto de , como se fixo nas ecuacións anteriores. Vexa o artigo sobre atan2.

Alternativamente, a conversión pódese considerar como dúas conversións de rectangulares a polares: a primeira no plano cartesiano  desde  ata  onde  é a proxección de  no plano , e a segunda no plano cartesiano  desde  ata . Os cuadrantes correctos para  e  están implicados pola corrección das conversións rectangulares a polares planas.

Estas fórmulas asumen que os dous sistemas teñen a mesma orixe, que o plano de referencia esférico é o plano cartesiano , que  é a inclinación desde a dirección  e que os ángulos acimutais miden a partir do eixo cartesiano  (de xeito que o eixo   ten ). Se *θ* mide a elevación desde o plano de referencia en lugar da inclinación desde o cénit, os arcos de arriba convértense nun arcosin, e os  e  de abaixo mudan.

Pola contra, as coordenadas cartesianas poden ser recuperadas das coordenadas esféricas (*raio* , *inclinación* , *acimut* ), onde  r \in [0, \infty), \theta \in  [0, \pi],  \varphi \in  [0, 2\pi) , por
:\begin{align}
 x &= r \sin\theta \, \cos\varphi, \\
 y &= r \sin\theta \, \sin\varphi, \\
 z &= r \cos\theta.
\end{align}

### Coordenadas cilíndricas 
As coordenadas cilíndricas (*raio axial* *ρ*, *azimut*  *φ*, *elevación* *z*) poden converterse en coordenadas esféricas (*raio central* *r*, *inclinación* *θ*, *azimut* *φ*), mediante as fórmulas

:\begin{align}
 r &= \sqrt{\rho^2 + z^2}, \\
 \theta &= \arctan\frac{\rho}{z} = \arccos\frac{z}{\sqrt{\rho^2 + z^2}}, \\
 \varphi &= \varphi.
\end{align}

Inversamente, as coordenadas esféricas poden converterse en coordenadas cilíndricas mediante as fórmulas

:\begin{align}
 \rho &= r \sin \theta, \\
 \varphi &= \varphi, \\
 z &= r \cos \theta.
\end{align}

Estas fórmulas asumen que os dous sistemas teñen a mesma orixe e o mesmo plano de referencia, miden o ángulo azimutal  nos mesmos sentidos desde o mesmo eixo, e que o ángulo esférico  é a inclinación desde o eixo cilíndrico .

## Integración e diferenciación en coordenadas esféricas 
miniatura|Vectores unitarios en coordenadas esféricas

As seguintes ecuacións (Iyanaga 1977) asumen que a colatitude  é a inclinación desde o eixo  positivo, como na *convención física*.

O elemento de liña para un desprazamento infinitesimal desde  a  é
:
\mathrm{d}\mathbf{r} = \mathrm{d}r\,\hat{\mathbf r} + r\,\mathrm{d}\theta \,\hat{\boldsymbol\theta } + r \sin{\theta} \, \mathrm{d}\varphi\,\mathbf{\hat{\boldsymbol\varphi}},
onde
:\begin{align}
 \hat{\mathbf r} &= \sin \theta \cos \varphi \,\hat{\mathbf x} +
  \sin \theta \sin \varphi \,\hat{\mathbf y} + \cos \theta \,\hat{\mathbf z}, \\
 \hat{\boldsymbol\theta} &= \cos \theta \cos \varphi \,\hat{\mathbf x} +
  \cos \theta \sin \varphi \,\hat{\mathbf y} - \sin \theta \,\hat{\mathbf z}, \\
 \hat{\boldsymbol\varphi} &= - \sin \varphi \,\hat{\mathbf x} +
  \cos \varphi \,\hat{\mathbf y}
\end{align}
son os vectores unitarios locais ortogonais nas direccións de aumento de , , e , respectivamente,
e , , e  son os vectores unitarios en coordenadas cartesianas. 

A transformación lineal a este triplete de coordenadas destróxiras é unha matriz de rotación,
:R = \begin{pmatrix}     \sin\theta\cos\varphi&\sin\theta\sin\varphi&\hphantom{-}\cos\theta\\
     \cos\theta\cos\varphi&\cos\theta\sin\varphi&-\sin\theta\\
    -\sin\varphi&\cos\varphi   &\hphantom{-}0
   \end{pmatrix}.

Isto dá a transformación desde as coordenadas cartesianas ás esféricas.
Nota: a matriz é unha matriz ortogonal, é dicir, a súa inversa é simplemente a súa transposta.

Os vectores unitarios cartesianos están así relacionados cos vectores unitarios esféricos por:
:\begin{bmatrix}\mathbf{\hat x} \\ \mathbf{\hat y}  \\ \mathbf{\hat z} \end{bmatrix}
  = \begin{bmatrix} \sin\theta\cos\varphi & \cos\theta\cos\varphi & -\sin\varphi \\
                    \sin\theta\sin\varphi & \cos\theta\sin\varphi & \hphantom{-}\cos\varphi \\
                    \cos\theta         & -\sin\theta        & \hphantom{-}0 \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix} \boldsymbol{\hat{r}} \\ \boldsymbol{\hat\theta} \\ \boldsymbol{\hat\varphi} \end{bmatrix}

A forma xeral da fórmula para demostrar o elemento de liña diferencial é
:\mathrm{d}\mathbf{r} =
 \sum_i \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x_i} \,\mathrm{d}x_i =
 \sum_i \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x_i}\right|
  \frac{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x_i}}{\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x_i}\right|} \, \mathrm{d}x_i =
 \sum_i \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x_i}\right| \,\mathrm{d}x_i \, \hat{\boldsymbol{x}}_i,

é dicir, o cambio en \mathbf r descomponse en cambios individuais correspondentes a cambios nas coordenadas individuais.

Para aplicar isto ao caso presente, cómpre calcular como muda \mathbf r con cada unha das coordenadas. Nas convencións usadas, 
:\mathbf{r} = \begin{bmatrix}
 r \sin\theta \, \cos\varphi \\
 r \sin\theta \, \sin\varphi \\
 r \cos\theta
\end{bmatrix},
x_1=r, x_2=\theta, x_3=\varphi.

Así,
:
\frac{\partial\mathbf r}{\partial r} = \begin{bmatrix}
 \sin\theta \, \cos\varphi \\
 \sin\theta \, \sin\varphi \\
 \cos\theta
\end{bmatrix}=\mathbf{\hat r}, \quad
\frac{\partial\mathbf r}{\partial \theta} = \begin{bmatrix}
 r \cos\theta \, \cos\varphi \\
 r \cos\theta \, \sin\varphi \\
 -r \sin\theta
\end{bmatrix}=r\,\hat{\boldsymbol\theta }, \quad
\frac{\partial\mathbf r}{\partial \varphi} = \begin{bmatrix}
 -r \sin\theta \, \sin\varphi \\
 \hphantom{-}r \sin\theta \, \cos\varphi \\
 0
\end{bmatrix}
=
r \sin\theta\,\mathbf{\hat{\boldsymbol\varphi}}  .

Os coeficientes desexados son as magnitudes destes vectores:
:\begin{align}
 {\mathbf D} &= \sqrt{r^2+r'^2-2rr'(\sin{\theta}\sin{\theta'}\cos{(\varphi-\varphi')} + \cos{\theta}\cos{\theta'})}
\end{align}

## Cinemática 
En coordenadas esféricas, a posición dun punto ou partícula (aínda que mellor escrita como unha tripla(r,\theta, \varphi)) pode escribirse como
:\mathbf{r} = r \mathbf{\hat r} .
A súa velocidade é logo
:\mathbf{v} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} = \dot{r} \mathbf{\hat r} + r\,\dot\theta\,\hat{\boldsymbol\theta } + r\,\dot\varphi \sin\theta\,\mathbf{\hat{\boldsymbol\varphi}}
e a súa aceleración é
:
\begin{align}
\mathbf{a} = {} & \frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} \\[1ex]
= {} & \hphantom{+}\; \left( \ddot{r} - r\,\dot\theta^2 - r\,\dot\varphi^2\sin^2\theta \right)\mathbf{\hat r} \\
& {} + \left( r\,\ddot\theta + 2\dot{r}\,\dot\theta - r\,\dot\varphi^2\sin\theta\cos\theta \right) \hat{\boldsymbol\theta } \\
& {} + \left( r\ddot\varphi\,\sin\theta + 2\dot{r}\,\dot\varphi\,\sin\theta + 2 r\,\dot\theta\,\dot\varphi\,\cos\theta \right) \hat{\boldsymbol\varphi}
\end{align}

O momento angular é
:  \mathbf{L} =
\mathbf{r} \times \mathbf{p} = \mathbf{r} \times m\mathbf{v} = m r^2 \left(- \dot\varphi \sin\theta\,\mathbf{\hat{\boldsymbol\theta}} + \dot\theta\,\hat{\boldsymbol\varphi }\right) 

Onde m é a masa. No caso dunha constante  ou ben , isto redúcese a cálculo vectorial en coordenadas polares.

O correspondente operador de momento angular dedúcese despois da reformulación do espazo de fases do anterior,
: \mathbf{L}= -i\hbar ~\mathbf{r} \times \nabla =i \hbar \left(\frac{\hat{\boldsymbol{\theta}}}{\sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial\phi} - \hat{\boldsymbol{\phi}} \frac{\partial}{\partial\theta}\right). 

O torque dáse como
:  \mathbf{\tau} =
\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} = -m \left(2r\dot{r}\dot{\varphi}\sin\theta + r^2\ddot{\varphi}\sin{\theta} + 2r^2\dot{\theta}\dot{\varphi}\cos{\theta} \right)\hat{\boldsymbol\theta} + m \left(r^2\ddot{\theta} + 2r\dot{r}\dot{\theta} - r^2\dot{\varphi}^2\sin\theta\cos\theta \right) \hat{\boldsymbol\varphi}

A enerxía cinética dáse como
: E_k =
\frac{1}{2}m \left[ \left(\dot{r}\right)^2 + \left(r\dot{\theta}\right)^2 + \left(r\dot{\varphi}\sin\theta\right)^2 \right]

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
### Outros artigos 
* Acimut
* atan2
* Sistema de coordenadas polares
### Ligazóns externas 
* 
* MathWorld description of spherical coordinates
* Coordinate Converter – converts between polar, Cartesian and spherical coordinates