Función indicadora

dereita|miniatura| Un gráfico tridimensional dunha función indicadora, mostrado sobre un dominio cadrado bidimensional (conxunto ): a parte "erguida" mostra os puntos bidimensionais que son membros do subconxunto "indicado" ().
En matemáticas, unha **función indicadora** ou **función característica** dun subconxunto dun conxunto é unha función que asigna o valor 1 aos elementos do subconxunto e o valor 0 ao resto de elementos. É dicir, se  é un subconxunto dalgún conxunto , entón \mathbf{1}_{A}(x)=1 se x\in A, e \mathbf{1}_{A}(x)=0 se x \notin A. A  notación \mathbf{1}_A é  común para a función indicadora. Outras notacións comúns son I_A, e \chi_A.

A función indicadora de  tamén a podemos representar mediante o corchete de Iverson da propiedade de pertencer a ; é dicir,

\mathbf{1}_{A}(x)=[x\in A].

Por exemplo, a función de Dirichlet é a función indicadora dos números racionais como subconxunto dos números reais.

## Definición 
A función indicadora dun subconxunto  dun conxunto  é unha función

\mathbf{1}_A \colon X \to \{ 0, 1 \} 

definida como

\mathbf{1}_A(x) :=
\begin{cases}
1 ~&\text{ if }~ x \in A~, \\
0 ~&\text{ if }~ x \notin A~.
\end{cases}

O corchete de Iverson proporciona outra notación equivalente, [x\in A]  en lugar de \mathbf{1}_{A}(x).

A función \mathbf{1}_A ás veces denótase , , . {{efn|O conxunto de todas as funcións indicadoras en  pódese identificar con \mathcal{P}(X), o conxunto de partes de . En consecuencia, ambos os conxuntos son ás veces denotados por 2^X. Este é un caso especial (Y = \{0,1\} = 2) da notación  Y^X para o conxunto de todas as funcións f:X \to Y.}}

## Propiedades básicas 
A función *indicador* dun subconxunto  dalgún conxunto  asigna elementos de  no rango \{0,1\}.

Este mapa é sobrexectivo só cando  é un subconxunto propio non baleiro de . Se A \equiv X, entón \mathbf{1}_A=1. Por un argumento semellante, se A\equiv\emptyset entón \mathbf{1}_A=0.

Se A e B son dous subconxuntos de X, daquela\begin{align}
\mathbf{1}_{A\cap B} &= \min\{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B\} = \mathbf{1}_A \cdot\mathbf{1}_B, \\
\mathbf{1}_{A\cup B} &= \max\{{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B}\} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - \mathbf{1}_A \cdot\mathbf{1}_B,
\end{align}

e a función indicadora do complemento de A é dicir A^C é: \mathbf{1}_{A^\complement} = 1-\mathbf{1}_A.

De xeito máis xeral, supoña que A_1, \dotsc, A_n son unha colección de subconxuntos de . Para calquera x \in X:

 \prod_{k \in I} ( 1 - \mathbf{1}_{A_k}(x))

é claramente un produto de s e s. Este produto ten o valor 1 precisamente neses x \in X que non pertencen a ningún dos conxuntos A_k e é 0 en caso contrario. É dicir

 \prod_{k \in I} ( 1 - \mathbf{1}_{A_k}) = \mathbf{1}_{X - \bigcup_{k} A_k} = 1 - \mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}.

Expandendo o produto no lado esquerdo,

 \mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}= 1 - \sum_{F \subseteq \{1, 2, \dotsc, n\}} (-1)^ \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k} = \sum_{\emptyset \neq F \subseteq \{1, 2, \dotsc, n\}} (-1)^{|F|+1} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k} 

onde |F| é a cardinalidade de . Esta é unha das formas do principio de inclusión-exclusión.

A función indicadoar é unha notación útil en combinatoria. A notación úsase tamén por exemplo na teoría da probabilidade: se  é un espazo de probabilidade con medida de probabilidade \operatorname{P} e  é un conxunto medible, entón \mathbf{1}_A convértese nunha variable aleatoria cuxo valor esperado é igual á probabilidade de :

\operatorname{E}(\mathbf{1}_A)= \int_{X} \mathbf{1}_A(x)\,d\operatorname{P} = \int_{A} d\operatorname{P} = \operatorname{P}(A).

Esta identidade úsase nunha proba simple da desigualdade de Markov.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

### Outros artigos 
* Función paso de Heaviside
* Corchete de Iverson
* Delta de Kronecker