Cardinalidade do continuo

Na teoría de conxuntos, a **cardinalidade do continuo** é a cardinalidade ou "tamaño" do conxunto dos números reais \mathbb R, ás veces chamado continuo. É un número cardinal infinito denotado por \bold\mathfrak c (en minúscula Fraktur  "**c**") ou \bold|\bold\mathbb R\bold|.

Os números reais \mathbb R son máis numerosos que os números naturais \mathbb N. Alén disto, \mathbb R ten o mesmo número de elementos que o conxunto de partes de \mathbb N. Simbólicamente, se a cardinalidade de \mathbb N se denota como \aleph_0, a cardinalidade do continuo é

{{Bloque indentado|\mathfrak c = 2^{\aleph_0} > \aleph_0. }}

Isto foi demostrado por Georg Cantor na súa proba de non numerabilidade de 1874, parte do seu estudo innovador de diferentes infinitos. A desigualdade foi máis tarde afirmada de xeito máis sinxelo no seu argumento diagonal en 1891. Cantor definiu a cardinalidade en termos de funcións bixectivas: dous conxuntos teñen a mesma cardinalidade se, e só se, existe unha función bixectiva entre eles.

Entre dous números reais calquera *a* \mathbb R, así como con varios outros conxuntos infinitos, como calquera espazo euclidiano *n*-dimensional \mathbb R^n (ver curva de recheo do espazo). É dicir,

O menor número cardinal infinito é \aleph_0 (aleph-cero). O segundo máis pequeno é \aleph_1 (aleph-un). A hipótese do continuo, que afirma que non hai conxuntos cuxa cardinalidade estea estritamente entre \aleph_0 e , quere dicir que \mathfrak c = \aleph_1. A verdade ou a falsidade desta hipótese é indecidíbel e non se pode probar dentro da amplamente usada teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel con axioma de escolla (ZFC).

## Propiedades 
### Non numerabilidade 
Georg Cantor introduciu o concepto de cardinalidade para comparar os tamaños de conxuntos infinitos. Mostrou que o conxunto de números reais é non numerabelmente infinito. É dicir, {\mathfrak c} é estritamente maior que a cardinalidade dos números naturais, \aleph_0:

### Igualdades cardinais 
Pódese usar unha variación do argumento diagonal de Cantor para demostrar o teorema de Cantor, que afirma que a cardinalidade de calquera conxunto é estritamente menor que a do seu conxunto de partes. É dicir, |A| . 

A igualdade cardinal \mathfrak{c}^2 = \mathfrak{c} pódese demostrar mediante a aritmética cardinal:

{{Bloque indentado|\mathfrak{c}^2 = (2^{\aleph_0})^2 = 2^{2\times{\aleph_0}} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak{c}.}}

Usando as regras da aritmética cardinal, tamén se pode demostrar

{{Bloque indentado|\mathfrak c^{\aleph_0} = {\aleph_0}^{\aleph_0} = n^{\aleph_0} = \mathfrak c^n = \aleph_0 \mathfrak c = n \mathfrak c = \mathfrak c}}

onde *n* é calquera cardinal finito ≥ 2 e

{{Bloque indentado| \mathfrak c ^{\mathfrak c}  =  (2^{\aleph_0})^{\mathfrak c}  = 2^{\mathfrak c\times\aleph_0} = 2^{\mathfrak c}}}

onde 2 ^{\mathfrak c} é a cardinalidade do conxunto de partes de **R**, e 2 ^{\mathfrak c} > \mathfrak c .

## Números  beth 
A secuencia dos números beth defínese pola configuración \beth_0 = \aleph_0 e \beth_{k+1} = 2^{\beth_k}. Logo {\mathfrak c} é o segundo número beth, **beth-un**:

O terceiro número beth, **beth-dous**, é a cardinalidade do conxunto de partes de \mathbb{R} (é dicir, o conxunto de todos os subconxuntos da recta real):

## A hipótese do continuo 
A hipótese do continuo afirma que {\mathfrak c} tamén é o segundo número aleph, \aleph_1. Noutras palabras, a hipótese do continuo afirma que non hai conxunto A cuxa cardinalidade se sitúe estritamente entre \aleph_0 e {\mathfrak c}

## Conxuntos con cardinalidade do continuo 
Un gran número de conxuntos estudados en matemáticas teñen cardinalidade igual a {\mathfrak c}. Algúns exemplos comúns son os seguintes:

* os números reais \mathbb{R}
* calquera intervalo  pechado ou aberto  non dexenerado de \mathbb{R} (como o intervalo unitario [0,1])
* os números irracionais
* os números transcendentais
* o conxunto de Cantor
* o Espazo euclidiano \mathbb{R}^n
* os números complexoss \mathbb{C}
* o conxunto potencia dos números naturais\mathcal{P}(\mathbb{N}) (o conxunto de todos os subconxuntos dos números naturais)
* o conxunto de sucesións de enteiros (é dicir, todas as funcións {{nowrap|\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z},}} moitas veces denotadas {{nowrap|\mathbb{Z}^\mathbb{N})}}
* o conxunto de sucesións de números reais, {{nowrap|\mathbb{R}^\mathbb{N}}}
* o conxunto de todas as funcións continuas dende \mathbb{R} ata \mathbb{R}
* a topoloxía euclidiana en \mathbb{R}^n (é dicir, o conxunto de todos os conxuntos abertos en {{nowrap|\mathbb{R}^n)}}
* a álxebra σ de Borel en \mathbb{R} (é dicir, o conxunto de todos os conxuntos de Borel en {{nowrap|\mathbb{R}).}}

## Conxuntos con maior cardinalidade 
Conxuntos con cardinalidade maior que {\mathfrak c} inclúen:

* o conxunto de todos os subconxuntos de \mathbb{R} (é dicir, o conxunto de partes \mathcal{P}(\mathbb{R}) )
* o conxunto 2**R** de funcións indicadoras definidas en subconxuntos dos reais (o conxunto 2^{\mathbb{R}} é isomorfo a \mathcal{P}(\mathbb{R}), a función indicadora escolle elementos de cada subconxunto)
* o conxunto \mathbb{R}^\mathbb{R} de todas as funcións de \mathbb{R} a \mathbb{R}
* a σ-álxebra de Lebesgue \mathbb{R}, é dicir, o conxunto de todos os conxuntos medíbeis de Lebesgue en \mathbb{R} .
* o conxunto de todas as funcións integrábeis de Lebesgue de \mathbb{R} a \mathbb{R}
* o conxunto de todas as funcións medíbeis de Lebesgue de \mathbb{R} a \mathbb{R}
* as compactacións de Stone-Čech de \mathbb{N}, \mathbb{Q}, e \mathbb{R}
* o conxunto de todos os automorfismos do corpo (discreto) dos números complexos.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*Paul Halmos, *Naive set theory*. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974.  (Springer-Verlag edition).
*Jech, Thomas, 2003. *Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded*. Springer. .
*Kunen, Kenneth, 1980. *Set Theory: An Introduction to Independence Proofs*. Elsevier. .

### Outros artigos 
* Cardinalidade
* Hipótese do continuo

### Ligazóns externas 
*