Matriz cadrada

miniatura| Unha matriz cadrada de orde 4. As entradas a_{ii} forma a diagonal principal dunha matriz cadrada. Por exemplo, a diagonal principal da matriz 4×4 anterior contén os elementos , , ,  .
En matemáticas, unha **matriz cadrada** é unha matriz co mesmo número de filas e columnas. Chamamos matriz *n*-por-*n* a unha matriz cadrada de orde  Pódense sumar e multiplicar dúas matrices cadradas calquera da mesma orde.

As matrices cadradas utilízanse a miúdo para representar transformacións lineares simples, como a rotación. Por exemplo, se R é unha matriz cadrada que representa unha rotación (matriz de rotación) e \mathbf{v} é un vector columna que describe a posición dun punto no espazo, o produto R\mathbf{v} produce outro vector columna que describe a posición dese punto despois desa rotación. Se \mathbf{v} é un vector fila, a mesma transformación pódese obter usando {{Nowrap|\mathbf{v} R^{\mathsf T},}} onde R^{\mathsf T} é a transposta de 

## Diagonal principal 
As entradas a_{ii} (  ) forman a diagonal principal dunha matriz cadrada.  Por exemplo, a diagonal principal da matriz 4×4 da imaxe contén os elementos , , , .

A diagonal dunha matriz cadrada desde a esquina superior dereita ata a esquina inferior esquerda chámase *antidiagonal* ou *contradiagonal*.

## Tipos especiais 
### Matriz diagonal, triangular e identidade 
O termo *matriz identidade* refírese á propiedade da multiplicación matricial queI_m A = A I_n = Apara calquera matriz  de dimensións m \times n.

### Matriz invertible e a súa inversa 
Unha matriz cadrada A chámase *invertible* ou *non singular* se. existe unha matriz B tal que  AB = BA = I_nSe B existe, é única e chámase *matriz inversa* de  denotado {{Nowrap|A^{-1}.}}

### Matriz simétrica ou antisimétrica 
Unha matriz cadrada A que é igual á súa transposición, é dicir, {{Nowrap|A^{\mathsf T} = A,}} é unha matriz simétrica. Se en cambio {{Nowrap|A^{\mathsf T} = -A,}} entón A chámase matriz antisimétrica.

Para unha matriz cadrada complexa  moitas veces o análogo axeitado da transposición é a transposta conxugada  definido como a transposición do conxugado complexo de  Unha matriz cadrada complexa A que satisfai A^*=A chámase matriz hermitiana. Se temos  entón A chámase matriz antisimétrica hermitiana.

Segundo o teorema espectral, as matrices reais simétricas (ou complexas hermitianas) teñen unha base propia ortogonal (ou unitaria); é dicir, cada vector é expresable como unha combinación linear de vectores propios (eigenvectores). En ambos os casos, todos os valores propios (eigenvalores) son reais.

### Matriz ortogonal 
Unha *matriz ortogonal* é unha matriz cadrada onde a súa transposta é igual á súa inversa:A^\textsf{T} = A^{-1}, que implicaA^\textsf{T} A = A A^\textsf{T} = I, onde *I* é a matriz identidade.

Unha matriz ortogonal  é necesariamente invertible (con inverso ), unitaria () e normal (). O determinante de calquera matriz ortogonal é +1 ou -1. O grupo ortogonal especial \operatorname{SO}(n) consta das  matrices  ortogonais co determinante +1.

O análogo complexo dunha matriz ortogonal é unha matriz unitaria.

### Matriz normal 
Unha matriz cadrada real ou complexa A chámase *normal* se . Se unha matriz cadrada real é simétrica, antisimétrica ou ortogonal, entón é normal. Se unha matriz cadrada complexa é hermitiana, hermitiana antisimétrica ou unitaria, entón é normal.

## Operacións 
### Traza 
A traza, tr( *A* ) dunha matriz cadrada *A* é a suma das súas entradas diagonais. Aínda que a multiplicación de matrices non é conmutativa, a traza do produto de dúas matrices si é conmutativa:\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA).Ademais, a traza dunha matriz é igual ao da súa transposición, é dicir,\operatorname{tr}(A) = \operatorname{tr}(A^{\mathrm T}).

### Determinante 
dereita|miniatura|300x300px| Unha transformación linear \mathbb{R}^2 dada pola matriz que se mostra. O determinante desta matriz é −1,  o mapa inverte a orientación.
O *determinante* |A| ou \det(A) dunha matriz cadrada A é un número que contén certas propiedades da matriz. Unha matriz é invertible se e só se o seu determinante é distinto de cero. O seu valor absoluto é igual á área (en \mathbb{R}^2) ou volume (en \mathbb{R}^3) da imaxe do cadrado (ou cubo) da unidade, mentres que o seu signo corresponde á orientación do mapa linear correspondente: o determinante é positivo se e só se se conserva a orientación.

O determinante das matrices 2×2 vén dado por\det \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc.O determinante das matrices 3×3 implica 6 termos (regra de Sarrus). A fórmula de Leibniz xeneraliza estas dúas fórmulas a todas as dimensións.

O determinante dun produto de matrices cadradas é igual ao produto dos seus determinantes, temos: \det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)Finalmente, a expansión de Laplace expresa o determinante en termos de menores, é dicir, determinantes de matrices máis pequenas.  Os determinantes pódense usar para resolver sistemas lineares usando a regra de Cramer, onde a división dos determinantes de dúas matrices cadradas relacionadas equivale ao valor de cada unha das variables do sistema.

### Eigenvalores e eigenvectores 
Un número  e un vector distinto de cero \mathbf{v} que satisfaiA \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}chámanse *eigenvalores* e eigen*vectores*  de  respectivamente.   O número  é un eigenvalor dunha matriz   se e só se  non é invertible, o que é equivalente a \det(A-\lambda I) = 0.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
### Outros artigos 
*Matriz (matemáticas)