Número primo

**Número primo** é un número natural maior que 1 e que ten exactamente dous divisores positivos distintos: 1 e el mesmo. Se un número natural é maior que 1 e non é primo, dise que é composto. Por convención, os números 0 e 1 non son primos nin compostos.
 
O concepto de número primo é moi importante na teoría dos números. Un dos resultados da teoría dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que calquera número enteiro positivo pode ser escrito univocamente como o produto de varios números primos (chamados "factores primos"). Ao proceso que recibe como argumento un número e devolve os seus factores primos chámase descomposición en factores primos. Antes do desenvolvemento do cálculo automático, a determinación dos factores primos era un proceso traballoso en extremo, mais a finais do século XVIII xa existían, grazas ao labor dalgúns matemáticos, entre os cales estaban Anton Felkel e Jurij Bartolomej Vega, extensas táboas abranguendo o intervalo desde a unidade ata algúns millóns. 

Colocando os números primos en orde crecente, temos que os primeiros elementos son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97...

Exemplos de decomposicións:

* 4 = 2 ⋅ 2
* 6 = 2 ⋅ 3
* 8 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2
* 9 = 3 ⋅ 3
* 10 = 2 ⋅ 5

## Teoremas dos números primos 
### Factorización única
Escribir un número como produto de números primos chámase *descomposición en factores primos* do número. Por exemplo:
:\begin{align}
   50 &= 2\times 5\times 5\\
   &=2\times 5^2.
 \end{align}
Os termos do produto chámanse *factores primos*. O mesmo factor primo pode ocorrer máis dunha vez; este exemplo ten dúas copias do factor primo 5. Cando un número primo ocorre varias veces, a exponenciación pódese usar para agrupar varias copias do mesmo número primo: por exemplo, na segunda forma de escribir o produto anterior, 5^2 denota o cadrado ou a segunda potencia de 5.

Algunhas probas da unicidade das factorizacións en primos baséanse no lema de Euclides: se p é un número primo e p divide un produto ab de enteiros a e b, entón p divide a ou p divide b (ou ambos os dous) Pola contra, se un número p ten a propiedade de que cando divide un produto sempre divide polo menos un factor do produto, entón p debe ser primo.
### Infinitude
Sábese que, á medida que avanzamos na secuencia dos números enteiros, os primos tórnanse cada vez máis raros. Isto levanta dúas cuestións:
# O conxunto dos números primos sería finito ou infinito?
# Dado un número natural n, cal é a proporción de números primos entre os números menores que n?

A resposta a primeira cuestión é que o conxunto dos primos é infinito. Podemos demostralo da seguinte forma:

Supoña, por absurdo, que o número de primos sexa finito e sexan  p_1, p_2, p_3,..., p_n  os primos. Sexa P o número tal que

P = \prod_{i=1}^n p_i +1 onde \prod denota o produto.

Temos que P non é primo (por hipótese), logo existe un número primo q tal que q \mid\ P . 
Mais obviamente  q \ne\ p_1,p_2,...p_n . Logo existe un novo número primo, o que é unha contradición.

A resposta para a segunda pregunta é que esa proporción se aproximará máis a n:\ln (n) canto maior sexa n, onde \ln é o logaritmo natural.

## Grupos e secuencias de números primos 
[miniatura|Os [número composto|números compostos poden ser organizados en rectángulos, mais os números primos non.]]

Coñécense dous grupos de números primos, dos tipos:

:(4n+1) - pódense sempre escribir como (x^2+y^2).

:(4n-1), que é o mesmo que (4n+3) - nunca se poden escribir como (x^2+y^2).

Tratándose de números primos, é perigoso facer unha xeneralización apenas con base nunha observación, non solidamente comprobada matematicamente. Por exemplo, 31, 331, 3&nbsp;331, 33&nbsp;331, 333&nbsp;331, 3&nbsp;333&nbsp;331 e 33&nbsp;333&nbsp;331 son primos, mais 333&nbsp;333&nbsp;331 non é primo (333&nbsp;333&nbsp;331 = 17&nbsp;⋅&nbsp;19&nbsp;607&nbsp;843).

Unha progresión aritmética é unha sucesión finita ou infinita de números tal que os números consecutivos da secuencia teñen todos a mesma diferenza. Esta diferenza chámase módulo da progresión. Por exemplo,
:3, 12, 21, 30, 39, ...,
é unha progresión aritmética infinita con módulo 9. Nunha progresión aritmética, todos os números teñen o mesmo resto cando se dividen polo módulo; neste exemplo, o resto é 3. Como tanto o módulo 9 como o resto 3 son múltiplos de 3, tamén o son todos os elementos da secuencia. Polo tanto, esta progresión contén só un número primo, o propio 3. En xeral, a progresión infinita
:a, a+q, a+2q, a+3q, \dots
pode ter máis dun primo só cando o seu resto a e o seu módulo q son primos relativos. Se son primos relativos, o teorema de Dirichlet sobre progresións aritméticas afirma que a progresión contén infinitos números primos.

O teorema de Green–Tao mostra que hai progresións aritméticas finitas arbitrariamente longas que consisten só en números primos.

## Primalidade e obtención de números primos 
A propiedade de ser primo chámase **primalidade**. Un método sinxelo pero lento para comprobar a primalidade dun número determinado n, chamado **división de proba**, proba se n é un múltiplo de calquera número enteiro entre 2 e \sqrt{n}. Os algoritmos máis rápidos inclúen o test de primalidade de Miller–Rabin, que é rápida mais ten unha pequena probabilidade de erro, e o test de primalidade AKS, que sempre produce a resposta correcta en tempo polinómico mais é demasiado lento para ser práctico. Hai métodos especialmente rápidos dispoñíbeis para números de formas especiais, como os números de Mersenne. Desde 2024 o  número primo máis grande coñecido  é un primo de Mersenne con 41.024.320 díxitos.

### Cribos
[frame|A [criba de Eratóstenes comeza con todos os números sen marcar (gris). Procura repetidamente o primeiro número sen marcar, márcao como primo (cores escuras) e marca o seu cadrado e todos os múltiplos posteriores como compostos (cores máis claras). Despois de marcar os múltiplos de 2 (vermello), 3 (verde), 5 (azul) e 7 (amarelo), procésanse todos os números primos ata a raíz cadrada do tamaño da táboa e todos os números sen marcar restantes (11, 13). , etc.) son os marcados como primos (maxenta).|alt=Animación do cribo de Eratóstenes]]

Antes dos ordenadores, as  táboas matemáticas  que enumeraban todos os números primos ou factorizacións de primos ata un determinado límite eran moi comúns.  O métod máis antigo coñecido para xerar unha lista de números primos chámase criba de Eratóstenes. A animación mostra unha variante optimizada deste método. Outro método de criba asintóticamente máis eficiente para o mesmo problema é o cribo de Atkin. En matemáticas avanzadas, a teoría da criba aplica métodos similares a outros problemas.

Algunhas das probas modernas máis rápidas para determinar se un número dado arbitrario n é primo son os algoritmos probabilísticos (ou Algoritmos de Montecarlo), o que significa que teñen unha pequena oportunidade aleatoria de producir unha resposta incorrecta. Por exemplo, o test de primalidade de Sololovay–Strassen para un número dado p escolle un número a aleatoriamente entre 2  e p-2 e usa a exponenciación modular para comprobar
se a^{(p-1)/2}\pm 1 é divisíbel por p. En caso afirmativo, responde que si e, en caso contrario, non. Se p realmente é primo, sempre responderá si, pero se p é composto entón responde que si con probabilidade como máximo 1/2 e non con probabilidade polo menos 1/2.
Un número composto que supera tal proba chámase pseudoprimo.

## Álxebra abstracta
### Elementos primos en aneis
[thumb|Os [Enteiro de Gauss|primos gaussianos cunha norma inferior a 500]]
Un anel conmutativo é unha estrutura alxébrica onde se definen a suma, a resta e a multiplicación. Os números enteiros son un anel, e os números primos dos enteiros xeneralizáronse a aneis de dúas formas diferentes, *elementos primos* e *elementos irredutíbeis*. Un elemento p dun anel R chámase primo se é distinto de cero, non ten inverso multiplicativo (é dicir, non é unha unidade), e cumpre o seguinte requisito: sempre que p divide o produto xy de dous elementos de R, tamén divide polo menos un de x ou y. Un elemento é irredutíbel se non é unha unidade nin o produto doutros dous elementos non unidades. No anel de enteiros, os elementos primos e irredutibles forman o mesmo conxunto,
:\{ \dots, -11, -7, -5, -3, -2, 2, 3, 5, 7, 11, \dots \}\, .
Nun anel arbitrario, todos os elementos primos son irredutibles. A inversa en xeral non se cumpre, mais si se cumpre para dominios de factorización única.

O teorema fundamental da aritmética segue a cumprirse (por definición) en dominios de factorización única. Un exemplo deste dominio é o dos enteiro gaussianos \mathbb{Z}[i], o anel de número complexos da forma a+bi  onde i denota a unidade imaxinaria e a e b son números enteiros arbitrarios. Os seus elementos primos coñécense como primos gaussianos. Non todo número que é primo entre os enteiros permanece primo nos enteiros gaussianos; por exemplo, o número 2 pódese escribir como un produto dos dous números primos gaussianos 1+i e 1-i.

Os primos racionais (os elementos primos dos enteiros) congruentes con 3 mod 4 son primos gaussianos, pero os primos racionais congruentes con 1 mod 4 non o son. Esta é unha consecuencia do teorema de Fermat sobre a suma de dous cadrados,
que afirma que un primo impar p é expresable como a suma de dous cadrados, p=x^2+y^2, e polo tanto factorizable como p=( x+iy)(x-iy), exactamente cando p é 1 mod 4.

### Ideais principais
Non todos os anels son un dominio de factorización única. Por exemplo, no anel dos números a+b\sqrt{-5} (para os enteiros a e b) o número  21 ten dúas factorizacións 21=3\cdot7=(1+2\sqrt{-5})(1-2\sqrt{-5}), onde en ningunha das dúas os factores pódense reducir aínda máis, polo que non ten unha factorización única. 

Para estender a factorización única a unha clase máis grande de aneis, a noción de número pódese substituír pola de ideal, que son un subconxunto dos elementos dun anel que contén todas as sumas dos seus propios elementos e todos os produtos dos seus elementos con elementos de todo o anel.

Os *ideais primos*, que xeneralizan elementos primos no sentido de que o ideal principal xerado por un elemento primo é un ideal primo, son unha ferramenta importante e obxecto de estudo na álxebra conmutativa, teoría de números alxébrica e xeometría alxébrica. Os ideais primos do anel de enteiros son os ideais (0), (2), (3), (5), (7), (11), ... O teorema fundamental da aritmética xeneralízase ao Teorema de Lasker-Noether, que expresa cada ideal nun noetheriano conmutativo como unha intersección de ideais primarios, que son as xeneralizacións apropiadas das potencias de primos.

O espectro dun anel é un espazo xeométrico cuxos puntos son os ideais primos do anel.
## Notas 
;Notas
 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Lista de números primos
* Emirp
### Ligazóns externas 
* As páxinas de primos -- http://www.utm.edu/research/primes/ 
* Lista dos maiores números probabelmente primos
* The prime puzzles
* Primes de WIMS é un xerador online de números primos.
* 12 digit primes Factores primos coñecidos de 12-díxitos de Googolplex