Espazo vectorial normado

[miniatura|250x250px| Xerarquía de espazos matemáticos. [Espazo prehilbertiano|Os espazos de produto interno son un subconxunto dos espazos vectoriais normados, que á súa vez son un subconxunto dos espazos métricos, que á súa vez son un subconxunto dos espazos topolóxicos.]]

En matemáticas, un **espazo vectorial normado** ou **espazo normado** é un espazo vectorial sobre os números reais ou complexos nos que se define unha norma. Unha norma é unha xeneralización da noción intuitiva de "lonxitude" no mundo físico. Se V é un espazo vectorial sobre K, onde K é un corpo igual a \mathbb R ou a \mathbb C, entón unha norma en V é un mapa V\to\mathbb R, normalmente denotado como \lVert\cdot \rVert, cumprindo os seguintes catro axiomas:

# Non negatividade: para todo x\in V, \; \lVert x \rVert \ge 0 .
# Definición positiva: para todo x \in V, \; \lVert x\rVert=0 se e só se x é o vector cero.
# Homoxeneidade absoluta: para todo \lambda\in K e x\in V, 
::\lVert \lambda x \rVert = |\lambda|\, \lVert x\rVert 
# Desigualdade triangular: para todo x\in V e y\in V, 
::\|x+y\| \leq \|x\| + \|y\|.

Se V é un espazo vectorial real ou complexo como o anterior, e \lVert\cdot\rVert é unha norma en V, entón o par ordenado (V,\lVert\cdot \rVert) chámase espazo vectorial normado. Se polo contexto fica claro cal é a norma que se pretende usar, entón é común denotar o espazo vectorial normado simplemente por V.

Unha norma induce unha distancia, chamada a súa , mediante a fórmula 
:d(x,y) = \|y-x\|,
o que converte calquera espazo vectorial normado nun espazo métrico e nun espazo vectorial topolóxico. Se o espazo é real e de dimensión finita, entón é un *espazo de Minkowski*. Se este espazo métrico é completo, entón o espazo normado é un espazo de Banach. 

Todo espazo vectorial normado pode ser "estendido de forma única" a un espazo de Banach, o que fai que os espazos normados estean intimamente relacionados cos espazos de Banach. Todo espazo de Banach é un espazo normado, pero o contrario non é certo. Por exemplo, o conxunto das secuencias finitas de números reais pode ser normado coa norma euclidiana, pero non é completo para esta norma.

Un espazo de produto interno é un espazo vectorial normado cuxa norma é a raíz cadrada do produto interno dun vector consigo mesmo. A norma euclidiana dun espazo vectorial euclidiano é un caso especial que permite definir a distancia euclidiana mediante a fórmula 
:d(A, B) = \|\overrightarrow{AB}\|.

O estudo dos espazos normados e os espazos de Banach é unha parte fundamental da análise funcional, un subcampo importante das matemáticas.

## Definición 
Un **espazo vectorial normado** é un espazo vectorial equipado cunha norma. Un ''''* é un espazo vectorial equipado cunha seminorma.

Unha variación útil da desigualdade triangular é 
:\|x-y\| \geq | \|x\| - \|y\| | 
para calquera vector x e y.

Isto tamén demostra que unha norma vectorial é unha función (uniformemente) continua.

A propiedade 3 depende da escolla dunha norma |\alpha| no corpo dos escalares. Cando o corpo escalar é \R (ou máis xeralmente un subconxunto de \Complex), soe considerarse o valor absoluto ordinario, mais son posíbeis outras opcións. Por exemplo, para un espazo vectorial sobre \Q poderíamos facer que |\alpha| fose o  valor absoluto p-ádico.

## Estrutura topolóxica 
Se (V, \|\,\cdot\,\|) é un espazo vectorial normado, a norma \|\,\cdot\,\| induce unha métrica (unha noción de *distancia*) e, polo tanto, unha topoloxía en V. Esta métrica defínese de xeito natural: a distancia entre dous vectores \mathbf{u} e \mathbf{v} está dado por \|\mathbf{u} - \mathbf{v}\|. Esta topoloxía é precisamente a topoloxía máis débil que fai que \|\,\cdot\,\| sexa continuo e compatíbel coa estrutura linear de V no seguinte sentido:

# A suma vectorial \,+\, : V \times V \to V é conxuntamente continua en relación a esta topoloxía. Isto dedúcese directamente da desigualdade triangular.
# A multiplicación escalar \,\cdot\, : \mathbb{K} \times V \to V, onde \mathbb{K} é o corpo escalar subxacente de V, é conxuntamente continua. Isto dedúcese da desigualdade triangular e da homoxeneidade da norma.

De especial interese son os espazos normados completos, coñecidos como . Todo espazo vectorial normado V atópase como un subespazo denso dentro dalgún espazo de Banach; este espazo de Banach está esencialmente definido de forma única por V e chámase a  de V.

Un espazo vectorial normado V é localmente compacto se e só se a bóla unitaria B = \{ x : \|x\| \leq 1\} é compacta, o que ocorre se e só se V é de dimensión finita; isto é unha consecuencia do lema de Riesz. (De feito, un resultado máis xenérico é certo: un espazo vectorial topolóxico é localmente compacto se e só se é de dimensión finita. A cuestión aquí é que non asumimos que a topoloxía provén dunha norma).

A topoloxía dun espazo vectorial seminormado ten moitas propiedades interesantes. Dado un sistema de veciñanza \mathcal{N}(0) arredor de 0 podemos construír todos os demais sistemas de veciñanza como 
:\mathcal{N}(x) = x + \mathcal{N}(0) := \{x + N : N \in \mathcal{N}(0)\}
:con x + N := \{x + n : n \in N\}.

A maiores, existe unha base de veciñanzas para a orixe que consiste en conxuntos absorbentes e convexos. Como esta propiedade é moi útil na análise funcional, as xeneralizacións de espazos vectoriais normados con esta propiedade estúdanse baixo o nome de espazos localmente convexos.

Unha norma (ou seminorma) \|\cdot\| nun espazo vectorial topolóxico (X, \tau) é continua se e só se a topoloxía \tau_{\|\cdot\|} que \|\cdot\| induce en X é máis grosa que \tau (é dicir, \tau_{\|\cdot\|} \subseteq \tau), o que ocorre se e só se existe algunha bóla aberta B en (X, \|\cdot\|) (como se cadra\{x \in X : \|x\|  por exemplo) que está aberto en (X, \tau) (dito de xeito diferente, de tal xeito que B \in \tau).

## Espazo normábel 
Un espazo vectorial topolóxico (X, \tau) chámase **normábel** se existe unha norma \| \cdot \| en X de tal xeito que a métrica canónica (x, y) \mapsto \|y-x\| induce a topoloxía \tau en X. O seguinte teorema débese a Kolmogorov: 

**Criterio de normabilidade de Kolmogorov**: un espazo vectorial topolóxico de Hausdorff é normábel se e só se existe unha veciñanza convexa e limitada de von Neumann de 0 \in X.

## Mapas lineares e espazos duais 
Os mapas máis importantes entre dous espazos vectoriais normados son as aplicacións lineares continuas. Xunto con estes mapas, os espazos vectoriais normados forman unha categoría.

A norma é unha función continua no seu espazo vectorial. Todas as aplicacións lineares entre espazos vectoriais de dimensión finita tamén son continuas.

Unha *isometría* entre dous espazos vectoriais normados é unha aplicación linear f que preserva a norma (é dicir, \|f(\mathbf{v})\| = \|\mathbf{v}\| para todos os vectores \mathbf{v}). As isometrías son sempre continuas e inxectivas. Unha isometría sobrexectiva entre os espazos vectoriais normados V e W chámase *isomorfismo isométrico* e V e W chámanse *isométricamente isomóorfos*. Os espazos vectoriais normados isometricamente isomorfos son idénticos para todos os fins prácticos.

Ao falar de espazos vectoriais normados, ampliamos a noción de espazo dual para ter en conta a norma. O dual V^{\prime} dun espazo vectorial normado V é o espazo de todas as aplicacións lineares *continuas'' desde V ao corpo base (os complexos ou os reais): estas aplicacións lineares chámanse "funcionais". 

A norma dun funcional \varphi defínese como o supremo de |\varphi(\mathbf{v})| onde \mathbf{v} ten o seu rango sobre todos os vectores unitarios (é dicir, vectores de norma 1) en V. Isto fai de V^{\prime} tamén un espazo vectorial normado. 

Un teorema importante sobre os funcionais lineares continuos en espazos vectoriais normados é o teorema de Hahn-Banach.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
*  
* 
*  

### Outros artigos 
* Espazo de Banach
* Espazo prehilbertiano
* Espazo (matemáticas)