Completamento dun anel

Na álxebra abstracta, un **completamento** ou **completación** é calquera de varios functores relacionados sobre aneis e módulos que dan lugar a aneis e módulos completos. A completación é similar á localización e, xuntas, están entre as ferramentas máis básicas para analizar aneis conmutativos. Os aneis conmutativos completos teñen unha estrutura máis sinxela ca os xerais, e se lles aplica o lema de Hensel. En xeometría alxébrica, unha completación dun anel de funcións *R* nun espazo *X* concéntrase nunha **veciñanza formal** dun punto de *X*: de xeito heurístico, trátase dunha veciñanza tan pequena que *todas* as series de Taylor centradas no punto son converxentes. Unha completación alxébrica constrúese dun xeito análogo á completación dun espazo métrico con sucesións de Cauchy, e coincide con esta no caso de que *R* teña unha métrica dada por unha ultramétrica ou valor absoluto non arquimediano.

## Construción xeral 
Sexa *E* un grupo abeliano cunha filtración decrecente

: E = F^0 E \supset F^1 E \supset F^2 E \supset \cdots \,

de subgrupos. Defínese entón a completación (respecto da filtración) como o límite inverso:

: \widehat{E} = \varprojlim (E/F^n E)=\left\{\left.(\overline{a_n})_{n\geq0} \in \prod_{n\geq0}(E/F^nE) \;\right|\; a_i \equiv a_j\pmod{F^iE} \text{ para todo } i \leq j\right\}. \,

Este é de novo un grupo abeliano. Xeralmente *E* é un grupo abeliano *aditivo*. Se *E* posúe estrutura alxébrica adicional compatible coa filtración —por exemplo, se *E* é un anel filtrado, un módulo filtrado ou un espazo vectorial filtrado—, a súa completación é de novo un obxecto coa mesma estrutura e que é completo na topoloxía determinada pola filtración. Esta construción pode aplicarse tanto a aneis conmutativos coma a aneis non conmutativos. Como é de esperar, cando a intersección dos F^i E é igual a cero, obtense un anel topolóxico completo.

## Topoloxía de Krull 
En álxebra conmutativa, a filtración dun anel conmutativo *R* polas potencias dun ideal propio *I* determina a topoloxía de Krull (polo Wolfgang Krull) ou *I*-topoloxía ádica en *R*. O caso dun ideal *maximal* I=\mathfrak{m} é especialmente importante, por exemplo o ideal maximal distinguido dun anel de valoración. A base de veciñanzas abertas de 0 en *R* vén dada polas potencias *I**n*, que están *encaixadas* e forman unha filtración decrecente en *R*:

: F^0 R = R\supset I\supset I^2\supset\cdots, \quad F^n R = I^n.

(As veciñanzas abertas de calquera *r* &isin; *R* veñen dadas polas coclases *r* + *I**n*.) A completación (*I*-ádica) é o límite inverso dos aneis cociente,

:  \widehat{R}_I=\varprojlim (R/I^n) 

pronunciado «*R* *I* sombreiro». O núcleo da aplicación canónica  do anel á súa completación é a intersección das potencias de *I*. Así,  é inxectiva se e só se esta intersección se reduce ao elemento cero do anel; polo teorema da intersección de Krull, este é o caso para calquera anel noetheriano conmutativo que sexa un dominio de integridade ou un anel local.

Hai unha topoloxía relacionada nos módulos sobre *R*, tamén chamada topoloxía de Krull ou *I*-ádica. Unha base de veciñanzas abertas dun módulo *M* vén dada polos conxuntos da forma

:x + I^n M \quad\text{para }x \in M.

A completación *I*-ádica dun *R*-módulo *M* é o límite inverso dos cocientes

: \widehat{M}_I=\varprojlim (M/I^n M).

Este procedemento converte calquera módulo sobre *R* nun módulo topolóxico completo sobre \widehat{R}_I se *I* é finitamente xerado.

## Exemplos 
* O anel dos enteiros *p*-ádicos \Z_p obtense completando o anel \Z dos enteiros no ideal (*p*).

* Sexa *R* = *K*[*x*1,...,*x**n*] o anel de polinomios en *n* variables sobre un corpo *K* e \mathfrak{m}=(x_1,\ldots,x_n) o ideal maximal xerado polas variables. A completación \widehat{R}_{\mathfrak{m}} é o anel *K**x*1,...,*x**n* das series formais de potencias en *n* variables sobre *K*.

* Dado un anel noetheriano R e un ideal I = (f_1,\ldots, f_n), a completación I-ádica de R é unha imaxe dun anel de series formais de potencias; concretamente, é a imaxe da aplicación sobrexectiva
::\begin{cases} Rx_1, \ldots, x_n \to \widehat{R}_I \\ x_i \mapsto f_i \end{cases}
:cuxo núcleo é o ideal (x_1 - f_1, \ldots, x_n - f_n).

As completacións tamén poden empregarse para analizar a estrutura local das singularidades dun esquema. Por exemplo, os esquemas afíns asociados a \Complex[x,y]/(xy) e á cúbica nodal curva plana \Complex[x,y]/(y^2 - x^2(1+x)) teñen singularidades de aparencia semellante na orixe (ao observar os seus gráficos (ambos semellan un signo «+»). Cómpre notar que, no segundo caso, calquera veciñanza de Zariski da orixe segue sendo unha curva irreducible. Se empregamos completacións, entón estamos a considerar unha veciñanza «pequena dabondo» no que o nodo ten dúas compoñentes. Tomando as localizacións destes aneis respecto do ideal (x,y) e completando, obtense \Complexx,y/(xy) e \Complexx,y/((y+u)(y-u)), respectivamente, onde u é a raíz cadrada formal de x^2(1+x) en \Complexx,y. Máis explicitamente, a serie de potencias:

:u = x\sqrt{1+x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^{n+1}.

Como ambos aneis se obteñen pola intersección de dous ideais xerados por un polinomio homoxéneo de grao 1, pódese ver alxebricamente que as singularidades «teñen o mesmo aspecto». Isto débese a que tal esquema é a unión de dous subespazos lineares distintos do plano afín.

## Propiedades 
* A completación dun anel noetheriano respecto dun ideal é un anel noetheriano.
* A completación dun anel local noetheriano respecto do seu único ideal maximal é un anel local noetheriano.
* A completación é unha operación functorial: unha aplicación continua *f*:&nbsp;*R*&nbsp;→&nbsp;*S* de aneis topolóxicos dá lugar a unha aplicación entre as súas completacións,
\widehat{f}: \widehat{R}\to\widehat{S}.
: Ademais, se *M* e *N* son dous módulos sobre o mesmo anel topolóxico *R* e *f*:&nbsp;*M*&nbsp;→&nbsp;*N* é unha aplicación continua de módulos, entón *f* esténdese de maneira única á aplicación entre as completacións:
: \widehat{f}: \widehat{M}\to\widehat{N},
: onde \widehat{M},\widehat{N} son módulos sobre \widehat{R}.
* A completación dun anel noetheriano *R* é un módulo plano sobre *R*.
* A completación dun módulo *M* finitamente xerado sobre un anel noetheriano *R* pódese obter por *extensión de escalares*:
::  \widehat{M}=M\otimes_R \widehat{R}.
: Xunto coa propiedade anterior, isto implica que o funtor de completación sobre módulos finitamente xerados sobre *R* é exacto: preserva as sucesións exactas curtas. En particular, tomar cocientes de aneis conmuta coa completación, o que significa que para calquera álxebra cociente R / I existe un isomorfismo
:: \widehat{R / I} \cong \widehat R / \widehat I.
* **Teorema de estrutura de Cohen** (caso equicaracterístico). Sexa *R* un anel local noetheriano conmutativo completo con ideal maximal \mathfrak{m} e anel cociente *K* (anel de residuos). Se *R* contén un corpo, entón
:: R\simeq Kx_1,\ldots,x_n/I
: para algún *n* e algún ideal *I* .

## Notas
## Bibliografía 
* 
*
* 
### Outros artigos 
* Anel (álxebra).
* Módulo (álxebra).
* Sucesión de Cauchy