D. H. Lehmer

**Derrick Henry Lehmer** é un matemático estadounidense, especialista en teoría dos números coñecido polas súas probas de primalidade, nado o 23 de febreiro de 1905 en Berkeley (California) onde morreu o 22 de maio de 1991. Tamén expuxo o problema que leva o seu nome (problema de Lehmer ): se *n* ≡ 1 mod φ(*n*), é *n* necesariamente primo?

## Biografía 
O seu pai Derrick Norman Lehmer (1867–1938) creou táboas de números primos e táboas de factorización usando calculadoras mecánicas. El mesmo estudou física na Universidade de California, Berkeley, onde o seu pai era profesor de matemáticas. Como estudante, traballou na implementación de algoritmos de factorización para o seu pai mediante calculadoras de tarxetas perforadas, coa axuda da súa futura esposa, Emma Markovna Trotskaya, que tamén estudaba en Berkeley. En 1927, recibiu a súa licenciatura en física e comezou a traballar nun doutoramento con Leonard Eugene Dickson en Chicago, pero cambiou de supervisor de investigación para Jacob David Tamarkin na Universidade de Brown en Rhode Island, onde se doutorou en 1930.

Logo foi ao Instituto de Tecnoloxía de California cunha bolsa estatal en 1930/31, despois á Universidade de Stanford e ao Instituto de Estudos Avanzados de Princeton (Nova Xersei) durante un ano antes de obter unha cátedra asociada á Universidade de Lehigh. Salvo unha visita a Inglaterra en 1938/39, onde visitou a Godfrey Harold Hardy, John Edensor Littlewood, Harold Davenport, Kurt Mahler, Louis Mordell e Paul Erdős, el e a súa esposa permaneceron en Lehigh ata 1940, cando obtivo un posto na súa Universidade de orixe, Berkeley. Durante os anos da guerra, el e a súa muller traballaron como operadores de ENIAC no campo de probas de Aberdeen do exército dos Estados Unidos: o día para cálculos balísticos, a noite para cálculos de teoría de números. Cando rexeitou o xuramento de lealdade imposto por Joseph McCarthy en Berkeley en 1950, perdeu brevemente o seu traballo, que substituíu por traballar para o National Institute of Standards and Technology. Despois da súa reincorporación, recibiu diversas distincións: é vicepresidente da American Mathematical Society e "gobernador en xeral» da Association for Computing Machinery 1953-1954.

De 1954 a 1957, Lehmer dirixiu o departamento de matemáticas da Universidade de California, Berkeley. En 1958, foi un orador invitado no Congreso Internacional de Matemáticos de Edimburgo *(Discrete variable methods in numerical analysis)*. En 1972, xubilouse. Recibiu un doutoramento honoris causa da Brown University en 1980.

## Investigación 
Lehmer é un pioneiro no uso de ordenadores e métodos numéricos xerais na teoría de números. Algunhas das súas contribucións están listadas a continuación.

### Test de primalidade 
Mellorou o test de primalidade de Lucas de  Édouard Lucas e outros métodos para demostrar a primalidade dos números naturais: é o "Test de primalidade de Lucas-Lehmer para os números de Mersenne», que leva o seu nome.

### Pares de Lehmer 
Tamén foi un dos primeiros en probar computacinal mente a hipótese de Riemann. Ao facelo, descubriu ceros moi próximos na función zeta de Riemann, que agora se chaman *pares de Lehmer*.

### Algoritmo de Euclides 
En 1938, desenvolveu unha versión acelerada do algoritmo de Euclides para enteiros moi grandes. En 1959, mellorou a fórmula do astrónomo Ernst Meissel para o número de números primos \pi(x) menores de x e calcula co seu método o número \pi(10^{10})..

### Expansión cotanxente e constante de Lehmer 
Lehmer estableceu en 1938 que para todo número real positivo , existe unha única secuencia de números enteiros positivos (b_k)_k que satisfán

: b_k \geqslant b_{k-1}^2+b_{k-1}+1

tal que:

:  x= \cot\left(\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^k \arccot(b_k)\right).

Esta serie chámase *expansión cotanxente continua de Lehmer*.

*A constante de Lehmer* 0{,}5926327182... é o número real cuxa expansión continua cotanxente de Lehmer converxe máis lentamente; correspóndese co caso b_0=0 e onde a condición dos enteiros é no caso de igualdade.

### Función tau de Ramanujan 
Lehmer estudou a función tau de Ramanujan que é a función \tau de Srinivasa Ramanujan definida por

: \sum_{n = 1}^{\infty} \tau(n)x^n = x((1-x)(1-x^2)(1-x^3)...)^{24}

e formulou en 1947 *a conxectura de Lehmer* segundo a cal \tau(n) non se anula para ningún número natural n.

### Algoritmo de Lehmer-Schur 
O *algoritmo de Lehmer-Schur* é un método para illar os ceros dun polinomio no plano complexo. Baséase nun criterio para determinar o número de ceros do polinomio nun disco cun centro e raio determinados e nunha xeneralización sistemática da aniñación de intervalos.

### Media de Lehmer 
Un método paramétrico de calcular a media de números non negativos que proporciona algunhas das medias máis comúns en casos particulares chámase media de Lehmer.

### Problema de Lehmer 
*O problema de Lehmer*  é un problema aínda sen resolver que se refire aos ceros dun polinomio. Formúlase do seguinte xeito: para calquera polinomio con coeficientes enteiros, cuxos ceros están fóra do circunferencia unitaria, existe un límite inferior C > 1 onde C é a medida de Mahler?

A medida máis pequena atopada ata o momento refírese a un polinomio de grao 10 e vale 1{,}17628. Este número chámase *número de Lehmer*.

### Problema do totiente 
*O problema do totiente* de Lehmer tamén é unha das preguntas fáciles de formular mais difíciles de solucionar e aínda está aberta: Existe un número natural composto n tal que o  totiente de Euler \varphi verifica \varphi(n) | (n-1)? Tal número enteiro n sería un número pseudo-primo notábel, por outra banda a inexistencia de tal número enteiro daría lugar á validez do criterio \,n \equiv 1 \mod \varphi(n)\, para números primos.

### Matrices de Lehmer 
As matrices simétricas con elementos racionais, chamadas *matrices de Lehmer*, son matrices cuxos inversos son matrices tridiagonais con elementos estritamente negativos nas dúas diagonais non principais. Pódense especificar analiticamente e poden usarse para probar programas de inversión numérica.

### Código de Lehmer 
Unha bixección entre unha permutación e un enteiro positivo nun sistema de números factoriais chámase código de Lehmer.

### "Os cinco de Lehmer" 
Os cinco de Lehmer son os cinco números naturais 276, 552, 564, 660, 966 inferiores a 1000 para os que aínda non está determinado o comportamento asintótico da súa secuencia alícuota (a secuencia da suma iterada de todos os seus divisores propios)  .

### Cadenas de Cunningham 
A procura de cadeas de Cunningham tamén se remonta a Lehmer. Son secuencias de números primos nos que se satisfán elementos consecutivos p_i = 2 \cdot p_{i-1} + 1. A motivación vén das probas de primalidade tipo Lucas, onde para probar se p é primo, debemos factorizar (p-1). Lehmer atopou tres desas cadeas de sete primos onde o primo máis pequeno é menor que 10^7 .

### Dirección de teses 
Lehmer exerceu como director de tese de Tom Apostol, John Brillhart, Ronald Graham, David Singmaster, Harold Stark e Peter Weinberger, entre outros.

## Publicacións adicionais 
* *Guide to Tables in the Theory of Numbers* Washington. 1941, reimpresión de 1961.
*  *Selected papers of D. H. Lehmer*, 1981.
* con John Brillhart, John L. Selfridge, Bryant Tuckerman, S. S. Wagstaff Jr., « Factorizations of b^n ± 1, b = 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12 up to high powers », *American Mathematical Society* 1983, 3 edición, 2002.
* « An extended theory of Lucas’ functions », *Annals of Mathematics*, vol. 31 (1930), p.&nbsp;419–448
* « A machine for combining sets of linear congruences », *Mathematische Annalen*, vol. 109 (1934), p.&nbsp;661–667.
* « The Vanishing of Ramanujan’s Function tau(n) », *Duke Math. J.*, vol. 14 (1947), p.&nbsp;429–433
* « Mechanized mathematics », *Bulletin of the American Mathematical Society*, 1966.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
### Outros artigos 
* Factorización por fracción continua
* Algoritmo de Lehmer-Schur
* Sucesión alicuota
* Código de Lehmer
* Matriz de Lehmer
* Media de Lehmer
* Polinomio de Lehmer
* Test de primalidade de Lucas-Lehmer
* Test de primalidade de Lucas-Lehmer para os números de Mersenne

### Ligazóns externas 
*outras fotos