Matriz simétrica

miniatura| Matriz simétrica 5x5. Os coeficientes iguais represéntanse coa mesma cor.

En álxebra linear e multilinear, unha **matriz simétrica** é unha matriz cadrada que é igual á súa propia transposición, é dicir, tal que *a = a* para todo *i* e *j* entre 1 e *n*, onde *a* son os coeficientes da matriz e *n* é a súa orde.

## Exemplos 
Os coeficientes dunha matriz simétrica son simétricos en relación á diagonal principal (desde a esquina superior esquerda ata a esquina inferior dereita). A seguinte matriz é simétrica:

: \begin{pmatrix}
2 & 4 & 6\\
4 & 0 & 10\\
6 & 10 & 12\end{pmatrix}

Toda matriz diagonal é simétrica.

## Propiedades 
* Unha matriz que representa un operador bilinear é simétrica se e só se o operador é simétrico.
* O conxunto de matrices simétricas de orde *n* con coeficientes nun corpo conmutativo é un subespazo vectorial de dimensión *n*(*n* +1)/2 do espazo vectorial de matrices cadradas de orde *n*, e se a característica do corpo é diferente de 2, un subespazo adicional é o das matrices antisimétricas.

## Matrices simétricas reais 
### Descomposición espectral 
Nun espazo euclidiano, unha matriz que representa un endomorfismo nunha base ortonormal é simétrica se e só se o endomorfismo é autoadxunto. O teorema espectral de dimensións finitas deduce que calquera matriz simétrica con coeficientes reais é diagonalizábel usando unha matriz de paso ortogonal, porque os valores propios dun endomorfismo autoadxunto son reais e os seus subespazos propios son ortogonais.

Numericamente, o proceso de diagonalización aplícase a calquera matriz simétrica A e consiste en facer a súa descomposición na forma

: A = ODO^\mathsf{T},

onde O é unha matriz ortogonal (cuxas columnas son vectores propios de A) e onde D é unha matriz diagonal cuxos coeficientes son precisamente os valores propios de A.

**Nota**: unha matriz simétrica con coeficientes complexos pode non ser diagonalizábel. Por exemplo, a matriz\begin{pmatrix}1 &{\rm i}\\{\rm i}& -1\end{pmatrix}admite 0 como único valor propio; se fose diagonalizábel, sería cero. O análogo complexo das matrices simétricas reais son de feito matrices hermitianas (que son diagonalizábeis).

### Desigualdade de traza de Ky Fan 
Denotamos \mathcal{S}^n o espazo vectorial de matrices reais simétricas de orde *n* e \lambda_i(A)\in\R, i=1,\ldots,n, os n valores propios de A\in\mathcal{S}^n, en orde descendente:
:
\lambda_1(A)\geqslant \lambda_2(A)\geqslant \cdots\geqslant \lambda_n(A).

Presentamos a función
:
\lambda:\mathcal{S}^n\to\R^n:A\mapsto(\lambda_1(A), \ldots, \lambda_n(A))

e, para un vector columna v\in\R^n, temos v^\mathsf{T} o vector fila transposto e \operatorname{Diag}(v) a matriz diagonal cuxo coeficiente índice (i,i) é v_i.
{{Teorema|Desigualdade de traza de Ky Fan|Para todas as A e B\in\mathcal{S}^n, temos
:
\langle A,B\rangle\leqslant\lambda(A)^\mathsf{T}\lambda(B),

onde 〈⋅, ⋅〉denota o produto escalar canónico en M_n(\R), con igualdade se e só se se poden obter as descomposicións espectrais *ordenadas* \lambda(A) e \lambda(B) de A e B pola mesma matriz ortogonal, isto é, se e só se
:
\exists\, V~\mbox{ortogonal}:\quad A=V\;\operatorname{Diag}(\lambda(A))\;V^\mathsf{T}\quad\text{e máis}\quad B =V\;\operatorname{Diag}(\lambda(B))\;V^\mathsf{T}.
}}

* Segundo a definición anterior en termos de endomorfismos autoadxuntos, A e B\in\mathcal{S}^n son diagonalizábeis simultaneamente se e só se entre elas conmutan, e a matriz de paso pódese escoller entón ortogonal. A condición de igualdade na desigualdade de Ky Fan é máis forte, porque require que as matrices diagonais obtidas estean *ordenadas*. Así, A=\operatorname{Diag}(1,2) e B=\operatorname{Diag}(2,1) conmutan mais \langle A, B\rangle=4 difire de \lambda(A)^\mathsf{T}\lambda(B)=5.
* A desigualdade de Ky Fan é un refinamento da desigualdade de Cauchy-Schwarz no subespazo euclidiano \mathcal{S}^n (matrices simétricas) de M_n (\R) (matrices cadradas), no sentido de que a segunda se pode deducir da primeira. De feito, se A=V\,\operatorname{Diag}(\lambda(A))\,V^\mathsf{T} con V ortogonal, temos
::\|\lambda(A)\|_2=\|\operatorname{Diag}(\lambda(A))\|=\|V\,\operatorname{ Diag }(\lambda(A))\,V^\mathsf{T}\|=\|A\|,

:onde \|\cdot\|_2 e \|\cdot\| denotan as normas euclidianas canónicas en \R^n e M_n(\R). Polo tanto, a desigualdade de Ky Fan e a desigualdade de Cauchy-Schwarz en \R^n dan
::\langle A,B \rangle\leqslant\| \lambda(A)\|_2\,\|\lambda(B)\|_2=\|A\|\,\|B\|.
:Deducimos a desigualdade de Cauchy-Schwarz en \mathcal{S}^n ao tempo que temos en conta a que se obtén substituíndo a B anterior por -B.
* Ao aplicar a desigualdade de Ky Fan a matrices diagonais, atopamos unha **desigualdade de Hardy, Littlewood e Pólya**, sinxela de demostrar directamente, segundo a cal o produto escalar euclidiano de dous vectores x e y  increméntase co dos vectores [x] e [y] obtidos dos vectores anteriores ordenando os seus compoñentes por orde descendente:
:\forall\,x,y\in\R^n:\ x^\mathsf{T}y\leqslant[x]^\mathsf{ T}[y].

### Matrices simétricas positivas 
Unha matriz simétrica real *S* de orde *n* chámase:

* positiva se a forma asociada (bilinear simétrica) é positiva, é dicir, se

\forall\,x\in\R^n,\qquad x^\mathsf{T}Sx\ge0~;

* definida positiva se a forma asociada é definida e positiva, é dicir, se

\forall\,x\in\R^n\setminus\{0\},\qquad x^\mathsf{T}Sx> 0.

**Nota**: unha matriz cadrada real que verifica tal desigualdade non é necesariamente simétrica (ver, Matriz de rotación en 2 dimensións).
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
### Outros artigos 
* Teorema espectral.
* Matriz cadrada.
* Matriz antisimétrica.

### Ligazóns externas 
*