Cálculo da raíz cadrada

Neste artigo preséntanse  varios métodos que se poden utilizar para **calcular a** **raíz cadrada** dun número real positivo.

## Cálculo díxito-a-díxito 
miniatura|240x240px|Partes da raíz cadrada.
Na imaxe adxunta podemos ver cinco partes esenciais da raíz cadrada neste método de resolución:

* 1- Radical, é o símbolo que indica que é unha raíz cadrada.
* 2- Radicando, é o número do que se obterá a raíz cadrada.
* 3- Liña da raíz cadrada; aí colocarase o resultado.
* 4- Liñas auxiliares; axudarannos a calcular a raíz cadrada.
* 5- Residuo; é o resto que queda logo de resolver a raíz cadrada.

Os pasos a seguir son estes:
miniatura|150x150px|Paso 1.

* Paso 1: Sepárase o número do radicando (no exemplo, 5836,3690) en grupos de dúas cifras. A separación faise desde o signo de decimal (se o houber) cara á dereita e cara á esquerda. Se na parte decimal (á dereita da coma, é dicir 369) non hai un número par de cifras, é evidente que quedaría unha solta: nese caso, engadiríaselle un cero. Se na parte enteira (á esquerda de coma, é dicir, 5836) quedase un número solto, deixariamolo estar. Na imaxe da dereita podemos ver o número 5836,369 dividido en grupos de dúas cifras; despois do número 9 agregouse un cero (en azul) pois no lado decimal non pode haber un grupo de só unha cifra (no exemplo, esta separación quedaría así: 58/36,36/90)

miniatura|150x150px|Paso 2.

* Paso 2: Búscase un número que multiplicando en por si mesmo (é dicir, ao cadrado) dea como resultado o número que coincida ou que máis se aproxime por debaixo ao primeiro grupo de números da esquerda (no exemplo, 58). O resultado non pode ser maior que 58. Unha vez atopado o número agrégase á parte da raíz. Neste caso o número sería o 7, porque 7×7=49. Outra posibilidade sería 6×6, pero daría 36 (o que quedaría máis afastado de 58) e 8 x 8, pero daría 64 (que excedería a 58).

miniatura|150x150px|Paso 3.

* Paso 3: O número obtido (7) é o primeiro resultado da raíz cadrada. No paso anterior escribiámolo na caixiña da dereita. Agora multiplicámolo por si mesmo. O resultado (49) escríbese debaixo do primeiro grupo de cifras da esquerda (58), e procédese a restalo. O resultado de resta, 58-49, é 9. Unha vez obtido o resultado da resta, báixase o seguinte grupo de dúas cifras (36), co que a seguinte cifra auxiliar é agora 936. Para continuar a extracción da raíz cadrada multiplicamos por 2 o primeiro resultado (7) e escribímolo xusto debaixo deste, na seguinte liña auxiliar (na imaxe, o 14 está escrito xusto debaixo do 7, xa que 7 x 2 é 14).

miniatura|150x150px|Paso 4.

* Paso 4: Neste paso hai que atopar un número *n* que, engadido a 14, e multiplicado por ese mesmo *n*, dea como resultado un número igual ou inferior a 936. Isto é, podería ser 14**1×1**, 14**2×2**, 14**3×3**... e así até 14**9×9**. Moitas veces utilízase o procedemento de tenteo para achar ese número, aínda que tamén podemos dividir as primeiras dúas cifras do residuo (93) entre o número da liña auxiliar (14). Neste caso 93 dividido entre 14 é **6**. De maneira que a operación buscada é 14**6** x **6** = 876 (operación que engadimos na liña auxiliar). A seguinte cifra da raíz cadrada é un 6. Tamén o anotamos na caixiña do radicando.

miniatura|150x150px|Paso 5.

* Paso 5: O procedemento é o mesmo que anteriormente. O resultado da operación anterior (876) colócase debaixo do número procedente de resta anterior (936) e réstanse. Ao resultado da resta (60) engádeselle o seguinte grupo de cifras do radical (neste caso, 36). Se o seguinte grupo está despois da coma decimal agrégase unha coma decimal ao radicando. O novo número obtido é 6036.

miniatura|150x150px|Paso 6.

* Paso 6: Retómase o procedemento do paso 3. A cifra da raíz (76) multiplícase por dous (resultando **1**5**2**). Buscamos un número que engadido a 152 e multiplicado por ese mesmo número nos dea unha cantidade aproximada a 6036. Temos varias posibilidades:  152**1 x 1**, 152**2 x 2**, 152**3** x **3**, etc. Pódese facer por tenteo, ou dividindo,neste caso, as tres primeiras cifras da raíz polas **tres** primeiras cifras da liña auxiliar (nótese que antes eran as dúas primeiras cifras). Daquela dividiremos 603/152 (o número buscado é 3). A operación a realizar é, por tanto, 152**3 x 3**. O resultado (4569) colócase baixo o último resto e procédese a achar a diferenza, que é 1467. Unha vez realizada a resta báixase o seguinte grupo de cifras e continúase o proceso. Obsérvese que o número a dividir entre a liña auxiliar e o residuo vai aumentado.

miniatura|150x150px|Paso 7.

* Paso 7: Continúase o mesmo proceso, a raíz vólvese a multiplicar por dous (ignorando a coma dos decimais: 763 x 2 = 1526). O resultado da multiplicación agrégase á terceira liña auxiliar, vólvense a dividir o primeiros catro números do residuo (1467) entre o resultado da multiplicación (1526, nótese que son o primeiras **catro** cifras, cando antes eran as **tres** primeiras), o que nos dá un resultado de 0,9 (tómase o primeiro número que non sexa cero aínda que sexa decimal, por tanto, a cifra buscada é 9). O nove agrégase ao radicando e na terceira liña auxiliar, e así multiplícase 9 por 15269, o que dá un resultado de 137421, esta cifra réstaselle a 146790 co que obtemos un resultado de 9369.

A raíz cadrada de 5836,369 é 76,39, cun resto de 0,9369. A operación anterior utilizada como exemplo non está completa. Se a continuásemos daría como resultado 76,396132101 (con nove decimais).

Os pasos pódense resumir en ciclos de catro. Só temos que ter en conta que debemos separar o radicando en grupos de dúas cifras e a colocación da coma decimal na raíz:

* 1) Achar unha nova raíz.
* 2) Realizar a resta correspondente.
* 3) Baixar un novo par do radicando.
* 4) Multiplicar raíz actual por dous.

## Identidade exponencial 
As calculadoras de peto tipicamente implementan boas rutinas para calcular a función exponencial e o logaritmo natural; entón calculan a raíz cadrada de *x* utilizando a identidade

: \sqrt{x} = e^{\frac{1}{2}\ln x} o \sqrt{x} = 10^{\frac{1}{2}\log x}

A mesma identidade é usada cando se calculan as raíces cadradas con táboas de logaritmos ou regras de cálculo.

:*

## Algoritmo babilónico 
[miniatura|O algoritmo babilónico aproxima un [rectángulo a cadrado.]]
O algoritmo babilónico céntrase no feito de que cada lado dun cadrado é a raíz cadrada da área. Foi usado durante moitos anos para calcular raíces cadradas a man debido á súa gran eficacia e rapidez. Para calcular unha raíz, debuxe un rectángulo de área igual ao número ao que se lle busca raíz e despois aproxime a base e a altura do rectángulo até formar, ou polo menos aproximar, un cadrado.

O algoritmo pódese enunciar sen o uso de debuxos como segue:

Raíz(x):

# Escolle dous números b e h talles que bh=x 
# Se h\approx b  vai ao paso 6, se non, vai ao paso 3
# Asigne b\leftarrow\frac{h+b}{2} 
# Asigne h\leftarrow\frac{x}{b} 
# Vai ao paso 2
# Escribe:\sqrt x \approx b 

[miniatura|286x286px|[Diagrama de fluxo do algoritmo babilónico.]]
Este algoritmo aproxima a raíz cadrada de calquera número real tanto como se desexe. É claro que non se necesita coñecer o valor de h, posto que depende directamente de x e que a área do rectángulo sempre se aproxima á raíz cadrada de  xsen importar o valor de b, sempre e cando b>0. Desta maneira xorde a función recursiva

: f_0(x)=x\,
: f_n(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{f_{n-1}(x)}+f_{n-1}(x)\right)

de maneira tal que fn é an -ésima aproximación a \sqrt x. Isto implica que

: f_\infty(x)=\sqrt{x}

Posto que algunhas raíces son números irracionais é necesario aclara o significado de "aproximadamente". Como non se pode escribir unha candidade infinita de díxitos, o límite de aproximación fica na cantidade de díxitos que se é quen de escribir. Podemos determinar que o algoritmo termine no momento que a última aproximación sexa a mesma que a anterior (é dicir, xa non se pode aproximar máis).

## Fraccións continuas periódicas 
Os irra*c*ionais cuadráticos (números da forma \frac{a+\sqrt{b}}{c}, onde a, *b* e c son enteiros), e en particular, as raíces cadradas de números enteiros, teñen fraccións continuas periódicas. Pode que non nos interese o valor numérico dunha raíz cadrada, senón a súa expansión como fracción continua. O algoritmo iterativo seguinte pódese utilizar para este propósito (S é calquera número natural que non sexa un cadrado perfecto):

: m_0 = 0\,\!

: d_0 = 1\,\!

: a_0 = \left\lfloor\sqrt{S}\right\rfloor\,\!

: m_{n+1} = d_na_n-m_n\,\!

: d_{n+1} = \frac{S-m_{n+1}^2}{d_n}\,\!

: a_{n+1} = \left\lfloor\frac{\sqrt{S}+m_{n+1}}{d_{n+1}}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{a_0+m_{n+1}}{d_{n+1}}\right\rfloor\!.

Hai que destacar que mn, dn, e *a*n son sempre enteiros. O *a*lgoritmo termina cando nesta terna o resultado novo que obtemos é igual ao anterior. Daquela a expansión repetirase . A secuencia [a0; a1, a2, a3, …] é a expansión da fracción continua:

: \sqrt{S} = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3+\,\cdots}}} 

### Exemplo, raíz cadrada de 114 como unha fracción continua 
Comezamos con m0=0; *d*

Agora de enlaza de novo coa segunda ecuación de arriba.

Por tanto, a fracción continua para a raíz cadrada de 114 é:\sqrt{114} = [10;1,2,10,2,1,20,1,2,10,2,1,20,1,2,10,2,1,20,...].

## Aproximación de Bakhshali 
Este método serve para achar unha aproximación á raíz cadrada dun número (x). Foi descrito nun manuscrito antigo chamado *manuscrito de Bakhshali*. Equivale a dúas iteracións do método babilónico comezando co número n tal que n^2 é o cadrado máis próximo a x.

: \sqrt{x}\approx\frac{n^4 + 6n^2x + x^2}{4n^3 + 4nx}

### Exemplo coa raíz cadrada de 10,5 
Se queremos calcular\sqrt{10,5}  con este método o primeiro que facemos é asignarlle o número cadrado perfecto cuxo cadrado se achegue máis a 10,5. Ese número vai ser 3, xa que ao dar 3^2\,\! como resultado 9 achégase máis a 10,5 que 4^2\,\! que dá 16, co que agora na igualdade substituímos:

: \sqrt{10,5}\approx\frac{3^4 + 6 \times 3^2 \times 10,5 + 10,5^2}{4 \times 3^3 + 4 \times 3 \times 10,5}

: \sqrt{10,5}\approx\frac{81 + 567 + 110,25}{108 + 126}

: \sqrt{10,5}\approx\frac{758,25}{234}\approx 3,240384615

Sendo as cifras 384615 periódicas.

Este método dá un valor bastante aproximado da raíz cadrada. Pódese observar tamén que este método, ao dar o resultado mediante unha fracción, dá un número racional, mentres que a raíz cadrada real dun número é irracional sempre que este non sexa un cadrado perfecto (ou o cociente de dous cadrados perfectos).

## Series de Taylor 
Si *N* é unha aproximación a \sqrt{S}, unha aproximación mellor pode ser atopada usando a serie de Taylor da función da raíz cadrada:

: \sqrt{N^2+d} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}(2n)!d^n}{(1-2n)n!^2 4^nN^{2n-1}} = N + \frac{d}{2N} - \frac{d^2}{8N^3} + \frac{d^3}{16N^5} - \frac{5d^4}{128N^7} + \cdots

Como método iterativo, a orde de converxencia é igual ao número dos termos usados. Con 2 termos, é idéntica ao método babilónico; con 3 termos, cada iteración toma case tantas operacións como a aproximación de Bakhshali, pero converxe máis lentamente. Por tanto, esta non é unha maneira particularmente eficiente da aproximación.

## Véxase tamén 
* Función exponencial
* Raíz cadrada
* CORDIC

## Notas 
## Enlaces externos 
*  
* 
* A geometric view of the square root algorithm (en inglés)
* Origin of Quake3's Fast InvSqrt() (en inglés)
* Origin of Quake3's Fast InvSqrt() – Segunda parte (en inglés)
* Ejemplo de cálculo de una raíz cuadrada en vídeo