Velocidade

[miniatura|Movemento orbital dun [satélite artificial arredor da Terra. O vector tanxente á órbita é a **velocidade** do satélite.]]
[miniatura|upright|En virtude do carácter vectorial da velocidade, cando se produce un cambio na dirección do movemento, a velocidade cambia, mesmo se a celeridade permanece constante. Na imaxe, cando os [Automóbil de carreiras|coches de carreira toman a curva, a súa velocidade cambia de dirección.]]
A **velocidade** é unha magnitude física de carácter vectorial que expresa a distancia percorrida por un obxecto na unidade de tempo. Represéntase por \mathbf {v}\, ou \vec {v}\,. Na análise dimensional as súas dimensións son L/T. A súa unidade no Sistema Internacional de Unidades é o metro por segundo (símbolo, m/s). Tamén é habitual empregar como unidade o km/h (quilómetro/hora).

A velocidade é un vector, é dicir, ten módulo (magnitude), dirección e sentido. A magnitude da velocidade coñécese como celeridade ou rapidez.

En matemática vectorial pódese entender que a velocidade inclúe á dirección do movemento, de modo que dous obxectos movéndose en direccións opostas pero igual velocidade poden ter un vector de velocidade distinto. Ás veces, e nestes contextos, para distinguir esta ambigüidade propóñense os termos rapidez ou celeridade para referirse á magnitude, ou valor absoluto do vector velocidade. Por exemplo, "5 metros por segundo" é unha velocidade, mentres que "5 metros por segundo ao oeste" tamén é unha velocidade, vectorial. Se ao pasar o tempo a velocidade mídese como "5 metros por segundo ao norte", entón o obxecto ten unha velocidade cambiante, pero unha rapidez constante, e considérase que está a sufrir unha *aceleración*.

## Historia 
Aristóteles estudou os fenómenos físicos sen chegar a conceptualizar unha noción de velocidade. En efecto, as súas explicacións (que posteriormente se demostrarían incorrectas) só describían os fenómenos inherentes ao movemento sen usar as matemáticas como ferramenta.

Foi Galileo Galilei quen, estudando o movemento dos corpos nun plano inclinado, formulou o concepto de velocidade.  Para iso, fixou un patrón de unidade de tempo, por exemplo 1 segundo, e mediu a distancia percorrida por un corpo en cada unidade de tempo. Desta maneira, Galileo desenvolveu o concepto da velocidade como a distancia percorrida por unidade de tempo. A pesar do gran avance que representou a introdución desta nova noción, os seus alcances limitábanse aos alcances mesmos das matemáticas. Por exemplo, era relativamente sinxelo calcular a velocidade dun móbil que se desprazase a velocidade constante, debido a que en cada unidade de tempo percorre distancias iguais. Tamén o era calcular a velocidade dun móbil con aceleración constante, como é o caso un corpo en caída libre. Con todo, cando a velocidade do obxecto variaba de forma máis complicada, Galileo non dispoñía de ferramentas matemáticas que lle permitisen determinar  a velocidade instantánea dun corpo. 

Foi recentemente no século XVI, co desenvolvemento do cálculo por parte de Isaac Newton e Gottfried Leibniz, cando se puido solucionar a cuestión de obter a velocidade instantánea dun corpo. Esta está determinada pola derivada do vector de posición do obxecto respecto do tempo.

As aplicacións da velocidade, co uso de cálculo, é unha ferramenta fundamental en física e enxeñería, estendéndose en practicamente todo fenómeno que implique cambios de posición respecto do tempo, isto é, que implique movemento.

Un termo relacionado coa velocidade é o de celeridade. Na linguaxe cotiá emprégase frecuentemente o termo velocidade para referirse á celeridade. En física faise unha distinción entre ambas, xa que a celeridade é unha magnitude escalar que representa o módulo da velocidade. De maneira moi sinxela, se se di que unha partícula móvese cunha velocidade de 10&thinsp;m/s, está a facerse referencia á súa celeridade; pola contra, se ademais especifícase a dirección en que se move, está a facerse referencia á súa velocidade.
## Nocións xerais 
Inicialmente, a noción de velocidade baseouse na noción de velocidade media nun intervalo. Co chegada do cálculo diferencial introduciuse a noción moderna. Dividir unha distancia entre un tempo parecía tan falso como a suma destes dous valores podería parecer hoxe. Así, para saber se un corpo ía máis rápido ca outro, Galileo (1564-1642) comparou a relación das distancias percorridas por estes corpos coa relación dos tempos correspondentes. Por iso aplicou a seguinte equivalencia:

: \frac{s_1}{s_2}\le \frac{t_1}{t_2} \Leftrightarrow \frac{s_1}{t_1}\le\frac{s_2}{t_2} 

A noción de velocidade instantánea foi definida formalmente por primeira vez por Pierre Varignon (1654-1722) o 5 de xullo de 1698, como a relación dunha lonxitude infinitamente pequena dx respecto a un tempo infinitamente pequeno d*t* emprendido no recoñecemento desta lonxitude. Por iso, serve o formalismo do círculo diferencial que foi exposto no punto, catorce anos antes de Leibniz. (1646-1716).
### Velocidade constante vs. aceleración
Para ter unha *velocidade constante*, un obxecto debe ter unha velocidade constante nunha dirección constante. A dirección constante obriga ao obxecto para moverse nunha traxectoria recta, polo que unha velocidade constante significa un movemento en liña recta a unha velocidade constante.

Por exemplo, un coche que se move a unha velocidade constante de 20 quilómetros por hora nunha traxectoria circular ten unha velocidade angular constante, pero non ten unha velocidade constante porque a súa dirección cambia. Polo tanto, considérase que o coche está a sufrir unha aceleración.

### Diferenza entre velocidade e celeridade 
miniatura|upright|Cantidades cinemáticas dunha partícula clásica: masa *m*, posición **r**, velocidade **v**, aceleración **a**
A celeridade (ou rapidez) é o módulo do vector de velocidade, denota unicamente a celeridade coa que se move un obxecto.

## Ecuación do movemento
### Velocidade media
A velocidade defínese como a taxa de cambio na posición dun obxecto con respecto ao tempo, que tamén pode denominarse *velocidade instantánea* para salientar a distinción coa velocidade media.
A *velocidade media* é a media da magnitude da velocidade final e inicial concluíndo á aceleración constante:
:v_{prom} = \frac{v_f+v_0}{2}
Nalgunhas aplicacións pode ser necesaria a **velocidade media** dun obxecto, é dicir, a velocidade constante que proporcionaría o mesmo desprazamento resultante dunha velocidade variable no mesmo intervalo de tempo, , durante algún período de tempo . Calcúlase dividindo o vector desprazamento (Δ**r**) entre o escalar tempo (Δt) empregado en efectualo:

:\boldsymbol{\bar{v}} = \frac{\Delta\boldsymbol{x}}{\Delta t} .

Segundo esta definición, a velocidade media é unha magnitude vectorial, xa que é o resultado de dividir un vector entre un escalar.

Por outra banda, se se considera a distancia percorrida sobre a traxectoria durante un intervalo de tempo dado, tense a velocidade media sobre a traxectoria, que é unha magnitude escalar. A expresión anterior escríbese da forma:
{{ecuación|\bar{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t}}}

A velocidade media é sempre menor ou igual que a velocidade media dun obxecto. Isto pódese ver ao darse conta de que mentres que a distancia é sempre estritamente crecente, o desprazamento pode aumentar ou diminuír en magnitude, así como cambiar de dirección.

En termos dunha gráfica desprazamento-tempo (*x* vs. *t*), a velocidade instantánea (ou, simplemente, velocidade) pode considerarse como a pendente da recta tanxente á curva en calquera punto, e a velocidade media como a pendente da recta secante entre dous puntos con coordenadas *t* iguais aos límites do período de tempo para a velocidade media.

O módulo do vector velocidade media, en xeral, é diferente ao valor da velocidade media sobre a traxectoria. Só serán iguais se a traxectoria é rectilínea e se o móbil só avanza nun ou noutro sentido, sen retroceder.

A velocidade media é a mesma que a velocidade media ao longo do tempo, é dicir, a súa media ponderada no tempo, que se pode calcular como a integral temporal da velocidade:

:\boldsymbol{\bar{v}} = {1 \over t_1 - t_0 } \int_{t_0}^{t_1} \boldsymbol{v}(t) \ dt ,

onde podemos identificar

: \Delta \boldsymbol{x} = \int_{t_0}^{t_1} \boldsymbol{v}(t) \ dt 
e
: \Delta t = t_1 - t_0 .
#### Casos especiais
Cando unha partícula móvese con velocidades uniformes diferentes
v1, v2, v3..., vn en diferentes intervalos de tempo t1, t2, t3..., tn respectivamente, a velocidade media durante o tempo total da viaxe indícase como
:\boldsymbol{\bar{v}}={v_1t_1+v_2t_2+v_3t_3+\dots+v_nt_n\over t_1+t_2+t_3+\dots+t_n} 
If t1=t2=t3=...=t, entón a velocidade media vén dada pola media aritmética das velocidades
:\boldsymbol{\bar{v}}={v_1+v_2+v_3+\dots+v_n\over n}
*Cando unha partícula se despraza a diferentes distancias s1, s2, s3,..., sn con velocidades  v1, v2, v3,..., vn respectivamente, entón a velocidade media da partícula sobre a distancia total dáse como
:\boldsymbol{\bar{v}}={s_1+s_2+s_3+\dots+s_n\over t_1+t_2+t_3+\dots+t_n}={{s_1+s_2+s_3+\dots+s_n}\over {{s_1\over v_1}+{s_2\over v_2}+{s_3\over v_3}+\dots+{s_n\over v_n}}}
If s1=s2=s3=...=s, entón a velocidade media vén dada pola media harmónica das velocidades
:\boldsymbol{\bar{v}}=n\left({1\over v_1}+{1\over v_2}+{1\over v_3}+\dots+{1\over v_n}\right)^{-1}

### Velocidade instantánea 
[miniatura|upright|O gráfico mostra a variación da velocidade v ao longo do tempo t dun obxecto móbil que non cambia de dirección. En cada punto da gráfica v ( t ), o módulo da aceleración vén dado pola pendente da [tanxente na curva que pasa por cada punto: a (1), a (2), a (3).]]
A **velocidade instantánea** é un vector tanxente á traxectoria e correspóndese coa derivada do vector posición con respecto ao tempo. Permite coñecer a velocidade dun móbil que se despraza sobre unha traxectoria cando o intervalo de tempo é infinitamente pequeno, sendo entón o espazo percorrido tamén moi pequeno, representando un punto da traxectoria:

Se consideramos  como a velocidade e  como o vector de desprazamento (cambio de posición), entón podemos expresar a velocidade (instantánea) dunha partícula ou obxecto, en calquera momento particular , como a derivada da posición con respecto ao tempo:
{{ecuación|\mathbf v= \lim_{\Delta t \to 0} \frac {\Delta \mathbf r}{\Delta t} = \frac {d{\mathbf r}}{dt}}}

A partir desta ecuación derivada, no caso unidimensional pode verse que a área baixa unha gráfica de velocidade vs. tempo ( vs. ) é o desprazamento, . En termos de cálculo, a integral da función de velocidade  é a función de desprazamento . Na figura, isto corresponde ao área amarela baixo a curva etiquetada  ( é unha notación alternativa para desprazamento).
:\boldsymbol{x} = \int \boldsymbol{v} \ dt .

Aínda que o concepto de velocidade instantánea poida parecer contraintuitivo ao principio, pódese considerar como a velocidade á que o obxecto continuaría desprazándose se deixase de acelerar nese momento.
### Diferenza entre velocidade e aceleración 
miniatura|upright|Magnitudes cinemáticas dunha partícula clásica: masa *m*, posición **r**, velocidade **v**, aceleración **a**.
Aínda que os termos "velocidade" e "aceleración" utilízanse a miúdo de forma intercambiable na linguaxe coloquial para referirse á rapidez coa que se move un obxecto, en termos científicos son diferentes. A velocidade, a magnitude escalar dun vector de velocidade, denota unicamente a rapidez coa que se move un obxecto, mentres que a aceleración indica tanto a velocidade como a dirección dun obxecto.

Para ter unha "velocidade constante", un obxecto debe ter unha velocidade constante nunha dirección constante. Unha dirección constante restrinxe o obxecto a moverse nunha traxectoria recta, polo tanto, unha velocidade constante significa movemento en liña recta a unha velocidade constante.

En forma vectorial, a velocidade é a derivada do vector posición respecto ao tempo:
{{ecuación|\mathbf v= \frac {ds}{dt} \ \mathbf u_t = \frac {d{\mathbf r}}{dt}}}
onde \mathbf u_t é un vector (vector de módulo unidade) de dirección tanxente á traxectoria do corpo en cuestión e \mathbf r é o vector posición, xa que no límite os diferenciais de espazo percorrido e posición coinciden.

Como a derivada da posición con respecto ao tempo dá o cambio de posición (en metros) dividido polo cambio de tempo (en segundos), a velocidade mídese en metros por segundo (m/s). Aínda que o concepto de velocidade instantánea poida parecer contraditorio a primeira vista, pode considerarse como a velocidade á que o obxecto continuaría desprazándose se deixase de acelerar nese momento.
; En coordenades cartesianes

:\begin{align}
 \frac{\overset{\to }{\mathop{r_{B}}}\,-\overset{\to }{\mathop{r_{A}}}\,}{t_{B}-t_{A}}&=\frac{\left( x_{B},y_{B},z_{B} \right)-\left( x_{A},y_{A},z_{A} \right)}{t_{B}-t_{A}} \\ 
 & =\frac{\left( \left[ x_{B}-x_{A} \right],\left[ y_{B}-y_{A} \right],\left[ z_{B}-z_{A} \right] \right)}{t_{B}-t_{A}} \\ 
 & =\left( \frac{x_{B}-x_{A}}{t_{B}-t_{A}},\frac{y_{B}-y_{A}}{t_{B}-t_{A}},\frac{z_{B}-z_{A}}{t_{B}-t_{A}} \right) \\ 
 & =\left( v_{x},v_{y},v_{z} \right) \\ 
\end{align}

onde

:v_{x}=\frac{x_{B}-x_{A}}{t_{B}-t_{A}},\quad v_{y}=\frac{y_{B}-y_{A}}{t_{B}-t_{A}},\quad v_{z}=\frac{z_{B}-z_{A}}{t_{B}-t_{A}}

### Relación coa aceleración
Aínda que a velocidade defínese como a taxa de cambio de posición, a miúdo é común comezar cunha expresión para a aceleración dun obxecto. Como se ve polas tres liñas tanxentes verdes na figura, a aceleración instantánea dun obxecto nun punto no tempo é a pendente da liña tanxente á curva dunha gráfica  nese punto. Noutras palabras, a aceleración defínese como a derivada da velocidade con respecto ao tempo:

: \boldsymbol{a} = \frac{d\boldsymbol{v}}{dt} .

A partir de aí, podemos obter unha expresión para a velocidade como a área baixa unha  gráfica de aceleración fronte a tempo. Como no caso anterior, isto faise utilizando o concepto de integral:

:\boldsymbol{v} = \int \boldsymbol{a} \ dt .
#### Aceleración constante
No caso especial de aceleración constante, a velocidade pódese estudar usando as ecuacións do movemento. Considerando que **a** é igual a algún vector arbitrario constante, é insignificante mostrar que
:\boldsymbol{v} = \boldsymbol{u} + \boldsymbol{a}t
con  como a velocidade no tempo  e  como a velocidade no momento . Ao combinar esta ecuación coa ecuación do movemento , é posible relacionar o desprazamento e a velocidade media mediante
:\boldsymbol{x} = \frac{(\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v})}{2} t = \boldsymbol{\bar{v}}t.
Tamén é posible derivar unha expresión para a velocidade independente do tempo, coñecida como ecuación de Torricelli, da seguinte maneira:
:v^{2} = \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v} = (\boldsymbol{u}+\boldsymbol{a}t)\cdot(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{a}t) = u^{2} + 2t(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{u})+a^{2}t^{2}
:(2\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{x} = (2\boldsymbol{a})\cdot(\boldsymbol{u}t + \tfrac{1}{2} \boldsymbol{a}t^{2}) = 2t (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{u}) + a^{2}t^{2} = v^{2} - u^{2}
:\therefore v^{2} = u^{2} + 2(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{x})
onde  etc.

As ecuacións anteriores son válidas tanto para a mecánica newtoniana como para a relatividade especial. No que difiren a mecánica newtoniana e a relatividade especial é en como diferentes observadores describirían a mesma situación. En particular, na mecánica newtoniana, todos os observadores están de acordo no valor de t e as regras de transformación para a posición crean unha situación na que todos os observadores non aceleradores describirían a aceleración dun obxecto cos mesmos valores. Ningunha das dúas cousas é certa na relatividade especial. Noutras palabras, só se pode calcular a velocidade relativa.

### Cantidades que dependen da velocidade
A enerxía cinética dun obxecto en movemento depende da súa velocidade e vén dada pola ecuación
:E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2}mv^{2}
ignorando a relatividade especial, onde *E*k é a enerxía cinética e *m* é a masa. A enerxía cinética é unha magnitude escalar xa que depende do cadrado da velocidade, no entanto, unha cantidade relacionada, momento, é un vector e está definida por
:\boldsymbol{p}=m\boldsymbol{v}
Na relatividade especial, o factor de Lorentz adimensional aparece con frecuencia, e vén dado por
:\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}
onde γ é o factor de Lorentz e *c* é a velocidade da luz.

A velocidade de escape é a velocidade mínima que necesita un obxecto balístico para escapar dun corpo masivo como a Terra. Representa a enerxía cinética que, sumada á enerxía potencial gravitatoria do obxecto (que sempre é negativa), é igual a cero. A fórmula xeral para a velocidade de escape dun obxecto a unha distancia *r* do centro dun planeta con masa *M* é
:v_{\text{e}} = \sqrt{\frac{2GM}{r}} = \sqrt{2gr},
onde *G* é a constante gravitatoria e *g* é a aceleración gravitatoria. A velocidade de escape desde a superficie da Terra é duns 11&nbsp;200&nbsp;m/s, e é independente da dirección do obxecto. Isto fai que "velocidade de escape" sexa en certo xeito un termo equivocado, xa que o termo máis correcto sería "velocidade de celeridade": calquera obxecto que alcance unha velocidade desa magnitude, independentemente da atmosfera, abandonará as proximidades do corpo base sempre que non se cruce con algo na súa traxectoria.

## Velocidade relativa
A **velocidade relativa** é unha medida da velocidade entre dous obxectos determinada nun único sistema de coordenadas. A velocidade relativa é fundamental tanto na física clásica como na moderna, xa que moitos sistemas físicos tratan co movemento relativo de dúas ou máis partículas. Na mecánica newtoniana, a velocidade relativa é independente do sistema de referencia inercial elixido. Este xa non é o caso coa relatividade especial na que as velocidades dependen da elección do sistema de referencia.

Se un obxecto A móvese con velocidade vector ***v*** e un obxecto B con velocidade vectorial ***w***, entón a velocidade do obxecto A *relativa ao* obxecto B defínese como a diferenza dos dous vectores de velocidade:
:\boldsymbol{v}_{A\text{ relativo a }B} = \boldsymbol{v} - \boldsymbol{w}
Do mesmo xeito, a velocidade relativa do obxecto B que se move coa velocidade ***w***, con respecto ao obxecto A que se move coa velocidade ***v*** é:
:\boldsymbol{v}_{B\text{ relativo a }A} = \boldsymbol{w} - \boldsymbol{v}
Normalmente, o marco inercial elixido é aquel en o que o último dos dous obxectos mencionados está en repouso.
### Velocidades escalares
No caso unidimensional, as velocidades son escalares sendo as ecuacións:
: v_\text{rel} = v - (-w), se os dous obxectos se moven en direccións opostas, ou:
: v_\text{rel} = v -(+w), se os dous obxectos se moven na mesma dirección.
## Coordenadas polares
[right|miniatura|upright|Representación dos compoñentes radial e tanxencial da velocidade en diferentes momentos do movemento lineal con velocidade constante do obxecto ao redor dun observador O (corresponde, por exemplo, ao paso dun coche por unha rúa recta ao redor dun peón parado na beirarrúa). A compoñente radial pode observarse debido ao [efecto Doppler, a compoñente tanxencial provoca cambios visibles da posición do obxecto.]]
Nas coordenadas polares, unha velocidade bidimensional descríbese mediante unha velocidade radial, definida como a compoñente da velocidade afastándose ou achegándose á orixe (tamén coñecida como *velocidade feita boa*), e unha velocidade angular, que é a taxa de rotación ao redor da orixe (con cantidades positivas representando rotación en sentido contrario ás agullas do reloxo e cantidades negativas representando rotación en sentido das agullas do reloxo, nun sistema de coordenadas destro).

As velocidades radial e angular poden derivarse dos vectores cartesianos de velocidade e desprazamento descompoñendo o vector velocidade en compoñentes radial e transversal. A velocidade transversal é a compoñente da velocidade ao longo dun círculo centrado na orixe.

:\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_T+\boldsymbol{v}_R
onde
*\boldsymbol{v}_T é a velocidade transversal
*\boldsymbol{v}_R é a velocidade radial.
A *magnitude da velocidade radial* é o produto escalar do vector velocidade e o vector unitario na dirección do desprazamento.
:v_R=\frac{\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{r}}{\left|\boldsymbol{r}\right|}
onde \boldsymbol{r} é o desprazamento.

A *magnitude da velocidade transversal* é a do produto vectorial do vector unitario na dirección do desprazamento e o vector velocidade. Tamén é o produto da velocidade angular \omega e a magnitude do desprazamento.

:v_T=\frac=\omega|\boldsymbol{r}|
tal que
:\omega=\frac

## Notas
## Véxase tamén
### Bibliografía 
* Robert Resnick e Jearl Walker, *Fundamentals of Physics*, Wiley; 7 Sub edition (16 e xuño de 2004). .
* 
* 
* 
* 

### Outros artigos 
*Velocidade de fase
### Ligazóns externas 
* Velocity and Acceleration
* Introduction to Mechanisms (Universidade Carnegie Mellon)
* Rapidesa i Velocitat