Elemento enteiro

Na álxebra conmutativa, un elemento *b* dun anel conmutativo *B* dise que é **enteiro sobre** un subanel *A* de *B* se *b* é unha raíz dalgún polinomio mónico sobre *A.* 

Se *A*, *B* son corpos, entón as nocións de "enteiro sobre" e de "extensión de enteiros" son precisamente "alxébrico sobre" e "extensións alxébricas" na teoría de corpos (xa que a raíz de calquera polinomio é a raíz dun polinomio mónico).

O caso de maior interese na teoría de números é o dos números complexos enteiros sobre **Z** (por exemplo, \sqrt{2} ou 1+i); neste contexto, os elementos enteiros adoitan chamarse enteiros alxébricos. Os números enteiros alxébricos nunha extensión de corpo finita *k* dos racionais **Q** forman un subanel de *k*, chamado anel de enteiros de *k*, un obxecto central de estudo na teoría alxébrica de números.

Neste artigo, o termo *anel* entenderase como *anel conmutativo* cunha identidade multiplicativa.

## Definición 
Sexa B un anel e sexa A \subset B  un subanel de B. Un elemento b de B dise que é **enteiro sobre** A se para algúns n \geq 1, existe a_0,\ a_1, \ \dots,\ a_{n-1} en A tal que b^n + a_{n-1} b^{n-1} + \cdots + a_1 b + a_0 = 0.

O conxunto de elementos de B que son enteiros sobre  A chámase **peche integral (**ou **pechamento integral)** de A en B. O pechamento integral de calquera subanel A en B é, en si, un subanel de B e contén A. Se todo elemento de B é enteiro sobre A, entón dicimos que B é **enteiro sobre** A, ou equivalentemente B é unha **extensión enteira** de A.

## Exemplos 
### Peche integral na teoría alxébrica de números 
Hai moitos exemplos de peche integral que se poden atopar na teoría de números alxébricos xa que é fundamental para definir o anel de enteiros para unha extensión de corpo alxébrico K/\mathbb{Q} (ou L/\mathbb{Q}_p).

#### Peche integral de números enteiros en racionais 
Os enteiros son os únicos elementos de **Q** que son enteiros sobre **Z**. Noutras palabras, **Z** é o peche integral de **Z** en **Q.**

#### Extensións cadráticas 
Os enteiros de Gauss son os números complexos da forma a + b \sqrt{-1},\, a, b \in \mathbf{Z}, e son enteiros sobre **Z**. \mathbf{Z}[\sqrt{-1}] é entón o peche integral de **Z** in \mathbf{Q}(\sqrt{-1}) . Normalmente denótase este anel \mathcal{O}_{\mathbb{Q}[i]} .

O peche integral de **Z** in \mathbf{Q}(\sqrt{5}) é o anel

: \mathcal{O}_{\mathbb{Q}[\sqrt{5}]} = \mathbb{Z}\!\left[ \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right].

Este exemplo e o anterior son exemplos de enteiros cadráticos. O peche integral dunha extensión cadrática \mathbb{Q}(\sqrt{d}) pódese atopar construíndo o polinomio mínimo dun elemento arbitrario a + b \sqrt{d} e atopar o criterio teórico de números para que o polinomio teña coeficientes enteiros. Esta análise pódese atopar no artigo de extensións cadráticas.

## Pechamento integral 
Sexan *A* ⊂ *B* aneis e *A*' o peche integral de *A* en *B*. (Ver arriba para a definición.)

Os peches integrais compórtanse ben baixo varias construcións. En concreto, para un subconxunto *S* de *A* pechado multiplicativamente, a localización *S* −1 *A*' é o peche integral de *S* −1 *A* en *S* −1 *B*, e A'[t] é o peche integral de A[t] en B[t].  Se A_i son subaneis de aneis B_i, 1 \le i \le n, entón o peche integral de \prod A_i en \prod B_i é \prod {A_i}' onde {A_i}' son os peches integrais de A_i en B_i. 

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 

### Outros artigos 
* Enteiro alxébrico
* Extensión dun corpo
* Anel (matemáticas)
* Anel polinómico