Espazo vectorial

Un dos conceptos básicos en álxebra linear é o de **espazo vectorial** ou **espazo linear**.

A noción común de vectores como obxectos con tamaño, dirección e sentido, xuntamente coas operacións de adición e multiplicación por números reais forma a idea básica dun espazo vectorial. Deste punto de partida entón, para definirmos un espazo vectorial, precisamos dun conxunto de elementos e dúas operacións definidas sobre os elementos deste conxunto, adición e multiplicación por números reais. A multiplicación por reais pode ser trocada aínda por algo máis xeral como se mostra a continuación.

Non é necesario que os vectores teñan interpretación xeométrica, senón poden ser calquera obxecto que satisfaga os axiomas de baixo. Os Polinomios de grao n forman un espazo vectorial, por exemplo, así como grupos de matrices NxM e o espazo de todas as funcións dun conxunto noutro (con algunhas condicións adicionais). 
 
## Definición 
Un espazo vectorial é unha entidade formada polos seguintes elementos:

# Un *corpo* F, é dicir, un conxunto dotado de dúas operacións internas con propiedades distributivas, elemento inverso etc. na cal os seus elementos farán o papel dos escalares. Os números reais son un exemplo de *corpo*.
# Un conxunto V dotado dunha operación binaria (representada aquí polo sinal +) de V \times V \rightarrow V. Os elementos de V chámanse vectores.
# Unha operación **.** de F \times V \rightarrow V.

As seguintes regras deben valer para que os elementos mencionados constitúan un espazo vectorial:

# (**u**+**v**)+**w**=**u**+(**v**+**w**) \forall **u**,**v**,**w** en V
# **u**+**v** = **v**+**u** \forall **u**,**v** en V
# Hai un elemento O de V, tal que **u**+O=**u** \forall **u** en V
# Para todo elemento **v** de V hai un elemento **u** tal que **v**+**u**=O
# **a**.(**b**.**u**)=(**a**.**b**).**u** para a,b en F e **u** en V
# Se 1 é a unidade de F, 1.**u**=**u** para **u** en V
# a.(**u**+**v**)= a.**u**+a.**v** para a en F **u**,**v** en V
# (a+b).**u**= a.**u**+b.**u** para a,b en F e **u** en V

As definicións de 1 a 4 mostran que, en canto á operación de adición, un espazo vectorial é un grupo abeliano.

O concepto de espazo vectorial (e os vectores como os seus elementos) é enteiramente abstracto, como os conceptos de grupos, aneis, corpos etc. Para determinar se un conxunto V é un espazo vectorial, temos simplemente que especificar o conxunto, o corpo F, e definir adición e multiplicación por escalar en V. Entón, se V satisfixese as condicións mencionadas, será un espazo vectorial sobre o corpo F.

### Terminoloxía 
* Un espazo vectorial sobre \mathbb{R}, o conxuntos dos números reais, chámase **espazo vectorial real**.
* Un espazo vectorial sobre \mathbb{C}, o conxuntos dos números complexos, chámase **espazo vectorial complexo**.
* Un espazo vectorial cun concepto definido de lonxitude, isto é unha norma definida, chámase **espazo vectorial normado**.

## Conxunto de xeradores e bases 
Un subconxunto *S* dun *F*-espazo vectorial *V* dise un ***conxunto de xeradores*** de *V* se todo vector de *V* pode expresarse como combinación lineal finita dos vectores de *S*, isto é,  \forall v \in V, \exists \lambda_1, ..., \lambda_n \in F, v_1, ...v_n \in V  de xeito que  v = \lambda_1 v_1 + ... + \lambda_n v_n 

Se alén disto S fose un conxunto linearmente independente, entón diremos que S é unha **base** para o espazo vectorial V. Se un espazo vectorial posúe un conxunto finito de xeradores, entón tódalas bases do mesmo teñen o mesmo número de elementos. A este número coñéceselle como dimensión.

## Exemplos 
Son exemplos de espazo vectorial (sobre os números reais):

O propio corpo dos números reais.

O espazo euclidiano  \mathbb{R}^n  de calquera dimensión

O conxunto das matrices de tamaño *m*x*n* (onde m e n son enteiros arbitrarios), coas operacións suma e produto por escalar.

O conxunto de polinomios de grao menor ou igual que *n* (onde *n* é un número enteiro arbitrario)

O corpo complexo  \mathbb{C} 

O conxunto de funcións reais de variable real.

O conxunto de funcións reais de variable real continuas.

## Véxase tamén
Álxebra linear

Grupo abeliano