Matriz adxunta

: *Na terminoloxía matemática moderna, o nome de matriz adxunta é usado para a matriz transposta conxugada.*

Dada unha matriz cadrada A, a súa **matriz adxunta** é a trasposta da **matriz cofactor** cof(A). É o resultado de substituír cada termo *a*ij de A polo cofactor *a*ji de A. 

O termo **matriz adxunta** adj(A) adoita crear confusión, xa que en moitos tratados clásicos de álxebra linear correspóndese coa *matriz cofactor transposta*,   porén, noutros textos, correspóndese coa *matriz cofactor*, xa que chaman do mesmo xeito adxunto ao *cofactor*.   A maiores, o símbolo adj( ) (do inglés adjugate) tamén se usa indistintamente con cof( ) para o cálculo nos elementos dunha matriz, provocando así unha maior confusión cada vez.

O principal interese da matriz adxunta é que permite calcular a inversa dunha matriz, xa que se cumpre a relación:{{Ecuación|
   \mathbf{A}^{-1} =
   \frac{1}{\det \mathbf{A}} \;
   \mbox{adj}(\mathbf{A})
||left}}onde adj(A) corresponde á matriz cofactor transposta, é dicir,

: \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \operatorname{cof}(\mathbf{A})^T= \mathbf{C}^T \,.

No entanto, para matrices de grandes dimensións, este tipo de cálculo ten máis custo, en termos de operacións, que outros métodos como o método de eliminación gaussiana.

## Definición e fórmulas de cálculo 
Dada unha matriz \scriptstyle \mathbf{A} a súa matriz adxunta é a única matriz \scriptstyle \mathbf{B} tal que: {{Ecuación|
   \mathbf{A} \mathbf{B}^T=
   \mathbf{B}^T \mathbf{A} =
   (\det \mathbf{A}) \mathbf{I}
||left}}Dados os compoñentes explícitos da matriz: (a_{ij}) = \mathbf{A} \in M_{n\times n} para cada *i* e *j* defínese a matriz \tilde{\mathbf{A}}(i,j) como a matriz de orde \scriptstyle (n-1) obtida de \mathbf{A} eliminando a fila *i* e a columna *j*. E defínese a cantidade:{{Ecuación|
   d_{ij} =
   (-1)^{i+j} \det \tilde{\mathbf{A}}(i,j)
||left}}E resulta que estas son precisamente as compoñentes da matriz de adxuntos (ou cofactores), é dicir, \mbox{cof}(\mathbf{A}) = (d_{ij})\,

### Matrices 2 x 2 
Dada unha matriz 2 x 2:{{Ecuación|
   \mathbf{A} =
   \begin{pmatrix}
      A_{11} & A_{12} \\
      A_{21} & A_{22}
   \end{pmatrix}
||left}}A súa matriz adxunta vén dada por:{{Ecuación|
   \mbox{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^T =
   \begin{pmatrix}
       A_{22} & -A_{21} \\
      -A_{12} & A_{11}
   \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix}
       A_{22} & -A_{12} \\
      -A_{21} & A_{11}
   \end{pmatrix}
||left}}onde **C** é a matriz cofactor.

### Matrices 3 x 3 
{{Ecuación|
   \mathbf{A} =
   \begin{pmatrix}
      A_{11} & A_{12} & A_{13} \\
      A_{21} & A_{22} & A_{23} \\
      A_{31} & A_{32} & A_{33}
   \end{pmatrix}
||left}}A súa matriz de cofactores vén dada por:{{Ecuación|
   \mbox{cof}(\mathbf{A}) =
   \begin{pmatrix} 
      +
      \left |
         \begin{matrix} A_{22} & A_{23} \\
             A_{32} & A_{33} 
         \end{matrix}
      \right | &
      -
      \left |
         \begin{matrix}
            A_{21} & A_{23} \\
            A_{31} & A_{33}
         \end{matrix}
      \right | &
      +
      \left |
         \begin{matrix}
            A_{21} & A_{22} \\
            A_{31} & A_{32}
         \end{matrix}
      \right | \\
       & & \\
      -
      \left |
         \begin{matrix}
            A_{12} & A_{13} \\
            A_{32} & A_{33}
         \end{matrix}
      \right | &
      +
      \left |
         \begin{matrix}
            A_{11} & A_{13} \\
            A_{31} & A_{33}
         \end{matrix}
      \right | &
      -
      \left |
         \begin{matrix}
            A_{11} & A_{12} \\
            A_{31} & A_{32}
         \end{matrix}
      \right| \\
      & & \\
      +
      \left |
         \begin{matrix}
            A_{12} & A_{13} \\
            A_{22} & A_{23}
         \end{matrix}
      \right | &
      -
      \left |
         \begin{matrix}
            A_{11} & A_{13} \\
            A_{21} & A_{23}
         \end{matrix}
      \right | &
      +
      \left |
         \begin{matrix}
            A_{11} & A_{12} \\
            A_{21} & A_{22}
         \end{matrix}
      \right|
   \end{pmatrix} =
   \begin{pmatrix} 
      A_{22}A_{33} - A_{23}A_{32} & A_{23}A_{31} - A_{21}A_{33} & A_{21}A_{32} - A_{22}A_{31}\\
      A_{32}A_{13} - A_{33}A_{12} & A_{33}A_{11} - A_{31}A_{13} & A_{31}A_{12} - A_{32}A_{11}\\
      A_{12}A_{23} - A_{13}A_{22} & A_{13}A_{21} - A_{11}A_{23} & A_{11}A_{22} - A_{12}A_{21}
   \end{pmatrix}
||left}}e polo tanto a transposición da matriz cofactor é a matriz adxunta:{{Ecuación|
   \mbox{adj}(\mathbf{A}) =
   \begin{pmatrix} 
      +
      \left |
         \begin{matrix} A_{22} & A_{23} \\
             A_{32} & A_{33} 
         \end{matrix}
      \right | &
      -
      \left |
         \begin{matrix}
            A_{21} & A_{23} \\
            A_{31} & A_{33}
         \end{matrix}
      \right | &
      +
      \left |
         \begin{matrix}
            A_{21} & A_{22} \\
            A_{31} & A_{32}
         \end{matrix}
      \right | \\
       & & \\
      -
      \left |
         \begin{matrix}
            A_{12} & A_{13} \\
            A_{32} & A_{33}
         \end{matrix}
      \right | &
      +
      \left |
         \begin{matrix}
            A_{11} & A_{13} \\
            A_{31} & A_{33}
         \end{matrix}
      \right | &
      -
      \left |
         \begin{matrix}
            A_{11} & A_{12} \\
            A_{31} & A_{32}
         \end{matrix}
      \right| \\
      & & \\
      +
      \left |
         \begin{matrix}
            A_{12} & A_{13} \\
            A_{22} & A_{23}
         \end{matrix}
      \right | &
      -
      \left |
         \begin{matrix}
            A_{11} & A_{13} \\
            A_{21} & A_{23}
         \end{matrix}
      \right | &
      +
      \left |
         \begin{matrix}
            A_{11} & A_{12} \\
            A_{21} & A_{22}
         \end{matrix}
      \right|
   \end{pmatrix}^T 
||left}}

#### Exemplo 
Un exemplo sería o seguinte:

: 
  \operatorname{adj} 
  \left (
  \begin{array}{rrr}
   2 & 1 & 0 \\
   1 &-1 & 1 \\
   0 & 2 &-1
  \end{array} 
  \right ) = 
  \left (
  \begin{array}{rrr}
   -1 & 1 & 1 \\
    1 &-2 &-2 \\
    2 &-4 &-3
  \end{array}
  \right )

## Propiedades 
Dada unha matriz \mathbf{A} = (a_{ij}) \in M_{n\times n} definindo \mathbf{B} = (b_{ij}) = \mbox{adj}(A) Pódese demostrar que os b_{ij}\, pódense escribir como a suma de monomios de grao *n* nas compoñentes a_{ij}\,. Isto fai que o cálculo da matriz adxunta mediante a aplicación de fórmulas directas sexa complicado a medida que *n* aumenta, resultando computacionalmente moito custoso.

Se consideramos a operación de atopar a matriz adxunta como unha función: \mbox{adj}:M_{n\times n} \to _{n\times n} resulta que esa función é continua. Isto pódese ver pola continuidade da función determinante. A maiores, ten outras propiedades interesantes:

:* \mbox{adj}(\mathbf{A}^T)= \mbox{adj}(\mathbf{A})^T
:* \mbox{adj}(\mathbf{A}\mathbf{B})= \mbox{adj}(\mathbf{B})\mbox{adj}(\mathbf{A})  
:* \mbox{adj}(\mathbf{I})= \mathbf{I}
:* \mathbf{A}\, \mathrm{adj}(\mathbf{A}^T) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})\, \mathbf{A}^T = \det(\mathbf{A})\, \mathbf I para \mathbf{A}\in M_{n\times n} .
:* \mbox{adj}(\lambda\mathbf{A})= \lambda^{n-1}\mbox{adj}(\mathbf{A}) para \mathbf{A}\in M_{n\times n} .
:* \mbox{adj}(\mbox{adj}(\mathbf{A}))= \det(\mathbf{A})^{n-2}\mathbf{A} para \mathbf{A}\in M_{n\times n} .
:* \det(\mathbf{A}) = \mbox{tr}(\mathbf{A}\ \mbox{adj}(\mathbf{A}))/n para \mathbf{A}\in M_{n\times n} .
:* \det\big(\mathrm{adj}(\mathbf{A})\big) = \det(\mathbf{A})^{n-1}\, .

Se *p* (*t*) = det(**A**&nbsp;−&nbsp;*t* **I**) é o polinomio característico de **A** e definimos o polinomio *q*(*t*) = (*p*(0)&nbsp;−&nbsp;*p* (*t*))/*t*, entón:{{Ecuación| \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = q(\mathbf{A}) = -(p_1 \mathbf{I} + p_2 \mathbf{A} + p_3 \mathbf{A}^2 + \cdots + p_{n} \mathbf{A}^{n-1}) ||left}}Onde p_j\, son os coeficientes de *p*(*t*):{{Ecuación| p(t) = p_0 + p_1 t + p_2 t^2 + \cdots p_{n} t^{n}. ||left}}A función adxunta tamén aparece na fórmula para a derivada do determinante: {{Ecuación|\det(\mathbf{A+H}) - \det(\mathbf{A}) =
\mbox{tr}(\mbox{adj}(\mathbf{A})\ \mathbf{H}) + o(\|\mathbf{H}\|) ||left}}

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*  Roger A. Horn and Charles R. Johnson (2013), *Matrix Analysis*, Second Edition. Cambridge University Press, 
*  Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1991), *Topics in Matrix Analysis*. Cambridge University Press, 

### Outros artigos 
* Matriz invertíbel.

### Ligazóns externas 
* Matrix Reference Manual
*Online matrix calculator (determinant, track, inverse, adjoint, transpose)  Compute Adjugate matrix up to order 8
* {{cita web|url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=adjugate+of+{+{+a%2C+b%2C+c+}%2C+{+d%2C+e%2C+f+}%2C+{+g%2C+h%2C+i+}+}|archive-url=|last=|first=|date=|title=Adjugate of { { a, b, c }, { d, e, f }, { g, h, i } }|archive-date=|access-date=|work=Wolfram Alpha}}