Pentación

[[Ficheiro:Pentation.jpg|miniatura|Os primeiros tres valores da expresión *x*[5]2. O valor de 3[5]2 é ao redor de 7.626 × 1012; os resultados para valores de *x* maiores son demasiado grandes para aparecer na gráfica.]]
En matemáticas, a **pentación** é a hiperoperación que lle segue á tetración e é anterior á hexación. Defínese como a iteración (repetición) de tetracións, tal e como a tetración é a iteración da potenciación. É unha operación binaria definida con dous números *a* e *b*, onde *a* é «tetrado» a si mesmo *b* veces. Por exemplo, empregando a notación de hiperoperación para a pentación e tetración, 2[5]3 quere dicir «tetrar» 2 a si mesmo 3 veces, ou 2[4](2[4]2). Isto pódese reducir a 2[4](2^2)=2[4]4=2^{2^{2^2}}=2^{2^4}=2^{16}=65536.

## Etimoloxía 
A palabra «pentación» foi acuñada por Reuben Goodstein en 1947 das raíces penta- (cinco) e iteración. É parte do esquema xeral para nomear as hiperoperacións.

## Notación 
Non existe un consenso xeral para a notación da pentación; polo tanto existen varias maneiras de escribir a operación. Unhas úsanse máis que outras e existen distintas vantaxes entre unha e outra forma de uso.

* A pentación pódese escribir como unha hiperoperación como a[5]b. Neste formato, a[3]b pode ser interpretado como o resultado de aplicar repetidamente a función x\mapsto a[2]x, por b repeticións, comezando co número 1. De forma análoga, a[4]b, a tetración, representa o valor obtido ao aplicar repetidamente a función x\mapsto a[3]x, por b repeticións, comezando co número 1, e a pentación a[5]b representa o valor obtido ao aplicar repetidamente a función x\mapsto a[4]x, por b repeticións, comezando co número 1. Esta será a notación usada no resto do artigo
* Na notación frecha de Knuth, a[5]b represéntase como a \uparrow \uparrow \uparrow b ou a \uparrow^{3}b. Nesta notación, a\uparrow b representa á función potenciación a^b e a\uparrow \uparrow b representa á tetración. A operación pódese adaptar facilmente a hexación engadindo outra frecha.
* Na notación de cadea de Conway, a[5]b = a\rightarrow b\rightarrow 3.
* Outra notación proposta é {_{b}a}, aínda que esta non é extensible a hiperoperacións de maior orde.

## Exemplos 
Os valores da función de pentación tamén poden ser obtidos dos valores na cuarta fila de valores nunha variante da función de Ackermann: se A(n,m) defínese como a recorrencia de Ackermann A(m-1,A(m,n-1)) coas condicións iniciais A(1,n)=an e A(m,1)=a, entón a[5]b=A(4,b).

Como a tetración, a súa operación base, non se estende a alturas non enteiras, a pentación a[5]b actualmente só está ben definida para valores enteiros de *a* e *b* onde a>0 e b \geq -1, e uns poucos valores enteiros adicionais que *poderían* estar unicamente definidos. Como todas as hiperoperacións de orde 3 e maior, a pentación ten os seguintes casos triviais (identidades) que son verdadeiros para todos os valores de *a* e *b* no seu dominio:

* 1[5]b = 1
* a[5]1 = a

Adicionalmente, pódense definir:

* a[5]0 = 1
* a[5](-1) = 0

Ademais dos casos triviais arriba expostos, a pentación xera números extremadamente grandes moi rapidamente tal que só hai uns poucos casos non-triviais que producen números que poden ser escritos na notación convencional, como se mostra a continuación:

* 1[5]1 = 1
* 1[5]2 = 1[4]1 = 1
* 1[5]3 = 1[4](1[5]2) = 1[4](1[4]1) = 1[4]1 = 1
* 1[5]4 = 1[4](1[5]3) = 1[4](1[4](1[4]1)) = 1[4](1[4]1) = 1[4]1 = 1
* 1[5]5 = 1[4](1[5]4) = 1[4](1[4](1[4](1[4]1))) = 1[4](1[4](1[4]1)) = 1[4](1[4]1) = 1[4]1 = 1
* 2[5]1 = 2
* 2[5]2 = 2[4]2 = 2^2 = 4
* 2[5]3 = 2[4](2[5]2) = 2[4](2[4]2) = 2[4]4 = 2^{2^{2^2}} = 2^{2^4} = 2^{16} = 65,536
* 2[5]4 = 2[4](2[5]3) = 2[4](2[4](2[4]2)) = 2[4](2[4]4) = 2[4]65.536 = 2^{2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{2}}}}}} \mbox{ (unha torre de 65.536 exponentes de altura) } \approx \exp_{10}^{65.533}(4.29508)
* 2[5]5 = 2[4](2[5]4) = 2[4](2[4](2[4](2[4]2))) = 2[4](2[4](2[4]4)) = 2[4](2[4]65.536) = 2^{2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{2}}}}}} \mbox{ (unha torre de 2[4]65.536 exponentes de altura) } \approx \exp_{10}^{2[4]65.536-3}(4.29508)
* 3[5]1 = 3
* 3[5]2 = 3[4]3 = 3^{3^3} = 3^{27} = 7,625,597,484,987
* 3[5]3 = 3[4](3[5]2) = 3[4](3[4]3) = 3[4]7.625.597.484.987 = 3^{3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}} \mbox{ (unha torre de 7.625.597.484.987 exponentes de altura) } \approx \exp_{10}^{7.625.597.484.986}(1{,}09902)
* 3[5]4 = 3[4](3[5]3) = 3[4](3[4](3[4]3)) = 3[4](3[4]7.625.597.484.987) = 3^{3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}} \mbox{ (unha torre de 3[4]7.625.597.484.987 exponentes de altura) } \approx \exp_{10}^{3[4]7.625.597.484.987-1}(1{,}09902)
* 3[5]5 = 3[4](3[5]4) = 3[4](3[4](3[4](3[4]3))) = 3[4](3[4](3[4]7.625.597.484.987)) = 3^{3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}} \mbox{ (unha torre de 3[4](3[4]7.625.597.484.987) exponentes de altura) } \approx \exp_{10}^{3[4](3[4]7.625.597.484.987)-1}(1{,}09902)
* 4[5]1 = 4
* 4[5]2 = 4[4]4 =  4^{4^{4^4}} = 4^{4^{256}} \approx \exp_{10}^3(2.19) (un número con máis de 10^{153} díxitos)
* 4[5]3 = 4[4](4[5]2) = 4[4](4[4]4) = 4^{4^{4^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{4}}}}}} \mbox{ (unha torre de 4[4]4 exponentes de altura) } \approx \exp_{10}^{4[4]4-1}(2{,}18726)
* 4[5]4 = 4[4](4[5]3) = 4[4](4[4](4[4]4)) = 4^{4^{4^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{4}}}}}} \mbox{ (unha torre de 4[4](4[4]4) exponentes de altura) } \approx \exp_{10}^{4[4](4[4]4)-1}(2{,}18726)
* 4[5]5 = 4[4](4[5]4) = 4[4](4[4](4[4](4[4]4))) = 4^{4^{4^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{4}}}}}} \mbox{ (unha torre de 4[4](4[4](4[4]4)) exponentes de altura) } \approx \exp_{10}^{4[4](4[4](4[4]4))-1}(2{,}18726)
* 5[5]1 = 5
* 5[5]2 = 5[4]5 = 5^{5^{5^{5^5}}} = 5^{5^{5^{3125}}} \approx \exp_{10}^4(3.33928) (un número con máis de 10^{10^{2184}} díxitos)
* 5[5]3 = 5[4](5[5]2) = 5[4](5[4]5) = 5^{5^{5^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{5}}}}}} \mbox{ (unha torre de 5[4]5 exponentes de altura) } \approx \exp_{10}^{5[4]5-1}(3{,}33928)
* 5[5]4 = 5[4](5[5]3) = 5[4](5[4](5[4]5)) = 5^{5^{5^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{5}}}}}} \mbox{ (unha torre de 5[4](5[4]5) exponentes de altura) } \approx \exp_{10}^{5[4](5[4]5)-1}(3{,}33928)
* 5[5]5 = 5[4](5[5]4) = 5[4](5[4](5[4](5[4]5))) = 5^{5^{5^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{5}}}}}} \mbox{ (unha torre de 5[4](5[4](5[4]5)) exponentes de altura) } \approx \exp_{10}^{5[4](5[4](5[4]5))-1}(3{,}33928)

## Notas
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Función de Ackermann
* Operadores de Bowers
* Número de Graham