Paralelogramo

[framed|Os catro tipos de paralelogramo. No sentido das agullas do reloxo: [cadrado, rombo, romboide e rectángulo. O cadrado e o rectángulo son *paralelogramos rectángulos*, mentres que os outros dos son *paralelogramos non rectángulos*.]]
Un **paralelogramo** é un cuadrilátero convexo que ten os pares de lados opostos iguais e paralelos dous a dous.

Os paralelogramos son:
* o cadrado, que ten todos os seus lados de igual lonxitude.
* o rectángulo, que ten os seus lados opostos de igual lonxitude.
* o rombo, que ten todos os seus lados de igual lonxitude, e dous pares de ángulos iguais.
* o romboide, que ten os lados opostos de igual lonxitude e dous pares de ángulos iguais

Pódense clasificar os paralelogramos en polígonos equiláteros e non equiláteros, co que se ten:

* **Paralelogramos equiláteros**, cos seus catro lados iguais:
** o **cadrado**, que ten todos os seus lados de igual lonxitude (e todos os seus ángulos rectos).
** o **rombo**, que ten todos os seus lados de igual lonxitude (pero os seus ángulos non son rectos).
* **Paralelogramos non equiláteros**, se os seus catro lados non son iguais:
** o **rectángulo**, no que só os seus lados opostos teñen igual lonxitude (e todos os seus ángulos son rectos).
** o **romboide**, no que só os lados opostos son iguais (e os seus ángulos non son rectos).

## Propiedades 
240px|miniatura|Conxunto e subconxuntos da familia dos paralelogramos. Todo o que non sexa cadrado, rectángulo ou rombo denomínase ***romboide*** (*zona gris*).
O conxunto dos paralelogramos reúne varios subconxuntos de figuras xeométricas, todas elas con lados opostos iguais e paralelos, por exemplo os romboides, os rombos, os cadrados e os rectángulos son todos subconxuntos pertencentes ao conxunto dos paralelogramos. O feito de que varias figuras con algunhas características distintas sexan parte dos paralelogramos fai un pouco máis complexo mencionar as súas propiedades, posto que existen propiedades que son comúns a toda a familia de paralelogramos. Por exemplo, a propiedade «lados opostos iguais e paralelos» e común a todos, mais outras propiedades como ser «eixes de simetría de reflexión» poden ser diferentes para cada subfamilia.

### Propiedades comúns a todos os paralelogramos 
* Teñen catro vértices, catro lados e catro ángulos interiores, é dicir, é un subconxunto dos cuadriláteros.
* Os lados opostos dun paralelogramo son paralelos (*por definición*), polo que nunca se intersecan.
* Os lados opostos dun paralelogramo son de igual lonxitude (*congruentes*).
* Os ángulos opostos dun paralelogramo son iguais en medida.
* Os ángulos de dous vértices contiguos son suplementarios (*suman* 180°).
* A suma dos ángulos interiores de todo paralelogramo é igual a 360°.
* A área dun paralelogramo é o dobre da área dun triángulo formado por calquera das súas diagonais e os lados contiguos da figura.
* A área dun paralelogramo é igual á magnitude (módulo) do produto vectorial de dous lados contiguos, considerados como vectores.
* Todos os paralelogramos son convexos.
* Calquera recta secante coplanaria corta o paralelogramos en dous e só en dous dos seus lados.
* As diagonais dun paralelogramo bisécanse entre elas.
* O chamado «centro» do paralelogramo atópase no punto no que se bisecan as dúas diagonais.
* O centro do paralelogramo é tamén o baricentro do mesmo.
* Calquera recta coplanaria que pasa polo centro dun paralelogramo divide a súa superficie en dúas partes iguais, ou en dous trapecios congruentes. O segmento que pasa polo punto medio chámase *mediana*, mesmo no caso extremo dunha diagonal.
* Calquera recta coplanaria que pase polo baricentro
* Unha translación ou unha rotación dun paralelogramo conservan a forma e o tamaño

### Propiedades particulares de distintos paralelogramos 
* O cadrado ten simetría de rotación de orde 4 (90°)
* O romboide, o rombo e o rectángulo teñen simetría de rotación de orde 2 (180°)
* Se non existe ningún eixe de simetría de reflexión, entón é un romboide.
* Se ten dous eixes de simetría de reflexión diagonais, entón é un rombo.
* Se ten dous eixes de simetría de reflexión perpendiculares aos lados, entón é un cadrado.
* Se ten catro eixes de simetría de reflexión, entón é un cadrado.

### Algunhas propiedades métricas comúns 
* O perímetro dun paralelogramo é 2 (***a*** + ***b***), onde ***a*** e ***b*** son as lonxitudes de dous lados contiguos calquera.
* A suma dos cadrados dos lados é igual á suma dos cadrados das diagonais (lei do paralelogramo).
* Para calcular a área dun paralelogramo, pódese considerar como unha figura composta por dous triángulos congruentes e un rectángulo, trazando alturas dos vértices dos ángulos obtusos.

## Fórmulas 
miniatura|300px

## Lei do paralelogramo 
 [miniatura|Os catro lados dun paralelogramo (AB, BC, CD e DA), os catro [vértice (xeometría)|vértices (A, B, C e D) e as dúas diagonais (AC e BD).]]
Existe unha lei xeométrica que relaciona os lados dun paralelogramo coas súas diagonais, chamada **lei do paralelogramo**. Esta di que a suma dos cadrados das lonxitudes dos catro lados dun paralelogramo calquera é igual á suma dos cadrados das lonxitudes das dúas diagonais. En notación matemática, represéntase como:

: (AB)^2+(BC)^2+(CD)^2+(DA)^2=(AC)^2+(BD)^2.\,

onde A, B, C, e D son os vértices do paralelogramo.

Posto que os lados son iguais dos a dos, a fórmula adoita representarse simplificada:

: 2\cdot((AB)^2+(BC)^2) = 2\cdot((CD)^2+(DA)^2)=(AC)^2+(BD)^2.\,

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Teorema de Apolonio