Infinitesimal

Nas matemáticas, un **infinitesimal** é un número maior que cero en valor absoluto mais menor que calquera número real positivo. Un número *x* &ne; 0 é un infinitesimal se toda suma |*x*| + ... + |*x*| cunha cantidade finita de termos é menor que 1, independente da cantidade de termos. Neste caso, 1/*x* é maior que calquera número real positivo.

Un infinitesimal é apenas unha cantidade notacional - non hai ningún número real que sexa un infinitesimal. Isto pode demostrarse recorrendo ao axioma do menor maiorante no contexto dos números reais: considerar se o menor maiorante *c* do conxunto de todos os infinitesimais é ou non un infinitesimal. Se for, entón 2*c* tamén é, contradicindo así o feito de que *c* é un maiorante do referido conxunto. Se non for, entón *c*/2 tamén non é, contradicindo o feito de que *c* é o menor dos maiorantes.

## Definición
Un **infinitesimal** ou infinitésimo é unha cantidade infinitamente pequena. Pódese definir matematicamente como:

\lim_{x \to a}f(x) = 0 dise que f é un infinitésimo en x=a

Algunhas funcións son infinitésimos en determinados puntos, por exemplo:

:f(x) = x-1 é un infinitésimo en x=1
:g(x) = sen(x) é un infinitésimo en 0 + k \pi con k \in \mathbb{Z}

## Propedades dos infinitésimos
# A suma de dous infinitésimos é un infinitésimo.
# O produto de dous infinitésimos é un infinitésimo.
# O produto dun infinitésimo por unha función acoutada é un infinitésimo.
# O produto dunha constante por un infinitésimo é un infinitésimo.

## Comparación de infinitésimos
Dadas \lim_{x \to a}f(x) = 0 e \lim_{x \to a} g(x) = 0

#Se \lim_{x \to a} \frac {f(x)} {g(x)} = \infin f e g son infinitésimos comparábeis en x=a e f é un infinitésimo de orde inferior a g en x=a
#Se \lim_{x \to a} \frac {f(x)} {g(x)} = l con l pertencente a \mathbb{R} f e g son infinitésimos comparábeis en x=a
:Se \lim_{x \to a} \frac {f(x)} {g(x)} = l con l pertencente a \mathbb{R} - \left\{0\right\} f e g son infinitésimos da mesma orde en x=a
#En particular, se \lim_{x \to a} \frac {f(x)} {g(x)} = 1 f é un infinitésimo equivalente en x=a

## Uso ao longo da historia
O primeiro matemático en usar infinitesimais foi Arquimedes.

Máis tarde, Newton e Leibniz desenvolveron o cálculo facendo uso de infinitesimais. Velaquí un argumento típico:
: Achando a derivada *f*&nbsp;'(*x*) da función *f*(*x*) = *x*&sup2;, sexa d*x* un infinitesimal. Logo, f&nbsp;'(*x*) = (*f*(*x*+d*x*)-*f*(*x*))/d*x* = (*x*&sup2;+2*x**d*x*+d*x*&sup2;-*x*&sup2;)/d*x* = 2*x*+d*x* = 2*x*, pois d*x* é infinitamente pequeno. 
Este argumento, aínda que sexa intuitivamente atraente, e produza o resultado correcto, non é matematicamente rigoroso. Atacouse uso de infinitesimais, como incorrecto, por George Berkeley na súa obra *The analyst: or a discourse addressed to an infidel mathematician*. O problema fundamental reside no feito de que d*x* é, primeiro, tratado como non-cero (pois é utilizado como divisor), mais descártase despois como se fose cero.

Foi na segunda metade do século XIX cando obtivo o cálculo infinitesimal unha fundamentación matemática formal, grazas a Karl Weierstrass e outros, utilizando a noción de límite, que eliminou a necesidade do uso de infinitesimais.

O uso de infinitesimais continúa a ser conveniente para simplificar notacións e cálculos.

Os infinitesimais son cantidades lexítimas na análise non-padrón de Abraham Robinson. Nesta teoría, o cálculo enriba mencionado da derivada *f*(*x*) = *x*&sup2; pode ser xustificado cunha pequena modificación: hai que se referir á *parte padrón* do cociente da diferenza, e a parte padrón de *x* +d*x* é *x*.

De forma alternativa, pódese ter a xeometría diferencial sintética.

## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Número hiperreal
* Número surreal