Corpo finito

En matemáticas, un **corpo finito** ou **corpo de Galois** (chamado así en honra a Évariste Galois) é un corpo que contén un número finito de elementos. Como en calquera corpo, un corpo finito é un conxunto sobre o que se definen as operacións de multiplicación, suma, resta e división e cumpren determinadas regras básicas. Os exemplos máis comúns de corpos finitos son os enteiros mod cando  é un número primo.

A *orde* dun corpo finito é o seu número de elementos, que é un número primo ou unha potencia prima. Para cada número primo  e cada número enteiro positivo  hai corpos de orde , todos eles isomorfos.

Os corpos finitos son fundamentais en varias áreas das matemáticas e da informática, incluíndo a teoría dos números, a xeometría alxébrica, a teoría de Galois, a xeometría finita, a criptografía e a teoría da codificación.

## Propiedades 
Un corpo finito é un conxunto finito que é un corpo; isto significa que a multiplicación, a suma, a resta e a división (excluíndo a división por cero) están definidas e cumpren as regras da aritmética coñecidas como axiomas de corpo.

O número de elementos dun corpo finito chámase a súa *orde* ou, ás veces, o seu *tamaño*. Un corpo finito de orde  existe se e só se  é unha potencia de primo  (onde  é un número primo e  é un enteiro positivo). Nun corpo de orde , engadindo  copias de calquera elemento sempre resulta cero; é dicir, a característica do corpo é .

Para , todos os corpos de orde  son isomorfos . A maiores, un corpo non pode conter dous subcorpos finitos diferentes coa mesma orde. Pódense, polo tanto, identificar todos os corpos finitos coa mesma orde, e denotalos sen ambigüidades \mathbb{F}_{q},  ou , onde as letras GF significan "corpo de Galois". 

Nun corpo finito de orde , o polinomio  ten todos os  elementos do corpo finito como raíces. Os elementos distintos de cero dun corpo finito forman un grupo multiplicativo. Este grupo é cíclico, polo que todos os elementos distintos de cero poden expresarse como potencias dun único elemento chamado elemento primitivo do corpo. (En xeral, haberá varios elementos primitivos para un corpo  dado).

Os exemplos máis simples de corpos finitos son os corpo de orde prima: para cada número primo , o corpo primo de orde  pode construírse como os enteiros módulo, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.

Os elementos do corpo primo de orde  poden ser representados por números enteiros no rango . A suma, a diferenza e o produto son o resto da división por  do resultado da operación enteira correspondente. A inversa multiplicativa dun elemento pódese calcular usando o algoritmo de Euclides estendido.

A identidade 
:(x+y)^p=x^p+y^p
é certa nun corpo de característica . Isto despréndese do teorema binomial, xa que cada coeficiente binomial da expansión de , excepto o primeiro e o último, é un múltiplo de .

Polo pequeno teorema de Fermat, se  é un número primo e  está no corpo  entón . Isto implica a igualdade 
:X^p-X=\prod_{a\in \mathrm{GF}(p)} (X-a)
para polinomios sobre . De forma máis xeral, cada elemento en  satisfai a ecuación polinómica .

Calquera extensión finita de corpo dun corpo finito é separábel e simple. É dicir, se  é un corpo finito e  é un subcorpo de , entón  obtense a partir de  unindo un único elemento cuxo polinomio mínimo é separábel. 

Unha estrutura alxébrica máis xeral que satisfai todos os outros axiomas dun corpo, mais cuxa multiplicación non é  conmutativa, chámase anel de división (ou ás veces *corpo nesgado*). Segundo o teorema de Wedderburn, calquera anel de división finito é conmutativo e, polo tanto, é un corpo finito.

## Existencia e unicidade 
Sexa  unha potencia de primo e  o corpo de descomposición do polinomio 
:P = X^q-X
sobre o corpo primo . 
Isto significa que  é un corpo finito de orde máis baixa, no que  ten  raíces distintas (a derivada formal de  é ''P'=-1*, o que implica que , o que en xeral implica que o corpo de división é unha extensión separábel da orixinal). 

A identidade anterior mostra que a suma e o produto de dúas raíces de  son raíces de , así como a inversa multiplicativa dunha raíz de . Noutras palabras, as raíces de  forman un corpo de orde , que é igual a  pola minimalidade do corpo de división.

A unicidade ata o isomorfismo dos corpos de división implica que todos os corpos de orde  son isomorfos. Alén diso, se un corpo  ten un corpo de orde  como subcorpo, os seus elementos son as raíces  de , e  non pode conter outro subcorpo de orde  .

En resumo, temos o seguinte teorema de clasificación probado por primeira vez en 1893 por EH Moore:*A orde dun corpo finito é unha potencia de primo.* *Por cada potencia de primo*  *hai corpos de orde* , *e todos son isomorfos.* *Nestes corpos, todo elemento satisfai*

:x^q=x, *e o polinomio*  *factoriza como*

:X^q-X= \prod_{a\in F} (X-a).Dedúcese  que  contén un subcorpo isomorfo a  se e só se  é un divisor de ; nese caso, este subcorpo é único. De feito, o polinomio  divide  se e só se  é un divisor de .

## Construción explícita 
### Corpos non primos 
Dada unha potencia de primo  con  primo e , o corpo  pode construírse explicitamente do seguinte xeito. 

Elixe primeiro un polinomio irredutíbel  en  de grao  (tal polinomio irredutíbel sempre existe). Logo o anel cociente 
:\mathrm{GF}(q) = \mathrm{GF}(p)[X]/(P)
do anel polinómico  polo ideal xerado por  é un corpo de orde .

Excepto na construción de \mathrm{GF}(4), hai varias opcións posíbeis para P, que producen resultados isomorfos. Para simplificar a división euclidiana, adóitase escoller para P un polinomio da forma
:X^n + aX + b,
que fai que as divisións euclidianas necesarias sexan moi eficientes. No entanto, para algúns corpos, normalmente na característica 2, poden non existir polinomios irredutíbeis da forma X^n+aX+b.

Unha posíbel escolla para tal polinomio vén dada polos polinomios de Conway. Aseguran unha certa compatibilidade entre a representación dun corpo e as representacións dos seus subcorpos.

### Corpo con 4 elementos 
O corpo non primo máis pequeno é o corpo con catro elementos, que se denota comunmente como \mathrm{GF}(4) ou \mathbb{F}_4. Está formado polos catro elementos 0, 1, \alpha, 1 + \alpha tal que \alpha^2=1+\alpha, 1 \cdot \alpha = \alpha \cdot 1 = \alpha, x+x=0, e x \cdot 0 = 0 \cdot x = 0, para todo x \in \mathrm{GF}(4) a outra operación resulta ser facilmente deducida da lei distributiva. Vexa a continuación as táboas de operacións completas.

Isto pódese deducir do seguinte xeito dos resultados do apartado anterior.

Sobre \mathrm{GF}(2), só hai un polinomio irredutíbel de grao 2:
:X^2+X+1
Polo tanto, para \mathrm{GF}(4) a construción da sección anterior debe implicar este polinomio, e
:\mathrm{GF}(4) = \mathrm{GF}(2)[X]/(X^2+X+1).
Denotamos \alpha unha raíz deste polinomio en \mathrm{GF}(4). Isto implica que
:\alpha^2 = 1 + \alpha,
e que \alpha e 1+\alpha son os elementos de \mathrm{GF}(4) que non están en \mathrm{GF}(2). As táboas das operacións en \mathrm{GF}(4) resultan disto e son as seguintes:

|

|

|}

(Como 0 \cdot z = 0 para todo z en todo anel a división por 0 ten que permanecer sen definir). 

Nas táboas, pódese ver que a estrutura aditiva de \mathrm{GF}(4) é isomorfa ao Grupo de Klein, mentres que a estrutura multiplicativa distinta de cero é isomorfa ao grupo Z_3.

O mapa
: \varphi:x \mapsto x^2
é o automorfismo de corpos non trivial, chamado Automorfismo de Frobenius, que envía \alpha á segunda raíz 1+\alpha do citado polinomio irredutíbel X^2+X+1.

### GF(*p*2) para un primo impar *p* 
Para aplicar o visto na construción xeral dos corpos finitos no caso de \mathrm{GF}(p^2), hai que atopar un polinomio irredutíbel de grao 2. Para p=2, isto fíxose na sección anterior. Se p é un primo impar, sempre hai polinomios irredutíbeis da forma X^2-r, con r en \mathrm{GF}(p).

Máis precisamente, o polinomio X^2-r é irredutíbel sobre \mathrm{GF}(p) se e só se r é un non residuo cadrático módulo p (esta é case a definición dun non residuo cadrático). 

Hai \tfrac{p-1}{2} non residuos cadráticos módulo p. Por exemplo, 2 é un non residuo cadrático para p=3,5,11,13,\ldots, e 3 é un non residuo cadrático para p=5,7,17,\ldots. Se p \equiv 3 \mod 4, isto é p=3,7,11,19,\ldots, pódese escoller -1 \equiv p - 1 como un non residuo cadrático, o que nos permite ter un polinomio irredutíbel moito simple X^2+1.

Tendo escollido un non residuo cadrático r, sexa \alpha unha raíz cadrada simbólica de r, isto é, un símbolo que ten a propiedade  \alpha^2=r. Daquela, os elementos de \mathrm{GF}(p^2) son todas as expresións lineares
:a+b\alpha,
con a e b en \mathrm{GF}(p). 

As operacións en \mathrm{GF}(p^2) defínense do seguinte xeito (as operacións entre elementos de \mathrm{GF}(p) representadas con letras latinas son as operacións en \mathrm{GF}(p)):
:\begin{align}
-(a+b\alpha)&=-a+(-b)\alpha\\
(a+b\alpha)+(c+d\alpha)&=(a+c)+(b+d)\alpha\\
(a+b\alpha)(c+d\alpha)&=(ac + rbd)+ (ad+bc)\alpha\\
(a+b\alpha)^{-1}&=a(a^2-rb^2)^{-1}+(-b)(a^2-rb^2)^{-1}\alpha
\end{align}

## Estrutura multiplicativa 
O conxunto de elementos distintos de cero en  é un grupo abeliano baixo a multiplicación, de orde  . Segundo o teorema de Lagrange, existe un divisor  de  tal que  para todo  distinto de cero en . Como a ecuación  ten como máximo  solucións en calquera caorpo,  é o valor máis baixo posíbel para . O teorema de estrutura dos grupos abelianos finitos implica que este grupo multiplicativo é cíclico, é dicir, todos os elementos distintos de cero son potencias dun só elemento. En resumo:
 
Tal elemento  chámase elemento primitivo de . A menos que , o elemento primitivo non é único. O número de elementos primitivos é  onde  é a función totiente de Euler.

O resultado anterior implica que  para todo  en . O caso particular onde  é primo é o pequeno teorema de Fermat .

### Logaritmo discreto 
Se a é un elemento primitivo en \mathrm{GF}(q), entón, para calquera elemento x distinto de cero en F, hai un único enteiro n con 0 \le n \le q-2 tal que x=a^n.
Este número enteiro n chámase logaritmo discreto de x para a base a.

Aínda que a^n pódese calcular moi rapidamente, por exemplo usando a exponenciación ao cadrado, non se coñece un algoritmo eficiente para calcular a operación inversa, o logaritmo discreto.

Cando os elementos distintos de cero de \mathrm{GF}(q) están representados polos seus logaritmos discretos, a multiplicación e división son fáciles, xa que se reducen a suma e resta módulo q-1. Porén, a suma equivale a calcular o logaritmo discreto de a^m+a^n. 

A identidade
:a^m+a^n=a^n\left(a^{m-n}+1\right)

permite resolver este problema construíndo a táboa dos logaritmos discretos de a^n+1, chamada logaritmo de Zech, para n=0,\ldots,q-2 (convén definir o logaritmo discreto de cero como -\infty.

Os logaritmos de Zech son útiles para grandes cálculos, como a álxebra linear sobre corpos de tamaño medio, é dicir, corpos suficientemente grandes para que os algoritmos naturais sexan ineficientes, mais non demasiado grandes, xa que hai que calcular previamente unha táboa do mesmo tamaño que a orde do corpo.

### Raíces da unidade 
thumb|300px|Corpo finito F_25 baixo o mapa de raíces complexas da unidade. Subcorpo base F_5 en vermello.
Todo elemento distinto de cero dun corpo finito é unha raíz da unidade, pois x^{q-1}=1 para todo elemento distinto de cero de \mathrm{GF}(q).

Se n é un número enteiro positivo, unha **raíz primitiva da unidade** n-ésima  é unha solución da ecuación x^n=1 que non é unha solución da ecuación x^m=1 para calquera número enteiro positivo m. Se a é unha  raíz primitiva da unidade n-ésima nun corpo  F, entón F contén todas as n raíces da unidade, que son 1,a,a^2,\ldots,a^{n-1}.

O corpo \mathrm{GF}(q) contén unha  raíz primitiva da unidade n-ésima se e só se n é un divisor de q-1; se n é un divisor de q-1, entón o número de raíces primitivas n-ésimas da unidade 
 en \mathrm{GF}(q) é \phi(n) (función totiente de Euler). O número de  raíces n-ésimas da unidade en \mathrm{GF}(q) é \mathrm{gcd}(n,q-1).

Nun corpo da característica p, cada np-ésima raíz da unidade é tamén unha n-ésima raíz da unidade. Dedúcese que as raíces primitivas de np-ésimas da unidade nunca existen nun corpo de característica p .

Por outra banda, se n é coprimo con p, as raíces do n-ésimo polinomio ciclotómico son ​​distintas en todos os corpos da característica p, xa que este polinomio é un divisor de X^n-1 cuxo discriminante n^n é distinto de cero módulo p.
 
Dedúcese que o n-ésimo polinomio ciclotómico factoriza sobre \mathrm{GF}(q) en distintos polinomios irredutíbeis que teñen todos o mesmo grao, digamos d, e que \mathrm{GF}(p^d) é o corpo máis pequeno de característica p que contén n-ésimos raíces primitivas da unidade.

Ao calcular os caracteres de Brauer, utilízase o mapa \alpha^k \mapsto \exp(2\pi i k / (q-1)) para asignar valores propios dunha matriz de representación aos números complexos. Baixo esta asignación, o subcorpo base \mathrm{GF}(p) consta de puntos espazados uniformemente arredor da circunferencia unitaria (omitindo cero).

#### Exemplo: GF(64) 
O corpo \mathrm{GF}(64) ten varias propiedades interesantes que os corpos máis pequenos non comparten: ten dous subcorpos de xeito que ningún está contido no outro; non todos os xeradores (elementos con polinomio mínimo de grao 6 sobre \mathrm{GF}(2)) son elementos primitivos; e os elementos primitivos non están todos conxugados baixo o grupo de Galois.

A orde deste corpo é , e os divisores de  son , os subcorpos de  son , , , e o propio . Como  e  son coprimos, a intersección de  e  en  é o corpo primo .

A unión de  e  ten así  elementos. Os  elementos  restantes de  xeran  no sentido de que ningún outro subcorpo contén ningún deles. Dedúcese que son raíces de polinomios irredutíbeis de grao  sobre . Isto implica que, sobre , hai exactamente  polinomios mónicos irredutíbeis de grao . Isto pódese verificar factorizando  sobre .

Os elementos de  son raíces primitivas  n-ésimas da unidade para algúns n que dividen 63. Como a terceira e a sétima raíces da unidade pertencen a  e , respectivamente, os xeradores de  son raíces primitivas -éimas da unidade para algúns  en in {{math|{9, 21, 63} }}. A función totiente de Euler mostra que hai  raíces primitivas -ésimas da unidade, 12 raíces primitivas 21-ésimas da unidade e 36 raíces primitivas -ésimas da unidade. Sumando estes números (6+12+36), atópase de novo 54 elementos.

Factorizando os polinomios ciclotómicos sobre \mathrm{GF}(2), atópase que:
* As seis raíces primitivas da unidade 9-ésimas son raíces de 
:X^6+X^3+1, 
:e están todas conxugadas baixo a acción do grupo de Galois.
* As doce raíces primitivas da unidade 21-ésimas son raíces de 
:(X^6+X^4+X^2+X+1)(X^6+X^5+X^4+X^2+1). 
:Forman dúas órbitas baixo a acción do grupo de Galois. Como os dous factores son recíprocos entre si, unha raíz e a súa inversa (multiplicativa) non pertencen á mesma órbita.
* Os 36 elementos primitivos de \mathrm{GF}(64) son as raíces de 
:(X^6+X^4+X^3+X+1)(X^6+X+1)(X^6+X^5+1)(X^6+X^5+X^3+X^2+1)(X^6+X^5+X^2+X+1)(X^6+X^5+X^4+X+S+1)(X^6+X^5+X^4+X+S+1) 
Descompóñense en seis órbitas de seis elementos cada unha baixo a acción do rupo de Galois.

Isto mostra que a mellor opción para construír \mathrm{GF}(64) é definilo como . De feito, este xerador é un elemento primitivo, e este polinomio é o polinomio irredutíbel que produce a división euclidiana máis sinxela.

## Automorfismo de Frobenius e teoría de Galois 
Nesta sección,  é un número primo e  é unha potencia de .

En , a identidade  implica que o mapa 
: \varphi:x \mapsto x^p
é un endomorfismo linear  e un automorfismo de corpos de , que fixa todos os elementos do subcorpo . Chámase automorfismo de Frobenius, en honor de Ferdinand Georg Frobenius.

Denotando como  a composición de  consigo mesmo  veces, temos 
: \varphi^k:x \mapsto x^{p^k}.
Demostrouse na sección anterior que  é a identidade. Para , o automorfismo  non é a identidade, xa que, en caso contrario, o polinomio 
X^{p^k}-X 
tería máis de  raíces.

Non hai outros automorfismos  de . Noutras palabras,  ten exactamente   -automorfismos, que son 
:\mathrm{Id}=\varphi^0, \varphi, \varphi^2, \ldots, \varphi^{n-1}.

En termos da teoría de Galois, isto significa que  é unha extensión de Galois de , que ten un grupo de Galois cíclico.

## Factorización de polinomios 
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* W. H. Bussey (1905) "Galois field tables for ", Bulletin of the American Mathematical Society 12(1): 22–38,  
* W. H. Bussey (1910) "Tables of Galois fields of order < 1000", *Bulletin of the American Mathematical Society* 16(4): 188–206, 
* 
* 
* 
* 
* 

### Outros artigos 
* Extensión de corpo
* Aritmética modular
* Anel de división
* Grupo finito

### Ligazóns externas 
* Finite Fields at Wolfram research.
* *Finite Fields and Their Applications'', Science Direct, (Open Access Journal).