Unidade imaxinaria

: os números reais son convencionalmente debuxados no eixo horizontal e os números imaxinarios no eixo vertical.]]

A **unidade imaxinaria** ou **número imaxinario unidade** (''''*) é unha constante matemática que é unha solución da ecuación cadrática  + 1 = 0. Aínda que non hai número real ningún con esta  propiedade  pode usarse para estender os números reais ao que se chama números complexos, usando suma e multiplicación cos números reais e . Un exemplo simple do uso de  nun número complexo é 

## Definición 
É a unidade no conxunto dos números imaxinarios. Exprésase pola letra i e cumpre que:

:\mathrm{i}^2 = -1

Ás veces, isto tamén é expresado como:

:\mathrm{i} = \sqrt{-1}.

Ó ser unha expresión numérica non ten dimensións físicas.

Con  definido deste xeito, dedúcese directamente da álxebra que  e  son ambas raíces cadradas de −1.

### Raíz de 
Os polinomios (sumas ponderadas das potencias dunha variábel) son unha ferramenta básica na álxebra. Os polinomios cuxos coeficientes son números reais forman un anel, denotado como \R[x], unha estrutura alxébrica con suma e multiplicación e que comparte moitas propiedades co anel de enteiros.

O polinomio x^2 + 1 non ten raíces de número real, pero o conxunto de todos os polinomios de coeficiente reais divisíbeis por x^2 + 1 forma un ideal, polo que hai un anel cociente \reals[x] / (x^2 + 1). Este anel cociente é isomorfo para os números complexos, e a variábel x expresa a unidade imaxinaria. (Ver exemplo en anel cociente#Exemplos).

### Representación gráfica 
Os números complexos pódense representar graficamente debuxando a recta numérica real como o eixo horizontal e os números imaxinarios como o eixo vertical dun plano cartesiano chamado *plano complexo''. Nesta representación, os números  e  están á mesma distancia de , cun ángulo recto entre eles. 

A suma dun número complexo corresponde á translación no plano, mentres que a multiplicación por un número complexo de unidade de magnitude corresponde á rotación arredor da orixe. 

Toda transformación de semellanza do plano pode representarse mediante unha función linear complexa z \mapsto az + b.

## Propiedades 
Como número complexo, a unidade imaxinaria segue todas as regras da aritmética complexa

### Enteiros gaussianos 
As sumas enteiras da unidade real  e da unidade imaxinaria  forman unha retícula cadrada no plano complexo chamado números enteiros gaussianos. A suma, diferenza ou produto dos enteiros gaussianos tamén é un enteiro gaussiano:
:\begin{align}
(a + bi) + (c + di) &= (a + c) + (b + d)i, \\
(a + bi)(c + di) &= (ac - bd) + (ad + bc)i.
\end{align}

### Rotación de cuarto de volta 
Cando se multiplica pola unidade imaxinaria , calquera número complexo arbitrario do plano complexo xira un cuarto de volta  ou ) no sentido antihorario. Cando se multiplica por , calquera número complexo arbitrario rota un cuarto de volta no sentido das agullas do reloxo. En forma polar:
:i \, re^{\varphi i} = re^{(\varphi + \pi/2)i}, \quad
        -i \, re^{\varphi i} = re^{(\varphi - \pi/2)i}.

En forma rectangular,

: i(a + bi) = -b + ai, \quad -i(a + bi) = b - ai.

### Potencias enteiras 
As potencias de  repítense nun ciclo expresábel co seguinte padrón, onde  é calquera número enteiro:

:
i^{4n} = 1, \quad
i^{4n+1} = i, \quad
i^{4n+2} = -1, \quad
i^{4n+3} = -i.

Así, baixo a multiplicación,  é un xerador dun grupo cíclico de orde 4.

Escrito como un caso especial da fórmula de Euler para un enteiro ,

:
i^n = {\exp}\bigl(\tfrac12\pi i\bigr)^n
    = {\exp}\bigl(\tfrac12 n \pi i\bigr)
    = {\cos}\bigl(\tfrac12 n\pi \bigr) + {i \sin}\bigl(\tfrac12 n\pi \bigr).

### Raíces 
thumb|right|200px|As dúas raíces cadradas de  no plano complexo
Do mesmo xeito que todos os números complexos distintos de cero, i = e^{\pi i/ 2} ten dúas raíces cadradas distintas que son inversas aditivas. En forma polar, son
\begin{alignat}{3}
\sqrt{i} &= {\exp}\bigl(\tfrac12{\pi i}\bigr)^{1/2} &&{}= {\exp}\bigl(\tfrac14\pi i\bigr), \\
-\sqrt{i} &= {\exp}\bigl(\tfrac14{\pi i}-\pi i\bigr) &&{}= {\exp}\bigl({-\tfrac34\pi i}\bigr).
\end{alignat}

En forma rectangular son 
:\begin{alignat}{3}
\sqrt{i} &= \frac{1 + i}{ \sqrt{2}} &&{}= \phantom{-}\tfrac{\sqrt{2}}{2} + \tfrac{\sqrt{2}}{2}i, \\[5mu]
-\sqrt{i} &= - \frac{1 + i}{ \sqrt{2}} &&{}= - \tfrac{\sqrt{2}}{2} - \tfrac{\sqrt{2}}{2}i.
\end{alignat}

Elevando ambas as dúas expresións temos:

\left( \pm \frac{1 + i}{\sqrt2} \right)^2
= \frac{1 + 2i - 1}{2} = \frac{2i}{2} = i.

### Exponencial e logaritmo 
A fórmula de Euler descompón a exponencial dun número imaxinario que representa unha rotación:

:\exp i\varphi = \cos \varphi + i\sin \varphi.

Debido a que a exponencial é periódica, a súa inversa o logaritmo complexo é unha función multivalorada, con cada número complexo do dominio correspondente a varios valores do codominio, separados entre si por calquera múltiplo enteiro de 

### Factorial 
O factorial da unidade imaxinaria  dáse máis a miúdo en termos da función gamma avaliada en :
:i! = \Gamma(1+i) = i\Gamma(i) \approx 0.4980 - 0.1549\,i.

A magnitude e o argumento deste número son:
:
|\Gamma(1+i)| = \sqrt{\frac{\pi}{ \sinh \pi}} \approx 0.5216, \quad
\arg{\Gamma(1+i)} \approx -0.3016.

## Notas 
## Véxase tamén 
## Bibliografía 
*
### Outros artigos 
* Número complexo