Xeometría diferencial de superficies

En matemáticas, a **xeometría diferencial de superficies** trata sobre a xeometría diferencial de superficies suaves con varias estruturas adicionais, a maioría das veces, unha métrica de Riemann.

As superficies foron estudadas amplamente desde varias perspectivas: *extrínsecamente*, en relación co seu mergullo no espazo euclidiano e *intrínsecamente*, reflectindo as súas propiedades determinadas unicamente pola distancia dentro da superficie medida ao longo das curvas da superficie. 

Un dos conceptos fundamentais investigados é a curvatura gaussiana, estudada por primeira vez en profundidade por Carl Friedrich Gauss,  quen demostrou que a curvatura era unha propiedade intrínseca dunha superficie, independentemente do seu mergullo isométrico no espazo euclidiano.

As superficies xorden naturalmente como gráficas de funcións dun par de variábeis, e ás veces aparecen en forma paramétrica ou como lugares xeométricos asociados a curvas espaciais. 

Un papel importante no seu estudo xogaron os grupos de Lie (no espírito do programa Erlangen), a saber, os grupos de simetría do plano euclidiano, a esfera e o plano hiperbólico.

## Superficies regulares no espazo euclidiano 
### Definición 
É intuitivamente claro que unha esfera é suave, mentres que un cono ou unha pirámide, polo seu vértice ou arestas, non o son. 

A noción de "superficie regular" é unha formalización da noción de superficie suave. A definición utiliza a representación local dunha superficie mediante mapas entre espazos euclidianos. Existe unha noción estándar de suavidade para eses mapas; un mapa entre dous subconxuntos abertos do espazo euclidiano é suave se as súas derivadas parciais de calquera orde existen en todo punto do dominio.   

Unha superficie regular no espazo euclidiano  é un subconxunto  de  tal que todo punto de  admite calquera dos seguintes tres conceptos: *parametrizacións locais*, *parches de Monge* ou *funcións implícitas*. 

A seguinte táboa dá definicións destes obxectos; as formas de Monge son quizais os máis intuitivos visualmente, xa que esencialmente di que unha superficie regular é un subconxunto de  que é localmente a gráfica dunha función suave (xa sexa sobre unha rexión no plano , no plano  ou no plano  ).
[dereita|miniatura| Unha parametrización local da [forma de Monge para o hemisferio superior da 2-esfera, obtida proxectando no plano ]]

Os homeomorfismos que aparecen na primeira definición coñécense como **parametrizacións locais** ou **sistemas de coordenadas locais** ou **cartas locais** en . A equivalencia das dúas primeiras definicións afirma que, ao redor de calquera punto dunha superficie regular, sempre existen parametrizacións locais da forma , , h , coñecidos como **formas de Monge**. 

As funcións  como na terceira definición chámanse **funcións definidoras locais**. A equivalencia das tres definicións dedúcese do teorema da función implícita. 
dereita|miniatura| Os cambios de coordenadas entre diferentes cartas locais deben ser suaves
Dadas dúas parametrizacións locais calquera  e  dunha superficie regular, a composición  é necesariamente suave como un mapa entre subconxuntos abertos de .  Isto mostra que calquera superficie regular ten naturalmente a estrutura dunha variedade suave, cun atlas suave dado polas inversas das parametrizacións locais.
miniatura| Unha hiperboloide de dúas follas
miniatura| Un toro
miniatura| Un helicoide
**Exemplos simples.** Un exemplo sinxelo de superficie regular vén dado pola 2-esfera {{Math|{(*x*, *y*, *z*)  *x*2 + *y*2 + *z*2  1}} }; esta superficie pode estar cuberta por seis formas de Monge (dous de cada un dos tres tipos indicados anteriormente), tomando  . Tamén se pode cubrir mediante dúas parametrizacións locais, utilizando a  proxección estereográfica. O conxunto {{Math|{(*x*, *y*, *z*) : ((*x*2 + *y*2)1/2 − *r*)2 + *z*2  
*R*2}} } é un toro de revolución con raios  e . É unha superficie regular; as parametrizacións locais pódense dar da forma

: f(s,t)=\big((R \cos s +r)\cos t, (R \cos s +r) \sin t, R\sin s\big).

A hiperboloide en dúas follas {{Math|{(*x*, *y*, *z*) : *z*2  1 + *x*2 + *y*2}} } é unha superficie regular; pódese cubrir por dúas formas de Monge, con  . O helicoide aparece na teoría das superficies mínimas. Está cuberto por unha soa parametrización local,  .

### Vectores tanxentes e vectores normais 
Sexa  unha superficie regular en , e sexa  un elemento de . Usando calquera das definicións anteriores, pódense sinalar certos vectores en  como tanxentes a  en , e certos vectores en  como ortogonais a  en  .

Vese que o *espazo tanxente* ou *plano tanxente* a  en , que se define como formado por todos os vectores tanxentes a  en , é un subespazo linear bidimensional de ; adoita denotarse por . 

O *espazo normal* a  en , que se define como formado por todos os vectores normais a  en , é un subespazo linear unidimensional de  que é ortogonal ao espazo tanxente . Como tal, en cada punto  de , hai dous vectores normais de lonxitude unidade (vectores normais unidade). Os vectores normais unidade en  pódense dar en termos de parametrizacións locais, formas de Monge ou funcións de definición locais, a través das fórmulas

: \pm\left.\frac{\frac{\partial f}{\partial u}\times\frac{\partial f}{\partial v}}{\big\|\frac{\partial f}{\partial u}\times\frac{\partial f}{\partial v}\big\|}\right|_{f^{-1}(p)},\qquad \pm\left.\frac{\big(\frac{\partial h}{\partial u},\frac{\partial h}{\partial v},-1\big)}{\sqrt{1+\big(\frac{\partial h}{\partial u}\big)^2+\big(\frac{\partial h}{\partial v}\big)^2}}\right|_{(p_1,p_2)},\qquad\text{ou}\qquad\pm\frac{\nabla F(p)}{\big\|\nabla F(p)\big\|},

seguindo as mesmas notacións que nas definicións anteriores.

Tamén é útil observar unha definición "intrínseca" dos vectores tanxentes, que é típica da xeneralización da teoría de superficies regulares para a configuración de variedades suaves. Define o espazo tanxente como un espazo vectorial real bidimensional abstracto, máis que como un subespazo linear de . Nesta definición, dise que un vector tanxente a  en  é unha asignación, a cada parametrización local  con , de dous números  e , tal que para calquera outra parametrización local  con  (e cos números correspondentes  e  ), temos

: \begin{pmatrix}X^1\\ X^2\end{pmatrix}=A_{f'(p)}\begin{pmatrix}(X')^1\\ (X')^2\end{pmatrix},

onde  é a matriz jacobiana da representación , avaliada no punto . A colección de vectores tanxentes a  en  ten naturalmente a estrutura dun espazo vectorial bidimensional. Un vector tanxente neste sentido corresponde a un vector tanxente no sentido anterior considerando o vector

: X^1\frac{\partial f}{\partial u}+X^2\frac{\partial f}{\partial v}.

en . A condición jacobiana en  e  asegura, pola regra da cadea, que este vector non depende de  .

Para funcións suaves nunha superficie, os campos vectoriais (é dicir, os campos vectoriais tanxentes) teñen unha interpretación importante como operadores ou derivacións de primeira orde. 

Sexa S unha superficie regular, U un subconxunto aberto do plano e f:U\rightarrow S unha carta de coordenadas ou marco local. Se V=f(U), o espazo C^\infty(U) pódese identificar con C^\infty(V). Do mesmo xeito f identifica campos vectoriais U con campos vectoriais en V. Tomando as variábeis estándar  e , un campo vectorial ten a forma X= a\partial_u + b\partial_v, con funcións suaves  e . Se X é un campo vectorial e g é unha función suave, entón Xg tamén é unha función suave. O operador diferencial de primeira orde X é unha *derivación*, é dicir, cumpre a regra de Leibniz X(gh)= (Xg) h + g (Xh).

Para os campos vectoriais  e  é sinxelo comprobar que o operador [X,Y]=XY-YX é unha derivación correspondente a un campo vectorial. Chámase corchete de Lie [X,Y]. É antisimétrico [X,Y]=-[Y,X] e satisfai a identidade de Jacobi:

:  [[X,Y],Z] + [[Y,Z],X] + [[Z,X],Y]=0.

En resumo, os campos vectoriais en U ou V forman unha álxebra de Lie baixo o corchete de Lie.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
*; translated from the Russian by K. Vogtmann and A. Weinstein.
*
*
*
*
*; translated from 2nd edition of * Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann* (1951) by James Glazebrook.
*; translated from Russian by V. V. Goldberg with a foreword by S. S. Chern.
*
*
*
*
*
* Volume I (1887), Volume II (1915) , Volume III (1894), Volume IV (1896).
*
*
*
*
*.
*.
* translated by A.M. Hiltebeitel and J.C. Morehead; "Disquisitiones generales circa superficies curvas", *Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores* Vol. **VI** (1827), pp.&nbsp;99–146.
**.
**.
*
*
*
* 
*
*
*
*
*
*
*
*,
*
*
*
*
*
*
*
*
* Ian R. Porteous (2001) *Geometric Differentiation: for the intelligence of curves and surfaces*, Cambridge University Press .
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
* Full text of book
* 
*
*

### Outros artigos 
* Superficie (matemáticas)
* Superficie (topoloxía)
* Variedade diferenciábel
* Regra da cadea