Función parcial

En matemáticas, unha **función parcial**  dun conxunto  a un conxunto  é unha función dun subconxunto  de   a . O subconxunto , é dicir, o *dominio* de f visto como función, chámase **dominio de definición** ou **dominio natural** de f. Se  é igual , é dicir, se f se define en todos os elementos de , entón dise que f é unha **función total**.

Noutras palabras, 
f é unha relación tal que a restrición de f ao seu domínio é unha función.

A miúdo úsase unha función parcial cando non se coñece o seu dominio exacto de definición ou é difícil de especificar. Non obstante, mesmo cando se coñece o dominio exacto da definición, as funcións parciais adoitan usarse por sinxeleza ou  brevidade. Este é o caso do cálculo, onde, por exemplo, o cociente de dúas funcións é unha función parcial cuxo dominio de definición non pode conter os ceros do denominador; neste contexto, unha función parcial é xeralmente chamada simplemente  .

Cando se usa a notación de frecha para funcións, unha función parcial f dende X a Y ás veces escríbese como f : X \rightharpoonup Y,f : X \nrightarrow Y.

En concreto, para unha función parcial f : X \rightharpoonup Y, e calquera x \in X, temos:

* f(x) = y \in Y (é un único elemento en  ), ou
* f(x) está indefinido.

Por exemplo, se f é a función raíz cadrada restrinxida aos números enteiros

: f : \Z \to \N, definido por:
: f(n) = m se, e só se, m^2 = n,m \in \N, n \in \Z,

logo f(n) só se define se n é un cadrado perfecto (é dicir, 0, 1, 4, 9, 16, \ldots ). Entón f(25) = 5 mais f(26) está indefinido.

## Conceptos básicos 
Moitas propiedades das funcións pódense ampliar nun sentido apropiado para as funcións parciais. Dise que unha función parcial é inxectiva, sobrexectiva ou bixectiva cando a función dada pola restrición da función parcial ao seu dominio de definición é inxectiva, sobrexectiva e bixectiva, respectivamente.

Como unha función é trivialmente sobrexectiva cando está restrinxida á súa imaxe, o termo bixección parcial denota unha función parcial que é inxectiva.

## Discusión e exemplos 
### Logaritmo natural 
Considere a función do logaritmo natural que mapea os números reais en si mesmos. O logaritmo dun real non positivo non é un número real, polo que a función do logaritmo natural non asocia ningún número real do codominio con ningún número real non positivo do dominio. Polo tanto, a función de logaritmo natural non é unha función cando se ve como unha función dos reais en si mesmos, senón que é unha función parcial. Se o dominio está restrinxido para incluír só os reais positivos (é dicir, se a función do logaritmo natural é vista como unha función dos reais positivos aos reais), entón o logaritmo natural é unha función.

### Na teoría de categorías 
Na teoría de categorías, ao considerar a operación de composición de morfismos en categorías concretas, a operación de composición \circ \;:\; \hom(C) \times \hom(C) \to \hom(C) é unha función total se e só se \operatorname{ob}(C) ten un elemento. A razón disto é que dous morfismos f : X \to Y e g : U \to V só poden ser compostos como g \circ f se Y = U, é dicir, o codominio de f debe ser igual ao dominio de g.

A categoría de conxuntos e funcións parciais é equivalente pero non isomorfa coa categoría de conxuntos apuntados e mapas de conservación de puntos. Un libro de texto sinala que "Esta realización formal de conxuntos e mapas parciais engadindo elementos "impropios" e "infinitos" reinventouse moitas veces, en particular, na topoloxía (compactación dun punto).

### Na álxebra abstracta 
A álxebra parcial xeneraliza a noción de álxebra universal ás operacións parciais. Un exemplo sería un corpo, no que a inversión multiplicativa é a única operación parcial adecuada (porque a división por cero non está definida).

### Cartas e atlas para variedades e fibrados 
As cartas dos atlas que especifican a estrutura das variedades e dos fibrados son funcións parciais. No caso das variedades, o dominio é o conxunto de puntos da variedade. No caso dos  fibrados, o dominio é o espazo do fibrado. Nestas aplicacións, a construción máis importante é o mapa de transición, que é a composición dunha carta coa inversa doutra. A clasificación inicial de variedades e fibrados exprésase en gran medida en termos de restricións nestes mapas de transición.

O motivo do uso de funcións parciais en lugar de funcións é permitir que se representen topoloxías globais xerais unindo parches locais para describir a estrutura global. Os "parches" son os dominios onde se definen as cartas.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Martin Davis (1958), *Computability and Unsolvability*, McGraw–Hill Book Company, Inc, New York. Republished by Dover in 1982. .
* Stephen Kleene (1952), *Introduction to Meta-Mathematics*, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Netherlands, 10th printing with corrections added on 7th printing (1974). .
* Harold S. Stone (1972), *Introduction to Computer Organization and Data Structures*, McGraw–Hill Book Company, New York.
### Outros artigos 
* Continuación analítica.
* Función logaritmo.