Número euleriano

En combinatoria, o **número euleriano** A(n,k) é o número de permutacións dos números 1 a *n* no que exactamente *k* elementos son maiores que o elemento anterior (permutacións con *k* "ascendentes").

Leonhard Euler investigounos e tamén os seus  polinomios asociados no seu libro de 1755 *Institutiones calculi differentialis.*
[dereita|miniatura|303x303px| Os polinomios actualmente coñecidos como polinomios eulerianos no traballo de Euler de 1755, [Institutiones calculi differentialis, parte 2, p. 485/6. Os coeficientes destes polinomios coñécense como números eulerianos.]]
Outras notacións para A(n,k) son E(n,k) e \textstyle \left\langle {n \atop k} \right\rangle.

## Definición 
Os **polinomios eulerianos** A_n(t) están definidos pola función xeradora exponencial

: \sum_{n=0}^{\infty} A_{n}(t) \,\frac{x^n}{n!} = \frac{t-1}{t - e^{(t-1)\,x}}.

Os **números eulerianos** A(n,k) pódense definir como os coeficientes dos polinomios eulerianos:

: A_{n}(t) = \sum_{k=0}^n A(n,k)\,t^k.

Unha fórmula explícita para A(n,k) é 

: alt=A plot of the Eulerian numbers with the second argument fixed to 5.|miniatura| Un gráfico dos números eulerianos co segundo argumento fixado en 5. A(n,k)=\sum_{i=0}^{k}(-1)^i \binom{n+1}{i} (k+1-i)^n.

## Propiedades básicas 
* Para un *n* fixo hai unha única permutación que ten 0 ascendentes: (n, n-1, n-2, \dots, 1). De feito, como {\tbinom n 0}=1 para todos os n, A(n, 0) = 1. Isto inclúe formalmente o conxunto baleiro de números, n=0. E A_0(t)=A_1(t)=1.
* Para k=1, a fórmula explícita implica que A(n,1)=2^n-(n+1), unha sucesión en n que consiste nos números 0, 0, 1, 4, 11, 26, 57, \dots.
* Inverter completamente unha permutación con *k* ascendentes crea outra permutación na que hai *n-k-1* ascendentes. Polo tanto A(n, k) = A(n, n-k-1). Así que tamén hai unha única permutación que ten *n-1* ascendentes, esta é  a permutación ascendente (1, 2, \ldots, n). Así, tamén A(n, n-1) é igual a 1.
* Para k\ge n > 0, os valores son formalmente cero, o que significa que moitas sumas sobre k pódense escribir cun índice superior só ata n-1. Tamén significa que os polinomios A_{n}(t) son realmente de grao n-1 para n>0.

A tabulación dos números nunha matriz triangular chámase **triángulo de Euler**. Comparte algunhas características comúns co triángulo de Pascal. Valores de A(n, k)      para 0 \le n \le 9 son:

:

## Cálculo 
Para valores maiores de n, A(n,k) tamén se pode calcular usando a fórmula recursiva

: A(n,k)=(n-k)\,A(n-1,k-1) + (k+1)\,A(n-1,k).

Esta fórmula pode ser motivada a partir da definición combinatoria e, polo tanto, serve como punto de partida natural para a teoría.

Aplicando a recorrencia a un exemplo, podemos atopar

: A(4,1)=(4-1)\,A(3,0) + (1+1)\,A(3,1)=3 \cdot 1 + 2 \cdot 4 = 11.

Así mesmo, os polinomios eulerianos pódense calcular pola recorrencia

: A_{0}(t) = 1,
: A_{n}(t) = A_{n-1}'(t)\cdot t\,(1-t) + A_{n-1}(t)\cdot (1+(n-1)\,t),\text{ for } n > 1.

A segunda fórmula pódese transformar nunha forma con sumatorio,

: A_{n}(t) = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} A_{k}(t)\cdot (t-1)^{n-1-k}, \text{ for } n > 1.

## Identidades 
Os números eulerianos dividen as permutacións de n elementos, polo que a súa suma é igual ao factorial n! . Así temos

: \sum_{k=0}^{n-1} A(n,k) = n!, \text{ for }n > 0.

con A(0,0)=0!. Para evitar conflitos coa convención de suma baleira, é conveniente simplemente indicar os teoremas só para n>0.

Moito máis xeralmente, para unha función fixada f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} integrábel no intervalo (0, n)

: \sum_{k=0}^{n-1} A(n, k)\, f(k) = n!\int_0^1 \cdots \int_0^1 f\left(\left\lfloor x_1 + \cdots + x_n\right\rfloor\right) {\mathrm d}x_1 \cdots {\mathrm d}x_n 

**A identidade de Worpitzky**  expresa x^n como a combinación linear de números eulerianos con coeficientes binomiais:

: \sum_{k=0}^{n-1}A(n,k)\binom{x+k}{n}=x^n.

Dela, despréndese que

: \sum_{k=1}^{m}k^n=\sum_{k=0}^{n-1} A(n,k) \binom{m+k+1}{n+1}.

### Fórmulas que implican sumas alternadas 
A suma alternada dos números eulerianos para un valor fixo de *n* está relacionado co número de Bernoulli B_{n+1} do seguinte xeito

: \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k A(n,k) = 2^{n+1}(2^{n+1}-1) \frac{B_{n+1}}{n+1}, \text{ para }n > 0.

### Fórmulas que implican polinomios 
A propiedade de simetría implica:

: A_n(t) = t^{n-1} A_n(t^{-1}) 

Os números eulerianos están implicados na función xeradora da secuencia das potencias *n-*ésimas:

: \sum_{i=1}^\infty i^n x^i = \frac{1}{(1-x)^{n+1}}\sum_{k=0}^n A(n,k)\,x^{k+1} = \frac{x}{(1-x)^{n+1}}A_n(x)

Unha expresión explícita para os polinomios eulerianos é

A_n(t) = \sum_{k=0}^n \left\{ {n \atop k} \right\} k! (t-1)^{n-k}

onde \left\{ {n \atop k} \right\} son os números de Stirling do segundo tipo.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
*
* 
### Outros artigos 
* Número de Bernoulli.
### Ligazóns externas 
*Eulerian Polynomials at OEIS Wiki. 
*
*
*
*
*Euler-matrix (generalized rowindexes, divergent summation)