Nó de trevo

miniatura|Como facer un nó de trevo (vídeo)
O **nó trevo**, **nó de trevo** ou **nó trifolio** é o exemplo máis sinxelo dun nó non trivial. Pódese obter unindo os dous extremos, dando como resultado un lazo anoado. Do mesmo xeito que o nó simple, o nó trevo é fundamental para o estudo da teoría matemática de nós, onde ten diversas aplicacións en topoloxía e xeometría.

O nó chámase así polo seu parecido coas follas do trevo.

## Descrición 
O **nó de trevo** pódese definir coas seguintes ecuacións paramétricas:

: ·         x = \sin t + 2 \sin 2t
: \qquad y=\cos t - 2 \cos 2t
: \qquad z=-\sin 3t

Calquera deformación continua da curva anterior tamén é  considerada un nó de trevo. En concreto, calquera curva isotópica nun nodo de trevo tamén se considera un nodo de trevo. Ademais, a imaxe especular (ou espellada) dun nó de trevo tamén se considera un trevo. En topoloxía e teoría de nós, o trevo normalmente defínese usando un diagrama de nós en lugar dunha ecuación paramétrica explícita.

Na xeometria alxébrica, o trevo tamén pode ser obtido como a intersección en **C**2 da esfera tridimensional unitaria *S*3 coa curva plana complexa de ceros do polinomio complexo *z*2&nbsp;+&nbsp;*w*3 (unha parábola semicúbica).

Se un extremo dunha cinta ou faixa se xira tres veces e despois se pega ao outro, o bordo do papel forma un nó de folla de trevo.

## Simetría 
O **nó de trevo** é quiral, no sentido de que se pode distinguir da súa propia imaxe especular. As dúas variantes resultantes coñécense como **trevo zurdo** e **trevo destro.** Non é posíbel deformar continuamente un trevo zurdo nun trevo destro, ou viceversa. (É dicir, os dous trevos non son isotópicos). Aínda que o nó trevo é quiral, tamén é invertíbel, o que significa que non hai distinción entre un trevo orientado no sentido antihorario e un trevo orientado no sentido horario. É dicir, a quiralidade dun trevo depende só da forma en que se producen os cruces, non da orientación da curva.
miniatura|220x220px| O nó da man convértese nun nó de trevo xuntando os extremos.

## Non trivialidade 
O **nó de trevo** non é trivial, o que significa que non é posible "desatar" un nó de trevo en tres dimensións sen cortalo. Desde un punto de vista matemático, isto significa que un nó trevo non é isotópico a un círculo, que é o nó trivial. En particular, non hai unha secuencia de movementos de Reidemeister que desata un trevo.

Probar isto require construír un nodo invariante que distinga o trevo do nodo trivial. O invariante máis sinxelo que fai isto é a propiedade de ser tricolorizábel ou non: o trevo é tricolorizábel, pero o nó trivial non. Ademais, practicamente todos os invariantes de nós polinómicos distinguen o trevo dun nodo trivial, como a maioría dos invariantes de nodos relevantes.

## Clasificación 
Na teoría dos nós, o **nó de trevo** é o primeiro nó non trivial, e é o único nó con tres cruces. É un nodo primo, e aparece como 3_1 en notación de Alexander-Briggs. A notación de Dowker para o trevo é 4 6 2, e a notación de Conway para o trevo é [3].

O trevo pódese describir como o nó toral (2,3). Tamén é o nó que se obtén ao pechar a trenza σ13.

O trevo é un nó alternado. Non obstante, non é un nó de corte, o que significa que non restrinxe un disco bidimensional suave á bola de catro dimensións; unha forma de probalo é notar que a súa sinatura non é cero. Outra proba é que o teu polinomio de Alexander non cumpre a condición de Fox-Milnor.

O trevo é un nó fibrado, o que significa que o seu complemento S^3 é un feixe de fibras no círculo S^1. No modelo trevo como o conxunto de pares (z,w) de números complexos tales que |z|^2+|w|^2=1 e z^2+w^3=0, este paquete de fibras ten o mapa de Milnor \phi(z,w)=(
z^2+w^3)/|z^2+w^3| como a súa fibración, e un toro cun burato como superficie da fibra.

## invariantes 
O polinomio de Alexander do nó de trevo éː

: \Delta(t) = t - 1 + t^{-1}, \, 

e o polinomio de Conway éː

: \nabla(z) = z^2 + 1. 

O polinomio de Jones é ː

: V(q) = q^{-1} + q^{-3} - q^{-4}, \, 

e o polinomio de Kauffman do trevo éː

: L(a,z) = za^5 + z^2a^4 - a^4 + za^3 + z^2a^2-2a^2. \, 

O grupo do nó do trevo vén dado pola presentación

: \langle x,y \mid x^2=y^3 \rangle \, 

ou, equivalentemente,

: \langle x,y \mid xyx=yxy \rangle. \,  

Este grupo é isomorfo ao grupo de trenzas de tres cordas.

## Na relixión e na cultura 
Como o nó non trivial máis sinxelo, o nó trevo é un motivo común en iconografía e artes visuais. Por exemplo, a forma común do símbolo triquetra é un trevo, como algunhas versións do Valknut. Tamén é un símbolo usado empregado por San Patricio como metáfora da Trindade, debido a que xa era unha planta e un número (o tres) significativo para os nativos da illa. 

### Galería de fotos 

Ficheiro:Superfície - bordo trifólio.jpg|Superficie dun nó de trevo
Ficheiro:Superfície não orientável - Bordo trifólio.jpg|Superficie non orientábel dun nó de trevo
Ficheiro:Trefoil-non-3-symm.svg|Forma dun nó de trevo sen simetría visual tridimensional
Ficheiro:Tricoloring.png|O nó de trevo é un nó tricolorizábel
Ficheiro:Torus_Knot_2-3_Trefoil_Knot_by_Robbie_Conceptuel.gif|Visualización tridimensional dunha curva isotópica ao nó de trevo
Ficheiro:Blue Trefoil Knot.png
Ficheiro:Triquetra-Vesica.svg
Ficheiro:Superfície - Lema azul.jpg|Superficie ilustrando o bordo do nó trifolio, parte do acervo da *Matemateca IME-USP*

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Nó  
* Teoría de nós
* Triquetra, símbolo orixinario da tradición celta e doutras tradicións que se relaciona co nó de trevo
* Cruz carolinxia
* Trevo
* Shamrock

### Ligazóns externas 
* [Wolframalpha: nó (2,3)-toro](http://www.wolframalpha.com/input/?i=(2,3)-torus+knot)