Polinomios de Bernoulli

En matemáticas os **polinomios de Bernoulli**  B_n (x)  son definidos mediante unha función xeradora exponencial, tal como se expón a continuación:

:  \frac{et^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n = 0}^\infty B_n (x) \frac{t^n}{n!}.

Aparecen no estudo de moitas funcións especiais, en particular da función zeta de Riemann e da función zeta de Hurwitz. Os números de Bernoulli  b_n  (normalmente expresados como  B_n  e escritos aquí con minúscula para distinguilos dos polinomios) son os termos independentes dos polinomios correspondentes,  b_n = B_n (0) .

A identidade  B_{k+1}(x+1)-B_{k+1}(x) = (k+1) x^k \,  expón unha forma pechada da suma dos  primeiros números enteiros positivos elevados a unha potencia ,

:  \sum_{i = 1}^n{i^k}= 1^k+2^k+\cdots+n^k = \frac{B_{k+1}(n+1)-B_{k+1}(0)}{k+1}.

Un conxunto similar de polinomios, baseado nunha función xeradora, é a familia de **polinomios de Euler**. Neste artigo mencionaremos propiedades e fórmulas para ambas as dúas familias.

## Representacións 
### Funcións xeradoras exponenciais 
A funcións xeradora para os polinomios de Bernoulli é
: \frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}.

E para os polinomios de Euler é
:\frac{2 e^{xt}}{e^t+1}= \sum_{n=0}^\infty E_n(x) \frac{t^n}{n!}.

### Fórmula explícita
Para os polinomios de Bernoulli B_n(x) e mais Euler E_n(x) respectivamente, temos,
 
:B_n(x) = \sum_{k=0}^n {n \choose k} B_{n-k} x^k,
: E_m(x)=
\sum_{k=0}^m {m \choose k} \frac{E_k}{2^k}
\left(x-\tfrac12\right)^{m-k}.
para n \geq 0, onde os B_k son os números de Bernoulli, e os E_k son os números de Euler.

Dedúcese logo que  
:B_n(0) = B_n (numeradores  e denominadores )
e 
:E_m\big(\tfrac{1}{2}\big) = \tfrac{1}{2^m} E_m (, tendo en conta que hai quen usa outro criterio usando só os números de índice par, ver números de Euler).

## Expresión de polinomios de menor grao 
Os primeiros polinomios de Bernoulli son:
:B_0(x)=1\,
:B_1(x)=x-1/2\,
:B_2(x)=x^2-x+1/6\,
:B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x\,
:B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}\,
:B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x\,
:B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}\,.

Os primeiros polinomios de Euler son:
:
\begin{align}
E_0(x) & = 1, &
E_4(x) & = x^4 - 2x^3 + x,
\\[4mu]
E_1(x) & = x - \tfrac{1}{2}, &
E_5(x) & = x^5 - \tfrac{5}{2}x^4 + \tfrac{5}{2}x^2 - \tfrac{1}{2},
\\[4mu]
E_2(x) & = x^2 - x, &
E_6(x) & = x^6 - 3x^5 + 5x^3 - 3x,
\\[-1mu]
E_3(x) & = x^3 - \tfrac{3}{2}x^2 + \tfrac{1}{4},
\qquad \ \ & &\ \,\, \vdots
\end{align}

## Propiedades dos polinomios de Bernoulli 
### Diferenzas 
Os polinomios de Bernoulli e Euler obedecen a moitas relacións do cálculo sombra usado por Édouard Lucas, por exemplo.

:B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1}\,
:E_n(x+1)+E_n(x)=2x^{n}\,

### Derivadas 
:B_n'(x)=nB_{n-1}(x)\,
:E_n'(x)=nE_{n-1}(x)\,

### Translacións 
:B_n(x+y)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} B_k(x) y^{n-k}
:E_n(x+y)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} E_k(x) y^{n-k}

### Simetrías 
:B_n(1-x)=(-1)^n B_n(x)
:E_n(1-x)=(-1)^n E_n(x)
:(-1)^n B_n(-x) = B_n(x) + nx^{n-1}
:(-1)^n E_n(-x) = -E_n(x) + 2x^n

### Outras propiedades 
:\forall n\in\N, B_n (x) =2^{n-1} \left( B_n \left( \frac{x}{2} \right) + B_n \left( \frac{ x+1}{2} \right) \right) 
:\forall p\in\N,\forall n\in\N,\sum_{k=0}^n k^p = \frac{B_{p+1}(n+1) - B_{p +1}(0)}{p+1}

Esta última igualdade, deducida da fórmula de Faulhaber, provén da igualdade: \int_x ^{x+1} B_n(t) \,\mathrm{d}t = x^n ou, máis sinxelamente, a serie telescópica
:\sum_{k=0}^n\left(B_m(k+1)-B_m(k)\right)=B_m(n+1)-B_m(0).

## Serie de Fourier 
A serie de Fourier dos polinomios de Bernoulli tamén é unha serie de Dirichlet, dada polo desenvolvemento :
: B_n(x)=-\frac{n!}{(2\pi \mathrm{i})^n}\sum_{k\in\Z\atop k\ne0}\frac{\mathrm{ e}^{2\pi\mathrm{i}kx}}{k^n}=-n!\sum_{k=1}^\infty\frac{\mathrm e^{2\pi\mathrm ikx}+ (-1)^n\mathrm e^{-2\pi\mathrm ikx}}{(2\pi\mathrm{i}k)^n}=-2\,n!\sum_{k=1}^ {\infty}\frac{\cos\left(2k\pi x-\frac{n\pi}2\right)}{(2k\pi)^n},
válido só para  0 \le x \le 1  cando n \ge 2 e para 0  cando n = 1.

Este é un caso especial da fórmula de Hurwitz.

## Integrais e relacións coa función zeta de Riemann 
Dúas integrais definidas que relacionan os polinomios de Bernoulli e Euler cos números de Bernoulli e Euler son:

*\int_0^1 B_n(t) B_m(t)\,dt = (-1)^{n-1} \frac{m!\, n!}{(m+n)!} B_{n+m} \quad \text{for } m,n \geq 1 
*\int_0^1 E_n(t) E_m(t)\,dt = (-1)^{n} 4 (2^{m+n+2}-1)\frac{m!\,n!}{(m+n+2)!} B_{n+m+2}

Outra integral dános 
*\int_0^{1}E_{n}\left( x +y\right)\log(\tan \frac{\pi}{2}x)\,dx= n! \sum_{k=1}^{\left\lfloor\frac {n+1}2\right\rfloor} \frac{(-1)^{k-1}}{ \pi^{2k}}   \left( 2-2^{-2k} \right)\zeta(2k+1) \frac{y^ {n+1-2k}}{(n +1- 2k)!}

e casos particulares sen a variábel y onde aparecen a función zeta de Riemann
*\int_0^{1}E_{2n-1}\left( x \right)\log(\tan \frac{\pi}{2}x)\,dx=
\frac{(-1)^{n-1}(2n-1)!}{\pi^{2n}}\left( 2-2^{-2n} \right)\zeta(2n+1)
*\int_0^{1}B_{2n-1}\left( x \right)\log(\tan \frac{\pi}{2}x)\,dx=
\frac{(-1)^{n-1}}{\pi^{2n}}\frac{2^{2n-2}}{(2n-1)!}\sum_{k=1}^{n}( 2^{2k+1}-1 )\zeta(2k+1)\zeta(2n-2k)
*\int_0^{1}E_{2n}\left( x \right)\log(\tan \frac{\pi}{2}x)\,dx=\int_0^{1}B_{2n}\left( x \right)\log(\tan \frac{\pi}{2}x)\,dx=0
*\int_{0}^{1}{{{B}_{2n-1}}\left( x \right)\cot \left( \pi x \right)dx}=\frac{2\left( 2n-1 \right)!}{{{\left( -1 \right)}^{n-1}}{{\left( 2\pi \right)}^{2n-1}}}\zeta \left( 2n-1 \right).

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Zwillinger, D. *CRC Standard Mathematical Tables and Formulae*, CRC Press, 2003. ISBN 1584882913.
* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. *Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables*, (1972) Dover, New York. *(Ver  capítulo 23)*
*  *(Ver  capítulo 12.11)*

* 
*  *(Reviews relationship to the Hurwitz zeta function and Lerch transcendent.)*
* 
### Outros artigos 
* Número de Bernoulli

### Ligazóns externas 
* Polinomios de Bernoulli no sitio Mathworld