Integral múltiple

miniatura|A integral dobre como o volume baixo unha superficie. A rexión rectangular baixo a figura é o dominio de integración, mentres que a superficie é a gráfica da función de dúas variables da integral.
Unha **integral múltiple** é un tipo de integral definida aplicada a funcións de máis dunha variable real, por exemplo, f(x,y) ou f(x,y,z). As integrais dunha función en dúas variables nunha rexión en R2 chámanse integrais dobres e as integrais de funcións de tres variables sobre unha rexión de R3 chámanse integrais triplas.

## Introdución 
Da mesma maneira en que a integral dunha función positiva f(x) dunha variable definida nun intervalo pode interpretarse como a área entre a gráfica da función e o eixe X nese intervalo, a dobre integral dunha función positiva f(x,y) de dúas variables, definida nunha rexión do plano XY, pódese interpretar como o volume entre a superficie definida pola función e o plano XY nese intervalo. Ao realizar unha integral tripla dunha función f(x,y,z) definida nunha rexión do espazo XYZ, o resultado é un hipervolume; con todo, é bo notar que se f(x,y,z)=1 o resultado pódese interpretar como o volume da rexión de integración. Para integrais de ordes superiores, o resultado xeométrico corresponde a hipervolumes de dimensións cada vez superiores.

A maneira máis usual de representar unha integral múltiple é aniñando signos de integración na orde inversa á orde de execución (o de máis á esquerda é o último en ser calculado), seguido da función e os diferenciais en orde de execución. O dominio de integración represéntase sobre cada signo de integral, ou a miúdo abréviase por unha letra no signo de integral de máis á dereita:
{{ecuación|

\iint \ldots \int_\mathbf{D}\;f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \;\mathbf{d}x_1 \mathbf{d}x_2\!\ldots\mathbf{d}x_n

||left}}

É importante salientar que non é posible calcular a función primitiva ou antiderivada dunha función de máis dunha variable polo que as integrais múltiples *indefinidas* non existen.

## Definición 
Unha forma sinxela de definir as integrais múliples é mediante a súa representación xeométrica como a magnitude do espazo entre o obxecto definido pola ecuación x_{n+1} = f(x_1,...,x_n) e unha rexión T no espazo definido polos eixes das variables independentes da función f (se T é unha rexión pechada e limitada e f está definida nesta). Por exemplo, se n=2, o volume situado entre a superficie definida por x_3 = f(x_1,x_2) e unha rexión T no plano X_1X_2 é igual a algunha integral dobre, se é que, como se mencionou, f está definida en T.

T pode dividirse nunha partición interior \Delta formada por m subrexións rectangulares sen solapamento que estean completamente contidas en T. A norma ||\Delta|| desta partición está dada pola diagonal máis longa nas m subrexións.

Se se toma un punto (x_{1i}, x_{2i},..., x_{ni}) que estea contido dentro da subrexión con dimensións \Delta x_{1i}\Delta x_{2i} ...\Delta x_{ni} para cada unha das m subrexións da partición, pódese construír un espazo cunha magnitude aproximada á do espazo entre o obxecto definido por x_{n+1} = f(x_1,...,x_n) e a subrexión *i*. Este espazo terá unha magnitude de:

:f(x_{1i}, x_{2i},\ldots, x_{ni})\Delta A_{i} = f(x_{1i}, x_{2i},\ldots, x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i} \ldots \Delta x_{ni}

Entón pódese aproximar a magnitude do espazo enteiro situado entre o obxecto definido pola ecuación x_{n+1} = f(x_1,...,x_n) e a rexión T mediante a suma de Riemann das magnitudes dos m espazos correspondentes a cada unha das subrexións:

:\sum_{i=1}^m f(x_{1i}, x_{2i},\ldots, x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i} \ldots \Delta x_{ni}

Esta aproximación mellora a medida que o número m de subrexións se fai maior. Isto suxire que se podería obter a magnitude exacta tomando o límite. Ao aumentar o número de subrexións diminuirá a norma da partición:

:\lim_{m \to \infty}\sum_{i=1}^m f(x_{1i}, x_{2i},\ldots, x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i} \ldots \Delta x_{ni} = \lim_{\|\Delta\| \to 0}\sum_{i=1}^m f(x_{1i}, x_{2i},\ldots, x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i} \ldots \Delta x_{ni}

O significado rigoroso deste último límite é que o límite é igual a *L* se e só se para todo \varepsilon > 0  existe un \delta > 0 tal que

:\left | L -\sum_{i=1}^m f(x_{1i}, x_{2i},\ldots, x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i} \ldots \Delta x_{ni} \right \vert  

para toda partición \Delta da rexión T(que satisfaga ||\Delta|| ), e para todas as eleccións posibles de (x_{1i}, x_{2i},..., x_{ni}) na *i*-ésima subrexión. Isto conduce á definición formal dunha integral múltiple:
:Se f está definida nunha rexión pechada e limitada T do definido polos eixes das variables independentes de f, a integral de f sobre T está dada por:
: \iint \ldots \int_{T} \,f(x_1,\ldots,x_n) dx_1 \ldots \,dx_n = \lim_{\|\Delta\| \to 0}\sum_{i=1}^m f(x_{1i}, x_{2i},\ldots, x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i} \ldots \Delta x_{ni}
:sempre que o límite exista. Se o límite existe dise que f é integrable con respecto a T.

## Propiedades 
As integrais múltiples comparten moitas das propiedades das integrais simples. Se *f* e *g* son funcións continuas nunha rexión pecha**d**a e limitada **D** nun espazo **Rn** e *c* unha constante con respecto a todas as variables involucradas entón pódese demostrar que:

1. 
:\iint \ldots \int_D\;c f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \;dx_1 dx_2 \ldots dx_n 
= c \iint \ldots \int_\mathbf{D}\;f(x_1,x_2,\ldots,x_n)
 \;dx_1 dx_2 \ldots dx_n

2.
:\iint \ldots \int_{D} \,[f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \pm g(x_1,x_2,\ldots,x_n)]
 dx_1\,dx_2 \ldots \,dx_n =
:\iint \ldots \int_{D} \,f(x_1,x_2,\ldots,x_n) dx_1\,dx_2 
\ldots \,dx_n \pm \iint \ldots \int_{D} \,g(x_1,x_2,\ldots,x_n) dx_1\,
dx_2 \ldots \,dx_n

3.
:Se \quad f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \geq 0, entón:
:\iint \ldots \int_{D} \,f(x_1,x_2,\ldots,x_n) dx_1\,dx_2
 \ldots \,dx_n \geq 0 

4.
:Se \quad f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \geq g(x_1,x_2,\ldots,x_n), entón: 
:\iint \ldots \int_{D} \,f(x_1,x_2,\ldots,x_n) dx_1\,dx_2 \ldots
 \,dx_n \geq \iint \ldots \int_{D} \,g(x_1,x_2,\ldots,x_n) dx_1\,dx_2 
\ldots \,dx_n

5.
:Sexa D a unión entre dúas rexións, D1 e D2, que non solapan entre si, entón:
:\iint \ldots \int_{D} \,f(x_1,x_2,\ldots,x_n) dx_1\,
dx_2 \ldots \,dx_n = 
:\iint \ldots \int_{D_1} \,f(x_1,x_2,\ldots,x_n) dx_1
\,dx_2 \ldots \,dx_n + \iint \ldots \int_{D_2} \,f(x_1,x_2,\ldots,x_n)
 dx_1\,dx_2 \ldots \,dx_n

## Integrais múltiples e integrais iteradas 
As integrais múltiples están estreitamente relacionadas coas integrais iteradas, as cales son necesarias para resolver as integrais múltiples. A diferenza entre integrais múltiples e iteradas consiste en que unha se refire ao concepto matemático de integral (aplicado a varias variables) e a outra ao procedemento polo cal se resolve a integral múltiple. Se a expresión
:\int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx
se refire a unha integral iterada, a parte externa
:\int_a^b \cdots \, dx
é a integral con respecto a *x* da función de *x*:
:g(x)=\int_c^d f(x,y)\,dy.

Unha integral dobre, en cambio está definida con respecto a unha área no plano XY. A integral dobre existe se e só se as dúas integrais iteradas existen e son iguais. É dicir, se a integral dobre existe, entón é igual á integral iterada, sen importar se a orde de integración é **dydx** ou **dxdy**, e polo xeral realízase calculando unha soa destas. Con todo, ás veces as dúas integrais iteradas existen sen ser iguais e neste caso non existe a integral dobre, xa que se ten:
:\int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx \neq \int_c^d\int_a^b f(x,y)\,dx\,dy.

Dunha maneira máis formal, o teorema de Fubini afirma que
:\int_{A\times B} |f(x,y)|\,d(x,y)

Isto é, se a integral é absolutamente converxente, entón a integral dobre é igual á integral iterada.
:\int_{A\times B} f(x,y)\,d(x,y)=\int_A\left(\int_B f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int_B\left(\int_A f(x,y)\,dx\right)\,dy.

Isto ocorre, cando f é unha función limitada e tanto A como B son rexións limitadas tamén. Isto enténdese facilmente pensando que se a función ou a rexión do dominio non están limitadas, a integral múltiple non pode existir.

A notación
:\int_{[a,b]\times[c,d]} f(x,y)\,dx\,dy
pódese empregar se se desexa ser enfático ao referirse a unha integral dobre e non a unha iterada.

## Métodos de integración 
### Funcións constantes 
No caso das funcións constantes, o resultado é trivial: simplemente multiplícase o valor da función constante *c* pola medida do dominio de integración. Se *c* = 1, e é integrada a través dunha rexión de R2 isto dá a área da rexión, mentres que se é unha rexión de R3 dá o volume da rexión e así sucesivamente.

Por exemplo:

::D = \{ (x,y)| \ 2 \le x \le 4 \ ; \ 3 \le y \le 6 \} y f(x,y) = c\,\!

:Integrando *f* sobre *D*:

::\int_3^6 \int_2^4 \ c \ dx\, dy = c \cdot \mbox{area}(D) = c \cdot (3 \cdot 2) = c \cdot 6.

### Uso de simetrías 
No caso dun dominio no que exista simetría polo menos respecto dun dos eixos, e onde a función para integrar conteña polo menos unha función impar con respecto a esa variable, a integral vólvese nula (xa que a suma de cantidades iguais con signo oposto é cero). Por exemplo
:Dada f(x,y) = 2 \ \sin(x) - 3 \ y^3 + 5 e que T = x^2 + y^2 \le 1 é o dominio de integración do disco de raio 1 centrado na orixe.

:Usando a propiedade linear das integrais, a integral descomponse en tres partes:
::\iint_T (2 \ \sin(x) - 3 \ y^3 + 5) \ dx \, dy = \iint_T 2 \ \sin(x) \ dx \, dy - \iint_T 3 \ y^3 \ dx \ dy + \iint_T 5 \ dx \ dy

Xa que tanto 2 sen(*x*) como 3*y*3 son funcións impares, e existe simetría tanto con respecto ao eixe X como con respecto ao eixe Y, as primeiras dúas integrais fanse nulas, de tal xeito que a integral orixinal é igual unicamente á terceira.
\iint_T (2 \ \sin(x) - 3 \ y^3 + 5) \ dx \, dy = \iint_T 5 \ dx \, dy = 5 \pi

### Cambio de variables 
En moitas ocasións, é útil para reducir a complexidade da integral cambiar unha variable por outra que resulte máis cómoda; con todo isto esixe o cambio da rexión de integración, ademais de engadir un factor de corrección ao diferencial coñecido como determinante jacobiano (en valor absoluto ou módulo). O cambio dunha variable por outra é nun sentido xeométrico, unha transformación dende un espazo até outro, e é esta transformación a que esixe estes axustes.

Se se emprega unha transformación que siga a relación:
f(y_1,\ldots,y_n) \rightarrow f(x_1(y_1,y_2,\ldots,y_n),\ldots,x_n(y_1,y_2,\ldots,y_n))

Entón pódese utilizar o jacobiano da transformación para simplificar a integral
:J=\frac{D(y_1,\ldots,y_n)}{D(x_1,\ldots,x_n)}= \begin{vmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_n}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_n}{\partial x_n} \end{vmatrix}

Integrando a función transformada no dominio de integración correspondente ás variables *x*, *y* multiplicando polo valor absoluto do determinante jacobiano e pola serie de diferenciais, obtense unha integral múltiple que é igual á integral orixinal, se é que esta existe.
:\iint \ldots \int_{D} \,f(y_1,\ldots,y_n) dy_1 \ldots \,dy_n = \iint \ldots \int_{T} \,f(x_1,\ldots,x_n) |J| dx_1 \ldots \,dx_n

A continuación danse algúns exemplos destas transformacións.

#### Coordenadas polares 
miniatura|270px|Transformación de coordenadas rectangulares a polares. Pódese notar que a área da rexión polar é distinta da área da rexión rectangular, o que justifica a necesidade do jacobiano. Tamén se pode demostrar que se se considera \rho = (\rho_1 + \rho_2)/2 (o raio medio), a área da rexión polar é efectivamente \rho \Delta \rho \Delta \theta.
Nun espazo R2, un dominio de integración que teña unha *simetría circular* é moitas veces susceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a polares, o que significa que cada punto P (x, y) do dominio dunha integral dobre tomará o seu valor correspondente en coordenadas polares mediante a seguinte transformación:
f(x,y) \rightarrow f(\rho \ \cos \theta,\rho \ \sin \theta )

Por exemplo:
:Se a función é f(x,y) = x + y\,\!
:aplicando a transformación obtense a función facilmente integrable con respecto a \phi e a \rho
::f(\rho, \phi) = \rho \cos \phi + \rho \sin \phi = \rho \ (\cos \phi + \sin \phi ).

Pódense obter funcións mesmo máis simples:
: Se a función é f(x,y) = x^2 + y^2\,\!
:Tense:
::f(\rho, \theta) = \rho^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = \rho^2\,\!
se se aplica a identidade trigonométrica pitagórica de senos e cosenos.

O determinante jacobiano da transformación é:
:\frac{\partial (x,y)}{\partial (\rho, \theta)} = 
\begin{vmatrix}
\cos \theta & - \rho \sin \theta \\
\sin \theta & \rho \cos \theta 
\end{vmatrix} = \rho

que se obtén inserindo as derivadas parciais de *x* = ρ cos(θ), e = ρ sen(θ) na primeira columna con respecto a ρ e na segunda con respecto a θ.

Polo tanto, unha vez transformada a función, e multiplicada polo seu determinante jacobiano, esta é igual á integral orixinal:
:\iint_D f(x,y) \ dx\, dy = \iint_T f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \rho \, d \rho\, d \theta.

#### Coordenadas esféricas 
dereita|miniatura|190x190px|Gráfica das coordenadas esféricas.
Cando existe simetría esférica nun dominio en R3, é posible empregar unha transformación en coordenadas esféricas para simplificar unha integral tripla. A función é transformada pola relación:
 f(x,y,z) \longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \phi, \rho \sin \theta \sin \phi, \rho \cos \phi)\,\! 

O determinante jacobiano da transformación é:
::\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho, \theta, \phi)} = 
\begin{vmatrix}
\frac{\partial (x)}{\partial (\rho)} & \frac{\partial (x)}{\partial (\theta)} & \frac{\partial (x)}{\partial (\phi)}\\
\frac{\partial (y)}{\partial (\rho)} & \frac{\partial (y)}{\partial (\theta)} & \frac{\partial (y)}{\partial (\phi)}\\
\frac{\partial (z)}{\partial (\rho)} & \frac{\partial (z)}{\partial (\theta)} & \frac{\partial (z)}{\partial (\phi)}
\end{vmatrix}
= 
\begin{vmatrix}
\cos \theta \sin \phi & - \rho \sin \theta \sin \phi  &  \rho \cos \theta \cos \phi\\
\sin \theta \sin \phi &   \rho \cos \theta \sin \phi & \rho \sin \theta \cos \phi \\
\cos \phi & 0 & - \rho \sin \phi
\end{vmatrix} = - \rho^2 \sin \phi

Tomando o valor absoluto do determinante obtense o factor que se debe engadir á integral.

Por tanto os diferenciais *dx dy dz* transfórmanse en ρ2 sen(φ) *d*ρ *d*θ *d*φ.

Finalmente obtense a fórmula de integración:
::\iiint_D f(x,y,z) \, dx\, dy\, dz = \iiint_T f(\rho \cos \theta \sin \phi, \rho \sin \theta \sin \phi, \rho \cos \phi) \rho^2 \sin \phi \, d\rho\, d\theta\, d\phi.

#### Coordenadas cilíndricas 
dereita|miniatura|190x190px|Gráfica das coordenadas cilíndricas (Móstrase o ángulo θ como φ).
O uso de coordenadas cilíndricas para transformar unha integral tripla, é conveniente especialmente cando o dominio de integración presenta simetría ao redor do eixe Z. A función transfórmase mediante a relación:
f(x,y,z) \rightarrow f(\rho \ \cos \theta,\rho \ \sin \theta, z) 

O determinate jacobiano da transformación é:
::\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho, \theta,z)} = 
\begin{vmatrix}
\cos \theta & \sin \theta & 0 \\
- \rho \sin \theta & \rho \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \rho 

Polo tanto, pódese derivar a fórmula de integración
:\iiint_D f(x,y,z) \, dx\, dy\, dz = \iiint_T f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta, z) \rho \, d\rho\, d\theta\, dz.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
### Outros artigos 
* Integral
* Teorema de Green
* Teorema de Stokes
* Teorema da diverxencia
* Teorema de Fubini
* Integral de Riemann