Medida da irracionalidade

miniatura| Aproximacións racionais á raíz cadrada de 2.
En matemáticas, unha **medida da irracionalidade** dun número real x é unha medida do "preto" que se pode aproximar mediante racionais.

Se unha función f(t,\lambda) , definida para t,\lambda>0, toma valores reais positivos e é estritamente decrecentes en ambas as variábeis, considere a seguinte desigualdade:

: 0

para un número real dado x\in\R e números racionais \frac pq con  p\in\mathbb Z, q\in\mathbb Z^+. Definimos R como o conxunto de todos os \lambda\in\R^+ para o que só  existen un número finito de \frac pq de forma que se satisfaga a desigualdade. Entón \lambda(x)=\inf R chámase unha medida da irracionalidade de x en relación a f. Se non hai tal \lambda e o conxunto R está baleiro, x dise que ten unha medida de irracionalidade infinita \lambda(x)=\infty.

En consecuencia, a desigualdade

: 0

ten como moito só un número de finitamente moitas solucións \frac pq para tódolos \varepsilon>0.

## Expoñente da irracionalidade 
O **expoñente de irracionalidade** ou **medida de irracionalidade de Liouville-Roth** vén dado pola funciónf(q ,\mu)=q^{-\mu}, unha definición que adapta a definición dos números de Liouville, o expoñente de irracionalidade \mu(x) defínese para números reais x sendo o supremo do conxunto de \mu tal que se satisfán as desigualdades 0  por un número infinito de pares de enteiros primos (p,q) con q>0.

Para calquera valor n, o conxunto infinito de todos os racionais p/q que satisfán a desigualdade anterior producen boas aproximacións de x. Pola contra, se n>\mu(x), entón hai como moito finitamente moitos coprimos (p,q) con q>0 que satisfán a desigualdade.

Outro xeito de expresalo sería 
:\mu(x):=\inf \bigg\{ \mu(x) \ge 0: \text{só hai finitamente moitos racionais } p/q \text{ tal que }  \left| x- \frac{p}{q} \right| 
:\mu(x):=\sup \bigg\{ \mu(x) \ge 0: \text{hai infinitamente moitos racionais } p/q \text{ tal que }  \left| x- \frac{p}{q} \right| 
### Algúns casos 
Por exemplo, sempre que unha aproximación racional \frac pq \approx x con p,q\in\N dá n+1 cifras decimais exactas, entón

: \frac{1}{10^n} \ge \left| x- \frac{p}{q} \right| \ge \frac{1}{q^{\mu(x)+\varepsilon}} 

para calquera \varepsilon >0, agás como máximo un número finito de pares "afortunados" (p,q).

Un número x\in\mathbb R con expoñente de irracionalidade \mu(x)\le 2 chámase *número diofantiano*, mentres que os números con \mu(x)=\infty chámanse números de Liouville.

### Forma construtiva 
Se temos que o \limsup_{n\to\infty} \tfrac1{n}{\ln |q_n|} \le \sigma e \lim_{n\to\infty} \tfrac1{n}{\ln |q_n x-p_n|} = - \tau para algúns números reais positivos \sigma,\tau, entón podemos estabelecer un límite superior para o expoñente de irracionalidade de x con: 

: \mu(x)\le 1 + \frac\sigma\tau.

### Corolarios 
*Os números racionais teñen un expoñente de irracionalidade 1, mentres que (como consecuencia do teorema da aproximación de Dirichlet) todo número irracional ten un expoñente de irracionalidade polo menos 2.

*Por outra banda, unha aplicación do lema de Borel-Cantelli mostra que case todos os números, incluídos todos os números irracionais alxébricos, teñen un expoñente de irracionalidade exactamente igual a 2. 

* Temos \mu(x)=\mu(rx+s) para números reais x e números racionais r\neq 0 e s. Se para algúns x temos \mu(x)\le\mu, entón dedúcese que \mu(x^{1/ 2})\le 2\mu.:368 

* Para un número real x dado pola súa expansión de fracción continua simple x = [a_0; a_1, a_2, ...] con converxentes p_i/q_i cúmprese: 

: \mu(x)=1+\limsup_{n\to\infty}\frac{\ln q_{n+1}}{\ln q_n}=2+\limsup_{n\to\infty}\frac{\ln a_{n+1}}{\ln q_n} . 

## Exemplos 
En primeiro lugar imos ver un **non exemplo**.
Se temos un dos primeiros converxentes da fracción continua de pi, por exemplo \dfrac{22}{7}, daquela teríamos
:  \bigg | \pi - \dfrac{22}{7} \bigg |  , implica  \ln 0.00126 = -6.676 .
Mais este converxente podería ser unha fracción "afortunada". En rigor deben procurarse secuencias con denominadores grandes e que a condición se cumpra para "finitamente moitos".

Para o exemplo da constante de Apéry (\zeta(3)) imos seguir parte do documento de Van der Porten. Roger Apéry descobre, mediante transformacións moito elaboradas, unhas recorrencias que aceleran o cálculo de zeta de 3, sendo  p(n-1)=34n^3 - 51 n^2 +27n - 5 :
:  n^3 a_n - p(n-1) a_{n-1} + (n-1)^3 a_{n-2} =0,
:  n^3 b_n - p(n-1) b_{n-1} + (n-1)^3 b_{n-2} =0.
E agora:
:  a_n b_{n-1} - a_{n} b_{n-1} = \dfrac{6}{n^3},
:  \bigg | \zeta(3) - \frac{a_n}{b_n} \bigg |= \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{6}{k^3 b_n b_{n-1}}. 
Isto implica
:   \zeta(3) - \frac{a_n}{b_n}  = O \bigg(\frac{1}{ b_n^2 }\bigg).

Isto xunto da recorrencia vista enrriba para b_n permite calculalo asintóticamente. Dado que os ceros do polinomio   x^2 - 34x + 1= 0 son   (\sqrt{2} \pm 1)^4 pódese concluír que  b_n = O \bigg( \alpha^{4n}\bigg)  con  \alpha = 1 + \sqrt{2} .

Por último 
:  \bigg | \zeta(3) - \frac{a_n}{b_n} \bigg |= O (\alpha^{8n}) = O (\frac{1}{q_n^{1+\delta}}) con  \delta = \dfrac{4\ln(\alpha) - 3}{4\ln(\alpha) + 3}=0.080529 \ldots que dá \delta^{-1} = 12.417820 \ldots e así
:  \bigg | \zeta(3) - \frac{p}{q}  \bigg | >  \frac{1}{ q^{12.417820 +\epsilon} }.

: \mu(\zeta(3)) \le 12.417820 \ldots

(como podemos ver na táboa de embaixo este límite superior xa foi calculado cunha cantidade inferior).

## Límites coñecidos 
* Se  \mu(x)=1, x \  é racional.
* Se  \mu(x)=2, x \  é alxébrico de grao > 1.
* Se  \mu(x) \ge 2, x \  é trascendental.

Para a maioría dos números transcendentais, non se coñece o valor exacto do seu expoñente de irracionalidade. A continuación móstrase unha táboa de límites superiores e inferiores coñecidos.

## Relación coa converxencia dalgunhas series 
A serie Flint Hills está definida polo sumatorio:
: S_1 = \sum_{k=1}^\infty \dfrac{\csc^2{n}}{n^3}
que ven sendo o mesmo que
: S_1 = \sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{n^3 \sin^2{n}}.

Non se sabe se esta serie converxe, xa que csc^2{n} pode ter esporadicamente valores grandes. Os valores de  que fan grande esa función son precisamente os numeradores dos converxentes da fracción continua de \pi .

Alekseyev (2011) demostrou que a cuestión da converxencia da serie Flint Hill está relacionada coa medida da irracionalidade de \pi, e en particular, a converxencia implicaría \mu(\pi), que é moito máis forte que o mellor límite superior coñecido na actualidade.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
### Outros artigos 
* Serie Flint Hills.
* Constante de Apéry
* Teorema de Lindemann-Weierstrass
* Teorema de Roth
### Ligazóns externas 
* Irrationality Measure (MathWorld).