Función simple

No campo matemático da análise real, unha **función simple** é unha función con valores reais (ou complexos) sobre un subconxunto da liña real, semellante a unha función en escada. As funcións simples son o suficientemente "agradábeis" como para que o seu uso facilite o razoamento matemático, a teoría e a demostración. Por exemplo, as funcións simples alcanzan só un número finito de valores. Algúns autores tamén requiren que as funcións simples sexan medíbeis; como se usa na práctica, xa isto é así.

Un exemplo básico dunha función simple podería ser a función chan sobre o intervalo semiaberto [1, 9), cuxos únicos valores son {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Un exemplo máis avanzado é a función de Dirichlet sobre a liña real, que toma o valor 1 se *x* é racional e 0 en caso contrario. (Así, o "simple" de "función simple" ten un significado técnico un pouco contrario á linguaxe común.) Tódalas funcións en escada son simples.

## Definición 
Formalmente, unha función simple é unha combinación linear finita de funcións indicadoras de conxuntos medíbeis. Máis precisamente, sexa (*X*, Σ) un espazo medíbel. Sexa *A* 1 ,... , *A* *n* ∈ Σ unha secuencia de conxuntos medíbeis disxuntos, e sexa *a*1 ,... , *a**n* unha secuencia de números reais ou complexos. Unha *función simple* é unha función f: X \to \mathbb{C} da forma

: f(x)=\sum_{k=1}^n a_k {\mathbf 1}_{A_k}(x),

onde {\mathbf 1}_A é a función indicadora do conxunto *A* .

## Propiedades das funcións simples 
A suma, a diferenza e o produto de dúas funcións simples son tamén funcións simples, tamén o é a multiplicación por unha constante; de aí dedúcese que o conxunto de todas as funcións simples nun espazo medíbel dado forma unha álxebra conmutativa sobre \mathbb{C}.

## Integración das funcións simples 
Se unha medida μ está definida no espazo (*X* ,Σ), a integral de *f* en relación a μ é

: \sum_{k=1}^na_k\mu(A_k),

se todos os sumandos son finitos.

## Relación coa integración de Lebesgue 
A integral anterior pódese estender a unha clase máis xeral de funcións, que é como se define a integral de Lebesgue. Esta extensión baséase no seguinte feito.

: **Teorema**. Calquera función medíbel non negativa f\colon X \to\mathbb{R}^{+} é o límite por puntos dunha secuencia crecente monótona de funcións simples non negativas.

Está implícito na afirmación que a sigma-álxebra no co-dominio \mathbb{R}^{+} é a restrición da σ-álxebra de Borel, \mathfrak{B}(\mathbb{R}) en \mathbb{R}^{+}. A proba procede do seguinte xeito:

Sexa f unha función medíbel non negativa definida sobre o espazo de medida (X, \Sigma,\mu). Para cada  n\in\mathbb N, subdividimos o codominio de f en 2^{2n}+1 intervalos, 2^{2n} deles teñen lonxitude 2^{-n}. É dicir, para cada  n, definimos

: I_{n,k}=\left[\frac{k-1}{2^n},\frac{k}{2^n}\right) para k=1,2,\ldots,2^{2n}, e I_{n,2^{2n}+1}=[2^n,\infty),

que son disxuntos e cobren a recta real non negativa ( \mathbb{R}^{+} \subseteq \cup_{k}I_{n,k}, \forall n \in \mathbb{N} ).

Agora definimos os conxuntos

: A_{n,k}=f^{-1}(I_{n,k}) \, para k=1,2,\ldots,2^{2n}+1,

que son medíbeis (A_{n,k}\in \Sigma) porque f suponse que é medíbel.

Daquela, a secuencia crecente de funcións simples

: f_n=\sum_{k=1}^{2^{2n}+1}\frac{k-1}{2^n}{\mathbf 1}_{A_{n,k}}

converxe punto por punto en f cando n\to\infty. Teña en conta que, cando f é limitada, a converxencia é uniforme.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*. *Introduction to Measure and Probability*, 1966, Cambridge.
*. *Real and Functional Analysis*, 1993, Springer-Verlag.
*. *Real and Complex Analysis*, 1987, McGraw-Hill.
*. *Real Analysis*, 1968, Collier Macmillan.
### Outros artigos 
* Función por tramos.
* Integral de Lebesgue
* Función medíbel de Bochner

### Ligazóns externas 
* Nota 5. Simple functions