Grupo (matemáticas)

[miniatura|225px|As posibles manipulacións do [cubo de Rubik forman un grupo.]]
En álxebra abstracta, un **grupo** é unha estrutura alxébrica que consta dun conxunto cunha operación que combina calquera par dos seus elementos para formar un terceiro elemento. Para que se poida cualificar como un grupo o conxunto e a operación deben satisfacer os axiomas de grupo: ter a propiedade asociativa, elemento neutro e elemento inverso.

A teoría de grupos estuda os grupos en si.

## Historia 
O concepto de grupo xurdiu do estudo das ecuacións polinómicas comezado por Évariste Galois durante a década de 1830. Despois de contribucións desde outros campos como a teoría dos números e a xeometría, a noción xeneralizouse e estableceuse fortemente en torno a 1870.

A definición formal de grupo  (G, *) foi formulada por Ferdinand Georg Frobenius en 1887, advertindo que os teoremas que demostraba dependían unicamente dos axiomas propostos e non tiña que acudir ao grupo das permutacións que empregaban os seus antecesores Cauchy, Jordan e Sylow.

Unha teoría especialmente rica foi desenvolvida para grupos finitos, culminada co teorema de clasificación de grupos simples, completado en 1983. Así mesmo, desde mediados da década de 1980 a teoría de grupos xeométricos, que estuda os grupos de xeración finita como obxectos xeométricos, converteuse nunha área particularmente activa na teoría dos grupos.

## Definición 
Un grupo é un conxunto, *G*, cunha operación binaria «•» que compón dous elementos calquera *a* e *b* de *G* para formar outro elemento denotado como *a • b* o *ab*. Para poder cualificar como un grupo a (*G, •*), deben satisfacer catro propiedades:

**Operación interna**
:Para todo *a*, *b* de *G*, o resultado da operación *a • b* tamén pertence a *G*.
:\forall a, b \in G \quad : \quad a \cdot b \in G

**Asociatividade**
:Para todos os *a*, *b* e *c* de *G*, cúmprese que *(a • b) • c = a • (b • c)*.

**Elemento neutro**
:Existe un elemento *e* de *G*, tal que para todos os elementos *a* de *G* se cumpre que *e • a = a • e = a*. O elemento neutro dun grupo *G* escríbese en ocasións como 1 ou 1G, notación herdada da identidade multiplicativa.
:\exist e \,\,\forall a \in G \quad : \quad a \cdot e = e \cdot a = a

**Elemento inverso**
:Para todo *a* de *G*, existe un elemento *b* de *G* tal que *a • b = b • a = e*.
: \forall a \in G \,\, \exist a^{-1} \, : \, {a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a} = e

A orde na que se realiza a operación do grupo pode ser significativa, é dicir, o resultado de operar o elemento *a* co elemento *b* non é necesariamente igual que o resultado de *b* con *a*; a expresión 
:::*a • b = b • a* 
pode non ser certa. Os grupos nos que si se cumpre chámanse grupos abelianos, en honor a Niels Henrik Abel.

## Notación e terminoloxía 
Formalmente, un grupo é un par ordenado dun conxunto e unha operación binaria neste conxunto que satisfai os axiomas do grupo. O conxunto chámase *conxunto subxacente* do grupo, e a operación chámase *operación de grupo* ou *lei de grupo*.

Un grupo e o seu conxunto subxacente son, polo tanto, dous obxectos matemáticos diferentes. Para evitar a notación engorrosa, é común abusar da notación ao usar o mesmo símbolo para indicar ambos os dous. Isto reflicte tamén unha forma informal de pensar: que o grupo é o mesmo que o conxunto, salvo que se enriqueceu coa estrutura adicional proporcionada pola operación.

Por exemplo, considere o conxunto dos números reais , que ten as operacións de suma a+b e multiplicación . Formalmente, \R é un conxunto, (\R,+) é un grupo e (\R,+,\cdot) é un corpo. Mais é común escribir \R para indicar calquera destes tres obxectos.

O *grupo aditivo* do corpo \R é o grupo cuxo conxunto subxacente é \R e cuxa operación é a suma. O *grupo multiplicativo* do corpo \R é o grupo \R^{\times} cuxo conxunto subxacente é o conxunto de números reais distintos de cero \ R \smallsetminus \{0\} e cuxa operación é a multiplicación.

De forma máis xeral, fálase dun *grupo aditivo* sempre que a operación do grupo se denota como adición; neste caso, a identidade denotase normalmente , e a inversa dun elemento x denotase . Do mesmo xeito, fálase dun *grupo multiplicativo* sempre que a operación do grupo se denota como multiplicación; neste caso, a identidade adoita denotarse , e a inversa dun elemento x denotase {{tmath|1= x^{-1} }}. Nun grupo multiplicativo, o símbolo da operación adoita omitirse por completo, de xeito que a operación se denota mediante xustaposición, ab en lugar de .

## Exemplos 
* O conxunto dos números enteiros Z coa suma teñen estrutura de grupo abeliano, xa que: 
# Para calquera par de enteiros *a* e *b*, a suma *a + b* tamén é enteiro. 
# Para todos os enteiros *a*, *b* e *c*, *(a + b) + c = a + (b + c)*. 
# Para calquera enteiro *a*, *0 + a = a + 0 = a*. 
# Para cada enteiro *a*, existe un enteiro *b* tal que *a + b = b + a = 0*. O enteiro *b* denomínase elemento inverso de *a* e denótase como *-a*.

* As simetrías (rotacións e reflexións) dun cadrado forma un grupo chamado diédrico, que se expresa como D4.
* O produto define unha estrutura de grupo conmutativo nos números racionais non nulos Q*.
* As matrices cadradas de n columnas con elementos reais e determinante distinto de cero forman un grupo co produto de matrices.
* O grupo de movementos no espazo ou grupo de isometría do espazo euclidiano.
* O grupo de Galileo está formado polas transformacións do espazo e o tempo que conservan os sistemas de referencia inercais.

### Grupos cíclicos 
right|thumb|upright|As raíces sextas complexas da unidade forman un grupo cíclico. z é un elemento xerador, mais z^2 non o é, porque as potencias impares de z non son unha potencia de .|alt=Un hexágono cuxas esquinas están situadas regularmente nunha circunferencia
Un *grupo cíclico* é un grupo cuxos elementos son potencias dun elemento particular a. En notación multiplicativa, os elementos do grupo son
\dots, a^{-3}, a^{-2}, a^{-1}, a^0, a, a^2, a^3, \dots,
onde a^2 significa , a^{-3} significa {{tmath|1= a^{- 1}\cdot a^{-1}\cdot a^{-1}=(a\cdot a\cdot a)^{-1} }}, etc.{{efn|A notación aditiva para os elementos dun ciclo cíclico grupo sería , onde {{math} |*t*}} está en .}} Tal elemento a chámase **xerador** ou elemento primitivo do grupo. En notación aditiva, o requisito para que un elemento sexa xerador é que cada elemento do grupo se poida escribir como
\dots, (-a)+(-a), -a, 0, a, a+a, \dots.

Nos grupos modulares (\Z/n\Z,+), o elemento 1 é xerador, polo que estes grupos son cíclicos. De feito, todo elemento é expresábel como unha suma con todos os seus termos . Calquera grupo cíclico con n elementos é isomorfo a este grupo. Un segundo exemplo de grupos cíclicos é o grupo das -ésimas raíces complexas da unidade, dado porlos números complexos z satisfacendo . Estes números pódense visualizar como os vértices dun n-gon regular, como se mostra en azul na imaxe para . A operación de grupo é a multiplicación de números complexos. Na imaxe, multiplicar con z correspóndese cunha rotación no sentido horario de 60°. Da teoría de corpos sábese que o grupo \mathbb F_p^\times é cíclico para p primo: por exemplo, se , 3 é un xerador xa que , ,  e .

Algúns grupos cíclicos teñen un número infinito de elementos. Nestes grupos, para cada elemento  distinto de cero, todas as potencias de a son distintas; a pesar do nome de "grupo cíclico", as potencias dos elementos non resultan nun ciclo. Un grupo cíclico infinito é isomorfo a , o grupo de números enteiros baixo a suma introducido anteriormente. Como estes dous modelos son ambos os dous abelianos, tamén o son todos os grupos cíclicos.

O estudo dos grupos abelianos finitamente xerados está bastante estudado, incluíndo o teorema fundamental dos grupos abelianos finitamente xerados; e reflectindo este estado de cousas, moitas nocións relacionadas co grupo, como centro e conmutador, describen ata que punto un determinado grupo non é abeliano.

### Aritmética modular 
[thumb|dereita|As horas dun reloxo forman un grupo que usa un [Aritmética modular|módulo con suma 12. Aquí, .|alt=O punteiro do reloxo apunta ás 9 en punto; 4 horas despois é a 1 en punto.]]
A aritmética modular *módulo* n define dous elementos calquera a e b que difiren nun múltiplo de n para seren equivalentes, denotado como {{tmath|1= a \equiv b\pmod{n} }}. Todo número enteiro é equivalente a un dos enteiros que van de 0 a , e as operacións da aritmética modular modifican a aritmética normal substituíndo o resultado de calquera operación polo seu representante equivalente. A suma modular, definida deste xeito para os enteiros de 0 a , forma un grupo, denotado como \mathrm{Z}_n ou , con 0 como elemento identidade e n-a como elemento inverso de .

Un exemplo familiar é a suma de horas dun reloxo, onde se escolle 12 en lugar de 0 como representante da identidade. Se a agulla das horas está en 9 e avanza 4 horas, rematará en , como se mostra na ilustración. Isto exprésase dicindo que 9+4 é congruente con 1 "módulo " ou, en símbolos,
9+4\equiv 1 \pmod{12}.

Para calquera número primo , tamén existe o grupo multiplicativo de enteiros módulo . Os seus elementos pódense representar de 1 a . A operación de grupo, multiplicación módulo , substitúe o produto habitual polo seu representante, o resto da división por . Por exemplo, para , os catro elementos do grupo pódense representar por . Neste grupo, , porque o produto habitual 16 é equivalente a : cando se divide por 5 dá un resto de . A primalidade de p garante que o produto habitual de dous representantes non sexa divisíbel por  e, polo tanto, que o produto modular sexa distinto de cero. O elemento identidade está representado por , e a asociatividade dedúcese da propiedade correspondente dos números enteiros. Finalmente, o axioma do elemento inverso require que dado un enteiro a non divisíbele , exista un enteiro b tal que
a\cdot b\equiv 1\pmod{p}.
No caso p=5 anterior, a inversa do elemento representado por 4 é el mesmo, e a inversa do elemento representado por 3 represéntase por , pois {{tmath|1= 3\cdot 2=6\equiv 1\bmod{5} }}. Polo tanto, cúmprense todos os axiomas de grupo.  Estes grupos, denotados , son fundamentais para a criptografía de clave pública.

### Grupo linear xeral  
Os grupos de matrices consisten en matrices xunto coa multiplicación de matrices. O *grupo linear xeral* \mathrm {GL}(n, \R) consta de todas as matrices invertíbeis n \times n con coeficientes reais. Os seus subgrupos denomínanse *grupos de matrices* ou *grupos lineares*. O exemplo de grupo diédrico mencionado anteriormente pódese ver como un grupo matricial (moi pequeno). Outro grupo matricial importante é o grupo ortogonal especial {{tmath|1= \mathrm{SO}(n) }}. Describe todas as rotacións posíbeis en n dimensións. As matrices de rotación deste grupo utilízanse extensamente nos gráficos por ordenador.

### Grupos de Galois 
Os *Grupos de Galois* foron desenvolvidos para axudar a resolver ecuacións polinómicas capturando as súas características de simetría. Por exemplo, as solucións da ecuación cadrática ax^2+bx+c=0 están dadas por
x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}} {2a}.
Coñécense fórmulas análogas para a cúbica e a ecuación cuártica, mais "non" existen en xeral para as de grao 5 e superior. Na fórmula cadrática, o cambio de signo (permutando as dúas solucións resultantes) pódese ver como unha operación de grupo (moi sinxela). Os grupos de Galois análogos actúan sobre as solucións de ecuacións polinómicas de grao superior e están intimamente relacionados coa existencia de fórmulas para a súa solución. As propiedades abstractas destes grupos (en particular a súa solubilidade) dan un criterio para a capacidade de expresar as solucións destes polinomios usando unicamente a suma, a multiplicación e raíces.

A teoría de Galois moderna xeneraliza o tipo anterior de grupos de Galois mudando á teoría de corpos e considerando as extensións de corpo formadas como o corpo de descomposición dun polinomio. Esta teoría estabelece (a través do teorema fundamental da teoría de Galois) unha relación precisa entre corpos e grupos, subliñando unha vez máis a ubicuidade dos grupos en matemáticas.

## Conceptos básicos 
As seguintes seccións usan símbolos matemáticos como X=\{x,y,z\} para indicar un conxunto X que contén elementos ,  e  ou x\in X para indicar que x é un elemento de . A notación f:X \to Y significa que f é unha función que asocia a cada elemento de X un elemento de .

Cando se estudan conxuntos, utilízanse conceptos como subconxunto, función e conxunto cociente por unha relación de equivalencia. Cando se estudan grupos, utilízanse no seu lugar subgrupos, homomorfismos e grupos cociente. Estes son os análogos que teñen en conta a estrutura do grupo.

### Homomorfismos de grupo 
Os homomorfismos de grupos son funcións que respectan a estrutura do grupo; poden utilizarse para relacionar dous grupos. Un *homomorfismo* dun grupo (G,\cdot) cara a un grupo (H,*) é unha función \varphi : G\to H  tal que
:\varphi(a\cdot b)=\varphi(a)*\varphi(b) para todos os elementos a e b en .
Sería natural esixir tamén que \varphi respectase as identidades, , e as inversas, \varphi(a^{-1 })=\varphi(a)^{-1} para todas as a en . No entanto, estes requisitos adicionais non precisan incluírse na definición de homomorfismos, porque xa están implicados pola esixencia de respectar a operación de grupo.

O *homomorfismo identidade* dun grupo G é o homomorfismo \iota_G : G\to G que asigna cada elemento de G a si mesmo. Un *homomorfismo inverso* dun homomorfismo \varphi : G\to H é un homomorfismo \psi : H\to G tal que \psi \circ \varphi=\iota_G e , é dicir, tal que \psi\bigl(\varphi(g)\bigr)= g para todas as g en G e tal que \varphi\bigl(\psi(h)\bigr)=h para todas as h en . Un *isomorfismo* é un homomorfismo que ten un homomorfismo inverso; equivalentemente, é un homomorfismo bixectivo. Os grupos G e H chámanse *isomorfos* se existe un isomorfismo . Neste caso, H pódese obter de G simplemente renomeando os seus elementos segundo a función ; entón calquera afirmación verdadeira para G tamén é verdadeira para .

A colección de todos os grupos, xunto cos homomorfismos entre eles, forman unha categoría, a categoría de grupos.

Un homomorfismo inxectiva \phi : G' \to G factoriza canonicamente como un isomorfismo seguido dunha inclusión, G' \;\stackrel{\sim}{\to}\ ; H \hookrightarrow G para algún subgrupo  de .
Os homomorfismos inxectivos son os monomorfismos da categoría de grupos.

### Subgrupos 
Informalmente, un *subgrupo* é un grupo H contido dentro dun máis grande, : ten un subconxunto dos elementos de , coa mesma operación. Concretamente, isto significa que o elemento identidade de G debe estar contido en , e sempre que h_1 e h_2 estean ambos os dous en , entón tamén o son h_1\cdot h_2 e {{tmath|1= h_1^{-1} }}, polo que os elementos de , equipados coa operación de grupo en G restrinxidos a , de feito forman un grupo. Neste caso, o mapa de inclusión H \to G é un homomorfismo.

### Coclases 
En moitas situacións é desexábel considerar dous elementos do grupo iguais se se diferencian por un elemento dun subgrupo dado. Por exemplo, no grupo de simetría dun cadrado, unha vez que se realiza calquera reflexión, as rotacións por si soas non poden devolver o cadrado á súa posición orixinal, polo que se pode pensar que as posicións reflectidas do cadrado son todas equivalentes entre si e como non nequivalentes das posicións non reflexivas; as operacións de rotación son irrelevantes para a cuestión de se se realizou unha reflexión. As coclases utilízanse para formalizar esta visión: un subgrupo H determina as coclases pola esquerda e pola dereita, que se poden considerar como as translacións de H por un elemento arbitrario do grupo . En termos simbólicos, as coclases *esquerda* e *dereita* de , que conteñen un elemento , son

:gH=\{g\cdot h\mid h\in H\} e {{tmath|1= Hg=\{h\cdot g\mid h \in H\} }}, respectivamente.

As coclases pola esquerda de calquera subgrupo H forman unha partición de ; é dicir, a unión de todas as coclases pola esquerda é igual a G e dúas coclases pola esquerda ou son iguais ou teñen unha intersección baleira. O primeiro caso g_1H=g_2H ocorre precisamente cando {{tmath|1= g_1^{-1}\cdot g_2\in H }}, é dicir, cando os dous elementos difiren por un elemento de . Consideracións similares aplícanse ás clases pola dereita de . Os grupos pola esquerda de H poden ser ou non os mesmos que os de pola dereita. Se o son (é dicir, se todos os g en G satisfán ), entón dise que H é un *subgrupo normal*.

En {{tmath|1= \mathrm{D}_4}}, o grupo de simetrías dun cadrado, co seu subgrupo R de rotacións, as coclases pola esquerda gR son igual a , se g é un elemento da propia R, ou igual a U=f_{\mathrm{c}}R=\{f_{\mathrm{c}},f_{\mathrm{d}},f_{\mathrm{v}},f_{\mathrm{h}}\} (resaltado en verde na táboa de Cayley de {{tmath|1= \mathrm{D}_4 }}). O subgrupo R é normal, porque f_{\mathrm{c}}R=U=Rf_{\mathrm{c}} e de xeito similar para os demais elementos do grupo. (De feito, no caso de {{tmath|1= \mathrm{D}_4 }}, as coclases xeradas polas reflexións son todas iguais: {{tmath|1= f_{\mathrm{h} }R=f_{ \mathrm{v} }R=f_{\mathrm{d} }R=f_{\mathrm{c} }R }}.)

### Grupos cociente
Supoña que N é un subgrupo normal dun grupo , e
:G/N = \{gN \mid g\in G\}
denota o seu conxunto de coclases.
Entón hai unha lei de grupo única en G/N para a cal o mapa G\to G/N que envía cada elemento g a  gNé un homomorfismo.
Explicitamente, o produto de dúas coclases gN e hN é , o grupo eN = N serve como a identidade de , e a inversa de gN no grupo cociente é {{tmath|1= (gN)^{-1} = \left(g^{-1}\right)N }}.
O grupo , lese como " módulo ", chámase *grupo cociente* ou *grupo de factores*.
O grupo cociente pode ser caracterizado alternativamente por unha propiedade universal.

Os elementos do grupo cociente \mathrm{D}_4/R son R e {{tmath|1= U=f_{\mathrm{v} }R }}. A operación do grupo sobre o cociente móstrase na táboa. Por exemplo, {{tmath|1= U\cdot U=f_{\mathrm{v} }R\cdot f_{\mathrm{v} }R=(f_{\mathrm{v} }\cdot f_{\mathrm{v} {v} })R=R }}. Tanto o subgrupo R=\{\mathrm{id},r_1,r_2,r_3\} como o cociente \mathrm{D}_4/R son abelianos, mais \mathrm{D}_4 non o é.

O teorema primeiro do isomorfismo implica que calquera homomorfismo sobrexectivo \phi : G \to H factoriza canonicamente como un homomorfismo cociente seguido dun isomorfismo: {{tmath|1= G \to G/\ker \phi \;\stackrel{\sim}{\to}\; H}}.
Os homomorfismos sobrectivos son os epimorfismos da categoría de grupos.

### Presentacións 
Cada grupo é isomorfo a un cociente dun grupo libre, de moitos xeitos.

Por exemplo, o grupo diédrico \mathrm{D}_4 xérase pola rotación á dereita r_1 e pola reflexión f_{\mathrm{v}} nunha liña vertical (cada elemento de \mathrm{D}_4 é un produto finito de copias destes e os seus inversos).
Polo tanto, hai un homomorfismo sobrexectivo  do grupo libre \langle r,f \rangle en dous xeradores cara a \mathrm{D}_4 enviando r a r_1 e f a .
Os elementos en \ker \phi chámanse *relacións*;algúns  exemplos inclúen .
De feito, resulta que \ker \phi é o subgrupo normal máis pequeno de \langle r,f \rangle que contén estes tres elementos; noutras palabras, todas as relacións son consecuencias destas tres.
O cociente do grupo libre por este subgrupo normal é .
Isto chámase *presentación* de \mathrm{D}_4 que ben dada mediante xeradores e relacións, porque debido ao primeiro teorema de isomorfismo para , este produce un isomorfismo {{tmath|1= \langle r,f \mid r^4=f^2=(r\cdot f)^2=1 \rangle \to \mathrm{D}_4 }}. 

Pódese usar unha presentación dun grupo para construír un grafo de Cayley, que é unha representación gráfica dun grupo discreto.

## Grupos con estrutura adicional 
Unha definición equivalente de grupo consiste en substituír a parte "existe" dos axiomas de grupo por operacións cuxo resultado é o elemento que debe existir. Así, un grupo é un conxunto G equipado cunha operación binaria G \times G \rightarrow G (a operación de grupo), unha operación unaria  G \rightarrow G (que proporciona a inversa) e unha operación nula, que non ten operando e dá como resultado o elemento identidade. En caso contrario, os axiomas do grupo son exactamente os mesmos. Esta variante da definición evita os cuantificadores existenciais e úsase na computación con grupos.

Esta forma de definir grupos préstase a xeneralizacións como a noción de obxecto de grupo nunha categoría. Brevemente, este é un obxecto con morfismos que imitan os axiomas de grupo.

### Grupos topolóxicos 
[right|thumb|A [circunferencia unitaria no plano complexo baixo a multiplicación complexa é un grupo de Lie e, polo tanto, un grupo topolóxico. É topolóxico xa que a multiplicación e división complexas son continuas. É unha variedade e, polo tanto, un grupo de Lie, porque cada pequena peza, como o arco vermello da figura, aseméllase a unha parte da recta real (mostrada na parte inferior).|alt=Unha parte dunha circunferencia (resaltada) proxéctase sobre unha recta.]]

Algúns espazos topolóxicos poden estar dotados dunha lei de grupo. Para que a lei de grupo e a topoloxía se entretezan ben, as operacións de grupo deben ser funcións continuas; informalmente, g \cdot h e g^{-1} non deben variar moito se g e h varían só un pouco. Eses grupos chámanse *grupos topolóxicos* e son os obxectos de grupo na categoría de espazos topolóxicos. Os exemplos máis básicos son o grupo de números reais baixo a suma e o grupo de números reais distintos de cero baixo multiplicación. Exemplos semellantes pódense formar a partir de calquera outro corpo topolóxico, como o corpo dos números complexos ou o corpo dos números -ádicos. Estes exemplos son localmente compactos, polo que teñen medida de Haar e pódense estudar mediante análise harmónica. Outros grupos topolóxicos localmente compactos inclúen o grupo de puntos dun grupo alxébrico sobre un corpo local ou un anel adélico; estes son básicos para a teoría de números. Os grupos de Galois de corpos alxébricos de extensións infinitas están equipados coa topoloxía de Krull, que xoga un papel no Teoría de Galois infinita. Unha xeneralización utilizada en xeometría alxébrica é o grupo fundamental étale.

### Grupos de Lie 
Un *grupo de Lie* é un grupo que tamén ten a estrutura dunha variedade diferenciábel; informalmente, isto significa que o se parece localmente a un espazo euclidiano dalgunha dimensión fixa. De novo, a definición require que a estrutura adicional, aquí a estrutura de variedades, sexa compatíbel: os mapas de multiplicación e inverso deben ser suaves.

Un exemplo estándar é o grupo linear xeral introducido anteriormente: é un subconxunto aberto do espazo de todas as matrices n \times n, porque se dá pola identidade
:\det (A) \ne 0,
onde A denota unha matriz n \times n.
Os grupos de Lie son de importancia fundamental na física moderna: o Teorema de Noether vincula simetrías continuas a cantidades conservadas. A rotación, así como as translación no espazo e o tempo, son simetrías básicas das leis da mecánica.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* , Chapter 2 contains an undergraduate-level exposition of the notions covered in this article.
* , Chapter 5 provides a layman-accessible explanation of groups.
* , an elementary introduction.
* .
* .
* .
* .
* .
* .
### Outros artigos 
*Clasificación dos grupos simples finitos