Test M de Weierstrass

En matemáticas, o **test M de Weierstrass** é un test para determinar se unha serie infinita de funcións converxen de forma uniforme e absoluta. Aplícase a series cuxos termos son funcións limitadas con valores reais ou complexos, e é análogo ao test de comparación para determinar a converxencia de series de números reais ou complexos. Leva o nome do matemático alemán Karl Weierstrass (1815–1897).

## Enunciado 
**Test M de Weierstrass.** Supoña que (*f**n*) é unha sucesión de funcións de valores reais ou complexos definidas nun conxunto *A*, e que hai unha sucesión de números non negativos (*M**n*) que satisfai as condicións

* |f_n(x)|\leq M_n para todos os n \geq 1 e todo x \in A.
* \sum_{n=1}^{\infty} M_n  converxe.

Daquela a serie

: \sum_{n=1}^{\infty} f_n (x)

converxe absoluta e uniformemente en *A*.

Unha serie que satisfai a hipótese chámase *normalmente converxente*. O resultado úsase a miúdo en combinación co teorema do límite uniforme. Xuntos din que se, a maiores das condicións anteriores, o conxunto *A* é un espazo topolóxico e as funcións *fn* son continuas en *A*, entón a serie converxe a unha función continua.

## Proba 
Considere a sucesión de sumas parciais de funcións

: S_{n}(x) = \sum_{k=1}^{n}f_{k}(x).

Posto que a serie \sum_{n=1}^{\infty}M_{n} converxe e  para todo , entón polo criterio de Cauchy,

: \forall \varepsilon>0 : \exists N : \forall m>n>N : \sum_{k=n+1}^{m}M_{k}

Para o  escollido,

: \forall x \in A : \forall m> n> N
: \left|S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|=\left|\sum_{k=n+1}^{m}f_{k}(x)\right|\overset{(1)}{\leq} \sum_{k=n+1}^{m}|f_{k}(x)|\leq \sum_{k=n+1}^{m}M_{k}

(A desigualdade (1) dedúcese da desigualdade do triángulo).

A sucesión  é así unha secuencia de Cauchy en **R** ou **C**, e por completude converxe a algún número  que depende de *x*. Para *n*&#x2009;>&#x2009;*N* podemos escribir

: \left|S(x) - S_{n}(x)\right|=\left|\lim_{m\to\infty} S_{m}(x) - S_{n}(x)\right|=\lim_{m\to\infty} \left|S_{m}(x) - S_{n}(x)\right|\leq\varepsilon . 

Dado que *N* non depende de *x*, isto significa que a secuencia  de sumas parciais converxe uniformemente á función *S*. De aí, por definición, a serie \sum_{k=1}^{\infty}f_{k}(x) converxe uniformemente.

De xeito análogo, pódese probar que \sum_{k=1}^{\infty}|f_{k}(x)| converxe uniformemente.

## Exemplo
Sexa 0 un número real, entón a función de Weierstrass: f(x) = \sum_{n=0}^\infty 2^{-n \alpha} e^{i2^n x}, continua en todas as  partes, mais non é diferenciábel en lugar ningún. 

A continuidade desta función pódese probar co test M de Weierstrass. É certo que : \left| 2^{-n\alpha} e^{i 2^n x} \right| = 2^{- n \alpha} así como: 
: \sum_{n=0}^\infty 2^{- n \alpha} = \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{2^\alpha}\right)^n = \frac{1}{1 - 2^{-\alpha}} 
converxe uniformemente segundo o test M de Weierstrass. 

As sumas parciais individuais forman agora unha secuencia de funcións continuas que converxen uniformemente a f. Así, f é continua como tal límite.

## Xeneralización 
Unha versión máis xeral do test M de Weierstrass cúmprese se o codominio común das funcións (*fn*) é un espazo de Banach, nese caso a premisa

: |f_n(x)|\leq M_n

debe ser substituído por

: \|f_n(x)\|\leq M_n,

onde \|\cdot\| é a norma no espazo de Banach. Para un exemplo do uso desta proba nun espazo de Banach, consulte o artigo Derivada de Fréchet.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*  
* 
* 
* 

### Outros artigos 
* Serie converxente
* Test de condensación de Cauchy