Ideal maximal

En matemáticas, máis concretamente na teoría de aneis, un **ideal maximal** é un ideal que é maximal (en relación á inclusión de conxuntos) entre todos os ideais *propios*. Noutras palabras, *I* é un ideal maximal dun anel *R* se non hai outros ideais contidos entre *I* e *R* .

Os ideais máximos son importantes porque os aneis cocientes  polos ideais máximos son aneis simples, e no caso especial dos aneis conmutativos unitarios tamén son corpos.

Na teoría de aneis non conmutativos, un **ideal maximal pola dereita** defínese de xeito análogo como un elemento maximal no poset dos ideais propios pola dereita (de xeito similar temos un **ideal maximal pola esquerda)**. Dado que un ideal maximal unilateral *A* non é necesariamente bilateral, o cociente *R*/*A* non é necesariamente un anel, senón que é un módulo simple sobre *R*. Se *R* ten un único ideal maximal pola dereita, entón *R* coñécese como un anel local, e o ideal máximal pola dereita tamén é o único ideal maximal pola esquerda e único maximal bilateral do anel, e é de feito o radical de Jacobson J(*R*).

É posíbel que un anel teña un único ideal maximal bilateral e, aínda así, careza de ideais maximais únicos dun lado: por exemplo, no anel de matrices cadradas 2 por 2 sobre un corpo, o ideal cero é un ideal maximal bilateral, mais hai moitos ideais  maximais pola dereita.

## Definición 
Existen outras formas equivalentes de expresar a definición dos ideais maximais unilaterales e bilaterais. Dado un anel *R* e un ideal propio *I* de *R* (é dicir, *I* ≠ *R* ), *I* é un ideal maximal de *R* se cumpre algunha das seguintes condicións equivalentes:

* Non existe outro ideal propio *J* de *R* tal que *I* ⊊ *J* .
* Para calquera ideal *J* con *I* ⊆ *J*, *J* = *I* ou *J* = *R*.
* O anel cociente *R*/*I* é un anel simple.

Hai unha lista análoga para ideais unilaterales, para a que só se darán as versións pola dereita. Para un ideal pola dereita *A* dun anel *R*, as seguintes condicións equivalen a que *A* sexa un ideal  maximal pola dereita de *R*:

* Non existe ningún outro ideal propio pola dereita *B* de *R* tal que *A* ⊊ *B* .
* Para calquera ideal pola dereita *B* con *A* ⊆ *B*, ben *B* = *A* ou *B* = *R* .
* O módulo cociente *R*/*A* é un módulo *R* pola dereita simple.

Os ideais maximais dereita/esquerda/bilaterais son a noción dual de ideais minimais.

## Exemplos 
* Se **F** é un corpo, entón o único ideal maximal é {0}.
* No anel **Z** de números enteiros, os ideais maximais son os ideais principais xerados por un número primo.
* En xeral, todos os ideais primos distintos de cero son maximais nun dominio de ideais principais (PID).
* O ideal  (2, x)  é un ideal maximal no anel  \mathbb{Z}[x] . Xeralmente, os ideais maximais de  \mathbb{Z}[x]  teñen a forma  (p, f(x))  onde  p  é un número primo e f(x) é un polinomio en \mathbb{Z}[x]  que é irreducíbel módulo p .
* Todo ideal primo é un ideal maximal nun anel booleano, é dicir, un anel formado só por elementos idempotentes. De feito, todo ideal primo é maximal nun anel conmutativo  R  sempre que exista un enteiro  n > 1  tal que  x^n = x  para calquera  x \in R .
* Os ideais maximais do anel polinómico \mathbb{C}[x] son ideais principais xerados por x-c para algúns c\in \mathbb{C}.
* De xeito máis xeral, os ideais maximais do anel polinómico  sobre un corpo alxebricamente pechado *K* son os ideais da forma . Este resultado coñécese como Nullstellensatz débil.

## Propiedades 
* Un ideal importante do anel chamado radical de Jacobson pódese definir usando ideais maximais pola dereita (ou pola esquerda).
* Se *R* é un anel conmutativo unitario cun ideal *m*, entón *k* = *R*/*m* é un corpo se e só se ''m' ' é un ideal maximal. Nese caso, *R*/*m* coñécese como o corpo de residuos. Este feito pode fallar en aneis non unitarios. Por exemplo, 4\mathbb{Z} é un ideal maximal en 2\mathbb{Z} , mais 2\mathbb{Z}/4\mathbb{ Z} non é un corpo.
* Se *L* é un ideal maximal pola esquerda, entón *R*/*L* é un *R*-módulo pola esquerda simple. Pola contra, nos aneis con unidade, calquera *R*-módulo simple pola esquerda xorde dese xeito. De paso, isto mostra que unha colección de representantes de *R*-módulos simples pola esquerda é en realidade un conxunto xa que se pode poñer en correspondencia con parte do conxunto de ideais maximais pola esquerda de *R*.
* **Teorema de Krull** (1929): Todo anel unitario distinto de cero ten un ideal maximal. O resultado tamén é certo se "ideal" é substituído por "ideal pola dereita" ou "ideal pola esquerda". De xeito máis xeral, é certo que todo módulo xerado finitamente distinto de cero ten un submódulo maximal. Supoña que *I* é un ideal que non é *R* (respectivamente, *A* é un ideal pola dereita que non é *R*). Entón *R*/*I* é un anel con unidade (respectivamente, *R*/*A* é un módulo xerado finitamente), polo que os teoremas anteriores pódense aplicar ao cociente de concluír que existe un ideal maximal (respectivamente, ideal maximal pola dereita) de *R* que contén *I* (respectivamente, *A*).
* O teorema de Krull pode fallar para aneis sen unidade. Un anel radical, é dicir, un anel no que o radical de Jacobson é o anel enteiro, non ten módulos simples e, polo tanto, non ten ideais maximais pola dereita ou pola esquerda. Consulte o artigo ideal regular para ver  formas posíbeis de evitar este problema.
* Nun anel conmutativo con unidade, todo ideal maximal é un ideal primo. A inversa non sempre é verdade: por exemplo, en calquera non corpo dominio de integridade o ideal cero é un ideal primo que non é maximal. Os aneis conmutativos nos que os ideais primos son maximais coñécense como aneis cero dimensionais, onde a dimensión utilizada é a dimensión de Krull.
* Un ideal maximal dun anel non conmutativo pode non ser primo no sentido conmutativo. Por exemplo, sexa M_{n\times n}(\mathbb{Z}) o anel de todas as matrices n\times n sobre \mathbb{Z }. Este anel ten un ideal maximal M_{n\times n}(p\mathbb{Z}) para calquera p primo, pero este non é un ideal primo xa que (no caso n=2) A=\text{diag}(1,p) e B=\text{diag}(p,1) non están en M_{n\times n}(p\mathbb{Z}), mais AB=pI_2\in M_{n\times n}(p\mathbb{Z}). 
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
*
### Outros artigos 
* Ideal primo.
* Ideal (teoría dos aneis)
### Ligazóns externas 
*  [Maximal and Prime Ideals (Libre texts)](https://math.libretexts.org/Bookshelves/Abstract_and_Geometric_Algebra/An_Inquiry-Based_Approach_to_Abstract_Algebra_(Ernst)/08%3A_An_Introduction_to_Rings/8.04%3A_Maximal_and_Prime_Ideals).