Serie de Fourier

thumb|right|180px|Os primeiros catro termos da serie de Fourier dunha onda cadrada
En matemáticas, chámase **serie de Fourier** a unha forma de serie trigonométrica utilizada para representar funcións infinitas e periódicas complexas dos procesos físicos, na forma de funcións trigonométricas simples de senos e cosenos. Isto resulta nunha simplificación da visualización e manipulación de funcións complexas. Foi creada en 1807 por Joseph Fourier (1768-1830).

A forma xeral da serie é:
:y(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\operatorname{sen}(nx)\right],  onde a_n e b_n denomínanse **coeficientes de Fourier** da serie de Fourier da función y(x).

Fourier foi o primeiro que estudou tales series sistematicamente, aplicándoas á solución da ecuación da calor e publicando os seus resultados iniciais en 1807 e 1811. Esta área de investigación chámase algunhas veces Análise harmónica.

## Definición
A serie de Fourier dunha función periódica de valores complexos s(x), integrábel sobre o intervalo [0,P] na recta real, defínese como unha serie trigonométrica da forma
\sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{i 2\pi \tfrac{n}{P} x }, 
tal que os *coeficientes de Fourier* c_n son números complexos definidos pola integral
c_n = \frac{1}{P}\int_0^P s(x)\ e^{-i 2\pi \tfrac{n}{P} x }\,dx.
A serie non converxe necesariamente (no sentido punto por punto) e, aínda que o faga, non é necesariamente igual a s(x). 

Só cando se cumpren certas condicións (por exemplo, se s(x) é continuamente diferenciábel) a serie de Fourier converxe a s(x), é dicir,
s(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{i 2\pi \tfrac{n}{P} x }.

O proceso de determinación dos coeficientes de Fourier dunha determinada función ou sinal chámase ***análise***, mentres que a formación da serie trigonométrica asociada (ou as súas diversas aproximacións) chámase ***síntese***.

### Síntese 
Unha serie de Fourier pódese escribir en varias formas equivalentes, mostradas aquí como N sumas parciais s_N(x) da serie de Fourier de s(x):
right|thumb|400x400px|Imaxe 1. O gráfico superior mostra unha función non periódica s(x) en azul definida só sobre o intervalo vermello de 0 a *P*. A función pódese analizar neste intervalo para producir a serie de Fourier no gráfico inferior. A serie de Fourier é sempre unha función periódica, aínda que a función orixinal s(x) non o sexa.

{{Equation box 1 |title=Forma Seno-coseno
|indent=:|border|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA|cellpadding=6
|equation={{NumBlk|
|s_N(x) = a_0 + \sum_{n=1}^N \left( 
a_n \cos \left(2 \pi \tfrac{n}{P} x \right) + 
b_n \sin \left(2 \pi \tfrac{n}{P} x  \right) \right) &nbsp; &nbsp;
|}}}}

{{Equation box 1 |title=Forma Exponencial
|indent=:|border|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA|cellpadding=6
|equation={{NumBlk|
|s_N(x) = \sum_{n=-N}^N c_n\ e^{i 2\pi \tfrac{n}{P}x} &nbsp; &nbsp;
|}}}}
Os harmónicos están indexados por un número enteiro, n, que tamén é o número de ciclos que realizan os sinusoides correspondentes no intervalo P. Polo tanto, os sinusoides teñen **:**

* unha lonxitude de onda igual a \tfrac{P}{n} nas mesmas unidades que x.
* unha frecuencia igual a \tfrac{n}{P} nas unidades recíprocas de x.

Estas series poden representar funcións que son só unha suma dunha ou máis frecuencias no espectro harmónico (espectro que contién unicamente compoñentes de frecuencia cuxas frecuencias son múltiplos enteiros da frecuencia fundamental).

No límite N\to\infty, unha serie trigonométrica tamén pode representar as frecuencias intermedias e/ou funcións non sinusoidais debido ao número infinito de termos.

### Análise 
En xeral, os coeficientes están determinados pola *análise* dunha función dada s(x) cuxo dominio de definición é un intervalo de lonxitude P.

{{Equation box 1|title=Coeficientes de Fourier
|indent=:|border|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA|cellpadding=6
|equation={{NumBlk|
|
\begin{align} 
&a_0 = \frac{1}{P}\int_P s(x) \,dx&\\
&a_n = \frac{2}{P}\int_P s(x) \cos \left( 2\pi \tfrac{n}{P} x \right) \,dx,\ &\textrm{para}~n\geq 1\\
&b_n = \frac{2}{P}\int_P s(x) \sin \left( 2\pi \tfrac{n}{P} x \right) dx,\ &\text{para}~n\geq 1 \\
\end{align}
 &nbsp; &nbsp;
|}}}}
O factor de escala \tfrac{2}{P} dedúcese ao substituír a  por  e utilizar a ortogonalidade do sistema trigonométrico.

A equivalencia da  e a  dedúcese da Fórmula de Euler

\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}, \quad \sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i},
resultando en:
{{Equation box 1|title=Coeficientes da forma Exponencial
|indent=:|border|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA|cellpadding=6
|equation=
c_n = \begin{cases}
\tfrac{1}{2}(a_n -i b_n) & \text{se } n > 0,\\
a_n & \text{se } n = 0,\\
\tfrac{1}{2}(a_{-n} + i b_{-n}) & \text{se } n }}
con c_{0} sendo o valor medio de s no intervalo P. 

De xeito recíproco:
{{Equation box 1|title=Relacións inversas
|indent=:|border|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA|cellpadding=6
|equation=\begin{aligned} 
a_0 &= c_0 &\\
a_n &= c_n+c_{-n} \qquad &\textrm{para}~ n > 0 \\
b_n &= i(c_n-c_{-n}) \qquad &\textrm{para}~ n > 0 \end{aligned}
}}

#### Exemplo 
[thumb|right|400px|Gráfica de [onda dente de serra, unha continuación periódica da función linear s(x)=x/\pi no intervalo (-\pi,\pi]]]

thumb|right|400px|Trama animada dos cinco primeiros termos sucesivos da serie  de Fourier

Considere unha función de dente de serra:
s(x) = s(x + 2\pi k) = \frac{x}{\pi}, \quad \mathrm{para } -\pi 
Neste caso, os coeficientes de Fourier veñen dados por
\begin{align}
a_0 &= 0.\\
a_n & = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}s(x) \cos(nx)\,dx = 0, \quad n \ge 1. \\
b_n & = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}s(x) \sin(nx)\, dx\\
&= -\frac{2}{\pi n}\cos(n\pi) + \frac{2}{\pi^2 n^2}\sin(n\pi)\\
&= \frac{2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}, \quad n \ge 1.\end{align}
Pódese demostrar que a serie de Fourier converxe a s(x) en cada punto x onde s é diferenciábel, e polo tanto:
\begin{align}
s(x) &= a_0 + \sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos\left(nx\right)+b_n sin\left(nx\right)\right] \\[4pt]
&=\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx), \quad \mathrm{cando}\ (x-\pi)\ \text{non é múltiplo de}\ 2\pi.
\end{align}

Cando x=\pi, a serie de Fourier converxe a 0, que é a media  do límite esquerdo e dereito de s en x=\pi. Este é un exemplo particular do Teorema de Dirichlet para as series de Fourier.

Este exemplo leva a unha solución do problema de Basilea.
## Aplicacións 
### Enxeñaría 
É común substituír a variábel *x* por ωt, resultando as compoñentes:

:C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} f(t)\,e^{-in\omega\,t}\,dt.

Polo tanto:

: f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_{n}\,e^{in\omega\,t}

## Táboa das series de Fourier comúns 
Na seguinte táboa móstranse algúns pares comúns de funcións periódicas e os seus coeficientes da serie de Fourier.

* s(x) designa unha función periódica con período P.
* a_0, a_n, b_n designan os coeficientes da serie de Fourier (forma seno-coseno) da función periódica s(x).

## Táboa de regras básicas de transformación
Esta táboa mostra algunhas operacións matemáticas no dominio do tempo e o efecto correspondente nos coeficientes da serie de Fourier. Notación:
* A conxugación complexa denotase cun asterisco.
*s(x),r(x) designan funcións periódicas P **ou** funcións definidas só para x \in [0,P]. 
* S[n], R[n] designan os coeficientes da serie de Fourier (forma exponencial) de s e r.

## Propiedades 
### Relacións de simetría 
Cando as partes reais e imaxinarias dunha función complexa se descompoñen nas súas partes pares e impares, hai catro compoñentes, indicados a continuación polos subíndices **RE, RO, IE e IO**. E hai unha correspondencia un a un entre as catro compoñentes complexas dunha función no tempo e das catro compoñentes complexas da súa transformanda en frecuencia:

:
\begin{array}{rlcccccccc}   
\mathsf{Dominio \ Tempo} & s & = & s_{\mathrm{RE}} & + & s_{\mathrm{RO}} & + & i\ s_{\mathrm{IE}} & + & i\ s_{\mathrm{IO}} \\
&\Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\ \ \Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\ \ \Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\ \ \Bigg\Updownarrow\mathcal{F}\\
\mathsf{Dominio \ Frecuencia} & S & = & S_\mathrm{RE} & + & i\ S_\mathrm{IO}\, & + & i\ S_\mathrm{IE} & + & S_\mathrm{RO}
\end{array}
 

A partir diso, aparecen varias relacións, por exemplo **:**

* A transformada dunha función con valores reais (s_\mathrm{RE}+s_\mathrm{RO}) é a dunción *conxugada simétrica*]] S_\mathrm{RE}+i\ S_\mathrm{IO}.. E o recíproco tamén se cumpre.
* A transformada dunha función con valores imaxinarios (i\ s_\mathrm{IE}+i\ s_\mathrm{IO}) é a función *conxugada antisimétrica* S_\mathrm{RO}+i\ S_\mathrm{IE},E o recíproco tamén se cumpre.

De forma similar interprétase o resto do diagrama.
### Lema de Riemann-Lebesgue 
Se S é integrábel, \lim_{|n| \to \infty} S[n]=0, \lim_{n \to +\infty} a_n=0 e  \lim_{n \to +\infty} b_n=0.

### Teorema de Parseval 
Se s pertence a L^2(P) (periódica nun intervalo de lonxitude P), entón: \frac{1}{P}\int_{P} |s(x)|^2 \, dx = \sum_{n=-\infty}\ \Bigl|S[n]\Bigr|^2.

### Teorema de Plancherel 
Se c_0,\, c_{\pm 1},\, c_{\pm 2}, \ldots son coeficientes e \sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2  entón hai unha función s\in L^2(P) única tal que S[n] = c_n para todo  n.

### Teoremas de convolución 
Dadas as funcións periódicas de período P, s_P e r_P cos coeficientes da serie de Fourier S[n] e R[n], n \in \mathbb{Z},

*O produto punto por punto: h_P(x) \triangleq s_P(x)\cdot r_P(x) tamén é P-periódico, e os seus coeficientes da serie de Fourier veñen dados pola convolución discreta  das secuencias S e R **:** H[n] = \{S*R\}[n].
*A convolución periódica: h_P(x) \triangleq \int_{P} s_P(\tau)\cdot r_P(x-\tau)\, d\tau tamén é P-periódica, co coeficientes da serie de Fourier:H[n] = P \cdot S[n]\cdot R[n].
*Unha sucesión dobremente infinita \left \{c_n \right \}_{n \in Z} en c_0(\mathbb{Z}) é a secuencia de coeficientes de Fourier dunha función en L^1([0,2\pi]) se é só se é unha convolución de dúas secuencias en \ell^2(\mathbb{Z}). Ver 

## Algunhas consecuencias positivas das propiedades de homomorfismo de exp 
Debido a que as "funcións base" *e**ikx* son homomorfismos da liña real (máis concretamente, do "grupo do círculo") temos certas identidades útiles:

# Se g(x)=f(x-y) daquela \hat g(k)=e^{-iky}\hat f(k)
# A transformada de Fourier é un morfismo: (f*g) \hat{ } (k)=\hat f(k) \hat g(k)—isto é, a transformada de Fourier dunha convolución é o produto das transformadas de Fourier.

## Formulación xeral 
As útiles propiedades das series de Fourier son debidas principalmente á ortogonalidade e á propiedade de homomorfismo das funcións *e**i n x*.

Outras sucesións de funcións ortogonais teñen propiedades similares, aínda que algunhas identidades útiles, concernendo por exemplo ás convolucións, non seguirán cumpríndose se se perde a "propiedade de homomorfismo".

Algúns exemplos son as secuencias de funcións de Bessel e os polinomios ortogonais. Tales sucesións obtéñense normalmente como solucións dunha ecuación diferencial; unha gran clase de tales sucesións útiles son solucións dos chamados problemas de Sturm-Liouville.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 

### Outros artigos 
* Transformada de Fourier.
* Análise harmónica.
* Fenómeno de Gibbs.

### Ligazóns externas 
*Aplicações da Transformada de Fourier - Video Aula - CEFET/RJ
*Análise de Fourier Usando o Matlab
* Análise de Fourier - Wolkartt Web Page