Homomorfismo de grupos

de *h*. *N* é o kernel de *h* e *aN* é un coset de *N*.]]

En matemáticas, dados dous grupos, (*G*,∗) e (*H*, ·), un **homomorfismo de grupos** de (*G*,∗) a (*H*, ·) é unha función  *h: *G* → *H* tal que para todos os *u* e *v* en *G* cumpre
: h(u*v) = h(u) \cdot h(v) 

onde a operación de grupo no lado esquerdo da ecuación é a de *G* e a operación do lado dereito a de *H*.

Desta propiedade pódese deducir que *h* mapea o elemento neutro *eG* de *G* co elemento neotro *eH* de *H*,
: h(e_G) = e_H

e tamén mapea inversos a inversos no sentido de que
: h\left(u^{-1}\right) = h(u)^{-1}. \,

Por iso pódese dicir que a *h* "é compatíbel  coa estrutura do grupo".

Nas áreas das matemáticas onde se consideran grupos dotados de estrutura adicional, un *homomorfismo* ás veces significa un mapa que respecta non só a estrutura do grupo (como anteriormente) senón tamén a estrutura extra. Por exemplo, un homomorfismo de grupos topolóxicos adoita ser necesario que sexa continuo.

## Tipos 
;Monomorfismo: homomorfismo de grupos que é unha función inxectiva (ou, un a un).
;Epimorfismo: un homomorfismo de grupos que é sobrexectivo (ou, onto); é dicir, chega a todos os puntos do codominio.
;Isomorfismo: homomorfismo de grupos que é bixectivo; é dicir, inxectivo e sobrexectivo. O seu inverso tamén é un homomorfismo de grupos. Neste caso, os grupos *G* e *H* chámanse *isomorfos*; difiren só na notación dos seus elementos (agás o elemento de identidade) e son idénticos para todos os efectos prácticos. i.e. reetiquetamos todos os elementos agás a identidade.
;Endomorfismo: un homomorfismo de grupos, *h*: *G* → *G*; o dominio e o codominio son iguais. Tamén se chama endomorfismo de *G*.
;Automorfismo: un endomorfismo de grupos que é bixectivo, e polo tanto un isomorfismo. O conxunto de todos os automorfismos dun grupo *G*, coa composición de funcións como operación, forma por si mesmo un grupo, o *grupo de automorfismos* de *G* desígnase por Aut(*G*). Como exemplo, o grupo de automorfismos de (**Z**, +) contén só dous elementos, a transformación da identidade e a multiplicación por −1; é isomorfo a (**Z**/2**Z**, +).

## Imaxe e kernel 
Definimos que o *kernel de h* é o conxunto de elementos en *G* que están mapeados coa identidade en *H*
:  \operatorname{ker}(h) := \left\{u \in G\colon h(u) = e_{H}\right\}.

e a *imaxe de h* é
:  \operatorname{im}(h) := h(G) \equiv \left\{h(u)\colon u \in G\right\}.

O kernel e a imaxe dun homomorfismo poden interpretarse como unha medida do preto que está de ser un isomorfismo. O primeiro teorema do isomorfismo afirma que a imaxe dun homomorfismo de grupo, *h*(*G*) é isomorfa ao grupo cociente *G*/ker *h*.

O kernel de h é un subgrupo normal de *G*. Supoñemos que u \in \operatorname{ker}(h) e mostramos que g^{-1} \circ u \circ g \in \operatorname{ker}(h) para  u, g arbitrarios:
: \begin{align}
  h\left(g^{-1} \circ u \circ g\right) &= h(g)^{-1} \cdot h(u) \cdot h(g) \\
                                       &= h(g)^{-1} \cdot e_H  \cdot h(g) \\
                                       &= h(g)^{-1} \cdot h(g) = e_H,
\end{align}

A imaxe de h é un subgrupo de *H*.

O homomorfismo, *h*, é un *monomorfismo de grupos*; é dicir, *h* é inxectiva (un-a-un) se e só se {{nowrap|ker(*h*)  {*e**G*}}}. A inxección dá directamente que hai un elemento único no núcleo e, pola contra, un elemento único no núcleo dá a inxección:
:\begin{align}
                  &&                           h(g_1) &= h(g_2) \\
  \Leftrightarrow &&         h(g_1) \cdot h(g_2)^{-1} &= e_H \\
  \Leftrightarrow && h\left(g_1 \circ g_2^{-1}\right) &= e_H,\  \operatorname{ker}(h) = \{e_G\} \\
  \Rightarrow     &&               g_1 \circ g_2^{-1} &= e_G \\
  \Leftrightarrow &&                              g_1 &= g_2 
\end{align}

## Exemplos 
* Considere o grupo cíclico Z = (**Z**/3**Z**, +) = ({0, 1, 2}, +) e o grupo de enteiros (**Z**, +). O mapa *h* : **Z** → **Z**/3**Z** con *h*(*u*) = *u* mod 3 é un homomorfismo de grupos. É sobrexectivo e o seu núcleo está formado por todos os números enteiros que son divisíbeis  por 3.
{{bulleted list|
O conxunto
:G \equiv \left\{\begin{pmatrix}
    a & b \\
    0 & 1
  \end{pmatrix} \bigg| a > 0, b \in \mathbf{R}\right\}

forma un grupo baixo a multiplicación matricial. Para calquera número complexo *u* a función *fu* : *G* → **C*** definida por
:\begin{pmatrix}
    a & b \\
    0 & 1
  \end{pmatrix} \mapsto a^u

é un homomorfismo de grupos.
|
Considere un grupo multiplicativo de números reais positivos (**R**+, ⋅) e tamén calquera número complexo *u*. A continuación, a función *fu* : **R**+ → **C** definida por
:f_u(a) = a^u
é un homomorfismo de grupos.
}}
* O mapa exponencial produce un homomorfismo de grupos a partir do grupo de números reais **R** con adición no grupo de números reais distintos de cero **R*** con multiplicación. O kernel é {0} e a imaxe está formada polos números reais positivos.
* O mapa exponencial tamén produce un homomorfismo de grupos do grupo de números complexos **C** con adición no grupo de números complexos distintos de cero **C*** con multiplicación. Este mapa é sobrexectivo e ten o kernel {2π*ki* : *k* ∈ **Z**}, como se pode ver na fórmula de Euler. Corpos como **R** e **C** que teñen homomorfismos do seu grupo aditivo ao seu grupo multiplicativo reciben o nome de *corpos exponenciais''.
* A función \Phi: (\mathbb{N}, +) \rightarrow (\mathbb{R}, +), definida por \Phi(x) = \sqrt[]{2}x é un homomorfismo.
* Considere os dous grupos (\mathbb{R}^+, *) e (\mathbb{R}, +), representados respectivamente por G e H, onde \mathbb{R}^+ son os números reais positivos. Entón, a función f: G \rightarrow H  definida pola función logaritmo é un homomorfismo.
## Categoría de grupos 
Se  e  son homomorfismos de grupos, entón tamén o é . Isto mostra que a clase de todos os grupos, xunto cos homomorfismos de grupos como morfismos, forman unha categoría (especificamente a categoría de grupos).

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía
*
* 

## Outros artigos
*Homomorfismo
*Teorema fundamental dos homomorfismos
*Cuasimorfismo
*Homomorfismo do anel

## Ligazóns externas
*