Matriz antisimétrica

En matemáticas, e máis precisamente en álxebra linear, unha **matriz antisimétrica** é unha matriz cadrada oposta á súa transposta. (**Skew-symmetric matrix** en inglés).

## Definición 
Dise que unha matriz cadrada *A* con coeficientes en calquera anel é antisimétrica se a súa transposta é igual á súa oposta, é dicir, se cumpre a ecuación:

: *A*  = – *A*

ou tamén, escribindoo con coeficientes da forma *A* = (*ai,j)*, se:

: para todo *i* e *j*, *aj,i* = – *ai,j.*

## Exemplos 
As seguintes matrices son antisimétricas :

: \begin{pmatrix}
0 & 2 \\
-2 & 0 \end{pmatrix}\qquad ;\qquad\begin{pmatrix}
0 &1& -2 \\
-1 & 0 &3 \\
2&-3&0\end{pmatrix}.

Ao longo de todo este artigo, asumimos que todas as entradas da matriz pertencen a un corpo \mathbb {F} cuxa característica  é distinta de 2. É dicir, asumimos que 1 + 1 ≠ 0, onde 1 denota a identidade multiplicativa e 0 a identidade aditiva do corpo dado. Se a característica do corpo é 2, entón unha matriz antisimétrica  é o mesmo que unha matriz simétrica.

## Propiedades 
### Caracterizacións 
* A suma de dúas matrices antisimétricas é antisimétrica.
* Un múltiplo escalar dunha matriz de antisimétrica é antisimétrica.
* Os elementos da diagonal dunha matriz antisimétrica son cero e, polo tanto, a súa traza é igual a cero.
* Se A é unha matriz antisimétrica  real e \lambda é un valor propio real, entón \lambda = 0, é dicir, os valores propios distintos de cero dunha matriz antisimétrica  non son reais.
* Se A é unha matriz antisimétrica real, entón I + A é invertíbel, onde I é a matriz de identidade.
* Se A é unha matriz antisimétrica, entón A^2 é unha matriz simétrica negativa semidefinida.

### Espazos de matrices antisimétricas 
* O espazo das matrices simétricas e o das matrices antisimétricas son suplementarios no espazo das matrices cadradas. De feito, calquera matriz cadrada descompónse de forma única do seguinte xeito:
: A = \frac{A+A^\mathsf{T}}2+\frac{A-A^\mathsf{T}}2.
* Cando o corpo de coeficientes é o dos reais, estes dous espazos son ortogonais se dotamos ao espazo de matrices cadradas do produto escalar, unha de cuxas expresións é precisamente  : {{Pad| (A,B) \mapsto Tr(A^\mathsf{T}~B).}}
: (A,B) \mapsto Tr(A^\mathsf{T}~B).
* As matrices antisimétricas de tipo (*n*, *n*) forman un espazo vectorial de dimensión *n(n-1)/2*. A base canónica é a familia \left(A_{ij}\right)_{1\leq i  de matrices A_{ij} que teñen 1 na fila *i* e na columna *j* e –1 na fila *j* e na columna *i*.
* No caso real, este espazo vectorial é o espazo tanxente ao grupo ortogonal O(*n*).

### Diagonalización e descomposicións 
Calquera matriz antisimétrica real é diagonalizábel no corpo dos complexos e os seus valores propios son puros imaxinarios. De feito, se *A* é antisimétrica real, *A* é hermitiana, é dicir, autoadxunta.

De feito, as matrices antisimétricas de tipo (*n*, *n*) forman unha álxebra de Lie usando o corchete de Lie e é a álxebra de Lie asociada ao grupo de Lie O(*n*).

Unha matriz *G* é ortogonal e ten un determinante igual a 1, é dicir, é un elemento da compoñente conexa do grupo ortogonal onde se sitúa a matriz unidade, se e só se existe unha matriz antisimétrica *A* tal que : {{Pad|G=\exp(A)=\sum_{n=0}^\infty \frac{A^n}{n!}}} 

(ver o artigo " Matriz exponencial ").

## Matriz antisimétrica asociada a un vector 
Un exemplo de matriz antisimétrica 3×3 é a matriz \mathbf{\Omega}(t) asociado co vector velocidade angular \omega(t) (tamaño 3x1) :

:  \dot{r}(t)=\omega(t) \wedge r(t) = \mathbf{\Omega}(t) \; r(t)

onde a matriz antisimétrica \mathbf{\Omega}(t) ten a forma  :

: \mathbf{\Omega}(t)= \begin{pmatrix}
0 & -\omega_z & \omega_y \\
\omega_z & 0 & -\omega_x \\
-\omega_y & \omega_x & 0 \end{pmatrix}.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
*
### Outros artigos 
* Teorema espectral.
* Matriz simétrica.
### Ligazóns externas 
* 
* 
*  Fortran Fortran90