Complementario (conxuntos)

Na teoría de conxuntos, o **complementario ou complemento** dun conxunto , denotado usualamente por A^\complement (ou ), é o conxunto de elementos que non están en .

Cando todos os elementos do universo, é dicir, todos os elementos en consideración, considéranse membros dun conxunto dado , o **complemento absoluto** de  é o conxunto de elementos en  que non están en .

O **complemento relativo** de  en relación a un conxunto , tamén denominado **diferenza de conxuntos** de  e , escrito B \setminus A, é o conxunto de elementos en  que non están en .

150px|thumb|O **complemento absoluto** do disco branco é a zona vermella
## Complemento absoluto 
Se  é un conxunto, entón o **complemento absoluto** de  (ou simplemente o **complemento de **) é o conxunto de elementos que non están en  (dentro dun conxunto maior que está implicitamente definido): A^\complement = U \setminus A = \{ x \in U : x \notin A \}.Adoita denotarse por A^\complement. Outras notacións son \overline A, A',  \complement_U A, \text{ and } \complement A. 

### Exemplos 
* Supoña que o universo é o conxunto de números enteiros. Se  é o conxunto de números impares, entón o complemento de  é o conxunto de números pares. Se  é o conxunto de múltiplos de 3, entón o complemento de  é o conxunto de números congruentes con 1 ou 2 módulo 3 (ou, en termos máis sinxelos, os enteiros que non son múltiplos de 3).
* Supoña que o universo é a baralla de tute de 40 cartas. Se o conxunto  é o pau dos ouros, entón o complemento de  é a unión dos paus de espadas, bastos e copas.
* Cando o universo é o universo de conxuntos descrito na teoría de conxuntos, o complemento absoluto dun conxunto xeralmente non é un conxunto, senón unha clase propia. Para obter máis información, consulte conxunto universal.

### Propiedades 
Sexan  e  dous conxuntos nun universo . As seguintes identidades mostran propiedades importantes dos complementos absolutos:

Leis de De Morgan: 

* \left(A \cup B \right)^\complement = A^\complement \cap B^\complement.
* \left(A \cap B \right)^\complement = A^\complement \cup B^\complement.

Leis do complementario: 

* A \cup A^\complement = U.
* A \cap A^\complement = \empty .
* \empty^\complement = U.
*  U^\complement = \empty.
* \text{Se }A\subseteq B\text{, entón }B^\complement \subseteq A^\complement.
*: (isto despréndese da equivalencia dun condicional co seu contrapositivo).

Lei da involución ou do dobre complemento:

* \left(A^\complement\right)^\complement = A.

Relacións entre complementos relativos e absolutos:

* A \setminus B = A \cap B^\complement.
* (A \setminus B)^\complement = A^\complement \cup B = A^\complement \cup (B \cap A).

Relación coa diferenza:

*  A^\complement \setminus B^\complement = B \setminus A. 

As dúas primeiras leis do complementario anteriores mostran que se  é un subconxunto propio non baleiro de , entón {{Math|{*A*, *A*∁}}} é unha partición de .

## Complemento relativo 
thumb|230x230px|O **complemento relativo** de  en : B \cap A^\complement = B \setminus A
### Definición 
Se  e  son conxuntos, entón o **complemento relativo** de  en  (expresado  B \setminus A ),  tamén denominado **diferenza de conxuntos** de  e  (por iso ás veces tamén se expresa como B - A,),  é o conxunto de elementos que están en  pero non están en .

Formalmente:B \setminus A = \{ x\in B : x \notin A \}.

### Exemplos 
* \{ 1, 2, 3\} \setminus \{ 2,3,4\} = \{ 1 \}.
* \{ 2, 3, 4 \} \setminus \{ 1,2,3 \} = \{ 4 \} .
* Se \mathbb{R} é o conxunto dos números reais e \mathbb{Q} é o conxunto de números racionais, entón \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} é o conxunto de números irracionais.

### Propiedades 
Sexan ,  e  tres conxuntos. As seguintes identidades mostran propiedades importantes dos complementos relativos:

:* C \setminus (A \cap B) = (C \setminus A) \cup (C \setminus B).
:* C \setminus (A \cup B) = (C \setminus A) \cap (C \setminus B).
:* C \setminus (B \setminus A) = (C \cap A) \cup (C \setminus B),
:*: co caso especial importante C \setminus (C \setminus A) = (C \cap A) demostrando que a intersección pode expresarse usando só a operación do complemento relativo.
:* (B \setminus A) \cap C = (B \cap C) \setminus A = B \cap (C \setminus A).
:* (B \setminus A) \cup C = (B \cup C) \setminus (A \setminus C).
:* A \setminus A = \emptyset.
:* \empty \setminus A = \empty.
:* A \setminus \empty = A.
:* A \setminus U = \empty.
:* Se A\subset B, entón C\setminus A\supset C\setminus B .
:* A \supseteq B \setminus C é equivalente a C \supseteq B \setminus A .

## Relación complementaria 
Unha relación binaria R defínese como un subconxunto dun produto de conxuntos X \times Y. A **relación complementaria** \bar{R} é o complemento do conxunto de R en X \times Y. O complemento de relación R pódese escribir\bar{R} \ = \ (X \times Y) \setminus R.Xunto coa composición de relacións e as relacións inversas, as relacións complementarias e a álxebra de conxuntos son as operacións elementais do cálculo de relacións.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* 
* 
* 
### Outros artigos 
* Unión.
* Intersección.
* Álxebra de conxuntos.

### Ligazóns externas 
* 
*