Número pentagonal

dereita|miniatura|200x200px| Unha representación visual dos seis primeiros números pentagonais
Un **número pentagonal** é un número figurado que estende o concepto de cadrados perfectos e números triangulares ao pentágono. Está extensión non é total, o modelo para a construción dos números pentagonais non ten simetrías. O *n-*ésimo número pentagonal *pn* é o número de puntos *distintos* nun modelo de puntos que consiste nos *contornos* de pentágonos regulares que comparten un vértide de lados de 1 punto ata de lados de n puntos. Por exemplo, o terceiro está formado a partir de contornos que comprenden 1, 5 e 10 puntos, pero o 1 e o 3 dos 5 coinciden con 3 dos 10, deixando 12 puntos distintos, 10 en forma de pentágono e 2 dentro.

*p*n vén dado pola fórmula:

: p_n = {\frac{3n^2-n}{2}}=\binom{n}{1}+3\binom{n}{2}

para *n* &#x2265; 1. Os primeiros números pentagonais son:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247... .

O *n-*ésimo número pentagonal pódese escribir como a suma dos enteirtos dende n ata 2n-1. Tamén se verifican as seguintes relacións:

: p_n = p_{n-1} + 3n - 2 = 2p_{n-1} - p_{n-2} + 3

Os números pentagonais relaciónanse cos números triangulares, xa que o *n-*ésimo número pentagonal é un terzo do  número triangular. Ademais, se Tn é o *n-*ésimo número triangular:

: p_n = T_{n-1} + n^2 = T_n + 2T_{n-1} = T_{2n-1} - T_{n-1}

**Os números pentagonais xeneralizados** obtéñense da fórmula anterior, cando *n* toma os valores da seguinte secuencia  0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4... , producindo a secuencia:

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 22, 21 247, 260, 287, 301, 330, 345... .

Os números pentagonais xeneralizados son de importantancia para a teoría das particións enteiras de Euler, como se expresa no seu teorema dos números pentagonais .

Outra forma de ver os números pentagonais xeneralizados, (cando é -*n* (valor negativo)) é coller a construción do número pentagonal *n+2* e restarlle os puntos do pentágono máis externo.

## Outras propiedades 
* p_n para n>0 é o número de combinacións diferentes de n+8 en n partes que non inclúen 2 ou 3.
* p_n é a suma dos n primeiros números naturais congruentes con 1 mod 3.
* p_{8n}-p_{8n-1}=p_{2n+2}-p_{2n-2}

## Probas de números pentagonais 
Dado un número enteiro positivo *x*, para probar se é un número pentagonal (non xeneralizado) podemos calcular

: n = \frac{\sqrt{24x+1} + 1}{6}.

O número *x* é pentagonal se e só se *n* é un número natural. Nese caso *x* é o *n-*ésimo número pentagonal.

Para os números pentagonais xeneralizados, basta con comprobar se  é un cadrado perfecto.

Para os números pentagonais non xeneralizados, ademais da proba do cadrado perfecto, tamén se require comprobar se

: \sqrt{24x+1} \equiv 5 \mod 6

As propiedades matemáticas dos números pentagonais aseguran que estas probas sexan suficientes para demostrar ou refutar a pentagonalidade dun número. 

## Gnomon 
O Gnomon do *n-*ésimo número pentagonal é:

:  p_{n+1}-p_n = 3n+1

## Números pentagonais cadrados 
Un número pentagonal cadrado é un número pentagonal que tamén é un cadrado perfecto. 

Os primeiros son:

0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697181818618181818 34354401, 73756990988431941623299373152801...  .

## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Número hexagonal
* Número triangular
### Ligazóns externas 
*Leonhard Euler: On the remarkable properties of the pentagonal numbers