Raio de Einstein

O **raio de Einstein** é o raio dun anel de Einstein, e é unha característica xeral do ángulo dunha lente gravitacional, as distancias típicas entre as imaxes producidas polas lentes gravitacionais son da orde do raio de Einstein.

## Cálculo 
miniatura|dereita|400px|Xeometría de lente gravitacional
Para o cálculo do raio de Einstein, imos supor que toda a masa M da galaxia L concéntrase no centro da galaxia.

Para un punto de masa a deformación pode ser calculada e é unha das probas clásicas da relatividade xeral. Para ángulos pequenos \alpha a deformación total para un punto de masa M é (ver métrica de Schwarzschild )
:\alpha = \frac{4G}{c^2}\frac{M}{b}
onde
b é o parámetro de impacto (a distancia de maior aproximación da luz emitida ao centro de masas da lente)
G é a constante gravitacional,
c é a velocidade da luz .

Tendo en conta que, para ángulos pequenos e co ángulo expresado en radiáns, o punto de maior aproximación *b* dende un ángulo \theta para a lente L sobre unha distancia d_L  dada por b =\theta d_L, podemos reformular o ángulo de flexión \alpha como
:\alpha(\theta) = \frac{4G}{c^2}\frac{M}{\theta}\frac{1}{d_L} (eq. 1)
Se colocarmos \theta_S como o ángulo en que se podería ver a fonte sen a lente (que xeralmente non é observable) e \theta como o ángulo observado da imaxe da fonte con respecto á lente, entón pódese ver a partir da xeometría das lentes (con distancias no mesmo plano da fonte), que medir a distancia vertical do ángulo \theta a unha distancia d_S é o mesmo que a suma das dúas distancias verticais \theta_S \;d_{S} máis \alpha \;d_{LS}. Isto dá como ecuación obxectivo,
:\theta \; d_S = \theta_S\; d_S + \alpha \; d_{LS},
que se pode reformular para dar
:\alpha(\theta) = \frac{d_S}{d_{LS}} (\theta - \theta_S) (eq. 2)
Por definición (Eq 1) igual a (Eq 2), e reformulando, obtense
:\theta-\theta_S = \frac{4G}{c^2} \; \frac{M}{\theta} \; \frac{d_{LS}}{d_S d_L}

Para unha fonte directamente detrás do obxectivo,  \theta_S=0 , a ecuación da lente a un punto de masa dá un valor característico para \theta que se denomina distancia de Einstein, denotada \theta_E. Poñendo \theta_S = 0 e resolvendo a \theta resulta
:\theta_E = \left(\frac{4GM}{c^2}\;\frac{d_{LS}}{d_L d_S}\right)^{1/2}

O raio de Einstein para un punto de masa proporciona unha escala lineal conveniente para facer lentes variables adimensionais. En termos de raios de Einstein, a ecuación da lente a un punto de masa convértese en
:\theta = \theta_S + \frac{\theta^2_E}{\theta}
Substituíndo as constantes resulta
:\theta_E = \left(\frac{M}{10^{11.09} M_{\bigodot}}\right)^{1/2} \left(\frac{d_L d_S/ d_{LS}}{Gpc}\right)^{-1/2}  arcsec
Nesta última forma, a masa é expresada en masas solares é M_{\bigodot} e as distancias en Giga parsec (GPC). O raio de Einstein  máis destacado é unha lente normalmente a medio camiño entre a fonte e o observador.

Para un cúmulo estelar denso de masa M_c \approx 10^{15} M_{\bigodot} a unha distancia de 1 Gigaparsec (1 GPC), este raio pode ser tan grande como 100 segundos de arco (chamado macrolente). Para un evento de microlente gravitacional (con masas da orde \sim 1 M_{\bigodot}), buscado a distancias galácticas (digamos d\sim 3 kpc ), o raio de Einstein  típico sería da orde mili-segundos de arco. En consecuencia, en imaxes separadas os eventos de microlente son imposibles de observar coas técnicas actuais.

O argumento anterior pode estenderse para as lentes que teñen unha masa distribuída, en vez de concentrada nun punto de masa, usando unha expresión distinta para a curva do ángulo \alpha. As posicións \theta_I(\theta_S) das imaxes poden ser calculadas.  Para pequenas deflexions este mapeado "un a un" (foto a foto) está composto por distorsións das posicións observadas que son invertíveis. Isto chámase lente gravitacional débil. Para grandes deformacións pódese ter varias imaxes e un "mapa" non-inversível: iso chámase lente gravitacional forte. Teña en conta que, para que unha masa distribuída poida producir un anel de Einstein, debe ter simetria axial.