Tensor tensión

[dereita|280px|miniatura|Compoñentes do tensor tensión nun punto P dun [sólido deformable.]]
En mecánica de medios continuos, o **tensor tensión** ou **tensor de tensións** é o tensor que dá conta da distribución de tensións e esforzos internos no medio continuo.

## Tipos de tensor tensión
### Tensor tensión de Cauchy
300px|miniatura|Representación gráfica das compoñentes do tensor tensión nunha base ortogonal.
O teorema de Cauchy sobre as tensións dun corpo, establece que dada unha distribución de tensións internas sobre a xeometría dun medio continuo deformado, que satisfaga as condicións do principio de Cauchy, existe un campo tensorial *T* simétrico definido sobre a xeometría deformada coas seguintes propiedades:

#.  t(\mathbf{x},n) = [T_C(\mathbf{x})](n), 
#.  \nabla\cdot T_C(\mathbf{x}) + f(\mathbf{x}) = 0, 
#.  T_C(\mathbf{x}) = T_C^T(\mathbf{x}) 

A terceira propiedade significa que este tensor virá dado sobre as coordenadas especificadas por unha matriz simétrica. Cabe sinalar que nun problema mecánico a priori é difícil coñecer o tensor tensión de Cauchy xa que este está definido sobre a xeometría do corpo unha vez deformado, e esta non é coñecida de antemán. Polo tanto previamente é necesario encontrar a forma deformada para coñecer exactamente o tensor de Cauchy. Mais, cando as deformacións son pequenas, en enxeñaría e aplicacións prácticas emprégase este tensor aínda que definido sobre as coordenadas do corpo sen deformar (o cal non conduce a erros de cálculo excesivo se todas as deformacións máximas son inferiores a 0,01).

Fixado un sistema de referencia ortogonal, o tensor tensión de Cauchy vén dado por unha matriz simétrica coas compoñentes:

:
[T_C]_{xyz} =
\begin{bmatrix}
  \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
  \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\  
  \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} 
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
  \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\
  \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\  
  \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} 
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
  \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
  \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\  
  \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z 
\end{bmatrix}

A segunda forma é a forma común de chamar aos compoñentes do tensor tensión na enxeñaría.

### Primeiro tensor tensión de Piola-Kirchhoff
Os tensores de Piola-Kirchhoff *TR* introdúcense para evitar a dificultade de ter que traballar cun tensor definido sobre a xeometría xa deformada (que normalmente non é coñecida previamente). A relación entre ambos tensores vén dada por:
{{Ecuación| T_R(\mathbf{x}) = det(\nabla F) T_C(\mathbf{x}) (\nabla F)^{-T}||left}}

Onde *F* é o tensor gradiente de deformación. Este tensor non obstante ten o problema de que non é simétrico (ver segundo tensor tensión de Piola-Kirchhoff).

### Segundo tensor tensión de Piola-Kirchhoff
Este tensor introdúcese para lograr un tensor definido sobre a xeometría previa á deformación e que ademais sexa simétrico, a diferenza do primeiro tensor de Piola-Kirchhoff que non ten por que ser simétrico. O segundo tensor tensión de Piola-Kirchhoff vén dado por:
{{Ecuación| \Sigma_R(\mathbf{x}) = \det(\nabla F)((\nabla F)^{-1})T_C(\mathbf{x}) (\nabla F)^{-T}, ||left}}

## Notas 
## Véxase tamén
### Outros artigos
* Mecánica de medios continuos
* Elasticidade (mecánica)
* Teorema de Rivlin-Ericksen
* Tensor deformación
### Bibliografía 
* R. J. Atkin & N. Fox: *An Introduction to the Theory of Elasticity*, ed. Dover, ISBN 0-486-44241-1, 1980.