Correlación

En probabilidade e estatística, a **correlación** indica a forza e a dirección dunha relación linear e proporcionalidade entre dúas variables estatísticas. Considérase que dúas variables cuantitativas están correlacionadas cando os valores dunha delas varían sistematicamente con respecto aos valores homónimos da outra: se se teñen dúas variables (A e B) existe correlación se ao aumentaren os valores de A tamén aumentan (ou diminúen) os de B. A correlación entre dúas variables non implica, por ela mesma, ningunha relación de causalidade (*cum hoc ergo propter hoc*).

## Forza, sentido e forma da correlación 
A relación entre dúas variables cuantitativas queda representada mediante a liña de mellor axuste, trazada a partir da nube de puntos. Os principais compoñentes elementais dunha liña de axuste e polo tanto dunha correlación, son a forza, o sentido e a forma: 
* a **forza** extrema segundo o caso, mide o grao  no que a liña representa a nube de puntos: se a nube é estreita e alongada represéntase por unha liña recta, o que indica que a relación é *forte*; se a nube de puntos ten unha tendencia elíptica o circular, a relación é *débil*. 
* o **sentido** mide a variación dos valores de B con respecto a A: se ao creceren os valores de A fano os de B, a relación é directa (pendente positiva); se ao creceren os valores de A diminúen os de B, a relación é inversa (pendente negativa).
* a **forma** establece o tipo de liña que define o mellor axuste: a liña recta, a curva monotónica ou a curva non monotónica

## Coeficientes de correlación 
Existen diversos coeficientes que miden o grao de correlación, adaptados á natureza dos datos. O máis coñecido é o coeficiente de correlación de Pearson (introducido en realidade por Francis Galton), que se obtén dividindo a covarianza de dúas variables entre o produto dos seus desvíos estándar. Outros coeficientes son:
* Coeficiente de correlación de Spearman
* Correlación canónica
* Coeficiente de correlación Intraclase
* Correlación de Kendall
* Correlación de Jaspen

### Interpretación xeométrica 
Dados os valores da mostra de dúas variables aleatorias X (x_1, \ldots, x_n) e Y (y_1, \ldots, y_n), que poden ser consideradas como vectores nun espazo de *n* dimensións, poden construírse os "vectores centrados" como:

O coseno do ángulo alfa entre estes vectores vén dada pola fórmula seguinte:
{{ecuación|
r = \cos(\alpha) = \dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^N (x_i - \bar x)\cdot(y_i - \bar y)}{\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^N (x_i - \bar x)^2}\cdot\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^N (y_i - \bar y)^2}}
||left}}
pois \cos(\alpha) é o coeficiente de correlación da mostra de Pearson. O coeficiente de correlación é o coseno entre ambos vectores centrados:
* se *r* = 1, o ángulo \alpha = 0°, ambos os vectores son colineares (paralelos).
* se *r* = 0, o ángulo \alpha = 90°, ambos os vectores son ortogonais.
* se *r* =-1, o ángulo \alpha = 180°, ambos os vectores son colineares de dirección oposta.
Máis xeralmente: \alpha = \arccos(r).

Por suposto, dende o punto vista xeométrico, non se fala de *correlación linear*: o coeficiente de correlación ten sempre un sentido, calquera que sexa o seu valor entre -1 e 1. Informa de modo preciso, non tanto sobre o grao de dependencia entre as variables, senón sobre a súa distancia angular na hiperesfera en *n* dimensións.

A iconografía das correlacións é un método de análise multidimensional que está baseado nesta idea. A correlación linear dáse cando nunha nube de puntos se atopan ou se distribúen arredor dunha recta.

A fórmula de correlación para dúas series distintas con certo desfase "k", está dada pola fórmula:
{{ecuación|
r_k = \dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{N-k} (x_i - \bar x)\cdot(y_{i+k} - \bar y)}{\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^{N-k} (x_i - \bar x)^2}\cdot\sqrt{\displaystyle \sum_{i=k+1}^N (y_i - \bar y)^2}}
||left}}

### Distribución do coeficiente de correlación 
O coeficiente de correlación dunha mostra é unha variable aleatoria, o que significa que se repetimos un experimento ou consideramos diferentes mostras se obterán valores diferentes e polo tanto o coeficiente de correlación da mostra calculado a partir delas terá valores lixeiramente diferentes. Para mostras grandes a variación nese coeficiente será menor que para mostras pequenas. R. A. Fisher foi o primeiro en determinar a distribución de probabilidade para o coeficiente de correlación.

Se as dúas variables aleatorias que se trata de relacionar proceden dunha distribución gaussiana bivariante entón o coeficiente de correlación *r* segue unha distribución de probabilidade dada por:
{{ecuación|
f\left(r\right) = \frac{\left(n - 2\right)\, \mathbf{\Gamma}\left(n - 1\right) \left(1 - \rho^2\right)^{\frac{n - 1}{2}} \left(1 - r^2\right)^{\frac{n - 4}{2}}}{\sqrt{2\pi}\, \mathbf{\Gamma}\left(n - \frac{1}{2}\right) \left(1 - \rho r\right)^{n - \frac{3}{2}}} \,\mathbf{_2F_1}\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; \frac{2n - 1}{2}; \frac{\rho r + 1}{2}\right)
||left}}
onde:
:\mathbf{\Gamma} é a distribución gamma
:\,\mathbf{_2F_1}(a,b;c;z) é a función gaussiana hiperxeométrica.

O valor esperado do coeficiente de correlación da mostra *r* es:
{{ecuación|
\mathbb{E}\left(r\right) = \rho - \frac{\rho \left(1 - \rho^2\right)}{2 \left(n - 1\right)} + \cdots 
||left}}
polo tanto, *r* é un estimador nesgado de \,\rho. Pode obterse un estimador aproximado non nesgado resolvendo a ecuación:
{{ecuación|
\bar{r} = \mathbb{E}\left(r\right) = \rho - \frac{\rho \left(1 - \rho^2\right)}{2 \left(n - 1\right)} para \,\rho
||left}}
Aínda que a solución:
{{ecuación|
{\rho} = r \left[1 + \frac{1 - r^2}{2\left(n - 1\right)}\right]
||left}}
é subóptima. Pode obterse un estimador nesgado con mínima varianza para grandes valores de *n*, con nesgo de orde \frac{1}{n - 1} buscando o máximo da expresión:
{{ecuación|
\log{f\left(r\right)}, i.e. \hat{\rho} = r \left[1 - \frac{1 - r^2}{2\left(n - 1\right)}\right]
||left}}

No caso especial de que \,\rho = 0, a distribución orixinal pode ser reescrita como:
{{ecuación|
f\left(r\right) = \frac{\left(1 - r^2\right)^{\frac{n - 4}{2}}}{\mathbf{B}\left(\frac{1}{2}, \frac{n - 2}{2}\right)}
||left}}
onde \mathbf{B} é a función beta.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Ligazóns externas 
* Diccionario Estadístico - Divestatística 
*Simulación da correlación entre dúas variables discretas con R (linguaxe de programación)