Conxunto

[thumb|Conxunto de polígonos nun [Diagrama de Euler]]
O concepto de **conxunto** na Matemática é intuitivo e poderiamos definilo como unha colección de varios obxectos ou elementos, sen importar a súa orde e feita con calquera criterio. Un conxunto está ben definido se é sabido se un determinado elemento pertence ou non ao conxunto.

Os conxuntos represéntanse cunha letra maiúscula.

Dous conxuntos *A* e *B* son **iguais** cando posúen precisamente os mesmos elementos, isto é, se cada elemento de *A* é un elemento de *B* e cada elemento de *B* é un elemento de *A*.

## Notación 
Normalmente, úsanse letras maíusculas para representar os conxuntos e letras minúsculas para representar os elementos dun conxunto dado. Se A é un conxunto e a, b, c, d, e todos os seus elementos, é frecuente escribir:
: A= \{a, b, c, d, e\}  (1)

para definir tal conxunto A. A notación empregada en (1) para definir o conxunto A chámase *notación por extensión*.

Para representar que un elemento ~x pertence a un conxunto A, escríbese x\in A (léase ben x no A, ben ~x pertence ao A). A negación de x\in A escríbese x\notin A (léase x non pertence ao A).

Se todos os elementos x dun conxunto A satisfán algunha propiedade —que pode representarse como unha proposición p\left( x\right) coa indeterminada ~x—, usamos a *notación por comprensión*, e pode definirse:
: A= \{x:p\left(x\right)\} 
: **A** é o conxunto de elementos **x**, que cumpren **p(x)**, onde o símbolo **:** lese "cúmprese que", e pode ser substituído por unha barra \mid "tal que".

Por exemplo, o conxunto ~A= \{1, 2, 3, 4\} pode definirse por:
: A= \{n: 1\leq n\leq 4, n\in\mathbb{N}\} .

O símbolo \mathbb{N} representa o conxunto dos números naturais.

### Subconxuntos e superconxuntos 
dereita

Un conxunto A dise *subconxunto* doutro B, se todos os elementos do ~A son tamén elementos do B; matematicamente:
: x\in A\qquad\Rightarrow\qquad x\in B ,

sexa cal for o elemento x. Así, escríbese A\subseteq B.

Deberá ser sinalado que, por definición, non se exclúe a posibilidade de se A\subseteq B , cumprirse A = B. Se o B ten ao menos un elemento que non pertenza ao conxunto A, mais se todos os elementos do ~A son elementos do B, entón dicimos que ~A é un subconxunto propio do ~B, o que se representa como A\subset B.

Se o A é un subconxunto do B, dicimos tamén que o B é un *superconxunto* do A, o que se escribe B\supseteq A. Logo

:B\supseteq A\quad\Leftrightarrow\quad A\subseteq B,

e tamén:
:B\supset A\quad\Leftrightarrow\quad A\subset B,

significando B\supset A que o B é *superconxunto propio* do A.

Polo principio de indentidade, é sempre certo x\in A \Rightarrow x\in A , para todos os elementos x, polo que todo conxunto é subconxunto (e tamén superconxunto) de si mesmo.

Vemos que \subseteq é unha relación de orde sobre un conxunto S de conxuntos, pois
:

### Conxunto baleiro 
O **conxunto baleiro** ou **conxunto vacío** é un conxunto que non posúe elementos. Represéntase por \{\} ou  \empty .

Todo conxunto posúe como subconxunto o **conxunto baleiro**. Podemos mostrar isto supondo que se o conxunto baleiro non pertence ao conxunto en cuestión, entón o conxunto baleiro debe posuír un elemento ao menos que non pertenza a este conxunto. Como o conxunto baleiro non posúe elementos, isto non é posíbel. Como todos os conxuntos baleiros son iguais uns aos outros, é permisíbel falar dun único conxunto sen elementos.

## Operacións cos conxuntos 
Sexan ~A e ~B dous conxuntos.

### Unión 
miniatura|A \cup B 
Os elementos que pertencen ao ~A ou ao ~B ou a ambos os dous ~A e ~B, forman outro conxunto, chamado **unión** de ~A e ~B, escrito  A\cup B . Matematicamente:
:A\cup B= \{x:x\in A\quad\vee\quad x\in B\} .

### Intersección 
miniatura|A \cap B 
Os elementos comúns de ~A e mais de ~B forman un conxunto denominado **intersección** de ~A e ~B, representado por A\cap B :
:A\cap B= \{x:x\in A\quad\wedge\quad x\in B\}.

Se dous conxuntos ~A e ~B son tales que A\cap B =\emptyset, entón ~A e ~B dinse conxuntos *disxuntos*.

### Diferenza 
miniatura|A \setminus B

Os elementos dun conxunto ~A que non se atopan noutro conxunto ~B, forman outro conxunto chamado *diferenza de* ~A e ~B, representado por, A \setminus B:
: A \setminus B = \{x:x\in A\quad\wedge\quad x\notin B\}.

## Operacións externas
En operacións básicas, todos os elementos de conxuntos producidos por operacións de conxunto pertencen a conxuntos previamente definidos. 

Neste apartado considéranse outras operacións de conxuntos, que producen conxuntos cuxos elementos poden estar fóra de todos os conxuntos considerados anteriormente. Estas operacións son o produto cartesiano,a unión disxunta e o conxunto potencia.

### Produto cartesiano
O produto cartesiano de dous conxuntos xa se utilizou para definir funcións.

Dados dous conxuntos  e , o seu *produto cartesiano*, denotado  é o conxunto formado por todos os pares ordenados  tal que  e ; é dicir,
:A_1\times A_2 = \{(a_1, a_2) \mid a_1\in A_1 \land a_2\in A_2\}.

Esta definición non presupón que os dous conxuntos sexan diferentes. En particular,
:A\times A = \{(a_1, a_2) \mid a_1\in A \land a_2\in A\}.

Dado que esta definición implica un par de índices (1,2), xeneralízase directamente ao produto cartesiano ou produto directo de calquera familia indexada de conxuntos:
:\prod_{i\in \mathcal I} A_i= \{(a_i)_{i\in \mathcal I}\mid (\forall i\in \mathcal I) \;a_i\in A_i\}.
É dicir, os elementos do produto cartesiano dunha familia de conxuntos son todas as familias de elementos tal que cada un pertence ao conxunto do mesmo índice. O feito de que, para cada familia indexada de conxuntos non baleiros, o produto cartesiano sexa un conxunto non baleiro está asegurado polo axioma da escolla.

### Conxunto potencia
O *conxunto de potencias* dun conxunto  é o conxunto que ten todos os subconxuntos de  como elementos, incluído o conxunto baleiro e o propio .

Adoita denotase . Por exemplo,
: \mathcal P(\{1,2,3\})=\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}\}.

### Unión disxunta
A *unión disxunta* de dous ou máis conxuntos é semellante á unión, mais, se dous conxuntos teñen elementos en común, estes elementos considéranse distintos na unión disxunta. Isto obtense etiquetando os elementos polos índices do conxunto do que proceden.

A unión disxunta de dous conxuntos  e  denomínase comunmente  e así defínese como
:A\sqcup B=\{(a,i)\mid (i=1 \land a\in A)\lor (i=2 \land a\in B\}.

Se  é un conxunto con  elementos, entón  ten  elementos, mentres que  ten  elementos.

A unión disxunta de dous conxuntos é un caso particular da unión disxunta dunha familia indexada de conxuntos, que se define como
:\bigsqcup_{i \in \mathcal I}=\{(a,i)\mid i\in \mathcal I \land a\in A_i\}.

A unión disxunta é o coproduto na categoría de conxuntos. Polo tanto a notación
:\coprod_{i \in \mathcal I}=\{(a,i)\mid i\in \mathcal I \land a\in A_i\}
úsase habitualmente.

## Cardinalidade
Informalmente, a cardinalidade dun conxunto , a miúdo denotada , é o número dos seus membros. 

Este número é o número natural  cando hai unha bixección entre o conxunto que se considera e o conxunto {{tmath|\{1,2,\ldots, n \} }} dos  primeiros números naturais. A cardinalidade do conxunto baleiro é .En ambos os casos, dise que o conxunto é un conxunto finito. En caso contrario, temos un conxunto infinito.

### Conxuntos infinitos e cardinalidade infinita
Algunhas cardinalidades infinitas son maiores que outras. Sen dúbida, un dos resultados máis significativos da teoría de conxuntos é que o conxunto de números reais ten maior cardinalidade que o conxunto de números naturais.

Os conxuntos con cardinalidade menor ou igual á de \N chámanse *conxuntos numerábeis*. Os conxuntos cunha cardinalidade estritamente maior que a de \N chámanse *conxuntos non numerábeis*.

### A hipótese do continuo
A hipótese do continuo, formulada por Georg Cantor en 1878, é a afirmación de que non existe un conxunto con cardinalidade estritamente entre a cardinalidade dos números naturais e a cardinalidade dunha recta.

## Funcións
Unha *función* dun conxunto , o *dominio*, a un conxunto , o *codominio*, é unha regra que asigna a cada elemento de  un elemento único de . Por exemplo, a función elevar ao cadrado asigna a cada número real  a . As funcións pódense definir formalmente en termos de conxuntos por medio da súa gráfica, que son subconxuntos do produto cartesiano do dominio e do codominio.

## Álxebra de conxuntos 
Sexan *A*, *B*, e *C* conxuntos calquera, logo:

:* A ∩ A = A
:* A ∪ A = A
:* A - A = Ø
:* A ∩ B = B ∩ A
:* A ∪ B = B ∪ A
:* (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
:* (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
:* C - (A ∩ B) = (C - A) ∪ (C - B)
:* C - (A ∪ B) = (C - A) ∩ (C - B)
:* C - (B - A) = (A ∩ C) ∪ (C - B)
:* (B - A) ∩ C = (B ∩ C) - A = B ∩ (C - A)
:* (B - A) ∪ C = (B ∪ C) - (A - C)
:* A ⊆ B ↔ A ∩ B = A
:* A ⊆ B ↔ A ∪ B = B
:* A ⊆ B ↔ A - B = Ø
:* A ∩ B = Ø ↔ B - A = B
:* A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B
:* A ∩ Ø = Ø
:* A ∪ Ø = A
:* Ø - A = Ø
:* A - Ø = A

Sexa **U** un conxunto tal que *A*, *B*, e *C* son subconxuntos do **U** (utilízase a notación A' := U - A). Entón:

:* A = A
:* B - A = A' ∩ B
:* (B - A)' = A ∪ B'
:* A ⊆ B ↔ B' ⊆ A'
:* A ∩ **U** = A
:* A ∪ **U** = **U**
:* **U** - A = A'
:* A - **U** = Ø

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
*
*
*

### Outros artigos 
* Álxebra de conxuntos
* Categoría de conxuntos
* Relación binaria

### Ligazóns externas