Condensado de Bose-Einstein

[miniatura|Distribución de momentos que confirma a existencia dun novo [estado de agregación da materia, o condensado de Bose-Einstein. Datos obtidos nun gas de átomos de rubidio, a coloración indica a cantidade de átomos a cada velocidade, co vermello indicando a menor e o branco indicando a maior. As áreas brancas e celestes indican as menores velocidades. Á esquerda obsérvase o diagrama inmediato anterior ao condensado de Bose-Einstein e ao centro o inmediato posterior. Á dereita obsérvase o diagrama logo de certa evaporación, coa substancia próxima a un condensado de Bose-Einstein puro. O pico non é infinitamente angosto debido ao Principio de indeterminación de Heisenberg: dado que os átomos están confinados nunha rexión do espazo, a súa distribución de velocidades posúe necesariamente un certo ancho mínimo. A distribución da esquerda é para T > Tc (sobre 400 nanokelvins (nK)), a central para T r (ou número de ocupación) vén dado por:
{{Ecuación|
\langle n_r\rangle = \frac{1}{e^{\beta(\varepsilon_r - \mu)} - 1}\quad\quad  **[1]**
||left}}
onde \beta = \frac{1}{k_B T} sendo k_B a constante de Boltzmann.

Esta función vale infinito cando o argumento da exponencial vale cero e cae rapidamente. Isto é debido a que os bosóns non cumpren o principio de exclusión de Pauli e polo tanto pode ter infinidade deles no mesmo estado cuántico individual.

Se o sistema ten N partículas, entón debe cumprirse que a suma de todas as partículas que se encontren en cada estado cuántico r debe dar o total.

N = \sum_r \frac{1}{e^{\beta(\varepsilon_r - \mu)} - 1} \quad\quad  **[2]**

Se o sistema é pechado, a relación **[2]** sérvenos para definir o potencial químico \mu.

Supoñamos ademais que o mínimo nivel de enerxía accesible a unha partícula é \varepsilon_r = 0. Isto é admisible xa que coincide co menor valor da enerxía que pode ter un gas de partículas con graos translacionais de liberdade.

Esta imposición obriga a que \mu (T) \le 0. De non ser así, entón habería estados cunha enerxía que sería menor que o potencial químico e resultaría que os números medios de ocupación serían unha cantidade negativa, o cal non é posible.

Supoñamos que a diferenza entre dous niveis consecutivos de enerxía é tan pequena que podemos cambiar o sumatorio por unha integral.

Convén separar o cálculo do número total de partículas en dúas partes, unha que dea conta daquelas cuxo valor da enerxía é o propio do estado fundamental, e outro distinta de cero, estados excitados. De non facelo chegariamos a unha contradición, como veremos.

N = N_0 + N^\prime

O número de partículas cuxa enerxía é distinta de cero vén dada pola seguinte expresión, onde \rho(E) é a distribución de probabilidade que nos di cantas partículas teñen a súa enerxía comprendida entre E e E + dE.

N^\prime = \int_0^\infty \rho(E) \frac{1}{e^{\beta(E - \mu)} - 1} dE

Pódese demostrar que a distribución de probabilidades vén dada por:

\rho(E) = g_s \frac{2 \pi V}{h^3}(2m)^{\frac{3}{2}}\sqrt{E}

sendo g_s o grao de dexeneración, V o volume do sistema, h a constante de Planck, m a masa dos bosóns e E a enerxía.

De tal maneira que:

N^\prime = \int_0^\infty g \frac{2 \pi V}{h^3} (2m)^{\frac{3}{2}}\sqrt{E}\frac{1}{e^{\beta(E - \mu)} - 1} dE = g_s \frac{2 \pi V}{h^3} (2m)^{\frac{3}{2}} \int_0^\infty \frac{E^{1/2}}{e^{\beta(E - \mu)} - 1} dE

Facendo o cambio de variable z = \beta (E - \mu) tense:

= g_s \frac{2 \pi V}{h^3 \beta^{\frac{3}{2}}} (2m)^{\frac{3}{2}} \int_0^\infty \frac{z^{1/2}}{e^{z} - 1} dz

Utilizando que:
{{Ecuación|

\int_0^\infty \frac{u^{x - 1}}{z^{-1}e^u - 1} du = \Gamma(x') g_{x}(z)
 para x > 1.
||left}} onde \Gamma(x') é a función Gamma de Euler, g_x(z) é a función zeta de Riemann e que \frac{1}{\lambda_{DB}^3}=\frac{2 \pi}{h^3 \beta^{\frac{3}{2}}} (2m)^{\frac{3}{2}} é a lonxitude de onda de De'Broglie.

Chégase a que:
{{Ecuación|
N^\prime= g_s \frac{\Gamma(3/2) V g_{3/2}(z)}{\lambda_{DB}^3}
||left}}

De modo que:

N^\prime = g_s\frac{(2m\pi)^{3/2}V}{h^3} g_{3/2}(z) (kT)^{3/2} \quad\quad  **[3]**

É o número máximo de partículas que o sistema pode ter a unha temperatura dada nos estados excitados. Chamarémolo N'_{max}.

Isto permítenos definir a chamada temperatura de Bose, ou temperatura crítica, na cal: \mu(T_0) = 0. A función de Riemman está acoutada: 0, así:
{{Ecuación|
\frac{N^\prime}{V} 
||left}}
Sendo unha relación de igualdade o caso límite ou crítico. Ese caso límite dáse na temperatura crítica T_0:
T_0 = \frac{h^2}{2 m \pi k} \left( \frac{N}{g V \zeta(3/2)} \right)^{2/3}

Se houberamos tomado unicamente a expresión **[3]**, teríamos que:

\frac{N}{V} \sim T^{3/2}

O cal faría que en T = 0 non puidera existir un gas de bosóns, o que contradí a experiencia. Por iso dividimos o cálculo en dúas partes.

Se dividimos a ecuación **[3]** pola densidade total do sistema obtemos que:

\frac{N'_{max}}{N} = \left(\frac{T}{T_0}\right)^{3/2}

A temperaturas moito maiores que T_0, este cociente é maior que a unidade. Iso significa que o noso sistema admite máis bosóns nos estados excitados dos que temos actualmente.

A temperaturas menores que T_0 o cociente é menor que a unidade. Iso significa que moitas das partículas constituíntes do noso sistema se foron ao estado fundamental ao non poder haber tantas nos estados excitados.

N_0 = \frac{1}{e^{-\beta \mu} - 1}

É o outro sumando, o número de partículas no estado fundamental. En T  verifícase que N' \approx N'_{max} de modo que:

N_0 = N - N' \simeq N -  N'_{max} = N \left( 1 - \frac{N'_{max}}{N} \right) = N \left[ 1 - \left(\frac{T}{T_0} \right)^{3/2} \right]

Aquí vemos como cando T \rightarrow 0, N_0 \rightarrow N. É dicir, os bosóns agrúpanse no estado fundamental.

Este fenómeno coñécese como condensación de Bose-Einstein. A denominación pode inducir a erro pois non se trata dunha condensación como un gas normal. Cando un gas ideal clásico cambia de estado gasoso a líquido dicimos que se condensa, nese caso diminúe o seu volume (ou aumenta a súa densidade). No condensado de Bose non hai diminución de volume, as partículas quédanse quietas.

Se debuxáramos no espazo fásico (q, p) de posicións e momentos conxugados, o condensado dun gas corrente estaría agrupado cerca de q = 0 (eixe horizontal) mentres que no condensado de Bose esta agrupación prodúcese arredor de p = 0 (eixe vertical).

## Obtención en laboratorio 
Eric Cornell e Carl Wieman lograron en 1995 por primeira vez arrefriar átomos ao máis baixo nivel de enerxía, menos dunha millonésima de Kelvin por encima do cero absoluto, unha temperatura moi inferior á mínima temperatura encontrada no espazo exterior. Utilizaron o método de arrefriamento por láser, facendo que a luz rebotase nos átomos con máis enerxía que o seu impacto sobre os mesmos. Cando os fotóns rebotan no átomo, o electrón no átomo que absorbe o fotón e salta a un nivel superior de enerxía para logo rapidamente saltar de novo ao seu nivel orixinal, expulsando o fotón e logrando o descenso da súa temperatura.

Para que isto suceda necesítase a cor (ou frecuencia) exacta de láser para a clase de átomo a arrefriar. Finalmente, a substancia arrefríase aínda máis coa evaporación magnética dos átomos con máis enerxía. Consiste en deixar escapar do confinamento magnético os átomos máis enerxéticos, que ao facelo se levan consigo máis enerxía da que lle corresponde, logrando así deixar dentro o de máis baixa temperatura.

## Superfluidez e supercondutividade 
A supercondutividade é un exemplo de condensado. Nesta son os pares de Cooper (asociacións dunha parella de electróns) os que se comportan como un bosón e decae ao nivel fundamental. A supercondutividade está caracterizada pola ausencia de resistencia eléctrica.

A superfluidez é outro exemplo de condensado. O helio cando se arrefría licúase, se seguimos arrefriando os átomos de helio (que son bosóns), estes descenden ao nivel de mínima enerxía, o 0 Kelvin. Isto fai que os átomos non adquiran enerxía por fricción, o que fai que non se disipe enerxía por movemento. O resultado é un plano horizontal infinitamente estreito; como o que pasa no interior das supernovas cando o seu período vital se esgota e se transforman en buratos negros.

Atribúeselle un efecto cuántico macroscópico óptico ao condensado Bose-Einstein de átomos de sodio que, ao inducirlle electromagneticamente o estado de translucidez, ten a propiedade de reducir a velocidade da luz de forma asombrosa (até 20 millóns de veces no baleiro, equivalente a 17 m/s).

## O condensado de Bose–Einstein nos modelos evolutivos e nos sistemas ecolóxicos
Nos modelos evolutivos estímase que cada especies se reproduce de xeito proporcional á súa fitness. No modelo de alelos infinito, cada mutación xera unha nova especie cunha fitness aleatoria. Este modelo foi estudado polo estadista J. F. C. Kingman e coñécese como o modelo da 'casa de cartas' . En función da distribución da fitness, o modelo mostra unha fase de transición da condensación. Kingman non se decatou de que esta fase de transición podería ser mapeada como unha condensación de Bose-Einstein. Recentemente este mapeado do modelo a un de condensación Bose-Einstein fíxose baixo un modelo estocástico para o modelo non-neutral da Teoría Neutral Unificada da Biodiversidade. Cando o fenómeno de condensanción acontece no sistema ecolóxico, unha especie chega a converterse na dominante e reduce fortemente a biodiversiade do sistema. Esta fase de transición describe un mecanismo básico estilizado que é responsable do máximo impacto das especies invasivas en moitos sistemas ecolóxicos.

## Notas
## Véxase tamén 
### Ligazóns externas
* BEC 2009 Bose-Einstein Condensation 2009
* Páxina do grupo MIT (w. Ketterle)