Ecuación paramétrica

dereita|miniatura|A curva de bolboreta pode ser definida por ecuacións paramétricas de  e .
En matemáticas, unha **ecuación paramétrica** expresa varias cantidades, como as coordenadas dun punto, como funcións dun ou varias variábeis chamaron parámetros. 

No caso dun único parámetro, as ecuacións paramétricas son xeralmente usadas para expresar a traxectoria dun punto que se move, caso no que o parámetro é a miúdo, mais non necesariamente,o  tempo, e o punto describe unha curva, chamada curva paramétrica ou curva parametrizada. No caso de dous parámetros, o punto describe unha  superficie, chamada unha  superficie paramétrica. En todos os casos, as ecuacións chámanse colectivamente unha **representación paramétrica**, ou **sistema paramétrico**, ou **parametrización**  do obxecto.

Por exemplo, as ecuacións \begin{align}
  x &= \cos t \\
  y &= \sen t
\end{align}forman unha representación paramétrica da circunferencia unidade, onde t é o parámetro: Un punto  está na circunferencia unidade se e só se hai  un valor de t tal que este dúas ecuacións xeran ese punto. Ás veces as ecuacións paramétricas para as variábeis escalares individuais combínanse  nunha única ecuación paramétrica  en vectores:

(x, y)=(\cos t, \sen t).

As representacións paramétricas son xeralmente non únicas (ver os "Exemplos en dúas dimensións" na sección máis abaixo), así que as mesmas cantidades poden ser expresadas por un número de diferente parametrizacións.

## Curvas paramétricas no plano
### Parábola
A ecuación máis simple para unha parábola,

y = x^2

pódese (trivialmente) parametrizar empregando un parámetro libre , se definimos

x = t, \quad y = t^2
 \quad \mathrm{para}\ -\infty 

### Ecuacións explícitas
De xeito máis xeral, calquera curva dada por unha ecuación explícita

y = f(x)

pódese (trivialmente) parametrizar empregando un parámetro libre , definindo

x = t, \quad y = f(t)
 \quad \mathrm{para}\ -\infty 

### Circunferencia
Un exemplo máis elaborado é o seguinte. Considérese a circunferencia unidade descrita pola ecuación cartesianax^2 + y^2 = 1.Esta ecuación pode parametrizarse como:

(x,y) = (\cos t,\; \sen t)
 \quad\mathrm{para}\ 0 \leq t 

Coa ecuación cartesiana é máis doado comprobar se un punto pertence  ou non á circunferencia. Coa versión paramétrica é máis doado obter puntos para debuxar.

En certos contextos prefírense ecuacións paramétricas que empreguen só funcións racionais (fraccións de dous polinomios), se existen. No caso da circunferencia, unha  é

\begin{align}
  x &= \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \\
  y &= \frac{2t}{1 + t^2}\,.
\end{align}

Con este par de ecuacións paramétricas, o punto  non está representado por ningún valor real de , senón polo límite de  e  cando  tende a infinito.

### Elipse
Unha elipse en posición canónica (centro na orixe, eixe maior ao longo do eixe ), con semieixes  e , pódese representar parametricamente como

\begin{align}
  x &= a\,\cos t \\
  y &= b\,\sen t\,.
\end{align}

Unha elipse en posición xeral pode expresarse como

\begin{alignat}{4}
  x ={}&& X_\mathrm{c} &+ a\,\cos t\,\cos \varphi {}&&- b\,\sen t\,\sen\varphi \\
  y ={}&& Y_\mathrm{c} &+ a\,\cos t\,\sen \varphi {}&&+ b\,\sen t\,\cos\varphi
\end{alignat}

co parámetro  variando de 0 a 2\pi. Aquí 
é o centro da elipse e  o ángulo
entre o eixe  e o eixe maior.

Ambas parametrizacións poden facerse
racionais
usando a fórmula do ángulo metade
e definindo \tan\frac{t}{2} = u\,.

### Curva de Lissajous
miniatura|
Unha curva de Lissajous con 
e .
Unha curva de Lissajous é semellante a unha elipse,
pero as ondas sinusoidais  e 
non están en fase.
En posición canónica, unha curva de Lissajous defínese por

\begin{align}
  x &= a\,\cos(k_x t) \\
  y &= b\,\sen(k_y t)
\end{align}

onde  e 
son constantes que describen
o número de lóbulos da figura.

### Hipérbole
Unha hipérbole de apertura leste-oeste
pódese representar parametricamente por

\begin{align}
  x &= a\sec t + h \\
  y &= b\tan t + k\,,
\end{align}

ou, racionalmente:

\begin{align}
  x &= a\frac{1 + t^2}{1 - t^2} + h \\
  y &= b\frac{2t}{1 - t^2}  + k\,.
\end{align}

Unha hipérbole de apertura norte-sur
pódese representar parametricamente como

\begin{align}
  x &= b\tan t + h \\
  y &= a\sec t + k\,,
\end{align}

ou, racionalmente:

\begin{align}
  x &= b\frac{2t}{1 - t^2} + h \\
  y &= a\frac{1 + t^2}{1 - t^2} + k\,.
\end{align}

En todas estas fórmulas,
 son as coordenadas
do centro da hipérbole,
 é a lonxitude do semieixe maior
e  a do semieixe menor.
Obsérvese que nas formas racionais
os puntos  e 
respectivamente non están representados
por valores reais de ,
senón polo límite de  e 
cando  tende a infinito.

### Hipotrocoide
Unha hipotrocoide é a curva trazada
por un punto fixo nun círculo de raio 
que roda polo interior dun círculo fixo
de raio ,
situado a unha distancia 
do centro do círculo interior.

Ficheiro:2-circles hypotrochoid.gif|Hipotrocoide con 
Ficheiro:HypotrochoidOutThreeFifths.gif|Hipotrocoide con , , 

As ecuacións paramétricas da hipotrocoide son:

\begin{align}
  x (\theta) &= (R - r)\cos\theta
    + d\cos\left(\frac{R - r}{r}\,\theta\right) \\
  y (\theta) &= (R - r)\sen\theta
    - d\sen\left(\frac{R - r}{r}\,\theta\right)\,.
\end{align}

Algúns exemplos:

Ficheiro:Param1a 6 4 1 a2.jpg|  
Ficheiro:Param1a 7 4 1 a4.jpg|  
Ficheiro:Param1a 8 3 2 a3.jpg|  
Ficheiro:Param1a 7 4 2 a4.jpg|  
Ficheiro:Param1a 15 14 1 a14.jpg|  

## Curvas paramétricas no espazo
miniatura|440x440px|Hélice paramétrica animada

### Hélice
miniatura|300px|dereita|Hélice paramétrica

As ecuacións paramétricas son útiles para describir curvas en espazos de dimensión superior. Por exemplo:

\begin{align}
  x &= a \cos t \\
  y &= a \sen t \\
  z &= b t\,
\end{align}

describe unha curva tridimensional, a hélice, cun radio  e que sobe 2\pi b unidades por volta. As ecuacións da parte (x,y) son idénticas ás dunha circunferencia no plano. Expresións como a anterior adoitan escribirse como

\begin{align}
\mathbf{r}(t) &= (x(t), y(t), z(t)) \\
              &= (a \cos t,\; a \sen t,\; b t)\,,
\end{align}

onde  é un vector tridimensional.

### Recta
A ecuación paramétrica da recta que pasa polo punto \left( x_0, y_0, z_0 \right) e é paralela ao vector a\,\hat\mathbf{i} + b\,\hat\mathbf{j} + c\,\hat\mathbf{k} é\begin{align}
x &= x_0 + a t \\
y &= y_0 + b t \\
z &= z_0 + c t
\end{align}

## Superficies paramétricas
Un toro con radio maior  e radio menor  pódese definir parametricamente como

\begin{align}
x &= \cos t \left(R + r \cos u\right), \\
y &= \sen t \left(R + r \cos u\right), \\
z &= r \sen u\,.
\end{align}

onde os dous parámetros  e  varían entre 0 e 2\pi.

Ficheiro:Torus.png|, 

Cando  varía de 0 a 2\pi, o punto na superficie percorre unha circunferencia pequena que pasa polo oco do toro. Cando  varía de 0 a 2\pi,
o punto percorre unha circunferencia  grande ao redor do oco do toro.

## Paso á forma implícita
Converter un conxunto de ecuacións paramétricas nunha única ecuación implícita implica eliminar a variable  das ecuacións simultáneas x=f(t),\ y=g(t). Este proceso chámase paso á forma implícita. No paso á forma implícita cómpre ter presente que esta representa o conxunto de puntos percorridos pola parametrización, mentres que as ecuacións paramétricas orixinais describen unha maneira concreta de percorrelo; por tanto, ambos conceptos non son equivalentes. 

Se unha destas ecuacións pode resolverse para , a expresión obtida pode substituírse na outra ecuación para obter unha ecuación que só involucra  e : resolvendo y=g(t) para obter t=g^{-1}(y)
e usando isto en x=f(t) obténse a ecuación explícita x=f(g^{-1}(y)), mentres que casos máis complicados darán unha ecuación implícita da forma h(x,y)=0.

Se a parametrización está dada por funcións racionais

x=\frac{p(t)}{r(t)},\qquad y=\frac{q(t)}{r(t)},

onde ,  e  son polinomios coprimos de dous en dous, un cálculo da resultante permite pasar á forma implícita. Máis precisamente, a ecuación implícita é a resultante respecto de  de  e .

En dimensións superiores (tanto máis de dúas coordenadas como máis dun parámetro), o paso á forma implícita de ecuacións paramétricas racionais pódese facer mediante o cálculo dunha base de Gröbner.

### Exemplo
No exemplo da circunferencia de radio , as ecuacións paramétricas

\begin{align}
  x &= a \cos t \\
  y &= a \sen t
\end{align}

pódense pasar a forma implícita en termos de  e 
empregando a identidade trigonométrica pitagórica. Con

\begin{align}
\frac{x}{a} &= \cos t \\
\frac{y}{a} &= \sen t
\end{align}

e

\cos^2 t + \sen^2 t = 1,

obténse

\left(\frac{x}{a}\right)^2
 + \left(\frac{y}{a}\right)^2 = 1,

e, por tanto,

x^2 + y^2 = a^2,

que é a ecuación estándar dunha circunferencia centrada na orixe.

## Notas