Momento de inercia

En Mecánica, o **momento de inercia** mide a distribución da masa dun corpo en torno dun eixo de rotación. Un momento de inercia elevado significa que é preciso aplicar unha forza elevada para que o corpo pare de xirar. Contribúe máis ao xiro a porción de masa que está afastada do eixo de xiro. Un eixo xirante fino e longo, coa mesma masa dun disco que xira en relación ao seu centro, terá un momento de inercia menor que este. A unidade de medida, no SI, é quilogramo metro ao cadrado (kg•m²).

* Momento de inercia dunha masa respecto dun eixo: 
: I_{eixo} = \int r^2\,dm\,
* Momento de inercia polar (respecto dun punto):
: I_{0} = \int r^2\,dm\,
* Momento de inercia planario (respecto dun plano):
: I_{plano} = \int r^2\,dm\,

## Cálculo 
Por definición, o momento de inercia I\, dunha partícula de masa m\, e que xira en torno dun eixo, a unha distancia r\, del, é

:I = mr^2

Se un corpo é constituído de n masas puntuais (partículas), o seu momento de inercia total é igual á suma dos momentos de inercia de cada masa elemental:
:I = \sum_{k=1}^{n} m_i r_i^2
onde m_i é a masa de cada partícula, e r_i é a súa distancia ao eixo de rotación.

Para un corpo ríxido, podemos transformar esa sumatoria nunha integral, integrando para todo o volume V\, do corpo o produto da masa m\, en cada punto polo cadrado da distancia r\, até o eixo de rotación:
:I = \int_V r^2\,dm\,

Hai varios valores coñecidos para o momento de inercia de certos tipos de corpos ríxidos. Algúns exemplos (asumindo distribución uniforme de masa):
* Para un cilindro macizo de masa M e raio da base R, en torno dun eixo paralelo á xeratriz e pasando polo seu centro:
*: I = \frac{1}{2}MR^2
* Para unha esfera maciza de masa M e raio R, en torno de seu centro:
*: I = \frac{2}{5}MR^2
* Para un anel cilíndrico de masa M e raio R, en torno dun eixo paralelo á xeratriz e pasando polo seu centro:
*: I = MR^2

## Teoremas fundamentais 
O momento de inercia respecto a un polo é a suma dos tres momentos de inercia planario respecto a tres planos perpendiculares entre si e que se cortan en dito polo (punto):
: dI_{O} = dI_{XOY} + dI_{YOZ} + dI_{ZOX}
O momento de inercia axial é a suma dos momentos de inercia respecto a dous planos perpendiculares que se cortan en dito eixo:
: dI_{OX} = dI_{ZOX} + dI_{XOY}
: dI_{OY} = dI_{XOY} + dI_{YOZ}
: dI_{OZ} = dI_{YOZ} + dI_{ZOX}
A suma dos momentos de inercia planarios respecto a tres planos perpendiculares entre si é a semisuma dos momentos de inercia axiais, respecto a tres eixos perpendiculares obtidos en ditos planos:
: dI_{O} = (dI_{XO} + dI_{YO} + dI_{ZO})/2
### Teorema de Steiner ou teorema dos eixes paralelos 
O teorema de Steiner (denominado así en honor a Jakob Steiner) establece que o momento de inercia con respecto a calquera eixo paralelo a un eixo que pasa polo centro de masa, é igual ao momento de inercia con respecto ao eixo que pasa polo centro de masa máis o produto da masa polo cadrado da distancia entre os dous eixos:

: I_{eixo} = I_{eixo}^{(CM)} + Mh^2 \,

onde: *Ieixo* é o momento de inercia respecto ao eixe que non pasa polo centro de masa;
*I*(*CM*)*eixe* é o momento de inercia para un eixo paralelo ao anterior que pasa polo centro de masa; *M* é a masa total; e *h* a Distancia entre os dous eixos paralelos considerados.

A demostración deste teorema resulta inmediata se se considera a descomposición de coordenadas relativa ao centro de masas *C* \bar{\mathbf{r}} = \mathbf{r}_{C} + \mathbf{h}  inmediata:

:I_{eixo} = \int_V \bar{\mathbf{r}} \cdot \bar{\mathbf{r}} \quad dm =
\int_V (\mathbf{r}_{C}\cdot\mathbf{r}_{C}+2\mathbf{r}_{C}\cdot\mathbf{h}+
\mathbf{h}\cdot\mathbf{h}) \quad dm =
\int_V \mathbf{r}_{G}\cdot\mathbf{r}_{C} \quad dm + \int_V 2\mathbf{r}_{C}\cdot\mathbf{h} \quad dm + \int_V \mathbf{h}\cdot\mathbf{h} \quad dm 
:I_{eixo} = I_{eixo}^{(CM)} + \underbrace{2\mathbf{h}\cdot\int_V \mathbf{r}_{C} dm}_{=0} + Mh^2 

onde o segundo termo é nulo posto que a distancia vectorial media de masa en torno ao centro de masas é nula, pola propia definición de centro de masa.

O centro de gravidade e o centro de masa poden non ser coincidentes, dado que o centro de masa só depende da xeometría do corpo, en cambio, o centro de gravidade depende do campo gravitacional no que se acha o corpo.

## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Momento de inercia de área
* Produto de inercia
* Cantidade de movemento angular
* Movemento circular uniforme
* Impulso