Subgrupo normal

En álxebra abstracta, un **subgrupo normal** (tamén coñecido como **subgrupo invariante** ou **subgrupo autoconxugado**) é un subgrupo que é invariante baixo a conxugación de membros do grupo do que forma parte. Noutras palabras, un subgrupo N do grupo G é normal en G se e só se gng^{-1} \in N para todos os g \in G e n \in N. A notación habitual para esta relación é N \triangleleft G.

Os subgrupos normais son importantes porque eles (e só eles) poden usarse para construír grupos cocientes do grupo dado. Alén diso, os subgrupos normais de G son precisamente os kernel dos homomorfismos de grupos con dominio G, o que significa que poden usarse para clasificar internamente eses homomorfismos.

Évariste Galois foi o primeiro en decatarse da importancia da existencia de subgrupos normais.

## Definicións 
Un subgrupo N dun grupo G chámase **subgrupo normal** de G se é invariante baixo a conxugación; é dicir, a conxugación dun elemento de N por un elemento de G sempre está dentro de N. A notación habitual para esta relación é N \triangleleft G .

### Condicións equivalentes 
Para calquera subgrupo N de G, as seguintes condicións son equivalentes para N ser un subgrupo normal de G. Polo tanto, calquera delas pode tomarse como definición.

* A imaxe da conxugación de N por calquera elemento de G é igual a N, é dicir, gNg^{-1}= N para todos os g \in G.
* A imaxe da conxugación de N por calquera elemento de G é un subconxunto de N. Evidente polo punto anterior, así nas deducións é máis simple probar gNg^{-1}\subseteq N para todos os g \in G.
* Para todos os g \in G, as coclases esquerda e dereita gN e Ng son iguais.
* Os conxuntos de coclases esquerdas e dereitas de N en G coinciden.
* A multiplicación en G conserva a relación de equivalencia "está na mesma coclase esquerda que". É dicir, para cada g,g',h,h' \in G que satisfaga g N = g' N e h N = h' N, temos (g h) N = (g' h') N.
* Existe un grupo no conxunto de coclases esquerdas de N onde a multiplicación de dúas coclases esquerdas calquera gN e hN dá a coclase esquerda (gh)N (este grupo chámase *grupo cociente* de G *módulo* N, denotado G/ N).
* N é unha unión de clases de conxugación de G.
* N presérvase polos automorfismos internos de G.
* Existe algún homomorfismo de grupo G \to H cuxo kernel é N.
* Existe un homomorfismo de grupo \phi:G \to H cuxas fibras forman un grupo onde o elemento identidade é N e a multiplicación de dúas fibras calquera \phi^ {-1}(h_1) e \phi^{-1}(h_2) producen a fibra \phi^{-1}(h_1 h_2) (este grupo é o mesmo grupo G/N mencionado anteriormente).
* Hai algunha relación de congruencia en G para a cal a clase de equivalencia do elemento identidade é N.
* Para todos os n\in N e g \in G. o conmutador [n,g] = n^{-1} g^{-1} n g está en N.&#x5B;'**&#x5D;
* Dous elementos calquera conmutan módulo a relación normal de pertenza ao subgrupo. É dicir, para todo g, h \in G, g h \in N se e só se h g \in N.&#x5B;**'&#x5D;

## Exemplos 
Para calquera grupo G, o subgrupo trivial \{ e \} composto só polo elemento identidade de G é sempre un subgrupo normal de G. Así mesmo, G en si é sempre un subgrupo normal de G (se estes son os únicos subgrupos normais, entón G dise que é simple). 

Outros subgrupos normais dun grupo arbitrario con nome característico inclúen o centro do grupo (o conxunto de elementos que conmutan con todos os demais elementos) e o subgrupo conmutador. [G,G].   Máis xeralmente, dado que a conxugación é un isomorfismo, calquera subgrupo característico é un subgrupo normal.

Se G é un grupo abeliano, daquela cada subgrupo N de G é normal, porque gN = \{gn\}_{n\in N} = \{ng\}_{n\in N} = Ng. En xeral, para calquera grupo G, cada subgrupo do *centro* Z(G) de G é normal en G (no caso especial de G ser abeliano, o centro é todo G, de aí o feito de que todos os subgrupos dun grupo abeliano son normais). Un grupo que non é abeliano mais para o que todos os subgrupos son normais chámase grupo hamiltoniano. 

Un exemplo concreto de subgrupo normal é o subgrupo N = \{(1), (123), (132)\} do grupo simétrico S_3, composto pola identidade e ambos os tres ciclos. En particular, pódese comprobar que cada clase de N é igual ao propio N ou é igual a (12)N = \{ (12), (23), (13)\}. Por outra banda, o subgrupo H = \{(1), (12)\} non é normal en S_3 xa que (123)H = \{(123), (13) \} \neq \{(123), (23) \} = H(123). Isto ilustra o feito xeral de que calquera subgrupo H \leq G de índice dous é normal.

Como exemplo dun subgrupo normal dentro dun grupo linear, considere o grupo linear xeral \mathrm{GL}_n(\mathbf{R}) de todas as matrices  n\times n invertíveis con entradas reais baixo a operación de multiplicación matricial e o seu subgrupo \mathrm{SL}_n(\mathbf{R}) de todas as matrices n\times n de determinante 1 (o grupo linear especial). Para ver por que o subgrupo \mathrm{SL}_n(\mathbf{R}) é normal en \mathrm{GL}_n(\mathbf{R}), considere calquera matriz X en \mathrm{SL}_n(\mathbf{R}) e calquera matriz invertíbel A. Agora empregando as dúas identidades importantes \det(AB)=\det(A)\det(B) e \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}, temos que\det(AXA^{-1}) = \det(A) \det(X) \det(A)^{-1} = \det(X) = 1, e daquela AXA^{-1} \in \mathrm{SL}_n(\mathbf{R}) tamén. Isto significa que \mathrm{SL}_n(\mathbf{R}) é pechado baixo a conxugación en \mathrm{GL}_n(\mathbf{R}), polo que é un subgrupo normal. {{Efn|Noutras palabras: \det é un homomorfismo de \mathrm{GL}_n(\mathbf{R}) cara ao subgrupo multiplicativo   \mathbf{R}^\times, e\mathrm{SL}_n(\mathbf{R}) é o kernel. Ambos os argumentos tamén funcionan sobre os números complexos, ou de feito sobre un corpo arbitrario.}}

O grupo de translación é un subgrupo normal do grupo euclidiano en calquera dimensión. Isto significa que aplicando unha transformación ríxida, seguida dunha translación e despois a transformación ríxida inversa, ten o mesmo efecto que unha única translación. Pola contra, o subgrupo de todas as rotacións sobre a orixe *non* é un subgrupo normal do grupo euclidiano, sempre que a dimensión sexa polo menos 2: primeiro trasladar, despois xirar sobre a orixe e despois trasladar de volta normalmente non fixará a orixe, e polo tanto, non terá o mesmo efecto que unha única rotación sobre a orixe.

## Propiedades 
* Se H é un subgrupo normal de G, e K é un subgrupo de G que contén H , entón H é un subgrupo normal de K.
* Un subgrupo normal dun subgrupo normal dun grupo non ten por que ser normal no grupo. É dicir, a normalidade non é unha relación transitiva. O grupo máis pequeno que presenta este fenómeno é o grupo diédrico de orde 8. Non obstante, un subgrupo característico dun subgrupo normal é normal. Un grupo no que a normalidade é transitiva chámase grupo T.
* Os dous grupos G e H son subgrupos normais do seu produto directo G \times H.
* Se o grupo G é un produto semidirecto G = N \rtimes H, entón N é normal en G, aínda que H non ten por que ser normal en G.
* Se M e N son subgrupos normais dun grupo aditivo G tal que G = M + N e M \cap N = \{0\}, daquela G = M \oplus N.
* A normalidade consérvase baixo homomorfismos sobrexectivos; é dicir, se G \to H é un homomorfismo sobrexectivo de grupo e N é normal en G, daquela a imaxe f(N) é normal en H.
* A normalidade consérvase tomando imaxes inversas; é dicir, se G \to H é un homomorfismo de grupo e N é normal en H, daquela a imaxe inversa f^{-1}(N) é normal en G.
* Consérvase a normalidade ao tomar produtos directos; é dicir, se N_1 \triangleleft G_1 e N_2 \triangleleft G_2, daquel N_1 \times N_2\; \triangleleft \;G_1 \times G_2.
* Cada subgrupo de índice 2 é normal. De forma máis xeral, un subgrupo, H, de índice finito, n, en G contén un subgrupo, K, normal en G e de índice que divide n! chamado corazón normal. En particular, se p é o primo máis pequeno que divide a orde de G, daquela todos os subgrupos do índice p son normais.
* O feito de que os subgrupos normais de G sexan precisamente os kernels dos homomorfismos de grupo definidos en G explica parte da importancia dos subgrupos normais; son unha forma de clasificar internamente todos os homomorfismos definidos nun grupo. Por exemplo, un grupo finito non identitario é simple se e só se é isomorfo a todas as súas imaxes homomorfas non identitarias, un grupo finito é perfecto se e só se non ten subgrupos normais de índice primo, e un grupo é imperfecto se e só se o subgrupo derivado non se complementa con ningún subgrupo normal propio.

### Retícula de subgrupos normais 
Dados dous subgrupos normais, N e M, de G, a súa intersección N\cap M e o seu produto N M = \{n m : n \in N\; \text{ e }\; m \in M \} tamén son subgrupos normais de G.

Os subgrupos normais de G forman unha retícula baixo a  inclusión de subconxuntos co mínimo elemento, \{ e \}, e o maior elemento, G. O "meet" de dous subgrupos normais, N e M, nesta retícula é a súa intersección e o "join" é o seu produto.

## Subgrupos normais, grupos cocientes e homomorfismos 
Se N é un subgrupo normal, podemos definir unha multiplicación en coclases secundarias do seguinte xeito:  
:\left(a_1 N\right) \left(a_2 N\right) := \left(a_1 a_2\right) N.
Esta relación define un mapa G/N\times G/N \to G/N. Para mostrar que esta mapeo está ben definido, hai que demostrar que a elección dos elementos representativos a_1, a_2 non afecta o resultado. Para iso, considere algúns outros elementos representativos a_1'\in a_1 N, a_2' \in a_2 N. Daquela existen n_1, n_2\in N tal que a_1' = a_1 n_1, a_2' = a_2 n_2. Dedúcese que 
:a_1' a_2' N = a_1 n_1 a_2 n_2 N =a_1 a_2 n_1' n_2 N=a_1 a_2 N
onde tamén utilizamos o feito de que N é un subgrupo  e, polo tanto, existe n_1'\in N tal que n_1 a_2 = a_2 n_1'. Isto demostra que este produto é un mapeo ben definido entre coclases.

Con esta operación, o conxunto de coclases secundarias é en si un grupo, chamado grupo cociente e denotado G/N. Existe un homomorfismo natural, f : G \to G/N, dado por f(a) = a N. Este homomorfismo mapea N no elemento identidade (ou elemento neutro) de G/N, que é a coclase e N = N,  é dicir, \ker(f) = N.

En xeral, un homomorfismo de grupo, f : G \to H envía subgrupos de G a subgrupos de H. A maiores, a preimaxe de calquera subgrupo de H é un subgrupo de G. Chamamos á preimaxe do grupo trivial \{ e \} en H ao **kernel** do homomorfismo e denotámolo como \ker f. Como se ve, o kernel (ou núcleo) sempre é normal e a imaxe de G, f(G), é sempre isomorfa a G / \ker f (o primeiro teorema de isomorfismo).

De feito, esta correspondencia é unha bixección entre o conxunto de todos os grupos cocientes de G, G/N, e o conxunto de todas as imaxes homomorfas de G (até isomorfismo). Tamén é doado ver que o kernel do mapa cociente, f : G \to G/N, é o propio N, polo que os subgrupos normais son precisamente os kernels dos homomorfismos con dominio G.

## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*

### Outros artigos 
* Grupo cociente
* Coclase

#### Operacións levando subgrupos a subgrupos
*Centralizador e normalizador
*Pechamento conxugado
*Corazón dun subgrupo

#### Propiedades do subgrupo complementarias (ou opostas) á normalidade
*Subgrupo malnormal
*Subgrupo contranormal
*Subgrupo anormal
*Subgrupo de autonormalización

#### Propiedades do subgrupo máis fortes que a normalidade
*Subgrupo característico
*Subgrupo totalmente característico

#### Propiedades do subgrupo máis febles que a normalidade
*Subgrupo subnormal
*Subgrupo ascendente
*Subgrupo descendente
*Subgrupo cuasinormal
*Subgrupo seminormal
*Conxugar subgrupo permutábel
*Subgrupo modular
*Subgrupo pronormal
*Subgrupo paranormal
*Subgrupo polinormal
*Subgrupo C-normal

#### Nocións relacionadas en álxebra
*Ideal (teoría dos aneis)
*Semigrupo ideal

### Ligazóns externas 
* 
* Normal subgroup in Springer's Encyclopedia of Mathematics
* Robert Ash: Group Fundamentals in *Abstract Algebra. The Basic Graduate Year*
* Timothy Gowers, Normal subgroups and quotient groups
* John Baez, What's a Normal Subgroup?