Teorema multinomial

En matemáticas, o **teorema multinomial** describe como expandir unha potencia dunha suma en termos de potencias dos termos desa suma. É a xeneralización do teorema binomial de binomios a multinomios.

## Teorema 
Para calquera enteiro positivo  e calquera enteiro non negativo , o teorema multinomial describe como se expande unha suma con  termos cando se eleva á potencia -ésima: 
:(x_1 + x_2 + \cdots + x_m)^n
 = \sum_{\begin{array}{c} k_1+k_2+\cdots+k_m=n \\ k_1, k_2, \cdots, k_m \geq 0\end{array}} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m}
 x_1^{k_1} \cdot x_2^{k_2} \cdots x_m^{k_m} 
onde 
: {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m}
 = \frac{n!}{k_1!\, k_2! \cdots k_m!} 
é un **coeficiente multinomial**.  A suma tómase sobre todas as combinacións de índices enteiros non negativos  a  de tal forma que a suma de todos os  é . É dicir, para cada termo da expansión, os expoñentes dos  deben sumar .  

No caso , esta afirmación redúcese á do teorema binomial. 

### Exemplo 
A terceira potencia do trinomio  vén dada por 
:
(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3 a^2 b + 3 a^2 c + 3 b^2 a + 3 b^2 c + 3 c^2 a + 3 c^2 b + 6 a b c.

Isto pódese calcular a man usando a propiedade distributiva da multiplicación sobre a suma e combinando termos similares, mais tamén se pode facer (quizais máis facilmente) co teorema multinomial. É posíbel "ler" os coeficientes multinomiais dos termos usando a fórmula do coeficiente multinomial. Por exemplo, o termo a^2 b^0 c^1  ten por coeficiente {3 \choose 2, 0, 1} = \frac{3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!} = \frac{6}{2 \cdot 1 \cdot 1} = 3, o termo a^1 b^1 c^1 ten por coeficiente {3 \choose 1, 1, 1} = \frac{3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!} = \frac{6}{1 \cdot 1 \cdot 1} = 6, e do mesmo xeito para o resto.

### Expresión alternativa 
O enunciado do teorema pódese escribir concisamente usando multiíndices:

: (x_1+\cdots+x_m)^n = \sum_{|\alpha|=n}{n \choose \alpha}x^\alpha

onde

: 
\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m)

e

: 
x^\alpha=x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_m^{\alpha_m}

## Coeficientes multinomiais 
Os números

:  {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m}

que aparecen no teorema son os coeficientes multinomiais. Pódense expresar de moitas maneiras, incluíndo como produto de coeficientes binomiais ou de factoriais:

: 
{n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} = \frac{n!}{k_1!\, k_2! \cdots k_m!} = {k_1\choose k_1}{k_1+k_2\choose k_2}\cdots{k_1+k_2+\cdots+k_m\choose k_m}
 

## Interpretacións 
### Formas de poñer obxectos en caixas 
Os coeficientes multinomiais teñen unha interpretación combinatoria directa, como o número de formas de depositar  obxectos distintos en  caixas distintas, con  obxectos na primeira caixa,  obxectos na segunda caixa, etc.

### Número de permutacións únicas de palabras 
miniatura| Coeficiente multinomial como produto de coeficientes binomiais, contando as permutacións das letras de MISSISSIPPI.
O coeficiente multinomial

: \binom{n}{k_1, \ldots, k_m}

é tamén o número de formas distintas de permutar un multiconxunto de  elementos, onde  é a multiplicidade de cada un dos -ésimo elementos. Por exemplo, o número de permutacións distintas das letras da palabra MISSISSIPPI, que ten 1 M, 4 Is, 4 Ss e 2 Ps, é

: {11 \choose 1, 4, 4, 2} = \frac{11!}{1!\, 4!\, 4!\, 2!} = 34650.

### Triángulo de Pascal xeneralizado 
Pódese usar o teorema multinomial para xeneralizar o triángulo de Pascal ou a pirámide de Pascal no simplex de Pascal. Isto proporciona un xeito rápido de xerar unha táboa de bprocura de coeficientes multinomiais.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Outros artigos 
* Distribución multinomial
* Bólas e trazos
### Ligazóns externas