Orde (teoría de grupos)

[miniatura|270x270px| Exemplos de [Aplicación linear|transformacións con diferentes ordes: xiro de 90° coa orde 4, cisallamento con orde infinita e as súas composicións coa orde 3.]]
En matemáticas, a **orde** dun grupo finito é o número dos seus elementos. Se un grupo non é finito, dise que a súa orde é *infinita*. A *orde* dun elemento dun grupo (tamén chamado **período**) é a orde do subgrupo xerado polo elemento. Se a operación de grupo se denota como unha multiplicación, a orde dun elemento  dun grupo é, polo tanto, o menor enteiro positivo  de tal xeito que , onde  denota o elemento de identidade do grupo e  indica o produto de  copias de . Se non existe tal , a orde de  é infinita.

A orde dun grupo  denotase por  ou , e a orde dun elemento  denotase por  ou , en vez de \operatorname{ord}(\langle a\rangle), onde os corchetes en ángulo indican o grupo xerado por .

O teorema de Lagrange di que para calquera subgrupo  dun grupo finito , a orde do subgrupo divide a orde do grupo; é dicir,  é un divisor de . En particular, a orde  de calquera elemento é un divisor de .

## Exemplo 
O grupo simétrico S3 ten a seguinte táboa multiplicativa ou de Cayley.

Este grupo ten seis elementos, así que  . Por definición, a orde da identidade, , é un, xa que . Cada un dos ,  e  son  ao elevaren ao cadrado, polo que estes elementos do grupo teñen orde dous: . Finalmente,  e  teñen orde 3, xa que , .

## Orde e estrutura 
A orde dun grupo *G* e as ordes dos seus elementos dan moita información sobre a estrutura do grupo. A grandes liñas, canto máis complicada é a factorización de |*G*| máis complicada é a estrutura de *G*.

Para |*G*| = 1, o grupo é trivial. En calquera grupo, só o elemento de identidade *a = e* ten ord(*a)* = 1. Se todo elemento non identidade en *G* é igual ao seu inverso (de xeito que *a* 2 = *e*), entón ord(*a*) = 2; isto implica *que G* é abeliano xa que ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba . A inversa non é verdade; por exemplo, o grupo cíclico (aditivo) **Z**6 de números enteiros módulo 6 é abeliano, pero o número 2 ten orde 3:

: 2+2+2=6 \equiv 0 \pmod {6} .

A relación entre os dous conceptos de orde é a seguinte: se escribimos

: \langle a \rangle = \{ a^{k}\colon k \in \mathbb{Z} \} 

para o subgrupo xerado por *a*, daquela

: \operatorname{ord} (a) = \operatorname{ord}(\langle a \rangle).

Para calquera número enteiro *k*, temos

: *a k* = *e* se e só se ord(*a*) divide a *k*.

En xeral, a orde de calquera subgrupo de *G* divide a orde de *G*. Máis precisamente: se *H* é un subgrupo de *G*, daquela

: ord(*G* )/ord(*H*) = [*G* :*H*], onde [*G*:*H*] chámase índice de *H* en *G*, un número enteiro. Este é  o teorema de Lagrange. (Isto só é certo cando G ten orde finita. Se ord(*G*) = \infty, o cociente ord(*G*)/ord(*H*) non ten sentido).

Como consecuencia inmediata do anterior, vemos que a orde de cada elemento dun grupo divide a orde do grupo. Por exemplo, no grupo simétrico mostrado arriba, onde ord(S3)&nbsp;= 6, as posibles ordes dos elementos son 1, 2, 3 ou 6.

Polo outro lado, o seguinte  é verdade para grupos finitos: se *d* divide a orde dun grupo *G* e *d* é un número primo, entón existe un elemento de orde *d* en *G* (ás veces chámase teorema de Cauchy). Esta afirmación non vale para as ordes compostas, por exemplo, o grupo de Klein-4 non ten un elemento de orde catro. Isto pódese demostrar mediante indución.  As consecuencias do teorema inclúen: a orde dun grupo *G* é unha potencia dun *p* primo se e só se ord(*a*) é algunha potencia de *p* para todo *a* en *G*.

Se *a* ten unha orde infinita, todas as potencias distintas de cero de *a* tamén teñen unha orde infinita. Se *a* ten orde finita, temos a seguinte fórmula para a orde das potencias de *a*:

: ord(*ak*) = ord(*a*) / mcd(ord(*a*), *k*) 

para todo número enteiro *k*. En particular, *a* e a súa inversa *a* −1 teñen a mesma orde.

En calquera grupo,

:  \operatorname{ord}(ab) = \operatorname{ord}(ba)

## En relación cos homomorfismos 
Os homomorfismos de grupos tenden a reducir as ordes dos elementos: se *f* :&nbsp;*G*&nbsp;→&nbsp;*H* é un homomorfismo e *a* é un elemento de *G* de orde finita, entón ord(*f* (*a*)) divide ord(*a*). Se *f* é inxectiva, entón ord(*f*(*a*))&nbsp;= orde(*a*). Isto pode usarse a miúdo para demostrar que non hai homomorfismos nin homomorfismos inxectivos entre dous grupos dados explicitamente. (Por exemplo, non pode haber homomorfismo non trivial *h*:&nbsp;S3&nbsp;→&nbsp;**Z**5, porque todo número agás o cero en **Z**5 ten orde 5, que non divide as ordes 1, 2 e 3 dos elementos en S 3 .) Outra consecuencia é que os elementos conxugados teñen a mesma orde.

## Ecuación de clase 
Un resultado importante sobre as ordes é a ecuación de clase; relaciona a orde dun grupo finito *G* coa orde do seu centro Z(*G*) e os tamaños das súas clases de conxugación non triviais:

: |G| = |Z(G)| + \sum_{i}d_i\;

onde os *di* son os tamaños das clases de conxugación non triviais; estas son divisores propios de |*G*| maiores que un, e tamén son iguais aos índices dos centralizadores en *G* dos representantes das clases de conxugación non triviais. Por exemplo, o centro de S3 é só o grupo trivial co único elemento *e*, e a ecuación di |S3 |= 1+2+3.
## Notas 
## Véxase tamén 
### Bibliografía 
* Dummit, David; Foote, Richard. Abstract Algebra, , pp. 20, 54–59, 90
* Artin, Michael. Algebra, , pp. 46–47
### Outros artigos 
* Índice (teoría de grupos).