Obrachadh càraideach

'S ann ri seataichean agus na h-obrachaidhean air eileamaidean dheth a tha ailseabra a' dèiligeadh. Tha i a' rannsachadh nam feartan coitcheann a thèid an tarraing bho na h-obrachaidhean seo gun sùil a thoirt air nàdar mionaideach an t-seata no nan obrachaidhean fhèin. Am measg nan obrachaidhean seo, tha **obrachaidhean càraideach** air leth cudromach.

'S e obrachadh eadar paidhir (no càraid) eileamaidean den t-seata a mhapas ri eileamaid den aon seata a th’ ann an **obrachadh càraideach**, ach feumaidh seo a bhith fìor do gach eileamaid den t-seata. Ann an comharran matamataig, tha an t-obrachadh * càraideach air an t-seata **A**, ma tha:

::∀ *x* ∈ **A**, ∀ *y* ∈ **A**, *x* * *y* ∈ **A**

Mar eisimpleir, 's e **obrachadh càraideach** a th’ ann an cur-ris air seata nan àireamhan nàdarra ℕ, oir 's e àireamh nàdarra a th' ann an suim dà àireimh nàdarra, ge b' e air bith na h-àireamhan a th' air an ròghnachadh. Ach chan e **obrachadh càraideach** a th' ann an toirt air falbh, oir tha e furasta gu leòr paidhir àireamhan a ròghnachadh nach map ri àireimh nàdarra fon obrachadh.

::m.e. 5 – 7 = –2 ∉ ℕ.

Mur eil buil an obrachaidh na ball den aon seata, canaidh sinn gu bheil an t-obrachadh *fosgailte*. Ma tha a' bhuil na ball den t-seata, 's e obrachadh *dùinte* a th' ann. 'S ann **dùinte** a tha obrachadh càraideach. Tha toirt air falbh na h-obrachadh càraideach air seata ℤ nan slàn-àireamhan, agus tha cur-ris, toirt air falbh agus iomadachadh nan obrachaidhean càraideach air na fìor-àireamhan ℝ. Chan eil roinneadh na obrachadh càraideach air ℝ oir chan fhaodar a roinn le neoni.

## Tuairisgeul foirmeil

Tha obrachadh càraideach air seata **A** na fuincsean a mhapas an toradh Cartesach **A** × **A** ri **A**.

::*f* : **A** × **A** → **A**

::.i. ∀ (*x*, *y*) ∈ **A**2, ∃ *z* ∈ **A** : *f*(*x*, *y*) = *z*

Mar as cumanta, tha comharra àraidh aig obrachadh càraideach (m.e. +, ×, ∩, 7c.) , mar eisimpleir cur-ris nan slàn-àireamhan:

::+ : ℤ × ℤ → ℤ
::+ (2, 3) = 5
::+ (- 4, 11) = 7

ged tha e nas cumanta an comharra seo a' sgrìobhadh eadar àireamhan na càraide:

::2 + 3 = 5
::- 4 + 11 = 7

No, mas e * an comharra airson obrachaidh choitchinn:

::*a* * *b* = *c*

### Feartan obrachaidh càraidich

Faodaidh feartan àraidh a bhith aig obrachadh càraideach. 'S ann mar as leanas na feartan as cudromach:

#### Eileamaid ionnanachd

Ma tha an làthair eileamaid *c* den t-seata:

::∀ *x* ∈ **A**, ∃ *c* ∈ **A** : *c* * *x* = *x*

's e **eileamaid ionnanachd à clì** a th' ann an *c*. Ma tha:

::∀ *x* ∈ **A**, ∃ *d* ∈ **A** : *x* * *d* = *d*

's e **eileamaid ionnanachd à deas** a th' ann an *d*. 'S e **eileamaid ionnanachd** a th' ann an *e* ma tha e ionnanachd à clì agus à deas:

::∀ *x* ∈ **A**, ∃ *e* ∈ **A** : *e* * *x* = *x* * *e* = *x*.

#### Co-iomlaideachd

Ma tha paidhir eileamaidean ann *x* agus *y* far a bheil:

::*x* * *y* = *y* * *x*

's e **paidhir co-iomlaideach** a th' ann *x* agus *y*. Ma tha eileamaid *a* ann far a bheil, airson gach eileamaid *x* den t-seata:

::∀ *x* ∈ **A**, ∃ *a* ∈ **A** : *a* * *x* = *x* * *a*

's e **eileamaid co-iomlaideach** a th' ann an *a*. Ma tha e fìor airson a h-uile paidhir eileamaidean den t-seata:

::∀ (*x*, *y*) ∈ **A**2, *x* * *y* = *y* * *x*

's e **obrachadh co-iomlaideach** a th' anns an *.

#### Roinnidheachd

Ma tha e fìor airson a h-uile paidhir eileamaid den t-seata:

::∀ (*x*, *y*) ∈ **A**2, ∃ *c* ∈ **A** : *x* * *c* = *y*

's e **so-roinnte à clì** a th’ anns an obrachadh *. Ma tha e fìor airson a h-uile paidhir eileamaid den t-seata:

::∀ (*x*, *y*) ∈ **A**2, ∃ *d* ∈ **A** : *d* * *x* = *y*

's e **so-roinnte à deas** a th' anns an obrachadh *. 'S e **obrachadh roinnidheach** a th' anns an * ma tha e so-roinnte à clì agus à deas.

::∀ (*x*, *y*) ∈ **A**2, ∃ *e* ∈ **A** : *x* * *e* = *e* * *x* = *y*.

#### Iom-thionndadh

Ma tha eileamaid ionnanachd *e* ann, agus:

::∀ *x* ∈ **A**, ∃ *y* ∈ **A** : *x* * *y* = *e*

's e **eileamaidean iom-thionndaidh** a th' anns an *x* agus *y*.

#### Co-thiomsachd

Ma tha *a*, *w*, *x*, *y* agus *z* nam buill den t-seata, agus ma tha *w* * *x* = *a* agus *a* * *y* = *z*. Faodar a sgrìobhadh:

::(*w* * *x*) * *y* = *z*

far a bheil na camagan ( ) a' ciallachadh gum feumar an t-obrachadh a-stigh fhuasgladh ron fhear a-muigh. Nise, ma tha e fìor gu bheil:

::∀ (*x*, *y*, *z*) ∈ **A**3, (*x* * *y*) * *z* = *x* * (*y* * *z*)

's e **obrachadh co-thiomsach** a th' anns an *.

#### Sgaoilidheachd

Ma tha dà obrachadh càraideach ann, ⊙ agus ⊕ can, agus ma tha e fìor gu bheil:

::∀ (*x*, *y*, *z*) ∈ **A**3, *x* ⊙ ( *y* ⊕ *z*) = (*x* ⊙ *y*) ⊕ (*x* ⊙ *z*)

Canaidh sinn gu bheil an t-obrachadh ⊙ **sgaoileach** air an obrachadh ⊕. 

## Structairean ailseabrach

### Magma

'S e **magma** an t-ainm air seata le obrachadh càraideach an lùib. Tha e cumanta seo a sgrìobhadh (**A**,*) far a bheil **A** an seata agus * na obrachadh càraideach. 'S e an structair as bunaitich ann an ailseabra a th' ann am **magma** far nach eil riaghailt no feart air a chur às leth an obrachaidh chàraidich aige. Ri linn seo, chan eil mòran ùidh air magma mar thà.

### Leth-ghrùpa agus cuasai-ghrùpa

Ma tha obrachadh càraideach a' mhagma *[[co-thiomsachd|co-thiomsach]]*, 's e **leth-ghrùpa** a th' ann. Mur eil e *co-thiomsach* ach *so-roinnte*, 's e **quasi-ghrùpa** a th' ann. 

### Mònad agus lùb

Ma tha *eileamaid ionnanachd* aig leth-ghrùpa (.i. magma co-thiomsach le eileamaid ionnanachd), canaidh sinn **mònad** ris; ma tha *eileamaid ionnanachd* aig quasi-ghrùpa, canaidh sinn **lùb** ris.

### Grùpa

Far a bheil *eileamaid iom-thionndaidh* aig gach eileamaid *mònaid*, 's e **grùpa** a th' ann. Agus 's e **grùpa** a th' ann cuideachd ma tha *lùb* co-thiomsach.

Ma tha obrachadh càraideach a' ghrùpa *[[co-iomlaideachd|co-iomlaideach]]*, canaidh sinn gur e **grùpa aibèalach** a th' ann.

### Fàinne

'S e **fàinne** a th' ann an structair le dà obrachadh càraideach: a' chiad fhear na *ghrùpa aibèalach* 's an dara fear na *mhonaid* agus e *[[sgaoilidheachd|sgaoileach]]* air a' chiad fhear. Thathar a' smaoineachadh air dà obrachadh chàraideach mar gur e cur-ris agus iomadachadh a bhiodh ann. Tha e cumanta "cur-ris" a ràdh ri obrachadh a' ghrùpa aibèalaich agus "iomadachadh" ri obrachadh na monaid, ged sa chuis choitchinn nach biodh riaghailtean cur-ris no iomadachaidh nan àireamhan iomchaidh. Mas e fàinne (**F**, ⊕, ⊙):

::

Ma tha an t-obrachadh ⊙ *[[co-iomlaideachd|co-iomlaideach]]* cuideachd (.i. ∀ (*x*, *y*) ∈ **F**2, *x* ⊙ *y* = *y* ⊙ *x*), 's e **fàinne cho-iomlaideach** a chanar rithe.

### Raon

Mas i fàinne cho-iomlaideach a th’ innte ach 's e grùpa a th' ann an dara obrachadh càraideach cuideachd, 's e **raon** a th' againn rithe. Mas e raon (***R***, ⊕, ⊙):

::

Roinn-seòrsa:Ailseabra