Seata

Ann am matamataig, ’s e buidheann nithean sam bith a th’ ann an **seata**. Mar eisimpleir, tha na ceithir dathan: dearg, buidhe, uaine agus gorm, nam buill de sheata nan dathan uile. Ged tha bun-bheachd nan seataichean sìmplidh, ’s e fear de na smaoineasan bunaiteach ann am matamataig nar latha an-diugh. ’S e teòiridh nan seataichean sgoilearachd feartan nan seataichean, agus tha cuid mhath de mhatamataig stèidhichte air.

Mar a leanas tha geàrr-chunntas bunasach de na theirear teòiridh sìmplidh nan seataichean. Gheibh cus fiosrachadh air smaointean nas pongaile bho theòiridh aicseamach nan seataichean.

## Mìneachadh
’S e cruinneachadh de nithean sam bith a th’ ann an seata. Tha na nithean seo nam **buill** no **eileamaidean** den seata. Is àbhaisteach seata a chomharrachadh le litir mhòr (me. *A*, *B*, *C*, msaa.). Tha dà sheata co-ionnan, sgrìobhte *A* = *B*, ma tha gach ball de *A* na bhall de *B* cuideachd.

Tha na buill de sheata matamataigeach uile eadar-dhealaichte. Chan fhaod ach aon bhall den t-seòrsa a bhith ann an seata. Anns an t-seagh seo tha diofar eadar seata matamataigeach agus cleachdadh an fhacail sa chainnt chumanta làitheil. 

Chan eil òrdugh aig buill an t-seata. Mar eisimpleir, biodh *A* na sheata anns a bheil na ceithir àireamhan 2, 4, 6 agus 8. ’S urrainnear òrdugh na h-aibidil a chur riutha, no òrdugh àireamhail, no òrdugh sam bith eile ach chan eil òrdugh ann mar thà.

Glèidhidh obrachaidhean sheata na buadhan seo.

## Iomraidhean air seataichean
Thathar a’ toirt iomraidh air seataichean an iomadh dòigh. Mar eisimpleir, le faclan:

::’S e *A* an seata anns nach eil ach a’ chiad cheithir àireamhan slàn dearbh.
::’S e *B* an seata anns nach eil ach dathan bratach na Frainge.

Faodaidh nithean eugsamhail a bhith ann an seata agus ’s e an cleachdadh liosta dhiubh a dhèanamh eadar camagan bachlach. Mar eisimpleir:

::*C* = { 4, 2, 1, 3 }
::*D* = { dearg, geal, gorm }

Faodaidh dà iomradh a bhith air an aon seata. Mar eisimpleir, mar os cionn tha *A* agus *C* co-ionnan chionn 's gu bheil na buill de *A* nam buill de *C* cuideachd, agus tha gach ball de *C* na bhall de *A*. ’S ann an seo a tha seagh “co-ionnanachd” nan seataichean, agus seagh comharra “=” nuair a sgrìobh sinn *A* = *C*. Mar an ceudna, tha *B* = *D*. 

Chan eil òrdugh aig na buill agus chan eil e gu diofar co dhiù a sgrìobhar:

::*C* = { 4, 2, 1, 3 } = { 1, 2, 3, 4 } = { 1, 3, 2, 4 } = …

Chan ann ach aon de gach seòrsa ge b’ e air bith dè cho tric ’s a tha ball ainmichte anns an liosta. Ma tha:

::*E* = { dearg, geal, gorm, geal, dearg, dearg, gorm }

Chan eil ach trì dathan ann, agus tha *E* = *D* = *B*.

Ma tha an liosta fada, agus pàtran nam ball follaiseach, ’s urrainnear beàrn ( ... ) a chur ann. Mar eisimpleir tha a’ chiad chaogad àireamh chothromach dhearbh:

::{ 2, 4, 6, 8, ..., 100 }

Anns an dòigh cheudna, tha seata nan àireamhan nàdarra corra:

::{ 1, 3, 5, 7, ... }

Uaireannan tha foirmle feumail. Mar eisimpleir, ma tha *F* na sheata den chiad fhichead àireamhan a tha ceithir nas lugha na slàn-àireamh cheàrnaichte, ’s urrainnear a sgrìobhadh:

::*F* = { *n*&sup2; − 4 : *n* na shlàn-àireamh; 0 ≤ *n* ≤ 19 }

Thathar a’ leughadh a’ chòilein (:) “far a bheil”, agus an iomraidh gu lèir: “Tha *F* na sheata àireamh den riochd *n*&sup2; − 4, far a bheil *n* na shlàn-àireamh agus tha *n* san raon bho 0 gu 19”.

## Ballrachd seata
Thathar a’ comharrachadh ball no eileamaid seata le ∈, bho litir na Grèigis ε a’ riochdachadh “eileamaid de”. Mur eil rudeigin na bhall thathar a’ comharrachadh le ∉. Mar eisimpleirean:

::dearg ∈ { dearg, geal, gorm }, ach uaine ∉ *D*
::4 ∈ *A*
::285 ∈ *F* (chionn 's gu bheil 172 – 4 = 285)	 ach 9 ∉ *F*

Ma tha seata a’ gabhail a-steach eileamaid, tha seo air a chomharrachadh le ∋, agus mur eil leis a’ chomharra ∌ (me. *D* ∋ dearg, *D* ∌ uaine). Tha na comharran seo air an leughadh “a tha gabhail a-steach” no “anns a bheil an eileamaid” agus “anns nach eil an eileamaid”.

## An seata bàn
Mur eil ball no eileamaid sam bith anns an t-seata, ’s e an **seata bàn** a th’ ann agus tha an comharra sònraichte ∅ air.
::∅ = { }

## Fo-sheataichean agus for-sheataichean
Ma tha gach ball den t-seata *A* na bhall den t-seata *B* cuideachd, ’s e *fo-sheata* *B* a th’ anns an *A*. Tha seo air a sgrìobhadh *A* ⊆ *B*. Ma tha *A* ⊆ *B* agus *B* ⊆ *A*, ’s ann a tha *A* = *B*. Ma tha *A* na fho-sheata *B* agus tha eileamaidean anns a’ *B* nach eil anns an *A*, tha *A* na *fho-sheata fìor* de *B*. Tha seo air a sgrìobhadh *A* ⊂ *B*, no mar *A* ⊊ *B* airson a shoilleireachadh nach eil *A* agus *B* co-ionnan. Mar eisimpleir:

::{ 1, 3 } ⊂ { 1, 2, 3, 4 }
::{ 1, 3, 4, 2 } ⊆ { 1, 2, 3, 4 }

Tha gach seata na fho-sheata fhèin, *A* ⊆ *A*, agus tha an seata bàn na fho-sheata de gach seata, ∅ ⊆ *A*. Mur eil *A* na fho-sheata *B*, thèid a sgrìobhadh *A* ⊈ *B*, no *A* ⊄ *B*.

Ma tha *A* na fho-sheata *B*, ’s e **for-sheata** *A* a th’ anns a’ *B*. ’S urrainnear a’ sgrìobhadh *B* ⊇ *A*. Faodaidh na comharran eile air an cur air ais cuideachd (.i. ⊃ ⊅ ⊉ ⊋).

## Aonadh sheataichean
’S e **aonadh** nan seataichean *A* agus *B* seata nan eileamaidean uile a th’ anns an *A* no a th’ anns a’ *B*. Tha seo air a sgrìobhadh: *A* ⋃ *B*. Mar eisimpleir:

::{ 1, 3, 5 } ⋃ { 2, 4, 6 } = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Tha e soilleir gu bheil:

::*A* ⋃ *B* = *B* ⋃ *A*
::*A* ⋃ *A* = *A*
::*A* ⊆ *A* ⋃ *B*
::*A* ⋃ ∅ = *A*

## Eadar-ghearradh sheataichean
’S e **eadar-ghearradh** nan seataichean *A* agus *B* seata nan eileamaidean uile a tha an dà chuid na bhall de *A* agus na bhall de *B*. Tha seo air a sgrìobhadh: *A* ⋂ *B*. Mar eisimpleir:

::{ 1, 2, 3, 4, 5 } ⋂ { 2, 3, 7, 9 } = { 2, 3 }
::{ 1, 3, 5, 7 } ⋂ { 2, 4, 6, 8 } = ∅ 

Ma tha *A* ⋂ *B* = ∅, tha na seataichean *neo-thàthach*. Tha e soilleir gu bheil:

::*A* ⋂ *B* = *B* ⋂ *A*
::*A* ⋂ *A* = *A*
::*A* ⋂ *B* ⊆ *A*
::*A* ⋂ ∅ = ∅ 

## Seata co-phàirteach
’S e **co-phàirt** an t-seata *A* seata nan eileamaidean uile nach eil anns an t-seata *A*. Tha seo air an sgrìobhadh *A*′. Thathar a’ togail às an seo gu bheil ciall air seata anns a bheil gach nì a th’ anns a’ chruinne-cè. Tha seo ainmichte *seata na h-uileachd*, *U*, agus tha e soilleir gu bheil:

::*A* ⋃ *A*′ = *U*	
::*A* ⋂ *A*′ = ∅  
::(*A*′)′ = *A*
::*U* = ∅′
::*U*′ = ∅ 

Anns a’ chumantas, tha e nas feumaile bheachdachadh air seata leis na h-eileamaidean nach eil anns an t-seata *A*, can, ach gu bheil ann an seata eile *B*, can. ’S e co-phàirt dàimheach na h-*A* anns a’ *B* a tha seo, no an diofar eadar an seata *B* agus an seata *A*. Tha an diofar seo air a sgrìobhadh: *B* – *A*. Tha e soilleir gu bheil:

::*A* – *B* = *A* ⋂ *B* ′
::*A* – *A* = ∅  

## Seataichean sònraichte
Tha grunnan seata a tha cudromach ann am matamataig agus tha ainmean sònraichte aca. Is iad seo:
:: ℙ seata nam prìomh-àireamhan. ’S e sin { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... }.
:: ℕ seata nan àireamhan nàdarrach. ’S e sin { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }.
:: ℤ seata nan slàn-àireamhan. ’S e sin { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }.
:: ℚ seata nan àireamhan coimeasta. ’S e sin { *a*/*b* : *a*, *b* ∈ ℤ; *b* ≠ 0 }.
:: ℝ seata nam fìor-àireamhan. ’S e sin aonadh ℚ agus seata nan àireamhan eucoimeasta (.i. na h-àireamhan nach thathar a’ sgrìobhadh mar bloighean, me. π, e, agus √2).
:: ℂ seata nan àireamhan co-fhillte. ’S e sin { *a* + *b* **i** : *a*, *b* ∈ ℝ }.

Tha ℙ ⊂ ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ.

## Àrdaileachd sheataichean
’S e **[[àrdaileachd]] seata** an àireamh de bhuill no eileamaidean a th' anns an t-seata. ’S e neoni àrdaileachd an t-seata bhàin agus neo-chrìochnachd àrdaileachd nan seataichean ℙ, ℕ, ℤ, ℚ, ℝ agus ℂ.

Roinn-seòrsa:Matamataig