Àireamhachd

’S e eòlas air làimhseachadh àireamhan a th’ ann an **àireamhachd**. Faodar àireamhan an *[[cur-ris|cur ri chèile]]*, an *[[toirt air falbh|dealachadh]]*, an *[[iomadachadh]]* agus an *[[roinn (matamataig)|roinneadh]]* agus tha comas-tuigse agus comas-cleachdaidh nan obrachaidhean seo èiseil dhuinn anns an t-saoghal mhòr.
 
’S e na h-àireamhan sìmplidh a tha air an cleachdadh airson cunntaidh. ’S e seo na h-àireamhan 1, 2, 3, 4, agus mar sin air adhart, ris an canar na h-àireamhan nàdarra ann am matamataig. Ach le bhith gan cur ri chèile agus gan dealachadh tha feumalachd àireamhan ùra – neoni agus na h-àireamhan àicheil – a’ tighinn mar coinneamh agus a’ leudachadh air ar tuigse àireamhan. Còmhla ris na h-àireamhan nàdarra, tha neoni agus na h-àireamhan àicheil a’ dèanamh suas seata nan slàn-àireamhan. Tha roinneadh a’ toirt a-steach bun-bheachd nam bloighean agus an tuigse gum faod luach a bhith air àireimh eadar dà shlàn-àireimh. Mar eisimpleir, eadar a trì agus a ceithir tha 3.25, 3.617, 3.001 agus uiread de luachan gun chrìoch, agus gabhaidh àireamhan am meas mar gum biodh sreath leantainneach dhiubh. Uaireannan, tha seo air a riochdachadh le loidhne àireamh. Tha na slàn-àireamhan air an riochdachadh air an loidhne le puingean aig beàrnan cunbhalach, agus àireamh sam bith eile le puing aig àite sam bith air an loidhne. ’S e fìor-àireamh a chanar ri àireimh air am biodh luach sam bith.

## Cur-ris (+)

’S e **[[cur-ris]]** bun-obrachadh na h-àireamhachd far an cuirear àireamh ri àireimh eile airson **suim** a dhèanamh. ’S e obrachadh eadar dà àireimh, ach ’s urrainnear grunnan àireamh a chur ri chèile ma chuirear an treas àireamh ri suim a’ chiad dà, an ceathramh ri suim a trì, agus mar sin air adhart. Tha dà fheart chudromach aig cur-ris. Cha tèid an t-suim a-rèir:
* òrdugh suimidh:
::17 + 5 + 63 = 22 + 63 = 85
::17 + 5 + 63 = 17 + 68 = 85
::agus seo an Lagh Co-thiomsach,
* òrdugh àireamhan:
::24 + 69 = 93
::69 + 24 = 93
::agus seo an Lagh Co-iomlaideach.

## Toirt air falbh (−)

’S e **[[toirt air falbh]]** an t-obrachadh mùiteach ri cur-ris. Far a bheil dà àireimh air an cur ri chèile agus suim a dhèanamh, tha *toirt air falbh* a’ dealachadh àireimh bhon t-suim. ’S e a’ bhuil aice an diofar eadar dà àireimh. Mar eisimpleir:
::27 − 8 = 19
Ma bheirear àireamh air falbh bho àireamh nas lugha, ’s e **àireamh àicheil** a tha anns a’ bhuil:
::14 − 36 = −22
Ann an cunntasachd, thathar a’ dèanamh mìneachadh air àireimh àicheil mar suim air a ghabhail air iasad gu bhith ag ath-dhìoladh.

Tha e soilleir nach eil toirt air falbh a’ cumail ris an Lagh Co-iomlaideach no an Lagh Co-thiomsach. Tha a’ bhuil aice an urra ris òrdugh nan àireamhan:
::15 − 7 ≠ 7 − 15
agus òrdugh an dealachaidh:
::22 − 14 − 7 = 8 − 7 = 1
::22 − 14 − 7 = 22 − 7 = 15
Mar sin tha e nas goireasaich a bheachdachadh oirre mar gum biodh i na suimeadh le àireamhan àicheil. Anns an dòigh seo:
::22 + (−14) + (−7) = (22 + (−14)) + (−7) = (22 − 14) + (−7) = 8 + (−7) = 8 − 7 = 1
::22 + (−14) + (−7) = 22 + ((−14) + (−7)) = 22 + (− 14 − 7) = 22 + (−21) = 22 − 21 = 1
Tha cur-ris a’ cumail ris na Laghan Co-thiomsach agus Co-iomlaideach co-dhiù a tha na h-àireamhan dearbh no àicheil.

## Iomadachadh (× no ·)

’S e cur-ris a tha aig bun **[[iomadachadh|iomadachaidh]]** cuideachd. Le bhith ag ràdh gu bheil 4 uiread 9 a’ dèanamh 36, tha sinn ag ràdh gu bheil:
::9 + 9 + 9 + 9 = 36
Agus ’s e geàrr-sgrìobhadh a th’ ann:
::4 × 9 = 36
Canar **toradh** ri buil iomadachaidh, agus ma tha 9 air a h-iomadachadh le 4, ’s e **iomadair** a th’ ann a 4. Chionns gu bheil iomadachadh a’ cumail ris an Lagh Co-iomlaideach agus tha:
::4 × 9 = 9 × 4
chan eil e gu diofar co dhiubh a tha na h-iomadair. Uaireannan thathar ag ràdh **factaran** ris an dà àireimh a tha air an iomadachadh.
Tha iomadachadh a’ cumail ris an Lagh Co-thiomsach cuideachd:
::3 × 4 × 5 = 12 × 5 = 60
::3 × 4 × 5 = 3 × 20 = 60
’S e **ionnanachd** an iomadachaidh a th’ anns a h-aon. ’S e sin ri ràdh gun dèante an aon àireamh nam biodh àireamh air a h-iomadachadh leis a h-aon.
Agus ’s e **co-thionndadh** àireimh am bloigh far a bheil an àireamh fhèin na seòrsaiche agus a h-aon na h-àireamhaiche. Mar eisimpleir ’s e co-thionndadh 5 a tha ann an 1/5. Dhèante a h-aon nan iomadaichte àireamh leis a’ cho-thionndadh:
::1/5 × 5 = 1
Tha feart cudromach eile aig iomadachadh. Far a bheil iomadair agus suim, faodaidh an t-iomadair a bhith air a sgaoileadh a-measg àireamhan na suime:
::7 × ( 14 + 9 – 4) = (7 × 14) + (7 × 9) − (7 × 4)
Canar Lagh an Sgaoilidh ri seo.

## Roinneadh (÷ no /)

’S e **[[roinn (matamataig)|roinneadh]]** an t-obrachadh mùiteach ri iomadachadh. Canar an **roinn-àireamh** ri buil roinneadh **duaise-roinne** le **roinniche**. 
::*roinn-àireamh* = *duais-roinn* ÷ *roinniche*.
... agus dhèante an duais-roinn nam biodh an roinn-àireamh air a h-iomadachadh leis an roinniche.
Faodaidh àireamh sam bith a bhith na roinniche ach neoni a-mhàin. Tha roinneadh le neoni gun bhrìgh.
Cha chum roinneadh ris na Laghan Co-thiomsach no Co-iomlaideach agus tha e nas goireasaich a bheachdachadh oirre mar iomadachadh le co-thionndaidhean. Mar eisimpleir:
::73 ÷ 21 = 73 × 1/21
Anns an riochd seo tha feartan iomadachaidh air an glèidheadh.

## Cumhachdan
 
Ma tha àireamh air a h-iomadachadh leatha fhèin, faodar a geàrr-sgrìobhadh mar a leanas:
::92 = 9 × 9
::93 = 9 × 9 × 9
::94 = 9 × 9 × 9 × 9.
Tha am for-sgriobta a’ sealltainn na h-uiread de naoidhean a tha air an iomadachadh le chèile mar os cionn. Canar a’ **chumhachd** ris an fhor-sgriobta seo. Mas a h-aon a’ chumhachd, ’s e an àireamh fhèin a th’ innte:
::41 = 4.
Tha briathran sònraichte againn ma tha a’ chumhachd co-ionnan ris a dhà no a trì. Canaidh sinn gu bheil an àireamh **ceàrnaichte** no **ciùbaichte** fa leth. A-mach air seo canar gu bheil an àireamh (togte) chun na ceathramh/ còigeamh/ ... cumhachd. Canar **bonn** ris an àireimh a tha togte chun cumhachd.

Tha riaghailt chudromach iomadachaidh a dh’àireamhan leis an aon bhonn:
::72 × 73 = (7 × 7) × (7 × 7 × 7) = 75.
::*a*n × *a*m = *a*m + n
’S e sin ri ràdh, ma tha dà àireimh ann leis an aon bhonn...
::*iomadachadh = suimeadh nan cumhachdan*.
Tha e soilleir cuideachd:
::6^3 \div 6^2 = \frac{6 \times 6 \times 6}{6 \times 6} = 6 
’S e sin ri ràdh gu bheil am ÷ an = am – n. Bhon riaghailt os cionn *a*m – n = *a*m × *a*–n agus bhon tuigse gu bheil roinneadh an aon rud ri iomadachadh leis a’ cho-thionndadh: 
::a^m \div a^n = a^m \times \frac {1} {a^n} 
tha mìneachadh air a dhèanamh air cumhachd àicheil mar a leanas:
::a^{-n} = \frac {1} {a^n} 
Chionn 's gu bheil:  4 \times \tfrac {1} {4} = 1  agus:  4 \times \tfrac{1}{4} = 4^1 \times 4^{-1} = 4^0  agus gum faighear an aon bhuil le bonn sam bith, thathar a’ toirt brìgh don chumhachd neoni. ’S e a h-aon a th’ ann an àireimh sam bith chun na cumhachd neoni.
::*a*0 = 1.

### Cumhachdan chumhachdan

Tha 23 = 8, agus tha 82 = 8 × 8. Mar sin tha:
::(23)2 = 23 × 23 = 26
agus tha dara riaghailt aig àireamhan leis an aon bhonn. ’S e sin...
:*Ma tha àireamh, a tha togte chun cumhachd, ath-thogte chun cumhachd eile, tha na cumhachdan air an iomadachadh.*
’S e sin:
::(am)n = am × n.

## Freumhan

Ma tha 22 = 4 canaidh sinn gu bheil 2 na **freumh ceàrnagach** de 4 agus tha seo air a sgrìobhadh 2 = √4. Anns an aon dòigh, ma tha:
:: 3^3 = 27; \qquad 3 = \sqrt[3]{27}
:: 4^4 = 256; \qquad 4 = \sqrt[4]{256}.
’S e \sqrt[3]{} am **freumh ciùbach** ach chan eil briathran sònraichte aig a’ chòrr. Canar an ceathramh/ còigeamh/ .../ *n*mh freumh ris a’ chòrr.
Chionns gu bheil:
::(\sqrt{5})^2 = 5^1 = (5^{\tfrac{1}{2}})^2
...bho riaghailt iomadachadh nan cumhachdan, tha againne:
:: \sqrt{5} = 5^{\tfrac{1}{2}}
:: \sqrt[3]{5} = 5^{\tfrac{1}{3}}
:: \sqrt[4]{5} = 5^{\tfrac{1}{4}}
Tha e soilleir cuideachd gu bheil: 
::(\sqrt[4]{7})^3 = 7^{\tfrac{3}{4}} 
agus gum faod cumhachd a bhith na bloigh cuideachd.

## Log-àireamhan

’S urrainnear àireamh dhearbh sam bith a’ sgrìobhadh anns an riochd *a*n agus *n* na fìor-àireamh. Ma sgrìobh sinn *x* = *a*n tha e soilleir nam biodh (agus *a* ≥ 1):
::
... agus gu bheil *n* ann do gach luach *x* > 0. Chan eil *n* ann far am bi *a*n = 0, agus chan eil *n* ann do àireamhan àicheil.
Canar **log-àireamh le bonn ''a'' ** ri *n*, agus sgrìobhar...
::*n* = loga(*x*)
Chan eil ann ach dà luach a tha cumanta mar bhonn log-àireamhan. Is iad seo 10 agus an àireamh sònraichte *e*. ’S e bonn nan log-àireamhan nàdarra a tha *e*, agus ’s e àireamh eucoimeasta a th’ innte
::*e* = 2.71828182845904523536028747135...
ach tha feartan àraidh aig log-àireimh nàdarra.
::
’S e feartan nan cumhachdan feartan nan log-àireamhan. Gus dà àireimh a dh’iomadachadh, tha na log-àireamhan aca air an cur-ris. Gus àireamh a thogail chun cumhachd, tha an log-àireamh aice air iomadachadh leis a’ chumhachd.

Ann an coimpiutaireachd agus air àireamhairean, tha e cumanta a sgrìobhadh *log* an àite *log*10 agus *ln* an àite *log*e ach ann am matamataig agus ann am fiosaig, mar as cumanta ’s e brìgh *log*e a th’ ann far a bheil *log* air a sgrìobhadh gun fho-sgriobta.

Far a bheil:
::*n* = log (*x*)
agus *n* na log-àireamh *x*, thathar ag ràdh gu bheil *x* na h-**anti-log-àireamh** *n*.

Roinn-seòrsa:Matamataig