Cruinneadaireachd

’S e geoimeatras air uachdar cruinne a tha **cruinneadaireachd** agus tha i air leth feumail do mharaireachd agus do reul-eòlas. Air uachdar cruinne ’s e arc *prìomh-chearcaill* a tha an astar as giorra eadar dà phuing agus a tha a’ gabhail àite loidhne à geoimeatras raoin. Chionns gu bheil na prìomh-chearcallan uile a’ trasnadh, chan eil loidhnichean co-shìnte ann mar a th’ ann an geoimeatras raoin. Mar sin, ’s e geoimeatras *neo-Eoclaideach* (geoimeatras *eileapsach*) a tha cruinneadaireachd. 

## Prìomh-chearcallan agus cearcallan beaga

’S e cearcall a tha eadar-ghearradh cruinne agus raon. Ma tha an raon tro mheadhan na cruinne, tha radius a’ chearcaill agus radius na cruinne co-ionnan agus ’s e **prìomh-chearcall** a th’ ann (me. *AB* anns an diagram). Mur eil an raon tro mheadhan na cruinne ’s e **cearcall beag** a th’ ann (me. *CD* anns an diagram). Nam biodh loidhne dhìreach ann tro mheadhan *M* na cruinne a tha ceart-cheàrnach ri raon a’ chearcaill, rachadh e tro uachdar na cruinne aig dà phuing (*P* agus *P′* ) a tha *pòlaichean* a’ chearcaill. Tha dà *chearcall* co-shìnte ma tha na h-aon phòlaichean aca. Chan eil ach aon phrìomh-chearcall aig paidhir phòlaichean.

## Ceàrn co-chruinnein

Tha **ceàrn co-chruinnein** ann aig trasnadh dà phrìomh-chearcaill. Thèid mìneachadh air a dhèanamh air mar a leanas.

Beachdaich air na dà phrìomh-chearcall *PA* agus *PB* a tha a’ trasnadh aig a’ phuing *P*. Sgrìobh beantanan *PS* agus *PT* don dà phrìomh-chearcall fa leth. Tha *PT* ceart-cheàrnach do radius *MP* a’ phrìomh-chearcaill *PB* agus mar a tha e anns an raon *PMB* ’s ann a tha e co-shìnte ris an radius *MB*. Mar an ceudna tha *PS* co-shìnte ri *MA*. Tha an ceàrn SPT a’ dèanamh mìneachadh air a’ cheàrn co-chruinnein APB eadar na dà phrìomh-chearcall, agus tha seo agus an ceàrn *AMB* co-ionnan.

## Triantan co-chruinnein

Ma tha trì puingean air uachdar cruinne, faodar dà leth a dhèanamh air a’ chruinne ’s gum bi na trì puingean air an aon leth-chruinne. Ma tha na trì puingean seo air an ceangal le arcan phrìomh-chearcall ’s e **triantan co-chruinnein** a th’ ann. Anns an diagram, tha *AB*, *BC* agus *CA* na trì taobhan den triantan cho-chruinnein *ABC*. Tha faide arc a’ phrìomh-chearcaill *BC*:

::*BC* = *r* ceàrn *BMC*

far a bheil *r* a’ comharrachadh radius na cruinne, agus na ceàrnan air an tomhas le raidianan. Chionns gu bheil *r* cunbhalach, tha e uaireannan nas goireasaich faide arc a’ phrìomh-chearcaill a thomhas leis a’ cheàrn a nì e aig meadhan na cruinne. Mas e 60° a tha an ceàrn *BMC* , ’s e 60° a tha faide arc *BC*.

### Triantain cheart-cheàrnach agus triantain cheathramhach

Biodh *ABC* na triantan co-chruinnein, agus biodh *A*, *B* agus *C* nan ceàrn co-chruinnein aig gach gob. 
* Nam biodh fear de na ceàrnan co-chruinnein 90°, ’s e **triantan ceart-cheàrnach** a bhiodh ann. 
* Nam biodh fear de na taobhan 90°, ’s e **triantan ceathramhach** a bhiodh ann. 

## Domhan-fhad agus domhan-leud

Faodar a bheachdachadh air an t-saoghal airson adhbhair ghnìomhaich mar gum biodh e co-chruinnein. Tha e a’ cuartachadh mu thrast-thomhas *TD* far a bheil *T* aig a’ Phòl a Tuath agus *D* aig a’ Phòl a Deas. ’S e *an crios-meadhain*, no *meadhan-chearcall na talmhainn*, prìomh-chearcall nam pòlaichean seo. 

’S e *domhan-loidhne* no *meridian* a tha gach leth-phrìomh-chearcall bho *T* gu *D*. Chionns gu bheil iad uile air prìomh-chearcallan tro pòlaichean a’ chrios-mheadhain, tha iad uile ceart-cheàrnach ris. Tha co-chòrdadh eadar-nàiseanta ann gu bheil am prìomh-mheridian am fear tron Amharclann Greenwich an Sasainn agus faodar suidheachadh gach meridian eile a thomhas leis a’ cheàrn co-chruinnein eadar esan agus am prìomh-mheridian. ’S e **domhan-fhad** mar ainm air a’ cheàrn co-chruinnein seo agus tha e air a thomhas bho 0° gu 180° iar, no ear, air Greenwich. Ma tha am prìomh-mheridian a’ trasnadh a’ chrios-mheadhain aig *L*, agus meridian eile a’ trasnadh aig *K*, tha an ceàrn co-chruinnein eatorra agus an ceàrn *KML* co-ionnan.

Tha feum air dara co-chomharra gus àite sam bith a lorg air *loidhne an domhan-fhaid*. Tha na cearcallan beaga co-phòlarach nas freagarraich agus iadsan co-shìnte ris a’ chrios-meadhain. Tha suidheachadh cearcaill bhig air a sheulachadh gu h-iomlan le faide arc air an domhan-loidhne eadar an cearcall beag agus an crios-mheadhain. Mar eisimpleir, tha puing *A* air a’ chearcall bheag *AB* a tha astar *AK* (no *BL*) bhon chrios-mheadhain. ’S e seo an ceàrn *KMA* (no *LMB*) agus ’s e **domhan-leud** a theirear ris. Tha domhan-leud air a thomhas bho 0° gu 90° tuath (no deas) air a’ chrios-mheadhain.

Chionns gu bheil radius na talmhainn mu 6,380 km (aig a’ chrios-mheadhain), ’s ann mu thimcheall 100 km a tha astar arc 1°.  Tha puing ceàirn air a roinn na 60 mionaidean agus gach mionaid air a roinn na 60 diog. Nam biodh feum ann ach an dealachadh a dhèanamh eadar mionaidean arc agus mionaidean uarach, theireadh *arc-mhionaid* agus *arc-dhiog* ris. ’S ann mu thimcheall 30 m a tha astar arc-dhiog. Thathar a’ lorg àite sam bith air an talamh gu h-eagnaidh, mar eisimpleir:

::	   2° 9′ 31.43″ I,   55° 57′ 26.81″ T
::	63° 42′ 34.84″ I,   44° 39′ 32.73″ T

far a bheil  ′  agus ″  a’ comharrachadh mhionaidean agus dhiogan, agus I, E, T no D a’ comharrachadh iar/ear air Greenwich agus tuath/deas air a’ chrios-mheadhain.

## Triantanachd cho-chruinnein

Biodh *ABC* na triantan co-chruinnein, agus biodh *A*, *B* agus *C* nan ceàrn co-chruinnein aig gach gob an triantain. Biodh *a*, *b* agus *c* nam faide arc mu choinneimh nan ceàrnan *A*, *B* agus *C* fa leth. Gabhar a dhearbhadh gu bheil:

### Foirmle bunaiteach triantanachd cho-chruinnein (am foirmle co-shìneiseach)

::\cos a = \cos b \cos c + \sin b \sin c \cos A \,

### Am foirmle sìneiseach

::\frac{\sin A}{\sin a} =  \frac{\sin B}{\sin b} =  \frac{\sin C}{\sin c} \,

	
### Foirmlean eile le sìneasan agus co-shìneasan

:: \sin a \cos B =  \cos b \sin c - \sin b \cos c \cos A \,
:: \sin a \cos C =  \cos c \sin b - \sin c \cos b \cos A \,

### Foirmle nan ceithir pàirtean

:: \cos a \cos C = \sin a \cot b - \sin C \cot B \,

### Samhlachasan Dhelambre

:: \sin \tfrac {1}{2}c \sin \tfrac {1}{2}(A-B) = \cos \tfrac{1}{2}C \sin \tfrac {1}{2}(a-b) 
:: \sin \tfrac {1}{2}c \cos \tfrac {1}{2}(A-B) = \sin \tfrac{1}{2}C \sin \tfrac {1}{2}(a+b) 
:: \cos \tfrac {1}{2}c \sin \tfrac {1}{2}(A+B) = \cos \tfrac{1}{2}C \cos \tfrac {1}{2}(a-b) 
:: \cos \tfrac {1}{2}c \cos \tfrac {1}{2}(A+B) = \sin \tfrac{1}{2}C \cos \tfrac {1}{2}(a+b) 

### Samhlachasan Napier

:: \tan \tfrac {1}{2}(a+b) = \frac{ \cos \tfrac {1}{2}(A-B) } {\cos \tfrac {1}{2}(A+B)} \tan \tfrac {1}{2}c 
:: \tan \tfrac {1}{2}(a-b) = \frac{ \sin \tfrac {1}{2}(A-B) } {\sin \tfrac {1}{2}(A+B)} \tan \tfrac {1}{2}c 
:: \tan \tfrac {1}{2}(A+B) = \frac{ \cos \tfrac {1}{2}(a-b) } {\cos \tfrac {1}{2}(a+b)} \cot \tfrac {1}{2}C 
:: \tan \tfrac {1}{2}(A-B) = \frac{ \sin \tfrac {1}{2}(a-b) } {\sin \tfrac {1}{2}(a+b)} \cot \tfrac {1}{2}C 

Roinn-seòrsa:matamataig
Roinn-seòrsa:reul-eòlas