Ailseabra

’S e oideachadh structair agus dàimhe agus meud a th’ anns an **ailseabra** agus tha i tè de na mòr-roinnean matamataig. Tha ailseabra inntrigidh ann an clàr-teagaisg na h-àrd-sgoile far a bheil sgoilearan a’ faighinn aithne air smuaintean bunasach ailseabra, agus nan lùib feartan cur-ris agus iomadachadh àireamh, bun-bheachd nan caochladairean, agus feartan iol-teirmich, am factaradh agus am freumhan a lorg. Ach tha **ailseabra** nas farsainge. Mar a tha ailseabra ag obair le àireamhan, ’s ann a tha i ag obair le comharran, le caochladairean, agus le eileamaidean seata. Faodar cur-ris agus iomadachadh a mheas mar gum b’ e obrachaidhean uile-choitcheann a bh’ annta agus faodar structairean mar grùpaichean, fàinneachan, agus raointean a thogail bho na mìneachaidhean pongail a thathar a’ dèanamh orra.

## Ailseabra inntrigidh

’S e seo ailseabra bhunasach mar a thathar ag ionnsachadh do sgoilearan aig nach eil ach eòlas bun-phrionnsabail na h-àireamhachd. Anns an àireamhachd, ’s e àireamhan agus na obrachaidhean àireamhach (.i. +, −, ×, ÷) a th’ ann. Anns an ailseabra inntrigidh, tha comharran (me. *a*, *x*, *y*) air an cur an àite àireamhan gus:
* Riaghailtean àireamhach a chur nan riochd coitcheann (me. *a* + *b* = *b* + *a*) agus mar sin toiseach a dhèanamh air feartan siostam nam fior-àireamhan a rannsachadh,
* Co-aontaran a chur ri chèile far a bheil àireamhan “neo-aithnichte” ach am fuasgladh (me. “Lorg an àireamh *x* far a bheil 3*x* + 1 = 10”),
* Dàimhean fuincseanach a chur ri chèile (me. “Nan reicte *x* ticeadan, bhiodh a’ phrothaid agad 3*x* − 10 notaichean, no *f* (*x*) = 3*x* − 10, far a bheil *f* am fuincsean a tha a’ dèanamh giollachd air àireamh *x*).

## Ailseabra loidhneach

’S e fo-roinn ailseabra cudromach a tha anns an **[[ailseabra loidhneach]]**. Tha seo a’ dèiligeadh ri siostaman cho-aontaran loidhneach a tha cumanta anns na saidheansan agus a tha tè de na ceistean as aosda ann am matamataig. 

Tha co-aontar loidhneach den riochd:

::*a*0 = *a*1*x*1 + *a*2*x*2 + ... + *a*n*x*n

far a bheil *a*0, *a*1, *a*2, ..., *a*n cunbhalach agus tha *x*1, *x* 2, ..., *x*n rim faotainn. Tha e *loidhneach* chionns gur e co-aontar loidhne dìrich a tha:

::*y* = *a*1*x* + *a*0,

agus ’s e loidhne dhìreach ann an spàs ''n''-sheallach a tha:

::*f* (*x*1, *x*2, ..., *x*n) = *a*0 + *a*1*x*1 + *a*2*x*2 + ... + *a*n*x*n.

’S e bheactar a tha 〈 *x*1, *x*2, ..., *x*n 〉agus canar spàs bheactarach do spàs far am faodar bheactaran a shuimeadh agus a sgèileadh. ’S e cruth-atharrachadh loidhneach a th’ ann am fuincsean sam bith a ghlèidheas na feartan seo. Tha ailseabra loidhneach a’ gabhail a-staigh oideachadh bheactaran, spàsan bheactarach agus chruth-atharrachadh loidhneach.

## Ailseabra easchruthach

### Bun-bheachdan
Tha ailseabra inntrigidh a’ dèiligeadh ri àireamhan – eileamaidean de sheata àireamh. ’S e **ailseabra easchruthach** leudachadh nam bun-smuaintean seo do sheataichean as coitchinne. Le bhith a’ suidheachadh feartan agus riaghailtean a tha a’ buntainn ri seata eileamaidean sam bith, bithidh iad iomchaidh cuideachd do bheactaran, do mheatragsan, do dh’iol-teirmich, agus an leithid.

Thathar a’ leudachadh air bun-bheachdan cur-ris agus iomadachaidh gus **[[obrachadh càraideach]]** a dhealbhadh. ’S e seo obrachadh coitcheann air dà eileamaid àlaich a bheireas aon eileamaid den aon seata. Canar obrachadh *dùinte* ri seo. Bhiodh an t-obrachadh *fosgailte* mur eil buil an obrachaidh den aon seata, ach thathar a’ gabhail ris gu bheil obrachadh càraideach dùinte. ’S e obrachadh càraideach a th’ anns a’ chur-ris agus e a’ dèanamh 8 bho na h-àireamhan 5 agus 3; mar an ceudna ’s e obrachadh càraideach eile a th’ anns an iomadachadh agus e a’ dèanamh 15 bhuapa.

Le obrachadh càraideach, faodaidh bhith ann aon eileamaid den t-seata nach atharraich eileamaid eile. Mar eisimpleir, biodh *A* an seata agus biodh * na obrachadh càraideach air. Biodh *a* agus *e* nam buill den t-seata (.i. *a*, *e* ∈ *A*). Ma tha:

::*a* * *e* = *a* 

às leth gach *a* às an t-seata (.i. ∀ *a* ∈ *A*), ’s e an **eileamaid ionnanachd** a th’ ann an *e*. ’S e neoni an eileamaid ionnanachd le cur-ris nan àireamhan, agus a h-aon an eileamaid ionnanachd le iomadachadh.

Ma tha eileamaid *b* ann, aig gach *a* às an t-seata, far a bheil:

::*a* * *b* = *e*,

agus *e* na h-eileamaid ionnanachd mar os cionn, ’s e **eileamaidean iom-thionndaidh** a tha *a* agus *b*. ’S e −*x* an eileamaid iom-thionndaidh aig *x* anns a’ chur-ris, agus ’s e 1/*x* anns an iomadachadh.

::*x* + −*x* = 0
::*x* × 1/*x* = 1 

Faodaidh obrachadh càraideach a’ cumail ris an lagh cho-thiomsach. Mas fìor seo, cha toir òrdugh obrachaidh buaidh air a’ bhuil. ’S e seo gu bheil:

::*a* * ( *b* * *c* ) = ( *a* * *b* ) * *c*. 

Faodaidh e cumail ris an lagh cho-iomlaideach, far a bheil:

::*a* * *b* = *b* * *a*.

agus cha toir òrdugh nan eileamaidean buaidh air a’ bhuil.

### Grùpaichean

’S e **[[grùpa]]** ainm an structair ailseabraich aig a bheil seata *A* agus obrachadh càraideach * le feartan mar a leanas:
* tha an t-obrachadh dùinte: *a* * *b* ∈ *A*, ∀ *a*, *b* ∈ *A*.
* tha eileamaid ionnanachd ann: ∃ *e* ∈ *A* : *a* * *e* = *e* * *a* = *a*, ∀ *a* ∈ *A*.
* tha eileamaid iom-thionndaidh aig gach eileamaid: ∀ *a* ∈ *A*, ∃ *a*-1 ∈ *A* : *a* * *a*-1 = *a*-1 * *a* = *e*.
* tha an t-obrachadh co-thiomsach: *a* * ( *b* * *c* ) = ( *a* * *b* ) * *c*, ∀ *a*, *b*, *c* ∈ *A*.

Ma tha an t-obrachadh co-iomlaideach cuideachd, ’s e **grùpa aibèalach** a th’ ann.

Mar eisimpleir, ’s e grùpa a tha seata nan slàn-àireamhan fon obrachadh cur-ris. Tha e dùinte chionns gur e slàn-àireamh a tha buil cur-ris, ’s e neoni an eileamaid ionnanachd, ’s e na h-àireamhan àicheil na h-eileamaidean iom-thionndaidh, agus tha cur-ris a’ cumail ris an lagh cho-thiomsach.

### Fàinneachan
Ma tha dà *[[obrachadh càraideach]]* aig *grùpa*, fear suimidh ( + ) agus fear iomadachaidh ( × ), ’s e **fàinne** a chanar ris: 
* ma tha e na ghrùpa aibèalach fon obrachadh suimidh,
* ma dh’fhaodas an t-obrachadh iomadachaidh a bhith air a sgaoileadh air na h-obrachaidhean suimidh: *a* × ( *b* + *c* ) = ( *a* × *b* ) + ( *a* × *c* ),
* ma tha an t-obrachadh iomadachaidh co-thiomsach: *a* × ( *b* × *c* ) = ( *a* × *b* ) × *c* 

Chan eil e riatanach gum bi eileamaid ionnannachd, no eileamaidean iom-thionndaidh aig an obrachadh iomadachaidh. ’S e sin ri ràdh, ged tha obrachadh iomadachaidh ann chan eil obrachadh roinnidh ann. Tha na slàn-àireamhan nan eisimpleir fàinne far nach eil roinneadh na h-obrachadh càraideach chionns gu bheil i fosgailte.

### Raointean
’S e **raon** a th’ann ma tha *fàinne* na *grùpa aibèalach* fon obrachadh iomadachaidh cuideachd. ’S e eisimpleirean raoin a tha anns na h-àireamhan coimeasta, na fìor-àireamhan agus na h-àireamhan co-fhillte.

Gheibhear barrachd fiosrachaidh bho theòiridh ghrùpaichean, bho theòiridh fhàinneachan, agus bho theòiridh raointean.

## Ailseabra cho-choitcheann
’S e oideachadh feartan a bhuineas do na structairean ailseabrach uile a tha **ailseabra cho-choitcheann**. Tha i a’ dèanamh mìneachadh air na th’ ann an ailseabra fhèin mar bhun-bheachd, a’ dèanamh eadar-sgaraidh air na gnèithean ailseabra, agus a’ toirt asta na h-eileamaidean coitcheann gus na prionnsabalan co-aonachaidh a lorg. Tha seo a’ toirt barrachd tuigse do na h-ailseabran aithnichte agus a’ chomais air ailseabran ùra a dhealbhadh.

Roinn-seòrsa:Matamataig