Àireamhan àicheil is neo-àicheil

'S e àireamh nas lugha na neoni a th' ann an **àireimh àicheil**. Tha na h-àireamhan nas mò na neoni **dearbh** (no **dearbhte**). Chan eil neoni fhèin dearbh no àicheil. Ma tha àireamh **neo-àicheil**, 's e àireamh dhearbh no neoni a th' innte. Ma tha i **neo-dhearbh**, 's e àireamh àicheil no neoni a th' innte.

Ma thathar a' labhairt iomradh air àireamhan co-fhillte, 's e *[[fìor-àireamh]]* a th' ann mar as cumanta ma thathar ag ràdh *dearbh* rithe.

## Àireamhan àicheil

Faodar a bheachdachadh air na h-**àireamhan àicheil** mar gum biodh iad a' leigeil a-mach air na h-àireamhan nàdarra gus fuasgladh ciallach a thoirt don cho-aontar *x* – *y* = *z* airson gach luach de *x* agus *y*. Agus 's ann a' leigeil a-mach air seo mu seach a tha na seataichean eile de dh'àireamhan agus gach aon dhiubh a' toirt tuilleadh coitcheannais do dh'àireamhan.

Tha àireamhan àicheil feumail airson àireimh a chur ri puingean sgèile a thèid fo neoni, mar eisimpleir sgèile theòthachd, agus airson fiachan nochdadh sa chunntasachd far a bheil iad air an sgrìobhadh le figearan dearga, no le figearan eadar chamagan.

## Àireamhan neo-àicheil

Tha àireamh **neo-àicheil** ma tha i nas mò na, no co-ionnan ri, neoni (.i. àireamh dhearbh no neoni fhèin). Ri linn seo chan eil ciall air a' bhriathar *neo-àicheil* am measg àireamhan co-fhillte, ach a bheil iad nam fìor-àireamhan. 

Tha meatrags fhìor-àireamhan **neo-àicheil** ma tha gach eileamaid dhith neo-àicheil. Tha machlag **làn-neo-àicheil** ma tha detèirmeanant gach fo-mheatrags ceàrnagaich dhith neo-àicheil cuideachd.

## Fuincsean an t-Soidhne

Tha fuincsean ann thar nam fìor-àireamhan ris an canar am fuincsean **signum** (Laidinn – soidhne), sgn(*x*), far a bheil:

::sgn(x)=\begin{cases}
 -1, & \mbox{ma tha } x  0
\end{cases} 

Mur eil x = 0:

::sgn(x) = \frac{x} = \frac{x} = \frac{d|x|}{x}

far a bheil |*x*| na dhearbh luach *x*.

 

## Àireamhachd le àireamhan soidhneach
### Cur-ris agus toirt air falbh

Gabhar a bheachdachadh air àireamhan àicheil mar gum b' e fiachan a th' annta nuair a tha àireamhan air an cur-ris agus air an toirt air falbh. 

'S e an aon rud cur-ris àireimh àicheil agus toirt air falbh àireimh deirbhe:

::5 + (−3) = 5 – 3 = 2.

Ma tha €5 agad agus fiach €3 ort, 's e €2 an luach lom agad.

::−2 + (−5) = −2 – 5 = −7

Ma tha fiach $2 ort agus gheibh thu fiach $5, 's e $7 am fiach gu lèir ort.

Le bhith a' toirt air falbh àireimh deirbhe bho àireimh dheirbh nas lugha, 's e àireamh àicheil a th’ anns a’ bhuil:

::4 − 6 = −2 

Ma bha £4 agad ach chosg thu £6, 's e am fiach £2 a bhiodh ort. 

'S e toirt air falbh àireimh àicheil an aon rud ri cur-ris na h-àireimh deirbh co-fhreagarraich:

::5 – (−2) = 5 + 2 = 7.

Ma tha luach lom €5 agad agus gheibh thu cuidhteas fiach €2, 's e €7 an luach lom ùr agad.

::–8 – (−3) = –8 + 3 = –5.

Ma tha fiach €8 ort ach gheibh thu cuidhteas fiach €3, 's e €5 am fiach air fhàgail ort.

### Iomadachadh

'S e àireamh àicheil a th’ ann an toradh iomadachadh àireimh àicheil le àireimh dheirbh: −2 × 3 = −6. Agus 's e àireamh dhearbh a th' ann an toradh iomadachadh àireimh àicheil le àireimh àicheil: −4 × −3 = 12.

Tha dòigh ann seo a thuigsinn ma bheachdaicheas tu air iomadachadh le àireimh dheirbh mar ath chur-ris. San dòigh seo, 2 × 3 = 2 + 2 + 2 = 6 agus −2 × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6. 'S ann an aon dòigh b' e iomadachadh le àireimh àicheil an aon rud ri ath thoirt air falbh. Mar eisimpleir: 3 × −2 = −3 − 3 = −6.

Le bhith nas foirmeile, 's e àireamh dhearbh air a h-iomadachadh le −1 a th’ ann an àireimh àicheil:

::

Nise,

::*a* × −*b* = *a* × (−1) × *b*

...agus chionns gu bheil iomadachadh co-iomlaideach agus co-thiomsach: 

::

San aon dòigh:

::

Airson −(−1) a dh'fhuasgladh, thoir an aire gu bheil:

::

...agus ma tha *c* = −1:

::

### Roinneadh

Tha na riaghailtean seo freagarrach cuideachd do roinneadh. Ma tha àireamh dhearbh air a roinn le àireimh àicheil, no àireamh àicheil air a roinn le àireimh deirbh, ’s ann àicheil a’ bhuil:

::

Ma tha an *duais-roinn* agus an *roinniche* dearbh am fear, no àicheil am fear, 's ann dearbh an *roinn-àireamh*.

::

## Togail foirmeil nan àireamhan àicheil is neo-àicheil

'S e na leanas togail foirmeil nan àireamhan àicheil agus neo-àicheil bho na h-àireamhan nàdarra.

Cruthaicheamaid seata ùr, canaidh sinn ℤ ris, de càraidean òrdaichte àireamhan nàdarra (*a*, *b*).

::ℤ = { (*a*, *b*) : *a*, *b* ∈ ℕ }

Canaidh sinn gum bi dà eileamaid den t-seata seo (*a*, *b*) agus (*c*, *d*) co-ionnan, ma tha:

::*a* + *d* = *b* + *c*

agus mas fìor seo, sgrìobhamaid sin:

::(*a*, *b*) ~ (*c*, *d*)

Cuiridh sinn òrdugh air na h-eileamaidean cuideachd agus sgrìobhaidh sinn:

::(*a*, *b*) ≤ (*c*, *d*)

ma tha
::*a* + *d* ≤ *b* + *c*.

Nise, cuiridh sinn dà obrachadh càraideach + agus × ris an t-seata ℤ far a bheil:

::

Chionn 's gu bheil *a* + *c*, *b* + *d*, *ac* + *bd* agus *bc* + *ad* uile nam buill de sheata nan àireamhan nàdarra, tha an dà obrachadh seo **dùinte**, oir 's e buill de ℤ a tha buil nan obrachaidhean os cionn.

Ma tha eileamaid ann (*m*, *n*) den t-seata nach atharraich eileamaid eile fo obrachadh +, gabhar a sgrìobhadh:

::

'S e sin ri ràdh:

::

agus gum biodh eileamaid sam bith den riochd (*n*, *n*) na h-**eileamaid ionnanachd** aig an obrachadh +. Canamaid *neoni* ri eileamaid den t-seòrsa seo.

Ma tha eileamaid ann (*m*, *n*) den t-seata nach atharraich eileamaid eile fo obrachadh ×, gabhar a sgrìobhadh:

::

An luib seo:

::

Bhiodh eileamaid sam bith den riochd (*n* + 1, *n*) na h-**eileamaid ionnanachd** aig an obrachadh ×. Canamaid *a h-aon* ri eileamaid sam bith den t-seòrsa seo.

Nise, gabhar a dhearbhadh gu furasta gum bi:

:: (*n* + 1, *n*) + (*n* + 1, *n*) ~ (*n* + 2, *n*)
:: (*n* + 2, *n*) + (*n* + 2, *n*) ~ (*n* + 4, *n*)
:: (*n* + 2, *n*) × (*n* + 3, *n*) ~ (*n* + 6, *n*)

Ma th' ann eileamaid den t-seata (*m*, *n*) far a bheil:

:: (*a*, *b*) + (*m*, *n*) ~ (*n*, *n*)
:: (*a* + *m*, *b* + *n*) ~ (*n*, *n*)

::
:: ∴ (*a*, *b*) + (*b*, *a*) ~ (*n*, *n*)

'S e **eileamaidean iom-thionndaidh** a tha ann (*b*, *a*) agus (*a*, *b*) airson an obrachaidh +. Mar eisimpleirean:

:: (*n* + 1, *n*) + (*n*, *n* + 1) ~ (*n*, *n*)
:: (*n* + 2, *n*) + (*n*, *n* + 2) ~ (*n*, *n*)

Gabhar a dhearbhadh cuideachd gu bheil:

:: (*n*, *n* + 1)  *b* no *b* > *a*. Ri linn sin, canaidh sinn gu bheil eileamaid (*a*, *b*) den t-seata ℤ **dearbh** ma tha *a* > *b*, **neoni** ma tha *a* = *b*, agus **àicheil** ma tha *a*  (a, b)=\begin{cases}
 a - b, & : a > b \quad \mbox{(m.e. 1, 2, 3, ...) } \\
 0,  & : a = b \\
 -(b-a),  & : a 

'S e seata nan slàn-àireamhan a th' anns an ℤ, anns a bheil *x* agus –*x* nan eileamaidean (àireamhan) **iom-thionndaidh** fon obrachadh + (cur-ris).

Roinn-seòrsa:àireamhachd
Roinn-seòrsa:teòiridh àireamh