Roinn le neoni

'S e **[[roinn (matamataig)|roinn]] le [[neoni]]** a th' ann far a bheil an roinniche co-ionnan ri neoni. Faodaidh seo a bhith air a sgrìobhadh  \frac{x}{0} , far am biodh x\, na duais-roinn. Chan eil brìgh a thoirt do **roinn le neoni** ann an ailseabra, ach uaireannan tha comas againn mìneachadh a thoirt dhith ann an anailis far an aom luach na roinn-àireimh ri teòr fhad ’s a tha fuincsean an roinniche a’ dlùthachadh ri neoni.

## Do-dhèantachd roinn le neoni

Smaoinich air a' cho-aontar a leanas:

:: \frac{1}{0}=x 

Chionns gu bheil iomadachadh agus roinneadh nan obrachaidhean mùiteach, faodar a' sgrìobhadh cuideachd:

:: 1 = 0 \cdot x 

Ach chan eil ann luach de x\, a ni 1 an dèidh iomadachadh le neoni. 'S ann **do-shònrachaidh** a tha àireamh sam bith air a roinn le neoni.

Nise, smaoinich air a' cho-aontar:

:: \frac{0}{0}=x

Ma tha brìgh aig seo, faodar a sgrìobhadh cuideachd:

::0=0 \cdot x 

Ach tha seo fìor do gach luach de x\, sam bith. 'S ann **neo-shònraichte** a tha neoni air a roinn le neoni.

Nas foirmeile, smaoinich air fàinne cho-iomlaideach – 's e sin seata le dà obrachadh (cur-ris agus iomadachadh) agus na feartan cumanta ailseabra aca (co-thiomsachd, co-iomlaideachd agus sgaoilidheachd) – mar eisimpleir tha na fìor-àireamhan agus na h-àireamhan co-fhillte den t-seòrsa seo. Thathar a' toirt fa-near gur h-e 0 an eileamaid ionnanachd cur-ris agus gur e 1 an eileamaid ionnanachd iomadachaidh. Tha e na chuibheas sealltainn nach eil eileamaid co-thionndaidh aig neoni.

Smaoinich gum b' e co-thionndadh neoni ann agus a\, mar ainm air. Chionn 's gur h-e a h-aon gach àireamh a tha air iomadachadh leis a’ cho-thionndadh aice:

:: 1=a \times 0 

Nise, tha 0 + 0 = 0 agus gabhar a' sgrìobhadh cuideachd:

:: 1=a \times (0+0) 

Fo lagh an sgaoilidh:

::\begin{align}
 1 & = (a \times 0) + (a \times 0) \\
   & = 1 + 1 \\
   & = 2 \\
\end{align}

Mar os cionn, tha 0 = 0 + 0 + 0\,, agus 0 = 0 + 0 + 0 + 0\,, agus san dòigh seo bhiodh gach àireamh co-ionnan ris a cèile. Agus chionn 's gu bheil:

:: 0 \times x=0,

...feumar a cho-dhùnadh nam biodh co-thionndadh aig neoni, bhiodh a h-uile àireamh co-ionnan ri neoni. 'S e sin ri ràdh, far a bheil na feartan cumanta ailseabra (gu h-àraidh sgaoilidheachd), chan eil roinn le neoni comasach ach am bheil neoni na aon àireamh anns an t-seata.

## Bun-bheachd luach teòir

Ged nach eil brìgh den roinn-àireimh  \tfrac{1}{0} fhèin, 's urrainnear brìgh a thoirt do luach teòir na roinn-àireimh \tfrac{1}{x} fhad 's a tha *x* a' dlùthachadh ri neoni. Mar as dlùithe ri neoni a thèid *x*, 's ann as mò a dh'fhàsas luach na roinn-àireimh agus leanaidh seo gun crìoch. Tha seo air a sgrìobhadh:

:: \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}=\infty 

Ged tha an coltas air gu bheil neo-chrìochnachd na "luach teòir", chan e teòr idir a th' ann an neo-chrìochnachd. Tha an co-aontar seo a' sealltainn nach eil crìoch aig an roinn-àireimh fhad 's a tha *x* a' dlùthachadh ri neoni.

Thathar air a bhith a ghabhail ris gur e àireamh dhearbh a th' anns an roinniche. Ma tha *x* a' dlùthachadh ri neoni bho thaobh nan àireamhan àicheil:

:: \lim_{-x \to 0}\frac{1}{x}=-\infty 

Chan eil e gu diofar an ann às a làimh chlì no às a làimh dheis a ruigeas neoni. Ri linn seo, aig neoni fhèin:

:: -\infty = \frac{1}{0} = +\infty 

...ach chan eil mòran seagh dha ach nach eil soidhne aig neo-chrìochnachd (mar nach eil aig neoni).

## Loidhne-thilgidh nam fìor-àireamhan

'S e loidhne-thilgidh nam fìor-àireamhan an seata  \mathbb{R} \cup \{ \infty \}. 'S ann a tha an cearcall air a cruthachadh le bhith a' cur ri chèile foirchinn na loidhne-àireamh aig neo-chrìochnachd. 'S e neo-chrìochnachd neo-shoidhneach a tha seo agus 's ann a leanas gu bheil -\infty = +\infty . Anns an t-structair seo, faodaidh an seagh a bhith aig \tfrac{x}{0}=\infty, fhad 's nach eil x = 0 \,, agus cuideachd aig \tfrac{x}{\infty}=0. Chan e raon a th' anns an t-structair seo agus chan eilear an dùil gun obraich e mar gum b' e. Mar eisimpleir chan eil seagh aig  \infty + \infty \, air an loidhne-thilgidh.

Bheir an loidhne-thilgidh dòigh shìmplidh dhuinn airson seagh a chur air fuincseanan a thèid do neo-chrìochnachd agus a thilleas bho neo-chrìochnachd àicheil, mar eisimpleirean  y=\tfrac{1}{x} , y=\tan(x)\,, agus iomadh eile.

## Cruinne Riemann

'S e analog na loidhne-thilgidh aig na h-àireamhan co-fhillte a th' anns a' **chruinne Riemann**. Seo an seata  \mathbb{C} \cup \{ \infty \} far a bheil  \infty \, na puing aig neo-chrìochnachd. 'S e lùbadh plàna nan àireamhan co-fhillte air uachdar cruinne gus an till iomall a' phlàna ri chèile aig an aon phuing – neo-chrìochnachd. Tha neoni agus neo-chrìochnachd nan pòlaichean a tha mu choinneamh a chèile air a' chruinne agus tha loidhne-thilgidh nam fìor-àireamhan na prìomh-chearcall dhith. Chan e raon ailseabrach a th' anns a' chruinne Riemann, ach tha e air leth cudromach ann an anailis cho-fhillte.

Roinn-seòrsa:Àireamhachd