Estrem superiôr e estrem inferiôr

In matematiche, l**'estrem superiôr** di un insiemi di numars reâi al è il plui piçul numar reâl che al è plui grant o avuâl a ducj i elements dal insiemi. In maniere duâl, l**'estrem inferiôr** al è il plui grant numar reâl che al è plui piçul o avuâl a ducj i elements dal insiemi.

I estrems superiôr e inferiôr si diferenziin dal massim e dal minim dal insiemi parcè che a puedin no apartignî al insiemi considerât.

## Maiorants e minorants

Al sedi A\subseteq \mathbb R un insiemi di numars reâi. Si dîs **maiorant** di A cualsisei numar reâl plui grant o avuâl a ducj i elements di A (viodi ancje la figure a diestre). Invezit, i numars reâi che a son plui piçui o avuâi a ducj i elements di A si disin **minorants** di A. In maniere formâl
* x\in\mathbb R al è un maiorant di A\subseteq\mathbb R se e dome se a\le x, \forall a\in A;
* y\in\mathbb R al è un minorant di A\subseteq\mathbb R se e dome se a\ge y, \forall a\in A.

Un insiemi si dîs **superiormentri (inferiormentri) limitât** se al à almancul un maiorant (minorant) e **superiormentri (inferiormentri) ilimitât** se no 'nd à nissun. Un insiemi superiormentri e inferiormentri limitât si dîs, in maniere semplice, **limitât**. I esemplis che a seguissin a consolidin i concets presentâts.
* L'interval sierât A=[0; 2] al è un insiemi limitât. Ducj i numars reâi maiôrs o avuâi a 2 a son maiorants di A. Al contrari, i minorants di A a son ducj i numars minôrs o avuâi a 0.
* L'interval sierât e ilimitât a diestre B=[1; +\infty) al è un insiemi inferiormentri limitât e superiormentri ilimitât. Duncje, nol à maiorants e, invezit, ducj i numars minôrs o avuâi a 1 a son siei minorants.
* L'insiemi dai numars intîrs \mathbb Z nol à ni maiorants ni minorants.  Duncje, al è ilimitât.
* L'insiemi D=\{n^{-1}: n\text{ intîr diviers di 0}\} al à par maiorants ducj i numars maiôrs o avuâi a 1 e par minorants ducj i numars minôrs o avuâi a –1.

## Estrem superiôr e estrem inferiôr
Si clame **estrem superiôr** di un insiemi di numars reâi A\subseteq \mathbb R il minim dai siei maiorants. In maniere simile, l**'estrem inferiôr** al è il plui grant dai minorants di A. Stant che i doi concets a son duâi, si centrarìn cumò sul estrem superiôr, savint che risultâts analics a valin ancje par l'estrem inferiôr.

Daûr de definizion parsore, un numar reâl s al è l'estrem superiôr di un sotinsiemi A di \mathbb R, e si scrîf s=\sup A, se e dome se si verifichin chestis dôs condizions:
# s al è maiôr di ducj i elements di A e
# par cualsisei s' reâl minôr di s, al è simpri pussibil cjatâ almancul un element di A che i è maiôr.
In fat, si à s\ge a, cualsisei a\in A, viodût che s=\sup A al à di jessi un maiorant di A. Però s al è il plui piçul dai maiorants: se s', alore s' nol è un maiorant di A e, duncje, al esist almancul un element a\in A tal che a>s'.

Si puedin alore gjavâ fûr cualchi considerazion. Prin, un insiemi al pues no vê estrem superiôr, par esempli parcè che al è superiormentri ilimitât. Secont, se l'estrem superiôr al esist, alore al è unic. Tierç, i concets di estrem superiôr e massim di un insiemi a son une vore leâts, ma a son diviers. In maniere specifiche, se l'insiemi A\in \mathbb R al à massim m, alore si à m=\sup A. In fat, l'insiemi dai maiorants di A al è

M=\{x: x\ge a, \forall a\in A\} = \{x: x\ge \max A\} = [m; +\infty).

L'estrem superiôr di A al è il minim dai siei maiorants e, duncje,

\sup A=\min M = m = \max A.


In maniere reciproche, se un insiemi A al à estrem superiôr e chest al aparten al stes insiemi A, alore l'estrem superiôr al è ancje il massim dal insiemi A. Al baste pensâ che s=\sup A al è un maiorant di A (il plui piçul) e, duncje, s \ge a par cualsisei a\in A. Però, cheste proprietât di s e coincît cun la definizion di massim di A cuant che s\in A o, in curt,

(s=\sup A) \text{ e } (s\in A) \Rightarrow s = \max A.


### Esemplis

Considerant i esemplis fats prime, l'interval B=[1; +\infty) e l'insiemi dai numars intîrs \mathbb Z a son superiormentri ilimitâts: no vint maiorants no àn nancje estrem superiôr.

L'insiemi dai maiorants dal interval A=[0; 2], invezit, al è

M=\{x\in \mathbb R: x\ge 2\} = [2; +\infty)

e, duncje, l'estrem superiôr di A al è

\sup A = \min M = 2.

Inte stesse maniere, si pues dedusi che l'estrem superiôr dal insiemi

D=\biggl\{\frac{1}{n}: n\text{ intîr diviers di 0}\biggr\}

al è \sup D = 1.

Intai ultins doi câs, l'estrem superiôr al esist e si pues viodi che al coincît cul massim dal insiemi. L'esempli che al ven daûr al dimostre che nol è simpri cussì: par l'interval viert E=(1; 3) l'insiemi dai maiorants al è

M = \{x\in \mathbb R: x\ge 3\} = [3; +\infty).

Chest al vûl dî che

\sup E = \min M = 3.

Però in chest câs il numar 3 nol aparten al interval viert E, che nol presente massim.

Un altri esempli di insiemi che al à estrem superiôr però nol à massim al è

F = \biggl\{-\frac{1}{n}: n\in \mathbb N\setminus\{0\} \biggr\} = \biggl\{-1;
-\frac{1}{2}; -\frac{1}{3}; -\frac{1}{4}\dots\biggr\}.

I maiorants a son i elements dal interval superiormentri ilimitât M=[0; +\infty) e si à \sup F=\min M = 0. Si sa però che nol esist nissun numar naturâl che al sedi l'inviers di 0 (i.e., \nexists n\in\mathbb N: n^{-1} = 0) e, duncje, F nol à massim.

## Estrems e completece dai numars reâi

Come comentât prime par i maiorants e i minorants, si pues cjacarâ di estrems par ogni insiemi là che al è pussibil definî une relazion di ordin, sedi parziâl o totâl. Par esempli, si puedin studiâ i estrems di cualsisei sotinsiemi di numars intîrs o razionâi.

O vin ancje viodût un ciert numar di esemplis di sotinsiemis superiormentri limitâts di \mathbb R che a àn estrem superiôr. Chest nol è un câs, e je anzit une proprietât fondamentâl che e distinc i numars reâi dai numars razionâi: ogni sotinsiemi di \mathbb R che al sedi no vueit e superiormentri limitât al amet estrem superiôr reâl.  Cheste proprietât e je cognossude come la *completece di* \mathbb R *secont Dedekind*. Al contrari, un insiemi che nol è complet al pues vê dai sotinsiemis no vueits e limitâts cence estrem superiôr. I numars razionâi \mathbb Q a fasin part di cheste tipologjie di insiemis.

Par sclarî un pôc miôr la diference tra numars reâi e numars razionâi in tiermins di completece, considerìn l'esempli dal insiemi

S=\Bigl\{x\in \mathbb Q: x^2\le 2\Bigr\}=\Bigl\{x\in \mathbb Q: -\sqrt{2}\le x
\le \sqrt{2}\Bigr\}.


Cuant che o cjalìn S come un sotinsiemi dai numars razionâi, l'insiemi dai soi maiorants al è

M_{\mathbb Q} = \Bigl\{q\in\mathbb Q: q \ge \sqrt{2}\Bigr\}

Jessint che <math>\sqrt{2}</math> nol è un numar razionâl, o podin ancje scrivi

M_{\mathbb Q} = \Bigl\{q\in\mathbb Q: q > \sqrt{2}\Bigr\}.

Si conclût che l'insiemi dai maiorants razionâi M_{\mathbb Q} nol à minim e, duncje, l'insiemi S nol à estrem superiôr razionâl.

Invezit, l'insiemi dai maiorants di S pensât come un sotinsiemi dai numars reâi al è

M_{\mathbb R} = \Bigl\{r\in\mathbb R: r \ge \sqrt{2}\Bigr\}.

Cheste volte sì che o podìn dî che \min M_{\mathbb R}=\sqrt{2}, sint \sqrt{2} un numar reâl (irazionâl). La conclusion e je che, intai reâi, \sup S=\sqrt{2}.

## Bibliografie
* AA. VV. *Infinitesimale, analisi,* in *Grande Dizionario Enciclopedico,* 4a ed. Torino: UTET, 1990. ISBN 88-02-04230-6.
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* A. M. Pittana, G. Mitri e L. De Clara. *La Nomencladure des Matematichis.* Istitût Ladin Furlan Pre Checo Placerean, 1997.