Derivade

La **derivade** e je insieme cul integrâl une da lis dôs operazions centrâls dal calcul (cjale ancje il teoreme fondamentâl dal calcul).

In matematiche, la derivade f', la si definìs par mieç dal limit:

: f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}.

I simbui doprâts pe matematiche a son diviers, e spes l'ûs al dipint dome dal gust personâl; oltri a f' si cjatin ancje:

\frac{df}{dx};~ \frac{d}{dx}f;~ D_x f;~\dot{f} 

## Significât de derivade
Intuitivementri la derivade e esprim:

* la velocitât dal cambiament de funzion. Pensant ae definizion ca parsore, si viôt come la variazion "h" de funzion
(*f(x+h)-f(x)*) intun interval di timp e ven confrontade cul valôr "h" dal timp che al è passât tra x e x+h. 

Un esempli inte cinematiche e je la espression de posizion di un pont esprimude in funzion dal timp, che par solit si scrîf come *x(t)*. Se cumò o vuelin savê la velocitât di moviment dal pont, o vin di derivâ la funzion de posizion rispiet al timp. Difat, la velocitât e si gjave fûr dividint il spazi par il timp, par cui cjapant la distance percorude (es. *x(t+h)-x(t)*) e dividintle pal timp passât "h" nus ven fûr la velocitât medie tal interval (t,t+h): se cumò o fasin tindi a zero il timp, ven a stâi cjapin intervai simpri plui piçui di timp, o cjatarin la velocitât istantanee; chest procès al è propi compagn de definizion di derivade.

* la tangjent dal pont di viste gjepmetric: la derivade di une funzion intun pont A e misure la pendence de rete tangjent al grafic de funzion in chel pont

## Derivabilitât
Une funzion e je **diferenziabil** intun pont *x* se e esist la sô derivade in *x*; par chest une funzion che no je continue in x no sarà diferenziabil, parcè che in chel pont no esistarà la tangjent. Di chê altre bande, nol è sigûr che une funzion continue sedi diferenziabil

## Derivade n-esime
La *derivade *n*-esime* *f*(*n*) di une funzion *f* e je la funzion che o cjatin derivant par *n* voltis la funzion *f*. O fevelin duncje di **derivade seconde**, derivade tierce** e cussì indevant; tal scrivi si doprin in gjenar chescj simbui:

: <math>f'' = f^{(2)} = \frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}x^2}</math> ,
: <math>f** = f^{(3)} = \frac{\mathrm{d}^3f}{\mathrm{d}x^3} ,
: ...
: f^{(n)} = \frac{\mathrm{d}^nf}{\mathrm{d}x^n} .

Une funzion derivabil no je però par fuarce derivabil *n* voltis: par esempli, la funzion ca sot e à une derivade prime, ma no à une derivade seconde.

:f(x) = x |x|

Difat, la derivade di *f* e je *f' *(*x*) = 2 |x|, che no je a sô volte derivabil.

## Regulis di derivazion
Calcolâsi ogni volte il limit de funzion al puarte vie un grum di timp; par chest in gjenar si doprin lis derivadis fondamentâls: derivadis di funzions semplicis e di ûs frecuent di meti insieme par mieç di *regulis di derivazion*.

* Some: {\left( {f \pm g} \right)' = f' \pm g'}
* Prodot (*regule di Leibniz*): {\left( {f(x)g(x)} \right)' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)}
* Cuozient: {D\left(  \right)  = }}
* Funzion componude: {D\left( {f\left( {g\left( x \right)} \right)} \right) = f'\left( {g\left( x \right)} \right)g'\left( x \right)}
* Funzion disledrosade: {D\left( {f^{ - {\rm 1}} \left( y \right)} \right) =  =  \left( y \right)} \right)}}}

## Derivadis fondamentâls
* {D\left( \textrm{costante} \right) = 0 }
* {D\left( {ax} \right) = a }
* {D\left( {x^n } \right) = nx^{n - {\rm 1}} }
* {D\left( {x^2 } \right) = 2x }
* D\left( e^x  \right) = e^x 
* D\left( a^x  \right) = a^x \ln a
* D\left( \ln x \right) = \frac 1 x
* D\left( \sin x \right) = \cos x
* D\left( \cos x \right) =  - \sin x
* D\left( \tan x \right) = D\left( \frac {\sin x}{\cos x} \right) = 1 + \tan^2 x = \frac 1{\cos^2 x}
* D\left( {\rm cotan\,} x \right) = D\left( \frac {\cos x}{\sin x} \right) = \frac 1{\sin^2 x}
* D\left( \arcsin x \right) = \frac 1{\sqrt {1 - x^2}}
* D\left( \arccos x \right) = \frac 1{ - \sqrt {1 - x^2}}
* D\left( \arctan x \right) = \frac 1 { 1 + x^2}
* D\left( \sinh x \right) = \cosh x
* D\left( \cosh x \right) = \sinh x
* D\left( \tanh x \right) = \frac 1 {\cosh^2 x} 

## Derivadis di funzions componudis

* {D\left( {\left[ {f\left( {g\left( x \right)} \right)} \right] } \right) = {f'[{g\left( x \right)} ]{g'\left( x \right)}} }
* {D\left( {\left[ {f\left( x \right)} \right]^n } \right) = n\left[ {f\left( x \right)} \right]^{n - {\rm 1}} f'\left( x \right)}
* {D\left( {\sqrt {f\left( x \right)} } \right) = {{\rm 1} \over } f'\left( x \right) 
* {D\left( {{\rm ln}f\left( x \right)} \right) = f'\left( x \right) = }

* {D\left( {e^{f\left( x \right)} } \right) = e^{f\left( x \right)} f'\left( x \right)}
* {D\left( {{\rm sin}f\left( x \right)} \right) = f'\left( x \right){\rm cos}f\left( x \right)}
*{D\left( {{\rm cos}f\left( x \right)} \right) =  - f'\left( x \right){\rm sin}f\left( x \right)}
*{D\left( {\arctan f\left( x \right)} \right) = {{f'\left( x \right)} \over }

*}

## Cjale ancje
* Integrâl
* Derivade parziâl

## Leams esternis
*  Risolvi lis derivadis un pas par volte