Insiemi

In matematiche, un **insiemi** (insieme par talian e set par inglês) al è une colezion di ogjets che e ven considerade come un dutun. Cheste idee, inte sô semplicitât, e je a la base di ducj i cjamps de matematiche tant che il prin cjapitul di cualsisei bon libri di test al è dedicât al studi des principâls carateristichis e proprietâts dai insiemis.

In chest articul si cjatin lis basis de teorie classiche dai insiemis, dite ancje intuitive o naïve. No si cjaparà in considerazion, invezit, la moderne teorie assiomatiche.

## Definizions
Un insiemi al è une colezion di ogjets, che a vegnin clamâts **elements** dal insiemi. I elements a definissin totalmentri un insiemi: par esempli, si dîs che l'insiemi A e l'insiemi B (l'ûs des letaris maiusculis par clamâ i insiemis al è une vore comun) a son compagns se e dome se a son costituîts dai stes elements; in chel câs si pues scrivi A=B.

Intal stes insiemi si puedin vê ogjets di nature diferente (par esempli un flôr, un numar e un libri). Dâts un insiemi A e un ogjet a, si pues verificâ un e dome un dai doi câs che a seguissin:
# a al è un element di A: a si dîs che a al aparten a A e si scrîf a \in A;
# a nol è un element di A: a si dîs che a nol aparten a A e si scrîf a \notin A.

Chest al impliche che:
* no esistin câs intermedis: un element o al aparten o nol aparten a un insiemi;
* un element nol pues jessi ripetût: se al aparten a un insiemi alore al è unic inta chel insiemi.

## Descrizion
Definî un insiemi al significhe specificâ cuai che a son i elements che lu componin e lis dôs manieris par fâlu a son:
# par *liste*, o sei disint un a un ducj i elements:
A=\{0; 7; 33; 10088\}=\{10088; 7; 0;  33\};

B=\{\mbox{garofui; patatis; trisculis; cjariesis}\};
Lis dôs definizions di A a son ecuivalentis: l'ordin dai elements nol conte;
# par *carateristiche*, o sei spiegant a peraulis cuale che e je la propietât che a lee ducj i elements:
C = \{\mbox{i numars pari}\};

D = \{\mbox{lis machinis cuntune ruede sbuse}\}.
In câs plui complicâts, lis descrizions a puedin jessi dal tipo
C = \{\forall n\in \mathbb{N}: n=2m, \forall m\in \mathbb{N}\}

E = \{\forall (x,y)\in \mathbb{R}^2: y=3x + 5\}.
Ancje chi, C al è il stes insiemi intai doi câs (il significât dai simbui \mathbb{N} e \mathbb{R} al sarà spiegât plui indevant).

### Cardinalitât
Il numar di elements di un insiemi si clame la cardinalitât dal insiemi. Cun riferiment ai esemplis precedents, la cardinalitât dai insiemis A e B e je di 3 e 4 rispetivementri. Chescj a son esemplis di di insiemis *finîts*, che a son costituîts, vâl a dî, di un numar finît di elements; C e E a son invezit insiemis *infinîts* e a àn cardinalitât infinide (plui detais sui insiemis cuntun numar infinît di elements tal articul su la cardinalitât).

L'insiemi di cardinalitât 0 (cun nissun element) si dîs *insiemi vueit* e si indiche cun il simbul \emptyset.

### Insiemis numerics fondamentâi
Introdusin cumò i insiemis numerics plui usâts in matematiche.
* I **numars naturâi** a son ducj i intîrs no negatîfs:\mathbb{N}=\{0;1;2;3;4;...\}.
* I **numars intîrs relatîfs**, vâl a dî cun segn, si indichin cun \mathbb{Z}\mathbb{Z}=\{...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...\}.
* \mathbb{Q} al è l'insiemi dai **numars razionâi**, ven a stai di dutis lis frazions iridusibilis (in realtât, lis frazions 3/4 e 6/8, dome par fâ un esempli, a rapresentin il stes numar) positivis e negativis:\mathbb{Q}=\{\forall q: q=\frac{m}{n}, \forall m,n\in\mathbb{Z} \mbox{ e } n\neq 0\}.
* L'insiemi di ducj i numars decimâi cuntun numar di cifris decimâi finît, infinît periodic o infinît no periodic a si clame insiemi dai **numars reâi** \mathbb{R}.
* I **numars complès** \mathbb{C} a son une astrazion matematiche definide par podê risolvi cierts problemis. Clamant i=\sqrt{-1} la *unitât imagjinarie*, si à\mathbb{C}=\{\forall z: z=x+iy, \forall x,y\in \mathbb{R}\}.

## Relazions tra insiemis
Si à za dit che doi insiemis cui stes elements a son il stes insiemi: in tal câs si pues ancje dî che i doi insiemis a son **coincidents**. Al contrari, doi insiemis che no àn nissun element comun a si disin **disiunts**.

### Sotinsiemis
L'insiemi B al è un *sotinsiemi* dal insiemi A se e dome se ducj i elements di B a son ancje elements di A. La scriture doprade e je
:B\subseteq A\mbox{ o ancje } A \supseteq B.

Se si è sigûrs che A al vedi ancje elements che no apartegnin a B, si tabaie alore di *sotinsiemi tal sens stret* o *sotinsiemi propri* e si scrîf:
:B\subset A\mbox{ o ancje } A \supset B.

Si à di notâ che cualsisei insiemi al à almancul doi sotinsiemis impropris (*no* tal sens stret): l'insiemi vueit \emptyset e l'insiemi stes.

Par i insiemis numerics fondamentâi viodûts inte sezion anteriôr, a valin lis relazions che a seguissin:
:\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}.

(Nol è un erôr scrivi \mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}.)

#### Proprietâts de inclusion
* **Proprietât riflessive**: par un cualsisei insiemi A e vâl la relazion
A\subseteq A.
* **Proprietât antisimetriche**: se A e B a son doi insiemis tai che
A\subseteq B e B\subseteq A
alore
A=B.
* **Proprietât transitive**: A sedin A, B e C trê insiemis. Se si à
(A\subseteq B) e (B\subseteq C)
alore A\subseteq C.

Cheste proprietât e vâl ancje cu la forme strete de inclusion o une misture des dôs.

### Insiemi des parts
L'insiemi di ducj i sotinsiemis di un insiemi A si clame *insiemi des parts* (power set in inglês) di A. Par esempli, se A=\{1,2,3\}, l'insiemi des parts \mathcal{P}(A) al è
:\mathcal{P}(A)=\{\emptyset; A; \{1\}; \{2\}; \{3\}; \{1; 2\}; \{1; 3\}; \{2; 3\}\}.

Par un insiemi finît di n elements, si pues dimostrâ che la cardinalitât dal insiemi des parts e je 2^n (in curt, par ogni element a son dôs pussibilitâts: che al stedi o che nol stedi tal sotinsiemi considerât. Une volte decidût se un element al sta o no tal sotinsiemi, si à di fâ compagn par ducj chei altris elements. Il numar di pussibii sotinsiemis si calcole duncje moltiplicant un fatôr 2 par ogni element).

## Operazions cui insiemis
   
* **Union**: la union di doi insiemis al è un insiemi che al conten sie i elements dal prin insiemi che chei dal secont. Par esempli, se defininA=\{1; 4; 8; 11\} \mbox{ e } B=\{3; 5; 4; 7; 1\}alore la union e jeA\cup B=\{1; 4; 8; 11; 3; 5; 7\}.Si pues notâ che A e B a son sotinsiemis dal insiemi union A\cup B e che i elements comuns ai doi insiemis (\{1; 4\}) no vegnin ripetûts.

* **Intersezion**: la intersezion di doi insiemis e je un insiemi che al à come elements dome i elements comuns ai doi insiemis. Cun A e B come prime, si àA\cap B=\{1; 4\}.De definizion, al risulte clâr che l'insiemi intersezion al è un sotinsiemi di ducj i doi i insiemis di partence.O vin viodût prime che doi insiemis si disin disgiunts cuant che no àn elements in comun. Si pues cumò dâ une definizion ecuivalent e disi che doi insiemis a son disgiunts se la lôr intersezion e da un insiemi vueit.

* **Insiemi diference**: l'insiemi diference di A in B (B\setminus A o B-A) al è l'insiemi dai elements di B che no apartegnin a A. Continuant cul esempli:B\setminus A=\{3; 5; 7\} \mbox{ e } A\setminus B=\{8; 11\}.

* **Complementâr**: In cierts câs, ducj i insiemis considerâts a son sotinsiemis di un insiemi plui grant clamât *insiemi univiers*; in chestis situazions, il complementâr di un insiemi A al è l'insiemi diference di A intal insiemi univiers. Se o clamìn U l'insiemi univiers e \bar{A} (o ancje \mathcal{C}_U(A) o A') il complementâr di A, si à\bar{A} = U \setminus A.

* **Prodot Cartesian**: I elements dal prodot cartesian A\times B di doi insiemis A e B a son dutis lis pussibilis copis ordenadis che si puedin costruî sielzint il prin element intal insiemi A e il secont element intal insiemi B. In simbui:A\times B = \{(a,b)|a\in A \text{ e } b\in B\}.Al e facil viodi che la cardinalitât dal prodot cartesian A \times B e je il prodot des cardinalitâts di A e B (cuant che A e B a an un numar finît di elements). Cun di plui, jessint che i elements di A \times B a son copis ordenadis, il prodot cartesian nol è comutatîf, vâl a dî A \times B \ne B \times A.

### Proprietâts des operazions
Presentìn cumò lis principâls proprietâts des operazions cui insiemis.
Intai esemplis che a seguissin, i insiemis A, B e C a son sotinsiemis dal insiemi univiers U.
* **Proprietât comutative**: union e intersezion a gjoldin de proprietât comutativeA\cup B = B\cup A;A\cap B = B\cap A.
* **Proprietât associative**: union e intersezion a gjoldin de proprietât associative, che e permet di estindi la definizion des dôs operazions ai câs cun plui di doi insiemisA\cup B\cup C = (A\cup B)\cup C = A\cup (B\cup C);A\cap B\cap C = (A\cap B)\cap C = A\cap (B\cap C).
* **Proprietât distributive**: de intersezion rispiet ae unionA\cup (B\cap C) = (A\cup B) \cap (A\cup C)e de union rispiet ae intersezionA\cap (B\cup C) = (A\cap B) \cup (A\cap C).
* **Formulis di De Morgan**:\overline{A\cap B} = \bar{A}\cup\bar{B};\overline{A\cup B} = \bar{A}\cap\bar{B}.
A valin, par prionte, ancje lis seguintis proprietâts cence un non particolâr:
* A\cup A = A \mbox{ e } A\cap A = A;
* A\cup \emptyset = A \mbox{ e } A\cap \emptyset = \emptyset;
* \overline{\bar{A}}=A;
* A\cap\bar{A} = \emptyset \mbox{ e } A\cup\bar{A}=U;
* A\setminus A = \emptyset;
* A\setminus B = A \cap \bar{B}.

## Bibliografie
* G. Spirito. *Matematica Senza Numeri*. Newton Compton, 1995. ISBN 88-7983-814-8
* A. M. Pittana, G. Mitri e L. De Clara. *La Nomencladure des Matematichis*. Istitût Ladin Furlan Pre Checo Placerean, 1997.
* M. Fogale e E. Paolini. *Une Introduzion ae Analisi Matematiche*. Istitût Ladin Furlan Pre Checo Placerean, 2001.
* Wikipedia Contributors. *Set*, in *Wikipedia, the Free Enciclopedia*, 30 July 2007, 00:14 UTC,  [accessed 9 August 2007]
* Contributori di Wikipedia. *Insieme*, in *Wikipedia, l'Enciclopedia Libera*, 8 giugno 2007, 19:50 UTC,  [in data 9 agosto 2007]