Mengdeliar

At **mengdeliar** as en grünjleien fääk faan't matematiik. Hat befaadet ham diarmä, hü mengden mäenööder tuuphinge an faanenööder ufhinge. Det spriak faan't mengdeliar woort brükt uun a algebra, analysis, geometrii, topologii an ööder matemaatisk feeg.

## Betiaknangen
Det eegenskap \in (*as element faan*) as det wichtagst ferbinjang tesken mengden. Ales, wat diarütj fulagt, san loogisk slütjer.

; Aptäälang
: At mengde mä a elementen x_1 bit x_n häält det element a genau do, wan a mä ian element x_k auerianstemet:
:: a\in\{x_1,\dotsc,x_n\} :\Longleftrightarrow a=x_1\vee a=x_2\vee\dotsb\vee a=x_n
:Det ütjsaag
:: a\in\{1,2,3,4\}
:as likwäärdag (ekwiwalent) mä:
:: a=1\vee a=2\vee a=3\vee a=4.

; Beskriiwang
: At mengde faan x, huarför det eegenskap P(x) tudraapt, häält en element a genau do, wan det eegenskap üüb a tudraapt:
:: a\in\{x\mid P(x)\} :\Longleftrightarrow P(a)
: Uun a ütjsaagenloogik het det:
:: \forall x(x\in A\leftrightarrow P(x))

; Dialmengde
: En mengde A as en dialmengde faan B, wan arke element faan A uk element faan B as:
::A\subseteq B\ :\Longleftrightarrow \forall x \left(x \in A \,\rightarrow x \in B \right)

; Leesag mengde:
: En mengde saner elementen as det leesag mengde. Hat woort mä \emptyset of uk \{\} betiakent.
::A = \emptyset :\Longleftrightarrow \forall x (\neg\, x \in A)
: För det jindial \neg\, x \in A täält uk: x\notin A.

; Gemiansoom mengde:
: Diar san U mengden. Det gemiansoom mengde faan U as det mengde faan objekten, diar uun arke elementmengde faan U banen san:
:: \bigcap U := \{x \mid \forall a\in U\colon\; x\in a\}

; Ferianagt mengde:
: Det ferianagt mengde faan U mengden as det mengde faan objekten, diar uun tumanst ian elemntmengde faan U banen san:
:: \bigcup U := \{x \mid \exists a\in U\colon\; x\in a\}

; Likedenang mengden:
: Tau mengden san likdenang, wan diar josalew elementen banen san:
::A=B :\Longleftrightarrow \forall x \left(x \in A \,\leftrightarrow x \in B \right)

; Diferens an komplement: 
: At diferens of uk *restmengde* faan  A an B ("*A* saner *B*") as det mengde faan elementen, diar uun A, oober ei uun B banen san:
:: A \setminus B := \{ x \mid \left( x\in A \right) \land \left( x\not\in B \right) \}
: Det diferens as uk det *komplement faan B uun A*:
::  B^\complement := \{ x \mid x\not\in B \}

; Sümeetrisk diferens:
: Det as det jindial faan't 'gemiansoom mengde':
:: A \triangle B := \{ x \mid \left( x\in A \, \land \, x\not\in B \right) \lor \left( x\in B \, \land \, x\not\in A \right) \} = (A \cup B) \setminus (A \cap B) = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)

; Potensmengde:
: At potensmengde \mathcal P(A) faan en mengde A as det mengde faan aal a 'dialmengden' faan A.
:: \mathcal P(A) := \{X \mid X\subseteq A\}

; Karteesisk produkt:
: At produktmengde faan A an B as det mengde faan aal a paaren mä det iarst element ütj A an det ööder ütj B:.
::A \times B := \left\{ (a, b) \mid a \in A, b \in B \right\}

## Reegeln
(1) För dialmengden A,B,C\subseteq X täält: Jo san 
* refleksiif: A\subseteq A
* antisümeetrisk: Ütj A\subseteq B an B\subseteq A fulegt A = B
* transitiif: Ütj A\subseteq B an B\subseteq C fulegt A\subseteq C

(2) A mengdenoperatsioonen \cap an \cup san komutatiif, asotsiatiif an distributiif:

* Asotsiatiifgesets:
** \left( A \cup B \right) \cup C = A \cup \left( B \cup C \right) an
** \left( A \cap B \right) \cap C = A \cap \left( B \cap C \right)
* Komutatiifgesets:
** A \cup B = B \cup A an
** A \cap B = B \cap A
* Distributiifgesets:
** A \cup \left( B \cap C \right) = \left( A \cup B \right) \cap \left( A \cup C \right) an
** A \cap \left( B \cup C \right) = \left( A \cap B \right) \cup \left( A \cap C \right)
* De Morgan sin gesetsen:
** \left( A \cup B \right)^\complement = A^\complement \cap B^\complement an
** \left( A \cap B \right)^\complement = A^\complement \cup B^\complement
* Absorptionsgesets:
** A \cup \left( A \cap B \right) =A  an
** A \cap \left( A \cup B \right) = A 

(3) Gesetsen för diferensmengden:

* Asotsiatiifgesetsen:
** (A \setminus B) \setminus C = A \setminus (B \cup C) an
** A \setminus (B \setminus C) = (A \setminus B) \cup (A \cap C)
* Distributiifgesetsen:
** (A \cap B) \setminus C = (A \setminus C) \cap (B \setminus C) an
** (A \cup B) \setminus C = (A \setminus C) \cup (B \setminus C) an 
** A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C) an 
** A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)

(4) Gesetsen för sümeetrisk diferensen:

* Asotsiatiifgesets: (A \triangle B) \triangle C = A \triangle (B \triangle C)
* Komutatiifgesets: A \triangle B = B \triangle A
* Distributiifgesets: (A \triangle B) \cap C = (A \cap C) \triangle (B \cap C)
* A \triangle \emptyset = A \quadan A \triangle A = \emptyset

## Luke uk diar

* Ütjsaagenloogik