Esikanta (topologia)

Topologisen avaruuden (X, \tau) topologian \tau **esikanta** eli **alikanta** on joukko B\subset\tau, joka **virittää** joukon \tau. Tämä tarkoittaa, että \tau on pienin topologia, joka sisältää joukon B
(Suomessa käytetyssä Väisälän määritelmässä vaaditaan lisäksi, että \cup B=X).

Jokainen kanta on alikanta.

## Eräs määritelmä
Olkoon X joukko ja \tau sen topologia. Topologian \tau esikanta määritellään osajoukoksi B\subset\tau, joka täyttää jonkin seuraavista (keskenään ekvivalenteista) ehdoista:

# \tau on karkein topologia, joka sisältää joukon B, eli jos \tau^\prime on joukon X topologia, niin B\subset \tau^\prime \ \Rightarrow \ \tau\subset\tau^\prime.
# \tau on leikkaus kaikista joukon X topologioista \tau^\prime, joilla B\subset \tau^\prime.
# Kaikki joukon B alkioiden äärelliset leikkaukset ja joukko X muodostavat topologian \tau kannan. (Näin on jos ja vain jos jokainen avoin joukko, paitsi mahdollisesti X, on joidenkin joukon B alkioiden äärellisten leikkausten yhdiste. Tämä pätee jos ja vain jos jokaiselle avoimelle U\subsetneq X ja jokaiselle x\in U on olemassa jokin n ja joukot S_1,S_2,\ldots,S_n\in B siten, että x\in S_1\cap S_2\cap \cdots\cap S_n\subset U.)

Kannan määritelmähän on, että sen alkioiden yhdisteet ovat samat kuin avoimet joukot.

Kun S on kokoelma joukon X osajoukkoja, on olemassa tasan yksi topologia, jonka esikanta on S. Se on kaikkien niiden joukon X topologioiden leikkaus, joiden osajoukko S on. Yleisesti ottaen päinvastainen ei kuitenkaan pidä paikkaansa, eli tietylle topologialle ei aina ole olemassa yksikäsitteistä esikantaa (vaan monta). 

### Jussi Väisälän määritelmä
Jussi Väisälän (ym.) määritelmässä vaaditaan edellisen lisäksi, että \cup B=X.

Tämä määritelmä on Suomessa yleisin ja paikoin muuallakin muttei ole ekvivalentti yllä esitetyn määritelmän kanssa.
Väisälän määritelmä on ekvivalenttia seuraavan kanssa:

Joukon B alkioiden äärellisten leikkausten kokoelma on topologian \tau kanta. (Näin on jos ja vain jos jokainen avoin joukko on joidenkin joukon B alkioiden äärellisten leikkausten yhdiste. Tämä pätee jos ja vain jos jokaiselle U\in\tau ja jokaiselle x\in U on olemassa jokin n ja joukot S_1,S_2,\ldots,S_n\in B siten, että x\in S_1\cap S_2\cap \cdots\cap S_n\subset U.)

Jos B on topologian \tau esikanta, sanomme, että B **virittää** topologian \tau. Sanan "virittää" merkityskin siis riippuu siitä, kumpaa esikannan määritelmää käytetään. 

Useimmissa sovelluksissa onneksi \cup B=X. Tällaisille B em. määritelmät ovat tietysti ekvivalentteja.

## Esimerkkejä
Minkä tahansa joukon \mathcal{S} \subseteq \{\varnothing, X\} virittämä topologi on triviaali topologia \{\varnothing, X\}.

Jos \tau on topologia joukossa X ja \mathcal{B} on topologian \tau kanta, niin \mathcal{B} virittää topologian \tau. Siis jokainen topologian kanta on myös sen esikanta.

Tavallinen topologia reaalilukujen joukossa \R omaa esikannan, joka koostuu kaikista niistä avoimista väleistä, jotka ovat muotoa (-\infty, a) tai (b, \infty), missä a ja b ovat reaalilukuja. Niiden leikkaukset (a,b) = (-\infty, b) \cap (a, \infty) , missä a \leq b, muodostavat sen topologian kannan. Pienempi saman topologian alikanta muodostetaan esimerkiksi ottamalla aliperhe, jossa a ja b ovat rationaalisia.

Kaikista väleistä muotoa (-\infty, a) koostuva esikanta ei viritä tavanomaista topologiaa. Tuloksena oleva topologia ei täytä T1-aksioomaa, koska jos a , niin jokainen avoin joukko, joka sisältää luvun b sisältää myös luvun a.

Funktioperheen f_i : X \to Y_i, joukkoon X indusoima topologia on karkein topologia, joka tekee jokaisen f_i jatkuvaksi. Se tarkoittaa topologiaa, jonka esikannan muodostavat joukot f_i^{-1}(U), missä U käy läpi kaikki joukon Y_i ja i kaikki indeksiperheen I alkiot.

## Lähteet