Pallo ja sylinteri

**Pallo ja sylinteri** (, ) on Arkhimedeen kirjoittama antiikin kreikkalainen matemaattinen, geometrian alan teos. Siinä käsitellään erityisesti, kuinka pallon ja sylinterin pinta-ala ja tilavuus voidaan laskea, ja se oli ensimmäinen teos, jossa tämä tehtiin.

Teoksessa esitetään useita uusia väittämiä pallon, sylinterin ja kartion pinta-aloista ja tilavuuksista. Monet näistä ovat nykyään yleisesti tunnettuja, kuten se, että pallon tilavuuden ja sitä ympäröivän sylinterin tilavuuden suhde on ; se, että isoympyrän pinta-ala on  koko pallon pinta-alasta; sekä pallon ja sylinterin pinta-alojen suhde.

## Historia

Arkhimedes eli ja kirjoitti hellenistisellä kaudella 200-luvulla eaa. Teos *Pallo ja sylinteri*, tai sananmukaisesti käännettynä *Pallosta ja sylinteristä*, on luettu Arkhimedeen kypsempien teosten joukkoon. Se oli osoitettu Kononin oppilaana yhdessä Arkhimedeen kanssa olleelle Dositheokselle. Arkhimedes oli erityisen ylpeä teoksessa saavuttamistaan tuloksista ja pyysi, että hänen hautakiveensä kaiverrettaisiin piirros, jossa pallo on piirretty sylinterin sisään. Myöhemmin Cicero löysi Syrakusasta juuri tällaisen hautakiven.

*Pallo ja sylinteri* oli yksi Arkhimedeen ydinkirjoituksista, jotka tunnettiin Bysantissa keskiajalla. Eutokios kirjoitti siihen kommentaarin. Myöhemmin se tunnettiin käsikirjoitustraditiossa *Codex A*, ja se oli yksi Arkhimedeen teoksista, jotka Vilhelm Moerbekelainen käänsi latinaksi vuonna 1269.

## Sisältö

Teos käsittää kaksi kirjaa. Keskeiset kaavat, jotka siinä johdetaan, ovat pallon pinta-ala, sen sen sisältämän kappaleen eli kuulan tilavuus, sekä sylinterin eli suoran ympyrälieriön pinta-ala ja tilavuus.

Merkitään pallon ja sylinterin säteeksi r ja sylinterin korkeudeksi h, oletuksella että kyseessä on suora sylinteri eli sen sivu on kohtisuorassa pohjiin nähden. Teoksessaan Arkhimedes osoitti, että sylinterin pinta-ala on:

::A_C = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h = 2 \pi r ( r + h ).\,

ja että sen tilavuus on:

::V_C = \pi r^2 h. \,

Pallosta hän osoitti, että sen pinta-ala on neljä kertaa sen suurimman ympyrän pinta-ala, eli:

::A_S = 4\pi r^2.\,

Pallon tilavuutta koskeva tulos oli, että se on kaksi kolmasosaa ympäröivän sylinterin tilavuudesta, eli:

::V_S = \frac{4}{3}\pi r^3.

Kun sylinteri, johon pallo piirretään, on tiiviisti sitä ympäröivä ja sen korkeus on h = 2r niin että pallo koskettaa sylinteriä ylhäältä ja alhaalta, Arkhimedes osoitti, että sekä pallon tilavuus että pinta-ala ovat kaksi kolmasosaa sylinterin vastaavista arvoista. Tämä merkitsee myös, että pallon pinta-ala on yhtä suuri kuin sylinterin pinta-ala ilman sen pohjia. Tämä tulos johti myöhemmin pinta-alat säilyttävään Lambertin lieriöprojektioon, menetelmään maapallon kartoittamiseen niin, että pinta-alat säilyvät oikeina.

Teoksessa esitetyt tulokset voidaan nykyään todistaa helposti analyyttisillä menetelmillä, mutta niiden alkuperäinen löytäminen ja geometrinen todistaminen vaati Arkhimedeen neroutta. Lisäksi se, että nykyaikaisen analyysin sovellukset pätevät kaareviin viivoihin ja pintoihin liittyvissä kysymyksissä, voidaan todistaa vain eräänlaisella geometrisella päättelyllä, josta Arkhimedes antoi ensimmäisen esimerkin.

## Lähteet

## Kirjallisuutta

* Archimedes: *Surface and Volume of the Cylinder and Sphere*. Teoksessa 
* Archimedes: *On the Sphere and Cylinder*. Teoksessa 

## Aiheesta muualla