Epidemian matemaattinen mallintaminen

**Epidemian matemaattinen mallintaminen** tarkoittaa tartuntataudin esiintymisen tutkimista annetussa populaatiossa matemaattisilla menetelmillä. Mallinnuksen tarkoitus on tavallisimmin tuottaa tietoa terveydenhuoltojärjestelmälle tartuntataudin aiheuttaman epidemian tukahduttamiseksi tai rajoittamiseksi tarkoitettujen toimenpiteiden ajoittamista ja oikeaa kohdentamista varten.

Epidemiamallit ovat luonteeltaan ilmiötä selittäviä, eivät niinkään ennustavia. Tartuntataudin tai loiseliön leviäminen väestössä on pohjimmiltaan stokastinen prosessi, jossa yhdenkin yksilön käyttäytymisellä voi olla lopputuloksen kannalta merkitystä. Siksi mallien tuloksia tarkasteltaessa on ymmärrettävä niiden kuvaavan väestötasoa. Lisäksi mallit tuovat esille sellaisia epidemian dynamiikkaan liittyviä piirteitä, joita ei ole mahdollista päättelemällä havaita.

## Deterministisiä malleja
### SIR-malli

Hyvin yksinkertainen epidemiamalli on William Ogilvy Kermackin ja Anderson Gray McKendrickin vuonna 1927 esittelemä SIR-malli. Siinä tutkitaan kolmea väestöryhmää:
:* sairastumiselle alttiina olevat (S, *susceptible*)
:* tartuttavat (I, *infectious*) sekä
:* sairaudesta toipuneet (R, *recovered* tai *removed*).

Yksinkertaisimmillaan SIR-mallissa oletetaan että populaation koko *N* pysyy vakiona eli jokaisella ajanhetkellä pätee side-ehto *S(t) + I(t) + R(t) = N*. Tämä on ensisijaisesti mallin yksinkertaistamiseksi, mutta ehto on myös perusteltu kun syntyvyys ja kuolleisuus ovat pieniä epidemian keston aikana. Lisäksi oletetaan, että 1) tartunnan saaneiden määrä on verrannollinen sekä alttiiden henkilöiden määrään että infektoituneiden määrään ja 2) sairaudesta parantuneet ovat saavuttaneet immuniteetin eivätkä he siis palaa alttiina olevien ryhmään. Kumpikaan oletus ei välttämättä päde todellisen epidemian tapauksessa, sillä sairastumisen riskiin yksilötasolla vaikuttaa muitakin tekijöitä, kuten ikä ja aikaisemmat sairaudet, eivätkä kaikki taudit anna sairastaneelle immuniteettia.

Yksinkertaisuudestaan huolimatta SIR-malli on osoittautunut kuvaavan epidemian etenemistä hämmästyttävän hyvin tilanteissa, joissa populaatiokoko on suuri ja sairaus todella aiheuttaa pysyvän immuniteetin. Siitä saadaan myös helposti johdettua sellaisia epidemian kulkua kuvaavia keskeisiä tuloksia, jotka eivät ole intuitiivisesti pääteltävissä.

SIR-malli muodostuu kolmen toisiinsa kytkeytyvän differentiaaliyhtälön ryhmästä:

: 
\begin{align}
&\frac{dS}{dt} = - \frac{\beta S I}{N} \\[6pt]
&\frac{dI}{dt} = \frac{\beta S I}{N} - \gamma I \\[6pt]
&\frac{dR}{dt} = \gamma I 
\end{align}


Ensimmäinen yhtälö siis kertoo, että alttiiden määrä vähenee suoraan verrannollisena alttiiden ja sairastuneiden määrään. Kolmas yhtälö kertoo, että parantuneiden määrä kasvaa suoraan verrannollisena sairastuneiden määrään. Keskimmäisessä yhtälössä sairastuneiden määrä kasvaa suoraan verrannollisena alttiiden ja sairastuneiden määrään ja siitä poistuu parantuneiden osuus. Malliparametreista \beta kuvaa yksittäisen henkilön keskimääräistä kontaktien lukumäärää aikayksikössä ja 1/\gamma kuvaa tartuttavuuden keskimääräistä kestoa. Käytännön sovelluksissa myös \beta:n ja \gamma:n arvot muuttuvat epidemian edetessä. Erityisesti erilaisilla *rajoitustoimilla* pyritään vaikuttamaan \beta:n arvoon, koska tällöin *I(t)*:n maksimiarvo pienenee.

Epidemian kehityksen kannalta erityisen mielenkiintoinen on suure
R_0 = \beta / \gamma
jota kutsutaan (perus)tartuttavuusluvuksi. Jos *R<sub>0</sub> < 1* epidemia sammuu itsekseen ja jos *R<sub>0</sub> > 1* epidemia vääjäämättä leviää. Toisin päin ajatellen tästä saadaan myös merkittävä tulos: epidemia pääsee leviämään vain jos alttiiden osuus väestössä on suurempi kuin 1/R_0. Tämä havainto johtaa laumaimmuniteetin käsitteeseen.

Todellisen epidemian aikana R_0 pyritään arvioimaan havainnoista, jolloin sen avulla voidaan arvioida ihmistenvälisten kontaktien määrää ja sen muutoksia.

**Epidemian sammuminen** on esimerkki helposti SIR-mallista saatavasta tuloksesta, jota on kuitenkin vaikea intuitiivisesti hahmottaa. Skaalataan *N = 1* ja lasketaan 
: 
\begin{align}
&\frac{dS}{dR} = - \frac{\beta S}{\gamma} = -R_0 S\\[6pt]
& \implies S(t) = S(0) e^{-R(t)/R_0} 
\end{align}

Tästä nähdään että S(t) on aidosti positiivinen ja kun (skaalauksen takia) R \leq 1 niin S > e^{-R_0} aina. Toisin sanoen väestössä on aina jäljellä ihmisiä, jotka eivät ole saaneet tartuntaa. Epidemia siis sammuu kun tartuttajia ei enää ole, ei siksi että kaikki olisivat sen sairastaneet! Epidemian torjunnassa on siksi järkevää keskittyä estämään uusia tartuntoja.

### Demografinen SIR-malli
SIR-mallista saadaan monipuolisempi, kun huomioidaan väestöön liittyvä syntyvyys (ja maahanmuutto) sekä luonnollinen kuolleisuus. Jos tarkasteltavan väestön keskimääräinen elinikä on 1/\mu ja syntyvyys \Lambda SIR-malli saa muodon:

: 
\begin{align}
&\frac{dS}{dt} = \Lambda - \mu S - \frac{\beta S I}{N} \\[6pt]
&\frac{dI}{dt} = \frac{\beta S I}{N} - \gamma I -\mu I\\[6pt]
&\frac{dR}{dt} = \gamma I -\mu R
\end{align}

Tässä syntyvyystermi tuottaa S-ryhmään uusia sairaudelle alttiita ja kuolleisuustermit poistavat yhtä suuren osuuden kaikista väestöryhmistä. Syntyvyyden ja kuolleisuuden lisääminen aiheuttaa luonnollisesti sen, ettei väestön kokonaismäärä *N* ole enää vakio. Monissa epidemiologisissa tutkimuksissa arvioidaan \Lambda \approx \mu, mikä päteekin monessa teollisuusmaassa.

Helposti voidaan osoittaa, että tässä mallissa tartuttavuusluku 
: 
\begin{align}
& R_0 = \frac{\beta}{\gamma + \mu} 
\end{align}

Tästä nähdään, että 1) mallissa, jossa huomioidaan syntyvyys ja luonnollinen kuolleisuus R_0 on aina pienempi kuin yksinkertaisemmassa mallissa sekä 2) tarkasteltavan väestön elinaika vaikuttaa tartuttavuuslukuun. Väestön elinaika riippuu sellaisista mallista riippumattomista tekijöistä, kuten yleinen ravitsemus, terveydenhuolto, rokotukset jne. Tartuttavuusluku on siis aidosti yhteiskunnallisista olosuhteista riippuva suure.

Mielenkiintoinen tulos saadaan, kun tarkastellaan yhtälöryhmän tasapainotiloja, eli tilannetta jossa dS/dt = dI/dt = dR/dt = 0. *I*-yhtälöstä saadaan
: 
\begin{align}
I(\beta S - (\gamma +\mu)) = 0\\[6pt]
\end{align}

mikä selvästikin toteutuu taudin hävitessä, eli kun I^* = 0, mutta myös silloin kun S^* = (\gamma + \mu)/\beta. Tämä voidaan kirjoittaa perustartuttavuusluvun avulla yksinkertaiseen muotoon S^* = 1/R_0. Sijoittamalla tulos *I*-yhtälöön, saadaan laskettua kuinka suuri osa väestöstä on sairaana tasapainotilan vallitessa:
: 
\begin{align}
I^* = \frac{\mu}{\gamma}(1-\frac{1}{R_0}) = \frac{\mu}{\gamma}(R_0 -1)\\[6pt]
\end{align}

tämä sairaiden osuus on taudin vallitsevuus eli prevalenssi. Se on se osa väestöstä, joka on koko ajan sairastuneena. Kun R_0 > 1 (nyt se on ainoa mahdollisuus, muulloinhan I^* olisi negatiivinen) tämä tasapainotila on stabiili. Ehkä hieman yllättäen epidemia ei siis leviä vaikka tartuttavuusluku onkin ykköstä suurempi. Taudista on tullut **endeeminen**: se on jäänyt pysyvästi kiertämään väestöön.

### SIRD-malli
Joihinkin tartuntatauteihin liittyy kuolevuutta (D, *deceased*). Tällöin osa  sairastuneista poistuu pysyvästi tarkasteltavasta populaatiosta, ja side-ehto saa muodon *S(t) + I(t) + R(t) + D(t) = N*. Tartuntatauteihin kuolee tyypillisesti suunnilleen vakio-osuus \mu_D sairastuneista, jolloin kuolleiden määrä kasvaa suoraan verrannollisena sairastuneiden määrään.

:
\begin{align}
& \frac{dS}{dt} = - \frac{\beta I S}{N} \\[6pt]
& \frac{dI}{dt} = \frac{\beta I S}{N} - \gamma I - \mu_D I \\[6pt]
& \frac{dR}{dt} = \gamma I \\[6pt]
& \frac{dD}{dt} = \mu_D I
\end{align}


Tässä toiseen yhtälöön on lisätty kuolleita kuvaava termi ja neljäs yhtälö kuvaa kuolevuutta. Käytännössä kuolevuutta kuvaavan kertoimen arvioiminen havaintoaineistosta on hyvin vaikeaa eikä sille ei ole mielekästä biologista vastinetta. 

Biologisesti mielekäs kuolevuustermin kerroin saadaan tarkastelemalla todennäköisyyttä \rho, jolla henkilö kuolee tautiin ennen luonnollista kuolemaansa. Tällöin *I*-yhtälö saa muodon:
:
\begin{align}
& \frac{dI}{dt} = \frac{\beta I S}{N} - \frac{\gamma + \mu}{1 - \rho} I \\[6pt]
\end{align}
,
missä 1/\mu on keskimääräinen elinikä. Huomattavaa on, että kun \rho \to 1 sairastuneet kuolevat mallissa välittömästi ja tartuttavuusluku R_0 \to 0. Tämä tuottaa suuren ongelman korkean kuolevuuden tautien mallintamisessa, sillä mallissa tauti ei ehdi levitä. Ongelma voidaan kiertää jakamalla *I*-ryhmä kahteen osaan, sillä kuolema tapahtuu taudin loppuvaiheessa, jolloin R_0 pysyy edustavana taudin alkuvaiheessa.

### SIS-malli

Kaikki tartuntataudit eivät anna sairastuneelle immuniteettia tautia vastaan. Tällöin sairaudesta toipuneet palautuvat takaisin alttiiden ryhmään. Tätä kuvaa SIS-malli:

:
\begin{align}
\frac{dS}{dt} & = - \frac{\beta S I}{N} + \gamma I \\[6pt]
\frac{dI}{dt} & = \frac{\beta S I}{N} - \gamma I
\end{align}


Jos tartuttavuusluku \beta/\gamma > 1, eli epidemia ei sammu itsestään, tälle yhtälöparille on mahdollista löytää myös analyyttinen ratkaisu:

:I(t) = \frac{I_\infty}{1+V e^{-\chi t}},

missä I_\infty = (1 -\gamma/\beta)N, \chi = \beta-\gamma ja V = I_\infty/I_0 - 1. Tulos on pohjimmiltaan logistinen funktio.

Tässä mielenkiintoinen on raja-arvo \lim_{t \to \infty} I(t) = I_\infty, joka on > 0. Se tarkoittaa, että jos tartuttavuusluku > 1, taudista muodostuu endeeminen esiintymä. Se on tasapainotila, jossa sairaus on pysyvästi läsnä tietyn suuruisessa osassa populaatiota. Toisin kuin demografisessa SIR-mallissa tässä endeeminen esiintymä on todellakin pysyvä: immuniteetin puuttuminen ruokkii epidemiaa eikä tasapainotilaan liity heilahteluja. SIS-mallin kuvaamaa dynamiikkaa esiintyy erityisesti sukupuolitaudeilla.

### SEIR-malli
Tartunnan saanut ei tavallisesti levitä sairautta heti tartunnan saatuaan, vaan tartunnan ja tartuttavuuden alkamisen välillä on vaihtelevan pituinen aika, latenssi. Tämä viive voi joillakin taudeilla olla varsin pitkä, jolloin se täytyy ottaa huomioon jo mallia rakennettaessa. Tätä kuvataan SEIR-mallilla, jossa ovat mukana taudille altistuneet (E, *exposed*).

Tässä altistuneet ovat siis tarkasteluhetkellä jo saaneet tartunnan, mutta eivät vielä levitä tautia eteenpäin. SEIR-malli antaa epidemialle olennaisesti samanlaisen dynamiikan kuin SIR-malli, mutta epidemia etenee hitaammin latenssiajan vuoksi.

Latenssiaika vaihtelee yksilökohtaisesti. Tässä sen on oletettu noudattavan eksponenttijakaumaa, jolloin tartuttavuus alkaa keskimäärin ajan 1/\sigma kuluttua tartunnasta.

:
\begin{align}
&\frac{dS}{dt} = \Lambda N -\mu S - \frac{\beta S I}{N} \\[6pt]
&\frac{dE}{dt} = \frac{\beta S I}{N} - (\mu + \sigma) E \\[6pt]
&\frac{dI}{dt} = \sigma E - \gamma I - \mu I\\[6pt]
&\frac{dR}{dt} = \gamma I - \mu R
\end{align}


Tässä mallissa tartuttavuusluku R_0 = \frac{\beta\sigma}{(\gamma + \mu)(\mu + \sigma)} poikkeaa yksinkertaisemmista malleista, sillä osa sairastuneista kuolee luonnollisen poistuman kautta latenssivaiheen aikana, eivätkä he ehdi tartuttaa tautia eteenpäin. Helposti nähdään, että jos latenssivaihe lyhenee eli 1/\sigma \to 0 saadaan aiemmista malleista tuttu tartuttavuusluvun lauseke.

SEIR-malli on yleensä lähtökohtana oikean epidemian ammattimaisessa mallinnuksessa sillä osoittautuu, että latenssiajan jättäminen pois mallista saattaa johtaa R_0-arvon rajuunkin aliarvioimiseen ja sitä kautta pahasti alimitoitettuihin torjuntatoimiin.

### Kantajuus
Joillakin sairauksilla osa tartunnan saaneista ei varsinaisesti parane vaan he jäävät pysyvästi tai ainakin pitkäaikaisesti levittämään taudinaiheuttajaa ympäristöönsä, ollen yleensä itse oireettomia. Tällainen tilanne huomioidaan lisäämällä malliin kantajuus (C, *carrier*). Tämä johtaa jo huomattavan monimutkaiseen dynamiikkaan, sillä *I*-ryhmän lisäksi tartunnan voi saada myös *C*-ryhmästä. Lisäksi kantaja voi itse palata oireiseksi tartuttajaksi *I*-ryhmään. Mallissa q on tartunnan kantajaksi muuttuvien sairastuneiden osuus 1/\Gamma on kantajuuden kesto ja \epsilon on kantajalta saatujen tartuntojen osuus verrattuna akuutisti sairailta saatuihin tartuntoihin. (Tässä on skaalattu *N = 1*) 

:
\begin{align}
&\frac{dS}{dt} = \Lambda -(\beta I + \epsilon\beta C)S - \mu S \\[6pt]
&\frac{dI}{dt} = (\beta I + \epsilon\beta C)S - \gamma I - \mu I \\[6pt]
&\frac{dC}{dt} = \gamma q I - \Gamma C - \mu C\\[6pt]
&\frac{dR}{dt} = \gamma(1-q)I + \Gamma C - \mu R
\end{align}

Tässä tilanteessa tartuttavuusluku muodostuu jo kahdesta komponentista: akuuttia infektiota sairastavien tuottamista tartunnoista ja taudin kantajilta saatavista tartunnoista. Yllä olevista yhtälöistä saadaan johdettua, että tartuttavuusluku R_0 = \frac{\beta}{\gamma + \mu} + \frac{q\gamma}{(\gamma + \mu)}\frac{\epsilon \beta}{(\Gamma + \mu)}. Koska kantajuus kestää tyypillisesti paljon akuuttia sairautta pitemmän aikaa, oireettomat kantajat muodostuvat nopeasti akuutisti sairaita merkittävämmäksi tartuntojen lähteeksi. Oikean epidemian tapauksessa kantajuus yleensä riippuu sairastuneen iästä, jolloin tällainen yksinkertainen, väestön ikäjakaumaa (tai muita erityispiirteitä) huomioimaton, malli saattaa kuvata epidemian dynamiikkaa odottamattoman huonosti. 

## Väestörakenteen huomioiminen
Tähänastisissa malleissa on ajateltu taudin kohtelevan koko väestöä samaan tapaan. Todellisessa maailmassa näin ei tietenkään ole. Fyysinen ikä tai vaikkapa seksuaalinen riskikäyttäytyminen asettavat ihmiset eriarvoiseen asemaan tartunnan saamisen, uudelleentartuttamisen ja esimerkiksi kuoleman riskin suhteen. 

Yksinkertainen mutta käytännöllinen väestörakennetta kuvaava malli saadaan, kun jaetaan väestö tartuntariskin suhteen kahteen osaan ja merkitään korkeassa tartuntariskissä olevaa osuutta alaindeksillä H ja matalassa riskissä olevaa alaindeksillä L. Tartuntoja voi tapahtua nyt neljällä tavalla: H←H, H←L, L←H sekä L←L, missä nuoli kuvaa tartunnan suuntaa. Näin saadaan *I*-yhtälöiksi (huomaa alaindeksien järjestys!):
:
\begin{align}
&\frac{dI_H}{dt} = \beta_{HH} S_H I_H +\beta_{HL} S_H I_L - \gamma I_H \\[6pt]
&\frac{dI_L}{dt} = \beta_{LH} S_L I_H + \beta_{LL} S_L I_L - \gamma I_L \\[6pt]
\end{align}

Missä I_H on korkeassa riskissä olevan väestöryhmän tartuntojen osuus ja I_L vastaavasti matalassa riskissä olevilla ilmenevien tartuntojen osuus. Kertoimet \beta_{ij} voidaan koota niin kutsutuksi WAIFW-matriisiksi (sanoista *Who Acquires Infection From Whom*):
:
\mathbf{\beta} = \begin{bmatrix}\beta_{HH} & \beta_{HL} \\\beta_{HL} & \beta_{LL}\end{bmatrix}

Tämä on käytännöllinen työkalu. Heti ymmärretään, että jos H-ryhmään kuuluvat saavat todennäköisemmin tartunnan kuin L-ryhmään kuuluvat, niin \beta_{HH} + \beta_{HL} > \beta_{LH} + \beta_{LL}. Epidemiatilanteessa lienee myös luontevaa olettaa, että riskikäyttäytyvät ovat enemmän tekemisissä keskenään ja riskiä välttelevät samoin, jolloin matriisin diagonaalialkiot dominoivat dynamiikkaa. Tämä ei sinänsä ole rajoittava oletus, valittu lähestymistapahan mahdollistaa helposti väestöryhmien väliset tartuntojen sisällyttämisen.

WAIFW-matriisia voidaan tutkia tavanomaisilla matriisilaskennan menetelmillä. Erityisesti laskemalla matriisin ominaisarvot ja niitä vastaavat ominaisvektorit, nähdään, että suurimman ominaisarvon omaava väestöryhmä voi "orjuuttaa" muut. Perustartuttavuusluvulle R_0 = R_{0H} I_H^s + R_{0L} I_L^s eli koko väestön tartuttavuusluku muodostuu suurimmalle ominaisarvolle orjuutettujen (s) ryhmien tartuttavuuslukujen painotettuna summana. On siis odotettavissa, että tartuttavuusluku mallissa, joka huomioi väestörakenteen on suurempi kuin väestöä yhtenä kokonaisuutena tarkastelevassa mallissa. Tästä seuraa myös, että tautia voi olla vaikea hävittää vaikka sen vallitsevuus olisi pieni, jos tartuntaluku pysyy yhdessä väestöryhmässä suurena. Pieni riskialttiisti käyttäytyvä ryhmä voi siis hallita epidemian kulkua koko väestön tasolla.

## Perustartuttavuusluvun arviointi
Koska perustartuttavuusluku R_0 on aivan keskeisessä osassa epidemian ymmärtämisessä ja hallinnassa, sen arvon määrittäminen kohteeksi joutuneessa yhteisössä on epidemian haltuunoton ensimmäisiä toimenpiteitä. Deterministisissä malleissa tartuttavuusluvulle on saatu johdettua lausekkeita, jotka kyllä kertovat erilaisten tekijöiden osuudet, mutta käytännössä jo \beta:n arvon selvittäminen on mahdotonta. Sen sijaan R_0:lle itselleen on fysikaalisesti mielekäs tulkinta jatkotartuntojen lukumäärän kautta. Käytännössä R_0:n arvo pyritäänkin määrittämään havaittujen esiintyvyyssuureiden perusteella jo aivan epidemian alkuvaiheessa, jolloin sairastuneiden määrä kasvaa vielä eksponentiaalisesti. Se on silloin helpointa. Eksponentiaalisesti leviävälle epidemiallehan

:
\begin{align}
&I(t) \propto I(0) e^{(R_0-1)(\gamma + \mu)t}
\end{align}

jonka perusteella perustartuttavuusluvun ratkaiseminen sovittamalla on vielä kohtalaisen suoraviivaista, kunhan mitään rajoittavia toimenpiteitä ei ole ehditty tehdä. Ongelmaksi muodostuu epidemian alkuvaiheen tartuntojen yleensä pieni määrä, jolloin satunnaisvaihteluilla on ilmaantuvuudessa suuri osuus, ja kun satunnaisvaihtelu alkaa vähentyä, epidemian kasvu ei yleensä enää noudata eksponentiaalista kasvua.  Parempaan, joskin laskentateknisesti vaativampaan arvioon päästään, jos tarkastellaan ositettua SEIR-mallia, jossa altistumisvaihe *E* on jaettu *m* osaan ja tartuttavuusvaihe *I* vastaavasti *n* osaan. Olkoon \lambda havainnoista määritetty eksponenttifunktion kerroin. Jos sekä altistumisvaiheen että tartuttamisvaiheen kesto noudattavat toisistaan riippumatta gamma-jakaumaa, perustartuttavuusluvulle voidaan johtaa:

:
\begin{align}
&R_0 = \frac{\lambda(\frac{\lambda}{m \sigma}+1)^m}{\gamma(1-(\frac{\lambda}{n \gamma}+1)^{-n})}
\end{align}

Harmillisesti tämä osoittautuu olevan erittäin herkkä *m*:n ja *n*:n arvojen valinnalle, joten ennen tuloksen hyväksymistä on varmistettava, ettei saatu arvo muutu olennaisesti vaikka näitä arvoja muutetaan. Tästä lausekkeesta kuitenkin nähdään, että jos latenssiaika 1/\sigma = 0, arvio tartuttavuusluvusta on aina pienempi kuin latenssiajallisessa mallissa. Siksi latenssiajan huomioimatta jättäminen voi johtaa aliarvioituun tartuttavuusluvun arvoon ja sitä kautta riittämättömiin toimenpiteisiin epidemian torjunnassa!

Käytännössä on osoittautunut, että perustartuttavuusluvun määrittäminen nuorimpien sairastuneiden iän perusteella on tehokas tapa arvion tekemiseen, sillä demografisen SIR-mallin mukaisesti
:
\begin{align}
&A \approx \frac{1}{\mu (R_0 -1)}
\end{align}

missä *A* on tautiin ensimmäistä kertaa sairastuneiden keskimääräinen ikä. Tämä menetelmä tietysti edellyttää, että tauti on vanhastaan läsnä jolloin (lähes) kaikki sairastuvat siihen "vuorollaan". Ikään perustuvaa arviointia ei voi käyttää tilanteessa, jossa tauti on uusi kaikille ikäryhmille. Tartuttavuuslukua voidaan arvioida jälkeenpäin myös karkean numeerisesti sovittamalla malliprofiilia havaittuun aineistoon tai kartoittamalla vasta-ainetutkimuksella seropositiivista väestöosuutta, jolloin arviointi tapahtuu uskottavuusfunktion kautta.

## Taudin maantieteellinen leviäminen
Vaikka onkin selvää, että tartuntataudin leviäminen edellyttää jonkinlaista kontaktia tartunnalle alttiin ja sairauden kantajan välillä, epidemioiden maantieteellistä leviämistä on tutkittu paljon ajallista kehitystä vähemmän. Tämä johtuu pitkälti siitä, että ongelma on moniulotteisuudessaan huomattavan paljon vaikeampi ja tietokoneiden laskentakapasiteetti on vasta viime vuosikymmeninä alkanut mahdollistaa tämäntyyppisen tutkimuksen. Maantieteellisessä leviämisessä tartuntareitillä, populaation luonteella ja satunnaistekijöillä on keskeinen merkitys. Ratkaisevaa on, paljonko tiedetään tautiin sairastuvan eliön käyttäytymisestä sekä tarkasteltavan alueen laajuudesta. Maantieteellistä leviämistä kuvaavat mallit tarkastelevat tilannetta tavallisesti metapopulaatiotasolla tai diffuusioilmiönä, joskus yksilötasolla. Jos tarkasteltavan populaation yksilöt kohtaavat täysin satunnaisesti, maantieteellinen mallinnus ei ole mielekästä.

STEM on ilmainen, avoimen lähdekoodin ohjelma, jonka avulla epidemian leviämistä voi tutkia sekä ajassa että maantieteellisesti.

## Epidemian torjunta
Epidemian torjunta perustuu pääasiassa kahteen toimintatapaan: 1) rokotuksilla pienennetään sairaudelle alttiiden osuutta *S* ja 2) tartunnanjäljityksellä sekä karanteenitoimilla pienennetään tartuttavien osuutta *I*. Molemmilla tavoilla on etunsa. Rokotusten tehokkuudesta epidemioiden sammuttamisessa ja ennaltaehkäisyssä on runsaasti näyttöä. Karanteeni puolestaan on nopea ja soveltuu käytettäväksi, vaikka taudinaiheuttaja olisi täysin tuntematon.
### Rokotukset
Tavallisin tapa suorittaa massarokotuksia on antaa rokote kaikille lapsille pian syntymän jälkeen. Näin lapset "syntyvät" suoraan *R*-ryhmään ja *S*-ryhmä pienenee. Tämä on hyvin kustannustehokas tapa etenkin silloin, kun rokotteesta on odotettavissa pitkä, mahdollisesti jopa elinikäinen, suoja. Lasten rokottamista voidaan myös pitää rokotusten kohdentamisena riskiryhmään monien lastentautien tapauksessa. Jos rokotteen teho on \theta ja \pi on rokotuskattavuus, eli tässä tapauksessa rokotettujen lasten osuus, merkitään p = \theta\pi. Voidaan osoittaa, että SIR-malli saa tällöin muodon: 

: 
\begin{align}
&\frac{dS}{dt} = \Lambda - (\beta(1-p) I + \mu)S \\[6pt]
&\frac{dI}{dt} = \beta(1-p)S I - (\gamma + \mu) I\\[6pt]
&\frac{dR}{dt} = \gamma I -\mu R
\end{align}


joka eroaa aiemmasta SIR-mallista siinä, että \beta on pienentynyt arvoon \beta(1-p), jolloin myös tartuttavuusluku R_{0,rokotus} = (1-p)R_{0,rokottamaton}. Epidemiaa ei synny, jos R_0  joten
: 
\begin{align}
&p_{c} = 1- \frac{1}{R_0}
\end{align}

Tämä **kriittinen rokotuskattavuus** p_{c} määrittää laumasuojaan vaadittavan vähimmäisrokotuskattavuuden. Se on suurempi kuin aiemmin mainittu rokotuskattavuus \pi, sillä minkään rokotteen teho ei ole sataprosenttinen eli kaikki rokotetut eivät kasvata laumasuojaa. Olennaista kuitenkin on, ettei koko väestöä tarvitse rokottaa epidemian leviämisen estämiseksi.

Rokottamisella on merkitystä vaikka laumasuojaa ei saavutettaisikaan. Tärkeä tulos saadaan etsimällä SIR-mallista yhtälön tasapainotiloja, jolloin saadaan taudin vallitsevuudelle eli prevalenssille I^*:
: 
\begin{align}
&I^* = \frac{\Lambda(1-p)}{\gamma + \mu} - \frac{\mu}{\beta}
\end{align}

Tästä nähdään, että sairaiden määrä väestössä vähenee lineaarisesti, mitä suurempi rokotettujen määrä on. Verrattaessa tulosta täysin rokottamattoman väestön prevalenssiin, nähdään että rokotuksista muodostuu vaillinainen laumasuoja, jossa jokainen rokotettu suojelee p\mu / \beta rokottamatonta.

Koska rokotuksen ansiosta sairastumiselle altis väestö *S* on pienentynyt, stokastisten ilmiöiden merkitys taudin etenemisessä kasvaa ja onkin mahdollista, että laajasti rokotetussa väestössä epidemia sammuu kokonaan satunnaistekijöiden vuoksi.

### Karanteeni
Karanteeni on jo muinaisuudesta tunnettu tapa estää tartuntataudin leviämistä. Ideana on yksinkertaisesti estää taudin kantajaa olemasta tekemisissä tartunnalle alttiiden kanssa. Karanteenin etuna on nopeus, sillä se voidaan toimeenpanna välittömästi kun sairaus tai altistuminen on todettu. Karanteenin toimivuus ei myöskään ole sidottu siihen, millainen taudinaiheuttaja on – tai tunnetaanko sitä lainkaan. Karanteenitoimien apuna käytetään usein tartunnanjäljitystä, jolla pyritään tavoittamaan ja asettamaan karanteeniin tartunnan mahdollisesti saaneet, mutta vielä oireettomat henkilöt.

Karanteenia kuvava SIR-mallia varten tarvitaan kaksi uutta parametria. Olkoon 1/\tau karanteenin (keskimääräinen) pituus ja d_I nopeus, jolla tartunnan saaneet tavoitetaan ja karanteeni saadaan annettua tiedoksi. Q on karanteenissa olevien määrä. Nyt saadaan:

: 
\begin{align}
&\frac{dS}{dt} = \Lambda - \beta S I + \mu S \\[6pt]
&\frac{dI}{dt} = \beta S I - (\gamma I + d_I + \mu) I\\[6pt]
&\frac{dQ}{dt} = d_I I -\tau Q\\[6pt]
&\frac{dR}{dt} = \gamma I + \tau Q -\mu R
\end{align}

tässä siis sairastuneista poistuu osa karanteeniin ja karanteenista vapautuneet lisätään sairaudesta toipuneisiin. Näistä yhtälöistä tartuttavuusluvuksi saadaan
:
\begin{align}
&R_Q = \frac{\beta}{\gamma + \mu + d_I}
\end{align}

Naivisti voisi ajatella, että karanteeni toimisi, koska kontaktien määrä \beta \to 0. Tartuttavuusluvun lausekkeesta kuitenkin nähdään, että näin ei ole, vaan karanteeni toimii, koska se lyhentää tartuttavuusaikaa! 

Karanteenitoimilla on eräänlainen biologinen maksimitehokkuus. Tämä on hyvin tärkeä tulos. Ajatellaan, että karanteeniin asetetaan vain ne henkilöt joilla on oireita. Olkoon \epsilon_I se osuus (oireisista) tartunnan saaneista, jotka saadaan asetettua karanteeniin ja \theta oireettomilta kantajilta saatujen tartuntojen osuus. Voidaan osoittaa, että nyt tartuttavuusluku
:
\begin{align}
&R_Q = R_0 (1 - \epsilon_I + \epsilon_I \theta)
\end{align}

Tästä nähdään, että vaikka \epsilon_I = 1 eli jokainen oireellinen tartunnan saanut laitettaisiin karanteeniin, on oltava \theta , jotta tartuttavuusluku laskisi alle yhden. Jos siis taudin latenssiaika (eli aika tartunnan saamisesta tartuttavuuden alkuun) on riittävän paljon lyhyempi kuin itämisaika (eli aika tartunnan saamisesta oireiden alkuun), karanteenitoimet yksinään eivät riitä estämään epidemian leviämistä, sillä tartunnanlähteenä toimivat oireettomat, jotka eivät vielä tiedä saaneensa tautia eikä heitä siksi saada karanteeniin. Tällaisessa tilanteessa tartunnanjäljitys on välttämätöntä vielä oireettomien, taudille altistuneiden tavoittamiseksi.

## Lähteet