Spiraalit

**Spiraalit** (,  tai *De helicibus*) on Arkhimedeen kirjoittama antiikin kreikkalainen matemaattinen teos, joka käsittelee erityisesti niin kutsuttua Arkhimedeen spiraalia.

## Historia

Arkhimedes eli ja kirjoitti hellenistisellä kaudella 200-luvulla eaa. Teoksen *Spiraalit*, tai sananmukaisesti käännettynä *Spiraaleista*, hän osoitti ystävälleen Dosiheokselle. Wilbur Knorr luki teoksen Arkhimedeen kypsempien teosten joukkoon.

Teos on yksi Arkhimedeen vaikeimmista, ja vie matematiikkaa kohti differentiaali- ja integraalilaskentaa. Dositheokselle osoitetusta johdantokirjeestä käy ilmi, ettei Arkhimedes ollut kyennyt esittämään teoksen lauseita tyydyttävässä muodossa ilman pitkällisiä ja toistuvia yrityksiä, ja että Konon, jolle hän oli lähettänyt ne ongelmina yhdessä useiden muiden kanssa, oli kuollut saattamatta niiden ratkaisua päätökseen.

## Sisältö

Teos sisältää 28 propositiota. Propositiot 1–11 ovat johdannollisia; propositiot 13–20 käsittelevät Arkhimedeen spiraalina tunnetun käyrän tangenttiominaisuuksia. Kyseinen spiraali syntyy, kun piste liikkuu tasaisesti pitkin suoraa, joka samanaikaisesti pyörii tasaisesti yhdessä tasossa toisen päätepisteensä ympäri. Propositioissa 21–28 osoitetaan, miten voidaan ilmaista pinta-ala, joka jää minkä tahansa käyrän osan ja sen päätepisteisiin piirrettyjen säteiden väliin.

Arkhimedeen propositiot ovat:

* **Propositio 1**. Jos piste liikkuu tasaisella nopeudella mitä tahansa suoraa pitkin ja suoralta otetaan kaksi pituutta, nämä pituudet ovat verrannollisia niiden kulkemiseen kuluviin aikoihin.
* **Propositio 2**. Jos kaksi pistettä liikkuu kumpikin tasaisella nopeudella omilla suorillaan, ja jos kummaltakin suoralta otetaan pituuksia pareittain siten, että kukin pari kuljetaan yhtä pitkissä ajoissa, pituudet ovat verrannollisia.
* **Propositio 3**. Kun annetaan mikä tahansa määrä ympyröitä, on mahdollista löytää suora, joka on pitempi kuin kaikkien niiden kehäpituuksien summa.
* **Propositio 4**. Kun annetaan kaksi erisuurta janaa, nimittäin suora jana ja ympyrän kehä, on mahdollista löytää suora jana, joka on lyhyempi kuin suurempi näistä kahdesta ja pitempi kuin pienempi.
* **Propositio 5**. Kun annetaan ympyrä, jonka keskipiste on O, ja siihen pisteessä A piirretty tangentti, on mahdollista piirtää keskipisteestä O suora OPF, joka leikkaa ympyrän pisteessä P ja tangentin pisteessä F, siten että jos c on minkä tahansa annetun ympyrän kehä, niin
::FP : OP 
* **Propositio 6**. Kun annetaan ympyrä, jonka keskipiste on O, jänne AB, joka on halkaisijaa lyhyempi, ja keskipisteestä O jänteelle AB piirretty kohtisuora OM, on mahdollista piirtää suora OFP, joka leikkaa jänteen AB pisteessä F ja ympyrän pisteessä P, siten että
::FP : PB = D : E,
:missä D : E on mikä tahansa annettu suhde, joka on pienempi kuin BM : MO.
* **Propositio 7**. Kun annetaan ympyrä, jonka keskipiste on O, jänne AB, joka on halkaisijaa lyhyempi, ja keskipisteestä O jänteelle AB piirretty kohtisuora OM, on mahdollista piirtää keskipisteestä O suora OPF, joka leikkaa ympyrän pisteessä P ja jänteen AB jatkeen pisteessä F, siten että
::FP : PB = D : E,
:missä D : E on mikä tahansa annettu suhde, joka on suurempi kuin BM : MO.
* **Propositio 8**. Kun annetaan ympyrä, jonka keskipiste on O, jänne AB, joka on halkaisijaa lyhyempi, tangentti pisteessä B sekä keskipisteestä O jänteelle AB piirretty kohtisuora OM, on mahdollista piirtää keskipisteestä O suora OFP, joka leikkaa jänteen AB pisteessä F, ympyrän pisteessä P ja tangentin pisteessä G, siten että
::FP : BG = D : E,
:missä D : E on mikä tahansa annettu suhde, joka on pienempi kuin BM : MO.
* **Propositio 9**. Kun annetaan ympyrä, jonka keskipiste on O, jänne AB, joka on halkaisijaa lyhyempi, tangentti pisteessä B sekä keskipisteestä O jänteelle AB piirretty kohtisuora OM, on mahdollista piirtää keskipisteestä O suora OPGF, joka leikkaa ympyrän pisteessä P, tangentin pisteessä G ja jänteen AB jatkeen pisteessä F, siten että
::FP : BG = D : E,
:missä D : E on mikä tahansa annettu suhde, joka on suurempi kuin BM : MO.
* **Propositio 10**. Jos A_1, A_2, A_3, ..., A_n ovat n janaa, jotka muodostavat kasvavan aritmeettisen lukujonon, jossa yhteinen erotus on yhtä suuri kuin pienin termi A_1, niin
::(n + 1){A_n}^2 + A_1(A_1 + A_2 + ... + A_n) = 3({A_1}^2 + {A_2}^2 + ... + {A_n}^2).
* **Propositio 11**. Jos A_1, A_2, ..., A_n ovat n janaa, jotka muodostavat kasvavan aritmeettisen lukujonon (jossa yhteinen erotus on yhtä suuri kuin pienin termi A_1), niin
::{(n-1){A_n}^2} : (^2 + ... + {A_2}^2})  {{A_n}^2} : ({A_n A_1 + \tfrac{1}{3}(A_n - A_1)^2})

* **Propositio 12**. Jos origosta spiraaliin piirretyt useat suorat tekevät keskenään yhtä suuret kulmat, nämä suorat muodostavat aritmeettisen lukujonon.
* **Propositio 13**. Jos suora sivuaa spiraalia, se sivuaa sitä vain yhdessä pisteessä.
* **Propositio 14**. Jos O on origo ja P ja Q ovat pisteitä spiraalin ensimmäisellä kierroksella, ja jos OP ja OQ jatkettuina leikkaavat “ensimmäisen ympyrän” AKP'Q' pisteissä P' ja Q' (OA ollessa alkusuora), niin
::OP : OQ = (\text{kaari }AKP') : (\text{kaari }AKQ').
* **Propositio 15**. Jos P ja Q ovat pisteitä spiraalin toisella kierroksella, ja OP ja OQ leikkaavat “ensimmäisen ympyrän” AKP'Q' pisteissä P' ja Q' kuten edellisessä propositiossa, ja jos c on ensimmäisen ympyrän kehä, niin
::OP : OQ = c + (\text{kaari }AKP') : c + (\text{kaari }AKQ').
* **Propositiot 16 ja 17**. Jos BC on spiraalin tangentti pisteessä P, missä PC on BC:n “eteenpäin suuntautuva” osa, ja jos OP yhdistetään, niin kulma OPC on tylppä, kun taas kulma OPB on terävä.
* **Propositiot 18 ja 19**. (1) Jos OA on alkusuora ja A on spiraalin ensimmäisen kierroksen loppupiste, ja jos spiraalin tangentti pisteessä A piirretään, suora OB, joka piirretään O:sta kohtisuoraan OA:ta vastaan, leikkaa tämän tangentin jossakin pisteessä B, ja OB on yhtä suuri kuin “ensimmäisen ympyrän” kehä.
:(2) Jos A' on toisen kierroksen loppupiste, kohtisuora OB leikkaa tangentin pisteessä A' jossakin pisteessä B', ja OB' on yhtä suuri kuin 2 \cdot \text{(”toisen ympyrän” kehä)}.
:(3) Yleisesti, jos A_n on n:nnen kierroksen loppupiste ja OB leikkaa tangentin pisteessä A_n pisteessä B_n, niin
::OB_n = nc_n,
:missä c_n on ”n:nnen ympyrän” kehä.
* **Propositio 20**. (1) Jos P on mikä tahansa piste spiraalin ensimmäisellä kierroksella ja OT piirretään kohtisuoraan OP:ta vastaan, OT leikkaa spiraalin tangentin pisteessä P jossakin pisteessä T; ja jos ympyrä, jonka keskipiste on O ja säde OP, leikkaa alkusuoran pisteessä K, niin OT on yhtä suuri kuin tämän ympyrän kaari KP, mitattuna spiraalissa ”eteenpäin”.
:(2) Yleisesti, jos P on piste spiraalin n:nnessä kierroksessa ja merkinnät ovat samat kuin edellä, ja jos p on ympyrän, jonka säde on OP, kehä, niin
::OT = (n - 1)p + \text{kaari }KP \text{ (mitattuna ”eteenpäin”)}.
* **Propositiot 21, 22 ja 23**. Kun annetaan alue, jota rajoittaa mikä tahansa spiraalin kaari ja kaaren päätepisteistä origoon piirretyt suorat, on mahdollista piirtää alueen ympärille yksi kuvio ja sen sisään toinen kuvio, jotka molemmat koostuvat samanlaisista ympyräsektoreista, siten että ympäröivä kuvio ylittää sisään piirretyn pinta-alalla, joka on pienempi kuin mikä tahansa annettu ala.
* **Propositio 24**. Spiraalin ensimmäisen kierroksen ja alkusuoran rajaama ala on yhtä suuri kuin yksi kolmasosa “ensimmäisen ympyrän” alasta
::[= \tfrac{1}{3}\pi(2\pi a)^2,]
:missä spiraali on r = a\theta.
* **Propositio 25**. Jos A_2 on spiraalin toisen kierroksen loppupiste, toisen kierroksen ja OA_2:n rajaama ala on ”toisen ympyrän” alaan suhteessa 7 : 12; tämä on suhde (r_2r_1 + \tfrac{1}{3}(r_2 - r_1)^2) : {r_2}^2, missä r_1 ja r_2 ovat “ensimmäisen” ja “toisen” ympyrän säteet.
* **Propositio 26**. Jos BC on mikä tahansa spiraalin kaari mitattuna ”eteenpäin” millä tahansa kierroksella, kuitenkaan olematta koko kierros, ja jos ympyrä piirretään keskipisteeseen O säteellä OC ja se leikkaa OB:n pisteessä B', niin
::\text{(spiraalin OB–OC rajaama ala)} : \text{(sektori OB′C)}
::= ({OC \cdot OB + \tfrac{1}{3}(OC - OB)^2}) : OC^2.
* **Propositio 27**. Jos R_1 on spiraalin ensimmäisen kierroksen alkusuoran rajaama ala, R_2 on toisen täydellisen kierroksen lisäämä rengasala, R_3 kolmannen kierroksen lisäämä, ja niin edelleen, niin
::R_3 = 2R_2, R_4 = 3R_2, R_5 = 4R_2, ..., R_n = (n-1)R_2;
:ja lisäksi
::R_2 = 6R_1.
* **Propositio 28**. Jos O on origo ja BC mikä tahansa spiraalin kaari mitattuna ”eteenpäin” millä tahansa kierroksella, piirretään kaksi ympyrää: (1) keskipisteeseen O säteellä OB, joka leikkaa OC:n pisteessä C', ja (2) keskipisteeseen O säteellä OC, joka leikkaa OB:n jatkeen pisteessä B'. Jos E merkitsee suuremman kaaren B'C, janan B'B ja spiraalin BC rajaamaa alaa, ja F pienemmän kaaren BC', janan CC' ja spiraalin BC rajaamaa alaa, niin
::E : F = (OB + \tfrac{2}{3}(OC - OB)) : (OB + \tfrac{1}{3}(OC - OB)).

## Lähteet

## Kirjallisuutta

* Archimedes: *The Spiral of Archimedes*. Teoksessa 
* Archimedes: *On Spirals*. Teoksessa