Koindusoitu topologia

**Koindusoitu topologia** (eli **maalitopologia**) on jonkin funktiojoukon  maaliavaruuteensa määräämä topologia. Se on hienoin topologia, jossa nuo kaikki funktiot ovat jatkuvia.

Tekijäavaruuden tekijätopologia on yhden surjektiivisen funktion, tekijäkuvauksen, koindusoima topologia.

Duaalikäsite on indusoitu topologia, joka on joukon X karkein topologia, joka tekee tietyt joukossa X määritellyt funktiot jatkuviksi. 

## Määritelmä
Olkoot X ja I joukkoja. Kullakin i\in I, olkoon \left(Y_i, \tau_i\right) topologinen avaruus ja olkoon f_i : Y_i \to X 
funktio. Näiden funktioiden avaruuteen X *koindusoima topologia* on hienoin topologia jolla jokainen f_i on jatkuva.

Tuon funktioperheen joukkoon X koindusoima topologia \tau_{\mathcal{F}} voidaan kuvata seuraavasti:

: joukko U\subset X  on avoin (eli U \in \tau_{\mathcal{F}} ) jos ja vain jos f_i^{-1}(U) on avoin jokaisella i\in I.

Suljetuilla osajoukoilla on analoginen luonnehdinta:

: joukko C\subset X  on suljettu jos ja vain jos f_i^{-1}(C) on suljettu jokaisella i\in I.

## Esimerkkejä
### Tekijäavaruus
Olkoon (X, \tau_X) topologinen avaruus, ja olkoon *~* jokin ekvivalenssirelaatio avaruudessa X.  Tekijäavaruus (quotient space) Y=X/{\sim} on X:n alkioiden ekvivalenssiluokkien joukko:
:Y = \Big\{ [x] : x \in X \Big\} = \Big\{\{v \in X : v \sim x\} : x \in X\Big\}
varustettuna topologialla, jossa avoimia joukkoja ovat ne ekvivalenssiluokkien joukot, joiden yhdisteet ovat avoimia joukkoja *X*:ssä:
:\tau_Y = \Bigl\{ {\textstyle U \subset Y : \bigcup U = \bigl( \bigcup_{ [a] \in U} [a] \bigr) \in \tau_X }\Bigr\}.

Tämä *[[Tekijäavaruus (topologia)|tekijätopologia]]* on siis tekijäkuvauksen X\ni x\mapsto [x]\in Y avaruuteen Y koindusoima topologia.

Funktioperheen joukkoon X koindusoimaa topologiaa  voidaan pitää tekijätopologian yleistyksenä, jossa voidaan käyttää useita funktioita yhden sijasta ja joissa näiden funktioiden ei tarvitse olla surjektioita.

### Erillinen yhdiste
Olkoot X ja I joukkoja. Kullakin i\in I, olkoon \left(X_i, \tau_i\right) topologinen avaruus. Erillinen yhdiste \coprod_i X_i on inkluusioiden X_i\mapsto X koindusoima topologia.

## Ominaisuuksia
Funktioiden f_i : Y_i \to X joukkoon X koindusoimalla topologialla on seuraava ominaisuus:

: funktio g:X\to Z, missä Z on jokin topologinen avaruus, on jatkuva jos ja vain jos g \circ f_i on jatkuva jokaisella i \in I.

Kääntäen: jos \tau on jokin avaruuden X topologia, niin \tau täyttää yllä mainitun ehdon jokaisella topologisella avaruudella Z ja funktiolla g:X\to Z jos ja vain jos \tau on funktioiden f_i joukkoon X koindusoima topologia.

### Yhdistefunktiot
Olkoon \mathcal{F} := \left\{ f_i:Y_i \to X \mid i \in I \right\} perhe funktioita, ja olkoon jokaisella i \in I, joukko \tau_i jonkin funktioperheen \mathcal{G}_i 
joukkoon Y_i koindusoima topologia. Tällöin perheen \mathcal{F} joukkoon X koindusoima topologia on sama kuin funktioperheen \left\{ f_i \circ g ~:~ i \in I \text{ and } g \in \cal G_i \right\} joukkoon X koindusoima topologia.

## Katso myös
* Indusoitu topologia - lähtöavaruuden karkein topologia, jolla tietyt funktiot ovat jatkuvia

## Lähteet
* 
* . *(Provides a short, general introduction in section 9 and Exercise 9H)* 
### Viitteet