Luonnollinen muunnos

**Luonnollinen muunnos** on kategoriateorian käsite, joka kuvaa tapaa muuntaa kategorioiden välisiä ylinuolia toisikseen säilyttäen rakenteiden yhteensopivuuden. Luonnollinen muunnos kertoo, miten yhden ylinuolen kuva voidaan siirtää toisen ylinuolen kuvaksi siten, että kaikki kaaviot säilyvät vaihdannaisina.

Luonnollisesta muunnoksesta käytetään myös suomenkielistä nimeä *luonnollinen transformaatio* (*engl. natural transformation*).

## Kansantajuinen selitys
Luonnollinen muunnos muuttaa kategorioiden välisiä ylinuolia toisikseen. Sen avulla voidaan vertailla eri tavoin määriteltyjä ylinuolia, jotka kuvaavat saman kategorian pisteet ja nuolet toiseen kategoriaan.

Ensimmäinen vaihe luonnollisen muunnoksen ymmärtämisessä on ylinuolet. Alla olevassa kuvassa kategoriat \mathcal{A} ja \mathcal{B} on yhdistetty kahdella ylinuolella F ja G. Nämä ylinuolet kuvaavat lähtökategorian pisteet ja nuolet maalikategorian sisälle:
* Jokainen piste A \in \dot{\mathcal{A}} kuvautuu pisteiksi F(A) ja G(A) maalikategoriassa \mathcal{B}.
* Jokainen nuoli f : A \to B kuvautuu vastaaviksi nuoliksi F(f) ja G(f).

Kuvasta poiketen ylinuolten ei tarvitse kuvata jokaista lähtökategorian pistettä eri pisteiksi maalikategoriassa — osa tai kaikki voivat osua samoihin pisteisiin. Myöskään eri ylinuolten kuvat eivät välttämättä ole erillisiä, vaan ne voivat olla osittain tai täysin päällekkäisiä.

Toisessa vaiheessa ylinuolten F ja G kuvapisteiden välille lisätään nuolia, joita kutsutaan *komponenteiksi*. Täsmällisemmin sanottuna jokaista lähtökategorian pistettä A kohden, lisätään yksi komponentti \alpha_A : F(A) \to G(A). Komponentit on esitetty alla olevassa kuvassa katkoviivoilla.

Nyt kuvaan muodostuu tämän näköisiä kaavioita:

Luonnollisen muunnoksen olennainen vaatimus on, että kaikki kuvaan muodostuvat kaaviot ovat vaihdannaisia. Tämä tarkoittaa, että kun siirrytään pisteestä F(A) pisteeseen G(B) joko ylä- tai alareittiä pitkin, päädytään samaan lopputulokseen:

Toisin sanoen luonnollinen muunnos säilyttää ylinuolten rakenteen yhteensopivuuden. Se kertoo, miten yksi ylinuoli voidaan muuntaa toiseksi ilman, että kategorioiden sisäiset yhteydet rikkoutuvat. Näin luonnollinen muunnos toimii ”ylinuolten välisenä nuolena”.

## Määritelmä
Olkoot \mathcal{A} ja \mathcal{B} kategorioita ja F,G \colon \mathcal{A} \to \mathcal{B} niiden välisiä ylinuolia.
Luokkaa maalikategorian nuolia (\alpha_A)_{A \in \dot\mathcal{A}} \in \vec\mathcal{B} kutsutaan **luonnolliseksi muunnokseksi**, kun jokaiselle lähtökategorian nuolelle X \xrightarrow{f} Y seuraava kaavio on vaihdannainen kategorian \mathcal{B} sisällä:

Tämä tarkoittaa, että F(f) + \alpha_Y = \alpha_X + G(f) kaikilla nuolilla f : X \to Y.

Luonnollista muunnosta merkitään \alpha \colon F \Rightarrow G tai täsmällisemmin \alpha \colon F \Rightarrow G\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}.

Yksittäistä nuolta \alpha_X:F(X)\rightarrow G(X), joka on osa luonnollista muunnosta, kutsutaan \alpha:n *komponentiksi*, tai täsmällisemmin *<math>X</math>-komponentiksi*.

## Luonnollisten muunnosten liitokset
Luonnollisia muunnoksia voidaan yhdistää kahdella erilaisella liitoksella: pystysuuntaisella liitoksella ja vaakasuuntaisella liitoksella. Ne ovat saaneet nimensä tavanomaisimmasta esitystavasta.

### Pystyliitos
Olkoot \mathcal{A} ja \mathcal{B} kategorioita sekä F,G,H \colon \mathcal{A} \to \mathcal{B} niiden välisiä ylinuolia. Luonnollisten muunnosten \alpha \colon F \Rightarrow G ja \beta \colon G \Rightarrow H *pystysuuntainen liitos* eli *pystyliitos* \alpha + \beta \colon F \Rightarrow H määritellään luokaksi maalikategorian nuolia ((\alpha + \beta)_A)_{A\in\dot\mathcal{A}}\in\vec\mathcal{B}, joille
(\alpha + \beta)_A = \alpha_A + \beta_A,
missä (\alpha_A)_{A\in\dot\mathcal{A}}\in\vec\mathcal{B} ja (\beta_A)_{A\in\dot\mathcal{A}}\in\vec\mathcal{B} ovat luonnollisten muunnosten \alpha ja \beta nuolten luokat vastaavasti. Määritelmä on esitetty alla olevassa kuvassa.

Näin saadaan uusi luonnollinen muunnos \alpha + \beta \colon F \Rightarrow H.

## Luonnollinen samaistus
Kaksi ylinuolta F,G \colon \mathcal{A} \to \mathcal{B} *samaistuvat luonnollisesti*, jos on olemassa luonnollinen muunnos \alpha \colon F \Rightarrow G ja sille käänteismuunnos \alpha^{-1} : G \Rightarrow F, joille pätee
\alpha + \alpha^{-1} = \mathrm{id}_F ja \alpha^{-1} + \alpha = \mathrm{id}_G.

## Merkitys kategoriateoriassa
Luonnolliset muunnokset mahdollistavat ylinuolten välisten yhteyksien tutkimisen, mikä johtaa Yonedan apulauseeseen ja useisiin muihin kategoriateorian keskeisiin tuloksiin. Ne muodostavat yhdessä ylinuolten kanssa uuden kategorian, jota kutsutaan *[[ylinuolten kategoria|ylinuolten kategoriaksi]]*. Näin luonnolliset muunnokset ovat keskeinen silta kategorioiden ja niiden ylinuolien välillä.

## Katso myös
* Kategoria
* Ylinuoli
* Yonedan apulause
* Luonnollinen samaistus

## Lähteet
* Alakoskela, Riina. ''Epäarkhimediset valuaatiot ja Monskyn lause.'' Pro gradu -tutkielma. Helsingin yliopisto. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Joulukuu 2020. Viitattu 20.8.2021.
* 
* Niskanen, Markus. ''Liittofunktorit.'' Pro gradu -tutkielma. Tampereen yliopisto. Luonnontieteiden tiedekunta. Matematiikka. Marraskuu 2017. Viitattu 20.8.2021.

### Viitteet