Duaaliluku

**Duaaliluvut** ovat algebrassa alkujaan 1800-luvulla kehitetty hyperkompleksinen lukujärjestelmä. Ne ovat muotoa *a* + *bε* olevia lauksekkeita, joissa *a* ja *b* ovat reaalilukuja ja ε reaalilukuihin kuulumaton alkio, jolle määritellään \varepsilon^2 = 0, vaikka \varepsilon\neq 0.

Duaalilukuja voidaan laskea yhteen ja vähentää komponenteittain:
:  (a + b\varepsilon) + (c + d\varepsilon) = (a + c) + (b + d)\varepsilon) ja
:  (a + b\varepsilon) - (c + d\varepsilon) = (a - c) + (b - d)\varepsilon),

ja kertoa keskenään seuraavasti:
:  (a+b\varepsilon)(c+d\varepsilon) = ac + (ad+bc)\varepsilon, .

Näin ollen niitä voidaan käsitellä kuten ε:n polynomeja, kun lisäksi otetaan huomioon, että \varepsilon^2 = 0. Niiden jakolasku ei kuitenkaan kaikissa tapauksissa ole määritelty, kuten jäljempänä osoitetaan.

Samaan tapaan kuin kompleksiluvut, voidaan duaaliluvutkin asettaa vastaamaan tason pisteitä: duaalilukua *a* + *bε* vastaa piste (*a*, *b*). Toisin kuin kompleksiluvut, duaaliluvut eivät kuitenkaan muodosta kuntaa, sillä osalla niistä ei ole  käänteislukua. Sen sijaan nekin muodostavat kommutoivan renkaan. Duaalilukujen rengas on yksi yksinkertaisimmista renkaisista, joissa on nilpotentteja alkioita.

## Historia

Duaaliluvut otti ensimmäisenä käyttöön William Kingdon Clifford vuonna 1873 , ja tarkemmin niitä tutki 1900-luvun alussa saksalainen matemaatikko Eduard Study, joka määritteli niiden avulla duaalikulman mitaksi kahden sellaisen avaruudessa olevan keskinäiselle asennolle, jotka eivät ole samassa tasossa. Study määritteli duaalikulman lausekkeeksi \theta + d\epsilon, missä \theta on näiden suorien suuntien välinen kulma kolmiulotteisessa avaruudessa ja *d* niiden välinen etäisyys siinä kohdassa, jossa ne ovat lähimpänä toisiaan. Niiden *n*-ulotteisen vastineen, Grassmannin luvut, otti käyttöön Hermann Grassmann 1800-luvun lopulla.

## Nykyinen määritelmä

Nykyaikaisessa algebrassa duaalilukujen algebra määritellään usein reaalilukujen polynomirenkaan tekijärenkaaksi indeterminantin neliön virittämän pääideaalin suhteen, toisin sanoen:
:\mathbb{R}[X]/\left\langle X^2 \right\rangle.

Laajemmassa mielessä mille tahansa renkaalle *R* voidaan vastaavalla tavalla määritellä siihen liittyvien duaalilukujen rengas:
:R[\alpha] = R[x]/(x^2).

Duaalilukujen rengas voidaan määritellä myös yksiulotteisen vektoriavaruuden ulkoiseksi algebraksi, jossa \varepsilon on kanta-alkiona. 

## Jakolasku
Kahden duaaliluvun jakolasku on määritelty vain, kun jakajan reaaliosa ei ole nolla. Jakolasku on sikäli analoginen kompleksilukujen jakolaskulle, että jakaja kerrotaan konjugaatillaan ei-reaalisen osan eliminoimiseksi.

Näin ollen osamäärän
:\frac{a + b\varepsilon}{c + d\varepsilon}

laskemiseksi sekä jaettava että jakaja kerrotaan jakajan konjugaattiluvulla:
:\begin{align}
  \frac{a + b\varepsilon}{c + d\varepsilon}
    &= \frac{(a + b\varepsilon)(c - d\varepsilon)}{(c + d\varepsilon)(c - d\varepsilon)}\\[5pt]
    &= \frac{ac - ad\varepsilon + bc\varepsilon - bd\varepsilon^2}{c^2 + cd\varepsilon - cd\varepsilon - d^2\varepsilon^2}\\[5pt]
    &= \frac{ac - ad\varepsilon + bc\varepsilon - 0}{c^2 - 0}\\[5pt]
    &= \frac{ac + \varepsilon(bc - ad)}{c^2}\\[5pt]
    &= \frac{a}{c} + \frac{bc - ad}{c^2}\varepsilon
\end{align}

joka on määritelty, kun *c* ei ole nolla.

Sen sijaan, jos *c* on nolla mutta *d* ei, yhtälöllä
:{a + b\varepsilon = (x + y\varepsilon) d\varepsilon} = {xd\varepsilon + 0} ei ole ratkaisua, jos *a* ei ole nolla. Sen sijaan jos *a*=0, yhtälön ratkaisuja ovat kaikki muotoa \frac{b}{d} + y\epsilon olevat duaaliluvut, missä *y* on reaaliluku.
Näin ollen jakolaskua ei voida määritellä puhtaasti ei-reaalisille duaaliluvuille. Ne ovat selvästikin nollanjakajia ja muodostavat duaalilukujen renkaan ideaalin.

## Matsiisiesitys

Duaaliluku a + b \epsilon voidaan esittää neliömatriisilla \begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, sillä tätä muotoa olevien matriisien rengas on isomorfinen duaalilukujen renkaan kanssa. Matriisin \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} neliö on nimittäin nollamatriisi, samoin kuin sitä vastaavan duaaliluvun \varepsilon.

On muitakin tapoja esittää duaaliluvut neliömatriiseina. Ne saadaan asettamalla yksikkömatriisi vastaamaan duaalilukua  1 ja lukua \epsilon vastaamaan mikä tahansa nollamatriisista poikkeava matriisi, jonka neliö on nollamatriisi. Sellaisia ovat esimerkiksi kaikki muotoa
:\begin{pmatrix}a & b \\ c & -a \end{pmatrix}
olevat 2\times2-matriisit, joissa a^2+bc=0.

## Differentiointi

Duaalilukuja voidaan käyttää muun muassa automaattiseen differentiointiin. Jokainen reaalikertoiminen polynomi

:P(x) = p_0 + p_1x + p_2x^2 + \cdots + p_nx^n

voidaan laajentaa duaalilukujen joukkoon seuraavasti:

:\begin{align}
P(a + b\varepsilon)
&= p_0 + p_1(a + b\varepsilon) + \cdots + p_n(a + b\varepsilon)^n \\[2mu]
&= p_0 + p_1 a + p_2 a^2 + \cdots + p_n a^n + p_1 b\varepsilon + 2 p_2 a b\varepsilon + \cdots + n p_n a^{n-1} b\varepsilon \\[5mu]
&= P(a) + bP'(a)\varepsilon,
\end{align}

missä P' on P.:n derivaatta.

Yleisemmin jokainen analyyttinen reaalifunktio voidaan Taylorin sarjansa avulla laajentaa duaalilukualueeseen: 

:f(a + b\varepsilon) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)} (a)b^n \varepsilon^n}{n!} = f(a) + bf'(a)\varepsilon,,

sillä kaikki termit, joissa \varepsilon on korotettu toiseen tai sitä korkeampaan potenssiin, ovat \varepsilon:n määritelmän mukaan nollia.

Yhdistämällä näitä duaaliluvuille määriteltyjä funktioita ja tarkastelemalla  \varepsilon:n kertoimia saadaan yhdistetyn funktion derivaatta automaattisesti lasketuksi.

Vastaavaa menetelmä voidaan käyttää *n* muuttujan polynomeille *n*-ulotteisen vektoriavaruuden ulkoisen algebran avulla.

## Geometria
Duaalilukujen "yksikköympyrän" muodostavat ne duaaliluvut, joille *a* = ±1, sillä ne toteuttavat yhtälön *zz** = 1, missä *z* tarkoittaa *z*:n konjugaattia:
: z^* =  a - b\varepsilon, kun z = a + b\varepsilon. 
On kuitenkin huomattava, että 
:  e^{b \varepsilon} = \sum^\infty_{n=0} \frac{\left(b\varepsilon\right)^n}{n!} = 1 + b \varepsilon,, 
minkä vuoksi *ε*-akselin eksponentiaalinen kuvaus käsittää vain puolet tästä "ympyrästä".

Olkoon x = a + b \varepsilon. Jos *a* ≠ 0 ja m = \frac {b}{a}, on z = a (1 + m\varepsilon on duaaliluvun *z* polaarinen dekompositio ja kulmakerron *m* sen kulmaosa. Duaalilukujen tasossa *rotaation* käsite on yhtäpitävä pystysuoran transvektion kanssa, sillä
(1 + p\varepsilon)(1 + q\varepsilon = = 1 + (p + q)\varepsilon.

## Yleistyksiä

Duaalilukujen käsitettä voidaan yleistää seuraavasti: Mille tahansa kommutatiiviselle renkaalle voidaan määrittää *R*:n duaalilukujen rengas polynomirenkaan *R*[*X*] tekijärenkaana ideaalin  suhteen. Tällöin *X*:n kuvan neliö on nolla ja vastaa edellä esitettyä alkiota &epsilon;.

### Mielivaltainen sellaisten alkioiden moduuli, joiden neliö on nolla

Duaaliluvuille voidaan esittää vielä yleisempi konstruktio. Jokaista kommutatiivista rengasta R ja moduulia M  kohti on olemassa duaalilukujen renkaaksi kutsuttu rengas R[M], jolla on seuraavanlaiset rakenteet:

Se on R-moduuli R \oplus M, jossa kertolaskun määrittelee yhteys (r, i) \cdot \left(r', i'\right) = \left(rr', ri' + r'i\right) for r, r' \in R and i, i' \in I.

Tavallisten duaalilukujen algebra on tämän erikoistapaus, jossa M = \mathbb{R} ja \varepsilon = (0, 1)..

Duaaliluvut ovat yksinkertainen esimerkki superavaruudesta.  Ne muodostavat yhden alkion virittämä superlukujoukon. Superluvut ovat duaalilukujen yleistyksiä tapaukseen, jossa lukua \varepsilon vastaavia, toisistaan lineaarisesti riippumattomia alkioita on useita ja jotka ovat keskenään antikommutatiivisia; niiden lukumäärä *n* voi olla jopa ääretön. Superavaruudet yleistävät superlukujen käsitettä siten, että ne mahdollistavat myös keskenään kommutoivat ulottuvuudet.

## Projektiivinen suora

Duaalilukuihin liittyvän projektiivisen suoran käsitteen kehittävät Grünvald ja Corrado Segre. Konstruktio on verrattavissa siihen, miten kompleksitaso suljetaan Riemannin palloksi.

Laajennettu kompleksitaso muodostetaan lisäämällä tasoon yksi äärettömän kaukaiseksi ajateltu piste. Kun tämä taso kuvataan stereografisella projektiolla pallon pinnalle, voidaan tämä lisätty piste asettaa vastaamaan näin saadun Riemannin pallon pohjoisnapaa. Samaan tapaan voidaan duaalilukujen tasoon lisätä äärettömän kaukainen suora, joka sulkee tason lieriöksi.

Olkoon *D* duaalilukujen *x* + *yε* rengas ja *U* sen osajoukko, jossa *x* ≠ 0. Olkoon *U* niiden *D*:n alkioiden ryhmä, joilla on käänteisalkio, ja  B = {(a, b) \in D  \times D: a \in U \text{tai} b \in U}. Määritellään *B*:ssä relaatio ~ seuraavasti: (*a*, *b*) ~ (*c*, *d*), kun on olemassa sellainen u \in U, että *ua* = *c* ja *ib* = *d*. Voidaan osoittaa, että tämä relaatio on ekvivalenssirelaatio. *D*:n projektiivisen suoran pisteet voidaan käsittää tämä relaation ekvivalenssiluokiksi *B*:ssä: P(D) = B/~. Niitä esittävät projektiiviset koordinaatit [*a*, *b*].

Tarkastellaan upotusta **D* → *P*(*D*), missä *z*:aa vastaa piste |*z* → [*z*, 1]}}. Silloin pisteet [1, *n*], missä <math>n^2 = 0</math> kuuluvat joukkoon *P*(*D*) mutta eivät ole minkään pisteen kuvia tässä upotuksessa. *P*(*D*) kuvautuu lieriölle seuraavanlaisessa projektiossa: muodostetaan lieriö, joka sivuaa duaalilukujen tasoa suoralla <math>y\varepsilon : y \in \mathbb{R}</math>. Tarkastellaan tasoja, jotka sisältävät lieriön vastakkaisella puolella olevan suoran.  Tasot, jotka leikkaavat sekä duaalilukujen tason että lieriön tarjoavat vastaavuuden näiden pintojen pisteiden väille. Duaalilukujen tasoon nähden kohtisuora taso vastaa pisteitä <math>{[1, n]}</math>, kun <math> n^2 = 0</math> duaalilukuihin liittyvällä projektiivisella suoralla. .

==Fysikaalisia sovelluksia ==

[[Klassinen mekaniikka|Klassisessa mekaniikassa]] [[suhteellisuusperiaate|suhteellista liikettä]] käsitellään [[Galilein muunnos|Galilein muunnoksen]] avulla:
:<math>\left(t', x'\right) = (t, x)\begin{pmatrix} 1 & v \\0 & 1 \end{pmatrix}\,,</math>

toisin sanoen
:<math>t' = t,\quad x' = vt + x,</math>

Tämä määrittää nopeudella *v'' liikkuvan kappaleen lepokoordinaatiston.  Jos yhdessä paikkaulottuvuudessa ja ajassa esiintyviä tapahtumia vastaamaan asetetaan duaaliluvut t + x\varepsilon, sama muunnos saadaan kertomalla nämä luvulla 1 + v\varepsilon.

Useissa fysikaalisissa sovelluksissa duaalilukujen käyttökelpoisuus seuraa fermioneja koskevasta Paulin kieltosäännöstä. Tällöin &epsilon;:in suuntaa sanotaan "fermioniseksi" suunnaksi ja niiden reaaliosan määrittämää suuntaa "bosoniseksi" suunnaksi. Fermioninen suunta saa tämä nimen siitä, että fermionit noudattavat Paulin kieltosääntöä: koordinaatteja keskenään vaihdettaessa niiden kvanttimekaanisen aaltofunktion etumerkki vaihtuu ja täten se häviä, jos molemmat koordinaatit saatetaan yhteen; tätä fysikaalista ideaa kuvaa algebrallinen yhteys \varepsilon^2 = 0.

## Lähteet

* 

### Viitteet