Hyperbolinen sektori

**Hyperbolinen sektori** on karteesisen tason {(x, y)} alue, jota rajoittavat origosta pisteisiin (*a*, 1/*a*) ja **b*, 1/*b*) piirretyt janat sekä [[hyperbeli]] *xy* = 1 tai muu sen kanssa yhdenmuotoinen hyperbeli, jonka [[asymptootti|asymptootit]] leikkaavat toisensa kohtisuorasti origossa (esimerkiksi yksikköhyperbeli <math>x^2-y^2=1</math>. Hyperbolisen sanotaan olevan *perusasemassaan*, kun sitä rajoittavat hyperbeli *xy*=1 ja kun *a*=1 ja *b* > 1.

Hyperbolisiin sektoreihin perustuvat [[hyperboliset funktiot]].

==Pinta-ala==


Perusasemassa olevan hyperbolisen sektorin [[pinta-ala]] on *b*:n [[luonnollinen logaritmi]]  ln *b*.

Tämä voidaan todistaa integroimalla funktio 1/*x* välin [1, *b*] yli, lisäämällä integraaliin kolmion {(0,0), (1,0, (1,1)} pinta-ala ja vähentämällä kolmion {(0,0, (*b*,0), *b*,1/*b*)} pinta-ala.

Perusasemassa oleva hyperbolinen sektori vastaa origoon asetettua [[hyperbolinen kulma|hyperbolista kulmaa]], jonka suuruus määritellään vastaavan hyperbolisen sektorin pinta-alana.

==Hyperbolinen kolmio==


Perusasemassa olevaa hyperboliseen sektoriin liittyy *hyperbolinen kolmio*. Se on [[suorakulmainen kolmio]], jonka yksi kärki on origossa, toinen [[kateetti]] suoralla *y*&nbsp;=&nbsp;*x* ja kolmas kärki hyperbelillä  
:<math>xy=1,\,</math>

jolloin sen hypotenuusa on orgiosta hyperbelillä olevaan pisteeseen (*x*,*y*) johtava jana.  Tämän kolmion kanta eli suoralla *y*=*x* olevan kateetin pituus on 

:<math>\sqrt 2 \cosh u,\,</math>
ja sen korkeus
:<math>\sqrt 2 \sinh u,\,</math> 
missä *u* on kolmioon liittyvä [[hyperbolinen kulma]].

Trigonometristen ja [[hyperboliset funktiot|hyperbolisten funktioiden]] välistä analogiaa käsitteli [[Augustus De Morgan]] teoksessaan *Trigonometry and Double Algebra* vuodelta 1849. [[William Burnside]] käytti hyperbolisia kolmioita projisoidessaan hyperbelillä *xy* olevan pisteen päädiagonaalille artikkelissaan "Note on the addition theorem for hyperbolic functions".

==Hyperbolinen logaritmi==


Tunnetusti funktiolla f(*x*) = *x*<sup>*p*</sup> on [[algebrallinen funktio|algebrallinen]] [[integraalifunktio]] 

:<math>\int x^n\,dx = \tfrac{1}{n+1}\, x^{n+1} + C \qquad n \neq -1.</math>,

paitsi tapauksessa *p* = -1, joka vastaa hyperbelin rajoittaman alueen neliöimistä. [[Paraabeli]]n rajoittaman alueen pinta-alan osasi määrittää jo [[Arkhimedes]] 200-luvulla eKr. tutkielmassaan *Paraabelin neliöimisestä* (), mutta hyperbelin rajoittamien alueiden pinta-alan onnistui määrittämään vasta [[Gregoire de Saint-Vincent]] vuonna 1647 keksittyään uuden funktion, [[luonnollinen logaritmi|luonnollisen logaritmin]], jota hän nimitti *hyperboliseksi logaritmiksi*, koska siihen päädyttiin määritettäessä hyperbelin alle jäävän alueen pinta-ala.

Ennen kuin [[Leonhard Euler]] vuonna 1748 julkaisi tutkielmansa *Johdatus äärettömän analyysiin* (), luonnollinen logaritmi tunnettiin lähinnä vain hyperbolisen sektorin pinta-alaan liittyvänä funktiona. Euler muutti tilanteen ottamalla käyttöön sen tyyppiset [[transkendenttinen funktio|transkendenttiset funktiot]] kuin 10<sup>x</sup>. Euler määritteli [[Neperin luku|Neperin luvun]] *e* siksi *b*:n arvoksi, jolla x-akselin, suorien *y*=1 ja *y*=*b* sekä hyperberlin *y*=1/*x* välisen alueen pinta-ala on 1. Tämän jälkeen luonnollinen logaritmi voitiin tunnistaa transkendenttisen funktion *e*<sup>*x*</sup> [[käänteisfunktio]]ksi.

==Yhteys hyperboliseen geometriaan ==
Kun [[Felix Klein]] vuonna 1928 kirjoitti [[epäeuklidinen geometria|epäeuklidista geometriaa]] käsittelevän teoksensa, hän muodosti aiheelle perustan viittamaalla [[projektiivinen geometria|projektiiviseen geometriaan]]. Muodostaakseen suoralle hyperbolisen mitan hän huomautti, että hyperbolisen sektorin pinta-ala tarjosi sille havainnollisen mallin.

Hyperbolisia sektoreita voidaan piirtää myös liittyen hyperbeliin <math>y = \sqrt{1 + x^2}</math>. Näiden hyperbolisten sektoreiden pinta-alojen avulla on eräissä geometrian oppikirjoissa määritelty *hyperbolinen etäisyys''.

## Lähteet
* 

### Viitteet