Kahden kappaleen ongelma

**Kahden kappaleen ongelma** on klassinen mekaniikan perusongelma, joka kuvaa kahden kappaleen liikettä toistensa vaikutuksesta, kun ne vuorovaikuttavat keskusvoiman, kuten Newtonin painovoimalain, kautta. Tämä malli soveltuu esimerkiksi planeetan kiertoliikkeeseen Auringon ympäri, Kuun liikkeeseen Maan ympäri tai satelliitin kiertoradalle.

## Teoreettinen tausta
Kahden kappaleen ongelma on erityistapaus yleisemmästä *n*-kappaleen ongelmasta, joka ei ole analyyttisesti ratkaistavissa. Kahden kappaleen ongelma sen sijaan voidaan ratkaista analyyttisesti. Kappaleiden välinen voima määräytyy Newtonin gravitaatiolain mukaan, mikä johtaa liikeyhtälöihin, jotka kuvaavat kappaleiden paikkoja ja nopeuksia ajassa.

Keskusvoima riippuu ainoastaan hiukkasten välisestä etäisyydestä, minkä seurauksena liikemäärä, pyörimismäärä ja energia säilyvät. Liikemäärän säilyminen tarkoittaa, että järjestelmän massakeskipiste liikkuu vakionopeudella. Ongelma voidaan siten redusoida yhden hiukkasen liikkeeksi keskusvoiman kentässä käyttäen ns. redusoitua massaa.

## Liikkeen geometrian analyysi
Pyörimismäärän säilyminen rajoittaa liikkeen tasoon, ja koordinaatisto voidaan valita esimerkiksi napakoordinaateiksi. Tässä koordinaatistossa liikeyhtälöt voidaan jakaa säde- ja kulmakoordinaatin komponentteihin. Energian säilyminen mahdollistaa ns. efektiivisen potentiaalin määrittelyn, joka yhdistää gravitaatiopotentiaalin ja keskipakovoiman. Tällöin sädekoordinaatin liike voidaan kuvata yksiulotteisena liikkeenä tässä efektiivisessä potentiaalissa. Erityistapauksessa, jossa potentiaali on muotoa −*γ/r,* ratkaisut ovat suljettuja konisia leikkauksia – ellipsejä, paraabeleja tai hyperbelejä – riippuen kokonaisenergian arvosta ja radan epäkeskisyydestä. Negatiivisella energialla liike on sidottua (ellipsi), nollaenergialla se on paraabeli ja positiivisella energialla hyperbeli.

## Keplerin lait
Kahden kappaleen ongelman analyyttinen ratkaisu johtaa Keplerin lakeihin:

# Planeetat liikkuvat ellipsiradoilla, joiden polttopisteessä on Aurinko.
# Planeetta pyyhkäisee yhtä suuria pinta-aloja yhtä suurissa ajoissa.
# Kiertoaikojen neliö on verrannollinen ratojen isoakselien kuutioon.

## Numeerinen ratkaisu
Vaikka kahden kappaleen ongelma on analyyttisesti ratkaistavissa, monimutkaisemmissa tai häiriintyneissä tilanteissa käytetään numeerisia menetelmiä. Numeerinen ratkaisu perustuu liikeyhtälöiden muuntamiseen ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöiksi, jotka voidaan ratkaista esimerkiksi MATLABin *ode45*-funktiolla.

## Numeeriset menetelmät
Useita numeerisia menetelmiä käytetään simuloimaan kappaleiden liikettä:

* **[[Eulerin menetelmä]]**: yksinkertainen mutta epätarkka, ei säilytä hyvin energiaa tai liikemäärää.
* **Implisiittinen Eulerin menetelmä**: tarkempi ja stabiilimpi, säilyttää paremmin fysikaaliset suureet.
* **Velocity Verlet -menetelmä**: symplektinen ja tehokas, säilyttää energian ja liikemäärän pitkällä aikavälillä, mahdollistaen tarkat ja stabiilit radat pienemmällä askelmäärällä.

Simulointien tarkkuutta voidaan parantaa käyttämällä tähtitieteellisiä yksiköitä (AU, vuosi, Auringon massa), koska suuret fysikaaliset arvot kuten gravitaatiovakio ja kappaleiden massat voivat aiheuttaa numeerisia ongelmia.

## Sovelluksia ja yleistyksiä
Kahden kappaleen ongelman ratkaisu tarjoaa perustan myös monimutkaisempien järjestelmien analyysille, kuten häiriöteorioille, joissa tarkastellaan useamman kappaleen vaikutusta toisiinsa. Tämän mallin yksinkertaistaminen massakeskipistekoordinaatistoon tekee siitä keskeisen työkalun niin fysiikassa kuin tähtitieteessä.

## Mekaaniset kahden kappaleen ongelmat
Fysiikassa *kahden kappaleen ongelmalla* voidaan tarkoittaa myös tilanteita, joissa kaksi kappaletta on yhdistetty esimerkiksi narun ja väkipyörän avulla ja liikkuvat eri suuntiin. Näissä ongelmissa analysoidaan kappaleiden yhteistä kiihtyvyyttä ja niiden välistä jännitysvoimaa.

### Ratkaisuperiaate
Ratkaisu aloitetaan arvioimalla liikesuunnat ja valitsemalla koordinaatistot, joissa kiihtyvyydet ovat positiivisia. Sen jälkeen piirretään vapaan kappaleen kaaviot, joissa kuvataan kaikki kappaleisiin vaikuttavat voimat. Newtonin toinen laki *F=ma* sovelletaan molemmille kappaleille, jolloin muodostetaan kaksi yhtälöä, joista ratkaistaan kiihtyvyys ja jännitys.

### Esimerkkitapaukset

# **Atwoodin kone**: Kaksi massaa roikkuu väkipyörän kautta. Suurempi massa vetää pienempää, ja ratkaisusta saadaan kiihtyvyys ja narun jännitys.
# **Vaakasuora-ilmalauta ja roikkuva massa**: Toinen massa liikkuu vaakasuoralla pinnalla, toinen roikkuu narussa. Kappaleet liikkuvat eri suunnissa.
# **Kalteva taso ja roikkuva massa**: Kaltevan, kitkattoman tason päällä oleva kappale on yhdistetty toiseen massaan, joka roikkuu. Painovoima jaetaan komponentteihin, ja yhtälöistä ratkaistaan kiihtyvyys ja jännitys.

Näiden ongelmien onnistunut ratkaisu edellyttää johdonmukaista koordinaatiston valintaa, käsitteellistä ymmärrystä sekä Newtonin lakien huolellista soveltamista.

## Lähteet