Kokonaislukujono

**Kokonaislukujono** on lukujono, jonka jäsenet kuuluvat kokonaislukujen joukkoon.

Kokonaislukujonoa kutsutaan *äärelliseksi* eli *päättyväksi*, jos sen pituus on rajattu, ja se on puolestaan *ääretön* eli *päättymätön*, jos siinä ei ole viimeistä jäsentä. Esimerkiksi (1, 2, 3, 4) ja (9, 66, 102, 9, 102) ovat päättyviä, (1, 1, 1, 1,...) ja (2, 4, 6, 8,...) päättymättömiä lukujonoja.

## Ominaisuuksia
* Sama luku voi toistua kokonaislukujonossa määräämättömän monta kertaa.
* Kokonaislukujonot ovat *samoja*, kun niissä on samat jäsenet samassa järjestyksessä.
* Kokonaislukujono merkitään yleensä sulkuihin, ja sen jäsenet eli *termit* tai *alkiot* erotetaan toisistaan pilkuilla.

## Määritelmä
Tarkemmin **kokonaislukujonolla (a<sub>n</sub>)** tarkoitetaan kuvausta
:a:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}
missä \mathbb{N} on luonnollisten lukujen joukko ja \mathbb{Z} kokonaislukujen joukko.

Lukujonoa merkitään **a(n) = a<sub>n</sub>**. Indeksoinnin ei välttämättä tarvitse alkaa nollasta, Katso esimerkiksi osajono. Lukuja a0, a1, a2,... nimitetään lukujonon jäseniksi.

Jono on kasvava, jos kaikilla *n* pätee *x<sub>n</sub>* ≤ *x<sub>n+1</sub>* ja aidosti kasvava, jos kaikilla *n* pätee *x<sub>n</sub>* &lt; *x<sub>n+1</sub>*. Vastaavasti määritellään vähenevä ja aidosti vähenevä lukujono. Lukujono on monotoninen, jos se on joko kasvava tai vähenevä.

## Erikoistapauksia
### Aritmeettinen kokonaislukujono

Aritmeettinen kokonaislukujono on sellainen kokonaislukujono, jonka peräkkäisten jäsenten erotus d on vakio. Aritmeettisen lukujonon yleinen termi on a_n = a_1 + d(n-1).

### Geometrinen kokonaislukujono

Geometrinen kokonaislukujono on sellainen kokonaislukujono, jonka peräkkäisten jäsenten osamäärä q on vakio. Jos q on esimerkiksi 2, tarkoittaa se sitä, että lukujonon seuraava jäsen on aina kaksinkertainen edelliseen verrattuna. Esim. 1, 2, 4, 8, 16,... . 

Geometrisen lukujonon yleinen termi on a_n = a_1 q^{(n-1)}.

## Esimerkkejä

1. (a_n)=n tarkoittaa luonnollisten lukujen jonoa, joka on määritelty analyyttisesti ja jossa a_0=0, a_1=1 ...
* Toisin sanoen (a_n)= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...
2. (b_n)=n^2 tarkoittaa luonnollisten lukujen jonoa, jossa a_0=0, a_1=1, a_2=4,...

3. Fibonaccin luvut määritellään rekursiivisesti:
:: \left\{ \begin{matrix} f_1 & = & 1 & \\ f_2 & = & 1 & \\ f_{n+1} & = & f_n + f_{n-1}, & n=2, 3, 4... \end{matrix} \right.
* Täten esimerkiksi f_3=f_2 + f_1 = 1+1 = 2, \quad f_4=f_3 + f_2 = 2 + 1 = 3.
* Näin saadaan lukujono 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657...
4. Kun määritellään
:\left\{ \begin{matrix} a_0=2 \\ a_{n+1}=(a_n)^2 \end{matrix} \right.
: saadaan lukujono 2, 22 = 4, 42 = 16, 162 = 256, 2562 = 65536,..., ts. **a<sub>0</sub>**=2, **a<sub>1</sub>**=4, **a<sub>2</sub>**=16, **a<sub>3</sub>**=256,...

5. Lukujono 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42,... kuvaa sitä, kuinka monella tavalla postitiiviset kokonaisluvut 1, 2, 3,... voidaan jakaa kokonaislukupartitioihin eli kokonaislukuihin, joiden summaksi tulee luku itse. Esim. luvulle viisi saadaan seitsemän erilaista ryhmää: 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1 ja 1+1+1+1+1.

6. Lukujono 1, 2, 6, 19, 63, 216, 760, 2725, ... kuvaa ns. kiinnitettyjen (ts. esim. peilikuvat katsotaan erillisiksi tapauksiksi) polyominojen lukumäärää alkioiden lukumäärän n (1, 2, 3, ...) funktiona. Polyominoja voi tutkia myös piirtämällä ruutupaperille pisteitä viivojen risteyskohtiin siten, että mikään piste ei ole muusta kuviosta erillään. Esimerkiksi kolmen pisteen tapauksessa saadaan kuusi hahmoa:


```
.       .     .
. . .     .     . .     . .     . .     . .
          .                       .     .
```


## Katso myös
* On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (laaja internet-tietokanta kokonaislukujonoista)

## Lähteet

## Kirjallisuutta
* 
*