Mekaanisten teoreemojen menetelmä

**Mekaanisten teoreemojen menetelmä** (, ), usein vain *Menetelmä*, on Arkhimedeen kirjoittama antiikin kreikkalainen matemaattinen teos, jossa Arkhimedes selvittää aiemmissa tutkielmissaan käyttämäänsä menetelmää. Teoksen teksti tunnetaan vain Arkhimedes-palimpsestista.

## Historia

Arkhimedes eli ja kirjoitti hellenistisellä kaudella 200-luvulla eaa. Teoksen *Mekaanisten teoreemojen menetelmä* hän osoitti  Eratostheneelle. Se kuuluu mitä ilmeisimmin hänen kypsempien teostensa joukkoon, sillä se valaisee hänen aiemmissa teoksissaan epäselviksi jääneitä päättelyitä. Teoksesta ei tunnettu lainkaan käsikirjoituksia ennen kuin se löydettiin Arkhimedes-palimpsestista vuonna 1907. Sitä on pidetty merkittävimpänä uutena palimpsestista tehtynä löytönä ja Arkhimedeen mielenkiintoisimpana tutkielmana.

## Sisältö

Teoksessa Arkhimedes kuvaa tilavuuksien määrittämistä vipujen, massakeskipisteiden ja äärettömän ohuiden viipaleiden avulla. Hän esittää ratkaisuja useisiin erillisiin ongelmiin käyttäen monenlaisia menetelmiä, useimmiten sellaisia, joissa fysiikka ja matematiikka yhdistyvät. Teos sisältää 15 propositiota.

Arkhimedes esimerkiksi tarkastelee propositiossa 1 samanaikaisesti kahta geometrista kappaletta, kuten kolmiota ja paraabelisegmenttiä. Sitten hän osoittaa, että jokainen kolmion jana tasapainottaa vastaavan janan paraabelisegmentissä tietyn tukipisteen ympäri, mistä seuraa, että koko kolmio ja koko paraabelisegmentti tasapainottuvat samalla tavoin saman tukipisteen suhteen. Koska tällä tasapainottumisella on täsmällinen geometrinen vastine, toisin sanoen kappaleet tasapainottuvat, jos ja vain jos niiden suuruudet ovat kääntäen verrannollisia etäisyyksiinsä, tukipisteen löytäminen antaa mahdollisuuden päätellä sekä kolmion että paraabelisegmentin suuruudet – toisin sanoen tuloksena on yllättävällä tavalla paraabelisegmentin pinta-ala.

Teoksen propositiossa 14 Arkhimedes viittaa sylinterisegmentin tilavuutta mitatessaan aktuaaliseen äärettömyyteen. Hän osoittaa, että prismassa olevien kolmioiden lukumäärä ja suorakulmiossa olevien janojen lukumäärä ovat samat – näin hän esittää väitteen äärettömyydestä, joka ei ole pelkästään potentiaalinen vaan nimenomaan sitä lajia, jota voidaan kutsua ”suoran pisteiden lukumäärän” äärettömyydeksi. Tämä kohta, joka löydettiin palimpsestista vuonna 2001, tekee Arkhimedeesta ensimmäisen henkilön, joka on koskaan tarkastellut ääretöntä numerositeettia. Löytö on siirtänyt aktuaalisen äärettömyyden käsitteen matemaattisen käytön lähes 2000 vuotta aiemmin tiedettyä aikaisemmaksi.

### Propositiot

Arkhimedeen esittämät propositiot ovat:

* **Propositio 1 (Paraabelisegmentin pinta-ala)**: Olkoon ABC paraabelisegmentti, jota rajaavat suora AC ja paraabeli ABC, ja olkoon D janan AC keskipiste. Piirretään suora DBE paraabelin akselin suuntaisesti ja yhdistetään AB ja BC. Tällöin segmentti ABC on yhtä suuri kuin \tfrac{4}{3} kolmiosta ABC.
* **Propositio 2**. (1) Mikä tahansa pallo on (tilavuudeltaan) nelinkertainen siihen kartioon verrattuna, jonka pohjana on pallon suuri ympyrä ja jonka korkeus on pallon säde; ja
:(2) sylinteri, jonka pohjana on pallon suuri ympyrä ja jonka korkeus on pallon halkaisija, on 1\tfrac{1}{2}-kertainen palloon verrattuna.
* **Propositio 3**. (1) Sylinteri, jonka pohjana on sferoidin suurin ympyrä ja jonka korkeus on sferoidin akseli, on 1\tfrac{1}{2}-kertainen sferoidiin verrattuna; ja kun tämä on osoitettu, on ilmeistä, että
:(2) jos jokin sferoidi leikataan tasolla, joka kulkee keskipisteen kautta ja on kohtisuorassa akselia vastaan, sferoidin puolikas on kaksinkertainen siihen kartioon verrattuna, jolla on sama pohja ja sama akseli kuin segmentillä (toisin sanoen sferoidin puolikkaalla).
* **Propositio 4**. Mikä tahansa suorakulmaisen konoidin (eli pyörähdysparaboloidin) segmentti, joka on leikattu tasolla kohtisuorasti akselia vastaan, on 1\tfrac{1}{2}-kertainen siihen kartioon verrattuna, jolla on sama pohja ja sama akseli kuin segmentillä.
* **Propositio 5**. Suorakulmaisen konoidin (eli pyörähdysparaboloidin) sellaisen segmentin painopiste, joka on leikattu tasolla kohtisuorasti akselia vastaan, sijaitsee suoralla, joka on segmentin akseli, ja jakaa tämän suoran siten, että kärjen puoleinen osa on kaksinkertainen jäljellä olevaan osaan verrattuna.
* **Propositio 6**. Minkä tahansa puolipallon painopiste sijaitsee suoralla, joka on sen akseli, ja jakaa tämän suoran siten, että pinnan puoleisen osan suhde jäljellä olevaan osaan on sama kuin 5 : 3.
* **Propositio 7**. [Minkä tahansa pallosegmentin suhde kartioon, jolla on sama pohja ja sama korkeus, on sama kuin pallon säteen ja täydentävän segmentin korkeuden summa suhteessa täydentävän segmentin korkeuteen.]
* **Propositio 8**. [Propositio voidaan päätellä propositiosta 9, jonka kanssa sen on täytynyt olla sama, paitsi että se ei voi viitata ”mihin tahansa segmenttiin”. Oletuksena on siis, että propositio oli lausuttu vain yhtä segmenttityyppiä koskevaksi, joko puolipalloa suuremmaksi tai sitä pienemmäksi segmentiksi.]
* **Propositio 9**. Minkä tahansa pallosegmentin painopiste sijaitsee suoralla, joka on segmentin akseli, ja jakaa tämän suoran siten, että se osa, joka on segmentin kärjen puolella, on suhteessa jäljellä olevaan osaan samassa suhteessa kuin segmentin akselin ja nelinkertaisen täydentävän segmentin akselin summa on segmentin akselin ja kaksinkertaisen täydentävän segmentin akselin summaan.
* **Propositio 10**. [Tylppäkulmaisen konoidin (eli pyörähdyshyperboloidin) segmentin suhde kartioon, jolla on sama pohja kuin segmentillä ja sama korkeus, on sama kuin segmentin akselin ja kolminkertaisen ”akselin lisän” (eli hyperboloidin akselin kautta kulkevan hyperbelileikkauksen poikittaisakselin puolikkaan, toisin sanoen etäisyyden segmentin kärjen ja ympäröivän kartion kärjen välillä) summa suhteessa segmentin akselin ja kaksinkertaisen ”lisän” summaan.]
* **Propositio 11**. Jos suorakulmaiseen prismaan, jonka pohjat ovat neliöitä, piirretään sylinteri siten, että sen pohjat sijaitsevat vastakkaisilla neliösivuilla ja sen vaippa sivuaa neljää muuta suorakulmaista sivua, ja jos sen ympyräpohjan keskipisteen kautta ja vastakkaisen neliöpohjan yhden sivun kautta piirretään taso, tämän tason leikkaama kuvio on yksi kuudesosa koko prismasta.
* **Propositio 12**. Olkoon parallelogrammi (neliö) MN kohtisuorassa akselia vastaan, ja olkoot ympyrä OPQR sekä sen halkaisijat OQ ja PR piirrettyinä erikseen. Yhdistetään HG ja HM ja piirretään näiden kautta tasot, jotka ovat kohtisuorassa ympyrän tasoa vastaan, jatkaen niitä tämän tason molemmille puolille. Tällöin syntyy prisma, jonka poikkileikkaus on kolmio GHM ja jonka korkeus on sama kuin sylinterin akseli; tämä prisma on \tfrac{1}{4} alkuperäisestä prismasta, joka ympäröi sylinterin.
:[Puolikas sylinteri PQR siinä asemassa, jossa se on, tasapainottaa prisman GHM siinä asemassa, jossa se on, pisteen H ympäri kiinteänä tukipisteenä.]
* **Propositio 13**. [Prismasta.]
* **Propositio 14**. Olkoon suorakulmainen prisma, jonka pohjat ovat neliöitä, ja siihen piirretty sylinteri, jonka pohja sijaitsee neliössä ABCD ja joka sivuaa sen sivuja pisteissä E, F, G ja H; leikattakoon sylinteri tasolla, joka kulkee EG:n kautta ja vastakkaisen neliöpinnan CD:tä vastaavan sivun kautta. Tämä taso leikkaa prismasta prisman ja sylinteristä osan. Voidaan osoittaa, että tason leikkaama sylinterin osa on \tfrac{1}{6} koko prismasta.
* **Propositio 15**. [Tämä propositio, joka on kadonnut, olisi ollut mekaaninen tutkimus sen kappaleen kuutiomittauksesta, joka jää kahden sylinterin väliin, kun kumpikin sylinteri on piirretty samaan kuutioon siten, että niiden vastakkaiset pohjat sijaitsevat kuution vastakkaisilla tahkoilla ja niiden vaipat sivuavat neljää muuta tahkoa.]

Huomautukset:

## Lähteet

## Kirjallisuutta

* 
* Archimedes: *Mechanical Method in Geometry*. Teoksessa