Paraabelin neliöiminen

**Paraabelin neliöiminen** (, ) on Arkhimedeen kirjoittama antiikin kreikkalainen matemaattinen teos, joka käsittelee paraabelisegmenttien eli paraabelin ja suoran rajaaman alueen pinta-aloja, tunnetuimpana osana paraabelin neliöiminen. Arkhimedes osoittaa, että paraabelisegmentin pinta-ala on \tfrac{4}{3} erään sen sisään piirretyn kolmion pinta-alasta.

## Historia

Arkhimedes eli ja kirjoitti hellenistisellä kaudella 200-luvulla eaa. Teoksensa *Paraabelin neliöiminen* hän osoitti ystävälleen Dosiheokselle. Wilbur Knorr luki teoksen *Paraabelin neliöiminen* hänen varhaisempien teostensa joukkoon.

Kartioleikkaukset, kuten paraabeli, olivat Arkhimedeen aikaan jo hyvin tunnettuja noin vuosisata aiemmin eläneestä Menaikhmoksesta lähtien. Ennen differentiaali- ja integraalilaskennan kehittymistä ei kuitenkaan ollut helppoja keinoja määrittää kartioleikkauksen pinta-alaa. Arkhimedes esittää ensimmäisen tunnetun ratkaisun tähän ongelmaan keskittymällä nimenomaan paraabelin ja jänteen rajaaman alueen pinta-alaan. Arkhimedeen teoksessa esittelemä tulos oli ensimmäinen todellinen esimerkki kaarevareunaisen alueen neliöinnistä, toisin sanoen sellaisen suoraviivaisen kuvion löytämisestä, joka on pinta-alaltaan yhtä suuri kuin alue, jota eivät rajoita yksinomaan suorat viivat. Hänen esittämänsä geometrinen todistus edustaa antiikin kreikkalaisessa matematiikassa kaikkein kehittyneintä reductio ad absurdum -todistuksen käyttöä, ja Arkhimedeen ratkaisu pysyi ylittämättömänä aina 1600-luvulle integraalilaskennan syntyyn saakka, jolloin sen syrjäytti Cavalierin kvadratuurikaava.

## Sisältö

Teos sisältää 24 propositiota, jotka käsittelevät paraabelisegmenttejä ja niiden pinta-aloja. Paraabelisegmentti on alue, jota rajaavat paraabeli ja suora. Paraabelisegmentin pinta-alan määrittämiseksi Arkhimedes tarkastelee erästä sisään piirrettyä kolmiota. Tämän kolmion kanta on paraabelin annettu jänne, ja kolmas kärki on paraabelilla sellaisessa pisteessä, että paraabelin tangentti tässä pisteessä on yhdensuuntainen jänteen kanssa. Näin kolmiolla on sama kanta ja sama korkeus kuin segmentillä.

Propositiot 1–5 ovat paraabelia koskevia johdantopropositioita. Tämän jälkeen Arkhimedes esittää kaksi todistusta siitä, että minkä tahansa paraabelisegmentin pinta-ala on \tfrac{4}{3} kuvatun kolmion pinta-alasta. Ensimmäinen, mekaaninen todistus käsittää propositiot 6–17. Se perustuu abstraktiin mekaniikkaan. Arkhimedes tarkastelee painovoiman vaikutuksesta tasapainossa olevaa vipua, jonka varsille on ripustettu painotettuja paraabelisegmenttejä ja kolmioita tietyille etäisyyksille tukipisteestä. Kun kolmion painopiste tunnetaan, vivun tasapainoehto antaa paraabelisegmentin pinta-alan kolmion pinta-alan avulla, kun molemmilla on sama kanta ja sama korkeus. Tässä Arkhimedes poikkeaa teoksessa *[[Tasokuvioiden tasapaino]]* esitetystä menettelystä siinä, että painopisteet sijaitsevat vaakatason alapuolella.

Toinen, geometrinen todistus eli paraabelin neliöiminen esitetään propositioissa 18–24. Se perustuu puhtaaseen geometriaan, erityisesti geometrisen sarjan summan käyttöön. Arkhimedes jakaa alueen äärettömän moneen kolmioon, joiden pinta-alat muodostavat geometrisen sarjan. Tämän jälkeen hän laskee tämän sarjan summan ja osoittaa sen olevan paraabelisegmentin pinta-ala.

### Johdantopropositiot

* **Propositio 1**. Jos paraabelin pisteestä piirretään suora, joka on joko itse paraabelin akseli tai akselin suuntainen, kuten PV, ja jos QQ' on jänne, joka on yhdensuuntainen paraabelin tangentille pisteessä P ja leikkaa PV:n pisteessä V, niin
::QV = VQ'.
:Käänteisesti, jos QV = VQ', jänne QQ' on yhdensuuntainen tangentille pisteessä P.
* **Propositio 2**. Jos paraabelissa QQ' on jänne, joka on yhdensuuntainen tangentille pisteessä P, ja jos pisteen P kautta piirretään suora, joka on joko itse akseli tai akselin suuntainen ja joka leikkaa QQ':n pisteessä V ja paraabelin tangentin pisteessä Q pisteessä T, niin
::PV = PT.
* **Propositio 3**. Jos paraabelin pisteestä piirretään suora, joka on joko itse akseli tai akselin suuntainen, kuten PV, ja jos kahdesta muusta paraabelin pisteestä Q, Q' piirretään suorat, jotka ovat yhdensuuntaisia tangentille pisteessä P ja leikkaavat PV:n pisteissä V, V' vastaavasti, niin
::PV : PV' = QV^2 : Q'V'^2.
* **Propositio 4**. Jos Qq on minkä tahansa paraabelisegmentin kanta ja P segmentin kärki, ja jos minkä tahansa muun pisteen R kautta kulkeva halkaisija leikkaa Qq:n pisteessä O ja QP:n (tarvittaessa jatkettuna) pisteessä F, niin
::QV : VO = OF : FR.
* **Propositio 5**. Jos Qq on minkä tahansa paraabelisegmentin kanta, P segmentin kärki ja PV sen halkaisija, ja jos minkä tahansa muun pisteen R kautta kulkeva paraabelin halkaisija leikkaa Qq:n pisteessä O ja tangentin pisteessä Q pisteessä E, niin
::QO : Oq = ER : RO.

### Mekaaninen todistus

* **Propositiot 6 ja 7**. Oletetaan, että vipu AOB on asetettu vaakasuoraan ja tuettu keskikohdastaan O. Olkoon kolmio BCD, jossa kulma C on suora (propositio 6) tai tylppä (propositio 7), ripustettuna pisteistä B ja O siten, että C on kiinnitetty pisteeseen O ja CD on samalla pystysuoralla suoralla kuin O. Jos P on sellainen pinta-ala, joka A:sta ripustettuna pitää järjestelmän tasapainossa, niin
::P = \tfrac{1}{3}\Delta BCD.
* **Propositiot 8 ja 9**. Oletetaan vipu AOB asetetuksi vaakasuoraan ja tuetuksi keskikohdastaan O. Olkoon kolmio BCD, jossa kulma C on suora (propositio 8) tai tylppä (propositio 9), ripustettuna pisteistä B ja E suoralla OB siten, että kulmapiste C on kiinnitetty pisteeseen E ja sivu CD on samalla pystysuoralla suoralla kuin E. Olkoon Q sellainen pinta-ala, että
::AO : OE = \Delta BCD : Q.
:Tällöin, jos pinta-ala P ripustettuna pisteestä A pitää järjestelmän tasapainossa,
::P  mutta  > Q.
* **Propositiot 10 ja 11**. Oletetaan vipu AOB asetetuksi vaakasuoraan ja tuetuksi keskikohdastaan O. Olkoon CDEF trapetsoidi, joka voidaan asettaa siten, että sen yhdensuuntaiset sivut CD ja FE ovat pystysuoria, C on pystysuoraan O:n alapuolella ja muut sivut CF ja DE kohtaavat pisteessä B. Olkoon EF:n ja BO:n leikkauspiste H, ja trapetsoidi ripustettuna kiinnittämällä F pisteeseen H ja C pisteeseen O. Oletetaan lisäksi, että Q on sellainen pinta-ala, että
::AO : OH = (\text{trapetsoidi }CDEF) : Q.
:Tällöin, jos P on se pinta-ala, joka A:sta ripustettuna pitää järjestelmän tasapainossa,
::P 
:Sama pätee erikoistapauksessa, jossa kulmat C ja F ovat suoria ja näin ollen C ja F yhtyvät vastaavasti pisteisiin O ja H.
* **Propositiot 12 ja 13**. Jos trapetsoidi CDEF asetetaan kuten edellisissä propositioissa, paitsi että CD on pystysuoraan pisteen L alapuolella suoralla OB eikä pisteen O alapuolella, ja trapetsoidi ripustetaan pisteestä O, oletetaan että Q ja R ovat pinta-aloja siten, että
::AO : OH = (\text{trapetsoidi }CDEF) : Q,
:ja
::AO : OL = (\text{trapetsoidi }CDEF) : R.
:Jos tällöin pinta-ala P ripustettuna pisteestä A pitää järjestelmän tasapainossa,
::P > R mutta .
* **Propositiot 14 ja 15**. Olkoon Qq minkä tahansa paraabelisegmentin kanta. Jos pisteistä Q ja q piirretään kaksi suoraa, jotka ovat yhdensuuntaisia paraabelin akselin kanssa ja sijaitsevat Qq:n samalla puolella kuin segmentti, niin joko (1) kummassakin pisteessä Q ja q muodostuvat kulmat ovat suoria kulmia, tai (2) toinen on terävä ja toinen tylppä. Jälkimmäisessä tapauksessa olkoon pisteessä q oleva kulma tylppä.
:Jaetaan Qq mihin tahansa määrään yhtä suuria osia pisteissä O_1, O_2, ... O_n. Piirretään pisteiden q, O_1, O_2, ... O_n kautta paraabelin halkaisijat, jotka leikkaavat tangentin pisteessä Q pisteissä E, E_1, E_2, ... E_n ja itse paraabelin pisteissä q, R_1, R_2, ... R_n. Yhdistetään pisteet Q ja R_1, Q ja R_2, ..., Q ja R_n; nämä suorat leikkaavat suorat qE, O_1E_1, O_2E_2, ..., O_nE_n pisteissä F, F_1, F_2, ..., F_{n-1}.
:Olkoon halkaisijoiden Eq, E_1O_1, ..., E_nO_n ja pisteen Q kautta piirretyn, halkaisijoita vastaan kohtisuoran suoran QOA leikkauspisteet O, H_1, H_2, ..., H_n vastaavasti. (Erityistapauksessa, jossa Qq itse on kohtisuorassa halkaisijoihin nähden, piste q yhtyy pisteeseen O, piste O_1 pisteeseen H_1 ja niin edelleen.)
:On todistettava, että
::\Delta EqQ 
:ja
::\Delta EqQ > 3 (\text{trapetsoidien }R_1O_2, R_2O_3, ... R_{n-1}O_n \text{ ja } \Delta R_nO_nQ \text{ summa}).
* **Propositio 16**. Olkoon Qq paraabelisegmentin kanta siten, että q ei ole kauempana kuin Q paraabelin kärjestä. Piirretään q:n kautta suora qE, joka on yhdensuuntainen paraabelin akselin kanssa ja leikkaa tangentin pisteessä Q pisteessä E. On todistettava, että
::(\text{segmentin pinta-ala}) = \tfrac{1}{3} \Delta EqQ.
* **Propositio 17**. Minkä tahansa paraabelisegmentin pinta-ala on \tfrac{4}{3} siitä kolmiosta, jolla on sama kanta kuin segmentillä ja sama korkeus.

Arkhimedes esittää tutkielmassaan *[[Mekaanisten teoreemojen menetelmä]]* täydellisemmän todistuksen samasta mekaniikan tasapainolain avulla.

### Geometrinen todistus

* **Propositio 18**. Jos Qq on paraabelisegmentin kanta ja V Qq:n keskipiste, ja jos V:n kautta kulkeva halkaisija leikkaa käyrän pisteessä P, niin P on segmentin kärki.
* **Propositio 19**. Jos Qq on paraabelin jänne, jonka halkaisija PV puolittaa pisteessä V, ja jos RM on halkaisija, joka puolittaa QV:n pisteessä M, ja RW on R:stä PV:lle piirretty ordinaatta, niin
::PV = \tfrac{4}{3} RM.
* **Propositio 20**. Jos Qq on paraabelisegmentin kanta ja P sen kärki, niin kolmio PQq on suurempi kuin puolet segmentistä PQq.
* **Propositio 21**. Jos Qq on minkä tahansa paraabelisegmentin kanta ja P sen kärki, ja jos R on PQ:n katkaisemasta segmentistä syntyvän segmentin kärki, niin
::\Delta PQq = 8 \Delta PRQ.
* **Propositio 22**. Jos on olemassa pinta-alojen sarja A, B, C, D, ..., joista kukin on neljä kertaa seuraava, ja jos suurin, A, on yhtä suuri kuin paraabelisegmenttiin PQq piirretty kolmio PQq, jolla on sama kanta ja sama korkeus kuin segmentillä, niin
::(A + B + C + D + ...) 
* **Propositio 23**. Annettu pinta-alojen sarja A, B, C, D, ..., Z, jossa A on suurin ja kukin on neljä kertaa seuraava, niin
::A + B + C + ... + Z + \tfrac{1}{3}Z = \tfrac{4}{3}A.
* **Propositio 24**. Jokainen paraabelin ja jänteen Qq rajaama segmentti on yhtä suuri kuin \tfrac{4}{3} siitä kolmiosta, jolla on sama kanta kuin segmentillä ja sama korkeus.

#### Selitys

Todistuksen pääidea on parabelisegmentin paloittelu äärettömän moneen kolmioon. Kukin näistä kolmioista on piirretty omaan paraabelisegmenttiinsä samalla tavalla kuin sininen kolmio on yllä olevassa kuvassa piirretty suureen segmenttiin.

##### Kolmioiden pinta-alat

Propositioissa 18–21 Arkhimedes osoittaa, että jokaisen vihreän kolmion pinta-ala on \tfrac18 sinisen kolmion pinta-alasta, joten molempien vihreiden kolmioiden yhteenlaskettu pinta-ala on \tfrac14 sinisen kolmion pinta-alasta. Nykyaikaisesta näkökulmasta tämä johtuu siitä, että vihreän kolmion leveys on \tfrac12 ja korkeus \tfrac14 sinisen kolmion vastaavista mitoista.

Samaa päättelyä seuraten kukin neljästä keltaisesta kolmiosta on pinta-alaltaan \tfrac18 vihreän kolmion pinta-alasta eli \tfrac1{64} sinisen kolmion pinta-alasta; niiden yhteispinta-ala on siten \tfrac4{64} = \tfrac1{16} sinisen kolmion pinta-alasta. Jokainen 2^3 = 8 punaisesta kolmiosta on puolestaan pinta-alaltaan \tfrac18 keltaisen kolmion pinta-alasta, ja niiden yhteispinta-ala on \tfrac{2^3}{8^3} = \tfrac1{64} sinisen kolmion pinta-alasta; ja niin edelleen. Tyhjennysmenetelmää käyttäen seuraa, että parabelisegmentin kokonaispinta-ala on

::\text{Pinta-ala}\;=\;T \,+\, \frac14T \,+\, \frac1{4^2}T \,+\, \frac1{4^3}T \,+\, \cdots.

Tässä T tarkoittaa suuren sinisen kolmion pinta-alaa; toinen termi vastaa kahden vihreän kolmion yhteispinta-alaa, kolmas termi neljän keltaisen kolmion yhteispinta-alaa ja niin edelleen. Tämä voidaan kirjoittaa muotoon

::\text{Pinta-ala}\;=\;\left(1 \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \frac{1}{64} \,+\, \cdots\right)T.

##### Sarjan summa

Todistuksen viimeistelemiseksi Arkhimedes osoittaa, että

::1 \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \frac{1}{64} \,+\, \cdots\;=\; \frac{4}{3}.

Yllä oleva kaava on geometrinen sarja: kukin peräkkäinen termi on neljäsosa edellisestä. Nykyaikaisessa matematiikassa tämä on erityistapaus geometrisen sarjan summakaavasta.

Arkhimedes laskee summan täysin geometrisin keinoin. Täsmällisesti ottaen hän tarkastelee sarjan osasummia ja käyttää Arkhimedeen aksioomaa osoittaakseen, että osasummat lähestyvät mielivaltaisen lähelle arvoa \tfrac43; tämä on loogisesti yhtäpitävää nykyaikaisen äärettömän sarjan summaamisen kanssa.

Oheinen kuva havainnollistaa menetelmää: siinä yksikköneliö on jaettu äärettömään määrään pienempiä neliöitä. Kukin peräkkäinen violetti neliö on pinta-alaltaan neljäsosa edellisestä, ja violettien neliöiden kokonaispinta-ala on

::\frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \frac{1}{64} \,+\, \cdots.

Violetit neliöt ovat kuitenkin yhteneviä jommankumman keltaisten neliöiden joukon kanssa ja peittävät siten \tfrac13 yksikköneliön pinta-alasta. Tästä seuraa, että yllä oleva sarja summautuu arvoon \tfrac43 (sillä 1 + \tfrac13 = \tfrac43).

## Lähteet

## Kirjallisuutta

* Archimedes: *Quadrature of a Parabola*. Teoksessa 
* Archimedes: *Quadrature of the Parabola*. Teoksessa 

## Aiheesta muualla