Topologinen vektoriavaruus

**Topologinen vektoriavaruus** (eli **TVS** tai **tvs**) on sellainen vektoriavaruus, joka on myös topologinen avaruus ja jossa vektoriavaruuden laskutoimitukset (vektorien yhteenlasku ja skalaarikertolasku) ovat jatkuvia funktioita. Tällaista topologiaa kutsutaan **vektoritopologiaksi**. Jotkut kirjoittajat vaativat myös, että avaruus on Hausdorff-avaruus (vaikka tässä artikkelissa ei vaadita sitä). 

TVS-avaruuksia ovat myös Banachin avaruudet, Hilbertin avaruudet ja Sobolevin avaruudet.

Monet topologiset vektoriavaruudet ovat funktioiden avaruuksia tai topologisiin vektoriavaruuksiin vaikuttavien lineaaristen operaattorien avaruuksia. Topologia määritellään usein siten, että se kuvaa tiettyä käsitystä funktiojonojen suppenemisesta .

Tässä artikkelissa topologisen vektoriavaruuden skalaarikentän oletetaan olevan joko kompleksiluvut \Complex vai reaaliluvut \R, ellei toisin ole selvästi mainittu.

## Motivaatio

### Normiavaruudet
Jokainen normiavaruus on TVS: normi indusoi metriikan ja metriikka indusoi topologian. Jokainen normiavaruus on topologinen vektoriavaruus, koska vektorioperaatiot ovat jatkuvia:

# Vektorien yhteenlasku \cdot\, + \,\cdot\; : X \times X \to X määritelty (x, y) \mapsto x + y on jatkuva tämän topologian suhteen. Tämä seuraa suoraan normin noudattamasta kolmioepäyhtälöstä .
# Skalaarikertolasku \cdot : \mathbb{K} \times X \to X määritelty (s, x) \mapsto s \cdot x, jossa \mathbb{K} on taustalla oleva skalaarikenttä X, on (yhdessä) jatkuva. Tämä seuraa kolmioepäyhtälöstä ja normin homogeenisuudesta.

Siten kaikki Banach-avaruudet ja Hilbert-avaruudet ovat topologisia vektoriavaruuksia.

### Ei-normiavaruudet
On olemassa topologisia vektoriavaruuksia, joiden topologiaa ei indusoi normi, mutta jotka ovat silti tärkeitä analyysissä. Esimerkkejä tällaisista avaruuksista ovat holomorfisten funktioiden avaruudet avoimessa joukossa, äärettömästi derivoituvien funktioiden avaruudet, Schwartzin avaruudet sekä testifunktioiden ja niillä määriteltyjen distribuutioiden avaruudet. Nämä kaikki ovat esimerkkejä Montel-avaruuksista. Ääretönulotteinen Montel-avaruus ei ole koskaan normittuva. Tietyn topologisen vektoriavaruuden normin olemassaoloa kuvaa Kolmogorovin normittuvuuskriteeri .

## Määritelmä

**Topologinen vektoriavaruus** ( **TVS** ) X on vektoriavaruus topologisen kentän yli \mathbb{K} (useimmiten reaali- tai kompleksiluvut standarditopologioineen), jolla on sellainen topologia, että vektorien yhteenlasku \cdot\, + \,\cdot\; : X \times X \to X ja skalaarikertolasku \cdot : \mathbb{K} \times X \to X ovat jatkuvia funktioita (joissa näiden funktioiden aloilla on tulotopologiat). Tällaista topologiaa kutsutaan X.:n vektoritopologiaksi.

**Hausdorff-oletus**

Monet kirjoittajat (esimerkiksi Walter Rudin), mutta eivät tämä sivu, vaativat topologiaa kohdassa X olevan T1 ; tästä seuraa, että avaruus on Hausdorffin ja jopa Tychonoff-avaruus. 

### Kategoria ja morfismit

Topologisten vektoriavaruuksien luokkaa tietyllä topologisella (kerroin)kunnalla \mathbb{K} merkitään yleensä \mathrm{TVS}_\mathbb{K} tai \mathrm{TVect}_\mathbb{K}. Objektit ovat topologisia vektoriavaruuksia \mathbb{K}:n yli ja morfismit ovat jatkuvia lineaarikuvauksia objektista toiseen.
Monet tutkituista TVS-skeemojen ominaisuuksista, kuten paikallinen konveksius, metrisoituvuus, täydellisyys ja normittuvuus, ovat invariantteja TVS-isomorfismien suhteen.

## Ominaisuuksia
Yksi vektoritopologioiden käytetyimmistä ominaisuuksista on, että jokainen vektoritopologia on *translaatioinvariantti:*

: kaikille x_0 \in X, kuvaus X \to X, joka määritellään x \mapsto x_0 + x, on homeomorfismi, mutta jos x_0 \neq 0, niin se ei ole lineaarinen eikä siten TVS-isomorfismi.

Skalaarikertolasku nollasta poikkeavalla skalaarilla on TVS-isomorfismi. Tämä tarkoittaa, että jos s \neq 0, niin lineaarikuvaus X \to X, joka määritellään x \mapsto s x, on homeomorfismi. Käyttämällä s = -1 tuottaa negaatiokartan X \to X määritelty x \mapsto - x, mikä on näin ollen lineaarinen homeomorfismi ja siten TVS-isomorfismi.

Jos x \in X ja S \subseteq X, niin \operatorname{cl}_X (x + S) = x + \operatorname{cl}_X S; jos lisäksi 0 \in S, niin x + S on pisteen x ympäristö (vastaavasti, avoin ympäristö, suljettu ympäristö) jos ja vain jos *S* on origon ympäristö (vastaavasti, avoin ympäristö, suljettu ympäristö).

## Määritelmiä osajoukoille
Vektoriavaruuden X osajoukon E sanotaan olevan

* **absorboiva** (eli **radiaalinen**): jos jokaiselle x \in X, on olemassa todellinen r > 0 niin että c x \in E mille tahansa skalaarille c jolla |c| \leq r.
* **balansoitu**: jos t E \subseteq E jokaiselle skalaarille |t| \leq 1.
* **[[Konveksi joukko|konveksi]]** : jos t E + (1 - t) E \subseteq E jokaiselle reaaliselle0 \leq t \leq 1.
* **symmetrinen** : jos - E \subseteq E, eli jos - E = E.

Jokainen origon ympäristö on absorboiva joukko ja sisältää avoimen balansoidun origon ympäristön. Siksi jokaisella topologisella vektoriavaruudella on lokaali kanta, joka koostuu absorboivista ja balansoiduista joukoista. Origolla on jopa (origon) ympäristökanta, joka koostuu suljetuista balansoiduista joukoista. Jos avaruus on lokaalisti konveksi, sillä on myös ympäristökanta, joka koostuu origon suljetuista konvekseista balansoiduista ympäristöistä.

**Rajoitetut osajoukot**

Topologisen vektoriavaruuden X osajoukko E on **rajoitettu**, jos jokaiselle origon ympäristölle V on olemassa t niin että E \subseteq t V.

Jokainen täysin rajoitettu joukko on rajoitettu. Jos M on TVS:n vektorialiavaruus X, sitten osajoukko M on rajoitettu avaruudessa M jos ja vain jos se on rajoitettu avaruudessa X.

## Metristyvyys
 
Birkhoffin–Kakutanin lause:

Jos (X, \tau) on TVS, seuraavat neljä ehtoa ovat ekvivalentteja:

# Origo \{0\} on suljettu X:ssä ja on olemassa numeroituva origon ympäristökanta.
# (X, \tau) on metristyvä (topologisena avaruutena).
# On olemassa translaatio-invariantti metriikka, joka indusoi topologian \tau.
# (X, \tau) on metristyvä topologinen vektoriavaruus.

## Duaaliavaruus
Jokaisella topologisella vektoriavaruudella on jatkuva duaaliavaruus eli kaikkien jatkuvien lineaaristen funktionaalien joukko X'. Topologisella vektoriavaruudella on epätriviaali jatkuva duaaliavaruus, jos ja vain jos sillä on aito konveksi origon ympäristö.

## Joukko-operaattoreiden säilyttämät ominaisuudet

* Kompaktin (vastaavasti täysin rajoitetun, avoimen) joukon balansoidulla verholla on sama ominaisuus.
* Kahden kompaktin (vastaavasti rajatun, tasapainotetun ja konveksin) joukon (Minkowskin) summalla on sama ominaisuus. Mutta kahden suljetun joukon summan ei tarvitse olla suljettu.
* Tasapainotetun (vastaavasti, avoimen) joukon konveksi verho on tasapainotettu (vastaavasti, avoin). Suljetun joukon konveksin verhon ei kuitenkaan tarvitse olla suljettu. Rajoitetun joukon konveksin verhon ei tarvitse olla rajoitettu.

## Lähteet

## Huomautukset