Kopula (matematiikka)

**Kopula** () on moniulotteinen kertymäfunktio, jonka reunajakaumat ovat tasajakautuneita välillä (0,1). Vaihtoehtoisesti  kopulaa voidaan luonnehtia funktioksi, joka määrittää satunnaismuuttujien yhteisjakauman niiden reunajakaumien perusteella.  Kopuloita käytetään satunnaismuuttujien riippuvuuden mallintamiseen, ja niillä on sovelluksia muun muassa kvantitatiivisessa rahoituksessa ja lääketieteessä.

## Perusteet
Toisistaan riippuvien satunnaismuuttujien X_1,\dots,X_n yhteisjakaumaa ei yleisesti ottaen voida määrittää pelkästään niiden reunajakaumien F_1, \dots,  F_n perusteella. Riippuvuusrakennetta voidaan kuitenkin kuvata kopulaksi kutsutulla funktiolla  C . Nimittäin kuvausperhe  (F_1, \dots, F_n, C) määrittää satunnaisvektorin (X_1,\dots,X_n) yhteisjakauman täydellisesti. 

### Määritelmä
Avaruudessa \mathbb{R}^n  kopula C on satunnaisvektorin  (U_1,\dots,U_n)  yhteiskertymäfunktio
:C(u_1,\dots, u_n)=\mathbb{P}(U_1\leq u_1 , \dots, U_n\leq u_n), 
missä satunnaisvektorin komponentit ovat tasajakautuneita välillä [0,1]  ja \mathbb{P}  on todennäköisyys. 

### Ominaisuuksia
Kopulalle C on voimassa seuraavat ominaisuudet:
*C(u_1,\dots, u_n) on kasvava kunkin komponentin u_i  suhteen,
*C(u_1,\dots, u_n)=u_i, jos vektorin (u_1,\dots,u_n) kukin komponentti saa arvon yksi lukuun ottamata komponenttia u_i, ja
*kaikilla (a_1,\dots, a_n)  ja (b_1,\dots, b_n)\in [0,1]^n , joille a_i\leq b_i  kaikilla i   pätee
:\sum_{j_1=1}^2 \dots \sum_{j_n=1}^2 (-1)^{j_1+\dots +j_n} C(u_{1,j_1},\dots u_{n,j_n})\geq 0,
missä  u_{i,1}=a_j  ja  u_{i,2}=b_j.

Kolmas ehto takaa, että \mathbb{P}(a_1\leq U_1\leq b_1 , \dots, a_n\leq U_n\leq b_n)\geq 0 . Lisäksi mielivaltainen funktio f: [0,1]^n \mapsto [0,1] on kopula, jos se toteuttaa edelliset kolme ehtoa.

## Keskeisiä lauseita
### Synteesi
Jos C  on kopula avaruudessa \mathbb{R}^n  ja F_1,\dots, F_n  ovat kertymäfunkioita avaruudessa \mathbb{R} , niin
:F(x_1,\dots, x_n)=C(F_1(x_1),\dots, F_n(x_n)) 
on yhteiskertymäfunktio satunnaisvektorille, jonka komponenttien kertymäfunktiot ovat F_1,\dots, F_n. 

Tuloksen nojalla mielivaltainen kopula yhdistettynä kokoelmaan mielivaltaisia kertymäfunktioita tarjoaa tavan muodostaa yhteisjakaumia, joissa riippuvuusrakennetta voidaan kuvata halutulla tavalla.

### Sklarin lause
Lauseen esitti alun perin Abe Sklar vuonna 1959 ja se takaa, että mielivaltainen yhteisjakauma voidaan esittää kopulan avulla. Olkoon F jokin yhteiskertymäfunktio, jolla on reunakertymäfunktiot F_1,\dots, F_n. Tällöin on olemassa sellainen kopula C, että
:F(x_1,\dots,x_n)=C(F_1(x_1),\dots,F_n(x_n)),
kaikilla x_1,\dots,x_n\in \mathbb{R}.  

### Kopulan yksikäsitteisyys
Olkoon F yhteiskertymäfunktio, jolla on jatkuvat reunakertymäfunktiot F_1,\dots, F_n. Tällöin on olemassa täsmälleen yksi kopula C, jolle pätee esitys
:F(x_1,\dots, x_n)=C(F_1(x_1),\dots, F_n(x_n)).  

### Fréchet’n–Hoeffdingin estimaatit
Kertymäfunktioiden F_1,\dots, F_n virittämä Fréchet-luokka \Gamma(F_1,\dots,F_n) on niiden yhteiskertymäfunktioiden kokoelma, joilla on reunakertymäfunktiot F_1,\dots,F_n. Olkoon F\in\Gamma(F_1,\dots,F_n). Tällöin 
:\max\left(1-\sum_{k=1}^n (1-F_k(x_k)),0\right)\leq F(x_1,\dots,x_n)\leq\min(F_1(x_1),\dots, F_n(x_n)),
kaikilla x_1,\dots,x_n\in \mathbb{R}. 
Epäyhtälöryhmän vasen ja oikea puoli tunnetaan Fréchet'n–Hoeffdingin estimaatteina. 

## Kopulaperheet

### Gaussin kopula
Olkoon X multinormaalisti jakautunut satunnaisvektori eli X\sim N_n(\mathbf{0},P), korrelaatiomatriisi P\in[-1,1]^{n\times n} ja \boldsymbol{\Phi}_P satunnaisvektorin X yhteiskertymäfunktio. Tällöin Gaussin kopula on
:C(u)=\mathbb{P}(\Phi(X_1)\leq u_1, \dots, \Phi(X_n)\leq u_n)=\boldsymbol{\Phi}_P\left(\Phi^{-1}(u_1),\dots, \Phi^{-1}(u_n)\right),
missä \Phi on standardoidun normaalijakauman kertymäfunktio. Gaussin kopula on ainoastaan korrelaatiomatriisin P funktio, koska normaalijakauman tapauksessa korrelaatiot määrittävät koko riippuvuusrakenteen. 

### Arkhimedeen kopulat

Kopula C on Arkhimedeen kopula, jos 
:C(u_1,\dots, u_n;\theta)=\psi^{-1}\left((\psi(u_1;\theta)+\dots+\psi(u_n;\theta);\theta)\right), 
missä \psi:[0,1]\times\Theta\mapsto [0,\infty) on jatkuva, aidosti vähenevä ja konveksi funktio, \theta on parametri joukosta \Theta. Lisäksi funktiota \psi kutsutaan generaattorifunktioksi ja sillä on oltava ominaisuus \psi(1;\theta)=0 sekä funktiota \psi^{-1} kutsutaan pseudokäänteisfunktioksi, joka määritellään 
:\psi^{-1}(t;\theta)=\begin{cases} \psi^{-1}(t;\theta), &\quad \mbox{kun } 0\leq t\leq \psi(0;\theta), \\
0, &\quad \mbox{kun } \psi(0;\theta)\leq t\leq \infty.\end{cases}  

## Kopuloiden käyttö ohjelmointikielissä
* R
* Matlab

## Katso myös
* Tiheysfunktio
* Jatkuva satunnaismuuttuja

### Viitteet