Pseudoskalaari

**Pseudoskalaari** on lineaarialgebrassa ja fysiikassa suure, joka käyttäytyy muutoin skalaarin tavoin, paitsi että sen etumerkki muuttuu pariteettimuunnoksessa, kun taas tavallisilla skalaareilla näin ei tapahdu.

Pseudoskalaarin ja tavallisen (polaarisen) vektorin tulo on pseudovektori (aksiaalinen vektori); vastaavalla tavalla pseudoskalaarin ja tavallisen tensorin tulo on pseudotensori.

Pseudoskalaari saadaan tuloksena myös, kun muodostetaan pseudovektorin ja tavallisen vektorin pistetulo. Tyypillisenä esimerkkinä tästä on kolmen (tavallisen) vektorin skalaarikolmitulo, joka voidaan kirjoittaa näistä vektoreista yhden sekä molempien muiden ristitulon pistetulona:

	 \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})

sillä kahden (tavallisen) vektorin ristitulo on pseudovektori.

## Fysiikassa
Fysiikassa pseudoskalaari esittää fysikaalista suuretta, joka monessa suhteessa muistuttaa tavallista skalaaria. Molemmat voidaan esittää yhdellä luvulla, jonka lukuarvo ei muutu rotaatiossa. Sitä vastoin pariteettimuunnoksessa pseudoskalaarien etumerkki vaihtuu, skalaarien ei. Koska avaruuden peilaus tason suhteen vastaa rotaation ja pariteettimuunnoksen yhdistettyä kuvausta, pseudoskalaarien etumerkki vaihtuu myös peilikuvassa.

### Perustelu
Yksi vahvimmista ideoista fysiikassa on, että fysiikan lait eivät muutu, vaikka niiden kuvaamiseen käytetty koordinaattijärjestelmä vaihdetaan. Se seikka, että pseudoskalaarin etumerkki muuttuu inversiossa eli käännettäessä kaikkien koordinaattiakselien suunnat päinvastaisiksi, viitaa siihen, ettei se pseudoskalaari ole paras tapa kuvata fysikaalista suuretta. Kolmiulotteisessa avaruudessa pseudovektoreina kuvatut suureet voidaan esittää myös toisen kertaluvun antisymmetrisillä tensoreilla, ja tensoreina ne ovat invariantteja inversiossa. Pseudoskalaari on tosin yksinkertaisempi kuvaustapa tällaiselle suureelle, mutta sillä on se haittapuoli, että sen etumerkki muuttuu inversiossa. Samaan tapaan kolmiulotteisessa avaruudessa skalaarin Hodgen duaali on yhtä suuri kuin kolmiulotteinen Levi-Civitan pseudotensori (permutaatiopseudotensori) kerrottuna jollakin vakiolla, kun taas pseudoskalaarin Hodgen duaali on antisymmetrinen kolmannen kertaluvun (puhdas) tensori. Levi-Civitan pseudotensori on täysin antisymmetrinen kolmannen kertaluvun pseudotensori. Koska pseudoskalaarin duaali on kahden "pseudosuureen" tulo, tuloksena saatava tensori on aito tensori eikä sen etumerkki muutu akselien inversiossa. Tilanne on samantapainen kuin pseudovektorien ja toisen kertaluvun antisymmetristen tensorien tapauksessa. Pseudovektorin duaali on toisen kertaluvun antisymmetrinen tensori ja kääntäen. Tensori on koordinaattien inversiossa muuttumattomana pysyvä suure, kun taas pseudovektori muuttuu tällaisessa muunnoksessa.

Tilanne voidaan yleistää kuinka moneen ulottuvuuteen tahansa. Yleensä *n*-ulotteisessa avaruudessa kertaluvun *r* tensorin Hodgen duaali on kertaluvun *n*-*r* antisymmetrinen pseudotensori ja kääntäen. Erityisesti suppean suhteellisuusteorian neliulotteisesssa aika-avaruudessa pseudoskalaari on neljännen kertaluokan tensorin duaali ja verrannollinen neliulotteiseen Levi-Civitan pseudotensoriin.

### Esimerkki
* Kaksiulotteisen kokoonpuristumattoman fluidin virtafunktio\mathbf{v}\left(x,y\right)=\left\langle \partial_{y}\psi,-\partial_{x}\psi\right\rangle .
* Magneettivuo, joka on tavallisen vektorin (pinnan normaalivektorin) ja pseudovektorin (magneettivuon tiheyden) ristitulo
* magneettisen navan voimakkuus ja siihen liittyen magneettivaraus sellaisena kuin se on matemaattisesti määritelty, riippumatta siitä onko magneettisia monopoleja todella olemassa
* helisiteetti, joka on hiukkasen spin-pseudovektorin projektio liikemäärän (polaarisen vektorin) suunnassa ja sellaisena näiden pistetulo
* Pseudoskalaaristen hiukkasten aaltofunktiot. Nämä ovat hiukkasia, joilla on spin 0 ja pariton pariteetti ja joiden aaltofunktion etumerkki muuttuu pariteettimuunnoksissa. Sellaisia ovat esimerkiksi pseudoskalaariset mesonit kuten pioni ja kaoni.

Magneettisten suureiden pseudoskalaariluonne seuraa siitä, että sähkövirtaa ympäröivän magneettikentän suunta määräytyy oikean käden säännön mukaisesti. Näin ollen voidaan sanoa, että peilikuvassa jokaisen magneetin pohjoisnapa muuttuu etelänavaksi ja päinvastoin.

## Geometrisessa algebrassa

Geometrisessa algebrassa *G**n* korkeimman asteen termi on sen suuruutta lukuun ottamatta yksikäsitteinen.  *Pseudoskalaariksi* sanotaan *n* lineaarisesti riippumattoman vektorin ulkotuloa. Esimerkiksi kahdessa ulottuvuudessa on kaksi toisiinsa nähden kohtisuoraa kantavektoria, e_1 ja e_2, ja niihin liittyvä korkeimman asteen kanta-alkio on 

:e_1 e_2 = e_{12}.

Niinpä pseudoskalaarit ovat suureen *e*12 monikertoja.  Alkion *e*12 neliö on −1, ja se kommutoi kaikkien parillisten alkioiden kanssa ja käyttäytyy siten samoin kuin imaginaarinen skalaari *i* kompleksilukujen joukossa. Nimi pseudoskalaari johtuukin juuri tällaisten suurein skalaareja muistuttavista ominaisuuksista.

Tässä asetelmassa pseudoskalaarin etumerkki muuttuu pariteetin inversiossa, sillä jos 

:(*e*1, *e*2) &rarr; (*u*1, *u*2)

on ortogonaalisella matriisilla esitettävä kannanvaihto, on 

:*e*1*e*2 &rarr; *u*1*u*2 = ±*e*1*e*2,

missä etumerkki riippu muunnoksen determinantista. Näin ollen geometrisen algebran pseudoskalaarit vastaavat fysiikan pseudoskalaareja.

## Lähteet