Ylinuoli

**Ylinuoli** on kategoriateorian käsite, jolla tarkoitetaan kahden kategorian välistä rakennetta säilyttävää kuvausta. Sitä voidaan pitää kategoriateorian vasteena kuvauksille tai homomorfismeille, mutta se toimii kategorioiden tasolla: se kuvaa kategorian pisteet ja nuolet toisen kategorian pisteiksi ja nuoliksi siten, että liitokset ja identiteettinuolet säilyvät.

Ylinuolesta käytetään myös nimityksiä **funktori** (engl. *functor*), **rakennekuvaus**, **ylikuvaus** tai **kuvain**.

## Kansantajuinen selitys
Ylinuoli on tapa kuvata kategoria toiseksi niin, että sen keskeiset ominaisuudet säilyvät.

Kategoria koostuu pisteistä ja niiden välisistä nuolista. Ylinuoli vie jokaisen lähtökategorian pisteen johonkin maalikategorian pisteeseen, ja vastaavasti jokaisen nuolen johonkin maalikategorian nuoleen. Keskeistä on, että jos lähtökategoriassa kaksi nuolta voidaan liittää peräkkäin, niin niiden kuvat maalikategoriassa voidaan liittää samalla tavalla.

Esimerkiksi joukkojen kategoriassa pisteet ovat joukkoja ja nuolet ovat kuvauksia joukkojen välillä. Ylinuoli voisi kuvata jokaisen joukon A toiseksi joukoksi F(A) ja jokaisen kuvauksen f\colon A \to B toiseksi kuvaukseksi F(f)\colon F(A) \to F(B). Jos alkuperäisessä kategoriassa voi muodostaa yhdistetyn kuvauksen g \circ f, niin maalikategoriassakin vastaavat kuvaukset voidaan yhdistää samalla tavalla: F(g) \circ F(f).

## Määritelmä

Olkoot \mathcal{A} ja \mathcal{B} kategorioita. *Ylinuoli* F\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B} kuvaa

* jokaisen *lähtökategorian* pisteen X\in\dot{\mathcal{A}} *maalikategorian* pisteeksi F(X)\in\dot{\mathcal{B}} ja
* jokaisen lähtökategorian nuolen X\xrightarrow{f} Y maalikategorian nuoleksi F(X)\xrightarrow{F(f)} F(Y).

Lisäksi ylinuolelta vaaditaan kaksi ehtoa:
# Nuolten liitos säilyy eli jos lähtökategoriassa on voimassa X\xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z, niin maalikategoriassa on F(f+g)=F(f)+F(g).
# Lähtökategorian identiteettinuoli kuvautuu vastaavaksi maalikategorian identiteettinuoleksi eli F(\mathrm{id}_X)=\mathrm{id}_{F(X)}.

Nämä kaksi ehtoa takaavat, että ylinuoli säilyttää kategorian rakenteen: nuolten liitokset pysyvät samoina ja pisteiden identiteettinuolet säilyvät.

## Erityisiä ylinuolia
Olkoon F\colon\mathcal{A}\rightarrow\mathcal{B} ylinuoli. Määritellään jokaiselle pisteparille A,B\in\dot{\mathcal{A}} kuvaus F_{A,B}\colon\vec{\mathcal{A}}(A,B)\rightarrow\vec{\mathcal{B}}(F(A),F(B)) siten että f\mapsto F(f). Ylinuoli F on

* *täysi*, mikäli jokaiselle pisteparille A,B\in\dot{\mathcal{A}} kuvaus F_{A,B} on surjektio,
* *uskollinen*, mikäli jokaiselle pisteparille A,B\in\dot{\mathcal{A}} kuvaus F_{A,B} on injektio,
* *täysin uskollinen*, mikäli se on sekä täysi että uskollinen,
* *oleellisesti surjektio pisteille*, mikäli jokaiselle pisteelle X\in\dot{\mathcal{B}} on olemassa piste Y\in\dot{\mathcal{A}} siten että F(Y) ja X ovat isomorfisia.

### Esimerkkejä

Mille tahansa (ei tyhjille) kategorioille \mathcal{A} ja \mathcal{B} sekä pisteelle B\in\dot{\mathcal{B}} voidaan määritellä *vakionuoli* \Delta_B\colon\mathcal{A}\rightarrow\mathcal{B}, jonka arvo kaikilla \mathcal{A}:n pisteillä on B ja kaikilla \mathcal{A}:n nuolilla \mathrm{id}_B.

## Merkitys kategoriateoriassa
Ylinuolet ovat keskeisiä käsitteitä kategoriateoriassa, sillä niiden avulla voidaan määritellä muun muassa luonnolliset muunnokset, Yonedan apulause ja ylinuolten kategoria.
Myös kategoriat itse muodostavat kategorian, jonka nuolia ovat ylinuolet. Tämä mahdollistaa kategoriateorian soveltamisen itsensä tutkimiseen.

## Lähteet
* 
* Leinster, Tom. *Basic Category Theory.* Cambridge studies in advanced mathematics 143. Cambridge University Press. 2014. . Verkkoversio. 
* Niskanen, Markus. ''Liittofunktorit.'' Pro gradu -tutkielma. Tampereen yliopisto. Luonnontieteiden tiedekunta. Matematiikka. Marraskuu 2017. Viitattu 20.8.2021.

### Viitteet