Kolmion ratkaiseminen

**Kolmion ratkaiseminen** () on trigonometrinen tehtävä, jossa on laskettava kolmion sivujen pituudet ja niiden väliset kulmat, kun osa niistä tunnetaan.  Kolmio voi olla tavallinen tasopinnalla oleva tasokolmio tai pallopinnalla oleva pallokolmio. Kolmion ratkaisemisella on käytännön sovelluksia kuten geodesiassa, tähtitieteessä, rakennustekniikassa ja navigoinnissa.

## Tasokolmion ratkaiseminen

Kolmiota luonnehtii kuusi suuretta: kolmen sivun pituudet *a*, *b* ja *c* sekä niiden väliset kolme kulmaa, α, β ja γ.  Kolmioiden yhtenevyyttä koskevista tuloksista seuraa, että jos näistä tunnetaan kolme, jotka eivät kaikki ole kulmia, voidaan seuraavissa tapauksissa kolme muutakin yksikäsitteisesti laskea:

* tunnetaan kolmion kaikki sivut (**SSS**, "sivu-sivu-sivu")
* tunnetaan kaksi sivua ja niiden välinen kulma (**SKS**, "sivu-kulma-sivu")
* tunnetaan kaksi kulmaa ja niiden välinen sivu (**KSK**, "kulma-sivu-kulma")
* tunnetaan kaksi kulmaa ja toisen kulman vastainen sivu (**SKK'', "sivu-kulma-kulma").

Myös siinä tapauksessa, että tunnetaan kaksi sivua ja toisen sivun vastainen kulma (**SSK*', "sivu-sivu-kulma"), voidaan muut kulmat ja kolmas sivu yksikäsitteisesti laskea, mikäli tunnetun kulman vastainen sivu on pidempi kuin tunnettu saman kulman viereinen sivu. Mikäli tunnetun kulman vastainen sivu on lyhempi kuin viereinen sivu, mahdollisuuksia on kaksi.

Jos vain kolmion kulmat tunnetaan, ei sivujen pituuksia voida laskea, ainoastaan niiden suhteet. Kaikissa keskenään [[yhdenmuotoisuus|yhdenmuotosisissa]] kolmioissa ovat nimittäin kulmat yhtä suuret, vaikka kolmiot voivat olla minkä kokoisia tahansa.

=== Trigonometriset lauseet ===



Kolmioiden ratkaiseminen perustuu trigonometrian [[sinilause|sini]]- ja [[kosinilause]]eseen.  Sinilauseen mukaan kolmion sivut suhtautuvat toisiinsa kuten niiden vastakkaisten kulmien [[sini]]t, toisin sanoen:

:<math>\frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}} = \frac{c}{\sin{gamma}}</math>

Kosinilauseen mukaan kolmion kolmas sivu voidaan laskea kahden muun sivun ja niiden välisen kulman avulla seuraavasti:

:<math>a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos{\alpha}</math>

sekä vastaavasti:

:<math>b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos{beta}</math>
:<math>c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos{gamma}</math>

Joskus käyttökelpoisia ovat myös [[tangenttilause]]

<math display=block>\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan\frac12(\alpha-\beta)}{\tan\tfrac12 (\alpha+\beta)}.</math>

sekä [[kotangenttilause]] ja [[Mollweiden kaava]].

====Huomautuksia====
#Tuntemattoman kulman ratkaisemiseksi kannattaa mahdollisuuksien mukaan käyttää [[kosinilause]]tta [[sinilause]]en sijasta. Syynä  on se, että kulman [[sini]] ei yksikäsitteisesti määritä kulmaa. Jos esimerkiksi <math>\sin{\beta} = 0.5</math>, voi β olla joko 30° tai 150°. Kosinilausetta käytettäessä ei tällaista vaikeutta ole, koska 0°:n ja 180°:n välillä on vain yksi kulma, jonka kosini saa tietyn arvon. Toisaalta kuitenkin jos kulma on pieni tai lähellä 180 astetta, se on helpompi laskea numeerisesti sininsä avulla, koska kosinifunktion [[käänteisfunktio]]n, [[arkuskosini]]n [[derivaatta]] kasvaa rajatta argumentin lähestyessä arvoa 1 tai -1.
#Oletetaan, että tunnettujen sivujen ja kulmien keskinäinen järjestys on myös tunnettu, toisin sanoen tiedetään, seuraavatko tunnetut sivut ja kulmat toisiaan annetussa järjestyksessä kolmiota myötä- vai vastapäivään kierrettäessä. Ellei tätä tiedetä, ratkaisuksi saadaan kaksi erilaista kolmiota, jotka ovat toistensa peilikuvia. 

===Kolme sivua tunnettu (SSS)===


Oletetaan, että kolmion sivut tunnetaan ja ne ovat *a*, *b* ja *c*. Lisäksi on oletettava, ettei yksikään näistä ole suurempi kuin kahden muun summa [[kolmioepäyhtälö]]). Kolmion kulmat voidaan tällöin laskea [[kosinilause]]en avulla seuraavasti:

<math display=block>\begin{align}
  \alpha &= \arccos \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \\[4pt]
  \beta &= \arccos \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \\[4pt]
  \gamma &= \arccos \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}.
\end{align}</math>

Kun kaksi kulmaa (α ja β) on laskettu, voidaan kolmas laskea myös yksinkertaisemmin seuraavasti:

:<math>\gamma = 180^0 - \alpha - \beta</math>,

koska kolmion kulmien summa on aina 180°.

[[Heronin kaava]]n avulla voidaan kolmion pinta-alakin laskea, kun sen sivujen pituudet tunnetaan. Se on
:<math>A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}</math>, jossa <math>p=(a+b+c)/2</math> on puolet [[puolipiiri|kolmion piiristä]].

=== Kaksi sivua ja niiden välinen kulma tunnettu (SKS) ===



Oletetaan, että kolmion kaksi sivua ovat *a* ja *b* ja niiden välinen kulma γ.  Kolmas sivu voidaan tällöin laskea kosinilauseen avulla:
<math display=block>
  c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}.
</math>

Tämän jälkeen voidaan kosinilauseen avulla laskea kolmion toinenkin kulma:
<math display=block> 
  \alpha =  \arccos \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}.
</math>
ja edelleen kolmas kulma:

:<math>\beta = 180^0 - \alpha - \gamma</math>.

=== Kaksi kulmaa ja niiden välinen sivu tunnettu (KSK) ===


Oletetaan, että kolmiosta tunnetaan kaksi kulmaa, α ja β, ja niiden välinen sivu *c*.  Kolmion kolmas kulma on tällöin:

:<math>\gamma = 180^0 - \alpha - \beta</math>.

Kaksi tuntematonta sivua voidaan laskea sinilauseen avulla.
<math display=block>\begin{align}
  a &= c\ \frac{\sin\alpha}{\sin\gamma} = c\ \frac{\sin\alpha}{\sin\alpha \cos \beta + \sin\beta \cos \alpha} \\[4pt]
  b &= c\ \frac{\sin\beta}{\sin\gamma} = c\ \frac{\sin\beta}{\sin\alpha \cos \beta + \sin\beta \cos \alpha}
\end{align}</math>

===Kaksi kulmaa ja toisen vastainen sivu tunnettu (SKK) ===

Jos kolmion kaksi kulmaa ja niistä toisen vastainen sivu tunnetaan, muut kulmat ja sivut voidaan laskea samoin kuin edellä, kun kulmien välinen sivu tunnetaan. Ensin lasketaan kolmion kolmas kulma käyttäen sitä tietoa, että kolmion kulmien summa on vakio (180°), minkä jälkeen muut kaksi sivua lasketaan sinilauseen avulla kuten edellä.

===Kaksi sivua ja toisen vastainen kulma tunnettu (SSK) ===



Jos kaksi sivua ja toisen sivun vastainen kulma on annettu, ei kolmiota kaikissa tapauksissa voida muodostaa. Toisinaan taas nämä ehdot toteuttavia kolmioita on kaksi erilaista. Ratkaisu on yksikäsitteinen vain, jos annetun kulman viereinen annettu sivu on lyhempi kuin toinen annettu sivu.

Oletetaan, että sivut *b* ja *c* ja kulma β on annettu. [[Sinilause]]en nojalla kulmalle γ saadaan lauseke:
<math display=block>\sin\gamma = \frac c b \sin\beta.</math>

Seuraavassa käytetään edellisen yhtälön oikealle puolelle suhteelle <math>\frac c b \sin\beta</math> merkintää *D*. Tällöin on neljä erilaista tapausta: 

#Jos *D* > 1, ei annetut ehdot täyttävää kolmiota voida muodostaa, koska sivu *b* ei ulotu sivulle BC saakka. Samasta syystä kolmiota ei voida muodostaa myöskään, jos β ≥ 90° ja *b* ≤ *c*.

#Jos *D* = 1, tehtävällä on yksikäsitteinen ratkaisu, γ = 90°.  Kolmio on siis [[suorakulmainen kolmio|suorakulmainen]]; kolmas kulma α on α = 90° - β, ja sivu *a* on [[Pythagoraan lause]]en mukaan <math>a = \sqrt{c^2-b^2}</math>.
#Jos *D* < 1, on vielä kaksi mahdollisuutta:
## Jos *b* ≥ *c*, on β ≥ γ, sillä pidemmän sivun vastainen kulma on suurempi. Koska missään kolmiossa ei voi olla kahta tylppää kulmaa, kulman γ on oltava terävä ja ratkaisu <math>\gamma = \arcsin{D}</math> on yksikäsitteinen.
## Jos *b* < *c*, kulma γ voi olla joko terävä, <math>\gamma = \arcsin{D}</math>, tai tylppiä, <math>\gamma = 180^0 - \arcsin{D}</math>. Viereisessä kuviossa edellisen ratkaisun muodostavat piste *C*, sivu *b* ja kulma γ, jälkimmäisen piste *C*’, sivu *b*’ ja kulma γ’. 

Kun kulma γ on näin saatu, kolmas kulma voidaan laskea: :<math>\gamma = 180^0 - \alpha - \beta</math>.  Kolmas sivu *a* voidaan laskea joko sinilauseella:

<math display=block>a = b\ \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}</math>

tai kosinilauseella:
<math display=block>a = c\cos\beta \pm  \sqrt{b^2 -c^2\sin^2\beta} </math>

==Pallokolmion ratkaiseminen==


Tasokolmion tavoin myös pallokolmiota luonnehtii kolme sivua ja kolme kulmaa. Kun näistä yhteensä kuudesta suureesta tunnetaan kolme, voidaan kolme muutakin ratkaista. Pallokolmion sivut *a*, *b* ja *c* ovat pallon [[isoympyrä|isoympyröiden]] kaaria, ja niiden pituuksien sijasta käytetään yleensä niitä vastaavia [[keskuskulma|keskuskulmia]], jotka ilmoitetaan kulmayksiköissä. [[Yksikköpallo]]lla tämä keskuskulma [[radiaani|radiaaneina]] on yhtä suuri kuin kaaren pituus. Muun suuruisilla palloilla taas tämä keskuskulma radiaaneina on yhtä suuri kuin kaaren pituus jaettuna pallon säteellä.

[[Pallogeometria]] poikkeaa monessa suhteessa tason [[euklidinen geometria|euklidisesta geometriasta]], joten pallokolmioiden ratkaisemisessa on noudatettava eri sääntöjä. Esimerkiksi pallokulmion kulmien summa α + β + γ on aina suurempi kuin 180° ja riippuu kolmion koosta. Lisäksi erikokoiset kolmiot eivät voi olla [[yhdenmuotoisuus|yhdenmuotoisia]], ja näin ollen pallokolmion sivut voidaan yksikäsitteisesti määrittää, jos tunnetaan kolmion kaikki kulmat. Tasotrigonometrian [[sinilause|sini-]] ja [[kosinilause]]illa on kuitenkin läheiset vastineet myös [[pallotrigonometria]]ssa: sinilause

<center><math>\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C}</math>,</center>

sekä ensimmäinen ja toinen kosinilause

:<math>\begin{align}
\cos a &= \cos b\cos c + \sin b\sin c\cos A\\
\cos A &= -\cos B\cos C + \sin B\sin C\cos a.
\end{align}</math>

missä *A*, *B* ja *C* ovat pallokolmion kulmat ja *a*, *b* ja *c* sen (kulmamitoissa ilmaistut) sivut.

Muita usein käyttökelpoisia lauseita ovat puolen sivun kaava ja Napierin verrannot:
<math display=block>\begin{align}
  \tan\tfrac12 c \, \cos\tfrac12(\alpha-\beta) &= \tan\tfrac12(a+\,b) \cos\tfrac12(\alpha+\beta) \\
  \tan\tfrac12 c \, \sin\tfrac12(\alpha-\beta) &= \tan\tfrac12(a\ \!-\,b)  \sin\tfrac12(\alpha+\beta) \\
  \cot\tfrac12\gamma \ \! \cos\tfrac12(a\ \!-\,b) &= \tan\tfrac12(\alpha+\beta) \cos\tfrac12(a+b) \\
  \cot\tfrac12\gamma \, \sin\tfrac12(a\ \!-\,b) &= \tan\tfrac12(\alpha-\beta) \sin\tfrac12(a+b).
\end{align}</math>



Jäljempänä esitettävissä yhtälöissä *a*, *b* ja *c* tarkoittavat siis kaaria vastaavia keskuskulmia kulmayksiköissä. Jos ne halutaan ilmaista pituusyksiköissä, on *a*, *b* ja *c* kaikkialla korvattava lausekkeilla *a*/*R*, *b*/*R* ja *c*/*R*, missä kulmat on mitattu [[radiaani|radiaaneina]] ja *R* on pallon säde. Edellä esitetyt tasokolmioita koskevat lausekkeet saadaan tällöin [[raja-arvo]]ina, kun *R* kasvaa rajatta eli lähestyy ääretöntä.
.
===Pallokolmion kolme sivua tunnettu (SSS) ===
Oletetaan, että kolmion sivut *a*, *b* ja *c* tunnetaan kulmayksiköissä. Kolmion kulmat voidaan laskea pallotrigonometrian kosinilauseen avulla:
<math display=block>\begin{align}
  \alpha &= \arccos\frac{\cos a-\cos b\ \cos c}{\sin b\ \sin c}, \\[4pt]
  \beta  &= \arccos\frac{\cos b-\cos c\ \cos a}{\sin c\ \sin a}, \\[4pt]
  \gamma &= \arccos\frac{\cos c-\cos a\ \cos b}{\sin a\ \sin b}.
\end{align}</math>



=== Pallokolmion kaksi sivua ja niden välinen kulma tunnettu (SKS) ===

Oletetaan, että pallokolmion kaksi sivua ovat kulmayksiköissä *a* ja *b* ja että niiden välinen kulma on γ.  Sivu *c* saadaan nytkin pallotrigonometrian kosinilauseen avulla:
<math display=block>c = \arccos \left(\cos a\cos b + \sin a\sin b\cos\gamma \right).</math>

Kulmat α ja β voidaan laskea kuten edellä taikka Napierin verrantojen avulla seuraavasti:

<math display=block>\begin{align}
  \alpha &= \arctan\ \frac{2\sin a}{\tan\frac12\gamma \, \sin(b+a) + \cot\frac12\gamma \, \sin(b-a)}, \\[4pt]
  \beta  &= \arctan\ \frac{2\sin b}{\tan\frac12\gamma \, \sin(a+b) + \cot\frac12\gamma \, \sin(a-b)}.
\end{align}</math>

Tätä tulosta sovelletaan [[navigointi|navigoinnissa]] maapallon isoympyrää pitkin tai määritettäessä kahden maapallolla olevan paikkakunnan kautta kulkeva [[isoympyrä]], kun paikkakuntien leveys- ja pituusasteen tunnetaan. Tällöin on käytettävä kaavoja, jotka eivät ole alttiina suurille pyöristysvirheille. Seuraavat [[vektorialgebra]]n avulla johdetut kaavat ovat käyttökelpoisia:

<math display=block>\begin{align}
  c &= \arctan\frac{\sqrt{(\sin a\cos b - \cos a \sin b \cos \gamma)^2 + (\sin b\sin\gamma)^2}}{\cos a \cos b + \sin a\sin b\cos\gamma}, \\[4pt]
  \alpha &= \arctan\frac{\sin a\sin\gamma}{\sin b\cos a - \cos b\sin a\cos\gamma}, \\[4pt]
  \beta &= \arctan\frac{\sin b\sin\gamma}{\sin a\cos b - \cos a\sin b\cos\gamma},
\end{align}</math>
joissa lausekkeiden osoittajan ja nimittäjän etumerkeistä päätellään, mihin tason neljännekseen arkustangentti kuuluu.




===Pallokolmion kaksi sivua ja toisen sivun vastainen kulma tunnettu (SSK) ===
Tämä tehtävä ei kaikissa tapauksissa ole ratkaistavissa, ja ratkaisu on varmasti yksikäsitteinen vain, jos tunnetun kulman viereinen sivu on lyhyempi kuin toinen tunnettu sivu.

Oletetaan, että tunnetaan sivut *b* ja *c* ja sivun *b* vastainen kulma β.  Ratkaisu on olemassa, jos seuraava ehto pätee:
<math display=block>b > \arcsin\! \bigl(\sin c\,\sin\beta \bigr).</math>

Kulma γ saadaan tällöin pallokolmioiden sinilauseen avulla:

<math display=block>\gamma = \arcsin \frac{\sin c\,\sin\beta}{\sin b}.</math>

Jos *b* < *c*, ratkaisuja on kaksi, samoin kuin tasokolmioidenkin tapauksessa, nimittäin γ ja 180° - γ.

Sivu *a* ja sen vastainen kulma α saadaan Napierin verrantojen avulla:
<math display=block>\begin{align}
  a &= 2\arctan \left[ \tan\tfrac12(b-c) \ \frac{\sin\tfrac12(\beta+\gamma)}{\sin\tfrac12(\beta-\gamma)} \right], \\[4pt]
  \alpha &= 2\arccot \left[\tan\tfrac12(\beta-\gamma) \ \frac{\sin \tfrac12(b+c)}{\sin \tfrac12(b-c)} \right].
\end{align}</math>



===Pallokolmion kaksi kulmaa ja niiden välinen sivu tunnettu (KSK) ===

Oletetaan, että kolmiosta tunnetaan kaksi sivua, α ja β ja niiden välinen sivu *c*.  Lasketaan ensin kolmion kolmas kulma γ pallokolmioiden kosinilauseen avulla:

<math display=block>\gamma = \arccos\! \bigl(\sin\alpha\sin\beta\cos c -\cos\alpha\cos\beta \bigr).\,</math>

Kaksi tuntematonta sivua saadaan lasketuiksi joko tämän lasketun kulman γ ja pallokolmioiden kosinilauseen avulla:

<math display=block>\begin{align}
  a &= \arccos\frac{\cos\alpha+\cos\beta\cos\gamma}{\sin\beta\sin\gamma}, \\[4pt]
  b &= \arccos \frac{\cos\beta+\cos\alpha\cos\gamma}{\sin\alpha\sin\gamma},
\end{align}</math>

tai Napierin epäyhtälöillä:
<math display=block>\begin{align}
  a &= \arctan\frac{2\sin\alpha}{\cot\frac12 c \, \sin(\beta+\alpha) + \tan\frac12 c \, \sin(\beta-\alpha)}, \\[4pt]
  b &= \arctan\frac{2\sin\beta} {\cot\frac12 c \, \sin(\alpha+\beta) + \tan\frac12 c \, \sin(\alpha-\beta)}.
\end{align}</math>




===Pallokolmion kaksi kulmaa ja toisen kulman vastainen sivu tunnettu (SKK) ===

Oletetaan, että pallokolmiosta tunnetaan kulmat α ja β sekä kulman α vastainen sivu *a*. Sivu *b* saadaan tällöin lasketuksi pallokolmioiden sinilauseen avulla:
<math display=block>b = \arcsin  \frac{\sin a\,\sin \beta}{\sin \alpha} .</math>

Jos kulma α on terävä ja α > β, tehtävällä on toinekin ratkaisu:
<math display=block>b = \pi - \arcsin \frac{\sin a\,\sin \beta}{\sin \alpha} .</math>

Muut sivut ja kulma γ saadaan Napierin verrantojen avulla:
<math display=block>\begin{align}
  c &= 2\arctan \left[ \tan\tfrac12(a-b) \ \frac{\sin\tfrac12(\alpha+\beta)}{\sin\frac12(\alpha-\beta)}\right], \\[4pt]
  \gamma &= 2\arccot \left[\tan\tfrac12(\alpha-\beta) \ \frac{\sin \tfrac12(a+b)}{\sin \frac12(a-b)} \right].
\end{align}</math>




===Pallokolmion kolme kulmaa tunnettu (KKK) ===

Toisin kuin tasokolmioilla, pallokolmion sivujen pituudet voidaan yksikäsitteisesti ratkaista myös siinä tapauksessa, että tunnetaan vain kaikki kolme kulmaa, α, β ja γ.  Sivut saadaan pallokolmioiden kosinilauseen avulla:
<math display=block>\begin{align}
  a &= \arccos\frac{\cos\alpha + \cos\beta\cos\gamma}{\sin\beta\sin\gamma}, \\[4pt]
  b &= \arccos\frac{\cos\beta + \cos\gamma\cos\alpha}{\sin\gamma\sin\alpha}, \\[4pt]
  c &= \arccos\frac{\cos\gamma + \cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta}.
\end{align}</math>

===Suorakulmaisten pallokolmioiden ratkaiseminen ===

Edellä esitetyt algoritmit yksinkertaistuvat huomattavati, jos jokin pallokolmion kulmista, esimerkiksi kulma γ, on [[suora kulma|suora].  Sellainen kolmio voidaan ratkaista, kun suoran kulman lisäksi tunnetaan kaksi muuta elementtiä (sivua tai kulmaa); muut kolme voidaan tällöin ratkaista joko [[Napierin viisikulmio]]n tai seuraavien relaatioiden avulla:

:<math>\sin a = \sin c \cdot \sin \alpha</math> (pallokolmioiden sinilauseen mukaan)
:<math>\tan a = \sin b \cdot \tan \alpha</math>
:<math>\cos c = \cos a \cdot \cos b</math> (pallokolmioden kosinilauseen mukaan)
:<math>\tan b = \tan c \cdot \cos \alpha</math>
:<math>\cos A = \cos a \cdot \sin \beta</math> (pallokolmioiden kosinilauseen mukaan)
:<math>\cos c = \cot A \cdot \cot \beta</math>

==Sovelluksia==

===Kolmiomittaus===


Jos halutaan määrittää kaukana näkyvän laivan etäisyys rannasta (*d*), valitaan rannalta kaksi pistettä, joiden etäisyys eli kolmiomittauksen *perusviiva*, *l*, tunnetaan.  Olkoot α ja β perusviivan ja laivaan osoittavien suuntien väliset kulmat.

Kun laiva näkyy, sen etäisyys ei ole niin suuri, että maan pallonmuotoisuus olisi otettava huomioon. Näin ollen voidaan käyttää tasokolmioiden KSK-tapauksen tulosta. Laivan etäisyys rannasta on perusviivan päätepisteiden ja laivan muodostaman kolmion korkeusjanan pituus:
<math display=block>
  d = \frac{\sin\alpha\,\sin\beta}{\sin(\alpha + \beta)} \ell = \frac{\tan\alpha\,\tan\beta}{\tan\alpha + \tan\beta} \ell.</math>

Jos maan pallonmuotoisuus kuitenkin on otettava huomioon, on ensin laskettava etäisyys jommastakummasta pisteestä (α tai β) laivaan. Pisteestä α laskettu etäisyys on edellä KSK-tapaukselle johdetun lausekkeen mukaan
<math display=block> 
  \tan b = \frac{2\sin\beta}{\cot\frac12 \ell \, \sin(\alpha + \beta) + \tan\frac12 \ell \, \sin(\alpha - \beta)},
</math>.
Kun tämä sijoitetaan tapauksessa SKK saatuun lausekkeesen ja käytetään suorakulmaista osakulmiota, johon sisältyvät kulma α ja sivt *b* ja *d*, saadaan:
<math display=block> 
  \sin d = \sin b \sin\alpha = \frac{\tan b}{\sqrt{1 + \tan^2 b}}\sin\alpha.
</math>
Tasokolmiolle edellä kohdettu lauseke on itse asiassa sama kuin [[Taylorin sarja]]n ensimmäinen termi, kun pallokolmiole kohdettu lauseke esitetään ℓ:n potenssien sarjana.

Tätä menetelmää käytetään [[kabotaasi]]ssa. Kulmat α ja β määritetään tarkkailemalla tuttuja maamerkkejä laivasta käsin.


Toisena esimerkkinä voidaan tarkastella vuoren tai korkean rakennuksen korkeuden määritystä. Valitaan maan pinnalta kaksi pistettä, joista katsottuna vuoren tai rakennuksen huipun korkeuskulmat ovat α ja β, ja olkoon *ℓ* näiden pisteiden etäisyys toisistaan. Samoista KSK-tapauksen kaavoista saadaan korkeudeksi: 
<math display=block> 
  h = \frac{\sin\alpha\,\sin\beta}{\sin(\beta-\alpha)} \ell = \frac{\tan\alpha\,\tan\beta}{\tan\beta-\tan\alpha} \ell.
</math>

===Kahden maapallolla olevan paikan välinen etäisyys===



Jos kahden maapallolla olevan paikkakunnan [[maantieteellinen pituus ja leveys]] ovat:
:paikkakunta A: leveys λ<sub>*A*</sub>, pituus *L*<sub>A</sub>, ja
:paikkakunta B: leveys λ{<sub>*b*</sub>, pituus *L*<sub>*B*</sub>, 
niiden välinen etäisyys maapallon [[isoympyrä]]ä pitkin mitattuna voidaan laskea muodostamalla maapallolle pallokolmio, jonka kärkinä *A* ja *B* ovat paikkakunnat A ja B sekä kolmantena kärkipisteenä *C* [[pohjoisnapa]]. 
Tällöin pallokulmion kaksi sivua ovat:
<math display=block>\begin{align}
  a &= 90^\circ - \lambda_B, \\
  b &= 90^\circ - \lambda_A, \\
  \gamma &= L_A - L_B.
\end{align}</math>
Kolmiosta tunnetaan siis kaksi sivua ja niiden välinen kulma, joka on sama kuin paikkakuntien A ja B maantietellisten pituuksien erotus |*L*<sub>*B*</sub> - *L*<sub>*A*</sub>|.

Edellä olevan SKS-tuloksen mukaan paikkakuntien A ja B etäisyys on siis:
<math display=block>
 \overline{AB} = R \arccos\!\Bigr[\sin \lambda_A \sin \lambda_B + \cos \lambda_A \cos \lambda_B \cos(L_A - L_B)\Bigr].
</math>, 
missä *R'' on Maan säde (noin 6366 km).

### Muita sovelluksia

Pallokolmioiden ratkaisemisen muihin sovelluksiin kuuluu myös muslimien kohti Mekkaa osoittavan rukokussuunnan eli qiblan määrittäminen. Tehtävä voidaan ratkaista muodostamalla pallokolmio, yksi kärki (A) on pohjoisnavalla, toinen (B) Mekassa ja kolmas (C) sillä paikkakunnalla, josta käsin suunta on määritettävä. Tällöin kulma γ, jonka kärki on pisteessä C, osoittaa, minkä verran tämä suunta poikkeaa pohjoissuunnasta.

## Lähteet

## Aiheesta muualla

* 
*