Helioksen karjan lukumäärä

**Helioksen karjan lukumäärä** eli *Härkäongelma* (,  tai *Problema Archimedis*) on Arkhimedeen kirjoittama antiikin kreikkalainen aritmeettinen runo, joka pyytää lukijaa selvittämään Helioksen karjan lukumäärän annettujen ehtojen perusteella.

Ongelmaa ei kyetty ratkaisemaan pitkään aikaan, osin siksi, että sen ratkaisu edellytti erittäin suurten lukujen käsittelyä. Tämä on tehnyt siitä yhden historian tunnetuimmista ja suuritöisimmistä matematiikan haasteista antiikin ajoilta. Yleisen ratkaisun ongelmaan löysi August Amthor vuonna 1880. Pienin mahdollinen ratkaisu, joka täyttää kaikki annetut ehdot, on noin {7{,}76 \cdot 10^{206\,544}} nautaa.

## Historia

Arkhimedes eli ja kirjoitti hellenistisellä kaudella 200-luvulla eaa. *Helioksen karjan lukumäärä* laitetaan yleensä Arkhimedeen nimiin, mutta ei ole täysin varmaa, että hän on sen kirjoittaja. Runo on sen alussa olevan omisteen mukaan ”Ongelma, jonka Arkhimedes kehitti epigrammimuodossa ja lähetti kirjeessä Eratosthenes Kyreneläiselle ilmoittaen siitä siten niille, jotka pohtivat näitä asioita Aleksandriassa”. Teos tunnettiin alun perin tämän otsakkeen ensimmäisen sanan mukaan yksinkertaisesti nimellä *Problēma* (), ”Ongelma”. Myöhemmin se sai nimen *Bo(e)ikon problēma* (), kirjaimellisesti ”Nautaongelma” tai ”Karjaongelma”.

Runon löysi saksalainen kirjailija ja klassillinen filologi Gotthold Ephraim Lessing, joka nimitettiin vuonna 1769 Wolfenbütteliin Herzog Augustin kirjaston eli Bibliotheca Augustan kirjastonhoitajaksi. Kirjastossa oli paljon kreikan- ja latinankielisiä käsikirjoituksia, ja *Helioksen karjan lukumäärä* löytyi niiden joukosta. Lessing julkaisi vuonna 1773 kommentaareilla varustetut käännökset eräistä kirjaston käsikirjoituksista, mukaan lukien *Helioksen karjan lukumäärä*. Myöhemmin runon teksti on löydetty myös kahdesta muusta käsikirjoituksesta.

Runo on suomennettu osana kokoelmaa *[[Kelluvat kappaleet ja muita kirjoituksia]]* (2025).

## Sisältö

Runo on kirjoitettu epigrammimuodossa ja käsittää omisteen lisäksi 44 säettä. Aiheeltaan runo viittaa kreikkalaisesta mytologiasta ja erityisesti Homeroksen *[[Odysseia]]sta* tunnettuun auringonjumala Helioksen karjaan, joka laidunsi Thrinakian saarella.

### Ongelma

Arkhimedes asettaa ongelman seuraavasti: Helioksen karja oli jaettu neljään laumaan väreittäin: valkoiset, mustat, keltaiset ja laikukkaat. Jokaisessa laumassa oli sekä härkiä että lehmiä, ja eläinten lukumäärät noudattivat tiettyjä matemaattisia suhteita. Valkoisten härkien määrä oli yhtä suuri kuin puolet ja kolmasosa mustista häristä lisättynä keltaisten härkien määrällä. Mustia härkiä oli neljäsosa ja viidesosa laikukkaiden härkien määrästä lisättynä keltaisten härkien määrällä. Laikukkaiden härkien lukumäärä oli kuudesosa ja seitsemäsosa valkoisista häristä lisättynä jälleen keltaisten härkien määrällä.

Lehmien määrät oli määritelty seuraavasti: valkoisia lehmiä oli kolmasosa ja neljäsosa mustien nautojen (eli sekä härkien että lehmien) kokonaismäärästä. Mustien lehmien määrä oli taas neljäsosa ja viidesosa laikukkaiden nautojen kokonaismäärästä. Laikukkaiden lehmien määrä oli yhtä suuri kuin viidesosa ja kuudesosa keltaisten nautojen kokonaismäärästä. Lopuksi, keltaisia lehmiä oli kuudesosa ja seitsemäsosa valkoisten nautojen kokonaismäärästä.

Arkhimedes lisäsi ongelmaan vielä kaksi lisäehtoa, jotka tekevät siitä huomattavasti vaikeamman. Ensimmäinen ehto vaatii, että valkoisten ja mustien härkien yhteenlaskettu määrä muodostaa neliöluvun: eläimet voidaan siis asettaa neliömuodostelmaan, jossa rivejä ja sarakkeita on yhtä monta. Toinen ehto määrää, että laikukkaiden ja keltaisten härkien yhteenlaskettu määrä on kolmioluku — luku, joka voidaan esittää tasasivuisen kolmion muotoisena pistemääränä.

### Skholion

Runon käsikirjoitusten lopussa on *skholion* eli skolia, joka on peräisin tekstin joltakin kopioitsija-kommentaattorilta. Se sisältää ongelman ratkaisuehdotuksen, joka on kuitenkin virheellinen ja saatu nautojen lukumäärä selvästi liian pieni.

## Ratkaisu

Ongelma johtaa diofanttiseen yhtälöryhmään, jonka ratkaiseminen vaatii Pellin yhtälön tuntemista. Ensimmäisen osan ratkaisu on mahdollinen yksinkertaisin suhtein, mutta toisen osan lisäehdot tekevät siitä eksponentiaalisesti vaikeamman.

### Ensimmäinen osa
#### Pienin ratkaisu

Ensimmäinen osa ongelmasta on helposti ratkaistavissa muodostamalla yhtälöryhmä. Jos valkoisten, mustien, laikukkaiden ja keltaisten härkien lukumäärät merkitään kirjaimilla W, B, D ja Y, ja valkoisten, mustien, laikukkaiden ja keltaisten lehmien lukumäärät kirjaimilla w, b, d ja y, ongelma on yksinkertaisesti löytää ratkaisu seuraavaan:

::\begin{align}
 W &= \left(\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3}\right) B + Y = \tfrac{5}{6} B + Y, \\
 B &= \left(\tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{5}\right) D + Y = \tfrac{9}{20} D + Y, \\
 D &= \left(\tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{7}\right) W + Y = \tfrac{13}{42} W + Y, \\
 w &= \left(\tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{4}\right) (B + b) = \tfrac{7}{12} (B + b), \\
 b &= \left(\tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{5}\right) (D + d) = \tfrac{9}{20} (D + d), \\
 d &= \left(\tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{6}\right) (Y + y) = \tfrac{11}{30} (Y + y), \\
 y &= \left(\tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{7}\right) (W + w) = \tfrac{13}{42} (W + w).
\end{align}

Kyseessä on seitsemän yhtälön ryhmä, jossa on kahdeksan tuntematonta. Näin se on alimäärätty ja sillä on äärettömän monta ratkaisua. Pienimmät positiiviset kokonaisluvut, jotka täyttävät kaikki seitsemän yhtälöä, ovat:

::\begin{align}
 W &= 10\,366\,482 = {4\,657} \cdot {2\,226},\\
 B &= 7\,460\,514 = {4\,657} \cdot {1\,602},\\
 D &= 7\,358\,060 = {4\,657} \cdot {1\,580},\\
 Y &= 4\,149\,387 = {4\,657} \cdot 891,\\
 w &= 7\,206\,360, \\
 b &= 4\,893\,246, \\
 d &= 3\,515\,820, \\
 y &= 5\,439\,213,
\end{align}

mikä tekee karjan kokonaismääräksi

::W + B + D + Y + w + b + d + y = {50\,389\,082}

nautaa. Muut ratkaisut ovat näiden kokonaislukukertoja. Huomionarvoista on, että kun otetaan alkuluku p = {4\,657}, niin ensimmäiset neljä lukua ovat tämän p:n monikertoja, ja sekä p että p + 1 esiintyvät toistuvasti myöhemmin.

#### Yleinen ratkaisu

Kun kolme ensimmäistä yhtälöä muotoillaan sopivasti ja murtoluvut poistetaan, saadaan seuraava yhtälöryhmä:

::

Kolme yhtälöä neljällä tuntemattomalla W, B, D ja Y muodostavat normaalisti alimäärätyn järjestelmän, jolla on äärettömän monta ratkaisua. Yksi tuntemattomista voidaan valita vapaasti. Oletetaan tässä, että tuntematon Y on tunnettu, jolloin saadaan seuraavat ratkaisut:

::

Koska lukujen W, B ja D täytyy olla kokonaislukuja (onhan kyse nautojen lukumäärästä), myös \tfrac{1}{891}Y täytyy olla kokonaisluku. Siis Y täytyy olla luvun 891 monikerta. Olkoon siis Y = 891 \cdot s, missä s \in \mathbb{N}. Tällöin saadaan:

::

Kun otetaan tarkasteluun myös neljä muuta yhtälöä, poistetaan murtoluvut ja muotoillaan sopivasti, saadaan seuraava yhtälöryhmä:

::

Jos nyt sijoitetaan ensimmäisestä yhtälöryhmästä saadut arvot W={2\,226}\cdot s, B={1\,602}\cdot s, D={1\,580}\cdot s, Y=891\cdot s, saadaan:

::

Koska s voidaan valita vapaasti, kyseessä on yksikäsitteisesti ratkaistava yhtälöryhmä neljällä yhtälöllä ja neljällä tuntemattomalla w, b, d ja y. Saadaan seuraavat ratkaisut:

::

Koska myös lukujen w, b, d ja y täytyy olla kokonaislukuja, täytyy \tfrac{1}{4\,657}s olla kokonaisluku. Siis s täytyy olla luvun {4\,657} monikerta. Olkoon siis s = {4\,657} \cdot k, missä k \in \mathbb{N}. Tällöin saadaan seuraavat ratkaisut:

::

Näin ollen Arkhimedeen karjaongelman ensimmäinen ja helpompi osa (ilman kahta lisäehtoa) saa seuraavan yleisen ratkaisun (missä k \in \mathbb{N} voidaan valita vapaasti):

::\begin{align}
W &= {2\,226} \cdot s &= {10\,366\,482} \cdot k,\\
B &= {1\,602} \cdot s &= {7\,460\,514} \cdot k,\\
D &= {1\,580} \cdot s &= {7\,358\,060} \cdot k,\\
Y &= 891 \cdot s &= {4\,149\,387} \cdot k,\\
w &= {7\,206\,360} \cdot k,\\
b &= {4\,893\,246} \cdot k,\\
d &= {3\,515\,820} \cdot k,\\
y &= {5\,439\,213} \cdot k.
\end{align}

Koko karjan kokonaismäärä on siis

::W + B + D + Y + w + b + d + y = {50\,389\,082} \cdot k.

### Toinen osa

Ongelman toinen osa toteaa, että W+B on neliöluku ja D+Y on kolmioluku.

#### Pienin ratkaisu

Se, että W + B tulee olla neliöluku, voidaan ilmaista

::W + B = m^2.

Kun tähän yhtälöön sijoitetaan välitulokset W = {10\,366\,482} \cdot k ja B = {7\,460\,514} \cdot k, saadaan

::{10\,366\,482} \cdot k + {7\,460\,514} \cdot k = {17\,826\,996} \cdot k = m^2,

joka on alkutekijöihin hajotettuna sama kuin

::2^2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 29 \cdot {4\,657} \cdot k = m^2.

Jotta vasen puoli olisi täydellinen neliö, täytyy päteä

::k = 3 \cdot 11 \cdot 29 \cdot {4\,657} \cdot r^2 = {4\,456\,749} \cdot r^2,

missä r \in \mathbb{N} on kokonaisluku.

Seuraavaksi se, että D + Y tulee olla kolmioluku, voidaan ilmaista:

::D + Y = \tfrac{n \cdot (n+1)}{2}.

Kun määritellään, että h = 2n + 1, eli n = \tfrac{h-1}{2}, voidaan tämä kirjoittaa myös muodossa

::D + Y = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{h-1}{2} \cdot \tfrac{h+1}{2} = \tfrac{1}{8} (h^2 - 1)

tai

::1 + 8(D + Y) = h^2.

Koska n on kokonaisluku, on h selvästi pariton.

Kun summaan D + Y sijoitetaan välitulokset D = 1580 \cdot {4\,657} \cdot k ja Y = 891 \cdot {4\,657} \cdot k, ja koska {1\,580} + 891 = {2\,471} = 7 \cdot 353, saadaan:

::\begin{align}
 D + Y &= 7 \cdot 353 \cdot {4\,657} \cdot k \\
 &= 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 29 \cdot 353 \cdot {4\,657}^2 \cdot r^2 \\
 &= {2\,364\,747} \cdot {4\,657}^2 \cdot r^2.
\end{align}

Kun tämä sijoitetaan yllä saatuun yhtälöön, saadaan h:n ja r:n välinen yhteys:

::1 + 8 \cdot {2\,364\,747} \cdot {4\,657}^2 \cdot r^2 = h^2.

Koska 8 \cdot {2\,364\,747} \cdot {4\,657}^2 = {410\,286\,423\,278\,424}, muodostuu seuraava Pellin yhtälö:

::h^2 - {410\,286\,423\,278\,424} \cdot r^2 = 1.

Kun huomioidaan hajotelma {410\,286\,423\,278\,424} = {4\,729\,494} \cdot (2 \cdot {4\,657})^2, voidaan muodostaa helpommin ratkaistava Pellin yhtälö:

::h^2 - {4\,729\,494} \cdot (2 \cdot {4\,657}r)^2 = 1.

Tällä Pellin yhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua, koska {4\,729\,494} ei ole neliöluku.

Se ratkaistaan käyttämällä \sqrt{4\,729\,494}:n jatkuvan murtoluvun kehitelmää, jonka jakso on pituudeltaan 92 ja kokonaispituus 93. Se kuuluu:

::\begin{align}
\sqrt{4\,729\,494}=[{2\,174};\overline{1,2,1,5,2,25,3,1,1,1,1,1,1,15,1,2,16,1,2,1,1,8,6,1,21,1,1,3,1,1,1,2,2,6,1,1,5,1,17,1,1,47,3,} \\
\overline{1,1,6,1,1,3,47,1,1,17,1,5,1,1,6,2,2,1,1,1,3,1,1,21,1,6,8,1,1,2,1,16,2,1,15,1,1,1,1,1,1,3,25,2,5,1,2,1,{4\,348}}]
\end{align}

Yllä olevan Pellin yhtälön h^2 - {4\,729\,494} \cdot (2 \cdot {4\,657r})^2 = 1 pienin ratkaisu on:

::\begin{align}
h_0 &= 109\,931\,986\,732\,829\,734\,979\,866\,232\,821\,433\,543\,901\,088\,049 &\approx 1{,}099 \cdot 10^{44}, \\
g_0 = 2 \cdot {4\,657}r_0 &= 50\,549\,485\,234\,315\,033\,074\,477\,819\,735\,540\,408\,986\,340 &\approx 5{,}055 \cdot 10^{40}.
\end{align}

Tästä saadaan:

::r_0 = \tfrac{g_0}{2 \cdot {4\,657}} = \tfrac{25\,274\,742\,617\,157\,516\,537\,238\,909\,867\,770\,204\,493\,170}{4\,657} \notin \mathbb{N},

eli se ei ole kokonaisluku. Näin ollen tämä pienin ratkaisu ei vielä ole etsimämme härkäongelman ratkaisu. Etsitty r täytyy olla sellaisen pienimmän mahdollisen g:n tekijä, jolla 2 \cdot {4\,657} on tekijänä.

Kun pienin ­ratkaisu (h_0, g_0) on saatu, voidaan käyttää seuraavia Pellin yhtälön iterointikaavoja, jotta saadaan kaikki myöhemmät ratkaisut:

::\begin{align}
 h_{i+1} &= h_0 \cdot h_i + {4\,729\,494} \cdot g_0 \cdot g_i, \\
 g_{i+1} &= g_0 \cdot h_i + h_0 \cdot g_i.
\end{align} 

Ensimmäisellä iteraatiolla saadaan:

::\begin{align}
 h_1 &= h_0^2 + {4\,729\,494} \cdot g_0^2, \\
 g_1 &= 2 \cdot g_0 \cdot h_0.
\end{align}

Tämä g_1 \approx 1{,}1114 \cdot 10^{85} ei myöskään ole jaollinen luvulla 2 \cdot {4\,657}.

Seuraavallakaan iteraatiolla

::\begin{align}
 h_2 &= h_0 \cdot h_1 + {4\,729\,494} \cdot g_0 \cdot g_1, \\
 g_2 &= g_0 \cdot h_1 + h_0 \cdot g_1
\end{align}

ei saada haluttua jaollisuutta: g_2 \approx 2{,}44357 \cdot 10^{129} ei ole jaollinen luvulla 2 \cdot {4\,657}.

Vasta  iteraation jälkeen saadaan seuraava haluttu pienin ratkaisu:

::\begin{align}
 h = h_{2\,329} &\approx 3{,}765344502347206 \cdot 10^{103\,272}, \\
 g = g_{2\,329} &\approx 1{,}731399858951771 \cdot 10^{103\,269}.
\end{align}

Tästä saadaan:

::r = \tfrac{g}{2 \cdot {4\,657}} \approx 1{,}858921901386913 \cdot 10^{103\,265} \in \mathbb{N}.

Nyt voidaan myös laskea

::k = {4\,456\,749} \cdot r^2 \approx 1{,}54007001089776119944598967554 \cdot 10^{206\,537}

ja sijoittaa se aiempiin lausekkeisiin W,B,D,Y,w,b,d ja y:

::\begin{align}
 W &= {10\,366\,482} \cdot k \approx 1{,}5965108046711445314 \cdot 10^{206\,544},\\
 B &= {7\,460\,514} \cdot k \approx 1{,}1489713877282899997 \cdot 10^{206\,544},\\
 D &= {7\,358\,060} \cdot k \approx 1{,}1331927544386380771 \cdot 10^{206\,544},\\
 Y &= {4\,149\,387} \cdot k \approx 6{,}3903464823090286501 \cdot 10^{206\,543},\\
 w &= {7\,206\,360} \cdot k \approx 1{,}1098298923733190397 \cdot 10^{206\,544},\\
 b &= {4\,893\,246} \cdot k \approx 7{,}5359414205454263981 \cdot 10^{206\,543},\\
 d &= {3\,515\,820} \cdot k \approx 5{,}4146089457145667802 \cdot 10^{206\,543},\\
 y &= {5\,439\,213} \cdot k \approx 8{,}3767688241852443869 \cdot 10^{206\,543}.
\end{align}

Koko karjan yhteenlaskettu määrä on siis

::W + B + D + Y + w + b + d + y = {50\,389\,082} \cdot k \approx 7{,}760271406486818269530232833209\cdot 10^{206\,544}.

Toisella tavalla ilmaistuna, nautojen lukumäärä on

::{7\,760\,271\,406\,486\,818\,269\,530\,232\,833\,209} (välissä  kolmen numeron ryhmää) {719\,455\,081\,800}.

Valkoiset härät, joita on W kappaletta, ja mustat härät, joita on B kappaletta, voidaan järjestää neliön muotoon siten, että jokaisella neliön sivulla seisoo m = \sqrt{W + B} \approx 1{,}656949665016845 \cdot 10^{103\,272} härkää.

Laikukkaat härät, joita on D kappaletta, ja keltaiset härät, joita on Y kappaletta, voidaan järjestää kolmion muotoon siten, että jokaisella kolmion sivulla seisoo n = n_1 = \tfrac{-1 + \sqrt{1 + 8(D + Y)}}{2} \approx 1{,}882672251173603 \cdot 10^{103\,272} härkää.

#### Yleinen ratkaisu (Lenstra)

Ongelman toisen osan yleisratkaisun löysi ensimmäisenä A. Amthor vuonna 1880. Seuraavan version ratkaisusta esitti H. W. Lenstra, ja se perustuu Pellin yhtälöön: edellä annetun ensimmäisen osan ratkaisu tulee kertoa kertoimella

::k_j = \frac{(c^{4\,658j} - c^{-4\,658j})^2}{(4\,657)(79\,072)},

missä j on mikä tahansa positiivinen kokonaisluku, ja

::c = 300\,426\,607\,914\,281\,713\,365 \sqrt{609} + 84\,129\,507\,677\,858\,393\,258 \sqrt{7\,766}.

Pienimmän mahdollisen karjan, joka täyttää sekä ongelman ensimmäisen että toisen osan ehdot, koko saadaan, kun j = 1, ja se on sama kuin edellä laskettu pienin ratkaisu.

Nykyaikaiset tietokoneet pystyvät helposti tulostamaan ratkaisun kaikki numerot. Tämä tehtiin ensimmäisen kerran Waterloon yliopistossa vuonna 1965 Hugh C. Williamsin, R. A. Germanin ja Charles Robert Zarnken toimesta. He käyttivät yhdistelmää IBM 7040 ja IBM 1620 -tietokoneista.

## Lähteet

## Kirjallisuutta
### Suomennos

* Arkhimedes: *Helioksen karjan lukumäärä*. Suomennos Tua Korhonen. Teoksessa 

### Muita käännöksiä ja tekstilaitoksia

* Archimedes: *The Cattle-Problem*. Teoksessa 
* Archimedes: ”Indeterminate Analysis: The Cattle Problem”. Teoksessa 

### Muuta kirjallisuutta

* 
* 
* 
* 
* 

## Aiheesta muualla

* Αρχιμήδης: *[https://el.wikisource.org/wiki/Πρόβλημα_βοεικόν Πρόβλημα βοεικόν]*. Wikisource.