Kaavio (kategoriateoria)

**Kaavio** on kategoriateorian käsite, jolla tarkoitetaan ylinuolta eli funktoria pienestä kategoriasta toiseen kategoriaan. Kaavion avulla voidaan esittää kategorian rakenne systemaattisesti valitsemalla sopiva indeksikategoria, joka määrittää kaavion muodon.

## Kansantajuinen selitys
Kaavio on tapa piirtää kategorian pisteitä ja nuolia näkyviin niin, että niiden väliset yhteydet tulevat selväksi. Tietyssä mielessä kaavio yleistää luetteloinnin eli indeksöinnin käsitteen. Vastaavalla tavalla kuin joukkojen perhe voidaan indeksöidä jollakin indeksijoukolla, niin tietyn kategorian pisteet ja nuolet voidaan indeksöidä indeksikategorialla.

Indeksikategoria toimii kuin sapluuna tai pohjakuva, joka määrittää kaavion muodon. Jos indeksikategoria on vaikkapa kolmio (kolme pistettä ja kolme nuolta), kaavio näyttää, miten tämä kolmiorakenne toteutuu tarkasteltavassa kategoriassa.

Kaavion tärkein ominaisuus on, että se säilyttää rakenteen: jos indeksikategoriassa voi kulkea pisteestä A pisteeseen C pisteen B kautta, sama pitää päteä myös kaaviossa. Tämä tarkoittaa, että kaaviot noudattavat kategorioiden sisäisiä sääntöjä.

Käytännössä voidaan siis ajatella, että kaavio on piirustus, jossa jokainen piste esittää jonkinlaista rakennetta ja jokainen nuoli rakenteiden välistä kuvausta. Esimerkiksi kaaviossa

pisteet A, B ja C voisivat vastata vaikkapa lukuvälejä [0,1], [0,2] ja [0,6]. Ja nuolet f, g ja f+g kuvauksia x\mapsto 2x, x\mapsto 3x ja x\mapsto 6x.

## Merkintöjä
* Pisteitä merkitään yleensä isoilla kirjaimilla tai vain pistesymboleilla, kun niitä ei haluta nimetä.
* Nuolia merkitään tavallisilla nuolilla, mutta niitä voidaan täsmentää eräin merkinnöin:
** Injektio \hookrightarrow
** Surjektio \twoheadrightarrow
** Bijektio \overset{\sim}{\rightarrow}
** Katkoviivaa käytetään, kun halutaan todistaa kyseisen nuolen olemassaolo tai sitä ei tunneta. Vaihtoehtoisesti voidaan käyttää nuolen päällä merkintää \exists.
** Huutomerkki nuolen päällä tarkoittaa, että nuoli on yksikäsitteinen.

## Määritelmä

Olkoon \mathcal{I} pieni kategoria ja \mathcal{C} mielivaltainen kategoria. Tällöin ylinuolta F\colon\mathcal{I}\to\mathcal{C} kutsutaan \mathcal{I}:n muotoiseksi *kaavioksi* kategoriassa \mathcal{C}. Kategoriaa \mathcal{I} kutsutaan kaavion *indeksikategoriaksi*.

Kaavio siis kuvaa indeksikategorian \mathcal{I} rakenteet kategoriaan \mathcal{C}. Jokainen indeksikategorian piste kuvautuu kategorian \mathcal{C} pisteeksi ja jokainen indeksikategorian nuoli kategorian \mathcal{C} nuoleksi siten, että kategorian rakenne säilyy.

## Vaihdannainen kaavio

Kaaviota kutsutaan *vaihdannaiseksi*, jos kaikki sen pisteiden väliset polut johtavat samaan tulokseen. Tarkemmin sanottuna, jos kahden pisteen välillä kulkee useita nuolten muodostamia polkuja, niin kaavio on vaihdannainen kun kaikkien näiden polkujen nuolten liitokset ovat samat.

Esimerkiksi jos kaaviossa on polut A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C ja A\xrightarrow{h}C, kaavio on vaihdannainen jos f+g = h. Vaihdannaisuus on keskeinen ominaisuus monissa kategoriateoreettisissa todistuksissa ja määritelmissä.

## Täydellinen kaavio

*Täydellisellä kaaviolla* tarkoitetaan kaavion esitystapaa, jossa näkyvät paitsi pisteet ja nuolet, myös taulukko kaikista mahdollisista nuolten liitoksista. Täydellinen kaavio sisältää siis sekä visuaalisen esityksen kategorian rakenteesta että täsmällisen kuvauksen siitä, miten nuolet liitetään toisiinsa.

Käytännössä identiteettinuolet ja niiden muodostamat liitokset jätetään usein merkitsemättä selkeyden vuoksi, koska ne voidaan päätellä kategorian määritelmästä. Täydellinen kaavio antaa kuitenkin kategorian rakenteesta täysin yksiselitteisen kuvauksen.

## Esimerkkejä
### Erikoistapauksia

Kaavion käsite yleistää monia kategoriateoreettisia rakenteita:

* Jos indeksikategoria \mathcal{I} koostuu kahdesta erillisestä pisteestä (ja pelkästään identiteettinuolista), kaavio vastaa kahden pisteen valintaa kategoriassa \mathcal{C}. Tällaisen kaavion raja on pisteiden tulo.

* Jos indeksikategoria on ketju X_0\to X_1\to X_2\to\cdots, kaavio vastaa jonomuotoista rakennetta kategoriassa \mathcal{C}.

* Tyhjän kategorian (jossa ei ole pisteitä) muotoinen kaavio on tyhjä, ja sen raja on päätepiste.

## Katso myös

* Ylinuoli
* Luonnollinen muunnos
* Kartio (kategoriateoria)
* Raja (kategoriateoria)
* Vaihdannainen kaavio

## Lähteet

* Riina Alakoskela. ''Epäarkhimediset valuaatiot ja Monskyn lause.'' Pro gradu -tutkielma. Helsingin yliopisto. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. 2020. URN:NBN:fi:hulib-202012094763.
* 

### Viitteet