Evolventti

Annetun käyrän **evolventti** eli **involuutta** on annetun käyrän tangenttien kohtisuora leikkaaja, toisin sanoen käyrä, jonka evoluutta eli kaarevuuskeskipisteiden muodostama ura on alkuperäinen käyrä.  Annetun käyrän evolventti voidaan muodostaa siten, että ajatellaan käyrälle asetetuksi venymätön lanka, jota puretaan pingottamalla sitä joka hetki käyrän tangentin suuntaan. Langan toinen pää piirtää tällöin alkuperäisen käyrän evolventin. 

Annetulla käyrällä on vain yksi evoluutta, mutta äärettömän monta evolventtia. Saman käyrän evolventit ovat toistensa rinnakkaiskäyriä, toisin sanoen niiden välinen etäisyys on kaikkialla sama.

Evolventin yleistyksinä voidaan pitää vierintäkäyriä. Käyrän evolventit ovat sille suoran avulla muodostettuja vierintäkäyriä.

## Parametroidun käyrän evolventti
Olkoon    \vec c(t) = (x(t), y(t),\; t\in [t_1,t_2]  sellaisen säännöllisen tasokäyrän parametriesitys, jonka kaarevuus ei ole missään nolla, ja *a* jokin luku välillä t_1 .  Silloin käyrän erään evolventin parametriesitys on 

\vec C_a(t)=\vec c(t) -\frac{\vec c'(t)}\; \int_a^t|\vec c'(w)|\; dw 

Tämä voidaan todistaa seuraavasti:

Evolventin muodostamiseen käytetty lanka muodostuu kahdesta osasta, joista toinen on käyrän \vec c(t) kaari, toinen sen tangentti. Kun sitä kierretään auki tai kokoon, tangentin pituus kasvaa saman verran kuin kaaren pituus pienenee tai päinvastoin. Käyrän väiä [a,t] vastaavan osuuden pituus on 
  \int_a^t|\vec c'(w)|\; dw  

missä *a* on alkupiste, josta kaaren pituus mitataan. Sitä langan osuutta, joka kulkee käyrän tangenttia pitkin, vastaa vektori 

\frac{\vec c'(t)}\; \int_a^t|\vec c'(w)|\; dw 

Langan päätepistettä (\vec V_a(t) vastaava vektori saadaan vektorien yhteenlaskun avulla:
\vec C_a(t)=\vec c(t) -\frac{\vec c'(t)}\; \int_a^t|\vec c'(w)|\; dw 
m.o.t.

Jos integraaliin \int {\sqrt{x'^2 + y'^2}} dt lisätään mielivaltainen vakio l_0, saadaan samalle käyrälle toinen evolventti, joka vastaa sellaista lankaa, joka on vakion l_0 verran alkuperäistä pitempi. 

Jos vektori \vec c(t) esitetään muodossa \vec c(t)=(x(t),y(t))^T, saadaan: 

:\begin{align}
X(t) &= x(t) - \frac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} \int_a^t \sqrt{x'(w)^2 + y'(w)^2} \,dw \\
Y(t) &= y(t) - \frac{y'(t)}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} \int_a^t \sqrt{x'(w)^2 + y'(w)^2} \,dw \; .
\end{align}

## Evolventin ominaisuuksia

Säännöllisen käyrän ominaisuuksia tutkittaessa on edullista käyttää parametrina sen kaaren pituutta *s*. Tällöin edellä oleviin yhtälöihin saadaan seuraavat yksinkertaistukset:
\;|\vec c'(s)|=1\; ja  \;\vec c*(s)=\kappa(s)\vec n(s)\;</math>, missä <math>\kappa</math> on käyrän [[kaarevuus]] <math>\vec n</math> sitä vastaan kohtisuora [[yksikkövektori]]. Evolventille saadaan lausekkeet

:<math>\vec C_a(s)=\vec c(s) -\vec c'(s)(s-a)\ </math> ja
:<math>\vec C_a'(s)=-\vec c*(s)(s-a)=-\kappa(s)\vec n(s)(s-a)\; 

Voidaan todeta, että pisteessä  \vec C_a(a) evolventti ei ole *säännöllinen*, sillä | \vec C_a'(a)|=0.

Siitä, että \; \vec C_a'(s)\cdot\vec c'(s)=0 \;, seuraa:
* Evolventin normaali pisteessä \vec C_a(s) on annetun pisteen tangentti pisteessä \vec c(s).
* Saman käyrän evolventit ovat rinnakkaisia käyriä, koska \vec C_a(s)=\vec C_0(s)+a\vec c'(s) ja \vec c'(s) on evolventin yksikkönormaalivektori pisteessä \vec C_0(s).

Alkuperäisen käyrän evolventit ja tangentit muodostavat suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän Näin ollen evolventit voidaan muodostaa graafisesti. Piirretään ensin käyrän tangentit. Tällöin käyrän mielivaltainen evolventti voidaan konstruoida siten, että se on kohtisuorassa jokaista tangenttia vastaan.

### Kärjet

Evolventeilla on kahdenlaisia kärkipisteitä. Ensimmäisen tyypin muodostavat pisteet, joissa evolventti koskettaa alkuperäistä käyrää. Sellaiset kärkipisteet ovat kertalukua 3/2. Toisen ryhmän muodostavat pisteet, jotka vastaavat alkuperäisen käyrän käännepisteitä. Ne ovat kertaluvun 5/2 kärkipisteitä.

Tämä voidaan nähdä muodostamalla kuvaus f: \R^2 \to \R^3, jonka määrittelee yhtälö 
(s, t) \mapsto (x(s) + t\cos(\theta), y(s) + t\sin(\theta), t)
missä (x(s), y(s)) on kaaren pituuden mukainen käyrän parametriesitys ja \theta käyrän kaltevuuskulma pisteessä(x(s), y(s)). Tämä kuvaus kuvaa tason jollekin kolmiulotteisessa avaruudessa olevalle pinnalle. Esimerkiksi se kuvaa ympyrän yksivaippaiselle hyperboloidille. 

Tässä kuvauksessa evolventit saadaan kolmivaiheisessa prosessissa: ensin kuvataan suora \R tasoon \R^2, joka sitten kuvataan avaruudessa \R^3 olevalle pinnalle, joka sitten projisoidaan takaisin tasoon \R^2 poistamalla *x*-akseli: 
s \mapsto (s, l- s) \mapsto f(s, l- s) \mapsto (f(s, l- s)_x, f(s, l- s)_y)
missä l on mikä tahansa reaalinen vakio.

Koska kuvauksella s \mapsto f(s, l-s) on derivaatta jokaisessa pisteessä s\in \R eikä sen derivaatta missään ole nolla, evolventilla voi olla kärkipiste vain siellä, missä s \mapsto f(s, l-s):n derivaatta on pystysuora (z-akselin suuntainen), ja se on mahdollista vain siellä, missä edellä mainitulla, avaruudessa \R^3 olevalla pinnalla on pystysuora tangenttitaso. Tällä pinnalla taas on pystysuora tangenttitaso vain siellä, missä pinta koskettaa käyrää tai missä käyrällä on käännepiste.

#### Kertaluvun 3/2 kärkipisteet

Tarkastellaan esimerkkinä aluksi ympyrän evolventtia, jonka yhtälö on
\begin{align}
X(t) &= r(\cos t + (t - a)\sin t)\\
Y(t) &= r(\sin t - (t - a)\cos t)
\end{align}then set a = 0, 
ja laajennetaan sitä pienellä määrällä t, jolloin saadaan\begin{align}
X(t) &= r + r t^2/2 + O(t^4)\\
Y(t) &= rt^3/3 + O(t^5)
\end{align}
jolloin saadaan kertalukua 3/2 oleva käyrä Y^2 - \frac{8}{9r} (X-r)^{3} + O(Y^{8/3}) = 0 , puolikuutiollinen paraabeli.

#### Kertaluvun 5/2 kärkipisteet

Tarkastellaan esimerkkinä käyrää y = x^3. Sen pisteiden x= 0 ja x = s välisen kaaren pituus on \int_0^s \sqrt{1 + (3t^2)^2}dt = s + \frac{9}{10} s^5 - \frac 98 s^9 + O(s^{13}), ja sen pisteeseen x = s piirretyn tangentin ja x-akselin välinen kulma on \theta = \arctan(3s^2). Niinpä käyrän evolventilla, joka alkaa pisteestä x= 0, on etäisyydellä L parametriesitys
\begin{cases}
    x(s) = s + (L-s-\frac{9}{10}s^5 + \cdots)\cos\theta \\
    y(s) = s^3 + (L-s-\frac{9}{10}s^5 + \cdots)\sin\theta
\end{cases}

Jos nämä lausekkeet kehitetään viidennen asteen termeihin saakka, saadaan
\begin{cases}
    x(s) = L - \frac 92 L s^4 + (\frac 92 L - \frac{9}{10}) s^5 + O(s^6)\\
    y(s) = 3Ls^2 - 2 s^3 + O(s^6)
\end{cases}
mikä esittää kertaluvun 5/2 kärkipistettä. Molemmat yhtälöt toteutuvat sellaisilla *x*:n ja *y*:n arvoilla, joille
\left(x - L + \frac{y^2}{2L} \right)^2 - \left(\frac 92 L + \frac{51}{10} \right)^2 \left(\frac{y}{3L} \right)^5 + O(s^{11}) = 0 tai x = L - \frac{y^2}{2L} \pm \left(\frac 92 L + \frac{51}{10} \right) \left(\frac{y}{3L} \right)^{2.5} + O(y^{2.75}),\quad \quad y \geq 0 ,

mitkä yhtälöt selvästi osoittavat kärjen muodon.

Asettamalla L=0 saadaan origon kautta kulkeva evolventti. Se on siitä erikoinen, ettei sillä ole kärkipisteitä. Sarjakehitelmien avulla sille saadaan parametriesitys
\begin{cases}
    x(s) = \frac{18}{5} s^5 - \frac{126}{5} s^9 + O(s^{13}) \\
    y(s) = -2s^3 + \frac{54}{5} s^7 - \frac{318}{5} s^{11} + O(s^{15})
\end{cases}tai x = -\frac{18}{5 \cdot 2^{1/3}}y^{5/3} + O(y^3)

## Esimerkkejä
 
### Ympyrän evolventti

Origokeskeisellä *r*-säteisellä ympyrällä on parametriesitys (r\cos(t), r\sin(t)), joka voidaan esittää myös vektorimuodossa:
\vec c'(t) = (-r\sin t, r\cos t).
Niinpä |\vec c'(t)| = r, ja kaaren pituus on r(t - a). 

Edellä esitetyistä evolventin yleisistä yhtälöistä saadaan ympyrän evolventeille parametriesitys
:\begin{align}
X(t) &= r(\cos (t+a) + t\sin (t+a))\\
Y(t) &= r(\sin (t+a) - t\cos (t+a))
\end{align}.

Näissä a on mielivaltainen vakio, joka määrittää sen, mistä kohdasta ympyrällä evolventti alkaa. Oheiseen kuvioon on ympyrälle piirretty arvoja a = -0.5 (vihreä), a = 0 (punainen), a = 0.5 (violetti) ja a = 1 (vaaleansininen) vastaavat evolventit. 

Ympyrän evolventti ei ole sama kuin Arkhimedeen spiraali, vaikka muistuttaakin sitä ulkonäöltään huomattavasti. Suurella *t*:n arvolla ympyrän evolventti kuitenkin lähestyy asymptoottisesti Arkhimedeen spiraalia.

Jokaisella evolventilla väliä 0 \le t \le t_2 vastaavan kaaren pituus on
: L = \frac{r}{2} t_2^2.

### Puolikuutiollisen paraabelin evolventti
Parametriyhtälö \vec c(t) = (\tfrac{t^3}{3}, \tfrac{t^2}{2}) esittää puolikuutiollista paraabelia. Derivaatasta \vec c'(t) = (t^2, t) saadaan |\vec c'(t)| = t\sqrt{t^2 + 1} ja \int_0^t w\sqrt{w^2 + 1}\,dw = \frac{1}{3}\sqrt{t^2 + 1}^3 - \frac13. Siinä erikoistapauksessa, että lankaa pidennetään l_0={1\over3}:n verran, laskut yksinkertaistuvat huomattavasti ja saadaan:
: \begin{align} X(t)&= -\frac{t}{3}\\
Y(t) &= \frac{t^2}{6} - \frac{1}{3}.\end{align}

Eliminoimalla tästä *t* saadaan Y = \frac{3}{2}X^2 - \frac{1}{3},, mikä osoittaa, että tämä evolventti on paraabeli.

Muut evolventit ovat paraabelin rinnakkaiskäyriä. Ne eivät ole paraabeleja vaan kuudennen asteen käyriä.

### Ketjuviivan evolventti
Ketjuviivalla on parametriesitys (t, \cosh t). Sen tangenttivektori on  \vec c'(t) = (1, \sinh t), ja koska  1 + \sinh^2 t =\cosh^2 t,, sen pituus on |\vec c'(t)| = \cosh t. Niinpä kaaren pituus pisteestä (0,1) pisteeseen (t, \cosh t) on \textstyle|\int_0^t \cosh w\,dw| = |\sinh t|.

Niinpä pisteestä (0,1) alkavalla ketjuviivan evolventilla on parametriesitys
: (t - \tanh t, 1/\cosh t),
ja näin ollen se on traktrix.

Ketjuviivan muut evolventit eivät ole traktrixeja, vaan ne ovat traktrixin rinnakkaiskäyriä.

### Sykloidin evolventit

Parametriesitys \vec c(t) = (t - \sin t, 1 - \cos t) kuvaa sykloidia. Koska sen tangenttivektori on  \vec c'(t) = (1 - \cos t, \sin t), saadaan tästä trigonometristen funktioiden muunnoskaavojen avulla:
:|\vec c'(t)| = 2\sin\frac{t}{2}, 
ja
:\int_\pi^t 2\sin\frac{w}{2}\,dw = -4\cos\frac{t}{2}. 

Näistä yhtälöistä saadaan evolventin parametriesitykseksi
: X(t) = t + \sin t,
: Y(t) = 3 + \cos t,
joka esittää oheisessa kuviossa punaisella merkittyä sykloidia.

Sykloidin (t - \sin t, 1 - \cos t) muut evolventit ovat sykloidin rinnakkaiskäyriä, jotka eivät ole sykloideja.

## Evoluutta ja evolventti

Annetun käyrän evoluutta on sen kaarevuuskeskipisteiden ura. Evoluutan ja evolventin välillä vallitsee seuraava yhteys: käyrä on jokaisen evolventtinsa evoluutta.

## Sovelluksia

 

Hammaspyörien hampaat tehdään tavallisimmin poikkileikkaukseltaan ympyrän evoluutan muotoisiksi, joskin myös sykloidin muotoisia hammaspyöriä käytetään. Kahden sellaisen hammaspyörän systeemissä pyörien hampaat koskettavat toisiaan joka hetki vai yhdessä pisteessä, joka on voimien kunkin hetkisellä vaikutussuoralla. Pyörien toisiinsa kohdistamat voimat ovat myös tämän suoran suuntaisia ja hampaiden pintoihin nähden kohtisuorassa. Jos hampaat ovat muun muutoksia, pyörien suhteelliset nopeudet ja niiden väliset eivät pysy vakioina vaan vaihtelevat edestakaisin välillä pieneten, mistä aiheutuu tärinää, häiritsevää ääntä ja ylimääräistä kulumista.

Kaasujen puristukseen käytetyissä scroll-kompressoreissa paine tuotetaan kahdella kierukalla, jotka tehdään ympyrän evolventin muotoisiksi, joskin ne voivat olla myös Arkhimedeen spiraalin tai hybridikäyrän muotoisia. Scroll-kompressorit toimivat tasaisemmin, äänettömämmin ja luotettavamin kuin muun tyyppiset kompressorit.

HFIR-isotooppireaktoreissa (High Flux Isotope Reactor) polttoainelevyt tehdään ympyrän evolventin muotoisiksi, koska silloin levyjen väliset laudutuskanavat saadaan  vakiolevyisiksi.

## Lähteet