Felix Hausdorff

**Felix Hausdorff** (8. marraskuuta 1868 – 26. tammikuuta 1942) oli saksalainen matemaatikko, jota pidetään yhtenä nykyaikaisen topologian perustajista ja joka tutki merkittävästi myös joukko-oppia, deskrip­tiivistä joukko-oppia, mittateoriaa ja funktionaalianalyysia.

## Elämäkerta
### Vanhemmat

Felix Hausdorffin isä oli juutalainen kauppias Louis Hausdorff (1843–1896), joka syksyllä 1870 muutti nuoren perheensä kanssa Leipzigiin ja joka vuosien kuluessa toimi useissa työtehtävissä eri yrityksissä, muun muassa eräässä pellava- ja puuvilla­tuotteita valmistaneessa tehtaassa. Hän oli oppinut mies ja hän sai jo 13-vuotiaana morenun (opettajaksi kelpoisen) arvon. Hän kirjoitti myös useita tutkielmia muun muassa Raamatun arameankielisestä kännöksestä, jota hän tarkasteli Talmudin lain näkökulmasta.

Felixin äiti Hedwig (1848–1902), joka useissa asia­kirjoissa mainitaan myös nimellä Johanna, kuului juutalaiseen Tietzin sukuun. Saman suvun toiseen haaraan kuuluu Hermann Tietz, ensimmäisen tavaratalon perustaja, joka myöhemmin oli yksi Hermann Tietz -nimisen tavara­talo­ketjun omistajista. Natsien valtakaudella nimi "arjalaistettiin" muotoon Hertie.

### Kouluvuodet

Vuosina 1878–1887 Felix Hausdorff kävi Leipzigin Nicolain koulua, joka tunnettiin erinomaisesta humanististen aineiden opetuksestaan. Hän oli erittäin hyvä oppilas, useita vuosia luokkansa johtaja ja esitti usein itse kirjoittamiaan latinan- tai saksan­kielisiä runoja koulun juhlissa. Vuonna 1887 hän suoritti ylioppilas­tutkinnon koulunsa ainoana korkeimmin mahdollisin arvosanoin.

Alan valinta ei nuorelle Hausdorffille ollut helppoa. Magda Dierkesmann, joka vuosina 1926–1932 Bonnissa opiskellessaan kävi usein vierailulla Hausdorffin luona, kertoi vuonna 1967, että tämä oli musikaalisesti niin lahjakas, että suostui vain isänsä painostuksesta luopumaan aikeistaan opiskella musiikkia ja ryhtyä säveltäjäksi. Sen sijaan hän päätti ryhtyä opiskelemaan luonnon­tieteitä.

### Yliopisto-opinnot ja väitöskirja

Vuosina 1887–1891 Hausdorff opiskeli matematiikkaa ja tähtitiedettä pääasiassa koti­kaupungissaan Leipzigissa, kesällä 1888 kuitenkin Freiburgissa ja talvella 1888–1889 Berliinissä. Samojen yliopistojen muut opiskelijat muistivat sittemmin Hausdorffin olleen erittäin monipuolisesti eri asioista kiinnostunut nuori mies, joka matematiikan ja tähti­tieteen luentojen lisäksi opiskeli myös fysiikkaa, kemiaa, maantiedettä, filosofiaa, filosofian historia, eri kieliä, kirjallisuutta ja yhteis­kunta­tieteitä. Leipzigissa hän kuunteli myös musiikin­tutkija Paulin pitämiä musiikin historian luentoja. Hausdorffin varhainen rakkautensa musiikkiin säilyi koko hänen elin­aikansa: hänen kodissaan pidettiin vaikuttavia musiikki-iltoja, joissa muiden läsnä­olijoiden kertomusten mukaan vuokraisäntä soitti pianoa. Jo Leipzigissa opiskellessaan hän ihaili Richard Wagnerin musiikkia.

Opintojensa loppu­vaiheessa Hausdorff tutustui Heinrich Brunsiin (1848–1919), joka oli tähtitieteen professori ja Leipzigin yliopiston observatorion johtaja. Hänen johdollaan Hausdorff suoritti vuonna 1891 tutkintonsa laatimalla tutkielman valon tähti­tieteellisestä refraktiosta ilmakehässä. Myöhemmin hän laati kaksi jatkotutkielmaa samasta aiheesta, ja vuonna 1895 hän laati väitöskirjan valon absorptiosta ilmakehässä. Vaikka nämä Hausdorffin varhaiset tutkimukset ovat matemaattisesti erinomaisia, niiden merkitys on kuitenkin jäänyt vähäiseksi. Ensinnäkään Brunsin ajatukset, joihin ne perustuivat, eivät ole osoittautuneet elin­kelpoisiksi, sillä refraktio­havainnot olisi pitänyt tehdä lähellä tähti­tieteellistä horisonttia, mutta vähän myöhemmin Julius Bauschinger osoitti, että niitä ei peri­aatteessa­kaan voida suorittaa kyllin tarkasti. Toiseksi mahdollisuus mitata ilmakehän ilmiöitä suoraan sääpallojen avulla on tehnyt nämä vaivalloiset refraktio­havainnot tarpeettomiksi. Saatuaan väitöskirjansa valmiiksi ja ennen nimittämistään vakinaiseen virkaan Hausdorff suoritti vuoden pituisen vapaa­ehtoisen sotilas­palveluksen ja toimi kaksi vuotta laskutoimitusten suorittajana Leipzigin observatoriossa.

### Dosenttina Leipzigissa

Väiteltyään tohtoriksi Hausdorff sai luennoitsijan viran Leipzigin yliopistossa, ja hän piti useita kursseja matematiikan eri aloilta. Opetus­tehtäviensä lisäksi hän myös tutki matematiikkaa, ja lisäksi hänellä oli edelleen kirjallisia ja filosofisia taipumuksia. Koska häntä kiinnostivat monet aiheet ja hän oli oppinut, hyvin vastaanottavainen ja terävä ajattelija, hänen tuttavapiiriinsä Leipzigissa kuuluivat monet kuuluisat kirjailijat, taiteilijat ja julkaisijat kuten Hermann Conradi, Richard Dehmel, Otto Erich Hartleben, Gustav Kirstein, Max Klinger, Max Reger ja Frank Wedekind. Hänen kirjallinen ja filosofinen luomiskykynsä oli huipussaan suunnilleen vuosina 1897–1904, jolloin julkaistiin 18 hänen kaikkiaan 22:sta nimimerkillä julkaistusta kirjoituksestaan, joihin sisältyi runokirja, näytelmä, epistemologiaa käsittelevä kirja ja kokoelma aforismena.

Vuonna 1899 Hausdorff meni naimisiin Charlotte Goldschmidtin kanssa, joka oli juutalaisen tohtori Siegismund Goldschmidtin tytär. Charlotten äitipuoli oli kuuluisa suffragetti ja esikoulun opettaja Henriette Goldschmidt. Hausdorffin ainoa lapsi, tytär Lenore (Nora) syntyi vuonna 1900, ja hän selvisi hengissä natsivallan ajoista, eli pitkän elämän ja kuoli Bonnissa vuonna 1991.

### Ensimmäinen professuuri

Joulukuussa 1901 Hausdorff nimitettiin Leipzigin yliopiston ylimääräiseksi apulaisprofessoriksi. Usein on väitetty, että Hausdorff olisi kutsuttu Göttingeniin mutta kieltäytynyt, mutta tätä ei ole voitu varmistaa eikä se todennäköisesti pidä paikkaansa. Kun Hausdorff oli hakenut virkaa Leipzigin yliopistossa, dekaani Kirchner asettui tukemaan häntä ja tiedekunta nimitti hänet virkaan äänestyspäätöksellä 22 äänellä 7:ää vastaan. Vähemmistö tiedekunnan professoreista vastusti hänen nimittämistään sen vuoksi, koska hän tunnusti tunnustaa Mooseksen uskoa. Saksassa olivat nimittäin antisemiittiset laajalti levinneet vuoden 1873 finanssikriisin jälkeen. Leipzig ja varsinkin sen ylioppilaskunta oli yksi antisemiittisen liikkeen keskuksista. Tämä saattoi olla yhtenä syynä siihen, ettei Hausdorff viihtynyt hyvin Leipzigissa. Toinen syy oli mahdollisesti henkinen paine, joka johtui Leipzigin professorien ankarasta hierarkisesta järjestyksestä. 

Saatuaan väitöskirjansa valmiiksi Hausdorff kirjoitti tutkimuksia optiikasta, epäeuklidisisesta geometriasta ja hyperkompleksilukujärjestelmistä sekä kaksi tutkielmaa todennäköisyysteoriasta. Hänen pääasialliseksi tutkimusalakseen tuli kuitenkin pian joukko-oppi, varsinkin järjestettyjen joukkojen teoria. Siitä hän kiinnostui aluksi filosofiselta kannalta, minkä vuoksi hän noin vuodesta 1897 lähtien perehtyi Georg Cantorin teoksiin. Jo kesäkaudella 1901 Hausdorff luennoi joukko-opista. Tämä oli yksi ensimmäisistä luentokursseista, joka joukko-opista ylipäänsä pidettiin, joskin Ernst Zermelo oli luennoinut siitä edellisenä talvena Göttingenissä. Samana vuonna Hausdorff julkaisi järjestystyypeistä ensimmäisen tutkielmansa, joka käsitteli porrastettuja järjestyksiä. Lineaarinen järjestys on *porrastettu*, jos millään kahdella sen segmentilla ei ole samaa järjestystyyppiä. Hän yleisti Cantorin-Bernsteinin lauseen, jonka mukaan numeroituvien järjestystyyppien kokoelmalla on kontinuumin mahtavuus, ja osoitti, että kaikkien niiden luokiteltujen tyyppien kokoelmalla, joilla on sama kardinaliteetti *m*, on kardinaliteetti 2^m.

Kesälukukaudesta 1910 lähtien Hausdorff toimi professorina Bonnin yliopistossa. Bonnissa hän piti joukko-opista luoentokurssin, jonka hän piti uudestaan kesällä 1912 oleellisesti tarkistettuna ja laajennettuna. 

Kesällä 1912 Hausdorff alkoi myös valmistella pääteostaan *Joukko-opin perusteet*. Sen hän sai valmiiksi Greifswaldissa, jonne hänet nimitettiin professoriksi kesäkaudesta 1913 lähtien, ja se julkaistiin huhtikuussa 1914.

Greifswaldin yliopisto oli Preussin pienin yliopisto. Myös sen matematiikan laitos oli pieni: kesäkaudella 1916 ja talvella 1916–1917 hän oli sen yliopiston ainoa matemaatikko. Sen vuoksi peruskurssien pitäminen työllisti hänet lähes täysin. Hänen akateeminen asemansa parani oleellisesti, kun hän vuonna 1921 sai viran Bonnin yliopistossa. Siellä hänelle tarjoutui mahdollisuus pitää kursseja useista aiheista ja luennoida aina kulloinkin uusimmasta tutkimuksesta. Kesälukukaudella 1923 hän piti erityisen huomattavan luentokurssin todennäköisyysteoriasta (NL Hausdorff: Capsule 21: Fasz 64). Siinä hän perusti tämän teorian mittateoriaan perustuvalle aksiomaattiselle pohjalle kymmenen vuotta ennen kuin A. N. Kolmogorov julkaisi tutkielmansa "Todennäköisyysteorian peruskäsitteet". Bonnissa Hausdorffin virkatovereina ja samalla hyvinä ystävinä olivat Eduard Study ja myöhemmin myös Otto Toeplitz, molemmat huomattavia matemaatikkoja.

### Natsivallan aika ja itsemurha
Vuonna 1933 Hitler nousi Saksassa valtaan. Hänen johtamansa 
Saksan kansallissosialistinen työväenpuolue pyrki keskittämään itselleen kaiken vallan ja oli tunnetusti äärimmäisen juutalais­vastainen. Jo vuonna 1933 säädettiin "Laki kansallisen ammatti­virka­mies­kunnan palauttamiseksi" (), jonka tarkoituksena oli poistaa virkamieskunnasta juutalaiset sekä poliittisesti tai rodullisesti epäluotettavina pidetyt henkilöt.  Aluksi laissa oli kuitenkin se poikkeus, että ennen elokuun 1. päivää 1914 virkaan nimitetyt henkilöt ja näin ollen myös Hausdorff saivat toistaiseksi pitää virkansa. Hän ei kuitenkaan täysin välttynyt lain vaikutuksilta, ja kerran natsimieliset opiskelijat keskeyttivät hänen luentonsa. Talvikaudella 1934–1935 hän lopetti differentiaali- ja integraalilaskenta III:n kurssinsa kesken 20. marraskuuta. Samoihin aikoihin Bonnin yliopistossa toimi kansallis­sosialistisen saksalaisen ylioppilas­liiton (NSDStB) työryhmä, joka valitsi kauden teemaksi "rodun ja etnisyyden". On oletettu, että juuri tämä sai Hausdorffin lopettamaan kurssinsa, sillä niin hän ei ollut koskaan aikaisemmin tehnyt pitkän yliopisto-opettajan uransa aikana.

Kun asiaa oli käsitelty eri puolilta, Hausdorff sai 31. maaliskuuta 1935 lopullisesti emerituksen aseman. Hänen 40-vuotisesta menes­tykselli­sestä toiminnasta Saksan korkeimman opetuksen parissa ei lausuttu kiitoksen sanaa. Hän oli työskennellyt väsymättömästi ja julkaissut laajennetun joukko-oppia käsittelevän teoksensa lisäksi seitsemän tutkielmaa topologiasta ja deskriptiivisestä joukko-opista. Ne kaikki oli julkaistu puolalaisissa aikakauskirjoissa, yksi julkaisussa *[[Studia Mathematica]]ssa* ja  muut julkaisussa *[[Fundamenta Mathematicae]]*.

Hausdorff jätti jälkeensä laajan kokoelman luento­monisteita, kirjeitä ja muita dokumentteja. Ne osoittavat, hän harjoitti matemaattista tutkimustyötä vielä näinä yhä vaikeampina aikoina ja seurasi mielen­kiinnolla alan kehitystä. Häntä tuki avuliaasti Erich Bessel-Hagen, Hausdorffien uskollinen perhetuttava, joka yhä perehtyi uusiin lehtiin ja kirjoihin laitoksen kirjastossa, jonne Hausdorffilla juutalaisena sen sijaan ei enää ollut pääsyä.

Hausdorffin ja hänen perheensä elämä kävi vielä entistäkin tukalammaksi kristalliyön jälkeen. Hänen kärsimistään nöyryytyksistä on säilynyt paljon tietoja useissa lähteissä, muun muassa Bessel-Hagenin kirjoissa. Seuraavana vuonna hän oli aikeissa muuttaa Yhdysvaltoihin, mutta ei pyynnöstään huolimatta saanut tukea Richard Courantilta niin, että olisi voinut tutustua sikäläisiin tutkijoihin. 

Kesällä 1941 Bonnin juutalaisia alettiin siirtää Endenichin entiseen nunnaluostariin, josta nunnat oli karkotettu. Sieltä heidät myöhemmin siirrettiin itään tuhoamis­leireille. Tammikuussa 1942 Hausdorff, hänen vaimonsa ja tämän sisar Edith Pappenheim määrättiin muuttamaan Endenchiin. He eivät kuitenkaan suostuneet määräykseen, sillä heillä ei ollut harha­käsityksiä siitä, mitä siitä olisi toden­näköisesti seurannut, vaan he tekivät itsemurhan ottamalla yliannoksen veronaalia. Heidät haudattiin Bonnin Poppelsdorfin hautausmaalle. Ennen itsemurhaansa Hausdorff luovutti luento­muistiin­panonsa, kirjeensä ja muun käsin kirjoittamansa jäämistön egyptologi ja presbyteeri Hans Bonnet'lle, joka säilytti niistä niin suuren osan kuin oli mahdollista, vaikka hänen kotinsa tuhoutuikin pommituksessa.

Muilla juutalaisilla saattoi olla harhakuvia Endenichin leiristä, mutta ei Hausdorffilla. Tämä ilmenee jäähyväis­kirjestä, jonka Hausdorff oli kirjoittanut juutalaiselle lakimiehelleen Hans Wollsteinille ja jonka E. Neuenschwander löysi Bessel-Hagenin kokoelmista. Kirje alkaa seuraavasti:

Kiitettyään ystäviään ja ilmoittaessaan tyynesti hautaamistaan koskevat toiveensa ja testamenttinsa Hausdorff jatkoi kirjeensä lopussa:

Tämä toive ei kuitenkaan toteutunut, vaan Wollstein surmattiin myöhemmin Auschwitzissa. 

Hausdorffin kirjaston myi hänen vävynsä ja ainoa perillisensä Arthur König. Hänen käsin kirjoittamansa luento­muistiin­panot ja muun kirjallisen aineiston (*Nachlass*) otti talteen perhe­tuttava, bonnilainen egyptologi Hans Bonnet. Nykyään sitä säilytetään Bonnin yliopiston- ja valtion­kirjastossa, ja siitä on laadittu luettelo.

## Teokset, tutkimukset ja niiden vastaanotto

### Hausdorff filosofina ja kirjoittajana (Paul Mongré)

Vuonna 1897 Hausdorff julkaisi ensimmäisen aforismikokoelmansa salanimellä Paul Mongré. Teoksen nimi oli *Sant' Ilario, Mietteitä Zarathustran maisemasta*. Nimi viittasi toisaalta siihen, että Hausforff oli viimeistellyt teoksensa lomamatkalla Ligurian rannikolla Genovan seudulla, samalla alueella, jossa Friedrich Nietzsche oli kirjoittanut teoksensa *[[Näin puhui Zarathustra]]* kaksi ensimmäistä osaa. Lisäksi hän halusi teoksen nimellä osoittaa henkistä sukulaisuuttaan Nietzschen kanssa. Teosta käsitelleessä artikkelissaan Die Zukunft -viikkolehdessä Hausdorff myönsi selvin sanoin kiitollisuuden­velkansa Nietzschelle.

Hausdoff ei yrittänyt jäljentää Nietzcheä tai ylittää häntä. Sen sijaan hän katsoi seuraavansa Nietszheä yrityksessään vapauttaa yksityis­ajattelua ja ottaa vapauden kyseen­alaistaa vanhentuneet käsitykset. Hausdorff suhtautuikin kriittisesti Nietzschen myöhäisimpiin teoksiin. Eräässä esseessään hän arvosteli ankarasti ajatuksia, jotka Nietzche oli luonnoksessa teokseensa *[[Tahto valtaan]]* esittänyt kasvatuksesta. Niitä hän piti suorastaan maailmanhistoriallisena skandaalina, jonka rinnalla inkvisitio ja noitavainotkin kalpenivat.

Vuonna 1898 ilmestyi salanimellä Paul Mongré myös Hausdorffin epistemologinen kokeilu *Kaaos kosmisessa valinnassa*. Teoksessa esitettyyn metafysiikkaan kohdistuvaan arvosteluun oli antanut aiheen Hausdorffin perehtyminen Nietzschen ajatukseen ikuisesta paluusta. Se johtaa lopulta kaikenlaisen metafysiikan häviöön. "Maailmasta sinänsä", toisin sanoen maailman trans­kendenttisesta ytimestä emme tiedä emmekä voi tietää mitään. Niinpä meidän on pidettävä "maailmaa sinänsä" määrittelemättömänä ja sellaiseksi jäävänä, pelkkänä kaaoksena. Kokemus­maailmamme, kosmoksemme, on valinnan tuote, nimittän valinnan, jonka olemme aina tehneet vaiston­varaisesti ymmärryskykymme mukaan. Tästä kaaoksesta voitaiin käsitettävästi nähdä myös muita järjestyksiä, muita kosmoksia. Ainakaan kosmoksemme maailmasta ei voi tehdä päätelmiä transkendenttisen maailman olemassa­olosta.

Vuonna 1905 aika­kaus­lehdessä *[[Die Neue Rundschau]]* julkaistiin Hausdorffin kirjoittama yksi­näytöksinen näytelmä *Tohtori kunniassaan*. Se on pistävä satiiri kaksintaistelusta sekä Preussin upseerikunnan perinteisistä kunnian ja aateluuden käsitteistä, jotka kehittyvässä porvarillisessa yhteis­kunnassa olivat yhä selvemmin vanhentuneita. *Tohtori ja hänen kunniansa* oli Hausdorffin suurin kirjallinen menestys. Vuosina 1914–1918 näytelmä esitettiin useita kertoja yli 30 kaupungissa. Myöhemmin Hausdorff kirjoitti näytelmään jälki­näytöksen, mutta sitä ei teattereissa esitetty ennen kuin vuonna 2006, jolloin se sai ensiesityksensä Saksan matemaattisen seuran tapaamisessa Bonnissa.

Edellä mainittujen teosten lisäksi Hausdorff kirjoitti monia esseitä, jotka ilmestyivät ajan johtavissa kirjallisuus­lehdissä, sekä runokirjan *Ekstasen* vuonna 1900. Itävaltalainen säveltäjä Joseph Marx sävelsi osan hänen runoistaan.

### Järjestettyjen joukkojen teoria
Hausdorffin perusteelliset järjestettyjä joukkoja koskevat tutkimukset saivat osittain alkunsa Cantorin kontinuumiprobleemasta: millä sijalla kardinaaliluku \aleph = 2^{\aleph_0} on sarjassa \aleph_{\alpha}?  Hän käsitteli kysymystä Hilbertille 29. syyskuuta 1904 lähettämässään kirjeessä, jossa hän sanoi kysymyksen vaivanneen häntä lähes monomanian tavoin. Hausdorff näki joukossa  \mathrm{card} (T(\aleph_0)) = \aleph uuden strategian asian selvittämiseksi. Cantor oli arvellut, että \aleph = \aleph_1, mutta hän pystyi todistamaan vain, että \aleph \geq \aleph_1. Tässä \aleph_1 on numeroituvan joukon kaikkien mahdollisten hyvinjärjestysten "lukumäärä", kun taas \aleph on tällaisen joukon kaikkien mahdollisten järjestysten "lukumäärä". Siksi oli luonnollista tukia systeemejä, jotka ovat erikoistuneempia kuin pelkästään järjestetyt mutta yleisempiä kuin hyvinjärjestetyt. Juuri niin Hausdorff menetteli vuonna 1901 "porrastettuja joukkoja" koskevan tutkielmansa ensimmäisessä niteessä. Nykyisin tiedetään Kurt Gödelin ja Paul Cohenin tutkimusten ansioista, että tällä strategialla kontinuumiprobleemaa ei voida ratkaista yhtään sen paremmin kuin Cantorin strategiallakaan, joka perustui Cantorin-Benixsonin periaatteen yleistämiselle suljetuista joukoista yleisiin ylinumeroituviin joukkoihin.

Vuonna 1904 Hausdorff julkaisi hänen mukaansa nimitetyn tuloksen:

Jokaiselle ordinaalille \aleph_1, joka ei ole rajaordinaali, pätee \aleph_{\mu}^{\aleph_{\alpha}} = \aleph_{\mu} \; \aleph_{\mu -1}^{\aleph_{\alpha}}.

Tämä kaava sekä Hausdorffin myöhemmin käyttöön ottama kofinaalisuuden käsite olivat perustana kaikille myöhemmille Alef-eksponentiointia koskeville tuloksille. Hausdorffin erinomaista tämäntyyppisten sarjojen tuntemusta vahvistivat myös hänen yrityksensä selvittää, minkä virheen Julius König oli tehnyt luennossaan kansainvälisessä matemaatikkokongressissa Heidelbergissä vuonna 1904. Siellä König oli väittänyt, että kontinuumia ei voida hyvinjärjestää, joten sen kardinaliteetti ei ole mikään Aleph, mikä oli saanut osakseen suurta huomiota. Käsityksellä, että juuri Hausdorff olisi selvittänyt tämän vihreen, oli suuri vaikutus, koska yli 50 vuoden ajan historiallisessa kirjallisuudessa esitettiin väärä kuva Heidelbergin tapahtumista.

Vuosina 1906–1909 Hausdorff teki tärkeimmät järjestettyjä joukkoja koskevat tutkimuksensa. Tässä mainitaan vain joitakin tärkeimpiä kohtia. Koko teorian kannalta perustava merkitys oli kofinaalisuuden käsitteellä, jonka Hausdorff otti käyttöön. Ordinaalia sanotaan säännölliseksi, jos se on kofinaalinen jokaisen pienemmän ordinaalin kanssa, muussa tapauksessa se on singulaarinen. Hausdorff asetti kysymyksen, onko säännöllisiä lukuja, joiden indeksinä on jokin rajaordinaali, ja tästä kysymyksestä sai alkunsa hänen teoriansa saavuttattomista kardinaaleista. Hausdorff oli jo huomauttanut, että jos sellaisia lukuja on olemassa, niiden on oltava "ylenpalttisen suuria".

Perustava merkitys on seuraavalla Hausdorffin todistamalla lauseella: jokaista rajoittamatonta järjestettyjä tiheää joukkoa A kohti on kaksi sellaista yksikäsitteisesti määritettyä säännöllistä initiaalista lukua \omega_{\xi} ja \omega_{\eta}, että A on kofinaalinen \omega_{\xi}:n kanssa ja koinitiaalinen \omega_{\eta}^*:n kanssa. (Asteriski * tarkoittaa käänteistä järjestystä.) Tähän lauseeseen perustuu muun muassa tekniikka, jolla voidaan luonnehtia järjestetyn joukon alkioita ja aukkoja. Näin Hausdorff sovelsi käyttöön ottamiaan aukon ja alkion merkkejä.

Jos W on ennalta määritelty joukko merkkejä (alkion ja aukon merkkejä), herää kysymys, onko olemassa järjestettyjä joukkoja, joiden merkkijoukko on tarkalleen W. Helposti voidaan löytää välttämtön ehto, joka W:n on toteutettava. Hausdorff onnistui todistamaan, että tämä ehto on myös riittävä. Tähän tarvitaan runasta kokoelmaa järjestettyjä joukkoja; Hausdorff oli luonut tämän yleisten tulojen ja potenssien teoriallaan. Tähän kokoelmaan sisältyy mielenkiintoisia struktuureja kuten Hausdorffin \eta_{\alpha} -normaalityypit, joihin liittyen Hausdorff ensin muotoili yleistetyn kontinuumihypoteesin. Hausdorffin \eta_{\alpha}-joukot muodostovat lähtökohdan merkittävälle kyllästetyn struktuurin malliteoriale.

Yleisistä kardinaliteettien tuloista ja potensseista Hausdorff päätyi osittain järjestetyn joukon käsitteeseen. Kysymykseen siitä, sisältyykö osittain järjestetyn joukon jokainen järjestetty osajoukko maksimaaliseen järjestettyyn osajoukkoon, Hausdorff saattoi vastata myönteisesti käyttämällä hyvinjärjestyslausetta. Tämä oli Hausdorffin maksimaaliperiaate. Se ei ainoastaan seuraa hyvinjärjestyslauseesta (tai sen kanssa yhtäpitävästä valinta-aksioomasta), vaan se osoittautui myös yhtäpitäväksi valinta-aksiooman kanssa.

Jo vuonna 1980 Arthur Moritz Schoenflies totesi joukko-oppia koskevan selostuksensa toisessa osasta, että tämä uudempi järjestettyjen joukkojen teoria siltä osin, kuin se oli kehittynyt Cantorin asiaa koskevien tulosten jälkeen, oli lähes kokonaisuudessaan Hausdorffin ansiota.

### Pääteos: Joukko-opin perusteet

Aikaisemmin joukko-oppiin kuuluvaksi luettiin yleisen joukko-opin ja pistejoukkojen teorian lisäksi myös dimensio- ja mittateoria. Hausdorffin teos *Joukko-opin perusteet* () oli ensimmäinen oppikirja, joka käsitti koko joukko-opin tässä laajemmassa merkityksessä järjestelmällisesti ja jossa kaikki todistukset olivat mukana. Hausdorff oli tietoinen siitä, kuinka helposti ihmismieli voi erehtyä, samalla kun hän itse pyrki täsmällisyyteen ja totuuteen. Teoksen esipuheessa hän kirjoittikin: 

Kirja oli paljon enemmänkin kuin vain tunnettujen asioiden mestarillinen yleisesitys. Siinä oli myös sarja tekijän omaa alkuperäistä tutkimusta, josta seuraavasta saa vain aavistuksen.

Kirjan ensimmäiset kuusi lukua käsittelevät joukko-opin perus­käsitteitä. Heti kirjan alussa Hausdorff esittelee yksityis­kohtaisen joukkoalgebran, johon sisältyi muutamia uusiakin ksitteitä (erotusketjut, joukkorenkaat, joukkokunnat, \delta- ja \sigma-systeemit). Näissä joukkoja niiden välisiä yhteyksiä käsitteleviin johdanto­lukuihin sisältyi esimerkiksi nykyaikainen joukko-oppiin perustuva funktion eli kuvauksen määritelmä. Sen jälkeen luvuissa 3–5 käsitellään klassista kardinaalilukujen, järjestystyyppien ja ordinaalien teoriaa. Luvussa 6, "Relaatiot järjestettyjen ja hyvin­järjestettyjen joukkojen välillä", Hausdorff muun muassa esittelee tärkeimmät omat järjestettyjä joukkoja koskevat tuloksensa.

"Pistejoukkoja" käsittelevissä, topologisissa kappaleissa kehitti ensimmäisenä systemaattisen topologisten avaruuksien teorian. Hänen esittämänsä topologisen avaruuden määritelmä perustui pisteen ympäristö­kannan käsitteeseen, ja hänen esittämäänsä topologisen avaruuden määritelmään kuului myös ehto, jonka mukaan avaruuden pisteillä on oltava pistevieraat ympäristöt. (Myöhemmin topologisen avaruuden käsitettä on laajennettu niin, että tätä ei välttämättä edellytetä, joskin monet tärkeimmät avaruudet toteuttavat myös tämän ehdon, jolloin niitä sanotaan Hausdorffin avaruuksiksi.) Hausforff kehitti teoriansa kattavana yhdistelmänä omista avaruuden käsitettä koskevista ajatuksistaan ja aikaisempien matemaatikkojen käyttämistä lähestymis­tavoista. Klassisen avaruuksia \mathbb{R}^n käsitelleen piste­joukkojen teorian käsitteitä ja teoreemoja laajennettiin yleisempään tapaukseen siinä määrin kuin mahdollista, ja niistä tuli uuden osa uutta joukko-opillista topologiaa. Mutta Hausdorff ei suorittanut vain tätä "käännöstyötä" vaan kehitti myös topologian keskeiset konstruktio­menetelmät kuten joukon sisäosan ja sulkeuman käsitteet sekä korosti "alueeksi" nimittämänsä avoimen joukon käsitteen samoin kuin Fréchet'n esittämän kompaktiuden käsitteen perustavaa merkitystä topologiassa. Hän myös perusti yhtenäisten avaruuksien teorian ja otti käyttöön termit "komponentti" ja "kvasikomponentti".

Hausdorffin ensimmäisen ja myöhemmin myös toisen numeroituvuusaksiooman myötä voitiin ottaa käsiteltäviksi erilaisia avaruuksia. Yhden laajan luokan, joka toteuttaa ensimmäisen numeroituvuusaksiooman, muodostavat metriset avaruudet. Ne oli Fréchet jo vuonna 1906 ottanyt käyttöön nimellä "luokat (E)". Nimen "metrinen avaruus" niille kuitenkin antoi vasta Hausdorff. *Periaatteet*-teoksessaan hän kehitti metristen avaruuksien teoriaa ja rikastutti sitä järjestelmällisesti uusilla käsitteillä kuten Hausdorffin metriikka sekä täydelliset, täysin rajoitetut, \rho-konnektiiviset ja redusoituvat avaruudet. Fréchet’n työ oli jäänyt vähälle huomiolle, ja vasta Hausdorffin *Principles* teki metriset avaruudet matemaatikkojen keskuudessa yleisemmin tunnetuiksi.

Kuvauksia käsittelevä luku sekä mitta- ja integrointiteoriaa käsittelevä viimeinen luku ovat sisällöltään hyvin yleisiä ja niissä Hausdorff käytti omintakeista esitystapaa. Tässä yhteydessä hän mainitsi lyhyesti, että mittateoria on tärkeä myös toden­näköisyys­laskennan kannalta. Lyhyydestään huolimatta tämä maininta sai sittemmin suuren historiallisen merkityksen. Tässä kappaleessa esiintyy myös ensimmäinen korrekti todistus Émile Borelin esittämälle vahvalle suurten lukujen laille. Kirjan liitteessä on vielä koko teoksen erikoisin tulos, nimittäin Hausdorffin lause, jonka mukaan tilavuutta ei voida määritellä kaikille \mathbb{R}^n:n rajoitetuille osajoukoille, kun n \ge 3. Sen todistus perustuu valinta-aksioomaan, jonka nojalla Hausdorff osoitti, miten pallo voidaan jakaa osiin paradoksaalisella tavalla.

1900-luvulla tuli standardikäytännöksi perustaa matemaattiset teoriat aksiomaattiseen joukko-oppiin. Aksiomaattisesti perustetut yleistetyt teoriat, kuten yleinen topologia, tekivät muun muassa mahdolliseksi osoittaa, että useinkin aivan eriluontoisina pidetyillä matematiikan aloilla oli yhteinen strukturaalinen perusta, jonka varaan voitiin rakentaa abstrakti teoria, johon ne kaikki sisältyivät erikoistapauksina. Näin sama todistus saattoi ratkaista useita näennäisesti hyvinkin erilaisia kysymyksiä. Hausdorff itse korosti tätä näkökohtaa *Perusteissaan*. Topologiaa käsittelevä kappale peruskäsitteineen oli metodiltaan uraauurtava ja viitoitti tietä nykyaikaisen matematiikan kehitykselle.

*Joukko-opin perusteet* ilmestyi vähän ennen ensimmäistä maailmansotaa kansainvälisen tilanteen jo kiristettyä. Sota syttyi elokuussa 1914 ja vaikutti Euroopassa myös tieteelliseen elämään. Näissä oloissa Hausdorffin teoksella ei ollut kovinkaan suurta vaikutusta ensimmäisten viiden tai kuuden vuoden aikana sen ilmestymisestä. Sodan jälkeen nuorten tutkijoiden uusi sukupolvi otti käsittelyynsä monet Hausdorffin teoksessaan esittämät konjektuurit, ja topologia nousi epäilemättä huomion polttopisteeseen.  Puolassa vuonna 1920 perustettu aikakauskirja *[[Fundamenta Mathematicae]]* sai erityisen merkityksen Hausdorffin ajatusten julkaisijana. Se oli yksi ensimmäisistä matemaattisista aikakauskirjoista, joka kiinnitti erityistä huomiota joukko-oppiin, topologiaan, reaalifunktioiden teoriaan, mitta- ja integrointiteoriaan, funktionaalianalyysiin, logiikkaan ja matematiikan perusteisiin. Yleinen topologia nousi tässä yhteydessä erityisen suuren huomion kohteeksi. Hausdorffin teokseen viitattiin Fundamenta Mathematicaen ensimmäisessä niteessä huomattavan monta kertaa. Siinä vuosina 1920–1933 julkaisuista 558 tutkielmasta 88:ssa viitataan *Joukko-opin perusteisiin* (Hausdorffin omat kolme tutkielmaa eivät ole luvussa mukana). Lisäksi on otettava huomioon, että Hausdorffin teoriat tulivat yleisesti tunnetuiksi niin, että niitä käytettiin hyväksi myös useissa tutkielmissa, joissa niihin ei suoraan viitata.

Paul Alexandroffin ja Paul Urysohnin perustama venäläinen topologinen koulukunta rakentui vahvasti Hausdorffin *Joukko-opin perusteiden* varaan. Tämän osoittaa Hausdorffin jäämistössä säilynyt hänen ja Urysohnin välinen kirjeenvaitho sekä erityisesti Alexandroffin ja Urysohnin *Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes*, kokonaisen kirjan laatuinen kaksiosainen artikkeli, jossa Urysohn kehitti dimensioteoriaa ja jossa Hausdorffin *Perusteisiin* viitataan peräti 60 kertaa.

Vielä kauan toisen maailmansodan jälkeenkin Hausdorffin kirjalla oli suuri kysyntä, ja siitä otettiin Chelseassa uusintapainokset vuosina 1949, 1965 ja 1978.

### Deskriptiivinen joukko-oppi, mittateoria ja analyysi
Vuonna 1916 Alexandroff ja Hausdorff ratkaisivat toisistaan riippumatta  kontinuumiprobleeman Borel-joukkojen osalta. He osoittivat, että täysin separoituvassa metrisessä avaruudessa jokainen Borel-joukko on joko numeroituva tai sillä on kontinuumin mahtavuus. Tämä tulos oli yleistys Cantorin–Bendixsonin lauseelle, jonka mukaan näin on \mathbb{R}^n:ssä jokaisen suljetun joukon laita. Lisäksi William Henry Young oli vuonna 1903 todistanut vastaavan tuloksen lineaarisille G_{\delta}-joukoille ja Hausdorff itse vuonna 1914 *Joukko-opin perusteet* -teoksessaan G_{\delta\sigma\delta}-joukoille. Alexandroffin ja Hausforffin lause innosti monet matemaatikot edelleen kehittämään deskriptiivistä joukko-oppia.

Tutkielmista, jotka Hausdorff kirjoitti Greifswaldissa toimiessaan, erityisen tärkeä on *Dimensio ja ulkomitta* () vuodelta 1919. Sitä pidetään edelleen ajanmukaisena ja myöhempinä aikoina se on ollut todennäköisesti eniten viitattu 1910-luvulla kirjoitettu matemaattinen tutkielma. Tässä artikkelissa otettiin käyttöön käsitteet, jotka nykyisin tunnetaan Hausdorffin mittana ja Hausdorffin dimensiona.

Hausdorffin dimension käsite on käyttökelpoinen "hyvin rosoisten suureiden" luonnehdinnassa ja vertailussa. Artikkelissa *Dimensio ja ulkomitta* käyttöön otettuja käsitteitä on sovellettu ja edelleen kehitelty monilla aloilla, kuten dynaamisten systeemien teoriassa, geometrisessa mittateoriassa, itsesimilaaristen joukkojen, fraktaalien ja stokastisten prosessien teoriassa, harmonisessa analyysissä, potentiaaliteoriassa ja lukuteoriassa.
 
Palattuaan Bonniin Hausdorff teki merkittävää tutkimusta analyysin alalta. Artikkelissaan *Summausmenetelmät ja momenttisarjat I* () hän kehitti hajaantuville sarjoille kokonaisen luokan summausmenetelmiä, joita nykyisin sanotaan Hausdorffin menetelmiksi. Hardy klassisessa teoksessa *Divergent Series* on kokonainen luku omistettu Hausdorffin menetelmille. Hölderin ja Cesàron klassiset menetelmät osoittautuivat Hausdorffin menetelmien erikois­tapauksiksi. Jokaisen Hausdorffin menetelmän määrittää yksi momenttisarja; tässä yhteydessä Hausdorff esitti hienon rataisun äärellisen välin momentti­probleemalle sivuten samalla ketjumurtolukujen teoriaa. Artikkelissaan *Äärellisen välin momentti­probleemat* () vuodelta 1923 hän käsitteli momentti­probleeman eräitä erikois­tapauksia kuten sellaisia, joissa on asetettu rajoittavia ehtoja tiheyden \varphi(x) generoinnille, esimerkiksi \varphi(x) \in L^p[0,1]. Hausdorffin jäämistöstä ilmenee, että hän keskittyi useiden vuosien ajaksi tutkimaan momentti­probleemojen ratkeavuutta ja määrittämistä.

Hausdorff vaikutti vaikutti myös uuden tutkimus­alueen, funktionaalianalyysiin n kehitykseen julkaisemalla vuonna 1923 artikkelin *Eine Ausdehnung des Parsevalschen Satzes über Fourierreihen* (Fourier’n sarjoja koskevan Parsevalin lauseen yleistys*, jossa myös Rieszin–Fischerin lause yleisestiin koskemaan <math>L^p</math>-avaruusksia. Hän todisti epäyhtälöt, jotka sittemmin nimettiin hänen ja [[W. H. Young]]in mukaan. Hausdorffin–Youngin epäyhtälöstä saivat alkunsa laajat uudet kehityssuunnat.

Hausdorffin teos *Mengenlehre* (Joukko-oppi) ilmestyi vuonna 1927. Sen ilmoitettiin olevan *Perusteet*-teoksen toinen painos, mutta todellisuudessa se oli täysin uusi kirja. Suuret osat järjestettyjen joukkojen teoriasta sekä mitta- ja integrointiteoriasta oli jätetty pois, koska niitä oli laajasti käsitelty Goschenin laatimissa oppikirjoissa. Esipuheessaan Hausdorff kirjoitti: "Enemmän kuin näitä poistoja tulee lukija ehkä valittamaan, että säästääkseni vielä enemmän tilaa pistejoukkojen teoriassa olen hylännyt topologisen näkökulman, jonka ansiosta ensimmäinen painos nähtävästi oli saanut paljon ystäviä ja rajoittunut helpompaan metristen avaruuksien teoriaan."

Muutamat kirjan arvostelijat tosiaan olivat valitelleet juuri tätä. Tämän kompensoimiseksi Hausdorff esitti ensimmäisen kerran deskriptiivisen joukko-opin silloisen terian. Tämän vuoksi kirja sai lähes yhtä innostuneen vastaan­oton kuin *Perusteet*, varsinkin *Fundamenta Mathematicae* -julkaisusarjassa. Oppikirjana siitä tuli varsin suosittu. Vuonna 1935 siitä julkaistiin laajennettu laitos, josta Dover julkaisi uuden painoksen 1944. Vuonna 1957 siitä ilmestyi englannin­kielinen käännös, josta julkaistiin uusinta­painokset vuosina 1962 ja 1967.

Vuonna 1937 kirjasta julkaistiin myös venäjänkielinen laitos, joskin se oli vain osittain suoranainen käännös; osia siitä olivat kirjoittaneet kokonaan uudestaan Alexandroff ja [[Andrei Kolmogorov|Kolmogorov]]. Tässä laitoksessa topologinen näkökulma nostettiin jälleen etualalle. Vuonna 1928 teoksesta ilmestyi Hans Hahnin laatima arvostelu. Sen loppusanat kuuluivat seuraavasti:



On mahdollista, että Hahn tarkoitti nämä sanat kannan­otoksi Saksassa laajalle levinnyttä [[antisemitismi]]ä vastaan.

===Viimeiset tutkielmat===
Viimeisessä tutkielmassaan *Erweiterung einer stetigen Abbildung* Hausdorff osoitti vuonna 1938, että [[jatkuva kuvaus]] [[metrinen avaruus|metrisen avaruuden]] <math>E</math> suljetulta osajoukolta <math>F</math> voidaan aina jatkaa koko avaruuteen <math>E</math> (joskaan kuvajoukko ei välttämättä laajene). Erityisesti jokainen [[homeomorfismi]] <math>F</math>:ltä voidaan jatkaa koko avaruuteen <math>E</math>. Tämä tutkielma täydensi hänen aikaisempia tuloksiaan. Vuonna 1919 hän oli tutkielmassaan *Über halbstetige Funktionen und deren Verallgemeinerung* jo esittänyt muun muassa toisen todistuksen [[Tietzen jatkolause]]elle.  Vuonna 1930 tutkielmassaan *Erweiterung einer Homöomorphie* ("Homeo­morfismin laajennus") hän osoitti, että jos <math>E</math> on metrinen avaruus ja <math>F \subseteq E</math> sen suljettu osajoukko ja joukkoon <math>F</math> voidaan määritellä uusi metriikka muuttamatta sen topologiaa, tämä metriikka voidaan jatkaa koko avaruuteen muuttamatta sen topologiaa. Vuonna 1935 hän julkaisi tutkielman *Gestufte Räume*, jossa hän käsitteli avaruuksia, jotka toteuttavat [[Kuratowskin sulkeuma-aksiooma]]t idempotenssi­aksioomaan saakka. Sellaisia hän nimitti *porrastetuiksi avaruuksiksi*, mutta usein niitä nimitetään myös sulkeuma-avaruuksiksi. Niiden avulla hän tutki [[Maurice René Fréchet|Fréchet’n]] raja-avaruuksien ja [[topologinen avaruus|topologisten avaruuksien]] välisiä yhteyksiä.

==Hausdorffin mukaan nimettyjä asioita ==
Matematiikan eri aloilla on useita Hausdorffin mukaan nimettyjä käsitteitä, kuten:
* [[Hausdorffin avaruus]]
* [[Hausdorffin mitta]]
* [[Hausdorffin dimensio]]
* [[Hausdorffin täydennys]]
* [[Hausdorffin konvergenssi]]
* [[Hausdorffin metriikka]]
* [[Hausdorffin maksimaaliperiaate]]
* [[Hausdorffin–Youngin epäyhtälö]]

Bonnin ja Greifswaldin yliopistoissa hänen mukaansa on nimetty:
* [[Hausdorffin matematiikkakeskus]] Bonnissa
* *Hausforffin matematiikan tutkimuslaitos* Bonnissa ja
* *Felix Hausdorff Internationale Begegnungszentrum* Greifswaldissa.

Lisäksi Bonnissa on Hausdorffstraße (Hausdorffinkatu), jonka varrella hän aluksi asui (numerossa 61.) Greifswaldissa on Felix-Hausdorff-Straße, jonka varrella ovat muun muassa yliopiston biokemian ja fysiikan laitokset. Vuodesta 2011 lähtien Leipzigin [[Gohlis (Leipzig)|Gohlisin]] kaupunginosassa on katu nimeltä "Hausdorffweg" (Hausdorffintie).

Hausdorffin mukaan on nimetty myös asteroidi [[24947 Hausdorff]].

== Julkaisut  ==
=== Nimimerkillä Paul Mongré ===
Hausdorff kirjoitti nimimerkillä Paul Mongré muun muassa seuraavat kirjat ja artikkelit:

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

=== Nimellä Felix Hausdorff ===
*  
*  
*  
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

== Kootut teokset ==
Nordrhein-Westfalenin tiede- ja taideakatemia on julkaissut Hausdorffin kootut teokset kirjasarjana, jonka kokoamiseen ovat osallistuneet  E. Brieskorn, F. Hirzebruch, ja W. Purkert Bonnin yliopistosta, R. Remmert Münsteristä ja E. Scholz Wuppertalista sekä yli 20 matemaatikkoa, historioitsijaa, filosofia ja muuta tutkijaa. Kirjasarjassa on myös asiantuntijoiden laatimia kommentaareja ja muuta lisättyä aineistoa. Sarjan niteet on julkaissut [[Springer-Verlag]] Heidelbergissä. Sarjassa on julkaistu yhdeksän nidettä, joista ensimmäinen jaettiin osiin IA ja IB.  Sarjassa ovat ilmestyneet seuraavat niteet:
* Nide IA: *Allgemeine Mengenlehre* (Yleinen joukko-oppi), 2013, 
* Nide IB: 'Felix Hausdorff – Paul Mongré (Biographie) (Elämäkerta), 2018, 978-3-662-56380-9
* Nide II: *Grundzüge der Mengenlehre (1914)* (Joukko-opin perusteet). 2002, 
* Nide III: *Mengenlehre (1927, 1935); Deskriptive Mengenlehre und Topologie* (Joukko-oppi: Deskriptiivinen joukko-oppi ja topolotia), 2008, 
* Nide IV: *Analysis, Algebra und Zahlentheorie* (Analyysi, algebra ja lukuteoria), 2001, 
* Nide V: *Astronomie, Optik und Wahrscheinlichkeitstheorie* (Tähtitiede, optiikka ja todennäköisyysteoria, 2006, ISBN|978-3-540-30624-5
* Nide VI: *Geometrie, Raum und Zeit* (Geometria, avaruus ja aika), 2020, 
* Nide VII: *Philosophisches Werk* (Filosofiset teokset), 2004, 
* Nide VIII: *Literarisches Werk* (Kirjalliset teokset), 2010, 
* Nide IX: *Korrespondenz.'' (Kirjeenvaihto), 2012, .

## Lähteet

* 
* 
* 
* 
*  
*  
* 
* 
* 
* 
* 

### Viitteet