Tasokuvioiden tasapaino

**Tasokuvioiden tasapaino** (, ) on Arkhimedeen kirjoittama antiikin kreikkalainen matemaattinen teos, joka käsittelee vipuvarsilakia ja tasokuvioiden tasapainoa.

## Historia

Arkhimedes eli ja kirjoitti hellenistisellä kaudella 200-luvulla eaa. Wilbur Knorr luki teoksen *Tasokuvioiden tasapaino*, tai sananmukaisesti käännettynä *Tasokuvioiden tasapainosta*, hänen varhaisiin teoksiinsa. Sitä voidaan pitää teoreettisen mekaniikan perustana, sillä Aristoteleen aiemmat käsittelyt aiheesta olivat verraten epämääräisiä ja epätieteellisiä.

Teos oli yksi Arkhimedeen ydinkirjoituksista, jotka tunnettiin Bysantissa keskiajalla. Eutokios kirjoitti siihen kommentaarin. Myöhemmin se tunnettiin käsikirjoitustraditiossa *Codex A*, ja se oli yksi Arkhimedeen teoksista, jotka Vilhelm Moerbekelainen käänsi latinaksi vuonna 1269.

## Sisältö

Teos koostuu kahdesta kirjasta. Siinä Arkhimedes todistaa vipuvarsilain perusaksioomien avulla, ja tämän jälkeen soveltaa lakia tasokuvioiden painopisteen löytämiseen.

### Kirja I

Ensimmäisessä kirjassa on seitsemän postulaattia ja viisitoista propositiota. Siinä esitetään todistuksia, suurelta osin yhä käytössä olevalla tavalla, painopisteistä: (1) kahden painon, (2) minkä tahansa suunnikkaan, (3) minkä tahansa kolmion ja (4) minkä tahansa trapetsoidin.

* **Propositio 1**. Painot, jotka ovat tasapainossa yhtä suurilla etäisyyksillä, ovat yhtä suuret.
* **Propositio 2**. Erisuuruiset painot yhtä suurilla etäisyyksillä eivät ole tasapainossa, vaan kallistuvat suuremman painon puolelle.
* **Propositio 3**. Erisuuruiset painot ovat tasapainossa erisuurilla etäisyyksillä siten, että suurempi paino on pienemmällä etäisyydellä.
* **Propositio 4**. Jos kahdella yhtä suurella painolla ei ole sama painopiste, molempien yhdessä muodostaman järjestelmän painopiste sijaitsee niiden painopisteitä yhdistävän janan keskipisteessä.
* **Propositio 5**. Jos kolmen yhtä suuren kappaleen painopisteet sijaitsevat samalla suoralla yhtä suurin välimatkoin, koko järjestelmän painopiste yhtyy keskimmäisen kappaleen painopisteeseen.
* **Propositiot 6 ja 7**. Kaksi kappaletta, olivatpa ne keskenään yhteismitallisia (propositio 6) tai yhteismitattomia (propositio 7), ovat tasapainossa etäisyyksillä, jotka ovat kääntäen verrannollisia kappaleiden suuruuksiin.
* **Propositio 8**. Jos AB on kappale, jonka painopiste on pisteessä C, ja AD on sen osa, jonka painopiste on pisteessä F, niin jäljelle jäävän osan painopiste on pisteessä G suoralla FC jatkettuna siten, että
::GC : CF = (AD) : (DE).
* **Propositio 9**. Minkä tahansa suunnikkaan painopiste sijaitsee vastakkaisten sivujen keskipisteitä yhdistävällä suoralla.
* **Propositio 10**. Suunnikkaan painopiste on sen lävistäjien leikkauspisteessä.
* **Propositio 11**. Jos abc ja ABC ovat kaksi yhdenmuotoista kolmiota ja g ja G niissä vastaavissa asemissa olevat pisteet, niin jos g on kolmion abc painopiste, myös G on kolmion ABC painopiste.
* **Propositio 12**. Jos annetaan kaksi yhdenmuotoista kolmiota abc ja ABC sekä sivujen bc ja BC keskipisteet d ja D, ja jos kolmion abc painopiste sijaitsee suoralla ad, niin kolmion ABC painopiste sijaitsee suoralla AD.
* **Propositio 13**. Minkä tahansa kolmion painopiste sijaitsee suoralla, joka yhdistää minkä tahansa kulman vastakkaisen sivun keskipisteeseen.
* **Propositio 14**. Minkä tahansa kolmion painopiste on niiden suorien leikkauspisteessä, jotka on piirretty kahdesta kulmasta vastakkaisten sivujen keskipisteisiin.
* **Propositio 15**. Jos AD ja BC ovat trapetsoidin ABCD kaksi yhdensuuntaista sivua, joista AD on lyhyempi, ja jos AD ja BC on jaettu kahtia pisteissä E ja F, niin trapetsoidin painopiste on pisteessä G suoralla EF siten, että
::GE : GF = (2BC + AD) : (2AD + BC).

### Kirja II

Toinen kirja, jossa on kymmenen propositiota, on omistettu painopisteiden määrittämiselle (1) parabolisegmentille eli paraabelin rajaamalle segmentille sekä (2) minkä tahansa kahden yhdensuuntaisen jänteen ja niiden rajaamien käyrän osien väliin jäävälle alueelle.

* **Propositio 1**. Jos P ja P' ovat kaksi parabolisegmenttiä ja D ja E niiden painopisteet, näiden kahden segmentin yhdessä muodostaman kokonaisuuden painopiste sijaitsee pisteessä C suoralla DE siten, että
::P : P' = CE : CD.
* **Propositio 2**. Jos parabolisegmenttiin on ”tunnustetulla tavalla” piirretty sisään jokin kuvio, tämän sisään piirretyn kuvion painopiste sijaitsee segmentin halkaisijalla.
* **Propositio 3**. Jos BAB' ja bab' ovat kaksi yhdenmuotoista parabolisegmenttiä, joiden halkaisijat ovat AO ja ao vastaavasti, ja jos kumpaankin segmenttiin on ”tunnustetulla tavalla” piirretty sisään kuvio, kummassakin tapauksessa yhtä monisivuinen, niin sisään piirrettyjen kuvioiden painopisteet jakavat AO:n ja ao:n samassa suhteessa.
* **Propositio 4**. Minkä tahansa suoralla rajatun parabolisegmentin painopiste sijaitsee segmentin halkaisijalla.
* **Propositio 5**. Jos parabolisegmenttiin on ”tunnustetulla tavalla” piirretty sisään kuvio, segmentin painopiste sijaitsee lähempänä segmentin kärkeä kuin sisään piirretyn kuvion painopiste.
* **Propositio 6**. Annettaessa suoralla rajattu parabolisegmentti, on mahdollista piirtää siihen ”tunnustetulla tavalla” sisään kuvio siten, että segmentin ja sisään piirretyn kuvion painopisteiden välinen etäisyys on pienempi kuin mikä tahansa ennalta annettu pituus.
* **Propositio 7**. Jos on kaksi yhdenmuotoista parabolisegmenttiä, niiden painopisteet jakavat halkaisijansa samassa suhteessa.
* **Propositio 8**. Jos AO on parabolisegmentin halkaisija ja G sen painopiste, niin
::AG = \tfrac{3}{2}GO.
* **Propositio 9 (Lemma)**. Jos a, b, c, d ovat neljä suoraa jatkuvassa verrannossa ja alenevassa suuruusjärjestyksessä, ja jos
::d : (a - d) = x : \tfrac{3}{5}(a - c),
:ja
::(2a + 4b + 6c + 3d) : (5a + 10b + 10c + 5d) = y : (a - c),
:niin on todistettava, että
::x + y = \tfrac{2}{5}a.
* **Propositio 10**. Jos PP'B'B on parabolin osa, joka jää kahden yhdensuuntaisen jänteen PP' ja BB' väliin ja jotka halkaisija ANO puolittaa pisteissä N ja O (joista N on lähempänä kuin O segmenttien kärkeä A), ja jos NO jaetaan viiteen yhtä suureen osaan, joista LM on keskimmäinen (L lähempänä N:ää kuin M), ja jos G on piste suoralla LM siten, että
::LG : GM = BO^2(2PN + BO) : PN^2(2BO + PN),
:niin G on alueen PP'B'B painopiste.

Huomautukset:

## Lähteet

## Kirjallisuutta

* Archimedes: *On the Equilibrium pf Planes*'. Teoksessa