Lemmojen kirja

**Lemmojen kirja** () on Arkhimedeen nimiin laitettu antiikin kreikkalainen matemaattinen teos, joka käsittelee tasogeometriaa. Se on säilynyt nykyaikaan vain latinankielisenä käännöksenä.

## Historia

Arkhimedes eli ja kirjoitti hellenistisellä kaudella 200-luvulla eaa. Teos *Lemmojen kirja* on säilynyt nykyaikaan vain sen arabiankielisestä käännöksestä () 1600-luvulla tehtynä latinankielisenä käännöksenä. Teos ei kuitenkaan voi olla nykymuodossaan sellaisenaan Arkhimedeen kirjoittama, sillä häntä lainataan tai häneen viitataan siinä nimellä useammin kuin kerran.

## Sisältö

Teos on nimensä mukaisesti kokoelma lemmoja, ja koostuu viidestätoista tasogeometrian propositiosta. Ne ovat:

* **Propositio 1**. Jos kaksi ympyrää sivuavat toisiaan pisteessä A ja jos BD ja EF ovat niissä yhdensuuntaiset halkaisijat, niin ADF on suora.
* **Propositio 2**. Olkoon AB puoliympyrän halkaisija, ja olkoot siihen piirretyt tangentit pisteissä B ja jossakin toisessa pisteessä D niin, että ne leikkaavat toisensa pisteessä T. Jos nyt DE piirretään kohtisuoraan AB:tä vastaan ja jos AT ja DE leikkaavat toisensa pisteessä F, niin
::DF = FE.
* **Propositio 3**. Olkoon P mikä tahansa piste ympyrän segmentissä, jonka kanta on AB, ja olkoon PN kohtisuorassa AB:tä vastaan. Valitaan piste D suoralla AB siten, että AN = ND. Jos nyt PQ on kaari, joka on yhtä suuri kuin kaari PA, ja jos BQ yhdistetään, niin
::BQ ja BD ovat yhtä suuret.
* **Propositio 4**. Jos AB on puoliympyrän halkaisija ja N mikä tahansa piste AB:llä, ja jos puoliympyröitä piirretään alkuperäisen puoliympyrän sisään käyttäen halkaisijoina AN ja BN, niin kolmen puoliympyrän kehien rajaama kuvio on se, “mitä Arkhimedes kutsui nimellä *arbēlos* (, ’suutarin veitsi’)”; ja sen pinta-ala on yhtä suuri kuin sen ympyrän pinta-ala, jonka halkaisija on PN, missä PN on kohtisuorassa AB:tä vastaan ja leikkaa alkuperäisen puoliympyrän pisteessä P.
* **Propositio 5**. Olkoon AB puoliympyrän halkaisija, C mikä tahansa piste AB:llä ja CD kohtisuora siihen. Kuvattakoon alkuperäisen puoliympyrän sisään puoliympyrät, joiden halkaisijoina ovat AC ja CB. Jos tällöin piirretään kaksi ympyrää, jotka koskettavat CD:tä sen eri puolilta ja kumpikin koskettaa kahta puoliympyrää, niin nämä ympyrät ovat yhtä suuret.
* **Propositio 6**. Olkoon AB, puoliympyrän halkaisija, jaettu pisteessä C siten, että AC = \tfrac{3}{2}CB (tai missä tahansa muussa suhteessa). Kuvattakoon alkuperäisen puoliympyrän sisään puoliympyrät, joiden halkaisijoina ovat AC ja CB, ja oletettakoon, että piirretty ympyrä koskettaa kaikkia kolmea puoliympyrää. Jos GH on tämän ympyrän halkaisija, on löydettävä GH:n ja AB:n välinen suhde.
* **Propositio 7**. Jos neliön ympärille piirretään ympyrä ja sisään toinen ympyrä, niin ympäröivä ympyrä on kaksinkertainen sisempään ympyrään nähden.
* **Propositio 8**. Jos AB on mikä tahansa jänne ympyrässä, jonka keskipiste on O, ja jos AB jatketaan pisteeseen C siten, että BC on yhtä suuri kuin säde, ja jos edelleen CO leikkaa ympyrän pisteessä D ja sitä jatketaan leikkaamaan ympyrä toistamiseen pisteessä E, niin kaari AE on kolme kertaa niin suuri kuin kaari BD.
* **Propositio 9**. Jos ympyrässä kaksi jännettä AB ja CD, jotka eivät kulje keskipisteen kautta, leikkaavat toisensa suorassa kulmassa, niin
::(\text{kaari }AD) + (\text{kaari }CB) = (\text{kaari }AC) + (\text{kaari }DB).
* **Propositio 10**. Oletetaan, että TA ja TB ovat kaksi ympyrän tangenttia ja että TC leikkaa sen. Olkoon BD jänne pisteen B kautta ja yhdensuuntainen TC:n kanssa, ja olkoon AD:n ja TC:n leikkauspiste E. Jos nyt EH piirretään kohtisuoraan BD:tä vastaan, se puolittaa sen pisteessä H.
* **Propositio 11**. Jos kaksi ympyrän jännettä AB ja CD leikkaavat toisensa suorassa kulmassa pisteessä O, joka ei ole keskipiste, niin
::AO^2 + BO^2 + CO^2 + DO^2 = (\text{halkaisija})^2.
* **Propositio 12**. Jos AB on puoliympyrän halkaisija ja TP ja TQ tangentit siihen mistä tahansa pisteestä T, ja jos AQ ja BP yhdistetään ja ne leikkaavat toisensa pisteessä R, niin TR on kohtisuorassa AB:tä vastaan.
* **Propositio 13**. Jos ympyrän halkaisija AB leikkaa minkä tahansa jänteen CD, joka ei ole halkaisija, pisteessä E, ja jos AM ja BN piirretään kohtisuoraan CD:tä vastaan, niin
::CN = DM.
* **Propositio 14**. Olkoon ACB puoliympyrä, jonka halkaisija on AB, ja olkoot AD ja BE yhtä pitkät osuudet mitattuina AB:tä pitkin pisteistä A ja B. Kuvataan AD ja BE halkaisijoina puoliympyrät puoliympyrän ACB puolelle, ja DE halkaisijana puoliympyrä vastakkaiselle puolelle. Olkoon alkuperäisen puoliympyrän keskipisteen O kautta AB:tä vastaan kohtisuora suora, joka leikkaa vastakkaiset puoliympyrät pisteissä C ja F. Tällöin kaikkien puoliympyröiden kehien rajaaman kuvion (”jota Arkhimedes kutsuu nimellä *salinon* ()”) pinta-ala on yhtä suuri kuin sen ympyrän pinta-ala, jonka halkaisija on CF.
* **Propositio 15**. Olkoon AB ympyrän halkaisija, AC siihen piirretyn säännöllisen viisikulmion sivu ja D kaaren AC keskipiste. Yhdistetään CD ja jatketaan sitä leikkaamaan BA:n jatke pisteessä E; yhdistetään AC ja DB, jotka leikkaavat toisensa pisteessä F, ja piirretään FM kohtisuoraan AB:tä vastaan.
:Tällöin
::EM = (\text{ympyrän säde}).

## Lähteet

## Kirjallisuutta

* Archimedes: *Book of Lemmas*. Teoksessa 

## Aiheesta muualla

*