Nollanjakaja

Renkaan R alkiota a kutsutaan **vasemmanpuoleiseksi nollanjakajaksi**, jos R:ssä on nollasta poikkeava x siten, että ax = 0. Vastaavasti renkaan alkiota a kutsutaan **oikeaksi nollan jakajaksi,** jos R :ssä on nollasta poikkeava y, jolla ya = 0 .

**Nollanjakaja** on alkio, joka on vasen tai oikea nollan jakaja. **Kaksipuolinen nollanjakaja** on alkio, joka on sekä vasen että oikea nollan jakaja (nollasta poikkeava x, jolla ax = 0 voi olla eri kuin nollasta poikkeava y, jolla ya = 0). 

Jos rengas on kommutoiva, niin vasemmat ja oikeat nollanjakaja ovat samat.

Kommutatiivinen rengas R on kokonaisalue, jos 0 on sen ainoa nollanjakaja mutta R\ne\{0\}.

## Esimerkkejä

* Renkaassa <math>\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}</math>, jakojäännösluokka \overline{2} on nollajakaja, koska \overline{2} \times \overline{2}=\overline{4}=\overline{0} .
*  Kokonaislukujen renkaan \mathbb{Z} ainoa nollanjakaja on 0.
* Nollasta poikkeavan renkaan nilpotentti elementti on aina kaksipuolinen nollanjakaja.
* Renkaan idempotentti alkio e\ne 1 on aina kaksipuolinen nollanjakaja, koska e(1-e)=0=(1-e)e .
* *n*&#x2009;×&#x2009;*n-[[Neliömatriisi|neliömatriisien]]* rengas jonkin kunnan yli omaa nollasta poikkeavia nollanjakajia, jos *n* ≥ 2. Esimerkkejä nollan jakajista 2×2-matriiseilla (millä tahansa nollasta poikkeavalla renkaalla) näytetään tässä:

\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.

### Yksipuolinen nollajakaja

* Käsitellään rengasta (muodollisista) matriiseista\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix} missä x,z\in\mathbb{Z} ja y\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}. Tällöin \begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}xa&xb+yc\\0&zc\end{pmatrix} ja \begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}xa&ya+zb\\0&zc\end{pmatrix}. Jos x\ne0\ne z, niin \begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix} on vasen nollanjakaja jos ja vain jos x on parillinen, koska \begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&x\\0&0\end{pmatrix}, ja se on oikea nollanjakaja jos ja vain jos z is parillinen (vastaavista syistä). Jos x tai z on 0, se on kaksipuolinen nollanjakaja.

## Ominaisuuksia

* Tarkastellaan n&#x2009;×&#x2009;n matriisia jonkin kunnan yli. Tällöin vasemmat ja oikeat nollanjakajat ovat samat ja ne ovat sama joukko kuin singulaarimatriisit. n&#x2009;×&#x2009;n-matriisien renkaassa kokonaisideaalialueen yli nollanjakajat täsmälleen ne matriisit, joiden determinantti nolla.
* Vasen tai oikea nollan jakaja ei voi koskaan olla yksikköä, koska jos a on käännettävä ja ax = 0 jollekin nollasta poikkeavalle x lle, niin 0=a^{-1}0=a^{-1}ax=x, mikä on ristiriita.
* Jos a ei ole vasen nollanjakaja, niin ax = ay tarkoittaa, että x = y. 
* Jos b ei ole oikea nollanjakaja, niin xb = yb tarkoittaa, että x = y. 

## Modulin nollanjakaja
Olkoon R kommutatiivinen rengas, olkoon M R-moduuli ja a R:n alkio. Sanotaan, että a on **M -säännöllinen,** jos "kertominen a:lla" eli M \,\stackrel{a}\to\, M on injektiivinen, muutoin sanotaan, että a on **M:n nollajakaja**.

Tämän sivun alussa annettu määritelmä on tuon määritelmän rajoittuma tapaukseen M=R.

## Aiheesta muualla
* Zero divisor,  Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
* Weisstein, Eric W. Zero Divisor. MathWorld.