Heikko topologia

**Heikko topologia** on matematiikassa nimitys tietyille indusoiduille topologioille, usein topologisissa vektoriavaruuksissa tai lineaaristen operaattoreiden avaruuksissa, esimerkiksi Hilbertin avaruudessa.

Termiä käytetään yleisimmin topologisen vektoriavaruuden (kuten normivektoriavaruuden) topologiasta, jonka on indusoinut sen jatkuva duaaliavaruus.

Topologisen vektoriavaruuden osajoukkoja voidaan kutsua **heikosti suljetuiksi** (vastaavasti **heikosti kompakteiksi** jne.), jos ne ovat suljettuja (vastaavasti kompakteja jne.) heikossa topologiassa. Samoin funktioita kutsutaan joskus **heikosti jatkuviksi** (vastaavasti **heikosti differentioituviksi**, **heikosti analyyttisiksi** jne.), jos ne ovat jatkuvia (vastaavasti differentioituvia, analyyttisiä jne.) heikon topologian suhteen.

## Historia
1900-luvun alkupuolelta lähtien David Hilbert ja Marcel Riesz käyttivät heikkoa suppenemista laajasti. Funktionaalianalyysin varhaiset pioneerit eivät pitäneet suppenemista normin suhteen tärkeämpänä kuin suppenemista heikon topologian suhtaan vaan usein päinvastoin. Vuonna 1929 Banach esitteli heikon suppenemisen normiavaruuksille ja myös analogisen heikko*-suppenemisen.

Heikko topologia on englanniksi *weak topology*, ranskaksi **' ja saksaksi **'.

## Duaalin indusoima heikko topologia
### Jatkuva duaaliavaruus
Topologisen vektoriavaruuden  V (jatkuva) duaaliavaruus on V^{*}. Sen alkiot ovat kaikki jatkuvat lineaariset funktiot \Lambda: V \to \mathbb K, missä  \mathbb K on se (skalaari)kunta jonka yli avaruus  V  on määritelty (yleensä \mathbb K=\mathbb R tai \mathbb K=\mathbb C).

Myös V^{*} on vektoriavaruus saman kunnan yli. Sen alkioiden summa ja skalaaritulo määritellään pisteittäin. Esimerkiksi vektorien f,g\in V^* summa f+g\in V^* määritellään näin: (f+g)(x) = f(x) +g(x) kaikilla x\in V.

#### Duaalin ja primaalin heikot topologiat
Avaruuden V *heikko topologia* tarkoittaa yleensä sen (jatkuvan) duaalin V^{*}
indusoimaa topologiaa indusoimaa topologiaa eli se on (pienin eli) karkein topologia,
jonka suhteen jokainen \Lambda\in V^* on jatkuva.

Jos esimerkiksi V on Banach-avaruus, sen heikko topologia on yleensä heikompi kuin sen normitopologia (joskin ne ovat samat jos dimV).

Joskus kuitenkin heikolla topologialla tarkoitetaan jonkin muun lineaaristen funktionaalien joukon (esimerkiksi algebrallisen duaalin eli kaikkien lineaaristen funktionaalien) indusoimaa topologiaa. Tällainen voidaan määritellä mille vektoriavaruudelle tahansa (kunhan kerroinkunta on \mathbb R, \mathbb C tai muu topologinen kunta). 

Tämän täsmentämiseksi voidaan käyttää termiä **heikko topologia joukon ''F'' suhteen**, missä *F* on kyseisen topologian indusoinut lineaaristen funktionaalien joukko.

Vastaavasti joskus duaaliavaruudessa V^{*} käytetään **heikko-*-topologiaa** eli avaruuden  V  siihen indusoimaa topologiaa. (Avaruuden  V^{*} heikko topologiahan tarkoittaa avaruuden V^{**}=(V^{*})^* indusoimaa topologiaa.)

## Heikot ja vahvat topologiat
Olkoon \mathbb{K} topologinen kunta eli kunta, jonka topologia on sellainen, että yhteen-, kerto- ja jakolaskut ovat jatkuvia. Useimmissa sovelluksissa \mathbb{K} on joko kompleksilukujen kunta tai reaalilukujen kunta sen tavanomaisella topologialla.

### Heikko topologia parituksen suhteen
Sekä heikko topologia että heikko* topologia ovat erikoistapauksia yleisemmästä paritusten rakenteesta, jota nyt kuvailemme. Tämän yleisemmän rakenteen etuna on, että mikä tahansa sille todistettu määritelmä tai tulos pätee *sekä* heikkoon topologiaan että heikkoon* topologiaan, mikä tekee tarpeettomaksi monien määritelmien, lauseiden ja todistusten tarpeen. Tämä on myös syy siihen, miksi heikko*-topologiaa kutsutaan usein myös "heikoksi topologiaksi"; koska se on vain esimerkki heikosta topologiasta tämän yleisemmän rakenteen yhteydessä.

Olkoon (X,Y,b) paritus eli olkoot X ja Y ovat vektoriavaruuksia jonkin topologisen kunnan \mathbb{K} yli ja b:X\times Y\to \mathbb K on bilineaarikuvaus.

:**Merkintä.** Kullakin y\in Y, kuvaus b(\bullet,y):X\to\mathbb K tarkoittaa kuvausta X\ni x\mapsto b(x,y)\in\mathbb K. Vastaavasti b(x,\bullet):Y\to\mathbb K.

:**Määritelmä.** Joukon Y avaruuteen X indusoima *heikko topologia* tarkoittaa (pienintä eli) heikointa avaruuden X topologiaa, jolla jokainen b(\bullet,y) on jatkuva. Sitä merkitään \sigma(X,Y,b) tai \sigma(X,Y).

:**Määritelmä.** Joukon X avaruuteen Y indusoima *heikko topologia* tarkoittaa (pienintä eli) heikointa avaruuden Y topologiaa, jolla jokainen b(x,\bullet) on jatkuva. Sitä merkitään \sigma(Y,X,b) tai \sigma(Y,X).

Jos kunnassa \mathbb{K} on itseisarvo, nämä heikot topologiat ovat seminormien indusoimia (esimerkiksi seminormien x\mapsto |b(x,y)|). Tällöin heikot topologiat ovat lokaalisti konvekseja.

## Katso myös
* Heikko suppeneminen

## Viitteet