Bosen–Einsteinin statistiikka

**Bosen–Einsteinin statistiikka** (BE-statistiikka) on statistisessa fysiikassa jakaumalaki, joka osoittaa samanlaatuisten bosonien energiatilojen jakauman termodynaamisessa tasapainotilassa. Bosonit ovat alkeishiukkasia, jotka toisin kuin fermionit eivät noudata Paulin kieltosääntöä ja joita näin ollen voi olla rajoittamaton määrä samassa energiatilassa. Sellaisia ovat esimerkiksi fotonit ja erilaiset mesonit.

Bosen–Einsteinin jakauman johti ensimmäisenä fotoneille Satyendra Nath Bose vuonna 1920, ja sen yleisti atomeille Albert Einstein vuonna 1924.

## Eri statistiikkojen vertailua
Statistisessa fysiikassa käytetään kolmea erilaista jakaumaa:
* Maxwellin–Boltzmannin statistiikka
* Bosen–Einsteinin statistiikka
* Fermin–Diracin statistiikka.

Maxwellin–Bolzmannin statistiikkaa sovelletaan molekyyleihin klassisessa termodynamiikassa. Kvanttiteoria on kuitenkin osoittanut, ettei se sovellu minkään alkeishiukkasen energiajakauman kuvaamiseen muutoin kuin tietyissä tapauksissa likimääräisesti.

Bosen–Einsteinin statistiikka soveltuu bosoneille kuten fotoneille ja mesoneille. Fermin–Diracin statistiikka soveltuu fermioneille kuten elektroneille ja protoneille, joita Paulin kieltosäännön mukaan ei voi olla useampi kuin yksi samassa kvanttitilassa.

Kaikkia kolmea statistiikkaa voidaan vertauksellisesti kuvailla olettamalla, että tietty määrä (*p*) palloja on sijoitettava tiettyyn määrään (*n*) laatikkoja.  Pallot vastaavat tällöin hiukkasia, laatikot energiatiloja.

Fermin–Diracin statistiikassa oletetaan tällöin, että kuhunkin laatikkoon mahtuu vain yksi pallo, kun taas kummassakin muussa statistiikassa laatikoiden vetoisuus on rajoittamaton. Maxwellin–Bolzmannin statistiikkaa johdettaessa kuitenkin oletetaan, että ainakin periaatteessa pallot voidaan yksilöidä, kun taas Bosen–Einsteinin statistikassa tämä oletetaan periaatteessakin mahdottomaksi, minkä vuoksi jakaumia johdettaessa symmetriset alkeistapaukset muodostetaan eri tavalla. Jos laatikoiden välisiä kuviteltuja rajaseiniä merkitään pystyviivoilla (|), niin Maxwellin–Boltzmannin jakaumassa kutakin alkeistapausta esittää tapa, jolla tietty määrä eri kirjaimia voidaan sijoittaa näiden viivojen väliin. Tällaisia tapoja on kaikkiaan n^p. Sitä vastoin Bosen–Einsteinin jakaumassa kutakin alkeistapausta esittää merkkijono, jossa on *n-1* pystyviivaa ja *p* ympyrää. Voidaan osoittaa, että tällaisten tapojen lukumäärä on \frac{(n+p-1)! (n-1)!}{p}.

### Yksinkertainen esimerkki
Oletetaan, että kolme palloa on sijoitettava kolmeen laatikkoon. Maxwellin–Boltzmannin statistiikassa näitä palloja voidaan kuvata kirjaimilla *a*, *b* ja *c*, jolloin mahdolliset 33 = 27 erilaista tapaa ovat seuraavat:

 |abc|   |   |         |bc |a  |   |         |bc |   |a  |
 |ab |c  |   |         |b  |ac |   |         |b  |c  |a  |
 |ab |   |c  |         |b  |a  |c  |         |b  |   |ac |
 |ac |b  |   |         |c  |ab |   |         |c  |b  |a  |
 |ac |   |b  |         |c  |a  |b  |         |c  |   |ab |
 |a  |bc |   |         |   |abc|   |         |   |bc |a  |
 |a  |b  |c  |         |   |ab |c  |         |   |b  |ac |
 |a  |c  |b  |         |   |ac |b  |         |   |c  |ab |
 |a  |   |bc |         |   |a  |bc |         |   |   |abc|

Sitä vastoin Bosen–Einsteinin statistiikassa on olemassa vain seuraavat 10 tapaa:

 |ooo|   |   |         |o  |   |oo |
 |oo |o  |   |         |   |ooo|   |
 |oo |   |o  |         |   |oo |o  |
 |o  |oo |   |         |   |o  |oo |
 |o  |o  |o  |         |   |   |ooo|

Huomataan, että edellisessä tapauksessa todennäköisyys sille, että kaikki pallot ovat samassa laatikossa, on 3/27 = 1/9 = 0,111, jälkimmäisessä sen sijaan 3/10 = 0,3 siis merkittävästi suurempi. Toisaalta todennäköisyys, että kaikki pallot ovat eri laatikoissa, on edellisessä tapauksessa 6/27 = 2/9 = 0,222, jälkimmäisessä taas 1/10 = 0,1, siis edellistä pienempi.

Yleensäkin hiukkaset ovat Bosen–Einsteinin statistiikassa suuremmalla todennäköisyydellä samassa energiatilassa kuin ne olisivat Maxwellin–Bolzmannin jakauman mukaan. Täten näyttää siltä kuin samanlaatuiset bosonit vetäisivät toisiaan puoleensa, päinvastoin kuin fermionit. Todellista vetovoimaa niiden välillä ei kuitenkaan ole, vaan tämä ero perustuu kvanttimekaanisten aaltofunktioiden ominaisuuksiin. Ero näiden statistiikkojen välillä käy kuitenkin merkityksettömäksi silloin, kun mahdollisten energiatilojen lukumäärä on hyvin suuri verrattuna hiukkasten lukumäärään, jolloin energian kvantittumista ei tarvitse ottaa huomioon.

Hyvin matalissa lämpötiloissa on kuitenkin molekyyleillekin sovellettava joko Fermin–Diracin tai Bosen–Einsteinin statistiikkaa riippuen molekyylin spinistä.  Tästä syystä joidenkin aineiden kaikki molekyylit sijoittuvat matalissa lämpötiloissa alimmille energiatiloille muodostaen Bosen–Einsteinin kondensaatin.

## Jakaumalaki
Kun sekä hiukkasten että energiatilojen lukumäärä ovat suuria lukuja, hiukkasten todennäköinen lukumäärä energiatilassa *i* on Bosen–Einsteinin statistiikassa:

:
n_i = \frac{g_i}{e^{(\varepsilon_i-\mu)/kT}-1}


missä \varepsilon_i > \mu ja:

:*n<sub>i</sub>*&nbsp; on tilassa *i* olevien hiukkasten lukumäärä
:*g<sub>i</sub>*&nbsp; on tilan *i* degeneraatio
: *ε<sub>i</sub>*&nbsp; on tilan *i* energia
:μ on kemiallinen potentiaali
:*k* on Boltzmannin vakio
:*T* on absoluuttinen lämpötila

Jos  \varepsilon_i-\mu  on paljon pienempi kuin kT, tämä voidaan pyöristää muotoon

:
n_i = \frac{g-i}{e^{(\varepsilon_i-\mu)/kt}} = (g-i)e^{(-\varepsilon_i-\mu)/kt},

mikä on sama kuin Maxwellin–Boltzmannin jakaumalaki.

## Historia
Max Planck esitti jo vuonna 1900 lain, joka osoittaa mustan kappaleen lähettämän sähkömagneettisen säteilyn taajuusjakauman lämpötilan funktiona.  Tämän jakauman teoreettinen selitys osoittautui kuitenkin hankalaksi, ja jo samana vuonna Planck esitti, että kappale voi lähettää säteilyenergiaa vain tietyn kokoisina määrinä kerrallaan, kvantteina. Myöhemmin Albert Einstein kehitti teoriaa edelleen ja esitti, että säteilyn voidaan olettaa koostuvan hiukkasmaisista fotoneista. Vielä tämän jälkeenkään ei jakaumalain teoreettinen johto ollut tyydyttävä, mihin Dhakan yliopiston professori Satyendra Nath Bose kiinnitti huomiota 1920-luvun alussa. Hän osoitti kuitenkin, että tämä jakaumalaki voidaan johtaa, kun oletetaan, ettei hiukkasia voida yksilöidä ja että niille ei ole olemassa lukumäärän säilymislakia. Tällöin Planckin laki saadaan suoraan sovellettaessa Bosen jakaumalakia fotoneille.

Bosella oli kuitenkin vaikeuksia saada tutkimuksensa julkaistuksi. Vasta kun hän lähetti asiaa koskeneen kirjeen Einsteinille, tämä ymmärsi sen merkittävyyden, ja tutkimus julkaistiin.

## Bosen–Einsteinin jakaumalain johto
Oletetaan, että on olemassa joukko energiatasoja, jotka on merkitty indeksinumeroilla
\displaystyle i. Kunkin energiatilan energia on \displaystyle \varepsilon_i, ja siinä on  
\displaystyle n_i hiukkasta. Oletetaan edelleen, että kukin tila jakautuu vielä 
\displaystyle g_i
erilliseen alatasoon, joista jokaisella on yhtä suuri energia, mutta jotka jollakin muulla tavalla eroavat toisistaan. Näillä eri alatasoilla olevilla hiukkasilla voi esimerkiksi olla eri suuri liikemäärä mutta sama määrä energiaa. Tasoon \displaystyle i liittyvien tilojen lukumäärää  
\displaystyle g_i sanotaan tämän energiatason "degeneraatioksi". Kullakin tällaisella alatasollakin voi olla kuinka monta hiukkasta tahansa.

Olkoon \displaystyle w(n,g) niiden tapojen lukumäärä, joilla \displaystyle n hiukkasta voidaan sijoittaa näille yhteensä 
\displaystyle g energiatason alatasolle. Kun hiukkasia ei voida yksilöidä, on vain yksi tapa sijoittaa \displaystyle n hiukkasta yhdelle alatasolle, minkä vuoksi 
\displaystyle w(n,1)=1. (Tässä kohdin jakauman johto eroaa Maxwellin-Bolzmannin jakaumasta). Voidaan helposti nähdä, että tällöin on \displaystyle (n+1) tapaa jakaa \displaystyle n kahden alatason kesken, minkä vuoksi voidaan kirjoittaa:

:
w(n,2)=\frac{(n+1)!}{n!1!}.


Samaan tapaan jatkamalla voidaan osoittaa, että niiden tapojen lukumäärä, joilla 
\displaystyle n hiukkasta voidaan jakaa kolmen alatason kesken, on

:w(n,3) = w(n,2) + w(n-1,2) + \cdots + w(1,2) + w(0,2)

ja edelleen

:
w(n,3)=\sum_{k=0}^n w(n-k,2) = \sum_{k=0}^n\frac{(n-k+1)!}{(n-k)!1!}=\frac{(n+2)!}{n!2!}


Tämä seuraa binomikertoimia koskevasta kaavasta:

:
\sum_{k=0}^n\frac{(k+a)!}{k!a!}=\frac{(n+a+1)!}{n!(a+1)!}.


Kun jatketaan samoin, saadaan edelleen
\displaystyle w(n,g)

:
w(n,g)=\frac{(n+g-1)!}{n!(g-1)!}.


Niinpä niiden tapojen lukumäärä, joilla hiukkaset voivat jakautua eri energiatasojen kesken, saadaan kertomalla eri energiatasoja vastaavat lukumäärät keskenään:

:
W = \prod_i w(n_i,g_i) =  \prod_i \frac{(n_i+g_i-1)!}{n_i!(g_i-1)!}
\approx\prod_i \frac{(n_i+g_i)!}{n_i!(g_i)!}


kun oletetaan, että g_i \gg 1.

Systeemi on termodynaamisessa tasapainotilassa, kun *W*:llä on suurin mahdollinen arvo. Tämä vastaa jakaumaa, jonka todennäköisyys on suurin. Jos oletetaan, että hiukkasten kokonaismäärä ja yhteenlaskettu energia tunnetaan, suureet
\displaystyle W ja \displaystyle \ln(W) saavat maksiminsa samalla 
\displaystyle N_i:n arvolla, joista se on matemaattisesti helpompi johtaa jälkimmäiselle. Voidaan rajoittua ratkaisuihin, jotka saadaan Lagrangen kertoimien avulla:

:
f(n_i)=\ln(W)+\alpha(N-\sum n_i)+\beta(E-\sum n_i \varepsilon_i)


Jos oletetaan, että g_i on hyvin suuri luku, voidaan kertomalle laskea likiarvo Stirlingin kaavalla:

\left(\ln(x!)\approx x\ln(x)-x\right),

jolloin saadaan

:f(n_i)=\sum_i (n_i + g_i) \ln(n_i + g_i) - n_i \ln(n_i) - g_i \ln (g_i) +\alpha\left(N-\sum n_i\right)+\beta\left(E-\sum n_i \varepsilon_i\right).


Tämän maksimi saadaan ottamalla siitä derivaatta \displaystyle n_i:n suhteen ja etsimällä derivaatalle nollakohta. Tällöin saadaan Bosen–Einsteinin statistiikan mukainen lukumäärä:

:
n_i = \frac{g_i}{e^{\alpha+\beta \varepsilon_i}-1}.


Termodynamiikan avulla voidaan osoittaa, että tässä kaavassa esiintyvät parametrit \alpha ja \beta vastaavat systeemiin liittyviä fysikaalisia suureita seuraavasti:

\displaystyle \alpha = - \frac{\mu}{kT} ja 
\displaystyle \beta = \frac{1}{kT},

missä \displaystyle k on Boltzmannin vakio,  \displaystyle T absoluuttinen lämpötila ja \mu systeemin kemiallinen potentiaali. Näin ollen kaava voidaan lopulta kirjoittaa muotoon

:
n_i = \frac{g_i}{e^{(\varepsilon_i-\mu)/kT}-1}.


## Katso myös

* Bosen–Einsteinin kondensaatti
* Maxwellin–Boltzmannin jakauma
* Fermin–Diracin statistiikka
* Planckin laki mustan kappaleen säteilystä

## Lähteet
*
*
*

### Viitteet

## Aiheesta muualla