Arkhimedeen lause

Reaalilukuja koskevan **Arkhimedeen lauseen** mukaan jokaista reaalilukua *r* kohtaan löydetään positiivinen kokonaisluku *k* siten, että
:k>r.

## Todistus

Todistetaan ensin, että ylhäältä rajoitetulla kokonaislukujen joukolla on olemassa maksimi. Merkitään tätä joukkoa symbolilla E ja jotain sen ylärajaa symbolilla B, ja määritellään E =: \{ m \in \N \mid m \leq B \}. Koska joukko E on ylhäältä rajoitettu, on sillä olemassa täydellisyysaksiooman nojalla pienin yläraja eli supremum, G =: \sup{E}. Supremumin määritelmän mukaan on olemassa joukon E alkio h siten että G - 1/2 . Tällöin h on joukon E maksimi. Mikäli h ei olisi maksimi, niin olisi olemassa kokonaisluku i \in E siten, että G . Tämä on ristiriita, koska j \leq G kaikilla j \in E. Täten siis h on joukon E maksimi. 

Mikäli r \leq 0, niin 1 on (triviaalisti) haluttu luku k. Oletetaan siis, että r > 0. Olkoon nyt joukko S =: \{ l \in \N \mid l \leq r \}, jolloin S on ylhäältä rajoitettu. Edellä todistetun lauseen nojalla joukolla S on maksimi. Merkitään W =: max S ja valitaan k =: W + 1. Nyt k ei voi kuulua S:ään, joten k > r. 

Arkhimedeen lauseen korollaari: jokaista positiivista reaalilukua z kohtaan on olemassa luonnollinen luku n siten, että z > 1/n.

#### Todistus

Olkoon z > 0 reaaliluku. Arkhimedeen lauseen nojalla on olemassa luonnollinen luku n siten, että  n > 1/z, mikä on yhtäpitävää epäyhtälön z > 1/n kanssa.

## Seurauslauseita

Kahden erisuuren reaaliluvun a, b \in \R välissä on aina rationaaliluku r ja irrationaaliluku i ja molempia vieläpä äärettömän monta eli a . 

#### Todistus

Merkitään x =: b - a. Arkhimedeen lauseen nojalla on olemassa luonnollinen luku n siten, että x > \frac{1}{n} > 0. Joukolla E =: \{ k \in \Z \mid k \ge nb \} on olemassa minimiarvo. Merkitään p = \min{E}. Nyt p - 1 ei kuulu joukkoon E ja pätee p - 1 , joka on yhtäpitävää epäyhtälön \frac{p - 1}{n}  kanssa. Pätee myös \frac{p}{n} \ge b \implies \frac{p}{n} - x \ge b - x = a, joten \frac{p}{n} - \frac{1}{n} > \frac{p}{n} - x \ge a. Täten b > \frac{p - 1}{n} > a ja r =: \frac{p - 1}{n} on etsitty rationaaliluku. 

Osoitetaan, että tällaisia rationaalilukuja on olemassa äärettömän monta. Todistetaan induktiolla, että löydetään halutunlaisia lukuja mikä tahansa lukumäärä m \in \N. 

Alkuaskel: edellä todistetun lauseen nojalla on olemassa luku r_{1} \in \Q siten, että b > r_{1} > a. 

Induktio-oletus: lukuja, jotka täyttävät ehdon b > r > a, jossa r \in \Q,  on olemassa m - 1 määrä. Tosin sanoen pätee b > r_{m-1} > r_{m-2} \ \ldots \ r_{1} > a.

Induktioaskel: edellä todistetun lauseen nojalla on olemassa luku r_{m} \in \Q siten, että b > r_{m} > r_{m-1} > a. 

Täten haluttuja lukuja löydetään m määrä valittiinpa tämä luku miten suureksi tahansa, sillä nyt pätee b > r_{m} > r_{m-1} > r_{m-1} > r_{m-2} \ \ldots \ > r_{1} > a.

Etsitään seuraavaksi lukujen a ja b välistä irrationaaliluku: 

Tämä voidaan tehdä monella tavalla. Esimerkiksi edellä todistetun lauseen nojalla löydetään rationaaliluvut r_{a} \in \Q ja r_{b} \in \Q siten, että b > r_{b} > r_{a} > a. Merkitään s =: r_{b} - r_{a} eli s \in \Q. Nyt ilmiselvästi pätee b > r_{b} > r_{a} + \frac{s}{\sqrt{2}} > r_{a} > a ja  r_{a} + \frac{s}{\sqrt{2}} on irrationaaliluku. Yllä olevan kaltaisella induktiolla osoitetaan, että halutunlaisia irrationaalilukuja on olemassa ääretön määrä.

## Katso myös
* Täydellisyysaksiooma
* Yläraja