Pedaalinen kolmio

**Pedaalinen kolmio** ( ) on geometriassa kolmioon, annetun pisteen **P** avulla, muodostettu uusi kolmio. Pistettä **P** voidaan kutsua **pedaaliseksi pisteeksi** ( ) ja siinä leikkaavat kolme eri kolmion sivuja leikkaavaa normaalia. Pedaalinen kolmio syntyy, kun  normaalien kantapisteet yhdistetään janoilla kolmioksi.

## Kolmion ominaisuuksia

Pedaalinen kolmio on kolmion sisäkolmio, kun kantapisteet sattuvat kaikki kolmion sivuille. Mikäli pedaalinen piste sijaitsee tarpeeksi kaukana kolmion ulkopuolella, osuvat normaalit (katkoviivat) sivujen jatkeille.

Seuraavissa kaavoissa pätevät seuraavat merkinnät. Alkuperäisen kolmion \scriptstyle \triangle ABC sivut ovat a = BC, b = AC ja c = AB sekä pinta-ala \scriptstyle \triangle. Kärkien **A**, **B** ja **C** kulmia ovat \alpha, \, \beta ja \gamma. Pedaalisen kolmion \scriptstyle \triangle A'B'C' sivut ovat a' = B'C', b' = A'C' ja c' = A'B'. Kolmion \scriptstyle \triangle ABC ympäröivän ympyrän säde on **R** ja sen pedaalisen pisteen trilineaariset koordinaatit ovat **P = x : y : z**.

### Trilineaariset koordinaatit
Kolmion \scriptstyle \triangle ABC pedaalisen kolmion \scriptstyle \triangle A'B'C' trilineaariset koordinaatit ovat
:A' = 0 : (y + x \cos \gamma) : (z + x \cos \beta), 
:B' = (x + y \cos \gamma) : 0 : (z + y \cos \alpha)  ja
:C' = (x + z \cos \beta) : (y + z \cos \alpha) : 0 . 

### Pedaalikolmion sivut
Pedaalikolmion sivun pituus
:a'=\frac{abc\sqrt{y^2+z^2+2yz\cos \alpha}}{2R|ax+by+cz|},
.
:b'=\frac{abc\sqrt{x^2+z^2+2xz\cos \beta}}{2R|ax+by+cz|} ja
.
:c'=\frac{abc\sqrt{x^2+y^2+2xy\cos \gamma}}{2R|ax+by+cz|}. 

### Pedaalikolmion ala
Pedaalikolmion pinta-ala on 
:\triangle ' = \frac{4(cxy+bxz+ayz)\triangle^3}{abc(ax+by+cz)^2}. 

## Pedaalisia kolmioita
Pedaalisten kolmioiden muoto riippuu sekä isäntäkolmion muodosta että normaalien leikkauspisteen *P* paikasta. Kolmiot voidaan kuitenkin luetteloida käyttäen leikkauspistettä indeksinä.
* Sisäympyrän sivuamispisteistä voidaan muodostaa pedaalinen kolmio (). Sisäympyrän keskipiste on kolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste (Kimberlingin tunnus \scriptstyle X_1 ).
* Keskinen kolmio on alkuperäisen kolmion ympäröivän ympyrän keskipisteen (\scriptstyle X_{3} ) suhteen pedaalinen kolmio.
* Ortokolmio syntyy korkeusjanojen kantapisteistä (jotka ovat myös kulmanjakajia), kun ne leikkaavat ortokeskuksessa (Kimberlingin tunnus on \scriptstyle X_4 ) ja jatkavat osuen kohtisuoraan kolmion vastaisille sivuille.
* Kolmion Symmediaaninen piste (\scriptstyle X_{6} ) on määrittämänsä pedaalisen kolmion painopiste (\scriptstyle X_{2} ). 
* Kolmion isodynaamisten pisteiden (\scriptstyle X_{15}, \scriptstyle X_{16}) suhteen olevat pedaaliset kolmiot ovat tasasivuisia kolmioita.
* Pedaalinen kolmio Bevan pisteen (\scriptstyle X_{40} ) suhteen syntyy, kun kolmiota ulkoisesti sivuavien ympyröiden sivuamispisteet yhdistetään kolmioksi.

Pedaalikolmion rajatapaus lienee Simsonin jana, joka syntyy, kun pedaalipiste viedään kolmion ulkopuolelle. Ulkopuolinen pedaalipiste tekee pedaalikolmiosta tylppäkulmaisen ja lopulta, kun pedaalipiste osuu kolmion ympäröivälle ympyrälle, kapenee janaksi.

## Katso myös
* Sisäkolmio
* Ceviaanikolmio

## Lähteet
### Viitteet