Vaihto- ja korrelaatiofunktionaali

**Vaihto- ja korrelaatiofunktionaali** (exchange and correlation functional) on tiheysfunktionaaliteoriassa esiintyvä, kokonaisenergiafunktionaaliin liittyvä tuntematon funktionaali, jota käytännön laskuissa joudutaan approksimoimaan. Erilaisia approksimaatiomenetelmiä on esitetty alla.

Toisin kuin aaltofunktiomenetelmässä, jossa Schrödingerin yhtälöön on olemassa useita, teoreettisesti täsmällisiä ratkaisuja, joilla oikeata ratkaisua voidaan systeemaattisesti lähestyä (esimerkiksi konfiguraatiovuorovaikutus tai häiriöteoria menetelmät) ei tiheysfunktionaaliteoriassa ole olemassa systemaattista menetelmää oikean tai paremman funktionaalin löytämiseksi. Funktionaalille on mahdollista johtaa erilaisia reunaehtoja, joita funktionaalin tulisi toteuttaa, mutta paradoksaalisesti useampia reunaehtoja toteuttava funktionaali ei ole välttämättä parempi funktionaali. Osa olemassa olevista funktionaaleista on kehitetty ilman parametreja, etsien funktionaalia joka toteuttaa tiettyjä reunaehtoja, osa taas on luotu parametrisoimalla, jolloin funktionaali kuvaa paremmin tietynlaista systeemiä (esimerkiksi heikosti vuorovaikuttavia systeemiä tai pinnalla tapahtuvia ilmiöitä).

## Taustaa
Hohenbergin ja Kohnin teoreemoihin nojaten, monielektronisysteemin perustilan kokonaisenergia voidaan lausua elektronitiheyden funktionaalina:

:  E_0 [\rho _0] = T [\rho _0] + E_{ee} [\rho _0] + E_{ext} [\rho _0]

missä  T [\rho ] on elektronien kineettinen energia,  E_{ee} [\rho ] on elektronien keskinäinen vuorovaikutus ja  E_{ext} [\rho ] on ulkoiseen potentiaaliin liittyvä potentiaalienergia (esimerkiksi molekyylisysteemissä atomien ydinten muodostama potentiaali). Ulkoinen potentiaali riippuu tutkittavasta systeemistä, mutta kineettinen energia ja elektronien välinen vuorovaikutus ovat universaaleita funktionaaleja. Niiden summaa kutsutaan Hohenberg–Kohn-funktionaaliksi  F_{HK} [\rho] 

:  F_{HK} [\rho] = T[\rho] + E_{ee}[\rho] = T_S [\rho] + J[\rho]+ E_{XC}[\rho] 

missä  T_S [\rho]   on Kohn–Sham-menetelmällä määritettävä kineettinen energia,  J[\rho]  on elektronitiheyksien välinen coulombinen repulsio (ns. Hartree-repulsio) ja   E_{XC}[\rho]   on *vaihto- ja korrelaatiofunktionaali*, jota menetelmässä joudutaan approksimoimaan. Funktionaali sisältää osia kineettisestä energista, jota Kohn–Sham-menetelmässä ei voida kuvata (Kohn–Shamin kineettinen energia on aina pienempi tai yhtäsuuri kuin oikea kineettinen energia).

## Adiabaattinen kytkentä
**Adiabaattinen kytkentä** (adiabatic connection) antaa vaihto- ja korrelaatiofunktionaalille eksaktin muodon ja sitä käytetään monesti lähtökohtana XC-funktionaalia approksimatiivista funktionaalia rakennettaessa. Adiabaattinen kytkentä muistuttaa monessa mielessä häiriöteoriaa. Ideana tuoda elektronien välinen vuorovaikutus Hohenberg--Kohn funktionaaliin asteittain, kirjoittamalla funktionaali muodossa

:  F^\lambda [\rho] = \min_{\Psi\rightarrow \rho}\langle \Psi[\rho]\left| \hat{T} + \lambda \hat{V}_{ee}\right| \Psi[\rho] \rangle 

missä  \hat{T}  kineettisen energian operaattori ja  \hat{V}_{ee}  on elektronien välinen vuorovaikutus. Kun   \lambda = 0 , funktionaali kuvaa Kohn--Sham referenssitilaa, jossa elektronien välillä ei ole vuorovaikutuksia ja kun   \lambda = 1  funktionaali vastaa oikeata vuorovaikuttavaa systeemiä. Vuorovaikutus kytketään päälle (eli  \lambda: 0 \rightarrow 1 ) hitaasti, siten että systeemin perustilan elektronitiheys   \rho  säilyy muuttumattomana. Tarkastelemalla vuorovaikuttavan ja Kohn--Sham systeemien funktionaaleja (ja hyödyntämällä  integraalin ominaisuuksia) saadaan

: F^1 [\rho] - F^0 [\rho] = \int ^1_0 \frac{\partial}{\partial \lambda} F^\lambda[\rho] \textrm{d}\lambda. 

Kohn--Sham systeemille  F^0[\rho] = T_s[\rho] , joten yhtälön vasemmalla puolella kineettisen energian termit supistuvat pois ja jäljelle jää

: E_{XC}[\rho] + J[\rho] = \int ^1_0 \langle \Psi[\rho]\left| \lambda \hat{V}_{ee}\right| \Psi[\rho] \rangle \textrm{d}\lambda 
: \Rightarrow E_{XC}[\rho] = \int ^1_0 \langle \Psi[\rho]\left| \lambda \hat{V}_{ee}\right| \Psi[\rho] \rangle \textrm{d}\lambda - J[\rho]. 

Vaihto- ja korrelaatioenergia voidaan kirjoittaa myös elektronitiheyden   \rho(\textbf{r})  ja vaihto- ja korrelaatioaukon  h_{xc}(\textbf{r}, \textbf{r}')  välisenä vuorovaikutuksena

:  E_{XC}[\rho] = \frac{1}{2} \iint \textrm{d}\textbf{r} \textrm{d}\textbf{r}' \frac{h_{xc}(\textbf{r}, \textbf{r}') \rho(\textbf{r})}.



## Paikallistiheysapproksimaatio – LDA

Homogeeniselle elektronikaasulle on mahdollista ratkaista vaihto- ja korrelaatiofunktionaali hyvin tarkasti. **Paikallistiheysapproksimaatiossa** (local density approximation, **LDA**) tuntematon vaihto- ja korrelaatiofunktionaali korvataan homogeenisen elektronikaasun funktionaalilla. Tasainen elektronikaasu ei luonnollisestikaan kuvaa mitään realistista systeemiä, mutta approksimaatio toimii kohtalaisen hyvin systeemeissä, joissa muutokset elektronitiheydessä ovat kohtalaisen pieniä, kuten esimerkiksi kiinteä metalli. Sen sijaan esimerkiksi kemian kannalta oleellisissa systeemissä, lähinnä molekyyleissä, elektronitiheydessä voi esiintyä rajujakin muutoksia ja LDA:lla määritettävät energiat ovat yleensä kaukana oikeasta.

Paikallistiheysapproksimaatiossa vaihto- ja korrelaatioenergia kirjoitetaan vaihto- ja korrelaatio-osien summana. Homogeenisen elektronikaasun vaihto-osa voidaan ratkaista eksaktisti ja korrelaatio-osaa eri elektronitiheyksissä on arvioitu laskennallisesti [Monte Carlo -simulaatio|Monte Carlo] -simulaatioiden avulla .

:
\begin{align}
E_{XC}[\rho] &= \int \rho(\vec r) \epsilon _{XC} [\rho (\vec r)] d \vec r \\
\epsilon _{XC} [\rho (\vec r)] &= \epsilon _{X} [\rho (\vec r)] + \epsilon _{C} [\rho (\vec r)] \\
\epsilon _{X} [\rho (\vec r)] &= -\frac{3}{4} \sqrt[3]{\frac{3 \rho (\vec r)}{\pi}}
\end{align}


Ilmiselvistä puutteistaan huolimatta LDA soveltuu melko hyvin kiinteän olomuodon mallintamiseen ja antaa muun muassa kohtalaisen tarkkoja molekyylirakenteita. LDA epäonnistuu kuitenkin energetiikassa ja esimerkiksi sidosenergiat voivat poiketa todellisista arvoista useita elektronivoltteja (1 eV ≈ 100 kJ mol−1). Moderneissa funktionaaleissa LDA:n puutteita korjataan huomioimalla elektronitiheyden epähomogeenisuus elektronitiheyden gradientilla tai korkeammilla derivaatoilla. Vaikka teoriassa oikea funktionaali ei riipukaan elektronien spinistä, kirjoitetaan elektronitiheys yleensä kahden spintiheyden summana,

: \rho _{kok} (\vec r) = \rho _{\alpha} (\vec r) + \rho _{\beta} (\vec r) 

## Gradienttikorjaus – GGA

Luonteva parannus LDA-malliin, on huomioida elektronitiheyden epähomogeenisuus tekemällä funktionaalista riippuvainen ympäristöstään. Huomioimalla funktionaalissa elektronitiheyden gradientti saadaan niin kutsuttu **yleistetty gradienttiapproksimaatio** (generalized gradient approximation, **GGA**). Jos funktionaalissa huomioidaan korkeampia derivaattoja, kutsutaan funktionaalia meta-GGA funktionaaliksi. Kuten LDA-funktionaalitkin, GGA-funktionaalit kirjoitetaan yleensä vaihto- ja korrelaatio-osien summana. Gradientti huomioidaan niin kutsutaan redusoidun gradientin  s _{\sigma} (\vec r)  avulla, joka periaatteessa kuvaa elektronitiheyden poikkeavuutta homogeenisuudestä. Gradienttikorjattu funktionaali rakennetaan yleensä paikallistiheysapproksimaation päälle.

:
\begin{align}
\epsilon _{X/C} ^{GGA} [\rho (\vec r)] &= \sum _{\sigma}  \left( \epsilon _{X/C} ^{LDA} [\rho _{\sigma} (\vec r)] + \epsilon _{X/C} \left[s _{\sigma} \right] \right)\\
s _{\sigma} &= \frac{\rho _{\sigma} ^{4/3} (\vec r)}
\end{align}

Osa gradienttikorjatuista funktionaaleista on rakennettu *ab initio* eli nojaten teoriaan, osa on parametrisoitu laskuihin tai sovitettu dataan. Yleinen ei-empiirinen yleisfunktionaali on Perdew–Burke–Ernzerhofin PBE-funktionaali , jossa esimerkiksi vaihtoenergian lauseke on muotoa

:
\begin{align}
E_{X}[\rho] &= \int \rho(\vec r) \epsilon _{X} ^{LDA} [\rho (\vec r)] F _X (s_{\sigma}) d \vec r \\
F_X (s) &= 1 + \kappa - \frac{\kappa}{1+ \frac{\mu s^2}{\kappa}} \\
\end{align}


missä funktion  F(s)  parametrit on valittu siten, että  F(s) \leq 1.804  (Lieb–Oxford-raja).
## Luettavaa

* 
* 
* 

## Lähteet