Hausdorffin mitta

**[[Felix Hausdorff|Hausdorffin]] mitta** on separoituvassa metrisessä avaruudessa määritelty mitta. Sen avulla voidaan määritellä mielivaltaisen metrisen avaruuden osajoukon ulottuvuus, eli ns. joukon **Hausdorffin dimensio**. Hausdorffin mitta on kehitetty Carathéodoryn konstruktion avulla.

## Määritelmä

Olkoon (X,d) separoituva metrinen avaruus ja 0 \leq s . Määritellään jokaisella \delta > 0 funktio \mathcal{H}_\delta^s : \mathcal{P}(X) \rightarrow [0,\infty],
\mathcal{H}_\delta^s (A) = \inf \{ \sum_{i \in I} d(E_i)^s : E_i \subset X \mbox{ kaikilla } i \in I, \, I \mbox{ on numeroituva}, \, d(E_i) \leq \delta , \, A \subset \bigcup_{i \in I} E_i \} .
Luku d(E_i) = \sup \{ d(x,y) : x,y \in E_i \} on joukon halkaisija. Voidaan osoittaa, että kaikilla \delta > 0 funktio \mathcal{H}_\delta^s on ulkomitta X:ssä. Huomataan, että jos 0 , niin \mathcal{H}_{\delta_2}^s (A) \leq \mathcal{H}_{\delta_1}^s (A) kaikilla A \subset X. Näin ollen rajafunktio \mathcal{H}^s : \mathcal{P}(X) \rightarrow [0,\infty],
\mathcal{H}^s (A) = \lim_{\delta \rightarrow 0} \mathcal{H}_\delta^s (A) ,
on olemassa. Tätä funktiota kutsutaan **(s-ulotteiseksi) Hausdorffin ulkomitaksi**. Se on myös ulkomitta, mikä voidaan osoittaa käyttämällä sitä tietoa, että \mathcal{H}_\delta^s on ulkomitta kaikilla \delta > 0. Hausdorffin ulkomitan rajoittumaa \mathcal{H}^s-mitallisiin joukkoihin kutsutaan **Hausdorffin mitaksi**, joka on Carathéodoryn lauseen nojalla mitta.

## Ominaisuuksia

Helposti nähdään, että \mathcal{H}^0 on lukumäärämitta.

Jos A \subset \mathbb{R}^n ja \lambda > 0, niin \mathcal{H}^s (\lambda A) = \lambda^s \mathcal{H}^s (A), missä joukko \lambda A = \{ \lambda x : x \in A \}.

Jos A \subset \mathbb{R}^n ja L : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n on affiini isometria, niin \mathcal{H}^s (L(A)) = \mathcal{H}^s (A).

Voidaan osoittaa, että suoristuvan kaaren \Gamma \subset \mathbb{R}^2 1-ulotteinen Hausdorffin ulkomitta on sama kuin sen pituus. Tämä esimerkiksi erottuu Hausdorffin ulkomitan eduksi Lebesguen ulkomittaan nähden, sillä suoristuvan kaaren 1-ulotteinen Lebesguen ulkomitta on usein ääretön ja 2-ulotteinen Lebesguen ulkomitta 0.

Voidaan osoittaa, että \mathcal{H}^s on rajoitettuna \mathcal{H}^s-mitallisiin joukkoihin säännöllinen Borelin mitta.

Koska Euklidinen avaruus \mathbb{R}^n on separoituva (\mathbb{Q}^n on numeroituva ja sen sulkeuma on \mathbb{R}^n), niin voimme määritellä myös siellä s-ulotteisen Hausdorffin ulkomitan. Kuitenkin jos valitsemme ulottovuudeksi s = n, niin n-ulotteinen Hausdorffin ulkomitta \mathcal{H}^n ei ole sama funktio kuin n-ulotteinen Lebesguen ulkomitta \mathcal{L}^n. Kuitenkin voimme osoittaa, että on olemassa vain dimensiosta n riippuva positiivinen vakio c(n) \in \mathbb{R}, jolla \mathcal{H}^n = c(n) \mathcal{L}^n. Joskus itse asiassa Hausdorffin ulkomitta määritellään normeeramalla heti se tällä vakiolla. Voidaan osoittaa, että dimensiolla n kyseinen vakio c(n) = 2^{-n}\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}, missä \Gamma on ns. (reaalinen) Gamma-funktio: \Gamma (t) = \int_0^\infty e^{-x} x^{t-1} \, \mbox{d}x, 0 . Tästä laskemalla saadaan esimerkiksi, että \mathbb{R}:ssä vakio c(1) = 1, joten \mathcal{H}^1 = \mathcal{L}^1. 

### Hausdorffin dimensio

Lebesguen mitta avaruudessa \R^n on kehitetty mittamaan kappaleita, joilla on intuitiivisesti nähtynä "n-ulotteista" massaa. Lebesguen mitta näkee joukkojen kokoa dimensioonsa suhteutettuna ja ilmoittaa sen arvossaan. Esimerkiksi n-ulotteinen Lebesguen mitta antaa n-ulotteiselle kuulalle positiivisen ja äärellisen mitan. Tämä on odotettavissa intuitiivisestikin. Toisaalta jos valitsemme esimerkiksi m-ulotteisen levyn, missä m A \subset X on olemassa yksikäsitteinen luku d\,, jolla
\mathcal{H}^s (A) = \left\{ \begin{matrix}+\infty, & \textrm{jos} \ s  d .  \end{matrix} \right.
Tätä yksikäsitteistä lukua d kutsutaan joukon A **Hausdorffin dimensioksi**. Formaalimmin määriteltynä joukon A Hausdorffin dimensio on luku
\mbox{dim}_\mathcal{H} \, A = \inf \{s : \mathcal{H}^s (A) = 0 \} .
Tämän luvun olisi voinut myös määritellä lukuina \inf \{s : \mathcal{H}^s (A) , \sup \{s : \mathcal{H}^s (A) > 0 \} ja \sup \{s : \mathcal{H}^s (A) = \infty \}.

Erityisesti siis tiedämme, että jos 0 , niin s = \dim_\mathcal{H} A.

Tästä seuraa, että tyypillisten n-ulotteista Lebesguen mitan massaa sisältävien joukkojen Hausdorffin dimensio on yhtä kuin n, sillä aikaisemmin totesimme, että on olemassa positiivinen vakio c(n) \in \mathbb{R}, jolla \mathcal{H}^n = c(n) \mathcal{L}^n. 

Joukon Hausdorffin dimensio voi olla myös muukin kuin luonnollinen luku. Esimerkiksi on olemassa joukkoja, kuten esimerkiksi fraktaalit, joilla usein Hausdorffin dimensio on yli niiden topologisen dimension. Esimerkiksi Cantorin joukon topologinen dimensio on 0, mutta voidaan osoittaa, että sen Hausdorffin dimensio on luku \frac{\ln 2}{\ln 3} \approx 0{,}63 > 0.