Lebesguen–Stieltjesin integraali

**Lebesguen–Stieltjesin integraali** on integraali, jonka tunnistaa merkintätavasta
\int_a^b f(x) \, dg(x),
missä f ja g ovat funktioita. Sitä voidaan pitää yleistyksenä sekä Lebesguen integraalista että Riemannin–Stieltjesin integraalista. Lebesgue-Stieltjes-integraalilla on sovelluksia esimerkiksi todennäköisyyslaskennassa, erityisesti stokastisten prosessien alalla.

## Lebesgue-Stieltjes-integraalin muodollinen määrittely

Integraalina Lebesgue-Stieltjes-integraali on määriteltävissä tietyn numeroituvasti additiivisen positiivisen mitan suhteen. Tässä määritellään kyseinen mitta.

Olkoon a,b \in \mathbb{R}, a, funktio g: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} kasvava ja oikealta jatkuva sekä raja-arvo
g(t-) = \lim_{s \rightarrow t-} g(s) = \lim_{s \uparrow t} g(s)
kaikissa pisteissä t \in [a,b] olemassa. 

Olkoon [\alpha,\beta] \subset [a,b]. Määritellään joukkofunktio m_g kaavalla m_g((\alpha,\beta]) = g(\beta) - g(\alpha). Tällöin m_g on laajennettavissa numeroituvasti additiiviseksi positiiviseksi mitaksi, joka on määritelty kaikilla välin [a,b] Borel-joukoilla. Samaistetaan jatkossa tämä mitta joukkofunktion m_g kanssa.

Mitallisen funktion f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} Lebesgue-Stieltjes-integraali on sen integraali mitalla m_g, eli yli määrittelyjoukkonsa se on mittaintegraalina
\int_{[a,b]} f \, dm_g.
Sille käytetään kuitenkin merkintää
\int_a^b f(x) \, dg(x).
Funktiota f kutsutaan *integrandiksi* ja funktiota g *integraattoriksi*.

Lebesgue-Stieltjes-integraali laajennetaan vielä määritellyiksi integraattoreille, jotka ovat rajoitetusti heilahtelevia. Jos g on rajoitetusti heilahteleva, on sille olemassa hajotelma g = g_1 - g_2, missä g_1 ja g_2 ovat kasvavia funktioita [a,b] \rightarrow \mathbb{R}. Tällöin määritellään
\int_a^b f(x) \, dg(x) = \int_a^b f(x) \, dg_1(x) - \int_a^b f(x) \, dg_2(x).

## Lebesgue-Stieltjes-integraalille erityisiä ominaisuuksia

Lebesgue-Stieltjes-integraali on integraalin perusominaisuuksien mukaan automaattisesti lineaarikuvaus integrandinsa suhteen, mutta se on sitä myös integraattorinsa suhteen, toisin sanoen bilineaarinen:
\int_a^b f(x) \, d(\alpha_1 g_1(x) + \alpha_2 g_2(x)) = \alpha_1 \int_a^b f(x) \, dg_1(x) + \alpha_2 \int_a^b f(x) \, dg_2(x).

Lebesgue-Stieltjes-integraalia voidaan pitää yleistyksenä Riemannin integraalista. Jos integraattori on identiteettifunktio, niin integraali supistuu funktion f Riemannin integraaliksi yli välin [a,b]:
\int_a^b f(x) \, d(Id(x)) = \int_a^b f(x) \, dx
olettaen, että f on Riemann-integroituva.

Jos g on derivoituva sekä f ja g' ovat Riemann-integroituvia, niin Lebesgue-Stieltjes-integraalin arvon voi laskea Riemannin integraalina. Tällöin nimittäin pätee kaava
\int_a^b f(x) \, dg(x) = \int_a^b f(x) g'(x) \, dx.
Jos funktiolla g on epäjatkuvuuskohta pisteessä c \in [a,b] ja se on muualla derivoituva sekä muut edelliset oletukset pätevät, niin
\int_a^b f(x) \, dg(x) = \int_a^c f(x) g'(x) \, dx + \int_c^b f(x) g'(x) \, dx + f(c)\left( \lim_{x \rightarrow c+} g(x) -  \lim_{x \rightarrow c-} g(x) \right) .

Yleisemmässä tapauksessa Lebesgue-Stieltjes-integraalin arvot voi laskea numeerisesti. Jos f on vasemmalta jatkuva, rajoitetusti heilahteleva ja rajoitettu, niin
\int_a^b f(x) \, dg(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^n)(g(x_{i+1}^n) - g(x_i^n)),
missä a = x_1^n  on tihentyvä jono välin [a,b] jakoja, eli
\max \{ x_{i+1}^n - x_i^n \, | \, i = 1, \ldots, n-1 \} \rightarrow 0, kun n \rightarrow \infty.

## Katso myös
* Odotusarvo

## Lähteet

## Kirjallisuutta
* 

## Aiheesta muualla
* MathWorld. Lebesgue-Stieltjes Integral