Lp-avaruus

Matematiikassa **L<sup>p</sup>-avaruudet** ovat funktioavaruuksia, jotka ovat p-normilla varustettujen äärellisulotteisten vektoriavaruuksien luonnollisia yleistyksiä. 

Lp-avaruuksia kutsutaan myös **Lebesgue-avaruuksiksi** Henri Lebesguen mukaan , joskin Bourbakin mukaan ne esitteli ensimmäisenä Riesz. 

Lp-avaruudet ovat tärkeitä Banach-avaruuksia funktionaalianalyysissä ja siten tärkeitä topologisia vektoriavaruuksia. Niillä on sovelluksia fysiikassa, tilastotieteessä, taloustieteessä, tekniikassa ja muilla aloilla.

## Motivaatio

Tässä osiossa määritellään reaaliset äärellisulotteiset Lp-avaruudet eli Lp-normit
reaaliselle vektoriavaruudelle **R***n*. Kahden vektorin summa avaruudessa **R***n* määritellään
:\ (x_1, x_2, \dots, x_n) + (y_1, y_2, \dots, y_n) = (x_1+y_1, x_2+y_2, \dots, x_n+y_n),
ja skalaarilla (eli reaaliluvulla) \lambda kertominen
:\ \lambda(x_1, x_2, \dots, x_n)=(\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n).

Vektorin  *x*&nbsp;= (*x*1, *x*2, …, *x**n*) pituus määritellään yleensä Euklidisella normilla
:\ \|x\|_2=\left(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\right)^{1/2},
mutta on monia erilaisia tapoja määritellä vektorin *x* pituus. Jos *p* on reaaliluku, *p* ≥ 1, niin vektorin *x* *L**p*-normi määritellään
:\ \|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots+|x_n|^p\right)^{1/p}.
Näin ollen *L*2 on tavallinen Euklidinen normi ja etäisyys *L*1 on koordinaattien erojen summa).

Tämä on tapana laajentaa arvolle *p*&nbsp;= ∞ määrittelemällä
:\ \|x\|_\infty=\max \left\{|x_1|, |x_2|, \ldots, |x_n|\right\},
mikä on sama kuin raja-arvo *L**p*-normista, kun *p* lähestyy ääretöntä.

Voidaan todistaa, että kaikilla arvoilla *p*&nbsp;≥ 1 tämä määritelmä toteuttaa kaikki "pituusmitan" eli normin määritelmän ehdot.

Millä tahansa arvolla *p* ≥ 1 avaruus **R***n* varustettuna *L**p*-normilla (eli *p*-normilla) on Banach-avaruus. 

### Kun 0 < ''p'' < 1

Avaruudessa **R***n*, kun *n*&nbsp;> 1, kaava
:\ \|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots+|x_n|^p\right)^{1/p}
ei toteuta kolmioepäyhtälöä, joten se ei ole normi. Silti funktio

:d_p(x,y) = \sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p

määrittelee metriikan eli etäisyysmitan. Metrisesta avaruudesta (**R***n*, *d**p*) käytetään merkintää ℓ*n**p*. Tämä metriikka määrittelee saman topologian kuin tavallinenkin topologia; kyseinen avaruus on lokaalisti konveksi topologinen vektoriavaruus, vaikka sen yksikköpallo onkin konkaavi.

## ''ℓ''<sup>''p''</sup>-avaruudet
:
Tämä *p*-normi voidaan yleistää jonoille eli vektoreille, joilla on äärettömän monta koordinaattia (komponenttia). Näin syntyvästä avaruudesta käytetään nimitystä *ℓ**p*. Tämän erikoistapauksia ovat:
* *ℓ*1, niiden absoluuttisesti summautuvien jonojen avaruus eli niiden jonojen, joiden muodostama sarja on absoluuttisesti konvergoiva,
* *ℓ*2, **neliösummautuvien** jonojen avaruus, tärkeä Hilbert-avaruus, ja
* *ℓ*∞, rajoitettujen jonojen avaruus.

Tämä *p*-normi määritellään
:\ \|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots+|x_n|^p+|x_{n+1}|^p+\cdots\right)^{1/p}.

Jos normi on ääretön, *x* ei kuulu avaruuteen *ℓ**p*.

Vastaavasti ∞-normi määritellään
:\ \|x\|_\infty=\sup(|x_1|, |x_2|, \dots, |x_n|,|x_{n+1}|, \dots).
Voidaan todistaa, että
:\ \|x\|_\infty=\lim_{p\to\infty}\|x\|_p,
jos oikea puoli on äärellinen tai vasen puoli on ääretön.
Kaikki nämä ℓ*p*-avaruudet ovat Banach-avaruuksia. 

Alla esitetään kaikkien yleisin tapaus, jossa vektorit *x* ovatkin funktioita *f* ja niillä voi olla miten paljon "koordinaatteja" tahansa, jopa ylinumeroituva määrä. Tällöin normin määritelmässä tietenkin korvataan summa integraalilla. Onhan summa vain Lebesguen integraalin erikoistapaus.

## ''L<sup>p</sup>''-avaruudet
Olkoon 1&nbsp;≤ *p*&nbsp;\mathcal{L}^p(S, \mu)-avaruus (ei normiavaruus ja eri asia kuin *L<sup>p</sup>*-avaruus)
on kaikkien niiden mitallisten funktioiden **S**\rightarrow**C** (tai **S**\rightarrow**R**) joukko, joiden itseisarvon *p*:nnen potenssin integraali on äärellinen eli
:\|f\|_p := \left({\int_S |f|^p\;\mathrm{d}\mu}\right)^{1/p}

Tämä avaruus on vektoriavaruus operaatioilla
:(f+g)(x)=f(x)+g(x) \ \ \ \text{ja} \ \ \ (\lambda f)(x) = \lambda f(x) \,
kaikilla skalaareilla *λ*.

Minkowskin epäyhtälö sanoo, että kolmioepäyhtälö pätee normille ||&nbsp;.&nbsp;||*p*. Niinpä tämä avaruus \mathcal{L}^p(S, \mu) on seminormiavaruus. Siitä saadaan Banach-avaruus {L}^p(S, \mu) samaistamalla toisiinsa ne funktiot, joiden erotuksen seminormi on nolla eli jotka eroavat toisistaan vain nollamitallisessa joukossa. Siis {L}^p(S, \mu) on 
:L^p(S, \mu) := \mathcal{L}^p(S, \mu) / N, 
missä
:N := \mathrm{ker}(\|\cdot\|_p) = \{f : f = 0 \ \mu\text{- melkein kaikkialla} \}.  

Avaruus *L*∞(*S*, *μ*) määritellään vastaavasti essential supremum -normilla
:\|f\|_\infty := \inf \{ C\ge 0 : |f(x)| \le C \mbox{ melkein kaikilla } x\}.

Jälleen
:\|f\|_\infty=\lim_{p\to\infty}\|f\|_p, 
jos *f* ∈ *L*∞(*S*, *μ*) ∩ *L**q*(*S*, *μ*) jollain *q*&nbsp;*p*(*S*, *μ*) on Banach-avaruus. *[[Rieszin-Fischerin lause]]* sanoo, että se on täydellinen.

Usein avaruuden nimi lyhennetään *L**p*(*μ*) tai *L**p*. 

Kaikki yllä esitetty pätee myös yleisille Bochner-avaruuksille eli sellaisten funktioiden *L**p*-avaruuksille, joiden arvot eivät ole reaali- tai kompleksilukuja vaan jonkin tietyn Banach-avaruuden alkioita. Eräille muunarvoisillekin funktioille osa yllä esitetystä on yleistetty.

### Erikoistapauksia

Kuten ℓ2-avaruus, myös avaruus *L*2 on luokkansa ainoa Hilbert-avaruus (ja ainoa, jonka normi on yhteensopiva jonkin sisätulon kanssa). Kompleksiarvoisille funktioille *L*2-sisätulo määritellään
: \langle f, g \rangle = \int_S f(x) \overline{g(x)} \, \mathrm{d}\mu(x).

Kompleksitapauksessa *L*∞ on kommutatiivinen C*-algebra. 

ℓ*p*-avaruudet (1&nbsp;≤ *p*&nbsp;≤ ∞) ovat erikoistapaus *L<sup>p</sup>*-avaruuksista, jossa joukko *S* on positiivisten kokonaislukujen joukko **N** ja mitta *μ* on lukumäärämitta. Yleisemminkin mille tahansa joukolle *S* avaruutta *L<sup>&nbsp;p</sup>* lukumäärämitalla merkitään ℓ*p*(*S*).

Mikä tahansa Hilbert-avaruus on lineaarisesti isomorfinen avaruuden ℓ2(*V*) kanssa, missä *V* on mainitun Hilbert-avaruuden Hilbert-kanta tai mikä tahansa sen kanssa yhtä mahtava joukko.

## Lähteet
* 
* 
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  
* 
* 

### Viitteet