Matriisi

**Matriisi** on matematiikassa suorakulmainen riveihin ja sarakkeisiin jaettu taulukko, jonka alkiot ovat lukuja (usein reaali- tai kompleksilukuja) tai lausekkeita. Matriiseja käytetään yleisesti kaksiulotteisen tiedon havainnollistamiseen sekä lineaaristen yhtälöryhmien käsittelyyn ja ratkaisemiseen.

## Määritelmä

Matriisi koostuu vaakasuorista riveistä ja pystysuorista sarakkeista siten, että kullakin rivillä ja kullakin sarakkeella on yhtä monta alkiota. Matriisia, jossa on *m* kappaletta rivejä ja *n* kappaletta sarakkeita kutsutaan *tyypin <math>m \times n</math> matriisiksi* ja sitä merkitään seuraavalla tavalla:

:\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots   & a_{2n} \\
\vdots & \vdots   & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}

Rivillä *i* ja sarakkeessa *j* olevaa matriisin alkiota merkitään a_{ij} tai A_{ij}. Lävistäjäalkio on alkio, jolla *i=j*.

## Tavallisia matriiseja

*[[Yksikkömatriisi]]* \boldsymbol {I} on mielivaltaisen kokoinen neliömatriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat ykkösiä, ja muut alkiot ovat nollia. n \times n yksikkömatriisia merkitään tavallisesti symbolilla \boldsymbol{I}_{n \times n}. Tällöin pätee \boldsymbol{I}_{ij} = 1, kun i = j, ja muuten \boldsymbol{I}_{ij} = 0.

:\boldsymbol I = \begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \ddots &    & 0 \\
\vdots &    & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1\end{bmatrix}

*Nollamatriisi* \mathbf{O} on mielivaltaisen kokoinen matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia.

*[[Neliömatriisi]]lla* on yhtä monta riviä ja saraketta.

*[[Lävistäjämatriisi]]* (engl. *diagonal matrix*) on neliömatriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat mielivaltaiset, mutta muut alkiot ovat nollia. Matriisille \boldsymbol A_{n \times n} pätee että A_{ij} = 0 kun  i \ne j:
: \boldsymbol A = \begin{bmatrix}
a_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & a_2 & \, & 0 \\
\vdots & \, & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & a_n \\
\end{bmatrix} = \operatorname{diag}(a_1,a_2,...,a_n)

1x1-matriisia kutsutaan skalaariksi.

Matriisia, jossa on *m* vaakariviä ja yksi sarake, kutsutaan pystyvektoriksi tai lyhyemmin vektoriksi. Jos matriisissa on yksi vaakarivi ja *n* saraketta, kyseessä on vaakavektori.

## Transpoosi ja symmetrisyys

Matriisin ***A*** *[[transpoosi]]* (merk. ***A***T) saadaan, kun matriisin sarakkeet vaihdetaan riveiksi tai vastaavasti rivit vaihdetaan sarakkeiksi. Esimerkiksi:
jos \boldsymbol A = \begin{bmatrix}
1&2&3\\
4&5&6\end{bmatrix}, niin \boldsymbol A^\operatorname{T} = \begin{bmatrix}
1&4\\
2&5\\
3&6\end{bmatrix}.

Matriisi on *[[Symmetrinen matriisi|symmetrinen]]* jos se on sama kuin transpoosinsa, eli \boldsymbol A^\operatorname{T}=\boldsymbol A.

## Matriisien laskutoimitukset perusavaruuksissa
### Skalaarilla kertominen

Matriisi \boldsymbol A = (a_{ij}) kerrotaan skalaarilla c siten, että jokainen \boldsymbol A:n alkio kerrotaan skalaarilla c:
:c\boldsymbol A = \boldsymbol Ac = ( ca_{ij})\,\!

### Yhteenlasku

Yhteenlaskussa matriisien vastinalkiot lasketaan yhteen. Matriisien tulee olla saman muotoisia, jotta yhteenlasku on mahdollista.

Matriisien \boldsymbol A_{m \times n} ja \boldsymbol B_{m \times n} summa on 

(\boldsymbol A+\boldsymbol B)_{m \times n} = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ \vdots &
\ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & \cdots & a_{mn} + b_{mn}
\end{bmatrix}


### Kertolasku

Matriisien kertolaskussa tulomatriisi muodostuu ensimmäisen matriisin vaakariveistä ja toisen matriisin sarakkeista muodostettujen vektoreiden pistetuloista. Olkoon matriisi ***A*** kokoa m \times p ja ***B*** kokoa p \times n. Tällöin matriisien ***A*** ja ***B*** tulo ***AB*** on kokoa m \times n. Nyt matriisitulo on

\boldsymbol {AB} = 
\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{b}_1 & \cdots & \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{b}_n \\ \vdots &
\ddots & \vdots \\ \mathbf{a}_m \cdot \mathbf{b}_1 & \cdots & \mathbf{a}_m \cdot \mathbf{b}_n
\end{bmatrix}
,

missä kukin \mathbf{a}_i on matriisin ***A*** *i*:nnestä vaakarivistä muodostettu vektori, ja \mathbf{b}_j on matriisin ***B*** *j*:nnestä sarakkeesta muodostettu vektori. On tärkeää huomata, että matriisin ***A*** sarakkeiden määrän täytyy olla sama kuin matriisin ***B*** vaakarivien määrä. Muussa tapauksessa laskutoimitus ei ole määritelty.

#### Esimerkki

\left( \begin{array}{ccc}
3  &  -1   \\ 
5 & 2  \\   \end{array} \right)
 \left( \begin{array}{ccc}
1 &  4 & -3   \\ 
0 & -2 & 6  \\   \end{array} \right)


=
 \left( \begin{array}{ccc}
3\cdot 1+(-1)\cdot 0  & 3\cdot 4+(-1)\cdot(-2) & 3\cdot (-3)+(-1)\cdot 6   \\ 
5\cdot 1+2\cdot 0  & 5\cdot 4+2\cdot(-2) & 5\cdot (-3)+2\cdot 6   \\   \end{array} \right)


=
 \left( \begin{array}{ccc}
 3  &  14  & -15 \\ 
 5  &  16  &  -3  \\   \end{array} \right).


### Tärkeimmät laskusäännöt

Seuraavat laskusäännöt pätevät kaikille matriiseille A, B ja C, mikäli kyseinen laskutoimitus on määritelty:

*\boldsymbol {A + O = A} 
*\boldsymbol {A O = O A = O}, missä  (\forall [\boldsymbol O]_{ij} = 0)
*\boldsymbol{A + B = B + A}
*(\boldsymbol{A + B) + C = A + (B + C)}
*c(\boldsymbol{A + B}) = c\boldsymbol A + c\boldsymbol B
*1\boldsymbol{ A = A}
*\boldsymbol {A(BC) = (AB)C}
*c(\boldsymbol{AB}) = (c\boldsymbol A)\boldsymbol B = \boldsymbol A(c\boldsymbol B)
*\boldsymbol{A(B + C) = AB + AC}
*\boldsymbol{(A + B)C = AC + BC}
*\boldsymbol{IA = AI = A}
*\boldsymbol{(AB)^\operatorname{T} = B^\operatorname{T} A^\operatorname{T}}
Lisäksi tulon määritelmän perusteella eräs tärkeä laskusääntö on: \boldsymbol {AB = (B^\operatorname{T} A^\operatorname{T})^\operatorname{T}}

On huomattava, että *yleisesti* \boldsymbol{AB \ne BA}, so. matriisitulo ei noudata vaihdantalakia.

## Determinantti

Jokaisella neliömatriisilla on determinantti. Neliömatriisin A determinantti merkitään:
:\det \boldsymbol A = \begin{vmatrix}A\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}

Matriisin \boldsymbol A alimatriisi \boldsymbol A_{ij} saadaan poistamalla matriisista i:s vaakarivi ja j:s pystyrivi. Saadun matriisin determinanttia \displaystyle \det \boldsymbol A_{ij} sanotaan alkion a_{ij} **alideterminantiksi**.

Determinantti merkitsee matriisin määrittämän monikulmion pinta-alaa tai kappaleen tilavuutta. 

### Määritelmä
Determinantin määritelmä voidaan esittää permutaatioiden avulla:

Matriisin \boldsymbol A=[a_{ij}]_{n \times n} determinantti on

:\det \boldsymbol A = \sum_{j_1,j_2,j_3,...,j_n}^{} \sigma \left( j_1,  j_2, j_3, \ldots, j_n \right )\cdot a_{1j_1}\cdot a_{2j_2}\cdot a_{3j_3}\cdot\ldots\cdot a_{nj_n}

,jossa (j_1, j_2, j_3, \dots, j_n) on eräs \{1, \dots, n\}:n permutaatio ja summa kulkee kaikkien näiden permutaatioiden ylitse ja 
:
\sigma \left( j_1, j_2, j_3, ..., j_n \right) 
= \begin{cases} 
  1, & \mbox{jos }{j_1, j_2, j_3,...,j_n} \mbox{ on parillinen} \\
 -1, & \mbox{jos }{j_1, j_2, j_3,...,j_n} \mbox{ on pariton} 
\end{cases}


Permutaation parillisuus tarkoittaa sitä voiko sen saada parillisella määrällä vaihtoja permutaatiosta {1,2,3,...,*n*}. esimerkiksi {1,3,2} on pariton, koska se saadaan yhdellä vaihdolla permutaatiosta {1,2,3}, nimittäin vaihtamalla alkiot 2 ja 3 keskenään.

Tämä määritelmä on varsin kehittynyt ja sopii erityisesti determinanttien lukuisten laskusääntöjen osoitukseen. Se ei kuitenkaan sovellu determinantin varsinaiseen laskemiseen, mutta esimerkiksi 2\times2 determinantin laskukaavan sillä saa hyvin:

:
\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} 
= \sigma(1,2)\cdot a\cdot d + \sigma(2,1)\cdot b\cdot c=a\cdot d-b\cdot c


### Laskusääntöjä

*\det \left( \boldsymbol{A^\operatorname{T}} \right) = \det \left( \boldsymbol A \right) 

* \det (\boldsymbol A\cdot \boldsymbol B) = \det (\boldsymbol A ) \cdot \det (\boldsymbol B) , jossa ***A*** ja ***B*** ovat molemmat *n* \times *n* -matriiseja.

*Jos ***A***:n jokin rivi (tai sarake) on nolla, 1. kohdan nojalla

: \det ( \boldsymbol A ) = 0 

*Jos ***A***:n rivit (tai sarakkeet) ovat lineaarisesti riippuvia,

: \det \left( \boldsymbol A \right) = 0 

*Jos matriisi ***A***1 saadaan matriisista ***A*** kertomalla jokin rivi vakiolla *c*,

:\det \left( \boldsymbol A_1 \right) = c\cdot\det \left( \boldsymbol A \right) 

*Jos matriisi *A* on yläkolmio-, alakolmio- tai diagonaalimatriisi, determinantti on kyseisen matriisin diagonaalialkioiden tulo.

*Jos matriisi ***A***1 saadaan matriisista ***A*** vaihtamalla kaksi riviä keskenään,

:\det \left( \boldsymbol A_1 \right) = -\det \left( \boldsymbol A \right) 

### Determinantin laskeminen

Edellisten tulosten perusteella voidaan perustella matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti kaavalla:

:\det \boldsymbol A = \sum_{k=1}^{n}\left(-1 \right)^{i+k}\cdot a_{ik}\cdot A_{ij} \,, \quad A\in\mathbb{R}^{n \times n}

,jossa ***A****ij* on determinantti matriisista, joka saadaan, kun poistetaan ***A***:sta *i*:s rivi ja *j*:s sarake. Sama operaatio voidaan tehdä mille tahansa sarakkeelle, kuten alla esimerkissä näytetään.

Esimerkki:

:
\begin{align}
\begin{vmatrix} 1 & 5 & 7 \\ 6 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \end{vmatrix}

&= 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} 
- 5 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} 
+ 7 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 0 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} 
\\
&= 1 \cdot \left( 0\cdot0-2\cdot1 \right) 
- 5 \cdot \left( 6 \cdot 0 - 1 \cdot 3 \right) 
+ 7 \cdot \left( 6 \cdot 2 - 0 \cdot 3 \right) = 97
\end{align}


Determinantin määrittäminen näin on varsin tehotonta, koska jo 25\times25 matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti vie tietokoneelta 25! laskutoimitusta. Koska jokainen matriisi voidaan saattaa yläkolmiomuotoon tietyillä elementaarisilla rivioperaatioilla, saadaan determinantiksi silloin:

:\det \left( \boldsymbol A \right) = c\cdot d_{11}\cdot d_{22}\cdot d_{33}\cdot\ldots\cdot d_{nn}

,jossa vakio *c* määräytyy tehtyjen rivioperaatioiden mukaan ja d_{ii} ovat *A*:sta saadun yläkolmiomatriisin diagonaalialkio. Rivioperaatioiden vaikutus *c*:hen näkyy alla:

# Kun vaihdetaan kahta riviä aikaisempi vakiokertoja: c = -1c_0.
# Kun lisätään toinen rivi kerrottuna vakiolla: c = c_0.
# Kun kerrotaan rivi vakiolla *k*: c = k c_0.

*Kohta kolme on epäolennainen, koska matriisien rivejä ei tarvitse kertoa.*

Sarrus’n sääntö on eräs tapa 3×3-matriisin determinantin laskemiseksi.

### Alkion komplementti

määritellään alkion a_{ij} \,\! **komplementti** eli **kofaktori**
:C_{ij} = (-1)^{i+j}\det A_{ij} \,\!.

Matriisin \boldsymbol A = (a_{ij})\,\! **adjungoitu matriisi** saadaan, kun alkiot korvataan niiden komplementilla ja saatu matriisi lopuksi transponoidaan. Merkitään 
:\operatorname{adj} \boldsymbol A = \begin{bmatrix}C_{11} & \cdots & C_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{n1} & \cdots & C_{nn} \end{bmatrix}^\operatorname{T}.

### Determinantin käyttäminen

Neliömatriisia \boldsymbol A sanotaan **singulaariseksi**, jos \det \boldsymbol A = 0 \,\!. Jos \det \boldsymbol A \ne 0, matriisi on **ei-singulaarinen** (=säännöllinen).

Ei-singulaariselle matriisille \boldsymbol A pätee
:\boldsymbol A \left( \frac{1}{\det \boldsymbol A}\operatorname{adj} \boldsymbol A \right) = I ja \left( \frac{1}{\det \boldsymbol A}\operatorname{adj} \boldsymbol A \right) \boldsymbol A = \boldsymbol I.

Tulosta käytetään määrittelemään matriisin **käänteismatriisi**.

## Matriisit ja lineaarikuvaukset
Jokaista äärellis­ulotteista lineaarikuvausta \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m vastaa tietty m \times n kokoinen matriisi. Matriisin sarakkeiden lukumäärä on lähtö­avaruuden vektorien ulottuvuus ja rivien lukumäärä vastaavasti kuvaus­avaruuden vektorien ulottuvuus. Matriisin kukin sarake osoittaa sen kuvaus­avaruuden vektorin, joksi jokin lähtö­avaruuden kanta­vektoreista kuvautuu. Muut vektorit kuvataan kuvaus­avaruuteen kertomalla se kaikkien matriisin rivien kanssa sisätulolla.

Jos lähtö- ja kuvausavaruuden ulottuvuus on sama, matriisi on neliömatriisi. Jos lineaari­kuvauksen matriisi on kääntyvä neliömatriisi, lineaarikuvaukselle on olemassa käänteisfunktio. Käänteiskuvaus on matriisin käänteismatriisi.

## Lineaariset yhtälöryhmät

Matriisit ovat yleinen tapa kuvata lineaarisia yhtälöryhmiä. Lineaarinen yhtälöryhmä, jossa on m ehtoa ja n tuntematonta muuttujaa, on muotoa:

\begin{align}
  a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + &\cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\
  a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + &\cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\
                            &\ \ \vdots \\
  a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + &\cdots + a_{mn}x_n = b_m
\end{align}

Sama voidaan esittää matriisilla \boldsymbol A_{m \times n} ja n-pituisilla vektoreilla \boldsymbol{x} ja \boldsymbol{b} lyhyesti muodossa A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}:

\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{bmatrix} 
=
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{bmatrix}



Aukikirjoitettuna tämä yhtälö vastaa alkuperäistä yhtälöryhmää.

## Matriisin singulaarisuus ja säännöllisyys

Neliömatriisi \boldsymbol A_{n \times n} on *säännöllinen* eli *kääntyvä* mikäli on olemassa matriisi \boldsymbol B_{n \times n} siten että \boldsymbol{AB = I}_{n \times n} ja \boldsymbol{BA=I}_{n \times n}. Muussa tapauksessa matriisi \boldsymbol A on *singulaarinen*. Matriisia \boldsymbol B kutsutaan matriisin \boldsymbol A käänteismatriisiksi, ja sitä merkitään symbolilla \boldsymbol A^{-1}. Säännölliset n \times n-matriisit yhdessä skalaarilla kertomisen kanssa muodostavat yhteen- ja kertolaskun suhteen renkaan, jota merkitään GL_n. Neliömatriisi voidaan kääntää esimerkiksi Gaussin algoritmilla.

Oletetaan, että lineaarisessa yhtälöryhmässä \boldsymbol A_{n \times n} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} on n ehtoa ja tuntematonta muuttujaa, eli siis \boldsymbol A on n \times n neliömatriisi. Matriisin \boldsymbol A_{n \times n} säännöllisyys tai singulaarisuus kertoo oleellisia asioita yhtälöryhmän mahdollisista ratkaisuista. Mikäli \boldsymbol A on säännöllinen, on yhtälöryhmällä täsmälleen 1 vastaus, olipa vektori \boldsymbol{b} mikä hyvänsä. Mikäli \boldsymbol A on singulaarinen, on yhtälöryhmällä joko äärettömän monta ratkaisua tai ei yhtään, riippuen vektorin \boldsymbol{b} arvosta.

Hyödyllinen tulos neliömatriiseille on, että matriisi \boldsymbol A on säännöllinen, jos ja vain jos \boldsymbol{Ax = 0} \Leftrightarrow \boldsymbol{x = 0}.

## Historia
Englanninkielisen sanan *Matrix* tässä merkityksessä otti tiettävästi käyttöön matemaatikko James Joseph Sylvester vuonna 1850: 

Sana ( ’kohtu’ < *mater* ’äiti’ ) viittaa siihen, että matriisista voi muodostaa erilaisia determinantteja ”kuin saman vanhemman kohdusta” (”as from the womb of a common parent”).

## Lähteet

## Kirjallisuutta
* 
* 
* 

## Aiheesta muualla

* Matriisien kertolasku eli matriisitulo