Diedrinen symmetria kolmessa ulottuvuudessa

**Diedrinen symmetria** on geometriassa sellaisen kolmiulotteisen kappaleen tai pistejoukon symmetria, jolla on symmetriaryhmänä jokin abstakti diedriryhmä Dih*n* ( *n*&nbsp;≥&nbsp;2 ). Eri tavoin diedrisesti symmetrisiä kappaleita ovat muun muassa särmiöt, bipyramidit, antiprismat ja trapetsoedrit. Tällaiselle kappaleelle voidaan suorittaa jonkin akselin ympäri 360/*n* asteen rotaatio, jolla se kuvautuu itselleen, toisin sanoen tämä rotaatio on kappaleen symmetriaoperaatio. Lisäksi kappaleen symmetriaoperaatiota saattavat olla peilaukset eräiden tämän akselin kautta kulkevien tai sitä vastaan kohtisuorien tasojen suhteen.

## Tyypit
Kolmessa ulottuvuudessa on kolme tyyppiä diedrisiä symmetrioita. Seuraavassa esitetään ne kaikki Schönfliesin, Coxeterin ja orbifoldimerkinnöillä.

;Kiraalinen:
**D<sub>n</sub>*, [*n*,2]+, (22*n*) kertaluvun  2*n* – **diedrinen symmetria** eli **para-n-kulmainen ryhmä** (abstrakti ryhmä ''Dih<sub>n</sub>'')
;Akiraaliset:
**D<sub>nh</sub>*, [*n*,2], (*22*n*), kertaluvun 4*n* – **prismaattinen symmetria** eli **täysi orto-n-kulmainen ryhmä** (abstrakti ryhmä *Dih<sub>n</sub>* × *Z*2)
**D<sub>nd</sub>* (tai *D<sub>nv</sub>*), [2*n*,2+], (2**n*), kertaluvun 4*n* – **antiprismaattinen symmetria** eli **täysi gyro-n-kulmainen ryhmä** (abstrakti ryhmä *Dih*2*n*)

Kun luku *n* on annettu, kaikilla kolmella on *n*-kertainen pyörähdyssymmetria yhden akselin suhteen (rotaatiossa kulman 360°/*n* kappale ei muutu), ja kaksinkertainen symmetria kohtisuoran akselin suhteen. Arvolla *n* = ∞ nämä vastaavat kolmea friisiryhmää. Tässä on käytetty Schönfliesin merkintää sekä Coxeterin symbolia hakasuluissa ja orbifoldimerkintää tavallisissa suluissa. Termiä horisontaalinen (h) käytetään, kun rotaatioakseli on pystysuora.

Kahdessa ulottuvuudessa symmetriaryhmä *D<sub>n</sub>* sisältää peilauksia suorien suhteen. Kun kaksiulotteinen taso on asetettu vaakasuorasti kolmiulotteiseen avaruuteen, tällainen peilaus voidaan käsittää rajoittumaksi joko tämän tason peilauksesta pystysuoran tason suhteen tai 180°:n rotaatiosta peilaussuoran ympäri. Kolmessa ulottuvuudessa nämä ovat kaksi aivan eri operaatiota: ryhmä *D<sub>n</sub>* sisältää vain rotaatiot, ei peilauksia. Saman kertaluvun pyramidaalinen symmetria *C<sub>nv</sub>* muodostaa oman ryhmänsä.

Heijastussymmetrialla *n*-kertaisen rotaation akselia vastaan kohtisuoran tason suhteen saadaan *D<sub>nh</sub>* [n], (*22*n*).

*D<sub>nh</sub>* on säännöllisen *n*-kulmaisen särmiön ja myös säännöllisen *n*-sivuisen bipyramidin symmetriaryhmä. *D<sub>nd</sub>* on säännöllisen *n*-sivuisen antiprisman ja *D<sub>n</sub>* osittain kierretyn särmiön symmetriaryhmä.

Tässä edellytetään, että *n* on vähintään 2, sillä seuraavat ryhmät ovat samoja:
**D*1 ja *C*2 ovat sama kertaluvun 2 ryhmä, johon kuuluu vain 180°:n rotaatio
**D*1*h* ja *C*2*v* ovat sama kertaluvun 4 ryhmä, johon kuuluvat peilaus tason suhteen ja 180°:n rotaatio tässä tasossa olevan suoran ympäri
**D*1*d* ja *C*2*h* ovat sama kertaluvun 4 ryhmä, johon kuuluvat peilaus tason suhteen ja 180°:n rotaatio tasoon nähden kohtisuorassa olevan suoran ympäri

Tapauksessa *n*&nbsp;=&nbsp;2 ei ole yhtä pääakselia ja kahta lisäakselia vaan kolme keskenään samankaltaista akselia.

**D*2 [2,2]+, (222) kertalukua 4 on yksi kolmesta symmetriaryhmätyypistä, jota vastaava abstrakti ryhmä on Kleinin neliryhmä. Sillä on kolme toisiinsa nähden kohtisuoraa kaksinkertaista rotaatioakselia. Se on kuboidin symmetriaryhmä, kun siihen on merkitty S-kirjain kahdelle vastakkaiselle sivulle samoin päin suunnattuina.
**D*2*h*, [2,2], (*222) kertalukua 8 on kuboidin symmetriaryhmä.
**D*2*d*, [4,2+], (2*2) kertalukua 8 on muun muassa seuraavien kappaleiden symmetriaryhmä:
* neliökuboidi, jonka yhteen neliömäiseen sivuun on piirretty lävistäjä ja toiseen sivuun sitä vastaan kohtisuora lävistäjä;
*säännöllinen tetraedri, joka on venytetty kahden vastaakkaisen sivun keskipisteiden välisen janan suunnassa (*D*2*d* on tetraedrisen symmetrian *T<sub>d</sub>* aliryhmä); skaalauksella vähennetään symmetriaa.

## Aliryhmät

Ryhmällä *D<sub>nh</sub>*, [n,2], (*22n), kertalukua 4n, on seuraavat aliryhmät:
* *C<sub>nh</sub>*, [n+,2], (n*), kertalukua 2n
* *C<sub>nv</sub>*, [n,1], (*nn), kertalukua 2n
* *D<sub>n</sub>*, [n,2]+, (22n), kertalukua 2n

Ryhmällä *D<sub>nd</sub>*, [2n,2+], (2*n), kertalukua 4n, on seuraavat aliryhmät:
* *S*2*n*, [2n+,2+], (n×), kertalukua 2n
* *C<sub>nv</sub>*, [n+,2], (n*), kertalukua 2n
* *D<sub>n</sub>*, [n,2]+, (22n), kertalukua 2n

*D<sub>nd</sub>* on myös ryhmän *D*2*nh* aliryhmä.

## Esimerkkejä

***D<sub>nh</sub>'', [''n''], (*22''n''):'''



***D*<sub>5*h*</sub>, [5], (*225):*'

***D''<sub>4''d''</sub>, [8,2<sup>+</sup>], (2*4):'''



***D*<sub>5*d*</sub>, [10,2<sup>+</sup>], (2*5):*'

**''D''<sub>17''d''</sub>, [34,2<sup>+</sup>],  (2*17):**

## Lähteet
* 
* 
* 

## Aiheesta muualla
*