Pisteprosessi

**Pisteprosessi** on matemaattinen malli, jossa käsiteltävä ilmiö muodostuu pisteittäisistä havainnoista, esimerkiksi maastossa olevien puulajien sijainneista. Pisteprosessien avulla yritetään oppia systeemin tilajärjestyksestä käyttämällä yksittäisten havaintojen tuomaa informaatiota hyväksi. Pisteprosessiteoria on osa yleisempää stokastisen geometrian teoriaa.

*Huom:* Pisteprosessilla voidaan myös tarkoittaa aikaparametrisoitua stokastista prosessia, jolloin satunnaismuuttujan tila-avaruus on spatiaalisen avaruuden (dimensio >1) sijaan esimerkiksi reaaliakseli. Tätä tulkintaa noudatetaan englanninkielisen wikipedian artikkelissa.

## Määritelmä
Olkoon [\Omega,\mathcal{F},\mathbf{P}] toden­näköisyys­avaruus. Määritellään yksinkertaisten reaalilukujen jonojen joukko \mathbb{D}:=\{\{x_{n}\}: x_{n}\in\mathbb{R}^{d}, x_{n}\neq x_{m}\ \textrm{ kun}\ n\neq m, \#\{A\cap\{x_{n}\}\}, jossa leikkausominaisuus määrittelee niin sanotun lokaalin äärellisyyden. Olkoon \mathcal D:=\sigma(\mathbb{D}) tästä joukosta muodostettu sigma-algebra, ja määritellään kuvaus

 \varphi:\Omega\longrightarrow\mathbb{D}.

Kuvaus \phi on *pisteprosessi*, jos se on [\Omega,\mathcal{F}]-[\mathbb{D},\mathcal{D}] -mitallinen, ts. jos

 \varphi^{-1}(Y):=\{\omega\in\Omega:\varphi(\omega)\in Y\}\in \mathcal{F}

kaikilla Y\in \mathcal{D}.

## Tulkinta
Pisteprosessilla \phi on kaksi tulkintaa: 

1. \varphi on satunnainen joukko, eli x\in\varphi(\omega) \Leftrightarrow x kuuluu satunnaiseen jonoon \{x_{n}\}.

2. \varphi on satunnainen laskentamitta, eli kaikille Borel-joukoille |\varphi(B)|=n \Leftrightarrow B  sisältää n pistettä prosessista \varphi.

Pisteprosessien yhteydessä määritellään käsitteet *[[stationaarisuus]]* ja *[[isotrooppisuus]]*, joista ensimmäinen kuvaa pisteiden jakauman siirtoriippumattomuutta ja jälkimmäinen kuvaa riippumattomuutta suunnan (kierron) suhteen.

Pisteprosessit voidaan myös laajentaa merkkisiin tapauksiin lisäämällä sijaintitietojen x_n rinnalle merkkitieto m_n, jolloin saadaan uusi prosessi, niin sanottu *merkkinen pisteprosessi* \psi=[\{x_n\},\{m_n\}].

## Perustyökaluja

Pisteprosessien tilajärjestyksen tutkimiseen on kehitetty useita eri työkaluja, ja niistä useimmin käytettyjä ovat seuraavat datasta estimoitavat (stationaarisessa tapauksessa):

1. Intensiteetti \lambda, joka kuvaa pisteiden keskimääräistä lukumäärää pinta-alayksikköä kohden.

2. <math>K(r)</math>-funktio, joka kuvaa pisteiden lukumäärän jakautumista r-säteisessä pallossa, kun pallon keskipisteenä on satunnainen prosessin piste.

3. H_{s}(r)-funktio, joka kuvaa tyhjän tilan jakautumista prosessissa huomioimalla r-säteiseen palloon osuvat pisteet keskipisteen ollessa satunnaisessa alueen pisteessä. 

4. D_{k}(r)-funktio, joka on jakauma k:nnen naapurin etäisyydelle.

Jokaisesta em. funktiosta on monia eri versioita, esimerkiksi reunakorjattuja versioita jotka ottavat havaintoalueen rajallisuuden huomioon.

Datan pikaisessa tutkimisessa tulkinta funktioiden antamasta kuvaajasta tehdään vertaamalla kuvaajan muotoa *täydellisen satunnaisuuden* tilaan eli Poisson-prosessin tuottamaan vastaavaan funktion arvoon.

## Katso myös
Todennäköisyys

## Lähteet
Stoyan, Kendall, Mecke: *Stochastic geometry and its Applications.* Wiley 1995