Toisen kertaluvun derivaatta

Differentiaali- ja integraalilaskennassa funktion &fnof; 
derivaattafunktion derivaattaa sanotaan funktion &fnof; 
**toisen kertaluvun derivaataksi**. Myös nimitys **toinen derivaatta** on 
yleisesti käytössä. Funktion toisen kertaluvun derivaatalla 
voidaan muun muassa tutkia funktion kuvaajan kaarevuutta ja sen derivaatan nollakohtien luonnetta. Toisen kertaluvun derivaatan 
fysikaalisista sovelluksista voidaan mainita esimerkiksi kappaleen kiihtyvyyden määrittäminen. Kappaleen nopeus on sen paikan 
derivaatta ajan suhteen. Kiihtyvyys on kappaleen nopeuden derivaatta 
ajan suhteen. Siten kiihtyvyys on paikan toisen kertaluvun derivaatta ajan 
suhteen. Funktion korkeamman kertaluvun derivaattojen tuntemista 
hyödynnetään myös monissa funktion approksimaatio-menetelmissä, 
kuten esimerkiksi Taylorin sarjassa.
 
## Merkinnät
Funktion f(x)\! toisen kertaluvun derivaatta merkitään 
yleensä f*(x)\!</math>, jossa
:<math>f* = (f')'\!
Muita käytettyjä merkintöjä ovat:
:y* = f*(x) = \frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d}{dx} \frac{d}{dx} f(x) = 
\frac{d^2}{d x^2} f(x) = D_x^2 y = D_x^2 f(x).

## Esimerkki
Olkoon
:f(x) = x^3.\!
Funktion &fnof; derivaatta on funktio
:f'(x) = 3x^2.\!
Funktion &fnof; toisen kertaluvun derivaatta on funktion &fnof;&prime; 
derivaatta
:f*(x) = 6x.\!</math>

== Suhde kuvaajaan ==


=== Kaarevuus ===
Funktion &fnof; toisen kertaluvun derivaatta mittaa sen kuvaajan *'kaarevuutta**. 
Funktio, jonka toisen kertaluvun derivaatta on positiivinen, on kupera alaspäin eli 
jokainen sen käyrälle piirretty [[tangentti]] on, sivuamispistettä lukuun ottamatta, käyrän 
alapuolella. Vastaavasti, funktio, jonka toisen kertaluvun derivaatta on negatiivinen, 
on kupera ylöspäin eli jokainen sen käyrälle piirretty tangentti on käyrän 
yläpuolella.

=== Käännepiste ===

Pistettä, jossa funktion toisen kertaluvun derivaatan merkki vaihtuu, kutsutaan **käänne­pisteeksi**. Käännepisteessä funktion kuvaajan kaarevuussuunta vaihtuu. 
Jos funktion toisen kertaluvun derivaatta on [[jatkuva funktio|jatkuva]] käännepisteessä, sen on oltava 
0. Toisen kertaluvun derivaatan nollakohta ei kuitenkaan ole riittävä ehto 
käännepisteelle.

=== Toisen kertaluvun derivaatan testi ===
Funktion toisen kertaluvun derivaatan testillä voidaan tietyissä olosuhteissa 
selvittää funktion derivaatan nollakohdan luonne. 
Olkoon <math>f'(x_0)=0\!</math>. Jos
* <math>\ f^{\prime\prime}(x_0) < 0</math>, funktiolla <math>\ f</math> on paikallinen [[ääriarvo|maksimi]] pisteessä <math>\ x_0</math>.
* <math>\ f^{\prime\prime}(x_0) > 0</math>, funktiolla <math>\ f</math> on paikallinen minimi pisteessä<math>\ x_0</math>.
* <math>\ f^{\prime\prime}(x_0) = 0</math>, funktiolla <math>\ f</math> voi olla pisteessä <math>\ x_0</math> joko paikallinen maksimi, paikallinen minimi tai käännepiste.

== Raja-arvo ==
Jos funktiolla <math>\ f</math> on pisteessä <math>\ x_0</math> olemassa toisen 
kertaluvun derivaatta, se voidaan esittää [[raja-arvo]]na:
:<math>f''(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x_0+h) - f'(x_0)}{h} = 
\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+2h) - 2f(x_0+h) + f(x_0)}{h^2}.</math>

== Approksimointi ==

Funktion approksimointiin voidaan käyttää erilaisia esimerkiksi korkeampia 
derivaattoja käyttäviä [[polynomi|polynomeja]] taikka [[potenssisarja|potenssi­sarjoja]]. Eräät esimerkit tällaisista ovat **Taylorin polynomi** ja **Taylorin sarja*'.

Funktion toisen asteen Taylorin polynomi pisteessä <math>\ x_0</math> on:
:<math>T_2(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f*(x_0)}{2}(x-x_0)^2.

Maclaurinin polynomi on Taylorin polynomin erikoistapaus, jossa kehityskeskus on 
origo:
:T_2(x) = f(0) + f'(0)(x) + \frac{f*(0)}{2}(x)^2.</math>

Taylorin sarja on yksinkertaistettu versio potenssisarjasta. Taylorin sarjalla 
funktiolle saadaan seuraava [[Sarja (matematiikka)|sarjakehitelmä]]:
:<math>f(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}.</math>
Edellisessä ! tarkoittaa [[kertoma]]a ja <math>f^{(n)}(x_0)</math> funktion 
<math>\ f</math> n:ttä derivaattaa. Maclaurinin sarja on Taylorin sarjan 
erikoistapaus, jossa kehityskeskus on origo.

== Kiihtyvyys ==

Tarkastellaan objektia, joka liikkuu suoralla (esimerkiksi x-akselilla). 
Sen paikka <math>\ x</math> saadaan ajan funktiosta 
<math>x=s(t)</math>. [[Keskinopeus|Keski­nopeudeksi]] <math>v_{avg}</math> aikavälillä 
<math>[t, t+h]</math> saadaan 
:<math>v_{avg}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{s(t+h)-s(t)}{h}.</math>
Nopeus <math>v(t)</math> ajanhetkellä <math>\ t</math> on tämän keskinopeuden 
raja-arvo, kun <math>\ h \to 0</math>. Siten
:<math>v(t) = \lim_{h \to 0}\frac{s(t+h)-s(t)}{h} = s'(t).</math> 
[[Nopeus]] ajanhetkellä <math>\ t</math> on siis paikan derivaatta ajan suhteen. 
Tämän derivaatan arvo voi olla luonnollisesti myös nolla tai negatiivinen, joten 
nopeus kertoo myös liikesuunnan.

Derivoimalla edelleen nopeus ajan suhteen saadaan objektin kiihtyvyys ajanhetkellä 
<math>t</math>
:<math>a(t) = \frac{\Delta v}{\Delta t} = 
\lim_{h \to 0}\frac{s'(t+h)-s'(t)}{h} = s*(t).
Kiihtyvyys on siis paikan toisen kertaluvun derivaatta ajan suhteen.

## Katso myös

* Derivaatta
* Käännepiste
* Taylorin sarja

## Lähteet

* (englanniksi)
*

*

*

## Kirjallisuutta
*