Eulerin lause (funktioteoria)

**Eulerin lause** tai **Eulerin kaava** (nimetty Leonhard Eulerin mukaan) on kompleksianalyysiin liittyvä matemaattinen kaava, joka ilmaisee kompleksilukujen toisaalta eksponenttifunktioon ja toisaalta trigonometriaan perustuvan esityksen välisen yhteyden.

Eulerin lause sanoo, että kompleksiluvulle *e**iφ* pätee yhtälö  e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi, \,

missä \scriptstyle i on imaginaariyksikkö ja φ on vaihekulma radiaaneina. Luku *z<sub>1</sub> =* *e**iφ* on kompleksitason yksikköympyrällä sijaitseva kompleksiluku ja sen itseisarvo on yksi. Sen vaihekulma eli kulma suhteessa positiiviseen reaaliakseliin on φ. Muita kuin itseisarvoltaan ykkösen suuruisia kompleksilukuja kuvataan kertoimen *r* avulla: *z<sub>2</sub>* = *re<sup>iφ</sup>.* Kulmaan perustuvalla kompleksiluvun esittämisellä on yhteys esitystapaan  z = x + yi: 

 z = re^{i\phi} = r(\cos{\phi}+i\sin{\phi}) = r\cos{\phi}+(r\sin{\phi})i = x + yi, 

missä *r = |z|, x = r cos φ* ja *y = r sin φ.*

## Historia

Eulerin lauseen todisti ensimmäisen kerran Roger Cotes vuonna 1714, mutta vasta Leonhard Eulerin lausetta koskeva työ vuonna 1748 toi sen lopullisesti matemaatikkojen tietoisuuteen. Kompleksilukujen esittämistä tasossa ei kuitenkaan 1700-luvulla vielä tunnettu, joten kumpikaan miehistä ei huomannut lauseen geometrista tulkintaa.

## Huomioitavaa

### Geometrinen tulkinta
Eulerin lause voidaan tulkita siten, että funktio *e**iφ* piirtää yksikköympyrän kompleksitasolle, kun *φ* kulkee vähintään 2π:n mittaisen reaalilukujoukon läpi. Tässä *φ* on kulma, jonka kompleksitason pisteeseen origosta piirretty viiva muodostaa positiivisen reaaliakselin kanssa. Kulmaa mitataan tässä yhteydessä radiaaneina. Eulerin lause pätee ainoastaan, mikäli funktiot *sin φ* ja *cos φ* on määritelty radiaaneille eikä asteille.

Eulerin lause muodostaa vahvan yhteyden analyysin sekä trigonometrian välille. Lausetta käytetään hyväksi kompleksilukujen napakoordinaattiesityksessä, ja se antaa mahdollisuuden logaritmifunktion määrittelyyn kompleksiluvuille.

Eksponenttifunktion laskukaavoista

: e^{a + b} = e^a \cdot e^{b}
ja
: (e^a)^b = e^{a b} \,

voidaan johtaa Eulerin lauseen avulla useita trigonometristen funktioiden lainalaisuuksia. Trigonometriset funktiot voidaan jopa määritellä kompleksilukujen eksponenttifunktion laajennuksina (vertaa hyperbolisten funktioiden kaavat):

: \cos x = {e^{ix} + e^{-ix} \over 2}
: \sin x = {e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}

### Eulerin identiteetti

Sijoittamalla 
: x=\mathbf{\pi}

saa Eulerin lause kuuluisan Eulerin identiteetiksi kutsutun muodon
: e^{i \pi} + 1 = 0 \,\!,
jota on kutsuttu matematiikan kauneimmaksi kaavaksi. Se sitoo toisiinsa useat nykymatematiikan tärkeät luvut: Neperin luvun, piin, imaginaariyksikön ja perusluvut 1 ja 0. Siinä esiintyvät myös matematiikan kolme tärkeää laskutoimitusta: yhteenlasku, kertolasku ja potenssiin korottaminen.

## Todistus Taylorin sarjan avulla

Funktiot *e**x*, cos(*x*) ja sin(*x*) (olettaen, että *x* on reaalinen) voidaan Taylorin sarjan avulla kirjoittaa:

:  e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots 

:  \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots


:  \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots


Kompleksisille *z* määritellään vastaavat funktiot Taylorin sarjan avulla korvaten *x*:t muuttujalla *iz*. Havaitaan, että

: e^{iz} = 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots

: = 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots

: = \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right) 

: = \cos (z) + i\sin (z) \,

## Lähteet

## Kirjallisuutta
* 
* 
* 

## Aiheesta muualla