Materiaaliderivaatta

**Materiaaliderivaatta** on virtausmekaniikassa tapa esittää paikasta ja ajasta riippuvan virtauksen mukana kulkevan suureen (esimerkiksi paine tai liikemäärä) muutosta ajan suhteen. Materiaaliderivaatta antaa työkalun yhdistää kyseisen suureen muutosnopeuden havainnot sekä virtauksen ulkopuolisen (nk. Eulerin havaintokoordinaatisto) että virtauksen mukana kulkevan (nk. Lagrangen havaintokoordinaatisto) tarkkailijan näkökulmista.

Jos virtauksen nopeus on ajasta ja paikasta riippuva vektorikenttä \mathbf v(x, y, z, t) ja Q(x, y, z, t) on jokin virtauksen mukana kulkeva suure, niin Q:n materiaaliderivaatta on

\frac{\mathrm dQ}{\mathrm dt}=\frac{\partial Q}{\partial t}+(\mathbf v\cdot\nabla)Q

Materiaaliderivaattaa merkitään joskus myös \mathrm D/\mathrm Dt korostamaan sitä, että siinä on useita eri derivaattatermejä ja että se seuraa tiettyä virtauksen materiaalipistettä.

## Lausekkeen johtaminen
Olkoon nopeusvektorikenttä paikan ja ajan funktio siten, että \mathbf v(x, y, z, t)=v_x(x, y, z, t)\,\mathbf i+v_y(x, y, z, t)\,\mathbf j+v_z(x, y, z, t)\,\mathbf k. Olkoon lisäksi Q(x, y, z, t) paikasta ja ajasta riippuva derivoituva funktio. Derivoidaan Q ajan suhteen käyttäen ketjusääntöä:

\frac{\mathrm dQ}{\mathrm dt}=\frac{\partial Q}{\partial t}+\frac{\partial Q}{\partial x}\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}+\frac{\partial Q}{\partial y}\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}+\frac{\partial Q}{\partial z}\frac{\mathrm dz}{\mathrm dt}

Toisaalta nopeusvektorin komponentit ovat v_x=\mathrm dx/\mathrm dt, v_y=\mathrm dy/\mathrm dt ja v_z=\mathrm dz/\mathrm dt. Sijoitetaan tämä tieto edelliseen yhtälöön:

\frac{\mathrm dQ}{\mathrm dt}=\frac{\partial Q}{\partial t}+v_x\frac{\partial Q}{\partial x}+v_y\frac{\partial Q}{\partial y}+v_z\frac{\partial Q}{\partial z}

Lisäksi

\begin{align}
\mathbf v\cdot\nabla&=(v_x\mathbf i+v_y\mathbf j+v_z\mathbf k)\cdot\left(\mathbf i\frac{\partial}{\partial x}+\mathbf j\frac{\partial}{\partial y}+\mathbf k\frac{\partial}{\partial z}\right)\\
&=v_x\frac{\partial}{\partial x}+v_y\frac{\partial}{\partial y}+v_z\frac{\partial}{\partial z}
\end{align}

Näin ollen voidaan kirjoittaa

\frac{\mathrm dQ}{\mathrm dt}=\frac{\partial Q}{\partial t}+\left(v_x\frac{\partial}{\partial x}+v_y\frac{\partial}{\partial y}+v_z\frac{\partial}{\partial z}\right)Q=\frac{\partial Q}{\partial t}+(\mathbf v\cdot\nabla)Q


## Esimerkkejä
Olkoon koko avaruudessa kaikilla ajanhetkillä määritellyn virtauksen nopeusvektorikenttä \mathbf v(x, y, z, t)=(4t+1)\,\mathbf i+2xz\,\mathbf j-ty^2\,\mathbf k. Selvitetään virtauksen mukana kulkevan partikkelin kokema kiihtyvyys.

Kiihtyvyys on partikkelin nopeuden derivaatta ajan suhteen. Hyödynnetään materiaaliderivaattaa:

\mathbf a=\frac{\mathrm d\mathbf v}{\mathrm dt}=\frac{\partial\mathbf v}{\partial t}+(\mathbf v\cdot\nabla)\mathbf v=\frac{\partial\mathbf v}{\partial t}+v_x\frac{\partial\mathbf v}{\partial x}+v_y\frac{\partial\mathbf v}{\partial y}+v_z\frac{\partial\mathbf v}{\partial z}


Lasketaan ensin derivaatat erikseen:

\begin{align}
\frac{\partial\mathbf v}{\partial t}&=\frac{\partial}{\partial t}\left((4t+1)\,\mathbf i+2xz\,\mathbf j-ty^2\,\mathbf k\right)=4\,\mathbf i-y^2\,\mathbf k \\
v_x\frac{\partial\mathbf v}{\partial x}&=(4t+1)\frac{\partial}{\partial x}\left((4t+1)\,\mathbf i+2xz\,\mathbf j-ty^2\,\mathbf k\right)=(4t+1)\cdot2z\,\mathbf j=(8tz+2z)\,\mathbf j \\
v_y\frac{\partial\mathbf v}{\partial y}&=2xz\frac{\partial}{\partial y}\left((4t+1)\,\mathbf i+2xz\,\mathbf j-ty^2\,\mathbf k\right)=2xz\cdot(-2ty\,\mathbf k)=-4txyz\,\mathbf k \\
v_z\frac{\partial\mathbf v}{\partial z}&=-ty^2\frac{\partial}{\partial z}\left((4t+1)\,\mathbf i+2xz\,\mathbf j-ty^2\,\mathbf k\right)=-ty^2\cdot2x\,\mathbf j=-2txy^2\,\mathbf j \\
\end{align}

Yhdistetään tulokset ja kirjoitetaan kiihtyvyysvektori:

\begin{align}
\mathbf a(x, y, z, t)&=4\,\mathbf i-y^2\,\mathbf k+(8tz+2z)\,\mathbf j-4txyz\,\mathbf k-2txy^2\,\mathbf j\\
&=4\,\mathbf i+(8tz+2z-2txy^2)\,\mathbf j+(y^2-2txy^2)\,\mathbf k
\end{align}

## Katso myös
* Advektio
* Navierin−Stokesin yhtälöt

## Lähteet