Nagelin piste

**Nagelin piste** on eräs kolmion merkillisestä pisteistä ja se on luetteloitu *Kimberlingin pisteiden luetteloon* tunnuksella \scriptstyle X_{8}. Kolmion sivut jatketaan suorilla ja suorien väliin piirretään niin suuret ympyrät, että ne sivuavat kukin kaikkia suoria kerran. Tällaisia ympyröitä on neljä, kun mukaan lasketaan kolmion sisään piirretty ympyrä. Muut, kolmion ulkoiset ympyrät, sivuavat kolmiota pisteissä, jotka otetaan ceviaanien kantapisteiksi. Ceviaanien yhteinen leikkauspiste on nimeltään *Nagelin piste*. Piste on nimetty Christian Heinrich von Nagelin (1803–1882) mukaan.

Toinen määritelmä Nagelin pisteelle ei hyödynnä ympyröitä. Mitataan kärjestä A paikka vastaisella sivulla, joka on puolimatkassa kolmion ympäri, eli mitataan kolmion puolipiirin päätepisteen paikka, jota kutsutaan kantapisteeksi. Kustakin kärjestä merkitään muut kantapisteet samalla tavalla. Kärkien ja kantapisteiden väliset janat leikkaavat toisensa Nagelin pisteessä. Tämäkin menetelmä on todistettu alla.

## Sijainti kolmiossa
Nagelin piste sijaitsee aina kolmion sisällä. Tämän näkee siitä, että ceviaani kulkee kolmion kärjen ja kolmion sivun sivuamispisteen välillä. Kaikkien tällaisten janojen leikkauspiste jää siksi kolmion sisään.

Tasasivuisen kolmion sivusuorat asettuvat symmetrisesti sivuavien ympyröiden ympärille, jolloin sivun tangenttipiste jää keskelle kolmion sivulle. Koska ceviaani on tällöin keskijana, leikkaavat ne toisensa painopisteessä.

Tasakylkisen kolmion kylkien sivuamispisteet asettuvat symmetrian vuoksi samalle korkeudelle. Kun kannan sivuamispiste tulee keskelle kantaa, jää Nagelin piste kolmion symmertiajakajalle eli korkeusjanalle.

### Trilineaariset koordinaatit
Pisteen trilineaariset koordinaatit ovat 
:\frac {-a+b+c}{a} :\frac {a-b+c}{b} :\frac {a+b-c}{c}  = \csc^2 \frac{\alpha}{2}  \, : \,  \csc^2 \frac{\beta}{2} \, : \, \csc^2 \frac{\gamma}{2} .

### Barysentriset koordinaatit
Pisteen barysentriset koordinaatit ovat 
:(-a+b+c) : (a-b+c) : (a+b-c)  =(s-a):(s-b):(s-c) =\cot\frac{\alpha}{2} \, : \, \cot\frac{\beta}{2} \, : \, \cot\frac{\gamma}{2}, 

File:Extouch Triangle and Nagel Point.svg
File:Nagel point.svg
File:Excircles and Nagel point.JPG


## Todistus

Todistetaan, että kolmion \scriptstyle \triangle ABC mainitut ceviaanit leikkaavat toisensa yhteisessä pisteessä. Tekstissä seurataan viereisen kuvan merkintöjä. Kolmion sivujen jatkeet, eli sivusuorat, ovat ympyrän tangentteja, jossa esimerkiksi sivun \scriptstyle AC tangenttipiste on \scriptstyle A_v ja sivun \scriptstyle AB tangenttipiste on \scriptstyle A_o. Nyt janojen \scriptstyle AA_v ja \scriptstyle AA_o pituudet ovat samat, koska ne ovat saman pisteen kautta kulkevat yhteisen ympyrän tangentteja. Merkitsemällä janan pituutta pystyviivoilla, saadaan \scriptstyle |AA_v| = |AA_o|.

Merkitään kärjen \scriptstyle A vastaisen sivun \scriptstyle BC tangenttipistettä \scriptstyle A' ja tarkastellaan janojen pituuksia ensin kärken \scriptstyle A kannalta. Kärjen \scriptstyle A vasemman sivulla kärjessä \scriptstyle C risteää kaksi sivusuoraa, jotka voidaan myös tulkita yhteisen ympyrän tangenteiksi. Silloin on \scriptstyle |CAv| =| CA'| (1). Vastaava tilanne on pisteessä \scriptstyle B, jossa \scriptstyle |BAo| = |BA'|  (2). Kun jana \scriptstyle AA_v kirjoitetaan pisteen \scriptstyle C avulla murtoviivana \scriptstyle ACA_v ja \scriptstyle AA_o vastaavasti \scriptstyle ABA_o, voidaan edellisestä ((1) ja (2)) johtuen kirjoittaa \scriptstyle |AAv| = |ACAv| = |ACA'| ja  \scriptstyle |AAo| = |ABAo| = |ABA'|.

Edellinen havainto tulkitaan seuraavasti. Kärjestä \scriptstyle A on vastaiselle sivulle pisteeseen \scriptstyle A' yhtä pitkä matka kuljettiinpa kärjen \scriptstyle B tai \scriptstyle C kautta. Matka on puolet kolmion piiriin pituudesta. Samanlainen tarkastelu tuottaa vastaavan tuloksen kärkien \scriptstyle B ja \scriptstyle C osalta, jolloin pisteet \scriptstyle B' ja \scriptstyle C' ovat puolen piirin matkan päässä vastinkärjistään. Tämän vuoksi voidaan merkitä yhtäpitkiksi  janat \scriptstyle AA_v, \, AA_o, \, BB_v, \, BB_o, \, CC_v ja \scriptstyle CC_o.

Edelleen, kun esimerkiksi suoran \scriptstyle AB janat \scriptstyle AA_o eli \scriptstyle ABA_o ja \scriptstyle BB_v eli \scriptstyle BAB_v sisältävät yhteisen osan \scriptstyle AB, ovat myös päät \scriptstyle BA_o ja \scriptstyle AB_v yhtäpitkät. Soveltamalla ideaa kaikille sivuille, voidaan kirjoittaa 
*\scriptstyle |AB_v| = |AB'| = |BA_o| = |BA'|, koska \scriptstyle |ABAo| = |BABv|, ja 
*\scriptstyle |CA_v| = |CA'| = |AC_o| = |AC'|, koska \scriptstyle |CACo| = |ACAv| , ja vielä 
*\scriptstyle |BC_v| = |BC'| = |CB_o| = |CB'|, koska \scriptstyle |BCBo| = |CBCv|.

Cevan lausetta mukaellen
:\frac{AC'}{C'B} \cdot \frac{BA'}{A'C} \cdot \frac{CB'}{B'A} = \frac{AC'}{\cancel {CB'}} \cdot \frac{BA'}{AC'} \cdot \frac{\cancel {CB'}}{BA'} = \frac{\cancel {AC'}}{1} \cdot \frac{\cancel {BA'}}{\cancel {AC'}} \cdot \frac{1}{\cancel {BA'}} = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} = 1.
Cevan lauseen mukaan janat \scriptstyle AA', \scriptstyle BB' ja \scriptstyle CC' ovat konkurrentit.

## Lähteet
### Viitteet

## Aiheesta muualla
* Ballew, Pat: Nagel Points and Nagel Line 
* Kimberling, Clark: Christian Heinrich von Nagel (1803–1882) geometer, educator