Nelinopeus

**Nelinopeus** on fysiikassa, varsinkin suhteellisuusteoriassa nelivektori eli neli­ulotteisen aika-avaruuden vektori, joka vastaa kolmi­ulotteisessa avaruudessa määriteltyä nopeutta.

Suhteellisuusteoriassa neliulotteisen aika-avaruuden pisteitä, tai pisteitä tietyllä hetkellä, nimitetään tapahtumiksi. Jokaista kohdetta esittää siihen liittyvä käyrä aika-avaruudessa, kohteen maailmanviiva, joka voidaan parametrisoida kohteen itseis­ajalla. Nelinopeus on kohteen neli­sijainnin muutosnopeus tällä käyrällä itseis­ajan suhteen. Kappaleen *nopeus* sitä vastoin on sen sijainnin muutos­nopeus kolmi­ulotteisessa avaruudessa sellaisena kuin sen havaitsee inertiaalijärjestelmässä oleva havaitsija oman aikansa suhteen.

Nelinopeus on näin ollen kohteen maailman­viivan normalisoitu ajan­luontoinen tulevaisuuteen osoittava tangenttivektori, ja se on kovariantti vektori. Vaikka se on vektori, kahden neli­nopeuden summa ei yleensä ole minkään kohteen mahdollinen neli­nopeus, minkä vuoksi mahdolliset neli­nopeudet eivät muodosta vektori­avaruutta.

Minkä tahansa kohteen nelinopeuden itseisarvo on aina valon­nopeuden (*c*) suuruinen. Koordinaatiston suhteen levossa olevan kohteen neli­nopeus on aika­koordinaatin suuntainen.

## Nopeus

Kohteen rata kolmiulotteisessa avaruudessa inertiaalisessa vertailu­järjestelmässä voidaan esittää kolmen koordinaatti­funktion avulla:

x^i(t),\; i \in \{1,2,3\} ajan t funktiona:
:\vec{x} = x^i(t) = \begin{bmatrix} x^1(t) \\ x^2(t) \\ x^3(t) \end{bmatrix} ,
missä luvut x^i(t) tarkoittavat sijainnin kolmea avaruudellista koordinaattia hetkellä *t*.

Nopeuden {\vec{u}} (käyrän tangentin) komponentit missä tahansa maailman­viivan pisteessä ovat
:{\vec{u}} = \begin{bmatrix}u^1 \\ u^2 \\ u^3\end{bmatrix} = {d \vec{x} \over dt} = {dx^i \over dt} =
\begin{bmatrix}\tfrac{dx^1}{dt} \\ \tfrac{dx^2}{dt} \\ \tfrac{dx^3}{dt}\end{bmatrix}.

## Suhteellisuusteoria

Einsteinin suhteellisuusteorian mukaan tietyn vertailu­järjestelmän suhteen liikkuvan kohteen radan määrittelee neljä koordinaatti­funktiota x^{\mu}(\tau),\; \mu \in \{0,1,2,3\}, missä x^{0} merkitsee aika­koordinaattia kerrottuna valon­nopeudella, ja jokainen funktio riippuu yhdestä parametrista \tau, jota sanotaan kohteen itseis­ajaksi.

:
\mathbf{x} = x^{\mu}(\tau) = 
\begin{bmatrix}
x^0(\tau)\\ x^1(\tau) \\ x^2(\tau) \\ x^3(\tau) \\
\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix}
ct \\ x^1(t) \\ x^2(t) \\ x^3(t) \\
\end{bmatrix}



### Aikadilaatio

Aikadilaatiosta tiedetään, että 
:t = \gamma \tau \, 

missä \gamma on Lorentzin tekijä, joka määritellään seuraavasti:

: \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} 

ja  *u* on nopeusvektorin euklidinen normi \vec{u}:

:u =  || \ \vec{u} \ || = \sqrt{ (u^1)^2 + (u^2)^2 + (u^3)^2} .

### Nelinopeuden määritelmä

Nelinopeus on maailman­viivan tangentin suuntainen neli­vektori. Nelinopeus missä tahansa maailman­viivan pisteessä \mathbf{x}(\tau) määritellään seuraavasti:

:\mathbf{U} = \frac{d\mathbf{x}}{d \tau} 

missä \mathbf{x} on nelivektorilla ilmaistu maailmanviivan pisteen sijainti aika-avaruudessa ja \tau itseisaika.

Nelinopeutta ei voida määritellä valon­nopeudella liikkuville kohteille kuten fotoneille eikä myöskään valoa nopeammin liikkuville takyoneille, mikäli sellaisia on olemassa, sillä niiden maailman­viivan tangentti olisi paikan­luontoinen.

### Nelinopeuden komponentit
Aika *t* ja koordinaattina ilmaistu aika  x^0 vastaavat toisiaan yhtälön

: x^0 = ct = c \gamma \tau \, 

mukaisella tavalla. Jos tästä otetaan derivaatta kohteen itseis­ajan  \tau \, , suhteen, saadaan nopeuden komponentti U^\mu \, tapauksessa μ = 0:

:U^0 = \frac{dx^0}{d\tau} = c \gamma .

Käyttämällä ketjusääntöä komponenteille \mu = i = 1, 2, 3,  saadaan:

:U^i = \frac{dx^i}{d\tau} = 
\frac{dx^i}{dx^0} \frac{dx^0}{d\tau} = 
\frac{dx^i}{dx^0} c\gamma = \frac{dx^i}{d(ct)} c\gamma = 
{1 \over c} \frac{dx^i}{dt} c\gamma =  \gamma \frac{dx^i}{dt} = \gamma u^i 

missä on käytetty yhteyttä

: u^i = {dx^i \over dt } .

Täten nelinopeudelle \mathbf{U} saadaan:

:\mathbf{U} = \gamma \left( c, \vec{u} \right) 

Tiettyyn sileän aika-avaruuden alueeseen liittyvien mittakeppien ja synkronoitujen kellojen termein voidaan sanoa, että neli­nopeuden kolme paikan­luontoista komponenttia määrittelevät kohteen itseis­nopeuden \gamma \vec{u} = d\vec{x}/d\tau, toisin sanoen sen, kuinka nopeasti kohteen sijainti muuttuu vertailu­järjestelmän suhteen, kun aika mitataan itseisaikana sellaisen kellon avulla, joka kulkee kohteen mukana.

## Lähteet

* 
*