Beta-jakauma

{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}
  | kurtosis   = \frac{6[\alpha^3+\alpha^2(1-2\beta)+\beta^2(\beta+1)-2\alpha\beta(\beta+2)]}{\alpha\beta(\alpha+\beta+2)(\alpha+\beta+3)}
  | entropy    = \begin{matrix}\ln\Beta(\alpha,\beta)-(\alpha-1)\psi(\alpha)-(\beta-1)\psi(\beta)\\[0.5em] +(\alpha+\beta-2)\psi(\alpha+\beta)\end{matrix}
  | mgf        = 1  +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}
  | char       = {}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\! (katso hypergeometrinen funktio)
  | pgf        = 
  | fisher     = \begin{matrix}\\ \operatorname{var}[\ln X] &\operatorname{cov}[\ln X, \ln(1-X)] \\ \operatorname{cov}[\ln X, \ln(1-X)] & \operatorname{var}[\ln (1-X)]\end{matrix}
  }}
**Beta-jakauma** eli **<math>\beta-</math>jakauma** on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma, jota käytetään bayesilaisessa todennäköisyyslaskennassa. Koska Beta-jakaumaa voi parametrisoida monella eri tavalla, sitä voidaan kutsua jakaumaperheeksi. Sen avulla voidaan esittää lähes kaikki äärelliselle välille konsentroituneet jakaumat.

Jos satunnaismuuttuja X on Beta-jakautunut parametreillä \alpha ja \beta, merkitään se yleensä
:X \sim Beta(\alpha,\beta) \sim Be(\alpha,\beta) \sim \beta_{\alpha , \beta}. 
 
## Todennäköisyysjakauma
Satunnaismuuttujalla X, joka on Beta-jakautunut ja jolla perusjoukko on \Omega=[0,1], on kaksi positiivista parametria \alpha ja \beta. Niiden avulla Beta-jakauman tiheysfunktio määritellään
:f_X(x)=\frac{1}{B(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} , 
missä niin sanottu *beta-funktio* on
:B(\alpha,\beta)=\int_0^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}dt=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}, 
jossa \Gamma(t) taas on gammafunktio. Beta-funktion tarkoituksena on "normalisoida" beta-jakauma niin, että sen tiheysfunktion määrätty integraali koko reaalialueen yli on tasan yksi.

Toisinaan joskus parametrien arvoista vähennetään yksi (\scriptstyle \alpha'=\alpha -1 ja \scriptstyle \beta'=\beta-1), jotta tiheysfunktion ja momenttifunktion kaavat yksinkertaistuisivat hieman.

Beta-jakauman tiheysfunktiolla on seuraavanlaisia ominaisuuksia:
* f_X(x)>0 kaikilla x \in [0,1]
* Jos \alpha >1 ja \beta = 1, niin f_X(x) on aidosti kasvava ja sen maksimikohta on välin päätepisteessä x=1.
* Jos \alpha =1 ja \beta > 1, niin f_X(x) on aidosti vähenevä ja sen maksimikohta on välin päätepisteessä x=0.
* Jos \alpha >1 ja \beta > 1, niin f_X(x) on yksihuippuinen ja sen maksimikohta on välin sisäpisteessä x=\frac{\alpha-1}{\alpha + \beta -2}.
* Jos \alpha  ja \beta , niin f_X(x) on U:n muotoinen ja sillä on lokaalit maksimikohdat on välin päätepisteissä x=0 ja x=1.
* f_X(x) on symmetrinen, jos \alpha = \beta.

Beta-jakauman kertymäfunktion lauseketta ei ole mahdollista kirjoittaa eksplisiittiseen muotoon, koska sen tiheysfunktion integraalifunktiota ei voi kirjoittaa lausekkeeksi alkeisfunktioiden avulla. Ne onkin tapana esittää vain numeerisessa muodossa aivan kuten toimitaan normaalijakaumassakin.

## Tunnusluvut ja momentit
### Momenttifunktio
Momenttifunktio eli momentit generoiva funktio saadaan määritelmästä
:M(t)=E(e^{tX})=\frac{1}{B(\alpha,\beta)} \int_{0}^1 e^{tx} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} \, dx .

Sen avulla voidaan määritellä origomomentit ja keskusmomentit. Origomomenttien yleinen muoto on
:\mu_n=E(X^n)=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha+n)}
{\Gamma(\alpha+\beta+n)\Gamma(\alpha)}, 
ja koska gammafunktiolla on \Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha), siitä saadaan ensimmäiset momentit
:E(X)=E(X^1)=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha+1)}
{\Gamma(\alpha+\beta+1)\Gamma(\alpha)}=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)\alpha\Gamma(\alpha)}
{(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha)}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}
ja
:E(X^2)=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha+2)}
{\Gamma(\alpha+\beta+2)\Gamma(\alpha)}=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)(\alpha+1)\alpha\Gamma(\alpha)}
{(\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha)}=\frac{\alpha(\alpha+1)}{(\alpha+\beta)(\alpha+\beta+1)}.

Keskusmomenttien yleinen muoto on
:\mu'_n=E((X-\mu)^n)=\left (-\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\right )^n \cdot {}_2F_1 \left (\alpha,-n;\alpha+\beta;\frac{\alpha+\beta}{\alpha} \right ),
missä {}_2\!F_1 on hypergeometrinen funktio.

Ensimmäinen origomomentti voidaan laskea myös suoraan
:\mu=E(X)=\int_0^1xf_X(x)\,dx = \int_0^1x \frac{1}{B(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} \,dx 
:: = \frac{1}{B(\alpha,\beta)} \int_0^1 x^{\alpha}(1-x)^{\beta-1} \,dx = \frac{1}{B(\alpha,\beta)} B(\alpha+1,\beta)
::=\frac{\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta+1)} \cdot \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} = \frac{\alpha\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha+\beta)} \cdot \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}. 

### Tunnuslukuja
Jakauman odotusarvo saadaan *ensimmäisestä origomomentista*
:\mu=\operatorname{E}(X)=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}. 

Sen varianssi on taas suoraan *toinen keskusmomentti*
:\mu'_2=\operatorname{Var}(X)=\sigma^2=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}. 

Jakauman tiheysfunktion vinous määritetään kahden keskumomentin avulla
:g_1=\frac{\mu'_3}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}. 
Vinous on nolla, mikä näkyy tasajakauman tiheysfunktion kuvaajasta, joka on täysin symmetrinen.

Jakauman huipukkuus määritetään kahden keskusmomentin avulla
:\gamma_2=\frac{{\mu'}_4}{{\mu'}_2^2}-3=\frac{6[\alpha^3+\alpha^2(1-2\beta)+\beta^2(\beta+1)-2\alpha\beta(\beta+2)]}{\alpha\beta(\alpha+\beta+2)(\alpha+\beta+3)}. 
Negativinen huipukkuus näkyy tiheysfunktion kuvaajassa siten, että kuvaaja on "tasa- ja litteäpäinen" eikä terävää kärkeä esiinny ollenkaan.

Jakauman moodi sijaitsee välin [0,1] sisäpisteessä, kun \alpha >1 ja \beta >1
:Mo=\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}.
Jos \alpha  tai \beta  voi moodi sijaita välin päätepisteessä. Kun \alpha = \beta = 1 on jakauma tasajakauma ja kaikki pisteet ovat moodi.

## Esimerkkejä
Tarkastellaan toistokoetta, jonka yksittäisen kolikonheiton arvoksi voi tulla vain "kruuna" tai "klaava" todennäköisyyksillä p ja 1-p. Heittojen kokonaismäärän ollessa n=100, noudattaa saatujen kruunujen yhteismäärät X binomijakaumaa X \sim Bin(100,p). Jos halutaan selvittää "kruunan" todennäköisyyttä p, kun saadaan k=60 "kruunaa", on se Beta-jakautunut p \sim Beta(61,41).

Edellinen ongelma on perinteisesti ratkaistu käyttäen normaalijakaumaa, mutta Beta-jakauma antaa silloin oikean tuloksen, kun se määritellään
:p \sim Beta(k+1,n-k+1).
Normaalijakauma antaa harhaisen tuloksen, mikäli toistojen lukumäärä n on pieni ja suhde k/n on lähellä arvoa 0 tai 1.

Beta-jakaumaa tulisi käyttää normaalijakauman sijasta approksimoitaessa binomijakaumaa epäsymmetrisissä tiheysjakauman tilanteissa. Esimerkiksi epäsymmetrisessä ja kahta arvoa antavassa satunnaistapauhtumassa kannattaa käyttää diskreetin binomijakauman approksimoimiseksi jatkuvaa Beetta-jakaumaa. Yleensä binomijakaumaa approksimoidaan normaalijakaumalla, mutta se ei toimi kunnolla, kun toista arvoa esiintyy tuntuvasti enemmän kuin toista.

Beta-jakaumaa voidaan käyttää arvioitaessa tasajakaumien U_i \sim U(0,1) arvoja. Arvotaan *n* satunnaismuuttujalle U_i arvot U_1, U_2 ,..., U_n. Arvot lajitellaan suuruusjärjestykseen, jolloin arvo merkitään uudella tavalla U_{(i)}, kun se on järjestyksessä *i*:nnes. (eli U_{(1)} U_{(2)} U_{(n)}). Silloin arvo U_{(k)} \sim Beta(k,n+1-k) kun k=1,2,...,n.

## Muut jakaumat
Beta-jakaumasta saadaan tasajakauma, mikäli parametrit ovat molemmat yksi
:X \sim Beta(1,1) \sim U(0,1) . 

## Lähteet

## Aiheesta muualla

* https://noppa.aalto.fi/noppa/kurssi/mat-1.3621/luennot/Mat-1_3621_todennakoisyyslaskennan_kertausta_.pdf
* http://doingbayesiandataanalysis.blogspot.fi/2012/06/beta-distribution-parameterized-by-mode.html
* http://users.iems.northwestern.edu/~ajit/beta.pdf
* http://www.epixanalytics.com/modelassist/CrystalBall/Model_Assist.htm#Distributions/Continuous_distributions/Beta.htm