Spearmanin järjestyskorrelaatiokerroin

**Spearmanin järjestyskorrelaatiokerroin**, eli **Spearmanin rho**, on ei-parametrinen (jakaumasta riippumaton) tilastollisen riippuvuuden mitta, jota käytetään tutkittavien muuttujien välisen korrelaation mittaamiseen. Tunnusluku on saanut nimensä kehittäjänsä Charles Spearmanin mukaan.

Spearmanin järjestyskorrelaatiokerroin ei reagoi parametrien suuriin poikkeamiin yhtä voimakkaasti kuin esimerkiksi Pearsonin korrelaatiotesti. Spearmanin korrelaatiotestissä täydellistä positiivista korrelaatiota vastaa luku 1 ja täydellistä negatiivista korrelaatiota luku -1. 

## Määritelmä
Spearmanin järjestyskorrelaatiokertoimen laskemiseksi tarvitaan jokin havaintoaineisto. Olkoon tutkittavina muuttujina x ja y satunnaismuuttujia, joiden havainnot ovat toisistaan riippumattomia. Tällöin havaintoaineisto koostuu muuttujan x havaittujen arvojen x_1, x_2, ..., x_n ja vastaavasti muuttujan y havaittujen arvojen y_1, y_2, ..., y_n muodostamista pareista (x_i, y_i) = 1, 2, ..., n.

Muuttujien havaitut arvot järjestetään suuruusjärjestykseen pienimmästä suurimpaan ja arvoihin liitetään järjestysnumerot:

:R(x_i) = havainnon x_i järjestysnumero

:R(y_i) = havainnon y_i järjestysnumero 

Jos keskenään yhtäsuuria havaintoja ei ole ja järjestysluvut ovat täten kaikki erillisiä kokonaislukuja, niin Spearmanin järjestyskorrelaatiokerroin lasketaan kaavalla

: \rho = {1- \frac {6 \sum d_i^2}{(n^2 - 1)n}}

missä d_i = R(x_i) - R(y_i). 

Spearmanin järjestyskorrelaatiokerroin, \rho, voi saada arvoja väliltä +1 ja -1. Kertoimen arvon ollessa lähellä arvoa +1 muuttujien välillä vallitsee voimakas positiivinen riippuvuus. Tämä tarkoittaa, että toisen muuttujan arvon kasvaessa myös toisen muuttujan arvo kasvaa. Vastaavasti korrelaatiokertoimen arvon ollessa lähellä arvoa -1 vallitsee muuttujien välillä voimakas negatiivinen riippuvuus. Tällöin toisen muuttujan arvon kasvaessa toisen muuttujan arvo pienenee. Korrelaatiokertoimen arvon lähestyessä arvoa 0 muuttujien keskinäinen riippuvuus vähenee. Kertoimen arvo 0 merkitsee, ettei lineaarista riippuvuutta ole. 

Täytyy muistaa, että Spearmanin järjestyskorrelaatiokerrointa, kuten muitakin korrelaatioanalyysin mittoja, käytetään pääasiassa mittaamaan kahden eri muuttujan lineaarisen yhteyden voimakkuutta. Se ei siis kerro selitettävän ja selittävän muuttujien välisestä kausaalisesta yhteydestä.

## Merkitsevyyden testaaminen
Tilastollisen merkitsevyystason testaamisella pyritään tutkimaan ja mahdollisesti sulkemaan pois sattuman vaikutus kahden muuttujan väliseen riippuvuuteen. Korrelaatiokertoimen p-arvo, eli todennäköisyys havaita vähintään näin poikkeavia testisuureen arvoja nollahypoteesin ollessa totta, voidaan laskea seuraavan testisuureen avulla. 

:t = \rho \sqrt {\frac{n-2}{1- \rho^2}} 

missä t noudattaa Studentin t-jakaumaa vapausastein n-2. 

## Esimerkki
Olkoon, että halutaan tutkia erään kalalajin massan yhteyttä sen pituuteen, eli korreloiko kalan massa sen pituuteen. Alla olevaan taulukkoon on kerätty satunnaisesti havaintoaineisto, joka koostuu kymmenestä massan ja pituuden muodostamista pareista.

Seuraavaksi tulee järjestää jokaisen sarakkeen tutkimusaineisto pienimmästä luvusta suurimpaan ja antaa jokaiselle vastaava järjestysluku. Sarakkeen x_i viereen luodaan uusi sarake R(x_i), johon tulee havainnon x_i järjestysnumero. Vastaavasti sarakkeen y_i havaintojen järjestysnumeroille luodaan sarake R(y_i). Mikäli kahden tai useamman aineiston järjestysluku on sama, tällöin niille tulee antaa niiden varaamien järjestyslukujen keskiarvo. Taulukossa nähdään, että x_i-sarakkeessa luku 90 toistuu kahdesti. Luku 90 on kyseisessä sarakkeessa kolmanneksi pienin luku, mutta koska se toistuu kahdesti, se on varannut sijat 3 ja 4. Tällöin tulee luvulle 90 annetaan järjestysluvuksi järjestyslukujen 3 ja 4 keskiarvo. Samoten luku 100 on toistunut kahdesti. Koska se on varannut sijat 5 ja 6, tulee sen järjestysluvuksi 5.5. Sama tapa on toistettu muiden toistuvien lukujen tapauksessa. Mikäli luku toistuu kolmesti, järjestysluvuksi annetaan tällöin sen kolmen varaaman sijan keskiarvo. 

Lopuksi täytyy vielä laskea järjestyslukujen erotus d_i = R(x_i) - R(y_i). Luodaan uusi sarake d_i, johon tulee jokaisen rivin järjestyslukujen erotus, sekä myös sarake d^2_i, jossa erotus korotetaan toiseen.

Summaamalla sarakkeen d^2_i kaikki alkiot yhteen saadaan,

:\sum d^2_i = 1+1+1+1+2.25+0.25+1+0.25+0.25+1 =9

Nyt voidaan laskea Spearmanin järjestyskorrelaatiokerroin, 

: \rho = {1- \frac {6 \sum d^2_i}{(n^2 - 1)n}} = {1- \frac {6 \cdot 9}{(10^2 - 1)10}} = {1- \frac {54}{990}} \approx 0.945

Saatiin siis Spearmanin järjestyskorrelaatiokertoimeksi \rho \approx 0.945. Voidaan sanoa, että tämän kalalajin massan ja pituuden välillä vallitsee voimakas positiivinen korrelaatio, eli pituuden kasvaessa myös massa kasvaa.

Testataan seuraavaksi saatua korrelaatiokerrointa 5%:n merkitsevyystasolla. Olkoon nollahypoteesi H_0, että pituuden ja massan välillä ei ole riippuvuutta. Vaihtoehtoisena hypoteesina H_1 olkoon, että pituuden ja massan välillä on korrelaatio, oli se sitten positiivinen tai negatiivinen. Tällöin vaihtoehtoinen hypoteesi on kaksisuuntainen. Eli asetelma on
:H_0: \rho=0
:H_1: \rho \neq 0

Lasketaan testisuure,
:t = \rho \sqrt {\frac{n-2}{1- \rho^2}} = 0.945 \cdot \sqrt {\frac{10-2}{1- 0.945^2}} \approx 8.17

Testisuure t noudattaa Studentin t-jakaumaa vapausastein n-2. Testisuuretta vastaava p-arvo lasketaan jakaumasta t(8) ja, koska vaihtoehtoinen hypoteesi on kaksisuuntainen, testisuureen arvoa vastaava p-arvo on 
: Pr(|t|>8.17) = 2\cdot 1-Pr(t

Laskettu p-arvo 0.002% on paljon pienempi kuin asetettu 5% ja tällöin nollahypoteesi hylätään ja vaihtoehtoinen hypoteesi jää voimaan.
Spearmanin järjestyskorrelaatiokertoimen merkitsevyyttä voidaan tutkia myös kriittisten arvojen avulla. Esimerkiksi kaksisuuntaisessa testissä merkitsevyystason ollessa 5% ja n=10, korrelaatiokertoimen on oltava vähintään 0.6485 jotta se jäisi voimaan. 

## Vertailua
Spearmanin järjestyskorrelaatiokerroin on Pearsonin korrelaatiokertoimen erityistapaus. Spearmanin järjestyskorrelaatiossa mitattavien muuttujien arvot on korvattu järjestysluvuilla. Spearmanin järjestyskorrelaatio ei reagoi parametrien poikkeamille lineaarisuudesta yhtä voimakkaasti kuin Pearsonin korrelaatiotesti, koska Spearmanin järjestyskorrelaatio mittaa kahden satunnaismuuttujan välistä monotonista riippuvuutta. Pienen hajonnan omaavien muuttujien osalta molemmat korrelaatioanalyysit antavat lähes samanlaiset arvot.   

Pearsonin korrelaatio perustuu normaalisuusoletukseen, kun taas Spearmanin järjestyskorrelaatio ei, koska se on ei-parametrinen.

Eräs toinen ei-parametrinen menetelmä on Kendallin järjestyskorrelaatiokerroin (Kendallin tau). Kun aineiston normaalisuudesta on epävarmuutta, on parempi käyttää Kendallin tai Spearmanin järjestyskorrelaatiokerrointa. Sekä Kendallin että Spearmanin järjestyskorrelaatiokerroin sopivat järjestys-, välimatka- ja suhdeasteikollisille muuttujille.

## Lähteet