Derivaatta

**Derivaatta** tarkoittaa matematiikassa reaaliarvoja saavan funktion herkkyyttä muutokselle yhden sen riippumattoman muuttujan suhteen. Derivaatta on matemaattisen analyysin peruskäsitteitä. Se johdetaan funktion tietyn välin *keskimääräisestä muutosnopeudesta*, jonka arvosta määritetään raja-arvon avulla *muutosnopeus yhdessä kohtaa*. Sanaa *derivaatta* käytetään suomessa sekä funktion derivaatan arvon että sen derivaattafunktion synonyyminä.

Jos rajoitutaan yhden muuttujan funktioihin, voidaan muutosnopeuden keskiarvoa kuvata funktion kuvaajan keskimääräiseksi jyrkkyydeksi. Sitä havainnollistetaan esimerkiksi Suomen lukioiden matematiikan oppimäärissä kuvaajan sekantilla (keskimääräinen muutosnopeus), jonka kulmakerroin on kyseisellä välillä funktion jyrkkyyksien likiarvo. Mitä pienempi on sekantin rajaama väli, sitä paremmin sen jyrkkyys vastaa funktion kuvaajan jyrkkyyksiä kyseisellä välillä. Lopulta, kun väliä pienennetään raja-arvon avulla pisteeksi, saadaan derivaatta (muutosnopeus yhdessä kohdassa). Sitä havainnollistetaan yleensä tangentilla, jonka kulmakerroin on derivaatan arvon suuruinen.

Yhden muuttujan derivaatta voidaan yleistää usean muuttujan funktioille, jossa sitä kutsutaan funktion differentiaaliksi, mutta termiä differentiaali voidaan käyttää myös yhden muuttujan funktioille. Differentiaali on funktion kokonaismuutoksen lineaarinen osa, joka esitetään usean muuttujan funktioiden tapauksessa Jacobin matriisin avulla.

## Yhden reaalimuuttujan funktiot

### Määritelmä kahden kohdan avulla
Yhden reaalimuuttujan funktion f(x) derivaatan f'(x) formaalinen määritelmä käyttää aina hyväkseen sen muutosnopeuden raja-arvoa. Seuraavassa funktion muutosnopeutta ilmaistaan sen erotusosamäärällä käyttäen valitun välin päätepisteitä x_0 ja x
:\frac{\text{funktion f arvon muutos}}{\text{muuttujan x arvon muutos}}=\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.
Merkinnällä \Delta a tarkoitetaan suureen a *arvojen muutosta* tai erotusta a_1-a_2. Välin [x_0,x] jälkimmäistä päätepistettä x siirretään lähemmäksi välin ensimmäistä päätepistettä x_0. Tämä merkitään raja-arvon arvolla
:\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. 
Tällöin voidaan sanoa (jos raja-arvo on olemassa), että funktiolla f(x) on derivaatan arvo kohdassa x_0, joka merkitään tavallisesti f'(x_0). 

### Määritelmä välin pituuden avulla

Toisessa yleisessä määritelmässä erotusosamäärä muodostetaan pisteiden x_0 ja x=x_0+h avulla, missä luku h = x-x_0 on pisteiden välinen etäisyys. Sijoittamalla tämä erotusosamäärään saadaan
:\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{(x_0+h)-x_0} = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.
Nyt väliä [x_0,x]=[x_0,x_0+h] voidaan raja-arvossa pienentää pienentämällä lukua h, jolloin saadaan (mikäli raja-arvo on olemassa) derivaatan arvo pisteessä x_0
:f'(x_0) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}. 

### Funktion kulun tarkastelu
Derivaattafunktion avulla saadaan selville sellaiset kohdat, joissa alkuperäinen funktio mahdollisesti muuttaa kulkusuuntaansa. Näissä kohdissa derivaattafunktion arvo on nolla (eli funktion kulmakerroin on 0). Derivaattafunktion merkki - ja funktion kulkusuunta - voi vaihtua vain derivaatan nollakohdassa. Mikäli tällaisia kohtia ei ole, on funktio *aidosti kasvava* tai *aidosti vähenevä*.

Esimerkiksi kolmannen asteen funktio x^3 + x^2 - 5x derivoituu sääntöjen mukaisesti muotoon 3x^2+2x-5. Laskemalla derivaattafunktion nollakohdat, jotka ovat x=-5/3 ja x=1 saadaan selville kohdat joissa alkuperäinen funktio todennäköisesti vaihtaa kulkusuuntaansa. Lasketaan derivaatan arvo kunkin nollakohdan kummallakin puolella, esimerkiksi pisteissä -2, 0 ja 2. Jos saatu arvo on negatiivinen, on funktion kuvaaja laskeva, jos positiivinen, on funktion kuvaaja nouseva.

Mikäli funktion kulkua tarkasteltaisiin suljetulla välillä [-3,2], huomattaisiin, että funktio saisi *suurimman ja pienimmän arvonsa* kyseisissä derivaatan nollakohdissa. Nämä kohdat x=-5/3 ja x=1 ovat funktion paikallisia maksimi- ja minimikohtia. Funktiolla ei kuitenkaan ole suurinta tai pienintä arvoa, kun tarkasteluvälinä on koko reaaliakseli, koska sen arvojoukko on negatiivisesta äärettömyydestä positiiviseen äärettömyyteen.

### Derivaatan olemassaolo

Derivaatta on olemassa pisteessä x_0, mikäli erotusosamäärän raja-arvo on äärellinen ja se voidaan määrittää yksikäsitteisesti. Käyttämällä hyväksi toispuoleisen derivaatan käsitteitä, voidaan derivaatan olemassaolo ilmaista niin, että sekä vasemmanpuoleisen että oikeanpuoleisen derivaatan tulee olla olemassa ja niiden arvojen tulisi olla yhtä suuret.

Vaikeasti käyttäytyvillä funktioilla ei riitä erotusosamäärän raja-arvon intuitiivinen sievennys, vaan tarvitaan täsmällisempi *matemaattinen määritelmä*. Sellainen on esimerkiksi
:\forall {\epsilon>0} \, \exists {\delta>0} : |x-x_0|.

Toisin sanoen kaikille ehdotetuille luvuille \epsilon >0\, löytyy siitä riippuva luku \delta >0\,  siten, että erotusosamäärän arvot ovat alle \epsilon\,:in päässä raja-arvosta eli derivaatan arvosta, kun muuttujan arvot ovat alle \delta\,:n päässä lähestyttävästä arvosta. Mikäli aina lukua \epsilon\, pienennettäessä, löytyy edellistä pienempi \delta\,, voidaan pitää osoitettuna, että raja-arvo tulee löytymään.

### Yhden muuttujan derivaattafunktio
Derivaattafunktio tarkoittaa sellaista lauseketta, jolla voi laskea funktion derivaatan arvon kyseisessä kohdassa ilman raja-arvon määritystä. Tällaisen funktion määrittämistä kutsutaan *derivoimiseksi*. Derivointifunktiota kutsutaan yleisesti myös *derivaataksi*. Derivaattafunktion määrittelyjoukko voi olla sama kuin funktion määrittelyjoukko, mutta toisinaan se on suppeampi väli.

Määritetään funktion f(x) derivaattafunktio missä funktion määrittelyjoukon pisteessä x hyvänsä. Niissä pisteissä, missä raja-arvo on määritelty, saadaan derivaattafunktioksi f'(x) (käytetään toista määritelmää)
:f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}. 
Tämän derivaattafunktion määrittelyjoukko saadaan, kun raja-arvon kannalta määrittelemättömät kohdat jätetään funktion määrittelyjoukosta pois.

Esimerkiksi funktion f(x)=x^2 derivaattafunktio määritetään seuraavasti. Merkitään lausekkeet erotusosamäärään ja määritetään raja-arvo:
:f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{(x^2+2hx+h^2)-x^2}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{2hx+h^2}{h}=\lim_{h\to 0}(2x+h)=2x+0=2x.
Lausekkeella f'(x)=2x voi helposti laskea funktion f(x)=x^2 derivaatan arvoja ilman, että raja-arvoa tarvitsee enää määrittää.

Tilanteita, jossa derivaatan arvoa ei voi funktion määrittelyalueelta määrittää, liittyvät esimerkiksi funktion liian suureen jyrkkyyteen. Silloin funktion kuvaajalle piirretty tangentti on pystysuora, jolle ei ole määritelty kulmakerrointa. Jos derivaatta voidaan määrittä kaikissa muissa funktion määrittelyjoukon kohdissa, muodostuu tästä derivaattafunktion määrittelyjoukko. Laajin väli, missä derivaatta on mielekästä määrittää, on funktion oma määrittelyjoukko.

### Derivaatta-operaattori ja muita merkintätapoja
Operaattoria, jolla funktion derivoinnin aikomus ilmaistaan, merkitään derivaatta-operaattorilla. Suomenkin lukiokoulutuksessa on yleisesti käytössä iso D-kirjain. Edellisen esimerkin derivointia merkitään sillä
:D x^2=2x. 

Toinen yleinen merkintä "pilkku"-merkintä, jossa funktion derivaattafunktiota merkitään
:f' = f'(x)\,.
Tässä Leonhard Eulerin ja Louis Langrangen mukaan nimetyssä nk. Euler-Lagrange-merkintätavassa oletetaan, että lukija tuntee muuttujan, jonka suhteen derivointi suoritetaan. Tämän vuoksi sitä käytetään pääasiassa yhden muuttujan derivoinnissa, ja sekin on siten yleinen esimerkiksi suomalaisessa koulumatematiikassa. Mikäli muuttujana on aika (merkitään *t*), kuten fysiikassa on yleistä, käytetään "piste"-merkintää
:\dot f = \dot f(t)\,. 

Useamman muuttujan funktioissa voidaan suorittaa derivointi yhdelle muuttujalle, joka tulee ilmoittaa lukijalle alaindeksinä tai uudella merkinnällä
:D_xf = \frac{df}{dx}\,.
Merkinnät df ja dx tarkoittavat suureiden f\, ja x\,  differenssejä ja nimittäjästä dx voidaan päätellä, minkä muuttujan suhteen derivointi suoritetaan.

Derivaatan arvo jossakin kohdassa a\, merkitään vastaavasti f'(a)\,, Df(a)\,,  \left(\frac{df}{dx}\right)_{x=a} tai \dot f(a)\,.

### Moninkertaiset derivaatat
Kun funktion f\,:n derivaattafunktio on myös derivoituva, voidaan funktiota f\, kutsutaan *kahdesti derivoituvaksi*. Kahdesti derivoitu funktio eli *[[toisen kertaluvun derivaatta|toinen derivaatta]]* määritetään
:f*(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}</math> 
ja merkitään <math>f*\,, D^2 f(x)\,  tai   \frac{d^2 f}{dx^2}. Derivaattafunktioiden derivaattoja tarvitaan monissa sovelluksissa. Silloin voidaan yleistää, että jos f\,:n (n-1)\,:s derivaattafunktio on derivoituva, niin funktio on *<math>n\,</math> kertaa derivoituva*, ja sen *<math>n\,</math>:ttä derivaattaa* merkitään f^{(n)}\,, D^n f(x)\,   tai   \frac{d^n f}{dx^n}\,.

Jos funktion (n\,:s) derivaatta on olemassa ja jatkuva, niin funktion sanotaan olevan (n\, kertaa) jatkuvasti derivoituva. Mikäli funktion n\,:s derivaattafunktio on olemassa ja jatkuva, sanotaan, että funktio on C^n\,-funktio. Jos funktio on äärettömän monta kertaa derivoituva ja sen jokainen derivaattafunktio on jatkuva, niin funktion sanotaan olevan C^{\infty}\,-funktio.

### Eräiden alkeisfunktioiden derivointia
Seuraavassa luettelossa on eräiden alkeisfunktioiden derivaattojen muistikaavoja. Siinä ei oteta kantaa funktion ja derivaatan määrittelyjoukkoihin.

### Potenssin derivaatta
Siinä tapauksessa, että eksponentti *n* on positiivinen kokonaisluku tai nolla, potenssin *x**n* derivaattafunktio voidaan määrittää derivaatan määritelmän mukaan
:D f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\,,
jolloin potenssifunktiolle saadaan
:D x^n = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h}\,.

Koska
:(x+h)^n=a_0x^n + a_1 hx^{n-1} + a_2 h^2x^{n-2} + a_3 h^3x^{n-3} + ... + a_{n-1}h^{n-1}x + h^n\,,

missä a_i vastaa kunkin termin binomikerrointa (erityisesti a_0 = 1\, ja a_1 = n\,), voidaan erotusosamäärä kirjoittaa
:D x^n = \lim_{h \to 0} \frac{(\cancel{x^n} + nhx^{n-1} + a_2 h^2x^{n-2} + a_3 h^3x^{n-3} + ... + a_{n-1}h^{n-1}x + h^n) - \cancel{x^n}}{h}\,
:= \lim_{h \to 0} (nx^{n-1} + a_2 hx^{n-2} + a_3 h^2x^{n-3} + ... + a_{n-1}h^{n-2}x + h^{n-1})\,
:::= nx^{n-1} + 0 + 0 + ... + 0 + 0\,
:::= nx^{n-1}\,. 
Tämän todistuksen ja summaussäännön perusteella voidaan helposti todistaa polynomifunktion \sum_{k=0}^n a_kx^k derivaatta.

Edellä sääntö Dx^a = ax^{a-1} on todistettu siinä tapauksessa, että eksponentti *a* on positiivinen kokonaisluku. Voidaan kuitenkin osoittaa, että sama tulos pätee, olipa *a* mikä reaaliluku tahansa.

Ensinnäkin jos eksponentti *k* = *-n* on negatiivinen kokonaisluku, on määritelmän mukaan
:x^k = x^{-n} = \frac{1}{x^n}.

Osamäärän derivoimissääntö yksinkertaistuu tässä tapauksessa muotoon

:D x^k = Dx^{-n} = -n x^{-n-1} = kx^{k-1}

Näin voidaan todeta, että sääntö Dx^k = kx^{k-1} pätee myös eksponentin negatiivisilla kokonaislukuarvoilla.

Eksponentti- ja logaritmifunktioiden derivaattojen lausekkeista
:De^x= e^x ja d ln{x} = \frac{1}{x}
sekä yhdistetyn funktion derivoimissäännöstä seuraa edelleen, että olipa *a* mikä reaaliluku tahansa, on aina
:Dx^a = De^{a \ln{x}} = e^{a \ln{x}} \cdot D(a \ln{x}) = x^a \cdot a \cdot \frac{1}{x} = ax^{a-1}.

### Yleisiä derivointisääntöjä
Mikäli funktio on alkeisfunktioiden yhdistelmä, kuten niiden summa, erotus, tulo, osamäärä tai yhdistelmä, voidaan niitä derivoida seuraavien sääntöjen puitteissa.

Vakiofunktion f(x)=c derivointi voidaan suorittaa määritelmän kautta seuraavasti:
: Dc = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{c-c}{h} = 0.

## Yhden kompleksimuuttujan funktiot
Jos merkitään kompleksilukujen muuttujia z = x + iy, ja tietyssä alueessa *G* (sisältää luvun z_0) määriteltyä kompleksifunktiota f(z)=u(x,y) + iv(x,y), pystytään joskus määrittämään funktion f(z) derivaatta.
### Holomorfinen funktio
Derivaatta on olemassa, mikäli f(z) toteuttaa Cauchyn–Riemannin yhtälöt  ja sen osittaisderivaatat ovat pisteen z_0 ympäristössä *G* jatkuvat. Tällaisia kompleksifunktioita kutsutaan holomorfisiksi funktioiksi. Silloin raja-arvo
:f'(z_0)=\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} 
voidaan määrittää yksikäsitteisesti.

### Derivaatan olemassaolon toteaminen
Esimerkiksi toisen asteen kompleksifunktio voidaan kirjoittaa auki
:f(z)= z^2 = (x+iy)^2 = x^2+xiy + iyx - y^2 = (x^2-y^2)+i(2xy) = u(x,y) + iv(x,y).
Derivaatan olemassaolo voidaan todeta muodostamalla funktion reaali- ja imaginaariosien osittaisderivaatat 
:u_x(x,y) = { \partial u(x,y) \over \partial x } ={ \partial (x^2-y^2) \over \partial x } =2x-0=2x,
:v_y(x,y) = { \partial v(x,y) \over \partial y } ={ \partial (2xy) \over \partial y } =2x \cdot 1=2x,
:u_y(x,y) = { \partial u(x,y) \over \partial y } ={ \partial (x^2-y^2) \over \partial y } =0-2y=-2y ja
:v_x(x,y) = { \partial v(x,y) \over \partial x } ={ \partial (2xy) \over \partial x } =2 \cdot 1 \cdot y=2y.
Koska saadut osittaisderivaatat ovat polynomeina jatkuvia ja ne toteuttavat Cauchyn–Riemannin yhtälöt
:u_x(x,y)=v_y(x,y)
ja
:u_y(x,y)=-v_x(x,y),
on funktio f(z)= z^2 derivoituva.

### Kompleksifunktioiden derivointikaavat
Kompleksisten alkeisfunktioiden derivointisäännöt ja yleiset derivointisäännöt säilyvät samanlaisina kuin reaalimuuttujaisilla alkeisfunktioilla.

## Usean muuttujan funktiot
Yhden muuttujan funktion derivointi voidaan yleistää vektoriarvoisen muuttujan vektoriarvoiseen funktion derivaattaan. Vektorilla voidaan esittää useamman muuttujan funktion määrittelyjoukkoa. Funktion kuvaus on tällöin f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}. Vektoreissa voidaan käyttää myös kompleksimuuttujia. Derivaatta määritellään tällaisilla funktioilla luonnollisella tavalla.
### Osittaisderivaatta
Reaaliarvoisille usean muuttujan funktiolle voidaan määritellä osittaisderivaatta, joka on tavallinen derivaatta yhden muuttujansa suhteen. Osittaisderivoitaessa yhtä muuttujaa, muita muuttujia kohdellaan kuin vakioita. Sitä käytetään, kun halutaan tietää yhden muuttujan muutoksen vaikutus funktion arvoihin.

### Suunnattu derivaatta
Reaaliarvoisille usean muuttujan funktiolle voidaan määritellä suunnattu derivaatta, joka on tavallinen derivaatta yhdessä pisteessä halutussa suunnassa. Kussakin määrittelyjoukon pisteessä voidaan funktiolle määrittää suunnattu derivaatta äärettömän moneen eri suuntaan. Erisuuntaiset derivaatat ovat arvoltaan usein erisuuruisia. Ne voidaan laskea kätevästi käyttäen gradienttia. Sunnatulla derivaatalle voidaan määrittää myös toispuoleinen derivaatta.

## Sovelluksia

Derivointi on hyödyllinen matemaattinen apuneuvo myös teknisissä tieteissä. Seuraavassa yksinkertainen esimerkki derivaatan käytöstä fysiikassa. Oletetaan, että halutaan selvittää vaikkapa putoamiskiihtyvyys g\, , kun mitataan putoavan pallon putoama matka s\,  ajan t\,  funktiona. Tiedetään, että matka voidaan ilmaista

:s = s_{0} + \frac{1}{2}g t^{2}, \, 

ja nopeus v\,  on matkan derivaatta ajan suhteen

:v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}\left(s_{0} + \frac{1}{2}g t^{2}\right) = \frac{1}{2}g\ 2 t = gt, 

mistä edelleen putoamiskiihtyvyys g\,  on nopeuden derivaatta ajan suhteen. Toisin sanoen siis matkan toinen derivaatta:

:\frac{d^{2}s}{d t} = \frac{d v}{d t} = \frac{d}{dt}\left(gt\right) =  g.\ 

Kun mitattu etäisyys derivoidaan ajan suhteen numeerisesti, saadaan putoamiskiihtyvyys. Ajan suhteen derivoitaessa saatetaan joskus myös käyttää derivaatan merkkinä pistettä derivoitavan suureen päällä \frac{dx}{dt} = \dot x ja \frac{d^{2}x}{dt} = \ddot x.

## Historia
Aluksi tutkittiin suureiden muuttumista kun muuttujien arvoa muutettiin. Suureen muutosnopeuden arvo riippui käytettävästä muuttujan arvon muutossuuruudesta ja se saatiin sitä paremmaksi, mitä pienempi oli muuttujan muutosväli. Käyttöön otettiin infinitesimaalin käsite. Se vastasi ”pienintä mahdollista muutosta” suureen arvossa. Derivaatta määritettiin siksi  funktion arvon muutosnopeudeksi, kun muuttuja muuttui vain infinitesimaalisen vähän. Infinitesimaalit on 1900-luvulta asti korvattu raja-arvon käsitteellä, jossa muutosnopeuden keskiarvo on annetulla välillä korvattu erotusosamäärällä. Kun annettua väliä pienennetään rajatta, saadaan derivaatan arvo erotusosamäärän raja-arvona. 1960-luvulta alkaen Abraham Robinson ja Jerome Keisler kuitenkin todistivat, että myös infinitesimaaleihin pohjaava differentiaalilaskenta voidaan määritellä tarkasti.

Derivaatan käsitteen esittivät ensimmäisenä Isaac Newton ja Gottfried Leibniz 1600-luvulla. Sanan derivaatta (*johdos*) otti käyttöön Joseph-Louis Lagrange 1700-luvun lopulla.

## Katso myös
*Osittaisderivaatta
*Integraalifunktio
*Jatkuva funktio
*Gradientti

## Lähteet
* 
* Hurri-Syrjänen, Ritva: Differentiaali- ja integraalilaskenta I, (luentomoniste), Helsingin yliopisto, 1999

### Viitteet

## Kirjallisuutta
* 

## Aiheesta muualla

*Matematiikan etäopiskeluympäristö, Derivaatta. Opetus.tv.
*”Newton, Leibniz, and Usain Bolt”. Khan Academy. 
*”Derivative”. MathWorld.