Itseisaika

**Itseisaika** (**ominaisaika**, engl. *proper time*, tunnus \tau) on suhteellisuusteorian keskeisiä käsitteitä, jolla voidaan ilmaista kahden aika-avaruuden tapahtuman välinen aika havaitsijasta riippumatta. Aikadilataatiosta seuraa, että toistensa suhteen liikkuvat havaitsijat määrittelevät toisilleen poikkeavan ajan kulun (koordinaatistoaika t) riippuen inertiaalikoordinaatistojen välisestä suhteellisesta nopeudesta. 

Ajatellaan havaitsijaa, joka liikkuu aika-avaruudessa maailmanviivaa pitkin. Havaitsijan maailmanviivalta valitaan kaksi tapahtumaa, joiden välinen aika mitataan havaitsijan mukana liikkuvalla kellolla. Tällä mukana liikkuvalla kellolla mitattu tapahtumien välinen aika on *itseisaika*. Määritelmästä seuraa, että itseisaika on havaitsijariippumaton Lorentz-invariantti skalaari. Itseisaika voidaan määritellä vain massallisille hiukkasille, joiden liikerataa kuvaa ajanluonteinen maailmanviiva. 

Koordinaatistot, jotka eivät kuvaa koko aika-avaruutta, voivat johtaa paradoksaalisiin tilanteisiin yleisessä suhteellisuusteoriassa. Tyypilliset mustan aukon ulkopuolista avaruutta kuvaavat koordinaatistot eivät kata mustan aukon sisällä olevaa aika-avaruuden osaa. Mustaan aukkoon putoava kappale kulkee äärellisen matkan, mutta matkaan kuluu jo näennäiseen singulariteettiin eli mustan aukon tapahtumahorisonttiin asti *ääretön koordinaatistoaika*, kun aika määritellään ulkopuolisessa vakiosäteeseen r0 kiinnitetyssä koordinaatistossa. Kappaleeseen kiinnitetyllä kellolla mitattuna matkaan kuluu kuitenkin *äärellinen* *itseisaika*.

## Matemaattinen muotoilu
Oletetaan, että inertiaalikoordinaatistossa K havaitsija havaitsee kellon, joka liikkuu jollain suhteellisella nopeudella \mathbf v maailmanviivaansa pitkin. Kullakin infinitesimaalilla aikavälillä kello on tasaisessa liiketilassa. Näin kelloon voidaan kiinnittää hetkellinen inertiaalikoordinaatisto K'.

Seuraavassa havaitsija on lepokoordinaatisto K ja liikkuva kello koordinaatisto K'.

Kun K mittaa omalla kellollaan infinitesimaalin ajan dt, on kello K' kulkenut (koordinaatistossa K määriteltynä) matkan \sqrt {dx^2 + dy^2 + dz^2} .

Koordinaatistossa K' kello on hetkellisesti levossa, jolloin dx' = dy' = dz' = 0. Aika-avaruuden intervalli ds^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 on Lorentz-invariantti skalaari eli sama kaikille havaitsijoille. Tästä seuraa, että 

ds^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = c^2dt'^2, josta saadaan

dt' = \sqrt {1-\frac {dx^2 + dy^2 + dz^2}{c^2dt^2}}.

Liikkuvan kellon nopeuden \mathbf v neliö on

v^2 = \frac {dx^2 + dy^2 + dz^2}{dt^2}.  

Koordinaatiston K' aika dt' voidaan lausua koordinaatiston K suureilla

dt' = \frac {ds}{c} = dt \sqrt {1-\frac {v^2}{c^2}}.

Koordinaatisto K mitattaa liikkuvan koordinaatiston K' kahden tapahtuman väliseksi ajaksi \Delta t = t_2 - t_1. Vastaava aika K':ssa on \Delta\tau' = t'_2 - t'_1. Koordinaatiston K suureilla tuo aika lasketaan integroimalla edellinen lauseke

\Delta\tau'= t'_2 - t'_1 = \int_{t_1}^{t_2} dt \sqrt {1-\frac {v^2}{c^2}}.

Liikkuvan kellon K' mittaamaa aikaa \Delta \tau' kutsutaan *itseisajaksi*, joka on aina pienempi kuin lepokoordinaatiston K kellolla mitattu itseisaika. Tämä ilmaistaan usein sanallisesti "liikkuva kello käy hitaammin kuin paikallaan oleva".

Itseisaika on kaikille havaitsijoille sama Lorentz-invariantti skalaari, koska sen määrittelyyn käytetään aika-avaruuden intervallia (c=1) 

d\tau = \sqrt {dt^2 -(dx^2 + dy^2 + dz^2)} = dt \sqrt {1-v^2}.

Lepokoordinaatistossa itseisaika on sama kuin koordinaatistoaika, koska kellon kulkema avaruudellinen matka  dx^2 + dy^2 + dz^2 = 0, jolloin d\tau = dt.

Itseisaika on analoginen euklidisessa geometriassa käyrän kaaripituudelle, joka saadaan integroimalla differentiaalia ds = \sqrt {dx^2 + dy^2 + dz^2}.  Minkowskin avaruudessa maailmanviivan pituus saadaan integroimalla differentiaalia d\tau. 

Olkoon E_1 ja E_2 kaksi aika-avaruuden tapahtumaa, jotka ovat K:n määrittelemällä parametrisoidulla maailmanviivalla X(\lambda) = (t(\lambda),x(\lambda),y(\lambda),z(\lambda))  siten, että X(\lambda_1) = E_1 ja X(\lambda_2) = E_2. Liikkuva kello K' seuraa tätä K:ssa määriteltyä maailmanviivaa. Itseisaika, jonka K' mittaa tapahtumien välille, lasketaan koordinaatistossa K integraalina

\begin{align}
\Delta \tau &= \int_{E_1}^{E_2}d\tau \\
&= \int_{\lambda_1}^{\lambda_2}\sqrt{dt^2-(dx^2+dy^2+dz^2)} \\ 
&= \int_{\lambda_1}^{\lambda_2}\sqrt{\left( \frac{dt}{d\lambda} \right) ^2 -\left( \left( \frac{dx}{d\lambda} \right) ^2 + \left( \frac{dy}{d\lambda} \right) ^2 + \left( \frac{dz}{d\lambda} \right) ^2 \right)} d\lambda \\ 
& = \int_{\lambda_1}^{\lambda_2} |X'(\lambda)| d\lambda.
\end{align} 

Maailmanviiva voidaan parametrisoida lepokoordinaatiston K itseisajalla \tau (sama kuin koordinaatistoaika t), jolloin maailmanviivan X(t) pituus on

\begin{align}
\Delta \tau  
&= \int_{t_1}^{t_2}\sqrt{1 -\left( \left( \frac{dx}{dt} \right) ^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right) ^2 + \left( \frac{dz}{dt} \right) ^2 \right)/c^2} dt \\ 
& = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{1-v(t)^2/c^2} dt \\
& = \int_{t_1}^{t_2} \frac{dt}{\gamma(t)},
\end{align} 

missä \gamma(t)  on Lorentz-kerroin ja v(t) liikkuvan kellon nopeus. Havaitsijan itseisajan maailmanviivan tangenttivektorin pituus on aina ||X'(\tau)|| = 1. Valonlaatuista maailmanviivaa seuraavien massattomien hiukkasten itseisaika ei ole määritelty. Tämä ilmaistaan joskus sanallisesti "valo ei koe aikaa".  

## Lähteet