Kuula (matematiikka)

**Kuulat** ovat topologiassa metrisen avaruuden osajoukkoja, jotka koostuvat niistä avaruuden pisteistä, jotka ovat metriikan määritelmään kuuluvan etäisyyden sisällä erikseen määritellystä avaruuden pisteestä. Toisin sanoen kuula on eräänlainen pallopinnan sisäänsä rajaama avaruus, erotuksena itse pallopinnasta.

Jos (X, d) on metrinen avaruus sekä \mathbf{a}\in X ja r>0, niin joukko

B\left(\mathbf{a}, r\right)=\left\{\mathbf{x}\in X: d\left(\mathbf{x},\mathbf{a}\right) 

on **avoin kuula**, jonka *keskipiste* on \mathbf{a} ja *[[Säde (geometria)|säde]]* r sekä

\bar{B}\left(\mathbf{a}, r\right)=\left\{\mathbf{x}\in X: d\left(\mathbf{x},\mathbf{a}\right)\leq r\right\} 

on **suljettu kuula**, jonka keskipiste on \mathbf{a} ja säde r. Lisäksi määritellään joukko

S\left(\mathbf{a}, r\right)=\left\{\mathbf{x}\in X: d\left(\mathbf{x},\mathbf{a}\right)=r\right\},

joka on *pallo* samoilla keskipisteellä ja säteellä. Joukkoa B\left(\mathbf{a}, r\right) sanotaan myös pisteen \mathbf{a} **kuulaympäristöksi**.

## Ominaisuuksia
Suljettu kuula muodostuu avoimesta kuulasta ja pallosta, joilla on sama keskipiste ja säde:

\bar{B}\left(\mathbf{a}, r\right)=B\left(\mathbf{a}, r\right)\cup S\left(\mathbf{a}, r\right)

Avoin kuula on vastaavasti suljettu kuula, josta erotetaan pallo:

B\left(\mathbf{a}, r\right)=\bar{B}\left(\mathbf{a}, r\right)\setminus S\left(\mathbf{a}, r\right)

Pallo on vastaavasti suljettu kuula, josta erotetaan avoin kuula:

S\left(\mathbf{a}, r\right)=\bar{B}\left(\mathbf{a}, r\right)\setminus B\left(\mathbf{a}, r\right)

Metriikan määritelmästä johtuen d\left(\mathbf{a}, \mathbf{a}\right)=0, joten kuulan keskipiste kuuluu aina sekä avoimeen että suljettuun kuulaan:

\mathbf{a}\in B\left(\mathbf{a}, r\right)\subset\bar{B}\left(\mathbf{a}, r\right)

## Osajoukon kuulat
Metrisen avaruuden (X, d) osajoukossa A\subset X avointa kuulaa merkitään B_A\left(\mathbf{a}, r\right):llä. Osajoukkoon voidaan kuitenkin määritellä vain sellaiset kuulat, jotka mahtuvat joukkoon A. Toisin sanoen \mathbf{x}\in B_A\left(\mathbf{a}, r\right), jos ja vain, jos \mathbf{x}\in A (ja d\left(\mathbf{x}, \mathbf{a}\right)). Näin ollen

B_A\left(\mathbf{a}, r\right)=A\cap B\left(\mathbf{a}, r\right).

Vastaava pätee myös suljetuille kuulille:

\bar B_A\left(\mathbf a, r\right)=A\cap \bar B\left(\mathbf a, r\right). 

## Esimerkkejä
### Avoin ja suljettu väli
Avaruudessa \mathbb{R}, varustettuna metriikalla d(x, y)=|x-y|, on avoin kuula B\left(a, r\right) avoin väli:

B\left(a, r\right)=\left\{x\in\mathbb{R}:|x-a|

Vastaavasti suljettu kuula \bar{B}\left(a, r\right) on suljettu väli:

\bar{B}\left(a, r\right)=\left\{x\in\mathbb{R}:|x-a|\leq r\right\}=[a-r, a+r]

Yksiulotteinen vastaava pallo koostuu puolestaan vain kahdesta reaaliluvusta:

S(a,r)=\left\{x\in\mathbb R:|x-a|=r\right\}=\left\{a-r, a+r\right\}

### Kiekko ja kuula
Varustetaan avaruus \mathbb{R}^n metriikalla d\left(\mathbf{x}, \mathbf{y}\right)=\sqrt{\sum_{i=1}^n\left(x_i-y_i\right)^2}. Jos n=2, niin avoin kuula B\left(\mathbf{a}, r\right) on reunaton kiekko:

B\left(\mathbf{a}, r\right)=\left\{(x_1, x_2)\in\mathbb{R}^2:(x_1-a_1)^2+(x_2-a_2)^2

Vastaavasti suljettu kuula \bar{B}\left(\mathbf{a}, r\right) on kiekko:

\bar{B}\left(\mathbf{a}, r\right)=\left\{(x_1, x_2)\in\mathbb{R}^2:(x_1-a_1)^2+(x_2-a_2)^2\leq r^2\right\}

Erityisesti origokeskinen yksikkökiekko, jonka reunakäyrä on yksikköympyrä, on suljettu kuula \bar{B}\left(0, 1\right). Jos n=3, niin suljettu kuula \bar{B}\left(\mathbf{a}, r\right) on se, mitä yleisessä mielessä tarkoitetaan kolmiulotteisella umpinaisella pallolla (esimerkiksi kuulantyönnössä käytettävä kuula):

\bar{B}\left(\mathbf{a}, r\right)=\left\{(x_1, x_2, x_3)\in\mathbb{R}^3:(x_1-a_1)^2+(x_2-a_2)^2+(x_3-a_3)^2\leq r^2\right\}

Vastaavalle avoimelle kuulalle on hankalampi keksiä todellista kolmiulotteisen maailman vastinetta, sillä siitä pitäisi olla  pois äärettömän ohut pintakerros. Origokeskinen pallo, jonka säde on 1 on puolestaan yksikköpallo S(0,1).

### {0,1}-metriikan kuula
Olkoon Xmielivaltainen joukko. Asetetaan sille metriikka

d\left(\mathbf{x}, \mathbf{y}\right)=\begin{cases}0,&\text{jos}~\mathbf{x}=\mathbf{y} \\ 1,&\text{jos}~\mathbf{x}\neq\mathbf{y} \end{cases}

Tällöin

B\left(\mathbf{a}, r\right)=\begin{cases}\{\mathbf{a}\}, &\text{jos}~r\leq1 \\ X,&\text{jos}~r>1 \end{cases}

## Lähteet