Stefanin–Boltzmannin laki

**Stefanin–Boltzmannin laki** on fysikaalinen laki, jonka mukaan mustan kappaleen säteilemä teho pinta-alaa kohti on suoraan verrannollinen lämpötilan neljänteen potenssiin:
:M = \sigma T^{4}\,.

Verrannollisuuskerrointa &sigma; kutsutaan *Stefanin&ndash;Boltzmannin vakioksi*. Sen arvo on
:
\sigma=\frac{2\pi^5 k^4}{15c^2h^3} = 5,670374419\times 10^{-8}\, \mathrm{W\, m^{-2}\,K^{-4}},

missä *k* on Boltzmannin vakio, *c* on valonnopeus, ja *h* on Planckin vakio. Täten musta kappale, jonka pinta-ala on 1&nbsp;cm², säteilee lämpötilassa 1&nbsp;000&nbsp;K suunnilleen teholla 5,7&nbsp;W.

Lain havaitsi kokeellisesti Jožef Stefan vuonna 1879. Teoreettisesti sen johti termodynamiikan pohjalta Ludwig Boltzmann vuonna 1884. 

Stefanin&ndash;Boltzmannin lain voi johtaa myös Planckin säteilylakia integroimalla.

## Stefanin–Boltzmannin lain johtaminen Planckin laista integroimalla

Integroidaan Planckin laki kaikkien taajuuksien yli, jotta saamme mustan kappaleen säteilyn kokonaisenergian
:u = \int_{0}^{\infty}u(\nu)d \nu 
= \frac{8 \pi h }{c^3} \int_{0}^{\infty} \frac{\nu^3}{e^{h \nu / {kT}} - 1}d \nu.

Sijoitetaan x = h \nu / kT, dx = \left( h / kT \right) d \nu
:u = \frac{8 \pi h }{c^3} \left( kT / h \right)^4 \int_{0}^{\infty} \frac{x^3}{e^x - 1}dx.

Yhtälön oikea puoli on standardi-integraali, jonka arvo on \int_{0}^{\infty} \frac{x^3}{e^x - 1}dx = \frac{\pi^4}{15}, jolloin

:u = \frac{8 \pi^5 k^4}{15c^3h^3}T^4
= aT^4, missä a = 7,566 \times 10^{-16} \mathrm{J m^{-3} K^{-4}}

Laskeaksemme säteillyn (kokonais)energian per sekunti per pinta-ala absoluuttisessa lämpötilassa T, voimme ajatella säteilyn fotoneja kaasuhiukkasina, joiden keskinopeus on c. Silloin fotonivuo on
:J = \frac{1}{4}N \bar{v}
= \frac{1}{4}Nc
, missä N on fotonien määrällinen tiheys. 

Koska musta kappale on täydellinen absorboija, on se myös täydellinen emittoija, jolloin säteilty energia per sekunti, eli teho, I on \frac{1}{4}Nch \bar{v} = \frac{1}{4}uc, koska u = Nh \bar{v}. Nyt saamme
:I = \frac{1}{4}uc
= \frac{ac}{4}T^4
= \sigma T^4
, 
josta määrittelemme Stefanin–Boltzmannin vakioksi \sigma = \frac{ac}{4} = 5,67 \times 10^{-8} \  \mathrm{K^{-4} \ W \ m^{-2}}.

## Esimerkki

Stefanin–Boltzmannin lain avulla voidaan laskea arviot Aurinkokunnan planeettojen pintalämpötiloille. Seuraavan taulukon lämpötilat on laskettu Aurinkoa kunkin planeetan keskietäisyydellä kiertäville täysin mustille palloille. Pallo vastaanottaa tällöin Auringon säteilyä poikkileikkauksensa suuruisella ympyrän pinta-alalla ja säteilee mustan kappaleen säteilyä neljä kertaa suuremmalla pallon pinta-alalla. Asettamalla vastaanotetun säteilyn määrä yhtä suureksi kuin ympäristöön säteilty energiamäärä, voidaan tasapainotilanteen lämpötila laskea.

Vertailun vuoksi taulukko sisältää myös Pluton, vaikka sitä ei nykyisin enää luetakaan planeettoihin kuuluvaksi.

Taulukon perusteella näyttäisi Venuksessa vaikuttavan erittäin voimakas kasvihuoneilmiö. Marsissa näyttäisi toimivan vastakkainen ilmiö. Tämä johtunee Marsin pinnan erilaisesta albedosta eli heijastuvuudesta Auringon pintalämpötilaa ja planeetan omaa pintalämpötilaa vastaavilla aallonpituuksilla. Muilla planeetoilla laskennalliset ja havaitut lämpötilat näyttäisivät hyvin vastaavan toisiaan.

## Lähteet