Käänteisen etäisyyden menetelmä

**Käänteisen etäisyyden menetelmät** () ovat yksinkertaisia monimuuttujaisia interpolaatiomenetelmiä, joilla lasketaan näytteiden arvojen avulla annetussa pisteessä x\in\mathbb{R}^n sijaitsevan suureen f(x) arvo. Näytteet sijaitsevat yksi- tai monidimensioisissa pisteissä x_i\in\mathbb{R}^n, n\ge 1, joiden etäisyydet d_i=||x_i-x|| kohdasta x voidaan määrittää. Etäisyys voi olla joko euklidinen etäisyys tai jokin muu etäisyysfunktion arvo, joka noudattaa metriikan perusteita. Kunkin arvioitavan kohdan arvo saadaan laskemalla kullekin näytteelle painokertoimet p_i, joiden avulla muodostetaan näytteiden arvoista f_i painotettu aritmeettinen keskiarvo
:f(x)=p_1f_1+p_2f_2+\dots+p_nf_n.

Tätä muotoa kutsutaan englanninkielisessä kirjallisuudessa usein Shepardin menetelmäksi. Se on eräs vanhimmista spatiaalisista interpolointimenetelmistä.

## Painokertoiminen määritys
### Etäisyyden laskeminen
Näytteen x_i ja arvioitavan kohteen x välinen etäisyys
:d_i=||x_i-x||
lasketaan normaalisti niin, että metriikkana on euklidinen etäisyys. Kun interpolointi suoritetaan yksiulotteisena (x-akselia pitkin), saadaan etäisyydeksi x-koordinaattien erotuksen itseisarvo eli välimatka
:d_i=|x_i-x|.
Kun interpolointi suoritetaan tasolla eli kaksiulotteisena, käytetään pisteiden koordinaateille (x_{xi},x_{yi}) ja (x_{x},x_{y}) Pythagoraan lauseen tulosta
:d_i=\sqrt{(x_{xi}-x_{x})^2+(x_{yi}-x_{y})^2}.
Kolmiulotteisessa tapauksessa voidaan pisteet merkitä (x_{xi},x_{yi},x_{zi}) ja (x_{x},x_{y},x_{x}) ja etäisyys laskea vastaavasti
:d_i=\sqrt{(x_{xi}-x_{x})^2+(x_{yi}-x_{y})^2+(x_{zi}-x_{z})^2}.

### Käänteisen etäisyyden potenssit
Koska käytännössä ei yleensä merkitä etäisyyden käänteislukuja suoraan painokertoimiksi p_i, merkitään niitä vielä q_i. Usein etäisyyden käänteisluvut korotetaan potenssiin r
:q_i=\frac{1}{{d_i}^r}, 
mikä korostaa lähellä olevien näytteiden painoarvoa kaukana olevien kustannuksella. Mitä lyhyempi on näytteistä mitattujen arvojen riippuvuus toisistaan, sen korkeampi on valittu potenssi.

### Painokertoimien normitus
Painokertoimille asetetaan yleensä ehto, että niiden summa tulee olla yksi
:p_1+p_2+\dots+p_n=1.
Näin halutaan varmistaa, että interpolointi tuottaa arvoja, joilla on sama odotusarvo \mu kuin näytteiden keskiarvo on eli
:E[f(x)]=E[p_1f_1+p_2f_2+\dots+p_nf_n]=p_1E[f_1]+p_2E[f_2]+\dots+p_nE[f_n]
::::=p_1\mu+p_2\mu+\dots+p_n\mu=\mu(p_1+p_2+\dots+p_n)=\mu.

Kukin käänteisen etäisyyden potenssi tulee siksi jakaa näiden kaikkien summalla
:\frac{1}{{d_1}^r}+\frac{1}{{d_2}^r}+\dots+\frac{1}{{d_n}^r}=\sum_{i=0}^n \frac{1}{{d_i}^r},
jolloin painokertoimiksi saadaan lausekkeet
:p_i=\frac{\frac{1}{\sum_{i=0}^n \frac{1}, 
joiden summa on yksi.

### Interpolointi näytteessä
Menetelmä ei toimi, jos yritetään laskea kohteen painokertoimia näytteen kanssa samassa pisteessä. Etäisyys näytteen f_i ja kohteen f(x) välillä on silloin nolla eikä nollalle ole määritelty käänteislukua. Algoritmiin lisätään siksi ehto, että kun kohteen etäisyys näytteestä f_i on nolla (tai hyvin lähellä nollaa), kirjataan näytteen painoksi p_i=1 ja muille näytteille painoiksi p_j=0, j\ne i. Näin menetelmä antaa näytteen i kohdalla suoraan näytteen f_i arvon ja menetelmästä tulee interpolointimenetelmä.

## Interpolaation ominaisuuksia

Koska menetelmässä huomioidaan vain näytteiden etäisyydet kohteestaan eikä näytteiden keskinäisiä etäisyyksiä, voi menetelmä painottaa suurestikin esimerkiksi kolmea läheistä näytettä. Näiden (todennäköisesti) lähes yhtäsuuret arvot saavat silloin kolminkertaisen painoarvon. Ongelma kierretään yleensä korvaamalla mainitut kolme näytettä yhdellä uudella näytteellä, jolle lasketaan arvoksi kolmen näytteen keskiarvo.

Kun käänteisen etäisyyden potenssin eksponentti kasvaa, kasvaa lähimmän näytteen painokerroin muiden näytteiden painokertoimien kustannuksella. Kunkin näytteen lähelle syntyy silloin leveä alue, jossa interpolaation antama tulos on lähes sama kuin näytteelläkin. Tämän ilmiön välttämiseksi eksponentin arvo tulee pitää matalana. Eksponentti r=2 tuottaa tyydyttävät interpoloinnit.

Menetelmä on eksakti interpolointimenetelmä, sillä näytteen kohdalla se antaa aina arvoksi näytteen arvon. Näytteiden väleissä interpolaatiokäyrä taipuu kohti näytteiden keskiarvoa (viereinen kuva). Menetelmästä ei ole suurtakaan iloa, jos näytteiden välit ovat liian suuret, sillä samaan tulokseen pääsee keskiarvoa laskemalla.

## Lähteet