Gamma-matriisit

Matemaattisessa fysiikassa, **gamma-matriisit**, {&gamma;0, &gamma;1, &gamma;2, &gamma;3}, eli **Diracin matriisit** muodostavat matriisiarvoisen esityksen joukolle ortogonaalisia kantavektoreita aika-avaruuden kontravariantteja vektoreita varten. Cliffordin algebra saadaan näistä.  

Näistä muodostetaan myös spinorit, jotka esittävät rotaatioita ja Lorentz-puskuja.

Diracin kannassa neljä kontravarianttia gamma-matriisia on
: \gamma^0 = 
\begin{pmatrix} 
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},
\gamma^1 \!=\! \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} 

:\gamma^2 \!=\! \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & i & 0 \\
0 & i & 0 & 0 \\
-i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
\gamma^3 \!=\! \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

## Matemaattinen rakenne
Gamma-matriisit määrittelevä ominaisuus on Cliffordin algebra eli antikommutaatiorelaatio
::\displaystyle\{ \gamma^\mu, \gamma^\nu \} = \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = 2 \eta^{\mu \nu} I 
missä \eta^{\mu \nu} \, on Minkowskin metriikka jossa on käytetty merkkisopimusta (+ &minus; &minus; &minus;) ja \ I \, on yksikkömatriisi.

Tätä määrittelevää ominaisuutta pidetään enemmän fundamentaalina kuin numeerisia gamma-matriiseja, joten metriikan eri merkkisopimukset (+ &minus; &minus; &minus;), (&minus; + + +) muuttavat gamma-matriisien määritelmää.

Kovariantit gamma-matriisit määritellään
:\displaystyle \gamma_\mu = \eta_{\mu \nu} \gamma^\nu = \left\{\gamma^0, -\gamma^1, -\gamma^2, -\gamma^3 \right\},
jossa on käytetty Einsteinin summaussääntöä.

Määritelmä ei määrää yksikäsitteisesti gamma-matriiseja.

## Historiaa
Paul Dirac löysi gammamatriisit koettaessaan löytää kvanttimekaanista liikeyhtälöä, joka kuvaa spin-1/2 hiukkasia. Klein ja Gordon olivat yrittäneet tätä jo 1926, jolloin he tekivät Schrödingerin tapaan operaattorisijoituksen  \mathbf p = -i \hbar \nabla  ja E = i \hbar \partial_t  dispersiorelaatioon

 E^2 = p^2 c^2+m^2 c^4 

Tuloksena ollut Kleinin-Gordonin yhtälö ei antanut positiividefiniittiä todennäköisyystiheyttä ja ennusti väärät energiatasot vetyatomille. Ongelma perustuu toisen kertaluvun derivaattoihin. Ottamalla ensin dispersiorelaatiosta neliöjuuri ja vasta sen jälkeen sijoittamalla saadaan neliöjuuren alla oleva operaattori, minkä käsittely aiheuttaa vaikeuksia.

Dirac linearisoi operaattorineliöjuuren olettamalla, että

 E = \mathbf \alpha \cdot \mathbf p c  + \beta m c^2 

missä  \ \alpha \  on kolmekomponenttinen vektori. Korottamalla yrite toiseen tulisi saada dispersiorelaatio ja samalla ehtoja tekijöille \ \alpha_i \  ja \ \beta \ . Ehdot ovat

:: \alpha_i^2 = \beta^2 = 1 
:: \alpha_i \alpha_j +\alpha_j \alpha_i = 0
:: \alpha_i \beta +\beta \alpha_i =0 

missä *i* ≠ *j*. Näitä ehtoja eivät täytä yhtäaikaa mitkään kompleksiluvut. Dirac huomasi, että tietyt matriisit toteuttavat annetut ehdot. Pienimmät annetut ehdot toteuttavat matriisit ovat 4x4-matriiseja. Nykymerkinnöin   \gamma^0 = \beta   ja   \gamma^k = \gamma^0 \alpha^k , missä  k = 1,2,3 .

## Diracin yhtälö
Luonnollisessa yksikköjärjestelmässä Diracin yhtälö voidaan ilmaista muodossa
: (i \gamma^\mu \partial_\mu - m) \psi = 0
missä \psi on nelikomponenttinen Dirac-spinori. Jos \gamma^\mu olisi nelivektori, se osoittaisi johonkin aika-avaruuden suuntaan ja Diracin yhtälö ei olisi Lorentz-invariantti.

Feynmanin sivallusmerkintä määritellään

  a\!\!\!/ := \gamma^\mu a_\mu. 

Diracin yhtälö on tämän avulla ilmaistuna

: (i \partial\!\!\!/ - m) \psi = 0. 
Käyttämällä operaattoria  -(i \partial\!\!\!/ + m)  molemmin puolin, saadaan
: (\partial\!\!\!/^2 + m^2) \psi = (\partial^2 + m^2) \psi = 0, 
eli Kleinin-Gordonin yhtälö. Kuten merkinnästä voi päätellä, Diracin yhtälöä noudattavan hiukkasen massa on *m*.

## Viides gamma-matriisi
On hyödyllistä muodostaa viides gamma-matriisi neljän gamma-matriisin tulona seuraavalla tavalla:
: \gamma^5 := i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}  (Diracin kannassa)
Vaikka \gamma^5 käyttää gamma-kirjainta, sitä ei pidetä määritelmän mukaisena gamma-matriisina. Yläindeksi 5 on jäänne ajasta, jolloin \gamma^0 oli \gamma^4. 

\gamma^5 voidaan ilmaista vaihtoehtoisesti myös seuraavassa muodossa:
: \gamma^5 = \frac{i}{4!} \varepsilon_{\mu \nu \alpha \beta} \gamma^{\mu} \gamma^{\nu} \gamma^{\alpha} \gamma^{\beta} 

Tässä  \varepsilon_{\mu \nu \alpha \beta}  on neliulotteinen yleistys Levi-Civita-symbolille. Viides gamma-matriisi on hyödyllinen käsiteltäessä hiukkasten kätisyyttä eli kiraalisuutta hiukkasfysiikassa. Esimerkiksi Diracin kentän voi projisoida vasen- (L) ja oikeakätisiksi (R) seuraavasti:
:\psi_L= \frac{1-\gamma^5}{2}\psi, \qquad\psi_R= \frac{1+\gamma^5}{2}\psi .

Matriisilla on seuraavat ominaisuudet:
*Hermiittisyys:
::(\gamma^5)^\dagger = \gamma^5. \,
*Ominaisarvot ovat ±1, sillä:
::(\gamma^5)^2 = I_4. \,
*Antikommutointi gamma-matriisien kanssa:
::\left\{ \gamma^5,\gamma^\mu \right\} =\gamma^5 \gamma^\mu + \gamma^\mu \gamma^5 = 0. \,

## Matemaattisia identiteettejä
Seuraavat gamma-matriiseja koskevat laskusäännöt seuraavat suoraan matriisit määrittelevästä antikommutaatiorelaatiosta, joten ne pätevät missä tahansa kannassa.

### Sekalaisia laskusääntöjä
:

### Jälkien laskusääntöjä

:

Ylläolevien laskusääntöjen todistaminen vaatii kolmen lineaarialgebrasta tutun laskusäännön käyttämistä:
*tr(*A + B*) = tr(*A*) + tr(*B*) 
*tr(*rA*) = *r* tr(*A*) 
*tr(*ABC*) = tr(*CAB*) = tr(*BCA*)

missä *A*, *B* ja *C* ovat matriiseja ja *r* on skalaari.

### Feynmanin sivallusmerkintä
Kvanttikenttäteoriassa usein esiintyvä gamma-matriisin ja nelikomponenttisen vektorin yhdistelmä lyhennetään jättämällä gamma-matriisi merkitsemättä ja piirtämällä kenoviiva vektorin päälle:
: a\!\!\!/ := \gamma^\mu a_\mu. 

Sivallusmerkintään liittyviä laskusääntöjä:
::a\!\!\!/b\!\!\!/ = a \cdot b - 2i a_\mu S^{\mu\nu} b_\nu 
::a\!\!\!/a\!\!\!/ =a^{\mu}a^{\nu}\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}=\frac{1}{2}a^{\mu}a^{\nu}(\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}+\gamma_{\nu}\gamma_{\mu})=\eta_{\mu\nu}a^{\mu}a^{\nu}= a^2
::\operatorname{tr}(a\!\!\!/b\!\!\!/) = 4 (a \cdot b)
::\operatorname{tr}(a\!\!\!/b\!\!\!/c\!\!\!/d\!\!\!/) = 4 \left[(a\cdot b)(c \cdot d) - (a \cdot c)(b \cdot d) + (a \cdot d)(b \cdot c) \right]
::\operatorname{tr}(\gamma_5 a\!\!\!/b\!\!\!/c\!\!\!/d\!\!\!/) = 4 i \epsilon_{\mu \nu \rho \sigma} a^\mu b^\nu c^\rho d^\sigma
::\gamma_\mu a\!\!\!/ \gamma^\mu = -2 a\!\!\!/ 
::\gamma_\mu a\!\!\!/ b\!\!\!/ \gamma^\mu = 4 a \cdot b \,
::\gamma_\mu a\!\!\!/ b\!\!\!/ c\!\!\!/ \gamma^\mu = -2 c\!\!\!/ b\!\!\!/ a\!\!\!/ \,
:missä
::\epsilon_{\mu \nu \rho \sigma} \, on neliulotteinen Levi-Civita-symboli ja S^{\mu\nu} = \frac{i}{4} [\gamma^\mu, \gamma^\nu].

## Muut kannat
Gamma-matriisit kirjoitetaan joskus blokkidiagonaalimuodossa käyttäen 2x2-yksikkömatriisia, I_2, ja määrittelemällä
: \gamma^k = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^k \\ -\sigma^k & 0 \end{pmatrix} 
missä *k* on kokonaisluku yhden ja kolmen väliltä ja σk ovat Paulin matriiseja.

### Diracin kanta
Tässä artikkelissa gamma-matriisit on kirjoitettu Diracin kannassa:

:\gamma^0 = \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & -I_2 \end{pmatrix},\quad \gamma^k = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^k \\ -\sigma^k & 0 \end{pmatrix},\quad \gamma^5 = \begin{pmatrix} 0 & I_2 \\ I_2 & 0 \end{pmatrix}.

### Weylin kanta
Toinen yleisessä käytössä oleva kanta on Weylin kanta, missä \gamma^k pysyvät samoina, mutta \gamma^0 on erilainen, jolloin \gamma^5 on myös erilainen:

:\gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & I_2 \\ I_2 & 0 \end{pmatrix},\quad \gamma^k = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^k \\ -\sigma^k & 0 \end{pmatrix},\quad \gamma^5 = \begin{pmatrix} -I_2 & 0 \\ 0 & I_2 \end{pmatrix}.

Weylin kanta on hyödyllinen, koska hiukkasfysiikassa kiraaliset kentät saavat siinä yksinkertaisen muodon:

:\psi_L=\frac12(1-\gamma^5)\psi=\begin{pmatrix} I_2 & 0 \\0 & 0 \end{pmatrix}\psi,\quad \psi_R=\frac12(1+\gamma^5)\psi=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\0 & I_2 \end{pmatrix}\psi.

Erityisesti voidaan päätellä

:\psi=\begin{pmatrix} \psi_L \\\psi_R \end{pmatrix},

missä \psi_L ja \psi_R ovat vasen- (L) ja oikeakätiset (R) kaksikomponenttiset Weylin spinorit.

Toinen mahdollinen määritelmä Weylin kannalle on

:\gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & -I_2 \\ -I_2 & 0 \end{pmatrix},\quad \gamma^k = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^k \\ -\sigma^k & 0 \end{pmatrix},\quad \gamma^5 = \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & -I_2 \end{pmatrix}.

Tällöin kiraaliset kentät saavat hiukan eri muodon:

:\psi_R=\begin{pmatrix} I_2 & 0 \\0 & 0 \end{pmatrix}\psi,\quad \psi_L=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\0 & I_2 \end{pmatrix}\psi.

Toisin sanoen:

:\psi=\begin{pmatrix} \psi_R \\\psi_L \end{pmatrix},

missä \psi_L ja \psi_R ovat vasen- ja oikeakätiset kaksikomponenttiset Weylin spinorit, kuten edellä.

### Majoranan kanta
On olemassa myös Majoranan kanta, missä kaikki Diracin matriisit ovat imaginaarisia mutta spinorit ja Diracin yhtälö ovat reaalisia. Paulin matriisien avulla sen voi ilmaista seuraavasti:

:\gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^2 \\ \sigma^2 & 0 \end{pmatrix}, \quad \gamma^1 = \begin{pmatrix} i\sigma^3 & 0 \\ 0 & i\sigma^3 \end{pmatrix}

:\gamma^2 = \begin{pmatrix} 0 & -\sigma^2 \\ \sigma^2 & 0 \end{pmatrix}, \quad \gamma^3 = \begin{pmatrix} -i\sigma^1 & 0 \\ 0 & -i\sigma^1 \end{pmatrix}, \quad \gamma^5 = \begin{pmatrix} \sigma^2 & 0 \\ 0 & -\sigma^2 \end{pmatrix}.

## Lähteet