Ulkomitta

**Ulkomitta** on mittateoriassa esiintyvä funktio, jonka avulla halutaan luoda mittoja. 

## Määritelmä
Olkoon X joukko. Kuvaus \mu^*: \mathcal{P}(X) \rightarrow [0,\infty] on **ulkomitta** jos ja vain jos se toteuttaa seuraavat kolme ehtoa:
# Tyhjälle joukolle pätee \mu^* (\emptyset) = 0 
# Jos A \subset B \subset X, niin \mu^*(A) \leq \mu^*(B) 
# Jos A_i \subset X kaikilla i \in \N, niin \mu^* \left( \bigcup_{i = 1}^\infty A_i \right) \leq \sum_{i = 1}^\infty \mu^* (A_i). 

Ehtoa (2) kutsutaan yleensä *monotonisuudeksi* tai *kasvavuudeksi* ja ehtoa (3) *subadditiivisuudeksi*. 

## Joukon mitallisuus
Jos \mu^*\, on ulkomitta X:ssä, niin joukkoa A \subset X kutsutaan \mu^*\,*-mitalliseksi* jos ja vain jos kaikilla E \subset X pätee {\mu}^*(E) = {\mu}^*(E \cap A) + {\mu}^*(E \cap \complement A).
Tätä ehtoa kutsutaan kirjallisuudessa usein *Carathéodoryn ehdoksi*.

Mitallisuus säilyy komplementoinnissa ja numeroituvissa yhdisteissä. Lisäksi tyhjä joukko on riippumatta ulkomitasta aina mitallinen. Näin ollen itse asiassa mielivaltaisen ulkomitan suhteen mitalliset joukot muodostavat sigma-algebran. Tälle perheelle käytetään joissain lähteissä merkintää \mathcal{M}_{{\mu}^*}(X) = \lbrace A \subset X \mid A \mbox{ on } {\mu}^*\mbox{-mitallinen} \rbrace ,  missä *X* ilmaisee perusjoukon ja \mu^*\, joukossa annetun ulkomitan.

## Ulkomitan ominaisuuksia
Jos B_1 \subset B_2 \subset ... ovat \mu^*\,-mitallisia joukkoja, niin \mu^* \left( \bigcup_{i = 1}^\infty B_i \right) = \lim_{n \rightarrow \infty} \mu^* (B_n).

Jos C_1 \supset C_2 \supset ... ovat \mu^*\,-mitallisia joukkoja ja \mu^* (C_1) , niin \mu^* \left( \bigcap_{i = 1}^\infty C_i \right) = \lim_{n \rightarrow \infty} \mu^* (C_n).

Jos joukot A_i, i \in \N, ovat \mu^*\,-mitallisia ja erillisiä, niin \mu^* \left( \bigcup_{i \in \N} A_i \right) = \sum_{i \in \N} \mu^* (A_i).

Viimeisimmästä ominaisuudesta seuraa

## Carathéodoryn lause
**Carathéodoryn lause** lause sanoo, että jos \mu^* : \mathcal{P}(X) \rightarrow [0,\infty ] on ulkomitta, niin sen rajoittuma \mu^*\,-mitallisiin joukkoihin eli funktio \mu^* | \mathcal{M}_{\mu^*}(X) on mitta X:ssä.

## Erityisiä ulkomittoja
* Ulkomittaa sanotaan *täydelliseksi* jos ja vain jos jokaisen nollamittaisen joukon osajoukko on mitallinen tämän ulkomitan suhteen. Voidaan osoittaa, että jokainen ulkomitta voidaan täydellistää täydelliseksi ulkomitaksi.

* Ulkomitta \mu^*\, on *säännöllinen* jos ja vain jos jokaisella A \subset X on olemassa \mu^*\,-mitallinen joukko B s.e. A \subset B ja \mu^* (A) = \mu^* (B)\,. Jos vielä \mu^* (X) , niin voidaan osoittaa, että säännöllisellä ulkomitalla edellä mainittu mitallisuuskriteeri suppenee muotoon: joukko A \subset X on \mu^*\,-mitallinen jos ja vain jos \mu^* (A) + \mu^* (\complement A) = \mu^* (X).

* Jos (X,d)\, on metrinen avaruus, niin joukon X ulkomittaa \mu^*\, sanotaan *metriseksi* jos ja vain jos ehdosta d(A,B) > 0\, seuraa ominaisuus \mu^* (A \cup B) = \mu^* (A) + \mu^* (B) kaikilla A,B \subset X\,. Metriset mitat karakterisoivat Borel-ulkomitat. Voidaan osoittaa, että ulkomitta on metrinen jos ja vain jos se on Borel.

Tärkeimpiä esimerkkejä säännöllisistä metrisistä ulkomitoista ovat mm. Hausdorffin mitan ja Lebesguen mitan konstruktioissa esiintyvät ulkomitat.

## Funktion mitallisuus
Jos \mu^*\, on ulkomitta joukossa X ja A \subset X\,, niin funktio f: A \rightarrow \mathbb{R} \cup \{ -\infty \} \cup \{ +\infty \} on *<math>\mu^*\,</math>-mitallinen* jos ja vain jos avointen joukkojen alkukuvat kuvauksessa *f* ovat \mu^*\,-mitallisia. Toisin sanoen joukot f^{-1} (G)\,, f^{-1} (\{ -\infty \} )\, ja f^{-1} (\{ +\infty \} )\, ovat \mu^*\,-mitallisia kaikilla avoimilla joukoilla G \subset \mathbb{R}. 

Funktion mitallisuus voidaan myös karakterisoida seuraavasti: funktio f on \mu^*\,-mitallinen jos ja vain jos joukko \lbrace x \in A : f(x) > c \rbrace on \mu^*\,-mitallinen kaikilla c \in \mathbb{R}.

## Katso myös
* Borel-joukko
* Carathéodoryn konstruktio
* Hausdorffin mitta
* Lebesguen mitta

## Lähteet