Pinta-alavektori

**Pinta-alavektori** tai **suunnattu pinta-ala** on rajoitetulle tasopinnalle määriteltävä vektorisuure, jonka suunta on pintaa vastaan kohtisuorassa ja jonka suuruus on pinnan pinta-ala. Jos tasopinnan pinta-ala on A ja sillä on yksikkönormaali (pintaa vastaan kohtisuora yksikkövektori) \mathbf{\hat{n}}, niin sen pinta-alavektori on

\mathbf{S}=A\,\mathbf{\hat{n}}.

## Suunnistuvan pinnan pinta-alavektori

### Suunnistuvan pinnan yksikkönormaalit
Pinta-alavektori voidaan määritellä myös muille kuin tasomaisille pinnoille. Jos pinta \mathcal{S}\subset\mathbb R^3 on sileä, sille voidaan määrittää jokaisessa pisteessä kaksi yksikkönormaalia, \mathbf{\hat{n}}_1 ja \mathbf{\hat{n}}_2, jotka ovat toistensa vastavektorit (\mathbf{\hat{n}}_1=-\mathbf{\hat{n}}_2). Pinta on **[[Suunnistuva pinta|suunnistettu]]**, kun yksikkönormaaliksi valitaan toinen näistä vektorikentistä \mathbf{\hat{n}}_1:\mathcal{S}\to\mathbb R^3 tai \mathbf{\hat{n}}_2:\mathcal{S}\to\mathbb R^3. Tällöin pinnalle kiinnittyy myös positiivinen kiertosuunta: jos pinnan reunakäyrää pitkin kulkemalla pinta on koko ajan vasemmalla puolella, on kyseinen puoli pinnan positiivinen puoli.

Jos U\subset\mathbb R^2on avoin joukko ja pinnalla \mathcal{S} on parametriesitys \mathcal{S}=\mathbf{r}(U) jokaisessa pisteessä \mathbf{x}=\mathbf{r}(\mathbf{u})\in\mathcal{S}, niin pinnan yksikkönormaalit ovat

\mathbf{\hat{n}}_{1, 2}(\mathbf x)=\pm\frac{\frac{\partial\mathbf{r}(\mathbf{u})}{\partial x_1}\times\frac{\partial\mathbf{r}(\mathbf{u})}{\partial x_2}}{\left\Vert\frac{\partial\mathbf{r}(\mathbf{u})}{\partial x_1}\times\frac{\partial\mathbf{r}(\mathbf{u})}{\partial x_2}\right\Vert}.

Mikäli pinta \mathcal{S} voidaan esittää funktion f:U\to\mathbb R,~f(x, y)=z kuvaajan avulla, ovat yksikkönormaalit

\mathbf{\hat{n}}_{1, 2}(x, y)=\pm\frac{-\mathbf{i}\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)-\mathbf{j}\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)+\mathbf{k}}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)\right)^2}}.

Etumerkki + vastaa suunnistetun pinnan positiivisen puolen yksikkönormaalia.

Myös paloittain sileät rajoitetut pinnat voidaan suunnistaa edellä esitettyjen yksikkönormaalien avulla. Tällöin pinnan \mathcal{S} pitää olla muotoa

\mathcal{S}=\left(\bigcup_{k=1}^m\mathcal{S}_k\right)\cup\mathcal{S}_0,

missä joukot \mathcal{S}_k ovat keskenään pistevieraita ja \mathcal{S}_0 sisältyy äärellisen monen sileän Jordanin käyrän yhdisteeseen. Pinta \mathcal{S} on tällöin suunnistuva, jos jokaisen osan \mathcal{S}_1, \dots, \mathcal{S}_m reuna on paloittain sileä umpinainen Jordanin käyrä. Tällöin pinta \mathcal{S} on suunnistettu, jos osat \mathcal{S}_1, \dots, \mathcal{S}_m suunnistetaan siten, että kahden eri osan positiiviset kiertosuunnat ovat vastakkaiset niiden yhteisellä reunakäyrällä.

Möbiuksen nauha on hyvä esimerkki pinnasta, joka ei ole suunnistuva, koska sillä on vain yksi puoli.

### Pintaelementtivektori

Jos U\subset\mathbb R^2 on avoin joukko ja \mathcal{S}\subset\mathbb R^3 on suunnistuva pinta, joka voidaan esittää parametrien u ja v avulla \mathbf{r}:U\to\mathbb R^3,~\mathbf{r}(u, v), niin pinnalle \mathcal{S} voidaan määritellä jokaisessa sen pisteessä differentiaalinen **pintaelementtivektori**

\mathrm{d}\mathbf{S}=\mathbf{\hat{n}}\,\mathrm{d}S=\pm\left(\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}\right)\,\mathrm du\,\mathrm dv,

missä  \mathbf{\hat{n}}=\mathbf{\hat{n}}_1 tai \mathbf{\hat{n}}=\mathbf{\hat{n}}_2 riippuen pinnan suunnistuksessa tehdystä valinnasta. \mathrm dS=\left|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}\right|\,\mathrm du\,\mathrm dv on pinnan differentiaalinen pinta-ala-alkio.

Mikäli pinta \mathcal{S} voidaan esittää implisiittisesti funktion G(x, y, z)=0 kuvaajana, voidaan pintaelementtivektori kirjoittaa

\mathrm{d}\mathbf{S}=\pm\frac{\nabla G(x, y, z)}{G_3(x, y, z)}\,\mathrm dx\,\mathrm dy,

missä G_3 on vektorin \nabla G z-komponentti. Ts. G_3(x, y, z)=\nabla G(x, y, z)\cdot\mathbf{k}. Etumerkki \pm valitaan siten, että pinnan \mathcal{S} suunnistus on haluttu. Esimerkiksi jos G_3>0 ja pinnan positiivisen puolen halutaan olevan positiivisen z-akselin suuntaan, valitaan etumerkki +.

Mikäli pinta \mathcal{S} voidaan esittää funktion f:U\to\mathbb R,~f(x, y)=z kuvaajana, voidaan pintaelementtivektori kirjoittaa

\mathrm{d}\mathbf{S}=\pm\left(-\mathbf{i}\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)-\mathbf{j}\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)+\mathbf{k}\right)\,\mathrm dx\,\mathrm dy,

missä etumerkki \pm valitaan kuten edellä.

## Esimerkkejä

### Suorakulmion muotoisen tasopinnan pinta-alavektori
Suorakulmio makaa xy-tasossa siten, että sitä rajoittavat suorat  x=0, x=a, y=0 ja y=b (a, b>0). Suorakulmio on taso, jota kuvaa funktio f:[0, a]\times[0, b]\to\mathbb R,~f(x, y)=0. Näin ollen sen yksikkönormaalit ovat

\mathbf{\hat{n}}_{1, 2}(x, y)=\pm\frac{-\mathbf{i}\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)-\mathbf{j}\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)+\mathbf{k}}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}(x, y)\right)^2}}=\pm\mathbf{k}.

Jos valitaan pinnan positiiviseksi puoleksi positiivisen z-akselin puoli, on suunnistetun pinnan yksikkönormaali \mathbf{\hat{n}}=\mathbf{k}. Pinta-alavektori on tällöin

\mathbf{S}=A\,\mathbf{\hat{n}}=ab\,\mathbf{k}.

### Pinta-alavektori [[Ristitulo|ristitulon]] avulla

Tarkastellaan \mathbb R^3:n vektoreita \mathbf{a} ja \mathbf{b}. Mikäli nämä vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia (eli ei-yhdensuuntaisia), ne virittävät suunnikkaan, jonka sivujen pituudet ovat \|\mathbf{a}\| ja \|\mathbf{b}\|. Vektorien välillä on mitattavissa kulma \theta\in\,]0, \pi[. Suunnikkas on pinta, jolla on parametriesitys \mathbf{r}(u, v)=u\mathbf{a}+v\mathbf{b}, missä 0\leq u\leq1 ja 0\leq v\leq1. Suunnikkaan yksikkönormaalit ovat tällöin

\mathbf{\hat{n}}_{1, 2}(u, v)=\pm\frac{\frac{\partial\mathbf{r}(u, v)}{\partial u}\times\frac{\partial\mathbf{r}(u, v)}{\partial v}}{\left\Vert\frac{\partial\mathbf{r}(u, v)}{\partial u}\times\frac{\partial\mathbf{r}(u, v)}{\partial v}\right\Vert}=\pm\frac{\mathbf{a}\times\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|}.

Vektorien \mathbf a ja \mathbf b virittämän suunnikkaan pinta-ala on

A=\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\sin\theta.

Positiivisen puolen valinnasta riippuen suunnikkaan pinta-alavektori on tällöin

\mathbf{S}=A\,\mathbf{\hat{n}}=\pm\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\sin\theta\,\frac{\mathbf{a}\times\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|}.

Toisaalta ristitulon määritelmän mukaan \|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|=\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\sin\theta, joten

\mathbf{S}=\pm\mathbf{a}\times\mathbf{b}.

Suunnistus määrää lopulta yksikkönormaalin suunnan, mutta valitsemalla ristitulovektorin suunta positiiviseksi puoleksi saadaan

\mathbf{S}=\mathbf{a}\times\mathbf{b}.

### Pallopinnan pintaelementtivektori
R-säteisen, origokeskisen pallon pintaa kuvaa karteesisissa koordinaateissa yhtälö x^2+y^2+z^2=R^2. Muodostetaan pallopinta \mathcal{S} siten, että se koostuu kahdesta puolikkaasta, avoimesta puolipallon pinnasta \mathcal{S}_1 (yläpuoli, jossa z>0) ja \mathcal{S}_2(alapuoli, jossa z) sekä näitä yhdistävästä R-säteisestä ympyrärenkaasta \mathcal{S}_0. Tällöin \mathcal{S}=\mathcal{S}_1\cup\mathcal{S}_2\cup\mathcal{S}_0 ja se on paloittain sileänä pintana suunnistuva. Kiinnitetään pinnan positiivinen puoli pallon ulkopuolelle.

Geometrian kannalta on hyödyllistä parametrisoida pinta käyttäen pallokoordinaattikuvausta

\begin{cases}
x=R\cos\phi\cos\theta \\ y=R\sin\phi\cos\theta \\ z=R\sin\theta,
\end{cases}

missä \phi\in\left]0, 2\pi\right[ ja \theta\in\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[.

Pinnan \mathcal{S} parametriesitys on

\mathbf{r}(\phi, \theta)=R\cos\phi\cos\theta\,\mathbf{i}+R\sin\phi\cos\theta\,\mathbf{j}+R\sin\theta\,\mathbf{k}.

Pintaelementtivektori on tällöin

\begin{align}
\mathrm{d}\mathbf{S}&=\pm\left(\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\phi}\times\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta}\right)\,\mathrm d\phi\,\mathrm d\theta \\
&=\pm\left((-R\sin\phi\cos\theta\,\mathbf{i}+R\cos\phi\cos\theta\,\mathbf{j})\times(-R\cos\phi\sin\theta\,\mathbf{i}-R\sin\phi\sin\theta\,\mathbf{j}+R\cos\theta\,\mathbf{k})\right)\,\mathrm d\phi\,\mathrm d\theta \\
&=\pm\left(R^2\cos\phi\cos^2\theta\,\mathbf{i}+R^2\sin\phi\cos^2\theta\,\mathbf{j}+R^2\sin\theta\cos\theta\,\mathbf{k}\right)\,\mathrm d\phi\,\mathrm d\theta \\
&=\pm\left(\cos\phi\cos\theta\,\mathbf{i}+\sin\phi\cos\theta\,\mathbf{j}+\sin\theta\,\mathbf{k}\right)R^2\cos\theta\,\mathrm d\phi\,\mathrm d\theta
\end{align}

Koska \Vert\cos\phi\cos\theta\,\mathbf{i}+\sin\phi\cos\theta\,\mathbf{j}+\sin\theta\,\mathbf{k}\Vert=1, niin vektori \cos\phi\cos\theta\,\mathbf{i}+\sin\phi\cos\theta\,\mathbf{j}+\sin\theta\,\mathbf{k} kelpaa yksikkönormaaliksi. Valitsemalla positiivinen etumerkki saadaan pinnan ulkopuolelle osoittava yksikkönormaali. Merkitään \cos\phi\cos\theta\,\mathbf{i}+\sin\phi\cos\theta\,\mathbf{j}+\sin\theta\,\mathbf{k}=\mathbf \hat e. Siis pallopinnan \mathcal{S} pintaelementtivektori jokaisessa pinnan pisteessä on

\begin{align}
\mathrm{d}\mathbf{S}&=(\cos\phi\cos\theta\,\mathbf{i}+\sin\phi\cos\theta\,\mathbf{j}+\sin\theta\,\mathbf{k})R^2\cos\theta\,\mathrm d\phi\,\mathrm d\theta \\
&=R^2\cos\theta\,\mathrm d\phi\,\mathrm d\theta\,\mathbf\hat e.
\end{align}

## Katso myös

* Pinta (geometria)
* Pinta-ala
* Pintaintegraali
* Suunnattu derivaatta

## Lähteet