Hammett-yhtälö

Kemiassa **Hammett-yhtälö** kuvaa areenien reaktionopeutta suhteessa bentsoehappoon. Näissä areeneissa on bentseenirenkaassa reaktioon osallistuva kemiallinen ryhmä Y, jonka suhteen on reaktioon suoraan osallistumaton X-substituentti (atomi tai atomiryhmä) *para*- tai *meta*-asemassa. Yhtälö ei päde *orto*-substituutiolle.

Yhtälö on

\log_{10}\frac{k}{k_0}=\rho\sigma
***k** on Y-ryhmän suhteen X-ryhmällä *para*- tai *meta*-substituoidun areenin reaktionopeusvakio
***k<sub>0</sub>** on bentsoehapon vesiliuoksessa tapahtuvan protolyysin 25&nbsp;°C reaktionopeusvakio
***[[ρ]]** (rho) on reaktiovakio, joka riippuu vain Y-ryhmän reaktiosta ja reaktio-olosuhteista (muttei σ-arvosta)
***[[σ]]** (sigma) on substituenttivakio, joka riippuu vain X-substituentista (muttei ρ-arvosta)
Toinen yhtäläinen esitystapa on

\log_{10}\frac{K}{K_0}=\rho\sigma
***K** on Y-ryhmän suhteen X-ryhmällä *para*- tai *meta*-substituoidun areenin tasapainovakio
***K<sub>0</sub>** on bentsoehapon 25&nbsp;°C vesiliuoksen happovakio

Hammett-yhtälö kuuluu muiden vastaavanlaisten yhtälöiden joukkoon, jotka kuvaavat lähes suoraa eli lineaarista vapaaenergian riippuvuussuhdetta (eng. *linear free-energy relationship*, LFER) näiden yhtälöiden tekijöistä. Yhtälöiden yleisnimitys on siksi *LFER-yhtälöt*. Hammett-yhtälön osoittama yhteys ei kuitenkaan ole koskaan aivan täydellinen, eikä yhtälö päde aivan kaikissa tapauksissa edes likimain. Yhtälön keksiminen oli silti hyvin merkittävä löydös ja se oli ensimmäisimpiä LFER-yhtälöitä – 1924 keksitty Brønstedin katalyysiyhtälö oli ensimmäinen.

Hammett-yhtälön avulla voidaan muun muassa ennustaa reaktioiden tasapainovakioita, ennustaa areenireaktioiden energetiikkaa ja mitata epäsuorasti sen, että onko reaktion siirtymätilassa positiivisia vai negatiivisia varauksia.

## Teoria
Hammett-yhtälö on nimetty sen 1937 keksineen Louis Plack Hammettin mukaan, joka havaitsi jo 1935 *p/m*-areenien happovakioiden ja reaktionopeusvakioiden välillä olevan lineaarinen yhteys. Hän vertaili muun muassa substituoitujen bentsoehappojen ja etikkahappojen etyyliesterien emäksellä tehtyjen hydrolyysien log<sub>10</sub> k -arvoja suhteessa happojen esteröimättömien muotojen pKa-arvoihin. Hammett asetti mittausarvonsa kuvaajaan log10 k -arvot pKa-arvojen funktiona. Tällöin hän havaitsi lähes suoran yhteyden *p/m*-substituoitujen bentsoehappojen pKa ja log10 k arvojen välillä. Hammett poisti kuvaajasta substituoitujen etikkahappojen ja o-substituoitujen bentsoehappojen arvot, jotka eivät ilmentäneet samanlaista lineaarista yhteyttä.

Pelkkien pKa-arvojen käytön sijaan Hammett kehitti substituenttivakion σ (), joka on pKa-arvojen välinen ero:

\sigma_X=pK_a(H)-pK_a(X)=\log_{10}\frac{K_a(X)}{K_a(H)}
*σX on X-substituoidun bentsoehapon substituenttivakio
*Ka(X) on X-ryhmällä *p/m*-substituoidun bentsoehapon 25&nbsp;°C happovakio
*Ka(H) on bentsoehapon 25&nbsp;°C happovakio
Hammett havaitsi pKa-arvojen ja reaktionopeusvakioiden k välillä olevan lähes suora yhteys, joka on muotoa

\sigma_X=\log_{10}\frac{k_X}{k_H}
*kX on *p/m*-substituoidun bentsoehapon 25&nbsp;°C reaktiovakio
*kH on bentsoehapon 25&nbsp;°C reaktiovakio
Hammett havaitsi samanlaisia suoria yhteyksiä myös muiden areenien kuin vain *p/m*-substituoitujen bentsoehappojen välillä. Areeneissa COOH on korvautunut Y:llä, johon voi kohdistua erilaisia reaktioita kuin COOH-ryhmään. Jotta reaktioita voidaan vertailla bentsoehapon arvoihin, Hammett keksi kertoimena toimivan reaktiovakion ρ (). Edeltävän yhtälön yleispätevämpi muoto on siis

\log_{10}\frac{k}{k_0}=\rho\sigma
### Hammett-kuvaajat
ρ arvoista voidaan tehdä reaktiolle kuvaaja, jossa y-akseli on log10 k ja x-akseli log10 K. Kuvaajan käyrä on muotoa

\log_{10}k=\rho \log_{10}K+C
*ρ log10 K on suoran kulmakerroin
*C on vakio, jolla suora saadaan kuvaajassa oikeaan kohtaan

Reaktioita saatetaan vertailla kuvaajissa myös sijoittamalla y-akselille log10 (k/k0) ja x-akselille σ. Suora sijoitetaan kuvaajaan ilman vakion C käyttöä, jolloin kaikki suorat (mikäli niitä on useita) leikkaavat origossa.

Joissain tapauksissa kokeellisesti mitattu käyrä on V:n muotoinen, jolloin sen mallintamiseen käytetään kahta eri ρ-arvoa kuvaajan eri kohdissa.

### Lineaarisuuden syy
Jos X:n ja reaktiivisuuden välillä on lähes suora yhteys, johtuu tämä konjugoituneen rakenteen sallimasta elektronien siirtymisestä (delokalisaatiosta) reaktion siirtymätilassa. X voi bentseenirenkaan kautta tapahtuvan konjugaation kautta vetää elektroneja pois reagoivasta Y:stä tai luovuttaa sille omia elektronejaan. X:n elektronien veto- tai luovutuskykyä kuvaa elektronegatiivisuus (ja elektropositiivisuus). 

Mitä suurempi siirtymätilassa muodostuva negatiivinen osittaisvaraus on, sitä enemmän siirtymätilan saavuttaminen vaatii aktivaatioenergiaa. Mitä suurempi aktivaatioenergia, sitä hitaampi reaktio (reaktionopeusvakio k pienenee). Taas mitä elektronegatiivisempi *p/m*-substituentti X on, sitä nopeampi reaktio on, sillä elektronegatiiviset substituentit vetävät elektroneja pois negatiivisesta siirtymätilasta aktivaatioenergiaa alentaen. Elektropositiivinen X-substituentti taas hidastaa tällaista reaktiota vaikuttamalla täysin päinvastoin, mutta nopeuttaa reaktiota mikäli siirtymätilan varaus on positiivinen.

### Epälineaarisuuden syy
*Orto*-substituentit eivät noudata lineaarista reaktiivisuutta koska ne ovat liian lähellä reagoivaa Y:tä. Tällöin ne pääsevät vaikuttamaan reaktionopeuteen muillakin tavoin kuin konjugaation kautta, jolloin vain konjugaatiosta riippuva Hammett-yhtälö ei enää päde. Vaikutukset ovat steerisiä ja/tai polaarisia. Esimerkiksi o-nitrobentsoehapon NO2-ryhmän positiivinen typpi pääsee todennäköisesti vuorovaikuttamaan puoleensavetävästi karboksylaatin (COO-) negatiivisen hapen kanssa. Tämä alentaa H+ luovuttaneen o-nitrobentsoehapon potentiaalienergiaa enemmän suhteessa sen *p/m*-rakenneisomeereihin. Tämä lisää o-isomeerin happamuutta eli kasvattaa pKa- ja log10 k -arvoja. Taas o-nitrobentsoaatin etyyliesterin emäshydrolyysissä vesiliuoksessa muodostuu tetraedrinen siirtymätila hydroksyylin (OH) liittyessä esterin karbonyylin (C=O) hiileen. Tällöin viereinen nitroryhmä muodostaa steerisen esteen eli pKa ja log10 k pienenevät. 

Alifaattiset eli ei-aromaattiset yhdisteet eivät noudata Hammett-yhtälön kaltaista lineaarisuutta. Alifaatit eivät välttämättä ole konjugoituneita, eivätkä ne siten välitä X-ryhmiensä elektronivaikutuksia Y:lle. Alifaattiset yhdisteet voivat myös muodostaa konformaatioita. Nämä voivat olla taipuisia siten eri tavoin häiritä Y:n reaktioita.

### Poikkeava lineaarisuus
Jos X on konjugoitunut suoraan Y:n kanssa ja lisäksi mahdolliset resonanssimuodot laajenevat X- ja Y-ryhmien useisiin sisäisiin muotoihin, ei pelkkä bentseenin resonanssi enää vaikuta Y:n reaktiivisuuteen. Reaktiivisuus kasvaa tällöin enemmän kuin Hammett-yhtälö ennustaa koska "ylimääräinen" resonanssi alentaa aktivaationenergiaa. Tähän poikkeukseen on tehty Hammett-yhtälöstä johdettu Yukawa-Tsuno -yhtälö, joka ottaa ylimääräiset resonanssimuodot huomioon. Muita eri poikkeustapauksiin päteviä tai alkuperäistä Hammett-yhtälöä muuten tarkentavia yhtälöitä ovat muun muassa Swain-Lupton -yhtälö, Taft-yhtälö, Grunwald-Winstein -yhtälö. 

## Substituenttivakio σ
*Positiivinen σ kertoo X:n olevan elektroneja puoleensa vetävä eli elektronegatiivinen.
*Negatiivinen σ kertoo X:n olevan elektroneja luovuttava eli elektropositiivinen.
*Jos σ ≈ 0, ei X:llä ole merkittävää vaikutusta tarkasteltuun reaktioon. σ = 0 bentsoehapolle (X on H).
σ voidaan merkitä σm:ksi jos X on *meta* ja σp:ksi, jos X on *para*.

## Reaktiovakio ρ
ρ riippuu muun muassa reaktiosta, reaktion lämpötilasta ja reaktion liuottimesta. Ihannetilanteessa ρ on täysin riippumaton σ-arvosta.
*Positiivinen ρ kertoo elektronien virtaavan *poispäin* bentseenirenkaasta kohti Y-ryhmää reaktionopeuden määrittävässä vaiheessa ja siirtymätilaan kehittyvän *negatiivisen* osittaisvarauksen.
*Negatiivinen ρ kertoo elektronien virtaavan *kohti* bentseenirengasta poispäin Y-ryhmästä reaktionopeuden määrittävässä vaiheessa ja siirtymätilaan kehittyvän *positiivisen* osittaisvarauksen.

ρ = 1 bentsoehapolle (no. 1, taulukko alla). Jos ρ ≈ 0, substituentti ei vaikuta reaktioon. Tilanne on tämä jos
#reagoiva ryhmä on liian kaukana bentseenirenkaasta, jolloin konjugaatiota ei tapahdu. ρ pienenee tämän vuoksi esimerkiksi reaktioissa no. 3 ja 4 (taulukko alla) suhteessa reaktioon no. 1 COOH-ryhmän etääntyessä bentseenienkaasta. No. 3 ja 4 reaktioissa COOH-ryhmän ja X-substituentin välistä konjugaatiota ei ole ja elektronidelokalisaatio vähenee.
#siirtymätilassa ei tapahdu sähkövarausten muutoksia. Tilanne on likimain tämä esimerkiksi jos reagoiva Y-ryhmä on dieeni, joka reagoi Diels–Alder-reaktiossa dienofiilin kanssa – DA-reaktio on perisyklinen reaktio eli yksivaiheinen reaktio, jossa elektronien siirtyminen tapahtuu yhtäaikaisesti, eikä elektronien voida havaita siirtyvän merkittäviä sähkövarauksia kehittäen johonkin tiettyyn suuntaan nuolimekanismein. DA-reaktion ρ ei ole tasan 0, mutta voi olla arvoltaan pieni.
#reaktio on monivaiheinen ja sen vaiheiden erimerkkiset ρ-arvot sulkevat toisensa lähes kokonaan pois.

## Lähteet