Hammerin projektio

**Hammerin projektio** tai **Hammerin&ndash;Aitoffin projektio** on Ernst Hammerin vuonna 1892 kehittämä oikeapintainen karttaprojektio. Siinä maapallo kuvautuu ellipsin muotoiselle alueelle, jonka korkeuden ja pituuden suhde on 2:1 samoin kuin Mollweiden projektiossa, mutta Hammerin tarkoituksena oli pienentää Mollweiden projektiolle ominaista alueiden muotojen suurta vääristymistä kartan reunoilla.

## Projektion määritelmä

Hammerin projektion suoranaisena esikuvana oli Aitoffin projektio. Hammer muotoili projektionsa muuntamalla sellaista  Lambertin oikeapintaista tasoprojektiota, jossa sivuamispiste on päiväntasaajalla, vastaavalla tavalla kuin Aitoffin projektio oli muunnettu oikeakeskipituisesta tasoprojektiosta.

Hammerin projektiossa ajatellaan ensin kaikkien pisteiden pituusasteet jaetuiksi kahdella, sitten kuvataan näin saatu tulos tasolle Lambertin oikeapintaisen tasoprojektion mukaisesti ja lopuksi venytetään saatu ympyränmuotoinen kartta vaakasuunnassa ellipsiksi suhteessa 2:1.  Tällöin maan pinnan piste, jonka pituusaste on *λ* ja leveysaste *φ*, kuvautuu kartalla pisteeseen:

:x = \mathrm{laea}_x\left(\frac\lambda 2, \varphi\right)

:y = \frac 1 2\mathrm{laea}_y\left(\frac\lambda 2, \varphi\right)

missä laea*x* ja laea*y* ovat vastaavan pisteen koordinaatit päiväntasaajakeskeisessä Lambertin oikeapintaisessa tasoprojektiossa.  Suoraan leveys- ja pituusasteiden avulla ne voidaan ilmaista seuraavilla kaavoilla:

:x = \frac{2 \sqrt 2 \cos(\varphi)\sin\left(\lambda \right)}{\sqrt{1 + \cos(\varphi)\cos\left(\frac\lambda 2\right)}}

:y = \frac{\sqrt 2\sin(\varphi)}{\sqrt{1 + \cos(\varphi) \cos\left(\frac\lambda 2\right)}}.

Projektion käänteiskuvaus voidaan muodostaa apumuuttujan 

:z \equiv \sqrt{1 - \left(\frac1 4 x\right)^2 - \left(\frac1 2 y\right)^2}

avulla. Kartan pistettä (*x*, *y*) vastaavat leveys- ja pituusasteet ovat näin ollen:
:
\begin{align}
\lambda &= 2 \arctan \left[\frac{zx}{2(2z^2 - 1)}\right] \\
\varphi &= \arcsin(zy)
\end{align}


Aitoffin ja Hammerin projektiot näyttävät varsin samanlaisilta. Oikeapintaisuutensa vuoksi Hammerin projektio on näistä useammin käytetty. Myös Mollweiden projektio on melko samannäköinen oikeapintainen karttaprojektio, mutta siinä leveyspiirit ovat suoria viivoja, kun taas Hammerin projektiossa ne ovat kaarevia.

## Käyttö

Paitsi maantieteellisissä kartoissa, käytetään Hammerin projektiota usein myös tähtikartoissa taivaanpallon esittämiseen.

## Muunnelmia
### Briesemeisterin projektio
William A. Briesemeister esitti vuonna 1953 Hammerin projektiosta muunnellun muodon. Siinä keskipituuspiiriksi on valittu 10°E, koordinaatistoa on kierretty niin, että 45. pohjoinen leveyspiiri kulkee kartan keskipisteen kanssa, ja tuloksena saatua karttaa litistetään vaakasuorassa ja venytetään pystysuorassa suunnassa siten, että kartan korkeuden ja pituuden suhde on 1,75:1 sen sijaan että se Hammerin projektiossa on 2:1. Tarkoituksena on saada mantereet kartassa keskemmälle muodoltaan vähemmän vääristyneinä.

### Nordic-projektio
John Bartholomew laati Hammerin projektiosta oman muunnelmansa, jota hän nimitti Nordic-projektioksi. Siinä ensin kierretään koordinaatistoa siten, että 45. pohjoinen leveyspiiri kulkee keskipisteen kautta, mutta keskipituuspiirinä on nollameridiaani. Tähän asentoon sijoitettu karttapallo kuvataan sitten tasolle Hammerin projektion mukaisesti.

## Lähteet

## Aiheesta muualla

* 
*