Solmumenetelmä

**Solmumenetelmä** on eräs sähköisten virtapiirien ja verkkojen ratkaisuun liittyvä systemaattinen menetelmä. Tavoitteena on laskea verkon solmupisteiden jännitteet, kun verkon lähdesuureet ja komponentit tunnetaan.

## Verkon rakenne ja komponentit

Verkko koostuu solmupisteistä ja niitä yhdistävistä haaroista. Solmuksi sanotaan jokaista verkon pistettä, jossa kaksi tai useampia komponentteja kytkeytyy yhteen. Varsinaisiksi solmupisteiksi laskentaa varten kannattaa ottaa vain ne solmut, joissa yhdistyy kolme tai useampia haaroja. Jos jossain verkon haarassa on useita komponentteja sarjassa ne voidaan yhdistää yhdeksi komponentiksi. Tällöin jokainen haara sisältää vain yhden komponentin.

Verkko voi koostua tavanomaisista passiivisista sähköisistä komponenteista kuten vastuksista, keloista ja kondensaattoreista sekä aktiivisista virta- ja jännitelähteistä. Solmumenetelmää voidaan käyttää sekä tasa- että vaihtosähköverkoissa. Verkko voi sisältää myös ohjattuja virta- ja jännitelähteitä.

Solmumenetelmässä passiiviset komponentit esitetään tavallisesti admittansseina tai konduktansseina ja aktiiviset komponentit virtalähteinä. Verkon sisältämät jännitelähteet muunnetaan virtalähteiksi. Verkko voi sisältää myös muuntajia tai yleensäkin keskinäisinduktansseja. Tällöin kuitenkin saattaa olla luontevampaa käyttää silmukkamenetelmää.

## Verkon yhtälöiden kirjoittaminen

Solmumenetelmässä ratkaistaan verkon solmupisteiden jännitteet johonkin valittuun kantasolmuun nähden. Kantasolmun potentiaali voidaan valita vapaasti ja tavallisesti se asetetaan nollaksi, joten se oletetaan ikäänkuin maadoitetuksi. Kantasolmun valinta voidaan tehdä vapaasti. Piiristä riippuen voi kuitenkin olla edullista valita joku määrätty solmu kantasolmuksi. Esimerkiksi verkon piste, joka jo on maadoitettu.

Kun kantasolmu on valittu ja muut solmut numeroitu, niin muodostetaan jokaiselle solmulle (paitsi kantasolmulle) Kirchhoffin virtalakiin perustuva yhtälö:

\Sigma I_i = 0

Toisin sanoen solmuun tulevien virtojen summa on nolla. Käytännössä solmun yhtälön toiselle puolelle kirjoitetaan solmuun tulevien tunnettujen lähdevirtojen summa ja toiselle puolelle solmusta lähtevien haarojen toistaiseksi tuntemattomat virrat.

\Sigma J_{a_i}=\Sigma I_{a,j}

Haarojen virrat lasketaan solmujen tuntemattomien jännitteiden avulla ohmin lain mukaan. Esimerkiksi virta solmusta a solmuun 1 lasketaan:

I_{a,1}=Y_{a,1}(U_a-U_1)

Tässä Y_{a,1} on solmuja a ja 1 yhdistävän haaran admittanssi, U_a on solmun a jännite, U_1 on solmun 1 jännite ja I_{a,1} on haaran virta solmusta a solmuun 1. Kun lasketaan kaikki solmuun a tulevat lähdevirrat ja siitä poistuvat haarojen virrat saadaan solmun a yhtälöksi:

\Sigma J_{a_i} = (U_a-U_1)Y_{a,1}+(U_a-U_2)Y_{a,2}+...+(U_a-U_n)Y_{a,n}

Ryhmittelemällä oikea puoli uudestaan saadaan.

\Sigma J_{a_i} = (Y_{a,1}+Y_{a,2}+...+Y_{a,n})U_a-Y_{a,1}U_1-Y_{a,2}U_2-...-Y_{a,n}U_n 

Kun kaikille solmuille on kirjoitettu ylläolevan muotoiset yhtälöt, niin saadaan lineaarinen yhtälöryhmä. Siinä tuntemattomia ovat solmupisteiden jännitteet ja tunnettuja lähdevirrat ja komponenttien arvot. Yhtälöiden lukumäärä on sama kuin solmujen tuntemattomien jännitteiden lukumäärä. Näin ollen solmujen jännitteet on laskettavissa yhtälöryhmästä.

Kirjoitetaan vielä yhtälöt kaikille solmuille:

\Sigma J_{1_i}=(Y_{1,2}+Y_{1,3}+...+Y_{1,n})U_1-Y_{1,2}U_2-Y_{1,3}U_3-...-Y_{1,n}U_n

\Sigma J_{2_i}=-Y_{2,1}U_1+(Y_{2,1}+Y_{2,3}+...+Y_{2,n})U_2-Y_{2,3}U_3-...-Y_{2,n}U_n

\Sigma J_{3_i}=-Y_{3,1}U_1-Y_{3,2}U_2+(Y_{3,1}+Y_{3,2}+...+Y_{3,n})U_3-...-Y_{3,n}U_n

...

\Sigma J_{n_i}=-Y_{n,1}U_1-Y_{n,2}U_2-Y_{n,3}U_3-...+(Y_{n,1}+Y_{n,2}+Y_{n,3}+...+Y_{n,n-1})U_n

Yhtälöissä on huomattava, että useimmat admittanssit ovat nollia, koska solmuilla ei tavallisesti ole välitöntä yhteyttä kaikkiin muihin solmuihin. Ainoastaan naapurisolmuihin kytkeytyvät admittanssit huomioidaan.

## Verkon yhtälöt matriiseilla esitettynä

Edellä oleva yhtälöryhmä voidaan esittää myös matriisiyhtälönä.


\begin{bmatrix}
\Sigma J_{1_i}\\\Sigma J_{2_i}\\\Sigma J_{3_i}\\...\\\Sigma J_{n_i}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
Y_{1,2}+Y_{1,3}+...+Y_{1,n}&-Y_{1,2}&-Y_{1,3}&...&-Y_{1,n}\\
-Y_{2,1}&Y_{2,1}+Y_{2,3}+...+Y_{2,n}&-Y_{2,3}&...&-Y_{2,n}\\
-Y_{3,1}&-Y_{3,2}&Y_{3,1}+Y_{3,2}+...+Y_{3,n}&...&-Y_{3,n}\\
...&...&...&...&...\\
-Y_{n,1}&-Y_{n,2}&-Y_{n,3}&...&Y_{n,1}+Y_{n,2}+Y_{n,3}+...+Y_{n,n-1}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
U_1\\U_2\\U_3\\...\\U_n
\end{bmatrix}


Yhdistämällä admittanssimatriisin diagonaalilla olevat haarojen admittanssit yhtälö voidaan vielä kirjoittaa yleisemmässä muodossa.


\begin{bmatrix}
\Sigma J_{1_i}\\\Sigma J_{2_i}\\\Sigma J_{3_i}\\...\\\Sigma J_{n_i}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
Y_{11}&-Y_{12}&-Y_{13}&...&-Y_{1n}\\
-Y_{21}&Y_{22}&-Y_{23}&...&-Y_{2n}\\
-Y_{31}&-Y_{32}&Y_{33}&...&-Y_{3n}\\
...&...&...&...&...\\
-Y_{n1}&-Y_{n2}&-Y_{n3}&...&Y_{nn}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
U_1\\U_2\\U_3\\...\\U_n
\end{bmatrix}


Tässä admittanssimatriisin diagonaalilla oleva admittanssi Y_{ii} on solmuun i yhdistyvien haarojen admittanssien summa. Admittanssi Y_{ij} on solmujen i ja j välisen haaran admittanssi. Admittanssimatriisi onkin kirjoitettavissa suoraan sijoittamalla diagonaalille naapurisolmuihin yhdistyvien admittanssien summat ja muihin kohtiin niiden admittanssit negatiivisina. Tässä on huomioitava, että solmujen jännitteet on otettu kaikki solmuista kantasolmuun päin. Jos jännitteiden suuntia muutetaan, niin muuttuvat myös admittanssien etumerkit.

Matriisiyhtälö on kirjoitettavissa vielä muodollisesti seuraavasti.

\mathbf{J}=\mathbf{Y}\mathbf{U}

Siinä \mathbf{J} on solmuihin tulevien tunnettujen lähdevirtojen muodostama pystyvektori, \mathbf{Y} on verkon haarojen tunnetuista admittansseista muodostettu matriisi ja \mathbf{U} on solmujen tuntemattomista jännitteistä muodostettu pystyvektori.

## Keskinäisinduktanssin huomioon ottaminen

Mikäli vaihtovirtaverkossa haarojen välillä on keskinäisinduktanssia on se otettava erikseen huomioon. Oheisessa kuvassa on kaksi haaraa, joiden välillä on keskinäisinduktanssi M_{1,2}. Haarojen admittanssit ja vastaavat impedanssit on merkitty kuvaan.

Solmumenetelmässä haarojen virrat kirjoitetaan solmujen jännitteiden avulla. Keskinäisinduktanssien tapauksessa on helpompi kirjoittaa haarojen jännitteet niiden virtojen avulla. Matriiseilla esitettynä saadaan:


\begin{bmatrix}
U_1-U_2\\U_3-U_4
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
Z_1&M_{1,2}\\
M_{1,2}&Z_2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
I_{1,2}\\I_{3,4}
\end{bmatrix}


Kun tämä ratkaistaan virtojen suhteen saadaan:


\begin{bmatrix}
I_{1,2}\\I_{3,4}
\end{bmatrix}=
\frac{1}{Z_1Z_2-M_{1,2}^2}
\begin{bmatrix}
Z_2&-M_{1,2}\\
-M_{1,2}&Z_1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
U_1-U_2\\U_3-U_4
\end{bmatrix}


Solmusta 1 admittanssiin Y_1 menevä virta on siten kirjoitettavissa solmujännitteiden U_1 ... U_4 avulla.

I_{1,2}=\frac{Z_2}{Z_1Z_2-M_{1,2}^2}U_1-\frac{Z_2}{Z_1Z_2-M_{1,2}^2}U_2-\frac{M_{1,2}}{Z_1Z_2-M_{1,2}^2}U_3+\frac{M_{1,2}}{Z_1Z_2-M_{1,2}^2}U_4

Vastaavasti solmuun 4 menevä virta on:

I_{4,3}=-I_{3,4}=\frac{M_{1,2}}{Z_1Z_2-M_{1,2}^2}U_1-\frac{M_{1,2}}{Z_1Z_2-M_{1,2}^2}U_2-\frac{Z_1}{Z_1Z_2-M_{1,2}^2}U_3+\frac{Z_1}{Z_1Z_2-M_{1,2}^2}U_4

Mikäli keskinäisinduktanssia on esimerkiksi kolmen haaran välillä tulee jo melko hankalia kaavoja admittanssien tilalle. Tällaisessa tapauksessa silmukkamenetelmä saattaa olla helpompi tapa ratkaista virrat ja jännitteet.

## Ohjattujen lähteiden käsittely

Solmumenetelmässä ohjatut lähteet muunnetaan jänniteohjatuiksi virtalähteiksi. Jänniteohjatun virtalähteen käsittelystä on jäljempänä yksinkertainen esimerkki.

## Yhtälöiden ratkaiseminen

Solmujen jännitteet voidaan ratkaista jollain lineaarialgebran menetelmällä, esimerkiksi Gaussin algoritmillä.

Matriiseilla laskettaessa saadaan pienissä verkoissa potentiaalit riittävällä tarkuudella suoraan admittanssimatriisin käänteismatriisin avulla. Tämä voidaan laskea jollain matriisilaskentaan soveltuvalla tietokoneohjelmalla, kuten Octavella.

\mathbf{U}=inv(\mathbf{Y})\mathbf{J}

## Esimerkit

### Yksinkertainen tasasähköverkko

Oletetaan seuraava yksinkertainen tasasähköverkko. Koska kysymyksessä on tasasähköverkko merkitään haarojen johtavuudet Y_i konduktansseilla G_i.

Verkko koostuu neljästä solmusta ja niitä yhdistää neljä konduktanssia. Kuvassa on valittu kantasolmuksi solmupiste 0. Sen potentiaaliksi asetetaan nolla ja tässä se on merkitty maadoitetuksi. Verkko sisältää kolme ideaalista virtalähdettä J_1, J_2 ja J_3. Kuvaan on merkitty niiden virtojen suunnat.

Kirjoitetaan yhtälöt solmuille 1,2 ja 3.

Solmu 1:

J_1-J_2=(G_1+G_2)U_1-G_2U_2

Solmu 2:

J_2+J_3=-G_2U_1+(G_2+G_3)U_2-G_3U_3

Solmu 3:

-J_3=-G_3U_2+(G_3+G_4)U_3

Kirjoitetaan nämä vielä matriisimuodossa:


\begin{bmatrix}
J_1-J_2\\
J_2+J_3\\
-J_3\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
G_1+G_2&-G_2&0\\
-G2&G_2+G_3&-G_3\\
0&-G_3&G_3+G_4\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
U_1\\U_2\\U_3\end{bmatrix}


Tuntemattomat jännitteet on näistä helppo laskea tavanomaisin menetelmin kun lähdevirrat ja konduktanssit tunnetaan. Muodollisesti matriisiyhtälön ratkaisu voidaan kirjoittaa konduktanssimatriisin käänteismatriisin avulla.


\begin{bmatrix}
U_1\\U_2\\U_3\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
G_1+G_2&-G_2&0\\
-G2&G_2+G_3&-G_3\\
0&-G_3&G_3+G_4\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}
J_1-J_2\\J_2+J_3\\-J_3\end{bmatrix}


### Vaihtosähköverkko, joka sisältää keskinäisinduktanssia

Oheisen kuvan mukaan admitanssien Y_2 ja Y_3 välillä on keskinäisinduktanssi M_{2,3}. Koska kaavat on mukavampi kirjoittaa impedansseina, merkitään Z_2=\frac{1}{Y_2} ja  Z_3=\frac{1}{Y_3}. Kirjoitetaan yhtälöt keskinäisinduktanssia sisältäville haaroille.


\begin{bmatrix}
U_1-U_2\\U_2
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
Z_2&M_{2,3}\\
M_{2,3}&Z_3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
I_{1,2}\\I_{2,0}
\end{bmatrix}


Lasketaan virrat edellisestä.


\begin{bmatrix}
I_{1,2}\\I_{2,0}
\end{bmatrix}=
\frac{1}{Z_2Z_3-M_{2,3}^2}\begin{bmatrix}
Z_3&-M_{2,3}\\
-M_{2,3}&Z_2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
U_1-U_2\\U_2
\end{bmatrix}


Merkitään k^2=\frac{1}{Z_2Z_3-M_{2,3}^2}. Kirjoitetaan vielä virrat erikseen.

I_{1,2}=k^2Z_3U_1-k^2(Z_3+M_{2,3})U_2

I_{2,0}=-k^2M_{2,3}U_1+k^2(M_{2,3}+Z_2)U_2

Muodostetaan sitten lopulta verkon yhtälö.


\begin{bmatrix}
J_1\\J_2\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
Y_1+k^2Z_3&-k^2(Z_3+M_{2,3})\\
-k^2(Z_3+M_{2,3})&k^2(2M_{2,3}+Z_2+Z_3)
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
U_1\\U_2\end{bmatrix}


### Ohjatun lähteen käsittely

Kuvassa on yksinkertainen esimerkki, jossa on jänniteohjattu virtalähde J_2. Kirjoitetaan solmujen 1 ja 2 yhtälöt.

solmu 1:

J1=(Y_1+Y_2)U_1-Y_2U_2

solmu 2:

-gU_1=-Y_2U_1+(Y_2+Y_3)U_2

Koska virtalähde J_2 sisältää tuntemattoman solmujännitteen U_1, niin siirretään se yhtälön oikealle puolelle.

0=(g-Y_2)U_1+(Y_2+Y_3)U_2

Näin saadaan lopullinen yhtälöryhmä, joka on matriisimuodossa:


\begin{bmatrix}
J_1\\0\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
Y_1+Y_2&-Y_2\\
g-Y_2&Y_2+Y_3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
U_1\\U_2\end{bmatrix}


Tästä tuntemattomat solmujännitteet on ratkaistavissa, koska g:n oletetaan olevan tunnettu.

## Menetelmän käyttö

Solmumenetelmä on vain yksi piirianalyysin menetelmistä. Esimerkiksi silmukkamenetelmään nähden se on edullinen, jos se johtaa pienempään yhtälöiden määrään kuin silmukkamenetelmä. Jos taas verkko sisältää keskinäisinduktansseja on silmukkamenetelmä yleensä käyttökelpoisempi.

Solmumenetelmän sanotaan olevan myös helpompi koodata tietokoneelle, kuin silmukkamenetelmä. Sen vuoksi useimmat piirianalyysiohjelmat perustuvat solmumenetelmään.

## Lähteet
* 
* 
* 
* 
* 
* 

### Viitteet