Möbius-kuvaus

**Möbius-kuvaukset** ovat muotoa  
:f(z) = \frac{a z + b}{c z + d}

olevia kuvauksia, missä *a*, *b*, *c* ja *d* ovat mielivaltaisia kompleksilukuja. Möbius-kuvaukset on määritelty laajennetulta kompleksitasolta itselleen. Bilineaarinen kuvaus on erikoistapaus Möbius-kuvauksesta. Möbius-kuvaukset ovat saaneet nimensä saksalaisen matemaatikon ja tähtitieteilijän August Ferdinand Möbiuksen mukaan.

## Määritelmä

Möbius-kuvaukset ovat muotoa 
:f(z) = \frac{a z + b}{c z + d}

olevia kuvauksia, missä *a*, *b*, *c* ja *d* ovat kompleksilukuja, jotka toteuttavat ehdon *ad* − *bc* ≠ 0. Möbius-kuvaukset on määritelty konformaaleina kaikkialla paitsi kun z = -d/c, jolloin on määritelty, että f(z) = \infty. 
Ne ovat konformisia bijektioita \overline{\Complex}→\overline{\Complex},
missä \overline{\Complex} tarkoittaa laajennettua kompleksitasoa \mathbb{C}\cup\{\infty\} eli kompleksitasoa, johon on lisätty äärettömyyspiste. Laajennettua kompleksitasoa kutsutaan myös Riemannin palloksi.

## Ominaisuuksia

Möbius-kuvaukset voidaan esittää yhdistettynä kuvauksena siirrosta, venytyksestä ja kierrosta sekä inversiosta, missä operaatio "siirto" on muotoa w=z+a, operaatio "venytys ja kierto" on muotoa w=az ja operaatio "inversio" on muotoa w=1/z.
Möbius-kuvaukset kuvaavat suorat ja ympyrät joko suoriksi tai ympyröiksi siten, että operaatio "inversio" saattaa muuttaa suoran ympyräksi tai päinvastoin. 
Konformikuvauksina Möbius-kuvaukset säilyttävät kulmat.

## Kaksoissuhde
Möbius-kuvaukset säilyttävät pisteiden välisen kaksoissuhteen:
Olkoot *a<sub>1</sub>*, *a<sub>2</sub>*, *a<sub>3</sub>* ja *a<sub>4</sub>* kompleksilukuja, joille *a<sub>j</sub>* ≠ *a<sub>k</sub>* kun *j* ≠ *k*. Tällöin näiden kaksoissuhde on luku
:[a_1, a_2, a_3, a_4] = \frac{(a_1-a_2)(a_3-a_4)}{(a_1-a_3)(a_2-a_4)}.
Jos jokin *a<sub>i</sub>* = ∞ on kaksoissuhde määriteltäva raja-arvona, kun *a<sub>i</sub>* → ∞. 
Möbius-kuvaukset säilyttävät kaksoissuhteen, eli siis Möbius-kuvauksessa *w* = *f(z)* 
[*w*, *w<sub>1</sub>*, *w<sub>2</sub>*, *w<sub>3</sub>*] = [*z*, *z<sub>1</sub>*, *z<sub>2</sub>*, *z<sub>3</sub>*].

Möbiuskuvaukset muodostavat ryhmän, niin sanotun Möbius-ryhmän, kuvausten yhdistämisen suhteen.

## Esimerkki

Seuraavassa esimerkissä käytetään hyväksi Möbius-kuvausten ominaisuutta säilyttää pisteiden välinen kaksoissuhde:
Etsitään Möbius-kuvaus, joka vie origokeskisen yksikkökiekon *D(0, 1)* ylemmälle puolitasolle. Käytetään kaksoissuhdetta. Kiinnitetään yksikkökiekon reunapisteet *z<sub>1</sub>* = *1*, *z<sub>2</sub>* = *i*, *z<sub>3</sub>* = *-1* ja ylemmän puolitason reunapisteet *w<sub>1</sub>* = *-1*, *w<sub>2</sub>* = *0*, *w<sub>3</sub>* = *1*. Pisteiden kiinnityksessä on huomioitu niiden järjestys alueisiin nähden, eli kuljettaessa pisteestä *z<sub>1</sub>* pisteen *z<sub>2</sub>* kautta pisteeseen *z<sub>3</sub>* jää yksikkökiekko vasemmalle puolelle ja kuljettaessa pisteestä *w<sub>1</sub>* pisteen *w<sub>2</sub>* kautta pisteeseen *w<sub>3</sub>* jää ylempi puolitaso vasemmalle puolelle. Sopiva kuvaus saadaan ratkaisemalla *w* yhtälöstä
:\frac{(w-w_1)(w_2-w_3)}{(w-w_2)(w_1-w_3)} = \frac{(z-z_1)(z_2-z_3)}{(z-z_2)(z_1-z_3)}
missä *w<sub>1</sub>*, *w<sub>2</sub>*, *w<sub>3</sub>*, *z<sub>1</sub>*, *z<sub>2</sub>* ja *z<sub>3</sub>* ovat edellä kiinnitetyt pisteet. Saamme
:\frac{(w+1)(0-1)}{(w-0)(-1-1)} = \frac{(z-1)(i+1)}{(z-i)(1+1)} ⇔ \frac{w+1}{2w} = \frac{(z-1)(i+1)}{2(z-i)} ⇔
:(w+1)(z-i) = w(z-1)(i+1) ⇔ 
:wz - iw + z - i = zwi + zw - iw - w ⇔ z - i = w (iz - 1) ⇔ 
:w = \frac{z-i}{iz-1}

## Katso myös

* Funktioteoria
* Laajennettu kompleksitaso

## Kirjallisuutta
* R. Hurri-Syrjänen: Funktioteoria 1 (Luentomuistiinpanot)
* L. Myrberg:Funktioteoria 1 ja 2, osa 1 Limes ry 1971
*