Äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokittelu

Matematiikassa **äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokittelu** on lause, jonka mukaan jokainen äärellinen yksinkertainen ryhmä kuuluu johonkin alla olevista neljästä pääkategoriasta. Nämä ryhmät voidaan nähdä samanlaisina perusrakennuspaloina kuin alkuluvut toimivat ykköstä suuremmille kokonaisluvuille. Jordanin–Hölderin lause on tarkempi tapa ilmaista tämä äärellisten ryhmien ominaisuus. Kuitenkin luokittelulauseella ja alkutekijöihinjaolla on merkittävä eroavaisuus, sillä tällaiset "rakennuspalikat" eivät välttämättä määritä ryhmää yksikäsitteisesti, sillä on olemassa epäisomorfisia ryhmiä, joilla on sama kompositiojono. Toisin sanoen ryhmien laajentaminen ei ole yksikäsitteistä.

Luokittelulauseen todistus on kymmeniä tuhansia sivuja pitkä ja se on julkaistu useissa sadoissa osissa eri julkaisuissa. Yli sata henkilöä on osallistunut julkaisujen kirjoittamiseen. Suurin osa julkaisuista on kirjoitettu vuosien 1955 ja 2004 välillä. Daniel Gorenstein, Richard Lyons ja Ronald Solomon ovat vähitellen julkaisemassa yksinkertaistettua todistusta.

## Mitä luokittelulause sanoo?
Luokittelulause kuuluu seuraavasti: Jokainen äärellinen yksinkertainen ryhmä on isomorfinen jonkun seuraavista ryhmistä kanssa:

* Syklinen ryhmä, jonka kertaluku on alkuluku.
* Alternoiva ryhmä, jonka aste on vähintään viisi.
* Lien tyyppinen yksinkertainen ryhmä. Tämän tyyppisiä ryhmiä on kaksi erilaista:
** Klassiset Lien ryhmät eli yksinkertaiset ryhmät, jotka liittyvät projektiiviseen spesiaaliseen lineaariseen ryhmään, unitaariseen ryhmään, symplektiseen tai ortogonaaliseen äärellisen kunnan muunnoksiin.
** Chevalleyn ja Steinbergin ryhmät, joita kutsutaan myös nimillä poikkeukselliset ja kieroutuneet Lien tyyppiset ryhmät. Näihin kuuluu myös Titsin ryhmä.
* 26 sporadista yksinkertaista ryhmää, jotka ovat (tai tarkoittaa, että samalla ryhmällä on vaihtoehtoisia merkintätapoja):
**Mathieun ryhmät ''M''<sub>11</sub>, ''M''<sub>12</sub>, ''M''<sub>22</sub>, ''M''<sub>23</sub>, ''M''<sub>24</sub>
** Jankon ryhmät *J*1, *J*2 tai *HJ*, *J*3 tai *HJM*, *J*4
** Conwayn ryhmät *Co*1 tai *F*2&minus;, *Co*2, *Co*3
** Fischerin ryhmät *Fi*22, *Fi*23, *Fi*24&prime; tai *F*3+
** Higmanin–Simsin ryhmä *HS*
** McLaughlinin ryhmä *McL*
** Heldin ryhmä *He* tai *F*7+ tai *F*7
** Rudvalisin ryhmä *Ru*
** Suzukin sporadinen ryhmä *Suz* tai *F*3&minus;
** O'Nanin ryhmä *O'N*
** Haradan–Nortonin ryhmä *HN* tai *F*5+ tai *F*5
** Lyonsin ryhmä *Ly*
** Thompsonin ryhmä *Th* tai *F*3|3 tai *F*3
** Vauva-monsteri ryhmä *B* tai *F*2+ tai *F*2
** Fischerin–Griessin monsteriryhmä *M* tai *F*1

Luokittelulauseella on sovelluksia monilla matematiikan osa-alueilla, sillä äärellisten ryhmien rakenne ja niiden toiminta muiden matemaattisten objektien kanssa voidaan toisinaan palauttaa äärellisiä yksinkertaisia ryhmiä koskevaksi. Luokittelulauseen ansiosta kysymyksiin voidaan vastata tutkimalla yksinkertaisten ja sporadisten ryhmien joukkoa.

Vuonna 1983 Daniel Gorenstein ilmoitti, että äärelliset yksinkertaiset ryhmät on luokiteltu, mutta tämä johtui siitä, että hän oli saanut väärää tietoa kvasiohuiden ryhmien luokittelusta. Nämä ryhmät onnistuttiin luokittelemaan vuonna 2004, kun Aschbacher ja Smith julkaisivat 1221-sivuisen todistuksen kyseisille ryhmille.

## Luokittelulauseen yleiskuva
Gorenstein kirjoitti kaksi nidettä, joissa on hahmoteltu niiden ryhmien luokittelu, joiden karakteristika on pariton tai rankki on pieni. Michael Aschbacher, Richard Lyons ja Stephen D. Smith et al. kirjoittivat kolmannen niteen, jossa on käsitelty jäljelle jäävä karakteristikan kaksi tapaus. Todistus voidaan jakaa useaan pääosaan seuraavasti:

### Ryhmät, joiden 2-rankki on pieni
Koska "suurin osa" äärellisistä yksinkertaisista ryhmistä on matriisiryhmiä äärellisten kuntien suhteen, aikainen tulos, jotka koettivat hahmotella äärellisten ryhmien luokitteluongelman todistusta oli dikotomialause. Sen mukaan yksinkertainen ryhmä on joko komponenttityyppinen tai karakteristikan kaksi tyyppinen tai sen 2-aliryhmien rankki on enintään kaksi. Jos 2-aliryhmien rankki on enintään kaksi, niin ryhmä muistuttaa ryhmää paritonta kertalukua olevan kunnan suhteen ja karakteristikan kaksi tyyppinen ryhmä muistuttaa ryhmää karakteristikaa kaksi olevan kunnan suhteen.

Yksinkertaiset ryhmät, joiden 2-rankki on pieni, ovat useimmiten Lien tyyppisiä ryhmiä paritonta karakteristikaa olevan kunnan suhteen. Tällainen ryhmä voi olla myös alternoiva (viisi tapausta), karakteristikan kaksi tyyppinen (seitsemän tapausta) tai sporadinen ryhmä (yhdeksän tapausta).

Yksinkertaiset ryhmät, joiden 2-rankki on pieni, ovat:
*Ryhmät, joiden 2-rankki on 0. Toisin sanoen ryhmät, joiden kertaluku on pariton. Tämä ovat ratkeavia Feitin–Thompsonin lauseen nojalla.
*Ryhmät, joiden 2-rankki on 1. Näiden Sylowin 2-aliryhmät ovat joko syklisiä tai yleistettyjä kvaternioita. Syklinen tapaus on helppo käsitellä muunnoskuvauksen avulla ja kvaternioiden tapauksessa voidaan käyttää Brauerin–Suzukin lausetta, josta seuraa, että ei ole olemassa yksinkertaista ryhmää, jonka 2-rankki on yksi.
*Ryhmät, joiden 2-rankki on 2. Alperin osoitti, että Sylowin aliryhmän on oltava dihedraalinen, kvasihedraalinen, köynnöstulo tai ryhmän *U*3(4) Sylowin 2-aliryhmä.
Ensimmäinen tapaus seuraa Gorensteinin–Walterin lauseesta, jonka avulla saadaan, että ainoat yksinkertaiset ryhmät ovat isomorfisia ryhmän *L*2(*q*) kanssa jollakin parittomalla luvulla *q* tai *A*7. Toinen ja kolmas tapaus seuraa Alperinin–Brauerin–Gorensteinin lauseesta, josta seuraa, että ainoat yksinkertaiset ryhmät ovat isomorfisia joko *L*3(*q*):n, *U*3(*q*):n tai *M*11:n kanssa jollakin parittomalla luvulla *q*.
*Ryhmät, joiden sektionaalinen 2-rankki on korkeintaan 4. Nämä ryhmät voidaan luokitella Gorensteinin–Haradan teoreeman avulla.
Pienen 2-rankin omaavien ryhmien luokittelussa käytetään paljon tavallista ja modulaarista karakterien teoriaa eikä näitä teorioita käytetä melkein missään muualla luokittelussa. Erityisesti tämä korostuu tapauksissa, jossa 2-rankki on korkeintaan kaksi.

Kaikki ryhmät, joiden 2-rankki ei ole pieni, voidaan jakaa kahteen tapaukseen: komponenttityyppiset ryhmä ja karakteristikaa kaksi tyyppiset ryhmät. Tämä seuraa siitä, että jos ryhmällä on sektionaalinen 2-rankki vähintään viisi, on MacWilliams osoittanut, että tällaisen ryhmän 2-aliryhmät ovat yhtenäisiä, jolloin balanssilauseen mukaan kaikki yksinkertaiset ryhmät, joiden Sylowin 2-aliryhmät ovat yhtenäisiä, ovat yksinkertaisia. Ryhmille, joiden 2-rankki on pieni, todistus ei päde koska esimerkiksi signalisoivan funktorin lause toimii vain niille ryhmille, joiden elementaariset Abelin aliryhmät ovat vähintään rankkia kolme.

### Komponenttityyppiset ryhmät
Ryhmän sanotaan olevan komponenttityyppinen, jos jollakin involuution keskittäjällä *C*, ryhmällä *C*/*O*(*C*) on komponentti (missä *O*(*C*) on *C*:n ydin, paritonta kertalukua oleva maksimaalinen normaali aliryhmä). Komponenttityyppisiin äärellisiin yksinkertaisiin ryhmiin sisältyy useimmat Lien tyyppiset paritonta karakteristikaa olevat Chevalleyn ryhmät, useimmat alternoivat ryhmät ja monet sporadiset yksinkertaiset ryhmät.
Tämän tapauksen suurin askel on eliminoida involuution ytimen tukos. Tämä voidaan tehdä niin sanotun B-teoreeman avulla, jonka mukaan jokainen *C*/*O*(*C*):n komponentti on *C*:n komponentin kuva.

Ideana on, että näillä ryhmillä on involuution keskittäjänä komponentti, joka on pienempi kvasiyksinkertainen ryhmä, joka voidaan olettaa tunnetuksi induktion avulla. Siten luokitellakseen nämä ryhmät otetaan kaikki keskustamaiset laajennukset jokaisesta tunnetusta äärellisestä yksinkertaisesta ryhmästä ja etsitään kaikki yksinkertaiset ryhmät, joiden involuution keskittäjä on komponenttina. Tämä antaa suuren määrän eri tapauksia tarkastettavaksi. Ei ole pelkästään 26 sporadista ryhmää ja 16 perhettä Lien tyyppisiä ja alternoivia ryhmiä, vaan myös suuri joukko ryhmiä, joiden rankki on pieni tai jotka käyttäytyvät eri tavalla tarkasteltuna pienten kuntien suhteen. Nämä on käsiteltävä erikseen. Lisäksi Lien tyyppisten ryhmien tarkastelu parittoman ja parillisen karakteristikan tapauksessa on aika erilaista.

Komponenttityyppisen ryhmän luokittelua kutsutaan myös parittomaksi tapaukseksi. Tämä perustui Aschbacherin mielikuvaan standardimuotoa olevasta kvasiyksinkertaisesta komponentista L, missä ryhmän G keskittäjällä on kertalukua kaksi oleva alkio t. Aschbacher ja muut tutkijat käsittelivät erilaisia mahdollisia komponentteja L. Parillinen eli karakteristikan 2-tyyppinen tapauksessa käsiteltiin analogisia menetelmiä, missä t korvattiin paritonta alkulukukertalukua p olevalla alkiolla. Tässä alkuperäinen "pieni" tapaus vastasi kvasiohuita ryhmiä G, nimittäin tarvittavien p-aliryhmien rankki on korkeintaan kaksi. Tämä tapaus on hyvin monimutkainen ja sen käsitteli pitkässä artikkelissaan Aschbacher ja Smith.

### Kvasiohuet ryhmät
Thompson esittely ryhmän G leveyden mitalle suureen e(G), joka on maksimaalinen rankki paritonta kertalukua olevan ryhmän G Abelin aliryhmälle, joka normalisoi G:n epätriviaalin 2-aliryhmän. Nyt G on kvasiohut, jos e(G)

Aschbacherin ja Smithin mukaan (2004b, teoreema 0.1.1), äärellinen yksinkertainen parillista karakteristikaa oleva kvasiohut ryhmä on

* Lien tyyppinen karakteristikaa kaksi ja rankkia 1 tai 2 oleva, pois lukien tapaus U_5(4).
* PSL4(2), PSL5(2), Sp6(2)
* Alternoiva ryhmä, jossa on 5, 6, 8 tai 9 alkiota.
*PSL2(*p*) kun *p* on Fermat'n tai Mersennen alkuluku, L_3^\epsilon(3),L_4^\epsilon(3),G_2(3)
* Mathieun ryhmä M11, M12, M22, M23, M24, Jankon ryhmä J2, J3, J4, Higmanin–Simsin ryhmä, Heldin ryhmä ja Rudvalisin ryhmä.

Jos ehto "parillinen karakteristika" heikennetään muotoon "parillistyyppinen" (Gorensteinin–Lyonsin–Solomonin tarkistus luokittelusta), niin ainoa uusi kvasiohut ryhmä äärellisten yksinkertaisten ryhmien listaan on Jankon ryhmä J1.

### Ryhmät, joiden karakteristika on tyyppiä 2
Ryhmä on karakteristikan kaksi tyyppinen, jos yleistetty Fittingin aliryhmä *F**(*Y*) jokaiselle 2-lokaalille aliryhmälle *Y* on 2-ryhmä. Kuten nimestä voi päätellä, nämä ovat suurin piirtein Lien tyyppiset ryhmät yli karakteristikaa kaksi olevien kuntien sekä hankalasti käsiteltäviä toisia ryhmiä, jota ovat alternoivia tai sporadisia tai paritonta karakteristikaa. Näiden luokittelu on jaettu pienten ja suurten rankkien tapauksiin, missä rankilla tarkoitetaan suurinta rankkia parittomalle Abelin aliryhmälle, joka normalisoi epätriviaalin 2-aliryhmä, joka on usein (mutta ei aina) sama kun Cartanin alialgebran rankki kun ryhmä on Lien tyyppinen ryhmä, jonka karakteristika on kaksi.

Rankkia yksi olevat ryhmät ovat ohuita ryhmiä, jotka on luokitellut Aschbacher, ja rankkia kaksi olevat ryhmät ovat pahamaineiset kvasiohuet ryhmät, jotka luokitteli Aschbacher ja Smith. Nämä vastaavat karkeasti Lien tyyppisiä ryhmiä karakteristikaa kaksi olevassa kunnassa, joiden rankki on yksi tai kaksi.

Ne ryhmät, joiden rankki on vähintään kolme jaetaan edelleen kolmeen luokkaan trikotomialauseen avulla, jonka todisti Aschbacher rankin kolme tapauksessa ja Gorenstein sekä Lyons kun rankki on vähintään neljä.
Kolme luokkaa ovat ryhmän GF(2) tyyppisiä, nämä luokitteli suurimmaksi osaksi Timmesfeld, "standardityyppiset ryhmät" jollakin parittomalla alkuluvulla, nämä luokiteltiin Gilmanin–Griessin lauseen avulla ja useiden muiden työn perusteella, ja uniikin tyyppiset ryhmät, missä Aschbacherin tuloksesta seuraa, että ei ole olemassa tämän tyyppisiä yksinkertaisia ryhmiä.
Yleinen korkeamman rankin tapaus käsittää enimmäkseen Lien tyyppisiä ryhmiä karakteristikaa kaksi olevien kuntien suhteen, joten rankki on vähintään kolme tai neljä.

### Ryhmät, joiden p-aliryhmän rankki on vähintään kolme
Jäljelle jäävissä tapauksissa, missä käsiteltävä p-aliryhmän rankki on vähintään kolme, dikotomialause korvattiin trikotomialauseella. Tämän lauseen todistivat pääosin Gorenstein ja Lyons, mutta siihen osallistui myös Aschbacher. Todistus jakautui kolmeen päähaaraan: standardityyppiseksi kutsuttiin p-komponenttihaaraa, GF(2)-tyyppiseksi kutsuttiin enimmäkseen karakteristikan p-tyyppiseksi ja loppua "epäyhtenäistä" haaraa kutsuttiin yksikäsitteisyystapaukseksi. Standardityyppiset ryhmät luokitteli Gilman ja Griess. Tyyppiä GF(2) olevat ryhmät luokitteli useat matemaatikot, kuten Aschbacher, Timmesfeld ja Smith. Yksikäsitteisyystapauksen ratkaisi Aschbacher osoittamalla, että tätä tapausta ei toteuta yksikään äärellinen yksinkertainen ryhmä.

### Yksinkertaisten ryhmien olemassaolo ja yksikäsitteisyys

Pääosa luokittelusta tuottaa karakterisoinnin kullekin yksinkertaiselle ryhmälle. Siten on välttämätöntä tarkastaa, että on olemassa yksinkertainen ryhmä kutakin karakterisointia kohti ja että tällainen ryhmä on yksikäsitteinen. Tästä seuraa suuri joukko erillisiä ongelmia. Esimerkiksi alkuperäiset todistukset olemassaololle ja yksikäsitteisyydelle vaativat noin 200 sivua, ja Thompsonin ja Bombierin tekemä Reen ryhmien tunnistaminen oli yksi vaikeimpia osia luokittelussa. Moni olemassaolotodistus ja jotkut yksikäsitteisyystodistukset sporadisille ryhmille tehtiin alun perin tietokoneella, mutta suurin osa niistä on sittemmin korvattu lyhyemmillä käsin tehdyillä todistuksilla.

## Todistuksen historia

### Gorensteinin ohjelma
Vuonna 1972 Gorenstein aloitti ohjelman, jolla saatetaan loppuun äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokitteluongelma, joka sisältää seuraavat 16 kohtaa:
# Ryhmät, joiden 2-rankki on pieni. Tämä teki suurimmaksi osaksi Gorenstein ja Harada, jotka luokittelivat ryhmät, joiden sektionaalinen 2-rankki on korkeintaan neljä. Suurimman osan tapauksista, joissa 2-rankki on korkeintaan kaksi, oli jo tehty kun Gorenstein julkaisi ohjelmansa.
# 2-tasojen puoliyksinkertaisuus. Ongelmana on todistaa, että yksinkertaisen ryhmän involuution keskittäjän 2-taso on puoliyksinkertainen.
# Parittoman karakteristikan standardimuoto. Jos ryhmällä on involuutio ja 2-komponentti joka on Lien tyyppinen paritonta karakteristikaa oleva ryhmä, on tavoitteena osoittaa, että sillä on involuution keskittäjä "perusmuodossa", eli involuution keskittäjällä on komponentti, joka on Lien tyyppinen parittomalla karakteristikalla ja että sillä on keskittäjä, jonka 2-rankki on yksi.
# Paritonta tyyppiä olevien ryhmien luokittelu. Ongelmana on osoittaa, että jos ryhmällä on involuution keskittäjä "standardimuotoa", niin ryhmä on Lien tyyppinen ja paritonta karakteristikaa. Ongelman ratkaisi Aschbacherin klassinen involuutiolause.
# Kvasi-standardi muoto
# Keskeiset involuutiot
# Alternoivien ryhmien luokittelu
# Jotkut sporadiset ryhmät
# Ohuet ryhmät. Vuonna 1978 Aschbacher luokitteli yksinkertaiset ohuet äärelliset ryhmät eli ne, joiden 2-lokaali *p*-rankki on enintään 1 parittomille alkuluvuille *p*.
# Ryhmät, joilla on vahva p-upotettu aliryhmä kun *p* on pariton.
# Signalizer funktorin metodi parittomille alkuluvuille. Suurin hankaluus on todistaa signalizeri funktorin teoreema ei-ratkeaville signalizer funktoreille. Tämän ratkaisi McBride vuonna 1982.
# Karakteristikaa *p* tyyppisten ryhmien luokittelu. Tämä ongelma on ryhmillä, joilla on vahva *p*-upotettu 2-lokaali aliryhmä, kun *p* on pariton. Ongelman ratkaisi Aschbacher.
# Kvasiohuet ryhmät. Kvasiohut ryhmä on sellainen, että sen 2-lokaaleilla aliryhmillä on *p*-rankki enintään kaksi kaikilla alkuluvuilla *p*, ja ongelmana on luokitella yksinkertaiset karakteristikan kaksi tyyppiset ryhmät. Nämä luokitteli Aschbacher ja Smith vuonna 2004.
# Ryhmät, joiden 2-lokaali 3-rankki on pieni. Tämän ratkaisi suurimmaksi osaksi Aschbacherin trikotomialause ryhmille, joilla *e*(*G*)=3. Todistuksen suurin muutos oli että 2-lokaali 3-rankki on korvattu 2-lokaalilla *p*-rankilla parittomille alkuluvuille *p*.
# 3-alkioiden keskittäjät standardissa muodossa. Tämän ongelman ratkaisi suurimmaksi osaksi trikotomialause.
# Karakteristikan 2 tyyppisten yksinkertaisten ryhmien luokittelu. Tämän ratkaisi Gilmanin–Griessin lause, missä 3-alkiot korvattiin *p*-alkioilla, missä *p* on pariton alkuluku.

### Todistuksen aikajana
Monet alla olevan listan yksityiskohdat on otettu Solomonin lähteestä vuodelta 2001. Julkaisuvuosi on yleensä todistuksen julkaisuvuosi, joka voi olla useita vuosia myöhemmin kuin ensimmäisenä löydetyn tuloksen ilmoitettu julkaisuvuosi, joten osa tuloksista voi olla väärässä järjestyksessä.

## Toisen sukupolven luokittelu
Lauseen todistusta sellaisena kuin se oli vuonna 1985 voidaan pitää **ensimmäisen sukupolven todistuksena**. Koska kyseinen todistus on äärimmäisen pitkä, matemaatikot ovat käyttäneen paljon aikaa löytääkseen yksinkertaisemman, niin sanotun **toisen sukupolven todistuksen**. Tämän yrityksen laittoi liikkeelle Daniel Gorenstein.

Vuoteen 2005 mennessä on julkaistu kuusi nidettä toisen sukupolven todistuksesta. On arvioitu, että toisen sukupolven todistuksesta tulisi noin 5000 sivua pitkä. Aschbacher ja Smith kirjoittivat kaksi nidettä kvasiohuista tapauksista siten, että nuo niteet voivat olla osana toisen sukupolven todistusta.

Gorenstein ja hänen työtoverinsa ovat antaneet useita syitä sille, miksi yksinkertaisempi todistus on mahdollinen.

* Tärkein tekijä on se, että ongelman lopullinen muotoilu on tiedossa. Yksinkertaisempia tekniikoita voidaan käyttää saavuttamaan tutut tulokset.

* Koska lopputulos tiedetään, alkuperäisestä todistuksesta voidaan karsia pois turhat osuudet ja päällekkäin menevät osat.

* Äärellisten ryhmien tutkijoilla on käytössä enemmän tekniikoita todistuksen löytämiseen.

Ascbacher on kutsunut matemaatikoiden Ulrich Meierfrankenfeld, Bernd Stellmacher, Gernot Stroth ja muutamien muiden tekemää luokittelua kolmannen sukupolven todistukseksi. Yksi tämän projektin tarkoituksista on käsitellä kaikki karakteristikan kaksi tapaukset amalgaami-menetelmällä.

### Miksi todistus on niin pitkä?

Gorenstein on keskustellut syistä, miksi ei ehkä ole olemassa lyhyttä tapaa todistaa kompaktien Lien ryhmien luokittelua.

*Luonnollisin syy on se, että yksinkertaisten ryhmien lista on melko monimutkainen.
*Atiyah ja muut ovat ehdottaneet, että luokittelu voisi olla helpommin saavutettavissa konstruoimalla geometrisiä objekteja joissa ryhmät toimivat ja sitten luokitella nämä rakenteet. Ongelma on siinä, että toistaiseksi kukaan ei ole löytänyt selkeää uniformaalia kuvausta näille yksinkertaisille ryhmille samaan tapaan kuin on olemassa parametrisointi kompakteille Lien ryhmille Dynkinin kaavion avulla.
*Toinen ehdotettu tapa todistuksen yksinkertaistamiseen on käyttää esitysteoriaa.
Ongelma tässä on se, että esitysteoria näyttää kontrolloivan hyvin tiukasti ryhmän aliryhmiä toimiakseen kunnolla.
Pienten rankkien ryhmille on olemassa tällainen kontrolli ja esitysteoria toimiikin hyvin, mutta isommille rankeille tässä ei ole onnistuttu.

## Katso myös

*O'Nanin–Scottin lause

## Lähteet

## Aiheesta muualla
* ''ATLAS of Finite Group Representations''. Tietokanta äärellisten yksinkertaisten ryhmien ominaisuuksista.
* Elwes, Richard: ''An enormous theorem: the classification of finite simple groups'', *Plus Magazine*, Issue 41, December 2006. Maallikoille suunnattu artikkeli.
* Madore, David (2003): ''Orders of nonabelian simple groups''.  Sisältää listan kaikista epäkommutatiivisista yksinkertaisista ryhmistä kertalukuun 1010 asti.