Ruusukäyrä

**Ruusukäyrä** eli **Grandin ruusu** ( tai *Rhodonea*) on matematiikassa käyrä, jota voidaan pitää sinifunktion kuvaajana napakoordinaatistossa.

## Yleiskuvaus

Jokainen ruusukäyrä on yhdenmuotoinen sellaisen käyrän kanssa, jonka yhtälö napakoordinaateissa on muotoa
:\!\,r=a \cos(k\theta)

tai vaihtoehtoisesti
:\!\,r=a \sin(k\theta).

Karteesisessa koordinaatistossa käyrä voidaan edellisessä tapauksessa esittää yhtälöparilla :\!\,x=a \cos(k\theta)\cos(\theta)
:\!\,y=a \cos(k\theta)\sin(\theta).

Nimi ruusukäyrä johtuu siitä, että käyrä tyypillisesti muistuttaa muodoltaan ruusun teriötä. 
Jos *k* on kokonaisluku, tällä käyrän kuvaamalla ruusulla on
*2*k* terälehteä, jos *k* on parillinen, ja
**k* terälehteä, jos *k* on pariton.
Vakio *a* osoittaa terälehtien pituuden.

Kun *k* on parillinen, koko käyrä tulee piirretyksi tasan kerran, kun kulma θ kasvaa 0:sta 2π:hin. Kun *k* on pariton, tämä tapahtuu jo välillä 0:sta π:hin. Yleisemmin sama tapahtuu millä tahansa välillä, jonka pituus on 2π, kun *k* on parillinen, tai π, jos *k* on pariton.

Jos *k* on puoliluku (esimerkiksi 1/2, 3/2 tai 5/2), käyrä muistuttaa ruusua, jolla on 4*k* terälehteä. Esimerkiksi: n=7, d=2, *k*= n/d =3,5, kun θ kasvaa 0:sta 4π:hin.

Jos *k* voidaan esittää muodossa *n*±1/6, missä *n* on nollasta poikkeava kokonaisluku, käyrä muistuttaa ruusua, jolla on 12*k* terälehteä.

Jos *k* voidaan esittää muodossa *n*/3, missä *n* on kokonaisluku, joka ei ole jaollinen kolmella, käyrä muistuttaa muodoltaan ruusua, jolla on *n* terälehteä, jos *n* on pariton, ja 2*n* terälehteä, jos *n* on parillinen.

Jos *k* on rationaaliluku, käyrä on suljettu, ja sillä on äärellinen pituus. Ellei *k* ole kokonaisluku, terälehdet saattavat olla osittain päällekkäin. Jos *k* on irrationaaliluku, käyrä ei ole suljettu, ja sen pituus on ääretön. Tässä tapauksessa käyrä on lisäksi tiheä, toisin sanoen se sivuuttaa yksikkökiekon jokaisen pisteen mielivaltaisen läheltä.

Koska
:\sin(k \theta) = \cos\left( k \theta - \frac{\pi}{2} \right) = \cos\left( k \left( \theta-\frac{\pi}{2k} \right) \right) 
kaikilla \theta, käyrät, joiden yhtälöt napakoordinaateissa ovat
:\,r=\sin(k\theta) and \,r = \cos(k\theta)
ovat yhtenevät ja voidaan kuvata toisilleen π/2*k* radiaanin rotaatiolla.

Ruusukäyrille antoi nimen italialainen matemaatikko Guido Grandi vuosien 1723 ja 1728 välillä.

Eräs ruusukäyrän erikoistapaus on neliapilan muotoinen käyrä, jolla *k* = 2. Sillä on karteesisissa koordinaateissa myös yhtälö

:(x^2 + y^2)^3 = 4a^2x^2y^2

## Pinta-ala

Ruusukäyrän
:r=a \cos (k\theta)\,,
sisään jäävän alueen eli terälehtien yhteenlaskettu pinta-ala on
:
    \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}(a\cos (k\theta))^2\,d\theta = \frac {a^2}{2} \left(\pi + \frac{\sin(4k\pi)}{4k}\right) = \frac{\pi a^2}{2}

jos *k* on parillinen, ja 
:
    \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}(a\cos (k\theta))^2\,d\theta = \frac {a^2}{2} \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\sin(2k\pi)}{4k}\right) = \frac{\pi a^2}{4}

jos *k* on pariton positiivinen kokonaisluku.

Sama pätee ruusukäyrille, joiden yhtälö napakoordinaateissa on 
:r=a \sin (k\theta)\,
sillä tämän yhtälön kuvaaja saadaan kosinin avulla määritellystä ruusukäyrästä yksinkertaisella rotaatiolla.

## Muodon riippuvuus parametrista ''k''

Ruusukäyrän napakoordinaateissa esitetyssä yhtälössä esiintyy vakiotekijä *k*. Kun *k* on kokonaisluku, käyrä muodostaa muodoltaan kukkaa. Sillä on *k* terälehteä, jos *k* on pariton, ja 2*k* terälehteä, jos *k* on parillinen. Sen sijaan millään vakion *k* arvolla ei saada aikaan sellaista kukkaa, jossa terälehtien lukumäärä on parillinen mutta ei neljällä jaollinen (esimerkiksi 2, 6, 10 tai 14).

Kun *d* on alkuluku, on *n*/*d* supistumaton murtoluku. Kun ruusukäyrän yhtälössä oleva *k* on tällainen murtoluku, käyrän terälehden ovat osittain päällekkäin. Niiden terälehtien lukumäärä, joiden kanssa kukin niistä on osittain päällekkäin, on yhtä suuri kuin järjestysluku, joka ilmoittaa, kuinka mones alkuluku *d* on alkulukujen jonossa, kun luku 1 lasketaan mukaan (esimerkiksi kun *d* on 2, tämä luku on 2, ja vastaavasti alkulukuja 3, 5 ja 7 vastaavat lukumäärät 3, 4 ja 5).

Kun *k* on muotoa *k*&nbsp;=&nbsp;1/*d*, missä *d* on parillinen, käyrä muodostaa sarjan sisäkkäisiä silmukoita, ja keskellä on kaksi pienintä silmukkaa, jotka sivuavat toisiaa origossa. Käyrä on symmetrinen *x*-akselin suhteen. Jos taas *d* on pariton, käyrä muodostaa *d*&nbsp;div&nbsp;2 sisäkkäistä silmukkaa, joista pienin sivuaa origoa joko vasemmalla (kun *d* on muotoa *d*&nbsp;=&nbsp;4*n*&nbsp;&minus;&nbsp;1) tai oikealla ((kun *d* on muotoa *d*&nbsp;=&nbsp;4*n*&nbsp;+&nbsp;1).0

Jos *d* ei ole alkuluku eikä *n* ole 1, käyrän muodostaa sarja toisensa leikkaavia silmukoita.

Jos *k* on irrationaaliluku, ruusukäyrällä on äärettömän monta terälehteä, ja se on tiheä yksikkökiekossa.

  Rose Curve animation with Gears n1 d1.gif|*n*=1, *d*=1, *k*=1
  Rose Curve animation with Gears n1 d3.gif|*n*=1, *d*=3, *k*≈0.333
  Rose Curve animation with Gears n3 d1.gif|*n*=3, *d*=1, *k*=3
  Rose Curve animation with Gears n4 d5.gif|*n*=4, *d*=5, *k*=0.8


## Lähteet

* 

### Viitteet

## Aiheesta muualla