Carathéodoryn konstruktio

**Carathéodoryn konstruktio** on tapa luoda metrisiin avaruuksiin Borel-mittoja eräänlaisten **esimittojen** avulla. Menetelmän kehitti kreikkalainen matemaatikko Constantin Carathéodory vuonna 1914.

## Määritelmä

Olkoon (X,d) metrinen avaruus. Olkoon \mathcal{F} kokoelma X:n osajoukkoja ja kuvaus \zeta : \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty] (ns. *esimitta*). Näiltä oletetaan seuraavat kaksi ehtoa:

(1) Jokaiselle \delta > 0 on olemassa joukot E_i \in \mathcal{F}, i \in I, I on numeroituva siten, että 
X = \bigcup_{i \in I} E_i ja d(E_i) \leq \delta.

(2) Jokaiselle \delta > 0 on olemassa joukko E \in \mathcal{F} siten, että 
\zeta (E) \leq \delta ja d (E) \leq \delta.

Olkoon nyt \delta > 0 kiinteä. Määritellään, että joukon A \subset X *<math>\delta</math>-peite* on mikä tahansa numeroituva osakokoelma \mathcal{E} \subset \mathcal{F}, jolla on seuraavat ominaisuudet:

- kokoelma \mathcal{E} on joukon A peite, eli pätee A \subset \cup \mathcal{E},

- läpimitta d(E) \leq \delta jokaisella E \in \mathcal{E}. 

Määritellään nyt funktio \psi_\delta : \mathcal{P}(X) \rightarrow [0,\infty],
\psi_\delta (A) = \inf \{ \sum_{E \in \mathcal{E}} \zeta (E) : \mathcal{E} \mbox{ on } A\mbox{:n } \delta\mbox{-peite} \}.
Edellä annettu ehto (1) takaa \delta-peitteen olemassaolon myös joukolle X, joten kuvaus \psi_\delta on hyvinmääritelty funktio. Voidaan osoittaa, että funktio \psi_\delta on ulkomitta X:ssä. Nimittäin edellä annettu ehto (2) takaa sen, että \psi_\delta (\emptyset ) = 0 ja muiden ehtojen todistaminen käy konstruktion vuoksi hyvin samalla tavalla kuin Lebesguen ulkomitan osoittaminen ulkomitaksi.

Huomataan, että jos 0 , niin \psi_{\delta_2} (A) \leq \psi_{\delta_1} (A) kaikilla A \subset X. Toisin sanoen kuvaus \delta \mapsto \psi_{\delta} (A) on kasvava \delta:aa pienennettäessä. Näin ollen kaikilla A \subset X on olemassa raja-arvo \lim_{\delta \rightarrow 0} \psi_\delta (A). Määrittelemmekin nyt siis funktion \psi : \mathcal{P}(X) \rightarrow [0,\infty],
\psi (A) = \lim_{\delta \rightarrow 0} \psi_\delta (A).
Koska funktiot \psi_\delta ovat ulkomittoja X:ssä, niin voidaan helposti osoittaa, että funktio \psi on ulkomitta X:ssä. Mittateoriassa osoitetaan, että funktio \psi rajoitettuna \psi-mitallisiin joukkoihin on Borel-mitta. Lisäksi jos kaikki joukkokokoelman \mathcal{F} jäsenet ovat Borel-joukkoja, niin voidaan osoittaa, että \psi on itse asiassa Borel-säännöllinen.

## Sovelluksia

Carathéodoryn konstruktio tuottaa esimerkiksi Hausdorffin ulkomitan. Jos valitsemme määritelmässä joukkoperheeksi \mathcal{F} kaikkien X:n osajoukkojen muodostaman kokoelman \mathcal{P}(X) ja asetamme funktion \zeta kaavaksi \zeta (E) = d(E)^s, 0 \leq s , niin saatu funktio \psi_\delta = \mathcal{H}_\delta^s ja siis \psi = \mathcal{H}^s.

Lisäksi voimme saada Carathéodoryn konstruktiolla ns. integraaligeometriset mitat avaruuteen \mathbb{R}^n. Olkoon m luonnollinen luku, jolla 0 . Asetetaan kokoelmaksi \mathcal{F} \mathbb{R}^n:n Borelin perhe \operatorname{Bor} \, \mathbb{R}^n. Määritellään parametrille t \in [1,\infty] esimitta \zeta_t^m : \operatorname{Bor} \, \mathbb{R}^n \rightarrow [0,\infty],
\zeta_t^m (E) = { \left ( \int_{G(n,m)} \mathcal{H}^m {(P_V E)}^t \, \mbox{d}\gamma_{n,m} V \right ) }^{1/t} \, \mbox{ jos } 1 \leq t 
ja
\zeta_\infty^m (E) = \mbox{ess sup} \{ \mathcal{H}^m (P_V E) : V \in G(n,m) \},
missä 
G(n,m) = \{ V \subset \mathbb{R}^n : V \mbox{ on lineaarinen aliavaruus, } \mbox{dim} \, V = m \}  (ns. Grassmannin avaruus)
ja jokaiselle V \in G(n,m) kuvaus P_V on ortogonaalinen projektio aliavaruudelle V. Annetuissa integraaleissa integroidaan yli Grassmannin avaruuden G(n,m) varustettuna rotaatioinvariantilla mitalla \gamma_{n,m}.

Näillä esimitoilla \zeta_t^m saatuja Borelin mittoja \psi, joita merkitään symboleilla \mathcal{I}_t^m, kutsutaan (m-ulotteisiksi) *integraaligeometrisiksi mitoiksi* parametrilla t.