Homologia

Matematiikassa **homologia** on tapa rakentaa Abelin ryhmiä tai moduleja, jotka luonnehtivat homomorfisin kuvauksin kytketyn moduulijonon tiettyjä ominaisuuksia. Ko. jono muodostetaan tavallisesti siten että se kuvaa jotain matemaattista objektia, jolloin homologia kertoo jotain kiintoisaa tästä objektista.

Homologia alkoi topologisten avaruuksien luokittelusta ja kehittyi yleiseksi algebralliseksi teoriaksi, jota käytetään algebrallisessa geometriassa, ryhmäteoriassa, topologiassa jne. Topologisessa yhteydessä käytettyjä homologiateorioita yhdistävät Eilenbergin–Steenrodin aksioomat.

## Yleinen rakennelma

Olkoon X avaruus, jossa voidaan rakentaa Abelin ryhmistä tai moduleista koostuva ketjukompleksi A, joka sisältää jotain tietoa X:stä ja jonka jäsenien välillä on homomorfismeja
:\ldots A_{n+1}\to A_n\ldots A_2 \to A_1 \to A_0,
missä d_n:A_n\to A_{n-1} ja d_{n}\circ d_{n+1}=0 , niin voidaan rakentaa homologiaryhmät seuraavalla tavalla: homomorfismien välillä oleva yhtälö tarkoittaa, että Im(d_{n+1})\subset Ker(d_n) , ja voidaan rakentaa tekijäryhmä Ker(d_n)/Im(d_{n+1}) , jonka sanotaan olevan n . homologiaryhmä X :stä.

## Singulaarinen homologia

Homologia rakennelma vaikuttaa kenties mielivaltaiselta, mutta se tulee esiin luonnollisella tavalla, kun käsitellään simpleksejä ja topologisia avaruuksia. Lyhyesti, standardi n-simpleksi \Sigma_n  on joukko vektoreita n -ulotteisessa euklidisessa avaruudessa 
:\Sigma_n=\{(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)\in\mathbb{R}^n:\sum_{i}\lambda_i\leq1, \lambda_i\geq 0\}, 
ja n -simpleksi \sigma  topologisessa avaruudessa X  on jatkuva kuvaus \Sigma_n :stä X :ään:
:\sigma:\Sigma_n\to X. 
\sigma :n reuna d\sigma  on määritelty formaaliksi summaksi \sigma  rajoitettu \Sigma_n :n alisimplekseihin, missä suunnistus vaikuttaa etumerkkiin. Esimerkiksi, jos X  on viiva [0,1] , niin silloin \Sigma_1\subset X  ja d\Sigma_1=(1)-(0) .  Olkoon \Lambda  rengas. Tällöin voidaan konstruoida \Lambda -moduuli, jonka virittäjät ovat kaikki n-simpleksejä X :ssä C_n . Nyt meillä on \Lambda -moduleista koostuva ketjukompleksi, jonka jäsenten välillä on määritelmässä vaaditut homomorfismit.

Kuvausta Im(d_{n+1}) sanotaan n-reunoiksi B_n ja kuvausta Ker(d_n) sanotaan n-sykleiksi Z_n.  X :n singulaarisia homologiaryhmiä ovat siten Z_*/B_*  (eli H_n=Z_n/B_n  jokaiselle n :lle).

## Eksakteja jonoja

Eksakti jono on moduleista muodostunut jono
:\ldots (\alpha:)A\to (\beta:)B\to C\ldots ,
missä Im(\alpha)=Ker(\beta) .  Seuraavat jonot ovat tärkeitä:
:0\to A\to 0, 
eli A=0;
:0\to A\to B\to 0, 
eli A  ja B  ovat isomorfisia.

Jos A_* , B_* , ja C_*  ovat ketjukomplekseja ja meillä on seuraava lyhyt eksakti jono
:0\to A_*\to B_*\to C_*\to 0 
eli
:0\to A_n\to B_n\to C_n \to 0 
jokaiselle n :lle, voidaan rakentaa pitkä eksakti jono
:\ldots H_{n+1}(C)\to H_n(A)\to H_n(B)\to H_n(C)\to H_{n-1}(A)\ldots. 
Tämä on käärmelemman sovellutus, ja se on kätevä tapa hahmottaa tuntemattomia homologiaryhmiä tunnetuista ryhmistä.

## Kategorinen näkökulma
Tietty homologiateoria voidaan tulkita myös kategoriseksi funktoriksi, joka vie jonkin määrityn kategorian Abelin moduulien kategoriaan. Näin katsottuna H_* on kovariantti funktori.  Siis jos X ja Y ovat samassa kategoriassa \mathcal{A}, ja f:X\to Y on morfismi niiden välillä, silloin homologiassa H_*(f) vie H_*(X):n H_*(Y):iin.  Usein H_*(f) kirjoitetaan f_*.

Singulaarinen homologia on siten funktori topologisen avaruuksien kategoriasta Abelin moduulien kategoriaan.  Jos \sum_{i=1}^n a_n\sigma_i on ketju jossain topologisessa avaruudessa X, ja f:X\to Y on jatkuva kuvaus, niin summa \sum_{i=1}^n a_n f \circ \sigma_i on ketju Y:ssä. Näin f:stä tule homomorfismi f_*:H_*(X)\to H_*(Y).

Kategoriateorian näkökulmasta kohomologia on kontravariantti homologiateoria, jossa siis kohomologiafunktori H^* on kontravariantti. Näin kohomologia on homologian kategorinen duaali. Kullekin homologian ketjukompleksin moduulille on siis duaalimoduuli vastaavan kohomologian ketjukompleksissa.  Ketjukompleksissa, josta kohomologiaryhmät muodostetaan, homomorfismit kuvaavat aina astetta ylemmälle moduulille: käsiteltävä ketjukompleksi "menee toiseen suuntaan".

## Kirjallisuutta
* 

## Aiheesta muualla
*Allen Hatcher: Algebraic Topology