Kroneckerin tulo

**Kroneckerin tulo** on tulo, joka voidaan määrittää kahdelle tai useammalle matriisille. Tuloa merkitään \otimes-symbolilla. Kroneckerin tulo määritellään seuraavasti: Olkoot A=a_{ij} m\times n- ja B=b_{ij} p\times q-matriisi. Tällöin saadaan matriisi, jonka koko on mp\times nq.
:\mathbf{A}\otimes\mathbf{B} = \begin{bmatrix} a_{11} \mathbf{B} & \cdots & a_{1n}\mathbf{B} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} \mathbf{B} & \cdots & a_{mn} \mathbf{B} \end{bmatrix}, 

eli alkioittain tarkasteltuna:

:{\mathbf{A}\otimes\mathbf{B}} = \begin{bmatrix}
   a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & \cdots & a_{11} b_{1q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{1n} b_{11} & a_{1n} b_{12} & \cdots & a_{1n} b_{1q} \\
   a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & \cdots & a_{11} b_{2q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{1n} b_{21} & a_{1n} b_{22} & \cdots & a_{1n} b_{2q} \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
   a_{11} b_{p1} & a_{11} b_{p2} & \cdots & a_{11} b_{pq} & 
                   \cdots & \cdots & a_{1n} b_{p1} & a_{1n} b_{p2} & \cdots & a_{1n} b_{pq} \\
   \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
   \vdots & \vdots & & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
   a_{m1} b_{11} & a_{m1} b_{12} & \cdots & a_{m1} b_{1q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{mn} b_{11} & a_{mn} b_{12} & \cdots & a_{mn} b_{1q} \\
   a_{m1} b_{21} & a_{m1} b_{22} & \cdots & a_{m1} b_{2q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{mn} b_{21} & a_{mn} b_{22} & \cdots & a_{mn} b_{2q} \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
   a_{m1} b_{p1} & a_{m1} b_{p2} & \cdots & a_{m1} b_{pq} & 
                   \cdots & \cdots & a_{mn} b_{p1} & a_{mn} b_{p2} & \cdots & a_{mn} b_{pq} 
\end{bmatrix}. 

Kroneckerin tulo matriisin ja vakion välillä palautuu normaaliksi matriisin kertomiseksi vakiolla eli k\otimes A=A\otimes k=kA, missä k on skalaari. Samoin Kroneckerin tulo matriisin ja nollamatriisin välillä on nolla. Laskettaessa saadaan Kroneckerin tuloa yksikkömatriisin ja matriisin välille, jonka diagonaalilla on matriisi A eli I\otimes A=diag(A,\dots,A). Vastaavasti matriisin ja yksikkömatriisin välinen Kroneckerin tulo on A\otimes I=\begin{bmatrix} a_{11} \mathbf{I} & \cdots & a_{1n}\mathbf{I} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} \mathbf{I} & \cdots & a_{mn} \mathbf{I} \end{bmatrix}. Diagonaalimatriisin D=\{d_{i}\}, jonka koko on m ja matriisin A Kroneckerin tulo on D\otimes A=diag(d_{1}A,d_{2}A,\dots,d_{m}A)

Esimerkki:
:
  \begin{bmatrix} 
    1 & 2 \\ 
    3 & 4 \\ 
  \end{bmatrix}
\otimes
  \begin{bmatrix} 
    0 & 5 \\ 
    6 & 7 \\ 
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix} 
    1\cdot 0 & 1\cdot 5 & 2\cdot 0 & 2\cdot 5 \\ 
    1\cdot 6 & 1\cdot 7 & 2\cdot 6 & 2\cdot 7 \\ 
    3\cdot 0 & 3\cdot 5 & 4\cdot 0 & 4\cdot 5 \\ 
    3\cdot 6 & 3\cdot 7 & 4\cdot 6 & 4\cdot 7 \\ 
  \end{bmatrix}

=
  \begin{bmatrix} 
    0 & 5 & 0 & 10 \\ 
    6 & 7 & 12 & 14 \\
    0 & 15 & 0 & 20 \\
    18 & 21 & 24 & 28
  \end{bmatrix}.


## Laskusääntöjä
Olkoot A ja B m\times n-kokoisia matriiseja, C ja D p\times q-kokoisia matriiseja sekä k vakio. Tällöin pätevät seuraavat laskusäännöt:
:(kA)\otimes B=A\otimes (kB)=k(A\otimes B)
:(A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C
:C\otimes (A+B)=C\otimes A+C\otimes B
:(A+B)\otimes(C+D)=(A\otimes C)+(A\otimes D)+(B\otimes C)+(B\otimes D)

## Lähteet