Paraabeli

**Paraabeli** (, vanh. myös *parabeli*) on matemaattinen tasokäyrä. Se on eräs kartioleikkauksista. Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on paraabeli. Paraabelilla kartioleikkauksena on ominaisuus, että sen kaltevuuskulma on aina yhtäsuuri kuin kyseistä paraabelia vastaavan ympyräkartion sivujanan kaltevuuskulma.

## Geometrinen määritelmä ja nimityksiä

Olkoon *l* tason suora ja *P* piste, joka ei ole suoralla *l*. Näihin liittyvä paraabeli on niiden pisteiden joukko, jotka ovat yhtä etäällä sekä suorasta *l* että pisteestä *P*. Suoraa *l* kutsutaan paraabelin johtosuoraksi ja pistettä *P* (myös *F*) polttopisteeksi.

Paraabelin *akseli* on polttopisteen kautta kulkeva johtosuoran normaali. Paraabeli on symmetrinen akselinsa suhteen. Paraabelin *huippu* on paraabelin leikkauspiste akselinsa kanssa.

## Paraabeli analyyttisessä geometriassa
### Pystysuora symmetria-akseli
Jos paraabelin akseli on pystysuora, on paraabelin yhtälö karteesisessa koordinaatistossa y = ax^2 + bx + c. Tässä kertoimet *a*, *b* ja *c* ovat reaalilukuja ja lisäksi *a* on nollasta eroava. 

Kertoimen *a* merkistä riippuu paraabelin aukeamissuunta: jos a > 0, aukeaa paraabeli ylöspäin, jos taas a , aukeaa paraabeli alaspäin. 

Paraabelin y = ax^2 + bx + c huippupisteen *x*-koordinaatti on
:\displaystyle x = - \frac{b}{2a}.
Tämä voidaan perustella differentiaalilaskennan avulla derivoimalla funktio f(x) = ax^2 + bx + c ja määräämällä derivaatan nollakohta. Huippupisteen *y*-koordinaatti on
:\displaystyle y = a\left(- \frac{b}{2a}\right)^2+b\cdot\left(- \frac{b}{2a}\right) +c=\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{2a}+c=c-\frac{b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}. 

### Vaakasuora symmetria-akseli
Jos paraabelin akseli on vaakasuora, on sen yhtälö x = ay^2 + by + c. Kertoimen *a* merkitys ja huippukohta ovat analogiset edellisten kanssa.

### Yleinen paraabeli
Yleiselle paraabelille, jonka polttopiste on F(u,v) ja jonka johtosuora on muotoa ax+by+c=0, pätee yhtälö
:\frac{\left(ax+by+c\right)^2}=\left(x-u\right)^2+\left(y-v\right)^2. \,

## Paraabeli funktion kuvaajana
Toisen asteen polynomifunktioiden kuvaajat ovat paraabeleja. Yksinkertaisin tällainen funktio on f(x)=x^2. Kuvaajan muotoon ja sijaintiin vaikuttavat funktion f(x)=ax^2+bx+c parametrit a,b ja c.

Parametri a vaikuttaa yleisesti paraabelin jyrkkyyteen, siis siihen, kuinka jyrkästi paraabeli aukeaa ylös tai alas. Parametrin a arvo määrää myös paraabelin aukeamissuunnan: positiivisella a:lla varustetun funktion kuvaaja aukeaa ylöspäin, ja negatiivisella a:lla varustetun alaspäin. 

Parametri b vaikuttaa puolestaan kuvaajan sijaintiin sivusuunnassa ja myös pystysuunnassa. Voidaan myös huomata, että funktion f(x)=ax^2+bx+c kuvaajan huippupiste siirtyy b:n vaihdellessa funktion g(x)=-ax^2+c kuvaajaa pitkin. Perustelu tälle mielenkiintoiselle havainnolle saadaan siitä, että paraabelin y=ax^2+bx+c huippupisteen koordinaatit x=-\frac{b}{2a} ja y=\frac{4ac-b^2}{4a} toteuttavat yhtälön 

y=\frac{4ac-b^2}{4a} =-\frac{b^2}{4a}+\frac{4ac}{4a}=-a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2+c=-ax^2+c, 

ja ovat siis funktion g(x)=-ax^2+c kuvaajalla.

## Pisteen kautta kulkeva tangentti

Tarkastellaan paraabelia y = f(x) = ax^2 + bx + c, missä a\not= 0. 

Pisteen (x_0,y_0) kautta kulkevien tämän paraabelin tangenttien sivuamispisteiden koordinaatit saadaan tällöin yhtälöistä
:
\begin{cases}
x_i = x_0\pm\sqrt{\frac{f(x_0)-y_0}{a}}\\ 
y_i = f(x_i)
\end{cases}

Juurrettavan arvosta riippuen saadaan nolla, yksi tai kaksi tangenttia.

Jos y_0=f(x_0), ts. piste sijaitsee tarkastellulla paraabelilla, saadaan yksi tangentti, jonka yhtälö saadaan kaavasta
:y = f'(x_0)(x-x_0)+y_0

Kun yo. yhtälön juurrettava \frac{f(x_0)-y_0}{a} > 0 saadaan kaksi sivuamispistettä ja kaksi tangenttia. 

Kun (x_i,y_i), missä x_i\not= x_0, on tällaisen tangentin sivuamispiste, sen yhtälö saadaan kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälöstä
:
y = \frac{y_i-y_0}{x_i-x_0}(x-x_0) + y_0


## Paraabelin peilaaminen huippupisteen suhteen

Tarkastellaan paraabelia y=a x^2+b x+c, a\neq 0, ja sen peilaamista huippupisteen \left(-\frac{b}{2a},\frac{4a c -b^2}{4a}\right) kautta kulkevan tangenttinsa suhteen eli paraabelin "kääntämistä ylösalaisin" huippupisteen pysyessä paikallaan. Tämä voidaan ajatella tehtävän kahdessa vaiheessa: 

(1) Peilataan paraabeli ensin y-akselin suhteen. Tämä vaihtaa y-koordinaatin etumerkin, ja päädytään paraabeliin y=-ax^2-bx-c, jonka huippu on pisteessä  \left(-\frac{b}{2a},-\frac{4ac -b^2}{4a}\right).

(2) Siirretään näin saatua paraabelia y=-ax^2-bx-c pystysuunnassa siten, että huippupiste tulee alkuperäisen paraabelin huippupisteeseen.  Tarvittava pystysuuntainen siirto on suuruudeltaan 2\cdot\frac{4ac -b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{2a}. Tämä on selvää, koska huippupisteen x-koordinaatti ei muuttunut vaiheessa (1), mutta y-koordinaatti muuttui vastaluvuksi. Siirto johtaa paraabeliin 

y=-ax^2-bx-c+\frac{4ac-b^2}{2a} 

eli 

y=-ax^2-bx+\frac{2ac -b^2}{2a}. 

Näin saadun paraabelin huippu on huippupisteen laskukaavan mukaisesti pisteessä  \left(\frac{b}{2(-a)},\frac{4(-a)\cdot \frac{2ac-b^2}{2a}-(-b)^2}{4(-a)}\right) = \left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right) , siis samassa pisteessä kuin alkuperäisen paraabelin huippupiste, kuten pitikin.  

Kun siis ajatellaan, että paraabeli on kiinni vain huippupisteestään, ja se käännetään ylösalaisin, päädytään paraabeliin y=-ax^2-bx+{2ac-b^2 \over 2a}. 

Esimerkki. Paraabelin y=2x^2+x+1 peilikuva, eli "käännetty" paraabeli, on siis y=-2x^2-x+0,75.

Paraabelin y=ax^2+bx+c "kääntämisen" kaava on siis: y=-ax^2-bx+{2ac-b^2 \over 2a}.

## Lähteet

## Kirjallisuutta
*