Coxeterin diagrammi

**Coxeterin diagrammi**, **Coxeterin–Dynkinin diagrammi** eli **Coxeterin graafi** on geometriassa graafi, jolla kuvataan monitahokkaan tai muun polytoopin symmetriaa. Coxeterin diagrammi esittää, millä tavoin monitahokas tai muu polytooppi voidaan ajatella muodostettavaksi lähtemällä yhdestä sen kärkipisteistä, jolloin sen muut kärkipisteet saadaan tämän pisteen peilikuvina yhdestä tai useammasta peilistä tai heijastavasta hypertasosta. Oleellisesti samalla tavalla saadaan kaleidoskoopissa syntymään erilaisia symmetrisiä kuvioita. Jokainen graafin solmu esittää tällaista ajateltua peiliä, ja haaraan liittyvä luku vastaa peilien välistä diedrikulmaa. Jos haaraan ei ole merkitty lukua, tämän oletetaan olevan 3.

Graafina diagrammi esittää Coxeterin ryhmää. Sen jokainen solmu esittää peiliä ja jokainen haara kahden peilin välistä diedrikulmaa.

Coxeterin diagrammeja muistuttavat läheisesti myös Dynkinin diagrammit, jotka eroavat Coxeterin diagrammeista kahdessa suhteessa: ensinnäkin haarat, joihin on merkitty luku "4" tai suurempi ovat suunnattuja, kun taas Coxeterin diagrammit ovat suuntaamattomia, toiseksi Dynkin diagrammien on toteutettava se kristallografinen lisäehto, että niissä saa esiintyä vain merkinnöillä 2, 3, 4 tai 6 varustettuja haaroja. Dynkinin diaggammit vastaavat juurisysteemejä ja samalla puoliyksinkertaisia Lien algebroja, joiden luokitteluun niitä myös käytetään.

## Kuvailu

Diagrammilla voidaan esittää myös polytoopit lisäämällä renkaita solmujen ympärille. Rengas tarkoittaa, että kyseessä on *aktiivinen* peili, jota käytetään konstruoitaessa polytooppi heijastusten avulla. Jotta diagrammi esittäisi polytooppia, siinä on oltava vähintään yksi aktiivinen solmu.

Renkaat osoittavat samalla, onko generoiva piste peilissä vai sen ulkopuolella. Peili on *aktiivinen* eli muodostaa heijastuksen vain, jos pisteet ovat peilin ulkopuolella, joten rengas ilmaisee, että generoiva piste on peilin ulkopuolella ja siitä muodostuu heijastus.

Graafin viivat eli kaaret merkitään kokonaisluvuilla *n*, jotka tarkoittavat diedrikulmaa 180/*n*.  Jos kaareen ei ole merkitty lukua, sen oletetaan olevan 3. Jos *n*=2, kulma on 90 astetta eivätkä peilit vaikuta toisiinsa, ja kaari voidaan jättää huomioon ottamatta. Kahta yhdensuuntaista peiliä voidaan merkitä symbolilla ∞ (ääretön).

Periaatteessa *n* peiliä voidaan esittää täydellisellä graafilla, jossa on mukana kaikki *n*&middot;(*n*-1)/2 kaarta. Käytännössä mielenkiintoisissa peilien konfiguraatioissa osa peileistä on toisiinsa nähden kohtisuorassa, jolloin niitä vastaavat kaaret voidaan jättää pois kuviosta.

Polytoopit ja laatoitukset voidaan muodostaa käyttämällä näitä peilejä ja yhtä ainoaa generoivaa pistettä, josta tulee yksi polytoopin tai laatoituksen kärkipisteistä. Muut kärkipisteet saadaan tämän peilikuvina yhden tai useamman peilin kautta. Polytoopin särmät ovat jonkin pisteen ja sen peilikuvan toisiinsa yhdistäviä janoja. Tahkot voidaan muodostaa saatujen särmien muodostamina renkaina ja niin edelleen.

## Esimerkkejä
* Yksi ainoa solmu esittää yhtä ainoaa peiliä. Sitä vastaa ryhmä A1. Jos se on rengastettu, se muodostaa digonin tai peiliin nähden kohtisuoran särmän, joka merkitään  {} tai {2}.
* Kaksi solmua, joita ei ole yhdistetty toisiinsa, esittää kahta toisiinsa nähden kohtisuoraan asetettua peiliä. Jos molemmat solmut on rengastettu, piste peilikuvineen muodostaa suorakulmion, tai jos se on samalla etäisyydellä kummastakin peilistä, neliön.
* Jos kaksi solmua on yhdistetty viivalla, johon on merkitty luku *n*, diagrammi esittää ''n''-kulmiota, jos piste on peilillä, tai '2n*-kulmiota, jos piste ei ole kummallakaan peilillä. Nämä muodostavat ryhmän D<sub>2</sub><sup>n</sup>.
* Kaksi yhdensuuntaista peiliä voivat esittää äärettömän monikulmion ryhmää D<sub>2</sub><sup>∞</sup>, jolle käytetään myös merkintää W<sub>2</sub>.
* Kolme peiliä, jotka muodostavat kolmion, saavat aikaan kuvia, joita näkyy tavanomaisessa [[kaleidoskooppi|kaleidoskoopissa]], ja niitä esittää kolme toisiinsa yhdistettyä solmua kolmiossa. Tällä tavoin saadaan särmät, joita voidaan merkitä (3 3 3), (2 4 4) tai (2 3 6), joskin kaksi viimeksimainittua voidaan esittää myös suoralla, jolloin särmä *2* jätetään pois. Näistä muodostuvat uniformiset [[tessellaatio]]t.
* Kolmella peilillä voidaan generoida [[uniforminen monitahokas|uniformiset monitahokkaat]], jos niihin liittyvt rationaaliluvut muodostavat [[Schwarzin kolmio]]iden joukon.
* Kolme peiliä, joista yksi on muihin nähden kohtisouorassa, voivat muodostaa uniformiset [[särmiö]]t.

Yleensäkin kaikki sellaisten säännöllisten *n*-polytooppien, joita esittää [[Schläflin symboli]] {p,q,r,...}, perusalueet voidaan esittää *n* peilun joukolla ja ne liittää Coxeterin-Dynkinin fiagrammiin jono solmuja ja kaaria, joita voidaan merkitä kirjaimilla p,q,r...

== Äärelliset Coxeterin ryhmät ==

Kuperien uniformisten poytooppien joukon määrittelevät [[Coxeterin ryhmät]].

Huomutuksia:
: Samoille ryhmille käytetään kolmea erilaista merkintää: yhden muodostavat kirjain ja luku, toisen joukko lukuja ja aaltosulkumerkkejä ja kolmannen Coxeterin diagrammi.
* Myös kaksihaaraisille ryhmille B<sub>n</sub> voidaan käyttää merkintää h[], joka osoittaa sitä, että tällainen ryhmä on *alternoitu* muunnos säännöllisistä ryhmistä C<sub>n</sub>, toisin sanoen siinä on mukana vain puolet säännöllisen ryhmän alkioista.
* Myös haaroittuville ryhmille B<sub>n</sub> ja E<sub>n</sub> voidaan käyttää merkintää [3<sup>a,b,c</sup>], missä a,b,c ovat segmenttien lukumäärät kussakin kolmessa haarassa.



(Huomautus: vaihtoehtoiset nimet kuten yksinkertaiset [[Lien ryhmä]]t on annettu.
# A<sub>n</sub> muodostaa simpleksisten polytooppien perheen (saman nimi: A<sub>n</sub>).
# B<sub>n</sub> on [[puoli-hyperkuutio]]iden perhe, joka alkaa [[24-solu]]ista neljässä ja [[penterakti]]sta viidessä ulottuvuudessa (voidaan merkitä myös D<sub>n</sub>).
# C<sub>n</sub> muodostaa [[hyperkuutio]]iden perheen (sama nimi: C<sub>n</sub>).
# D<sub>2</sub><sup>n</sup> muodostaa [[säännöllinen monitahokas|säännölliset monitahokkaat]] (käytetään myös merkintää I<sub>1</sub><sup>n</sup>).
# E<sub>6</sub>,E<sub>7</sub>,E<sub>8</sub> ovat Gosset'n semiregulaaristen polytooppien generaattorit (samat nimet: E<sub>6</sub>,E<sub>7</sub>,E<sub>8</sub>).
# F<sub>4</sub> on polykooristen [[24-solu]]jen perhe (sama nimi : F<sub>4</sub>).
# G<sub>3</sub> käsittää vain monitahokkaat [[dodekaedri]]n ja [[ikosaedri]]n (voidaan merkitä myös H<sub>3</sub>).
# G<sub>4</sub> käsittää vain polykoorit [[120-solu]]n ja [[600-solu]]n (voidaan merkitä myös H<sub>4</sub>).

== Äärettömät Coxeterin ryhmät ==

Myös uniformisten kuperien laatoitusten perheet voidaan määritellä Coxeterin ryhmillä.

Huomautuksia:
* Säännölliset (lineaariset) ryhmät voidaan merkitä yhtäpitävällä merkinnällä, jossa käytetään aaltosulkuja.
* Ryhmä S<sub>n</sub> voidaan merkitä myös merkinnällä h[], joka osoittaa sen olevan *puolet* säännöllisestä ryhmästä.
* Ryhmä Q<sub>n</sub> voidaan merkitä myös merkinnällä q[], joka osoittaa sen olevan *neljäsosa'' säännöllisestä ryhmästä.
* Haarautuneet ryhmät Tn voidaan merkitä myös muotoa [3a,b,c] olevalla lausekkeella, missä a, b, c ovat segmenttien lukumäärät sen jokaisessa kolmessa haarassa.

(Huomautus : vaihtoehtoiset nimet kuten yksinkertaiset Lien ryhmät on myös annettu.)
# Pn on syklinen ryhmä (voidaan merkitä myös ~An-1).
# Qn (voidaan merkitä myös ~Dn-1)
# Rn muodostaa säännöllisten laatoitusten perheen hyperkuutiossa {4,3,....} (voidaan merkitä myös ~Bn-1).
# Sn muodostaa laatoitusten alternoivan ryhmän hyperkuutiossa (voidaan merkitä myös  ~Cn-1).
# T7,T8,T9 ovat Gosset'n laatoitukset (voidaan merkitä myös  ~E6,~E7,~E7).
# U5 on 24-solujen muodostama säännöllinen laatoitus {3,4,3,3} (voidaan merkitä myös ~F4).
# V3 kuusikulmioiden muodostama laatoitus (voidaan merkitä myös ~H2).
# W2:n muodostaa kaksi yhdensuuntaista peiliä (voidaan merkitä myös ~I1).

## Lähteet
* 
* 
* 

### Viitteet

## Aiheesta muualla