Ikosaedrinen symmetria

.
**Ikosaedrinen symmetria** on sellaisen kolmiulotteisen kappaleen symmetria, joka säännöllisen ikosaedrin tavoin voidaan kuvata itselleen isometrisesti 120 tavalla, joista 60 on orientaation säilyttäviä. Ikosaedrin ohella myös dodekaedrilla on dodekaedrinen symmetria, sillä se on ikosaedrin duaalikappale.

Ikosaedrisesti symmetrisen kappaleen orientaation säilyttävien symmetriaoperaatioiden ryhmä on *A*5, sama kuin viiden alkion alternoiva ryhmä, ja sen täysi symmetriaryhmä, johon kuuluvat myös peilaukset, on tämän alternoivan ryhmän ja syklisen ryhmän Z2 tulo A5 × Z2. Jälkimmäinen ryhmä tunnetaan myös Coxeterin ryhmänä H3, ja sitä esittävät Coxeterin merkintä [5,3] ja Coxeterin diagrammi .

## Pisteryhmänä

prismaattisten ja antiprismaattisten symmetrioiden kahta ääretöntä sarjaa lukuun ottamatta *täydellä* eli *akiraalisella* ikosaedrisella symmetrialla on kaikista diskreeteistä pistesymmetrioista ja samalla kaikista pallopinnan diskreeteista symmetrioista suurin symmetriaryhmä ja *rotationaalisella* eli *kiraalisella* ikosaedrisella symmetrialla toiseksi suurin.

Ikosaedrinen symmetria *ei* ole yhdistettävissä siirtosymmetriaan. Näin ollen ei myöskään ole olemassa sellaista kidejärjestelmää, jonka yksikkökopeilla olisi ikosaedrinen symmetria.

Näiden ryhmien presentaatiot ovat:

:I: \langle s,t \mid s^2, t^3, (st)^5 \rangle\ 
:I_h: \langle s,t\mid s^3(st)^{-2}, t^5(st)^{-2}\rangle.\ 
Nämä vastaavat rotationaalista ja täyttä ikosaedristä ryhmää, jotka ovat (2, 3, 5) -kolmioryhmät.

Ensimmäisen presentaation esitti William Rowan Hamilton ikosiaanilaskentaa koskevassa tutkielmassaan vuonna 1856.

Ryhmä voidaan kuitenkin presentoida myös muilla tavoin, esimerkiksi alternoivana ryhmänä (*I*:lle).

### Visualisointeja

## Ryhmän rakenne

**Ikosaedrisen rotaatioryhmän** ***I*** kertaluku on 60. Ryhmä *I* on isomorfinen alternoivan ryhmän *A*5 eli viiden alkion parillisten permutaatioiden ryhmän kanssa. Tämä isomorfismi voidaan toteuttaa suorittamalla *I*:hin kuuluvat kuvaukset eri kohteille, erityisesti dodekaedrin ympäri piirretyille viiden kuution yhdistelmälle, viiden oktaedrin yhdistelmälle tai jommallekummalle kahdesta viiden tetraedrin yhdistelmästä (jotka ovat enantiomorfisia ja ympäröivät dodekaedria).

Ryhmä *I* sisältää 5 versiota ryhmästä *T*h, 20 versiota ryhmästä *D*3 (10 akselia, joista kutakin vastaa 2 versiota) sekä 6 versiota ryhmästä *D<sub>5</sub>*.

**Täyden ikosaedrisen ryhmän'' ***I<sub>h</sub>**' kertaluku on 120. Se sisältää *I*:n [[normaali aliryhmä|normaalina aliryhmänä]], jonka indeksi on 2. Ryhmä *Ih* in isomorfinen ryhmän *I* × *Z*<sub>2</sub> eli *A*<sub>5</sub> × *Z*<sub>2</sub> kanssa. Kun *Z*<sub>2</sub> kirjoitetaan multiplikatiivisesti, sen alkiot ovat 1 ja -1, joista edellinen vastaa [[identtinen kuvaus|identtistä kuvausta]], jälkimmäinen [[peilaus]]ta (inversiota) keskipisteen suhteen.

*Ih* toimii viiden kuution tai viiden oktaedrin yhdistelmissä, mutta alkio -1 toimii identtisen kuvauksen tavoin, koska kuutiolla ja oktaedrilla on symmetriakeskus. Se toimii myös kymmenen tetraedrin yhdistelmässä: *I* toimii kahdella kiraalisella puoliskolla ja -1 vaihtaa nämä puoliskot keskenään. On kuitenkin huomattava, että se ei vaikuta samoin kuin S<sub>5</sub>, sillä nämä ryhmät eivät ole isomorfisia, kuten jäljempänä tarkemmin selitetään.

Ryhmä I<sub>h</sub> sisältää aliryhminään 10 versiota ryhmästä *D*<sub>3d</sub>* ja kuusi versiota ryhmästä *D*5d (antiprismojen kaltaiset symmetriat)

*I* on myös isomorfinen PSL2(5):n kanssa, mutta *I<sub>h</sub>* ei ole isomorfinen SL2(5):n kanssa.

### Muita saman kertaluvun ryhmiä
Seuraavilla ryhmillä on kaikilla kertaluku 120, mutta ne eivät ole isomorfisia:
* *S*5, 5 alkion symmetrinen ryhmä
* *I<sub>h</sub>*, täysi ikosaedrinen ryhmä (tämän artikkelin aihe, käytetään myös merkintää *H*3)
* 2*I*, binäärinen ikosaedrinen ryhmä
Ne vastaavat seuraavia lyhyitä täsmällisiä sarjoja (joista jälkimmäinen ei jakaudu) ja tuloa
:1\to A_5 \to S_5 \to Z_2 \to 1
:I_h = A_5 \times Z_2
:1\to Z_2 \to 2I\to A_5 \to 1
Sanallisesti ilmaistuna,
* A_5 on S_5:n aliryhmä
* A_5 on suoran summan I_h *tekijä*
* A_5 on 2I:n tekijäryhmä.

On huomattava, että ryhmällä A_5 on poikkeuksellinen palautumaton kolmiulotteinen lineraarinen esitysmuoto, ikosaedrinen rotaatioryhmä, mutta ryhmällä S_5 ei ole palautumatonta kolmiulotteista esitysmuotoa, mikä vastaa sitä seikkaa, ettei täysi ikosaedrinen ryhmä ole sama kuin symmetrinen ryhmä.

Nämä liittyvät lineaarisiin ryhmiin myös viiden alkion äärellisen kunnan kautta, joka osoittaa aliryhmät ja peiteryhmät suoraan; yksikään näistä ei ole täysi ikosaedrinen ryhmä.
* A_5 \cong \operatorname{PSL}(2,5), projektiivinen erikoinen lineaarinen ryhmä
* S_5 \cong \operatorname{PGL}(2,5), projektiivinen yleinen lineaarinen ryhmä
* 2I \cong \operatorname{SL}(2,5), erikoinen lineaarinen ryhmä

### Konjugaattiluokat

### Täyden ikosaedrisen symmetrian aliryhmät

Kaikki nämä aliryhmien luokat ovat konjugaattisia ja voidaan tulkita geometrisesti.

On huomattava, että jokaisella kärjellä, särmällä, tahkolla ja monitahokkaalla on samat stabilisaattorit kuin vastakkaisella kärjellä, särmällä, tahkolla tai monitahokkaalla. Toisin sanoen symmetriakuvaus, joka kuvaa kappaleen jonkin kärjen, särmän, tahkon tai monitahokkaan itselleen, kuvaa myös sille vastakkaisen kärjen, särmän, tahkon tai monitahokkaan itselleen.

#### Kärkien stabilisaattorit
Kärjen stabilisaattorit ovat symmetriakuvauksia, joissa annettu kärki kuvautuu itselleen. Ne voidaan tulkita myös generoimansa akselin stabilisaattoreiksi.
* kunkin kärjen stabilisaattorit *I*:ssä muodostavat syklisen ryhmän *C*3.
* kunkin kärjen stabilisaattorit *I**h*:ssa muodostavat diedriryhmän' *D*3.
* kunkin vastakkaisten kärkien parin stabilisaattorit *I*:ssä muodostavat syklisen ryhmän *D*3
* kunkin vastakkaisten kärkien parin stabilisaattorit *I**h*:ssa muodostavat ryhmän D_3 \times \pm 1.

#### Särmien stabilisaattorit
Vastakkaisten särmien muodostaman parin stabilisaattorit voidaan tulkita niiden generoiman suorakulmion stabilisaattoreiksi.
* Kunkin särmän stabilisaattorit *I*:ssa muodostavat syklisen ryhmän *Z*2.
* Kunkin särmän stabilisaattorit *I<sub>h</sub>*:ssa muodostavat Kleinin neliryhmän Z_2 \times Z_2
* Kunkin vastakkaisten särmien parin stabilisaattorit *I*:ssä muodostavat Kleinin neliryhmän Z_2 \times Z_2
* Kunkin vastakkaisten särmien parin stabilisaattorit *I<sub>h</sub>*:ssa muodostavat ryhmän Z_2 \times Z_2 \times Z_2; tällaisia pareja on viisi ja ne voidaan muodostaa peilauksilla kolmen kohtisuoran akselin suhteen.

#### Tahkojen stabilisaattorit
Vastakkaisten tahkojen muodostaman parin stabilisaattorit voidaan tulkita niiden generoiman antiprisman stabilisaattoreiksi.
* Kunkin tahkon stabilisaattorit *I*:ssa muodostavat syklisen ryhmän *C*5.
* Kunkin tahkon stabilisaattorit *I<sub>h</sub>*:ssa muodostavat diedriryhmän *D*5.
* Kunkin vastakkaisten tahkon parin stabilisaattorit *I*:ssä muodostavat diedriryhmän *D*5.
* Kunkin vastakkaisten tahkon parin stabilisaattorit *I<sub>h</sub>*:ssa muodostavat ryhmän D_5 \times \pm 1.

#### Monitahokkaiden stabilisaattorit
Näistä jokaiselle on viisi konjugaattista kopiota, ja konjugaatiotoimitus muodostaa kuvauksen, itse asiassa isomorfismin I \stackrel{\sim}\to A_5 .
* Kappaleen sisään piirretyn tetraedrin stabilisaattorit *I*:ssä muodostavat *T*:n kopion.
* Kappaleen sisään piirretyn tetraedrin stabilisaattorit *I'<sub>h</sub>*:ssa muodostavat *T*:n kopion.
* Kappaleen sisään piirretyn kuution tai oktaedrin taikka kahden vastakkaisen tetraedrin muodostaman parin stabilisaattorit *I*:ssä muodostavat *T*:n kopion.
* Kappaleen sisään piirretyn kuution tai oktaedrin taikka kahden vastakkaisen tetraedrin muodostaman parin stabilisaattorit *I<sub>h</sub>*:ssä muodostavat *T<sub>h</sub>*:n kopion.

## Perusalueet
Ikosaedrisen rotaatioryhmän ja täyden ikosaedrisen ryhmän perusalueet näkyvät seuraavassa kaaviossa:

Disdyakis-triakontaedrin jokainen tahko on ikosaedrisen symmetrian perusalue. Muut kappaleet, joilla on sama symmetria, voidaan muodostaa siitä muuntamalla tahkoja eri tavoin, esimerkiksi tasoittamalla sopivasti valitut tahkojen ryhmät siten, että samaan ryhmään kuuluvat tahkot yhdistyvät yhdeksi tahkoksi, vaihtamalla jokainen tahko useamman tahkon yhdistelmään tai kaarevaan pintaan.

## Monitahokkaat, joilla on ikosaedrinen symmetria

### Kiraaliset monitahokkaat

### Täysi ikosaedrinen symmetria

## Muita ikosaedrisesti symmetrisiä kohteita

Ikosaedrisesti symmetrisiä ovat myös:
* Barthin pinnat
* monien virusten rakenne ja niiden kapsidit
* kemiassa dodekaboraatti-ioni ([B12H12]2−) ja dodekaedraanimolekyyli (C20H20).

### Nestekiteet ja kvasikiteet

Hagen Kleinert ja K. Maki tutkivat vuonna 1981 yksityiskohtaisesti nestekiteiden rakennetta ja totesivat, että niissä esiintyy ikosaedrista symmetriaa Kolme vuotta myöhemmin Dan Shechtman osoitti kokeellisesti, että eräät alumiinin seokset muodostavat kvasikiteitä, joissa esiintyy myös ikosaedrista symmetriaa. Tästä havainnostaan hän sai Nobelin palkinnon vuonna 2011.

## Muita samantapaisia geometrioita
Ikosaedrisen symmetria on symmetriaryhmä on isomorfinen projektiivisen erityisen lineaarisen ryhmän PSL (2,5) kanssa, joka on myös modulaarisella käyrällä X(5). Yleisemminkin PSL(2,*p*) on modulaarisen käyrän X(*p*) symmetriaryhmä. Modulaarinen käyrä X(5) on geometrisesti dodekaedri, johon on lisätty kärki sen jokaisen tahkon keskipisteeseen, mikä kuvastaa sen symmetriaryhmää.

Tätä geometriaa ja siihen liittyvää symmetriaryhmää tutki Felix Klein vuonna 1888 Belyin pinnan monodromiaryhminä. Belyin punta on Riemannin pinta, joka voidaan kuvata holomorfisesti Riemannin pallolle niin, että sehaarautuu vain pisteissä 0, 1 ja &infinity; (Belyun funktio). Kärjet vastaavat äärettömyydessä olevia pisteitä, kun taas kärjet ja särmien keskipisteet vastaavat pisteitä 0 ja 1. Kuvauksen aste on 5, eli se peittää pallon viisi kertaa.

Klein päätyi teoriaansa yrittäessään selittää geometrisesti, miksi ikosaedrisen symmetrian symmetriaryhmä on isomorfinen viidennen asteen yhtälön Galois'n ryhmän A5 kanssa.

Jatkaessaan tutkimuksiaan Klein löysi kertalukujen 7 ja 11 symmetrioita sekä niihin liittyviä Riemannin pallon 7. ja 11. asteen peitteitä Hän muodosti myös neljännen asteen pinnan, jonka geometria voidaan laatoittaa 24 seitsenkulmiolla, joista jokaisen keskipisteessä on kärki.

Vastaavia geometrioita esiintyy myös PSL(2,*n*):ssä sekä yleisemmin muiden modulaaristen käyrien ryhmissä.

On myös löydetty yhteyksiä ryhmien PSL(2,5) (kertalukua 60), PSL(2,7) (kertalukua 168) ja PSL(2,11) (kertalukua 660) välillä. Nämäkin ryhmät voidaan tulkita geometrisesti: PSL(2,5) on ikosaedrin, (genus 0), PSL(2,7) Kleinin neljännen asteen pinnan (genus 3) ja PSL(2,11) buckyball-pinnan (genus 70) symmetriaryhmä. Nämä ryhmät muodostavat Vladimir Arnoldin tarkoittamassa mielessä kolmikon, jonka jäsenten välillä on monia yhteyksiä.

## Katso myös
* Tetraedrinen symmetria
* Oktaedrinen symmetria

## Lähteet
* Peter R. Cromwell, *Polyhedra* (1997), s.&nbsp;296
* 
*  
* 

### Viitteet