Evoluutta

**Evoluutta** on käyrän kaarevuuskeskipisteiden muodostama ura. Yhtäpitävästi se voidaan määritellä käyrän normaalien verhokäyräksi. Alkuperäistä käyrää kutsutaan evolventiksi. Käyrän evoluutan määrääminen on eräs differentiaalilaskennan sovellus.

Käyrän tai yleisemmin alimoniston evoluutta on sen normaalikuvauksen polttopisteiden joukko. Normaalikuvaus muodostetaan seuraavasti: Olkoon *M* sileä, säännöllinen alimonisto avaruudessa \mathbf{R}^n. Liitetään jokaiseen *M*:n pisteeseen *p* ja siitä alkavaan, pintaan *M* nähden kohtisuoraan vektoriin *v* piste *p* + *v*.  Näin saatua Lagrangen kuvausta sanotaan normaalikuvaukseksi, ja sen polttopisteet muodostavat joukon *M* evoluutan.

Jos käyrän evoluutta tunnetaan, itse käyrä voidaan piirtää asettamalla nuora evoluutalle ja kiinnittämällä se pisteeseen G. Pisteeseen A asetettu piirrin piirtää alkuperäisen käyrän, evolventin. 

## Historia
Kartioleikkausten evoluuttoja käsitteli jo Apollonius Pergeläinen (noin 250 eKr.) teoksensa *Konika* (*Kartioleikkauksista*) V kirjassa.. Laajemmin evoluuttoja tutki 1600-luvulla Christiaan Huygens, ja toisinaan ansion evoluuttojen teorian perustamisesta katsotaankin kuuluvan hänelle.  Huygens kehitti evoluuttojen teorian selvittääkseen, onko olemassa tautokroninen käyrä, toisin sanoen käyrä, jonka minkä tahansa pisteelle asetulta kappaleelta kuluisi yhtä pitkä aika, ennen kuin ne ovat vierineet käyrän alimpaan kohtaan. Tällaiseksi osoittautui sykloidi, joka on siitä erikoinen, että myös sen evoluutta on muodoltaan sykloidi. Tämä seikka auttoi häntä konstruioimaan heilurin, jonka heilahdusaika pysyy mahdollisimman tarkoin vakiona. Evoluuttoja tutkimalla Huyghens johti myös monia tuloksia, jotka myöhemmin voitiin todistaa myös differentiaali- ja integraalilaskennan avulla.(f(t) - R \sin {\tau},  g(t) + R \cos {\tau})

missä *R* on käyrän kaarevuussäde,

R = \frac {(f'(t)^2 + g'(t)^2)^\frac{3}{2}} {f'(t)g*(t) - f*(t)g(t)}

ja \tau on käyrän tangenttivektorin

\vec{T} = \frac{\vec{x}'} = (\frac {f'(t)} {\sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2}}, \frac {g'(t)} {\sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2}})

ja x-akselin välinen kulma. Tällöin on \cos{\tau} = \vec{T} \cdot \vec{x} ja \sin{\tau} = \vec{T} \cdot \vec{y}. Tässä f'(t) ja g'(t) tarkoittavat funktioiden *f* ja *g* derivaattoja *t*:n suhteen: f'(t) = \frac{dx}{dt} ja g'(t) = \frac{dy}{dt}.

Yhdistämällä nämä saadaan käyrän evoluutalle parametriesitys:

 x = f(t) - \frac {(f'(t)^2 + (g'(t)^2) g'(t)} {f'(t)g*(t) - f*(t)g'(t)}

 y = g(t) + \frac {(f'(t)^2 + (g'(t)^2) f'(t)} {f'(t)g*(t) - f*(t)g'(t)}

Erityisesti jos käyrä on jonkin funktion y = f(x) kuvaaja, jolloin x = t, x'(t) = 1 ja x*(t) = 0</math>, lauseke yksinkertaistuu muotoon

<math> x = t - \frac {(1 + (y'(t)^2)) y'(t)} {y*(t)}

 y = t + \frac {(1 + (y'(t)^2} {y*(t)}</math>.


== Evoluutan ominaisuuksia ==


Seuraavassa käytetään säännölliselle käyrälle parametriesitystä <math>\vec x= \vec c(t),\; t\in [t_1, t_2]</math>, jolloin sen evoluutta voidaan esittää muodossa <math display="block">\vec E(t) = \vec c(t) + \rho (t) \vec n(t)</math>, missä <math>\rho (t)</math> on käyrän kaarevuussäde ja \vec n(t)</math> sitä vastaan kohtisuora [[yksikkövektori]].

Säännöllisen käyrän ominaisuuksia tutkittaessa on edullista käyttää parametrina sen [[kaaren pituus|kaaren pituutta]] <math>s</math>, koska silloin <math display="inline">\left|\vec c'\right| = 1</math> ja <math display="inline">\vec n' = -\vec c'/\rho</math>. Silloin evoluutan <math display="inline">\vec E=\vec c +\rho \vec n </math> tangenttivektoriksi saadaan

<math display="block">\vec E' = \vec c' +\rho'\vec n + \rho\vec n' = \rho'\vec n\ .</math>

Tästä yhtälöstä seuraavat seuraavat evoluutan ominaisuudet:

* Pisteissä, joissa <math>\rho' = 0</math>, evoluutta ei ole *säännöllinen*. Tämä merkitsee, että pisteitä, joissa käyrän [[kaarevuus]] saa lokaalin maksimi- tai minimiarvon, vastaa evoluutalla kärkipiste, kuten jäljempänä olevat kuvat [[paraabeli]]n, [[ellipsi]]n, [[sykloidi]]n ja [[nefroidi]]n evoluutoista osoittavat.
* Jos jokin evoluutan kaari ei sisällä tällaista kärkipistettä, kaaren pituus on yhä suuri kuin kaarevuussäteiden erotus sen päätepisteistä. Tämän seikan avulla voidaan helposti todistaa oskuloivia ympyröitä koskeva [[Taitin-Kneserin lause]].
*Käyrän normaalit pisteissä, jossa sillä on nollasta poikkeava kaarevuus, ovat sen evoluutan tangentteja. Sen sijaan käyrän normaalit pisteissä, joissa sen kaarevuus on nolla, ovat sen evoluutan [[asymptootti|asymptootteja]]. Näin ollen evoluutta on samalla käyrän normaalien verhokäyrä.
*[[Paralleelinen käyrä|Paralleelisilla käyrillä]] eli käyrillä, joiden välinen etäisyys on vakio, on sama evoluutta.
*Todistus:* Käyrällä, jonka etäisyys annetusta käyrästä on <math>d</math>, on parametriesitys <math>\vec c_d = \vec c + d\vec n</math> ja kaarevuussäde <math>\rho_d=\rho -d</math> Niinä sen evoluutta on <math display="block">\vec E_d = \vec c_d +\rho_d \vec n =\vec c +d\vec n +(\rho -d)\vec n=\vec c +\rho \vec n = \vec E\; .</math>

== Esimerkkejä ==
=== Paraabelin evoluutta ===
Paraabelille, jolla on parametriesitys <math>(t,t^2)</math>, saadaan edellä esitettyjen kaavojen avulla evoluutan parametriesitykseksi:
<math display="block">X=\cdots=-4t^3</math>
<math display="block">Y=\cdots=\frac{1}{2} + 3t^2 \, ,</math>
Niinpä sen evoluutta on [[puolikuutioinen paraabeli]] (, jonka [[yhtälö]] on <math>y = \frac{1}{2} + 3(\frac{x}{4})^\frac{2}{3}</math>

=== Ellipsin evoluutta ===

Ellipsillä on parametriesitys <math>a\cos t, b\sin t</math> Sen evoluutalle saadaan parametriesitys
<math display="block">X= \cdots = \frac{a^2-b^2}{a}\cos ^3t</math>
<math display="block">Y= \cdots = \frac{b^2-a^2}{b}\sin ^3t \; .</math>
Evoluutta on epäsymmetrinen [[astroidi]].
Eliminoimalla parametri 't* saadaan käyrälle yhtälö
(aX)^{\tfrac{2}{3}} +(bY)^{\tfrac{2}{3}} = (a^2-b^2)^{\tfrac{2}{3}}\ .

### Sykloidin evoluutta

Sykloidilla on parametriesitys (r(t - \sin t), r(1 - \cos t)). Sen evoluutalle saadaan parametriesitys

X=\cdots=r(t + \sin t)
Y=\cdots=r(\cos t - 1).
Sykloidin evoluutta on siis toinen alkuperäisen kanssa yhtenevä sykloidi, joka saadaan alkuperäisestä yhdensuuntaissiirrolla.

## Joidenkin käyrien evoluuttoja

Kuten edellä todettiin, paraabelin evoluutta on puolikuutioinen paraabeli, ellipsin evoluutta astroidi ja sykloidin evoluutta sykloidi. Ympyrän evoluutta käsittää vain sen keskipisteen. Suoralla ei varsinaisesti ole evoluuttaa, mutta sen evoluutan voidaan sanoa olevan äärettömän kaukainen ideaalipiste.

Nefroidin evoluutta on toinen, alkuperäistä puolet pienempi nefroidi. Astroidin evoluutta on kaksi kertaa alkuperäisen kokoinen nefroidi. Kardioidin evoluutta on kardioidi, joka on kooltaan kolmasosa alkuperäisestä. Deltoidin evoluutta on kolme kertaa alkuperäisen kokoinen deltoidi.  Logaritmisen spiraalin evoluutta on toinen logaritminen spiraali, joka eräissä tapauksissa yhtyy alkuperäisiin spiraaleihin.  Traktrix-käyrän evoluutta on ketjuviiva.


Kuva:Ellipse evolute.svg|Ellipsin evoluutta on astroidi
Kuva:Evolute1.gif|Ellipsin evoluutta säteiden jatkeiden verhokäyränä
Kuva:Evolute of astroid.gif|Astroidin evoluutta näyttää astroidilta
Kuva:Evolute of cycloid.gif|Sykloidin evoluutta
Kuva:Evolute of epicycloid.gif|Episykloidin evoluutta
Kuva:Evolute of tractrix.gif|Tractrixin evoluutta on ketjukäyrä


## Lähteet