Cauchyn jono

**Cauchyn jono** eli **Cauchy-jono** on jono, jonka jäsenet kasautuvat mielivaltaisen lähelle toisiaan jonon edetessä eli joka toteuttaa ehdon:

:jokaista positiivista reaalilukua \epsilon>0 kohti voidaan valita sellainen posi­tiivinen kokonais­luku *n*, että  |a_{n+p}-a_{n}| kaikilla epänegatiivisilla kokonais­luvuilla *p* (eli p = 0, 1, 2, 3, \dots).

Tätä kutsutaan  *Cauchyn yleiseksi suppenemisehdoksi* ranskalaisen matemaatikon Augustin-Louis Cauchyn (1789−1857) mukaan, joka totesi, että reaalilukujen jono (a_{n}) suppenee, jos ja vain jos se toteuttaa ehdon. 

Cauchyn jonot voidaan vastaavalla tavalla määritellä missä tahansa metrisessä avaruudessa, mutta tällöin ne eivät välttämättä suppene. Metristä avaruutta sanotaan *[[täydellisyys|täydelliseksi]]*, jos siinä kaikki Cauchyn jonot suppenevat eli niillä on raja-arvo. Näin on laita esimerkiksi reaalilukujen joukossa. Sitä vastoin rationaalilukujen joukko ei ole metrisenä avaruutena täydellinen, sillä rationaaliluvuista voidaan muodostaa Cauchyn jonoja, joilla ei ole raja-arvoa rationaalilukujen joukossa. Sellainen on esimerkiksi lukujen \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n jono, n=1,2..., jonka raja-arvo reaalilukujen joukossa on Neperin luku e.

Cauchyn jonon alkioille (a_{1}, a_{2}, a_{3},...) pätee 
:\lim_{\min(m, n)\rightarrow\infty} d(a_{m}, a_{n}) = 0, 
missä d on avaruuden annettu metriikka (alkioiden etäisyys).

Rationaaliluvuista koostuvien Cauchyn jonojen ekvivalenssiluokkiin perustuvan reaalilukujen määritelmän esittivät vuonna 1872 ranskalainen Charles Méray (1835−1911) ja saksalainen Karl Weierstrass (1815−1897) oppilaineen. 

## Cauchyn yleisen suppenemisehdon todistus
Oletetaan ensin Cauchyn yleisen suppenemisehdon pätevän lukujonolle (x_n) ja osoitetaan sen suppenevan. 

Tiedetään, että jokaisella lukujonolla on olemassa monotoninen osajono. Olkoon osajono (x_{n_k}) lukujonon (x_n) monotoninen osajono. 

Cauchyn yleisen suppenemisehdon nojalla on olemassa s siten, että 
:
|x_n - x_{n_k}| = |x_{n_k} - x_n| 
kun n \geq s ja n_k \geq k \geq s. 

Kolmioepäyhtälön nojalla 
:
\begin{align}
|x_{n_k}| 
  & = |x_{n_k} - x_s + x_s| \\ 
  & \leq |x_{n_k} - x_s| + |x_s| \\ 
  & 
kun k \geq s. Joukko 
:
A = \{|x_{n_1}|, |x_{n_2}|, \dots, |x_{n_s}| \}

on äärellinen, joten sillä on olemassa maksimi M = \max A. Täten 
:
|x_{n_k}| \leq \max\{M, 1 + |x_s|\}

kaikilla k. 

Osajono |x_{n_k}| on rajoitettu, joten Bolzanon–Weierstrassin lauseen nojalla se suppenee: 
:
x_{n_k} \to a, \ \text{kun} \ n \to \infty. 


Olkoon \varepsilon > 0 mielivaltainen. Koska Cauchyn yleinen suppenemisehto on voimassa ja osajono (x_{n_k}) suppenee, niin on olemassa m_1 ja m_2 siten, että 
:
\begin{align}
|x_n - x_{n_k}| 
Valitaan m = \max\{m_1, m_2\}. Kolmioepäyhtälön nojalla
:
\begin{align}
|x_n - a| 
  & = |x_n - x_{n_m} + x_{n_m} - a| \\ 
  & \leq |x_n - x_{n_m}| +  |x_{n_m} - a| \\ 
  & 
kun n \geq m. 

Täten 
:
x_n \to a, \ \text{kun} \ n \to \infty, 

eli lukujono (x_n) suppenee. 

Oletetaan sitten lukujonon (x_n) suppenevan ja osoitetaan Cauchyn yleisen suppenemisehdon pätevän. 

Olkoon \varepsilon > 0 mielivaltainen ja olkoon a, jolle pätee x_n \to a, kun n \to \infty. Tällöin on olemassa m siten, että 
:
|x_n - a| 
Kolmioepäyhtälön nojalla
:
\begin{align}
|x_n - x_k| 
  & = |x_n - a + a - x_k| \\ 
  & \leq |x_n - a| + |a - x_k| \\
  & 
kun n \geq m ja k \geq m, joten Cauchyn yleinen suppenemisehto pätee. 

Osoitettiin, että reaalilukujono suppenee, jos ja vain jos se toteuttaa Cauchyn yleisen suppenemisehdon.

## Lähteet

* 

### Viitteet

## Kirjallisuutta
* 
*   (pdf)