Mollweiden projektio

**Mollweiden projektio** on lieriöprojektioista muokattu karttaprojektio, jota käytetään yleisesti maailmankartoissa ja myös tähti­kartoissa. Se tunnetaan myös nimillä *Babinet’n projektio*, *homalo­grafinen projektio* ja *elliptinen projektio*. Kuten sen täsmällisempi nimi *Mollweiden oikea­pintainen projektio* osoittaa, tämän projektion mukaisissa kartoissa eri alueiden pinta-alojen suhteet ovat oikeat, mutta kulmat ja alueiden muodot vääristyvät suuresti varsinkin kartan reunoilla. Mollweiden projektiota käytetään varsinkin sellaisissa kartoissa, joissa pinta-alojen oikeellisuutta pidetään tärkeämpänä kuin alueiden muotojen, esimerkiksi kartoissa, jotka kuvaavat jonkin asian jakautumista maapallon eri alueille.

Projektion julkaisi ensimmäisenä matemaatikko ja tähti­tieteilijä Karl Brandan Mollweide (1774-1825) Leipzigissa vuonna 1805. Yleisemmin tunnetuksi sen teki Jacques Babinet vuonna 1857, jolloin hän antoi sille nimen *homalo­grafinen projektio*. Tällä nimellä sitä käytettiin 1800-luvulla yleisesti tähtikartoissa.

## Matemaattinen määritelmä

Mollweiden projektiossa maanpinnan kohta, jonka leveysaste on \phi ja pituusaste eroaa sovitusta keski­meridiaanista kulman \lambda verran, kuvataan taso­pinnan pisteeseen (x,y), jonka koordinaatit ovat:

:x = \frac{2 \sqrt 2}{\pi} \lambda \cos\left(\theta \right),

:y = \sqrt 2 \sin\left(\theta \right),\,

missä apukulma \theta\, määritellään yhtälöllä

:2 \theta + \sin(2 \theta) = \pi \sin(\phi)\qquad (1)

Yhtälö (1) voidaan ratkaista Newtonin menetelmällä, jolloin lauseke suppenee nopeasti muualla paitsi napojen läheisyydessä:

: \theta_0 = \phi,\,
: \theta_{n+1} = \theta_n - \frac{(2\theta_n + \sin(2\theta_n) - \pi \sin(\phi))}{2 + 2\cos(2\theta_n)}.\,

Jos φ = ±π/2, on myös θ = ±π/2. Tässä tapauksessa Newtonin menetelmän mukaista iteraatiota ei voida suorittaa, sillä se saattaa johtaa nollalla jakoon. 

## Ominaisuudet

Mollweiden projektio on pseudo­sylindrinen projektio, jossa päiväntasaaja on vaakasuora viiva. Se on kohtisuorassa tiettyä, kartan keskikohdan kautta kulkevaa pituuspiiriä vastaan, jonka pituus on puolet päiväntasaajan pituudesta.  Leveys­piirien väli­matkat kartalla pienenevät napoja kohti mentäessä, kun taas pituus­piirit leikkaavat päivän­tasaajan tasaisin välein. Pituus­piirit 90 astetta keskipituuspiirin itä- ja länsipuolella muodostavat täydellisen ympyrän, ja koko maapalloa esittää ellipsin muotoinen alue, jonka pituus on kaksi kertaa niin suuri kuin leveys. Pinta-alojen suhde ellipsin sekä minkä tahansa kahden leveys­piirin välillä on sama kuin vastaavien pinta-alojen suhde maapallolla, mutta alueiden muodot vääristyvät varsinkin kartan reunojen läheisyydessä, joskaan eivät niin paljon kuin sinusoidaalisessa projektiossa.

Muotojen vääristymistä voidaan vähentää käyttämällä projektion *lohkottua* muunnosta. *Sinusoidaalisessa lohkotussa* Mollweiden projektiossa ei ole yhtä keski­pituus­piiriä vaan useita keskipituuspiirin tavoin käsiteltyjä pituus­piirin puolikkaita, jotka kohtaavat päivän­tasaajan suorassa kulmassa, vuorotellen kummaltakin puolelta. Täten maan pinta jakautuu lohkoihin.  Sitä vastoin *yhdensuuntaisesti lohkotussa* Mollweiden projektiossa käytetään useita erillisiä keski­pituus­piirejä, jolloin maan pinta jakautuu useampaan ellipsiin, jotka sivuavat toisiaan päivän­tasaajalla. Harvemmin projektiota käytetään vino­asentoisena siten, että muotojen vääristymät keskittyvät valtameriin, jolloin manteret pysyvät paremmin oikean muotoisina.

Mollweiden projektion pohjalta on kehitetty useita muita kartta­projektioita kuten Gooden homolosini­projektio, van der Grintenin projektio ja Boggsin eumorfinen projektio.

## Lähteet

## Aiheesta muualla

*Java-appletti, jolla voidaan tutkia pinta-alan, etäisyyksien ja kulmien vääristymistä Mollweiden projektiossa 
*Mollweide Projection Mathworldissa