Tangentiaalinen nelikulmio

**Tangentiaalinen nelikulmio** eli **ympyrän ympäri piirretty nelikulmio** on geometriassa nelikulmio, jonka jokainen sivu sivuaa sisään piirrettyä ympyrää. Ympyrää voidaan kutsua nelikulmion sisäympyräksi ja sivuja ympyrän tangenteiksi tai tangenttijanoiksi.

Nimitys tangentiaalinen nelikulmio on suora käännös sanoista .

## Ominaisuuksia
* Jos merkitään puolipiiriä eli nelikulmion piirin puolikasta s=\tfrac{1}{2} (a+b+c+d), missä neljä lukua ovat sivujen pituuksia, voidaan tangentiaaliselle nelikulmiolle kirjoittaa s=a+c=b+d, eli vastakkaisten sivujen yhteispituus on puolet piiristä. Tämä pätee laajemminkin. Suora, joka kulkee sisäympyrän keskipisteen kautta jakaa piirin, ja myös pinta-alan, kahteen yhtäsuureen osaan.
* Sisäympyrän keskipiste sijaitsee yhtä kaukana nelikulmion sivuista. Kulmanpuolittajat leikkaavat kaikki toisensa sisäympyrän keskipisteessä.
* Viereisten kulmien puolikkaiden tangenttien tulo on aina 1, joten esimerkiksi \tan {\frac{\alpha}{2}} \cdot \tan{\frac{\gamma}{2}}=1 ja \tan {\frac{\beta}{2}} \cdot \tan{\frac{\delta}{2}}=1. 
* Lävistäjien eri puolille syntyviin kolmioihin piirretyt sisäympyrät ovat tangentiaalisia myös toisilleen.
* Tällaisen nelikulmion pinta-ala on A=rs,  missä r on sisäympyrän säde.
* Sisäympyrän säde voidaan johtaa alan, piirinpuolikkaan ja Bretschneiderin lauseen avulla
:r= \frac{\sqrt{4 p^2 q^2 -(a^2-b^2+c^2-d^2)^2}}{2(a+b+c+d)} = \frac{\sqrt{p^2 q^2 -(a-b)^2 (a+b-s)^2}}{2s} 
::= \sqrt{\frac{b c d + a c d + a b d + a b c}{a+b+c+d}} 
missä p ja q ovat nelikulmion lävistäjiä.

## Erikoistapauksia
### Neliö

Neliö on säännöllinen nelikulmio, joten sen sivut ovat saman pituiset ja sen kulmat ovat yhtä suuret (suorat kulmat 90°). Ympyrä sivuaa neliön kulmaa sivun keskikohdasta ja siksi myös sisäympyrän säde **r** on puolet sivun pituudesta. Tätä etäisyyttä kutsutaan myös **apoteemaksi** kuten muissakin säännöllisissä monikulmioissa. Sisäympyrän keskipisteestä piirretyt säteet puolittavat neliön kulman. Neliön lävistäjä on samalla neliöä ympäröivän ympyrän halkaisija, jolloin ulkoympyrän säde **R** on puolet lävistäjästä. Kun sivun pituus on **a**, saadaan
:r = \frac{1}{2}a  sekä R = \frac{\sqrt{2}}{2}a .

### Neljäkäs

Neljäkäs on tasasivuinen nelikulmainen suunnikas, jonka kulmat eivät ole neliön tapaan suorat. Vastakkaiset kulmat ovat aina samansuuruiset ja vierekkäiset kulmat α ja β ovat toistensa komplementtikulmat eli \beta = 90^\circ - \alpha. Laskuissa tullaan käyttämään näiden kulmien puolikkaita, joten \alpha = 2\gamma eli \gamma = \tfrac{1}{2}\alpha.

Jos päätetään aluksi kulma \gamma = \tfrac{1}{2}\alpha, voidaan muut parametrit löaske seuraavasti. Neljäkkään sisäympyrä sivuaa sen kaikkia sivuja samalla tavalla niin, että sivuamispisteet osittavat ne kahdeksi eripituiseksi tangenttijanaksi. Sivun AB tangenttijanat ovat AJ = tA ja JB = tB, jotka yhdessä muodostavat neljäkkään sivun
:a = t_A + t_B.
Tangenttijanojen pituudet saadaan laskettua suorakulmaisista kolmioista
:t_A = r \cot \gamma (kolmiosta \Delta AJO) 
ja 
:t_B = r \tan \gamma (kolmiosta \Delta OJB). 
Tangenttijanojen pituudet voidaan määrittä, kun säde tunnetaan. Se saadaan sivun pituudesta
:a = t_A + t_B = r \cot \gamma + r \tan \gamma = r (\cot \gamma + \tan \gamma) eli 
:r = \frac{a}{\cot \gamma + \tan \gamma}.

Toisaalta, jos päätetään aluksi tangenttijanojen pituudet, voidaan niiden avulla laskea muut parametrit. Neljäkkään **sisäympyrän generoivan polynomin** kertoimet ovat 
::S_1^4 = t_A + t_B + t_C + t_D = 2t_A + 2t_B = 2(t_A + t_B),
koska tA = tC ja tB = tD, ja vielä
::S_3^4 = t_At_Bt_C + t_Bt_Ct_D + t_Ct_Dt_A + t_Dt_At_B = 2(t_A^2t_B +t_At_B^2) = 2t_At_B(t_A + t_B).

Polynomi saa muodon
:S_1^4 r^2 - S_3^4 = 0  eli
:2(t_A + t_B) r^2 - 2t_At_B(t_A + t_B) =0
jonka positiivinen juuri on
:r = \sqrt{\frac{2t_At_B \cancel{(t_A + t_B)}}{2 \cancel{(t_A + t_B)}}} = \sqrt{t_At_B}.
Viimeisestä lausekkeesta voidaan laskea myös neliön sisäympyrän säde, kun t_A = t_B = \tfrac{1}{2}a.

## Katso myös
* Syklinen nelikulmio, jossa ympyrä on piirretty nelikulmion ulkopuolelle.
* Bisentrinen nelikulmio, joka on samalla syklinen- ja tangentiaalinen nelikulmio.
* Säännöllinen monikulmio, jossa ympyrät ovat merkittävässä roolissa.

## Lähteet
* 

### Viitteet