Sivuluokka

**Sivuluokka** on matematiikan osa-alueen ryhmäteorian käsite. Jos H on ryhmän G aliryhmä ja a \in G \ , niin ryhmän G osajoukkoa
:aH = \left\{ ah | h \in H \right\}
kutsutaan alkion *a* määräämäksi aliryhmän H **vasemmaksi sivuluokaksi**. Vastaavasti osajoukkoa
:Ha = \left\{ ha | h \in H \right\}
kutsutaan alkion *a* määräämäksi aliryhmän H **oikeaksi sivuluokaksi**. Vasempia ja oikeita sivuluokkia kutsutaan yhteisellä nimellä *sivuluokka*, mikäli puolella ei ole merkitystä. Yleisessä tapauksessa tosin aH \not = Ha \ . Aliryhmää H, jolla pätee aH = Ha \  kaikilla a \in G \  sanotaan ryhmän G normaaliksi aliryhmäksi. Esimerkiksi kaikkien Abelin ryhmien aliryhmät ovat normaaleja. 

Sivuluokilla on merkittävä osa ryhmäteoreettisissa tarkasteluissa. Sivuluokkien avulla voidaan esimerkiksi helposti todistaa Lagrangen lause ja ne esiintyvät myös ryhmän tekijäryhmien alkioina.

## Ominaisuuksia
Olkoon H on ryhmän G aliryhmä ja a,b \in G \ . Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä
*alkio *b* kuuluu alkion *a* määräämään aliryhmän H vasempaan sivuluokkaan,
*aH = bH \  eli alkioiden *a* ja *b* määräämät aliryhmän H vasemmat sivuluokat ovat samat,
*Ha^{-1} = Hb^{-1} \  eli alkioiden *a* ja *b* käänteisalkioiden määräämät aliryhmän H oikeat sivuluokat ovat samat ja
*a^{-1}b \in H. \ 

Erityisesti viimeinen ehto osoittautuu hyödylliseksi, sillä relaatio a \sim b \ : a^{-1}b \in H \  kaikilla a,b \in G \  on joukon G ekvivalenssirelaatio. Tämän relaation ekvivalenssiluokat ovat aliryhmän H vasemmat sivuluokat. Täten vasemmat sivuluokat ovat keskenään pistevieraita ja
:G = \bigcup_{a \in G} aH \ 
eli ryhmä G voidaan esittää vasempien sivuluokkien unionina. Aliryhmäkriteerin nojalla aliryhmä H on eräs omista sivuluokistaan.

Koska funktio
:f: H \rightarrow aH, f(h) = ah \ 
on bijektio kaikilla a \in G \ , niin aliryhmällä H on sama mahtavuus kaikkien vasempien sivuluokkiensa kanssa. Erityisesti, mikäli H on äärellinen ryhmä, niin aliryhmän H kaikissa sivuluokissa on yhtä monta alkiota.

Kaikki edellä esitellyt ominaisuudet pätevät sopivin muutoksin myös oikeille sivuluokille. Lisäksi koska kuvaus
:g: \left\{ aH | a \in G \right\} \rightarrow \left\{ Ha | a \in G \right\}, f(aH) = Ha^{-1} \ 
on hyvin määritelty ja bijektio, niin aliryhmän H vasempien sivuluokkien joukko on yhtä mahtava oikeiden sivuluokkien joukon kanssa. Erityisesti, mikäli vasempia sivuluokkia on äärellinen määrä, niin aliryhmän H vasempien sivuluokkien lukumäärä on sama kuin aliryhmän H oikeiden sivuluokkien lukumäärä. Tätä lukua kutsutaan aliryhmän H indeksiksi ryhmässä G.

Hallin todistaman lauseen mukaan, mikäli H \leq G \  ja aliryhmän indeksi ryhmässä G on *n*, niin voidaan valita sellaiset alkiot t_1, t_2, \ldots, t_n \in G \ , että lista t_1H, t_2H, \ldots, t_nH sisältää kaikki vasemmat sivuluokat ja lista Ht_1, Ht_2, \ldots, Ht_n sisältää kaikki oikeat sivuluokat.

## Muuta huomionarvoista
Ryhmän multiplikatiivisessa esityksessä sivuluokkia merkitään yleensä aH ja Ha, additiivisessa a + H ja H + a. Tässä merkinnässä H:n paikalle ajatellaan sijoitetuksi jokainen H:n alkio erikseen, jolloin saadaan täsmälleen sivuluokan alkiot.

Erityisesti renkaiden ollessa kyseessä sivuluokkia kutsutaan myös jäännösluokiksi.

## Lähteet