Ekvivalenssiluokka

**Ekvivalenssiluokka** on jonkin ekvivalenssirelaation määrittelemä annetun joukon osajoukko, johon kuuluvat ne alkiot, jotka kyseisessä relaatiossa ovat ekvi­valentteja jonkin annetun alkion kanssa. Tällöin samaan ekvi­valenssi­luokkaan kuuluvat alkiot katsotaan tietyssä mielessä samankaltaisiksi.  Ekvi­valenssi­luokka on siis joukko [a]=\{x\in A|xRa\}, missä R on joukon A ekvivalenssi­relaatio ja a\in A.

Ekvi­valenssi­relaation määritelmästä seuraa, että ekvi­valenssi­luokat muodostavat joukon osituksen. Ekvi­valenssi­luokkien joukkoa sanotaan joukon A *[[tekijäjoukko|tekijä­joukoksi]]* relaation *R* suhteen, ja sitä merkitään *A* / *R*.

Kun joukolla *A* on jokin struktuuri ja ekvi­valenssi­relaatio liittyy jollakin tavalla tähän struktuuriin, tekijä­joukkoon periytyy usein samankaltainen struktuuri. Esimerkkejä tästä ovat tekijäryhmät ja tekijä­renkaat abstraktissa algebrassa sekä tekijäavaruudet topologiassa.

## Merkintä ja muodollinen määritelmä

Ekvi­valenssi­relaatio on binäärirelaatio *~*, jolla on seuraavat kolme ominaisuutta:

* Jokainen joukon *X* alkio *a* on relaatiossa itsensä kanssa eli a \sim a (refleksiivisyys)
* Jos a \sim b, niin b \sim a (symmetrisyys)
* Jos a \sim b ja b \sim c, niin a \sim c (transitiivisuus)

Sille ekvi­valenssi­luokalle, johon alkio *a* kuuluu, käytetään merkintää [a], ja se määritellään niiden alkioiden joukkona, jotka ovat relaatiossa *~* alkion *a* kanssa eli *ekvi­valentteja* alkion *a* kanssa:
:[a] = \{ x \in X \mid a \sim x \}

Jos ekvi­valenssi­relaatiolle käytetään merkintää *R*, voidaan sille ekvi­valenssi­luokalle, johon *a* kuuluu, käyttää myös merkintää a_R. Sitä sanotaan myös *a*:n *R*-ekvi­valenssi­luokaksi.

Kaikkien *X*:n ekvi­valenssi­luokkien joukolle ekvi­valenssi­relaation *R* suhteen käytetään merkintää X/R, ja sitä sanotaan *X*:n tekijäjoukoksi *R*:n suhteen. Siitä voidaan käyttää myös nimitystä *X* **modulo** *R*. Surjektiota x\mapsto [x] joukosta *X* joukolle *X*/*R*, joka kuvaa jokaisen alkion ekvi­valenssi­luokalleen, sanotaan *kanoniseksi surjektioksi* tai *kanoniseksi projektioksi*.

Kun jokaisesta ekvi­valenssi­luokasta valitaan yksi alkio, tämä määrittelee injektion, jota sanotaan *sektioksi*. Jos tälle sektiolle käytetään merkintää *s*, saadaan [s(c)] = [c] jokaiselle ekvi­valenssi­luokalle *c*. Alkiota *s*(*c*) sanotaan *c*:n **edustajaksi**. Valitsemalla sektio sopivasti voidaan mikä tahansa alkio valita ekvi­valenssi­luokan edustajaksi.

Toisinaan jotakin sektiota voidaan pitää "luonnollisempana" kuin muita. Sellaisissa tapauksissa ekvi­valenssi­luokkien edustajia sanotaan *kanonisiksi edustajiksi*. Esimerkiksi modulaarinen aritmetiikka perustuu kokonaislukujen joukossa määriteltyyn ekvi­valenssi­relaatioon, jossa a ~ b, jos a - b on jaollinen annetulla kokonais­luvulla *n*, jota sanotaan *modulukseksi*. Jokaiseen ekvi­valenssi­luokkaan kuuluu vain yksi ei-nega­tiivinen kokonais­luku, joka on pienempi kuin *n*, ja nämä ovat luokkien kanoniset edustajat. Luokka ja sen kanoninen edustaja voidaan tietyssä mielessä samastaa, minkä vuoksi merkintää *a* mod *n* voidaankin käyttää sekä luokasta että sen kanonisesta edustajasta (joka on samalla jakojäännös, kun *a* jaetaan *n*:llä).

## Esimerkkejä

* Olkoon *X* on kaikkien autojen joukko ja *~* ekvi­valenssi­relaatio "on saman värinen kuin". Tällöin yhden ekvi­valenssi­luokan muodostavat kaikki vihreät autot. Tekijäjoukko *X*/*~* voidaan luonnollisesti samastaa kaikkien niiden värien joukon kanssa, joita autoilla on, ja sen kardinaliteetti on autojen eri värien lukumäärä.
* Olkoon *X* kaikkien suomenkielisten etunimien joukko ja *~* ekvi­valenssi­relaatio "alkaa samalla kirjaimella kuin". Tällöin ekvi­valenssi­luokat ovat [Aatami]={Aatami, Anna, Antti, Aino,...} [Belle]={Belle, Bettiina,...} ja niin edelleen aina aakkosten loppuun asti. Tällöin ekvi­valenssi­luokkia on yhtä monta kuin kirjaimia aakkosissa.
* Olkoon *X* on tason kaikkien suorakulmioiden joukko ja *~* ekvi­valenssi­relaatio "on pinta-alaltaan yhtä suuri kuin". Tällöin jokaista positiivista reaalilukua *A* vastaa ekvi­valenssi­luokka, johon kuuluvat kaikki suora­kulmiot, joiden pinta-ala joissakin annetuissa yksiköissä on *A*.
* Olkoon *X* kokonaislukujen joukko \mathbb{Z} ja *~* ja siinä määritelty ekvi­valenssi­relaatio: *x* ~*y*, jos ja vain jos *x* - *y* on parillinen luku. Tällöin ekvi­valenssi­luokkia on kaksi: toiseen kuuluvat kaikki parilliset ja toiseen kaikki parittomat kokonaisluvut. Tässä relaatiossa luvut 7, 9 ja 1 ovat kaikki tekijäjoukon \mathbb{Z}/~ saman alkion edustajia.
* Olkoon *X* jonkin (vähintään viikon pituisen) aikavälin kaikkien päivien joukko ja *~* siinä määritelty ekvi­valensirelaatio: *x* ~ *y*, jos ja vain jos päivästä *x* päivään *y* tai päivästä *y* päivään *x* kuluvien (tai kuluneiden) vuoro­kausien lukumäärä on jaollinen 7:llä. Tämä on yhtä­pitävää sen kanssa, että päivät *x* ja *y* ovat samana viikonpäivänä, ja joukkoon *X*\*~* alkiot eli ekvivalenssi­luokat ovat seitsemän viikonpäivää.
* Olkoon *X* kokonais­lukujen sellaisten järjestettyjen parien (*a*, *b*) joukko, joissa *b* ei ole nolla, ja *~* siinä määritelty ekvi­valenssi­relaatio: (*a*,*b*) ~ (*c*,*d*), jos ja vain jos *ad* = *bc*. Tällöin kutakin ekvi­valenssi­luokkaa (*a*,*b*) vastaa murtoluku *a*/*b*, ja tätä ekvi­valenssi­relaatiota voidaankin käyttää rationaalilukujen muodollisena määritelmänä samastamalla rationaaliluvut tällaisten ekvi­valenssi­luokkien kanssa.  Samalla tavalla voidaan mistä tahansa kokonaisalueesta muodostaa sitä vastaavien "murtolukujen" kunta.
* Olkoon *X* eulidisen tason kaikkien suorien joukko ja määritellään relaatio *~* niin, että *L* ~ *M*, jos ja vain jos suorat *L* ja *M* ovat yhden­suuntaisia tai jos *L* ja *M* ovat sama suora.  Tällöin relaatio on ekvi­valenssi­relaatio, ja kaikkien suorien joukko, jotka ovat yhden­suuntaisia *L*:n kanssa, on ekvi­valenssi­luokka. Jokaista tällaista ekvi­valenssi­luokkaa vastaa tietyn suuruinen kulma, jonka siihen kuuluvat suorat muodostavat esimerkiksi x-akselin suuntaisten suorien kanssa. Samalla jokainen tällainen ekvi­valenssi­luokka määrittelee yhden ideaalisen, äärettömän kaukaisen pisteen.

## Ominaisuuksia

Jokainen alkio x \in X kuuluu johonkin ekvi­valenssi­luokkaan [*x*]. Elleivät ekvi­valenssi­luokat [*x*] ja [*y*] ole samoja, ne ovat pistevieraita eli niillä ei ole yhtään yhteistä alkiota (niiden leikkaus on tyhjä joukko). Näin ollen kaikkien ekvi­valenssi­luokkien joukko muodostaa joukon *X* osituksen: jokainen *X*:n alkio kuuluu yhteen ja vain yhteen ekvi­valenssi­luokkaan. Kääntäen jokaista *X*:n ositusta vastaa ekvi­valenssi­relaatio, jossa *x* ~ *y*, jos ja vain jos *x* ja *y* kuuluvat samaan osituksessa määriteltyyn osajoukkoon.

ekvi­valenssi­relaation ominaisuuksista seuraa, että
:x \sim y, jos ja vain jos [*x*] = [*y*].

* x \sim y
* [x] = [y]
* [x] \cap [y] \ne \emptyset.

## Graafinen esitys

Jokainen binäärirelaatio voidaan esittää suunnatulla graafilla, symmetriset relaatiot myös suuntaamattomilla graafeilla. Jos *~* on joukon *X* ekvi­valenssi­relaatio, graafin kärjet voidaan asettaa vastaamaan joukon *X* alkioita niin, että *s* ja *t* yhdistetään toisiinsa kaarella, jos ja vain jos *s* ~ *t*.  Tässä esityksessä ekvi­valenssi­luokkia niiden graafin solmujen joukot, jotka on yhdistetty keskenään kaarella. 

## Invariantit

Olkoon *~* on *X*:n ekvi­valenssi­relaatio ja *P* jokin sellainen joukon *X* alkioiden ominaisuus, että jos *x* ~ *y* ja alkiolla *x* on ominaisuus *P*, myös alkiolla *y* on ominaisuus P. Tällöin ominaisuutta *P* sanotaan relaation *~* invariantiksi tai että ominaisuus *P* on hyvin määritelty relaation ~ suhteen.

Usein esiintyvän esimerkin tästä muodostaa tapaus, jossa *f* on kuvaus joukosta *X* joukkoon *Y*. Jos *f(*x*<sub>1</sub>) = *f*(*x*<sub>2</sub>* aina, kun *x*1 ~ *x*2, kuvausta *f* sanotaan relaation ~ morfismiksi taikka  *luokkainvariantiksi* tai lyhyemmin *invariantiksi* relaation ~ suhteen.

Samalle asialle käytetään myös ilmaisua, että "*f* on *yhteensopiva* relaation ~ kanssa.

Jokainen funktio *f* ; *X* → *Y* määrittelee samalla myös lähtöjoukossa *X*:n erään ekvi­valenssi­relaation, jossa *x*1 ~ *x*2, jos ja vain jos *f*(*x*1 = *f*(*x*2).  ekvi­valenssi­luokan *x* muodostavat kaikki ne *X*:n alkiot, jotka kuvautuvat *f*(*x*):lle, toisin sanoen luokka [*x*] on joukon {*f*(x*)} [[alkukuva]].  Tätä ekvi­valenssi­relaatiota sanotaan kuvauksen *f* [[kernel]]iksi.

Yleisemmin kuvaus voi kuvata lähtöjoukon *X* ekvi­valentit alkiot (ekvi­valenssi­relaation *~*<sub>*x*</sub> suhteen) maalijoukon *Y* ekvi­valenteille alkioille (ekvi­valenssi­relaation *~*<sub>*y*</sub> suhteen). Tällaista kuvausta sanotaan [[morfismi]]ksi *X*:stä *Y'':hyn.

## Tekijäavaruus
Topologiassa tekijäavaruus on topologinen avaruus, jonka muodostavat jotakin ekvi­valenssi­relaatiota vastaavat ekvi­valenssi­luokat ja jolle topologia muodostetaan käyttämällä alkuperäisen avaruuden topologiaa.

Abstraktissa albebrassa algebrallisen struktuurin kongruenssirelaatiot tekevät mahdolliseksi määritellä vastaavat laskutoimitukset myös ekvi­valenssi­luokille, jolloin saadaan tekijäalgebra. Lineaarialgebrassa tekijä­avaruus on tekijä­joukosta muodostettu vektoriavaruus, jossa tekijähomomorfismi on lineaarikuvaus. Abstraktissa algebrassa termiä tekijä­avaruus käytetäänkin laajentuneessa merkitykessä myös tekijäryhmästä, tekijärenkaasta tai muusta tekijäalgebrasta.

## Lähteet

## Kirjallisuutta

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*