Kalium-argon-ajoitus

**Kalium-argon-ajoitus** (K-Ar-ajoitus) on iänmääritysmenetelmä, jolla ajoitetaan vanhoja fossiileja ja kivikerrostumia. Menetelmää käytetään erityisesti vanhojen kaliumpitoisten tulivuoren purkaustuotteina syntyneiden kivien iän määrittämiseen. Muita sopivia kiviä ovat savikivi, kiille ja evaporiitit. Kalium-argon-ajoitus ei sovellu alle 100&nbsp;000&ndash;300&nbsp;000 vuoden ikäisten kivien ajoittamiseen, sillä kaliumia ei ole nuorissa näytteissä ehtinyt hajota merkittäviä määriä.

## Menetelmä
Alkuaine kalium (K) esiintyy luonnossa kolmena isotooppina (suluissa osuus luonnon kaliumista): 39K (92,23%), 40K (0,0118%), 41K (6,73%). Radioaktiivinen isotooppi kalium-40 (40K) hajoaa puoliintumisajalla 1,3·109 (1,3 miljardia) vuotta ja lopputulos on joko kalsium (40Ca) tai argon (40Ar). Lopputulosten todennäköisyydet eivät ole yhtäsuuret vaan kaliumatomi hajoaa kalsiumiksi 89,1% ja argoniksi 10,9% todennäköisyydellä. Koska argon on jalokaasu, se pääsee pakenemaan kiviaineksesta niin kauan kuin kiviaines on riittävän kuumaa. Kiviaineksen jäähdyttyä ns. sulkeutumislämpötilan alapuolelle hajoamistuotteena syntynyt argon jää vangiksi siihen, ja tämän vuoksi on mahdollista sanoa, kauanko se on ollut jähmeää. Sulkeutumislämpötila vaihtelee eri mineraalien kesken.

Maasta löydetystä kivestä mitataan argonin määrä massaspektrometrillä, samoin kaliumin määrä liekkifotometrillä tai atomiabsorptiospektrometrillä. Tällöin kivinäytteen ikä saadaan kaavasta

:
t = \frac{t_{K}}{\ln 2}\ln\frac{K_f + Ar_f/0.109}{K_f},


missä *t<sub>K</sub>* on kaliumin puoliintumisaika, *K<sub>f</sub>* mitattu kaliumpitoisuus ja *Ar<sub>f</sub>* mitattu argonpitoisuus. Erityisesti kannattaa huomata, ettei menetelmän soveltamiseksi ole tarpeen tehdä oletuksia kaliumin alkuperäisestä määrästä.

Yleensä kivessä on alkuperäinen argon-40 -konsentraatio, jolloin luotettavan ajanmäärityksen saamiseksi täytyy konstruoida isokrooni vertaamalla näyteisotooppien konsentraatioita stabiilin argon-36 :n konsentraatioon. Usein voidaan kuitenkin olettaa argonin initiaalisuhteen [40Ar/36Ar]0 olleen kiven syntyhetkellä saman 295,5 kuin mitä se on nykyään, jolloin isokrooni on mahdollista konstruoida yhden ainoan näytteen pohjalta.

Kalium-argon-menetelmä on virhelähteille altis niin kuin muutkin radioaktiivisen iänmääritysmenetelmät ja näytteitä on käsiteltävä huolella, varoen niiden altistumista esimerkiksi ilmakehän argonille. Ajoitusmenetelmän soveltaminen tuhoaa tutkittavan kivinäytteen, mikä tuo omia rajoitteitaan sen soveltamiseen.

### K-Ar -ajoituksen kaava
K-Ar -ajoituksen kaava voidaan johtaa seuraavasti: 

Oletetaan, että alun perin kivessä ei ole Ar-ytimiä. Kaliumatomien määrä *P* hetkellä *t* on hajoamislain avulla P=P_0 e^{-(\lambda_A+\lambda_C)t}, missä alaindeksit *A* ja *C* osoittavat hajoamisvakion arvoa kaliumin hajotessa argoniksi ja kalsiumiksi. Vastaavasti argontyttärien määrä *D*A lisääntyy differentiaaliyhtälön \frac{\textrm{d}D_A}{\textrm{d}t}=\lambda_A P mukaisesti. Sijoittamalla aiempi tähän saadaan

:\frac{\textrm{d}D_A}{\textrm{d}t}=\lambda_A P_0 e^{-(\lambda_A+\lambda_C)t}\,

Tämä on 1. kertaluvun homogeeninen differentiaaliyhtälö. Erotetaan muuttujat, jolloin saadaan ratkaisu

:D_A = -\frac{\lambda_A P_0}{\lambda_A+\lambda_C}e^{-(\lambda_A+\lambda_C)t}+c_0\,

Jos alkuehtona on, että tyttärien määrä hetkellä t=0 on D_A=0, saadaan integroimisvakion *c*0 arvoksi

:c_0 = \frac{\lambda_A P_0}{\lambda_A+\lambda_C}\,

Sijoitetaan tämä edelliseen ja käytetään *P*:n lauseketta kaliumin alkuperäisen määrän *P*0 ilmaisemiseksi:

:D_A = \frac{\lambda_A P}{\lambda_A+\lambda_C} \left[e^{(\lambda_A+\lambda_C)t}-1 \right]\,

Nyt voidaan ratkaista aika *t*, joka on kulunut hajoamisen alkamisesta:

:t = \frac{1}{\lambda_A+\lambda_C}\ln \left[\frac{(\lambda_A+\lambda_C)D_A}{\lambda_A P}+1\right] \,

Kirjoitetaan kaliumatomien ja argonatomien lukumäärät pitoisuuksina *K<sub>f</sub>* ja *Ar<sub>f</sub>*, sekä merkitään kaliumin kokonaishajoamisvakio \lambda_K = \ln 2 / t_K = \lambda_A+\lambda_C, missä *t<sub>K</sub>* on kaliumin puoliintumisaika. Näin saadaan

:t = \frac{t_{K}}{\ln 2}\ln\frac{K_f + Ar_f\cdot b}{K_f}\,

missä vakio *b* kertoo kaliumin kokonaishajoamisvakion ja argoniksi muuttumisen osahajoamisvakion suhteen. 

## Lähteet

## Aiheesta muualla
*40Ar/39Ar step-heating. 
*