Lukujono

**Lukujono** tai yksinkertaisesti jono on järjestetty luettelo tietyn lukujoukon alkioista. 
* Sama luku voi toistua lukujonossa määräämättömän monta kertaa.
* Lukujonot ovat *samoja*, kun niissä on samat jäsenet samassa järjestyksessä.
* Lukujono merkitään yleensä sulkuihin, ja sen jäsenet eli *termit* tai *alkiot* erotetaan toisistaan pilkuilla.

Lukujono on *äärellinen* eli *päättyvä*, jos sen pituus on rajattu, ja se on puolestaan *ääretön* eli *päättymätön*, jos siinä ei ole viimeistä jäsentä. Esimerkiksi (1, 2, 3, 4) ja (9, 66, 102, 9, 102) ovat päättyviä, (e, e, e, e...) ja (2, 4, 6,...) päättymättömiä lukujonoja.

## Määritelmä

Tarkemmin **lukujonolla (a<sub>n</sub>)** tarkoitetaan kuvausta
:a:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{K}
missä \mathbb{N} on luonnollisten lukujen joukko ja \mathbb{K} mikä tahansa lukujoukko. Usein **K**=**[[luonnollinen luku|N]]**, **[[rationaaliluku|Q]]**, **[[reaaliluku|R]]** tai **[[kompleksiluku|C]]**.

Lukujonoa merkitään **a(n) = a<sub>n</sub>**. Indeksoinnin ei välttämättä tarvitse alkaa nollasta, Katso esimerkiksi osajono. Lukuja a0, a1, a2,... nimitetään lukujonon jäseniksi. Jos lukujonon jäsenet ovat reaalilukuja, sanotaan, että (an) on reaalilukujono, jos taas jäsenet ovat rationaalilukuja, sanotaan, että (an) on rationaalilukujono, jne.

Jono on kasvava, jos kaikilla *n* pätee *x<sub>n</sub>* ≤ *x<sub>n+1</sub>* ja aidosti kasvava, jos kaikilla *n* pätee *x<sub>n</sub>* &lt; *x<sub>n+1</sub>*. Vastaavasti määritellään vähenevä ja aidosti vähenevä lukujono. Lukujono on monotoninen, jos se on joko kasvava tai vähenevä.

## Erikoistapauksia
### Aritmeettinen lukujono

Aritmeettinen lukujono on sellainen lukujono, jonka peräkkäisten jäsenten erotus d on vakio. Aritmeettisen lukujonon yleinen termi on a_n = a_1 + d(n-1).

### Geometrinen lukujono

Geometrinen lukujono on sellainen lukujono, jonka peräkkäisten jäsenten osamäärä q on vakio. Jos q on esimerkiksi 1,1, tarkoittaa se sitä, että lukujonon seuraava jäsen on aina 10% edellistään suurempi. Esim. 1, 1.1, 1.21, 1.331, 1.4641 ... . 

Geometrisen lukujonon yleinen termi on a_n = a_1 q^{(n-1)}.

## Esimerkkejä

1. (a_n)=n tarkoittaa luonnollisten lukujen jonoa, joka on määritelty analyyttisesti ja jossa a_0=0, a_1=1 ...
* Toisin sanoen (a_n)= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...
2. (a_n)=n^2 tarkoittaa luonnollisten lukujen jonoa, jossa a_0=0, a_1=1, a_2=4,...

3. Fibonaccin luvut määritellään rekursiivisesti:
:: \left\{ \begin{matrix} f_1 & = & 1 & \\ f_2 & = & 1 & \\ f_{n+1} & = & f_n + f_{n-1}, & n=2, 3, 4... \end{matrix} \right.
* Täten esimerkiksi f_3=f_2 + f_1 = 1+1 = 2, \quad f_4=f_3 + f_2 = 2 + 1 = 3.
* Näin saadaan lukujono 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657...
4. Kun määritellään
:\left\{ \begin{matrix} a_0=2 \\ a_{n+1}=(a_n)^2 \end{matrix} \right.
: saadaan lukujono 2, 22 = 4, 42 = 16, 162 = 256, 2562 = 65536,..., ts. **a<sub>0</sub>**=2, **a<sub>1</sub>**=4, **a<sub>2</sub>**=16, **a<sub>3</sub>**=256,...

5. Lukujono 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42,... kuvaa sitä, kuinka monella tavalla postitiiviset kokonaisluvut 1, 2, 3,... voidaan jakaa kokonaislukupartitioihin eli kokonaislukuihin, joiden summaksi tulee luku itse. Esim. luvulle viisi saadaan seitsemän erilaista ryhmää: 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1 ja 1+1+1+1+1.

6. Lukujono 1, 2, 6, 19, 63, 216, 760, 2725, ... kuvaa ns. kiinnitettyjen (ts. esim. peilikuvat katsotaan erillisiksi tapauksiksi) polyominojen lukumäärää alkioiden lukumäärän n (1, 2, 3, ...) funktiona. Polyominoja voi tutkia myös piirtämällä ruutupaperille pisteitä viivojen risteyskohtiin siten, että mikään piste ei ole muusta kuviosta erillään. Esimerkiksi kolmen pisteen tapauksessa saadaan kuusi hahmoa:


```
.       .     .
. . .     .     . .     . .     . .     . .
          .                       .     .
```


## Lukujonon maksimi ja minimi

Riippumatta äärellisen lukujonon jäsenten määrästä äärellisellä lukujonolla on aina olemassa maksimi ja minimi eli suurin ja pienin alkio. Väite todistetaan induktiolla.  

### Todistus

#### Alkuaskel

Olkoon joukko X = \{ x \}, joten sen maksimi (ja minimi) on itsestään selvästi luku x. Väite siis pätee, kun joukon alkioiden lukumäärä on yksi. 

#### Induktio-oletus
Oletetaan, että mielivaltaisessa äärellisessä joukossa A on n määrä alkiota eli \#A = n \in \N ja että väite pätee. Tällöin joukolla A on olemassa maksimi eli \max A. 

#### Induktioaskel

Olkoon B mielivaltainen joukko, jossa on n + 1 määrä alkiota. Poistetaan joukosta B sen jokin alkio b. Nyt saadaan joukko C = B \setminus \{b\}, jossa on n määrä alkiota, joten sillä on olemassa induktio-oletuksen nojalla \max C. Täten myös joukolla B on olemassa maksimi, joka on \max \{\max C,\ b\}. 

Induktioperiaatteen nojalla mille tahansa mielivaltaiselle äärelliselle joukolle D, jolla \#D \in \N, löydetään aina maksimi. Vastaavalla tavalla todistetaan minimin olemassaolo.

## Osajono

Kun lukujonosta vähennetään nolla tai enemmän alkioita ja järjestys säilytetään, nimitetään tällaista lukujonoa osajonoksi. 

Esimerkiksi

Olkoon (*a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, a<sub>4</sub>, a<sub>5</sub>*, ... ) (termejä äärettömän monta) jono *a*. 

Tällöin jono (*a<sub>2</sub>, a<sub>4</sub>, a<sub>5</sub>*, ...) (termejä silti äärettömän monta) on eräs jonon *a* osajono. 

Huomioitavaa on, että lukujono on myös itse itsensä eräs osajono. 

Osajonon indeksitkin muodostavat oman jononsa (osajono voidaan tällöin esittää muodossa: *a<sub>y<sub>1</sub></sub>, a<sub>y<sub>2</sub></sub>, a<sub>y<sub>3</sub></sub>, a<sub>y<sub>4</sub></sub>*, ...) jota merkitään joskus esimerkiksi *y* = (*y<sub>1</sub>, y<sub>2</sub>, y<sub>3</sub>*, ...). Tällöin pätee aina: *y<sub>n</sub>* ≥ *n*. 

Todistus induktiolla: 

Alkuaskel: *n* = 1, jolloin *y<sub>1</sub>* on minimissään (maksimista ei luonnollisesti tarvitse välittää) 1. Tällöin pätee 1 ≤ *y<sub>1</sub>*. 

Induktio-oletus: *n* ≤ *y<sub>n</sub>*. 

Induktio-askel: *n*+1 ≤ *y<sub>n</sub>*+1. Koska indeksit ovat luonnollisia lukuja, niin pätee *y<sub>n</sub>*+1 ≤ *y<sub>n+1</sub>*, mistä seuraa: *n*+1 ≤ *y<sub>n+1</sub>*, MOT.

### Jokaisella lukujonolla on monotoninen osajono

#### Todistus

Olkoon joukko S = \{n \in \N \mid x_{n} \ge x_{m} \ \text{kaikilla} \ n > m \}. 

:1) Joukossa S on ääretön määrä alkoita. 
  
:S = \{n_{1}, n_{2}, n_{3}, \dots \}, jolle pätee n_{k}  ja x_{n_k} \leq x_{n_{k+1}}  kaikilla k \in \N. Täten osajono (x_{n_{k}}) on kasvava.  
  
:2) Joukko S on äärellinen. 
  
::i) Joukko S on tyhjä, jolloin valitaan r_{1} = 1. 
    
::ii) Joukko S on epätyhjä, jolloin valitaan r_{1} = \max S + 1. 
  
:Nyt koska r_{1} \not\in S, niin on olemassa r_{2} > r_{1} siten, että x_{r_{1}} > x_{r_{2}}. Induktiolla voidaan osoittaa, että kaikilla k \in \N on olemassa r_{k+1} siten, että r_{k}  ja x_{r_{k}} > x_{r_{k+1}}. Täten osajono (x_{r_{k}}) on aidosti laskeva. 
  
Ollaan siis löydetty lukujonolle (x_{n}) kasvava osajono (x_{n_{k}}) tai aidosti laskeva osajono (x_{r_{k}}) eli joka tapauksessa monotoninen osajono. \square

## Katso myös
* Sarja
* Cauchyn jono
* Lukujonon raja-arvo

## Lähteet

## Kirjallisuutta
* 
*