Neliöksi täydentäminen

**Neliöksi täydentäminen** on algebrallinen menetelmä toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi. Neliöksi täydentämistä voidaan soveltaa myös integraaleja laskettaessa.

Menetelmän tavoitteena on päästä muodosta (1) ax^2 + bx + c muotoon (2) (a'x + b')^2 + c'. Tässä vakiot a', b', c' riippuvat vain vakioista a, b, c. Nyt muodon (2) avulla saadaan helposti ratkaistua polynomin (1) nollakohdat.

Neliöksi täydennyksessä otetaan **ensimmäisen asteen termin kertoimen puolikkaan neliö**,
ja lisätään ja vähennetään se. Tälle toimenpiteelle on voimassa ehto, että toisen asteen termin kerroin on 1.

## Esimerkki 1

Halutaan tietää mitkä muuttujan x arvot toteuttavat yhtälön:

:4x^2 + 4x = 0.

Täydennetään neliöksi lisäämällä ja vähentämällä 1.

:\begin{align}\left(4x^2 + 4x + 1\right) - 1 &= 0 \\
       (2x+1)^2 - 1 &= 0 \end{align}

Välivaiheittain:

(1) Otetaan termin x^2:n kerroin yhteiseksi tekijäksi ja toteutetaan ehto, että toisen asteen termin kerroin on yksi.
:4\left(x^2 + x\right) = 0

(2) Täydennetään neliöön: ts. otetaan ensimmäisen asteen kertoimen, eli 1*x:n, puolikkaan neliö \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} ja lisätään ja vähennetään se.
:4\left[\left( x^2 + x + \frac{1}{4}\right) -\frac{1}{4}\right] = 0
(3) Poistetaan hakasulkeet, jolloin
:\begin{align}
       4\left(x^2 + x + \frac{1}{4}\right) - 1 &= 0 \\
       4\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - 1 &= 0 \\
       (2x+1)^2 - 1 &= 0
       \end{align}

Nyt yhtälö ratkeaa helposti

:\begin{align}
       (2x+1)^2 &= 1 \\
       2x + 1 &= \pm 1 \\
       2x &= -1 \pm 1 \\
       x &= -\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2}
       \text{.}\end{align}

Siis x on joko 0 tai -1.

## Esimerkki 2

Toisen asteen polynomifunktion neliöksi täydentäminen tehdään yleisesti seuraavasti:

 f(x) = a x^2 + bx + c = a\left(x + {b \over {2a}}\right)^2 + c - {b^2 \over {4a}} 

Menetelmästä on se etu, että funktion käännepiste voidaan määrittää turvautumatta derivointiin. Käännepiste saadaan yhtälöstä  x + {b \over {2a}} = 0 . Funktion arvo tässä pisteessä on siten  f\left(-{b \over {2a}}\right) = c-{b^2 \over {4a}} .

Funktion neliöksi täydentäminen tarkoittaa myös koordinaatiston origon. Jos funktio on täydennetyssä muodossaan
: y = a\left(x + {b \over {2a}}\right)^2 + c - {b^2 \over {4a}},
sille saadaan myös seuraava muoto
:y - \left(c-{b^2 \over {4a}}\right) = a\left(x + {b \over {2a}}\right)^2\text{.}
Merkitään
:
\begin{cases}
 x' = x + {b \over {2a}} \\
 y' = y - \left(c-{b^2 \over {4a}}\right)
\end{cases}\text{.}
Tällöin alkuperäinen funktio saadaan muotoon
:y' = (x')^2,
ja alkuperäinen origo on pisteessä
: (x,y) = \left(-{b \over {2a}}, c-{b^2 \over {4a}}\right), jolloin siis
: (x',y') = (0,0).

## Esimerkki 3

Tehtävä: kirjoita hyperbelin 9x^2 - y^2 + 36x + 2y + 26 = 0 yhtälö perusmuotoon:
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, a, b \in\mathbb{R}

(1) Järjestellään termit mieleiseksi, eli vakiot yhtälön oikealle puolelle ja tuntemattomat vasemmalle. Järjestellään x:t ja y:t.
:9x^2 + 36x - y^2 + 2y = -26

(2) Ryhmitellään lausekkeet sellaisiksi, että toisen asteen termien kertoimet ovat sulkeiden sisällä 1. Otetaan x-termien yhteinen kerroin 9 ja y-termien kerroin -1 ulkopuolelle. 
:9\left(x^2 + 4x\right) + (-1)\left(y^2 - 2y\right) = -26

(3) Täydennetään neliöksi - lisätään ja vähennetään ensimmäisen asteen termien kertoimien puolikkaiden neliöt.
:9\left[\left(x^2 + 4x + 2^2\right) - 2^2\right] + (-1)\left[\left(y^2 - 2y + (-1)^2\right) - (-1)^2\right] = -26

(4) Poistetaan hakasulkeet, ja eliminoidaan puolittain "ylimääräinen" neljäs vakio x:n ja y:n lausekkeesta:
:9\left(x^2 + 4x + 4\right) - 36 + (-1)\left(y^2 - 2y + 1\right) + 1 = -26 \;| +36 \; | -1

(5) Jolloin jää:
:\begin{align}
       9\left(x^2 + 4x + 4\right) + (-1)\left(y^2 - 2y + 1\right) &= 9\\
       9(x + 2)^2 - (y - 1)^2 &= 9 \; |:9\\
       \frac{(x+2)^2}{1} -\frac{(y-1)^2}{3^2} &= 1
       \end{align}