Osamäärän derivoimissääntö

**Osamäärän derivoimissääntö** on matemaattinen kaava, jonka avulla voidaan laskea derivaatta funktiolle, joka on esitettävissä kahden helpommin derivoitavan funktion osamääränä.

## Lauseen muotoilu
Olkoon funktio f: A \to \mathbb{R} esitettävissä funktioiden g ja h osamääränä f\left(x\right) = \frac{g\left(x\right)}{h\left(x\right)}. Olkoot lisäksi funktiot g ja h derivoituvia pisteessä a \in A ja h\left(x\right) \neq 0. Tällöin f'\left(a\right) = \frac{g'\left(a\right)h\left(a\right) - g\left(a\right)h'\left(a\right)}{h\left(a\right)^2}.

## Todistus
Derivaatan määritelmän mukaan

f'\left(a\right) = \lim_{\Delta a \to 0} \frac{f\left(a+\Delta a\right) - f\left(a\right)}{\Delta a}

Sijoitetaan funktion f tilalle osamäärä g/h

= \lim_{\Delta a \to 0} \frac{ \frac{g\left(a+\Delta a\right)}{h\left(a+\Delta a\right)} - \frac{g\left(a\right)}{h\left(a\right)}}{\Delta a}

Lavennetaan osamäärät samannimisiksi

= \lim_{\Delta a \to 0} \frac{ \frac{g\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)}{h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)} - \frac{g\left(a\right)h\left(a+\Delta a\right)}{h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)}}{\Delta a}

Siirretään yhteinen nimittäjä koko osamäärän nimittäjään

= \lim_{\Delta a \to 0} \frac{ g\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right) - g\left(a\right)h\left(a+\Delta a\right)}{h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)\Delta a}

Lisätään ja vähennetään termi g\left(a\right)h\left(a\right)

= \lim_{\Delta a \to 0} \frac{ g\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right) - g\left(a\right)h\left(a+\Delta a\right) + g\left(a\right)h\left(a\right) - g\left(a\right)h\left(a\right)}{h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)\Delta a}

Otetaan h\left(a\right) ja -g\left(a\right) yhteisiksi tekijöiksi

= \lim_{\Delta a \to 0} \frac{ \left(g\left(a+\Delta a\right) - g\left(a\right)\right)h\left(a\right) - g\left(a\right)\left(h\left(a+\Delta a\right) -h\left(a\right)\right)}{h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)\Delta a}

Supistetaan termillä \Delta a

= \lim_{\Delta a \to 0} \frac{ \frac{g\left(a+\Delta a\right) - g\left(a\right)}{\Delta a} h\left(a\right) - g\left(a\right) \frac{h\left(a+\Delta a\right) - h\left(a\right)}{\Delta a} }{h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)}

Siirretään raja-arvo termeihin erikseen (sillä summan raja-arvo on raja-arvojen summa, samoin 
osamäärän raja-arvo on raja-arvojen osamäärä)

= \frac{ \lim_{\Delta a \to 0} \frac{g\left(a+\Delta a\right) - g\left(a\right)}{\Delta a} h\left(a\right) - g\left(a\right) \lim_{\Delta a \to 0} \frac{h\left(a+\Delta a\right) -h\left(a\right)}{\Delta a}}{ \lim_{\Delta a \to 0} h\left(a+\Delta a\right)h\left(a\right)}

Havaitaan, että näin syntyneet raja-arvot ovat funktioiden g ja h erotusosamäärien raja-arvoja, eli derivaattoja

= \frac{ g'\left(a\right) h\left(a\right) - g\left(a\right) h'\left(a\right)}{ h\left(a\right)^2}.

## Esimerkkejä

### Esimerkki 1
Määritä funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f\left(x\right) = \frac{x^2 - 2}{2x^4 + 7} derivaatta pisteessä x = 2.

Funktio f voidaan selvästi esittää kahden funktion, g\left(x\right) = x^2 - 2 ja h\left(x\right) = 2x^4 + 7 osamääränä. Molemmat funktiot ovat derivoituvia pisteessä x = 2 ja funktiolla h ei ole nollakohtia. Käytetään siis osamäärän derivoimissääntöä.

Lasketaan ensin funktioiden g ja h derivaattafunktiot: g'\left(x\right) = 2x, h'\left(x\right) = 8x^3. Osamäärän derivoimissäännön mukaan seuraava pätee:

f'\left(2\right) = \frac{g'\left(2\right)h\left(2\right) - g\left(2\right)h'\left(2\right)}{h\left(2\right)^2}

Sijoittamalla derivaatat lausekkeeseen saadaan

f'\left(2\right) = \frac{\left(2 \cdot 2\right)\left(2 \cdot 2^4 + 7\right) - \left(2^2 - 2\right)\left(8 \cdot 2^3\right)}{\left(2 \cdot 2^4 + 7\right)^2}
= \frac{28}{1521}.


### Esimerkki 2
Määritä funktion f\left(x\right) = \frac{\left|x\right|+1}{\left|x\right|+1} derivaatta pisteessä x = 0.

Emme voi käyttää osamäärän derivoimissääntöä, sillä |x|+1 ei ole derivoituva pisteessä x = 0, mutta saamme sievennettyä lausekkeen muotoon f\left(x\right) = 1, jonka derivaatta jokaisessa pisteessä on nolla.

Tämä esimerkki osoittaa, että vaikka osamäärän derivoimissääntö onkin kätevä, se ei aina ole paras tapa derivoida funktiota, joka voidaan esittää kahden funktion osamääränä.

## Lähteet
*