Törmäys

**Törmäys** on fysiikassa tapahtuma, jossa kaksi kappaletta vuoro­vaikuttavat keskenään lyhyen ajan niiden ulko­pintojen koskettaessa toisiaan. 

Yleiskielessä törmäyksellä tarkoitetaan tavallisimmin tapahtumaa, jossa kappaleet osuvat toisiinsa suurella voimalla, usein tuhoisin seurauksin. Sellaisia ovat esimerkiksi auto- ja lento-onnettomuudet, joissa kulkuneuvo törmää toiseen kulku­neuvoon tai muuhun esteeseen, sekä taivaan­kappeiden törmäys­katastrofit eli impaktit. Termin tieteellinen merkitys ei kuitenkaan edellytä mitään voimien suuruus­luokasta. Niinpä törmäyksiä sanan fysikaalisessa mielessä ovat myös esimerkiksi seuraavat ilmiöt:

* Kun hyönteinen laskeutuu kappaleen lehdelle, sen jalat törmäävät lehteen;
* Kun kissa juoksee niityn poikki, joka askelella sen käpälät törmäävät maahan, ja samalla sen turkki törmää pystyssä oleviin kasveihin;
* Kun nyrkkeilijä tekee iskun, hänen nyrkkinsä törmää vastustajan kehoon.

## Yleistä

Törmäys on lyhyt­aikainen vuoro­vaikutus kahden tai saman­aikaisesti useamman kappaleen välillä, missä kappaleiden liiketila muuttuu niiden välisten voimien seurauksena. Törmäyksen aikaisten voimien vaikutuksesta kappaleiden nopeudet muuttuvat. Kaikissa törmäyksissä kokonaisliikemäärä säilyy, sillä törmäävät kappaleet antavat toisilleen yhtä suuret impulssit. Sen sijaan törmäykset voivat paljonkin erota toisistaan siinä, säilyykö myös liike-energia.  Sen mukaisesti törmäykset voidaan jakaa kolmeen tyyppiin:
# kimmoinen törmäys
# kimmoton törmäys
# täysin kimmoton törmäys.

Kimmoisessa törmäyksessä säilyy liikemäärän lisäksi myös liike-energia. Kimmottomassakin törmäyksessä liikemäärä säilyy, liike-energia sen sijaan ei.

Kimmotonta törmäystä sanotaan toisinaan myös *plastiseksi törmäykseksi*. *Täysin kimmoton* eli *täysin plastinen* törmäys on kimmottoman törmäyksen rajatapaus, jossa kappaleet eivät enää törmäyksen jälkeen liiku toistensa suhteen eli niiden nopeus toistensa suhteen on nolla.

*Törmäyssuoraksi* kutsutaan suoraa, joka kulkee kappaleiden kosketuskohdan kautta ja on kohtisuorassa niitä tässä pisteessä sivuavaan tasoon nähden. Jos kappaleiden painopisteet ovat tällä suoralla, kyseessä on *keskeinen*, muussa tapauksessa *epäkeskeinen* törmäys. Jos kappaleet ennen törmäystä liikkuvat toistensa suhteen törmäys­suoran suuntaisesti, törmäys on *suora*, muussa tapauksessa *vino*.

Törmäyksen luonnetta kuvaa sen kimmoisuusaste,  restituutio­kerron eli sysäys­kerroin

e = \frac ,

missä \overrightarrow{u}_A ja \overrightarrow{u}_B ovat kappaleiden nopeusvektorit törmäyksen jälkeen, \overrightarrow{v}_A ja \overrightarrow{v}_B niiden nopeusvektorit ennen törmäystä. Se on siis niiden nopeus toistensa suhteen törmäyksen jälkeen jaettuna vastaavalla nopeudella ennen törmäystä. Törmäyksen kimmoisuus­aste on yleensä nollan ja yhden välillä. Täysin kimmoisen törmäyksen kimmoisuus­aste on 1, täysin kimmottoman 0.

### Kimmoinen ja kimmoton törmäys

Kimmoinen törmäys on määritelmän mukaan törmäys, jossa kappaleiden yhteenlaskettu liike-energia säilyy. Sen kimmoisuusaste on 1. Todellisuudessa jokaisessa makroskooppisessa törmäyksessä muuttuu aina jonkin verran liike-energiaa kappaleiden sisäenergiaksi tai muiksi energian muodoiksi, minkä vuoksi täysin kimmoisia törmäyksiä ei niiden välillä esiinny. On kuitenkin tapauksia, joissa liike-energian häviö on niin pieni, että täysin kimmoista törmäystä voidaan pitää tilanteelle hyvänä likiarvona. Sellaisia ovat tyypillisesti esimerkiksi kahden kovan kuulan törmäykset. Tämä tekee mahdolliseksi laskea kappaleiden nopeudet törmäyksen jälkeen, kun tunnetaan niiden massat ja nopeudet ennen törmäystä. 

Kineettisessä kaasuteoriassa oletetaan, että ideaalikaasun molekyylien väliset törmäykset samoin kuin niiden törmäykset astian seinään ovat täysin kimmoisia. Täysin kimmoisen törmäyksen lakeja voidaan soveltaa myös atomia pienempien hiukkasten vuorovaikutukseen, kun ne siroavat sähkömagneettisten voimien vaikutuksesta. Myös planeettojen ja satelliittien välisiin gravitaatiovuorovaikutuksiin voidaan usein soveltaa täysin kimmoisen törmäyksen lakeja tilanteissa, joissa satelliitti ohittaa planeetan jokseenkin läheltä kuitenkaan törmäämättä siihen.

Kimmottomassa törmäyksessä osa liike-energia muuttuu joksikin muuksi energian muodoksi. Osa siitä muuttuu lämmöksi, osa kuluu kappaleiden palautumattomiin muodonmuutoksiin. Kappaleiden yhteenlaskettu liikemäärä sen sijaan säilyy kimmottomassakin törmäyksessä.

Jokainen törmäys voidaan jakaa kahteen vaiheeseen. Asian tarkempi selvittäminen kuuluu lujuusopin alaan. Ensimmäisessä vaiheessa kappaleissa tapahtuu muodonmuutoksia, joiden aikana niiden nopeus toistensa suhteen pienenee nollaan. Tällöin kappaleiden liike-energia muuttuu kimmovoimia vastaan tehdyn työn vaikutuksesta potentiaalienergiaksi ja, elleivät ne ole konservatiivisia, osittain lämmöksi. Jälkimmäisen vaiheen aikana muodonmuutokset yleensä ainakin osittain palautuvat, ja ellei törmäys ole täysin kimmoton, potentiaalienergia muuttuu osittain takaisin liike-energiaksi. Jos kimmovoimat ovat konservatiivisia, törmäys on täysin kimmoinen.

## Analyyttisesti ratkaistavissa olevia esimerkkitapauksia

Vain harvoissa erikoistapauksissa törmäyksiä koskevat probleemat voidaan ratkaista analyyttisesti. Useimmissa tapauksissa niiden ratkaisemiseksi on turvauduttava numeerisiin menetelmiin.

### Suora kimmoinen törmäys

Suorassa kimmoisessa törmäyksessä säilyvät liikemäärä ja liike-energia. Koska kappaleiden nopeudet ovat samalla suoralla, niitä voidaan käsitellä skalaareina, jolloin kahdesta vastakkaisesta liikesuunnasta toinen katsotaan negatiiviseksi.

Oletetaan, että kappaleiden massat ovat m1 ja m2 ja nopeudet ennen törmäystä **v<sub>1</sub>**  ja **v<sub>2</sub>**. Nopeuksille törmäyksen jälkeen käytetään vastaavasti merkintöjä **u<sub>1</sub>** ja **u<sub>2</sub>**. Kun kappaleiden massat ja nopeudet ennen törmäystä tunnetaan, niiden nopeudet törmäyksen jälkeen voidaan laskea säilymislakien avulla.

Liikemäärän säilymislaista saadaan: 

m_1u_1 + m_2u_2 = m_1v_1 + m_2v_2,
mikä voidaan kirjoittaa myös muodossa
m_1(u_1-v_1) = -m_2(u_2-v_2)

Toisaalta koska kimmoisessa törmäyksessä liike-energia säilyy, saadaan tästä:
m_1u_1^2 + m_2u_2^2 = m_1v_1^2 + m_2v_2^2

Siirtämällä jälkimmäisessä yhtälössä termejä toiselle puolelle saadaan edelleen:
m_1(u_1^2 - v_1^2) = m_2(u_2^2 - v_2^2).
Kun tämän molemmat puolet algebran sääntöjen mukaisesti jaetaan tekijöihin, saadaan:
m_1(u_1+v_1)(u_1-v_1) = m_2(u_2+v_2)(u_2-v_2).

Kun tämä ja edellä liikemäärän säilymislaista johdettu yhtälö jaetaan puolittain keskenään, saadaan

u_1 + v_1 = u_2 + v_2

ja edelleen
u_1 - u_2 = v_2 -v_1

Suoran kimmoisen törmäyksen jälkeen kappaleiden nopeus toistensa suhteen on siis yhtä suuri kuin ennen törmäystä. Tällaisen törmäyksen kimmoisuusasteelle saadaan tästä arvo 1.

### Biljardi

Törmäyksillä on keskeinen merkitys biljardissa ja muissa sitä muistuttavissa peleissä. Koska biljardipallojen törmäykset ovat lähes täysin kimmoisia ja koska ne vierivät pinnalla, jolla kitka on vähäinen, niiden liikettä käytetään usein havainnollistamaan Newtonin liikelakeja. Sen sijaan törmäykset eivät yleensä ole suoria. Kun kitkattomasti vierivä pallo törmää levossa olevaan palloon, jolla on sen kanssa yhtä suuri massa, pallojen liikesuuntien välinen kulma törmäyksen jälkeen on 90 astetta. Ammattimaiset biljardin pelaajat osaavat ottaa tämän huomioon, vaikka tarkkaan ottaen se pätisi vain, jos pallon ja pöydän välillä ei olisi lainkaan kitkaa. 

Tämän osoittamiseksi tarkastellaan kahdessa ulottuvuudessa kahden kappaleen kimmoista törmäystä, kun niiden massat ovat m1 ja m2 ja nopeudet ennen törmäystä **v<sub>1</sub>**  ja **v<sub>2</sub>**. Tässä käsiteltävässä tapauksessa on lisäksi **v<sub>2</sub>** = **0**, eli toinen kappaleista oli ennen törmäystä levossa.  Pallojen nopeuksille törmäyksen jälkeen käytetään nytkin merkintöjä **u<sub>1</sub>** ja **u<sub>2</sub>**.

Koska pallojen liikesuunnat törmäyksen jälkeen poikkeavat toisistaan, nopeuksia on käsiteltävä vektoreina. Kun toisen pallon alkunopeus on nolla, liikemäärän säilymislaista saadaan:

m1**u**1 = m1**v<sub>1</sub>**+ m2**v<sub>2</sub>**.

Vastaavasti liike-energian säilyminen merkitsee tässä tapauksessa, että:
(1/2)m1|**v<sub>1</sub>**|2 = (1/2)m1|**u<sub>1</sub>**|2 + (1/2)m2|**u<sub>2</sub>**|2.

Koska biljardissa molempien pallojen massa on yhtä suuri eli m1 = m2, saadaan edelleen: **v<sub>1</sub>**=**u<sub>1</sub>**+**u<sub>2</sub>** ja |**v<sub>1</sub>**|2 = |**u<sub>1</sub>**|2+|**u<sub>2</sub>**|2.

Ottamalla tämän yhtälön molemmista puolista pistetulo itsensä kanssa saadaan:

|**v<sub>1</sub>**|2 = **v<sub>1</sub>•v<sub>1</sub>** = |**u<sub>1</sub>**|2+|**u<sub>2</sub>**|2+2**u<sub>1</sub>•u<sub>2</sub>**. 

Kun tätä verrataan jälkimmäiseen yhtälöön, saadaan:
**u<sub>1</sub>•u<sub>2</sub>** = 0,

mikä merkitsee, että kappaleiden nopeusvektorit ja samalla liikkeet törmäyksen jälkeen ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden, paitsi jos u1 on nollavektori. Näin tapahtuu, jos ja vain jos törmäys oli suora ja keskeinen.

Kun pallo törmää kimmoisesti pöydän reunaan, pätee vastaava sääntö kuin valon heijastuksessakin: pallon liikesuunnan ja reunan välinen kulma törmäyksen jälkeen ("heijatuskulma") on yhtä suuri kuin ennen törmäystä (tulokulma).

### Täysin kimmoton törmäys

Täysin kimmottomassa törmäyksessä kimmoisuusaste on nolla. Törmäyksen jälkeen kappaleet ovat kiinni toisissaan ja niillä on sama nopeus. Tässäkin tapauksessa pätee liikemäärän säilymislaki:
::m_a \mathbf u_a + m_b \mathbf u_b = \left( m_a + m_b \right) \mathbf v \,
missä **v** on molempien kappaleiden nopeus törmäyksen jälkeen. Se voidaan laskea kaavasta
::\mathbf v=\frac{m_a \mathbf u_a + m_b \mathbf u_b}{m_a + m_b}

Kappaleiden liike-energian vähennys on yhtä suuri kuin niiden yhteenlaskettu liike-energia ennen törmäystä kappaleiden yhdessä muodostaman systeemin massakeskipistekoordinaatistossa, sillä tässä koordinaatistossa niiden liike-energia törmäyksen jälkeen on  nolla. Tässä koordinaatistossa suurin osa liike-energiasta ennen törmäystä on sillä kappaleista, jolla on pienempi massa.  Jos tarkastellaan liikettä jonkin muun vertailujärjestelmän suhteen, liike-energia ei ainoastaan vähene vaan sitä myös siirtyy kappaleelta toiselle. Kappaleen liike-energiakin on nimittäin suhteellinen siinä mielessä, että se riippuu käytetystä vertailujärjestelmästä.

On olemassa myös tilanteita, joita voidaan käsitellä ikään kuin ne olisivat ajassa takaperin tapahtuvia kimmottomia törmäyksiä. Sellaisia ovat esimerkiksi ammusten ja työntövoimaa käyttävien rakettien laukaisut. Rakettien saamaa nopeutta kuvaa Tsiolkovskin laki.

## Esimerkkejä numeerisesti analysoitavista törmäyksistä

### Jalat ja maa
Eläimen, myös ihmisen liikkuessa joka askelella yksi tai usemapi sen jaloista törmää maahan. Nämä törmäykset ovat kimmottomia, sillä liike-energia ei säily. Yksi protetiikan keskeisistä tutkimusalueista on jalan ja maan välisten voimien kvantifiointi toisaalta normaalissa, toisaalta ontuvassa kävelyssä. Yleensä tämä kvantifiointi edellyttää, että koehenkilön on käveltävä alustalla, johon kiinniteyt laitteet mittaavat voimia ja tasapainoa, sekä tilanteen yksityiskohtaista kinemaattista ja dynaamista analysointia.

## Törmäykset tutkimusmenetelmänä
Törmäyksiä voidaan käydä kokeellisena menetelmänä materiaalien ominaisuuksien ja muiden fysikaalisten ilmiöiden tutkimuksessa.

### Avaruustutkimus

Avaruusluotain tai sen osa voidaan tarkoituksella törmäyttää maahan tai muuhun taivaankappaleeseen mittausten suorittamiseksi, joiden tulokset lähetetään maahan ennen kuin luotain murskautuu. Tällaisella luotaimella voidaan myös kuljettaa laitteita, jotka lopulta suorittavat havaintoja luotaimen ulkopuolella.  Sellaisia ovat olleet esimerkiksi:

* Apollo 13:n, Apollo 14:n, Apollo 15:n, Apollo 16:n ja Apollo 17:n lennoissa kolmannen vaiheen kantoraketti S-IVB ohjattiin törmäämään Kuuhun Kuun ytimen tutkimiseksi seismisillä mittauksilla. 
* ''Deep Impact''
* SMART-1 – Euroopan avaruusjärjestön ensimmäinen kuuluotain
* Moon impact probe - Intian avaruustutkimusjärjestön luotain.

### Molekyylien törmäysten matemaattinen käsittely
Oletetaan, että molekyylien liikemäärät, pyörimismäärät ja sisäiset momentit voidaan ilmaista joukolla muuttujia { *p*i }, joita on kaikkiaan *r* kappaletta. Molekyylin tila voidaan tällöin kuvata lausekkeella  *δw*i = δ*p*1δ*p*2δ*p*3 ... δ*p*r. Tällaisia jonoja on useita, jotka vastaavat eri tiloja; kutakin määritettyä tilaa vastaa jokin indeksin arvo *i*. Kahden törmäävän molekyylin muodostaman systeemin tilaa kuvaa tällöin pari (*i*, *j*). Tällaista järjestettyä paria sanotaan toisinaan tilan *konstellaatioksi*.

Tekemättä suurta virhettä voidaan yleensä olettaa, että kahden molekyylin vaikutus toisiinsa on merkityksettömän pieni, ellei niiden massakeskipisteiden välinen etäisyys ole pienempi kuin kriittinen etäisyys *b*.  Törmäys siis alkaa, kun molekyylien massakeskipisteiden välinen etäisyys alittaa tämän arvon, ja päättyy, kun se jälleen saavuttaa tämän arvon. Tämän mallin mukaan törmäystä kuvaa täydellisesti matriisi \begin{pmatrix}i&j\\k&l\end{pmatrix} , jossa konstellaatio (*i*, *j*) kuvaa tilannetta ennen törmäystä, konstellaatio (*k*, *l*) taas tilannetta törmäyksen jälkeen.

Tätä merkitätapaa voidaan käyttää statistisessa mekaniikassa esimerkiksi Boltzmannin H-teoreeman todistamiseen.

## Lähteet

## Katso myös

* Kimmoinen törmäys
* Sironta
* Liikenneonnettomuus
* Auto-onnettomuus
* Impakti
* Törmäyskraatteri