Napoleonin pisteet

**Napoleonin pisteet** liittyvät geometriassa kolmioihin ja siellä erityisesti Napoleonin lauseena tunnettuun konstruktioon. Siinä kolmion sivuille piirretään tasasivuiset kolmiot siten, että niiden sivut yhtyvät alkuperäisen kolmion kanssa ja kolmioiden vapaat kärjet osoittavat ulospäin kolmiosta. Kun kolmion kärjet yhdistetään janoilla vastaisen sivun tasasivuisen kolmion keskipisteeseen eli painopisteeseen, leikkaavat janat **ensimmäisessä Napoleonin pisteessä** . Piirroksissa tätä merkillistä pistettä merkitään usein kirjaimella **N**, ja se on luetteloitu *Kimberlingin [[merkilliset pisteet|merkillisten pisteiden]] luettelossa* tunnuksella \scriptstyle X_{17}.

## Ensimmäinen Napoleonin piste
Ensimmäisen Napoleonin pisteen trilineaariset koordinaatit ovat
:\csc(\alpha + \tfrac16 \pi) \, : \, \csc(\beta + \tfrac16 \pi) \, : \csc(\gamma + \tfrac16 \pi) = \sec(\alpha - \tfrac13 \pi) \, : \, \sec(\beta - \tfrac13 \pi) \, : \sec(\gamma - \tfrac13 \pi)  
ja barysentriset koordinaatit ovat
:a\csc(\alpha + \tfrac16 \pi) \, : \, b\csc(\beta + \tfrac16 \pi) \, : c\csc(\gamma + \tfrac16 \pi). 


Napoleon first point 2.png|Kulma C on 150°, jolloin Napoleonin piste asettuu kärjen C päälle.
Napoleon first point 3.png|Kulma C on yli 150° ja Napoleonin piste jää kolmion ulkopuolelle. Se sijaitsee silloin yleensä tasasivuisten kolmioiden välissä.
Napoleon first point 4.png|Kun kulma C on yli 150° ja kolmion sivu CB on muita selvästi lyhyempi, jää Napoleonin piste tasasivuisen kolmion CBA* sisälle.
</gallery>

== Toinen Napoleonin piste ==
*'Toinen Napoleonin piste*'  liittyy *Napoleonin lauseen* konstruktion muunnelmaan, jossa tasasivuisten kolmioiden vapaat kärjet on käännetty kolmiossa sisällepäin. Kun kolmion kärjet yhdistetään vastaisten sivujen tasasivuisten kolmioiden keskipisteisiin janalla, leikkaavat ne *toisessa Napoleonin pisteessä*. *Kimberlingin merkillisten pisteiden luettelossa* sitä merkitään tunnuksella <math>\scriptstyle X_{18}</math>.

Toisen Napoleonin pisteen trilineaariset koordinaatit ovat 
:<math>\csc(\alpha - \tfrac16 \pi) \, : \, \csc(\beta - \tfrac16 \pi) \, : \csc(\gamma - \tfrac16 \pi) = \sec(\alpha + \tfrac13 \pi) \, : \, \sec(\beta + \tfrac13 \pi) \, : \sec(\gamma + \tfrac13 \pi)</math>  
ja barysentriset koordinaatit ovat
:<math>a\csc(\alpha - \tfrac16 \pi) \, : \, b\csc(\beta - \tfrac16 \pi) \, : c\csc(\gamma - \tfrac16 \pi)</math> 

<gallery>
Napoleon second point.png|Toinen Napoleonin piste jää usein kolmion ulkopuolelle.
Napoleon second point 2.png|Kunkolmion suurin kulma pienenee, sijaitsee toinen Napoleonin piste kolmion sisäpuolella.
Napoleon second point 3.png|Kun kolmio on tasasivuinen kolmio, sijaitsee toinen Napoleonin piste painopisteessä, missä sijaitsevat myös tasasivuisten kolmioiden painopisteetkin.
</gallery>

== Historia ==
Kuten myös epäillään [[Napoleonin lause]]en kohdalla, on esitetty lukuisia väitteitä, ettei [[Napoleon Bonaparte]] olisi keksinyt *Napoleonin pisteitä*. Silti on jäänyt hämärän peittoon, kuka sen todellisuudessa olisi keksinyt.

== Katso myös ==
* [[Napoleonin lause]]en konstruktioon liittyvät myös [[Fermat'n pisteet]], jotka ovat *kolmion merkillisiä pisteitä''.

## Lähteet
* 
### Viitteet

## Aiheesta muualla
* PlanetMath: Triangle center
* MathPages: Napoleon's Theorem
* Ballew, Pat: Napoleon's Thm and the Napoleon Points 
* Royster, David C.: MA 341 – Topics in Geometry Lecture 17, University of Kentucky