Ryhmän esitys

**Ryhmän esitys** on ryhmäteoriassa käytetty tapa esittää abstrakti ryhmä vektoriavaruuksien lineaarimuunnoksina. Esityksiä voidaan käyttää erityisesti ryhmäelementtien esittämiseen matriiseina, jolloin ryhmäoperaatio  voidaan esittää matriisitulona. Esitykset mahdollistavat monien ryhmäteoreettisten ongelmien palauttamisen lineaarialgebran ongelmiksi, jotka joissain tapauksissa voivat olla helpompia ratkaista. Ryhmien esityksiä käytetään mm. fysiikassa, jossa ne konkretisoivat symmetriaryhmän vaikutuksen fysikaalista systeemiä kuvaavien yhtälöiden ratkaisuihin.

Matemaattisesti esitys tarkoittaa homomorfismia ryhmästä (tietyn objektin) automorfismiryhmään. Mikäli objekti on vektoriavaruus, kyseessä on lineaariesitys. Usein ryhmän esityksestä puhuttaessa tarkoitetaan nimenomaan lineaariesitystä.

Ryhmän esitysteoria jakautuu alateorioiksi kuvaamiensa ryhmien mukaan. Esimerkkeinä esitysteoriassa käsitellyistä ryhmistä ovat 
äärelliset ryhmät, kompaktit ryhmät, Lie-ryhmät, lineaarialgebralliset ryhmät ja ei-kompaktit topologiset ryhmät.
Esitysteoria on riippuvainen käytettävän vektoriavaruuden tyypistä. Puhutaan äärellisistä ja ääretönulotteisista esityksistä riippuen kyseisen vektoriavaruuden dimensioista.

## Määritelmiä
Ryhmän *G* **esitys** vektoriavaruudessa *V* (kunnan *K* yli) on ryhmähomomorfismi ryhmästä *G* yleiseen lineaariryhmään ''GL(V)'' *V*:ssä.

Toisin sanoen, ryhmän esitys on kuvaus
:\rho \colon G \to GL(V) \,\! 
siten että
:\rho(g_1 g_2) = \rho(g_1) \rho(g_2) , \qquad \text{kaikille }g_1,g_2 \in G . \,\!

Vektoriavaruutta *V* kutsutaan **esitysavaruudeksi** ja sen dimensiota kutsutaan esityksen dimensioksi. Usein avaruutta *V* itseään voidaan suoraan kutsua esitykseksi, mikäli homomorfismi käy selväksi kontekstista.

Mikäli *V*:n dimensio *n* on äärellinen, voidaan sille määritellä kanta ja identifioida *GL(V)* ryhmän *GL(n, K)* kanssa, joka on *n×n*-dimensioisten kääntyvien matriisien muodostama ryhmä kentän K yli.

Kahden esityksen
:\rho_1 \colon G \to GL(V) \,\! 
ja 
:\rho_2 \colon G\rightarrow GL(W) \,\!
sanotaan olevan **ekvivalentteja** tai **isomorfisia**, mikäli on olemassa vektoriavaruusisomorfismi
:\alpha \colon  V \to W \,\!
siten että kaikille *g* ryhmässä *G*
:\alpha \circ \rho_1(g) \circ \alpha^{-1} = \rho_2(g). \,\!
Ekvivalentteja esityksiä merkitään V \cong W.

Muita ryhmille määriteltäviä käsitteitä ovat mm. **jatkuva esitys**, **uskollinen esitys** sekä esityksen **ydin**.

## Esimerkkejä
Tarkastellaan kompleksilukua  *u* = e2πi / 3. Tällä on ominaisuus *u*3 = 1. Syklisellä ryhmällä *C*3 = {1, *u*, *u*2} on esitys ρ avaruudessa **C**2:

:
\rho \left( 1 \right) =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\qquad
\rho \left( u \right) =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & u \\
\end{bmatrix}
\qquad
\rho \left( u^2 \right) =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & u^2 \\
\end{bmatrix}.


Tämä esitys on uskollinen, koska  ρ on injektiivinen kuvaus.

*C*3:lle voidaan löytää isomorfinen esitys:

:
\rho \left( 1 \right) =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\qquad
\rho \left( u \right) =
\begin{bmatrix}
u & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\qquad
\rho \left( u^2 \right) =
\begin{bmatrix}
u^2 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix}.


Ryhmä *C*3 voidaan myös esittää uskollisella esityksellä avaruudessa **R**2 seuraavasti:

:
\rho \left( 1 \right) =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\qquad
\rho \left( u \right) =
\begin{bmatrix}
a & -b \\
b & a \\
\end{bmatrix}
\qquad
\rho \left( u^2 \right) =
\begin{bmatrix}
a & b \\
-b & a \\
\end{bmatrix}


jossa a=\Re(u)=-1/2 ja b=\Im(u)=\sqrt{3}/2.

## Redusoituvuus
Esitysavaruuden *V* aliavaruutta *W*, joka on invariantti ryhmäoperaation suhteen, kutsutaan **aliesitykseksi**. Mikäli avaruudella *V* on täsmälleen kaksi aliesitystä, nimittäin nolla-dimensioinen aliavaruus sekä avaruus *V* itse, esityksen sanotaan olevan **redusoitumaton** (tai **irredusoituva**); mikäli sillä on ei-triviaali aliesitys (jonka dimensio ei ole nolla), esityksen sanotaan olevan **redusoituva**. Nolla-dimensioisen esityksen ei ajatella olevan sen paremmin redusoituva kuin irredusoituva.

Tietyin edellytyksin äärellisen ryhmän esitys voidaan muodostaa redusoitumattomien aliesitysten suorana summana.

Edellisessä esimerkissä kaksi ensimmäistä esitystä ovat molemmat hajotettavissa kahteen 1-dimensioiseen aliesitykseen (span{(1,0)} ja span{(0,1)}), kun taas kolmas annettu esitys on redusoitumaton.

## Kirjallisuutta
* Fulton-Harris. Introduction to representation theory with emphasis on Lie groups.
* Yurii I. Lyubich. *Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups*. Birkhäuser Verlag. 1988.