Näennäisvoima

**Näennäisvoimat** eli **hitausvoimat** ovat voimia, jotka näyttää vaikuttavan kappaleeseen, kun sen liikettä tarkastellaan jonkin ei-inertiaalisen vertailu­järjestelmän suhteen. Toisin kuin todelliset voimat, jotka aiheutuvat kappaleiden välisistä fysikaalisista vuoro­vaikutuksista, näennäis­voimat eivät ole kappaleeseen vaikuttavia todellisia voimia vaan johtuvat havaitsijan vertailu­järjestelmän kiihtyvästä liikkeestä. Jos käytetty vertailu­järjestelmä itse on kiihtyvässä liikkeessä, ei Newtonin toinen laki sellaisenaan päde, mutta kappaleen liikettä tällaisen järjestelmän suhteen voidaan tarkastella ikään kuin se pätisi, ajattelemalla, että muiden, todellisten voimien lisäksi tällaisessa järjestelmässä olevaan kappaleeseen vaikuttavat järjestelmän liikkeestä aiheutuvat näennäis- eli hitausvoimat. Kun ne otetaan huomioon, kappaleen liikettä voidaan käsitellä kiihtyvässä liikkeessä olevassa vertailu­järjestelmässäkin niin, että Newtonin toinen laki pysyy voimassa.

Esimerkkejä näennäisvoimista ovat *[[keskipakoisvoima]]*, joka näyttää työntävän pyörivässä liikkeessä olevia kappaleita ulospäin pyörimisliikkeen keskuksesta, *[[Coriolis-voima]]*, joka vaikuttaa pyörivän vertailu­järjestelmän suhteen liikkuviin kappaleisiin, esimerkiksi tuuliin Maan ilmakehässä, sekä *[[Eulerin voima]]*, joka esiintyy, kun pyörivä systeemin kulmanopeus muuttuu eli sillä on kulmakiihtyvyyttä.

Vaikka hitausvoimat eivät ole todellisia siinä mielessä että ne aiheutuisivat fysikaalisista vuorovaikutuksista, ne ovat oleellisen tärkeitä tarkasteltaessa liikettä kiihtyvässä liikkeessä olevan vertailu­järjestelmän suhteen, erityisesti klassisessa mekaniikassa, meteorologiassa ja astro­fysiikassa. Niiden avulla voidaan ymmärtää esimerkiksi Coriolis-ilmiön vaikutus tuuliin ja meri­virtoihin sekä astronauttien näennäinen painottomuus heidän ollessaan vapaassa putoamis­liikkeessä olevassa avaruus­aluksessa. Niillä on tärkeä merkitys myös teknisissä sovelluksissa, erityisesti navigoinnissa ja koneistojen pyörivien osien suunnittelussa.

Yleisen suhteellisuus­teorian mukaan gravitaatio ilmenee, kun avaruus kaareutuu suurten massojen ympärillä. Tämän vuoksi sekin voidaan lukea näennäis­voimien joukkoon.

## Esimerkkejä
Eteenpäin kiihtyvässä liikkeessä olevassa kulkuneuvossa matkustajista tuntuu usein siltä kuin heihin vaikuttaisi taaksepäin, kohti istuimia vaikuttava voima. Pyörivässä systeemissä, esimerkiksi sentrifugissa tai karusellissa taas vaikuttaa siltä, kun siellä vaikuttaisi keskuksesta ulospäin suuntautuva voima.

Tällaiset näennäisvoimat aiheutuvat itse asiassa kappaleen hitaudesta, toisin sanoen sen pyrkimyksestä jatkaa liikettään suoraviivaisesti tasaisella nopeudella. Mutta vaikka kappaleen liike todellisuudessa olisi tasaista ja suoraviivaista, se ei näytä sellaiselta, jos sitä tarkastellaan kiihtyvässä liikkeessä olevasta vertailu­järjestelmästä käsin. Esimerkiksi jos autossa matkustajan ja istuimen selkänojan välissä on aukko, auton kiihdyttäessä matkustaja näyttää liikkuvan hieman taaksepäin kunnes osuu selkänojaan. Tämä lyhytaikainen liike näyttää johtuvan taaksepäin vaikuttavasta voimasta, joka kuitenkin on näennäisvoima. Se ilmenee vain, kun liikettä tarkastellaan auton suhteen, ei tarkasteltaessa sitä maan suhteen. Näennäisvoima ei aiheudu mistään kahden kappaleen välisestä vuorovaikutuksesta kuten esimerkiksi sähkö­magneettiset ja kosketusvoimat. Se on vain seuraus sen kappaleen, tässä tapauksessa auton, kiihtyvästä liikkeestä, johon ei-inertiaalinen vertailu­järjestelmä on sidottu. Tällaisessa vertailu­järjestelmässä näyttää siltä kuin kappale tai tässä tapauksessa matkustaja olisi kiihtyvässä liikkeessä jonkin voiman vaikutuksesta.

Newtonin toisen lain mukaan voima aiheuttaa kappaleelle kiihtyvyyden, joka on yhtä suuri kuin voima jaettuna kappaleen massalla. vertailu­järjestelmän liikkeestä aiheutuva hitausvoima aiheuttaa kaikille tässä järjestelmässä oleville kappaleille yhtä suuren kiihtyvyyden, joten se on suoraan verrannollinen kappaleen massaan.

Näennäis- eli hitausvoimia sanotaan myös d'Alembertin voimiksi. Ne liittyvät d'Alembertin periaatteeseen, joka on vaihto­ehtoinen tapa muotoilla Newtonin toinen laki. Laskutoimitusten helpottamiseksi se määrittelee kappaleeseen kohdistuvan hitausvoiman sen massan ja kiihtyvyyden tulon vastalukuna.

D'Alembertín voimaa ei tule sekoittaa kosketusvoimaan, joka aiheutuu kahden kappaleen välisestä fyysisestä vuorovaikutuksesta ja jota koskee Newtonin kolmas laki eli voiman ja vastavoiman laki. Edellä esitetyssä auton matkustajan tapauksessa kosketusvoima aiheutuu matkustajan ja istuimen selkänojan välisestä vuorovaikutuksesta ja vaikuttaa niin kauan kuin auton liike on kiihtyvää.

Neljällä yleisesti käytettyä tyyppiä olevissa vertailu­järjestelmissä esiintyvällä hitausvoimalla on erityinen nimi:
* suoraviivaisessa kiihtyvässä liikkeessä olevissa vertailu­järjestelmissä esiintyvä hitausvoima (suppeammassa merkityksessä d'Alembertín voimalla tarkoitetaan nimenomaan tällaista tapausta)
* pyörivässä vertailu­järjestelmässä esiintyvät keskipakoisvoima ja Coriolis-voima, sekä
* neljäs, Eulerin voima, joka edellisten lisäksi esiintyy pyörässä vertailu­järjestelmässä, mikäli sen kulmanopeus muuttuu.

## Tausta
Marie-Antoinette Tonnelat kuvaili näennäisvoimien merkitystä Newtonin mekaniikassa siten, että Newtonin  mukaan kiihtyvyyden ilmeneminen oli osoitus absoluuttisen avaruuden olemassaolosta. Toisaalta oli aineen absoluuttinen liike, johon vaikuttavat *todelliset* voimat, toisaalta vertailu­järjestelmän absoluuttinen liike, joka ilmeni *näennäisinä* voimina, jollainen on esimerkiksi Coriolis-voima.

Klassisen mekaniikan ja myös erityisen suhteellisuusteorian mukaan hitausvoimia esiintyy kaikissa ei-inertiaalisissa vertailu­järjestelmissä. Inertiaaliset järjestelmät ovat muihin nähden tavallaan etuoikeuteussa asemassa, koska niissä ei esiinny fysikaalisia ilmiöitä, joiden syyt ovat järjestelmän ulkopuolella, kun taas ei-inertiaalisissa vertailu­järjestelmissä sellaisia on. Yleisessä suhteellisuusteoriassa fysiikka sen sijaan selitetään aika-avaruuden geodesian avulla. 

## Ei-inertiaalisen järjestelmän tunnistaminen

Suoraviivaisesti vakionopeudella liikkuvassa suljetussa laatikossa oleva havaitsija ei voi havaita laatikon liikettä. Jos laatikko sen sijaan on kiihtyvässä liikkeessä, siinä oleva havaitsija voi siellä esiintyvistä hitausvoimista päätellä olevansa ei-inertiaalisessa vertailu­järjestelmässä.

Koordinaatistossa, joka on suoraviivaisessa, tasaisesti kiihtyvässä liikeessä, jokaisen kappaleen liikeyhtälö, olipa se etevässä, kiero- tai pyörivässä liikkeessä, ovat muuten samanlaiset kuin inertiaalikoordinaatistossa, paitsi että ulkoisiin voimien lisäksi kappaleen liikkeisiin tällaisessa koordinaatistossa vaikuttaa näennäisvoima −*m***a**, missä *m* on kappaleen massa ja **a** koordinaatiston kiihtyvyys.

Myös muunlaiset kiihtyvyydet saavat aikaan näennäisvoimia, kuten jäljempänä selitetään. Liikkeiden fysikaalinen kuvaus on yksinkertaisinta inertiaalisessa järjestelmässä, jossa näennäisvoimia ei esiinny. Täten inertiaaliset vertailu­järjestelmät voidaan erottaa muista. Kaikki inertiaalijärjestelmät liikkuvat toistensa suhteen tasaisella nopeudella, ja niissä kaikissa liikettä voidaan kuvata samalla tavalla. Newtonin mekaniikan mukaan yhdessä inertiaalijärjestelmässä mitatut suureet voidaan muuntaa toisen inertiaalijärjestelmän mukaisiksi Galilein muunnoksella.  Erityisessä suhteellisuusteoriassa sen sijasta on käytettävä Lorentzin muunnosta.  Molemmat muunnokset ovat kuitenkin käytännössä yhtäpitäviä silloin kun inertiaalijärjestelmien nopeus toistensa suhteen on paljon pienempi kuin valonnopeus.

Yksi esimerkki kokeesta, jolla vertailu­järjestelmä voidaan todeta ei-inertiaaliseksi, pyöriväksi, on Foucault’n heiluri. Pyörimisliikkeensä vuoksi Maa ei ole inertiaalinen vertailu­järjestelmä. Sen pyörimisestä aiheutuva Coriolis-voima saakin tämän heilurin heilumistason kiertymään.

## Hitausvoimat maan pinnalla
Maan pinta on pyörivä vertailu­järjestelmä. Ratkaistaessa klassisen mekaniikan probleemoja Maahan sidotussa vertailu­järjestelmässä tarkasti on otettava huomioon kolme hitausvoimaa: Coriolis-voima, keskipakoisvoima ja Eulerin voima. Eulerin voima voidaan useimmiten jättää huomioon ottamatta, koska Maan pyörimisliikkeen kulmanopeuden vaihtelut ovat yleensä merkityksettömän pieniä.  Molemmat muutkin hitausvoimat ovat heikkoja verrattuina useimpiin arkielämästä tuttuihin voimiin, mutta sopivilla koejärjestelyillä ne voidaan havaita.

### Keskipakoisvoima
Maan pinnalla olevaan kappaleeseen vaikuttaa sen liiketilasta riippumatta Maan pyörimisestä aiheutuva keskipakoisvoima, jonka suuruus on

:\vec{F}_s = m \omega^2 \vec{R} = m \omega^2 r \cos{\lambda} \vec{u}_R, 

missä *m* on kappaleen massa, \omega Maan pyörimisen kulmanopeus, \vec{R} kappaleen paikkavektori Maan keskipisteen suhteen, *r* Maan säde, \lambda paikkakunnan maantieteellinen leveysaste ja \vec{u}_R Maan keskipisteestä paikkakunnalle johtavan säteen suuntainen yksikkövektori. Tämän vuoksi kappaleen havaittu, *efektiivinen* putoamiskiihtyvyys ei ole aivan yhtä suuri kuin gravitaatiosta aiheutuva *aito putoamiskiihtyvyys*, vaan jonkin verran pienempi. Tämä keskipakoiskiihtyvyys on suurimmillaan päiväntasaajalla, mutta sielläkin vain 0,034 m/s2 eli noin 0,3 prosenttia putoamiskiihtyvyydestä (0,91 m/s2).

Myös luotilangan suunta määräytyy efektiivisen, ei aidon putoamiskiihtyvyyden mukaan. Sen suunta poikkeaa aidosta putoamisliikkeestä hieman päiväntasaajaa kohti. Poikkeaman suuruus on noin
:0,10^0 \sin {2 \lambda}
### Coriolis-voima
Maan pyörimisestä aiheutuva Coriolis-voima pyrkii kääntämään pohjoisella pallonpuoliskolla olevien kappaleiden liikettä oikealle, eteläisellä pallonpuoliskolla vasemmalle. Sen suuruus ja suunta saadaan lausekkeesta

:\vec{F}_C=2m(\vec{v} \times \vec{\omega})

missä *m* on kappaleen massa, \vec{v}  sen nopeus ja \vec{\omega} Maan pyörimisliikkeen kulmanopeus (käsitettynä vektoriksi, jonka suunta osoittaa Maan akselin suuntaisesti pohjoiseen).

Coriolis-voima pyrkii kääntämään pohjoisella pallon­puoliskolla kaikkia liikkeitä oikealle, eteläisellä pallon­puoliskolla taas vasemmalle. Se ei vaikuta Maan akselin suuntaisiin, siis esimerkiksi navoilla pystysuoriin tai päivän­tasaajalla vaaka­suoraan pohjois-etelä­suuntaisiin liikkeisiin. 

Coriolis-voiman aiheuttama kiihtyvyys on siis verrannollinen kappaleen nopeuteen. Kaikilla Maan pinnalla saavutettavilla nopeuksilla se on kuitenkin paljon pienempi kuin putoamiskiihtyvyys, vielä nopeudella 1000 m/s vain noin 0,072 m/s2  Se vaikuttaakin yleensä havaittavasti vain hyvin laaja-alaisiin liikkeisiin, esimerkiksi avaruus­aluksiin ja pitkän kantaman tykkien ammuksiin sekä tuuliin ja merivirtoihin.

Coriolis-voima saa myös aikaan, että tarpeeksi korkealta putoava kappale osu maahan suoraan lähtökohtansa alle vaan hieman siitä itään. Ellei ilmanvastusta oteta huomioon, 50 metriä korkeasta tornista päiväntasaajalla pudotettu kappale osuu maahan 7,7 millimetriä idemmäksi kuin mihin se putoaisi ilman Coriolis-voimaa.

Päiväntasaajalla Coriolis-voima vaikuttaa itään liikkuviin kappaleisiin ylöspäin, länteen liikkuviin alaspäin. Tästä aiheutuu, että kun laiva liikkuu päivän­tasaajalla itään päin, siinä olevat kappaleet vaikuttavat olevan hieman kevyempiä kuin sen liikkuessa päin­vastaiseen suuntaan. Tämä ero on pieni, mutta se on voitu mitata, ja se tunnetaan nimellä Eötvösin ilmiö.

Maapallon pyörimisestä aiheutuva Coriolos-voima voidaan havaita myös Foucault’n heilurin avulla.

## Esimerkkejä hitausvoimista kaarevissa liikkeissä

Hitausvoimat ilmenevät myös, kun auto kulkee kaarteessa. Autoon sidotussa vertailu­järjestelmässä ilmenee tällöin näennäisvoima, jota sanotaan keskipakoisvoimaksi. Auton kääntyessä vasemmalle sen vasemmalla takaistuimella oleva matkalaukku siirtyy oikealle, kunnes se törmää oikeanpuoleiseen suljettuun oveen. Näyttää siltä kuin tämän liikkeen saisi aikaan jokin voima, mutta todellisuudessa se se aiheutuu matkalaukun inertiasta. Itse asiassa se pyrkii jatkamaan liikettään suoraan eteenpäin, mutta koska auto on kaareutuvassa liikkeessä, auton ei-inertiaalisen vertailu­järjestelmän suhteen laukku liikkuu sivusuunnassa.

Kun laukku on törmännyt auton suljettuun oveen, tilanteeseen alkavat vaikuttaa sen ja oven väliset kosketusvoimat. Niiden vaikutuksesta auton liikesuuntaa kääntävä voima alkaa vaikuttaa myös matkalaukkuun. Newtonin kolmannen lain mukaisesti sille muodostuu myös vastavoima, jolla laukku työntää ovea ulospäin. Myös tämä vastavoima, niin sanottu reaktiivinen keskipakoisvoima, aiheutuu matkalaukun inertiasta. Nyt tämä inertia kuitenkin ilmenee sen liiketilan muutokseen kohdistuvana vastustavana voimana.

Jos auto tasaisella nopeudella edetessään saapuu liikenneympyrään ja tekee siinä mahdollisesti useita täysiä kierroksia, matkustajista tuntuu siltä kuin heitä työntäisi ympyrän keskuksesta ulospäin reaktiivinen keskipakoisvoima.

Tilannetta voidaan tarkastella joko inertiaalisesta tai ei-inertiaalisesta vertailu­järjestelmästä käsin.

* Inertiaalisesta järjestelmästä katsottuna autolla on kiihtyvyyttä, joka suuntautuu kohti ympyrän keskusta. Sillä on siis kiihtyvyytät, koska sen nopeuden *suunta* muuttuu koko ajan, vaikka sen vauhti pysyykin vakiona. Tätä sisäänpäin suuntautuvaa kiihtyvyyttä sanotaan keski­hakuis­kiihtyvyydeksi. Se edellyttää, että on olemassa jokin keskihakuisvoima, joka ylläpitää ympyräliikettä. Tässä tapauksessa tämän voiman saa aikaan pyörien ja tien välinen kosketusvoima.

* Pyörivästä, autoon sidotusta vertailu­järjestelmästä, autosta katsottuna, näyttää siltä kuin autoon kohdistuisi keski­pakoisvoima, joka työntää autoa kohti tien ulkoreunaa ja samalla matkustajia kohti auton sitä ulko­seinää, joka on kauempana ympyrän keskuksesta. Tämä keski­pakois­voima tasa­painottaa pyörien ja tien välisen kosketus­voiman ja saa aikaan, että tämän vertailu­järjestelmän suhteen autolla ei ole kiihtyvyyttä.

Maapallon pyörimisen vuoksi myös maan pinta on ei-inertiaalinen vertailu­järjestelmä. Siitä aiheutuva keskipakoisvoima pienentää näennäistä painovoimaa noin tuhannes­osan verran, riippuen maan­tieteellisestä leveys­asteesta. Tämä poikkeama on suurimmillaan päiväntasaajalla, navoilla sitä ei esiinny lainkaan.

:

## Näennäisvoimat ja työ

Näennäisvoimienkin voidaan katsoa tekevän työtä, edellyttäen, että ne vaikuttavat kappaleeseen, joka on sellaisella liikeradalla, jossa potentiaalienergiaa muuttuu liike-energiaksi. Tarkastellaan esimerkkinä pyörivillä tuoleilla istuvia henkilöitä, jotka pitävät painoja ojennetuissa käsissään. Jos he siirtävät kätensä lähemmäksi vartaloaan, pyörivän vertailu­järjestelmän kannalta he tekevät työtä keskipakoisvoimaa vastaan. Jos he päästävät painon irti, se lentää pyörivään vertailu­järjestelmään nähden ulospäin, koska tämän järjestelmän kannalta keskipakoisvoima tekee siine työtä, muuttaen sen potentiaalienergian liike-energiaksi. Sen sijana inertiaalisesta vertailu­järjestelmästä katsottuna kappale lentää ulos, koska se yhtäkkiä pääsee etenemään suoraviivaisesti. Tämä esimerkki osoittaa, että tehty työ, samoin kuin kappaleen potentiaali- ja liike-energia voivat ei-inertiaalisessä järjestelmässä olla toisen suuruiset kuin inertiaalisessa.

## Gravitaatio näennäisvoimana

Hitaus- eli näennäisvoimille on tyypillistä, että ne antavat kaikille kappaleille niiden massasta ja muista ominaisuuksista riippumatta yhtä suuren (näennäisen) kiihtyvyyden. Tässä suhteessa ne muistuttavat gravitaatiota.  Jo Galilei osoitti kokeellisesti, että jos ilmanvastus ei vaikuta, kaikki kappaleet putoavat yhtä nopeasti, tai tarkemmin sanottuna saavat yhtä suuren kiihtyvyyden. Vuonna 1909 Lorand Eötvös osoitti asian suhteellisella tarkkuudella 10-11. Tämä merkitsee samalla, että jokaisen kappaleen *raskas massa* on yhtä suuri kuin sen *hidas massa*. Klassisessa fysiikassa ei kuitenkaan ollut mitään periaatteellista syytä sille, että näin oli välttämättä oltava.

Tämä seikka sai Albert Einsteinin pohtimaan, voitaisiinko gravitaatio käsittää näennäisvoimaksi. Hän päätteli, että vapaasti putoava havaitsija ei kokisi painovoimaa ja että näin ollen vapaasti putoava vertailu­järjestelmä on ekvivalentti inertiaali­järjestemän kanssa. ja hiukkaskiihdyttimiin  liittyvissä. Kuva 2 esittää kappaletta, jonka massa on *m* ja paikkavektori **x**A(*t*) inertiaalisessa vertailu­järjestelmässä A. Tarkastellaan ei-inertiaalista vertailu­järjestelmää B, jonka origon sijainti järjestelmässä A hetkellä *t* on **x**B(*t*) ja joka lisäksi pyörii tämän origon kautta kulkevan akselin ympäri. Tällöin on selvitettävä, millainen voima kappaleeseen näyttää kohdistuvan järjestelmän B kannalta.

Vastaus tähän kysymykseen saadaan esittämällä koordinaatit järjestelmässä B koordinaatti­akselien mukaisten yksikkö­vektorien **u***j* avulla, missä *j* = 1, 2, tai 3. Tällöin on 
 \mathbf{x}_\mathrm{B} = \sum_{j=1}^3 x_j \mathbf{u}_j \, . 

Tässä yhtälössä **x**B on kappaleen paikkavektori järjestelmässä B hetkellä *t*. Sen paikka järjestelmässä A samalla hetkellä on :
\mathbf{x}_\mathrm{A} =\mathbf{X}_\mathrm{AB} + \sum_{j=1}^3 x_j \mathbf{u}_j \, . 

Koska yksikkövektorien { **u***j* } pituus ei muutu, näiden vektorien derivointi ajan suhteen kuvaa vain järjestelmän B pyörimistä. Toisaalta vektori **X**AB ilmoittaa järjestelmän B origon sijainnin järjestelmän A suhteen, joten se ei voi sisältää järjestelmän B pyörimistä.

Kun yhtälö derivoidaan ajan suhteen, kappaleen nopeudeksi saadaan:
 \frac {d \mathbf{x}_\mathrm{A}}{dt} =\frac{d \mathbf{X}_\mathrm{AB}}{dt} + \sum_{j=1}^3 \frac{dx_j}{dt} \mathbf{u}_j + \sum_{j=1}^3 x_j \frac{d \mathbf{u}_j}{dt} \, . 

Tämän summan toinen termi on kappaleen nopeus vertailu­järjestelmän B suhteen. Käytetään sille merkintää **v**B. Tällöin saadaan:
 \frac {d \mathbf{x}_\mathrm{A}}{dt} =\mathbf{v}_\mathrm{AB}+ \mathbf{v}_\mathrm{B} + \sum_{j=1}^3 x_j \frac{d \mathbf{u}_j}{dt}. 

Tämä yhtälö on tulkittava niin, että vertailu­järjestelmässä A oleva havaitsijan mittaama nopeus saadaan järjestelmässä B olevan havaitsijan mittaamasta nopeudesta **v**B lisäämällä siihen kaksi ylimääräistä termiä, jotka liittyvät järjestelmän B koordinaatti­akselien muuttumis­nopeuteen. Toinen niistä on yksinkertaisesti origon liikenopeus **v**AB. Toinen termi aiheutuu siitä, että ei-inertiaalisen järjestestelmän pyörimisen vuoksi sen eri paikoilla on eri suuri nopeus inertiaalisen järjestelmän suhteen; pyörivästä järjestelmästä katsottuna pisteellä on pyörimis­liikkeestä aiheutuva nopeus­komponentti, joka on sitä suurempi, mitä kauempana piste on origosta.

Kiihtyvyys saadaan derivoimalla edellinen yhtälö vielä toisen kerran:
 \frac {d^2 \mathbf{x}_\mathrm{A}}{dt^2} = \mathbf{a}_\mathrm{AB}+\frac {d\mathbf{v}_\mathrm{B}}{dt} + \sum_{j=1}^3 \frac {dx_j}{dt} \frac{d \mathbf{u}_j}{dt} + \sum_{j=1}^3 x_j \frac{d^2 \mathbf{u}_j}{dt^2}. 

Käyttämällä **x**B:n aikaderivaatalle samaa lausekette kuin edellä saadaan nopeuden derivaataksi oikealla puolella:
\frac {d\mathbf{v}_\mathrm{B}}{dt} =\sum_{j=1}^3 \frac{d v_j}{dt} \mathbf{u}_j+ \sum_{j=1}^3 v_j \frac{d \mathbf{u}_j}{dt} =\mathbf{a}_\mathrm{B} + \sum_{j=1}^3 v_j \frac{d \mathbf{u}_j}{dt}. 

Näin ollen:
: \frac {d^2 \mathbf{x}_\mathrm{A}}{dt^2}=\mathbf{a}_\mathrm{AB}+\mathbf{a}_\mathrm{B} + 2\ \sum_{j=1}^3 v_j \frac{d \mathbf{u}_j}{dt} + \sum_{j=1}^3 x_j \frac{d^2 \mathbf{u}_j}{dt^2}.

Tämä yhtälö on tulkittava seuraavasti: vertailu­järjestelmässä A oleva havaitsijan mittaama kiihtyvyyss saadaan järjestelmässä B olevan havaitsijan mittaamasta kiihtyvyydestä **a**B lisäämällä siihen kolme järjestelmän B koordinaatti­­akselien muuttumisesta aiheutuvaa termiä. Yksi niistä, **a**AB, aiheutuu järjestelmän B origon **a**AB kiihtyvästä liikkeestä, kaksi muuta järjestelmän B pyörimisestä. Näin ollen järjestelmässä B olevat havaitsijat näkevät kappaleen liikkeessä "ylimääräistä" kiihtyvyyttä, jotka näyttävät siltä kuin kappaleeseen kohdistuisi yli­­määräisiä voimia. Järjestelmässä A olevat havaitsijat voivat kuitenkin todeta nämä voimat näennäisiksi ja että ne näyttävät esiintyvän vain, koska järjestelmässä B olevat havaitsijat eivät tunnista tämän järjestelmän ei-inertiaalista luonnetta.

Kerroin 2 lausekkeen kolmannessa termissä aiheutuu seuraavista syistä: (i) inertiaali­järjestelmässä vakiona pysyvän nopeuden näennäisestä muutoksesta, kun sen suunta vertailu­järjestelmän pyörimisen vuoksi näyttää muuttuvan (*d***v**B/d*t* -termi) ja (ii) kappaleen nopeuden näennäisestä muutoksesta, kun sen sijainti muuttuu sen siirtyessä lähemmäksi tai kauemmaksi pyörimisakselista (*x <sub>j</sub>*:n muutoksesta aiheutuva \sum x_j\, d\mathbf{u}_j/dt:n muutos).

Tilanne voidaan esittää voimien avulla kertomalla kiihtyvyydet kappaleen massalla:
\mathbf{F}_\mathrm{A} = \mathbf{F}_\mathrm{B} + m\mathbf{a}_\mathrm{AB}+ 2m \sum_{j=1}^3 v_j \frac{d \mathbf{u}_j}{dt} + m \sum_{j=1}^3 x_j \frac{d^2 \mathbf{u}_j}{dt^2}\ . 

Järjestelmässä B havaitun voiman, **F**B = *m***a**B, ja kappaleeseen vaikuttavan todellisen voiman, **F**A, välillä on yhteys
\mathbf{F}_\mathrm{B} = \mathbf{F}_\mathrm{A} + \mathbf{F}_\mathrm{naenn},
missä:
 \mathbf{F}_\mathrm{naenn} = -m\mathbf{a}_\mathrm{AB} - 2m\sum_{j=1}^3 v_j \frac{d \mathbf{u}_j}{dt} - m \sum_{j=1}^3 x_j \frac{d^2 \mathbf{u}_j}{dt^2}\, . 

Näin ollen kappaleen liikettä vertailu­järjestelmässä B voidaan kuvailla ja siihen liittyviä tehtäviä ratkaista olettamalla, että Newtonin toinen laki pätee tässäkin järjestelmässä ja käsittelemällä näennäisvoimaa **F**naenn laskennallisesti todellisten voimien tavoin.

Seuraavassa on muutamia esimerkkejä tämän tuloksen soveltamisesta eri tilanteissa ilmeneviin näennäisvoimiin.

### Pyörivä vertailujärjestelmä

Monissa tilanteissa kappaleiden liikettä on kätevää tarkastella pyörivän vertailu­järjestelmän suhteen. Tällainen vertailu­järjestelmä ei ole inertiaalinen, joten tällöin on otettava huomioon järjestelmässä vaikuttavat hitaus­voimat. Niistä huolimatta tällaisen vertailu­järjestelmän käyttö usein yksin­kertaistaa laskelmia.

Hitausvoimien lausekkeiden johtamiseksi on liikkuvan kappaleen paikka- ja nopeusvektorit derivoitava ajan suhteen. Vertailujärjestelmän 'B' pyörimistä voidaan kuvata kulmanopeusvektorilla &Omega; joka on oikean käden säännön mukaisesti pyörimis­akselin suuntainen ja suuruudeltaan:
 |\boldsymbol{\Omega} | = \frac {d \theta }{dt} = \omega (t), .

Silloin sen aikaderivaatta on

 \frac {d \mathbf{u}_j (t)}{dt} = \boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{u}_j (t), 

ja

\frac {d^2 \mathbf{u}_j (t)}{dt^2}= \frac{d\boldsymbol{\Omega}}{dt} \times \mathbf{u}_j +\boldsymbol{\Omega} \times \frac{d \mathbf{u}_j (t)}{dt} = \frac{d\boldsymbol{\Omega}}{dt} \times \mathbf{u}_j+ \boldsymbol{\Omega} \times \left[ \boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{u}_j (t) \right], .

Tämä voidaan tarkistaa vektorien ristitulon ominaisuukisen avulla. Näiden derivaattojen avulla voidaan johtaa yhteys inertiaalijärjestelmässä ja kulmanopeudeslla ω(t) pyörivässä vertailujärjestelmässä havaittujen kiihtyvyyksien välille.  Jos edellisen osion tavoin inertiaaliselle vertailujärjestelmälle käytetään alaindeksiä A ja pyörivälle alaindeksiä B, ja jos lisäksi oEdellisestä osiosta, jossa alaindeksi A viittaa inertiaaliseen ja B pyörivään vertailujärjestelmään ja jos lisäksi oletetaan, että **a**AB = 0 eli että järjestelmä ei ole kiihtyvässä siirtoliikkeessä, ja tarkastelemalla vain pyörimisliikkeen ominaisuuksia saaaan: 

 \frac {d^2 \mathbf{x}_\mathrm{A}}{dt^2}=\mathbf{a}_\mathrm{B} + 2\sum_{j=1}^3 v_j \ \frac{d \mathbf{u}_j}{dt} + \sum_{j=1}^3 x_j \frac{d^2 \mathbf{u}_j}{dt^2},
\begin{align}
\mathbf{a}_\mathrm{A} &= \mathbf{a}_\mathrm{B} +\ 2\sum_{j=1}^3 v_j \boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{u}_j (t) + \sum_{j=1}^3 x_j \frac{d\boldsymbol{\Omega}}{dt} \times \mathbf{u}_j \ + \sum_{j=1}^3 x_j \boldsymbol{\Omega} \times \left[ \boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{u}_j (t) \right] \\
&=\mathbf{a}_\mathrm{B} + 2 \boldsymbol{\Omega} \times\sum_{j=1}^3 v_j \mathbf{u}_j (t) + \frac{d\boldsymbol{\Omega}}{dt} \times \sum_{j=1}^3 x_j \mathbf{u}_j + \boldsymbol{\Omega} \times \left[\boldsymbol{\Omega} \times \sum_{j=1}^3 x_j \mathbf{u}_j (t) \right].
\end{align}

Yhdistämällä termit saadaan tästä niin sanottu *kiihtyvyyden muunnoskaava*:
\mathbf{a}_\mathrm{A}=\mathbf{a}_\mathrm{B} + 2\boldsymbol{\Omega} \times\mathbf{v}_\mathrm{B} + \frac{d\boldsymbol{\Omega}}{dt} \times \mathbf{x}_\mathrm{B} + \boldsymbol{\Omega} \times \left(\boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{x}_\mathrm{B} \right)\, .

Niiden voimien kappaleelle aiheuttama itseiskiihtyvyys **a**A, joita inertiaalijärjestelmässä A olevan havaitsijan näkökulmasta ovat kappaleeseen vaikuttavita *todellisia ulkoisia voimia*, ei siis ole yksinkertaisesti sama kuin pyörivässä vertailujärjestelmässä B olevien havaitsijoiden näkemä kiihtyvyys, vaan siinä on mukana useita B:n pyörimiseen liittyviä geometrisiakiihtyvyystermejä. Pyörivästä vertailujärjestelmästä katsottuna kappaleen kiihtyvyys **a**B saadaan muokkaamalla yllä oleva yhtälö muotoon:

\mathbf{a}_\mathrm{B} = \mathbf{a}_\mathrm{A} - 2\boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{v}_\mathrm{B} - \boldsymbol{\Omega} \times (\boldsymbol\Omega \times  \mathbf{x}_\mathrm{B}) - \frac{d \boldsymbol\Omega}{dt} \times \mathbf{x}_\mathrm{B}.


Newtonin toisen lain mukaan kappaleeseen vaikuttava voima on yhtä suuri kuin sen massa kerrottuna sen saamalla kiihtyvyydellä. Tämä pätee pyörivässäkin koordinaatistossa, jos oletetaan, että siinä olevien havaitsijoiden näkökulmasta kappaleeseen vaikuttava kokonaisvoima on  **F**B = *m***a**B. Tämä merkitsee, että pyörivässä koordinaatistossa B kappaleeseen vaikuttaa, inertiaalijärjestelmässä A havaittujen voimien lisäksi  ylimääräinen voima **F**naenn, jolloin kokonaisvoima on **F**B = **F**A + **F**naenn. Tälle voimalle saadaan lauseke:

\mathbf{F}_{\mathrm{naenn}} = - 2 m \boldsymbol\Omega \times \mathbf{v}_\mathrm{B} - m \boldsymbol\Omega \times (\boldsymbol\Omega \times \mathbf{x}_\mathrm{B}) - m \frac{d \boldsymbol\Omega}{dt} \times \mathbf{x}_\mathrm{B}.


Tässä ensimmäinen termi on nimeltään *[[Coriolis-voima]]*,, toinen termi keskipakois- eli sentrifugaalivoima, ja kolmas *[[Eulerin voima]]*.

### Kulku karusellin poikki

Tarkastellaan oheisessa kuviossa esitettyä esimerkkiä, jossa verrataan inertiaalijärjestelmässä, karusellin ulkopuolella olevan havaitsijan havaintoja pyörivässä karusellissa olevan havaitsijan tekemiin. ja  Karuselli pyörii vakioisella kulmanopeudella ω, jota edustaa oikean käden säännön mukaisesti ylöspäin osoittava vektori Ω. Karusellissa oleva henkilö kävelee sen keskipisteestä ulkoreunalle, karusellin suhteen suoraviivaisesti tasaisella nopeudella. Tällaista kulkureittiä osoittaa oikeanpuoleisessa kaaviossa oleva jana, joka on 45°:n kulmassa koordinaattiakseleihin nähden. Karusellin ulkopuolella olevan havaitsijan suhteen hän kulkee kuitenkin sinisellä merkittyä spiraalin muotoista rataa. Sekä suoraan että spiraaliin on merkitty sarja pisteitä, jotka tarkoittavat hänen sijaintiaan eri hetkinä, tasaisin aikavälein. Tarkastellaan liikettä molempien vertailujärjestelmien suhteen Newtonin lakien avulla.

#### Inertiaalijärjestelmässä oleva havaitsija

Karusellin ulkopuolella, inertiaalisessa järjestelmässä olevan havaitsijan suhteen kävelijä liikkuu spiraalin muotoista rataa pitkin. Kuvion 5 mukaisia koordinaatteja käyttäen hänen sijaintinsa hetkellä *t* on

\mathbf{r}(t) =R(t)\mathbf{u}_R = \begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R(t)\cos (\omega t + \pi/4) \\ R(t)\sin (\omega t + \pi/4) \end{bmatrix}, ,

missä **u***R* on yksikkövektori, joka osoittaa suunnan karusellin pyörimisakselista henkilön sijainnin suuntaan kullakin hetkellä. Termi π/4 on lausekkeessa mukana, koska koordinaatisto on mielivaltaisesti asetettu niin, että kävelijän liike on aluksi 45°:n kulmassa koordinaattiakseleihin nähden. Etäisyys keskuksesta kasvaa ajan kuluessa tasaisesti:

R(t) = s t,, 

missä *s* on käveljän nopeus. Tämä nopeus on samalla hänen sijaintinsa ensimmäinen derivaatta ajan suhteen:

\begin{align}
\mathbf{v}(t) &= \frac{dR}{dt} \begin{bmatrix} \cos (\omega t + \pi/4) \\ \sin (\omega t + \pi/4) \end{bmatrix} + \omega R(t) \begin{bmatrix} -\sin(\omega t + \pi/4) \\ \cos (\omega t + \pi/4) \end{bmatrix} \\
&= \frac{dR}{dt} \mathbf{u}_R + \omega R(t) \mathbf{u}_{\theta},
\end{align}, 

missä **u***θ* on yksikkövektori, joka kullakin hetkellä *t* on kohtisuorassa vektoriin **u***R* nähden, mikä voidaan todeta muodostamalla näiden vektorien pistetulo.  Tämä yksikkövektori osoittaa kävelijän liikesuunnan kullakin hetkellä. Kiihtyvyys on nopeuden ensimmäinen derivaatta:

\begin{align}
\mathbf{a}(t) &= \frac{d^2 R}{dt^2} \begin{bmatrix} \cos (\omega t + \pi/4) \\ \sin (\omega t + \pi/4) \end{bmatrix} + 2 \frac {dR}{dt} \omega \begin{bmatrix} -\sin(\omega t + \pi/4) \\ \cos (\omega t + \pi/4) \end{bmatrix} - \omega^2 R(t) \begin{bmatrix} \cos (\omega t + \pi/4) \\ \sin (\omega t + \pi/4) \end{bmatrix} \\
&=2s\omega \begin{bmatrix} -\sin(\omega t + \pi/4) \\ \cos (\omega t + \pi/4) \end{bmatrix} -\omega^2 R(t) \begin{bmatrix} \cos (\omega t + \pi/4) \\ \sin (\omega t + \pi/4) \end{bmatrix} \\
&=2s\ \omega \ \mathbf{u}_{\theta}-\omega^2 R(t)\ \mathbf{u}_R \, .
\end{align}

Kiihtyvyyden viimeinen termi suuntautuu säteittäisesti kohti karusellin keskusta. Se on suuruudeltaan ω2*R*, mikä näin ollen on ympyräliikkeessä esiintyvä hetkellinen keskihakuiskiihtyvyys.
 Ensimmäinen termi on kohtisuorassa säteittäiseen suuntaan nähden ja osoittaa henkilön kulkusuuntaan. Sen suuruus on 2*s*ω, ja se kuvaa kävelijän kiihtyvyyttä hänen lähestyessään karusellin ulkolaitaa. Saman pituisessa ajassa hän kulkee jatkuvati yhä pidemmän matkan, kuten voidaan havaita siitä, että pisteiden väliset oheisessa kaaviossa kasvavat karusellin ulkolaitaa lähestyttäessä.

Inertiaalijärjestelmässä oleva havaitsija voi Newtonin toista lakia soveltamalla (kertomalla kiihtyvyyden kävelijän massalla) päätellä, että kävelijään kohdistuu kaksi voimaa: kohti karusellin pyörimisakselia suuntautuva keskihakuisvoima ja sisäänpäin suuntautuva 
Soveltamalla Newtonin lakeja, kertomalla kiihtyvyyden kävelijän massalla, inertiaalihavaitsija päättelee, että kävelijää kohtaa kaksi voimaa: sisäänpäin suuntautuvaa säteittäisesti suuntautuvaa keskipakovoimaa sekä toinen siihen nähden kohtisuora voimasta voimaa, joka on verannollinen hänen nopeuteensa.

#### Pyörivä havaitsija
Pyörivässä liikkeessä mukana oleva havaitsija näkee kävelijän kulkevan suoraviivaisesti karusellin keskuksesta sen ulkolaidalle, kuten edellä oleva kuva osoittaa. Lisäksi hän näyttää kulkevan tasaisella nopeudella koko ajan samaan suuntaan, mikä Newtonin lakien mukaan merkitsee, että häneen vaikuttavien voimien summa on nolla. Tämä tulos ei ole yhtäpitävä sen kanssa, mihin inertiaalijärjestelmässä oleva havaitsija päätyi. Jotta tulokset voitaisiin sovittaa yhteen,  pyörivän havaitsijan on oletettava ylimääräisiä voimia, jotka näyttävät esiintyvän pyörivässä koordinaatistossa, vaikka niitä ei voidakaan selittää painavasta massasta, sähkövarauksesta tai muusta vastaavasta tekijästä aiheutuvaksi.

Jotta pyörivä ja inertiaalinen havaitsija päätyisivät samaan tulokseen, kävelijään vaikuttavien voimien on oltava tarkalleen samat kuin edellä mainitut. Ne yhdistää toisiinsa edellä jo johdetut kaavat, nimittäin:

\mathbf{F}_{\mathrm{naenn}} =
- 2 m \boldsymbol\Omega \times \mathbf{v}_\mathrm{B} - m \boldsymbol\Omega \times (\boldsymbol\Omega \times \mathbf{x}_\mathrm{B} ) - m \frac{d \boldsymbol\Omega}{dt} \times \mathbf{x}_\mathrm{B}.


Tässä esimerkissä pyörivästä vertailujärjestelmästä käsin havaittu nopeus on:
\mathbf{v}_\mathrm{B} = s \mathbf{u}_R, 
missä **u**R on karusellin säteen suuntainen yksikkövektori. Kulkijan sijainti karusellista katsottuna on:
\mathbf{x}_\mathrm{B} = R(t)\mathbf{u}_R, , 
ja **Ω**:n aikaderivaatta on nolla tasaisessa pyörimisliikkeessä. Kun otetaan huomioon, että
\boldsymbol\Omega \times \mathbf{u}_R =\omega \mathbf{u}_{\theta} 
ja
\boldsymbol\Omega \times \mathbf{u}_{\theta} =-\omega \mathbf{u}_R \, ,
saadaan:
\mathbf{F}_{\mathrm{naenn}} = - 2 m \omega s \mathbf{u}_{\theta} + m \omega^2 R(t) \mathbf{u}_R.

Jotta pyörivässä järjestelmässä saataisiin suoraviivainen liike, tarvitaan voima, joka on yhtä suuri mutta vastakkaissuuntainen kuin on oletettava tämän kanssa suuruudeltaan yhtä suuri mutta vastakkaissuuntainen kuin tämä näennäisvoima. Tällöin kulkijaan kohdistuvien voimien summa on nolla, ja Newtonin inertiaalilain mukaisesti hänen kulkureittinsä on suora, kuten se onkin pyörivässä liikkeessä olevan havaitsijan suhteen. Näennäisvoimia, jotka on kumottava, ovat tällöin Coriolis-voima (ensimmäinen termi) ja keskipakoisvoima (toinen termi).  Voimien, jotka tarvitaan näiden kumoamiseen, voidaan todeta olevan tarkalleen samat kuin mitkä inertiaalijärjestelmässä olevan havaitsijan mukaan tarvittaisiin.

Koska karusellissa olevan kulkijan nopeus siellä olevan havaitsijan suhteen on vakio, molemmat havaitsevat samat kiihtyvyydet. Kulkija kokee näennäisvoimat todellisina, ja niiden kumoaminen on välttämätöntä, jotta hän voisi kulkea suoraviivaisesti tasaisella nopeudella. Näiden näennäisvoimien vaikutus kulkijaan on verrattavissa sivutuuleen.

## Huomautuksia

## Lähteet

* 
* 

### Viitteet

## Katso myös

* Keskipakoisvoima
* Keskihakuisvoima
* Ympyräliike
* Tasaisesti kiihtyvä liike
* Coriolis-ilmiö
* Inertiaalijärjestelmä