Integrointi moniulotteisessa avaruudessa

**Integrointi moniulotteisessa avaruudessa** tarkoittaa kahden tai useamman muuttujan reaaliarvoisten funktioiden määrätyn integraalin selvittämistä. Moniulotteisen avaruuden määrättyjä integraaleja kutsutaan **moninkertaisiksi integraaleiksi**, ja niiden määrittäminen perustuu yhden muuttujan määrättyjen integraalien määrittämiseen toistuvasti.

Kaksiulotteisen avaruuden \mathbb R^2 osajoukoissa määriteltyjen funktioiden f(x, y) integraaleja kutsutaan *kaksinkertaisiksi integraaleiksi* ja kolmiulotteisen avaruuden \mathbb R^3 osajoukoissa määriteltyjen funktioiden f(x, y, z) integraaleja vastaavasti *kolminkertaisiksi integraaleiksi*. Yksinkertaisin moniulotteisessa avaruudessa integroinnin sovellus on kolmiulotteisen alueen tilavuuden määrittäminen kaksinkertaisen integraalin avulla.

## Merkintätavoista
Tavanomaista, välillä [a, b]\subset\mathbb R määritellyn, yhden muuttujan funktion määrättyä integraalia merkitään yleisesti:

\int_a^b f(x)\,\mathrm dx.

Moniulotteisten avaruuksien integraaleissa merkinnät ovat samankaltaisia. Toisaalta eri lähteissä moninkertaisia integraaleja merkitään eri tavoin. Kahden muuttujan funktion f(x, y) integraalia yli tason D\subset\mathbb R^2 (merkinnästä \mathbb R^2 ks. karteesinen tulo) merkitään kaksinkertaisella integraalimerkillä:

\iint_D f(x, y)\,\mathrm dA.

Vastaavasti kolmen muuttujan funktion f(x, y, z) integraalia yli avaruuden R\subset\mathbb R^3 merkitään kolminkertaisella integraalimerkillä:

\iiint_R f(x, y, z)\,\mathrm  dV.

Useamman kuin kolmen muuttujan funktion integraaleille toistuvia integraalimerkkejä ei enää tilan säästämisen vuoksi käytetä (vrt. moninkertaisten derivaattojen merkintä). Sen sijaan avaruudessa A\subset\mathbb R^n, missä n\in\mathbb N, n\geq3, määritellyn funktion f(x_1, x_2,\dotsc, x_n) integraalissa käytetään eri lyhennysmerkintöjä:

\int\dots\int_A f(x_1, x_2,\dotsc, x_n)\,\mathrm dV,

\int\dots\int_A f(x_1, x_2,\dotsc, x_n)\,\mathrm dx_1\dotsc\mathrm dx_n.

Joskus kaksin-, kolmin- tai useammankertaista integraalia merkitään myös yksinkertaisella integraalimerkillä (jolloin integraalissa esiintyvän avaruuden ulottuvuus on selvitettävä kontekstista):

\int_A f(x_1,\dotsc, x_n)\,\mathrm dx_1\dotsc\mathrm dx_n,\int_A f(\mathbb x)\,\mathrm dV  tai \int_A f(\mathbb x)\,\mathrm d\mathbb x, 

missä kahdessa viimeisessä käytetään merkintää f(\mathbb x)=f(x_1, x_2,\dotsc, x_n). Kummallakin merkintätavalla on omat hyvät ja huonot puolensa, ja kumpaankin käytetään yleisesti.

## Määritelmä
Kaksinkertaisen integraalin määritelmä esitetään (yksinkertaisuutensa ja helpommin hahmotettavuutensa takia) siten, kuin se on esitetty lähteessä . Useamman muuttujan funktioiden integrointi määritellään yleisemmin, kuten se on tehty lähteessä . Nämä kaksi määritelmää eivät ole ristiriidassa keskenään.

### Kaksinkertainen integraali
Olkoon D\subset\mathbb R^2 suljettu suorakulmio, jonka sivut ovat koordinaattiakselien suuntaiset ja f:D\to\mathbb R rajoitettu kuvaus. Jos D:hen kuuluvat kaikki pisteet (x, y) siten, että x\in[a, b] ja y\in[c, d], niin D:hen voidaan määritellä ositus P siten, että

\begin{align}
a&=x_0

Ositus P koostuu m\cdot n:stä suorakulmiosta R_{ij}, missä 1\leq i\leq m ja 1\leq j\leq n, jotka edelleen koostuvat pisteistä (x, y), missä x\in[x_{i-1}, x_i] ja y\in[y_{j-1}, y_j]. Suorakulmion R_{ij} pinta-ala on

\Delta A_{ij}=\Delta x_i\Delta y_j=(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1})

ja sen lävistäjän pituus on Pythagoraan lauseen nojalla

\mathrm{diam}(R_{ij})=\sqrt{(\Delta x_i)^2+(\Delta y_j)^2}=\sqrt{(x_i-x_{i-1})^2+(y_j-y_{j-1})^2}.

Määritellään osituksen P suurimman suorakulmion lävistäjän pituus osituksen normiksi:

\lVert P\rVert=\max_{1\leq i\leq m,~1\leq j\leq n}\mathrm{diam}(R_{ij}).

Valitaan jokaisesta suorakulmiosta R_{ij} mielivaltainen piste (x_{ij}^*, y_{ij}^*) ja muodostetaan niiden avulla kaksiulotteinen Riemannin summa:

S_P(f)=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n f(x_{ij}^*, y_{ij}^*)\Delta A_{ij}.

Riemannin summan jokainen termi kuvaa sellaisen suorakulmaisen laatikon tilavuutta, jonka pohja on suorakulmio R_{ij} ja korkeus on funktion f arvo pisteessä (x_{ij}^*, y_{ij}^*) (siis mikäli f(x_{ij}^*, y_{ij}^*)\geq0). Näin ollen positiivisille funktioille Riemannin summa approksimoi suorakulmion D ja funktion f kuvaajan väliin jäävän avaruuden **tilavuutta**. Kun laatikoiden lukumäärää kasvatetaan ja vastaavasti pinta-aloja \Delta A_{ij} pienennetään (jolloin jaon normi \lVert P\rVert pienee), muuttuu approksimaatio yhä tarkemmaksi. Kaksinkertaisen integraalin määritelmä perustuukin siihen, että \lVert P \rVert\to0. Lopullinen määritelmä kuuluu:

:Funktio f:D\to\mathbb R on **integroituva** suorakulmion D yli ja sillä on **kaksinkertainen integraali**

:I=:\iint_D f(x, y)\,\mathrm dA,

:jos *[[Universaalikvanttori|kaikilla]] <math display="inline">\varepsilon>0</math>* on olemassa (*<math display="inline">\varepsilon</math>*:sta riippuva) luku *<math display="inline">\delta>0</math>* siten, että ehto

:\left|S_P(f)-I\right|

:pätee kaikille D:n osituksille P, joille \lVert P\rVert sekä kaikkien osajoukkojen R_{ij} kaikissa pisteissä (x_{ij}^*, y_{ij}^*).

Merkintä \mathrm dA tarkoittaa differentiaalista pinta-alaelementtiä, joka on eräs esitystapa pinta-alan \Delta A=\Delta x\Delta y raja-arvolle. Pinta-alaelementti voidaan kirjoittaa muodossa

\mathrm dA=\mathrm dx\,\mathrm dy=\mathrm dy\,\mathrm dx,

mistä on erityistä hyötyä myöhemmin, kun integraaleja lasketaan iteroimalla.

### Kolmin- tai useammankertainen integraali
Olkoon n\in\mathbb N, n\geq 3. JoukkoI=[a_1, b_1]\times[a_2, b_2]\times\dotsc\times[a_n, b_n]on avaruuden \mathbb R^n kompakti väli  (nk. hypersuorakulmio). Olkoon lisäksi f: I\to\mathbb R rajoitettu funktio. Jos 1\leq i\leq n, niin välin [a_i, b_i] jako P_i on: 

a_i=t_0\leq t_1\leq\dotsc\leq t_{k_i}=b_i. 

Ts. väli [a_i, b_i] voidaan esittää k_i:n eri osavälin (joista osa voi olla myös surkastunut pisteeksi) [t_{i-1}, t_i] unioinina. Jos jokaiselle 1\leq i\leq n on olemassa välin [a_i, b_i] jako P_i, niin joukon I jako on: 

P=P_1\times P_2\times\dotsc\times P_n. 

Jako P määrää \kappa=k_1\cdot k_2\cdot\dotsc\cdot k_n kappaletta kompakteja jakovälejä I_1, I_2,\dots, I_\kappa, jotka osittavat välin I. Merkitään mielivaltaista joukon I pistettä (x_1, x_2, \dotsc, x_n)=\mathbb x sekä kaikilla j\in\{1, 2, \dotsc, \kappa\}: 

g_j=\inf_{\mathbb x\in I_j} f(\mathbb x) ja 

G_j=\sup_{\mathbb x\in I_j} f(\mathbb x) 

(ks. infimum ja supremum). Määritellään näiden avulla jakoon P liittyvä *alasumma* kaavalla 

s_P(f)=\sum_{j=1}^\kappa\left[g_j\cdot\prod_{i=1}^n(b_i-a_i)\right]=\sum_{j=1}^\kappa\left[g_j\cdot(b_1-a_1)\cdot(b_2-a_2)\cdot\dotsc\cdot(b_n-a_n)\right] 

ja vastaavasti jakoon P liittyvä *yläsumma* kaavalla 

S_P(f)=\sum_{j=1}^\kappa\left[G_j\cdot\prod_{i=1}^n(b_i-a_i)\right]=\sum_{j=1}^\kappa\left[G_j\cdot(b_1-a_1)\cdot(b_2-a_2)\cdot\dotsc\cdot(b_n-a_n)\right]. 

Joukolle I voidaan asettaa useita eri ala- ja yläsummia riippuen siitä, millä tavalla (ja kuinka monilla osaväleillä) jako P tehdään. Jos jakopisteitä lisätään, ei yläsumma kasva eikä alasumma pienene. Näin ollen, jos P on välin I jako, P' on P:n alajako (jako, joka sisältää (vähintään) kaikki jaon P jakopisteet) ja P*</math> on kummankin edellisen jaon alajako, niin: 

<math>s_P(f)\leq s_{P*}(f)\leq S_{P*}(f)\leq S_{P'}(f)</math> 

Tästä seuraa edelleen, että alasummien joukon supremum on korkeintaan yläsummien joukon infimum. Näin ollen, jos <math display="inline">P</math> on joukon <math display="inline">I</math> mielivaltainen jako, niin aina 

<math>\sup_{P} s_P(f)\leq\inf_{P} S_P(f)</math>. 

:Tällöin funktio <math display="inline">f: I\to\mathbb R</math> on (*'Riemann-**)**integroituva** (joukossa <math display="inline">I</math> tai joukon <math display="inline">I</math> yli), jos 

:<math>\sup_{P} s_P(f)=\inf_{P} S_P(f)</math>.  

Tämä määritelmä yhtyy kaksinkertaisen integraalin määritelmään seuraavasti: Olkoon <math display="inline">I=[a_1, b_1]\times[a_2, b_2]\times\dotsc\times[a_n, b_n]\subset\mathbb R^n</math>, <math display="inline">n\geq 2</math> ja <math display="inline">f: I\to\mathbb R</math> on rajoitettu funktio. Tällöin funktio <math display="inline">f</math> on integroituva, jos ja vain, jos ''kaikilla'' ''<math display="inline">\varepsilon>0</math> ''on olemassa välin <math display="inline">I</math> jako <math display="inline">P</math> siten, että  

<math>S_P(f)-s_P(f)<\varepsilon</math>.  

=== Integrointi yleisen joukon yli ===

Yleisesti ottaen joukko, jonka yli integrointi suoritetaan, ei välttämättä ole suorakulmio (tai hypersuorakulmio). Tällöin integrointialuetta voidaan yksinkertaistaa laajentamalla sitä siten, että uusi integrointialue on sellainen (hyper-)suorakulmio, joka sisältää alkuperäisen integrointialueen sekä määrittelemällä integroitava funktio [[Paloittain määritelty funktio|paloittain]]. Oletetaan nyt, että <math display="inline">I=[a_1, b_1]\times[a_2, b_2]\times\dotsc\times[a_n, b_n]\subset\mathbb R^n</math> on hypersuorakulmio. Olkoon lisäksi integrointialue <math display="inline">A\subset I</math> ja funktio <math display="inline">f: A\to\mathbb R</math> [[Rajoitettu joukko|rajoitettu]]. Määritellään funktio <math display="inline">\hat f:I\to\mathbb R</math> siten, että:

<math>\hat f(\mathbb x)=\begin{cases}f(\mathbb x), &\text{ jos } \mathbb x\in A \\ 0, &\text{ jos } \mathbb x\in I\,\backslash\,A.  \end{cases}</math>  

Jos <math display="inline">\hat f</math> on integroituva yli <math display="inline">I</math>:n, niin myös funktio <math display="inline">f</math> on integroituva yli <math display="inline">A</math>:n ja:  

<math>\int_A f(\mathbb x)\,\mathrm dV=\int_I\hat f(\mathbb x)\,\mathrm dV</math>.

Integraalin arvo ei riipu joukon <math display="inline">I</math> valinnasta, kunhan <math display="inline">A\subset I</math>.    

== Moninkertaisten integraalien ominaisuuksia ==
Olkoon seuraavassa <math display="inline">n\in\mathbb N</math>, <math display="inline">A\subset\mathbb R^n</math>, <math display="inline">\mathbb x=(x_1, x_2,\dotsc, x_n)</math>, funktiot <math display="inline">f</math> ja <math display="inline">g</math> integroituvia funktioita joukossa <math display="inline">A</math> sekä <math display="inline">a\in\mathbb R</math> ja <math display="inline">b\in\mathbb R</math> [[Vakio|vakioita]]. Seuraavat ominaisuudet pätevät moniulotteisille integraaleille:
* <math>\int_A f(\mathbb x)\,\mathrm dV=\int_{\mathrm{int}(A)}f(\mathbb x)\,\mathrm dV</math> (merkintä <math display="inline">\mathrm{int}(A)</math> tarkoittaa joukon <math display="inline">A</math> [[Sisä-, reuna- ja ulkopiste|sisäpisteiden]] joukkoa).
* <math>\int_A 1\,\mathrm dV</math> = integrointialueen <math display="inline">A</math> [[tilavuus]] ([[pinta-ala]], jos <math display="inline">n=2</math> ja [[pituus]], jos <math display="inline">n=1</math>).

* <math>\int_A f(\mathbb x)\,\mathrm dV=0</math>, jos <math display="inline">\mathrm{int}(A)=\varnothing</math> (joukolla <math display="inline">A</math> ei ole [[Sisä-, reuna- ja ulkopiste|sisäpisteitä]]).
* Funktio <math display="inline">a\cdot f+b\cdot g</math> on integroituva joukossa <math display="inline">A</math> ja <math>\int_A \left(af(\mathbb x)+bg(\mathbb x)\right)\,\mathrm dV=a\int_A f(\mathbb x)\,\mathrm dV+b\int_A g(\mathbb x)\,\mathrm dV</math>.
* Jos <math display="inline">f(\mathbb x)\leq g(\mathbb x)</math> kaikilla <math display="inline">\mathbb x\in A</math>, niin <math>\int_A f(\mathbb x)\,\mathrm dV\leq\int_A g(\mathbb x)\,\mathrm dV</math>.
* [[Kolmioepäyhtälö]]: <math>\left|\int_A f(\mathbb x)\,\mathrm dV\right|\leq\int_A\left|f(\mathbb x)\right|\,\mathrm dV</math>.
* Jos joukot <math display="inline">A_1, A_2, \dotsc, A_k</math> [[Ositus|osittavat]] joukon <math display="inline">A</math>, niin <math>\int_A f(\mathbb x)\,\mathrm dV=\sum_{i=1}^k\int_{A_i}f(\mathbb x)\,\mathrm dV</math>.

== Integrointimenetelmiä ==

=== Symmetrioiden käyttö ===
Kaksin- ja kolminkertaisia integraaleja voidaan käyttää erityisesti pinta-alojen ja tilavuuksien määrittämiseen. Tätä ominaisuutta voidaan käyttää myös toisin päin: jos tiedetään integrointialueen pinta-ala tai tilavuus, voidaan integrointia helpottaa tai jopa jättää kokonaan pois. Vastaavasti voidaan käyttää integroitavan funktion symmetriaominaisuuksia, kuten [[Parilliset ja parittomat funktiot|parillisuutta ja parittomuutta]].

==== Esimerkki 1 ====
Olkoon integrointialue <math display="inline">D\subset\mathbb R^2</math> suorakulmio <math display="inline">a\leq x\leq b</math>, <math display="inline">c\leq y\leq d</math>. Tällöin

<math>\begin{align}
\iint_D 3\,\mathrm dA&=3\iint_D\mathrm dA=3\cdot(D\text{:n pinta-ala}) \\ &=3(b-a)(d-c).
\end{align}</math>

==== Esimerkki 2 ====
Määritetään integraalin <math display="inline">\iint_{x^2+y^2\leq1}(\sin x+y^3+4)\,\mathrm dA</math> arvo. Ensimmäiseksi havaitaan, että integrointialue on <math display="inline">xy</math>-tason origokeskinen [[yksikköympyrä|yksikkökiekko]] (symmetrinen origon suhteen). Integraali voidaan jakaa kolmeksi eri integraaliksi:

<math>\begin{align}
\iint_{x^2+y^2\leq1}(\sin x+y^3+4)\,\mathrm dA&=\iint_{x^2+y^2\leq1}\sin x\,\mathrm dA+\iint_{x^2+y^2\leq1}y^3\,\mathrm dA+\iint_{x^2+y^2\leq1}4\,\mathrm dA \\
&=:I_1+I_2+I_3
\end{align}</math>

Koska integrointialue on origon suhteen symmetrinen ja funktio <math display="inline">f(x, y)=\sin x</math> on [[Parilliset ja parittomat funktiot#Parittomat funktiot|pariton funktio]], niin kuvaajan ja <math display="inline">xy</math>-tason väliin jäävä tilavuus on yhtä suuri alueissa <math display="inline">x<0</math> ja <math display="inline">x>0</math>. Parittomuudesta johtuen nämä tilavuudet kumoavat toisensa, jolloin <math display="inline">I_1=0</math>. Vastaavasti, funktio <math display="inline">g(x, y)=y^3</math> on myös pariton, joten <math display="inline">I_2=0</math>. Näin ollen

<math>\begin{align}
I_1+I_2+I_3&=I_3=\iint_{x^2+y^2\leq1}4\,\mathrm dA \\
&=4\cdot(\text{ympyrän } x^2+y^2\leq1 \text{ pinta-ala}) \\
&=4\pi.
\end{align}</math>

=== Iterointi ===

Käytetään tässä yksinkertaisuuden vuoksi esimerkkinä integrointia kaksiulotteisessa avaruudessa. Sanotaan, että integrointialue <math display="inline">D\subset\mathbb R^2</math> on
* **säännöllinen y-suunnassa**, jos sitä rajoittavat suorat <math display="inline">x=a</math> ja <math display="inline">x=b</math>, sekä mikä tahansa <math display="inline">y</math>-akselin suuntainen [[suora]] leikkaa alueen <math display="inline">D</math> [[Reuna (topologia)|reunan]] korkeintaan kahdesti.

* **säännöllinen x-suunnassa**, jos sitä rajoittavat suorat <math display="inline">y=c</math> ja <math display="inline">y=d</math>, sekä mikä tahansa <math display="inline">x</math>-akselin suuntainen suora leikkaa alueen <math display="inline">D</math> reunan korkeintaan kahdesti.
Oletetaan esimerkiksi, että integrointialue <math display="inline">D</math> on säännöllinen **y**-suunnassa ja sitä rajoittavat suorat **x=a** ja **x=b** sekä [[Käyrä|käyrät]] **y=\alpha(x)** ja **y=\beta(x)** siten, että **\alpha(x)\leq\beta(x)** kaikilla **x\in[a, b]**. Funktion <math display="inline">z=f(x, y)</math> kuvaajan ja <math display="inline">xy</math>-tason väliin jäävä avaruus voidaan viipaloida <math display="inline">yz</math>-tason suuntaisilla tasoilla (joissa siis <math display="inline">x=\text{vakio}</math>) pitkin <math display="inline">x</math>-akselia. Tällaisen tason pinta-ala saadaan yksiulotteisella määrätyllä integraalilla:

<math>A(x)=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(x, y)\,\mathrm dy</math>.

Tällöin kaksinertainen integraali <math display="inline">\iint_D f(x, y)\,\mathrm dA</math> saadaan summaamalla [[Funktion differentiaali|differentiaalisen]] paksujen viipaleiden (pinta-ala <math display="inline">A(x)</math> ja paksuus <math display="inline">\mathrm dx</math>) tilavuudet suorien **x=a** ja **x=b*' välillä:

<math>\iint_D f(x, y)\,\mathrm dA=\int_a^b A(x)\,\mathrm dx=\int_a^b\left(\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(x, y)\,\mathrm dy\right)\,\mathrm dx</math>.

Samaa integraalia voidaan merkitä myös:

<math>\int_a^b\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(x, y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy</math> tai

<math>\int_a^b\mathrm dx\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(x, y)\,\mathrm dy</math>.

Näin päästään kaksinkertaisten integraalien määrittämiseen iteroimalla:

:Jos <math>D\subset\mathbb R^2</math> on rajoitettu ja säännöllinen <math display="inline">y</math>-suunnassa (<math>a\leq x\leq b</math>, <math>\alpha(x)\leq y\leq\beta(x)</math>) sekä <math>f:D\to\mathbb R</math> on jatkuva funktio, niin

:<math>\iint_D f(x, y)\,\mathrm dA=\int_a^b\mathrm dx\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(x, y)\,\mathrm dy</math>.

:Jos <math>D\subset\mathbb R^2</math> on rajoitettu ja säännöllinen <math display="inline">x</math>-suunnassa (<math>c\leq y\leq d</math>, <math>\gamma(y)\leq x\leq\delta(y)</math>) sekä <math>f:D\to\mathbb R</math> on jatkuva funktio, niin

:<math>\iint_D f(x, y)\,\mathrm dA=\int_c^d\mathrm dy\int_{\gamma(y)}^{\delta(y)}f(x, y)\,\mathrm dx</math>.

==== Esimerkki 3 ====
<math display="inline">D\subset\mathbb R^2</math> on [[Neliö (geometria)|neliö]], jonka määrittelevät rajat <math display="inline">0\leq x\leq 1</math> ja <math display="inline">1\leq y\leq 2</math>. Määritetään neliön <math display="inline">D</math> ja [[Taso|tason]] <math display="inline">z=4-x-y</math> väliin jäävän avaruuden tilavuus. Integrointialue <math display="inline">D</math> on säännöllinen sekä <math display="inline">x</math>- että <math display="inline">y</math>-suunnissa, joten iterointi voidaan suorittaa kummassa järjestyksessä tahansa.

===== Esimerkki 3a: =====
Integroidaan ensin <math display="inline">x</math>- ja sitten <math display="inline">y</math>-suunnassa. Integroitaessa <math display="inline">x</math>-suunnassa muuttujaa <math display="inline">y</math> kohdellaan kuten [[Vakio|vakiota]]. Tason ja neliön <math display="inline">D</math> rajoittaman kappaleen tilavuus on:

<math>\begin{align}
V&=\iint_D(4-x-y)\,\mathrm dA \\
&=\int_{y=1}^2\mathrm dy\int_{x=0}^1(4-x-y)\,\mathrm dx \\
&=\int_{y=1}^2\mathrm dy\,\Bigg|_{x=0}^1\left(4x-\frac{1}{2}x^2-xy\right) \\
&=\int_1^2\left(\frac{7}{2}-y\right)\,\mathrm dy \\
&=\Bigg|_1^2\left(\frac{7}{2}y-\frac{1}{2}y^2\right)=2
\end{align}</math>

===== Esimerkki 3b: =====
Integroidaan ensin <math display="inline">y</math>- ja sitten <math display="inline">x</math>-suunnassa. Integroitaessa <math display="inline">y</math>-suunnassa muuttujaa <math display="inline">x</math> kohdellaan kuten vakiota. Tason ja neliön <math display="inline">D</math> rajoittaman kappaleen tilavuus on:

<math>\begin{align}
V&=\iint_D(4-x-y)\,\mathrm dA \\
&=\int_{x=0}^1\mathrm dx\int_{y=1}^2(4-x-y)\,\mathrm dy \\
&=\int_{x=0}^1\mathrm dx\,\Bigg|_{y=1}^2\left(4y-xy-\frac{1}{2}y^2\right) \\
&=\int_0^1\left(\frac{5}{2}-x\right)\,\mathrm dx \\
&=\Bigg|_0^1\left(\frac{5}{2}x-\frac{1}{2}x^2\right)=2
\end{align}</math>

==== Esimerkki 4 ====

Ratkaistaan itegraali <math display="inline">I=\iint_De^{y^3}\,\mathrm dA</math>, missä aluetta <math display="inline">D\subset\mathbb R^2</math> rajaavat [[Suora|suorat]] <math display="inline">x=0</math> ja <math display="inline">y=1</math> sekä [[käyrä]] <math display="inline">x=y^2</math> (tai <math display="inline">y=\sqrt x</math>). Alue <math display="inline">D</math> on säännöllinen sekä <math display="inline">x</math>- että <math display="inline">y</math>-suunnissa. Koska funktiolle <math display="inline">f:\mathbb R\to\mathbb R</math>, <math display="inline">f(y)=e^{y^3}</math> ei voi kirjoittaa [[Integraalifunktio#Toinen ehdotus integraalifunktion määritelmäksi (primitiivin määritelmä)|antiderivaattaa]], täytyy iterointi suorittaa siten, että ensin integroidaan <math display="inline">x</math>-suunnassa:

<math>\begin{align}
I&=\iint_De^{y^3}\,\mathrm dA \\
&=\int_{y=0}^1\mathrm dy\int_{x=0}^{y^2}e^{y^3}\,\mathrm dx \\
&=\int_{y=0}^1\mathrm dy\,\Bigg|_{x=0}^{y^2}xe^{y^3} \\
&=\int_0^1y^2e^{y^3}\,\mathrm dy \\
&=\Bigg|_0^1\frac{1}{3}e^{y^3}=\frac{e-1}{3}
\end{align}</math>

==== Esimerkki 5 ====
Olkoon <math display="inline">A\subset\mathbb R^3</math> suorakulmainen laatikko siten, että <math display="inline">0\leq x\leq a</math>, <math display="inline">0\leq y\leq b</math> ja <math display="inline">0\leq z\leq c</math>, missä <math display="inline">a</math>, <math display="inline">b</math> ja <math display="inline">c</math> ovat positiivisia vakioita. Ratkaistaan integraali <math display="inline">I=\iiint_A(xy^2+z^3)\,\mathrm dV</math>. Avaruus <math display="inline">A</math>  nyt (esimerkiksi) <math display="inline">xy</math>-tason suuntaisilla tasoilla, jolloin ensimmäisenä integroidaan muuttujan <math display="inline">z</math> suhteen. Nämä viipaleet ovat suorakulmioita, joten integrointi niiden yli voidaan myös suorittaa iteroimalla kummassa järjestyksessä tahansa:

<math>\begin{align}
I&=\iiint_A(xy^2+z^3)\,\mathrm dV \\
&=\int_{z=0}^c\mathrm dz\int_{y=0}^b\mathrm dy\int_{x=0}^a(xy^2+z^3)\,\mathrm dx \\
&=\int_{z=0}^c\mathrm dz\int_{y=0}^b\mathrm dy\,\Bigg|_{x=0}^a\left(\frac{1}{2}x^2y^2+xz^3\right) \\
&=\int_{z=0}^c\mathrm dz\int_{y=0}^b\left(\frac{1}{2}a^2y^2+az^3\right)\,\mathrm dy \\
&=\int_{z=0}^c\mathrm dz\,\Bigg|_{y=0}^b\left(\frac{1}{6}a^2y^3+ayz^3\right) \\
&=\int_0^c\left(\frac{1}{6}a^2b^3+abz^3\right)\,\mathrm dz \\
&=\Bigg|_0^c\left(\frac{1}{6}a^2b^3z+\frac{1}{4}abz^4\right) \\
&=\frac{1}{6}a^2b^3c+\frac{1}{4}abc^4
\end{align}</math>

=== Muuttujanvaihto ===

Kuten [[Riemannin integraali#Integrointi sijoittamalla|yksiulotteisessa tapauksessa]], myös moniulotteisen integraalin selvittämistä voidaan tuntuvasti helpottaa [[muuttujanvaihto|muuttujan­vaihdolla]]. Käytetään tässä yksinkertaisuuden vuoksi esimerkkinä integrointia kaksiulotteisessa avaruudessa. Joskus integraalin tai integrointialueen kannalta on luontevampaa käyttää [[Koordinaatisto|karteesisten koordinaattien]] <math display="inline">x</math> ja <math display="inline">y</math> sijaan muita koordinaattijärjestelmiä. Oletetaan, että [[Muuttuja (matematiikka)|muuttujat]] <math display="inline">x</math> ja <math display="inline">y</math> voidaan esittää kahden muun muuttujan, <math display="inline">u</math> ja <math display="inline">v</math>, funktioina:

<math>\begin{cases}x=x(u, v) \\ y=y(u, v). \end{cases}</math>

Tätä funktioparia sanotaan [[Koordinaatistomuunnos|koordinaatistomuunnokseksi]] <math display="inline">uv</math>-tason osajoukolta <math display="inline">D</math> <math display="inline">xy</math>-tason osajoukolle <math display="inline">S</math>. Muunnoksen täytyy olla [[injektio]], jotta integrointi muuttujanvaihdolla onnistuisi. Tällöin on olemassa käänteismuunnos

<math>\begin{cases}u=u(x, y) \\ v=v(x, y)\end{cases}</math>

joukolta <math display="inline">S</math> joukolle <math display="inline">D</math>. Jos funktioilla <math display="inline">x(u, v)</math> ja <math display="inline">y(u, v)</math> on olemassa [[Jatkuva funktio|jatkuvat]] [[Osittaisderivaatta|ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat]] ja [[Jacobin matriisi|Jacobin determinantti]]

<math>\frac{\partial(u, v)}{\partial(x ,y)}=\begin{vmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{vmatrix}\neq0</math>

pisteessä <math display="inline">(u, v)</math>, niin myös käänteismuunnos on injektio pisteen <math display="inline">(u, v)</math> [[Ympäristö (topologia)|ympäristössä]]. Myös käänteismuunnoksella on olemassa jatkuvat 1. kertaluvun osittaisderivaatat ja nollasta eroava Jacobin determinantti, jolloin

<math>\frac{\partial(u, v)}{\partial(x ,y)}=\left(\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right)^{-1}</math>

Koordinaatistomuunnoksessa joukolta <math display="inline">S</math> (<math display="inline">xy</math>-tasolta) joukolle <math display="inline">D</math> (<math display="inline">uv</math>-tasolle) integroitava funktio <math display="inline">f:S\to\mathbb R</math>, <math display="inline">f(x, y)</math> muuntuu funktioksi <math display="inline">g:D\to\mathbb R</math>,

<math>g(u, v)=f\left(x(u, v), y(u, v)\right)</math>.

Osoittautuu, että Jacobin determinantin [[itseisarvo]] on eri koordinaatistoissa esitettyjen differentiaalisten pinta-alaelementtien [[suhde]]:

<math>\mathrm dA=\mathrm dx\,\mathrm dy=\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right|\,\mathrm du\,\mathrm dv</math> 

Tällöin kaksinkertainen integraali voidaan ratkaista muuttujanvaihdolla (eli koordinaatistomuunnoksella): 

:Olkoon <math display="inline">x=x(u, v)</math> ja <math display="inline">y=y(u, v)</math> injektioita <math display="inline">uv</math>-tason osajoukolta <math display="inline">D</math> <math display="inline">xy</math>-tason osajoukolle <math display="inline">S</math>. Olkoon funktioilla <math display="inline">x(u, v)</math> ja <math display="inline">y(u, v)</math> olemassa joukossa <math display="inline">D</math> jatkuvat 1. kertaluvun osittaisderivaatat muuttujien <math display="inline">u</math> ja <math display="inline">v</math> suhteen. Jos funktio <math display="inline">f(x, y)</math> on integroituva <math display="inline">S</math>:ssä ja jos <math display="inline">g(u, v)=f\left(x(u, v), y(u, v)\right)</math>, niin: 
:<math>\iint_Sf(x, y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\iint_Dg(u, v)\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right|\,\mathrm du\,\mathrm dv</math> 

Kolminkertaisen integraalin ratkaiseminen muuttujanvaihdolla käy vastaavalla tavalla:

:Olkoon <math display="inline">x=x(u, v, w)</math>, <math display="inline">y=y(u, v, w)</math> ja <math display="inline">z=z(u, v, w)</math> injektioita <math display="inline">uvw</math>-avaruuden osajoukolta <math display="inline">D</math> <math display="inline">xyz</math>-avaruuden osajoukolle <math display="inline">S</math>. Olkoon funktioilla <math display="inline">x(u, v, w)</math>, <math display="inline">y(u, v, w)</math> ja <math display="inline">z(u, v, w)</math> olemassa joukossa <math display="inline">D</math> jatkuvat 1. kertaluvun osittaisderivaatat muuttujien <math display="inline">u</math>, <math display="inline">v</math> ja <math display="inline">w</math> suhteen. Jos funktio <math display="inline">f(x, y, z)</math> on integroituva <math display="inline">S</math>:ssä ja jos <math display="inline">g(u, v, w)=f\left(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)\right)</math>, niin: 
:<math>\iiint_Sf(x, y, z)\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz=\iiint_Dg(u, v, w)\left|\frac{\partial(x, y ,z)}{\partial(u, v, w)}\right|\,\mathrm du\,\mathrm dv\,\mathrm dw</math>

Tässä Jacobin determinatti on:

<math>\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)}=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w}\end{vmatrix}</math>

Muuttujanvaihto yleistyy *n'':lle muuttujalle:

:Olkoon \mathbf x=\mathbf x(\mathbf u)kuvaus avoimelta joukolta U\subset\mathbb R^n avoimelle joukolle S\subset\mathbb R^n siten, että Jacobin determinantti
:\frac{\partial(x_1,\dots,x_n)}{\partial(u_1,\dots,u_n)}=\begin{vmatrix} \frac{\partial x_1}{\partial u_1} & \frac{\partial x_1}{\partial u_2} & \dotsb & \frac{\partial x_1}{\partial u_n} \\ \frac{\partial x_2}{\partial u_1} & \frac{\partial x_2}{\partial u_2} & \dotsb & \frac{\partial x_2}{\partial u_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial x_n}{\partial u_1} & \frac{\partial x_n}{\partial u_2} & \dotsb & \frac{\partial x_n}{\partial u_n}\end{vmatrix}\neq0.
:Olkoon D rajoitettu U:n osajoukko ja funktio f integroituva kuvajoukossa \mathbf x(D)\subset S. Tällöin funktio
:f(\mathbf x(\mathbf u))\left|\frac{\partial(x_1, \dots, x_n)}{\partial(u_1, \dots, u_n)}\right|
:on integroituva D:ssä ja
:\int\dots\int_{\mathbf x(D)}f(\mathbf x)\,\mathrm dx_1\dotsb\mathrm dx_n=\int\dots\int_Df(\mathbf x(\mathbf u))\left|\frac{\partial(x_1, \dots, x_n)}{\partial(u_1, \dots, u_n)}\right|\,\mathrm du_1\dotsb\mathrm du_n.

#### Esimerkki 6

Eräs käytännöllinen koordinaatistomuunnos kahdessa ulottuvuudessa on vaihtaa karteesiset koordinaatit napakoordinaateiksi:

\begin{cases}x(r, \theta)=r\cos\theta \\ y(r, \theta)=r\sin\theta, \end{cases}

missä r\geq0 ja 0\leq\theta (radiaaneina). Tämän koordinaatistomuunnoksen Jacobin determinantti on

\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}=\begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta\end{vmatrix}=r.

Koordinaatistomuunnos on siis injektio kaikkialla paitsi origossa.

Ratkaistaan integraali \iint_S(y^2/x^2)\,\mathrm dA, missä integrointialue S on x-akselin ja suoran y=\sqrt{3}\cdot x väliin jäävä osa ympyrärenkaasta 0. Muuttujanvaihdon jälkeen integrandi on:

\frac{y^2}{x^2}=\frac{r^2\sin^2\theta}{r^2\cos^2\theta}=\tan^2\theta

Karteesisissa koordinaateissa integrointialue on osa origokeskistä ympyrärengasta, jonka sisäsäde on a>0 ja ulkosäde b\geq a ja jota raoittavat suorat y=0 ja y=\sqrt 3\cdot x. Napakoordinaateissa nämä rajat ovat vastaavasti 0 sekä \theta=\arctan(0)=0 ja \theta=\arctan(\sqrt3)=\pi/3. Integraali on tällöin:

\begin{align}
\iint_S\frac{y^2}{x^2}\,\mathrm dx\,\mathrm dy&=\iint_D\tan^2\theta\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}\right|\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta \\
&=\iint_D\tan^2(\theta)\cdot\underbrace_{=r}\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta \\
&=\int_{\theta=0}^{\pi/3}\tan^2\theta\,\mathrm d\theta\int_{r=a}^br\,\mathrm dr \\
&=\frac{1}{2}(b^2-a^2)\int_{\theta=0}^{\pi/3}(\sec^2\theta-1)\,\mathrm d\theta \\
&=\frac{1}{2}(b^2-a^2)\Bigg|_{\theta=0}^{\pi/3}(\tan\theta-\theta) \\
&=\frac{1}{2}(b^2-a^2)\cdot\left(\sqrt 3-\frac{\pi}{3}\right),
\end{align}

missä käytettiin tietoa \sec^2\theta-\tan^2\theta=1.

#### Esimerkki 7
Määritetään ellipsoidin E tilavuus, kun E:n määrittelee yhtälö

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\leq 1,

missä a>0, b>0 ja c>0 ovat vakioita. Käytetään muuttujanvaihtoa

\begin{cases}x(u, v, w)=au \\ y(u, v, w)=bv \\ z(u, v, w)=cw, \end{cases}

jolloin ellipsoidi E kuvautuu yksikköpalloksi B, jossa

u^2+v^2+w^2\leq 1.

Jacobin determinantti tälle koordinaatistomuunnokselle on:

\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)}=\begin{vmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c\end{vmatrix}=abc

Tällöin ellipsoidin E tilavuus on (ks. ellipsoidin tilavuus ja pallon tilavuus):

\begin{align}
V&=\iiint_E1\,\mathrm dV=\iiint_E 1\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz \\
&=\iiint_B\left|\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)}\right|\,\mathrm du\,\mathrm dv\,\mathrm dw \\
&=abc\iiint_B\mathrm du\,\mathrm dv\,\mathrm dw \\
&=abc\cdot(\text{pallon }B\text{ tilavuus}) \\
&=\frac{4}{3}\pi abc
\end{align}

Tässä esimerkissä sovellettiin sekä symmetrioiden käyttöä, että muuttujanvaihtoa.

## Käytännön sovelluksia
* Funktion f: D\to\mathbb R, missä D\subset\mathbb R^2 on rajoitettu joukko, ja xy-tason väliin jäävä tilavuus on

V=\iint_Df(x, y)\,\mathrm dA

* Kolmiulotteisen kappaleen, jota rajoittaa avaruus A\subset\mathbb R^3, massa saadaan kolminkertaisella integraalilla

m=\iiint_A \rho(x, y, z)\,\mathbb dV,

missä \rho(x, y, z) on kappaleen tiheys pisteessä (x, y, z)\in A.

* Jos \mathcal S on pinta kolmiulotteisessa avaruudessa siten, että z=f(x, y) on rajoitettu ja jatkuva funktio sekä (x, y)\in D, missä D\subset\mathbb R^2 on rajoitettu joukko, niin pinnan \mathcal S pinta-ala on:

A=\iint_D\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}\,\mathrm dA

* Kolmiulotteisen kappaleen, jolla on jatkuva tiheysjakauma \rho(x, y, z) alueessa B\subset\mathbb R^3, massakeskipiste (x_0, y_0, z_0) määritetään kaavoilla:

\begin{cases}
x_0=\displaystyle{\frac{1}{m}\iiint_Bx\rho\,\mathrm dV} \\
y_0=\displaystyle{\frac{1}{m}\iiint_By\rho\,\mathrm dV} \\
z_0=\displaystyle{\frac{1}{m}\iiint_Bz\rho\,\mathrm dV},
\end{cases}

missä m=\iiint_B\rho(x, y, z)\,\mathrm dV on kappaleen kokonaismassa. Vektorimuodossa kappaleen massakeskipisteen paikkavektori \vec r_0=x_0\mathbf i+y_0\mathbf j+z_0\mathbf k on

\vec r_0=\frac{1}{m}\iiint_B\rho\vec r\,\mathrm dV,

missä \vec r=x\mathbf i+y\mathbf j+z\mathbf k\in\mathbb R^3.

* Kolmiulotteisen kappaleen, jolla on jatkuva tiheysjakauma \rho(x, y, z) alueessa B\subset\mathbb R^3, hitausmomentti pyörimisakselin L suhteen on

I=\iiint_Br^2\,\mathrm dm=\iiint_Br^2\rho\,\mathrm dV,

missä r on differentiaalisen massaelementin \mathrm dm=\rho\,\mathrm dV etäisyys pyörimisakselista L.
* Kolmiulotteisen kappaleen, jolla on jatkuva tiheysjakauma \rho(x, y, z) alueessa B\subset\mathbb R^3, hitaussäde pyörimisakselin L suhteen on

r_\text{g}=\sqrt{\frac{I}{m}}=\sqrt{\frac{\iiint_B r^2\rho\,\mathrm dV}{\iiint_B\rho\,\mathrm dV}}.

## Katso myös
* Riemannin integraali
* Pintaintegraali
* Tilavuusintegraali

## Lähteet