Diskreetti tasainen jakauma

{n(1-e^t)}\,|
  char       =\frac{e^{iat}-e^{i(b+1)t}}{n(1-e^{it})}|
}}**Diskreetti tasainen jakauma** () eli **symmetrinen jakauma** on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä symmetrisen diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma. Tasainen jakauma viittaa arvojen esiintymistodennäköisyyksiin, jotka ovat kaikille samat. Suomalaisen lukiokoulutuksen matematiikan opetuksessa diskreetti tasainen jakauma muodostaa yleisimmän ryhmän esimerkkejä satunnaismuuttujien opetuksessa.

Hieman samantapainen, mutta jatkuvan satunnaismuuttujan jakauma on tasajakauma.

## Merkinnät
Satunnaisilmiö tuottaa *n* erilaista alkeistapausta, joiden todennäköisyydet ovat symmetrisesti samat. Muodostetaan niistä satunnaismuuttuja X numeroimalla tapaukset juoksevasti. Silloin satunnaismuuttujan jakauma voidaan merkitä esimerkiksi
:X \sim DU(n), 
missä parametri ***n*** määrittää perusjoukon \Omega=\{1,2,3,...,n\} lukumäärään. Saman satunnaisilmiön *modifioitu* satunnaismuuttuja saa lukuarvot \Omega=\{0,1,2,...,n\} ja se voidaan merkitä
:X \sim ModDU(n). 

Kun halutaan huomioida poikkeavat numeeriset rajat, voidaan ne kirjoittaa kahdella parametrilla ***a*** ja ***b*** siten, että
:X \sim DU(a,b),
jolloin perusjoukossa \Omega=\{a,a+1,...,b-1,b\} on n=b-a+1 alkeistapausta.

Muita käytettyjä merkintöjä ovat
:X \sim DU(n) \sim Du(n) \sim U(n)  \sim \mathrm{unif}(n). 

## Tasaisia diskreettejä jakaumia
### Yleiset jakaumat
Periaatteessa satunnaismuuttuja voisi tuottaa arvoja, jotka eivät sijaitse lukusuoralla tasaisin välein, vaan sijoittuen sille mielivaltaisesti \Omega=\{x_1,x_2,..,x_n\}. Arvojen todennäköisyydet olisivat kuitenkin symmetrisesti yhtä suuret. Jos satunnaisilmiön alkeistapaukset eivät ole lukuja, rittää todeta jakauman todennäköisyyksien symmetrisyys. Mikään ei estä numeroimasta epäsäännöllisesti sijaitsevat lukuarvot uudelleen, jolloin edellisistä merkinnöistä on apua.

### Esimerkki: Kolikonheitto
Kolikonheitolla mielletään olevan tasainen diskreetti jakauma, sillä kahden tuloksen, *kruunan* ja *klaavan*, todennäköisyydet ovat samat (ainakin likimain). Jos tulokset, kruuna ja klaava, muutetaan vastaavasti lukuarvoiksi 0 ja 1, saadaan satunnaismuuttuja. Näiden arvojen todennäköisyydet ovat siis kumpikin \tfrac{1}{2} ja jakaumaa merkitään X \sim ModDU(1) \sim DU(0,1).

### Esimerkki: Nopanheitto
Nopanheitossa kukin arpakuution tahko esiintyy yhtä yleisesti. Jos X on satunnaismuuttuja, jonka lukuarvoja ovat silmäluvut, on sen perusjoukko \{1,2,3,4,5,6\} ja sen suuruus kuusi. Kukin arvo esiintyy siten todennäköisyydellä \tfrac{1}{6}. Sen sijaan kahden nopan heitossa silmälukujen summa ei enää ole tasainen, sillä summat kuten summa 7 esiintyy todennäköisyydellä \tfrac{1}{6} ja summa 2 todennäköisyydellä \tfrac{1}{36}. Jakaumaa merkitään esimerkiksi X \sim DU(6) \sim DU(1,6).

## Ominaisuuksia
Alla olevat ominaisuudet esitetään satunnaismuuttujan jakaumalle X \sim DU(a,b), jonka perusjoukon \Omega suuruus on ***n***.
### Todennäköisyysfunktio
Diskreetin tasaisen jakauman todennäköisyysfunktio poikkeaa nollasta vain yksittäisissä pisteissä eli satunnaismuuttujan perusjoukon arvoilla. Sitä kutsutaan myös pistetodennäköisyysfunktioksi ja merkitään
:P(X=x)=f(x)=
\begin{cases} 
  \frac{1}{n}, & x \in \Omega \\
  0, & \mbox{muulloin} 
\end{cases}

### Kertymäfunktio
Diskreetin tasaisen jakauman kertymäfunktio on porrasfunktio, jonka välillä [a,b] olevat arvot voidaan laskea lausekkeesta
:F(x)=P(X\le x)=\frac{\lfloor x \rfloor -a+1}{b-a+1}.
Merkintä \lfloor x \rfloor tarkoittaa lattiafunktiota. Kun x, on F(x)=0, ja kun x>b, on F(x)=1. Se on kussakin pisteessään oikealta puolelta jatkuva funktio.

### Odotusarvo
Yleisessä tapauksessa odotusarvo \mu on
: \operatorname{E}(X) = \mu = \sum_{i=1}^n p_ix_i=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i , 
joka vastaa lukujen keskiarvoa.

Kun jakauma on Y \sim DU(a,b), on odotusarvo välin päätepisteiden avulla ilmaistuna
: \operatorname{E}(Y)=\frac{a+b}{2} ,

ja peräkkäisten lukujen tapauksessa Z \sim DU(n) saadaan
: \operatorname{E}(Z)=\frac{n+1}{2} .

### Varianssi ja keskihajonta
Yleisessä tapauksessa varianssi \sigma^2 on
: \operatorname{Var}(X) = \frac {1}{n} \sum_{i}^n (x_i-\mu)^2=\frac {1}{n} \left(\sum_{i=1}^n x_i^2 - \frac {1}{n} \left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2\right),
missä \mu on odotusarvo.

Se voidaan ilmaista myös välin päätepisteiden avulla
: \operatorname{Var}(Y) =\frac{(b-a+2)(b-a)}{12}=\frac{(b-a+1)^2-1}{12}

tai peräkkäisten lukujen tapauksessa
: \operatorname{Var}(Z) = \frac{n^2-1}{12}.

Keskihajonta saadaan varianssin neliöjuuresta
:\sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)}. 

## Lähteet

## Aiheesta muualla
*