Topologia (matematiikka)

**Topologia** on matematiikan alue, joka käsittelee topologisiksi avaruuksiksi kutsuttuja piste­joukkoja ja niiden sellaisia ominaisuuksia, jotka säilyvät homeo­morfis­meissa, toisin sanoen sellaisissa jatkuvissa bijektiivi­sissä kuvauksissa, joiden käänteis­kuvaukset ovat myös jatkuvia. 

Tyypillisiä topologisia ominaisuuksia ovat kuvauksen jatkuvuus ja raja-arvo sekä alueen yhtenäisyys, samoin alueessa mahdollisesti olevien "reikien" lukumäärä. Sen sijaan monet tärkeät geo­metriset käsitteet kuten etäisyydet ja kulmat eivät ole topologisia käsitteitä, sillä ne eivät yleensä säily homeo­morfis­meissa.

Geometrisessa topologiassa kaksi oliota ovat samat eli homeo­morfiset, jos ne voidaan muuttaa toisikseen "jatkuvalla muunnoksella"

## Avoimet joukot ja topologia
On osoittautunut, että kaikki topologiset käsitteet voidaan määritellä avoimen joukon käsitteen avulla. Tämän vuoksi tämä käsite on nykyisin otettu topologian perus­käsitteeksi.  Teknisenä terminä topo­logialla tarkoitetaan sellaista kokoelmaa \mathcal{T} \subset \mathcal{P}(X) jonkin perus­joukon osajoukkoja, joka täyttää seuraavat ehdot:

* Koko perusjoukko ja tyhjä joukko kuuluvat siihen,
* Se sisältää joukkojensa mielivaltaiset yhdisteet, ja
* Se sisältää joukkojensa äärelliset leikkaukset. 

Tällöin kyseisen kokoelman \mathcal{T} \subset \mathcal{P}(X) alkioita  U \in \mathcal{T} sanotaan (perusjoukon) avoimiksi joukoiksi ja perusjoukon ja sen topologian muodostamaa paria ( X, \mathcal{T} ) topologiseksi avaruudeksi.

## Diskreettitopologia ja minitopologia
Ensimmäisestä ehdosta nähdään, että avaruuden X topologiaan kuuluvat ainakin alkiot \emptyset ja X. Edelleen näiden joukkojen kokoelma toteuttaa myös kaksi muuta topologian ehtoa, jolloin kyseistä topologiaa kutsutaan minitopologiaksi tai indiskreetiksi topologiaksi. Myös X:n potenssijoukko  \mathcal{P}(X) on eräs X:n topologia, diskreetti topologia. Siten X:n indiskreettitopologia on aina X:n diskreetin topologian osajoukko.

## Saman avaruuden topologiat
Yleisesti jos T_1 ja T_2 ovat joukon X kaksi topologiaa ja T_1 \subset T_2, sanotaan että T_1 on karkeampi eli heikompi kuin T_2. Vastaavasti topologia T_2 on hienompi eli vahvempi kuin T_1. Jos on annettu kaksi saman avaruuden topologiaa joista kumpikaan ei ole toisen osajoukko, ei näiden kahden topologian karkeutta voida vertailla keskenään.

## Metrisen avaruuden topologia
Jokainen metrinen avaruus eli joukko, jossa kahden pisteen välille on määritelty etäisyys, metriikka, on samalla topo­loginen avaruus.  Tällöin avoimia joukkoja eli perusjoukon topo­logiaan kuuluvia joukkoja ovat ne, joissa joukon jokaisella pisteellä on ympäristö, joka kokonaan kuuluu kyseiseen joukkoon, toisin sanoen jokaista joukon pistettä *x* kohti voidaan valita sellainen posi­tiivinen luku \epsilon, että jos *d (x, y) < <math>\epsilon</math>, niin y kuuluu myös kyseiseen joukkoon. Tällaisten avointen joukkojen muodostamaa topo­logiaa sanotaan kyseisen metriikan määräämäksi topo­logiaksi.

Samassa joukossa voidaan kuitenkin määritellä useita täysin eri metriikkoja, jotka määräävät saman topo­logian.  Metriikka sinänsä ei olekaan avaruuden topo­loginen ominaisuus. Toisaalta on olemassa topo­logisia avaruuksia, joiden topologiaa ei voida määrätä minkään metriikan avulla; tällaiset avaruudet eivät ole [[metristyvä avaruus|metristyviä]].

=== Esimerkkejä ===
[[Reaaliluku]]jen joukossa <math>\mathbb{R}</math> nimitetään *tavan­­omaiseksi topo­logiaksi'' metriikan

: d(x, y) = | y - x |

määräämää topo­logiaa. Tässä metriikassa siis lukujen tai niitä vastaavien lukusuoran pisteiden etäisyys on yksin­kertaisesti niiden erotuksen itseisarvo.  Tällöin avoimia joukkoja ovat muun muassa kaikki avoimet välit sekä joukot, jotka saadaan tällaisten yhdisteinä. Vastaavasti jokaisessa euklidisessa avaruudessa \mathbb{R}^n tavanomaiseksi topo­logiaksi nimitetään luonnollisen metriikan

: d ((x_1, x_2, ..., x_n), (y_1, y_2, ..., y_n)) = \sqrt{(y_1 - x_1)^2 + (y_2 - x_2)^2 + ... + (y_n - x_n)^2}

määräämää topologiaa. 

Näissä tapauksissa kaikki avointen joukkojen avulla määri­teltävät topo­logiset käsitteet kuten kuvauksen jatkuvuus ja raja-arvo osoittautuvat yhtä­pitäväksi sen kanssa, miten vastaavat käsitteet voidaan määritellä lukujen erotuksen tai avaruuden pisteiden etäisyyden avulla.

## Historia
Topologian alaan kuuluvia käsitteitä käytettiin differentiaali- ja integraali­laskennassa jo 1600-luvulla. Seuraavalla vuosi­sadalla muun muassa Leonhard Euler käsitteli eräissä artikke­leissaan topo­logian alaan kuuluvia kysymyksiä. 

Järjestelmällisesti topo­logiaa alettiin kuitenkin kehittää vasta 1800-luvun lopulla. Avoimen joukon käsitteen otti euklidisissa avaruuksissa käyttöön Georg Cantor 1880-luvulla.  Metrisen avaruuden käsitteen määritteli Fréchet vuonna 1906.   Topologisen avaruuden käsitteen määritteli peri­aatteessa ensimmäisenä Hausdorff vuonna 1914, joskin hänen antamaansa määritelmään sisältyi eräs lisäehto, jonka täyttäviä avaruuksia sanotaan nykyään Hausdorff-avaruuksiksi.  Yleisemmän topo­logisen avaruuden käsitteen, jossa tämä lisä­ehto ei välttämättä ole voimassa, määritteli Kazimierz Kuratowski vuonna 1922.

## Käsitteitä
* Avaruus
* Kompaktius
* Yhtenäisyys
* Polkuyhtenäisyys
* Jatkuva kuvaus
* Avoin joukko
* Suljettu joukko
* Homeomorfismi
* Lineaarikuvaus
* Piste
* Täydellisyys
* Algebrallinen topologia
* Yleinen topologia

## Eräitä topologian alaan kuuluvia erityiskysymyksiä
* Möbiuksen nauha
* Königsbergin siltaongelma

## Lähteet
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

### Viitteet

## Aiheesta muualla