Euklidinen avaruus

**Euklidinen avaruus** on *n*-ulotteinen reaalikertoiminen vektoriavaruus, jolle pätevät euklidisen geometrian aksioomat. Euklidista avaruudelle käytetään merkintöjä \mathbb{R}^n tai \mathbb{E}^n.

Tunnetuin euklidinen avaruus on \mathbb{R}^1 eli reaaliluvut. Lisäksi matematiikassa tulevat usein vastaan euklidinen taso \mathbb{R}^2 ja kolmiulotteinen avaruus \mathbb{R}^3. 

Nykyisen käsityksen mukaan maailmankaikkeus ei ole euklidinen avaruus, sillä suhteellisuusteorian mukaisesti avaruuden rakenne taipuu suurten massojen vaikutuksesta. Suhteellisen pienillä nopeuksilla tilannetta voi hyvin kuvata euklidisen avaruuden rakenteilla.

## Johdanto

Esimerkiksi vektoriavaruuden \mathbb{R}^3 alkioita eli vektoreita ovat reaalilukukolmikot (x,y,z). Kahden tällaisen summa lasketaan koordinaateittain:
:(1,2,3)+(20,30,40)=(21,32,43). 

Skalaarilla eli reaaliluvulla kerrottaessa jokainen vektorin koordinaatti kerrotaan annetulla reaaliluvulla, esimerkiksi
:7\cdot(1,2,3)=(7,14,21).
Tämä siis tuottaa skalaarista ja vektorista vektorin.

Skalaaritulossa eli pistetulossa sen sijaan lasketaan kahdesta vektorista skalaari, 
:(a,b,c)\cdot(x,y,z)=ax+by+cz.
Tämän skalaaritulon avulla voidaan määrittää avaruuteen \mathbb{R}^3 normi eli pituusmitta: 
:\|(a,b,c)\|=\sqrt{(a,b,c)\cdot(a,b,c)}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}.
Tämä vastaa Pythagoraan lausetta. Kahden vektorin \mathbf x,\mathbf y\in\mathbb{R}^3 etäisyys määritellään niiden erotuksen normiksi:
:d(\mathbf x,\mathbf y)=\|\mathbf x-\mathbf y\|.

Vastaavat säännöt pätevät kaikissa vektoriavaruuksissa \mathbb{R}^n.

## Määritelmiä

Euklidinen avaruus määritellään topologisesti tuloavaruutena, eli \mathbb{R}:n karteesisena tulona itsensä kanssa *n* kertaa. Tuloavaruuden pisteet ovat järjestettyjä *n*-jonoja, eli niissä on *n* kappaletta alkioita. Esimerkiksi
::\mathbf x=(x_1,x_2, \ldots, x_n).

Sen voi määritellä myös lineaarialgebran tapaan vektoriavaruutena, jolloin avaruuden kannan muodostavat *n* kappaletta kohtisuorasti toisiaan vastaan olevaa yksikkövektoria:
::\mathbf{e}_1=(1,0,0,\ldots,0),
::\mathbf{e}_2=(0,1,0,\ldots,0),
::\vdots
::\mathbf{e}_n=(0,0,0,\ldots,1).

\mathbb{R}^n:n mielivaltainen vektori merkitään
::\mathbf x=(x_1,x_2,...,x_n),

missä reaaliluvut x_i ovat vektorin koordinaatit. Vektori voidaan esittää myös yksikkövektoreiden avulla summana:
::\mathbf x = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf{e}_i.

Lukua 0 vastaa nollavektori
::\mathbf 0=\underbrace{(0,0,\ldots,0)}_{n\ {\rm kpl}}.

Kahden \mathbb {R}^n:n vektorin summa on määritelty laskemalla vektorit koordinaateittain yhteen:
::\mathbf x+\mathbf y=\sum_{i=1}^n(x_i+y_i)\mathbf{e}_i.

Vakiolla kerrottaessa jokainen vektorin koordinaateista kerrotaan erikseen:
::a\mathbf x=\sum_{i=1}^n(ax_i) \mathbf{e}_i.

## Laskusääntöjä

Vektorin pituuden ja vektoreiden välisen kulman laskemiseksi tarvitsee määritellä pistetulo. \mathbb{R}^n:n vektoreille \mathbf x ja \mathbf y se on
::\mathbf x \cdot \mathbf y=\sum_{i=1}^n x_iy_i.

Vektorin pituus eli euklidinen normi on neliöjuuri sen sisätulosta itsensä kanssa:
::\|\mathbf x\|=\sqrt {\sum_{i=1}^n(x_i)^2}.

Euklidinen metriikka määrittää kahden pisteen etäisyyden euklidisessa avaruudessa. Sitä kutsutaan myös etäisyysfunktioksi, ja se on oikeastaan yksi pythagoraan lauseen muoto. Pisteille x ja y se on
::d(\mathbf x,\mathbf y)=\|\mathbf x-\mathbf y\|=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}

Kulma vektoreiden \mathbf x ja \mathbf y välillä lasketaan pistetulon ja normin avulla:
::\theta= \cos^{-1} \left ( \dfrac{\mathbf x \cdot \mathbf y}{\|\mathbf x\|\|\mathbf y\|} \right ) .

## Katso myös
* Eukleides

## Lähteet
* 
* 
* 

### Viitteet

## Kirjallisuutta
* 
* 
*