Poissonin suhde

**Poissonin suhde**, **Poissonin vakio**  eli **Poissonin luku**  (\nu) on materiaalin ominaisuuksia kuvaava suure, joka kuvaa sitä, minkä verran materiaalista tehty kappale sitä puristettaessa levenee tai venytettäessä kapenee poikittaisessa suunnassa. Poissonin suhde on kappaleen poikittaisen ja pitkittäisen venymän suhteen vastaluku.

Poissonin suhde on saanut nimensä ranskalaisen matemaatikko ja fyysikko Siméon Denis Poissonin mukaan. Koska se on eri suunnissa tapahtuvien venymien suhde, se on dimensioton suure.

## Merkitys

Kun kappaletta, esimerkiksi sauvaa venytetään, se samalla yleensä ohenee poikittaisessa suunnassa. Erityisen helposti tämä on havaittavissa kuminauhasta sen suuren venyvyyden vuoksi. Vastaavasti jos kappaletta puristetaan kokoon, se yleensä laajenee poikittaisessa suunnassa. Tämä sanotaan **Poissonin ilmiöksi**, ja Poissonin suhde on materiaalin tätä ominaisuutta kuvaava suure.

Kokeellisesti voidaan osoittaa, että kun kappaleen venymä tai puristuma on tarpeeksi pieni, sen poikittaisessa ja pitkittäisessä suunnassa tapahtuvan läpimitan muutos pysyy likipitäen vakiona. Koska kappale yleensä ohenee sitä venytettäessä ja paksunee puristettaessa, tämä suhde on yleensä negatiivinen. Sen vastalukua, joka on yleensä positiivinen, sanotaan materiaalin Poissonin suhteeksi.

Jokaisen vakaan isotrooppisen, lineaariseti kimmoisen materiaalin Poissonin suhde on arvojen -1,0 ja +0,5 välillä, koska tämä suhde sitoo yhteen Youngin moduulin, liukukertoimen ja puristuskertoimen, jotka kaikki ovat aina positiivisia. Useimpien aineiden Poissonin vakio on 0:n ja 0,5:n välillä. Jos se on tasan 0,5, aine on kokoonpuristumatonta eli sen tilavuus ei muutu puristettaessa. Tällaisia aineita ovat esimerkiksi kumi ja parafiini. 

Useimmilla teräksillä ja jäykillä polymeereillä luku on lähellä arvoa 0,3, kuitenkin edellyttäen että myötörajaa ei ole ylitetty. Myötörajan yläpuolella, missä muodonmuutokset ovat palautumattomia, Poissonin suhde sen sijaan lähestyy arvoa 0,5. Kumin Poissonin luku on lähellä arvoa 0,5. Korkilla luku on lähellä nollaa, mikä merkitsee, ettei se puristettaessa juuri laajene poikittaisessa suunnassa. 

Joissakin harvoissa tapauksissa materiaali päin vastoin kutistuu kokoon myös poikittaisessa suunnassa sitä puristettaessa taikka laajenee myös poikittaisessa suunnassa sitä venytettäessä. Tällaisissa tapauksissa Poissonin suhde on arvoltaan negatiivinen.  Sellaisia materiaaleja ovat esimerkiksi jotkut vaahtomuovi, origamiset kalvot ja eräät grafiitin muodot. 

Anisotrooppisilla materiaaleilla Poissonin suhde ei ole kaikissa suunnissa yhtä suuri ja esimerkiksi hiilinanoputkilla, laskostetuilla lehtimäisillä materiaaleilla ja hunajakennojen aukseettisilla metamateriaaleilla se saattaa joissakin suunnissa jopa ylittää arvon 0,5.

Jos oletetaan, että materiaalia venytetään tai puristetaan aksiaalisessa suunnassa eli alla olevan kaavion *x*-akselin suunnassa, saadaan:

:\nu = -\frac{d\varepsilon_\mathrm{trans}}{d\varepsilon_\mathrm{axial}} = -\frac{d\varepsilon_\mathrm{y}}{d\varepsilon_\mathrm{x}}= -\frac{d\varepsilon_\mathrm{z}}{d\varepsilon_\mathrm{x}} 

missä
:\nu on Poissonin suhde,
:\varepsilon_\mathrm{trans} on poikittainen venymä (kappaletta aksiaalisesti venytettäessä negatiivinen, puristettaessa positiivinen)  ja
:\varepsilon_\mathrm{axial} on aksiaalinen venymä (positiivinen venytettäessä, negatiivinen puristettaessa).

## Pituuden muutos

Oletetaan, että kuutiota venytetään *x*-suunnassa, kuten oheisessa kuvassa. Sen pituuden muutokselle *x*-suunnassa käytetään merkintää \Delta L, kun taas kutistumille *y*- ja *x*-suunnissa käytetään merkintää \Delta L'.  Tällöin infinitesimaaliset kulmittaiset jännitykset ovat
:
d\varepsilon_x=\frac{dx}{x}\qquad d\varepsilon_y=\frac{dy}{y}\qquad d\varepsilon_z=\frac{dz}{z}.


Jos Poissonin suhe pysyy muodonmuutoksen aikana vakiona, integroimalla nämä lausekkeet saadaan Poissonin suhteenn määritelmän mukaan:

:
-\nu \int\limits_L^{L+\Delta L}\frac{dx}{x}=\int\limits_L^{L+\Delta L'}\frac{dy}{y}=\int\limits_L^{L+\Delta L'}\frac{dz}{z}.


Kun nämä ratkaistaan ja varustetaan eksponenteilla, pituuden muutosten \Delta L ja \Delta L' välille saadaan yhteys:

:
\left(1+\frac{\Delta L}{L}\right)^{-\nu} = 1+\frac{\Delta L'}{L}.


Kun pituuden muutokset \Delta L ja \Delta L' ovat hyvin pieniä, saadaan ensimmäisenä likiarvona:

:
\nu \approx - \frac{\Delta L'}{\Delta L}.


## Tilavuuden muutos

Materiaalin muodonmuutoksesta johtuva kuution tilavuuden muutos *ΔV*/*V* voidaan nyt laskea. Koska 
V = L^3 ja V + \Delta V = (L + \Delta L)\left(L + \Delta L'\right)^2, saadaan:

:\frac{\Delta V}{V} = \left(1 + \frac{\Delta L}{L} \right)\left(1 + \frac{\Delta L'}{L} \right)^2 - 1

Pituuden ja paksuuden muutosten \Delta L and \Delta L' välille edellä johdetun yhteyden perusteella saadaan edelleen:

:\frac {\Delta V} {V} = \left(1+\frac{\Delta L}{L} \right)^{1-2\nu} - 1

ja hyvin pienillä \Delta L:n ja \Delta L':n arvoilla saadaan ensimmäisenä likiarvona:

:\frac {\Delta V} {V} \approx (1-2\nu)\frac{\Delta L}{L}.

Isotrooppisille materiaaleille voidaan käyttää Lamén relaatiota

:\nu \approx \frac{1}{2} - \frac{E}{6K}

missä K on materiaalin puristuvuusmoduuli  ja E sen Youngin moduuli.

Kaikilla isotrooppisilla aineilla Poissonin suhde on välillä -1 .  Teknisiin tarkoituksiin käytetyillä materiaaleilla se on tyypillisesti välillä 0.2 .

## Paksuus muutos

Jos sauvaan, jonka pituus on *L* ja paksuus *d*, venytetään sen suuruisella voimalla, että sen pituus kasvaa määrän *ΔL*, sen paksuuden muutos saadaan lausekkeesta:

:\Delta d = -d \nu {E_{\rm y}} & - \tfrac{\nu_{\rm zx}}{E_{\rm z}} & 0 & 0 & 0 \\
    -\tfrac{\nu_{\rm xy}}{E_{\rm x}} & \tfrac{1}{E_{\rm y}} & - \tfrac{\nu_{\rm zy}}{E_{\rm z}} & 0 & 0 & 0 \\
    -\tfrac{\nu_{\rm xz}}{E_{\rm x}} & - \tfrac{\nu_{\rm yz}}{E_{\rm y}} & \tfrac{1}{E_{\rm z}} & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{G_{\rm yz}} & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{G_{\rm zx}} & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{G_{\rm xy}} \\
    \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
    \sigma_{\rm xx} \\ \sigma_{\rm yy} \\ \sigma_{\rm zz} \\ \sigma_{\rm yz} \\ \sigma_{\rm zx} \\ \sigma_{\rm xy}
  \end{bmatrix}
 
missä
:{E}_{\rm i}\, on Youngin moduuli akselin i suunnassa,
:G_{\rm ij}\, liukukerroin suunnassa j tasolla, joka on kohtisuorassa suuntaan i  nähden
:\nu_{\rm ij}\, on Poissonn suhde, joka vastaa puristumaa suunnassa j, kun kappaletta venytetään suunnassa i.

Ortotrooppisen materiaalin Poissonin suhde on eri suuri kussakin suunnassa (x, y ja z).  Rasitus- ja venytystensorien symmetriasta seuraa kuitenkin, etteivät nämä yhtälössä esiintyvät kuusi suhdetta ole kaikki toisistaan riippumattomia. On vain yhdeksän toisistaan riippumatonta materiaalin ominaisuutta: kolme kimmomoduulia, kolme liukukerrointa ja kolme Poissonin suhdetta. Loput kolme Poissonin suhdetta saadaan yhteyksistä

:\frac{\nu_{\rm yx}}{E_{\rm y}} = \frac{\nu_{\rm xy}}{E_{\rm x}}~, \qquad
\frac{\nu_{\rm zx}}{E_{\rm z}} = \frac{\nu_{\rm xz}}{E_{\rm x}}~, \qquad
\frac{\nu_{\rm yz}}{E_{\rm y}} = \frac{\nu_{\rm zy}}{E_{\rm z}} 


Näistä yhteyksistä nähdään, että jos E_{\rm x} > E_{\rm y} on \nu_{\rm xy} > \nu_{\rm yx}.  Poissonin suhteista suurin on tässä tapauksessa \nu_{\rm xy}), pienin taas \nu_{\rm yx}). Muille Poissonin suhteille voidaan esittää vastaavat yhteydet.

## Poikittaisesti isotrooppiset materiaalit
Poikittaisesti isotrooppisilla materiaaleilla on *isotropiataso*, jossa niiden kimmoisuus­ominaisuudet ovat samat kaikkiin suuntiin.  Jos oletetaan että tämä isotropia on y-z-taso, Hooken laki saa muodon
:
  \begin{bmatrix}
    \epsilon_ \\ \epsilon_{\rm yy} \\ \epsilon_{\rm zz} \\ 2\epsilon_{\rm yz} \\ 2\epsilon_{\rm zx} \\ 2\epsilon_{\rm xy}
  \end{bmatrix}
  = \begin{bmatrix}
    \tfrac{1}{E_{\rm x}} & - \tfrac{\nu_{\rm yx}}{E_{\rm y}} & - \tfrac{\nu_{\rm zx}}{E_{\rm z}} & 0 & 0 & 0 \\
    -\tfrac{\nu_{\rm xy}}{E_{\rm x}} & \tfrac{1}{E_{\rm y}} & - \tfrac{\nu_{\rm zy}}{E_{\rm z}} & 0 & 0 & 0 \\
    -\tfrac{\nu_{\rm xz}}{E_{\rm x}} & - \tfrac{\nu_{\rm yz}}{E_{\rm y}} & \tfrac{1}{E_{\rm z}} & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{G_{\rm yz}} & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{G_{\rm zx}} & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{G_{\rm xy}} \\
    \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
    \sigma_{\rm xx} \\ \sigma_{\rm yy} \\ \sigma_{\rm zz} \\ \sigma_{\rm yz} \\ \sigma_{\rm zx} \\ \sigma_{\rm xy}
  \end{bmatrix}
 
missä isotropiatasoa eli y-z -tasoa on käytetty vakioiden lukumäärän vähentämiseen, sillä E_y = E_z,~ \nu_{xy} = \nu_{xz},~ \nu_{yx} = \nu_{zx} .

Jännitys- ja venymä­tensorien symmetriasta seuraa:
:
  \cfrac{\nu_{\rm xy}}{E_{\rm x}} = \cfrac{\nu_{\rm yx}}{E_{\rm y}} ~,~~ \nu_{\rm yz} = \nu_{\rm zy} ~.
 
Näin jää jäljelle kuusi toisistaan riippumatonta vakiota: E_{\rm x}, E_{\rm y}, G_{\rm xy}, G_{\rm yz}, \nu_{\rm xy}, \nu_{\rm yz}.  Poikittaisen isotropian vuoksi on kuitenkin vielä vakioiden G_{\rm yz} ja E_{\rm y}, \nu_{\rm yz} välillä rajoittava yhteys
:
   G_{\rm yz} = \cfrac{E_{\rm y}}{2(1+\nu_{\rm yz})} ~.
 
Niinpä tällaisten materiaalien kimmoisuus­ominaisuudet voidaan täysin kuvata viidellä suureella, joista kaksi on Poissonin suhteita. Oletetun symmetriatason suurempi Poissonin suhde on suurempi luvuista \nu_{\rm xy} ja  \nu_{\rm yx}. Muut suuremmat ja pienemmät Poissonin suhde ovat yhtä suuret.

## Eri materiaalien Poissonin suhteita

### Negatiivinen Poissonin suhde ja aukseettiset materiaalit

Muutamalla aukseettisiksi kutsutuilla materiaaleilla Poissonin suhde on negatiivinen. Kun niitä venytetään pitkittäisen akselin suunnassa, myös poikittaisessa suunnassa kappaleen läpimitta kasvaa. Tämä aiheutuu yleensä erikoisella tavalla suuntautuneista, saranoituneista molekyylien välisistä sidoksista. Näiden sidosten venyessä pitkittäisessä suunnassa "saranoiden" on ikään kuin auettava poikittaisessa suunanssa, mikä ilmenee poikittaisen läpimitan suurenemisena.  Tämä voidaan saada aikaan myös strukturoidusti, mikä on avannut uusia mahdollisuuksia mekaanisten metamateriaalien suunnittelussa .

Tutkimukset ovat osoittaneet, että eräillä puulajeilla ilmenee negatiivinen Poissonin suhde ainoastaan puristuskokeessa, jossa ne saadaan virumaan. Aluksi tällaisessa puristuskokeessa Poissonin suhde on positiivinen, mutta se pienenee vähitellen ja saavuttaa lopulta negatiivisen arvon. Näin ollen tämä osoittaa samalla, että puun Poissonin suhde muuttuu ajan myötä, vaikka siihen kohdistuva kuormitus pysyisi vakionakin, mikä osoittaa että sen mittasuhteet pitkittäisessä ja poikittaisessa suunnassa eivät muutu yhtä nopeasti.

Monien aineiden Poissonin suhde voidaan saada negatiiviseksi muuttamalla niiden mikroskooppista rakennetta sopivalla tavalla. Yksinkertaisessa tapauksessa aukseettisuus saadaan aikaan poistamalla osa materiaalista niin, että sen jäljelle jäävä osa muodostaa jaksollisen huokoisen rakennelman.. Hilarakenteisille materiaaleille voidaan saada vielä alempi Poissonin suhde, joka isotrooppisessa tapauksessa voi olla mielivaltaisen lähellä arvoa -1.

Nykyisin tunnetaan yli 300 kiteistä materiaalia, joilla voidaan saattaa aukseettiseen tilaan suuntaamalla kiteet sopivalla tavalla.. Sellaisia ovat esimerkiksi Li, Na, K, Cu ,Rb, Ag, Fe, Ni, Co, Cs, Au, Be, Ca, Zn, Sr, Sb ja MoS<math>_2</math>.

## Poissonin funktio

Kun kappaleeseen kohdistuva jännitys on suuri, sen pituuden ja poikittaisen läpimitan (\varepsilon_\text{trans} ja \varepsilon_\text{axial}) välistä yhteyttä ei enää voida tyydyttävästi kuvata vakioksi käsitetyllä Poissonin suhteella. Tällöin Poissonin suhteen sijasta käytetään Poissonin funktiota, jolle on esitetty useita vaihtoehtoisia määritelmiä. Jos poikittaiselle venymälle käytetään määritelmää \lambda_\text{trans} = \varepsilon_\text{trans} + 1 ja pitkittäiselle \lambda_\text{axial} = \varepsilon_\text{axial} + 1 ja poikittainen kutistuma on esitettävä pitkittäisen venymän funktiona (toisin sanoen \lambda_\text{trans} = \lambda_\text{trans}(\lambda_\text{axial})), yleisimmin käytettyjä ovat Henckyn, Biot'n, Greenin ja Almansin funktiot:

:\begin{align}
   \nu^\text{Hencky} &= -\frac{\ln \lambda_\text{trans}}         {\ln \lambda_\text{axial}} \\[2pt]
     \nu^\text{Biot} &=  \frac{1 - \lambda_\text{trans}}         {    \lambda_\text{axial} - 1} \\[2pt]
    \nu^\text{Green} &=  \frac{1 - \lambda_\text{trans}^2}       {    \lambda_\text{axial}^2 - 1} \\[2pt]
  \nu^\text{Almansi} &=  \frac{    \lambda_\text{trans}^{-2} - 1}{1 - \lambda_\text{axial}^{-2}}
\end{align}

## Poissonin ilmiön sovelluksia

Poissonin ilmiöllä on suuri vaikutus muun muassa siihen, mitä tapahtuu, kun paineistettu neste tai kaasu virtaa putkessa. Kun paine on suuri, virtaava aine kohdistaa tasaisen voiman putken sisäpintaan ja saa putken laajenemaan leveyssuunnassa. Poissonin ilmiön vuoksi se samalla myös hieman kutistuu pituussuunnassa. Tällä pituuden muutoksella voi olla havaittava vaikutus putkien liitoskohtiin, varsinkin kun sen vaikutukset kertautuvat pitkän putken jokaisessa liitoskohdassa. Jos paine on riittävän suuri, liitokset saattavat irrota, jolloin putkeen syntyy vuoto.

Poissonin ilmiöllä on merkitystä myös rakennegeologiassa. Useimpien muiden materiaalien tavoin kallioperäkin altistuu jännityksen alaisina Poissonin ilmiölle. Geologisessa aikaskaalassa maankuoren jatkuva jatkuva eroosio tai sedimentaatio voi saada aikaan tai poistaa laajoja pystysuuntaisia jännityksiä kallioperän alemmissa kerroksissa. Ne voivat laajeta tai supistus pystysuunnassa niihin kohdistuvan rasituksen vaikutusesta, jolloin niiden muoto samalla muuttuu Poissonin ilmiön vaikutuskesta myös vaakasuorassa suunnassa. Tämän vaakasuoran venymisen tai kutistumisen myötä kallioperään voi syntyä saumakohtia.

Alun perin korkkia alettiin käyttää viinipullojen sulkemiseen sen muiden ominaisuuksien kuten kemiallisen kestävyytensä, läpäisemättömyytensä, taipuisuutensa ja joustavuutensa vuoksi. Myöhemmin se kuitenkin havaittiin sopivan tähän tarkoitukseen erityisen sopivaksi materiaaliksi myös sen vuoksi, koska sen Poissonin suhde on likipitäen nolla. Kun korkki työnnetään pullon suuhun, sen yläosa, joka ei ole vielä sisällä pullossa, ei laajene poikittaisessa suunnassa samalla kun sitä puristetaan pitkittäisessä eli pullon suun suunnassa. Voima, joka tarvitaan korkin työntämiseksi pulloon, kasvaa vain korkin ja pullon välisen kitkan vuoksi. Jos tulppa tehtäisiin esimerkiksi kumista, jonka Poissonin suhde on lähellä arvoa 1/2, tarvittaisiin lisäksi melkoisesti voimaa tulpan paksuuntuneen yläosan puristamiksi niin, että sekin mahtuu pulloon.

## Katso myös
* Hooken laki
* Youngin moduuli

## Lähteet