Tilavuusintegraali

**Tilavuusintegraali** eli **avaruusintegraali** on kolmiulotteisessa avaruudessa \mathbb{R}^3 tai jossakin sen alueessa määritellyn funktion integraali. Se määritellään vastaavalla tavalla kuin pintaintegraali tasossa.

## Määritelmä

Avaruusintegraali määritellään ensin sellaiselle suorakulmaiselle särmiölle, jonka särmät ovat koordinaattiakselien suuntaisia. Tällainen särmiö voidaan esittää kolmen välin karteesisena tulona A = [a_1, b_1] \times [a_2, b_2] \times [a_3, b_3]  Jos funktio *f* on määritelty tässä särmiössä, sen avaruusintegraali on
\int_A f\ = \int_{a_1}^{b_1} \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_3}^{b_3} f(x, y, z) dx dy dz

Jos D \subset \mathbb{R}^3 on mielivaltainen rajoitettu joukko ja *f* siinä määritelty rajoitettu funktio, sen avaruusintegraali tämän joukon yli määritellään seuraavasti:

Valitaan suorakulmainen särmiö A \subset \mathbb{R} siten, että *D* sisältyy *A*:hen eli D \subset A.
Muodostetaan koko avaruudessa määritelty funktio *f**D* siten, että
# f(x, y, z) = f(x, y, z), kun (x, y, z) \in D, ja
# f(x, y, z) = 0, kun (x, y, z) \notin D

Nyt määritellään, että

:\int_D f = \int_D f_D.

Helposti voidaan osoittaa, että määritelmä on riippumaton suorakulmaisen särmiön *A* valinnasta, kunhan *D* kokonaan sisältyy siihen.

Jos alue *D* ei ole rajoitettu, voidaan määritellä: 

:\int_D f = \lim_{t\to\infty} \int_{D \cap R_t} f, kun R_t = \{(x, y, z)||x| \le t, |y| \le t, |z| \le t\},

mikäli tämä raja-arvo on olemassa.  Funktion tilavuusintegraali tällaisen alueen yli voi olla myös ääretön.

## Tilavuusmitta

Joukon *D* karakteristinen funktio määritellään funktiona &chi;D, jonka arvo on
# \chi_D (x, y, z) = 1, kun (x, y, z) \in A, ja
# \chi_D (x, y, z) = 0, kun (x, y, z) \notin A, 

Rajoitetun joukon *D* tilavuusmitta määritellään sen karakteristisen funktion chi_D tilavuusintegraalina kyseisen joukon yli:

V = \int_D \chi_D, 

mikäli karakteristinen funktio on integroituva.

Koska &chiD saa arvon 0 kaikkialla alueen *D* ulkopuolella, voidaan alue *D*, jonka yli funktio &chi;D korvata millä tahansa laajemmalla alueella *A*, johon *D* sisältyy (eli D \subset A), toisin sanoen tilavuusmitan lauseke voidaan esittää myös muodossa:

V = \int A \chi_D.

Toisaalta koska karakteristinen funktio saa alueen *D* jokaisessa pisteessä vakioarvon 1, voidaan tilavuusintegraalin määrittää myös integroimalla vakiofunktio 1 alueen *D* yli:

V = \int_D 1 

## Tilavuusintegraali pallo- ja sylinterikoordinaatistossa

Suorakulmaisten koordinaattien ohella voidaan pisteen sijainti avaruudessa ilmoittaa myös pallo- tai sylinterikoordinaateissa. Avaruusintegraalin arvo näitä koordinaatteja käytettäessä saadaan lasketuksi Jacobin determinantin avulla.

Olkoot  D, D' \subset \mathbb{R}^n  avoimia,  \overline{D}  ja  \overline{D'}  kompakteja,  \partial D  ja  \partial D'  nollajoukkoja sekä \omega bijektiivinen C^1-kuvaus,  \omega : D \rightarrow D'. Jos f :\overline{D'} \rightarrow \mathbb{R} on jatkuva, niin

\int_{D'} f \,dx_1 \ldots \,dx_n =\int_D f(\omega)|\tau(\omega)|\,dx_1 \ldots \,dx_n , 

missä \tau(\omega) on kuvauksen \omega jacobiaani eli Jacobin determinantti

\tau(\omega)=det \omega'=\begin{vmatrix}
    \partial_1 \omega_1       & \cdots &   \partial_n \omega_1       \\
  \vdots & \ddots & \vdots \\ 
    \partial_1 \omega_n       & \cdots &   \partial_n \omega_n 
\end{vmatrix},

ja \omega_1, \ldots, \omega_n ovat \omega:n koordinaattifunktiot. 

Kuvaukselle  \omega : \left ( 0,R \right )\times \left [ 0,2\pi \right ]\times \left [ 0,\pi \right ) \rightarrow B(\overline{0}, R), \omega(r,\rho,\theta)=(\omega_1,\omega_2,\omega_3), missä

\begin{cases}
    \omega_1=r\sin\theta\cos\rho \\
    \omega_2=r\sin\theta\sin\rho\\
    \omega_3=r\cos\theta 
\end{cases}


saadaan Jacobin determinantiksi |\tau(\omega)|=r^2\sin\theta, kun sijoitetaan pallokoordinaattien osittaisderivaatat Jacobin determinantin kaavaan. Tästä saadaan funktion *f* avaruusintegraalille lauseke:

 \iiint\limits_D f(r,\rho,\theta)r^2 \sin\theta \,dr\,d\rho\, d\theta 

Sylinterikoordinaatistossa vastaavanlaisella periaatteella saadaan koordinaateista

\begin{cases}
    x_1=r\cos\rho \\
    x_2=r\sin\rho\\
    x_3=x_3 
\end{cases}


Jacobin determinantiksi |\tau(x)|=r ja tästä funktion *f* avaruusintegraalille lauseke

 \iiint\limits_D f(r,\rho,z)r \,dr\,d\rho\, dz.

## Esimerkki
Lasketaan \mathbb{R}^3:n R-säteisen pallon tilavuus integraalilla 
 \int_{\overline{B}(0,R)} 1 \,dx_1\,dx_2\,dx_3 pallokoordinaatteihin sijoituksella: 


\begin{align}
 \int_{\overline{B}(0,R)} 1 \,dx_1\,dx_2\,dx_3 & =\int_{0}^{R}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi} 1 \cdot r^2\sin\theta \,d\rho\,d\theta\,dr \\
      & =\int_{0}^{R}\int_{0}^{\pi} 2\pi r^2\sin\theta \,d\theta\,dr \\
      & =\int_{0}^{R} 4\pi r^2 \,dr \\
      & = \frac{4}{3}\pi R^3.
\end{align}


## Katso myös
* Pintaintegraali

## Lähteet