Painopiste (geometria)

Geometrisellä **painopisteellä** tarkoitetaan tasokuvion tai avaruuskappaleen tasapainokohtaa, jossa se olisi fysikaalisena esineenä tasapainossa fysikaalisen painopisteensä suhteen. Luonnollisten kappaleiden painopisteiden määritykseen käytetään kokeellisia menetelmiä, kuten esimerkiksi *painopistevaakaa*, mutta yksinkertaisten ja säännöllisten kuvioiden painopisteen etsimiseen käytetään geometrian keinoja. Perusajatus on, että geometriset kuviot ovat ideaaleja ja muistuttavat todellisia materiaaliltaan homogeenisia kappaleita.

Tasainen painovoima vaikuttaa painopisteeseen kuin sen koko massa olisi keskittynyt siihen, mistä syystä sitä kutsutaan myös **massakeskipisteeksi**. Mikäli painovoimakenttä vaihtelee kappaleen kohdalla, voi painopiste sijaita eri kohdassa kuin massakeskipiste.

Levymäisen kappaleen painopiste voidaan määrittää ripustamalla se jostakin kohtaan lankaan, jolloin painopiste sijaitsee langan jatkeella. Jos langan asento piirretään levylle ja ripustetaan levy toisesta kohtaa langalla, saadaan langan ja viivan leikkauspisteestä selville levyn painopiste. Kolmiulotteisen kappaleen painopiste löydetään kolmen leikkaavan tason leikkauspisteessä.


Center gravity 0.svg|Levymäinen kappale, jonka painopiste määritetään.
Center gravity 1.svg|Ensimmäinen ripustaminen ja viivan piirto.
Center gravity 2.svg|Toinen ripustaminen ja langan ja viivan leikkauspiste. Painopiste sijaitsee täplän kohdalla.
Cdg parallelepipede rectangle.svg|Kolmiulotteisen kappaleen painopiste sijaitsee kolmen ripustustason leikkauspisteessä.


## Fysikaalinen ja matemaattinen perusta
Painopisteen koordinaatit määritetään mekaniikassa tasapainoyhtälöillä. Niissä huomioidaan kappaleen geometrian lisäksi myös aineen tiheysvaihtelut. Geometrisissä menetelmissä oletetaan kappaleen olevan homogeeninen eli että sen tiheys ei vaihtele kappaleen eri osissa. Silloin painopisteen paikka riippuu vain kappaleen geometriasta.

### Tasoalue tai avaruuskappale
Geometrisessa tarkastelussa voidaan olettaa, että kappale on tiheydeltään homogeeninen (\rho = vakio!). Silloin kappaleen "atomien" massa ja niiden tilavuus ovat verrannolliset, jolloin riittää tarkastella pelkästään pinta-aloja tai tilavuuksia. Kappaleen M kokonaismassan m arvo voidaan korvata pinta-alan A arvolla
:m = \iint\limits_M \, dm = \iint\limits_M \, \rho(x,y)\, dx\,dy \sim \iint\limits_M \, dx\,dy = A 
tai tilavuuden V arvolla
:m = \iiint\limits_M dm = \iiint\limits_M \, \rho(x,y,z)\, dx\,dy\,dz \sim \iiint\limits_M \, dx\,dy\,dz = V.

Itse painopiste G lasketaan tilan paikkavektoreilla p(x,y,z) fysikaalisen periaatteen mukaisesti
:G = \frac{1}{m}\iiint\limits_M \, p(x,y,z)\, dm = \frac{1}{m}\iiint\limits_M \, p(x,y,z)\rho(x,y,z)\, dx\,dy\,dz. 
Jos kappaleen tiheys on sama joka pisteessä, ovat massat m(x,y,z) kaikki samansuuruiset ja niiden vaikutukset kumoutuvat, jolloin tulos riippuu vain geometriasta.
:G = \frac{1}{m}\iiint\limits_M \, p(x,y,z)\rho(x,y,z)\, dx\,dy\,dz = \frac{1}{V}\iiint\limits_M \, p(x,y,z) dx\,dy\,dz, 

Lauseke voidaan myös esittää muodossa 

:C = \frac{\int x g(x) \; dx}{\int g(x) \; dx}

missä integraalit otetaan koko tason \R^2 tai avaruuden \R^3 yli ja missä *g* on tasoalueen tai kappaleen karakteristinen funktio, jonka arvo on 1 alueen tai kappaleen sisällä ja 0 sen ulkopuolella.   Tämän lauseen nimittäjä on sama kuin tasoalueen pinta-ala tai kappaleen tilavuus. 

Jos integroitavia pisteitä on vähän, voidaan samat laskut suorittaa summillakin. Tasokuvion painopiste on silloin kaikkien kuvion pisteiden aritmeettinen keskiarvo koordinaatin suhteen. Tämä lasketaan karteesisessa koordinaatistossa x-koordinaattien keskiarvona, y-koordinaattien keskiarvona ja z-koordinaattien keskiarvona, eli
:G_x = \frac{1}{m} \int x \, dm = \frac{1}{V}\int x \, dx
ja
:G_y = \frac{1}{m} \int y \, dm = \frac{1}{V}\int y \, dy
ja
:G_z = \frac{1}{m} \int z \, dm = \frac{1}{V}\int z \, dz. 

### Pistemäisten massojen joukko
Mekaniikassa voidaan johtaa momentin käsitteen avulla pistemäisten kappaleiden yhteiselle painopisteelle paikan lauseke. Samaa kaavaa voidaan käyttää integraalin sijasta, jos jakaa kappaleen mosaiikiksi, joiden keskipisteet ja massat sijoitetaan kaavaan. Tuloksena saadaan painopisteen likimääräinen paikka.

Mikäli eripainoisia pisteitä on paljon \scriptstyle m_1,m_2,\ldots,m_n, voidaan painopiste laskea yleisesti näiden painotettuna keskiarvona:
:G = \frac{m_1x_1+m_2x_2+\cdots+m_nx_n}{m_1+m_2+\ldots m_n} = \frac{\sum_{k=1}^n m_ix_i}{\sum_{k=1}^n{m_i}}. 
Jos massat m_i ovat kaikki samanpainoisia, saadaan painopisteeksi
:G = \frac{\sum_{k=1}^n m_ix_i}{\sum_{k=1}^n{m_i}} = \frac{\sum_{k=1}^n mx_i}{\sum_{k=1}^n{m}} = \frac{\cancel{m}\sum_{k=1}^n x_i}{\cancel{m}n}=\frac{\sum_{k=1}^n x_i}{n}. 
Viimeinen lauseke voidaan tulkita pisteiden koordinaattien keskiarvoksi.

## Eräitä painopisteen paikan päättelysääntöjä
### Arkhimedeen lemma
Jo Arkhimedes (287−212 eaa.) muotoili käytännöllisen geometrisen tavan löytää painopiste:
:*Jos kappale jaetaan kahteen pienempään osaan, sijaitsee kappaleen alkuperäinen painopiste janalla, joka yhdistää pienempien osien painopisteet.*
Jos merkitään painopisteet ja massat G_i ja m_i, voidaan tämä lemma voidaan pukea eksaktiksi lausekkeeksi, jossa painopisteen paikkakin on määritelty
:G = \frac{1}{G_1+G_2}(G_1m_1 + G_2m_2). 

L-muotoisen levymäisen kuvion painopiste voidaan löytää Arkhimedeen lemman avulla, kun jaetaan kuvio kahdelle eri tavalla kahdeksi suorakulmioksi. Suorakulmion keskipisteet ovat painopisteet, joiden välisellä janalla kuvion painopiste on. Erilainen jako suorakulmioihin muuttaa painopisteiden paikkoja, joten toinen jana risteää ensimmäistä janaa. Koska kuvion painopiste sijaitsee kummallakin janalla samanaikaisesti, on sen paikka oltava janojen leikkauspisteessä.

GraviteL1.svg|Arkhimedeen lemma: L-muotoisen tasokuvion kahden osan painopisteet yhdistettynä janalla.
GraviteL2.svg|Edellisen janan lisäksi muodostetaan toinen jana jakamalla L-muotoinen tasokuvio eri tavalla osiin. Janat leikkaavat painopisteessä, joka kuuluu molemmille janoille.


### Symmetrian ja siirron vaikutus painopisteeseen
Seuraavat päättelysäännöt on merkitty tunnuksilla, jotta niihin voidaan jälkeenpäin viitata:
: (S1) Jos tasokuviolla on symmetriapiste, sijaitsee painopiste symmetriapisteessä eli keskipisteessä. Tällaisia kuvioita ovat esimerkiksi ympyrä, neliö ja muut säännölliset monikulmiot.

: (S2) Jos tasokuviolla on symmetria-akseli, sijaitsee painopiste jossakin symmetria-akselin pisteessä. Jo kahden symmetria-akselin olemassaolo kiinnittää painopisteen paikan. Tällaisia ovat esimerkiksi tasakylkiset kolmiot, suorakulmiot, suunnikkaat, tasakylkiset puolisuunnikkaat, sektorit, ellipsit ja katkaistut paraabelit.

: (S3) Jos tasokuvio siirretään annetulla vektorilla uuteen paikkaan, siirtyy painopiste samalla vektorilla osoitettavaan paikkaan.

: (S4) Jos tasokuvio kierretään annetun kiertopisteen ympäri annetun kiertokulman verran, siirtyy myös painopiste samalla tavalla osoitettuun paikkaan.

Simetria-reflexion.svg|Tasakylkisen kolmion painopiste sijaitsee jossakin kohtaa symmetria-akselilla.
LinesOfSymmetryInASquare.svg|Neliöllä on 4 symmetria-akselia, jotka leikkaavat neliön keskipisteessä.
Hexagon Reflections.png|Kuusikulmiolla on 12 symmetria-akselia, jotka leikkaavat yhdessä pisteessä. Tämä piste on samalla säännöllisen monikulmion painopiste.


## Pistejoukon painopiste

### Kahden erimassaisen pisteen painopiste
Aristoteles (384−322 eaa.) totesi, aikalaistensa tavoin, että tangon ja sen päissä olevat painot saadaan tasapainoon sijoittamalla tukipiste kohtaan, jonka etäisyydet painoihin ovat kääntäen verrannolliset käytettyihin massoihin. Nykymerkinnöin etäisyydet massojen \scriptstyle m_1 ja \scriptstyle m_2 kolmiulotteiset paikat ovat \scriptstyle x_1 ja \scriptstyle x_2, jolloin antiikin sääntö väittää etäisyydet tukipisteeseen eli painopisteeseen ovat \scriptstyle m_2 \, : \, m_1. Tukipiste sijaitsee \scriptstyle x_1:stä katsoen
:G = x_1 + \frac{m_2}{m_1+m_2}(x_2 - x_1)
::= \frac{m_1+m_2}{m_1+m_2}x_1 + \frac{m_2}{m_1+m_2}x_2 - \frac{m_2}{m_1+m_2}x_1
::= \frac{m_1}{m_1+m_2}x_1 + \frac{m_2}{m_1+m_2}x_2
eli
:G = \frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1+m_2}.
Tämä laskusääntö on sama kuin kahden erillään sijaitsevan fysikaalinen massapisteen yhteinen painopiste.

Kahden massan painopisteen määrittelyssä voidaan hyödyntää geometrisia ominaisuuksia (katso kuva). Kolmiossa kulmanpuolittajan jakaa kolmion vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa. Täydentämällä massoja pitelevään tankoon kolmion puuttuvat kaksi sivua siten, että sivujen pituudet ovat käänteisessä suhteessa massoihin, löydetään painopiste kulmanpuolittajan avulla.

**Kahden samamassaisen pisteen** painopiste saadaan merkitsemällä m_1 = m_2 = m ja kun massat supistetaan pois jää lausekkeeksi
:G = \frac{x_1+x_2}{2}.

### Kolmen samamassaisen pisteen painopiste
Kolme pistettä sijaitsevat aina samalla tasolla muodostaen kolmion kärkipisteet (tai kollineaarisina janan). Kolmen pisteen painopiste voidaan päätellä käyttäen myöhemmin kuvattua Archimedeen lemmaa. Kahden samamassaisen pisteen painopiste sijaitsee pisteiden keskipisteessä. Keskipisteen ja kolmannen pisteen painopiste sijaitsee niitä yhdistävällä janalla a. Valitsemalla kaksi pistettä ja yhdistämällä niiden painopiste kolmannen pisteen kanssa janalla b, leikkaavat janat a ja b pisteessä G. Myös kolmas tällä tavalla muodostettu jana c leikkaa kaksi muuta samassa pisteessä G. Janat ovat "kolmion" keskijanoja ja ne leikkaavat toisensa kolmion painopisteessä, joka on eräs kolmion merkillinen piste. Siis kolmiolevyn ja kolmion kärkien massan painopisteet ovat samassa paikassa.

### Usean samamassaisen pisteen painopiste
Äärellisen pistejoukon painopisteen koordinaatit esitetään määritelmän mukaisesti kunkin samanpainoisen pisteen koordinaattien aritmeettisena keskiarvona. Kun pisteitä on {n} *kappaletta* \scriptstyle x_1,x_2,\ldots,x_n, kun \scriptstyle  x_i \in \mathbb{R}^n, on painopisteen \scriptstyle  G paikka
:G = \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}. 
Painopiste \scriptstyle G minimoi sen ja pistejoukon pisteiden välisten (euklidisen) etäisyyksien neliöiden summan.

### Painopisteen etsiminen vektorisumman avulla

Pistejoukon painopisteen etsimiseen voidaan käyttää vektorimatematiikkaa. Arvataan ensin painopisteen likimääräinen paikka G ja piirretään siitä vektorit ympäröiviin pisteisiin. Lasketaan vektorien vektorisumma ja jos se on nolla, on painopiste oikealla paikalla C. Ellei se ole vielä nolla, siirretään piste G uuteen paikkaan ja tarkistetaan vektorisumma. Näin jatketaan kunnes painopiste saavutetaan riittävällä tarkkuudella.

## Janojen painopiste
### Janan painopiste
Janan *AB* pisteet voidaan esittää päätepisteiden x_A ja x_B avulla muodossa
:x_{\lambda}= \lambda x_A + (1-\lambda)x_B, kun \lambda \in [0,1].
Integroimalla janan pisteet \lambda:n suhteen, saadaan
:G = \int \limits_{0}^{1} x_{\lambda} \, d\lambda = \int \limits_{0}^{1} (\lambda x_A + (1-\lambda)x_B) \, d\lambda = \frac{1}{2}(x_A + x_B).
Viimeinen lauseke tarkoittaa janan päätepisteiden koordinaattien keskiarvoa. Geometrisesti ajatellen janan painopiste **G** löytyy janan keskipisteessä.

### Kahden janan painopiste
Yhdistetään **kaksi yhtäpitkää janaa** toisiinsa toisesta päätepisteestään. Riippumatta janojen välisestä kulmasta, janat muodostavat symmetrisen kuvion. Painopiste sijaitsee tällä symmetria-akselilla. Toisaalta, Arkhimedeen lemmasta seuraa uusi jana, jossa janojen painopisteinä olevat keskipisteet yhdistetään toisiinsa. Yhdysjana ja symmetria-akseli leikkaavat kuvion painopisteessä.

**Kahden eripitkän janan** kuviolla ei ole symmetria-akselia. Janojen keskipisteet voidaan kuitenkin yhdistää janalla. Painopiste sijaitsee yhdysjanalla. Jakamalla pitempi jana lyhyemmän janan kanssa yhtäpitkään osaan ja loppupätkään, voidaan painopiste löytää. Katkaistulla kuviolla on nyt symmetria-akseli ja sen painopiste löydetään edellisen esimerkin mukaisesti. Koska loppupätkä on jana, on sen painopiste pätkän keskipisteessä. Yhdistämällä keskipiste ja symmetrisen kuvion painopiste janalla, leikkaa jana yhdysjanan kuvion painopisteessä.

### Kolmioksi yhdistettyjen kolmen janan painopiste
Yhdistetään kolme janaa kolmion muotoon, jolloin koko kuvion massa sijaitsee vain kolmion reunassa. Tällaisen kehikon painopiste sijaitsee kolmion Spiekerin pisteessä. Spiekerin piste on eräs kolmion merkillinen piste.

## Tasokuviot
### Kolmio
Kolmion painopiste löytyy helposti piirtämällä kolmion kulmista vastaisille sivuille keskijanat. Kolmion painopiste löytyy keskijanojen eli mediaanien leikkauspisteestä.

Kun tunnetaan kolmion kärkien **A**, **B** ja **C** koordinaatit, voidaan painopiste P = (x_p,y_p) laskea keskiarvon avulla
:x_p = \frac{1}{3} (x_A+x_B+x_C),\quad y_p = \frac{1}{3}(y_A+y_B+y_C).
Painopisteen barysentriset koordinaatit ovat \frac{1}{3} \,:\,\frac{1}{3} \,:\,\frac{1}{3}.

Centre gravite.png|Kolmion painopisteen löytäminen keskijanojen avulla.
Triangle centroid 2.PNG|Painopiste sijaitsee myös korkeussuunnassa \tfrac{1}{3}-korkeudella eri sivuista.
Triangle centroid 1.svg|Vinojen kolmioiden painopiste sijaitsee keskijanalla ja siinä \tfrac{1}{3}-korkeudella.


### Nelikulmio
Neliöllä, jonka sivun pituus on a, on neljä symmetria-akselia, jotka leikkaavat neliön keskipisteessä. Keskipiste onkin neliön painopiste (ed. symmetriasääntö S1), jonka koordinaatit ovat neliö vasemmasta kulmasta lukien (\tfrac{1}{2}a,\tfrac{1}{2}a). Keskipisteen löytää piirtämällä viivaimella neliölle molemmat lävistäjät, joiden leikkauspisteessä se on.

Suorakulmiolla, jonka leveys on a ja korkeus b, on kaksi symmetria-akselia, joten sen painopiste sijaitsee niiden leikkauspisteessä eli keskipisteessä (symmetriasääntö S1). Painopiste koordinaatit ovat vasemmasta kulmasta lukien (\tfrac{1}{2}a,\tfrac{1}{2}b). Keskipisteen löytää piirtämällä viivaimella suorakulmiolle molemmat lävistäjät, joiden leikkauspisteessä se on.

Suunnikkaan painopiste on molempien lävistäjien puolessa välissä sijaitsevassa leikkauspisteessä. Jos vaakasivun pituus on a ja toisen sivun pituus b ja joiden välinen terävä kulma on \alpha, ovat painopisteen koordinaatit (\frac{a+b\cos \alpha}{2},\frac{b\sin \alpha}{2}). 

Puolisuunnikkaassa on kaksi yhdensuuntaista sivua a ja b ehdolla a>b, joiden korkeusero on h. Mikäli kyljet ovat yhtä pitkät, puhutaan tasakylkisestä puolisuunnikkaasta. Tasakylkisellä puolisuunnikkaalla on vain yksi symmetria-akseli, joka yhdistää yhdesuuntaisten sivujen keskipisteet. Painopiste sijaitsee tällä akselilla kohdassa (\frac{a}{2},\frac{(a+2b)h}{3(a+b)}). Yleisessä puolisuunnikkaassa painopiste sijaitsee pisteessä (\frac{a}{2}+\frac{(a+2b)(c^2+d^2)}{6(a^2-b^2)},\frac{(a+2b)h}{3(a+b)}), missä sivut c ja d ovat puolisuunnikkaan kyljet. Lävistäjien leikkauspiste tulee liian ylös ollakseen painopisteessä.

Konveksissa nelikulmiossa lävistäjät leikkaavat toisensa nelikulmion sisällä.Sen painopiste voidaan löytää jakamalla se kolmioiksi kahdella tavalla. Ensimmäisen jaon kolmioiden painopisteet yhdistetään janalla, jolla leikataan toisen jaon vastaavalla janalla. Arkhimedeen lemman mukaan, painopiste sijaitsee leikkauskohdassa.


Block centroid axes.svg|Kahden symmetria-akselin leikkauspiste on suorakulmiossa painopiste.
GraviteTrapeze.svg|Yleisen puolisuunnikkaan painopiste sijaitsee yhdensuuntaisten sivujen bimediaanisella janalla.
GravitePoly.svg|Nelikulmion lävistäjät jakavat sen kahdeksi kolmioksi kahdella tavalla. Kolmioparin painopisteet yhdistävä jana leikkaa toisen vastavalla tavalla muodostetun janan painopisteessä.


## Lähteet