Funktion epäoleellinen raja-arvo

**Funktion epäoleellinen raja-arvo** on matematiikassa  analyysin ja differentiaali- ja integraalilaskennan peruskäsitteitä. Erotukseksi funktion raja-arvon yläkäsitteestä, *funktion epäoleellisella raja-arvolla* tarkoitetaan jatkuvien funktioiden raja-arvolaskentaa, jossa tutkitaan funktion käyttäytymistä kaukana origosta. Usein sanotaan, että *"tutkitaan funktion käyttäytymistä [[ääretön|äärettömässä]] tai miinus äärettömässä"*. Jos epäoleellinen raja-arvo on olemassa, sanotaan että funktio *suppenee* (muutoin *hajaantuu*).

## Johdanto
### Rationaalilausekkeen epäoleelliset raja-arvot

Yksinkertaisin rationaalifunktio on 
:f(x)={1 \over x},
joka on määritelty kaikilla reaalilukuarvoilla nollaa lukuun ottamatta (sillä nollalla ei voi jakaa). Koordinaatistossa näkyy vain osa funktion kuvaajasta, koska sen käyrä katoaa kuviosta sen ylä- ja alapuolelle sekä molemmille sivuille. Epäoleellisella raja-arvolla voidaan selvittää, minne käyrä muualla piirtyy. Tähän tarvitaan neljä epäoleellista raja-arvoa.

Origon oikealla puolella funktio saa positiivisia arvoja. Kuvaajan käyrän perusteella funktio on vähenevä, sillä funktion arvot pienenevät muuttujan x arvojen kasvaessa. Ne eivät kuitenkaan muutu negatiivisiksi, vaan pysyvät positiivisina lähestyen nollaa. Nolla-arvoa ei kuitenkaan saavuteta tietyssä pisteessä, mutta valitsemalla yhä suurempia ja suurempia muuttujan *x* arvoja päästään niin lähelle nollaa kuin vain halutaan. Tässä mielessä voidaan sanoa, että kun muuttujaa *x* kasvatetaan yli kaikkien rajojen, *suppenee* funktion raja-arvoksi nolla. Tämä on eräs tapa kuvailla epäoleellinen raja-arvo. Silloin voidaan sanoa, että *äärettömässä funktio suppenee tai tulee nollaksi*. Vastaavalla tavalla voidaan todeta, että myös vasemmalla puolella lukusuoraa voidaan käydä samanlainen prosessi. Silloin funktion negatiiviset arvot lähestyvät epäoleellisesti nollaa, kun muuttuja *x* pienenee alle kaikkien rajojen. Silloin voidaan sanoa, että *miinus äärettömässä funktiosta tulee nolla*.

Epäoleelliseksi tarkasteluksi voidaan joskus katsoa myös raja-arvoa määrittelyalueen puuttuvassa pisteessä. Edellistä funktiota ei voi laskea nollassa, koska se aiheuttaisi nollalla jakamisen. Kun raja-arvoa lasketaan lähestymällä nollaa oikealta eli positiivisilla arvoilla, kasvaa funktion arvot yli kaikkien rajojen eli raja-arvo hajaantuu plus äärettömäksi. Vastaavasti, kun nollaa lähestytään negatiiviselta puolelta, hajaantuu raja-arvo miinus äärettömäksi.

Yksinkertainen polynomi on potenssifunktio
:f(x)=x^5,
joka on määritelty kaikilla reaalilukuarvoilla, ja sen kuvaajasta näkyy koordinaatistossa vain osa. Osoittautuu, että mitä suuremmilla muuttujan *x* arvoilla funktion arvoja lasketaan, sitä suuremmaksi funktion arvot kasvavat. Samoin, mitä pienemmillä muuttujan arvoilla funktion arvoja lasketaan, sitä pienemmiksi ne tulevat. Kummassakin tapauksessa funktion arvot *hajaantuvat*. Ensin mainitussa tilanteessa sanotaan myös, että *funktion arvo on ääretön, kun muuttuja x on ääretön* taikka *äärettömässä funktio tulee äärettömäksi*. Toisessa tilanteessa *funktio on miinus ääretön, kun x on miinus ääretön* taikka *miinus äärettömässä funktiosta tulee miinus ääretön*.

### Suppeneminen ja hajaantuminen
Funktion epäoleellisella raja-arvolla tarkoitetaan funktion arvojen tutkimista, kun muuttujan arvo joko kasvaa tai vähenee rajatta. Tällöin sanotaan, että muuttuja on *plus ääretön* tai *miinus ääretön*. Kyseessä ei ole enää funktion käyttäytymisestä yhden pisteen lähiympäristössä, vaan sitä käytetään tutkittaessa funktion käyttäytymistä origosta katsottuna "kaukaisilla" arvoilla ja hyvin pitkillä väleillä. Tarkastelutapa poikkeaa siten tavallisesta funktion raja-arvosta.

Kun muuttujan arvo kasvaa rajatta ja funktion arvot suppenevat, se merkitään
:\lim_{x \to +\infty}f(x) = L.
Funktion lauseke lasketaan tällöin yhä suuremmilla ja suuremmilla arvoilla (voidaan sanoa *"kun x lähestyy plus ääretöntä"*). Kun muuttuja vähenee rajatta ja funktion arvot suppenevat, se merkitään
:\lim_{x \to -\infty}f(x) = L.
Funktion lauseke lasketaan yhä pienemmillä (negatiivisilla) arvoilla (voidaan sanoa *"kun x lähestyy miinus ääretöntä"*). Tällöin sanotaan, että *"funktiolla on positiivisessa / negatiivisessa äärettömyydessä raja-arvo L"*.

Kun funktion arvot lähestyvät edellä kerrotulla tavalla lukua *L*, voidaan kuvaajaan piirtää vaakasuora y = L. Tätä suoraa kutsutaan funktion kuvaajan asymptootiksi.

Jos funktion arvot hajaantuvat eikä raja-arvoa ole olemassa, se merkitään esimerkiksi
:\lim_{x \to +\infty}f(x) = +\infty,
jos tulos kasvaa rajatta ja 
:\lim_{x \to +\infty}f(x) = -\infty,
jos tulos vähenee rajatta.

Funktion arvot hajaantuvat, jos funktion arvot eivät ole rajoitettuja. Jos vähenevä funktio ei ole rajoitettu alhaalta, tulee funktion epäoleelliseksi raja-arvoksi miinus ääretön. Ellei kasvava funktio ole rajoitettu ylhäältä, tulee funktion raja-arvoksi ääretön.

Hajaantuvan funktion kulkua voi "ohjata" vino asymptoottisuora tai -käyrä. Asymptootin selvittäminen mallintaa funktion kuvaajan kulkua selvemmin.

## Määritelmä
Funktion epäoleellinen raja-arvo, josta tässä otetaan esimerkkinä
:\lim_{x \to +\infty}f(x) = L,
määritellään eksaktisti *'epsilon-M-tekniikalla
:<math>|f(x)- L| < \epsilon \text{, kun } x > M_\epsilon,</math>
eli funktion arvo <math>f(x)</math> on <math>\epsilon</math>:n etäisyydellä raja-arvosta *L*, kun muuttuja *x* on ylittänyt rajan <math>M_\epsilon</math>. Intuitiivisesta voidaan ajatella, että funktion arvot osuvat riittävän lähelle raja-arvoa *L*, kunhan muuttuja *x* kasvatetaan tarpeeksi suureksi.

=== Esimerkki suppenemisesta ja hajaantumisesta ===
Funktion <math>f(x)={1 \over x}</math> epäoleellinen suppeneminen kohti arvoa nolla voidaan osoittaa seuraavasti. Kun <math>x \ge 1</math>, on aina <math>{1 \over x} < x</math>. Valittiinpa luku <math>\epsilon > 0</math> kuinka pieneksi tahansa, löytyy lopulta aina sellainen muuttujan *x* raja <math>x \ge M > 1</math>, että
:<math>|{1 \over x}-0|={1 \over |x|} \le {1 \over M} < \epsilon, </math>
missä <math>M > {1 \over \epsilon}</math>. Näin ollen funktio <math>f(x) = {1 \over x}</math> suppenee nollaksi, kun *x* kasvaa rajatta.

Funktion <math>f(x)=x^5</math> epäoleellinen hajaantuminen äärettömyydessä voidaan osoittaa seuraavasti. Kun <math>x \ge 1</math>, on aina <math>x^5 \ge x</math>, joten valittiinpa luku <math>M > 1</math> miten suureksi tahansa, on <math>x^5 > M</math> heti, kun <math>x > M</math>. Siten funktio <math>f(x)=x^5</math> hajaantuu äärettömäksi, kun muuttuja *x'' kasvaa yli kaikkien rajojen.

## Esimerkkejä alkeisfunktioista

## Epäoleelliseen raja-arvoon liittyviä sääntöjä
### Esimerkki
Esimerkiksi polynomin f(x)=x^3+x^2+x+1 käyttäytyminen äärettömyyksissä voidaan päätellä yksittäisten potenssien käyttäytymisestä. Kun lasketaan 
:\lim_{x \to +\infty}(x^3+x^2+x+1)
ja huomioidaan, että \lim_{x \to +\infty}x^3= +\infty, \lim_{x \to +\infty}x^2 = +\infty, \lim_{x \to +\infty}x = +\infty ja \lim_{x \to +\infty}1 = 1,
saadaan
:\lim_{x \to +\infty}(x^3+x^2+x+1) = \infty +\infty +\infty + 1 = 3 \cdot \infty +1= \infty+1 = \infty.
Polynomi hajaantuu siten kohti +\infty.

### Äärettömän laskusääntöjä epäoleellisessa raja-arvossa
Seuraavat merkinnät tarkoittavat raja-arvojen tuloksia. Jos funktion arvot hajaantuvat kohti plus ääretöntä, merkitään sen tulosta \infty, jos ne hajaantuvat kohti miinus ääretöntä, niin se merkitään -\infty. Mikäli funktio suppenee kohti reaalilukua, merkitään se positiivisena p ja negatiivisena n. Tilanteissa, jossa raja-arvon merkillä ei ole väliä, se merkitään a. Aluksi on lueteltu tapauksia, jossa lopputulos voidaan päätellä.

Seuraavien laskutoimitusten tulosta ei pystytä suoralta kädeltä määrittämään:
:\infty - \infty, \, {\pm \infty \over \pm \infty}, \, 0 \cdot (\pm \infty), \, (\pm \infty)^0, \, 0^{\pm \infty}, \, 1^{\pm \infty}\, ja \, (-\infty)^{\pm \infty}.

## Katso myös
* Funktion asymptootit
* Epäoleellinen integraali

## Lähteet

## Aiheesta muualla
* Jyväskylän yliopisto: Epäoleellinen raja-arvo, katsottu 4.10.2014
* Internetix: Raja-arvo käsitteen laajennus, Epäoleelliset raja-arvot, katsottu 4.10.2014