Predikaattilogiikka

**Predikaattilogiikka** on symbolisen logiikan osa-alue, jolla tutkitaan tietynlaisia formaalikieliä.  Predikaattilogiikka jakautuu ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikkaan ja korkeampien kertalukujen predikaattilogiikoihin. Jälkimmäisten kohdalta mielenkiinto kohdistuu yleensä vain toisen kertaluvun predikaattilogiikkaan.

**Ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikka**, joskus lyhyemmin pelkästään predikaattilogiikka, tutkii kieliä, jotka mallintavat luonnollisen kielen subjekti-predikaattimuodon lauseita, loogisia operaatioita näillä lauseilla sekä näiden lauseiden yleistyksiä. Mallintaminen voi olla kiinnostavaa esimerkiksi matemaattisista, filosofisista tai kielitieteellisistä syistä. Esimerkkinä muutama predikaattilogiikan lause ja vastine luonnollisessa kielessä.

1. Pii on positiivinen
 
P \pi \! 

2. Jos pii on ei-positiivinen, niin kuu on juustoa

\neg P \pi \to Jk


3. Kaikki ihmiset ovat kuolevaisia

\forall x (Ix \to Kx)


Tarkempi kuvaus predikaattilogiikan kielestä löytyy alakohdasta syntaksi.

**Toisen kertaluvun predikaattilogiikka** ja korkeampien kertalukujen predikaattilogiikat eroavat ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikasta siinä, että jälkimmäisissä voidaan puhua olioiden ominaisuuksista (2. kl.), olioiden ominaisuuksien ominaisuuksista (3. kl.) ja niin edelleen.

## Syntaksi
Syntaksi on se osa predikaattilogiikkaa, jossa kiinnostuksen kohteena ovat vain merkkijonot ja niiden ominaisuudet (ks. myös kalkyyli). Pelkästään syntaktisten piirteiden perusteella voidaan määritellä millaisia lauseet ovat ja millaista on pätevä päättely predikaattilogiikassa.

### Aakkosto
**Määritelmä.** Predikaattilogiikan aakkosto koostuu seuraavista
symboleista:

Predikaattilogiikassa merkitään lisäksi kaavamuuttujia symboleilla
\phi,\psi,\ldots\,\!, tai symboleilla *A*, *B*, ... .

### Kaavat

**Määritelmä.** Predikaattilogiikan termit
# Yksilövakiot ovat termejä.
# Muuttujat ovat termejä.
# Jos t_1,\ldots,t_n\,\! ovat termejä, niin ft_1\ldots{}t_n\,\! on termi.

**Määritelmä.** Predikaattilogiikan kaavat
Olkoot
t_1,t_2,\ldots\,\!
termejä.
# t_1 = t_2\,\! on kaava.
# Jos R_i\,\! on n-paikkainen predikaattisymboli, niin R_i{}t_1\ldots{}t_n\,\! on kaava.
# Jos \phi\,\! on kaava, niin \neg\phi\,\! on kaava.
# Jos \phi\,\! ja \psi\,\! ovat kaavoja, niin ...
# ...

### Päättely
Nyt voidaan esittää, millaista on pätevä päättely predikaattilogiikassa. Ajatuksena on, että kun tunnemme konnektiivit, tunnemme lauseiden deduktiiviset seuraukset.

Aikojen kuluessa on esitetty useita toisistaan hiukan poikkeavia päättelysysteemejä. Ehkä helpoimmin ymmärrettävissä on nk. luonnollisen päättelyn systeemi predikaattilogiikalle.

#### Luonnollinen päättely

Luonnollisen päättelyn systeemissä päättelyn premissit kirjoitetaan viivan päälle, johtopäätös viivan alle. Päättelyjä voi yhdistää toisiinsa kirjoittamalla niitä peräkkäin. Luonnollisen päättelyn päättelysäännöt vastaavat tuonti- ja eliminointisäännöt kaikille konnektiiveille:

1. Negaation tuonti- ja eliminointisäännöt.

\frac{A \land \neg A}{\neg B} \ \neg T \ (*
\qquad 
\frac{ \neg \neg A}{A} \ \neg E


2. Konjunktion tuonti- ja eliminointisäännöt.

\frac{\begin{matrix} A & B \end{matrix}}{A \land B}\ \land T
\qquad 
\frac{A \land B}{A}\ \land E


3. Kaikilla-kvanttorin tuonti- ja eliminointisäännöt.

\frac{A}{\forall x A}\ \forall T\ (**
\qquad
\frac{\forall x A}{A( x / t)}\ \forall E


Huomautuksia: *) Jos *B* on hylkäämätön oletus, se voidaan hylätä. **) Muuttuja *x* ei saa esiintyä vapaana missään kaavan *A* todistuksen hylkäämättömässä oletuksessa.

#### Todistusteoria

**Todistusteoria** keskittyy lauseen syntaktiseen *todistettavuuteen* (eli
johdettavuuteen tai päättelyyn) toisista lauseista tiettyjen sääntöjen
mukaisesti. Totuuden käsite on syntaktisen todistuksen suhteen
merkityksetön. Tulkinta on totuuden välttämätön edellytys eikä
todistettavien lauseiden ei tarvitse olla tulkittuja.

On tietenkin mielekästä, jos todistus on määritelty siten, että se on
totuuden säilyttävää ja siis tosista lauseista voidaan todistaa vain
tosia lauseita, mutta se on eri asia. Syntaktisen todistuksen
tarkoituksena on ainoastaan johtaa jo saaduista lauseista, viime kädessä
aksioomista uusia lauseita.

Todistusteorian tärkeitä nimiä: Gerhard Gentzen, David Hilbert.

Ks. myös Gentzenin luonnollisen päättelyn systeemi.

## Semantiikka
**Malliteoriassa** tarkastellaan kieltä semanttisesta näkökulmasta. Malli on
joukko-opillinen struktuuri, joka toimii logiikan
kaavojen tulkintana Tarskin totuusmääritelmän mukaisesti.

**Tarskin totuusmääritelmä.** Olkoon L aakkosto ja \phi \, L-kaava. Olkoon \mathcal{M} \, L-struktuuri ja s sen tulkintajono, ts. s\colon \mathbb{N} \rightarrow \mathcal{M}. Tällöin kaavan \phi totuus mallissa \mathcal{M} tulkintajonolla s, merk. \mathcal{M},s\models\phi, määritellään seuraavasti:

# \phi = P(t_0, \ldots , t_n) : \, (t_0^{\mathcal{M},s}, \ldots , t_n^{\mathcal{M},s})\in P^{\mathcal{M}},
# \phi = \neg \psi : \, \mathcal{M},s\not\models \psi,
# \phi = \psi \rightarrow \theta : \, \mathcal{M},s\not\models \psi tai \mathcal{M},s\models \theta ,
# \phi = \forall v_i \psi : \, \mathcal{M},s(a/i)\models \psi kaikilla a\in\mathcal{M}.

Jos 
\Sigma\,\!
on joukko L-kaavoja ja \mathcal{M},s\models \phi kaikilla \phi\in\Sigma, niin merkitään \mathcal{M},s\models\Sigma.

Malliteoriassa todistukselle rinnakkainen käsite on *looginen
seuraaminen*.
Jos kaikille niille malleille
\mathcal{M}\,\!
ja tulkintajonoille
s\,\!,
joille pätee
\mathcal{M}\models_s\Sigma\,\!,
pätee myös
\mathcal{M}\models_s\phi\,\!,
sanotaan kaavan
\phi\,\!
seuraavan loogisesti kaavajoukosta
\Sigma\,\!.
Tämä merkitään
\Sigma\models\phi\,\!.

Malliteorian tärkeä nimi: Alfred Tarski.

## Eheys- ja täydellisyyslauseet
Logiikassa pyritään eheään ja täydelliseen aksiomaattiseen
järjestelmään. Eheydellä tarkoitetaan sitä, että tosista lauseista tietyn
päättelysysteemin nojalla päätellyt lauseet ovat nekin tosia.
Täydellisyydellä taas tarkoitetaan sitä, että kaikki ne lauseet, jotka
ovat aina tosia tiettyjen lauseiden ollessa tosia, ovat jälkimmäisistä
pääteltävissä. Jos tietty logiikan järjestelmä on sekä eheä että
täydellinen, vastaavat todistusteoria ja malliteoria toisiaan tässä
järjestelmässä.

Ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikan täydellisyyslauseen todisti
ensimmäisenä Kurt Gödel vuonna 1930.

## Predikaattilogiikan laajennuksia
* Toisen kertaluvun predikaattilogiikka
* Yleistetyt kvanttorit
* Äärettömät kielet

## Predikaattilogiikka ja ohjelmointi
Logiikkapohjainen ohjelmointi on ohjelmointiparadigma, jossa predikaattilogiikalla on keskeinen rooli. Logiikkaohjelmoinnin tärkein kieli on Prolog.

## Lähteet

## Kirjallisuutta
* 
* Allwood, Jens & Andersson, Lars-Gunnar & Dahl, Östen (1988): *Logiikka ja kieli*. 2. painos. Suomentanut Paavo Siro. Helsinki: Yliopistopaino. (1. painos 1980 Gaudeamuksen kustantamana. Alkuteos: Logik för lingvister, 1972. Suomennettu englanninkielisestä laitoksesta Logic in Linguistics, 1979.)