Kompleksiluku

**Kompleksilukujen** joukko \mathbb C on reaalilukujen joukon luonnollinen laajennus.

Kompleksiluku *z* on muotoa

:z = x + yi, \,\!

jossa *x*  ja *y* ovat reaalilukuja ja *i* on  *[[imaginaariyksikkö]]*, jolle pätee i^2 = -1 \,\! . Lukua *x* kutsutaan kompleksiluvun *reaaliosaksi* (Re(*z*)) ja lukua *y* vastaavasti sen *imaginaariosaksi* (Im(*z*)).

Reaalilukujen joukko on kompleksilukujen osajoukko, joka saadaan asettamalla kompleksiluvun imaginaariosa nollaksi: y=0. Jos x=0, kompleksilukua kutsutaan *puhtaasti imaginaariseksi*.

Jokaiselle ℂ-kertoimiselle polynomille voidaan algebran peruslauseen mukaan löytää sen astetta vastaava määrä nollakohtia eli juuria, jotka tosin eivät ole välttämättä keskenään erisuuria. Alun perin kompleksiluvut kehitettiinkin osin tarpeesta saada entistä suurempi osa polynomiyhtälöistä ratkeaviksi. Esimerkiksi yhtälöllä x^2+1=0 ei ole reaalisia juuria, sillä x^2 on positiivinen kaikilla reaalisilla x:n arvoilla. Kompleksilukujen joukosta sille sen sijaan löytyy ratkaisut x=+i ja x=-i.

Kompleksilukuja hyödynnetään usein muun muassa sähkötekniikassa, vaihtosähköön liittyvässä analyysissä, sillä signaalit sisältävät kaksi muuttuvaa suuretta, amplitudin sekä vaiheen, ja kompleksiaritmetiikan avulla jännitteet ja virrat voidaan esittää yhdellä kompleksiluvulla. Sähkötekniikassa kompleksiluvun imaginaariyksikkö merkitään kirjaimella *j*. Kompleksiluvut kuuluivat Suomessa lukion matematiikan pitkän oppimäärän valtakunnallisiin sisältöihin 1960-luvulta aina vuoden 2003 opetussuunnitelmauudistukseen saakka (joissakin kouluissa noudatettiin vuoden 2016 opetussuunnitelman versiota, joka sisälsi kompleksilukujen perusteita),  mutta tämänkin jälkeen niillä laskemisen perusteita on opetettu korkea-asteen lisäksi lukioiden paikallisilla erikoiskursseilla.

## Historia

Kompleksilukujen historia alkaa kolmannen ja neljännen asteen yhtälöiden ratkaisukaavojen keksimisestä. Italialainen matemaatikko Girolamo Cardano esitteli nämä kaavat vuonna 1545 julkaisemassaan *Ars Magnassa*. Cardano ei keksinyt ratkaisukaavoja itse, vaan sai kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavan Niccolo Tartaglialta, jolle Cardano oli vakuuttanut ettei paljasta tämän salaisuutta, sillä tämä aikoi julkaista ratkaisun itse. Tartaglia katkeroitukin Cardanolle pahan kerran tämän petettyä lupauksensa. Tartagliakaan ei tosin ollut ratkaisukaavan alkuperäinen keksijä, vaan sen keksi ilmeisesti ensimmäisenä Scipione dal Ferro. Neljännen asteen yhtälön ratkaisukaavan taas keksi Cardanon apulainen Ludovico Ferrari.

Kolmannen asteen yhtälöä ratkaistaessa ratkaisukaavan avulla päädytään väistämättä neliöjuuren ottamiseen negatiivisista luvuista, jos yhtälöllä on kolme nollasta poikkeavaa reaalijuurta. Tätä tapausta kutsutaan *casus irreducibilikseksi* , eli *redusoimattomaksi tapaukseksi*, sillä ratkaisua ei voi tässä tapauksessa löytää ilman jonkinlaista käsitystä kompleksisten lukujen laskusäännöistä. Cardano laskee *Ars Magnassa* formaalisti tulon (5+\sqrt{-15})(5-\sqrt{-15}) ja saa oikean tuloksen 40, huolimatta siitä että hän kieltää negatiivisten lukujen neliöjuurten olemassaolon. On muistettava että Cardanon aikaan negatiivisiakaan lukuja ei aina hyväksytty, Cardano itse kutsui niitä nimellä *numeri ficti*. René Descartes ei hyväksynyt kompleksisia lukuja ja pilkkasi niitä kutsumalla niitä *imaginaarisiksi* vuonna 1637 julkaistussa *La Géométriessaan*.

Leonhard Euler julkaisi vuonna 1748 kirjassaan *Introductio* nykyään Eulerin lauseena tunnetun tärkeän identiteetin, jonka erityistapaus on e^{i\pi}=-1. Euler myös otti käyttöön merkinnän i kuvaamaan lukua \sqrt{-1}. Aikaisemmin samalla vuosisadalla ranskalainen matemaatikko Abraham de Moivre oli keksinyt toisen tärkeän kompleksilukuihin liittyvän kaavan, de Moivren kaavan, vaikka ei sitä nykyään tunnetussa muodossa esittänytkään.

## Laskutoimitukset

Kompleksilukuja voi laskea yhteen, vähentää toisistaan tai kertoa keskenään soveltamalla liitäntä-, vaihdanta- ja osittelulakeja, sekä yhtälöä i^2 = -1:

:(x + yi) + (x' + y'i) = (x + x') + (y + y')i\,
:(x + yi) - (x' + y'i) = (x - x') + (y - y')i\,
:(x + yi) \cdot (x' + y'i) = xx' + xy'i + x'yi + yy'i^2 = (xx' - yy') + (x'y + xy')i\,

kaikilla reaaliluvuilla *x,x',y,y*'

Kompleksilukujen jakolasku lasketaan jakajan *[[kompleksikonjugaatti|liittoluvun]]* eli *konjugaatin* avulla. Kompleksiluvun z = x + yi \, liittoluku on {z}^{*} = x - yi\,. Määritellään kompleksiluvun *moduuli* eli *[[itseisarvo]]* |z| = \sqrt{x^2+y^2}. Kun kompleksiluku kerrotaan liittoluvullaan, saadaan luvun itseisarvon neliö, joka on reaaliluku:

:z{z}^{*} = (x + yi)(x - yi) = x^2-y^2 i^2 = x^2+y^2 = \sqrt{x^2+y^2} ^2 = |z|^2

Kompleksilukujen jakolasku sieventyy laventamalla jakajan liittoluvulla kompleksilukujen kertolaskuksi:

:{z_1 \over z_2} = {z_1 {z}_2^{*} \over \ z_2 {z}_2^{*}} = {z_1 {z}_2^{*} \over |z_2|^2}

Liittolukua merkitään myös \bar{z}:lla.

### Kompleksiset potenssit ja juuret

Kompleksilukujen potenssit voidaan laskea käyttäen De Moivren kaavaa. Tällöin saadaan, että kompleksiluvun z n:s potenssi on z^{n}=r^{n}e^{in\theta}=r^{n}(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)), missä r tarkoittaa kompleksiluvun z moduulia. Kompleksilukun z m:s juuri saadaan seuraavasti: merkitään \zeta=z^{\frac{1}{m}}. Tällöin \zeta^{m}=z. Tällöin m:s juuri on \zeta=\sqrt[m]{r}e^{i\theta/m}, missä r tarkoittaa kompleksiluvun z moduulia.

### Kompleksiluvun neliöjuuri

Jokaista kompleksilukua *z* = *a + bi* (paitsi lukua 0) kohti on olemassa kaksi sellaista kompleksilukua, joiden neliö on *z*. Koska

:(x + yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi,

voidaan nämä johtaa ratkaisemalla toisen asteen yhtälöpari:

:x^2 - y^2 = a
:2xy = b.

Ratkaisuiksi saadaan:

x = \pm \sqrt{\frac{a \pm \sqrt{a^2 + b^2}}{2}}

ja

y = \pm \sqrt{\frac{-a \pm \sqrt{a^2 + b^2}}{2}}

Koska 2xy = b, on *x*:llä ja *y*:llä sama etumerkki, jos *b* on positiivinen, muussa tapauksessa niillä on vastakkaiset etumerkit. Koska toisaalta kompleksiluvun *z* = *a* + *bi* itseisarvo on \sqrt{a^2 + b^2}, todetaan, että yhtälön (x + yi)^2 = a + bi toteuttavat kompleksiluvut ovat:

:\sqrt{a + ib} = \pm (\sqrt{\frac{|z| + a}{2}} + i \frac{b}\sqrt{\frac{|z| - a}{2}}),

kun b \ne 0 eli *z* ei ole reaaliluku.

Tavallisesti määritellään lisäksi, että kompleksiluvun neliöjuurella tarkoitetaan näistä nimenomaan sitä, jonka reaaliosa on positiivinen.

Jos kompleksiluku on esitetty muodossa
:z = r e^{i \phi},
missä *r* ja \phi ovat reaalilukuja, saadaan sen neliöjuurelle yksinkertaisempi lauseke:

:\sqrt{z} = \sqrt {r e^{i \phi}} = \sqrt{r} e^{i \frac{\phi}{2}}.

## Geometrinen tulkinta

Koska kompleksiluku on järjestetty reaalilukupari, se voidaan esittää kaksiulotteisen koordinaatiston pisteenä tai paikkavektorina. **Argandin kaaviossa** kompleksilukua x+yi kuvaa tason piste P(x,y) ja paikkavektori OP. Koordinaatiston toinen akseli ilmaisee kompleksiluvun reaalikomponentin ja toinen imaginaarikomponentin. Kompleksilukujen ja vektorien yhteenlaskut vastaavat toisiaan. Tasoa, jonka pisteet on määritelty vastaamaan kompleksilukuja, sanotaan *kompleksitasoksi*.

Kompleksiluku voidaan esittää napakoordinaatiston avulla muodossa z = r(\cos \theta + i \sin \theta), jossa r on kompleksiluvun itseisarvo |z|, ja \theta on z:n *argumentti*, eli positiivisen reaaliakselin ja vektorin OP välinen suunnattu kulma. Napakoordinaattimuodossa kompleksilukujen kerto- ja jakolaskut saadaan havainnolliseen muotoon:

:z_1 \cdot z_2 = r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1) \cdot r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2) = r_1 r_2(\cos (\theta_1 + \theta_2) + i\sin (\theta_1 + \theta_2))\,

:{z_1 \over z_2} = {r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1) \over r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)} = {r_1 \over r_2}(\cos (\theta_1 - \theta_2) + i\sin (\theta_1 - \theta_2))\,

Kompleksilukujen kertolasku voidaan siis jakaa kahteen vaiheeseen: itseisarvojen kertomiseen keskenään, eli paikkavektorin pituuden muutokseen, ja argumenttien yhteenlaskuun, eli vektorin kiertoon. Jakolaskun suhteen voidaan menetellä vastaavalla tavalla sillä erotuksella, että itseisarvojen kertolaskua vastaa jakolasku ja argumenttien yhteenlaskua vähennyslasku.

Kompleksilukujen kertolasku voidaan tulkita geometrisesti myös seuraavasti: Kun kompleksiluku kerrotaan reaaliluvulla, sen paikkavektorin pituus kerrotaan tällä reaaliluvulla, mutta sen suunta pysyy ennallaan tai vaihtuu päinvastaiseksi, jos kerroin on negatiivinen. Kun kompleksiluku kerrotaan imaginaariyksiköllä i, sen paikkavektorin suuntaa kierretään 90 astetta vastapäivään, mutta sen pituus pysyy ennallaan. Kertominen muulla kompleksiluvulla voidaan yhdistää näistä sekä vektorien yhteenlaskusta.

## Analyyttiset funktiot

Kompleksilukujen joukossa määriteltyjä analyyttisia funktiota tutkii funktioteoria eli kompleksianalyysi.  Funktioiden määrittelyjoukkona käytetään usein laajennettua kompleksitasoa, jossa kompleksitasoon on lisätty yksi piste, äärettömyyspiste. 

## Kompleksilukujen suuruusjärjestys
Reaaliluvuilla käsite ”suurempi kuin” (>) on hyvin intuitiivinen ja noudattaa tiukkoja, loogisia sääntöjä, jotka toimivat saumattomasti yhteen aritmetiikan kanssa. Hyödyllisen järjestyksen kannalta lukujärjestelmässä tärkeimmät säännöt ovat:

# **Trikotomia:** Mille tahansa kahdelle luvulle (a) ja (b) pätee täsmälleen yksi seuraavista:  · (a > b)  · (a = b)  · (a  b) ja (b > c), niin (a > c).
# **Yhteenlaskun yhteensopivuus:** Jos (a > b), niin (a + c > b + c) kaikilla (c).
# **Yhteensopivuus positiivisella vakiolla kertomisen kanssa:** Jos (a > b) ja (c > 0), niin (a \cdot c > b \cdot c).

Reaalilukusuora toteuttaa kaikki nämä ominaisuudet täydellisesti.

### Miksi tämä ei toimi kompleksiluvuilla
Ongelma ei ole siinä, etteikö kahden kompleksiluvun vertailuun voisi keksiä jotakin sääntöä (voisimme verrata niiden itseisarvoja tai käyttää sanakirjajärjestystä reaaliosille ja imaginääriosille). Ongelma on siinä, että mikä tahansa tällainen sääntö rikkoo vähintään yhden yllä mainituista perusominaisuuksista, jolloin siitä tulee hyödytön aritmetiikassa ja algebrassa.

Ydinkonflikti johtuu kahdesta tosiasiasta:

· Järjestetyssä lukujärjestelmässä minkä tahansa nollasta poikkeavan luvun neliö on positiivinen ((c > 0)).

*(Todistus: jos (c > 0), niin (c \cdot c > 0). Jos (c < 0), niin (-c > 0) ja (c^2 = (-c)^2 > 0).)*

· Imaginaariyksikön määrittelevä ominaisuus on (i^2 = -1).

Nämä kaksi tosiasiaa eivät voi toteutua samanaikaisesti järjestetyssä järjestelmässä.

### Ristiriitatodistus
Oletetaan, että kompleksiluvuille on olemassa johdonmukainen järjestys, ja katsotaan mitä seuraa.

Tiedämme, että (i \neq 0). Trikotomian mukaan (i) on joko suurempi kuin 0 tai pienempi kuin 0.

### Tapaus 1: Oletetaan (i > 0).
Jos (i > 0), niin positiivisella kertomisella yhteensopivuuden perusteella voimme kertoa epäyhtälön molemmat puolet tällä ”positiivisella” luvulla (i):

(i > 0 \Rightarrow i \cdot i > i \cdot 0)

Siis

(i^2 > 0)

Mutta (i^2 = -1). Tämä merkitsisi:

(-1 > 0)

Tämä on suora ristiriita reaalilukujen perusjärjestyksen kanssa (tiedämme, että (-1  0) (lisätään (-i) molemmille puolille). Kerrotaan nyt epäyhtälö (i  (-i)\cdot 0)

(Huom: epäyhtälön suunta vaihtuu, kun kerrotaan positiivisella luvulla!)

Siis

(-i^2 > 0)

(-(-1) > 0)

(1 > 0)

Tähän asti kaikki on kunnossa — tiedämme, että (1 > 0) on totta. Mutta tarkastellaan myös, että jos (i  0).

Mikä on tämän ”positiivisen” luvun (-i) neliö?

[

(-i)^2 = (-1)^2 \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1

]

Olemme siis korottaneet ”positiivisen” luvun (-i) toiseen potenssiin ja saaneet negatiivisen tuloksen (-1). Tämä rikkoo jälleen säännön, jonka mukaan järjestetyssä lukujärjestelmässä minkä tahansa nollasta poikkeavan luvun neliön täytyy olla positiivinen.

### Johtopäätös
Molemmat mahdolliset oletukset luvusta (i) johtavat loogiseen ristiriitaan järjestettyjen kuntien sääntöjen kanssa. Siksi on mahdotonta määritellä kompleksiluvuille käsitteitä ”suurempi kuin” tai ”pienempi kuin” tavalla, joka olisi yhteensopiva niiden aritmetiikan kanssa. Näin järjestys voidaan määritellä ainoastaan, jos jostakin yllämainituista aksioomista luovutaan.

## Katso myös
* Eulerin lause (funktioteoria)
* Gaussin kokonaisluku
* de Moivren kaava
* Kvaternio
* Residylaskenta

## Lähteet
*Saff, Edward B. ja Snider, Arthur David: Fundamentals of Complex Analysis: Engineerging, Science, and Mathematics, Pearson 3. painos
*

### Viitteet

## Kirjallisuutta
* 
* 

## Aiheesta muualla