Uniforminen monitahokas

**Uniforminen monitahokas** on monitahokas, jonka kaikki sivutahkot ovat säännöllisiä monikulmioita ja joka on kärkitransitiivinen, toisin sanoen se voidaan aina kuvata yhtenevyyskuvauksella itselleen siten, että mikä tahansa kärki voidaan kuvata mille tahansa toiselle. Tästä seuraa, että sen kaikki kärjet ovat yhtenevät.

Uniforminen monitahokas voi olla joko
* säännöllinen (jos se on myös tahko- ja särmätransitiivinen)
* kvasisäännöllinen (jos se on myös särmätransitiivinen mutta ei tahkotransitiivinen), tai
* semiregulaarinen (jos se ei ole tahko- eikä särmätransitiivinen). 

Uniformisen monitahokkaan ei tarvitse olla kupera, joten monet uniformiset monitahokkaat ovat samalla tähtimonitahokkaita.

On olemassa kaksi ääretöntä uniformisten monitahokkaiden luokkaa sekä lisäksi vielä 75 näihin luokkiin kuulumatonta uniformista monitahokasta:

*Äärettömät luokat:
** särmiöt eli prismat
** antiprismat
* Muut kuperat: 
** 5 Platonin kappaletta – säännölliset kuperat monitahokkaat
** 13 Arkhimedeen kappaleta – 2 kvasisäännöllistä ja 11 semiregulaarista kuperaa monitahokasta
* Tähtimonitahokkaat:
** 4 Kepler-Poinsotin kappaletta – säännölliset ei-kuperat monitahokkaat
** 53 uniformista tähtitahokasta – 5 kvasisäännöllistä ja 48 semiregulaarista,

Lisäksi on olemassa myös joukko degeneroituja uniformisia monitahokkaita, joissa osa särmistä yhtyy toisiinsa, muun muassa yksi John Skillingin löytämä, jota sanotaan *suureksi kaksoispullistetuksi dirombidodekaedriksi* eli Skillingin kuvioksi.

Uniformisten monitahokkaiden duaalikappaleet ovat sivutransitiivisia eli isoedrisiä, ja niiden kärkikuviot ovat säännöllisiä monikulmioita. Ne luokitellaan usein rinnakkain uniformisten duaalikappaleidensa kanssa. Säännöllisen monitahokkaan duaalikappale on säännöllinen, kun taas Arkhimedeen kappaleiden duaalit ovat Catalanin kappaleita.

Uniformisen monitahokkaan käsite on erikoistapaus uniformisen polytoopin käsitteestä, joka soveltuu myös muotoihin korkeampi- tai alempiulotteisessa avaruudessa.

## Määritelmä

Coxeter, Longuet-Higgins ja Miller määrittelivät vuonna 1954 uniformiset monitahokkaat kärkitransitiivisiksi monitahokkaiksi, joiden sivut ovat säännöllisiä monikulmioita. Monitahokkaan he määrittelivät sellaiseksi äärelliseksi joukoksi monikulmioita, että jokainen monikulmion sivu on tasan yhden toisenkin monikulmion sivuna, niin että millään monikulmioiden ei-tyhjällä aidolla osajoukolla ei ole samaa ominaisuutta. Monikulmiolla he impilisiittisesti tarkoittivat kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa olevaa monikulmiota; niiden sallitaan olla ei-kuperia ja leikata toisensa.

Uniformisen monitahokkaan käsitettä on erinäisillä tavoilla yleistetty. Jos ei edellytetä, että sellaisen on oltava yhtenäinen, voidaan myös useamman komponentin, esimerkiksi viiden kuution yhdistelmää pitää uniformisena. Jos ei edellytetä, että monitahokkaan on oltava degeneroitumaton, saadaan myös niin sanottuja degeneroituja uniformisia monitahokkaita. Tämä edellyttää, että monitahokkaan käsite on määriteltävä yleisemmin.

Branko Grünbaum kiinnitti vuonna 1994 julkaisemassaan artikkelissa huomiota siihen, että vaikka jo Eukleides luetteli viisi säännöllistä monitahokasta ja myöhemmin muun muassa Kepler, Poinsot, Hess ja Brückner olivat eri tavoin luokitelleet monitahokkaita, kukaan heistä ei ollut esittänyt itse monitahokkaan käsitteelle täsmällistä ja yksikäsitteistä määritelmää. Samassa artikkelissa hän itse esitti käsitteelle jokseenkin monimutkaisen määritelmän.

McMullen ja Schulte esittivät vuonna 2003 monitahokkaan käsitteelle yleisemmän määritelmän. Heidän mukaansa monitahokas on kaksiulotteinen abstrakti polytooppi, jolla on ei-degeneroitunut kolmiulotteinen realisaatio. Tässä abstrakti polytooppi on sen sivutahkojen yhdistelmä, joka toteuttaa useita ehtoja, ja realisaatio on kuvaus sen kärkien joukosta johonkin avaruuteen, ja realisaatiota sanotaan ei-degeneroituneeksi, jos millä tahansa kahdella abstraktin polytoopin tahkolla on erilliset realisaatiot.

Monitahokas voi olla *degeneroitunut* esimerkiksi seuraavilla tavoilla:
*Kätketyt tahkot. Joillakin monitahokkailla osa tahkoista voi olla *kätkettyjä* siinä mielessä, ettei mikään niiden sisäpiste näy ulkopuolelta. Sellaisia ei yleensä pidetä uniformisina monitahokkaina.
*Degeneroidut komponentit. Monitahokas saattaa koostua useammasta melkein toisistaan erillään olevasta komponentista, jolla kuitenkin on yksi tai useampi yhteinen särmä. Yhtenäisten särmien vuoksi monitahokas on tällöin kuitenkin topologisessa mielessä yhtenäinen.
*Kaksinkertaiset peitteet. On olemassa suunnistumattomia monitahokkaita, joilla on kaksoispeite ja ja jotka täyttävät uniformisen monitahokkaan määritelmän ehdot. Näillä kaksoispeitteillä on kaksinkertaisia tahkoja, särmiä ja kärkiä. Niitä ei yleensä lueta uniformisiin monitahokkaisiin.
*Kaksinkertaiset tahkot. On useita monitahokkaita, joilla on Wythoffin konstruktiolla aikaansaatuja kaksinkertaisia tahkoja. Useimmat kirjoittajat eivät salli kaksinkertaisia tahkoja ja poistavat ne osana konstruktiota.
*Kaksinkertaiset särmät. Skillingin kuviolla on kaksinkertaisia särmiä, kuten degeneroituneilla uniformisilla monitahokkaillakin, mutta niiden tahkoja ei muodostaa kirjoittaa kahden uniformisen monitahokkaan yhdisteenä.

## Historia
**Säännölliset kuperat monitahokkaat**:
* Säännölliset monitahokkaat eli Platonin kappaleet tunnettiin jo antiikin Kreikassa, ja niitä tutkivat pythagoralaiset, Platon (n. 424–348 eKr.), Theaitetos (n. 417–369 eKr.), Timaios Lokroilainen n. 420–380 eKr.) ja Eukleides (noin 300 eKr.). Säännöllisen dodekaedrin keksivät etruskit ennen vuotta 500 eKr.
**Ei-säännölliset uniformiset kuperat monitahokkaat**:
* Kuboktaedrin tunsi jo Platon.
* Arkhimedes (287–212 eKr.) löysi kaikki 13 Arkhimedeen kappaletta. Hänen oma teoksensa aiheesta on kadonnut, mutta Pappos Aleksandrialainen (n. 290–350 jKr.) mainitsee Arkhimedeen luetelleen 13 monitahokasta.
* Piero della Francesca (1415–1492) löysi uudelleen Platonin kappaleiden viisi typistettyä muunnosta: typistetyn tetraedrin, typistetyn oktaedrin, typistetyn kuution, typistetyn dodekaedrin ja typistetyn ikosaedrin.
* Luca Pacioli julkaisi Francescan tutkimukset vuonna 1509 uudestaan teoksessaan *De divina proportione*. Siinä hän lisäsi joukkoon Leonardo da Vincin kuvaaman rombikuboktaedrin, jota hän sanoi *ikosiheksaedriksi*, koska siinä oli 26 tahkoa.
* Johannes Kepler (1571–1630) julkaisi vuonna 1619 ensimmäisenä täydellisen luettelon Arkhimedeen kappaleista ja tunnisti uniformisten särmiöiden ja antiprismojen äärettömät perheet.

**Säännölliset tähtimonitahokkaat:**
* Kepler löysi vuonna 1619 kaksi säännöllisistä Kepler–Poinstotin kappaleista ja Louis Poinsot vuonna 1809 kaksi muuta. Augustin Cauchy (1789–1857) todisti, ettei tällaisia kappaleita ole enempää kuin jo tunnetut neljä, ja nimen niille antoi Arthur Cayley (1821–1895).

**Muut 53 ei-säännöllistä tähtimonitahokasta:**
* Jäljellä olevista 53 uniformisesta monitahokkaasta Edmund Hess löysi kaksi vuonna 1878, Albert Badoureau 36 lisää vuonna 1881. Vuonna 1881 Pitsch löysi heistä riippumatta 18 tällaista monitahokasta, joista kolme oli ennen tuntemattomiua. Kaikkiaan näistä tunnettiin sen jälkeen 41.
* Geometrikko H.S.M. Coxeter löysi loput 12 uniformista tähtimonitahokasta yhteistyössä J. C. P. Millerin (1930–1932) kanssa, mutta ei julkaissut tutkimuksiaan. M.S. Longuet-Higgins ja H.C. Longuet-Higgins löysivät itsenäisesti niistä 11. Lesavre ja Mercier löysivät niistä viisi uudestaan vuonna 1947.
* H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins ja J. C. P. Miller julkaisivat vuonna 1954 luettelon tuntemistaan uniformisista monitahokkaista
* S. P. Sopov todisti vuonna 1970, että edellä mainittujen esittämä luettelo on täydellinen eli että enempää uniformisia monitahokkaita ei ole.
* Vuonna 1974, Magnus Wenninger julkaisi teoksen *Polyhedron models*, jossa hän luetteli kaikki 75 ei-prismaattista uniformista monitahokasta. Monilla niistä oli ennen julkaisemattomat nimet, jotka niille antoi Norman Johnson.
* J. Skilling todisti vuonna 1975 edeltäjistään riippumatta, että luettelo oli täydellinen, ja osoitti, että jos uniformisen monitahokkaan määritelmää väljennetään siten, että särmät saavat yhtyä toisiinsa, tällaisia monitahokkaita saadaan vain yksi lisää.
* Vuonna 1987 Edmond Bonan piirsi kaikki uniformiset monitahokkaat ja niiden duaalikappaleet Turbo Pascal -ohjelmalla nimeltä *Polyca*. Melkein kaikki niistä näytettiin Eastbournen kongressiteatterissa, Britanniassa  pidetyssä International Stereoscopic Unionin kongressissa.
* Vuonna 1993 Zhi Har'El muodosti täydelliset kaleidoskooppiset konstruktiot uniformisille monitahokkaille ja niiden duaalikappaleille *Kaleido*- nimisellä tietokoneohjelmalla ja teki asiasta yhteenvedon artikkelissa *Uniform Solution for Uniform Polyhedra*.
* Samana vuonna 1993 R. Mäder laati tätä Kaleido-ratkaisua vastaavan ohjelman Mathematica-ohjelmistoon hieman erilaisella indeksointijärjestelmällä.
* Vuonna 2002 Peter W. Messer löysi minimaalisen joukon suljetussa muodossa ilmaistavia lausekkeita, joilla voidaan määrittää minkä tahansa uniformisen monitahokkaan ja sen duaalikappaleen tärkeimmät kombinatoriset ja metriset suureet, kun tunnetaan vain sen Wythoffin symboli.

## Kuperat uniformiset monitahokkaat

Kuperat uniformiset monitahokkaat voidaan nimetä Wythoffin konstruktio-operaatioilla sen mukaan, mikä on niiden suhde säännöllisiin monitahokkaisiin.

Yksityiskohtaisemmin kuperat uniformiset monitahokkaat luetellaan jäljempänä Wythoffin konstruktioiden mukaan kussakin symmetriaryhmässä.

Wythoffin konstruktio sisältää toistoja, jotka saadaan alemmista symmetrian muodoista. Kuutio on säännöllinen monitahokas ja samalla särmiö, jonka pohjana on neliö. Oktaedri on säännöllinen monitahokas ja samalla antiprisma, jonka tahkot ovat kolmioita. Oktaedri on samalla *typistetty tetraedri*. Monet monitahokkaat saadaan toistamalla eri konstruktioita, ja sen mukaisesti ne on merkitty eri väreillä.

Wythoffin konstruktio soveltuu yhtä lailla myös uniformisiin monitahokkaisiin sekä pallopinnan uniformisiin tessellaatioihin, minkä vuoksi nekin ovat seuraavissa taulukoissa mukana. Pallopinnan laatoituksiin kuuluvat myös hosoedrit ja diedrit, jotka ovat degeneroituneita monitahokkaita.

Nämä symmetriaryhmät muodostetaan peilauksilla saaduista pisteryhmistä kolmessa ulottuvuudessa, ja kutakin niistä edustaa peruskolmio
(*p*&nbsp;*q*&nbsp;*r*), missä *p*&nbsp;>&nbsp;1, *q*&nbsp;>&nbsp;1, *r*&nbsp;>&nbsp;1 ja .

* Tetraedrinen symmetria (3 3 2) – kertaluku 24
* Oktaedrinen symmetria (4 3 2) – kertaluku 48
* Ikosaedrinen symmetria (5 3 2) – kertaluku 120
* diedrinen symmetria (*n* 2 2), missä *n* = 3,4,5,... – kertaluku 4*n*

Loput muodot, joilla ei ole peilaussymmetriaa, konstruoidaan alternaatiolla, toisin sanoen poistamalla joka toinen kärki sellaisesta monitahokkaasta, jolla on parillinen määrä tahkoja.

Särmiöiden ja niiden diedrisen symmetrian myötä Wythoffin konstruktioilla pallopinnalla saadaan lisää kaksi *säännöllisten* tessellaatioiden luokkaa, joita vastaavat monitahokkaat kuitenkin ovat degeneroituneita: diedrit, joilla on vain kaksi tahkoa, ja hosoedrit, joilla on vain kaksi kärkeä. Särmiöt saadaan säännöllisistä hosoedreista typistämällä.

Jäljempänä seuraavissa taulukoissa kuperat uniformiset monitahokkaat, särmiöitä lukuun ottamatta, on merkitty järjestysnumeroilla 1–18, ja ne on lueteltu symmetriaryhmiensä mukaan järjestettyinä.

Prismaattisia muotoja on äärettömän monta, ja ne jakautuvat neljään perheeseen:
# hosoedrit *H*2... (vain pallopinnan tessellaationa)
# diedrit *D*2... (vain pallopinnan tessellaatioina)
# särmiöt *P*3... (typistettyjä hosoedreja)
# antiprismat *A*3... (pullistettujan särmiöitä)

### Wythoffin konstruktio-operaatiot

### Taulukot monitahokkaista johdettuina säännöllisistä monitahokkaista

Seuraavassa taulukossa ovat pallopinnan tessellaatiot, joilla on diedrinen symmetria:

#### Tetraedrisesti symmetriset monitahokkaat

Pallopinnan tetraedrisella symmetrialla (Td saadaan viisi uniformista monitahokasta, ja kuudes saadaan pullistusoperaatiolla.

Tetraedrinen symmetria saadaan lähtemällä peruskolmiosta, jonka yhdessä kärjessä on kaksi peiliä, molemmissa muissa kaksi peiliä, ja sitä esittää symboli (3 3 2). Sitä esittää myös Coxeterin ryhmä  A2 tai [3,3], taikka Coxeterin diagrammi: .

Näin saadaan 24 kolmiota, jotka muodostavat seuraavan tetrakis-heksaedrin tahkot ja jotka seuraavassa esitetään myös vuorottelevin värein pallon pinnalla:
: 

#### Oktaedrisesti symmetriset monitahokkaat

Pallopinnan oktaedrisella symmetrialla (Oh) saadaan seitsemän uniformista monitahokasta, ja toiset seitsemän saadaan poistamalla näin saaduista joka toinen kärki. Näistä 14 muodosta kuusi on samoja, jotka esiintyvät myös edellä tetraedristesti symmetristen monitahokkaiden taulukossa.

Oktaedrinen symmetria saadaan lähtemällä peruskolmiosta (4 3 2), jossa nämä luvut tarkoittavat peilien lukumääriä sen kussakin kärjessä. Sitä esittää myös Coxeterin ryhmä  B2 tai [4,3], taikka Coxeterin diagrammi: .

Näin saadaan 48 kolmiota, jotka muodostavat seuraavan disdyakis-dodekaedrin tahkot ja jotka seuraavassa esitetään myös vuorottelevin värein pallon pinnalla:

: 

#### Ikosaedrisesti symmetriset monitahokkaat

Pallopinnan ikosaedrisella symmetrialla (Ih) saadaan seitsemän uniformista monitahokasta sekä vielä yksi lisää poistamalla joka toinen kärki. Näin saaduista kahdeksasta muodosta vain yksi on sama, joka esiintyy myös edellä tetraedrisesti ja oktaedristen monitahokkaiden taulukoissa.

Oktaedrinen symmetria saadaan lähtemällä peruskolmiosta (5 3 2), jossa nämä luvut tarkoittavat peilien lukumääriä sen kussakin kärjessä. Sitä esittää myös Coxeterin ryhmä G2 tai [4,3], taikka Coxeterin diagrammi: .

Näin saadaan 120 kolmiota, jotka muodostavat seuraavan disdyakis-triakontaedrin tahkot ja jotka seuraavassa esitetään vuorottelevin värein pallon pinnalla:
: 

#### Diedrinen symmetria, särmiöt ja antiprismat

Pallopinnan diedrisella symmetrialla (D*p*h) saadaan kaksi ääretöntä joukkoa uniformisia monitahokkaita, särmiöt ja antiprismat, sekä lisäksi kaksi ääretöntä joukkoa degeneroituja monitahokkaita, hosoedrit ja dihedrit, joita vastaavat tietyt laatoitukset eli tessellaatiot pallon pinnalla.

Diedrinen symmetria saadaan lähtemällä peruskolmiosta (p 2 2), jossa nämä luvut tarkoittavat peilien lukumääriä sen kussakin kärjessä. Sitä esittää myös Coxeterin ryhmä I2(p) tai [n2], taikka Coxeterin diagrammi:  .

Seuraavassa esitetään viisi ensimmäistä diedristä symmetriaa: D2 ... D6. Diedrinen symmetria Dp on kertalukua *4n* ja esittää bipyramidin tahkoja. Pallopinnalla sitä vastaa päiväntasaaja pituussuunnassa sekä tasavälein *n* pituuspiiriä.

###### Diedrinen symmetria (2 2 2)

Diedrisellä symmetrialla D2h (2 2 2) saadaan 8 peruskolmiota, jotka muodostavat seuraavassa näkyvän neliöpohjaisen bipyramidin eli oktaedrin tahkot ja jotka seuraavassa esitetään myös vuorottelevin värein pallon pinnalla:

: 

###### Diedrinen symmetria (3 2 2)

Diedrisellä symmetrialla D3h (3 2 2) saadaan 12 peruskolmiota, jotka muodostavat seuraavan kuusikulmaisen bipyramidin tahkot ja jotka seuraavassa esitetään myös vuorottelevin värein pallon pinnalla:

: 

###### Diedrinen symmetria (4 2 2)

Diedrisellä symmetrialla D4h (4 2 2) saadaan 12 peruskolmiota, jotka muodostavat seuraavan kahdeksankulmaisen bipyramidin tahkot ja jotka seuraavassa esitetään myös vuorottelevin värein pallon pinnalla:

:

###### Diedrinen symmetria (5 2 2)

Diedrisellä symmetrialla D5h (4 2 2) saadaan 20 peruskolmiota, jotka muodostavat seuraavan kymmenkulmaisen bipyramidin tahkot ja jotka seuraavassa esitetään myös vuorottelevin värein pallon pinnalla:

:

###### Diedrinen symmetria (6 2 2)

Diedrisellä symmetrialla D6h (4 2 2) saadaan 24 peruskolmiota, jotka muodostavat seuraavan kaksitoistakulmaisen bipyramidin tahkot ja jotka seuraavassa esitetään myös vuorottelevin värein pallon pinnalla:

## Uniformiset tähtimonikulmiot

Uniformisia tähtimonitahokkaita, jotka eivät ole särmiöitä, on kaikkiaan 57. Ne voidaan muodostaa Wythoffin konstruktiolla Schwarzin kolmioista.

Uniformisista tähtimonitahokkaista neljä on säännöllisiä (Kepler-Poinsotin kappaleet), viisi kvasisäännöllistä ja loput 48 semiregulaarisia.

Eri tutkijat ovat numeroineet uniformiset monitahokkaat eri tavoin. Seuraavissa taulukoissa sarake C# tarkoittaa Coxeterin vuonna 1954, W# Wenningerin vuonna 1974 ja K# Kaleidon vuonna 1993 käyttämää numerointia. Coxeterin numeroinnissa kuperat muodot saivat numerot 15–32, kolme prismaattista muotoa numerot 33–35 ja ei-kuperat muodot numerot 36–92. Wenninger antoi Platonin kappaleille numerot 1–5, Arkhimedeen kappaleille numerot 6–18, tähtimäisille muodoille numerot 19–66, mihin sisältyy myös neljä säännöllistä ei-kuperaa monitahokasta, sekä loput numerot 67–119 ei-kuperille uniformisille monitahokkaille. Kaleidon numeroinnissa 80 muotoa ryhmiteltiin symmetrian mukaan: numerot 1–4 kuuluivat sellaisten prismaattisten muotojen äärettömille perheille, joilla on diedrinen symmetria, numerot 6–9 tetraedrisesti, numerot 10–26 oktaedrisesti ja numerot 46–80 ikosaedrisesti symmetrisille kappaleille. U# tarkoittaa Mathematica -teoksessa käytettyä numerointia, joka eroaa Kaleidon numeroinnista siinä, että viisi prismaattista muotoa siirrettiin viimeisiksi, jolloin ei-prismaattiset muodot saivat numerot 1–75. Sarake ”Khii” taulukoissa tarkoittaa Eulerin karakteristikaa.

Särmiöt eivät ole mukana seuraavissa taulukoissa.

### Kepler–Poinsotin kappaleet

### Kvasisäännölliset uniformiset tähtimonitahokkaat

|}

### Muut uniformiset tähtimonitahokkaat

Luetteloon voidaan lisätä vielä seuraava *suuri kaksoispullistettu dirombododekaedri*, jonka 360 särmästä 240 on pareittain päällekkäin muodostaen 120 kahden yhtyvän särmän paria. Koska sen särmät ovat tällä tavoin degeneroituneet, sitä ei aina lueta uniformisiin monitahokkaisiin kuuluvaksi. Jos nämä 120 paria lasketaan kukin yhdeksi särmäksi, jossa toisensa kohtaa neljä tahkoa, kappaleella on vain 240 särmää, ja sen Eulerin karakteristikaksi saadaan 24.

## Lähteet

* 
* 
* 
* 

### Viitteet

## Aiheesta muualla