Liittomatriisi

Lineaarialgebrassa annetun neliömatriisin **liittomatriisi** eli **adjungoitu matriisi** () on matriisi, joka muodostetaan korvaamalla alku­peräisen matriisin alkiot niiden ali­determi­nanteilla, vaihtamalla niistä joka toinen vasta­luvukseen ja ottamalla näin saadusta matriisista transpoosi.

Liitto­matriisista käytetään myös nimitystä *adjungoitu matriisi* (), joskin samalla termillä voidaan tarkoittaa myös matriisin konju­gaattista trans­poosia.

## Määritelmä

Matriisin *A* liitto­matriisi on sen kofaktorimatriisin *C* transpoosi:

:\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^\mathsf{T}.

Yksityiskohtaisemmin: olkoon *R* kommutatiivinen rengas ja **A** *n*×*n* -matriisi, jonka alkiot kuuluvat *R*:ään.

Muodostetaan ensin jokaista matriisin alkiota [aij] kohti alideterminantti, toisin sanoen sen matriisin determinantti, joka saadaan, kun alkuperäisestä matriisista *A* poistetaan *i*:s rivi ja *j*:s sarake. Matrisiissa *A* olevat luvut korvataan saatujen determinanttien arvoilla. Tämän jälkeen ne saadun matriisin alkiot, joita vastaavien rivin ja sarakkeen järjestys­numeroiden summa on pariton, korvataan vasta­luvuillaan. Täten saadaan alku­peräisen matriisin *A* kofaktori­matriisi. **A**:n liittomatriisi eli adjungoitu matriisi on sen kofaktori­­matriisin trans­poosi, ja sille käytetään merkintää adj(A).

Liittomatriisin määritelmästä seuraa, että matriisin **A** ja sen liittomatriisin matriisitulo on diagonaalinen matriisi, jonka diagonaalilla esiintyy joka rivillä alku­peräisen matriisin determinantin arvo det(**A**).  Kun liitto­matriisin adj(**A**) kaikki alkiot jaetaan tämän determinantin arvolla, saadaan alku­peräisen matriisin **A** käänteismatriisi.

## Esimerkkejä

### 2 × 2 -matriisin liittomatriisi

2&nbsp;×&nbsp;2 -matriisin
:\mathbf{A} = \begin{pmatrix}  & \\   &  \end{pmatrix}
liittomatriisi on 
:\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix} \,\,\, & \!\!\\  &  \end{pmatrix}.
Voidaan helposti todeta, että det(adj(**A**)) = det(**A**) ja adj(adj(**A**)) = **A**.

### 3 × 3 -matriisin liittomatriisi

Käsitellään 3\times 3 -matriisia
:
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}

Muodostetaan ensin alideterminantit:

\left|A_{11}\right| = \left| \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}  \end{matrix} \right|,  
\left|A_{12}\right| = \left| \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33}  \end{matrix} \right|,  
\left|A_{13}\right| = \left| \begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}  \end{matrix} \right|

\left|A_{21}\right| = \left| \begin{matrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33}  \end{matrix} \right|,  
\left|A_{22}\right| = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33}  \end{matrix} \right|,  
\left|A_{23}\right| = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32}  \end{matrix} \right|

\left|A_{31}\right| = \left| \begin{matrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23}  \end{matrix} \right|,  
\left|A_{32}\right| = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23}  \end{matrix} \right|,  
\left|A_{33}\right| = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}  \end{matrix} \right|

Sijoitetaan nämä matriisiin ja korvataan niistä joka toinen vastaluvullaan, jolloin saadaan A:n kofaktorimatriisi:

:
\mathbf{C} = \begin{pmatrix}
+\left| \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}  \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33}  \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}  \end{matrix} \right| \\
 & & \\
-\left| \begin{matrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} \right| \\
 & & \\
+\left| \begin{matrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right|
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
+\left| \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9  \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| \\
 & & \\
-\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| \\
 & & \\
+\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix}  1 & 3 \\ 4 & 6 \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right|
\end{pmatrix}

Kun tämä transponoidaan, saadaan alkuperäisen matriisin *A* liittomatriisiksi:
:
\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix}
+\left| \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33}  \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{matrix} \right| \\
 & & \\
-\left| \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23}  \end{matrix} \right| \\
 & & \\
+\left| \begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right|
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
+\left| \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 8 & 9  \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right| \\
 & & \\
-\left| \begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 4 & 6  \end{matrix} \right| \\
 & & \\
+\left| \begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right|
\end{pmatrix}

missä
:\left| \begin{matrix} a_{im} & a_{in} \\ \,\,a_{jm} & a_{jn} \end{matrix} \right|=
\det\left(    \begin{matrix} a_{im} & a_{in} \\ \,\,a_{jm} & a_{jn} \end{matrix} \right).

Kaksirivisen determinantin arvo lasketaan seuraavasti:
\left| \begin{matrix}a & b  \\ c & d \end{matrix} \right| = ad - bc

## Ominaisuuksia

Liittomatriisilla on seuraavat ominaisuudet:

:\mathrm{adj}(\mathbf{I}) = \mathbf{I},
:\mathrm{adj}(\mathbf{AB}) = \mathrm{adj}(\mathbf{B})\,\mathrm{adj}(\mathbf{A}),
:\mathrm{adj}(c \mathbf{A}) = c^{n - 1}\mathrm{adj}(\mathbf{A}) 
kaikille *n*×*n*-matriiseille **A** ja **B**. Toisella rivillä oleva yhtälö seuraa yhtälöistä adj(**B**)adj(**A**) = 
det(**B**)**B**-1 det(**A**)**A**-1 = det(**AB**)(**AB**)-1. 
Korvaamalla toisella rivillä **B** matriisilla **A**m - 1 ja suorittamalla tämä rekursiivisesti saadaan kaikille kokonaisluville *m*:
:\mathrm{adj}(\mathbf{A}^{m}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})^{m}.
Liittomatriisin transpoosi on sama kuin transpoosin liittomatriisi:
:\mathrm{adj}(\mathbf{A}^\mathsf{T}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})^\mathsf{T}.

Lisäksi,
:\det\big(\mathrm{adj}(\mathbf{A})\big) = \det(\mathbf{A})^{n-1}, 
:\mathrm{adj}(\mathrm{adj}(\mathbf{A})) = \det(\mathbf{A})^{n - 2}\mathbf{A} 
ja jos det(**A**) = 1, on det(adj(**A**)) = det(**A**) ja adj(adj(**A**)) = **A**. 

### Käänteismatriisi

Laplacen kaavasta *n*×*n* -matriisin **A** determinantille seuraa:

:\mathbf{A}\, \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})\, \mathbf{A} = \det(\mathbf{A})\, \mathbf I_n \qquad (*)

missä \mathbf I_n  on *n*×*n* -yksikkömatriisi. 

Tästä kaavasta seuraa yksi matriisilaskennan tärkeimmistä tuloksista: Kommutatiivisen renkaan *R* matriisi on kääntyvä, jos ja vain jos determinantilla det(**A**) on käänteisalkio renkaassa *R*. Jos matriisin alkiot ovat esimerkiksi reaali- tai kompleksilukuja, neliömatriisilla on käänteismatriisi, jos ja vain jos sen determinantti ei ole nolla.

Sillä jos **A** on kääntyvä matriisi, on

:1 = \det(\mathbf I_n) = \det(\mathbf{A} \mathbf{A}^{-1}) = \det(\mathbf{A}) \det(\mathbf{A}^{-1}),

ja yllä oleva yhtälö (*) osoittaa, että

:\mathbf{A}^{-1} = \det(\mathbf{A})^{-1}\, \mathrm{adj}(\mathbf{A}).

### Karakteristinen polynomi

Jos *p*(*t*) = det(**A**&nbsp;−&nbsp;*t*&nbsp;**I**) on **A**:n karakteristinen polynomi ja määritellään lisäksi polynomi
*q*(*t*) = (*p*(0)&nbsp;−&nbsp;*p*(*t*))/*t*, saadaan:

: \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = q(\mathbf{A}) = -(p_1 \mathbf{I} + p_2 \mathbf{A} + p_3 \mathbf{A}^2 + \cdots + p_{n} \mathbf{A}^{n-1}), 

missä luvut  p_j  ovat *p*(*t*):n kertoimet,

: p(t) = p_0 + p_1 t + p_2 t^2 + \cdots + p_{n} t^{n}. 

### Jacobin kaava

Liitto­matriisi esiintyy myös Jacobin kaavassa determinantin derivaatalle:

:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \alpha}  \det(A)= \operatorname{tr}\left(\operatorname{adj}(A) \frac{\mathrm{d} A}{\mathrm{d} \alpha}\right).

## Lähteet
* 

### Viitteet

## Kirjallisuutta
* 
*