Funktion toispuoleinen raja-arvo

**Funktion toispuoleinen raja-arvo** on matematiikassa  analyysin ja differentiaali- ja integraalilaskennan peruskäsitteitä, jossa käsitellään jatkuvien yhden muuttujan funktioiden raja-arvolaskentaa. Erotukseksi funktion raja-arvon yläkäsitteestä, *funktion toispuoleisella raja-arvoilla* tutkitaan funktion käyttäytymistä annetun luvun lähiympäristössä sen *toisella puolella* eli lukusuoralla, joko luvun vasemmalla- tai oikealla puolella, pelkästään. Jos toispuoleinen raja-arvo on olemassa, sanotaan että funktio *suppenee* (muutoin *hajaantuu*) toispuoleisesti kyseisessä kohdassa. Useamman muuttujan funktioilla toispuoleisen raja-arvon sijasta käytetään sen laajennusta, suunnattua raja-arvoa, missä lähestymissuunnat voidaan valita suuntavektorin vastakkaisista suunnista.

## Johdanto
Toispuoleista raja-arvoa voidaan käyttää funktion määrittelyalueen reunapisteessä, missä lähestymistä voi toteuttaa vain alueen sisäpuolelta. Yhden muuttujan funktion suljettu tai avoin määrittelyväli on tällainen esimerkki. Toispuoleisia raja-arvoja voidaan käyttää myös paloittain määriteltyjen funktioiden palojen määrittelyvälien reunoilla tai rajapisteessä.

Funktioiden jatkuvuustarkastelussa funktion arvoa verrataan sen vasemman- ja oikeanpuoleisen raja-arvoihin. Funktio on jatkuva, jos molemmat toispuoleiset raja-arvot ovat keskenään samat ja yhtäsuuret kuin funktion arvo sen kasautumispisteessä. Myös funktion derivoituvuuden tutkiminen voidaan suorittaa kahdella toispuoleisella raja-arvolla, missä haetaan erotusosamäärän arvoja eri suunnissa.

Usean muuttujan funktioiden sekä suunnattujen derivaattojen tutkiminen annetussa vektorisuunnassa \mathbf{u} tapahtuu toispuoleisten raja-arvojen avulla.

## Määritelmä
Karl Weierstrassin esittämä määritelmä tunnetaan nimellä **epsilon-delta-tekniikka**. Siinä raja-arvon olemassaolo todistetaan etsimällä luvuille epsilon (\epsilon) ja delta (\delta) välille riippuvuus, josta voidaan näyttää suppenemisen tapahtuvan varmasti. Menetelmä on pääpiirteissään seuraava.

Funktion f realilukuarvoinen määrittelyjoukko on A niin, että f: A\to \mathbb{R} on reaaliarvoisen funktion kuvaus. Määrittelyjoukossa on väli, josta puuttuu sisältä luku *p*, eli [a,b]\diagdown \{p\} (luku *p* voi sisältyä väliin, mutta se ei ole välttämätöntä). Funktiolla on raja-arvo *L* kohdassa *p*, jos kaikilla luvuilla \epsilon > 0 on aina olemassa luku \delta > 0 siten, että 
:|f(x)-L|  

Siis, valittiinpa positiivinen luku \epsilon kuinka pieneksi hyvänsä, niin aina löytyy positiivinen luku \delta siten, että kaikilla korkeintaan \delta:n etäisyydellä olevilla luvuilla x ovat funktion f(x) arvot korkeintaan \epsilon:n etäisyydellä raja-arvosta *L*. Toistamalla \epsilon:n pienentämisen, tulisi myös \delta pienentyä vastaavasti. Tämän voi todeta, kun \delta:n arvolle saa laskemalla määritettyä korreloivan riippuvuuden lukuun \epsilon.

Funktion toispuoleinen raja-arvo eroaa funktion raja-arvosta siinä, että epsilon-delta-tekniikassa deltan arvo ei riippu enää erotuksen itseisarvosta, vaan ainoastaan erotuksesta. Koska delta on aina positiivinen luku, tulee lukujen *x* ja *p* erotus kirjoittaa niin, että erotus säilyttää positiivisuutensa. Lukusuoralta katsottuna, *x* lähestyy lukua p vain toiselta puolelta. Toispuolista raja-arvoa tarvitaan sellaisissa tilanteissa, joissa raja-arvoa ei voi laskea annetun pisteen molemmilta puolilta. Tällaisia pisteitä esiintyy esimerkiksi määrittelyjoukon reunoissa tai suljettujen välien reunoissa.

**Oikeanpuoleinen raja-arvo** määritellään niin, että koska luvut *x* ovat lukua *p* suurempia eli lukusuoralla lähestytään lukua *p* oikealta puolelta, lasketaan deltan arvo x-p. Silloin epsilon-delta-tekniikassa toteutetaan ehtoja
:\lim_{x \to p+}f(x) = L^+ \Leftrightarrow |f(x)-L| 
Raja-arvon *L* yläkulmaan merkittyä plus-merkkiä ei aina käytetä.

**Vasemmanpuoleisessa raja-arvossa** lukua *p* lähestytään lukusuoralla vasemmalta päin, koska luvut *x* ovat aina lukua *p* pienempiä. Epsilon-delta-tekniikassa suppeneminen toteuttaa ehdot
:\lim_{x \to p-}f(x) = L^- \Leftrightarrow |f(x)-L|  

## Esimerkkejä käytöstä
### Raja-arvo välin reunapisteessä
Kun funktion raja-arvoa tarkastellaan suljetun välin tai -alueen reunapisteissä, tarvitaan toispuoleista raja-arvoa. Välin sisäpisteissä voidaan lähestyä tarkastelupistettä kummaltakin puolelta, mutta reunapisteissä lähestyminen on mahdollista vain eräistä suunnista. Avoimen välin tai -alueen raja-arvot reunassa ovat samasta syystä ongelmallisia.

### Raja-arvon olemassaolo
Välin tai alueen sisäpisteiden raja-arvo tulisi määritelmän mukaan olla aina sama lähestyttiimpä tarkastelupistettä mistä suunnasta hyvänsä. Raja-arvo on siten olemassa vain, kun kaikki mahdolliset toispuoleiset raja-arvot ovat olemassa ja samat.

### Jatkuvuus
Funktion jatkuvuus tarkastelupisteessä on määritelty niin, että funktion arvo on sama kuin välin molemmat toispuoleiset raja-arvot tai alueen kaikki toispuoleiset raja-arvot.

### Toispuoleiset derivaatat
Funktion toispuoleiset derivaatat määritellään funktion erotusosamäärän toispuoleisilla raja-arvoilla. Jotta funktion derivaatta olisi olemassa, tulee kaikki toispuoleiset raja-arvot olla samoja.

## Lähteet
* 
* 
* Hurri-Syrjänen, Ritva: Differentiaali- ja integraalilaskenta I , (luentomoniste), Helsingin yliopisto, 1999

### Viitteet