Black–Scholes-malli

**Black–Scholes-malli**, **Black–Scholes–Merton-malli** tai **BSM-malli** on rahoituksessa käytettävä optioiden hinnoittelumalli, jonka ovat kehittäneet tutkijat Fischer Black ja Myron Scholes vuonna 1973 ilmestyneessä tieteellisessä artikkelissaan: *The Pricing of Options and Corporate Liabilities*. Black–Scholes-malli tarjoaa ratkaisun *eurooppalaisen* osakkeen osto-option hinnan määrittelemiselle. Blackin ja Scholesin mukaan option arvo riippuu useasta eri tekijästä: *kohde-etuuden arvosta*, *lunastushinnasta*, *riskittömästä korkokannasta*, *erääntymisajasta* sekä kohde-etuuden *tuoton volatiliteetista*.

## Historiallinen tausta
Tieteellinen perusta optioiden hinnoittelumallin syntymiselle juontaa juurensa 1960- ja 1970-lukujen taitteeseen. Tuohon aikaan professorit Fischer Black ja Myron Scholes alkoivat kehittämään matemaattista yhtälöä eurooppalaisen option arvon määrittämiseksi ja myöhemmin Robert Merton kehitti ja laajensi mallia. Rahoituksen akateeminen yhteisö on pitänyt Blackin ja Scholesin sekä Mertonin kehittämää optioiden hinnoittelumallia ”tieteellisenä läpimurtona”, ja sillä on ollut ”merkittävä vaikutus” siihen, miten kaupankäynnin kohteena olevia optiosopimuksia vielä nykypäivänäkin hinnoitellaan rahoitusmarkkinoilla. Scholes ja Merton palkittiinkin optioiden hinnoitteluteorian parissa tehdystä työstä taloustieteiden Nobel-palkinnolla vuonna 1997. BSM-mallin seurauksena laajamittainen optiokaupankäynti johdannaispörsseissä oli mahdollista.

## Mallin lähtöoletukset
Ennen *eurooppalaisen* osto-option matemaattisen hinnoittelumallin tasapainoyhtälön johtamista Black ja Scholes tarkastelivat ”ideaaleja olosuhteita” teoreettisen mallinsa tueksi ja tekivät muutamia yksinkertaistavia oletuksia rahoitusmarkkinoista ja option kohde-etuudesta.
# Optio on tyyliltään *eurooppalainen*, mikä tarkoittaa sitä, ettei option lunastaminen ennen sopimuksen voimassaoloajan erääntymistä eli *maturiteettia* ole mahdollista. 
# Optiosopimuksen kohde-etuutena oleva osake ei maksa osinkoja tai muita preemioita option voimassaoloaikana.
# Osakkeen hintakehitys noudattaa ennalta-arvaamatonta satunnaiskulkua, tarkemmin ilmaistuna Wienerin prosessin omaista geometrista Brownin liikettä. Käytännössä tämä tarkoittaa sitä, että optiosopimuksen hinnoittelemisen yhteydessä täyttyvät Eugene Faman määrittelemän markkinoiden tehokkuuden *heikot ehdot*. Lisäksi osakkeen hinnanmuutokset ovat riippumattomia ja ne noudattavat symmetristä normaalijakaumaa, eikä äkillisiä ja voimakkaita kurssiheilahteluja ole.
# Osakkeiden tuottojen volatiliteetti säilyy muuttumattomana vakiona jopa yli ajan.
# Riskittömän korkokannan taso on tunnettu kaikkien sijoittajien keskuudessa ja se säilyy vakiona option voimassaoloajan ajan. Lisäksi lainan ottamisen ja antamisen määrää ei ole rajoitettu millään tavalla. 
# Arvopapereiden kaupankäynti on alati jatkuvaa, lyhyeksi myynti on mahdollista, eikä markkinoilla ole transaktiokustannuksia eikä veroja.
# Rahoitusmarkkinoilla ei ole olemassa riskittömiä arbitraasimahdollisuuksia.

## Teoreettinen viitekehys
Näillä taustaoletuksilla Black ja Scholes johtivat eurooppalaisten optioiden hinnoittelumallinsa matemaattisen yhtälön:

C_0 = S_0N(d_1)-Xe^{-rT}N(d_2)

missä

C_0 = osto-option nykyinen arvo

S_0 = option kohde-etuuden eli osakkeen nykyinen hinta

N(d) = normaalijakauman kertymäfunktion arvo

X = option toteutus- tai lunastushinta ( tai )

e = luonnollisen logaritmin kantaluku eli Neperin luku

r = riskitön korkokanta muunnettuna jatkuvalla korkolaskulla vuotuiseksi

T = option voimassaoloaika vuosina ennen sopimuksen erääntymistä eli maturiteettia

\sigma = kohde-etuuden tuoton volatiliteetti

Lisäksi komponentit N(d_1) ja N(d_2) ovat

d_1=\frac{ln(\frac{S_0}{X})+(r+\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}

d_2=\frac{ln(\frac{S_0}{X})+(r+\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}-\sigma\sqrt{T}


eli lyhyemmin ilmaistuna

d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}

Oheisella kaavalla voidaan laskea eurooppalaisen osto-option teoreettinen arvo viiden tekijän funktiona. Intuitiivisesti tarkasteltuna osto-option hinta C_0 on yhtä suuri kuin kohde-etuutena olevan osakkeen nykyinen hinta S_0, josta vähennetään option lunastushinnan nykyisyyteen diskontattu arvo X^{-rT}.

Eurooppalaisten ja amerikkalaisten optiosopimusten teoreettiseen arvoon vaikuttavat tekijät 

Muuttujien arvon kasvaminen vaikuttaa joko option arvoa alentavasti (miinusmerkki, -), option arvoa kasvattamalla (yhteenlaskumerkki, +) tai vaikutus option arvoon on tuntematon tai arvaamaton (kysymysmerkki, ?). Esimerkiksi markkinakorkojen nouseminen kasvattaa väistämättä myös Blackin ja Scholesin hinnoittelumallin diskonttauskorkoa, mikä taas puolestaan johtaa option toteutushinnan nykyarvon laskemiseen kasvattaen osto-option arvoa ja heikentäen myyntioption arvoa. Kohde-etuuden hinnanvaihtelun eli volatiliteetin kasvu sen sijaan lisää sekä osto- että myyntioption teoreettista arvoa, oli kyseessä sitten eurooppalainen tai amerikkalainen optiosopimus.

## Katso myös
* Markkinoiden tehokkuus
* Capital Asset Pricing -malli
* Portfolioteoria
* Johdannainen
* Optio

## Lähteet