Binomisarja

**Binomisarja** on funktion f(x)=(1+x)^{\alpha} Taylorin sarja, kun  \alpha \in \mathbb{C} on mielivaltainen kompleksi- tai erikoistapauksessa reaaliluku. Se voidaan esittää muodossa

:\begin{align} (1 + x)^\alpha  &= \sum_{k=0}^{\infty} \; {\alpha \choose k} \; x^k   \qquad\qquad\qquad (1) \\ &= 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \cdots, \end{align}

jolloin binomisarja on yhtälön (1) oikealla puolella oleva potenssisarja. Yhtälö pätee, kun tämä sarja suppenee.  Sen kertoimet voidaan esittää yleistettyinä binomikertoimina:

: {\alpha \choose k} := \frac{\alpha (\alpha-1) (\alpha-2) \cdots (\alpha-k+1)}{k!}. 

## Erikoistapauksia

Jos *α* on ei-negatiivinen kokonaisluku&nbsp;*n*, sarjan  (*n*&nbsp;+&nbsp;2):s ja kaikki sen jälkeiset termit ovat nollia, sillä ne ovat tuloja, joissa yksi tekijä on *n*&minus;*n*&nbsp;=&nbsp;=0. Tässä tapauksessa sarjassa on siis vain äärellinen määrä yhteen­laskettavia, ja tuloksena saadaan algebran binomilause.

Seuraava tulos pätee kaikille kompleksi­luvuille&nbsp;*β*, mutta se on erityisen hyödyllinen, kun yhtälössä (1) esiintyvä eksponentti on negatiivinen kokonaisluku:

:\frac{1}{(1-z)^{\beta+1}} = \sum_{k=0}^\infty {k+\beta \choose k}z^k.

Tämän todistamiseksi on yhtälössä (1) tehtävä korvaus *x*&nbsp;=&nbsp;−*z* in (1) ja sovellettava binomikertoimille johdettua tulosta
:{-\beta-1 \choose k} = (-1)^k {k+\beta \choose k}.

## Suppeneminen
### Suppenemisehdot

Suppeneeko sarja (1), riippuu kompleksilukujen \alpha ja x arvoista. Tarkemmin sanottuna:


  Jos |x| , sarja suppenee itseisesti kaikilla kompleksiluvuilla α. 

 Jos |x| = 1, sarja suppenee itseisesti, jos ja vain jos joko Re(\alpha) > 0 tai \alpha = 0.

  Jos |x| = 1 ja x \neq -1, sarja suppenee, jos ja vain jos Re(\alpha) > -1

  Jos x = -1, sarja suppenee, jos ja vain jos joko Re(\alpha) > 0 tai \alpha = 0.

  Jos |x| > 1, sarja hajaantuu, paitsi jos \alpha on ei-negatiivinen kokonaisluku (missä tapauksessa sarja yksin­kertaistuu äärelliseksi summaksi).


Toisin sanoen jos \alpha, sarjan suppenemissäde on 1. Suppenemis­kiekon  |x| = 1  kehällä tilanteesta voidaan esittää seuraava yhteenveto:

* Jos Re(\alpha) > 0, sarja suppenee itseisesti.
* Jos -1 , sarja suppenee, vaikkakaan ei itseisesti, jos x \neq -1, ja hajaantuu, jos x = -1.
* Jos Re(\alpha) \le -1, sarja hajaantuu.

### Todistuksessa käytettyjä tuloksia

Kaikille kompleksiluvuille &nbsp;α: pätee:

:{\alpha \choose 0} = 1,
: {\alpha \choose k+1} = {\alpha\choose k}\,\frac{\alpha-k}{k+1}, \qquad\qquad(2)  

: {\alpha \choose k-1} +  {\alpha\choose k} = {\alpha+1 \choose k}. \qquad\qquad(3) 

Jos \alpha on ei-negatiivinen kokonaisluku, lausekkeen kertoimet ovat nollia, kun k on suurempi kuin \alpha.  Muussa tapauksessa kertoimille pätee käyttö­kelpoinen asymp­toottinen yhteys, joka Landaun symbolilla voidaan merkitä:e
: {\alpha \choose k} = \frac{(-1)^k} {\Gamma(-\alpha)k^ {1+\alpha} } \,(1+o(1)), \quad\text{kun }k\to\infty. \qquad\qquad(4)

Tämä on oleellisesti yhtäpitävä Eulerin gammafunktion määritelmän kanssa:

:
\Gamma(z) = \lim_{k \to \infty} \frac{k! \; k^z}{z \; (z+1)\cdots(z+k)},  \qquad
,

josta binomikertoimelle saadaan välittömästi karkea arvio:

: \frac {m} {k^{1+\operatorname{Re}\,\alpha}}\le \left|{\alpha \choose k}\right| \le \frac {M} {k^{1+\operatorname{Re}\,\alpha}}, \qquad\qquad(5) 

missä *m* ja *M* ovat joitakin kokonaislukuja.

Kaavan (2) avulla on helppo todistaa induktiivisesti, että

: {\alpha \choose  k} = \prod_{j=1}^k \left (\frac {\alpha + 1} j - 1 \right ). \qquad \qquad (6) 

### Todistus

Yhtälöiden (i) ja (v) todistamiseksi sovelletaan osamäärätestiä ja käytetään edellä esitettyä kaavaa osoittamaan, että kun \alpha ei ole ei-negatiivinen kokonais­luku, kompleksi­tasossa sen kiekon säde, jossa sarja suppenee, on tasan &nbsp;1.  Kohta (ii) seuraa yhtälöstä (5) vertaamalla p-sarjaan

: \sum_{k=1}^\infty \; \frac {1} {k^p}, \qquad 

missä p=1+\text{Re}\,\alpha. Kohdan (iii) todistamiseksi käytetään ensin kaavaa (3), josta saadaan

:(1 + x) \sum_{k=0}^n \; {\alpha \choose k} \; x^k =\sum_{k=0}^n \; {\alpha+1\choose k} \; x^k + {\alpha \choose n} \;x^{n+1}, \qquad \qquad (7) 

minkä jälkeen käytetään tulosta (ii) ja jälleen kaavaa (5) sen todistamiseksi, että yhtälön oikealla puolella oleva sadja suppenee, kun oletetaan, että  \text{Re} \, \alpha> - 1 .  Toisaalta sarja ei suppene, jos |x|=1 ja  \text{Re} \, \alpha \le - 1 , mikä sekin seuraa kaavasta (5). Vaihtoehtoisesti voidaan todeta, että kaikilla arvoilla j pätee: \left |\frac {\alpha + 1}{j} - 1 \right | \ge 1 - \frac {\text {Re} \, \alpha + 1}{j} \ge 1 . Niinpä kaavasta (6) seuraa, että kaikilla arvoilla k on \left|{\alpha \choose  k}  \right| \ge 1 . Kohta (iii) on näin todistettu. Kohdan (iv) todistamiseksi käytetään yllä olevaa identiteettiä (7) ja sijoittamalla siihen x=-1 ja \alpha:n paikalle \alpha-1 in place of \alpha. Kaavan (4) avulla saadaan tällöin:

:\sum_{k=0}^n \; {\alpha\choose k} \; (-1)^k = {\alpha-1 \choose n} \;(-1)^n= \frac{1} {\Gamma(-\alpha+1)n^{\alpha}}(1+o(1)) 

kun n\to\infty. Tulos (iv) seuraa nyt sarjan n^{-\alpha} = e^{-\alpha \log(n)} asymptootti­sesta käyttäytymisestä. (Tarkemmin sanottuna \big|e^{-\alpha\log n}\big|=e^{-\text{Re}\,\alpha\, \log n} selvästikin suppenee kohti arvoa 0, jos \text{Re}\,\alpha>0, ja hajaantuu kohti arvoa +\infty jos \text{Re}\,\alpha. Jos \text{Re}\,\alpha=0,  niin n^{-\alpha} = e^{-i \text{Im}\,\alpha\log n} suppenee, jos ja vain jos sarja  \text{Im}\,\alpha\log n  suppenee \text{mod}\; 2\pi, mikä selvästikin pätee, jos \alpha=0, mutta ei jos \text{Im}\,\alpha \neq0. Jälkimmäisessä tapauksessa lukujono on tiheä \text{mod}\; 2\pi, koska  \log n hajaantuu ja \log (n+1)-\log n suppenee kohti nollaa).

## Binomisarjan summaus

Binomisarjan summaus voidaan suorittaa seuraavasti. Differentioimalla binomi­sarja termeittäin suppenemis­kiekossa |*x*| *α*, joka siis on binomi­sarjan summa ainakin arvoilla |*x*|&nbsp;*α* jatkuvuudesta.

## Historia

Ensimmäiset tulokset, jotka koskevat binomisarjan suppenemista, kun eksponentti ei ole ei-negatiivinen kokonaisluku, esitti Isaac Newton tutkitessaan eräiden käyrien alle jääneiden alueiden pinta-aloja.  Newtonin tuloksiin perustuen John Wallis käsitteli muotoa *y*&nbsp;=&nbsp;(1&nbsp;&minus;&nbsp;*x*2)*m* olevia lausekkeita, missä *m* on murtoluku. Nykyisellä terminologialla ilmaistuna hänen tuloksensa osoittaa, että funktiolla −*x*2)*k* on sarjakehitelmä, jonka kertoimet *c**k* saadaan kertomalla edellinen kerroin luvulla \tfrac{m-(k-1)}k, samoin kuin kokonais­luku­eksponenttienkin tapauksessa, ja täten hän sai muodostetuksi näille kertoimille im­pli­siit­ti­sen lausekkeen. Seuraaville erikois­tapauksille hän johti myös eks­pli­siit­ti­set lausekkeet:

:(1-x^2)^{1/2}=1-\frac{x^2}2-\frac{x^4}8-\frac{x^6}{16}\cdots

:(1-x^2)^{3/2}=1-\frac{3x^2}2+\frac{3x^4}8+\frac{x^6}{16}\cdots

:(1-x^2)^{1/3}=1-\frac{x^2}3-\frac{x^4}9-\frac{5x^6}{81}\cdots

Binomisarjaa koskevaa tulosta sanotaan sen vuoksi joskus *Newtonin binomilauseeksi*. Newton ei kuitenkaan esittänyt todistusta, mutta hän totesi sen pätevän useissa käsittelemissään erikoistapauksissa. Myöhemmn Niels Henrik Abel käsitteli asiaa eräässä muistiossaan ja kiinnitti erityistä huomiota siihen, milloin sarja suppenee.

## Lähteet

## Katso myös

* Binomilause