Maxwellin–Boltzmannin jakauma

\frac{x^2 e^{-x^2/\left(2a^2\right)}}{a^3}
| cdf        = \operatorname{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2} a}\right) -\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{x e^{-x^2/\left(2a^2\right)}}{a}  missä erf on virhefunktio
| mean       = \mu=2a \sqrt{\frac{2}{\pi}}
| median     =
| mode       = \sqrt{2} a
| variance   = \sigma^2=\frac{a^2(3 \pi - 8)}{\pi}
| skewness   = \gamma_1=\frac{2 \sqrt{2} (16 -5 \pi)}{(3 \pi - 8)^{3/2}}
| kurtosis   = \gamma_2=4\frac{\left(-96+40\pi-3\pi^2\right)}{(3 \pi - 8)^2}
| entropy    = \ln\left(a\sqrt{2\pi}\right)+\gamma-\frac{1}{2}
| mgf        =
| char       =
}}
**Maxwellin–Boltzmannin jakauma** on todennäköisyysjakauma, jota käytetään kuvaamaan fysiikan ja kemian tilastollisia ilmiöitä. Esimerkiksi ilman molekyylien nopeusjakauma noudattaa Maxwellin–Boltzmannin jakaumaa. Jakauma voidaan johtaa tilastollisesta mekaniikasta ja sen avulla voidaan selittää kaasujen ominaisuuksia kuten paine.

## Yleinen Maxwellin jakauma

Maxwellin jakauma (tai Maxwellin–Boltzmannin jakauma) on muotoa
:f(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{x^2 e^{-x^2/(2a^2)}}{a^3},

missä

* π on vakio pii
* e on Neperin luku
* a on vakio, joka on suurempi kuin 0
* x on esimerkiksi hiukkasten nopeus

Kumulatiivinen Maxwellin jakauma saadaan

: F(x)= \textrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2} a}\right) -\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{x e^{-x^2/(2a^2)}}{a}, 

missä \textrm{erf} on virhefunktio.

## Maxwellin–Boltzmannin nopeusjakauma kaasulle

Kaasun molekyylien liike noudattaa Maxwellin–Boltzmannin nopeusjakaumaa

:f(v) = 4 \pi \left(\frac{m}{2 \pi kT}\right)^{\frac{3}{2}} v^{2}e^{-\frac{mv^2}{2kT}}

eli

:
f (v) = 4 \pi 
\left(\frac{m}{2 \pi kT}\right)^{3/2}\!\!v^2 \exp \left[ \frac{-mv^2}{2kT} \right]
 

tai

: F(v) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \left( \frac{m_M}{kT} \right)^{3/2} v^2 \exp\left( -\frac{m_M v^2}{2kT} \right) = 4 \pi \left( \frac{M}{2 \pi R T} \right)^{3/2} v^2 \exp \left( -\frac{M v^2}{2 R T} \right), 

missä

* F(v) on nopeudella v liikkuvien kaasumolekyylien osuus, esimerkiksi puolet on 0,5
* m on keskimääräinen molekyylimassa kilogrammoina
* k on Boltzmannin vakio 1,3806503&middot;10-23 JK-1 
* T on lämpötila Kelvineinä
* v on kaasumolekyylin vauhti |\overline{v}|
* M on yhden kaasumoolin massa, mikä on molekyylimassa kertaa Avogadron vakio
* R on yleinen kaasuvakio eli Boltzmannin vakio kerrottuna Avogadron vakiolla

## Tyypillisiä kaasuosasten nopeuksia

Yleisin kaasuosasen nopeus v_p lasketaan kaavasta

:v_p = \sqrt { \frac{2kT}{m} } = \sqrt { \frac{2RT}{M} },

missä

* k Boltzmannin vakio
* T lämpötila
* m molekyylimassa
* R yleinen kaasuvakio eli Boltzmannin vakio kerrottuna Avogadron vakiolla
* M yhden kaasumoolin massa, mikä on molekyylimassa kertaa Avogadron vakio

Se on pienempi kuin kaasuosasten keskinopeus

: \langle v \rangle = \int_0^{\infin} v \, f(v) \, dv= \sqrt { \frac{8kT}{\pi m}}= \sqrt { \frac{8RT}{\pi M}}.

## Kvanttiteoreettiset jakaumat

Kvanttiteoria on osoittanut, ettei Maxwellin–Boltzmannin jakauma sellaisenaan päde millekään alkeishiukkaselle.  Sen sijaan niihin on sovellettava joko Bosen–Einsteinin tai Fermin–Diracin statistista jakaumalakia riippuen siitä, ovatko hiukkaset bosoneja vai fermioneja. Silloin kun hiukkasilla on mahdollisia energiatiloja niin paljon, ettei kvantittumista tarvitse ottaa huomioon, energiatilojen miehitys vastaa Boltzmannin jakaumaa. Nopeusjakauma, eli Maxwellin-Boltzmannin jakauma, puolestaan voidaan johtaa energiajakaumasta.

## Katso myös
* Ideaalikaasu
* Normaalijakauma

## Lähteet
* 

## Aiheesta muualla

* Maxwellin jakauma MathWorld