Elinaika-analyysi

**Elinaika-analyysi** on tilastotieteen osa-alue, joka tarkastelee havaintoyksikköjen siirtymistä tilasta toiseen ajan kuluessa. Se on saanut nimensä biologian sovelluksista, joissa mallinnetaan elinajan pituutta ja kuoleman hetkeä. Tekniikassa käytetään termiä reliabilitettianalyysi, jossa tyypillinen sovellus on koneen kestävyyden tutkiminen. Taloustieteessä taas käytetään termiä duraatioanalyysi. 

Havaintoyksikön kuolemaa tai hajoamista kutsutaan elinaika-analyysissa tapahtumaksi. Analyysin tavoitteena on selvittää, mitkä tekijät aikaistavat tapahtumaa, mikä populaation osa selviää yli tietyn ajanhetken tai mikä on tapahtuman riski populaatiossa ajan funktiona. 

## Elinaika-analyysin käsitteitä

Elinaika-analyysissa keskeisenä kiinnostuksen kohteena on tapahtuman todennäköisyys ajan funktiona. Tämän vuoksi elinaikamallit keskittyvät tyypillisesti tarkasteltavan tapahtuman riskin tarkasteluun. Lähestymistapa poikkeaa tavanomaisista tilastollisista malleista, joissa mallitetaan ehdollista odotusarvoa. 

Merkitään tapahtumaan liittyvän todennäköisyysjakauman tiheysfunktiota f(t), t\ge 0 . 
Elinajan kertymäfunktio *F* kertoo todennäköisyyden, että tapahtuma on tapauhtunut hetkeen *t* mennessä.

:F(t) = \Pr(T \le t) = 1 - S(t) = 
\int_{0}^{t} f(t)
 
Välttöfunktio *S* kuvaa todennäköisyyttä selvitä yli ajanhetken *t*. 
:S(t) = \Pr(T > t)

Tiheysfunktion ja välttöfunktion avulla voidaan laskea vaarafunktio, joka on tapahtuman hetkellinen todennäköisyys hetkellä *t*, ehdolla että tapahtumaa ei ole sattunut ennen hetkeä *t*.

:\lambda(t) = \Pr(t  t) = \frac{f(t)}{S(t)} = \frac{S'(t)}{S(t)}

Edelleen voidaan määritellä kumulatiivinen vaarafunktio.
: \Lambda(t) = \int_0^{t} \lambda(u) \, du = -\log S(t)

Kaikki ylläolevat funktiot voidaan johtaa elinajalle *t*, kunhan ainakin yksi funktioista tunnetaan.

## Havaintojen sensurointi

Elinaika-aineistoon liittyy osana sensurointi. Sensuroinnilla tarkoitetaan tilannetta, jossa tapahtuma on sattunut, mutta sattumisaikaa ei tiedetä tarkasti (*vasemmalta sensurointi* ja *välisensurointi*), tai tapahtumaa ei havaita jollekin havaintoyksikölle (*oikealta sensurointi*).

*Vasemmalta sensuroinnilla* tarkoitetaan tilannetta, jossa tapahtumasta tiedetään vain, että se on tapahtunut ennen tiettyä ajanhetkeä *t*.

*Välisensuroinnilla* tarkoitetaan tilannetta, jossa tapahtuman tiedetään tapahtuneen kahden aikapisteen t_1 ja t_2 välillä, mutta tarkkaa ajankohtaa ei tiedetä.

*Oikealta sensuroinnissa* tiedetään että havaintoyksikön elinaika ylittää havainnoinnin loppumisajankohdan *t*. 
Oikealta sensurointi voidaan jakaa vielä alaluokkiin.

*Tyypin 1 sensuroinnissa* kullekin havaintoyksikölle on määrätty ennalta aika T, johon mennessä tapahtuneista tapahtumista tiedetään tapahtumisaika. Tyypillinen esimerkki tyypin 1 sensuroinnista on kliininen koe, jossa potilaita seurataan ennalta määritetty aika, vaikkakin kaikilla potilailla tapahtumaa ei ole kokeen loppumiseen mennessä ollut.

*Tyypin 2 sensuroinnissa* valitaan ennalta havaintojen määrä r ja koetta jatketaan kunnes tapahtuma on havaittu r osallistujalla (tyypillisesti r S(t) estimointiin käytetyistä menetelmistä on *Kaplar-Meier -estimaattori*.
Olkoon kokeessa havaitut elinajat järjestyksessä t_1 , ja d_i tapahtumien määrä hetkellä t_i ja y_i juuri ennen hetkeä t_i mukana olevien havaintoyksiköiden määrä.
Tällöin *Kaplar-Meier estimaattori* välttöfunktiolle on muotoa

: \hat{S_n(t)} = \prod_{t_i 
missä \delta_i on 0, kun elinaika on havaittu tarkasti ja 1 kun havainto on sensuroitu.

Varianssi estimaattorille on
: \hat{Var}(\hat{S_n(t)}) = S_n(t)^2 \sum_{t_i 

Kumulatiivista vaarafunktiota \Lambda(t) voidaan estimoida *Nelson-Aalen estimaattorilla*
: \hat{\Lambda(t)} = \sum_{t_i .

Varianssi estimaattorille on
: \hat{Var}(\hat{\Lambda(t)}) = \sum_{t_i .

### Parametriset menetelmät
Paramaetrisissa menetelmissä voidaan olettaa elinajan t noudattavan jotain elinajalle käytettävää jakaumaa. Tällöin uskottavuusfunktio jakauman parametreille \mu voidaan kirjoittaa muodossa

: L(\mu, t) = \prod_{i = 1}^{n} f(\mu, t_i)^{\delta_i} \prod_{i \in O} S(\mu,t_i)
\prod_{i \in V} (1-S(\mu,t_i)) \prod_{i \in I} (S(\mu,t_{1i}) - S(\mu,t_{2i}))  ,

missä  \delta_i   on 0, kun elinaika on havaittu tarkasti ja 1 kun sensuroitu ja  S(\mu, t) välttöfunktion arvo pisteessä *t* ehdolla parametrin arvot. Joukko *O* on oikealta sensuroidut havainnot,
*V* on vasemmalta sensuroidut ja *I* on välisensuroidut. Tällöin kyseiseen sensuroituun havaintoon liittyvä termi uskottavuusfunktiossa kertoo todennäköisyyden, että havainto on kyseisellä välillä ehdolla parametrin arvot. Suurimman uskottavuuden estimaatit saadaan ratkaistua tavalliseen tapaan. 

Elinajan *t* voidaan ajatella olevan myös jokin muunnos kovariaateista *x*, toisin sanoen
t = h(x'\beta) , missä *h* on jokin aidosti kasvava funktio, *x*' on elinaikaan *t* liittyvät selittäjät ja β selittäjiin liittyvät regressiokertoimet. Tällöin voidaan arvoida selittäjien vaikutusta elinaikaan uskottavuuspäättelyn keinoin.

*Nopeutetun elämän mallissa* selittäjän vaihtelun kuvitellaan muuttavan ajan nopeutta, ts

: S_i(t, x) = \lambda_0(\text{exp}(x_i'\beta) t)\text{exp}(x_i'\beta) , 
missä \lambda_0 on tunnettu vaarafunktio.

*Suhteellisen vaaran mallissa* vaaran voimakkuus riippuu selittäjistä ts.
:S_i(t,x) = \text{exp}(x_i'\beta) \lambda_0. 

Vaaran voimakkuuden suhde S_i(t,x)/S_j(t,x) havaintoyksiköille *i* ja *j* on 
sama kuin selittäjivien muuttujien muunnosten suhde \text{exp}(x_i'\beta)/\text{exp}(x_j'\beta).

### Semiparametrinen menetelmä - Coxin suhteellisen vaaran malli
*Coxin suhteellisen vaaran malli* perustuu edellä mainittuun suhteellisen vaaran malliin.
Suhteellisen vaaran mallia kutsutaan semiparametriseksi, sillä se sisältää mielivaltaisen, parametrittoman
vaarafunktion \lambda_0, sekä selittävistä muuttujista riippuvan parametrisen osan
\text{exp}(x_i'\beta).
Mallissa maksimoitavana on uskottavuusfunktio 

: L(\beta) = \prod_{i=1}^{n} \left( \frac{\lambda_i}{\sum_{t_j > t_i} \lambda _j} \right)^{\delta_i}, 
missä \lambda_i = \text{exp}(x_i'\beta). 

## Elinajan jakaumia
*Eksponenttijakauma
*Weibull-jakauma (yleistetty eksponenttijakauma)
*Log-normaalijakauma
*Gammajakauma
*Log-logistinen jakauma

## Lähteet
*	Moeschberger, Melvin L., Klein, John P.: Survival Analysis: techniques for censored and truncated data. Springer, 1997. .
*	 Kalbfleisch, John D., Prentice, Ross L.: The Statistical Analysis of Failure Time Data. Hoboken (N. J.) : Wiley, 2002. .