Isogonaalinen konjugaatti

**Isogonaalinen konjugaatti** \scriptstyle X^{-1} on tason piste kolmiossa olevalle pisteelle \scriptstyle X, joka voidaan muodostaa peilaamalla kolmion kulmanjakajat kulmissa olevien kulmanpuolittajien suhteen. Silloin peilatut janat leikkaavat toisensa **isogonaalisessa pisteessä** \scriptstyle X^{-1}. Peilattuja janoja voidaan kutsua isogonaalisiksi janoiksi. Pisteelle on käytössä myös merkinnät \scriptstyle X^{*} ja \scriptstyle X'.

## Sijainti kolmiossa
### Trilineaariset koordinaatit
Isogonaalisten pisteiden trilineaariset koordinaatit ovat toistensa käänteislukuja. Jos merkitään pisteen koordinaatit 
:P = x:y:z, 
ovat tämän isogonaalisen konjugaatin koordinaatit 
: P^{-1} = x^{-1}:y^{-1}:z^{-1}.
Tästä on merkinnän negatiivinen yläindeksi peräisin. Toisaalta myös 
: (P^{-1})^{-1} = (x^{-1})^{-1}:(y^{-1})^{-1}:(z^{-1})^{-1} = x:y:z = P, 
jolloin trilineaaristen koordinaattien perusteella voidaan ajatella pisteiden \scriptstyle P ja \scriptstyle P^{-1} olevan ***toistensa isogonaalisia pisteitä***.

### Barysentriset koordinaatit
Isogonaalisten pisteiden barysentriset koordinaatit saadaan vastaavasti, kun on
:P = x:y:z
ja isogonaaliset koordinaatit ovat 
:P^{-1} = a^2yz:b^2xz:c^2xy,
missä a, \, b \, ja \, c ovat kolmion sivujen pituuksia.

## Esimerkkejä
Seuraavat esimerkit *merkillisistä pisteistä* ovat toistensa *isogonaalisia konjugaatteeja*:
* kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste (\scriptstyle I = X_1) itsensä kanssa (\scriptstyle X_1)
* kolmion ympäri piiretyn ympyrän keskipiste (\scriptstyle O = X_3) ja ortokeskus (\scriptstyle H = X_4)
* symmediaaninen piste (\scriptstyle K = X_6) ja kolmion painopiste (\scriptstyle G = X_2)
* Gergonnen piste (\scriptstyle Ge = X_7) ja piste \scriptstyle X_{55}
* ensimmäinen Napoleonin piste (\scriptstyle N_1 = X_{17}) ja piste \scriptstyle X_{61}
* toinen Napoleonin piste (\scriptstyle N_2 = X_{18}) ja piste \scriptstyle X_{62}
* Nagelin piste (\scriptstyle Na = X_8) ja piste \scriptstyle X_{56}
* ensimmäinen Fermat'n piste (\scriptstyle F_1 = X_{13}) ja ensimmäinen isodynaaminen piste (\scriptstyle X_{15})

## Todistus
Todistetaan isogonaalisen konjugaatin \scriptstyle P^{-1} olemassaolo jokaiselle kolmion sisäpisteelle \scriptstyle P, joka on kolmen kulmanjakajan **AA**', **BB**' ja **CC**' leikkauspisteessä. Isogonaaliset janat merkitään **AA"**, **BB"** ja **CC"**. Lausekkeet seuraavat oheisen kuvan merkintöjä, jossa suunnattujen janojen positiivinen suunta on vastapäivään eli **A → B → C → A**. Koska \scriptstyle P on janojen leikkauspiste, seuraa Cevan lauseesta 
:\frac{AC'}{C'B} \cdot \frac{BA'}{A'C} \cdot \frac{CB'}{B'A} =1.
### Janat sinilausekkeiksi
Sinilauseen avulla voidaan kolmiosta \scriptstyle \triangle AC\,'C kirjoittaa *Cevan lauseen* ensimmäisen osamäärän osoittaja (janat positiivisesti suunnattuina)
:\frac{AC'}{\sin \measuredangle ACC'}=\frac{CA}{\sin \measuredangle CC'A} \Leftrightarrow AC' = \frac{CA \sin \measuredangle ACC'}{\sin \measuredangle CC'A}
ja kolmiosta \scriptstyle \triangle C\,'BC ensimmäisen osamäärän nimittäjä
:\frac{C'B}{\sin \measuredangle C'CB}=\frac{BC}{\sin \measuredangle BC'C} \Leftrightarrow C'B = \frac{BC \sin \measuredangle C'CB}{\sin \measuredangle BC'C}.
Koska kulmat \scriptstyle \measuredangle CC'A ja \scriptstyle \measuredangle BC'C ovat vieruskulmia (supplementtikulmat), joiden sinit ovat aina identtiset eli \scriptstyle \sin \measuredangle CC'A = \sin \measuredangle BC'C, saadaan *Cevan lauseen* ensimmäisestä osamäärästä
:\frac{AC'}{C'B} = \frac{\frac{CA \sin \measuredangle ACC'}{\sin \measuredangle CC'A}}{\frac{BC \sin \measuredangle C'CB}{\sin \measuredangle BC'C}} = \frac{\frac{CA \sin \measuredangle ACC'}{\cancel {\sin \measuredangle CC'A}}}{\frac{BC \sin \measuredangle C'CB}{\cancel {\sin \measuredangle BC'C}}} = \frac{CA \sin \measuredangle ACC'}{BC \sin \measuredangle C'CB}.
Vastaavalla tavalla sievennetään kaksi muutakin *Cevan lauseen* osamäärää 
:\frac{BA'}{A'C} = \frac{AB \sin \measuredangle BAA'}{CA \sin \measuredangle A'AC}
ja
:\frac{CB'}{B'A} = \frac{BC \sin \measuredangle CBB'}{AB \sin \measuredangle B'BA}
ja sijoitetaan tulokset *Cevan lauseeseen* ja supistetaan
:\frac{AC'}{C'B} \cdot \frac{BA'}{A'C} \cdot \frac{CB'}{B'A} =1 \Leftrightarrow \frac{\cancel{CA} \sin \measuredangle ACC'}{\cancel{BC} \sin \measuredangle C'CB} \cdot \frac{\cancel{AB} \sin \measuredangle BAA'}{\cancel{CA} \sin \measuredangle A'AC} \cdot \frac{\cancel{BC} \sin \measuredangle CBB'}{\cancel{AB} \sin \measuredangle B'BA} = 1 \Leftrightarrow 
eli 
:\frac{\sin \measuredangle ACC'}{\sin \measuredangle C'CB} \cdot \frac{\sin \measuredangle BAA'}{\sin \measuredangle A'AC} \cdot \frac{\sin \measuredangle CBB'}{\sin \measuredangle B'BA} = 1.

### Sinilausekkeet isogonaalisiksi janoiksi
Jotta janat **AA"**, **BB"** ja **CC"** leikkaisivat *isogonaalisessa pisteessä* \scriptstyle P^{-1}, tulisi *Cevan lauseen* ehdot toteutua
:\frac{AC*}{C*B} \cdot \frac{BA*}{A*C} \cdot \frac{CB*}{B*A} =1.
Muodostetaan aluksi ensimmäisen osamäärän osoittaja ja nimittäjä, jotka sievennetään edelliseen tapaan. *Sinilauseesta* seuraa 
:\frac{AC*}{\sin \measuredangle ACC*}=\frac{CA}{\sin \measuredangle CC*A} \Leftrightarrow AC* = \frac{CA \sin \measuredangle ACC*}{\sin \measuredangle CC*A}
ja
:C*B = \frac{BC \sin \measuredangle C*CB}{\sin \measuredangle BC*C}.</math>
Nyt voidaan ensimmäinen osamäärä muodostaa ja supistaa
:<math>\frac{AC*}{C*B} = \frac{\frac{CA \sin \measuredangle ACC*}{\sin \measuredangle CC*A}}{\frac{BC \sin \measuredangle C*CB}{\sin \measuredangle BC*C}} = \frac{\frac{CA \sin \measuredangle ACC*}{\cancel {\sin \measuredangle CC*A}}}{\frac{BC \sin \measuredangle C*CB}{\cancel {\sin \measuredangle BC*C}}} = \frac{CA \sin \measuredangle ACC*}{BC \sin \measuredangle C*CB}.</math>
Lauseke muodostuu analogisesti samanmuotoiseksi kuin alussakin. Isogonisilla janoilla on samansuuruisia kulmia, kuten esimerkiksi <math>\scriptstyle \measuredangle ACC' = \measuredangle C*CB ja \scriptstyle \measuredangle C'CB = \measuredangle ACC*,</math> jolloin
:<math>\frac{AC*}{C*B} = \frac{CA \sin \measuredangle ACC*}{BC \sin \measuredangle C*CB} \Leftrightarrow \frac{AC* \cdot BC}{C*B \cdot CA} = \frac{\sin \measuredangle ACC*}{\sin \measuredangle C*CB} \Leftrightarrow \frac{AC* \cdot BC}{C*B \cdot CA} = \frac{\sin \measuredangle C'CB}{\sin \measuredangle ACC'}.</math>
Kun tätä verrataan *Cevan lauseen * yhtälöön (1), huomataan samat kulmat sen ensimmäisessä osamäärässä. Kannattaa siis muodostaa muutkin osamäärät, vaihtaa kulmat (<math>\scriptstyle \measuredangle BAA' = \measuredangle A*AC ja \scriptstyle \measuredangle A'AC = \measuredangle BAA*</math> sekä <math>\scriptstyle \measuredangle CBB' = \measuredangle B*BA ja \scriptstyle \measuredangle B'BA = \measuredangle CBB*</math> ) ja sijoittaa yhtälöön janoja esittävät lausekkeet, jolloin tulos saadaan supistamalla. Muut osamäärät ja kulmanvaihdot saadaan analogisesti:
:<math>\frac{BA*}{A*C} = \frac{AB \sin \measuredangle BAA*}{AC \sin \measuredangle A*AC} \Leftrightarrow \frac{BA* \cdot CA}{A*C \cdot AB} = \frac{\sin \measuredangle A'AC}{\sin \measuredangle BAA'}.</math>
ja
:<math>\frac{CB*}{B*A} = \frac{BC \sin \measuredangle CBB*}{AB \sin \measuredangle B*BA} \Leftrightarrow \frac{CB* \cdot AB}{B*A \cdot BC} = \frac{\sin \measuredangle B'BA}{\sin \measuredangle CBB'}.</math>

=== Sijoitus Cevan yhtälöön ===
:<math>\frac{\sin \measuredangle ACC'}{\sin \measuredangle C'CB} \cdot \frac{\sin \measuredangle BAA'}{\sin \measuredangle A'AC} \cdot \frac{\sin \measuredangle CBB'}{\sin \measuredangle B'BA} = 1 \Leftrightarrow \frac{C*B \cdot CA}{AC* \cdot BC} \cdot \frac{A*C \cdot AB}{BA* \cdot CA} \cdot \frac{B*A \cdot BC}{CB* \cdot AB} = 1 \Leftrightarrow</math>

:<math>\frac{C*B \cdot \cancel{CA}}{AC* \cdot \cancel{BC}} \cdot \frac{A*C \cdot \cancel{AB}}{BA* \cdot \cancel{CA}} \cdot \frac{B*A \cdot \cancel{BC}}{CB* \cdot \cancel{AB}} = 1 \Leftrightarrow \frac{C*B}{AC*} \cdot \frac{A*C}{BA*} \cdot \frac{B*A}{CB*} = 1</math>
Tämän käänteisluku on vaadittu *Cevan lauseen* ehto [[kollineaarisuus|kollineaarisuudelle]] ja isogonaalisen konjugaatin olemassaololle:
:<math>\frac{AC*}{C*B} \cdot \frac{BA*}{A*C} \cdot \frac{CB*}{B''A} = 1.

## Lähteet
* 

### Viitteet

## Aiheesta muualla
* Abel, Zachary: Triangle Centers (tehtäviä merkillisistä pisteistä)
* Abel, Zachary: Mean Geometry
* Ballew, Pat: Isogons and Isogonic Symmetry 
* Royster, David C.: MA 341 – Topics in Geometry Lecture 16, University of Kentucky