Todennäköisyysteoria

**Todennäköisyysteoria** on matematiikan osa-alue, joka tutkii todennäköisyyksiä hyödyntäen mittateorian käsitteitä. Siinä tapahtumat käsitetään mitallisen avaruuden (ns. *otosavaruus*) mitallisiksi osajoukoiksi, ja annetun tapahtuman todennäköisyys on sitä vastaavan joukon mitta. Koko otosavaruuden tulkitaan tarkoittavan *varmaa tapausta* ja sen mitta on 1. Aksiomaattisen pohjan todennäköisyysteorialle loi Andrei Kolmogorov vuonna 1933 teoksessaan *Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung* ()

## Todennäköisyysavaruus

Olkoon \Omega epätyhjä joukko (ns. *[[perusjoukko (todennäköisyys)|perus­joukko]]* eli *otosavaruus*) ja \mathcal{F} sigma-algebra joukossa \Omega. Nyt kuvaus \mathbb{P} : \mathcal{F} \rightarrow [0,1] on **todennäköisyysmitta** (lyh. *todennäköisyys*) jos se toteuttaa seuraavat kaksi ehtoa

# Kuvaus \mathbb{P} on mitta
# Otosavaruuden todennäköisyys on 1, eli \mathbb{P}(\Omega)=1.

Kolmikkoa (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) kutsutaan *todennäköisyysavaruudeksi* tai *todennäköisyyskentäksi*.

Sigma-algebran \mathcal{F} alkioita kutsutaan *[[tapahtuma (todennäköisyys)|tapahtumiksi]]*. Tulkinnallisesti sigma-algebra on satunnaiskokeesta havaittavissa olevien, tai muuten mielenkiintoisten ja olennaisten lopputulosten joukko. Otosavaruuden alkioita kutsutaan *[[alkeistapaus|alkeis­tapauksiksi]]* tai *otoksiksi*, ja varsinaisen satunnaisuuden, joka liittyy todennäköisyyteen taustalla olevana ilmiönä, ajatellaan liittyvän alkeistapauksen \omega \in \Omega valintaan todennäköisyysmitan \mathbb{P} määrätessä jakauman.

Tapahtuman A \in \mathcal{F} sanotaan *sattuvan*, jos \omega \in A. Todennäköisyys, että A sattuu, on sen mitta \mathbb{P}(A).

Tapahtumiin voi luonnollisesti ajatella liittyvän loogisia operaattoreita, kuten *ei*, *ja* ja *tai*. Nämä tulkitaan satunnaisilmiön kuvailussa joukko-opin kielelle joukko-operaatioina. Tapahtuma A ei satu, jos sen komplementti sattuu: \omega \in A^c. Tapahtumat A ja B sattuvat, jos niiden leikkaus sattuu: \omega \in A \cap B. Tapahtuma A tai tapahtuma B sattuu, jos niiden yhdiste sattuu: \omega \in A \cup B.

Tapahtuman A sanotaan sattuvan *melkein varmasti*, mikäli \mathbb{P}(A) = 1.

### Klassinen todennäköisyysmalli

Yksinkertaisin ja varhaisin todennäköisyysmalli perustuu *symmetrisiin alkeistapauksiin*, ja sitä kutsutaan myös *klassiseksi todennäköisyysmalliksi*. Tässä mallissa otosavaruus on
\Omega = \{ \omega_1 , \omega_2 , \ldots , \omega_n \}
ja kaikilla i = 1,\ldots,n on
\mathbb{P} \{ \omega_i \} = \frac{1}{n}.
Tämä on erikoistapaus *äärellisestä todennäköisyysavaruudesta*, joilla jälkimmäistä rajoitusta jakaumalle ei yleisesti ole. Äärellisille todennäköisyysavaruuksille voidaan valita ilman ongelmia sigma-algebraksi potenssijoukko \mathcal{F} = \mathcal{P}(\Omega). Tämä merkitsee, että todennäköisyys on määriteltty kaikille perusjoukon osajoukoille.

### Geometrinen todennäköisyysmalli

Klassinen todennäköisyysmalli on erikoistapaus niin sanotusta geometrisesta todennäköisyysmallista. Geometrisessa todennäköisyysmallissa voimme minkä tahansa äärellismittaisen mitta-avaruuden pohjalta rakentaa todennäköisyysmitan tähän avaruuteen. Täsmällisemmin jos (X,\mathcal{F},\mu) on mitta-avaruus, jonka perusjoukko on äärellis- ja positiivimittainen eli pätee 0 , niin kuvaus \mathbb{P} : \mathcal{F} \rightarrow [0,1],
\mathbb{P}(A) = \frac{\mu(A)}{\mu(X)},
on todennäköisyysmitta.

Esimerkiksi klassinen todennäköisyysmalli saadaan geometrisesta mallista jos mitaksi annetaan lukumäärämitta. Koulumatematiikassa tunnettu geometrinen todennäköisyys on taasen esimerkiksi lukusuoralla ja tasossa, joissa geometrisen todennäköisyyden mitta on saatu Lebesguen mitasta.

### Satunnaismuuttuja

**Satunnaismuuttuja** on \mathcal{F}-mitallinen kuvaus \Omega \rightarrow \mathbb{R}. Se liittää todennäköisyyskentän Ω jokaiseen alkioon eli mahdolliseen alkeistapaukseen jonkin reaalilukuarvon. Jos siis alkeistapaus oletetaan valituksi, on satunnaismuuttujan arvo yksikäsitteisesti määritelty, joten siinä mielessä se ei ole satunnainen eikä muuttuja. Sovelluksissa todennäköisyyskentän alkiot kuitenkin tarkoittavat satunnaisia tapahtumia, jotka tapahtuvat tietyllä todennäköisyydellä, ja näin ollen satunnaismuuttujastakin voidaan käytännön kannalta sanoa, että se saa tiettyjä tai tietyllä välillä olevia arvoja tietyillä todennäköisyyksillä.

Yleisin tapa merkitä satunnaismuuttuja lienee iso kirjain, kuten X. Satunnaismuuttujaa merkitään joskus pienellä kirjaimella. Tällöin se tavataan erottaa vakioista, joita myös merkitään yleensä pienillä kirjaimilla, alleviivauksella, kuten \underline{x}, tai painolaadun salliessa lihavoinnilla, kuten \boldsymbol{x}.

Satunnaismuuttujan **[[kertymäfunktio]]** on reaalifunktio 
x \mapsto \mathbb{P} \{ X \le x \}.
Se on kaikille satunnaismuuttujille olemassa ja yksikäsitteinen. 

Satunnaismuuttuja on *[[Diskreetti satunnaismuuttuja|diskreetti]]*, jos perusjoukko on numeroituva, ja *jatkuva*, jos sen kertymäfunktio on derivoituva, jolloin kyseistä derivaattaa kutsutaan **tiheysfunktioksi**. Satunnaismuuttujat, jotka eivät ole kumpaakaan kutsutaan muun muassa sekatyyppisiksi. Satunnaismuuttujaa sanotaan *yksinkertaiseksi*, jos se voi saada vain äärellisen määrän eri arvoja. Nopanheitto käy esimerkiksi tällaisesta tilanteesta.

### Riippumattomuus

**Riippumattomuus** on tärkeä satunnaismuuttujien ja tapahtumien välinen ominaisuus. Satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia, jos tulosääntö 
\mathbb{P} ( \{ X \in B_1 \} \cap \{ Y \in B_2 \} ) = \mathbb{P} \{ X \in B_1 \} \mathbb{P} \{ Y \in B_2 \}
pätee kaikilla Borel-joukoilla B_1 ja B_2. 

Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos B tapahtuu yhtä suurella todennäköisyydellä, olipa A tapahtunut tai ei, ja kääntäen. Matemaattisesti voidaan määritellä, että A ja B ovat riippumattomat, jos satunnaismuuttujat 1_A ja 1_B ovat riippumattomat, missä 1 tarkoittaa indikaattorifunktiota. Tämä on yhtä kuin ehto
\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B).

Vastaavat ehdot useammille satunnaismuuttujille ja tapahtumille on pädettävä kaikkien indeksikombinaatioiden yli. Esimerkiksi, tapahtumat A, B ja C ovat riippumattomat, jos kaikki yhtälöt

pätevät.  

On mahdollista, että kolme (tai useampi) tapahtuma A, B ja C ovat kaikki **pareittain riippumattomia**, mutta kokoelma \{A, B, C\} ei ole riippumaton.  Esimerkiksi olkoon kahden reilun kolikon heitossa tapahtuma A="ensimmäinen heitto oli klaava", tapahtuma B="toinen heitto oli klaava" ja tapahtuma C="heitot menivät eri päin".  Tällöin tapahtumat A, B ja C ovat kaikki pareittain riippumattomia: \mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A\cap C)=\mathbb{P}(B\cap C) = 1/4 = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(C) = \mathbb{P}(B)\mathbb{P}(C), mutta \mathbb{P}(A\cap B \cap C)=0 ja \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)\mathbb{P}(C)=1/8.

### Tunnuslukuja

Satunnaismuuttujan X odotusarvo on sen integraali yli otosavaruuden, joka on todennäköisyysmitan avulla merkittynä
\int_{\Omega} X \, d\mathbb{P}.
Sille on vakiintunut merkintä \mathbb{E}X. Satunnaismuuttujan X sanotaan olevan *integroituva*, jos \mathbb{E}|X| .

Odotusarvo on satunnaismuuttujan tärkein tunnusluku. Suurten lukujen lakien mukaan satunnaismuuttujan keskiarvo toistokokeessa on likimäärin sen odotusarvo.

Satunnaismuuttujan sanotaan olevan *neliöintegroituva*, jos \mathbb{E}X^2 . Neliöintegroituvan satunnaismuuttujan X varianssi on \mathbb{V}\mathrm{ar} X = \mathbb{E} (X-\mathbb{E}X)^2.

### Satunnaismuuttujajonon konvergenssi

Erilaiset konvergenssit ovat tärkeitä satunnaismuuttujien ominaisuuksia. Olkoon (X_n)_{n \in \mathbb{N}} jono satunnaismuuttujia. 
* jono *suppenee melkein varmasti*, jos  \mathbb{P} \{ \limsup_{n \rightarrow \infty} X_n = \liminf_{n \rightarrow \infty} X_n \} = 1 
* jono *suppenee stokastisesti* kohti satunnaismuuttujaa X, jos kaikilla \varepsilon > 0 pätee \mathbb{P} \{ |X_n - X| > \varepsilon \} \rightarrow 0
* jono *suppenee jakaumaltaan*, jos niiden kertymäfunktioiden jono suppenee pisteittäin jotakin kertymäfunktiota kohti kaikissa tämän rajakertymäfunktion jatkuvuuspisteissä.
* jos \mathbb{E} X_n^2  kaikilla n \in \mathbb{N}, niin *suppenee kvadraattisesti* kohti satunnaismuuttujaa X, jos \sqrt{ \mathbb{E} (X_n - X)^2 } \rightarrow 0

Jos jono suppenee kvadraattisesti tai melkein varmasti, niin se suppenee myös stokastisesti. Jos jono suppenee stokastisesti, niin se suppenee myös jakaumaltaan.

### Ehdollinen todennäköisyys ja odotusarvo

Varsinkin koulumatematiikassa käytetään havainnollista ehdollisen todennäköisyyden määritelmää. Jos tapahtumalle B pätee \mathbb{P}(B)>0, niin tapahtuman A todennäköisyys ehdolla B on 
\mathbb{P}(A \, | \, B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}.
Tämä on tulkittava siten, että jos on ikään kuin tieto, että B sattuu eli \omega \in B, niin yllä oleva on todennäköisyys sille, että myös A on sattunut eli \omega \in A \cap B. Tästä lähtökohdasta voidaan todistaa seuraavat ominaisuudet:
* Ehdollinen todennäköisyys toteuttaa todennäköisyysmitan määritelmän. Täten mitalla \mathbb{P}(\cdot \, | \, B) on todennäköisyysmitan \mathbb{P}(\cdot) kaikki ominaisuudet. Esimerkiksi, jos A_1 ja A_2 ovat tapahtumia, niin yhteenlaskukaava pätee muodossa \mathbb{P}(A_1 \cup A_2 \, | \, B) = \mathbb{P}(A_1 \, | \, B) + \mathbb{P}(A_2 \, | \, B) - \mathbb{P}(A_1 \cap A_2 \, | \, B)
* jos tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, niin \mathbb{P}(A \, | \, B)=\mathbb{P}(A)
* *kertolaskukaava*: \mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B \, | \, A)

Satunnaismuuttujan X **ehdollinen odotusarvo** alisigma-algebralla \mathcal{G} \subset \mathcal{F} on \mathcal{G}-mitallinen satunnaismuuttuja \mathbb{E} (X \, | \, \mathcal{G}), jolle yhtälö 
\int_G \mathbb{E} (X \, | \, \mathcal{G}) \, d\mathbb{P} = \int_G X \, d\mathbb{P}
pätee kaikilla G \in \mathcal{G}. Satunnaismuuttujan X ehdollinen odotusarvo ehdolla satunnaismuuttuja Y on \mathbb{E}(X \, | \, \sigma(Y)), missä \sigma (Y) tarkoittaa satunnaismuuttujan Y virittämää sigma-algebraa.

On huomattava, että ehdollinen odotusarvo on satunnaismuuttuja, eli funktio, eikä reaaliluku. Ehdollinen odotusarvo ehdolla G \in \mathcal{G} on \mathbb{E} (X \, | \, \mathcal{G}) (\omega), missä \omega \in G, on reaaliluku.

Ehdollisen odotusarvon ominaisuuksia:
* jos X \geq 0, niin \mathbb{E}(X \, | \, \mathcal{G}) \geq 0
* \mathbb{E}(\mathbb{E}(X \, | \, \mathcal{G})) = \mathbb{E}X
* *karkeus voittaa aina* eli *iteratiivisuus*: jos \mathcal{G} \subset \mathcal{H}, niin \mathbb{E}(\mathbb{E}(X \, | \, \mathcal{G}) \, | \, \mathcal{H}) = \mathbb{E}(\mathbb{E}(X \, | \, \mathcal{H}) \,| \, \mathcal{G}) = \mathbb{E}(X \, | \, \mathcal{G})
* lineaarisuus: jos c_1 \in \mathbb{R} ja c_2 \in \mathbb{R}, niin  \mathbb{E} (c_1 X + c_2 Y \, | \, \mathcal{G} ) = c_1 \mathbb{E} (X \, | \, \mathcal{G} ) + c_2 \mathbb{E} (Y \, | \, \mathcal{G} )
* jos X on \mathcal{G}-mitallinen, niin \mathbb{E}(X \, | \, \mathcal{G}) = X
* jos X on \mathcal{G}-mitallinen ja rajoitettu, niin \mathbb{E}(XY \,| \, \mathcal{G}) = X \mathbb{E}(Y \, | \, \mathcal{G})

Alisigma-algebran \mathcal{G} tulkinta on ikään kuin etukäteen havaittavissa oleva tieto satunnaismuuttujan arvosta. Triviaali sigma-algebra vastaa täydellistä epätietoisuutta, \mathbb{E}(X \, | \, \{ \varnothing , \Omega \} ) = \mathbb{E}X, ja satunnaismuuttujan virittämä sigma-algebra vastaa tarkkaa tietoa sen arvosta,  \mathbb{E} (X \, | \, \sigma(X)) = X . 

Joukon A **ehdollinen todennäköisyys** on \mathbb{P}(A \, | \, \mathcal{B}) = \mathbb{E} (1_A \,| \, \mathcal{B}). Tämä yhtenee koulumatematiikan ehdollisen todennäköisyyden kanssa siten, että jos \omega \in B, niin \mathbb{E}(1_A \, | \, \sigma(1_B)) (\omega) = \mathbb{P}(A \, | \, B).

## Todennäköisyyslaskennan kaavoja

Tapahtuma A ei satu todennäköisyydellä \mathbb{P}(A^c) = 1-\mathbb{P}(A). Tapahtuma A sattuu, mutta B ei, todennäköisyydellä \mathbb{P}(A \setminus B) = \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(A \cap B). Jos A ja B ovat toisensa poissulkevia, niin \mathbb{P} (A \cup B) = \mathbb{P} (A) + \mathbb{P} (B). Jos A sattuu aina kun B sattuu, niin \mathbb{P}(A) \geq \mathbb{P}(B).

### Yhteenlaskukaava

Tapahtuma A tai  B sattuu todennäköisyydellä \mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B). Yhteenlaskukaavan yleinen muoto: jos A_1, \ldots , A_n ovat tapahtumia, niin

### Kokonaistodennäköisyyden kaava

Olkoon B tapahtuma ja tapahtumat A_1, A_2, \ldots , A_n perusjoukon ositus. Kokonaistodennäköisyyden kaava: 
\mathbb{P}(B) = \sum_{i=1}^n \mathbb{P}(A_i )\mathbb{P}(B \, | \, A_i ).

### Bayesin kaava

Olkoon B tapahtuma ja tapahtumat A_1, A_2, \ldots , A_n perusjoukon ositus. Bayesin kaava:
kaikilla k=1,\ldots n pätee \mathbb{P}(A_k \, | \, B) = \frac{\mathbb{P}(A_k)\mathbb{P}(B \, | \, A_k)}{\sum_{i=1}^n \mathbb{P}(A_i)\mathbb{P}(B \, | \, A_i)}
Lukua \mathbb{P}(A_k) kutsutaan *prioritodennäköisyydeksi* ja lukua \mathbb{P}(A_k \, | \, B) *posterioritodennäköisyydeksi*.

### Tuloperiaate ja summaperiaate

*Tuloperiaate*: jos satunnaiskoe koostuu k:sta kappaleesta riippumattomia vaiheita siten, että ensimmäisellä vaiheella on n_1 eri tulosvaihtoehtoa, toisella vaiheella n_2 tulosvaihtoehtoa, ja niin edelleen niin että viimeisellä vaiheella on n_k tulosvaihtoehtoa, niin koko kokeella on n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k tulosvaihtoehtoa.(en)

*Summaperiaate*: jos satunnaiskoe koostuu k:sta kappaleesta toisensa poissulkevia ryhmiä lopputuloksia siten, että ensimmäisessä ryhmässä on n_1 tulosvaihtoehtoa, toisessa ryhmässä n_2 tulosvaihtoehtoa, ja niin edelleen niin että viimeisessä ryhmässä on n_k tulosvaihtoehtoa, niin kokeella on n_1 + n_2 + \ldots + n_k tulosvaihtoehtoa.(en)

## Todennäköisyysteorian lauseita

### Konvergenssilauseet

Olkoon (X_n)_{n \in \mathbb{N}} jono satunnaismuuttujia, jonka raja-arvo
\lim_{n \rightarrow \infty} X_n
on melkein varmasti olemassa. 

Mittateorian konvergenssilauseet pätevät todennäköisyyden mittateoreettisen määrittelyn vuoksi sellaisenaan, kun integraali korvataan odotusarvolla ja mitallinen funktio satunnaismuuttujalla. Ne voidaan kuitenkin yleistää ehdolliselle odotusarvolle siten, että jonon raja-arvon oton ja ehdollisen odotusarvon oton järjestyksen voi vaihtaa:
\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{E} (X_n \, | \, \mathcal{G}) = \mathbb{E} (\lim_{n \rightarrow \infty} X_n \, | \, \mathcal{G})melkein varmasti,
missä \mathcal{G} on sigma-algebra.

#### Monotonisen konvergenssin lause

Oletetaan, että toinen alla olevista ehdoista on voimassa:
*X_n \leq X_{n+1} on melkein varmasti kaikilla n \in \mathbb{N} ja jollakin n \in \mathbb{N} pätee melkein varmasti \mathbb{E}(X_n \, | \, \mathcal{G}) > -\infty
*X_n \geq X_{n+1} on melkein varmasti kaikilla n \in \mathbb{N} ja jollakin n \in \mathbb{N} pätee melkein varmasti \mathbb{E}(X_n \, | \, \mathcal{G}) 
Tällöin raja-arvon ja ehdollisen odotusarvon järjestyksen voi vaihtaa.

#### Dominoidun konvergenssin lause

Jos on olemassa integroituva satunnaismuuttuja Y siten, että |X_n| \leq Y melkein varmasti kaikilla n \in \mathbb{N}, niin raja-arvon ja ehdollisen odotusarvon järjestyksen voi vaihtaa.

### Fatoun lemma

Olkoon (X_n)_{n \in \mathbb{N}} jono satunnaismuuttujia. Myös mittateorian Fatoun lemma voidaan yleistää ehdolliselle odotusarvolle:
\mathbb{E} (\liminf_{n \rightarrow \infty} X_n \, | \, \mathcal{G}) \leq \liminf_{n \rightarrow \infty} \mathbb{E} ( X_n \, | \, \mathcal{G})
ja
\mathbb{E} (\limsup_{n \rightarrow \infty} X_n \, | \, \mathcal{G}) \geq \limsup_{n \rightarrow \infty} \mathbb{E} ( X_n \, | \, \mathcal{G}),
missä \mathcal{G} on sigma-algebra.

### Suurten lukujen lait

Todennäköisyyslaskennassa suurten lukujen laeiksi kutsutaan riittäviä ehtoja sille, että satunnaismuuttujajonon keskiarvo suppenee (jollakin tavalla) kohti sen keskiarvon odotusarvoa. 
Jos kyseessä on erityisesti toistokoe, niin suurten lukujen lain voidaan tulkita ehdoksi sille, että kokeiden tulosten keskiarvo lähestyy kokeen odotusarvoa. 

Suurten lukujen laista on olemassa useita matemaattisina teoreemoina todistettuja muunnelmia. Niistä vanhin on toistokokeita koskeva, Jakob Bernoullin todistama *Bernoullin lause*: Oletetaan, että jos jokin toistokoe suoritetaan n kertaa ja joka kerta toisistaan riippumatta tietty tulos X saavutetaan tietyllä vakinaisella todennäköisyydellä P0.  Silloin jos ε on kuinka pieni positiivinen luku tahansa, niin todennäköisyys sille, että sellaisten kertojen suhteellinen osuus, joilla tulos X on saavutettu, poikkeaa P0:stä enemmän kuin ε:n verran, lähestyy nollaa, kun n kasvaa rajatta. Toisin sanoen jos n on kaikkien toistokertojen lukumäärä ja x sellaisten, joilla tämä tulos on saatu, niin

\mathbb{P}\left (\frac{x}{n}\ - P_0 > \epsilon\right ) \rightarrow \ 0,
kun n \rightarrow \infty.

Esimerkiksi rahan heitossa kruunien ja klaavojen suhteelliset frekvenssit lähestyvät todennäköisesti puolikasta ja toisiaan, kun rahan heittämistä jatketaan. Tosin heitettiinpä rahaa kuinka monta kertaa tahansa, aina on mahdollista sekin, että kaikilla kerroilla tulee kruuna tai kaikilla klaava; tällainen sattuma vain käy sitä epätodennäköisemmäksi, mitä useampia kertoja heitto toistetaan.  Suurten lukujen laki ei myöskään tarkoita, että kruunien ja klaavojen lukumääräfrekvenssit lähestyisivät toisiaan. Suhteellisten frekvenssien lähestyminen ei edellytä tätä.

#### Kolmogorovin vahva suurten lukujen laki

Jos satunnaismuuttujat X_n, n \in \mathbb{N}, ovat riippumattomia, samoin jakautuneita ja \mathbb{E} |X_1| , niin jonon keskiarvo suppenee melkein varmasti kohti satunnaismuuttujien odotusarvoa, toisin sanoen 
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \rightarrow \mathbb{E} X_1
melkein varmasti kun n \rightarrow \infty.

### Keskeinen raja-arvolause

Olkoot satunnaismuuttujat X_n, n \in \mathbb{N}, ovat riippumattomia, samoin jakautuneita, \mathbb{E}X_i=\mu0 ja S_n=\sum_{i=1}^nX_i. Tällöin
\lim_{n\to\infty}P\left (\frac{S_n-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\leq x\right )=\Phi(x)
heikon konvergenssin mielessä. Tässä siis \Phi on standardinormaalijakauman kertymäfunktio. Tulos pätee myös lievemmällä oletuksella, jota kutsutaan *Lindebergin ehdoksi*, nimetty suomalaisen matemaatikko J.W. Lindebergin mukaan. Hän todisti ehdon riittävyyden, mikä on kenties merkittävin yksittäinen suomalaisen matemaatikon tulos - kyseinen ehto on nimittäin myös 
(tietyn tasapainoehdon vallitessa)
välttämätön ehto lauseen pätemiselle, ja siten ratkaisu 1900-luvun alkupuolella vaikuttaneeseen keskeiseen raja-arvoprobleemaan.

### Kolmogorovin 0–1-laki

Olkoon (X_n)_{n \in \mathbb{N}} jono riippumattomia satunnaismuuttujia. Merkitään äärettömän kaukaisista jonon (X_n)_{n \in \mathbb{N}} arvoista riippuvien tapahtumien sigma-algebraa symbolilla
\mathcal{F} = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \sigma (X_n, X_{n+1}, \ldots).

Jos tapahtuma F \in \mathcal{F}, niin
\mathbb{P}(F)=0 tai \mathbb{P}(F)=1.

Borelin–Cantellin lemma on erikoistapaus Kolmogorovin 0–1-laista.

#### Borelin–Cantellin lemma

Olkoon (A_n)_{n \in \mathbb{N}} jono riippumattomia tapahtumia. Tällöin
\mathbb{P} (\limsup_{n \rightarrow \infty} A_n) = 0 tai \mathbb{P} (\limsup_{n \rightarrow \infty} A_n) = 1.

Borelin–Cantellin lemmalla voidaan todistaa väite: "Jos apina paukuttaa kirjoituskoneella umpimähkäisesti äärettömän pitkään, kirjoittaa se lopulta kaikki Shakespearen teokset."

## Kirjallisuutta

* Pekka Tuominen: *Todennäköisyyslaskenta I*. Limes ry (1996).
* Gustav Elfving ja Pekka Tuominen: *Todennäköisyyslaskenta II*. Limes ry (1990).
* Kolmogorov: *Foundations of the Theory of Probability*, (1933).
* Pertti Laininen: *Todennäköisyys ja sen tilastollinen soveltaminen*, Otatieto (1998).
* Tommi Sottinen: ''Todennäköisyysteoria'', (2006)

## Aiheesta muualla

* MathWorld. Probability
* MathWorld. Probability Measure
* MathWorld. Probability Function 
* MathWorld. Conditional Probability
* MathWorld. Bayes' Theorem