Verrannollisuus

**Verrannollisuus** on matematiikassa ja luonnontieteissä kahden suureen välinen erityinen riippuvuus, jossa kussakin tilanteessa suureiden saamien arvojen suhde pysyy vakiona. Matemaattisesti tämä voidaan ilmaista yhtälöllä. Olkoon suureet *A* ja *B* verrannolliset, jolloin niiden arvojen suhde on aina *k*. Silloin voidaan kirjoittaa  
:A:B=\frac{A}{B} = k.
Tällöin sanotaan, että *"suure A on verrannollinen suureeseen B"* ja se voidaan lyhentää joko A \sim B tai A \propto B.

Edellinen yhtälö voidaan kirjoittaa myös tulomuodossa
:A = kB.
Jos suureet *A* ja *B* ovat samanlaatuiset eli niillä on samat mittayksiköt, on kerroin *k* luku ja sitä kutsutaan suhdeluvuksi. On kuitenkin varsin yleistä, että suureet *A* ja *B* ovat erilaatuiset, jolloin kerroin *k* on itsekin suure ja sillä on mittayksikkö. Tällöin suuretta *k* kutsutaan myös verrannollisuuskertoimeksi.

## Verrannolliset suureet, verrannollisuuskerroin ja verranto

Kahden samanlaatuisen (samat mittayksiköt) suureen A ja B suhde merkitään 
:A:B=\frac{A}{B} = k.
Suhde esittää kahta eri tilannetta, jossa verrataan samaa laautua olevia suureita keskenään. Tällainen tilanne on esimerkiksi kahden pinta-alan välinen suhde
:3m^2:6m^2=1:2
ja kerroin k = 1 : 2 = 0,5 on tällöin paljas luku, koska mittayksiköt supistuvat pois.

Kahden erilaatuisen (eri mittayksiköt) suureiden A ja B suhde merkitään samalla tavalla
:A:B=\frac{A}{B} = k,
missä kerroin *k* on mittayksiköllinen suure. Esimerkiksi talon yhden A=3m^2 suuruisen seinän maalaamiseen kuluu B=0,25l maalia. Verrannollisuuskertoimeksi saadaan
:\frac{A}{B} = \frac{3m^2}{0,25l} = 12\tfrac{m^2}{l} = k.

Saman talon toista seinää toisena päivänä maalatessa suureet C ja D ovat erilaiset. Nyt merkitään
:\frac{C}{D} = \frac{6m^2}{0,50l} = 12\tfrac{m^2}{l} = k,
missä *k* on edelleen sama, koska maalin kulutus on säilynyt samana. Suhdeluvut ovat samat, joten suureet A ja B sekä C ja D ovat verrannolliset ja tämä merkitään suuren mitatuilla arvoilla
:3m^2 \sim 0,25l ja 6m^2 \sim 0,5l
tai suureiden muuttujilla
:A \sim B ja C \sim D
tai suureiden nimillä
:\mbox{pinta-ala} \sim \mbox{maalin määrä}.
Matemaattisesti nämä kaksi suhdetta (maalaustilannetta) voidaan kirjoittaa verrantoyhtälöksi, koska verrannollisuuskertoimet täsmäävät 
:\frac{A}{B} = k \land \frac{C}{D} = k \Rightarrow \frac{A}{B} = \frac{C}{D}.

## Suoraan verrannollisuus
Suoraan verrannollisuus on toinen nimitys suureiden A ja B verrannollisuudelle, jotka ovat suoraan sellaisinaan toisilleen verrannollisia. Tämä merkitään edelliseen tapaan A \sim B ja verrannollisuuskertoimen sisältävä yhtälö kirjoitetaan A = kB. 

Toisilleen suoraan verrannolliset suureet ovat esimerkiksi omenien paino *m* ja niiden hinta *h.* Silloin verrannollisuuskerroin *k* on esimerkiksi k = 2,15 \tfrac{E}{kg} eli *kilohinta* ja ostoksen hinta laksetaan yhtälöstä h=km.

## Kääntäen verrannollisuus
Suureet A ja B ovat kääntäen verrannollisia, jos suureen A käänteisarvo (käänteisluku) on verrannollinen suureeseen B, tai päin vastoin. Tämä merkitään joko \frac{1}{A} \sim B tai A \sim \frac{1}{B} (potenssina A \sim B^{-1}), ja yhtälö kirjoitetaan joko A = k\frac{1}{B} (potenssina A = kB^{-1}) tai AB = k.

Toisilleen kääntäen verrannollisia suureita ovat esimerkiksi samaan automatkaan liittyvät keskinopeus *v* ja ajoaika *t*. Silloin nopeuden kasvaessa aika lyhyenee ja päinvastoin. Tämä kirjoitetaan v \sim t^{-1}. Verrannollisuuskerroin *k* on silloin k=100 km (kilometriä) eli kuljettava matka, kun v=\tfrac{k}{t}.

## Neliöön ja kuutioon verrannollisuus
*Neliöön verrannolliset* suureet voidaan merkitä A \sim B^2, jolloin suureet A ja B eivät ole suoraan verrannolliset mutta suureet *A* ja *B²* ovat sitä. Näistä muodostettu yhtälö on (suureen positiiviset arvot)
:A = kB^2
joka voidaan muuntaa
:\sqrt{A} = \sqrt{kB^2} eli \sqrt{A} = bB,
missä *b² = k*. *Neliöön verrannollisuus* on (lähes) sama kuin *neliöjuureen verrannollisuus* \sqrt{A} \sim B.

Esimerkiksi paikaltaan lähtevän ja tasaisesti kiidyttävän junan liike-energia *E* on neliöön verrannollinen junan loppunopeuteen *v*. Verrannollisuuskerroin *k* on junan massan puolikas, kuten yhtälöstä E=\tfrac{1}{2}mv^2=kv^2 huomataan.

*Kuutioon verrannolliset* suureet voidaan merkitä A \sim B^3, jolloin suureet  *A* ja *B³* ovat suoraan verrannolliset. Näistä muodostettu yhtälö 
:A = kB^3
voidaan muuntaa
:\sqrt[3]{A} = bB
missä *b³ = k*. *Kuutioon verrannollisuus* on sama kuin *kuutiojuureen verrannollisuus* \sqrt[3]{A} \sim B.

Esimerkiksi kalastajatroolarin moottorin tehontarve *P* on kuutioon verrannollinen veneen saavuttamaan huippunopeuteen *v*. Verrannollisuuskerroin *k* on esimerkiksi k=270 \tfrac{kg}{m}, kun riippuvuus kirjoitetaan yhtälönä P=kv^3.

## Potenssiin verrannollisuus
Yleisesti ilmaistuna suureet A ja B ovat *potenssiin verrannolliset*, kun A^n \sim B^m eli A^\tfrac{n}{m} \sim B eli A \sim B^\tfrac{m}{n}.

Esimerkiksi ympyräradalla Aurinkoa kiertävä planeetta noudattaa Keplerin III lakia. Sen mukaan kiertoajan *T* neliö on verrannollinen ratasäteen *R* kuutioon eli T^2 \sim R^3. Silloin Maan kiertoradan yhtälössä verrannollisuuskerroin *k* on k=1\tfrac{a^2}{AU^3} ja T^2=kR^3.

## Katso myös
* Korrelaatio ja lineaarinen regressioanalyysi ovat myös luonnontieteellisisiä mallinnusvälineitä.
* Verranto

## Lähteet