Suurten lukujen laki

**Suurten lukujen laki** on toden­näköisyys­laskennan tulos, joiden mukaan sellaisten satunnais­muuttujien jonon keski­arvo, joilla on sama odotusarvo, voidaan tietyin edellytyksin ja tietyssä mielessä sanoa suppe­ne­van kohti niiden odotus­arvoa, kun satunnais­muuttujien luku­määrä kasvaa rajatta. Erityisesti toisto­kokeessa, jossa tietty tulos saadaan joka kerta yhtä suurella toden­näköisyydellä, tällaisten tulosten suhteellinen osuus kaikista koe­tuloksista lähestyy tämän toden­näköi­syyden osoittamaa lukua, kun toistojen luku­määrä kasvaa.

Suurten lukujen lailla on suuri käytännöllinen merkitys, koska se käytännössä "takaa", että satunnaisten ilmiöiden esiintymis­tiheys pitkällä aikavälillä voidaan ennustaa. Esimerkiksi vaikka pelikasino voikin menettää rahaa jollakin kerralla, kun rulettia pelataan, suurella määrällä pelikertoja sen kokonais­voitto voidaan kutakuinkin varmasti ennustaa. Niinpä jollekulle pelaajalle maksettavan voiton korvaavat kasinon pitäjän kannalta käytännössä varmuudella muiden pelaajien maksamat pelimaksut. Yhdessä keskeisen raja-arvolauseen kanssa suurten lukujen laki muodostaakin perustan koko matemaattiselle tilastotieteelle.

Nimensä mukaisesti suurten lukujen laki kuitenkin pätee vasta, kun käsitellään *suurta määrää* havaintoja. Ei ole olemassa sellaista säännön­mukaisuutta, jonka mukaan jo pienellä määrällä havaintoja tulosten keskiarvon pitäisi vastata kunkin kerran odotus­arvoa tai että satunnaista poikkeamaa keskiarvosta pitäisi välittömästi seuraavan kerran tuloksen "tasa­painottaa". Virheellistä kuvitelmaa, että sellainen säännön­mukaisuus olisi olemassa, sanotaan pelurin virhepäätelmäksi.

## Esimerkkejä
Esimerkiksi heitettäessä tavallista kuusisivuista noppaa yhden kerran saadaan jokin luvuista 1, 2, 3, 4, 5 tai 6, jokainen yhtä suurella todennäköisyydellä (edellyttäen ettei noppa ole "painotettu"). Näin ollen nopanheiton tuloksen odotusarvo on
:  \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3,5.
Suurten lukujen laista seuraa, että jos noppaa heitetään hyvin monta kertaa, heittojen tulosten keskiarvo on todennäköisesti lähellä lukua 3,5, sitä tarkemmin, mitä useampia kertoja noppaa heitetään.
 
Suurten lukujen laista seuraa, että onnistuminen empiirinen todennäköisyys sarjassa Bernoullin kokeita suppenee kohti teoreettista todennäköisyyttä. Bernoullin satunnaismuuttujan odotusarvo on sama kuin onnistuminen teoreettinen todennäköisyys, ja kun sellaisia satunnaismuuttujia on *n* kappaletta ja ne ovat riippumattomat ja identtisesti jakautuneet, niiden keskiarvo lähestyy tätä arvoa.

Esimerkiksi kolikon heittäminen on Bernoullin koe. Kun "painottamatonta" kolikkoa heitetään kerran, teoreettinen todennäköisyys saada kruuna on 1/2. Niinpä suurten lukujen lain mukaan suuressa määrässä kolikonheittoja kruunien suhteellisuuden osuuden pitäisi olla noin 1/2.  Erityisesti kruunien osuus *n* heiton jälkeen suppenee melkein varmasti kohti arvoa 1/2, kun *n* kasvaa rajatta.

Vaikka kruunien ja myös klaavojen suhteellinen osuus lähestyy arvoa 1/2, samoin ei ole kruunien ja klaavojen lukumäärän *erotuksen* laita. Päin vastoin, se kasvaa itseisarvoltaan melkein varmasti. Toisin sanoen todennäköisyys sille, että näiden lukumäärien erotus olisi itseisarvoltaan tietyn rajan alapuolella, lähestyy nollaa heittojen lukumäärän kasvaessa. Melkein varmasti myös tämän erotuksen suhde heittojen lukumäärään lähestyy nollaa. Tämä lukumäärien erotus kasvaa kuitenkin hitaammin kuin kaikkien heittojen lukumäärä.

## Historia

Italialainen matemaatikko Gerolamo Cardano (1501–1576) väitti ilman todistusta, että empiiristen tilastojen pätevyydellä on taipumus kasvaa otoskoon kasvaessa. Tämä väite muotoiltiin sittemmin suurten lukujen laiksi. Jakob Bernoulli todisti suurten lukujen lain erikois­tapauksessa, joka koskee kaksiarvoisia satunnais­muuttujia.  Häneltä kesti yli 20 vuotta kehittää väitteelle riittävän täsmällinen matemaattinen todistus, jonka hän julkaisi teoksessaan *[[Ars Conjectandi]]* vuonna 1713. Hän nimitti sitä "kultaiseksi teoreemaksi", mutta nykyisin se tunnetaan Bernoullin lauseena. (Sitä ei pidä sekoittaa Jakob Bernoullin veljenpojan, Daniel Bernoullin mukaan nimettyyn Bernoullin lakiin fysiikassa.)  Vuonna 1837 S. D. Poisson kuvaili tulosta tarkemmin ja antoi sille nimen "suurten lukujen laki" (). Tämän jälkeen tulos tunnettiin molemmilla nimillä, mutta "suurten lukujen laki" on yleisemmin käytetty.

Bernoullin ja Poissonin todistettua tuloksensa muut matemaatikot kuten Pafnuti Tšebyšov
, Markov, Borel, Cantelli ja Kolmogorov kehittivät vahvempia tuloksia, kunnes lopulta Aleksandr Khintšin lopulta esitti suurten lukujen laille todistuksen, joka pätee mielivaltaisille satunnaismuuttujille. Nämä myöhemmät tutkimukset ovat johtaneet ennen kaikkea kahteen huomattavaan suurten lukujen lain muotoiluun. Toista sanotaan "heikoksi", toista "vahvaksi" laiksi, mitkä viittaavat kahteen erilaiseen tilastollisen suppenemisen muotoon. Kuten jäljempänä osoitetaan, heikko laki on samalla vahvan lain looginen seuraus.

## Muotoilut

Seuraavassa käsitellään lähinnä kahta suurten lukujen lain muotoilua, *heikkoa* ja *vahvaa* suurten lukujen lakia, sekä heikon lain erikois­tapauksena myös Bernoullin lausetta. Lisäksi mainitaan *uniforminen* suurten lukujen laki ja *Borelin suurten lukujen laki.*

Lain kaikki versiot ilmaisevat matemaattisesti eri tavoin täsmennettynä periaatteen, että otoksen 

:\overline{X}_n=\frac1n(X_1+\cdots+X_n) 

keskiarvo suppenee suurella toden­näköisyydellä kohti odotusarvoa

:\overline{X}_n \, \to \, \mu \qquad\textrm{kun}\qquad n \to \infty,

kun *X*1, *X*2, ... on päättymätön jono riippumattomia ja samoin jakautuneita satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo on E(*X*1 = E(*X*2) = ...= *µ*. 
Oletetaan, että funktiot *X<sub>j</sub>* ovat integroituvia Lebesguen mielessä, jolloin satunnaismuuttujilla on odotusarvo ja se on äärellinen.

Sen sijaan suurten lukujen laki ei välttämättä edellytä, että näillä satunnaismuuttujilla on myös äärellinen varianssi Var(*X*1) = Var(*X*2) = ...  = *&sigma;*2 1, *X*2, ... *X*i on joukko pareittain riippumattomia, samoin jakautuneita satunnaismuuttujia, joilla on sama odotusarvo *EX<sub>i</sub> = &mu; ja varianssi D<sup>2</sup>X<sub>i</sub> = &sigma;<sup>2</sup> ja niiden keskiarvolle käytetään merkintää <math>\overline{X}_n</math>, niin

: <math>
    \overline{X}_n\ \xrightarrow{\text{i.p.}}\ \mu \qquad\textrm{kun}\ n \to \infty.
  </math>

Tämä merkitsee, että jokaiselle positiiviselle luvulle *&epsilon;* pätee:

: <math>
    \lim_{n\to\infty}\Pr\!\left(\,|\overline{X}_n-\mu| > \varepsilon\,\right) = 0.
  </math>

Tulos merkitsee oleellisesti, että valittiinpa mieli­­valtainen kuinka pieni positiivinen reaaliluku tahansa tarpeeksi suurella otoksella todennäköisyys, että havaintojen keskiarvo poikkeaa odotus­arvosta enemmän kuin tämän luvun verran eli jää sen välin ulkopuolelle, joka ulottuu odotus­arvosta kyseisen luvun verran kumpaankin suuntaan, lähestyy nollaa.

Tätä *stokastista konvergenssia* eli suppenemista *in probability* (i.p.) sanotaan myös satunnais­muuttujan *heikoksi konvergenssiksi*. Tätä suurten lukujen lain muotoa sanotaan heikoksi, koska satunnais­muuttujat voivat supeta heikosti (*in probability*) tässä selitetyllä tavalla, vaikka ne eivät suppenisikaan *vahvasti* (*melkein varmasti*) jäljempänä selitetyllä tavalla.

====Bernoullin lause====
Bernoullin lause on suurten lukujen lain kauimmin tunnettu muoto ja itse asiassa heikon suurten lukujen lain erikoistapaus. Se koskee [[toistokoe|toistokokeita]], joissa on vain kaksi mahdollista tulosta: jokin "suotuisa" tulos joko saadaan tai ei. Bernoullin lause sanoo, että jos tällainen koe suoritetaan  *n* kertaa ja joka kerta tämä suotuista tulos tietyllä toden­näköisyydellä *p*, toistokertojen lukumäärän kasvaessa toden­näköisyys, että sellaisten kertojen suhteellinen osuus, jolloin tämä tulos saadaan, poikkeaa *p*:stä enemmän kuin annetun vakion *ε* verran, lähestyy nollaa. Toisin sanoen:

:<math> \lim_{n\to\infty} \Pr\!\left(\,|f_n(a) - p| > \varepsilon\,\right) = 0</math>

Tällaisen toistokokeen suoritus­kerta voidaan nimittäin käsittää diskreetiksi, [[Bernoullin jakauma]]a noudattavaksi satunnais­muuttujaksi, joka voi saada vain kahta arvoa. Jos toista niistä merkitään luvulla 1, toista luvulla 0, ja arvo 1 saadaan joka kerta toden­näköisyydellä *p*, tämän satunnais­muuttujan odotus­arvo on *p*.

===Vahva suurten lukujen laki===

*'Vahva suurten lukujen laki** sanoo, että samoilla ehdoilla otoksen keskiarvo 
[[melkein varma konvergenssi|suppenee melkein varmasti]] (, lyh. ''a.s.'') kohti odotusarvoa. Jos ''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ... ''X''<sub>i</sub> on joukko pareittain riippumattomia, samoin jakautuneita satunnaismuuttujia, joilla on sama odotusarvo ''EX<sub>i</sub> = &mu; ja varianssi D<sup>2</sup>X<sub>i</sub> = &sigma;<sup>2</sup> ja niiden keskiarvolle käytetään merkintää <math>\overline{X}_n</math>, niin


: <math>
    \overline{X}_n\ \xrightarrow{\text{a.s.}}\ \mu \qquad\textrm{kun}\ n \to \infty.
  </math>

Toisin sanoen jono {''X''<sub>''n''</sub>} suppenee perusjoukon jokaisella alkeistapauksella lukuun ottamatta mahdollisesti tapahtumaa, jonka todennäköisyys on nolla, eli

: <math>
    \Pr\!\left( \lim_{n\to\infty}\overline{X}_n = \mu \right) = 1.
  </math>

Tämän todistus on monimutkaisempi kuin heikon lain. Laki oikeuttaa (Lebesguen mielessä integroituvien) satunnais­muuttujien tapauksessa odotusarvon intuitiivisen tulkinnan "pitkän aikavälin keskiarvona."

Melkein varmaa konvergenssia sanotaan myös satunnais­muuttujan vahvaksi konvergenssiksi. Tätä versiota sanotaan "vahvaksi laiksi", koska jokainen satunnais­muuttujien joukko, joka suppenee vahvasti (melkein varmasti), suppenee myös heikosti (''in probablity''). Vahvasta laista seuraakin heikko laki, mutta ei päin vastoin. Kun vahvan lain edellytykset täyttyvät, satunnais­muuttuja suppenee sekä vahvasti (melkein varmasti) että heikosti (''in probability'').  

Matemaatikkojen keskuudessa on esitetty näkemyksiä, että molemmat lait olisi yhdistettävä ja että heikolla suurten lukujen lailla sellaisenaan on vain vähän mielenkiintoa. Molemmille laeille on kuitenkin olemassa yleistyksiä, jotka osoittavat niiden pätevän tietyillä edellä esitettyjä yleisemmilläkin edellytyksillä. On sellaisiakin tapauksia, joissa heikon lain tulos pätee, mutta vahvan ei.

Vahvan suurten lukujen lain laajin yleistys on [[Kolmogorovin lause]], joka on samalla
[[välttämätön ehto]] satunnais­muuttujien keskiarvon melkein varmalle kongervenssille.
Jos ''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ... ''X''<sub>i</sub> on joukko pareittain riippumattomia, samoin jakautuneita satunnais­muuttujia, joilla on sama odotusarvo ''EX<sub>i</sub> = &mu;, niin

: <math>
    \overline{X}_n\ \xrightarrow{\text{a.s.}}\ \mu \qquad\textrm{kun}\ n \to \infty.
  </math>,

[[jos ja vain jos]] odotusarvo ''EX<sub>i</sub> = &mu; on olemassa.

===Erot vahvan ja heikon lain välillä ===
''Heikko laki'' sanoo, että annetulle suurelle luvulle ''n'' keskiarvo <math style="vertical-align:-.35em">\overline{X}_n</math> on toden­näköisesti lähellä arvoa &mu; Se jättää siis avoimeksi, voiko tapahtuma, jossa <math style="vertical-align:-.4em">|\overline{X}_n -\mu| > \varepsilon</math>, sattua vaikka äärettömän monta kertaa, joskin pitkin väliajoin.

''Vahva laki'' osoittaa, että niin [[melkein varma tapahtuma|melkein varmasti]] ei tapahdu. Erityisesti siitä seuraa, että todennäköisyydellä 1 jokaiselle  epäyhtälö <math style="vertical-align:-.4em">|\overline{X}_n -\mu| < \varepsilon</math> pätee kaikilla riittävän suurilla arvoilla ''n''.

Seuraavissa tapauksissa vahva suurten lukujen laki ei päde, heikko laki kylläkin.


1.  Olkoon x [[eksponenttijakauma|eksponentti­jakautunut]] satunnais­muuttuja parametrin arvolla 1. Silloin siitä johdetun satunnaismuuttujan :<math>\frac{\sin(x)e^x}{x}</math> odotusarvo on 

: <math> E\left(\frac{\sin(x)e^x}{x}\right) =\ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(x)e^x}{x}e^{-x}dx = \frac{\pi}{2} </math>

2. Olkoon x [[geometrinen jakauma|geometrisesti jakautunut]] satunnaismuuttuja parametrin arvolla 0,5. Silloin on 

: <math> E\left(\frac{2^x(-1)^x}{x}\right) =\ \sum_{1}^{\infty}\frac{2^x(-1)^x}{x}2^{-x}=-\ln(2) </math>

3. <math> 1-F(x)=\frac{e}{2x\ln(x)},x \ge e  </math>

: <math>  F(x)=\frac{e}{-2x\ln(-x)},x \le -e </math>

===Uniforminen suurten lukujen laki===
Olkoon ''f''(''x'',''&theta;'') jokin joukossa &Theta; määritelty [[jatkuva funktio]]. Olkoon lisäksi jokaisella arvolla <math>\theta \in \Theta</math> jono {''f''(''X''<sub>1</sub>,''&theta;''), ''f''(''X''<sub>2</sub>,''&theta;''), …} 
sellainen jono riippumattomia ja samoin jakautuneita satunnais­muuttujia, että tämä jono konvergoi stokastisesti (''in probability'') kohti arvoa to E[''f''(''X'',''&theta;'')]. Tällaista sanotaan ''pisteittäiseksi'' konvergenssiksi &Theta;:ssa.

**Uniforminen suurten lukujen laki** osoittaa ehdot, joilla tämä [[tasainen suppeneminen|suppeneminen tapahtuu tasaisesti]] joukossa &Theta;. Jos



# &Theta; on kompakti,
# ''f''(''x'',''&Theta;'') on jatkuva jokaisessa pisteessä <math>\theta \in \Theta</math> 
[[Melkein kaikkialla|melkein kaikilla]] arvoilla ''x'' ja se on jokaisella &theta;:n arvolla ''x'':n [[mitallisuus|mitallinen]] funktio
# on olemassa sellainen [[dominoivan konvergenssin lause|dominoiva]] funktio ''d''(''x''), että E[''d''(''X'')] < ∞, ja
#: <math> \left\| f(x,\theta) \right\| \leq d(x) \quad\text{kaikilla}\ \theta\in\Theta.</math>

Silloin E[''f''(''X'',''&theta;'')] on jatkuva joukossa ''&Theta;'', ja

: <math>
    \sup_{\theta\in\Theta} \left\| \frac1n\sum_{i=1}^n f(X_i,\theta) - \operatorname{E}[f(X,\theta)] \right\| \xrightarrow{\mathrm{a.s.}} \ 0.
  </math>

Tulos on käyttökelpoinen laajojen [[estimaattori]]en luokan johtamisessa.

===Borelin suurten lukujen laki===

**Borelin suurten lukujen laki*', joka on nimetty [[Émile Borel]]in mukaan, sanoo, että jos jokin koe toistetaan suuri määrä kertoja, toisistaan riippumatta saman­laisissa olosuhteissa, niiden kertojen lukumäärä, jolloin tietty tapahtuma esiintyy, on liki­pitäen yhtä suuri kuin tapahtuman todennäköisyys kullakin kerralla; mitä suurempi toistojen lukumäärä on, sitä parempi likiarvo saadaan. Tarkemmin sanottuna, jos *E* merkitsee kyseistä tapahtumaa, *p* sen toden­näköisyyttä ja *Nn*(*E*) niiden kertojen lukumäärää, joilla tapahtuma *E* sattuu *n* ensimmäisen toisto­kerran aikana, niin toden­näköisyydellä 1 pätee: 

: <math> \frac{N_n(E)}{n}\to p\text{ as }n\to\infty.\, </math>

Tämä voidaan todistaa [[Tšebyšovin epäyhtälö]]n avulla: Olkoon *X* [[satunnaismuuttuja]], jolla on äärellinen [[odotusarvo]] *&mu; ja äärellinen nollasta poikkeava varianssi *&sigma;<sup>2</sup>. Silloin jokaiselle
[[reaaliluku|reaali­luvulle]]  pätee
: <math>
    \Pr(|X-\mu|\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}.
  </math>

Tulos vahvistaa intuitiivisen käsityksen toden­näköisyydestä tapahtuman esiintymisen pitkäaikaisena suhteellisena frekvenssinä. Se on erikois­tapaus useista toden­näköisyys­teoriassa esiintyvistä yleisimmistä suurten lukujen lain versioista.

==Todistus==
Olkoon *X*<sub>1</sub>, *X*<sub>2</sub>, ... on päättymätön jono riippumattomia ja samoin jakautuneita satunnais­muuttujia, joiden odotus­arvo on *E(X*<sub>1</sub>*)* = *E(X*<sub>2</sub>*)* = ... = &mu; < ∞. Tutkitaan otoksen keskiarvon 

:<math>\overline{X}_n=\tfrac1n(X_1+\cdots+X_n). </math>

suppenemista. Heikko suurten laki merkitsee tällöin seuraavaa:

<math>\overline{X}_n \, \xrightarrow{P} \, \mu \qquad\textrm{kun}\qquad n \to \infty.</math>

===Todistus Tšebyšovin epäyhtälön avulla===
Tämä todistus edellyttää, että satunnais­muuttujilla on äärellinen [[varianssi]] <math> \operatorname{Var} (X_i)=\sigma^2 </math> (kaikilla <math>i</math>). Satunnais­muuttujien riippumattomuus merkitsee, ettei niiden välillä ei ole [[korrelaatio]]ta, ja tällöin on

:<math>
\operatorname{Var}(\overline{X}_n) = \operatorname{Var}(\tfrac1n(X_1+\cdots+X_n)) = \frac{1}{n^2} \operatorname{Var}(X_1+\cdots+X_n) = \frac{n\sigma^2}{n^2} = \frac{\sigma^2}{n}.
</math>

Sarjan yhteinen keskiarvo &mu; on otoksen keskiarvon odotusarvo:

:<math>
E(\overline{X}_n) = \mu.
</math>

Soveltamalla [[Tšebyšovin epäyhtälö]]ä keskiarvoon <math>\overline{X}_n </math> saadaan:

:<math>
\operatorname{P}( \left| \overline{X}_n-\mu \right| \geq \varepsilon) \leq \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}.
</math>

Tästä seuraa edelleen:

:<math>
\operatorname{P}( \left| \overline{X}_n-\mu \right| < \varepsilon) = 1 - \operatorname{P}( \left| \overline{X}_n-\mu \right| \geq \varepsilon) \geq 1 - \frac{\sigma^2}{n \varepsilon^2 }.
</math>

Kun *n* kasvaa rajatta, tämä lauseke lähestyy arvoa 1. Stokastisen konvergenssin (*in probability*) määritelmän mukaan tämä osoittaa, että 

:<math>\overline{X}_n \, \xrightarrow{P} \, \mu \qquad\textrm{kun}\qquad n \to \infty.</math> 
[[M.O.T.]].

===Todistus karakterististen funktioiden suppenemisen avulla===
[[Kompleksifunktio]]ita koskevan [[Taylorin lause]]en mukaan minkä tahansa satunnais­muuttujan *X* [[karakteristinen funktio]] äärellisellä keskiarvolla &mu; voidaan kirjoittaa muotoon

:<math>\varphi_X(t) = 1 + it\mu + o(t), \quad t \rightarrow 0.</math>

Kaikilla satunnais­muuttujilla *X*<sub>1</sub>, *X*<sub>2</sub>, ... on sama karakteristinen funktio, joten käytetään sille yksinkertaisesti merkintää *φ*<sub>*X*</sub>.

Karakteristisen funktion perusominaisuuksiin kuuluu, että 


:<math>\varphi_{\frac 1 n X}(t)= \varphi_X(\tfrac t n) \quad \text{ja} \quad
 \varphi_{X+Y}(t)=\varphi_X(t) \varphi_Y(t) \quad </math> jos *X* ja *Y* ovat riippumattomat.

Näiden sääntöjen avulla voidaan laskea keskiarvon <math>\scriptstyle\overline{X}_n</math> karakteristinen funktio *φ*<sub>*X*</sub>:n avula:

:<math>\varphi_{\overline{X}_n}(t)= \left[\varphi_X\left({t \over n}\right)\right]^n = \left[1 + i\mu{t \over n} + o\left({t \over n}\right)\right]^n \, \rightarrow \, e^{it\mu}, \quad \text{as} \quad n \rightarrow \infty.</math>

Raja-arvo &nbsp;*e*<sup>*it''&mu;&nbsp; on vakioarvoisen satunnaismuuttujan &mu; karakteristinen funktio, ja näin ollen Lévyn jatkuvuuslauseen mukaan  \scriptstyle\overline{X}_n lähestyy rajajakaumaa &mu;:

:\overline{X}_n \, \xrightarrow{\mathcal D} \, \mu \qquad\text{kun}\qquad n \to \infty.

Tässä &mu; on vakio, mistä seuraa, että jakaumakonvergenssi kohti &mu;:tä ja stokastinen konvergenssi kohti &mu;:tä ovat yhtäpitäviä ominaisuuksia. Sen vuoksi

:\overline{X}_n \, \xrightarrow{P} \, \mu \qquad\text{kun}\qquad n \to \infty.

Tämä osoittaa, että otoksen keskiarvo konvergoi stokastisesti kohti karakteristisen funktion derivaattaa origoissa niin kauan kuin sellainen on olemassa.

## Katso myös
* Keskeinen raja-arvolause
* Äärettömän apinajoukon lause
* Pienten lukujen laki

## Lähteet

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

### Viitteet

## Aiheesta muualla

* 
* 
*