Neliöjuuri

**Neliöjuuri** on matematiikkaan, sekä aritmetiikkaan että algebraan, liittyvä laskutoimitus. Luvun x neliöjuuri \sqrt {x} on se ei-negatiivinen luku, joka itsellään kerrottuna on x. Esimerkiksi kokonaisluvun 25&nbsp;  (= 5 \cdot 5) neliöjuuri on 5. 

Sana *neliöjuuri* viittaa *neliöyhtälön [[nollakohta|juureen]]*. Yllä esitetty ongelma voidaan algebrassa pukea yhtälöksi x^2 = 25, &nbsp;jonka ratkaisu on &nbsp;x = \pm \sqrt {25} = \pm 5. Tällainen yhtälö on perinteisesti ratkaistu neliöjuuren avulla, vaikka ennen muinoin ei negatiivisia lukuja annettukaan tulokseksi. 

Neliöjuuri määritellään aritmetiikassa yhtälön sijasta ensin mainitulla tavalla:
:\sqrt {a} = b \Leftrightarrow a = b^2 \land b \ge 0
eli (vasemmalta oikealle) "b&nbsp; on &nbsp;a:n neliöjuuri, mikäli &nbsp;a&nbsp; on &nbsp;b^2&nbsp; ja &nbsp;b&nbsp; on ei-negatiivinen".

## Kokonaisluvun neliöjuuri
### Luonnolliset eli positiiviset kokonaisluvut
Luku on neliöluku, jos se voidaan esittää kokonaisluvun neliönä. Neliölukujen neliöjuuret ovat luonnollisia lukuja. Esimerkiksi 9 on 3:n neliöluku ja siten 
:\sqrt {9} = 3, koska sekä &nbsp;3 \geq 0&nbsp; että &nbsp;3^2 = 3\cdot 3 = 9.

Vaatimus, että neliöjuuren tulos on positiivinen eli \sqrt {a} \ge 0, tulee aina muistaa ja siihen voi myös määritelmän takia vedota.

Muiden luonnollisten lukujen, jotka eivät olleet neliölukuja, neliöjuuret ovat irrationaalisia. Siten alkulukujen neliöjuuret ovat irrationaalilukuja, samoin erilaisten alkulukujen tulojen neliöjuuret muodostavat irrationaaliluvut. Lopulliseksi rationaalisuusehdoksi voidaan muotoilla: "Jos luonnollinen luku voidaan jakaa tekijöihin niin, että kaikki tekijät ovat neliölukuja, on luvun neliöjuuri luonnollinen luku".

Edellinen päättely johtuu seuraavasta **tulon neliöjuuren** laskulaista:
:\sqrt {ab} = \sqrt{a} \sqrt{b}, &nbsp;koska sekä &nbsp;\left ( \sqrt{a} \sqrt{b} \right ) ^2 = \sqrt{a} ^2 \sqrt{b} ^2 = ab&nbsp; että &nbsp;\sqrt{a} \sqrt{b} \ge 0.
Siksi &nbsp;\sqrt{180} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5} =\sqrt {2^2 \cdot 3^2 \cdot 5}=\sqrt {2^2}\sqrt {3^2}\sqrt {5}=2 \cdot 3 \cdot \sqrt {5}= 6 \sqrt {5}&nbsp; on tekijän &nbsp;\sqrt {5}&nbsp; takia irrationaalinen.

### Nolla
Nollan neliöjuuri on nolla, koska
:\sqrt{0} = 0 \Leftrightarrow 0^2 = 0&nbsp; sekä &nbsp;0 \ge 0.

### Negatiiviset kokonaisluvut
Negatiivisilla kokonaisluvuilla neliöjuuri ei ole määritelty reaalilukujen joukossa. Jos merkitään yksinkertaisesti 
: \sqrt{-1} = i,
missä i on imaginääriyksikkö, voidaan negatiivisen luvun arvo laskea *tulon neliöjuuren* avulla
:\sqrt{-a} = \sqrt{-1 \cdot a} = \sqrt{-1}\sqrt{a} = i\sqrt{a}.

### Neliöjuuret 20 ensimmäiselle luonnolliselle luvulle

## Rationaaliluvut
Rationaalilukujen neliöjuuria voi laskea murtolukumerkinnän avulla. Silloin tulee soveltaa **osamäärän neliöjuuren** laskukaavaa:
:\sqrt {\frac {a}{b}} = \frac {\sqrt{a}} {\sqrt{b}}, &nbsp;koska sekä &nbsp;\left ( \frac {\sqrt{a}} {\sqrt{b}} \right ) ^2 = \frac {\sqrt{a} ^2} {\sqrt{b} ^2} = \frac {a}{b}&nbsp; että &nbsp;\frac {\sqrt{a}} {\sqrt{b}} \ge 0.
Positiivisen luvun \frac {9}{25} neliöjuuri \sqrt {\frac {9}{25}} = \frac {\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5} on rationaalinen, mutta \sqrt {\frac {8}{16}} =\sqrt {\frac {1}{2}} = \frac {\sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} taas irrationaalinen. Negatiivisten rationaalilukujen neliöjuuret ovat nytkin imaginäärilukuja.

## Reaaliluvut
Reaalilukujen neliöjuuret voidaan laskea tarkasti jonkin algebrallisen yhtälön tai neliöjuurien laskukaavan avulla. Tulos on silloinkin irrationaalinen ja joskus harvoin ratio- tai kokonaisluku. Jos neliöjuuren likiarvo riittää, voidaan soveltaa erilaisia numeerisia laskumenetelmiä, joita on ohjelmoitu laskimiin. Laskimen tulos, joka lasketaan 10 desimaalin tarkkuudella, on tosiasiassa vain rationaaliluku ja siten neliöjuuren tarkan arvon likiarvo. Negatiivisen reaaliluvun neliöjuuri on imaginaariluku. Vanhin tunnettu numeerinen laskumenetelmä on yli 2500 vuotta vanha babylonialainen iteraatiomenetelmä, joka on ensimmäinen alla esitellyistä algoritmeistä.

Reaaliluvun neliöjuuren arvon voi laskea käyttämällä eksponenttifunktioita seuraavaan tapaan:
:\sqrt{a} = e^{\frac {\ln a}{2}}&nbsp;&nbsp; tai &nbsp;&nbsp;\sqrt{a} = 10^{\frac{\lg a}{2}}.

Päättymättömällä Taylorin sarjalla voi laskea luvun neliöjuuren, kunhan lisäys x on |x| \leq 1: 
: \begin{align}
\sqrt{1+x} = \sum_{n=0}^\infty \binom{1/2}{n}\,x^n
  &= \sum_{n=0}^\infty \binom{2n}{n}\,
   \frac{ (-1)^n }{ (1-2n)\, 4^n }\,x^n\\ = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^n
 &=  1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 \pm \dots
\end{align}

### Yleisiä ominaisuuksia reaalilukujen neliöjuurille
Olkoot a ja b reaalilukuja, jolloin ne voivat olla myös rationaali- ja kokonaislukuja. Lausekkeiden sieventämisessä voidaan hyödyntää muun muassa seuraavia laskulakeja: 

### Neliöjuuren poistaminen nimittäjästä
Suomen kouluissa on opetettu pitkään, että lausekkeessa oleva neliöjuuri tulee laventaa pois nimittäjästä. Tähän oli syynä se, että ennen taskulaskinten aikakautta mahdollinen likiarvon laskeminen oli helpompaa, jos monidesimaalinen juuren likiarvo oli jaettavana eikä jakajana. Laskinten yleistyttyä tämä perustelu on menettänyt merkityksensä, mutta neliöjuuren laventamista osoittajaan vaaditaan usein edelleen.

## Kompleksiluvut
Kompleksiluvut z ovat reaaliluvun a ja imaginaariluvun bi&nbsp; summa &nbsp;z = a + bi. 

### Reaali- ja imaginaariosan avulla

Koska

:(x + yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi,

voidaan kompleksiluvun neliöjuurelle johtaa lauseke ratkaisemalla toisen asteen yhtälöpari:

:x^2 - y^2 = a
:2xy = b.

Ratkaisuiksi saadaan:

x = \pm \sqrt{\frac{a \pm \sqrt{a^2 + b^2}}{2}}
y = \pm \sqrt{\frac{-a \pm \sqrt{a^2 + b^2}}{2}}

Koska 2xy = b, on *x*:llä ja *y*:llä sama etumerkki, jos *b* on positiivinen, muussa tapauksessa niillä on vastakkaiset etumerkit. Koska toisaalta kompleksiluvun *z* = *a* + *bi* itseisarvo on \sqrt{a^2 + b^2}, todetaan, että yhtälön (x + yi)^2 = a + bi toteuttavat kompleksiluvut ovat:

:\sqrt{a + ib} = \pm (\sqrt{\frac{|z| + a}{2}} + i \frac{b}\sqrt{\frac{|z| - a}{2}}),

kun b \ne 0 eli *z* ei ole reaaliluku.

Esimerkiksi imaginaariyksikön *i* neliöjuuren arvoiksi saadaan:

:\sqrt{i} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \pm  i\frac{\sqrt{2}}{2} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).

Tavallisesti määritellään lisäksi, että kompleksiluvun neliöjuurella tarkoitetaan näistä nimenomaan sitä, jonka reaaliosa on positiivinen.

### Napakoordinaateissa

Yksinkertaisemmin kompleksiluvun neliöjuuri saadaan kuitenkin muuntamalla se napakoordinaatiston esitysmuotoon kaavalla
:z = a + bi = r(\cos \theta + i \sin \theta)
ja soveltaa tähän de Moivren kaavaa
:\sqrt {z} = \sqrt{a + bi} = r^{\frac{1}{2}}(\cos \frac{\theta+2k\pi}{2} + i \sin \frac{\theta+2k\pi}{2})&nbsp;,
missä k = 0 ja 1. Kompleksilukujen neliöjuuria on siten kaksi yhtä aikaa eli &nbsp;r^{\frac{1}{2}}(\cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2})&nbsp;&nbsp; ja &nbsp;&nbsp;r^{\frac{1}{2}}(\cos \frac{\theta+2\pi}{2} + i \sin \frac{\theta+2\pi}{2}). 

Jos kompleksilukua merkitään potenssimuodossa
: z=r e^{\varphi i} \text{, jossa } -\pi 
saadaan neliöjuureksi
:\sqrt{z} = \sqrt{r} \, e^{i \varphi / 2}.

## Sovelluksia
### Neliö ja kolmio

Neliön lävistäjän ja sivun pituuksien suhde on \sqrt{2}. Jos neliön sivut ovat 1, on lävistäjä suoraan \sqrt{2}. Kuution, jonka sivut ovat 1, avaruuslävistäjä on \sqrt{3}. 

Neliön pinta-alan A avulla saadaan neliön sivun s pituudeksi s = \sqrt{A}. 

Pythagoraan lauseen mukaan jos suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat *a* ja *b*, sen hypotenuusan pituus on c = \sqrt{a^2 + b^2}. 

Tasasivuisen kolmion korkeus on sen sivun pituus kerrottuna luvulla \frac {\sqrt{3}}{2}, ja sen pinta-ala on sen sivun neliö kerrottuna luvulla \frac {\sqrt{3}}{4}. 

### Muuta
Kahden luvun a&nbsp; ja &nbsp;b geometrinen keskiarvo eli **keskiverto** on \sqrt {ab} . Se toteuttaa verrannon \frac {a}{x} = \frac {x}{b}. 

Kahden peräkkäisen luonnollisen luvun neliöjuurien erotus on sitä pienempi, mitä suuremmista luvuista on kysymys. Eli kun esim. kolmea peräkkäistä lukua merkitään n-1, n, n+1:

:  \sqrt {n + 1} - \sqrt n .

## Historiaa

Neliöjuuri tunnettiin laskuoperaationa muinaisissa sivilisaatioissa, joissa käytiin kauppaa ja rakennettiin runsaasti. Tällaisia seutuja olivat Kaksoisvirran maan niin sanotut babylonialaiset valtakunnat, jossa opetettiin neliöjuuren laskemista ainakin 2000 eaa. – 600 eaa. Näiden nuolenpääkirjoitusta sisältäneitä savitauluja opittiin lukemaan vasta 1930-luvulla. Eräässä savitaulusta vuodelta 1800 eaa. – 1600 eaa., joka on Yalen yliopiston kokoelman taulu numero 7289, on merkitty \sqrt {2}:n likiarvoksi 1;24,51,10 (seksagesimaalijärjestelmä) eli 1,414222 (desimaalijärjestelmä). Tämä arvo poikkeaa tarkasta arvosta 0,000&nbsp;008. Babylonialainen algoritmi neliöjuuren ratkaisemiseksi oli varsin moderni, ja se on selostettu alempana. Edellä mainittu tulos on saatu alkuarvauksella 1;30, jolla on sitten iteroitu kahdesti. 

Kaksoivirran maan naapurikansoja idässä ja pohjoisessa olivat persialaiset, elamilaiset ja induslaiset. Vaikka he kaikki oppivat kirjoittamaan hyvin varhain, ei kahdelta ensin mainitulta ole jäänyt vanhoja matematiikkaa esittelevia kirjoituksia. Induskulttuuri ilmeisesti säilyttivät babylonialaisten matematiikan taitoja, mutta vasta 500-luvulta jaa. on säilynyt tekstejä. Vaikka vaikutteita oli haettu Välimereltä, ja annettukin sinne, on intialaisten matematiikassa ollut omaperäisiä piirteitä. Aryabhata kirjoitti tehtäväkokoelmia, joissa hän tarjosi matemaattisia pähkinöitä ja esitteli laskualgoritmeja runollisesti esitettynä monelta eri alalta. Näiden joukossa olivat tavat laskea neliöjuuri ja kuutiojuuri eri kokonaisluvuille. 

Ennen Kaksoisvirtain maan kansojen savitaulujen tulkintaa oletettiin vasta antiikin kreikkalaisten keksineen neliöjuuren laskemiseen käytettävän algoritmin. Kunnia neliöjuuren laskemiseen keksimisestä on annettu Heronille (100 jaa.) tai Arkhytaalle (428–365 eaa.). Vaikka kreikkalaisten muistiinpanoissa viitattiin muinaiseen Egyptiin matematiikan keksimisen kehtona, eivät egyptiläiset tunteneet löydettyjen papyruksien valossa Pythagoraan lausetta eivätkä liioin neliöjuurten laskualgoritmia. 

Arabit valloittivat laajat alueet Lähi-idässä 600-luvulta lähtien ja perustivat valtakuntia, jotka 800-luvulta lähtien alkoivat julkaista islamilaista kirjallisuutta. Kalifit hankkivat käsiinsä helleenien ja hellenistien käsikirjoituksia ja antoivat kääntää niitä arabiaksi. 800-luvulta alkaen islamilaisessa maailmassa alkoi lähinnä persialaisten tutkijoiden voimin matematiikan tutkimus, joka vei  sen johtoon koko maailmassa 1400-luvulle asti.  Myös Euroopassa kuuluisaksi tullut Muhammad ibn-Musa al-Khwarizmi kirjoitti 800-luvulla useita teoksia. Näissä hän esitteli intialaiset numerot, hellenistien unohtuneet geometrian taidot ja tietenkin juuren käyttö algebran laskuissa. 

Myös kiinalainen matematiikka on hyvin vanhaa. Sitä esitellään 300–200 eaa. kirjoitetuissa kahdessa opuksessa, joiden sisältöä on säilynyt nykypäiviin asti. Toisessa, nimeltään *Tšiu-tšang suan-su* eli *Yhdeksän matematiikan taitoja käsittelevää lukua*, on nykyihmisellekin tuttuja neliö- ja kuutiojuuren laskusääntöjä. Siinä merkittiin juuret desimaalijärjestelmän avulla kaavojen &nbsp;\sqrt {a} = \sqrt {100a}/10&nbsp; ja &nbsp;\sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{1000a}/10&nbsp; mukaisesti, jotta laskut olisivat helpompia suorittaa. 

Neliöjuuren symbolia \sqrt{\;} käytettiin ensimmäisen kerran 1525 Christoph Rudolff'in kirjassa *Coss*. Se on oletettavasti muotoutunut pienestä r-kirjaimesta. Latinan sana *radix* tarkoittaa juurta.

## Miten lasketaan neliöjuuren arvo?

Neliöjuurelle voi saada likiarvoja erilaisten kaavojen ja algoritmien avulla.

### Iteraatio

Esimerkiksi muinaiset babylonialaiset käyttivät seuraavaa algoritmia laskiessaan \sqrt{x}:
# Valitaan mielivaltainen positiivinen luku an. Mitä lähempänä juurta sen parempi
# Valitaan uudeksi luvuksi an+1 lukujen an ja x/an aritmeettinen keskiarvo
# Toistetaan kohta 2

Lasketaan tämän avulla likiarvo neliöjuuri kahdelle, \sqrt{2}:

#Valitaan esimerkiksi a0 = 1.
#Lasketaan c = (a0 + 2/a0)/2 = (1+2)/2 = 3/2 = 1,5.
#Valitaan nyt a1 = 1,5.
#Lasketaan c = (a1 + 2/a1)/2 = (3/2 + 4/3)/2 = 17/12
#Valitaan a2 = 17/12
#Lasketaan c = (a2 + 2/a2)/2 = (17/12 + 24/17)/2 = 577/408
#Valitaan a3 = 577/408 ≈ 1,41421  

Jatketaan loputtomiin. Neljän askeleen jälkeen saatiin likiarvo 1,41421, missä on viisi oikeaa desimaalia.

Tämä algoritmi voidaan kirjoittaa myös lukujonomuodossa:
:a_0 = 2, a_{n+1} = \frac{a_n + \frac{2}{a_n}}{2}

Määritelty lukujono (an) lähestyy arvoa \sqrt{2}, kun n lähestyy ääretöntä.

### Haarukointi
Haarukoinnilla tarkoitetaan välien puolittamista siten, että haluttu arvo on aina jommassakummassa puolikkaassa. Haetaan esimerkkinä taas likiarvo luvulle \sqrt{2}.

# Valitaan lähtöväliksi esimerkiksi [a,b] = [1 ; 2]. Välin keskipisteeksi saadaan c = 1,5.
# On löydetty kaksi väliä: [a,c] = [1 ; 1,5] ja [c,d] = [1,5 ; 2]. Koska (1,5)2=2,25 &gt;2, \sqrt{2} ∈ [1 ; 1,5].
# Valitaan uudeksi väliksi siis [a1,b1] = [1 ; 1,5]. Välin keskipiste c1 = 1,25.
# Jälleen kaksi väliä: [a1,c1] = [1 ; 1,25], [c1,b1] =[1,25 ; 1,5]. Koska (1,25)2 = 1,5625 &lt; 2, \sqrt{2} ∈ [1,25 ; 1,5].
# Valitaan uudeksi väliksi siis [a2,b2] = [1,25 ; 1,5]. Välin keskipiste c2 = 1,375.
kaksi väliä: [a2,c2] = [1,25 ; 1,375], [c2,b2] =[1,375 ; 1,5]. Koska (1,375)2 ≈ 1,89 &lt; 2, \sqrt{2} ∈ [1,375 ; 1,5].
#Jatkamalla näin lähestytään arvoa (laskin) \sqrt{2} ≈ 1,41421...

### Kaavalla arvioiminen
Neliöjuurta voi arvioida algebrallisella kaavalla.

Tiedetään, että (a+ (b/2a))2 = a2 + b + (b2/4a2). Kun a &gt;0 ja b&gt;0 ja c = a2 + b, saadaan luvun c neliöjuurelle arvion \sqrt{c} = \sqrt{a^2 + b} \approx \sqrt{a^2 + b + (b^2/4a^2)} = \sqrt{(a + (b/2a))^2} = a + (b/2a) .

Kaava (1) √(a2 + b) ≈ a + (b/2a)
Esimerkiksi: √7 = √(22+3) ≈ 2 + 3/(2*2) = 11/4 = 2,75.

Toinen kaava (2) √(a2 - b) ≈ a - (b/2a).

Toistamalla tätä menettelyä ja valitsemalla kaava (1) (jos saatu juuri on liian pieni) ja kaava (2) (jos liian suuri) saadaan parempia ja parempia rationaalisia likiarvoja neliöjuuren arvolle.

Esimerkin jatkoa:
Koska (2,75)2 &gt; (2,7)2 = 7,29 &gt; 7, valitsemme kaava (2).

√7 = √((11/4)2 - (9/16)) ≈ (11/4) - (9/16) / (22/4) = 233/88 ≈ 2,648.

Ja niin edelleen.

(laskin) \sqrt{7} ≈ 2{,}64575...

### "Juurikulmassa"
Neliöjuuren ja muiden juurten voi laskea tuttua jakolaskualgoritmia muistuttavalla tavalla. "Juurikulma" perustuu tutulle identititeetille:
:(1)\ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
Algoritmin etuna on se, että jokaisen askeleen jälkeen saadaan oikea desimaali ja sitä myötä täsmällinen rationaalinen likiarvo.

"Juurikulman" perustana oleva algoritmi voidaan selittää seuraavasti:

:Oletetaan, että halutaan laskea arvon neliöjuuri 144:stä eli \sqrt{144}.
::Tiedetään, että 100 &le; 144, joten 10\le \sqrt{144}.
::Käytetään nyt kaavaa (1) ja sijoitetaan siihen a = 10, b = r:

:::(10 + r)^2 \le 144
:::100 + 20r + r^2\le 144
:::20r + r^2\le 144 - 100 = 44
:::r(20 + r)\le 44

::Nyt kysymys: mikä on suurin luonnollinen luku r, joka toteuttaa ehdon r(20 + r)\le 44?
::Selvästi r = 2.
::Tässä tapauksessa "jako" menee tasan, eli 2(20 + 2) = 44 ja siten siis 12^2 = 144 ja \sqrt{144} = 12

::Sama lasku "juurikulmassa" tapahtuu seuraavasti:

:::Jaetaan ensin juurrettava luku kahden numeron osiin desimaalipilkusta alkaen:
:::144 = 1 44 ja sovelletaan yllä kuvattua algoritmia.

  1  2
 |1 44
 -1    (=12) 
  0 44
   -44 (=2*(20+2))
     0

:::Toinen esimerkki \sqrt{7}:
:::Jaetaan taas juurrettava kahden numeron osiin:
:::7 = 7, 00 00 00 00 00 

  2,  6  4  5  7
 |7, 00 00 00 00
 -4                    (= 22)                                               2
  3 00                                                                      2
 -2 76                 (= 6 * (2 * 20 + 6) = 6 * 46)                        46
    24 00                                                                    6
   -20 96              (= 4 * ((400 + 2 * 60) + 4) = 4 * 524)               524
     3 04 00                                                                  4
    -2 64 25           (= 5 * ((5200 + 2 * 40) + 5) = 5 * 5285)             5285
       39 75 00                                                                5
      -37 03 49        (= 7 * (((52800 + 2 * 50) + 7) = 7  * 52907)         52907
        2 71 51                                                                 7
                                                                            52914_

:::Saadaan likiarvo \sqrt{7} ≈ 2,6457. Huomaa oikeimpana kulkeva lukusarja!

### Neliölukujen avulla
Lukuja 1, 4, 9, 16, 25,... sanotaan neliöluvuiksi. Neliöluvut ovat niin sanottuja kuviolukuja.

Neliölukujen avulla saadaan mielenkiintoinen tapa laskea neliöjuuria. Se perustuu siihen, että jokainen neliöluku on peräkkäisten parittomien lukujen summa. Tämä nähdään esimerkiksi algebrallisesti:

\sum_{k=1}^n (2k - 1) = \sum_{k=1}^n {2k} - \sum_{k=1}^n {1} = 2\sum_{k=1}^n {k} - \sum_{k=1}^n {1} = 2\left(\frac{n(n+1)}{2}\right) - n= n(n+1) - n = n^2.

Selvemmin mainittu yhteys nähdään esimerkiksi alla olevasta kuviosta:

 1   *    4   **  = *  *  = 1 + 3   9   *** = *  *   * = 1 + 3 + 5
              **      **                ***     **   *
                                        ***        ***

 16   **** = *  *   *    *      = 1 + 3 + 5 + 7
      ****     **   *    *
      ****        ***    *
      ****            ****

Ja niin edelleen.

Sama toimii toiseenkin suuntaan: vähentämällä luvusta parittomia lukuja saadaan luvun neliöjuuri tai sen likiarvo.

**Esimerkki <math>\sqrt{25}</math>:**
 
:Luvuilla:
::(1)   25 - 1 = 24
::(2)   24 - 3 = 21
::(3)   21 - 5 = 16
::(4)   16 - 7 =  9
::(5)    9 - 9 =  0

::Viisi vähennyslaskua:
::\sqrt{25} = 5

:Kuvioilla:
 (0) *****   (1)  ****   (2)   ***   (3)    **   (4)     *   (5) 
     *****       *****         ***          **           *       
     *****       *****       *****          **           *       
     *****       *****       *****       *****           *       
     *****       *****       *****       *****       *****       

Yllä olevassa esimerkissä vähennys meni tasan, ja saatiin tarkka arvo. Samalla algoritmilla voidaan kuitenkin laskea myös likiarvoja juurelle.

**Esimerkki <math>\sqrt2</math>:**

:(1)    2 - 1 = 1

::Vähennys loppuu tähän, koska 1 - 3 on negatiivinen: \sqrt{2} ≈ 1.

::Lisätään vähennysjäännöksen (1) perään kaksi nollaa (100) (vertaa "juurikulma").
::Lasketaan viimeisen vähennetyn (1) ja ensimmäisen ei-vähennetyn (3) aritmeettinen keskiarvo: (1+3)/2=2.
::Kerrotaan keskiarvo 10:llä (20).
::Jatketaan vähennystä seuraavasta parittomasta (21)

:(1)   100 - 21 = 79
:(2)    79 - 23 = 56
:(3)    56 - 25 = 31
:(4)    31 - 27 =  4

::Vähennys loppuu tähän, koska 4 - 27 on negatiivinen: \sqrt{2} ≈ 1,4

::Tehdään kuten edellä: 4 → 400, 10*((27+29)/2) + 1 = 281

:(1)  400 - 281 = 119

::Vähennys loppuu tähän, koska 119 - 283 on negatiivinen: \sqrt{2} ≈ 1,41

::Tehdään kuten edellä: 119 → 11900, 10*((281+283)/2) + 1 = 2821

:(1) 11900 - 2821 = 9079
:(2)  9079 - 2823 = 6256
:(3)  6256 - 2825 = 3431
:(4)  3431 - 2827 =  604

::Vähennys loppuu tähän, koska 604 - 2829 on negatiivinen: \sqrt{2} ≈ 1,414

::Tehdään kuten edellä: 604 → 60400, 10*((2827+2829)/2) + 1 = 28281

:(1) 60400 - 28281 = 32119
:(2) 32119 - 28283 = 3836

::Vähennys loppuu tähän, koska 3836 - 28285 on negatiivinen: \sqrt{2} ≈ 1,4142...

## Neliöjuuren määritelmän muuttuminen 2000-luvulla
Vielä 1900-luvulla neliöjuuri määriteltiin oppikirjoissa yleisesti kaksihaaraisena, eli nykyisen määritelmän epänegatiivisuusehto puuttui. Tällöin positiiivista arvoa kutsutaan neliöjuuren pää- ja negatiivista sivuhaaraksi. Nykyisen määritelmän etu on, että yksihaaraisena neliöjuuri täyttää klassisen funktion määritelmän.

## Katso myös
*Juuri (laskutoimitus)
*Kuutiojuuri
*Neliö (algebra)

## Lähteet
*
* ,  (eBook)
*

### Viitteet

## Kirjallisuutta
* 

## Aiheesta muualla

* Ohjeet: Miten laskea neliöjuuri käsin?, 1998