Simpsonin sääntö

**Simpsonin sääntö** on numeerinen menetelmä, jolla voidaan approksimoida määrättyä integraalia, kun integroitavan funktion integraalifunktiota ei tunneta tai haluta käyttää. Jos väli [a,b] jaetaan kahteen yhtä pitkään osaväliin, niin tällöin pätee likimääräisesti:

: \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right].

Usein merkitään osavälien pituutta kirjaimella *h = (b-a)/2*, jolloin yllä oleva kaava voidaan kirjoittaa muodossa:
: \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right].

Simpsonin sääntö on nimetty englantilaisen matemaatikon Thomas Simpsonin (1710–1761) mukaan.

## Johtaminen
Simpsonin sääntö voidaan johtaa useammalla eri tavalla, joilla kaikilla saadaan luonnollisesti sama tulos. Tässä artikkelissa paneudutaan kuitenkin vain yhteen tapaan. Muista tavoista kiinnostunut lukija voi katsoa lisätietoa viitteistä. 

### Interpolointi toisen asteen polynomifunktiolla
Lähtökohtana on korvata funktio *f* toisen asteen polynomifunktiolla g(x)=px2+qx+r, joka saa samat arvot kuin funktio *f* välin [a,b] päätepisteissä ja keskipisteessä. Lasketaan nämä arvot, sillä niitä tarvitaan lopuksi:

: f(a) = g(a)=pa^2+qa+r,f(\frac{a+b}{2}) = g(\frac{a+b}{2})=p(\frac{a+b}{2})^2+q\frac{a+b}{2}+r, f(b) = g(b) = pb^2+qb+r 

Tällöin integraali voidaan kirjoittaa polynomin *g* avulla muodossa:

: \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \int_{a}^{b} g(x) \, dx = \int_{a}^{b} (px^2+qx+r) \, dx = (\frac{1}{3}px^3+\frac{1}{2}qx^2+rx)|_{a}^{b} = \frac{1}{3}p(b^3-a^3)+\frac{1}{2}q(b^2-a^2)+r(b-a) 

Hyödyntämällä kaavoja 
:a^3-b^3 = \left(a-b\right)(a^2+ab+b^2)
:a^2-b^2 = \left(a-b\right)(a+b)
saadaan edelleen

:=\frac{1}{3}p(b-a)(a^2+ab+b^2)+\frac{1}{2}q(b-a)(a+b)+r(b-a)=\frac{b-a}{3}\left(p(a^2+ab+b^2)+\frac{3}{2}q(a+b)+3r\right)
:=\frac{b-a}{6}\left(p(2a^2+2ab+2b^2)+6q\frac{a+b}{2}+6r\right)=\frac{b-a}{6}\left(p(a+b)^2+pa^2+pb^2+6q\frac{a+b}{2}+6r\right)
:=\frac{b-a}{6}\left(4p(\frac{a+b}{2})^2+4q\frac{a+b}{2}+4r+pa^2+pb^2+2q\frac{a+b}{2}+2r\right)
:=\frac{b-a}{6}\left(pa^2 +qa+r+ 4\left(p(\frac{a+b}{2})^2+q\frac{a+b}{2}+r\right)+pb^2+qb+r\right)
:= \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]. 

Edellinen lasku on hieman helpompi laskea loppuun jos tehdään aluksi muuttujan vaihto:
:s=\frac{x-a}{h}
jolloin
**<math>dx=hds</math>**
ja integraali tulee muotoon
:\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx h\int_{0}^{2} g(s) \,ds

## Simpsonin säännön virhe
Jaettaessa väli [a,b] kahteen yhtä suureen osaan eli n=2 jolloin osavälien pituus on h=(b-a)/2 saadaan Simpsonin säännön virheeksi 

: E_2 = -\frac{(b-a)^5}{2880}f^{(4)}(\xi)

missä **<math>\xi</math>**on jokin piste väliltä (a,b) ja **<math>f^{(4)}(\xi)</math>**on funktion f neljäs derivaatta kyseisessä pisteessä.
 
*Simpsonin sääntö antaa tarkan vastauksen kaikille polynomeille, joiden asteluku on pienempi tai yhtä suuri kuin kolme, koska virhetermi sisältää funktion neljännen derivaatan, mikä on tietysti = 0 kun funktio f on korkeintaan kolmatta astetta.*

## Yleistetty Simpsonin sääntö

Koska Simpsonin säännön virhe on suoraan verrannollinen laskettavan integroimisvälin pituuteen, saadaan virhe mahdollisimman pieneksi kun välin pituutta pienennetään. Käytännössä tämä tehdään jakamalla väli [a,b] useaan pienempään osaväliin [xi,xi+h], joihin jokaiseen käytetään Simpsonin sääntöä. Jos väli [a,b] jaetaan yhtä pitkiin väleihin, joita on N=2n kappaletta, (välejä tulee olla parillinen määrä, sillä Simpsonin sääntöä sovelletaan aina kahteen osaväliin) tulee jokaisen osavälin pituudeksi h=(b-a)/N. Tällöin saadaan yleistetty Simpsonin sääntö:

:\int_a^b f(x) \, dx\approx
\frac{h}{3}\bigg[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+2f(x_4)+\cdots+2f(x_{2n-2})+4f(x_{2n-1})+f(x_{2n})\bigg].

## Yleistetyn Simpsonin säännön virhe
Jaettaessa väli [a,b] yhtä suuriin osaväleihin, joita on N=2n kappaletta, jolloin osavälien pituus on h=(b-a)/N, saadaan yleistetyn Simpsonin säännön virheeksi:

:E_n=-\frac{(b-a)^5}{180N^4}f^{(4)}(\xi)
missä \xion jokin välin (a,b) piste

## Simpsonin 3/8-sääntö
Jos funktiota *f* ei approksimoidakaan toisen asteen polynomifunktiolla *g* (kahdella osavälillä) vaan kolmannen asteen polynomifunktiolla (kolmella osavälillä), jolta vaaditaan, että *g* saa samat arvot kuin funktio *f* osavälien päätepisteissä, saadaan likimääräiseksi arvioksi:

: \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{3h}{8}\left[f(a) + 3f\left(\frac{2a+b}{3}\right) + 3f\left(\frac{a+2b}{3}
\right) + f(b)\right] 
= \frac{b-a}{8}\left[f(a) + 3f\left(\frac{2a+b}{3}\right) + 3f\left(\frac{a+2b}{3}\right) + f(b)\right]. 

## Simpsonin 3/8-säännön virhe
:E_n= -\frac{(b-a)^5}{6480} f^{(4)}(\xi), 
missä \xion jokin välin (a,b) piste

## Lähteet
* 
* 
* 

### Viitteet

## Kirjallisuutta
* 
*