Paloittain määritelty funktio

**Paloittain määritelty funktio** tarkoittaa matematiikassa funktiota, joka on määritelty eri tavoin määrittelyjoukkonsa osajoukoissa. Funktion määritteleminen paloittain on tarpeen silloin, kun yksi tietty funktio ei riitä kuvaamaan tarkasteltavaa tilannetta tai kun halutaan laajentaa funktion määrittelyjoukkoa sellaisiin joukkoihin, joissa se ei muutoin olisi mahdollista. 

## Funktion määrittely paloittain
Olkoon A ja B joukkoja ja joukolla A n kappaletta erillisiä osajoukkoja, A_1, A_2,\dotsc, A_n, jotka osittavat joukon A. Ts. A_i\subset A kaikilla i=1, 2,\dotsc, n, A_i\cap A_j=\varnothing kaikilla i\neq j ja \bigcup_{i=1}^n A_i=A. Olkoon lisäksi joukoilta A_1, A_2,\dotsc, A_n joukolle B funktiot

f_1:A_1\to B, f_2:A_2\to B,\dotsc, f_n:A_n\to B.

Tällöin funktio f:A\to B,

f(x)=\begin{cases}f_1(x), &\text{ jos }x\in A_1 \\ f_2(x), &\text{ jos }x\in A_2 \\ &\vdots \\ f_n(x), &\text{ jos }x\in A_n \end{cases}

on paloittain määritelty funktio. Yksittäisiä funktiolausekkeita kutsutaan usein *alifunktioiksi*. Funktion määrittelemisessä paloittain on ehtoja, joiden tulee toteutua:
# Osajoukkojen A_1, A_2,\dotsc, A_n tulee olla erillisiä. Näin varmistetaan, että paloittain määritelty funktio on funktio, eli se ei saa kahta tai useampaa eri arvoa samassa pisteessä.
# Osajoukkojen A_1, A_2,\dotsc, A_n tulee täyttää määrittelyjoukko A. Näin varmistetaan, että funktio on hyvin määritelty (määrittelyjoukkoon ei jää ).
# Funktion f_i pitää olla määritelty koko osajoukossa A_i. Tämä liittyy edelliseen kohtaan.
Esimerkiksi, jos määrittelyjoukosta A=[0, 5] otetaan osajoukot A_1=[0, 1[, A_2=[1, 3] ja A_3=[3, 5[, niin funktiota f:A\to B ei voi määritellä paloittain joukkojen A_1, A_2 ja A_3 avulla, sillä ehdot 1. ja 2. eivät toteudu (A_2 ja A_3 eivät ole erillisiä joukkoja ja luku 5 ei kuulu yhteenkään osajoukoista). Osajoukkoja voi olla myös äärettömän monta.

## Esimerkkejä

### Erikoisfunktioita
* Yksinkertaisimpia paloittain määriteltyjä funktioita edustaa Heavisiden funktio H: \mathbb R \to \left\{0, \frac{1}{2}, 1\right\},

:H(x)=\begin{cases}0, &\text{ jos }x0.  \end{cases}
:Sen määrittelyjoukko on koko reaaliakseli.
*Signum-funktio \mathrm{sgn}: \mathbb R \to \{-1, 0, 1\},

:\sgn(x)=\begin{cases}-1, &\text{ jos }x0.  \end{cases}
:Sen määrittelyjoukko on koko reaaliakseli.
* Yleisesti ottaen kaikki porrasfunktiot ovat paloittain määriteltyjä funktioita.
* Indikaattorifunktio on paloittain määritelty funktio.
* Reaaliluvun x itseisarvo on paloittain määritelty funktio:
:|x|=\begin{cases}x, &\text{ jos }x\geq0 \\ -x, &\text{ jos }x

### Muita esimerkkejä

Funktio f:\mathbb R\to\mathbb R,

f(x)=\begin{cases}(x+1)^2, &\text{ jos }x

on paloittain määritelty koko reaaliakselilla ja se koostuu kolmesta eri funktiosta, jotka on määritelty omilla osaväleillään ]-\infty, -1[, [-1, 1[ ja [1, \infty[. Osa funktion graafista on esitetty viereisessä kuvassa.

## Paloittain määriteltyjen funktioiden ominaisuuksia

### Yhden reaalimuuttujan reaaliarvoiset funktiot
* Jos funktion määrittelevät osafunktiot ovat jatkuvia, niin paloittain määritelty funktio on paloittain jatkuva.

* Paloittain määritelty funktio on jatkuva, jos se on paloittain jatkuva ja lisäksi jokaisessa määrittelyvälin reunapisteessä a pätee jatkuvuusehto
:\lim_{x\to a-}f(x)=f(a)=\lim_{x\to a+}f(x).

## Lähteet