Muuttuvamassainen systeemi

**Muuttuvamassainen systeemi** tarkoittaa mekaniikassa sellaista kappaletta tai systeemiä, jonka massa muuttuu ajan kuluessa. Tällaisen systeemin liikeyhtälöä ei voi johtaa dynamiikan peruslain yhtälöstä \mathbf{F}=m\mathbf{a}, sillä siinä massa pysyy vakiona. Sen sijaan voidaan käyttää dynamiikan peruslaista yleistä muotoa, jonka mukaan systeemiin tai kappaleeseen kohdistuva voima on yhtä suuri kuin systeemin tai kappaleen liikemäärän derivaatta ajan suhteen: \mathbf{F}=\mathrm d\mathbf p / \mathrm dt. Yleisessä muodossaan muuttuvamassaisen kappaleen liikeyhtälö on

\mathbf F+\mathbf v_\text{suht}\frac{\mathrm dm}{\mathrm dt}=m\frac{\mathrm d\mathbf v}{\mathrm dt},

missä

:\mathbf F on kappaleeseen kohdistuvien ulkoisten voimien summa,

:\mathbf v_\text{suht} on kappaleesta irtoavan tai kappaleeseen kiinnittyvän massan suhteellinen nopeus kappaleen massakeskipisteestä katsottuna,

:m on kappaleen massa (ajan funktiona) ja

:\mathbf v on kappaleen nopeus.

Erityisesti raketeissa termi \mathbf v_\text{suht} tarkoittaa raketin palokaasujen nopeutta rakettiin itseensä nähden. Yhtälö \mathbf{F}=m\mathbf{a} on erikoistapaus, joka saadaan yleisestä liikeyhtälöstä asettamalla massa vakioksi (jolloin \mathrm dm / \mathrm dt = 0), sillä \mathbf a = \mathrm d\mathbf v / \mathrm dt.

## Muuttuvamassaisen systeemin yleinen liikeyhtälö

### Virheellinen muoto
Yleinen liikeyhtälö muuttuvamassaiselle kappaleelle tai systeemille voidaan yrittää johtaa lähtien liikkeelle dynamiikan peruslaista ja kirjoittamalla liikemäärä massan ja nopeuden tulona:

\mathbf F=\frac{\mathrm d\mathbf p}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(m\mathbf v).

Nyt on huomattava, että tässä \mathbf v ei tarkoita yhden kappaleen nopeutta, vaan se riippuu systeemissä olevien massallisten kappaleiden nopeuksista. Tämän vuoksi tulon derivoimissäännön käyttäminen suoraan dynamiikan peruslakiin johtaa virheelliseen liikeyhtälöön:

\mathbf F=m\frac{\mathrm d\mathbf v}{\mathrm dt}+\mathbf v\frac{\mathrm dm}{\mathrm dt} \qquad \text{(virheellinen)}

Tämä liikeyhtälö on virheellinen, koska se ei ole Galilei-invariantti: Esimerkiksi, jos muuttuvamassaiseen kappaleeseen ei kohdistu ulkoisia voimia (\mathbf F = 0), sen täytyy Newtonin 1. lain nojalla pysyä levossa koordinaatistossa, jossa kappale oli alun perinkin levossa. Toisaalta toisessa koordinaatistossa, josta katsottuna kappale liikkuu nopeudella \mathbf v, kappaleeseen näyttäisi kohdistuvan kiihdyttävä  -\mathbf v\,\mathrm dm / \mathrm dt.

### Oikea muoto

Tarkastellaan systeemiä, joka koostuu m-massaisesta kappaleesta, joka ajanhetkellä t liikkuu ulkopuolisen tarkastelijan inertiaalikoordinaatistossa nopeudella \mathbf v (ks. oheinen kuva). Ulkopuolisen tarkastelijan koordinaatistossa systeemin liikemäärä on tällöin

\mathbf p(t)=m\mathbf v.

Ajanhetkellä t+\mathrm dt kappaleesta irtoaa infinitesimaalisen pieni osanen, jonka massa on \mathrm dm'. Olkoon irtoavan osan nopeus ulkopuolisen tarkastelijan koordinaatistossa \mathbf u. Irtoamisen jälkeen alkuperäisen kappaleen massa on m-\mathrm dm' ja nopeus on \mathbf v+\mathrm d\mathbf v. Toisaalta alkuperäisen kappaleen massan muutos on

\mathrm dm=-\mathrm dm',

sillä sen massa pienenee. Irtoamisen jälkeen systeemin liikemäärä on liikemäärän säilymislain nojalla kappaleen ja irronneen osan liikemäärien summa:

\begin{align}
\mathbf p(t+\mathrm dt)&=(m-\mathrm dm')(\mathbf v+\mathrm d\mathbf v)+\mathrm dm'\,\mathbf u \\
&= (m+\mathrm dm)(\mathbf v+\mathrm d\mathbf v)-\mathbf u\,\mathrm dm \\
&= m\mathbf v + m\,\mathrm d\mathbf v+\mathbf v\,\mathrm dm +\mathrm dm\,\mathrm d\mathbf v-\mathbf u\,\mathrm dm \\
\end{align}

Termi \mathrm dm\,\mathrm d\mathbf v on kahden infinitesimaalisen muutoksen tulona hyvin pieni, joten se voidaan jättää pois. Liikemäärän infinitesimaalinen muutos on

\begin{align}
\mathrm d\mathbf p&=\mathbf p(t+\mathrm dt)-\mathbf p(t) \\
&=m\mathbf v+m\,\mathrm d\mathbf v+\mathbf v\,\mathrm dm-\mathbf u\,\mathrm dm-m\mathbf v \\
&=m\,\mathrm d\mathbf v+(\mathbf v-\mathbf u)\,\mathrm dm \\ 
&=m\,\mathrm d\mathbf v-(\mathbf u-\mathbf v)\,\mathrm dm
\end{align}

Seuraavaksi käytetään dynamiikan peruslakia, jonka mukaan kappaleeseen kohdistuva kokonaisvoima on yhtä suuri kuin kappaleen liikemäärän aikaderivaatta:

\mathbf F=\frac{\mathrm d\mathbf p}{\mathrm dt}=m\frac{\mathrm d\mathbf v}{\mathrm dt}-(\mathbf u-\mathbf v)\frac{\mathrm dm}{\mathrm dt}.

Termi \mathbf u-\mathbf v on irronneen kappaleen nopeus suuremman kappaleen koordinaatistosta tarkasteltuna. Merkitään \mathbf v_\text{suht}=\mathbf u-\mathbf v, jolloin saadaan lopullinen liikeyhtälö:

\mathbf F+\mathbf v_\text{suht}\frac{\mathrm dm}{\mathrm dt}=m\frac{\mathrm d\mathbf v}{\mathrm dt}.

Sama yhtälö voidaan johtaa myös tarkastelemalla tilannetta, jossa alkuperäisen kappaleen massa kasvaa, kun siihen kiinnittyy pieni \mathrm dm'-massainen kappale. Tällöin \mathrm dm=+\mathrm dm'.

## Esimerkkejä

### Tsiolkovskin laki

Tarkastellaan avaruusrakettia, joka liikkuu rakettimoottorinsa avulla tyhjässä avaruudessa siten, että siihen ei kodistu ulkoisia voimia. Oletetaan raketin liike yksiuloitteiseksi, jolloin nopeusvektorit voidaan korvata skalaareilla (vauhti). Olkoon raketin ja kyydissä olevan polttoaineen yhteismassa aluksi m_0 ja raketin vauhti aluksi v_0. Oletetaan, että raketin palokaasujen vauhti (rakettiin nähden) on koko ajan vakio -v_\text{e} (vauhti on negatiivinen, koska palokaasut liikkuvat raketista katsottuna eri suuntaan). Raketin liikeyhtälö on tällöin

-v_\text{e}\frac{\mathrm d\tilde m}{\mathrm dt}=\tilde m\frac{\mathrm d\tilde v}{\mathrm dt},

missä \tilde m on raketin ja sen sisältämän polttoaineen massa ja \tilde v raketin vauhti ajanhetkellä t. Poistetaan aikariippuvuus kertomalla liikeyhtälön kumpikin puoli \mathrm dt:llä:

-v_\text{e}\,\mathrm d\tilde m=\tilde m\,\mathrm d\tilde v.

Järjestellään termejä ja integroidaan yhtälö puolittain integrointirajoina alkuhetki (massa m_0, nopeus v_0) ja mielivaltainen ajanhetki (massa m, nopeus v):

\begin{align}
\mathrm d\tilde v&=-v_\text{e}\,\frac{\mathrm d\tilde m}{\tilde m} \\
\int_{v_0}^{v}\mathrm d\tilde v&=-v_\text{e}\int_{m_0}^{m}\frac{\mathrm d\tilde m}{\tilde m} \\
v-v_0&=-v_\text{e}\left(\ln m-\ln m_0\right)=v_\text{e}\ln\left(\frac{m_0}{m}\right)
\end{align}

Tästä saadaan kaava raketin nopeudelle sen kokonaismassan funktiona:

v(m)=v_0+v_\text{e}\ln\left(\frac{m_0}{m}\right).

Tämä tunnetaan myös Tsiolkovskin lakina.

### Raketin nousunopeus

Tarkastellaan rakettia, joka lähtee avaruuteen maanpinnalta. Oletetaan raketin nousevan koko ajan pystysuoraan, jolloin nopeusvektorit voidaan edellisen esimerkin tavoin korvata vauhdeilla. Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että laukaisun jälkeen raketti polttaa polttoainettaan muuttumattomalla nopeudella -\mathrm dm/ \mathrm dt=:\alpha>0 (kilogrammaa sekunnissa) ja että pakokaasujen vauhti rakettiin nähden on koko ajan vakio -v_\text{e}. Olkoon raketin massa ennen lähtöä m_0.

Nousun aikana rakettiin vaikuttaa koko ajan maapallon gravitaatio, ja oletetaan, että rakettiin ei kohdistu muita ulkoisia voimia, jolloin

F=-\tilde mg,

missä \tilde m on raketin massa ja g on maapallon putoamiskiihtyvyys (miinusmerkki, koska positiivinen y-suunta valitaan positiiviseksi). Raketin liikeyhtälö on tällöin 

-\tilde mg+v_\text{e}\alpha=\tilde m\frac{\mathrm d\tilde v}{\mathrm dt}, 

missä \tilde v on raketin vauhti ajanhetkellä t. Järjestellään termejä uudelleen: 

\mathrm d\tilde v=\left(-g+v_\text{e}\frac{\alpha}{\tilde m}\right)\mathrm dt. 

Yhtälössä on nyt liikaa muuttujia ratkaisua ajatellen, joten poistetaan aikariippuvuus käyttämällä tietoa \mathrm d\tilde m/ \mathrm dt=-\alpha: 

\mathrm d\tilde v=\left(\frac{g}{\alpha}-\frac{v_\text{e}}{\tilde m}\right)\mathrm d\tilde m. 

Integroidaan saatu yhtälö puolittain integrointirajoina alkuhetki (massa m_0, nopeus 0) ja mielivaltainen ajanhetki (massa m, nopeus v): 

\begin{align}
\int_{0}^{v}\mathrm d\tilde v&=\int_{m_0}^{m}\left(\frac{g}{\alpha}-\frac{v_\text{e}}{\tilde m}\right)\mathrm d\tilde m \\
v&=\frac{g}{\alpha}(m-m_0)+v_\text{e}\ln\left(\frac{m_0}{m}\right)
\end{align} 

Aikariippuvuus saadaan sijoittamalla saatuun yhtälöön raketin massa ajan funktiona (kun t on laukaisusta kulunut aika): 

m(t)=m_0-\alpha t.

Raketin nopeus ajan funktiona on tällöin

v(t)=-gt+v_\text{e}\ln\left(\frac{m_0}{m_0-\alpha t}\right).

## Katso myös
* Mekaniikan peruslait
* Differentiaaliyhtälö

## Lähteet