Topologin sinikäyrä

**Topologin sinikäyrä** on tason pistejoukko, jonka muodostavat suorien *x = 0* ja *x = 1* väliin jäävä osa funktion y = sin (1/x) kuvaajasta sekä origo. Topologisena avaruutena sillä on joukko erikoisia ominaisuuksia, joiden vuoksi sitä käytetään usein esimerkkinä oppikirjoissa.

## Matemaattinen määritelmä

Topologin sinikäyrä voidaan määritellä sellaisen funktion *f* kuvaajana, joka saa puoliavoimen välin (0, 1 jokaisessa pisteessä *x* arvon \sin{\frac{1}{x}} ja arvolla *0* arvon 0:

T=\left\{\left.\left(x,\sin\frac1x\right)\right|x \in]0,1]\right\}\cup\{(0,0)\}.

Toisinaan topologin sinikäyräksi määritellään laajempi avaruus, johon kuuluvat origon lisäksi sanotun funktion kuvaajan koko origon oikealla puolella oleva osa:

T=\left\{\left.\left(x,\sin\frac1x\right)\right|x > 0\right\}\cup\{(0,0)\}.

Sen topologia saadaan tason topologiasta relatiivitopologiana.

## Ominaisuuksia
Kun muuttuja *x* lähestyy nollaa, sen käänteisluku 1/*x* kasvaa rajatta. Tästä sekä sinifunktion jaksollisuudesta seuraa, että funktion y = sin (1/x) nollakohtia ovat kaikki muotoa
:\frac {1}{n \pi}
olevat luvut, missä *n* on mielivaltainen kokonaisluku. Näin ollen 0 on funktion nollakohtien kasautumispiste. Funktiolla ei kuitenkaan ole raja-arvoa origossa, sillä olipa \epsilon > 0 kuinka pieni positiivinen kokonaisluku tahansa, avoimella välillä (0, \epsilon), ja myös välillä (-\epsilon, 0), funktio saa kaikki reaalilukuarvot väliltä [-1, 1], vieläpä jokaisen niistä äärettömän monta kertaa. Tämä ilmenee käyrän heilahtelujen tihenemisenä origon läheisyydessä. Koska raja-arvoa ei ole, tämä funktio ei ole myöskään jatkuva origossa.

Topologisena avaruutena topologin sinikäyrä *T* on yhtenäinen, mutta ei polkuyhtenäinen, sillä origoa ei voida yhdistää polulla käyrän muihin pisteisiin.  *T* ei myöskään ole lokaalisti yhtenäinen origossa.

Topologin sinikäyrä *T* voidaan muodostaa lokaalisti kompaktin avaruuden kuvana jatkuvassa kuvauksessa, mutta se itse ei ole lokaalisti kompakti. Olkoon *V* joukko {-1} \cup (0, 1] ja määritellään funktio *f*: *V* -> *T* seuraavasti:
:f(-1) = (0, 0)
:f(x) = (x, \sin{\frac{1}{x}}), kun x > 0.
Tällöin joukko *V* on lokaalisti kompakti ja funktio on jatkuva, mutta *T* ei ole lokaalisti kompakti origossa.

*T*:n topologinen ulottuvuus on 1.

## Muunnelmia

Topologin sinikäyrästä on olemassa muunnelmia, joilla on muita mielenkiintoisia ominaisuuksia.

**Suljettu topologin sinikäyrä** voidaan määritellä lisäämällä topologin sinikäyrään sen kosketuspisteiden joukko eli pisteiden (0,-1) ja (0,1) välinen jana \{(0,y) \mid y\in[-1,1]\}. Se on samalla topologin sinikäyrän sulkeuma.  Tämä joukko on suljettu ja rajoitettu ja näin ollen Heinen–Borelin lauseen mukaan kompakti avaruus, mutta sillä on muutoin samankaltaisia ominaisuuksia kuin topologin sinikäyrällä: se on yhtenäinen, mutta ei lokaalisti yhtenäinen eikä polkuyhtenäinen.

**Laajennettu topologinen sinikäyrä** määritellään lisäämällä suljettuun topologin sinikäyrään vielä pisteiden (0,1) ja (1,1) välinen jana \{(x,1) \mid x\in[0,1]\}.  Topologisena avaruutena se on polkuyhtenäinen, mutta ei lokaalisti yhtenäinen.

**Varsovan ympyrä** saadaan lisäämällä suljettuun topologin sinikäyrään kaari, joka yhdistää pisteen (0, -1) pisteeseen (1, sin 1).  Tämä avaruus ei ole kutistuva, vaikka sen kaikki homotopiaryhmät ovat triviaaleja.

## Lähteet
* 
* 

### Viitteet