Sijoitusmenetelmä

**Sijoitusmenetelmä** eli **muuttujanvaihto** on integraalilaskennassa usein käytetty, yhdistetyn funktion derivoimissääntöön eli ketjusääntöön perustuva menetelmä annetun funktion integroimiseksi. Sijoitusmenetelmää käytettäessä ikään kuin sovelletaan ketjusääntöä takaperoisesti.

## Yhden muuttujan vaihto

### Johdanto

Annetun funktion integraalifunktion määrittäminen ei aina ole yksinkertainen tehtävä. Aina integraalifunktiota ei edes voi esittää alkeisfunktioiden avulla.  Joidenkin funktioiden, esimerkiksi polynomien,  eksponenttifunktion sekä sinin ja kosinin integraalifunktiot saadaan kuitenkin yksinkertaisesti soveltamalla derivoimissääntöjä takaperin.

Monissa tapauksissa integrointia voidaan tehostaa sopivilla apukeinoilla. Tärkeimpiä tällaisia apukeinoja ovat sijoitusmenetelmä eli muuttujanvaihto sekä osittaisintegrointi.

Oletetaan, että funktio *f* on määritelty välillä &Delta; ja että F on jokin sen integraalifunktio, toisin sanoen
: F'(x) = f(x).

Muuttujan vaihto voidaan suorittaa ottamalla käyttöön apufunktio u \to f(U), joka täyttää seuraavat ehdot:
# *x* on jatkuvasti derivoituva välillä &delta;'
# *x* on aidosti monotoninen välillä &delta;', joten sillä on käänteisfunktio x \to u(x)
# *x* kuvaa välin &delta;' välille &delta;

Jos nämä ehdot täyttyvät, integraalissa
:\int f(x)dx

voidaan ottaa käyttöön uusi muuttuja sijoituksella *x* = *x*(*u*), missä funktio *u* -> *x*(*u*) täyttää edellä olevat ehdot.  Tällöin *f*(*x*) on korvattava lausekkeella *f*(*x*(*t*)) ja *dx* lausekkeella *x*'(*t*)*dt*).

Kun integrointi on suoritettu, on integraalifunktiota määritettäessä palautettava muuttuja *x* sijoittamalla *u* = *u*(*x*).

Uusi muuttuja *u* on valittava niin, että saatu funktio on helpommin integroitavissa kuin alkuperäinen funktio.

Kun sijoituksen avulla määritetään määrätty integraali, on myös integroimisrajat muutettava niin, että integroimisvälin ala- ja ylärajoiksi määritetään ne *u*:n arvot, jotka *u* saa alkuperäisen, *x*:n avulla määritellyn integroimisvälin ala- ja ylärajalla.

### Määrätty integraali

Olkoon \phi: [a, b] \to I differentioituva funktio, jolla on jatkuva derivaatta, kun I \subseteq  \mathbb{R} on jokin väli. Oletetaan lisäksi, että f: I \to \mathbb{R} on jatkuva funktio. Silloin on 
:
 \int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\, dx = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\,du. 


Käytettäessä lausekkeen u = \phi(x) derivaatalle Leibnizin merkintää saadaan:
:\frac{du}{dx} = \varphi'(x).

Käyttämällä heuristisesti infinitesimaaleja saadaan yhtälö
:du = \varphi'(x)\,dx,, 
mistä näyttää seuraavan edellä oleva muunnoskaava. Täsmällisesti se voidaan todistaa tulkitsemalla se differentiaalimuotoja koskevaksi lauseeksi. Integrointia sijoitusmenetelmällä voidaankin käyttää perusteluna Leibnizin käyttöön ottamille derivaatan ja integraalin merkintätavoille.

Tämän lauseen avulla integraali voidaan usein muuttaa toiseksi integraaliksi, joka on helpommin laskettavissa. Kaava voidaankin lukea vasemmalta oikealle tai oikealta vasemmalle integraalin yksinkertaistamiseksi. Kun se luetaan vasemmalta oikealle, sitä sanotaan toisinaan *u*-sijoitukseksi tai *w*-sijoitukseksi. Silloin uusi muuttuja määritellään alkuperäisen muuttujan funktiona, joka esiintyy funktiossa, joka saadaan kertomalla yhdistetty funktio sisäfunktion derivaatalla. Oikealta vasemmalle kaavaa luetaan lähinnä korvattaessa alkuperäinen muuttuja jollakin uuden muuttujan trigonometrisella funktiolla ja alkuperäinen differentiaali trigonometrisen funktion differentiaalilla.

### Todistus

Sijoitusmenettelyn perustana oleva lause voidaan johtaa analyysin peruslauseesta seuraavasti. Olkoot f ja \phi kaksi funktiota, joista f on jatkuva välillä I ja \phi integroituva suljetulla välillä [a, b]. Silloin myös funktio f(\phi(x)\phi(x) on integroituva välillä [a, b]. Niinpä integraalit 

:\int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx

ja

:\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\,du

ovat molemmat olemassa, ja on vain osoitettava, että ne ovat yhtä suuret.

Koska f on jatkuva, sillä on integraalifunktio F. Yhdistetty funktio F o \phi on silloin määritelty. Koska \phi on differentioituva, yhdistmällä ketjusääntö ja integraalifunktion määritelmä saadaan 

:(F \circ \varphi)'(x) = F'(\varphi(x))\varphi'(x) = f(\varphi(x))\varphi'(x).

Soveltamalla analyysin peruslausetta kahdesti saadaan:

:
\begin{align}
\int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx
&= \int_a^b (F \circ \varphi)'(x)\,dx \\
&= (F \circ \varphi)(b) - (F \circ \varphi)(a) \\
&= F(\varphi(b)) - F(\varphi(a)) \\
&= \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\,du,
\end{align}


mikä on juuri sijoitus- eli muuttujanvaihtosääntö.

### Esimerkkejä

#### Esimerkki 1:
Tarkastellaan integraalia
:\int_0^2 x \cos(x^2+1) dx.

Tehdään sijoitus u = x^{2} + 1, jolloin du = 2xdx, mikä merkitsee, että \textstyle xdx = \frac{1}{2}du.  Niinpä,

:\begin{align}
\int_{x=0}^{x=2} x \cos(x^2+1) dx
&= \frac{1}{2} \int_{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du \\[6pt]
&= \frac{1}{2}(\sin(5)-\sin(1)).
\end{align}

Koska alaraja x = 0 korvattiin alarajalla u = 1 ja yläraja x = 2 ylärajalla 2^{2} + 1 = 5, muunnosta takaisin muuttujan x sisältäväksi lausekkeeksi ei tarvita.

Vaihtoehtoisesti voidaan ensin käsitellä määräämätöntä integraalia eli integraalifunktiota  niin pitkälle kuin mahdollista ja ottaa reunaehdot huomioon vasta sen jälkeen. Tämä on käytännöllistä varsinkin, jos suoritettavia muuttujanvaihdoksia on useita.

#### Esimerkki 2:

Integraalille
:\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx,
on käytettävä edellisen menetelmän muunnelmaa. Sijoitus x = \sin u , josta seuraa dx = \cos u du, on käyttökelpoinen, koska \sqrt{1-\sin^2u} = \cos(u). Saadaan siis

:\begin{align}
\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx
&= \int_0^{\pi/2} \sqrt{1-\sin^2u} \cos(u)\,du \\[6pt]
&= \int_0^{\pi/2} \cos^2u\,du \\[6pt]
&= \left[\frac{u}{2} + \frac{\sin(2u)}{4}\right]\Biggl|_0^{\pi/2} \\[6pt]
&= \frac{\pi}{4} + 0 = \frac{\pi}{4}.
\end{align}

Tuloksena saatu integraali voidaan laskea joko osittaisintegroinnilla tai soveltamalla kaksinkertaisen kulman trigonometrisia funktioita koskevaa yhteyttä  2\cos^{2} u = 1 + \cos (2u) ja tekemällä toinenkin muuttujanvaihto. Voidaan myös huomata, että integroitava funktio on yksikköympyrän ylempi oikeanpuoleinen neljännes, ja niinpä tämän funktion integraali välillä [0, 1] merkitsee geometrisesti yksikkökiekon neljänneksen pinta-alaa, joka on \pi / 4 .

### Integraalifunktio

Sijoitusmenetelmällä voidaan määrittään annetun funktion integraalifunktio eli antiderivaatta. Ensin valitaan muuttujaksi *u* jokin *x*:n funktio, minkä jälkeen johdetaan differentiaalille *du* lauseke *dx*:n avulla ja päinvastoin sekä suoritetaan muuttujanvaihto. Jos muodostetun *u*:n funktion integraalifunktio on määritettävissä, sellaiseksi saadaan toinen *u*:n funktio, joka lopuksi ilmaistaan jälleen *x':n funktiona.

Edellä esimerkissä 1 käsitellylle funktiolle voidaan muuttujanvaihdolla määrittää integraalifunktio seuraavasti:

:<math>\begin{align}
\int x \cos(x^2+1) \,dx
&= \frac{1}{2} \int 2x \cos(x^2+1) \,dx \\[6pt]
&= \frac{1}{2} \int\cos u\,du \\[6pt]
&= \frac{1}{2}\sin u + C = \frac{1}{2}\sin(x^2+1) + C,
\end{align}</math>

missä <math>C</math> on mielivaltainen [[integroimisvakio]].

Tässä tapauksessa ei ole integroimisrajoja, jotka olisi muunnettava, mutta viimeinen vaihe, jossa alkuperäinen muuttujanvaihto <math>u = x^{2} + 1</math> suoritetaan käänteiseen suuntaan, on välttämätön. Kun [[määrätty integraali]] lasketaan sijoitusmenetelmällä, onkin ensin muodostettava integraalifunktio ja sitten muutettava integroimisrajat sen mukaisiksi. Sen sijaan pelkästään integraalifunktiota määritettäessä ei integroimisrajojen käsittelyä tarvita.

[[Trigonometrinen funktio#Tangentti|Tangenttifunktio]] voidaan myös integroida sijoitusmenetelmällä esittämällä se sinin ja kosinin avulla:
:<math>\int \tan x \,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \,dx</math>
Suoritetaan sijoitus <math>u = \cos x</math>, jolloin saadaan <math>du = -\sin x\,dx</math> ja edelleen
:<math>\begin{align}
   \int \tan x \,dx &= \int \frac{\sin x}{\cos x} \,dx \\
    &= \int -\frac{du}{u} \\
    &= -\ln |u| + C \\
    &= -\ln |\cos x| + C = \ln |\sec x| + C.
 \end{align}</math>

== Muuttujanvaihto useamman muuttujan funktioille ==

Muuttujanvaihtoa voidaan käyttää myös integroitaessa useamman muuttujan funktioita. Silloin korvausfunktion <math>v_1, ..., v_n = \phi (u_1, u_2, u_n)</math> on oltava [[injektio]] ja jatkuvasti differentioituva, ja differentiaalit muuntuvat muotoon 

:<math>dv_1 \cdots dv_n = |\det(D\varphi)(u_1, \ldots, u_n)| \, du_1 \cdots du_n,</math>

missä <math>|\det(D\varphi)(u_1, ..., u_n)</math> tarkoittaa funktion <math>\varphi</math> [[osittaisderivaatta|osoittaisderivaattojen]] [[Jacobin matriisi]]n [[determinantti]]a pisteessä <math>(u_1, ..., u_n)</math>.  Tämä kaava ilmaisee sen seikan, että matriisin determinantin [[itseisarvo]] on yhtä suuri kuin sen sarakkeiden ja rivien määrittämän [[parallelotooppi|parallelotoopin]] [[tilavuus]]. 

Täsmällisemmin muuttujanvaihtokaavan ilmaisee seuraava lause:

*'Lause**. Olkoon <math>U \subset \mathbb{R}^n</math> avoin joukko ja <math>\varphi: U \to \mathbb{R}^n</math> [[injektio|injektiivinen]] differentioituva funktio, jolla on jatkuvat osittaisderivaatat ja jonka Jacobin determinantti ei ole nolla missään ''U'':n pisteessä. Silloin jokaiselle reaaliarvoiselle, kompaktissa joukossa määritellylle funktiolle ''f'', jonka [[määrittelyjoukko]] sisältyy <math>\phi(U)</math>:hun, pätee:

:<math>\int_{\varphi(U)} f(\mathbf{v})\, d\mathbf{v}
= \int_U f(\varphi(\mathbf{u})) \left|\det(D\varphi)(\mathbf{u})\right| \,d\mathbf{u}.</math>

Lauseen ehtoja voidaan heikentää eri tavoin. Esimerkiksi vaatimus, että <math>\varphi</math>:n on oltava jatkuvasti differentoituva, voidaan korvata heikommalla ehdolla, että <math>\varphi</math> on differentoituva ja että sillä on jatkuva käänteisfunktio. [[Käänteisfunktiolause]] takaa, että tämä ehto pätee aina, jos <math>\varphi</math> on jatkuvasti differentioituva. [[Sardin lause]]etta soveltamalla voidaan myös poistaa vaatimus, että <math>D\varphi</math>:n determinantti ei saa olla nolla.

[[Lebesguen mitta|Lebesgue-mitallisille]] funktioille lause voidaan esittää  seuraavassa muodossa:

**Lause**. Olkoon <math>U \subset \mathbb{R}^n</math> mitallinen joukko ja <math>\varphi: U \to \mathbb{R}^n</math> [[injektio|injektiivinen]] funktio, ja oletetaan lisäksi, että jokaista pistettä <math>x \in I</math> kohti on olemassa sellainen <math>\varphi\prime(x) \in \mathbb{R}^{n,n}</math>, että <math>\varphi(y) = \varphi(x) + \varphi\prime(x)(y-x) + o(\|y - x\|)</math>, kun <math>y \to x</math>. (Tässä o(||y-x||) on [[Landaun symboli]]).
Silloin <math>\varphi(U)</math> on mitallinen, jokaiselle reaaliarvoiselle funktiolle ''f'', joka on määritelty alueessa <math>\varphi(U)</math>, pätee:
:<math>\int_{\varphi(U)} f(v)\, dv = \int_U f(\varphi(u)) \left|\det \varphi'(u)\right| \,du</math>
siinä mielessä, että jos jompikumpi integraali on olemassa, vaikka olisi ääretönkin, toinenkin on olemassa ja molemmat ovat arvoltaan yhtä suuret.

Toinen hyvin yleinen versio [[mittateoria]]ssa on seuraava:

**Lause**.  Olkoon ''X'' [[lokaalisti kompakti avaruus|lokaalisti kompakti]] [[Hausdorff-avaruus]], jossa on määritelty äärellinen [[Radonin mitta]] μ, ja olkoon ''Y'' [[Σ-kompakti|sigma-kompakti]] Hausdorff-avaruus, jossa on määritelty [[sigma-äärellinen]] Radonin mitta ρ.  Olkoon <math>\varphi: X \to Y</math> jatkuva ja [[itseinen jatkuvuus|itseisesti jatkuva]] funktio, toisin sanoen <math>\rho(\varphi(E)) = 0</math> aina, kun <math>\mu(E) = 0</math>. Silloin on olemassa sellainen [[Borel-mitallinen funktio]] <math>w: X \to \mathbb{R}</math>, että jokaiselle [[Lebesguen integraali|Lebesgue-intergroituvaa]] funktiota <math>f: Y \to \mathbb{R}</math> vastaava yhdistetty funktio (''f'' ∘ ''φ'') ⋅ ''w'' on Lebesgue-integroituva alueessa ''X'' ja 
:<math>\int_Y f(y)\,d\rho(y) = \int_X (f\circ \varphi)(x)\,w(x)\,d\mu(x).</math>
Lisäksi on olemassa sellainen joukossa ''Y'' määritelty Borel-mitallinen funktio ''g'', että
:<math>w(x) = (g\circ \varphi)(x)</math>.

[[Geometrinen mittateoria|Geometrisessa mittateoriassa]] integrointia sijoitus­menetelmällä käytetään [[Lipschitz-funktio]]ille. Jos Lipschitz-funktio on injektiivinen ja sen käänteisfunktio on myös Lipschitz-funktio, [[Rademacherin lause]]en mukaan funktio on differentoituva [[melkein kaikkialla]]. Erityisesti tällaisen funktion Jacobin determinantti <math>\det \varphi</math> on melkein kaikkialla hyvin määritelty. Tällaisia funktiota koskee seuraava lause:

**Lause*'  Olkoon <math>U \subset \mathbb{R}</math> avoin joukko ja <math>\varphi: U \to \mathbb{R}^n</math> Lipschitz-funktio, jonka käänteisfunktio on myös Lipschitz-funktio. Olkoon lisäksi <math>f:\varphi(U) \to \mathbb{R}</math> mitallinen. Silloin 
:<math>\int_U (f\circ \varphi)(x) |\det D\varphi(x)|\,dx = \int_{\varphi(U)} f(x)\,dx</math>
siinä mielessä, että jos jompikumpi integraaleista on olemassa (tai se on ääretön), silloin toinenkin on olemassa ja molemmat integraalit ovat yhtä suuret.

Tämän lauseen esitti [[konjektuuri]]na ensimmäisenä [[Leonhard Euler|Euler]] vuonna 1769 kehittäessään [[Integrointi moniulotteisessa avaruudessa|kaksin­kertaisen integraalin]] käsitteen. Vaikka sen yleisti kolmin­kertaiselle integraalille [[Lagrange]] vuonna 1773 ja yleisesti *n'' muuttujalle Mihail Ostrogradski vuonna 1836 ja vaikka sitä sovelsivat Legendre, Laplace ja Gauss, sen onnistui täsmällisesti todistamaan vasta Élie Cartan 1890-luvulla.

## Sovellus todennäköisyyslaskentaan

Muuttujanvaihdon avulla voidaan ratkaista seuraava toden­näköisyys­laskennassa tärkeä kysymys: Jos X on satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio p_X tunnetaan, ja Y = \phi(x) sen avulla määritelty toinen satunnaismuuttuja, mikä on Y:n tiheysfunktio?

Vastauksen saamiseksi kannattaa ensin asettaa kysymys hieman toisin: millä todennäköisyydellä Y saa arvon, joka kuuluu tiettyyn osajoukkoon S.  Käytetään tälle todennäköisyydelle merkintä P(Y \in S).  Jos Y:n tiheysfunktio tunnetaan ja se on p_Y, todennäköisyys on tietysti

:P(Y \in S) = \int_S p_Y(y)\,dy, .

Yleensä tätä tiheysfunktiota p_Y ei kuitenkaan tunneta, vaan se juuri on määritettävä. Tehtävä voidaan ratkaista tarkastelemalla muuttujaa X. Muuttujan Y arvo kuuluu joukkoon S, jos ja vain jos X kuuluu joukkoon \phi^{-1}(S). Niinpä

:P(Y \in S) = \int_{\phi^{-1}(S)} p_X(x)\,dx.

Vaihtamalla muuttuja x muuttujaan y saadaan:

:P(Y \in S) = \int_{\phi^{-1}(S)} p_X(x)\,dx = \int_S p_X(\phi^{-1}(y)) \left|\frac{d\phi^{-1}}{dy}\right|\,dy.

Yhdistämällä tämä ja ensimmäinen yhtälö saadaan

:\int_S p_Y(y)\,dy = \int_S p_X(\phi^{-1}(y)) \left|\frac{d\phi^{-1}}{dy}\right|\,dy,

ja niinpä

:p_Y(y) = p_X(\phi^{-1}(y)) \left|\frac{d\phi^{-1}}{dy}\right|.

Mikäli X ja Y voidaan esittää useamman keskenään riippumattoman satunnaismuuttujan avulla, toisin sanoen jos p_X=p_X(x_1, \ldots, x_n) ja y=\phi(x), p_Y saadaan suorittamalla muuttujanvaihto useammalle muuttujalle. Tulos on

:p_Y(y) = p_X(\phi^{-1}(y)) \left|\det D\phi ^{-1}(y) \right|.

## Lähteet

*

### Viitteet

## Katso myös

* Osittaisintegrointi