Besselin funktiot

**Besselin funktiot** ovat useissa erilaisissa tilanteissa vastaantuleva joukko erikoisfunktioita. Ne liittyvät usein differentiaali- tai osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen sylinterikoordinaatistossa, mistä syystä niitä kutsutaan joskus myös sylinterifunktioiksi. Esimerkiksi rummun kalvon värähtely säteen suunnassa on kombinaatio Besselin funktioita. Tyypillinen esimerkki on myös taajuusmoduloidun signaalin spektri.
Funktiot on nimetty preussilaisen tähtitieteilijän Friedrich Besselin mukaan.

Alun perin Besselin funktiot ovat Besselin differentiaaliyhtälön

:x^2\frac{d^2 y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + (x^2 - n^2)y = 0

ratkaisuja. Osoittautuu, että tämän yhtälön ratkaisuja ei voida esittää alkeisfunktioiden avulla, joten ratkaisut kuuluvat erikoisfunktioihin. Ratkaisun yleinen muoto on

:y(x) = aJ_n(x) + bY_n(x)\,,

missä funktio J_n on n:s **ensimmäisen lajin Besselin funktio** ja funktio Y_n vastaavasti n:s **toisen lajin Besselin funktio** ja kertoimet a,b \in \mathbb{R}.

## Ensimmäisen lajin Besselin funktiot

Ensimmäisen lajin Besselin funktio voidaan kirjoittaa potenssisarjana

:J_n(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k (x/2)^{n+2k}}{k!\Gamma(n+k+1)}

Tässä esiintyvä funktio \Gamma on myös erikoisfunktioihin kuuluva gammafunktio ja ! tarkoittaa kertomaa. Tilanteessa, jossa n 

:J_{-n}(x) = (-1)^n J_n(x)\,.

Jos n on kokonaisluku, funktiot voidaan määritellä integraalina

:J_n(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\cos(nt - x \sin t)dt.

Besselin funktioille on voimassa muutamia rekursiokaavoja. Näiden käyttö on yleensä kätevää. 

:J_{n+1}(x) = \frac{2n}{x}J_n(x) - J_{n-1}(x)

:J_n'(x) = \frac{1}{2}(J_{n-1}(x) - J_{n+1}(x))

:xJ_n'(x) = nJ_n(x) - xJ_{n+1}(x)\,

:(x^n J_n(x))' = x^nJ_{n-1}(x)\,

:(x^{-n}J_n(x))' = -x^{-n}J_{n+1}(x)\,

## Toisen lajin Besselin funktiot

Toisen lajin Besselin funktiot tunnetaan myös **Weberin funktioina** tai **Neumannin funktioina**. Ne voidaan lausua trigonometristen funktioiden ja ensimmäisen lajin Besselin funktioiden avulla

:Y_n(x) = \frac{J_n(x) \cos(n\pi) - J_{-n}(x)}{\sin(n\pi)}, \; n \neq 0, 1, 2,\ldots

ja kokonaislukuindeksille n = 0, 1, 2,\ldots

:Y_n(x) = \lim_{h\rightarrow n}\frac{J_h(x) \cos(h\pi) - J_{-h}(x)}{\sin(h\pi)}

Myös toisen lajin Besselin funktioille on voimassa

:Y_{-n}(x) = (-1)^n Y_n(x)\,.

Samoin yllä mainitut rekursiokaavat ovat voimassa toisen lajin funktioille sellaisenaan.

## Hankelin funktiot
Aaltojen etenemistä tutkittaessa törmätään Hankelin funktioihin. Ne ovat kompleksisia funktioita, joiden reaaliosa on ensimmäisen ja imaginääriosa toisen lajin Besselin funktio. Näille ovat voimassa

:H_{n}^{(1)}(x) = J_n(x) - iY_n(x)\,
:\;H_{n}^{(2)}(x) = J_n(x) + iY_n(x)\,
 
Hankelin funktiot voidaan lausua ensimmäisen lajin Besselin funktioiden avulla ei-kokonaislukuindeksille n

:H_n^{(1)}(x) = \frac{J_{-n}(x) - e^{-n\pi i}J_n(x)}{i \sin(n\pi)}
:H_n^{(1)}(x) = \frac{J_{-n}(x) - e^{n\pi i}J_n(x)}{-i \sin(n\pi)}.

Kokonaislukuindeksille yllä olevista kaavoista on laskettava \lim_{n\rightarrow k},\; k = 0,1,2,\ldots. Negatiivisille n:n arvoille

:H_{-n}^{(1)}(x) = e^{n\pi i}H_n^{(1)}(x)
:H_{-n}^{(2)}(x) = e^{-n\pi i}H_n^{(2)}(x)

## Lähteet

## Kirjallisuutta
* 
* 

## Aiheesta muualla

* Tietopaketti Besselin funktioista 
*Wolfram Mathworld: Bessel Function of the First Kind 
*Wolfram Mathworld: Bessel Function of the Second Kind