Tasajakauma

{t(b-a)}
  |char       = \frac{\mathrm{e}^{itb}-\mathrm{e}^{ita}}{it(b-a)}
}}
**Tasajakauma** eli **tasainen jakauma**  on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma, jossa jokainen perusjoukon eli määrittelyjoukon arvo esiintyy yhtä todennäköisesti. Tasajakaumaa merkitään usein 
:X \sim \operatorname{Tas}(a,b)  \sim \operatorname{Unif}(a,b) \sim \operatorname{U}(a,b), 
missä ensimmäistä näistä käytetään vain suomenkielisessä tekstissä. Parametrit a ja b rajaavat perusjoukon suljetun välin eli rajaavat ne luvut, joita satunnaismuuttuja satunnaisesti antaa. Tasajakaumalla on sellainen ainutlaatuinen ominaisuus, että tapahtuman P(c \le X \le d) (missä on a \scriptstyle {rnd}) simuloidaan \scriptstyle \operatorname{Tas}(0,1)-jakautuneen satunnaismuuttujan arvoja. Satunnaislukugeneraattorin luvuilla simuloidaan sitten muitakin tasajakaumia, kun lausekkeeksi kirjoitetaan \scriptstyle (b-a)\cdot {rnd} + a .

## Todennäköisyysjakauma
Jakauman parametrit a,b \in \mathbb{R} toteuttavat ehdon a, jolloin jakauman perusjoukko on suljettu väli [a,b].

Tiheysfunktio saa perusjoukossa vakioarvot 
:f_X(x)=\begin{cases}
                  \frac{1}{b - a} & \text{kun } x \in [a,b]  \\
                  0               & \text{kun } x \notin [a,b]
                \end{cases}, 
ja muualla arvon nolla.

Kertymäfunktio on
:F_X(x) = P(X \le x)=\begin{cases}
                  0               & \text{kun } x  b
                \end{cases} 

## Tunnusluvut ja momentit
### Momenttifunktio
Momenttifunktio eli momentit generoiva funktio saadaan määritelmästä
:M(t)=E(e^{tX})=\int_{-\infty}^\infty e^{tx} f_X(x)\, \mathrm{d}x= \int_{a}^b e^{tx} \frac{1}{b-a} \mathrm{d}x 
::= \frac{1}{t(b-a)}\int_{a}^b te^{tx} \mathrm{d}x =\frac{e^{bt}-e^{at}}{t(b-a)}\, .
Sen avulla voidaan määritellä origomomentit ja keskusmomentit. Momenttifunktio ei ole määritelty origossa, mutta sen määrittelyalue laajennetaan sinnekin asettamalla M(0)=1. Momentit joudutaan määrittämään raja-arvoina.

Ensimmäiset origomomentit ovat
:\mu=E(X)=\lim_{t \to 0}M'(t)=\tfrac{1}{2}(a+b)
:\mu_2=E(X^2)=\tfrac{1}{3}(a^2+ab+b^2)
:\mu_3=E(X^3)=\tfrac{1}{4}(a+b)(a^2+b^2)
:\mu_4=E(X^4)=\tfrac{1}{5}(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)
ja niiden yleinen termi on
:\mu_n=E(X^n)=\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{(n+1)(b-a)}. 

Keskusmomenttien yleinen muoto on
:\mu'_n=E((X-\mu)^n)=\frac{(a-b)^n+(b-a)^n}{2^{n+1}(n+1)}. 

### Tunnuslukuja
Jakauman odotusarvo saadaan *ensimmäisestä origomomentista*
:\mu=\operatorname{E}(X)=\frac{1}{2}(a+b). 

Sen varianssi on taas suoraan *toinen keskusmomentti*
:\mu'_2=\operatorname{Var}(X)=\sigma^2=\frac{1}{12}(b-a)^2. 

Jakauman tiheysfunktion vinous määritetään kahden keskumomentin avulla
:g_1=\frac{\mu'_3}{{\mu'}^{3/2}_2}=\frac{0}{{\mu'}^{3/2}_2}=0. 
Vinous on nolla, mikä näkyy tasajakauman tiheysfunktion kuvaajasta, joka on täysin symmetrinen.

Jakauman huipukkuus määritetään kahden keskusmomentin avulla
:\gamma_2=\frac{{\mu'}_4}{{\mu'}_2^2}-3=-\frac{5}{6}. 
Negativinen huipukkuus näkyy tiheysfunktion kuvaajassa siten, että kuvaaja on "tasa- ja litteäpäinen" eikä terävää kärkeä esiinny ollenkaan.

## Muut jakaumat
Beta-jakauma \beta (1,1) vastaa tasaista jakaumaa.

Tasajakauman universaalisuuslauseen mukaan jokainen jatkuva todennäköisyysjakauma voidaan muuttujan vaihdolla muuntaa noudattamaan yksikkötasajakaumaa.

## Lähteet

## Aiheesta muualla