Solow’n kasvumalli

**Solow'n kasvumalli** on taloustieteellinen malli taloudelliselle kasvulle. Se on yleisnimitys eksogeenisen kasvun malleille, joilla pyritään kuvaamaan pitkän aikavälin taloudellista kasvua. Mallia ovat kehittäneet useat taloustieteilijät, mutta merkittävimmän työn teki luultavasti Robert Solow, josta hänet palkittiin taloustieteen Nobelin palkinnolla.

Solow päätteli, että talouden kasvu perustuu pääoman kasvuun sekä työvoiman kasvuun toisin sanoen kansantalouden tuotantofunktio voidaan kirjoittaa muotoon Y(t)=F(K(t),L(t)). Tämä ei kuitenkaan ollut tarpeeksi pätevä teoria selittämään talouden kasvua, joten Solow lisäsi yhtälöön myös teknisen kehittymisen (ns. Solowin jäännöstermi) eli Y(t)=F(K(t),AL(t)). 

Solowin kasvumallin toinen ydinidea ja samalla keskeinen ongelma on se, että tekninen kehitys (A) on eksogeeninen muuttuja ja se siirtyy kokonaisuutena talouskasvuun. Pääoman ja työn kasvu puolestaan vaikuttavat talouskasvuun ainoastaan näiden tulo-osuuksien suhteessa.

K = pääoma (saksan sanasta Kapital), L = työvoima (englannin sanasta labour), A = tekninen kehitys

## Solow–Swan-malli
Solowin mallin eli **Solowin-Swanin mallin** kehittivät toisistaan riippumatta Robert Solow ja Trevor Swan vuonna 1956. 

Perusmallissa oletetaan Cobb–Douglas-tuotantofunktio.

: Y(t)=K(t)^{\alpha}(A(t)L(t))^{1-\alpha}\,

missä t on aika, 0  on tuotannon joustavuus ja samalla myös pääomien suhde tuloihin ja Y(t) on kokonaistuotanto. A on työn tuottavuutta lisäävä tietämys tai teknologia (labour-Augmenting technology), joten AL on efektiivinen työpanos. Pääoma, työvoima ja tietämys ovat täydessä käytössä ja alkuarvot A(0), K(0), and L(0) on annettu. Työvoiman ja teknisen kehityksen kasvunopeudet ovat ulkosyntyisiä, n ja g, vastaavasti:

:L(t) = L(0)e^{nt}
:A(t) = A(0)e^{gt}

Efektiivinen työpanos A(t)L(t) kasvaa siis nopeudella (n+g). Pääoma kuitenkin kuluu ja vanhenee vakionopeudella \delta. Tuotannosta vain osa (cY(t), missä 0 ) kulutetaan, loppuosa (1-c) säästetään ja investoidaan:

:\dot{K}(t) = sY(t) - {\delta}K(t)\,

missä s = (1-c) on vakioinen säästöaste ja \dot{K} tarkoittaa pääoman derivaattaa \frac{dK(t)}{dt} ajan suhteen.

Koska tuotantofunktiolle Y(K, AL) ei yleensä oleteta lainkaan skaalaetua, se voidaan kirjoittaa suhteessa efektiiviseen työpanokseen:

:y(t) = \frac{Y(t)}{A(t)L(t)} = k(t)^{\alpha}.

Mallin tärkein suure on pääomaintensiteetti k, pääoman suhde efektiiviseen työpanokseen. Malli kertoo sen kehittyvän ajan myötä seuraavasti:

:\dot{k}(t) = sk(t)^{\alpha} - (n + g + \delta)k(t)

Ensimmäinen termi sk(t)^{\alpha} = sy(k(t)) on investointi efektiivistä työpanosta kohden. Toinen termi (n + g + \delta)k(t) on "tasapainoinvestointi" (efektiivistä työpanosta kohden), joka riittää pitämään pääomaintensiteetin k vakiona.
Yhtälöstä seuraa, että pääomaintensiteetti k(t) suppenee tasapainoarvoon k^*, joka määrittyy yhtälöstä sk(t)^{\alpha} = (n + g + \delta)k(t) (eli \dot{k}(t) = 0):

:k^* = \left( \frac{s}{n + g + \delta} \right)^{\frac{1}{1-\alpha}} \,

Tällöin sekä pääoma K että efektiivinen työpanos AL kasvavat vauhdilla (n + g). Koska malli olettaa, että skaalaedut ovat nollassa, myös tuotanto Y kasvaa tuolla vauhdilla. 

Solowin–Swanin malli siis ennustaa, että talous suppenee tasaisen kasvun tasapainoon riippumatta alkutilastaan. Tämä kasvunopeus on siis (n + g) ja kasvu työntekijää kohden on g, täysin teknisen kehityksen määräämä.

### Seurauksia
* Politiikalla ei siis voida vaikuttaa pitkän aikavälin kasvunopeuteen, ellei saada työvoiman kasvua tai teknistä kehitystä pysyvästi nopeammaksi (tai mallin oletuksista poikkeavaa tilannetta).
* Jos säästämisaste nousee pysyvästi, se tuottaa pysyvästi korkeamman kansantuotteen tason (ja pääomaintensiteetin k^*), mutta tämä näkyy nopeampana talouskasvuna vain sen aikaa kuin kestää siirtyä tuolle korkeamman kasvun uralle. Tosin tulee muistaa, että malli olettaa, ettei taloudessa keskimäärin ole mittakaavaetuja.
* Kasvunopeuden määrää pääomien kertyminen.
* Pääomien kertymisen määräävät säästöaste (mikä osa tuloista ei mene kulutukseen vaan säästöön) ja pääoman kuluminen/vanheneminen (kirjanpidossa "poisto").

Pitkän aikavälin kasvunopeus (n + g) määräytyy siis eksogeenisesti, mallin ulkopuolella. Tällaiset kasvumallit ennustavat yleensä kiinniottajan etua / konvergenssia: kohti tasapainokasvunopeutta.

Esimerkiksi Singaporella oli 40 %:n säästöaste vuosina 1960–1996 ja sen BKT kasvoi 5–6 % vuodessa. Keniassa säästöaste oli 15 % ja talouskasvu vain 1 %. Hyvin pitkällä aikavälillä kuitenkin tekninen kehitys tulee tärkeämmäksi kuin pääomien kertyminen.

## Mankiw–Romer–Weil-malli
N. Gregory Mankiw, David Romer ja David Weil testasivat Solowin-Swanin mallia empiirisellä datalla ja totesivat, että datan selittää paremmin malli, johon lisätään inhimillinen pääoma. Myös siinä on Cobb–Douglas-tyyppinen tuotantofunktio:
:Y(t) = K(t)^{\alpha} H(t)^{\beta} (A(t)L(t))^{1 - \alpha - \beta},
missä H(t) on inhimillinen pääoma, joka kuluu samalla vauhdilla \delta kuin fyysinenkin pääoma.

## Katso myös
*Talouskasvu
*AK-malli

## Huomautuksia

## Lähteet