Matematiikan historia

**Matematiikan historia** on hyvin pitkä. Matematiikka on fysiikan ja tähtitieteen ohella vanhimpia tieteenaloja.

## Matematiikan synty

Matematiikan ensimmäisten vaiheiden tarkka selvittäminen on mahdotonta, sillä ihmiskunta oppi laskemaan ennen kirjoitustaidon syntyä. Niinpä mitään kirjallisia dokumentteja ensimmäisistä laskusäännöistä tai geometrisista hahmotelmista ei ole jäljellä. Matematiikan varhaishistoriaa voidaan tutkia parhaiten arkeologisten löytöjen, kielitieteen ja eläinten tarkkailun avulla. On todettu, että monet eläimet kykenevät erottamaan ainakin viittä alkiota pienempien joukkojen kokoeron. Siten voidaan olettaa, että jonkinlainen luvun käsite on hyvin vanha. Tätä tukee myös monien kielten kieliopillisen luvun jaottelu yhteen ja moneen, jossain tapauksessa kahteen ja kolmeenkin. Siitä, että on ymmärretty kahden kiven ja kolmen kiven välinen ero on ollut todennäköisesti pitkä matka siihen, että on ymmärretty abstraktin käsitteen ”kolme” liittävän yhteen kolme kiveä ja kolme puuta. Tätä ajatusta tukee se, että monet joukkojen kokoeroja hahmottavat eläimet eivät pysty tähän. Lisäksi ensimmäiset kieliin ilmaantuneet lukusanat ovat tarkoittaneet alun perin esimerkiksi kahta kiveä. Lukua on siis ollut vaikea hahmottaa yhteydestään irrallisena käsitteenä. Joidenkin teorioiden mukaan järjestysluvut olisivat syntyneet ennen kardinaalilukuja. Tätä on perusteltu sillä, että monissa rituaaleissa ja myyteissä tapahtumien ja henkilöiden järjestyksellä on ollut tärkeä osa. Kielet eivät kuitenkaan tue tätä käsitystä, sillä lähes kaikissa kielissä järjestysluku muodostetaan kardinaalilukua taivuttamalla.

Vanhimmat arkeologiset todisteet lukumäärien laskennasta ovat noin 30&nbsp;000 vuotta vanhoja. Tšekistä löydetyssä luussa on yhteensä 55 lovea, jotka on jaoteltu viiden ryhmiin. Viisi on ollut luonnollinen valinta sopivaksi joukoksi, koska sormia on yhdessä kädessä viisi. Kymmenen (kahden käden sormet) ja kaksikymmentä (sormet ja varpaat) ovat olleet myös varhaisia lukujärjestelmien kantalukuja. Amerikan intiaaniheimoista tehdyssä tutkimuksessa kolmannes käytti viisijärjestelmää, kolmannes kymmenjärjestelmää, vajaa kolmannes binaarijärjestelmää ja loput kolmijärjestelmää. Kaksikymmenjärjestelmästä on todisteita lähinnä Euroopasta, missä sen jäänteitä näkyy yhä kielissä, ranskan 80 (*quatre-vingt*) on suomeksi neljä-kaksikymmentä. Varhaisimmat kirjoitetut todisteet näyttävät suosineen viisijärjestelmää, mutta kielen saadessa selvän formaalisen muodon kymmenjärjestelmä on noussut yleisimmäksi.

Geometrian varhaisvaiheita on lukujen syntyäkin vaikeampi selvittää. Kreikkalaiset sijoittivat geometrian synnyn muinaiseen Egyptiin, jossa sitä tarvittiin maanmittaukseen. On kuitenkin selvää, ettei kehittynyt geometrinen ajattelu ole syntynyt tuolloin tyhjästä, vaan jo paljon aiemmin on ollut jonkinlaista geometrista hahmotuskykyä. Monet muutkin eläimet, etenkin apinat, pystyvät hahmottamaan muodon abstraktina, tietystä esineestä irrallisena asiana ja ryhmittelemään eri esineitä muodon perusteella ryhmiin. Vanhimmat todisteet luovasta geometrisesta ajattelusta voidaan nähdä geometrisia kuvioita esittävissä luolamaalauksissa ja erilaisissa punostöissä. Jo niissä on nähtävissä esimerkiksi ajatus kuvioiden yhdenmuotoisuudesta ja symmetriasta. Yksi vanhimmista tällaisista töistä on Etelä-Afrikasta löydetty luola, jonka seiniin on raaputettu geometrisiä kuvioita arviolta jo 70&nbsp;000 vuotta sitten.

## Muinaisen Egyptin matematiikka (3000–500 eaa.)

Egyptiläiset ovat sumerilaisten ohella ensimmäinen kirjoitustaidon kehittänyt kansa. Varhaisimmat dokumentit egyptiläisestä kuvakirjoituksesta, hieroglyfeistä, ovat yli 5&nbsp;500 vuotta vanhoja, ja ensimmäiset säilyneet numeromerkinnät ovat yli 5&nbsp;000 vuotta vanhoja. Egyptiläiset käyttivät kymmenjärjestelmää, ja heidän tapansa merkitä numeroita oli saman tyyppinen kuin roomalaisilla. Kymmenen potensseille ainakin miljoonaan asti oli jokaiselle oma merkkinsä, ja näiden merkkien määrä ilmaisi kyseisen kymmenen potenssin määrän luvussa. Esimerkiksi 1&nbsp;362&nbsp;749 merkittiin C11 I8 I8 I8 D50 D50 D50 D50 D50 D50 M12 M12 V1 V1 V1 V1 V1 V1 V1 V20 V20 V20 V20 Z1 Z1 Z1 Z1 Z1 Z1 Z1 Z1 Z1 Myöhemmin otettiin käyttöön lyhentävä merkintä, jossa esimerkiksi neloselle oli oma merkki, vaakasuora viiva.

Tärkeimmät muinaisen Egyptin matematiikan tasosta kertovat lähteet ovat tietyt säilyneet papyrukset, jotka sisältävät ohjeita ja tehtäviä. Laajin näistä on noin vuodelta 1650 eaa. oleva Ahmesin papyrus, toinen merkittävä lähde on noin vuodelta 1890 eaa. oleva Moskovan papyrus. Näiden perusteella on todettu egyptiläisten osanneen käyttää murtolukuja. He pitäytyivät kuitenkin yksikkömurtoluvuissa (muotoa 1/n) ja luvussa 2/3. Muiden murtolukujen he katsoivat olevan sieventämättömiä. Ahmesin papyruksessa esitetään muotoa 2/n olevat luvut yksikkömurtolukujen summana n:n arvoilla 5–101. Egyptiläiset eivät käyttäneet varsinaisesti kerto- tai jakolaskua, vaan he suorittivat nämä operaatiot kahdentamalla tai puolittamalla lukuja ja laskemalla niitä yhteen. Myös kymmenellä kertomista käytettiin. Ahmesin papyruksen kirjoittaja on myös osannut jakaa lukuja missä tahansa suhteessa, minkä voi kuvitella olleen tärkeää valtion verotuksen ja palkkojen kannalta.

Aritmetiikan lisäksi egyptiläiset ovat osanneet algebran ja geometrian alkeet. Ahmesin papyruksessa esitetään menetelmä yksinkertaista muotoa olevien ensimmäisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi. Lisäksi siinä esiintyy ensimmäinen tunnettu matemaattinen todistus, jossa todistetaan laskemalla tietyn luvun toteuttavan yhtälön. Geometriassa egyptiläiset ovat osanneet laskea tasakylkisten ja suorakulmaisten kolmioiden sekä suunnikkaiden aloja hajottamalla ne sopiviin kolmioihin ja kokoamalla kolmioista suorakulmion. Samaa menetelmää kolmiulotteisesti käyttämällä he osasivat laskea katkaistun pyramidin tilavuuden. Toisin kuin usein mainitaan, Pythagoraan lauseen käytöstä ei ole mitään viitteitä säilyneissä lähteissä. Trigonometrisista suhteista Egyptin matemaatikoilla oli käytössä pyramidin rakentamisessa tarvittu nykyistä kotangenttia vastaava suhde.

Egyptiläisten matematiikka näyttää kehittyneen varhain tasolle, joka on mahdollistanut pyramidien rakentamisen, tonttien mittauksen ja kehittyneen talouden toiminnan. Ahmesin papyruksen jälkeen sen kehitys tuntuu kuitenkin pysähtyneen. Ilmeisesti matematiikkaa kehitettiin vain käytännön tarpeisiin. Suurimpia heikkouksia egyptiläisten matematiikassa oli ehkä käytännöllisyydestä johtuva likimääräisyys. Egyptiläisten käyttämä piin arvo oli 3+13/81, mikä sinänsä ei ole huono likiarvo. He näyttävät kuitenkin olettaneen sen olevan tarkka, koska tiesivät sen olevan melkein oikein. Vastaavasti egyptiläiset laskivat nelikulmion pinta-alan olevan vastakkaisten sivujen keskiarvon tulo, mikä antaa lähellä neliötä oleville nelikulmioille tarkkoja likiarvoja. Tästä on johdettu myös kolmion alalle kaava, jonka mukaan ala on kahden sivun keskiarvo kerrottuna kolmannen puolikkaalla. Tämä osoittaa egyptiläisten osanneen johtaa kaavasta toinen kaava ja jopa käyttäneen yhden sivun pituutena nollaa. Kaava kuitenkin on alkuperäisestä likimääräisyysoletuksesta johtuen väärä.

## Matematiikka Mesopotamiassa (3000–500 eaa.)

Mesopotamian alueella kehitettyä matematiikkaa on tapana kutsua *babylonialaiseksi*, vaikka babylonialaisten lisäksi alueella asui muitakin kansoja. Syynä tähän on alueen melko yhtenäinen kulttuuri. Babylonialaisesta matematiikasta on säilynyt paljon enemmän todisteita kuin Egyptin matematiikasta, sillä alueen kansat käyttivät kirjoitusalustana papyrusta paremmin säilyviä savitauluja. Alueen ensimmäinen merkittävä kansa, sumerilaiset, oppi kirjoitustaidon yli 5&nbsp;000 vuotta sitten. He käyttivät nuolenpääkirjoitusta, minkä myöhemmin aluetta hallinneet kansat omaksuivat. Kymmenjärjestelmän sijaan käytössä oli 60-järjestelmä. Valinta oli tehty ilmeisesti tietoisesti siksi, että 60 on jaollinen monella eri luvulla ja siten kätevä laskennan kannalta. Babylonialaiset käyttivät kuitenkin kymmenjärjestelmää alijärjestelmänä, eli luvut 1–59 muodostettiin ykkösten ja kymmenten merkeistä.

Noin 2500 eaa. alettiin myös numeroita merkitä nuolenpääkirjoituksen merkeillä, joten kaikki numerot ilmaistiin vaaka-ja pystysuorilla kiiloilla. Merkkien vähyys saattoi olla yksi syy siihen, että noin 4&nbsp;000 vuotta sitten alueella otettiin ensimmäisen kerran käyttöön paikkamerkintä. Ykkösiä merkittiin pystysuorilla kiiloilla ja kymmeniä vaakasuorilla. Samoilla merkeillä ilmaistiin myös kantaluvun muut potenssit, joten esimerkiksi luku 4862=3600+21·60+2 merkittiin Y →→Y YY. Tämä oli merkittävä edistysaskel verrattuna egyptiläiseen merkintätapaan erityisesti siksi, että se ulotettiin myös kantaluvun negatiivisiin potensseihin, ja siten merkintä oli yhtä tehokas kuin nykyään käytössä oleva desimaalijärjestelmä. Ainoa puute oli nolla, jota ei ollut aluksi lainkaan. 300-luvulla eaa. alettiin kuitenkin käyttää luvun keskellä olevalle nollalle omaa merkkiä, mutta luvun lopussa olevaa nollaa ei merkitty mitenkään. Luvun suuruus tuli siis tällöin ymmärtää asiayhteydestä.

Babylonialaisten lukujärjestelmän hyödyt näkyivät selkeimmin heidän likiarvojensa tarkkuudessa. Heidän arvonsa kahden neliöjuurelle oli 1,414222, joka on oikein viiden numeron tarkkuudella. Neliöjuuren laskemiseen babylonialaisilla oli yleinen menetelmä, joka perustui iteraatioon. Kuten Egyptin matemaatikot, babylonialaisetkaan eivät tehneet kuitenkaan selvää eroa likiarvon ja tarkan arvon välille. Siten heille riitti hyvä likiarvo, eikä babylonialaisten tiedetä tutkineen iteraatiomenetelmästä syntyviä päättymättömiä sarjoja. He osasivat kuitenkin ilmeisesti laskea äärellisen geometrisen sarjan summan ja osasivat muutenkin käsitellä äärellisiä sarjoja. Säilyneissä savitauluissa on paljon erilaisia laskemista helpottavia taulukoita. Babylonialaiset ovat merkinneet ylös käänteislukutaulukoita ja lukujen potensseja ja tehneet logaritmitauluja, joita on hyödynnetty käytännössä esimerkiksi korkolaskuissa. Taulukosta puuttuneille luvuille he ovat laskeneet arvoja interpoloimalla.

Yhtälöratkaisussa babylonialaiset edistyivät huomattavasti egyptiläisiä pidemmälle. He oppivat ratkaisemaan kaikki toisen asteen yhtälöt, joilla on ainakin yksi positiivinen juuri. Heidän algebransa kehittyneisyyttä osoittaa, että he ratkaisivat muotoa ax²+bx+c=0 olevia toisen asteen yhtälöitä sijoitusmenetelmällä kertomalla molemmat puolet a:lla ja merkitsemällä ax=y. Samoin he osasivat ratkaista toiseen asteeseen sijoituksella palautuvat yhtälöt kuten x8+bx4+c=0. Babylonialaiset ratkaisivat myös ainakin kolmitermisiä kolmannen asteen yhtälöitä. Täydellisen kolmannen asteen yhtälön ratkaisusta ei ole varmoja todisteita. Matematiikan tason selvittämistä vaikeuttaa, etteivät babylonialaiset kirjoittaneet ratkaisumenetelmiään muistiin minkäänlaisina kaavoina, vaan käytännöllisinä, tiettyihin lukuihin sidottuna toimintaohjeena. Siksi on joskus mahdotonta tietää, ovatko he tunteneet ongelman yleisen ratkaisun vai vain tietyn erityistapauksen. Ainakin neliön lävistäjän osalta he ovat tienneet, että jokaisessa neliössä lävistäjän ja sivun suhde on √2.

Babylonialaisten geometriakin oli egyptiläisiä kehittyneempää, joskin he suhtautuivat siihen lähinnä algebran sovelluksena. Siten mitään geometrisia todistuksia ei ole olemassa. Muutenkin heidän todistuksensa rajoittuvat siihen, että väite todistettiin laskemalla oikeaksi. Babylonialaiset kehittivät ensimmäisenä Pythagoraan lauseen. Lisäksi he olivat egyptiläisiä edellä siinä, että he pystyivät laskemaan kuvioiden pinta-aloja ja janojen pituuksia hyödyntämällä yhdenmuotoisia kuvioita. Varsinaista trigonometriaa babylonialaisilla ei ollut, mutta savitauluista on löydetty taulukoituja arvoja, jotka vastaavat sekantin neliötä kulman arvoilla 31°–45°. Tangentin arvojakin on luultavasti taulukoitu, mutta niitä ei ole säilynyt. Kulmaa ei silti pidetty mitattavana suureena, vaan arvot liittyvät tiettyjen kolmioiden sivujen suhteisiin, eikä sekantti tai tangentti ole siten ollut käytössä abstraktina funktiona. Matematiikan kehityksen kannalta ehkä merkittävin babylonialaisten uudistus oli osin käytännöstä irrotettu matematiikka. Osalle laskuista on mahdotonta kuvitella tuon ajan sovelluksia, joten Babylonian matemaatikot ovat ensimmäisinä tutkineet matematiikkaa sen itsensä takia.

## Antiikin matematiikka (600 eaa.–500 jaa.)
Kreikkalainen kulttuuri suosi tieteiden, etenkin filosofian, logiikan ja matematiikan harjoitusta. Siksi matematiikka kehittyi antiikin Kreikassa aivan uudelle tasolle verrattuna esihelleeniseen aikaan. Kreikkalaiset tekivät monia tärkeitä yksittäisiä matemaattisia löytöjä, mutta tärkeintä oli matematiikan muuttuminen omaksi tieteenalakseen, jollaisena se nykyään tunnetaan. Babyloniassa ja Egyptissä matematiikka oli ollut lähinnä käytännöllistä. Sitä ei hahmotettu abstraktina loogisena järjestelmänä, jossa tietyt aksioomat eli peruslauseet ja niistä johdetut säännöt ovat voimassa. Tämänkaltainen ajatusmalli syntyi antiikin Kreikassa.

### Helleeninen kausi (600–300 eaa.)

700-luvulta eaa. lähtien kreikkalaiset olivat alkaneet perustaa siirtokuntia Välimeren ja Mustanmeren rannikolle. Tämä toi lisää yhteyksiä myös vanhoihin matematiikan keskuksiin, Babyloniaan ja Egyptiin, ja oli ilmeisesti yksi syy nopeaan matematiikan kehittymiseen. Ensimmäiset nimeltä tunnetut kreikkalaiset matemaatikot olivat Thales (noin 624–548&nbsp;eaa.) ja Pythagoras (noin 580–500&nbsp;eaa.). Heidän teoksistaan yksikään ei ole säilynyt, mutta monet myöhemmät matemaatikot viittaavat heihin teoksissaan. On kuitenkin kiistanalaista, mitkä kaikki heidän nimiinsä yleensä laitettavista keksinnöistä olivat todella heidän itsensä kehittämiä. Thaleen ansioksi lasketaan yleensä geometrisen deduktiivisen päättelyn kehittäminen. Pythagoras ja hänen seuraajansa perustivat koulukunnan, jonka mukaan kaikki oli esitettävissä kokonaislukujen ja niiden suhteiden avulla. He olivat siis ensimmäisiä, jotka pyrkivät kuvaamaan luontoa säännönmukaisesti matematiikan avulla. Pythagoras havainnoi, kuinka värähtelevän kielen pituus vaikuttaa sävelkorkeuteen ja tutki, missä suhteessa kielten pituuksien tulee olla, jotta saadaan tuotettua yhteen oktaavialaan kuuluvat sävelet. He myös ottivat käyttöön alkuluvun ja kultaisen leikkauksen käsitteet. Pythagoralainen lukujen palvonta johti erilaisten lukujonojen tutkimiseen, ja tiettyjä lukuja pidettiin ”arvokkaampina” kuin toisia. Tämä johti siihen, että he erottivat toisistaan puhtaan matematiikan ja laskutekniikkaan keskittyvän *logistiikan*. Tämä saattoi hidastaa lukujen merkintätavan kehittymistä, kun käytännön laskemista pidettiin alempiarvoisena. Kreikkalaiset merkitsivät lukuja aluksi roomalaisia numeroita muistuttavalla järjestelmällä. Viimeistään 400-luvulla eaa. siirryttiin joonialaiseen merkintätapaan, joka muistutti paikkajärjestelmää. Täydellistä paikkajärjestelmää ei alettu koskaan käyttää, eikä joonialaista merkintää käytetty murtolukuihin. Pythagoralaiset pitivät niitä kahden kokonaisluvun suhteena eikä suuruudeltaan kokonaislukujen väliin sijoittuvina erillisinä lukuina.

400-luvulla eaa. kreikkalainen matematiikka levisi ympäri helleenistä maailmaa Etelä-Italiaan, Traakiaan ja Vähään-Aasiaan. Vaikka tuolloin eli monia merkittäviä matemaatikkoja, yhtäkään heidän itsensä kirjoittamaa tekstiä ei ole säilynyt. Tuolloin syntyivät kolme klassista geometrian ongelmaa, ympyrän neliöiminen, kuution kahdentaminen ja kulman kolmiajako pelkästään harpin ja viivoittimen avulla. Vaikka kreikkalaiset eivät ratkaisseet ongelmia, niiden tutkiminen johti moniin uusiin löytöihin. Erityisesti täsmentyi tarkan arvon ja likiarvon käsitteiden ero. Kreikkalaiset ymmärsivät ensimmäisinä, ettei tarkkakaan likiarvo vastaa koskaan tarkkaa arvoa. Hippokrates Khioslainen (noin 470–410&nbsp;eaa.) onnistui ympyrän neliöintiä tutkiessaan neliöimään tietynmuotoisia kuunsirppejä ja onnistui siten ensimmäisenä laskemaan täsmällisesti käyräviivaisen kuvion pinta-alan. Ateenalainen Hippias (noin 460–400&nbsp;eaa.) keksi tavan suorittaa kulman kolmiajako käyttämällä apuna *kvadratrix*-nimistä käyrää. Koska käyrää ei voinut luoda harpin ja viivoittimen avulla, ratkaisu ei ollut hyväksyttävissä. Hippias oli kuitenkin keksinyt ensimmäisen käyrän, joka ei ollut ympyränkaari tai suora. Ensimmäisen geometrisen ratkaisun kuution kahdentamiseen esitti tarentumilainen Arkhytas. Hänen ratkaisunsa perustui kahdennettavan kuution mukaan sopivasti piirrettävien kartion, lieriön ja reunapisteensä ympäri pyörähtävän ympyrän muodostaman toruksen leikkauspisteeseen, joka määritti uuden kuution kärjen paikan. Ratkaisu osoittaa kreikkalaisen matematiikan olleen hyvin abstraktilla tasolla ottaen huomioon, ettei heillä ollut käytössä nykyisenkaltaista analyyttistä geometriaa tai edes koordinaatistoa.

Pythagoralainen ajatus kokonaislukujen ja niiden suhteiden hallitsemasta maailmasta romahti 400-luvulla eaa. Tuolloin onnistuttiin todistamaan, että esimerkiksi neliön sivu ja lävistäjä ovat yhteismitattomia, eli nykytermein ilmaistuna niiden suhde on irrationaaliluku. Kunnia tästä keksinnöstä annetaan usein Hippasokselle (noin 530–450 eaa.), vaikka varmuutta asiasta ei ole. Myös kultaisen leikkauksen suhde todistettiin irrationaaliluvuksi. Yhdessä Zenonin (490–425 eaa.) kehittämien paradoksien kanssa tämä johti siihen, että kaiken perustana alettiin pitää geometriaa eikä lukuja. Luvuilla katsottiin olevan diskreetti luonne, ja Zenon osoitti, että avaruuden kuvaaminen diskreetiksi aiheuttaa ristiriitoja. Siten luvuilla ei voitu kuvata todellista, jatkuvien suureiden maailmaa. Pitkälti tämän seurauksena syntyi *geometrinen algebra*, jossa algebran lauseille pyritään löytämään geometrinen todistus. Mitään laskutoimitusta, jossa esiintyi yhteismitattomien lukujen suhde, ei voinut suorittaa, vaan sen ratkaisua varten oli tehtävä geometrinen konstruktio. Esimerkiksi toisen asteen yhtälöjä ja neliöjuurten arvoja alettiin ratkaista geometrisesti.

300-luvulla eaa. Platon (427–347 eaa.) perusti Akatemiansa ja tuki siten matemaatikkoja ja matematiikan kehitystä. Hän ei itse päätynyt merkittäviin tuloksiin, mutta pyrki selventämään matematiikan määritelmiä ja todistusmenetelmiä. Platon sovelsi ideaoppiaan matematiikkaan ja painotti, että geometria ei käsittele piirrettyjä kuvioita vaan niiden edustamia ideoita. Siten matematiikka irtautui yhä selvemmin käytännöstä erilliseksi tieteeksi. Platonin Akatemiassa opiskellut Eudoksos (noin 408–335 eaa.) nousi ajan merkittävimmäksi matemaatikoksi. Hän ratkaisi yhteismitattomien suureiden verrantoihin aiheuttaman ongelman. Vaikeutena oli ollut kahden yhteismitattoman luvun suhteen suuruus verrattuna kahden kokonaisluvun suhteeseen (eli nykytermein irrationaaliluvun suhde rationaalilukuun), mutta Eudoksoksen uusi suhteen määritelmä ratkaisi ongelman. Hänen määritelmänsä idea on hyvin lähellä Dedekindin 1800-luvulla esittelemää reaalilukujen määritelmää. Eudoksos saavutti toisenkin merkittävän tuloksen kehittäessään integraalilaskentaa edeltäneen ekshaustiomenetelmän, jolla voitiin laskea tarkasti käyräviivaisten kuvioiden aloja. Jo häntä ennen esimerkiksi Demokritos oli yrittänyt laskea kappaleiden tilavuuksia infinitesimaaleja käyttäen, mutta vasta Eudoksos kehitti äärettömän pienillä suureilla suoritettavasta laskennasta eksaktia. Hän onnistui todistamaan lauseen, jonka mukaan vähentämällä annetusta suureesta vähintään puolet, jäljelle jääneestä suureesta vähintään puolet ja jatkamalla prosessia, saadaan luku, joka on mitä tahansa lukua pienempi. Tämä tarkoittaa nykymerkinnöin \lim_{n \to \infty}M(1-r)^n=0, jossa M on alkuperäinen suure ja 1/2 \le r. Eudoksoksen oppilas Menaikhmos löysi kartioleikkaukset tutkiessaan kuution kahdentamista.

### Hellenistinen kausi (300–100 eaa.)

300-luvun lopulla eaa. Aleksanteri Suuri oli yhdistänyt Kreikan, Egyptin ja koko Lähi-idän valtansa alle. Helleenisen ja itäisen kulttuurin sulautuessa toisiinsa syntyi uusi hellenistinen kulttuuri. Matematiikan kehitykseen tämä vaikutti siten, että matematiikan keskus siirtyi Kreikasta Aleksandriaan. Hellenististä kautta sanotaan myös aleksandrialaiseksi kaudeksi, ja sitä pidetään kreikkalaisen matematiikan huipentumana. Tänä aikana elivät kuuluisat matemaatikot Eukleides (325–265 eaa.), Arkhimedes (287–212 eaa.) ja Apollonios Pergeläinen (noin 262–190 eaa.).

Eukleides tunnetaan parhaiten teoksestaan *Stoikheia*, *Alkeet¨*. Teos tunnetaan myös latinankielisellä nimellään Elementa. Se on tärkein tietolähde antiikin Kreikan matematiikasta. Alkeet on nimensä mukaisesti matematiikan perusteiden oppikirja, eikä käsittele aikansa edistyksellisintä matematiikkaa. Eukleides on kirjoittanut teoksensa aiempien tutkimusten perusteella, ja luultavasti hyvin vähän sen sisällöstä on hänen itsensä kehittämää. Eukleideen ansio on kirjan loogisessa rakenteessa ja pyrkimyksessä matematiikan perusteiden selkeään esitykseen tietyistä aksioomista lähtien. Vaikka hänen logiikkansa ei täytä nykyisiä täsmällisyysvaatimuksia, se oli antiikin matemaatikoille täysin riittävää. 13 kirjasta koostuva Elementa alkaa tasogeometrialla, sisältää Eudoksoksen suhteen määritelmän pohjalta kehitetyn verrantojen teorian ja ekshaustiomenetelmän, käsittelee lukuteoriaa ja päättyy Platonin kappaleiden käsittelyyn. Eukleides kirjoitti muitakin teoksia, jotka sisälsivät enemmän hänen omaa tutkimustaan, mutta nämä ovat pääosin hävinneet. Muiden lähteiden viittausten mukaan hän oli tutkinut ainakin kartioleikkauksia ja kehittänyt jonkinlaista analyyttistä geometriaa.

Arkhimedes oli paitsi matemaatikko, myös keksijä ja historian ensimmäinen matematiikkaa lähtökohtanaan käyttänyt fyysikko. Lukuun ottamatta Pythagoraan teoriaa kielen pituuden vaikutuksesta sävelkorkeuteen kaikki fysiikka oli Arkhimedekseen asti ollut spekulatiivista ja filosofista. Arkhimedes selitti matematiikan avulla nosteen ja vipulain, jolla hän saattoi laskea monimutkaistenkin kappaleiden painopisteitä. Nämä yhdistämällä hän pystyi laskemaan, miten erimuotoiset kappaleet ja veneet kelluvat ja loi siten hydrostatiikan perustan. Vipulakiaan apuna käyttäen Arkhimedes kehitti ekshaustiomenetelmän huippuunsa ja laski esimerkiksi pallosegmentin pinta-alan ja tilavuuden ja spiraalin sisään jäävän pinta-alan. Arkhimedes onnistui myös ensimmäisenä ratkaisemaan yleisen kolmannen asteen yhtälön reaaliarvoiset juuret.

Apolloniosta voidaan pitää antiikin suurimpana geometrikkona. Toisin kuin Eukleides, hän kehitti itse valtavan määrän todistuksia ja uusia geometrian lauseita. Hänen töistään suurin osa on hävinnyt, mutta tärkein, *Kartioleikkauksista*, on säilynyt. Siinä Apollonios näyttää, kuinka kartioleikkauksia voidaan käsitellä tasossa ja kuinka samasta kartiosta voidaan saada kaikki kartioleikkaukset leikkauskulmaa muuttamalla. Hän käyttää ensimmäisenä koordinaatistoa, mutta ei pidä sitä itsenäisenä järjestelmänä, vaan liittää jokaiseen kartioleikkaukseen koordinaatiston käyrän halkaisijana ja tangenttina. Apollonioksen muusta geometrisesta työstä on hyvänä esimerkkinä hänen mukaansa nimetty Apollonioksen ongelma, jonka vaikeinta osaa, kolmea ympyrää sivuavaa ympyrää, Apollonius ei itse osannut ratkaista. Lisäksi Apolloniuksen ansioihin kuuluu ajatus planeettojen liikkeen kuvaamisesta episykleillä.

### Roomalainen kausi (100 eaa. – 529)

Kreikka ja Egeanmeren alue liitettiin 100-luvulla eaa. Rooman valtakuntaan. Samaan aikaan alkoi myös kreikkalaisen matematiikan taantuminen ja muuttuminen käytännöllisemmäksi. Joidenkin tutkijoiden mielestä taantuman syynä oli Rooman kielteinen suhtautuminen tieteisiin. Käytännöllinen suuntaus näkyi trigonometrian kehittymisenä tähtitieteen ja muun mittauksen tarpeisiin. Trigonometriaa kehittivät erityisesti Hipparkhos (180–125 eaa.), joka vakiinnutti ympyrän jakamisen 360 asteeseen, ja Ptolemaios (85–165), joka teki trigonometrisia kaavoja käyttäen trigonometrisia taulukkoja asteen neljänneksen välein. Taulukot julkaistiin hänen merkittävimmässä työssään Almagestissa. Kreikkalaiset eivät käyttäneet trigonometrisia funktioita samassa mielessä kuin nykyään, vaan heille funktioiden arvot liittyivät kiinteästi tiettyä kulmaa vastaavaan ympyrän jänteeseen. Kreikkalaiset tunsivat myös kaikki tärkeimmät nykyäänkin käytössä olevat trigonometriset kaavat, mutta käyttivät niitä geometrisessa muodossa erilaisina kaavoina ympyrän jänteille.

Vaikka matematiikka ei kiinnostanutkaan Roomaa tai roomalaisia, kreikkalainen matematiikka nousi hiljaisemman kauden jälkeen uuteen kukoistukseen 200-luvulla. Tuolloin heräsi uudestaan kiinnostus lukuteoriaa kohtaan geometrian oltua pitkään lähes ainoa tutkittu matematiikan haara. Syynä tähän oli uusplatonismiin herättämä kiinnostus pythagoralaisten ajatuksiin lukujen hallitsemasta maailmasta ja Babyloniasta Rooman valloitusten mukana levinnyt kiinnostus algebraan. Uuden suuntauksen merkittävin edustaja oli Diofantos (noin 200–284). Häntä kutsutaan joskus algebran isäksi, koska hän vakiinnutti symbolien käytön matematiikassa tuohon asti käytössä olleiden sanallisten ohjeiden sijaan. Diofantos tutki indeterminoituja yhtälöitä ja ratkaisi niitä eksaktisti, tosin hän ei ollut kiinnostunut löytämään kaikkia mahdollisia ratkaisuja. Täsmällisen logiikan sijaan Diofantos keskittyikin ongelmien ratkaisemiseen käytännössä.

Geometrian alalla matematiikan uusi nousu huipentui Pappokseen (290–350). Hän oli viimeinen merkittävä antiikin geometrikko. Tärkein hänen julkaisuistaan oli *Kokoelma* (Synagoge), jossa hän pyrkii kokoamaan yhteen silloisen geometrian osaamisen. Teos on viittaustensa ansiosta arvokas lähde aiempaan matematiikan kehitykseen. Lisäksi se sisältää Pappoksen omaa tutkimusta, lähinnä aiempien geometristen lauseiden yleistyksiä ja uusia todistuksia. Lisäksi hän esittää hypoteesin, että kolme klassista geometrian ongelmaa eivät ole ratkaistavissa harpilla ja viivoittimella. Vasta moderni algebra mahdollisti hypoteesin todistamisen. Pappos myös todistaa kirjassaan Pappos-Guldinin teoreemana tunnetun lauseen.

Pappoksen jälkeen matematiikan kehitys Euroopassa loppui vuosisadoiksi. Hänen jälkeensä vain etevimmät matemaatikot kykenivät ymmärtämään kokonaan antiikin tekstejä ja tyytyivät vain kommentoimaan ja selittämään niitä. Aleksandrian aika matematiikan keskuksena loppui vuonna 415, kun fanaattiset kristityt murhasivat vanhoja helleenisiä arvoja ja pakanuutta puolustaneen Hypatian, joka oli oppinut matemaatikko. Aleksandrian kirjaston yhteydessä toiminut yliopisto oli tosin suljettu jo aiemmin, mutta murha pelästytti muut oppineet, jotka jättivät kaupungin.  

Länsi-Roomassa matematiikan harjoittaminen ei ollut koskaan saavuttanut merkittävää asemaa. Boëthius oli sen merkittävin matemaatikko, ja hänen teloitustaan vuonna 525 voi pitää antiikin matematiikan loppuna läntisessä osassa muinaista Rooman valtakuntaa. Boëthius kirjoitti matematiikan oppikirjoja, mutta ne olivat vain aikaisempien tekstien alkeellisia lyhennelmiä. Hän käänsi Eukleideen *[[Alkeet|Elementan]]* neljä ensimmäistä kirjaa, mutta ilman todistuksia. 

#### Bysantti vuoteen 529
Bysantissa matematiikan keskuksena oli säilynyt niin sanottu Platonin Akatemia. Sitkeän huhun mukaan keisari Justinianus I lakkautti sen vuonna 529 pitäessään uusplatonistista filosofiaa uhkana kristinuskolle. Todellisuudessa keisari ei määrännyt koulua suljettavaksi. Sen sijaan Ateenan kristityt viranomaiset lakkauttivat koulun julkisen rahoituksen, minkä jälkeen turhautuneet filosofit pakkasivat laukkunsa ja lähtivät Persian kuninkaan suojiin. Siellä ei kuitenkaan ollut sen parempaa, joten suurin osa palasi takaisin kuka minnekin. Kyse ei toisaalta ollut Platonin perustamasta akatemiasta vaan uusplatonistien omasta oppilaitoksesta, Ateenan filosofikoulusta.   

Bysantissa Eutokios (n. 480–540) teki 500-luvulla merkittäviä kommentaareja Arkhimedeen ja Apollonioksen töihin. Arkhimedeem *Pallo ja lieriö* -teoksessa mainittu kolmannen asteen yhtälön kartioleikkauksiin perustuva ratkaisu on säilynyt vain Eutokioksen selostamana.  Anthemios Tralleislainen (474 – ennen vuotta 558) oli muun muassa Hagia Sofian arkkitehti. Matematiikassa hän esitteli keinon, jolla voidaan piirtää ellipsi: asettamalla neulat ellipsin polttopisteisiin ja sitomalla nauha (pituus isoakselin verran) näihin kiinni. Pitämällä nauhaa koko ajan kireällä kynän avulla ja siirtämällä kynää eteenpäin saadaan ellipsi.  Hän tutki myös polttopeilejä. Isidoros Miletolainen oli Platonin akatemian johtaja ja Hagia Sofian toinen arkkitehti, joka kirjoitti kommentaareja antiikin matemaattisiin teksteihin. Bysantin matematiikan saavutukset jäivät vaatimattomiksi ja koostuivat enimmäkseen klassikoiden kommentaareista. 

Antiikin matematiikka päättyi vuonna 525 lännessä Boëthiuksen teloitukseen ja idässä vuonna 529 Ateenan filosofikoulun sulkemiseen ja oppineiden hajaantumiseen. Vuonna 529 perustettiin Italiassa Monte Cassinon luostari ja matematiikan harrastus vetäytyikin luostareihin, missä antiikin tekstejä yhä kommentoitiin. Eurooppalaisissa kouluissa käytettiin Boëthiuksen vaatimattomia klassikkokäännöksiä, joten matematiikka ei kokonaan kadonnut.

## Amerikan alkuperäiskansojen matematiikka (500 eaa. – 1500)

Matematiikka ei ehtinyt kehittyä Amerikassa pitkälle ennen eurooppalaisten saapumista. Monissa alkuperäiskansojen kielissä ei ole edes kahta suurempia lukusanoja, vaan ne korvataan käsitteellä monta. Niissä kielissä, joissa lukusanoja oli enemmän, oli käytössä yleisimmin kolmi-, kymmen- tai 20-järjestelmä. Pisimmälle lukujen käsittely kehittyi Inkavaltiossa ja Keski-Amerikan kehittyneissä intiaanivaltioissa. Varsinaisesta matematiikasta voidaan kuitenkin puhua vain mayojen osalta. Noin 500-luvulla eaa. käyttöönotettu mayojen numerojärjestelmä oli maailman ensimmäinen täydellinen paikkajärjestelmä, ja mayat käyttivät siten nollaa ensimmäisinä maailmassa. Muilta osin mayat eivät kuitenkaan olleet samalla tasolla kuin aikalaisensa Egyptissä tai Mesopotamiassa. Minkäänlaista algebraa ei ollut ja matematiikkaa käytettiin vain käytännön tarkoituksiin. Tärkeimpiä sovellusaloja olivat tähtitiede, ajanlasku ja asemakaavoituksellinen suunnittelu. Mayat käyttivät geometriaa rakennusten mittojen ja sijainnin määrittämiseen uskonnon kannalta edullisiksi. Mayojen ajanlasku oli hyvin tarkka ja pohjautui tarkkoihin astronomisiin havaintoihin. He mittasivat esimerkiksi synodisen kuukauden pituuden 23 sekunnin tarkkuudella.,

## Kiinalainen matematiikka (300 eaa. – 1600)

Matematiikka kehittyi Kiinassa ilman tiedonvaihtoa muiden korkeakulttuurien kanssa ainakin ajanlaskun alkuun asti, myöhemmistä yhteyksistä etenkin Intiaan on vain hajanaisia tietoja ja tiedonkulun suunta on epäselvä. Kuten helleenisellä alueella, myös Kiinassa suuri osa alkuperäisistä lähteistä on tuhoutunut, osin moniin dynastianvaihdoksiin liittyneiden murroskausien välillä. Vanhin säilynyt teos Zhou Bi Suan Jing on luultavimmin peräisin 300-luvulta eaa. Se käsittelee tähtitieteellisiä mittauksia, alkeisgeometriaa ja murtolukulaskentaa. Tätä kuuluisampi on noin vuodelta 250 eaa. oleva Yhdeksän lukua, joka on ilmeisesti varhaisin teos, jossa käytetään negatiivisia lukuja. Kumpikaan teoksista ei yllä kreikkalaisten tutkielmien loogiseen täsmällisyyteen, vaan muistuttaa Babyloniassa ja Egyptissä tehtyjä ongelmakokoelmia, joissa tehtävät liittyvät käytännön mittauksiin.

Kiinassa oli käytössä kymmenkantainen paikkajärjestelmä jo satoja vuosia ennen ajanlaskun alkua, mutta nolla otettiin käyttöön vasta 700-luvulla. Myös murtoluvut merkittiin desimaalijärjestelmällä. 200-luvulla jaa. Liu Hui käsitteli geometristen ongelmien lisäksi yhtälöryhmiä ja ratkaisi korkeampaa astetta olevia yhtälöitä nykyään Hornerin metodina tunnettua operaatiota muistuttavalla tavalla. Zu Chongzhi (430–501) laski piin arvon hämmästyttävän tarkasti (3,1415926 ja x^n+y^n=z^n ei ole kokonaislukuratkaisuja, kun n\geq3. Hän itse osoitti tämän tapauksessa n=4. Meni yli 300 vuotta osoittaa, että Fermat oli oikeassa. Fermat esitti myös Fermat’n periaatteena tunnetun lain, jonka mukaan valo etenee aina sitä reittiä, mikä on sille nopein. Tämä johti heijastuslakien, kuten Snellin lain syntymiseen.

Ranskalainen matemaatikko Blaise Pascal kehitti vuosisadalla todennäköisyyslaskennan perusteita.

Vuosisadalla kehitettiin myös numeerista laskentaa. Alan kehitys alkoi logaritmeista ja trigonometriasta. Myös maailman vanhimmat matemaattiset yhdistykset on perustettu 1600-luvulla.

## 1700-luku
Vuosisadalla integraalilaskenta kehittyi nykyiselle tasolleen, mutta muuten vuosisadalla ei saavutettu sellaisia vallankumouksellisia edistysaskeleita kuin edeltävällä vuosisadalla. Eräs vuosisadan huomattavimpia matemaatikkoja on englantilainen Abraham de Moivre, joka teki uraauurtavaa työtä todennäköisyyslaskennan parissa. Hän esitti ensimmäisenä virhefunktion e^{x^{2}} ja sen yhteyden binomijakaumaan. Lisäksi hän julkaisi vuonna 1718 kirjan Doctrine of Chances, joka on ensimmäisiä kattavia todennäköisyyslaskennan esityksiä. De Moivre käytti edeltäjiään luontevammin kompleksilukuja. De Moivre on myös vakuutusmatematiikan pioneereja.

Vuosisadalla eli myös yksi kaikkien aikojen merkittävimmistä matemaatikoista Leonhard Euler. Kuten suurin osa muistakin 1700-luvun matemaatikoista, Eulerkin teki elämäntyönsä tiedeakatemioissa, joista pisimpään hän työskenteli Pietarin tiedeakatemiassa. Euler oli eräs kaikkien aikojen tuotteliaimmista matemaatikoista; laati keskimäärin 800 sivun verran matemaattista tutkimusta vuodessa. Elinaikanaan Euler julkaisi yli 500 tutkimusta, ja hänen tutkimuksiaan julkaistiin vielä 40 vuotta hänen kuoleman jälkeenkin. Yhteensä Eulerin julkaisujen määrä on 856. Eulerin tuotannon laajuutta kuvaa se, että Eulerin kootut teokset, joiden julkaiseminen on yhä kesken, tulee sisältämään 74 osaa ja tähän ei edes sisälly hänen usean tuhannen kirjeen suuruinen kirjeenvaihtonsa. Ensimmäisen tutkielmansa hän julkaisi 19-vuotiaana. Julkaisut käsittelevät käytännössä kaikkia tuolloin tunnettuja matematiikan ja fysiikan osa-alueita, mukaan lukien oppikirjat ja tieteen popularisointi. Tieteen popularisoinnin alalla hänen merkittävin teoksensa on Kirjeitä saksalaiselle prinsessalle fysiikasta ja filosofiasta, joka on toiminut esikuvana myöhemmille matematiikkaa popularisoiville kirjoille.

Euler pani alulle elliptisten integraalien tutkimuksen, joka osoittautui myöhemmin erittäin tärkeäksi alaksi. Analyysin lisäksi Euler kehitti paljon myös lukuteoriaa. Hänen tunnetuin työnsä on kuitenkin Königsbergin siltaongelman ratkaisu vuodelta 1736. Tämä toimi pohjana mm. graafiteorian kehitykselle.

## Katso myös
* Logiikan historia
* Luettelo matemaatikoista
* Arabiankielinen matematiikka keskiajalla
* Käännökset latinaan keskiajalla

## Lähteet
* 
*
*
* 
* 

### Viitteet

## Kirjallisuutta
* 
* 
* 
* 
* 

## Aiheesta muualla

* 
*