Normaalijakauma

\operatorname{exp}\left\{-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right\}
  | cdf        = \frac12\left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}\right)\right] 
  | mean       = *μ*
  | median     = *μ*
  | mode       = *μ*
  | variance   = \sigma^2\,
  | skewness   = 0
  | kurtosis   = 0 
  | entropy    = \frac12 \ln(2 \pi e \, \sigma^2)
  | mgf        = \exp\{ \mu t + \frac{1}{2}\sigma^2t^2 \}
  | char       = \exp \{ i\mu t - \frac{1}{2}\sigma^2 t^2 \}
  | fisher     = \begin{pmatrix}1/\sigma^2&0\\0&1/(2\sigma^4)\end{pmatrix}
  | conjugate prior = Normal distribution
}}

**Normaalijakauma** (toisilta nimiltään **Gaussin jakauma** tai **Gaussin kellokäyrä**) on jatkuva todennäköisyysjakauma. Nimitys **kellokäyrä** tulee siitä, että tiheysfunktion kuvaaja muistuttaa kirkonkellon sivukuvaa. Luonnontieteissä normaalijakaumalle on paljon käytännöllisiä tulkintoja.

Normaalijakauma on määritelty ja jatkuva kaikilla muuttujan reaaliarvoilla. Jos satunnaismuuttuja X on *normaalijakautunut*, niin merkitään
X \sim \operatorname{N}(\mu,\sigma^2) .
Parametri \mu \in \mathbb{R} on jakauman odotusarvo ja \sigma^2 > 0 on jakauman varianssi. Jakauman sijainti riippuu keskiarvoparametrista ja leveys varianssiparametrista. Jakauman tiheysfunktio on
f_X(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} .
Normaalijakauman kertymäfunktio on integraali
 \Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-t^2/2} \, dt, 
jota ei voida ratkaista analyyttisesti alkeisfunktioiden avulla. Kertymäfunktion arvoja voidaan kuitenkin laskea numeerisilla menetelmillä.

**Standardoitu normaalijakauma** eli **standardinormaalijakauma** on yleisen normaalijakauman erikoistapaus \operatorname{N}(0,1). Standardoidussa normaalijakaumassa jakauman odotusarvo on 0 ja varianssi 1. Useimmissa matematiikan taulukkokirjoissa on taulukoituna standardinormaalijakauman kertymäfunktion arvoja positiivisissa pisteissä. Normaalijakauman kertymäfunktion arvojen laskeminen numeerisesti on tarkempaa, mikäli jakauma on standardinormaalijakauma.

Standardinormaalijakauman tapauksessa kertymäfunktio \phi (x) voidaan esittää myös siihen läheisesti liittyvän virhefunktion \operatorname{erf}(x) avulla seuraavasti:
\phi(x) = \frac{\mathrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) + 1}{2}.

Keskeisen raja-arvolauseen perusteella normaalijakaumalla on yhteys muihinkin jakaumiin. Tiettyjen lievien oletusten ollessa voimassa ja poimimalla riippumattomasti samasta jakaumasta suuri määrä satunnaismuuttujan arvoja, saadaan tulokseksi normaalijakauma riippumatta alkuperäisen jakauman muodosta.

## Normaalijakaumaa koskevia lauseita
Jos X\sim N(\mu,\sigma^2), niin \frac{X-\mu}{\sigma }\sim N(0,1).

Jos X\sim N(\mu,\sigma^2) ja a ja b ovat vakioita, niin a+bX\sim N(a+b\mu,b^2\sigma^2).

Jos X_1,X_2,\ldots,X_k ovat riippumattomia satunnaismuuttujia ja X_i\sim N(\mu_i,\sigma_i^2), i=1,2,\ldots,k, niin X_1+X_2+\ldots+X_k\sim N(\mu_1+\mu_2+\ldots+\mu_k,\sigma_1^2+\sigma_2^2+\ldots+\sigma_k^2).

Jos X_1,X_2,\ldots,X_k ovat riippumattomia satunnaismuuttujia ja X_i\sim N(\mu,\sigma^2),i=1,2,\ldots,k, niin satunnaismuuttujien keskiarvo noudattaa jakaumaa \frac{X_1+X_2+\ldots+X_k}{k}\sim N\left (\mu,\frac{\sigma^2}{k}\right ).
## Normaalijakauman laskeminen tietokoneella
Esimerkiksi Sagella voi laskea normaalijakauman N(0,1) likiarvon \Phi(1) seuraavasti:

```
sage: N(integrate(1/sqrt(2*pi)*exp(-x^2/2),x,-infinity,1))
 0.841344746068543
```


Vastaavasti numeerisesti voidaan laskea, milloin vaikkapa \Phi(x)=0{,}95:

```
sage: import scipy.stats as st
 sage: st.norm.ppf(0.95,0,1)
 1.6448536269514722
```


## Lähteet

## Aiheesta muualla

* Mathworld. Normal Distribution 
* Table of the Standard Normal Distribution  Standardinormaalijakauman kertymäfunktion arvoja 
* The Myth of the Bell Curve. Kritiikkiä normaalijakauman käytöstä yhteiskuntatieteissä. 
* Online laskin Normaalijakauma
* Interaktiivinen Normaalijakauma, Java/Geogebra