Epämääräinen muoto

**Epämääräinen muoto** on matemaattinen merkintä, jolle ei voida määrittää lukuarvoa. Voidaan myös sanoa, että "lauseke ei ole määritelty".

Esimerkiksi jakolaskun 0/0 tulos ei ole määritelty, koska jakolaskun määritelmän mukaan se voisi olla mikä luku tahansa - onhan mikä tahansa luku nollalla kerrottuna nolla. Nollalla jakaminen on myös intuitiivisesti outo tapahtuma. Potenssilaskennassa merkintä 0^0 ei ole määritelty, sillä eri tavoilla laskemalla siitä voidaan saada joko 1 tai 0. Matematiikassa jokaiselle lausekkeelle tulee voida osoittaa tulokseksi vain yksi lukuarvo.

Epämääräisiä muotoja ovat seuraavat seitsemän:

:\frac 00,~ \frac{\infty}{\infty},~ 0\times\infty,~ \infty - \infty,~ 0^0,~ 1^\infty, \text{ ja } \infty^0 .

Eräissä ohjelmointikielissä epämääräisiä muotoja vastaa "arvo" NaN.

## Epämääräiset muodot ja raja-arvot

Epämääräiset muodot liittyvät läheisesti funktioiden ja lukujonojen raja-arvojen määrittämiseen. Jos tunnetaan kahden funktion tai lukujonon raja-arvot, useimmissa tapauksissa niistä voidaan päätellä myös niistä jollakin laskutoimituksella yhdistämällä saadun lausekkeen raja-arvo. Esimerkiksi jos 
: \lim_{x\to C} f(x) = a ja \lim_{x\to C} g(x) = b, 
on 
: \lim_{x\to C} f(x) - g(x) = a-b ja \lim_{x\to C} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{a}{b}, 
olivatpa *f* ja *g* mitkä tahansa funktiot, joilla on nämä raja-arvot.

Jos raja-arvoksi tällä tavoin saatava lauseke kuitenkin on jokin epämääräinen muoto, ei lausekkeen raja-arvoa voida suoraan päätellä alkuperäisten funktioiden tai lukujonojen raja-arvoista. Näin käy esimerkiksi seuraavassa tapauksessa:

### Esimerkkejä funktioista

Tarkastellaan seuraavia raja-arvoja: \lim_{x\to +\infty}x=+\infty et \lim_{x\to +\infty}x^2=+\infty. 

* Kaikilla reaaliluvilla x\neq 0 on \dfrac x{x^2}=\dfrac{1}{x}. Niinpä \lim_{x\to +\infty}\dfrac x{x^2}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac1x=0.
* Kaikilla reaaliluvilla x\neq 0, on \dfrac{x^2}x=x. Niinpä \lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^2}x=\lim_{x\to +\infty}x=+\infty.

Tässä esimerkissä molemmilla lausekkeilla, x ja x^2, on sama raja-arvo +\infty, kun x \to +\infty, mutta niiden osamäärillä on eri raja-arvot. Jos taas määritellään f(x) = x ja g(x) = Ax, missä *A* on mielivaltainen positiivinen vakio, on kummankin funktion raja-arvo \infty, kun x \to \infty, mutta osamäärien raja-arvot ovat
:\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = A ja
:\lim_{x\to +\infty}\frac{g(x)}{f(x)} = 1/A,
olipa A mikä positiivinen luku tahansa.

Nämä esimerkit osoittavat, ettei kahden funktion suhteen raja-arvoa voida määrittää pelkästään sen tiedon perusteella, että molempien funktioiden raja-arvo on \infty. Tämän vuoksi lauseketta \infty/\infty sanotaan epämääräiseksi muodoksi.

### Esimerkki lukujonoista

Olkoot (u_n) ja (v_n) kaksi lukujonoa, jotka on määritelty kaikille luonnollisille luville n siten, että u_n=n ja v_n=n^2. Täten on siis \lim_{n\to +\infty}u_n=+\infty ja \lim_{n\to +\infty}v_n=+\infty.

Ensinnäkin kaikilla luonnollisilla luvuilla n on u_n-v_n=n-n^2=n(1-n). Koska  \lim_{n\to +\infty}n=+\infty ja \lim_{n\to +\infty}(1-n)=-\infty, saadaan raja-arvojen tuloksi \lim_{n\to +\infty}n(1-n)=\lim_{n\to +\infty}(u_n-v_n)=-\infty.

Toiseksi kaikilla luonnollisilla luvuilla n on v_n-u_n=n^2-n=n(n-1). Koska \lim_{n\to +\infty}n=+\infty ja \lim_{n\to +\infty}(n-1)=+\infty, saadaan raja-arvojen tuloksi\lim_{n\to +\infty}n(n-1)=\lim_{n\to +\infty}(v_n-u_n)=+\infty.

Niinpä vaikka molempien lukujonojen raja-arvo on +\infty, näillä erotuksilla on eri raja-arvot. Ei siis voida esittää yleistä sääntöä, josta saataisiin minkä tahansa kahden lukujonon erotuksen raja-arvot, kun molempien lukujonojen raja-arvo on \infty. Tämän vuoksi myös lauseke \infty -\infty kuuluu epämääräisiin muotoihin.

## Epämääräiset muodot

Seuraavissa lausekkeissa oletetaan, että c kuuluu laajennettuun reaalilukujoukkoon \mathbb{R} \cup {\infty, -\infty}. Epämääräisiin muotoihin johtavat seuraavat raja-arvot:

Yksinkertaisimpia tapauksia ovat identtiset funktiot f(x) = x ja g(x) = x. Tällöin epämääräisiin muotoihin johtavat seuraavat raja-arvot:

## Sovelluksia

### Neperin luku ja eksponenttifunktio

Epämääräinen muoto 1^\infty liittyy läheisesti Neperin lukuun ja eksponenttifunktion e^x.  Neperin luku *e* määritellään seuraavasti:

: e = \lim_{n \to \infty} (1 + 1/n)^n, 

ja voidaan osoittaa, että eksponenttifunktiolle e^x pätee:
: e^x = \lim_{n \to \infty} (1 + x/n)^n

Jos määritellään lukujonot A(n) = 1 + x/n ja B(n) = n, saadaan

: A(n) \lim_{n \to \infty} (1 + x/n) = 0, ja tietenkin
:  \lim_{n \to \infty} n = \infty, 

ja kuitenkin \lim_{n \to \infty} A(n)^{B^n} voi *x*:n arvosta riippuen saada kaikki positiiviset reaalilukuarvot.

### Funktion derivaatta

Epämääräinen muoto 0/0 on erityisen huomattava, koska se liittyy läheisesti derivaatan määritelmään. Derivaatta määritellään erotusosamäärän raja-arvona:

: f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.

Tässä lausekkeessa sekä osoittajan että nimittäjän raja-arvot, kun h \to 0, ovat selvästi nollia. Kuitenkin tämä raja-arvo eli funktion derivaatta voi funktiosta ja *x*:n arvosta riippuen saada minkä tahansa reaalilukuarvon.

## Lähteet