Tilastollisen hypoteesin testaus

Tilastotieteelliseen tutkimukseen kuuluu hypoteesien tekeminen, ja tätä kautta **tilastollisen hypoteesin testaus**.
Tilastollinen hypoteesi on perusjoukkoa koskeva väite, jonka todenperäisyyttä arvioidaan todennäköisyyksien avulla. Tilastollisen testin lähtökohtana on muodostaa nollahypoteesi ja vastahypoteesi. Nollahypoteesi H0 yleensä vastaa tilannetta että verrattavien perusjoukkojen välillä ei ole mitään eroja ja kaikki havaitut poikkeamat näiden välillä on vain sattumaa. Yleensä nollahypoteesi on muotoa ”ei vaikutusta” tai ”ei eroa”. Nollahypoteesin vastahypoteesi H1 on H0:n antiteesi. Yleensä vastahypoteesi on muotoa ”on vaikutusta” tai ”on eroa”. Tutkittavaa ilmiötä mallinnetaan nollahypoteesin mukaisesti ja katsotaan ovatko tämän seuraukset mielekkäitä.

Yleensä nollahypoteesi halutaan kumota, koska ”ei eroavuutta” ei pidetä kiinnostavana tuloksena. H0:aa pidetään työhypoteesina, joka valitaan testaamisen lähtökohdaksi teknisen helppoutensa takia. Mikä kuvaa, että verrattavilla perusjoukoilla ei ole mitään eroa ja kaikkien havaintojen oletetaan olevan samasta jakaumasta, mikä on teoreettisesti yksinkertaista.  Jos lähtökohta johtaa epäuskottaviin tuloksiin, niin tulee epäilys nollahypoteesin mielekkyydestä ja vastahypoteesi saa tukea.

Nollahypoteesin uskottavuutta mitataan testin havaitulla merkitsevyystasolla eli ''p''-arvolla. Perinteisesti testeissä on etukäteen asetettu ”riskitaso” α jota pienemmät *P*-arvot johtavat H0:n hylkäämiseen. Empiirisessä tutkimuksessa yleensä käytetty raja on 5%. Nollahypoteesin kumoavaa havaintoa kutsutaan tilastollisesti merkitseväksi.

## Hypoteesin valinta
Hypoteesit aina viittaavat johonkin populaatioihin tai malleihin, eikä tiettyyn tulokseen, siksi H0 ja H1 täytyy aina esittää perusjoukon parametreina.

H1 esittää vaikutusta mihin etsitään näyttöä, siksi tämä usein valitaan ensin, H0 sen sijaan kuvaa, että haluttua vaikutusta ei tapahdu. H1:n valinta on usein vaikeampi tehtävä, sillä ei ole aina varmaa eroavatko parametrit nollahypoteesin arvosta tiettyyn suuntaan vai molempiin, eli kuuluuko vastahypoteesin olla yksi- vai kaksisuuntainen. Kuitenkin joidenkin tilastotieteilijöiden mielestä tulisi aina käyttää kaksisuuntaista vaihtoehtoa.

Vastahypoteesi ilmaisee toiveita tai epäilyjä joita viedään aineistoon. Havaittu aineisto ei saa vaikuttaa testattavien hypoteesien tai vastahypoteesien asettamiseen, vaan hypoteesit on kiinnitettävä ennen datan katselua. Näkyvän poikkeavuuden poimiminen testattavaksi rikkoo riippumattomuusperiaatetta.

## Hypoteesit tilastollisessa testissä
Tilastollinen testi määrittelee merkitsevyyden aineiston näytön perusteella nollahypoteesia vastaan. Nämä neljä askelta ovat yleiset kaikille merkitsevyystesteille.
#Määritellään nollahypoteesi H0 ja vastahypoteesi H1. Testi on luotu määrittelemään aineiston näytön avulla voimakkuus H0:aa vastaan. H1 on väite joka hyväksytään, jos näytön perusteella H0 hylätään.
#Selvitetään aineistoa koskevat oletukset testausta varten, kuten riippumattomuus ja havaintoja kuvaava jakauma.  Lasketaan aineistossa toimivan tilastollisen testin testisuure.
#*p*-arvon saanti aineistolle. Tilastollisen testin *p*-arvo on todennäköisyys havaita nollahypoteesin mukaisessa tilanteessa vähintään yhtä poikkeava testisuureen arvo kuin mitä aineistosta on laskettu.
#Lopputuloksen esitys. Valitaan merkitsevyyden taso α. Jos *p*-arvo on pienempää tai yhtäsuurta kuin α, tämä johtaa lopputulokseen, että vastahypoteesi on totta. Jos taas *p*-arvo on suurempaa kuin α, niin aineisto ei tarjoa riittävää näyttöä nollahypoteesin hylkäämiseen. Lopputulos on yhteenveto siitä mitä testi suureen avulla selvitettiin.

Nollahypoteesin hylkäykseen voi liittyä kahta virhettä
#I tyypin virhe: Tosi nollahypoteesi hylätään.
#*Sattumalta saatu hyvin epätodennäköinen otos.
#II tyypin virhe: Väärä nollahypoteesi jää hylkäämättä.

## Monitestaus
Suurissa aineistoissa voidaan haluta tutkia miljoonia hypoteeseja. Yksi vaihtoehto monitestaukseen on virheellisten löydösten osuus (FDR).

## Bayes-tilastotiede
Bayes-tilastotieteessä bayes-tekijän käyttö on bayesilainen vaihtoehto frekventistisen (klassisen) tilastotieteen hypoteesin testaukselle.
H0 ja H1 ovat hypoteesit, joita testataan.

Prioritodennäköisyyksillä määritellään priorivedonlyöntisuhde

\dfrac{P(H_0)}{P(H_1)}

Tämä kuvaa kuinka paljon uskotaan hypoteesiin H0 suhteessa H1 a priori.
 
Posterioritodennäköisyyksillä määritellään posteriorivedonlyöntisuhde 

\dfrac{P(H_0|y)}{P(H_1|y)}

Tämä kuvaa kuinka paljon uskotaan hypoteesiin H0 suhteessa H1 havainnon y jälkeen.

Bayes-tekijäksi sanotaan suhdetta

B=\dfrac{P(H_0|y)/P(H_1|y)}{P(H_0)/P(H_1)}

B on vedonlyöntisuhde H0:n puolesta H₁:tä vastaan johtuen datasta y.
Kun B>1, niin H0 saa enemmän tukea, jos taas B1 saa tukea.

## Lähteet

## Aiheesta muualla