Hitausmomentti

**Hitausmomentti** eli **inertiamomentti** (tunnus *J* tai *I*) vastaa pyörivässä liikkeessä etenemisliikkeen massaa. Hitausmomentin SI-järjestelmän mukainen yksikkö on kg&middot;m&sup2; (kilogramma kertaa metri toiseen). Mitä suurempi kappaleen hitausmomentti on, sitä suurempi momentti vaaditaan, jotta kappale saadaan kiihtymään halutulla kulmakiihtyvyydellä.

Hitausmomentilla (tarkemmin tasopinnan hitausmomentilla) tarkoitetaan joskus lujuusopissa myös jäyhyyttä.

## Matemaattinen määritelmä

Etäisyydellä *r* pyörimisakselista oleva pistemäisen massan *m* hitausmomentti on

: J = mr^2.

Useista pienistä massoista koostuvassa systeemissä hitausmomentti on kaikkien yksittäisten massojen aiheuttamien hitausmomenttien summa:

:J = \sum_i m_i r_i^2.

Jatkuva massajakauma koostuu äärettömästä määrästä pistemäisiä massoja. Kappaleen kokonaishitausmomentti saadaan integroimalla kaikki massat kolmiulotteisen avaruuden yli:
:J = \int r^2\,dm,

missä \scriptstyle dm on tiheysjakauma tilan yli. Koska \scriptstyle m=\rho V, saadaan
:dm=\rho\,dV.

## Erilaisten kappaleiden hitausmomentteja
* Massattoman varren päässä oleva pieni kappale: *J = mr&sup2;*, jossa *r* on kohtisuora etäisyys pyörimisakselista ja *m* kappaleen massa
* Tanko, joka toimii heilurina pyörimisakselin ollessa tangon toisessa päässä, hitausmomentti *J = 1/3 · ml&sup2;*, jossa *l* on tangon pituus
* Tangon, jonka pyörimisakseli on keskipisteessä, hitausmomentti *J = 1/12 · ml&sup2;*
* Ympyrälevyn ja umpinaisen sylinterin hitausmomentti *J = 1/2 · mr&sup2;*
* Ympyrärenkaan ja ohutseinäisen sylinterin hitausmomentti *J = mr&sup2;*
* Umpinaisen pallon hitausmomentti *J = 2/5 · mr&sup2;*
* Ohutseinäisen pallon hitausmomentti *J = 2/3 · mr&sup2;*

## Hitausmomenttitensori
Tarkastellaan jäykkää kappaletta, joka koostuu n:stä kappaleesta, joiden massat ovat m_\alpha, missä \alpha=1, 2, 3,\dotsc,n. Oletetaan, että kappale pyörii hetkellisesti kulmanopeudella \vec\omega jonkin kappaleeseen kiinnitetyn pisteen suhteen. Jos tämä kiinnitetty piste liikkuu suoraviivaisesti nopeudella \vec v ulkoisen tarkastelijan koordinaatistossa, on minkä tahansa massapisteen nopeus

\vec v_\alpha=\vec v+\vec\omega\times\vec r_\alpha, 

missä \vec r_\alpha kyseisen pisteen paikkavektori kappaleen omassa koordinaatistossa. Kappaleen kineettinen energia on tällöin

K=K_\text{trans}+K_\text{rot}=\frac{1}{2}\sum_\alpha m_\alpha v^2+\frac{1}{2}\sum_\alpha m_\alpha(\vec\omega\times\vec r_\alpha)^2. 

Koska ristitulon pituuden neliö voidaan kirjoittaa

\left(\vec a\times\vec b\right)^2=\left(\vec a\times\vec b\right)\cdot\left(\vec a\times\vec b\right)=a^2b^2-\left(\vec a\cdot\vec b\right)^2,

on rotaatioenergia on tällöin

K_\text{rot}=\frac{1}{2}\sum_\alpha m_\alpha\left(\omega^2r_\alpha^2-\left(\vec\omega\cdot\vec r_\alpha\right)^2\right). 

Jaetaan kulmanopeus- ja paikkavektorit komponentteihinsa \vec\omega=(\omega_1, \omega_2, \omega_3)^\mathbf{T} ja \vec r_\alpha=(x_{\alpha, 1}, x_{\alpha, 2}, x_{\alpha, 3})^\mathbf{T}. Nyt rotaatioenergia kirjoitetaan muodossa

K_\text{rot}=\frac{1}{2}\sum_\alpha m_\alpha\left(\left(\sum_i\omega_i^2\right)\left(\sum_kx_{\alpha, k}^2\right)-\left(\sum_i\omega_i x_{\alpha, i}\right)\left(\sum_j\omega_jx_{\alpha, j}\right)\right).  

Kroneckerin deltan avulla vektorien komponenteille pätee \omega_i=\sum_j\omega_j\delta_{ij}, joten:  

\begin{align}
K_\text{rot}&=\frac{1}{2}\sum_\alpha\sum_{i,j}m_\alpha\left(\omega_i\omega_j\delta_{ij}\left(\sum_k x_{\alpha, k}^2\right)-\omega_i\omega_jx_{\alpha, i}x_{\alpha, j}\right) \\
&=\frac{1}{2}\sum_{i,j}\omega_i\omega_j\sum_\alpha m_\alpha\left(\delta_{ij}\sum_k x_{\alpha, k}^2-x_{\alpha, i}x_{\alpha, j}\right)
\end{align}  

Määritellään \alpha-summan ij:s termi suureeksi J_{ij}, ts.  

J_{ij}=\sum_\alpha m_\alpha\left(\delta_{ij}\sum_k x_{\alpha,k}^2-x_{\alpha, i}x_{\alpha, j}\right).  

Tällöin rotaatioenergia voidaan kirjoittaa tutumpaan muotoon:  

K_\text{rot}=\frac{1}{2}\sum_{i,j}J_{ij}\omega_i\omega_j=\frac{1}{2}J\omega^2,  

missä J on kappaleen hitausmomentti (skalaari). Termejä J_{ij} on yhdeksän kappaletta ja ne voidaan sijoittaa 3\times 3-matriisin alkioiksi:  

\{\mathbf J\}=\left\{\begin{matrix}\sum_\alpha m_\alpha(x_{\alpha,2}^2+x_{\alpha, 3}^2) & -\sum_\alpha m_\alpha x_{\alpha,1}x_{\alpha,2} & -\sum_\alpha m_\alpha x_{\alpha,1}x_{\alpha,3} \\ 
-\sum_\alpha m_\alpha x_{\alpha,2}x_{\alpha,1} & \sum_\alpha m_\alpha(x_{\alpha,1}^2+x_{\alpha, 3}^2) & -\sum_\alpha m_\alpha x_{\alpha,2}x_{\alpha,3} \\
-\sum_\alpha m_\alpha x_{\alpha,3}x_{\alpha,1} & -\sum_\alpha m_\alpha x_{\alpha,3}x_{\alpha,2} & \sum_\alpha m_\alpha(x_{\alpha,1}^2+x_{\alpha, 2}^2)\end{matrix}\right\}

Matriisia \left\{\mathbf J\right\} kutsutaan **hitausmomenttitensoriksi** ja se on luonteeltaan tensori. Matriisin lävistäjäalkiot J_{11}, J_{22} ja J_{33} ovat kappaleen **hitausmomentit <math display="inline">x_1</math>-, <math display="inline">x_2</math>- ja <math display="inline">x_3</math>-akselien suhteen**. Jos käytetään koordinaattien (x_{\alpha, 1}, x_{\alpha, 2}, x_{\alpha, 3}) sijaan karteesisia koordinaatteja (x_\alpha, y_\alpha, z_\alpha) ja merkitsemällä r_\alpha^2=x_\alpha^2+y_\alpha^2+z_\alpha^2, tensori \left\{\mathbf J\right\} voidaan kirjoittaa helppokäyttöisempään muotoon:    

\{\mathbf J\}=\left\{\begin{matrix}\sum_\alpha m_\alpha(r_\alpha^2-x_\alpha^2) & -\sum_\alpha m_\alpha x_\alpha y_\alpha & -\sum_\alpha m_\alpha x_\alpha z_\alpha \\ 
-\sum_\alpha m_\alpha y_\alpha x_\alpha & \sum_\alpha m_\alpha(r_\alpha^2-y_\alpha^2) & -\sum_\alpha m_\alpha y_\alpha z_\alpha \\
-\sum_\alpha m_\alpha z_\alpha x_\alpha & -\sum_\alpha m_\alpha z_\alpha y_\alpha & \sum_\alpha m_\alpha(r_\alpha^2-z_\alpha^2)\end{matrix}\right\}    

Hitausmomenttitensori on symmetrinen, ts. J_{ij}=J_{ji}. Hitausmomenttitensorille pätevät samat matriisien yhteenlaskusäännöt, joten mielivaltaisen muotoisen kappaleen hitausmomenttitensori voidaan rakentaa summaamalla sen eri osien hitausmomenttitensorit. Edelleen, jos kappaleen massajakauma on jatkuva siten, että sen tiheys on \rho=\rho(\vec r), niin    

J_{ij}=\iiint_V \rho(\vec r)\left(\delta_{ij}\sum_k x_k^2-x_ix_j\right)\,\mathrm dV,    

missä \mathrm dV=\mathrm dx_1\,\mathrm dx_2\,\mathrm dx_3 on paikkavektorin \vec r osoittamassa pisteessä oleva differentiaalinen tilavuusalkio ja V on kappaleen tilavuus.    

## Katso myös
*Liikemäärä
*Pyörimismäärä
*Steinerin sääntö

## Lähteet