Konservatiivinen kenttä

**Konservatiivinen kenttä**  on vektorikenttä **F**, jolle pätee
:\oint_\Gamma \mathbf{F} \cdot d \mathbf{x} = 0

missä:
*\Gamma on suljettu polku, jota pitkin integroidaan

Jos **F**(**x**) on voimakenttä, tarkoittaa yllä oleva tulos, että tehty työ on nolla. Toisin sanoen työ riippuu vain polun alku- ja loppupisteistä, ei itse polusta.  Esimerkki konservatiivisesta voimakentästä on painovoima.

## Konservatiivinen kenttä ja skalaarikentän gradientti

Konservatiiviselle vektorikentälle voidaan kirjoittaa \mathbf{F}(\mathbf{x}) = - \nabla \phi jollekin skalaarikentälle \phi. Mikäli **F**(**x**) on voimakenttä, on \phi potentiaalienergia (miinusmerkki on konventio; potentiaalienergia käsitetään sopimuksenmukaisesti negatiiviseksi). Lasketaan tehty työ, kun liikutaan polun \Gamma läpi alkaen paikkavektorista **x**0 ja päättyen paikkavektoriin **x**1. Oletetaan, että \Gamma voidaan parametrisoida \mathbf{x} = \mathbf{x} \left( t \right) parametrille t_0 \leq t \leq t_1. Täten

:

eli integraali riippuu vain alku- ja loppupisteistä.

*Yleisesti jos \mathbf{F} = - \nabla \phi, silloin \oint_\Gamma \mathbf{F} \cdot d \mathbf{x} = 0 \ \forall \ \Gamma.

*Vastaavasti jos \oint_\Gamma \mathbf{F} \cdot d \mathbf{x} = 0 \ \forall \  \Gamma, silloin \mathbf{F} = - \nabla \phi jollekin \phi. Huomaa, että tämä ehto on paljon vahvempi, koska ei riitä, että *jollekin* \Gamma \oint_\Gamma \mathbf{F} \cdot d \mathbf{x} = 0.

## Konservatiivinen kenttä ja eksaktit differentiaalit

Koska osoitettiin juuri, että konservatiiviselle vektorikentälle \mathbf{F}(\mathbf{x}) = - \nabla \phi, täten jos **F** on eksakti, eli \mathbf{F} = P(x,y) \mathbf{i} + Q(x,y) \mathbf{j}, voidaan kirjoittaa \mathbf{F} \cdot d \mathbf{x} = P(x,y)dx + Q(x,y)dy = d \phi. Toisin sanoen vektorikenttä **F** on konservatiivinen, jos P(x,y)dx + Q(x,y)dy on eksakti.

## Konservatiivinen kenttä ja roottori

Konservatiiviselle vektorikentälle **F** pätee \nabla \times \mathbf{F} = 0. Tämä on seurausta, koska konservatiivinen kenttä voidaan kirjoittaa skalaarikentän mukaan \mathbf{F}(\mathbf{x}) = - \nabla \phi (kts. yllä):

:\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} &  \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\partial \phi}{\partial x} & \frac{\partial \phi}{\partial y} & \frac{\partial \phi}{\partial z} \end{vmatrix}
= \begin{bmatrix}
\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial \phi}{\partial z} - \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial \phi}{\partial y} \\
- \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \phi}{\partial z} + \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial \phi}{\partial x} \\
\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \phi}{\partial z} - \frac{\partial}{\partial z}\frac{\partial \phi}{\partial x}\end{bmatrix} 
= \mathbf{0}

koska \frac{\partial}{\partial a}\frac{\partial \phi}{\partial b} = \frac{\partial \phi}{\partial a}\frac{\partial}{\partial b} ja \frac{\partial}{\partial a}\frac{\partial \phi}{\partial b} = \frac{\partial \phi}{\partial b}\frac{\partial}{\partial a}.

Tästä tuloksesta päästään takaisin yllä oleviin tuloksiin Stokesin lauseen avulla. Koska \nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}, on \oint_{\Gamma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{l} = 0 minkä tahansa polun \Gamma ympäri, joka rajaa pinnan S, jolle Stokesin lauseen mukaisesti \int_S \left( \nabla \times \mathbf{F} \right) \cdot \mathbf{dS} = 0
= \oint_{\Gamma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{dl}. Täten **F** on konservatiivinen. (Pinnan S yksityiskohdilla ei ole erityisemmin väliä, koska \nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}.)

## Lähteet