Neliöluku

**Neliöluku** on positiivinen kokonaisluku, jonka  osoittamasta määrästä pisteitä voidaan muodostaa neliön muotoinen kuvio.

Neliöluvut voidaan määrittää lausekkeella n^2, jossa *n* on positiivinen kokonaisluku. Esimerkiksi 9 on neliöluku, koska 3^2 = 9. Kaksi­kymmentä ensimmäistä neliölukua ovat 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361 ja 400.

Kuvassa näkyvä punainen lisäys on kreikkalaisittain nimeltään gnomon ja sitä vastaa neliöluvussa N_n pariton luku 2n-1.

Neliöluvut ovat kolmiolukujen jälkeen yksinkertaisin ryhmä monikulmiolukuja, jotka ovat pisteillä muodostettujen säännöllisten monikulmioiden lukuja. Monikulmioluvut ovat osa kuviolukujen ryhmää.

## Määritelmä
Neliöluvut N_n saadaan aritmeettisena summana, jossa lasketaan n peräkkäistä paritonta lukua yhteen:
:N_n= \sum_{k=1}^n (2k-1) = 1+3+5+7+ \dotsb +(2n-1) = n^2. 

Tämä voidaan tulkita summaksi, jossa ensimmäisenä lukuna on pienin neliöluku N_1=1 ja sitten siihen lisätään gnomoneita g_n=2n+1
:N_n=N_1+g_1+g_2+ \dots +g_{n-1}.

Neliölukujoukon komplementti eli ei-neliölukujen joukko voidaan muodostaa lausekeen a_n=n+\left \lfloor \frac{1}{2}+ \sqrt{n} \right \rfloor avulla, missä käytetään lattiafunktioita. Lausekkeesta saadaan luvut 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, ... , joista puuttuvat neliöluvut.

## Yhteyksiä matematiikkaan
### Neliölukujen ominaisuuksia
Seuraavan neliöluvun voi muodostaa rekursiivisesti edellisen neliöluvun avulla seuraavasti.

Rekursiivisesti ilmaistuna seuraava neliöluku on N_{n+1}=N_n+(2n-1)=n^2+(2n-1)=n^2+n+1=(n+1)^2.

### Kytkentä muihin kuviolukuihin
Neliöluvut voidaan aina esittää kahden kolmioluvun avulla
: N_n=T_n+T_{n-1}=\frac{1}{2}n(n+1) + \frac{1}{2}(n-1)n=n^2

### Yhteyksiä muuhun matematiikkaan
Jos luku n parillinen luku, niin luvut n-1 ja n+1 ovat *peräkkäiset* parittomat luvut. Vastaavasti, jos n on pariton luku, niin luvut ovat *peräkkäiset* parilliset luvut. Peräkkäisten parillisten (parittomien) lukujen tulo yhdellä lisättynä on neliöluku eli
: N_n=(n-1)(n+1) + 1= (n^2-1)+1=n^2. 

Jokainen luonnollinen luku voidaan esittää korkeintan neljän neliöluvun summana. Tällaisia tapauksia ovat esimerkiksi 3=1^2+1^2+1^2, 4=2^2, 5=2^2+1^2 ja 7=2^2+1^2+1^2+1^2. Samoin jokainen luku voidaan esittää korkeintaan kolmen etumerkillisen neliöluvun summana eli esimerkiksi 3=2^2-1^2, 5=2^2+1^2 ja 7=3^2-1^2-1^2.

Neljän *parittoman* luvun neliöiden summa voidaan lausua myös neljän *parillisen* luvun neliöitten summana.

Alkuluku p, joka voidaan lausua muodossa p=4n+1, voidaan esittää kahden luvunneliön summana. Esimerkiksi luku 29 on tällainen luku, koska 29=4 \cdot7 +1=2^2+5^2.

## Historiaa
Muun muassa pythagoralaiset 500 eaa. tutkivat lukujen ominaisuuksia ja niihin liittyvää mystiikkaa. Kolmioluvut, neliöluvut ja muut monikulmioluvut olivat keskeinen osa lukujen oppirakennelmaa.  Euroopassa Pierre de Fermat tutki muiden töidensä oheella myös pythagoralaisten matematiikkaa. Hänen todistusmenetelmänsä selittivät monia kuviolukujen ominaisuuksia ja kasvanut kiinnostus lukuihin kiteytyi lukuteoriassa, joka voidaan katsoa syntyneen tästä harrastuksesta. 

Fermat esitti kirjeenvaihdossaan teoreeman, että *jokainen luonnollinen luku voidaan esittää n:n n-kulmioluvun summana*. Teoreeman todisti yleisellä tasolla ensimmäisenä Augustin-Louis Cauchy. 

## Katso myös
* OEIS - kokonaislukujen jonoja: On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
* Solmu-lehti: Tehtäviä kolmio ja neliöluvuista
* Pythagoraan kolmikko

## Lähteet
*  ja 

### Viitteet