Leibnizin kolmio

**Leibnizin kolmio** eli **Leibnizin harmoninen kolmio** on lukukolmio, jossa on rationaalilukuja. Siinä ylimpänä on luku 1, ja jokainen ylemmällä rivillä oleva luku on kahden alemmalla rivillä olevan peräkkäisen luvun summa. Esimerkiksi lukujen 1/30 ja 1/60 yläpuolella on luku 1/20, koska 1/30 + 1/60 = 2/60 + 1/60 = 3/60 = 1/20.

## Kolmion alkupään luvut
Kolmion kahdeksan ensimmäistä riviä ovat:

\begin{array}{cccccccccccccccccc}
& & & & & & & & & 1 & & & & & & & &\\
& & & & & & & & \frac{1}{2} & & \frac{1}{2} & & & & & & &\\
& & & & & & & \frac{1}{3} & & \frac{1}{6} & & \frac{1}{3} & & & & & &\\
& & & & & & \frac{1}{4} & & \frac{1}{12} & & \frac{1}{12} & & \frac{1}{4} & & & & &\\
& & & & & \frac{1}{5} & & \frac{1}{20} & & \frac{1}{30} & & \frac{1}{20} & & \frac{1}{5} & & & &\\
& & & & \frac{1}{6} & & \frac{1}{30} & & \frac{1}{60} & & \frac{1}{60} & & \frac{1}{30} & & \frac{1}{6} & & &\\
& & & \frac{1}{7} & & \frac{1}{42} & & \frac{1}{105} & & \frac{1}{140} & & \frac{1}{105} & & \frac{1}{42} & & \frac{1}{7} & &\\
& & \frac{1}{8} & & \frac{1}{56} & & \frac{1}{168} & & \frac{1}{280} & & \frac{1}{280} & & \frac{1}{168} & & \frac{1}{56} & & \frac{1}{8} &\\
& & & & &\vdots & & & & \vdots & & & & \vdots& & & & \\
\end{array}

## Lukujen laskusääntö
Kolmion *n*:nnen rivin kummassakin päässä on luku 

a_{n,1} = {1 \choose n}, 

ja *n*:nnen rivin *k*:s luku on 

a_{n,k}=\left ( \frac{1}{n\binom{n-1}{k-1}}\right )

eli

a_{n,k}=\frac{1}{\binom{n}{k}k}.

missä luvut \binom{n}{k} ovat binomikertoimia:

\binom{n}{k} = \frac {n!} {k! (n-k)!}.

Leibnizin kolmion *n*:nnen rivin *c*:nnelle luvulle käytetään merkintää L(n, r), missä 1 \ge r \ge n.  Näin ollen on siis L(n, 1) = \frac{1}{n} ja L(r, c) = L(r-1, c-1) - L(r, c-1.

## Yhteys Pascalin kolmioon
Leibnizin harmonisella kolmiolla on selvä yhteys Pascalin kolmioon. Pascalin kolmion jokainen luku, rivien päässä olevia ykkösiä lukuun ottamatta, on kahden *edellisellä* rivillä olevan peräkkäisen luvun summa, kun taas Leibnizin kolmiossa jokainen luku on kahden *seuraavalla* rivillä olevan luvun summa.  Esimerkiksi viidennellä rivillä olevan luvun 1/30 alla seuraavalla rivillä ovat luvut 1/60 ja 1/60, joiden summa on 1/30.

Leibnizin kolmion luvut voidaan myös laskea Pascalin kolmion lukujen avulla. Kunkin rivin *k*:s luku saadaan sen ensimmäisestä luvusta jakamalla se vastaavassa kohdassa Pascalin kolmiossa olevalla luvulla.  Esimerkiksi Pascalin kolmion viidennellä rivillä ovat luvut 1, 4, 6, 4 ja 1.  Leibnizin kolmion viidennen rivin alussa on luku 1/5, ja kun se jaetaan luvuilla 4, 6, 4 ja 1, saadaan rivin muut luvut 1/20, 1/30, 1/20 ja 1/5.

## Ominaisuuksia
Jos lasketaan yhteen Leibnizin kolmion *n*:nnellä rivillä olevien murtolukujen nimittäjät, summaksi saadaan n 2^{n - 1}. Esimerkiksi kolmannella rivillä ovat nimittäjät 3, 6 ja 3, joiden summa on 12 = 3&nbsp;&middot;&nbsp;22. 

Kolmion jokainen luku voidaan laskea myös integraalilla 
L(r, c) = \int_0^1 \! x ^ {c - 1} (1 - x)^{r-c} \,dx \,.

Leibnizin kolmion rivi voidaan laske niin että kerrotaan rivin ensimmäisen luvun nimittäjällä vähennettynä yhdellä ja tämän jälkeen kertoja pienenee aina yhdellä ja jakaja kasvaa yhdellä. Esimerkiksi rivillä 5 kertoja on ensin 4 jolloin tulee 1/20 sen jälkeen kertoja on kolme ja jakaja kaksi jolloin tulee 1/30.

## Lähteet
* 

### Viitteet