Jatkuvien funktioiden väliarvolause

**Jatkuvien funktioiden väliarvolause** on tärkeä lause analyysissa. **Bolzanon lause** on sen erikoistapaus. 

Lause kuuluu seuraavasti: olkoon f \colon [a, b] \to \R jatkuva funktio suljetulta väliltä [a, b] reaalilukujen joukolle \R. Olkoon u reaaliluku, joka toteuttaa ehdon f(a)  tai f(a) > u > f(b). Tällöin (avoimen) välin (a, b) jollekin pisteelle c pätee f(c) = u.

Jatkuvien funktioiden väliarvolause on intuitiivisesti itsestäänselvyys: jos esimerkiksi *f* on jatkuva funktio välillä [1, 2] ja sen arvot välin päätepisteissä ovat *f*(1) = 3 ja *f*(2) = 5, on *f*:n arvo 4 jossakin pisteiden 1 ja 2 välissä. Lauseen idea on yksinkertaisesti se, että jatkuva funktio voidaan piirtää nostamatta kynää paperista: jotta funktio voisi olla jatkuva, sen tulee yhdistää katkeamatta suorat *y* = 3 ja *y* = 5, jolloin sen on leikattava ainakin kerran suora *y* = 4. 

Lause esitetään usein myös seuraavasti: jos jatkuvan funktion arvot suljetun välin päätepisteissä ovat erimerkkiset, on funktiolla tällä välillä ainakin yksi nollakohta. Tämä vastaa tapausta *u* = 0, ja sitä kutsutaan usein Bolzanon lauseeksi. Lause on nimetty matemaatikko Bernard Bolzanon mukaan. Toisaalta Bolzanon lauseella voidaan todistaa jatkuvien funktioiden väliarvolause tutkimalla funktiota
g(x) = f(x) - u, jolloin g(a) = f(a) - u  ja g(b) = f(b) - u > 0. Tällöin Bolzanon lauseen nojalla on olemassa c \in (a, b), jolla g(c) = 0 \iff f(c) - u = 0 \iff f(c) = u. 

## Todistus

Todistetaan ensimmäinen tapaus *f* (*a*) \in [a, b] : *f*(*x*) &le; *u*}. Tällöin *S* on epätyhjä (koska *a* kuuluu siihen, *f*(*a*)  *u*. Silloin *f*(*c*) - *u* > 0. Koska funktio *f* on jatkuva eli \lim_{x \to \ c}f(x) = f(c), on funktion raja-arvon määritelmän perusteella olemassa &delta; > 0 siten että
| *f*(*x*) - *f*(*c*) |  *f*(*c*) - ( *f*(*c*) - *u* ) = *u* aina kun | *x* - *c* |  *u* kaikille *x* \in ( *c* - &delta;, *c* + &delta;). Siten *c* - &delta; on joukon *S* yläraja, joka on pienempi kuin *c*, ristiriita (*c* ei nyt voi olla joukon *S* pienin yläraja).

Oletetaan seuraavaksi, että *f*(*c*)  0 ja jatkuvuuden nojalla on olemassa &delta; > 0 siten, että 
| *f*(*x*) - *f*(*c*) | \in ( *c* - &delta;, *c* + &delta;). Siten on olemassa *x* > *c*, jolle *f*(*x*)  *u*, tulee olla *f*(*c*) = *u*. &#9633;

## Bolzanon lauseen todistus vastaoletuksella

### Lemma

Jos funktio f on jatkuva pisteessä x_0 ja f(x_0) > 0, niin on olemassa \delta > 0 siten, että f(x) > 0, kun |x - x_0| . 
 
Jos funktio f on jatkuva pisteessä x_0 ja f(x_0) , niin on olemassa \delta > 0 siten, että f(x) , kun |x - x_0| . 

#### Lemman todistus

Todistetaan tapaus f(x_0) > 0. Tapaus f(x_0)  todistetaan vastaavalla tavalla tutkimalla funktiota -f. 

Koska f on jatkuva pisteessä x_0 ja f(x_0) > 0, niin on olemassa \delta > 0 siten, että 
:|f(x) - f(x_0)| 
kun
:|x - x_0| 
Tällöin
:-\frac{f(x_0)}{2} 
joten 
:f(x_0) - \frac{f(x_0)}{2} 
kun
:|x - x_0| 
Täten 
:0 
kun
:|x - x_0| 

Olkoot a , f(a)  ja f(b) > 0. Tapaus, jossa f(a) > 0 ja f(b) , todistetaan vastaavalla tavalla tutkimalla funktiota -f. 

Olkoon joukko J = \{x \in [a, b] \mid f(x) . Koska a \in J, niin J \neq \emptyset. Koska J \neq \emptyset ja J on ylhäältä rajoitettu, niin on olemassa \sup J. Koska f on jatkuva välillä [a, b] ja f(a) , niin lemman nojalla on olemassa \delta_1 > 0 siten, että a + \delta_1  ja f(x) , kun a \leq x . Koska f on jatkuva välillä [a, b] ja f(b) > 0, niin lemman nojalla on olemassa \delta_2 > 0 siten, että a + \delta_1  ja f(x) > 0, kun b - \delta_2 . Täten a . Olkoon s = \sup J. 

Väite: f(s) = 0. 

Tehdään vastaoletus: f(s) \neq 0. 

Koska f on jatkuva välillä [a, b], niin lemman nojalla on olemassa \delta > 0 siten, että (s - \delta, s + \delta) \subset (a, b) ja joko f(x) > 0 tai f(x) , kun x \in (s - \delta, s + \delta). 
 
Jos f(x) > 0, kun x \in (s - \delta, s + d), niin s - \frac{\delta}{2} \in (a, b) on joukon J yläraja. Tällöin s ei ole joukon J pienin yläraja. Jos f(x) , kun x \in (s - \delta, s + d), niin s ei ole joukon J yläraja. 

Ollaan päädytty ristiriitaan sen kanssa, että f(s) \neq 0. Täten alkuperäinen väite pätee eli f(s) = 0 pätee. 

Siis todistettin, että jos f on jatkuva funktio välillä [a, b], f(a)  ja f(b) > 0, niin on olemassa s \in (a, b) siten, että f(s) = 0. \square 

## Lähteet

## Kirjallisuutta
* 

## Aiheesta muualla
* Intermediate value Theorem – Bolzano Theorem