Magneettinen momentti

**Magneettimomentti** eli **magneettinen (dipoli)momentti** on magnetismiin liittyvä suure, jolla on merkitystä fysiikassa, tähtitieteessä, kemiassa ja sähkötekniikassa. Se kuvaa systeemin, esimerkiksi sähkövirran, sauvamagneetin, elektronin, molekyylin tai planeetan magneettisia ominaisuuksia. Magneettinen dipolimomentti määrittää magneettisen systeemin ympärilleen aiheuttaman dipolaarisen magneettikenttäkomponentin, magneettikentän, voimakkuuden ja suunnan. Voimakkuus on kääntäen verrannollinen etäisyyden kuutioon. Dipolaarinen magneettikenttä tai magneettikentän dipolaarinen komponentti on symmetrinen yhden akselin suhteen, minkä vuoksi magneettinen dipolimomentti yleensä ilmaistaan vektorina, joka on tämän akselin suuntainen.

## Kahdenlaisia magnetismin lähteitä
Viime kädessä kaikki magnetismi aiheutuu joko (1) sähkövarauksen liikkeestä kuten sähkövirrasta tai (2) alkeishiukkasen, esimerkiksi elektronin, spinistä.
 
Liikkuvan varauksen aiheuttama magneettinen momentti voidaan laskea alempana olevien kaavojen avulla. Sen sijaan kunkin alkeishiukkasen sisäinen spinistä aiheutuva magneettinen momentti on vakio, joka voidaan mitata suurella tarkkuudella. Esimerkiksi elektronin spinistä aiheutuva magneettinen momentti on  −9.284764×10-24 J/T. Alkeishiukkasen magneettinen momentti on aina yhdensuuntainen sen spinin kanssa. Elektronin magneettinen momentti on negatiivinen, koska se elektronin negatiivisen sähkövarauksen vuoksi osoittaa vastakkaiseen suuntaan kuin elektronin spin.

Jokaisen systeemin magneettinen kokonaismomentti voidaan laskea eri komponenttien vektorisummana. Esimerkiksi vetyatomin magneettinen momentti saadaan laskemalla yhteen protonin ja elektronin sisäiset, spinistä aiheutuvat magneettiset momentit sekä elektronin rataliikkeestä aiheutuva magneettinen momentti.

## Magneettisen momentin suuruuden laskeminen

Yksinkertaisimmissa tapauksissa, kun sähkövirta muodostaa tasossa olevan virtasilmukan, sen magneettinen momentti voidaan määritellä seuraavasti:
:\vec{\mu}=I \vec{a}
missä
:\vec{\mu} on magneettinen momentti,  
:\vec{a} on vektoriksi käsitetty silmukan sisään jäävän alueen pinta-ala neliömetreissä, jolloin vektorin suunta on kohtisuorassa sitä tasoa vastaan, jossa silmukka sijaitsee (sen *x*-, *y*- ja *z*-koordinaatit ovat silmukan projektiot *yz*-, *zx*- ja *xy* -tasoilla), 
:~ I on silmukassa kulkeva sähkövirta, joka pysyy vakiona.

SI-järjestelmässä magneettisen momentin yksikkö on *ampeerineliömetri* (1 Am2), joka on sama kuin yksi joule teslaa kohti (1 J/T). Pinta-alavektorin suunta voidaan määrittää myös oikean käden säännön avulla: jos oikea käsi pidetään nyrkissä siten, että sormet ovat silmukassa kulkevan virran suuntaisesti ja peukalo niitä vastaan kohtisuorasti, peukalo osoittaa pinta-alavektorin ja näin ollen myös magneettisen momentin suunnan.

Yleisessä tapauksessa, jolloin virtasilmukka ei ole tasossa, vakiovirran I aiheuttama magneettinen momentti on
:\vec{\mu}=I\int d \vec{a}
missä d \vec{a} on silmukan sisään jäävää pinta-ala-alkiota edellä mainitulla tavalla vastaava pinta-alavektorialkio.  

Yleisimmässä tapauksessa, jossa sähkövirta ei kulje tietyssä silmukassa vaan mielivaltaisesti avaruudessa, magneettinen momentti voidaan laskea seuraavasti:
:\vec{\mu}=\frac{1}{2}\int\vec{r}\times\vec{J}\,dV
missä dV = r^2 \sin \theta \,dr\, d \theta\,d\phi on tilavuusalkio, \vec{r} paikkavektori, joka osoittaa tilavuusalkion sijainnin, ja \vec{J} virrantiheys kussakin paikassa.

Tätä yhtälöä voidaan soveltaa myös liikkuvien varausten muodostamaan järjestelmään, esimerkiksi sähköisesti varattuun kiinteään kappaleeseen, ottamalla huomioon, että \vec{J} on yhtä suuri kuin \rho \vec{v}, missä \rho on varaustiheys kussakin pisteessä ja \vec{v} tämän varauksen liikenopeus.

Esimerkiksi ympyrärataa kulkevan yksittäisen varauksen aikaansaama magneettinen momentti on

: \vec{\mu}=\frac{1}{2}\, q\, \vec{r}\times\vec{v},
missä \vec{r} on varauksen q sijainti kullakin hetkellä ympyrän keskipisteestä laskettuna ja \vec{v} sen kulloinenkin nopeus.

Ulkoisessa magneettikentässä vapaasti liikkuvan pistevarauksen magneettinen momentti mittaa sitä, kuinka suuren magneettivuon sen pyöriminen saa aikaan magneettikentässä. Tämä magneettinen momentti on vastakkaissuuntainen magneettikentän kanssa ja on yhtä suuri kuin hiukkasen liike-energia jaettuna magneettikentän magneettivuon tiheydellä.

Jos magneettikentässä on pyörivä kappale, jolla on sähkövaraus ja jonka varaustiheyden ja massatiheyden suhde on vakio, sen magneettinen momentti jaettuna sen liikemäärämomentilla on yhtä suuri kuin sen puolet sen varauksesta jaettuna sen massalla. Tämä suhde tunnetaan *gyromagneettisen suhteen* nimellä. Tästä seuraa, että hiukkasten pyörimismäärän ollessa sama, on magneettinen momentti kääntäen verrannollinen hiukkasten massaan. Vaikka alkeishiukkasia ei tarkkaan ottaen voidakaan käsitellä pyörivinä kappaleina, voidaan niille kuitenkin määritellä sisäinen pyörimismäärä eli spin, joka tavallisimmilla hiukkasilla on puolet Diracin vakiosta \hbar eli Planckin vakio jaettuna 4π:llä. Tämän vuoksi atomifysiikassa magneettisen momentin yksikkönä käytetään usein Bohrin magnetonia *&mu;*B hiukkasille, joiden varauksen ja massan suhde on sama kuin elektronin, tai ydinmagnetonia *&mu;*N hiukkasille, joilla tämä suhde on sama kuin protonilla. 

Atomi- ja ydinfysiikassa magneettisen momentin suuruus merkitään symbolilla \mu, joka usein ilmaistaan Bohrin tai ydinmagnetonin avulla.

## Magneettisen momentin aiheuttama magneettikenttä

Jokainen systeemi, jolla on magneettinen momentti \vec{\mu}, aiheuttaa ympärilleen dipolaarisen magneettikentän. Tarkkaan ottaen magneettikentällä on aina myös korkeampi multipolikomponentti, mutta etäisyyden kasvaessa se heikkenee paljon nopeammin, joten riittävän kaukana systeemistä sitä ei yleensä tarvitse ottaa huomioon.

Käytettävä koordinaatisto valitaan tavallisesti siten, että sen origo on systeemin keskipisteessä ja *z*-akseli osoittaa systeemin magneettisen momentin \vec{\mu} suuntaan. Tämä yksinkertaistaa laskutoimituksia. Jos näin tehdään, systeemin aiheuttaman dipolaarisen magneettikentän magneettivuon tiheys mielivaltaisessa pisteessä (*x*,*y*,*z*) on:

:B_x(x,y,z)\,=\,\frac{\mu_0}{4 \pi}\,\,
 3\mu\,\frac{x z}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}
:B_y(x,y,z)\,=\,\frac{\mu_0}{4 \pi}\,\,
 3\mu\,\frac{y z}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}
:
 B_z(x,y,z)\,=\,\frac{\mu_0}{4 \pi}\,\,
 3\mu\,\frac{\,z^2\!-\frac{1}{3}\,(x^2+
 y^2+z^2)\,}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}\,, 
ja sen *poikittainen komponentti* on:
:
B_{\perp}(x,y,z)\,=\,\sqrt{B_x^2(x,y,z)+B_y^2(x,y,z)}\,=\,\frac{\mu_0}{4 \pi}\,\,
 3\mu\,\frac{z \sqrt{x^2+y^2}}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}},\,

:missä \mu_0 on tyhjiön permeabiliteetti, \mu magneettisen momentti suuruus (vektorina \vec{\mu}) sekä *x*, *y* ja *z* ovat pisteen koordinaatit.

## Ulkoisen magneettikentän vaikutus magneettiseen momenttiin

Magneettinen momentti pyrkii kääntymään samansuuntaiseksi ulkoisen magneettikentän kanssa. Systeemiin vaikuttava vääntömomentti saadaan magneettisen momentin ja ulkoisen magneettikentän magneettivuon tiheyden ristitulosta:
: \vec{\tau} = \vec{\mu} \times\vec{B} ,
missä 
:\vec{\tau} on vääntömomentti (yksikkönä newtonmetri, Nm)
:\vec{\mu} on magneettinen momentti (yksikkönä ampeerineliömetri, Am2)
:\vec{B} on magneettivuon tiheys (yksikkönä tesla, T, tai yhtäpitävästi newton ampeerimetriä kohti, NA-1m-1).

Ulkoisessa magneettikentässä magneettisella momentilla on potentiaalienergia  *U*, joka voidaan laskea magneettisen momentin ja magneettivuon tiheyden pistetulosta:
:U=-\vec{\mu}\cdot\vec{B} . 

Potentiaalienergia on pienimmillään, kun magneettinen momentti on yhdensuuntainen magneettivuon tiheyden kanssa. Mikäli ulkoinen magneettikenttä ei ole kaikkialla yhtä suuri, se vaikuttaa magneettisella momentilla varustettuun kohteeseen voimalla, joka on verrannollinen magneettikentän gradienttiin.

## Magneettiset navat ja analogia sähköisen dipolimomentin kanssa
Magneettista momenttia voidaan havainnollistaa sauvamagneetilla, jossa voidaan käsittää olevan kaksi magneettista napaa. Molemmat navat ovat yhtä voimakkaat mutta vastakkaismerkkiset. Kumpikin napa voidaan käsittää magneettisten voimien lähteeksi, jotka heikkenevät etäisyyden kasvaessa. Koska magneetissa on aina molemmat navat, niiden voimavaikutukset heikentävät toisiaan, koska ne vaikuttavat vastakkaisiin suuntiin. Ne kumoavat toisensa sitä tarkemmin, mitä lähempänä toisiaan ne ovat eli mitä lyhempi sauvamagneetti on. Niinpä magneetin voimakkuus riippuu kahdesta tekijästä: sen napojen voimakkuudesta *p* ja niiden välisyydestä \vec{d}. Magneetin *[[magneettisen navan voimakkuus]]* määritelläänkin jakamalla sen magneettinen momentti sen napojen välisellä etäisyydellä, tai magneettinen momentti saadaan kertomalla napavoimakkuus napojen etäisyydellä: \vec{\mu}=p\vec{d}. Magneettinen momentti on sähköiseen dipolimomenttiin verrattavissa oleva suure. Momentit lasketaan samalla periaatteella, mutta vuorovaikutuksen välittäjä eli magneetti- tai sähkökenttä vain on eri.

## Elektronin magneettinen momentti
Elektronilla ja monilla atomiytimillä on myös sisäinen magneettinen momentti, joka kuitenkin on selitettävissä vain kvanttimekaniikan avulla. Tämä hiukkasten sisäinen magneettinen momentti aiheuttaa makroskooppisesti havaittavat magneettiset ilmiöt kuten diamagnetismin ja ferromagnetismin sekä myös ydinfysikaalisia ilmiöitä kuten ydinmagneettisen resonanssin.

Elektronin magneettinen momentti on
: \boldsymbol{\mu}_S=-g_S \mu_B (\boldsymbol{s}/\hbar)
missä
:\mu_B\, on Bohrin magnetoni
ja
: \ g_s = 2 Diracin mekaniikan mukaan, mutta kvanttielektrodynaamisten ilmiöiden vuoksi se on todellisuudessa hieman suurempi.

On huomattava, että \vec{\mu} saadaan kertomalla elektronin spin negatiivisella vakiolla, joten elektronin magneettinen momentti on vastakkaissuuntainen sen spiniin nähden.  Jos elektronin kuvitellaan klassisen mekaniikan mukaisesti pyörivän akselinsa ympäri, tästä aiheutuva sähkövirta kiertäisi elektronin negatiivisen varauksen vuoksi pyörimisliikkeeseen nähden päinvastaiseen suuntaan.

## Ydinten magneettiset momentit
Atomin ydin on nukleoneista, siis protoneista ja neutroneista koostuva monimutkainen fysikaalinen systeemi. Näiden molempien hiukkaslajien kvanttimekaanisiin ominaisuuksiin kuuluu myös spin. Sen vuoksi ytimilläkin on magneettinen momentti.

Ytimen magneettinen momentti riippuu herkästi kustakin ytimessä olevasta nukleonista. Tämän vuoksi ytimen magneettisen momentin mittauksista voidaan tehdä pitkälle meneviä johtopäätöksiä ydinhiukkasten aaltofunktioista. Asiasta on olemassa monia teoreettisia malleja. Eri ydinlajien magneettisista momenteista on mittaustulosten perusteella laadittu taulukoita.

## Molekyylien magneettiset momentit
Jokaisella molekyylillä on tietyn suuruinen magneettinen momentti, joka riippuu sen energiatiloista. Tavallisesti molekyylin magneettinen momentti aiheutuu seuraavista tekijöistä, joilla on tyypillisesti tietyn suuruinen voimakkuus:
* parittomat elektronit saavat aikaan paramagneettisuuden, jos sellaista esiintyy
* elektronien rataliike on perustilassa usein verrannollinen ulkoiseen magneettikenttään, mikä saa aikaan diamagnetismin
* molekyylissä olevien atomiydinten spin vaikuttaa myös molekyylin magneettisiin ominaisuuksiin.

### Esimerkkejä molekyylien magneettisuudesta
* Happimolekyyli O2 on vahvasti paramagneettinen, koska siinä kaksi ulkoelektronia on parittomia eli ei ole elektroneja, joiden spin olisi niille vastakkaissuuntainen
* Hiilidioksidimolekyyli CO2 on yleensä diamagneettinen, mikä aiheutuu elektronien rataliikkeen paljon heikommasta, ulkoiseen magneettikenttään verrannollisesta magneettisesta momentista. Jos molekyylissä kuitenkin esiintyy harvinainen, magneettinen isotooppi kuten 13C tai 17O, molekyylin magneettiseen momenttiin vaikuttaa myös tällaisen ytimen magneettinen momentti.
* Vetymolekyylissä H2 ilmenevät heikossa magneettikentässä ydinten aiheuttama magnetismi. Ydinten magneettiset momentit voivat olla saman- tai vastakkaissuuntaiset ja sen mukaisesti on kahdenlaisia vetymolekyylejä, *ortovetyä* ja *paravetyä.*

## Katso myös
* Dipoli
* Sähköinen dipolimomentti
* Magnetoituma

## Lähteet

## Kirjallisuutta
*