Itseisnopeus

**Itseisnopeus** (**ominaisnopeus**, engl. *proper velocity*, tunnus **w**, **η** tai **u**) on suhteellisuusteoriassa vektorisuure, joka ilmoittaa hiukkaseen kiinnitetyllä kellolla mitatun nopeuden jossain muussa kuin hiukkaseen kiinnitetyssä inertiaalikoordinaatistossa. Tämä poikkeaa nopeudesta (tunnus **v**), jossa matka ja aika mitataan samassa inertiaalikoordinaatistossa. Itseisnopeus on jonkin valitun inertiaalin paikan derivaatta hiukkasen itseisajan (ominaisaika, engl. *proper time*) suhteen. Pienillä nopeuksilla itseisnopeus ja nopeus ovat likimäärin samoja. Suhteellisuusteoriassa inertiaalikoordinaatistossa mitatun nopeuden **v** suurin mahdollinen arvo on valonnopeus. Itseisnopeus kuitenkin lähestyy ääretöntä, kun nopeus lähestyy valonnopeutta.

Itseisnopeutta voidaan pitää kellojen synkronoinnista vapaana nopeutena. Määritelmänsä nojalla se on 'ei-koordinaatistonopeus', jonka kukin havaitsija laskee samaksi, kun kaikki havaitsijat käyttävät samaa koordinaatistoa etäisyyksien määrittelemiseen. Ajan mittaamiseen käytetään Lorentz-invarianttia itseisaikaa. 

## Johdanto
Oletetaan, että ajetaan autolla tietä, johon on kiinnitetty merkkejä kilometrin välein. Auton kuljettaja mittaa omalla kellollaan yhden kilometrin matkalla kuluvan aikaa yksi minuutti. Voidaan kysyä, että onko auton nopeus 60 km/h? Myönteinen vastaus on ristiriidassa nopeuden määritelmän kanssa, koska suhteellisuusteoriassa nopeus mitataan etäisyysmerkkeihin kiinnitetyillä synkronoiduilla kelloilla. Matkan ja ajan mittaamiseen käytetään saman inertiaalikoordinaatiston mittavälineitä (koordinaatistonopeus, engl. *coordinate velocity*). Seuraus tästä on se, että tien vieressä seisova havaitsija mittaa (etäisyysmerkkeihin kiinnitetyillä synkronoiduilla kelloilla) autolle hiukan *pienemmän* nopeuden kuin kuljettajan mittaama 60 km/h. Kuljettajan mittaamaa nopeutta kutsutaan itseisnopeudeksi, ja tiellä seisovan havaitsijan mittaamaa nopeudeksi.

Vastaava tilanne voidaan ajatella suhteellisuusteorian tutusta kaksosparadoksista. Olkoon maan ja tähden inertiaalikoordinaatistossa näiden välinen etäisyys 8,7 valovuotta. Avaruusmatkalle lähtevän kaksosen nopeus on 0,87c maapallon (ja tähden) inertiaaleissa laskettuna. Matkaan kuluva aika avaruusaluksen kellolla mitattuna on 5 vuotta. Ennen matkalle lähtöä kaksonen on saanut tietää, että tähti on 8,7 vv etäisyydellä. Jos matkustaja ei mittaa välimatkaa oman koordinaatistonsa mittavälineillä, hän voi päätyä laskemaan nopeudekseen 8,7 vv / 5 v = 1,74c, joka on suurempi kuin valonnopeus c. Vastaava nopeus maan ja kaukaisen tähden inertiaaleissa laskettuna on 8.7 vv / 10 v = 0.87c, joka ei voi ylittää valonnopeutta.

Edellisissä tien etäisyysmerkintöjen sekä maapallon ja tähden väilmatka mitataan itseisetäisyytenä (ominaisetäisyys, engl. *proper distance*), joka on kahden aika-avaruuden tapahtuman välinen etäisyys ajan pysyessä vakiona. Itseisetäisyys lasketaan siis jossakin valitussa inertiaalikoordinaatistossa.

Itseisnopeuden voi mieltää siten, että nopeasti liikkuvan kulkuneuvon matkustaja mittaa matka-ajan omalla kellollaan, mutta laskee nopeutensa mukaansa ottaman karttakirjan mittakaavaa ja etäisyyksiä käyttäen.

## Matemaattinen muotoilu
Seuraavassa kolmiulotteisia vektoreita merkitään pienellä kirjaimella (esim. \mathbf v) ja neliulotteisia isolla (esim. \mathbf U). 

Kun hiukkanen liikkuu maailmanviivaansa pitkin, sen itseisajan differentiaali d\tau lasketaan koordinaatistoajan dt avulla

d\tau = \sqrt {1-\frac {v^2}{c^2}} dt,

missä v on nopeus valitussa koordinaatistossa.

Nopeus on paikan derivaatta koordinaatistoajan suhteen

\mathbf v = \frac {d\mathbf x} {dt}.

Määritellään itseisnopeus valitun koordinaatiston paikan derivaattana itseisajan suhteen

\mathbf w =\frac {d\mathbf x} {d\tau}.

Itseisnopeuden ja koordinaatistonopeuden välinen yhteys on

\mathbf w =\frac {1}{\sqrt {1-\frac {v^2}{c^2}}} \mathbf v = \gamma \mathbf v 

ja toisin päin

\mathbf v =\frac {1}{\sqrt {1+\frac {w^2}{c^2}}} \mathbf w.

Itseisnopeus on samalla nelinopeuden avaruudellinen komponentti:

\mathbf{U} = \frac {d\mathbf X}{d\tau} = (\gamma c, \mathbf{w} ) = (\gamma c, \gamma \mathbf{v} ),

missä \mathbf X on paikkavektori Minkowskin avaruudessa.

Suoraviivaisesti liikkuvan kohteen itseisnopeuden w, koordinaatistonopeuden v, Lorentz-kertoimen γ ja rapiditeetin η välillä on yhteys: 

\eta = \sinh^{-1}\left[\frac{w}{c}\right] = \tanh^{-1}\left[\frac{v}{c}\right] = \pm \cosh^{-1}\left[\gamma\right].

### Relativistinen energia ja relativistinen liikemäärä
Klassisessa mekaniikassa liikemäärä on massan ja nopeuden tulo. Erityisessä suhteellisuusteoriassa vastaava säilyvä suure määritellään itseisnopeuden ja lepomassan tulona:

\mathbf p = m\mathbf w = m\gamma\mathbf v = \frac {m \mathbf v}{  \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} },

missä m on hiukkasen Lorentz-invariantti lepomassa. Relativistinen liikemäärä säilyy kussakin inertiaalikoordinaatistossa erikseen. Koordinaatomuunnoksissa \gamma-kerroin vaihtelee, joten relativistinen liikemäärä ei ole Lorentz-invariantti.  

Suhteellisuusteoriassa neliliikemäärä on

P^\mu = m \ U^\mu,

joka voidaan kirjoittaa vektorina

\mathbf P = (P^0,P^1,P^2,P^3) = m(\gamma c, \gamma v_x, \gamma v_y, \gamma v_z) = (m\gamma c, m \mathbf w).

Relativistinen liikemäärä \mathbf p = m \mathbf w muodostaa siis neliliikemäärän avaruuskomponentit. Neliliikemäärän aikakomponentti on

P^0 = m \ U^0 = \frac {mc} { \sqrt { 1 - \frac{v^2}{c^2} } },

jonka avulla voidaan määritellä relativistinen energia

E = P^0c = \frac {mc^2} { \sqrt{ 1 - \frac {v^2}{c^2} } }.

Nopeudella v = 0 lepoenergia E = mc^2.

## Katso myös
*Itseiskiihtyvyys
*Itseisaika

## Lähteet