Diagonalisoituva matriisi

Lineaarialgebrassa *n×n*-neliömatriisia *A* sanotaan **diagonalisoituvaksi** jos se on similaarinen jonkin diagonaalimatriisin *D* kanssa, eli on olemassa kääntyvä matriisi *P* siten, että 

:D = P^{-1}AP\,.

Vastaavasti jos *V* on äärellisulotteinen vektoriavaruus, lineaarioperaattoria *T : V &rarr; V* sanotaan diagonalisoituvaksi, jos on olemassa *V*:n kanta, missä *T* on diagonaalimatriisi. Diagonalisoituvat matriisit ja -kuvaukset ovat käyttökelpoisia, sillä niitä on helppo käsitellä: niiden ominaisarvot ja ominaisvektorit on helppo laskea ja diagonalisen matriisin potenssi saadaan korottamalla lävistäjäalkiot annettuun potenssiin.
**Diagonalisointi** on prosessi, jossa diagonaalimatriisi tai -lineaarikuvaus etsitään.

## Perusominaisuudet

Diagonalisoituvien matriisien ja -lineaarikuvausten päätulos on seuraava.

#*n&times;n* matriisi *A*, jonka alkiot ovat kunnasta *F*, on diagonalisoituva jos ja vain jos sen ominaisavaruuksien dimensioiden summa on yhtä suuri kuin *n*. Tämä lause on yhtäpitävä sen kanssa, että on olemassa *F**n*:n kanta, joka koostuu *A*:n ominaisvektoreista. Jos tällainen kanta löydetään, voidaan muodostaa matriisi *P*, jonka sarakkeina nämä vektorit ovat, ja *P*&nbsp;-1*AP* on diagonaalimatriisi. Tämän matriisin lävistäjäalkiot ovat *A*:n ominaisarvot.

#Lineaarikuvaus *T : V &rarr; V* on diagonalisoituva jos ja vain jos sen ominaisavaruuksien dimensioiden  summa on dim*(V)*, joka puolestaan tapahtuu silloin ja vain silloin, kun on olemassa *V*:n kanta, joka sisältää *T*:n ominaisvektorit. Tällöin *T* on diagonalisoituva ja sen lävistäjäalkiot ovat *T*:n ominaisvektorit

Vaihtoehtoisesti voidaan sanoa, että matriisi tai lineaarikuvaus on diagonalisoituva kunnassa *F* jos ja vain jos sen minimaalipolynomi on tulo *F*:n erillisistä lineaarisista tekijöistä. Seuraava riittävä, mutta ei välttämätön ehto on usein hyödyllinen:

* Kunnan *F* *n&times;n*-matriisi *A* on diagonalisoituva jos sillä on *n* erillistä ominaisarvoa *F*:ssä, eli sen karakteristisella polynomilla on *n* erillistä nollakohtaa *F*:ssä

Nyrkkisääntönä, melkein kaikki kompleksikertoimiset matriisit ovat diagonalisoituvia. Tarkemmin sanottuna kompleksiset *n&times;n* matriisit, jotka eivät ole diagonalisoituvia, muodostavat nollajoukon Lebesguen mitan suhteen. Voidaan myös sanoa, että diagonalisoituvat matriisit muodostavat tiheän osajoukon Zariski-topologian suhteen. Tämän avaruuden komplementti sijaitsee siinä joukossa, missä diskriminantin karakteristinen polynomi häviää. Tämä avaruus on hyperpinta. 

Sama ei päde \mathbb{R}:ssä: kun *n* kasvaa, todennäköisyys, että satunnaisesti valittu reaalimatriisi on diagonalisoituva pienenee!

## Diagonalisoituvuuden erikoistapauksia
Matriisin diagonalisoituvuudelle on olemassa muutamia erityistapauksia diagonalisoivan matriisin erityisluonteen mukaan. Nämä erikoistapaukset koskettavat vain pientä osaa matriiseista ja viittaavat yleensä alkuperäisen matriisin omaavan joitakin erityisominaisuuksia.

### Ortogonaalinen diagonalisoituvuus
Matriisi A on **ortogonaalisesti diagonalisoituva**, jos on olemassa sellainen ortogonaalimatriisi Q, että

:D = Q^TAQ\,,

missä Q^T on Q:n transpoosi.

### Unitaarinen diagonalisoituvuus
Matriisi A on **unitaarisesti diagonalisoituva**, mikäli on olemassa sellainen unitaarimatriisi U, että 

:D = U^*AU\,,

missä U^* on U:n adjungaatti.
## Katso myös
*Similaarisuus
*Kolmiomatriisi

## Lähteet

## Kirjallisuutta
* 
*