Lambertin oikeapintainen tasoprojektio

**Lambertin oikeapintainen tasoprojektio** on eräs kuvaus pallopinnalta tason kiekolle eli ympyräviivan sisä­puolelle jäävälle alueelle. Siinä jokainen pallo­pinnan alue kuvautuu tasoalueelle, jonka pinta-ala on yhtä suuri kuin alku­peräisen alueen, mutta kulmien suuruudet muuttuvat. Kuvaus on nimetty sveitsiläisen matemaatikko Johann Heinrich Lambertin mukaan, joka esitti sen vuonna 1772.

Lambertin oikea­pintaista taso­projektiota käytetään kartografiassa karttaprojektiona. Esimerkiksi Yhdys­valloissa National Atlas of the United States käytti sitä Map Maker -sovelluksessa, ja Euroopan ympäristövirasto suosittelee sen käyttöä tilastollista aineistoa kuvaavissa Euroopan kartoissa. Sitä käytetään myös tieteellisissä yhteyksissä kuten geologiassa suorien suuntien kuvaamiseen kolmi­ulotteisessa avaruudessa. Tähän tarkoitukseen käytetään apuna erityisellä ruudukolla varustettua paperia, joka tunnetaan nimellä Schmidtin verkko.

## Matemaattinen määritelmä

Lambertin oikeapintainen tasoprojektio määritellään ajattelemalla, että taso sivuaa pallopintaa jossakin pisteessä *S*. Olkoon *P* mielivaltainen tason piste, ei kuitenkaan *S*:n antipodipiste. Olkoon *d* pisteiden *S* ja *P* välinen suora etäisyys kolmiulotteisessa avaruudessa (*ei* siis pallopintaa pitkin mitattuna). Tällöin piste *P* kuvautuu tasolle pisteeseen *P*&prime;, jonka etäisyys sivuamis­pisteestä *S* on *d*.

Täsmällisemmin sanottuna on olemassa yksi­käsitteinen ympyrä *S*, joka kulkee pisteen *P* kautta ja on kohti­suorassa tasoa vastaan. Se leikkaa tason kahdessa pisteessä, ja merkitään *P*&prime;:llä sitä niistä, joka on lähempänä *P*:tä. Piste *P* kuvautuu siihen. *S*:n antipodi­pisteellä ei ole yksi­käsitteistä kuvaus­pistettä, koska sitä tällä tavoin vastaava ympyrä ei ole yksi­käsitteinen. Piste *S* itse kuvautuu itselleen; sitä vastaavan "ympyrän" säde on nolla.

### Koordinaatit
Jos sivuamispiste *S* sijaitsee leveyspiirillä \phi_1 ja pituuspiirillä \lambda_0, maan pinnan piste, jonka maan­tieteellinen leveys on \phi ja pituus \lambda, kuvautuu tasolle pisteeseen, jonka karteesiset koordinaatit (*x*, *y*) ovat:
:x = k' \cos{\phi} \sin{(\lambda - \lambda_0)}
:y = k' \cos{\phi_1} \sin{\phi} - \sin{\phi_1} \cos{\phi} \cos{(\lambda - \lambda_0)}

missä tekijä *k*' on

:k' = \sqrt {\frac{2}{1 + \sin{\phi_1} \sin{\phi} + cos{\phi_1}\cos{\phi} \cos{(\lambda - \lambda_0)}}}.

Tekijä *k*' on verrannollinen kartan paikalliseen mitta­kaavaan kussakin pisteessä kyseisen pisteen ja sivuamispisteen kautta kulkevaa suoraa vastaan kohtisuorassa suunnassa.

#### Erikoistapauksia
Jos sivuamispiste *S* on pohjoisnavalla (φ1 = 90°), on \sin{\phi_1} = 1 ja \cos{\phi_1} = 0. Tällöin *k*:n lauseke yksinkertaistuu muotoon

:k' = \sqrt {\frac{2}{1 + sin{\phi}}}

ja koordinaattien lausekkeet muotoon

:x = k' \cos{\phi} sin{(\lambda - \lambda_0)}
:y = -k' \cos{\phi} \cos{(\lambda - \lambda_0)}

Leveyspiiri \phi kuvautuu tällöin ympyräksi, jonka keskipiste on kartan pohjois­navalla ja jonka säde on
:\cos{\phi} \sqrt {\frac{2}{1 + \sin{\phi}}}.

Jos taas sivuamispiste *S* on päiväntasaajalla (φ1 = 0°), on \sin{\phi_1} = 0 ja \cos{\phi_1} = 1 Tällöin *k*':n lauseke yksin­kertaistuu muotoon

:k' = \sqrt {\frac{2}{cos{\phi_1}\cos{\phi} \cos{(\lambda - \lambda_0=}}}

ja koordinaattien lausekkeet muotoon

:x = k' \cos]]{\phi}) \sin{(\lambda - \lambda_0)}
:y = k' \cos{\phi_1} \sin{\phi}

## Ominaisuuksia
Seuraavassa oletetaan, että vaakasuora taso sivuaa origo­keskeistä yksikköpalloa pisteessä (0, 0, -1). Tällöin Lambertin oikeapintainen taso­projektio matemaattisena kuvauksena on määritelty muissa yksikkö­pallon pinnan pisteissä paitsi pisteessä (0, 0, 1). Muut pallo­pinnan pisteet se kuvaa origo­keskeiselle avoimelle kiekolle, jonka säde on 2. Pallon päivän­tasaajan eli ne pisteet, joissa *z* = 0 se kuvaa origo­keskeiselle ympyrälle, jonka säde on \sqrt 2. Päivän­tasaaja­tason ala­puolella olevat pisteet, joissa *z* dA = dX \; dY.
Tämä merkitsee, että pallo­pinnalla olevan alueen pinta-alan määrittämiseksi riittää mitata sitä tason kiekolla vastaavan alueen pinta-ala.

Toisaalta projektiossa eivät pallo­pinnan käyrien väliset kulmat säily. Missään kuvauksessa joltakin pallon alueelta jollekin tason alueelle eivät säilykään sekä pinta-alat että kulmat. (Jos molemmat säilyisivät, kyseessä olisi lokaali isometria, jossa Gaussin kaarevuus säilyisi, mikä ei kuitenkaan ole mahdollista, koska pallo­pinnalla ja tasolla on eri suuri kaarevuus.) Se seikka, että taso­kuviot eivät voi täydellisesti vastata pallo­pinnan alueita, onkin kartografian perustava ongelma.

Tästä seuraa, että pallopinnan alueet saattavat kuvautua tasolle suuresti vääristyneinä. Lambertin oikea­pintaisessa taso­projektiossa tämä vääristymä on erityisen suuri kaukana projektion sivuamis­pisteestä. Yleensä tätä projektiota käytetäänkin vain enintään pallonpuoliskon laajuista aluetta esittävissä kartoissa. Koko maapallo voidaan kuitenkin kuvata kahdella erillisellä Lambertin oikeapintaisen taso­projektion mukaisella kartalla, joiden sivuamis­pisteet ovat toistensa antipodissa.

## Sovelluksia
Lambertin tasoprojektio tarkoitettiin alun perin oikea­pintaiseksi karttaprojektioksi. Nykyisin sitä käytetään muillakin aloilla kuten geologiassa suuntia kuvaavan aineiston kuvaamiseen seuraavasti.

Jokaista suuntaa kolmi­ulotteisessa avaruudessa vastaa jokin origon kautta kulkeva suora. Kaikkien sellaisten suorien joukko on itsessään avaruus, jota matematiikassa sanotaan reaaliseksi projek­tiiviseksi tasoksi. Jokainen origon kautta kulkeva suora leikkaa yksikkö­kiekon kahdessa pisteessä, joista toinen on alemmalla pallonpuoliskolla z \leq 0. Poikkeuksena ovat vaaka­suorat viivat, joiden leikkaus­pisteet sijaitsevat kahdessa vastakkaisessa pisteessä ekvaattorilla, z = 0. Molemmat toistensa antipodissa olevat pisteet vastaavat samaa suoraa. Täten suunnat kolmi­ulotteisessa avaruudessa vastaavat lähes täysin alemman pallon­puoliskon pisteitä. Tämä pallon­puolisko voidaan sitten Lambertin oikea­pintaisella projektiolla kuvata kiekolle, jonka säde on \sqrt 2.

Niinpä Lambertin oikea­pintaisella projektiolla voidaan jokaista suuntaa vastaamaan asettaa tason piste. Projektion oikea­pintaisuuden vuoksi suuntien muodostamassa avaruudessa eli reaalisella projek­tiivi­sella tasolla määritellyt funktiot voidaan integroida integroimalla funktio vastaavan tasoalueen yli. Tämä on käyttö­kelpoista eri suuntia koskevan aineiston käsittelyssä.

Eivät ainoastaan suorat, vaan myös origon kautta kulkevat tasot voidaan kuvata Lambertin oikea­kulmaisella projektiolla. Tason ja pallonpuoliskon leikkaus on ympyrän­kaari, jota sanotaan tason *uraksi*, ja se kuvautuu yksikkö­kiekkoon käyräksi, joka yleensä ei ole ympyrän­kaari. Voidaan kuvata tätä käyrää, tai vaihto­ehtoisesti taso voidaan korvata sen kohti­suorasti leikkaavalla suoralla, jota sanotaan sen *navaksi* ja kuvata tason sijasta tätä käyrää. Jos useita tasoja on kuvattava yhdessä, on yksinkertaisempaa käsitellä napoja urien sijasta.

Rakennegeologian tutkijat käyttävät Lambertin oikea­pintaista taso­projektiota kuvaamaan muun muassa mineraalien kide­rakenteen eri­suuntaisia akseleita ja pintoja, lineaatioita ja foliaatioita eri kivilajeissa. Tässä yhteydessä projektiota kutsutaan *oikea­pintaiseksi hemi­sfääriseksi projektioksi*. Erikseen on olemassa myös oikea­kulmainen hemis­fäärinen projektio, jonka määrittelee stereografinen projektio.

Edellä on oletettu, että suunnat kuvataan alemmalle pallon­puoliskolle, z \leq 0, mutta yhtä hyvin ne voidaan kuvata myös ylemmälle pallon­puoliskolle z \geq 0, kuten toisinaan tehdäänkin. Itse asiassa mitä tahansa pallopinnan puoliskoa voitaisiin käyttää esittämään origon kautta kulkevia suoria kolmi­ulotteisessa avaruudessa.

## Lähteet
* 
* 
* 

### Viitteet