Funktion raja-arvo

**Funktion raja-arvo** on matematiikassa analyysin ja differentiaali- ja integraalilaskennan peruskäsitteitä. Erotukseksi raja-arvon yläkäsitteestä, *funktion raja-arvoilla* tarkoitetaan jatkuvien funktioiden raja-arvolaskentaa, missä tutkitaan funktion käyttäytymistä annetun muuttujan arvon lähiympäristössä. Jos raja-arvo on olemassa, sanotaan että funktio *suppenee* (muutoin *hajaantuu*) kyseisessä kohdassa. Funktion raja-arvoa tarvitaan esimerkiksi funktion jatkuvuuden toteamiseksi, funktion derivaatan laskemisessa ja monissa analyysin ja differentiaalilaskennan tarkasteluissa. Funktion raja-arvo eroaa lukujonon raja-arvosta siinä, että funktion raja-arvossa seurataan funktion arvoja, kun muuttujan arvot lähestyvät tutkittavaa kohtaa lukujonon raja-arvon tapaan. Raja-arvoteoria kehitettiin nykymuotoonsa 1800-luvulla.
## Merkintätapoja
Raja-arvo on latinaksi *limes*, mistä juontuu eräs sen matemaattisista merkinnöistä
:\lim_{x \to p}f(x) = L,
joka luetaan *"funktion f arvolla x raja-arvo on luku L, kun x lähestyy lukua p"*.

Sen toinen merkintätapa on
:f(x) \to L \text{, kun } x \to p,
joka luetaan edelliseen tapaan.

## Määritelmiä
### Intuitiivinen määritelmä

Intuitiivinen määritelmä ei ole riittävän eksakti matematiikan käyttöön, mutta sen avulla voi helpommin ymmärtää funktion raja-arvon käsitettä. Jos funktion arvoa *f(p)* ei voi, taikka saa laskea tietyllä luvulla *p*, voi funktion arvon likiarvoja laskea käyttämällä muita (luvun *p* viereisiä) lukuja *x*. Mitä pienempi on lukujen *p* ja *x* välinen ero (erotus), sitä paremmin funktion arvo *f(x)* vastaisi kuviteltua funktion arvoa *f(p)* (jos sen arvon voisi/saisi laskea). Tämän huomaa siitäkin, että mitä vähemmän luvut *x* poikkeavat luvusta *p*, sitä vähemmän funktion arvot poikkeavat toisistaan. Voidaan ajatella, että funktion arvot olisivat likiarvoja raja-arvolle *L*, ja että likiarvot tarkentuisivat lukujen *x* arvojen lähestyessä luvun *p* arvoa.

Toinen intuitiivinen tapa on keksiä lukujono (x_i), joka lähestyisi lukua *p* lukujonon raja-arvon mielessä. Tämän lukujonon arvoilla x_i laskettaisiin funktion arvoja, jolloin saataisiin funktioiden arvojen lukujono f(x_i). Funktion arvojen lukujono lähestyisi raja-arvoa L lukujonon raja-arvon mielessä.

### Määritelmä toispuolisten raja-arvojen avulla
Kun raja-arvojen määrittäminen on helppoa, ja näin onkin koulumatematiikassa, voidaan raja-arvon olemassaolo todeta toispuoleisten raja-arvojen avulla (katso jäljempänä). Kun
:\lim_{x \to p+}f(x) = \lim_{x \to p-}f(x) = L,
missä *L* on äärellinen luku, ensimmäinen raja-arvo on *oikeanpuoleinen raja-arvo* ja toinen *vasemmanpuoleinen raja-arvo*, on raja-arvo olemassa ja sen arvo on *L* eli
:\lim_{x \to p}f(x) = L. 

#### Raja-arvon numeerinen määrittäminen




Taulukossa on laskemia funktion f(x)= {\sin {x} \over x} arvoista, kun muuttuja lähestyy ensin nollaa oikealta (yläpuolella) ja sitten vasemmalta (alapuolella). Likiarvoista voidaan todeta, että todennäköinen raja-arvo on luku 1,joka jää kummankin lukujonon väliin.



Raja-arvon likiarvon voi löytää kokeilemalla. Esimerkiksi funktio f(x)= {\sin {x} \over x} on määritelty kaikkialla muualla reaalilukualueella paitsi nollassa (\mathbb{R}\diagdown \{0\}.) Jos aloitetaan laskemalla lukujonoon funktion arvoja f(1),f(0,1),f(0,01),f(0,001), \dots niin, että x \to 0. Huomataan, että tulokset muodostavat kasvavan lukujonon, joka lähestyy lukua 1 (vertaa viereinen taulukko). Tämä vastaa toispuoleista raja-arvoa, kun nollaa lähestytään oikealta eli
:\lim_{x \to 0+}f(x) = 1.
Kun funktion arvoja lasketaan luvuilla, jotka saadaan, kun nollaa lähestytään vasemmalta puolelta, saadaan f(-1),f(-0,1),f(-0,01),f(-0,001), \dots. Nämä muodostavat myös kasvavan lukujonon, joka lähestyy lukua 1 eli
:\lim_{x \to 0-}f(x) = 1.. 
Koska kummankin lukujonon raja-arvo vaikuttaa olevan yksi, voidaan sitä pitää perusteltuna ehdokkaana. Lopullisen varmuuden siitä saadaan vasta epsilon-delta-tekniikalla (katso seuraava luku). Vertaa myös sinin sarjakehitelmästä saatavaan tulokseen.

### Eksakti määritelmä

Karl Weierstrassin esittämä määritelmä tunnetaan nimellä **epsilon-delta-tekniikka**. Siinä raja-arvon olemassaolo todistetaan etsimällä lukujen epsilon (\epsilon) ja delta (\delta) välille riippuvuus, josta voidaan näyttää suppenemisen tapahtuvan varmasti. Menetelmä on pääpiirteissään seuraava.

Funktion f realilukuarvoinen määrittelyjoukko on A niin, että f: A\to \mathbb{R} on reaaliarvoisen funktion kuvaus. Määrittelyjoukossa on väli, josta puuttuu sisältä luku *p*, eli [a,b]\diagdown \{p\} (luku *p* voi sisältyä väliin, mutta se ei ole välttämätöntä). Funktiolla on raja-arvo *L* kohdassa *p*, jos kaikilla luvuilla \epsilon > 0 on aina olemassa luku \delta > 0 siten, että 
:|f(x)-L|  
Siis, valittiinpa positiivinen luku \epsilon kuinka pieneksi hyvänsä, niin aina löytyy positiivinen luku \delta siten, että kaikilla korkeintaan \delta:n etäisyydellä olevilla luvuilla x ovat funktion f(x) arvot korkeintaan \epsilon:n etäisyydellä raja-arvosta *L*. Toistamalla \epsilon:n pienentämisen, tulisi myös \delta pienentyä vastaavasti. Tämän voi todeta, kun \delta:n arvolle saa laskemalla määritettyä korreloivan riippuvuuden lukuun \epsilon.

#### Esimerkki epsilon-delta-tekniikasta
Funktiolla f(x)=x^2 on toki olemassa arvo luvulla x=3, joka on f(3)=3^2=9. Eksaktilla määritelmällä voidaan nyt osoittaa, että luku 9 on funktion raja-arvo *L*, kun luvut *x* lähestyvät lukua *p = 3*. Siis osoitetaan, että (lähde:)
: \lim_{x \to 3}f(x) = \lim_{x \to 3}x^2 = 9.
Valitaan ensin funktion arvon ja raja-arvon *L = 9* erotuksen suuruuden ylärajaksi \epsilon siten, että
:|f(x)-L| = |x^2-9| 
missä \epsilon > 0. Tutkitaan sitten, kuinka läheltä arvoa *p = 3* tulee *x* valita, että ollaan korkeintaan \epsilon:in etäisyydellä raja-arvosta. Erään muistikaavan avulla saadaan tästä
:|x^2-9| = |x-3||x+3|,
ja kun *x* on riittävän lähellä arvoa *p = 3*, on 
:|x-3| 
ja
:|x+3| =|x-3+3+3|\le |x-3|+2|3| \le 1+2|3|=7.
Nyt huomataan että \epsilon ja \delta riippuvat toisitaan. Siis
:|x^2-9| \le |x-3|\cdot 7  
kunhan
:0 
jolloin valitaan \delta = min \{ {\epsilon \over 7}, 1\}.

Viimeisestä valinnasta huomataan, että kun \epsilon:ia pienennetään, pienenee myös \delta. Erityisesti, valitsemalla *x* luvun 3 läheltä, saadaan se funktiolle arvoa 9 läheltä olevan likiarvon, ja tätä likiarvoa voidaan parantaa rajattomasti valitsemalla *x* riittävän läheltä lukua 3. Tätä kutsutaan suppenemiseksi ja suppenemisen tulosta raja-arvoksi.

### Toispuolinen raja-arvo
Funktion toispuoleinen raja-arvo eroaa funktion raja-arvosta siinä, että epsilon-delta-tekniikassa deltan arvo ei riipu enää erotuksen itseisarvosta, vaan ainoastaan erotuksesta. Koska delta on aina positiivinen luku, tulee lukujen *x* ja *p* erotus kirjoittaa niin, että erotus säilyttää positiivisuutensa. Lukusuoralta katsottuna, *x* lähestyy lukua p vain toiselta puolelta. Toispuolista raja-arvoa tarvitaan sellaisissa tilanteissa, joissa raja-arvoa ei voi laskea annetun pisteen molemmilta puolilta. Tällaisia pisteitä esiintyy esimerkiksi määrittelyjoukon reunoissa tai suljettujen välien reunoissa.

Oikeanpuoleinen raja-arvo määritellään niin, että koska luvut *x* ovat lukua *p* suurempia eli lukusuoralla lähestytään lukua *p* oikealta puolelta, lasketaan deltan arvo x-p. Silloin epsilon-delta-tekniikassa toteutetaan ehtoja
:\lim_{x \to p+}f(x) = L^+ \Leftrightarrow |f(x)-L| 
Raja-arvon *L* yläkulmaan merkittyä plus-merkkiä ei aina käytetä. Vasemmanpuoleisessa raja-arvossa lukua *p* lähestytään lukusuoralla vasemmalta päin, koska luvut *x* ovat aina lukua *p* pienempiä. Epsilon-delta-tekniikassa suppeneminen toteuttaa ehdot
:\lim_{x \to p-}f(x) = L^- \Leftrightarrow |f(x)-L| 

### Epäoleellinen raja-arvo

Funktion epäoleellisella raja-arvolla tarkoitetaan funktion arvojen tutkimista, kun muuttujan arvo joko kasvaa tai vähenee rajatta. Kyse ei ole enää funktion käyttäytymisestä yhden pisteen lähiympäristössä, vaan epäoleellista raja-arvoa käytetään tutkittaessa funktion käyttäytymistä origosta katsottuna "kaukaisilla" arvoilla ja hyvin pitkillä väleillä.

Kun muuttujan arvo kasvaa rajatta, merkitään se
:\lim_{x \to +\infty}f(x) = L,
jolloin funktion lauseke lasketaan yhä suuremmilla ja suuremmilla arvoilla (voidaan sanoa *"kun x lähestyy plus ääretöntä"*). Kun muuttuja vähenee rajatta, merkitään se
:\lim_{x \to -\infty}f(x) = L,
jolloin lauseke lasketaan yhä pienemmillä (negatiivisilla) arvoilla (voidaan sanoa *"kun x lähestyy miinus ääretöntä"*). Jos raja-arvo tällöin suppenee, merkitään sen arvoa *L* luvulla. Tällöin sanotaan, että *"funktiolla on positiivisessa / negatiivisessa äärettömyydessä raja-arvo L"*. Jos raja-arvo hajaantuu, merkitään raja-arvon tulos
:\lim_{x \to +\infty}f(x) = +\infty,
jos tulos kasvaa rajatta ja 
:\lim_{x \to +\infty}f(x) = -\infty,
jos tulos vähenee rajatta.

Funktion epäoleellinen raja-arvo, josta tässä otetaan esimerkkinä
:\lim_{x \to +\infty}f(x) = L,
määritellään eksaktisti epsilon-tekniikalla
:|f(x)- L|  M_\epsilon,
eli funktion arvo f(x) on \epsilon:n etäisyydellä raja-arvosta *L*, kun muuttuja *x* on ylittänyt rajan M_\epsilon. Intuitiivisesta voidaan ajatella, että funktion arvot osuvat riittävän lähelle raja-arvoa *L*, kunhan muuttuja *x* kasvatetaan tarpeeksi suureksi.

## Raja-arvon määritelmä funktioteoriassa
Funktioteoriassa käsitellään funktioita, joiden muuttujat ovat kompleksilukuja (muodossa z = x + iy) ja joiden arvoksikin saadaan kompleksilukuja. Koska kahden kompleksiluvun suuruusjärjestys ei ole määritelty samalla tavalla kuin reaaliluvuilla, käytetään niiden vertailuun itseisarvon sijaan toista metriikkaa ja jota kutsutaan kompleksiluvun moduuliksi. Luvun *z* moduuli lasketaan |z|=|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}. Moduuli merkitään samoilla pystyviivoilla kuin itseisarvo, jolloin kahden kompleksiluvun välinen ero (etäisyys kompleksitasolla) merkitään luonnollisella tavalla |a-b|.

Jos merkitään kompleksilukujen muuttujia z = x + iy, ja tietyssä alueessa *G* (sisältää luvun z_0) määriteltyä kompleksifunktiota f(z)=u(x,y) + iv(x,y), pystytään joskus määrittämään funktion f(z) raja-arvo
:\lim_{z\to z_0}f(z).
Kompleksilukujen luonteeseen kuuluu, että alue *G* voi olla pisteen z_0 ympäröimä epämääräinen kaksiulotteinen alue, mutta yleensä pitäydytään ympyrän muotoiseen alueeseen. Luku *z* voi lähestyä alueen sisällä olevaa lukua z_0 mistä suunnasta hyvänsä. Siksi etäisyys lukuun z_0 määritelläänkin kompleksilukujen erotuksen modulina
:|z-z_0| = |(x + iy)-(x_0 + iy_0)|=|(x-x_0)+i(y-y_0)|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}

Tällä itseisarvon laajennuksella voidaan funktioteoriassa esittää funktion raja-arvo vastaavilla merkinnöillä kuin reaalilukufunktioiden raja-arvot. Kun muistetaan kompleksilukujen moduulin laskutapa, saadaan raja-arvon eksakti määritelmä seuraavasti. Funktiolla on raja-arvona kompleksiluku *L* kohdassa z_0, jos kaikilla luvuilla \epsilon > 0 on aina olemassa luku \delta > 0 siten, että 
:|f(z)-L| 

## Käyttö differentiaali- ja integraalilaskennassa
### Funktion jatkuvuuden toteaminen
Raja-arvolla on keskeinen osa funktion jatkuvuuden toteamisessa. Funktio on jatkuva pisteessä *p*, mikäli sen toispuoleiset raja-arvot vasemmalta ja oikealta ovat keskenään samat kuin funktion f(p) arvo:
:\lim_{x \to p+}f(x) = \lim_{x \to p-}f(x) = f(p).
Funktio on jatkuva välinsä päätepisteessä, mikäli toispuoleinen raja-arvo on sama kuin funktion arvo päätepisteessä. Funktio on jatkauva välissä, mikäli se on jatkuva kaikissa välin pisteissä, ja koko määrittelyjoukossa, mikäli se on jatkuva jokaisessa määrittelyjoukon pisteessä.

### Derivaatan määritelmä
Derivaatta määritellään erotusosamäärän raja-arvona tutkittavassa pisteessä x_0. Se voidaan merkitä raja-arvolausekkeena 
:f'(x) = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

## Raja-arvojen laskusääntöjä
Jos funktioilla f(x) ja g(x) on olemassa raja-arvot (\lim\limits_{x \to p} g(x) = G \ne 0), niin silloin on voimassa seuraavat säännöt:
: \lim_{x \to c} k = \text{, kun } \, k\in \R \, 
:\lim\limits_{x \to p} kf(x) = k\lim_{x \to c} f(x) = k \cdot F 
:\lim\limits_{x \to p} (f(x) + g(x)) = \lim\limits_{x \to p} f(x) + \lim\limits_{x \to p} g(x) = F + G 
:\lim\limits_{x \to p} (f(x) - g(x)) = \lim\limits_{x \to p} f(x) - \lim\limits_{x \to p} g(x) = F - G 
:\lim\limits_{x \to p} (f(x)\cdot g(x)) = \lim\limits_{x \to p} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to p} g(x) = F \cdot G 
:\lim\limits_{x \to p} (f(x)/g(x)) = {\lim\limits_{x \to p} f(x) / \lim\limits_{x \to p} g(x)} = F/G 
Näillä säännöillä voi määrittää lausekkeiden raja-arvon, kunhan funktioiden raja-arvot tunnetaan ensin.

Yhdistetyillä funktioilla 
:\lim_{y \to p} f(y) = L \text{  ja  } \lim_{x \to a} g(x) = p \text{          } \Rightarrow \lim_{x \to a} f(g(x)) = L

## Historia
Differentiaali- ja integraalilaskenta kehittyi asteittain nykyisekseen 1600-luvulta alkaen. Raja-arvon modernin tulkinnan esitti vuonna 1817 Bernard Bolzano, joka esitteli tuolloin epsilon-delta-tekniikan jatkuvien funktioiden toteamiseksi. Tätä voidaan pitää reaaliarvoisten funktioiden riittävän tarkkana raja-arvon määritelmänä. Augustin Louis Cauchy käsittely julkaisussaan *"Cours d'analyse"* (vuonna 1821) raja-arvoja ja antoi siinä modernin määritelmän raja-arvolle. Vasta Karl Weierstrass esitti raja-arvojen epsilon-delta-tekniikan siinä muodossa kuin se nykyään tunnetaan. Myös limes-merkintä on hänen ehdotuksensa. Bolzanon työ jäi melko tuntemattomaksi ja Cauchy esitti raja-arvon määritelmänsä lähinnä verbaalisena selostuksena. Siksi Weierstrassin merintätavat korostuvat raja-arvon keksimisen historiassa. Silti, G. H. Hardyn käyttämä tapa sijoittaa nuoli lim-sanan alle on nykyään yleisin merkintätapa.

## Katso myös
* Lukujonon raja-arvo

## Lähteet
* 
* 
* 
* 
* Hurri-Syrjänen, Ritva: Differentiaali- ja integraalilaskenta I , (luentomoniste), Helsingin yliopisto, 1999 
### Viitteet

## Aiheesta muualla

* Encyclopedia of Math: Limit,