Kolmitulo

**Kolmitulo** on geometriassa, algebrassa ja useissa fysikaalisissa sovelluksissa yhteisnimi kahdelle kolmen vektorin väliselle laskutoimitukselle kolmiulotteisessa avaruudessa. *Skalaarikolmitulossa* tuloksi saadaan skalaari, *vektorikolmitulossa* sen sijaan uusi kolmiulotteisen avaruuden vektori.

## Skalaarikolmitulo
Kolmen vektorin **skalaarikolmitulo** määritellään vektoreista yhden pistetulona molempien muiden ristitulon kanssa:

:\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}).

Voidaan osoittaa, että mille tahansa kolmiulotteisen avaruuden vektoreille *a*, *b* ja *c* pätee:

:\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = ((\boldsymbol{a} \cdot  \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c},

joten yhtä hyvin skalaaritulo voitaisiin määritellä myös tulona

:((\boldsymbol{a} \times  \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}.

### Geometrinen tulkinta

Geometrisesti kolmen samasta pisteestä alkavan vektorin skalaarikolmitulon 
: \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) 
itseisarvo on sama kuin näiden vektorien määrittämän suuntaissärmiön tilavuus.

### Ominaisuuksia
* Skalaarikolmitulo pysyy muuttumattomana sen muodostamien vektorien **a**, **b** ja **c'' suoritetaan [[kiertovaihtelu]]ssa:
:<math>
  \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})=
  \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})=
  \mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})
</math>
* Skalaarikolmitulon arvo pysyy muuttumattomana, jos sen operaattorit (piste ja risti) vaihdetaan keskenään muuttamatta kerrottavien vektorien järjestystä. Tämä seuraa edellisestä sekä pistetulon vaihdannaisuudesta:
*:<math>
   \mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) =
  (\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}
</math>
* Jos mitkä tahansa kaksi kerrottavista vektoreista vaihdetaan keskenään, skalaarikolmitulon arvo muuttuu [[vastaluku|vastaluvukseen]]. Tämä seuraa siitä, että vektorien ristitulo muuttuu vastavektorikseen, jos kerrottavat vektorit vaihdetaan keskenään:
*:<math>\begin{align}
 \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) 
    &= -\mathbf{a}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{b}) \\
    &= -\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{c}) \\
    &= -\mathbf{c}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{a})
\end{align}</math>
* Skalaarikolmitulo voidaan käsittää myös sen 3×3-matriisin [[determinantti|determinatiksi]], jossa kerrottavat vektorit ovat joko riveinä tai sarakkeina (matriisin determinanttihan on sama kuin sen [[transpoosi]]n):
*:<math>\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})
= \det \begin{bmatrix}
  a_1 & a_2 & a_3 \\
  b_1 & b_2 & b_3 \\
  c_1 & c_2 & c_3 \\
\end{bmatrix}
= \det \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}
= \det \begin{bmatrix} \mathbf{a} & \mathbf{b} & \mathbf{c} \end{bmatrix} .</math>
* Skalaarikolmitulo on nolla, jos ja vain jos sen muodostavat vektorit ovat samassa tasossa; silloinhan niiden määrittämä suuntaissärmiö on surkastunut tasokuvioksi, jonka tilavuus on nolla.
* Jos mitkä tahansa kaksi skalaarikolmitulon vektoria ovat yhtä suuret, skalaarikolmitulo on nolla:
*:<math>
  \mathbf{a} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) =
  \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{a}) =
  \mathbf{b} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{a}) = 0
</math>
* Myös:
*:<math>
  (\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}))\, \mathbf{a} =
  (\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times (\mathbf{a}\times \mathbf{c})
</math>
* Tulo, joka saadaan kertomalla kahden vektorikolmikon skalaarikolmitulot keskenään, on yhtä suuri kuin sellaisen matriisin determinantti, jonka alkiona ovat näiden vektorien pistetulot seuraavasti:
<math display="block">((\mathbf{a}\times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c})\;((\mathbf{d} \times \mathbf{e}) \cdot \mathbf{f})
 = \det \begin{bmatrix}
    \mathbf{a}\cdot \mathbf{d} & \mathbf{a}\cdot \mathbf{e} & \mathbf{a}\cdot \mathbf{f} \\
    \mathbf{b}\cdot \mathbf{d} & \mathbf{b}\cdot \mathbf{e} & \mathbf{b}\cdot \mathbf{f} \\
    \mathbf{c}\cdot \mathbf{d} & \mathbf{c}\cdot \mathbf{e} & \mathbf{c}\cdot \mathbf{f}
  \end{bmatrix}
</math>
Tämä ilmaisee vektorimuodossa sen seikan, että kahden 3×3-matriisin determinanttien tulo on sama kuin niiden matriisitulon determinantti. Erikoistapauksena skalaarikolmitulon neliö on [[Gramin determinantti]].
*Skalaarikolmitulon ja sen muodostamien kolmen vektorin normien tuloa sanotaan [[polaarinen sini|polaariseksi siniksi]]:
<math display="block">
\frac{\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})}{\|{\mathbf{a}}\| \|{\mathbf{b}}\| \|{\mathbf{c}}\|} = \operatorname{psin}(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}) 
</math>,
ja sen arvot ovat aina välillä [−1, 1].

===Skalaarikolmitulo pseudoskalaarina ===

Vaikka skalaarikolmitulon itseisarvo osoittaa vektorien muodostaman suuntaissärmiön tilavuuden, se itsessään on etumerkillinen luku, ja sen etumerkki riippuu avaruuden orientaatiosta ja näin ollen se muuttuu vasta­luvukseen, jos orientaatio käännetään, esimerkiksi [[pariteetti (fysiikka)|pariteetti­muunnoksessa]] tai [[peilaus|peilauksessa]] tason suhteen. Näin ollen skalaari­kolmi­tulo on itse asiassa [[pseudoskalaari]].

Tämä liittyy siihen, että myös vektorien [[ristitulo]] vaihtuu vastavektorikseen pariteetti­muunnoksessa ja näin ollen se on itse asiassa [[pseudovektori]]. Kahden tavallisen (polaarisen) vektorin pistetulo on skalaari, mutta tällaisen vektorin ja pseudovektorin pistetulo on pseudoskalaari, ja näin ollen myös (polaaristen) vektorien skalaaritulo on pseudoskalaari.

Tavallisen vektorin ja pseudovektorin ristitulo on kuitenkin tavallinen (polaarinen) vektori. Näin ollen jos yksi skalaari­kolmi­tulossa mukana olevista vektoreista on pseudovektori, kolmitulo on normaali skalaari, ei pseudoskalaari.

Jos **T** on avaruuden [[aito rotaatio]], on
:<math>
\mathbf{Ta} \cdot (\mathbf{Tb} \times \mathbf{Tc}) =
\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}),
</math>,
mutta jos **T** on [[epäaito rotaatio]], on
:<math>
\mathbf{Ta} \cdot (\mathbf{Tb} \times \mathbf{Tc}) =
-\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}).
</math>

===Skalaarikolmitulo skalaaritiheytenä ===
Tarkkaan ottaen skalaari ei koordinaattien muunnoksessa muutu lainkaan. Jos esimerkiksi vektorit kerrotaan vakiolla 2, tämä vakio on sama, käytettiinpä suorakulmaisia tai [[pallokoordinaatisto|pallo­koordinaatteja]]. Jos kuitenkin jokainen vektori muunnetaan matriisilla, niiden skalaari­kolmi­tulo tulee kerrotuksi tämän matriisin determinantilla, ja ellei muunnos ole [[rotaatio (geometria)|rotaatio]], tämä voi saada minkä tahansa reaalilukuarvon. Tämän vuoksi kolmitulo on tarkkaan ottaen katsottava [[skalaaritiheys|skalaari­tiheydeksi]].

===Skalaarikolmitulo ulkoisena tulona===

[[Ulkoinen algebra|Ulkoisessa algebrassa]] ja [[geomertinen algebra|geometrisessa algebrassa]] kahden vektorin ''[[ulkoinen tulo]]'' on [[bivektori]], kun taas kolmen vektorin ulkoinen tulo on [[trivektori]]. Bivektori on suunnattu tasoalkio ja trivektori suunnattu tilavuusalkio samassa mielessä kuin vektori on suunnattu jana.

Kolmen vektorin **a**, **b** ja **c**, ulkoinen tulo
:<math>\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \mathbf{c}</math>
on trivektori, jonka itseisarvoltaan on yhtä suuri kuin näiden vektorien skalaarikolmitulo, toisin sanoen
:<math>|\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \mathbf{c}| = |\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b} \times\mathbf{c})|</math>,

ja se on samalla skalaarikolmitulon [[Hodgen duaali]].  Koska ulkoinen tulo on [[liitäntälaki|liitännäinen]], sulkumerkit voidaan tästä lausekkeesta jättää pois eikä ole merkitystä sillä, kumpi ulkoisista tuloista,  vai  , lasketaan ensin, joskin vektorien keskinäinen järjestys on merkityksellinen. Geometrisesti trivektori **a** ∧ **b** ∧ **c** vastaa vektorien **a**, **b** ja **c** määrittämää suuntaissärmiötä, kun taas bivektorit **a** ∧ **b**}},  ja  vastaavat niitä [[suunnikas|suunnikkaita]], jotka ovat tämän särmiön sivuina.

=== Skalaarikolmitulo fysiikassa ===

Fysiikassa skalaarikolmitulo esiintyy muun muassa seuraavissa yhteyksissä:

* Tiettyyn pisteen kohdistuvan voiman [[vääntömomentti]] akselin suhteen on
:<math>p = \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}</math>,
: missä **n** on akselin suuntainen [[yksikkövektori]], **r** voiman vaikutuspisteen [[paikkavektori]] akselilla olevan pisteen suhteen **F** vaikuttava voima.
* [[Magneettikenttä|Magneettikentässä]] liikkuvan johtimen lyhyeen osaan [[sähkömagneettinen induktio|indusoima]] [[sähkömotorinen voima]] eli lähdejännite d&epsilon;<sub>i</sub> on
:<math>d\boldsymbol{\epsilon_i} = \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{dl}</math>, 
: missä **v** on liikkuvan johtimen nopeus, **dl** johdinalkion pituus ja **B** magneettikentän [[magneettivuon tiheys]].

== Vektorikolmitulo ==
Kolmen vektorin **vektorikolmitulo** määritellään niistä yhden [[ristitulo]]na molempien muiden ristitulon kanssa</ref name=LL />.  Samoille vektoreille ''a'', b'' ja ''c'' voidaan määritellä kaksi vektorikolmituloa, 
<math>\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})</math> ja
<math>(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c}</math>, 

ja koska vektorien ristitulo ei ole [[liitäntälaki|liitännäinen]], nämä ovat yleensä eri vektoreita. Näistä edellinen on kohtisuorassa vektoriin ''a'' nähden ja vektorien **b** ja **c** määrittämässä tasossa, jälkimmäinen taas vektorien **a** ja **b** määrittämässä tasossa ja kohtisuorassa vektoria **c*' vastaan.

Vektorikolmitulolle pätee *kolmitulon kehityskaava*

:<math>\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b} -(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}) \mathbf{c}</math>,

joka tunnetaan myös *Lagrangen kaavana*, joskin samaa nimeä käytetään useista muistakin kaavoista.  [[Joseph Louis Lagrange]] ei tosin käyttänyt vektorien algebrallisena tulona määriteltyä ristituloa, mutta hän käytti niiden komponenttien avulla yhtäpitävällä tavalla määriteltyä lauseketta ja muodosti niiden avulla vastaavan yhtälön.

Vaihtoehtoisesti kehityskaava voidaan esittää myös muodossa <math>\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})-\mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})</math>
mihin liittyy muistisääntö: "BAC&nbsp;&minus;&nbsp;CAB", englannin kielessä ikään kuin “back of the cab”, "rattaiden takapää".

Koska vektorien ristitulo muuttuu vastavektorikseen, kun sen tekijät vaihdetaan keskenään, tämä kaava voidaan kirjoittaa myös muodossa

:<math>(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times \mathbf{c} = -\mathbf{c}\times(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = -(\mathbf{c}\cdot\mathbf{b})\mathbf{a} + (\mathbf{c}\cdot\mathbf{a})\mathbf{b}</math>

Lagrangen kaavasta seuraa edelleen, että vektorikolmitulolle pätee:

:<math>\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) + \mathbf{b}\times (\mathbf{c}\times \mathbf{a}) + \mathbf{c} \times (\mathbf{a}\times \mathbf{b}) =  \mathbf{0}</math>

mikä on ristitulon [[Jacobin identiteetti]].  Niin ikään pätee:

:<math>(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = \mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) - \mathbf{b} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{c})</math>

Nämä kaavat ovat hyvin käyttökelpoisia [[fysiikka|fysiikassa]], jossa niillä voidaan yksinkertaistaa vektoreilla suoritettavia laskutoimituksia.

Muodollisesti aivan vektoritulon kehityskaavan kaltainen sääntö pätee [[vektorianalyysi]]ssa myös, kun vektorikolmitulon kaksi ensimmäistä vektoria korvataan [[nabla]]operaattorilla:
:<math>\boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}) = \boldsymbol{\nabla} (\boldsymbol{\nabla} \cdot  \mathbf{A}) - (\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{A}</math>

Koska <math>\boldsymbol{\nabla}f</math> merkitsee skalaarifunktion [[gradienttia]], <math>\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{f}</math> vektorifunktion [[divergenssi]]ä ja <math>\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{f}</math> sen [[roottori (matematiikka)|roottoria]], voidaan tämä kirjoittaa myös muotoon:

<math>\mbox{rot}\mbox{rot} \boldsymbol{A} = \mbox{grad}\mbox{div} \boldsymbol{A} - (\boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{A}</math>.

===Kehityskaavan todistus ===

Vektoritulon kehityskaava eli Lagrangen kaava voidaan todistaa seuraavasti:

Ristitulon <math>\mathbf{u} \times (\mathbf{v}\times \mathbf{w})</math> <math>x</math>-akselin suuntainen komponentti saadaan seuraavasti:

:<math>\begin{align}
(\mathbf{u} \times (\mathbf{v} \times \mathbf{w}))_x
    &= \mathbf{u}_y(\mathbf{v}_x\mathbf{w}_y - \mathbf{v}_y\mathbf{w}_x) - \mathbf{u}_z(\mathbf{v}_z\mathbf{w}_x - \mathbf{v}_x\mathbf{w}_z) \\
    &= \mathbf{v}_x(\mathbf{u}_y\mathbf{w}_y + \mathbf{u}_z\mathbf{w}_z) - \mathbf{w}_x(\mathbf{u}_y\mathbf{v}_y + \mathbf{u}_z\mathbf{v}_z) \\
    &= \mathbf{v}_x(\mathbf{u}_y\mathbf{w}_y + \mathbf{u}_z\mathbf{w}_z) - \mathbf{w}_x(\mathbf{u}_y\mathbf{v}_y + \mathbf{u}_z\mathbf{v}_z) + (\mathbf{u}_x\mathbf{v}_x\mathbf{w}_x - \mathbf{u}_x\mathbf{v}_x\mathbf{w}_x) \\
  &= \mathbf{v}_x(\mathbf{u}_x\mathbf{w}_x + \mathbf{u}_y\mathbf{w}_y + \mathbf{u}_z\mathbf{w}_z) - \mathbf{w}_x(\mathbf{u}_x\mathbf{v}_x + \mathbf{u}_y\mathbf{v}_y + \mathbf{u}_z\mathbf{v}_z) \\
  &= (\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})\mathbf{v}_x - (\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\mathbf{w}_x
\end{align}</math>

Vastaavasti sen <math>y</math>- ja <math>z</math>-akselien suuntaiset komponentit ovat:

:<math>\begin{align}
  (\mathbf{u} \times (\mathbf{v} \times \mathbf{w}))_y &= (\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})\mathbf{v}_y - (\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\mathbf{w}_y \\
  (\mathbf{u} \times (\mathbf{v} \times \mathbf{w}))_z &= (\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})\mathbf{v}_z - (\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\mathbf{w}_z
\end{align}</math>

Yhdistämällä nämä komponentit saadaan:

:<math>\mathbf{u}\times (\mathbf{v}\times \mathbf{w}) = (\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})\ \mathbf{v} - (\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\ \mathbf{w}</math>

=== Vektorikolmitulo fysiikassa ===

Fysiikassa vektorikolmitulo esiintyy muun muassa pyörivässä koordinaatistossa olevaan kappaleeseen kohdistuvan [[sentrifugaalivoima]]n lausekkeessa:
:<math>F = \omega \times (\omega \times r)</math>,
missä &omega; on koordinaatiston [[kulmanopeus]] ja *r'' kappaleen etäisyys pyörimisliikkeen keskipisteestä.

Edellä esitettyä kehityskaavan nablaoperaattoria koskevaa muotoa käytetään johdettaessa Maxwellin yhtälöistä sähkömagneettisten aaltojen aaltoyhtälö.

## Tulkintoja

### Tensorilaskenta
Tensorilaskennassa vektorien kolmitulot voidaan esittää Levi-Civita-symbolin avulla:
\mathbf{a} \cdot [\mathbf{b}\times \mathbf{c}] = \varepsilon_{ijk} a^i b^j c^k
and
(\mathbf{a} \times [\mathbf{b}\times \mathbf{c}])_i = \varepsilon_{ijk} a^j \varepsilon^{k\ell m} b_\ell c_m = \varepsilon_{ijk}\varepsilon^{k\ell m} a^j  b_\ell c_m,
jotka viittaavat tuloksena saadun vektorin math>i:nteen komponenttiin. Tätä voidaan yksinkertaistaa suorittamalla Levi-Civita-symbolille kontraktio,  \varepsilon_{ijk} \varepsilon^{k\ell m} = \delta^{\ell m}_{ij} = \delta^{\ell}_{i} \delta^{m}_{j} - \delta^{m}_{i} \delta^{\ell}_{j}\,,
missä \delta^{i}_{j} on Kroneckerin delta (\delta^{i}_{j} = 0, kun i \neq j and \delta^{i}_{j} = 1 kun i = j) ja \delta^{\ell m}_{ij} yleistetty Kroneckerin delta.  Tämä identiteetti voidaan päätellä siitä, että indeksi k summautuu niin, että jäljelle jäävät vain i ja j. Ensimmäisessä termissä asetetaan i=l ja näin ollen j=m. Vastaavasti toisessa termissä asetetaan i=m ja näin ollen l=j.

Palaamalla vektorikolmituloon saadaan
(\mathbf{a} \times [\mathbf{b}\times \mathbf{c}])_i = (\delta^{\ell}_{i}\delta^{m}_{j} - \delta^{m}_{i}\delta^{\ell}_{j}) a^j  b_\ell c_m = a^j b_i c_j - a^j  b_j c_i = b_i(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) - c_i(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\,.

### Vectorianalyysi

Tarkastellaan vektorikentän \mathbf{F} vuo­pinta­integraalia parametri­muodossa määritellyn pinnan S = \mathbf{r}(u,v) yli:
\iint_S \mathbf{F} \cdot \hat\mathbf{n} \, dS. 
Tämän pinnan yksikkönormaalivektori  on 
\hat\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v }, 
mistä seuraa, että \mathbf{F}\cdot \frac{(\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v )} on skalaarikolmitulo.

## Lähteet