Törmäysteoria

**Törmäysteoria** on matemaattinen malli, joka  kuvaa kemiallisten reaktioiden tapahtumista ja reaktionopeuksia. Törmäysteorian matemaattiset mallit kehitti ensin Max Trautz vuonna 1916 ja William Cudmore McCullagh Lewis vuonna 1918. Tutkijat eivät olleet tietoisia toistensa töistä ensimmäisen maailmansodan ilmapiirissä. Törmäysteoriassa reagoivan molekyylin oletetaan olevan kimmoton kuula. Törmäysteorian mukaan reaktio tapahtuu, mikäli törmäävien molekyylien kineettinen energia on riittävän suuri.

## Törmäysten kineettinen teoria
 
Trautz ja Lewis perustivat teoriansa törmäyslukuun Z, joka vastaa törmäysten kokonaismäärää yksikkötilavuudessa ja yksikköajassa. Jos tutkittavana oleva kaasu sisältää vain \text{A}-molekyylejä ja molekyylit oletetaan koviksi kuuliksi, niin törmäysluku molekyylien kesken on:

::(1)\qquad Z_{AA} = \frac{1}{2}\sqrt{2}d^2 \bar{v}\,(N_A)^2

Tässä N_A on \text{A}-molekyylien lukumäärä yksikkötilavuudessa, d on molekyylin halkaisija so. törmäävien molekyylien keskipisteiden etäisyys toisistaan. Kineettisen kaasuteorian mukaan molekyylin keskimääräinen nopeus on:

::(2)\qquad \bar{v} = \sqrt{8 k_B \, T \over \pi \, m}

Tässä k_B on Boltzmannin vakio, T lämpötila Kelvin-asteissa ja m on molekyylin massa. Sijoittamalla yhtälö (2) edelliseen, saadaan törmäysluvuksi (yksikkö m-3s-1):

::(3)\qquad Z_{AA} = 2d^2\,(N_A)^2 \sqrt{\pi k_B \, T \over m}

Jos tarkasteltavana on erilaiset A- ja B-molekyylit, pitää ottaa huomioon redusoitu massa \mu = \frac{m_A m_B}{m_A + m_B}. Tällöin törmäysluku on

::(4)\qquad Z_{AB} = N_A N_B d^2 \sqrt{8\pi k_B \, T \over \mu}

Törmäysteorian mukaan kemiallisen reaktion reaktionopeus on törmäysluku kerrottuna sillä osuudella molekyylien törmäyksistä, joilla on riittävästi energiaa oikean tyyppiseen törmäykseen. Törmäys tapahtuu, jos kahden molekyylin suhteellinen liike-energia on suurempi kuin saatavilla oleva pienin energia E. Tämä osuus törmäyksistä, jolla on energiaa välillä E \to E+dE, on laskettavissa kahden samalla suoralla törmäävän molekyylin liike-energiajakaumasta:<sup>A</sup>

::(5)\qquad \frac{dN(E)}{N} = \frac{E^{s-1}}{(k_B T)^s (s-1)!}e^{-\frac{E}{k_B T}}dE

Tässä kyseessä on kaksi translaatiovapausastetta, niin 2s = 2. Tällöin saadaan

::(6)\qquad F = \frac{dN(E)}{N} = \frac{e^{-\frac{E}{k_B T}}dE}{k_B T}

Integroimalla yhtälö (6) välillä E \to \infty saadaan osuudeksi F = e^{-\frac{E}{k_B T}}, joka on Arrheniuksen yhtälön eksponenttiosa, jos E:n yksiköksi muutetaan J mol-1. Reaktionopeudeksi saadaan

::(7)\qquad R = N_A N_B d^2 \sqrt{8\pi k_B \, T \over \mu}e^{-\frac{E}{k_B T}}

Yhtälössä (7) (törmäys)taajuustekijä yksikössä m3s-1 on:

::(8)\qquad z_{AB}\,=\,d^2 \sqrt{8\pi k_B \, T \over \mu}\,=\,\pi d^2 \sqrt{8 k_B \, T \over \pi \mu} \,=\,\sigma \sqrt{8 k_B \, T \over \pi \mu}

Joten nopeusvakioksi yksikössä m3s-1 saadaan:

::(9)\qquad k = z_{AB}e^{-\frac{E}{k_B T}}

Jos yhtälöstä (9) otetaan luonnollinen logaritmi ja derivoidaan lämpötilan suhteen, niin saadaan

::(10)\qquad \frac {d \ln k}{dT} = \frac{E+ \frac{1}{2}k_B T}{k_B T^2}

Kertomalla osoittaja ja nimittäjä Avogadron vakiolla, ja vertaamalla tulosta Arrheniuksen yhtälöön, voidaan todeta, että E_a \equiv E + \frac{1}{2} R T. Jos E_a \gg R T, niin Arrheniuksen aktivoitumisenergia vastaa suunnilleen reaktion etenemisen kannalta katsoen pienintä tarvittavaa energiaa. Törmäysteorian E:ta ei voi laskea, z_{AB} voidaan arvioida vertaamalla kokeellisiin kineettisiin mittauksiin. Tällöin on havaittu, että törmäysteorian taajuustekijä vastaa kokeellisesti määritettyä taajuustekijää sitä huonommin mitä kompleksisempi reaktio on kyseessä. Tällöin törmäysteorian mukainen nopeusvakio annetaan:

::(11)\qquad k = p\,z\,e^{-\frac{E}{k_B T}}

Tässä p on reaktion steerinen tekijä tai todennäköisyyskerroin.

## Teorian törmäyspinta-alan energiariippuus

Yhtälössä (8) oletetaan, että kovien kuulien \text{A} ja \text{B} välinen törmäys tapahtuu kuulien ollessa samalla suoralla liikkumassa toisiaan kohti. Tällöin törmäyspinta-ala \sigma on ympyrän pinta-ala, jonka halkaisija on kuulien säteiden summa d. Tällöin \sigma = \pi\,d^2.  Kuulien välinen törmäys voi tapahtua myös niin, että kuulien liike toisiaan kohti ei tapahdu samalla suoralla. Tällöin törmäysenergia on pienempi kuin edellisessä tapauksessa ja \sigma:lla on energiariippuvuus, jolloin reaktion törmäyspinta-ala muuttuu reaktiiviseksi törmäyspinta-alaksi.

Maxwell-Boltzmann -jakauma, jossa tarkastellaan kahta kuulaa \text{A} ja \text{B}, on:

::(12)\qquad \frac{dN_{AB}(w)}{N_A N_B} \,=\, 4\pi\,w^2\Bigg(\frac{\mu}{2\pi\,k_B T}\Bigg)^{\frac{3}{2}} e^{-\frac{\mu\,w^2}{2k_BT}}dw

Tässä w on suhteellinen nopeus \text{A}-kuulan liikkuessa kohti \text{B}-kuulaa. Yhtälö (12) kuvaa sitä \text{AB}-kuulaparijoukkoa, jolla on suhteellinen nopeus välillä w \to w+dw. Kertomalla yhtälö (12) w:lla ja integroimalla saadaan keskimääräiselle suhteelliselle nopeudelle \bar{w}:

::(13)\qquad \bar{w} \,=\, 4\pi\,\Bigg(\frac{\mu}{2\pi\,k_B T}\Bigg)^{\frac{3}{2}} \int_{0}^{\infty} w^3 e^{-\frac{\mu\,w^2}{2k_BT}}dw \,=\, \sqrt{8 k_B \, T \over \pi \, \mu}

Törmäysteorian mukaisen reaktion nopeusvakio saadaan kertomalla molempien kuulien Maxwell-Boltzmann -jakauma reaktiivisella törmäyspinta-alalla, joka riippuu kuulan suhteellisesta nopeudesta, ja integroimalla:

::(14)\qquad k\,=\,\int \int w\,\sigma(w)f_A(v_A)f_B(v_B)\,dv_A\,dv_B

Tässä esim. f_A(v_A) on \text{A}-molekyylin Maxwell-Boltzmann -jakauma molekulaarisille nopeuksille. Törmäysteorian mukaiselle nopeusvakiolle saadaan:

::(15)\qquad k\,=\,4\pi \Bigg(\frac{\mu}{2\pi\,k_B T}\Bigg)^{\frac{3}{2}}\int_{0}^{\infty} w^3\,\sigma(w)e^{-\frac{\mu\,w^2}{2k_B T}}dw

Sijoittamalla yhtälöön (15) suhteellinen kineettinen energia E\,=\,\frac{1}{2}\mu\,w^2 ja sen derivaatta dE=\mu w\,dw, saadaan 

::(16)\qquad k\,=\,\frac{1}{k_B T}\sqrt{\frac{8}{\pi \mu k_B T}}\int_{0}^{\infty} E\sigma(E)e^{-\frac{E}{k_B T}}dE

Tässä yhtälössä on vain translaatioenergia otettu huomioon, reaktion ainesosien sisäisiä energioita ei ole huomioitu. Niitä tarkastellaan törmäysteoriaa kehittyneemmissä teorioissa.

Oheisessa kuvassa \text{A}-kuula törmää \text{B}-kuulaan \alpha-kulmassa keskimääräisellä nopeudella \bar{w}. Se on vektorisuure ja se voidaan jakaa kahteen komponenttiin: \bar{w}_\bot ja  \bar{w}_\shortparallel. Vaikka kineettinen energia on skalaarisuure, se voidaan ilmaista näillä vektorikomponenteilla: E=\frac{1}{2}\mu(\bar{w}_\bot^2+\bar{w}_\shortparallel^2). Kuvasta on todettavissa,<sup>B</sup> että 

::(17)\qquad \bar{w}_\bot \,=\, \bar{w} cos\,\alpha \,=\, \bar{w}\sqrt{\frac{d^2-b^2}{d^2}}\,=\,\bar{w}\sqrt{1-\frac{b^2}{d^2}}

\text{A}- ja \text{B}-kuulan muodostamalla suoralla olevan kineettisen energian komponentin E_\bot täytyy olla vähintään kynnysenergian E_0 suuruinen, jotta reaktio tapahtuisi (ks. viereinen kuva). Kun b pienenee, niin E_\bot kasvaa, ja saa suurimman arvonsa kun b=0. Reaktion tapahtumisen kannalta pätee

::(18)\qquad E_\bot\,=\,E \Bigg(1-\frac{b^2}{d^2}\Bigg)\qquadja\qquad E_0\,=\,E \Bigg(1-\frac{b_{max}^2}{d^2}\Bigg)\qquadja\qquad b_{max}^2\,=\,d^2 \Bigg(1-\frac{E_0}{E}\Bigg)\qquad

Reaktiivinen poikkipinta-ala voidaan antaa nyt energian funktiona: \sigma(E)\,=\,\pi\,b_{max}^2\,=\,\pi\,d^2 \Bigg(1-\frac{E_0}{E}\Bigg). Sijoittamalla tämä yhtälöön (16) saadaan

::(19)\qquad k\,=\,\frac{1}{k_B T}\sqrt{\frac{8}{\pi \mu k_B T}}\int_{E_0}^{\infty} E\sigma(E-E_0)e^{-\frac{E}{k_B T}}dE

Integroimalla yhtälö (19) saadaan yhtälön (9) mukainen yhtälö

::(20)\qquad k\,=\,\pi\,d^2\sqrt{\frac{8k_B T}{\pi \mu}}e^{-\frac{E_0}{k_B T}}

Yhtälöstä (20) on todettavissa, että se koostuu kolmesta tekijästä: 1. kovien kuulien törmäyksellinen poikkipinta-ala, 2. keskimääräinen suhteellinen nopeus, 3. Arrheniuksen yhtälön mukainen lämpötilariippuvuus. Verrattuna Arrheniuksen yhtälöön yhtälöstä (20) on todettavissa taajuustekijälle arvo \pi\,d^2\,\bar{w}.

Ottamalla yhtälöstä (20) luonnollinen derivaatta, integroimalla lämpötilan suhteen ja vertaamalla tulosta vastaavaan toimenpiteeseen Arrheniuksen yhtälön kanssa, saadaan aktivoitumisenergioille keskinäinen riippuvuus: E_0 \,=\,E_a - \frac{1}{2}k_B T. Sijoittamalla tämä takaisin yhtälöön (20), saadaan törmäysteorian mukaiseksi nopeusvakioksi

::(21)\qquad k\,=\,\pi\,d^2\sqrt{e}\sqrt{\frac{8k_B T}{\pi \mu}}e^{-\frac{E_a}{k_B T}}

Tässä E_a:n yksikkö on J, ja k:n yksikkö m3 s-1. Arrheniuksen yhtälön A-tekijää vastaavaksi taajuustekijäksi on todettavissa

::(22)\qquad A_t\,=\,\pi\,d^2\sqrt{\frac{8ek_B T}{\pi \mu}}

## Lisätieto

A  Molekulaarisille nopeuksille kolmessa ulottuvuudessa on olemassa Maxwell-Boltzmann -jakauma, joka on ensimmäinen tilastollinen kaava fysikaalisessa kemiassa. Maxwell-Boltzmann -jakauman osuus tilastollisen termodynamiikan kehityksessä on ollut merkittävä:

::(23)\qquad\frac{dN(v)}{N} \,=\, 4\pi\,v^2\Bigg(\frac{m}{2\pi\,k_B T}\Bigg)^{\frac{3}{2}} e^{-\frac{mv^2}{2k_BT}}dv

Sijoittamalla yhtälöön E\,=\,\frac{1}{2}mv^2 ja dE=\sqrt{2mE}\,dv saadaan kineettisen energian jakaumalle kaasussa

::(24)\qquad\frac{dN(E)}{N} \,=\, \frac{2\pi}{(\pi\,k_B T)^{\frac{3}{2}}}\sqrt{E}\, e^{-\frac{E}{k_B T}}dE

Keskimääräinen kineettinen energia molekyyliä kohden on määritelty olemaan:

::(25)\qquad\left \langle E \right \rangle\,=\,\frac{\int_0^{\infty} E\,dN(E)}{N}

Sijoittamalla tähän yhtälö (24), saadaan keskimääräiselle kineettiselle energialla \left \langle E \right \rangle\,=\,\frac{3}{2}k_B T molekyyliä kohti (kolmessa ulottuvuudessa). Yhdessä ulottuvuudessa \left \langle E \right \rangle\,=\,\frac{1}{2}k_B T energian tasanjakaantumisen periaatteen mukaisesti. Molekyylin keskimääräinen energia voidaan ilmaista summana ns. 2s-neliötermejä, jolla kullakin on energiaa \frac{1}{2}k_B T. Täten \left \langle E \right \rangle\,=\,s\,k_B T. Kolmessa ulottuvuudessa 2s=3; sijoittamalla tämä yhtälöön (5), saadaan kineettisen energian jakaumalle yhtälö (24).

B Kuvassa sin\,\alpha=\frac{b}{d} ja trigonometriassa cos^2 \alpha + sin^2 \alpha = 1

## Katso myös

*Reaktiokinetiikka
*Arrheniuksen yhtälö
*Siirtymätilateoria
*Molekulaarinen jakaumafunktio
*Unimolekulaarinen reaktio
*RRKM

## Lähteet