Symmetriset komponentit

**Symmetriset komponentit** tarkoittavat tässä kolmivaiheisen sähköjärjestelmän epäsymmetristen tilojen laskemisessa käytettäviä symmetrisiä komponenttijärjestelmiä. Laskelmat helpottuvat kun ne voidaan suorittaa symmetrisillä komponenttijärjestelmillä. Menetelmä perustuu siihen, että mikä tahansa kolmivaiheinen epäsymmetrinen järjestelmä voidaan esittää kolmen symmetrisen kolmivaihejärjestelmän summana. Sähköverkon epäsymmetrisiä tiloja esiintyy erityisesti erilaisissa vikatapauksissa. Tällaisia ovat esimerkiksi maasulku, kahden vaiheen välinen oikosulku ja johtimen katkeaminen. Symmetristen komponenttien käyttö edellyttää, että verkko itsessään on symmetrinen, toisin sanon eri vaiheiden impedanssit ovat yhtäsuuret.

## Symmetriset komponenttijärjestelmät
Symmetrisiä komponenttijärjestelmiä ovat: Myötä-, vasta- ja nollajärjestelmä. Myötäjärjestelmässä on vaihejärjestys sama kuin alkuperäisessä verkossa. Vastajärjestelmässä kaksi vaihetta on vaihdettu keskenään ja verkon pyörimissuunta on näin ollen vaihdettu vastakkaiseksi. Nollajärjestelmässä kaikki vaihesuureet ovat samanvaiheisia ja samansuuruisia. Seuraava kuva havainnollistaa tilannetta. Siinä on vasemmalla puolella alkuperäinen epäsymmetrinen kolmivaihejärjestelmä (**A,B,C**) ja oikealla puolella sen korvaavat symmetriset järjestelmät. Vaiheiden suureet (**A,B,C**) voivat olla joko jännitteitä (**U<sub>A</sub>,U<sub>B</sub>,U<sub>C</sub>**) tai virtoja (**I<sub>A</sub>,I<sub>B</sub>,I<sub>C</sub>**).

Muunnoskaava symmetrisistä järjestelmistä epäsymmetriseen järjestelmään voidaan esittää matriiseilla seuraavasti.

: \begin{bmatrix} \vec{A} \\ \vec{B} \\ \vec{C} \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \vec{a}^{2} & \vec{a} \\ 1 & \vec{a} & \vec{a}^{2}\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix} \vec{A_o} \\ \vec{A_m} \\ \vec{A_v}\end{bmatrix}=
M\begin{bmatrix} \vec{A_o} \\ \vec{A_m} \\ \vec{A_v}\end{bmatrix}

Tässä on käytetty symmetrisistä järjestelmistä vain  \vec{A} -vaiheen arvoja. Muut vaiheet saadaan tarvittaessa vaihekertoimella  \vec{a} . Kaavassa lasketaan yhteen kunkin verkon vastaavat vaihesuureet. Vaihekerroin kääntää osoitinta  120^{\circ}  vastapäivään. Matriisissa oleva  \vec{a}^2  puolestaan kääntää osoitinta  240^{\circ} . Vaihekertoimen numeerinen arvo on  \vec{a} = e^{j\cdot\frac{2}{3}\cdot\pi} = - 1 / 2  + j \cdot \sqrt{3} / 2 . Merkitään jatkossa kaavassa olevaa vaihekertoimista \vec{a} muodostuvaa matriisia merkinnällä M.

Käänteismuunnos saadaan kertomalla yllä olevan yhtälön molemmat puolet kerroinmatriisin M käänteismatriisilla M^{-1}, jolloin päädytään seuraavaan muunnoskaavaan. Tällä voidaan laskea epäsymmetrisen järjestelmän symmetriset komponenttijärjestelmät.

: \begin{bmatrix} \vec{A_o} \\ \vec{A_m} \\ \vec{A_v} \end{bmatrix} = \frac{1}{3}
\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \vec{a} & \vec{a}^{2} \\ 1 & \vec{a}^{2} & \vec{a} \end{bmatrix} 
\begin{bmatrix} \vec{A} \\ \vec{B} \\ \vec{C} \end{bmatrix}=
M^{-1}\begin{bmatrix} \vec{A} \\ \vec{B} \\ \vec{C} \end{bmatrix}

Tässä on laskettu jälleen vain A-vaiheen arvot. Muita ei todellisuudessa tarvitakaan, koska symmetriset kolmivaihejärjestelmät voidaan käsitellä yksivaiheisina.

## Esimerkki symmetristen komponenttien käytöstä
Otetaan yksinkertainen kuvan mukainen tapaus. Siinä symmetristä kuormaa syöttävän johdon vaiheen C johdin on katkenut. Oletetaan syöttävä verkko jäykäksi, jolloin A ja B vaiheiden jännitteet säilyvät ennallaan ja C vaiheessa kuormaan vaikuttaa, aluksi meille tuntematon, vikatilanteen jännite \vec{U_f}. Näin syntyy tilanne, jossa symmetristä kuormaa syöttää epäsymmetrinen kolmivaihejännite (\vec{U_A}, \vec{U_B},\vec{U_f}).

Symmetriset komponentit saadaan kertomalla epäsymmetriset jännitteet matriisilla M^{-1}.

:\begin{bmatrix}\vec{U_0}\\\vec{U_m}\\\vec{U_v}\end{bmatrix}=
\frac{1}{3}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \vec{a} & \vec{a}^{2} \\ 1 & \vec{a}^{2} & \vec{a} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}\vec{U_A}\\\vec{U_B}\\\vec{U_f}\end{bmatrix}

Kukin näin laskettu symmetrinen komponenttijärjestelmä vaikuttaa alkuperäiseen kuormaan. Niiden kohtaamat impedanssit kuitenkin poikkeavat toisistaan. Seuraavassa kuvassa on kunkin komponenttijärjestelmän sijaiskytkennät. Kussakin järjestelmässä vaikuttaa niiden omat jännitteet ja virrat. Huomion arvoista on että nollajärjestelmässä vaihejännitteet ja vaihevirrat ovat keskenään yhtä suuria ja samanvaiheisia. Tässä niitä on merkitty A-vaiheen osoittimilla. 

Käydään seuraavassa läpi jokainen järjestelmä erikseen. Koska sekä jännitteet, että kuorma ovat symmetrisiä, voidaan laskut tehdä yksivaiheisina.

**Myötäjärjestelmä**, jossa vaihejärjestys on sama kuin alkuperäisessä verkossa näkee samat impedanssit kuin alkuperäinen syöttöverkko. Tällöin \vec{U_m}:n kohtaama impedanssi on verkon myötäimpedanssi Z_m=Z. Tähän on vielä lisättävä nollajohdon impedanssi Z_N. Myötäjärjestelmän impedanssi kokonaisuudessaan on  Z_m+Z_N. Myötäjärjestelmän impedanssi sisältää normaalin verkon yhden vaiheen impedanssin vikakohdasta katsottuna. Pyörivistä kolmivaihekoneista (sähkömoottorit, generaattorit) siihen kuuluvat niiden myötäimpedanssit.

**Vastajärjestelmä**, jossa vaihejärjestys on vastakkainen alkuperäiselle verkolle näkee niin sanotun vastaimpedanssin. Tämä poikkeaa myötäimpedanssista siinä, että verkossa olevat moottorit ja generaattorit pyörivät vastakkaiseen suuntaan kuin jännitteet. Vastaimpedanssi on muutoin sama kuin myötäimpedanssi, mutta siihen kuuluvat pyörivistä koneista niiden vastaimpedanssit. Vastajärjestelmässä impedanssi on Z_v+Z_N.

**Nollajärjestelmä** poikkeaa edellisistä sikäli, että siinä kaikissa vaiheissa vaikuttaa sama jännite. Tämän vuoksi nollajohdossa kulkee kolminkertainen virta joten nollajohdon impedanssi on otettava kolminkertaisena. Nollakomponentti siis kohtaa impedanssin Z_m+3Z_N.

Kirjoittamalla impedanssit matriisimuotoon saadaan laskettua symmetristen järjestelmien virrat vikakohdassa.

: \begin{bmatrix} \vec{I_0} \\ \vec{I_m} \\ \vec{I_v} \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix} \frac{1}{Z_m+3 Z_N} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{Z_m+Z_N} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{Z_v+Z_N}\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}\vec{U_0}\\\vec{U_m}\\\vec{U_v}\end{bmatrix}

Todellisiin virtoihin vikakohdassa päästään kertomalla virtojen symmetriset komponentit muunnoksella M.

: \begin{bmatrix} \vec{I_A} \\ \vec{I_B} \\ \vec{I_C} \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \vec{a}^{2} & \vec{a} \\ 1 & \vec{a} & \vec{a}^{2}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \vec{I_0} \\ \vec{I_m} \\ \vec{I_v} \end{bmatrix}


Yhdistämällä yhtälöt saadaan.

: \begin{bmatrix} \vec{I_A} \\ \vec{I_B} \\ \vec{I_C} \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \vec{a}^{2} & \vec{a} \\ 1 & \vec{a} & \vec{a}^{2}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \frac{1}{Z_m+3 Z_N} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{Z_m+Z_N} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{Z_v+Z_N}\end{bmatrix} 
\frac{1}{3}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \vec{a} & \vec{a}^{2} \\ 1 & \vec{a}^{2} & \vec{a} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}\vec{U_A}\\\vec{U_B}\\\vec{U_f}\end{bmatrix}


Tässä yhtälössä kaikki impedanssit ovat tunnettuja samoin tietysti vaihekerroin. Tuntemattomia ovat vaiheen C vikatilanteen jännite \vec{U_f} sekä vikatilanteen virrat \vec{I_A} ja \vec{I_B}. Muut vikatilanteen suureet ovat tunnettuja: \vec{I_C} = 0 koska johdin on poikki ja jännitteet \vec{U_A} ja \vec{U_B} ovat samat kuin ennen vikaa, koska oletettiin jäykkä verkko. Näin ollen meillä on kolme yhtälöä ja kolme tuntematonta, joten tuntemattomat suureet on ratkaistavissa.

Kerrotaan seuraavaksi keskenään impedansseja ja vaihekertoimia sisältävät matriisit. Koska tästä tulisi melko hankalan näköinen matriisi, niin otetaan käyttöön seuraavat lyhennysmerkinnät:

:p=\frac{1}{3}(\frac{1}{Z_m+3Z_N}+\frac{1}{Z_m+Z_N}+\frac{1}{Z_v+Z_N})
:q=\frac{1}{3}(\frac{1}{Z_m+3Z_N}+\frac{\vec{a}}{Z_m+Z_N}+\frac{\vec{a}^2}{Z_v+Z_N})
:r=\frac{1}{3}(\frac{1}{Z_m+3Z_N}+\frac{\vec{a}~2}{Z_m+Z_N}+\frac{\vec{a}}{Z_v+Z_N})

Nyt voidaan kirjoittaa:

: \begin{bmatrix} \vec{I_A} \\ \vec{I_B} \\ \vec{I_C} \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix} p & q & r \\ r & p & q \\ q & r & p \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}\vec{U_A}\\\vec{U_B}\\\vec{U_f}\end{bmatrix}


Matriisin alimmalta riviltä saadaan kun \vec{I_C}=0:

:0=q\vec{U_A}+r\vec{U_B}+p\vec{U_f}

Tästä saadaan vikatilanteen jännite vaiheessa C:

:\vec{U_f}=-\frac{q\vec{U_A}+r\vec{U_B}}{p}

Tuntemattomat virrat saadaan matriisiyhtälön kahdelta ylimmältä riviltä:

:\begin{bmatrix} \vec{I_A} \\ \vec{I_B} \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} p & q & r \\ r & p & q \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}\vec{U_A}\\\vec{U_B}\\\vec{U_f}\end{bmatrix}


Näin on saatu laskettua kaikki vikatilanteessa vaikuttavat jännitteet ja virrat.

## Lähteet
* Elovaara Jarmo, Laiho Yrjö, 2007:Sähkölaitostekniikan perusteet, Hakapaino Oy Helsinki: s. 76-87.
* Paavola Martti, 1975: Sähköjohdot, WSOY Porvoo: s. 270-277.
* Voipio Erkki, 1974: Virtapiirit ja verkot 258, TKY Otapaino: s. 275-287.
* Tekniikan käsikirja 1969: Osa 3; Sähkötekniikka 8. painos, K.J. Gummerus Oy: s. 518-522.

### Viitteet