Reunajakauma

**Reunajakauma**  on todennäköisyyslaskennassa usean satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumasta muodostettu rajoitettu jakauma, jossa varioi vain yksi satunnaismuuttuja, tai osa satunnaismuuttujista, ja samalla huomioidaan muiden satunnaismuuttujien yhteisvaikutus todennäköisyyteen. Reunajakaumat ovat erityisen hyödyllisiä kaksiulotteisissa yhteisjakaumissa, jossa reunajakaumiin jää jäljelle vain toinen satunnaismuuttuja. Niillä yritetään pääasiassa helpottaa yhteisjakauman toiminnan ymmärtämistä, mikä toimii hyvin riippumattomien satunnaismuuttujien tapauksessa.

## Kaksiulotteisen yhteisjakauman reunajakaumat
### Todennäköisyysfunktioilla
Kaksiulotteinen yhteisjakauma muodostuu kahdesta satunnaismuuttujasta X ja Y, jotka muodostavat järjestetyn parin (X,Y). Diskreetin yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktion arvo annetuilla arvoilla (x,y) merkitään 
:P(X=x \text{ ja } Y=y)=f_{XY}(x,y) 
ja jatkuvalla yhteisjakauman tiheysfunktiolla
:f_{XY}(x,y)
olevalla reaaliarvoisella lausekkeella.

Reunajakaumia on kaksi, koska yksi satunnaismuuttuja voidaan "jättää pois" kahdella eri tavalla. Diskreetillä satunnaismuuttujaparilla reunajakaumat muodostetaan ensimmäisen satunnaismuuttujan X suhteen
:f_X(x)=P(X=x)=\sum_{y \in Y}f_{XY}(x,y) 
tai toisen satunnaismuuttujan Y suhteen
:f_Y(y)=P(Y=y)=\sum_{x \in X}f_{XY}(x,y). 

Jatkuvilla satunnaismuuttujaparilla muodostetaan vastaavasti
:f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)dy 
tai
:f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)dx. 

### Kertymäfunktioilla
Kaksiulotteinen yhteisjakauman (X,Y) kertymäfunktiot muodostetaan todennäköisyysfunktioista summan tai määrätyn integraalin avulla. Tässä esitetään ylhäältä rajoitettujen kertymäfunktioiden muodostustavat. Diskreetin satunnaismuuttujaparin yhteisjakauman kertymäfunktio arvojen (x,y) alla merkitään ja lasketaan
:P(X\le x \text{ ja } Y\le y)=F_{XY}(x,y)=\sum_{X \le x}\sum_{Y \le y}f_{XY}(x,y) 
ja vastaavasti jatkuvan satunnaismuuttujaparin yhteisjakauman kertymäfunktio merkitään ja lasketaan
:P(X\le x \text{ ja } Y\le y)=F_{XY}(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f_{XY}(x,y)dydx . 

Näistä muodostetut reunajakaumien kertymäfunktiot ovat diskreettisillä satunnaismuuttujilla vastaavasti
:P(X\le x)=F_{X}(x)=\sum_{X \le x}\sum_{y \in Y}f_{XY}(x,y) 
sekä
:P(Y\le y)=F_{Y}(y)=\sum_{X \in x}\sum_{Y \le y}f_{XY}(x,y) 
ja jatkuvilla satunnaismuuttujilla
:P(X\le x)=F_{X}(x)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)dydx  
sekä
:P(Y\le y)=F_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{y}f_{XY}(x,y)dydx . 

### Esimerkki kahdella satunnaismuuttujalla
Kaksi diskreettiä satunnaismuuttujaa muodostavat yhteisjakauman f_{XY}(x,y). Satunnaismuuttujalla X on vain neljä arvoa \{ x_1,x_2,x_3 \text{ ja } x_4 \}, joita ei mainita tässä. Vastaavasti satunnaismuuttujalla Y on myös neljä arvoa \{ y_1,y_2,y_3 \text{ ja } y_4 \}. Jokaista arvoparia (x_i,y_j) vastaa pistetodennäköisyys f_{XY}(x_i,y_j), jollainen on esimerkiksi f_{XY}(x_1,y_4)=\frac{8}{32}. Kaikki todennäköisyydet on esitetty oheisessa taulukossa.

Yhteisjakaumalla f_{XY}(x,y) on kaksi reunajakaumaa f_{X}(x) ja f_{Y}(y). Reunajakaumat muodostetaan laskemalla kullekin satunnaismuuttujan arvoille yhteistodennäköisyydet. Esimerkiksi f_{X}(x_2) lasketaan
:f_{X}(x_2)=f_{XY}(x_2,y_1)+f_{XY}(x_2,y_2)+f_{XY}(x_2,y_3)+f_{XY}(x_2,y_4)=\frac{2}{32}+\frac{4}{32}+\frac{2}{32}+0=\frac{8}{32},
ja se on sijoitettu taulukkoon satunnaismuuttujan X reunajakauman omalle riville alareunaan. Oikeassa pystysarakkeessa sijaitsevat satunnaismuuttujan Y reunajakauman todennäköisyydet.

## Moniulotteiset reunajakaumat
Kolmiulotteiset yhteisjakaumien todennäköisyysfunktiot satunnaismuuttujille X, Y ja Z ovat muotoa f_{XYZ}(x,y,z) ja kertymäfunktioille F_{XYZ}(x,y,z). Näiden reunajakaumia voidaan muodostaa "jättämällä pois" kaksi satunnaismuuttujaa laskemalla niiden vaikutukset todennäköisyyksiin mukaan jäljelle jäävän satunnaismuuttujan vaihteluihin. Silloin saadaan kolme reunajakaumaa: f_{X}(x), f_{Y}(y) ja f_{Z}(z).

Näiden lisäksi voidaan muodostaa vielä kolme reunajakaumaa "jättämällä pois" vain yksi satunnaismuuttuja. Näin muodostettujen reunajakaumien todennäköisyysfunktiot olisivat f_{XY}(x,y), f_{YZ}(y,z) ja f_{XZ}(x,z).

Kun todennäköisyysjakaumien ulottuvuudet kasvavat, lisääntyvät myös eri mahdollisten reunajakaumien lukumäärät.

## Lähteet