Monisto

Matematiikassa **monisto** on topologinen avaruus, joka muistuttaa paikallisesti euklidista avaruutta \R^n. Esimerkiksi käyrät ovat yksiulotteisia eli 1-monistoja, ja pinnat kaksiulotteisia eli 2-monistoja. Yksinkertaisia esimerkkejä monistoista ovat \R^n, yksikköpallo S^n ja erinäiset sileät pinnat. 

Monistot ovat kenties yksinkertaisimpia ja parhaiten tunnettuja käsitteitä geometriassa ja topologiassa. Niiden lokaali topologia on triviaali, mikä tekee niiden tutkimisesta yksinkertaisempaa. Toisaalta niiden globaali geometria voi olla hyvinkin monimutkainen. Fysiikassa ja matematiikassa monet luonnolliset objektit, kuten symmetriaryhmät ja aika-avaruus, mallinetaan monistoilla. Differentiaaligeometriassa monistoon liitetään differentioituva struktuuri, ja niin sitä voidaan tutkia analyysin menetelmin.

## Historia

Moniston käsite sai alkunsa käyrien ja pintojen teoriasta, kun matemaattisia määritelmiä täsmennettiin. Vanhoja geometrian lähteitä tarkasteltaessa on siis otettava huomioon, että esimerkiksi käsitteitä joukko-oppi, funktio, jatkuvuus ja topologia joko ei tunnettu tai ne oli määritelty epätäsmällisesti. Esimerkiksi Riemann, Gauss ja Poincaré määrittelivät monistot yhtälö­ryhmien ratkaisuina, jotka nykyisen terminologian mukaan ovat *alimonistoja*. Tämä näkyy vanhoissa differentiaaligeometrian kirjoissa (esim. ). Klassiset monistot olivat usein polynomisten yhtälöiden ratkaisuja ja niin ollen niin kutsuttuja algebrallisia varistoja, joita tutkitaan algebrallisessa geometriassa. Vanhin lähde, jossa monisto on määritelty kutakuinkin nykyiseen tapaan, on Whiteheadin ja Veblenin kirjasta vuodelta 1936 . Myöhemmin Whitney osoitti, että monet aikaisemmat määritelmät olivat ekvivalentteja Whiteheadin ja Veblenin määritelmän kanssa. Historian aikana syntyneistä epätäsmällisyyksistä seurasi, että useita vanhoja lauseita on jouduttu todistamaan uudelleen ja tarkentamaan niissä esiintyviä oletuksia.

## Määritelmä

Monistoja voidaan luokitella sen mukaan, minkälainen ja kuinka monimutkainen niiden rakenne on. Tällä tavoin saadaan erilaisia monistojen luokkia, joilla kullakin on oma teoriansa.

### Topologinen monisto
Topologinen avaruus on **topologinen n-monisto**, jos

* avaruuden topologialla on numeroituva kanta,
* avaruus on Hausdorffin avaruus ja
* avaruus on lokaalisti homeomorfinen avaruuden \R^n kanssa.

Lokaali homeomorfisuus avaruuden \R^n kanssa tarkoittaa sitä, että jokaisella n-moniston pisteellä on jokin ympäristö, joka on homeomorfinen avaruuden \R^n kanssa. Koska itse avaruus \R^n on homeomorfinen minkä tahansa avaruuden \R^n avoimen pallon kanssa, voidaan ehto 3. korvata yhtäpitävällä ehdolla: avaruus on lokaalisti homeomorfinen avaruuden \R^n avoimen pallon kanssa.

Toinen ekvivalentti tapa määritellä topologinen monisto juontuu Whiteheadilta ja Vebleniltä . Oletetaan että M on joukko. Määritellään joukon M topologisen moniston struktuuriksi laskennallinen joukko X:n alijoukkoja U_i, missä i \in \N, ja bijektiivisiä kuvauksia f_i:U_i \to \R^n, jotka toteuttavat seuraavat kolme aksioomaa. 

* Joukot  f_i(U_j \cap U_i) \subset \R^n  ovat avoimia kaikille i,j \in \N. Huomioi, että tyhjä joukko on määritelty avoimeksi.
* Kuvaukset ovat yhteensopivia: f_j \circ f_i^{-1}: f_i(U_j \cap U_i) \to \R^n ovat jatkuvia kaikille i,j \in \N.
* Joukot U_i muodostavat joukon X peitteen, eli \cup_{i \in \N} U_i = X.

Funktioita f_i kutsutaan koordinaatti­funktioiksi, ja joukkojen  U_i sanotaan muodostavan kartaston. Kuvaukset f_j \circ f_i^{-1} puolestaan ovat koordinaattimuunnoksia. Koordinaattifunktiot indusoivat M:lle topologian, joka on numeroituva Hausdorffin avaruus . Kokonaislukua n \in \N edellisessä määritelmässä kutsutaan moniston ulottuvuudeksi, ja se on yksinkertaisin topologinen invariantti monistolle.

Tämä määritelmä yleistyy moniin muihin struktuureihin. Keskeistä on jatkuvien kuvausten f: A \to \R^n kokoelma, jossa A,B \subset \R^n ovat avoimia. Jatkuvia kuvauksia voi yhdistää, jos niiden arvo- ja määrittelyjoukot ovat yhteensopivia. Näin saadaan niin kutsuttusemiryhmä (ks. esimerkiksi ). Koordinaattifunktiot ja kartastot eivät kuitenkaan ole yksikäsitteisiä; samalle monistolle voi antaa eri kokoelman koordinaattifunktioita. Jokainen kartasto indusoi topologian, ja jos kaksi kartastoa indusoi saman topologian, molemmat struktuurit ovat ekvivalentteja. Topologisia monistoja voidaan kutsua ekvivalenteiksi, jos ne ovat homeomorfisia topologisina avaruuksina.

### Sileä ja differentioituva monisto

Sanomme, että M on sileä monisto, jos sille on valittu kartasto (U_i,f_i) (ks. yllä), joille oletamme, että

* Koordinaattimuunnokset f_j \circ f_i^{-1}: f_i(U_j \cap U_i) \to \R^n ovat sileitä (äärettömästi jatkuvasti derivoituvia).

Sanomme, että monisto on luokassa C^k tai C^{k,\alpha}, jos koordinaattimuunnokset kuuluvat kyseiseen luokkaan funktioina. Ensimmäisessä tapauksessa voimme myös sanoa, että monisto on k-kertaa derivoituva. 

Vaikka topologisille monistoille kartaston valinta ei aiheuttanut ongelmia, niin sileille ja differentioituville monistoille on asia toisin. Näin ollen, vaikkei niin usein eksplisiittisesti tehdä, on pidettävä mielessä että kullekin monistolle on valittu jokin kartasto. Määritelläksemme ekvivalentit sileät monistot tarvitsemme sileän kuvauksen käsitteen. Olkoon M,N sileitä monistoja, joille olemme valinneet kartastot (U_i,f_i) ja (V_j,g_j), vastaavasti. Määrittelemme, että jatkuva kuvaus h: M \to N  on sileä (tai esim. C^k), jos 

* kaikille i,j \in \N kuvaukset  g_j \circ h \circ f_i : (f_i \circ h)^{-1}(U_j) \to \R^n  ovat sileitä.

Vastaavasti määrittelemme C^k-kuvaukset ja kaikki muut vastaavat funktioluokat. Jos kuvaus h on bijektiivinen ja sen käänteiskuvaus h^{-1} on myös sileä, niin sanomme että monistot ovat diffeomorfisia (eli tietyssä mielessä ekvivalentteja).

Mielenkiintoinen kysymys on, että voiko samalla topologisella monistolla olla eri sileitä kartastoja, jotka eivät ole keskenään diffeomorfisia. Vastaus on kyllä, minkä osoitti matemaattisen yhteisön suureksi yllätykseksi . Milnor konstruoi sileän moniston, joka on homeomorfinen 7-ulotteisen pallon kanssa, mutta joka ei ole diffeomorfinen sen kanssa. Myöhemmin on löydetty suuri määrä muita esimerkkejä. Tällaista tulosta ei pystytty edes kuvittelemaan ennen täsmällistä moniston määritelmää. Maininnan arvoista on, että tätä ongelmaa ei esiinny yhdessä ja kahdessa ulottuvuudessa, jolloin topologiselle monistolle voi antaa vain yhden sileän struktuurin, diffeomorfismia vaille. Tämä on seurausta uniformisaatioteoreemasta .

### Riemannin pinta ja kompleksiset monistot

Kuten edellä, sanomme, että sileä monisto M on kompleksinen monisto, jos sen ulottuvuus on parillinen (n=2k) ja lisäksi kartastot toteuttavat seuraavat ehdot:

* Kuvaukset tulkitaan kompleksiarvoisina f_i : U_i \to \Complex^k  ja
* koordinaattimuunnokset f_j \circ f_i^{-1}: f_i(U_j \cap U_i) \to \Complex^k ovat analyyttisiä. Analyyttisyys tässä tarkoittaa sileyttä ja sitä että f_j \circ f_i^{-1} on koordinaateittain analyyttinen klassisessa mielessä.

Kokonaislukua k=n/2 sanotaan moniston kompleksiseksi ulottuvuudeksi. Jos kompleksinen ulottuvuus on yksi, eli reaalinen ulottuvuus on kaksi, niin monistoa kutsutaan Riemannin pinnaksi.

### Affiini varisto

Algebrallisessa geometriassa on samanlainen määritelmä kuin yllä, missä koordinaattimuunnokset ovat rationaalisia kuvauksia ja koordinaattijoukko \R^n korvataan jollakin varistolla V_k. Tällöin ei käytetä yllä esitetyn kaltaista topologiaa, vaan nk. Zariskin topologiaa . 

## Esimerkkejä

* Selvin esimerkki 1-monistosta on reaaliakseli. Tämän topologian (eli itseisarvometriikan määräämän metriikan antaman topologian) eräs numeroituva kanta koostuu avoimista väleistä, joiden päätepisteet ovat rationaalilukuja. Reaaliakseli on myös separoituva, sillä itse rationaaliluvut muodostavat tiheän reaaliakselin osajoukon ja rationaaliluvut muodostavat numeroituvan joukon. Lopuksi vielä avaruus on lokaalisti homeomorfinen itsensä kanssa, sillä se on homeomorfinen itsensä kanssa.

* Yleisemmin avaruus \R^n on n-monisto. 

* Pallokuori \mathbb{S}^{n-1} on yksinkertainen esimerkki ei-triviaalista monistosta. Se on n-1-monisto jos topologia peritään avaruuden \R^n tavallisesta topologiasta.

## Sileän moniston struktuureita

Tässä osiossa tarkastelemme sileälle monistolle määriteltyjä struktuureita, joita tutkitaan syvällisemmin Riemannin geometriassa. Oletamme tässä aina, että M on sileä monisto jollain sileällä kartastolla. Tarvitsemme ensin tangenttiavaruuden käsitteen.

### Tangenttiavaruus

Olkoon p \in M mielivaltainen piste. On olemassa jokin kartta (U,f), jolle p \in U. Lokaalisti tälle pisteelle määrittelemme tangenttivektorit v_U(p) \in \R^n. Kun tarkastelemme koordinaatteja f, niin v_U(p) *vastaa* suuntavektoria v_U(p) jonka kanta on pisteessä f(p). Voimme myös ajatella sitä suoran f(p)+tv, missä v \in \R_+ , nopeusvektorina.  Ongelma tosin on, että monistoilla kaiken pitäisi olla määritelty invariantisti. Mitä siis, jos ottaisimme toiset koordinaatit (V,g) samalle pisteelle. Tällöin sanomme, että vektorit v_V(p) ja v_U(p) ovat ekvivalentteja, jos


v_V(p) = D(g\circ f)v_U(p).


Tässä oikeanpuoleinen derivaatta on funktion g\circ f derivaatta lineaarisena kuvauksena. Näin kullekin moniston pisteelle on yksi ja vain yksi tangenttiavaruus, jota merkitään T_pM, joka on isomorfinen \R^n:n kanssa. Edellisestä määritelmästä on mahdollista määritellä sileä tangenttimonisto, joka sisältää kaikki tangenttiavaruudet T_pM yhteen, ja sitä merkitään TM . Tangenttiavaruus on esimerkki vektorikimpusta. Moniston karttakuvaukset indusoivat karttakuvaukset seuraavasti. Olkoon (U_i,\phi_i) kartasto monistolla M. Sitten määrittele


V_i = U_i \times \R^n,


ja translaatiokuvaukset \phi_{ij}: U_i \cap U_j \times \R^n \to U_i \cap U_j \times \R^n on annettu koordinaateissa kaavalla


(m,v) \in U_i \cap U_j \times \R^n  \to (\phi^{-1}_i \circ \phi_{j}, D(\phi_i \circ \phi_{j}^{-1})v).


Nyt jos määrittelemme topologisen avaruuden E = \sqcup_\sim  U_i \times \R^n, missä samaistamme pisteet, jotka vastaavat toisiaan jollain translaatiokuvauksella. Tällöin inkluusiot U_i \times \R^n \to E ovat karttakuvauksia, ja lukija voi tarkistaa vektorikimpun aksioomat.

### Riemannin monisto

Sileä monisto on Riemannin monisto, jos voimme määritellä sileän bilineaarisen positiivisesti definiitin tensorikentän, eli jokaisessa pisteessä on määritelty kuvaus 

g:T_pM \times T_pM \to \R,

joka toteuttaa seuraavat ehdot.

* Kuvaus g on sileä, kun sen ajattelee kuvauksena tangenttimonistolla TM, ks. .

* Kuvaus on bilineaarinen: g(aX+bY,cZ+dW)=acg(X,Z)+bcg(Y,Z) + adg(X,W) + bdf(Y,W), \forall X,Y,Z,W \in T_p M.

* Kuvaus on positiivisesti definiitti: g(X,X) \geq 0, \forall X \in T_p M ja  g(X,X)=0 \rightarrow X = 0 .

* Kuvaus on symmetrinen: g(X,Y)=g(Y,X), \forall X,Y \in T_pM

Riemannin monistoille voidaan määritellä etäisyysfunktio, ja siten niistä tulee metrisiä avaruuksia. Jos pudotamme oletuksen, että metriikka g on positiivisesti definiitti saamme semi-definiitit riemannin monistot. Näistä tärkeimmät ovat Lorenzin monistoja, jotka mallintavat yleisen suhteellisuusteorian aika-avaruutta, ja siten koko universumia. Tällöin metriikkaan liittyvä kaarevuus kuvaa painovoimaa Einsteinin yhtälöitten kautta.

### Symplektinen monisto

Symplektinen monisto on Riemannin monisto, jolle voidaan määritellä sileä kuvaus

\omega:T_pM \times T_pM \to \R,

joka toteuttaa seuraavat ehdot.

* Kuvaus \omega on sileä, kun sen ajattelee kuvauksena tangenttimonistolla TM, ks. .

* Kuvaus on bilineaarinen: \omega(aX+bY,cZ+dW)=ac\omega(X,Z)+bc\omega(Y,Z) + ad\omega(X,W) + bd\omega(Y,W), \forall X,Y,Z,W \in T_p M.

* Kuvaus on antikommutatiivinen: \omega(X,Y)=-\omega(Y,X), \forall X,Y \in T_pM

* Tekninen oletus, että kuvaus on eidegeneroituva, eli ei ole olemassa tangenttivektoria X \in T_pM, jolle kaikille Y \in T_pM pätee \omega(X,Y)=0.

Tärkein esimerkki symplektisestä monistosta on mielivaltaisen sileän moniston tangenttiavaruus TM. Tämä on keskeisessä roolissa, kun ratkaistaan epälineaarisia ensimmäisen asteen osittaisdifferentiaaliyhtälöitä nk. karakteristika-menetelmällä. Symplektiset monistot ovat keskeisessä asemassa Hamiltonisessa mekaniikassa.

### Melkein kompleksinen monisto

Melkein kompleksinen monisto on sileä monisto, jolle voidaan määritellä sileä kuvaus 

J:T_pM \to T_pM ,

joka toteuttaa seuraavat oletukset.

* Kuvaus J: TM \to TM on sileä, ks. .

* Kuvaus on lineaarinen: J(aX+bY) = aJ(X)+bJ(Y), \forall X,Y \in T_p M.

* Kuvaus toteuttaa: J^2 = -I, missä I on identiteettikuvaus (kansan kielellä yksikkömatriisi).

Jokainen kompleksinen monisto on melkein kompleksinen, mutta ei toisinpäin. Melkein kompleksit monistot ovat luonnollisia objekteja, jotka yleistävät kompleksista geometriaa. Lisäksi tensorin J avulla voidaan ilmaista analyyttiset ja anti-analyyttiset vektorikentät ja funktiot.

## Lähteet

## Aiheesta muualla
* https://tuhat.halvi.helsinki.fi/portal/files/28298386/Teemu_Saksalan_gradu_20022013.pdf