Nabla

∇
Nabla-symboli



**Nabla** on differentiaalilaskennassa käytetty, kärjellään seisovan tasakylkisen kolmion muotoinen symboli \nabla (∇). Sillä voidaan merkitä skalaarifunktion (esim. lämpötila) ja vektorifunktion (esim. sähkökenttä, jolla on **suunta)** gradienttia sekä vektorifunktion divergenssiä tai roottoria.

Nimi nabla johtuu erään harppua muistuttavan soittimen kreikankielisestä nimestä, joka on lainattu hepreasta. Symboli muistuttaa muodoltaan tätä soitinta.

## Merkitykset

Kolmiulotteisessa karteesisessa koordinaatiossa \scriptstyle \mathbb{R}^3, jonka koordinaatit ovat (*x*, *y*, *z*), nabla määritellään osittaisderivaattojen avulla seuraavasti:
:\nabla = {\partial \over \partial x} \mathbf{i}  + {\partial \over \partial y} \mathbf{j} + {\partial \over \partial z} \mathbf{k},
missä \scriptstyle \{\mathbf{i},  \mathbf{j},\mathbf{k} \}  ovat x-, y- ja z-akselien suuntaiset yksikkövektorit. Määritelmä voidaan kuitenkin yleistää kuinka moniulotteiseen euklidiseen avaruuteen tahansa.

Vaikka \scriptstyle {\partial \over \partial x}, \scriptstyle {\partial \over \partial y} ja \scriptstyle {\partial \over \partial z} ovat funktion osittaisderivaattoja tarkoittavia operaattoreja, niitä voidaan määritelmissä muodollisesti käsitellä ikään kuin ne olisivat kertoimina esiintyviä lukuja ja samoin nablaa ikään kuin se olisi vektori.

### Gradientti

Kun nablasymboli esiintyy avaruudessa \scriptstyle \mathbb{R}^3 määritellyn funktion edessä, se tarkoittaa funktion gradienttia, joka määritellään seuraavasti:

: \mbox{grad}\, f = \nabla f = {\partial f \over \partial x} \mathbf{i} + {\partial f \over \partial y} \mathbf{j} + {\partial f \over \partial z} \mathbf{k}.

Funktion *f* gradientti on vektorifunktio, joka osoittaa siihen suuntaan, jossa *f* kasvaa nopeimmin eli sen derivaatta tähän suuntaan saa maksimiarvonsa, ja sen suuruus on tämän funktion muuttumisnopeus kyseisessä suunnassa.  Havainnollisena esimerkkinä voidaan ajatella funktiota *f*, joka tarkoittaa maaston korkeutta maan päällä pisteessä, jonka koordinaatit ovat (*x*,*y*).  Tämän funktion gradientti osoittaa tällöin, missä suunnassa mäki on jyrkin ja kuinka suuri on sen kaltevuuskulman tangentti.

### Divergenssi

Vektoriarvoisen funktion eli vektorikentän divergenssi voidaan muodollisesti määritellä nablan ja itse funktion pistetulona. Jos funktio on 

 \vec v = v_x \mathbf{i}  + v_y \mathbf{j} + v_z \mathbf{k} ,

sen divergenssi on:
:\mbox{div}\,\vec v = \nabla \cdot \vec v = {\partial v_x \over \partial x} + {\partial v_y \over \partial y} + {\partial v_z \over \partial z} .

Divergenssi on siis skalaarifunktio, samoin kuin vektorien pistetulokin on skalaari. Divergenssi ilmoittaa käytännössä, kuinka voimakkaasti vektorifunktio kasvaa tai vähenee vektorin suuntaan mentäessä.

### Roottori

Avaruudessa \scriptstyle \mathbb{R}^3 määritellyn vektoriarvoisen funktion roottori voidaan muodollisesti määritellä nablan ja funktion ristitulona.  Funktion

\vec{v}(x, y, z) = v_x\mathbf{i}  + v_y\mathbf{j} + v_z\mathbf{k} 

roottori on siis:
: \mbox{curl}\;\vec v = \nabla \times \vec v = \left( {\partial v_z \over \partial y} - {\partial v_y \over \partial z} \right) \mathbf{i} + \left( {\partial v_x \over \partial z} - {\partial v_z \over \partial x} \right) \mathbf{j} + \left( {\partial v_y \over \partial x} - {\partial v_x \over \partial y} \right) \mathbf{k}.

Funktion roottori on siis toinen vektoriarvoinen funktio. Se osoittaa, mihin suuntaan ja kuinka voimakkaasti alkuperäinen funktio on pyörteinen.

Määritelmä voidaan esittää lyhemmin kolmirivistä determinanttia muistuttavassa muodossa:
: \nabla \times \vec v = \left|\begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[2pt] {\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\[2pt] v_x & v_y & v_z \end{matrix}\right|

Fysiikassa sekä divergenssi- että roottorioperaattorit esiintyvät muun muassa Maxwellin yhtälöissä.

### Laplacen operaattori

Laplacen operaattori on skalaariarvoinen operaattori, jota voidaan soveltaa sekä skalaari- että vektoriarvoisiin funktioihin.  Se määritellään seuraavasti:

: \Delta = {\partial^2 \over \partial x^2} + {\partial^2 \over \partial y^2} + {\partial^2 \over \partial z^2}.

Sekin voidaan esittää myös nablan avulla:  

:\Delta = \nabla \cdot \nabla = \nabla^2.

Laplacen operaattori esiintyy matemaattisessa fysiikassa monissa yhteyksissä kuten Laplacen yhtälössä, yleisessä aaltoyhtälössä ja Schrödingerin yhtälössä.

## Laskusääntöjä
Olkoon f, g:\mathbb R^3\to\mathbb R skalaarifunktioita sekä \vec A, \vec B: \mathbb R^3\to\mathbb R^3 vektorikenttiä siten, että jokainen niistä ovat derivoituvia ja niiden osittaisderivaatat ovat jatkuvia. Tällöin seuraavat nablan laskusäännöt ovat voimassa:

# \nabla(fg)=f\nabla g+g\nabla f
# \nabla\cdot\left(f\vec A\right)=(\nabla f)\cdot\vec A+f\left(\nabla\cdot\vec A\right)
# \nabla\times\left(f\vec A\right)=(\nabla f)\times\vec A+f\left(\nabla\times\vec A\right)
# \nabla\cdot\left(\vec A\times\vec B\right)=\left(\nabla\times\vec A\right)\cdot\vec B-\vec A\cdot\left(\nabla\times\vec B\right)
# \nabla\times\left(\vec A\times\vec B\right)=\left(\nabla\cdot\vec B\right)\vec A+\left(\vec B\cdot\nabla\right)\vec A-\left(\nabla\cdot\vec A\right)\vec B-\left(\vec A\cdot\nabla\right)\vec B
# \nabla\left(\vec A\cdot\vec B\right)=\vec A\times\left(\nabla\times\vec B\right)+\vec B\times\left(\nabla\times\vec A\right)+\left(\vec A\cdot\nabla\right)\vec B+\left(\vec B\cdot\nabla\right)\vec A

Lisäksi, mikäli f:n ja \vec A:n toisen kertaluvun osittaisderivaatat ovat jatkuvia, pätevät myös seuraavat säännöt:

#   \nabla\cdot\left(\nabla\times\vec A\right)=0 (Roottorin divergenssi on aina nolla.) 
#  \nabla\times\left(\nabla f\right)=\vec 0 (Gradientin roottori on aina nollavektori.)
#  \nabla\times\left(\nabla\times\vec A\right)=\nabla\left(\nabla\cdot\vec A\right)-\nabla^2\vec A

## Tietotekniikka

Unicodessa nablan koodi­arvo on U+2207.  HTML:ssä se voidaan merkitä muodossa `&amp;nabla;` ja matemaattisten kaavojen kirjoittamiseen käytetyssä LaTeX-merkintäjärjestelmässä `\nabla`.

## Lähteet

## Kirjallisuutta
*