Riemannin zeeta-funktio

Matematiikassa **Riemannin zeeta-funktio** on kompleksitason kuvaus, joka liittyy alkulukujen jakaumaan ja on siksi mielenkiintoinen mm. lukuteorian kannalta. 

## Määritelmä

Riemannin zeeta-funktio \zeta(s) on määritelty kompleksiluvuille s, joiden reaaliosa > 1,  summaksi
:\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}.
Alueessa \{s \in \mathbb{C}: \mathrm{Re~} s > 1\} tämä sarja suppenee ja zeeta-funktio on analyyttinen.  Bernhard Riemann keksi, että zeeta-funktiota voidaan analyyttisesti jatkaa meromorfiseksi funktioksi, joka on määritelty koko kompleksitasossa lukuun ottamatta pistettä 1. Tämä funktio on kyseessä Riemannin hypoteesissa.

## Integraaleja

Jos  s\in\mathbb{C}\setminus\{1\} pätevät kaavat
: \zeta(s) = \frac{2^{s-1}}{s-1}-2^s\int\limits_0^{\infty}\frac{\sin(s\arctan t)}{(1+t^2)^\frac{s}{2}\ (\mathrm{e}^{\pi\,t}+1)}\,\mathrm{d}t
 
ja
: \zeta(s)= \frac{1}{s-1} + \frac12+2\int\limits_0^\infty\frac{\sin(s\arctan t)}{(1+t^2)^\frac{s}{2}\ (\mathrm{e}^{2\,\pi\,t}-1)}\,\mathrm{d}t.

Jos  0 on
:  \int_0^\infty x^{s-1} \frac{\gamma x+\log\Gamma(1+x)}{x^2} \, dx= \frac{\pi}{\sin(\pi s)}\frac{\zeta(2-s)}{2-s} \!.

Integraali zeetafunktion derivaatalle on

: {\zeta'(s) = 2^{s-1}\left(\frac{\log 2}{s-1} -\frac{1}{(s-1)^2} + \int \limits_0^\infty \frac{2 \arctan t \cdot \cos(s \arctan t) + \log \frac{4}{1 + t^2} \cdot \sin(
    s \arctan t)}{(1 + t^2)^{\frac{s}{2}} \cdot (e^{\pi t} + 1)} \mathrm{d}t\right) }

joka pätee kaikille kompleksiluvuille paitsi kun *s*=1.

## Kaavoja jotka sisältävät zeetafunktion

:\sum_{k=2}^\infty \zeta(k) x^{k-1}=-\psi_0(1-x)-\gamma
missä *ψ*0 on digammafunktio.

:\sum_{n=2}^\infty (\zeta(n) -1) = 1
:\sum_{n=1}^\infty (\zeta(2n) -1) = \frac{3}{4}
:\sum_{n=1}^\infty (\zeta(2n+1) -1) = \frac{1}{4}
:\sum_{n=2}^\infty (-1)^n(\zeta(n) -1) = \frac{1}{2}
:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)-1}{2^{2n}} = \frac16

:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)-1}{4^{2n}} = \frac{13}{30}-\frac{\pi}{8}

:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)-1}{8^{2n}} = \frac{61}{126}-\frac{\pi}{16}(\sqrt2+1)

:
\sum_{n=1}^{\infty}(\zeta(4n)-1) = \frac78-\frac{\pi}{4}\left(\frac{e^{2\pi}+1}{e^{2\pi}-1}\right)

:
\log 2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)-1}{n}

:
\log \pi=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(2(\tfrac32)^n-3)(\zeta(n)-1)}{n}.


Sarjoja Eulerin vakiolle:
:\sum_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{\zeta(n)}{n} = \gamma
:\sum_{n=2}^\infty \frac{\zeta(n) - 1}{n} = 1 - \gamma
:\sum_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{\zeta(n)-1}{n} = \ln2 + \gamma - 1
: \sum_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{\zeta(n)}{n2^{n-1}} = \gamma - \log \frac{4}{\pi} 
:\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n+1)-1}{(2n+1)\ 2^{2n}} = 1+\log \frac{2}{3}-\gamma.

Sarja Catalanin vakiolle:

: \frac{1}{16}\sum_{n=1}^\infty (n+1)\ \frac{3^n-1}{4^n}\ \zeta(n+2) = G .

:\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n} t^{2n} \left[\zeta(2n)-1\right] =
\frac{t^2}{1+t^2} + \frac{1-\pi t}{2} - \frac {\pi t}{e^{2\pi t} -1} 

:\sum_{k=0}^\infty \frac {\zeta(k+n+2)-1}{2^k} 
=\left(2^{n+2}-1\right)\zeta(n+2)-1

:\sum_{k=0}^\infty {k+\nu+1 \choose k} \left[\zeta(k+\nu+2)-1\right] 
= \zeta(\nu+2)

:\sum_{k=0}^\infty {k+\nu+1 \choose k+1} \left[\zeta(k+\nu+2)-1\right] 
= 1

:\sum_{k=0}^\infty (-1)^k {k+\nu+1 \choose k+1} \left[\zeta(k+\nu+2)-1\right] 
= 2^{-(\nu+1)} 

:\sum_{k=0}^\infty (-1)^k {k+\nu+1 \choose k+2} \left[\zeta(k+\nu+2)-1\right] 
= \nu \left[\zeta(\nu+1)-1\right] -  2^{-\nu}

:\sum_{k=0}^\infty (-1)^k {k+\nu+1 \choose k} \left[\zeta(k+\nu+2)-1\right] 
= \zeta(\nu+2)-1 -  2^{-(\nu+2)}

## Zeetafunktion arvoja
Zeetafunktio saa seuraavia arvoja eri kokonaisluvuilla:

:\zeta(2)= \frac{\pi ^2}{6}

:\zeta(4)= \frac{\pi ^4}{90}

:\zeta(6)= \frac{\pi^ 6}{945}

:\zeta(8)= \frac{\pi^8}{9450}

:\zeta(10)= \frac{\pi ^{10}}{93555}

## Katso myös
* Zeeta-funktio

## Lähteet

## Kirjallisuutta
*