Beerin ja Lambertin laki

**Beerin ja Lambertin laki** on spektroskopiassa havaittu laki, jonka mukaan sähkömagneettisen säteilyn absorboituminen riippuu absorboivan aineen määrästä eksponentiaalisesti. Lain avulla voidaan esimerkiksi selvittää väriaineiden pitoisuuksia liuoksessa spektrofotometria hyväksi käyttäen. Laista käytetään myös nimiä **Beerin laki**, **Lambertin–Beerin laki** ja **Beerin–Lambertin–Bouguer’n** laki.

## Yhtälöt

Beerin ja Lambertin laki esitetään tavallisesti muodossa
*A*&nbsp;=&nbsp;*&epsilon;&nbsp;b&nbsp;c*, missä *A* on absorbanssi, *&epsilon;* molaarinen absorptiokerroin, *b* näytteen paksuus ja *c* absorboivan aineen konsentraatio. Absorbanssi on *A*&nbsp;=&nbsp;&minus;lg&nbsp;*T*, missä *T* on transmittanssi eli näytteestä läpi päässeen säteilyn intensiteetti *I* jaettuna säteilyn alkuperäisellä intensiteetillä *I*0 (intensiteetin sijasta pitäisi oikeastaan puhua spektrisestä säteilytehosta *P*&lambda;). Beerin ja Lambertin lain toinen esitysmuoto on:
:T = \frac{I}{I_0} = 10^{-\varepsilon b c}.

Lain mukaan läpi pääsevän valon voimakkuus pienenee eksponentiaalisesti absorboivan aineen määrän kasvaessa. Valosta pidättyy samanpaksuisissa kerroksissa yhtä suuri osuus: jos valon voimakkuus pienenee ensimmäisessä kerroksessa 70&nbsp;prosenttiin alkuperäisestä, seuraavan samanlaisen kerroksen jälkeen valosta on jäljellä 49&nbsp;prosenttia, sillä 0,7&nbsp;&middot;&nbsp;0,7&nbsp;=&nbsp;0,49. Jälkimmäisessä kerroksessa absorboituu vähemmän fotoneja.

Beerin ja Lambertin lain tavallisin esitysmuoto voidaan laskea seuraavista lähtökohdista, jotka jo sinänsä sisältävät lain periaatteet: Kun säteily kulkee infinitesimaalisen lyhyen matkan d*x* läpi, sen intensiteetti pienenee d*I*:llä. Absorption määrä on suoraan verrannollinen absorboivan aineen määrään eli konsentraatioon *c* ja kerroksen paksuuteen d*x* sekä Fermin kultaisen säännön perusteella myös säteilyn intensiteettiin. Siten voidaan kirjoittaa: d*I*&nbsp;=&nbsp;&minus;*kcI*&nbsp;d*x*, missä *k* on verrannollisuuskerroin. Saatu differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista erottelemalla muuttujat ja integroimalla:
:\int_{I_0}^{I}\frac{\mathrm{d}I}{I} = -\int_{0}^{b}kc~\mathrm{d}x.
Jos absorboiva aine on tasaisesti jakautunut, konsentraatio on vakio ja saadaan:
:\ln\frac{I}{I_0} = -kbc.
Luonnollinen logaritmi voidaan vaihtaa kymmenkantaiseksi. Jäljelle jäävä vakio sulautetaan absorptiokertoimeen yhtälön lg&nbsp;*e*&nbsp;&middot;&nbsp;*k*&nbsp;=&nbsp;*&epsilon;* mukaisesti:
:\ln\frac{I}{I_0} = \frac{\lg\frac{I}{I_0}}{\lg e} = -kbc~\Leftrightarrow~A=-\lg\frac{I}{I_0} = \lg e~k \cdot b c = \varepsilon b c.

## Käyttö
Beerin ja Lambertin lakia käytetään absorboivien aineiden pitoisuuksien selvittämiseen. Tutkittavan aineen absorbansseja mitataan ensin tunnetuilla pitoisuuksilla. Piirtämällä nämä absorbanssit pitoisuuden funktiona saadaan vertailukäyrä, joka on Beerin ja Lambertin lain pätevyysalueella suora. Tällä alueella mittauspisteitä tarvitaan vain muutama. Tuntemattoman näytteen pitoisuus voidaan katsoa vertailukäyrästä sen jälkeen, kun näytteen absorbanssi on mitattu samoissa olosuhteissa. Lain pätevyysalueella voidaan pitoisuuden selvittämiseksi käyttää myös yhtälöä *A*&nbsp;=&nbsp;*&epsilon;&nbsp;b&nbsp;c*. Mittaukseen on valittava sellainen aallonpituus, jolla näytteessä olevat epäpuhtaudet tai muut aineet eivät absorboi merkittävästi. Aallonpituuden tulisi myös olla leveän absorptiohuipun kohdalla, jotta mittausaallonpituuden pieni vaihtelu ei vaikuta tulokseen merkittävästi.

Absorbansseja voidaan laskea yhteen. Jos näytteessä on aineet 1 ja 2, näytteen absorbanssi on aineiden absorbanssien summa: *A*&nbsp;=&nbsp;*b*&nbsp;(*&epsilon;*1&nbsp;*c*1&nbsp;+&nbsp;*&epsilon;*2&nbsp;*c*2). Konsentraatioiden selvittämiseksi tulisi mitata absorbanssit kahdella eri aallonpituudella siten, että näillä aallonpituuksilla toinen aine absorboi mahdollisimman paljon ja toinen mahdollisimman vähän. Jotta syntyvä yhtälöpari voidaan ratkaista, täytyy lisäksi tietää aineiden absorptiokertoimet käytetyillä aallonpituuksilla. Ne voidaan selvittää vertailukäyrän kulmakertoimesta. Absorbansseja yhteen laskemalla voidaan periaatteessa analysoida useammankin aineen seos, mutta mittaustarkkuus on tällöin huonompi.

## Molaarinen absorptiokerroin
Molaarinen absorptiokerroin *&epsilon;* (aikaisemmin ”ekstinktiokerroin” tai ”absorptiviteetti”) on sitä suurempi, mitä voimakkaammin säteily absorboituu. Absorptiokerroin riippuu paitsi absorboivasta aineesta myös säteilyn aallonpituudesta, lämpötilasta sekä liuosmittauksissa käytettävästä liuottimesta. Väriaineiden absorptiokertoimet ovat yleensä suuria, joten vähäisetkin ainemäärät aiheuttavat liuokseen voimakkaan värin. Pieniä metalli-ionien pitoisuuksia voidaankin määrittää spektrofotometrisesti, kun ionien annetaan muodostaa värillinen kompleksi.

Näyteastian eli kyvetin pituus ilmoitetaan yleensä senttimetreinä (cm) ja liuoksen konsentraatio mooleina kuutiodesimetriä kohti (mol/dm3). Tällöin absorptiokertoimen yksiköksi tulee mol&minus;1&nbsp;cm&minus;1&nbsp;dm3. Yksikkönä voi olla myös cm2&nbsp;mol&minus;1. Absorptiokerroin voidaan siten tulkita myös mooliseksi absorptiopoikkipinta-alaksi. Jos pitoisuus ilmoitetaan grammoina litraa kohden (g/l), absorptiokerrointa voidaan merkitä *a*:lla. Massapitoisuuksia käytetään varsinkin silloin, kun aineen moolimassaa ei tunneta.

Yhtä taajuutta (tai aallonpituutta) vastaavan absorptiokertoimen ilmoittaminen ei välttämättä anna hyvää kuvaa eri taajuuksille levittäytyvän absorptiovyön voimakkuudesta. Kuvaavampi suure saadaan integroimalla absorptiokertoimet absorptiovyön taajuusalueella:
:\alpha = \int \varepsilon(\nu)~\rm{d}\nu.
Suure &alpha; vastaa pinta-alaa taajuuden funktiona piirretyssä absorptiokerroinkuvaajassa.

## Lain pätevyys
Suurilla konsentraatioilla konsentraatio–absorbanssi-kuvaaja taipuu konsentraatioakselia kohti eli absorbanssi on pienempi kuin sen Beerin ja Lambertin lain mukaan pitäisi olla. Laki soveltuu siten vain laimeille liuoksille. Koska väliainekin voi absorboida säteilyä, väliaineen spektri mitataan erikseen ilman näytettä ja näin saatu tausta vähennetään näytteen spektristä.

Laki pätee vain monokromaattiselle eli yhdestä taajuudesta koostuvalle säteilylle. Käytännössä säteilyn taajuusalueen on siis oltava kapea verrattuna spektrin viivanleveyksiin. Laki ei päde myöskään, jos säteily on hyvin voimakasta.

Beerin ja Lambertin lakia käytettäessä on otettava huomioon myös se, että aine voi reagoida. Esimerkiksi kromaatti- (CrO42&minus;) ja dikromaatti-ionit (Cr2O72&minus;), joiden välillä on vedessä pH:sta riippuva tasapaino, absorboivat säteilyä eri tavalla. Myös näytteen fluoresenssi- tai fosforesenssisäteily sekä valon siroaminen tai kyvetin pinnasta heijastuminen aiheuttavat poikkeamaa Beerin ja Lambertin laista.

## Historia
Ranskalainen Pierre Bouguer julkaisi valoa koskevia tutkimuksia vuonna 1729 kirjassaan *Essai d’optique sur la gradation de la lumière*. Hän käsitteli ajatusta siitä, että samanpaksuiset kerrokset pidättäisivät aina yhtä paljon säteilyä. Bouguer kuvaa, kuinka hän ohjasi 32 kynttilän tehoa vastaavan valomäärän kahden lasilevyn läpi ja jäljelle jäi 16 kynttilän teho. Kun hän ohjasi tämän valomäärän uudelleen kahden samanlaisen lasilevyn läpi, valo ei kuitenkaan hävinnyt. Vielä kymmenenkin lasilevyn jälkeen valoa oli jäljellä noin yhtä kynttilää vastaava määrä. Bouguer päätteli, että valon voimakkuus pienenee geometrisen sarjan eikä aritmeettisen sarjan mukaisesti. Samanpaksuinen kerros absorboi siis aina suhteellisesti yhtä paljon valoa.

Saksalainen Johann Heinrich Lambert ilmaisi Bouguer’n havaitseman asian matemaattisesti vuonna 1760 teoksessaan *Photometria, sive de mensura et gradibus luminis, colorum et umbrae*. Lambert tunsi Bouguer’n tulokset, mutta hänen lähestymistapansa oli teoreettisempi kuin Bouguer’lla.

Saksalainen August Beer julkaisi valon absorptiota käsittelevän tutkimuksensa *Annalen der Physik und Chemie* -lehdessä vuonna 1852. Hän käytti fotometrissään valonlähteenä kahta tarkasti säädettyä öljylamppua ja suodattimena punaista lasia. Säteiden voimakkuuksien mittaamisessa hän hyödynsi polarisaatiota Nicolin prismojen avulla. Beer tutki absorptiota useiden eri suolojen liuoksilla. Eräässä työssä hän täytti yhden desimetrin pituisen putken kuparisulfaattiliuoksella, jossa oli yksi tilavuusyksikkö väkevää liuosta ja yhdeksän tilavuusyksikköä vettä (1:9). Lisäksi hän täytti kahden desimetrin pituisen putken puolta laimeammalla liuoksella (1:19). Molemmissa tapauksissa hän sai mittaustarkkuuden rajoissa saman absorptiokertoimen.

Beer totesi mittaustensa pohjalta, että läpi pääsevän valon voimakkuus riippuu eksponentiaalisesti absorboivan aineen määrästä. Hän viittaa artikkelissaan lähinnä aineen määrään eikä konsentraatioon, joka esiintyy Beerin ja Lambertin lain nykymuodossa. Ranskalainen F. Bernard julkaisi Beeristä riippumatta samanlaisia tuloksia muutamaa kuukautta myöhemmin vuonna 1852 *Annales de chimie et physique* -lehdessä.

## Lähteet
*IUPAC Compendium of Chemical Terminology (1997)
*Peter Atkins & Julio de Paula: *Atkins’ Physical Chemistry*, 7. painos, Oxford University Press (2002). .
*Heikki Saarinen & Lauri H.&nbsp;J. Lajunen: *Analyyttisen kemian perusteet*, Kemian Kustannus (1998). .
*Dorothy R. Malinin & John H. Yoe: ”Development of the Laws of Colorimetry”, *Journal of Chemical Education*, 38, s.&nbsp;129 (1951).