Kertymäfunktio

**Kertymäfunktio**  eli **jakaumafunktio**  (, **cdf**) on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä reaaliarvoisen satunnaismuuttujan todennäköisyyden jakautumista kuvaava funktio. Kertymäfunktion F(x) arvot ovat todennäköisyyksiä tapahtumissa, jossa satunnaismuuttuja X saa reuna-arvon x tai sitä pienempiä arvoja eli \scriptstyle F(x)=P(X \le x). Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa kertymäfunktio määritellään tiheysfunktion määrätyn integraalin avulla ja diskreetillä satunnaismuuttujalla pistetodennäköisyyksien summana. Kertymäfunktio on aina oikealta jatkuva, vaikka tiheysfunktio tai pistetodennäköisyysfunktio olisi epäjatkuva. 

## Määritelmä
Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio määritellään
:F(x)=P(X \le x)=\sum_{k \le x}p(k), 
missä p(k) on pistetodennäköisyysfunktion arvo ylärajaa x pienemmillä satunnaismuuttujan arvoilla.

Jatkuvan satunnaismuuttujan kertymäfunktio määritellään määrättynä integraalina ylärajan x suhteen
:F(x)=P(X \le x)=\int_{-\infty}^x f(t) dt, 
missä f(x) on satunnaismuuttujan tiheysfunktio. Tiheysfunktiota havainnollistetaan ajattelemalla sen arvoja "todennäköisyysmassan" korkeutena, missä suuri arvo merkitsee yleistä satunnaismuuttujan arvoa. Kertymäfunktion tapauksessa voidaan edelleen ajatella, että sen arvo tarkoittaisi "todennäköisyysmassan" kokonaismäärää F(a) kohdassa a ja sitä pienemmillä satunnaismuuttujan arvoilla.

Jos tiheysfunktio on jatkuva, saadaan se myös derivoimalla kertymäfunktio muuttujan suhteen
:F'(x)=f(x). 

## Merkintöjä
Jos halutaan korostaa kertymäfunktion satunnaismuuttujaa, merkitään satunnaismuuttuja usein alaindeksiksi F_X(x) ja F_Y(x). Toisinaan merkitään kertymäfunktio kreikkalaisella aakkosella \Phi(x) (lue: "fii"), jos tiheysfunktio on ollut \phi(x) (pieni kirjain).

## Esimerkkejä

### Diskreetti satunnaismuuttuja
Diskreetin satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktiolla saa 10 nollasta eroavaa arvoa
:P(X=x_i)=p(x_i)=f(x_i),
kun i=1,...,10, jotka ovat yhtä suuret eli p(x_i)=\tfrac{1}{10}. Kertymäfunktio saadaan arvoa *x* pienempien kohtien todennäköisyyksien summasta eli
:F(x)=P(X \le x) = \sum_{x_i \le x} p_i = p_1+p_2+...+p_k. 
Tämän porrasfunktion arvot ovat oikealta jatkuvia ja sen kuvaaja on esitetty alla.

### Jatkuva satunnaismuuttuja
Tasaisen jakauman tiheysfunktio välillä [a,b] on 
:f(x)=\begin{cases} 
  \frac{1}{b-a},  & \mbox{jos } x \in [a,b] \\
  0, & \mbox{jos } x \notin [a,b] 
\end{cases} 
ja sen kertymäfunktioksi saadaan
:F(x)=\int_{-\infty}^x f(t) dt=\begin{cases} 
  0, & \mbox{jos } x  b .
\end{cases} 
Sen kuvaaja on alla.


Tiedosto:Uniform10 cdf.png|Diskreetti jakauma, jossa 10 yhtä todennäköistä arvoa
Tiedosto:Binomial distribution cdf sl.svg|Binomijakauman kertymäfunktio
Tiedosto:Beta distribution cdf.svg|Beta-jakaumia eri parametreilla
Tiedosto:Burr cdf.svg|Burrin jakaumia eri parametreillä
Tiedosto:Cauchy cdf.svg|Cauchyn jakaumia eri parametreillä
Tiedosto:Chi distribution CDF.png|Khi-jakaumia
Tiedosto:Chi-square cdf.svg|χ²-jakaumia
Tiedosto:Exponential cdf.svg|Eksponenttijakaumia kolmella parametrillä
Tiedosto:Frechet cdf.svg|Frechet-jakaumia eri parametreillä
Tiedosto:Gamma distribution cdf.svg|Gammajakaumia eri parametreillä
Tiedosto:Maxwell-Boltzmann distribution cdf.svg|Maxwell-Boltzmannin jakaumia eri parametreillä
Tiedosto:Generalized normal cdfs.svg|Normaalijakaumia kuudella parametriparilla
Tiedosto:Cumulative distribution function of Pareto distribution.svg|Pareto-jakamia eriparametreillä
Tiedosto:Rayleigh distributionCDF.png|Rayleigh-jakaumia eri parametreillä
Tiedosto:Uniform cdf.svg|Tasainen jakauma


## Ominaisuuksia
### Funktiona
Kertymäfunktio on kuvaus reaaliluvuilta välille [0,1], eli
:F(x): \mathbb{R} \rightarrow [0,1]. 
Jatkuvan satunnaismuuttujan kertymäfunktio on jatkuva funktio. Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio on oikealta jatkuva porrasfunktio. Jatkuvuudesta seuraa ominaisuus
:P(X
Tämä ominaisuus voidaan kirjoittaa havainnollisemmin
:P(X \le a)=P(X 
Jatkuvan satunnaismuuttujan pistetodennäköisyys eli arvo yksittäisessä pisteessä on siten nolla eli
:P(X=a)=0.
Koska kertymäfunktion arvot ovat tapahtumien todennäköisyyksiä, saa se vain arvoja väliltä
:0 \le F(x) \le 1. 
Kertymäfunktio on lisäksi monotoninen funktio, joka on ei-vähenevä eli 
:F(x_1) \le F(x_2) kun on x_1 . 
Tämän vuoksi kertymäfunktio kasvaa lopulta täyteen arvoonsa, kun ylärajaa kasvatetaan riittävästi
: \lim_{a \to +\infty} F(a) = \lim_{a \to +\infty}\int_{-\infty}^a f(x)\,dx =1.  
Kertymäfunktio alkaa nollasta jostakin arvosta *a* lähtien. Jos satunnaismuuttuja arvoalue on äärettömän laaja, voidaan tämä ilmaista
: \lim_{a \to -\infty} F(a) = \lim_{a \to -\infty}\int_{-\infty}^a f(x)\,dx =0.  

### Todennäköisyyksinä
Edellä esitelty määritelmä on eräs tapa ilmaista tapahtuma, jossa todennäköisyys lasketaan käyttämällä satunnaismuuttujan ylärajana x eli
:P(X \le x)=F(x).
Voidaan osoittaa, että sillä voidaan laskea kaikki sellaiset todennäköisyydet, jossa tapahtumat ovat välejä. Esimerkiksi, koska mielivaltaiselle satunnaismuuttujan arvolle a pätee
:P(X  
voidaan *vastatapahtuman todennäköisyys* laskea
:P(a\le X)=1-P(X  

Toisaalta, koska mielivaltaisille satunnaismuuttujan arvoille a ja b pätee
:P(X 
voidaan *välin <math>[a,b]</math> todennäköisyys* laskea
:P(a\le X \le b)=P(X\le b)-P(X 

Jos kertymäfunktio olisi määritelty toisella tavalla, olisi siihenkin voitu johtaa kaikkien muidenkin välien todennäköisyydet.


DisNormal07.svg|\scriptstyle P(X  kohdassa *x*
DisNormal10.svg|\scriptstyle P(a\le X)=1-F(a)
DisNormal05.svg|\scriptstyle P(x_1\le X \le x_2)= \scriptstyle F(x_2)-F(x_1)


## Lähteet