Permutaatiomatriisi

**Permutaatiomatriisi** on  matematiikan matriisiteoriassa eliöllinen yksikkömatriisi, jolla on täsmälleen yksi johtava alkio 1 jokaisella rivillä ja sarakkeessa ja kaikkialla muualla 0. Jokainen sellainen matriisi esittää tiettyä permutaatiota, jossa on m alkiota ja kerrottaessa toisella matriisilla, se voi tuottaa uuden matriisin, jolla on toisen matriisin rivit ja sarakkeet.

## Määritelmä

Annettu "m":n alkion permutaatio &pi; ,
:\pi : \lbrace 1, \ldots, m \rbrace \to \lbrace 1, \ldots, m \rbrace
annettu kahden rivin muodossa

:\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & m \\ \pi(1) & \pi(2) & \cdots & \pi(m) \end{pmatrix},

sen permutaatiomatriisi on *m &times; m* matriisi *P*&pi;, jonka johtavat alkiot ovate kaikkialla 0, paitsi rivillä *i*, johtava alkio &pi;(*i*) on 1. Voidaan kirjoittaa

:P_\pi = \begin{bmatrix} \mathbf e_{\pi(1)} \\ \mathbf e_{\pi(2)} \\ \vdots \\ \mathbf e_{\pi(m)} \end{bmatrix},
jossa \mathbf e_j merkitsee rivivektorin pituutta "m", jolla on 1 *j*s asemassa ja 0 kaikkialla muualla.

## Ominaisuudet

Annetut kaiksi permutaatiota &pi; ja &sigma;, joilla on "m" alkiota ja vastaavat permutaatiomatriisit 
 *P*&pi; ja *P*&sigma; 
:P_{\sigma} P_{\pi}  = P_{\pi\,\circ\,\sigma} 
Tämä jollain tapaa epätoivottu sääntö on seurausta permutaatioiden kertolaskun määritelmästä (bijektioiden rakenne) ja matriiseista ja valinnasta käyttää vektoreita \mathbf{e}_{\pi(i)} permutaatiomatriisien riveinä; jos käytetään sarakkeita niin yllä olevasta tulosta tulee 
P_{\sigma\,\circ\,\pi}, joke on yhtäsuuri alkuperäisessä järjestyksessä olevien permutaatioiden kanssa.

Koska permutaatiomatriisit ovat ortogonaalisia  matriiseja
(ts., P_{\pi}P_{\pi}^{T} = I), käänteismatriisit ovat olemassa ja voidaan kirjoittaa
:P_{\pi}^{-1} = P_{\pi^{-1}} = P_{\pi}^{T}.

Kertomalla P_{\pi} kertaa  sarakevektorilla (englanniksi column vector) **g** voidaan permutoidan vektorin rivit:
:P_\pi \mathbf{g} 
= 
\begin{bmatrix}
\mathbf{e}_{\pi(1)} \\
\mathbf{e}_{\pi(2)} \\
\vdots \\
\mathbf{e}_{\pi(n)}
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
g_1 \\
g_2 \\
\vdots \\
g_n
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
g_{\pi(1)} \\
g_{\pi(2)} \\
\vdots \\
g_{\pi(n)}
\end{bmatrix}.


Käyttämällä P_\sigma sen jälkeen kun  P_\pi on käytetty, saadaan sama tulos kuin käyttämällä suoraan P_{\pi\circ\sigma}

yhtäpitävästi yllä olevan kertolaskusäännön kanssa:
merkitään
P_\pi\mathbf{g} = \mathbf{g}', toisin sanoen 
:g'_i=g_{\pi(i)}\,
kaikilla *i*, siten 
:P_\sigma(P_\pi(\mathbf{g})) = P_\sigma(\mathbf{g}')
=
\begin{bmatrix}
g'_{\sigma(1)} \\
g'_{\sigma(2)} \\
\vdots \\
g'_{\sigma(n)}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
g_{\pi(\sigma(1))} \\
g_{\pi(\sigma(2))} \\
\vdots \\
g_{\pi(\sigma(n))}
\end{bmatrix}.


Kertomalla rivivektoria (englanniksi  row vector) **h** kertaa P_{\pi}

permutoi vektorin sarakkeet käänteis P_{\pi}:
:\mathbf{h}P_\pi
= 
\begin{bmatrix} h_1 \; h_2 \; \dots \; h_n \end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
\mathbf{e}_{\pi(1)} \\
\mathbf{e}_{\pi(2)} \\
\vdots \\
\mathbf{e}_{\pi(n)}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} h_{\pi^{-1}(1)} \; h_{\pi^{-1}(2)} \; \dots \; h_{\pi^{-1}(n)} \end{bmatrix}


Jälleen voidaan tarkistaa, että (\mathbf{h}P_\sigma)P_\pi = \mathbf{h}P_{\pi\circ\sigma}.

## Notes

Merkitään *S<sub>n</sub>*:lla symmetristä ryhmää (engl. symmetric group), 
tai permutaatioiden ryhmää {1,2,...,*n*}.  Koska nyt on  *n*! permutaatioita, on olemassa *n*! permutaatiomatriiseja. Yllä olevien kaavojen perusteella *n* &times; *n* permutaatiomatriisit muodostavat ryhmän (engl. group) yksikkömatriisin kertolaskulla.

Jos (1) viittaa identiteetti permutaatioon (yksikkö permutaatio), niin *P*(1) on yksikkömatriisi.

Permutaatiomatriisia voidaan tarkastella &sigma;:n permutaationa, kun permutaatio &sigma; on yksikkömatriisin "I" sarakkeina tai "I":n rivien permutaatioina &sigma;&minus;1.

Permutaatiomatriisi on stokastinen neliömatriisi.

Tulo "PM" saadaan kertomalla matriisia "M" permutaatiomatriisilla "P", permutoimalla "M"n rivit "i" liikkuvat riveiksi &pi;(*i*).  Päinvastoin tulo *MP* permutoi *M*:n sarakkeita.

Kuvaus *S**n* &rarr; A &sub; GL(*n*, **Z**2).  Siten, |A| = *n*!.

Permutaatiomatriisin jälki permutaation kiinnitettyjen pisteiden lukumäärä. Jos permutaatiolla on kiinteitä pisteitä, niin se voidaan kirjoittaa rengasmuodossa kuten  &pi; = (*a*1)(*a*2)...(*a**k*)&sigma; where &sigma; jos sillä ei ole kiinteitä pisteitä, silloin voidaan kirjoittaa ***e****a*1,***e****a*2,...,***e****a**k* jotka ovat permutaatiomatriisin ominaisarvot.

Ryhmäteorian pohjalta tiedetään että mikä tahansa permutaatio voidaan kirjoittaa transpoosin tulona. Sen tähden minkä tahansa permutaatiomatriisin "P" tekijät saadaan Alkeismatriisin rivitoimituksilla, jossa jokaisella on determinantti -1. Siten permutaatiomatriisin "P" determinatti on vastaavan permutaation merkki.

## Esimerkkejä
### Rivien ja sarakkeiden permutaatiot

Kun permutaatiomatriisia "P" kerrotaan matriisilla "M" vasemmalta "PM" permutoi "M":n rivit (sarakevektorin alkioilla), kun "P" kerrotaan "M":llä oikealta "MP" permutoi "M":n sarakkeet (rivivektorin alkiot):

Rivien ja sarakkeiden permutaatiot ovat esimerkkejä peilauksesta (katso alla) ja syklisistä permutaatioista (engl. cyclic permutation matrix).

### Rivien permutaatio
PErmutaatiomatriisi *P*&pi; vastaa permutaatiota :\pi=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 2 & 5 & 3 \end{pmatrix}, joten
:P_\pi 
= 
\begin{bmatrix}
\mathbf{e}_{\pi(1)} \\
\mathbf{e}_{\pi(2)} \\
\mathbf{e}_{\pi(3)} \\
\mathbf{e}_{\pi(4)} \\
\mathbf{e}_{\pi(5)} 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\mathbf{e}_{1} \\
\mathbf{e}_{4} \\
\mathbf{e}_{2} \\
\mathbf{e}_{5} \\
\mathbf{e}_{3} 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 
\end{bmatrix}.



Annetulle vektorille **g**,
:P_\pi \mathbf{g}
=
\begin{bmatrix}
\mathbf{e}_{\pi(1)} \\
\mathbf{e}_{\pi(2)} \\
\mathbf{e}_{\pi(3)} \\
\mathbf{e}_{\pi(4)} \\
\mathbf{e}_{\pi(5)} 
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
g_1 \\
g_2 \\
g_3 \\
g_4 \\
g_5
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
g_1 \\
g_4 \\
g_2 \\
g_5 \\
g_3
\end{bmatrix}.


## Selitys
Permutaatiomatriisi on aina muotoa

:\begin{bmatrix}
\mathbf{e}_{a_1} \\
\mathbf{e}_{a_2} \\
\vdots \\
\mathbf{e}_{a_j} \\
\end{bmatrix}
jossa  **e***a**i* esittää *i*:ttä basis alkeisvektoria (kuten riviä) **R**:lle '*j*, missä

:\begin{bmatrix} 
1   & 2   & \ldots & j \\
a_1 & a_2 & \ldots & a_j\end{bmatrix}
on permutaatio muoto permutaatiomatriisista.

Suorittamalla matriisikertolaskun, erityisesti muodostamalla pistetulo ensimmäisen matriisin jokaisen rivin toisen matriisin jokaisen sarakkeen kanssa. Tässä esimerkissä muodostetaan pistetulo jokaisen tämän matriisin rivin ja halutun vektorin alkioiden välille. Joka on esimerkiksi  **v**= (*g*0,...,*g*5)T, 
:**e***a**i*&middot;**v**=*g**a**i*

Siten permutaatiomatriisin tulo vektorin **v** kanssa (yllä), 
muodostaa vektorin muotoa (*g**a*1, *g**a*2, ..., *g**a**j*), ja tämä on siten **v**:n permutaatio kun sanotaan, että permutaatio on muotoa
:\begin{pmatrix} 
1   & 2   & \ldots & j \\
a_1 & a_2 & \ldots & a_j\end{pmatrix}.

Siten permutaatiomatriisit itse asiassa permutoivat vektorin alkioiden järjestyksessä kerrottaessa permutaatiomatriisit niillä.

## Lähteet
* 

### Viitteet