Uusi matematiikka

**Uusi matematiikka** ( tai *New Math*) on nimitys, jota käytettiin 1960- ja 1970-luvuilla ensin Yhdys­valloissa, myöhemmin myös useimmissa  Euroopan maissa toteutetusta varsin perusteellisesta, mutta lyhyt­aikaiseksi jääneestä koulujen matematiikan opetuksen uudistuksesta. Siihen kuului monissa maissa muun muassa joukko-opin käyttäminen keskeisenä osana matematiikan perusopetusta.

## Tausta

Vaikka matematiikka tieteenä oli 1800- ja 1900-luvuilla suuresti kehittynyt, oli sen opetus kouluissa pysynyt ainakin Yhdys­valloissa jokseenkin muuttumattomana sellaisena, miksi se 1800-luvun alussa oli vakiintunut. Opetus keskittyi tuolloin pitkälti niihin matematiikan aloihin, joita kirjanpitäjät, meri­miehet ja teknikot työssään tarvitsivat. Vuodesta 1952 lähtien kuitenkin eräät matemaatikot, opettajat ja oppi­kirjojen laatijat alkoivat laatia totutusta suuresti poikkeavia kokeilu­kursseja.  Uudistukset alkoivat saada laajempaa kannatusta varsinkin sen jälkeen, kun amerikkalaiset vuonna 1957 olivat kokeneet suoranaisen järkytyksen  Neuvosto­liiton lähetettyä avaruuteen ensimmäisen tekokuun, Sputnik 1:n. Kun Neuvosto­liiton tässä asiassa osoittaman teknisen etevämmyyden syitä alettiin pohdiskella, katsottiin koulujen matematiikan opetuksen yhä yleisemmin olevan suurten uudistusten tarpeessa. Kun Neuvosto­liitossa tunnetusti oli joukko huippu­tason
matemaatikkoja, katsottiin Yhdys­valloissakin tuolloisen kylmän sodan oloissa jo puolus­tukselli­sista syistä tarvittavan entistä suurempaa panostusta tieteelli­seen opetukseen ja väestön matema­tiikan taitojen kehittämiseen. Muutoinkin tieteellis-teknisen kehityksen vuoksi katsottiin tarvittavan entistä enemmän henkilöitä, jotka tunsivat uusia matematiikan aloja ja ymmärsivät uusia fysikaalisia teorioita kuten suhteellisuus- ja kvanttiteoriaa. Kun koulu­opetuksessa ei ollut myöskään käsitelty differentiaali- ja integraalilaskentaa, venyivät lisäksi luonnon­tieteiden yli­opisto­kurssit, sillä nämä oli opetettava alkeista lähtien.

OEEC järjesti Pariisissa vuonna 1959 seminaarin matematiikan opetuksen kehittämiseksi. Hyväksytyksi tuli Jean Dieudonnén suunnitelma, jossa keskeisenä kohtana oli synteettisen geometrian poistaminen opetus­suunnitelmasta, jotta uudemmille matematiikan aloille saataisiin tilaa. Tunnus­lauseeksi muodostuikin: *Euclid must go* (Eukleideen on mentävä).

Ranskasta alkunsa saaneessa, muihin Euroopan maihin levinneessä muodossa uudistus­liikkeen tavoitteena oli saada koulu­matematiikka mahdollisimman lähelle korkeampaa, tieteellistä matematiikkaa.

## Uudistusten sisältö

Uudessa matematiikassa opetus aloitettiin joukko-opista, jonka käsitteiden avulla matematiikan muiden alojen perus­käsitteet määriteltiin. Joukko-oppia pidettiin samalla erinomaisena malli­järjestelmänä, joka muodosti yhdistävän tekijän matematiikan eri alojen välille. Ratkaisua pidettiin systemaattisesti hyvin perusteltuna, joskin sen pedagogisesta arvosta käytiin jatkuvasti kiistaa.

Uusina aiheina tulivat koulu­opetukseen myös modulaarinen aritmetiikka, epäyhtälöt, matriisilaskenta, symbolinen logiikka, Boolen algebra ja abstrakti algebra sekä kymmenjärjestelmästä poikkeavat lukujärjestelmät. Yhdys­valloissa koulu­opetukseen sisällytettiin vasta tässä yhteydessä myös esi­merkiksi lukusuora, analyyttinen geometria ja vektorikäsite, joskin esimerkiksi Suomessa niitä oli jo aikaisemmin käsitelty koulu­matematiikassa.

## Käyttöönotto eri maissa

Koulujen matematiikan opetuksessa suoritettiin samaan aikaan suuria uudistuksia, paitsi Yhdys­valloissa, myös monissa Euroopan maissa kuten Britanniassa, Ranskassa ja Länsi-Saksassa. Britanniassa Southamptonin yliopistoon perustettiin vuonna 1962 matematiikan opetuksen kehittämiseksi projekti­ryhmä, *School Mathematics Project*. Ranskassa uudistus­suunnitelman laati André Lichnerowiczin vuonna johtama, vuonna 1967 asetettu komitea. Joukko-oppi ja moderni algebra saivat opetuksessa keskeisen sijan kaikilla koulu­asteilla, kun taas Eukleideen geometria poistettiin opetus­suunnitelmasta.

Neuvostoliitossa matematiikan opetuksessa ei toteutettu yhtä perusteellisia muutoksia, mutta sitä uudistettiin vähitellen uusien sovellusten ja akateemisten virtausten mukaisesti. A. N. Kolmogorovin johtama komitea hylkäsi uudistukset siinä muodossa kuin niitä oli läntisissä maissa ryhdytty toteuttamaan, mutta ehdotti uudistuksia koulujen 4.–10. luokkien opetus­suunnitelmiin. Esimerkiksi joukko-oppia ei komitean mukaan ollut syytä esittää järjes­telmälli­sesti, mutta geometrian opetuksessa voitiin pitkälti siirtyä transformaatiogeometriaan, jossa erilaiset geometriset muunnokset kuten yhtenevyys- ja yhdenmuotoisuuskuvaukset otettiin opetuksen pohjaksi harpilla ja viivoittimella suoritettavien konstruktioiden sijasta.

Japanissa opetus­ministeriö kannatti uutta matematiikkaa, mutta oli tietoinen siihen
liittyvistä ongelmista.

### Suomessa

1950-luvulla Suomessa oli rinnakkais­koulutus­järjestelmä (kansakoulu ja oppikoulu). Kansa­koulussa opetettiin laskentoa ja mittausoppia, oppikoulussa puolestaan matematiikkaa, joka sekin kahdella ensimmäisellä luokalla oli pää­asiassa lasku­oppia mutta kolmannesta luokasta lähtien etu­päässä algebraa ja geometriaa.

Ruotsi, Norja ja Tanska asettivat vuonna 1960 *Pohjois­maisen matematiikan opetuksen uudistamis­komitean*, PMOY (, *NKMM*, johon myös Suomi pian tuli mukaan. Komitea antoi vuonna 1967 mietintönsä, jossa uudistuksen pää­tavoitteiksi asetettiin:
#antaa entistä laajempi matemaattinen tietous ammattiin valmistumista ja myöhempää täydennys­koulutusta varten
# perehdyttää oppilaat valittuun opetussuunnitelmaan, auttaa heitä ymmärtämään siinä esiintyvät perus­käsitteet ja tutustuttaa niiden välisiin yhteyksiin
# antaa oppilaille näkemys matematiikan esteettisistä arvoista ja runsaista mahdollisuuksista tuntea iloa työskenneltäessä tämän aineen parissa
# antaa oppilaille näkemys kielen osuudesta määrittelyissä ja järjestelyissä niin matematiikan alalla kuin sen ulko­puolellakin, ja
# avustaa oppilaita perehtymään itsenäisesti uusiin matemaattisiin aiheisiin lukemalla matemaattisia tekstejä.

Suomessa uusi matematiikka otettiin käyttöön koulu­opetuksessa samoihin aikoihin kuin valmisteltiin siirtymistä peruskouluun. Tämän vuoksi siitä käytettiin myös nimitystä *perus­koulu­matematiikka*. Sekä perus­koulu että joukko-oppi rantautuivat Suomeen Ruotsista. Taistelu muutoksen ympärillä oli kiivasta, osittain senkin takia, että yhteiskunta oli tuolloin kaikkein politisoitu­neimmillaan. Täytäntöön­pano oli ripeä. Opettajat koulutettiin joukko-oppiin vain lyhyillä pika­kursseilla. Vanhemmista ei ollut apua muutoksen omaksumisessa, sillä heille joukko-oppia ei ollut koskaan opetettu.

Matematiikan opiskelu joukko-opin menetelmällä tarkoitti sitä, että numerot korvattiin opetuksen alku­vaiheessa alkioilla ja joukoilla sekä yhteenlasku unioneilla. Luvut ja niillä suoritettavat lasku­toimitukset opetettiin myöhemmässä vaiheessa joukko-opin käsitteiden avulla. 

Oppikirjat olivat luonteeltaan työ­kirjoja.  Niistä tuli kuva­painotteisia. Niissä oli aikaisempaa vähemmän selityksiä, mutta enemmän esimerkkejä ja harjoitus­tehtäviä.

Opetus­suunnitelmissa noudatettiin niin sanottua *spiraali­periaatetta*. Sen mukaisesti mahdollisimman monet, ennen yleensä vasta oppikoulussa opetetut matemaattiset käsitteet kuten yhtälöt, epäyhtälöt, funktiot, lukusuora ja koordinaatisto esiteltiin alustavasti jo perus­koulun ensimmäisellä luokalla, joskin niiden tarkempi käsittely jäi myöhempään vaiheeseen, ja samoihin asioihin palattiin opetuksessa useita kertoja. Tämä periaate on osin jäänyt käyttöön suomalaisessa kouluopetuksessa, ja myös muissa oppiaineissa kuin matematiikassa.

## Arvostelu

Vanhemmat ja opettajat, jotka Yhdys­valloissa, myöhemmin muuallakin vastustivat uutta matematiikkaa, valittivat, että uusi opetus­suunnitelma oli liian kaukana oppilaiden tavan­omaisen kokemus­maailman ulko­puolella eikä ollut sen arvoista, että siihen olisi syytä käyttää aikaa, joka olisi tarvittu perinteisempien aiheiden kuten aritmetiikan opetukseen. Oppi­materiaali asetti myös opettajille uusia vaatimuksia, sillä heistäkin monien oli opeteltava aiheita, joita he eivät täysin ymmärtäneet. Vanhemmat olivat huolissaan siitä, etteivät
he ymmärtäneet, mitä heidän lapsilleen opetettiin eivätkä he siksi voineet auttaa lapsiaan oppimisessa. Ymmärtääkseen uutta matematiikkaa monet vanhemmat käyttivät aikaansa siihenkin, että kävivät lastensa luokka­huoneissa. Lopulta päädyttiin siihen, että kokeilu ei toiminut, ja uusi matematiikka tuli epä­suosituksi jo ennen vuosi­kymmenen loppua, joskin sen opetusta jatkettiin vielä vuosia joissakin koulu­piireissä. Myöhemmin, 1980-luvulta lähtien, uusi matematiikka saavutti jonkin verran menestystä lahjakkaille oppilaille tarkoitetuilla lisä­kursseilla 
projekti MEGSSS:n yhteydessä. 

Professori George F. Simmons totesi teoksensa *Precalculus Mathematics in a Nutshell* algebraa käsittelevän luvun johdannossa, että uusi matematiikka tuotti opiskelijoita, jotka "olivat kuulleet vaihdanta­laista, mutta eivät tunteneet kertotaulua."

Vuonna 1965 fyysikko Richard Feynman kirjoitti aiheesta esseen nimellä "New Textbooks for the 'New Mathematics". 
Hän tosin arvosteli eräiltä osin myös vanhoja opetus­menetelmiä mutta kiinnitti samalla huomiota siihen, että uudet oppi­kirjat edustivat liian yksi­puolisesti puhdasta matematiikkaa, vaikka puhtaita matemaatikkoja on jokseenkin vähän, ja sitä paitsi heidän näkö­kulmansa aiheeseen on kovin toisen­lainen kuin toisaalta niiden, jotka edelleenkin tarvitsevat lähinnä vain alkeellista aritmetiikkaa, sekä toisaalta myös niiden yhä useampien, jotka soveltavat eräitä korkeamman matematiikan aloja tieteessä, teknologiassa tai talous­elämässä. Erityisesti hän arvosteli uusia oppi­kirjoja siitä, että niissä esiintyi runsaasti sellaisia termejä ja käsitteitä, joille esitettiin vain määritelmä ja symbolinen merkitsemis­tapa mutta joiden ominaisuuksista ei muutoin kerrottu mitään, niin että ne eivät näyttäneet tarjoavan muuta kuin mahdollisuuden ilmaista yksin­kertaisia asioita täsmällisellä mutta koukeroisella ja vaikea­selkoisella tavalla. Hän kärjisti asian näin:
:"Jos niin haluamme, voimme sanoa ja sanomme: 'Vastaus on kokonais­luku, joka on pienempi kuin 9 ja suurempi kuin 6', mutta meidän ei ole syytä sanoa: 'Vastaus on sen joukon alkio, joka on niiden joukkojen leikkaus, joista toiseen kuuluvat ne luvut, jotka ovat suurempia kuin 6 ja toiseen ne luvut, jotka ovat pienempiä kuin 9.'  "Uudessa" matematiikassa tulee sen vuoksi ensinnäkin olla ajatuksen vapaus, toiseksi emme halua opettaa vain sanoja, ja kolmanneksi eri aiheita ei pidä aloittaa selittämättä niiden tarkoitusta tai mielekkyyttä tai kertomatta mistään, mihin aihetta todella voi käyttää jonkin kiinnostavan löytämiseksi. En usko, että maksaa vaivan opettaa tähän tapaan."
Filosofi ja matemaatikko W. V. Quine kirjoitti, että Cantorin joukko-opin "harvennettua ilmaa" ei pitäisi samastaa koulujen uuden matematiikan kanssa. Quinen mukaan uusi matematiikka toi tullessaan vain... "luokkien Boolen algebran ja siten itse asiassa yleisten termien yksinkertaisen logiikan."

Vuonna 1973 Morris Kline julkaisi arvostelevan teoksen *Why Johnny Can't Add: the Failure of the New Math*. Se kertoo toiveista, että matematiikka asian­mukaisella tavalla kuvaisi jotakin modernimpaa kuin perinteiset aiheet. Hän sanoo, että jotkut uusien aiheiden puolesta­puhujat "jättivät kokonaan huomioon ottamatta, että matematiikka on kumuloituvan kehityksen tulos ja että on käytännössä
mahdotonta oppia uudempia luomuksia, ellei vanhempia jo tunneta." Lisäksi Kline huomautti uuden matematiikan taipumuksesta abstraktioon: "Abstraktio ei ole ensimmäinen vaan viimeinen vaihe abstraktion kehityksessä."

Suomessa Rolf Nevanlinna arvosteli esitettyjä uudistuksia Matemaattisten aineiden aikakauskirjassa vuonna 1964 julkaistussa kirjoituksessa, jo ennen PMOU:n mietinnön valmistumista. Hänen mukaansa joukon käsitteen perusteellisella selvityksellä vain tuhlattiin aikaa, kun "kiduttavan ikävin, itsestään selvin esimerkein lasta totutettiin symboliikkaan, jonka tarkoitusta ja merkitystä ei selitetty". Nevan­linna ei myöskään hyväksynyt Eukleideen aksiomaattisen geometrian syrjäyttämistä opetuksesta, sillä hänen mukaansa sillä oli ollut matematiikan kehitykselle tavaton peri­aatteellinen ja sisällöllinen merkitys. Juuri sen vaikutuksesta aksiomaattinen ajattelu oli juurtunut muillekin matematiikan aloille ja saanut lopulta suuren merkityksen myös teoreettisessa fysiikassa, erityisesti Einsteinin
suhteellisuusteoriassa. Nevanlinna jopa ilmaisi käsityksenään, että komitean esitys oli "hengeltään köyhempi ja harhaan­osuneempi" kuin yksikään matematiikan oppi­kirja, jonka hän oli nähnyt. Nevanlinnan artikkeli julkaistiin myöhemmin myös saksan-, englannin- ja venäjän­kielisinä käännöksinä, ja se sai osakseen maailman­laajuista huomiota.  Uudistusten kannattajat kuitenkin pitivät Nevan­linnan käsitystä täysin aikansa eläneenä.

Suomessakin uudistukset saivat myös toteuttamisensa jälkeen osakseen runsaasti kritiikkiä. Eräässä vaiheessa katsottiin jopa, että joukko-oppia opetettiin 
muun matematiikan avulla eikä toisin päin. Uusi matematiikka miellettiin kokonai­suudessaan liian teoreettiseksi, symboleja ja nimityksiä yli­korostavaksi sekä käytännön elämälle vieraaksi. Oppi­sisällöt olivat tunti­kehykseen verrattuna liian laajat, eikä uusi jaottelu johtanut odotettuihin oppimis­tuloksiin.

## Kokeilun loppu

Uuden matematiikan saaman arvostelun vuoksi Pariisissa pidettiin vuonna 1978 uusi kansain­välinen kongressi, jossa tunnus­lauseeksi tuli "Back to Basics". Tällöin päädyttiin pitämään tärkeänä, että koulujen matematiikan opetus perustuisi probleemien ratkaisuun ja vastaisi arki­päivän matematiikan tarpeita.  Seuraavina vuosina uudesta matematiikasta luovuttiinkin lähes kaikkialla ja koulujen matematiikan opetuksen sisältö palautettiin lähemmäksi aikaisempaa. Uudistuksen aikaisemmat innokkaimmat kannattajatkaan eivät enää katsoneet sen vastanneen alkuperäistä tarkoitustaan.

Suomessa uuden matematiikan kukoistus­vaihe kesti vain vuoteen 1976, jolloin Kouluhallitus esitteli matematiikan uuden perus­oppi­määrän. 
Joukko-opin käytöstä matematiikan alkeiden opetuksessa luovuttiin virallisesti vuonna 1983.

## Lähteet

## Kirjallisuutta

* 
*