Kaarevuus

Matematiikassa **kaarevuudella** tarkoitetaan useita toisiinsa läheisesti liittyviä geometrisia käsitteitä. Intuitiivisesti kaarevuus merkitsee sitä, minkä verran käyrä poikkeaa suorasta tai pinta tasosta.

Käyrien osalta tyyppiesimerkkinä voidaan pitää ympyrää, jonka kaarevuus on sen säteen käänteisarvo. Ympyrän voidaan sanoa kaareutuvan sitä enemmän, mitä pienempi sen säde on, ja sen mukaisesti pienen ympyrän kaarevuus on suurempi.  Differentioituvan käyrän kaarevuus *tietyssä pisteessä* on sama kuin sen ympyrän kaarevuus, joka tämän pisteen ympäristössä on lähimpänä ympyrää. Suoran viivan kaarevuus on nolla. Toisin kuin tangentti, joka on vektorisuure, käyrän kaarevuus pisteessä on tyypillisesti skalaarisuure, jonka voidaan ilmaista yhdellä reaaliluvulla. 

Euklidiseen avaruuteen upotettujen pintojen (ja yleisemmin moniulotteisten monistojen) tapauksessa kaarevuuden käsite on monimutkaisempi ja riippuu suunnan valinnasta pinnalla tai monistolla. Tämä johtaa *maksimikaarevuuden*, *minimikaarevuuden* ja *keskikaarevuuden* käsitteisiin.

Kaksi- tai useampiulotteisten Riemannin monistojen kaarevuus voidaan määritellä *sisäisesti*, riippumatta laajemmasta euklidisesta avaruudesta, jossa monisto mahdollisesti sijaitsee. Kaarevuus voidaan määritellä monistoon piirrettyjen käyrien avulla ja se voidaan ilmaista lineaarialgebraa käyttäen Riemannin kaarevuustensorin avulla.

## Historia
Teoksessaan *Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum* 1300-luvun filosofi ja matemaatikko Nicole Oresme otti käyttöön kaarevuuden käsitteen mittana poikkeamalle suoruudesta. Jo hänen mukaansa ympyrän kaarevuus oli kääntäen verrannollinen sen säteeseen, ja hän yritti laajentaa käsitettä muille käyrille jatkuvasti muuttuvana suureena.

Differentioituvan käyrän kaarevuus määriteltiin alun perin kaarevuusympyrän eli *oskuloivan ympyrän* avulla, toisin sanoen ympyrän, joka annetun pisteen läheisyydessä pysytteli lähimpänä annettua käyrää. Tähän perustuen Augustin-Louis Cauchy osoitti, että käyrän kaarevuuskeskipiste on käyrän kahden äärettömän lähellä toisiaan olevan normaalin leikkauspiste.

## Tasokäyrän kaarevuus
Tasokäyrän kaarevuus annetussa pisteessä voidaan määritellä ainakin kahdella tavalla, jotka kuitenkin ovat keskenään yhtäpitäviä.  Se voidaan määritellä joko sen ympyrän säteen käänteisarvona, joka pisteen läheisyydessä tarkimmin yhtyy annettuun käyrään, tai vaihtoehtoisesti käyrän (tai sen tangentin suunnan muuttumisnopeutena suhteessa käyrän kaaren pituuteen.

Kaarevuuden määritteleminen kaarevuusympyrän avulla lienee intuitiivisesti havainnollisempaa kuin sen määritteleminen käyrän suunnan muutosnopeuden avulla. Jälkimmäisen määritelmän avulla on kuitenkin helpompi johtaa kaavat, joilla käyrän kaarevuus voidaan laskea. Tämän vuoksi jälkimmäistä käytetään tavallisimmin kaarevuuden määritelmänä, jota käytetään myös kinematiikassa.

Ympyrän kaarevuus on kaikkialla sama kuin sen säteen käänteisarvo. Suoran kaarevuus taas on nolla.

### Määritelmä kaarevuusympyrän avulla

Historiallisesti differentioituvan käyrän kaarevuus määriteltiin kaarevuusympyrän eli *oskuloivan ympyrän* avulla, toisin sanoen ympyrän, joka parhaiten approksimoi käyrää annetun pisteen läheisyydessä. Täsmällisemmin ilmaistuna, jos käyrältä valitaan piste *P*, käyrän jokainen muu piste *Q* määrittää ympyrän (tai toisinaan suoran), joka kulkee *Q*:n kautta ja joka sivuaa käyrää pisteessä *P*. Oskuloiva ympyrä, jos sellainen on olemassa, on tällöin raja-arvo, jota tämä ympyrä lähestyy, kun *Q* lähestyy *P*:tä. Tällöin käyrän kaarevuuskeskipisteellä ja kaarevuussäteellä pisteessä *P* tarkoitetaan tämän kaarevuusympyrän keskipistettä ja sädettä. Käyrän *kaarevuus* taas on sen kaarevuusssäteen käänteisarvo. Toisin sanoen 
:  \kappa = \frac{1}{R},
missä *R* on käyrän kaarevuussäde

Käyrän tiettyyn pisteeseen liittyvän kaarevuusympyrän keskipistettä sanotaan sen kaarevuuskeskipisteeksi. Käyrän eri pisteisiin liittyvät kaarevuuskeskipisteet muodostavat käyrän evoluutan.

Kaarevuusympyrään liittyvän määritelmän avulla on kuitenkin hankala johtaa lausekkeita eri käyrien kaarevuudelle. Sen vuoksi kaarevuudelle on esitetty muita määritelmiä, jotka kuitenkin ovat edellisen kanssa yhtäpitäviä.

### Määritelmä suunnan muutosnopeuden ja kaaren pituuden avulla

Käyrän kaarevuuden annetussa pisteessä voidaan sanoa kuvaavan sitä, minkä verran käyrän suunta muuttuu liikuttaessa sitä pitkin pieni matka. Kaarevuuden mittana käytetään tällöin käyrän tangentin suunnan muuttumisnopeutta verrattuna kaaren pituuteen. Käyrän kaarevuus on siis sitä suurempi, mitä nopeammin sen (tai sen tangentin) suunta muuttuu käyrää pitkin kuljettaessa. 

Jokainen differentioituva käyrä voidaan parametroida sen kaarenpituuden avulla. Tasokäyrän tapauksessa tämä merkitsee, että on olemassa parametrointi \gamma(s) = (x(s), y(s)), missä *x* ja *y* ovat reaaliarvoisia differentioituvia funktioita, joiden derivaatat toteuttavat yhtälön
:\|\boldsymbol{\gamma}'\| = \sqrt{x'(s)^2+y'(s)^2} = 1.
Tämä merkitsee, että tangenttivektorin
:\mathbf T(s)=\bigl(x'(s),y'(s)\bigr)
normi on 1 eli se on yksikkötangenttivektori.

Jos käyrä on kahdesti differentioituva eli funktioilla x(s) ja y(s) on toisen kertaluvun derivaatat, myös funktiolla T(s) on derivaatta. Tämä vektori on käyrään nähden kohtisuorassa, sen normi on käyrän kaarevuus \kappa(s) ja sen suunta on kohti käyrän kaarevuuskeskipistettä. Toisin sanoen
:\begin{align}
\mathbf{T}(s) &= \boldsymbol{\gamma}'(s), \\[8mu]
\|\mathbf{T}(s)\|^2 &= 1 \ \text{(vakio)} \implies \mathbf{T}'(s)\cdot \mathbf{T}(s) = 0, \\[5mu]
\kappa(s) &= \|\mathbf{T}'(s)\| = \|\boldsymbol{\gamma}*(s)\| = \sqrt{x*(s)^2+y*(s)^2}
\end{align}</math>

Koska lisäksi (edellyttäen että <math>\kappa (s) \ne 0</math>) käyrän kaarevuussäde on
:<math>R(s)=\frac{1}{\kappa(s)},</math>
ja käyrän [[kaarevuuskeskipiste]] sijaitsee sen normaalilla, kaarevuuskeskipiste on piste
:<math> \mathbf{C}(s)= \boldsymbol{\gamma}(s) + \frac 1{\kappa(s)^2}\mathbf{T}'(s).</math> 

Yksinkertaisemmin voidaan käyrän kaarevuus määritellä suhteen <math>\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}</math> raja-arvona, missä <math>\Delta\alpha</math> merkitsee käyrälle pisteeseen <math>P</math> ja lähellä sitä olevaan pisteeseen <math>Q</math> piirrettyjen tangenttien välistä kulmaa <math>\Delta s</math> käyrän pisteiden *P* ja *Q* välisen kaaren pituutta.. Tämä raja-arvo on samalla käyrän suuntakulman <math>\Delta</math> [[derivaatta]] kaaren pituuden *s* suhteen. Parametri *s* tarkoittaa siis kaaren pituutta annetusta alkupisteestä laskettuna, mutta sen voidaan tulkita tarkoittavan myös aikaa, mikäli kuvitellaan pisteen liikkuvan käyrää pitkin tasaisella [[ratanopeus|ratanopeudella]].  Derivaatta <math>T(s) = \frac{d\alpha}{ds}</math> on vektori, joka on kohtisuorassa käyrään nähden ja jonka pituus on sama kuin käyrän kaarevuus.

Koska käyrän kaarevuus on sen kaarevuussäteen käänteisarvo, [[SI-järjestelmä|SI-standardin]] mukaan sen yksikkö on käänteismetri (1/m).  Koska se voidaan edellä esitetyllä tavalla määritellä kulman avulla, voidaan yksikkö esittää myös muodossa [[radiaani]] metriä kohti (rad/m). Sen ohella voidaan yksikkönä käyttää myös [[aste]]tta metriä kohti. 

Käyrän kaarevuuden määritelmä ja sen eri luonnehdinnat ovat mielekkäitä vain, jos käyrällä on jatkuvasti muuttuva tangentti, mikä taas edellyttää, että käyrä on pisteen *P* läheisyydessä [[jatkuvasti differentioituva]]. Lisäksi on oletettava, että käyrän on kahteen pisteessä *P* kahteen kertaan differentioituva, jotta määritelmän edellyttämät raja-arvot olisivat olemassa ja funktio <math>T(s)</math> derivoituva.

Jos käyrän kaarevuus on nolla, kaarevuuskeskipistettä ei ole missään tasolla <math>\mathbb{R}^2</math>, mutta usein sanotaan sen olevan "äärettömyydessä".

Jos <math>N(s)</math> on [[yksikkönormaalivektori]], joka saadaan <math>T(s)</math> kiertämällä sitä vastapäivään kulman <math>\frac{\pi}{2}</math> verran, on 
:<math>\mathbf{T}'(s)=k(s)\mathbf{N}(s),</math>
missä <math>k(s) = \pm \kappa(s))</math>.  Reaalilukua <math>k(s)</math> sanotaan *suunnatuksi kaarevuudeksi* tai *etumerkilliseksi kaarevuudeksi*.  Se riippuu sekä tason orientoinnista eli siitä, kumpi kiertosuunta katsotaan [[vastapäivä]]iseksi (tai kummalta puolelta sitä katsotaan), että parametroinnin mukaisesta käyrän suunnasta. Itse asiassa muuttujanvaihto *s* → -*s* johtaa toiseen kaarenpituuden avulla määriteltyyn parametrointiin ja muuttaa <math>k(s)</math>:n etumerkin.

=== Yleisen parametroinnin avulla ===

Olkoon <math>\gamma(t) = (x(t), (y(t))</math> jonkin tasokäyrän aito kahdesti differentioituva parametriesitys. Tässä *aito* merkitsee sitä, että derivaatta <math>\frac{dy}{dx}</math> on määritelty ja differentioituva kaikkialla parametroinnin [[määrittelyjoukko|määrittelyjoukossa]] eli kaikilla arvoilla *t*, joita vastaa jokin käyrän piste, eikä se missään saa arvokseen nollavektoria.

Nämä ehdot täyttävien parametrointien tapauksessa käyrän etumerkillinen kaarevuus on 
:<math>k = \frac{x'y*-y'x*}{\bigl({x'}^2+{y'}^2\bigr)\vphantom{'}^{3/2}},</math>
missä *x** ja ''y** tarkoittavat *x*:n ja *y*:n derivaattoja *t*:n suhteen. Käyrän kaarevuus \kappa on tällöin
:\kappa = \frac{\left|x'y*-y'x*\right|}{\bigl({x'}^2+{y'}^2\bigr)\vphantom{'}^{3/2}}.

Tämä voidaan esittää koodinaateista riippumattomalla tavalla seuraavasti:
:
k = \frac{\det\left(\boldsymbol{\gamma}',\boldsymbol{\gamma}*\right)}{\|\boldsymbol{\gamma}'\|^3},\qquad
\kappa = \frac{\left|\det\left(\boldsymbol{\gamma}',\boldsymbol{\gamma}*\right)\right|}{\|\boldsymbol{\gamma}'\|^3}.


Nämä kaavat voidaan kohtaa kaarenpituuteen liittyvän parametroinnin muodostamasta erikois­tapauksesta seuraavasti. Edellä olevista parametrointi­ehdoista seuraa, että kaaren pituus *s* on parametrin *t* differentioituva monotoninen funktio ja kääntäen *t* on *s*:n monotoninen funktio. Jos lisäksi tarvittaessa vaihdetaan *s* -*s*:ään, voidaan olettaa, että nämä funktiot ovat kasvavia, jolloin niiden derivaatta on positiivinen. Edellä käytettyjen merkintöjen avulla ja ketjusääntöä soveltaen saadaan
:\frac{d\boldsymbol{\gamma}}{dt}= \frac{ds}{dt}\mathbf T,
ja näin ollen ottamalla yhtälön molemmista puolista normi:
: \frac{dt}{ds}= \frac 1{\|\boldsymbol{\gamma}'\|},
missä heittomerkki (') tarkoittaa differentiointia *t*:n suhteen.

Käyrän kaarevuus on derivaatan \frac{dT}{ds} normi. Edellä olevan kaavan ja ketjusäännön avulla tämä derivaatta voidaan ilmaista pelkästään &gamma;′:n ja \gamma″:n avulla eliminoimalla kaarenpituusparametri *s*, jolloin saadaan edellä esitetyt kaarevuuden kaavat.

### Funktion kuvaaja

Funktion kuvaaja y = f(x) on parametroidun käyrän erikoistapaus, joka voidaan esittää muodossa
:\begin{align}
x&=t\\
y&=f(t).
\end{align}
Koska *x*:n ensimmäinen ja toinen derivaatta ovat 1 ja 0, edellä esitetyt kaavat yksinkertaistuvat muotoon
:\kappa = \frac{\left|y*\right|}{\bigl(1+{y'}^2\bigr)\vphantom{'}^{3/2}},</math>
kaarevuudelle ja
:<math>k = \frac{y*}{\bigl(1+{y'}^2\bigr)\vphantom{'}^{3/2}},
etumerkilliselle kaarevuudelle.

Yleisessä tapauksessa käyrän kaarevuuden etumerkki on tavallaan mielivaltainen ja riippuu käyrän orientaatiosta. Funktion kuvaajalle on kuitenkin olemassa *x*:n kasvavien arvojen määrittämä luonnollinen orientaatio. Sen vuoksi kaarevuuden etumerkillä on suuri merkitys.

Etumerkillisen kaarevuuden etumerkki on sama kuin *f*:n toisen derivaatan etumerkki. Jos se on positiivinen, käyrä on alaspäin kupera, ja jos se on negatiivinen, käyrä on ylöspäin kupera. Jos se on nolla, kyseessä on joko käännepiste tai undulaatiopiste.

Kun kuvaajan kulmakerroin eli funktion derivaatta on itseisarvoltaan pieni, käyrän etumerkillinen kaarevuus on likipitäen yhtä suuri kuin funktion toinen derivaatta. Toisin sanoen iso O -merkintää käyttäen saadaan
:k(x)=y* \Bigl(1 + O\bigl({\textstyle y'}^2\bigr) \Bigr).</math>
 
[[Fysiikka|Fysiikassa]] ja [[insinööri]]aloilla käyrän kaarevuutta approksimoidaan usein funktion toisella derivaatalla. Näin tehdään esimerkiksi [[palkkiteoria]]ssa sekä johdettaessa jännitetyn langan [[aaltofunktio]], kuten myös muissa sovelluksissa, joissa kulmakerroin on pieni. Tämä tekee usein mahdolliseksi käsitellä [[epälineaarinen järjestelmä|epälineaarista järjestelmää]] likipitäen lineaarisen kaltaisena.

===Napakoordinaatistossa ===

Jos käyrä on määritelty [[napakoordinaatisto]]ssa ja sen kunkin pisteen etäisyys *r* origosta on ilmoitettu kiertokulman &theta; funktiona, käyrän kaarevuus on
:<math>\kappa(\theta) = \frac{\left|r^2 + 2{r'}^2 - r\, r*\right|}{\bigl(r^2+{r'}^2 \bigr)\vphantom{'}^{3/2}}

missä heittomerkki (') tarkoittaa derivaattaa &theta;n suhteen.

Tämä seuraa yleisen parametroinnin kaavasta käyttämällä parametrointia
:\begin{align}
x&=r(\theta)\cos \theta\\
y&=r(\theta)\sin \theta
\end{align}

### Implisiittinen käyrä

Jos käyrä on määritelty implisiittisellä yhtälöllä F(x, y) = 0 ja sen osittaisderivaatoille käytetään merkintöjä F_x, F_y, F_{xx}, F_{xy} ja F_{yy}, sen kaarevuuden osoittaa lauseke
:\kappa = \frac{\left|F_y^2F_{xx}-2F_xF_yF_{xy}+F_x^2F_{yy}\right|}{\bigl(F_x^2+F_y^2\bigr)\vphantom{'}^{3/2}}.

Etumerkillinen kaarevuus ei ole määritelty, sillä se riippuu käyrän orientaatiosta, jota implisiittinen yhtälö ei määritä. On huomattava, että jos *F* vaihdetaan -*F*:ään, yhtälön F (x, y) = 0 määrittelemä käyrä ei muutu, mutta nimittäjän etumerkki muuttuisi, jos itseisarvomerkit jätettäisiin pois edellä olevasta yhtälöstä.

Jos jossakin käyrän pisteessä on F_x = F_y = 0, tämä piste on käyrän erikoispiste, mikä yleensä merkitsee, ettei käyrä ole tässä pisteessä differentioituva eikä näin ollen sen kaarevuuskaan ole määritelty. Useimmiten kyseessä on joko piste, jossa käyrä leikkaa itsensä, tai piste, jossa käyrällä on terävä kärki.

Edellä oleva kaarevuuden lauseke voidaan johtaa funktion kuvaajan kaarevuuden lausekkeesta implisiittifunktiolauseen avulla ottamalla lisäksi huomioon, että sellaisella käyrällä pätee
:\frac {dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}.

### Esimerkkejä
Seuraavissa esimerkkitapauksissa on helppo osoittaa, että edellä esitetyt toisistaan poikkeavat määritelmät johtavat samaan tulokseen.

#### Ympyrä

Tavallinen parametrointi *r*-säteiselle ympyrälle on \gamma(t) = (r \cos{t}, r \sin{t}). Kaarevuuden kaavasta saadaan tällöin
:k(t)= \frac{r^2\sin^2 t + r^2\cos^2 t}{\bigl(r^2\cos^2 t+r^2\sin^2 t\bigr)\vphantom{'}^{3/2}} = \frac 1r.

Kuten odotettavissa oli, ympyrän kaarevuussäde on sama kuin sen säde ja kaarevuuskeskipiste sama kuin ympyrän keskipiste.

Ympyrä on siitä harvinainen käyrä, että sen parametrointi kaaren pituuden avulla on helppo laskea, ja se on
:\boldsymbol\gamma(s)= \left(r\cos \frac sr,\, r\sin \frac sr\right).

Tämä on kaarenpituuden mukainen parametrointi, sillä lausekkeen
:\boldsymbol\gamma'(s) = \left(-\sin \frac sr,\, \cos \frac sr\right)
normi on 1.  Tästä parametroinnista saadaan kaarevuudelle sama arvo kuin edellä, sillä näin saatu kaarevuuden lauseke poikkeaa edellä esitetystä vain siinä, että sekä osoittaja että nimittäjä tulevat jaetuiksi r^3:lla.

Sama ympyrä voidaan määritellä myös implisiittisellä yhtälöllä F (x, y) = 0, kun F (x, y) = x^2 + y^2 - r^2. Tässä tapauksessa kaarevuuden kaava antaa tulokseksi
:\begin{align}
\kappa &= \frac{\left|F_y^2F_{xx}-2F_xF_yF_{xy}+F_x^2F_{yy}\right|}{\bigl(F_x^2+F_y^2\bigr)\vphantom{'}^{3/2}}\\
&=\frac{8y^2 + 8x^2}{\bigl(4x^2+4y^2\bigr)\vphantom{'}^{3/2}}\\
&=\frac {8r^2}{\bigl(4r^2\bigr)\vphantom{'}^{3/2}} =\frac1r.\end{align}

#### Paraabeli
Tarkastellaan paraabelia y = ax^2 + bx + c.

Paraabeli on funktion kuvaaja, ja tämän funktion derivaatta on 2ax + b ja toinen derivaatta 2a. Niinpä käyrän etumerkillinen kaarevuus on 
:k(x)=\frac{2a}{ \bigl(1+\left(2ax+b\right)^2\bigr)\vphantom{)}^{3/2}}.

Sen etumerkki on sama kuin *a*:n kaikilla *x*:n arvoilla. Tämä merkitsee, että jos *a* > 0, käyrä on kaikkialla alaspäin kupera, mutta jos *a* y = bx + c.

Paraabelin (etumerkitön) kaarevuus saa suurimman arvonsa pisteessä x = \frac{b}{2a}. Tämä piste on sama kuin paraabelin huippu, ja siinä funktion derivaatta saa arvon nolla.

Tarkastellaan parametrointia \gamma(t) = (t, at^2 + bt + c) = (x, y). Tällöin *x*:n ensimmäinen derivaatta on 1 ja toinen derivaatta 0.  Jos nämä arvot sijoitetaan yleisen parametroinnin lausekkeeseen, saadaan aivan sama tulos kuin edellä, vain sillä erolla, että *x* on korvattu *t*:llä. 

Sama paraabeli voidaan määritellä myös implisiittisellä yhtälöllä F (x, y) = 0), missä F (x,y) = ax^2 + bx + c - y. Koska F_y = 1 ja F_ = F_{xy} = 0, saadaan käyrän etumerkittömälle kaarevuudelle aivan sama arvo kuin edellä. Tässä tapauksessa etumerkillinen kaarevuus on kuitenkin merkityksetön, sillä sama paraabeli voidaan yhtä hyvin määritellä myös implisiittisellä yhtälöllä -F(x, y) = 0, jolloin kuitenkin kaarevuus saa päinvastaisen etumerkin.

### Frenet'n–Serret'n kaavat tasokäyrille

Kaarevuuden lauseke kaaren pituuden mukaan parametroituna on oleellisesti sama kuin ensimmäinen Frenet'n–Serret'n kaava
:\mathbf T'(s) = \kappa(s) \mathbf N(s),
missä heittomerkit tarkoittavat derivaattoja kaarenpituuden *s* suhteen ja N(s) on T(s)':n suuntainen normaaliyksikkövektori.

Koska tasokäyrien torsio on nolla, toisesta Frenet'n–Serret'n kaavasta saadaan yhteys
:\begin{align}
\frac {d\mathbf{N}}{ds} &= -\kappa\mathbf{T},\\
            &= -\kappa\frac{d\boldsymbol{\gamma}}{ds}.
\end{align}

Käyrä voidaan parametroida minkä tahansa mielivaltaisen parametrin *t* avulla, mutta tällöin on kaarevuuden laskemiseksi tunnettava derivaatat *t*:n suhteen. Koska ne saadaan kertomalla derivaatat *s*:n suhteen derivaatalla \frac{ds}{dt}, saadaan millä tahansa aidolla parametroinnilla
:
\mathbf{N}'(t) = -\kappa(t)\boldsymbol{\gamma}'(t).


### Kaarevuuskampa

Käyrän kaarevuus sen jokaisessa pisteessä voidaan esittää graafisesti *kaarevuuskamman* () avulla. Jos t \mapsto x(t) on parametroitu käyrä, sen kamman määrittelee parametroitu käyrä
: t \mapsto x(t) + d\kappa(t)n(t)
missä \kappa ja n ovat käyrän kaarevuus- ja normaalivektori ja d skaalaustekijä, joka on valittava niin, että se tukee graafista esitystä.

## Fysikaalinen merkitys

Jos hiukkanen liikkuu käyrää pitkin tasaisella ratanopeudella, sen ratakiihtyvyys on nolla. Sen sijaan sillä on keskeis­kiihtyvyyttä, mikä merkitsee, että sen liikkeen suunta muuttuu koko ajan. Tällöin hiukkasen ratanopeuden *v*, keskeis­kiihtyvyyden a_T ja ratakäyrän kaarevuuden \kappa välillä on yhteys
:A_t = v^2 \kappa.

## Avaruuskäyrien kaarevuus
.
Kuten tasokäyrien tapauksessa, myös kolmi- tai useampiulotteisessa avaruudessa olevan säännöllisen avaruuskäyrän kaarevuus voidaan sitä pitkin yksikkönopeudella etenevän hiukkasen normaalikiihtyvyytenä. Niinpä jos \gamma(s) on käyrän *C* kaaren pituuden mukainen parametrointi, yksikkötangenttivektorin T(s) määrittelee lauseke
:\mathbf{T}(s) = \boldsymbol{\gamma}'(s)
ja käyrän kaarevuus on kiihtyvyyden itseisarvo:
:\kappa(s) = \|\mathbf{T}'(s)\| = \|\boldsymbol{\gamma}*(s)\|.</math>

Kiihtyvyyden suunnan osoittaa normaaliyksikkövektori <math>N(s)</math>, joka määritellään lausekkeella
:<math>\mathbf{N}(s) = \frac{\mathbf{T}'(s)}{\|\mathbf{T}'(s)\|}.</math>

Taso, johon sisältyvät vektorit <math>T(s)</math> ja <math>N(s)</math> on käyrän <math>\gamma(s)</math> [[oskuloiva taso]]. Käyrän kaarevuudella on seuraava geometrinen tulkinta.

Oskuloivassa tasossa on ympyrä, joka sivuaa käyrää <math>\gamma(s)</math> ja jonka [[Taylorin sarja]] toiseen termiinsä saakka sivuamispisteessä on sama kuin käyrällä <math>\gamma(s)</math>. Tämä on käyrän [[oskuloiva ympyrä]]. Ympyrän <math>R(s)</math> sädettä sanotaan käyrän [[kaarevuussäde|kaarevuussäteeksi]], ja käyrän kaarevuus on nytkin sen kaarevuussäteen käänteisarvo:

:<math>\kappa(s) = \frac{1}{R(s)}.</math>

Näin määriteltyä avaruuskäyrän kaarevuutta sanotaan joskus sen *ensimmäiseksi kaarevuudeksi* eli *fleksioksi*. Kolmessa ulottuvuudessa käyrän kolmannen kertaluvun käyttäytymistä kuvaa myös kaarevuuteen läheisesti liittyvä [[käyrän torsio|torsion]] käsite, jota joskus sanotaan myös käyrän *toiseksi kaarevuudeksi*.. Käyrän torsio osoittaa, kuinka nopeasti käyrän sivunormaali kääntyy suhteessa kaaren pituuden lisäykseen.  Käyrän kaarevuuden ja torsion välisen yhteyden osoittavat kolmessa ulottuvuudessa [[Frenet'n–Serret'n kaavat]], useammassa ulottuvuudessa niiden yleistykset.

===Yleisiä lausekkeita ===
Kolmessa ulottuvuudessa parametrin avulla määritellyn avaruuskäyrän <math>\gamma(t) = (x(t), y(t), z(t))</math> kaarevuus on

:<math>
\kappa=\frac{\sqrt{\bigl(z*y'-y*z'\bigr)\vphantom{'}^2+\bigl(x*z'-z*x'\bigr)\vphantom{'}^2+\bigl(y*x'-x*y'\bigr)\vphantom{'}^2}}
  {\bigl({x'}^2+{y'}^2+{z'}^2\bigr)\vphantom{'}^{3/2}},
</math>

missä heittomerkit tarkoittavat derivointia parametrin *t* suhteen. Tämä voidaan ilmaista koordinaatistosta riippumatta kaavan

:<math>\kappa = \frac{\bigl\|\boldsymbol{\gamma}' \times \boldsymbol{\gamma}*\bigr\|}{\bigl\|\boldsymbol{\gamma}'\bigr\|\vphantom{'}^3}

avulla

missä × tarkoittaa vektorien ristituloa. Seuraava lauseke pätee käyrien kaarevuudelle kaikille euklidisille avaruuksille \mathbf{R} riippumatta ulottuvuuksien lukumäärästä *N*:

:
\kappa = \frac{\sqrt{ \bigl\|\boldsymbol{\gamma}'\bigr\|\vphantom{'}^2 \bigl\|\boldsymbol{\gamma}*\bigr\|\vphantom{'}^2- \bigl(\boldsymbol{\gamma}'\cdot \boldsymbol{\gamma}*\bigr)\vphantom{'}^2 } }
{\bigl\|\boldsymbol{\gamma}'\bigr\|\vphantom{'}^3}.


### Kaarevuus kaaren ja jänteen pituuksien avulla

Olkoot *P* ja *Q* kaksi pistettä käyrällä *C*. Käytetään käyrän *C* pisteiden *P* ja *Q* välisen osuuden eri kaaren pituudelle merkintää s(P, Q) ja samojen pisteiden välisen janan pituudelle merkintää d(P, Q). Tällöin käyrän *C* kaarevuuden pisteessä *P* osoittaa raja-arvo

:\kappa(P) = \lim_{Q\to P}\sqrt\frac{24\bigl(s(P,Q)-d(P,Q)\bigr)}{s(P,Q)\vphantom{Q}^3},

kun piste *Q* lähestyy pistettä *P* kulkien käyrää *C* pitkin. Tässä kaavassa voidaan nimittäjänä yhtä hyvin käyttää myös lauseketta d(P,Q)^3. Kaava pätee kaikissa ulottuvuuksissa. Lisäksi jos raja-arvoa tarkastellaan erikseen lähestyttäessä pistettä P kummaltakin puolella, tämä kaarevuuden määritelmä saattaa osoittaa, onko *P* käyrän erikoispiste. Kaava voidaan todistaa oskuloivan ympyrän avulla. 

## Pintojen kaarevuus

[Pitojen9] kaarevuutta määriteltäessä on otettava huomioon, että pinta ei samassakaan pisteessä välttämättä kaareudu yhtä paljon kaikissa suunnissa. Esimerkiksi [lieriö ei kaareudu lainkaan akselinsa suunnassa, mutta kyllä siihen nähden kohtisuorassa suunnassa. Pinnalle piirrettyjen käyrien kaarevuuden avulla voidaan pinnalle määritellä useitakin toisistaan poikkeavia kaarevuussuureita.

### Käyrät pinnalla
Kolmiulotteiseen euklidiseen avaruuteen upotetulle pinnalle piirretylle käyrälle voidaan määritellä useita kaarevuuksia, jotka sitoo toisiinsa pinnan yksikkö­normaali­vektorin suunta. Tällaisia ovat:
* normaalikaarevuus
* geodeettinen kaarevuus
* geodeettinen torsio

Sileällä pinnalla jokaisella käyrällä, jolla ei ole erikoispisteitä, on tangenttivektori *T*, joka sisältyy pinnan tangenttitasoon. Tällöin
* Käyrän **normaalikaarevuus** k_n on sen käyrän kaarevuus, joka saadaan projisoimalla alkuperäinen käyrä tasolle, johon sisältyvät sen tangentti *T* ja pinnan normaali *u*.  
* Käyrän **geodeettinen kaarevuus** k_g on sen käyrän kaarevuus, joka saadaan projisoimalla alkuperäinen käyrä pinnan tangenttitasolle, ja
* Käyrän **geodeettinen torsio** eli **suhteellinen torsio** \tau_r on mitta käyrän normaalin muutokselle kierrettäessä käyrän tangentin ympäri.

Oletetaan, että käyrä on parametroitu kaaren pituuden mukaan, ja olkoon  t = u \times T, jolloin T, t, u on ortonormaali kanta, jota sanotaan Darboux’n kehykseksi. Edellä määriteltyjen suureiden välillä vallitsee yhteys:

:\begin{pmatrix} \mathbf{T}'\\ \mathbf{t}'\\ \mathbf{u}' \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0&\kappa_\mathrm{g}&\kappa_\mathrm{n}\\
-\kappa_\mathrm{g}&0&\tau_\mathrm{r}\\
-\kappa_\mathrm{n}&-\tau_\mathrm{r}&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \mathbf{T}\\ \mathbf{t}\\ \mathbf{u} \end{pmatrix}

#### Pääkaarevuudet

Kaikilla pinnan käyrillä, joilla tietyssä pisteessä on yhteinen tangenttivektori, on sama normaali­kaarevuus, joka on sama kuin sen käyrän kaarevuus, joka saadaan leikkaamalla pinta tasolla, johon *T* ja *u* sisältyvät. Kun kaikki mahdolliset tangentti­vektorit otetaan huomioon, suurinta ja pienintä arvoa, jotka jonkin käyrän normaali­kaarevuus voi annetussa pisteessä saada, sanotaan *pääkaarevuuksiksi* k_1 ja k_2, ja vastaavien tangentti­vektorien suuntia sanotaan *päänormaali­suunniksi*.

### Normaalileikkaukset

Pinnan kaarevuus voidaan määrittää sen normaalileikkausten avulla samaan tapaan kuin edellä esitetyn mukaan pinnalla olevien käyrien kaarevuus. Näin voidaan määrittää esimerkiksi Maan kaarevuussäde.

### Tasoittuvat pinnat

Jotkut kaarevat pinnat, esimerkiksi lieriö ja kartio (jälkimmäisen huippupistettä lukuun ottamatta), voidaan levittää tasoksi ilman, että niiden sisäiset mittasuhteet muuttuvat millään tavalla. Tällaiset pinnat voidaan myös saada aikaan taivuttelemalla esimerkiksi tasaista paperiarkkia, kutenkaan repimättä sitä. Sellaisia sanotaan tasoittuviksi pinnoiksi Tasoittuvien pintojen Gaussin kaarevuus on nolla.

### Gaussin kaarevuus
Käyrillä on vain **ulkoista** (ekstrinsistä) mutta ei **sisäistä** (intrinsistä) kaarevuutta, toisin sanoen niiden kaarevuus ilmenee vain suhteessa tasoon tai avaruuteen, jossa ne sijaitsevat. Sitä vastoin pinnoilla voi olla myös sisäistä kaarevuutta, joka on puhtaasti pinnan sisäinen ominaisuus ja riippumaton siitä laajemmasta avaruudesta, johon pinta on upotettu. Carl Friedrich Gaussin mukaan nimetty Gaussin kaarevuus eli *kokonaiskaarevuus* on pääkaarevuuksien tulo, k_1 k_2. Sen dimensio on pituus-2, ja se on on positiivinen pallopinnalle, negatiivinen yksivaippaisille hyperboloideille ja nolla tasoille sekä myös lieriöille. Gaussin kaarevuus osoittaa, onko pinta lokaalisesti kupera (jolloin se on positiivinen) vai satulamainen (jolloin se on negatiivinen).

Gaussin kaarevuus on pinnan *sisäinen* (intrinsinen) ominaisuus, mikä merkitsee, että se voidaan määrittää tarkastelemalla vain pintaa itseään, mittaamalla siinä olevien pisteiden välisiä etäisyyksiä ja kulmia, ottamatta lainkaan huomioon laajempaa (kolmiulotteista) avaruutta, johon pinta sisältyy. Täten voidaan kuvitella, että pinnalla elävät muurahaiset voisivat määrittää pinnan kaarevuuden. Esimerkiksi jos pallopinnalla elävät muurahaiset kykenisivät mittaamaan kolmion kulmien summan, ne voisivat todeta, että se on suurempi kuin 180 astetta, mikä osoittaa, että pinnalla on positiivinen kaarevuus. Sitä vastoin lieriön pinnalla elävät muurahaiset eivät voisi todeta tällaista poikkeamaa euklidisesta geometriasta; erityisesti muurahainen ei voisi havaita, että lieriön pinnalla on tasosta poikkeava kaarevuus. Lieriön kuten muidenkin tasoittuvien pintojen kaarevuus onkin puhtaasti ulkoista kaarevuutta.

Muodollisesti Gaussin kaarevuus riippuu vain pinnan Riemannin metriikasta. Tämä on Gaussin kuuluisa *[[theorema egregium]]*, jonka hän päätyi tarkastellessaan matemaattiselta kannalta maantieteellisiä mittauksia ja karttojen laatimista.

Gaussin kaarevuuden intrinsinen määritelmä pisteessä *P* voidaan esittää seuraavasti: Kuvitellaan että muurahainen on kiinnitetty pisteeseen *P* lyhyellä langalla, jonka pituus on *r*. Oletetaan lisäksi, että se kiertää täyden kierroksen pisteen *P* ympäri langan ollessa koko ajan jännitettynä suurimpaan pituuteensa, ja samalla se mittaa tämän kierroksen pituuden C(r). Jos pinta on tasoittuva, kierroksen pituus on C(r) = 2\pi r. Kaarevalla pinnalla kierroksen pituus poikkeaa tästä eli *C*(*r*):n lauseke on toinen, ja pinnan Gaussin kaarevuus *K* pisteessä *P* voidaan laskea Bertrandin-Diguet'n-Puiseux'n lauseen avulla:

: K = \lim_{r\to 0^+} 3\left(\frac{2\pi r-C(r)}{\pi r^3}\right).

Gaussin kaarevuuden integraali koko pinnan yli liittyy läheisesti pinnan Eulerin karakteristikaan, minkä osoittaa Gaussin-Bonnet'n lause.

Gaussin kaarevuus pysyy muuttumattomana, jos pintaa taivutetaan venyttämättä Erityisen huomattava merkitys on sellaisilla pinnoilla, joiden Gaussin kaarevuus on pinnan jokaisessa kohdassa sama. Vain sellaisia pintoja pitkin voidaan suorittaa liikkeitä, joissa kuvio siirretään pintaa pitkin paikasta toiseen muuttamatta siinä olevien viivojen pituuksia tai kulmien suuruuksia. Tällaisia pintoja ovat esimerkiksi taso ja muut tasoittuvat pinnat sekä myös pallo ja pseudopallo.

Koska Gaussin kaarevuus voidaan määritellä tarkastelemalla pelkästään pintaa itseään, pintaa ei välttämättä tarvitse ajatella upotetuksi useampi­ulotteiseen avaruuteen, jotta se voisi olla kaareva. Tällainen intrinsisesti kaareva kaksi­ulotteinen pinta on yksinkertainen esimerkki Riemannin monistosta.

### Keskikaarevuus

Keskikaarevuus on *ulkoinen* (ekstrinsinen) kaarevuuden mitta, ja se on yhtä suuri kuin puolet pääkaarevuuksien summasta, \frac{k_1 + k_2}{2}. Sen dimensio on pituuden dimension käänteisarvo. Keskuskaarevuus liittyy läheisesti pinnan pinta-alan ensimmäiseen poikkeamaan. Erityisesti minimaalisten pintojen kuten kahden toisiaan koskettavan saippuakuplan välisen rajapinnan keskikaarevuus on nolla, kun taas erillisen saippuakuplan keskikaarevuus on nollasta poikkeava vakio. Toisin kuin Gaussin kaarevuus, pinnan keskikaarevuus on ekstrinsinen (ulkoinen) ominaisuus ja riippuu siitä laajemmasta avaruudesta, johon pinta on upotettu. Esimerkiksi lieriö ja taso ovat lokaalisti isomertisia, mutta tason keskikaarevuus on nolla, kun taas lierillä se on nollasta poikkeava.

### Esimerkkejä

Lieriön normaalikaarevuus se akselin suunnassa on nolla, sillä tässä suunnassa pinta ei kaareudu. Siihen nähden kohtisuorassa suunnassa sen sijaan lieriön kaarevuussäde on sama kuin sen pohjaympyrän säde *r*, joten sen kaarevuus on 1/*r*.  Näin ollen lieriön pääkaarevuudet ovat k_1=\frac{1}{r} ja k_2=0, sillä nämä ovat suurin ja pienin arvo, jonka sen normaalikaarevuus missään suunnassa saa. Tästä seuraa, että lieriön keskikaarevuus on \frac{k_1 + k_2}{2} = \frac{0 + \frac{1}{r}}{2} = \frac{1}{2r}, mutta sen Gaussin kaarevuus on k_1 k2 = 0, kuten edellä jo mainittiin.

pallopinnan normaalikaarevuus sen jokaisessa pisteessä on kaikissa suunnissa pallon säteen (*r*) käänteisarvo, *1/r*. Tämä arvo on myös pallopinnan molemmilla pääkaarevuuksilla ja myös keskikaarevuudella. Sen sijaan pallopinnan Gaussin kaarevuus on \frac{1}{r^2}.

Tason normaalikaarevuus on sen jokaisessa pisteessä nolla. Näin ollen myös sen keskikaarevuus ja Gaussin kaarevuus ovat nollia.

### Toinen perusmuoto

Pinnan sisäinen ja ulkoinen kaarevuus voidaan yhdistää **toiseksi perusmuodoksi**. Toinen perusmuoto on pintaa sen jossakin pisteessä sivuavalla tangenttitasolla määritelty neliömuoto, jonka arvo pinnan tangenttivektorilla **X** on käyrän kiihtyvyyden normaalikomponentti **X**:ää sivuavalla pinnalla. Toisin sanoen se on **X**:ää sivuavan käyrän normaalikaarevuus. Kaavana:

:\operatorname{I\!I}(\mathbf{X},\mathbf{X}) = \mathbf{N}\cdot (\nabla_\mathbf{X} \mathbf{X})

missä *N* on pinnan yksikkönormaali.  Jos tangenttivektorina **X** on yksikkötangenttivektori, käytetään kaarevuuden suurinta ja pienintä arvoa k_1 ja k_2, jotka esiintyvät perussunnissa **u**1 ja **u**2.  Niinpä pääakselilauseen mukaan
:\operatorname{I\!I}(\mathbf{X},\mathbf{X}) = k_1\left(\mathbf{X}\cdot \mathbf{u}_1\right)^2 + k_2\left(\mathbf{X}\cdot \mathbf{u}_2\right)^2.

Näin ollen toinen perusmuoto ilmaisee sekä pinnan sisäisen että ulkoisen kaarevuuden.

## Avaruuden kaarevuus

Samoin kuin taso, myös kolmi- tai useampi­ulotteinen avaruus voi olla sisäisesti kaareutuva. Kaarevuus on *sisäistä* (intrinsistä) siinä mielessä, että se on ominaisuus, joka on määritelty avaruuden jokaisessa pisteessä, eikä sitä näin ollen ole määritelty suhteessa mihinkään laajempaan avaruuteen, johon kaareutuvan avaruuden mahdollisesti oletetaan sisältyvät. Monessa tapauksessa kaareutuvan avaruuden kyllä voidaan ajatella jonkin laajemman useampi­ulotteisen avaruuden osajoukoksi, mutta näin ei välttämättä tarvitse olla, missä tapauksessa kaarevuus voidaan määritellä vain sisäisesti.

Sen jälkeen kun kaarevuudelle oli keksitty sisäinen (intrinsinen) määritelmä, joka läheisesti liittyy epä­euklidiseen geometriaan, monet matemaatikot ja tiedemiehet esittivät kysymyksen, olisiko myös todellinen fysikaalinen avaruus mahdollisesti kaareva. Euklidisen geometrian oli kuitenkin jo todettu kuvaavan todellisuutta niin hyvin, että mikäli avaruus on kaareva, sen kaarevuus­säteen olisi oltava tähti­tieteellisen suuri. Yleisessä suhteellisuus­teoriassa, joka kuvaa gravitaatiota ja kosmologiaa, ajatusta on yleistetty käsitykseen aika-avaruuden kaareutumisesta; teorian mukaan aika-avaruus on pseudoriemannilainen monisto. Kun aikakoordinaatti on määritelty, tiettyä ajanhetkeä vastaava kolmi­ulotteinen avaruus on yleensä kaareutuva Riemannin monisto, mutta koska aikakoordinaatti voidaan valita monin tavoin, fysikaalisesti merkitsevä on nimenomaan taustalla oleva aika-avaruuden kaarevuus.

Mielivaltainen kaareutuva avaruus on hyvin monimutkainen kuvailtavaksi. Jos avaruus kuitenkin lokaalisti isotrooppinen ja homogeeninen, sen kaarevuus voidaan ilmaista yhdellä Gaussin kaarevuudella samoin kuin pintojenkin. Matemaattisesti nämä ovat hyvin rajoittavia ehtoja, mutta  vastaavat järkeviä fysikaalisia oletuksia: kaikki pisteet ja kaikki suunnat ovat täysin toistensa kaltaisia. Positiivinen kaarevuus vastaa kaarevuus­säteen käänteis­arvon neliötä, mistä esimerkkejä ovat pallo ja hyperpallo. Sen sijaan esimerkiksi hyper­bolisen geometrian kuvaaman avaruuden kaarevuus on negatiivinen. Avaruutta tai aika-avaruutta, jonka kaarevuus on nolla, sanotaan *laakeaksi*. Esimerkiksi euklidinen avaruus on laakea, ja Minkowskin avaruus on laakea aika-avaruus. Mutta laakeita avaruuksia ja aika-avaruuksia on muitakin. Niinpä myös lieriön pinnalle ja torukselle voidaan määritellä laakea metriikka, mutta topologisesti ne eivät ole tason kaltaisia. Kaarevalla avaruudella voi olla vielä muunkinlaisia topologioita. Kysymys maailman­kaikkeuden muodosta koskee sitä, mikä niistä vastaa fyysistä todellisuutta.

## Yleistyksiä

Matemaattinen *kaarevuuden* käsite voidaan määritellä myös paljon yleisemmissä yhteyksissä. Monet näistä yleistyksistä perustuvat kaarevuuden eri näkökohtiin sellaisina kuin ne ymmärretään alemmissa ulottuvuuksissa.

Muuan tällainen yleistys on kinemaattinen. Käyrän kaarevuus voidaan luonnollisesti ymmärtää kinemaattisesti suureeksi, joka kuvaa sitä voimaa, jonka käyrää pitkin kulkeva havaitsija kokee. Anaglogisesti kaarevuus korkeammissa ulottuvuuksissa voidaan käsittää eräänlaiseksi vuorovesivoimaksi, mikä onkin yksi tapa ajatella sektionaalista kaarevuutta. Tämä kaarevuuden yleistys riippuu siitä, kuinka lähelle toisiaan tai kauas toisistaan koehiukkaset päätyvät, kun niiden annetaan liikkua vapaasti avaruudessa. Tähän liittyy Jacobin kentän käsite.

Toiseen laaja-alainen kaarevuuden käsitteen yleistykseen päädytään tutkimalla yhdensuuntaissiirtoa pinnalla. Esimerkiksi jos vektoria siirretään silmukan ympäri jollakin pinnalla siten, että koko ajan pysyy samansuuntaisena, sen lopullinen asema ei välttämättä ole sama kuin alkuperäinen. Tätä ilmiötä sanotaan holonomiaksi. Monet kaarevuuden käsitteen yleistykset sisältävät abstraktissa muodossa tämän ajatuksen kaarevuudesta holonomian mittana. Tähän läheisesti liittyvä kaarevuuden käsite sisältyy fysikaaliseen mittakenttäteoriaan, jossa kaarevuus kuvaa kenttää ja kentän vektoripotentiaali on suure, joka yleensä riippuu reitistä: se voi muuttua, jos havaitsija kiertää silmukan ympäri. 

Kaarevuuden yleistyksiä ovat myös skalaarikaarevuus ja Riccin kaarevuus. Kaarevalla pinnalla kuten pallopinnalla kiekon pinta-ala ei ole yhtä suuri kuin tasopinnalla olevan kiekon, jonka säde on sama. Skalaarikaarevuus mittaa tietyissä rajoissa tämä poikkeamaa. Kaarevalla pinnalla ja tasolla olevien kiekkojen sektoreiden pinta-alan mittana on Riccin kaarevuus. Sekä skalaari- että Riccin kaarevuus voidaan määritellä vastaavalla tavalla myös kolmessa tai useammassa ulottuvuudessa. Niillä on erityisen suuri merkitys yleisessä suhteellisuusteoriassa, jossa molemmat esiintyvät Einsteinin kenttäyhtälöissä sillä puolella, joka kuvaa aika-avaruuden geometriaa (yhtälöiden toinen puoli kuvaa aineen ja energian läsnäoloa). Näihin yleistyksiin perustuu esimerkiksi se käsitys, että kaarevuus voi olla metriikan ominaisuus.

Toinen kaarevuuden yleistys liittyy siihen, missä määrin jokin kaareutuva avaruus muistuttaa toista avaruutta, jonka kaarevuus on vakio. Tämä vertailu suoritetaan usein avaruuksiin piirrettyjen kolmioiden avulla. Kolmion käsite on merkityksellinen kaikissa metrisissä avaruuksissa, ja tähän perustuen voidaan muodostaa CAT(k)-avaruuksia.

## Lähteet

* 
* 
* 
* 
* 
* 

### Viitteet