Ympyrä

**Ympyrä** on geometriassa kaikkien niiden tason pisteiden joukko, joiden etäisyys annetusta pisteestä (ympyrän ''keskipisteestä'') on yhtä suuri kuin ympyrän säde *r*. Kehän pisteeltä toiselle kulkevaa janaa kutsutaan *[[Jänne (matematiikka)|jänteeksi]]*. *[[Halkaisija]]* on jänne, joka kulkee keskipisteen kautta. Ympyrän pyörähdyskappale sen keskipisteen kautta kulkevan suoran ympäri on pallo.

Ympyrän voidaan ajatella olevan erikoistapaus ellipsistä, joka on ympyrän ohella yksi kartioleikkauskuvio.

Ympyräksi kutsutaan usein myös ympyrän kehän sisään jäävää tason osaa eli **ympyräkiekon** aluetta, joka koostuu pisteistä, joiden etäisyys keskipisteestä on pienempi tai yhtä suuri kuin säde. Muun muassa metristen avaruuksien topologiassa ja kompleksianalyysissä alueesta käytetään nykyisin yleensä termiä kiekko.

Piirin ja halkaisijan suhde on vakio, pii, joka merkitään kreikkalaisella kirjaimella \pi\ \,.

## Ympyrän kehän pituus ja pinta-ala

Ympyrän kehän (piirin) pituus p saadaan kaavasta:
: p = 2 \pi r\ , jossa r on ympyrän säde ja \pi\ \,on vakio pii noin 3,14.
:

Voidaan myös ilmaista säde r ja halkaisijan d avulla, eli 2r = d:
: p = \pi d\ 

Ympyrän sisään jääneen alueen pinta-ala A saadaan kaavasta: 
:A = \pi{r^2}\,, missä r on ympyrän säde tai vastaavasti: 
:A = \frac{\pi}{4}d^2, jossa d on ympyrän halkaisija.

Jos ympyrän kehän pituus p tunnetaan, voidaan pinta-ala A laskea kaavasta:
:A = \frac{p^2}{4\pi}

Jos ympyrän halkaisija d ja kehän pituus p tunnetaan, voidaan
pinta-ala laskea (ilman lukua \pi) kaavasta:

:A = \frac{pd}{4}

Jos tarkastellaan vakiomittaisia sulkeutuvia käyriä, 
on ympyrä sellainen käyrän muoto, 
joka sulkee sisäänsä suurimman mahdollisen pinta-alan.

Matemaattisesti tämä isoperimetrisen epäyhtälön nimellä kulkeva tulos voidaan muotoilla seuraavasti. Olkoon p sulkeutuvan, jatkuvan ja itseään leikkaamattoman tasokäyrän eli Jordanin käyrän pituus ja A sen
rajaaman äärellisen tasoalueen pinta-ala. Tällöin
:\frac{p^2}{A}\geq 4\pi 
missä yhtäsuuruus pätee silloin ja vain silloin, kun kyseessä on ympyrä.

## Ympyrän kaari, sektori ja segmentti

Ympyrän kaari tarkoittaa ympyrän kehän osaa. Esim. sektori tai segmentti jakaa ympyrän kehän kahteen kaareen.

Ympyrän kaaren pituus saadaan jakamalla kaaren rajaavan keskuskulman asteluku 360 asteella ja kertomalla se tämän jälkeen ympyrän kehän pituuden kaavalla  p = 2 \pi r\ .

Ympyrän sektori tarkoittaa ympyrän kahden säteen ja niiden ympyrästä rajaaman kaaren sisälle jäävää aluetta.

Ympyrän sektorin pinta-ala saadaan jakamalla sektorin rajaavien säteiden muodostaman keskuskulman asteluku 360 asteella ja kertomalla se tämän jälkeen ympyrän pinta-alan kaavalla A = \pi{r^2}\,.

Ympyrän segmentti tarkoittaa ympyrän jänteen ja sen ympyrästä rajaaman kaaren sisälle jäävää aluetta.

## Ympyrän yhtälö kaksiulotteisessa reaaliavaruudessa
### Keskipisteen ja säteen avulla
Olkoon piste (x0,y0) ympyrän keskipiste, r ympyrän säde ja piste (x,y) mikä tahansa koordinaatiston piste. Jokaisen ympyrän kehän pisteen etäisyys ympyrän keskipisteestä on ympyrän säde eli r. Kuvitellaan suorakulmainen kolmio, jonka terävinä kulmina on pisteet (x0,y0) ja (x,y). Kolmion hypotenuusan pituus eli pisteiden etäisyys on Pythagoraan lauseen mukaan

:\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}

Koska etäisyyden tulee olla r, saadaan

:r = \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}

Korottamalla yhtälö puolittain toiseen saadaan hieman kätevämpi muoto

:r^2=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2\,\!

Josta saadaan poistamalla sulut potensseista ympyrän yhtälön normaalimuoto:

:x^2+y^2+ax+by+c=0\,\! , jossa a, b, c  ja r ovat reaalilukuja:

: a = -2x_0, b = -2y_0, c = x_0^2 + y_0^2 - r^2 

Jos ympyrän keskipiste on pisteessä (0,0), ts. origossa, on ympyrän yhtälö

:r^2=x^2+y^2\,\!

joka on parametrimuodossa:

:\left\{\begin{matrix}x = r\cos{t} \\ y = r\sin{t}\end{matrix}\right.

Napakoordinaattiesitys origokeskiselle ympyrälle on yksinkertaisesti: r = vakio

Kun ympyrän yhtälö tunnetaan, voidaan sen pinta-ala ja kehän pituus laskea myös integroimalla. Lisäksi voidaan johtaa kaavat pallon tilavuudelle ja pinta-alalle.

### Kolmen pisteen avulla
Jos kolmen pisteen koordinaatit, esimerkiksi kolmion kärjet, ovat konsykliset ja merkitään \scriptstyle P_1(x_1,y_1), \scriptstyle P_2(x_2,y_2) ja \scriptstyle P_3(x_3,y_3), voidaan ympyrän yhtälö kirjoittaa determinantilla
:\begin{vmatrix} x^2 + y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2 + y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2 + y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 + y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0, 
joka on evaluoituna
:a(x^2 + y^2) + b_xx + b_yy + c =0, 
missä
:a \equiv \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix},
*x:n* kerroin b_x saadaan matriisista
:D=\begin{bmatrix} x_1^2 + y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2 + y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 + y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\ \end{bmatrix}
jättämällä x_i termejä sisältävä sarake pois (vastaavasti b_y:n suhteen) determinantista
:b_x= - \begin{vmatrix} x_1^2 + y_1^2 & y_1 & 1 \\ x_2^2 + y_2^2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 + y_3^2 & y_3 & 1 \\ \end{vmatrix}
ja
:b_y=\begin{vmatrix} x_1^2 + y_1^2 & x_1 & 1 \\ x_2^2 + y_2^2 & x_2 & 1 \\ x_3^2 + y_3^2 & x_3 & 1 \\ \end{vmatrix},
ja vakiotermi *c*
:c \equiv - \begin{vmatrix} x_1^2 + y_1^2 & x_1 & y_1 \\ x_2^2 + y_2^2 & x_2 & y_2 \\ x_3^2 + y_3^2 & x_3 & y_3 \\ \end{vmatrix}.
Ympyrän yhtälö voidaan esittää keskipistemuodossa
:(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2, 
missä keskipisteen koordinaatit ovat
:x_0=-\frac{b_x}{2a}
ja
:y_0=-\frac{b_y}{2a}
sekä säde
:r=\frac{\sqrt{b_x^2+b_y^2-4ac}}{2|a|}. 

## Ympyrän kulmia

Ympyrän kehäkulmaksi kutsutaan sellaista ympyrän kulmaa, jonka kärkipiste on ympyrän kehällä ja jonka molempien kylkien osana on jänne tai jonka toisen kyljen osana on jänne ja toinen kylki on tangentilla. Keskuskulma taas tarkoittaa sellaista ympyrän kulmaa, jonka kärki on ympyrän keskipisteessä. Tangenttikulma tarkoittaa kulmaa, joiden kyljet ovat tangenteilla.

## Neljä ympyrää

Piirrettäessä neljä samanlaista ympyrää sivuamaan toisia siten, että ympyröiden keskipisteet muodostavat neliön, on ympyröiden väliin jäävän alueen (merkitty harmaalla) pinta-ala

: A = (4 - \pi) r^{2},

missä r on kunkin ympyrän säde.

## Seitsemän ympyrää

Ympyrän ympärille voidaan piirtää tiiviiksi ryhmäksi kuusi muuta samanlaista ympyrää siten, että kukin lisätty ympyrä sivuaa kahta muuta ja keskusympyrää.

Mikäli ympäröivien ympyröiden säde on kaksi kertaa niin suuri kuin keskusympyrän säde r, ympäröivien ympyröiden määräksi tulee viisi. Jos ympäröivien ympyröiden säde on r/2, niitä mahtuu kuvioon kymmenen.

## Ympyrä ja neliö

Mikäli ympyrällä ja neliöllä on viisi yhteistä pistettä kuvan osoittamalla tavalla, niin ympyrän säteen ja neliön sivun suhde on 5/8.

## Ympyrä ja paraabeli

Sellaisten pisteiden ura, jotka ovat yhtä kaukana ympyrästä ja x-akselista, on paraabeli. Kuvioita on kaksi, ja niitä kuvaavat yhtälöt

: y = \pm {x^2 - r^2 \over 2r}

## Katso myös
* Pisteen potenssi
* Ympyrän keskipisteen konstruointi

## Lähteet

## Kirjallisuutta
* 
* 
* 

## Aiheesta muualla

* Opetusvideo ympyrän kehän ja kaaren pituudesta
* Opetusvideo ympyrään liittyvistä käsitteistä
* Opetusvideoita ympyrään liittyvistä pinta-aloista
* Ympyrän pinta-alan laskeminen