Kannanvaihto

**Kannanvaihto** tarkoittaa lineaarialgebrassa siirtymistä vektoriavaruuden kannasta toiseen. Kannanvaihto muuttaa vektorien koordinaatteja ja lineaarikuvausten matriiseja. Kannanvaihdon hyödyllisyys tulee esille silloin, kun laskutoimitukset yksinkertaistuvat kannasta toiseen siirryttäessä.

## Kannanvaihtomatriisi
Kannanvaihtomatriisi on yksikäsitteinen ja säännöllinen neliömatriisi, joka muuttaa vektorien koordinaatit vanhan kannan suhteen ilmaistuista koordinaateista uuden kannan mukaisiksi.

### Kannanvaihtomatriisin määritelmä
Olkoot S=(\vec u_{1},...,\vec u_{n}) ja T=(\vec v_{1},...,\vec v_{n}) vektoriavaruuden V kaksi kantaa. Kannanvaihtomatriisi kannasta S kantaan T on nxn-matriisi, jonka sarakkeina on kannan S vektoreiden koordinaattivektorit kannan T suhteen ja josta käytetään merkintää M(T←S). Kaikille vektoriavaruuden V vektoreille \vec x pätee [\vec x]_{T}=M(T←S)[\vec x]_{S}, missä [\vec x]_{T} on vektorin \vec x koordinaattivektorin kannan T suhteen ja [\vec x]_{S} vektorin \vec x koordinaattivektorin kannan S suhteen.

### Menetelmä kannanvaihtomatriisin määrittämiseksi
Kannanvaihtomatriisin M(T←S) saa määritettyä muuntamalla matriisin [M(E←T)|M(E←S)] redusoituun porrasmuotoon [In|A], missä E=(\vec e_{1},...,\vec e_{n}) on vektoriavaruuden luonnollinen kanta. Tällöin A=M(T←S).

## Esimerkkejä

### Esimerkki 1
Olkoon E=(\vec e_{1},\vec e_{2},\vec e_{3}) vektoriavaruuden R3 luonnollinen kanta ja olkoon S=(\vec u_{1},\vec u_{2},\vec u_{3}) vektoriavaruuden R3 toinen kanta, jossa  \vec u_{1}=\begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 4\end{bmatrix}^{T},  \vec u_{2}=\begin{bmatrix} 0 \ 1 \ 1\end{bmatrix}^{T} ja  \vec u_{3}=\begin{bmatrix} 1 \ 3 \ 3\end{bmatrix}^{T}. Tässä tapauksessa kannanvaihtomatriisi M(E←S) on helppo muodostaa, koska kannan S vektorien koordinaattivektorit kannan E suhteen ovat suoraan kannan S vektorit. Sama pätee aina luonnolliseen kantaan siirtyessä. Nyt siis
:M(E←S)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 3 \end{bmatrix}.

### Esimerkki 2
Olkoot S=(\vec u_{1},\vec u_{2}) ja T=(\vec v_{1},\vec v_{2}) vektoriavaruuden R2 kantoja, joille \vec u_{1}=\begin{bmatrix} 2 \ 1 \end{bmatrix}^T, \vec u_{2}=\begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}^T, \vec v_{1}=\begin{bmatrix} 1 \ -1 \end{bmatrix}^T ja \vec v_{2}=\begin{bmatrix} 2 \ 3 \end{bmatrix}^T. Olkoon lisäksi \vec a=\begin{bmatrix} 1 \ 5 \end{bmatrix}^T. Määritetään kannanvaihtomatriisi M(T←S) muuntamalla matriisi \begin{bmatrix} 1 & 2 & | & 2 & 0 \\ -1 & 3 & | & 1 & 1 \end{bmatrix}
redusoituun porrasmuotoon \begin{bmatrix} 1 & 0 & | & 4/5 & -2/5 \\ 0 & 1 & | & 3/5 & 1/5 \end{bmatrix}. Tällöin M(T←S)=\begin{bmatrix} 4/5 & -2/5 \\ 3/5 & 1/5 \end{bmatrix}. Vektorin \vec a  koordinaattivektoriksi kannan S suhteen saadaan laskemalla [\vec a ]_{S}=\begin{bmatrix} 1/2 \ 9/2 \end{bmatrix}^T. Lasketaan vektorin \vec a  koordinaattivektori kannan T suhteen kannanvaihtomatriisin M(T←S) avulla. Saadaan
:[\vec a]_{T}=M(T←S)[\vec a]_{S}=\begin{bmatrix} 4/5 & -2/5 \\ 3/5 & 1/5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1/2 \\ 9/2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -7/5 \\ 6/5 \end{bmatrix}.

## Lähteet

## Kirjallisuutta
*Bernard Kolman ja David R. Hill: Elementary Linear Algebra with Applications, Ninth Edition, Pearson Education, 2008.
*David Poole: Linear Algebra - A Modern Introduction, Second Edition, Brooks/Cole, 2006.