Janan keskipiste

**Janan keskipiste** on geometriassa jakopiste, joka sijaitsee janalla ja on yhtä etäällä kummastakin janan päätepisteestä. Se voidaan sanoa myös, että keskipiste jakaa janan kahteen osaan, jotka ovat yhtäpitkät. Janalla on vain yksi keskipiste.

## Eukidisessa tasossa

Keskipisteen määrittämisen geometrinen konstruktio perustuu ajatukseen, että keskipiste sijaitsee yhtä kaukana janan päätepisteistä. Koska etäisyyttä ei tiedetä, käytetään hyväksi keskinormaalin ominaisuuksia. Keskinormaalin kaikki pisteet sijaitsevat yhtä etäällä janan päätepisteistä. Yksi keskinormaalin pisteistä on janan keskipiste, joka löytyy janan ja keskinormaalin leikkauspisteessä.

Viedään harpin neula ensin janan toiseen päätepisteeseen ja avataan sille janan pituus viemällä sen kynäpää janan vastakkaiseen päätepisteeseen. Tässä asennossa piirretään puoliympyrän kaari janan ylä- ja alapuolelle. Vaihdetaan harpin neula vastakkaiseen päätepisteeseen, ja vedetään siitä samansäteinen ympyränkaaren puolikas siten, että ensimmäinen ja toinen kaari leikkaavat kahdesti toisensa. Näiden leikkauspisteiden kautta vedetään viivaimella suora, joka leikkaa jaettavan janan puoliksi.

## Analyyttinen geometria
Analyyttisessä geometriassa pisteiden paikat ilmaistaan mitattavilla koordinaateilla. Koordinaatit ilmaisevat paikkaa avaruudessa, jonka ulottuvuus määrää tarvittavien koordinaattien lukumäärän. Kouluopetuksessa tuttu taso vaatii pisteelle kaksi koordinaattia (x,y), koska taso on kuin kaksiulotteinen avaruus \R^2. Kolmiulotteinen tila \R^3 vaatii kolme koordinaattia (x,y,z) kullekin pisteelle.

### Lukusuora
Lukusuoraa voidaan pitää euklidisena yksiulotteisena avaruutena \R. Kaksi kohtaa x1 ja x2 lukusuoralla vastaavat tällöin avaruuden pisteitä ja niiden väli avaruuden janaa. Silloin niiden välinen keskikohta ***m***, joka lasketaan lukujen keskiarvona, on yhtä etäällä kummastakin kohdasta:
:m = \frac{x_1 + x_2}{2}.

### Taso

Tason kaksiulotteinen euklidisessa avaruudessa janan keskipiste ilmaistaan päätepisteiden (x1, y1) ja (x2, y2) x-koordinaattien keskiarvona ja y-koordinaattien keskiarvona:
:M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right). 

### Tila ja n-ulotteinen avaruus
Tilan kolmiulotteisessa avaruudessa janan keskipiste lasketaan vastaavasti keskiarvoilla:
:M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right). 

Kun avaruuden ulottuvuudet kasvavat lisää, tarvitaan lisää koordinaatteja. Keskipisteen laskutapa säilyy kuitenkin analogisena ja on **'n**'-ulotteisessa avaruudessa:
:M = \left(\frac{x_{1_1} + x_{1_2}}{2}, \frac{x_{2_1} + x_{2_2}}{2}, \frac{x_{3_1} + x_{3_2}}{2}, \dots , \frac{x_{n_1} + x_{n_2}}{2} \right).

## Nimitys
Nimitystä keskipiste käytetään myös esimerkiksi ympyrälle ja kolmiolle, vaikka ne määritellään niille eri tavalla. Koska näille monissa kielissä on eri nimiä, voidaan suomalaista *keskipiste*-sanaa pitää kansanomaisena ja sen syvempi merkitys on riippuvainen asiayhteydestä. Tasokuvioiden *keskipistettä* kutsutaan *centroid*-tyyppisillä nimillä, koska sillä tarkoitetaan sisäalueen *keskusta*. Monissa tapauksissa keskustalla on läheinen yhteys painopisteen kanssa.

## Katso myös
* Keskijana

## Lähteet
* 

### Viitteet