Heinen–Borelin lause

**Heinen–Borelin lause** on metristen avaruuksien topologiaan liittyvä perustulos, joka on tärkeä mm. reaalianalyysissä. Se on nimetty Eduard Heinen ja Émile Borelin mukaan. 

Yksinkertaisimmassa muodossaan lause sanoo, että jos reaalilukujen joukossa jollekin suljetulle välille voidaan muodostaa avoimista väleistä koostuva peite, sillä on äärellinen osapeite.

Lause voidaan yleistää myös useampiulotteisiin euklidisiin avaruuksiin \mathbb{R}^n. Jos *S* on jokin \mathbb{R}^n:n osajoukko, seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä:
**S* on suljettu ja rajoitettu joukko
*Jokaisella joukon *S* avoimista joukoista muodostetulla peitteellä on äärellinen osapeite, siis *S* on kompakti.

Lause voidaan edelleen yleistää koskemaan kaikkia metrisiä avaruuksia. Ylimmässä muodossaan lause sanoo:
*Metrisen avaruuden osajoukko on kompakti, jos ja vain jos se on  täydellinen ja täysin rajoitettu.

## Todistus avaruudessa '''R'''<sup>''n''</sup>

### Kompakti joukko on suljettu

Olkoon *S* kompakti joukko joka ei ole suljettu. Tällöin on olemassa kasautumispiste *a*, joka ei kuulu joukkoon  *S*. Valitaan peite  C=\bigcup_{\{x \in S\} } B_x , missä jokainen *B*x on pisteen *x* ympäristö, joka on erillinen jostakin pisteen *a* ympäristöstä. Olkoon *C*1 jokin tämän peitteen äärellinen osapeite. Kuitenkin nyt löytyy jokaista  B_x\in C_1 kohti pisteen *a* ympäristö  B^1_x, joka ei leikkaa joukkoa *B*x. Näiden ympäristöjen leikkaus \bigcap B^1_x  sisältää pisteen b \in S, mutta b\notin \bigcup C_1. Siis C_1 ei ole joukon *S* peite. Tämä on ristiriita ja täten väite on tosi.

### Kompakti joukko on rajoitettu

Valitaan kompaktille joukolle *S* peite  C=\{B(x,2) : x \in Z^n\}. Tällöin on olemassa äärellinen peite  C\subset C^1. Joukon   *S* halkaisijaa voidaan arvioida ylöspäin seuraavasti:

: d(S) \le d(\bigcup C^1)\le \sum_{B\in C^1} 2 \le \infty .

Siis  *S* on rajoitettu.

### Kompaktin joukon suljettu osajoukko on kompakti

Olkoon *S* kompaktin joukon *T* suljettu osajoukko, jonka komplementti *U* on avoin ja *C* joukon *S* avoin peite.  Tällöin peite  C^1 = C \cup \{U\}  on joukon *T* avoin peite. Kompaktiuden nojalla löytyy joukon *T* peite *C*2, joka on peitteen *C*2 osapeite. Peite C \setminus \{U\} on peitteen *C* avoin, äärellinen osapeite.

### Suljettu ja rajoitettu joukko on kompakti

Olkoon *S* rajoitettu ja suljettu osajoukko avaruudessa **R***n*. Nyt *S* on osajoukko jossakin joukosta
:  T_0 = [-a, a]^n
Yllä todetun nojalla riittää osoittaa, että *T*0 on kompakti.

Oletetaan, että *T*0 ei ole kompakti. Tällöin on olemassa avoin peite *C*, jolla ei ole äärellistä osapeitettä. Jakamalla jokainen sivu kahtia saadaan 2*n* pienempää n- laatikkoa, joista vähintään yhdellä ei ole äärellistä peitteen *C* osapeitettä. Kutsutaan yhtä tällaisista joukoista nimellä *T*1. Vastaavasti laatikon *T*1 sivut voidaan halkaista, mistä saadaan 2*n* pienempää n-laatikkoa, joista yhdellä ei ole äärellistä peitteen *C* osapeitettä. Annetaan tälle joukolle nimi *T*1. Tällä tavalla jatkamalla saadaan jono suljettuja n-laatikoita, joista jokainen sisältyy jonon aikaisempiin jäseniin.

: T_0 \supset T_1 \supset T_2 \supset \ldots \supset T_k \supset \ldots 

Tässä joukon *T**k*  sivun pituus  lähestyy lukua 0, kun *k* kasvaa rajatta.
Poimitaan joukosta *T*k alkio *x*k kaikilla *k*. Tämä jono on Cauchy-jono, joten sillä on raja-arvo *p*. 
*p*&nbsp;∈&nbsp;*T*k kaikilla *k*, koska *T*k on suljettu ja sisältää koko jonon lukuun ottamatta sen ensimmäisiä alkioita.

Koska *C* peittää joukon *T*0, se sisältää avoimen joukon *U*, jolle pätee *p*&nbsp;∈ *U*&nbsp;∈ *C*. Koska *U* on avoin, jokin *p*-keskeinen kuula . Nyt voidaan valita *k* siten että . Tällöin kuitenkin joukolla *T**k* on peitteen *C* äärellinen osapeite \{U\}, mikä on ristiriita.

Siten *T* on kompakti, mistä seuraa, että  *S* on kompakti, MOT.

Vaihtoehtoinen todistus hoitaisi ensin yksiulotteisen avaruuden jollain toisella menetelmällä. Sitten yleiselle *S* voisi päätellä, että sen jokaisella jonolla olisi osajono, jonka ensimmäiset koordinaatit suppenevat, sillä osajono, jonka toiset koordinaatit suppenevat, jne. Siis *S* olisi jonokompakti, joten *S* olisi kompakti.

## Lähteet

## Kirjallisuutta
*