Jännitys-venymäkäyrä

**Jännitys-venymäkäyrä** on kuvaaja, joka osoittaa annetun materiaalin venymän riippuvuuden siihen kohdistuvasta jännityksestä. Se saadaan määritetyksi veto­kokeella, jossa koe­kappaleeseen kohdistetaan yhä suurempi venyttävä jännitys, joka mitataan samoin kuin sen aikaansaama venymäkin. Tästä käyrästä ilmenevät monet materiaalin ominaisuudet kuten sen kimmomoduuli, myötöraja ja vetolujuus.

## Määritelmä
Yleisessä mielessä mitä tahansa käyrää, joka osoittaa yhteyden jännityksen ja minkä tahansa muodon­muutoksen välillä, voidaan pitää jännitys-venymä­käyränä. Jännitys ja venymä voivat olla pitkittäisiä, poikittaisia tai niiden yhdistelmiä, ne voivat kohdistua yhteen tai useampaan kappaleen läpi kulkevaan akseliin, ja ne voivat myös muuttua ajan kuluessa. Muodonmuutos voi olla esimerkiksi puristus, venyminen, kiertyminen tai nurjahdus. Ellei toisin mainita, jännitys-venymä­käyrät liittyvät kuitenkin nimen­omaan yhteyteen akselin suuntaisen normaali­jännityksen ja normaali­venymän väliseen yhteyteen, joka määritetään vetokokeella.

### Jännitys ja venymä
Tarkastellaan sauvaa, jonka poikkipinta-ala on A_0 ja jonka kumpaankin päähän kohdistuu vetävä voima F, joka pyrkii venyttämään sauvaa. Materiaaliin kohdistuu jännitys, joka märitellään voiman suhteena sauvan poikkipinta-alaan:

:\sigma = \frac{F}{A_0}.

Sen vaikutuksesta kappaleen pituus kasvaa suhteellisesti määrän 
:\varepsilon = \frac{L-L_0}{L_0} = \frac{\Delta L}{L_0}
verran.

Alaindeksi 0 tarkoittaa sauvan alkuperästä pituutta. SI-järjestelmässä jännityksen yksikkö on newton neliömetriä kohti eli pascal (1 Pa = 1 N/m2). Sauvan suhteellinen venymä eli sen pituuden muutoksen suhde sen alkuperäiseen pituuteen taas on dimensioton suure. Jännitys-venymä­käyrä saadaan venyttämällä sauvaa yhä enemmän, kunnes se lopulta katkeaa. Käyrä on tapana esittää niin, että kaavion vaakasuora akseli esittää venymää, pystysuora jännitystä. Sauvaa venytettäessä se yleensä samalla ohenee, mutta tämä voidaan teknisissä sovelluksissa usein jättää huomiotta. Jos käyrä näin piirretään olettamalla, ettei sauvan paksuus muutu, sitä sanotaan *tekniseksi  jännitys-venymä­käyräksi*. Jos tämä oheneminen otetaan huomioon, saadaan *todellinen jännitys-venymä­käyrä*.  Ellei toisin mainita, yleensä käytetään teknistä jännitys-venymä­käyrää.

### Todellinen jännitys ja venymä

Koska sauvaa venytettäessä sen poikkipinta-ala pienenee ja jo tapahtunut venyminen vaikuttaa myöhempään venymiseen, todellinen jännitys ja venymä eroavat teknisestä jännityksestä ja venymästä.

:\sigma_\text{t} = \frac{F}{A}
:\varepsilon_\text{t} = \int\frac{\delta L}{L}

Tässä mittasuhteet ovat hetkellisiä arvoja. Jos oletetaan, että kappaleen tilavuus pysyy vakiona ja muodonmuutos tapahtuu kaikkialla yhtäläisesti, saadaan

:A_0 L_0 = A L

Todellinen jännitys ja venymä voidaan ilmaista teknisen jännityksen ja venymän avulla Todelliselle jännitykselle saadaan lauseke

:\sigma_\text{t} = \frac{F}{A}=\frac{F}{A_0} \frac{A_0}{A} = \frac{F}{A_0} \frac{L}{L_0} = \sigma (1 + \varepsilon)

ja venymälle

:\delta \varepsilon_\text{t} = \frac{\delta L}{L}

Kun yhtälön molemmat puolet integroidaan käyttämällä sopivaa reunaehtoa saadaan:

:\varepsilon_\text{t} = \ln\left(\frac{L}{L_0}\right)=\ln(1+\varepsilon)

Niinpä vetokokeessa todellinen jännitys on teknistä jännitystä suurempi ja todellinen venymä teknistä venymää pienempi. Niinpä todellisen jännitys-venymäkäyrän pisteitä on siirrettävä ylöspäin ja vasemmalle, jotta ne muodostavat teknisen jännitys-venymäkäyrän. Ero todellisen ja teknisen jännityksen ja venymän välillä kasvaa plastisessa muodonmuutoksessa. Pienillä venymillä, joissa muodonmuutos on kimmoinen, ero käyrien välillä on merkityksettömän pieni. Murtolujuuspiste on teknisen jännitys-venymä­käyrän maksimikohta, mutta se ei ole mikään todellisen jännitys-venymä­käyrän erikoispiste. Koska tekninen jännitys on verrannollinen kappaleeseen kohdistuvaan voimaan, kurouma syntyy, jos  \delta F = 0.

:\delta F =\sigma_\text{t} \, \delta A + A \, \delta\sigma_\text{t} = 0 

:-\frac{\delta A}{A} = \frac{\delta \sigma_\text{t} }{\sigma_\text{t}} 

Tämä analyysi kuvaa murto­lujuus­pisteen luonnetta. Siinä kohdassa kappaleeseen kohdistuva venyttävä voima kasvaa tarkalleen samassa suhteessa kuin sen poikkipinta-ala pienenee.

Kun kurouma on muodostunut, kappaleen muoto ei sitä lisää venytettäessä muutu joka kohdasta yhtä paljon, eivätkä edellä olevat yhtälöt näin olleen enää päde. Kuroumasa jännitys ja venymä voidaan ilmaista lausekkeilla:

:\sigma_\text{t} = \frac{F}{A_\text{neck}}
:\varepsilon_\text{t} = \ln\left(\frac{A_0}{A_\text{neck}}\right)

Todellisen jännityksen ja venymän väliselle yhteydelle käytetään usein empiiristä yhtälöä:

:\sigma_\text{t} = K (\varepsilon_\text{t})^n 

Tässä n on venymä-kovettumiskerroin ja  K lujuuskerroin. Kerroin n on mitta materiaalin kovenemiselle siihen kohdistuvan työn vaikutuksesta. Materiaalit, joilla n, pystyvät voimakkaammin vastustamaan kuroutumista. Metalleilla n on huoneenlämmössä tyypillisesti välillä 0,02 ... 0,5.

## Käyrän osat

Oheinen kuvio esittää tyypillistä vähähiilisen teräksen jännitys-venymä­käyrää huoneenlämmössä. Käyrä jakautuu useampaan osaan, jossa teräs käyttäytyy eri tavoin, mikä viittaa erilaisiin mekaanisiin ominaisuuksiin. Kaikilla materiaaleilla eivät kuitenkaan kaikki tämän kaavion osat ole selvästi toisistaan erotettavissa; jotkin niistä saattavat puuttuakin, tai käyrän eri osat saattavat olla hyvin erilaisia.

Käyrän ensimmäinen osa on lineaarisen kimmoisuuden alue. Tällä alueella kappaleeseen, esimerkiksi sauvaan, kohdistuva jännitys ja sen venymä ovat suoraan verrannollisia, toisin sanoen materiaali noudattaa Hooken lakia, ja käyrän kulmakertoimen osoittaa materiaalin kimmomoduuli eli Youngin moduuli. Tällä alueella muodonmuutokset ovat kimmoisia, eli jos jännitys poistetaan, kappale palaa muodoltaan ennalleen. Käyrän suora osuus päättyy suhteellisuusrajaan &sigma;E. Hieman suhteellisuusrajaa korkeampia on kimmoraja &sigma;k ja myötöraja &sigma;m.  Jos kimmoraja ylittyy, kappale ei enää jännityksen lakatessa palaakaan entiselleen, vaan muodonmuutos jää pysyväksi. Jos myötörajakin ylittyy, kappaleen venymä voi kasvaa, vaikka jännitystä ei enää lisätäkään. Tällöin on tultu *myötöalueelle*.

Jos jännitys yhä kasvaa, tullaan *tasaisen plastisen venymän alueelle*, oheisessa kaaviossa alueelle 4. Siellä venymä kasvaa ei-lineaarisesti jännityksen funktiona. Tämä alue päättyy käyrän maksimikohtaan, jota vastaava jännitys on nimeltään murtolujuus, &sigma;M.  Sen oikealla puolella on vielä alue 5, *kuroumavenymän alue*.  Tällä alueella sauva venyy paikallisesti ja ohenee eli *kuroutuu* samalla venymäkohdistaan. Täten tekninen jännitys, voima sauvan alkuperäistä poikkipinta-alaa kohti, alkaa jo vähetä, joskin todellinen jännitys, voima sen kuroutuman poikkipinta-alaa kohti, yhä kasvaa. Näin jatkuu, kunnes sauva lopulta katkeaa. Jännitys-venymäkäyrä päättyy oikealla tähän katkeamis­pisteeseen.

## Luokittelu

Jännitys-venymäkäyrän muodon perusteella materiaalit voidaan jakaa kahteen suureen ryhmään: venyviin ja hauraisiin materiaaleihin.

### Sitkeät materiaalit
Venyviä materiaaleja ovat esimerkiksi rakenneteräkset ja monet muiden metallien seokset. Niille luonteenomainen piirre on nyyden kyky myötää tavanomaisissa lämpötiloissa.

Vähähiilisillä teräksillä jännitys ja venymä ovat varsin tarkoin suoraan verrannollisia tarkoin määritettävissä olevaan myötörajaan saakka.  Tämä jännitys-venymäkäyrän lineaarinen osa vastaa kimmoista aluetta, ja sen suoran kulmakerroin on materiaalin kimmomoduuli eli Youngin moduuli. Monilla venyvillä aineilla kuten useilla metalleilla, polymeereilla ja kerameilla on niin ikään selvä myötöraja. 

Myötörajan jälkeen käyrä usein alenee hieman, koska dislokaatiot siirtyvät pois Cottrellin atmosfääristä. Kun muodonmuutos jatkuu, jännitys kasvaa venytyskovenemisen vuoksi, kunnes saavutetaan materiaalin murtolujuutta vastaava kohta. Tähän saakka sauvan poikkipinta-ala pienenee tasaisesti Poissonin kontraktioiden vuoksi. Tämän pisteen jälkeen sauva alkaa kuroutua ja lopulta katkeaa.

Venyvien materiaalien kuroutuminen liittyy systeemin geometriseen epävakauteen. Materiaalin luonnollisen epähomogeenisuuden vuoksi siinä on usein alueita, joissa sen pinnalla esiintyy huokoisuutta. Silloin venyminen keskittyy näihin kohtiin, joissa sen vuoksi myös poikkipinta-ala tulee pienemmäksi kuin muualla. Niin kauan kuin venymä on murtolujuutta vastaavaa venymää pienempi, työkovuuden kasvaa nopeammin kuin poikkipinta-ala pienenee, minkä vuoksi tällä alueella muodonmuutoksia ei helposti tapahdu. Venymän kasvaessa työkovenemisen kasvu kuitenkin vähenee, niin että poikkpinta-alan pienemeninen keskittyy yhä enemmän niihin kohtiin, joissa se ennestäänkin on ollut pienempi kuin muualla. Täten syntyy kuroutuma, joka tulee yhä kapeammaksi, kunnes sauva lopulta katkeaa.

Venyvien materiaalien jännitys-venymäkäyrälle antaa hyvän likiarvon Rambergin-Osgoodin yhtälö

:\epsilon = \frac{\sigma}{E} + 0,002\left(\frac{\sigma}{S_{ty}}\right)^{1/n}, 

missä &epsilon; on sauvan suhteellinen venymä, &sigma; siihen kohdistuva jännitys, *E* materiaalin kimmomoduuli, *S*ty sen murtolujuus ja *n* materiaalin kovenemista venytettäessä kuvaava eksponentti

: n = \frac {\log{(\sigma_2/\sigma_1)}}{\log{(\epsilon_2/\epsilon_1)}}

missä (&sigma;1, &epsilon;1) ja (&sigma;2, &epsilon;2) ovat kaksi käyrän plastisella alueella olevaa pistettä.

Materiaalin sitkeydellä tarkoitetaan sitä, kuinka suuri työ on tehtävä siitä koostuvan kappaleen murtamiseksi eli minkä verran siihen tarvitaan energiaa. Sitkeyttä kuvaa jännitys-venymäkäyrän alle jäävän alueen pinta-ala eli jännityksen integraali venymän suhteen, onhan työ fysiikassa yleensäkin yhtä suuri kuin vaikuttavan voiman ja kappaleen kulkeman matkan tulo. Tässä tapauksessa matkaa vastaa kappaleen venymä eli sen toisen pään kulkema matka.

### Hauraat materiaalit
Hauraita materiaaleja ovat esimerkiksi valurauta, lasi ja kivi. Niitä luonnehtii se seikka, että jännityksen kasvaessa ne murtuvat ilman, että venymisvauhti olisi sitä ennen mitenkään havaittavasti muuttunut. Niillä siis murtolujuus on vain vähän myötörajaa suurempi, tai myötöaluetta ei ole ollenkaan, vaan materiaali murtuu heti myötörajan ylityttyä.

Esimerkiksi betonilla ja hiilikuidulla ei ole selvää myötärajaa, eivätkä ne kuroudu venytettäessä. Sen vuoksi niillä vetolujuus on yhtä suuri kuin murtoluvuus. Monilla haurailla materiaaleilla kuten lasilla ei lainkaan esiinny plastisia muodonmuutoksia, vaan muodonmuutos pysyy murtumiseen saakka kimmoisena. Yksi hauraan murtumisen tuntomerkeistä on, että kaksi kappaleen murtuessa syntynyttä osasta voidaan asettaa toistensa viereen siten, että ne yhdessä muodostavat alkuperäisen kappaleen muotoisen kokonaisuuden, sillä kuroutumista ei ole missään vaiheessa tapahtunut. Joillakin materiaaleilla kuten betonilla vetolujuus on paljon pienempi kuin puristuslujuus, ja monissa teknisissä sovelluksissa niiden vetolujuuden voidaan katsoa olevan nolla. Lasikuidulla on suurempi vetolujuus kuin teräksellä, mutta tavallisella lasilla niin ei yleensä ole. Tämä johtuu materiaalin muodonmuutoksiin liittyvästä jännitysintensiteettitekijästä. Samasta materiaalista tehdyistä kappaleista suuremmalla muodonmuutoksetkin ovat suurempia. Yleensä köyden vetolujuus on aina pienempi kuin sen yksittäisten säikeiden vetolujuuksien summa. 

## Lähteet

## Aiheesta muualla