Momentti (tilastotiede)

**Momentti** on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaismuuttujan jakaumasta määritelty tunnusluku, joka luonnehtii jakaumaa erityisellä tavalla. Yleisimmät momentit sisältyvät *origomomentteihin*, *keskusmomentteihin* ja *tekijämomentteihin*. Kuhunkin ryhmään sisältyy numeroituvasti ääretön määrä erilaisia momentteja.

## Momentti eli origomomentti
Tavallinen momentti eli origomomentti määritellään diskreetin satunnaismuuttujan X tapauksessa
:E(X^r)=\sum_{x \in \Omega} x^r p(x). 
Kun satunnaismuuttujalla on perusjoukossaan vain äärellinen määrä arvoja, voidaan momentti aina laskea. Mikäli perusjoukossa on numeroituvasti ääretön määrä arvoja, saadaan summa laskettua, mikäli se suppenee itseisesti.

Jatkuvan satunnaismuuttujan Y tapauksessa momentti lasketaan
:E(Y^r)=\int_{-\infty}^\infty y^r f(y)\, \mathrm{d}y , 
mikäli epäoleellinen integraali on itseisenä olemassa. Origomomentti voidaan merkitä myös E(X^r)=\langle x^r \rangle . 

Kullekin eksponentin r positiiviselle kokonaislukuarvolle voidaan määritellä momentti E(X^r). Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa ne määritellään (r \in \{1,2,...\} , \; \mu_i:t ovat vaihtoehtoisia merkintöjä)
:r=1: \; \mu =E(X^1)=E(X)=\int_{-\infty}^\infty x f(x)\, \mathrm{d}x , jota kutsutaan odotusarvoksi.
:r=2: \; \mu_2 =E(X^2)=\int_{-\infty}^\infty x^2 f(x)\, \mathrm{d}x , jota kutsutaan *toiseksi momentiksi*.
:r=3: \; \mu_3 =E(X^3)=\int_{-\infty}^\infty x^3 f(x)\, \mathrm{d}x , jota kutsutaan *kolmanneksi momentiksi*.
:r=n: \; \mu_n =E(X^n)=\int_{-\infty}^\infty x^n f(x)\, \mathrm{d}x , jota kutsutaan *n:nneksi momentiksi*.

Vastaavasti voidaan määritellä momentit diskreetin satunnaismuuttujan tapauksessa. Eräs tapa tuottaa jakauman kaikki momentit on käyttää momenttifunktiota. Se määritellään diskreetissä tapauksessa
:E(e^{tX})=\sum_{x \in \Omega} e^{tx} p(x)
ja jatkuvassa tapauksessa
:M(t)=E(e^{tX})=\int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x)\, \mathrm{d}x 
::=1+t\mu_1+\tfrac{1}{2!}t^2\mu_2+\tfrac{1}{3!}t^3\mu_3+... \, ,
missä \mu_1, \mu_2, \mu_3,...,\mu_n,,.. ovat origomomentteja. Siitä voidaan laskea n:n momentin arvo derivoimalla momenttifunktio *n* kertaa ja sijoittamalla siihen t=0.

## Keskusmomentti
*Keskusmomentilla*, *keskimomentilla* eli *keskeisellä momentilla* tarkoitetaan satunnaismuuttujan ja odotusarvon \mu=E(X) erotuksen momenttia. Se määritellään diskreetin satunnaismuuttujan X tapauksessa
:E((X-\mu)^r)=\sum_{x \in \Omega} (x-\mu)^r p(x).

Jatkuvan satunnaismuuttujan Y tapauksessa keskusmomentti lasketaan
:E((Y-\mu)^r)=\int_{-\infty}^\infty (y-\mu)^r f(y)\, \mathrm{d}y , 
mikäli summa suppenee itseisesti tai epäoleellinen integraali on itseisenä olemassa. Keskusmomentti voidaan merkitä myös E((X-\mu)^r)=\langle (x-\mu)^r \rangle . 

Kullekin eksponentin r positiiviselle kokonaislukuarvolle voidaan määritellä keskusmomentti E((X-\mu)^r). Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa ne määritellään (r \in [1,\infty))
:r=1: \; E(X-\mu)=\int_{-\infty}^\infty (x-\mu) f(x)\, \mathrm{d}x=0 .
:r=2: \; E((X-\mu)^2)=\int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^2 f(x)\, \mathrm{d}x , jota kutsutaan varianssiksi.
:r=3: \; E((X-\mu)^3)=\int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^3 f(x)\, \mathrm{d}x , jota kutsutaan *kolmanneksi keskusmomentiksi* eli vinoudeksi.
:r=4: \; E((X-\mu)^4)=\int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^4 f(x)\, \mathrm{d}x , jota kutsutaan *neljänneksi keskusmomentiksi* eli huipukkuudeksi.
:r=n: \; E((X-\mu)^n)=\int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^n f(x)\, \mathrm{d}x , jota kutsutaan *n:nneksi keskusmomentiksi*.

## Tekijämomentti
*Tekijämomentit*, joita saadaan esimerkiksi todennäköisyyksiä generoivista funktioista, määritellään seuraavasti
:E(X^{(r)})=E(X(X-1)(X-2)...(X-r+1)), 
ja tarkemmin diskreetissä tapauksessa
:E(X(X-1)(X-2)...(X-r+1))=\sum_{x \in \Omega} (x(x-1)(x-2)...(x-r+1)) p(x). 
ja jatkuvassa tapauksessa
:E(Y(Y-1)(Y-2)...(Y-r+1))=\int_{-\infty}^\infty (y(y-1)(y-2)...(y-r+1)) f(y)\, \mathrm{d}y .

Kolme ensimmäistä tekijämomenttia ovat
:E(X^{(1)})=E(X)=\mu , (odotusarvo)
:E(X^{(2)})=E(X(X-1))=E(X^2-X)=E(X^2)-E(X)=Var(X)=\sigma^2 , (varianssi)
:E(X^{(3)})=E(X(X-1)(X-2))=E(X^3-3X^2+2X).

## Lähteet