Juurifunktio

**Juurifunktio** on muuttujan x \! matemaattinen funktio, joka on potenssifunktion erikoistapaus. Se voidaan esittää yleistettynä 
:f\colon x \mapsto a x^\frac{1}{n}\qquad  a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{Z}

missä x^\frac{1}{n} on potenssi ja yksikkömurtoluku \tfrac{1}{n} \! sen eksponentti. Eksponentissa luku n kutsutaan myös juuren asteeksi. Yleensä juurifunktiot rajoitetaan asteisiin n = 2, 3, 4, ..., vaikka myös aste n = 1 sopisi ominaisuuksiensa puolesta juurifunktioksi. Ylempi merkintä tarkoittaa samaa asiaa kuin Suomen koulumatematiikassa käytetty merkintä
:f(x)=a x^\frac{1}{n}=a \sqrt[n]{x}  \qquad  a \in \mathbb{R}

## Juurifunktion ominaisuuksia
Juurifunktion määrittelyjoukkona voi joskus olla kaikki reaaliluvut, mutta yleensä vaaditaan ei-negatiivisuutta eli x \ge 0  laskettavuuden parantamiseksi. Jos juuren aste n on parillinen, on määrittelyjoukko rajoitettu x \ge 0 , mutta parittomalla asteella käyvät kaikki reaaliluvut. Tästä seuraa kuitenkin eräs yllättävä ongelma kompleksiluvuilla. Esimerkiksi negatiivisten lukujen kuutiojuuren arvon määrityksenä voisi käyttää potenssilaskennan päättelyä, jolla (-2)^3=-8 \Leftrightarrow \sqrt[3]{-8}=-2. On kuitenkin olemassa kolme kompleksilukua, joiden kolmas potenssi on -8: \{-2, 1+i\sqrt 3, 1-i\sqrt 3\}. Jos juurilausekkeen arvoksi kelpuutetaan myös kompleksiluvut, valitaan näistä oletusarvoisesti se, jonka napakulman itseisarvo on pienin ja jos kahden kompleksiluvun napakulmien itseisarvot ovat samat, valitaan näistä positiivinen vaihtoehto. Lukujen -2, 1+i\sqrt 3, 1-i\sqrt 3 napakulmat ovat \pi, \frac{\pi}{3}, -\frac{\pi}{3} vastaavasti ja siksi lausekkeen \sqrt [3]{-8} arvoksi valitaan 1+i\sqrt 3.

### Parillisuus ja parittomuus
Juurifunktioille, joiden aste on parillinen luku, ei ole mielekästä määrittää parillisuutta ja parittomuutta, koska jo määrittelyjoukko käsittää vain positiiviset reaaliluvut. Sen sijaan parittomilla juurifunktioilla \sqrt x, \sqrt [3] x, \sqrt [5] x, \dots määrittelyjoukkona on kaikki reaaliluvut. Parittomat juurifunktiot ovat parittomia funktioita.

### Monotonisuus
Kaikki juurifunktiot ovat aidosti monotonisia ja vieläpä aidosti kasvavia funktioita.

### Käänteisfunktiot
Juurifunktioiden käänteisfunktiot ovat potenssifunktioita, joiden eksponentit ovat luonnollisia lukuja n \in \N: n = 2, 3, 4, .... Neliöjuurifunktion f(x)=\sqrt x, \ x\ge 0 käänteisfunktio f^{-1}(x) on toisen asteen potenssifunktio eli kvadraattinen funktio f^{-1}(x)=x^2, \ x\ge 0. Kuutiojuurifunktion f(x)=\sqrt [3] x, \ x\in \R käänteisfunktio on f^{-1}(x)=x^3, \ x\in \R.

Yleistäen voidaan todeta, että käänteisfunktiot ovat parillisilla asteilla 2n
:f(x)=\sqrt[2n]{x}, \ x\ge0  \rightarrow f^{-1}(x)=x^{2n}, \ x\ge 0
ja parittomilla asteilla 2n+1
:f(x)=\sqrt[2n+1]{x}, \ x\in \R  \rightarrow f^{-1}(x)=x^{2n+1}, \ x\in \R.

## Derivointi ja integrointi
Yleinen potenssien derivaatta, kun r \in \R lasketaan
:Dx^r=rx^{r-1}. 
Kun juurifunktion aste on n, tulee derivaataksi
:D \sqrt[n]{x}=D x^{\tfrac{1}{n}}=\frac{1}{n}x^{\tfrac{1}{n}-1}=\frac{1}{n}x^{-\tfrac{n-1}{n}}=\frac{1}{n}\frac{1}{\sqrt[n]{x}^{n-1}} 
tai vaihtoehtoisesti
::D \sqrt[n]{x}=\frac{1}{n}x^{-\tfrac{n-1}{n}}=\frac{1}{n}\frac{1}{x^{\tfrac{n-1}{n}}}=\frac{1}{n}\frac{1}{x^{1-{\tfrac{1}{n}}}}=\frac{1}{n}\frac{\sqrt[n]{x}}{x}. 

Neliöjuuren derivaatta on siten
:D\sqrt x = \frac{1}{2\sqrt x} 
ja kuutiojuuren derivaatta
:D\sqrt [3] {x} = \frac{1}{3\sqrt [3] {x}^2}=\frac{\sqrt[3]{x}}{3x}  
ja neljäsjuuren derivaatta
:D\sqrt [4] {x} = \frac{1}{4\sqrt [4] {x}^3}=\frac{\sqrt[4]{x}}{4x}.  

n-asteisen juurifunktion yleinen integraalifunktio saadaan
:\int x^r dx = \frac{1}{r+1}x^{r+1} + C \!  
eli 
:\int x^{\tfrac{1}{n}} \ dx = \frac{1}{1+\tfrac{1}{n}}x^{1+\tfrac{1}{n}} + C \!=\frac{n}{n+1}x^{\tfrac{n+1}{n}}+ C \!=\frac{n}{n+1}x\sqrt[n]{x}+C  

Silloin neliöjuuren integraali on 
: \int \sqrt x \ dx = \frac{2}{3} x^{\tfrac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} x\sqrt x + C. 
ja kuutiojuuren integraali
: \int \sqrt [3] x \ dx = \frac{3}{4} x^{\tfrac{4}{3}} + C = \frac{3}{4} x\sqrt [3] x + C  

## Kompleksiluvut
Juurifunktioiden määrittelyjoukko voidaan laajentaa koskemaan kompleksilukuja z \in \Complex. De Moivre'n teoreemassa, jossa kompleksiluvun z reaalilukuinen potenssi p esitetään polaarisessa muodossa
:z^p=[r(\cos \theta +i\sin \theta)]^p = r^p(\cos p\theta + i\sin p\theta), 
voidaan vaihtaa potenssi yksikkömurtoluvuksi p=\tfrac{1}{n}
:z^{\tfrac{1}{n}}=[r(\cos \theta +i\sin \theta)]^{\tfrac{1}{n}} = r^{\tfrac{1}{n}}(\cos \tfrac{\theta+2k\pi}{n} + i\sin \tfrac{\theta+2k\pi}{n}),
kun k=0, 1, 2, ..., n-1. 

### Neliöjuuri
Neliöjuurelle \sqrt z saadaan kaksi arvoa, kun k = 0 ja 1.

Ensimmäinen juuri on arvoltaan r^{\tfrac{1}{2}}(\cos \tfrac{\theta+2\cdot 0\cdot\pi}{2} + i\sin \tfrac{\theta+2\cdot 0\cdot\pi}{2}) = \sqrt r(\cos \tfrac{\theta}{2} + i\sin \tfrac{\theta}{2})

ja toinen r^{\tfrac{1}{2}}(\cos \tfrac{\theta+2\cdot 1\cdot\pi}{2} + i\sin \tfrac{\theta+2\cdot 1\cdot\pi}{2})=\sqrt r(\cos \tfrac{\theta+2\pi}{2} + i\sin \tfrac{\theta+2\pi}{2})

eli \sqrt z = \{\sqrt r(\cos \tfrac{\theta}{2} + i\sin \tfrac{\theta}{2}) , \sqrt r(\cos \tfrac{\theta+2\pi}{2} + i\sin \tfrac{\theta+2\pi}{2})\}

### Esimerkki neliöjuurella
Jos lasketaan kompleksiluvun z=1+i\sqrt 3 neliöjuuri, muutetaan se ensin polaarimuotoon. Modulus on r = \sqrt {1^2+{\sqrt 3}^2}=2 ja napakulma \tan \theta= \tfrac{\sqrt 3}{1}=\sqrt 3 eli \theta=60^\circ. Siten z=1+i\sqrt 3= 2(\cos 60^\circ +i\sin 60^\circ)= 2(\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt 3}{2}).  Neliöjuureksi saadaan sitten kaksi arvoa 
:\sqrt z = \sqrt {1+i\sqrt 3} = \{\sqrt 2(\cos \tfrac{60^\circ}{2} + i\sin \tfrac{60^\circ}{2}) , \sqrt 2(\cos \tfrac{60^\circ+360^\circ}{2} + i\sin \tfrac{60^\circ+360^\circ}{2})\}
:= \{\sqrt 2(\cos 30^\circ + i\sin 30^\circ) , \sqrt 2(\cos 210^\circ + i\sin 210^\circ)\} = \{\sqrt 2(\tfrac{1}{2} + \tfrac{\sqrt 3}{2}i), \sqrt 2(-\tfrac{\sqrt 3}{2} - \tfrac{1}{2}i)\}= \{\tfrac{1}{\sqrt 2} + \tfrac{\sqrt 3}{\sqrt 2}i, -\tfrac{\sqrt 3}{\sqrt 2} - \tfrac{1}{\sqrt 2}i\}

### Kuutiojuuri
Kuutiojuuri antaa kolme arvoa, kun k=0,1,2.
:\sqrt [3] z = \{\sqrt [3] r(\cos \tfrac{\theta}{3} + i\sin \tfrac{\theta}{3}) , \sqrt [3] r(\cos \tfrac{\theta+2\pi}{3} + i\sin \tfrac{\theta+2\pi}{3}), \sqrt [3] r(\cos \tfrac{\theta+4\pi}{3} + i\sin \tfrac{\theta+4\pi}{3})\}

### Neljäsjuuri
Neljäs antaa neljä arvoa, kun k=0,1,2,3.
\sqrt [4] z = \{\sqrt [4] r(\cos \tfrac{\theta}{4} + i\sin \tfrac{\theta}{4}) , \sqrt [4] r(\cos \tfrac{\theta+2\pi}{4} + i\sin \tfrac{\theta+2\pi}{4}), \sqrt [4] r(\cos \tfrac{\theta+4\pi}{4} + i\sin \tfrac{\theta+4\pi}{4}), \sqrt [4] r(\cos \tfrac{\theta+6\pi}{4} + i\sin \tfrac{\theta+6\pi}{4})\}

## Katso myös
*Alkeisfunktio
*Imaginaariluku
*Juuri (laskutoimitus)
*Neliöjuuri
*Kuutiojuuri

## Lähteet
* 
### Viitteet

## Kirjallisuutta
* 
* 

## Aiheesta muualla
* Etälukio: Juurifunktio 
* Jyväskylän Yliopisto: Potenssi- ja juurifunktiot sekä rationaalipotenssit