Relativistinen dispersiorelaatio

**Relativistinen dispersiorelaatio** on yhtälö, joka antaa yhteyden massallisen hiukkasen relativistisen liike-energian, massan ja liikemäärän välille. Se voidaan kirjoittaa muotoon

E^2=(pc)^2+(mc^2)^2 (1),

missä *E* on hiukkasen kokonaisenergia, m on sen massa (eli lepomassa), *p* on liikemäärä ja *c* on valonnopeus. Niiden kappaleiden osalta, joilla ei ole liikemäärää, yhtälö yksinkertaistuu massa-energiayhtälöksi <math> E = m c^2</math>, jossa kokonaisenergia on yhtä suuri kuin lepoenergia.

Diracin merimalli, jota käytettiin ennustamaan antimaterian olemassaolo, liittyy läheisesti energian ja liikemäärän väliseen yhteyteen.

## Yhteys kaavaan <math>E=mc^2</math>
Energian ja liikemäärän yhteys liittyy läheisesti massan ja energian väliseen tunnettuun yhteyteen (E=mc²) molemmissa tulkinnoissaan: E=mc^2
 verannollistaa kokonaisenergian E, relativistiseen massaan m, kun taas E_0=m_0c^2 verrannollistaa lepoenergian E_0
 lepomassaan m_0.

Toisin kuin kumpikaan näistä yhtälöistä, energia-liikemäärän yhtälö (1) verrannollistaa kokonaisenergian lepomassaan m_0
. Kaikki kolme yhtälöä pitävät paikkansa samanaikaisesti.

## Erikoistapaukset

# Jos kappale on massaton hiukkanen ( m_0 = 0 ), niin kaava (1) pienenee arvoon E = pc. Fotoneille tämä suhde löydettiin 1800-luvun klassisessa sähkömagnetismissa, säteilyn liikemäärän (aiheuttaen säteilypaineen) ja säteilyenergian välillä .
# Jos kappaleen nopeus v on paljon pienempi kuin c niin (1) supistuu E = \frac{1}{2} m_0 v^2 + m_0 c^2; joten kappaleen koko  energia on yksinkertaisesti sen klassinen kineettisen energian ja sen lepoenergian summa.
# Jos kappale on levossa ( v = 0 ). On E=E_0
 ja m=m_0; energian ja liikemäärän yhteys sekä molemmat (edellä mainitut) massan ja energian yhteyden muodot muuttuvat samoiksi.

Yleistetympi suhdemuoto yhtälöstä (1) pätee yleiseen suhteellisuusteoriaan .

Lepomassa on muuttumaton kaikille inertiaalikoordinaatistoille, ei vain inertiaalikehyksissä tasaisessa avaruudessa, vaan myös kiihdytetyissä kehyksissä, jotka kulkevat kaarevan aika-avaruuden läpi (katso alla). Hiukkasen E ja sen relativistinen liikemäärä **p** ovat kuitenkin kehyksestä riippuvaisia; kahden kehyksen välinen suhteellinen liike saa näissä kehyksissä olevat havaitsijat mittaamaan hiukkasen energian ja liikemäärän eri arvoina; yksi kehys mittaa E ja **p**, kun taas toinen kehys mittaa E ′ ja p ′, missä E ′ ≠ E ja p ′ ≠ p, ellei tarkkailijoiden välillä ole suhteellista liikettä, jolloin kukin tarkkailija mittaa saman energian ja momentin. Vaikka meillä on edelleen, tasaisessa avaruudessa:

: {E'}^2 - \left(p'c\right)^2 = \left(m_0 c^2\right)^2\,.

Suuruudet E, **p**, E ', **p ′** ovat kaikki yhteydessä toisiinsa Lorentz-muunnoksilla. Suhteen avulla voidaan sivuuttaa Lorentz-muunnokset, kun määritetään vain energian ja momenttien suuruudet tasaamalla eri kehysten suhteet. Jälleen tasaisella avaruudella tämä tarkoittaa:

: {E}^2 - \left(pc\right)^2 = {E'}^2 - \left(p'c\right)^2 = \left(m_0 c^2\right)^2\,.

Koska m_0 ei muutu kehyksestä kehykseen, energian ja liikemäärän suhdetta käytetään relativistisessa mekaniikassa ja hiukkasfysiikan laskelmissa, koska energia ja liikemäärä annetaan hiukkasen lepokehyksessä (eli E ′ ja **p ′** tarkkailijana, joka liikkuu hiukkasen kanssa päätyisi olevan) ja mitattu laboratorion kehyksessä (ns. E ja **p** kuten hiukkasten fyysikot laboratoriossa määrittelevät, eivätkä ne liiku hiukkasten mukana).

Relativistisessa kvanttimekaniikassa se on perusta relativististen aaltoyhtälöiden rakentamiselle, koska jos hiukkasia kuvaava relativistinen aaltoyhtälö on yhdenmukainen tämän yhtälön kanssa - se on yhdenmukainen relativistisen mekaniikan kanssa ja on Lorentzin invariantti . Relativistisessa kvanttikenttäteoriassa sitä voidaan soveltaa kaikkiin hiukkasiin ja kenttiin.

## Yhtälön alkuperä ja johtaminen

Energian ja liikemäärän välisen yhteyden esitti ensimmäisenä Paul Dirac vuonna 1928 muodossa E=\sqrt{c^2p^2+(m_0c^2)^2} + V, jossa V on potentiaalienergian määrä.

Yhtälö voidaan johtaa monin tavoin, joista kaksi yksinkertaisinta ovat:

# Massiivisen hiukkasen relativistisesta dynamiikasta
# Arvioimalla järjestelmän neliliikemäärän normi. Tätä menetelmää sovelletaan sekä massiivisiin että massattomiin hiukkasiin, ja se voidaan laajentaa monihiukkasjärjestelmiin suhteellisen pienellä vaivalla.

### Heuristinen lähestymistapa massiivisille hiukkasille
Massiiviselle esineelle, joka liikkuu kolmella nopeudella u = ( u x, u y, u z ) suuruudella | u | = u laboratorion kehyksessä:

: E=\gamma_{(\mathbf{u})}m_0c^2

on laboratorion kehyksessä olevan liikkuvan kohteen kokonaisenergia,

: \mathbf{p} = \gamma_{(\mathbf{u})} m_0\mathbf{u}

on laboratorion kehyksessä olevan kohteen kolmiulotteinen relativistinen momentti suuruudella | p | = s . Relativistinen energia E ja liikemäärä p sisältävät Lorentz-tekijän, jonka määrittelee:

: \gamma_{(\mathbf{u})} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{u}{c}\right)^2}} 

Jotkut kirjoittajat käyttävät relativistista massaa, jonka määrittelee:

: m = \gamma_{(\mathbf{u})} m_0

vaikka lepomassalla m_0
 on perustavanlaatuisempi merkitys, ja sitä käytetään tässä artikkelissa ensisijaisesti relativistisen massan *m* yli.

Kolmiliikemäärän neliö antaa:

: p^2 = \mathbf{p}\cdot\mathbf{p} = \frac{m_0^2 \mathbf{u}\cdot \mathbf{u}}{1 - \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}{c^2}} = \frac{m_0^2 u^2}{1 - \left(\frac{u}{c}\right)^2}

ratkaisemalla sitten u^2
 ja korvaamalla osaksi Lorentz tekijän saa sen vaihtoehtoisen muodon suhteen kolmiliikemäärän ja massan, pikemminkin kuin kolminopeuden:

: \gamma = \sqrt{1 + \left(\frac{p}{m_0 c}\right)^2}

Lisätään tämä Lorentz-tekijän muoto energiayhtälöön:

: E = m_0c^2\sqrt{1 + \left(\frac{p}{m_0 c}\right)^2}

Uudelleen järjestelyn jälkeen saamme kaavan (1). Lorentz-tekijän eliminointi eliminoi myös hiukkasen implisiittisen nopeusriippuvuuden kohdassa sekä kaikki päätelmät massiivisen hiukkasen "relativistisesta massasta". Tämä lähestymistapa ei ole yleinen, koska massattomia hiukkasia ei oteta huomioon. Naiivisti asettamalla m_0=0 tarkoitettaisiin, että E = 0 ja **p = 0** eikä energian ja liikemäärän yhteyttä voida johtaa, mikä ei ole oikein.

### Nelimomentin normi

#### Erityinen suhteellisuusteoria
Minkowskin avaruudessa energia (jaettuna c:llä ) ja liikemäärä ovat Minkowski -nelivektorin kaksi komponenttia, nimittäin nelimomenttinen;

: \mathbf{P} = \left(\frac{E}{c}, \mathbf{p}\right)\,,

(nämä ovat sopivia komponentteja).

Tämän vektorin Minkowskin sisäinen ⟨, ⟩ antaa itselleen tämän vektorin normin neliön, se on verrannollinen kappaleen lepomassan m neliöön:

: \left\langle\mathbf{P}, \mathbf{P}\right\rangle = |\mathbf{P}|^2 = \left(m_0 c\right)^2\,,

Lorentzin muuttumaton määrä ja siten riippumaton viitekehyksestä . Käyttämällä Minkowskin metristä η metrisellä allekirjoituksella (− + + +) sisempi tuote on

: \left\langle\mathbf{P},\mathbf{P}\right\rangle = |\mathbf{P}|^2 = - \left(m_0 c\right)^2\,,

ja

: 
 \left\langle\mathbf{P},\mathbf{P}\right\rangle =
 P^\alpha\eta_{\alpha\beta}P^\beta =
 \begin{pmatrix}
  \frac{E}{c} & p_x & p_y & p_z
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
  -1 & 0 & 0 & 0 \\
   0 & 1 & 0 & 0 \\
   0 & 0 & 1 & 0 \\
   0 & 0 & 0 & 1 \\
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
  \frac{E}{c} \\ p_x \\ p_y \\ p_z 
 \end{pmatrix} =
 -\left(\frac{E}{c}\right)^2 + p^2\,,


niin

: -\left(m_0 c\right)^2 = -\left(\frac{E}{c}\right)^2 + p^2.

#### Yleinen suhteellisuusteoria
Yleisessä suhteellisuusteoriassa neliliikemäärä on nelivektori, joka on määritelty paikallisessa koordinaattikehyksessä, vaikka määritelmän mukaan sisäinen tulo on samanlainen kuin erityisrelatiivisuuden,

: \left\langle\mathbf{P},\mathbf{P}\right\rangle = |\mathbf{P}|^2 = \left(m_0 c\right)^2\,,

jossa Minkowskin metriikka η korvataan metrisellä tensorikentällä g :

: \left\langle\mathbf{P}, \mathbf{P}\right\rangle = |\mathbf{P}|^2 = P^\alpha g_{\alpha\beta}P^\beta \,,

ratkaistu Einstein-kenttäyhtälöistä . Sitten:

: P^\alpha g_{\alpha\beta}P^\beta = \left(m_0 c\right)^2\,.

Indeksien yhteenlaskujen suorittaminen, jota seuraa keräämällä "aikamaiset", "avaruusaikaiset" ja "avaruuden kaltaiset" termit, antaa:

: \underbrace{g_{00}{\left(P^0\right)}^2}_{\text{time-like}} + 2 \underbrace{g_{0i}P^0 P^i}_{\text{spacetime-like}} + \underbrace{g_{ij}P^i P^j}_{\text{space-like}} = \left(m_0 c\right)^2\,.

missä kerroin 2 syntyy, koska metriikka on symmetrinen tensori, ja käytetään latinalaisen indeksin i, j käytäntöä i ottaa avaruuden kaltaiset arvot 1, 2, 3. Koska metriikan jokaisella komponentilla on tilaa ja aikaa koskeva riippuvuus yleensä; tämä on huomattavasti monimutkaisempi kuin alussa mainittu kaava, katso lisätietoja metrisestä tensorista (yleinen suhteellisuusteoria) .

## Energian, massan ja vauhdin yksiköt
Luonnollisissa yksiköissä, joissa c = 1, energian ja liikemäärän yhtälö pienenee arvoon

: E^2 = p^2 + m_0^2 \,.

Hiukkasfysiikassa energia annetaan tyypillisesti elektronivolttiyksiköinä (eV), liikemäärä yksikkönä eV · c −1 ja massa yksikkönä eV · c −2. Sähkömagnetismissa ja relativistisen muuttumattomuuden vuoksi on hyödyllistä, että sähkökenttä E ja magneettikenttä B ovat samassa yksikössä ( Gauss ) käyttäen yksiköiden cgs (Gauss) -järjestelmää, jossa energia annetaan erg- yksikköinä, massa grammoina (g) ja liikemäärä grammoina g · cm · s −1 .

Energia voidaan teoriassa ilmaista myös grammoina, vaikka käytännössä se vaatii suuren määrän energiaa vastaamaan tämän alueen massaa. Esimerkiksi ensimmäinen atomipommi vapautti noin yhden&nbsp;gramman lämpöä, ja suurimmat vetypommit ovat tuottaneet vähintään kilon lämpöä. vetypommien energiat annetaan yleensä kymmeninä kilotonneina ja megatonneina viitaten energiaan, joka vapautuu räjäyttämällä kyseinen määrä trinitrotolueenia (TNT).

## Erikoistapaukset

### Momentin keskikehys (yksi hiukkanen)
Rungon lepokehyksessä vauhti on nolla, joten yhtälö yksinkertaistuu

:  E_0 = m_0 c^2 \,,

missä m_0 on kappaleen lepomassa.

### Massattomat hiukkaset
Jos kohde on massaton, kuten fotonin tapauksessa, yhtälö pienenee arvoon

:  E = pc \,.

Tämä on hyödyllinen supistus. Se voidaan kirjoittaa toisella tavalla de Broglie -suhteiden avulla :

:  E = \frac{hc}{\lambda} = \hbar c k \,.

jos aallonpituus λ tai aallonumero k annetaan.

### Vastaavuuden periaate
Massallisten hiukkasten suhteen kirjoittaminen uudelleen:

: E = m_0 c^2 \sqrt{1 + \left(\frac{p}{m_0c}\right)^2}\,,

ja laajenee potenssisarjan jonka binomisen lause (tai Taylorin sarja ):

: E = m_0 c^2 \left[1 + \frac{1}{2}\left(\frac{p}{m_0c}\right)^2 - \frac{1}{8}\left(\frac{p}{m_0c}\right)^4 + \cdots \right]\,,

siinä raja-arvossa, että u ≪ c, meillä on γ ( u ) ≈ 1, joten liikemäärällä on klassinen muoto p ≈ m 0 u, sitten ensimmäiseen järjestykseen ( p / m 0 c ) 2 (ts. säilytä termi ( p / m 0 c ) 2 n n = 1 ja laiminlyödä kaikki ehdot n ≥ 2) olemme

: E \approx m_0 c^2 \left[1 + \frac{1}{2}\left(\frac{m_0u}{m_0c}\right)^2 \right]\,,

jossa toinen termi on klassinen kineettinen energia, ja ensimmäinen on hiukkasen lepomassa . Tämä likiarvo ei päde massattomiin hiukkasiin, koska laajentuminen vaati momentin jakamista massalla. Klassisessa mekaniikassa ei muuten ole massattomia hiukkasia.

: E \approx m_0 c^2 + \frac{1}{2} m_0 u^2 \,,

missä M_0 on koko järjestelmän muuttumaton massa eikä ole yhtä suuri kuin hiukkasten lepomassojen summa, elleivät kaikki hiukkaset ole levossa (ks. massa erityissuhteellisuusteollisuudessa ). Korvaaminen ja uudelleenjärjestäminen antaa ( 1 ): n yleistämisen;

## Monihiukkasjärjestelmät

### Neljän momentin lisääminen
Kun on paljon hiukkasia, joilla on relativistinen momentti p n ja energia En, missä n = 1, 2, ... (hiukkasten kokonaismäärään saakka) yksinkertaisesti merkitsee hiukkaset tietyssä kehyksessä mitattuna, neljä tämän kehyksen momentti voidaan lisätä;

: \sum_n \mathbf{P}_n = \sum_n \left(\frac{E_n}{c}, \mathbf{p}_n\right) = \left( \sum_n \frac{E_n}{c}, \sum_n \mathbf{p}_n \right)\,,

ja ota sitten normi; saadaan suhde monille hiukkasjärjestelmille:

: \left|\left(\sum_n \mathbf{P}_n \right)\right|^2 = \left(\sum_n \frac{E_n}{c}\right)^2 - \left(\sum_n \mathbf{p}_n\right)^2 = \left(M_0 c\right)^2\,,

missä M 0 on koko järjestelmän muuttumaton massa eikä ole yhtä suuri kuin hiukkasten lepomassojen summa, elleivät kaikki hiukkaset ole levossa (ks. massa erityissuhteellisuusteollisuudessa ). Korvaaminen ja uudelleenjärjestäminen antaa ( 1 ): n yleistämisen;(\sum_nE_n)^2=(\sum_np_nc)^2+(M_0c^2)^2

Yhtälön energiat ja momentit ovat kaikki kehyksestä riippuvaisia, kun taas M_{0}M_0 on kehyksestä riippumaton.

### Momentin keskikehys
Momentin keskikehyksessä (COM-kehys) meillä on määritelmän mukaan:

: \sum_n \mathbf{p}_n = \boldsymbol{0}\,,

( 2 ): n mukaan implisiittinen massa on myös momentin (COM) massa-energian keskipiste, lukuun ottamatta c^2 -kerrointa:

: \left(\sum_n E_n \right)^2 = \left(M_0 c^2\right)^2 \Rightarrow \sum_n E_{\mathrm{COM}\,n} = E_\mathrm{COM} = M_0 c^2 \,,

ja tämä pätee *kaikkiin* kehyksiin, koska M 0 on kehyksistä riippumaton. E_{COM n} -energiat ovat COM-kehyksessä, *eivät* laboratorion kehyksessä.

### Lepomassat ja muuttumaton massa
Joko hiukkasten energiat tai momentit, mitattuna jossakin kehyksessä, voidaan eliminoida käyttämällä kunkin hiukkasen energiamomenttisuhdetta:

: E^2_n - \left(\mathbf{p}_n c\right)^2 = \left(m_n c^2\right)^2 \,,

sallien M_{0} : n ilmaisemisen energioina ja lepomassaina tai momentina ja lepomassaina. Tiettyyn kehykseen summien neliöt voidaan kirjoittaa uudelleen neliöiden (ja tuotteiden) summina:

: 
  \left(\sum_n E_n \right)^2 =
  \left(\sum_n E_n \right)\left(\sum_k E_k \right) =
   \sum_{n,k} E_n E_k =
  2\sum_{n

: 
 \left(\sum_n \mathbf{p}_n \right)^2 =
 \left(\sum_n \mathbf{p}_n \right)\cdot\left(\sum_k \mathbf{p}_k \right) =
  \sum_{n,k} \mathbf{p}_n \cdot \mathbf{p}_k =
  2\sum_{n

joten summat korvaamalla voimme esittää niiden lepomassat mn ( 2 ):

:  \sum_n \left(m_n c^2\right)^2 + 2\sum_{n

Energiat voidaan poistaa seuraavasti:

: E_n = \sqrt{\left(\mathbf{p}_n c\right)^2 + \left(m_n c^2\right)^2} \,,\quad E_k = \sqrt{\left(\mathbf{p}_k c\right)^2 + \left(m_k c^2\right)^2} \,,

samoin momentti voidaan eliminoida:

: 
 \mathbf{p}_n \cdot \mathbf{p}_k =
 \left|\mathbf{p}_n\right|\left|\mathbf{p}_k\right| \cos\theta_{nk}\,,\quad |\mathbf{p}_n| =
 \frac{1}{c}\sqrt{E_n^2 - \left(m_n c^2\right)^2}\,,\quad |\mathbf{p}_k| =
 \frac{1}{c}\sqrt{E_k^2 - \left(m_k c^2\right)^2}\,,


missä \theta_{nk} on momenttivektorien p_n ja p_k välinen kulma.

Uudelleenjärjestettynä:

:  \left(M_0 c^2\right)^2 -\sum_n \left(m_n c^2\right)^2 = 2\sum_{n

Koska järjestelmän muuttumaton massa ja kunkin hiukkasen lepomassat ovat kehyksestä riippumattomia, myös oikeanpuolinen on invariantti (vaikka kaikki energiat ja momentit mitataan tietyssä kehyksessä).

## Aineen aaltoja
Käyttämällä de Broglie-suhteita energiaan ja liikemäärään aineen aaltoihin ,

: E = \hbar \omega \,, \quad \mathbf{p} = \hbar\mathbf{k}\,,

missä ω on kulmataajuus ja k on aallonvektori suuruudella | k | = k, yhtä suuri kuin aaltoluku, energian ja liikemäärän suhde voidaan ilmaista aaltomäärinä:

: \left(\hbar\omega\right)^2 = \left(c \hbar k\right)^2 + \left(m_0 c^2\right)^2 \,,

ja siistiminen jakamalla  (\hbar c^2)  :lla koko yhtälö

:  \left(\frac{\omega}{c}\right)^2 = k^2 + \left(\frac{m_0c}{\hbar}\right)^2 \,.
 

Tämä voidaan johtaa myös neliaaltovektorin suuruudesta

: \mathbf{K} = \left(\frac{\omega}{c}, \mathbf{k}\right)\,,

samalla tavalla kuin yllä oleva neljän momentti.

Koska pienennetty Planckin vakio ħ ja valon nopeus c molemmat näkyvät ja sekoittavat tämän yhtälön, luonnolliset yksiköt ovat erityisen hyödyllisiä. Normalisoimalla ne siten, että ħ = c = 1, meillä on:

: \omega^2 = k^2 + m_0^2 \,.

## Takyoni ja eksoottiset aineet
Bradyonin nopeus suhteellisen energian ja liikemäärän suhteen kanssa

: E^2 = p^2 c^2 + m_0^2 c^4\,.

ei voi koskaan ylittää arvoa c . Päinvastoin, se on aina suurempi kuin c tachyonille, jonka energian ja liikemäärän yhtälö on 

: E^2 = p^2 c^2 - m_0^2 c^4\,.

Sitä vastoin hypoteettisella eksoottisella aineella on negatiivinen massa ja energian ja liikemäärän yhtälö on

: E^2 = -p^2 c^2 + m_0^2 c^4\,.