Virtafunktio

**Virtafunktio** on kaksiulotteisen ja kokoonpuristumattoman virtaavan fluidin nopeutta kuvaava funktio. Virtafunktio on apuväline virtauksen jatkuvuusyhtälön sekä Navierin−Stokesin yhtälöiden ratkaisemiseen pienentämällä muuttujien lukumäärä yhteen. Virtafunktion geometrinen tulkinta liittyy virtauksen virtaviivoihin: virtaviivat ovat viivoja, joiden kohdalla virtauksen virtafunktion arvo on vakio.

## Määritelmä

### [[Suorakulmainen koordinaatisto|Karteesiset koordinaatit]]
Tarkastellaan virtauksen nopeusvektorikenttää \mathbf{v}(x, y, z)=v_x(x, y, z)\,\mathbf{i}+v_y(x, y, z)\,\mathbf{j}+v_z(x, y, z)\,\mathbf{k}. Virtausta kuvaava jatkuvuusyhtälö on

\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot\left(\rho\mathbf{v}\right)=0,

missä

:\rho on virtaavan fluidin tiheys,
:t on aika ja
:\nabla on osittaisdifferentiaalioperaattori .

Tässä muodossaan jatkuvuusyhtälössä on neljä muuttujaa: x, y, z ja t. Tarkoituksena on vähentää muuttujien määrää ensin kahteen. Tätä varten virtauksen pitää täyttää tiettyjä yksinkertaistavia ehtoja. Yleisin ehto on se, että virtaus on kaksiulotteista ja kokoonpuristumatonta. Jos oletetaan, että nämä ehdot täyttyvät xy-tasossa, niin pätee

\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}=0.

Määritellään nyt **virtafunktio** \psi(x, y) siten, että sama yhtälö voidaan kirjoittaa

\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial\psi}{\partial y}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)=0.

Toisin sanoen virtafunktio on määriteltävä siten, että

\begin{cases}
\displaystyle{v_x=\frac{\partial\psi}{\partial y}} \\
\displaystyle{v_y=-\frac{\partial\psi}{\partial x}},
\end{cases}

jolloin virtauksen nopeus saa muodon

\mathbf{v}=\mathbf{i}\,\frac{\partial\psi}{\partial y}-\mathbf{j}\,\frac{\partial\psi}{\partial x}.

### [[Napakoordinaatisto|Napakoordinaatit]]
Mikäli fluidin virtaus on kaksiulotteista ja kokoonpuristumatonta ja sen nopeus on määritelty napakoordinaatein \mathbf{v}(r, \theta)=v_r(r, \theta)\,\mathbf{\hat{e}}_r+v_\theta(r, \theta)\,\mathbf{\hat{e}}_\theta, on virtafunktio määriteltävä siten, että

\begin{cases}
\displaystyle{v_r=\frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}} \\
\displaystyle{v_\theta=-\frac{\partial\psi}{\partial r}}.
\end{cases}

### Sylinterikoordinaatit
Olkoon nyt fluidin virtaus kolmiulotteista ja kokoonpuristumatonta siten, että sen nopeus on vain säteittäistä ja z-akselin suuntaista: \mathbf{v}(r, \theta, z)=v_r(r, \theta, z)\,\mathbf{\hat{e}}_r+v_z(r, \theta, z)\,\mathbf{k}. Tällöin virtauksen virtafunktio on määriteltävä siten, että

\begin{cases}
\displaystyle{v_r=-\frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial z}} \\
\displaystyle{v_z=\frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial r}}.
\end{cases}

### Kokoonpuristuva virtaus
Virtafunktio voidaan määritellä myös kaksiulotteiselle virtaukselle, jossa tiheys ei pysy vakiona. xy-tasossa jatkuvuusyhtälöstä tulee tällöin

\frac{\partial}{\partial x}(\rho v_x)+\frac{\partial}{\partial y}(\rho v_y)=0.

Nyt virtafunktio määritellään yksinkertaisesti siten, että

\begin{cases}
\displaystyle{\rho v_x=\frac{\partial\psi}{\partial y}} \\
\displaystyle{\rho v_y=-\frac{\partial\psi}{\partial x}}.
\end{cases}

## Virtafunktion ominaisuuksia
### Virtaviiva
Kaksiulotteisen virtauksen virtaviivoja ovat ne käyrät, jotka ovat kaikkialla virtauksessa sen nopeusvektorin tangentin suuntaisia. Nämä käyrät noudattavat yhtälöä

\frac{\mathrm dx}{v_x}=\frac{\mathrm dy}{v_y},

eli v_x\,\mathrm dy-v_y\,\mathrm dx=0. Sijoittamalla virtafunktio tähän yhtälöön saadaan

\frac{\partial\psi}{\partial x}\,\mathrm dx+\frac{\partial\psi}{\partial y}\,\mathrm dy=0.

Toisaalta yhtälön vasen puoli on ketjusäännön nojalla virtafunktion differentiaali:

\mathrm d\psi=\frac{\partial\psi}{\partial x}\,\mathrm dx+\frac{\partial\psi}{\partial y}\,\mathrm dy.

Virtafunktion differentiaalille siis pätee

\mathrm d\psi=0,

eli virtafunktion arvo on vakio virtaviivalla. Virtafunktion geometrinen tulkinta on siis se, että sen tasa-arvokäyrät ovat virtauksen virtaviivoja.

### Tilavuusvuo

Virtafunktion fysikaalinen tulkinta liittyy virtauksen tilavuusvuohon \Phi_V (jota ei pidä sekoittaa virtaamaan). Kuvitellaan kaksiulotteiseen ja kokoonpuristumattomaan virtaukseen tarkkailupinta, joka on pystysuorassa virtaukseen nähden ja jonka korkeus z-akselin suunnassa on 1. Tilavuusvuo tarkkailupinnan differentiaalisen pienen alan läpi on

\mathrm d\Phi_V=\left(\mathbf{v}\cdot\mathbf{\hat{n}}\right)\,\mathrm dA,

missä

\mathbf{\hat{n}}=\mathbf{i}\,\frac{\mathrm dx}{\mathrm ds}-\mathbf{j}\,\frac{\mathrm dy}{\mathrm ds}

on pinnan yksikkönormaali. Korvataan nopeusvektori virtafunktiolla, jolloin

\begin{align}
\mathrm{d}\Phi_V&=\left(\mathbf{i}\,\frac{\partial\psi}{\partial y}-\mathbf{j}\,\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)\cdot\left(\mathbf{i}\,\frac{\mathrm dy}{\mathrm ds}-\mathbf{j}\,\frac{\mathrm dx}{\mathrm ds}\right)\,\cdot 1\cdot\mathrm ds \\
&=\frac{\partial\psi}{\partial x}\,\mathrm dx+\frac{\partial\psi}{\partial y}\,\mathrm dy \\
&=\mathrm d\psi
\end{align}

Kahden virtaviivan, s_1 ja s_2, rajoittaman tarkkailupinnan osan läpi kulkeutuva tilavuusvuo on tällöin virtafunktioiden erotus:

\Phi_V=\int_{s_1}^{s_2}\left(\mathbf{v}\cdot\mathbf{\hat{n}}\right)\,\mathrm dA=\int_{s_1}^{s_2}\mathrm d\psi=\psi(s_2)-\psi(s_1).
## Sovelluksia

### Roottori

Kaksiulotteisen, kokoonpuristumattoman virtauksen nopeusvektorikentän roottori saadaan virtafunktion ja Laplacen operaattorin avulla:

\nabla\times\mathbf{v}(x, y)=-\mathbf{k}\,\nabla^2\psi(x, y),

jossa \mathbf k on karteesisen koordinaatiston positiivisen z-akselin suuntainen yksikkövektori.

### Navierin−Stokesin yhtälö

Virtaavan fluidin liikemääräyhtälö, eli Navierin−Stokesin yhtälö on

\rho\frac{\mathrm d\mathbf{v}}{\mathrm dt}=\rho\mathbf{g}-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf{v},

missä

:\mathbf{g} on putoamiskiihtyvyys,
:p on paine ja
:\mu on fluidin viskositeetti.

Kun sovelletaan Navierin−Stokesin yhtälöä kaksiulotteiseen ja kokoonpuristumattomaan virtaukseen sekä otetaan roottori yhtälön kummaltakin puolelta, saadaan yhtälö, joka kuvaa virtauksen virtafunktiota \psi:

\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\partial}{\partial x}\left(\nabla^2\psi\right)-\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial y}\left(\nabla^2\psi\right)=\nu\nabla^2\left(\nabla^2\psi\right),

missä \nu=\mu/\rho on fluidin kinemaattinen viskositeetti. Näin saadaan yhtälö, jossa on vain muuttuja \psi. Toisaalta varjopuolena on se, että näin saatu yhtälö on neljännen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälö, jonka ratkaiseminen on, mikäli edes mahdollista, ainakin työlästä.

### Laplacen yhtälö

Eräs tärkeä virtafunktion sovellus on kaksiulotteinen, kokoonpuristumaton, kitkaton ja pyörteetön virtaus, jossa siis on edellisten oletusten lisäksi \nu=0 ja \nabla\times\mathbf{v}=0. Tätä virtausta kuvaa Laplacen yhtälö

\nabla^2\psi=0.



## Lähteet