Mittaintegraali

**Mittaintegraali** on matemaattisessa analyysissa eräs integraali. Mittaintegraalin tavoitteena on luoda mitta-avaruuteen eräänlainen lineaarinen kuvaus, joka liittää jokaiseen mitalliseen funktioon jonkin luvun väliltä [0,\infty]. Tämä integraalityyppi on alun perin matemaatikko Henri Lebesguen kehittämä. Tunnettu **Lebesguen integraali** on mittaintegraali, jonka mittana on Lebesguen mitta.

## Määritelmä
Olkoon (X, \mathcal{A}, \mu) mitta-avaruus. Integraali määritellään yksinkertaisten kuvausten kautta.

Kuvaus f: X \rightarrow \mathbb{R} on *yksinkertainen*, jos
f = \sum_{i=1}^k a_i 1_{A_i},
missä a_1, \ldots, a_k \geq 0; A_1, \ldots, A_k \in \mathcal{A} ja joukot A_1, \ldots, A_k ovat perusjoukon X ositus ja 1_{A_i} on indikaattorifunktio.

Yksinkertaisen funktion f *integraali* on
I(f,\mu) = \sum_{i=1}^k a_i \mu(A_i).

Olkoon f: X \rightarrow [0,\infty] kuvaus, joka on \mu-mitallinen. Kuvauksen f **integraali** on
\int_X f(x) \, d\mu(x) = \int_X f \, d\mu = \sup \{ I(g,\mu) \, | \, g \ \textrm{on} \ \textrm{yksinkertainen} \ \textrm{kuvaus} \ X \rightarrow \mathbb{R} \ \textrm{ja} \ g \leq f \}.
Tätä esitysmuotoa kutsutaan **mittaintegraaliksi**. Yleensä mitta \mu on yhteydestä selvä, jolloin sitä ei merkitä näkyviin, vaan käytetään lyhyempää tapaa
\int_X f.

Kuvauksen f *integraali yli joukon <math>E \in \mathcal{A}</math>* on
\int_E f = \int_X f \cdot 1_E.

Kuvaus f: X \rightarrow \mathbb{R} \cup \{ \infty, -\infty \} on **integroituva**, jos pätee ehto
\int_X |f| .
f on *integroituva yli joukon <math>E \in \mathcal{A}</math>*, jos pätee
\int_E |f| .
f on **kvasi-integroituva**, jos se ei ole integroituva, mutta pätee
\int_X \max \{ f,0 \}  tai \int_X \max \{ -f,0 \} .

## Perusominaisuuksia
Oletetaan, joukko E \in \mathcal{A}, f ja g ovat \mathcal{A}-mitallisia kuvauksia E \rightarrow \mathbb{R} \cup \{ \infty, -\infty \} ja integroituvia yli joukon E.

* pätee kolmioepäyhtälö \left| \int_E f \right| \leq \int_E |f| 
* summa f+h on integroituva yli joukon E ja \int_E (f+g) = \int_E f + \int_E g
* jos \lambda \in \mathbb{R}, niin \lambda f on integroituva yli joukon E ja \int_E \lambda f = \lambda \int_E f
* jos f \leq g, niin \int_E f \leq \int_E g
* jos \mu (E) =0, niin \int_E f = 0
* jos f=g melkein kaikkialla joukossa E, niin \int_E f = \int_E g

Viimeinen ominaisuus voidaan tulkita niin, että funktion arvot nollajoukolla eivät vaikuta sen integraalin arvoon.

Jos lisäksi G \in \mathcal{A}, E ja G ovat erillisiä sekä h on \mu-mitallisia kuvaus E \cup G \rightarrow \mathbb{R} \cup \{ \infty, -\infty \} ja integroituva yli joukon E \cup G, niin
\int_{E \cup G} h = \int_E h + \int_G h.

## Integroituvien funktioiden avaruudet L<sup>p</sup> ja L<sup>∞</sup>
Olkoon (X, \mathcal{A}, \mu) mitta-avaruus, \mu täydellinen mitta ja luku 1 \leq p . Merkitään eksponentilla p integroituvien funktioiden joukkoa symbolilla
L^p = L^p (X) = L^p (\mu) = L^p (X, \mathcal{A}, \mu) = \{ f: X \rightarrow \mathbb{R} \, | \, f \ \textrm{on} \ \textrm{mitallinen} \ \textrm{ja} \ \int_X |f|^p \, d\mu .
Äärellisen oleellisen supremumin funktioiden joukkoa merkitään symbolilla
L^\infty = L^\infty (X) = L^\infty (\mu) = L^\infty (X, \mathcal{A}, \mu) = \{ f: X \rightarrow \mathbb{R} \, | \, f \ \textrm{on} \ \textrm{mitallinen} \ \textrm{ja} \ \operatorname{ess} \, \sup |f| .
f on siis integroituva jos ja vain jos f \in L^1. Sanotaan, että f on *neliöintegroituva*, jos f \in L^2.

Ominaisuuksia:
* L^p on Banach-avaruus kaikilla 1 \leq p \leq \infty
* jos \mu on äärellinen mitta ja 1 \leq q \leq p \leq \infty, niin L^p(\mu) \subset L^q(\mu)

## Epäyhtälöitä integraalille
### Hölderin epäyhtälö
Jos p>1 ja q>1 siten, että
\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1,
sekä f \in L^p ja g \in L^q, niin **Hölderin epäyhtälö** on
\int_X fg \, d\mu \leq \left( \int_X |f|^p \, d\mu \right)^\frac{1}{p} \left( \int_X |f|^q \, d\mu \right)^\frac{1}{q}.
Jos p=1 ja q=\infty, niin epäyhtälö pätee muodossa
\int_X fg \, d\mu \leq \left( \int_X |f| \, d\mu \right) \operatorname{ess} \sup |g| .

Lukuja p ja q kutsutaan toistensa **Hölderin konjugaateiksi** tai **konjugoiduiksi eksponenteiksi**.

### Minkowskin epäyhtälö
Jos f,g\in L^p, niin
||f+g||_p\leq||f||_p+||g||_p. Minkowskin epäyhtälö voidaan yleistää useammalle kuin kahdelle L^p-funktiolle matemaattisen induktion avulla tai huomaamalla että avaruus L^p on vakaa yhteenlaskun suhteen.

## Fatoun lemma
Olkoon joukko E \in \mathcal{A} ja (f_i)_{i \in \mathbb{N}} jono \mathcal{A}-mitallisia kuvauksia E \rightarrow [0,\infty]. Tällöin
\int_E \liminf_{i \rightarrow \infty} f_i \leq \liminf_{i \rightarrow \infty} \int_E f_i
ja
\int_E \limsup_{i \rightarrow \infty} f_i \geq \limsup_{i \rightarrow \infty} \int_E f_i.

## Konvergenssilauseet
Olkoon joukko E \in \mathcal{A} ja (f_i)_{i \in \mathbb{N}} jono \mu-mitallisia kuvauksia E \rightarrow \mathbb{R} \cup \{ -\infty, \infty \} siten, että jonon raja-arvo
\lim_{i \rightarrow \infty} f_i
on olemassa. Konvergenssilauseiksi kutsutaan ehtoja, joista seuraa, että
\int_E \lim_{i \rightarrow \infty} f_i = \lim_{i \rightarrow \infty} \int_E f_i.
Toisin sanoen raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

### Monotonisen konvergenssin lause
Jos pätee 0 \leq f_1 \leq f_2 \leq \ldots, niin raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

### Dominoidun konvergenssin lause
Jos on olemassa integroituva kuvaus g: E \rightarrow \mathbb{R} \cup \{ -\infty, \infty \} siten, että |f_j| \leq g kaikilla j \in \mathbb{N} melkein kaikkialla joukolla E, niin jonon raja-arvo on integroituva ja raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

Kutsutaan myös Lebesguen dominoidun konvergenssin lauseeksi.

### Rajoitetun konvergenssin lause
Jos \mu (E)  ja |f_i|  kaikilla i \in \mathbb{N}, niin jonon raja-arvo on integroituva ja raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

## Integraalimitta
Jokaiseen mitta-avaruuden (X,\mathcal{A},\mu) mitalliseen kuvaukseen f: X \rightarrow [0,\infty] voidaan liittää mittaintegraali \int_A f \, d\mu  yli jokaisen joukon A \in \mathcal{A}. Voidaan osoittaa, että tämä kuvaus A \mapsto \int_A f \, d\mu,  A \in \mathcal{A} on itse asiassa mitta *X*:ssä. Tämä ns. **integraalimitta** on joskus hyödyllinen sovelluksissa, sillä siihen voidaan soveltaa kaikkia mitan ominaisuuksia.

## Daniellin integraali
Mittaintegraalille on olemassa myös vaihtoehtoinen määrittelytapa ns. *[[Daniellin integraali]]*, jossa integraali ensin määritellään niin yksinkertaisille funktioille ettei mittateoriaa tarvitse lainkaan ja sitten rajankäynnillä laajennetaan integraalin määritelmä yleisille funktioille. Mitta-avaruuteen määritelty Daniellin integraali johtaa samoihin tuloksiin kuin edellä määritelty mittaintegraali. Kuitenkin tietyissä yleistyksissä Daniellin integraalilla näyttää olevan etuja (kts. esimerkiksi *Integral, measure and derivative: a unified approach. G.E.Shilov/B.L.Gurevich – Prentice-Hall 1966*).

## Katso myös
*Viivaintegraali
*Pintaintegraali

Usein esiintyviä integraaleja:
* Lebesgue–Stieltjes-integraali
* Riemannin integraali
* Riemann–Stieltjes-integraali
* Epäoleellinen integraali
* Bochner-integraali

## Lähteet

## Kirjallisuutta
*