Binomilause

Alkeisalgebrassa **binomilause** kuvaa binomin potenssin algebrallisen kehittämisen. Lauseen mukaan on mahdollista kehittää (x + y)n  summaksi, jossa termit ovat muotoa axbyc, siten että eksponentit b ja c ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja ja b + c = n. Lisäksi jokaisen termin kerroin a on tietty positiivinen kokonaisluku, joka riippuu n:stä ja b:stä. Kun eksponentti on 0, on *x* tai *y* jätetty pois kehitelmästä. Esimerkiksi:

:(x+y)^1 = x + y
:(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
:(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
:(x+y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4
:(x+y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5

Kerroin a termissä xbyc   tunnetaan binomikertoimena \tbinom nb tai \tbinom nc (näillä kahdella on sama arvo). Nämä kertoimet voidaan laskea kaavasta
:{n \choose b} = \frac{n!}{b! \cdot (n-b)!}
missä *b!* tarkoittaa luvun *b* kertomaa.

Binomikertoimet voidaan myös järjestää Pascalin kolmioksi. Samat luvut esiintyvät myös kombinatoriikassa, jossa \tbinom nb osoittaa, kuinka monta b-alkioista osajoukkoa *n* alkion joukolla on.
## Historiaa
Binomikaava ja kolmion muotoon järjestetyt binomikertoimet liitetään usein vain Blaise Pascaliin, joka kuvaili ne 1600-luvulla, mutta jo monet häntä edeltävät matemaatikot tiesivät ne. 300-luvulla eaa. kreikkalainen matemaatikko  Eukleides Aleksandrialainen  mainitsi erikoistapauksen binomilauseesta (a+b) eksponentille 2 kuten myös 200-luvun eaa. intialainen matemaatikko Pingala korkeammille kertaluvuille. Tuttu binomilause ja niin kutsuttu Pascalin kolmio olivat tunnettuja 900-luvulla intialaiselle matemaatikolle Halayudhalle ja persialaiselle matemaatikolle Al-Karajille, ja 1200-luvun kiinalaiselle matemaatikolle Yang Huille, jotka kaikki saivat samoja tuloksia.
Al-Karaji antoi myös matemaattisen todistuksen sekä binomilauseesta että Pascalin kolmiosta käyttäen matemaattista induktiota.

## Lauseen väite

Lauseen mukaan on mahdollista kehittää mikä tahansa potenssi (*x*&nbsp;+&nbsp;*y*):n  summaksi, joka on muotoa

:(x+y)^n = {n \choose 0}x^n y^0 + {n \choose 1}x^{n-1}y^1 + {n \choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^{n-1} + {n \choose n}x^0 y^n,


missä jokainen  \tbinom nk  on tietty positiivinen kokonaisluku, joka tunnetaan  binomikertoimena. Tämä kaava liittyy myös **binomikaavaan**  tai  **binomikuvaukseen**. Käytettäessä summamerkintää se voidaan kirjoittaa

:(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^k =  \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{k}y^{n-k}.


Viimeinen lauseke seuraa edellisestä ja on symmetrinen *x* :n ja *y* :n ensimmäisen lausekkeen kanssa, ja verrattaessa kertoimiin huomataan, että binomikertoimien jono kaavassa on myös symmetrinen.

## Esimerkkejä

Tavallisin esimerkki binomilauseesta on  *x*&nbsp;+&nbsp;*y*:n neliö:

:(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.\!

Binomikertoimet 1, 2, 1 tässä lausekkeessa vastaavat Pascalin kolmion kolmatta riviä. Korkeampien potenssien kertoimet  *x*&nbsp;+&nbsp;*y*:lle vastaavat kolmion seuraavia rivejä :

:
\begin{align}
(x+y)^3 & = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3, \\[8pt]
(x+y)^4 & = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4, \\[8pt]
(x+y)^5 & = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5, \\[8pt]
(x+y)^6 & = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6, \\[8pt]
(x+y)^7 & = x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + y^7.
\end{align}


Huomaa, että 
#x:n potenssi alenee, kunnes se on 0 (ei yhtään x:ä), alkaen arvosta n  ( n potenssissa (x+y)^n.)

#y:n potenssi kasvaa 0:sta (ei yhtään y:tä), kunnes se on  n (myös n potenssissa(x+y)^n.)

#Pascalin kolmion n:s rivi on sama kuin auki kerrotun binomin kertoimet. (Huomaa, että kärki on rivi 0.)

## Todistuksia
### Kombinatorinen todistus
#### Esimerkki
*xy*2n kerroin

:\begin{align}
(x+y)^3 &= (x+y)(x+y)(x+y) \\
&= xxx + xxy + xyx + \underline{xyy} + yxx + \underline{yxy} + \underline{yyx} + yyy \\
&= x^3 + 3x^2y + \underline{3xy^2} + y^3.
\end{align} \, 

on \tbinom{3}{2}=3 koska on kolme kolmen kirjaimen pituista *x*,*y*  jonoa, joissa on tarkalleen kaksi *y*'tä, nimittäin,

:xyy, \; yxy, \; yyx,

vastaten kolmea kaksialkioista osajoukkoa joukosta {&nbsp;1,&nbsp;2,&nbsp;3&nbsp;}, nimittäin,

:\{2,3\},\;\{1,3\},\;\{1,2\}, 

missä jokaisessa osajoukossa eritellään *y*n paikka vastaavassa jonossa.

#### Yleinen tapaus
Kun kehitetään auki (*x*&nbsp;+&nbsp;*y*)*n* niin se tuottaa 2*n* tulojen summaa, jotka ovat muotoa *e*1*e*2&nbsp;...&nbsp;*e**n* missä jokainen *e**i* on *x* tai *y*. Kun järjestellään termejä uudelleen, niin huomataan, että jokainen tulo on muotoa *x**n*&minus;*k**y**k* *k*:n arvoilla 0:sta *n*:ään. Kun *k* tunnetaan, saadaan seuraavista kaikista lauseista sama arvo:

*alkioiden lukumäärä *x**n*&nbsp;&minus;&nbsp;*k**y**k*:n alkioiden kehitelmässä
**n*-alkioisten jonojen lukumäärä *x*:ää ja *y*:tä, joissa *y* on tarkalleen *k* kertaa
**k*-alkioisten osajoukkojen lukumäärä joukosta {1,&nbsp;2,&nbsp;...,&nbsp;*n*}
*{n \choose k}

Tämä todistaa binomilauseen.

## Binomisarja

Jos eksponentti *n* ei ole positiivinen kokonaisluku eikä nolla, ei lauseketta (1 + x)^n voida kehittää polynomiksi. **Yleistetyn binomilauseen** mukaan sille on kuitenkin olemassa sarjakehitelmä:

:\begin{align} (1 + x)^\alpha  &= \sum_{k=0}^{\infty} \; \frac{\alpha (\alpha-1) (\alpha-2) \cdots (\alpha-k+1)}{k!} x^k = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \cdots, \end{align} , 

missä yleensä pätee kuitenkin vain, |x|  (ja eräissä tapauksissa silloinkin, kun |x| = 1), jolloin sarja suppenee. Tässä kertoimille \frac{\alpha (\alpha-1) (\alpha-2) \cdots (\alpha-k+1)}{k!} käytetään myös merkintää \alpha \choose k. Tätä sarjaa sanotaan binomisarjaksi.

Erikoistapauksessa, kun *n* on positiivinen kokonaisluku, sarjan kertoimet *n*+1:nnestä lähtien ovat kaikki nollia, jolloin tuloksena saadaan algebran binomilause.

## Lähteet
*Binomial Theorem by Stephen Wolfram, and "Binomial Theorem (Step-by-Step)" by Bruce Colletti and Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
*Binomial Theorem Introduction 

## Aiheesta muualla