Digitaalinen suodatus

**Digitaalinen suodatin** käsittelee signaalia pelkästään laskutoimitusten avulla toisin kuin analoginen suodatin, joka käsittelee signaalia lineaaristen elektronisten komponenttien kuten operaatiovahvistimien, vastusten, kelojen ja kondensaattorien avulla.

On mahdollista toteuttaa kaikki digitaaliset suodattimet, jotka on kuvattavissa matemaattisen algoritmin avulla. Suodattimen ominaisuuksia rajoittaa käytetyn prosessorin laskentateho ja toteutuskustannukset. Mikropiirien integrointiasteen kasvun ja hintojen laskun vuoksi digitaaliset suodattimet ovat yleistyneet tavallisissa käyttöesineissä kuten matkapuhelimissa ja radiovastaanottimissa.

## Digitaalisten suodattimien etuja

Digitaalisten suodattimien suorituskyky on paljon parempi kuin analogisten suodattimien. Ei ole esimerkiksi kovinkaan vaikeaa tehdä 1000&nbsp;Hz:n digitaalista alipäästösuodatinta, joka läpäisee lähes täysin 999&nbsp;Hz:n signaalin mutta estää 1001&nbsp;Hz:n signaalin. Analogisilla suodattimilla ei päästä yhtä suureen jyrkkyyteen eli niiden Q-arvo on alhainen.

Digitaalisilla suodattimilla saavutetaan paljon parempi signaalikohinasuhde () kuin analogisilla suodattimilla, jotka lisäävät signaaliin kohinaa. Digitaaliset suodattimet sen sijaan käsittelevät signaalia kohinattomien laskutoimitusten avulla. Pääasiallinen kohinan lähde digitaalisessa suodattimessa on analogisen sisään tulevan signaalin kohina ja kvantisointivirhe sekä rajoitetusta laskutarkkuudesta aiheutuvat pyöristysvirheet.

Digitaalisista suodattimista on helppo tehdä tarkkoja, ja niiden ominaisuudet pysyvät samoina koko käyttöajan. Digitaalisten suodatinten ominaisuudet määräytyvät niiden suodattimen painokertoimien kautta, joten ne eivät muutu esimerkiksi ajan myötä tai lämpötilan vaihdellessa. Tarkkuus saadaan myös paremmaksi lisäämällä laskentatehoa ja laskentatarkkuutta. Usein sanotaankin, että digitaalinen CD-soitin toi Hifi-laadun tavallisen kuluttajan ulottuville.

Digitaalisilla suodattimilla voidaan toteuttaa täysin vaihelineaarinen suodin, mikä on mahdotonta analogisen suotimen avulla. Vaihelineaarisuus tarkoittaa sitä, että kaikki signaalin sisältämät taajuudet viivästyvät yhtä paljon. Koska digitaaliset suotimet toimivat kuin tietokoneohjelmat, niihin voidaan lisätä monimutkaisiakin rakenteita, joita analogisilla järjestelmillä on mahdoton toteuttaa. 

Tärkein syy digitaalisten suodinten käyttöön analogisten komponenttien sijaan on kuitenkin raha: samaa signaaliprosessoria voidaan käyttää useisiin sovelluksiin, jolloin sitä voidaan tuottaa suuremmissa erissä mikä alentaa kustannuksia. Prosessoreja käyttävät yritykset puolestaan toteuttavat oman tuotteensa ohjelmistona fyysisten laitteiden sijaan. Tällöin tuotteen monistaminen on helppoa, ja sama komponenttia voidaan myydä hyödyntää eri tuotteissa.

On kuitenkin tiettyjä tapauksia, joissa toimivaa analogista järjestelmää ei kannata tai ei voi korvata digitaalisella. A/D-muunninten näytteenottotaajuuden yläraja on nykyisin luokkaa 10–100&nbsp;MHz, joten hyvin suuria taajuuksia sisältäviä signaaleja ei voida käsitellä diskreetin järjestelmän avulla. Radioiden ja televisioiden suurtaajuusosat toteutetaankin analogisten suodattimien avulla. 

Toisaalta hyvin yksinkertaiset järjestelmät, jotka eivät tarvitse suurta tarkkuutta, on helpointa toteuttaa analogisilla komponenteilla. Digitaalinen järjestelmä tarvitsee aina A/D- ja D/A-muuntimet sekä prosessorin. Jos tavoitteena on vain jakaa autostereoiden kaiutinsignaali kahteen eri taajuuskaistaan, ei tätä varten kannata rakentaa digitaalista järjestelmää. Myös digitaalisen suotimen helppo monistettavuus pääsee oikeuksiinsa vasta suurissa valmistusmäärissä.

Näytteenottoteoreeman mukaan digitaalinen suodatin toimii oikein vain, jos käsiteltävän signaalin kaistanleveys on rajoitettu alle puoleen näytteenottotaajuudesta. Tästä syystä digitaalisen suodattimen edessä on aina oltava analoginen laskostumisenestosuodatin, joka poistaa liian korkeat taajuudet.

## Tavallisia digitaalisia suodattimia

Digitaalisista suodatintyypeistä yleisimmin käytetään lineaarisia suodattimia. Lineaarisen suodattimen ominaisuuksia kuvataan impulssivasteella, jonka yleinen muoto on konvoluutio


y(n) = \sum_{m=0}^M b_m x(n-m) - \sum_{k=1}^K a_k y(n-k),


missä *x(n)* on suodatettava signaali ja *y(n)* on suodatustulos. Suodattimen ominaisuudet määräytyvät sen kertoimien b_0, b_1,\ldots,b_M ja a_1, a_2,\ldots,a_K kautta. Tärkeä erikoistapaus on se, jossa kertoimet a_1, a_2,\ldots,a_K ovat nollia. Tällöin suodatinta kutsutaan FIR-suodattimeksi (), ja sen impulssivaste (ulostulo, kun sisään menee yksittäinen impulssi) on äärellisen mittainen (kestoltaan M näytettä). Lineaaristen suodatinten impulssivaste voi olla myös äärettömän pitkä vaimeneva värähtely. Tällöin kertoimet a_1, a_2,\ldots,a_K eivät ole nollia, ja suodattimesta käytetään nimeä IIR-suodatin (). 

Suodattimien analyysi ja synteesi tapahtuvat z-muunnoksen avulla. Yllä olevan suodattimen z-muunnos on


H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} + \ldots + b_M z^{-M}}{1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2} + \ldots a_K z^{-K}},


jossa suurempi luvuista *K* ja *M* on suodattimen aste. Funktiota H(z) kutsutaan siirtofunktioksi, ja se on samalla suodattimen impulssivasteen z-muunnos.

Toinen tapa kuvata digitaalista suodatinta on tila-avaruusmalli. Paljon käytetty tila-avaruussuodatin on Kalman-suodin.

## Kirjallisuutta
* 

* 

## Aiheesta muualla

*Ilmainen suodattimen suunnitteluohjelma
*Digitaalisia suodattimia esittelevä Java-sovelma
*Suomenkielinen opetusmoniste