Kimmokerroin

**Kimmokerroin** eli **kimmomoduuli** tai **Youngin moduuli** on kiinteän aineen jäykkyyttä kuvaava fysikaalinen suure. Se on kappaleeseen kohdistuvan jännityksen suhde sen aiheuttamaan kappaleen suhteelliseen pituuden muutokseen voiman suunnassa jännityksen ollessa sen verran pieni, että tämä pituuden muutos on suoraan verrannollinen jännitykseen. 

## Terminologia

Nimi Youngin moduuli johtuu 1800-luvulla eläneestä brittiläisestä tiedemies Thomas Youngista, mutta käsitteen oli jo vuonna 1727 ottanut käyttöön Leonhard Euler. Ensimmäiset kokeet, joissa kimmokertoimen käsitettä nykyisessä muodossaan käytettiin hyväksi, teki italialainen Giordano Riccati vuonna 1782, 25 vuotta ennen kuin Young tutki asiaa.  Termi *moduuli* johtuu latinan sanasta *modus*, joka tarkoittaa mittaa.

Suomeksi kimmomoduulia sanotaan kimmokertoimeksi. Tämä termi voi kuitenkin aiheuttaa sekaanusta, sillä ainakin aikaisemmin kimmokertoimella on tarkoitettu myös kimmomoduulin käänteisarvoa, venymän suhdetta venyttävään voimaan. Sama merkitys on ollut kimmokerrointa vastaavalla termillä myös ranskan ja saksan kielissä, mutta skandinaavisissa kielissä sekä *elasticitetskoefficient* ("kimmokerroin") että *elasticitetsmodul* ("kimmomoduuli") ovat molemmat jo vanhastaan tarkoittaneet kimmokerrointa.

## Määritelmä
### Lineaarinen kimmoisuus
Kiinteässä materiaalissa tapahtuu kimmoinen deformaatio, kun siihen kohdistuu pieni kuormitus, joka puristaa tai venyttää sitä. Kimmoinen deformaatio on palautuva eli reversiibeli, toisin sanoen kappale palautuu alkuperäiseen muotoonsa kuormituksen poistuttua.

Kun jännitys ja venymä ovat tarpeeksi pieniä, venymä on Hooken lain mukaan käytännöllisesti katsoen suoraan verrannollinen jännitykseen, eli tällä alueella venymää jännityksen funktiona esittävä käyrä on suora. Kappaleeseen kohdistuvan jännityksen ja sen aiheuttaman suhteellisen venymän suhde on siis vakio, ja tätä vakiota sanotaan materiaalin kimmokertoimeksi eli Youngin moduuliksi. Kimmokerroin *E* on siis

:E = \frac{\sigma}{\Delta l}{l}  tai
:E = F \frac {l}{A \Delta l}

missä *F* on venyttävä voima, *A* kappaleen poikkipinta-ala, *&sigma;* kappaleeseen kohdistuva jännitys eli voima pinta-alayksikköä kohti, *l* sen pituus, kun jännitystä ei ole, ja \Delta l pituuden muutos. Mitä suurempi tämä kerroin on, sitä suurempi jännitys tarvitaan saamaan aikaan tietyinen suuruinen venymä. Ideaalisen jäykän kappaleen kimmokerroin olisi ääretön.

Kimmokertoimen määritelmästä seuraa, että sen yksikkö on sama kuin jännityksen ja myös sama kuin paineen, sillä sekä jännitys että paine määritellän voimana pinta-alayksikköä kohti. Tämän vuoksi SI-järjestelmässä kimmokertoimen yksikkökin on sama kuin paineen, pascal. Useimpien materiaalien kimmokertoimet ovat kuitenkin niin suuria, että tavallisimmin yksikkönä käytetään mega- tai gigapascalia. Aikaisemmin yksikkönä käytettiin tavallisimmin kilopondia neliömillimetriä kohti (kp/mm2.

## Kimmokerroin ja muut materiaalin ominaisuudet

Materiaalin jäykkyyttä, jota kimmokerroin kuvaa, ei tule sekoittaa seuraaviin ominaisuuksiin:
* lujuus, eli paljonko materiaali kestää kuormitusta murtumatta;
* sitkeys, eli kuinka paljon energiaa materiaalista valmistetun kappaleen hajottaminen vaatii (vastakohta: hauraus);
* kovuus, eli materiaalin kyky vastustaa hankauksesta aiheutuvaa naarmuuntumista ja kulumista.

## Käyttö

Kimmokertoimen avulla voidaan laskea isotrooppisesta kimmoisesta materiaalista tehdyn sauvan pituuden muutos, kun siihen kohdistuu venyttävä tai puristava jännitys. Toisin sanoen se ilmoittaa, minkä verran kappale pitenee venytettäessä tai lyhenee puristettaessa. Kimmokerrointa voidaan sellaisenaan soveltaa yksiakselisiin jännityksiin, jotka vaikuttavat vain yhteen suuntaan. Sen avulla voidaan myös laskea, minkä verran luja palkki käyristyy, kun sen päälle asetetaan kuorma johonkin kohtaan tukipisteiden välille. Muut kimmoisuutta koskevat laskelmat yleensä edellyttävät muidenkin elastisten kertoimien kuten liukukertoimen, puristuskertoimen tai Poissonin suhteen käyttöä. Mitkä tahansa kaksi näistä parametreista kuitenkin riittävät täysin määrittämään isotrooppisen materiaalin kimmoisuusominaisuudet.

### Lineaariset ja epälineaariset materiaalit
Kimmokerroin on Hooken lakiin kuuluva verrannollisuuskerroin, joka yhdistää jännityksen ja venymän. Hooken laki kuitenkin pätee vain, jos jännityksen vaikutus on *kimmoinen* ja *lineaarinen*. Kyllin pitkäksi tai kyllin suurella voimalla venytettynä mistä tahansa materiaalista tehty sauva lopulta murtuu tai katkeaa; tarpeeksi pienillä jännityksillä ja venymillä kaikki kiinteät aineet kuitenkin käyttäytyvät ainakin likipitäen Hooken lain mukaisesti. Jos alue, jossa Hooken laki pätee, on tarpeeksi laaja verrattuna tyypillisiin jännityksiin, jotka materiaaliin voidaan olettaa kohdistuvan, materiaalia sanotaan *lineaariseksi*. Muussa tapauksessa, kun jännitys tyypillisesti ylittää lineaarisuusalueen, materiaalia sanotaan epälineaariseksi.

Muun muassa terästä, hiilikuitua ja lasia pidetään yleensä lineaarisina, kun taas esimerkiksi kumi ja maa-ainekset ovat epälineaarisia. Tämä ei kuitenkaan ole absoluuttinen luokitus: jos epälineaariseen materiaaliin kohdistuu vain hyvin pieni jännitys, sen vaikutus on lineaarinen, mutta tarpeeksi suuren jännityksen vaikutukset eivät lineaarisissakaan materiaaleissa ole lineaarisen teorian mukaisia. Lineaarinen teoria edellyttää esimerkiksi, että muodonmuutokset ovat palautuvia (reversiibelejä) ja näin ollen olisi järjetöntä käyttää lineaarista teoriaa kuvaamaan ylikuormitetun terässillan romahtamista; vaikka terästä voidaan useimmissa sovelluksissa pitää lineaarisena materiaalina, sekään ei ole sellainen enää katastrofaalisen romahduksen tapahtuessa.

Kiinteiden aineiden mekaniikassa jännitys-venymäkäyrän kulmakerrointa missä tahansa pisteessä sanotaan tangenttimoduuliksi. Se voidaan kokeellisesti määrittää vetokokeella saadun jännitys-venymäkäyrän kaltevuudesta.

### Epäisotrooppiset materiaalit

Useimmat metallit, keraamit ja monet muutkin materiaalit ovat isotrooppisia eli niiden mekaaniset ominaisuudet eivät riipu suunnasta. Samoin ei kuitenkaan ole kaikkien materiaalien laita. Sopivilla epäpuhtauksilla metallit ja keraamitkin voidaan saada epäisotrooppisiksi, jolloin niiden ominaisuudet, myös kimmokerroin, riippuvat vaikuttavan voiman suunnasta.. Anistropiaa esiintyy myös monilla komposiiteilla. Esimerkiksi hiilikuidulla on paljon suurempi kimmokerroin eli se on paljon jäykempää, jos venyttävä voima vaikuttaa kuidun pituussuunnassa. Selvästi epäisotrooppisia aineita ovat myös puu ja teräsbetoni. Niiden suunnasta riippuvia ominaisuuksia käytetäänkin hyväksi rakennustöissä.

## Laskenta

Kimmokerroin *'E* voidaan laskea, kun tunnetaan kappaleeseen kohdistuva jännitys \sigma(\varepsilon) ja sen aikaansaama venymä \varepsilon, edellyttäen, että ollaan jännitys-venymä-käyrän lineaarisella osuudella:

: E \equiv \frac{\sigma(\varepsilon)}{\varepsilon}= \frac{F/A}{\Delta L/L_0} = \frac{F L_0} {A \, \Delta L} 
jossa
:E on kimmokerroin (Youngin moduuli)
:F jännityksen alaiseen kappaleeseen kohdistuva voima;
:A on kappaleen poikkipinta-ala siihen kohdistuvaan voimaan nähden kohtisuorassa suunnassa;
:ΔL on kappaleen pituuden muutos (positiivinen, jos kappale venyy, ja negatiivinen, jos se puristuu kokoon); ja
:L0 on kappaleen alkuperäinen pituus.

### Venytettyyn tai puristettuun materiaaliin kohdistuva voima

Materiaalin kimmokertoimen avulla voidaan laskea voima, jonka se kokee tietyn suuruisen jännityksen alaisena.

:F = \frac{E A \, \Delta L} {L_0}
missä F on kappaleeseen kohdistuva voima, kun sitä on puristettu kokoon tai venytetty pituuden  \Delta L verran.

Hooken laki jännitetylle langalle voidaan johtaa tästä kaavasta:
:F = \left( \frac{E A} {L_0} \right) \, \Delta L = k x \,
sen tullessa kyllästyspisteeseen
:k \equiv \frac {E A} {L_0} \, ja x \equiv \Delta L. \,

On kuitenkin huomattava, että kierrejousten kimmoisuus liittyy niiden liukukertoimeen, ei kimmokertoimeen.

### Kimmoinen potentiaalienergia

Lineaariseen kommoiseen materiaaliin varastoitunut kimmoinen potentiaalienergia voidaan laskea integroimalla Hooken laki:

:U_e = \int {k x}\, dx = \frac {1} {2} k x^2.

missä esiintyuvät intensiivisuureet ovat:
 
:U_e = \int \frac{E A \, \Delta L} {L_0}\, d\Delta L = \frac {E A} {L_0} \int \Delta L \, d\Delta L = \frac {E A \, {\Delta L}^2} {2 L_0}

Näin ollen kimmoisen potentiaalienergian tiheys, tilavuusyksikköä kohti, on:
:\frac{U_e} {A L_0} = \frac {E \, {\Delta L}^2} {2 L_0^2} 

tai yksinkertaisemmin ilmaistuna, lineraariselle kimmoiselle materiaalille pätee:
 u_e(\varepsilon) = \int {E \, \varepsilon}\, d\varepsilon = \frac {1} {2} E {\varepsilon}^2,
sillä venymän määrittelee \varepsilon \equiv \frac {\Delta L} {L_0}.

Epälineaarisen kimmoisen materiaalin kimmokerroin riippuu venymästä, minkä vuoksi jälkimmäinen yhtälö ei päde eikä kimmoinen energia ole venymän neliöllinen funktio.

:  u_e(\varepsilon) = \int E(\varepsilon) \, \varepsilon \, d\varepsilon \ne \frac {1} {2} E \varepsilon^2

### Kimmokerroin ja muut elastiset kertoimet

Homogeenisten ja isotrooppisten materiaalien kimmoisuusominaisuuksia kuvaa kolme elastista kerrointa: kimmokerroin *E*, liukukerroin *G* ja puristuskerroin *K*, sekä Poissonin suhde. Jos näistä suureista kaksi tunnetaan, kaksi muutakin voidaan laskea seuraavien yhteyksien avulla:

:E = 2G(1+\nu) = 3K(1-2\nu).\,

### Kimmokerroin ja atomien väliset voimat

Viime kädessä materiaalien kimmoisuusominaisuudet johtuvat atomien välisistä sidosvoimista. Metallien tapauksessa kyseessä on metallisidos. Niiden kimmokertoimille voidaan johtaa karkea likiarvo atomien välisen etäisyyden ja siihen liittyvän potentiaalienergian avulla.

Tyypillisesti kahden atomin muodostaman systeemin potentiaalienergia kasvaa suunnilleen yhden elektronivoltin verran, kun ne siirretään noin 0,1 nanometrin eli yhden ångströmin verran kauemmaksi tasapainoasemasta. Olkoon &delta;&nbsp;*a* poikkeama tasapainoasemasta. Tällöin systeemin potentiaalienergia on

:  \Delta V = \frac{1}{2} K (\delta a)^2,

missä *K* = 2 eV / 0,1 nm = 1,6 &middot; 10-19 J / (10-9 m)2 = 32 J/m2 = 32 N/m.

Tämä liittyy suoraan makroskooppiseen kimmokertoimeen, jos venymä on kidehilan jonkin perussuunnan suuntainen. Saadaan:

:  E = \frac {\text{voima / pinta-ala}}{\text{suhteellinen venymä}} = \frac{K \delta a/a^2}{\delta a/a} = \frac{K}{a}

Kun atomien välinen etäisyys kiinteissä aineissa on tyypillisesti noin 3 Å = 3 &middot;10-10 m, saadaan tästä kimmokertoimelle karkea arvo
: E = 10^{11} \frac{N}{m^2} = 100 GPa..

Monien metallien kimmokerroin onkin suunnilleen tätä suuruusluokkaa.

### Lämpötilariippuvuus

Yleensä metallien kimmokerroin pienenee lämpötilan kasvaessa.
Metallien kimmokerroin riippuu lämpötilasta. Koska se liittyy atomien välisiin sidosvoimiin, sen muutokset riippuvat metallin työfunktion muutoksista. Tätä on yritetty kuvailla klassisestikin muun muassa Watchmanin kaavalla. Rahemi-Lin malli osoittaa, kuinka muutos elektronin työfunktiossa johtaa metallien kimmokerrointen muutoksiin ja mahdollistaa tämän muutoksen ennustamisen laskettavissa olevien parametrien avulla kyttäen Lennardin-Jonesin potentiaalia kiinteille aineille. Yleensä lämpötilan kasvaessa metallin kimmokerroin pienenee suhteessa
E(T)=\beta(\varphi(T))^6
Kun elektronin työfunktio riippuu lämpötilasta yhtälön \varphi(T)=\varphi_0-\gamma\frac{(k_BT)^2}{\varphi_0} mukaisesti ja \gamma on laskettavissa oleva, kiderakenteesta (esimerkiksi pinta- tai tilakeskeinen kuutiollinen) riippuva parametri, \varphi_0 on elektronin työfunktio absoluuttisessa nollapisteessä ja 
\beta on vakio.

## Eräiden materiaalien kimmokertoimia

Materiaalien kimmokertoimet riippuvat herkästi niiden koostumuksesta, ja samallekin materiaalille voidaan eri koemenetelmillä saada toisistaan poikkeavia arvoja. Tämän vuoksi eri lähteissä saatetaan samallekin materiaalille ilmoittaa eri suuruisia kimmokertoimia.

## Katso myös

* Hooken laki
* Elastisuus

## Lähteet