Kolmion keskinormaalien leikkauspiste

**Kolmion keskinormaalien leikkauspiste** on geometriassa piste, joka syntyy jokaisen sivun keskinormaalin kohdatessa toisensa. Leikkauspiste on eräs kolmion merkillisestä pisteistä ja se on luetteloitu *Kimberlingin pisteiden luetteloon* tunnuksella \scriptstyle X_{3}. Pisteen nimeksi on valittu monissa kielissä melko samantapainen termi, joka kirjoitetaan englanniksi *circumcenter*. Se viittaa kolmion ympärille piirrettyyn ympyrään, jonka keskipiste yhtyy leikkauspisteeseen.

## Sijainti kolmiossa
Keskinormaalit ovat kohtisuorassa kolmion sivuihin nähden. Kahden sivun välinen tylppä kulma voi kääntää kahden sivun keskinormaalit lähes yhdensuuntaisiksi, jolloin niiden leikkauspiste jää kauaksi. Leikkauspiste voi siksi sijaita tietysti kolmion sisällä, mutta myös kaukana kolmion ulkopuolella.

Triangle (Acute) Circumscribed.svg|Teräväkulmaisessa kolmiossa leikkauspiste jää kolmion sisälle.
Triangle (Right) Circumscribed.svg|Suorakulmaisessa kolmiossa leikkauspiste osuu hypotenuusalle.
Triangle (Obtuse) Circumscribed.svg|Tylppäkulmaisella kolmiolla leikkauspiste on kolmion ulkopuolella.


Sivun keskinormaali on suora, jonka pisteet sijaitsevat yhtä kaukana molemmista sivun päätepisteistä. Kun näin on laita kaikille kolmion keskinormaaleille, ovat keskinormaalien leikkauspisteen etäisyydet kaikkiin kolmion kärkiin yhtä pitkät. Jos kolmion kärkien kautta piirtää ympyrän, tulee sen säteeksi leikkauspisteen etäisyys kolmion kärkiin.

Kun kolmion sivujen pituudet merkitään a, \, b \ ja \ c on säteen R pituus
:R=\frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}. 

Kun kolmiosta tunnetaan kärkiä A, \, B \ ja \ C vastaavat kulmat \alpha \, \, \beta \ ja \ \gamma, saadaan Sinilauseesta
:R = \frac{a}{2 \sin \alpha} = \frac{b}{2 \sin \beta} = \frac{c}{2 \sin \gamma}.  

### Karteesit koordinaatit
Kolmion kolme kärkeä merkitään A(x_a,y_a), B(x_b,y_b), ja C(x_c,y_c). Leikkauspisteen O(x_o,y_o) koordinaatit ovat silloin
:x_o = ((x_a^2 + y_a^2)(y_b - y_c) + (x_b^2 + y_b^2)(y_c - y_a) + (x_c^2 + y_c^2)(y_a - y_b)) / D,
:y_o = ((x_a^2 + y_a^2)(x_c - x_b) + (x_b^2 + y_b^2)(x_a - x_c) + (x_c^2 + y_c^2)(x_b - x_a)) / D,
missä  
:D = 2(x_a(y_b - y_c) + x_b(y_c - y_a) + x_c(y_a - y_b)).\,

### Trilineaariset koordinaatit
Pisteen trilineaariset koordinaatit ovat :\cos \alpha \, : \, \cos \beta \, : \, \cos \gamma = a(b^2+c^2-a^2) \, : \, b(c^2+a^2-b^2) \, : \, c(b^2+a^2-c^2).

### Barysentriset koordinaatit
Pisteen barysentriset koordinaatit ovat 
:\sin 2\alpha \, : \, \sin 2\beta \, : \, \sin 2\gamma = a^2(b^2+c^2-a^2) \, : \, b^2(c^2+a^2-b^2) \, : \, c^2(b^2+a^2-c^2).

## Muuta
### Eulerin suora
Jos varhain huomattiin, että keskinormaalin leikkauspiste (\scriptstyle X_3) on kollineaarinen kolmion painopisteen (\scriptstyle X_2), ortokeskuksen (\scriptstyle X_4) ja yhdeksän pisteen ympyrän keskipisteen (\scriptstyle X_5) kanssa. Näiden kautta kulkevaa suoraa kutsutaan Eulerin suoraksi.

### Etäisyyksiä
Painopiste ***G*** ja ortokeskus ***O*** sijaitsevat kolmion muodosta riippumatta Eulerin suoralla tasavälein niin, että ***HG = 2•GO***.

Kolmiota ympäröivän ympyrän (säde ***R***) keskipiste eli kolmion keskinormaalien leikkauspiste ***O*** ja painopiste ***G*** toteuttavat yhtälön \scriptstyle GO^2 = R^2 - \tfrac{1}{9}(a^2 + b^2 + c^2)

## Lähteet
* 
* 
* 

### Viitteet