Studentin t-jakauma

\!|

  cdf        =\begin{matrix}
     \frac{1}{2} + x \Gamma \left( \frac{\nu+1}{2} \right)  \times\\[0.5em]
     \frac{\,_2F_1 \left ( \frac{1}{2},\frac{\nu+1}{2};\frac{3}{2};
           -\frac{x^2}{\nu} \right)}
     {\sqrt{\pi\nu}\,\Gamma \left(\frac{\nu}{2}\right)}
     \end{matrix}missä 2*F*1 on hypergeometrinen funktio|
  mean       =0 kun ν > 1, muulloin määrittelemätön|
  median     =0|
  mode       =0|
  variance   =\textstyle\frac{\nu}{\nu-2} kun ν > 2, ∞ kun 1  3, muulloin määrittelemätön|
  kurtosis   =\textstyle\frac{6}{\nu-4} kun ν > 4, ∞ kun 2 \begin{matrix}
         \frac{\nu+1}{2}\left[
             \psi \left(\frac{1+\nu}{2} \right)
               - \psi \left(\frac{\nu}{2} \right)
         \right] \\[0.5em]
+ \log{\left[\sqrt{\nu}B \left(\frac{\nu}{2},\frac{1}{2} \right)\right]}
\end{matrix}
* ψ: digamma-funktio,
* *B*: beta-funktio|
|
  mgf        = määrittelemätön|
  char       =\textstyle\frac{K_{\nu/2} \left(\sqrt{\nu}|t|\right)
                    \cdot \left(\sqrt{\nu}|t| \right)^{\nu/2}}
                    {\Gamma(\nu/2)2^{\nu/2-1}} kun ν > 0
* *K*ν(*x*): toisen tyypin modifioitu Besselin funktio
}}

**Studentin ''t''-jakauma** on todennäköisyysjakauma, jota hyödynnetään normaalijakautuneiden populaatioiden keskiarvon tarkastelussa kun otoskoko on pieni. Yleisesti käytetty ''t''-testi perustuu *t*-jakaumaan.

Kun satunnaismuuttuja *X* noudattaa *t*-jakaumaa, sen tiheysfunktio on:

:f(x) = \frac{\Gamma((\nu+1)/2)}{\sqrt{\nu\pi\,}\,\Gamma(\nu/2)} (1+x^2/\nu)^{-(\nu+1)/2},

jonka parametria  \nu  kutsutaan vapausasteeksi, ja   \Gamma  on gammafunktio.

Jakauman kertymäfunktio on:

:\int_{-\infty}^x f(u)\,du = \left\{ 
\begin{matrix} 1 - \frac{1}{2} I_y(\nu/2,1/2) & \mbox{kun}\quad x > 0, \\  \\
\frac{1}{2} I_y(\nu/2,1/2) & \mbox{muulloin},
\end{matrix}\right.

jossa  I_y on epätäydellisen ja täydellisen beta-funktion suhde (engl. regularized beta function)

: I_y(a,b) = \frac{\mathrm{B}_y(a,b)}{\mathrm{B}(a,b)} \!

ja 

:y = \frac{1}{1+x^2/\nu}.

*t*-jakauma muistuttaa muodoltaan odotusarvolla 0 ja varianssilla 1 jakautunutta normaalijakaumaa, mutta sillä on paksummat hännät. Vapausasteiden kasvaessa se lähestyy kyseistä normaalijakaumaa. *t*-jakaumalla on myös yhteys F-jakaumaan:  \sqrt{x} noudattaa F-jakaumaa 1 ja  \nu  vapausasteella.

## Historia

*t*-jakauman johdon *t*-testisuureen jakaumana julkaisi ensimmäisenä 1908 William Sealy Gosset. Hän työskenteli Guinnessin panimolla Dublinissa ja tutki parhaiden ohralajikkeiden valintaa. Hän ei saanut julkaista tuloksiaan omalla nimellään, koska panimolla pelättiin salaisen tiedon vuotamista. Tämän vuoksi hän käytti salanimeä Student, jotta työnantaja ei huomaisi julkaisua. *t*-testi ja siihen liittyvä teoria tuli tunnetuksi Ronald Fisherin työn kautta.

## Taulukko jakauman arvoista

Seuraavassa on jakauman arvot muutamille kertymäfunktion prosenttipisteille ja muutamille vapausasteille  \nu . 

Esimerkiksi yksisuuntaisen testin kriittinen arvo 10&nbsp;% riskitasolla ja 4 vapausasteella on 1,533. Se tarkoittaa, että Pr(*X*&nbsp;&nbsp;1,533)&nbsp;= 1 &minus; 0,9 = 0,1,

jolloin raja-arvo vastaa kaksisuuntaisen testin 20&nbsp;% riskitasoa:

:Pr(&minus;1,533&nbsp;<&nbsp;*T*&nbsp;<&nbsp;1,533)&nbsp;=&nbsp;1 &minus; 2(0,1) = 0,8.

## Lähteet

## Aiheesta muualla