OFDM

**OFDM** (*Orthogonal frequency-division multiplexing*) eli *DMT*-modulointi (*Discrete Multitone*) perustuu tiedonsiirtoon lukuisilla toisiaan häiritsemättömillä taajuuskanavilla yhtä aikaa.

OFDM-modulointia käytetään useissa erilaisissa tiedonsiirtojärjestelmissä kuten ADSL:ssä, WLANissa, UWB:n ofdm-versiossa, digiradiossa, digitelevisiossa ja datasähkössä, LTE:ssä sekä Flash-OFDM:ssä.

## OFDM:n toiminta

Nykyisin käytössä olevat OFDM-menetelmät perustuvat diskreettiin Fourier-käänteismuunnokseen (IDFT, *Inverse Discrete Fourier Transform*).

Kerralla moduloitava symboli vastaa kompleksilukuina esitettyjä taajuuksien voimakkuuksia ja vaihekulmia, jotka sitten muunnetaan diskreetillä Fourier-käänteismuunnoksella digitaalisen signaalin vaihteluiksi. Digitaalinen signaali muunnetaan D/A-muuntimella analogiseksi kantataajuiseksi OFDM-signaaliksi. Kantataajuista signaalia voidaan käyttää sellaisenaan, tai sillä voidaan moduloida radiotaajuista kantoaaltoa.

Taajuuskanavien määrä ja kussakin kanavassa kerralla siirrettävien bittien määrä vaihtelee. Kanavia on yleensä useita kymmeniä, joskus useita tuhansia. Esimerkiksi 16-QAM-modulaatiota käytettäessä erilaisia vaiheen ja voimakkuuden arvoja on 4×4, jolloin yhden taajuuskanavan sisällä voidaan siirtää \mbox{log}_2(4*4)=4 bittiä. Eri kanavilla voi käyttää erilaisia modulaatiotapoja.

Peräkkäisten symbolien keskinäinen vaikutus estetään jättämällä niiden väliin *suojaväli*. Suojaväliin kopioidaan pätkä signaalia sitä seuraavan IDFT-muunnoksen tuloksen lopusta (*cyclic prefix*). Tällä pystytään myös vähentämään symbolin sisällä eri taajuuksien keskinäistä vaikutusta.

Demoduloinnissa käytetään diskreettiä Fourier-muunnosta: yhtä symbolia vastaavaan lohkoon kuuluvat A/D-muuntimelta saatavat näytteet muunnetaan kerralla taajuuskanavien voimakkuutta ja vaihetta kuvaaviksi kompleksiluvuiksi. Kanavan kompleksilukua lähinnä vastaava bittikuvio valitaan demodulointitulokseen.

## OFDM:n matemaattinen esitys

OFDM:n yhtä symbolia vastaavan digitaaliset signaalipulssien arvot x_k saadaan laskettua kaavalla

 x_k=\sum_{i=0}^{N-1} e^{j2\pi i k/N} Z_i

jossa Z_i on kullakin kanavalla siirrettävä datasymboli kompleksilukuna esitettynä ja N on sekä kanavien että signaalin pulssien määrä. 

Käytettäessä kantataajuista modulointia, signaalin pitää olla reaalinen. Tällöin taajuustason vektorin Z on oltava hermiittisesti symmetrinen eli Z_i = Z^*_{N-i} ja sekä Z_0 että Z_{N/2} pitää olla reaalisia (itsensä konjugaatteja). Tiedonsiirtoon on silloin käytettävissä vain N/2-1 kanavaa.

Laskennallisesti edullisinta on, jos muunnettavien taajuusalueiden määrä on kahden potenssi. Tällöin voidaan käyttää mahdollisimman yksinkertaista nopeaa Fourier-muunnosta. 

Jatkuva aikatason signaali saadaan laskettua kaavalla


\nu(t)=\sum_{i=0}^{N-1}e^{j2\pi i t/T} Z_i, \quad 0 \le t 

jossa T on symbolin kesto. OFDM:n taajuuskanavien sijoittuminen 1/T välein tekee taajuuskanavista ortogonaalisia. Tämä ilmenee kaavasta


\frac{1}{T}
\int_0^{T} \left(e^{j2\pi i_1 t/T}\right) \left(e^{j2\pi i_2 t/T}\right)^* dt = 
\frac{1}{T} 
\int_0^{T} e^{j2\pi (i_1 - i_2) t/T}dt
=
\begin{cases}
1, & i_1 = i_2,\\
0, & i_1 \ne i_2,
\end{cases}


missä tähdellä merkitään kompleksiluvun konjugaattia.

## OFDM:n virstanpylväitä

*1957: Kineplex, monikantoaaltoinen korkeataajuusmodeemi
*1966: Chang (Bell Labs): OFDM-artikkeli ja patentti
*1971: Weinstein ja Ebert ehdottavat FFT:n ja suojavälin käyttöä
*1985: Cimini kuvaa OFDM:n käyttöä mobiiliverkoissa
*1987: Alard ja Lasalle ehdottavat OFDM:n käyttöä digiradiossa ja -televisiossa
*1995: ETSIn digiradio (DAB), ensimmäinen OFDM:n perustuva standardi
*1997: ETSIn DVB-T-digitelevisiostandardi 
*1998: ANSIn ADSL-standardi
*1999: ITUn ADSL-standardi
*1998: Magic WAND -projektissa käytetään OFDM-modeemeja langattomassa lähiverkossa
*1999: IEEE 802.11a WLAN-standardi (Wi-Fi)
*2002: IEEE 802.11g WLAN-standardi
*2004: IEEE 802.16 WiMAX-standardi
*2004: ETSIn DVB-H-kännykkätelevisiostandardi