Nelivektori

**Nelivektori** on suhteellisuusteoriassa neljästä komponentista koostuva vektori, joka on määritelty neli­ulotteisessa aika-avaruudessa. Se on matemaattinen työkalu, jolla kuvastetaan aika-avaruuden relativistisia ilmiöitä., Minkowskin avaruudessa. Se eroaa tavallisesta euklidisesta  vektorista siinä, että neli­vektorit muuntuvat koordinaatistosta toiseen siirryttäessä Lorentzin muunnoksen mukaisesti. 

Aika-avaruudessa sijaitsevaa tapahtumaa voidaan kuvata nelivektorilla, jossa on kolme paikka­koordinaattia ja yksi ajan koordinaatti. Nelivektorin komponenteilla on mahdollista kuvata myös energiaa ja liikemäärää.

Tässä artikkelissa neli­vektoreita käsitellään erityisen suhteellisuus­teorian mukaisesti. Vaikka neli­vektoreita käytetään myös yleisessä suhteellisuus­teoriassa, jotkin tässä artikkelissa mainitut tulokset eivät siinä enää sellaisenaan päde.

Tässä artikkelissa käytetään seuraavia merkintöjä: lihavoidut pienet kirjaimet merkitsevät kolmiulotteisia vektoreita, hatulla varustetut kirjaimet kolmiulotteisen avaruuden yksikkö­vektoreita, lihavoidut isot kirjaimet merkitsevät neli­vektoreita, poikkeuksena neli­gradientti. Lisäksi käytetään tensorien indeksi­notaatiota.

## Nelivektorien algebra

### Reaaliarvoisen kannan nelivektorit

Nelivektori *A* on vektori, jolla on yksi "ajan­luontoinen" ja kolme "paikan­luontoista" komponenttia. Sellaisille on käytössä useita samaa tarkoittavia merkintätapoja:

: \begin{align}  
\mathbf{A} & = (A^0, \, A^1, \, A^2, \, A^3) \\
& = A^0\mathbf{e}_0 + A^1 \mathbf{e}_1 + A^2 \mathbf{e}_2 + A^3  \mathbf{e}_3 \\
& = A^0\mathbf{e}_0 + A^i \mathbf{e}_i \\
& = A^\alpha\mathbf{e}_\alpha\\
\end{align}

Yläindeksit tarkoittavat kontravariantteja komponentteja. Tavanomainen käytäntö on, että latinalaisilla kirjaimilla indeksoidaan ainoastaan paikanluontoiset komponentit, *i* = 1, 2, 3, kun taas kreikkalaisia kirjaimia käytetään indeksoitaessa komponentit Einsteinin summaussäännön mukaisesti, kun myös ajan­luontoinen komponentti on mukana: *a* = 0, 1, 2, 3, missä 0 vastaa ajan­luontoista komponenttia. Jako ajan- ja paikan­luontoisiin komponentteihin on hyödyllinen määriteltäessä nelivektorien ja muiden tensori­suureiden välisiä riippuvuuksia kuten laskettaessa Lorentz-invariantteja sisätuloina, mistä jäljempänä esitetään esimerkkejä. 

Erityisessä suhteellisuus­teoriassa paikan­luontoinen kantana **e**1, **e**2, **e**3 ja komponentteina *A*1, *A*2, *A*3 käytetään usein karteesista kantaa ja komponentteja:

: \begin{align}  
\mathbf{A} & = (A_t, \, A_x, \, A_y, \, A_z) \\
& = A_t \mathbf{e}_t + A_x \mathbf{e}_x + A_y \mathbf{e}_y + A_z  \mathbf{e}_z \\
\end{align}

vaikka luonnollisesti muitakin kantoja ja koordinaatteja voidaan käyttää, esimerkiksi pallokoordinaatistoa

: \begin{align}  
\mathbf{A} & = (A_t, \, A_r, \, A_\theta, \, A_\phi) \\
& = A_t \mathbf{e}_t + A_r \mathbf{e}_r + A_\theta \mathbf{e}_\theta + A_\phi \mathbf{e}_\phi \\
\end{align},

sylinterikoordinaatistoa, 

: \begin{align}  
\mathbf{A} & = (A_t, \, A_r, \, A_\theta, \, A_z) \\
& = A_t \mathbf{e}_t + A_r \mathbf{e}_r + A_\theta \mathbf{e}_\theta + A_z \mathbf{e}_z \\
\end{align}

tai mitä tahansa ortogonaalisia tai jopa käyrä­viivaista koordinaatistoa]]. On huomattava, että tässä ala­indekseinä käytetyt tunnukset eivät ole indeksejä, jotka saavat lukuarvoja. Yleisessä suhteellisuus­teoriassa on käytettävä paikallista käyrä­viivaista koordinaatistoa. Geometrisesti neli­vektoreitakin voidaan kuvata nuolilla, mutta aika-avaruudessa, ei pelkästään avaruudessa. Suhteellisuus­teoriassa nuolet piiretään aika-avaruus-diagrammiin eli Minkowskin diagrammiin. Jäljempänä neli­vektoreita sanotaan usein lyhyesti vektoreiksi.

On myös tavallista esittää kannan muodostavat yksikkövektorit muodossa 

: \mathbf{e}_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{e}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{e}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} 

niin, että 

: \mathbf{A} = \begin{pmatrix} A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{pmatrix} 

Indeksit on tapana kirjoittaa alaindekseinä kovarianttien ja yländekseinä kontravarianttien nelivektorien tapauksessa. Kovariantti neli­vektori voidaan näin ilmaista muodossa \scriptstyle x_{\mu}=(x_1,~x_2,~x_3,~x_4)=(ct,-x,-y,-z). Kovariantti neli­vektori \scriptstyle x_{\mu} saadaan, kun kerrotaan kontra­variantti neli­vektori \scriptstyle x^{\nu} metrisellä tensorilla \scriptstyle g_{\mu\nu}=g^{\mu\nu}:

:g_{\mu\nu} x^{\nu}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ct \\ -x \\ -y \\ -z \end{bmatrix}=x_{\mu}.

Eri merkintätavoilla kovariantit komponentit ovat:

: \begin{align}  
\mathbf{A} & = (A_0, \, A_1, \, A_2, \, A_3) \\
& = A_0\mathbf{e}^0 + A_1 \mathbf{e}^1 + A_2 \mathbf{e}^2 + A_3  \mathbf{e}^3 \\
& = A_0\mathbf{e}^0 + A_i \mathbf{e}^i \\
& = A_\alpha\mathbf{e}^\alpha\\
\end{align}

missä alaindeksit osoittavat kyseessä olevan kovariantti vektori. Usein metriikka on diagonaalinen, kuten 
orto­gonaalisten mutta ei yleisten käyrä­viivaisten koordinaattien tapauksessa.

Kanta voidaan esittää rivivektoreina:

: \mathbf{e}^0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{e}^1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{e}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{e}^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} 

niin että:

: \mathbf{A} = \begin{pmatrix} A_0 & A_1 & A_2 & A_3 \end{pmatrix} 

Perusteena näille merkintätavoille on se, että sisätulo on skalaari.

### Lorentzin muunnos

Jos oletetaan kaksi inertiaalista tai pyörivää vertailujärjestelmää, neli­vektori voidaan määritellä suureeksi, joka muuntuu Lorentz-muunnosmatriisin \Lambda mukaisesti:

:\mathbf{A}'=\boldsymbol{\Lambda}\mathbf{A}\,\!

Indeksimerkintöjä käytettäessä kontravariantit komponentit muuntuvat seuraavasti:

:{A'}^\mu = \Lambda^\mu {}_\nu A^\nu

ja kovariantit komponentit seuraavasti:

:\quad {A'}_\mu = \Lambda_\mu {}^\nu A_\nu

missä matriisilla \Lambda on komponentit *Λ<sup>µ</sup><sub>?</sub>* rivillä *µ* ja sarakkeella *ν,*, ja sen käänteismatriisin **Λ**-1 komponentit ovat *Λ<sub>µ</sub><sup>ν,</sup>* rivillä *µ* ja sarakkeella *ν,*. 

Esimerkiksi tapahtuman neli­paikka S muunnetaan Lorentz-muunnoksella toiseen inertiaali­koordinaatistoon seuraavasti: \mathfrak{s}' = \mathfrak{L}\mathfrak{s}, tässä \mathfrak{L} on 4x4-matriisi

\mathfrak{L}=\begin{bmatrix} \gamma & 0 & 0 & i\gamma\beta \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -i\gamma\beta & 0 & 0 & \gamma \end{bmatrix}. 

Aika-avaruus­intervalli saa neli­vektoreilla muodon \mathfrak{s}^T \mathfrak{s} = x^2 + y^2 + z^2 - c^2 t^2. Aika-komponentin imaginaarisella kertoimella on siis suuri merkitys. Huomataan että aika-avaruusintervalli säilyy Lorentz-muunnoksessa, siis \mathfrak{s}^T \mathfrak{s} = \mathfrak{s'}^T \mathfrak{s'}.

Kaikki neli­vektorit muuntuvat samalla tavalla, ja tämä voidaan yleistää neli­ulotteisille relati­visti­sille tensoreille.

#### Puhtaat kierrot mielivaltaisen akselin ympäri

Jos oletetaan kaksi kiinteän kulman θ toisistaan erottamaa, yksikkö­vektorien määrittelemää vertailu­järjestelmää

:\hat{\mathbf{n}} = (\hat{n}_1,\hat{n}_2,\hat{n}_3)\,,

matriisin Λ komponentit ovat:

:\Lambda_{00} = 1 
: \Lambda_{0i} = \Lambda_{i0} = 0 
:\Lambda_{ij} = (\delta_{ij} - \hat{n}_i \hat{n}_j) \cos\theta - \varepsilon_{ijk} \hat{n}_k \sin\theta  + \hat{n}_i \hat{n}_j 

missä *d<sub>ij</sub>* on Kroneckerin delta ja *e<sub>ijk</sub>* on kolmiulotteinen Levin-Civitan symboli. Neli­vektorin paikan­luontoiset komponentit kiertyvät, kun taas ajan­luontoinen komponentti pysyy muuttumattomana.

Jos rotaatio tapahtuu vain *z*-akselin ympäri, Lorentzin matriisin paikan­luontoinen osa yksin­kertaistuu rotaatiomatriisiksi *z*-akselin ympäri:

:
\begin{pmatrix}
{A'}^0 \\ {A'}^1 \\ {A'}^2 \\ {A'}^3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \cos\theta &-\sin\theta & 0 \\
0 & \sin\theta & \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3
\end{pmatrix}\ .


#### Tasaiset liikkeet mielivaltaiseen suuntaan

Kun kaksi vertailu­järjestelmää liikkuu toistensa suhteen tasaisella nopeudella **v** (tässä tarkoitetaan tavan­omaista nopeutta kolmi­ulotteisessa avaruudessa, ei jäljempänä määriteltävää neli­nopeutta), on kätevää käyttää suhteellisen nopeuden yksikkönä valon­nopeutta *c* seuraavasti:

: \boldsymbol{\beta} = (\beta_1,\,\beta_2,\,\beta_3) = \frac{1}{c}(v_1,\,v_2,\,v_3) = \frac{1}{c}\mathbf{v} \,. 

Täten kun rotaatiota ei ole eli molempien vertailu­järjestelmien koordinaatti­akselit ovat saman­suuntaiset, matriisin **Λ** komponentit ovat:

: \begin{align} \Lambda_{00} & = \gamma, \\
\Lambda_{0i} & = \Lambda_{i0} = - \gamma \beta_{i}, \\
\Lambda_{ij} & = \Lambda_{ji} = ( \gamma - 1 )\dfrac{\beta_{i}\beta_{j}}{\beta^{2}} + \delta_{ij}= ( \gamma - 1 )\dfrac{v_i v_j}{v^2} + \delta_{ij}, \\
\end{align}
\,\!

missä \gamma on Lorentzin tekijä

: \gamma = \frac{1}{\sqrt{1- \boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{\beta}}} \,,

ja *δ<sub>ij</sub>* on Kroneckerin delta. Toisin kuin pelkän rotaation tapauksessa, tasaisessa suora­viivaisessa liikkeessä matriisin paikan- ja ajan­luontoiset komponentit kytkeytyvät toisiinsa.

Kun liike tapahtuu ainoastaan *x*-akselin suuntaan, matriisi yksin­kertaistuu muotoon

:
\begin{pmatrix}
A'^0 \\ A'^1 \\ A'^2 \\ A'^3
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\cosh\phi &-\sinh\phi & 0 & 0 \\
-\sinh\phi  & \cosh\phi & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3
\end{pmatrix} 


missä käytetään rapiditeettia \phi , joka voidaan ilmaista hyper­bolisten funktioiden avulla:
:
\gamma = \cosh \varphi


Tämä Lorentzin matriisi osoittaa, että etenemis­liike voidaan käsittää hyper­boliseksi rotaatioksi neliulotteisessa aika-avaruudessa, jolloin se on analoginen ympyräliikkeelle kolmi­ulotteisessa avaruudessa.

### Ominaisuudet

#### Lineaarisuus

Nelivektoreilla on samat lineaarisuus­ominaisuudet kuin euklidisilla vektoreilla kolmessa ulottuvuudessa. Niitä voidaan laskea yhteen tavalliseen tapaan:

:\mathbf{A}+\mathbf{B} = (A^0, A^1, A^2,A^3) + (B^0, B^1, B^2,B^3) = (A^0 + B^0, A^1 + B^1, A^2 + B^2, A^3 + B^3)  

ja ne voidaan kertoa skalaarilla λ  komponenteittain:

:\lambda\mathbf{A} = \lambda(A^0, A^1, A^2,A^3) = (\lambda A^0, \lambda A^1, \lambda A^2, \lambda A^3) 

Samoin vähennyslasku on nelivektoreillakin yhteenlaskun käänteistoimitus, joka määritellään komponenteittain:

:\mathbf{A}+(-1)\mathbf{B} = (A^0, A^1, A^2,A^3) + (-1)(B^0, B^1, B^2,B^3) = (A^0 - B^0, A^1 - B^1, A^2 - B^2, A^3 - B^3)  

#### Sisätulo

Kahden nelivektorin **A** ja **B** sisätulo eli skalaaritulo määritellään Einsteinin notaatiota käyttäen seuraavasti:

:\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A^{\mu} \eta_{\mu \nu} B^{\nu} 

missä \eta on Minkowskin metriikka. Tässä yhteydessä sisätuloa sanotaan myös Minkowskin sisä­tuloksi. Asian havain­nollis­tamiseksi on kätevää kirjoittaa määritelmä uudestaan matriisimuodossa seuraavasti:

:\mathbf{A \cdot B} = \begin{pmatrix} A^0 & A^1 & A^2 & A^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \eta_{00} & \eta_{01} & \eta_{02} & \eta_{03} \\ \eta_{10} & \eta_{11} & \eta_{12} & \eta_{13} \\ \eta_{20} & \eta_{21} & \eta_{22} & \eta_{23} \\ \eta_{30} & \eta_{31} & \eta_{32} & \eta_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B^0 \\ B^1 \\ B^2 \\ B^3 \end{pmatrix} 

missä tapauksessa ημν tarkoittaa rivillä *µ* ja sarakkeessa *ν* olevaa lukua Minkowskin metriikkaa esittävässä neliömatriisissa. Minkowskin metriikka ei ole euklidinen metriikka, koska siinä kahden aika-avaruuden eri pisteenkin (tapahtuman) välinen intervalli voi olla nolla.  Sisätulo voidaan kirjoittaa monella muullakin tavalla, koska metrinen tensori muuttaa **A**:n ja **B**:n kovariantit komponentit kontra­varianteiksi tai päinvastoin. Näille komponenteille pätee:

:\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_{\nu} B^{\nu} = A^{\mu} B_{\mu} 

tai matriisimuodossa:

:\mathbf{A \cdot B} = \begin{pmatrix} A_0 & A_1 & A_2 & A_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B^0 \\ B^1 \\ B^2 \\ B^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} B_0 & B_1 & B_2 & B_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{pmatrix} 

kun taas **A**:n ja **B**:n kovarianteille komponenteille pätee:

:\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_{\mu} \eta^{\mu \nu} B_{\nu} 

tai matriisi­muodossa samaan tapaan kuin edellä.

Nelivektorin **A** sisätuloa itsensä kanssa sanotaan vektorin normiksi, ja se merkitään ja määritellään seuraavasti:

: \|\mathbf{A}\|^2  = \mathbf{A \cdot A} = A^\mu \eta_{\mu\nu} A^\nu 

Intuitiivisesti sen voidaan käsittää merkitsevän neli­vektorin pituuden tai suuruuden neliötä. Neli­vektorin pituus, jota sanotaan myös sen magnitudiksi, ei kuitenkaan välttämättä ole positiivinen, toisin kuin kolmi­ulotteisten vektorien euklidisessa avaruudessa.

Seuraavassa esitetään kaksi tavallisinta valintaa metriseksi tensoriksi standardi­kannassa, joka vastaa oleellisesti
karteesisia koordinaatteja. Jos käytetään orto­gonaalisia koordinaatteja, tarvitaan skaalatekijöitä metriikan paikan­luontoisen osan diagonaalisessa suunnassa, kun taas yleisissä käyrä­viivaisissa koordinaateissa metriikan koko paikan­luontoisen osan komponentit riippuisivat käytetystä käyräviivaisesta kannasta.

##### Standardikanta, etumerkit (+---)

Etumerkkikäytännössä (+---) summaus indeksien yli johtaa tulokseen 

:\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} =  A^0 B^0 - A^1 B^1 - A^2 B^2 - A^3 B^3  

tai matriisimuodossa:

:\mathbf{A \cdot B} = \begin{pmatrix} A^0 & A^1 & A^2 & A^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B^0 \\ B^1 \\ B^2 \\ B^3 \end{pmatrix} 

Erityisessä suhteellisuusteoriassa on yleinen käytäntö ottaa lauseke

: \mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = A^0 B^0 - A^1 B^1 - A^2 B^2 - A^3 B^3 = C

yhteen vertailu­järjestelmään, missä *C* on tämän vertailu­järjestelmän sisätulon arvo ja

: \mathbf{A}'\cdot\mathbf{B}' = {A'}^0 {B'}^0 - {A'}^1 {B'}^1 - {A'}^2 {B'}^2 - {A'}^3 {B'}^3 = C' 

toisessa vertailu­järjestelmässä, missä *C*&prime; on sisä­tulon arvo tässä järjestelmässä.  Koska sisä­tulo on invariantti, näiden on oltava yhtä suuret:

: \mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = \mathbf{A}'\cdot\mathbf{B}' 

toisin sanoen:

: C = A^0 B^0 - A^1 B^1 - A^2 B^2 - A^3 B^3 = {A'}^0 {B'}^0 - {A'}^1 {B'}^1 - {A'}^2 {B'}^2 - {A'}^3{B'}^3 

Koska fysikaaliset suureet suhteellisuus­teoriassa ovat yleensä neli­vektoreita, tämä yhtälö on muistuttaa säilymis­lakeja, mutta se ei esitä minkään suureen säilymistä. Minkowskin sisätulon ensi­sijainen merkitys on siinä, että mille tahansa kahdelle nelivektorille sen arvo on invariantti eli sama kaikissa vertailu­järjestelmissä ja kaikille havaitsijoille; koordinaatiston vaihdos ei johda sisätulon arvon muutokseen. Nelivektorin komponentit sitä vastoin muuttuvat siirryttäessä koordinaatistosta toiseen; **A** ja **A&prime;** liittyvät toisiinsa Lorentzin muunnoksen osoittamalla tavalla, ja samoin **B** and **B&prime;**.  Tämäntapaista lauseketta kuitenkin käytetään suhteellisuus­teoreettisissa laskuissa säilymis­lakien tavoin, koska komponenttien suuruudet voidaan määrittää suorittamatta ekspli­siitti­sesti Lorentzin muunnosta. Erityisen esimerkin tästä muodostavat energia ja liikemäärä, jotka yhdistyvät samaksi neli­vektoriksi, neliliikemääräksi.

Näillä merkkisäännöillä vektorin **A** normi on:

: \|\mathbf{A}\|^2 = (A^0)^2 - (A^1)^2 - (A^2)^2 - (A^3)^2 

Niinpä (+---) -merkki­sääntöjä käytettäessä neli­vektori on paikan­luontoinen, jos ||**A**||  0 ja nolla­vektori, jos ||**A**|| = 0.

##### Standardikanta, etumerkit (-+++)

Jotkut kirjoittajat määrittelevät \eta:n päin­vastaisin etumerkein, missä tapauksessa saadaan etumerkki­käytäntö (-+++). Tässä tapauksessa summaus johtaa tulokseen:

:\mathbf{A \cdot B} = - A^0 B^0 + A^1 B^1 + A^2 B^2 + A^3 B^3 

matriisimuodossa:

:\mathbf{A \cdot B} = \left( \begin{matrix}A^0 & A^1 & A^2 & A^3 \end{matrix} \right) 
\left( \begin{matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix}B^0 \\ B^1 \\ B^2 \\ B^3 \end{matrix} \right) 

On huomattava, että tässä tapauksessa yhdessä vertailujärjestelmässä pätee:

: \mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = - A^0 B^0 + A^1 B^1 + A^2 B^2 + A^3 B^3 = -C 

toisessa sen sijaan:

: \mathbf{A}'\cdot\mathbf{B}' = - {A'}^0 {B'}^0 + {A'}^1 {B'}^1 + {A'}^2 {B'}^2 + {A'}^3 {B'}^3 = -C'

joten:

: -C = - A^0 B^0 + A^1 B^1 + A^2 B^2 + A^3 B^3 = - {A'}^0 {B'}^0 + {A'}^1 {B'}^1 + {A'}^2 {B'}^2 + {A'}^3{B'}^3

ja näin ollen *C* saadaan edellisen kanssa yhtä­pitävästi *A*.n ja *B*:n avulla.  Kumpikin käytäntö toimii yhtä hyvin. Nämä kaksi eri tavalla määriteltyä Minkowskin metriikkaa eroavat toisistaan vain neli­vektorin kovarianttien ja kontra­varianttien komponenttien etu­merkkien osalta, toisin sanoen etu­merkit riippuvat siitä, kumpaa käytäntöä noudatetaan.

Tämän etumerkki­käytännön mukaisesti normin neliö on:

: \|\mathbf{A}\|^2 = - (A^0)^2 + (A^1)^2 + (A^2)^2 + (A^3)^2 

Niinpä (-+++) -merkkisääntöjä käytettäessä neli­vektori on paikan­luontoinen, jos ||**A**|| > 0, ajan­luontoinen, jos ||**A**|| > 0 ja nollavektori, jos ||**A**|| = 0.

##### Duaalivektorit

Sisätulo esitetään usein ensimmäisen vektorin duaalivektorin ja jälkimmäisen vektorin tulona:

:\mathbf{A \cdot B} = A^*(\mathbf{B}) = A{_\nu}B^{\nu}. 

Tässä *A<sub>ν</sub>*:t ovat **A**:n duaalivektorin *A** komponentit duaali­kannassa, ja niitä sanotaan **A**:n *kovarianteiksi koordinaateiksi*, kun taas alkuperäisiä komponentteja *A<sup>ν</sup>* sanotaan sen *kontra­varianteiksi koordinaateiksi*.

## Nelivektorien derivaatat ja differentiaalit

Erityisessä (mutta ei yleisessä) suhteellisuus­teoriassa neli­vektorin derivaatta invariantin skalaarin λ suhteen on sekin neli­vektori. Usein on myös kätevää käyttää neli­vektorin differentiaalia *d* ja jakaa se skalaarin λ differentiaalilla *dλ*:

:\underset{\text{differential}}{d\mathbf{A}} = \underset{\text{derivative}}{\frac{d\mathbf{A}}{d\lambda}} \underset{\text{differential}}{d\lambda} 

missä kontravariantit komponentit ovat:

: d\mathbf{A} = (dA^0, dA^1, dA^2, dA^3) 

ja kovariantit koordinaatit:

: d\mathbf{A} = (dA_0, dA_1, dA_2, dA_3) 

Relativistisessa mekaniikassa neli­vektorin differentiaali jaetaan usein itseis­ajan differtiaalilla.

## Perustavia nelivektoreita

### Nelipaikka

Minkowskin avaruuden pisteillä, joita sanotaan myös "tapahtumiksi", on paikallinen ja ajallinen sijainti, ja sen ilmaisee nelipaikkavektori eli nelipaikka, joka annetussa vertailujärjestelmässä voidaan ilmaista neljän koordinaatin avulla:

: \mathbf{X}= \left(ct, \mathbf{r}\right) 

Tässä **r** on pisteen paikkavektori kolmi­ulotteisessa avaruudessa. Jos **r** on aika­koordinaatin *t* funktio samassa vertailujärjestelmässä, toisin sanoen **r** = **r**(*t*), tämä vastaa tapahtumien sarjaa ajan *t* muuttuessa. Määritelmä *X*0 = *ct* merkitsee sitä, että kaikki koordinaatit voidaan ilmoittaa samoilla, mittayksiköillä, pituuden yksiköillä.  Nämä koordinaatit ovat tapahtuman *paikka­neli­vektorin* komponentit. *Siirtymä­neli­vektori* määritellään kahta tapahtumaa yhdistävänä "nuolena":

: \Delta \mathbf{X} = \left(c\Delta t, \Delta \mathbf{r} \right) 

Nelipaikkavektorin sisätulo itsensä kanssa on

:\|\mathbf{X}\|^2 = X^\mu X_\mu=(c\tau)^2 = s^2 \,,

mikä *määrittelee* Minkowskin aika-avaruudessa intervallin *s* ja itseis­ajan *t*, jotka ovat invariantteja.  Neli­paikka­vektorin differentiaalin sisä­tulo itsensä kanssa on:

:\|d\mathbf{X}\|^2 = dX^\mu dX_\mu=c^2d\tau^2=ds^2 \,,

mikä määrittelee differentiaalisen viivaelementin d*s* ja differentiaalisen itseis­ajan d*t*, mutta tämä normi on myös:

:\|d\mathbf{X}\|^2 = (cdt)^2 - d\mathbf{r}\cdot d\mathbf{r} \,,

niin että:

: (c d\tau)^2 = (cdt)^2 - d\mathbf{r}\cdot d\mathbf{r} \,.

Fysikaalisia ilmiötä tarkasteltaessa päädytään luonnollisesti differentiaaliyhtälöihin. Funktioiden paikka- ja 
aika­derivaattoja tarkasteltaessa ei kuitenkaan ole selvää, minkä vertailu­järjestelmän suhteen ne on otettu. On sovittu, että aika­derivaatat otetaan itseisajan *t* suhteen. Koska itseisaika on invariantti, tämä takaa, että jokaisen neli­vektorin derivaatta itseisajan suhteen on myös neli­vektori. On tärkeä löytää yhteys tämän itseis­aika­derivaatan ja toisen aika­derivaatan, yleensä jonkin inertiaali­järjestelmän koordinaatti­ajan suhteen otetun derivaatan välillä. Tämä yhteys saadaan ottamalla edellä selitetty differentiaalinen invariantti aika-avaruus-intervalli ja jakamalla sitten suureella *cdt*2, jolloin saadaan:

: \left(\frac{cd\tau}{cdt}\right)^2 = 1 - \left(\frac{d\mathbf{r}}{cdt}\cdot \frac{d\mathbf{r}}{cdt}\right) = 1 - \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}{c^2} = \frac{1}{\gamma(\mathbf{u})^2} \,,

missä **u** = *d*/*dt* on kohteen nopeus mitattuna samassa järjestelmässä kuin koordinaatit  *x*, *y*, *z* ja koordinaattiaika *t*, ja 

: \gamma(\mathbf{u}) = \frac{1}{\sqrt{1- \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}{c^2}}}

on Lorentzin tekijä. Tästä saadaan käyttökelpoinen yhteys koordinaatti­ajan ja itseis­ajan suhteen otettujen differentiaalien välille:

: dt = \gamma(\mathbf{u})d\tau \,.

Tämä yhteys voidaan todeta myös siitä, miten aika muuntuu Lorentzin muunnoksessa. Suhteellisuus­teoriassa tärkeitä nelivektoreita voidaan saada jakamalla tällä differentiaalilla.

### Neligradientti

Koska osittais­derivaatat ovat lineaarisia operaattoreita, voidaan neligradientti muodostaa osittaiserivaatasta \partial/\partial t, ja avaruudellisesta gradientista \nabla. Käytettäessä standardikantaa indeksi- ja lyhennysmerkintöineen neligradientin kontravariantit komponentit ovat:

: \begin{align}  
\boldsymbol{\partial} & = \left(\frac{\partial }{\partial x_0}, \, -\frac{\partial }{\partial x_1}, \, -\frac{\partial }{\partial x_2}, \, -\frac{\partial }{\partial x_3} \right) \\
& = (\partial^0, \, - \partial^1, \, - \partial^2, \, - \partial^3) \\
& = \mathbf{e}_0\partial^0 - \mathbf{e}_1\partial^1 - \mathbf{e}_2\partial^2 - \mathbf{e}_3\partial^3 \\
& = \mathbf{e}_0\partial^0 - \mathbf{e}_i\partial^i \\
& = \mathbf{e}_\alpha \partial^\alpha \\
& = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} , \, - \nabla \right) \\
& = \mathbf{e}_0\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} - \nabla \\
\end{align}

On otettava huomioon, että kantavektorit on asetettu komponenttien, jotta tämä ei sekaantuisi kantavektorien derivaattoihin tai yksinkertaisesti sen osoittamiseksi, että osittaisderivaatta on tämän nelivektorin komponentti. Kovariantit komponentit ovat:

: \begin{align}
\boldsymbol{\partial} & = \left(\frac{\partial }{\partial x^0}, \, \frac{\partial }{\partial x^1}, \, \frac{\partial }{\partial x^2}, \, \frac{\partial }{\partial x^3} \right) \\
& = (\partial_0, \, \partial_1, \, \partial_2, \, \partial_3) \\
& = \mathbf{e}^0\partial_0 + \mathbf{e}^1\partial_1 + \mathbf{e}^2\partial_2 + \mathbf{e}^3\partial_3 \\
& = \mathbf{e}^0\partial_0 + \mathbf{e}^i\partial_i \\
& = \mathbf{e}^\alpha \partial_\alpha \\
& = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} , \, \nabla \right) \\
& = \mathbf{e}^0\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} + \nabla \\
\end{align}

Koska tämä on operaattori, sillä ei ole "pituutta", mutta jos lasketaan muodollisesti tämän operaattorin sisätulo itsensä kanssa, saadaan toinen operaattori:

:\partial^\mu \partial_\mu = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 

jota sanotaan D'Alembertin operaattoriksi.

## Nelivektoreita fysiikan eri aloilla

Kuten jäljempänä mainitut esimerkit osoittavat, monet sellaiset suureet, joita ei-relativistisessa fysiikassa pidetään skalaareina, osoittautuvat suhteellisuusteoriassa jonkin nelivektorisuureen ajanluontoiseksi komponentiksi. Saman nelivektorin paikanluontoiset komponentit vastaavat ei-relativistisessa fysiikassa jotakin vektorisuuretta.

### Kinematiikka

#### Nelinopeus

Hiukkasen nelinopeus määritellään seuraavasti:

:\mathbf{U} = \frac{d\mathbf{X}}{d \tau}= \frac{d\mathbf{X}}{dt}\frac{dt}{d \tau} = \gamma(\mathbf{u})\left(c, \mathbf{u} \right),

Geometrisesti **U** on hiukkasen maailmanviivan tangenttivektori. Nelipaikan differentiaalin avulla voidaan laskea nelinopeuden magnitudi:

: \|\mathbf{U}\|^2 = U^\mu U_\mu = \frac{dX^\mu }{d\tau} \frac{dX_\mu }{d\tau}= \frac{dX^\mu dX_\mu }{d\tau^2} = c^2 \,,

Todetaan, että kaikkien hiukkasten ja kappaleiden nelinopeuden magnitudi on aina valonnopeus *c*:

: \| \mathbf{U} \|^2 = c^2 \,

Normi voidaan esittää myös muodossa:

: \|\mathbf{U}\|^2 = {\gamma(\mathbf{u})}^2 \left( c^2 - \mathbf{u}\cdot\mathbf{u} \right) \,,

josta saadaan edelleen:

: c^2 = {\gamma(\mathbf{u})}^2 \left( c^2 - \mathbf{u}\cdot\mathbf{u} \right) \,,

mikä yksinkertaistuu Lorentzin tekijän määritelmäksi. 

#### Nelikiihtyvyys

Kappaleen nelikiihtyvyys määritellään seuraavasti:

:\mathbf{A} =\frac{d\mathbf{U} }{d \tau} = \gamma(\mathbf{u}) \left(\frac{d{\gamma}(\mathbf{u})}{dt} c, \frac{d{\gamma}(\mathbf{u})}{dt} \mathbf{u} + \gamma(\mathbf{u}) \mathbf{a} \right).

missä **a** = *d*/*dt* kolmiulotteinen kiihtyvyys. Koska **U**:n pituus on vakio, nelikiihtyvyys on (pseudo)-ortogonaalinen nelinopeuden kanssa, toisin sanoen nelinopeuden ja nelikiihtyvyyden Minkowskin sisätulo on nolla:

: \mathbf{A}\cdot\mathbf{U} = A^\mu  U_\mu  = \frac{dU^\mu}{d\tau} U_\mu = \frac{1}{2} \, \frac{d}{d\tau} (U^\mu U_\mu) = 0  \,

kaikille maailmanviivoille. Geometrisesti nelikiihtyvyys merkitsee maailmanviivan kaarevuusvektoria Minkowskin avaruudessa.

### Dynamiikka

#### Neliliikemäärä

Massalliselle kappaleelle, jonka lepomassa tai invariantti massa on *m*', neliliikemäärä määritellään:

:\mathbf{P} = m \mathbf{U} = m\gamma(\mathbf{u})(c,  \mathbf{u}) = (E/c, \mathbf{p}) 

missä liikkuvan kappaleen kokonaisenergia on:

:E = \gamma(\mathbf{u}) mc^2  

ja sen relativistinen kokonaisliikemäärä on:

:\mathbf{p} = \gamma(\mathbf{u}) m \mathbf{u} 

Laskemalla neliliikemäärän sisätulo itsensä kanssa saadaan:

: \|\mathbf{P}\|^2 = P^\mu P_\mu = m^2 U^\mu U_\mu = m^2 c^2

ja myös:

: \|\mathbf{P}\|^2 = \frac{E^2}{c^2} - \mathbf{p}\cdot\mathbf{p} 

mistä saadaan kappaleen energian ja liikemäärän välinen yhteys:

:E^2 = c^2 \mathbf{p}\cdot\mathbf{p} + (mc^2)^2 \,.

Tämä tulos on käyttökelpoinen relati­visti­sessa meka­niikassa ja oleellisen tärkeä relati­visti­sessa kvantti­mekaniikassa sekä relati­visti­sessa kvantti­kenttä­teoriassa, joita kaikkia sovelletaan hiukkas­fysiikassa.

#### Nelivoima

Hiukkaseen vaikuttava nelivoima määritellään vastaavalla tavalla kuin voima on Newtonin toisen lain mukaisesti määritelty liikemäärän aika­derivaattana:
: \mathbf{F} = \frac {d \mathbf{P}} {d \tau} = \gamma(\mathbf{u})\left(\frac{1}{c}\frac{dE}{dt},\frac{d\mathbf{p}}{dt}\right) = \gamma(\mathbf{u})(P/c,\mathbf{f}) 

missä *P* on se teho, jolla kappaleen liikkeeseen vaikutetaan, ja **f** kappaleeseen vaikuttava (kolmi­ulotteinen) voima. Kappaleeseen, jonka lepomassa *m* on vakio, vaikuttava nelivoima voidaan yhtä­pitävästi määritellä myös seuraavasti:

: \mathbf{F} = m \mathbf{A} = m\gamma(\mathbf{u})\left( \frac{d{\gamma}(\mathbf{u})}{dt} c, \left(\frac{d{\gamma}(\mathbf{u})}{dt} \mathbf{u} + \gamma(\mathbf{u}) \mathbf{a}\right) \right) 

Neli­voimalle ja neli­nopeudelle voidaan sen perusteella, mitä edellä todettiin neli­kiihtyvyydestä, johtaa tulos: 

: \mathbf{F}\cdot\mathbf{U} = F^\mu U_\mu = m A^\mu U_\mu = 0

### Termodynamiikka

#### Nelilämpövuo

Nelilämpövuo on vektorikenttä, joka on oleellisesti saman­kaltainen kuin kolmi­ulotteinen lämpövuo **q** väli­aineen paikallisessa vertailujärjestelmässä:

:\mathbf{Q} = -k \boldsymbol{\partial} T = - k\left( \frac{1}{c}\frac{\partial T}{\partial t}, \nabla T\right) 

missä *T* on absoluuttinen lämpötila ja *k* lämmönjohtavuus.

#### Nelibaryonilukuvuo

Baryonien vuo on: 

:\mathbf{S}= n\mathbf{U}

missä *n* on baryonien lukumääräinen tiheys baryonien paikallisessa lepo­koordinaatistossa (positiivinen baryoneille, negatiivinen anti­baryoneille), ja
*U* on baryonien muodostaman aineen nelinopeus.

#### Nelientropia

Entropiaa vastaava nelivektori, *nelientropia*, määritellään: 

:\mathbf{s}= s\mathbf{S} + \frac{\mathbf{Q}}{T}

missä *s* on entropia baryonia kohti ja *T* absoluuttinen lämpötila aineen paikallisessa lepo­koordinaatistossa. 

### Sähkömagnetismi

Seuraavassa on joitakin esimerkkejä sähkömagnetismiin liittyvistä neli­vektoreista.

#### Nelivirta

Sähkövirtaa kuvaava nelivektori, *nelivirta*, määritellään seuraavasti:

: \mathbf{J} = \left( \rho c, \mathbf{j} \right) 

missä **j** on virrantiheys ja ρ varaustiheys.

#### Nelipotentiaali

Sähkömagneettinen nelipotentiaali määritellään:

: \mathbf{A} = \left( \phi /c, \mathbf{a} \right) 

missä **a** on  vektoripotentiaali ja ϕ skalaaripotentiaali. Nelipotentiaali ei ole yksi­käsitteisesti määritelty, koska se riippuu siitä, minkä kohdan potentiaali on valittu nolla­kohdaksi.

### Aaltoliike

#### Nelitaajuus

Tasoaaltoa voidaan kuvata neli­taajuudella, joka määritellään seuraavasti:

:\mathbf{N} = \nu\left(1 , \hat{\mathbf{n}} \right)

missä *ν* on aallon taajuus ja \hat{\mathbf{n}} aallon etenemis­suuntaan osoittava yksikkövektori. Saadaan:

: \|\mathbf{N}\| = N^\mu N_\mu = \nu ^2 \left(1 - \hat{\mathbf{n}}\cdot\hat{\mathbf{n}}\right) = 0 

joten nelitaajuuden magnitudi on aina nolla.

#### Neliaaltovektori

Aalto­liikettä tarkas­tel­ta­essa käytetään usein aikaan *t* ja pituuteen *r* kääntäen verrannollisia suureita,
kulma­taajuutta *ω* ja aaltovektoria *k*. Suhteellisuus­teoriassa nämä voidaan yhdistää neli­vektoriksi, *neliaaltovektoriksi*:

:\mathbf{K} = \left(\frac{\omega}{c}, \mathbf{k} \right) \,. 

Likipitäen monokromaattisen valon muodostamaa aaltopakettia kuvaa yhtälö:

:\mathbf{K} = \frac{2\pi}{c}\mathbf{N} = \frac{2\pi}{c} \nu(1,\hat{\mathbf{n}}) = \frac{\omega}{c}\left( 1 , \hat{\mathbf{n}} \right) \,. 

Aineaaltoja koskevat de Broglien relaatiot voidaan yhdistää yhdeksi yhtälöksi:

:\mathbf{P} = \hbar \mathbf{K}\,.

missä *h* on Planckin vakio jaettuna 2π:llä. Tämän normin neliö on:

:\| \mathbf{K} \|^2 = K^\mu K_\mu = \left(\frac{\omega}{c}\right)^2 - \mathbf{k}\cdot\mathbf{k}\,,

ja yhdistämällä tämä sekä de Broglien relaatio

: \| \mathbf{K} \|^2 = \frac{1}{\hbar^2} \| \mathbf{P} \|^2 = \left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2 \,,
 
saadaan energian ja liikemäärän yhteyttä vastaava relaatio aine­aalloille:

:\left(\frac{\omega}{c}\right)^2 - \mathbf{k}\cdot\mathbf{k} = \left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2 \,.

Voidaan todeta, että massattomilla hiukkasilla (*m* = 0) tästä saadaan:

:\left(\frac{\omega}{c}\right)^2 = \mathbf{k}\cdot\mathbf{k} \,,

tai ||**k**|| = *ω*/*c*. Tämä on yhteen­sopiva edellisen kanssa. Niinpä fotonien kolmi­liike­määrä on *ω*/*c* aaltojen etenemis­suunnassa, jonka määrittelee yksikkö­vektori  \hat{\mathbf{n}}.

### Kvanttiteoria

Kvantti­mekaniikassa toden­näköisyyden neli­virta on analoginen sähkö­magneettiselle neli­virralle:
:\mathbf{J} = (\rho c, \mathbf{j}) 

missä *ρ* on aikakomponenttia vastaava toden­näköisyyden tiheysfunktio ja vektori **j'' on ''toden­näköisyys­virta''. Epärelativistisessa kvantti­mekaniikassa tämä virta on aina hyvin määritelty, koska tiheyden ja virran lausekkeet ovat positiivisia ja ne voidaan tulkita toden­näköisyyksinä. [[Relativistinen kvanttimekaniikka|Rela­ti­visti­sessa kvantti­mekaniikassa]] ­ja [[kvanttikenttäteoria]]ssa ei aina ole mahdollista määritellä virtaa, varsinkaan kun vuorovaikutukset otetaan huomioon.

Jos energia korvataan [[energiaoperaattori]]lla ja liikemäärä neliliikemäärän [[liikemääräoperaattori]]lla, saadaan
[[relativistinen aaltoyhtälö|relati­visti­sissa aalto­yhtälöissä]] käytetty [[neliliikemääräoperaattori]].

== Muita muotoiluja ==

=== Nelivektorit fysikaalisen avaruuden algebrassa ===

Nelivektori ''A'' voidaan määritellä myös käyttämällä [[Paulin matriisit|Paulin matriiseja]] [[kanta (lineaarialgebra)|kantana]], jolle voidaan käyttää monia yhtäpitäviä merkin­tätapoja:
 

:<math> \begin{align}  
\mathbf{A} & = (A^0, \, A^1, \, A^2, \, A^3) \\
& = A^0\boldsymbol{\sigma}_0 + A^1 \boldsymbol{\sigma}_1 + A^2 \boldsymbol{\sigma}_2 + A^3  \boldsymbol{\sigma}_3 \\
& = A^0\boldsymbol{\sigma}_0 + A^i \boldsymbol{\sigma}_i \\
& = A^\alpha\boldsymbol{\sigma}_\alpha\\
\end{align}</math>

tai eksplisiittisesti:

:<math> \begin{align}  
\mathbf{A} & = A^0\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + A^1 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + A^2 \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} + A^3  \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix} A^0 + A^3 & A^1 -i A^2 \\ A^1 + i A^2 & A^0 - A^3 \end{pmatrix}
\end{align}</math>.

Tässä muotoilussa neli­vektoria ei esitä reaali­arvoinen rivi- tai sarake­vektori vaan [[hermiittinen matriisi]], siis sellainen, jonka [[transpoosi]]n [[kompleksikonjugaatti]] on sama kuin alkuperäinen matriisi. Matriisin [[determinantti]] on neli­vektorin modulus ja näin ollen invariantti:

:<math> \begin{align}  
|\mathbf{A}| & = \begin{vmatrix} A^0 + A^3 & A^1 -i A^2 \\ A^1 + i A^2 & A^0 - A^3 \end{vmatrix} \\
& = (A^0 + A^3)(A^0 - A^3)  - (A^1 -i A^2)(A^1 + i A^2) \\
& = (A^0)^2 - (A^1)^2 - (A^2)^2 - (A^3)^2
\end{align}</math>

Tätä ideaa Paulin matriisien käyttämisestä [[kantavektori|kanta­vektoreina]] sovelletaan [[fysikaalisen avaruuden algebra]]ssa, ja se on esimerkki [[Cliffordin algebra]]sta.

===Nelivektorit aika-avaruuden algebrassa===

[[Aika-avaruuden algebra]] on toinen esimerkki Cliffordin algebrasta. Siinä myös [[gamma-matriisi]]t voivat muodostaa kannan. Niitä sanotaan myös Diracin matriiseiksi, koska ne esiintyvät [[Diracin yhtälö]]ssä. Gamma-matriisit voidaan muodostaa usealla eri tavalla.

[[Feynmanin slash-notaatio]] on eräs lyhyt merkitätapa nelivektorille **A*' gammamatriisien avulla:

:<math>\mathbf{A}\!\!\!\!/ = A_\alpha \gamma^\alpha = A_0 \gamma^0 + A_1 \gamma^1 + A_2 \gamma^2 + A_3 \gamma^3 </math>

Gammamatriisien avulla lyhyesti kirjoitettu neliliikemäärä on tärkeä [[relativistinen kvanttimekaniikka|relati­visti­sessa kvantti­mekaniikassa]] ja [[relativistinen kvanttikenttäteoria|relati­visti­sessa kvantti­kenttä­teoriassa]]. Diracin yhtälössä ja muissa
[[relativistinen aaltoyhtälö|rela­tivisti­sissa aalto­yhtälöissä]] esiintyy muotoa

:<math>\mathbf{P}\!\!\!\!/ = P_\alpha \gamma^\alpha = P_0 \gamma^0 + P_1 \gamma^1 + P_2 \gamma^2 + P_3 \gamma^3 = \dfrac{E}{c} \gamma^0 + p_x \gamma^1 + p_y \gamma^2 + p_z \gamma^3 </math>

olevia termehä, joissa energia­komponentti *E* ja liike­määrä­komponentit  (*px*,*py*, *pz'') korvataan niitä vastaavilla operaattoreilla.

## Lähteet