Heronin kolmio

**Heronin kolmio** on sellainen kolmio, jonka sivujen pituudet ja pinta-ala ovat rationaalilukuja. Myös korkeudet on tällöin rationaalisia. Heronin kolmioita etsittäessä voidaan käyttää Heronin kaavaa. Heronin kaava on nimetty Heron Aleksandrialaisen mukaan, kuten myös Heronin kolmio. 

## Esimerkkejä
Mikä tahansa kolmio, jonka sivunpituudet on Pythagoraan kolmikko, on Heronin kolmio.

Kolmio jolla ei ole suorakulmaa ja jonka sivujen pituudet on 5, 5, ja 6 ja pinta ala on 12. Tämä kolmio saadaan konstruoitua, kun otetaan kaksi suorakulmaista kolmiota, joiden sivujen pituudet ovat 3, 4 ja 5. Nämä kolmiot asetetaan siten, että 4:n pituiset sivut ovat vastakkain. Luvut 3, 4 ja 5 muodostavat tunnetusti Pythagoraan kolmikon. 

Tämä esimerkki voidaan laajentaa yleiseksi tapaukseksi. Eli oletetaan olevan olemassa Pythagoraan kolmikko(*a*, *b*, *c*) ja valitaan, että *c*  on pisin sivu. Tarvitaan myös toinen Pythagoraan kolmikko (*a*, *d*, *e*), missä *e* voidaan valita pisimmäksi sivuksi. Nämä kolmiot yhdistetään siten, että sivut *a*. Näin saadaan kolmio, jonka sivujen pituudet ovat *c*, *e*, and *b*&nbsp;+&nbsp;*d*. Tällöin kolmion pinta-ala on siis

:A=\frac{1}{2}(b+d)a .

## Lause
On olemassa Heronin kolmio siten, että se voidaan jakaa kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi, joiden sivujenpituudet muodostavat rationaalilukuiset Pythagoraan kolmikot.

**Lauseen todistus**

Käytetään todistuksessa apuna aiemmin esitettyä esimerkin yleistystä: Olkoon Heronin kolmion sivujen pituudet *c*, *e*, *b*&nbsp;+&nbsp;*d* ja pinta-ala *A* määritelmän mukaan rationaalilukuja. Oletetaan myös, että sivu jonka pituus on *b*&nbsp;+&nbsp;*d* is  on pisin. Jotta saadaan osoitettua, että (*a*, *b*, *c*) and (*a*, *d*, *e*) ovat Pythagoraan kolmikoita täytyy todistaa, että luvut  *a*, *b*, ja *d* ovat rationaalisia.

Osoitetaan ensin, että luku "a" on rationaalinen. Koska kolmion pinta-ala on
:A=\frac{1}{2}(b+d)a,
niin
:a=\frac{2A}{b+d}.
Oikean puolen luvut ovat oletuksen nojalla rationaalisia, siis myös *a* on rationaaliluku. Osoitetaan sitten, että luvut *b* ja *d* ovat rationaalisia.
Pythagoraan lauseen mukaan suorakulmaisille kolmioille pätee, että
:a^2+b^2=c^2\,
ja
:a^2+d^2=e^2.\,
Joista saamme, että
:b^2-d^2=c^2-e^2\,
ja
:b-d=\frac{c^2-e^2}{b+d}.\,

Taas oikean puolen luvut ovat oletuksen nojalla rationaalisia ja siten myös *b*&nbsp;&minus;&nbsp;*d* täytyy olla rationaalinen. Oletuksen mukaan *b*&nbsp;+&nbsp;*d*  on rationaalinen, joten täytyy olla, että *b* ja *d* ovat rationaalisia.

## Täsmällinen kaava Heronin kolmioille
Kaavan kaikille Heronin kolmioille kehitti Euler. Tässä on Brahmagubtan ja Carmichaelin esittämä versio:
:a=n(m^{2}+k^{2}) \, 
:b=m(n^{2}+k^{2}) \, 
:c=(m+n)(mn-k^{2}) \, 
:s=mn(m+n) \, 
:A=mnk(m+n)(mn-k^{2}) \, 

Missä *s* on puolikas piiri ja *A* on pinta-ala. Pätee myös, että

: syt (m,n,k)=1 
:mn > k^2 \ge m^2n/(2m+n) 
: m \ge n \ge 1.

## Taulukko
Tässä taulukossa on listattu pienimmät sellaiset Heronin kolmiot, joiden sivujen pituuksien suurin yhteinen tekijä on 1.

## Aiheesta muualla
* Online Encyclopedia of Integer Sequences Heronian
* Wm. Fitch Cheney, Jr., Heronian Triangles Am. Math. Montly 36 (1) (1929) 22-28.
* S. sh. Kozhegel'dinov On fundamental Heronian triangles Math. Notes 55 (2) (1994) 151-156.