Kvanttisuperpositio

**Kvanttisuperpositio** on kvanttimekaniikan formalismista juontuva ominaisuus, jonka mukaan tietty systeemi voi olla useassa eri tilassa yhdellä kertaa. Useat havainnot osoittavat tämän ominaisuuden kuvaavan myös luonnossa tavattuja rakenteita. Kvanttisuperposition olemassaolon vuoksi luonto on sisäisesti satunnainen – kun yleensä satunnaiset ominaisuudet liitetään useista mikrosysteemeistä koostuvaan kokonaisuuteen, kvanttimekaniikan mukaan joka ainoassa yksittäisessä mikrosysteemissä on satunnaisia piirteitä.

Mitattaessa superpositiotiloja vain yksi johonkin kyseiseen superpositioon kuuluvaan tilaan liittyvä ominaisuus saadaan mittaustuloksena. Mittaustuloksen todennäköisyys saadaan Neumannin mittaushypoteesin mukaan kyseisen tilan painokertoimesta koko systeemin kokonaistilassa.

## Formaali kuvaus

Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi että systeemiä voidaan kuvata diskreetillä (eli numeroituvalla) määrällä ominaistiloja, jotka muodostavat täydellisen ortonormaalin kannan systeemiä kuvaavalle Hilbertin avaruudelle. Merkitään noita tiloja merkinnällä |n\rangle, missä n on kokonaisluku. Näitä tiloja vastaa jokin mitattava ominaisuus, observaabeli, jota vastaa lineaarioperaattori \hat{O}, siten, että


\langle n | \hat{O} |n \rangle = O_n.


Toisin sanoen, mitattaessa observaabelia O systeemin ollessa tilassa |n\rangle saadaan  mittausten odotusarvona tulos O_n.

Oletetaan että systeemi preparoidaan ajanhetkellä t=0 (normitettuun) alkutilaan |\psi(t)\rangle=|n_0\rangle joka ei ole systeemiä kuvaavan Hamiltonin operaattorin H ominaistila. Tällöin myöhemmällä ajanhetkellä t>0 systeemin tila menee **superpositioon** tiloista |n\rangle, tilaan


| \psi(t)\rangle = \sum_n c_n |n\rangle.


Tässä kompleksikertoimet c_n saadaan Hamiltonin operaattoria vastaavan aikakehitysoperaattorin matriisielementtinä,


c_n = \langle n |e^{-iHt/\hbar} |n_0\rangle,


missä \hbar on Diracin vakio. Valitsemalla H sopivasti voidaan systeemi periaatteessa viedä mielivaltaiseen superpositioon tiloista |n\rangle. Ainoa ehto kompleksiluvuille c_n saadaan tilan normin säilymisestä:


\langle \psi(t)|\psi(t)\rangle = \sum_n |c_n|^2 = 1.


Mittaamalla tällaisesta tilasta ominaisuus O saadaan satunnaisesti jokin niistä arvoista O_n, joille c_n \neq 0. Tämä kyseinen arvo saadaan Neumannin mittaushypoteesin mukaan todennäköisyydellä |c_n|^2
(olettaen että mittaus on projektiivinen).

## Esimerkki

Valolla eli sähkömagneettisella kentällä on diskreetti vapausaste, polarisaatio. Tietyntyyppinen polarisaatio kenttään saadaan aikaiseksi polarisoivalla suotimella, jollaisia käytetään mm. polarisoivissa aurinkolaseissa. Valo koostuu fotoneista. Laserilla tuotetussa koherentissa valossa kaikkien fotonien taajuus ja vaihe ovat samat. Sen sijaan ilman erillistä suodatusta fotonien polarisaatio on mielivaltainen.

Valitussa kannassa lineaarisesti polarisoitu fotoni voi olla kahden, keskenään kohtisuorasti polarisoituneen kantatilan superpositiossa.  Merkitään kantatiloja merkinnöillä |\updownarrow\rangle ja |\leftrightarrow\rangle. Vastaavasti ympyräpolarisoitunut valo voi olla joko "oikeakätisesti" tai "vasenkätisesti" polarisoitunut, eli joko tilassa |R\rangle tai |L\rangle. Nämä neljä tilaa eivät kuitenkaan ole kaikki keskenään ortogonaalisia, vaan niille pätee

|R\rangle=(|\updownarrow\rangle + i |\leftrightarrow \rangle)/\sqrt{2}

|L\rangle=(|\updownarrow\rangle - i |\leftrightarrow \rangle)/\sqrt{2}

Preparoidaan nyt fotoni esimerkiksi ympyräpolarisoituneeseen tilaan |R\rangle ja lähetetään se lineaarisesti polarisoivaan suodattimeen. Tämä päästää lävitseen esimerkiksi vain pystysuuntaan polarisoidun valon. Nyt fotoni voi joko mennä suodattimen läpi (jolloin kokeessa havaittiin tila |\updownarrow\rangle) tai heijastua (jolloin havaittu fotonin tila oli |\leftrightarrow\rangle). Todennäköisyys pystypolarisoidun tilan mittaukselle on |c_\updownarrow|^2=(1/\sqrt(2))^2=1/2 ja vastaavasti todennäköisyys vaakapolarisoidun tilan mittaukselle on |c_\leftrightarrow|^2=(i/\sqrt{2})^2=1/2.

## Käyttö

Kvanttisuperpositiota käytetään hyväksi mm. kvanttilaskennassa, joka tosin vaatii myös useiden tilojen lomittumisen, sekä kvanttisalauksessa.

## Katso myös

* Tilojen lomittuminen
* Kvanttisalaus
*bra-ket-merkintätapa