Gini-kerroin

**Gini-kertoimella** voidaan mitata matemaattisesti tietyn jakauman epätasaisuutta. Yleisimmin Gini-kerrointa käytetään kuvaamaan tuloerojen suuruutta. Kertoimen kehitti italialainen tilastotieteilijä Corrado Gini vuonna 1912.

## Gini-kerroin tulonjaon tasa-arvoisuuden mittana
Gini-kerroin on tulonjakautumisen tasa-arvoisuuden mittari. Se kuvaa tuloeroja keskitetysti. Gini-kertoimen raja-arvoja ovat 0 ja 1: täydellisen tasaisessa tulonjaossa arvo on 0, kun taas maksimaalisesti epätasaisen tulonjaon toteutuessa arvo on 1, jolloin yksi henkilö saa kaiken tulon. Toisin sanoen, mitä suurempi arvo, sitä epätasaisemmin tulot ovat jakautuneet. Gini-arvo voidaan esittää myös prosentteina eli lukuarvo sadalla kerrottuna, jolloin raja-arvot ovat vastaavasti 0 ja 100.

Tulonjakokuvauksissa käytetään yleisesti menetelmää, jossa tulonsaajat järjestetään tulojen suuruuden mukaan nousevaan järjestykseen ja lasketaan sitten kunkin desiilin tai kvintiilin osuudet tulojen kokonaissummasta. Vertaamalla keskenään tuotannontekijätulojen jakaumaa ja käytettävissä olevien tulojen jakaumaa saadaan käsitys tulojen uudelleenjaon vaikutuksista.

Tuloerojen kuvauksessa joudutaan ottamaan kantaa myös siihen vertaillaanko kotitalouksien vai yksittäisten henkilöiden välistä tulonjakoa. Kummassakin on puolensa. Yleensä yksilön toimeentulo määräytyy koko kotitalouden taloudesta, mutta toisaalta tilastoissa suuren kotitalouden henkilöt saavat vähemmän painoarvoa kuin esimerkiksi yhden hengen kotitalouden henkilö. Tulojen jakautuminen kotitalouden sisällä voi vaihdella, mikä tuo haastetta tutkimiseen.

## Gini-kertoimia eri maista

### 15 matalinta

### 15 korkeinta

Lähde: 

## Gini-kerroin yhteiskunnan tasa-arvoisuuden mittana
Gini-kerrointa voidaan käyttää myös yhteiskunnan tasa-arvoisuuden mittaamiseen. Kerrointa voidaan soveltaa muun muassa seuraaviin muuttujiin:
* Mahdollisuudet koulutukseen (education)
* Mahdollisuudet elämässä (opportunity)
* Mahdollisuudet liikkumiseen tuloluokkien välillä (income mobility)

## Matemaattisesti

**Gini-kerroin** mittaa todennäköisyysjakauman hajontaa. Gini-kerroin G kuvastaa jakauman eriarvoisuutta.

L(x) (x \in X = [0, 1])
kuvastaa arvojen 0 \le y \le x todennäköisyysmassaa siten
että L(x) \le x, L(0) = 0 ja L(1) = 1. Tällöin L on kertymäfunktio
mitattavalle suureelle x.

Piirretään laatikko X \times X ja sen sisään käyrät
y = x (suora viiva) ja L(x). Gini-kerroin
G = \frac{A}{A + B},
missä A on käyrän y = x ja käyrän L väliin jäävä pinta-ala, ja B on käyrän L alle jäävä pinta-ala
B = \int_0^1 L(x)\,\mathrm{d}x

Huom. A + B = 0{,}5 koska käyrä y = x rajoittaa näiden kummankin pinta-alan yksikköneliön sisällä.

Tämän seurauksena G = 0 tarkoittaa samanarvoisten alkioiden jakautumaa (jolloin käyrä L seuraa käyrää y = x).
G = 1 tarkoittaa täysin eriarvoista käyrää.

Tapauksessa jossa G = 1 kaikki tulot ovat kasautuneet jakauman kärkeen: L(x) = 0, kun x  ja L(1) = 1.

## Laskenta
### Jatkuvan muuttujan funktiolle
Koska A + B = 0{,}5, saadaan
G = \frac{A}{A + B} = \frac{0.5 - B}{0.5} = 1 - 2B = 1 - 2 \int_0^1 L(x)\,\mathrm{d}x.

### Diskreetille todennäköisyysjakaumalle
Diskreetille todennäköisyysjakaumalle
f(y_i), missä i = 1, \dots, n, ja y_{i} \le y_{i + 1}, Gini-kerroin G saadaan määritettyä seuraavasti:
G = 1 - \frac{\sum_{i=1}^n{f(y_i)(S_{i-1}+S_i)}}{S_n}, missä
S_i = \sum_{j=1}^i {f(y_j)\,y_j} ja S_0 = 0\,.

## Lähteet

## Aiheesta muualla