Käänteislukufunktio

**Käänteislukufunktion** arvot muodostetaan ottamalla annetun luvun käänteisluku. Koska nollan käänteislukua ei ole olemassa, saadaan reaalilukufunktion muodolliseksi määritelmäksi
:f\colon x \mapsto \frac{1}{x}\qquad  x \neq 0 \qquad x \in \R.
Kuvaus voidaan suorittaa kaikilla reaaliluvuilla paitsi nollalla. Koulumatematiikassa sama ilmaistaan useimmiten
:f(x)=\frac{1}{x}\qquad  x \in \R \smallsetminus\{0\}.
Määrittelyjoukko on siis kaikki reaaliluvut paitsi nolla. Funktio voidaan määritellä myös muilla lukualueilla ja niistä tarkemmin myöhemmin.

Käänteislukufunktio on erikoistapaus potenssifunktioista, jossa (kun a=1 ja r=-1)
:f(x)=a x^r=1 x^{-1}=x^{-1}=\frac{1}{x}.

## Käänteislukufunktion arvon määrittäminen
### Kokonais- ja rationaaliluku
Kokonaisluvun käänteisluku on yksikkömurtoluku. Se on rationaali- eli murtoluvun käänteisluvun erikoistapaus. Kokonaisluvun a ja murtoluvun \tfrac{m}{n} käänteisluku lasketaan käyttäen kokonais- ja murtolukujen jakolaskun ominaisuuksia hyväksi:
:f(a)=1 \div a=\frac{1}{a}
ja 
:f(\tfrac{m}{n})= \frac{1}{\tfrac{m}{n}}=1 \div \tfrac{m}{n}=1 \cdot \tfrac{n}{m}=\tfrac{n}{m}

### Reaaliluku
Yleisesti ottaen reaaliluvun käänteisluvun laskeminen ei ole helppo tehtävä. Se voidaan aina merkitä lausekeella \tfrac{1}{a}, mutta sen numeerisen arvon laskemieen esimerkiksi laskimessa tarvitaan iteroiva algoritmi.

### Kompleksiluku
Kompleksiluvun z=a+bi käänteisluvun laskemiseen käytetään kompleksilukujen z_1 ja z_2 jakolaskun ominaisuuksia:
:{z_1 \over z_2} = {z_1 \bar{z_2} \over \ z_2 \bar{z_2}} = {z_1 \bar{z_2} \over |z_2|^2}
Kun z_1=1 ja z_2=z saadaan
:f(z)={1 \over z} = {1 \cdot \bar{z} \over \ z \cdot \bar{z}} = {\bar{z} \over |z|^2},
missä \bar{z}=a-bi on luvun z liittoluku eli konjugaattiluku. Tulos voidaan ilmaista myös kompleksiluvun reaali- ja imaginaariosan avulla:
:f(z)={1 \over z} = {\bar{z} \over |z|^2} =  = -{b \over {a^2+b^2}}i}. 
Jos reaali- ja imaginaariosat ovat reaalilukuja, käänteisluvun numeerinen arvo lasketaan reaalilukujen tapaan.

## Yleisiä ominaisuuksia
### Monotonisuus ja nollakohdat
Derivaattafunktion merkistä voi päätellä, että käänteislukufunktio on monotoninen ja vieläpä aidosti vähenevä välillä, joka mahtuu määrittelyjoukoonsa. 
Funktiolla f(x)=\tfrac{1}{x} ei ole nollakohtia.

### Symmetrisyys ja parittomuus
Käänteislukufunktiolla on potenssiesityksessä pariton eksponentti
:f(x)=\tfrac{1}{x}=x^{-1},
joten se kuuluu parittomiin funktioihin. Parittomalle funktiolla vastaluvut antavat tulokseksi vastaluvut
:f(-a)=-f(a).
Kuvaajat ovatkin origosymmetrisiä eli funktion kuvaajan jokaiselle pisteelle löytyy yhtä kaukana origon takana toinen funktion kuvaajan vastinpiste.

### Derivaatta ja integraali
Reaalifunktion derivaattafunktio on
:D \frac{1}{x}=Dx^{-1}=-1x^{-2}=-\frac{1}{x^2}, \quad x \neq 0
ja integraalifunktio
:\int {\frac{1}{x}}\;dx=\ln+C,
kun x\neq0 ja C \in \R.

### Raja-arvot
Reaalifunktion arvot pienenevät, kun arvot kasvavat. Funktion raja-arvot ovat 
:\lim_{x \to \infty}{\frac{1}{x}}=0 \mbox{ ja } \lim_{x \to -\infty}{\frac{1}{x}}=0.
Funktion epäoleelliset toispuoliset raja-arvot, kun lähestytään nollaa oikealta, on
:\lim_{x \to 0+}{\frac{1}{x}}=\infty
ja kun lähestytään nollaa vasemmalta on
:\lim_{x \to 0-}{\frac{1}{x}}=-\infty.

## Katso myös
*Kääntäen verrannollisuus
*Hyperbeli

## Lähteet ja viitteet