Pilottiaalto

**Pilottiaaltoteoria** on teoreettisessa fysiikassa Louis de Broglien vuonna 1927 esittämä, 
ensimmäinen tunnettu esimerkki piilomuuttujateoriasta. Sen nykyinen versio, de Broglien–Bohmin teoria, on edelleen valtavirran ulkopuolinen yritys selittää kvanttimekaniikka deterministiseksi teoriaksi, jolloin vältetään sellaiset ongelmalliset käsitteet kuin aalto-hiukkas-dualismi, yhtäkkinen aaltofunktion romahtaminen ja Schrödingerin kissaparadoksi.

De Broglien–Bohmin teoria on yksi monista kvanttimekaniikan tulkinnoista. Se käyttää samaa matematiikkaa kuin muut kvanttimekaniikan tulkinnat. Näin ollen se ei ole enempää ristiriidassa kokeellisten tulosten kanssa kuin muutkaan tulkinnat.

Kun Y. Couderin 2000-luvulla teki kokeita kvanttimekaanisten systeemien kanssa analogisilla hydrodynaamisilla systeemeillä, voitiin ”konkreettisen” pilottiaallon katsoa ilmaantuneen.

## Historia
Vuonna 1926 laatimassaan tutkielmassa Max Born esitti, että Schrödingerin yhtälön mukainen aaltofunktio kuvaa todennäköisyystiheyttä sille, että hiukkanen löytyy tietyltä alueelta.

Tästä ajatuksesta de Broglie kehitti pilottiaaltoteorian ja muodosti ohjaavaa aaltoa esittävän funktion.
 Aluksi de Broglie esitti *kaksoisratkaisuun* perustuvaa lähestymistapaa, jossa kvanttikohde koostuu fysikaalisesta aallosta (*u*-aalto) todellisessa avaruudessa, jossa se on keskittynyt pallonmuotoiselle alueelle, mikä johtaa hiukkasmaiseen käyttäytymiseen; tässä teoriansa alkuperäisessä muodossa hänen ei tarvinnut olettaa kvanttihiukkasen olemassaoloa. Myöhemmin hän muotoili teorian, jossa hiukkaseen liittyy pilottiaalto. Pilottiaaltoteoriansa hän esitti vuoden 1927 Solvayn konferenssissa.  Samassa konferenssissa Wolfgang Pauli kuitenkin esitti teorialle vastaväitteen, että se ei toiminut oikein kimmottoman sironnan tapauksessa. De Broglie ei pystynyt kumoamaan tätä vastaväitettä, ja hän ja Born hylkäsivätkin pilottiaaltoihin perustuvan lähestymistavan. Toisin kuin David Bohm vuosia myöhemmin, de Broglie ei täydentänyt teoriaansa niin, että sen pohjalta olisi voitu käsitellä myös monen hiukkasen tapausta.

Vuonna 1932 John von Neumann väitti todistaneensa kaikki piilomuuttuja­teoriat mahdottomiksi. Kolme vuotta myöhemmin Grete Hermann osoitti tämän todistuksen pätemättömäksi, mihin fyysikot eivät kuitenkaan kiinnittäneet huomiota yli 50 vuoteen. Mutta vuonna 1952 David Bohm, joka oli tyytymätön yleisesti hyväksyttyyn tulkintaan, otti de Broglien pilottiaaltoteorian uudelleen puheeksi. Bohm kehitti pilottiaaltoteorian muotoon, jota nykyisin kutsutaan de Broglien–Bohmin teoriaksi.

Useimmat fyysikot olisivat tuskin kiinnittäneet huomiota de Broglien–Bohmin teoriaan, ellei sitä olisi kannattanut John Stewart Bell, joka myös kumosi sille esitetyt vastaväitteet. Vuonna 1987 John Bell löysi Grete Hermannin tutkielman ja osoitti fyysikoiden yhteisölle, että Paulin ja von Neumannin vastaväitteet olivat itse asiassa todistaneet vain, ettei pilottiaaltoteoria noudata lokaalisuusperiaatetta.

Jotkut fyysikot pitävät nykyäänkin de Broglien–Bohmin teoriaa vakavasti otettavana haastajana vallitsevalle kööpenhaminalaiselle tulkinnalle, mutta kysymys on yhä kiistanalainen.

Yves Couder työtovereineen on äskettäin löytänyt makroskooppisen pilottiaaltosysteemin *kävelevien pisaroiden* muodossa. Tämä systeemi käyttäytyy pilottiaaltojen tavoin, joiden aikaisemmin oli oletettu esiintyvän vain mikroskooppisissa ilmiöissä.

## Pilottiaaltoteoria
### Perusteet
Pilottiaaltoteoria kuuluu piilomuuttujateorioihin. Näin ollen:
* se on *realistinen* teoria siinä mielessä, että sen mukaan käsitteet ovat olemassa havaitsijasta riippumatta;
* se on deterministinen teoria.

Hiukkasten paikka ja liikemäärä oletetaan piilomuuttujiksi. Pilottiaaltoteoriassa oletetaan, että näillä suureilla tosin on olemassa tarkat arvot, mutta ne voidaan mitata vain tietyllä rajallisella tarkkuudella, koska mittauksen suorittaminen auttamattomasti häiritsisi systeemiä vähintään tietyn verran.

Hiukkasjoukkoon liittyy aineaalto, joka kehittyy Schrödingerin yhtälön osoittamalla tavalla. Jokaisella hiukkasella on oma deterministinen liikeratansa, jota ohjaa aaltofunktio. Koko hiukkasjoukon tiheyttä kuvaa aaltofunktion suuruus. Hiukkaset eivät vaikuta aaltofunktioon, joka voi esiintyä myös tyhjänä aaltofunktiona.

Teoria valaisee sitä epälokaalisuutta, joka sisältyy implisiittisesti kvanttimekaniikan ei-relativistisiin muotoiluihin, ja tämän epälokaalisuuden avulla se pystyy toteuttamaan Bellin teoreeman.

### Seurauksia

Pilottiaaltoteoria osoittaa, että on mahdollista muotoilla realistinen ja deterministinen piilomuuttujateoria, jonka kokeelliset seuraukset ovat samat kuin tavanomaisen kvanttimekaniikan.

Hintana on kuitenkin se, että teoria on korostetusti epälokaalinen. Toisin sanoen teorian mukaan se, mitä yhdessä paikassa (A) tapahtuu, voi välittömästi ja saman­aikaisesti vaikuttaa siihen, mitä toisessa paikassa (B), mahdollisesti hyvinkin kaukana tapahtuu, jo ennen kuin paikasta A valon­nopeudella lähetetty signaali ehtisi paikasta A paikkaan B. Piilo­muuttujien luonteesta ja Bellin teoreemasta kuitenkin aiheutuu, ettei tällaisia kauko­vaikutuksia ole mahdollista käyttää hyväksi valoa nopeampaan tiedon­siirtoon.

## Matemaattinen perusta
De Broglien–Bohmin pilottiaallon johtamiseksi elektronille muodostetaan ensin sen kvanttiteoreettinen Lagrangen funktio

:L(t)={\frac{1}{2}}mv^2-(V+Q),

missä Q on kvanttivoimaan liittyvä potentiaali (aaltofunktio työntää hiukkasta). Tämä integroidaan yhtä tiettyä reittiä pitkin, nimittäin sitä reittiä, jota elektroni todellisuudessa kulkee. Tällöin Bohmin propagaattorille saadaan seuraava lauseke:

:K^Q(X_1, t_1; X_0, t_0) = \frac{1}{J(t)^ {\frac{1}{2}} } \exp\left[\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t_1}L(t)\,dt\right].

Tämän propagaattorin avulla elektronin liikerata kvanttipotentiaalin Q vaikutuksesta ajan funktiona voidaan määrittää tarkasti.

### Schrödingerin yhtälön johto

Pilottiaaltoteoria perustuu Hamiltonin–Jacobin dynamiikkaan, ei Hamiltonin tai Lagrangen mekaniikkaan. Hamiltonin–Jacobin yhtälöstä

:H\left(\mathbf{q},{\partial S \over \partial \mathbf{q}},t\right) + {\partial S \over \partial t}\left(\mathbf{q},t\right) = 0

on mahdollista johtaa Schrödingerin yhtälö seuraavasti:

Tarkastellaan klassista hiukkasta, jonka paikkaa ei tunneta tarkasti. Näin ollen sitä on käsiteltävä tilastollisesti, toisin sanoen vain todennäköisyystiheys \rho (x,t) tunnetaan. Kokonais­toden­näköisyys luonnollisesti säilyy eli \int\rho\,d^3x = 1 kaikilla hetkillä t. Tämän vuoksi sen on toteutettava jatkuvuusehto

:\partial \rho / \partial t = - \nabla \cdot (\rho v) \quad(1)
missä v(x,t) on hiukkasen nopeus.

Klassisen mekaniikan Hamiltonin–Jacobin muotoilussa nopeuden ilmaisee lauseke v(x,t) = \frac{\nabla S(x,t)}{m},
missä  S(x,t) on Hamiltonin–Jacobin yhtälön ratkaisu

:- \frac{\partial S}{\partial t} = \frac{\left(\nabla S\right)^2}{2m} + V \quad(2)

Yhtälöt (1) ja (2) voidaan yhdistää yhdeksi kompleksiseksi yhtälöksi ottamalla käyttöön 
kompleksinen funktio  \psi = \sqrt{\rho}e^\frac{iS}{\hbar}. Silloin edelliset kaksi yhtälöä voidaan saattaa muotoon

:i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \left( - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 +V-Q \right)\psi \quad missä 
 \quad Q = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\nabla^2 \sqrt{\rho}}{\sqrt{\rho}}

Tämä on ajasta riippuva Schrödingerin yhtälö, jossa on mukana ylimääräinen potentiaali, kvanttipotentiaali Q, 
toisin sanoen kvanttivoiman potentiaali, joka on likimäärin verrannollinen aaltofunktion amplitudin kaarevuuteen.

### Matemaattinen muotoilu yhdelle hiukkaselle

De Broglien mukaista aineaaltoa esittää ajasta riippuva Schrödingerin yhtälö:

: i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \left( - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 +V \right)\psi \quad

Kompleksinen aaltofunktio voidaan esittää muodossa:

\psi = \sqrt{\rho} \; \exp \left( \frac{i \, S}{\hbar} \right) 

Kun tämä sijoitetaan Schrödingerin yhtälöön, voidaan johtaa kaksi uutta reaalimuuttujien välistä yhtälöä. Niistä ensimmäinen on todennäköisyystiheyden \rho jatkuvuusyhtälö:

:\partial \rho / \partial t + \nabla \cdot ( \rho v) =0 \; ,

missä nopeuskentän määrittelee ohjausyhtälö

:\vec{v} (\vec{r},t) = \frac{\nabla S(\vec{r},t)}{m}\; .

Pilottiaaltoteorian mukaan pistemäinen hiukkanen ja aineaalto ovat molemmat todellisia ja erillisiä fysikaalisia olioita.  Sen sijaan, että kvantti­mekaniikan standardi­tulkinnan mukaan aalto­funktio on vain abstrakti *toden­näköisyys­aalto*, pilotti­aaltoteorian mukaan kyseessä on todellinen fysikaalinen aalto, joka ohjaa hiukkasten liikettä ohjaus­yhtälön mukaisesti hieman samaan tapaan kuin meren aallot ohjaavat pinnalla kelluvien kappaleiden liikettä ja vaikuttavat uimarien ja laivojenkin liikkeeseen.

Tavanomainen kvanttimekaniikka ja pilotti­aalto­teoria perustuvat samaan osittaisdifferentiaaliyhtälöön. Keskeisin ero on siinä, että tavan­omaisessa ­kvantti­mekaniikassa Schrödingerin yhtälön mukainen aaltofunktio tulkitaan Bornin postulaatin mukaisesti, jonka mukaan kappaleen sijainnin todennäköisyys­tiheyden ilmaisee aaltofunktion amplitudin neliö  \rho = |\psi|^2 . Pilottiaaltoteoria pitää ohjausyhtälöä peruslakina ja Bornin sääntöä siitä johdettuna käsitteenä.

Toinen yhtälö on muunneltu Hamiltonin–Jacobin yhtälö vaikutukselle S:

:- \frac{\partial S}{\partial t} = \frac{\left(\nabla S\right)^2}{2m} + V +Q \; ,

missä Q on yhtälön 

: Q = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\nabla^2 \sqrt{\rho}}{\sqrt{\rho}}

määrittelemä kvanttipotentiaali. Jos Q jätetään pois laskuista, tuloksena saadaan klassisen pistehiukkasen Hamiltonin–Jacobin yhtälö. (Tarkkaan ottaen tämä pätee vain semiklassisella rajalla, koska superpositioperiaate pätee edelleen ja siitä voidaan päästä eroon vain, jos jokin mekanismi, esimerkiksi vuorovaikutus ympäristön kanssa, saa aikaan dekoherenssin.) Niinpä kvanttipotentiaali saa aikaan kaikki kvanttimekaniikalle tyypilliset, mystisiltä vaikuttavat ilmiöt.

On myös mahdollista yhdistää Hamiltonin–Jacobin yhtälö ja ohjausyhtälö, jolloin saadaan näennäisesti Newtonin mekaniikkaa muistuttava liikeyhtälö:

:m \, \frac{d}{dt} \, \vec{v} = - \nabla( V + Q ) \; ,

missä hydrodynaaminen aikaderivaatta määritellään seuraavasti:

:\frac{d}{dt} = \frac{ \partial }{ \partial t } + \vec{v} \cdot \nabla \; .

### Matemaattinen muotoilu monelle hiukkaselle

Schrödingerin yhtälö monen kappaleen aaltofunktiolle   \psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \cdots, t)  on:

: i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} =\left( -\frac{\hbar^2}{2} \sum_{i=1}^{N} \frac{\nabla_i^2}{m_i} + V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots\mathbf{r}_N) \right) \psi 

Kompleksinen aaltofunktio voidaan esittää muodossa:

:\psi = \sqrt{\rho} \; \exp \left( \frac{i \, S}{\hbar} \right) 

Pilottiaalto ohjaa hiukkasten liikettä. Tällöin j:nnen hiukkasen ohjausyhtälö on:

: \vec{v}_j = \frac{\nabla_j S}{m}\; .

Näin j:nnen hiukkasen nopeus riippuu nimenomaisesti muiden hiukkasten sijainnista. Tämä merkitsee, että teoria on ei-lokaalinen.

### Tyhjä aaltofunktio
Lucien Hardy ja John Stewart Bell  ovat korostaneet sitä, että kvanttimekaniikan de Broglien–Bohmin kuvassa voi esiintyä myös **tyhjiä aaltoja**, joita niitäkin esittää avaruudessa ja ajassa leviävä aaltofunktio, mutta jotka eivät kuljeta energiaa eivätkä liikemäärää eivätkä liity mihinkään hiukkaseen. Samaa käsitettä Albert Einstein oli nimittänyt *aaveaalloiksi* tai *aavekentiksi* ).

Tyhjiä aaltofunktioita koskevasta kysymyksestä on kiistelty. Sitä vastoin kvanttimekaniikan monimaailmatulkinnoissa ei tyhjiä aaltofunktiota tarvita.

## Lähteet

## Aiheesta muualla

*”Pilot-wave hydrodynamics” Bush, J.W.M, 2014, Ann. Rev. Fluid Mech., 49, 269-292.
*”Quantum mechanics writ large” , Bush, J.W.M, 2010.
*”Pilot waves, Bohmian metaphysics, and the foundations of quantum mechanics” , Mike Towlerin luentokurssi pilottiaaltoteoriasta Cambridgen yliopistossa 2009
*”Hydrodynamic quantum analogues”  Tutkielma hydrodynaamisista kvanttianalogioista ja hydrodynaamisesta pilottiaaltoteoriasta, John Bush (MIT) ym.
* More complete HTML encyclopedic page about the subject.