Pintaintegraali

**Pintaintegraalilla** tarkoitetaan funktion integroimista yli pinnan. Se on määritelty vain \mathbb{R}^3:n pinnoille.

## Määritelmä

Olkoon D \subset \mathbb{R}^2 yhtenäinen ja \omega : D \rightarrow \mathbb{R}^3 eräs \mathbb{R}^3:n derivoituva pinta. Olkoon A \subset \mathbb{R}^3 joukko siten, että pinnan \omega kuvaaja \omega (D) \subset A. Olkoon nyt funktio f : A \rightarrow \mathbb{R} sellainen, että funktio h : D \rightarrow \mathbb{R},

h (x,y) = f(\omega (x,y))||\partial_1 \omega (x,y) \times \partial_2 \omega (x,y)||,

on integroituva yli joukon D. (huomaa, että koska \omega on \mathbb{R}^3:n pinta, niin sen osittaisderivaattojen kaavat ovat \mathbb{R}^3:n vektoreita ja siis ristitulo voidaan määritellä niille). Nyt funktion f **pintaintegraali** yli pinnan \omega on luku

\int\limits_\omega f = \iint\limits_D f(\omega (x,y))||\partial_1 \omega (x,y) \times \partial_2 \omega (x,y)|| \, \mbox{d}x\,\mbox{d}y.

## Sovelluksia

Jos valitsemme nyt funktioksi f = 1, niin pintaintegraali antaa pinnan \omega kuvaajan **pinta-alan**. Saamme siis pinnan \omega kuvaajan pinta-alaksi kaavan

 A( \omega ) = \iint\limits_D ||\partial_1 \omega (x,y) \times \partial_2 \omega (x,y)|| \, \mbox{d}x\, \mbox{d}y .

Esimerkiksi voimme laskea kolmiulotteisen r-säteisen pallon kuoren pinta-alan tällä kaavalla. Määritellään pinta \omega : \bar{B}(0,r) \rightarrow \mathbb{R}^3,

\omega (x,y) = (x,y,\sqrt{r^2-x^2-y^2}).

Huomataan, että pinnan \omega kuvaaja on r-säteisen origokeskisen pallon ylempi kupu. Näin ollen koko pallon kuoren pinta-ala saadaan pinnan \omega kaksinkertaisesta pinta-alasta. Lasketaan nyt pinnan osittaisderivaatat:

\partial_1 \omega (x,y) = (\partial_1 x, \partial_1 y, \partial_1 \sqrt{r^2-x^2-y^2}) = (1,0,-x / \sqrt{r^2-x^2-y^2})

\partial_2 \omega (x,y) = (\partial_2 x, \partial_2 y, \partial_2 \sqrt{r^2-x^2-y^2}) = (0,1,-y / \sqrt{r^2-x^2-y^2})

Näiden vektoreiden ristituloksi saadaan vektori:

\partial_1 \omega (x,y) \times \partial_2 \omega (x,y) = \begin{vmatrix} (1,0,0) & (0,1,0) & (0,0,1)\\1 & 0 & -x / \sqrt{r^2-x^2-y^2}\\0 & 1 & -y / \sqrt{r^2-x^2-y^2} \end{vmatrix} 

= (x / \sqrt{r^2-x^2-y^2},y / \sqrt{r^2-x^2-y^2},1)

ja edelleen sen normiksi

||\partial_1 \omega (x,y) \times \partial_2 \omega (x,y)|| = ||(x / \sqrt{r^2-x^2-y^2},y / \sqrt{r^2-x^2-y^2},1)|| 

= \sqrt{(x / \sqrt{r^2-x^2-y^2})^2 + (y / \sqrt{r^2-x^2-y^2})^2 + 1^2} = \frac{r}{\sqrt{r^2-x^2-y^2}}.

Näin ollen

\mbox{Pallon kuoren pinta-ala} = 2A(\omega ) = 2\iint\limits_{\bar{B}(0,r)} ||\partial_1 \omega (x,y) \times \partial_2 \omega (x,y)|| \, \mbox{d}x\, \mbox{d}y 

= 2\iint\limits_{\bar{B}(0,r)} \frac{r}{\sqrt{r^2-x^2-y^2}} \, \mbox{d}x\, \mbox{d}y = 4\pi r^2.

(lopun integroinneissa käytetään apuna tasa-arvokäyrien teoriaa).

## Vuopintaintegraali

Määrittelemme lisäksi toisenlaisen integraalin, jota kutsutaan kirjallisuudessa vuopintaintegraaliksi tai usein vain lyhyesti **vuo**ksi. Olkoon pinta \omega ja joukko A \subset \mathbb{R}^3 kuten edellä määriteltiin. Olkoon nyt funktio F : A \rightarrow \mathbb{R}^3 sellainen, että funktio H : D \rightarrow \mathbb{R},

H (x,y) = F(\omega (x,y))\cdot (\partial_1 \omega (x,y) \times \partial_2 \omega (x,y)),

on integroituva yli joukon D. Nyt funktion F **vuopintaintegraali** eli **vuo** läpi pinnan \omega on luku

\int\limits_\omega F \cdot \mbox{d}\bar{A} = \iint\limits_D F(\omega (x,y))\cdot (\partial_1 \omega (x,y) \times \partial_2 \omega (x,y)) \, \mbox{d}x\,\mbox{d}y.

Vuopintaintegraaliin liittyy tärkeä ns. **divergenssilause**, jonka mukaan jos E \subset \mathbb{R}^3 on avoin niin, että sen sulkeuma on kompakti, E \subset A, missä A \subset \mathbb{R}^3 on avoin ja \omega : D \rightarrow \mathbb{R}^3 on \mathbb{R}^3:n derivoituva pinta siten, että sen kuvaaja on joukon E reuna \partial E, niin derivoituvan funktion F : A \rightarrow \mathbb{R}^3 vuo

\int\limits_\omega F \cdot \mbox{d}\bar{A} = \iiint\limits_D \nabla \cdot F \, \mbox{d}x\, \mbox{d}y\, \mbox{d}z.

## Lähteet