Determinantti

Jokaisella neliömatriisilla on skalaariarvoinen **determinantti**, joka kuvaa tiettyjä sitä vastaavan lineaarikuvauksen ominaisuuksia. Esimerkiksi 3 \times 3 matriisin determinantin itseisarvo kertoo kuinka paljon tilavuus muuttuu lineaarikuvauksessa. Neliömatriisin A determinantti merkitään:
:\det A = \begin{vmatrix}A\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}

Matriisin A alimatriisi A_{ij} saadaan poistamalla matriisista i:s vaakarivi ja j:s pystyrivi. Saadun matriisin determinanttia \displaystyle \det A_{ij} sanotaan alkion a_{ij} **alideterminantiksi**.

## Määritelmä

Determinantin määritelmä voidaan esittää permutaatioiden avulla:

Matriisin A=[a_{ij}]_{n \times n} determinantti on

:\det A = \sum_{j_1,j_2,j_3,...,j_n}^{} \sigma \left( j_1,  j_2, j_3, \ldots, j_n \right )\cdot a_{1j_1}\cdot a_{2j_2}\cdot a_{3j_3}\cdot\ldots\cdot a_{nj_n},

jossa (j_1, j_2, j_3, \dots, j_n) on eräs \{1, \dots, n\}:n permutaatio ja summa kulkee kaikkien näiden permutaatioiden ylitse ja 
:
\sigma \left( j_1, j_2, j_3, ..., j_n \right) 
= \begin{cases} 
  1, & \mbox{jos }{j_1, j_2, j_3,...,j_n} \mbox{ on parillinen} \\
 -1, & \mbox{jos }{j_1, j_2, j_3,...,j_n} \mbox{ on pariton} 
\end{cases}


Permutaation parillisuus tarkoittaa sitä voiko sen saada parillisella määrällä vaihtoja permutaatiosta {1,2,3,...,*n*}. esimerkiksi {1,3,2} on pariton, koska se saadaan yhdellä vaihdolla permutaatiosta {1,2,3}, nimittäin vaihtamalla 2:n ja 3:n.

Tämä määritelmä on varsin kehittynyt ja sopii erityisesti determinanttien lukuisten laskusääntöjen osoitukseen. Se ei kuitenkaan sovellu determinantin varsinaiseen laskemiseen, mutta esimerkiksi 2\times2 determinantin laskukaavan sillä saa hyvin:

:
\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} 
= \sigma(1,2)\cdot a\cdot d + \sigma(2,1)\cdot b\cdot c=a\cdot d-b\cdot c


## Laskusääntöjä

*\det \left( A^\operatorname{T} \right) = \det \left( A \right) 

* \det \left(A\cdot B\right) = \det \left( A \right) \cdot \det \left( B \right) , jossa *A* ja *B* ovat molemmat *n* \times *n* -matriiseja.

*Jos *A*:n jokin rivi (tai sarake) on nolla, 1. kohdan nojalla

: \det \left( A \right) = 0 

*Jos *A*:n rivit (tai sarakkeet) ovat lineaarisesti riippuvia,

: \det \left( A \right) = 0 

*Jos matriisi *A*1 saadaan matriisista *A* kertomalla jokin rivi vakiolla *c*,

:\det \left( A_1 \right) = c\cdot\det \left( A \right) 

*Jos matriisi *A* on yläkolmio-, alakolmio- tai diagonaalimatriisi, determinantti on kyseisen matriisin diagonaalialkioiden tulo.

*Jos matriisi *A*1 saadaan matriisista *A* vaihtamalla kaksi riviä keskenään,

:\det \left( A_1 \right) = -\det \left( A \right) 

Sarrus’n sääntö on eräs menetelmä ja muistisääntö 3×3-matriisin determinantin laskemiseksi.

## Determinantin laskeminen

Edellisten tulosten perusteella voidaan perustella matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti kaavalla:

:\det A = \sum_{k=1}^{n}\left(-1 \right)^{i+k}\cdot a_{ik}\cdot A_{ik} \,, \quad A\in\mathbb{R}^{n \times n},

jossa *A**ik* on determinantti matriisista, joka saadaan kun poistetaan *A*:sta i:s rivi ja k:s sarake. Sama operaatio voidaan tehdä mille tahansa sarakkeelle, kuten alla esimerkissä näytetään.

Esimerkki:

:
\begin{align}
\begin{vmatrix} 1 & 5 & 7 \\ 6 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 0 \end{vmatrix}

&= 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} 
- 5 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} 
+ 7 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 0 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} 
\\
&= 1 \cdot \left( 0\cdot0-2\cdot1 \right) 
- 5 \cdot \left( 6 \cdot 0 - 1 \cdot 3 \right) 
+ 7 \cdot \left( 6 \cdot 2 - 0 \cdot 3 \right) = 97
\end{align}


Determinantin määrittäminen näin on varsin tehotonta, koska jo 25\times25 matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti vie tietokoneelta 25! laskutoimitusta. Koska jokainen matriisi voidaan saattaa yläkolmiomuotoon tietyillä elementaarisilla rivioperaatioilla, saadaan determinantiksi silloin:

:\det \left( A \right) = c\cdot d_{11}\cdot d_{22}\cdot d_{33}\cdot\ldots\cdot d_{nn}

,jossa vakio *c* määräytyy tehtyjen rivioperaatioiden mukaan ja d_{ii} ovat *A*:sta saadun yläkolmiomatriisin diagonaalialkio. Rivioperaatioiden vaikutus *c*:hen näkyy alla:

# Kun vaihdetaan kahta riviä aikaisempi vakiokertoja: c = -1c_0.
# Kun lisätään toinen rivi kerrottuna vakiolla: c = c_0.
# Kun kerrotaan rivi vakiolla *k*: c = k c_0.

*Kohta kolme on epäolennainen, koska matriisien rivejä ei tarvitse kertoa.*

## Alkion komplementti

määritellään alkion a_{ij} \,\! **komplementti** eli **kofaktori**
:C_{ij} = (-1)^{i+j}\det A_{ij} \,\!.

Matriisin A = (a_{ij})\,\! **adjungoitu matriisi** saadaan, kun alkiot korvataan niiden komplementilla ja saatu matriisi lopuksi transponoidaan. Merkitään 
:\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix}C_{11} & \cdots & C_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{n1} & \cdots & C_{nn} \end{bmatrix}^\operatorname{T}.

## Determinantin käyttäminen

Neliömatriisia A sanotaan kääntyväksi tai säännölliseksi, jos \det A \ne 0. Jos \det A = 0, matriisi on **singulaarinen**.

Säännölliselle matriisille A pätee
:A \left( \frac{1}{\det A}\operatorname{adj} A \right) = I ja \left( \frac{1}{\det A}\operatorname{adj} A \right) A = I.

Tulosta käytetään määrittelemään matriisin **käänteismatriisi**.

## Geometrisia tulkintoja

Kahdessa ja kolmessa ulottuvuudessa determinantti vastaa lineaarikuvauksen geometrisia ominaisuuksia. Determinantin itseisarvo vastaa joko pinta-alan tai tilavuuden muutosta lineaarikuvauksessa. Determinantin positiivinen etumerkki tarkoittaa, että kätisyys ei muutu kuvauksessa, kun taas kätisyyden peilaavien kuvauksien determinantti on negatiivinen. Jos determinantti on 0, lineaarikuvaus litistää pienempään ulottuvuuteen, suoralle tai tasolle.

Lisäksi determinantti vastaa matriisin määrittämän monikulmion pinta-alaa tai kappaleen tilavuutta. Fysiikassa matriisin determinantti merkitsee momenttia.

## Lähteet

## Kirjallisuutta
* Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer-Verlag, 
* de Boor, Carl (1990), "An empty exercise" (PDF), ACM SIGNUM Newsletter, 25 (2): 3–7, doi:10.1145/122272.122273.
* Lay, David C. (22 elokuuta 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, 
* Meyer, Carl D. (15 helmikuuta 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), , archived from the original on 2009-10-31
* Muir, Thomas (1960) [1933], A treatise on the theory of determinants, Revised and enlarged by William H. Metzler, New York, NY: Dover
* Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.), Brooks/Cole, 
* G. Baley Price (1947) "Some identities in the theory of determinants", American Mathematical Monthly 54:75–90 MR0019078
* Horn, R. A.; Johnson, C. R. (2013), Matrix Analysis (2nd ed.), Cambridge University Press, 
* Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International
* Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall

### Muita lineaarialgebraan liittyviä kirjoja
* Fearnley-Sander, Desmond, "Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra", American Mathematical Monthly 86 (1979), pp. 809–817.
* Grassmann, Hermann (1844), Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert, Leipzig: O. Wigand
* Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International
* Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics, Texts in Statistical Science (1st ed.), Chapman and Hall/CRC, 
* Bretscher, Otto (2004), Linear Algebra with Applications (3rd ed.), Prentice Hall, 
* Farin, Gerald; Hansford, Dianne (2004), Practical Linear Algebra: A Geometry Toolbox, AK Peters, 
* Hefferon, Jim (2008), Linear Algebra
* Kolman, Bernard; Hill, David R. (2007), Elementary Linear Algebra with Applications (9th ed.), Prentice Hall, 
* Lay, David C. (2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, 
* Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall, 
* Murty, Katta G. (2014) Computational and Algorithmic Linear Algebra and n-Dimensional Geometry, World Scientific Publishing, . Chapter 1: Systems of Simultaneous Linear Equations
* Poole, David (2010), Linear Algebra: A Modern Introduction (3rd ed.), Cengage – Brooks/Cole, 
* Ricardo, Henry (2010), A Modern Introduction To Linear Algebra (1st ed.), CRC Press, 
* Sadun, Lorenzo (2008), Applied Linear Algebra: the decoupling principle (2nd ed.), AMS, 
* Strang, Gilbert (2016), Introduction to Linear Algebra (5th ed.), Wellesley-Cambridge Press, 
* The Manga Guide to Linear Algebra (2012), by Shin Takahashi, Iroha Inoue and Trend-Pro Co., Ltd., 
* Axler, Sheldon (February 26, 2004), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer, 
* Bhatia, Rajendra (November 15, 1996), Matrix Analysis, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 
* Demmel, James W. (August 1, 1997), Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, 
* Dym, Harry (2007), Linear Algebra in Action, AMS, 
* Gantmacher, Felix R. (2005), Applications of the Theory of Matrices, Dover Publications, 
* Gantmacher, Felix R. (1990), Matrix Theory Vol. 1 (2nd ed.), American Mathematical Society, 
* Gantmacher, Felix R. (2000), Matrix Theory Vol. 2 (2nd ed.), American Mathematical Society, 
* Gelfand, Israel M. (1989), Lectures on Linear Algebra, Dover Publications, 
* Glazman, I. M.; Ljubic, Ju. I. (2006), Finite-Dimensional Linear Analysis, Dover Publications, 
* Golan, Johnathan S. (January 2007), The Linear Algebra a Beginning Graduate Student Ought to Know (2nd ed.), Springer, 
* Golan, Johnathan S. (August 1995), Foundations of Linear Algebra, Kluwer, 
* Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (October 15, 1996), Matrix Computations, Johns Hopkins Studies in Mathematical Sciences (3rd ed.), The Johns Hopkins University Press, 
* Greub, Werner H. (October 16, 1981), Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics (4th ed.), Springer, 
* Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971), Linear algebra (2nd ed.), Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc., MR 0276251
* Halmos, Paul R. (August 20, 1993), Finite-Dimensional Vector Spaces, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 
* Friedberg, Stephen H.; Insel, Arnold J.; Spence, Lawrence E. (September 7, 2018), Linear Algebra (5th ed.), Pearson, 
* Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (February 23, 1990), Matrix Analysis, Cambridge University Press, 
* Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (June 24, 1994), Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, 
* Lang, Serge (March 9, 2004), Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics (3rd ed.), Springer, 
* Marcus, Marvin; Minc, Henryk (2010), A Survey of Matrix Theory and Matrix Inequalities, Dover Publications, 
* Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), , archived from the original on October 31, 2009
* Mirsky, L. (1990), An Introduction to Linear Algebra, Dover Publications, 
* Roman, Steven (March 22, 2005), Advanced Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics (2nd ed.), Springer, 
* Shafarevich, I. R.; Remizov, A. O (2012), Linear Algebra and Geometry, Springer, 
* Shilov, Georgi E. (June 1, 1977), Linear algebra, Dover Publications, 
* Shores, Thomas S. (December 6, 2006), Applied Linear Algebra and Matrix Analysis, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 
* Smith, Larry (May 28, 1998), Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 
* Trefethen, Lloyd N.; Bau, David (1997), Numerical Linear Algebra, SIAM, 
* Leduc, Steven A. (May 1, 1996), Linear Algebra (Cliffs Quick Review), Cliffs Notes, 
* Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (December 6, 2000), Schaum's Outline of Linear Algebra (3rd ed.), McGraw-Hill, 
* Lipschutz, Seymour (January 1, 1989), 3,000 Solved Problems in Linear Algebra, McGraw–Hill, 
* McMahon, David (October 28, 2005), Linear Algebra Demystified, McGraw–Hill Professional, 
* Zhang, Fuzhen (April 7, 2009), Linear Algebra: Challenging Problems for Students, The Johns Hopkins University Press,