Kehäkulma

**Kehäkulma** on geometriassa ympyrään liittyvä kulma. Ympyrän kehältä valitaan kolme pistettä **A**, **B** ja **P**, joista **P**:stä piirretään jänteet **PA** ja **PB**. Jänteiden **PA** ja **PB** välistä kulmaa \measuredangle APB nimitetään kehäkulmaksi. Koska kulman määrittäminen kahden pisteen avulla jättää kaksi vaihtoehtoista tulkintaa, sidotaan keskuskulma usein ympyrän kaareen tai sitä vastaavaan jänteeseen.

## Kehäkulmalause
Seuraavaa lausetta kutsutaan kehäkulmalauseeksi: Olkoon \Gamma annettu ympyrä ja olkoot A ja B kaksi \Gamma:n pistettä siten että A ja B eivät ole \Gamma:n halkaisijan päätepisteet. Jos C ja D ovat samalla puolella suoraa AB olevia \Gamma:n pisteitä, niin \angle ACB\cong\angle ADB. Tämän tiedon välittömänä seurauksena, mikäli kahdella kehäkulmalla \measuredangle AP_1B ja \measuredangle AP_2B on yhteinen keskuskulma \measuredangle AOB, ovat kehäkulmat suuruudeltaan puolet tästä ja siten yhtäsuuret eli \measuredangle AP_1B \, = \,  \measuredangle AP_2B \, = \, \beta. Kaikki saman kaaren kehäkulmat ovat siksi aina yhtä suuria, kuten alla olevassa kuvassa näytetään.


File:Omtrekshoeken op dezelfde boog.png|Samalle keskuskulmalle kuuluvat kehäkulmat ovat aina saman suuruiset: α = β = ε.
File:Overstaande hoeken van een koordenvierhoek.png|Kaksi pistettä jakavat kehän kahteen kaareen, joihin kehäkulmalausetta voidaan erikseen soveltaa.


Kehäkulmalauseella on yksinkertaisuudestaan huolimatta merkittävä asema euklidisessa geometriassa, jossa sen ominaisuuksia käytetetään paljon todistamisessa. Esimerkiksi, kun kaksi ympyrän jännettä leikkaavat toisensa, voidaan kehäkulmalauseella osoittaa, että jänteiden osien tulo on vakio. Myös tunnettu tulos, jossa jännenelikulmion vastakkaisten kulmien summa on 180°, saadaan kehäkulmalauseella pääteltyä helposti.

Viimeinen huomautus nähdään yllä olevasta kuvasta. Kaarta ADC vastaavat keskuskulma α ja kehäkulma β. Kaarta CBA vastaavat keskuskulma θ ja kehäkulma ψ. Koska θ = 360° − α, ovat kehäkulma puolet tästä eli ψ = 1/2·θ = 1/2·(360° − α) = 180° − α/2 = 180° − β. Täten vastakkaiset kulmat ovat suplementtikulmat eli ψ = 180° − β.

Kun kehäpiste lähestyy kaaren reunapistettä, jää toisen kehäkulman jänne lyhyeksi. Kehäkulman suuruus säilyy saman suuruisena lähestymisen loppuun saakka, mutta kun kehäpiste yhtyy kaaren reunapisteeseen, näkyy kehäkulman aukeama sen toisen kylkenä olevan jänteen ja ympyrän tangentin välissä. Tätä erikoistilannetta voi pitää kehäkulmalauseen laajennuksena (katso viereinen kuva).

### Thaleen lause
Kehäkulmalauseen erikoistapauksena saadaan Thaleen lause, kun keskuskulma on oikokulma eli 180°, niin kehäkulma on suora kulma eli 90°. Kehäkulmalauseen mukaisesti kaksi (eli kaikki) puoliympyrän kehäkulmaa ovat molemmat suoria.

Rechte hoek.png|Oikokulman takana oleva kehäkulma on suora kulma kummalla puolella halkaisijaa tahansa.
Animated illustration of thales theorem.gif|Kaikilla kehäpisteillä on puoliympyrässä sama kulma \measuredangle ABC \, = \, 90^\circ


## Kehäkulmalauseen todistus
Lause on ollut tapana todistaa Suomen koululaitoksen oppikirjoissa yhdessä erikoistapauksessa ja kahdessa yleisessä tapauksessa, jotka kattavat kaikki tapaukset ja tukevat toisiaan todistelussa.

### Kehäkulman jänne ja sektorin säde ovat päällekkäin

Tutkimalla kuviota huomataan, että
* kehäkulma on \measuredangle BVA ja keskuskulma on \measuredangle BOA.
* janat **VO** = **OB** = **OA** = **R** eli ympyrän säde.
* tasakylkisessä kolmiossa \triangle VOA kärki **O** on huipun kärki ja **A** ja **V** ovat kantakulmien kärjet.
* kantakulmat \measuredangle OVA = \measuredangle VAO = \psi ja huippukulma on keskuskulman vieruskulma \measuredangle AOV = 180^\circ - \measuredangle BOA = 180^\circ - \theta
Kolmion \triangle VAO kulmien summa on \psi + \psi + 180^\circ - \theta = 180^\circ \Leftrightarrow \, \theta \, = \, 2\psi, aivan kuten kehäkulmalause väittääkin. Tähän tulokseen vedotaan kahdessa alemmassa osassa.

### Keskuskulma mahtuu kokonaan kehäkulman sisälle

Piirretään kehäpisteestä **V** keskipisteen **O** kautta kulkeva halkaisija kehäpisteeseen **E**. Jana **VE** jakaa kaaren **DC** osiin **DE** ja **EC**. Huomataan, että
* kaarta **EC** vastaavat keskuskulma \measuredangle EOC ja kehäkulma \measuredangle EVC. Tilanne on sama kuin todistuksen ensimmäisessä osassa, jolloin kehäkulman jänne ja sektorin säde olivat päällekkäin. Sen perusteella \theta_2 \, = \, 2 \psi_2.
* kaarta **DE** vastaavat keskuskulma \measuredangle DOE ja kehäkulma \measuredangle DVE. Silloin, kun vedotaan taas todistuksen ensimmäiseen osaan, on \theta_1 \, = \, 2 \psi_1.
* Kehäkulmaksi \measuredangle DVC saadaan \psi_0 \, = \, \psi_1 \, + \, \psi_1.
Keskuskulma \measuredangle DOC = \, \theta_0 \, = \, \theta_1 \, + \, \theta_2 \, = \, 2\psi_1 \, + \, 2\psi_2 \, = \, 2(\psi_1\, + \, \psi_2) \, = \, 2\psi_0, aivan kuten kehäkulmalause väittääkin.

### Keskuskulma mahtuu vain osittain kehäkulman sisälle

Piirretään kehäpisteestä **V** keskipisteen **O** kautta kulkeva halkaisija kehäpisteeseen **E**. Jana **VE** osuu kaaren **DC** viereen muodostaen kaaret **ED** ja **EC**. Huomataan, että
* kaarta **EC** vastaavat keskuskulma \measuredangle EOC ja kehäkulma \measuredangle EVC. Silloin, kun vedotaan uudestaan todistuksen ensimmäiseen osaan, on \theta_0 \, = \, 2 \psi_0.
* kaarta **ED** vastaavat keskuskulma \measuredangle EOD ja kehäkulma \measuredangle EVD. Silloin todistuksen ensimmäisen osan mukaisesti on \theta_1 \, = \, 2 \psi_1.
* Kehäkulmaksi \measuredangle DVC saadaan \psi_2 \, = \, \psi_0 \, - \, \psi_1.
Keskuskulma \measuredangle DOC = \, \theta_2 \, = \, \theta_0 \, - \, \theta_1 \, = \, 2\psi_0 \, - \, 2\psi_1 \, = \, 2(\psi_0\, - \, \psi_1) \, = \, 2\psi_2, aivan kuten kehäkulmalause väittääkin.

## Historia
Eukleideen (noin 300 eaa.) kirjassa Alkeet käsitellään kehäkulmia 3. kirjassa väittämien 20, 21 ja 22 muodossa. Väittämät olivat *"kehäkulma on puolet keskuskulmasta"* , *"samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat saman suuruiset"*  ja *"vastakkaisten kaarien kehäkulmien summa on 180°"* .

Thales (636–546 eaa.) esitti oman lauseensa paljon aikaisemmin, mutta se oli kehäkulmalauseen erikoistapaus. Hän on kuitenkin oppinut sen kauppamatkoillaan Babyloniassa. Tämänkin lauseen Eukleides liitti Alkeisiin 3. kirjaan väittämäksi 33.

## Lähteet