Momenttifunktio

**Momenttifunktio**  eli **momentit generoiva funktio**  eli **momenttiemäfunktio**  on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaismuuttujan jakaumasta määritelty funktio, joka on yleinen menetelmä laskea jakauman tunnuslukuja eli momentteja. Diskreetin jakauman momenttifunktio muodostetaan pistetodennäköisyysfunktion ja jatkuvan jakauman momenttifunktio tiheysfunktion avulla. Jakauma voidaan karakterisoida kätevästi käyttäen pelkästään momenttifunktiota.

Momenttifunktiolla voidaan laskea jakauman momentit yksinkertaisella tavalla, sen avulla ratkeavat tietyt laskennalliset ja kombinatoriset ongelmat, sillä voidaan käsitellä yksinkertaisesti riippumattomien satunnaismuuttujien summia, helpottavat leveiden jakaumien todennäköisyyksien laskemista, yhdistää todennäköisyyslaskennan kompleksilukulaskentaan, helpottaa suurten lukujen lain soveltamista ja Markovin ketjujen analysointia.

## Määritelmä
Jos X on diskreetti satunnaismuuttuja, \Omega satunnaismuuttujan perusjoukko ja p(x) sen pistetodennäköisyysfunktio. Silloin reaalimuuttujan t funktio
:M(t)=E[e^{tX}] 
on satunnaismuuttujan X momenttifunktio kunhan odotusarvo
:E[e^{tX}]=\sum_{x \in \Omega} e^{tx} p(x)
on olemassa avoimella välillä -a  (\scriptstyle a > 0). Luku a määräytyy siten, että momenttifunktio on äärellisenä olemassa kaikilla välin arvoilla. Momenttifunktio on siten funktion kuvaus
:M(t): \mathbb{R} \rightarrow [0,\infty). 

Jatkuvan satunnaismuuttujan momenttifunktio määritellään vastaavalla tavalla 
:M(t)=E[e^{tX}]=\int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x)\, \mathrm{d}x .

Momenttifunktion määrittämiseksi määrätyn integraalin eksponenttifunktio voidaan avata Taylorin sarjaksi, jolloin saadaan jatkuvassa tapauksessa lausekkeet 
:M(t)=\int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x)\, \mathrm{d}x=\int_{-\infty}^\infty (1+tx+\tfrac{1}{2!}t^2x^2+...) f(x)\, \mathrm{d}x
::=1+tm_1+\tfrac{1}{2!}t^2m_2+\tfrac{1}{3!}t^3m_3+... \,,
missä m_1, m_2, m_3,... ovat momentteja (katso alla).

## Esimerkkejä
### Diskreetti satunnaismuuttuja
Satunnaismuuttuja Y saa vain kolme arvoa \{1,2,3\} todennäköisyyksillä \{\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{6}\} vastaavasti. Silloin Y:n jakauman momenttifunktio on
:M(t)=\frac{1}{2}e^t+\frac{1}{3}e^{2t}+\frac{1}{6}e^{3t}
kaikille t \in \mathbb{R}. 

### Jatkuva satunnaismuuttuja
Jos satunnaismuuttuja Z on tasaisesti jakautunut välille [0,1], on sen tiheysfunktio tällä välillä f(z)=1. Silloin momenttifunktio lasketaan
:M(t)=E[e^{tZ}]=\int_{-\infty}^\infty e^{tz} f(z)\, \mathrm{d}z= \int_{0}^1 e^{tz} \cdot 1\, \mathrm{d}z=\frac{e^t-1}{t}. 

## Ominaisuuksia
Momenttifunktiolla on joitakin ominaisuuksia, joita voidaan käyttää hyödyksi yhden tai useamman satunnaismuuttujan jakaumissa. Merkitään satunnaismuuttujien X ja Y momenttifunktioita M_X(t) ja M_Y(t).
* Mikäli Y=aX+b, niin M_Y(t)=e^{bt}M_X(t).
* Jos Y=q (aina), niin M_Y(t)=e^{qt}.
* Jos M_X(t)=M_Y(t) muuttujan t origon ympäristössä, on satunnaismuuttujilla X ja Y sama jakauma.
* Jos satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomat, on niiden summan Z=X+Y momenttifunktio M_Z(t)=M_X(t)M_Y(t). Monitermiset summat muodostetaan vastaavalla tavalla.

Todennäköisyydet generoiva funktio G(t) liittyy momenttifunktioihin seuraavasti:
:G(e^t)=E[e^{tX}]=M(t). 

## Momentteja

Satunnaismuuttujien jakaumien tunnuslukujen joukossa on erilaisia momentteja. Yleensä halutaan käyttää *tavallisia momentteja* E[X^r] eli *origomomentteja* tai *keskusmomentteja* E[(X-\mu)^r], missä \mu = E[X]. Satunnaismuuttujalle voidaan muodostaa myös *tekijämomentteja*, jotka määritellään E[X^{(r)}]=E[X(X-1)(X-2)...(X-r+1)]. 

Momenttifunktio liittyy momentteihin siten, että momenttifunktion r. kertaluvun derivaattojen arvot kohdassa nolla antavat satunnaismuuttujan X r. origomomentit: M(0)^{(r)}=E[X^r]. Origomomentit saadaan seuraavasti (eksponenttifunktion sarjamuodostelman merkinnöillä):
* M(t)=E[e^{tX}], jolloin M(0)=E[e^{0\cdot X}]=E[1]=1
* M'(t)=E[Xe^{tX}], jolloin m_1=M'(0)=E[Xe^{0\cdot X}]=E[X]
*M*(t)=E[X^2e^{tX}]</math>, jolloin <math>m_2=M*(0)=E[X^2e^{0\cdot X}]=E[X^2]
*M^{(r)}(t)=E[X^re^{tX}], jolloin m_{r-1}=M^{(r)}(0)=E[X^re^{0\cdot X}]=E[X^r]

## Kaksiulotteinen yhteisjakauma
### Origomomentit generoiva funktio
Diskreetit satunnaismuuttujat X ja Y muodostavat yhteisjakauman todennäköisyysfunktiolla f_{XY}(x,y). Yhteisjakauman momenttifunktio on myös kaksiarvoinen funktio
:M_{XY}(t_X,t_Y)=E[e^{t_XX+t_YY}]=\sum_{x \in X} \sum_{y \in Y} e^{t_Xx+t_Yy} f_{XY}(x,y). 
Jatkuvilla satunnaismuuttujilla momenttifunktio kirjoitetaan
:M_{XY}(t_X,t_Y)=E[e^{t_XX+t_YY}]=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{t_Xx+t_Yy} f_{XY}(x,y) dydx . 
Kun t_X=0 saadaan satunnaismuuttujan Y momenttifunktio
:M_{XY}(0,t_Y)=E[e^{0 \cdot X+t_YY}]=E[e^{t_YY}]=M_Y(t_Y) 
ja arvolla t_Y=0 saadaan satunnaismuuttujan X momenttifunktio M_X(t_X).
Momenttifunktiosta muodostetaan tarvittavat origomomentit derivoimalla se vaihtelevilla tavoilla. Seuraavat osittaisderivaatat ovat hyödyllisiä:
:\frac{\partial}{\partial t_X} M_{XY}(t_X,t_Y)|_{t_X=t_Y=0}=E[X] \,
:\frac{\partial}{\partial t_Y} M_{XY}(t_X,t_Y)|_{t_X=t_Y=0}=E[Y] \,
:\frac{\partial^2}{\partial t_X \partial t_Y} M_{XY}(t_X,t_Y)|_{t_X=t_Y=0}=E[XY] \,
:\frac{\partial^{r+s}}{\partial^r t_X \partial^s t_Y} M_{XY}(t_X,t_Y)|_{t_X=t_Y=0}=E[X^rY^s] \,

### Keskusmomentit generoivat funktiot
Yhden satunnaismuuttujan keskusmomentit kirjoitetaan E[(X-\mu_X)^r] ja niitä generoiva funktio vastaavasti
:M_{X}^k(t)=E[e^{t(X-\mu_X)}].
Näistä toinen derivaatta
:M_{X}^{k\prime\prime}(0)=E[(X-\mu_X)^2]=\sigma_X
on varianssi.

Kahden satunnaismuuttujan keskusmomentit kirjoitetaan E[(X-\mu_X)^r(Y-\mu_Y)^s] ja niitä generoiva funktio vastaavasti
:M_{XY}^k(t_X,t_Y)=E[e^{t_X(X-\mu_X)+t_Y(Y-\mu_Y)}].
Näistä toinen osittaisderivaatta
:\frac{\partial^2}{\partial x \partial y}M_{XY}^{k}(t_X,t_Y)|_{t_X=t_Y=0}=E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]=\sigma_{XY}
on kovarianssi.

## Lähteet

## Aiheesta muualla
* http://www.statlect.com/subon2/momgen1.htm
* http://www.le.ac.uk/users/dsgp1/COURSES/MATHSTAT/6normgf.pdf
* https://www.math.ucdavis.edu/~gravner/MAT135B/materials/ch10.pdf
* http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/Chapter10.pdf 
* http://web.am.qub.ac.uk/users/g.gribakin/sor/Chap6.pdf
* http://courses.ncssm.edu/math/Stat_Inst/PDFS/SEC_2_f.pdf