Kroneckerin delta

**Kroneckerin delta** (\delta_{ij}) on Leopold Kroneckerin mukaan nimetty matemaattinen kahden muuttujan, yleensä kokonaislukumuuttujan funktio, jonka arvo on 1, jos molemmat muuttujat ovat yhtä suuria, muutoin 0. Niinpä esimerkiksi \delta_{12} = 0, mutta \delta_{33} = 1. Kroneckerin delta käsitetään yleensä pikemminkin lyhennysmerkinnäksi kuin varsinaiseksi funktioksi.

Kroneckerin delta ilmaistaan tavanomaisesti yhtälöllä

:\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 
1, & \mbox{jos } i=j   \\ 
0, & \mbox{jos } i \ne j   \end{matrix}\right.

Toisinaan käytetään myös yhden muuttujan Kroneckerin deltaa, \delta_i: 

:\delta_{i} = \left\{\begin{matrix} 
1, & \mbox{jos } i=0  \\ 
0, & \mbox{jos } i \ne 0 \end{matrix}\right.

Kroneckerin deltaa käytetään monilla matematiikan aloilla, etenkin lineaarialgebrassa sekä myös signaalinkäsittelyssä.

## Kroneckerin deltan ominaisuuksia

Matemaattisia sarjoja käsiteltäessä Kroneckerin deltalla on se huomattava ominaisuus, että jos *j* on mielivaltainen kokonaisluku, pätee mille tahansa lukusarjalle a_i:

:\sum_{i=-\infty}^\infty a_i \delta_{ij} =a_j.

Jos kokonaislukujen joukko käsitetään mitta-avaruudeksi, jossa alkioiden lukumäärä ilmaisee osajoukon mitan, tämä yhtälö on analoginen Diracin deltafunktion kanssa, jolle määritelmän mukaan pätee:

:\int_{-\infty}^\infty \delta(x-y)f(x) dx=f(y),

Diracin deltafunktio onkin saanut nimensä tämän analogian perusteella. 

### Kroneckerin delta lineaarialgebrassa
Lineaarialgebrassa yksikkömatriisi on matriisi, jonka päälävistäjällä kaikki luvut ovat ykkösiä, muualla nollia:

:
I_1 = \begin{bmatrix}
1 \end{bmatrix}
,\  
I_2 = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \end{bmatrix}
,\ 
I_3 = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
,\ \cdots ,\ 
I_n = \begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}


Näin ollen matriisin *i*:nnellä rivillä *j*:nnessä sarakkeessa oleva alkio I_{ij} on 1, jos *i* = *j*, muutoin 0, toisin sanoen se on aina sama kuin Kroneckerin delta \delta_{ij}. Tämä matriisi voidaankin kirjoittaa lyhyesti muotoon
(\delta_{ij})_{i,j=1}^n\,,

missä *n* on matriisin sarakkeiden ja samalla rivien lukumäärä.

Matriiseja käytetään ilmaisemaan lineaarikuvausten. Tämä Kroneckerin delta-matriisi vastaa tällöin identtistä kuvausta.

### Integraaliesityksiä

Funktioteoreettisessa residylaskennassa on muutamia tärkeitä integraaleja, joiden arvo voidaan aina ilmaista Kroneckerin deltan avulla. Tällainen on erityisesti seuraava:

:  \delta_{x,n} = \frac1{2\pi i} \oint z^{x-n-1} dz,

missä integrointi on suoritettu vastapäivään kompleksitason origon ympäri. Tämä voidaan yhtäpitävästi esittää myös seuraavasti:

:  \delta_{x,n} = \frac1{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{i(x-n)\varphi} d\varphi,

mikä vastaa kompleksitason kiertoa origon ympäri.

## Määritelmän laajennus

Samaan tapaan voidaan määritellä myös useamman lukuparin (i_n, j_n) Kroneckerin delta seuraavasti:

:\delta^{j_1 j_2 \dots j_n}_{i_1 i_2 \dots i_n} = \prod_{k=1}^n \delta_{i_k j_k}.

Tämä on 1, jos vain jos jokaisessa lukuparissa (i_n, j_n on *i<sub>n</sub> = j<sub>n</sub>, muutoin 0.

==Digitaalinen signaalinkäsittely==

Kroneckerin deltaa käytetään myös digitaalisessa [[signaalinkäsittely]]ssä, jossa se käsitetään kokonaislukujen joukossa <math>\mathbb{Z}</math> määritellyksi funktioksi
<math>
\delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0.\end{cases}</math> 

Kroneckerin deltasta käytetään signaalinkäsittelyssä myös nimitystä *impulssi* tai *yksikköimpulssi*.

Signaalinkäsittelyssä käytetään joko Kroneckerin deltaa tai [[Diracin deltafunktio]]ta riippuen siitä, onko signaali jatkuva vai [[diskreetti]]. Niinpä merkintää <math>\delta(t)\,</math> käytetään jatkuvien signaalien yhteydessä, kun taas argumentteja *i*, *j*, *k*, *l*, *m* ja *n'' käytetään diskreeteille impulsseille. Toinen yleinen käytäntö on merkitä diskreettiä jonoja hakasuluilla: &nbsp;\delta[n]\,.

## Lähteet

## Aiheesta muualla
*Wolfram MathWorld: Kronecker Delta 
*Drew Rollins: Kronecker Delta, The University of California, Berkeley, August 27, 2006  (pdf)