Planckin laki

**Planckin laki** kuvaa mustan kappaleen lämpötilan ja sen säteilemän sähkömagneettisen säteilyn energian suhdetta. Lain kehitti Max Planck tutkiessaan mustan kappaleen säteilyä ja se oli keskeinen askel kvanttimekaniikan kehityksessä.

Sähkömagneettisen säteilyn energiatiheys aallonpituuden yksikköä kohti on Planckin lain mukaisesti

u_\lambda(T) = \frac{8 \pi h c}{\lambda^5}\frac{1}{e^{hc / {(\lambda k T})} - 1},

missä \lambda on säteilyn aallonpituus, *c* on valonnopeus*,* h on Planckin vakio, k  Boltzmannin vakio ja T termodynaaminen lämpötila. Spektraalisen energiatiheyden SI-yksikkö on J/m4.

Taajuuden \nu funktiona energiatiheys on

u_\nu(T) = \frac{8 \pi h \nu^3}{c^3}\frac{1}{e^{h \nu / {kT}} - 1}.

Tässä tapauksessa yksikkö on J/m3/Hz.

Klassisen fysiikan avulla johdettavissa oleva Rayleigh’n–Jeansin laki vastaa Planckin lakia pitkillä aallonpituuksilla. Planckin lakia edeltänyt Wienin säteilylaki puolestaan vastaa Planckin lakia lyhyillä aallonpituuksilla. Integroimalla Planckin laki kaikkien aallonpituuksien yli saadaan Stefan-Boltzmannin laki, jonka mukaan mustan kappaleen säteilemä kokonaisenergia on verrannollinen sen lämpötilan neljänteen potenssiin.

## Taustaa
Max Planck kehitteli tämän lain alun perin vuonna 1900 (julkaistu vuonna 1901) yrittäessään etsiä teoreettista perustelua kokeellisten tulosten pohjalta johdetuille säteilylaeille (mm. Wienin siirtymälaki). Planck huomasi, että yllä mainittu funktio sopi dataan kaikilla aallonpituuksilla huomattavan hyvin.

Rayleigh’n–Jeansin lakia pidetään usein Planckin lähtökohtana, vaikka näin ei ollut: Rayleigh'n-Jeansin laki kehitettiin vasta Planckin esitettyä oma säteilylakinsa. Laki oli kuitenkin erikoisen merkittävä, sillä se perustui vahvaan teoreettiseen pohjaan siinä missä Planck oli joutunut toistaiseksi tyytymään joissain kohdissa "käsien heilutteluun". Rayleigh'n-Jeansin laissa oli kuitenkin ultraviolettikatastrofina tunnettu paha puute. Tämä osoitti termodynamiikan teoreettisen perustan olevan ongelmallinen. Ultraviolettikatastrofi oli peräisin klassisen fysiikan laskelmista, joissa säteilyn oletettiin olevan jatkuvaluonteista. Planck yritti kehittää paremman perusteorian, joka täydentäisi termodynamiikan. Hän laski, että uusi säteilylaki sopii kaikkiin spektroskooppisiin mittauksiin siinä tapauksessa, että kappaleen varautuneiden säteilijöiden eri moodien summa lasketaan olettamalla näiden säteilijöiden energian olevan suoraan verrannollinen taajuuteen.

E=h\nu

Vastoin yleistä luuloa Planck ei käsitellyt valon vaan aineen ja säteilyn välisen energiavaihdon kvantittumista – ja sitäkin vasta vuonna 1911 Einsteinin ja Lorenzin myötävaikutuksella. Se käy selväksi hänen alkuperäisestä kirjoituksessaan vuodelta 1901 ja tässä paperissa oleviin viittauksiin aikaisempaan työhönsä. Hänen kirjassaan ”Theory of Heat Radiation” (Lämpösäteilyn teoria) on myös selvästi esitetty Planckin vakion viittaavan sähköiseen värähtelijään (Hertzian oscillator). Kvantittumisen käsitteen kehittivät muut sellaiseksi, joka nykyisin tunnetaan kvanttimekaniikkana. Seuraavan askeleen tällä tiellä otti Albert Einstein, joka valosähköistä ilmiötä tutkittuaan ehdotti mallia ja yhtälöä, jossa valoa ei vain emittoitu (lähetetty) vaan myös absorboitiin (vastaanotettiin) paketteina tai fotoneina. Tyydyttävä teoreettinen johto laille saatiin kuitenkin vasta, kun Satyendra Nath Bose ja Einstein 1920-luvulla olivat esittäneet Bosen–Einsteinin statistisen jakaumalain.

## Planckin lain johtaminen
Planckin lain johtaminen etenee samalla tavalla kuin Rayleigh-Jeansin lain johtaminen, mutta energia on kvantittunut. Tällä vältetään ultraviolettikatastrofi ja mustan kappaleen kokonaissäteilyteho on äärellinen.

Tarkastellaan vakiolämpötilan T alaisuudessa sähkömagneettisia aaltoja suljetussa kuutiossa, jonka sivun pituus on L. Kuutio toimii siis mustana kappaleena. SM aallot ovat vangittuja laatikkoon, joten ne muodostavat seisovia aaltoja sen sisällä. Sähkömagneettisilla aalloilla on sekä sähkö- että magneettikomponentit. Keskitytään sähkökomponenttiin.

Aaltoyhtälö sähkökomponentille E kolmessa ulottuvuudessa noudattaa: \nabla^2E = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2E}{\partial t^2}, missä c = aaltoliikkeen etenemisnopeus, tässä valonnopeus. Voimme ratkaista yhtälön separoimalla muuttujat x-, y-, ja z-suunnissa: E(x,y,z) = sin(k_x x)sin(k_y y)sin(k_z z). Huomattakoon, että eksplisiittinen aikariippuvuus on jätetty pois; voimme lisätä sen tosin takaisin myöhemmin, jos tarvitsemme.

Ratkaisua vastaa aaltovektori \mathbf{k} = (k_x, k_y, k_z) jolle on voimassa |\mathbf{k}|^2 = k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 = \frac{\omega^2}{c^2}, missä \omega on aaltoliikkeen kulmataajuus.

Jokaisessa ulottuvuudessa sovitamme kokonaislukumäärän puolikkaita aallonpituuksia matkalle L: k_x = \frac{l \pi}{L}, k_y = \frac{m \pi}{L}, k_z = \frac{n \pi}{L}, missä l, m, ja n ovat kokonaislukuja. Tästä seuraa k^2 = k_x^2 + k_y^2 + k_z^2
= \frac{\pi^2}{L^2}(l^2 + m^2 + n^2) ja lopuksi \frac{\omega^2}{c^2} = \frac{\pi^2}{L^2}(l^2 + m^2 + n^2)
= \frac{\pi^2 p^2}{L^2}, missä p^2 = l^2 + m^2 + n^2.

Jokainen kombinaatio (*l*, *m*, *n*) on itsenäinen systeemin moodi.

*Suurelle* järjestelmälle voimme määrittää moodien määrän taajuusintervallille \nu -> \nu + d\nu laskemalla pisteiden määrän *k*-avaruudessa intervallilla k -> k + dk, joka vastaa intervallia \nu -> \nu + d\nu. Koska *l*, *m*, ja *n* ovat positiivisia kokonaislukuja, tarvitsee meidän tarkastella vain yhtä kahdeksasosaa *p*-säteisestä pallosta. *p*-säteisen ja d*p*-paksuisen pallomaisen pinnan tilavuus on 4 \pi p^2dp, joten moodien määrä oktantissa on dN(p) = N(p)dp
= \frac{1}{8}4 \pi p^2dp. Koska k = \pi p / L ja dk = \pi dp/L, saamme dN(p) = \frac{L^3}{2\pi^2}k^2dk. Koska L^3 = V, eli laatikon tilavuus ja k = 2 \pi \nu / c, voimme kirjoittaa lausekkeen seuraavaan muotoon: dN = \frac{V}{2 \pi^2}k^2dk
= \frac{V}{2 \pi^2}\frac{8 \pi^3 \nu^2}{c^3}d \nu
= \frac{4 \pi \nu^2 V}{c^3}d \nu


Sähkömagneettisille aalloille jokaista moodia (*l*, *m*, *n*) vastaa kaksi itsenäistä polarisaatiota, joten dN = \frac{8 \pi \nu^2 V}{c^3}d \nu ja yksikkötilavuutta kohti dN = \frac{8 \pi \nu^2}{c^3}d \nu.

Valosähköinen ilmiö osoitti, että valo koostuu kvanteista, fotoneista, joiden on energia E suhteessa säteilyn taajuuteen \nu kaavan  E = h \nu \,\! mukaisesti, missä *h* on Planckin vakio. Täten moodin energia ei voi ottaa mitä tahansa arvoa, vaan ainoastaan h \nu:n kerrannaisen. Moodin energia on tällöin E(\nu) = nh \nu, jossa yhdistämme *n* fotonia kyseessä olevaan moodiin.

Olkoot kaikki moodit (ja fotonit) termisessä tasapainossa (absoluuttisessa) lämpötilassa T. Ollakseen termisessä tasapainotilassa systeemin on voitava vaihtaa energiaa moodien kesken ja tämä tapahtuu hiukkasten kesken kappaleen seinissä tai sisällä. Voimme käyttää Boltzmannin jakaumaa määrittämään eri moodien olemassaoloa. Todennäköisyys *p(n)*, että moodi *n* energialla *E**n* on energiallisesti olemassa on
:p(n) = \frac{e^{-E_n/kT}}{\sum_{n=0}^{\infty}e^{-E_n/kT}}

Moodin, jonka taajuus on \nu keskienergia on siten
:\bar{E_\nu} = \sum_{n=0}^{\infty}E_n p(n)
= \frac{\sum_{n=0}^{\infty}E_ne^{-E_n/kT}}{\sum_{n=0}^{\infty}e^{-E_n/kT}}
= \frac{\sum_{n=0}^{\infty}nh\nu e^{-nh\nu /kT}}{\sum_{n=0}^{\infty}e^{-nh\nu /kT}}


Sijoitetaan x = e^{-h\nu / kT}, jolloin saamme
:\bar{E_\nu} = h\nu \frac{\sum_{n=0}^{\infty}nx^n}{\sum_{n=0}^{\infty}x^n}
=h\nu x \frac{\frac{1}{(1-x)^2}}{\frac{1}{1-x}}


Joten 
:\bar{E_\nu} = h\nu \frac{x}{1-x}
=\frac{h\nu}{x^{-1} - 1}
=\frac{h\nu}{e^{h\nu / kT} - 1}


Tällöin säteilyn energiatiheys yksikkötilavuudessa yksikkötaajuusintervallia kohti on 
:du = u(\nu)d \nu
= \frac{8 \pi \nu^2}{c^3}\bar{E_\nu}d \nu 
josta
:u(\nu) = \frac{8 \pi \nu^2}{c^3}\bar{E_\nu}
=\frac{8 \pi h \nu^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu / kT} - 1}
.

## Lähteet
* 

### Viitteet

## Aiheesta muualla
* Planck, Max, *On the Law of Distribution of Energy in the Normal Spectrum*. Annalen der Physik, vol. 4, p. 553 ff (1901).
* Radiation of a Blackbody – Ladattava interaktiivinen simulaatio Planckin lain kokeiluun.
*Scienceworld entry on the Planck Law
* Kragh, Helge Max Planck: The reluctant revolutionary  Physics World, December 2000