Luottamusväli

**Luottamusväli** on tilastotieteen käsite, joka kuvaa arviota välille, jolla populaation generoivan mallin parametri sijaitsee. Luottamusväliä käytetään määrittämään arvion luotettavuutta. Se on yksinkertaisesti havaittu väli (eli esimerkiksi väli, joka on laskettu havainnoista), joka vaihtelee otoksesta toiseen ja joka usein, mutta ei välttämättä, sisältää mielenkiinnon kohteena olevan parametrin, kun otantakoetta toistetaan. Sen, kuinka usein havaittu väli sisältää tämän parametrin, määrittelee luottamustaso.

## Matemaattinen määritelmä
Soong määrittelee luottamusvälin seuraavasti:

*Olkoon otos <math>X_1, X_2,...\,X_n</math> peräisin jakaumasta <math>f(x|\theta)</math>, jonka parametriä <math>\theta</math> halutaan arvioda. Olkoot <math>L_1(X_1, X_2,...\,X_n)</math> ja <math>L_2(X_1, X_2,...\,X_n)</math> kaksi tilastollista lukua siten, että <math>L_1 < L_2</math>. Tällöin väli <math>(L_1, L_2)</math> on luottamusväli luottamustasolla <math>100\cdot(1-\alpha)%</math> parametrille <math>\theta</math>, jos <math>L_1</math> ja <math>L_2</math> voidaan valita siten, että *

 
\text{Pr}(L_1 .

Luottamusväli on siis pari satunnaismuuttujia, jossa rajat ovat muuttujia ja arvioitava parametri \theta koko populaation oikea parametri, joka siis ei ole satunnaismuuttuja. Yleensä \alpha saa arvot 0,05 tai 0,01.

## Käyttö ja tulkinnat
Luottamusväliä käytetään kuvaamaan epävarmuutta, joka syntyy siitä, että otoksesta laskettuja arvoja käytetään kuvaamaan koko populaatiota, vaikka otos itsessään ei välttämättä edusta täydellisesti koko populaatiota. Esimerkiksi, jos haluttaisiin arvioida suomalaisten keskimääräistä pituutta käyttäen vain 1000 ihmisen otosta, pitäisi laskea luottamusväli saadulle otoskeskiarvolle.

Luottamusvälin tulkinnalla on vahva yhteys toistokokeeseen. Kun luottamusväli lasketaan, voidaan olla varmoja vain 100\cdot(1-\alpha)%:n varmuudella (esim. "95-prosenttisesti"), että arvioitu populaatioparametri sisältyy siihen luottamusväliin, joka on laskettu juuri kyseisestä otoksesta. Jos samasta populaatiosta otettaisiin useita otoksia, niin lopulta esimerkiksi 95 % niistä sisältäisi arvioidun parametrin.

Luottamusvälejä voidaan käyttää laadulliseen tulkintaan. Esimerkiksi, jos luottamusväli sisältää vain arvoja, jotka ovat tutkittavan ilmiön kannalta merkityksettömiä, voidaan olla halutulla varmuustasolla varmoja, että ilmiön vahvuus on merkityksetön. Toisena esimerkkinä voidaan pitää kahden keskiarvon vertailua. Jos tutkittavan erotuksen luottamusväli sisältää nollan, voidaan ajatella, että erotus ei ole merkittävä valitulla varmuudella.

## Esimerkkejä
### Populaatiokeskiarvo
Jakauman keskiarvoa  \mu  voidaan arvioida otoskeskiarvolla

 
m = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N X_i, 


jossa  N  on otoskoko ja  X_i  on satunnaismuuttuja. Mikäli satunnaismuuttujat ovat normaalijakautuneita tai keskeisen raja-arvolauseen ehdot toteutuvat, otoskeskiarvo noudattaa normaalijakaumaa \mathcal{N}(\mu, \sigma/\sqrt{N}), jossa  \sigma  on satunnaismuuttujien X_i  keskihajonta. Koska sitä ei yleisesti ottaen ole mahdollista tietää, pitää sitä arvioida käyttäen otoskeskihajontaa 

 
\sigma \approx S = \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N(X_i - m)^2}. 


Tällöin otoskeskiarvo noudattaa Studentin
''t''-jakaumaa vapausasteella N-1 ja luottamusväliksi saadaan

 
[m - t_{\alpha/2,\,N-1}\cdot S / \sqrt{N},\, m + t_{\alpha/2,\, N-1}\cdot S / \sqrt{N}], 
 

jossa  t_{\alpha/2,\,N-1} vastaa *t*-jakauman kertymäfunktion argumenttia todennäköisyydelle  \alpha/2.  

### Lineaarisen regression kerroin
Soong määrittelee lineaarisen regression kerrointen luottamusvälit seuraavasti. Noudattakoon tutkittava ilmiö lineaarista suhdetta

 \mathbf{y} = \mathbf{Xb} + \mathbf{\epsilon} , jossa 
\mathbf{y} \text{ ja } \mathbf{\epsilon} \in \R^N \text{, } \mathbf{X} \in \R^{N \times M} \text{ ja } \mathbf{b}\in \R^M.
 

Tällöin datapisteisiin sovitettu suora on muotoa


\mathbf{\hat{y}} = \mathbf{X\beta}.


Estimaattori residuaalien  \mathbf{e} = \mathbf{y} - \mathbf{\hat{y}}  varianssille  \sigma^2  on


\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{N-2}\sum_{i=1}^N(\mathbf{y} - \mathbf{X\beta})^2
.

Estimaattoria hyödyntäen kertoimille  \beta_i,\, i \in [1,\dots, M]  voidaan laskea luottamusväli kaavalla


L_{1, 2} = \beta_i \pm t_{N-2,\,\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{\sigma}^2\sum_{i=1}^N X_i^2}{N\cdot \sum_{i=1}^N(X_i - m)^2}}.


Vakiotermille \beta_0 rajat ovat


L_{1, 2} = \beta_0 \pm t_{N-2,\, \alpha/2} \sqrt{ \frac{ \hat{\sigma}^2 }{ \sum_{i=1}^N(X_i - m)^2 } }.


### Bootstrappaus
Mikäli halutaan laskea luottamusvälejä esimerkiksi heteroskedastisuuden vallitessa, tai silloin, kun estimoitava parametri ei noudata normaalijakaumaa, voidaan käyttää ei-parametristä bootstrap-menetelmää.

## Lähteet

## Aiheesta muualla

* Luottamusväli