Tekijäavaruus (lineaarialgebra)

**Tekijäavaruus** lineaarialgebrassa on suppeampi vektoriavaruus, joka saadaan "kutistamalla" jossakin vektoriavaruudessa *V* jokin sen aliavaruus *N* nollaksi. Vektoriavaruuden *V* tekijäavaruus aliavaruuden *N* suhteen eli *modulo N* merkitään *V*/*N*.

## Muodollinen määritelmä
Muodollisesti tekijäavaruus konstruoidaan seuraavasti.

Olkoon *V* vektoriavaruus, jonka kerroinkunta on *K*, ja olkoon *N* jokin *V*:n aliavaruus]. Määritellään *V*:ssä ekvivalenssirelaatio ~ siten, että *x* ~ *y*, jos ja vain jos *x*&nbsp;&minus;&nbsp;*y* &isin; *N*.  Toisin sanoen alkiot *x* ja *y* ovat ekvivalentteja, jos toinen niistä voidaan saada lisäämällä toiseen jokin *N*:n alkio. Tästä määritelmästä voidaan päätellä, että jokainen *N*:n alkio on ekvivalentti nollavektorin kanssa; täsmällisemmin sanottuna kaikki *N*:ään kuuluvat vektorit kuvautuvat nollavektorin ekvivalenssiluokkaan.

Sille ekvivalenssiluokalle, johon alkio *x* kuuluu, käytetään usein merkintää
:[*x*] = *x* + *N* 
sillä sen määrittää joukko
:[*x*] = {*x* + *n* : *n* &isin; *N*}.

Tekijäavaruus *V*/*N* eli *V*/~ (*V* modulo *N*) määritellään tällöin kaikkien ekvivalenssirelaation ~ avaruudessa *V* määrittelemien ekvivalenssiluokkien joukoksi. Näiden ekvivalenssiluokkien eli tekijäavaruuden alkioiden yhteenlasku ja skalaarilla kertominen määritellään tällöin seuraavasti:* 

*&alpha;[*x*] = [&alpha;*x*] for all &alpha; &isin; *K*, and
*[*x*]&nbsp;+&nbsp;[*y*] = [*x*+*y*].

Helposti voidaan osoittaa, että nämä laskutoimitukset ovat hyvin määriteltyjä, toisin sanoen ne eivät riipu siitä, mikä alkio valitaan edustamaan ekvivalenssiluokkaa. Näillä laskutoimituksilla varustettuna tekijäavaruus *V*/*N* on *K*:n vektoriavaruus, jossa *N* on nollaluokka, [0].

Kuvausta, joka liittää alkioon *v*&nbsp;&isin;&nbsp;*V* sitä vastaavan ekvivalenssiluokan [*v*] sanotaan **ekvivalenssikuvaukseksi**.

## Esimerkkejä

Olkoon X = \mathbb{R}^2 tavanomainen karteesinen taso ja olkoon *Y* origon kautta kulkeva suora *X*:ssä.  Silloin tekijäavaruus *X*/*Y* voidaan samastaa tasossa *X* olevien *Y*:n suuntaisten suorien muodostaman avaruuden kanssa. Toisin sanoen joukon *X*/*Y* alkioita ovat *Y*:n suuntaiset suorat tasossa *X*.  Tämä tarjoaa tavan visualisoida tekijäavaruuksia geometrisesti.

Toinen esimerkki on avaruuden \mathbb{R}^n tekijäavaruus sen aliavaruuden suhteen, jonka muodostavat *m* ensimmäistä standardia kantavektoria. Avaruuteen \mathbb{R}^n kuuluvat kaikki järjestetyt *n* reaaliluvun jonot (*x*1,…,*x**n*).  Mainitun aliavaruuden, joka voidaan samastaa \mathbb{R}^m:n kanssa, muodostavat sellaiset *n* reaaliluvun järjestetyt jonot, joissa viimeiset *n*&minus;*m* lukua ovat nollia:  Kaksi \mathbb{R}:n vektoria kuuluvat tämän kongruenssiluokkaan *modulo* tämä aliavaruus, jos ja vain jos niiden viimeiset *n*&minus;*m* koordinaattia ovat samat.  Tekijäavaruus \mathbb{R}^n/\mathbb{R}^m on ilmeisellä tavalla isomorfinen avaruuden \mathbb{R}^{n-m} kanssa.

Yleensäkin jos *V* on aliavaruuksien *U* ja *W* (sisäinen) suora summa eli 
:V=U\oplus W
niin tekijäavaruus *V*/*U* on isomorfinen *W*:n kanssa.

Funktioavaruuksien tärkeitä tekijäavaruuksia ovat L<sup>p</sup>-avaruudet.

## Ominaisuuksia

Avaruudesta *V* tekijäavaruuteen *V*/*U* on olemassa luonnollinen epimorfismi, joka saadaan kuvaamalla jokainen x \in V sitä vastaavalle ekvivalenssiluokalle [*x*]. Tämän epimorfismin ydin on aliavaruus *U*. 

Jos *U* on *V*:n aliavaruus, tekijäavaruuden *V*/*U* dimensiota sanotaan *U*:n kodimensioksi *V*:ss'. Koska *V*:n kanta voidaan muodostaa *U*:n kannasta *A* ja *V*/*U*:n kannasta *B* lisäämällä *A*:han jokaisen *B*:n alkion edustaja, *V*:n dimensio on avaruuksien *U* ja *V*/*U* dimensioiden summa.  Jos *V* on äärellisulotteinen, *U*:n kodimensio *V*:ss' on *V*n ja *U*:n dimensioiden erotus:

:\mathrm{codim}(U) = \dim(V/U) = \dim(V) - \dim(U).

Olkoon *T* : *V* &rarr; *W* lineaarikuvaus. *T*:n *ydin* (kernel), jolle käytetään merkintää ker(*T*) on niiden alkioiden *x* &isin; *V* joukko, joilla *Tx* = 0. Ydin on *V*:n aliavaruus. Lineaarialgebran ensimmäisen isomorfialauseen mukaan tekijäavaruus *V*/ker(*T*) on isomorginen *V*:n kuva-avaruuden kanssa, joka on *W*:n aliavaruus. Äärellisulotteisten avaruuksien tapauksessa tästä seuraa myös, että *V*:n dimensio on sama kuin *T*:n ytimen kuva-avaruuden dimensioiden summa:

:\dim(\mathrm{Ker}(T)) + \dim(\mathrm{Im}(T)) = \dim(V) 

Tekijäavaruutta *W*/im(*T*) sanotaan lineaarikuvauksen *T* : *V* &rarr; *W* *kokerneliksi*. 

## Banachin avaruuden tekijäavaruus aliavaruuden suhteen
Jos *X* on Banachin avaruus ja *M* sen suljettu osajoukko, myös tekijäavaruus *X*/*M* on Banachin avaruus. Tekijäavaruudelle saadaan valmiiksi myös vektoriavaruuden rakenne edellä selitetyllä menettelyllä. Avaruudessa *X*/*M* määritellään *normi* seuraavasti:
: \| [x] \|_{X/M} = \inf_{m \in M} \|x-m\|_X. 
Tekijäavaruus *X*/*M* on täydellinen normin suhteen, joten se on Banachin avaruus. 

### Esimerkkejä
Olkoon *C*[0,1] välillä [0,1] määriteltyjen jatkuvien reaaliarvoisten funktioiden muodostama Banach-avaruus, jolla on supremumnormi. Muodostetaan sille aliavaruus *M*, johon kuuluvat ne funktiot  *f* &isin; *C*[0,1], joilla *f*(0) = 0. Tällöin ekvivalenssiluokan, johon annettu funktio *g* kuuluu, määrittää funktion arvo 0:ssa, ja tekijäavaruus *C*[0,1]&nbsp;/&nbsp;*M* on isomorfinen \mathbb{R}:n kanssa.

Jos *X* on Hilbertin avaruus, tekijäavaruus *X*/*M* on isomorfinen *M*:n ortogonaalisen komplementin kanssa.

## Lähteet

* 

### Viitteet