Eulerin–Mascheronin vakio

**Eulerin–Mascheronin vakio** on matemaattinen vakio, jota käytetään pääosin lukuteoriassa. Se määritellään harmonisen sarjan ja luonnollisen logaritmin erotuksen raja-arvona:

:\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left[ \left( 
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \right) - \ln n \right]=\int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx.

Vakiota merkitään yleensä pienellä kreikkalaisella kirjaimella γ (gamma), ja sen likiarvo 20 desimaalin tarkkuudella on 0,57721566490153286061. Ei tiedetä, onko γ rationaali- vai irrationaaliluku. Vakiota kutsutaan myös joskus Eulerin vakioksi, mutta sitä ei pidä sekoittaa *e*:n, joka tunnetaan paremmin Neperin lukuna, kanssa.

Eulerin–Mascheronin vakio esiintyy muun muassa gammafunktion tulokaavassa, luonnollisen logaritmin Laplacen muunnoksessa, Eulerin φ-funktion epäyhtälössä ja osana Meisselin–Mertensin vakiota. 

## Historiaa
Eulerin–Mascheronin vakion määritteli ensimmäisenä sveitsiläinen matemaatikko Leonhard Euler paperissaan *De Progressionibus harmonicis observationes* vuonna 1735. Euler käytti vakiolle merkintöjä *C* ja *O* ja laski sen arvon viiden desimaalin tarkkuudella. Vuonna 1781 hän oli laskenut vakion 15 desimaalin tarkkuudella.

Vuonna 1790 italialainen matemaatikko Lorenzo Mascheroni esitti vakiolle merkinnän *A* ja esitti sen arvon 31 desimaalin tarkkuudella, tosin desimaalit 20:nnestä eteenpäin osoittautuivat virheellisiksi. Mascheroni ei koskaan käyttänyt merkintää γ. Vakiolla on yhteys gammafunktioon.

Joulukuussa 2006 opiskelija Alexander J. Yee laski Eulerin–Mascheronin vakion 116 580 040 desimaalin tarkkuudella.

## Integraaleja
:\begin{align}\gamma &= - \int_0^\infty { e^{-x} \ln x }\,dx = -4\int_0^\infty { e^{-x^2} x \ln x }\,dx\\
 &= -\int_0^1 \ln\ln\left (\frac{1}{x}\right) dx \\
 &= \int_0^\infty \left (\frac1{e^x-1}-\frac1{xe^x} \right)dx = \int_0^1\left(\frac 1{\ln x} + \frac 1{1-x}\right)dx\\
 &= \int_0^\infty \left (\frac1{1+x^k}-e^{-x} \right)\frac{dx}{x},\quad k>0\\
 &= \int_0^\infty \left(\frac1{kx+1} - e^{-kx}\right)\frac{\mathrm{d}x}{x},\quad k>0\\
 &= \int_0^{\infty}\frac{\ln(1+x)}{\ln^2 x + \pi^2}\cdot\frac{dx}{x^2}\\
 &= \frac{1}{2} + 2\int_0^\infty \frac{\sin(\arctan x)}{(e^{2\pi x} - 1)\sqrt{1 + x^2}} \mathrm{d}x= \int_0^1 H_{x} dx = -\int_0^\infty \left (\frac{\ln x}{e^x} \right)dx  \end{align}. 
 
Hieman monimutkaisempia integraaleja:
: \int_0^\infty { e^{-x^2} \ln x }\,dx = -\tfrac14(\gamma+2 \ln 2) \sqrt{\pi} 

: \int_0^\infty { e^{-x} \ln^2 x }\,dx = \gamma^2 + \frac{\pi^2}{6} .

Kaksoisintegraali gammalle on
:  \gamma = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)} \, dx\,dy = \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n}-\ln\frac{n+1}{n} \right ). 

Vertaa

: \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1+x\,y)\ln(x\,y)} \, dx\,dy = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \left( \frac{1}{n}-\ln\frac{n+1}{n} \right). 

Catalan löysi integraalin

: \gamma = \int_0^1 \frac{1}{1+x} \sum_{n=1}^\infty x^{2^n-1} \, dx. 

## Äärettömiä sarjoja
Euler todisti kaavan

:\gamma = \sum_{k=1}^\infty \left[ \frac{1}{k} - \ln \left( 1 + \frac{1}{k} \right) \right].

Toinen kaava on

: \gamma = 1 - \sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k\frac{\lfloor\log_2 k\rfloor}{k+1} .

Giovanni Vacca on todistanut kaavat

:{
 \gamma = \sum_{k=2}^\infty (-1)^k \frac{ \left \lfloor \log_2 k \right \rfloor}{k}
  = \frac12-\frac13
  + 2\left(\frac14 - \frac15 + \frac16 - \frac17\right)
  + 3\left(\frac18 - \frac19 + \frac1{10} - \frac1{11} + \dots - \frac1{15}\right) + \dots
} 

:{\gamma + \zeta(2) = \sum_{k=2}^\infty\left(\frac1{\lfloor \sqrt{k} \rfloor^2} - \frac1{k}\right) = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{k - \lfloor\sqrt{k}\rfloor^2}{k\lfloor\sqrt{k}\rfloor^2} = \frac12 + \frac23 + \frac1{2^2} \sum_{k=1}^{2 \times 2} \frac k {k+2^2} + \frac1{3^2} \sum_{k=1}^{3 \times 2} \frac k {k+3^2} + \dots} .

Toinen kaava on
: \gamma = \ln\pi - 4\ln\Gamma(\tfrac34) + \frac4{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{\ln(2k+1)}{2k+1}.

## Äärettömiä tuloja
: \frac{e^{1+\gamma /2}}{\sqrt{2\,\pi}} = \prod_{n=1}^\infty e^{-1+1/(2\,n)}\,\left (1+\frac{1}{n} \right )^n 

: \frac{e^{3+2\gamma}}{2\, \pi} = \prod_{n=1}^\infty e^{-2+2/n}\,\left (1+\frac{2}{n} \right )^n. 

: e^{\gamma} = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \right )^{1/3} \left (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \right )^{1/4}
\left (\frac{2^4 \cdot 4^4}{1 \cdot 3^6 \cdot 5} \right )^{1/5} \cdots .

## Lähteet