Stereografinen projektio

**Stereografinen projektio** on geometrinen kuvaus, joka kuvaa koko pallopinnan tasolle yhtä pistettä lukuun ottamatta. Tällöin pallopinnalta valitaan yksi kiinteä piste projektiopisteeksi, ja jokaista muuta pallopinnan pistettä vastaa se piste, jossa tämän projektiopisteen ja annetun pisteen kautta kulkeva suora leikkaa tason.

Tämä kuvaus on määritelty kaikissa pallonpinnan pisteissä paitsi projektiopisteessä. Funktio on määrittelyjoukossaan sileä ja bijektio. Se on myös konforminen, koska siinä kulmat pysyvät alkuperäisen suuruisina. Toisaalta se ei kuvaa tarkasti pinta-alaa, varsinkaan projektiopisteen lähellä.

Intuitiivisesti stereo­grafinen funktio on siis tapa kuvata pallopinta tasolle, mitä tosin ei mitenkään voida tehdä niin, että kaikkien pallopinnan alueiden muodot ja koot säilyisivät. Koska pallopinta ja taso esiintyvät monilla matematiikan aloilla, on stereo­grafisella projektiollakin monia erilaisia sovelluksia: sitä käytetään kompleksianalyysissä, karttaprojektiona, geologiassa ja valokuvauksessa. Käytännössä stereo­grafinen projektio voidaan toteuttaa tietokoneella tai käsin erityisellä tavalla ruudutetulla paperilla, jota sanotaan *stereo­grafiseksi verkoksi*, lyhemmin *stereoverkoksi* tai *Wulffin verkoksi*.

## Historia

Stereografisen funktion tunsivat ainakin jo Hipparkhos ja Ptolemaios, mutta mahdollisesti se tunnettiin Egyptissä jo ennen heitä. Sitä nimitettiin alkujaan *planisfääriprojektioksi*. Ptolemaioksen teos *[[Planisphaerium]]* on vanhin säilynyt kirjallinen lähde, jossa sitä kuvataan. Sitä käytettiin varsinkin tähti­kartoissa.  Erästä tähtikartta­tyyppiä sanotaan nykyisinkin planisfääriksi.

Stereografista projektiota käytettiin 1500-luvulta lähtien yleisesti myös maapallon kartoissa. Tällöin projektio­pisteet olivat päiväntasaajalla. Maapallo jaettiin kahteen pallon­puoliskoon, joiden keskipisteet olivat päivän­tasaajalla vastakkaisilla puolilla maapalloa, ja kumpikin kuvattiin tällä projektiolla omalle ympyrän­muotoiselle alueelleen. Ensimmäinen tällaisen maailman­kartan laati tiettävästi Gualterius Lud vuonna 1507, myöhemmistä vastaavan­laisista kartoista tunnetuimpia ovat Jean Rozen vuonna 1542 ja Rumold Mercatorin vuonna 1595 laatimat. Varsinkin 1600-luvulla projektio oli maailman­kartoissa hyvin suosittu.

François d'Aguilon antoi stereo­grafiselle projektiolle sen nykyisen nimen vuonna 1613 teoksessaan *Opticorum libri sex philosophis juxta ac mathematicis utiles* ("Kuusi sekä filosofeille että matemaatikoille hyödyllistä kirjaa optiikasta").

Vuonna 1695 Edmond Halley, jota kiinnosti ennen kaikkea projektion käyttö tähtikartoissa, julkaisi ensimmäisen matemaattisen todistuksen sille, että tämä kuvaus on konforminen.  Hän käytti tähän Isaac Newtonin vähän aikaisemmin keksimiä differentiaali- ja integraalilaskennan menetelmiä.

## Määritelmä
 
Tässä osiossa käsitellään projektiota yksikköpallon pohjoisnavalta päiväntasaajan kautta tasolle. Projektion muita muotoja käsitellään jäljempänä muissa osioissa.

Kolmiulotteisessa avaruudessa \mathbb{R}^3 yksikköpallo on niiden pisteiden (*x*,&nbsp;*y*,&nbsp;*z*) joukko, jotka toteuttavat yhtälön x^2 + y^2 + x^2 = 1.  Kuvittelemalla pallo karttapalloksi voidaan pistettä (0,0,1) (tai piste­joukkoa N = (0,0,1)) sanoa "pohjois­navaksi". Seuraavassa käytetään pallo­pinnan muiden pisteiden kuin pohjois­navan joukolle merkintää *M*.  Taso *z*&nbsp;&nbsp;0 kulkee pallon keski­pisteen kautta, ja edellisen rinnastuksen mukaisesti sen ja pallo­pinnan leikkausta voidaan sanoa "päiväntasaajaksi" eli "ekvaattoriksi". Vastaavalla tavalla käytetään jäljempänä muitakin maan­tieteellisiä termejä kuten pohjoinen ja eteläinen pallonpuolisko, leveyspiiri ja pituuspiiri eli meridiaani.

Jokaista *M*:n pistettä *O* kohti on yksi ja vain yksi suora, joka kulkee navan *N* ja pisteen *P* kautta, ja se leikkaa päivän­tasaaja­tason *x*&nbsp;&nbsp;0 yhdessä ja vain yhdessä pisteessä *P′*. Tämä piste määritellään pisteen *P* **stereo­grafiseksi projektioksi** kyseisellä tasolla.

Kun pallopinnan pisteille käytetään karteesisia koordinaatteja (*x*,&nbsp;*y*,&nbsp;*z*) ja tason pisteelle koordinaatteja (*X*,&nbsp;*Y*), projektio ja sen käänteiskuvaus voidaan esittää yhtälöillä:

:(X, Y) = \left(\frac{x}{1 - z}, \frac{y}{1 - z}\right),

:(x, y, z) = \left(\frac{2 X}{1 + X^2 + Y^2}, \frac{2 Y}{1 + X^2 + Y^2}, \frac{-1 + X^2 + Y^2}{1 + X^2 + Y^2}\right).

Kun pallopinnalla käytetään pallokoordinaatteja (*φ*, *θ*) (missä *φ* on leveyspiiri tai atsimuutti,  0&nbsp;≤&nbsp;*φ*&nbsp;≤&nbsp;π) ja *θ* pituuspiiri tai zeniittikulma, 0&nbsp;≤&nbsp;*θ*&nbsp;≤&nbsp;2π) ja tasolla napa­koordinaatteja (*R*,&nbsp;*Θ*), projektio ja sen käänteis­kuvaus ovat:

:(R, \Theta) = \left(\frac{\sin \varphi}{1 - \cos \varphi}, \theta\right) = \left(\cot\frac{\varphi}{2}, \theta\right),

:(\varphi, \theta) = \left(2 \arctan\left(\frac{1}{R}\right), \Theta\right).

(Pallopinnalla zeniittikulma ja atsimuutti merkitsevät oleellisesti samaa kuin leveys- ja pituuspiiri maapallolla, mutta kulmayksikkönä käytetään tässä radiaania, ei astetta. Lisäksi zeniittikulma luetaan etelänavalta, ei päiväntasaajalta mitattuna.)

Tässä *φ*:n käsitetään saavan arvo *π*, kun *R* = 0.  Trigonometristen funktioiden muunnoskaavojen avulla nämä yhtälöt voidaan kirjoittaa moneen muuhunkin muotoon. Jos pallopinnalla käytetään sylinteri­koordinaatteja (*r*,&nbsp;*θ*,&nbsp;*z*) ja tasolla napakoordinaatteja (*R*,&nbsp;*Θ*), projektio ja sen käänteiskuvaus ovat:

:(R, \Theta) = \left(\frac{r}{1 - z}, \theta\right),

:(r, \theta, z) = \left(\frac{2 R}{1 + R^2}, \Theta, \frac{R^2 - 1}{R^2 + 1}\right).

## Ominaisuuksia
Edellä määritellyssä stereo­grafisessa projektiossa yksikköpallon "etelänapa" (0,&nbsp;0&nbsp;&minus;1) kuvautuu tason origoon (0,&nbsp;0), päiväntasaaja yksikköympyrälle, eteläinen pallonpuolisko ympyrän sisäpuolelle ja pohjoinen pallonpuolisko sen ulkopuolelle.

Projektio ei ole määritelty projektiopisteessä *N* = (0, 0, 1). Tämän pisteen pienet ympäristöt kuvautuvat tasoalueille, jotka ovat kaukana origosta (0, 0). Mitä lähempänä piste *P* on projektiopistettä (0, 0, 1), sitä kauempana sen kuvapiste on tason pisteestä (0, 0). Tästä syystä on tapana sanoa, että piste (0, 0, 1) kuvautuu tasolla "äärettömyyteen" ja että taso voidaan täydentää pallopinnaksi lisäämällä siihen yksi "äärettömän kaukainen piste". Tämä ajattelutapa on osoittautunut käyttökelpoiseksi projektiivisessa geometriassa ja kompleksianalyysissä. Topologisella tasolla se osoittaa, että pallopinta on homeorfinen tason yhden kompaktisoinnin kanssa.
 
Karteesisissa koordinaateissa pallopinnan piste *P*(*x*, *y*, *z*) ja sen tasolla oleva kuvapiste *P′*(*X*, *Y*) ovat joko molemmat rationaalipisteitä tai kumpikaan ei ole:
: P \in \mathbb Q^3 \iff P' \in \mathbb Q^2

Stereografinen projektio on konformikuvaus, mikä merkitsee, että siinä kulmat, joissa käyrät leikkaavat toisensa, säilyvät ennallaan, kuten oheiset kuviot osoittavat. Sitä vastoin pinta-alat eivät säily: yleensä alueen pinta-ala pallopinnalla ei ole yhtä suuri kuin sitä vastaavan alueen pinta-ala tasolla. Pinta-ala-alkio *X*,*Y* -koordinaateissa on:
:dA = \frac{4}{(1 + X^2 + Y^2)^2} \; dX \; dY.
Ainoastaan yksikköympyrän X^2 + Y^2 = 1 kohdalla infinitesimaalisten alueiden pinta-ala säilyy.  Origon (0,0) välittömässä
läheisyydessä olevien pienten alueiden pinta-ala on tasolla vain neljäsosa siitä, mikä se on pallopinnalla, ja kaukana origosta 
pinta-alamittakaava lähestyy ääretöntä.

Metriikka (*X*, *Y*) -koordinaateissa on:
: \frac{4}{(1 + X^2 + Y^2)^2} \; ( dX^2 + dY^2),,
mikä on ainoa Bernhard Riemannin geometrian perusteita käsittelevässä, Göttingenissä vuonna 1854 julkaistussa artikkelissa *Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen* esiintyvä matemaattinen kaava.

Mikään kuvaus pallopinnalta tasolle ei voi olla sekä konforminen että säilyttää myös pinta-alat, Jos säilyttävä. Jos sellainen kuvaus olisi olemassa, se olisi lokaalinen isometria ja siinä säilyisi myös Gaussin kaarevuus. Kun pallopinnalla ja tasolla kuitenkin on erilainen Gaussin kaarevuus, tämä on mahdotonta.

Stereografisen projektion konformisuudesta seuraa joukko mielenkiintoisia geometrisia ominaisuuksia. Pallopinnan ympyrät, jotka *eivät* kulje projektiopisteen kautta, kuvautuvat tasolla ympyröiksi. Pallopinnan ympyrät, jotka *kulkevat* projektiopisteen kautta, kuvautuvat sen sijaan suoriksi. Tämän vuoksi suoria sanotaankin joskus "äärettömyyspisteen kautta kulkeviksi ympyröiksi" tai "ääretönsäteisiksi ympyröiksi".

Stereografisen projektion käänteiskuvauksessa kaikki tason suorat kuvautuvat pallopinnalle projektiopisteen eli *äärettömyyspisteen* kautta kulkeviksi ympyröiksi. Yhdensuuntaiset suorat, jotka eivät leikkaa toisiaan, kuvautuvat pallopinnalle ympyröiksi, jotka sivuavat toisiaan kyseisessä pisteessä. Niinpä tason kaikkien suorien vastineet pallopinnalla kohtaavat toisensa jossakin; joko ne leikkaavat toisensa kahdessa pisteessä tai ne sivuavat toisiaan projektiopisteessä. (Hieman samantapaisia huomioita voitaisiin tehdä reaalisesta projektiivisesta tasosta, mutta siinä suorien leikkaus­ominaisuudet ovat toisenlaisia.)

Pallopinnan loksodromit kuvautuvat tasolle käyriksi, joiden yhtälö on muotoa
:R = e^{\Theta / a},\,
missä parametri *a* on loksodromin "tiiviys". Toisin sanoen loksodromit kuvautuvat logaritmisiksi spiraaleiksi. Tällainen spiraali leikkaa origon kautta kulkevat säteittäiset suorat kaikkialla yhtä suurissa kulmissa, samoin kuin pallopinnalla loksodromi leikkaa meridiaanit kaikkialla yhtä suurissa kulmissa.

Stereografinen prjektio liittyy tason inversioon yksinkertaisella tavalla. Olkoot *P* ja *Q* kaksi pallopinnan pistettä ja *P′* ja *Q′* niiden kuvapisteet tasolla. Silloin *P′* ja *Q′* ovat toistensa kuvapisteet tason inversiossa yksikköympyrän suhteen, jos ja vain jos *P* ja *Q* ovat toistensa peilikuvat ekvaattoritason suhteen.

Toisin sanoen jos :
* *P* on pallopinnan piste, ei kuitenkaan pohjoisnapa *N* eikä sen antipodi eli etelänapa *S*, 
* *P′* on *P*:n kuvapiste stereo­grafisessa projektiossa, jonka projektiopiste on *P* ja 
* *P″* on *P*:n kuvapiste stereo­grafisessa projektiossa, jonka projektiopiste on *N*, 
niin *P′* ja *P″* ovat toistensa kuvapisteet inversiossa yksikköympyrän suhteen.
:  \triangle NOP^\prime \sim \triangle P^{\prime\prime}OS \implies OP^\prime:ON = OS : OP^{\prime\prime} \implies OP^\prime \cdot OP^{\prime\prime} = r^2 

## Wulffin verkko

Stereografisen projektion mukaisia kaavioita voidaan tulostaa tietokoneella käyttämällä edellä esitettyjä kaavoja. Jos niitä kuitenkin on piirrettävä käsin, nämä kaavat ovat hankalia. Sen sijaan käytetään yleisesti tarkoitukseen suunniteltua kuvioitua paperia. Tällaisella viivaverkolla varustettua paperia sanotaan *stereoverkoksi* tai *Wulffin verkoksi*, venäläisen mineralogi George Wulffin (Juri Viktorovich) mukaan. Wulffin verkko saadaan aikaan piirtämällä pallonpuoliskolle leveys- ja pituuspiirien verkko ja projisoimalla nämä käyrät sitten levylle. 

Kaaviossa se seikka, että stereo­grafinen projektio vääristää pinta-aloja, näkyy vertaamalla lähellä keskipistettä olevaa verkon sektoria reunojen läheisyydessä oleviin. Sektorien pinta-ala pallopinnalla on sama. Tasolla reunassa olevan sektorin pinta-ala on lähes neljä kertaa niin suuri kuin keskellä olevan. Jos verkon tiheyttä suurennetaan, tämä suhde lähestyy arvoa 4.

Wulffin verkossa leveys- ja pituuspiirit leikkaavat toisensa kohtisuorasti. Tämä on suora seuraus stereo­grafisen projektion konformisuudesta. (Tosin konformisuus on vahvempi ominaisuus kuin leveys- ja pituuspiirien kohtisuoruuden säilyminen. On olemassa sellaisiakin kuvauksia pallopinnalta tasolle, joissa leveys- ja pituuspiirit leikkaavat toisensa kohtisuorasti, mutta muut kulmat eivät pysy muuttumattomina; sellaisia ovat esimerkiksi neliökartta ja Gall-Petersin projektio.)

Esimerkkinä Wulffin verkon käytöstä voidaan kuvitella  kaksi päällekkäin asetettua ohutta, läpikuultavaa paperia, joista kumpaankin se on kopioitu ja jotka molemmat on suunnattu ja kiinnitetty keskipisteidensä mukaan. Olkoon *P* pallopinnan  piste, jonka pallokoordinaatit ovat (140°, 60°) ja karteesiset koordinaatit näin ollen (0.321, 0.557, &minus;0.766). Tämä piste sijaitsee 60°:n kulmassa vastapäivään positiivisesta *x-akselista* (tai 30°:n kulmassa myötäpäivään *y*-akselista) ja origosta katsottuna 50°;n kulmassa vaakatasoon *z*  0 nähden. Kun nämä kulmat tunnetaan, *P*:n asettamiseksi paikoilleen tarvitaan neljä vaihetta:
#Käyttämällä verkoston viivoja, jotka tässä kuviossa ovat  10°:n päässä toisistaan, tehdään merkki siihen leikkauspisteeseen,
joka on 60° vastapäivään pisteestä (1, 0) (tai 30° myötäpäivään pisteestä (0, 1)).
#Kierretään ylempää paperia origon ympäri, kunnes tämä piste on x-akselilla eli samalla suoralla kuin piste (1, 0) alemmalla paperilla.
# Alempaan paperiin painetun verkon avulla merkitään piste, joka on tästä pisteestä 50°:n verran  lähempänä keskipistettä.
#Kierretään ylempää paperia päinvastaiseen suuntaan kuin vaiheessa 2, jolloin se on jälleen
kohdallaan alempaan paperiin painetun verkon kanssa. Vaiheessa 3 merkitty piste päätyy tällöin haluttuun projektiopisteeseen. 
Muiden pisteiden kuvaamiseksi, joiden kulmat eivät ole sellaisia pyöreitä lukuja kuin 60° ja 50°, on suoritettava visuaalinen interpolaatio verkoston lähimpien viivojen väliin. Tämä käy helpommin, jos verkon viivat ovat tiheämmässä kuin 10°:n välein. Usein ne painetaan 2°:n välein.

Kahden pallopinnalla olevan pisteen stereo­grafisten kuvapisteiden välinen keskuskulma voidaan määrittää merkitsemällä niiden vastinpisteet Wulffin verkkoon, jota sitten kierretään keskipisteensä ympäri, kunnes pisteet ovat meridiaanilla tai lähellä sitä. Sen jälkeen niiden välinen kulma voidaan mitata laskemalla verkoston viivat, jotka leikkaavat tämän meridiaanin.

Tiedosto:Wulff net central angle 1.jpg|Kais pistettä *P*1 ja *P*2 piirrettyinä läpikuultaville papereille, joihin on merkitty Wulffin verkosto ja jotka on kiinnitetty toisiinsa origossa.
Tiedosto:Wulff net central angle 2.jpg|Läpikuultava lehti kierrettynä origon ympärille, jolloin pisteiden *P*1* ja *P*<sub>2</sub> välinen keskuskulma näkyy molempien kautta kulkevalta meridiaanilta.
</gallery>

==Muita muotoiluja ja yleistyksiä==



Eri lähteissä on stereo­grafinen projektio määritelty hieman eri tavoin. Toisinaan stereo­grafinen projektio pohjoisnavalta (0, 0, 1) määritellään kuvaukseksi tasolle *z* = -1, joka sivuaa yksikköpalloa etelänavalla eli pisteessä (0, 0, -1). Tällaisessa projektiossa saadut arvot *X* ja *Y* ovat aina tasan kaksi kertaa niin suuret kuin edellä kuvatussa projektiosa ekvaattoritasolle. Esimerkiksi tässä projektiossa päiväntasaajaa vastaa ympyrä, jonka keskipiste on origossa ja jonka säde on 2.  Sen sijaan että edellä kuvatussa projektiossa pienten alueiden pinta-alat kuvautuvat oikein lähellä päiväntasaajaa, tällaisessa projektiossa ne kuvautuvat oikein etelänavan välittömässä läheisyydessä.

Toisinaan taas projektio muodostetaan pallopinnalta, jonka säde on 1/2, tasolle z = -1/2  tai pallopinnalta, joka sivuaa tasoa origossa ja jonka halkaisija on 1, tasolle z = 0. Siinä tapauksessa kaavat saavat muodon

:<math>(x,y,z) \rightarrow (\xi, \eta) = \left(\frac{x}{\frac{1}{2} - z}, \frac{y}{\frac{1}{2} - z}\right),</math>
:<math>(\xi, \eta) \rightarrow (x,y,z) = \left(\frac{\xi}{1 + \xi^2 + \eta^2}, \frac{\eta}{1 + \xi^2 + \eta^2}, \frac{-1 + \xi^2 + \eta^2}{2 + 2\xi^2 + 2\eta^2}\right).</math>


Yleisesti stereo­grafinen projektio voidaan määritellä mistä tahansa pallopinnan pisteestä *Q* mille tahansa tasolle *E*, joka täyttää seuraavat ehdot:
**E* on kohtisuorassa pisteen *Q* kautta kulkevaan pallon halkaisijaan nähden, ja
*piste *Q* ei ole tasossa *E*.
Kunhan taso *E* täyttää nämä ehdot, jokaista pallopinnan pistettä *P*, pistettä *Q* lukuun ottamatta, vastaa tasolla yksikäsitteisesti määrätty piste *P′*, joka määritellään pisteen *P* stereo­grafiseksi projektioksi tasolla *E*.

Kaikilla tällä tavoin muodostetuilla stereo­grafisen projektion muotoiluilla on oleellisesti samat ominaisuudet. Ne ovat [[sileä funktio|sileitä]] [[bijektio]]ita, [[diffeomorfismi|diffeo­morfismeja]], jotka on määritelty kaikkialla paitsi projektio­pisteessä. Ne ovat konformisia, eivätkä pinta-alat niissä säily.

Vielä yleisemmin stereo­grafinen projektio voidaan määritellä [[n-pallo]]lla *S*<sup>*n*</sup> *n*+1 -ulotteisessa [[Euklidinen avaruus|euklidisessa avaruudessa]] *'E**<sup>''n''+1</sup>. Jos ''Q'' on ''S''<sup>''n''</sup>:n piste ja ''E'' [[hypertaso]] avaruudessa **E**<sup>''n''+1</sup>, pisteen ''P'' ∈  ''S''<sup>''n''</sup> − &#123;''Q''&#125; stereo­grafinen projektio on suoran <math>\overline{QP}</math> ja hypertason ''E'' leikkauspiste. [[Karteesinen koordinaatisto|Karteesisissa koordinaateissa]] (pallopinnalla <math>x_i, 0 \le i \le n</math>, tasolla <math>X_i, 0 \le i \le n</math>) pisteen projektio Q:sta katsottuna on 
:<math>X_i = \frac{x_i}{1 - x_0}</math>&nbsp; missä 1 ≤ ''i'' ≤ 'n''.
Määrittelemällä <math>S^2=\sum_{j=1}^n X_j^2</math>, saadaan käänteiskuvaukseksi
:<math>x_0 = \frac{S^2-1}{S^2+1}</math> ja <math>x_i = \frac{2 X_i}{S^2+1}</math>&nbsp; missä 1 ≤ ''i'' ≤ 'n''.

Vielä yleisemmässä tapauksessa oletetaan, että ''S'' on (ei-singulaarinen) [[toisen asteen pinta|toisen asteen hyperpinta]] [[projektiivinen avaruus|projektiivisessa avaruudessa]]
**P**<sup>''n''+1</sup>.  Toisin sanoen ''S'' on ei-singulaarisen toisen asteen muodon ''f''(''x''<sub>0</sub>, ..., ''x''<sub>''n''+1</sub>) nollakohtien ura [[homogeeniset koordinaatit|homogeenisissa koordinaateissa]] ''x''<sub>''i''</sub>. Kiinnitetään hyperpinnalta ''S'' jokin valittu piste ''Q'' ja valitaan avaruudesta **P*'<sup>*n*+1</sup> hypertaso *E*, johon *Q* ei sisälly. Tällöin pisteen *P* ∈ *S* - &#123;*Q*&#125 stereo­grafinen projektio on <math>\overline{QP}</math>:n ja *E*:n ainoa leikkauspiste. Kuten edellä, stereo­grafinen projektio on konforminen, ja "pienen" joukon ulkopuolella sillä on käänteiskuvaus. Stereografinen projektio esittää toisen asteen hyperpinnan hyperpinnan [[rationaalinen hyperpinta|rationaalisena hyperpintana]]. Tällä konstruktiolla on merkitystä [[algebrallinen geometria|algebrallisessa geometriassa]] ja [[konformi geometria|konformissa geometriassa]].



==Sovelluksia matematiikassa ==
===Kompleksianalyysi===


Vaikka pallopinnalla on yksi piste, projektiopiste, jossa stereografinen projektio ei ole määritelty, koko pallopinta voidaan kuvata käyttämällä kahta projektiota eri projektiopisteistä. Toisin sanoen pallopinta voidaan peittää kahdella tasosta saadulla parametroinnilla, jotka saadaan projektioiden käänteiskuvauksista. Parametroinnit voidaan valita niin, että indusoivat pallopinnalle saman [[suunnistuvuus|suunnistuksen]]. Yhdessä ne osoittavat, että pallopinta on [[suunnistuva pinta]] ja samalla kaksiulotteinen [[monisto]]. 

Tällä konstruktiolla on huomattava merkitys [[kompleksianalyysi]]ssa. Tason piste (*X*, *Y*), missä *X* ja *Y* ovat [[reaaliluku]]ja, voidaan samastaa [[kompleksiluku|kompleksiluvun]] *ζ* = *X* + i*Y* kanssa. Stereografinen projektio pohjoisnavalta päiväntasaajan tasolle on tällöin:

:<math>\zeta = \frac{x + i y}{1 - z},</math>
:<math>(x, y, z) = \left(\frac{2 \mathrm{Re}(\zeta)}{1 + \bar \zeta \zeta}, \frac{2 \mathrm{Im}(\zeta)}{1 + \bar \zeta \zeta}, \frac{-1 + \bar \zeta \zeta}{1 + \bar \zeta \zeta}\right).</math>

Samoin jos *ξ* = *X* − i*Y* on toinen kompleksinen koordinaatti, funktiot

:<math>\xi = \frac{x - i y}{1 + z},</math>
:<math>(x, y, z) = \left(\frac{2 \mathrm{Re}(\xi)}{1 + \bar \xi \xi}, \frac{-2 \mathrm{Im}(\xi)}{1 + \bar \xi \xi}, \frac{1 - \bar \xi \xi}{1 + \bar \xi \xi}\right).</math>

määrittelevät stereografisen projektion etelänavalta päiväntasaajan tasolle. Muunnoskuvaukset, joilla siirrytään *ζ*-koordinaateista *ξ*-koordinaatteihin ovat tällöin <math>\zeta = \frac{1}{\xi}</math> ja <math>\xi = \frac{1}{\zeta}</math>, joista *ζ* lähestyy nollaa kun *ξ* lähestyy ääretöntä ja päin vastoin.  

Tämä tekee mahdolliseksi lisätä kompleksitasoon luonnollisella tavalla äärettömyyspiste <math>\infty</math>. Näin saadaan niin sanottu [[laajennettu taso]] <math>\overline{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \{ \infty \}</math>. Toisin kuin tavallinen kompleksitaso, laajennettu taso on [[topologinen avaruus|topologisena avaruutena]] [[kompaktius|kompakti]]. Laajennetun tason jokaista pistettä vastaa kääntäen yksikäsitteisesti piste pallopinnalla, [[Riemannin pallo]]lla, kun tämä pallo pohjoisnapaa lukuun ottamatta kuvataan stereografisella projektiolla kompleksitasolle ja pohjoisnavan kuvapisteeksi määritellään piste <math>\infty</math>. Tämä kuvaus on [[homeomorfismi]]. Tähän konstruktioon perustuu koko [[meromorfinen funktio|meromorfi­funktioiden]] teoria. Riemannin pallolle voidaan määritellä myös luonnollinen metriikka, [[pallometriikka]] eli Riemannin metriikka, joka määrittää myös sen ja samalla laajennetun tason topologian.

===Suorien ja tasojen havainnollistus===


Kaikki kolmiulotteisen avaruuden origon kautta kulkevat suorat muodostavat avaruuden, jota sanotaan [[reaalinen projektiivinen taso|reaaliseksi projektiiviseksi tasoksi]]. Tätä avaruutta on vaikea havainnollistaa, koska sitä ei voi [[upotus|upottaa]] kolmiulotteiseen avaruuteen.

Kuitenkin se voidaan "melkein" havainnollistaa levyllä seuraavaan tapaan. Jokainen origon kautta kulkeva suora leikkaa eteläisen pallonpuoliskon *z*&nbsp;≤&nbsp;0 pisteessä, joka voidaan stereografisesti projisoida levylle. Vaakasuorat viivat leikkaavat pallopinnan kahdessa pisteessä päiväntasaajalla, joista kumpi tahansa voidaan projisoida tasolle; on ymmärrettävä, että vastakkaiset sivut levyn reunalla esittävät samaa suoraa. Kyseessä on [[tekijätopologia]]. Niinpä jokainen origon kautta kulkevien suorien joukko voidaan melkein täydellisesti kuvata pistejoukolle levyllä.

Samoin jokainen origon kautta kulkeva taso leikkaa yksikkökiekon jotakin [[isoympyrä]]ä myöten, jota sanotaan tason *jäljeksi*. Tämä ympyrä voidaan kuvata kiekon ympyrälle stereografisella projektiolla. Näin tämä projektio tekee mahdolliseksi esittää tasoja ympyränkaarina levyllä. Ennen kuin tietokoneita oli käytettävissä, isoympyröiden stereografinen projektio johti usein suurisäteisten kaarien piirtämiseen, mihin tarvittiin erityistä piirustusvälinettä. Nykyisin tämä voidaan suorittaa tietokoneen avulla paljon helpommin.

Jokaiseen tasoon liittyy myös yksikäsitteinen suora, tason *napa*, joka kulkee origon kautta ja on kohtisuorassa tasoa vastaan. Tätä suoraa vastaa piste levyllä samoin kuin jokaista origon kautta kulkevaa suoraa. Niinpä stereografisella projektiolla voidaan myös havainnollistaa tasoja levyn pisteinä. Kun on kuvattavana useita tasoja, niiden napojen kuvaaminen johtaa vähemmän sekavaan kuvaan kuin niiden jälkien kuvaaminen.

Tätä konstruktiota käytetään [[kristallografia]]ssa ja [[geologia]]ssa usein suuntatietojen havainnollistamiseen  jäljempänä kuvatulla tavalla.

===Muita havainnollistuksia===
Stereografista projektiota käytetään myös [[polytooppi]]en havainnollistamiseen. [[Schlegelin diagrammi]]ssa avaruuden <math>\mathbb{R}^{n+1}</math> *n*-ulotteinen polytooppi projisoidaan *n*-ulotteiselle pallolle, joka sen jälkeen projisoidaan stereografisesti avaruudelle <math>\mathbb{R}^n</math>.  Kutistaminen <math>\mathbb{R}^{n+1}</math>:sta <math>\mathbb{R}^n</math>:ään voi tehdä polytoopin helpommaksi havainnollistaa ja ymmärtää.

===Aritmeettinen geometria===

Alkeellisessa [[aritmeettinen geometria|aritmeettisessa geometriassa]] [[yksikköympyrä]]n stereo­grafinen projektio tarjoaa keinon löytää kaikki [[Pythagoraan kolmikko|Pythagoraan kolmikot]]. Ympyrän stereo­grafisessa projektiossa pohjois­navalta (0,1) *x*-akselille jokaista sellaista yksikkö­ympyrän pistettä (*x*, *y*), jossa molemmat koordinaatit ovat [[rationaaliluku]]ja, vastaa kääntäen yksi­käsitteisesti jokin rationaali­luku *x*-akselilla. Jos <math>\frac{m}{n}</math> on *x*-akselin rationaali­piste, sen [[käänteisfunktio|käänteinen]] stereo­grafinen projektio yksikkö­ympyrällä on 

:<math>\left(\frac{2mn}{n^2+m^2}, \frac{n^2-m^2}{n^2+m^2}\right)</math>

missä osoittajat *n*<sup>2</sup>-*m*<sup>2</sup> ja 2*mn* sekä yhteinen nimittäjä *n*<sup>2</sup>+*m*<sup>2</sup> muodostavat Pythagoraan kolmikon.

===Tangentin puolikulmamuunnos===

Trigono­metristen funktioiden pari (sin *x*, cos *x*) muodostaa yksikköympyrän erään parametri­esityksen. Stereo­grafisen projektion avulla sille voidaan muodostaa toinenkin parametriesitys:
:<math>\cos x = \frac{t^2 - 1}{t^2 + 1},\quad \sin x = \frac{2 t}{t^2 + 1}.</math>
Tällä parametrisaatiolla pituusalkio yksikköympyrän pituusalkio *dx* saadaan muotoon
:<math>dx = \frac{2 \, dt}{t^2 + 1}.</math>
Alkion *dx* korvaaminen tällä lausekkeella yksinkertaistaa toisinaan trigonometrisia funktioita sisältävien lausekkeiden [[integraali|integrointia]].

==Sovelluksia muilla aloilla ==

===Stereografinen projektio karttaprojektiona===




[[Kartografia]]n perusongelma on, että kuvattiinpa pallopinta tasolle millä tavalla tahansa, eivät kartassa voi sekä kulmat (ja näin ollen alueiden muodot) että pinta-alojen suhteet näkyä oikein. On kuitenkin olemassa [[karttaprojektio]]ita, joissa pinta-alojen suhteet ovat oikein, ja toisia, joissa kulmat ovat oikein. Edelliset soveltuvat varsinkin [[tilasto]]llisiin karttoihin, jälkimmäisiä [[navigointi]]in.

Stereografinen projektio kuuluu jälkimmäiseen luokkaan. Jos projektion keskukseksi valitaan pohjois- tai etelänapa, sillä on lisäetuna, että kaikki [[pituuspiiri]]t näkyvät navasta lähtevinä suorina viivoina, kaikki [[leveyspiiri]] taas napaa ympäröivinä saman­keskeisinä ympyröinä. Nykyään tätä projektiota käytetäänkin ennen kaikkea napaseutujen kartoissa.  

Stereografisessa projektiossa kaikki pallopinnan ympyrät kuvautuvat ympyröiksi paitsi projektio­pisteen kautta kulkevat suoriksi. Tämän vuoksi se soveltuu myös [[Kuu]]n ja vieraiden planeettojen karttoihin, joissa [[kraatteri]]t ovat tyypillisiä piirteitä. [[USGS]] onkin käyttänyt tätä projektiota Kuun, [[Merkurius|Merkuriuksen]] ja [[Mars]]in kartoissa.

 

===Kristallografia===



[[Kristallografia]]ssa [[kide|kiteiden]] akselien ja sivujen suuntautuminen kolmiulotteisessa avaruudessa on keskeinen geometrinen tutkimuskohde, joka voidaan selvittää tulkitsemalla esimerkiksi [[röntgensäteily]]n ja [[elektroni]]en [[diffraktio]]kuvioita. Nämä suuntautumiset voidaan havainnollistaa niin kuin edellä on kerrottu osiossa [[Stereografinen projektio#Suorien ja tasojen havainnollistus|Suorien ja tasojen havainnollistus]]. Toisin sanoen kiteen akselit ja kidetasojen navat leikkaavat pohjoisella pallonpuoliskolla, josta ne sitten kuvataan tasolle stereografisella projektiolla. Napoja esittävää kaaviota sanotaan *napakuvioksi* ().

[[Elektronidiffraktio]]ssa [[Kikuchin viiva]]parit näkyvät nauhoina hilatason jälkien ja [[Ewaldin pallo]]n leikkausviivan ympärillä ja täten ne tarjoavat *kokeellisen pääsyn* kiteen stereo­grafiseen projektioon.  Kikuchin kaavioiden mallit [[käänteisavaruus|käänteis­avaruudessa]] ja taivutettujen ääriviivojen kanssa käytettävät reunaviivojen kaaviot suorassa avaruudessa toimivat täten tiekarttoina, joiden avulla saadaan tietoa kiteiden suuntautumisesta [[transmissioelektronimikroskooppi|trans­missio­elektroni­mikro­skoopissa]].



===Valokuvaus===

Jotkin [[kalansilmä]]linssit käyttävät stereografista projektiota ottaakseen laajakulmaisia näkymiä. Verrattuna vanhemman tyyppisiin kalansilmälinsseihin, joissa käytetään oikeapintaista projektiota, lähellä reunoja olevat alueet säilyttävät muotonsa ja suorat viivat kaareutuvat vähemmän. Steregrafiset kalansilmä­linssit ovat yleenä kuitenkin kalliimpia valmistaa.  Kuvien uudelleen­muotoiluun tarkoitetuilla ohjelmilla kuten [[Panotools]] voidaan myös oikeapintaisella kalan­silmällä otetut kuvat automaattisesti muuntaa stereografiseen projektioon.

Stereo­grafista projektiota on käytetty pallomaisten näkymien kuvaamiseen. Tämä johtaa ilmiöihin, joita sanotaan *pieneksi planeetaksi* (kun projektion keskus on [[nadiiri]]ssa) tai *putkeksi'' (kun projektion keskus on zenitissä).

Sen, että stereografista projektiota käytetään näkymien kuvaamiseen enemmän kuin muita taso­projektioita, katsotaan johtuvan siitä, että projektion konformisuuden vuoksi siinä muodot säilyvät.

## Katso myös
* Astrolabi

## Lähteet

*
*
*
*
*
*

### Viitteet

## Aiheesta muualla

*
*
*
*

### Videoita
*
*

### Ohjelmisto
*
*

### Miniplaneettapanoraamoja
*
*
*