Topologinen aliavaruus

**Topologinen aliavaruus** on topologinen avaruuden osajoukko varustettuna alkuperäisen avaruuden topologian indusoimalla topologialla. Aliavaruuden topologiaa sanotaan myös *indusoiduksi topologiaksi* eli *relatiivitopologiaksi*.

## Määritelmä

Olkoon (X, \tau) topologinen avaruus ja *S* jokin *X*:n osajoukko. Olkoon \iota: S \hookrightarrow X inkluusio, toisin sanoen sellainen kuvaus, että \iota(x) = x kaikilla x \in S. Tällöin \iota:n indusoima topologia joukossa *S* on \{V \cap S \; | \; V \in \tau\}, toisin sanoen tässä topologiassa avoimia joukkoja ovat *X*:n avointen joukkojen ja *S*:n leikkaukset. Tätä inkluusion indusoimaa topologiaa sanotaan *S*:n **relatiivitopologiaksi** jonka *S* **perii** *X*:stä, ja joukkoa *S* tällä relatiivitopologialla varustettuna *X*:n aliavaruudeksi.

Vaihtoehtoisesti osajoukon S \subset X relatiivitopologia voidaan määritellä karkeimmaksi topologiaksi, jolla inkluusiokuvaus \iota: S \hookrightarrow X on jatkuva.

Yleisemmin voidaan olettaa, että \iota on mikä tahansa kuvaus joukosta S topologiseen avaruuteen X. Tällöin *S* :n indusoitu topologia määritellään karkeimpana topologiana, jossa \iota on jatkuva. Avoimia joukkoja tässä topologiassa ovat kaikki muotoa \iota^{-1}(U) olevat joukot, joissa U on X:n avoin osajoukko. Tällöin, mikäli kuvaus \iota on injektio, S on homeomorfinen X:ssä olevan kuvajoukkonsa kanssa, kun tämä joukko on varustettu indusoidulla topologialla. Tällaista kuvausta \iota sanotaan topologiseksi upotukseksi.

S:n aliavaruutta sanotaan **avoimeksi aliavaruudeksi**, jos injektio \iota on avoin kuvaus, toisin sanoen jos jokaisen S:n avoimen joukon kuva tässä kuvauksessa on X:n avoin joukko. Vastaavasti sitä sanotaan **suljetuksi aliavaruudeksi**, jos \iota on suljettu kuvaus.

## Huomautuksia merkinnöistä

Merkinnöissä ei joukon ja topologisen avaruuden välillä aina tehdä selvää eroa, mikä saattaa aiheuttaa sekaannusta, kun määritelmiin ensimmäisen kerran tutustutaan. NIinpä jos S on X:n osajoukko ja (X, \tau) topologinen avaruus, saatetaan merkintöjä S ja X käyttää sekä joukoista S ja X käsitettyinä X:n osajoukoiksi, että myös avaruuksista (S,\tau_S) ja (X,\tau_X) topologisina avaruuksina edellä kuvatulla tavalla. Niinpä jos esimerkiksi sanotaan, että "S on X:n avoin aliavaruus", tarkoitetaan itse asiassa, että (S,\tau_S) on (X,\tau_X):n avoin aliavaruus, toisin sanoen
: (i) S \in \tau, eli *S* on avoin joukko topologisessa avaruudessa X, \tau, ja
: (ii) S on varustettu relatiivitopologialla.

## Esimerkkejä
Seuraavassa \mathbb{R} tarkoittaa reaalilukujen joukkoa tavanomaisella topologiallaan.
* Luonnollisten lukujen joukon \mathbb{N} relatiivitopologia on diskreetti topologia.
* Rationaalilukujen joukon \mathbb{Q} relatiivitopologia ei ole diskreetti topologia; esimerkiksi pelkän nollan käsittävä joukko {0} ei ole avoin joukko \mathbb{Q}:ssa. Jos *a* ja *b* ovat rationaalilukuja, avoin väli (*a*, *b*) ja \mathbb{Q}:n leikkaus on myös rationaalilukujen topologiassa avoin ja [*a*, *b*] suljettu joukko, mutta jos *a* ja *b* ovat irrationaalilukuja, niiden rationaalilukujen joukko, jotka ovat *a*:n ja *b*:n välissä, on tässä topologiassa sekä avoin että suljettu joukko.
* Suljettu väli [0,1] on \mathbb{R}:n aliavaruutena sekä avoin että suljettu, mutta \mathbb{R}:n osajoukkona se on vain suljettu.
* \mathbb{R}:n aliavaruutena joukko [0, 1] &cup; [2, 3] muodostuu kahdesta *avoimesta* osajoukosta (jotka samalla ovat myös suljettuja), ja sen vuoksi se on epäyhtenäinen avaruus.
* Käsitellään puoliavointa väliä *S* = [0, 1) \mathbb{R}:n aliavaruutena. Tällöin [0, 1/2) on avoin aliavaruudessa *S*, mutta ei avaruudessa \mathbb{R}. Samoin [&frac12;, 1) on suljettu *S*:ssä, mutta ei \mathbb{R}:ssä. Itsensä osajoukkona *S* on sekä avoin että suljettu, mutta ei \mathbb{R}:n osajoukkona.

## Ominaisuuksia

Relatiivitopologialla on seuraava tyypillinen ominaisuus. Olkoon Y avaruuden X aliavaruus ja olkoon i : Y \to X inkluusiokuvaus. Silloin jokaiselle topologiselle avaruudelle kuvaus Z: f : Z\to Y on jatkuva, jos ja vain jos yhdistetty kuvaus i\circ f on jatkuva. 

Tämä ominaisuus on *karakteristinen* siinä mielessä, että sitä voitaisiin käyttää vaihtoehtoisena määritelmänä relatiivitopologialle Y:ssa.

Relatiivitopologialla on myös seuraavat ominaisuudet. Seuraavassa oletetaan, että S on X:n aliavaruus.
* Jos f:X\to Y on jatkuva, sen rajoittuma S:ään on jatkuva.
* Jos f:X\to Y on jatkuva, myös f:X\to f(X) on jatkuva.
* Suljettuja joukkoja avaruudessa S ovat X:n suljettujen joukkojen ja S:n leikkaukset, ja vain ne.
* Jos A on S:n aliavaruus, S on myös X:n aliavaruus ja sellaisena sillä on sama topologia. Toisin sanoen  A perii S:stä saman topologian kuin X:stäkin.
* Olkoon S avaruuden X avoin aliavaruus (jolloin S\in\tau). Silloin S:n osajoukko on avoin S:ssä, jos ja vain jos se on avoin X:ssä.
* Olkoon S avaruuden X suljettu aliavaruus (jolloin X\setminus S\in\tau). Silloin S:n osajoukko on suljettu S:ssä, jos ja vain jos se on suljettu X:ssä.
* Jos B on X:n topologian kanta, niin B_S = \{U\cap S : U \in B\} on S:n topologian kanta
* Metrisen avaruuden osajoukon indusoitu topologia, joka saadaan rajoittamalla metriikka tähän osajoukkoon, on sama kuin saman osajoukon relatiivitopologia aliavaruutena.

## Topologisten ominaisuuksien säilyminen

Jos siitä, että topologisella avaruudella on jokin topologinen ominaisuus, seuraa, että sama ominaisuus on myös sen kaikilla aliavaruuksilla, ominaisuutta sanotaan *perinnölliseksi*.  Jos ominaisuus on vain suljetuilla osajoukoilla, sitä sanotaan *'heikosti perinnölliseksi*.

* Täydellisesti metristyvän avaruuden jokainen avoin ja suljettu aliavaruus on täydellisesti metristyvä.
* Bairen avaruuden jokainen avoin aliavaruus on Bairen avaruus.
* Kompaktin avaruuden jokainen suljettu aliavaruus on kompakti.
* Että avaruus on Hausdorffin avaruus, on perinnöllinen ominaisuus.
* Avaruuden normaalius on heikosti perinnöllinen ominaisuus.
* Että metrinen avaruus on totaalisesti rajoitettu, on perinnöllinen ominaisuus.
* Että avaruus on täysin epäyhtenäinen, on perinnöllinen ominaisuus.
* Että avaruus on N<sub>1</sub>-avaruus eli että sen jokaisella pisteellä on numeroituva ympäristökanta, on perinnöllinen kanta.
* Että avaruus on N<sub>2</sub>-avaruus eli että sillä on numeroituva kanta, on perinnöllinen ominaisuus.

## Katso myös
* Tekijätopologia
* Tulotopologia

## Lähteet
* 
* 
* 

### Viitteet