Eksponentiaalinen hajoaminen

Suure pienenee tai vähenee **eksponentiaalisesti**, jos sen arvo pienenee nopeudella, joka on suoraan verrannollinen suureen senhetkiseen arvoon. Eksponentiaalisesti vähenevä suure *N* toteuttaa  siis **hajoamislaiksi** kutsutun differentiaaliyhtälön:

:\frac{dN}{dt} = -\lambda N,

missä *λ*  on positiivinen luku. Tätä verrannollisuuskerrointa kutsutaan myös hajoamisvakioksi.

Eksponentiaalinen väheneminen on luonnon ilmiöissä yleinen vähenemistahti. Yhtälöä kutsutaankin hajoamislaiksi muun muassa siksi, että sillä on yhteys radio­aktiiviseen hajoamiseen ja kemiallisiin hajoamisreaktioihin.

## Differentiaaliyhtälön ratkaisu

Differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista muokkaamalla se ensin muotoon 

:\frac{dN}{N} = -\lambda dt 

ja integroimalla yhtälön molemmat puolet. Integrointirajat vasemmalla puolella ovat *N<sub>0</sub>* eli *N*:n arvo hetkellä *t=0* ja *N<sub>t</sub>* eli arvo hetkellä *t*. Vastaavasti oikealla puolella integrointi tehdään välillä 0 ... t. 

:\int_{ N_0}^{N_t}\frac{dN}{N}=-\lambda \int_{0}^{t} dt    

:ln \frac {N_t}{N_0} = -\lambda t

josta saadaan lopulta ratkaistua *N<sub>t</sub>*:

:N_t=N_0 \cdot e^{-\lambda t}

Edellä olevaa yhtälöä kutsutaan **hajoamislain integraalimuodoksi**.

## Hajoamisnopeutta kuvaavat aikasuureet

### Puoliintumisaika
Intuitiivisesti ymmärrettävä suure hajoamisen nopeudelle on **[[puoliintumisaika]]**. Puoliintumisaika on se aika, jossa suure *N* pienenee puoleen alkuperäisestä arvostaan. Puoliintumisaika *T* voidaan helposti johtaa hajoamislain integraalimuodosta asettamalla N_t=\frac{N_0}{2}, eli ajanhetkellä *t=T* on *N*:n alkuperäinen arvo laskenut puoleen alkuperäisestä. Tällöin saadaan puoliintumisajan arvoksi 

:T = \frac{\ln 2}{\lambda}

Hajoamislaki saa tämän kaavan avulla helpon muodon (sijoittamalla \lambda=\ln 2/T hajoamislain integraalimuotoon):

:N_t=N_0\cdot e^{-\frac{\ln 2}{T} t}=N_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}

Tästä yhtälöstä nähdään, että ensimmäisen puoliintumisajan lopussa (t = T) suure on pienentynyt puoleen alkuperäisestä arvostaan, kahden puoliintumisajan kuluttua (t = 2T) neljäsosaan jne.

### Keskimääräinen elinaika
Toinen, matemaattisesti yksinkertaisempi mutta intuitiivisesti vaikeammin ymmärrettävä hajoamisnopeutta kuvaava suure on keskimääräinen elinaika \tau. Keskimääräinen elinaika on se aika, jossa suure pienenee *1/e*:een osaan alkuperäisestä. Vastaavalla tavalla kuin puoliintumisajan yhteydessä, saadaan keskimääräisen elinajan lausekkeeksi:

:\tau = \frac {1}{\lambda}

Esimerkiksi radioaktiivisessa hajoamisessa keskimääräinen elinaika kuvaa keskimääräistä aikaa, jonka ydin ehtii olla alun perin *N<sub>0</sub>* ydintä sisältäneessä joukossa ennen hajoamistaan. Johto keskimääräiselle elinajalle on esitetty englanninkielisessä artikkelissa.

Esimerkiksi polonium-210:n keskimääräinen elinaika on 200 vuorokautta, mutta puoliintumisaika vain 138 vuorokautta.

### Useita rinnakkaisia hajoamisia
Jos hajoaminen tapahtuu useamman rinnakkaisen prosessin kautta ja kullakin on oma keskimääräinen elinaikansa, ollaan yleensä kiinnostuneita vain kokonaisuudessaan hajoamisen keskimääräisestä elinajasta. Kokonaishajoamisnopeudelle voidaan kirjoittaa yhtälö:

:-\frac{dN_t}{dt} = N\lambda _1 + N\lambda _2 = (\lambda _1 + \lambda _2)N\,

Ratkaisu saadaan, kun kirjoitetaan hajoamisvakioiden summa uutena hajoamisvakiona eli asettamalla \lambda_1 + \lambda_2=\lambda_c. Tällöin \frac{dN_t}{dt}=-\lambda_c N

Nyt saadaan yhtälö

:\frac{1}{\tau_c}=\frac{1}{\tau_1}+\frac{1}{\tau_2}\,, josta ratkaisemalla saadaan

:\tau_c=\frac{\tau_1 \cdot \tau_2}{\tau_1+\tau_2}

Tämä voidaan yleistää koskemaan *n* kappaletta prosesseja muodossa

: \frac{1}{\tau _c}=\sum_{i=1}^n \frac{1}{\tau_i}

## Esimerkkejä
* Radioaktiivisessa hajoamisessa hajoavan aineen ytimien lukumäärä pienenee eksponentiaalisesti. Esimerkiksi luonnon pitkäikäisin uraani-isotooppi uraani-238 hajoaa 4,5 miljardin vuoden puoliintumisajalla. Radioaktiivisessa hajoamisessa on kysymyksessä peräkkäin tapahtuvista 1. kertaluvun reaktioista.

* Kinetiikan alkeisreaktioissa lähtöaineiden konsentraatiot noudattavat eksponentiaalista hajoamista.
* Korkealla ilmakehässä, ilmanpaine vähenee eksponentiaalisesti korkeuden funktiona.

## Katso myös
* Alkeisreaktio
* Eksponenttifunktio
* Eksponentiaalinen kasvu

## Lähteet

## Aiheesta muualla
* A stochastic simulation of exponential decay
* Tutorial on time constants