آنتروپی فون نویمان

بندانگشتی | جان فون نیومن، که این مفهوم به نام او شناخته می‌شود
در فیزیک، **آنتروپی فون نیومن**، که به نام جان فون نیومن نامگذاری شده‌است، معیاری از عدم‌قطعیت آماری در توصیف یک سامانهٔ کوانتومی است. این مفهوم، آنتروپی گیبز در مکانیک آماری کلاسیک را به مکانیک آماری کوانتومی بسط می‌دهد و همتای کوانتومی آنتروپی شانون در نظریهٔ اطلاعات کلاسیک است. برای یک سامانهٔ کوانتومی که با ماتریس چگالی  توصیف می‌شود، آنتروپی فون نیومن به صورت زیر تعریف می‌شود:
 S = - \operatorname{tr}(\rho \ln \rho),
که در آن \operatorname{tr} نشان‌دهندهٔ رد و \operatorname{ln} دلالت بر نسخهٔ ماتریسی لگاریتم طبیعی دارد. اگر ماتریس چگالی  در پایه‌ای از بردارهای ویژه به صورت |1\rangle, |2\rangle, |3\rangle, \dots نوشته شود:
 \rho = \sum_j \eta_j \left| j \right\rang \left\lang j \right| ,
آنگاه آنتروپی فون نیومن به صورت ساده‌تر بیان می‌شود:
 S = -\sum_j \eta_j \ln \eta_j .
در این حالت، *S* را می‌توان آنتروپی شانونِ مقادیر ویژه دانست که به عنوان احتمال‌ها تفسیر می‌شوند.

آنتروپی فون نیومن و کمیت‌های بر پایهٔ آن به‌طور گسترده در مطالعهٔ درهم‌تنیدگی کوانتومی به کار می‌روند.

## مبانی

در مکانیک کوانتومی، احتمال‌های مربوط به نتایج آزمایش‌هایی که بر روی یک سامانه انجام می‌شود از حالت کوانتومی آن سامانه محاسبه می‌گردند. هر سامانهٔ فیزیکی با یک فضای برداری یا به طور دقیق‌تر با یک فضای هیلبرت متناظر است. بعد فضای هیلبرت ممکن است نامتناهی باشد، مانند فضای تابع‌های مربعی انتگرال‌پذیر بر روی یک خط که در تعریف فیزیک کوانتومیِ درجهٔ آزادیِ پیوسته به کار می‌رود. در مقابل، فضای هیلبرت ممکن است ابعاد محدود داشته باشد، همان‌گونه که در مورد درجات آزادی اسپین اتفاق می‌افتد. عملگر چگالی، نمایش ریاضی حالت کوانتومی، یک نیمه‌مثبت معین، عملگر خود الحاقی از رد کلاس یک است که بر فضای هیلبرت سامانه عمل می‌کند. عملگر چگالی که یک تصویرِ رتبهٔ یک باشد، یک حالت «خالص» کوانتومی نامیده می‌شود و تمامی حالت‌هایی که خالص نیستند، «آمیخته» شناخته می‌شوند. حالت‌های خالص را همچنین «تابع موج» می‌نامند. انتساب یک حالت خالص به سامانهٔ کوانتومی به معنای قطعیت در نتیجهٔ یکی از اندازه‌گیری‌های آن سامانه است (یعنی برای برخی نتیجه‌ها P(x) = 1). فضای حالت یک سامانهٔ کوانتومی مجموعه‌ای از تمام حالت‌ها، خالص و آمیخته، است که می‌توان به آن نسبت داد. برای هر سامانه، فضای حالت یک مجموعهٔ محدب است: هر حالت آمیخته را می‌توان به صورت ترکیب محدبی از حالت‌های خالص نوشت، هرچند این نمایش یکتا نیست. آنتروپی فون نیومن میزان آمیختگی یک حالت را کمّی‌سازی می‌کند.

نمونهٔ سادهٔ یک فضای هیلبرت با ابعاد محدود، کوبیت است؛ سامانه‌ای کوانتومی با فضای هیلبرتِ دوبعدی. یک حالت دلخواه برای کوبیت را می‌توان به صورت ترکیب خطی از ماتریس‌های پائولی نوشت، که پایه‌ای برای ماتریس‌های خودالحاقیِ 2 \times 2 فراهم می‌آورند:
\rho = \tfrac{1}{2}\left(I + r_x \sigma_x + r_y \sigma_y + r_z \sigma_z\right),
که در آن عددهای حقیقی (r_x, r_y, r_z) مختصات نقطه‌ای درون گوی واحد هستند و:

  \sigma_x =
    \begin{pmatrix}
      0&1\\
      1&0
    \end{pmatrix}, \quad
  \sigma_y =
    \begin{pmatrix}
      0&-i\\
      i&0
    \end{pmatrix}, \quad
  \sigma_z =
    \begin{pmatrix}
      1&0\\
      0&-1
    \end{pmatrix} .
آنتروپی فون نیومن هنگامی صفر است که \rho یک حالت خالص باشد، یعنی وقتی که نقطهٔ (r_x, r_y, r_z) روی سطح گوی واحد قرار گیرد، و آنتروپی بیشترین مقدار خود را زمانی دارد که \rho «بیشینه آمیخته» باشد، یعنی حالت با r_x =  r_y = r_z = 0.

## ویژگی‌ها
برخی ویژگی‌های آنتروپی فون نیومن عبارت‌اند از:

*  تنها در صورتی صفر است که  نمایانگر یک حالت خالص باشد.
*  در حالت آمیختهٔ بیشینه، بیشترین مقدار و برابر با \ln N است، که در آن  بعد فضای هیلبرت است.
*  نسبت به تغییر پایهٔ  ناوردا است، یعنی , که در آن  یک تبدیل یکتا (واحدی) است.
*  تابعی مقعر است؛ یعنی اگر مجموعه‌ای از عددهای مثبت  داشته باشیم که مجموع آن‌ها برابر یک باشد (\Sigma_i \lambda_i = 1) و عملگرهای چگالی ، آنگاه رابطهٔ زیر برقرار است:
 S\bigg(\sum_{i=1}^k \lambda_i \rho_i \bigg) \geq \sum_{i=1}^k \lambda_i S(\rho_i).  
*  برای سامانه‌های مستقل جمع‌پذیر است. اگر دو ماتریس چگالی  و  سامانه‌های مستقل *A* و *B* را توصیف کنند، داریم: 
S(\rho_A \otimes \rho_B)=S(\rho_A)+S(\rho_B).
*  خاصیت «تحت‌جمعیِ قوی» دارد. برای هر سه سامانهٔ *A*، *B* و *C*:
S(\rho_{ABC}) + S(\rho_{B}) \leq S(\rho_{AB}) + S(\rho_{BC}).
این ویژگی به‌طور خودکار به معنای آن است که  متحقق‌کنندهٔ خاصیت «تحت‌جمعی» است:
S(\rho_{AC}) \leq  S(\rho_{A}) +S(\rho_{C}).

در ادامه، مفهوم تحت‌جمعی بودن و تعمیم آن به تحت‌جمعیِ قوی مورد بررسی قرار می‌گیرد.
### زیرجمعی بودن
اگر  ماتریس چگالی کاهش‌یافته حالت عمومی  باشند، آن‌گاه:
 \left| S(\rho_A) - S(\rho_B) \right| \leq S(\rho_{AB}) \leq S(\rho_A) + S(\rho_B) . 

نام نابرابری سمت راست، *زیرجمعی بودن* و نابرابری سمت چپ، *[[نابرابری مثلثی]]* است. در نظریهٔ شانون، آنتروپی دستگاه مرکب هرگز نمی‌تواند کمتر از آنتروپی هیچ‌یک از اجزای آن باشد؛ اما در نظریهٔ کوانتومی چنین نیست. یعنی ممکن است  در حالی‌که  باشد. این بیان می‌دارد که آنتروپی شانون *یکنوا* است، اما آنتروپی فون نیومان چنین خاصیتی ندارد. به‌عنوان مثال، حالت حالت بل دو ذرهٔ اسپین-۱/۲ را در نظر بگیرید:
 \left| \psi \right\rangle = \left| \uparrow \downarrow \right\rangle + \left| \downarrow \uparrow \right\rangle .
این یک حالت خالص با آنتروپی صفر است، اما هر اسپین به‌صورت جداگانه بیشینهٔ آنتروپی را دارد، زیرا ماتریس چگالی کاهش‌یافتهٔ آن حالت کاملاً آمیخته است. این نشان می‌دهد که حالت مورد نظر *درهم‌تنیده* است. کاربرد آنتروپی به‌عنوان سنجهٔ درهم‌تنیدگی در ادامه بررسی می‌شود.

### زیرجمعی بودن قوی
آنتروپی فون نیومان همچنین *زیرجمعی بودن قوی* دارد. با داشتن سه فضای هیلبرت A و B و C:
S(\rho_{ABC}) + S(\rho_{B}) \leq S(\rho_{AB}) + S(\rho_{BC}).
با استفاده از روشی که نابرابری مثلثی را ثابت می‌کند، می‌توان نشان داد که نابرابری زیرجمعی بودن قوی معادل است با:
S(\rho_{A}) + S(\rho_{C}) \leq S(\rho_{AB}) + S(\rho_{BC})
که در آن  و غیره، ماتریس‌های چگالی کاهش‌یافتهٔ  هستند. اگر زیرجمعی بودن معمولی را بر سمت چپ این نابرابری اعمال کنیم، به‌دست می‌آوریم:
S(\rho_{AC}) \leq S(\rho_{AB}) + S(\rho_{BC}).
به‌علت تقارن، برای هر حالت سه‌بخشی ، هر یک از سه عدد  کمتر یا مساوی مجموع دو عدد دیگر است.

### کمینهٔ آنتروپی شانون
با داشتن یک حالت کوانتومی و مشخصهٔ یک اندازه‌گیری کوانتومی، می‌توان احتمال‌های نتایج ممکن آن اندازه‌گیری را محاسبه و از آن‌ها آنتروپی شانون توزیع احتمال را یافت. اندازه‌گیری کوانتومی به‌صورت ریاضی با اندازه‌گیری POVM مشخص می‌شود. در ساده‌ترین حالت، وقتی دستگاه فضای هیلبرت متناهی‌بعد دارد و اندازه‌گیری دارای شمار محدودی نتیجه است، POVM مجموعه‌ای از ماتریس‌های مثبت نیمه‌معین \{F_i\} بر فضای هیلبرت است که مجموعشان برابر با ماتریس همانی می‌باشد:
\sum_{i=1}^n F_i = \operatorname{I}.
عنصر POVM یعنی F_i با نتیجهٔ اندازه‌گیری i متناظر است، به‌طوری‌که احتمال به‌دست‌آمدن آن هنگام اندازه‌گیری حالت کوانتومی \rho توسط رابطهٔ
\text{Prob}(i) = \operatorname{tr}(\rho F_i). 
تعیین می‌شود. POVM از رتبهٔ ۱ است اگر همهٔ عناصرش متناسب با عملگرهای فرافکن رتبهٔ ۱ باشند. آنتروپی فون نیومان برابر با کمینهٔ آنتروپی شانون قابل دستیابی است، جایی‌که کمینه‌سازی بر همهٔ POVMهای رتبهٔ ۱ انجام می‌شود.

### کمیت هوْلفو χ
اگر  عملگرهای چگالی و  مجموعه‌ای از عددهای مثبت باشند که مجموعشان یک است (\Sigma_i \lambda_i = 1)، آنگاه
\rho = \sum_{i=1}^k \lambda_i \rho_i
یک عملگر چگالی معتبر است، و تفاوت میان آنتروپی فون نیومان آن و میانگین وزنی آنتروپی‌های  توسط آنتروپی *شانون* عددهای  کراندار است:
 S\bigg(\sum_{i=1}^k \lambda_i \rho_i \bigg) - \sum_{i=1}^k \lambda_i S(\rho_i) \leq -\sum_{i=1}^k \lambda_i \log \lambda_i. 
برابری زمانی برقرار می‌شود که *پایه‌های*  — فضاهای گسترده‌شده توسط بردارهای ویژه متناظر با مقادیر ویژهٔ غیرصفر — متعامد باشند. تفاوت سمت چپ این نابرابری را *کمیت هوْلفو χ* می‌نامند که در قضیهٔ هوْلفو نیز ظاهر می‌شود، و یکی از نتایج مهم در نظریهٔ اطلاعات کوانتومی است.

## تغییر در تحول زمانی

### تحول یکانی
تحول زمانی یک دستگاه منزوی توسط یک عملگر یکانی توصیف می‌شود:
 \rho \to U \rho U^\dagger.
تحول یکانی، حالت‌های خالص را به حالت‌های خالص تبدیل می‌کند، و آنتروپی فون نیومان را بدون تغییر باقی می‌گذارد، زیرا آنتروپی \rho تابعی از مقادیر ویژهٔ آن است.

### اندازه‌گیری
اندازه‌گیری بر روی دستگاه کوانتومی معمولاً باعث تغییر حالت کوانتومی دستگاه می‌شود. نوشتن POVM اطلاعات کافی برای توصیف کامل فرآیند تغییر حالت را فراهم نمی‌کند. برای رفع این نقص، هر عنصر POVM را به‌صورت حاصل‌ضرب تجزیه می‌کنیم:
E_i =  A^\dagger_{i} A_{i}.
عملگرهای کراوس A_i (به‌نام کارل کراوس) مشخصهٔ فرآیند تغییر حالت را فراهم می‌کنند. آن‌ها الزاماً خودترافقی نیستند، اما حاصل‌ضرب‌های A^\dagger_i A_i خودترافقی‌اند. اگر نتیجهٔ اندازه‌گیری E_i حاصل شود، آنگاه حالت اولیهٔ \rho به صورت زیر به‌روزرسانی می‌شود:
\rho \to \rho' =  \frac{A_{i} \rho A^\dagger_{i}}{\mathrm{Prob}(i)} =  \frac{A_{i} \rho A^\dagger_{i}}{\operatorname{tr} (\rho E_i)}.
یکی از حالت‌های ویژهٔ مهم، قانون *لودرز* است، به‌نام گرهارت لودرز. اگر عناصر POVM، عملگر فرافکن باشند، عملگرهای کراوس می‌توانند همان فرافکن‌ها باشند:
\rho \to \rho'  = \frac{\Pi_i \rho \Pi_i}{\operatorname{tr} (\rho \Pi_i)}.
در صورتی که حالت اولیه \rho خالص باشد و فرافکن‌های \Pi_i رتبهٔ ۱ داشته باشند، می‌توان آن‌ها را به شکل فرافکن‌هایی بر بردارهای |\psi\rangle و |i\rangle نوشت و رابطه ساده می‌شود:
\rho = |\psi\rangle\langle\psi| \to \rho' = \frac{|\langle i |\psi \rangle|^2} = |i\rangle\langle i|.
می‌توان یک نگاشت خطی، مثبت کامل، و پایتابیِ ردیف تعریف کرد با جمع‌زدن بر همهٔ حالت‌های پس از اندازه‌گیری بدون نرمال‌سازی:
\rho \to \sum_i A_i \rho A^\dagger_i.
این نمونه‌ای از کانال کوانتومی است. و می‌توان آن را به‌عنوان توصیفی از تغییر حالت کوانتومی زمانی که اندازه‌گیری انجام شده ولی نتیجهٔ آن از بین رفته، تعبیر کرد. کانال‌های ناشی از اندازه‌گیری فرافکنی هرگز نمی‌توانند آنتروپی فون نیومان را کاهش دهند؛ فقط اگر ماتریس چگالی را تغییر ندهند، آنتروپی ثابت می‌ماند. کانال کوانتومی آنتروپی فون نیومان هر حالت ورودی را افزایش یا ثابت نگه می‌دهد اگر و تنها اگر نگاشت یکانی باشد، یعنی حالت کاملاً آمیخته را ثابت نگه دارد. نمونه‌ای از کانالی که آنتروپی را کاهش می‌دهد، کانال میرایی دامنه‌ای برای کیوبیت است که همهٔ حالت‌های آمیخته را به حالت خالص می‌فرستد.

## معنای ترمودینامیکی
نسخهٔ کوانتومی توزیع کانونی، یعنی حالت‌های گیبس، از بیشینه‌سازی آنتروپی فون نیومان تحت شرط ثبات مقدار میانگین همیلتونی به‌دست می‌آیند. حالت گیبس عملگر چگالی‌ای است که همان بردارهای ویژهٔ همیلتونی را دارد، و مقادیر ویژهٔ آن به‌صورت زیر داده می‌شود:
\lambda_i = \frac{1}{Z} \exp\left(-\frac{E_i}{k_B T}\right),
که در آن *T* دما، k_B ثابت بولتزمان، و *Z* تابع تثبیت است. آنتروپی فون نیومان حالت گیبس، تا یک ضریب k_B، همان آنتروپی ترمودینامیکی است.

## تعمیم‌ها و کمیت‌های وابسته
### آنتروپی شرطی
اگر \rho_{AB} حالت مشترک برای دستگاه دوبخشی *AB* باشد، آنتروپی فون نیومان شرطی S(A|B) برابر با اختلاف میان آنتروپی \rho_{AB} و آنتروپی حالت حاشیه‌ای زیرسامانهٔ *B* است:
S(A|B) = S(\rho_{AB}) - S(\rho_B).
این مقدار از S(\rho_A) بالاتر نیست؛ یعنی شرطی کردن توصیف زیرسامانهٔ *A* بر *B* نمی‌تواند آنتروپی مرتبط با *A* را افزایش دهد.

اطلاعات متقابل کوانتومی به‌صورت تفاضل میان آنتروپی حالت مشترک و مجموع آنتروپی‌های حاشیه‌ها تعریف می‌شود:
S(A:B) = S(\rho_A) + S(\rho_B) - S(\rho_{AB}),
که می‌توان آن را با آنتروپی شرطی نیز نوشت:
S(A:B) = S(A) - S(A|B) = S(B) - S(B|A).

### آنتروپی نسبی
اگر \rho و \sigma دو عملگر چگالی در فضای حالت یکسان باشند، آنتروپی نسبی به‌صورت زیر تعریف می‌شود:
S(\sigma|\rho) = \operatorname{tr} [\rho(\log \rho - \log\sigma)].
آنتروپی نسبی همواره بزرگ‌تر یا مساوی صفر است؛ و تنها زمانی برابر صفر می‌شود که \rho = \sigma. برخلاف آنتروپی فون نیومان، آنتروپی نسبی خاصیت یکنوایی دارد، یعنی با ردگیری بخشی از دستگاه کاهش می‌یابد یا ثابت می‌ماند:
S(\sigma_{A} | \rho_{A}) \leq S(\sigma_{AB} | \rho_{AB}).

### سنجش‌های درهم‌تنیدگی
همان‌گونه که انرژی منبعی برای انجام کارهای مکانیکی است، درهم‌تنیدگی منبعی برای انجام کارهایی است که شامل ارتباط و محاسبه‌اند. تعریف ریاضی درهم‌تنیدگی را می‌توان چنین بیان کرد: دانستن بیشینهٔ اطلاعات دربارهٔ کل دستگاه، لزوماً دانستن بیشینهٔ اطلاعات دربارهٔ اجزای آن را تضمین نمی‌کند. اگر حالت کوانتومی توصیف‌کنندهٔ جفتی از ذرات درهم‌تنیده باشد، نتیجهٔ اندازه‌گیری بر یکی از آن‌ها می‌تواند با نتیجهٔ دیگری هم‌بستگی شدید داشته باشد. با این حال، درهم‌تنیدگی همان *هم‌بستگی* به معنای کلاسیک نیست؛ بلکه نوعی *هم‌بستگی بالقوه* است که در آزمایشی مناسب می‌تواند بالفعل شود. حالت دستگاه مرکب همواره به‌شکل مجموع یا هم‌نهشتی کوانتومی از ضرب‌های حالت‌های محلی اجزا بیان‌پذیر است؛ حالت درهم‌تنیده است اگر این مجموع نتواند به تک‌ضرب ساده تجزیه شود. آنتروپی یکی از ابزارهایی است که برای سنجش میزان درهم‌تنیدگی به‌کار می‌رود. اگر دستگاه کلی توسط حالت خالص توصیف شود، آنتروپی یکی از زیرسامانه‌ها معیاری از مقدار درهم‌تنیدگی آن با سایر زیرسامانه‌ها است. برای حالت‌های خالص دوبخشی، آنتروپی فون نیومان حالت‌های کاهش‌یافته، *سنجهٔ یکتا*ی درهم‌تنیدگی است، زیرا تنها تابعی است که شرایط لازم برای سنجهٔ درهم‌تنیدگی را برآورده می‌کند. بنابراین به آن *آنتروپی درهم‌تنیدگی* گفته می‌شود.

نتیجهٔ کلاسیک این است که آنتروپی شانون در توزیع یکنواخت  به بیشینهٔ خود می‌رسد. بنابراین، حالت خالص دوبخشی  به‌صورت *حالت کاملاً درهم‌تنیده* شناخته می‌شود اگر حالت کاهش‌یافتهٔ هر زیرسامانه از  ماتریس قطری به‌شکل زیر باشد:
\begin{pmatrix} \frac{1}{n}& & \\ & \ddots & \\ & & \frac{1}{n}\end{pmatrix}.

برای حالت‌های آمیخته، آنتروپی فون نیومان کاهش‌یافته تنها سنجهٔ ممکن درهم‌تنیدگی نیست. برخی سنجه‌های دیگر نیز ماهیت آنتروپی دارند. مثلاً *آنتروپی نسبی درهم‌تنیدگی* با کمینه‌سازی آنتروپی نسبی میان حالت داده‌شده \rho و مجموعهٔ حالت‌های غیر‌درهم‌تنیده، یا *جداشدنی*، تعریف می‌شود. درهم‌تنیدگی تشکیل با کمینه‌سازی میانگین آنتروپی درهم‌تنیدگی از میان همهٔ نمایش‌های ممکن \rho به‌صورت ترکیب محدب از حالت‌های خالص تعریف می‌شود. درهم‌تنیدگی فشرده بر پایهٔ توسعهٔ حالت دوبخشی \rho_{AB} به حالت بزرگ‌تر \rho_{ABE} است، به‌طوری‌که ردگیری جز *E*، \rho_{AB} را به‌دست دهد. آنگاه کران پایین کمیت زیر بر همهٔ انتخاب‌های ممکن \rho_{ABE} کمینه می‌شود:
\frac{1}{2}[S(\rho_{AE}) + S(\rho_{BE}) - S(\rho_E) - S(\rho_{ABE})],

### آنتروپی رنی کوانتومی
همان‌طور که تابع آنتروپی شانون یکی از اعضای خانوادهٔ آنتروپی رنی کلاسیک است، آنتروپی فون نیومان نیز قابل تعمیم به آنتروپی‌های رنی کوانتومی است:
S_\alpha(\rho) = \frac{1}{1-\alpha} \ln[\operatorname{tr} \rho^\alpha] = \frac{1}{1-\alpha} \ln \sum_{i=1}^N \lambda_i^\alpha.
در حدی که \alpha \to 1، این رابطه آنتروپی فون نیومان را بازمی‌گرداند. آنتروپی‌های رنی کوانتومی برای حالت‌های حاصل‌ضرب، جمع‌پذیرند و برای هر \alpha، آنتروپی S_\alpha برای حالت‌های خالص صفر و برای حالت کاملاً آمیخته بیشینه است. برای هر حالت \rho، S_\alpha(\rho) تابعی پیوسته و غیر‌افزایشی از پارامتر \alpha است. یک نسخهٔ ضعیف از خاصیت زیرجمعی بودن را می‌توان اثبات کرد:
S_\alpha(\rho_A) - S_0(\rho_B) \leq S_\alpha(\rho_{AB}) \leq S_\alpha(\rho_A) + S_0(\rho_B).
در اینجا، S_0 نسخهٔ کوانتومی تابع هارتلی است، یعنی لگاریتم رتبهٔ ماتریس چگالی.

## تاریخچه
ماتریس چگالی با انگیزه‌های متفاوت توسط فون نیومان و لو لاندائو معرفی شد. انگیزهٔ لاندائو، ناتوانی در توصیف یک زیرسامانه از دستگاه مرکب با بردار حالت بود. فون نیومان ماتریس چگالی را برای توسعهٔ مکانیک آماری کوانتومی و نظریهٔ اندازه‌گیری کوانتومی معرفی کرد. او عبارت کنونی آنتروپی فون نیومان را با این استدلال وارد کرد که ترکیب احتمالاتی حالت‌های خالص، همانند ترکیب مخلوطی از گازهای ایده‌آل است. فون نیومان نخستین بار در سال ۱۹۲۷ دربارهٔ این موضوع منتشر کرد. استدلال او بر پایهٔ کارهای پیشین آلبرت اینشتین و لئو زیلارد بنا شده بود.

ماکس دل‌بروک و گرت مولیر خاصیت تحدب و زیرجمعی بودن آنتروپی فون نیومان را در سال ۱۹۳۶ اثبات کردند. آنتروپی نسبی کوانتومی توسط هیساهارو اومگاکی در ۱۹۶۲ معرفی شد. نابرابری‌های زیرجمعی بودن و مثلثی در سال ۱۹۷۰ توسط هوزیهیرو آراکی و الیوت اچ. لیب اثبات شدند. خاصیت زیرجمعی بودن قوی قضیه‌ای دشوارتر است؛ این ویژگی در ۱۹۶۸ توسط اسکار لَنفورد و دِرِک رابینسون مطرح شد. لیب و مری بت روسکای آن قضیه را در ۱۹۷۳ اثبات کردند، با استفاده از نابرابری ماتریسی که پیش‌تر توسط لیب اثبات شده بود.

## منابع

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

رده:جان فون نویمان
رده:آنتروپی اطلاعات