گستران

در ریاضیات، **گُستَران** یا اینولوت () نوع خاصی از منحنی است که به شکل یا منحنی دیگری وابسته است. گستران یک منحنی، مکان هندسی یک نقطه روی یک قطعه نخ کشیده است که نخ یا از روی منحنی باز می‌شود یا دور آن پیچیده می‌شود.

گسترندهٔ یک منحنی گستران، منحنی اصلی است.

این مفهوم توسط خانواده منحنی‌های غلتان تعمیم می‌یابد؛ یعنی گستران‌های یک منحنی، غلتان‌های (رولت‌های) منحنی هستند که توسط یک خط مستقیم ایجاد می‌شوند.

مفاهیم گستران و گسترندهٔ (evolute) یک منحنی توسط کریستیان هویگنس در اثر خود با عنوان *[[ساعت آونگی (کتاب)|ساعت آونگی]]* (۱۶۷۳) معرفی شد، جایی که او نشان داد که گستران یک چرخ‌زاد هنوز یک چرخ‌زاد است، بنابراین روشی برای ساخت چرخ‌زاد ارائه داد که دارای ویژگی مفید این است که دوره آن مستقل از دامنه نوسان است.

## گستران یک منحنی پارامتری
فرض کنید   \vec c(t),\; t\in [t_1,t_2]  یک منحنی در صفحه باشد که انحنا آن هیچ جا صفر نیست و a\in (t_1,t_2)، سپس منحنی با نمایش پارامتری

\vec C_a(t)=\vec c(t) -\frac{\vec c'(t)}\; \int_a^t|\vec c'(w)|\; dw 

یک *گستران* از منحنی داده شده است.

با اضافه کردن یک عدد دلخواه اما ثابت l_0 به انتگرال   \Bigl(\int_a^t|\vec c'(w)|\; dw\Bigr) ، یک گستران متناظر با یک نخ که به اندازه l_0 افزایش یافته است (مانند یک توپ نخ که قبل از باز شدن مقداری نخ از آن آویزان است) به دست می‌آید. از این رو، گستران را می‌توان با ثابت a و/یا اضافه کردن یک عدد به انتگرال تغییر داد (به گستران‌های یک سهمی نیمه‌مکعبی مراجعه کنید).

اگر \vec c(t)=(x(t),y(t))^T باشد، به دست می‌آید:

:\begin{align}
X(t) &= x(t) - \frac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} \int_a^t \sqrt{x'(w)^2 + y'(w)^2} \,dw \\
Y(t) &= y(t) - \frac{y'(t)}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} \int_a^t \sqrt{x'(w)^2 + y'(w)^2} \,dw \; .
\end{align}

## ویژگی‌های گستران‌ها

برای به دست آوردن ویژگی‌های یک منحنی منظم، بهتر است فرض کنیم طول قوس s پارامتر منحنی داده شده باشد، که منجر به ساده‌سازی‌های زیر می‌شود: \;|\vec c'(s)|=1\; and \;\vec c*(s)=\kappa(s)\vec n(s)\;</math>، که <math>\kappa</math> [[انحنا]] و <math>\vec n</math> بردار نرمال واحد است. برای گستران به دست می‌آید:

:<math>\vec C_a(s)=\vec c(s) -\vec c'(s)(s-a)\ </math> and
:<math>\vec C_a'(s)=-\vec c*(s)(s-a)=-\kappa(s)\vec n(s)(s-a)\; 
و عبارت:
* در نقطه  \vec C_a(a) گستران *منظم نیست* (زیرا | \vec C_a'(a)|=0)،
و از \; \vec C_a'(s)\cdot\vec c'(s)=0 \; نتیجه می‌شود:
* نرمال گستران در نقطه \vec C_a(s)، مماس منحنی داده شده در نقطه \vec c(s) است.
* گستران‌ها منحنی موازی هستند، به دلیل \vec C_a(s)=\vec C_0(s)+a\vec c'(s) و این واقعیت که \vec c'(s) نرمال واحد در \vec C_0(s) است.

خانواده گستران‌ها و خانواده مماس‌های منحنی اصلی یک دستگاه مختصات متعامد را تشکیل می‌دهند. در نتیجه، می‌توان گستران‌ها را به صورت گرافیکی ساخت. ابتدا، خانواده خطوط مماس را رسم کنید. سپس، یک گستران را می‌توان با همیشه عمود ماندن بر خط مماس عبوری از نقطه ساخت.

### تیزه‌ها
این بخش بر اساس این منبع است.

به‌طور کلی دو نوع تیزه (کاسپ) در گستران‌ها وجود دارد. نوع اول در نقطه‌ای است که گستران منحنی را لمس می‌کند. این یک تیزه از مرتبه ۳/۲ است. نوع دوم در نقطه‌ای است که منحنی دارای نقطه عطف است. این یک تیزه از مرتبه ۵/۲ است.

این را می‌توان با ساختن یک نگاشت f: \R^2 \to \R^3 که توسط (s, t) \mapsto (x(s) + t\cos(\theta), y(s) + t\sin(\theta), t) تعریف می‌شود، به صورت بصری مشاهده کرد، که در آن (x(s), y(s)) پارامتری طول قوس منحنی است و \theta زاویه شیب منحنی در نقطه (x(s), y(s)) است. این صفحه ۲ بعدی را به یک سطح در فضای ۳ بعدی نگاشت می‌کند. به عنوان مثال، این دایره را به هذلولی‌گون نگاشت می‌کند.

با این نگاشت، گستران‌ها در یک فرایند سه مرحله‌ای به دست می‌آیند: نگاشت \R به \R^2، سپس به سطح در \R^3، سپس با حذف محور z آن را به \R^2 تصویر کنید: s \mapsto (s, l- s) \mapsto f(s, l-s) \mapsto (f(s, l-s)_x, f(s, l-s)_y) که در آن l هر ثابت حقیقی است.

از آنجایی که نگاشت s \mapsto f(s, l-s) در همه s\in \R دارای مشتق غیرصفر است، تیزه‌های گستران فقط در جایی می‌توانند رخ دهند که مشتق s \mapsto f(s, l-s) عمودی باشد (موازی با محور z)، که فقط در جایی می‌تواند رخ دهد که سطح در \R^3 دارای یک صفحه مماس عمودی باشد.

به‌طور کلی، سطح در دو حالت دارای صفحات مماس عمودی است: جایی که سطح منحنی را لمس می‌کند و جایی که منحنی دارای یک نقطه عطف است.

#### تیزه از مرتبه ۳/۲
برای نوع اول، می‌توان با گستران یک دایره، با معادله زیر شروع کرد:
\begin{align}

X(t) &= r(\cos t + (t - a)\sin t)\\

Y(t) &= r(\sin t - (t - a)\cos t)

\end{align} سپس a = 0 را قرار داده و برای t کوچک بسط دهید تا به دست آید:
\begin{align}

X(t) &= r + r t^2/2 + O(t^4)\\

Y(t) &= rt^3/3 + O(t^5)

\end{align} بنابراین منحنی مرتبه ۳/۲ Y^2 - \frac{8}{9r} (X-r)^{3} + O(Y^{8/3}) = 0 ، یک سهمی نیمه‌مکعبی، به دست می‌آید.

#### تیزه از مرتبه ۵/۲

برای نوع دوم، منحنی y = x^3 را در نظر بگیرید. قوس از x= 0 تا x = s طول \int_0^s \sqrt{1 + (3t^2)^2}dt = s + \frac{9}{10} s^5 - \frac 98 s^9 + O(s^{13}) دارد و مماس در x = s زاویه \theta = \arctan(3s^2) دارد؛ بنابراین، گستران شروع شده از x= 0 در فاصله L دارای فرمول پارامتری زیر است:
\begin{cases}

 x(s) = s + (L-s-\frac{9}{10}s^5 + \cdots)\cos\theta \\

 y(s) = s^3 + (L-s-\frac{9}{10}s^5 + \cdots)\sin\theta

\end{cases} آن را تا مرتبه s^5 بسط دهید، به دست می‌آید:
\begin{cases}

 x(s) = L - \frac 92 L s^4 + (\frac 92 L - \frac{9}{10}) s^5 + O(s^6)\\

 y(s) = 3Ls^2 - 2 s^3 + O(s^6)

\end{cases} که یک تیزه از مرتبه ۵/۲ است. به صراحت، می‌توان برای بسط چند جمله‌ای ارضا شده توسط x, y حل کرد:
\left(x - L + \frac{y^2}{2L} \right)^2 - \left(\frac 92 L + \frac{51}{10} \right)^2 \left(\frac{y}{3L} \right)^5 + O(s^{11}) = 0 یا x = L - \frac{y^2}{2L} \pm \left(\frac 92 L + \frac{51}{10} \right) \left(\frac{y}{3L} \right)^{2.5} + O(y^{2.75}),\quad \quad y \geq 0  که به وضوح شکل تیزه را نشان می‌دهد.

با قرار دادن L=0، گستران عبوری از مبدأ را به دست می‌آوریم. این مورد خاص است زیرا شامل هیچ تیزه‌ای نیست. با بسط سری، معادله پارامتری آن به صورت زیر است:
\begin{cases}

 x(s) = \frac{18}{5} s^5 - \frac{126}{5} s^9 + O(s^{13}) \\

 y(s) = -2s^3 + \frac{54}{5} s^7 - \frac{318}{5} s^{11} + O(s^{15})

\end{cases} یا x = -\frac{18}{5 \cdot 2^{1/3}}y^{5/3} + O(y^3)

## مثال‌ها
### گستران‌های یک دایره

برای یک دایره با نمایش پارامتری (r\cos(t), r\sin(t))، داریم:

\vec c'(t) = (-r\sin t, r\cos t).

بنابراین |\vec c'(t)| = r، و طول مسیر r(t - a) است.

با ارزیابی معادله گستران داده شده در بالا، به دست می‌آید:

:\begin{align}

X(t) &= r(\cos (t+a) + t\sin (t+a))\\

Y(t) &= r(\sin (t+a) - t\cos (t+a))

\end{align}

برای معادله پارامتری گستران دایره.

جمله a اختیاری است؛ این برای تنظیم مکان شروع منحنی روی دایره استفاده می‌شود. شکل گستران‌ها را برای a = -0.5 (سبز)، a = 0 (قرمز)، a = 0.5 (بنفش) و a = 1 (آبی روشن) نشان می‌دهد. گستران‌ها شبیه مارپیچ ارشمیدس هستند، اما در واقع اینطور نیستند.

طول قوس برای a=0 و 0 \le t \le t_2 از گستران برابر است با:

: L = \frac{r}{2} t_2^2.

### گستران‌های یک سهمی نیمه‌مکعبی
معادله پارامتری \vec c(t) = (\tfrac{t^3}{3}, \tfrac{t^2}{2}) یک سهمی نیمه‌مکعبی را توصیف می‌کند. از \vec c'(t) = (t^2, t) به دست می‌آید |\vec c'(t)| = t\sqrt{t^2 + 1} و \int_0^t w\sqrt{w^2 + 1}\,dw = \frac{1}{3}\sqrt{t^2 + 1}^3 - \frac13. گسترش نخ به اندازه l_0={1\over3} محاسبات بعدی را بسیار ساده می‌کند و به دست می‌آید:
: \begin{align} X(t)&= -\frac{t}{3}\\
Y(t) &= \frac{t^2}{6} - \frac{1}{3}.\end{align}

حذف  منجر به Y = \frac{3}{2}X^2 - \frac{1}{3}, می‌شود که نشان می‌دهد این گستران یک سهمی است.

سایر گستران‌ها بنابراین منحنی‌های موازی یک سهمی هستند و سهمی نیستند، زیرا منحنی‌هایی از درجه شش هستند.

### گستران‌های یک زنجیره‌وار
برای زنجیره‌وار (t, \cosh t)، بردار مماس \vec c'(t) = (1, \sinh t) است و، به عنوان  1 + \sinh^2 t =\cosh^2 t, طول آن |\vec c'(t)| = \cosh t است؛ بنابراین طول قوس از نقطه (۰, ۱) برابر است با \textstyle\int_0^t \cosh w\,dw = \sinh t.

از این رو گستران شروع شده از (۰, ۱) توسط
: (t - \tanh t, 1/\cosh t),
پارامتری می‌شود و بنابراین یک کشانده (تراکتریکس) است.

سایر گستران‌ها کشانده نیستند، زیرا منحنی‌های موازی یک کشانده هستند.

### گستران‌های یک چرخ‌زاد

نمایش پارامتری \vec c(t) = (t - \sin t, 1 - \cos t) یک چرخ‌زاد را توصیف می‌کند. از \vec c'(t) = (1 - \cos t, \sin t)، (پس از استفاده از برخی فرمول‌های مثلثاتی) به دست می‌آید:
:|\vec c'(t)| = 2\sin\frac{t}{2},
و
:\int_\pi^t 2\sin\frac{w}{2}\,dw = -4\cos\frac{t}{2}.

از این رو معادلات گستران متناظر عبارتند از:
: X(t) = t + \sin t,
: Y(t) = 3 + \cos t,
که چرخ‌زاد قرمز منتقل شده در نمودار را توصیف می‌کنند. از این رو
* گستران‌های چرخ‌زاد (t - \sin t, 1 - \cos t) منحنی‌های موازی چرخ‌زاد زیر هستند:
: (t + \sin t, 3 + \cos t).
(منحنی‌های موازی یک چرخ‌زاد، چرخ‌زاد نیستند)

## گستران و گسترنده
گسترنده یک منحنی داده شده c_0 شامل مراکز انحنای c_0 است. بین گستران‌ها و گسترنده‌ها عبارت زیر برقرار است:
:*یک منحنی، گسترندهٔ هر یک از گستران‌های آن است.*

## کاربرد
رایج‌ترین پروفیل‌های دندانه‌های چرخ‌دنده مدرن، گستران‌های یک دایره هستند. در یک دستگاه چرخ‌دنده گستران، دندانه‌های دو چرخ‌دنده درگیر در یک نقطه لحظه‌ای واحد که در امتداد یک خط مستقیم حرکت می‌کند، تماس پیدا می‌کنند. نیروهایی که دندانه‌های در تماس بر یکدیگر وارد می‌کنند نیز از این خط پیروی می‌کنند و بر دندانه‌ها عمود هستند. سامانه چرخ‌دنده گستران که این شرایط را حفظ می‌کند، از قانون اساسی چرخ‌دنده‌ها پیروی می‌کند: نسبت سرعت‌های زاویه‌ای بین دو چرخ‌دنده باید در طول حرکت ثابت بماند.

با دندانه‌هایی با شکل‌های دیگر، سرعت‌ها و نیروها با درگیر شدن دندانه‌های متوالی بالا و پایین می‌روند و منجر به لرزش، سر و صدا و سایش بیش از حد می‌شوند. به همین دلیل، تقریباً تمام سامانه‌های چرخ‌دنده مسطح مدرن یا گستران یا سیستم مرتبط چرخ‌دنده چرخ‌زاد هستند.

گستران یک دایره همچنین یک شکل مهم در کمپرسور است، زیرا یک کمپرسور غلتشی می‌تواند بر اساس این شکل ساخته شود. کمپرسورهای اسکرال صدای کمتری نسبت به کمپرسورهای معمولی تولید می‌کنند و ثابت شده است که بازده مکانیکی بالایی دارند.

راکتور ایزوتوپی با شار بالا از عناصر سوختی به شکل گستران استفاده می‌کند، زیرا این عناصر اجازه می‌دهند یک کانال با عرض ثابت بین آنها برای خنک‌کننده وجود داشته باشد.

## جستارهای وابسته
* منحنی محاطی
* چرخ‌دنده گستران

## منابع

* 

## پیوند به بیرون

رده:غلتان‌ها
رده:هندسه دیفرانسیل