دوپاره‌سازی قطب

**دوپاره‌سازی قطب**  یا **مجزاسازی قطب** پدیده‌ای است که در برخی از اشکال جبران‌سازی فرکانس مورد استفاده در تقویت‌کننده‌های الکترونیکی بکار گرفته می‌شود. هنگامی که یک خازن بین دو طرف ورودی و خروجی تقویت‌کننده با هدف جابجایی پایین‌ترین قطب در فرکانس (معمولا یک قطب ورودی) به فرکانس‌های پایین‌تر وارد می‌شود، دوپاره‌سازی قطب باعث می‌شود که قطب بعدی در فرکانس (معمولا یک قطب خروجی) به فرکانس بالاتر حرکت کند. این حرکت قطب پایداری تقویت‌کننده را افزایش می‌دهد و پاسخ پله آن را به قیمت کاهش سرعت بهبود می‌بخشد.

## نمونه‌ای از دوپاره‌سازی قطب
بندانگشتی|250x250پیکسل| شکل ۱: تقویت‌کننده عملیاتی با خازن جبران‌سازی ''C<sub>C</sub>'' بین ورودی و خروجی. توجه داشته باشید که تقویت‌کننده دارای هر دو امپدانس ورودی ''R<sub>i</sub>'' و امپدانس خروجی ''R<sub>o</sub>'' است. (ویرایش: این شکل معیوب است، زیرا علامت‌های + و - باید تعویض شود. باید بازخورد منفی وجود داشته باشد)
[بندانگشتی|250x250پیکسل| شکل ۲: تقویت‌کننده عملیاتی با خازن جبران‌سازی تبدیل شده با استفاده [قضیه میلر|از قضیه میلر برای جایگزینی خازن جبران‌سازی با یک خازن میلر در ورودی و یک منبع جریان وابسته به فرکانس در خروجی. (ویرایش: این شکل معیوب است، زیرا علائم + و - باید تعویض شود. باید بازخورد منفی وجود داشته باشد)]]
این مثال نشان می‌دهد که واردکردن خازن به نام CC در تقویت‌کننده شکل ۱ دو نتیجه دارد: اول باعث می‌شود پایین‌ترین قطب فرکانسی تقویت‌کننده همچنان در فرکانس پایین‌تر حرکت کند و دوم اینکه باعث می‌شود قطب بالاتر به سمت بالاتر در فرکانس حرکت کند. تقویت‌کننده شکل ۱ دارای یک قطب فرکانس پایین به دلیل مقاومت ورودی *R<sub>i</sub>* و ظرفیت‌خازنی *C<sub>i</sub>* اضافه شده با ثابت زمانی *C<sub>i</sub>* (*R<sub>A</sub> || R<sub>i</sub>*) است. این قطب در فرکانس توسط اثر میلر به پایین منتقل می‌شود. با افزودن مقاومت بار *R<sub>L</sub>* و ظرفیت‌خازنی *C<sub>L</sub>* با ثابت زمانی *C<sub>L</sub>*(*R<sub>o</sub> || R<sub>L</sub>*) به تقویت‌کننده یک قطب خروجی فرکانس بالا داده می‌شود. حرکت رو به بالا قطب فرکانس-بالا به این دلیل رخ می‌دهد که خازن جبران‌سازی تقویت‌شدهٔ-میلری *C<sub>C</sub>* وابستگی فرکانس تقسیم‌کننده ولتاژ خروجی را تغییر می‌دهد.

با عطف به هدف دوم، نشان دادن حرکت قطب بالاتر همچنان در فرکانس بالاتر، لازم است به سمت خروجی مدار نگاه کنید، که عامل دومی را به بهره کلی و وابستگی فرکانس اضافی کمک می‌کند. ولتاژ \ v_o با بهره آپ‌امپ ایده‌آل در داخل تقویت‌کننده تعیین می‌شود

::  \frac {v_{\ell}} {v_i} = A_v \frac {R_L} {R_L+R_o}\,\!\sdot \frac {1+j \omega C_C R_o/A_v } {1+j \omega (C_L + C_C ) (R_o\|R_L) } \ . 

که یک رول آف با فرکانس شروع از *f<sub>1</sub>* را نشان می‌دهد که در آن

:: 

\begin{align}
 f_{1} & = \frac {1} {2 \pi (C_M+C_i)(R_A\|R_i) } \\
    & = \frac {1} {2 \pi \tau_1} \, \\
\end{align}



که \tau_1 نشانه گذاری برای ثابت زمانی پایین‌ترین قطب را معرفی می‌کند. این فرکانس کمتر از فرکانس پایین اولیه تقویت‌کننده است که برای *C<sub>C</sub>* = 0 F است \frac {1} {2 \pi C_i (R_A\|R_i)} .

هدف اول، برای نشان دادن پایین‌ترین قطب از نظر فرکانس به سمت پایین، با استفاده از رویکردی مشابه با مقاله قضیه میلر ایجاد می‌شود. طبق روشی که در مقاله دربارهٔ قضیه میلر توضیح داده شد، مدار شکل ۱ به مدار شکل ۲ تبدیل می‌شود که از نظر الکتریکی معادل شکل ۱ است. استفاده از قانون جریان کریشهف در سمت ورودی شکل ۲ ولتاژ ورودی را تعیین می‌کند. \ v_i به تقویت‌کننده عملیاتی ایده‌آل به عنوان تابعی از ولتاژ سیگنال اعمال شده \ v_a ، یعنی

:: \ v_o = A_v v_i \ . 

با استفاده از این رابطه و اعمال قانون جریان کریشهف در سمت خروجی مدار، ولتاژ بار را تعیین می‌کند. v_{\ell} به عنوان تابعی از ولتاژ \ v_{i} در ورودی آپ‌امپ ایده‌آل به صورت:

::  \frac {v_{\ell}} {v_i} = A_v \frac {R_L} {R_L+R_o}\,\!\sdot \frac {1+j \omega C_C R_o/A_v } {1+j \omega (C_L + C_C ) (R_o\|R_L) } \ . 

این عبارت با ضریب بهره که قبلاً برای سمت ورودی مدار پیدا شده بود ترکیب می‌شود تا بهره کلی را به دست آورد

:: 

\frac {v_{\ell}} {v_a} = \frac {v_{\ell}}{v_i} \frac {v_i} {v_a}


::: = A_v \frac {R_i} {R_i+R_A}\sdot \frac {R_L} {R_L+R_o}\,\!  \sdot \frac {1} {1+j \omega (C_M+C_i) (R_A\|R_i)} \,\!  \sdot \frac {1+j \omega C_C R_o/A_v } {1+j \omega (C_L + C_C ) (R_o\|R_L) } \ . 

به نظر می‌رسد این فرمول بهره یک پاسخ دوقطبی ساده با دو ثابت زمانی را نشان می‌دهد. (همچنین یک صفر در صورت نشان می‌دهد، اما با فرض اینکه بهره تقویت‌کننده *A<sub>v</sub>* بزرگ است، این صفر فقط در فرکانس‌های بسیار بالا که در این بحث اهمیت ندارد، مهم است، بنابراین می‌توان صورت را به عنوان واحد تقریب زد) با این حال، اگرچه تقویت‌کننده رفتاری با دوقطب دارد، دو ثابت زمانی پیچیده‌تر از بیان فوق هستند، زیرا ظرفیت میلر حاوی وابستگی فرکانس پنهان است که در فرکانس‌های پایین اهمیتی ندارد، اما در فرکانس‌های بالا تأثیر قابل‌توجهی دارد؛ یعنی، با فرض اینکه حاصل *R-C* خروجی، *C<sub>L</sub>*(*R<sub>o</sub> || R<sub>L</sub>*)، مربوط به یک فرکانس بسیار بالای قطب فرکانس پایین است، باید از شکل دقیق ظرفیت‌خازنی میلری استفاده شود، نه تقریب میلر. با توجه به مقاله در مورد اثر میلر، ظرفیت‌خازنی میلری داده شده است با

:: 
\begin{align}
C_M & = C_C \left( 1 - \frac {v_{\ell}} {v_i} \right) \\
  & = C_C \left( 1 - A_v \frac {R_L} {R_L+R_o} \frac {1+j \omega C_C R_o/A_v } {1+j \omega (C_L + C_C ) (R_o\|R_L) } \right ) \ . \\
\end{align}


(برای ظرفیت‌خازنی میلری مثبت، *A<sub>v</sub>* منفی است) با جایگزینی این نتیجه به‌داخل عبارت بهره و جمع‌کردن جملات، بهره به صورت زیر بازنویسی می‌شود:

::  \frac {v_{\ell}} {v_a} = A_v \frac {R_i} {R_i+R_A} \frac {R_L} {R_L+R_o} \frac {1+j \omega C_C R_o/A_v } {D_{ \omega }} \, 

با *D<sub>ω</sub>* داده شده توسط یک درجه‌دوم در ω، یعنی:

:: D_{ \omega }\,\!  = [1+j \omega (C_L+C_C) (R_o\|R_L)] \,\!  \sdot \ [1+j \omega C_i (R_A\|R_i)] \,\!  \ +j \omega C_C (R_A\|R_i)\,\!  \sdot \left( 1-A_v \frac {R_L} {R_L+R_O} \right) \,\! \ +(j \omega) ^2 C_C C_L (R_A\|R_i) (R_O\|R_L) \ . 

هر درجه‌دویی دو ضریب دارد و این عبارت اگر به صورت زیر بازنویسی شود ساده‌تر به نظر می‌رسد

:: 
\ D_{ \omega } =(1+j \omega { \tau}_1 )(1+j \omega { \tau}_2 ) 

:::  = 1 + j \omega ( {\tau}_1+{\tau}_2) ) +(j \omega )^2 \tau_1 \tau_2 \, \ 

که در اینجا \tau_1 و \tau_2 ترکیبی از ظرفیت‌ها و مقاومت‌ها در فرمول *D<sub>ω</sub>* هستند. آنها با ثابت زمانی‌های دو قطب تقویت‌کننده مطابقت دارند. یکی یا آن دیگری طولانی‌ترین ثابت زمانی است. فرض کنید \tau_1 طولانی‌ترین ثابت زمانی است که مربوط به پایین‌ترین قطب است و فرض کنید \tau_1 >> \tau_2 . (پاسخ پله خوب نیاز دارد \tau_1 >> \tau_2 . انتخاب C<sub>C</sub> را در زیر ببینید)

در فرکانس‌های پایین نزدیک به پایین‌ترین قطب این تقویت‌کننده، معمولاً عبارت خطی در ω از جمله درجه‌دوم مهم‌تر است، بنابراین رفتار فرکانس پایین *D<sub>ω</sub>* عبارت است از:

:: 
\begin{align}
\ D_{ \omega } & = 1+ j \omega [(C_M+C_i) (R_A\|R_i) +(C_L+C_C) (R_o\|R_L)] \\
        & = 1+j \omega ( \tau_1 + \tau_2) \approx 1 + j \omega \tau_1 \, \ \\
\end{align}


که در حال حاضر *C<sub>M</sub>* با استفاده از تقریب میلر دوباره تعریف می‌شود

::  C_M= C_C \left( 1 - A_v \frac {R_L}{R_L+R_o} \right) \ ,

که به سادگی ظرفیت‌خازنی میلر قبلی است که در فرکانس‌های پایین ارزیابی شده است. بر این اساس \tau_1 تعیین می‌شود، به شرط آنکه \tau_1 >> \tau_2  . از آنجا که *C<sub>M</sub>* بزرگ است، ثابت زمانی {\tau}_1 بسیار بزرگتر از مقدار اصلی *C<sub>i</sub>* (*R<sub>A</sub> || R<sub>i</sub>*) است.

در فرکانس‌های بالا عبارت درجه‌دوم مهم می‌شود. با فرض نتیجه فوق برای \tau_1 معتبر باشد، ثابت زمانی دوم، موقعیت قطب فرکانس بالا، از عبارت درجه‌دوم در *D<sub>ω</sub>* به‌صورتی یافت می‌شود که

::  \tau_2 = \frac {\tau_1 \tau_2} {\tau_1} \approx \frac {\tau_1 \tau_2} {\tau_1 + \tau_2}\ . 

جایگزینی در این عبارت ضریب درجه‌دوم مربوط به حاصل‌ضرب \tau_1 \tau_2  همراه با تخمینی برای \tau_1 ، تخمینی برای موقعیت قطب دوم یافت می‌شود:

:: 
\begin{align}
 \tau_2 & = \frac {(C_C C_L +C_L C_i+C_i C_C)(R_A\|R_i) (R_O\|R_L) } {(C_M+C_i) (R_A\|R_i) +(C_L+C_C) (R_o\|R_L)} \\
    & \approx \frac {C_C C_L +C_L C_i+C_i C_C} {C_M} (R_O\|R_L)\, \\
\end{align}


و چون *C<sub>M</sub>* بزرگ است، به نظر می‌رسد \tau_2 در اندازه از مقدار اصلی خود *C<sub>L</sub>*(*R<sub>o</sub>* || *R<sub>L</sub>*) کاهش می‌یابد؛ یعنی قطب بالاتر به دلیل *C<sub>C</sub>* هنوز از نظر فرکانس بالاتر برده است.

به‌طور خلاصه، واردکردن خازن *C<sub>C</sub>* قطب پایین را پایین‌تر و قطب بالا را بالاتر برد، بنابراین اصطلاح **دوپاره‌سازی قطب** توصیف خوبی به نظر می‌رسد.

### انتخاب C<sub>C</sub>
[بندانگشتی|300x300پیکسل| شکل ۳: [نمودار بود ایده‌آل برای طراحی تقویت‌کننده دو قطبی. بهره از قطب اول در *f<sub>1</sub>* در ۲۰ دسی‌بل در دهه تا قطب دوم در *f<sub>2</sub>* کاهش می‌یابد که در آن شیب به ۴۰ دسی‌بل در دهه افزایش می‌یابد.]]
یک انتخاب خوب برای *C<sub>C</sub>* چه مقداری است؟ برای استفاده عمومی، طراحی سنتی (اغلب به عنوان جبران‌سازی *قطب‌غالب* یا *تک‌قطبی* نامیده می‌شود) نیاز به کاهش بهره تقویت‌کننده در ۲۰ دسی‌بل در دهه از فرکانس گوشه تا بهره ۰ دسی بل، یا حتی کمتر دارد. با این طراحی، تقویت‌کننده پایدار است و حتی به عنوان یک بافر ولتاژ با بهره واحد، پاسخ پله تقریباً بهینه دارد. یک فنّ تهاجمی‌تر، جبران دوقطب است.

نحوه موقعیت *f*2 برای به دست آوردن طرح در شکل ۳ نشان داده شده است. در پایین‌ترین قطب *f* 1، نمودار بهره بُود شیب را می‌شکند تا در ۲۰ دسی بل/دهه سقوط کند. هدف نگه‌داشتن شیب ۲۰ دسی بل در دهه تا صفر دسی‌بل است، و نسبت افت مورد نظر بهره (برحسب دسی‌بل) 20\log_{10} Av به تغییر در فرکانس مورد نیاز (در مقیاس log فرکانس) از ( \log_{10} f_2 - \log_{10} f_1 ) = \log_{10} ( f_2 / f_1 ) شیب تِکه بین *f*1 و *f*2 است:

:: شیب در هر دهه فرکانس =20 \frac {\mathrm{log_{10}} ( A_v )} {\mathrm{log_{10}} (f_2 / f_1 ) } \ ,

که ۲۰ دسی‌بل بر دهه استبه شرط اینکه *f<sub>2</sub> = A<sub>v</sub> f<sub>1</sub>*. اگر *f<sub>2</sub>* به این بزرگی نباشد، شکست دوم در نمودار بود که در قطب دوم رخ می‌دهد، نمودار را قبل از افت بهره به ۰ دسی‌بل قطع می‌کند. با پیامد پایداری کمتر و پاسخ پله نزول‌یافته.

شکل ۳ نشان می‌دهد که برای به دست آوردن وابستگی بهره صحیح به فرکانس، قطب دوم حداقل یک ضریب *A<sub>v</sub>* در فرکانسی بالاتر از قطب اول است. بهره توسط تقسیم‌کننده‌های ولتاژ در ورودی و خروجی تقویت‌کننده کمی کاهش می‌یابد، بنابراین با اصلاحات *A<sub>v</sub>* برای تقسیم‌کننده‌های ولتاژ در ورودی و خروجی، **شرایط نسبت قطب** برای پاسخ پله خوب به این صورت می‌شود:

::  \frac {\tau_1} {\tau_2} \approx A_v \frac {R_i} {R_i+R_A}\sdot \frac {R_L} {R_L+R_o} \, 

[بندانگشتی|350x350پیکسل| شکل ۴: ظرفیت‌خازنی میلر در فرکانس‌های پایین ''C<sub>M</sub>'' (بالا) و خازن جبران‌سازی ''C<sub>C</sub>'' (پایین) به عنوان تابعی از بهره با استفاده از [مایکروسافت اکسل|اکسل. واحدهای ظرفیت‌خازنی pF هستند.]]
با استفاده از تقریب‌های ثابت زمانی که در بالا ایجاد شده است،

::  \frac {\tau_1} {\tau_2} \approx \frac {(\tau_1 +\tau_2 ) ^2} {\tau_1 \tau_2} \approx A_v \frac {R_i} {R_i+R_A}\sdot \frac {R_L} {R_L+R_o} \ ,

یا

::  \frac {[(C_M+C_i) (R_A\|R_i) +(C_L+C_C) (R_o\|R_L)]^2} {(C_C C_L +C_L C_i+C_i C_C)(R_A\|R_i) (R_O\|R_L) } \,\!   {\color{White}\sdot} = A_v \frac {R_i} {R_i+R_A}\sdot \frac {R_L} {R_L+R_o} \ ,

که یک معادله درجه دوم برای تعیین مقدار مناسب برای *C<sub>C</sub>* ارائه می‌کند. شکل ۴ نمونه‌ای را با استفاده از این معادله نشان می‌دهد. در مقادیر کم بهره، این تقویت‌کننده مثالی، شرایط نسبت قطب را بدون جبران‌سازی برآورده می‌کند (یعنی در شکل ۴، خازن جبران‌سازی *C<sub>C</sub>* در بهره کم کوچک است)، اما با افزایش بهره، ظرفیت‌خازنی جبران‌سازی به سرعت لازم می‌شود (یعنی در شکل ۴ خازن جبران‌سازی *C<sub>C</sub>* به سرعت با بهره افزایش می‌یابد) زیرا نسبت قطب لازم با بهره افزایش می‌یابد. برای بهره هنوز بزرگتر، *C<sub>C</sub>* لازم با افزایش بهره کاهش می‌یابد، زیرا تقویت میلر *C<sub>C</sub>*، که با بهره افزایش می‌یابد (به معادله میلر مراجعه کنید)، مقدار کمتری را برای *C<sub>C</sub>* اجازه می‌دهد.

برای ارائه حاشیه ایمنی بیشتر برای عدم قطعیت‌های طراحی، اغلب *A<sub>v</sub>* به دو یا سه برابر *A<sub>v</sub>* در سمت راست این معادله افزایش می‌یابد. سانسن یا هوایجینگ و مقاله در مورد پاسخ پله را ببینید.

### نرخ چرخش
موارد فوق یک تحلیل سیگنال کوچک است. با این حال، هنگامی که از سیگنال‌های بزرگ استفاده می‌شود، نیاز به شارژ و تخلیه خازن جبران‌سازی بر نرخ چرخش تقویت‌کننده تأثیر منفی می‌گذارد. به ویژه، پاسخ به سیگنال رَمپ ورودی به دلیل نیاز به شارژ *C<sub>C</sub>* محدود می‌شود.

## جستارهای وابسته
* جبران‌سازی فرکانس
* اثر میلر
* سورس مشترک
* نمودار بود
* پاسخ پله
* تقویت‌کننده سیماس

## مراجع و یادداشت‌ها

## پیوند به بیرون
*  در ویکی‌کتاب تئوری مدار
*  در ویکی‌کتاب سیستم‌های کنترل
رده:صفحه‌های با ترجمه بازبینی‌نشده
رده:طراحی الکترونیک
رده:مدارهای آنالوگ