میدان گالیوا با دو عنصر

**میدان گالیوا (با دو عنصر)** (که همچنین با نمادهای  

{\displaystyle \mathbb {F} _{2}}،  Z/2Z یا 
{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } نشان داده می‌شود) میدان متناهی با دو عنصر است.

میدان گالیوا با دو عنصر کوچک‌ترین میدان ممکن است و اگر عنصرهای آن را مانند همیشه با ۰ (عضو واحد جمعی) و ۱ (عضو واحد ضربی) نشان دهیم، این میدان یکتا است.

عنصرهای میدان گالیوا را می‌توان با دو مقدار ممکن یک بیت یا دو مقدار بولی true و false یکی دانست. به همین دلیل این میدان در علوم کامپیوتر و منطق، ساختاری بنیادی و همه‌جا حاضر است.

## تعریف
میدان گالیوا با دو عنصر یکتاترین میدانی است که دو عنصر دارد و عضو واحد جمع و ضرب آن به‌ترتیب ۰ و ۱ هستند.

## جمع
جمع در این میدان همان جمع معمولی اعداد صحیح است اما پیمانهٔ ۲:

اگر عناصر میدان گالیوا با دو عنصر را مقادیر بولی در نظر بگیریم، جمع دقیقاً معادل عملیات منطقی XOR است.

چون هر عنصر برابر با عکس جمعی خودش است، تفریق نیز همان جمع است.

## ضرب
ضرب در این میدان همان ضرب معمولی است و روی متغیرهای بولی، معادل عملیات AND است:

میدان گالیوا با دو عنصر را می‌توان با اعداد صحیح پیمانهٔ ۲ یکسان دانست؛ یعنی با خارج‌قسمت Z/2Z.

گاهی از نمادهای {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}  یا Z2 استفاده می‌شود، اگرچه این موارد ممکن است با نماد «اعداد ۲-ادیک» اشتباه گرفته شوند.

## خواص
چون میدان گالیوا با دو عنصر یک میدان است، بسیاری از ویژگی‌های آشنا از سیستم‌های عددی مانند اعداد گویا و حقیقی را دارد:

* جمع یک عضو واحد (۰) و معکوس جمعی دارد؛
* ضرب یک عضو واحد (۱) و برای تمام عناصر به‌جز ۰ معکوس ضربی دارد؛
* جمع و ضرب جابجایی و شرکت‌پذیری دارند؛
* ضرب نسبت به جمع توزیع‌پذیر است.
ویژگی‌هایی که در اعداد حقیقی آشنا نیستند:

هر عنصر x در میدان گالیوا با دو عنصر رابطهٔ زیر را ارضا می‌کند:

x + x = 0  

این بدان معناست که مشخصهٔ میدان برابر ۲ است.

همچنین: x^2=x

(یعنی هر عنصر نسبت به ضرب آیدمپوتنت است.) این یک نمونه از قضیهٔ کوچک فرما است. میدان گالیوا با دو عنصر تنها میدانی است که این خاصیت را دارد.  اثبات: اگر x^2 = x، آنگاه یا x = 0 یا \(x \neq 0\). در حالت دوم، چون x معکوس ضربی دارد، با تقسیم دو طرف رابطه بر x نتیجه می‌شود: x = 1. تمام میدان‌های بزرگ‌تر عناصر دیگری غیر از ۰ و ۱ دارند و آن عناصر نمی‌توانند این خاصیت را داشته باشند.

## کاربردها
به دلیل ویژگی‌های جبریِ بالا، بسیاری از ابزارهای آشنا و قدرتمند ریاضیات در میدان گالیوا با دو عنصر همان‌طور کار می‌کنند که در سایر میدان‌ها. برای مثال، عملگرهای ماتریسی، از جمله معکوس‌گیری ماتریس، را می‌توان روی ماتریس‌هایی با عناصر در میدان گالیوا به کار برد (نگاه کنید به حلقهٔ ماتریسی).

هر گروه (V,+) با خاصیتِ v + v = 0 برای هر v در V، الزاماً آبلی است و می‌توان آن را به‌صورت طبیعی به یک فضای برداری روی GF(2) تبدیل کرد:  0v = 0,1v = v این فضای برداری یک پایه خواهد داشت و بنابراین تعداد عناصر V باید یک توانِ ۲ باشد (یا نامتناهی).

در رایانه‌های امروزی، داده‌ها با رشته‌های بیتی با طول ثابت نشان داده می‌شوند که **[[کلمه (معماری رایانه)|کلمات ماشین]] (machine words)** نام دارند. این رشته‌ها به‌طور طبیعی دارای ساختار یک **[[فضای برداری]] روی GF(2)** هستند. جمع این فضای برداری همان عملگر **[[یای انحصاری|XOR]] بیت‌به‌بیت** است. عملگر AND بیت‌به‌بیت نیز یک عمل دیگر روی این فضاست که آن را به یک **[[جبر بولی]]** تبدیل می‌کند؛ ساختاری که زیربنای کل علوم کامپیوتر است. این فضاها همچنین می‌توانند با یک ضرب مجهز شوند تا تبدیل به یک **میدان GF(2ⁿ)** شوند، اما این ضرب نمی‌تواند یک عملگر بیت‌به‌بیت باشد.

هنگامی‌که n خود یک توانِ دو باشد، می‌توان از **ضرب نیم (nim-multiplication)** استفاده کرد؛ و در حالت کلی برای هر n می‌توان ضرب را به‌صورت **ضرب چندجمله‌ای‌ها روی GF(2) به پیمانهٔ یک چندجمله‌ای تجزیه‌ناپذیر** تعریف کرد (برای نمونه در میدان GF(2^8)
 که در توضیح رمزنگاری استاندارد AES به‌کار می‌رود).

فضاهای برداری و حلقه‌های چندجمله‌ای روی GF(2) در نظریهٔ کُدگذاری بسیار مهم هستند. بسیاری از کدهای BCH و کدهای تصحیح خطا کدهای خطی روی GF(2) هستند.

## بستار جبری
مثل هر میدان دیگری، میدان گالیوا با دو عنصر یک بستار جبری دارد. این بستار یک میدان F است که:

*  GF(2) را به‌عنوان زیرمیدان در خود دارد
* بر روی آن جبری است (هر عنصر ریشهٔ چندجمله‌ای با ضرایب در F
 است)
* جبری بسته است (هر چندجمله‌ای غیرثابت در F ریشه دارد)

F شامل نسخه‌ای از همهٔ میدان‌های متناهی است.  نسخهٔ در   GF(2^m) قرار دارد اگر و تنها اگر: m بر n بخش پذیر باشد در نهایت میدان F شماراپذیر است و اتحاد تمام این میدان‌هاست.

کانوی نشان داد که می‌توان F را با عدد ترتیبی:  

{\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega }}} شناسایی کرد، جایی که جمع و ضرب با استقراء متناهی تعمیم‌یافته تعریف می‌شوند. عمل جمع مشابه جمع Nim است و لنسترا نشان داد که ضرب نیز به‌طور مؤثر انجام‌پذیر است.

## جستارهای وابسته

* میدان با یک عنصر

## منابع

رده:میدان‌های متناهی
رده:محاسبه اعداد دودویی