قضیه محدودیت کریستالوگرافی

قضیهٔ محدودیت بلورنگاری در شکل پایه‌اش بر این مشاهده استوار است که تقارن‌های چرخشی (rotational symmetries) در یک بلور معمولاً محدود به دوران‌ ۲، ۳، ۴ و ۶ برابر (۲-fold، ۳-fold، ۴-fold، ۶-fold) هستند. به عبارت دیگر: اگر بخواهیم ساختار یک بلور را به مدل ریاضی «شبکه (lattice) گسسته» توصیف کنیم، این شبکه نمی‌تواند تقارن چرخشی با هر تعداد نامحدود داشته باشد — فقط گروه‌های چرخشی مشخص و محدودی با این شرایط سازگارند.

بلورها به‌صورت شبکه‌ای از نقاطِ تکرارشونده (lattice) مدل می‌شوند؛ این یعنی با چند انتقال خطی مستقل (translations) می‌توان کل ساختار را تولید کرد. چون نقاط شبکه گسسته هستند و بین آن‌ها حداقل فاصله وجود دارد، گروه تقارن چرخشیِ ممکن در آن نقطه باید «گسسته» و «دارای تعداد متناهی» (finite group) باشد. اما حتی همه گروه‌های متناهی با چنین شبکه‌هایی سازگار نیستند — فقط گروه‌های محدودی امکان‌پذیرند.[1]

### حالت دو و سه بعد
اگر نقشه شبکه و تقارن انتقالی در همه‌جا داشته باشیم، آنگاه هر تقارن چرخشی (یا به طور کلی هر ایزومتری با «order» متناهی) فقط می‌تواند از مرتبهٔ ۱، ۲، ۳، ۴ یا ۶ باشد.

اگر تقارن چرخشی، مثلا ۵-fold (دوران 72 درجه) یا 8-fold (دوران 45 درجه) باشد — با شبکهٔ منظم و تکرارشونده — به تناقض می‌رسیم. برای مثال در حالت ۸-fold اگر بخواهیم نقطه‌ای را بچرخانیم، ساختار تکرار شوندهٔ انتقالی طوری عمل می‌کند که فاصله‌ها به طور مکرر کوچک‌تر می‌شوند؛ بنابراین نمی‌توان شبکه‌ای گسسته و منظم حفظ کرد.

همین‌طور برای ۵-fold: اگر ۵‌ضلعی منظم از نقاط شبکه وجود داشته باشد، می‌توان ستاره‌ای پنج‌پر (pentagram) ساخت که ردهٔ جدیدی از نقاط با فاصلهٔ متفاوت ایجاد می‌کند — باز هم با تناقض مواجه می‌شویم.[2]

### پیامدها برای بلورشناسی و طبقه‌بندی تقارن‌ها
از این قضیه نتیجه می‌شود که در بلورها (در ۳ بعد)، تنها ۳۲ گروه تقارن نقطه‌ای (point groups) ممکن‌اند.

یعنی بسیاری از گروه‌های تقارن نظری — مثلا آن‌هایی که دوران ۵-fold یا 8-fold دارند — با ساختار بلور منظم ناسازگارند.

این محدودیت تأثیر مستقیم بر ساختار بلورها، هندسه واحد‌سلولی (unit cell)، و شکل کلی کریستال‌ها دارد.

وجود کوزی کریستال ها و فلز های Penrose نشان می دهد که فرض ترجمه خطی ضروری است. کاشی های پنروز ممکن است دارای 5-مربده همبستگی چرخش و یک شبکه متمایز باشند و هر محله محلی کاشی ها به طور بی نهایت بارها تکرار می شود، اما هیچ ترجمه خطی برای کل کاشی وجود ندارد. و بدون فرض شبكه متمایز، ساخت فوق نه تنها به تضاد نمی رسد، بلکه یک مثال (غیر متمایز) را تولید می کند. بنابراین نماد ۵ برابر گردش نمی تواند با وجود استدلال که هیچ یک از این فرضیه ها را از دست نمی دهد، حذف شود. یک تخته پنروز از کل (نامحدود) سطح می تواند فقط 5 برابر تراز گردش دقیق (از کل تخته) در مورد یک نقطه، با این حال، در حالی که 4 برابر و 6 برابر شبکه ها دارای بی نهایت بسیاری از مراکز تراز گردش است.
بندانگشتی|محدودیت‌های شبکه‌های چندضلعی
اثبات روابط مثلثاتی [3]

 \mathbf{r}' = m\mathbf{r} 

 r' = 2r\cos\alpha - r. 

### شبه‌بلور (quasicrystal)
با این حال، کشفیات بعدی نشان دادند که مواد خاصی با نام Quasicrystal وجود دارند که الگوی منظمی دارند ولی تکرار خطی (translational periodicity) ندارند — یعنی مثل شبکهٔ تکرارشونده نیستند. در این قبیل ساختارها ممکن است تقارن‌هایی مانند 5-fold (دوران 72°) دیده شود — چیزی که بر اساس قضیهٔ کلاسیک برای بلورها ممنوع بود. بنابراین، وجود شبه‌بلورها نشان می‌دهد که شرط «شبکهٔ گسسته با تقارن انتقالی در تمام فضا» — یعنی همان فرض اصلی قضیه — نقش کلیدی دارد. اگر این شرط برقرار نباشد، ممکن است تقارن‌های ممنوعه «کلاسیک» پدیدار شوند.
بندانگشتی
بندانگشتی

## منابع
* 
* 
* 
* 
* 

رده:مقاله‌های ایجادشده توسط ایجادگر
رده:قضایای جبر
رده:نظریه گروه‌ها