گنبد نورتون

300px|بندانگشتی|برش مقطعی از گنبد نورتون، که در آن $h$ و $x$ در واحدهای $\frac{2g^2}{3b^4}$ اندازه‌گیری می‌شوند.

**گنبد نورتون** (به انگلیسی: Norton's dome) یک آزمایش فکری است که یک سیستم غیرقطعی را در چارچوب مکانیک نیوتنی به نمایش می‌گذارد. این آزمایش در سال ۲۰۰۳ توسط جان دی. نورتون ابداع شد. این مسئله یک حالت حدی خاص از دسته کلی‌تری از مثال‌ها است که در سال ۱۹۹۷ توسط سانجی بات و دنیس برنستاین ارائه شد. مسئله گنبد نورتون را می‌توان مسئله‌ای در حوزه فیزیک، ریاضیات و فلسفه دانست.

## توصیف مسئله
این مدل شامل یک ذره نقطه‌ای ایده‌آل است که در ابتدا در راس یک گنبد ایده‌آل، متقارن شعاعی و بدون اصطکاک قرار دارد که با معادله زیر توصیف می‌شود:

h = {\frac {2b^2}{3g}}r^{3/2}, \quad 0 \leq r 

که در آن h جابجایی عمودی از بالای گنبد تا نقطه‌ای روی آن، r فاصله ژئودزیک از راس گنبد تا آن نقطه (به عبارت دیگر، مختصات شعاعی r روی سطح «حک» شده است)، g شتاب گرانش و b یک ثابت تناسب است.

بر اساس قانون دوم نیوتن، مؤلفه مماس شتاب یک جرم نقطه‌ای که روی سطح بدون اصطکاک قرار دارد، برابر است با a_{\parallel}=b^2\sqrt r این رابطه به معادله حرکت زیر برای ذره نقطه‌ای منجر می‌شود:
\ddot{r} = b^2 \sqrt{r}.

### پاسخ‌های معادله حرکت
نورتون نشان می‌دهد که دو دسته پاسخ ریاضی برای این معادله وجود دارد. در دسته اول، ذره برای همیشه در راس گنبد باقی می‌ماند که با پاسخ زیر توصیف می‌شود:
r(t) = 0.

در دسته دوم، ذره برای مدتی در راس گنبد باقی می‌ماند و سپس پس از یک دوره زمانی دلخواه T، در یک جهت دلخواه شروع به لغزیدن به پایین گنبد می‌کند. این حالت با پاسخ زیر توصیف می‌شود:
r(t) = \begin{cases}
  0 & t \leq T, \\[4pt]
  \frac{1}{144}[b(t-T)]^4 & t > T.
\end{cases}

نکته مهم این است که هر دوی اینها پاسخ‌های مسئله مقدار اولیه زیر هستند:
\ddot{r} = b^2\sqrt{r}, \quad r(0)=0, \quad \dot{r}(0) = 0.

بنابراین، در چارچوب مکانیک نیوتنی، این مسئله یک پاسخ نامعین دارد؛ به عبارت دیگر، با توجه به شرایط اولیه، مسیرهای ممکن متعددی وجود دارد که ذره می‌تواند طی کند. این همان تناقضی است که نشان می‌دهد مکانیک نیوتنی ممکن است یک سیستم غیرقطعی باشد.

برای اینکه ببینیم تمام این معادلات حرکت، پاسخ‌های فیزیکی ممکنی هستند، استفاده از برگشت‌پذیری زمانی مکانیک نیوتنی مفید است. می‌توان توپی را به گونه‌ای به بالای گنبد غلتاند که در زمان متناهی و با انرژی صفر به راس برسد و در آنجا متوقف شود. با اعمال برگشت زمانی، این یک پاسخ معتبر است که توپ برای مدتی در بالا بماند و سپس در هر جهتی به پایین بغلتد.

با این حال، همین استدلال برای گنبدهای معمول (مانند نیم‌کره) کارساز نیست، زیرا توپی که با انرژی دقیقاً کافی برای رسیدن به قله و ماندن در آنجا پرتاب می‌شود، در واقع زمان بی‌نهایت برای این کار نیاز دارد.

توجه داشته باشید که در حالت دوم، به نظر می‌رسد ذره بدون علت و بدون هیچ نیروی شعاعی از سوی موجودی دیگر شروع به حرکت می‌کند، که ظاهراً با شهود فیزیکی و مفاهیم شهودی معمول از علت و معلول در تضاد است. با این حال، این حرکت هنوز کاملاً با ریاضیات قوانین حرکت نیوتن سازگار است و نمی‌توان آن را به عنوان غیرفیزیکی رد کرد.

## راه‌حل‌های پارادوکس
اگرچه انتقادات زیادی به آزمایش فکری نورتون وارد شده است، مانند اینکه این آزمایش نقض اصل شرط لیپشیتس است (نیرویی که در قانون دوم نیوتن ظاهر می‌شود، یک تابع پیوسته لیپشیتس از مسیر ذره نیست - این امر اجازه می‌دهد تا قضیه یکتایی محلی برای پاسخ‌های معادله دیفرانسیل معمولی دور زده شود)، یا اینکه ناقض اصول تقارن فیزیکی است، یا به طریقی دیگر «غیرفیزیکی» است، اما هیچ اتفاق نظری در میان منتقدان آن در مورد دلیل نامعتبر دانستن آن وجود ندارد.

## جستارهای وابسته
* عدم قطعیت
* شکست خودبخودی تقارن
* خر بوریدان

## منابع

## پیوند به بیرون
* صفحه وب جان نورتون برای مسئله گنبد نورتون

رده:مکانیک کلاسیک
رده:پارادوکس‌های فیزیک
رده:آزمایش‌های فکری
رده:جبرگرایی
رده:آزمایش فکری در فیزیک