سیستم مرتبه‌-کسری

در زمینه‌های سیستم‌های دینامیکی و نظریه کنترل، یک **سیستم مرتبه‌کسری**  یا **سامانه مرتبه‌کسری**، یک سیستم دینامیکی است که می‌تواند توسط یک معادله دیفرانسیل کسری حاوی مشتقات مرتبه ناصحیح مدل‌سازی شود. گفته می‌شود که چنین سیستم‌هایی *دینامیک کسری* دارند. مشتقات و انتگرال‌های مرتبه‌کسری برای توصیف اشیایی استفاده می‌شوند که می‌توانند با غیرموضعی بودن قانون توانی، وابستگی دوربُرد قانون توانی یا خواص بَرخال مشخص شوند. سیستم‌های مرتبه‌کسری در مطالعه رفتار بی‌هنجار (anomalous) سیستم‌های دینامیکی در فیزیک، الکتروشیمی، زیست‌شناسی، گران‌رَوی‌کشسانی و سیستم‌های آشوبناک مفید هستند.

## تعریف
یک سیستم دینامیکی عمومی از مرتبه‌کسری را می‌توان به این شکل نوشت.

:  H(D^{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m})(y_1,y_2,\ldots,y_l) = G(D^{\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n})(u_1,u_2,\ldots,u_k)


که در آن  H و G توابعی از عملگر مشتق کسری  D از مرتبه‌های \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m و \beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n هستند و y_i و u_j توابعی از زمان هستند. یک حالت خاص رایج از این، سیستم خطی نامتغیر با زمان (LTI) در یک متغیر است:

:  \left(\sum_{k=0}^m a_k D^{\alpha_k}\right) y(t) = \left(\sum_{k=0}^n b_k D^{\beta_k}\right) u(t)

مرتبه‌های \alpha_k و \beta_k به‌طور کلی کمیت‌های مختلط هستند، اما دو مورد جالب زمانی است که مرتبه‌ها *متناسب* هستند با

:  \alpha_k, \beta_k = k \delta, \quad \delta = \frac{1}{q}, q \in Z^+

و وقتی که آنها *[[گویا]]* نیز هستند:

:  \alpha_k, \beta_k = k \delta, \quad \delta \in R^+

هنگامی که q=1 ، مشتقات از مرتبه عدد صحیح هستند و سیستم به یک معادله دیفرانسیل معمولی تبدیل می‌شود؛ بنابراین با افزایش تخصیص، سیستم‌های LTI می‌توانند از مرتبه عمومی، مرتبه متناسب، مرتبه گویا یا مرتبه عدد صحیح باشند.

### تابع انتقال
با اعمال تبدیل لاپلاس به سیستم LTI بالا، تابع تبدیل به صورت زیر می‌شود:

:  G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{\sum_{k=0}^n b_k s^{\beta_k}}{\sum_{k=0}^m a_k s^{\alpha_k}}

برای مرتبه‌های عمومی \alpha_k و \beta_k این یک تابع تبدیل غیر گویا است. توابع تبدیل نا-گویا را نمی‌توان به صورت بسطی با تعداد متناهی از جملات نوشت (مثلاً، بسط دوجمله‌ای تعداد نامتناهی از جملات خواهد داشت) و از این نظر می‌توان گفت که سیستم‌های مرتبه‌کسری پتانسیل حافظه نامحدود را دارند.

## انگیزه برای مطالعه سیستم‌های مرتبه‌کسری
قوانین نمایی یک رویکرد کلاسیک برای مطالعه دینامیک تراکم جمعیت هستند، اما سیستم‌های زیادی وجود دارند که دینامیک آنها سریع‌تر یا کندتر از قوانین نمایی عمل می‌کند. در چنین مواردی، تغییرات بی‌هنجار در دینامیک را می‌توان به بهترین شکل با توابع میتاگ-لفلر توصیف کرد.

انتشار بی‌هنجار یکی دیگر از سیستم‌های دینامیکی است که در آن سیستم‌های مرتبه‌کسری نقش مهمی در توصیف جریان بی‌هنجار در فرایند انتشار ایفا می‌کنند.

گران‌رَوی‌کشسانی خاصیتی از ماده است که در آن ماده ماهیت خود را بین کِشسان خالص و سیال خالص نشان می‌دهد. در مورد مواد واقعی، رابطه بین تَنش و کُرنش که توسط قانون هوک و قانون نیوتن ارائه می‌شود، هر دو دارای معایب آشکاری هستند؛ بنابراین، جی دبلیو اسکات بلر رابطه جدیدی بین تنش و کرنش که توسط

:  \sigma (t)=E{D_t^\alpha} \varepsilon(t), \quad 0

در نظریه آشوب، مشاهده شده است که آشوب در سیستم‌های دینامیکی از مرتبه ۳ یا بیشتر رخ می‌دهد. با معرفی سیستم‌های مرتبه‌کسری، برخی از محققان، آشوب را در سیستم‌های با مرتبه کل کمتر از ۳ مطالعه می‌کنند.

در علوم اعصاب، مشخص شده است که نورون‌های هرمی نئوکورتیکال موش صحرایی با مقیاس زمانی که به مقیاس زمانی تغییرات در آمار محرک بستگی دارد، سازگار می‌شوند. این سازگاری چند مقیاس زمانی با تمایز مرتبه‌کسری سازگار است، به طوری که نرخ شلیک نورون مشتق کسری از پارامترهای محرک با تغییرات آهسته است.

## تحلیل معادلات دیفرانسیل کسری
یک مسئله مقدار اولیه مرتبه‌کسری را در نظر بگیرید:

:  {_0^C D_t^\alpha} x(t)=f(t,x(t)) , \quad t\in [0,T], \quad  x(0)=x_0, \quad 0

### وجود و یکتایی
در اینجا، تحت شرط پیوستگی روی تابع f، می‌توان معادله فوق را به معادله انتگرالی مربوطه تبدیل کرد.

:  x(t)=x_0 + {_0^C D_t^{-\alpha}}f(t,x(t)) = x_0 + \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t \frac{f(s,x(s))\,ds}{(t-s)^{1-\alpha}},

می‌توان یک فضای جواب ساخت و توسط آن معادله، یک خودنگاشت پیوسته روی فضای جواب تعریف کرد، سپس با اعمال قضیه نقطه ثابت، یک نقطه ثابت بدست آورد که همان جواب معادله فوق است.

### شبیه‌سازی عددی
برای شبیه‌سازی عددی حل معادلات فوق، کای دیتهلم روش آدامز-بشفورث چندمرحله‌ای خطی کسری یا روش‌های مربع‌سازی را پیشنهاد کرده است.

## جستارهای وابسته
* تضعیف آکوستیک
* انتگرال‌دیفرانسیل
* حساب کسری
* کنترل مرتبه‌کسری
* انتگرال‌گیر مرتبه‌کسری
* معادله شرودینگر کسری
* مکانیک کوانتومی کسری

## منابع

## برای مطالعهٔ بیشتر

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## پیوند به بیرون
* کاربردهای حساب دیفرانسیل و انتگرال کسری در کنترل اتوماتیک و رباتیک، آموزشی در مورد حساب دیفرانسیل و انتگرال کسری، سیستم‌های مرتبه‌کسری و نظریه کنترل مرتبه‌کسری.

رده:حساب کسری
رده:سامانه‌های دینامیکی
رده:صفحه‌های با ترجمه بازبینی‌نشده
رده:مدل‌سازی ریاضی