گرده‌گون

در هندسه، **گُرده‌گون** یا نفروئید () یک منحنی مسطح خاص است. این نوعی از برون‌چرخ‌زاد است که در آن شعاع دایره کوچکتر با ضریب یک دوم با شعاع دایره بزرگتر متفاوت است.

## نام
گُرده در فارسی به معنای کلیه است و گرده‌گون یعنی «به شکل کلیه». نام نفروئید نیز از واژه یونانی νεφρός به معنی گرده و گلیه آمده است. اگرچه اصطلاح «نفروئید» برای توصیف منحنی‌های دیگر استفاده می‌شد، اما توسط ریچارد ا. پروکتور در سال ۱۸۷۸ برای منحنی این مقاله به کار رفت.

## تعریف دقیق
گرده‌گون عبارت است از:
* یک منحنی جبری از درجه ۶
* یک برون‌چرخ‌زاد با دو نقطه بازگشت (نقطه بازگشت)
* یک منحنی بسته ساده مسطح = یک منحنی ژوردان

### معادلات

#### پارامتری
اگر دایره کوچک شعاع a داشته باشد، دایره ثابت دارای نقطه میانی (۰٬۰) و شعاع ۲a باشد، زاویه غلتش دایره کوچک ۲φ و نقطه (۲a٬۰) نقطه شروع باشد (به نمودار مراجعه کنید)، سپس نمایش پارامتری زیر به دست می‌آید:
:x(\varphi) = 3a\cos\varphi- a\cos3\varphi=6a\cos\varphi-4a \cos^3\varphi \ ,
:y(\varphi) = 3a \sin\varphi - a\sin3\varphi =4a\sin^3\varphi\ , \qquad 0\le \varphi 

نگاشت مختلط z \to z^3 + 3z، دایره واحد را به یک گرده‌گون نگاشت می‌کند.

##### اثبات نمایش پارامتری
اثبات نمایش پارامتری به راحتی با استفاده از اعداد مختلط و نمایش آنها به عنوان صفحه مختلط انجام می‌شود. حرکت دایره کوچک را می‌توان به دو چرخش تقسیم کرد. در صفحه مختلط، چرخش یک نقطه z حول نقطه ۰ (مبدأ) با زاویه φ را می‌توان با ضرب نقطه z (عدد مختلط) در e^{i\varphi} انجام داد. از این رو

: چرخش \Phi_3 حول نقطه 3a با زاویه 2\varphi برابر است با : z \mapsto 3a+(z-3a)e^{i2\varphi} ،
: چرخش \Phi_0 حول نقطه 0 با زاویه \varphi برابر است با: :\quad z \mapsto ze^{i\varphi}.

یک نقطه  p(\varphi) از گرده‌گون با چرخاندن نقطه 2a توسط \Phi_3 و سپس چرخش با \Phi_0 تولید می‌شود:
:p(\varphi)=\Phi_0(\Phi_3(2a))=\Phi_0(3a-ae^{i2\varphi})=(3a-ae^{i2\varphi})e^{i\varphi}=3ae^{i\varphi}-ae^{i3\varphi}.
از اینجا به دست می‌آید:
:
\begin{array}{cclcccc}
x(\varphi)&=&3a\cos\varphi-a\cos3\varphi &=& 6a\cos\varphi-4a \cos^3\varphi \ ,&& \\
y(\varphi)&=&3a\sin\varphi-a\sin3\varphi&=& 4a\sin^3\varphi &.&
\end{array} 
(فرمول‌های  e^{i\varphi}=\cos\varphi+ i\sin\varphi, \ \cos^2\varphi+ \sin^2\varphi=1, \ \cos3\varphi=4\cos^3\varphi-3\cos\varphi,\;\sin 3\varphi=3\sin\varphi -4\sin^3\varphi استفاده شدند. به توابع مثلثاتی مراجعه کنید)

#### ضمنی
قرار دادن x(\varphi) و y(\varphi) در معادله
*(x^2+y^2-4a^2)^3=108a^4y^2
نشان می‌دهد که این معادله یک نمایش ضمنی منحنی است.

##### اثبات نمایش ضمنی
با
:x^2+y^2-4a^2=(3a\cos\varphi-a\cos3\varphi)^2+(3a\sin\varphi-a\sin3\varphi)^2 -4a^2=\cdots=6a^2(1-\cos2\varphi)=12a^2\sin^2\varphi
به دست می‌آید:
:(x^2+y^2-4a^2)^3=(12a^2)^3\sin^6\varphi=108a^4(4a\sin^3\varphi)^2=108a^4y^2\ .

## جهت
اگر تیزه‌ها روی محور y باشند، نمایش پارامتری به صورت زیر است:
:x=3a\cos \varphi+a\cos3\varphi,\quad y=3a\sin \varphi+a\sin3\varphi).
و نمایش ضمنی آن:
:(x^2+y^2-4a^2)^3=108a^4x^2.

## ویژگی‌های متریکی
برای گرده‌گون بالا، موارد زیر برقرار است:
* طول کمان  L= 24 a, 
* مساحت  A= 12\pi a^2\  و
* شعاع انحنا \rho=|3a\sin \varphi|.
اثبات این گزاره‌ها در هر دو مورد از فرمول‌های مناسب روی منحنی‌ها (طول کمان، مساحت و شعاع انحنا) و نمایش پارامتری بالا
:x(\varphi)=6a\cos\varphi-4a \cos^3\varphi \ , 
:y(\varphi)= 4a\sin^3\varphi 
و مشتقات آن‌ها
:\dot x=-6a\sin\varphi(1 - 2\cos^2\varphi)\ ,\quad \ \ddot x= -6 a\cos \varphi(5-6\cos^2\varphi)\ ,
:\dot y=12a\sin^2\varphi\cos\varphi \quad , \quad \quad \quad \quad
\ddot y=12a\sin\varphi(3\cos^2\varphi-1)\ . 
استفاده می‌کند.
* اثبات طول کمان:
:L=2\int_0^\pi{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}} \; d\varphi=\cdots =12a\int_0^\pi \sin\varphi\; d\varphi= 24a .
* اثبات مساحت:
: A=2\cdot \tfrac{1}{2}|\int_0^\pi[x \dot y-y \dot x]\; d\varphi|=\cdots= 24a^2\int_0^\pi\sin^2\varphi\; d\varphi= 12\pi a^2 .
* اثبات شعاع انحنا:
:\rho = \left|\frac {\left({\dot{x}^2 + \dot{y}^2}\right)^\frac32}{\dot {x}\ddot{y} - \dot{y}\ddot{x}}\right|=\cdots= |3a\sin \varphi|.

## ساخت
* می‌توان آن را با غلتاندن دایره‌ای به شعاع a در خارج از دایره ثابت به شعاع 2a ایجاد کرد. از این رو، یک گرده گون یک برون‌چرخ‌زاد است.

### گرده‌گون به عنوان پوشش یک دسته دایره
* فرض کنید c_0 یک دایره و D_1,D_2 نقاط یک قطر d_{12} باشند، در این صورت پوشش دسته دایره‌هایی که نقاط میانی آنها روی c_0 هستند و d_{12} را لمس می‌کنند، یک *گرده‌گون* با نقاط بازگشتی D_1,D_2 است.

#### اثبات
فرض کنید c_0 دایره (2a\cos\varphi,2a\sin\varphi) با نقطه میانی (0,0) و شعاع 2a باشد. قطر ممکن است روی محور x قرار گیرد (به نمودار مراجعه کنید). دسته دایره‌ها معادلات زیر را دارند:
: f(x,y,\varphi)=(x-2a\cos\varphi)^2+(y-2a\sin\varphi)^2-(2a\sin\varphi)^2=0 \ . 
شرط پوشش به صورت زیر است:
:f_\varphi(x,y,\varphi)=2a(x\sin\varphi -y\cos\varphi-2a\cos\varphi\sin\varphi)=0\ . 
به راحتی می‌توان بررسی کرد که نقطه گرده گون p(\varphi)=(6a\cos\varphi-4a \cos^3\varphi\; ,\; 4a\sin^3\varphi) یک راه حل از دستگاه f(x,y,\varphi)=0, \; f_\varphi(x,y,\varphi)=0 است و بنابراین یک نقطه از پوشش دسته دایره‌ها است.

### گرده گون به عنوان پوشش یک دسته خط

مشابه تولید یک دل‌گون به عنوان پوشش یک دسته خط، روش زیر را داریم:
# یک دایره رسم کنید، محیط آن را به قسمت‌های با فاصله مساوی با 3N نقطه تقسیم کنید (به نمودار مراجعه کنید) و آنها را به ترتیب شماره گذاری کنید.
# وترها را رسم کنید: (1,3), (2,6), ...., (n,3n),...., (N,3N), (N+1,3), (N+2,6), ...., . (یعنی نقطه دوم با سرعت سه برابر حرکت می‌کند)
# «پوشش» این وترها یک گرده گون است.

#### اثبات
بررسی زیر از فرمول‌های مثلثاتی برای
 \cos \alpha+\cos\beta,\ \sin \alpha+\sin\beta, \ \cos (\alpha+\beta), \ \cos2\alpha استفاده می‌کند. برای اینکه محاسبات ساده بماند، اثبات برای گرده‌گونی با تیزه‌های روی محور y ارائه می‌شود.
*معادله مماس*: برای گرده‌گون با نمایش پارامتری
:x=3\cos\varphi + \cos3\varphi,\; y=3\sin\varphi+\sin3\varphi:
از اینجا ابتدا بردار نرمال \vec n=(\dot y , -\dot x)^T  را تعیین می‌کنیم.

معادله مماس \dot y(\varphi)\cdot (x -x(\varphi)) - \dot x(\varphi)\cdot (y-y(\varphi))= 0 برابر است با:
:(\cos2\varphi\cdot x \ + \ \sin 2\varphi\cdot y)\cos \varphi = 4\cos^2 \varphi \ .
برای  \varphi=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2} تیزه‌های گرده‌گون را به دست می‌آوریم، که در آن هیچ مماس وجود ندارد. برای  \varphi\ne\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2} می‌توان بر \cos\varphi تقسیم کرد تا به دست آید:
*\cos2\varphi \cdot x + \sin2\varphi \cdot y = 4 \cos\varphi \ . 

*معادله وتر*: برای دایره با نقطه میانی (0,0) و شعاع 4: معادله وتر حاوی دو نقطه (4\cos\theta, 4\sin\theta), \ (4\cos{\color{red}3}\theta, 4\sin{\color{red}3}\theta))  برابر است با:
:(\cos2\theta \cdot x + \sin2\theta \cdot y)\sin\theta = 4 \cos\theta\sin\theta \ . 
برای \theta =0, \pi، وتر به یک نقطه تبدیل می‌شود. برای \theta \ne 0,\pi می‌توان بر \sin\theta تقسیم کرد و معادله وتر را به دست آورد:
*\cos2\theta \cdot x + \sin2\theta \cdot y = 4 \cos\theta \ . 
دو زاویه \varphi , \theta به‌طور متفاوتی تعریف می‌شوند (\varphi نصف زاویه غلتش است، \theta پارامتر دایره‌ای است که وترهای آن تعیین می‌شوند)، برای \varphi=\theta به خط یکسانی می‌رسیم. از این رو هر وتر از دایره بالا مماس بر گرده گون است و
* *گرده گون پوشش وترهای دایره است.*

### گرده‌گون به عنوان کاستیک نیمی از یک دایره

ملاحظات انجام شده در بخش قبل، اثباتی برای این واقعیت ارائه می‌دهد که کاستیک نیمی از یک دایره، یک گرده‌گون است.
* اگر در صفحه پرتوهای نور موازی به نیم دایره بازتابنده برخورد کنند (به نمودار مراجعه کنید)، پرتوهای بازتاب شده مماس بر یک گرده‌گون هستند.

#### اثبات
دایره ممکن است دارای مبدأ به عنوان نقطه میانی باشد (مانند بخش قبل) و شعاع آن 4 باشد. دایره دارای نمایش پارامتری زیر است:
:k(\varphi)=4(\cos\varphi,\sin\varphi) \ . 
مماس بر نقطه دایره K:\ k(\varphi) دارای بردار نرمال \vec n_t=(\cos\varphi,\sin\varphi)^T است. پرتو بازتاب شده دارای بردار نرمال (به نمودار مراجعه کنید) \vec n_r=(\cos{\color{red}2}\varphi,\sin{\color{red}2}\varphi)^T است و شامل نقطه دایره K: \ 4(\cos\varphi,\sin\varphi)  است. از این رو پرتو بازتاب شده بخشی از خط با معادله زیر است:
:\cos{\color{red}2}\varphi\cdot x \ + \ \sin {\color{red}2}\varphi\cdot y = 4\cos\varphi \ , 
که مماس بر گرده گون بخش قبلی در نقطه
:P:\ (3\cos\varphi + \cos3\varphi,3\sin\varphi+\sin3\varphi) (به بالا مراجعه کنید) است.

## گسترنده و گستران یک گرده‌گون

### گسترنده
گسترنده یک منحنی، مکان هندسی مراکز انحنا است. به‌طور خاص: برای یک منحنی \vec x=\vec c(s) با شعاع انحنای \rho(s)، گسترنده دارای نمایش زیر است:
:\vec x=\vec c(s) + \rho(s)\vec n(s).
با \vec n(s) به عنوان نرمال واحد به‌طور مناسب جهت‌دهی شده.

برای یک گرده‌گون به دست می‌آید:
* «گسترنده» یک گرده گون، یک گرده‌گون دیگر است که نصف اندازه آن است و ۹۰ درجه چرخیده است (به نمودار مراجعه کنید).

#### اثبات
گرده‌گونی که در تصویر نشان داده شده است، نمایش پارامتری زیر را دارد:
:x=3\cos\varphi + \cos3\varphi,\quad y=3\sin\varphi+\sin3\varphi \ ,
بردار نرمال واحد که به سمت مرکز انحنا اشاره می‌کند، به صورت زیر است:
:\vec n(\varphi)=(-\cos 2\varphi,-\sin 2\varphi)^T (به بخش بالا مراجعه کنید)
و شعاع انحنا 3\cos \varphi است (به بخش مربوط به ویژگی‌های متریکی مراجعه کنید).
از این رو گسترنده دارای نمایش زیر است:
:x=3\cos\varphi + \cos3\varphi -3\cos\varphi\cdot\cos2\varphi=\cdots=3\cos\varphi-2\cos^3\varphi,
:y=3\sin\varphi+\sin3\varphi -3\cos\varphi\cdot\sin2\varphi\ =\cdots=2\sin^3\varphi \ ,
که یک گرده گون با نصف اندازه و چرخش ۹۰ درجه است (به نمودار و بخش  بالا مراجعه کنید).

### گستران
از آنجایی که گسترنده یک گرده‌گون، یک گرده‌گون دیگر است، گستران گرده گون نیز یک گرده‌گون دیگر است. گرده‌گون اصلی در تصویر، گستران گرده‌گون کوچکتر است.

## وارون یک گرده‌گون
وارونگی
: x \mapsto \frac{4a^2x}{x^2+y^2}, \quad y\mapsto \frac{4a^2y}{x^2+y^2} 
در دایره با نقطه میانی (0,0) و شعاع 2a، گرده گون را با معادله
:(x^2+y^2-4a^2)^3=108a^4y^2
به منحنی درجه ۶ با معادله
: (4a^2-(x^2+y^2))^3=27a^2(x^2+y^2)y^2 (به نمودار مراجعه کنید) نگاشت می‌کند.

## منابع

* Arganbright, D. , *Practical Handbook of Spreadsheet Curves and Geometric Constructions*, CRC Press, 1939, ISBN 0-8493-8938-0, p.&nbsp;54.
* Borceux, F. , *A Differential Approach to Geometry: Geometric Trilogy III*, Springer, 2014, ISBN 978-3-319-01735-8, p.&nbsp;148.
* Lockwood, E. H. , *A Book of Curves,* Cambridge University Press, 1961, ISBN 978-0-521-05585-7, p.&nbsp;7.

* 

## پیوند به بیرون

رده:غلتان‌ها