مدول وایبول

**مدول وایبول** (Weibull modulus) یک پارامتر بی‌بعد از توزیع وایبول است. این پارامتر نشان‌دهنده عرض تابع چگالی احتمال (PDF) است، به‌طوری که مقدار عددی بالاتر برای این پارامتر، مشخصه یک توزیع باریک‌تر از مقادیر است. نمونه‌هایی از موارد استفاده شامل تحلیل شکست مواد شکننده و زیستی می‌شود، جایی که از این پارامتر برای توصیف تغییرپذیری استحکام شکست مواد استفاده می‌گردد.

## تعریف

توزیع وایبول که به صورت یک تابع توزیع تجمعی (CDF) نمایش داده می‌شود، به صورت زیر تعریف می‌شود:

F(x)=1-\exp\left(-\left(\frac{x-x_u}{x_0}\right)^m\right)

که در آن *m* مدول وایبول است. x_0 پارامتری است که در حین برازش داده‌ها بر توزیع وایبول به دست می‌آید و مقداری را نشان می‌دهد که در آن تقریباً ۶۷٪ از داده‌ها در بر گرفته می‌شوند. با افزایش *m*، تابع توزیع تجمعی (CDF) بیشتر به یک تابع پله‌ای در x_0 شباهت پیدا می‌کند که با یک قله تیزتر در تابع چگالی احتمال (PDF) مطابقت دارد. این تابع چگالی احتمال به صورت زیر تعریف می‌شود:

    f(x)=\left(\frac{m}{x_0}\right)\left(\frac{x-x_u}{x_0}\right)^{m-1}\exp\left(-\left(\frac{x-x_u}{x_0}\right)^m\right)

تحلیل شکست اغلب از این توزیع استفاده می‌کند، به‌گونه‌ای که تابع توزیع تجمعی (CDF) نشان‌دهنده احتمال شکست *F* برای یک نمونه، بر حسب تنش اعمالی σ، به شکل زیر است:

F(\sigma)=1-\exp\left[-\left(\frac{\sigma}{\sigma_0}\right)^m\right]

تنش شکست نمونه، σ، جایگزین متغیر x در معادله بالا می‌شود. ویژگی اولیه x_u برابر با صفر  فرض می‌شود که نشان‌دهنده حالت تعادل و بدون تنش ماده است.

در نمودار ترسیم‌شده تابع توزیع تجمعی (CDF) وایبول، شایان توجه است که تمامی منحنی‌های رسم‌شده در مقدار تنش ۵۰ مگاپاسکال، که استحکام مشخصه برای این توزیع‌ها است، یکدیگر را قطع می‌کنند؛ حتی با وجودی که مقدار مدول وایبول متفاوت است. همچنین در نمودار ترسیم‌شده تابع چگالی احتمال (PDF) وایبول قابل توجه است که یک مدول وایبول بالاتر، منجر به یک شیب تندتر در نمودار می‌گردد.

توزیع وایبول می‌تواند چندحالته نیز باشد، که در آن مقادیر متعدد x_0 و پارامترهای شکل متعدد *m* گزارش می‌شود. تابع توزیع تجمعی (CDF) برای یک توزیع وایبول دومُدی هنگامی که در تحلیل شکست مواد به کار می‌رود، به شکل زیر است:

F(\sigma)=1-\phi\exp\left[-\left(\frac{\sigma}{\sigma_{01}}\right)^{m_1}\right] -(1-\phi)\exp\left[-\left(\frac{\sigma}{\sigma_{02}}\right)^{m_2}\right]

این معادله ماده‌ای را نشان می‌دهد که تحت دو حالت شکست متفاوت گسیخته می‌شود. در این معادله، *m*1 پارامتر شکل مربوط به حالت اول و *m<sub>2</sub>* پارامتر شکل مربوط به حالت دوم است. Φ نیز کسری از مجموعه نمونه است که تحت حالت اول شکست می‌خورند.
## خطی‌سازی تابع توزیع تجمعی (CDF)
متمم تابع توزیع تجمعی وایبول را می‌توان به صورت زیر بیان کرد: P=1-F

که در آن P مربوط به احتمال بقای یک نمونه تحت یک مقدار تنش معین است. بنابراین، داریم:

P(\sigma)=1 - \left[ 1 - \exp\left[-(\frac{\sigma}{\sigma_0})^m\right]\right]=\exp\left[-(\frac{\sigma}{\sigma_0})^m\right]

که در آن m مدول وایبول است. اگر احتمال بر حسب تنش رسم شود، می‌بینیم که نمودار به شکل سیگموئیدی است، همان‌طور که در شکل بالا نشان داده شده است. با بهره‌گیری از این واقعیت که تابع نمایی پایه لگاریتم طبیعی است، معادله فوق را می‌توان به شکل زیر بازنویسی کرد:

\ln \left[\ln\left (\frac{1}{1-F} \right)\right]= \ln \left[\left (\frac{\sigma}{\sigma_0} \right)^m\right]

که با استفاده از ویژگی‌های لگاریتم می‌توان آن را به این شکل نیز بیان کرد:

\ln \left[\ln\left (\frac{1}{1-F} \right)\right]= m\ln(\sigma)-m\ln(\sigma_0)

هنگامی که سمت چپ این معادله به عنوان تابعی از لگاریتم طبیعی تنش رسم شود، یک نمودار خطی ایجاد می‌گردد که شیب آن برابر با مدول وایبول (m) و عرض از مبدأ آن برابر با \ln(\sigma_0) است.

با نگاه به نمودار خطی‌شده توابع توزیع تجمعی (CDF) در بالا، می‌توان دید که تمام خطوط، محور x را در یک نقطه قطع می‌کنند زیرا همه توابع دارای مقدار یکسانی برای استحکام مشخصه هستند. شیب‌ها به دلیل مقادیر متفاوت مدول وایبول، متغیر هستند.
## اندازه‌گیری
سازمان‌های استاندارد، معیارهای متعددی برای اندازه‌گیری و گزارش مقادیر پارامترهای وایبول، همراه با سایر تحلیل‌های آماری داده‌های استحکام ایجاد کرده‌اند:

* ASTM C1239-13 : روش استاندارد برای گزارش‌دهی داده‌های استحکام تک‌محوری و برآورد پارامترهای توزیع وایبول برای سرامیک‌های پیشرفته
* ASTM D7846-21 : روش استاندارد برای گزارش‌دهی داده‌های استحکام تک‌محوری و برآورد پارامترهای توزیع وایبول برای گرافیت‌های پیشرفته
* ISO 20501:2019 : سرامیک‌های پیشرفته (سرامیک‌های فنی پیشرفته) - آمار وایبول برای داده‌های استحکام
* ANSI DIN EN 843-5:2007 : سرامیک‌های فنی پیشرفته - خواص مکانیکی سرامیک‌های یکپارچه در دمای اتاق - بخش ۵: تحلیل آماری

هنگام اعمال توزیع وایبول بر یک مجموعه داده، ابتدا باید نقاط داده به صورت رتبه‌بندی شده مرتب شوند. در مورد استفاده برای تحلیل شکست، استحکام‌های شکست نمونه‌ها به ترتیب صعودی مرتب می‌شوند، یعنی از کمترین به بیشترین استحکام. سپس به هر استحکام شکست اندازه‌گیری شده، یک احتمال شکست نسبت داده می‌شود. استاندارد ASTM C1239-13 از فرمول زیر استفاده می‌کند:

F(\sigma)=\frac{i-0.5}{N}

که در آن i شماره نمونه بر اساس رتبه و N تعداد کل نمونه‌ها است. از این نقطه می‌توان F را بر حسب استحکام شکست رسم کرد تا یک تابع توزیع تجمعی (CDF) وایبول به دست آید. پارامترهای وایبول، یعنی مدول و استحکام مشخصه، را می‌توان از طریق مناسب سازی یا با استفاده از روش خطی‌سازی که در بالا توضیح داده شد، به دست آورد.
## نمونه‌هایی از کاربردها در آثار منتشر شده
آمار وایبول اغلب برای مواد سرامیکی و دیگر مواد شکننده استفاده می‌شود. در مهندسی مواد، مدول وایبول به عنوان یک شاخص مهم قابلیت اطمینان عمل می‌کند و مقدار آن برای بیش از ۳۷۰ ماده جمع‌آوری شده است. برای مثال، در الیاف شیشه‌ای سازه‌ای، گزارش شده است که مدول وایبول در محدوده ۲.۳ تا ۷ قرار دارد. این روش همچنین در زمینه‌های دیگری مانند هواشناسی نیز به کار رفته است، جایی که سرعت بادها اغلب با استفاده از آمار وایبول توصیف می‌شوند.
### سرامیک‌ها و مواد شکننده
برای مواد سرامیکی و دیگر مواد شکننده، حداکثر تنشی که یک نمونه می‌تواند قبل از شکست تحمل کند، ممکن است از نمونه‌ای به نمونه دیگر متفاوت باشد، حتی تحت شرایط آزمایش یکسان. این امر به توزیع عیوب فیزیکی موجود در سطح یا بدنه نمونه شکننده مرتبط است، زیرا فرآیندهای شکست ترد از این نقاط ضعف نشأت می‌گیرند. کارهای زیادی برای توصیف شکست شکننده در حوزه مکانیک شکست الاستیک خطی و به‌طور خاص با توسعه مفاهیم ضریب شدت تنش و معیار گریفیث انجام شده است. هنگامی که عیوب یکنواخت و به طور مساوی توزیع شده باشند، نمونه‌ها به صورت یکنواخت‌تری رفتار خواهند کرد تا زمانی که عیوب به صورت خوشه‌ای و ناسازگار تجمع یافته باشند. این موضوع باید هنگام توصیف استحکام ماده در نظر گرفته شود، بنابراین بهترین روش برای نمایش استحکام، یک توزیع از مقادیر است تا یک مقدار خاص.

سنجش‌های استحکام انجام شده بر روی نمونه‌های کوچک متعدد از یک ماده سرامیکی شکننده را در نظر بگیرید. اگر اندازه‌گیری‌ها تغییرات کمی از نمونه‌ای به نمونه دیگر نشان دهند، مدول وایبول محاسبه‌شده بالا خواهد بود و یک مقدار استحکام واحد می‌تواند توصیف خوبی از عملکرد نمونه‌ها ارائه دهد. می‌توان نتیجه گرفت که عیوب فیزیکی آن، چه ذاتی خود ماده و چه ناشی از فرآیند تولید، به طور یکنواخت در سراسر ماده توزیع شده‌اند. اگر اندازه‌گیری‌ها تغییرات زیادی نشان دهند، مدول وایبول محاسبه‌شده پایین خواهد بود؛ این نشان می‌دهد که عیوب به صورت ناسازگاری خوشه‌ای شده‌اند و استحکام اندازه‌گیری شده عموماً ضعیف و متغیر خواهد بود.

محصولات ساخته شده از اجزایی با مدول وایبول پایین، قابلیت اطمینان پایینی از خود نشان می‌دهند و استحکام آن‌ها به طور گسترده‌ای پراکنده خواهد بود. با فرآیندهای تولید دقیق، مدول وایبول تا ۹۸ برای فیبرهای نوری به طول ۲۵ میلی‌متر که تحت آزمایش کششی قرار گرفته‌اند، مشاهده شده است.

جدولی از مدول وایبول برای چند ماده رایج ارائه شده است. با این حال، توجه به این نکته مهم است که مدول وایبول یک پارامتر مناسب برای داده‌های استحکام است و بنابراین مقدار گزارش‌شده ممکن است از منبعی به منبع دیگر متفاوت باشد. این پارامتر همچنین خاص روش آماده‌سازی نمونه و روش آزمایش است و در صورت تغییر فرآیند تحلیل یا تولید، ممکن است تغییر کند.

### مواد طبیعی
مطالعاتی که مواد شکننده طبیعی را بررسی می‌کنند، بر یکنواختی و تغییرپذیری مدول وایبول در سرامیک‌های طبیعی مانند عاج دندان انسان و صدف آبالون تاکید دارند. پژوهش روی نمونه‌های عاج دندان انسان نشان می‌دهد که پارامتر شکل وایبول در اعماق یا مکان‌های مختلف داخل دندان پایدار می‌ماند، با مقدار متوسط تقریباً ۴.۵ و محدوده‌ای بین ۳ تا ۶. تغییرات در این پارامتر، نشان‌دهنده تفاوت در جمعیت عیوب بین دندان‌های مختلف است که تصور می‌شود به دلیل عیوب تصادفی ایجاد شده در حین آماده‌سازی نمونه باشد. گمانه‌زنی‌هایی در مورد کاهش احتمالی مدول وایبول با افزایش سن به دلیل تغییرات در توزیع عیوب و حساسیت به تنش وجود دارد. شکست در عاج معمولاً از این عیوب آغاز می‌شود که می‌توانند ذاتی یا بیرونی باشند و از عواملی مانند آماده‌سازی حفره، سایش، آسیب یا بارگذاری چرخه‌ای ناشی شوند.

مطالعات روی صدف آبالون، سازگاری‌های ساختاری منحصر به فرد آن را نشان می‌دهد که در آن استحکام کششی عمود بر ساختار کاهش یافته تا استحکام موازی با آرایش صفحه‌ای افزایش یابد. پارامتر شکل وایبول نمونه‌های صدف آبالون ۱.۸ تعیین شده است که نشان‌دهنده درجه متوسطی از تغییرپذیری در استحکام بین نمونه‌ها است.
### مواد نیمه-شکننده
مدول وایبول برای مواد نیمه-شکننده با کاهش در شیب طیف سد انرژی همبستگی دارد، همان‌گونه که در مدل‌های مکانیک شکست تعیین شده است. این رابطه امکان تعیین هر دو پارامتر «شیب کاهش طیف سد انرژی شکست» و «مدول وایبول» را فراهم می‌کند، در حالی که عواملی مانند برهم‌کنش ترک‌ها و تخریب ناشی از عیوب در نظر گرفته می‌شوند. وابستگی به دما و تغییرات ناشی از برهم‌کنش ترک‌ها یا برهم‌کنش میدان‌های تنش در مدول وایبول مواد نیمه-شکننده مشاهده شده است. انباشت آسیب به کاهش سریع مدول وایبول منجر می‌شود که در نتیجه آن، توزیع به سمت راست جابه‌جا شده و با افزایش آسیب، مدول وایبول کوچک‌تری به دست می‌آید.
### تحلیل کیفیت
تحلیل وایبول همچنین در کنترل کیفیت و «تحلیل عمر» برای محصولات استفاده می‌شود. یک مدول وایبول بالاتر به شرکت‌ها این امکان را می‌دهد که با اطمینان بیشتری عمر محصول خود را برای استفاده در تعیین دوره‌های ضمانت پیش‌بینی کنند.
## دیگر روش‌های مشخصه‌یابی برای مواد شکننده
روش دیگری برای تعیین استحکام مواد شکننده، در مشارکت ویکی‌کتاب با عنوان  توصیف شده است.

## جستارهای وابسته
* توزیع وایبول
* مکانیک شکست
* تابع چگالی احتمال
* قابلیت اطمینان
## منابع

رده:علم مواد
رده:آمار مهندسی