حساب مالیاوین

**حساب مالیاوین** نظریه‌ای در نظریه احتمالات است که حساب وردش را از تابع‌های قطعی به فرآیندهای کاتوره‌ای می‌گستراند. از این روی به آن *حساب وردش کاتوره‌ای* نیز می‌توان گفت. این حساب اولین بار توسط پاول مالیویان ارایه شد.

این نظریه که با معادلات دیفرانسیل تصادفی سر و کار دارد، کاربردهایی در جستارهای کنترل بهینه تصادفی و ریاضیات مالی دارد.

## انگیزه
کارکردوار F وابسته به فرایند وینر را درنظر بگیرید. اگر این کارکردوار تابع g باشد، متداول است تا وردش آن را (\delta_gF) به یاری رابطه زیر حساب کرد:\delta_g F = \frac{1}{\epsilon} [F(g + \epsilon h) - F(g)],~~ \epsilon\to 0اما این وردش همیشه وجود ندارد، برای همین به حساب وردش دیگری نیاز پیدا می‌شود.

## مشتق مالیاوین و قضیه‌های وابسته
مشتق مالیاوین بگونه ای تعریف می‌شود تا تغییرات را نسبت به فرایند وینر بسنجد. طبیعی است که برای \int_0^t h_s dw_s مشتق مالیاوین برابر با h باشد؛ (در سنجش با مشتق عادی از  \int_0^t h_s ds که برابر h_t است). بنابراین اگر مشتق مالیاوین نسبت به فرایند وینر در زمان s را با D_s نشان دهیم، از روی تعریف داریم.D_s \int_0^T h_t dw_t = h_s~\mathbb{1}_{[0,T]}(s)بنابراین D_s[.] تعییرات یک متغیر کاتوره‌ای را نسبت به فرایند وینر اندازه‌گیری می‌کند. همچنین توجه کنید که D_s w_t  =  D_s \int_0^t w_r dr = 1_{[0,t]}(s).
----**مشتق‌گیری زنجیره‌ای:** می‌توان برطبق قاعده زنجیره ای مشتق مالیاوین از کارکردوار وینر F را که در آنF(W(h_1), W(h_2),\ldots,W(h_n)),\qquad W(h_i) = \int_0^T h_{i,s} dw_sبصورت زیر داشت:D_sF = \sum_{i=1}^n \frac{\partial F}{\partial x_i}~D_s W(h_{i}) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial F}{\partial x_i}~h_{i,s}~1_{[0,T]}(s),\qquad (A1)
----**قضیه انتگرال‌گیری پاره‌ای (قضیه دوگان):** برای کارکردوارِ وینر F=F(\int_0^T h_s dw_s) داریم:E\big\{F \int_0^T g_s dw_s\big\} = E\{   \langle D_sF , g_s\rangle   \},\qquad (A2)که در آن \langle h_s, g_s \rangle = \int_0^t h_s~g_s ds.

اثبات:E\{   \langle D_sF , g_s\rangle   \} = E\Big\{ \int_0^T D_sF~g_s~ds \Big\} = E\{ \int_0^T F_x~h_s~g_s~ds \} = E\{ F_x \int_0^T h_s g_s ds  \}
= E \Big\{ F_x\Big(\int_0^T h_s dw_{s}\Big) \Big\} \int_0^T h_{s} g_{s} ds
 \overset{(1)}{=} E\Big\{ F_{x}\Big(\int_0^T h_s dw_s\Big) \Big\} E\Big\{ \int_0^T h_s dw_{s} \int_0^T g_s dw_{s} \Big\} \overset{(2)}{=} E\Big\{ F(\int_0^T h_s dw_s) \int_0^T g_s dw_s\Big\}که برای (۱) از قاعده ایزومتری استفاده شد و برای (۲) از لم Stein بهره گرفته شد که برپایه آن برای x , y که توزیع گاوسی با میانگین صفر داشته باشند داریم: E\{ f(x)y \} = E\{f'(x)\}E\{xy\} .
----**مشتق مالیاوین از فرایند پراکنش (diffusion process):**

اگر فرایند پراکنش X=(x_t)_{t\in[0,T]} از معادله دیفرانسیل کاتوره‌ای (SDE) dx_t = a(x_t,t) dt + b(x_t, t) dw_t تولید شده باشد. آنگاه داریم:D_s x_t = b(x_s,s) + \int_s^t a_x(x_{\tau},\tau) D_s x_{\tau} d\tau + \int_s^t b_x(x_{\tau},\tau) D_s x_{\tau} dw_{\tau},~s\in [0,T], \qquad (A3)
D_t x_t = b(x_t,t)که درنتیجه آن به یک SDE وردشی خطی می‌رسیم. از آنجا که معادله بالا خطی است، حل آن بصورت زیر است:D_sx_t = b(x_s,s) \exp\Big( \int_s^t b_x(x_\tau,\tau) dw_\tau + \int_s^t \Big( a_x(x_\tau,\tau) - \frac12 b_x(x_{\tau} , \tau)^2 \Big) d\tau \Big),\qquad (A4)اثبات:

از آنجا که D_s[.] حساسیت نسبت به w_s را می‌سنجد، رابطه SDE را بصورت x_t = \underbrace{\int_0^s a(x_\tau,\tau) d\tau + \int_0^s b(x_\tau, \tau) dw_\tau}_{\text{first term}}
    + \underbrace{\int_s^t a(x_\tau,\tau) d\tau  + \int_s^t b(x_\tau, \tau) dw_\tau}_{\text{second term}} باز می‌نویسیم. حال توجه کنید که مشتق مالیاوین D_s[.] از جمله اول صفر است چون هیچ وابستگی ای به w_s ندارد. حال با کاربستِ قاعده زنجیره ای و اینکه D_s \int h_t dw_t = h_{s} داریم:D_s x_t = \int_s^t a_x(x_\tau,\tau)~D_sx_{\tau}~d\tau + \int_s^t b_x(x_\tau,\tau)~D_sx_{\tau}~dw_\tau + b(x_s,s)
----**قضیه ای از [[نظریه اختلال|آنالیز پریشیدیگی]]:** اگر x یک فرایند پراکنش از dx_t = a(x_t,t) dt + b(x_t, t) dw_t باشد، h=(h_s)_{s\in[0,t]} یک تابع مشتق‌پذیر و W=(w_s)_{s\in[0,t]} فرایند وینر، در اینصورت داریم:\frac{1}{\epsilon}(x_t(W+\epsilon h) - x_t(W)) \to \langle D_sx_t , h_s' \rangle,~ as ~\epsilon \to 0,\qquad (A5)که در آن x_t(W+\epsilon h) پریشیدگی x_t نسبت به فرایند وینر می‌باشد.

اثبات: گیریم y_t := \frac{1}{\epsilon}(x_t(W+\epsilon h) - x_t(W)) ، آنگاه داریم x_t(W+\epsilon h) = x_t(W) + \epsilon~y_t ، پس می‌توان داشت:dy_t = \frac{1}{\epsilon}( dx_t(W+\epsilon h) - dx_t(W) )از طرف دیگر

dx_t(W+\epsilon h_t) = dx_t+\epsilon dy_t = a(x_t+\epsilon y_t,t) dt + b(x_t+\epsilon y_t, t) d(w_t+\epsilon h_t) = a(x_t+\epsilon y_t,t) dt + b(x_t+\epsilon y_t, t) (dw_t+\epsilon h_t' dt)که می‌توان نتیجه گرفت:

dy_t = \frac{1}{\epsilon} ( dx_t(W+\epsilon h) - dx_t(W) ) = \frac{1}{\epsilon}(\epsilon a_x y_t dt + \epsilon b_x y_t dw_t + b(x_t + \epsilon y_t)h_t' dt) = (a_x y_t + b h_t')dt + b_x y_t dw_t,~as~\epsilon\to 0

از طرف دیگر گیریم z_t := \langle D_sx_t , h_s' \rangle = \int_0^t D_s x_t h_s'  ds، در نتیجه داریم: dz_t = D_tx_t h'_t dt + \int_0^t d(D_sx_t) h_s' ds = bh_t' dt + \int_0^t \big( a_xD_sx_tdt + b_xD_sx_t dw_t \big) h'_s ds = bh_t'tdt + a_x z_t dt + b_x z_t dw_t بنابراین دیده می‌شود که z_t  و y_t  هردو از یک SDE یکسان پیروی می‌کنند، حال از آنجا که z_0 = y_0 = 0 ، پس نتیجه می‌شود که y_t   و z_t  برابرند.

از این قضیه نتیجه می‌شود که پریشیدن (اختلال) فرایند وینر به فرایند پراکنشی می‌انجامد که با مشتق مالیاون رابطه دارد.

**نتیجه:** از روابط (A2) و (A5) می‌توان نتیجه گرفت که:\frac{1}{\epsilon} \Bigg( E\Big\{ x_t \Big( W+\epsilon \int_0^t h_t dt \Big) \Big\} - E\{x_t(W)\} \Bigg ) \to E \Big\{ x_t(W) \int_0^t h_s dw_s \Big\},~ as ~\epsilon \to 0,\qquad (A6)**نتیجه:** از رابطه (A5)، با قرار دادن h'_s = \delta(s-r) ، داریم:\frac{1}{\epsilon}\Big( x_t(W + \epsilon 1_{[r,T]}) - x_t(W) \Big) = D_r x_t, \quad as~ \epsilon \to 0که تعریفی دیگر برای مشتق مالیاوین بدست می‌دهد.
----**رابطه Clark-Ocone-Haussman:** این رابطه در ارتباط با قضیه بازنمود مارتینگل می‌باشد. به‌طور ویژه برای کارکردوار وینر F\Big(\int_0^t h_s dw_s\Big) داریم:F = E\{F\} + \int_0^t E\big\{D_s F | \mathcal{F}_s\big\} dw_sکه در آن \mathcal{F}_s = \sigma\big( (w_t)_{t\in[0,s] }\big) فیلتراسیون طبیعی از فرایند وینر است.

اثبات: از روی بازنمود مارتینگل می‌دانیم که:  F = E\{F\} + \int_0^t m_s dw_s، نیز به یاری رابطه (A2) داریم:E\Big\{ F \int_0^t g_s dw_{s} \Big\} \overset{(1)}{=}
E\{ \langle D_sF,g_s \rangle \}
= E\Big\{ E\{F\} \int_0^t g_s dw_{s} \Big\} + E\Big\{ \int_0^t m_s dw_{s} \int_0^t g_s dw_{s} \Big\}
\overset{(2)}{=} 0 + E\Big\{ \int_0^t m_s g_s ds \Big\}که برای (۱) از رابطه A2 و برای (۲) از قاعده ایزومتری استفاده شد. در نتیجه:\int_0^t  E\big\{ m_s g_s \big\} ds = E\Big\{  \int_0^t D_sF~g_s~ds \Big\}  =   \underbrace{\int_0^t E\Big\{ E\{ D_sF | \mathcal{F}_s \}~g_s~ds \Big\}}_{(*)}و در نتیجه m_s = E\big\{ D_s F | \mathcal{F}_s \big\}
. توجه شود که رابطه (*) در بالا، از این جهت بدین صورت نوشته شد که m_s
 باید حتماً یک فرایند \mathcal{F}_{s}
-سازگار (adapted-\mathcal{F}_{s}
) باشد. درنتیجه نمی‌توان نتیجه گرفت که m_s = D_sF چراکه D_sF لزوماً سازگار نیست.

## ارتباط با قضیه گیرسانوف
فرض کنید تعریف کنیم \phi (t) = \int_0^t h_{s} ds، آنگاه طبق قضیه گیرسانوف (Girsanov) خواهیم داشت:E\big \{ x\big( W + \epsilon \phi (t) \big) \big\} = E\Big\{ x(W) \exp\Big ( -\frac12 \epsilon^2 \int_0^t h_s^2 ds + \epsilon\int_0^t h_s dw_s  \Big) \Big\} آنگاه خواهیم داشت:\lim_{\epsilon\to 0} \frac{1}{\epsilon}\Bigg( E\big \{ x\big( W + \epsilon \phi (t) \big) \big\}  - E\big \{ x(W) \big\} \Bigg)
= E\Big\{ x(W) \int_0^t h_s dw_s \Big\}در نتیجه با توجه به رابطه (A5) خواهیم داشت:E\big\{ \langle D_{s} x_{t}, h_s \rangle \big\}
= E\Big\{ x(W) \int_0^t h_s dw_s \Big\}که اثباتی دیگر از رابطه (A2) می‌باشد.

## منابع

* Kusuoka, S. and Stroock, D. (1981) "Applications of Malliavin Calculus I", *Stochastic Analysis, Proceedings Taniguchi International Symposium Katata and Kyoto* 1982, pp 271–306
* Kusuoka, S. and Stroock, D. (1985) "Applications of Malliavin Calculus II", *J. Faculty Sci. Uni. Tokyo Sect. 1A Math.*, 32 pp 1–76
* Kusuoka, S. and Stroock, D. (1987) "Applications of Malliavin Calculus III", *J. Faculty Sci. Univ. Tokyo Sect. 1A Math.*, 34 pp 391–442
* Malliavin, Paul and Thalmaier, Anton. *Stochastic Calculus of Variations in Mathematical Finance*, Springer 2005, 
* 
* Bell, Denis. (2007) *The Malliavin Calculus*, Dover. ; ebook
* Sanz-Solé, Marta (2005) *Malliavin Calculus, with applications to stochastic partial differential equations*. EPFL Press, distributed by CRC Press, Taylor & Francis Group.
* Schiller, Alex (2009) ''Malliavin Calculus for Monte Carlo Simulation with Financial Applications''. Thesis, Department of Mathematics, Princeton University
* Øksendal, Bernt K.(1997) ''An Introduction To Malliavin Calculus With Applications To Economics''. Lecture Notes, Dept. of Mathematics, University of Oslo (Zip file containing Thesis and addendum)
* Di Nunno, Giulia, Øksendal, Bernt, Proske, Frank (2009) "Malliavin Calculus for Lévy Processes with Applications to Finance", Universitext, Springer. 

رده:حساب انتگرال
رده:حساب تغییرات
رده:ریاضیات مالی