پخش کاذب

پخش کاذب نوعی خطاست که هنگام استفاده از طرح بالادست برای تقریب ترم جابه‌جایی در معادلات جابه‌جایی-پخش مشاهده می‌شود. برای ترم جابه‌جایی می‌توان از طرح اختلاف مرکزی دقیق‌تر استفاده کرد، اما برای شبکه هایی که عدد پکله سلولی بیشتر از دو باشد، طرح اختلاف مرکزی ناپایدار است و معمولا از طرح ساده بالادست استفاده می‌شود. خطای حاصل از طرح اختلاف بالادست در دستگاه‌های مختصات دو یا سه بعدی ظاهری شبیه به پخش دارد و به آن پخش کاذب گفته می‌شود. خطاهای پخش کاذب در حل‌های عددی مسائل جابه‌جایی-پخش در دو و سه بعد، ناشی از تقریب‌های عددی ترم جابه‌جایی در معادلات بقایی هستند. در طول بیست سال گذشته، روش‌هایی عددی زیادی برای حل معادلات جابه‌جایی-پخش توسعه یافته‌اند و هیچ‌یک کاملا بدون مشکل نیستند، اما پخش کاذب یکی از جدی‌ترین مشکلات بوده و موضوع اصلی بحث و ابهام میان تحلیل‌گران عددی است.

## تعریف
پخش کاذب به عنوان خطایی تعریف می‌شود که ظاهر مشابه پخش دارد و زمانی به‌دست می‌آید که طرح بالادست در مسائل چندبعدی برای حل توزیع کمیت‌های انتقال یافته‌ای استفاده شود که به‌صورت غیرعمود(غیرارتوگونال) نسبت به یک یا چند محور اصلی دستگاه مختصات جریان دارند. این خطا زمانی وجود ندارد که جریان نسبت به محور اصلی دستگاه مختصات عمود یا موازی باشد.

## مثال
بندانگشتی|شکل 1: ناحیه جریان که پخش کاذب را نشان می‌دهد.
در شکل 1، مقدار u=2 و v=2 m/s در همه‌جا ثابت است؛ بنابراین میدان سرعت یکنواخت بوده و بر خط قطری (XX) عمود است. شرایط مرزی دما به این صورت هستند: در دیوارۀ شمالی و غربی 100 درجه سانتی‌گراد و در دیوارۀ شرقی و جنوبی صفر درجه سانتی‌گراد اعمال شده است. این ناحیه به شبکه‌ای 10*10 با سلول مساوی تقسیم شده است. دوحالت بررسی می‌شود؛ حالت اول ضریب پخش مخالف صفر و در حالت دوم ضریب پخش صفر می‌باشد.
بندانگشتی|شکل 2: وجه غربی در دمای 100 درجه سانتی‌گراد است، درحالی‌که دیواره جنوبی در دمای صفر درجه سانتی‌گراد قرار دارد. حرارت در امتداد قطر XX پخش می‌شود.

### حالت اول
در این حالت، حرارت از دیواره‌های غربی و جنوبی توسط جریان جابه‎‌جایی به سمت دیواره‌های شمالی و شرقی منتقل می‌شود. همچنین حرارت در امتداد قطر XX از ناحیه بالایی به ناحیه پایینی پخش می‌شود. شکل 2 توزیع تقریبی دما را نشان می‌دهد.

### حالت دوم
در این حالت، حرارت از دیواره‌های غربی و جنوبی توسط جریان به سمت شمال و شرق جابه‌جا می‌شود. در این وضعیت هیچ پخشی در امتداد قطر XX رخ نمی‌دهد؛ اما هنگامی که طرح بالادست به‌کار گرفته می‌شود، نتایج مشابه حالت اول به‌دست می‌آید که در آن پخش واقعی وجود داشت. این خطا به عنوان پخش کاذب شناخته می‌شود.

## پیشینه
در رویکرد اولیه، مشتق‌های موجود در فرم دیفرانسیلی معادله حاکم بر انتقال، با تقریب‌های تفاضل محدود جایگزین می‌شدند؛ معمولا از تقریب‌های اختلاف مرکزی با دقت مرتبه دوم استفاده می‌گردید. بااین‌حال، برای عدد پکلت‌های بزرگ(معمولا بیش از دو)، این تقریب نتایج نادقیقی به همراه داشت. چند پژوهشگربه طور مستقل تشخیص دادند که می‌توان از طرح بالادست که هزینه محاسباتی کمتری دارد اما تنها دارای دقت مرتبه اول است استفاده کرد، ولی این طرح در مسائل چندبعدی نتایجی همراه با پخش کاذب تولید می‌کند. روش‌های جدید زیادی برای مقابله با پخش کاذب توسعه یافته‌اند، اما هنوز یک روش گسسته‌سازی قابل اعتماد، دقیق  و مقرون‌به‌صرفه به طور کامل در دسترس نیست.

## کاهش خطاها
بندانگشتی|شکل 3(a): اندازه شبکه 8*8
بندانگشتی|شکل 3(b): نتیجه طرح بالادست با اندازه شبکه 8*8
بندانگشتی|شکل 4(a): اندازه شبکه 64*64
بندانگشتی|شکل 4(b): نتیجه طرح بالادست با اندازه شبکه 64*64

### شبکه ریزتر
پخش کاذب در طرح بالادست با افزایش چگالی شبکه کاهش می‌یابد. در نتایج شکل‌های 3 و 4، خطای پخش کاذب در شکل 4(b) با اندازه شبکه ریزتر کمترین مقدار را دارد.

### روش‌های دیگر
خطای پخش کاذب همچنین می‌تواند با استفاده از روش‌هایی مانند طرح قانون توان(power law scheme)، طرح QUICK، طرح نمایی(Exponential scheme)، SUCCA و سایر روش‌ها کاهش یابد.

### بهبود طرح بالادست
پخش کاذب در طرح بالادست رخ می‌دهد زیرا این طرح تمایل جهت شبکه/جریان را در نظر نمی‌گیرد. یک عبارت تقریبی برای ترم پخش کاذب در دو بعد توسط de vahl Davis و Mallinson در سال 1972 ارائه شده است.

\tau_{fc}^{\ast} = \frac{\rho U \Delta x \Delta y \sin(2\theta)}{4\left(\Delta y \sin^{3}\theta + \Delta x \cos^{3}\theta\right)} (1)

که در آن U سرعت حاصل و \theta زاویه ای است که بردار سرعت با جهت x می‌سازد. پخش کاذب زمانی وجود ندارد که جریان حاصل با هریک از مجموعه خطوط شبکه هم‌راستا باشد و بیشترین مقدار آن زمانی رخ می‌دهد که جهت جریان 45 درجه نسبت به خطوط شبکه باشد. 

### تعیین دقت تقریب برای ترم جابه‌جایی
با استفاده از سری تیلور برای \not\phi_{W} و \not\phi_{P} در زمان t + k \Delta t داریم: 

\phi_{Wk} = \phi_{wk} - \frac{\delta x_i}{2}\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)_{wk} + \frac{1}{2!}\left(\frac{\delta x_i}{2}\right)^2\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}\right)_{wk} + \cdots (2a)

\phi_{Pk} = \phi_{wk} - \frac{\delta x_i}{2}\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)_{wk} + \frac{1}{2!}\left(\frac{\delta x_i}{2}\right)^2\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}\right)_{wk} + \cdots (2b)

طبق تقریب بالادست برای جابه‌جایی(Upwind Approximation for convention, UAC)، \not\phi_{wk}=\not\phi_{Wk}. با نادیده گرفتن مرتبه‌های بالاتر در معادله (2a)، خطای شار جابه‌جاشده ناشی از این تقریب برابر است با - \rho_w u_w \, \delta y_i \left( \frac{\delta x_i}{2} \right) \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)_{wk}. این خطا به شکل شار به‌وسیله پخش کاذب با یک ضریب پخش ظاهر می‌شود.

\tau^{\ast}_{fc,UAC} = \rho_w u_w \left( \frac{\Delta x_i}{2} \right)(3)

زیرنویس fc یادآوری می‌کند که این پخش کاذب ناشی از برآورد شار جابه‌جاشدهدر لحظه با استفاده از تقریب بالادست برای جابه‌جایی(UAC) است.

### الگوریتم جابه‌جایی بالادست گوشه مورب(SUCCA)
بندانگشتی|شکل 5: خوشه سلولی شبکه SUCCA
الگوریتم SUCCA جهت جریان محلی را با وارد کردن تاثیر سلول‌های گوشه‌ای بالادست در معادله گسسته‌شده بقای موجود در معادله کلی انتقال‌، در نظر می‌گیرد. در شکل 5، SUCCA در یک خوشه شبکه‌ای شامل نه سلول اعمال شده است. با در نظر گرفتن ورود جربان از گوشه جنوب غربی(SW) به سلول P، مغادلات SUCCA برای انتقال جابه‌جایی کمیت پایستار \phi عبارت‌اند از: C_p \phi_p= 
\left( \dot{m}_w - \frac{\dot{m}_s^2}{\dot{m}_w} \right) \phi_W +
\left( \dot{m}_s + \frac{\dot{m}_s^2}{\dot{m}_w} \right) \phi_{SW} +
+ 0. \phi_S \quad \text{for } 0 

به عبارت دیگر،

C_P \phi_P = C_w \phi_W + C_s w \phi_{SW}(5)


C_p \phi_p= 
\left( \dot{m}_s - \frac{\dot{m}_w^2}{\dot{m}_s} \right) \phi_W +
\left( \dot{m}_w + \frac{\dot{m}_w^2}{\dot{m}_s} \right) \phi_{SW} +
+ 0. \phi_W \quad \text{for } 45 


C_P \phi_P = C_s \phi_S + C_s w \phi_{SW}(7)

بندانگشتی|شکل 6: مقایسه روش‌های مختلف
این فرمول‌بندی تمام معیارهای همگرایی و پایداری را برآورده می‌کند.

در شکل 6، با ریزتر شدن شبکه، طرح بالادست نتایج دقیق‌تری ارائه می‌دهد، اما SUCCA تقریبا یک راه‌حل دقیق ارائه می‌دهد و در جلوگیری از خطاهای پخش کاذب چند‌بعدی کاربرد بیشتری دارد.

## همچنین ببینید

* دینامیک سیالات محاسباتی
* معادلات ناویه–استوکس
* روش حجم محدود
* بسط تیلور

## منابع

## برای مطالعه بیشتر

* Patankar, Suhas V. (1980), *[https://www.false-diffusion.com/reference1 Numerical Heat Transfer and Fluid Flow]*, Taylor & Francis Group. Bibcode:1980wdch.book.....P. ISBN 9780891165224.

* Wesseling, Pieter (2001), *[https://www.false-diffusion.com/reference2 Principles of Computational Fluid Dynamics]*, Springer. ISBN 978-3-540-67853-3.

* Date, Anil W. (2005), *[https://www.false-diffusion.com/reference3 Introduction to Computational Fluid Dynamics]*, Cambridge University Press. Bibcode:2005icfd.book.....D. ISBN 9780521853262.

رده:مقاله‌های ایجادشده توسط ایجادگر
رده:دینامیک سیالات محاسباتی
رده:حل عددی معادلات دیفرانسیل