لکه آراگو

بندانگشتی|تصویری از لکه آراگو در سایه یک مانع دایره‌ای ۵٫۸ میلی‌متری
در نورشناسی، **لکه آراگو**، **لکه پواسون** یا **لکه فرنسل** یک نقطه روشن است که به دلیل پراش فرنسل، در مرکز سایه یک جسم مدور ظاهر می‌شود. این لکه نقش مهمی در کشف ماهیت نور ایفا کرد و روشی رایج برای نشان دادن این است که نور مانند یک موج رفتار می‌کند.

چیدمان آزمایشی پایه به یک منبع نقطه‌ای، مانند یک سوراخ ریز نورانی یا یک پرتو لیزر واگرا نیاز دارد. ابعاد چیدمان باید با الزامات پراش فرنسل مطابقت داشته باشد. به بیان دیگر، عدد فرنسل باید در رابطه زیر صدق کند:

{\displaystyle F={\frac {d^{2}}{\ell \lambda }}\gtrsim 1,}



که در آن:
* d قطر جسم مدور است،
* \ell فاصله بین جسم پرده است،
* \lambda طول موج منبع است.

در نهایت لبه جسم مدور باید به اندازه کافی صاف باشد. این شرایط در کنار هم توضیح می‌دهند که چرا این لکه روشن در زندگی روزمره مشاهده نمی‌شود. با این حال، با منبع لیزری که امروزه در دسترس هستند، انجام آزمایش لکه آراگو چندان دشوار نیست.

در اخترشناسی، لکه آراگو را می‌توان در تصویر به شدت از فوکوس خارج شدهٔ یک ستاره در یک تلسکوپ نیوتونی نیز مشاهده کرد. در آنجا، ستاره یک منبع نقطه‌ای تقریباً ایده‌آل در بی‌نهایت فراهم می‌کند و آینه ثانویه تلسکوپ، مانع مدور را تشکیل می‌دهد.
بندانگشتی|پدیدار شدن لکه آراگو بر اثر تداخل موج‌های لبه‌ای
زمانی که نور بر مانع مدور می‌تابد، طبق اصل هویگنس، هر نقطه در صفحه مانع به عنوان یک منبع نقطه‌ای جدید از نور عمل می‌کند. نوری از نقاط روی محیط مانع می‌آید و به سمت مرکز سایه می‌رود، دقیقاً مسافت یکسانی را طی می‌کند، بنابراین تمام نوری که از نزدیک جسم عبور می‌کند، با فاز یکسان به پرده می‌رسد و دچار تداخل سازنده می‌شود. این امر منجر به ایجاد یک لکه روشن در مرکز سایه می‌شود، جایی که نورشناسی هندسی و نظریه‌های ذره‌ای نور پیش‌بینی می‌کنند که اصلاً نباید نوری وجود داشته باشد.

## تاریخچه
در آغاز قرن نوزدهم، این ایده که نور صرفاً در امتداد خطوط مستقیم منتشر نمی‌شود، قوت گرفت. توماس یانگ آزمایش دو شکاف خود را در سال ۱۸۰۷ منتشر کرد. آزمایش اصلی لکه آراگو یک دهه بعد انجام شد و آزمایش تعیین‌کننده‌ای در مورد این پرسش بود که آیا ذره است یا یک موج.

در آن زمان، بسیاری از جمله نظریه‌پرداز، سیمئون دنی پواسون، طرفدار نظریه ذره‌ای نور اسحاق نیوتن بودند. در سال ۱۸۱۸، آکادمی علوم فرانسه رقابتی را برای توضیح ویژگی‌های نور به راه انداخت که پواسون یکی از اعضای کمیته داوری آن بود. مهندس عمران، آگوستون-ژان فرنسل، با ارائه یک نظریه موجی جدید برای نور در این مسابقه شرکت کرد.

پواسون نظریه فرنسل را با جزئیات مطالعه کرد و از آنجایی که حامی نظریه ذره‌ای بود، به دنبال راهی برای اثبات اشتباه بودن آن گشت. پواسون تصور کرد که وقتی استدلال می‌کند یکی از پیامدهای نظریه فرنسل وجود یک لکه روشن روی محور در سایه یک مانع مدور است (جایی که طبق نظریه ذره‌ای نور باید تاریکی مطلق باشد)، نقصی یافته است. این پیش‌بینی به عنوان یک پیامد پوچ برای نظری موجی نگریسته شد و تصور می‌شد عدم وقوع این پیش‌بینی باید استدلال محکمی برای رد نظریه فرنسل باشد.

با این حال، رئیس کمیته، دومینیک-فرانسوا-ژان آراگو، تصمیم گرفت آزمایش را عملاً انجام دهد. او یک دیسک فلزی ۲ میلی‌متری را با موم به یک صفحه شیشه‌ای چسباند. او موفق به مشاهده لکه پیش‌بینی شده شد که این امر پیش‌بینی فرنسل را تأیید کرد

آراگو بعداً اشاره کرد که این پدیده (که بعدها به نام لکه پواسون یا لکه آراگو شناخته شد) قبلاً توسط دلیسل و مارالدی یک قرن پیش از آن مشاهده شده بود.

اگرچه نتیجه آزمایش آراگو شواهد قاطعی به نفع نظریه موجی بود، یک قرن بعد در پیوند با تولد مکانیک کوانتومی (که اولین بار در یکی از مقالات سال مجزه‌آسای آلبرت انیشتین پیشنهاد شد)، درک شد که نور (و همچنین تمام اشکال ماده و انرژی) باید هم به عنوان ذره و هم به عنوان موج توصیف شود (دوگانگی موج-ذره). با این حال، ذرهٔ مرتبط با امواج الکترومغناطیس یعنی فوتون، هیچ شباهتی به ذرات تصور شده در نظریه ذره‌ای (که قبل از ظهور نظریه موجی و نمایش قدرتمند آراگو حاکم بود) ندارد. قبل از ظهور نظریه کوانتومی در اواخر دهه ۱۹۲۰، تنها ماهیت موجی نور می‌توانست پدیده‌هایی مانند پراش و تداخل را توضیح دهد. امروزه مشخص شده است که الگوی پراش از طریق تجمع موزاییک‌گونهٔ نقاط روشن ناشی از فوتون‌های منفرد، همان‌طور که در نظریه کوانتومی دیراک پیش‌بینی شده بود، ظاهر می‌شود. با افزایش شدت نور، نقاط روشن در الگوی پراش موزاییکی فقط سریع‌تر در کنار هم جمع می‌شوند. در مقابل، نظریه موجی تشکیل یک الگوی پیوسته گسترده را پیش‌بینی می‌کند که روشنایی کلی آن با شدت نور افزایش می‌یابد.

## نظریه
بندانگشتی|نشانه‌گذاری برای محاسبهٔ دامنهٔ موج در نقطهٔ P₁ از یک منبع نقطه‌ای کروی در P₀
در قلب نظریه موجی فرنسل، اصل هویگنس-فرنسل قرار دارد که بیان می‌کند هر نقطه بدون مانع در یک جبه موج، به منبع یک موجک کروی ثانویه تبدیل می‌شود و دامنه میدان نوری U در نقطه‌ای روی پرده، حاصل از برهم‌نهی تمام آن موجک‌های ثانویه با در نظر گرفتن فازهای نسبی آن‌ها است. این بدان معناست که میدان در نقطه P_1 روی پرده توسط انتگرال سطحی به دست می‌آید:

 {\displaystyle U(P_{1})={\frac {Ae^{\mathbf {i} kr_{0}}}{r_{0}}}\int _{S}{\frac {e^{\mathbf {i} kr_{1}}}{r_{1}}}K(\chi )\,dS,}

که در آن ضریب تمایل  {\displaystyle K(\chi )} که تضمین می‌کند موجک‌های ثانویه به سمت عقب منتشر نمی‌شوند، به صورت زیر داده شده است:

 {\displaystyle K(\chi )={\frac {\mathbf {i} }{2\lambda }}(1+\cos(\chi ))}

و:
* A دامنه موج منبع است،
* {\textstyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}  عدد موج است
* S سطح بدون مانع است.

اولین جمله خارج از انتگرال نشان‌دهنده نوسانات موج منبع در فاصله r_0 است. به‌طور مشابه، جمله داخل انتگرال نشان‌دهنده نوسانات موجک‌های ثانویه در فواصل r_1 است.

برای استخراج شدت پشت مانع مدور با استفاده از این انتگرال، فرض می‌شود که پارامترهای آزمایش الزامات رژیم پراش میدان نزدیک را برآورده می‌کنند (اندازه مانع مدور در مقایسه با طول موج بزرگ و در مقایسه با فواصل  g = P0C   و  b = CP1 کوچک است). رفتن به مختصات قطبی منجر به انتگرالی برای یک جسم مدور به شعاع  a می‌شود (برای مثال به بورن و ولف مراجعه کنید):

  {\displaystyle U(P_{1})=-{\frac {\mathbf {i} }{\lambda }}{\frac {Ae^{\mathbf {i} k(g+b)}}{gb}}2\pi \int _{a}^{\infty }e^{\mathbf {i} k{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{g}}+{\frac {1}{b}}\right)r^{2}}r\,dr.}

این انتگرال را می‌توان به صورت عددی حل کرد. اگر  g بزرگ و  b کوچک باشد و به طوری که زاویه  {\displaystyle \chi }  قابل چشم‌پوشی نباشد، می‌توان انتگرال را برای حالت روی محور (جایی که  P_1 در مرکز سایه است) به صورت زیر نوشت (به سامرفلد مراجعه کنید):
بندانگشتی|شدت نور روی محور در مرکز سایهٔ یک مانع دایره‌ای کوچک به شدت نور بدون مانع همگرا می‌شود.
  {\displaystyle U(P_{1})={\frac {Ae^{\mathbf {i} kg}}{g}}{\frac {b}{\sqrt {b^{2}+a^{2}}}}e^{\mathbf {i} k{\sqrt {b^{2}+a^{2}}}}.}

شدت منبع که مربع دامنه میدان است  {\textstyle I_{0}=\left|{\frac {1}{g}}Ae^{\mathbf {i} kg}\right|^{2}} و شدت روی پرده   {\displaystyle I=\left|U(P_{1})\right|^{2}} است؛ بنابراین شدت روی محور به عنوان تابعی از فاصله  b به صورت زیر به دست می‌آید:

  {\displaystyle I={\frac {b^{2}}{b^{2}+a^{2}}}I_{0}.}

این نشان می‌دهد که شدت روی محور در فواصل   b که بسیار بزرگتر از قطر مانع مدور هستند، همانند شدت منبع است، گویی که جسم مدوری وجود نداشته است. با این حال، در فواصل بزگتر  b مشخص می‌شود که اندازه لکه روشن بزرگتر است (همان‌طور که در شبیه‌سازی‌های زیر که در آن‌ها  b/a در تصاویر متوالی افزایش یافته، دیده می‌شود) و بنابراین تشخیص لکه آسان‌تر می‌شود.

### محاسبه تصاویر پراش
برای محاسبه تصویر کامل پراش که روی پرده قابل مشاهده است، باید انتگرال سطحی بخش قبلی را در نظر گرفت. دیگر نمی‌توان لز تقارن دایره‌ای استفاده کرد، زیرا خط بین منبع و یک نقطه دلخواه روی پرده از مرکز جسم مدور عبور نمی‌کند. با تابع روزنه  g(r,\theta) که برای بخش‌های شفاف صفحه جسم ۱ و درغیر این صورت ۰ است (یعنی اگر خط مستقیم بین منبع و نقطه روی پرده از جسم سدکننده مدور عبور کند، مقدار آن ۰ است)، انتگرالی که باید حل شود عبارت است از:

  {\displaystyle U(P_{1})\propto \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }g(r,\theta )e^{\lambda }}\left({\frac {1}{g}}+{\frac {1}{b}}\right)}\rho \,d\rho \,d\theta .}

محاسبه عددی انتگرال با استفاده از قاعده ذوزنقه‌ای یا قاعده سیمپسون کارآمد نیست و به ویژه برای پیکربندی‌هایی با عدد فرنسل بزرگ، از نظر عددی ناپایدار می‌شود. با این حال، امکان‌پذیر است که بخش شعاعی انتگرال را حل کرد به طوری که فقط انتگرال‌گیری روی زاویه سمتی باقی بماند تا به صورت عددی انجام شود. برای یک زاویه خاص، باید انتگرال خطی را برای شعاعی که مبدأ آن در نقطه تقاطع  P_0P_1 با صفحه جسم مدور است، حل کرد. سهم یک شعاع خاص با زاویه سمتی  \theta_1 که از یک بخش شفاف صفحه خسم از  r=s تا   r=t عبور می‌کند، برابر است با:

  {\displaystyle R(\theta _{1})\propto e^\mathbf {i} s^{2}}-e^\mathbf {i} t^{2}}.}

بنابراین برای هر زاویه، باید نقطه (یا نقاط) تقاطع شعاع با جسم مدور را محاسبه کرد و سپس سهم‌های  I(\theta_1) را برای تعداد معینی از زوایا بین ۰ تا  2\pi جمع کرد.نتایج چنین محاسباتی در تصاویر زیر نشان داده شده است.

بی‌قاب|200x200پیکسل بی‌قاب|200x200پیکسل بی‌قاب|200x200پیکسل

تصاویر، شبیه‌سازی‌های لکه آراگو در سایه دیسک‌هایی به قطر ۴ میلی‌متر، ۲ میلی‌متر و ۱ میلی‌متر هستند که در فاصله ۱ متری پشت هر دیسک تصویربرداری شده‌اند. دیسک‌ها توسط نوری با طول موج ۶۳۳ نانومتر، که از نقطه‌ای در فاصله ۱ متری جلوی هر دیسک واگرا می‌شود، روشن شده‌اند. هر تصویر ۱۶ میلی‌متر پهنا دارد. لکه آراگو را می‌توان با استفاده از خطوط میانگین جریان انرژی که به صورت عددی با میانگین‌گیری از بردار پوئنتینگ میدان الکترومغناطیسی محاسبه شده‌اند نیز تجسم کرد.
بندانگشتی|700x700px|شبیه‌سازی عددی شدت نور تک‌فام با طول موج λ = ۰٫۵ میکرومتر پشت یک مانع دایره‌ای به شعاع R = ۵میکرومتر۱۰= λ|راست

## جنبه‌های تجربی
### شدت و اندازه
بندانگشتی|309x309پیکسل|آزمایش لکهٔ آراگو. یک منبع نقطه‌ای جسمی دایره‌ای را روشن می‌کند و سایه‌ای روی پرده ایجاد می‌کند. در مرکز سایه، به دلیل پدیدهٔ پراش، لکه‌ای روشن ظاهر می‌شود که با پیش‌بینی‌های نورشناسی هندسی مغایرت دارد.
برای بک منبع نقطه‌ای ایده‌آل، شدت لکه آراگو با شدت جبهه موج دست‌نخورده برابر است. تنها پهنای قلهٔ شدت لکه آراگو به فواصل بین منبع، جسم مدور و پرده و همچنین طول موج منبع و قطر جسم مدور بستگی دارد. این بدان معنا است که می‌توان کاهش طول موج منبع را با افزایش فاصله بین جسم مدور و پرده یا کاهش قطر جسم مدور جبران کرد.

توزیع شدت جانبی روی پرده در واقع زمانی که نزدیک به محور نوری باشد و از یک منبع موج تخت (منبع نقطه‌ای در بی‌نهایت) استفاده شود، شکل یک تابع بسل مرتبه صفر نوع اول به توان دو را دارد:

 {\displaystyle U(P_{1},r)\propto J_{0}^{2}\left({\frac {\pi rd}{\lambda b}}\right)} 

که در آن:
*  r فاصله نقطه  P_1 روی پرده از محور نورانی است.
*  d قطر جسم مدور است.
*  \lambda طول موج است.
*  b فاصله بین جسم مدور و پرده است.

نمودار زیر توزیع شدت شعاعی تصاویر شبیه‌سازی شدهٔ لکه آراگو در بالا نشان می‌دهند:

بی‌قاب|200x200پیکسلبی‌قاب|200x200پیکسلبی‌قاب|200x200پیکسل

خطوط قرمز در این سه نمودار مربوط ب تصاویر شبیه‌سازی شده در بالا هستند و خطوط سبز با اعمال پارامترهای مربوطه در تابع بسل توان دوم که در بالا آورده شد، محاسبه شده‌اند.

### اندازه محدود منبع و پیوستگی فضایی
دلیل اصلی اینکه مشاهده لکه آراگو در سایه‌های دایره‌ای ناشی از منبع نوری متعارف دشوار است، این است که چنین منابع نوری تقریب‌های بدی از منابع نقطه‌ای هستند. اگر منبع موج دارای اندازه محدود  S باشد، لکه آراگو گستره‌ای خواهد داشت که با  Sb/g داده می‌شود، گویی که جسم مدور مانند یک لنز عمل کرده است. در عین حال شدت لکه آراگو نسبت به شدت جبهه موج دست‌نخورده کاهش می‌یابد. با تعریف شدت نسبی  I_{rel} به عنوان شدت تقسیم بر شدت جبهه موج دست‌نخورده، شدت نسبی برای یک منبع مدور گسترده به قطر  w می‌تواند دقیقاً با استفاده از معادله زیر بیان شود:

 {\displaystyle I_{\text{rel}}(w)=J_{0}^{2}\left({\frac {wR\pi }{g\lambda }}\right)+J_{1}^{2}\left({\frac {wR\pi }{g\lambda }}\right)} 

که در آن   J_0 و  J_1 توابع بسل نوع اول هستند.  R شعاع دیسکی است که سایه می‌اندازد،  \lambda طول موج و  g فاصله بین منبع و دیسک است. برای منابع بزرگ، تقریب مجانبی زیر اعمال می‌شود:

 {\displaystyle I_{\text{rel}}(w)\approx {\frac {2g\lambda }{\pi ^{2}wR}}}


### انجراف از دایره‌ای بودن
اگر مقطع جسم مدور کمی از شکل دایره‌ای خود منحرف شود (اما همچنان در مقیاس کوچک‌تر دارای لبه تیز باشد)، شکل لکه آراگوی منبع نقطه‌ای تغییر می‌کند. به ویژه اگر جسم مقطع بیضوی داشته باشد، لکه آراگو به شکل یک تکامل یافته است. توجه داشته باشید که این تنها زمانی صادق است که منبع به یک منبع نقطه‌ای ایده‌آل نزدیک باشد. از یک منبع گسترده، لکه آراگو تنها به میزان اندکی تحت تأثیر قرار می‌گیرد، زیرا می‌توان لکه آراگو را به عنوان یک تابع گسترش نقطه تفسیر کرد؛ بنابراین، تصویر منبع گسترده تنها به دلیل درهم‌پیچی با تابع گسترش نقطه محو می‌شود، اما شدت کلی آن کاهش نمی‌یابد.

### زبری سطحی جسم مدور
لکه آراگو به انحرافات کوچک‌مقیاس از مقطع دایره‌ای ایده‌آل بسیار حساس است. این بدان معناست که مقدار کمی زبری سطح جسم مدور می‌تواند لکه روشن را کاملاً از بین ببرد. این اثر در سه نمودار زیر که شبیه‌سازی‌های لکه آراگو از یک دیسک به قطر ۴ میلی‌متر ( g=b=1 m) هستند، نشان داده شده است:

بی‌قاب|200x200پیکسلبی‌قاب|200x200پیکسلبی‌قاب|200x200پیکسل

شبیه‌سازی شامل یک کنگره‌دار شدن سینوسی منظم شکل دایره‌ای با دامنه ۱۰ میکرومتر، ۵۰ میکرومتر و ۱۰۰ میکرومتر است. توجه داشته باشید که ناصافی لبه ۱۰۰ میکرومتری تقریباً به‌طور کامل لکه روشن مرکزی را از بین می‌برد.

این اثر را می‌توان به بهترین وجه با استفاده از مفهوم منطقه فرنسل در کرد. میدانی که توسط یک قطاع شعاعی (که از نقطه‌ای روی لبه مانع نشأت می‌گیرد) منتقل می‌شود، سهمی را فراهم می‌کند که فاز آن به موقعیت نقطه لبه نسبت به مناطق فرنسل بستگی دارد. اگر واریانس در شعاع مانع بسیار کوچک‌تر از عرض منطقه فرنسل در نزدیکی لبه باشد، سهم‌های قطاع‌های شعاعی تقریباً هم‌فاز هستند و به‌طور سازنده تداخل می‌کنند. با این حال، اگر ناصافی تصادفی لبه دامنه‌ای قابل مقایسه یا بزرگتر از عرض آن منطقه فرنسل مجاور باشد، سهم‌های قطاع‌های شعاعی دیگر هم‌فاز نیستند و یکدیگر را خنثی می‌کنند و شدت لکه آراگو را کاهش می‌دهند.

منطقه فرنسل مجاور تقریباً با رابطه زیر داده می‌شود:

 {\displaystyle \Delta r\approx {\sqrt {r^{2}+\lambda {\frac {gb}{g+b}}}}-r.}



ناصافی لبه نباید بیش از ۱۰ درصد این عرض باشد تا یک لکه آراگو نزدیک به حالت ایده‌آل دیده شود. در شبیه‌سازی‌های بالا با دیسک ۴ میلی‌متری، منطقه فرنسل مجاور عرضی در حدود ۷۷ میکرومتر دارد.

## لکه آراگو با امواج ماده
در سال ۲۰۰۹، آزمایش لکه آراگو با یک پرتو انبساط فوق‌صوت از مولکول دوتریوم (نمونه‌ای از امواج ماده خنثی) به نمایش گذاشته شد. رفتار ذرات مادی مانند امواج، از مکانیک کوانتومی شناخته شده است و ماهیت موجی ذرات در واقع فرضیه دوبروی و همچنین آزمایش‌های دیویسون و گرمر برمی‌گردد. لکه آراگوی الکترون‌ها، که آن‌ها نیز امواج ماده را تشکیل می‌دهند، می‌تواند در میکروسکوپ‌های الکترونی عبوری هنگام بررسی ساختارهای مدور با اندازه معین مشاهده شود. پمشاهده لکه آراگو با مولکول‌های بزرگ و در نتیجه اثبات ماهیت موجی‌آن‌ها، موضوع تحقیقات فعلی است.

## کاربردهای دیگر
علاوه بر نمایش رفتار موجی، لکه آراگو چند کاربرد دیگر نیز دارد. یکی از ایده‌ها استفاده از لکه آراگو به عنوان یک مرجع خط مستقیم در سیستم‌های ترازسازی است. کاربرد دیگر، کاوش ابیراسیون‌های پرتوهای لیزر با استفاده از حساسیت لکه به ابیراسیون‌های پرتو است. در نهایت، آراگوسکوپ به عنوان روشی برای بهبود چشمگیر قدرت تفکیک محدوده پراش در تلسکوپ‌های فضایی پیشنهاد شده است.

## جستارهای وابسته
* اصل هویگنس
* نظریه ذره‌ای نور
* بردار پوئنتینگ
* آزمایش دیویسون گرمر
* نورشناسی هندسی

## منابع

رده:پراش نور
رده:مقاله‌های ایجادشده توسط ایجادگر