حلقه قفل فاز با پمپ بار

چپ|بندانگشتی|500x500پیکسل| پی‌ال‌ال پمپ‌بار
**حلقه قفل فاز با پمپ‌بار**  (سی‌پی-پی‌ال‌ال) اصلاحی از حلقه‌های قفل فاز با آشکارسازهای فرکانس-فاز و سیگنال‌های شکل‌موج مربعی است. یک سی‌پی-پی‌ال‌ال امکان قفل سریع فاز سیگنال ورودی را فراهم می‌کند و خطای فاز حالت ماندگار پایین را به دست می‌آورد.

## آشکارساز فرکانس-فاز (پی‌اف‌دی)
چپ|بندانگشتی|500x500پیکسل| دینامیک آشکارساز فرکانس-فاز
آشکارساز فرکانس-فاز (پی‌اف‌دی) توسط لبه‌های انتهایی سیگنال‌های مرجع (Ref) و کنترل شده (وی‌سی‌او) فعال می‌شود. سیگنال خروجی پی‌اف‌دی i(t) می‌تواند تنها سه حالت داشته باشد: ۰، +I_p ، و -I_p . یک لبه انتهایی سیگنال مرجع، پی‌اف‌دی را مجبور می‌کند به حالت بالاتر سوئیچ کند، مگر اینکه قبلاً در حالت +I_p باشد. . لبه انتهایی سیگنال وی‌سی‌او، پی‌اف‌دی را مجبور می‌کند به حالت پایین‌تر سوئیچ کند، مگر اینکه قبلاً در حالت -I_p باشد. اگر هر دو لبه انتهایی همزمان اتفاق بیفتند، پی‌اف‌دی به صفر می‌رود.

## مدل‌های ریاضی سی‌پی-پی‌ال‌ال
اولین مدل ریاضی خطی مرتبه‌دوم سی‌پی-پی‌ال‌ال توسط اف گاردنر در سال ۱۹۸۰ پیشنهاد شد. یک مدل غیرخطی بدون اضافه‌بار وی‌سی‌او توسط ام ون پامل در سال 1994 پیشنهاد شد و سپس توسط اِن کوزنتسوف و همکارانش در سال ۲۰۱۹ اصلاح شد. مدل ریاضی فرم بسته سی‌پی-پی‌ال‌ال با در نظر گرفتن اضافه‌بار وی‌سی‌او مشتق‌شده است.

این مدل‌های ریاضی سی‌پی-پی‌ال‌ال به شما امکان می‌دهند تا تخمین‌های تحلیلی از محدوده نگه‌داشتن  (حداکثر دامنه از دوره‌تناوب سیگنال ورودی به‌گونه‌ای که حالت قفل‌شده وجود داشته باشد که در آن وی‌سی‌او بیش از حد بارگذاری نمی‌شود) و محدوده درون‌کِش  (یک حداکثر دامنه از دوره‌تناوب سیگنال ورودی در محدوده نگه‌داشتن به گونه‌ای که برای هر حالت اولیه سی‌پی-پی‌ال‌ال حالت قفل‌شده را به دست می‌آورد).

### مدل خطی زمان پیوسته سی‌پی-پی‌ال‌ال مرتبه دوم و حدس گاردنر
تحلیل گاردنر بر اساس تقریب زیر است: بازه زمانی که در آن پی‌اف‌دی در هر دوره‌تناوب سیگنال مرجع حالت غیر صفر دارد.

: t_p = |\theta_e|/\omega_{\rm ref},\ \theta_e = \theta_{\rm ref} - \theta_{\rm vco}.

سپس متوسط خروجی از پی‌اف‌دی پمپ‌بار می‌شود:

: i_d = I_p \theta_e/2\pi

با تابع انتقال مربوطه

: I_d(s) = I_p\theta_e(s)/2\pi

با استفاده از تابع انتقال فیلتر F(s) = R + \frac{1}{Cs} و تابع انتقال وی‌سی‌او \theta_{\rm vco}(s) = K_{\rm vco}I_d(s)F(s)/s یک مدل متوسط تقریبی خطی گاردنر از سی‌پی-پی‌ال‌ال مرتبه دوم را دریافت می‌کند

: 
\frac{\theta_e(s)}{\theta_{\rm ref}(s)} = \frac{2\pi s}{2\pi s + K_{\rm vco}I_p\left(R + \frac{1}{Cs}\right)}.


در سال ۱۹۸۰، اف گاردنر، بر اساس استدلال فوق، حدس زد که *[[پاسخ گذرا]] پی‌ال‌ال‌های پمپ‌بار عملی می‌تواند تقریباً مشابه پاسخ پی‌ال‌ال کلاسیک معادل باشد* (حدس گاردنر در مورد سی‌پی-پی‌ال‌ال). به دنبال نتایج گاردنر، با قیاس با حدس اگان در محدوده درون‌کش ای‌پی‌ال‌ال نوع ۲، عَمرو فهیم در کتاب خود حدس‌زد که برای داشتن یک محدوده درون‌کِش (گرفتن) نامتناهی، باید از یک فیلتر فعال برای فیلتر حلقه در سی‌پی-پی‌ال‌ال استفاده شود (حدس فهیم-ایگان در محدوده درون‌کِش نوع II سی‌پی-پی‌ال‌ال).

### مدل غیرخطی زمان پیوسته سی‌پی-پی‌ال‌ال مرتبه دوم
بدون از دست دادن کلیت، فرض می‌شود که لبه‌های انتهایی سیگنال‌های وی‌سی‌او و Ref زمانی رخ می‌دهند که فاز مربوطه به یک عدد صحیح برسد. اجازه دهید نمونه زمانی اولین لبه انتهایی سیگنال Ref به صورت t = 0 تعریف شود. حالت پی‌اف‌دی i(0) توسط حالت اولیه پی‌اف‌دی i(0-) تعیین می‌شود، تغییرات فاز اولیه وی‌سی‌او \theta_{vco}(0) و Ref \theta_{ref}(0) سیگنال‌ها هستند.

رابطه بین جریان ورودی i(t) و ولتاژ خروجی v_F(t) برای فیلتر تناسبی انتگرالی (PI کامل) بر اساس مقاومت و خازن به شرح زیر است

: 
 \begin{align}
  v_F(t) = v_c(0) + Ri(t) + \frac{1}{C}\int\limits_0^t i(\tau)d\tau
 \end{align}


که اینجا R>0 یک مقاومت است، C>0 یک ظرفیت‌خازنی است و v_c(t) بار خازن است سیگنال کنترل v_F(t) فرکانس وی‌سی‌او را تنظیم می‌کند:ا

: 
  \begin{align}
    \dot\theta_{vco}(t) =
     \omega_{vco}(t) =
     \omega_{vco}^{\text{free}} + K_{vco}v_F(t),
  \end{align}


که اینجا \omega_{vco}^{\text{free}} فرکانس وی‌سی‌او آزادگرد  (سکوت) است (یعنی برای v_F(t)\equiv 0) K_{vco} بهره وی‌سی‌او (حساسیت) است و \theta_{vco}(t) فاز وی‌سی‌او است. درنهایت مدل ریاضی غیرخطی زمان پیوسته سی‌پی-پی‌ال‌ال به شرح زیر است

: 
\begin{align}
 \dot v_c(t) = \tfrac{1}{C}i(t), \quad
 \dot\theta_{vco}(t) =
    \omega_{vco}^{\text{free}} + K_{vco}
    (
     Ri(t)
     + v_c(t)
    )
\end{align}


با غیرخطینگی  ثابت تکه‌ای  ناپیوسته زیر

: 
 i(t) = i\big(i(t-), \theta_{ref}(t), \theta_{vco}(t)\big)


و شرایط اولیه \big(v_c(0), \theta_{vco}(0)\big) . این مدل یک سامانه سوئیچینگ غیرخطی، ناخودگردان، ناپیوسته است.

### مدل غیرخطی زمان گسسته سی‌پی-پی‌ال‌ال مرتبه دوم
بندانگشتی|500x500پیکسل| فواصل زمانی دینامیک پی‌اف‌دی
فرکانس سیگنال مرجع، ثابت فرض می‌شود:


\theta_{ref}(t) = \omega_{ref}t = \frac{t}{T_{ref}},

که اینجا T_{ref}, \omega_{ref} و \theta_{ref}(t)
یک دوره‌تناوب، فرکانس و فاز از سیگنال مرجع هستند.
هرگاه t_0 = 0.
با t_0^{\rm middle} اولین لحظه از زمان به طوری که خروجی پی‌اف‌دی
(اگر i(0)=0، پس t_0^{\rm middle}=0)
و توسط t_1 اولین لبه انتهایی وی‌سی‌او یا Ref صفر می‌شود.
علاوه بر این، توالی‌های افزایش دهنده مربوطه \{t_k\} و \{t_k^{\rm middle}\} برای k=0,1,2... تعریف شده‌اند.
هرگاه t_k .
سپس برای t \in [t_k,t_k^{\rm middle}) این \text{sign}(i(t)) ثابت ناصفر  (\pm1) است.
با \tau_k عرض پالس پی‌اف‌دی (طول فاصله زمانی،
که در آن خروجی پی‌اف‌دی یک ثابت ناصفر است) ، ضرب شده با سیگ از خروجی پی‌اف‌دی:
یعنی  \tau_k = (t_k^{\rm middle} - t_k)\text{sign}(i(t))  برای  t \in [t_k,t_k^{\rm middle})  و
 \tau_k = 0  برای  t_k=t_k^{\rm middle} .
اگر لبه انتهایی وی‌سی‌او قبل از لبه انتهایی Ref  ضربه بزند،
سپس \tau_k  و در وضعیت مخالف ما \tau_k > 0 یعنی \tau_k نشان می‌دهد که چگونه یک سیگنال عقب‌تر از دیگری است. خروجی صفر پی‌اف‌دی i(t) \equiv 0 در فاصله (t_k^{\rm middle},t_{k+1}):
 v_F(t) \equiv v_k  برای  t \in [t_k^{\rm middle},t_{k+1}) .
تبدیل متغیرها (\tau_k,v_k) به

  p_k = \frac{\tau_k}{T_{\rm ref}},
  u_k=T_{\rm ref}
   (
    \omega_{\rm vco}^{\text{free}} + K_{\rm vco}v_k
   ) - 1,

اجازه می‌دهد تا تعداد پارامترها را به دو کاهش دهد:

  \alpha = K_{\rm vco}I_pT_{\rm ref}R,
   \beta = \frac{K_{\rm vco}I_pT_{\rm ref}^2}{2C}.

اینجا p_k یک جابجایی فاز نرمال شده است و u_k+1 نسبت فرکانس وی‌سی‌او \omega_{\rm vco}^{\text{free}} + K_{\rm vco}v_k  به فرکانس مرجع \frac{1}{T_{\rm ref}} است.
درنهایت، مدل زمان‌گسسته از مرتبه دوم سی‌پی-پی‌ال‌ال بدون اضافه بار وی‌سی‌او

: 
 \begin{align}
  & u_{k+1} =  u_k +2\beta p_{k+1},\\
  & p_{k+1} =
  \begin{cases}
   \frac{-(u_k + \alpha + 1) + \sqrt{(u_k + \alpha + 1)^2 - 4\beta c_k}}{2\beta},
   \quad \text{ for } p_k \geq 0, \quad c_k \leq 0,
   \\
   \frac{1}{ u_k + 1} -1 + ( p_k \text{ mod }1),
   \quad \text{ for } p_k \geq 0, \quad c_k > 0,
   \\
   l_k-1,
   \quad \text{ for } p_k  1,
  \end{cases}
 \end{align}


که اینجا

: 
\begin{align}
   c_k = (1 - ( p_k \text{ mod }1))( u_k +1) - 1,
  S_{l_k} = -( u_k - \alpha + 1 ) p_k + \beta p_k^2,
  l_k = \frac{1 - (S_{l_k} \text{ mod }1)}{ u_k + 1},
  d_k = (S_{l_k} \text{ mod }1) + u_k.
\end{align}


این مدل زمان‌گسسته تنها یک حالت ثابت در (u_k=0,p_k=0) دارد و امکان تخمین محدوده‌های نگه‌داشت و درون‌کِش را فراهم می‌کند.

اگر وی‌سی‌او بیش از حد بارگذاری شود، به‌عنوان مثال  \dot\theta_{\rm vco}(t) صفر است یا همان:  (p_k>0, u_k یا (p_k ، سپس موارد اضافی دینامیکی سی‌پی-پی‌ال‌ال باید در نظر گرفته شود. برای هر پارامتر، اضافه‌بار وی‌سی‌او ممکن است برای اختلاف فرکانس کافی بین سیگنال‌های وی‌سی‌او و مرجع رخ دهد. در عمل باید از اضافه‌بار وی‌سی‌او اجتناب شود.

### مدل‌های غیرخطی سی‌پی-پی‌ال‌ال مرتبه‌بالا
اشتقاق مدل‌های ریاضی غیرخطی مرتبه‌بالا سی‌پی-پی‌ال‌ال منجر به معادلات فاز ترافرازنده می‌شود که به صورت تحلیلی قابل حل نیستند و به روش‌های عددی مانند روش نقطه‌ثابت کلاسیک یا رویکرد نیوتن‌رافسون نیاز دارند.

## منابع

رده:مدارهای الکترونیکی