فیلتر بهینه ال

بندانگشتی| مقایسه اندازه فیلتر بین فیلتر باتروث، لژاندر و فیلتر چبیشف نوع ۱
**فیلتر بهینه ال**  (همچنین به عنوان **فیلتر لُژاندر-پاپولیس** شناخته می‌شود) توسط آتاناسیوس پاپولیس در سال ۱۹۵۸ پیشنهاد شد. دارای حداکثر نرخ رول‌آف برای یک مرتبه فیلتر معین در حالی که پاسخ فرکانسی یکنوایی را حفظ می‌کند. این یک سازشی را بین فیلتر باتروث که یکنواخت است اما رول‌آف پایین‌تری دارد و فیلتر چبیشف که رول‌آف سریع‌تری دارد اما دارای تَمَوج در باندگذر یا باندنگذر است، ایجاد می‌کند. طراحی فیلتر بر اساس چند جمله‌ای‌های لژاندر است که دلیل نام جایگزین آن و "L" در بهینه ال است.

## سنتز چندجمله‌ای‌های مشخصه
راه‌حل سنتز چندجمله‌ای مشخصه فیلتر بهینه ال مرتبه N از حل چندجمله‌ای مشخصه L_N(\omega^2) ، باتوجه به محدودیت‌ها و تعاریف زیر ناشی می‌شود.

\begin{align}
&L_N(0)=0 \\
&L(1) = 1\\
&{dL_N(\omega^2) \over d\omega} \geq \text{ 0  for 0 } \leq \omega \leq 1 \\

\end{align}

که {dL_N(\omega^2) \over d\omega}  در \omega=1 بیشینه است

مورد مرتبه فرد و مرتبه زوج هر دو ممکن است با استفاده از چند جمله‌ای‌های لژاند به صورت زیر حل شوند.

\begin{align}
&\text{N Odd:} \\
&L_N(\omega ^2)=\frac{2}{N+1}\int_{-1}^{2\omega^2-1} \bigg(\sum_{i=0}^{i=k} a_iP_i(x) \bigg)^2dx \\
&\text{Where} \\
&P_i(x)\text{ is the Legendre polynomial of the first kind of order i} \\
&k = \frac{N-1}{2} \\
&a_i = \frac{2i+1}{\sqrt{2(k+1)}} \\
&\\
&\\
&\text{N Even:} \\
&L_N(\omega ^2)=\int_{-1}^{2\omega^2-1} (x+1)\bigg(\sum_{i=0}^{i=k} a_iP_i(x) \bigg)^2dx \\
&\text{Where} \\
&k = \frac{N-2}{2} \\
&a_i = \begin{cases}
\frac{2i+1}{\sqrt{(k+2)(k+1)}}, & \text{if }i\text{ is odd and }k\text{ is odd OR }i\text{ is even and }k\text{ is even} \\
0, & \text{otherwise} \\
\end{cases} \\

\end{align}

## پاسخ فرکانسی و تابع انتقال
اندازه فرکانس بزرگی با استفاده از فرمول زیر ایجاد می‌شود. از آنجایی که تابع مشخصه بهینه ال در حال حاضر به شکل مربع(توان دو) است، مانند فیلترهای دیگر مانند فیلترهای چبیشف و فیلترهای باتروث نباید دوباره مربع شود.

\begin{align}
&T(\omega)=\sqrt{\frac{1}{1+\epsilon^2 L_N(\omega^2)}}

\end{align}

که در اینجا

\epsilon^2  برابر 10^{|\delta|/10}-1 و \delta تضعیف اندازه باندگذر برحسب دسی‌بل است که معمولاً ۳٫۰۱۰۳ است.

برای به‌دست آوردن تابع انتقال T(j\omega)، همه ضرایب مثبت L_N(\omega ^2) به شمارش محور فرکانس j\omega درنظر گرفته می‌شود، و سپس از قطب‌های نیم صفحه سمت چپ برای ساخت T(j\omega) استفاده می‌شود. توجه داشته باشید که L_N((j\omega) ^2) برای N زوج ۱+ و برای N فرد ۱- است (نگاه کنید به L_N(\omega ^2) جدول زیر). علامت L_N((j\omega) ^2) باید در معادلات برای T(j\omega) زیر

\begin{align}

&T(j\omega)=\sqrt{\frac{1}{a+\epsilon^2 L_N((j\omega)^2)}}\bigg|_\text{Left half plane} \\

\end{align}

که دراینجا



a=\begin{cases} 1, & \text{if }N\text{ is even} \\ -1, & \text{if }N\text{ is odd} \end{cases}



\epsilon^2  برابر 10^{|\delta|/10}-1 و \delta تضعیف اندازه باندگذر برحسب دسی‌بل است که معمولاً ۳٫۰۱۰۳ است.

قید «نیم صفحه چپ» به یافتن ریشه‌ها در همه چندجمله‌ای‌های موجود در براکت‌ها، انتخاب ریشه‌ها در نیم صفحه چپ و بازآفرینی چندجمله‌ای‌ها از آن ریشه‌ها اشاره دارد.

### مثال: تابع انتقال مرتبه چهارم
N = ۴ (مرتبه چهارم)، میرایی باندگذر = -۳٫۰۱۰ در ۱ رادیان بر ثانیه.

یک فیلتر مرتبه چهارم مقدار k برابر ۱ دارد که فرد است، بنابراین جمع فقط از مقادیر فرد i استفاده می‌کند. a_i و P_i(x) ، که در جمع فقط عبارت i=۱ را شامل می‌شود.

تابع انتقال، T_4(j\omega) ، ممکن است به صورت زیر استخراج شود:

\begin{align}
&k = \frac{N-2}{2} = 1 \text{ (}k\text{ is odd)} \\
&a_1=\frac{2(1)+1}{\sqrt{((1)+2)((1)+1)}}=1.2247449 \\
&P_1(x) = x \\
&(x+1)\bigg(\sum_{i=0}^{i=k} a_iP_i(x) \bigg)^2=(x+1)\bigr(1.2247449(x)\bigr)^2 = 1.5x^3 + 1.5x^2 \\
&L_4(x^2) = \int_{-1}^{2x^2-1}1.5x^3 + 1.5x^2\text{ }dx=6x^8 - 8x^6 +3x^4\\
&L_4(x^2) = 6x^8 - 8x^6 + 3x^4\\
&L_4(j\omega^2) = 6(j\omega)^8 + 8(j\omega)^6 + 3(j\omega)^4 \\
&echo = \sqrt{\epsilon^{3.0103/10} - 1} = 1 \\
&T_4(j\omega) = \bigg[\frac{1}{1+1^2(6(j\omega)^8 + 8(j\omega)^6 + 3(j\omega)^4)}\bigg]_{\text{Left Half Plane}} \\
&\\
&T_4(j\omega) = \frac{1}{2.4494897(j\omega)^4 + 3.8282201(j\omega)^3 + 4.6244874(j\omega)^2 + 3.0412127(j\omega) + 1}
\end{align}

یک بررسی سریع درستی آزمایی T_4(j)  مقدار ۳٫۰۱۰۳- دی‌بی را محاسبه می‌کند که همان چیزی است که انتظار می‌رود.

### جدولی از ۱۰ چندجمله‌ای مشخصه نخست

جدولی از معادلات بالا برای L_N(\omega^2) محاسبه می‌شود

## جستارهای وابسته
* فیلتر بسل
* فیلتر باترورث
* فیلتر چبیشف
* فیلتر بیضوی
* چندجمله‌ای‌های لژاندر

## منابع

* 
* Second Edition.
* Optimum “L” Filters: Polynomials, Poles and Circuit Elements by C. Bond, 2004
* Notes on “L” (Optimal) Filters by C. Bond, 2011

رده:طراحی الکترونیک
رده:فیلترهای خطی