ساختار نواری الکترونی

در فیزیک حالت جامد، **ساختار نواری الکترونی** (یا به اختصار **ساختار نواری**) یک جامد، توصیف‌کننده محدوده ترازهای انرژی است که الکترون‌ها می‌توانند در آن حضور داشته باشند (نوارهای مجاز) و همچنین محدوده‌هایی از انرژی که هیچ الکترونی نمی‌تواند در آن‌ها حضور یابد (که گاف انرژی یا نوارهای ممنوعه نامیده می‌شوند).

**نظریه نوارها** این نوارها و گاف‌های انرژی را با بررسی تابع موج مکانیک کوانتومی برای یک الکترون در یک شبکه تناوبی بزرگ از اتم‌ها یا مولکول‌ها به دست می‌آورد. نظریه نوارها با موفقیت برای توضیح بسیاری از خواص فیزیکی جامدات، مانند مقاومت الکتریکی و جذب نوری مورد استفاده قرار گرفته است و پایه و اساس درک تمام افزاره‌های حالت جامد (مانند ترانزیستورها، سلول‌های خورشیدی و غیره) را تشکیل می‌دهد.
## دلیل تشکیل نوارها و گاف‌های انرژی
[بندانگشتی|چپ|یک مثال فرضی از تشکیل نوار زمانی که تعداد زیادی اتم کربن برای تشکیل بلور الماس گرد هم می‌آیند. نمودار سمت راست ترازهای انرژی را به عنوان تابعی از فاصله بین اتم‌ها نشان می‌دهد. وقتی اتم‌ها از هم دور هستند (سمت راست نمودار)، اوربیتال‌های هر اتم دارای انرژی یکسانی هستند که توسط اوربیتال‌های اتمی کربن تعیین می‌شود. وقتی اتم‌ها به اندازه کافی نزدیک می‌شوند (سمت چپ) که اوربیتال‌ها شروع به همپوشانی می‌کنند، آن‌ها به اوربیتال‌های مولکولی با انرژی‌های مختلف [هیبریداسیون اوربیتال|هیبرید می‌شوند. هر اوربیتال اتمی به *N* اوربیتال مولکولی تقسیم می‌شود که در آن *N* تعداد اتم‌های بلور است. از آنجایی که تعداد اتم‌ها بسیار زیاد است، اوربیتال‌ها از نظر انرژی بسیار به هم نزدیک هستند و نوارهای پیوسته‌ای را تشکیل می‌دهند. اصل طرد پاولی تعداد الکترون‌ها در یک اوربیتال واحد را به دو عدد محدود می‌کند و نوارها از پایین‌ترین انرژی شروع به پر شدن می‌کنند. در اندازه سلول واقعی بلور الماس که با *a* نشان داده شده است، دو نوار تشکیل می‌شود که توسط یک گاف انرژی ۵.۵ الکترون‌ولت از هم جدا شده‌اند.|508x508پیکسل]]
بندانگشتی|چپ|ویدئو تشکیل نوار و چگونگی پر شدن آن‌ها توسط الکترون‌ها در یک فلز و یک عایق|310x310پیکسل

تشکیل نوارهای الکترونی و گاف‌های انرژی را می‌توان با دو مدل مکمل برای الکترون‌ها در جامدات توضیح داد. اولین مدل، مدل الکترون تقریباً آزاد است که در آن فرض می‌شود الکترون‌ها تقریباً آزادانه در داخل ماده حرکت می‌کنند. در این مدل، حالت‌های الکترونی شبیه به امواج تخت الکترون آزاد هستند و تنها به میزان کمی توسط شبکه بلوری دچار اختلال می‌شوند. این مدل منشأ رابطه پاشندگی الکترونی را توضیح می‌دهد، اما توضیح گاف‌های انرژی در این مدل ظریف‌تر است.

مدل دوم از حد مقابل شروع می‌شود، که در آن الکترون‌ها به شدت به اتم‌های منفرد وابسته هستند (بستگی قوی). الکترون‌های یک اتم منفرد و منزوی، اوربیتال‌های اتمی با ترازهای انرژی گسسته را اشغال می‌کنند. اگر دو اتم به اندازه کافی نزدیک شوند که اوربیتال‌های اتمی آن‌ها همپوشانی داشته باشد، الکترون‌ها می‌توانند بین اتم‌ها تونل‌زنی کنند. این تونل‌زنی باعث شکافتگی (هیبریداسیون اوربیتال) اوربیتال‌های اتمی به اوربیتال‌های مولکولی با انرژی‌های متفاوت می‌شود.

به همین ترتیب، اگر تعداد بسیار زیادی () از اتم‌های یکسان برای تشکیل یک جامد مانند یک شبکه بلوری گرد هم آیند، اوربیتال‌های اتمی اتم‌ها با اوربیتال‌های مجاور همپوشانی می‌کنند.
 هر تراز انرژی گسسته به  تراز تقسیم می‌شود که هر کدام انرژی متفاوتی دارند. از آنجایی که تعداد اتم‌ها در یک قطعه ماکروسکوپی از جامد بسیار زیاد است ()، تعداد اوربیتال‌هایی که با یکدیگر هیبرید می‌شوند بسیار زیاد است. به همین دلیل، ترازهای مجاور از نظر انرژی بسیار به هم نزدیک هستند (در مرتبه )، و می‌توان آن‌ها را به عنوان یک پیوستار یا یک «نوار انرژی» در نظر گرفت.

تشکیل نوارها عمدتاً ویژگی الکترون‌های بیرونی (الکترون ظرفیت) در اتم است که در پیوندهای شیمیایی و رسانندگی الکتریکی نقش دارند. اوربیتال‌های الکترونی داخلی به میزان قابل توجهی همپوشانی ندارند، بنابراین نوارهای آن‌ها بسیار باریک است.

گاف‌های انرژی در واقع محدوده‌های باقی‌مانده از انرژی هستند که توسط هیچ نواری پوشش داده نمی‌شوند و نتیجه پهنای محدود نوارهای انرژی هستند. نوارها پهنای متفاوتی دارند و این پهنا به میزان همپوشانی در اوربیتال‌های اتمی که از آن‌ها نشأت گرفته‌اند بستگی دارد. دو نوار مجاور ممکن است به سادگی به اندازه کافی پهن نباشند که تمام محدوده انرژی را بپوشانند. به عنوان مثال، نوارهای مربوط به اوربیتال‌های هسته (مانند الکترون ۱اس) به دلیل همپوشانی ناچیز بین اتم‌های مجاور، بسیار باریک هستند. در نتیجه، گاف‌های انرژی بزرگی بین نوارهای هسته وجود دارد. نوارهای بالاتر شامل اوربیتال‌های نسبتاً بزرگتر با همپوشانی بیشتر هستند و در انرژی‌های بالاتر به تدریج پهن‌تر می‌شوند، به طوری که در انرژی‌های بالاتر گاف انرژی وجود ندارد.

## مفاهیم پایه

### فرضیات و محدودیت‌های نظریه ساختار نواری
نظریه نوارها تنها یک تقریب برای حالت کوانتومی یک جامد است که برای جامدات متشکل از تعداد زیادی اتم یا مولکول یکسان که به هم پیوسته‌اند، به کار می‌رود. فرضیات لازم برای معتبر بودن نظریه نوارها عبارتند از:

* **سیستم با اندازه نامحدود**: برای اینکه نوارها پیوسته باشند، قطعه ماده باید از تعداد زیادی اتم تشکیل شده باشد. از آنجایی که یک قطعه ماکروسکوپی ماده حاوی حدود 1022 اتم است، این یک محدودیت جدی نیست؛ نظریه نوارها حتی برای ترانزیستورهای میکروسکوپی در مدارهای مجتمع نیز کاربرد دارد. با اصلاحاتی، مفهوم ساختار نواری را می‌توان به سیستم‌هایی که فقط در برخی ابعاد «بزرگ» هستند، مانند سیستم الکترونی دو بعدی، تعمیم داد.
* **سیستم همگن**: ساختار نواری یک ویژگی ذاتی ماده است که فرض می‌کند ماده همگن است. در عمل، این بدان معناست که ترکیب شیمیایی ماده باید در سراسر قطعه یکنواخت باشد.
* **عدم برهم‌کنش**: ساختار نواری «حالت‌های تک‌الکترونی» را توصیف می‌کند. وجود این حالت‌ها فرض می‌کند که الکترون‌ها در یک پتانسیل استاتیک بدون برهم‌کنش دینامیکی با ارتعاشات شبکه، سایر الکترون‌ها، فوتون‌ها و غیره حرکت می‌کنند.

فرضیات فوق در تعدادی از موقعیت‌های عملی مهم نقض می‌شوند و استفاده از ساختار نواری مستلزم بررسی دقیق محدودیت‌هاست:

* ناهمگنی‌ها و سطوح مشترک: در نزدیکی سطوح، پیوندها و سایر ناهمگنی‌ها، ساختار نواری توده (Bulk) مختل می‌شود. نه تنها اختلالات محلی در مقیاس کوچک (مانند حالت‌های سطحی یا حالت‌های آلاینده در داخل گاف انرژی) وجود دارد، بلکه عدم تعادل بار محلی نیز رخ می‌دهد. این عدم تعادل بار دارای اثرات الکترواستاتیکی است که به عمق نیمه‌رساناها، عایق‌ها و خلاء نفوذ می‌کند (به آلایندگی و خمیدگی نوار مراجعه کنید).
* در همین راستا، بیشتر اثرات الکترونیکی (ظرفیت خازنی، رسانندگی الکتریکی، غربال‌گری میدان الکتریکی) شامل فیزیک عبور الکترون‌ها از سطوح و/یا نزدیکی سطوح مشترک است. توصیف کامل این اثرات در تصویر ساختار نواری، حداقل به یک مدل ابتدایی از برهم‌کنش‌های الکترون-الکترون نیاز دارد (به بار فضایی و خمیدگی نوار مراجعه کنید).
* سیستم‌های کوچک: برای سیستم‌هایی که در هر بعد کوچک هستند (مانند یک مولکول کوچک یا یک نقطه کوانتومی)، ساختار نواری پیوسته وجود ندارد. گذار بین ابعاد کوچک و بزرگ قلمرو فیزیک مزوسکوپیک است.
* مواد با همبستگی قوی (به عنوان مثال، عایق‌های مات) را نمی‌توان صرفاً بر اساس حالت‌های تک‌الکترونی درک کرد. ساختار نواری الکترونی این مواد به خوبی تعریف نشده است و ممکن است اطلاعات مفیدی در مورد وضعیت فیزیکی آن‌ها ارائه ندهد.

### تقارن بلوری و بردارهای موج
[بندانگشتی|شکل ۱. [منطقه بریلوئن یک شبکه مکعبی وجوه پر که برچسب‌های نقاط تقارن خاص را نشان می‌دهد.]]
[بندانگشتی|300 پیکسل|شکل ۲. نمودار ساختار نواری برای [سیلیسیم|Si، Ge، GaAs و InAs که با مدل بستگی قوی تولید شده است. توجه داشته باشید که Si و Ge مواد با گاف انرژی غیرمستقیم هستند، در حالی که GaAs و InAs مستقیم هستند.]]محاسبات ساختار نواری از ماهیت تناوبی شبکه بلوری و تقارن آن بهره می‌برند. معادله شرودینگر تک‌الکترونی برای یک الکترون در پتانسیل تناوبی شبکه حل می‌شود که الکترون‌های بلاخ را به عنوان پاسخ می‌دهد:

\psi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}),

که در آن  بردار موج نامیده می‌شود. برای هر مقدار ، چندین پاسخ برای معادله شرودینگر وجود دارد که با  (شاخص نوار) مشخص می‌شوند که به سادگی نوارهای انرژی را شماره‌گذاری می‌کند.
هر یک از این ترازهای انرژی با تغییرات  به طور نرم تغییر می‌کنند و یک نوار پیوسته از حالت‌ها را تشکیل می‌دهند. برای هر نوار می‌توانیم تابعی به صورت  تعریف کنیم که همان رابطه پاشندگی برای الکترون‌ها در آن نوار است.

بردار موج هر مقداری را در داخل منطقه بریلوئن می‌پذیرد، که یک چندوجهی در فضای بردار موج (شبکه وارون) است که به شبکه بلور مرتبط است.
بردارهای موج خارج از منطقه بریلوئن صرفاً با حالت‌هایی مطابقت دارند که از نظر فیزیکی با حالت‌های داخل منطقه بریلوئن یکسان هستند.
به نقاط یا خطوط خاص با تقارن بالا در منطقه بریلوئن برچسب‌هایی مانند Γ، Δ، Λ، Σ اختصاص داده می‌شود (شکل ۱ را ببینید).

تجسم شکل یک نوار به عنوان تابعی از بردار موج دشوار است، زیرا به نموداری در فضای چهاربعدی ( در مقابل ، ، ) نیاز دارد. در متون علمی معمول است که **نمودارهای ساختار نواری** را مشاهده کنیم که مقادیر  را برای مقادیر  در امتداد خطوط مستقیم متصل‌کننده نقاط تقارن نشان می‌دهند. روش دیگر برای تجسم ساختار نواری، رسم یک ترازسطح با انرژی ثابت در فضای بردار موج است. ترازسطح حالت‌هایی با انرژی برابر با تراز فرمی به عنوان سطح فرمی شناخته می‌شود.

گاف‌های انرژی نوار را می‌توان با استفاده از بردارهای موج حالت‌های اطراف گاف طبقه‌بندی کرد:
* گاف انرژی مستقیم: پایین‌ترین حالت انرژی بالای گاف دارای همان  است که بالاترین حالت انرژی زیر گاف دارد.
* گاف انرژی غیرمستقیم: نزدیک‌ترین حالت‌ها در بالا و پایین گاف انرژی دارای مقدار  یکسانی نیستند.

#### نایکنواختی: ساختار نواری در جامدات غیربلوری
اگرچه ساختارهای نواری الکترونی معمولاً با مواد بلوری مرتبط هستند، مواد شبه‌بلور و جامدات آمورف نیز ممکن است گاف‌های انرژی نشان دهند. مطالعه تئوری این مواد دشوارتر است زیرا فاقد تقارن ساده یک بلور هستند. در نتیجه، تقریباً تمام کارهای تئوری موجود بر روی ساختار نواری الکترونی جامدات بر روی مواد بلوری متمرکز شده است.

### چگالی حالت‌ها
تابع چگالی حالت‌ها  به عنوان تعداد حالت‌های الکترونی در واحد حجم، در واحد انرژی، برای انرژی‌های الکترون نزدیک به  تعریف می‌شود. تابع چگالی حالت‌ها برای محاسبات اثرات مبتنی بر نظریه نوارها مهم است. در قاعده طلایی فرمی برای محاسبه نرخ جذب نوری، این تابع هم تعداد الکترون‌های قابل برانگیختگی و هم تعداد حالت‌های نهایی را فراهم می‌کند. برای انرژی‌های داخل یک گاف انرژی،  است.

### پر شدن نوارها

در تعادل ترمودینامیکی، احتمال پر شدن حالتی با انرژی  توسط یک الکترون با توزیع فرمی-دیراک داده می‌شود:

f(E) = \frac{1}{1 + e^}

که در آن:
*  حاصل‌ضرب ثابت بولتزمن و دما است.
*  پتانسیل شیمیایی کل الکترون‌ها یا **تراز فرمی** است (در فیزیک نیمه‌رسانا، این مقدار اغلب با  نشان داده می‌شود). تراز فرمی یک جامد مستقیماً با ولتاژ آن ماده مرتبط است.

چگالی الکترون‌ها در ماده، انتگرال توزیع فرمی-دیراک در چگالی حالت‌ها است:N/V = \int_{-\infty}^{\infty} g(E) f(E)\, dE

اگرچه تعداد بی‌شماری نوار و در نتیجه تعداد بی‌شماری حالت وجود دارد، اما تنها تعداد محدودی الکترون برای قرار دادن در این نوارها وجود دارد. شرط خنثایی بار به این معنی است که  باید با چگالی پروتون‌ها در ماده مطابقت داشته باشد. برای اینکه این اتفاق بیفتد، ماده خود را از نظر الکترواستاتیکی تنظیم می‌کند و ساختار نواری خود را در انرژی بالا یا پایین می‌برد تا نسبت به تراز فرمی در تعادل صحیح باشد.

#### نام نوارهای نزدیک به تراز فرمی (نوار رسانش، نوار ظرفیت)
مهم‌ترین نوارها و گاف‌های انرژی — آن‌هایی که برای الکترونیک و اپتوالکترونیک مرتبط هستند — آن‌هایی هستند که انرژی‌شان نزدیک به تراز فرمی است.
* در یک نیمه‌رسانا یا عایق، تراز فرمی توسط یک گاف انرژی احاطه شده است. نزدیک‌ترین نوار بالای گاف انرژی، **[[نوار رسانش]]** و نزدیک‌ترین نوار زیر گاف انرژی، **نوار ظرفیت** نامیده می‌شود.
* در یک فلز یا نیمه‌فلز، تراز فرمی در داخل یک یا چند نوار مجاز قرار دارد.

## نمودارهای نواری
برای درک چگونگی تغییر ساختار نواری نسبت به تراز فرمی در فضای واقعی، از نمودار نوار انرژی استفاده می‌شود. در این نمودارها، محور عمودی انرژی و محور افقی فضای واقعی (مکان) است. خطوط افقی نشان‌دهنده ترازهای انرژی و بلوک‌ها نشان‌دهنده نوارهای انرژی هستند. شیب‌دار بودن خطوط در این نمودارها نشان‌دهنده وجود یک میدان الکتریکی در سیستم بلوری است.

## جستار وابسته
* تراز انرژی
* فلیکس بلاخ
* مدل الکترون آزاد
* نوار ظرفیت

## منابع

رده:مهندسی حالت جامد
رده:مقاله‌های دارای ویدئو
رده:نظریه‌های نوارها