لگاریتم طبیعی ۲

در ریاضیات، **لگاریتم طبیعی ۲** یک عدد حقیقی منحصر به فرد است که تابع نمایی آن برابر با دو می‌شود. این عدد اغلب در فرمول‌های مختلف ظاهر می‌شود و همچنین با سری هارمونیک متناوب ارائه می‌شود. مقدار اعشاری لگاریتم طبیعی ۲  که در ۳۰ رقم اعشار کوتاه شده است، به صورت زیر ارائه می‌شود:

: \ln 2 \approx 0.693\,147\,180\,559\,945\,309\,417\,232\,121\,458.

لگاریتم ۲ در سایر مبناها با فرمول زیر به‌دست می‌آید:

: \log_b 2 = \frac{\ln 2}{\ln b}.

لگاریتم رایج به‌طور خاص ()

: \log_{10} 2 \approx 0.301\,029\,995\,663\,981\,195.

معکوس این عدد، لگاریتم دودویی ۱۰ است:

:  \log_2 10 =\frac{1}{\log_{10} 2} \approx 3.321\,928\,095 ().

طبق قضیه لیندمان-وایرشتراش، لگاریتم طبیعی هر عدد طبیعی غیر از ۰ و ۱ (به‌طور کلی‌تر، هر عدد جبری مثبت غیر از ۱) یک عدد ترافزاینده است. همچنین در حلقه دوره‌های جبری قرار دارد.

## نمایش‌های سری
### فاکتوریل متناوب صعودی
: \ln 2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}=1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\frac16+\cdots.  این همان «سری هارمونیک متناوب» معروف است.
: \ln 2 = \frac{1}{2} +\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}.
: \ln 2 = \frac{5}{8} +\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)}.
: \ln 2 = \frac{2}{3} +\frac{3}{4}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)}.
: \ln 2 = \frac{131}{192} +\frac{3}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}.
: \ln 2 = \frac{661}{960} +\frac{15}{4}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}.
: \ln 2 = \frac{2}{3}\left(1+\frac{2}{4^3-4}+\frac{2}{8^3-8}+\frac{2}{12^3-12}+\dots\right) .

### فاکتوریل ثابت صعودی دودویی
: \ln 2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n}.
: \ln 2 = 1 -\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n(n+1)}.
: \ln 2 = \frac{1}{2} + 2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)} .
: \ln 2 = \frac{5}{6} - 6 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)} .
: \ln 2 = \frac{7}{12} + 24 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)} .
: \ln 2 = \frac{47}{60} - 120 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)} .

### نمایش‌های دیگر سری‌ها
: \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} = \ln 2.
: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(4n^2-1)} = 2\ln 2 -1.
: \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n(4n^2-1)} = \ln 2 -1.
: \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n(9n^2-1)} = 2\ln 2 -\frac{3}{2}.
: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4n^2-2n} = \ln 2.
: \sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^2-4n} = \ln 2.
: \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{3n+1} = \frac{\ln 2}{3}+\frac{\pi}{3\sqrt{3}}.
: \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{3n+2} = -\frac{\ln 2}{3}+\frac{\pi}{3\sqrt{3}}.
: \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(3n+1)(3n+2)} = \frac{2\ln 2}{3}.
: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sum_{k=1}^n k^2} = 18 - 24 \ln 2 using \lim_{N\rightarrow \infty} \sum_{n=N}^{2N} \frac{1}{n} = \ln 2
: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4n^2-3n} = \ln 2 + \frac{\pi}{6}  (مجموع معکوس‌های اعداد ده‌ضلعی)

### با در نظر گرفتن تابع زتای ریمان
: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}[\zeta(2n)-1] = \ln 2.
: \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2^n}[\zeta(n)-1] = \ln 2 -\frac{1}{2}.
: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n+1}[\zeta(2n+1)-1] = 1-\gamma-\frac{\ln 2}{2}.
: \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{2n-1}(2n+1)}\zeta(2n) = 1-\ln 2.

( ثابت اویلر- ماسکرونی و  تابع زتای ریمان است)

### نمایش‌های نوع-بی‌بی‌پی
: \ln 2 = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^\infty \left(\frac{1}{2k}+\frac{1}{4k+1}+\frac{1}{8k+4}+\frac{1}{16k+12}\right) \frac{1}{16^k} .

(برای اطلاعات بیشتر در مورد نمایش‌های نوع بیلی-بوروین-پلوف (BBP) به اینجا مراجعه کنید)

با به‌کارگیری سه سری عمومی برای لگاریتم طبیعی بر ۲، مستقیماً نتیجه می‌شود:

: \ln 2 = \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}.
: \ln 2 = \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{2^{n}n}.
: \ln 2 = \frac{2}{3} \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{9^{k}(2k+1)}.

به‌کارگیری آنها در \textstyle 2 = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}  می‌دهد:

: \ln 2 = \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{2^n n} + \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{3^n n} .
: \ln 2 = \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{3^n n} + \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{4^n n} .
: \ln 2 = \frac{2}{5} \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{25^{k}(2k+1)} + \frac{2}{7} \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{49^{k}(2k+1)} .

به‌کارگیری آنها به \textstyle 2 = (\sqrt{2})^2  می‌دهد:

: \ln 2 = 2 \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{(\sqrt{2} + 1)^n n} .
: \ln 2 = 2 \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{(2 + \sqrt{2})^n n} .
: \ln 2 = \frac{4}{3 + 2 \sqrt{2}} \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{(17 + 12 \sqrt{2})^{k}(2k+1)} .

به‌کارگیری آنها به \textstyle 2 = { \left( \frac{16}{15} \right) }^{7} \cdot { \left( \frac{81}{80} \right) }^{3} \cdot { \left( \frac{25}{24} \right) }^{5}  می‌دهد:

: \ln 2 = 7 \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{15^n n} + 3 \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{80^n n} +  5 \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{24^n n} .
: \ln 2 = 7 \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{16^n n} + 3 \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{81^n n} +  5 \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{25^n n} .
: \ln 2 = \frac{14}{31} \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{961^{k}(2k+1)} + \frac{6}{161} \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{25921^{k}(2k+1)} + \frac{10}{49} \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{2401^{k}(2k+1)} .

## نمایش به صورت انتگرال
لگاریتم طبیعی ۲ اغلب به عنوان نتیجه انتگرال‌گیری به کار می‌رود. برخی از فرمول‌های صریح برای آن عبارتند از:

: \int_0^1 \frac{dx}{1+x} = \int_1^2 \frac{dx}{x} = \ln 2

: \int_0^\infty e^{-x}\frac{1-e^{-x}}{x} \, dx= \ln 2

: \int_0^\infty 2^{-x} dx= \frac{1}{\ln 2}

: \int_0^\frac{\pi}{3} \tan x \, dx=2\int_0^\frac{\pi}{4} \tan x \, dx = \ln 2

: -\frac{1}{\pi i}\int_{0}^{\infty} \frac{\ln x \ln\ln x}{(x+1)^2} \, dx= \ln 2

## سایر نمایش‌ها
بسط پیرس 

:  \ln 2 = 1 -\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 12} -\cdots. 

بسط اِنگِل 

:  \ln 2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{2\cdot 3\cdot 7} + \frac{1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}+\cdots. 

بسط کُتانژانت 

:  \ln 2 = \cot({\arccot(0) -\arccot(1) + \arccot(5) - \arccot(55) + \arccot(14187) -\cdots}). 

بسط کسر مسلسل ساده 

:  \ln 2 = \left[0; 1, 2, 3, 1, 6, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 10, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 2, 3, 1,...\right],

که تقریب‌های گویایی را به دست می‌دهد، که چند تای اول آنها ۰، ۱، ۲/۳، ۷/۱۰، ۹/۱۳ و ۶۱/۸۸ هستند.

این کسر مسلسل تعمیم‌یافته:

:  \ln 2 = \left[0;1,2,3,1,5,\tfrac{2}{3},7,\tfrac{1}{2},9,\tfrac{2}{5},...,2k-1,\frac{2}{k},...\right] ,
: همچنین قابل بیان به صورت:
:  \ln 2 = \cfrac{1} {1+\cfrac{1} {2+\cfrac{1} {3+\cfrac{2} {2+\cfrac{2} {5+\cfrac{3} {2+\cfrac{3} {7+\cfrac{4} {2+\ddots}}}}}}}}
= \cfrac{2} {3-\cfrac{1^2} {9-\cfrac{2^2} {15-\cfrac{3^2} {21-\ddots}}}} 

نمایش کسر مسلسل زیر (JLLagrange) به ازای هر چرخه، ۱٫۵۳ رقم اعشار صحیح جدید (به صورت مجانبی) می‌دهد:

: \ln 2=\frac{\frac{1}{2}}{L_{0}}, L_{k}=2k+1+\frac{k+1}{2+\frac{k+1}{L_{k+1}}}

یا

: \ln 2=\frac{2}{G_{0}}, G_{k}=6k+3-\frac{(k+1)^2}{G_{k+1}}

## خودگردان‌سازی سایر لگاریتم‌ها
با توجه به مقدار ، روشی برای محاسبه لگاریتم سایر اعداد صحیح، جدول‌بندی لگاریتم‌های اعداد اول و در لایه بعدی لگاریتم‌های اعداد مرکب  بر اساس تجزیه آنها به عوامل اول است.

: c=2^i3^j5^k7^l\cdots\rightarrow \ln(c)=i\ln(2)+j\ln(3)+k\ln(5)+l\ln(7)+\cdots

این استخدام می‌کند

در لایه سوم، لگاریتم‌های اعداد گویا  با  و لگاریتم ریشه‌ها با  محاسبه می‌شوند.

لگاریتم ۲ از این جهت مفید است که توان‌های ۲ توزیع نسبتاً متراکمی دارند؛ یافتن توان‌های  نزدیک به توان‌های  از اعداد دیگر  نسبتاً آسان است، و نمایش‌های سری  با جفت کردن ۲ به  با تبدیل‌های لگاریتمی یافت می‌شوند.

### مثال
اگر  با مقداری  کوچک باشد، آنگاه

:  s\ln p -t\ln q = \ln\left(1+\frac{d}{q^t}\right) = \sum_{m=1}^\infty \frac{(-1)^{m+1}}{m}\left(\frac{d}{q^t}\right)^m = \sum_{n=0}^\infty \frac{2}{2n+1} {\left(\frac{d}{2 q^t + d}\right)}^{2n+1} .

انتخاب  نشان دهنده  توسط  و یک سری پارامتر  است. که می‌خواهیم برای همگرایی سریع کوچک نگه داریم. به عنوان مثال، با در نظر گرفتن ، تولید می‌شود.

: 2\ln 3 = 3\ln 2 -\sum_{k\ge 1}\frac{(-1)^k}{8^{k}k} = 3\ln 2 + \sum_{n=0}^\infty \frac{2}{2n+1} {\left(\frac{1}{2 \cdot 8 + 1}\right)}^{2n+1} .

این در واقع سومین خط در جدول بسط‌های زیر از این نوع است:

با شروع از لگاریتم طبیعی  می‌توان از این پارامترها استفاده کرد:

## ارقام شناخته شده
این جدولی از ثبت‌های اخیر در محاسبه ارقام  است. تا دسامبر ۲۰۱۸، این عدد با ارقام بیشتری نسبت به هر لگاریتم طبیعی دیگری از یک عدد طبیعی، به جز ۱، محاسبه شده است.

## جستارهای وابسته
* قانون ۷۲# ترکیب پیوسته، که در آن  رقم به‌طور برجسته قرار می‌گیرند
* نیمه‌عمر#فرمول‌های نیمه‌عمر در واپاشی نمایی، که در آن  به‌طور برجسته‌ای نقش دارد
* معادله اردوش-موزر: همه جواب‌ها باید از همگرایی  حاصل شوند.

## منابع

* 
* 
* 
* 
* 
* 

## پیوند به بیرون

* 
* 

رده:اعداد ترافرازنده حقیقی
رده:ثابت‌های ریاضی
رده:صفحه‌های با ترجمه بازبینی‌نشده
رده:لگاریتم‌ها