تراز شبه فرمی

**تراز شبه فرمی**  اصطلاحی است که در مکانیک کوانتومی و به‌ویژه در فیزیک حالت‌جامد برای تراز فرمی (پتانسیل شیمیایی الکترون‌ها) استفاده می‌شود که جمعیت الکترون‌ها را به‌طور جداگانه در باند هدایت و باند ظرفیت توصیف می‌کند، زمانی که جمعیت‌های آنها از حالت تعادل خارج می‌شوند. این جابجایی می‌تواند در اثر اعمال یک ولتاژ خارجی یا قرار گرفتن در معرض نور انرژی E>E_g ایجاد شود که جمعیت الکترون‌ها را در نوار هدایت و نوار ظرفیت تغییر می‌دهد. از آنجایی که نرخ بازترکیب (میزان تعادل بین باندها) بسیار کندتر از سرعت آرامش انرژی در هر باند است، نوار هدایت و نوار ظرفیت هر کدام می‌توانند دارای جمعیت جداگانه‌ای باشند که درداخل در تعادل هستند، حتی اگر باندها با توجه به تبادل الکترون در تعادل نباشند. جابجایی از تعادل به گونه ای است که جمعیت‌های حامل را دیگر نمی‌توان با یک تراز فرمی منفرد توصیف کرد، با این حال می‌توان با استفاده از مفهوم ترازهای شبه فرمی جداگانه برای هر نوار توصیف کرد.

## تعریف
هنگامی که یک نیم‌رسانا در تعادل گرمایی است، تابع توزیع الکترون‌ها در تراز انرژی *E* توسط یک تابع توزیع فرمی دیراک ارائه می‌شود. در این مورد تراز فرمی به عنوان ترازی تعریف می‌شود که در آن احتمال اشغال الکترون در آن انرژی  است. در تعادل گرمایی، نیازی به تمایز بین تراز شبه فرمی باند هدایت و تراز شبه فرمی باند ظرفیتی نیست زیرا آنها به سادگی با تراز فرمی برابر هستند.

هنگامی که یک آشفتگی در یک وضعیت تعادل گرمایی رخ می‌دهد، جمعیت الکترون‌ها در باند هدایت و باند ظرفیت تغییر می‌کند. اگر آشفتگی خیلی زیاد نباشد یا خیلی سریع تغییر نکند، باندها هر کدام به حالت شبه تعادل گرمایی آرام (هلیده) می‌شوند. از آنجایی که زمان واهلش (زمان آرامگیری) الکترون‌ها در باند هدایت بسیار کمتر از طول شکاف باند است، می‌توانیم در نظر بگیریم که الکترون‌ها در باند هدایت در تعادل گرمایی هستند. این همچنین برای الکترون‌های موجود در باند ظرفیت (اغلب برحسب حفره‌ها درک می‌شود) کاربرد دارد. ما می‌توانیم یک تراز شبه فرمی و شبه دما را به دلیل تعادل گرمایی الکترون‌ها در باند هدایت، و تراز شبه فرمی و شبه دما را برای نوار ظرفیت تعریف کنیم.

می‌توانیم تابع فرمی کلی برای الکترون‌ها در باند هدایت را به صورت بیان کنیم f_{\rm c}(k,r)\approx f_0(E,E_{\rm Fc},T_{\rm c}) و برای الکترون‌ها در باند ظرفیت به عنوان f_{\rm v}(k,r)\approx f_0(E,E_{\rm Fv},T_{\rm v})که اینجا:
* f_0(E,E_{\rm F},T)=\frac{1}{e^{(E-E_{\rm F})/(k_{\rm B}T)}+1} تابع توزیع فرمی‌دیراک است،
* E_{\rm Fc} باند هدایت در تراز شبه فرمی در مکان *r* است،
* E_{\rm Fv} باند ظرفیت شبه فرمی در مکان *r* است،
* T_c دمای باند هدایت است،
* T_v دمای باند ظرفیت است،
* f_{\rm c}(k,r) احتمال اینکه یک حالت (اِستیت) باند هدایت خاص با بردار موج *k* و موقعیت *r* توسط یک الکترون اشغال شده باشد،
* f_{\rm v}(k,r) احتمال این است که یک حالت باند ظرفیت خاص، با بردار موج *k* و موقعیت *r*، توسط یک الکترون اشغال شده باشد (یعنی توسط یک حفره اشغال *نشده باشد*).
* E انرژی حالت باند هدایت یا باند ظرفیت مورد نظر است،
* k_{\rm B} ثابت بولتزمن است.

## پیوند p-n
همان‌طور که در شکل زیر نشان داده شده است، باند هدایت و باند ظرفیت در یک پیوند p-n با خط آبی در سمت چپ و تراز شبه فرمی با خط چین قرمز نشان داده شده است.

هنگامی که هیچ ولتاژ خارجی (بایاس) برای پیوند ap-n اعمال نمی‌شود، سطوح شبه فرمی برای الکترون و حفره‌ها با یکدیگر همپوشانی دارند. با افزایش بایاس، نوار ظرفیت سمت p به سمت پایین کشیده می‌شود، و همین‌طور تراز شبه فرمی حفره. در نتیجه جداسازی حفره و الکترون شبه تراز فرمی افزایش یافت.
[وسط|بندانگشتی|700x700پیکسل| کار پیوند p-n در حالت بایاس مستقیم نشان دهنده کاهش عرض [ناحیه تخلیه|تخلیه است. هر دو پیوند p و n در  آلاییده می‌شوند سطح آلایش، منجر به پتانسیل داخلی ۰٫۵۹~ ولت می‌شود. ترازهای مختلف شبه فرمی را برای نوار هدایت و نوار ظرفیت در ناحیه n و p (منحنی‌های قرمز) مشاهده کنید.]]

## کاربرد
این ساده‌سازی در بسیاری از زمینه‌ها به ما کمک خواهد کرد. برای مثال، می‌توانیم از همان معادله برای چگالی الکترون‌ها و حفره‌های مورد استفاده در تعادل گرمایی استفاده کنیم، اما به جای ترازهای شبه فرمی و دما؛ یعنی اگر بگذاریم n چگالی فضایی الکترون‌های باند هدایت باشد و p چگالی فضایی حفره‌های یک ماده باشد، و اگر تقریب بولتزمن برقرار باشد، یعنی با فرض اینکه چگالی الکترون و حفره خیلی زیاد نباشد، n = n(E_{\rm F_c})p = p(E_{\rm F_v}) که اینجا n(E) چگالی فضایی الکترون‌های باند هدایت که نشان دهنده تعادل گرمایی اگر تراز فرمی در E باشد، است، و p(E) چگالی فضایی حفره‌هایی است که اگر تراز فرمی در تعادل گرمایی Eباشد.

یک جریان (به دلیل اثرات ترکیب رانش و نفوذ) تنها در صورتی ظاهر می‌شود که تغییری در تراز فرمی یا شبه فرمی وجود داشته باشد. می‌توان نشان داد که چگالی جریان برای جریان الکترون متناسب با گرادیان در تراز شبه فرمی الکترون است. برای اینکه اگر اجازه دهیم \mu تحرک‌پذیری الکترون باشد، و E_{F}(\mathbf{r}) انرژی شبه فرمی در نقطه مکانی \mathbf{r} باشد، سپس داریم  \mathbf{J}_n(\mathbf{r}) =\mu_nn\cdot (\nabla E_{\rm F_c}) به‌طور مشابه، برای حفره‌ها، ما داریم  \mathbf{ J}_p(\mathbf{r})= \mu_pp\cdot (\nabla E_{\rm F_v})

## منابع

* 

رده:آمار فرمی-دیراک
رده:نظریه‌های نوارها