هندسه شمارشی

**هندسه شمارشی** در ریاضیات، هندسه شمارشی شاخه‌ای از هندسه جبری است که با شمارش تعداد راه‌حل‌ها برای مسائل هندسی، عمدتاً با استفاده از نظریه تقاطع، سروکار دارد. 

در حالی که ریاضیدانان عمدتاً علاقه خود را به این حوزه که در میان یونانیان باستان و پس از آن رواج داشت، در اواسط دهه ۱۹۰۰ از دست دادند، این حوزه اخیراً با کشف روش‌هایی برای اعمال نظریه هموتوپی انگیزه‌ای به مسائل، دوباره احیا شده است.

## تاریخچه

مسئله آپولونیوس نمونه‌ای اولیه از یک مسئله هندسه شمارشی است که در بین یونانیان باستان محبوب بود. این مسئله تعداد و نحوه ساخت دایره‌هایی را که بر سه دایره، نقطه یا خط داده شده مماس هستند، می‌پرسد. به‌طور کلی، مسئله برای سه دایره داده شده هشت راه حل دارد، که می‌توان آن را به صورت ۲۳ در نظر گرفت، که هر شرط مماس یک شرط درجه دوم را بر فضای دایره‌ها اعمال می‌کند.  با این حال، برای ترتیب‌های خاص دایره‌های داده شده، تعداد راه حل‌ها می‌تواند هر عدد صحیحی از ۰ (بدون راه حل) تا شش باشد. هیچ ترتیبی وجود ندارد که برای آن هفت راه حل برای مسئله آپولونیوس وجود داشته باشد. 

هندسه شمارشی با گذشت زمان بسیار پیچیده‌تر شد و سوالات آن نیز پیچیده‌تر شدند: برای مثال، تعداد خطوط روی یک سطح مکعبی یا تعداد منحنی‌های درجه دوم روی یک سطح درجه پنجمی.

تا حدود سال ۱۹۰۰، ریاضیدانان فهمیده بودند که چگونه هر مسئله هندسه شمارشی را روی اعداد مختلط حل کنند، اما این روش‌ها برای هیچ سیستم عددی دیگری قابل استفاده نبودند. در آن زمان، برخی معتقد بودند که مطالعه مسائل هندسه شمارشی روی سایر سیستم‌های عددی، مانند اعداد صحیح، خواص اساسی سیستم‌های عددی را آشکار می‌کند و به حوزه‌های جدیدی از ریاضیات منجر می‌شود. هیلبرت، یکی از این افراد، یک مسئله هندسه شمارشی را در مسائل هیلبرت گنجاند.

در اواسط دهه ۱۹۰۰، این حوزه محبوبیت بسیار کمتری پیدا کرد و ریاضیدانان شروع به تمرکز بر مباحث انتزاعی‌تر کردند. در دهه ۱۹۹۰، علاقه به این حوزه برای مدت کوتاهی دوباره احیا شد.

اخیراً، ریاضیدانان کشف کرده‌اند که چگونه می‌توان نظریه هموتوپی انگیزه‌ای را در مسائل هندسه شمارشی به کار برد. این امر امکان ساخت یک فرم درجه دوم از هر مسئله را فراهم می‌کند که می‌تواند برای استخراج اطلاعات در مورد راه‌حل‌ها در هر سیستم عددی استفاده شود. به عنوان مثال، در اعداد مختلط، تعداد راه‌حل‌ها برابر با تعداد جملات است و در اعداد حقیقی، امضا (تعداد جملات مثبت - تعداد جملات منفی) حد پایینی برای تعداد راه‌حل‌ها ارائه می‌دهد. در سایر سیستم‌های عددی، این امر پیچیده‌تر می‌شود و استخراج اطلاعات از این فرم‌های درجه دوم، یک حوزه فعال مطالعاتی است.

## ابزارهای کلیدی
تعدادی از ابزارها، از ابتدایی تا پیشرفته‌تر، عبارتند از:
* شمارش ابعاد
* قضیه بزو
* حساب دیفرانسیل و انتگرال شوبرت، و به‌طور کلی‌تر، کلاس‌های مشخصه در کوهمولوژی
* ارتباط تقاطع‌های شمارشی با کوهمولوژی، دوگانگی پوانکاره است.
* مطالعه فضاهای مدولی منحنی‌ها، نقشه‌ها و سایر اشیاء هندسی، گاهی اوقات از طریق نظریه کوهمولوژی کوانتومی. مطالعه کوهمولوژی کوانتومی، ثابت‌های گروموف-ویتن و تقارن آینه‌ای پیشرفت قابل توجهی در حدس کلمنس ایجاد کرد.
هندسه شمارشی ارتباط بسیار نزدیکی با نظریه تقاطع دارد.

اخیراً، نظریه هموتوپی انگیزه‌ای نیز گنجانده شده است.

## حدس کلمنس
در سال ۱۹۸۴، هربرت کلمنس شمارش تعداد منحنی‌های گویا را روی یک سه‌گانه پنجمی بررسی کرد. و به حدس زیر رسید
X\subset P^4
بگذارید X\subset P^4 یک سه‌گانه پنج‌تایی عمومی باشد، یک عدد صحیح مثبت، آنگاه فقط تعداد متناهی منحنی گویا با درجه وجود دارد d یا X

این حدس در پرونده حل شده استd \le 9اما هنوز برای سطوح بالاتر باز است.d

در سال ۱۹۹۱، مقاله در مورد تقارن آینه‌ای روی سه‌گانه‌های پنج‌ضلعی در
پ
P^4 از دیدگاه نظریه ریسمان، اعدادی با درجه d منحنی‌های گویا روی … ارائه می‌دهد.
X برای همهd > 0 پیش از این، هندسه‌دانان جبری می‌توانستند این اعداد را فقط برای … محاسبه کنندd \le 5.

## منابع

رده:مقاله‌های ایجادشده توسط ایجادگر
رده:هندسه جبری