معادلۀ شایل

در متالورژی، معادلۀ شایل–گالیور (یا معادله شایل) توزیع مجدد حل‌شونده را در طی انجماد یک آلیاژ توصیف می‌کند.

## فرضیات
چهار فرض کلیدی در تحلیل شایل امکان تعیین فازهای موجود در یک قطعه ریختگی را فراهم می‌کنند. این فرضیات عبارتند از:
بندانگشتی|انجماد یک آلیاژ دوتایی Cu-Zn با ترکیب 30% روی به وزن، با استفاده از نسخۀ متن‌باز نرم‌افزار Comoutherm Pandat. خط قرمز منحنی حاصل از قانون اهرم(Lever Rule) را نشان می‌دهد، در حالی که مدل شایل به منحنی آبی اعمال شده است.

# هیچ نفوذی در فازهای جامد پس از تشکیل آنها رخ نمی‌دهد( D_s = 0 )
# نفوذ بی‌نهایت سریع در مایع در تمام دماها رخ می‌دهد، به دلیل ضریب نفوذ بالا، همرفت حرارتی، همرفت مارانگونی و غیره( D_L = \infty )
# در رابط جامد-مایع تعادل برقرار است و بنابراین ترکیب‌ها از نمودار فازی معتبر هستند.
# سولیدوس و لیکویدوس قطعات مستقیم هستند.

شرط چهارم (قطعات مستقیم سولیدوس/لیکویدوس) ممکن است زمانی که از تکنیک‌های عددی استفاده می‌شود، مانند آنچه در بسته‌های نرم‌افزاری CALPHAD به کار می‌رود، کاهش یابد، اگرچه این محاسبات به نمودارهای فازی تعادلی محاسبه‌شده تکیه دارند. نمودارهای محاسبه‌شده ممکن است شامل آثار عجیب و غریب باشند (یعنی حلالیت معکوس) که بر محاسبات شایل تأثیر می‌گذارند.

## اثبات معادله
بندانگشتی
ناحیه‌های هاشورخورده در شکل نشان‌دهنده میزان حل‌شونده در فاز جامد و مایع هستند. با در نظر گرفتن اینکه مقدار کل حل‌شونده در سیستم باید حفظ شود، این نواحی به صورت زیر برابر قرار داده می‌شوند:

(C_L-C_S) df_S=(f_L)dC_L

با توجه به اینکه ضریب تقسیم (مرتبط با توزیع حل‌شونده) برابر است با:

k = \frac{C_S}{C_L}


و جرم باید حفظ شود:

f_S + f_L = 1

تراز جرم را می‌توان به شکل زیر بازنویسی کرد:

C_L (1-k)  df_S = (1 - f_S)  dC_L

با استفاده از شرط مرزی:

C_L = C_0 وقتی f_S=0

می‌توان انتگرال‌گیری زیر را انجام داد:

\int_0^{f_S} \frac{df_S}{1-f_S} = \frac{1}{1-k} \int_{C_0}^{C_L} \frac{dC_L}{C_L}


انتگرال‌گیری منجر به معادله شایل-گالیور برای ترکیب مایع در طول انجماد می‌شود:

C_L = C_0 (f_L)^{\,k-1}


و برای ترکیب جامد:

C_S = k C_0 (1 - f_S)^{\,k-1}


## کاربرد [[تابع دابلیوی لامبرت|تابع لمبرت W]] در معادلۀ شایل
در برخی حل‌های تحلیلی معادله شایل، C_L = C_0 (1 - f_S)^{k-1}
 ، معادلات متعالی (transcendental) به دلیل وابستگی ضمنی بین غلظت حل‌شونده در فاز مایع(C_L) و کسری جامد(f_S) ایجاد می‌شوند. برای مثال، با بازآرایی عبارات تحت شرایط مرزی خاص، به معادلاتی از شکل زیر می‌رسیم:

\frac{C_S}{C_L}ln(1-f_S)e^{(\frac{C_S}{C_L}ln(1-f_S))}=\frac{C_S}{C_0}(1-f_S)ln(1-f_S)

چنین معادلاتی می‌توانند به صورت صریح با استفاده از **تابع لمبرتW،** W(x)، که به عنوان تابع معکوس x=W(x)e^{W(x)} تعریف می‌شود، حل شوند. با بازآرایی عبارات به این شکل استاندارد، حل برای (C_L) به صورت زیر درمی‌آید:

C_L=\frac{C_Sln(1-f_S)}{W(z)}

یا

C_L=\frac{C_0}{(1-f_S)}e^{W(z)}

که در آن

z=(\frac{C_S}{C_0})(1-f_S)ln(1-f_S)

این کاربرد تابع لمبرت W به ویژه در مدل‌سازی جدایش ناخالصی‌ها هنگام رشد بلور اهمیت دارد، که باعث بهینه‌سازی استفاده از مذاب و افزایش کارایی رشد بلور می‌شود. 

## کاربردهای معادلۀ شایل: [[محاسبه دیاگرام‌های فازی|calphad]] برای متالورژی انجماد
امروزه چندین نرم‌افزار Calphad در چارچوب ترمودینامیک محاسباتی در دسترس هستند تا بتوانند انجماد را در سیستم‌هایی با بیش از دو جزء شبیه‌سازی کنند؛ این ابزارها اخیراً به عنوان **ابزارهای Calphad برای متالورژی انجماد** تعریف شده‌اند. در سال‌های اخیر، روش‌های مبتنی بر Calphad در چندین زمینه مهم متالورژی به بلوغ رسیده‌اند، و به ویژه در فرآیندهای مرتبط با انجماد مانند ریخته‌گری نیمه‌جامد، چاپ سه‌بعدی و جوشکاری کاربرد یافته‌اند. با اینکه مطالعات مهمی به پیشرفت روش Calphad اختصاص یافته، هنوز جای کار برای سیستماتیک کردن این حوزه وجود دارد، که از قابلیت اکثر نرم‌افزارهای مبتنی بر Calphad برای شبیه‌سازی منحنی‌های انجماد شروع می‌شود و شامل مطالعات بنیادی و کاربردی بر روی انجماد است تا بتواند توجه جامعه علمی گسترده‌تری را نسبت به امروز جلب کند. سه زمینه کاربردی ذکر شده می‌توانند با مثال‌های موفق مدل‌سازی ساده مرتبط با موضوع این شماره گسترش یابند، با هدف توسعه کاربرد ابزارهای ساده و مؤثر مرتبط با Calphad و متالورژی. برای اطلاعات بیشتر، بخش "Calphad Tools for the Metallurgy of Solidification" در یک شماره جاری Open Journal را ببینید: https://www.mdpi.com/journal/metals/special_issues/Calphad_Solidification

بندانگشتی|سطوح مختلف کسری فاز جامد (به رنگ قرمز) در نمودار فازی مس و روی نشان داده شده‌اند. این سطوح از <math>f_S=0.8</math> شروع شده و به‌صورت گام‌به‌گام تا <math>f_S=0.2</math> کاهش می‌یابند.
با داشتن یک ترکیب شیمیایی مشخص، با استفاده از نرم‌افزاری برای ترمودینامیک محاسباتی -چه متن‌باز و چه تجاری- محاسبه **منحنی شایل** ممکن است، اگر پایگاه داده ترمودینامیکی در دسترس باشد. یکی از نکات مثبت برخی نرم‌افزارهای تجاری خاص این است که نصب آن‌ها بسیار آسان است و می‌توان از آن‌ها روی سیستم‌های مبتنی بر ویندوز استفاده کرد -برای مثال با دانشجویان یا برای آموزش خودآموز.

می‌توان برخی پایگاه‌های داده متن‌باز، عمدتاً دوتایی (با پسوند .tdb*)، را دریافت کرد؛ این پایگاه‌ها پس از ثبت‌نام در **پایگاه داده نمودار فاز محاسباتی (CPDDB)** مؤسسه ملی علوم مواد ژاپن (NIMS) قابل دسترسی هستند:

https://cpddb.nims.go.jp/index_en.html

این داده‌ها به صورت رایگان در دسترس هستند و مجموعه نسبتاً کاملی را ارائه می‌دهند؛ در حال حاضر، 507 سیستم دوتایی در فرمت tdb موجود است. برخی سیستم‌های آلیاژی گسترده‌تر و خاص‌تر، به صورت جزئی باز و با فرمت سازگار با tdb، با اصلاحات جزئی برای استفاده در Pandat، در **Matcalc** در دسترس هستند: 

https://www.matcalc.at/index.php/databases/open-databases

## بیان عددی و مشتق عددی منحنی شایل: کاربرد در اندازۀ دانه‌ها در فرایند انجماد و پردازش نیمه‌جامد
یک مفهوم کلیدی که می‌تواند در کاربردها مورد استفاده قرار گیرد، **مشتق (عددی) کسری جامد (**f_S**) نسبت به دما** است. یک مثال عددی با استفاده از آلیاژ مس-روی با ترکیب ۳۰٪ روی به وزن در اینجا ارائه شده است، که در آن از **علامت مخالف** برای نمایش همزمان دما و مشتق آن در یک نمودار استفاده می‌شود.

Q=\lim_{f_s \to 0}\frac{\partial T}{\partial f_S}

## کاربرد در تعیین اندازۀ دانه‌ها هنگام انجماد
این کمیت -**مقدار مشتق عددی محاسبه‌شده با Calphad**، Q- کاربردهای جالبی در زمینه انجماد فلزات دارد. در واقع، Q نمودار فازی سیستم آلیاژی را منعکس می‌کند و **معکوس آن** با اندازه دانه d در طول انجماد رابطه دارد، که در برخی موارد به صورت تجربی خطی یافت شده است:

d=a+ \frac{b}{Q}

که در آن a و b ثابت هستند، همان‌طور که با چند مثال از ادبیات برای آلیاژهای Mg و Al نشان داده شده است. قبل از استفاده از Calphad، مقادیر Q از رابطه متعارف زیر محاسبه می‌شد:

Q=m*c0(k-1)

که در آن m شیب خط لیکوئیدوس، c0 غلظت حل‌شونده و k ضریب توزیع تعادلی است.

اخیراً برخی روابط دیگر ممکن بین Q و اندازه دانه d یافت شده است، برای مثال:

d=\frac{B}{Q^(\frac{1}{3})}

که در آن B یک ثابت مستقل از ترکیب آلیاژ است.

این روابط نشان می‌دهند که **مشتق عددی منحنی Scheil** می‌تواند به عنوان یک شاخص مؤثر برای پیش‌بینی اندازه دانه و کنترل ریزساختار در فرآیندهای انجماد مورد استفاده قرار گیرد.

## کاربرد در ترک‌خوردگی هنگام انجماد
در نشریات اخیر، پروفسور **Sindo Kou** یک روش برای ارزیابی حساسیت به **ترک‌خوردگی در طول انجماد** پیشنهاد کرده است. این روش بر اساس رویکرد مشابهی است که در آن یک کمیت، \lim_{f_S \to 1} \frac{\partial T}{\partial f_S^{(\frac{1}{2})}}، که ابعاد آن دما است، به عنوان شاخصی برای حساسیت به ترک‌خوردگی پیشنهاد شده است. در اینجا نیز می‌توان از **منحنی‌های انجماد مبتنی بر Scheil** استفاده کرد تا این شاخص را به شیب منحنی انجماد (Scheil) مرتبط نمود: 


\frac{\partial T}{\partial \sqrt{f_s}}
=
\frac{\partial T}{\partial f_s} \cdot \frac{f_s^{1/2}}{2}



## کاربرد در فرایندهای نیمه‌جامد
آخرین مورد اما مهم، پروفسور **E.J. Zoqui** در کار خود رویکرد پیشنهاد شده توسط چندین پژوهشگر در معیارهای **فرآیند نیمه‌جامد** را خلاصه کرده است، که شامل **پایداری فاز جامد (**f_S**) با تغییر دما** است. برای پردازش آلیاژهای نیمه‌جامد، حساسیت کسری جامد به تغییر دما باید **حداقل** باشد: در یک جهت ممکن است به یک جامد سخت برای تغییر شکل تبدیل شود، و در جهت دیگر ممکن است به یک مایع تبدیل شود که بدون قالب‌گیری مناسب، شکل‌پذیری دشواری دارد.

این معیار را می‌توان دوباره با **ارزیابی شیب منحنی انجماد** بیان کرد: در واقع \frac{\partial f_S}{\partial T} باید کمتر از یک آستانه مشخص باشد، که در ادبیات علمی و فنی معمولاً **کمتر از**\frac {1}{k} **0.03** پذیرفته شده است. به صورت ریاضی می‌توان این را با یک نابرابری بیان کرد:

\frac{\partial f_S}{\partial T}

که K نمایانگر درجات کلوین است و می‌تواند به طور تقریبی برای دو روش اصلی ریخته‌گری نیمه‌جامد استفاده شود: **رئوکستینگ** ( 0.4>f_S >0.3) و **تیکسوفورمینگ** ( 0.7>f_S>0.6). اگر بخواهیم به رویکردهای عددی و تابعی قبلی بازگردیم، باید **مقدار معکوس** را در نظر گرفت:

\frac{\partial T}{\partial f_S}>33 K

این مقدار نشان‌دهنده حداقل تغییر دما برای یک تغییر کسری جامد واحد است و معیار مفیدی برای کنترل ریزساختار و شکل‌پذیری در فرآیندهای نیمه‌جامد به شمار می‌رود.

## منابع

* Gulliver,     G.H., The Quantitative Effect of Rapid Cooling Upon the Constitution of     Binary Alloys, J. Inst. Met., 1913, 9, p 120-157
* Scheil,     E., Bemerkungen zur Schichtkristallbildung, Z. Metallkd., 1942, 34, p     70-72
* Greer     L., et al. Modelling of inoculation of metallic melts: application to     grain refinement of aluminium by Al–Ti–B Acta Mat. 48, 11, 2000,     2823-2835 https://doi.org/10.1016/S1359-6454(00)00094-X
* Porter,     D. A., and Easterling, K. E., *Phase Transformations in Metals and     Alloys* (2nd Edition), Chapman & Hall, 1992. https://doi.org/10.1201/9781439883570
* Kou,     S., *Welding Metallurgy*, 2nd Edition, Wiley -Interscience,     2003. https://doi.org/10.1002/0471434027
* Karl     B. Rundman Principles of Metal Casting Textbook - Michigan Technological     University
* Quested     T.E., Dinsdale A.T., Greer A.L. Thermodynamic modelling of     growth-restriction effects in aluminium alloys Acta Materialia 53, 5,     2005, 1323-1334. https://doi.org/10.1016/j.actamat.2004.11.024
* H.     Fredriksson, Y. Akerlind, Materials Processing during Casting, Chapter 7,     Wiley, 2006. https://www.wiley.com/en-us/Materials+Processing+During+Casting-p-9780470015148 H.     Fredriksson, Y. Akerlind, Materials Processing during Casting,     Supplementary (open) Material https://www.wiley.com/legacy/wileychi/fredriksson/features.html
* Schmid-Fetzer,     R. Phase Diagrams: The Beginning of Wisdom. J. Phase Equilib. Diffus. 35,     735–760, 2014. https://doi.org/10.1007/s11669-014-0343-5
* Zoqui,     E. Alloys for Semisolid Processing, Comprehensive Materials Processing     Volume 5, 2014, Pages 163-190 https://doi.org/10.1016/B978-0-08-096532-1.00520-3
* Zhang,     D., Prasad, A., Bermingham, M.J. et al. Grain Refinement of Alloys in     Fusion-Based Additive Manufacturing Processes. Metall Mater Trans A 51,     4341–4359 (2020). https://doi.org/10.1007/s11661-020-05880-4
* Todaro     C.J., Easton M.A., Qiu D., Brandt M., StJohn D.H., Qian M. Grain     refinement of stainless steel in ultrasound-assisted additive     manufacturing, Additive Manufacturing 37, 2021,https://doi.org/10.1016/j.addma.2020.101632
* Balart,     M.J., Patel, J.B., Gao, F. et al. Grain Refinement of Deoxidized Copper.     Metall Mater Trans A 47, 4988–5011 (2016) https://doi.org/10.1007/s11661-016-3671-8
* Kou,     S. Predicting Susceptibility to Solidification Cracking and Liquation     Cracking by CALPHAD, Metals 2021, 11(9), 1442 https://doi.org/10.3390/met11091442
* Zhang     F., Liang S., Zhang C., Chen S., Lv D., Cao W., Kou S. Prediction of     Cracking Susceptibility of Commercial Aluminum Alloys during     Solidification, Metals 2021, 11(9), 1479; https://doi.org/10.3390/met11091479
* Asadian,     M; Saeedi, H; Yadegari, M; Shojaee, M (June 2014). "Determinations of     equilibrium segregation, effective segregation and diffusion coefficients     for Nd+3 doped in molten YAG". Journal of Crystal Growth. 396 (15):     61–65. Bibcode:2014JCrGr.396...61A.     doi:10.1016/j.jcrysgro.2014.03.028. https://doi.org/10.1016/j.jcrysgro.2014.03.028
* Asadian,     M; Zabihi, F; Saeedi, H (March 2024). "Segregation and constitutional     supercooling in Nd:YAG Czochralski crystal growth". Journal of     Crystal Growth. 630: 127605. Bibcode:2024JCrGr.63027605A.     doi:10.1016/j.jcrysgro.2024.127605. S2CID 267414096.https://doi.org/10.1016/j.jcrysgro.2024.127605

## پیوند به بیرون

* ''Scheil''  ''Solidification Simulation of 332.1 Foundry Aluminium Alloy, Thermocalc Youtube Channel. YouTube''*. 13*  *November 2018. Archived from     the original on 2021-12-19. Retrieved 12 January 2020.*
* ''Computational Phase Diagram Database of the National'' ''Institute for Materials Science of Japan, NIMS.'' *Retrieved 22 September 2021*
* *[https://www.matcalc.at/index.php/databases/open-databases Matcalc open databases]. Retrieved 13 January 2020*
* *[https://www.matcalc-engineering.com/images/external/PDF-Files/scheil_gulliver.pdf Performing Scheil-Gulliver analysis in MatCalc] (PDF). Retrieved 26 September 2021*
* *[https://www.matcalc-engineering.com/images/external/PDF-Files/scheil_gulliver.pdf Special Issue "Calphad Tools for the Metallurgy of Solidification]. Retrieved 13 January 2020*
* *[https://computherm.com/solidification-simulation-by-scheil-model-and-lever-rule Solidification Simulation by Scheil Model and Lever Rule]. 3 March 2021. Retrieved 26 September 2021*

رده:متالورژی