اسفنج منگر

بندانگشتی|تصویری از ''M'' <sub>4</sub>، اسفنج پس از چهار تکرار روند ساخت
در ریاضیات، **اسفنج منگر** (همچنین به عنوان **مکعب منگر**، **منحنی جهانی منگر**، **مکعب شرپینسکی** یا **اسفنج شرپینسکی** نیز شناخته می‌شود) یک خم فراکتالی است. این فراکتال تعمیم از مجموعه کانتور یک بعدی و قالی شرپینسکی دو بعدی به سه بعد است. اولین بار توسط کارل منگر در سال ۱۹۲۶ در کتاب خود دربارهٔ مفهوم بعد توپولوژیک آن را توصیف کرد.
بندانگشتی|تصویر ۳: نمایش مجسمه ای تکرارهای ۰ (پایین) تا ۳ (بالا).
روش ساخت اسفنج منگر را می‌توان به صورت زیر توصیف کرد:
# با یک مکعب شروع کنید.
# مانند مکعب روبیک ، هر وجه مکعب را به نه مربع تقسیم کنید؛ و بدین ترتیب این مکعب به ۲۷ مکعب کوچکتر تقسیم می‌شود.
# مکعب کوچکتر وسط هر وجه و مکعب کوچکتر مرکز مکعب بزرگتر را برداشته و ۲۰ مکعب کوچکتر باقی بگذارید. این یک اسفنج منگر مرحله یک است.
# مراحل دو و سه را برای هر مکعب کوچکتر باقیمانده تکرار کنید و این روند را تا *بی‌نهایت ادامه دهید*.

هیچ|بندانگشتی|500x500پیکسل|تصویری از ساختار تکرارشوندهٔ اسفنج منگر تا ''M'' <sub>3</sub> ،(تکرار سوم)
بندانگشتی|239x239پیکسل|انیمیشن از اسفنج منگر از طریق (۴) مرحله بازگشتی

## خواص
[بندانگشتی|سطح مقطع شش ضلعی اسفنج Menger-4. یک [c:Category:Menger sponge diagonal section, stack|سری برش‌های عمود بر مورب فضا را مشاهده کنید.]]
بندانگشتی|مکعب‌هایی با ساختار فراکتال منگر پس از اعمال موج ضربه ای. رنگ نشان دهنده افزایش دما همراه با تغییر شکل پلاستیک است.

## تعریف صوری
به‌طور صوری، اسفنج منگر را می‌توان به صورت زیر تعریف کرد:

: M := \bigcap_{n\in\mathbb{N}} M_n

که در آن *M* 0 مکعب واحد است و

: M_{n+1} := \left\{\begin{matrix}
(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: &
\begin{matrix}\exists i,j,k\in\{0,1,2\}: (3x-i,3y-j,3z-k)\in M_n
\\ \mbox{and at most one of }i,j,k\mbox{ is equal to 1}\end{matrix}
\end{matrix}\right\}.

## MegaMenger
چپ|بندانگشتی|مدلی از یک تتریکس که در مرکز کمبریج سطح -3 MegaMenger در جشنواره علمی کمبریج ۲۰۱۵ مشاهده شده‌است
[چپ|بندانگشتی|یکی از مگا منگرها، در [دانشگاه باث]]

## فراکتال‌های مشابه
### مکعب اورشلیم
راست|بندانگشتی|تکرار سوم مکعب اورشلیم
*مکعب اورشلیم* جسمی فراکتالی است که توسط اریک بایرد در سال ۲۰۱۱ توصیف شد. این جسم به وسیله حفره‌هایی شبیه صلیب یونانی ایجاد می‌شود. و نام آن از وجه مکعبی شبیه صلیب اورشلیم گرفته شده‌است.

روش ساخت مکعب اورشلیم به صورت زیر است:
# با یک مکعب شروع کنید.
# یک صلیب از هر وجه مکعب جدا کنید، و با این کار هشت مکعب (از رتبه ۱) در گوشه‌های مکعب و دوازده مکعب کوچکتر (از رتبه ۲) روی اضلاع مکعب باقی بگذارید
# این فرایند را روی مکعب‌های درجه ۱ و ۲ تکرار کنید؛ و این روند را تا بی‌نهایت ادامه دهید.

راست|بندانگشتی|مدلی از مکعب اورشلیم چاپ شده با پرینتر سه بعدی سه بعدی

### فراکتال‌های دیگر
چپ|بندانگشتی|326x326پیکسل|دانه برف شرپینسکی-منگر. هشت مکعب گوشه ای و یک مکعب مرکزی در هر مرحله بازگشت نگه داشته می‌شوند. این فراکتال سه بعدی دارای بعد هاوسدورف از شی دو بعدی است مانند صفحه به عبارت دیگر  = ۲

## جستارهای وابسته
* Apollonian gasket
* مکعب کانتور
* برفدانه کخ
* چهار ضلعی شرپینسکی
* مثلث شرپینسکی
* لیست فراکتالها براساس بعد هاسدورف

## منابع

## <ins>مطالعه ی</ins> بیشتر
* .
* 

## پیوند به بیرون
* اسفنج منگر در ولفرام مث ورلد
** The 'Business Card Menger Sponge' by Dr. Jeannine Mosely – an online exhibit about this giant origami fractal at the Institute For Figuring
** An interactive Menger sponge
** Interactive Java models
** Puzzle Hunt — Video explaining Zeno's paradoxes using Menger–Sierpinski sponge
** Menger Sponge Animations  — Menger sponge animations up to level 9, discussion of optimization for 3d.
** Menger sphere, rendered in SunFlow
** Post-It Menger Sponge – a level-3 Menger sponge being built from Post-its
** The Mystery of the Menger Sponge. Sliced diagonally to reveal stars
** 
** Woolly Thoughts Level 2 Menger Sponge by two "Mathekniticians"
** Dickau, R. : Jerusalem Cube Further discussion

رده:برخال‌ها
رده:برخال‌های دستگاه توابع مکرر
رده:فضاهای توپولوژیکی
رده:مکعب
رده:منحنی‌ها