شبکه متقابل

[بندانگشتی| شبکه متقابل تولید شده توسط کامپیوتر از یک کریستال سه بعدی [دستگاه بلوری تک‌شیب|مونوکلینیک خیالی.]]
بندانگشتی| یک کریستال دو بعدی و شبکه متقابل آن
در فیزیک، **شبکه متقابل** نشان دهنده تبدیل فوریه یک شبکه (گروه) دیگر (معمولاً یک شبکه براوه) است. در استفاده معمولی، شبکه اولیه (که تبدیل آن با شبکه متقابل نشان داده می‌شود) یک تابع فضایی تناوبی در فضای واقعی است که به عنوان *شبکه مستقیم* شناخته می‌شود. در حالی که شبکه مستقیم در فضای واقعی وجود دارد و معمولاً به عنوان یک شبکه فیزیکی شناخته می‌شود (مانند شبکه یک کریستال)، شبکه متقابل در فضای فرکانس‌های فضایی وجود دارد که به عنوان **فضای متقابل** یا **فضای k** شناخته می‌شود. \mathbf{k} به بردار موج اشاره دارد. در فیزیک کوانتومی، فضای متقابل با توجه به تناسب \mathbf{p} = \hbar \mathbf{k} ارتباط نزدیکی با فضای تکانه دارد. جایی که {\ \mathbf {p} } بردار حرکت است و  \hbar\  ثابت پلانک است. شبکه متقابل یک شبکه متقابل معادل شبکه مستقیم اصلی است، زیرا معادلات تعیین‌کننده با توجه به بردارهای فضای واقعی و متقابل متقارن هستند. از نظر ریاضی، بردارهای شبکه مستقیم و متقابل به ترتیب بردارهای کوواریانت و متضاد را نشان می‌دهند.

شبکه متقابل مجموعه ای از تمام بردارهابردارهای

شبکه متقابل نقش اساسی در بیشتر مطالعات تحلیلی ساختارهای تناوبی، به ویژه در تئوری پراش دارد. در پراش نوترون، هلیوم و اشعه ایکس، به دلیل شرایط لائو، تفاوت تکانه بین پرتوهای ایکس ورودی و پراش یک کریستال یک بردار شبکه متقابل است. از الگوی پراش یک کریستال می‌توان برای تعیین بردارهای متقابل شبکه استفاده کرد. با استفاده از این فرایند، می‌توان آرایش اتمی یک کریستال را استنباط کرد.

منطقه بریلوین یک سلول ویگنر-سیتس از شبکه متقابل است.

## توضیحات مبتنی بر موج
بندانگشتی| گونه‌های جذب شده روی سطح با روبنای ۱×۲ باعث ایجاد نقاط اضافی در پراش الکترون کم انرژی (LEED) می‌شوند.

### فضای متقابل
فضای متقابل (که -space نیز نامیده می‌شود) راهی برای تجسم نتایج تبدیل فوریه یک تابع فضایی فراهم می‌کند. از نظر نقش شبیه به حوزه فرکانس ناشی از تبدیل فوریه یک تابع وابسته به زمان است. فضای متقابل فضایی است که بر روی آن تبدیل فوریه یک تابع فضایی در فرکانس‌های فضایی یا بردار موج امواج صفحه تبدیل فوریه نشان داده می‌شود. دامنه خود تابع فضایی اغلب به عنوان فضای واقعی نامیده می‌شود. در کاربردهای فیزیکی، مانند کریستالوگرافی، هر دو فضای واقعی و متقابل اغلب دو یا سه بعدی هستند. در حالی که ابعاد فضایی این دو فضای مرتبط یکسان خواهد بود، فضاها در واحدهای طول خود متفاوت خواهند بود، به طوری که وقتی فضای واقعی دارای واحدهای طول **L** باشد، فضای متقابل آن دارای واحدهای یک تقسیم بر طول **L** یا معکوس **L** خواهد بود. (مقابل طول).

فضای متقابل در رابطه با امواج، هم مکانیک کلاسیک و هم مکانیک کوانتومی، وارد بازی می‌شود؛ زیرا یک موج صفحه سینوسیفازعدد موج زاویه ای {\displaystyle k} و فرکانس زاویه ای {\displaystyle \omega }، می توان آن را تابعی از هر دو در نظر گرفت {\displaystyle k} و {\displaystyle x} (و بخش متغیر زمان به عنوان تابعی از هر دو {\displaystyle \omega } و t).). این نقش مکمل از

{\displaystyle k} و {\displaystyle x} منجر به تجسم آنها در فضاهای مکمل (فضای واقعی و فضای متقابل) می‌شود. تناوب فضایی این موج با طول موج آن تعریف می‌شود {\displaystyle \lambda }، کجا {\displaystyle k\lambda =2\pi }بنابراین عدد موج مربوطه در فضای متقابل خواهد بود {\displaystyle k=2\pi /\lambda }.

در سه بعد، عبارت موج صفحه مربوطه می‌شود

بردار موج در فضای متقابل سه بعدی است. (قدر بردار موج را عدد موج می‌گویند) ثابت {\displaystyle \phi } فاز جبهه موج (صفحه فاز ثابت) از مبدأ است {\displaystyle \mathbf {r} =۰} در زمان {\displaystyle t}
، و {\displaystyle \mathbf {e} } یک بردار واحد عمود بر این جبهه موج است. جبهه موج با فاز {\displaystyle \phi +(2\pi)n}، جایی که n هر عدد صحیح را نشان می‌دهد، شامل مجموعه ای از صفحات موازی است که با طول موج مساوی فاصله دارند. {\displaystyle \lambda }.

به‌طور کلی، یک شبکه هندسی یک آرایه نامتناهی و منظم از رئوس (نقاط) در فضا است که می‌تواند به صورت بردار به عنوان شبکه براوه مدل شود. برخی از شبکه‌ها ممکن است کج باشند، به این معنی که خطوط اولیه آنها ممکن است لزوماً در زاویه قائم نباشند. در فضای متقابل، یک شبکه متقابل به عنوان مجموعه ای از بردارهای موج تعریف می‌شود. {\displaystyle \mathbf {k} } از امواج صفحه در سری فوریه هر تابع {\displaystyle f(\mathbf {r})} که تناوب آن با یک شبکه مستقیم اولیه در فضای واقعی سازگار است. به‌طور معادل، یک بردار موج یک راس شبکه متقابل است اگر به یک موج صفحه در فضای واقعی که فاز آن در هر زمان معین یکسان باشد (در واقع با {\displaystyle (2\pi)n} با یک عدد صحیح

{\displaystyle n}) در هر رأس شبکه مستقیم.

n_iمستقل خطی

، و با جبهه موج مجاور آن (که فاز آن با {\displaystyle 2\pi } یا

{\displaystyle -2\pi } از جبهه موج سابق که از مبدأ می‌گذرد) عبور می‌کند

با چرخش در میان شاخص‌ها به نوبه خود، همان روش سه بردار موج را به دست می‌دهد

دلتای کرونکرشبکه براوه است

منطقه بریلوین یک سلول ابتدایی (به‌طور خاص یک سلول ویگنر-سایتز) از شبکه متقابل است که به دلیل قضیه بلوخ نقش مهمی در فیزیک حالت جامد ایفا می‌کند. در ریاضیات محض، فضای دوگانه اشکال خطی و شبکه دوتایی، تعمیم انتزاعی تری از فضای متقابل و شبکه متقابل ارائه می‌دهند.

## توضیحات ریاضی
بندانگشتی| نشان دادن رابطه بین شبکه واقعی و متقابل. یک شبکه دو بعدی فضایی واقعی (نقاط قرمز) با بردارهای اولیه <math>a_1</math> و <math>a_2</math> به ترتیب با فلش‌های آبی و سبز نشان داده می‌شوند. در بالای آن، امواج سطحی شکل <math>e^{iG\cdot r}</math> ترسیم می‌شوند. از این می‌بینیم که وقتی <math>G</math> هر ترکیب عدد صحیحی از مبنای بردار شبکه متقابل است <math>b_1</math> و <math>b_2</math> (یعنی هر بردار شبکه متقابل)، امواج صفحه حاصله دارای تناوب یکسانی با شبکه هستند - یعنی هر ترجمه از نقطه <math>r</math> (نارنجی نشان داده شده‌است) تا یک نقطه <math>R+r</math> (<math>R</math> قرمز نشان داده شده‌است)، مقدار موج صفحه یکسان است. این امواج صفحه را می‌توان با هم جمع کرد و رابطه فوق همچنان اعمال می‌شود.
با فرض یک شبکه براوه سه بعدی و برچسب زدن هر بردار شبکه (بردار نشان دهنده یک نقطه شبکه) توسط زیرنویس n = (n_1, n_2, n_3) به عنوان ۳ تا اعداد صحیح،
:\mathbf{R}_n = n_1 \mathbf{a}_1 + n_2 \mathbf{a}_2 + n_3 \mathbf{a}_3 where n_1, n_2, n_3 \in \mathbb{Z}

به عنوان یک سری فوریه چند بعدی

: 

جایی که اکنون زیرنویس {\displaystyle m=(m_{1},m_{2},m_{3})}، بنابراین این یک مجموع سه برابر است.

: {\displaystyle f(\mathbf {r} +\mathbf {R} _{n})=f(\mathbf {r}).}

بیان موارد فوق در عوض بر حسب سری فوریه آنها داریم.

: {\displaystyle \mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}=2\pi N} جایی که {\displaystyle N\in \mathbb {Z}.}

از نظر ریاضی، شبکه متقابل مجموعه همه بردارهابردارهای موج

همان‌طور که در بخش سری فوریه چند بعدیدوگانگی پنتریجین فضاهای برداری

### دو بعدی
برای یک شبکه دو بعدی بی‌نهایت، که توسط بردارهای اولیه آن تعریف می‌شود {\displaystyle \left(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2}\right)}، شبکه متقابل آن را می‌توان با تولید دو بردار اولیه متقابل آن از طریق فرمول‌های زیر تعیین کرد:

: 

: 

اینجا {\displaystyle \mathbf {Q} } نشان دهنده یک ماتریس چرخش ۹۰ درجه است، یعنی یک *چهارم* چرخش. چرخش خلاف جهت عقربه‌های ساعت و چرخش در جهت عقربه‌های ساعت هر دو می‌توانند برای تعیین شبکه متقابل استفاده شوند: اگر {\displaystyle \mathbf {Q} } چرخش خلاف جهت عقربه‌های ساعت است و {\displaystyle \mathbf {Q'} } چرخش در جهت عقربه‌های ساعت است، {\displaystyle \mathbf {Q} \,\mathbf {v} =-\mathbf {Q'} \,\mathbf {v} } برای همه بردارها {\displaystyle \mathbf {v} }. بنابراین، با استفاده از جایگشت

: 

ما بدست می‌آوریم

: 

قابل توجه است که در یک فضای سه بعدی، این شبکه دوبعدی متقابل مجموعه ای بی‌نهایت گسترده از میله &#x2014; براگ است که توسط سونگ و همکارانش توضیح داده شده‌است.

### سه بعدی
بردارهای اولیه

{\displaystyle n=\left(n_{1},n_{2},n_{3}\راست)}، شبکه متقابل آن

جایی که
{\displaystyle V=\mathbf {a} _{1}\cdot \left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)=\mathbf {a} _{ 2}\cdot \left(\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\right)=\mathbf {a} _{3}\cdot \left(\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\right)}
محصول سه‌گانه اسکالر است . انتخاب اینها

بردارهای ترجمه اولیه برای شبکه متقابل که در رویکرد اکتشافی بالا و بخش سری فوریه چند بعدی به دست آمده‌است. این انتخاب همچنین نیاز شبکه متقابل را برآورده می‌کند

در بالا مشتق شده‌است. با استفاده از نمایش بردار ستونی بردارهای اولیه (مقابله)، فرمول‌های بالا را می‌توان با استفاده از وارونگی ماتریس بازنویسی کرد:

: 

این روش به تعریف متوسل می‌شود و امکان تعمیم به ابعاد دلخواه را می‌دهد. فرمول محصول متقابل بر مواد مقدماتی در کریستالوگرافی غالب است.

تعریف فوق را تعریف «فیزیک» می‌نامند، به عنوان عامل {\displaystyle 2\pi } به‌طور طبیعی از مطالعه ساختارهای دوره ای ناشی می‌شود. یک تعریف اساساً معادل، تعریف «بلورنگار»، از تعریف شبکه متقابل ناشی می‌شود.

{\displaystyle \mathbf {K} _{m}=\mathbf {G} _{m}/2\pi }. که بردارهای اولیه متقابل را تغییر می‌دهد

: 

فرکانس فضایی بیان می‌کند. اینکه کدام تعریف از مشبک استفاده شود، به شرطی که این دو با هم مخلوط نشده باشند، سلیقه ای است.

{\displaystyle m=(m_{1},m_{2},m_{3})} به‌طور متعارف به عنوان نوشته می‌شود {\displaystyle (h,k,l)} یا {\displaystyle (hkl)} به نام شاخص‌های میلرفضایی واقعی (صفحه شبکه صفحه ای است که از نقاط شبکه عبور می‌کند) جهت بردار شبکه متقابل مطابق با صفحات فضایی نرمالطول متقابل داده می‌شود و برابر است با فاصله متقابل بین صفحات صفحات فضایی واقعی.

### ان ابعاد
فرمول برای {\displaystyle n} ابعاد را می‌توان با فرض یک به دست آورد ان - فضای برداری واقعی ابعادی {\displaystyle V}با یک پایهجایگشت

: 

آنها را می‌توان با فرمول زیر تعیین کرد:

: 

اینجا، {\displaystyle \omega \colon V^{n}\to \mathbf {R} } فرم حجمی است

\lrcorner نشان دهنده ضرب درونی است.

چرخش ۹۰ درجه است (درست مانند فرم حجم، زاویه اختصاص داده شده به یک چرخش به انتخاب جهت بستگی دارد).

## شبکه‌های متقابل از کریستال‌های مختلف
شبکه‌های متقابل برای سیستم کریستالی مکعبی به شرح زیر است.

### شبکه مکعبی ساده
شبکه ساده مکعبی براوه، با سلول ابتدایی

### شبکه مکعبی وجهی محور (اف سی سی).

یک سلول واحد ترکیبی اف سی سی را در نظر بگیرید. یک سلول واحد ابتدایی اف سی سی را پیدا کنید. به عنوان مثال، یک سلول واحد با یک نقطه شبکه. اکنون یکی از رئوس سلول واحد اولیه را به عنوان مبدأ در نظر بگیرید. بردارهای پایه شبکه واقعی را ارائه دهید. سپس از فرمول‌های شناخته شده، می‌توانید بردارهای پایه شبکه متقابل را محاسبه کنید. این بردارهای شبکه متقابل اف سی سی نشان دهنده بردارهای پایه یک شبکه واقعی بی سی سی هستند. توجه داشته باشید که بردارهای پایه یک شبکه بی سی سی واقعی و شبکه متقابل یک اف سی سی از نظر جهت به یکدیگر شباهت دارند اما نه از نظر بزرگی.

### شبکه مکعبی بدنه محور (بی سی سی).
شبکه متقابل به شبکه بی سی سی، شبکه اف سی سی است، با ضلع مکعبی

می‌توان ثابت کرد که فقط شبکه‌های براوه که ۹۰ درجه بین آنها قرار دارد

 \left(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3\right) (مکعب، چهار ضلعی، متعامد) دارای بردارهای ترجمه اولیه برای شبکه متقابل، {\displaystyle \left(\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\راست)} موازی با بردارهای فضای واقعی آنها.

### شبکه شش ضلعی ساده
متقابل به یک شبکه براوه شش ضلعی ساده با ثابت‌های شبکه {\textstyle a} و

## مجموعه خودسرانه اتم‌ها
چپ|قاب| سایه شبکه متقابل کربن-پنتاکون با وجه ۱۱۸ اتمی که هنگام تقاطع کره اوالد به رنگ قرمز در پراش روشن می‌شود.
یکی از مسیرهای شبکه متقابل مجموعه ای دلخواه از اتم‌ها، از ایده امواج پراکنده در حد فراونهوفر (فصل فوکوس پشتی لنز) به عنوان مجموع دامنه‌های سبک هویگنس از همه نقاط پراکندگی (در این مورد از هر اتم منفرد). این مجموع با دامنه مختلط نشان داده می‌شود F در معادله زیر، زیرا تبدیل فوریه (به عنوان تابعی از فرکانس مکانی یا فاصله متقابل) یک پتانسیل پراکندگی مؤثر در فضای مستقیم نیز می‌باشد:

: 

در اینجا **g** = **q** /(2π) بردار پراکندگی **q** در واحدهای کریستالوگراف است، *N* تعداد اتم‌ها، **fj [g** *]* ضریب پراکندگی اتمی برای اتم *j* و بردار پراکندگی **g** است، در حالی که **r** *j* *موقعیت* بردار است. اتم *جی*. توجه داشته باشید که فاز فوریه به انتخاب فرد مبدأ مختصات بستگی دارد.

برای حالت خاص یک کریستال تناوبی نامتناهی، دامنه پراکنده F = MF hkl از سلول‌های واحد M (مانند موارد بالا) فقط برای مقادیر صحیح از صفر غیر صفر است. (hkl) ، جایی که

: 

وقتی اتمهای j=1,m در داخل سلول واحد وجود دارد که شاخصهای شبکه کسری آنها به ترتیب {u j, v j, w j } هستند. برای در نظر گرفتن اثرات ناشی از اندازه کریستال محدود، البته باید از یک پیچش شکل برای هر نقطه یا معادله بالا برای یک شبکه محدود استفاده شود.

چه آرایه اتم‌ها محدود باشد یا نامتناهی، می‌توان یک «شبکه متقابل شدت» I[**g**] را نیز تصور کرد که از طریق رابطه معمولی I = F * F به شبکه دامنه F مربوط می‌شود که در آن F * مزدوج مختلط F است. از آنجایی که تبدیل فوریه برگشت‌پذیر است، البته، این عمل تبدیل به شدت، اطلاعات «همه به جز لحظه دوم» (یعنی فاز) را به بیرون پرتاب می‌کند؛ بنابراین در مورد مجموعه دلخواه اتم‌ها، شدت شبکه متقابل به صورت زیر است:

: 

در اینجا **r** *jk* جدایی برداری بین اتم *j* و اتم *k* است. همچنین می‌توان از این برای پیش‌بینی تأثیر شکل نانوکریستالیت، و تغییرات ظریف در جهت‌گیری پرتو، بر پیک‌های پراش شناسایی‌شده استفاده کرد، حتی اگر در برخی جهات خوشه فقط یک اتم ضخامت داشته باشد. در سمت پایین، محاسبات پراکندگی با استفاده از شبکه متقابل اساساً یک موج صفحه فرود را در نظر می‌گیرند؛ بنابراین پس از اولین نگاه به اثرات شبکه متقابل (پراکندگی سینماتیک)، اثرات گسترش پرتو و پراکندگی چندگانه (یعنی دینامیکی) نیز ممکن است مهم باشد.

## تعمیم یک شبکه دوگانه
در واقع دو نسخه در ریاضیات از مفهوم شبکه دوگانه انتزاعی، برای یک شبکه معین *L* در فضای برداری واقعی *V*، با بعد محدود وجود دارد.

اولی که مستقیماً ساختار شبکه متقابل را تعمیم می‌دهد، از تحلیل فوریه استفاده می‌کند. ممکن است به سادگی از نظر دوگانگی پنتریجین بیان شود. گروه دوگانه *V* ^ تا *V* دوباره یک فضای برداری واقعی است و زیر گروه بسته آن *L* ^ dual to *L* یک شبکه در *V* ^ است؛ بنابراین، *L* ^ کاندیدای طبیعی برای *شبکه دوگانه*، در فضای برداری متفاوت (با همان بعد) است.

جنبه دیگر در حضور یک فرم درجه دوم *Q* در *V* دیده می‌شود. اگر غیر منحط باشد، امکان شناسایی فضای دوگانه *V* * از *V* با *V* را فراهم می‌کند. رابطه *V* * به *V* ذاتی نیست. بستگی به انتخاب اندازه هار (عنصر حجمی) روی *V* دارد. اما با توجه به شناسایی این دو، که در هر صورت تا حد اسکالر به خوبی تعریف شده‌است، وجود *Q* به شخص اجازه می‌دهد تا با شبکه دوگانه به *L* صحبت کند در حالی که در *V* باقی می‌ماند.

در ریاضیات، شبکه دوگانه یک شبکه معین *L* در یک گروه توپولوژیکی فشرده محلی آبلیانی *G*، زیرگروه *L* * از گروه دوگانه *G* است که از همه نویسه‌های پیوسته که در هر نقطه از *L* برابر با یک هستند، است.

در ریاضیات گسسته، شبکه مجموعه‌ای از نقاط گسسته محلی است که توسط تمام ترکیبات خطی انتگرالی از بردارهای مستقل خطی dim = *n* در **Rn** توصیف می‌شود *.* شبکه دوگانه سپس با تمام نقاط در گستره خطی شبکه اصلی (معمولاً همه **Rn**) با این ویژگی که یک *عدد* صحیح از حاصلضرب داخلی با همه عناصر شبکه اصلی ایجاد می‌شود، تعریف می‌شود. نتیجه می‌شود که دوگانه شبکه دوگانه همان شبکه اصلی است.

علاوه بر این، اگر اجازه دهیم ماتریس *B* دارای ستون‌هایی به عنوان بردارهای مستقل خطی باشد که شبکه را توصیف می‌کند، ماتریس

## جستارهای وابسته
* منطقه بریلوین
* کریستالوگرافی
* مبنای دوگانه
* کره ایوالد
* خط کیکوچی
* شاخص میلر
* پراش پودر
* محور منطقه

## منابع

## پیوند به بیرون
* http://newton.umsl.edu/run//nano/known.html - شبیه‌ساز پراش الکترونی مبتنی بر Jmol به شما امکان می‌دهد تقاطع بین شبکه متقابل و کره اوالد را در حین شیب بررسی کنید.
* بسته آموزشی و یادگیری DoITPoMS در مورد فضای متقابل و شبکه متقابل
* همان‌طور که در فصل‌های ۴ و ۵ نشان داده شده‌است، به راحتی کریستالوگرافی را بیاموزید و چگونه شبکه متقابل پدیده پراش را توضیح می‌دهد.

رده:آنالیز فوریه
رده:بلورنگاری
رده:پراش نور
رده:فنون سینکروترونی
رده:فنون نوترونی
رده:فیزیک ماده چگال