گسسته‌سازی

[چپ|بندانگشتی|یک راه حل معادله دیفرانسیل گسسته‌سازی شده با مشتقات جزئی با [روش اجزاء محدود|استفاده از روش اجزاء محدود.]]
در ریاضیات، **گسسته‌سازی** روند انتقال توابع پیوسته، مدل‌ها، متغیرها و معادلات به  است. این فرایند معمولاً به عنوان اولین گام در راستای مناسب سازی آن‌ها برای ارزیابی عددی و پیاده‌سازی بر روی رایانه‌های دیجیتال، می‌باشد. **[[دیکوتومی|دوگانگی]]** موردی خاص از گسسته‌سازی است که در آن تعداد کلاس‌های گسسته ۲ می‌باشد، که می‌تواند یک متغیر پیوسته را به عنوان یک متغیر باینری تخمین بزند. (با ایجاد یک دوگانگی برای اهداف مدل سازی، مشابه طبقه‌بندی دودویی).

**گسسته‌سازی** همچنین مربوط به ریاضیات گسسته است و یک جزء مهم از محاسبات گرانول می‌باشد. در این زمینه *گسسته‌سازی* ممکن است به تغییر متغیر یا دسته *دانه بندی، *همان قسمتی که چندین متغیر گسسته جمع یا چند دسته گسسته مرتبط می‌شوند، اشاره کند.

هرگاه که داده‌های پیوسته **گسسته‌سازی **شوند، همیشه مقداری خطای گسسته‌سازی وجود دارد. هدف این است که این میزان به یک سطح، که ناچیز در نظر گرفته می‌شود، برای برای اهداف مدل سازی در دست، کاهش یابد.

عبارات *گسسته‌سازی * و *کمیت سازی (کوانتیزه کردن)* اغلب به همان معنی و مفهوم هستند اما نه همیشه به شکل یکسان معنایی. (به‌طور دقیق دو واژه یک میدان معنایی مشترک دارند) این حالت برای خطای گسسته‌سازی و خطای کمیت سازی هم صدق می‌کند.

روش‌های ریاضی مربوط به گسسته‌سازی شامل روش اویلر-مارویاما و نگهدارنده مرتبه صفر است.

## گسسته‌سازی مدل‌های فضایی حالت خطی
گسسته‌سازی همچنین به تبدیل معادلات دیفرانسیل پیوسته به معادلات تفاضلی گسسته، که برای محاسبات عددی مناسب است، مربوط می‌باشد.

مدل فضای حالت زمان پیوسته زیر:
:\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf A \mathbf{x}(t) + \mathbf B \mathbf{u}(t) + \mathbf{w}(t)
:\mathbf{y}(t) = \mathbf C \mathbf{x}(t) + \mathbf D \mathbf{u}(t) + \mathbf{v}(t)

که در آن *v* و *w* منابع نویز سفید میانگین صفر پیوسته با تراکم قدرت طیفی هستند.

:\mathbf{w}(t) \sim N(0,\mathbf Q)
:\mathbf{v}(t) \sim N(0,\mathbf R)

می‌تواند گسسته‌سازی شود، با فرض اینکه نگهدارنده مرتبه صفر برای ورودی *u* و ادغام پیوسته نویز *v* ، به :

:\mathbf{x}[k+1] = \mathbf A_d \mathbf{x}[k] + \mathbf B_d \mathbf{u}[k] + \mathbf{w}[k]
:\mathbf{y}[k] = \mathbf C_d \mathbf{x}[k] + \mathbf D_d \mathbf{u}[k] +  \mathbf{v}[k]

با همگرایی:

:\mathbf{w}[k] \sim N(0,\mathbf Q_d)
:\mathbf{v}[k] \sim N(0,\mathbf R_d)

که در آن

: \mathbf A_d = e^{\mathbf A T} = \mathcal{L}^{-1}\{(s\mathbf I - \mathbf A)^{-1}\}_{t=T} 
: \mathbf B_d = \left( \int_{\tau=0}^{T}e^{\mathbf A \tau}d\tau \right) \mathbf B = \mathbf A^{-1}(\mathbf A_d - I)\mathbf B , if
: \mathbf A مفرد نیست
: \mathbf C_d = \mathbf C 
: \mathbf D_d = \mathbf D 
: \mathbf Q_d = \int_{\tau=0}^{T} e^{\mathbf A \tau} \mathbf Q e^{\mathbf A^\top \tau}  d\tau 
: \mathbf R_d = \frac{1}{T} \mathbf R 

و T نمونه زمان  است، اگرچه \mathbf A^\top است ماتریس برگردان (ترانهاده) \mathbf A است.

یک ترفند هوشمندانه برای محاسبه *A**d* و *B**d* در یک گام، استفاده از خاصیت زیر است:

:e^{\begin{bmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{B} \\
                 \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{bmatrix} T} = \begin{bmatrix} \mathbf{M_{11}} & \mathbf{M_{12}} \\
                                                            \mathbf{0} & \mathbf{I} \end{bmatrix}

و سپس داریم

:\mathbf A_d = \mathbf M_{11}
:\mathbf B_d = \mathbf M_{12}

### گسسته‌سازی از نویز پردازش
ارزیابی عددی  به دلیل انتگرال نمایی ماتریس دشوارتر است. هرچند می‌توان با ساخت یک ماتریس و محاسبه نمایی آن ، آن را محاسبه کرد.

: \mathbf{F} = 
\begin{bmatrix} -\mathbf{A} & \mathbf{Q} \\
                 \mathbf{0} & \mathbf{A}^\top \end{bmatrix} T
: \mathbf{G} = e^\mathbf{F} =
\begin{bmatrix} \dots & \mathbf{A}_d^{-1}\mathbf{Q}_d \\
           \mathbf{0} & \mathbf{A}_d^\top             \end{bmatrix}.

نویز پردازش گسسته‌سازی شده سپس با ضرب ترانهاده از پارتیشن پایین سمت راست G با پارتیشن فوقانی سمت راست G ارزیابی می‌شود:

:\mathbf{Q}_d = (\mathbf{A}_d^\top)^\top (\mathbf{A}_d^{-1}\mathbf{Q}_d) = \mathbf{A}_d (\mathbf{A}_d^{-1}\mathbf{Q}_d). 

### اشتقاق
با مدل پیوسته شروع کنیم :

:\mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf A\mathbf x(t) + \mathbf B \mathbf u(t)

ما می‌دانیم که برای ماتریس نمایی داریم:

:\frac{d}{dt}e^{\mathbf At} = \mathbf A e^{\mathbf At} = e^{\mathbf At} \mathbf A

و با پیشسازی مدل ما بدست می‌آوریم :

:e^{-\mathbf At} \mathbf{\dot{x}}(t) = e^{-\mathbf At} \mathbf A\mathbf x(t) + e^{-\mathbf At} \mathbf B\mathbf u(t)

که ما به عنوان فرمول زیر آن را می‌شناسیم:

:\frac{d}{dt}(e^{-\mathbf At}\mathbf x(t)) = e^{-\mathbf At} \mathbf B\mathbf u(t)

و با یکپارچه سازی...

:e^{-\mathbf At}\mathbf x(t) - e^0\mathbf x(0) = \int_0^t e^{-\mathbf A\tau}\mathbf B\mathbf u(\tau) d\tau
:\mathbf x(t) = e^{\mathbf At}\mathbf x(0) + \int_0^t e^{\mathbf A(t-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau

بدست می‌آید که یک راه حل تحلیلی برای مدل پیوسته است.

حال ما می‌خواهیم عبارت بالا را گسسته‌سازی کنیم. ما فرض می‌کنیم که *u* در طول زمان ثابت است.

: \mathbf x[k] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \mathbf x(kT)
: \mathbf x[k] = e^{\mathbf AkT}\mathbf x(0) + \int_0^{kT} e^{\mathbf A(kT-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau
: \mathbf x[k+1] = e^{\mathbf A(k+1)T}\mathbf x(0) + \int_0^{(k+1)T} e^{\mathbf A((k+1)T-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau
: \mathbf x[k+1] = e^{\mathbf AT} \left[e^{\mathbf AkT}\mathbf x(0) + \int_0^{kT} e^{\mathbf A(kT-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau \right]+ \int_{kT}^{(k+1)T} e^{\mathbf A(kT+T-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau

ما می‌دانیم عبارت داخل براکت  و عبارت دوم را می‌توان  با جایگزین کردن تابع  ساده کرد. توجه داشته باشید که . ما همچنین فرض کنیم که  در طول انتگرال ثابت است که نتیجه می‌شود:

:  \begin{matrix} \mathbf x[k+1]&=& e^{\mathbf AT}\mathbf x[k] - \left( \int_{v(kT)}^{v((k+1)T)} e^{\mathbf Av} dv \right) \mathbf B\mathbf u[k] \\
&=& e^{\mathbf AT}\mathbf x[k] - \left( \int_T^0 e^{\mathbf Av} dv \right) \mathbf B\mathbf u[k] \\
&=& e^{\mathbf AT}\mathbf x[k] + \left( \int_0^T e^{\mathbf Av} dv \right) \mathbf B\mathbf u[k] \\
&=&e^{\mathbf AT}\mathbf x[k] + \mathbf A^{-1}\left(e^{\mathbf AT}-\mathbf I \right) \mathbf B\mathbf u[k] \end{matrix}

که راه حل دقیق را به مسئله گسسته‌سازی است.

### تقریب
گاهی اوقات ممکن است گسسته‌سازی دقیق به دلیل ماتریس نمایی سنگین و عملیات‌های انتگرال درگیر غیرممکن شود. بسیار آسان‌تر است تا یک مدل تقریبی گسسته را بر اساس e^{\mathbf AT} \approx \mathbf I + \mathbf A T محاسبه کرد. راه حل تقریبی پس از آن تبدیل می‌شود به:

:\mathbf x[k+1] \approx (\mathbf I + \mathbf AT) \mathbf x[k] + T\mathbf B \mathbf u[k] 

امکان‌های تقریب دیگر شامل e^{\mathbf AT} \approx \left( \mathbf I - \mathbf A T \right)^{-1} و e^{\mathbf AT} \approx \left( \mathbf I +\frac{1}{2}  \mathbf A T \right) \left( \mathbf I - \frac{1}{2} \mathbf A T \right)^{-1} می‌شوند. هر یک از آن‌ها خواص پایداری و ثبات مختلفی دارند. آخرین تقریب به عنوان انتقال دو خطی یا تبدیل توستین شناخته می‌شود و ثبات سیستم زمان پیوسته را حفظ می‌کند.

## گسسته‌سازی ویژگی‌های پیوسته
در آمار و یادگیری ماشین، **گسسته** **سازی** به روند تبدیل ویژگی‌ها یا متغیرها به ویژگی‌های گسسته‌سازی شده یا جزئی گفته می‌شود. این عمل می‌تواند در توابع احتمال گسترده مفید واقع شود.

## جستارهای وابسته
* گسسته فضا
* Discrete event simulation

## منابع

## برای مطالعهٔ بیشتر
* 
* 
* 
* 

## پیوند به بیرون

رده:ریاضیات کاربردی
رده:نظریه کنترل
رده:آنالیز تابعی
رده:محاسبات عددی