روش نیومارک بتا

روش نیومارک بتا Newmark-Beta Method یک روش یکپارچه سازی عددی است که برای حل معادلات دیفرانسیل معین استفاده می‌شود. به‌طور گسترده‌ای در ارزیابی عددی پاسخ دینامیکی سازه‌ها و جامدات از جمله در تحلیل اجزای محدود برای مدل‌سازی سیستم‌های دینامیکی استفاده می‌شود. این روش از نام Nathan M. Newmark، استاد سابق مهندسی عمران در دانشگاه ایلینویز در Illinois at Urbana-Champaign، که آن را در سال ۱۹۵۹ برای استفاده در دینامیک سازه توسعه داد، نامگذاری شده است. معادله ساختاری نیمه گسسته یک سیستم معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه دوم:

M\ddot{u}+C\dot{u}+f^{int}=f^{ext}

که M ماتریس جرم است، C ماتریس میرایی است، f^{int} و f^{ext} به ترتیب نیروی داخلی بر واحد جابجایی و نیروهای خارجی هستند.

با استفاده از قضیه مقدار میانگین توسعه یافته روش نیومارک بتا Newmark-\beta بیان می‌کند که اولین مشتق زمانی (سرعت در معادله حرکت را می‌توان به صورت زیر حل کرد:

{\dot{u}}_{n+1}={\dot{u}}_n+\mathrm{\Delta t}{\ddot{u}}_\gamma

{\ddot{u}}_\gamma=(1-\gamma){\ddot{u}}_n+\gamma{\ddot{u}}_{n+1}\ \ \ \ \ \ \ 0\le\gamma\le1

{\dot{u}}_{n+1}={\dot{u}}_n+(1-\gamma)\mathrm{\Delta t}{\ddot{u}}_n+\gamma\Delta t{\ddot{u}}_{n+1}

از آنجا که شتاب نیز با زمان تغییر می‌کند، با این حال، قضیه مقدار میانگین توسعه یافته نیز باید به مشتق زمان دوم گسترش یابد تا جابجایی صحیح به دست اید. بدین ترتیب،

u_{n+1}=u_n+\mathrm{\Delta t}{\dot{u}}_n+\frac{1}{2}\mathrm{\Delta}t^2{\ddot{u}}_\beta

{\ddot{u}}_\beta=\left(1-2\beta\right){\ddot{u}}_n+2\beta{\ddot{u}}_{n+1}\ \ \ \ \ \ \ \ 0\le2\beta\le1

معادله ساختاری گسسته تبدیل می‌شود.

{\dot{u}}_{n+1}={\dot{u}}_n+\left(1-\gamma\right)\mathrm{\Delta t}{\ddot{u}}_n+\gamma\Delta t{\ddot{u}}_{n+1}

u_{n+1}=u_n+\mathrm{\Delta t}{\dot{u}}_n+\frac{\mathrm{\Delta}t^2}{2}((1-2\beta){\ddot{u}}_n+2\beta{\ddot{u}}_{n+1})

M{\ddot{u}}_{n+1}+C{\dot{u}}_{n+1}+f^{int}(u_{n+1})=f_{n+1}^{ext}

طرح تفاوت مرکزی صریح Explicit central difference scheme با تنظیم \gamma=0.5 و \beta=0 به‌دست می‌آید.

میانگین شتاب ثابت (قانون نقطه میانی) با تنظیم \gamma=0.25 و \beta=0.25 به‌دست می‌آید.

## تجزیه و تحلیل پایداری
یک طرح ادغام زمانی پایدار است اگر یک مرحله زمانی ادغام وجود داشته باشد \mathrm{\Delta}t_0>0 به طوری که برای هر \mathrm{\Delta t}\in(0,\mathrm{\Delta}t_0]، یک تغییر محدود از بردار حالت q_n در زمان t_n فقط یک تغییر غیر فزاینده بردار حالت q_{n+1} را در زمان بعدی t_{n+1} محاسبه می‌کند. طرح ادغام زمان را فرض کنید:

q_{n+1}=A(\mathrm{\Delta t})q_n+g_{n+1}(\mathrm{\Delta t})

پایداری خطی معادل است با \rho(A(\mathrm{\Delta t}))\le1، اینجا \rho(A(\mathrm{\Delta t})) شعاع طیفی ماتریس بروزرسانی A(\mathrm{\Delta t}) است.

برای معادله ساختاری خطی

M\ddot{u}+C\dot{u}+Ku=f^{ext}

اینجا K ماتریس سفتی است. q_n=[{\dot{u}}_n,u_n] در نظر بگیرید، A=H_1^{-1}H_0 ماتریس بروزرسانی است، و

H_1=\left[\begin{matrix}M+\gamma\Delta tC&\gamma\Delta tK\\\beta\Delta t^2C&M+\beta\Delta t^2K\\\end{matrix}\right]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ H_0=\left[\begin{matrix}M-(1-\gamma)\mathrm{\Delta tC}&-(1-\gamma)\mathrm{\Delta tK}\\-(\frac{1}{2}-\beta)\mathrm{\Delta}t^2C+\mathrm{\Delta tM}&M-(\frac{1}{2}-\beta)\mathrm{\Delta}t^2K\\\end{matrix}\right]

برای حالت بدون میرایی C=0، ماتریس بروزرسانی را می‌توان با معرفی حالت‌های خاص u=e^{i\omega_it}x_i سیستم ساختاری جدا کرد، که با مسئله مقدار ویژه تعمیم یافته حل می‌شوند.

\omega^2Mx=Kx

برای هر حالت ویژه، ماتریس بروزرسانی تبدیل می‌شود

H_1=\left[\begin{matrix}1&\gamma\Delta t\omega_i^2\\0&1+\beta\Delta t^2\omega_i^2\\\end{matrix}\right]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ H_0=\left[\begin{matrix}1&-(1-\gamma)\mathrm{\Delta t}\omega_i^2\\\mathrm{\Delta t}&1-(\frac{1}{2}-\beta)\mathrm{\Delta}t^2\omega_i^2\\\end{matrix}\right]

معادله مشخصه ماتریس بروزرسانی:

\lambda^2-(2-(\gamma+\frac{1}{2})n_i^2)\lambda+1-(\lambda-\frac{1}{2})n_i^2=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n_i^2=\frac{\omega_i^2\mathrm{\Delta}t^2}{1+\beta\omega_i^2\mathrm{\Delta}t^2}

در مورد پایداری، ما داریم

طرح تفاوت مرکزی صریح Explicit central difference scheme (\beta=0 , \gamma=0.5) زمانی که \omega\Delta t\le2 پایدار است.

میانگین شتاب ثابت (قانون نقطه میانی) (\gamma=0.5 و \beta=0.25) بدون قید و شرط پایدار است.

## منابع
https://en.wikipedia.org/wiki/Newmark-beta_method
رده:معادلات دیفرانسیل
رده:حل عددی معادلات دیفرانسیل