موج یونی آکوستیک

موج یونی آکوستیک یا صوتی (به انگلیسی: **ion acoustic wave**) در فیزیک پلاسما، موج یونی آکوستیک یک نوع از نوسانات طولی یون‌ها و الکترون‌ها در پلاسما است، بیشتر شبیه امواج صوتی که در گاز خنثی حرکت می‌کنند. با این حال، به دلیل انتشار امواج از طریق یون‌های مثبت، امواج یونی صوتی می‌توانند با میدان‌های الکترومغناطیسی خود و همچنین برخورد ساده تعامل داشته باشند. امواج یونی صوتی در پلاسما، امواج یونی صوتی اغلب به امواج صوتی یا حتی صدای امواج اشاره می‌کنند. آن‌ها عموماً تکامل چگالی جرم را، به عنوان مثال به خاطر گرادیان فشار، در مقیاس‌های زمانی طولانی‌تر از فرکانس مربوط به مقیاس طول مرتبط ، کنترل می‌کنند. امواج یونی صوتی می‌توانند در یک پلاسمای غیر مغناطیسی یا در یک پلاسمای مغناطیسی موازی با میدان مغناطیسی ایجاد شوند. برای پلاسمای گونه‌های یونی و در محدوده طول‌موج بلند، امواج بدون پراکندگی (\omega=v_sk) با سرعت داده شده توسط (به مشتق در زیر نگاه کنید):

v_s = \sqrt{\frac{\gamma_{e}ZK_{B}T_e+\gamma_{i}K_{B}T_i}{M}}

که در آن <math>K_{B}</math>ثابت بولتزمن است، Mجرم یونی ، Zبار آن ، T_eدمای الکترون‌ها و T_i دمای یون‌ها است. به‌طور معمول γe به عنوان پیوستگی در نظر گرفته می‌شود، به این دلیل که رسانایی حرارتی الکترون‌ها به اندازه کافی بزرگ است تا آن‌ها را در مقیاس زمانی امواج یونی صوتی همدما حفظ کند، و γi را به ۳ تبدیل می‌کند، که متناظر با حرکت یک بعدی گرفته می‌شود. در پلاسما بدون برخورد، الکترون‌ها اغلب بسیار گرم‌تر از یون‌ها هستند که در این صورت عبارت دوم در صورت می‌تواند نادیده گرفته شود.

## استنتاج
ما رابطه انتشار امواج یونی صوتی برای یک توصیف سیال خطی شده از پلاسما با الکترون‌ها و  N تا گونه‌های یونی را به‌دست می‌آوریم. ما هر مقدار را به صورت X=X_0+\delta\cdot X_1  می‌نویسیم که در آن اندیس ۰ نشان دهنده مقدار تعادل پایدار ثابت "مرتبه-صفر" است و ۱ مربوط به اختلال مرتبه-اول است . \delta یک پارامتر مرتبه ایی برای خطی کردن است و مقدار فیزیکی ۱ دارد. برای خطی کردن، ما همه شرایط در هر رابطه‌ای از همان ترتیب در \delta را متعادل می‌کنیم. عبارات مربوط به مقادیر فقط اندیس-۰ همگی مرتبه \delta^0 هستند و باید تعادل داشته باشند، و مقادیر با اندیس-۱ همه به مرتبه \delta^1 و متعادل هستند. ما میدان الکتریکی را به شکل مرتبه-1 (\vec E_0=0) اعمال می‌کنیم و میدان‌های مغناطیسی را نادیده می‌گیریم.

هر گونه s با استفاده از جرم m_s، بار q_s=Z_se، چگالی تعداد n_s، سرعت جریان \vec u_s و فشار p_sتوصیف می‌شود. ما فرض می‌کنیم که اختلالات فشار برای هر گونه یک :فرایند پلی تروپیک است، یعنی p_{s1} = \gamma_s T_{s0} n_{s1} برای گونه s. برای توجیه این فرض و تعیین مقدار \gamma_s، باید از یک رفتار جنبشی استفاده کرد که برای توابع توزیع گونه در فضای سرعت حل می‌شود. فرضیه چندبعدی اساساً معادله انرژی را جایگزین می‌کند.

هر گونه معادله پیوستگی را برآورده می‌کند:

\partial_t n_s + \nabla\cdot(n_s\vec u_s) = 0 

و همین‌طور معادله تکانه:

\partial_t \vec u_s + \vec u_s \cdot\nabla\vec u_s = {Z_s e \over m_s}\vec E - {\nabla p_s \over n_s}

ما اکنون معادله را خطی می‌کنیم و با معادلات مرتبه-۱ کار می‌کنیم. از آنجا که ما با  T_{s1}  به خاطر فرض چندبعدی کار نمی‌کنیم (اما فرض نکنیم که آن صفر است)، برای کاهش نماد گذاری از  T_s   T_{s0}  استفاده می‌کنیم. با استفاده از معادله پیوستگی یونی، معادله تکانه یونی به این صورت می‌شود:

(-m_i\partial_{tt}+\gamma_iT_{i}\nabla^2)n_{i1} = Z_ien_{i0}\nabla\cdot\vec E_1 

ما میدان الکتریکی \vec E_1 را با چگالی الکترون از طریق معادله تکانه الکترون مرتبط می‌سازیم:

n_{e0}m_e\partial_t\vec v_{e1} = -n_{e0}e\vec E_1 - \gamma_eT_{e}\nabla n_{e1} 

ما اکنون سمت چپ معادله را به دلیل اینرسی‌های الکترونی صرف نظر می‌کنیم. این برای امواج با فرکانس‌های بسیار کمتر از فرکانس الکترونی پلاسما  (n_{e0}e^2/\epsilon_0m_e)^{1/2}  معتبر است. این یک تقریب خوب برای  m_i\gg m_e ، مانند ماده یونیزه، اما نه برای شرایطی مانند پلاسمای الکترون-حفر در نیمه‌هادی‌ها یا پلاسمای الکترون-پوزیترون است. میدان الکتریکی حاصل به‌صورت زیر می‌شود:

\vec E_1  = - {\gamma_eT_{e} \over n_{e0}e}\nabla n_{e1} 

از آنجا که ما میدان الکتریکی را به‌دست آورده‌ایم، نمی‌توانیم آن را از معادله پواسون پیدا کنیم. معادله تکانه یونی برای هرگونه n_{i1}به n_{e1} مربوط می‌شود:

(-m_i\partial_{tt}+\gamma_iT_{i}\nabla^2)n_{i1} = -\gamma_e T_{e} \nabla^2 n_{e1} 

ما از معادله پوآسون به معادله پخش می‌رسیم:

 {\epsilon_0 \over e}\nabla\cdot\vec E_1 = \left[\sum_{i=1}^N n_{i0}Z_i - n_{ne0} \right] + \left[\sum_{i=1}^N n_{i1}Z_i - n_{e1} \right] 

اولین ترم یا عبارت داخل کروشه سمت راست با فرض (تعادل بار - خنثی) صفر است. ما میدان الکتریکی را جایگزین می‌کنیم و برای پیدا کردن مجدد تنظیم می‌کنیم:

 (1-\gamma_e \lambda_{De}^2\nabla^2)n_{e1} = \sum_{i=1}^N Z_in_{i1} 

\lambda_{De}^2 \equiv \epsilon_0T_{e}/(n_{e0}e^2)طول دبای الکترون را تعریف می‌کند. عبارت دوم در سمت چپ از عبارت \nabla\cdot\vec E ناشی می‌شود و درجه را به جایی که اختلال از نظر باری خنثی نیست منعکس می‌کند. اگر k\lambda_{De} کوچک باشد ممکن است این عبارت را حذف کنیم. این تقریب گاهی تقریب پلاسما نامیده می‌شود.

ما در حال حاضر در فضای فوریه کار می‌کنیم و هر مرتبه-۱ میدان را به صورت X_1 = \tilde X_1 \exp i(\vec k\cdot\vec x-\omega t) + c.c.  می‌نویسیم. ما میدان را کاهش می‌دهیم تا جایی که همه معادلات با دامه فوریه پذیرفته شوند:

 n_{i1} = \gamma_eT_{e}Z_i {n_{i0} \over n_{e0}} [m_iv_s^2-\gamma_iT_{i}]^{-1} n_{e1} 

v_s=\omega/k سرعت فاز موج است. با جایگزین کردن این معادله در معادله پواسون، حالتی را به ما می‌دهد که در آن هر عبارت متناسب با n_{e1} است. برای یافتن رابطه انتشار برای حالت‌های طبیعی، به دنبال راه‌حل‌هایی برای n_{e1} غیر صفر هستیم و پیدا می‌کنیم:

n_{i1}=f_in_{I1}که در آن n_{I1}=\Sigma_i n_{i1}، به طوری که کسر یون \Sigma_if_i=1 را ارضا کند، و \langle X_i \rangle \equiv \Sigma_i f_iX_i  میانگین روی گونه‌های یونی است. حالت بدون وحدت از این معادله این است:

 {\gamma_e \over \langle Z_i \rangle} \left\langle {Z_i^2/A_i \over u^2 - \tau_i} \right\rangle = 1+\gamma_e k^2\lambda_{De}^2 

با A_i=m_i/m_u، m_u واحد جرم اتمی ، u^2=m_uv_s^2/T_e ، و:

 \tau_i = {\gamma_i T_i \over A_i T_e}  

اگر k\lambda_{De} کوچک باشد (تقریب پلاسما)، می‌توانیم ترم دوم را در سمت راست نادیده بگیریم، و موج \omega = v_sk بدون پراکندگی با v_s مستقل از k باشد.

## رابطه پراکندگی
رابطه پراکندگی کلی ارایه‌شده در بالا برای امواج یونی صوتی را می‌توان به شکل یک چندجمله‌ای مرتبه-N (برای N گونه‌های یونی) در u^2  قرار داد. تمام ریشه‌ها باید مثبت-حقیقی باشند چون ما جذب را نادیده گرفته‌ایم. دو نشانه uمتناظر با امواج سمت راست و چپ هستند. برای یک گونه یونی:

v_s^2 = {\gamma_eZ_iT_e \over m_i}{1 \over 1+\gamma_e(k\lambda_{De})^2} + {\gamma_iT_{i}\over m_i}
= {\gamma_eZ_iT_e \over m_i} \left[{1 \over 1+\gamma_e(k\lambda_{De})^2} + {\gamma_iT_{i}\over Z_i\gamma_eT_e} \right]


ما در حال حاضر گونه‌های یونی چندگانه را برای موارد مشترک  T_i \ll T_eدر نظر می‌گیریم. برای T_i=0 رابطه پراکندگی دارای N - ۱ ریشه‌های منحط  u^2=0 است و یک ریشه غیر صفر دارد:

v_s^2(T_i=0) \equiv {\gamma_eT_e/m_u \over 1+\gamma_e(k\lambda_{De})^2} { \langle Z_i^2/A_i\rangle \over \langle Z_i \rangle } 

این ریشه غیر صفر «حالت‌های سریع» نامیده می‌شود، چون v_s معمولاً بزرگ‌تر از تمام سرعت حرارتی یونی است. راه حل تقریبی حالت سریع برای T_i\ll T_e است:

v_s^2 \approx v_s^2(T_i=0)
+ { \langle Z_i^2 \gamma_i T_i / A_i^2 \rangle \over m_u\langle Z_i^2 / A_i \rangle } 

ریشه‌های N-۱ که برای T_i=0 صفر هستند «حالت‌های آهسته» نامیده می‌شوند، زیرا v_s در مقایسه یا کمتر با سرعت گرمایی یک یا چند گونه یونی قابل‌مقایسه هستند.

یک مورد جالب توجه سوخت هسته‌ای مخلوط از نظر مولی برابر از دوتریوم و یون‌های تریتیوم (f_D=f_T=1/2) است. اجازه دهید به یونیزاسیون کامل (Z_D=Z_T=1)، دماهای برابر (T_e=T_i)، توان چند ضلعی \gamma_e=1, \gamma_i=3 ، و صرف نظر از  (k\lambda_{De})^2سهم ثابت قرار دهیم. رابطه انتشار به درجه دو در v_s^2 تبدیل می‌شود، یعنی:

2A_DA_Tu^4 - 7(A_D+A_T)u^2 + 24=0

با استفاده از (A_D,A_T)=(2.01,3.02) ، این دو ریشه **<math>u^2=(1.10,1.81)</math>** هستند.

مورد دیگر مورد علاقه یکی از دو گونه یونی از جرم‌های بسیار متفاوت است. یک مثال ترکیبی از طلا (A = ۱۹۷)و بور (A = ۱۰٫۸) است که در حال حاضر به هولورام‌ها برای تحقیق همجوشی هسته ای با لیزر وابسته است. برای مثال بتن، \gamma_e=1 و  \gamma_i=3, T_i=T_e/2  را برای هر دو گونه یونی در نظر بگیرید، و حالات بار ثابت Z = ۵ برای بورون و Z = ۵۰ برای طلا را در نظر بگیرید. ما جرم اتمی بور را f_B را نامشخص f_{Au}=1-f_B صرف نظر می‌کنیم؛ بنابراین:

\bar Z=50-45 f_B, \tau_B=0.139, \tau_{Au}=0.00761, F_B=2.31 f_B/\bar Z,

و

 F_{Au}=12.69(1-f_B)/\bar Z

## جذب (میرایی)
امواج یونی صوتی هم به توسط برخورد کولون و جذب غیر برخوردی لانداو میرا می‌شوند. میرایی لاندو هم در الکترون‌ها و هم یون‌ها، با یک سری روابط مهمی که به پارامتر‌های مختلفی بستگی دارد رخ می‌دهند.

## جستارهای وابسته
* :امواج در پلاسما
*  :صدا
* Alfvén wave
* Magnetosonic wave
* List of plasma (physics) articles

## منابع
* ویکی‌پدیا انگلیسی

## پیوند به بیرون
* Various patents and articles related to fusion, IEC, ICC and plasma physics

رده:امواج در پلاسما