انتگرال دوهامل

در تئوری ارتعاشات، انتگرال دوهامل محاسبه پاسخ سیستم‌های خطی و سازه‌ها با زمان دلخواه می‌باشد

### پیش زمینه
پاسخ خطی با viscously damped یک سیستم یک درجه آزادی (SDOF) سیستم به زمان‌های مختلف مکانیکی تحریک (t)p است که با پیروی مرتبه دوم معادله دیفرانسیل معمولی نتیجه زیر حاصل می‌شود

m\fracx(t)}{d}+c\frac{dx(t)}{dt}+kx(t)=p(t)


که در آن جرم به صورت معادل می‌باشد و x نیز مخفف دامنه ارتعاش، t زمان، c ضریب میرایی و k نیز سختی سیستم است.

اگر یک سیستم در ابتدا در حالت تعادل باشد و موقعیت از آن جایی که پس از اعمال یک ضربه واحد به عنوان مثال در t=۰ به عنوان p(t) در معادله بالا اعمال شود حاصل یک تابع  دلتای دیراک x(0)=dx/dt =0
  سپس با حل معادله دیفرانسیل یک راه حل شناخته شده به عنوان تابع پاسخ ضربه واحد به ما می‌دهدh(t)=\{_{0,t0}

که در آن \zeta =\frac{c}{2\sqrt{km}} به نام نسبت میرایی سیستم =\sqrt{\frac{k}{m}} طبیعی فرکانس زاویه ای از undamped سیستم (زمانی که c=۰) و =\sqrt{1-} این فرکانس زاویه ای که اثر نوسانات به حساب گرفته شده است (زمانی که c\neq0). اگر ضربه اتفاق می‌افتد در t=\tau

که به جای t=۰ یعنی دلتا  p(t)=\delta(t-\tau)  و طیف پاسخ ضربه نیز:

h(t - \tau ) = \frac{1}}\exp ( - \zeta {\omega _n}(t - \tau ))*\sin [{\omega _d}(t - \tau )]

### نتیجه‌گیری
در مورد تحریک (t)p به عنوان اصل برنهی (superposition) به نتیجه زیر می‌رسد:

p(t) \approx \sum\limits_{\tau  

سپس معلوم است که از سیستم خطی است که پاسخ کلی را می‌توان به صورت ترکیبی از یک سری از ضربه‌ها نوشت

x(t)\approx \sum\limits_{\tau 

زمانی که \Delta\tau\rightarrow0 به جای جمع زدن باید انتگرال‌گیری انجام شود پس

x(t)=\int_{0}^{t}{p(\tau)h(t-\tau)\ d\tau}

با جایگزین h(t-\tau) ، معادله انتگرال دوهامل نتیجه می‌دهد

x(t) = \frac{1}}\int\limits_0^t {p(\tau ).\exp (( - \zeta } {\omega _n}(t - \tau )).\sin [{\omega _d}(t - \tau )]

## اثبات ریاضی
معادله تعادل دینامیکی SDOF در حالت سیستم بدون بارگزاری می‌باشد

 \fracx(t)}{d}+\bar{c}\frac{dx(t)}{dt}+\bar{k}x(t)=0

 که در آن پارامترهای  \bar{c}=\frac{c}{m}

  و  \bar{k}=\frac{k}{m}

  می‌باشد

که در نهایت حل معادله به صورت زیر بیان می‌شود

 {x_h}(t) = C{}_1.\exp (( - \frac{1}{2}(\widetilde c + \sqrt  - 4*\widetilde k} )t) + C{}_2.\exp (( - \frac{1}{2}( - \widetilde c + \sqrt  - 4*\widetilde k} )t)



و با جایگزینی

A=\frac{1}{2}(\widetilde{c}+\sqrt^{-2}}-4*\widetilde{k}}

B=\frac{1}{2}(\widetilde{c}+\sqrt^{-2}}+4*\widetilde{k}},

P=\sqrt^{-2}}-4*\widetilde{k}}

P=B-A

منجر به:

 (t)=C{}_{1}.\exp (-B.t)+C{}_{2}.\exp (-A.t)



یک راه حل جزئی از غیرهمگن معادله \fracx(t)}{d}+\bar{c}\frac{dx(t)}{dt}+\bar{k}x(t)=\bar{p}(t)  که در آن \bar{p}(t)=\frac{p(t)}{m}

  می‌تواند توسط روش لاگرانژی برای حل جزئی معادلات دیفرانسیل ناهمگن به دست آید.

راه حل به صورت

 (t)=\frac{\int{\widetilde{P}(t).\exp (A.t)dt.\exp (-A.t)-\int{\widetilde{P}(t).\exp (B.t)dt.\exp (-B.t)}}}{P}



با جایگزاری  \int{\widetilde{P}(t).\exp (A.t)dt}=

 و \int{\widetilde{P}(t).\exp (B.t)dt}=

  که در آن انتگرال  \int {x(t)dt}

 است از  x(t)

 در زمان t=z می‌باشد

 (t)=\frac.\exp (-A.t)-.\exp (-B.t)}{P}



در نهایت معادله غیرهمگن به صورت:

 x(t)=(t)+(t)=C{}_{1}.\exp (-B.t)+C{}_{2}.\exp (-A.t)+\frac.\exp (-A.t)-.\exp (-B.t)}{P}



سپس با مشتق‌گیری نسبت به زمان به عبارت زیر می‌رسد:

 \frac{dx}{dt}=-A.C{}_{2}.\exp (-A.t)-B.C{}_{2}.\exp (-A.t)+\frac{1}{P}.[-A._{t}}.\exp (-A.t)-A.\exp (-A.t)-_{t}}\exp (-B.t)+B.\exp (-B.t)]



که در آن   \dot{Q}_{t}=p(t).\exp (At)

 و  \dot{R}_{t}=p(t).\exp (Bt)

  به منظور پیدا کردن پارامترهای  C_1,C_2

 شرایط اولیه را اعمال می‌شود.

 C{}_{1}+C{}_{2}=\frac-}{P}\Rightarrow x(t)=0



 C{}_{1}+C{}_{2}+\frac{-.1+.1}{P}=0



 \frac{dx}{dt}=0:-A.C{}_{2}-B.C{}_{1}+\frac{1}{P}.[-A.+B.]=0



 [A.C{}_{2}+B.C{}_{1}=\frac{1}{P}.[-A.+B.]



در حال حاضر ترکیب هر دو شرط اولیه سیستم معادلات را می‌دهد:

 C{}_{1}+C{}_{2}=\frac-}{P}



 [A.C{}_{2}+B.C{}_{1}=\frac{1}{P}.[-A.+B.]



 C{}_{1}=\frac}{P}

 و  C{}_{2}=\frac{-}{P}



با جایگزاری  C_1,C_2

 در معادلات بالا مقدار x(t) به دست می‌آید.

 x(t)=\frac-}{P}.\exp (-A.t)-\frac-}{P}.\exp (-B.t)



با قرار دادن  -

 و -

  (تفاوت شکل‌های هندسی دز زمان صفر و t) با انتگرال معین توسط متغیر  \tau

 به معادله زیر دست پیدا می‌کند.

 x(t)=\frac{1}{P}[\int_{0}^{t}{\dot{p}(\tau ).\exp (A\tau )d\tau .}\exp (A\tau )-\int_{0}^{t}{\dot{p}(\tau ).\exp (B\tau )d\tau .}\exp (B\tau )



در آخر با جایگزین ، k=m

 ،  c=2\zeta \omega m

 ، بر این اساس  \overline{k}=

 ،  \overline{c}=2\zeta \omega

  که در آن  \zeta   :

 A=\zeta \omega -i

 ,  B=\zeta \omega +i

 ,  P=2i

 , در جایی که  {\omega _d} = \omega .\sqrt {1 - {\zeta ^2}}

 است.

جایگزین این عبارت در راه حل کلی، با قرار دادن شرایط اولیه و با استفاده از فرمول اویلر برای توابع نمایی منجر به ضوابط کلی و اصلی دوهامل (duhamel  )  می‌شود

 x(t)=\frac{1}}[\int_{0}^{t}{\dot{p}(\tau ).\exp (-\zeta \omega (t-\tau )).\sin [(t-\tau )]d\tau .}



## منابع
* R. W. Clough, J. Penzien, Dynamics of Structures, Mc-Graw Hill Inc. , New York, 1975.
* Anil K. Chopra, Dynamics of Structures - Theory and applications to Earthquake Engineering, Pearson Education Asia Limited and Tsinghua University Press, Beijing, 2001
* Leonard Meirovitch, Elements of Vibration Analysis, Mc-Graw Hill Inc. , Singapore, 1986
رده:انتگرال‌ها
رده:مکانیک
رده:تحلیل سازه‌ها