سرعت نسبی

*سرعت نسبی* \vec{v}_{B\mid A} (همچنین \vec{v}_{BA} یا \vec{v}_{B \operatorname{rel} A}) سرعت یک شی یا مشاهده‌گر **B** در بقیه چارچوب از یک شی دیگر یا ناظر **A** است.

## مکانیک کلاسیک
### در یک بعد (غیر نسبی)

ما با حرکت نسبی در تقریب کلاسیک (یا غیر نسبی، یا تقریب نیوتنی) شروع می‌کنیم که همه سرعت‌ها بسیار کمتر از سرعت نور است. این با تبدیل‌های گالیله همراه است. تصویر یک مرد را در بالای قطار نشان می‌دهد. در ساعت ۱:۰۰ بعد از ظهر شروع به قدم زدن با سرعت ۱۰ کیلومتر / ساعت می‌کند. قطار هم در حال حرکت با سرعت ۴۰ کیلومتر / ساعت است. تصویر مرد و قطار را در دو زمان نشان می‌دهد: اول، زمانی که سفر آغاز شده‌است، و یک ساعت بعد در ساعت ۲ بعد از ظهر. تصویر نشان می‌دهد که مرد ۵۰ کیلومتر از نقطه شروع فاصله دارد چون یک ساعت با قطار و خودش حرکت کرده‌اند. این، طبق تعریف، سرعت ۵۰ کیلومتر / ساعت، که نشان می‌دهد که روش محاسبه سرعت نسبی در این حالت، جمع دو سرعت است.

تصویر ساعت‌ها و خط‌کش به خواننده یادآوری می‌کند که در حالی که منطق پشت این محاسبات بی عیب و نقص به نظر می‌رسد، پیش فرض‌های اشتباه در مورد چگونگی رفتار ساعت‌ها و خط‌کش دارد. (آزمایش قطار و پلت فرم را ببینید.) به رسمیت شناختن این مدل کلاسیک از حرکت نسبی نقض نسبیت خاص است، ما مثال را به یک معادله تعمیم می‌دهیم:

:\underbrace{\vec v_{M\mid E}}_\text{50 km/h} = \underbrace{\vec v_{M\mid T}}_\text{10 km/h} + \underbrace{\vec v_{T\mid E}}_\text{40 km/h},

که:

: \vec v_{M\mid E}سرعت **M** مرد نسبت به **E** زمین است،
: \vec v_{M\mid T} سرعت نسبی **M** مرد نسبت به **T** قطار است
: \vec v_{T\mid E} سرعت **T** قطار نسبت به **E** زمین است.

### در دو بعد (غیر نسبی)

شکل دو شی *A* و *B* که با سرعت ثابت حرکت می‌کنند را نشان می‌هد. معادلات حرکت عبارتند از:
:\vec r_A=\vec r_{Ai}+\vec v_A t,

:\vec r_B=\vec r_{Bi}+ \vec v_B t,

که زیرنویس *i* اشاره به جابجایی اولیه (در زمان *t* برابر با صفر) است. تفاوت بین دو بردار جابه جایی، \vec r_B-\vec r_A ، نشان دهنده محل B از دید A می‌باشد.
: \vec r_B-\vec r_A= \underbrace{\vec r_{Bi}-\vec r_{Ai}}_\text{initial separation} + \underbrace{(\vec v_B-\vec v_A ) t}_\text{relative velocity}.

از این رو:

:\vec v_{B\mid A}=\vec v_B-\vec v_A.

پس از جایگذاری \vec v_{A|C}=\vec v_A and \vec v_{B|C}=\vec v_B، ما داریم:
: \vec v_{B\mid A} = \vec v_{B\mid C}-\vec v_{A\mid C} \Rightarrow    \vec v_{B\mid C}=\vec v_{B\mid A} +\vec v_{A\mid C}.

### تبدیل گالیله (غیر نسبی)
برای ساخت نظریه حرکت نسبی سازگار با نظریه نسبیت خاص، ما باید یک قاعده متفاوت اتخاذ کنیم. برای ادامه کار در محدودهٔ نیوتنی (غیر نسبی)، ما با یک تبدیل گالیله در یک بعد شروع می‌کنیم:

:x'=x-vt
:t'=t

که در آن x 'موقعیت است که توسط یک چارچوب مرجع که با سرعت، v در چارچوب مرجع «پرایم‌دار» (x) حرکت می‌کند دیده می‌شود. با مشتق گرفتن از دو معادله فوق، ما، dx'=dx-v \, dt و آنچه که ممکن است به عنوان بدیهی مشهود باشد dt'=dt بدست می‌آوریم، داریم:
:\frac{dx'}{dt'}=\frac{dx}{dt}-v

برای بازیابی عبارات قبلی برای سرعت نسبی، فرض می‌کنیم که ذره *A* مسیری را که توسط dx / dt تعریف شده در مرجع بدون پرایم (و در نتیجه *dx* &#x2032; / *dt* &#x2032; در چارچوب پرایم‌دار) دنبال می‌شود. بدین ترتیب dx/dt = v_{A\mid O} و dx'/dt = v_{A\mid O'} ، جایی کهO  و O'  اشاره به حرکت *A* از دید به ترتیب چارچوب بدون پرایم و با پرایم است. به یاد بیاورید که *v* یک حرکت ثابت در چارچوب پرایم‌دار شده‌است، همان‌طور که از چارچوب بدون پرایم دیده می‌شود؛ بنابراین ما داریم v=v_{O'\mid O} ، و:
: v_{A\mid O'}= v_{A\mid O}-v_{O'\mid O} \Rightarrow v_{A\mid O} = v_{A\mid O'} + v_{O'\mid O},
که فرم آخر دارای تقارن مورد نظر است.

## نسبیت خاص
مانند مکانیک کلاسیک، در نسبیت خاص سرعت نسبی \vec{v}_\mathrm{B|A} سرعت یک شی یا مشاهده‌گر **B** در بقیه چارچوب از یک شی دیگر یا ناظر **A** است. اما، بر خلاف مورد مکانیک کلاسیک، در نسبیت خاص، معمولاً این فرض صحیح **نیست:**

:\vec{v}_\mathrm{B|A}=-\vec{v}_\mathrm{A|B}
این عدم تقارن عجیب و غریب مربوط به تقلید توماس و این واقعیت است که دو تبدیل لورنتس پشت‌سرهم سیستم مختصات را می‌چرخانند. این چرخش هیچ تأثیری بر اندازه یک بردار نداشته و در نتیجه سرعت نسبی متقارن است.

:\|\vec{v}_\mathrm{B|A}\|=\|\vec{v}_\mathrm{A|B}\|=v_\mathrm{B|A}=v_\mathrm{A|B}

### سرعت موازی
در موردی که دو شی که در جهت موازی حرکت می‌کنند، فرمول نسبیتی برای سرعت نسبی مشابه فرمول برای اضافه کردن سرعت نسبی است.
:\vec{v}_\mathrm{B|A}=\frac{\vec{v}_\mathrm{B}-\vec{v}_\mathrm{A}}{1-\frac{\vec{v}_\mathrm{A}\vec{v}_\mathrm{B}}{c^2}}

**سرعت** نسبی توسط فرمول داده می‌شود:
:v_\mathrm{B|A}=\frac{\left | v_\mathrm{B}-v_\mathrm{A}\right |}{1-\frac{v_\mathrm{A}v_\mathrm{B}}{c^2}}

### سرعت‌های عمود
در مورد که دو جسم در جهت عمود برهم در حرکت هستند، سرعت نسبی \vec{v}_\mathrm{B|A} توسط فرمول داده می‌شود:
:\vec{v}_\mathrm{B|A}={\frac{\vec{v}_\mathrm{B}}{\gamma_\mathrm{A}}}-\vec{v}_\mathrm{A}

که
:\gamma_\mathrm{A}=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v_\mathrm{A}}{c})^2}}
سرعت نسبی توسط فرمول داده می‌شود
:v_\mathrm{B|A}=\frac{\sqrt{c^4 -(c^2-v_\mathrm{A}^2)(c^2 -v_\mathrm{B}^2)}}{c}

### موارد عمومی
فرمول عمومی برای سرعت نسبی \vec{v}_\mathrm{B|A} از یک شی یا مشاهدهگر **B** در بقیه چارچوب از یک شی دیگر یا ناظر **A** توسط فرمول داده می‌شود:

: 
\vec{v}_\mathrm{B|A} = \frac 1 {\gamma_\mathrm{A} \left(1-\frac{\vec{v}_\mathrm{A}\vec{v}_\mathrm{B}}{c^2} \right )} \left[\vec{v}_\mathrm{B}-\vec{v}_\mathrm{A}+\vec{v}_\mathrm{A}(\gamma_\mathrm{A}-1) \left( \frac{\vec{v}_\mathrm{A}\cdot \vec{v}_\mathrm{B}}{v_\mathrm{A}^2}-1 \right) \right]


که

: 
\gamma_\mathrm{A} = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v_\mathrm{A}}{c})^2}}


سرعت نسبی توسط فرمول داده می‌شود

:v_\mathrm{B|A}=\sqrt{1-\frac{(c^2-v_\mathrm{A}^2)(c^2 -v_\mathrm{B}^2)}{(c^2-\vec{v}_\mathrm{A}\cdot \vec{v}_\mathrm{B})^2}} \cdot c

## جستارهای وابسته
* حرکت خاص
* سرعت شعاعی
* اثر داپلر
* سرعت شعاعی

## منابع

## منابع بیشتر
* Alonso & Finn, Fundamental University Physics 
* Greenwood, Donald T, Principles of Dynamics.
* Goodman and Warner, Dynamics.
* Beer and Johnston, Statics and Dynamics.
* McGraw Hill Dictionary of Physics and Mathematics.
* Rindler, W. , Essential Relativity.
* KHURMI R.S. , Mechanics, Engineering Mechanics, Statics, Dynamics

## پیوند به بیرون
* Relative Motion at HyperPhysics
* A Java applet illustrating Relative Velocity, by Andrew Duffy
* Relatív mozgás (1)...(3) Relative motion of two train (1)...(3). Videos on the portal FizKapu. 
* Sebességek összegzése Relative tranquility of trout in creek. Video on the portal FizKapu. 

رده:سرعت برداری
رده:نسبیت خاص
رده:مکانیک کلاسیک
رده:کمیت‌های فیزیکی