قضایای یکریختی

در ریاضیات، به‌ویژه در جبر مجرد، **قضایای یکریختی** (که به **قضایای یکریختی نوتری** نیز معروفند)، قضایایی اند که رابطه بین خارج قسمت‌ها، همریختی‌ها، و زیراشیاء را بیان می دارند. نسخه‌هایی از قضایای یکریختی برای گروه‌ها، حلقه‌ها، فضاهای برداری، مدول‌ها، جبرهای لی، و انواع دیگری از ساختارهای جبری به کار می روند. در جبر جهانی، قضایای یکریختی را می توان به جبرها و همنهشتی‌ها نیز تعمیم داد.

= گروه‌ =
ابتدا قضایا یکریختی مربوط به گروه‌ها را شرح می‌دهیم.

### توضیحی در مورد اسامی و شماره قضایا
در زیر چهار قضیه را با نام‌های الف، ب، ج و د ارائه می‌کنیم. با این حال، توافق خاصی در مورد شماره گذاری وجود ندارد. در اینجا نمونه‌هایی از قضایای یک‌ریختی گروه‌ها در این باب را ارائه می دهیم. توجه داشته باشید که این قضایا مشابه حلقه‌ها و مدول‌ها هستند.

کمتر متداول است که قضیه (د)، که معمولاً به عنوان قضیه شبکه یا قضیه تناظر زیر‌گروه‌ها شناخته می شود، در یکی از قضایای یکریختی قرار گیرد، اما زمانی که انجام می شود، آخرین مورد است.

### صورت قضایا
بندانگشتی|نمودار قضیه بنیادی همریختی‌‌ها

#### قضیه الف
گروه‌های G و H مفروضند بطوری که f:G→H یک همریختی باشد. آنگاه:

# هسته f یک زیرگروه نرمال از G است.
# تصویر f یک زیرگروه از H است.
# تصویر f با گروه خارج قسمتی G/ker(f) یکریخت است.

به طور خاص اگر f پوشا باشد، آنگاه G/ker(f) با H یکریخت است.
بندانگشتی|نمودار قضیه (ب) دو گروه خارج‌قسمتی (نقطه دار) یکریخت هستند. با توجه به این نمودار به این قضیه قضیه لوزی نیز می‌گویند.

#### قضیه ب
اجازه دهید G یک گروه باشد. بگذارید S زیرگروهی از G باشد، و فرض کنید N یک زیرگروه عادی از G باشد. آنگاه خواهیم داشت:

# حاصل ضرب SN زیرگروهی از G است.
# اشتراک S \cap N یک زیرگروه نرمال از S است.
# گروه‌های خارج‌قسمتی(SN)/N و S/(S\cap N) هم شکل هستند.

توجه شود، لزومی ندارد N یک زیرگروه نرمال باشد، تا زمانی که S زیرگروهی از نرمال‌ساز N در G باشد. در این مورد، اشتراک S \cap N یک زیرگروه نرمال از G نیست، اما همچنان یک زیرگروهی نرمال از S است.

این قضیه با اسامی قضیه یکریختی، قضیه الماس و لوزی شناخته می‌شود.

#### قضیه ج
فرض کنید G یک گروه و N زیرگروه نرمالی از آن باشد. داریم:

# اگر K یک زیرگروه از G باشد بطوری که N \subseteq K \subseteq G، آنگاه G/N شامل یک زیرگروه یکریخت با K/N است.
# هر زیرگروه G/N یکریخت با K/N است بطوری که K یک زیرگروه G است که N \subseteq K \subseteq G.
# اگر K یک زیرگروه نرمال از G باشد بطوری که N \subseteq K \subseteq G، آنگاه G/N شامل یک زیرگروه نرمال یکریخت با K/N است.
# هر زیرگروه نرمال G/N یکریخت با K/N است بطوری که K یک زیرگروه نرمال G است که N \subseteq K \subseteq G.
# اگر K یک زیرگروه نرمال از G باشد بطوری که N \subseteq K \subseteq G، آنگاه گروه خارج‌قسمتی (G/N)/(K/N) یکریخت با G/K است.

#### قضیه د
قضیه تناظر (همچنین به عنوان قضیه شبکه (lattice) شناخته می شود) گاهی اوقات قضیه یکریختی سوم یا چهارم نیز نامیده می‌شود.

لم زاسن‌هاوس (همچنین به عنوان لم پروانه شناخته می شود) گاهی اوقات قضیه چهارم یکریختی نامیده می‌شود.

= حلقه =

## ارجاعات

## منابع

* Emmy Noether, *Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern*, Mathematische Annalen **96**  (1927) pp.&nbsp;26–61
* Colin McLarty, "Emmy Noether's 'Set Theoretic' Topology: From Dedekind to the rise of functors". *The Architecture of Modern Mathematics: Essays in history and philosophy* (edited by Jeremy Gray and José Ferreirós), Oxford University Press (2006) pp.&nbsp;211–35.
* 
* Paul M. Cohn, *Universal algebra*, Chapter II.3 p.&nbsp;57
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

* 
رده:قضایای یکریختی