قانون مخلوط‌ها

بندانگشتی|400x400پیکسل|کران بالا و پایین پیش‌بینی شده به وسیلهٔ قانون مخلوط‌ها برای مدول الاستیک یک ماده کامپوزیتی. مدول الاستیک حقیقی بین دو منحنی واقع می‌شود.
در علم مواد، **قانون عمومی مخلوط‌ها**، به میانگین وزنی گفته می‌شود که برای پیش‌بینی ویژگی‌های مختلف مواد کامپوزیتی ساخته شده از الیاف پیوسته و تک‌جهت استفاده می‌شود. این قانون به صورت تئوری، برای ویژگی‌هایی مثل مدول الاستیک، دانسیته جرمی، استحکام کششی نهایی، رسانندگی گرمایی و رسانندگی الکتریکی، یک کران بالا و یک کران پایین را تعیین می‌کند. برای تعیین این مقادیر به‌طور کلی دو مدل وجود دارد: یکی برای بارگذاری محوری (مدل Voigt), و دیگری برای بارگذاری عرضی (مدل Reuss).

برای یک ویژگی ماده مثل E (که اغلب مدول الاستیک است)، قانون مخلوط‌ها بیان می‌کند که اندازهٔ کلی ویژگی در جهت موازی با الیاف، می‌تواند حداکثر برابر مقدار زیر باشد:

E_c = fE_f + \left(1-f\right)E_m

که در آن
* f = \frac{V_f}{V_f + V_m} کسر حجمی الیاف است
* E_f  ویژگی مادهٔ الیاف است
* E_m ویژگی مادهٔ ماتریس است

در مورد مدول الاستیک، این رابطه به عنوان **کران بالای مدول** شناخته می‌شود و متناظر بارگذاری موازی با الیاف است. **عکس قانون مخلوط‌ها** بیان می‌کند که در جهت عمود بر الیاف، مدول الاستیک کامپوزیت می‌تواند حداقل برابر با مقدار زیر باشد:

E_c = \left(\frac{f}{E_f} + \frac{1-f}{E_m}\right)^{-1} 

اگر ویژگی مورد مطالعه مدول الاستیک باشد، این مقدار **کران پایین مدول** نامیده می‌شود و مربوط به بارگذاری عرضی است.

## محاسبات برای مدول الاستیک
### کران بالای مدول
ماده کامپوزیتی را فرض کنید که تحت تنش تک‌محوری \sigma_\infty است. اگر ماده بدون تغییر بماند، کرنش الیاف (\epsilon_f ) باید برابر کرنش ماتریس (\epsilon_m ) باشد. قانون هوک برای تنش تک‌محوری عبارتست از:  که در آن، \sigma_f  ، E_f  ، \sigma_m  و E_m  به ترتیب نشان دهندهٔ تنش و مدول الاستیک الیاف و ماتریس هستند. با توجه به این‌که تنش نیرو بر واحد سطح است، تعادل نیرو نتیجه زیر را بیان می‌کند:  که در آن، f کسر حجمی الیاف در کامپوزیت (و 1-f کسر حجمی ماتریس) است.

اگر فرض کنیم که مادهٔ کامپوزیتی رفتار یک مادهٔ الاستیک خطی را داشته باشد، به این معنی که مطابق قانون هوک \sigma_\infty = E_c\epsilon_c  باشد (برای مدول الاستیک E_c  و تنش \epsilon_c  برخی کامپوزیت‌ها)، آنگاه معادلات  و  می‌تواند به شکل زیر ترکیب شود:

E_c\epsilon_c = fE_f\epsilon_f + \left(1-f\right)E_m\epsilon_m  

نهایتاً، از آن‌جا که \epsilon_c = \epsilon_f = \epsilon_m  ، مدول الاستیک کلی کامپوزیت می‌تواند به روش زیر بیان شود:

:E_c = fE_f + \left(1-f\right)E_m 

### کران پایین مدول
چنانچه ماده کامپوزیتی به صورت عمود بر الیاف بارگذاری شده و فرض کنیم که \sigma_\infty = \sigma_f = \sigma_m باشد، کرنش کلی در کامپوزیت بین مواد به گونه‌ای توزیع می‌شود که:

:\epsilon_c = f\epsilon_f + \left(1-f\right)\epsilon_m 

آنگاه مدول کلی در ماده عبارتست از:

:E_c = \frac{\sigma_\infty}{\epsilon_c} = \frac{\sigma_f}{f\epsilon_f + \left(1-f\right)\epsilon_m} = \left(\frac{f}{E_f} + \frac{1-f}{E_m}\right)^{-1} 

از آنجا که \sigma_f=E\epsilon_f  ، \sigma_m=E\epsilon_m .

## سایر ویژگی‌ها
محاسبات مشابه، قانون مخلوط‌ها را برای دیگر ویژگی‌ها به شرح زیر ارائه می‌کند:
* دانسیته جرمی

: \left(\frac{f}{\rho_f} + \frac{1-f}{\rho_m}\right)^{-1} \leq \rho_c \leq f\rho_f + \left(1-f\right)\rho_m 
* استحکام کششی نهایی

: \left(\frac{f}{\sigma_{UTS,f}} + \frac{1-f}{\sigma_{UTS,m}}\right)^{-1} \leq \sigma_{UTS,c} \leq f\sigma_{UTS,f} + \left(1-f\right)\sigma_{UTS,m} 
* رسانندگی حرارتی

: \left(\frac{f}{k_f} + \frac{1-f}{k_m}\right)^{-1} \leq k_c \leq fk_f + \left(1-f\right)k_m 
* رسانندگی الکتریکی

: \left(\frac{f}{\sigma_f} + \frac{1-f}{\sigma_m}\right)^{-1} \leq \sigma_c \leq f\sigma_f + \left(1-f\right)\sigma_m 

## منابع


## پیوند به بیرون
* قانون ماشین حساب مخلوط

رده:صفحات با ترجمه بازبینی‌نشده
رده:علم مواد
رده:قوانین ترمودینامیک