فضای خارج‌قسمتی (جبر خطی)

**خارج‌قسمت**  در جبر خطی، برای یک فضای برداری *V* روی یک زیرفضای *N* برابر یک فضای برداری است که با «فروپاشی» *N* به صفر به دست می‌آید. به فضای به دست آمده **فضای خارج‌قسمت** گفته می‌شود، و به صورت *V*/*N* نشان داده می‌شود (بخوانید "*V* به پیمانه *N*" یا "*V* توسط *N*".

## تعریف
به صورت صوری، ساختار به این صورت است. فرض کنید که *V* یک فضای برداری روی یک میدان *K* باشد، و فرض کنید که *N* یک زیرفضا از *V* باشد. ما یک رابطه هم‌ارزی ~ روی *V* را به این شیوه تعریف می‌کنیم که *x* ~ *y* اگر  باشد؛ یعنی، *x* با *y* مرتبط است اگر با اضافه‌کردن یک عنصر *N* یکی از دیگری قابل دستیابی باشد. از این تعریف، می‌توان استنتاج کرد که هر عنصر *N* با بردار صفر مرتبط است؛ به صورت دقیق‌تر، همه بردارها در *N* به کلاس هم‌ارزی بردار صفر نگاشت می‌یابند.

کلاس هم‌ارزی - با در این حالت، هم‌دسته - از *x* معمولاً به این صورت نمایش می‌یابد
:[*x*] = *x* + *N*
زیرا توسط زیر داده شده‌است
:[*x*] = {*x* + *n*: *n* ∈ *N*}.

فضای خارج‌قسمتی *V*/*N* به صورت *V*/~ تعریف می‌شود، که مجموعه همه کلاس‌های هم‌ارزی القا شده توسط ~ روی *V* است. ضرب و جمع نرده‌ای روی کلاس‌های هم‌ارزی توسط زیر تعریف شده‌است
* α[*x*] = [α*x*] برای همه α &isin; *K*، و
*[*x*] + [*y*] = [*x* + *y*].
بررسی خوش‌تعریف بودن این عملیات‌ها سخت نیست (یعنی آن‌ها به گزینه نماینده وابسته نیستند). این عملیات‌ها فضای خارج‌قسمتی *V*/*N* را به یک فضای برداری روی *K* با *N* برابر با کلاس صفر [0] تبدیل می‌کنند.

نگاشتی که به  کلاس هم‌ارزی [*v*] را منتسب می‌کند، **نگاشت خارج‌قسمتی** نامیده می‌شود.

به زبان دیگر، فضای خارج‌قسمتی V/N برابر مجموعه همه زیرمجموعه‌های آفین از V است که با  موازی هستند.

## مثال‌ها
فرض کنید  همان صفحه دکارتی استاندارد باشد، و فرض کنید *Y* یک خط گذرنده از مبدأ *X* باشد. آنوقت فضای خارج‌قسمتی *X*/*Y* را می‌توان توسط همه خطوط در *X* که با *Y* موازی اند شناسایی کرد؛ یعنی عناصر مجموعه *X*/*Y* برابر خطوطی در *X* هستند که با *Y* موازی اند. توجه کنید که خطوط همراستا با چنین خطی رابطه هم‌ارزی را برآورده خواهد کرد، زیرا بردارهای تفاضلی آن‌ها به *Y* تعلق دارند. این موضوع راهی برای نمایش هندسی فضاهای خارج‌قسمتی فراهم می‌کند. (با پیش-پارامتردهی این خطوط، فضای خارج‌قسمتی را به صورت سنتی‌تر به صورت فضای همه نقاط در امتداد یک خط گذرنده از مبدأ نمایش داد که با *Y* موازی نیست. به صورت مشابه، فضای خارج‌قسمتی برای **R**3 توسط یک خط گذرنده از مبدأ را دوباره می‌توان به صورت مجموعه همه خطوط هم-موازی نمایش داد، یا از جهت دیگر، به صورت فضای برداری شامل صفحه‌ای نمایش داد که با خط در مبدأ تلاقی دارد)

مثال دیگر، خارج‌قسمت **R***n* توسط زیرفضای گسترده‌شده توسط اولین *m* بردار مبنایی استاندارد است. فضای **R***n* شامل همه *n*-تاپل‌ها از عدد حقیقی  است. زیرفضایی که توسط **R***m* شناسایی می‌شود، شامل همه *n*-تاپل‌هایی است که *n* − *m* ورودی آخرش صفر است: . دو بردار **R***n* در یک کلاس هم‌ارزی مشابه به پیمانه زیرفضا هستند، اگر و تنها اگر در *n* − *m* آخرشان مشابه باشند. به روش بدیهی، فضای خارج‌قسمتی **R***n*/**R***m* با **R***n*−*m* ایزوریختار است.

به صورت کلی‌تر، اگر *V* یک جمع مستقیم (درونی) از زیرفضاهای *U* و *W* باشد
:V=U\oplus W
آنوقت فضای خارج‌قسمتی *V*/*U* با *W* طبیعی ایزوریختار است.

یک مثال مهم از یک فضای خارج‌قسمتی تابعی یک L<sup>''p''</sup> فضا است.

## ویژگی‌ها
یک اپی‌ریختار طبیعی از *V* به فضای خارج‌قسمتی *V*/*U* وجود دارد که توسط ارسال *x* به کلاس هم‌ارزی‌اش [*x*] به دست می‌آید. هسته (یا فضای پوچ) از این اپی‌ریختار برابر زیرفضای *U* است. این رابطه به صورت طبیعی توسط دنباله دقیق کوتاه زیر خلاصه‌بندی می‌شود
:0\to U\to V\to V/U\to 0.\,

اگر *U* یک زیرفضای *V* باشد، بعد *V*/*U* **[[:en:Codimension|هم‌بعد]]** برای *U* در *V* نامیده می‌شود. به‌این دلیل که پایه *V* را می‌توان از یک پایه *A* از *U* و یک پایه *B* از *V*/*U* توسط جمع یک نماینده از هر عنصر *B* به *A* ساخت، بعد *V* برابر جمع ابعاد *U* و *V*/*U* است. اگر *V* متناهی-بعد باشد، این به این معنی است که هم‌بعد *U* در *V* برابر تفاضل بین ابعاد *V* و *U* است:
:\mathrm{codim}(U) = \dim(V/U) = \dim(V) - \dim(U).

فرض کنید که *T*: *V* → *W* یک عملگر خطی باشد. هسته *T*، که توسط ker(*T*) نشان داده می‌شود، برابر مجموعه همه *x*ها در *V* است که در آن *Tx* = ۰ است. هسته یک زیرفضای *V* است. قضیه اول ایزوریختار برای فضاهای برداری بیان می‌کند که فضای خارج‌قسمتی *V*/ker(*T*) با تصویر *V* در *W* ایزوریختار است. یک نتیجه سریع، برای فضاهای متناهی-بعد، همان قضیه رتبه-پوچی است: بعد *V* برابر بعد هسته (با پوچی *T*) بعلاوه بعد تصویر (رتبه *T*) است.

هم‌هسته یک عملگر خطی *T*: *V* → *W* را به صورت فضای خارج‌قسمتی *W*/im(*T*) تعریف می‌کنند.

## خارج‌قسمت فضای باناخ روی یک زیرفضا
اگر *X* یک فضای باناخ باشد و *M* یک زیرفضای بسته از *X* باشد، آنوقت خارج‌قسمت *X*/*M* باز هم یک فضای باناخ است. به فضای خارج‌قسمتی قبلاً یک ساختار فضای برداری، توسط ساختار بخش قبل، داده شده‌است. ما یک نرم روی *X*/*M* به این شیوه تعریف می‌کنیم
: \| [x] \|_{X/M} = \inf_{m \in M} \|x-m\|_X = \inf_{m \in M} \|x+m\|_X = \inf_{y\in [x]}\|y\|_X. 
وقتیکه *X* کامل باشد، آنوقت فضای خارج‌قسمتی *X*/*M* هم در رابطه با نرم کامل است، و از این‌رو یک فضای باناخ است.

### مثال‌ها
فرض کنید *C*[0,1] فضای باناخ برای توابع حقیقی-مقدار پیوسته روی بازه [0٬1] با نرم سوپ باشد. زیرفضای همه توابع *f* &isin; *C*[0,1] با *f*(0) = ۰ را توسط *M* نشان بدهید. آنوقت کلاس هم‌ارزی یک تابع *g* توسط مقدارش در 0 تعیین می‌شود، و فضای خارج‌قسمتی  با **R** ایزوریختار است.

اگر *X* یک فضای هیلبرت باشد، آنوقت فضای خارج‌قسمتی *X*/*M* با مکمل متعامد *M* ایزوریختار است.

### تعمیم به فضاهای محلی محدب
خارج‌قسمت یک فضای محلی محدب توسط یک زیرفضای بسته باز هم محلی محدب است. در واقع، فرض کنید که *X* به صورت محلی محدب باشد، از این رو توپولوژی روی *X* توسط خانواده‌ای از زیرنرم‌های {*p*α | α &isin; *A*} تولید می‌شود، که در آن *A* برابر مجموعه اندیس است. فرض کنید که *M* یک زیرفضای بسته باشد، و نیم‌نرم‌های *q*α را روی *X*/*M* توسط زیر تعریف کنیم

:q_\alpha([x]) = \inf_{v\in [x]} p_\alpha(v).

آنوقت *X*/*M* یک فضای محلی محدب است، و توپولوژی روی آن یک توپولوژی خارج‌قسمتی است.

بعلاوه، اگر *X* مترپذیر باشد، آنوقت *X*/*M* هم هست. اگر *X* یک فضای فرچت باشد، آنوقت *X*/*M* هم هست.

## پانویس

## منابع

* 
*
*
*
*

رده:آنالیز تابعی
رده:جبر خطی
رده:اشیاء خارج قسمتی