تابع موج کولن

بندانگشتی|تصویر نمودار پیچیده تابع موج کولن منظم اضافه شد
در ریاضیات، **تابع موج کولن** حل **معادله موج کولن** است که به نام چارلز آگوستین دو کولن نامگذاری شده‌است. آنها برای توصیف رفتار ذرات باردار در یک پتانسیل کولن استفاده می‌شوند و می‌توانند بر اساس توابع ابر هندسی متقابل یا توابع ویتاکر بر حسب استدلال خیالی نوشته شوند.

## معادله موج کولن
معادله موج کولن برای یک ذره باردار با جرم معادله شرودینگر با پتانسیل کولن است

\left(-\hbar^2\frac{\nabla^2}{2m}+\frac{Z \hbar c \alpha}{r}\right) \psi_{\vec{k}}(\vec{r}) = \frac{\hbar^2k^2}{2m} \psi_{\vec{k}}(\vec{r}) \,,

:

جایی که حاصل ضرب بارهای ذره و منبع میدان است (بر حسب واحد بار اولیه، برای اتم هیدروژن) ثابت ساختار ریز است و انرژی ذره است. جوابی که تابع موج کولن است را می‌توان با حل این معادله در مختصات سهموی پیدا کرد.

: \xi= r + \vec{r}\cdot\hat{k}, \quad \zeta= r - \vec{r}\cdot\hat{k} \qquad (\hat{k} = \vec{k}/k) \,.

بسته به شرایط مرزی انتخاب شده، راه حل اشکال مختلفی دارد. دو مورد از راه حل‌ها عبارتند از

: \psi_{\vec{k}}^{(\pm)}(\vec{r}) = \Gamma(1\pm i\eta) e^{-\pi\eta/2} e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}} M(\mp i\eta, 1, \pm ikr - i\vec{k}\cdot\vec{r}) \,,

جایی که تابع M(a,b,z) \equiv {}_1\!F_1(a;b;z) ابر هندسی همرو است، و \eta = Zmc\alpha/(\hbar k) و \Gamma(z)تابع گاما است. دو شرط مرزی مورد استفاده در اینجا عبارتند از

: \psi_{\vec{k}}^{(\pm)}(\vec{r}) \rightarrow e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}} \qquad (\vec{k}\cdot\vec{r} \rightarrow \pm\infty) \,,

که مطابقت دارند حالت مجانبی موج صفحه گرا به ترتیب *قبل* یا *بعد از* نزدیک شدن به منبع میدان در مبدأ. توابع با فرمول به یکدیگر مرتبط هستند

:
: \psi_{\vec{k}}^{(+)} = \psi_{-\vec{k}}^{(-)*} \,.

### گسترش جزئی موج
تابع موج \psi_{\vec{k}}(\vec{r})  را می‌توان به امواج جزئی گسترش داد (یعنی با توجه به پایه زاویه ای) برای به دست آوردن توابع شعاعی مستقل از زاویه w_\ell(\eta,\rho) . اینجا \rho=kr .

\psi_{\vec{k}}(\vec{r}) = \frac{4\pi}{r} \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell i^\ell w_{\ell}(\eta,\rho) Y_\ell^m (\hat{r}) Y_{\ell}^{m\ast} (\hat{k}) \,.

:

یک جمله منفرد از انبساط را می‌توان توسط محصول اسکالر با هارمونیک کروی خاص جدا کرد

\psi_{k\ell m}(\vec{r}) = \int \psi_{\vec{k}}(\vec{r}) Y_\ell^m (\hat{k}) d\hat{k} = R_{k\ell}(r) Y_\ell^m(\hat{r}), \qquad R_{k\ell}(r) = 4\pi i^\ell w_\ell(\eta,\rho)/r.

معادله تک موج جزئی می‌توان با بازنویسی لاپلاسین در معادله موج کولن در مختصات کروی و طرح معادله بر روی یک هارمونیک کروی خاص به دست آورد. Y_\ell^m(\hat{r})

:
: \frac{d^2 w_\ell}{d\rho^2}+\left(1-\frac{2\eta}{\rho}-\frac{\ell(\ell+1)}{\rho^2}\right)w_\ell=0 \,.
:
: جواب‌ها را توابع موج کولن (جزئی) یا توابع کولن کروی نیز می‌نامند. قرار دادن z=-2i\rho معادله موج کولن را به معادله ویتاکر تغییر می‌دهد، بنابراین توابع موج کولن را می‌توان بر حسب توابع ویتاکر با آرگومان‌های خیالی بیان کرد. M_{-i\eta,\ell+1/2}(-2i\rho) و W_{-i\eta,\ell+1/2}(-2i\rho) . دومی را می‌توان بر حسب توابع ابر هندسی متقابل بیان کردM و U . برای \ell\in\mathbb{Z}  ، یکی راه حل‌های ویژه را تعریف می‌کند
:

H_\ell^{(\pm)}(\eta,\rho) = \mp 2i(-2)^{\ell}e^{\pi\eta/2} e^{\pm i \sigma_\ell}\rho^{\ell+1}e^{\pm i\rho}U(\ell+1\pm i\eta,2\ell+2,\mp 2i\rho) \,,

:

جایی که

\sigma_\ell = \arg \Gamma(\ell+1+i \eta)

:

تغییر فاز کولن نامیده می‌شود. یکی توابع واقعی را نیز تعریف می‌کند

F_\ell(\eta,\rho) = \frac{1}{2i} \left(H_\ell^{(+)}(\eta,\rho)-H_\ell^{(-)}(\eta,\rho) \right) \,,

G_\ell(\eta,\rho) = \frac{1}{2} \left(H_\ell^{(+)}(\eta,\rho)+H_\ell^{(-)}(\eta,\rho) \right) \,.

:

به ویژه یکی دارد

F_\ell(\eta,\rho) = \frac{2^\ell e^{-\pi\eta/2}|\Gamma(\ell+1+i\eta)|}{(2\ell+1)!}\rho^{\ell+1}e^{i\rho}M(\ell+1+i\eta,2\ell+2,-2i\rho) \,.

رفتار مجانبی توابع کروی کولن H_\ell^{(\pm)}(\eta,\rho) , F_\ell(\eta,\rho) و G_\ell(\eta,\rho) و در مقیاس بزرگ \rho است

H_\ell^{(\pm)}(\eta,\rho) \sim e^{\pm i \theta_\ell(\rho)} \,,

F_\ell(\eta,\rho) \sim \sin \theta_\ell(\rho) \,,

G_\ell(\eta,\rho) \sim \cos \theta_\ell(\rho) \,,

جایی که

\theta_\ell(\rho) = \rho - \eta \log(2\rho) -\frac{1}{2} \ell \pi + \sigma_\ell \,.

:

راه حل‌ها H_\ell^{(\pm)}(\eta,\rho) مربوط به امواج کروی ورودی و خروجی است. راه حل‌ها F_\ell(\eta,\rho) و G_\ell(\eta,\rho) واقعی هستند و توابع موج کولن منظم و نامنظم نامیده می‌شوند. به‌طور خاص یکی دارای انبساط جزئی موج زیر برای تابع موج است \psi_{\vec{k}}^{(+)}(\vec{r})

                                                                                                                \psi_{\vec{k}}^{(+)}(\vec{r}) = \frac{4\pi}{\rho} \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell i^\ell e^{i \sigma_\ell} F_\ell(\eta,\rho)  Y_\ell^m (\hat{r}) Y_{\ell}^{m\ast} (\hat{k}) \,,

## ویژگی‌های تابع کولن
:

قطعات شعاعی برای یک تکانه زاویه ای معین متعامد هستند. هنگامی که در مقیاس عددی موج (مقیاس *k*) نرمال می‌شود، توابع موج شعاعی پیوسته را برآورده می‌کند.

\int_0^\infty R_{k\ell}^\ast(r) R_{k'\ell}(r) r^2 dr = \delta(k-k')

سایر نرمال سازی‌های رایج توابع موج پیوسته در مقیاس عددی موج کاهش یافته‌است (k/2\pi مقیاس)،

\int_0^\infty R_{k\ell}^\ast(r) R_{k'\ell}(r) r^2 dr = 2\pi \delta(k-k') \,,

:

و در مقیاس انرژی

\int_0^\infty R_{E\ell}^\ast(r) R_{E'\ell}(r) r^2 dr = \delta(E-E') \,.

:

توابع موج شعاعی تعریف شده در بخش قبل به نرمال سازی می‌شوند

\int_0^\infty R_{k\ell}^\ast(r) R_{k'\ell}(r) r^2 dr = \frac{(2\pi)^3}{k^2} \delta(k-k') 

:

در نتیجه عادی سازی

\int \psi^{\ast}_{\vec{k}}(\vec{r}) \psi_{\vec{k}'}(\vec{r}) d^3r = (2\pi)^3 \delta(\vec{k}-\vec{k}') \,.

:

توابع موج کولن پیوسته (یا پراکنده) نیز متعامد به تمام حالات محدود کولن هستند

\int_0^\infty R_{k\ell}^\ast(r) R_{n\ell}(r) r^2 dr = 0 

به دلیل اینکه حالت‌های ویژه یک عملگر هرمیتین (هامیلتونی) با مقادیر ویژه متفاوت است.

## پیوند به بیرون
* .
* 
* .

## منابع

رده:توابع فوق‌هندسی مخصوص