فرایند نقطه‌ای

در نظریه احتمالات، آمار، **فرایند نقطه‌ای** (Point Process) یا «میدان تصادفی نقطه‌ای» (Point Field) عبارتست از مجموعه‌ای از نقاط ریاضی که به صورت تصادفی در زمان (نیم‌خط حقیقی)، یا یک فضای ریاضی زمینه پیوسته، از قبیل اعداد حقیقی، صفحه دکارتی، یا فضاهای انتزاعی جای می‌گیرند.
پروسه‌های نقطه‌ای می‌توانند به عنوان مدل‌های ریاضی برای رویدادها (یا اشیائی) باشند که به صورت نقطه‌هایی در بعضی انواع فضاها (فضاهای پیوسته مثل زمان و فضای فیزیکی) قابل نمایش باشند.

## تابع شدت (CIF) برای یک فرآیند نقطه‌ای
فرآیند نقطه‌ای را می‌توان بطور کامل توسط تابعی بنام تابع شدت (Intensity)،  یا تابع شدت شرطی (Conditional Intensity Function یا CIF)، مشخص (کاراکترایز) کرد:  تابع شدت یا  تابع شدت شرطی
\lambda( t  |  H_t )، برای یک فرآیند نقطه‌ای روی نیم‌خط حقیقی نسبت به پالایش (فیلتراسیون) یا H_t به صورت زیر تعریف می‌شود:
:
\lambda(t \mid H_t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{1}{\Delta t}\Pr(\text{One event occurs in the time-interval}\,[t,t+\Delta t] \mid H_t) ,
که در داخل نماد احتمال (Pr) برای «یک رویداد در بازه زمانی [t,t+\Delta t] رخ می‌دهد» است.

خاصیت شرطی بودن، در تابع شدت شرطی، معنایی شبیه احتمال شرطی دارد، که دلالت بر وابستگی تابع شدت به متغیر های دیگری (زمان، متغیر های بیرونی، و خود پروسه در گذشته) دارد.
بخش شرطی،‌ وابسته به H_t را پالایش می‌نامند. این پالایش، می‌تواند شیء ریاضیاتی‌ای باشد که بازنمایی‌ای از زمان‌های رخداد نقطه‌های مقدم بر (قبل از) زمان t را در خود نمایش دهد. بنابراین، یک فرایند نقطه‌ای، می‌تواند وابسته به بخشی از تاریخچه خروجی خود نیز باشد (مثلا تاریخچه تا عمق زمانی خاصی): به شرط اینکه دسترسی به گذشته باشد، مجاز است.
این پالایش H_t می‌تواند از نوع دیگری باشد، مثلا در فرآیند های کاکس Cox.

تابع شدت شرطی. (CIF)، را می‌توان با نمادگذاری N(t)، به صورت جمع‌وجور تر نوشت:
: \lambda(t \mid H_t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{1}{\Delta t}\Pr(N(t+\Delta t)-N(t)=1 \mid H_t).
تابع N(t)، مسیر نمونه (sample path) نام دارد: چرا که مقدار سمپل (نمونه)‌ تصادفی فعلی تولید شده را در طی زمان نشان می‌دهد:  N(t) برابر با تعداد نقطه‌های (رویداد) های تولید شده تا قبل از لحظه‌ی زمان t است. بدین ترتیب، یک تابع N(t): \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{Z}، تمام سمپل (نمونه)‌ تصادفی تولید شده در یک را به صورت یکتا و خوش تعریف، بر اساس مفاهیم ساده‌ای مثل تابع و مجموعه های مقدماتی توصیف می‌کند (بدون توسل به 
تابع دلتای دیراک، با این حال، با حفظ ظرایف تحلیلی بدون کم کردن دقت و کلیت).

مفهوم قدرتمند دیگری که کار ریاضی با CIF را بسیار تسهیل می‌کند، تابع \Lambda(t) است.
این تابع، یک جبران‌کننده‌ (compensator)، یا تصویر دوگان-پیش‌بینی‌پذیر (dual-predictable projection) است که برای یک فرآیند نقطه‌ای تعریف می‌شود، که انتگرال تابع شدت شرطی است:

: \Lambda (s, u) = \int_s^u \lambda (t \mid H_t) \, \mathrm{d} t
رابطه این تابع \Lambda(t) با تابع شدت \lambda(t)، یادآور نقش تابع تجمعی احتمال در مقایسه با تابع چگالی احتمال است.

این تابع در قضیه «تبدیل تغییر مقیاس زمانی» (Time-Rescaling Transform) کاربرد دارد.

### مثال
تابع شدت برای فرآیند پواسن ناهمگن (پواسن با نرخ تغییر کننده)، یکی از مهم ترین مثالی از یک فرآیند نقطه‌ای است: تابع شدت آن به تاریخچه،‌ وابستگی ندارد.

با اعمال یک «تبدیل تغییر مقیاس زمانی» (Time-Rescaling Transform)، که با استفاده از \Lambda(t) تعریف می‌شود، می‌توان هر فرآیند پواسن ناهمگن را به یک فرآیند پواسن ساده استاندارد (با نرخ ثابت ۱) نگاشت کرد: کافیست هر نگاشت هر سمپل / نمونه، اعمال شود. که نشان دهنده‌ی این است که این تابع \Lambda(t)، جوهره کاراکتر یک پروسه را دربر دارد.

## انواع فرایند نقطه‌ای
### فرایند نقطه‌ای کاکس Cox
فرایندهای نقطه‌ای کاکس Cox، انواعی از فرآیند های نقطه‌ای هستند که تعمیمی از پواسن محسوب می‌شوند، که بر اساس تعمیم \Lambda(\cdot) به روی فضاهای کلی تر تعریف می‌شوند.
در این حالت تعمیم یافته، تابع \lambda(\cdot) توسط مشتق‌گیری به سبک Radon–Nikodym derivative (مفهومی در نظریه اندازه) تعریف می‌شود.
تابع \Lambda(\cdot)، «اندازه‌ی شدت» یا (Intensity Measure)، و \lambda(\cdot) «میدان شدت» (Intensity Field) برای یک پروسه کاکس خوانده می‌شود.

در این تعمیم، این توابع و پروسه ها، بجای نیم خط (زمان) یا فضا، بر روی هر زیر مجموعه‌های کراندار B (تکه‌های فضا) روی میدان مورد نظر تعریف می‌شود، که تعمیمی از بازه [u,v] روی فضاهای تعمیم یافته است.

\xi(B) به معنای بخشی از پروسه که در تکه مورد نظر (B) قرار دارد، و \Lambda(B) بخشی از گذشته است که به ان وابستگی دارد. یعینی پروسه، نقطه‌ای، فقط وابسته به  \Lambda(B) است (تنها وابستگی آن به/ تابع \Lambda(B) بودن است).

خاصیت دوم، استقلال بین رفتار پروسه در افراز‌ها یا تکه‌های آن میدان پیوسته ای که محل وقوع نقاط مورد نظر است: چنانچه تکه‌های B_i،‌محموعه هایی جدا از هم باشند، \xi(B)ها (پروسه‌های جدایی که با جدا کردنِ هر کدام تعریف می‌شود)، مستقل-مشروط از هم می‌شوند، با داده شدن \Lambda(B_i)ها.
در این صورت، کل پروسه \xi(B) روی کل فضا، یک پروسه از نوع کاکس Cox خواهد بود.

به عبارت دیگر
:B_1\cap B_2 =\varnothing \Longrightarrow \xi(B_1 | \Lambda(B_1)) \perp \xi(B_1 | \Lambda(B_1)) 

میدان شدت. توجه شود که اندازه شدت (Intensity measure)، حالتی از اندازه تصادفی(random measure) است، که روی یک فضای اندازه(Measure space) تعریف می‌شود، که خودش حاصل تعریف یک اندازه، روی یک فضای اندازه پذیر(measurable space، یا فضای بورِل) تعریف می‌شود.

## کاربردها
زمینه‌های کاربردی فرایند نقطه‌ای در تعیین فواصل زمانی تصادفی است. مثل ورود مشتری به یک فروشگاه، ضربان‌های سلول عصبی. مکان‌یابی درخت‌های یک بیشه. فرایند نقطه‌ای در علوم زیر کاربرد گسترده‌ای دارد:
* بوم‌شناسی
* جغرافی
* واگیرشناسی
* زلزله‌شناسی
* مواد
* نجوم
* مخابرات
* عصب سنجی
* اقتصاد

## محاسبات
تفاوت بین فرایند نقطه‌ای و فرایند تصادفی در این است که فرایند نقطه‌ای در یک فضای خاص تعریف می‌شود.
فضای حالت بیان کننده فضا یا مجموعه مقدارهایی است که متغیر تصادفی مربوط به فرایند تصادفی خواهد داشت. مثلاً دربارهٔ تاس، فضای حالت ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ است.
پرکاربردترین روش فرایند نقطه‌ای، توزیع پواسن می‌باشد.
## جستارهای وابسته
* فرایند کاکس
* توزیع پواسن
* توزیع نمایی
* توزیع دوجمله‌ای
* فرایند شمارشگر
* شدت (نظریه اندازه‌گیری)

## منابع


رده:فرایند پواسون
رده:فرایندهای نقطه‌ای
رده:فرایندهای فضایی
رده:نظریه اندازه