نقطه‌گون

صفت **نقطه‌گون**  در ریاضیات برای نمایش آن است که یک «ویژگی معین» توسط «سنجش هر مقدار f(x) برای تابع f» تعریف می‌شود. کلاس مهمی از مفاهیم نقطه‌گون همان *عملیات نقطه‌گون* است، یعنی، عملیاتی که روی توابع با اعمال عمل روی مقادیر تابع، به صورت مجزا، برای هر نقطه در دامنه تعریف می‌گردد. تعریف‌های نقطه‌گون درباره «روابط» هم به کار می‌رود.

## عملیات نقطه‌گون

### تعریف صوری
می‌توان یک عمل دودویی *o*: *Y* × *Y* → *Y* روی مجموعه *Y* را به صورت نقطه‌گون به یک عمل *O*: (*X*→*Y*) × (*X*→*Y*) → (*X*→*Y*) روی مجموعه *X*→*Y* از همه توابع از *X* به *Y* به این شیوه ترفیع داد که: اگر دو تابع *f*1: *X* → *Y* و *f*2: *X* → *Y* داشته باشیم، تابع *O*(*f*1,*f*2): *X* → *Y* را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
: برای همه *x*∈*X* داریم (*O*(*f*1,*f*2))(*x*) = *o*(*f*1(*x*),*f*2(*x*)) .
معمولا *o* و *O* با نماد مشابهی نمایش داده می‌شوند. تعریف مشابهی برای عمل یکتایی *o*، و همچنین برای عمل‌هایی با آریتی دیگر به کار می‌رود.

### مثال‌ها

: 
\begin{align}
(f+g)(x) & = f(x)+g(x) & \text{(pointwise addition)} \\
(f\cdot g)(x) & = f(x) \cdot g(x) & \text{(pointwise multiplication)} \\
(\lambda \cdot f)(x) & = \lambda \cdot f(x) & \text{(pointwise multiplication by a scalar)}
\end{align}


که در آن f,g:X\to R است.

ضرب نقطه‌گون و نرده‌ای را ببینید.

یک مثال از عمل روی تابع که نقطه‌گون *نیست*، عمل هم‌گشت (یا کانولوشن) است.

### ویژگی‌ها
عمل‌های نقطه‌گون وبژگی‌هایی مثل خاصیت انجمنی، جابجایی و توزیع‌پذیری را از عمل متناظر روی هم‌دامنه به ارث می‌برند. اگر A یک ساختار جبری باشد، مجموعه همه توابع X به مجموعه حامل A را می‌توان به یک ساختار جبری با نوع مشابه به روش مشابهی تبدیل نمود.

## عمل‌های مولفه‌گون
عمل‌های مولفه‌گون  معمولا روی بردارها تعریف می‌شود، که در آن بردارها عناصر مجموعه K^n هستند (برای یک عدد طبیعی n و یک میدان K). اگر ما مولفه iام از هر بردار v را به صورت v_i نشان دهیم، آنوقت جمع مولفه‌گون برابر (u+v)_i = u_i+v_i است.

عمل‌های مولفه‌گون را می‌توان روی ماتریس‌ها هم تعریف کرد. جمع ماتریسی، که در آن (A + B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij} است یک عمل مولفه‌گون است درحالیکه ضرب ماتریسی اینطور نیست.

یک تاپل را می‌توان نوعی تابع درنظر گرفت، و یک بردار یک تاپل است. از این‌رو، هر بردار v با تابع f:n\to K متناظر است به این صورت که f(i)=v_i و هر عمل مولفه‌گون روی بردارها برابر عمل نقطه‌گون روی توابع متناظر با آن بردارها هستند.

## روابط نقطه‌گون
در نظریه ترتیب می‌توان ترتیب جزیی نقطه‌گون را روی توابع تعریف کرد. اگر *A* و *B* پوست باشند، می‌توان مجموعه توابع *A* → *B* را توسط *f* ≤ *g* مرتب نمود، اگر و فقط اگر (∀*x* ∈ A) *f*(*x*) ≤ *g*(*x*) باشد. ترتیب‌های نقطه‌گون بعضی از ویژگی‌های پوست‌های مبنا را به ارث می‌برند. برای مثال اگر A و B مشبکه پیوسته باشند، آنوقت مجموعه توابع *A* → *B* هم با ترتیب نقطه‌گون، یک مشبکه پیوسته است. به کمک ترتیب نقطه‌گون روی توابع، می‌توان دیگر مفاهیم مهم دیگر را به دقت تعریف کرد، مثلا:

* یک *[[:en:Closure_operator|عملگر بستاری]]* *c* روی پوست *P* یک نگاشت یکنوا و خودتوان روی *P* است (یعنی یک عملگر تصویری) است، با این ویژگی اضافی که id*A* ≤ *c* است، که در آن id تابع همانی است.
* به صورت مشابه یک عملگر تصویری *k* یک *[[:en:Closure_operator#Closure_operators_on_partially_ordered_sets|عملگر هسته‌ای]]* نامیده می‌شود اگر و فقط اگر *k* ≤ id*A* باشد.

یک مثال از یک رابطه نقطه‌گون بی‌نهایت همان همگرایی نقطه‌گون برای توابع است&mdash;یک دنباله از توابع 
:(f_n)_{n=1}^\infty
با
:f_n:X \longrightarrow Y 
:به صورت نقطه‌گون به یک تابع f همگرا می‌شود اگر برای هر x در X داشته باشیم
:\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = f(x).

## یادداشت


## پانویس

## منابع

رده:واژگان ریاضیات