معادله دیفرانسیل خطی

در ریاضیات، یک **معادله دیفرانسیل خطی** معادله دیفرانسیلی است که به صورت تساوی یک تابع دلخواه با یک چند جمله ای خطی (درجه یک) از تابع مجهول (y) و مشتق‌های آن تعریف می‌شود. به عبارت ساده‌تر دیگر این معادلات را می‌توان به فرم زیر نمایش داد:

a_0 y +a_1 y' + a_2 y* + \cdots +a_n y^{(n)} = b</math>

که در آن <math>b(x)</math> و <math>a_i(x)</math>ها [[تابع (ریاضیات)|توابعی]] دلخواه و [[تابع مشتق‌پذیر|مشتق پذیر]] برحسب <math>x</math> هستند (که برای کوتاهی به نوشتن <math>a_i</math> بسنده کردیم). این توابع لزواماً [[تابع خطی|خطی]] نیستند. همچنین <math>y^{(i)}</math>ها نیز [[مشتق#%D9%85%D8%B4%D8%AA%D9%82%20%D9%85%D8%B1%D8%A7%D8%AA%D8%A8%20%D8%A8%D8%A7%D9%84%D8%A7%D8%AA%D8%B1|مشتق‌های مرتبهٔ <math>i</math>]] تابع مجهول <math>y(x)</math> نسبت به [[متغیر وابسته و مستقل|متغیّر]] <math>x</math> هستند.

فرم بیان‌شده یک [[معادله دیفرانسیل معمولی]] است. اگر تابع مجهول به چندین متغیر بستگی داشته باشد، مشتق‌های آن [[مشتق جزئی|جزئی]] و معادله دیفرانسیل خطی یک [[معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی|معادله دیفرانسیل با مشتق‌های جزئی]] می‌شود. در این مقاله فقط معادلات دیفرانسیل معمولی مورد نظر است.

*'معادلهٔ همگن متناظر** با یک معادله، معادله‌ای است مشابه معادلهٔ اصلی که <math>b(x) = 0</math> باشد: <math>a_0 y +a_1 y' + a_2 y'' + \cdots +a_n y^{(n)} = 0</math>

اگر یک معادله دیفرانسیل خطی یا [[معادله دیفرانسیل#%D8%AF%D8%B3%D8%AA%DA%AF%D8%A7%D9%87%20%D9%85%D8%B9%D8%A7%D8%AF%D9%84%D8%A7%D8%AA%20%D8%AF%DB%8C%D9%81%D8%B1%D8%A7%D9%86%D8%B3%DB%8C%D9%84|دستگاه معادلات دیفرانسیل]] خطی به گونه ای باشد که معادلهٔ همگن متناظرش دارای ضرایب ثابت باشد، می‌توان جوابش را با [[پاد مشتق|انتگرال]] بیان کرد. این موضوع در مورد معادله دیفرانسیل خطی مرتبه یک با ضرایب دلخواه (غیر ثابت) نیز صدق می‌کند. در ادامه به تحلیل این دو گروه می‌پردازیم. به‌طور کلی جواب بقیهٔ معادلات دیفرانسیل خطی را نمی‌توان با با [[پاد مشتق|انتگرال]] بیان کرد.

جواب معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب [[چندجمله‌ای|چند جمله ای]] توابع هولونومیک نامیده می‌شوند. این توابع در روش‌های حل عددی این معادلات کاربرد بسیاری دارند. جمع، ضرب، [[مشتق]] و [[پاد مشتق]] این توابع نیز هولونومیک هستند. [[توابع خاص]] (از جمله [[تابع نمایی|توابع نمایی]]، [[لگاریتم|لگاریتمی]]، [[توابع مثلثاتی|مثلّثاتی]] و [[توابع معکوس مثلثاتی|معکوسشان]] و [[تابع هذلولوی|توابع هذلولوی]]) و اکثر توابع معمول دیگر مانند [[تابع خطا]]، [[تابع بسل|توابع بسل]] همگی توابع هولونومیک محسوب می‌شوند. نمایش آنها با تعریف معادله دیفرانسیل و شرایط اولیه امکان ساخت [[الگوریتم|الگوریتمی]] (بر روی این توابع) برای بیشتر عملگرهای [[حسابان|حساب]] از قبیل محاسبه [[پاد مشتق]]، [[حد (ریاضی)|حدها]]، [[بسط مجانبی]] و ارزیابی عددی با هرگونه دقت، با خطای معتبر را فراهم می‌کند.

== مرتبه اول ==
''معادلهٔ دیفرانسیل'' **مرتبهٔ اوّل** ''خطّی''  معادله‌ای ست که بتوان آن را به صورت **فرم استاندارد** زیر نمایش داد:

<math>y\prime + p(t)y = g(t)</math>

یکی از فرم‌های کاربردی دیگر نمایش این معادلات به صورت زیر است:

<math>P(t)y\prime + Q(t)y = G(t)</math>

<math>P(t) \neq 0, \ \ Q(t) = p(t) P(t), \ \ G(t) = g(t) P(t)</math>

=== قضیهٔ وجود و یکتایی ===
اگر <math>\operatorname{D}_p</math> به معنی [[بازه|بازهٔ بازِ]] [[دامنه تابع|دامنهٔ]] <math>p</math> باشد، معادلهٔ <math>y\prime + p(t)y = g(t)</math> در بازهٔ <math>\operatorname{D}_p \cap \operatorname{D}_g</math> جواب یکتا دارد.

=== پیدا کردن جواب ===
در صورتی که <math>p</math> برابر صفر باشد، جواب معادله به سادگی به دست می‌آید: <math>y\prime = g \Longrightarrow y = \int g</math>

==== عامل انتگرال‌ساز ====
در مواردی که <math>p</math> ناصفر باشد، از یک ترفند استفاده می‌کنیم. در این ترفند دو طرف معادله را در یک ''عامل انتگرال‌ساز''  (مثل <math>\mu</math>) ضرب می‌کنیم تا در معادلهٔ جدید <math>p</math> برابر صفر شود.

می‌خواهیم با ضرب کردن [[تابع (ریاضیات)|تابع]] <math>\mu</math> به هر دو طرف تساوی ضریب <math>y</math> صفر شود تا بتوان جواب معادله را به دست آورد:

<math>\begin{align}
{\operatorname{d}\!y\over\operatorname{d}\!t} + py & = g\\
\Longrightarrow \mu {\operatorname{d}\!y\over\operatorname{d}\!t} + \mu py & = \mu g\\
\Longrightarrow {\operatorname{d}\over\operatorname{d}\!t} (\mu y) & = \mu g\\
\Longrightarrow \mu y & = \int_{t_0}^t \mu(s) g(s) \operatorname{d}\!s + c\\
\Longrightarrow y & = {\color{red}\\
\end{align}</math>

برای این که چنین چیزی ممکن باشد باید «خط ۲ به ۳» در بالا درست باشد:

<math>\mu {\operatorname{d}\!y\over\operatorname{d}\!t} + \mu py = {\operatorname{d}\over\operatorname{d}\!t} (\mu y)</math>

طبق [[قاعده ضرب|قاعدهٔ ضرب]]، ''عامل انتگرال‌ساز'' تنها وقتی در شرط بالا صدق می‌کند که <math>\mu\prime = p\mu</math>:

<math>\begin{align}
{\operatorname{d}\over\operatorname{d}\!t} (\mu y) & = \mu {\operatorname{d}\!y\over\operatorname{d}\!t} + y {\operatorname{d}\!\mu\over\operatorname{d}\!t}\\ \Longrightarrow {\operatorname{d}\over\operatorname{d}\!t} (\mu y) & = \mu {\operatorname{d}\!y\over\operatorname{d}\!t} + \mu py\\
\end{align}</math>

با کمک گرفتن از تساوی <math>\mu\prime = p\mu</math> می‌توان ''عامل انتگرال‌ساز'' را به دست آورد:

<math>\begin{align}
\mu\prime & = p\mu\\
\Longrightarrow {\mu\prime \over \mu} & = p\\
\Longrightarrow \int{\mu\prime \over \mu}\operatorname{d}\!t & = \int p \operatorname{d}\!t + c\\
\Longrightarrow \ln \left\vert\mu\right\vert & = \int p \operatorname{d}\!t + c\\
\Longrightarrow \mu & = {\color{red}{e^{\int p \operatorname{d}\!t + c}}}\\
\end{align}</math>

چون تابع کمکی <math>\mu</math>  کاملا دلخواه است، پس می توانیم ثابت <math>c</math> را (فقط  در معاله خط اخر) مساوی صفر بگیریم تا کار ساده تر شود. 

== عملگر دیفرانسیل خطی ==

[[عملگر (ریاضیات)|عملگر]] (یا اپراتور) تبدیلی است که هر [[تابع (ریاضیات)|تابع]] را به [[تابع (ریاضیات)|تابعی]] دیگر [[نگاشت (ریاضیات)|نگاشت]] می‌کند. به عنوان مثال، ''عملگر دیفرانسیلی پایهٔ'' <math>\operatorname{D}</math> تابعی مانند <math>f</math> را به [[مشتق]] آن تابع تبدیل می‌کند: <math>\operatorname{D}[f](x) = f'(x) = {\operatorname{d}\!y\over\operatorname{d}\!x} </math>

به همین ترتیب می‌توان ''عملگر ساده دیفرانسیلی مرتبه'' <math>k</math> را تعریف کرد: <math>\operatorname{D}^k[f](x) = \operatorname{D}[\operatorname{D}^{k-1}[f]](x) = f^{(k)}(x) = {\operatorname{d}^k\!y\over\operatorname{d}\!x^k} </math>

کاربرد این اپراتورها در ساده و کوتاهتر کردن محاسبات ریاضی است. این مفهوم قابل تعمیم به توابع چندمتغیره و [[مشتق جزئی|مشتقات جزئی]] است. طبق یک تعریف قراردادی، <math>\operatorname{D}^0[f](x) = \operatorname{I}[f](x) = f(x) </math> است که <math>\operatorname{I} </math> در این جا نماد [[تابع همانی|اپراتور همانی]] است. همچنین [[تابع وارون|وارون]] این اپراتور [[پاد مشتق|پادمشتق]] <math>f</math> را برمی‌گرداند: <math>\operatorname{D}^{-1}[f](x) = \int f(x) \operatorname{d}\!x </math>

اگر عملگری مانند <math>L</math> یک [[نگاشت خطی]] باشد، آن را یک ''عملگر خطی'' می‌نامیم. طبق قضایای مربوط به [[مشتق]] و [[انتگرال]] در [[حسابان]]، عملگر <math>\operatorname{D}^k</math> (از هر مرتبه‌ای) خطی است. به عبارتی دیگر <math>\operatorname{D}^k[af + bg] = a\operatorname{D}^k[f] + b\operatorname{D}^k[g]</math>.

یک **عملگر دیفرانسیل خطی** مانند <math>L</math> [[ترکیب خطی|ترکیبی خطی]] از عملگرهای اساسی دیفرانسیلی است با ضرایب <math>a_i(x)</math> به صورت [[تابع دیفرانسیل‌پذیر|توابعی مشتق‌پذیر]]. در نتیجه، چنین عملگری یک [[نگاشت خطی]] خواهد بود. در حالت [[تک متغیره]]، یک ''عملگر خطی از مرتبهٔ <math>n</math>'' فرمی بدین ترتیب را دارد.

<math>L[y](x) = a_0 y +a_1 y' + a_2 y'' + \cdots + a_n y^{(n)} = a_0 \operatorname{D}^0[y] + a_1 \operatorname{D}^1[y] + \cdots + a_n \operatorname{D}^n[y]</math>

حال پس از تعریف این اپراتور می‌توان یک ''معادلهٔ دیفرانسیل خطی <math>a_0(x) y +a_1(x) y' + a_2(x) y'' + \cdots +a_n(x) y^{(n)} = b(x)</math>'' را به صورت ساده‌شدهٔ زیر نوشت:

<math>L[y] = b</math>

**هستهٔ** یک عملگر خطی مجموعه جواب‌های معادلهٔ همگن <math>L[y] = 0</math> است.

== همگن ==


یک معادله دیفرانسیل در صورت داشتن فرم زیر یک ''معادله دیفرانسیل **خطی** همگن'' است :

: <math>a_0(x)y +a_1(x)y' + a_2(x)y'' +\cdots +a_n(x)y^{(n)}=0</math>

=== اصل برهم نهی ===

''اصل برهم‌نهی''  در معادلات دیفرانسیل همگن بیان می‌کند که اگر <math>y_1</math> و <math>y_2</math> دو جواب یک معادلهٔ همگن باشند، هرگونه ترکیب خطّی آنها (یعنی <math>c_1 y_1 + c_2 y_2</math> به ازای [[عدد حقیقی|اعداد حقیقی]] <math>c_1,\ c_2</math> دلخواه) نیز جواب آن معادله خواهد بود.

=== مجموعه اساسی جواب‌ها ===

''مجموعه جواب اساسی'' یک معادلهٔ همگن  یکتا نیست.

هر مجموعه‌ای مانند <math>Y = \{y_1(x), \cdots, y_n(x)\}</math> (با <math>n</math> عضو منحصر به فرد) را ''مجموعه جواب اساسی'' یک معادلهٔ همگن از مرتبهٔ <math>n</math> می‌نامیم اگر توابع عضو آن (<math>y_i</math>ها) [[استقلال خطی#برای توابع|مستقل خطی]] باشند. هر معادلهٔ همگنی ''مجموعه جواب اساسی'' دارد.

اگر <math>Y</math> ''مجموعه جواب اساسی'' باشد، به کمک ''اصل برهم‌نهی'' نتیجه می‌گیریم که **جواب کلّی** معادله به صورت <math>y = c_1 y_1 + \cdots + c_n y_n</math> است (به ازای تمام مقادیر [[عدد حقیقی|اعداد حقیقی]] <math>c_i</math>). این مجموعه تمام جواب‌های ممکن معادله را پوشش می‌دهد.

=== همگن با ضرایب ثابت ===
در صورتی که <math>a_i</math> ها اعداد ثابت حقیقی (یا مختلط) باشند به آن ''معادله دیفرانسیل خطی همگن با ضرایب ثابت'' می‌گوییم.

حل این معادلات به صورت زیر است:

یکی از جواب‌های ممکن می‌تواند به فرم <math>y = e^{rx}</math> باشد (<math>r</math> یک [[عدد مختلط]] است). با جایگذاری در معادله نتیجه می‌گیریم:

<math>(a_0 + a_1r + a_2r^2 + \cdots + a_nr^n)e^{rx} = 0</math>

از آن جایی که [[تابع نمایی]] همواره ناصفر است، نتیجه می‌گیریم که <math>a_0 + a_1r + a_2r^2 + \cdots + a_nr^n = 0</math>.

این معادله **معادلهٔ مشخّصه**  نام دارد. فرض می‌کنیم که ریشه‌های این معادله <math>r_1, \ r_2, \cdots, \ r_n</math> باشند.

در نتیجه <math>y_i = e^{r_ix}</math> ''مجموعه جواب اساسی معادله'' را تشکیل می‌دهند. در صورت وجود ریشه‌های مضاعف (مثلاً <math>r_1 = r_2 = r_3</math>) جواب‌های دیگر معادله (به جز <math>y_1 = e^{r_1x}</math>) به صورت <math>y_2 = xe^{r_2x}</math> و <math>y_3 = x^2e^{r_3x}</math> خواهد بود. در حالت کلّی اگر <math>k</math> تا از ریشه‌های معادلهٔ مشخّصه برابر <math>r_m</math> باشند، <math>k</math> تا از جواب‌های معادلهٔ همگن به صورت <math>x^je^{r_mx}</math> خواهند بود (<math>0 \leq j < k</math>).

با جایگذاری این جواب‌ها در معادله <math>a_0y_i +a_1y_i' +\cdots +a_ny_i^{(n)}=0</math> به درستی آن‌ها پی می‌بریم. پس ''جواب کلّی'' معادله به صورت <math>y = \sum_{i=1}^n c_i y_i</math> است (به ازای تمام مقادیر [[عدد حقیقی|اعداد حقیقی]] <math>c_i</math>).


=== کوشی-اویلر ===

معادلهٔ اویلر  نوعی از ''معادلات خطی همگن'' است که ضرایب آن به صورت <math>a_i(x) = b_i x^i</math> باشد. به عنوان مثال <math>x^2y'' + \alpha xy' + \beta y = 0</math> یک معادلهٔ اویلر مرتبه دو است.

برای حل این معادلات کافی است از [[تغییر متغیر|تغییر متغیّر]] <math>u = \ln x</math> استفاده کرد تا آن را به یک ''معادلهٔ همگن با ضرایب ثابت'' تبدیل کرد. در مثال مذکور، معادله‌ٔ <math>x^2{\operatorname{d}^2\!y\over\operatorname{d}\!x^2} + \alpha x{\operatorname{d}\!y\over\operatorname{d}\!x} + \beta y = 0</math> به فرم جدید <math>{\operatorname{d}^2\!y\over\operatorname{d}\!u^2} + (\alpha - 1){\operatorname{d}\!y\over\operatorname{d}\!u} + \beta y = 0</math> تبدیل می‌شود.

=== همگن مرتبه دوم ===
یک ''معادلهٔ دیفرانسیل مرتبهٔ دوم'' ''خطّی'' همگن معادله‌ای است که بتوان آن را به **فرم استاندارد** <math>y'' + p(t)y' + q(t)y = 0</math> نمایش داد.

==== فرمول آبل ====
اگر <math>y_1</math> و <math>y_2</math> دو جواب معادلهٔ <math>y'' + p(t)y' + q(t)y = 0</math> باشند <math>W[y_1, y_2] = ce^{-\int p(t) \operatorname{d}\!t}</math>.

در این جا <math>W[y_1, y_2]</math> تابع [[رونسکین|رونسکیَن]] است که (طبق تعریف) از رابطهٔ <math>W[y_1, y_2] = y_1y_2' - y_1'y_2</math> به دست می‌آید.

==== کاهش مرتبه ====
در بعضی مواقع یکی از جواب‌های معادله (مثلاً <math>y_1</math>) به سادگی به دست می‌آید ولی جواب دوم نامعلوم است.

در صورتی که یکی از جواب‌های معادله (مثلاً <math>y_1</math>) را بدانیم، میتوان از شگرد ''کاهش مرتبه'' برای به دست آوردن ''جواب کلّی'' استفاده کرد. این روش را با یک مثال توضیح می‌دهیم:

در حالت کلّی (<math>y'' + p(t)y' + q(t)y = 0</math>) پس از ساده‌سازی به معادله <math>y_1v'' + (2y_1' + py_1)v' = 0 </math> می‌رسیم.

===== کاهش مرتبه به کمک قضیه آبل =====
همچنین می‌توان از ''فرمول آبل'' نیز برای کاهش مرتبه استفاده کرد. برای این کار، تعریف [[رونسکین]] و فرمول آبل را مقابل هم قرار می‌‌دهیم.


== ناهمگن ==
اگر <math>y</math> جواب کلّی معادلهٔ <math>L[y] = g</math> و <math>y_c</math> جواب معادلهٔ همگن <math>L[y] = 0</math> باشد، با توجّه به خطّی بود <math>L</math> می‌دانیم <math>L[y + y_c] = L[y] + L[y_c] = g + 0 = g</math>. پس <math>y + y_c</math> نیز جواب کلّی معادلهٔ <math>L[y] = g</math> است. در نتیجه <math>y</math> در درون خود <math>y_c</math> را نیز شامل می‌شود. به عبارتی دیگر:

<math>\color{red} y = y_c + y_p</math>

که <math>y_p</math> جواب <math>L[y] = g</math> است. برای پیدا کردن جواب کلّی معادلهٔ <math>L[y] = g</math> باید جواب معادلات <math>L[y_c] = 0</math> و <math>L[y_p] = g</math> را پیدا و جمع کنیم.

به جواب <math>L[y_c] = 0</math> جواب مکمّل یا **جواب عمومی**  می‌گویند.

به جواب <math>L[y_p] = g</math> جواب خاص یا **جواب خصوصی** یا جواب ویژه  می‌گویند.

با فرض این که <math>g</math> و <math>f</math> دو تابع دلخواه باشند، جواب مکمّل <math>L[y] = g</math> و <math>L[y] = f</math> یکسان خواهد بود ولی جواب خاصشان متفاوت. دلیل این نامگذاری نیز همین است.

می‌دانیم اگر ضرایب معادلهٔ همگن <math>L[y_c] = 0</math> ثابت باشند چطور آن را حل کنیم. در غیر این صورت پیدا کردن جواب بسیار سخت خواهد بود.

برای پیدا کردن جواب خاص، دو روش معمول «ضرایب نامعیّن» و «تغییر پارامتر» وجود دارد. استفاده از روش ضرایب نامعیّن معمولاً ساده‌تر است ولی فقط در موارد خاصی می‌توان از آن استفاده کرد.

=== روش ضرایب نامعین ===
این روش  برای پیدا کردن ''جواب خصوصی'' <math>L[y_p] = g</math> استفاده می‌شود. در این روش فرم کلّی جواب را داریم و فقط باید ضرایب را تشخیص دهیم:

* اگر <math>g</math> به فرم <math>g = e^{\alpha t}</math> باشد، <math>y_p</math> به فرم <math>y_p = ce^{\alpha t}</math> خواهد بود.
* اگر <math>g = \cos (\beta t)</math> یا <math>g = \sin (\beta t)</math> باشد، <math>y_p = a\cos (\beta t) + b\sin (\beta t)</math> خواهد بود.
* اگر <math>g = c_n t^n + \cdots + c_2 t^2 + c_1 t + c_0 </math> باشد، <math>y_p = a_n t^n + \cdots + a_2 t^2 + a_1 t + a_0 </math> خواهد بود.

یک استثنا زمانی پیش می‌آید که فرم پیشنهادی <math>y_p</math> مشابه یکی از ''جواب‌های عمومی'' باشد (به عبارتی دیگر، عضو ''هستهٔ <math>L</math>'' باشد). در این صورت فرم پیشنهادی را در <math>t</math> ضرب می‌کنیم.

در حالت کلّی‌تر اگر <math>g = (c_n t^n + \cdots + c_2 t^2 + c_1 t + c_0) e^{\alpha t} \cos (\beta t) </math> یا <math>g = (c_n t^n + \cdots + c_2 t^2 + c_1 t + c_0) e^{\alpha t} \sin (\beta t) </math> باشد، فرم <math>y_p</math> به صورت زیر خواهد بود:

<math>\color{red} y_p = (a_n t^n + \cdots + a_2 t^2 + a_1 t + a_0) e^{\alpha t} \cos (\beta t) + (b_n t^n + \cdots + b_2 t^2 + b_1 t + b_0) e^{\alpha t} \sin (\beta t) </math>

اگر <math>g</math> حاصل جمع (یا [[تفریق]]) موارد بالا باشد، (با توجّه به خطّی بودن <math>L</math>) می‌توان <math>g</math> را تقسیم کرد.

در صورتی که <math>g</math> به فرم موارد بالا یا جمع (یا تفریق) آنها نباشد نمی‌توان از این روش استفاده کرد.

=== روش تغییر پارامتر ===
این روش  برای پیدا کردن ''جواب خصوصی'' <math>L[y_p] = g</math> استفاده می‌شود. در حالی که استفاده از ''روش ضرایب نامعیّن'' ساده‌تر بود، این روش کلّی‌تر است و در مورد <math>g</math> محدودیّتی ندارد. ایدهٔ کلّی این روش مشابه ''کاهش مرتبه'' است.

در صورتی که ''جواب عمومی'' را به فرم <math>y_c = c_1 y_1 + c_2 y_2</math> به دست بیاوریم، ''جواب کلّی'' را به فرم <math>y = u_1 y_1 + u_2 y_2</math> فرض می‌کنیم و سعی می‌کنیم تا <math>u_1</math> و <math>u_2</math> را پیدا کنیم.

همان طور که در ادامه نیز می‌بینیم، [[تابع (ریاضیات)|توابع]] <math>u_1</math> و <math>u_2</math> لزوماً یکتا نخواهند بود. البتّه ''جواب کلّی'' همیشه یکتا است. به عبارتی دیگر ممکن است <math>u_1</math> و <math>u_2</math> و همچنین <math>v_1</math> و <math>v_2</math> پیدا شوند که <math>y = u_1 y_1 + u_2 y_2 = v_1 y_1 + v_2 y_2</math>. توجّه داشته باشید که هدف ما پیدا کردن ''جواب کلّی'' معادله است و نیازی به پیدا کرد تمام <math>u_1</math> و <math>u_2</math>های ممکن نداریم. به عبارتی دیگر تنها نیاز داریم یک <math>u_1</math> و <math>u_2</math> خاص پیدا کنیم که ما را به جواب برسانند.

در صورتی که ''جواب کلّی'' را به فرم <math>y = u_1 y_1 + u_2 y_2</math> فرض کنیم، این <math>y</math> باید در معادلهٔ <math>L[y] = g</math> صدق کند. پس برای پیدا کردن <math>u_1</math> و <math>u_2</math> از این معادله کمک می‌گیریم. در این جا **یک** معادله و **دو*' مجهول داریم. همچنین طبق تعریف، <math>y_1</math> و <math>y_2</math> از یکدیگر مستقل اند. از این دو مورد نتیجه می‌گیریم که بی‌نهایت جواب متفاوت برای <math>u_1</math> و <math>u_2</math> وجود دارد.

همان طور که پیش‌تر به آن اشاره شد، ما تنها به یک <math>u_1</math> و <math>u_2</math> خاص نیاز داریم تا ما را به جواب برسانند. پیدا کردن تمام <math>u_1</math> و <math>u_2</math>ها در حالت کلّی سخت تر است. پس می‌توانیم یک معادلهٔ دیگر از خودمان در بیاوریم تا کار خود را ساده‌تر کنیم:

<math>u_1' y_1 + u_2' y_2 = 0</math>

این معادله محاسبات ما را در ادامه ساده‌تر خواهد کرد. از <math>y = u_1 y_1 + u_2 y_2</math> مقدار <math>y'</math> را به دست می‌آوریم:

<math>y = u_1 y_1 + u_2 y_2 \Longrightarrow y' = (u_1' y_1 + u_1 y_1') + (u_2' y_2 + u_2 y_2') </math>

حال از معادلهٔ ابداعی خودمان نتیجه می‌گیریم:

<math>y' = u_1 y_1' + u_2 y_2' </math>

و از این تساوی مقدار <math>y* را نیز به دست می‌آوریم:

y* = (u_1' y_1' + u_1 y_1*) + (u_2' y_2' + u_2 y_2*) </math>

حال مقادیر <math>y</math> و <math>y'</math> و <math>y* را در *فرم استاندارد* معادله L[y] = g جایگذاری می‌کنیم:

\begin{align}
&y* &+ &py' &+ &qy &= g \\
\Longrightarrow &u_1' y_1' + u_1 y_1* + u_2' y_2' + u_2 y_2* &+ &p(u_1 y_1' + u_2 y_2') &+ &q(u_1 y_1 + u_2 y_2) &= g
\end{align}</math>

پس

<math>\begin{align}
&u_1(y_1* + py_1' + qy_1) \\
+ &u_2(y_2* + py_2' + qy_2) \\
&\quad + u_1' y_1' + u_2' y_2' \quad = g
\end{align}</math>

طبق تعریف *جواب عمومی*، دو عبارت داخل پرانتز برابر صفر هستند. در نتیجه به معادلهٔ زیر می‌رسیم:

<math>u_1' y_1' + u_2' y_2' = g</math>

از این معادله و معادلهٔ ابداعی می‌‌توان <math>u_1</math> و <math>u_2</math> را به کمک [[قاعده کرامر|قاعدهٔ کرامر]] به دست آورد:

<math>u_1' = - {y_2 g \over W[y_1, y_2]}, \quad u_2' = {y_1 g \over W[y_1, y_2]} </math>

در نتیجه *جواب خصوصی* به صورت زیر به دست می‌آید:

<math>\color{red} y_p = y_2 \int {y_1 g \over W[y_1, y_2]}\operatorname{d}\!s - y_1 \int {y_2 g \over W[y_1, y_2]}\operatorname{d}\!s</math>

و *جواب کلّی* نیز به صورت زیر به دست می‌آید:

<math>y = y_p + y_c = y_2 (\int {y_1 g \over W[y_1, y_2]}\operatorname{d}\!s + c_2) - y_1 (\int {y_2 g \over W[y_1, y_2]}\operatorname{d}\!s + c_1)</math>

به همین روش می‌توان این معادلات را در حالت کلّی (مرتبهٔ <math>n</math>) حل کرد. جواب نهایی به این صورت به دست می‌آید:

<math>y = \sum_{i=1}^n y_i (\int {g W_i \over W}\operatorname{d}\!s + c_2)</math>

در این جا <math>W = W[y_1, y_2, \cdots, y_n]</math> و <math>W_i</math> نیز مشابه [[رونسکین]] به دست می‌آید با این تفاوت که به جای ستون <math>i</math> ام <math>(0, 0, \cdots, 1)</math> قرار گیرد. برای پیدا کرد ساده‌تر مقدار <math>W</math> می‌توان از فرمول آبل نیز کمک گرفت: <math>W = ce^{-\int p(t) \operatorname{d}\!t}</math>

== سیستم معادلات دیفرانسیل خطی ==
سیستم معادلات دیفرانسیل خطی شامل چندین معادله دیفرانسیل خطی است که شامل چندین تابع مجهول است. به‌طور کلی، یک مطالعه را به سیستمهایی محدود می‌کند که تعداد توابع ناشناخته با تعداد معادلات برابر باشد.

<math>\begin{align}y_1'(x) &= b_1(x) +a_{1,1}(x)y_1+\cdots+a_{1,n}(x)y_n\\
\vdots&\\
y_n'(x) &= b_n(x) +a_{n,1}(x)y_1+\cdots+a_{n,n}(x)y_n,\end{align}</math>

== مراتب بالاتر با ضرایب متغیر ==
غیرممکن بودن حل توسط کوادراتور را می‌توان با [[قضیه هابل-رافینی|قضیه آبل-رافینی]] به دست آورد، که بیان می‌کند [[معادله جبری]] درجه ۵ حداقل، به‌طور کلی توسط رادیکال‌ها قابل حل نیست. این قیاس به روشهای اثباتی گسترش می‌یابد و انگیزه ای برای [[نظریه دیفرانسیل گالویز|تئوری گالوی دیفرانسیل]] فراهم می‌کند.

مشابه مورد جبری، این تئوری تصمیم می‌گیرد که چه معادلات را می‌توان با روش کوادراتور حل کرد. با این حال محاسبات لازم حتی با قدرتمندترین رایانه‌ها بسیار دشوار است. در حالت کلی پیچیدگی این معادلات ممکن است سبب شود آن هارا با روش‌های غیر صریح و تقریبی مانند مش بندی حل کنیم.

[[معادله کوشی-اویلر|معادلات اویلر-کوچی]] نمونه‌هایی از معادلات از هر درجه، با ضرایب متغیر است که به روش صریح قابل حل است.

== توابع هولونومیک ==
یک تابع هولونومیک، که *تابع محدود دی* نیز نامیده می‌شود *تابعی'' است که از حل یک معادله دیفرانسیل خطی همگن با ضرایب چند جمله ای به دست می‌آید.

اکثر توابعی که معمولاً در ریاضیات مورد توجه قرار می‌گیرند هولونومیک از نسبت توابع هولونومیک به‌شمار می‌آیند. در حقیقت، توابع هولونومیک شامل چند جمله ای، توابع جبری، لگاریتم، توابع نمایی، سینوسی، کسینوسی، توابع مثاثاتی، تاوابع هذلولوی، توابع معکوس مثلثاتی تابع وارون هذلولوی و بسیاری از تابع‌های ویژه مانند توابع بسل و توابع هایپرژومتریک است.

## جستارهای وابسته

* معادله دیفرانسیل برنولی
* تبدیل فوریه
* تبدیل لاپلاس
*

## منابع


*  
*  
*  

## پیوند به بیرون

* http://eqworld.ipmnet.ru/fa/solutions/ode.htm
* دیکشنری پویا از تابع ریاضی. مطالعه خودکار و تعاملی بسیاری از توابع هولونومیک.

رده:صفحات با ترجمه بازبینی‌نشده
رده:معادلات دیفرانسیل