زمان توقف

در نظریه احتمالات **زمان توقف**  که به آن زمان مارکوف  هم می‌گویند یک متغیر تصادفی است و بیان‌گر زمان انجام یک فرایند تصادفی است.

یک پیشامد مشخصی را در نظر بگیرید که زمان وقوع آن را نمی‌دانیم ولی می‌دانیم این رخداد در یک زمان \tau  ای بالاخره رخ خواهد داد، زمان  \tau را زمان توقف می‌نامیم اگر در هر نقطه‌ای از زمان بدانیم پیشامد رخ داده‌است یا خیر.

به شرطی که با ارضا شدن آن شرط، توقف رخ خواهد داد ** شرط توقف** می‌گویند. مثالی از شرط توقف در شکل رو‌به‌رو در حرکت براونی یک بعدی قابل مشاهده است.

## تعریف ریاضی
محور زمان  T \subseteq{ R_+} را در نظر بگیرید.
اگر  (\Omega, \mathcal F, (\mathcal F_t)_{t \in T}, P)  یک فضای احتمالاتی تصفیه شده باشد؛ که \Omega فضای نمونه‌ای، \mathcal F پیشامد و P توزیع احتمالاتی رخداد پیشامد باشد، داریم:

متغیر تصادفی  \tau \rightarrow T \cup {\{+\infty\}} را **زمان مارکوف** تعریف می‌کنیم اگر:

 \forall \tau \in T : (\tau = T)\in \mathcal F_t

که عبارت بالا مشابه عبارت زیر است.

 \forall \tau \in T : (\tau \leq T)\in \mathcal F_t

## تعریفی دیگر
اگر  (\Omega, \mathcal F, (\mathcal F_t)_{t \in T}, P)  یک فضای احتمالاتی تصفیه شده باشد. اگر در فضای احتمالی  \tau  را متغیر تصادفی در نظر بگیریم به طوری که {t \in T} باشد. آنگاه  \tau  برابر با **زمان توقف** است اگر و تنها اگر فرایند تصادفی X به صورت زیر باشد:

: X_t:= \begin{cases} 1 & \text{ if } t \leq \tau \\ 0 &\text{ if } t > \tau \end{cases} 

## چند مثال
* خالی شدن حساب بانکی یک فرد (شرط توقف است):
اگر \tau را زمان خالی شدن حساب بانکی یک فرد در نظر بگیریم، با این که فرد نمی‌داند که کی حساب بانکی‌اش خالی می‌شود و آیا اصلاً حساب بانکی‌اش خالی خواهد شد، اما در هر زمانی فرد می‌داند که حسابش خالی است یا خیر؛ بنابراین \tau را می‌توان یک زمان توقف در نظر گرفت.
* پیدا کردن نزدیک‌ترین جای پارک به سینما (شرط توقف نیست):

فردی می‌خواهد خودرویش را در نزدیک‌ترین جای پارک به سینمایی که در انتهای یک خیابان قرار دارد، پارک کند.
هنگامی که فرد از کنار یک جای پراک خالی عبور می‌کند می‌داند که از کنار یک جای پارک خالی عبور می‌کند، اما نمی‌داند که آیا این‌جای پارک نزدیک‌ترین جای پارک به سینما است یا جای پارک نزدیک‌تری هم به سینما وجود دارد؛ بنابراین این شرط نمی‌تواند یک شرط توقف باشد.
* تاریخ تولد (شرط توقف است اما این گونه شرط‌های توقف رایج نیستند)
اگر  \tau را تاریخ تولد یک فرد در نظر بگیریم، فرد در هر تاریخی می‌داند که آن روز تولدش است یا خیر. اما در این مثال **فرد دقیقاً می‌داند که تاریخ تولدش کی فرا می‌رسد** و با این‌که  \tau زمان توقف است اما معمولاً این موارد به عنوان زمان توقف به کار نمی‌روند.

* فرض کنید یک نفر که ۱۰ سکه دارد مشغول یک بازی با دستگاه بازی است. این دستگاه پس از وارد شدن یک سکه به آن روشن شده و بعد از اتمام بازی بسته به عملکرد فرد جایزه می‌دهد. اگر فرد بد بازی کند هیچ سکه‌ای نمی‌گیرد ولی هر چه فرد بهتر بازی کند سکهٔ بیشتری جایزه می‌گیرد. حال با توجه به این موارد بررسی می‌شود که کدام یک از موارد زیر می‌تواند **شرط توقف** باشد.
* «فرد دقیقاً ۵ بار بازی کند»، یک شرط توقف است (۵= \tau ).
* «فرد آن قدر بازی کند تا سکه‌اش تمام شود»، یک شرط توقف است زیرا می‌دانیم طبق قوانین احتمالاتی به احتمال قریب به یقین این اتفاق رخ خواهد داد.
* «فرد آن قدر بازی کند که بیشترین سکه ممکن را به دست آورد» یک شرط توقف نیست زیرا فرد هیچ وقت نمی‌داند که میزان سکه‌ای که دارد بیشینه است یا در آینده بیشینه می‌شود و بنابراین براساس آن نمی‌تواند بازیش را متوقف کند.

## منابع

رده:تصمیمات بهینه
رده:فرایندهای تصادفی

## برای مطالعهٔ بیشتر

* 
* 
* 
* An introduction to stopping times.