عرق‌چین (هندسه)

بندانگشتی| نمونه‌ای از عرق‌چین به رنگ آبی (و عرق‌چین دیگری به رنگ قرمز).
بندانگشتی| مدل سه‌بعدی عرق‌چین.
در هندسه **عرق‌چین**  قطعه‌ای از کره است که با برش کره توسط صفحه ایجاد می‌شود. اگر صفحه از مرکز کره عبور کند شکل حاصل نیم‌کره خواهد بود.

## حجم و مساحت رویه
حجم و مساحت عرق‌چین با استفاده از ترکیب کمیت‌های زیر محاسبه می‌شود:
* r شعاع کره
* a شعاع قاعدهٔ عرق‌چین
* h ارتفاع عرق‌چین
* \theta زاویه قطبی بین شعاعی که از مرکز کره به راس عرق‌چین (بالاترین نقطهٔ عرق‌چین) می‌رود و لبه قرص تشکیل دهندهٔ پایهٔ عرق‌چین است.

تمام کمیت‌های بالا در شکل نشان داده شده‌اند.

اگر \phi  نشان دهندهٔ عرض جغرافیایی لبهٔ دیسک باشد آنگاه \theta+\phi = \pi/2 = 90^\circ\,

توجه کنید که تمام روابط بالا آن‌هایی که برا اساس r و h نوشته شده‌اند را می‌توان بر اساس a و r نوشت (با استفاده از قضیه فیثاغورس)

: r^2 = (r-h)^2 + a^2 = r^2 + h^2 - 2rh + a^2\,,

پس

: r= \frac{a^2 + h^2}{2h}\,.

با جایگزین کردن این فرمول‌ها:

: V = \frac {\pi h^2}{3} \left(\frac{3a^2 + 3h^2}{2h}-h \right) = \frac{1}{6}\pi h (3a^2 + h^2)\,,
: A = 2 \pi \frac{(a^2 + h^2)}{2h} h = \pi (a^2 + h^2)\,.

### پیدا کردن حجم و مساحت با استفاده از حسابان
چپ|بندانگشتی|400x400پیکسل|با دوران ناحیهٔ سبز رنگ حول محور xها عرق‌چینی با شعاع <math>r</math> و ارتفاع  <math>h</math> ایجاد می‌شود.
حجم و مساحت را با استفاده از دوران تابع می‌توان حساب کرد.

: f(x)=\sqrt{r^2-(x-r)^2}=\sqrt{2rx-x^2}

فرمول سطح دورانی برای پیدا کردن مساحت استفاده می‌کنیم.

: A = 2\pi\int_0^h f(x) \sqrt{1+f'(x)^2} \,dx 

مشتق f برابر است با:

: f'(x) = \frac{r-x}{\sqrt{2rx-x^2}} 

پس

: 1+f'(x)^2 = \frac{r^2}{2rx-x^2} 

پس فرمول مساحت رویه برابر است با:

: A = 2\pi\int_0^h \sqrt{2rx-x^2} \sqrt{\frac{r^2}{2rx-x^2}} \,dx
= 2\pi \int_0^h r\,dx
= 2\pi r \left[x\right]_0^h
= 2 \pi r h 

از فرمول جسم دورانی برای حجم استفاده می‌کنیم پس:

: V = \pi \int_0^h f(x)^2 \,dx
= \pi \int_0^h (2rx-x^2) \,dx
= \pi \left[rx^2-\frac13x^3\right]_0^h
= \frac{\pi h^2}{3} (3r - h)

## کاربردها
### پیدا کردن حجم اجتماع دو کرهٔ متقاطع
حجم حاصل از اجتماع دو کرهٔ متقاطع با شعاع‌های r_1 و r_2 برابر است با:

:  V = V^{(1)}-V^{(2)}\,,

که

: V^{(1)} = \frac{4\pi}{3}r_1^3 +\frac{4\pi}{3}r_2^3

که برابر با جمع حجم‌های دو کره جدا از هم است و

: V^{(2)} = \frac{\pi h_1^2}{3}(3r_1-h_1)+\frac{\pi h_2^2}{3}(3r_2-h_2)

که برابر حجم دو عرق‌چین تشکیل دهندهی ناحیهٔ مشترک بین دو کره است. اگر d \le r_1+r_2 فاصلهٔ بین مرکزهای دو کره باشد با پیدا کردن مقادیر h_1 و h_2 داریم:

: V^{(2)} = \frac{\pi}{12d}(r_1+r_2-d)^2 \left( d^2+2d(r_1+r_2)-3(r_1-r_2)^2 \right)\,.

### مساحت‌های رویه‌های متقاطع
فرض کنید شعاع‌های دو کرهٔ متقاطع r_1 و r_2 و مرکز دو کره به اندازهٔ d از هم فاصله دارند. اگر شرط زیر برقرار باشد آن‌ها همدیگر را قطع می‌کنند.

: |r_1-r_2|\leq d \leq r_1+r_2

با استفاده از قانون کسینوس‌ها زاویهٔ قطبی عرق‌چین در کرهٔ با شعاع r_1 برابر مقدار زیر است:

: \cos \theta = \frac{r_1^2-r_2^2+d^2}{2r_1d}

با کمک مقدار بالا مساحت عرق‌چین سمت دایره r_1  را پیدا می‌کنیم.

: A_1 = 2\pi r_1^2 \left( 1+\frac{r_2^2-r_1^2-d^2}{2 r_1 d} \right)

### رویهٔ محدود شده با دو قرص موازی
مساحت رویهٔ قطعهٔ کره (عرق‌چینی که با دو صفحه محدود شده) برابر با اختلاف مساحت دو عرق‌چینی است که هر یک از صفحه‌ها به‌طور جدا گانه به وجود می‌آورند. شعاع کره برابر r و ارتفاع‌های دو عرق‌چین h_1 و h_2 است پس سطح برابر با:

: A=2 \pi r |h_1 - h_2|\,,

یا با استفاده از مختصات کروی با عرض‌های \phi_1 و \phi_2 ، مساحت رویه بدین قرار است:

: A=2 \pi r^2 |\sin \phi_1 - \sin \phi_2|\,,

مثلاً فرض کنید زمین کره ای به شعاع 6371 km است مساحت رویهٔ قطب (مدار قطبی در عرض جغرافیایی ۶۶٫۵۶° قرار دارد در اوت 2016) باید 2&#xB7;63712|sin ۹۰° &#x2212; sin 66.56°| = 21.04 million km2, or 0.5&#xB7;|sin ۹۰° &#x2212; sin 66.56°| = ۴٫۱۲۵٪ از مساحت کل زمین باشد.

همچنین این فرمول نشان می‌دهد که نصف مساحت زمین در ناحیهٔ بین عرض جغرافیایی ۳۰° شمالی و ۳۰° جنوبی قرار دارد.

## جستارهای وابسته
* قطعه دایره - مشابه دو بعدی عرق‌چین
* قطعهٔ کره
* قطاع کره
* گوهٔ کره

## منابع

## مطالعه بیشتر

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## پیوند به بیرون
*  Derivation and some additional formulas.
* Online calculator for spherical cap volume and area.
رده:هندسه کروی