تابع بسل-کلیفورد

در تجزیه و تحلیل ریاضی، **تابع بِسِل-کلیفورد**، که به نام فریدریش بسل و ویلیام کینگدون کلیفورد نامگذاری شده‌است، یک تابع کل از دو متغیر مختلط است می‌تواند برای نظریه توابع بسل مورد استفاده قرار بگیرد. اگر

\pi(x) = \frac{1}{\Pi(x)} = \frac{1}{\Gamma(x+1)}{\displaystyle \pi (x)={\frac {1}{\Pi (x)}}={\frac {1}{\Gamma (x+1)}}}

یک تابع کل باشد که با استفاده از تابع گاما متقابل تعریف می‌شود، آنگاه تابع بِسِل-کلیفورد توسط سری پایین تعریف می‌شود:

: {\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\pi (k+n){\frac {z^{k}}{k!}}}

نسبت عبارات پشت سر هم {\displaystyle {z}/{k(n+k)}} است، که برای مقادیر n و  zبا افزایش k به سمت صفر میل می‌کند. با استناد به آزمون نسبت، می‌توان نتیجه گرفت که این سری به‌طور مطلق برای تمام مقادیر  n و  zو به‌طور یکنواخت برای تمام مقادیر محدود |z| همگراست و ازین رو تابع بِسِل-کلیفورد یک تابع کامل از دو متغیر n و  z است.

## معادله دیفرانسیل تابع بسل-کلیفورد
با مشتق گرفتن از تابع {\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}(x)} نسبت به {\displaystyle x} به این نتیجه می‌رسیم که معادله خطی درجه دوم و همگن برای این تابع صدق می‌کند به این معنی که:

: xy* + (n+1)y' = y. \qquad</math>

این تابع، نوع تعمیم‌یافته فوق‌هندسی است و تابع بِسِل-کلیفورد در واقعی ضریبی از تابع فوق‌هندسی پوشهامر-بارنِس است، به عبارت دیگر:

: <math>{\mathcal C}_n(z) = \pi(n)\ _0F_1(;n+1; z).</math><math>{\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}(z)=\pi (n)\ _{0}F_{1}(;n+1;z).}</math>


== ارتباط با توابع بسل ==
[[تابع بسل]] از نوع اول را می‌توان با استفاده از تابع بسل-کلیفورد به شکل زیر تعریف کرد:

: <math>J_n(z) = \left(\frac{z}{2}\right)^n {\mathcal C}_n\left(-\frac{z^2}{4}\right);</math>

زمانی که *n* یک عدد صحیح نیست، می‌توانیم از این معادله نتیجه بگیریم که تابع بسل، تابع کامل است. به‌طور مشابه، تابع اصلاح شده بسل از نوع اول می‌تواند به صورت زیر تعریف شود

: <math>I_n(z) = \left(\frac{z}{2}\right)^n {\mathcal C}_n\left(\frac{z^2}{4}\right).</math><math>{\displaystyle I_{n}(z)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}{\mathcal {C}}_{n}\left({\frac {z^{2}}{4}}\right).}</math>

البته این روش می‌تواند معکوس شود، به گونه ای که ما می‌توانیم تابع بسل-کلیفورد را با استفاده از تابع اصلاح شده بسل تعریف کنیم

: <math>{\mathcal C}_n(z) = z^{-n/2} I_n(2 \sqrt{z});</math>

پس از آن باید نشان داده شود که <math>{\displaystyle {\mathcal {C}}}</math> تابع کامل است.

== رابطه بازگشتی ==
می‌توان با استفاده از مشتق گرفتن از حساب تابع بسل-کلیفورد نشان داد که:

<math>{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\mathcal {C}}_{n}(x)={\mathcal {C}}_{n+1}(x).}</math>

و از این طریق معدله دیفرانسیل تابع را به شکل پایین بازنویسی کرد:

<math>{\displaystyle x{\mathcal {C}}_{n+2}(x)+(n+1){\mathcal {C}}_{n+1}(x)={\mathcal {C}}_{n}(x),}</math>

با استفاده از این معادله می‌توان به یک رابطه بازگشتی برای تابع بسل-کلیفورد دست یافت:

<math>{\displaystyle {\frac _{n+1}(x)}_{n}(x)}}={\cfrac {1}{n+1+{\cfrac {x}{n+2+{\cfrac {x}{n+3+{\cfrac {x}{\ddots }}}}}}}}.}</math>

می‌توان نشان داد که این عبارت برای تمام حالات همگراست.

== تابع مولد ==
اگر ما سری‌های همگرای <math>\exp(t)</math> و <math>\exp(z/t)</math> را در هم ضرب کنیم، <math>\exp(t + z/t)</math> یک سری مطلقاً همگرا خواهد بود. اگر این سری را بسط بدهیم به معادله پایین می‌رسیم.

: <math>{\displaystyle \exp \left(t+{\frac {z}{t}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }t^{n}{\mathcal {C}}_{n}(z).}</math><math>\exp\left(t + \frac{z}{t}\right) = \sum_{n=-\infty}^\infty t^n {\mathcal C}_n(z).</math>

از تابع مولد می‌توان برای بدست آوردن فرمول‌های دیگر استفاده کرد، به ویژه ما می‌توانیم از [[فرمول انتگرال کوشی|فرمول انتگرالی کوشی]] استفاده کنیم و <math>{\displaystyle {\mathcal {C_n}}}</math>را برای برای عدد صحیح *n'' بدست بیاوریم:

:{\mathcal C}_n(z) = \frac{1}{2 \pi i} \oint_C \frac{\exp(t+z/t)}{t^{n+1}}\, dt = \frac{1}{2 \pi}\int_0^{2 \pi} \exp(z\exp(-i\theta)+\exp(i\theta)-ni\theta)\,d\theta.

## منابع

رده:توابع فوق‌هندسی مخصوص
رده:صفحات با ترجمه بازبینی‌نشده