علامت Q پوکهمر

در ریاضیات و در شاخه ترکیبیات، **علامت q-پوکهامر** (به انگلیسی: q-Pochhammer symbol)، که به آن **q-فاکتوریل جابجا شده** نیز می‌گویند، یک ق-آنالوگ از علامت پوکهامر است. این نماد یک بلوک اصلی در ساختار ق-آنالوگ‌ها به‌شمار می‌رود و در بسیاری از زمینه‌های ریاضیات، از جمله نظریه سری‌های ابرهندسی، نظریه اعداد، و ترکیبیات نقش محوری دارد.
​این نماد به صورت زیر تعریف می‌شود:
​
(a;q)n = \prod{k=0}^{n-1} (1-aq^k)=(1-a)(1-aq)(1-aq^2)\cdots(1-aq^{n-1})

​برای n=0، حاصل ضرب خالی تعریف می‌شود که برابر با 1 است:
​
(a;q)_0 = 1

​برخلاف علامت پوکهامر معمولی، علامت q-پوکهامر به یک حاصل‌ضرب نامتناهی نیز تعمیم داده می‌شود که کاربردهای گسترده‌ای دارد:
​
(a;q)\infty = \prod{k=0}^{\infty} (1-aq^k)

​این تابع، یک تابع تحلیلی از q در فضای داخلی یک دیسک واحد (در صفحه مختلط) است و به عنوان یک سری توانی در نظر گرفته می‌شود. حالت خاص زیر، یک تابع مهم و کلیدی در ریاضیات است:
​
\phi(q) = (q;q)\infty=\prod{k=1}^\infty (1-q^k)

​این تابع به نام **تابع اویلر** شناخته می‌شود و در شاخه‌هایی مانند نظریه اعداد، ترکیبیات (به‌ویژه نظریه افراز) و نظریه فرم‌های مدولار کاربرد فراوان دارد.
​قضیه‌ها و اتحادها
​علامت q-پوکهامر دارای روابط و اتحادهای متعددی است که استفاده از آن را در شاخه‌های مختلف ریاضیات تسهیل می‌کند.
​اتصال حاصل‌ضرب متناهی و نامتناهی
​حاصل‌ضرب متناهی می‌تواند به صورت حاصل‌ضرب نامتناهی بیان شود که تعریف نماد را به اعداد صحیح منفی n نیز گسترش می‌دهد:
​
(a;q)n = \frac{(a;q)\infty} {(aq^n;q)_\infty}

​بر اساس این رابطه، برای اعداد صحیح نامنفی n می‌توانیم داشته باشیم:
​
(a;q)_{-n} = \frac{1}{(aq^{-n};q)n}=\prod{k=1}^n \frac{1}{(1-a/q^k)}

​و همچنین:
​
(a;q)_{-n} = \frac{(-q/a)^n q^{n(n-1)/2}} {(q/a;q)_n}

​روابط سری
​علامت q-پوکهامر بخشی اساسی از ق-سری‌ها است، به‌ویژه در بسط‌های سری نامتناهی زیر که در نظریه توابع مولد (Generating Functions) کاربرد دارند:
​
(x;q)\infty = \sum{n=0}^\infty \frac{(-1)^n q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_n} x^n

​و همچنین:
​
\frac{1}{(x;q)\infty}=\sum{n=0}^\infty \frac{x^n}{(q;q)_n}

​این دو فرمول، حالت‌های خاصی از **قضیه دو جمله‌ای q-گان** (q-binomial theorem) هستند که یک تعمیم از قضیه دو جمله‌ای به شمار می‌رود:
​
\frac{(ax;q)\infty}{(x;q)\infty} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n} x^n

​اتحاد زیر توسط فردریک کارپِلِویچ به دست آمد که در نظریه فرم‌های مدولار کاربرد دارد:
​
\frac{(q;q){\infty}}{(z;q){\infty}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_n(1-zq^n)}, \ |z|

​منابع
​
​George Gasper and Mizan Rahman, *Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition*, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, **96**, Cambridge University Press, Cambridge. .
​Roelof Koekoek and Rene F. Swarttouw, *[http://fa.its.tudelft.nl/~koekoek/askey/ The Askey scheme of orthogonal polynomials and its q-analogues]*, section 0.2.
​Exton, H. (1983), *q-Hypergeometric Functions and Applications*, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, , , 
​M.A. Olshanetsky and V.B.K. Rogov (1995), The Modified q-Bessel Functions and the q-Bessel-Macdonald Functions, arXiv:q-alg/9509013.
​Ramanujan's Lost Notebook: Part I (Pt. 1) ,(2005) Bruce C. Berndt and George E. Andrews,,

​Ramanujan's Lost Notebook: Part II (Pt. 2) ,(2009) Bruce C. Berndt and George E. Andrews,,

​G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press, 2008,,.
​رده:نظریه اعداد
رده:Q-آنالوگ‌ها