ماتریس الحاقی

در جبر خطی، **ماتریسِ الحاقیِ**  یک ماتریسِ مربعی، ترانهادهٔ ماتریسِ همسازه‌هایِ آن ماتریس، است. ماتریسِ همسازه‌ها  به ماتریسی که شامل همه همسازه‌هایِ یک ماتریس می‌باشد، گفته می‌شود. از ماتریسِ الحاقی برای محاسبهٔ ماتریس وارون استفاده می‌شود. 

## تعریف
فرض کنید A ماتریسی مربعی باشد.

***کِهادِ** ijامِ ماتریسِ A، عبارت است از دترمینانِ ماتریسِ مربعی‌ای که از حذف سطرِ iام و ستونِ jامِ ماتریسِ A بدست می‌آید و آنرا با \mathbf{M}_{ij} نشان می دهیم.
* **همسازۀ** ijامِ ماتریسِ A، از رابطهٔ زیر به دست می‌آید:
::\mathbf{C}_{ij} = (-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ij}. \,

حال، ماتریس الحاقیِ ماتریسِ *<math>A</math>،* برابر است با ترانهادهٔ ماتریسِ *<math>\mathbf{C}</math>* (ماتریسِ *<math>\mathbf{C}</math>* همان ماتریسِ همسازه‌ها می‌باشد):

:\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^T. \,

## مثال‌ها
### ماتریس‌ ۲ × ۲

ماتریس الحاقی ماتریس ۲ × ۲ 
:\mathbf{A} = \begin{pmatrix}  & \\   &  \end{pmatrix}
برابر است با
:\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix} \,\,\, & \!\!\\  &  \end{pmatrix}.

### ماتریس‌  ۳ × ۳

ماتریس ۳ × ۳ زیر را در نظر بگیرید
:
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & A_{13} \\
A_{21} & A_{22} & A_{23} \\
A_{31} & A_{32} & A_{33}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}.
ماتریس الحاقی، ترانهادهٔ ماتریس همسازهٔ آن است، پس
:
\mathbf{C} = \begin{pmatrix} 
+\left| \begin{matrix} A_{22} & A_{23} \\ A_{32} & A_{33} \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} A_{21} & A_{23} \\ A_{31} & A_{33}  \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} A_{21} & A_{22} \\ A_{31} & A_{32} \end{matrix} \right| \\
 & & \\
-\left| \begin{matrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{32} & A_{33} \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{31} & A_{33} \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{31} & A_{32} \end{matrix} \right| \\
 & & \\
+\left| \begin{matrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{22} & A_{23} \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{21} & A_{23} \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix} \right|
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 
+\left| \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9  \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| \\
 & & \\
-\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| \\
 & & \\
+\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix}  1 & 3 \\ 4 & 6 \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right|
\end{pmatrix}.

بنابراین خواهیم داشت
:
\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix} 
+\left| \begin{matrix} A_{22} & A_{23} \\ A_{32} & A_{33} \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{32} & A_{33}  \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{22} & A_{32} \end{matrix} \right| \\
 & & \\
-\left| \begin{matrix} A_{21} & A_{23} \\ A_{31} & A_{33} \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{31} & A_{33} \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{21} & A_{23}  \end{matrix} \right| \\
 & & \\
+\left| \begin{matrix} A_{21} & A_{22} \\ A_{31} & A_{32} \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{31} & A_{32} \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix} \right|
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 
+\left| \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 8 & 9  \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right| \\
 & & \\
-\left| \begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 4 & 6  \end{matrix} \right| \\
 & & \\
+\left| \begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right|
\end{pmatrix}

که
:\left| \begin{matrix} A_{im} & A_{in} \\ \,\,A_{jm} & A_{jn} \end{matrix} \right|=
\det\left(    \begin{matrix} A_{im} & A_{in} \\ \,\,A_{jm} & A_{jn} \end{matrix} \right).

## خواص

ماتریس الحاقی خواص زیر را دارد

:\mathrm{adj}(\mathbf{I}) = \mathbf{I}\,
:\mathrm{adj}(\mathbf{AB}) = \mathrm{adj}(\mathbf{B})\,\mathrm{adj}(\mathbf{A})\,
:\mathrm{adj}(c \mathbf{A}) = c^{n - 1}\mathrm{adj}(\mathbf{A}) 
برای تمام ماتریس های مربعی A و B

## منابع

* 

*ویکی‌پدیای انگلیسی

## پیوند به بیرون
* راهنمای بدست آوردن ماتریس الحاقی
رده:جبر خطی
رده:ماتریس‌ها

رده:نظریه ماتریس‌ها