حد دنباله

بندانگشتی|300px| یک دنبالهٔ همگرا که به عدد خاصی میل می‌کند

در حسابان، حد یک دنباله مقداری است که در صورت وجود، جمله‌های آن دنباله با پیش‌روی، به قدر دلخواه به آن نزدیک می‌شوند؛ اگر چنین مقداری وجود داشته باشد، دنباله را **همگرا** و در غیر این صورت دنباله را **واگرا** می‌نامیم.

## تعریف

### حد در بی‌نهایت
به حد یک دنباله **در** بی‌نهایت «حد دنباله» می‌گویند.
بندانگشتی
در نمایش مختصاتی، بازهٔ دوبعدی افقی حول مقدار y=A در نظر بگیرید (به شکل مستطیلی افقی که به سمت راست تا بی‌نهایت ادامه دارد)، اگر دنبالهٔ \{a_n\}_{n=1}^\infty به A میل کند، باید از یک اندیس مشخّص (N) به بعد، همهٔ a_nها در این بازه باشند. این گزاره باید برای تمام بازه‌ها (هر چند نازک) (به عرض 2\varepsilon) صدق کند.

به بیان دقیق‌تر، برای دنبالهٔ \{a_n\}_{n=1}^\infty:

\lim_{n \to \infty} a_n = A \Longleftarrow \forall \varepsilon > 0: \exists N \in \mathbb{N} : d(a_n, A)

که \varepsilon مقدار نازک بودن بازه را نشان می‌دهد و d(x, y) در فضای متریک به معنای فاصلهٔ y و x است و به صورت |x-y| تعریف می‌شود.

در این صورت می‌نویسیم: \lim_{n \to \infty} a_n = A

### حدِ بی‌نهایت
بندانگشتی|نمونه‌ای از یک دنبالهٔ واگرا که به هیچ مقداری میل نمی‌کند
برای بعضی دنباله‌های واگرا نیز عبارتی همچون \lim_{n \to \infty} b_n = \infty یا \lim_{n \to \infty} b_n = -\infty نوشته می‌شود، یعنی (به ترتیب) دنبالهٔ \{b_n\}_{n=1}^\infty به بی‌نهایت یا منفی بی‌نهایت میل می‌کند؛ به عبارتی دیگر، (به ترتیب) دنبالهٔ \{b_n\}_{n=1}^\infty از بالا یا از پایین کران ندارد. به بیان دقیق:

\lim_{n \to \infty} b_n = \infty \Longleftarrow \forall B \in \mathbb{N}: \exists N \in \mathbb{N} : b_n > B, \forall n\geq N

دنبالهٔ واگرای a_n = (-1)^n از جمله مثال‌هایی ست که به هیچ مقداری میل نمی‌کند.

## ویژگی‌های حد دنباله
ویژگی‌های حد دنباله مثل ویژگی‌های حد تابع هستند.

حد دنباله در صورت وجود، یکتاست. یعنی اگر \lim_{n \to \infty} a_n = A_1 و \lim_{n \to \infty} a_n = A_2 آنگاه A_1 = A_2 

اگر برای دنبالهٔ \{a_n\}_{n=1}^\infty داشته باشیم \lim_{n \to \infty} a_n = A، به ازای هر تابع پیوسته‌ٔ f داریم \lim_{n \to \infty} f(a_n) = \lim_{n \to \infty} f(A)

\lim_{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n \pm \lim_{n \to \infty} b_n

\lim_{n \to \infty} (c a_n) = c \lim_{n \to \infty} a_n

\lim_{n \to \infty} (a_n b_n) = (\lim_{n \to \infty} a_n) (\lim_{n \to \infty} b_n)

\lim_{n \to \infty} ({a_n \over b_n}) = {\lim_{n \to \infty} a_n \over \lim_{n \to \infty} b_n} به شرطی که \lim_{n \to \infty} b_n \neq 0

\lim_{n \to \infty} (a_n^p) = (\lim_{n \to \infty} a_n)^p

a_n\leq b_n \Longleftrightarrow \lim_{n \to \infty} a_n\leq \lim_{n \to \infty} b_n

توجّه کنید که در بسیاری از موارد a_n  برقرار است امّا \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n

## قضایای مرتبط

### قضیهٔ تابع
اگر f: \mathbb R \longrightarrow \mathbb R و همیشه f(n) = a_n برقرار باشد، \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} f(n)
بندانگشتی

### [[قضیه فشردگی|قضیه‌ٔ فشردگی (ساندویچ)]]
اگر از یک اندیس به بعد b_n \leq a_n \leq c_n و همچنین \lim_{n\to\infty} c_n = \lim_{n\to\infty} b_n = L آن گاه \lim_{n\to\infty} a_n = L
بندانگشتی|225x225پیکسل|دنبالهٔ فوق نزولی ست و همیشه بیش از صفر، پس همگرا ست

### قضیهٔ دنبالهٔ یکنوا
اگر \{ a_n \} کران‌دار و یکنوا باشد، همگراست.

## حد چند دنبالهٔ مهم
\alpha > 0 \Longrightarrow \lim_{n \to \infty} {1 \over n^\alpha} = 0 

|c| 

c > 0 \Longrightarrow \lim_{n \to \infty} c^{1 \over n} = 1

a > 0, b > 0 \Longrightarrow \lim_{n \to \infty} {(\log n)^a \over n^b} = 0

\lim_{n \to \infty} n^{1 \over n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1

a \in \mathbb{R} \Longrightarrow \lim_{n \to \infty} (1 + {a \over n})^n = e^a

c \in \mathbb{R} \Longrightarrow \lim_{n \to \infty} {c^n \over n!} = 0 

## جستارهای وابسته
* حد
* دنباله

## منابع

رده:حد
رده:دنباله‌ها و سری‌ها
رده:ریاضیات