قانون سینوس‌ها

بندانگشتی|250px|چپ|یک مثلث دلخواه.

در مثلثات، **قانون سینوس‌ها** معادله‌ای است که میان طول ضلع هر مثلث دلخواه و زاویهٔ مقابل آن ضلع رابطه برقرار می‌کند؛ این قانون عبارت است از:

: \frac{a}{\sin (\alpha)} = \frac{b}{\sin (\beta)} = \frac{c}{\sin (\gamma)} 

که a و b و c به ترتیب ضلع‌های مثلث و \alpha و \beta و \gamma به ترتیب زاویه‌های مقابل به هر ضلع‌اند. هنگامی که دو زاویه و یک ضلع مثلث را داشته باشیم از قانون سینوس‌ها استفاده می‌کنیم تا طول ضلع‌های دیگر مثلث را بدست آوریم.

## پیشینه
قانون کروی سینوس‌ها در قرن ۱۰ میلادی کشف شد. این قانون را بیشتر به ابومحمود حامدبن خضر خجندی، ابوالوفای بوزجانی، خواجه نصیر طوسی و ابونصر منصور نسبت می‌دهند.

الجیانی در قرن ۱۱ میلادی کتابی نوشت با عنوان «کتاب کمان‌های ناشناخته در کره»  و در آن به معرفی کلی قانون سینوس‌ها پرداخت. پس از او در قرن ۱۳ میلادی خواجه نصیر الدین طوسی به بیان این قانون میان صفحه‌ها پرداخت. او در کتابی با عنوان انگلیسی *On the Sector Figure* قانون سینوس‌ها را برای صفحه‌ها و مثلث‌های کروی بیان کرد و برای قانونش اثبات‌هایی را ارائه کرد.

## نمونه
در ادامه روش استفاده از قانون سینوس‌ها برای حل یک مسئله گفته شده‌است.

;نمونه:
اگر فرض کنیم: ضلع‌های *a*&nbsp;=&nbsp;20 و *c*&nbsp;=&nbsp;24 و زاویهٔ *C*&nbsp;=&nbsp;40° باشد، با استفاده از قانون سینوس‌ها می‌توان نتیجه گرفت که:

:\frac{\sin A}{20} = \frac{\sin 40^\circ}{24}.

: A = \arcsin\left(\frac{20\sin 40^\circ}{24} \right) \cong 32.39^\circ. 

## رابطه با دایرهٔ محیطی مثلث
بندانگشتی|263px||یک مثلث دلخواه محاط در دایره.
اگر داشته باشیم:

:\,\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = \frac{abc}{2 S} = 2R،

مقدار تک تک کسرهایی که در قانون سینوس‌ها نوشته می‌شود برابر است با قطر دایرهٔ محیطی مثلث می‌توان نشان داد که این مقدار خود برابر است با:

:\begin{align}
\frac{abc} {2S} & {} = \frac{abc} {2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}} \\[6pt]
& {} = \frac {2abc} {\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}},
\end{align}

که در آن *S* مساحت مثلث است و *p* برابر با نصف محیط p = \frac{a+b+c} {2} می‌باشد. همچنین رابطهٔ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} فرمول هرون بود که از آن در بالا استفاده شد.

### حالت مبهم برای مثلث
وقتی از قانون سینوس‌ها استفاده می‌کنیم تا زاویه‌های یک مثلث را بدست آوریم، حالت‌هایی وجود دارند که ابهام برانگیزند و ما به جای یک جواب به دو جواب (دو مثلث) می‌رسیم.
پرونده:Sine Law - Ambiguous Case.svg
اگر *ABC* یک مثلث دلخواه باشد اگر شرایط زیر اتفاق افتد:
* اطلاعات ما دربارهٔ مثلث تنها زاویهٔ *A* و ضلع‌های *a* و *b* باشد.
* زاویهٔ *A* یک زاویهٔ تند باشد (کوچکتر از ۹۰ درجه).
* ضلع *a* کوچکتر از ضلع *b* باشد (*a <b*).
* ضلع *a* بزرگتر از ارتفاع مثلث راست‌گوشه با زاویهٔ *A* و وتر *b* باشد (*a> b sin A*).
اگر تمام شرط‌های بالا برقرار باشد، بسته به اینکه زاویهٔ *B* تند است یا باز، یکی از جواب‌های بدست آمده درست خواهد بود.

: B = \arcsin {b \sin A \over a}

یا

: B= 180^\circ - \arcsin {b \sin A \over a}

## اثبات
بندانگشتی|250px|راست||یک مثلث دلخواه.
بنابر شکل بالا و با استفاده از قانون مساحت مثلثات، داریم:
بندانگشتی|360px|چپ||اثبات.

## حالت کلی در فضای اقلیدوسی
چهاروجهی A۱A۲A۳A۴ را در فضای اقلیدوسی در نظر بگیرید. در شکل مقابل اطلاعات مربوط به زاویه‌ها و ضلع مقابل به هر گوشه نشان داده شده‌است:
چپ|بندانگشتی|200px|گوشه‌ها و ضلع‌های چهاروجهی.
* \,\mathrm S_k ضلع مقابل به گوشهٔ \,\mathrm A_k.
* \,\Delta_k صفحه‌ای که \,\mathrm S_k بر روی آن قرار دارد.
* \,\theta_{ij} زاویهٔ میان دو سطح \widehat{(\Delta_i, \Delta_j)}.

سینوس زاویهٔ دو سطحی که بوسیلهٔ گوشهٔ *A<sub>۱</sub>* به وجود آمده به روش زیر بدست می‌آید:

* \sin A_1 = \frac{\sqrt{1-\cos^2\theta_{23}-\cos^2\theta_{24}-\cos^2\theta_{34}-2\cos\theta_{23}\cos\theta_{24}\cos\theta_{34}}}{\sin\theta_{23}\sin\theta_{24}\sin\theta_{34}} ;

برای دیگر زاویه‌ها هم به روش بالا بدست می‌آید. بنابراین:

: \frac{S_1}{\sin A_1} = \frac{S_2}{\sin A_2} = \frac{S_3}{\sin A_3} = \frac{S_4}{\sin A_4} = \frac{2S_1S_2S_3S_4}{9V}،

که در آن *V* حجم چهاروجهی است.

## حالت کلی قانون سینوس‌ها در هندسهٔ نااقلیدوسی
بندانگشتی|200px|مثلث کروی با ضلع‌های کاهش یافتهٔ ''a'' و ''b'' و ''c'' و زاویه‌های ''α'' و ''β'' و ''γ''.
برای صفحه‌ای در هندسهٔ نااقلیدوسی با انحنای *K* و شعاع انحنای *ρ*، خواهیم داشت که:

:\,\rho = 1/\sqrt.

حال ابعاد کاهش یافتهٔ مثلث از رابطه‌های زیر بدست می‌آید:

:\,a = BC/\rho،
:\,b = AC/\rho،
:\,c = AB/\rho.

در حالتی که یک مثلث کروی داشته باشیم، اندازهٔ *a* و *b* و *c* برابر است با اندازهٔ زاویهٔ مقابل به کمان‌های بزرگ [BC] و [AC] و [AB] (شکل روبرو).

### هندسهٔ کروی
در یک مثلث کروی مانند ABC با شعاع *ρ* که بر روی کره‌ای با مرکز O کشیده شده‌است، قانون سینوس‌ها به صورت زیر نوشته می‌شود:

:\frac{\sin a}{\sin\alpha} = \frac{\sin b}{\sin\beta} = \frac{\sin c}{\sin\gamma} = \frac{6 V_{\mathrm{OABC}}}{\rho^3\sin a\,\sin b\,\sin c} ،

که در آن *V*OABC حجم چهاروجهی OABC است و *α* و *β* و *γ* سه زاویهٔ تشکیل شده در مرکز کره‌اند

### هندسهٔ هذلولوی
در هندسهٔ هذلولوی هنگامی که انحنا ۱- باشد، قانون سینوس‌ها به صورت زیر نوشته می‌شود:

:\frac{\sinh a}{\sin\alpha} = \frac{\sinh b}{\sin\beta} = \frac{\sinh c}{\sin\gamma}.

در حالت ویژه‌ای که زاویهٔ \beta راست‌گوشه (۹۰ درجه) باشد، خواهیم داشت:

:\sin \gamma = \frac{\sinh c}{\sinh b} \,

## منابع
* 

## جستارهای وابسته
* فرمول‌های مهم مثلثات
* مثلثات
* قانون کسینوس‌ها
* قانون تانژانت‌ها

رده:زاویه
رده:قضایای هندسه مسطحه
رده:مثلثات
رده:مثلث‌ها