فهرست سری‌های ریاضی

در این صفحه **فهرست سری‌های ریاضی** برای سری‌های هم‌گرا و واگرا را می‌یابید.

## حاصل‌جمع سری‌های توانی

*\sum_{m=1}^n m = \frac{n(n+1)}{2}\,\!
*\sum_{m=1}^n m^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6}  \,\!
*\sum_{m=1}^n m^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 = \frac{n^4}{4} + \frac{n^3}{2} + \frac{n^2}{4} = \left(\sum_{m=1}^n m\right)^2\,\!
*\sum_{m=1}^{n} m^{4} = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}=\frac{6 n^5+15 n^4+10 n^3-n}{30}\,\!
*\sum_{m=0}^n m^s = \frac{(n+1)^{s+1}}{s+1} + \sum_{k=1}^s\frac{B_k}{s-k+1}{s\choose k}(n+1)^{s-k+1}\,\!

که B_k\, عدد برنولی k\,-اُم، و B_1\,  عددی منفی است.

*\sum^{\infty}_{m=1} \frac{1}{m^2} = \frac{\pi^2}{6}\,\!
*\sum^{\infty}_{m=1} \frac{1}{m^4} = \frac{\pi^4}{90}\,\!
*\sum^{\infty}_{m=1} \frac{1}{m^{2n}} = (-1)^{n+1} \frac{B_{2n} (2\pi)^{2n}}{2(2n)!} 
*\sum_{m=1}^\infty m^{-s} = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} = \zeta(s)\,\!

که \zeta(s)\, تابع زتای ریمان است.

## سری‌های توانی

برای حالت‌های نامتناهی: |x| 
\sum_{m=0}^\infty x^m= \frac{1}{1-x}\,\!
\sum_{m=0}^n x^m = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} = 1+\frac{1}{r}\left(1-\frac{1}{(1+r)^n}\right) که r > 0 و x=\frac{1}{1+r}.\,\!

\sum_{m=0}^\infty x^{2m}= \frac{1}{1-x^2}\,\! 

\sum_{m=1}^\infty m x^m = \frac{x}{(1-x)^2}\,\!

\sum_{m=1}^n m x^m = x\frac{1-x^n}{(1-x)^2} - \frac{n x^{n+1}}{1-x}\,\!

\sum_{m=1}^{\infty} m^2 x^m =\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}\,\!

\sum_{m=1}^n m^2 x^m = \frac{x(1+x-(n+1)^2x^n+(2n^2+2n-1)x^{n+1}-n^2x^{n+2})}{(1-x)^3} \,\!

\sum_{m=1}^{\infty} m^3 x^m =\frac{x(1+4x+x^2)}{(1-x)^4}\,\!

\sum_{m=1}^{\infty} m^4 x^m =\frac{x(1+x)(1+10x+x^2)}{(1-x)^5}\,\!

\sum_{m=1}^{\infty} m^k x^m = \operatorname{Li}_{-k}(x),\,\!

که Li_s (x) پلی‌لگاریتم *x* است.

### سری‌های سادهٔ کسری

*\sum^{\infty}_{m=1} \frac{x^m}m = \ln\left(\frac{1}{1-x}\right) برای |x| 
*\sum^{\infty}_{m=0} \frac{(-1)^m}{2m+1} x^{2m+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots = \arctan(x)\,\!
*\sum^{\infty}_{m=0} \frac{x^{2m+1}}{2m+1} = \mathrm{arctanh} (x) برای  |x| 

### سری‌های کسری فاکتوریلی
بسیاری از سری‌های توانی که از بسط تیلور به دست می‌آیند، ضریب‌های فاکتوریلی دارند.

*\sum^{\infty}_{m=0} \frac{x^m}{m!} = e^x
*\sum^{\infty}_{m=0} \frac{(-1)^m}{m!} x^{m} = \frac{1}{e^{x}} 
*\sum^{\infty}_{m=0} m   \frac{x^m}{m!} = x e^x (توزیع پواسون)
*\sum^{\infty}_{m=0} m^2 \frac{x^m}{m!} = (x + x^2) e^x (مشتق دوم توزیع پواسون)
*\sum^{\infty}_{m=0} m^3 \frac{x^m}{m!} = (x + 3x^2 + x^3) e^x
*\sum^{\infty}_{m=0} m^4 \frac{x^m}{m!} = (x + 7x^2 + 6x^3 + x^4) e^x
*\sum^{\infty}_{m=0} m^n \frac{x^m}{m!} = x \frac{d}{dx}\sum^{\infty}_{m=0} m^{n-1} \frac{x^m}{m!}
*\sum^{\infty}_{m=0} \frac{(-1)^m}{(2m+1)!} x^{2m+1}=  x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots = \sin x 
*\sum^{\infty}_{m=0} \frac{(-1)^m}{(2m)!} x^{2m} =  1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \cos x 
*\sum^{\infty}_{m=0} \frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!} = \sinh x 
*\sum^{\infty}_{m=0} \frac{x^{2m}}{(2m)!} = \cosh x 

*\sum^{\infty}_{m=0} \frac{(2m)!}{4^m (m!)^2 (2m+1)} x^{2m+1} = \arcsin x\quad\mbox{ for } |x| 
*\sum^{\infty}_{m=0} \frac{(-1)^m (2m)!}{4^m (m!)^2 (2m+1)} x^{2m+1} = \mathrm{arcsinh}(x) \quad\mbox{ for } |x| 
*\sum^{\infty}_{m=0} \frac{(4m)!}{16^m \sqrt{2} (2m)! (2m+1)!} x^m = \sqrt{\frac{1 - \sqrt{1-x}}{x}}  
*\sum^{\infty}_{m=0} \frac{4^m (m)!^2}{(m+1) (2m+1)!} x^{2m} = \left( \frac{\arcsin{x}}{x} \right)^2   
*\sum^{\infty}_{m=0} \frac{\prod_{n=0}^{m-1}(4n^2+1)}{(2m)!} x^{2m} + \sum^{\infty}_{m=0} \frac{4^m \prod_{n=1}^{m}(\frac{1}{2}-n+n^2)}{(2m+1)!}  x^{2m+1} = e^{\arcsin{x}}  

### سری‌های دوجمله‌ای
سری‌های هندسی:

*
 (1+x)^{-1} = 
 \begin{cases} 
   \displaystyle  \sum_{m=0}^\infty (-x)^m     &  |x|1  \\
 \end{cases}


بسط دوجمله‌ای:

* (a+x)^n =  \begin{cases}    \displaystyle \sum_{m=0}^\infty \binom{n}{m} a^{n-m} x^m  &  |x| \!  \! |a|  \\ \end{cases}

*(1+x)^\alpha = \sum_{m=0}^\infty {\alpha \choose m} x^m

برای تمام |x|  و تمام \alpha\!های مختلط
:عمومی‌شدهٔ ضریب‌های دوجمله‌ای

{\alpha\choose n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\!

ریشهٔ دوم:

*\sqrt{1+x} = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m(2m)!}{(1-2m)m!^24^m}x^m برای |x|

گوناگون:

*  \sum_{m=0}^\infty {m+n \choose m} x^m = \frac{1}{(1-x)^{n+1}}
* \sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m+1}{2m \choose m} x^m = \frac{1}{2x}(1-\sqrt{1-4x})
* \sum_{m=0}^\infty {2m \choose m} x^m = \frac{1}{\sqrt{1-4x}}
* \sum_{m=0}^\infty {2m + n \choose m} x^m = \frac{1}{\sqrt{1-4x}}\left(\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\right)^n

### عددهای برنولی

* \sum_{m=0}^{\infty} \frac{B_m}{m!} x^m = \frac{x}{e^x-1}  
* \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-4)^m B_{2m}}{(2m)!} x^{2m} = x \cot{x}  
* \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1} 2^{2m} (2^{2m}-1) B_{2m}}{(2m)!} x^{2m-1} = \tan{x}  
* \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1} (4^m-2) B_{2m}}{(2m)!} x^{2m} = \frac{x}{\sin{x}}  

### عددهای هارمونیک

* \sum_{m=1}^{\infty} H_m x^m = \frac{\log{\frac{1}{1-x}}}{1-x} 
* \sum_{m=2}^{\infty} \frac{H_{2m-1}}{m} x^m = \frac{1}{2} \left( \log{\frac{1}{1-x}} \right)^2  
* \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1} H_{2m}}{2m+1} x^{2m+1} = \frac{1}{2} \arctan{x} \log{(1+x^2)}  
* \sum_{m=0}^{\infty} \frac{\sum_{n=0}^{2m} \frac{(-1)^n}{2n+1}}{4m+2} x^{4m+2} = \frac{1}{4} \arctan{x} \log{\frac{1+x}{1-x}}  

## ضریب‌های دوجمله‌ای

*\sum_{m=0}^n {n \choose m} = 2^n
*\sum_{m=0}^n {n \choose m}a^{(n-m)} b^m = (a + b)^n
*\sum_{m=0}^n (-1)^i{n \choose m} = 0
*\sum_{m=0}^n {m \choose k} = { n+1 \choose k+1 }
*\sum_{m=0}^n {k+m \choose m} = { k + n + 1 \choose n }
*\sum_{m=0}^r {r \choose m}{s \choose n-m} = {r + s \choose n}

## تابع‌های مثلثاتی
برخی از سینوس‌ها و کسینوس‌ها از سری فوریه به دست می‌آیند.

*\sum_{m=1}^n \sin\left(\frac{m\pi}{n}\right) = 0
*\sum_{m=1}^n \cos\left(\frac{m\pi}{n}\right) = 0

## دسته‌بندی نشده

*\sum_{m=b+1}^{\infty} \frac{b}{m^2 - b^2} = \frac{1}{2} H_{2b}
*\sum^{\infty}_{m=1} \frac{y}{m^2+y^2} = -\frac{1}{2y}+\frac{\pi}{2}\coth(\pi y)

## جستارهای وابسته
* سری (ریاضیات)
* فهرست‌های انتگرال‌ها
* سری تیلور
* بسط دوجمله‌ای
* سری گریگوری

## منابع

رده:جداول ریاضیاتی
رده:حسابان
رده:ریاضیات مقدماتی
رده:سری‌های ریاضی
رده:فهرست‌های ریاضی