تابع گرین

بندانگشتی|تابع گرین
**تابع گرین** به انگلیسی ( Green's function ) مفهومی است که اولین بار در دهه ۱۸۳۰ توسط جرج گرین ریاضی دان انگلیسی مطرح شد. به‌طور کلی تابع گرین هسته انتگرال است که برای حل معادلات دیفرانسیل از جمله معادلات دیفرانسیل معمولی با شرایط اولیه یا مرزی و هم چنین مسائل دشوارتر مانند معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی غیرهمگن با شرایط مرزی مورد استفاده قرار میگیرد.

به‌طور دقیق فرض کنید عملگر دیفرانسیلی خطیL=L(x) که روی مجموعه ای از توزیع ها روی  D \subseteq   عمل میکند داده شده است.یک تابع گرین در نقطه s ∈ Dمتناظر با عملگر L ، هر جواب معادله زیر است:

LG(x,s)=\delta (x-s)

که  \delta  تابع دلتای دیراک است.در واقع G تابعی است که با اثر کردن عملگر دیفرانسیلی L روی آن تابع دلتای دیراک حاصل می شود.
با ضرب طرفین این رابطه در f(s) و انتگرال گیری خواهیم داشت:

 \int LG(x,s)f(s)ds = \int \delta (x-s)f(s)ds 

با استفاده از خواص تابع دلتای دیراک میدانیم عبارت سمت راست رابطه فوق برابر f(x) است، از طرفی چون عملگر L خطی است و فقط روی x اثر میکند عبارت سمت چپ رابطه فوق را میتوانیم به صورت زیر بنویسیم:
 L=(\int G(x,s)f(s)ds  ) 

این روند برای حل معادلات دیفرانسیل زیر که u=u(x) بسیار مفید است:

  Lu(x)=f(x) 
⇒
 Lu(x)=L (\int G(x,s)f(s)dx )

 u(x)=\int G(x,s)f(s)ds

## خواص تابع گرین در بعد یک
* شرط پیوستگی
تابع گرین مسئله اشتورم- لیوویل هموار پیوسته است یعنی: 
[G(x,s)]^{x=s^+}_{x=s^-}=0 
⇒
 G(x,s^-)=G(x,s^+)

* شرط پرش:

 [ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}G(x,s)]^{x=s^+}_{x=s^-}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{p(s)}} 

به کمک این خواص میتوان تابع گرین مربوط به یک مسئله اشتورم- لیوویل هموار را مشخص کرد.

## تابع گرین دو بعدی و سه بعدی
اگر در بعد دو و سه دامنه مورد نظر ناحیه D باشد آنگاه شرایط مرزی روی مرز D یعنی  \partial D تعریف میشود.
فرض میکنیم D کراندار باشد:
مشابه قسمت یک بعدی میتوانیم تابع گرین دو بعدی را نیز به صورت زیر تعریف کنیم:
{\nabla}^2 G(x,s)= \delta (x-s)

با شرایط مرزی 
 a G(x,s)+ bn.{\nabla}_xG(x,s)=0

که \nabla تابع گرادیان است.
برای تعیین تابع گرین ، گرادیان را حول نقاطی بررسی میکنیم که به s نزدیک اند:
x=s+r 

: r= \begin{cases}r(cos\theta , sin\theta), &  in  2D, \\
r(cos\theta sin \varphi,sin\theta sin\varphi , cos \varphi ), & in  3D. \end{cases}

که   0 \le \theta  \le 2\pi 
و    0 \le \varphi  \le \pi  

 S_{\beta} رادایره ای به شعاع \beta  در نظر میگیریم:

S_{\beta}= {}



{\nabla}^2 G(x,s)= \delta (x,s) 

\int_{S_\beta}{\nabla}^2 G(x,s)dx= \int_{S_ \beta} \delta (x,s)dx 

طبق خاصیت تابع دلتای دیراک عبارت سمت راست رابطه فوق برابر یک است،از طرفی با توجه به قضیه دیورژانس خواهیم داشت :

\int_{\partial S_ \beta}\delta (x,s).n dl=1
 
⇒
\int_{\partial S_\beta} \frac{\mathrm{\partial G}}{\mathrm{\partial n}}(x,s)dl =1 

که n=e_r بردار یکه در راستای شعاع و dl=rd\theta است .لذا داریم :

 \lim_{\epsilon \to 0}\int_0^{2\pi} {\frac{\mathrm{\partial G}}{\mathrm{\partial r}}r|_{r=\epsilon}d\theta =1 }

با محاسبه انتگرال فوق تابع گرین بدست خواهد آمد که به فرم زیر است :

G(x,s)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2\pi}}ln|x-s|

با تکرار همین روند برای حالت سه بعدی داریم : n=e_r , ds=r^2 sin(\varphi)d\theta :

 \lim_{\epsilon \to 0} \int_0^\pi\int_0^{2\pi} {\frac{\mathrm{\partial G}}{\mathrm{\partial r}}r^2|_{r=\epsilon}sin \varphi d\theta d\varphi =1 }

با محاسبه عبارت فوق تابع گرین سه بعدی در ناحیه بی کران به فرم زیر خواهد شد :

 G(x,s)=\frac{\mathrm{-1}}{\mathrm{4\pi|x-s|}}

## روش تعیین پاسخ صریح برای تابع گرین
1.تعیین دو جواب مستقل خطی از معادله همگن به نام  u_R(x), u_L(x) به‌طوری که  u_L(x) در شرط مرزی مربوط به نقطه a و
 u_R(x)  هم در شرط مرزی همگن مربوط به نقطه b صدق کند.

2.تابع گرین را به فرم زیر بنویسید ;

: G(x,s) = \begin{cases}c_L(s)u_L(x), &  a \le x \le s, \\

c_R(s)u_R(x), & s \le x \le L. \end{cases}

3.شرط پیوستگی
G(x,s)را در x=s اعمال کنید;
 c_L(s)u_L(s)=c_R(s)u_R(s)    

4.شرط پرش    \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}G(x,s)
را در x=s اعمال کنید;
 c_R(s) \frac{\mathrm{du_R}}{\mathrm{dx}}(s)- c_L(s) \frac{\mathrm{du_L}}{\mathrm{dx}}(s)= \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{p(s)}}  

5.با حل روابط در مرحله 3و 4 مقادیر  c_L(s) , c_R(s) بدست خواهند آمد که به صورت زیر اند;

 c_L(s)=\frac{\mathrm{u_R(s)}}{\mathrm{p(s)W(s)}}     ,  c_R(s)=\frac{\mathrm{u_L(s)}}{\mathrm{p(s)W(s)}}    

که W(s) رونسکین جواب های معادله همگن در نقطه s است.

## مثال
معادله مستقل از زمان گرما را در نظر بگیرید.

 \frac{\mathrm{d^2u(x)}}{\mathrm{d}x^2}=f(x)

با شرایط مرزی  u(0)=u(L)=0.ما جواب این مسئله را میتوانیم به فرم زیر بنویسیم:
 \int_0^L f(s)G(x,s)ds 

که تابع گرین در رابطه زیر صدق میکند:
  \frac{\mathrm{d^2G(x,s)}}{\mathrm{d}x^2}=\delta (x-s)

با شرایط مرزی  G(0,s)=0=G(L,s). حال با توجه به تعریف تابع دلتای دیراک در x=s داریم:
: G(x,s) = \begin{cases}a+bx, & x

با اعمال شرایط مرزی مسئله خواهییم داشت a=c=0 و تابع گرین به فرم زیر خواهد شد:
: G(x,s) = \begin{cases}bx, & x

با توجه به خاصیت پیوستگی تابع G در نقطه x=s داریم:
 b s=d(s-L)

همچنین با شرط پرش روی مشتق در نقطه ی x=s داریم: d-b=1
با حل دستگاه مقادیر b,d بدست خواهند آمد;b=  \frac{\mathrm{(s-L)}}{\mathrm {L}}  و  d=  \frac{\mathrm{s}}{\mathrm {L}}

با جایگذاری مقادیر bو d در معادله داریم :
: G(x,s) = \begin{cases}\frac{\mathrm{x}}{\mathrm {L}}(s-L), & 0 \le x \le s, \\

\frac{\mathrm{s}}{\mathrm {L}}(x-L), &s \le x \le L. \end{cases}

## منابع

* 

رده:توابع تعمیم‌یافته
رده:ریاضی فیزیک
رده:معادلات دیفرانسیل
رده:معادلات فیزیک
رده:مفاهیم فیزیکی