نابرابری کوشی–شوارتز

یکی از نامساوی‌های مهم و پرکاربرد در ریاضیات، نامساوی کوشی-شوارتس  است که به نام‌های «نامساوی کوشی»، «نامساوی شوارتس»، «نامساوی کوشی-بونیاکوفسکی-شوارتس» و «نامساوی لاگرانژ» نیز مشهور است. علت این نامگذاری‌ها، شیوه‌های گوناگون گسترش یافتن این نامساوی به فضاهای مختلف است که در زمینه‌های مختلفی مانند جبر خطی، آنالیز ریاضی و نظریه احتمالات مطرح می‌شود. نابرابری کوشی-شوارتز به عنوان یکی از مهم‌ترین نابرابری‌های ریاضیات شناخته می‌شود و به نام آگوستین لویی کوشی و هرمن امندوس شوارتز خوانده می‌شود.

## بیان نابرابری
نابرابری کوشی-شوارتز بیان می‌کند که برای هر دو بردار دلخواه x و y در فضای ضرب داخلی داریم:

: |\langle x,y\rangle| ^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle

که در آن \langle\cdot,\cdot\rangle ضرب داخلی است. هم‌چنین با گرفتن ریشه دوم طرفین و با توجه به متریک القاء شده توسط این عملگر ضرب داخلی، نامساوی به شکل زیر نوشته می‌شود:

:  |\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|\, 

حالت تساوی رخ می‌دهد اگر و فقط اگر x و y وابستهٔ خطی باشند.

## حالات خاص

### لم تیتو
برای لم تیتو (همچنین بنام نامساوی برگستورم، فرم انگل یا لم T2 نیز شناخته می‌شود) داریم، برای اعداد حقیقی و مثبت داریم:

{\displaystyle {\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{n}v_{i}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{i}^{2}}{v_{i}}}\quad \equiv \quad {\frac {u_{1}^{2}}{v_{1}}}+{\frac {u_{2}^{2}}{v_{2}}}+\cdots +{\frac {u_{n}^{2}}{v_{n}}}\geq {\frac {\left(u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}\right)^{2}}{v_{1}+v_{2}+\cdots +v_{n}}}.}

برای اثبات کافیست تا ضرب داخلی روی فضای برداری \mathbb{R}^n را در نظر بگیرید و با جایگذاری  u_{i}'={\frac {u_{i}}{\sqrt {v_{i}}}} و v_{i}'={\sqrt {v_{i}}} حکم نتیجه می‌شود.
بندانگشتی|263x263پیکسل|نامساوی کوشی-شوارتز در دایره واحد صفحه اقلیدسی.

### صفحه اقلیدسی (R<sup>2</sup>)
فضای برداری حقیقی \mathbb{R}^2، نشان دهنده صفحه دو بعدی است که در آن ضرب داخلی همان حاصل ضرب نقطه‌ای است. اگر \mathbf {v} =\left(v_{1},v_{2}\right) و \mathbf {u} =\left(u_{1},u_{2}\right) آنگاه نابرابری کوشی-شوارتز می شود:

\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ^{2}=(\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|\cos \theta )^{2}\leq \|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2},

که در آن θ، زاویه بین u و v است.

حالت بالا شاید ساده‌ترین شکل برای درک نابرابری باشد، زیرا مجذور کسینوس حداکثر می‌تواند ۱ باشد، که زمانی اتفاق می‌افتد که بردارها در یک جهت یا مخالف هم باشند. همچنین می توان آن را بر حسب مختصات برداری u_1,u_2,v_1\text{و}v_2 تنظیم کرد:

\left(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}\right)^{2}\leq \left(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}\right)\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right),


که در آن تساوی برقرار است اگر و فقط اگر بردار \left(u_{1},u_{2}\right) در جهت یکسان یا مخالف \left(v_{1},v_{2}\right) باشد یا اگر یکی از آنها بردار صفر است.

### فضای n-بعدی مختلط (C<sup>n</sup>)
اگر x_1,\ldots, x_n\in\mathbb C و y_1,\ldots, y_n\in\mathbb C اعداد مختلط دلخواه باشند، و نماد بار نشان‌دهندهٔ مزدوج مختلط باشد، نابرابری را می‌توان به شکل زیر بازنویسی کرد:

:|x_1 \bar{y}_1 + \cdots + x_n \bar{y}_n|^2 \leq (|x_1|^2 + \cdots + |x_n|^2) (|y_1|^2 + \cdots + |y_n|^2).

### در R
\left(\sum_{i=1}^n u_i v_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^n u_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right).
## مراجع

## منابع

* محمد صال‌مصلحیان و فاطمه عبدالله‌زاده گنابادی، "بازنگاهی به نامساوی کوشی-شوارتس"، فرهنگ و اندیشۀ ریاضی سال ٣۶، شمارۀ ۶١ (پاییز و زمستان ١٣٩۶) صص. ٩٩ تا ١١۵

رده:آنالیز ریاضی
رده:جبر خطی
رده:نابرابری‌ها
رده:نابرابری‌های احتمالاتی
رده:نظریه احتمالات
رده:نظریه عملگرها