قضیه سوا

بندانگشتی|چپ|حالت یکم قضیهٔ سوا، سه خط یکدیگر را در نقطهٔ O درون مثلث قطع کرده‌اند.

بندانگشتی|250 px|چپ|حالت دوم قضیهٔ سوا، سه خط یکدیگر را در نقطهٔ O بیرون از مثلث قطع کرده‌اند.
**قضیهٔ سوا**، قضیه‌ای در هندسهٔ دوبعدی است؛ به این ترتیب که اگر مثلث دلخواه *ABC* را در نظر بگیریم و نقاط **' را به ترتیب روی اضلاع **' انتخاب کنیم، خط‌های **'  یکدیگر را در یک نقطه قطع می‌کنند [[اگر و فقط اگر]]:

::<math>\frac{AF}{FB}  \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1</math>

در حالی که ''AF'' فاصلهٔ مستقیم بین دو نقطهٔ ''A'' و ''F'' است. (فاصله در یک جهت روی یک خط مثبت و در جهت مخالف منفی در نظر گرفته می‌شود)

شکل دیگر قضیهٔ سوا به این شکل است: که می‌گوییم سه خط **' یکدیگر را در یک نقطه قطع می‌کنند، اگر و فقط اگر:

::\frac{\sin\angle BAD}{\sin\angle CAD}\times\frac{\sin\angle ACF}{\sin\angle BCF}\times\frac{\sin\angle CBE}{\sin\angle ABE}=1.

این قضیه توسط جووانی سوا (*Giovanni Ceva*) در اثرش به نام *De lineis rectis*، که در سال ۱۶۷۸ نوشت، اثبات شده بود اما پیش از او یوسف بن احمد مؤتمن بن هود، پادشاه ساراگوسا در قرن یازدهم، آن را اثبات کرده بود.

مثلث DEF را *مثلث سوایی* O و خط‌های ** را *سوایی‌های* O می‌نامند.

## اثبات قضیه
فرض کنید: AD و BE و CF در نقطه‌ای مانند O یکدیگر را قطع می‌کنند. چون مثلث‌های \triangle BOD و \triangle COD ارتفاع یکسان دارند، خواهیم داشت:

:: \frac=\frac{BD}{DC}

به دلیل مشابه:

:: \frac=\frac{BD}{DC}

در ادامهٔ مطلب بالا خواهیم داشت:

:: \frac{BD}{DC}=
\frac
=\frac

همچنین

:: \frac{CE}{EA}=\frac

و

:: \frac{AF}{FB}=\frac

با ضرب این سه عبارت در یکدیگر خواهیم داشت:

:: \frac{AF}{FB}  \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1

برای اثبات عکس قضیه، فرض کنید نقاط D و E و F به گونه‌ای اند که رابطهٔ بالا را برقرار می‌کنند؛ حال فرض کنید که AD و BE در نقطه O با یکدیگر برخورد می‌کنند ولی امتداد  CO ضلع AB را در نقطهٔ دیگری به نام F ' قطع می‌کند. با توجه به اثباتی که در بالا کردیم باید داشته باشیم:

:: \frac{AF '}{F 'B}  \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1.

با مقایسهٔ دو رابطه خواهیم داشت:

:: \frac{AF '}{F 'B}=\frac{AF}{FB}.

یک یکم (۱/۱) را به دو طرف تساوی اضافه می‌کنیم، می‌شود: AF '+F 'B=AF + FB = AB (حالت یکم) یا با کم کردن یک از آن می‌شود: F 'B - AF ' = FB - AF = AB (حالت دوم)، خواهیم داشت:

:: \frac{AB}{F 'B}=\frac{AB}{FB}.

بنابراین F 'B=FB در نتیجه F و F ' بر روی هم قرار دارند، پس AD و BE و CF = CF ' در نقطهٔ O یکدیگر را قطع می‌کنند؛ هر دو سوی قضیه اثبات شد.

برای شکل مثلثی این قضیه، یک رویکرد این است که نگاه کنیم که سه سوایی متقاطع در نقطهٔ O، مثلث \triangle ABC را به سه مثلث کوچکتر \triangle AOB و \triangle BOC و \triangle COA تقسیم می‌کنند. با استفاده از قانون سینوس‌ها برای هر مثلث خواهیم داشت:

:\frac{\sin\angle OAB}{\sin\angle OBA}=\frac{OB}{OA} \text{  ;} \frac{\sin\angle OBC}{\sin\angle OCB}=\frac{OC}{OB}\text{  ;} \frac{\sin\angle OCA}{\sin\angle OAC}=\frac{OA}{OC}.

اگر سه رابطه را در یکدیگر ضرب کنیم می‌بینیم که سمت راست آن برابر با ۱ و سمت چپ آن برابر با عبارت داده شده در قضیه خواهد شد.

## حالت کلی
## جستارهای وابسته
* میانهٔ مثلث
* قضیهٔ منلائوس

## منابع

* ویکی‌پدیای انگلیسی

## پیوند به بیرون

* Menelaus and Ceva
* Derivations and applications of Ceva's Theorem
* Trigonometric Form of Ceva's Theorem
* Glossary of Encyclopedia of Triangle Centers
* Conics Associated with a Cevian Nest, by Clark Kimberling
* * [http://demonstrations.wolfram.com/CevasTheorem/ Ceva's Theorem]* از  Jay Warendorff, Wolfram Demonstrations Project.
* 

رده:قضایای هندسه مسطحه
رده:قضیه‌های ریاضی
رده:هندسه مثلث
رده:هندسه آفین