توزیع هندسی

\!|
  kurtosis   =6+\frac{p^2}{1-p}\!|
  entropy    =-\frac{1-p}{p}\ln(1-p)-\ln p\!|
  mgf        =\frac{pe^t}{1-(1-p) e^t}\!|
  char       =\frac{pe^{it}}{1-(1-p)\,e^{it}}\!|
  parameters2 =0 success probability (real)|
  support2    =k \in \{0,1,2,3,\dots\}\!|
  pdf2        =(1 - p)^{k}\,p\!|
  cdf2        =1-(1 - p)^{k+1}\!|
  mean2       =\frac{1-p}{p}\!|
  median2     =|
  mode2       =0|
  variance2   =\frac{1-p}{p^2}\!|
  skewness2   =\frac{2-p}{\sqrt{1-p}}\!|
  kurtosis2   =6+\frac{p^2}{1-p}\!|
  entropy2    =|
  mgf2        =\frac{p}{1-(1-p)e^t}\!|
  char2      =\frac{p}{1-(1-p)\,e^{it}}\!|
}}

**توزیع هندسی**  توزیعی است گسسته که بیانگر احتمال اولین پیروزی پس از k-1 شکست در فرایند برنولی می‌باشد
:P_X(k) = \text{P}\{X = k\} = (1 - p)^{k-1}\,p
که در آن p احتمال پیروزی در یک دفعه است.

## متغیر تصادفی هندسی
فرض کنید آزمایش‌های مستقلی با احتمال موفقیت p، آن قدر تکرار می‌شود تا یک موفقیت به دست آید. اگر X تعداد آزمایش‌های لازم باشد، آنگاه:

P\{X=n\}=(1-p)^{n-1}p\qquad n=1,2,3\ldots

## اثبات

می دانیم شرط لازم و کافی برای X=n آن است که ابتدا، n-1 آزمایش شکست و n اُمین آزمایش موفقیت باشد. از آنجا که برآمدهای متوالی آزمایش‌ها بنا به فرض مستقل هستند داریم  :
:p_X(k) =  \text{P}\{X=n\}=p  (1-p)^{n-1} 

هر متغیر تصادفی که تابع جرم احتمال به صورت بالا باشد را یک متغیر (فرایند) تصادفی هندسی با پارامتر p می نامیم.
:\sum_{n=1}^\infty \text{Pr}\{X=n\}=p \sum_{n=1}^\infty (1-p)^{n-1}=\frac{p}{1-(1-p)}=1

در نتیجه با احتمال ۱، یک موفقیت بالاخره اتفاق می افتد. هر متغیر تصادفی که تابع جرم احتمال به صورت بالا باشد را یک متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p می‌نامیم.

## چند مثال ساده
* فرض کنیم می خواهیم رمز عبور 8 کاراکتری یک کامپیوتر را حدس بزنیم. چند مرتبه باید این کار را تکرار کنیم؟
* فرض کنیم یک دارو به احتمال p سبب درمان شود، دارو روی چندمین بیمار مؤثر واقع می‌شود؟
* فرض کنیم احتمال برد یک تیم p باشد، چند مرتبه این تیم باید بازی کند تا  یک بازی  را ببرد ؟

## امید ریاضی متغیر تصادفی هندسی
**قصیه:** امید ریاضی متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p برابر است با 
:\text{E}[X]=\frac{1}{p}

### اثبات
می دانیم  p_X(k)=(1-p)^{k-1}p  بنابراین برای محاسبه امید ریاضی می‌بایست عبارت زیر را محاسبه کنیم
:\text{E}[X]=\sum_{x}x p_X(x)

پس با ترکیب دو رابطه ی بالا برای متغیر تصادفی هندسی داریم 
:\text{E}[X]=\sum_{k=0}^\infty k(1-p)^{k-1}p

حال اگر فرض کنیم 
:F(p)=\sum_{k=0}^\infty (1-p)^{k}=\frac{1}{1-(1-p)}=\frac{1}{p}

داریم 
:\frac{dF(p)}{dp}=-\sum_{k=0}^\infty k(1-p)^{k-1}=-\frac{1}{p^{2}}

در نتیجه 
:\text{E}[X]=p\frac{1}{p^{2}}=\frac{1}{p}

## واریانس متغیر تصادفی هندسی
**قضیه:** واریانس متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p برابر است با

\text{var}[X]=\frac{1-p}{p^{2}}

### اثبات
فرض می کنیم پیشامد A= \{X=1\} و پیشامد B= \{X>1\} 
با توجه به اینکه A و B افرازهای فضای نمونه ی ما هستند، داریم 
:\text{E}[X^2]=\text{E}[X^2|A] \text{P}(A) + \text{E}[X^2|B] \text{P}(B)

می‌دانیم 

 \text{E}[X^{2}|A]=\text{E}[X^{2}|X=1]=1

و 

:\text{E}[X^{2}|B]=\text{E}[X^{2}|X>1]=\text{E}[(X+1)^{2}]=\text{E}[X^{2}+2X+1]=\text{E}[X^{2}]+\frac{2}{p}+1

بنابراین

\text{E}[X^{2}]=1\times p + \left( \text{E}[X^{2}]+\frac{2}{p}+1 \right)(1-p)

\text{E}[X^{2}]=\frac{2-p}{p^{2}}

در نهایت از آنجا که   \text{var}[X]=\text{E}[X^{2}]-(\text{E}[X])^{2}   داریم

\text{var}[X]=\frac{2-p}{p^{2}}-\frac{1}{p^{2}}=\frac{1-p}{p^{2}}

## متغیر تصادفی هندسی بدون حافظه است !
فرض کنیم می دانیم تعداد دفعاتی که سکه‌ای را اندخته ایم از n بیشتر است، احتمال اینکه سکه را بیش از n+m دفعه بی اندازیم تا شیر بیاید چقدر است ؟

P(X>n+m|X>n)=\frac{P((X>n+m) \cap (X>n))}{P(X>n)}=\frac{P(X>n+m)}{P(X>n)}=\frac{(1-p)^{n+m}}{(1-p)^{n}}=(1-p)^{m}

پس تنها m بار پرتاب بعدی اهمیت دارد و n بار پرتاب اولیه بی‌ارزش می‌شود.

همچنین می‌توان ثابت کرد اگر یک متغیر تصادفی گسسته بی حافظه باشد، هندسی است. (عکس قضیه)

## امید ریاضی متغیر تصادفی هندسی
امید ریاضی متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p برابر است با:

E[X]=\frac{1}{p}

### اثبات
می‌دانیم:

P_X(k)=(1-p)^{k-1}p

و:

E[X]=\sum_{x}xP_X(x)

پس با ترکیب دو رابطهٔ بالا برای متغیر تصادفی هندسی داریم:

E[X]=\sum_{k=0}^\infty k(1-p)^{k-1}p

حال اگر فرض کنیم:

F(p)=\sum_{k=0}^\infty (1-p)^{k-1}=\frac{1}{1-(1-p)}=\frac{1}{p}

داریم:

\frac{dF(p)}{dp}=-\sum_{k=0}^\infty k(1-p)^{k-1}=-\frac{1}{p^{2}}

در نتیجه:

E[X]=p\frac{1}{p^{2}}=\frac{1}{p}

## واریانس متغیر تصادفی هندسی
واریانس متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p برابر است با:

Var[X]=\frac{1-p}{p^{2}}

### اثبات
فرض می‌کنیم پیشامد A= \{X=1\} و پیشامد B= \{X>1\} :

با توجه به اینکه A و B افرازهای فضای نمونه ی ما هستند، داریم:

E[X]=E[X|A]P(A)+E[X|B]P(B)

E[X^{2}]=E[X^{2}|A]P(A)+E[X^{2}|B]P(B)

در نتیجه:

E[X^{2}|A]=E[X^{2}|X=1]=1

و:

E[X^{2}|B]=E[X^{2}|X>1]=E[(X+1)^{2}]=E[X^{2}+2X+1]=E[X^{2}]+\frac{2}{p}+1

پس:

E[X^{2}]=1*p+(E[X^{2}+\frac{2}{p}+1)(1-p)

E[X^{2}]=\frac{2-p}{p^{2}}

در نهایت از آنجا که می‌دانیم Var[X]=E[X^{2}]-(E[X])^{2} :

Var[X]=\frac{2-p}{p^{2}}-\frac{1}{p^{2}}=\frac{1-p}{p^{2}}

## منابع

* Wikipedia contributors, "Geometric distribution," Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometric_distribution&oldid=340890918 (accessed January 30, 2010).
* Introduction to probabilities models by Sheldon M.Ross 
*A First Course In Probability 8Edition-Sheldon Ross 
*Athanasios Papoulis-probability and statistics

رده:توزیع‌های خانواده نمایی
هندسی