مدل بردارهای خودبرگشتی

**بردارهای خود برگشتی** یکی از مدل‌های اقتصادسنجی است که برای کنترل کردن همبستگی‌های بینابینی در میان چند سری زمانی استفاده می‌شود و در واقع تعمیمی از مدل‌های خودرگرسیونی است. تمامی متغیرها در مدل برداهای خود برگشتی به صورت نظام مند توسط متغیرهای دوران گذشته خود و دیگر عناصر مدل در یک معادله تعریف می‌شوند. بر این اساس Christopher Sims، از مدل بردارهای خودبرگشتی به عنوان روشی فارغ از تئوری دفاع می‌کنند . .

## تعریف
یک مدل بردارهای خودبرگشتی به دنبال توضیح رویهٔ تکاملی یک مجموعه k متغیره (که به آن‌ها متغیرهای درون زا گفته می‌شود) در دورهٔ آماری یکسان و با استفاده از تابع خطی تنها از مقادیر قبلی شان می‌باشد. متغیرها در یک بردار *k*&nbsp;×&nbsp;۱ بعدی به نام *y<sub>t</sub>* جمع می‌شوند که عنصر ith آن *y<sub>i،t</sub>* است، عنصر مشاهده شده در دورهٔ t از متغیر *y<sub>i</sub>*. 
یک مدل کاهشی از مرتبهٔ p بردارهای خودبرگشتی که با VAR(p) نمایش داده می‌شود به شکل زیر است،
  :y_t = c + A_1 y_{t-1} + A_2 y_{t-2} + \cdots + A_p y_{t-p} + e_t,

جاییکه c یک بردار &nbsp;×&nbsp;۱ از مقادیر ثابت، *A<sub>i</sub>* یک ماتریس *k*&nbsp;×&nbsp;*k*، و e*<sub>t</sub>* یک بردار &nbsp;×&nbsp;۱ از عناصر خطا می‌باشد که در خصوصیات زیر صدق می‌کنند، 
# \mathrm{E}(e_{t}) = 0\,
# \mathrm{E}(e_{t}e_{t}') = \Omega\,
# \mathrm{E}(e_{t}e_{t-k}') = 0\,

مشاهدهٔ l دوره قبل *y**t*−l l امین تاخیر y می‌شود. در نتیجه به مدل بردارهای خودبرگشتی مرتبهٔ p مدل بردارهای خودبرگشتی با p تاخیر نیز گفته می‌شود. 

## مرتبهٔ تجمیع متغیرها
باید دقت کرد که تمامی متیرها باید مرتبهٔ تجمیع یکسانی داشته باشند. در این صورت ما موارد پایین را خواهیم داشت:
* همهٔ متغیرها I(0) هستند(یعنی مانا هستند).
* همهٔ متغیرها I(d) هستند (نامانا) با d>0.
** متغیرها هم تجمیعی هستند.: عنصر تصحیح خطا باید در مدل وارد شود. مدل تبدیل به مدل تصحیح خطای برداری می‌شود (VECM) که در واقع نوعی مدل بردارهای خودبرگشتی مقید است. 
** متغیرها هم تجمیعی نیستند: ابتدا لازم است تا از متغیرها d مرحله تفاضل گیری شود تا به مدل بردارهای خودبرگشتی تفاضلی برسیم.

## نمایش ماتریسی
مدل بردارهای خودبرگشتی از مرتبهٔ p را می‌توان به‌طور خلاصه با ماتریس‌ها به شکل زیر نمایش داد:
: Y=BZ +U \, 

## مثال
یک مدل بردارهای خودبرگشتی از مرتبهٔ ۱ را می‌توان به فرم ماتریسی زیر نوشت: 
:\begin{bmatrix}y_{1,t} \\ y_{2,t}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c_{1} \\ c_{2}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}A_{1,1}&A_{1,2} \\ A_{2,1}&A_{2,2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_{1,t-1} \\ y_{2,t-1}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}e_{1,t} \\ e_{2,t}\end{bmatrix},
و یا معادلا به صورت دستگاه دو معادلهٔ زیر:
:y_{1,t} = c_{1} + A_{1,1}y_{1,t-1} + A_{1,2}y_{2,t-1} + e_{1,t}\,
:y_{2,t} = c_{2} + A_{2,1}y_{1,t-1} + A_{2,2}y_{2,t-1} + e_{2,t}.\,
باید دقت کرد که برای هر متغیر مدل یک معادله وجود دارد. همچنین سطح یک متغیر در دورهٔ t به تاخیرهای خود و دیگر متغیرهای مدل مرتبط است.

## نوشتن <math>VAR(p)</math> به فرم <math>VAR(1)</math>
یک مدل داده‌های خودبرگشتی از مرتبهٔ p همیشه می‌تواند با دوباره جایگذاری متغیر وابسته به مرتبهٔ ۱ تبدیل شود. 
برای مثال، مدل VAR(2) 
:y_{t}=c + A_{1}y_{t-1} + A_{2}y_{t-2} + e_{t}
را می‌توان به فرم زیر از VAR(1) نوشت.
::\begin{bmatrix}y_{t} \\ y_{t-1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c \\ 0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}A_{1}&A_{2} \\ I&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_{t-1} \\ y_{t-2}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}e_{t} \\ 0\end{bmatrix},
جایی که I ماتریس واحد است.
مدلVAR(1) بدست آمده برای تحلیل راحت‌تر است.

## منابع و مراجع

* Walter Enders, *Applied Econometric Time Series*, 2nd Edition, John Wiley & Sons 2003, ISBN 0-471-23065-0 
* James D. Hamilton. *Time Series Analysis*. Princeton University Press. 1995.
* Helmut Lütkepohl. *New Introduction to Multiple Time Series Analysis*. Springer. 2005.
* Zellner (1962) An Efficient Method of Estimating Seemingly Unrelated Regressions and Tests for Aggregation Bias.  *Journal of the American Statistical Association*, Vol. 57, No. 298 (Jun., 1962), pp.&nbsp;348–368.
* Hacker, R. S. and Hatemi-J, A. (2008). "Optimal lag-length choice in stable and unstable VAR models under situations of homoscedasticity and ARCH," Journal of Applied Statistics, vol. 35(6), pages 601-615.
* Hatemi-J A. (2004). "Multivariate tests for autocorrelation in the stable and unstable VAR models," Economic Modelling, Vol. 21(4), Pages 661-683. 
* Hatemi-J A. & R. S. Hacker, (2009). "Can the LR test be helpful in choosing the optimal lag order in the VAR model when information criteria suggest different lag orders?," Applied Economics, vol. 41(9), pages 1121-1125.

رده:اقتصاد
رده:اقتصادسنجی