سری (ریاضیات)

[بندانگشتی|[سری هارمونیک|سری همسازمقدار یک سری را می‌توان به این صورت تصوّر کرد:

جمع مساحت مستطیل‌های به طول یک و عرض a_n]]
در ریاضیات، یک **سریِ** متناظر با یک دنباله مانند \{ a_n \}، از مجموع جزئی تمامی اعضای دنبالهٔ \{ a_n \} به دست می‌آید.

سری‌ها به دو صورت a_1 + a_2 + \cdots یا \sum a_n نمایش داده می‌شوند.

بررسی سری‌ها بخش بزرگی از حسابان را تشکیل می‌دهد. به علاوه، سری‌ها در رشته‌های بسیاری از ریاضیات از جمله ترکیبیات استفاده می‌شوند. سری‌ها کاربرد بسیاری در رشته‌هایی چون علوم رایانه، فیزیک و مالی دارند.

## تعریف
برای دنباله‌های متناهی با طول n، این مقدار برابر \sum_{k=1}^n a_k تعریف می‌شود.

برای دنباله‌های نامتناهی، این مقدار به کمک حد مجموع جزئی تعریف می‌شود:

a_1 + a_2 + \ldots = \sum_{k=1}^\infty a_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n a_k

اگر چنین حدی وجود داشته باشد، سری، **همگرا** نامیده می‌شود و در غیر این صورت **واگرا**.

## سری‌های خاص

### سری حسابی

سری‌های حسابی مجموع جزئی یک تصاعد حسابی است و به صورت زیر نوشته می‌شود:

:\sum_{n=0}^k (an+b);

### سری هندسی

سری‌های هندسی مجموع اعضای یک تصاعد هندسی است و به صورت زیر نوشته می‌شود:

:\sum_{k=0}^\infty ar^{k}=a+ar+ar^2+ar^3+...+ar^k+...
(a \neq 0)

قضیه: یک سری هندسی همگرا ست اگر و تنها اگر |r|.

### سری همساز

بندانگشتی|201x201پیکسل
سری هارمونیک یا همساز به صورت زیر نوشته می‌شود:

{1 \over 1} + {1 \over 2} + {1 \over 3} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty {1 \over n}

این سری از مثال‌های معروفی ست که دنبالهٔ آن همگرا ست ولی سری واگرا ست.

#### ''p''-سری‌ها

این سری‌ها تعمیمی از سری همساز هستند: \sum_{n=1}^\infty {1 \over n^p}

این سری‌ها تنها در صورتی همگرا هستند که p>1 باشد.

این سری‌ها، به عنوان تابعی از p  به «تابع زتای ریمان» معروف اند و به صورت \zeta (p) = \sum_{n=1}^\infty {1 \over n^p} نمایش داده می‌شوند.

### سری گرندی
سری 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots یک سری واگرا ست که دنبالهٔ آن نیز واگرا ست.

#### روش‌های غلط برای محاسبهٔ مقدار سری
* 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots = (1 - 1) + (1 - 1) + \cdots = 0 + 0 + \cdots = 0
* 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots = 1 + (-1 + 1) + (- 1 + 1) + \cdots = 1 + 0 + 0 + \cdots = 1
* s = 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots \Rightarrow s = 1 - s \Rightarrow 2s = 1 \Rightarrow s = {1 \over 2}

اشتباهی که در این محاسبات وجود دارد این است که فرض شده مقدار سری **وجود دارد** که فرض نادرستی ست. این مقدار وجود ندارد و سری واگرا ست.

### نصف مسیر باقی‌مانده

بندانگشتی|225x225پیکسل|یک اثبات تصویری برای به دست آوردن مقدار <math>{1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + \cdots</math>
این مسأله از پارادوکس‌های زنون بوده و به شرح زیر است:

هیچ دونده‌ای نمی‌تواند به انتهای مسیر خود برسد زیرا قبل از رسیدن به انتهای مسیر، باید نصف مسیر باقی‌مانده را طی کند.

اگر طول مسیر را واحد در نظر بگیریم، این مسأله معادل این است که هر چه قدر شروع به جمع کردن سری {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + \cdots + {1 \over 2^n} + \cdots کنیم، به **مقدار دقیق** ۱ نمی‌رسیم.

به عبارت دیگر در دنبالهٔ مجموع جزئی s_n = {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + \cdots + {1 \over 2^n} = 1 - {1 \over 2^n} هیچ عضو آن برابر ۱ نیست.

این ادّعا غلط است زیرا مقدار سری برابر **[[حد (ریاضی)|حد]]** مجموع جزئی ست.

### سری با جملات مثبت یا جملات منفی
اگر \{ a_n \} همواره مثبت یا همواره منفی باشد:
* دنبالهٔ مجموع جزئیِ متناظر آن یکنوا خواهد بود.
* سری \sum a_n همگرا (و همچنین مطلقاً همگرا) ست **اگر و تنها اگر** دنبالهٔ مجموع جزئیِ a_n کران‌دار باشد.

### سری تلسکوپی
اگر a_n = b_n - b_{n+1}، در آن صورت سری \sum_{k=1}^\infty a_k را «تلسکوپی» می‌نامیم.

قضیه: سری تلسکوپی تنها در صورتی همگرا ست که \{ b_n \} همگرا باشد و در آن صورت: \sum_{k=1}^\infty a_k = b_1 - B

### سری متناوب
برای دنبالهٔ \{ a_n \}، سری متناوب آن به صورت a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \ldots = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{n-1} a_n است.

#### آزمون همگرایی (قضیهٔ لایبنیتز)
اگر \{ a_n \} دنبالهٔ مثبت و نزولی با حد صفر باشد، سری متناوب آن همگرا ست.

## ویژگی‌ها و قضایای مرتبط
* قضیه: اگر \sum_{k=1} ^ \infty a_n همگرا باشد، \sum_{k=c} ^ \infty a_n نیز (به ازای هر c طبیعی) همگرا ست و بالعکس. بنا بر این، برای تعیین همگرایی سری، تفاوتی بین \sum_{k=1} ^ \infty a_n و \sum a_n وجود ندارد.
* قضیه: \sum_{k=1}^\infty (\alpha a_n + \beta b_n) = \alpha \sum_{k=1}^\infty a_n + \beta \sum_{k=1}^\infty b_n
* قضیه: اگر \sum a_n همگرا باشد و \sum b_n واگرا باشد \sum (a_n + b_n) واگرا ست.

### مطلقاً همگرا
* سری \sum a_n را «مطلقاً همگرا» می‌نامیم اگر \sum |a_n| همگرا باشد.
* هر سری مطلقاً همگرا، همگرا نیز هست.
* هر سری واگرا، مطلقاً واگرا نیز هست.

## آزمون‌های همگرایی

### [[آزمون واگرایی|آزمون جملهٔ nـُم]]
اگر سری \sum a_n همگرا باشد، باید \lim_{n \to \infty} a_n = 0 باشد.

اگر \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 یا \lim_{n \to \infty} a_n وجود نداشته باشد، سری \sum a_n باید واگرا باشد.

### آزمون‌های سری مثبت یا منفی
این آزمون‌ها تنها در صورتی کاربرد دارند که جملات دنباله‌ها همواره مثبت یا همواره منفی باشند

#### آزمون‌های مقایسه‌ای

##### آزمون مقایسه‌ای مستقیم
* اگر a_n \leq b_n، سری‌های \sum a_n و \sum b_n یا هر دو مطلقاً همگرا هستند و یا هر دو واگرا.
* تعمیم: اگر |a_n| \leq c |b_n|، سری‌های \sum a_n و \sum b_n یا هر دو مطلقاً همگرا هستند و یا هر دو واگرا.

##### آزمون مقایسه‌ای حدّی
* اگر \lim_{n \to \infty} {a_n \over b_n} = 1، سری‌های \sum a_n و \sum b_n یا هر دو مطلقاً همگرا هستند و یا هر دو واگرا.
* تعمیم: اگر \lim_{n \to \infty} {a_n \over b_n} = c \neq 0، سری‌های \sum a_n و \sum b_n یا هر دو مطلقاً همگرا هستند و یا هر دو واگرا.
* اگر \sum b_n همگرا باشد و \lim_{n \to \infty} {a_n \over b_n} =  0، سری \sum a_n نیز همگرا ست.
* اگر \sum a_n واگرا باشد و \lim_{n \to \infty} {a_n \over b_n} =  0، سری \sum b_n نیز واگرا ست.

##### آزمون مقایسه‌ای اُردر
دو آزمون بالا معادل یکدیگر هستند و به مفهوم دیگری مرتبط اند: نماد O بزرگ و تحلیل مجانبی.

تعریف: اگر \lim_{n \to \infty} {a_n \over b_n} = c \neq 0، می‌نویسیم a_n \sim b_n (یا a_n \in \Theta (b_n)) و می‌خوانیم \{ a_n \} و \{ b_n \} «به صورت مجانبی برابر» اند.

تعریف: اگر \lim_{n \to \infty} {a_n \over b_n} = c، می‌نویسیم a_n \in \mathcal O(b_n) و می‌خوانیم \{ b_n \} دنبالهٔ \{ a_n \} را «به صورت مجانبی محدود» می‌کند (یا \{ a_n \} از اردر \{ b_n \} است).

طبق تعریف، اگر دو دنباله یکدیگر را به صورت مجانبی محدود کنند، آن دو به صورت مجانبی با یکدیگر برابر اند.
* اگر a_n \sim b_n، سری‌های \sum a_n و \sum b_n یا هر دو مطلقاً همگرا هستند و یا هر دو واگرا.
* اگر \sum b_n همگرا باشد و a_n \in \mathcal O(b_n) باشد، سری \sum a_n نیز همگرا ست.
* اگر \sum a_n واگرا باشد و a_n \in \mathcal O(b_n) باشد، سری \sum b_n نیز واگرا ست.

#### آزمون انتگرال
اگر تابع f همواره مثبت باشد و \{ s_n \} = \sum_{x=1}^n f(x)  و \{ t_n \} = \int_1^n f(x) dx ، در این صورت دنباله‌های \{ t_n \} و \{ s_n \} یا هر دو همگرا هستند یا هر دو واگرا.

#### آزمون‌های کوشی

##### آزمون ریشه
* اگر \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}  سری \sum a_n همگرا ست.
* اگر \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} > 1 سری \sum a_n واگرا ست.

##### آزمون نسبت
* اگر \lim_{n \to \infty} {a_{n+1} \over a_n}  سری \sum a_n همگرا ست.
* اگر \lim_{n \to \infty} {a_{n+1} \over a_n} > 1 سری \sum a_n واگرا ست.

## تغییر آرایش
کوشی کشف کرد که ممکن است با تغییر آرایش یک سری، مقدار آن تغییر کند. به عنوان مثال سری

{1 \over 1} - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - {1 \over 6} + \cdots = \ln(2)

امّا اگر آرایش این سری را به طوری تغییر دهیم که پس از هر دو مثبت، یک منفی ظاهر شود، به مقدار دیگری می‌رسیم:

{1 \over 1} + {1 \over 3} - {1 \over 2} + {1 \over 5} + {1 \over 7} - {1 \over 4} + \cdots = {3 \over 2} \ln(2)

دقّت کنید که در هر دو سری، هر تقسیم فرد به صورت مثبت و یک بار و هر تقسیم زوج نیز به صورت منفی و یک بار ظاهر می‌شود؛ پس سری دوم به درستی آرایشی از سری اوّل است.

### سری مطلقاً همگرا
قضیه: هر گونه آرایشی از یک سری مطلقاً همگرا مقدار یکسانی دارد.

همچنین ریمان اثبات کرد که برای هر سری همگرا که مطلقاً همگرا نباشد می‌توان آرایشی معرّفی کرد که در آن مقدار سری تغییر کند.

## سری‌های توانی

هر سری به صورت \sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n  را یک سری توانی به مرکز c می‌نامیم. در نتیجه هر سری به صورت \sum_{n=0}^\infty a_n x^n  را یک سری توانی به مرکز ۰.

سری تیلور یک نوع سری توانی ست.

## جستارهای وابسته
* سری گریگوری
* سری تیلور
* سری همگرا
* سری واگرا

## منابع
* ریاضی ۱ سیاوش شهشهانی

رده:حسابان
رده:دنباله‌ها و سری‌ها
رده:سری‌های ریاضی