تابع وارون هذلولوی

بندانگشتی|200px|تابع ''artanh''.
وارون تابع‌های هذلولوی را **تابع وارون هذلولوی** یا **تابع وارون هیپربولیک** می‌گویند. که برابر انگلیسی آن **area hyperbolic functions** به معنی *تابع سطح هذلولوی* است. همان گونه که تابع‌های وارون مثلثاتی طول خم بر روی یک دایرهٔ یکه (دایره‌ای به شعاع ۱) *x*۲ + *y*۲ = ۱ را بدست می‌آورند، *توابع وارون هذلولوی* نیز، سطح ناحیهٔ محدود به یک قطاع هذلولی یکه یا *x*۲ - *y*۲ = ۱ را بدست می‌آورند به همین دلیل نام دیگر این تابع‌ها «تابع سطح هذلولوی» است.

برای نشان دادن این نوع تابع‌ها به طور خلاصه از نام‌هایی مانند arcsinh و arccosh استفاده می‌کنند در حالی که این نام‌ها کاملاً بی‌ربطند و نادرست استفاده می‌شوند؛ چون عبارت *arc* خلاصه شدهٔ نام *arcus* است در حالی که خلاصه شدهٔ واژهٔ *area* به معنی سطح، *ar* می‌باشد.. در علوم رایانه برای کوتاه کردن نام تابع‌های وارون هذلولی آن‌ها را با نام‌هایی مانند *asinh* نمایش می‌دهند. همچنین از مفهوم‌هایی مانند \operatorname{sinh}^(x) و \operatorname{cosh}^(x) نیز استفاده می‌شود، البته باید توجه داشت که ۱- به معنی وارون تابع است و نه توان آن. در نتیجه دو نمایش \operatorname{cosh}^(x) و \operatorname{cosh}(x)^ دو مفهوم کاملاً متفاوت را می‌رسانند.

مقدار وارون تابع‌های هذلولوی را زاویه‌های هذلولوی یا زاویه‌های هیپربولیک می‌نامند.

## بیان لگاریتمی
بیان لگاریتمی این نوع تابع‌ها در صفحهٔ مختلط عبارت است از:

:
  \begin{align}
    \operatorname{arsinh}\, z &= \ln(z + \sqrt{z^2 + 1} \,),
    \\[2.5ex]
    \operatorname{arcosh}\, z &= \ln(z + \sqrt{z+1} \sqrt{z-1} \,),
    \\[1.5ex]
    \operatorname{artanh}\, z &= \tfrac12\ln\frac{1+z}{1-z},
    \\
    \operatorname{arcoth}\, z &= \tfrac12\ln\frac{z+1}{z-1}.
    \\
    \operatorname{arcsch}\, z &= \ln\left( \frac{1}{z} + \sqrt{ \frac{1}{z^2} +1 } \,\right),
    \\
    \operatorname{arsech}\, z &= \ln\left( \frac{1}{z} + \sqrt{ \frac{1}{z} + 1 } \, \sqrt{ \frac{1}{z} -1 } \,\right).
  \end{align}


رادیکال‌ها در بالا نشانهٔ ریشهٔ دوم اند و تابع لگاریتم، لگاریتم مختلط است. در بازهٔ اعداد حقیقی مانند z = x که مقدارهای حقیقی باز می‌گرداند، می‌توان از برخی ساده‌سازی‌ها مانند \sqrt{x+1}\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2-1} استفاده کرد که البته استفاده از این ساده‌سازی در حالت کلی درست نیست.

## گسترش سری‌ها
برخی سری‌های گسترش یافته را می‌توان برابر با تابع‌های زیر دانست:

:\begin{align}\operatorname{arsinh}\, x & = x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} +\cdots \\
                       & = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| 

:\begin{align}\operatorname{arcosh}\, x & = \ln 2x - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots \right) \\
                      & = \ln 2x - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {(2n)} , \qquad x> 1 \end{align} 

:\begin{align}\operatorname{artanh}\, x & = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots \\
                      & = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| 

:\begin{align}\operatorname{arcsch}\, x = \operatorname{arsinh} \frac1x & = x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} +\cdots \\
                      & = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right|> 1 \end{align} 

:\begin{align}\operatorname{arsech}\, x = \operatorname{arcosh} \frac1x & = \ln \frac{2}{x} - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots \right) \\
                      & = \ln \frac{2}{x} - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {2n} , \qquad 0 

:\begin{align}\operatorname{arcoth}\, x = \operatorname{artanh} \frac1x & = x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots \\
                      & = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right|> 1 \end{align} 

گسترش سری نامتناهی arsinh *x* که در بی‌نهایت همگرا می‌شود، عبارت است از:

:\operatorname{arsinh}\, x = \ln 2x + \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\left( { - 1} \right)^{n - 1} \frac} \frac{1}}

## مشتق‌ها

:
\begin{align}
\frac{d}{dx} \operatorname{arsinh}\, x & {}= \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcosh}\, x & {}= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{artanh}\, x & {}= \frac{1}{1-x^2}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcoth}\, x & {}= \frac{1}{1-x^2}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arsech}\, x & {}= \frac{-1}{x(x+1)\,\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcsch}\, x & {}= \frac{-1}{x^2\,\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}\\
\end{align}

برای *x*های حقیقی نیز داریم:

:
\begin{align}
\frac{d}{dx} \operatorname{arsech}\, x & {}= \frac{\mp 1}{x\,\sqrt{1-x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcsch}\, x & {}= \frac{\mp 1}{x\,\sqrt{1+x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0
\end{align}

برای نمونه: فرض کنید θ = arsinh *x* باشد، آنگاه مشتق آن عبارت است از:

:\frac{d\,\operatorname{arsinh}\, x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sinh \theta} = \frac{1} {\cosh \theta} = \frac{1} {\sqrt{1+\sinh^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}

## ترکیب تابع‌های هذلولوی و وارون هذلولوی
ترکیب تابع‌های هذلولوی و وارون هذلولوی یا هیپربولیک و وارون هیپربولیک، به ترتیب زیر خواهد بود:

:\begin{align}
 &\operatorname{sinh}(\operatorname{arcosh}\,x) = \sqrt{x^{2} - 1}  \quad \text{for} \quad |x|> 1 \\
 &\operatorname{\sinh}(\operatorname{artanh}\,x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \quad \text{for} \quad -1  1
\end{align}

## چند رابطهٔ دیگر
دیگر رابطه‌های مفید مربوط به این بحث عبارتند از:

:\operatorname{arsinh} \;u \pm \operatorname{arsinh} \;v = \operatorname{arsinh} \left(u \sqrt{1 + v^2} \pm v \sqrt{1 + u^2}\right)

:\operatorname{arcosh} \;u \pm \operatorname{arcosh} \;v = \operatorname{arcosh} \left(u v \pm \sqrt{(u^2 - 1) (v^2 - 1)}\right)

:\operatorname{artanh} \;u \pm \operatorname{artanh} \;v = \operatorname{artanh} \left( \frac{u \pm v}{1 \pm uv} \right)

:\begin{align}\operatorname{arsinh} \;u + \operatorname{arcosh} \;v & = \operatorname{arsinh} \left(u v + \sqrt{(1 + u^2) (v^2 - 1)}\right) \\
                                                                          & = \operatorname{arcosh} \left(v \sqrt{1 + u^2} + u \sqrt{v^2 - 1}\right) \end{align}

## جستارهای وابسته
*فهرست انتگرال تابع‌های وارون هذلولوی

## یادداشت و منبع

## پیوند به بیرون
*   تابع‌های وارون هذلولوی در دانشنامهٔ MathWorld
* تابع‌های وارون هذلولوی در بخش ریاضی یکی از کالج‌های لندن.

رده:تابع وارون هذلولوی
رده:توابع ریاضی