تبدیل فوریه

بندانگشتی|300x300پیکسل|تجسم رابطه بین دامنه زمان و دامنه فرکانس یک تابع، بر اساس تبدیل فوریه آن. تبدیل فوریه، یک تابع ورودی f (با رنگ قرمز) را در «دامنه زمانی» می‌گیرد و آن را به یک تابع جدید f-hat (به رنگ آبی) در «دامنه فرکانس» تبدیل می‌کند. به عبارت دیگر، می‌توان تابع اصلی را «دامنه زمانی داده شده» تصور کرد و تبدیل فوریه، تابع «فرکانس داده شده دامنه» است. در این انیمیشن، یک تقریب ساده ۶ جزئی از موج مربع به ۶ موج سینوسی تجزیه می‌شود. این مولفه‌های فرکانسی به شکل قله‌های بسیار واضح در دامنه فرکانس تابع نشان داده می‌شوند، که به شکل نمودار آبی نشان داده شده‌است.این رابطه به صورت انتگرالی یک نوع الگویی است که موج آن نزولی متناهی است. در تصوی فوق رابطه آن اینگونه است که به صورت انتگرال بر اساس رابطه مثلثاتی نوشته گردد<math> \int_a^b{f(x)=a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)dx}
</math><math> {\lim_{x,n \to\displaystyle \infty }=+}
</math> پس رابطه انتگرالی به صورت مثبت تعیین میشود.
در ریاضیات، **تبدیل فوریه**  یا (**FT**) یک تبدیل ریاضیاتی است که توابعی را که بر حسب زمان یا فضا هستند، به توابعی بر حسب فرکانس زمانی یا فضایی تجزیه می‌کند، مانند بیان یک آکورد موسیقی بر حسب حجم‌ها و فرکانس‌های نت‌های تشکیل دهنده آن. اصطلاح *تبدیل فوریه* هم به نمایش دامنه فرکانس و هم به ''عملیات ریاضی'' مربوط به آن که نمایش دامنه فرکانس را به تابعی از مکان یا زمان مرتبط می‌کند گفته می‌شود.

تبدیل فوریه یک تابع از زمان، یک تابع مقدار مختلط از فرکانس است، که اندازه آن (قدر مطلق)، فرکانس موجود در تابع اصلی را نشان می‌دهد، و آرگومان آن اختلاف فاز سینوسی پایه در آن فرکانس است. تبدیل فوریه فقط محدود به توابع زمان نیست، اما به دامنه عملکرد اصلی، معمولاً *[[دامنه زمان]]* گفته می‌شود. *معکوس تبدیل فوریه* نیز وجود دارد که به صورت ریاضی تابع اصلی را از نمایش دامنه فرکانسی آن تولید می‌کند، که توسط *[[قضیه عکس فوریه]]* اثبات شده‌است.

عملیات‌های خطی انجام شده در یک دامنه (زمان یا فرکانس) در دامنه‌های دیگر دارای عملیات‌های متناظر هستند، که گاهی انجام آنها آسان‌تر است. عملیات مشتق‌گیری در دامنه زمان معادل با ضرب در فرکانس است، در نتیجه تجزیه و تحلیل برخی معادلات دیفرانسیلی در دامنه فرکانس راحت تر است. همچنین، کانولوشن در دامنه زمان معادل با ضرب معمولی در دامنه فرکانس است (به قضیه کانولوشن مراجعه کنید). پس از انجام عملیات مورد نظر، می‌توان نتیجه را به حوزه زمان برگرداند. آنالیز هارمونیک یک مطالعه سیستماتیک از رابطه بین دامنه‌های فرکانس و زمان است، از جمله انواع توابع یا عملیاتی که در یکی یا دیگری «ساده‌تر» هستند و با بسیاری از زمینه‌های ریاضیات مدرن ارتباط عمیقی دارد.

## تعریف
**تبدیل فوریه**، نامیده شده به اسم ریاضیدانِ فرانسوی ژوزف فوریه، یک تبدیل انتگرالی است که هر تابع f(t) \!  را به یک تابع دیگر F(\omega) \!  منعکس می‌کند. در این صورت، به F(\omega) \!  *تبدیل فوریهٔ* تابع f(t) \!  می‌گویند. حالت خاص تبدیل فوریه، سری فوریه نام دارد و آن زمانی کاربرد دارد که تابع f(t) \! متناوب باشد، یعنی:  f(t+T)=f(t) \! . چنانچه تابع متناوب نباشد یا به عبارتی، تناوب آن برابر بی‌نهایت باشد ( T \to \infty \!)، از سری فوریه عبارت زیر به دست می‌آید:


F(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(t) e^{-\mathrm{i} \omega t} \,dt



f(t)
= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{\mathrm{i} \omega t} \,d \omega


تبدیل فوریه و به همراه آن آنالیز فوریه، در مباحث مختلف فیزیک، از جمله الکترونیک و الکترومغناطیس (به خصوص در مخابرات)، آکوستیک، فیزیک امواج و غیره کاربرد فراوان دارد.

## کاربرد
[بندانگشتی|299x299پیکسل|انیمیشن تبدیل فوریه یک سیگنال منتقل شونده در زمان را نشان می‌دهد. [در قسمت بالا] سیگنال اصلی (نارنجی)، به‌طور مداوم با زمان جابجا می‌شود (آبی). [در قسمت پایین] نتیجه تبدیل فوریه نشان داده شده‌است. به سرعت بالای چرخش مولفه‌های فرکانس بالا در صفحه مختلط نسبت به مولفه‌های سرعت پایین توجه کنید.](https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%AF%D9%87:Fourier_transform_-_time_shifted_signal.gif)
تبدیلات فوریه در طیف وسیعی از مسائل حوزه‌های مهندسی و فناوری و همچنین در مخابرات و محاسبات تصویری کاربردهای وسیعی دارند. به‌طور مثال در ام‌آرآی در فیزیک پزشکی برای ایجاد تصویر نهایی اطلاعات امواج ساطع شده از هسته‌های هیدروژن از حوزهٔ فرکانسی (frequency domain) به حوزهٔ فضایی (spatial domain) تبدیل فوریه می‌شوند.


Image:Mona Lisa bw square.jpeg|تصویر تابلوی نقاشی مونالیزا اثر داوینچی
Image:Mona Lisa bw square fft.jpeg|همان تصویر به صورت دامنهٔ فرکانسی.


همچنین در علم دینامیک سازه‌ها و ارتعاشات مکانیکی برای تعیین پاسخ سازه در برابر تحریکات غیر هارمونیک از تبدیلات فوریه برای تبدیل این تحریکات به اجزای هارمونیک استفاده می‌شود. پس از آن می‌توان اقدام به حل معادله دیفرانسیل حرکت سازه نمود.

یکی دیگر از کاربردهای آن در تجزیه و تحلیل مدارات مخابراتی و مدارات قدرت است که برای بدست آوردن هارمونیک‌های پدیدآورنده یک شکل موج استفاده می‌شود.

## تبدیل سریع فوریه

تبدیل سریع فوریه (Fast Fourier transform - FFT) نام الگوریتمی‌ست برای انجام تبدیلات مستقیم و معکوس گسستهٔ فوریه به صورتی سریع و بسیار کارآمد. تعداد زیادی الگوریتم‌های تبدیل فوریه سریع مجزا وجود دارد که شامل محدوده عظیمی از ریاضیات می‌شوند: از محاسبات ساده به وسیله اعداد مختلط تا نظریه اعداد.

## جدول تبدیل‌های فوریه مهم
جداول زیر برخی از تبدیل‌های فوریه نوع بسته را نشان می‌دهد. برای توابع  ,  و  تبدیل فوریه آنها را به ترتیب با ،  و  نشان داده می‌شوند. فقط سه نمایش رایج در جدول گنجانده شده‌است. توجه داشته باشید که ورودی ۱۰۵ رابطه ای بین تبدیل فوریه یک تابع و تابع اصلی ایجاد می‌کند، که می‌تواند به عنوان رابطه تبدیل فوریه و عکس آن باشد.

### روابط تابعی، یک بعدی
تبدیل‌های فوریه زیر را می‌توان در  یا . یافت.

### توابع انتگرال‌گیری شونده مربعی، یک بعدی
تبدیل‌های فوریه زیر را می‌توان در Campbell & Foster (1948)، Erdélyi (1954)، یا Kammler (2000، قسمت ضمیمه) یافت.
 \,
| \frac{2 a}{a^2 + 4 \pi^2 \xi^2} 
| \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{a}{a^2 + \omega^2} 
| \frac{2a}{a^2 + \nu^{2}} 
|For . That is, the Fourier transform of a two-sided decaying exponential function is a Lorentzian function.
|-
|۲۰۹
| \operatorname{sech}(a x) \,
| \frac{\pi}{a} \operatorname{sech} \left( \frac{\pi^2}{ a} \xi \right)
| \frac{1}{a}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\operatorname{sech}\left( \frac{\pi}{2 a} \omega \right)
| \frac{\pi}{a}\operatorname{sech}\left( \frac{\pi}{2 a} \nu \right)
|Hyperbolic secant is its own Fourier transform
|-
|۲۱۰
| e^{-\frac{a^2 x^2}2} H_n(a x)\,
| \frac{\sqrt{2\pi}(-i)^n}{a} e^{-\frac{2\pi^2\xi^2}{a^2}} H_n\left(\frac{2\pi\xi}a\right)
| \frac{(-i)^n}{a} e^{-\frac{\omega^2}{2 a^2}} H_n\left(\frac \omega a\right)
| \frac{(-i)^n \sqrt{2\pi}}{a} e^{-\frac{\nu^2}{2 a^2}} H_n\left(\frac \nu a \right)
| is the th-order Hermite polynomial. If  then the Gauss–Hermite functions are eigenfunctions of the Fourier transform operator. For a derivation, see Hermite polynomial. The formula reduces to 206 for .
|}

### توزیع‌ها، یک بعدی

### توابع دو بعدی
 e^{-\frac{1}{4\pi}\left(\frac{\omega_x^2}{a^2} + \frac{\omega_y^2}{b^2}\right)}
| \frac{1} e^{-\frac{1}{4\pi}\left(\frac{\nu_x^2}{a^2} + \frac{\nu_y^2}{b^2}\right)}
|Both functions are Gaussians, which may not have unit volume.
|-
|۴۰۲
| \operatorname{circ}\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)
| \frac{J_1\left(2 \pi \sqrt{\xi_x^2+\xi_y^2}\right)}{\sqrt{\xi_x^2+\xi_y^2}}
| \frac{J_1\left(\sqrt{\omega_x^2+\omega_y^2}\right)}{\sqrt{\omega_x^2+\omega_y^2}}
| \frac{2\pi J_1\left(\sqrt{\nu_x^2+\nu_y^2}\right)}{\sqrt{\nu_x^2+\nu_y^2}}
|The function is defined by  for , and is 0 otherwise. The result is the amplitude distribution of the Airy disk, and is expressed using  (the order-1 Bessel function of the first kind).
|-
|۴۰۳
| \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}
| \frac{1}{\sqrt{\xi_x^2+\xi_y^2}}
| \frac{1}{\sqrt{\omega_x^2+\omega_y^2}}
| \frac{2\pi}{\sqrt{\nu_x^2+\nu_y^2}}
|This is the Hankel transform of , a 2-D Fourier "self-transform".
|-
|۴۰۴
| \frac{i}{x+i y}
| \frac{1}{\xi_x+i\xi_y}
| \frac{1}{\omega_x+i\omega_y}
| \frac{2\pi}{\nu_x+i\nu_y}
|
|}

### فرمول‌هایی برای توابع عمومی n بعدی

|\frac{c_n\alpha}{\left(\alpha^2+|\boldsymbol{\xi}|^2\right)^\frac{n+1}{2}}
|\frac{c_n (2\pi)^{\frac{n+2}{2}} \alpha}{\left(4\pi^2\alpha^2+|\boldsymbol{\omega}|^2\right)^\frac{n+1}{2}}
|\frac{c_n (2\pi)^{n+1} \alpha}{\left(4\pi^2\alpha^2+|\boldsymbol{\nu}|^2\right)^\frac{n+1}{2}}
|Herec_n=\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\pi^\frac{n+1}{2}}, 
|}

## جستارهای وابسته

*پردازش سیگنال پیوسته
*تبدیل فوریه گسسته
*تبدیل فوریه سریع
*سری فوریه
*تبدیل‌های سینوسی و کسینوسی
*تبدیل فوریه کسری
*تبدیل انتگرالی
*تبدیل هنکل
*تبدیل هارتلی
*تبدیل لاپلاس
*تبدیل ملین.
*تبدیل فوریه کوانتومی
*تبدیل فوریه زمان کوتاه
*چگالی طیفی
*تخمین طیفی
*تبدیل (تابع)

## یادداشت‌ها

## پانویس

## منابع

*.
*.

## پیوند به بیرون
* جدول تبدیل فوریه

رده:تبدیلات فوریه
رده:تبدیل‌های انتگرالی
رده:آنالیز فوریه
رده:ژوزف فوریه
رده:عمل‌گرهای یکانی
رده:مفاهیم فیزیکی
رده:ریاضی فیزیک