نیکویی برازش

**نیکویی برازش**  یا **خوش‌سازگاری** برای یک مدل آماری بیان کننده آن است که آن «مدل آماری» به چه اندازه با یک مجموعه از «مشاهدات» متناسب است. اندازه نیکویی برازش معمولاً تفاوت بین مقادیر مشاهده شده و مقادیر مورد انتظار در مدل بررسی شونده را خلاصه سازی می‌کند. از این اندازه می‌توان در آزمون فرض آماری استفاده کرد، مثلاً برای آزمون بهنجاری باقیمانده، یا برای آزمون آنکه بررسی شود که آیا دو نمونه از یک توزیع یکسان گرفته شده‌اند یا نه، (آزمون کولموگروف–اسمیرنف را ببینید)، یا اینکه آیا فرکانس‌های حاصل شده از توزیع تعیین شده پیروی می‌کنند (آزمون کای مربع پیرسون را ببینید). در تحلیل واریانس، یکی از مولفه‌هایی که واریانس به آن بخش‌بندی می‌شود، می‌تواند فقدان تناسب مجموع مربعات باشد.

پس از تخمین یک مدل خطی خاص، سؤالی که مطرح می‌شود این است که: خط وایازش تخمین زده شده چه میزان با مشاهدات واقعی تطابق دارد؟
یک معیار سنجش مناسب برای نیکویی برازش (یا برازندگی)، نسبت واریانس نمونه ای y است که بوسیلهٔ مدل توضیح داده می‌شود. این متغیر \R^2\, نامیده شده و به صورت زیر تعریف می‌شود:
رابطه (۱–۱)\R^2\,=\dfrac {\hat V (\hat y_i)}{\hat V(y_i)}=\dfrac {1/(N-1)\sum_{i=1}^N (\hat y_i-\bar y)^2}{1/(N-1)\sum_{i=1}^N(y_i-\bar y)^2},
که در این رابطه \hat y_i = x_i \ b   است و \bar y =(1/N) \sum  y_i  بیانگر میانگین نمونه ای y_i می‌باشد. توجه داشته باشید که \bar{y} مساوی میانگین نمونه ای \hat y_i\, است. از شرط مرتبه اول داریم:\sum_{i=1}^N e_i \ x_{ik}= 0,k=1,...,K  در نتیجه می‌توانیم y_i را به صورت زیر تعریف نماییم : y_i = \hat y_i\  + e_i, که در آن \sum e_i \hat y_i =0 است. در بسیاری از مدل‌های مشابه که شامل عرض از مبدأ هستند رابطه زیر برقرار است:
رابطه (2-1)\hat V(y_i)= \hat V(\hat y_i)+ \hat V(e_i) , که
\hat V(e_i)= s^2, است. با استفاده از این رابطه می‌توان R^2 را به صورت زیر بازنویسی کرد:
رابطه(۳–۱)\R^2\,=1-\dfrac {\hat V(e_i)}{\hat V(y_i)}=1-\dfrac {1/(N-1)\sum_{i=1}^N e_i^2}{1/(N-1)\sum_{i=1}^N (y_i-\bar y)^2}
فوق نشان می‌دهد که واریانس نمونه ای y_i را می‌توان به صورت حاصل جمع واریانس‌های نمونه ای دو جزء متعامد تجزیه نمود: تخمین زن \hat y_iو e_i)residual).
بنابراین \R^2\, بیان می‌کند که چه نسبتی از تغییرات نمونه در y_i توسط مدل توضیح داده می‌شود.
اگر مدل مورد مطالعه شامل عرض از مبدأ باشد دو عبارت فوق برای تعیین \R^2\, معادلند. علاوه بر این در این مورد می‌توان نشان داد که مقدار\R^2\, همواره بین صفر و یک قرار دارد. تن‌ها اگر تمام e_i=0 باشند\R^2\, مساوی یک خواهد بود و مقدار صفر \R^2\, نشان می‌دهد که مدل به جزمیانگین نمونه ای y_i هیچ چیز دیگری را توضیح نمی‌دهد.
در یک مورد استثنایی که مدل شامل عرض از مبدأ نیست دو عبارت مطرح شده برای \R^2\, معادل نیستند و این بدین دلیل است که رابطهٔ (۲–۱)نقض می‌شود زیرا \sum_{i=1}^N e_iدیگر معادل صفر نمی‌باشد.
در این وضعیت ممکن است مقدار \R^2\,  محاسبه شده از رابطه ی(۳–۱) منفی گردد. یک روش اندازه‌گیری جایگزین که به‌طور معمول به وسیلهٔ نرم‌افزارها مورد استفاده قرار می‌گیرد اگر عرض از مبدأ وجود نداشته باشد uncentred \R^2است که طبق رابطهٔ زیر تعریف می‌گردد و مقدار آن بزرگتر از \R^2, استاندارد است:
رابطه (۴–۱)
uncentred  \R^2 = \dfrac {\sum_{i=1}^N \hat y_i^2}{\sum_{i=1}^N \ y_i^2}= 1- \dfrac {\sum_{i=1}^N \ e_i^2}{\sum_{i=1}^N \ y_i^2} 
از آنجا که\R^2\, تغییرات توضیح داده شده درy_i را توضیح می‌دهد نسبت به تغییر این متغیر حساس است؛ بنابراین در مدلهایی که مصرف را توضیح می‌دهند، تغییرات در مصرف یا رشد مصرف الزاماً توسط مقادیر \R^2\, شان قابل مقایسه با هم نمی‌باشند. به عنوان مثال تغییر در مصرف کل برای یک کشور مورد نظر معمولاً آسان‌تر از توضیح تغییرات cross-sectional مصرف در سطح خانوار هاست. در نتیجه معیار قطعی برای اینکه یک مقدار \R^2\, کم یا زیاد تلقی شود وجود نداردمثلا مقدار ۰٫۲ ممکن است در کارکرد خاص بزرگ و در سایر موارد کم تلقی شود و حتی مقدار ۰٫۹۵ ممکن است در یک مورد خاص کم به‌شمار آید
گاهی اوقات \R^2\, به عنوان معیاری برای کیفیت مدل آماری تفسیر می‌شود که در این حالت چیزی به جز کیفیت تقریب خطی را اندازه‌گیری نمی‌نماید هنگامی که رویکردOLS برای بدست آوردن بهترین تقریب خطی توسعه داده شود، صرف نظر از درستی مدل و اعتبار فرضیاتش، تخمین مدل خطی به وسیلهٔ OLS بهترین \R^2\, ممکن را بدست می‌دهد. هر روش تخمین دیگر اگرچه دارای تخمین زن با مشخصات آماری بهتر تحت فرضیاتش باشد، منجر به \R^2\, کمتر ی خواهد شد. هنگامی که مدل توسط OLS تخمین زده نشود دو رابطهٔ (۱–۱) و (۲–۱)معادل نیستند و روشن نیست\R^2\, چگونه باید تعریف شود. برای استفاده‌های بعدی ما تعریف جایگزینی برای \R^2\, ارائه می‌نماییم که برای OLS معادل روابط(۱–۱) و (۲–۱)و برای هر تخمین زن دیگری بین صفر و یک خواهد بود.
رابطه(۵–۱)
\R^2= corr^2(y_i,\hat y_i)=\dfrac {(\sum (y_i-\bar y)(\hat y_i-\bar y))^2 }{(\sum(y_i-\bar y)^2)(\sum(\hat y_i -\bar y)^2)}
که بیانگر مجذور ضریب همبستگی بین مقدار واقعی و fitted value هاست. در نتیجه\R^2\, مهم‌ترین جنبه از نتایج تخمین ما به‌شمار نمی‌آید. مشکل دیگر \R^2\, این است که مقدار ان با افزایش تعداد متغیرهای توضیح دهنده کاهش نمی‌یابد. یک راه معمول برای حل این مشکل تصحیح واریانس تخمین زده شده برای درجات آزادی است. این امر adjusted \R^2\, یا
\bar {R^2}
را نتیجه می‌دهد که طبق رابطهٔ زیر تعریف می‌شود:
رابطه(۶–۱)
\bar {R^2}=1-\dfrac{1/(N-K)\sum_{i=1}^N e_i^2 }{1/(N-1)\sum_{i=1}^N (y_i-\bar y)^2}
این روش محاسبهٔ نیکویی برازش مقداری جریمه برای افزایش تعداد متغیرهای توضیح دهنده در مدل در نظر می‌گیرد و بنابراین هنگامی که متغیرهای توضیح دهنده به مدل اضافه می‌شوند افزایش نخواهند یافت. در حقیقت آن ممکن است با اضافه شدن یک متغیر به جمع متغیرهای توضیح دهنده کاهش یابد. توجه کنید که در بسیاری از موارد \bar {R^2} ممکن است مقداری منفی باشد و همچنین مقدار آن کوچکتر از \R^2\, خواهد بود مگر اینکه مدل تنها شامل جزء ثابت بوده و هر دو مقدار مساوی صفر گردند.

## پانویس

## منابع

۲۰۰۴(A GUIDE TO ECONOMETRICS(VERBEEK

رده:آزمون‌های آماری
رده:آمار
رده:انحراف و پراکندگی آماری
رده:دسته‌بندی داده
رده:نظریه آماری