ضرب داخلی

در هندسهٔ تحلیلی، **ضرب داخلی**  یا **ضرب اسکالر**  یک عمل دوتایی بین دو بردار اقلیدسی است که نتیجهٔ آن یک عدد حقیقی است. به عبارتی دیگر، نتیجهٔ ضرب داخلیِ دو کمیت برداری، یک کمیت اسکالر است.

ضرب داخلی با نماد نقطه در وسط «**·**» نمایش داده می‌شود که با نقطه «.» تفاوت دارد، ازاین‌رو در انگلیسی به آن ضرب نقطه‌ای  هم گفته می‌شود.

## تعریف

### بیان ریاضی
ضرب داخلی دو بردار \vec{a} = (a_1, a_2, \dots, a_\mathrm{n}) و \vec{b} = (b_1, b_2, \dots, b_\mathrm{n}) در فضای \mathbb{R}^\mathrm{n} به صورت زیر تعریف می‌شود:

\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^\mathrm{n} a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_\mathrm{n}b_\mathrm{n} 

#### مثال


\begin{align}
(1, 3, -5) \cdot (4, -2, -1) &= 1 \times 4 + 3\times-2 + -5\times-1 \\
&= 4 \qquad - 6 \qquad\  + 5 \\
&= 3
\end{align}


### بیان ماتریسی
اگر بردارها را ماتریس سطری فرض کنیم ضرب داخلی را می‌توان از رابطهٔ زیر نیز محاسبه کرد (b^\mathsf T یعنی ماتریس ترانهادهٔ b):

\vec{a} \cdot \vec{b} = ab^\mathsf T

#### مثال


  \begin{bmatrix}
   1 & 3 & -5
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
   4 \\ -2 \\ -1
\end{bmatrix}
 = 3


بندانگشتی

### بیان هندسی
اگر  \theta زاویهٔ بین دو بردار باشد:

 \vec{a} \cdot \vec{b} = \left\vert \vec{a} \right\vert \left\vert \vec{b} \right\vert \cos \theta

که در آن  \left\vert \vec{a} \right\vert  و  \left\vert \vec{b} \right\vert   به‌ترتیب اندازه‌های بردارهای   \vec{a}  و  \vec{b} اند.

در نتیجه:
* اگر  \vec{a} و  \vec{b} بر هم عمود باشند، نتیجهٔ ضرب صفر خواهد شد و برعکس:  \theta = 90^\circ \Rightarrow \cos \theta = 0 \Longleftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0
* اگر  \vec{a} و  \vec{b} با هم موازی باشند، نتیجهٔ ضرب برابر ضرب طول بردارها خواهد شد و برعکس:  \theta = 0 \Rightarrow \cos \theta = 1 \Longleftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = \left\vert \vec{a} \right\vert \left\vert \vec{b} \right\vert
* ضرب داخلی یک بردار در خودش برابر مقدار طول آن به توان ۲ است: \vec{a} \cdot \vec{a} = \left\vert \vec{a} \right\vert^2

### حجم متوازی‌السطوح به‌کمک ضرب‌داخلی بردارها

متوازی‌السطوح از احجام‌برداری است که دارای حجم و مساحت است.
 
برای‌تشکیل متوازی‌السطوح احتیاج به ضرب‌خارجی سه‌بردار به‌نام (a,b,c) نیاز است. ویرایش پیداکردن حجم آن احتیاج به **ضرب‌داخلی** است.
 
ضرب‌داخلی بردارهای a,b,c به‌ترتیب این‌گونه است.
 
 \vec{a}=(a_1,a_2,a_3),
\vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
\vec{c}=(c_1,c_2,c_3)
 
حجم ‌متوازی‌السطوح به این صورت است.
 
 V=|(\vec{a}.\vec{b}).\vec{c}|=a_1 b_1 c_1+a_2 b_2 c_2+a_3 b_3c_3

## خواص
# جابه‌جایی:  \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}
# پخش‌پذیری:  \vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}
# ضرب در عدد:  ( c_1 \vec{a} ) \cdot ( c_2 \vec{b} ) = c_1 c_2 ( \vec{a} \cdot \vec{b} )
* شرکت‌پذیری ممکن نیست.
* خط زدن ممکن نیست: اگر  \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}، نمی‌توان نتیجه گرفت که  \vec{b} = \vec{c} بلکه  \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c} \Longrightarrow \vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0 \Longrightarrow \theta = 90^\circ
* نابرابری مثلثی: 
** \|\mathbf{v}+\mathbf{w}\| \leq\|\mathbf{v}\|+\|\mathbf{w}\|
** 
\|\mathbf{v}-\mathbf{w}\| \geq \| \mathbf{v} \| - \| \mathbf{w} \|


* نابرابری کوشی-شوارتز (از بیان هندسی نتیجه می‌شود):  \vec{a} \cdot \vec{b} \leq \left\vert \vec{a} \right\vert \left\vert \vec{b} \right\vert

## تعمیم بردارهای مختلط
برای دو بردار مختلط، ضرب داخلی به صورت زیر تعریف می‌شود:

\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n{a_i \overline{b_i}} 

که در اینجا، \overline{b_i} ، مزدوج مختلط بردار **<math>b_i</math>** است.

## جستارهای وابسته
* ضرب خارجی
*تصویر بردار

## منابع

رده:اسکالرها
رده:بردارها
رده:تنسورها
رده:جبر خطی
رده:حساب برداری
رده:عملیات دوتایی
رده:عملیات روی بردارها
رده:فرم‌های دوخطی
رده:هندسه تحلیلی