قضیه کوسمبی-کارانن-لوف

**قضیهٔ کُوسامبی-کارهونِن-لُواِو **()، یا **تبدیل کُوسامبی-کارهونِن-لُواِو**، یک فرایند تصادفی در یک بازهٔ کران‌دار را با ترکیب خطی نامحدودی از توابع متعامد نمایش می‌دهد. این قضیه به افتخار دامُودار دارماناندا کُوسامبی، کاری کارهونِن و میشل لُواِو نامیده شده‌است.

این تبدیل هم‌چنین به تبدیل هُتِلینگ و تبدیل بردار ویژه نیز شناخته می‌شود و با تحلیل مولفه اصلی () مرتبط است که در پردازش تصویر و آنالیز داده‌ها، فراوان استفاده می‌شود.

در مقایسه با تبدیل فوریه که ضرایب آن اعداد معیّن () و پایه‌های آن توابع سینوسی هستند، ضرایب تبدیل کارهونن-لُواِو متغیرهای تصادفی هستند و پایه‌های آن بستگی به فرایند دارند. می‌توان گفت این تبدیل به‌گونه‌ای با فرایند تصادفی سازگار می‌شود که به بهترین پایه‌ها برای آن فرایند می‌انجامد.

برای یک *فرایند تصادفی متمرکز * (، ) می‌نویسیم:
: X_t = \sum_{k=1}^\infty Z_k c_k(t)
که در آن Z_kها متغیرهای تصادفی، و دوبه‌دو ناهمبسته هستند و c_kها، توابع پیوسته حقیقی در بازهٔ  و دوبه‌دو در  متعامد هستند. فرایندی که *متمرکز *نیست را می‌توان با  متمرکز کرد.

اگر فرایند گاوسی باشد، Z_kها گاوسی و مستقل آماری هستند. یک مثال از یک فرایند متمرکز در بازهٔ ، فرایند وینر است.

## فرمول
* Xt یک فرایند تصادفی با میانگین صفر و انتگرال‌پذیر برای مربع آن در فضای احتمال  تعریف می‌شود و نمایه آن در بازهٔ بستهٔ  با تابع کوواریانس . به این ترتیب:
::\forall t\in [a,b] \qquad X_t\in L^2(\Omega, F,\mathbf{P}),
::\forall t\in [a,b] \qquad \mathbf{E}[X_t]=0,
::\forall t,s \in [a,b] \qquad K_X(s,t)=\mathbf{E}[X_s X_t].
* یک عملگر خطی *T**K**X* را در *K**X* اعمال می‌کنیم. *T**K**X* به این صورت تعریف می‌شود:
::
T_{K_X}: L^2([a,b]) \to L^2([a,b]): f \mapsto T_{K_X}f = \int_a^b K_X(s,\cdot) f(s) ds


: ازآنجاکه *T**K**X* یک عمل‌گر خطی‌ست، مقدار ویژه *λ<sub>k</sub>* و تابع ویژه *e**k* دارد، که در معادله‌ انتگرالی زیر، به هم مربوط می‌شوند:
::\int_a^b K_X(s,t) e_k(s)\,ds=\lambda_k e_k(t)

## بیانی از قضیه
**قضیه**.  را یک فرایند تصادفی با میانگین صفر و انتگرال پذیر برای مربع آن در فضای احتمال  و نمایه آن در بازهٔ بستهٔ [*a*, *b*] با تابع کوواریانس پیوستهٔ  در نظر می‌گیریم.

حال  یک هسته‌ی مرسر است و *e**k* را یک پایهٔ متعامد بر روی  می‌گیریم که از توابع ویژهٔ *T**K**X* دارای مقدار ویژهٔ  تشکیل شده‌است. می‌توان  را به صورت زیر بیان کرد
:X_t=\sum_{k=1}^\infty Z_k e_k(t)
که در ''L''<sup>2</sup> هم‌گراست و
:Z_k=\int_a^b X_t e_k(t)\, dt
همچنین متغیرهای تصادفی *Z**k* دارای میانگین صفر، ناهم‌بسته و دارای واریانس *λ<sub>k</sub>* هستند

:\mathbf{E}[Z_k]=0,~\forall k\in\mathbb{N} \qquad \mbox{and}\qquad \mathbf{E}[Z_i Z_j]=\delta_{ij} \lambda_j,~\forall i,j\in \mathbb{N}

## اثبات
* تابع کوواریانس *K**X* شرایط تعریف هسته‌ی مرسر را داراست. طبق تئوری مرسر، یک مجموعهٔ {*λ<sub>k</sub>*, *e<sub>k</sub>*(*t*)} وجود دارد که از مقدار ویژه‌ها و توابع ویژهٔ T*K**X*، یک مجموعه متعامد از *L*2([*a*,*b*]) تشکیل می‌دهند و *K**X* را نیز می‌توان به صورت زیر نمایش داد:
::K_X(s,t)=\sum_{k=1}^\infty \lambda_k e_k(s) e_k(t) 
* فرایند *X**t* می‌تواند به صورت تابعی از *e**k*ها به صورت زیر بسط پیدا کند:
::X_t=\sum_{k=1}^\infty Z_k e_k(t)

که در آن ضرایب (متغیرهای تصادفی) *Z**k* به صورت زیر به دست می‌آیند:
::Z_k=\int_a^b X_t e_k(t) \,dt
* حال خواهیم داشت:
::\begin{align}
\mathbf{E}[Z_k] &=\mathbf{E}\left[\int_a^b X_t e_k(t) \,dt\right]=\int_a^b \mathbf{E}[X_t] e_k(t) dt=0 \\ [8pt]
\mathbf{E}[Z_i Z_j]&=\mathbf{E}\left[ \int_a^b \int_a^b X_t  X_s e_j(t)e_i(s) dt\, ds\right]\\
&=\int_a^b \int_a^b \mathbf{E}\left[X_t  X_s\right] e_j(t)e_i(s) dt\, ds\\
&=\int_a^b \int_a^b  K_X(s,t) e_j(t)e_i(s) dt \, ds\\
&=\int_a^b e_i(s)\left(\int_a^b  K_X(s,t) e_j(t) dt\right) ds\\
&=\lambda_j \int_a^b e_i(s) e_j(s)  ds\\
&=\delta_{ij}\lambda_j
\end{align}
:که در آن از این نکته استفاده شده است که *e**k*ها توابع ویژهٔ *T**K**X* بوده و متعامد هستند.
* حال نشان می‌دهیم که همگرایی در *L*2 است. فرض می‌کنیم
::S_N=\sum_{k=1}^N Z_k e_k(t).
:آنگاه:
::\begin{align}
\mathbf{E} \left [\left |X_t-S_N \right |^2 \right ]&=\mathbf{E} \left [X_t^2 \right ]+\mathbf{E} \left [S_N^2 \right ] - 2\mathbf{E} \left [X_t S_N \right ]\\
&=K_X(t,t)+\mathbf{E}\left[\sum_{k=1}^N \sum_{l=1}^N Z_k Z_l e_k(t)e_l(t) \right] -2\mathbf{E}\left[X_t\sum_{k=1}^N Z_k e_k(t)\right]\\
&=K_X(t,t)+\sum_{k=1}^N \lambda_k e_k(t)^2 -2\mathbf{E}\left[\sum_{k=1}^N \int_a^b X_t X_s e_k(s) e_k(t) ds\right]\\
&=K_X(t,t)-\sum_{k=1}^N \lambda_k e_k(t)^2
\end{align}
:که طبق قضیهٔ مرسر به صفر میل می‌کند.

## مشخصات تبدیل کارهونن-لُواِو
### حالت خاص: توزیع گاوسی
ازآنجاکه حد امید ریاضی متغیرهای تصادفی مشترکاً گاوسی، خود مشترکاً گاوسی هستند و متغیرهای تصادفی گاوسی مستقل هستند اگر و فقط اگر متعامد باشند، می‌توان نتیجه گرفت:
**قضیه**. متغیر تصادفی  دارای توزیع مشترک گاوسی است و به‌طور تصادفی مستقل است اگر فرایند اولیه  گاوسی باشد.

در این حالت (گاوسی بودن)، از آنجایی که ها مستقل هستند، می‌توان گفت:
: \lim_{N \to \infty} \sum_{i=1}^N e_i(t) Z_i(\omega) = X_t(\omega) 
تقریباً مطمئناً.

### بسط کارهونِن-لُواِو فرایند را ناهمبسته می‌کند
این نتیجه از استقلال  حاصل می‌شود.

### بسط کارهونِن-لُواِو مقدار خطای میانگین مربعات را به حداقل می‌رساند
در بخش معرفی، بیان کردیم که بسط خلاصه شدهٔ کارهونِن-لُواِو بهترین تخمین برای یک فرایند است به طوری که خطای میانگین مربعات حداقل شود. به خاطر همین خصوصیت است که بیان می‌شود این تبدیل به‌طور بهینه انرژی را فشرده (ذخیره) می‌کنند.
به‌طور دقیق تر، برای هر پایهٔ متعامد {*f**k*} از فضای *L*2([*a*, *b*])، می‌توان فرایند *X<sub>t</sub>* را به صورت زیر تجزیه کرد:

:X_t(\omega)=\sum_{k=1}^\infty A_k(\omega) f_k(t)

که در آن

:A_k(\omega)=\int_a^b X_t(\omega) f_k(t)\,dt

و می‌توان *X**t* را با جمع متناهی زیر برای هر عدد صحیح 'N* به صورت زیر تخمین زد
:<math>\hat{X}_t(\omega)=\sum_{k=1}^N A_k(\omega) f_k(t)</math>

=== یافتن واریانس ===
یک نتیجهٔ مهم این تبدیل را می‌توان این مورد در نظر گرفت که از آنجایی که *Z*<sub>*k*</sub>ها در تبدیل کارهونِن-لُواِو ناهمبسته هستند، [[:en:Variance#Sum_of_uncorrelated_variables_.28Bienaym.C3.A9_formula.29|فرمول بینایمه]] نتیجه می‌دهد که *X*<sub>*t*</sub> برابر است با جمع واریانس جملات جمع، داریم:
:<math>\mbox{Var}[X_t]=\sum_{k=0}^\infty e_k(t)^2 \mbox{Var}[Z_k]=\sum_{k=1}^\infty \lambda_k e_k(t)^2</math>
تعریف شده روی [*a*, *b*] و استفاده از این مسئله که *e*<sub>*k''ها متعامد هستند، نتیجه می‌گیریم که واریانس کل فرایند برابر است با:
:\int_a^b \mbox{Var}[X_t] dt=\sum_{k=1}^\infty \lambda_k

## منابع

رده:برآورد سیگنال
رده:قضایا در آمار
رده:قضیه‌های احتمالات