سرعت برداری

[بندانگشتی|مشتق اول منحنی سرعت-زمان در هر لحظه، شتاب لحظه‌ای نامیده می‌شود؛ درحالی‌که [انتگرال آن منحنی بین هر دو نقطهٔ نمودار (مساحت زردرنگ زیر منحنی)، فاصلهٔ جابجاشده در آن مدت را می‌دهد.]]
**سرعت برداری**  یک کمیّت اندازه‌گیری بُرداری، از مقدار و جهت جابه‌جایی است. مقدار مطلق بزرگی سرعت را تندی می‌نامند. سرعت را همچنین می‌توان «نرخ جابه‌جایی» تعریف کرد.

## تعریف سرعت بُرداری
**سرعت** نرخ تغییر موقعیت یک جسم با گذشت زمان است. سرعت یک کمیت برداری است که هم دارای اندازه (که به آن تندی گفته می‌شود) و هم دارای جهت است.

تندی میانگین v جسمی که مسافت r را در بازهٔ زمانی t می‌پیماید، از رابطهٔ زیر به‌دست می‌آید:

 v = \frac{r}{t}  

یا به طور دقیق‌تر:  v_{\mathrm{avg}} = \frac{\Delta r}{\Delta t} 

سرعت لحظه‌ای \vec{v} جسمی که موقعیت آن به صورت تابع زمان با \vec{x}(t) داده شده‌است، برابر است با اولین مشتق موقعیت بر حسب زمان: 

 \vec{v} = \frac{d\vec{x}}{dt}  

تندی لحظه‌ای نیز اندازهٔ این بردار سرعت است:

 v = \left| \frac{d\vec{x}}{dt} \right| 

این تعاریف در هر دو شاخهٔ مکانیک کلاسیک و مکانیک کوانتومی استفاده‌ی گسترده‌ای دارند.

## رابطهٔ سرعت بُرداری و شتاب
شتاب تغییر سرعت جسم در خلال زمان است. 

شتاب میانگین \vec{a} جسمی که سرعت آن در بازهٔ زمانی t از v_i به v_f تغییر می‌کند، از رابطهٔ زیر به‌دست می‌آید:


\vec{a} = \frac{\vec{v}_f - \vec{v}_i}{t}


شتاب لحظه‌ای \vec{a} جسمی که موقعیت آن به صورت تابع زمان با \vec{x}(t) داده شده است، برابر است با مشتق دوم موقعیت بر حسب زمان:


\vec{a} = \frac{d^2 \vec{x}}{dt^2}


یا به بیان دیگر، مشتق اول سرعت بر حسب زمان:


\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}


### رابطهٔ سرعت نهایی و شتاب
اگر جسمی با سرعت اولیهٔ \vec{v}_i حرکت کند و شتاب ثابت \vec{a} داشته باشد، سرعت نهایی آن پس از گذشت زمان t برابر است با:


\vec{v}_f = \vec{v}_i + \vec{a} t


### سرعت میانگین در حرکت با شتاب ثابت
در حرکت با شتاب ثابت، سرعت میانگین برابر است با میانگین حسابی سرعت اولیه و سرعت نهایی:


v_{\mathrm{avg}} = \frac{v_i + v_f}{2}


این رابطه حتی در مواردی که شتاب ثابت نیست نیز صادق است؛ به شرطی که شتاب در جهت مستقیم باشد (حرکت یک‌بعدی)

## رابطهٔ سرعت و جابه‌جایی
برای به‌دست آوردن جابه‌جایی d جسمی که با شتاب ثابت حرکت می‌کند، می‌توان از رابطهٔ سرعت میانگین استفاده کرد و آن را در فرمول جابه‌جایی (= سرعت میانگین × زمان) جایگزین نمود تا رابطهٔ زیر به‌دست آید:

 d = \frac{v_f + v_i}{2} \, t  

در مواردی که تنها سرعت اولیهٔ جسم را در اختیار داشته باشیم، می‌توان از فرمول زیر استفاده کرد: 

 d = v_i t + \frac{1}{2} a t^2  

با ترکیب فرمول‌های پایهٔ جابه‌جایی و سرعت نهایی، می‌توان رابطهٔ جدیدی به‌دست آورد که مستقل از زمان است: 

 v_f^2 = v_i^2 + 2 a d  

این فرمول‌ها هم در مکانیک کلاسیک و هم در نسبیت خاص معتبر هستند. تفاوت مکانیک کلاسیک و نسبیت خاص در توصیف یک وضعیت مشابه توسط ناظران مختلف است؛ به‌ویژه، در مکانیک کلاسیک همهٔ ناظران بر مقدار زمان t توافق دارند. همچنین، تبدیلات گالیله سبب می‌شوند که همهٔ ناظران لخت (فاقد شتاب) مقدار یکسانی را برای شتاب جسم اندازه‌گیری کنند - اما هیچ‌کدام از این موارد در نسبیت خاص صدق نمی‌کنند.

## رابطهٔ سرعت و انرژی جنبشی
انرژی جنبشیِ یک جسم در حال حرکت با جرم آن جسم و مجذور سرعتش متناسب است:
:E_{v} = \frac{1}{2} m v^2

انرژی جنبشی یک کمیت نرده‌ای است.

## جستارهای وابسته
* شتاب
* مکان (فیزیک)
* انرژی جنبشی

## منابع

* Physics: Principles with Applications, by Douglas C. Giancoli, Publisher: Prentice Hall, 2004
* Fundamentals of Physics, by David Halliday, Publisher: Wiley, 2007

رده:سرعت برداری
رده:حرکت
رده:سینماتیک
رده:کمیت‌های فیزیکی
رده:یکاهای مشتق اس‌آی