تابع توزیع تجمعی

بندانگشتی|300px|تابع توزیع تجمعی برای توزیع نرمال .
بندانگشتی|300px|تابع چگالی احتمال برای چند توزیع نرمال، نمودار قرمز رنگ مربوط به توزیع نرمال استاندارد است ..**تابع توزیع تجمعی**  یا **تابع توزیع انباشتی** تابعی غیر صفر و هم نوای صعودی است که برد آن بازه [۰٫۱] بوده و احتمال آنکه متغیر تصادفی X دارای مقداری کوچک‌تر از x باشد را نشان می‌دهد، یعنی x \to F_X(x) = \operatorname{P}(X\leq x)

از این تعریف می‌توان نتیجه گرفت که:

 P(a

تابع توزیع تجمعی را می‌توان به صورت زیر بر اساس تابع چگالی احتمال نیز تعریف کرد

F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt.

در مورد متغیرهای تصادفی با مقادیر گسسته این تعریف به صورت زیر است:

 \Pr(X=x) =F(x_0)-F(x_0-) ,

که در اینجا  F(x_0-)  به معنی حد چپ تابع  F_X(x)  است وقتی که  x  به  x_0  میل می‌کند

## خواص تابع توزیع تجمعی
* تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی گسسته به این شکل تعریف می‌شود:


F_X(x) =
P
(X\le
x)=
\sum_{
t \le x
}
P(t)



Discrete CDF.jpg|نمودار تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی گسسته

* تعریف تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی پیوسته به این شکل می‌شود :


F_X(x) =
P
(X\le
x)=
\int_{
t \le x
}
f(t)
dt


* تمام توابع توزیع تجمعی صعودی (ولی نه لزوماً اکیدا صعودی) و از راست پیوسته هستند.
*0 \le F_X(x) \le 1
*\lim_{x\to -\infty}F(x)=0 
*\lim_{x\to +\infty}F(x)=1
* اگر x_1 \le x_2 باشد، آنگاه :
F_X(x_1) \le F_X(x_2)
*
P(X>x) = 1- F_X(x)

*P(x_1
* اگر M میانه داده‌ها باشد داریم :


F_X(M) =
\int_{-\infty}^{M}
f(x)
dx
=
\frac{1}
{2}


و این همان تعریف میانه است که نیمی از داده‌ها مقداری کمتر از M دارند.

## مثال
فرض کنید X یک متغیر تصادفی پیوسته‌است که تابع چگالی احتمال آن به این شکل تعریف شده باشد:


f(x) =
\begin {cases}
0 & x\le -1 \\ \\
x + 1 & -1 

نمودار چگالی احتمال این متغیر تصادفی به شکل زیر خواهد بود:


example.pdf.jpg|نمودار تابع چگالی احتمال این مثال

با انتگرال‌گیری از تابع چگالی احتمال در هر بازه تابع توزیع تجمعی آن را به دست می‌آوریم و خواهیم داشت:


F(x) =
\begin {cases}
0 & x\le -1 \\ \\
\frac{1}{2}(x + 1)^{2} & -1 


example.cdf.jpg|نمودار تابع توزیع تجمعی این مثال


## تابع توزیع تجمعی برای چند توزیع
در این قسمت تابع توزیع تجمعی چند توزیع معروف و نمودار توزیع تجمعی آن‌ها را بررسی می‌کنیم:

### توزیع طبیعی استاندارد
تابع چگالی احتمال توزیع طبیعی استاندارد برای  x \in   به شکل زیر تعریف می‌شود :


f(x) =
\frac
{1}
{\sqrt{2\pi}}
e^{\frac{-x^2}
{2}}


و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:


F(x) =
\int
f(x)dx =
\int
\frac
{1}
{\sqrt{2\pi}}
e^{\frac{-x^2}
{2}} =
{\frac  12}\left(1+{\mathrm  {erf}}\,{\frac  {x-\mu }{\sigma {\sqrt  2}}}\right)\!


#### نمودار

StandardNormal.cdf.jpg|نمودار تابع توزیع تجمعی برای توزیع طبیعی استاندارد


### توزیع پواسون
تابع جرم احتمال توزیع پواسون برای {1,2,3,...}  k \in   و  \lambda \in (0,\infty) به شکل زیر تعریف می‌شود:


P(x) =
{\displaystyle {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\!}


و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:


F(x) =
\sum
P(x) =
\sum
{\displaystyle {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\!} =
{\displaystyle {\frac {\Gamma (k+1,\lambda )}{k!}}\!}



#### نمودار

Poisson.cdf.jpg|نمودار تابع توزیع تجمعی برای چند توزیع دلخواه پواسون


### توزیع نمایی
تابع چگالی احتمال توزیع نمایی برای x \ge 0 به شکل زیر تعریف می‌شود :


f(x) =
\lambda e^{- \lambda x}


و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:


F(x) =
\int
f(x)dx =
\int
\lambda e^{- \lambda x} =
1 - e^{- \lambda x}


#### نمودار

Exponential.cdf.jpg|نمودار تابع توزیع تجمعی برای چند توزیع  دلخواه نمایی


## تابع توزیع تجمعی برای توابع توام
تابع توزیع تجمعی برایتوزیع احتمال توأم به این صورت تعریف می‌شود:


F_{X_1,X_2,...,X_n}
(x_1,x_2,....,x_n) =
P(X_1 \le x_1 , X_2 \le x_2 ,...,X_n \le x_n )


بندانگشتی|توزیع توام
با این تعریف تابع توزیع تجمعی برای تابع دو متغیره f_{XY}(x,y)  به این شکل خواهد بود:


F_{XY}
(x,y) =
P(X \le x , Y \le y  )


ویژگی‌های این تابع همانند حالت یک متغیره خواهد بود. برخی از این ویژگی‌ها عبارتند از:
*0 \le F_{X_1,X_2,...,X_n}
(x_1,x_2,....,x_n) \le 1
*\lim_{x_1,x_2,...,x_n\to -\infty}F_{X_1,X_2,...,X_n}
(x_1,x_2,....,x_n) =0 
*\lim_{x_1,x_2,...,x_n\to \infty}F_{X_1,X_2,...,X_n}
(x_1,x_2,....,x_n) =1 
*
P(x_1 

## منابع

رده:توابع مرتبط با توزیع‌های احتمال