مدل خودهمبسته

در آمار و پردازش سیگنال، **مدل خود همبسته** ، نوعی از فرایند تصادفی است که غالباً جهت مدلسازی و پیش‌بینی انواع مختلفی از پدیده‌های طبیعی و اجتماعی به کار می‌رود.

## تعریف
عبارت (AR(p به مدل خودهمبستهٔ مرتبهٔ p اشاره دارد و به صورت زیر تعریف می‌شود:

 X_t = c + \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i}+ \varepsilon_t \,

که \varphi_1, \ldots, \varphi_p پارامترهای مدل،c عدد ثابت و \varepsilon_t نوفه سفید می‌باشد. عددثابت c در بسیاری از مواقع جهت سادگی حذف می‌شود.
یک مدل خودهمبسته می‌تواند به صورت خروجی یک فیلتر پاسخ ضربه با قطب‌های نامحدود که ورودی آن نوفهٔ سفید است، در نظرگرفته شود.

اعمال برخی محدودیت‌ها بر پارامترهای این مدل، برای فرایند مانا بودن آن الزامی است. برای مثال فرایند (AR(۱ با φ۱| ≥ ۱| مانا نخواهد بود. به صورت کلی‌تر، برای اینکه مدل (AR(p مانا باشد، ریشه‌های چندجمله‌ای \textstyle z^p - \sum_{i=1}^p \varphi_i z^{p-i} باید درون دایرهٔ واحد قرار گیرند، یعنی برای هر ریشهٔ z_i باید داشته باشیم: z_i|X_t = c + \varphi X_{t-1}+\varepsilon_t\,

که \varepsilon_t نوفه‌ی سفید با میانگین صفر و واریانس \sigma_\varepsilon^2 می‌باشد. (توجه کنید که زیرنویس \varphi_1 کنارگذاشته شده‌است.) این فرایند ماناست در صورتی‌که |\varphi|، زیرا در آن صورت مشابه خروجی یک فیلتر پایدار که وردی آن نوفهٔ سفید است، می‌باشد. اگر |\varphi| \geq 1 در آنصورت X_t واریانس نامحدود خواهد داشت، و بنابراین مانا نخواهد بود. در نتیجهٔ فرض |\varphi|، میانگین (\mbox{E}(X_{t} برای تمام مقادیر t یکسان خواهد بود. با قراردادن میانگین برابر \mu خواهیم داشت:

\mbox{E}(X_t)=\mbox{E}(c)+\varphi\mbox{E}(X_{t-1})+\mbox{E}(\varepsilon_t)\Rightarrow \mu=c+\varphi\mu+0

و در نتیجه:

\mu=\frac{c}{1-\varphi}

به صورت خاص اگر c = 0، در آن صورت میانگین برابر صفر خواهد بود.
نشان داده می‌شود که واریانس برابر خواهد بود با:

\textrm{var}(X_t)=E(X_t^2)-\mu^2=\frac{\sigma_\varepsilon^2}{1-\varphi^2}

که \sigma_\varepsilon واریانس \varepsilon_t می‌باشد.
اتوکواریانس برابر خواهد بود با:

B_n=E(X_{t+n}X_t)-\mu^2=\frac{\sigma_\varepsilon^2}{1-\varphi^2}\,\,\varphi^

تابع اتوکواریانس با ثابت زمانی \tau=-1/\ln(\varphi) تنزیل می‌یابد. (برای اثبات کافی است B_n به صورت B_n=K\varphi^  نوشته شود. توجه کنید که در این صورت خواهیم داشت: \varphi^=e^{|n|\ln\varphi})

تابع چگالی طیفی، تبدیل فوریه تابع اتوکواریانس خواهد بود. در شرایط گسسته، تبدیل فوریه گسسته زمان تابع اتوکواریانس برابر خواهد بود با:

\Phi(\omega)=
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\sum_{n=-\infty}^\infty B_n e^{-i\omega n}
=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\left(\frac{\sigma_\varepsilon^2}{1+\varphi^2-2\varphi\cos(\omega)}\right)


این عبارت به علت ساختار گسستهٔ X_j، متناوب است، که در عبارت کسینوسی مخرج خود را نشان می‌دهد.

اگر فرض کنیم که زمان نمونه‌برداری (\Delta t=1) نسبت به ثابت زمانی (\tau) خیلی کوچک‌تر باشد، می‌توانیم از تقریب پیوستهٔ B_n استفاده کنیم:
B(t)\approx \frac{\sigma_\varepsilon^2}{1-\varphi^2}\,\,\varphi^
که فرم لورنتزین تابع چگالی طیفی را نتیجه می‌دهد:

\Phi(\omega)=
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\frac{\sigma_\varepsilon^2}{1-\varphi^2}\,\frac{\gamma}{\pi(\gamma^2+\omega^2)}

که \gamma=1/\tau فرکانس زاویه‌ای متناسب با ثابت زمانی \tau می‌باشد.
نمایش دیگر برای X_t از طریق جایگزین کردن X_{t-1} با c+\varphi X_{t-2}+\varepsilon_{t-1} در فرمول اصلی X_t بدست می‌آید. با N بار تکرار این جایگزینی خواهیم داشت:

X_t=c\sum_{k=0}^{N-1}\varphi^k+\varphi^NX_{t-N}+\sum_{k=0}^{N-1}\varphi^k\varepsilon_{t-k}

با میل کردن *N* به سمت بینهایت، \varphi^N به صفر میل کرده و خواهیم داشت:

X_t=\frac{c}{1-\varphi}+\sum_{k=0}^\infty\varphi^k\varepsilon_{t-k}

در آن صورت X_t به صورت مجموعه‌ای از جملات اخلال به علاوهٔ میانگین ثابت درمی‌آید. در واقع این نمایش معادل یک میانگین متحرک از مرتبهٔ بینهایت، MA(\infty) خواهد بود. اگر \varepsilon_t یک فرایند گوسی باشد، X_t نیز فرایند گوسی خواهد بود. در حالات دیگر، قضیه حد مرکزی بیان می‌کند که X_t، زمانی‌که \varphi مقداری نزدیک به یک داشته باشد، به صورت تقریبی توزیع نرمال خواهد داشت.

## محاسبهٔ پارامترهای AR
مدل (AR(p با معادلهٔ زیر داریم:

 X_t = \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i}+ \varepsilon_t \,

یک تناظر مستقیم میان پارامترهای \varphi_1, \ldots, \varphi_p و تابع کواریانس فرایند وجود دارد، این تناظر می‌تواند به گونه‌ای معکوس شود که پارامترها از روی تابع خودهمبستگی (که از کواریانس‌ها بدست می‌آید) تعیین و محاسبه شوند. این محاسبه از طریق حل معادلات *یول-واکر* انجام می‌شود:


\gamma_m = \sum_{k=1}^p \varphi_k \gamma_{m-k} + \sigma_\varepsilon^2\delta_{m,0}


که با *p*&nbsp;+&nbsp;1، *m* = 0, ... , *p* معادله خواهیم داشت. \gamma_m تابع خودهمبستگی *X*و \sigma_\varepsilon انحراف معیار فرایند جملهٔ اخلال ورودی و \delta_{m,0} تابع دلتای کرونکر، ضربهٔ کرونکر، است.

از آنجا که قسمت آخر معادله، \delta_{m,0}، تنها در زمانی‌که *m* = ۰ باشد، غیر صفر است، معادله غالباً از طریق نمایش ماتریس برای *m*> 0 حل می‌شود، در این صورت خواهیم داشت:

\begin{bmatrix}
\gamma_1 \\
\gamma_2 \\
\gamma_3 \\
\vdots \\
\end{bmatrix}

=
\begin{bmatrix}
\gamma_0 & \gamma_{-1} & \gamma_{-2} & \dots \\
\gamma_1 & \gamma_0 & \gamma_{-1} & \dots \\
\gamma_2 & \gamma_{1} & \gamma_{0} & \dots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
\varphi_{1} \\
\varphi_{2} \\
\varphi_{3} \\
 \vdots \\
\end{bmatrix}



برای *m* = ۰ داریم:


\gamma_0 = \sum_{k=1}^p \varphi_k \gamma_{-k} + \sigma_\varepsilon^2


که به اما اجازه می‌دهد \sigma_\varepsilon^2 را حل کنیم.

معادلات بالا، معادلات یول-واکر، از طریق جایگزین کردن کواریانس‌های نظری با مقادیر تخمین زده شده، یک مسیر برای تخمین پارامترهای مدل (AR(p فراهم می‌کنند. یک راه برای محاسبهٔ کواریانس‌های تخمین زده شده استفاده از برازش حداقل مربعات، رگرسیون خطی، مقادیر*X**t* بر *p* مقدار قبلی خود می‌باشد.

## استخراج
معادلهٔ معرف فرایند (AR(p:

 X_t = \sum_{i=1}^p \varphi_i\,X_{t-i}+ \varepsilon_t. \,

با ضرب هر دو طرف معادله در *X**t*&nbsp;&minus;&nbsp;*m* و گرفتن امید انتظاری خواهیم داشت:

E[X_t X_{t-m}] = E\left[\sum_{i=1}^p \varphi_i\,X_{t-i} X_{t-m}\right]+ E[\varepsilon_t X_{t-m}].

بنابر تعریف تابع خودهمبستگی داریم: E[X_t X_{t-m}] = \gamma_m. مقادیر جملهٔ اخلال از یکدیگر مستقل بوده و *X**t*&nbsp;&minus;&nbsp;*m* به ازای *m*> 0، مستقل از εt است، یعنی برای *m*> 0 داریم:، E[ε*t**X**t*&nbsp;&minus;&nbsp;*m*] = ۰. برای *m* = ۰:

E[\varepsilon_t X_{t}]
= E\left[\varepsilon_t \left(\sum_{i=1}^p \varphi_i\,X_{t-i}+ \varepsilon_t\right)\right]
= \sum_{i=1}^p \varphi_i\, E[\varepsilon_t\,X_{t-i}] + E[\varepsilon_t^2]
= 0 + \sigma_\varepsilon^2,


برای *m* ≥ ۰ داریم:

\gamma_m = E\left[\sum_{i=1}^p \varphi_i\,X_{t-i} X_{t-m}\right] + \sigma_\varepsilon^2 \delta_m.

بعلاوه داریم:

E\left[\sum_{i=1}^p \varphi_i\,X_{t-i} X_{t-m}\right]
= \sum_{i=1}^p \varphi_i\,E[X_{t} X_{t-m+i}]
= \sum_{i=1}^p \varphi_i\,\gamma_{m-i},


از جایگذاری معادلهٔ بالا در معادلهٔ \gamma_m، معادلات یول-واکر تولید می‌شود، برای *m* ≥ ۰:

\gamma_m = \sum_{i=1}^p \varphi_i \gamma_{m-i} + \sigma_\varepsilon^2 \delta_m.

برای *m* \gamma_m = \gamma_{-m} = \sum_{i=1}^p \varphi_i \gamma_{|m|-i} + \sigma_\varepsilon^2 \delta_m.

## منابع

* Mills, Terence C. *Time Series Techniques for Economists.* Cambridge University Press, 1990.
* Percival, Donald B. and Andrew T. Walden. *Spectral Analysis for Physical Applications.* Cambridge University Press, 1993.
* Pandit, Sudhakar M. and Wu, Shien-Ming. *Time Series and System Analysis with Applications.* John Wiley & Sons, Inc. , 1983.
* G. Udny Yule *On a Method of Investigating Periodicities in Disturbed Series, with Special Reference to Wolfer's Sunspot Numbers* Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Ser. A, Vol. 226, (1927) 267--298.
* Gilbert Walker *On Periodicity in Series of Related Terms,* Proceedings of the Royal Society of London, Ser. A, Vol. 131, (1931) 518--532.

رده:پردازش سیگنال
رده:خودهمبستگی
رده:فرایندهای تصادفی