مدل‌های سری زمانی مالی

**مدل‌های سری زمانی مالی**، در اقتصاد سنجی به مدلی گفته می‌شود که فرض بر این دارد که واریانس error termها یا innovationها یک تابع از اندازه error termهای دوره‌های زمانی قبل است: معمولاً واریانس با مربع innovationهای قبلی مرتبط است. چنین مدلی معمولاً ARCH نامیده می‌شود (Engle, 1982)، البته علامت‌های اختصاری دیگری هم برای مدل‌های بر همین پایه بکار برده می‌شود. مدل‌های ARCH معمولاً برای سری‌های زمانی مالی بکار برده می‌شود که دسته بندی‌های نوسانی بر پایه زمان - که دوره‌های با نوسان با دوره‌های بدون نوسان همراه می‌شوند - را نشان می‌دهند.

## مشخصات مدل (ARCH(q
اگر  ~\epsilon_t~  نشان دهنده error termها باشد و فرض شود  ~\epsilon_t=\sigma_t z_t ~ وقتی که  z_t\overset{\textrm{iid}}{\thicksim} N(0,1) ، سری  \sigma_t^2  به صورت زیر مدل می‌شود؛

 \sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1 \epsilon_{t-1}^2+\cdots+\alpha_q \epsilon_{t-q}^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_{i} \epsilon_{t-i}^2 

که در آن  ~\alpha_0>0~  ,  \alpha_i\ge 0,~i>0

مدل (ARCH(q را می‌توان با حداقل مربعات تخمین زد. یک متودولوژی برای پیدا کردن طول لگ errorها در ARCH استفاده از Lagrange multiplier است که توسط (Engle (1982 ارائه شده. این رویه به صورت زیر است:
# بهترین مدل (AR(q برای مدل  y_t = a_0 + a_1 y_{t-1} + \cdots + a_q y_{t-q} + \epsilon_t = a_0 + \sum_{i=1}^q a_i y_{t-i} + \epsilon_t  را تخمین میزنیم.
#:
#
#
#
#
#
# مربع errorها  \hat \epsilon^2  را بدست آورده و آن‌ها را روی مقدار ثابت و مقادیر با q لگ رگرس می‌کنیم.
#:
#:  \hat \epsilon_t^2 = \hat \alpha_0 + \sum_{i=1}^{q} \hat \alpha_i \hat \epsilon_{t-i}^2
#:
#: که q طول لگ‌های ARCH می‌باشد.
#:
# فرض صفر این است که در نبود اجزاء ARCH برای تمامی  i = 1, \cdots, q  معادله  \alpha_i = 0  برقرار است. فرض مقابل (alternative hypothesis) نیز این است که با وجود اجزاء ARCH حداقل یکی از ضرایب  \alpha_i  معنا دار باشند. در یک نمونه T تایی از residualها تحت فرض صفر، آماره *TR²* توزیع  \chi^2  با q درجه آزادی را خواهد داشت. اگر *TR²* بزرگ تر از مقدار Chi-square در جدول باشد فرض صفر را رد می‌کنیم و نتیجه می‌گیریم که در مدل ARMA اثر ARCH وجود دارد. اگر *TR²* کوچکتر از مقدار Chi-square در جدول باشد، فرض صفر رد نخواهد شد.

## GARCH
اگر مدل (autoregressive moving average (ARMA را برای واریانس errorها فرض بگیریم، مدل generalized autoregressive conditional heteroscedasticity GARCH, Bollerslev 1986 را خواهیم داشت.

در این حالت مدل (GARCH(p, q که در آن p مرتبه  ~\sigma^2  در مدل GARCH و q مرتبه  ~\epsilon^2  را در این مدل نشان می‌دهد) به صورت زیر نشان داده می‌شود

 \sigma_t^2=\alpha_0 + \alpha_1 \epsilon_{t-1}^2 + \cdots + \alpha_q \epsilon_{t-q}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \cdots + \beta_p\sigma_{t-p}^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_i \epsilon_{t-i}^2 + \sum_{i=1}^p \beta_i \sigma_{t-i}^2 

معمولاً در اقتصاد سنجی وقتی برای heteroscedasticity تست می‌کنیم، بهترین راه تست White است. هرچند هنگامی که با داده‌های سری زمانی کار می‌کنیم، این به معنی تست برای errorها در مدل ARCH یا در مدل GARCH است.

قبل از GARCH مدل EWMA بود که مدل GARCH جانشین آن شد، هرچند برخی افراد از هر دو این مدل‌ها استفاده می‌کنند.
مشخصات مدل (GARCH(p, q

طول لگ p در مدل (GARCH(p, q از سه قدم بدست می‌آید؛
#:
#: بهترین مدل را برای (AR(q تخمین می زنیم؛
#:
#:  y_t = a_0 + a_1 y_{t-1} + \cdots + a_q y_{t-q} + \epsilon_t = a_0 + \sum_{i=1}^q a_i y_{t-i} + \epsilon_t 
#:
# مقدار autocorrelationهای  \epsilon^2  را از فرمول زیر محاسبه و روی نمودار مشخص می‌کنیم؛
#:
#:  \rho =  
#:
# انحراف از معیار مجانبی  \rho (i)  برای نمونه‌های بزرگ  1/\sqrt{T}  است. مقادیری که بزرگتر از این میزان باشند errorهای GARCH را معین می‌کنند. برای مشخص کردن تعداد لگ‌ها از تست Ljung-Box test استفاده می‌کنیم. آماره Q در Ljung-Box توزیع  \chi^2  را با n درجه آزادی خواهد داشت اگر مربع residualها  \epsilon^2_t  uncorrelated باشند. معمولاً T/4 را برای n در نظر می‌گیرند. فرض صفر بیان می‌کند که errorها از نوع ARCH یاGARCH نیستند. رد فرض صفر نشان می‌دهد که چنین error‌هایی در واریانس‌های شرطی وجود دارد.

## GARCH غیرخطیNGARCH
GARCH غیر خطی که (GARCH(1,1 غیر خطی نامتقارن نیز نامیده می‌شود توسط Engle و Ng در 1993 معرفی شد.

 ~\sigma_{t}^2= ~\omega + ~\alpha  (~\epsilon_{t-1} - ~\theta ~\sigma_{t-1})^2 + ~\beta  ~\sigma_{t-1}^2
~\alpha , ~\beta \geq 0 ; ~\omega> 0.

برای بازده سهام مقدار پارامتر ~ \theta معمولاً به صورت مثبت تقریب زده می‌شود. در این مورد این پارامتر اثر اهرمی را نشان می‌دهد و این مفهوم را دارد که بازده منفی، بی ثباتی در آینده را بیشتر از همان مقدار بازده مثبت، افزایش می‌دهد.

این مدل را نباید با مدل NARCH که توسط Higgins و Bera در 1992 ارائه شد اشتباه گرفت.

## IGARCH
Integrated Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity یا IGARCH ورژن محدود شده مدل GARCH است که جمع پارامترهای آن برابر واحد می‌شود و بنابراین یک ریشه واحد (unit root) در GARCH وجود دارد. قید آن به صورت زیر می‌باشد.


\sum^p_{i=1} ~\beta_{i} +\sum_{i=1}^q~\alpha_{i} = 1


## EGARCH
exponential general autoregressive conditional heteroscedastic یا (EGARCH) توسط Nelson 1991 مدل شده که یک فرم دیگر از GARCH است. به‌طور تفصیلی (EGARCH(p,q به صورت زیر مشخص می‌شود

\log\sigma_{t}^2=\omega+\sum_{k=1}^{p}\beta_{k}g(Z_{t-k})+\sum_{k=1}^{q}\alpha_{k}\log\sigma_{t-k}^{2}

که در آن g(Z_{t})=\theta Z_{t}+\lambda(|Z_{t}|-E(|Z_{t}|))، \sigma_{t}^{2} واریانس مشروط و \omega، \beta، \alpha، \theta و \lambda ضرایب و Z_{t} می‌تواند متغیر نرمال باشد یا از توزیع تعمیم یافته errorها بدست آمده باشد. فرموله کردن g(Z_{t}) به ما اجازه می‌دهد که علامت و مقدار Z_{t} اثر مشخصی روی نوسانات داشته باشد. این امر به‌طور خاص در زمینه قیمت گذاری دارایی‌ها سودمند است.

از آنجا که \log\sigma_{t}^{2} ممکن است منفی شود قید دیگری روی پارامترها نمی‌گذاریم.

## GARCH-M
GARCH-in-mean یا (GARCH-M) یک ترم heteroscedasticity به معادله میانگین اضافه می‌کند و به صورت زیر مشخص می‌شود:


y_t = ~\beta x_t + ~\lambda ~\sigma_t + ~\epsilon_t


که residualها  ~\epsilon_t  به این صورت معرفی می‌شوند؛


~\epsilon_t = ~\sigma_t ~\times z_t


## QGARCH
Quadratic GARCH QGARCH توسط Sentana 1995 ارائه شد که برای مدل کردن اثرات نامتقارن شوک‌های منفی و مثبت بکار می‌رود.
برای یک مثال از مدل (GARCH(1,1 که در آن روند residual عبارتست از


~\epsilon_t = ~\sigma_t z_t


که در آن  z_t  به صورت i.i.d است و داریم؛


~\sigma_t^2 = K + ~\alpha ~\epsilon_{t-1}^2 + ~\beta ~\sigma_{t-1}^2 + ~\phi ~\epsilon_{t-1}


## GJR-GARCH
همانند (QGARCH، Glosten-Jagannathan-Runkle GARCH (GJR-GARCH که توسط Glosten, Jagannathan و (Runkle (1993 مدل شد، عدم تقارن در پروسه GARCH مدل می‌کند که پیشنهاد می‌کند  ~\epsilon_t = ~\sigma_t z_t  را مدل کنیم که در آن  z_t  i.i.d است.


~\sigma_t^2 = K + ~\delta ~\sigma_{t-1}^2 + ~\alpha ~\epsilon_{t-1}^2 + ~\phi ~\epsilon_{t-1}^2 I_{t-1}


که اگر  ~\epsilon_{t-1} \ge 0  باشد  I_{t-1} = 0  است.
و اگر  ~\epsilon_{t-1}  باشد  I_{t-1} = 1  است.

## مدل TGARCH
نهایتاً (Threshold GARCH (TGARCH که توسط (Zakoian (1994 مدل شده همانند GJR GARCH است و مشخصه آن شرطی بودن انحراف معیار است به جای شرطی بودن واریانس:


~\sigma_t = K + ~\delta ~\sigma_{t-1} + ~\alpha_1^{+} ~\epsilon_{t-1}^{+} + ~\alpha_1^{-} ~\epsilon_{t-1}^{-}


که در آن اگر  ~\epsilon_{t-1}> 0  باشد  ~\epsilon_{t-1}^{+} = ~\epsilon_{t-1}  است و اکر  ~\epsilon_{t-1} \le 0  باشد  ~\epsilon_{t-1}^{+} = 0  است. همچنین  ~\epsilon_{t-1}^{-} = ~\epsilon_{t-1}  است اگر  ~\epsilon_{t-1} \le 0  باشد و  ~\epsilon_{t-1}^{-} = 0  است اگر  ~\epsilon_{t-1}> 0  باشد.

## پانویس

* Tim Bollerslev. "Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity", *Journal of Econometrics*, 31:307-327, 1986.
* Enders, W. , *Applied Econometrics Time Series*, John-Wiley & Sons, 139-149, 1995
* رابرت انگل. "Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of Variance of United Kingdom Inflation", *Econometrica* 50:987-1008, 1982. *(the paper which sparked the general interest in ARCH models)*
* Robert F. Engle. "GARCH 101: The Use of ARCH/GARCH Models in Applied Econometrics", *Journal of Economic Perspectives* 15(4):157-168, 2001. *(a short, readable introduction)* http://pages.stern.nyu.edu/~rengle/Garch101.doc
* Engle, R.F. (1995) ARCH: selected readings. Oxford University Press. 
* Gujarati, D. N. , *Basic Econometrics*, 856-862, 2003
* Nelson, D. B. (1991). Conditional heteroskedasticity in asset returns: A new approach, Econometrica 59: 347-370.
* Bollerslev, Tim (2008). [ftp://ftp.econ.au.dk/creates/rp/08/rp08_49.pdf Glossary to ARCH (GARCH)], working paper
* Hacker, R. S. and Hatemi-J, A. (2005). A Test for Multivariate ARCH Effects, Applied Economics Letters, Vol. 12(7), pp. &nbsp;411-417.
* http://en.wikipedia.org/wiki/Autoregressive_conditional_heteroskedasticity

رده:اقتصادسنجی
رده:تحلیل سری زمانی
رده:خودهمبستگی
رده:ویکی‌سازی رباتیک