تابع هیون

**تابع هیون**، از توابع خاص در علم ریاضیات با نماد (Hℓ(a,q;α,β،γ,δ;z، تابعی هولومورفیک و پاسخ یک معادله دیفرانسیل معمولی خطیِ مرتبه دو با ضرایب غیرثابت به نام معادله هیون است که به افتخار ریاضیدان آلمانی، کارل هیون به این اسم نامیده می‌شود. معادله هیون، کلی‌ترین حالت معادله فوکسین خطی مرتبه دو، با داشتن چهار نقطه منفرد منظم است. حل این معادله تحت عنوان تابع هیون، از طریق تکنیک حل معادلات دیفرانسیل با کمک سری‌های توانی، بر پایه تئوری فوکس-فروبنیوس امکانپذیر است. گونه‌هایی از معادلات هیون، تحت عنوان معادلات کانفلوئنت هیون، با داشتن یک یا چند نقطه منفرد نامنظم وجود دارند که دارای ویژگی‌های ریاضی متعددی، من‌جمله ارتباطی تنگاتنگ با برخی از معادلات دیفرانسیلِ مولدِ پاره‌ای از توابع خاص هستند. در کل، معادله هیون، حالتی عمومی از معادلات دیفرانسیلی نظیر معادلات گاوس هایپرژئومتریک، کانفلوئنت هایپرژئومتریک، لامه، اینس، بسل، لِژندر و لگِر است که به همین علت تابع هیون روابط اثبات شده گوناگونی با بعضی از این توابع مانند توابع لامه و توابع هایپرژئومتریک پیدا کرده‌است. همچنین تابع هیون به صورت بسطی از توابعی مانند توابع هایپرژئومتریک و توابع ریمان پی قابل نمایش است. دسته‌ای خاص از پاسخهای معادله هیون مشهور به ***توابع هیون*** موجودند که در نقطه واحد دستگاه مختصات، تحلیلی هستند، همچنین دسته‌ای دیگر از پاسخهای این معادله تحت نام ***چندجمله‌ای‌های هیون*** در تمام نقاط منفرد منظم متناهی معادله هیون، دارای رفتاری تحلیلی‌اند. توابع و چندجمله ای‌های هیون، خواص متعددی دارند که می‌توان به وجود تعامد در آن‌ها اشاره کرد. معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره‌ای متعددی در علوم فیزیک و مهندسی، پس از اعمال روش جداسازی متغیرها منجر به بروز تابع هیون می‌شوند. تابع هیون، در دینامیک سیالات، فرایند تبدیل کریستالها، مکانیک کوانتوم، مطالعه بر سیاهچاله ها، و بسیاری از علوم دیگر کاربرد دارد. امروزه، نرم‌افزارهای ریاضی گوناگونی قادر به محاسبه تابع عمومی هیون و چندجمله ای‌ها و توابع هیون با دقت و سرعت بالایی هستند. 
## معادله دیفرانسیل هیون
حالت کلی معادله هیون را می‌توان به صورت زیر نمایش داد.

\frac {d^2w}{dz^2} + 
\left[\frac{\gamma}{z}+ \frac{\delta}{z-1} + \frac{\epsilon}{z-a} \right] 
\frac {dw}{dz} 
+ \frac {\alpha \beta z -q} {z(z-1)(z-a)} w = 0
a\neq 0,1

معادله هیون را می‌توان یک معادله دیفرانسیل معمولی خطی و از دسته معادلات فوکسین مرتبه دو با داشتن چهار نقطه تکینگی در نقاط \left \{ 0,1,a,\infty  \right \} برشمرد. لازم به ذکر است که نقاطِ منفردِ منظمِ \left \{ 0,1,a,\infty  \right \}، به ترتیب جفت اکسپاننت هایی(پاسخهای معادله مشخصه) به شرح \left \{ 0,1-\gamma  \right \} و \left \{ 0,1-\delta  \right \} و \left \{ 0,1-\epsilon  \right \} و \left \{ \alpha,\beta  \right \} دارند . 
در معادله هیون، a ثابت تکینگی، \alpha ٬ \beta ٬ \delta ٬ \gamma و \epsilon ثابتهای اکسپاننت و q ثابتی کمکی است. هر هفت پارامتر مؤثر در معادله هیون،\left \{ \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon ,a,q  \right \}، مستقل نیستند و با هم ارتباطی جبری دارند. بدین منظور، حالتی کلی از یک معادله فوکسین مرتبه دو را با 1+N نقطه تکینگی در z=c_{j},j=1,2,...N و \infty، به صورت زیر در نظر بگیرید.

{\frac{z-c_{j}}\right)\frac{dw}{dz}+\left(\sum _^{N}\frac{p_{j}}{z-c_{j}}\right)w=0}

در این حالت، جفت پاسخهای معادله مشخصه متناظر با نقاط متناهیِ c_{j} برابر با \{ 0,{1-b_{j}}\} و جفت پاسخ معادله مشخصه متناظر با \infty برابر با \left \{ \alpha ,\beta  \right \} خواهد بود. مجموع جفت پاسخهای معادله مشخصه، باید در رابطه \alpha+\beta+1=\sum _^{N}b_{j} صدق کنند. بنابراین، ثابت‌های \alpha ٬ \beta ٬ \delta ٬ \gamma و \epsilon می‌باید شرط 1+\alpha +\beta =\epsilon +\gamma +\delta  را برقرار سازند. با این توصیف، در معادله هیون، شش ثابت مستقل وجود دارد. از این رابطه در برخی از منابع تحت عنوان رابطه فوکس یا شرط فوکسین نام برده شده‌است.

### <small>حالت نرمال معادله هیون</small>
با انتخاب w(z)=z^(z-1)^(z-a)^W(z) حالت نرمال معادله هیون به صورت زیر نوشته می‌شود.

\frac+\frac{E}{(z-1)^{2}}+\frac{F}{(z-a)^{2}}\right)W

در معادله بالا A+B+C=0 می‌باشند. پارامترهای A,B,C,D,E,F از روابط زیر قابل محاسبه هستند.

### <small>معادله هیون بر اساس توابع مثلثاتی</small>
با تغییر متغیر z=\sin ^{2}(\theta ) می‌توان به حالتی مثلثاتی از معادله هیون دست پیدا کرد.

\frac+\left ( \left ( 2\gamma -1 \right )\cot \left ( \theta  \right )-(2\delta -1)\tan (\theta )-\frac{\epsilon \sin (2\theta )}{a-\sin ^{2}(\theta )}\ \right )\frac{\mathrm{d}w }{\mathrm{d} \theta } + 4\frac{\alpha \beta \sin ^{2}(\theta )-q}{a-\sin ^{2}(\theta )}w=0

### <small>معادله هیون بر اساس توابع ژاکوبی بیضوی</small>
با جایگذاری a=k^ و z={\mathop{\mathrm{sn^{2}}}}\left(\zeta,k\right) معادله هیون بر اساس توابع ژاکوبی بیضوی به صورت زیر قابل نمایش است.

\frac\zeta\mathop{\mathrm{dn}}\zeta}{\mathop{\mathrm{sn}}\zeta}-(2\delta-1)\frac{\mathop{\mathrm{sn}}\zeta\mathop{\mathrm{dn}}\zeta}{\mathop{\mathrm{cn}}\zeta}-(2\epsilon-1)k^{2}\frac{\mathop{\mathrm{sn}}\zeta\mathop{\mathrm{cn}}\zeta}{\mathop{\mathrm{dn}}\zeta}\right)\frac{dw}{d\zeta}+4k^{2}(\alpha\beta{\mathop{\mathrm{sn}^{2}}}\zeta-q)w=0

## پاسخ معادله هیون
### <small>پاسخ بر پایه تئوری فوکس-فروبنیوس حول نقطه 0=z</small>
پاسخ معادله هیون، با نماد \mathop{\mathit{H\!\ell}}\!\left(a,q;\alpha,\beta,\gamma,\delta;z\right) بر پایه یک سری توانی بر اساس تئوری فوکس-فروبنیوس، حول نقطه z=0 با احتساب مقدار 1 در این نقطه و اکسپاننت \left \{ 0 \right \} قابل نوشتن است. در صورتی که مقدار اکسپاننت دیگر٬\left \{ 1-\gamma \right \}٬ عدد صحیح مثبتی نباشد یا به عبارتی دیگر \gamma \neq 0,-1,-2,...، پاسخ معادله هیون بر ناحیه |z| موجود و تحلیلی و به صورت سری توانی زیر است.

\mathop{\mathit{H\!\ell}}\!\left(a,q;\alpha,\beta,\gamma,\delta;z\right)=\sum _^c_{j}z^{j}

ضرایب این سری توانی از رابطه‌ای بازگشتی با احتساب P_{j}=(j-1+\alpha)(j-1+\beta)
٬ Q_{j}=j\left((j-1+\gamma)(1+a)+a\delta+\epsilon\right)٬ R_{j}=a(j+1)(j+\gamma) و به شرح زیر به دست می آیند.

{c_{0}}= 1

a\gamma c_{1}-qc_{0}=0

R_{j}c_-(Q_{j}+q)c_{j}+P_{j}c_=0

در صورتی که مقدار اکسپاننت دوم،\left \{ 1-\gamma \right \}٬ مقدار صحیح مثبتی باشد، یا \gamma =0,-1,-2,...، پاسخ معادله هیون به صورت زیر است.

z^\mathop{\mathit{H\!\ell}}\!\left(a,(a\delta+\epsilon)(1-\gamma)+q;\alpha+1-\gamma,\beta+1-\gamma,2-\gamma,\delta;z\right)

### <small>پاسخ بر پایه تئوری فوکس-فروبنیوس حول سایر نقاط تکین</small>

پاسخ حول نقطه z=1 با احتساب اکسپاننت \left \{ 0 \right \} برابر با مقدار زیر است.

\mathop{\mathit{H\!\ell}}\!\left(1-a,\alpha\beta-q;\alpha,\beta,\delta,\gamma;1-z\right)

همینطور پاسخ حول نقطه z=1 با احتساب اکسپاننت \left \{ 1-\delta \right \} به صورت زیر نشان داده می‌شود.

(1-z)^\!\left(1-a,((1-a)\gamma+\epsilon)(1-\delta)+\alpha\beta-q;\alpha+1-\delta,\beta+1-\delta,2-\delta,\gamma;1-z\right)

پاسخهای مربوطه معادله هیون، حول نقطه z=a با احتساب اکسپاننت‌های \left \{ 0 \right \} و \left \{ 1-\epsilon \right \} به ترتیب به صورتهای زیر قابل محاسبه هستند.

\!\left(\frac{a}{a-1},\frac{\alpha\beta a-q}{a-1};\alpha,\beta,\epsilon,\delta;\frac{a-z}{a-1}\right)

\left(\frac{a-z}{a-1}\right)^\!\left(\frac{a}{a-1},\frac{(a(\delta+\gamma)-\gamma)(1-\epsilon)}{a-1}+\frac{\alpha\beta a-q}{a-1};\alpha+1-\epsilon,\beta+1-\epsilon,2-\epsilon,\delta;\frac{a-z}{a-1}\right)

همچنین در z=\infty  با در نظر گرفتن اکسپاننت‌های \left \{ \alpha \right \} و \left \{ \beta \right \} می‌توان به ترتیب جواب‌های معادله هیون را به مانند زیر نمایش داد.

z^\!\left(\frac{1}{a},\alpha\left(\beta-\epsilon\right)+\frac{\alpha}{a}\left(\beta-\delta\right)-\frac{q}{a};\alpha,\alpha-\gamma+1,\alpha-\beta+1,\delta;\frac{1}{z}\right)

z^\!\left(\frac{1}{a},\beta\left(\alpha-\epsilon\right)+\frac{\beta}{a}\left(\alpha-\delta\right)-\frac{q}{a};\beta,\beta-\gamma+1,\beta-\alpha+1,\delta;\frac{1}{z}\right)

## توابع هیون
به ازای دسته مقادیری از ثابت کمکی q، تابع هیون یا \!\left(a,q;\alpha,\beta,\gamma,\delta;z\right) در نقطه z=1 و در نتیجه بر بازه |z| تحلیلی می‌شود. این مقادیر q_{m}٬ m=0,1,... با استفاده از کسرهایی نامتناهی به صورت q=\cfrac{a\gamma P_{1}}{Q_{1}+q-\cfrac{R_{1}P_{2}}{Q_{2}+q-\cfrac{R_{2}P_{3}}{Q_{3}+q-\cdots}}} و با جایگذاری P_{j}=(j-1+\alpha)(j-1+\beta)٬ Q_{j}=j\left((j-1+\gamma)(1+a)+a\delta+\epsilon\right)٬ R_{j}=a(j+1)(j+\gamma) به دست می آیند. برای تأکید بر تفاوت این گروه از پاسخهای معادله هیون از نماد {(0,1){Hf}_}\!\left(a,q_{m};\alpha,\beta,\gamma,\delta;z\right) استفاده می‌شود.

در حالتی عمومی تر به ازای هر (s_{1},s_{2})\in\{ 0,1,a,\infty\} می‌توان دسته‌ای از مقادیر q_{m} پیدا کرد که تابع هیون، در نقاط s_{1} و s_{2} تحلیلی باشد. شیوه محاسبه q_{m} بستگی به مقادیر s_{1} و s_{2} دارد. به این گروه از تابع‌های هیون که در دو نقطه از چهار نقطه تکین در معادله دیفرانسیل هیون پاسخی تحلیلی دارند، *<span style="font-size: large;">توابع هیون</span>* می‌گویند که با نماد {(s_{1},s_{2})\mathit{Hf}_}\!\left(a,q_{m};\alpha,\beta,\gamma,\delta;z\right) نمایش داده می‌شوند.

## چندجمله‌ای‌های هیون
چندجمله‌ای های هیون، چندجمله‌ای‌هایی از درجه n هستند که بر سه نقطه متناهی تکین معادله هیون \left \{ 0,1,a \right \}، تحلیلی اند و با نماد {6});\alpha,\beta,\tfrac{1}{3}(\alpha+\beta+1),\tfrac{1}{3}(\alpha+\beta+1);z\right)=\mathop(\tfrac{1}{3}\alpha,\tfrac{1}{3}\beta;\tfrac{1}{3}(\alpha+\beta+1);1-[z/(\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{6})]^{3})

همچنین روابطی موجود هستند که در آن‌ها متغیر z در تبدیل از تابع هیون به معادلی به صورت یک تابع هایپرژئومتریک، تغییر توانی نمی‌یابد یا به صورت چندجمله‌ای ظاهر نمی‌شود، بلکه تنها تحت تغییرات جبری قرار میگیرد.

### <small>ارتباط با توابع لامه</small>

تابع هیون، با تابع لامه نیز دارای ارتباط است. می‌توان با تغییر متغیر z={sn^{2}}\left(\zeta,k\right)، معادله هیون را بر حسب متغیر \zeta نمایش داد، به‌طوری‌که a=k^٬ q=-\tfrac{1}{4}ah٬ \alpha=-\tfrac{1}{2}\nu٬ \beta=\tfrac{1}{2}(\nu+1)٬ \gamma=\delta=\epsilon=\tfrac{1}{2}. لازم به ذکر است که معادله دیفرانسیل لامه به صورت \frac{\partial t}w(t)-\mathcal{K}\frac{dw(t)}{dt}\right)\right|_{C}=0 را برقرار سازد، به‌طوری‌که p(t)=t^{\gamma}(t-1)^{\delta}(t-a)^{\epsilon}.
شیوه محاسبه تابع کرنل معادله انتگرالی با تغییر متغیرهای زیر امکانپذیر است.

\mathop{\cos}\theta=\left(\frac{zt}{a}\right)^

\mathop{\sin}\theta\mathop{\cos}\phi=i\left(\frac{(z-a)(t-a)}{a(1-a)}\right)^

\mathop{\sin}\theta\mathop{\sin}\phi=\left(\frac{(z-1)(t-1)}{1-a}\right)^

تابع کرنل \mathcal{K}(\theta,\phi) باید معادله زیر را پاسخگو باشد. جواب این معادله را می‌توان بر حسب تابع ریمان پی نوشت.

{\mathop{\sin}^}\theta\left(\frac+\left((1-2\gamma)\mathop{\tan}\theta+2(\delta+\epsilon-\tfrac{1}{2})\mathop{\cot}\theta\right)\frac{\partial\mathcal{K}}{\partial\theta}-4\alpha\beta\mathcal{K}\right)+\frac+\left((1-2\delta)\mathop{\cot}\phi-(1-2\epsilon)\mathop{\tan}\phi\right)\frac{\partial\mathcal{K}}{\partial\phi}=0

\mathcal{K}(\theta,\phi)=\mathop{P}\!\begin{Bmatrix}0&1&\infty&\\
0&\frac{1}{2}-\delta-\sigma&\alpha&{\mathop{\cos}^}\theta\\
1-\gamma&\frac{1}{2}-\epsilon+\sigma&\beta&\end{Bmatrix}\mathop{P}\!\begin{Bmatrix}0&1&\infty&\\
0&0&-\frac{1}{2}+\delta+\sigma&{\mathop{\cos}^}\phi\\
1-\epsilon&1-\delta&-\frac{1}{2}+\epsilon-\sigma&\end{Bmatrix}

در رابطه بالا،\sigma  ثابت روش جداسازی متغیرهاست. مثلاً در چندجمله ای‌های هیون، \mathop{\mathit{Hp}_}\!\left(z\right)٬ \sigma=\frac{1}{2}-\delta-j است به‌طوری‌که j=0,1,\dots,n.

### <small>رابطه انتگرالی دوگانه</small>

اگر w(z) یکی از جواب‌های معادله هیون و W(z) جوابی دیگر از این معادله باشد، می‌توان رابطه‌ای انتگرالی به شرح زیر بین این دو پاسخ از معادله پیدا کرد.

W(z)=\int _}\int _}\mathcal{K}(z;s,t)w(s)w(t)\rho(s,t)dsdt

تابع وزن رابطه انتگرالی به صورت \rho(s,t)=(s-t)(st)^\left((1-s)(1-t)\right)^\left((1-(s/a))(1-(t/a))\right)^ است و کرنل \mathcal{K}(z;s,t) میباید در معادله دیفرانسیل چند متغیره \left((t-z)\mathcal{D}_{s}+(z-s)\mathcal{D}_{t}+(s-t)\mathcal{D}_{z}\right)\mathcal{K}=0 صادق باشد. اپراتور \mathcal{D}_{z} نیز اپراتور دیفرانسیلی هیون است. همچنین نواحی انتگرالگیری C_{1} و C_{2} باید در روابط زیر صدق کنند.

\left.p(t)\left(\frac{\partial\mathcal{K}}{\partial t}w(t)-\mathcal{K}\frac{dw(t)}{dt}\right)\right|_}=0

\left.p(s)\left(\frac{\partial\mathcal{K}}{\partial s}w(s)-\mathcal{K}\frac{dw(s)}{ds}\right)\right|_}=0

در دو رابطه بالا، p(t)=t^{\gamma}(t-1)^{\delta}(t-a)^{\epsilon} است.
با تغییر متغیرهای زیر، می‌توان تابع کرنل رابطه انتگرالی را محاسبه کرد.

u=\frac{(stz)^}{a}

v=\left(\frac{(s-1)(t-1)(z-1)}{1-a}\right)^

w=i\left(\frac{(s-a)(t-a)(z-a)}{a(1-a)}\right)^

در نهایت با اعمال تغییر متغیرهای مذکور، کرنل رابطه انتگرالی، میبایست معادله دیفرانسیل چند متغیره زیر را ارضا کند.

\frac+\frac+\frac+\frac{2\gamma-1}{u}\frac{\partial\mathcal{K}}{\partial u}+\frac{2\delta-1}{v}\frac{\partial\mathcal{K}}{\partial v}+\frac{2\epsilon-1}{w}\frac{\partial\mathcal{K}}{\partial w}=0

نتیجه معادله مذکور بر حسب توابع بسل، به صورت زیر قابل محاسبه است.

\mathcal{K}(u,v,w)=u^v^w^\right)\right)\right)

در رابطه بالا F_{1-\gamma }\left ( u\sqrt{\sigma _{1}} \right )٬F_{1-\delta }\left ( u\sqrt{\sigma _{1}} \right )٬F_{1-\epsilon }\left ( u\sqrt{\sigma _{1}} \right ) ترکیبهایی خطی از توابع بسل نوع اول و دوم و \sigma _{1} و \sigma _{2} ثابتهای جداسازی هستند، به‌طور مثال:

F_{1-\gamma }\left ( u\sqrt{\sigma _{1}} \right )=C_{1}J_{1-\gamma }\left ( u\sqrt{\sigma _{1}} \right )+C_{2}Y_{1-\gamma }\left ( u\sqrt{\sigma _{1}} \right )

با تغییر متغیرهایی بر اساس دستگاه مختصات کروی، می‌توان به صورتی دیگر از معادله کرنل رسید.

u=r\mathop{\cos}\theta

v=r\mathop{\sin}\theta\mathop{\sin}\phi

w=r\mathop{\sin}\theta\mathop{\cos}\phi

\frac+\frac{2(\gamma+\delta+\epsilon)-1}{r}\frac{\partial\mathcal{K}}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\frac+\frac{(2(\delta+\epsilon)-1)\mathop{\cot}\theta-(2\gamma-1)\mathop{\tan}\theta}{r^{2}}\frac{\partial\mathcal{K}}{\partial\theta}+\frac{1}{r^{2}{\mathop{\sin}^}\theta}\frac+\frac{(2\delta-1)\mathop{\cot}\phi-(2\epsilon-1)\mathop{\tan}\phi}{r^{2}{\mathop{\sin}^}\theta}\frac{\partial\mathcal{K}}{\partial\phi}=0

حل معادله بالا، بر اساس توابع ریمان پی به صورت زیر است.

\mathcal{K}(r,\theta,\phi)=r^{m}{\mathop{\sin}^}\theta\mathop{P}\!\begin{Bmatrix}0&1&\infty&\\
0&0&a&{\mathop{\cos}^}\theta\\
\tfrac{1}{2}(3-\gamma)&c&b&\end{Bmatrix}\mathop{P}\!\begin{Bmatrix}0&1&\infty&\\
0&0&a^&{\mathop{\cos}^}\phi\\
1-\epsilon&1-\delta&b^&\end{Bmatrix}

پارامترهای معادله بالا، از دسته روابط زیر به دست می آیند.

m^{2}+2(\alpha+\beta)m-\sigma _{1}=0

a+b=2(\alpha+\beta+p)-1

p^{2}+(\alpha+\beta-\gamma-\tfrac{1}{2})p-\tfrac{1}{4}\sigma _{2}=0

ab=p^{2}-p(1-\alpha-\beta)-\tfrac{1}{4}\sigma _{1}

c=\gamma-\tfrac{1}{2}-2(\alpha+\beta+p)

a^+b^=\delta+\epsilon-1

a^b^=-\tfrac{1}{4}\sigma _{2}

ثابتهای \sigma _{1} و \sigma _{2} ثابتهای روش جداسازی متغیرها در حل معادله دیفرانسیل هستند.

## بسط بر اساس توابع هایپرژئومتریک
فرض کنید w(z) جواب معادله هیون باشد و بتوان آن را به صورت بسطی از توابع ریمان پی نشان داد.

w(z)=\sum _^{\infty}c_{j}P_{j}

P_{j}=\mathop{P}\!\begin{Bmatrix}0&1&\infty&\\
0&0&\lambda+j&z\\
1-\gamma&1-\delta&\mu-j&\end{Bmatrix}

\lambda+\mu=\gamma+\delta-1=\alpha+\beta-\epsilon

در این صورت می‌توان c_{j} را از روابط زیر به دست آورد.

L_{0}c_{0}+M_{0}c_{1}=0

K_{j}c_+L_{j}c_{j}+M_{j}c_=0

به‌طوری‌که:

K_{j}=-\frac{(j+\alpha-\mu-1)(j+\beta-\mu-1)(j+\gamma-\mu-1)(j+\lambda-1)}{(2j+\lambda-\mu-1)(2j+\lambda-\mu-2)}

L_{j}=a(\lambda+j)(\mu-j)-q+\frac{(j+\alpha-\mu)(j+\beta-\mu)(j+\gamma-\mu)(j+\lambda)}{(2j+\lambda-\mu)(2j+\lambda-\mu+1)}+\frac{(j-\alpha+\lambda)(j-\beta+\lambda)(j-\gamma+\lambda)(j-\mu)}{(2j+\lambda-\mu)(2j+\lambda-\mu-1)}

M_{j}=-\frac{(j-\alpha+\lambda+1)(j-\beta+\lambda+1)(j-\gamma+\lambda+1)(j-\mu+1)}{(2j+\lambda-\mu+1)(2j+\lambda-\mu+2)}

در سه رابطه بالا، \lambda  و \mu  میباید در عبارت M_P_=0 صدق کنند که بر این اساس، می‌توان به مقادیر گوناگونی از این دو پارامتر و در نتیجه بسطهای مختلفی بر اساس توابع هایپرژئومتریک رسید. مثلاً اگر:

\lambda=\alpha

\mu=\beta-\epsilon

شرط M_P_=0 برقرار می‌شود و می‌توان به بسطی بر اساس توابع هایپرژئومتریک دست یافت که در آن:

P_{j}=\frac{\mathop{\Gamma}\!\left(\alpha+j\right)\mathop{\Gamma}\!\left(1-\gamma+\alpha+j\right)}{\mathop{\Gamma}\!\left(1+\alpha-\beta+\epsilon+2j\right)}z^\mathop\!\left({\alpha+j,1-\gamma+\alpha+j\atop 1+\alpha-\beta+\epsilon+2j}\frac{1}{z}\right)

در زیر مقادیری از \lambda  و \mu  که در شرط M_P_=0 صادق هستند قرار داده شده‌اند.

\lambda=\beta و \mu=\alpha-\epsilon

\lambda=\gamma+\delta-1 و \mu=0

\lambda=\gamma و \mu=\delta-1

\lambda=\delta و \mu=\gamma-1

\lambda=1 و \mu=\gamma+\delta-2

## صورتهای کانفلوئنت معادله هیون

صورت کانفلوئنت معادله هیون به نوعی از معادلات هیون گفته می‌شود که حداقل یکی از نقاط منفرد منظم این معادله، تبدیل به یک نقطه منفرد نامنظم گردیده باشد. چهار حالت استندارد برای کانفلوئنت معادله هیون وجود دارد.

### <small>کانفلوئنت مضاعف معادله هیون</small>

این معادله به شکل زیر نمایش داده می‌شود و حاوی دو نقطه منفرد نامنظم از درجه یک در z=0,\infty  است.

\frac+\frac{\gamma}{z}+1\right)\frac{dw}{dz}+\frac{\alpha z-q}{z^{2}}w=0

### <small>معادله بای کانفلوئنت هیون</small>

معادله بای کانفلوئنت هیون شامل نقطه منفرد منظم در z=0 و نقطه منفرد نامنظم از درجه دو در z=\infty  است.

\frac{{d}^{2}w}+\left(\frac{\gamma}{z}+\delta+z\right)\frac{dw}{dz}+\frac{\alpha z-q}{z}w=0

### <small>معادله تری کانفلوئنت هیون</small>

معادله تری کانفلوئنت هیون تنها یک نقطه منفرد نامنظم از درجه سه در z=\infty  دارد.

\frac{{d}^{2}w}+\left(\gamma+z\right)z\frac{dw}{dz}+\left(\alpha z-q\right)w=0

### <small>معادله کانفلوئنت هیون</small>

این معادله، دربرگیرنده معادلاتی است که منجر به توابعی چون توابع متیو، تابع موج کولمب و تابع موج در مختصات اسفرویدال می‌شود و دارای دو نقطه منفرد منظم در z=0  و z=1 و یک نقطه منفرد نامنظم در z=\infty  با درجه یک است.

\frac{{d}^{2}w}+\left(\frac{\gamma}{z}+\frac{\delta}{z-1}+\epsilon\right)\frac{dw}{dz}+\frac{\alpha z-q}{z(z-1)}w=0

## کاربردها در ریاضیات و فیزیک

تابع هیون، در تئوری سیاهچاله ها، فیزیک و مکانیک کوانتوم، مطالعه بر دستگاه بلوری در مکانیک آماری، پدیده نابجایی، فیزیک نجومی، حل معادلات موج در دستگاه مختصات اسفرویدال و مکانیک کوانتوم مولکولی و برخی از مطالعات در مکانیک سیالات مانند مدلسازی امواج روسبی کاربرد دارد.
## نرم‌افزارهای مرتبط با توابع هیون

این تابع توسط بعضی از نرم‌افزارهای ریاضی مانند میپل قابل محاسبه است و نمایش است. 
## جستارهای وابسته
* توابع خاص

* تابع لژندر
* تابع بسل

## پانویس

## منابع

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

رده:توابع خاص
رده:معادلات دیفرانسیل معمولی