تئوری تیر تیموشنکو

بندانگشتی|400px|تغییر شکل یک تیر تیموشنکو (آبی) در مقایسه با یک تیر اویلر-برنولی (قرمز).
**تئوری تیر تیموشنکو** () در اویل قرن بیستم توسط دانشمند و مهندس روس استفن تیموشنکو  که اصالتی اکراینی داشت ارائه شد.
این مدل با در نظر گرفتن اثر همزمان تغییرشکل برشی و ممان خمشی، به مدلی مناسب برای شرح رفتار تیرهای کوتاه، تیرهای مرکب ساندویچی  و تیرهای تحت تأثیر تحریک‌کننده فرکانس بالا (در طول موج‌های نزدیک به ضخامت تیر) بدل شد.
فرضیات تئوری تیر تیموشنکو:
# هر صفحه به صورت صفحه باقی می‌ماند.
# ضخامت تیر بعد از تغییر شکل تغییر نمی‌کند.

همانطور که در تصویر مشاهده می‌کنید فرض عمود باقی ماندن صفحات عمود بر محور خنثی که در تئوری اویلر-برنولی وجود داشت در اینجا حذف شده‌است. در واقع در تیر تیموشنکو، تغییرشکل‌های برشی خود را به صورت تغییر در زاویه این صفحات نشان می‌دهند.

در معادله جواب در این روش علاوه بر وجود یک ترم درجه چهار، یک مشتق جزئی درجه دوم نیز وجود دارد (بر خلاف تئوری تیر اویلر-برنولی).

## تیر تیموشنکو تحت [[فرایند شبه‌ایستا|بارگذاری استاتیکی]]
در حالت بارگذاری استاتیکی در تئوری تیر تیموشنکو و بدون در نظر گرفتن نیروهای محوری، فرض می‌شود که تغییر مکان از رابطه زیر بدست می‌آید:

بندانگشتی|200px|تغییر شکل تیر تیموشنکو. محور عمود بر مقطع تیر به اندازه <math>\theta_x = \varphi(x)</math> چرخیده است که این مقدار با <math>dw/dx</math> برابر نیست .

:
  u_x(x,y,z) = -z~\varphi(x) ~;~~ u_y(x,y,z) = 0 ~;~~ u_z(x,y) = w(x)

اگر (x,y,z) مختصات یک نقطه بر روی تیر باشند u_x, u_y, u_z بردارهای تغییرمکان آن نقطه در راستای دستگاه مختصات فرضی است. \varphi زاویه چرخش بردار عمود بر صفحه میانی تیر و w تغییرمکان این صفحه در راستای z است.

معادلات حاکم بر مسئله که از نوع معادلات دیفرانسیل معمولی هستند از این قرار خواهند بود:
:
 \begin{align}
  & \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2}\left(EI\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} x}\right) = q(x,t) \\
  & \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} x} = \varphi - \frac{1}{\kappa AG} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(EI\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} x}\right).
  \end{align}


تئوری تیر تیموشنکو در حالت استاتیکی و در صورتی که طرف راست معادله فوق ناچیز در نظر گرفته شود با تئوری اویلر-برنولی برابر خواهد بود. این برابری تنها با وجود شرط زیر برقرار است:
:
\frac{EI}{\kappa L^2 A G} \ll 1

که در عبارت فوق:
* L طول تیر
* A سطح مقطع تیر
* E مدول الاستیسیته تیر
* G مدول برشی تیر
* I گشتاور دوم سطح تیر
* و \kappa ضریب برش تیموشنکو است که به سطح مقطع تیر بستگی دارد. این عدد برای مقاطع مستطیلی برابر با \kappa = 5/6 است.

با ترکیب دو معادله فوق برای یک تیر همگن با سطح مقطع ثابت خواهیم داشت:
:
  EI~\cfrac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d} x^4} = q(x) - \cfrac{EI}{\kappa A G}~\cfrac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d} x^2}

لنگر خمشی M_{xx} و نیروی برشی Q_x تیر نیز برای یک تیر الاستیک خطی تیموشنکو با استفاده از معادلات زیر به جابه جایی w و چرخش تیر \varphi مربوط خواهند شد:
:
  M_{xx} = -EI~\frac{\partial \varphi}{\partial x} \quad \text{and} \quad
  Q_{x}  = \kappa~AG~\left(-\varphi + \frac{\partial w}{\partial x}\right) \,.


## شرایط مرزی
دو معادلهٔ تغییر شکل در تیر تیموشنکو، توسط شرایط مرزی مسئله قابل حل خواهند شد. برای حل دقیق این معادلات به چهار شرط مرزی نیاز است. انواع شرایط مرزی قابل اعمال بر مسئله به صورت زیر خواهد بود:
* **تیرهای دارای [[تکیه گاه]] مفصلی در دو انتها**:
# تغییر مکان w در دو انتهای تیر (در محل تکیه گاه‌ها) برابر صفر است.
# لنگر خمشی اعمال شده به تیر M_{xx} باید معلوم باشد.
# نیروی برشی Q_x و میزان چرخش \varphi تعیین نشده‌است.
* ** تیرهای دارای تکیه گاه گیردار **:
# تغییرمکان w و زاویه چرخش \varphi در محل تکیه گاه صفر است.
# اگر یک انتهای تیر آزاد باشد (مانند تیر یک سر در گیر یا تیر کنسول) آنگاه نیروی برشی Q_x و لنگر خمشی M_{xx} باید معلوم باشد.

### مثال: تیر کنسول
بندانگشتی|350px|یک تیر کنسول تیموشنکو تحت بار متمرکز در انتهای آزاد تیر.
همانطور که می‌دانید در یک تیر کنسول یک سر تیر دارای تکیه گاه گیردار بوده و انتهای دیگر تیر آزاد است. دستگاه مختصات را در سمت چپ تیر و در انتهای آزاد آن مستقر می‌کنیم. در این حالت جهت مثبت x به سمت راست و جهت مثبت z به سمت بالا اشاره می‌کند. فرض می‌کنیم که نیرو در جهت مثبت محورهای مختصات اعمال شده و گشتاور نیز به صورت ساعت گرد به تیر اعمال می‌گردد. همچنین فرض می‌کنیم که تنش‌های ناشی از M_{xx} وقتی تار پایینی تیر تحت فشار باشد و Q_x وقتی مقطع تیر به صورت پاد ساعت‌گرد تحت پیچش قرار می‌گیرد مثبت است.
انتهای گیر دار تیر در x=L و انتهای آزاد آن در x=0 قراردارد. اگر نیروی متمرکز P بر انتهای آزاد تیر و در راستای مثبت محور z اعمال گردد با رسم نمودار جسم آزاد تیر خواهیم داشت:
:
  -Px - M_{xx} = 0 \implies M_{xx} = -Px
 
و
: P + Q_x = 0 \implies Q_x = -P\,.
 
در نتیجه با توجه به روابط لنگر خمشی و نیروی برشی داریم:
:
  Px = EI\,\frac{d\varphi}{dx} \qquad \text{and} \qquad -P = \kappa AG\left(-\varphi + \frac{dw}{dx}\right) \,.
 
با انتگرال گیری از معادله اول و اعمال شرط مرزی \varphi = 0 در x = L به عبارت زیر می‌رسیم:
:
  \varphi(x) = -\frac{P}{2EI}\,(L^2-x^2) \,.
 
همچنین معادله دوم را نیز می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد:
:
  \frac{dw}{dx} = -\frac{P}{\kappa AG} - \frac{P}{2EI}\,(L^2-x^2)\,.
 
که با انتگرال‌گیری و اعمال شرط مرزی w = 0 در x = L خواهیم داشت:
:
  w(x) = \frac{P(L-x)}{\kappa AG} - \frac{Px}{2EI}\,\left(L^2-\frac{x^2}{3}\right) + \frac{PL^3}{3EI} \,.
 

و در نهایت تنش محوری نیز از رابطه زیر بدست خواهد آمد:
:
  \sigma_{xx}(x,z) = E\,\varepsilon_{xx} = -E\,z\,\frac{d\varphi}{dx} = -\frac{Pxz}{I} = \frac{M_{xx}z}{I} \,.
 

## تیر دینامیک تیموشنکو
در تئوری تیر تیموشنکو بدون در نظر گرفتن اثرات محوری، تغییر مکان تیر با توجه به زمان براساس رابطه زیر محاسبه می‌گردد:
:
  u_x(x,y,z,t) = -z~\varphi(x,t) ~;~~ u_y(x,y,z,t) = 0 ~;~~ u_z(x,y,z,t) = w(x,t)

در این رابطه، (x,y,z) مختصات یک نقطه بر روی تیر، u_x, u_y, u_z بردارهای جابه جایی این نقطه در راستای محورهای مختصات، \varphi زاویه چرخش صفحه عمود بر تار میانی تیر و w میزان جابه جایی تار میانی تیر در راستای z است.
با توجه به فرضیات فوق، امکان توصیف ارتعاش در تئوری تیر تیموشنکو با استفاده از یک جفت معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی وجود خواهد داشت.
:
\rho A\frac{\partial^{2}w}{\partial t^{2}} - q(x,t) = \frac{\partial}{\partial x}\left[ \kappa AG \left(\frac{\partial w}{\partial x}-\varphi\right)\right]


:
\rho I\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}\left(EI\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)+\kappa AG\left(\frac{\partial w}{\partial x}-\varphi\right)


در معادلات فوق متغیرهای وابسته w(x,t) بیانگر جابه جایی تیر و \varphi(x,t) بیانگر تغییرمکان زاویه‌ای تیر است. باید توجه داشت که بر خلاف تئوری تیر اویلر-برنولی، { نیاز به ترجمه دقیق: the angular deflection is another variable and not approximated by the slope of the deflection.} همچنین سایر متغیرها به صورت زیر تعریف می‌گردند:
* \rho چگالی مصالح تیر (توجه شود که منظور چگالی خطی تیر نیست)
* Aمساحت سطح مقطع تیر.
* E مدول الاستیسیته.
* G مدول برشی.
* I گشتاور دوم سطح.
* \kappa ضریب برش تیموشنکو است که به سطح مقطع تیر بستگی دارد. این عدد برای مقاطع مستطیلی برابر با \kappa = 5/6
* q(x,t) بار توزیع شده (نیرو بر سطح).
* m := \rho A
* J := \rho I

که البته این مقادیر الزاماً ثابت نیستند.
برای یک تیر الاستیک خطی ایزوتروپیک همگن با مقطع ثابت می‌توان با ترکیب دو معادله فوق، معادله زیر را بدست آورد:

:
  EI~\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^4} + m~\cfrac{\partial^2 w}{\partial t^2} - \left(J + \cfrac{E I m}{k A G}\right)\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^2~\partial t^2} + \cfrac{m J}{k A G}~\cfrac{\partial^4 w}{\partial t^4} = q(x,t) + \cfrac{J}{k A G}~\cfrac{\partial^2 q}{\partial t^2} - \cfrac{EI}{k A G}~\cfrac{\partial^2 q}{\partial x^2}
 
:

### اثرات محوری
برای مشاهدهٔ اثرات محوری در تئوری تیر تیموشنکو به نسخهٔ انگلیسی این مطلب مراجعه فرمایید و در صورت تمایل می‌توانید ترجمه خود از نسخهٔ انگلیسی را نیز در این قسمت اضافه کنید.

### میرایی
برای مشاهدهٔ میرایی در تئوری تیر تیموشنکو به نسخهٔ انگلیسی این مطلب مراجعه فرمایید و در صورت تمایل می‌توانید ترجمه خود از نسخهٔ انگلیسی را نیز در این قسمت اضافه کنید.

## ضریب برش
برای مشاهدهٔ ضریب در تئوری تیر تیموشنکو به نسخهٔ انگلیسی این مطلب مراجعه فرمایید و در صورت تمایل می‌توانید ترجمه خود از نسخهٔ انگلیسی را نیز در این قسمت اضافه کنید.

## منابع

رده:تحلیل سازه‌ها
رده:مقاله‌های ایجادشده توسط ایجادگر
رده:مکانیک محیط‌های پیوسته
رده:ویکی‌سازی رباتیک