تبدیل لاپلاس

بندانگشتی|تبدیل لاپلاس
**تبدیل لاپلاس**  در ریاضیات یک تبدیل انتگرالی است که بسیار پرکاربرد است. تبدیل لاپلاس با نماد  \displaystyle\mathcal{L} \left\{f(t)\right\} در واقع عملگری خطی از تابع (*f* (*t* با آرگومان حقیقی (*t* (*t* ≥ ۰ به تابع (*F* (*s* با آرگومان مختلط *s* است. در بسیاری از کاربردهای عملی، این تبدیل به صورت دوسویه عمل می‌کند. ویژگی مهم این تبدیل آن است که بسیاری از رابطه‌ها و تغییراتی که بر روی تابع اصلی (*f* (*t* برقرار هستند، در تبدیل یافتهٔ آن (*F* (*s* نیز با رابطه‌ای ساده و منطقی برقرار‌اند.

این تبدیل به افتخار پیر لاپلاس یعنی کسی که آن را در یکی از کارهایش بر روی نظریهٔ احتمالات معرفی کرده بود، تبدیل لاپلاس گذاشته شده‌ است.

تبدیل لاپلاس شبیه به تبدیل یا تبدیل فوریه است با این تفاوت که تبدیل فوریه یک تابع را به حالت‌های ارتعاشی‌اش تجزیه می‌کند ولی تبدیل لاپلاس آن را به momentهایش تجزیه می‌کند. تبدیل‌های لاپلاس و فوریه هر دو برای حل معادله‌های دیفرانسیلی و انتگرالی کاربرد دارند. در فیزیک و مهندسی از این تبدیل برای تحلیل سامانهٔ نامتغیرهای خطی زمان مانند مدارهای الکتریکی، ابزارهای نوری، و سامانه‌های مکانیکی استفاده می‌شود. در بیشتر موارد، تبدیل لاپلاس برای تبدیل سامانه‌هایی با ورودی و خروجی وابسته به زمان به سامانه‌ای وابسته به بسامد زاویه‌ای مختلط با یکای رادیان بر واحد زمان است. به عبارت دیگر، اگر سامانه‌ای را در نظر بگیریم که توصیف ریاضی یا تابع ورودی و خروجی آن را داشته باشیم، تبدیل لاپلاس آن به ما کمک می‌کند تا تابع جایگزینی را پیدا کنیم که تحلیل رفتار این تابع را آسان‌تر می‌کند.

روش تبدیل لاپلاس، روش عملیاتی است که می‌تواند در حل معادلات دیفرانسیل خطی سودمند باشد. به کمک تبدیل‌های لاپلاس می‌توان بسیاری از توابع متداول نظیر توابع سینوسی، توابع سینوسی میرا، و توابع نمایی را به توابع جبری با یک متغیر مختلط تبدیل کرد . عملیات جبری در صفحات مختلط می‌توانند جای عملیاتی مانند مشتق‌گیری و انتگرال‌گیری را بگیرند . از این رو یک معادله دیفرانسیل خطی را می‌توان به یک معادله جبری با یک متغیر مختلط تبدیل کرد . آنگاه جواب معادله دیفرانسیل را می‌توان به کمک جدول تبدیل لاپلاس یا روش تجزیه به کسرهای ساده به‌دست آورد .

یکی از مزایای روش تبدیل لاپلاس در این است که استفاده از روش‌های ترسیمی برای پیش‌بینی عملکرد سیستم را بدون حل واقعی معادلات دیفرانسیل سیستم میسر می‌سازد . مزیت دیگر آن در این است که با حل معادله دیفرانسیل، می‌توان هر دو مؤلفه گذرا و حالت ماندگار جواب را یکجا به‌دست آورد .

## پیشینه
تبدیل لاپلاس به بزرگداشت ریاضی‌دان و ستاره‌شناس فرانسوی پیر لاپلاس نامگذاری شده‌است. او اولین بار از این تبدیل در یکی از کارهایش بر روی نظریهٔ احتمالات استفاده کرد. از سال ۱۷۴۴ لئونارد اویلر شروع به تحقیق دربارهٔ انتگرال‌هایی با فرم زیر کرد:

:  z = \int X(x) e^{ax}\, dx \quad\text{ and}\quad z = \int X(x) x^A \, dx

او از این تبدیل برای حل معادله‌های دیفرانسیل استفاده کرد ولی بیش از آن در این زمینه پیگیری نکرد. ژوزف لویی لاگرانژ از کسانی بود که از اویلر تأثیر گرفته‌اند، او در مطالعاتش بر روی انتگرال‌گیری از تابع چگالی احتمال رابطه‌هایی با شکل زیر را به دست آورد:

:  \int X(x) e^{- a x} a^x\, dx,

برخی تاریخ نگاران امروزی از آن با نام نظریهٔ *تبدیل نوین لاپلاس*  یاد کرده‌اند.

به نظر می‌رسد این گونه انتگرال‌ها اولین بار در سال ۱۷۸۲ مورد توجه لاپلاس قرار گرفته‌اند. در آن دوران، او تلاش می‌کرد تا مانند اویلر از خود انتگرال‌ها به عنوان راه حل معادله‌ها استفاده کند.. وی در سال ۱۷۸۵ گام اصلی را به جلو برداشت و به جای این که تنها به دنبال به دست آوردن یک جواب انتگرالی باشد سعی کرد بر روی خود تبدیل، تغییرهای لازم را بدهد. او ابتدا از انتگرالی با شکل زیر استفاده کرد:

:  \int x^s \phi (x)\, dx,

## تعریف
تبدیل لاپلاس تابع (*f* (*t* در مجموعهٔ اعداد حقیقی برای *t* ≥ ۰ تابع (*F* (*s* است که به صورت زیر تعریف می‌شود:

: F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt. 

پارامتر *s* عددی مختلط است که:
: s = \sigma + i \omega, \,  با σ و ω حقیقی.

## تبدیل لاپلاس دو طرفه
این تبدیل روی تابع‌هایی که روی کل  R  تعریف شده‌اند اعمال می‌شود و به صورت زیر است:
:F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_{-\infty}^\infty e^{-st} f(t) \,dt 

## حل انتگرال های معین ناسره با کمک لاپلاس
از دیگر خواص لاپلاس میتوان به انتگرال های ناسره معین که به صورت نا معین بدون جواب و غیر قابل حل هستند را نیز محاسبه کرد ، بر اساس رابطه زیر داریم :

\textstyle \int_{0}^{\infin} \displaystyle \left ( \frac{f(x)}{x} \right )dx = \textstyle \int_{0}^{\infin}  F(s) ds 

## ویژگی‌های تبدیل لاپلاس

## تبدیل لاپلاس‌های پرکاربرد
  \ 
||  { 2\alpha \over \alpha^2 - s^2 } 
|| 
|| Frequency shift ofunit step

|- style="text-align:center;"
| رهیافت نمایی
|| ( 1-e^{-\alpha t})  \cdot u(t)  \ 
|| \frac{\alpha}{s(s+\alpha)} 
|| 
|| Unit step minusexponential decay

|- style="text-align:center;"
| سینوس
||  \sin(\omega t) \cdot u(t) \ 
||  { \omega \over s^2 + \omega^2  } 
|| 
|| 

|- style="text-align:center;"
| کسینوس
||  \cos(\omega t) \cdot u(t) \ 
||  { s \over s^2 + \omega^2  } 
|| 
|| 

|- style="text-align:center;"
| سینوس هذلولوی
||  \sinh(\alpha t) \cdot u(t) \ 
||  { \alpha \over s^2 - \alpha^2 } 
|| 
|| 

|- style="text-align:center;"
| کسینوس هذلولوی
||  \cosh(\alpha t) \cdot u(t) \ 
||  { s \over s^2 - \alpha^2  } 
|| 
|| 

|- style="text-align:center;"
| exponentially decayingsine wave
|| e^{-\alpha t}  \sin(\omega t) \cdot u(t) \ 
||  { \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2  } 
|| 
|| 

|- style="text-align:center;"
| exponentially decayingcosine wave
|| e^{-\alpha t}  \cos(\omega t) \cdot u(t) \ 
||  { s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2  } 
|| 
|| 

|- style="text-align:center;"
| لگاریتم طبیعی
||  \ln (t) \cdot u(t) 
||  - { 1 \over s}\, \left[\ln(s)+\gamma \right] 
|| 
|| 

|- style="text-align:center;"
| Bessel functionof the first kind,of order *n*
||  J_n( \omega t) \cdot u(t)
|| \frac{ \left(\sqrt{s^2+ \omega^2}-s\right)^n}{\omega^n \sqrt{s^2 + \omega^2}}
|| ()
|| 

|- style="text-align:center;"
| تابع خطا
||  \operatorname{erf}(t) \cdot u(t) 
||  \frac 1 s e^{(1/4)s^2} \left(1 - \operatorname{erf} \frac s 2 \right)
|| 
|| 

|-
| colspan="5" |**Explanatory notes:**

*  represents the Heaviside step function.
*  represents the Dirac delta function.
*  represents the Gamma function.
*  is the Euler–Mascheroni constant.

* , a real number, typically represents *time*,although it can represent *any* independent dimension.
*  is the complex frequency domain parameter, and  is its real part.
*  are real numbers.
*  is an integer.

|}

## پانویس

## منابع
* 

### نوین

* .

### تاریخی

* .
* .
* ، Chapters 3–5.
* .
* .

## پیوند به بیرون
* تبدیل لاپلاس در متلب

رده:تبدیل‌های انتگرالی
رده:تبدیل‌های لاپلاس
رده:آنالیز فوریه
رده:معادلات دیفرانسیل