بنیان‌های ریاضیات

**بنیان‌های ریاضیات**  به بررسی بنیان‌های فلسفی و منطقی و/یا الگوریتمی ریاضیات می‌پردازد، یا در معنای گسترده‌تر، پژوهش در مورد زیربنای فلسفی سرشت و طبیعت ریاضیات. معلوم می‌شود که در مورد اخیر، مرز بین فلسفه ریاضیات و بنیان‌های ریاضیات کاملاً مبهم است. بنیان‌های ریاضیات را می‌توان به عنوان مطالعه در مفاهیم بنیادی ریاضیات (همچون مجموعه، تابع، شکل هندسی، عدد و …) و این که چگونه سلسله مراتب ساختارها و مفاهیم پیچیده، به‌ویژه ساختارهایی که اهمیت بنیادینی داشته و زبان ریاضیات را شکل می‌دهند (مثل فرمول‌ها، نظریه‌ها و مدل‌هایشان که به فرمولها، تعاریف، اثبات‌ها، الگوریتم‌ها و … معنا می‌بخشند) دید. به این مفاهیم بنیادی، مفاهیم ریاضیاتی نیز گفته می‌شود، بنیان ریاضیات به این مفاهیم از جنبه فلسفی و یک پارچگی ریاضیات هم نگاه می‌کند. جست و جو برای بنیان‌های ریاضیات، پرسش مرکزی در فلسفه ریاضیات است؛ طبیعت مجرد اشیاء ریاضیاتی، چالش‌های فلسفی خاصی را نمایان می‌سازد.

بنیان‌های ریاضیات به عنوان یک کل، به دنبال شمول تمامی مفاهیم ریاضیاتی نیست. به‌طور کلی، *بنیان‌ها*ی ریاضیاتی یک شاخه مطالعاتی، کم و بیش تحلیلی نظام مند از پایه ای‌ترین و بنیادی‌ترین مفاهیم آن شاخه است، به گونه ای که با فهم وحدت مفهومی و ترتیب طبیعی یا سلسله مراتب مفاهیم آن، ارتباطاتی بین آن شاخه و بقیه دانش بشری یافت شود. توسعه، ظهور و شفاف سازی بنیان‌ها در اواخر تاریخچهٔ یک شاخه مطالعاتی شکل می‌گیرد و ممکن است از دید همگان جذاب‌ترین بخش آن شاخه به حساب نیاید.

ریاضیات از زمان‌های کهن، به عنوان مدلی از درستی و استواری استفسار عقلانی، همیشه نقش خاصی را در تفکر علمی بازی کرده و ابزارها یا حتی بنیادی برای دیگر علوم (به‌ویژه فیزیک) را فراهم نموده است.

بسی از تکوین‌های متعدد ریاضیاتی به سمت تجریدهای بالاتر در اواخر قرن ۱۹ میلادی، چالش‌ها و تناقض نماهای جدیدی را به بار آورد که بررسی نظام مند و عمیق‌تری را طلب می‌کرد تا سرشت و محک درستی ریاضیاتی به علاوه وحدت شاخه‌های متعدد ریاضیات به یک کل همگن بدست آید.

جست و جو برای بنیان‌های ریاضیات از اواخر قرن ۱۹م شروع شد و شاخه ریاضیاتی جدیدی به نام منطق ریاضیاتی را پدیدآورد که بعدها ارتباطات قوی با علوم رایانه نظری پیدا نمود. منطق ریاضیاتی از یک سری بحران‌ها و نتایج متناقض نما عبور کرد تا در نهایت کشفیات این حوزه، منطق ریاضیاتی را در طی قرن بیستم به عنوان یک بدنه بزرگ و همگن از دانش ریاضیاتی به پایداری رساند که شامل مؤلفه‌ها و جنبه‌های متعدد (نظریه مجموعه‌ها، نظریه مدل، نظریه اثبات و …) بوده و خواص جزئی و گونه‌های محتملشان هنوز هم حوزه تحقیقاتی فعالی به‌شمار می‌آید. سطح مهارت فنی بالایی که این شاخه می‌طلبد، الهام بخش بسیاری از فیلسوفان بود تا حدس زنند که این شاخه را می‌توان به عنوان مدل یا الگویی برای بنیان علوم دیگر نیز احتمالاً در آینده به کار برد.

## پانویس

## منابع

* Avigad, Jeremy (2003) *[http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.105.6509&rep=rep1&type=pdf Number theory and elementary arithmetic]*, Philosophia Mathematica Vol. 11, pp. 257–284
* Eves, Howard (1990), *Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics Third Edition*, Dover Publications, INC, Mineola NY,  (pbk.) cf §9.5 Philosophies of Mathematics pp. 266–271. Eves lists the three with short descriptions prefaced by a brief introduction.
* Goodman, N.D. (1979), "Mathematics as an Objective Science", in Tymoczko (ed. , 1986).
* Hart, W.D. (ed. , 1996), *The Philosophy of Mathematics*, Oxford University Press, Oxford, UK.
* Hersh, R. (1979), "Some Proposals for Reviving the Philosophy of Mathematics", in (Tymoczko 1986).
* Hilbert, D. (1922), "Neubegründung der Mathematik. Erste Mitteilung", *Hamburger Mathematische Seminarabhandlungen* 1, 157–177. Translated, "The New Grounding of Mathematics. First Report", in (Mancosu 1998).
* Katz, Robert (1964), *Axiomatic Analysis*, D. C. Heath and Company.
* 
: In Chapter III *A Critique of Mathematic Reasoning, §11. The paradoxes*, Kleene discusses Intuitionism and Formalism in depth. Throughout the rest of the book he treats, and compares, both Formalist (classical) and Intuitionist logics with an emphasis on the former. Extraordinary writing by an extraordinary mathematician.
* Mancosu, P. (ed. , 1998), *From Hilbert to Brouwer. The Debate on the Foundations of Mathematics in the 1920s*, Oxford University Press, Oxford, UK.
* Putnam, Hilary (1967), "Mathematics Without Foundations", *Journal of Philosophy* 64/1, 5–22. Reprinted, pp. 168–184 in W.D. Hart (ed. , 1996).
* —, "What is Mathematical Truth?", in Tymoczko (ed. , 1986).
* 
* Troelstra, A. S. (no date but later than 1990),  "A History of Constructivism in the 20th Century", A detailed survey for specialists: §1 Introduction, §2 Finitism & §2.2 Actualism, §3 Predicativism and Semi-Intuitionism, §4 Brouwerian Intuitionism, §5 Intuitionistic Logic and Arithmetic, §6 Intuitionistic Analysis and Stronger Theories, §7 Constructive Recursive Mathematics, §8 Bishop's Constructivism, §9 Concluding Remarks. Approximately 80 references.
* Tymoczko, T. (1986), "Challenging Foundations", in Tymoczko (ed. , 1986).
* —,(ed. , 1986), *[https://books.google.com/books?hl=en&lr=&id=a-M9DwAAQBAJ&oi=fnd&pg=PR9&dq=%22New+Directions+in+the+Philosophy+of+Mathematics%22&ots=atf_Ne8rLn&sig=Vf0ZioQ2KmW7UOOpZPiC4fNmEWA#v=onepage&q=%22New%20Directions%20in%20the%20Philosophy%20of%20Mathematics%22&f=false New Directions in the Philosophy of Mathematics]*, 1986. Revised edition, 1998.
* van Dalen D. (2008), "Brouwer, Luitzen Egbertus Jan (1881–1966)", in Biografisch Woordenboek van Nederland. URL:http://www.inghist.nl/Onderzoek/Projecten/BWN/lemmata/bwn2/brouwerle [2008-03-13]
* Weyl, H. (1921), "Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik", *Mathematische Zeitschrift* 10, 39–79. Translated, "On the New Foundational Crisis of Mathematics", in (Mancosu 1998).
* Wilder, Raymond L. (1952), *Introduction to the Foundations of Mathematics*, John Wiley and Sons, New York, NY.

* 

## پیوند به بیرون

* Logic and Mathematics
* Foundations of Mathematics: past, present, and future, May 31, 2000, 8 pages.
* A Century of Controversy over the Foundations of Mathematics by Gregory Chaitin. 


رده:تاریخ ریاضیات
رده:فلسفه ریاضیات
رده:منطق ریاضی