دنباله‌های بازنشناختنی

در ریاضیات، در نظریهٔ مدلها، منظور از یک دنبالهٔ بازنشناختنی، یا یک دنبالهٔ تمیزداده‌نشدنی، یا یک دنبالهٔ متشکل از اعضای از هم بازنشناخته‌شدنی، دنباله‌ای است که تایپ هر چندتاییِ متشکل از اعضای آن، تنها به ترتیب قرار گرفتن آن اعضا وابسته باشد. به بیان دیگر، دنبالهٔ

(a_i)_{i\in \omega}

از عناصرِ

a_i

در مدل هیولا
روی مجموعهٔ

A

از پارامترها
بازنشناختنی است، هرگاه برای هر تعداد متناهی از اندیسهای

i_1,\ldots,i_n

تایپ کامل

tp(a_{i_1},\ldots,a_{i_n}/A)

تنها به تایپ «بدون‌سورِ» اندیسهای

i_1,\ldots,i_n

در زبانِ

\{=,
بستگی داشته باشد.
برای مثال در تئوری ترتیب‌های خطیِ چگال بدون ابتدا و انتها (دی‌اِلْ‌اُ) هر دنبالهٔ صعودی، روی مجموعهٔ تهی بازنشناختنی است. نیز
در این تئوری،
برای هر مجموعهٔ

A

هر دنبالهٔ صعودی که همهٔ اعضای آن در شکافی از

A

واقع شود،
روی

A

بازنشناختنی است. برای مثالی دیگر، فرض کنید

M

یک میدان بستهٔ جبری باشد و

(a_i)_{i\in \omega}

دنباله‌ای از عناصرِ متعالی روی

M
.
این دنباله نیز روی

M

بازنشناختنی است. در واقع تایپهای شکل‌گرفته از اعضای این دنباله، تنها به تایپ اندیسهای متناظرشان در زبان

\{=\}

وابسته‌اند و از این رو این دنباله را می‌توان «بسیاربازنشناختنی» خواند. به‌طور کلی، در تئوری‌های ثابت، هر دنبالهٔ بازنشناختنی، بسیار بازنشناختنی است.

### تعریف
دنبالهٔ

(a_i)_{i\in\omega}

را که در آن هر

a_i

یک چندتایی
(نه لزوماً متناهی)
در مدل هیولاست، روی مجموعهٔ پارامترِ

A

*بازنشناختنی*
می‌خوانیم هرگاه برای هر

i_1
داشته باشیم

a_{i_1}\ldots a_{i_n}\equiv_A a_1\ldots a_n؛
یعنی

tp(a_{i_1}\ldots a_{i_n}/A)=tp(a_1\ldots a_n/A).

### وجود و نحوهٔ به دست آوردن دنباله‌های بازنشناختنی
در هر تئوریِ کاملی می‌توان در مدل هیولا دنباله‌ای بازنشناختنی پیدا کرد. برای اثباتِ این امر، از لمی ترکیبیاتی به نام «لم رمزی» استفاده شود. بیان نظریهٔ مدلی این لم به
«لمِ استاندارد» موسوم است که در زیر آمده است.

### لم استاندارد
فرض کنید

(a_i)_{i\in \omega}

دنباله‌ای دلخواه در مدل هیولا باشد
و

A مجموعه‌ای باشد از پارامترها. آن‌گاه یک دنبالهٔ

 (b_i)_{i\in\omega} 
بازنشناختنی روی

A

چنان یافت می‌شود که *تایپِ اهغن‌موستوفسکیِ* دنبالهٔ

A

را برآورد. به بیان دیگر، دنبالهٔ

(b_i)_{i\in \omega}

دارای این ویژگی است که
برای هر

n\in\omega

و
برای هر فرمولِ

\phi(x_1,\ldots,x_n, y)

و برای هر پارامترِ

a\in A
،
اگر برای هر

i_1
داشته باشیم

\models \phi(a_{i_1},\ldots,a_{i_n},a)

آن‌گاه داریم

\models \phi(b_1,\ldots,b_n,a)
.
نیز به بیان دیگر، دنبالهٔ

(b_i)_{i\in \omega}

دارای این ویژگی است که برای هر فرمولِ

\phi(x_1,\ldots, x_n,y)

و هر
a\in A
از

\models \phi(b_{1},\ldots,b_{n},a)

نتیجه می‌شود که
اندیسهای
i_1
از دنبالهٔ اولیه موجودند که

\models \phi(a_{i_1},\ldots,a_{i_n},a)


دنبالهٔ حاصل از لم استاندارد، «موضعاً» و حول هر فرمول، شبیه دنبالهٔ اولیه است و تضمینی وجود ندارد که تایپهای اعضای آن در دنبالهٔ اولیه موجود باشند.
برای به دست آوردن دنباله‌ای که تایپ اعضایش در دنبالهٔ اولیه موجود باشد، عموماً از نسخهٔ بهبودیافته‌ای از لم استاندارد، موسوم به «لم شلاخ» استفاده می‌شود که در زیر آمده است. شایانِ یادآوری است که از لوازم این لم، در دست داشتن دنباله‌ای باندازه طولانی است.

### لم شلاخ
برای هر مجموعهٔ پارامترِ

A

یک کاردینالِ

\lambda

موجود است به‌طوری‌که برای هر
دنبالهٔ

(a_i)_{i\in I}

که در آن

|I|=\lambda

بتوان دنبالهٔ بازنشناختنیِ

(b_i)_{i\in \omega}

را چُنان یافت که برای هر

n\in\omega

اندیسهای

i_1
پیدا شوند که

b_{1}\ldots b_{n}\equiv_A a_{i_1}\ldots a_{i_n}
.

## آرایه‌های بازنشناختنی
ایدهٔ ازهم‌بازشناخته‌نشدن را می‌توان از دنباله‌ها به آرایه‌ها تعمیم داد. در آرایه‌ها نیز چند نوع بازنشناختنی بودن می‌توان تعریف کرد.

آرایهٔ

(a_{ij})_{i,j\in \omega}

را *بازنشناختنی متقابل* می‌خوانیم هرگاه
هر سطرِ

(a_{ij})_{j\in \omega}

از آن، روی بقیهٔ آرایه، یعنی روی

(a_{kj})_{k\not=i, j\in \omega}

دنباله‌ای
بازنشناختنی باشد. معادلاً آرایهٔ

(a_{ij})_{i,j\in \omega}

بازنشناختنی متقابل است، هرگاه برای هر دو سطرِثابت‌گرفته‌شدهٔ

i_1,i_2

تایپ
چندتاییِ

a_{i_1j^1_{i_1}}\ldots a_{i_1j^m_{i_1}}a_{i_2j^1_{i_2}}\ldots a_{i_2j^m_{i_2}}

تنها به تایپِ اندیسهای
j^1_{i_1},\ldots, j^m_{i_1}
و
j^1_{i_2},\ldots, j^m_{i_2}
در زبان
\{=,
بستگی داشته باشد.

دنبالهٔ ستونهای یک آرایهٔ بازنشناختنیِ متقابل، دنباله‌ای بازنشناختنی (از دنباله‌ها) است. آرایه‌های بازنشناختنی متقابل نیز دارای «ساختاری رمزی» هستند؛ یعنی اگر
آرایهٔ دلخواهِ

(a_{ij})_{i,j\in \omega}

داده شده باشد، می‌توان با کمک لم استاندارد، آرایهٔ

(b_{ij})_{i,j\in \omega}

را چنان یافت که

(b_{ij})_{i,j\in \omega}\models EM((a_{ij})_{i,j\in \omega})؛
بدین معنی که

(b_{ij})_{i,j\in \omega}

چنان است که برای هر دو
شمارهٔ

i_1,i_2

از سطرها و هر فرمولِ

\phi،
از این که
\models \phi(b_{i_11}\ldots b_{i_1m}b_{i_21}\ldots b_{i_2m})
نتیجه شود که اندیسهای
 j^1_{i_1}
برای سطرهای
آرایهٔ

(a_{ij})_{i,j\in \omega}
پیدا می‌شوند که
\models \phi(a_{i_1j^1_{i_1}}\ldots a_{i_1j^m_{i_1}},a_{i_2j^1_{i_2}},\ldots a_{i_2j^m_{i_2}}).

به این ترتیب، نیز
آرایهٔ
(a_{ij})_{i,j\in \omega}
را *بسیاربازنشناختنی* می‌خوانیم هرگاه
دنبالهٔ سطرهای آن (همچون دنباله‌ای از دنباله‌ها) و دنبالهٔ ستونهای آن (همچون دنباله‌ای از دنباله‌ها) هر دو بازنشناختنی باشند.

## پانویس

## منابع

* 
* 
* 
* 

رده:مقاله‌های ایجادشده توسط ایجادگر
رده:نظریه مدل