تابع مولد احتمال

در نظریه احتمال، **تابع مولد احتمال** (به انگلیسی: Probability-generating function) یک متغیر تصادفی گسسته، یک نمایش سری‌های توانی از تابع جرمی احتمال یک متغیر تصادفی  است. توابع مولد احتمال معمولاً برای ایجاز در توصیفات دنباله‌ای از احتمالات Pr(*X*) = *i*، و همچنین فراهم ساختن یک فرضیه مناسب از سری‌های توانی با ضرایب نا-منفی، به کار گرفته می‌شوند. هم چنین از این تابع برای محاسبه گشتاورهای مراتب مختلف (مانند امید ریاضی یک متغیر تصادفی) استفاده میشود.

## تعریف

اگر *X* یک متغیر تصادفی گسسته باشد که مقادیری از بعضی زیر مجموعه‌های نا-منفی اعداد صحیح {۰، ۱، ۲، ...} اتخاذ کند، آنگاه *تابع مولد احتمال X* اینگونه تعریف می‌گردد:
:G(z) = \textrm{E}(z^X) = \sum_{i=0}^{\infty}f(i)z^i,
که در آن *f* تابع جرمی احتمال*X* است. دقت کنید که نشانه‌گذاری معادل *G**X* بعضی مواقع برای متمایز ساختن توابع مولد احتمال متغیرهای تصادفی مختلفی مورد استفاده قرار می‌گیرد.

## خواص
### سری‌های توانی
توابع مولد احتمال از تمام قوانین سری‌های توانی با ضرایبِ نا-منفی تبعیت می‌کنند. به طور خاص *G*(۱-) = ۱، تا زمانی‌که احتمالات باید ۱ واحد افزوده شوند و در جاییکه *G*(۱-) = limz→۱*G*(*z*)، آن‌گاه طبق قضیهٔ آبل برای سری‌های توانی با ضرایب نا-منفی، شعاع همگرایی هر تابع مولد احتمال باید حداقل ۱ باشد.

### توابع برای متغیرهای تصادفی مستقل

توابع مولد احتمال به‌طور خاص برای کار کردن با توابع متغیرهای تضادفی مستقل، کاربرد دارند. به عنوان مثال:

اگر *X*۱، *X*۲، ...، *X*n
یک دنباله از متغیرهای تصادفی مستقل (و نه لزوماً با توزیع یکنواخت) باشند و همچنین

::S_n = \sum_{i=1}^n a_i X_i,

که در آن *a*'iها ثابت هستند، آنگاه تابع مولد احتمال بدین شکل است:

::E(z^{S_n}) = E(z^{\sum_{i=1}^n a_i X_i,}) = G_{S_n}(z) = G_{X_1}(z^{a_1})G_{X_2}(z^{a_2})\ldots G_{X_n}(z^{a_n}).

به عنوان مثال اگر:

::S_n = \sum_{i=1}^n X_i,

آنگاه تابع مولد احتمالِ (*G**Sn*(*z* به شکل زیر است:

::G_{S_n}(z) = G_{X_1}(z)G_{X_2}(z)\ldots G_{X_n}(z).

همچنین تابع مولد احتمالِ اختلاف میان دو متغیر تصادفی (*S* = *X*۱ − *X*۲) برار است با:

::G_S(z) = G_{X_1}(z)G_{X_2}(1/z).

## مثال‌ها
* تابع مولد احتمال یک متغیر تصادفی ثابت، به عنوان مثال Pr(*X*=*c*) = *۱*، به شکل زیر است:

::G(z) = \left(z^c\right).
* تابع مولد احتمال یک متغیر تصافی با توزیع دوجمله‌ای، تعداد موفقیت‌ها در*n* آزمایش، با احتمال موفقیت *p* در هر مرحله برابر است با:

::G(z) = \left[(1-p) + pz\right]^n.
* تابع مولد احتمال یک متغیر تصادفی دو جمله‌ای منفی که در آن تعداد آزمایش‌های لازم برای رسیدن به *r*امین موفقیت با احتمال موفقیت *p* در هر آزمایش، برابر است با:

::G(z) = \left(\frac{pz}{1 - (1-p)z}\right)^r.
* تابع مولد احتمال یک متغیر تصادفی پواسون با نرخ λ برابرست با:

::G(z) = \left(\textrm{e}^{\lambda(z - 1)}\right).

## توابع مولد احتمال برای متغیرهای تصادفی پیوسته

مفهوم تابع مولد احتمال یک متغیر تصادفی تنها، می‌تواند به تابع مولد احتمال برای دو یاچند متغیر تصادفی پیوسته نیز تعمیم داده شود.

## مفاهیم مرتبط
از تابع مولد احتمال به‌ندرت با نام تبدیلِ z یک تابع جرمی احتمال نیز یاد می‌شود. این یک نمونه از تابع مولد یک دنباله نیز هست(به سری‌های توانی منظم رجوع شود).

## منابع

* Wikipedia contributors، "Probability-generating function،" Wikipedia، The Free Encyclopedia، http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Probability-generating_function&oldid=189467737 (accessed February ۲۰، ۲۰۰۸).

رده:احتمالات
رده:تابع مولد
رده:توابع مرتبط با توزیع‌های احتمال
رده:نظریه توزیع‌های احتمالی