تصاعد هندسی

بندانگشتی|350px|چپ|نمایش تصویری تصاعد هندسی ۱ + ۱/۲ + ۱/۴ + ۱/۸ + ... که قدر نسبت آن ۱/۲'' است.
در ریاضیات، **دنبالهٔ هندسی** یا **تصاعد هندسی**  به دنباله‌ای از اعداد گفته می‌شود که از جملهٔ اول به بعد، هر جمله برابر است با حاصل‌ضرب جملهٔ قبلی در یک عدد ثابتِ مخالف صفر و یک. به این عدد ثابت *[[قدر نسبت]] تصاعد* گفته می‌شود. برای نمونه دنبالهٔ ۲، ۶، ۱۸، ۵۴، … یک دنباله از اعداد با قدر نسبت ۳ است. مجموع اعداد یک دنبالهٔ هندسی را **سری هندسی** می‌نامند.

شکل کلی دنباله‌های هندسی به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

:a,\ ar,\ ar^2,\ ar^3,\ ar^4,\ \ldots

بنابراین شکل کلی سری هندسی به‌صورت زیر خواهد بود:

:a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \cdots

در رابطه‌های بالا a جملهٔ اول دنباله و *r* ≠ ۰ قدر نسبت تصاعد می‌باشد.

## ویژگی‌های اولیه
*n* امین جملهٔ تصاعد هندسی با قدر نسبت *r* و جملهٔ اول a به صورت زیر نوشته می‌شود:

:a_n = a\,r^{n-1}

همچنین طبق معادلهٔ تفاضل برای تمامی n\geq 1 می‌توان گفت:

:a_n = r\,a_{n-1}

رفتار جمله‌های یک دنبالهٔ هندسی تنها به قدر نسبت آن تصاعد وابسته‌است؛ چنانچه قدر نسبت تصاعد:
* مثبت باشد، جمله‌های بعدی دنباله همگی هم علامت جملهٔ اول خواهد بود.
* منفی باشد، جمله‌های بعدی دنباله به صورت یک در میان علامت مخالف خواهند داشت.
* بزرگتر از ۱ باشد، جمله‌های دنباله رشد نمایی به سمت مثبت بی‌نهایت خواهند داشت.
* ۱ باشد، دنباله ثابت خواهد بود.
* میان ۱ و ۱- باشد به‌جزء صفر، جمله‌های بعدی دنباله به صفر *میل* می‌کند. (اعداد سری هندسی به ترتیب کاهش می‌یابند و به صفر نزدیک می‌شوند؛ ولی هیچ‌گاه صفر نمی‌شود)
* ۱- باشد، جمله‌های بعدی تشکیل یک دنبالهٔ متناوب را خواهند داد. (اعداد به ترتیب یک در میان با تعویض علامت همراه هستند)
* کوچکتر از ۱- باشد، قدر مطلق جمله‌های دنباله رشد نمایی خواهند داشت و هر یک از آن‌ها بسته به علامت به سمت مثبت یا منفی بی‌نهایت میل خواهند کرد.
در صورتی که در دنباله‌های هندسی، قدر نسبت برابر با ۰ یا ۱ یا ۱- نباشد، در حالت کلی شاهد رشد نمایی به سمت مثبت یا منفی بی‌نهایت (بسته به علامت جمله‌ها) یا به سمت صفر خواهیم بود.

## تشحیص دنباله هندسی
برای تشخیص دنباله هندسی دو جمله متوالی از دنباله هندسی را به هم تقسیم کنیم. 
:\frac{a_4}{a_3},\frac{a_3}{a_2}
اگر به مقدار ثابتی رسیدیم. دنباله ما هندسی هست.

**مثال:** آیا دنبال زیر هندسی است؟
:20,10,5,2.5,1.25,...
**جواب:**
:\frac{a_4}{a_3}=\frac{2.5}{5}=0.5

:\frac{a_3}{a_2}=\frac{5}{10}=0.5
پس دنباله بالا هندسی است.

## واسطه هندسی
اگر سه جمله a , b , c ، سه جمله متوالی دنباله هندسی باشد. آنگاه رابطه زیر برقرار است:

b^2 = ac

**مثال:** مقدار x را طوری تعیین کنید که دنباله زیر هندسی باشد.

x , x-3 , x+1

## حل

(x-3)^2=x(x+1)

x=\frac{9}{7}

## سری‌های هندسی

**سری هندسی** به *مجموع* جمله‌های یک دنبالهٔ هندسی گفته می‌شود.

:\sum_{k=0}^{n} ar^k = ar^0+ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^n. \,

اگر دو سوی تساوی را در 1-r ضرب کنیم به رابطهٔ ساده‌تری می‌رسیم و خواهیم داشت:

:\begin{align}
(1-r) \sum_{k=0}^{n} ar^k & = (1-r)(ar^0 + ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^n) \\
 & = ar^0 + ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^n \\
 & {\color{White}{} = ar^0} - ar^1-ar^2-ar^3-\cdots-ar^n - ar^{n+1} \\
 & = a - ar^{n+1}
\end{align}

برای یک سری هندسی در صورتی که *r* ≠ ۱ باشد رابطهٔ مجموع به صورت زیر نوشته می‌شود:

:\sum_{k=0}^{n} ar^k = \frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}.

اگر مجموع را از شمارشگری بزرگتر از ۰ مانند *m* شروع کنیم:

:\sum_{k=m}^n ar^k=\frac{a(r^m-r^{n+1})}{1-r}.

مشتق این رابطه نسبت به *r* باعث می‌شود تا به رابطه‌ای برای مجموع برسیم:

:\sum_{k=0}^n k^s r^k.

برای نمونه:

:\frac{d}{dr}\sum_{k=0}^nr^k = \sum_{k=1}^n kr^{k-1}=
\frac{1-r^{n+1}}{(1-r)^2}-\frac{(n+1)r^n}{1-r}.

یک سری هندسی که تنها توان‌های زوج *r* را دارد را باید در 1-r^2: ضرب کرد:

:(1-r^2) \sum_{k=0}^{n} ar^{2k} = a-ar^{2n+2}.

آنگاه

:\sum_{k=0}^{n} ar^{2k} = \frac{a(1-r^{2n+2})}{1-r^2}.

و برای سری که توان‌های فرد *r* را دارد:

:(1-r^2) \sum_{k=0}^{n} ar^{2k+1} = ar-ar^{2n+3}

و

:\sum_{k=0}^{n} ar^{2k+1} = \frac{ar(1-r^{2n+2})}{1-r^2}.

### سری‌های هندسی نامتناهی

یک **سری هندسی نامتناهی** یک سری نامتناهی ریاضی است که جمله‌های پشت هم آن قدر نسبت ثابتی داشته باشند. چنین سری‌های همگرا خواهند بود اگر و تنها اگر قدر مطلق قدر نسبت آن کوچکتر از ۱ باشد ۱> |*r*|. مقدار آن‌ها را می‌توان بوسیله رابطهٔ بدست آمده برای مجموع سری در حالت متناهی بدست آورد:

:\sum_{k=0}^\infty ar^k = \lim_{n\to\infty}{\sum_{k=0}^{n} ar^k} = \lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}= \lim_{n\to\infty}\frac{a}{1-r} - \lim_{n\to\infty}{\frac{ar^{n+1}}{1-r}} 

از آنجایی که:

: r^{n+1} \to 0 \mbox{ as } n \to \infty \mbox{ when } |r| 

آنگاه

:\sum_{k=0}^\infty ar^k = \frac{a}{1-r} - 0 = \frac{a}{1-r}

برای سری که تنها توان‌های زوج r را دارد:

:\sum_{k=0}^\infty ar^{2k} = \frac{a}{1-r^2}

و برای توان‌های فرد:

:\sum_{k=0}^\infty ar^{2k+1} = \frac{ar}{1-r^2}

در صورتی که مجموع از شمارشگر *k* = ۰ شروع نشود:

:\sum_{k=m}^\infty ar^k=\frac{ar^m}{1-r}

رابطه‌ای که در بالا بدست آمد تنها برای ۱> |*r*| معتبر است. در حالتی که یک مجموع متناهی داشته باشیم، می‌توانیم از مشتق‌گیری برای بدست آوردن مجموع استفاده کنیم. برای نمونه:

:\frac{d}{dr}\sum_{k=0}^\infty r^k = \sum_{k=0}^\infty kr^{k-1}=
\frac{1}{(1-r)^2}

رابطهٔ بالا تنها برای ۱> |*r*| کار می‌کند. همچنین برای۱> |*r*| می‌توان نوشت:

:\sum_{k=0}^{\infty} k r^k = \frac{r}{\left(1-r\right)^2} \,;\, \sum_{k=0}^{\infty} k^2 r^k = \frac{r \left(1+r \right)}{\left(1-r\right)^3} \, ; \, \sum_{k=0}^{\infty} k^3 r^k = \frac{r \left(1+4 r + r^2\right)}{\left(1-r\right)^4}

سری‌های نامتناهی مانند **۱/۲ + ۱/۴ + ۱/۸ + ۱/۱۶ + · · ·** وجود دارند که مطلقاً همگرا هستند. در این سری جملهٔ اول و قدر نسبت هر دو ۱/۲ هستند؛ مجموع این سری خواهد بود:

:\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots=\frac{1/2}{1-(+1/2)} = 1.

وارون سری بالا **۱/۲ − ۱/۴ + ۱/۸ − ۱/۱۶ + · · ·** خود یک نمونه از سری‌های متناوب است که مطلقاً همگرا است. در این سری هندسی جملهٔ اول ۱/۲ است و مجموع آن عبارت است از:

:\frac12-\frac14+\frac18-\frac{1}{16}+\cdots=\frac{1/2}{1-(-1/2)} = \frac13.

### اعداد مختلط
رابطه‌هایی که برای مجموع سری‌های هندسی بدست آمد حتی در مجموعهٔ اعداد مختلط نیز معتبر است. با این تفاوت که شرط «قدر مطلق *r* کوچکتر از ۱ باید باشد»، با «اندازهٔ عدد مختلط *r* کوچکتر از ۱ باید باشد» جایگزین می‌شود. با کمک مفهوم اعداد مختلط برخی سری‌هایی که به ظاهر هندسی نیستند به سری هندسی تبدیل می‌شوند. برای نمونه:

:  \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin(kx)}{r^k} = \frac{r \sin(x)}{1 + r^2 - 2 r \cos(x)} 

چون:

: \sin(kx) = \frac{e^{ikx} - e^{-ikx}}{2i} , 

که این از نتایج فرمول اولر است. با جایگزینی آن در رابطهٔ اصلی خواهیم داشت:

:  \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin(kx)}{r^k} = \frac{1}{2 i} \left[ \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{e^{ix}}{r} \right)^k - \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{e^{-ix}}{r}\right)^k\right].

که این خود برابر است با تفاضل دو سری هندسی.

## ضرب
**ضرب یک تصاعد هندسی** به معنی ضرب تمامی جمله‌های آن در یکدیگر است. اگر تمامی جمله‌های آن مثبت باشد، می‌توان آن را به آسانی به کمک رابطهٔ میانگین هندسی و جمله‌های اول و آخر دنباله، محاسبه کرد. (این رابطه به مجموع تصاعد حسابی بسیار شبیه‌است)

:\prod_{i=0}^{n} ar^i = \left(\sqrt{a_1 \cdot a_{n+1}}\right)^{n+1} (if a,r> 0).

اثبات:
اگر ضرب را را با علامت P نمایش دهیم:

:P=a \cdot ar \cdot ar^2 \cdots ar^{n-1} \cdot ar^{n}.

پس از انجام عمل ضرب خواهیم داشت:

:P=a^{n+1} r^{1+2+3+ \cdots +(n-1)+(n)}.

با استفاده از مجموع تصاعد حسابی خواهیم داشت:

:P=a^{n+1} r^{\frac{n(n+1)}{2}}.

:P=(ar^{\frac{n}{2}})^{n+1}.

دو سوی تساوی را به توان ۲ می‌رسانیم:

:P^2=(a^2 r^{n})^{n+1}=(a\cdot ar^n)^{n+1}.

در نتیجهٔ این کار:

اثبات شد.

## رابطه‌های دیگر
چگونه جملهٔ بین دو جمله را پیدا کنیم؟
در اینجا می‌خواهیم جملهٔ بین یعنی x را بدست آوریم:

4,x,16

برای این کار از رابطه زیر استفاده می‌کنیم:

x=\sqrt {4\times16}=8

## جمع‌بندی
در شکل زیر جمله عمومی دنباله هندسی و واسطه هندسی نمایش داده شده.

## جستارهای وابسته
* دنباله
* سری هندسی
* توماس مالتوس
* تابع نمایی
* تصاعد حسابی

## منابع

* Hall & Knight, *Higher Algebra*, p. &nbsp;۳۹، ISBN 81-8116-000-2
* 

* ریاضیات ۲، اسماعیل بابلیان، میرزا جلیلی، رضا شهریاری اردبیلی، علیرضا مدقالچی، اداره کل چاپ و توزیع کتاب‌های درسی، ۱۳۸۰ ''(کتاب رسمی وزارت آموزش و پرورش جمهوری اسلامی ایران برای سال دوم آموزش متوسطه در رشتهٔ نظری)

## پیوند به بیرون
* ویدیوهای آموزشی تصاعد هندسی در کلاس درس
* Derivation of رابطه‌های مربوط به مجموع سری‌های هندسی متناهی و نامتناهی در Mathalino
* شمارشگر تصاعدهای هندسی
* اثبات زیبایی برای مجموع تصاعد هندسی در sputsoft.com

رده:دنباله‌ها و سری‌ها
رده:ریاضیات مقدماتی
رده:سری‌های ریاضی