تصاعد حسابی

در ریاضیات **دنباله حسابی** یا **تصاعد حسابی**  به دنباله‌ای از اعداد گفته می‌شود که اختلاف هر دو جمله متوالی آن مقداری ثابت، مثلاً d باشد. به عدد ثابت d قدر نسبت تصاعد گفته می‌شود. برای نمونه دنبالهٔ ۳، ۵، ۷، ۹، ۱۱، ۱۳، … یک تصاعد حسابی از اعداد با قدر نسبت ۲ می‌باشد.

اگر جمله اول یک دنباله حسابیa_1 و قدر نسبت آن d باشد آنگاه جملهٔ i ام این تصاعد برابر خواهد بود با

a_i=a_1+(i-1)d.

در حالت کلی رابطهٔ دنباله حسابی برای جمله‌های n ام و m ام خواهد بود:
a_n=a_m+(n-m)d
مقدار d می‌تواند مثبت یا منفی باشد که در صورت مثبت بودن آن، دنباله به سمت بینهایت مثبت میل می‌کند و در صورت منفی بودن d، دنباله به سوی منفی بینهایت می‌رود. همچنین تعداد جملات در تصاعد حسابی اینگونه بدست می آید:((اولی-اخری)÷ فاصله) به علاوه دو

## تشخیص دنباله حسابی
برای تشخیص دنباله حسابی کافیست دو جمله متوالی از هم کم کنیم.

a_4-a_3=a_3-a_2

اگر به مقدار ثابتی رسیدیم، دنباله حسابی است.

**مثال:** آیا دنباله زیر حسابی است؟

10,7.5,5,2.5,...

## جواب
a_4-a_3=2.5-5=-2.5

a_3-a_2=5-7.5=-2.5

دو مقدار بالا ثابت است پس دنباله حسابی است.

## واسطه حسابی
اگر a , b , c سه جمله متوالی دنباله حسابی باشند. برای پیدا کردن جمله وسط (واسطه حسابی) کافیست از فرمول زیر استفاده کنیم:

b=\frac{a+c}{2}

**مثال:** x را بیابید؟ (سه جمله زیر جملات متوالی دنباله حسابی هستند)

4x-1,x+2,2-x

حل:

x+2=\frac{4x-1+2-x}{2}

x=3

## مجموع
مجموع اعضای یک دنبالهٔ محدود از اعداد با رابطهٔ **تصاعد حسابی** عبارت است از:
 S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\cdots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)

 S_n=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\cdots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n.

با جمع طرفین دو عبارت فوق:

\ 2S_n=n(a_1+a_n).

در نتیجه:

 S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}=\frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}.
برای نمونه اگر فرض کنیم که جملهٔ اول دنباله تصاعد حسابی ۳ و نسبت تصاعد آن ۵ است، آنگاه مجموع ۵۰ جملهٔ اول برابر با ۶۲۷۵ خواهد بود:
S_{50} = \frac{50}{2}[2(3) + (49)(5)] = 6,275.

## ضرب
اگر در نظر بگیریم که جملهٔ اول یک تصاعد حسابی a_1 نام دارد و قدر نسبت تصاعد d است؛ آنگاه حاصل ضرب جمله‌های آن تصاعد در یکدیگر، عبارت است از:

:a_1a_2\cdots a_n = d^n {\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\overline{n}} = d^n \frac{\Gamma \left(a_1/d + n\right)}{\Gamma \left(a_1 / d \right)},

که در آن x^{\overline{n}} نماد افزایش فاکتوریل و \Gamma نماد تابع گاما است. (هشدار: فرمول بدست آمده به ازای a_1/d کوچکتر مساوی صفر، نادرست خواهد بود)

فرمول بدست آمده در بالا، حالت کلی رابطهٔ حاصل ضرب 1 \times 2 \times \cdots \times n است که آن را با n! فاکتوریل نمایش می‌دهیم و در صورتی که شروع ضرب از بجای یک از عدد دلخواه m باشد:

:m \times (m+1) \times (m+2) \times \cdots \times (n-2) \times (n-1) \times n \,\!

در صورتی که m و n اعداد طبیعی باشند، حاصل ضرب عبارت خواهد بود از:

:\frac{n!}{(m-1)!}.

برای درک بهتر مطلب، مثال گفته شده در بالا را در نظر بگیرید، که در آن جملهٔ اول دنباله تصاعد حسابی ۳ و نسبت تصاعد آن ۵ است، آنگاه حاصل ضرب ۵۰ جملهٔ اول برابر خواهد بود با:

:P_{50} = 5^{50} \cdot \frac{\Gamma \left(3/5 + 50\right)}{\Gamma \left(3 / 5 \right)} \approx 3.78438 \times 10^{98} 

;نمونهٔ دیگر:
تصاعد حسابی زیر را در نظر بگیرید:

:::a,(a+d),(a+2d),.................(a+(n-1)d)

حاصل ضرب سه جملهٔ اول این تصاعد عبارت است از:

:::a(a+d)(a+2d)
=(a^{2}+ad)(a+2d)
=a^{3}+3a^{2}d+2ad^{2}

حال از روی ظاهر عبارت بالا می‌توان پاسخ را برای n حدس زد:

::: a^{n} + na^{n-1} d^{n-2} + (n-1)a^{n-2}d^{n-1}

مطالب گفته شده در بالا، به عنوان اثبات قابل پذیرش نیست و تنها برای درک بهتر بیان شد.

## جمع‌بندی دنباله حسابی
مطالب بالا را در عکس زیر می‌توانید دوره کنید.

## پانویس
آموزش دنباله حسابی «سیده فاطمه موسوی نطنزی»

## جستارهای وابسته
* دنباله
* تصاعد هندسی

## منابع

* ریاضیات ۲، اسماعیل بابلیان، میرزا جلیلی، رضا شهریاری اردبیلی، علیرضا مدقالچی، اداره کل چاپ و توزیع کتاب‌های درسی، ۱۳۸۰ *(کتاب رسمی [[وزارت آموزش و پرورش جمهوری اسلامی ایران]] برای سال دوم [[آموزش متوسطه]] در رشته نظری)
*
* 

## پیوند به بیرون
* ویدیوهای آموزشی تصاعد حسابی به زبان فارسی https://web.archive.org/web/20120920021841/http://kelasedars.org/?p=1611

* 
* 


رده:دنباله اعداد صحیح
رده:دنباله‌ها و سری‌ها
رده:ریاضیات مقدماتی
رده:سری‌های ریاضی