جبر همولوژی

در ریاضیات و به ویژه در جبر مجرد، **جبر همولوژی** شاخه‌ای است که به بررسی همولوژی و کوهمولوژی کمپلکس‌های زنجیری می‌پردازد. ریشه‌های جبر همولوژی در شاخه‌هایی همچون توپولوژی جبری، هندسه جبری و توپولوژی ترکیبیاتی از آغاز سده بیستم در آثار ریاضیدانانی همچون پوانکاره و هیلبرت قابل ردیابی هستند. جبر همولوژی امروزه و به ویژه با برآمدن نظریه رده‌ها، به حالتی بسیار کلیتر و مجردتر از کاربردهای آغازین آن در هندسه تعریف و به کار برده می‌شود ولی همچنان این رشته کاربردهای فراوانی در شاخه‌های گفته شده دارد.

## کمپلکسهای زنجیری و همولوژی
فرض کنید \mathcal{A} یکی از رده‌های گروه‌های آبلی، مدول‌ها یا فضاهای برداری، C_i‌ها برای هر i\in\mathbb{Z} اشیایی در \mathcal{A} و ریختارهای d_i در این رده به گونه زنجیر زیر داده شده باشند:
C:=\ldots \xrightarrow{d_{n+2}}C_{n+1} \xrightarrow{d_{n+1}}C_{n} \xrightarrow{d_{n}}C_{n-1} \xrightarrow{d_{n-1}} \ldots 

اگر \mathcal{A} رده گروه‌های آبلی، مدول‌ها یا فضاهای برداری باشد d_iها به ترتیب همریختی گروهی، همریختی مدولی یا نگاشتهای خطی فضاهای برداری هستند.

چنین زنجیری از اشیا و ریختارها در رده \mathcal{A} یک کمپلکس زنجیری خوانده می‌شود اگر داشته باشیم: d_n\circ d_{n+1}=0.
این شرط معادل این شرط است که: Imd_{n+1}\subset Kerd_n و چون در رده
\mathcal{A} خارج قسمت‌ها قابل تعریف اند (در رده‌های گروه‌های آبلی، مدولها و فضاهای برداری خارج قسمت‌ها قابل تعریف می‌شوند) n اُمین همولوژی این کمپلکس را به صورت خارج قسمت زیر تعریف می‌کنیم: H_n(C)=\frac{Kerd_n}{Imd_{n+1}} .
در اینجا H_n(C) به عنوان یکی گروه آبلی در نظر گرفته می‌شود ولی بسته به رده
\mathcal{A}، مدول یا فضای برداری نیز هست (اگر رده \mathcal{A} رده مدولها یا فضاهای برداری باشد).

## مفهوم‌های مهم
### [[دنباله دقیق]]
یک زنجیر C:=\ldots \xrightarrow{d_{n+2}}C_{n+1} \xrightarrow{d_{n+1}}C_{n} \xrightarrow{d_{n}}C_{n-1} \xrightarrow{d_{n-1}} \ldots 

را دنباله دقیق می‌نامیم اگر Imd_{n+1}= Kerd_n برای هر n.

بنابراین دنباله‌های دقیق، کمپلکسهای زنجیری هستند ولی عکس این مطلب درست نیست.

### دنباله دقیق کوتاه
اگر زنجیر ما به صورت C:=0\to C_{3} \xrightarrow{d_{3}}C_{2} \xrightarrow{d_{2}}C_{1} \to 0  و یک دنباله دقیق باشد، آن را دنباله دقیق کوتاه می‌نامیم. توجه کنید که تعریف دنباله دقیق در بالا برای این حالت ایجاب می‌کند که زنجیر بالا یک دنباله دقیق کوتاه است اگر و تنها اگر: d_3 یک به یک، d_2 پوشا و Imd_3=Kerd_2. بنابراین، یک دنباله دقیق کوتاه، در حالت کلی به صورت زیر است:

C:= C_3 \hookrightarrow C_2 \twoheadrightarrow C_1 
یعنی داریم: C_1=\frac{C_2}{Kerd_2}=\frac{C_2}{d_3(C_3)}

## ریختارهای کمپلکسها و همولوژی
فرض کنید دو کمپلکس زنجیری C=(C_n, d_n) و C'=(C'_n,d'_n) داده شده باشند. یک ریختار \varphi میان این دو کمپلکس عبارت است از یک دنباله \varphi_n از همریختی‌ها \varphi_n:C_n\to C'_n برای هر
n و


\begin{array}{ccccccc}
\ldots\xrightarrow{d_{n+2}} & C_{n+1} & \xrightarrow{d_{n+1}} & C_n & \xrightarrow{d_n}& C_{n-1} & \xrightarrow{d_{n-1}}\ldots\\

\ldots & \downarrow_{\varphi_{n+1}} &  & \downarrow_{\varphi_{n}} & & \downarrow_{\varphi_{n-1}} & \ldots\\

\ldots\xrightarrow{d_{n+2}^{'}} & C_{n+1}^{'} & \xrightarrow{d_{n+1}^{'}} & C_n^{'} & \xrightarrow{d_n^{'}}& C_{n-1}^{'} & \xrightarrow{d_{n-1}^{'}}\ldots
\end{array}


یک نمودار جابجایی باشد. جابجایی بودن نمودار بدین معنی است که:
\varphi_n\circ d_{n+1}=d'_{n+1}\circ \varphi_{n+1} برای هر n.
در این صورت \varphi_n(Kerd_n)\subseteq Kerd'_n) و
\varphi_n(Imd_{n+1})\subseteq Imd'_{n+1}) و این ریختار یک همریختی میان گروه‌های همولوژی H_n(\varphi):H_n(C)\to H_n(C') به گونه روبرو تعریف می‌کند:
H_n(\varphi)(x+\mathrm{im}(d_{n+1})) := \varphi_n(x)+\mathrm{im}(d_{n+1}^{'}) برای x\in \mathrm{ker}d_{n}

## منابع

* Joseph J. Rotman: An Introduction to Homological Algebra. 2nd Edition, Springer-Verlag, New York 2009
* Peter Hilton und Urs Stammbach: A course in homological algebra. 2nd Edition, Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, 1997


رده:جبر
رده:ریاضیات
رده:ویکی‌سازی رباتیک