ترانهاده

بندانگشتی|200px|چپ|ماتریس ترانهاده
در جبر خطی **تَرانَهادهٔ**  یک ماتریس یعنی ماتریسی که در آن جای سطرها و ستون‌ها برعکس شده است.

ترانهاده یعنی سطر و ستون را جابه‌جا کنیم، و این ابزار ساده در خیلی از محاسبات پایهٔ جبر خطی، آمار، فیزیک و یادگیری ماشین ضروری است.

ماتریس ترانهاده برای هماهنگ‌سازی عملیات‌های جبری خیلی مهم است. مثلاً در ضرب ماتریس‌ها، جابه‌جایی سطر و ستون کمک می‌کند که شکل داده‌ها با هم سازگار شود یا عملیات‌ها ساده‌تر انجام شوند.

ماتریس ترانهاده مانند **A** ماتریس دیگری است که با نماد **A**T (به شکل‌های دیگر **A**′، **A**tr یا t**A** نوشته می‌شود) مشخص شده و نسبت به ماتریس A دارای تفاوت با تعریف زیر است:
[A]_{i \times j}=[A^T]_{j \times i}

به عبارت دیگر باید هنگام نوشتن ترانهاده هر ماتریسی سطرهای ماتریس را به شکل ستون نوشت و ستون‌های ماتریس را به شکل سطر؛

در واقع یک ماتریس n×m اگر ترانهاده شود یک ماتریس m×n خواهد بود. ترانهاده یک عدد همان عدد است.

## کاربردها
کاربردهای مهم ترانهاده:

۱. محاسبات برداری و هندسی: مثلاً در ضرب داخلی دو بردار، باید یکی را به شکل سطری و دیگری را به شکل ستونی بنویسیم. اینجاست که ترانهاده به‌کار می‌آید.

۲. ماتریس متقارن: وقتی ترانهاده یک ماتریس با خودش برابر باشد، آن ماتریس متقارن است. این ماتریس‌ها در فیزیک و آمار کاربرد زیادی دارند.

۳. حل دستگاه معادلات خطی: در روش‌هایی مثل کمترین مربعات، ترانهاده نقش مهمی دارد.

۴. یادگیری ماشین و آمار: در ماتریس داده‌ها، برای ضرب و ترکیب درست ویژگی‌ها و نمونه‌ها، مرتب از ترانهاده استفاده می‌شود.

## مثال‌ها
* \begin{bmatrix}
1 & 2  \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1   \\
2  \end{bmatrix}.

* \begin{bmatrix}
1 & 2  \\
3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3  \\
2 & 4 \end{bmatrix}.

* 
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}  \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 5\\
2 & 4 & 6 \end{bmatrix}. \;


## خواص ترانهاده
برای دو ماتریس دلخواه A و B و عدد C خواص زیر صدق می‌کند
*\left( \mathbf{A}^\mathrm{T} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{A} \quad \,
*(\mathbf{A}+\mathbf{B}) ^\mathrm{T} = \mathbf{A}^\mathrm{T} + \mathbf{B}^\mathrm{T} \,
*\left( \mathbf{A B} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{B}^\mathrm{T} \mathbf{A}^\mathrm{T} \,
* ماتریس مربعی **A** وارون‌پذیر است اگر و فقط اگر **A**T وارون‌پذیر باشد
*(c \mathbf{A})^\mathrm{T} = c \mathbf{A}^\mathrm{T} \,
*\det(\mathbf{A}^\mathrm{T}) = \det(\mathbf{A}) \,
* ضرب داخلی دو ماتریس **a** و **b** می‌توان به شکل زیر محاسبه شود.

: \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\mathrm{T}} \mathbf{b},

که در نمادگذاری اینشتین**a***i* **b***i* نوشته می‌شود.

*(\mathbf{A}^\mathrm{T})^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^\mathrm{T} \,
* اگر A یک ماتریس مربعی باشد مقدار ویژه این ماتریس برابر مقدار ویژه ماتریس ترانهاده آن است.

## ماتریس‌های خاص
ماتریس مربعی در صورتی ماتریس متقارن نامید می‌شود که ترانهاده‌اش با خودش برابر باشد

:\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = \mathbf{A}.\,

ماتریس G در صورتی ماتریس متعامد است که:

:\mathbf{G G}^\mathrm{T} = \mathbf{G}^\mathrm{T} \mathbf{G} = \mathbf{I}_n , \, &nbsp؛ که I ماتریس همانی است. **G**T = **G**-۱.
ماتریسی که ترانهاده‌اش با قرینه‌اش برابر باشد ماتریس پادمتقارن نامیده می‌شود

:\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = -\mathbf{A}.\,

همیوغ ترانهاده ماتریس **A**، به شکل **A***، نوشته می‌شود برابر است با ترانهاده آن ماتریس و ماتریس همیوغ آن.

:\mathbf{A}^* = (\overline{\mathbf{A}})^{\mathrm{T}} = \overline{(\mathbf{A}^{\mathrm{T}})}.

## جستارهای وابسته
* ماتریس وارون‌پذیر

## پیوند به بیرون
* کلاس درس دانشگاه ام‌آی‌تی درباره جبر خطی
* ترانهاده، mathworld.wolfram.com
* ترانهاده ، planetmath.org

رده:جبر خطی
رده:جبر مجرد
رده:ماتریس‌ها