فهرست انتگرال توابع مثلثاتی

در ادامه فهرستی از انتگرال تابع‌های مثلثاتی نوشته شده‌است. برای آگاهی از انتگرال تابع‌های نمایی و مثلثاتی فهرست انتگرال تابع‌های نمایی را نگاه کنید، همچنین برای داشتن یک فهرست کامل صفحهٔ فهرست انتگرال‌ها را نگاه کنید.

اگر تابع \sin(x) را شکل کلی تابع مثلثاتی در نظر بگیریم و \cos(x) را به عنوان مشتق آن، آنگاه:

: \int a\cos nx\;dx = \frac{a}{n}\sin nx+c

در تمامی رابطه‌ها فرض می‌شود که *a* ناصفر است و *C* ثابت انتگرال‌گیری است.

## انتگرال‌هایی که تنها تابع [[سینوس]] دارند

: \int\sin ax\;dx = -\frac{1}{a}\cos ax+C\,\!

: \int\sin^2 {ax}\;dx = \frac{x}{2} - \frac{1}{4a} \sin 2ax +C= \frac{x}{2} - \frac{1}{2a} \sin ax\cos ax +C\!

: \int x\sin^2 {ax}\;dx = \frac{x^2}{4} - \frac{x}{4a} \sin 2ax - \frac{1}{8a^2} \cos 2ax +C\!

: \int x^2\sin^2 {ax}\;dx = \frac{x^3}{6} - \left( \frac {x^2}{4a} - \frac{1}{8a^3} \right) \sin 2ax - \frac{x}{4a^2} \cos 2ax +C\!

: \int\sin b_1x\sin b_2x\;dx = \frac{\sin((b_1-b_2)x)}{2(b_1-b_2)}-\frac{\sin((b_1+b_2)x)}{2(b_1+b_2)}+C \qquad\mbox{(for }|b_1|\neq|b_2|\mbox{)}\,\!

: \int\sin^n {ax}\;dx = -\frac{\sin^{n-1} ax\cos ax}{na} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2} ax\;dx \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}\,\!

: \int\frac{dx}{\sin ax} = \frac{1}{a}\ln \left|\tan\frac{ax}{2}\right|+C

: \int\frac{dx}{\sin^n ax} = \frac{\cos ax}{a(1-n) \sin^{n-1} ax}+\frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\sin^{n-2}ax} \qquad\mbox{(for }n>1\mbox{)}\,\!

: \int x\sin ax\;dx = \frac{\sin ax}{a^2}-\frac{x\cos ax}{a}+C\,\!

: \int x^n\sin ax\;dx = -\frac{x^n}{a}\cos ax+\frac{n}{a}\int x^{n-1}\cos ax\;dx = \sum_{k=0}^{2k\leq n} (-1)^{k+1} \frac{x^{n-2k}}{a^{1+2k}}\frac{n!}{(n-2k)!} \cos ax +\sum_{k=0}^{2k+1\leq n}(-1)^k \frac{x^{n-1-2k}}{a^{2+2k}}\frac{n!}{(n-2k-1)!} \sin ax  \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}\,\!

: \int_{\frac{-a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^2\sin^2 {\frac{n\pi x}{a}}\;dx = \frac{a^3(n^2\pi^2-6)}{24n^2\pi^2}   \qquad\mbox{(for }n=2,4,6...\mbox{)}\,\!

: \int\frac{\sin ax}{x} dx = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(ax)^{2n+1}}{(2n+1)\cdot (2n+1)!} +C\,\!

: \int\frac{\sin ax}{x^n} dx = -\frac{\sin ax}{(n-1)x^{n-1}} + \frac{a}{n-1}\int\frac{\cos ax}{x^{n-1}} dx\,\!

: \int\frac{dx}{1\pm\sin ax} = \frac{1}{a}\tan\left(\frac{ax}{2}\mp\frac{\pi}{4}\right)+C

: \int\frac{x\;dx}{1+\sin ax} = \frac{x}{a}\tan\left(\frac{ax}{2} - \frac{\pi}{4}\right)+\frac{2}{a^2}\ln\left|\cos\left(\frac{ax}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\right|+C

: \int\frac{x\;dx}{1-\sin ax} = \frac{x}{a}\cot\left(\frac{\pi}{4} - \frac{ax}{2}\right)+\frac{2}{a^2}\ln\left|\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{ax}{2}\right)\right|+C

: \int\frac{\sin ax\;dx}{1\pm\sin ax} = \pm x+\frac{1}{a}\tan\left(\frac{\pi}{4}\mp\frac{ax}{2}\right)+C

## انتگرال‌هایی که تنها تابع [[کسینوس]] دارند

: \int\cos ax\;dx = \frac{1}{a}\sin ax+C\,\!

: \int\cos^2 {ax}\;dx = \frac{x}{2} + \frac{1}{4a} \sin 2ax +C = \frac{x}{2} + \frac{1}{2a} \sin ax\cos ax +C\!

: \int\cos^n ax\;dx = \frac{\cos^{n-1} ax\sin ax}{na} + \frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2} ax\;dx \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}\,\!

: \int x\cos ax\;dx = \frac{\cos ax}{a^2} + \frac{x\sin ax}{a}+C\,\!

: \int x^2\cos^2 {ax}\;dx = \frac{x^3}{6} + \left( \frac {x^2}{4a} - \frac{1}{8a^3} \right) \sin 2ax + \frac{x}{4a^2} \cos 2ax +C\!

: \int x^n\cos ax\;dx = \frac{x^n\sin ax}{a} - \frac{n}{a}\int x^{n-1}\sin ax\;dx\,= \sum_{k=0}^{2k+1\leq n} (-1)^{k} \frac{x^{n-2k-1}}{a^{2+2k}}\frac{n!}{(n-2k-1)!} \cos ax +\sum_{k=0}^{2k\leq n}(-1)^{k} \frac{x^{n-2k}}{a^{1+2k}}\frac{n!}{(n-2k)!} \sin ax  \!

: \int\frac{\cos ax}{x} dx = \ln|ax|+\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\frac{(ax)^{2k}}{2k\cdot(2k)!}+C\,\!

: \int\frac{\cos ax}{x^n} dx = -\frac{\cos ax}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{n-1}\int\frac{\sin ax}{x^{n-1}} dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}\,\!

: \int\frac{dx}{\cos ax} = \frac{1}{a}\ln\left|\tan\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C

: \int\frac{dx}{\cos^n ax} = \frac{\sin ax}{a(n-1) \cos^{n-1} ax} + \frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\cos^{n-2} ax} \qquad\mbox{(for }n>1\mbox{)}\,\!

: \int\frac{dx}{1+\cos ax} = \frac{1}{a}\tan\frac{ax}{2}+C\,\!

: \int\frac{dx}{1-\cos ax} = -\frac{1}{a}\cot\frac{ax}{2}+C\,\!

: \int\frac{x\;dx}{1+\cos ax} = \frac{x}{a}\tan\frac{ax}{2} + \frac{2}{a^2}\ln\left|\cos\frac{ax}{2}\right|+C

: \int\frac{x\;dx}{1-\cos ax} = -\frac{x}{a}\cot\frac{ax}{2}+\frac{2}{a^2}\ln\left|\sin\frac{ax}{2}\right|+C

: \int\frac{\cos ax\;dx}{1+\cos ax} = x - \frac{1}{a}\tan\frac{ax}{2}+C\,\!

: \int\frac{\cos ax\;dx}{1-\cos ax} = -x-\frac{1}{a}\cot\frac{ax}{2}+C\,\!

: \int\cos a_1x\cos a_2x\;dx = \frac{\sin(a_1-a_2)x}{2(a_1-a_2)}+\frac{\sin(a_1+a_2)x}{2(a_1+a_2)}+C \qquad\mbox{(for }|a_1|\neq|a_2|\mbox{)}\,\!

## انتگرال‌هایی که تنها تابع [[تانژانت]] دارند

: \int\tan ax\;dx = -\frac{1}{a}\ln|\cos ax|+C = \frac{1}{a}\ln|sec ax|+C\,\!

: \int\tan^n ax\;dx = \frac{1}{a(n-1)}\tan^{n-1} ax-\int\tan^{n-2} ax\;dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}\,\!

: \int\frac{dx}{q \tan ax + p} = \frac{1}{p^2 + q^2}(px + \frac{q}{a}\ln|q\sin ax + p\cos ax|)+C \qquad\mbox{(for }p^2 + q^2\neq 0\mbox{)}\,\!

: \int\frac{dx}{\tan ax} = \frac{1}{a}\ln|\sin ax|+C\,\!

: \int\frac{dx}{\tan ax + 1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2a}\ln|\sin ax + \cos ax|+C\,\!

: \int\frac{dx}{\tan ax - 1} = -\frac{x}{2} + \frac{1}{2a}\ln|\sin ax - \cos ax|+C\,\!

: \int\frac{\tan ax\;dx}{\tan ax + 1} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2a}\ln|\sin ax + \cos ax|+C\,\!

: \int\frac{\tan ax\;dx}{\tan ax - 1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2a}\ln|\sin ax - \cos ax|+C\,\!

## انتگرال‌هایی که تنها تابع [[سکانت]] دارند

:\int \sec{ax} \, dx = \frac{1}{a}\ln{\left| \sec{ax} + \tan{ax}\right|}+C

:\int \sec^2{x} \, dx = \tan{x}+C

:\int \sec^n{ax} \, dx = \frac{\sec^{n-2}{ax} \tan {ax}}{a(n-1)} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}{ax} \, dx \qquad \mbox{ (for }n \ne 1\mbox{)}\,\!

:\int \sec^n{x} \, dx = \frac{\sec^{n-2}{x}\tan{x}}{n-1} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}{x}\,dx

:\int \frac{dx}{\sec{x} + 1} = x - \tan{\frac{x}{2}}+C

:\int \frac{dx}{\sec{x} - 1} = - x - \cot{\frac{x}{2}}+C

## انتگرال‌هایی که تنها تابع [[کسکانت]] دارند

:\int \csc{ax} \, dx = -\frac{1}{a}\ln{\left| \csc{ax}+\cot{ax}\right|}+C

:\int \csc^2{x} \, dx = -\cot{x}+C

:\int \csc^n{ax} \, dx = -\frac{\csc^{n-2}{ax} \cot{ax}}{a(n-1)} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \csc^{n-2}{ax} \, dx \qquad \mbox{ (for }n \ne 1\mbox{)}\,\!

:\int \frac{dx}{\csc{x} + 1} = x - \frac{2\sin{\frac{x}{2}}}{\cos{\frac{x}{2}}+\sin{\frac{x}{2}}}+C

:\int \frac{dx}{\csc{x} - 1} = \frac{2\sin{\frac{x}{2}}}{\cos{\frac{x}{2}}-\sin{\frac{x}{2}}}-x+C

## انتگرال‌هایی که تنها تابع [[کتانژانت]] دارند

:\int\cot ax\;dx = \frac{1}{a}\ln|\sin ax|+C\,\!

: \int\cot^n ax\;dx = -\frac{1}{a(n-1)}\cot^{n-1} ax - \int\cot^{n-2} ax\;dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}\,\!

: \int\frac{dx}{1 + \cot ax} = \int\frac{\tan ax\;dx}{\tan ax+1}\,\!

: \int\frac{dx}{1 - \cot ax} = \int\frac{\tan ax\;dx}{\tan ax-1}\,\!

## انتگرال‌هایی که [[سینوس]] و [[کسینوس]] دارند.

: \int\frac{dx}{\cos ax\pm\sin ax} = \frac{1}{a\sqrt{2}}\ln\left|\tan\left(\frac{ax}{2}\pm\frac{\pi}{8}\right)\right|+C

: \int\frac{dx}{(\cos ax\pm\sin ax)^2} = \frac{1}{2a}\tan\left(ax\mp\frac{\pi}{4}\right)+C

: \int\frac{dx}{(\cos x + \sin x)^n} = \frac{1}{n-1}\left(\frac{\sin x - \cos x}{(\cos x + \sin x)^{n - 1}} - 2(n - 2)\int\frac{dx}{(\cos x + \sin x)^{n-2}} \right)

: \int\frac{\cos ax\;dx}{\cos ax + \sin ax} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2a}\ln\left|\sin ax + \cos ax\right|+C

: \int\frac{\cos ax\;dx}{\cos ax - \sin ax} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2a}\ln\left|\sin ax - \cos ax\right|+C

: \int\frac{\sin ax\;dx}{\cos ax + \sin ax} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2a}\ln\left|\sin ax + \cos ax\right|+C

: \int\frac{\sin ax\;dx}{\cos ax - \sin ax} = -\frac{x}{2} - \frac{1}{2a}\ln\left|\sin ax - \cos ax\right|+C

: \int\frac{\cos ax\;dx}{\sin ax(1+\cos ax)} = -\frac{1}{4a}\tan^2\frac{ax}{2}+\frac{1}{2a}\ln\left|\tan\frac{ax}{2}\right|+C

: \int\frac{\cos ax\;dx}{\sin ax(1-\cos ax)} = -\frac{1}{4a}\cot^2\frac{ax}{2}-\frac{1}{2a}\ln\left|\tan\frac{ax}{2}\right|+C

: \int\frac{\sin ax\;dx}{\cos ax(1+\sin ax)} = \frac{1}{4a}\cot^2\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{1}{2a}\ln\left|\tan\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C

: \int\frac{\sin ax\;dx}{\cos ax(1-\sin ax)} = \frac{1}{4a}\tan^2\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{1}{2a}\ln\left|\tan\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C

: \int\sin ax\cos ax\;dx = -\frac{1}{2a}\cos^2 ax +C\,\!

: \int\sin a_1x\cos a_2x\;dx = -\frac{\cos((a_1-a_2)x)}{2(a_1-a_2)} -\frac{\cos((a_1+a_2)x)}{2(a_1+a_2)} +C\qquad\mbox{(for }|a_1|\neq|a_2|\mbox{)}\,\!

: \int\sin^n ax\cos ax\;dx = \frac{1}{a(n+1)}\sin^{n+1} ax +C\qquad\mbox{(for }n\neq -1\mbox{)}\,\!

: \int\sin ax\cos^n ax\;dx = -\frac{1}{a(n+1)}\cos^{n+1} ax +C\qquad\mbox{(for }n\neq -1\mbox{)}\,\!

: \int\sin^n ax\cos^m ax\;dx = -\frac{\sin^{n-1} ax\cos^{m+1} ax}{a(n+m)}+\frac{n-1}{n+m}\int\sin^{n-2} ax\cos^m ax\;dx  \qquad\mbox{(for }m,n>0\mbox{)}\,\!

: \int\sin^n ax\cos^m ax\;dx = \frac{\sin^{n+1} ax\cos^{m-1} ax}{a(n+m)} + \frac{m-1}{n+m}\int\sin^n ax\cos^{m-2} ax\;dx \qquad\mbox{(for }m,n>0\mbox{)}\,\!

: \int\frac{dx}{\sin ax\cos ax} = \frac{1}{a}\ln\left|\tan ax\right|+C

: \int\frac{dx}{\sin ax\cos^n ax} = \frac{1}{a(n-1)\cos^{n-1} ax}+\int\frac{dx}{\sin ax\cos^{n-2} ax} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}\,\!

: \int\frac{dx}{\sin^n ax\cos ax} = -\frac{1}{a(n-1)\sin^{n-1} ax}+\int\frac{dx}{\sin^{n-2} ax\cos ax} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}\,\!

: \int\frac{\sin ax\;dx}{\cos^n ax} = \frac{1}{a(n-1)\cos^{n-1} ax} +C\qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}\,\!

: \int\frac{\sin^2 ax\;dx}{\cos ax} = -\frac{1}{a}\sin ax+\frac{1}{a}\ln\left|\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{ax}{2}\right)\right|+C

: \int\frac{\sin^2 ax\;dx}{\cos^n ax} = \frac{\sin ax}{a(n-1)\cos^{n-1}ax}-\frac{1}{n-1}\int\frac{dx}{\cos^{n-2}ax} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}\,\!

: \int\frac{\sin^n ax\;dx}{\cos ax} = -\frac{\sin^{n-1} ax}{a(n-1)} + \int\frac{\sin^{n-2} ax\;dx}{\cos ax} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}\,\!

: \int\frac{\sin^n ax\;dx}{\cos^m ax} = \frac{\sin^{n+1} ax}{a(m-1)\cos^{m-1} ax}-\frac{n-m+2}{m-1}\int\frac{\sin^n ax\;dx}{\cos^{m-2} ax} \qquad\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)}\,\!

: \int\frac{\sin^n ax\;dx}{\cos^m ax} = -\frac{\sin^{n-1} ax}{a(n-m)\cos^{m-1} ax}+\frac{n-1}{n-m}\int\frac{\sin^{n-2} ax\;dx}{\cos^m ax} \qquad\mbox{(for }m\neq n\mbox{)}\,\!

: \int\frac{\sin^n ax\;dx}{\cos^m ax} = \frac{\sin^{n-1} ax}{a(m-1)\cos^{m-1} ax}-\frac{n-1}{m-1}\int\frac{\sin^{n-2} ax\;dx}{\cos^{m-2} ax} \qquad\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)}\,\!

: \int\frac{\cos ax\;dx}{\sin^n ax} = -\frac{1}{a(n-1)\sin^{n-1} ax} +C\qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}\,\!

: \int\frac{\cos^2 ax\;dx}{\sin ax} = \frac{1}{a}\left(\cos ax+\ln\left|\tan\frac{ax}{2}\right|\right) +C

: \int\frac{\cos^2 ax\;dx}{\sin^n ax} = -\frac{1}{n-1}\left(\frac{\cos ax}{a\sin^{n-1} ax)}+\int\frac{dx}{\sin^{n-2} ax}\right) \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}

: \int\frac{\cos^n ax\;dx}{\sin^m ax} = -\frac{\cos^{n+1} ax}{a(m-1)\sin^{m-1} ax} - \frac{n-m-2}{m-1}\int\frac{\cos^n ax\;dx}{\sin^{m-2} ax} \qquad\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)}\,\!

:\int\frac{\cos^n ax\;dx}{\sin^m ax} = \frac{\cos^{n-1} ax}{a(n-m)\sin^{m-1} ax} + \frac{n-1}{n-m}\int\frac{\cos^{n-2} ax\;dx}{\sin^m ax} \qquad\mbox{(for }m\neq n\mbox{)}\,\!

:\int\frac{\cos^n ax\;dx}{\sin^m ax} = -\frac{\cos^{n-1} ax}{a(m-1)\sin^{m-1} ax} - \frac{n-1}{m-1}\int\frac{\cos^{n-2} ax\;dx}{\sin^{m-2} ax} \qquad\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)}\,\!

## انتگرال‌هایی که [[سینوس]] و [[تانژانت]] دارند

: \int \sin ax \tan ax\;dx = \frac{1}{a}(\ln|\sec ax + \tan ax| - \sin ax)+C\,\!

: \int\frac{\tan^n ax\;dx}{\sin^2 ax} = \frac{1}{a(n-1)}\tan^{n-1} (ax) +C\qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}\,\!

## انتگرال‌هایی که [[کسینوس]] و [[تانژانت]] دارند

: \int\frac{\tan^n ax\;dx}{\cos^2 ax} = \frac{1}{a(n+1)}\tan^{n+1} ax +C\qquad\mbox{(for }n\neq -1\mbox{)}\,\!

## انتگرال‌هایی که [[سینوس]] و [[کتانژانت]] دارند

: \int\frac{\cot^n ax\;dx}{\sin^2 ax} = \frac{1}{a(n+1)}\cot^{n+1} ax  +C\qquad\mbox{(for }n\neq -1\mbox{)}\,\!

## انتگرال‌هایی که [[کسینوس]] و [[کتانژانت]] دارند

: \int\frac{\cot^n ax\;dx}{\cos^2 ax} = \frac{1}{a(1-n)}\tan^{1-n} ax +C\qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}\,\!

## انتگرال‌های با بازه‌های متقارن

: \int_^\sin {x}\;dx = 0 \!
: \int_^\cos {x}\;dx = 2\int_^\cos {x}\;dx = 2\int_^\cos {x}\;dx = 2\sin {c} \!
: \int_^\tan {x}\;dx = 0 \!
: \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^2\cos^2 {\frac{n\pi x}{a}}\;dx = \frac{a^3(n^2\pi^2-6)}{24n^2\pi^2}   \qquad\mbox{(for }n=1,3,5...\mbox{)}\,\!

## منابع

رده:انتگرال‌ها
رده:توابع مثلثاتی
رده:فهرست‌های ریاضی