نمایش گروه

در ریاضیات، یک **نمایش گروه** راهی است برای توصیف عناصر یک گروه مجرد به صورت ماتریسها. بنابراین واژه نمایش در اینجا به معنی توصیف یا توضیح عناصر گروه به صورت نگاشتهای خطی است. از آنجا که بررسی این نگاشتها در جبر خطی بسیار کامل و آسان‌تر از بررسی مجرد عناصر یک گروه است، نمایش گروه می‌تواند در فهم و توصیف ویژگی‌های یک گروه کمک کند و بسیاری از مسائل نظریه گروه‌ها را به مسائلی در جبر خطی تقلیل دهد.

## تعریف

فرض کنید G یک گروه و V یک فضای برداری روی میدان K باشد. منظور از یک نمایش گروه G روی V یک همریختی \rho از G به GL(V) است. به زبان دیگر یک نگاشت \rho:G\to GL(V) به گونه ای که : \rho(g_1.g_2)=\rho(g_1)\rho(g_2) برای هر g_1 , g_2\in G.
در اینجا به V فضای نمایش و بُعد آن را به اصطلاح بُعد نمایش گروه G مینامیم.
اگر V بعد متناهی (برای نمونه برابر با n) داشته باشد، به‌طور معمول یم پایه برای آن اختیار میکنیم و گروه GL(V) را با GL_n(K)، گروه ماتریس‌های وارونپذیر n\times n روی K، یکی فرض میکنیم. آنگاه می‌توان نمایش
\rho را به صورت همریختیِ \rho:G\to GL_n(K) نمایش داد.

یک نمایش \rho را **وفادار** مینامیم، اگر \rho به عنوان یک نگاشت یک به یک باشد. از آنجا که \rho یک همریختی میان دو گروه است، می‌توان هسته این همریختی را تعریف کرد و بنابراین قرار میدهیم: Ker\rho:=\{g\in G|\rho(g)=id\}.
پس \rho وفادار است اگر و تنها اگر Ker\rho=\{e_G\}.

### نمونه ها
* فرض کنید K=\mathbb{C}، G=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}=\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}\} و V=\mathbb{C}^{2} و تعریف کنید:

\rho(0)=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix},
\qquad
\rho(1)=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & u \\
\end{pmatrix},
\qquad
\rho(2)=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & u^2 \\
\end{pmatrix}.

که در اینجا u=e^{\frac{2\pi i}{3}}.
* فرض کنید K=\mathbb{R}، G=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\{\overline{0}, \overline{1}\} و V=\mathbb{R}^{2} و تعریف کنید:

\rho(0)=\begin{pmatrix} 1& 0\\ 0& 1\end{pmatrix} و
\rho(1)=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}& \frac{3}{4}\\ 1& -\frac{1}{2}\end{pmatrix}

### یکریختی

اگر \rho:G\to GL(V) و \beta:G\to GL(W) دو نمایش یک گروه G روی فضاهای برداری Vو W باشند، این دو نمایش را یکریخت مینامیم اگر یکریختی \kappa:V\to W موجود باشد به گونه ای که :
\kappa \circ \rho(g) \circ \kappa^{-1}=\beta(g) برای هر g\in G.

### جمع مستقیم

همچنین فرض کنید \rho_1:G\to GL(V) و \rho_2:G\to GL(W) دو نمایش گروه G هستند، آنگاه می‌توان نمایشی روی جمع مستقیم V\oplus W بدینگونه تعریف نمود: \rho(g)=\rho_1(g)+\rho_2(g) ,\rho:G\to GL(V\oplus W). در اینجا، منظور از \rho_1(g)+\rho_2(g) نگاشتی است که به صورت مؤلفه ای روی
V\oplus W عمل می‌کند، به سخن دیگر:
\rho_1(g)+\rho_2(g)(v+w)=\rho_1(g)v+\rho_2(g)w برای هر v\in V و
w\in W.

## زیر نمایش

اگر \rho:G\to GL(V) یک نمایش و W\subset V زیرفضای برداری باشد، آنگاه W را یک زیرنمایش \rho میخوانیم اگر نسبت به عمل \rho ناوردا باشد. به زبان دیگر: \rho(g)w\in W برای هر g\in G و
w\in W. بدیهی است که دو زیرفضای \{0\} و V همواره نسبت به نمایش دلخواه \rho ناوردا و در نتیجه همیشه زیرنمایش هستند. نمایش \rho را تحویل ناپذیر مینامیم اگر تنها زیر نمایش‌های آن همین دو زیر نمایش بدیهی باشند. اگر مشخصه میدان K کاردینالیتی G را نشمارد، هر نمایش روی میدان K به صورت جمع مستقیم نمایش‌های تحویل ناپذیر قابل توصیف است.

## منابع

* Jean-Pierre Serre: *Linear Representations of Finite Groups*. Springer-Verlag, New York 1977.
* William Fulton, Joe Harris: *Representation theory. A first course*. Springer-Verlag, New York, 1991

رده:جبر
رده:ریاضیات
رده:نظریه گروه‌ها
رده:نظریه نمایش
رده:نظریه نمایش گروه‌ها