توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته

**توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته (GIG : G**eneralized **I**nverse **G**aussian**)** در نظریه احتمال و آمار یک توزیع پیوسته با سه پارامتر است. تابع چگالی احتمال این توزیع به صورت زیر است:
:f(x) = \frac{(a/b)^{p/2}}{2 K_p(\sqrt{ab})} x^{(p-1)} e^{-(ax + b/x)/2},\qquad x>0,
:که K_pیک تابع بسل اصلاح شده از نوع دوم است، *a* و *b مقادیری مثبت و p* یک پارامتر حقیقی است. این توزیع به طور گسترده‌ای در زمین‌آمار، زبانشناسی آماری، دانش مالی و سرمایه‌گذاری و غیره استفاده میشد.

## مشخصات

### مجموع
بارندورف-نیلسن (O. Barndorff-Nielsen) و هالگرین (C. Halgreen) اثبات کردند که توزیع GIG بی‌نهایت تقسیم‌پذیر است.

### آنتروپی
آنتروپی توزیع GIG به صورت زیر داده میشود:

\begin{align}
H = \frac{1}{2} \log \left( \frac b a \right) & {} +\log \left(2 K_p\left(\sqrt{ab} \right)\right) - (p-1) \frac{\left[\frac{d}{d\nu}K_\nu\left(\sqrt{ab}\right)\right]_{\nu=p}}{K_p\left(\sqrt{a b}\right)} \\
& {} + \frac{\sqrt{a b}}{2 K_p\left(\sqrt{a b}\right)}\left( K_{p+1}\left(\sqrt{ab}\right) + K_{p-1}\left(\sqrt{a b}\right)\right)
\end{align}

## توزیع‌های مرتبط
توزیع گاوسی معکوس و توزیع گاما حالت‌های خاصی از توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته با p = -1/2 و b = 0 هستند.

به طور دقیق‌، یک توزیع گاوسی معکوس با فرم

f(x;\mu,\lambda) = \left[\frac{\lambda}{2 \pi x^3}\right]^{1/2} \exp{\frac{-\lambda (x-\mu)^2}{2 \mu^2 x}}

یک توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته با a = \lambda/\mu^2، b = \lambda و p=-1/2 است.

یک توزیع گاما با فرم

{\displaystyle g(x;\alpha ,\beta )=\beta ^{\alpha }{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}}

یک توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته با a = 2\beta، b = 0 و p = \alpha است.

یک توزیع گاما معکوس، یک توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته با a = 0 و p  است.

یک توزیع هایپربولیک، یک توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته با p = 0 است.

## کاربرد‌های احتمالی

### 1) توزیع GIG به عنوان قانونی برای کسر‌های مسلسل
X و Y را دو متغیر تصادفی مستقل از هم در نظر بگیرید به طوری که X > 0 و Y \sim \gamma(p, \frac{a}{2}) برای p, a > 0. در این صورت داریم X = d \frac{1}{Y + X} اگر و فقط اگر X \sim GIG(-p, a, a).

X، Y_1 و Y_2 را سه متغیر تصادفی مستقل از هم در نظر بگیرید به طوری که X > 0، Y_1 \sim \gamma (p, \frac{b}{2}) و Y_2 \sim \gamma (p, \frac{a}{2}) برای p, a, b > 0. در این صورت داریم X = d \frac{1}{Y_1 + \frac{1}{Y_2 + X}} اگر و فقط اگر X \sim GIG(-p, a, b).

به طور کلی اگر (Y_i)_{i\geq1} یک دنباله از متغیر تصادفی‌های مستقل از هم باشد به طوری که \mathcal{L}(Y_{2i-1}) = \mathcal{L}(Y_1) = \gamma (\lambda, \frac{b}{2}) و \mathcal{L}(Y_{2i}) = \mathcal{L}(Y_2) = \gamma(\lambda, \frac{a}{2}) برای i \geq 1، آنگاه داریم:

\mathcal{L}\Biggl(\frac{1}{Y_1 + \frac{1}{Y_2 + \frac{1}{Y_3 + {}^{._{._{.}}} }}}\Biggr) = GIG(-\lambda, a, b).

### 2) خاصیت Matsumoto-Yor
دو متغیر تصادفی مثبت و مستقل از هم X و Y را در نظر بگیرید به طوری که X \sim GIG(-p, a, b) و Y \sim \Gamma (p, \frac{a}{2}) برای p, a, b > 0. خاصیت Matsumoto-Yor بیان می‌کند که متغیر تصادفی‌های U = \frac{1}{X + Y} و V = \frac{1}{X} - \frac{1}{X + Y} از هم مستقل هستند.

## مثال‌هایی از کاربرد توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته

* Jorgensen در سال 1982 ثابت کرد که توزیع GIG فیت مناسب‌تری نسبت به توزیع نمایی در داده های مورد استفاده در موارد زیر است:
** فواصل زمانی بین خرابی‌های پی‌در‌پی تجهیزات تهویه‌ی هوا در هواپیمای بوئینگ 720
** فواصل زمانی بین ضربان‌ها در یک فیبر عصبی
** فواصل زمانی بین رد شدن وسایل نقلیه از یک نقطه
* Iyengar و Liao در سال 1997: فعالیت عصبی؛ مقایسه بین فیت توزیع GIG و فیت توزیع نرمال لگاریتمی.
* Chebana et al در سال 2010: کاربرد در وقایع مفرط هیدرولوژیکی

## منابع

* Gérard Letac and Vanamamalai Seshadri، * A characterization of the generalized inverse Gaussian distribution by continued fractions*، Probability Theory and Related Fields, Vol 62 (1983)، pp. 485-489 

گاوسی معکوس عمومی
رده:توزیع‌های خانواده نمایی