فرایند ورود مارکوف

در نظریه صف، برای مدل کردن ورود مشتریان به صف از **فرایند ورود مارکوف** استفاده می‌شود.

*فرایند پواسون*، *فرایند ورود مارکوف* و *فرایند ورود دسته‌ای مارکوف* برخی از رایج ترین‌ها محسوب می‌شوند.

## سابقه

فرایندهای ورودی مارکوف دارای دو فرایند است . فرایند مارکوف در زمان پیوسته j(t)، فرایندهای مارکوف که توسط یک مولد یا ماتریس تغییرات Q تولید می‌شود. فرایند دیگر یک فرایند شمارنده است N(t)، که دارای فضای حالت \mathbb{N}_{0}:=\mathbb{N}\cup\{0\} (که در آن \mathbb{N} مجموعه‌ای از تمام اعداد طبیعی)

 که هر زمان N(t) افزایش می‌بابد و یک‌گذار j(t)  وجود داشته و علامتگذاری شده‌است .

## فرایند پواسون

فرایند ورود پواسون یا فرایند پواسون تعداد ورودی‌ها را می‌شمارد به‌طوری‌که هریک از آن‌ها دارای توزیع نمایی بین ورود می‌باشد . در حالت کلی این مورد با ماتریس تغییرات نشان داده است ،

:
Q=\left[\begin{matrix}
-\lambda_{0}&\lambda_{0}&0&0&\dots\\
0&-\lambda_{1}&\lambda_{1}&0&\dots\\
0&0&-\lambda_{2}&\lambda_{2}&\dots\\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots
\end{matrix}\right]\; .

در حالت همگن ساده‌تر هم می‌شود.

:
Q=\left[\begin{matrix}
-\lambda&\lambda&0&0&\dots\\
0&-\lambda&\lambda&0&\dots\\
0&0&-\lambda&\lambda&\dots\\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots
\end{matrix}\right]\; .

در اینجا هر حالت‌گذار مشخص شده‌است .

## فرایندهای ورود مارکوف
**فرایند ورود مارکوف** (MAP) یک تعمیم از فرایند پواسون با توزیع غیر نمایی موقت بین ورودی‌ها است. در وضعیت همگن، ماتریس تغییرات به صورت زیر است ،

:
Q=\left[\begin{matrix}
D_{0}&D_{1}&0&0&\dots\\
0&D_{0}&D_{1}&0&\dots\\
0&0&D_{0}&D_{1}&\dots\\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots
\end{matrix}\right]\; .

ورود در زمان‌گذار رخ می هد و باعث افزایش سطح (گذار مشخص شده ) می‌شود به عنوان مثال در تغییر حالت در زیر ماتریس D_{1} .
در زیر ماتریس‌های D_{0} و D_{1} با عناصر \lambda_{i,j} و تغییرات فرایند پواسون ،

:
0\leq [D_{1}]_{i,j}

:
0\leq [D_{0}]_{i,j}

:
[D_{0}]_{i,i}

و
:
(D_{0}+D_{1})\boldsymbol{1}=\boldsymbol{0}


چندین مورد خاص در فرایند ورود مارکوف وجود دارد.

### فرایندهای پوآسون با مدوله مارکوف
فرایندهای پوآسون با مدوله مارکوف یا *MMPP* که m به وسیلهٔ فرایندهای پواسون تغییر می‌کند .
در صورتی که هر یک از فرایندهای پواسون m دارای تغییرات \lambda_{i} و فرایند اساسی تولید شده به وسیلهٔ یک ماتریس مولد m\times m باشد.، سپس در MAP نمایش داده می‌شود،

:D_{1} = \operatorname{diag}\{\lambda_{1},\dots,\lambda_{m}\}

ماتریس قطری در تغییرات پواسون است و

:D_{0}=R-D_{1}

### فرایندهای تجدید فاز-نوع
**فرایندهای تجدید فاز**-**نوع** یک فرایند ورود مارکوف با توزیع فاز-نوع بین دو زمان ورود است . به‌طور مثال اگر یک فرایند ورودی بین دو ورود که زمان توزیع PH (\boldsymbol{\alpha},S) با یک بردار خروجی نشان داده شد \boldsymbol{S}^{0}=-S\boldsymbol{1}، فرایند ورودی یک ماتریس مولد دارد ،

:
Q=\left[\begin{matrix}
S&\boldsymbol{S}^{0}\boldsymbol{\alpha}&0&0&\dots\\
0&S&\boldsymbol{S}^{0}\boldsymbol{\alpha}&0&\dots\\
0&0&S&\boldsymbol{S}^{0}\boldsymbol{\alpha}&\dots\\
\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\ddots\\
\end{matrix}\right]


## فرایند ورود دسته‌ای مارکوف
**فرایند ورود دسته‌ای مارکوف** (*BMAP*) یک فرایند ورود مارکوف دارای ورودی‌ها بزرگتر از یک است . در وضعیت همگن، ماتریس تغییرات به صورت زیر است ،

:
Q=\left[\begin{matrix}
D_{0}&D_{1}&D_{2}&D_{3}&\dots\\
0&D_{0}&D_{1}&D_{2}&\dots\\
0&0&D_{0}&D_{1}&\dots\\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots
\end{matrix}\right]\; .

یک ورودی با اندازه k هر زمان رخ می‌دهد که‌گذار اتفاق می افتد . زیر ماتریس D_{k} دارای عناصر \lambda_{i,j} است و تغییرات فرایند پواسون :

:
0\leq [D_{k}]_{i,j}

:
0\leq [D_{0}]_{i,j}

:
[D_{0}]_{i,i}

و
:
\sum^{\infty}_{k=0}D_{k}\boldsymbol{1}=\boldsymbol{0}


## منابع

* Søren Asmussen (2000). *Matrix-analytic Models and their Analysis*، Scandinavian Journal of Statistics **27**(2)، 193–226.
* David M. Lucantoni (1993). *The BMAP/G/1 Queue: A Tutorial*، Lecture Notes in Computer Science: Performance Evaluation of Computer and Communication Systems (Editors: Lorenzo Donatiello and Randolph Nelson)، volume **729**.
* Srinivas R. Chakravarthy (2001). The batch Markovian arrival process: A review and future work. In Advances in Probability and Stochastic Processes، Ed. A. Krishnamoorthy، N.Raju and V. Ramaswami، Notable Publications، Inc.، New Jersey، USA، 21-49.
* Srinivas R. Chakravarthy (2010). Markovian Arrival Processes. Wiley Encyclopedia of Operations Research and Management Science. Published Online: 15 JUN 2010.
* Marcel F. Neuts (1992). Models based on the Markovian arrival process. IEICE Transactions on Communications، E75B، 1255-1265.

رده:فرایندهای مارکف
رده:نظریه صف