توزیع دوجمله‌ای

\!|
  kurtosis   =\frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}\!|
  entropy    = \frac{1}{2} \ln \left(2 \pi n e p (1-p) \right) + O \left(\frac{1}{n} \right) |
  mgf        =(1-p + pe^t)^n \!|
  char       =(1-p + pe^{it})^n \!|}}

**توزیع دوجمله‌ای** نوعی توزیع پرکاربرد در آمار، اقتصاد، و علوم تجربی است.
در نظریهٔ احتمال و آمار توزیع دوجمله‌ای توزیعی گسسته‌ است از تعداد موفقیت‌ها در دنباله‌ای شامل n آزمایش مستقل برنولی همه با احتمال موفقیت p(توزیع برنولی). در واقع متغیر تصادفی X (تعداد موفقیت‌ها) را متغیر دوجمله‌ای با پارامترهای n و p می‌گویند.

یک آزمایش دوجمله‌ای بایستی دارای ویژگی‌های زیر باشد:
* آزمایش دارای n تعداد آزمون یکسان و عیناً مشابه باشد.
* نتیجه هر آزمون فقط به یکی از این دو صورت باشد: موفق یا ناموفق.
* احتمال موفقیت آزمونی را اگر با p نشان دهیم، از آزمون به آزمون یکسان بوده و متغیر نباشد. احتمال ناموفقیت را با q نشان داده که برابر است با q=1-p
* آزمون‌ها مستقل باشند.

بندانگشتی|340px|توزیع دوجمله‌ای برای p=۰٫۵ , مثلث خیام _ پاسکال

## مشخصه‌ها
### تابع جرم احتمال
درحالت کلی اگر X یک متغیر تصادفی دوجمله‌ای با پارامترهای p,n باشد، آن را به‌صورت
(*X* ~ B(*n*, *p*
نمایش می‌دهیم. احتمال بدست‌آوردن k موفقیت با تابع جرم احتمال زیر مشخص می‌شود:

: p(k) = \Pr(X = k) = {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}\quad\quad\quad\quad for\quad k=0,1,2,... ,n\,

حال می‌خواهیم بررسی کنیم که این فرمول چگونه بدست‌آمده‌است: توجه کنید که تعداد راه‌های ممکن در انجام n آزمایش برنولی که می‌تواند به k موفقیت منتهی شود برابر است با تعداد دنباله‌های مختلف به طول n از حروف b , a با k حرف a (موفقیت) و n-k حرف b (شکست). اما تعداد این دنباله‌ها برابر است با
 {n\choose k}
، زیرا تعداد جایگشت‌های متمایز n حرف از دو نوع مختلف، که k تا همانند از نوع اول و n-k تا همانند از نوع دوم وجود دارد برابر است با
\frac{n!}{k!\,(n-k)!}.
باتوجه به استقلال امتحان‌ها چون احتمال هریک از این دنباله پیشامدها برابر
 p^k(1-p)^{n-k}
است داریم:

:\Pr(X = k) = {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}\,

دلیل اینکه به این توزیع دوجمله‌ای می‌گویند این است که قضیهٔ بسط دوجمله‌ای تضمین می‌کند که
 p(k) یک تابع جرم احتمال است:

:\sum_{k=0}^n p(k)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}(1-p)^{n-k}p^{k}=[p+(1-p)]^n=1^n=1\,

### [[تابع توزیع تجمعی]]
تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی دوجمله‌ای به‌شکل زیر است:

:F(k;n,p) = \Pr(X \le k) = \sum_{i=0}^{\lfloor k \rfloor} {n\choose i}p^i(1-p)^{n-i}\,

## مثال
اگر یک تیرانداز با احتمال ۰/۷ تیری را به هدف بزند و x تعداد تیرهای به هدف خورده در ۵ شلیک باشد؛

ابتدا توزیع احتمال x را معلوم کنید و هر یک از احتمال‌های زیر را به دست آورید.

الف- دقیقاً ۳ تیر به هدف بزند.

ب- حداکثر ۲ تیر به هدف بزند.

ج- هیچ تیری به هدف نزند.

متغیر تصادفی x، دارای توزیع دو جمله‌ای با پارامترهای n=۵ , p=۰٫۷ است که تابع احتمال آن را به صورت زیر می‌نویسیم:

 p(k)={n\choose k}(0.7)^k (0.3)^{5-k}

برای به دست آوردن احتمالات در این مثال داریم:

: P(X=3)={5\choose 3}(0.7)^3 (0.3)^{2}=0.3087 

: P(X\le 2)=p(0)+p(1)+p(2)=0.16308\,

: P(X=0)=p(0)=0.00243\,

## میانگین و واریانس متغیرهای تصادفی دوجمله‌ای
فرض کنید X  یک متغیر تصادفی دوجمله‌ای با پارامترهای n  و p  باشد. به‌طور شهودی انتظار داریم که میانگین X  برابر np  باشد. مثلاً اگر سکهٔ سالمی را صد بار پرتاب کنیم، انتظار داریم به‌طور متوسط ۵۰ بار شیر مشاهده کنیم که برابر است با:
np=100*(1/2). فرمول: \operatorname{E}[X] = np  را می‌توان مستقیماً از تعریف امید ریاضی بدست‌آورد. در زیر این فرمول‌های امید ریاضی و واریانس این متغیر را آورده‌ایم:

 \operatorname{E}[X] = np 

\operatorname{Var}[X] = np(1 - p).

## مثال
تاسی را ۳ بار پرتاب می‌کنیم. اگر متغیر تصادفی X  تعداد تاسهایی که شش آمده باشد، تابع احتمال X  را بنویسید و امید ریاضی و واریانس آن را محاسبه کنید.

چون پرتاب‌ها از یکدیگر مستقل اند و احتمال موفقیت (شش آمدن) در هر پرتاب ۱/۶ است و این آزمایش n=۳ بار تکرار می‌شود، بنابراین شرایط توزیع دوجمله‌ای باp=\frac{1}{6}، n=۳ برقرار است و توزیع احتمال X را به صورت زیر می‌نویسیم:

:p(k)={3\choose k}(1/6)^k (5/6)^{3-k}\quad\quad\quad\quad for\quad k=0,1,2,3

\operatorname{E}[X] = np=3*\frac{1}{6} 

 \operatorname{Var}[X] = np(1 - p)=3*\frac{1}{6}*\frac{5}{6}


## منابع

* 
* page 27,37 introduction to probabilities models by Sheldon M.Ross
* 

رده:توزیع مزدوج پیشین
رده:توزیع‌های خانواده نمایی
دوجمله‌ای
رده:موضوعات فاکتوریل و دوجمله‌ای