متغیرهای تصادفی تعویض‌پذیر

در آمار دنباله‌ای از *متغیرهای تصادفی تعویض پذیر*  دنباله‌ای است که در آن نمونه‌های آینده مانند نمونه‌های اولیه رفتار کنند.

## تعریف
در صورتی که دنباله‌ای بی‌نهایت  X_{1}, X_{2}, X_{3}, \cdots از متغیرهای تصادفی داشته باشیم، و به ازای هر جایگشت دلخواه  \sigma تعداد محدودی از از آن‌ها را جابجا کنیم، و دنبالهٔ جدیدی درست کنیم

: X_{\sigma(1)}, X_{\sigma(2)}, X_{\sigma(3)}, \dots

توزیع مشترک دنبالهٔ جدید عیناً برابر با توزیع مشترک دنباله قبل از جابجایی باشد.

## ارتباط بین تعویض‌پذیری و IID بودن
مجموعه‌ای از متغیرهای تصادفی که IID متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان مشروط بر فرض دانستن اطلاعات توزیع، تعویض پذیر هستند. این نتیجه مستقیماً از تعریف دنبالهٔ تعویض پذیر بر اساس توزیع مشترک بدست می‌آید. یا به عبارت دیگر می‌توان یک دنبالهٔ تعویض پذیر را معادل با یک دنبالهٔ IID مشروط به ساختار توزیعی آن‌ها تعریف کرد. توجه باید کرد که این مسئله تنها در مورد دنباله با طول بی‌نهایت صادق است.

یک دنبالهٔ تعویض پذیر با طول بی‌نهایت، اکیداً ایستا است و قانون اعداد بزرگ به فرم نظریه ارگودیک (Birkhoff-Khinchin theorem) در مورد آن صدق می‌کند. یعنی می‌توان با نسبت دادن توصیفی برای توزیع داده‌ها، خطای تجمعی نمونه‌ها اکیداً محدود کرد. هرچه نمونه‌های واقعی به نمونه‌های تعویض پذیر شباهت بیشتری داشته باشند، این استدلال واقعی تر است.

می توان توصیف ریاضی مفاهیم بالا را این‌گونه بیان کرد. فرض کنیم دنبالهٔ بینهایت \mathbf{X}=(X_1,X_2,X_3,...) را داشته باشیم، توزیع نمونه‌ای F_\mathbf{X} را این‌گونه تعریف می‌کنیم

F_\mathbf{X}(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n I(X_i \le x).

اگر دنباله \mathbf{X} تعویض پذیر باشد، بدین معنی است که المان‌های \mathbf{X} | F_\mathbf{X} از هم مستقل هستند. این بدی معنی است که می‌توان توزیع مشترک هر زیر مجموعه‌ای از متغیرها به این صورت جدا کرد:

p(X_1,X_2,...,X_n) = \int \prod_{i=1}^n p(X_i|\theta)\,dP(\theta).

## مثال
**گلدان پلیا** یک نمونه کلاسیک تعویض پذیری است. فرض کنید ما یک گلدان داریم که حاوی W توپ سفید و B توپ سیاه است. هر بار یک توپ را کاملا به صورت تصادفی از گلدان برمی‌داریم رنگ آن را را ثبت کرده و توپ را به همراه یک توپ دیگر به همان رنگ به گلدان برمی‌گردانیم. هر بار که یک توپ جدید از گلدان برمی‌داریم یک متغیر تصادفی به اسم X_i برای رنگ توپ تعریف می‌کنیم. X_i = 1 اگر رنگ توپ سیاه باشد و در غیر اینصورت X_i = 0. هر چه متغیرهای تصادفی قبل از X_i بیشتر یک باشد، احتمال اینکه X_i نیز یک شود بیشتر خواهد شد، چه که توپ‌های سیاه بیشتری به گلدان اضافه شده‌اند. از این رو این متغیرها نسبت به هم مستقل نیستند، اما همانطور که در پایین نشان خواهیم داد این متغیرها تعویض‌پذیرند. 

فرض کنیم که n بار از گلدان توپ برداریم، و از این n دفعه k بار توپ سیاه و n-k بار توپ سفید دیده باشیم. بار اول تعداد توپ‌های گلدان W+B است، بار دوم این تعداد W+B+1 خواهد بود الی آخر. پس در دفعه i ام، تعداد توپ‌های ما W+B+i-1 خواهد بود. حال فرض کنیم که تمام توپ‌های سیاه را قبل از توپ‌های سفید دیده باشیم، احتمال این رویداد عبارت پایین می‌شود:  

\frac{B}{W+B}\times \frac{B+1}{W+B+1}\times \cdots \times \frac{B+k-1}{W+B+k-1} \times \frac{W}{W+B+k}\times \frac{W+1}{W+B+k+1}\cdots \frac{W+n-k-1}{W+B+n-1}

حال باید ثابت کنیم که اگر ترتیب توپ‌های سیاه و سفید به صورت دلخواه عوض شوند تغییری در احتمال نهائی پیش نخواهد آمد. همانطور که در خط بالا می‌بینیم مخرج کسرها با تغییر ترتیب توپ‌ها تغییر نخواهد کرد، همیشه در دور iام مخرج کسر ما W+B+i-1 خواهد بود، زیرا در این دور این تعداد توپ در گلدان است. اگر jامین توپ سیاه را در دور t ببینم احتمال X_t = 1 با \frac{B+j-1}{W+B+t-1} برابر خواهد بود، یعنی صورت احتمال با B+j-1 برابر خواهد شد. با استدلالی مشابه می‌توان صورت احتمال برای توپ‌های سفید را هم محاسبه کرد. ازین رو احتمال نهائی با عبارت پایین برابر خواهد شد (حاصلضرب مخرج‌ها در حاصلضرب صورتها برای توپ‌های سیاه در حاصلضرب صورتها برای توپ‌های سفید):

\frac{\prod_{i=1}^k \left(B+i-1\right)\times \prod_{i=1}^{n-k} \left(W+i-1\right)}{\prod_{i=1}^{n}\left(W+B+i-1\right)} = \frac{\left(B+k-1\right)!\times \left(W+n-k-1\right)!\times \left(B+W-1\right)!}{\left(B-1\right)!\times \left(W-1\right)!\left(B+W+n-1\right)!}

این احتمال به ترتیب دیدن توپ‌های سیاه و سفید مربوط نمی‌شود و فقط به تعدا کل توپ‌های سفید و تعداد کل توپ‌های سیاه بستگی دارد. ازین رو این احتمال تعویض‌پذیر است.  

## جستارهای وابسته
* آماره-u

## توضیحات

## منابع

* Aldous, David J.، *Exchangeability and related topics*، in: École d'Été de Probabilités de Saint-Flour XIII — 1983, Lecture Notes in Math. 1117, pp.&nbsp;1–198, Springer, Berlin, 1985.  
* 
* Chow, Yuan Shih and Teicher, Henry، *Probability theory. Independence, interchangeability, martingales،* Springer Texts in Statistics, 3rd ed.، Springer, New York, 1997. xxii+488 pp.&nbsp;ISBN 0-387-98228-0
* 
* Kallenberg, O.، *Probabilistic symmetries and invariance principles*. Springer-Verlag, New York (2005). 510 pp.&nbsp;ISBN 0-387-25115-4.
* O'Neill, B. (2009) Exchangeability, Correlation and Bayes' Effect. *International Statistical Review* **77(2)**، pp.&nbsp;241–250.  
* 

## مطالعه ی بیشتر
* Kingman, J. F. C.، *Uses of exchangeability*، Ann. Probability 6 (1978) 83&ndash;197  

رده:انواع توزیع‌های احتمالی
رده:نظریه احتمالات