ضرب دیریکله

بندانگشتی|دیریکله ریاضیدان آلمانی که عمل ضرب دیریکله را تعریف نمود.
در نظریه اعداد، **ضرب دیریکله** یا **پیچش دیریکله** توابع حسابی، یک عمل دوتایی بین توابع حسابی است که از اهمیت زیادی برخوردار است. این نوع عمل اولین بار توسط دیریکله ریاضیدان آلمانی تعریف شده است.

## تعریف
اگر f و g دو تابع حسابی باشند، در این صورت حاصل ضرب دیریکله f و g را با f*g نشان می‌دهیم و برای هر عدد طبیعی n به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

:(f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)

که در آن مجموع روی مقسوم علیه‌های n است. چنین مجموع‌هایی در سراسر نظریه اعداد بویژه نظریه تحلیلی اعداد رخ می‌دهند و لذا از اهمیت خاصی دارند.

## خواص جبری ضرب دیریکله
;قضیه:حاصل ضرب دیریکله توابع حسابی جابجایی است. یعنی اگر f,g توابعی حسابی باشند، f*g=g*f
;برهان: برای هر عدد طبیعی n داریم:

:(f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)=\sum_{d|n}g(d)f\left(\frac{n}{d}\right)=(g*f)(n)

توجه داشته باشید که دو مجموع فوق فقط در ترتیب عوامل شرکت کننده در جمع تفادت دارند.

;قضیه:حاصل ضرب دیریکله توابع حسابی شرکت پذیر است. یعنی اگر f,g،h توابعی حسابی باشند،

f*(g*h)=(f*g)*h

;برهان:ابتدا توجه می‌کنیم که برای هر عدد طبیعی n می‌توان نوشت:

:(f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)=\sum_{ab=n}f(a)g(b)

حال برای هر n داریم:

:((f*g)*h)(n)=\sum_{ab=n}(f*g)(a)h(b)=\sum_{ab=n}\left(\sum_{cd=a}f(c)g(d)\right)g(b)

پس:

:((f*g)*h)(n)=\sum_{adb=n}f(c)g(d)h(b)

از طرفی داریم:

:(f*(g*h))(n)=\sum_{ab=n}f(a)(g*h)(b)

پس:

:(f*(g*h))(n)=\sum_{ab=n}f(a)\left(\sum_{cd=b}g(c)h(d)\right)=\sum_{acd=n}f(a)g(c)h(d)

پس حکم ثابت می‌شود.

;قضیه:تابع همانی I(n)=\left[\frac{1}{n}\right] عضو خنثی نسبت به ضرب دیریکله توابع حسابی است.

;برهان:برای هر تابع حسابی f و عدد طبیعی n، داریم:

:(f*I)(n)=\sum_{d|n}f(d)\left[\frac{d}{n}\right]=f(n)

توجه داشته باشید که جملات مجموع فوق برای هر d(f*(g+h))(n)=\sum_{d|n}f(d)(g+h)\left(\frac{n}{d}\right)

پس:

(f*(g+h))(n)=\sum_{d|n}f(d)g\left(\frac{n}{d}\right)+\sum_{d|n}f(d)h\left(\frac{n}{d}\right)=(f*g)(n)+(f*h)(n)

ولذا حکم برقرار است.

;قضیه: حاصل ضرب دیریکله دو تابع ضربی، تابعی ضربی است.

;برهان:فرض می‌کنیم f,g دو تابع ضربی باشند و h=f*g. در این صورت اگر n,m اعداد طبیعی و متباین(نسبت به هم اول) باشند داریم:

:h(mn)=\sum_{d|mn}f(d)g\left(\frac{mn}{d}\right)

خواننده می‌تواند تحقیق کند که اگر m,n اعداد صحیح و متباین باشند و d|mn اعداد صحیح و یکتایی چون d1,d2 وجود دارند به طوری که d=d1d2 و d1|m و d2|n. با بکارگیری این قضیه برای هر d|mn اعداد a,b وجود دارند که d=ab و a|m و b|n پس عبارت فوق به صورت زیر قابل تبدیل است:

:h(mn)=\sum_{a|m \atop b|n} f(ab)g\left(\frac{mn}{ab}\right)

چون 1=(n,m) پس 1=(a,b) و نیز 1=(m/a,n/b) و چون f,g توابعی ضربی اند:

:h(mn)=\sum_{a|m \atop b|n}f(a)g\left(\frac{m}{a}\right)f(b)g\left(\frac{n}{b}\right)

پس:

:h(mn)=\sum_{a|m}f(a)g\left(\frac{m}{a}\right)\sum_{b|n}f(b)g\left(\frac{n}{b}\right)
:\quad\ =(f*g)(m)(f*g)(n)=h(m)h(n)

بنابراین h ضربی است و حکم ثابت می‌شود.

### معکوس دیریکله
نکته جالب توجه این است که رده‌ای از توابع حسابی نسبت به ضرب دیریکله دارای معکوس هستند. اگر f تابعی حسابی باشد، تابع حسابی g را معکوس دیریکله f می‌گوییم هرگاه f*g=g*f=I. قضیه زیر بیان می‌کند که یک تابع حسابی در چه صورت دارای معکوس دیریکله است.

;قضیه:اگر f تابعی حسابی باشد که 0≠(f(1 در این صورت تابع حسابی یکتایی چون f−1 وجود دارد که معکوس دیریکله f نام دارد و داریم f*f−1=f−1*f=I که I تابع همانی است. همچنین f−1 از دستور زیر برای هر n قابل محاسبه است:
:f^{-1}(1)=\frac{1}{f(1)}

:\forall n>1:f^{-1}(n)=\frac{-1}{f(1)}\sum_{d|n \atop d

;برهان:فرض می‌کنیم f تابعی حسابی باشد که 0≠(f(1. نشان می‌دهیم معادله f*f−1=I برای هر عدد طبیعی جواب یکتا دارد. این کار را به استقرا روی n انجام می‌دهیم. اگر n=1 در این صورت:

:(f*f^{-1})(1)=f(1)f^{-1}(1)=1=I(1)

پس جواب معادله f^{-1}=\frac{1}{f(1)} است و یکتا است. حال فرض می‌کنیم حکم برای هر عدد طبیعی کوچک‌تر از n درست باشد. نشان می‌دهیم حکم برای n نیز درست است. معادله
:(f*f^{-1})(n)=I(n)=0
را حل می‌کنیم(چون n>1 عبارت برابر صفر است). داریم:

:(f*f^{-1})(n)=f(1)f^{-1}(n)+\sum_{d|n \atop d

پس:

:f^{-1}(n)=\frac{-1}{f(1)}\sum_{d|n \atop d

و بنابر فرض استقرا جوابی یکتا حاصل می‌شود و برهان کامل می‌شود.

### معکوس دبریکله تابع کاملاً ضربی
اگر f تابعی کاملاً ضربی باشد، معکوس دیریکله آن به سادگی قابل محاسبه است. ابتدا دقت می‌کنیم که هر تابع ضربی و بخصوص تابع کاملاً ضربی دارای این خاصیت است که 1=(f(1 پس معکوس دیریکله در هر حال وجود دارد.

;قضیه:اگر f تابعی کاملاً ضربی باشد، f−1=f.μ که در آن μ تابع موبیوس است.

;برهان:فرض کنیم f تابعی کاملاً ضربی باشد. در این صورت با فرض g=f.μ داریم:

:(g*f)(n)=\sum_{d|n}g(d)f\left(\frac{n}{d}\right)=\sum_{d|n}f(d)\mu(d)f\left(\frac{n}{d}\right)\atop =\sum_{d|n}f(n)\mu(d)=f(n)\sum_{d|n}\mu (d)=f(n)I(n)=I(n)

پس f^{-1}(n)=f(n) \mu (n) و لذا حکم ثابت می‌شود.
* توجه داشته باشید که عکس قضیه فوق نیز برقرار است که ما در اینجا به آن نمی‌پردازیم.

## چند نتیجه مهم
فرض می‌کنیم:

\mathcal{F}=\{f:\mathbb{N}\to \mathbb{C}|f(1)\ne 0\}

با بررسی خواص و مطالبی که تا کنون در مورد ضرب دیریکله توابع حسابی بیان کردیم می‌توان گفت مجموعه F (مجموعه همه توابع حسابی که در یک مخالف صفر هستند):
# به همرا عمل ضرب دیریکله تشکیل یک گروه آبلی را می‌دهد.
# به همراه جمع توابع و ضرب دیریکله تشکیل یک میدان می‌دهد. بعلاوه مجموعه همه توابع حسابی در حالت کلی به همراه جمع توابع و ضرب دیریکله تشکیل یک حلقه جابجایی یکدار را تشکیل می‌دهد که عناصر یکه در آن توابعی هستند که در نقطه یک صفر نشو باشند.

## پیچش‌های تعمیم یافته
بدلیل اهمیت نوع مجموع‌هایی که در ضرب دیریکله دو تابع حسابی ظاهر می‌شود این مجموع را بین یک تابع حسابی و یک تابع مختلط یا حقیقی تعمیم می‌دهند.

از این پس، فرض کنید F تابع حقیقی یا مختلط با دامنه اعداد حقیقی مثبت باشد که برای هر 0، داشته باشیم 0=(F(x. حال اگر  تابعی حسابی باشد، عمل \circ را به بین F و  به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

:(\alpha \circ F)(x)=\sum_{n\le x}\alpha (n)F\left(\frac{x}{n}\right)

که \alpha \circ F را می‌توان تابعی چون (G(x در نظر گرفت.

توجه داشته باشید که اگر برای هر عدد غیر صحیح x داشته باشیم 0=(F(x در این صورت با تحدید دامنه F به مجموعه اعداد صحیح F تابعی حسابی خواهد بود و عمل ° در آن همان عمل ضرب دیریکله * خواهد بود. از این رو عمل ° تعمیمی بر ضرب دیریکله * است.

به آسانی می‌توان تحقیق کرد که تابع همانی I معکوس چپ پیچش تعمیم یافته است. یعنی برای هر تابع F داریم I°F=F.

;قضیه:فرض کنید ° عمل پیچش تعمیم یافته باشد و * ضرب دیریکله باشد و  دو تابع حسابی باشند در این صورت:

:\alpha \circ (\beta \circ F)=(\alpha * \beta)\circ F

;برهان:برای هر x>0 داریم:

:\alpha \circ(\beta \circ F)(x)=\sum_{n\le x}\alpha (n)(\beta \circ F)(x/n)
:=\sum_{n\le x}\alpha(n)\sum_{m\le \frac{x}{n}}\beta (m)F\left(\frac{x}{nm}\right)

حال چون mn≤x و mn عددی صحیح است پس به ازای عدد صحیح d داریم mn=d پس n|d و d≤x بعلاوه این نشان می‌دهد عدد صحیح m وجود دارد که mn=d≤x. پس:

:\alpha \circ (\beta \circ F)(x)=\sum_{d\le x}\left(\sum_{n|d}\alpha(n)\beta(n/d)F(x/d)\right)
:=\sum_{d\le x}(\alpha * \beta)(d)F(x/d)=((\alpha *\beta)\circ F)(x)

و برهان حکم کامل می‌شود.

### انعکاس تعمیم یافته
اگر  تابعی حسابی با معکوس دیریکله 1- باشد و x>0، در این صورت اگر:

:G(x)=\sum_{n\le x}\alpha (n)F\left(\frac{x}{n}\right)

آنگاه

:F(x)=\sum_{n\le x}\alpha^{-1} (n)G\left(\frac{x}{n}\right)

;برهان:برای اثبات از خواص جبری پیچش تعمیم یافته استفاده می‌کنیم. بنابه فرض داریم G=\alpha\circ F پس:

:\alpha^{-1}\circ G=\alpha^{-1}\circ (\alpha \circ F)=(\alpha^{-1}*\alpha)\circ F=F

پس: F(x)=\sum_{n\le x}\alpha^{-1} (n)G\left(\frac{x}{n}\right)

و برهان کامل است.

### فرمول انعکاس موبیوس
:معادله ی f(n)=\sum\limits_{d\left| n \right.}{g(d)}
معادله ی g(n)=\sum\limits_{d\left| n \right.}{f(d)\mu (\frac{n}{d}})
را که فرمول انعکاس موبیوس نام دارد ایجاب می کند. برعکس فرمول انعکاس موبیوس معادله ی اول را ایجاب می کند.

## جستارهای وابسته
* تابع حسابی
* تابع ضربی
* فرمول انعکاس موبیوس
* تابع فی اویلر
* تابع موبیوس

## منابع

* 
* 
* 

رده:توابع حسابی
رده:عملگرهای دوخطی
رده:عملیات دوتایی
رده:نظریه اعداد