مسئله دو جسم

[بندانگشتی|300px|دو جسم با جرم یکسان که به دور مرکز جرم خود در یک مدار [بیضی|بیضوی دوران می‌کنند.]]

**مسئله دو جسم** یا **مسئله دو جرم**  در مکانیک کلاسیک، در مورد تعیین حرکت دو جسم ذره نقطه‌ای (ایده‌آل) است که تنها با یکدیگر تعامل و فعل‌وانفعال دارند. مثال‌های متداول، شامل حرکت یک ماهواره به دور یک سیاره، حرکت یک سیاره به دور یک ستاره، حرکت دو ستاره به دور یکدیگر (ستاره دوتایی) و بررسی کلاسیک حرکت الکترون به دور هسته اتم است.

کاربرد اصلی *مسئله دو جسم* کلاسیک، مورد گرانشی آن است که در اخترشناسی برای پیش‌بینی مدارها یا گریز از مدار اشیائی مانند ماهواره‌ها، سیاره‌ها و ستارگان به‌وجود می‌آید. مدل‌سازی *مسئله دو جسم* می‌تواند در بیشتر چنین مواردی زمینه را برای رعایت پیش‌بینی‌های مفید فراهم سازد.

مسئلهٔ دو جسم می‌تواند با فرمول‌بندی مجدد، به دو مسئله تک‌جسم مستقل تبدیل شده و حل شود. برخلاف این موضوع، مسئله سه جسم (و در حالت کلی‌تر، مسئله (n) جسم برای n ≥ ۳) جز در موارد استثنای محدود، قابل تفکیک و حل صریح نیست.

## نسبت جرمی
### دو جرم بکسان
### دو جرم با اختلاف جرم جزئی
### دو جرم با اختلاف جرم زیاد
### دو جرم با اختلاف جرم بسیار زیاد

## ساده‌شدن به دو مسئله تک جسم مستقل
[بندانگشتی|300px|[مختصات یاکوبی برای مسئله دو جسم؛ مختصه‌های جاکوبی \boldsymbol{R}=\frac {m_1}{M} \boldsymbol{x}_1 + \frac {m_2}{M} \boldsymbol{x}_2  و \boldsymbol{r} = \boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{x}_2  با M = m_1+m_2 \  هستند.]]
اگر x_1 و x_2 مکان دو جسم و m_1 و m_2 جرم آنها باشد، هدف مسئله دو جسم تعیین مسیر x_1(t) و x_2(t) با داشتن مکان اولیه x_1(t=0) و x_2(t=0) و سرعت اولیه v_1(t=0) و v_2(t=0) است.

با اعمال قانون دوم نیوتن برای این دو جسم، روابط زیر بدست می‌آید:

:
\mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{1} \ddot{\mathbf{x}}_{1} \quad \quad \quad (\mathrm{Equation} \  1)

:
\mathbf{F}_{21}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{2} \ddot{\mathbf{x}}_{2} \quad \quad \quad (\mathrm{Equation} \  2)


که F_{12} نیروی واردشده از طرف جسم ۲ به جسم ۱ و F_{21} نیروی واردشده از طرف جسم ۱ به جسم ۲ است. اضافه‌کردن و کم‌کردن این دو رابطه از یکدیگر، مسئله را به دو مسئلهٔ تک جسم تبدیل می‌کند. اضافه‌کردن این دو رابطه، منجر به رابطه‌ای می‌شود که حرکت مرکز جرم (مرکز سنگینی سراسری) را تعیین می‌کند. در مقابل، کم‌کردن رابطهٔ (۲) از رابطهٔ (۱)، منجر به رابطه‌ای می‌شود که نشان می‌دهد بردار r=x_1-x_2 بین دو جسم، چگونه با زمان تغییر می‌کند.

### حرکت مرکز جرم (مسئلهٔ تک‌جسم نخست)
اضافه‌کردن دو رابطه (۱) و (۲) و استفاده از قانون سوم نیوتن (F_{12}= - F_{21}) نتیجه می‌دهد:

:
m_{1}\ddot{\mathbf{x}}_1 + m_2 \ddot{\mathbf{x}}_2 = (m_1 + m_2)\ddot{\mathbf{R}}  = \mathbf{F}_{12} + \mathbf{F}_{21} = 0


که R بردار مکان مرکز جرم سامانه دو جرم بوده و از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

:
\ddot{\mathbf{R}}  \equiv \frac{m_{1}\ddot{\mathbf{x}}_{1} + m_{2}\ddot{\mathbf{x}}_{2}}{m_{1} + m_{2}}


بنابراین رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

:
\ddot{\mathbf{R}}  = 0


که نشان می‌دهد که سرعت مرکز جرم (و در نتیجه تکانه کل) ثابت می‌ماند (قانون پایستگی تکانه). بنابراین با داشتن مکان‌ها و سرعت‌های اولیه، مکان مرکز جرم (R(t)) را می‌توان در هر لحظه تعیین کرد.

### حرکت بردار جابجایی (مسئلهٔ تک‌جسم دوم)
با تقسیم هر رابطه بر جرم متناظر و کم‌کردن رابطهٔ دوم از اول، رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

:
\ddot {\mathbf{r}} = \ddot{\mathbf{x}}_{1} - \ddot{\mathbf{x}}_{2} =
\left(\frac{\mathbf{F}_{12}}{m_{1}} - \frac{\mathbf{F}_{21}}{m_{2}} \right) =
\left(\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}} \right)\mathbf{F}_{12}


که r بردار جابجایی از جرم ۲ به جرم ۱ است.
نیروی بین دو جسم باید تنها تابع مکان نسبی آنها (r) بوده و نمی‌تواند تابع مکان مطلق آنها (x_1و x_2) باشد؛ زیرا در غیر این صورت، قوانین فیزیک از مکانی به مکان دیگر تغییر می‌کرد.

این رابطه می‌تواند به صورت زیر بازنویسی شود:

:
\mu \ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = \mathbf{F}(\mathbf{r})


که \mu جرم کاهش‌یافته نامیده می‌شود:

:
\mu = \frac{1}{\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_{2}}} = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}


با توجه به تعریف R و r، روابط زیر را می‌توان برای بردار مکان دو جسم نوشت:

:
\mathbf{x}_1(t) =
\mathbf{R} (t) + \frac{m_2}{m_1 + m_2} \mathbf{r}(t)

:
\mathbf{x}_2(t) =
\mathbf{R} (t) - \frac{m_{1}}{m_1 + m_2} \mathbf{r}(t)


## جستارهای وابسته
* مسئله دو جسم در نسبیت عام
* مدار (سیاره)

## منابع

رده:سامانه‌های دینامیکی
رده:مدارها (سیاره)
رده:مفاهیم فیزیکی
رده:مکانیک کلاسیک