عدد طبیعی

[چپ|بندانگشتی|upright|مجموعهٔ اعداد طبیعی با نماد N نمایش داده می‌شود. ([فهرست نمادهای ریاضی)]]
بندانگشتی|اعداد طبیعی برای شمارش استفاده می‌شوند (یک سیب، دو سیب، سه سیب …)

**اعداد طبیعی** یا **اعداد صحیح مثبت** اعدادی هستند که از *یک* (۱) شروع می‌شوند و تا بینهایت ادامه دارند. این مجموعه شامل صفر نمی‌شود(با این‌حال برخی از ریاضیدانان صفر را به این مجموعه اضافه می‌کنند) و برای شمارش و ترتیب استفاده می‌شود. به‌طور مثال، در «شش سکه روی میز است»، برای شمارش و در «این سومین شهر بزرگ است» برای ترتیب کاربرد دارند. در اصطلاح ریاضی، لغت مورد استفاده برای شمارش اشیاء واقعی «اعداد ترتیبی» است. مجموعهٔ اعداد طبیعی همان مجموعهٔ اعداد صحیح مثبت {...، ۱، ۲، ۳، ...} است که شامل اعداد مرکب، اعداد اول و یک می‌شود.

به بیان ساده، اعداد طبیعی اعدادی هستند که در طبیعت برای شمردن عناصر استفاده می‌شوند. عدد صفر و اعداد منفی در طبیعت وجود ندارند و در مجموعهٔ اعداد طبیعی جای ندارند.

برای بودن یا نبودن صفر در مجموعهٔ اعداد طبیعی سه تعریف وجود دارد. طبق استاندارد ISO 80000-2، صفر به عنوان عدد صحیح غیرمنفی پذیرفته شده است. در برخی تعاریف دیگر، صفر به عنوان عضو مجموعه اعداد طبیعی شناخته نمی‌شود و با افزودن آن مجموعه اعداد حسابی شکل می‌گیرد. مجموعهٔ اعداد طبیعی، یک مجموعه نامتناهی است و زیرمجموعهٔ اعداد حسابی، اعداد صحیح، اعداد گویا و اعداد حقیقی محسوب می‌شود.

در ریاضیات، اعداد صحیح و حسابی با حروف **Z** و **W** نمایش داده می‌شوند و **N** از ابتدای واژهٔ انگلیسی «Natural» گرفته شده است.

## اصل استقرای ریاضی
اصلی‌ترین ویژگی اعداد طبیعی، اصل استقرای ریاضی است. این اصل بیان می‌کند که اگر P(x) ویژگی یک عدد x باشد، برای اینکه P برای همهٔ اعداد طبیعی صدق کند، کافی است:
# P(1) صادق باشد، و
# اگر P(k) صادق است، بتوان نشان داد P(k+1) نیز صادق است.

با تکرار این فرایند، ویژگی P برای همهٔ اعداد طبیعی اثبات می‌شود.

### مثال: جمع اعداد طبیعی
فرمول جمع اعداد طبیعی از ۱ تا n:
1+2+3+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}
اثبات با استقرا:

۱. برای n=۱، \frac{1(1+1)}{2}=1 صدق می‌کند.
۲. فرض می‌کنیم برای n=k صادق است: 1+2+\dots+k = \frac{k(k+1)}{2}
۳. بنابراین برای n=k+1 داریم:
1+2+\dots+k+(k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}
بنابراین فرمول برای همهٔ n صادق است.

### بیان صوری استقرا
فرض کنید A مجموعه‌ای ناتهی از اعداد طبیعی باشد، و شرایط زیر برقرار باشند:
# عدد ۱ عضو A باشد
# اگر k عضو A باشد، آنگاه k+1 نیز عضو A باشد

آنگاه A شامل همهٔ اعداد طبیعی خواهد بود.

## تعریف بازگشتی
اعداد طبیعی در برنامه‌نویسی و محاسبات، از طریق تعریف بازگشتی نیز بیان می‌شوند. برای مثال، فاکتوریل n:
n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n
تعریف بازگشتی:
# 1! = 1
# n! = (n-1)! \cdot n

جمع اعداد طبیعی نیز می‌تواند بازگشتی تعریف شود:
# \sum_{i=1}^1 a_i = a_1
# \sum_{i=1}^n a_i = a_n + \sum_{i=1}^{n-1} a_i

## تعریف صوری: اصول پئانو

اعداد طبیعی با مجموعهٔ **N** یا \mathbb{N} و نماد ثابت ۰ و تابع تک‌متغیرهٔ S تعریف می‌شوند:
# ۰ یک عدد طبیعی است
# برای هر عدد طبیعی x, x=x
# برای x و y طبیعی، اگر x=y آنگاه y=x
# اگر x=y و y=z آنگاه x=z
# اعداد طبیعی تحت تساوی بسته‌اند
# S(n) تابعی یک‌به‌یک از n به n+1 است
# هیچ n طبیعی ندارد که S(n)=۰ باشد

## تاریخچه
### ریشه‌های باستانی
اولین نمایش اعداد طبیعی با علامت برای هر شی بود. سپس مصریان باستان سیستم عددی قدرتمندی با هیروگلیف‌های ۱، ۱۰ و مضارب آن تا بیش از ۱ میلیون ایجاد کردند.
بابلی‌ها از سیستم ارزش مکانی با پایه ۶۰ استفاده می‌کردند.

صفر ابتدا توسط بابلی‌ها و سپس در تمدن اولمک و مایا به کار رفت، و در دوران معاصر توسط ریاضیدان هندی Brahmagupta معرفی شد.

### تعاریف مدرن
در قرن نوزدهم، اروپا دربارهٔ ماهیت اعداد طبیعی بحث کرد. هنری پوانکاره و لئوپولد کرونکر دیدگاه‌های متفاوتی ارائه دادند.
گوتلوب فرگه و چارلز سندرز پیرس تعاریف رسمی اعداد طبیعی را با نظریه مجموعه‌ها و اصول پئانو ارائه کردند.

## جستارهای وابسته

## منابع
* ابراهیم اسرافیلیان، عبدالله شیدفر. *ریاضی عمومی ۱*. دالفک، ۱۳۸۲
* 
* Ifrah, Georges (2000). *The Universal History of Numbers*. Wiley.
* L. Kirby; J. Paris, *Accessible Independence Results for Peano Arithmetic*, Bulletin of the London Mathematical Society.

رده:اعداد صحیح
رده:اعداد کاردینال
رده:ریاضیات مقدماتی
رده:نظریه اعداد