Input-output eredu

Ekonomian, **input-output eredua**, labur **IO eredua**, ekonomia bateko sektore ekonomiko ezberdinen arteko harremanak irudikatzen dituen eredu bat da. **Input-output taula** izeneko matrize batean oinarritzen eta ekonomia bateko produktua, eskaria, enplegua eta bestelako aldagai makroekonomikoak aurreikusi, aldaketa teknologikoek produktibitatean duten eragina neurtu, eskualde eta erregio ezberdinen arteko harremanak aztertu eta, oro har, garapen ekonomikoa planifikatzeko. Wassily Leontief ekonomiako Nobel saridunak garatu zuen modeloa 1930eko hamarkadan eta geroztik gobernuen ekonomia-tresna garrantzitsu bat bilakatu da.

## Input-output taula 
Input-output analisiaren abiapuntua aldi jakin batean ekonomia bateko sektoreen arteko trukaketak, unitate fisikotan edo diru-unitatetan, agertzen dituen matrize bat da. Modu sinplifkatu batean, hasiera batean inportazio eta esportaziorik ez dagoela suposatuko da. Inbertsioa ere alde batera utziko da. Familiek aurreztu ez dutela egiten suposatuko da. Horrela, ekonomia batean bertako enpresak eta familiak bakarrik arituko dira. Adibidez, ekonomia bateko sektoreak nekazaritza eta industria bakarrik direlarik:

Taula honela interpretatzen da: nekazaritza sektorean 40 unitateko lehengaiak saldu zaizkie sektore bereko enpresei. Industria sektoreko enpresei berriz 30 unitateko gaiak saldu dizkiete nekazaritzako enpresek. Familien zutabean, familien kontsumoa agertzen da: nekazaritza produktuak 20 unitateko balioaz saldu dituzte, esaterako. Familien errenkadan, familien soldatak agertzen dira eta sektore bakoitzeko balio erantsiak dira: nekazaritza sektoreko langileei 30 unitateko soldatak ordaindu zaizkie. Balio erantsi edo, ekonomia siplifikatu honetan, soldaten batura bat dator familien kontsumo totalarekin: 60 unitate. Hau da, familien zutabearen batura eta familien errenkadaren batura berdinak izan behar dira input-output taula batean. Familiak barne, errenkaden batura kalkulatzen bada, sektore bakoitzeko azken eskaria suertatzen da. Familien soldatak barne, hau da, balio erantsia kontuan harturik, zutabeetako baturak kalkulatzen badira, sektore bakoitzeko ekoizpenaren balioa (erabilitako *input* edo gaiak gehi ordaindutako soldatak) suertatzen da. Azken eskarien batura edo produkzio totalen batura berdina da: 220. Ekonomiaren barne produktua da eta bi aldetatik kalkula daiteke: eskaintza edo produkzioaren aldetik edo eskariaren aldetik.

### Input-output taula matrize bidez 
Input-output taula matrize bidez irudika daiteke. Errenkadaz erakusten dituen erlazioak honela azal daitezke:

:x_1 = x_{11}+x_{12}+\ldots+x_{1n}+y_1
:x_2 = x_{21}+x_{22}+\ldots+x_{2n}+y_2
:\ldots
:x_n= x_{n1}+x_{n2}+\ldots+x_{nn}+y_n

Honela labur daitekeena:

:\mathbf{x}=\mathbf{Xi}+\mathbf{y}, non

* **x**: jarduera ezberdinetarako ekoizpenen zutabe-bektorea den;
* **X**: jardueren arteko trukaketa-matrizea;
* **i**: zutabe-bektore unitarioa, *n* elementurekin;
* **y**: azken eskarien zutabe-bektorea, jarduerei buruz.

Arestian eman den adibiderako:

::
\begin{bmatrix}
90 \\
130
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
40 & 30 \\
10 & 80
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 \\
1
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
20 \\
40
\end{bmatrix}

Zutabez ere erlazio hau ezar daiteke:

:\mathbf{x'}=\mathbf{i'X}+\mathbf{g'}, non **g** balio erantsien bektorea den jarduera ezberdinetarako.

Adibidean,

::
\begin{bmatrix}
80 & 140 
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
40 & 30 \\
10 & 80
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
30 &  30\\
\end{bmatrix}

Identitate hau betetzen da input-output taula batean:

:\mathbf{i'y=i'g}, hau da,
:y_1+y_2+\cdots+y_n=g_1+g_2+\cdots+g_n,

hau da, balio erantsien batura bat dator azken eskarien baturarekin. Izan ere, balio erantsia langileen bitartez sortzen da eta balio erantsia saritu ondoren, langileek eta euren familiek kontsumitu egiten dute, azken eskaria sortuz horrela. Adibideko taulan: 30+30=20+40.

## Koefiziente teknikoak 
Input-output taula bateko koefiziente tekniko izeneko balioak honela definitzen dira:

::a_{ij}=\frac{x_{ij}}{x_j}

a_{ij}\, koefizienteek \mathbf{A} koefiziente teknikoen matrizea osatzen dute. Adibiderako:

:\begin{bmatrix}
\frac{40}{80}=0.5 & \frac{30}{140}=0.214 \\
\frac{10}{80}=0.125 & \frac{80}{140}=0.571
\end{bmatrix}

Koefiziente teknikoen matrizeak *j* jarduera bakoitzean unitate gehigarri bat ekoizteko, *i* jardueratik zenbat *input* hartu behar den adierazten du. Adibidez, industria jardueran unitate gehigarri bat ekoizteko, nekazaritza sekoreak 0.215 unitate gehiago ekoiztu beharko lituzke, industriarako *input* edo lehengai gisa.

Horrela, koefiziente teknikoek jarduera bakoitzeko ekoizpen-funtzio lineal bateko koefizienteak dira, aldagai independente moduan beste jardueretako x_1,x_2,\ldots,x_n\, ekoizpenak izanik:

:x_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n+y_1\,
:x_2=a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n+y_2\,
:\cdots
:x_n=a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n+y_n\,

Ekoizpen-funtzio hauek ekuazio linealetako sistema bat osatzen dute, soluzio moduan bi jardueretako ekoizpenak emango dituena.

Era laburrean:

::\mathbf{x=Ax+y}.

Adibidean, hauek lirateke ekoizpen-funtzioak nekazaritza (*nek*) eta industria (*ind*) jardueretarako:

:x_{nek}=0.5x_{nek}+0.214x_{ind}+20\,
:x_{ind}=0.125x_{nek}+0.571x_{ind}+40\,

Ekoizpen-funtzio hauek ekuazio linealetako sistema bat osatzen dute, soluzio moduan bi jardueretako ekoizpenak emango dituena.

## Leontiefen alderantzizko matrizea 
Arestiko identitate bat garatzen bada, \mathbf{I} matrize unitarioa izanik:

::\begin{align}
\mathbf{x}&=\mathbf{Ax+y} \\
 \mathbf{x-Ax}&=\mathbf{y} \\
 \mathbf{(I-A)x}&=\mathbf{y} \\
 \mathbf{(I-A)^{-1}(I-A)x}&=\mathbf{(I-A)^{-1}y}  \\
 \mathbf{x}&=\mathbf{(I-A)^{-1}y}
\end{align}
  .

Era zabalduan:

::x_1=\alpha_{11}y_1+\alpha_{12}y_2+\cdots+\alpha_{1n}y_n\,
::x_2=\alpha_{21}y_1+\alpha_{22}y_2+\cdots+\alpha_{2n}y_n\,
::\cdots
::x_n=\alpha_{n1}y_1+\alpha_{n2}y_2+\cdots+\alpha_{nn}y_n\,

\mathbf{(I-A)^{-1}} matrizeari **Leontiefen alderantzizko matrize** deritzo eta *n* sektoreetako ekoizpena sektore ezberdinetako azken eskariekin lotzen du. \mathbf{(I-A)^{-1}} beti kalkula daitekeela froga daiteke, \sum{a_{ij}+\frac{g_j}{x_j}}=1\, eta a_{ij}>0\, baldintzak betetzen direla kontuan harturik.

\mathbf{(I-A)^{-1}} matrizeko elementuak \alpha_{ij}\, idatzi eta honela interpretatzen dira: *j* sektoreko familien eskaria unitate bat gehitzean, *i* sektoreko ekoizpena zenbat gehitzen den.

Adibidea harturik,

:\mathbf{(I-A)^{-1}}=\Bigg(\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
-
\begin{bmatrix}
0.5 & 0.214 \\
0.125 & 0.571
\end{bmatrix}\Bigg)=
\begin{bmatrix}
2.28 & 1.14 \\
0.67 & 2.66
\end{bmatrix}

Hau da:

:x_{nek}=2.28y_{nek}+1.14y_{ind}\,
:x_{ind}=0.67y_{nek}+2.66y_{ind}\,

Adibidez, industria-jarduerako familien eskaria unitate bat gehitzean nekazaritza-jarduerako ekoizpena 0.67 gehitzen da. Nabarmendu behar da Leontiefen alderantzizko matrizeko diagonaleko elementuak 1 direla gutxienez: industria-jarduerako familien azken eskaria unitate bat gehitzen bada, industria-ekoizpena unitate hori gehi unitate hori ekoizteko behar diren guztiak ekoiztu beharko ditu, nekazaritza-jarduerako zeharkako guztiak barne (industriak nekazaritzaren beharra ere izango du eta nekazaritzak, ekoizpen-behar horiek burutzeko berriz ere industriaren beharra izango du, gero eta txikiagoak baino amaigabeak den efektuak gaineratuz).

Leontiefen alderantzizko matrizeko zutabeetako baturek zutabe bakoitzari dagokion sektore ekonomikoaren azken eskaria gehitzean, ekonomia osoan eragiten diren efektuak neurtzen ditu. Horrela, industria-jarduerako azken eskaria unitate bat gehitzean, ekonomia osoko ekoizpena 1.14+2.66=3.80 gehitzen da. Nekazaritza-jarduerako azken eskariaren efektu globalak apalagoak dira: azken eskaria unitate bat gehitzean, ekonomia osoko ekoizpena 2.28+0.67=2.95 gehitzen da. Horrela, atzerako efektu nabarienak dituen jarduera industria da eta, hazkunde ekonomikoari begira, bultzatu beharreko sektorea.

## Kanpo estekak