Peter Gustav Lejeune Dirichlet

**Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet** ( ahoskatua; Düren, Prusiako Renania, 1805eko otsailaren 13a - Göttingen, 1859ko maiatzaren 5a) alemaniar matematikaria izan zen, XIX. mendeko zientzialari garrantzitsuenetako bat. 

Matematikaren historian berebiziko itzala utzi du, batez ere zenbakien teorian (non eremu horren formalizazio modernoa sortzen lagundu zuen) eta analisi matematikoan. Gaur egun mundu osoko eskoletan eta unibertsitateetan irakasten den **funtzio** baten definizio formal modernoa (y = f(x)) berari zor diogu. Horrez gain, Berlingo eta Göttingengo unibertsitateetako irakasle izan zen, Carl Friedrich Gaussen ondorengoa izanik eta Bernhard Riemann bezalako jeinuen irakasle. Zientziaren historian, Frantziako eta Alemaniako matematika-eskolen arteko lotura nagusitzat hartzen da.

## Biografia 
### Lehen urteak eta hezkuntza 
Gustav Lejeune Dirichlet Düren herrian jaio zen, garai hartan Frantziar Inperioaren menpe zegoen Prusiako Renanian. Bere aitak posta-bulego bat zuzentzen zuen. Bere izenak, "Lejeune Dirichlet" (jatorriz, "le jeune de Richelette", hau da, "Richeletteko gaztea"), bere familiaren jatorri valoniarra edo belgikarra erakusten du.

Txikitatik matematikarekiko ezohiko gaitasuna eta grina erakutsi zituen. Hamabi urterekin Bonnera joan zen ikastera, eta han Georg Ohm fisikariaren (Ohm-en legearen sortzailea) ikasle izan zen. Hamasei urterekin, bere gurasoek ikasketak Parisen jarraitzeko baimena eta dirua eman zioten, garai hartan Frantziako hiriburua baitzen munduko matematikaren epizentroa.

Parisko egonaldian, Dirichlet gazteak bere garaiko matematikari frantziar ospetsuenen (besteak beste, Laplace, Legendre, Poisson eta Cauchy) hitzaldiak entzuteko aukera izan zuen. Hala ere, bere bizitza markatu zuen tutorea eta babeslea Joseph Fourier izan zen. Dirichlet Fourieren teoria berrietan murgildu zen, eta geroago serie trigonometrikoei buruzko Fourieren asmakizunak frogapen matematiko zurrunekin osatuko zituen. Parisen zegoela, Fermaten azken teoremaren kasu berezi bat (n=5 denean) ebazten lagundu zuen, eta horrek nazioarteko ospea eman zion 20 urte besterik ez zituela.

[thumb|250px|[Joseph Fourier matematikari eta fisikari frantziarra, Dirichleten mentorea Parisen eta eragin handiena izan zuenetako bat.]]

### Ibilbide akademikoa Alemanian 
Alexander von Humboldt zientzialari eta esploratzaile alemaniar ospetsuaren laguntzari esker, Dirichletek bere jaioterrira (Prusiara) itzultzeko eskaintza jaso zuen. 1827an, Breslauko Unibertsitatean (gaur egungo Wroclaw, Polonia) hasi zen irakasle lanean.

1828an Berlinera joan zen, eta bertako Gerra Akademian eta Berlingo Unibertsitatean irakatsi zuen ia hiru hamarkadaz. Berlinen zegoela, Dirichlet Alemaniako zientzia-kulturaren ardatz bihurtu zen. Garai honetan ezagutu eta ezkondu zen **Rebecka Mendelssohn**-ekin, Felix Mendelssohn konpositore famatuaren eta Fanny Mendelssohnen ahizparekin. Ezkontza honek Berlingo elite intelektual eta artistikoaren erdigunean jarri zuen Dirichleten familia, eta euren etxea zientzialari zein musikari askoren topagune bihurtu zen.

[thumb|250px|[Carl Friedrich Gauss, "Matematikarien Printzea". Dirichlet izan zen Gauss hil ostean haren katedra hartu zuena Göttingengo Unibertsitatean.]]

### Göttingengo urteak eta heriotza 
1855ean, matematikaren historiako pertsonaia handienetako bat, Carl Friedrich Gauss, zendu zen. Göttingengo Unibertsitateak berehala aukeratu zuen Dirichlet Gaussen katedra ospetsua har zezan. Göttingenera joan zen bizitzera, eta bertan irakasle-lan bikaina egin zuen, ikasle gazteei inspirazioa emanez. Bere ikasle garrantzitsuena Bernhard Riemann izan zen, zeinak geroago erlatibitatearen teoriarako oinarriak ezarriko zituen geometria aurkituko zuen.

Zoritxarrez, Dirichleten egonaldia Göttingenen laburra izan zen. 1858an, Suitzan oporretan zegoela, bihotzekoa izan zuen. Urte berean, abenduan, bere emaztea Rebecka hil zen. Kolpe emozional eta fisiko horiek ezin izan zituen gainditu, eta 1859ko maiatzaren 5ean hil zen, 54 urte zituela.

## Ekarpen Matematikoak 
Dirichleten pentsamendua zorroztasun logikoan oinarritzen zen. Gaussen ideia sakonak eta Cauchy edo Fourieren analisi metodoak uztartu zituen, modernitate matematikoari ateak irekiz.

### Zenbakien Teoria eta Progresioak 
Dirichleten ekarpenik estimatuenak zenbakien teorian izan ziren. K.F. Gaussen *Disquisitiones Arithmeticae* liburua (bere bizitza osoan zehar ohe ondoan izan ohi zuena) ulertu eta hedatu zuen lehenetakoa izan zen. Bere asmakizun handienetako bat **Progresio Aritmetikoen Teorema** da (1837an frogatua). Teorema honek dioenez, edozein a eta d bi zenbaki oso eta elkarrekiko lehen (alegia, zatitzaile komunik ez dutenak, 1 izan ezik) emanda, era honetako progresio aritmetiko batean:
a, a+d, a+2d, a+3d, \dots
infinitu zenbaki lehen existitzen dira. Frogapen hau izugarria izan zen, azterketa analitikoa (L-funtzioak) eta propietate aritmetiko diskretuak uztartu zituelako, **zenbakien teoria analitikoa** izeneko adar berri bati hasiera emanez.

[thumb|250px|[Bernhard Riemann matematikaria, Dirichleten ikasle eta jarraitzaile nabarmena Göttingenen.]]

### Funtzioaren definizio modernoa 
XIX. mendera arte, funtzio bat, funtsean, formula algebraiko bat bezala ulertzen zen (adibidez, y = x^2 + 3). Baina Fourieren serieek ekarri zituzten arazoak ikusita, Dirichletek askoz ere kontzeptu zabalagoa eta abstraktuagoa proposatu zuen 1837an: 

> *"Aldagai bat, y, beste aldagai batekin, x, horrela lotuta badago non x-ri balio bat esleitzen zaion bakoitzean, y-rentzat balio bakar eta zehatz bat zehazten den, orduan y x-ren funtzio bat dela esaten da".*

Definizio honek ez du eskatzen formularik egotea, baizik eta bi multzoren arteko esleipen edo lotura logiko bat egotea besterik ez. Bere ideia muturreraino eramateko, **Dirichleten funtzioa** asmatu zuen, zeinak balio bat hartzen duen x zenbaki arrazionala bada, eta beste balio bat zenbaki irrazionala bada. Funtzio hori ezin da marraztu, ez da jarraitua inon, baina ezin hobeto betetzen du funtzioaren baldintza.

### Fisika Matematikoa eta Analisia 
Fisikan ere arrasto sakona utzi zuen. Fourier serieen konbergentziari buruzko lehen froga guztiz zorrotza eman zuen, funtzio batek Fourier serie bat edukitzeko bete behar dituen baldintzak ezarriz (Dirichleten baldintzak). 

Beroaren transmisioan eta elektrostatikan ohikoa den ekuazio diferentzialen arazo bati **Dirichleten muga-baldintza** (edo Dirichleten problema) deitzen zaio bere omenez. Eremu baten barruan funtzio harmoniko bat (Laplace-ren ekuazioa betetzen duena) aurkitzean datza, eremuaren mugan funtzio horren balioak aldez aurretik ezagutzen direnean.

### Usoen habiaren printzipioa 
1834an, Dirichletek konbinatoriaren oinarrizko printzipio bat formulatu zuen, berez oso sinplea baina aplikazio oso konplexuak dituena: **Usoen habiaren printzipioa** (ingelesez *Pigeonhole principle* eta berak alemanez *Schubfachprinzip* edo kaxoien printzipioa deitu zuena). Printzipio honek dioenez, n uso baditugu eta m habia baditugu (non n > m den), ezinbestekoa da habiaren batean gutxienez bi uso egotea. 

Irudikaezina badirudi ere, printzipio honek zenbakien teoriako froga oso zailak ebazteko bide laburrak eskaintzen ditu (esaterako, zenbaki irrazionalen hurbilketa diofantikoetan).

## Argitalpen nabarmenak 
Dirichlet ez zen oso emankorra izan bere artikuluen argitalpenetan, kalitateari eta zorroztasunari ematen baitzion lehentasuna kantitatearen aurretik. Hala ere, bere heriotzaren ondoren, bere lagun eta matematikari handi Richard Dedekindek Dirichleten apunteak bildu eta liburu bihurtu zituen: *Vorlesungen über Zahlentheorie* (Zenbakien teoriari buruzko ikasgaiak, 1863an argitaratua). Liburu horrek izugarrizko garrantzia izan zuen matematikaren historian, Dirichleten ideiak hurrengo belaunaldiei transmititzeko balio izan baitzuen.

## Ikus, gainera 
* Matematikaren historia
* Zenbakien teoria
* Carl Friedrich Gauss
* Bernhard Riemann

## Erreferentziak 
* 

## Kanpo estekak 
*  MacTutor History of Mathematics: Dirichlet
*  Dirichleten Genealogia Matematikoa