Multzo lausoren eragiketa

***Multzo lausoren eragiketak*** multzo lausoekin egindako eragiketak dira. Eragiketa hauek multzo arrunt edo zurrunen eragiketen orokortzeak dira, X multzo zurrun unibertsalaren \mathcal{P}(X) potentzia-multzoaren (X multzoaren azpimultzo zurrun guztiez osatutako multzoaren) barruan ordez, \mathcal{\tilde{P}}(X)\quad X multzoaren azpimultzo lauso guztiez osatutako multzoaren barnean definituak.

Beraz f:\tilde{\mathcal P}(X)^n \rightarrow \tilde{\mathcal P}(X) erako funtzio bidez zehaztutakoak, n\in\mathbb N dela.

Hemen gutxi batzuk bakarrik aurkeztuko badira ere, era askotako orokortzeak daude. Gehien erabilitakoa ***multzo lausoren eragiketa estandarrak*** izenaz deiturikoa da eta bera aurkezten da lehenengoz hemen; gehien erabiltzen dena izateaz gain, orokortze guztien artean berak bakarrik betetzen dituelako atzerago jarritako axioma guztiak.
  
Oinarrizko hiru eragiketa daude: osagarri lausoak, ebaketa lausoak eta bilketa lausoak.

OHARRA: Multzo lausoen multzokidetza-mailen multzoa orokorrean edozein sareta izan ahal bada ere, artikulu honetan multzokideza-mailen multzoa \mathbb{R}\in[0,1] dutenen multzo lausoen eragikeak bakarrik aztertzen dira.

## Multzo lausoren eragiketa estandarrak 
\mu_A\quad X multzo unibertsalaren A azpimultzo lausoaren multzokidetza-funtzioa bada, \mu_A (x)\quad X multzoaren edozein elementu x-k A multzo lausoan duen multzokidetza-maila da eta adierazten du x elementua zein punturaino den A multzo lausoaren elementua.

A,B \in X betetzen duten A eta B multzo lausoen oinarrizko eragiketa estandarrak honela definitzen dira

;Osagarri estandarra
:\mu_{\bar{A}}(x) = 1 - \mu_{A}(x)\quad eta \quad\bar A = \{x \mid x\in X eta \mu_{\bar{A}} (x)>0\}

;Ebakidura estandarra
:\mu_{A \cap B}(x) = \min(\mu_{A}(x), \mu_{B}(x))\quad eta \quad A \cap B = \{x \mid  x\in X eta \mu_{A \cap B}(x)>0\}

;Bildura Estandarra 
:\mu_{A \cup B}(x) = \max(\mu_{A}(x), \mu_{B}(x))\quad eta \quad A \cup B = \{x \mid  x\in X eta \mu_{A \cup B}(x)>0\}

## Osagarri lausoak 
X multzo unibertsalaren A azpimultzo lausoaren X multzoarekiko multzo osagarria oA edo \bar A idazten da, eta atzerago agertzen den o funtzioaren antzeko funtzio bidez definitzen da. Multzo zurrunetan oA = \bar A = X-A da baina multzo lausotan ez.

:o : [0,1] \rightarrow [0,1]

:\mu_{oA}(x) = \mu_{\bar A}(x) = o(\mu_A (x))

:oA = \bar A = \{x \mid  x\in X eta o(\mu_A (x))>0\}

### Osagarri lausoentzako axiomak 
Hemendik aurrera, idazkera erraztearren, x elementuaren \mu_{A}(x) eta \mu_{B}(x) multzokidetza-mailak A eta B multzo lausoetan a eta b idatziko dira, argi dagoenean zer diren.

Goiko o funtzioak osagarri lausoak defini ditzan hurrengo bi axiomak bete behar ditu:

**o1 axioma**, *Mugalde-baldintza* multzo zurrunen osagarriekin bateragarria izateko.
:o(0) = 1 eta  o(1) = 0

**o2 axioma**, *Monotonotasuna* ziurtatzekoa.
:a, b \in [0, 1] guztientzat, a  bada, orduan o(a) \ge o(b)

Edozein osagarri lausok (multzo lauso baten osagarriak) bete behar ditu lehenengo bi axioma hauek; multzo zurrunekin erabiliz gero multzo zurrunen osagarriak lortzeko eta intuizioak elementu baten multzokide-maila multzo batean handituz gero, haren multzo osagarrian txikitu edo, gutxienez, berdin geratu behar dela esaten digulako.

Badaude funtzio osagarrientzat desiragarriak diren beste ezaugarri batzuk, eskatuz gero osagarrien kopurua murrizten dutenak; desiragarrienen artean askotan eskatzen diren hurrengo biak daude.

**o3 axioma**, *Jarraitutasuna* ziurtatzekoa.
:o funtzio jarraitua da.

**o4 axioma**, *Inboluzioa* ziurtatzekoa.
:o inbolutiboa da eta, beraz, edozein  a \in [0,1]rentzat o(o(a)) = a da.

### Proposatutako osagarri batzuk 
Osagarri estandarrez gain hurrengo osagarriak ere, proposatu dira:

Sugeno motakoak:
:o(a) = o_\lambda(a)=(1-a)/(1+\lambda a)
:\lambda parametroaren ibiltartea \lambda\in(-1,\infty) delarik.
:\lambda=0 denean *Sugenoren osagarriak* eta *osagarria estandarrak* berdinak dira.

Yager motakoak:
:o(a)=o_{w}(a)=(1-a^w)^{1/w}
:w parametroaren ibiltartea w\in(0,\infty) izanik.
:w=1 denean *Yagerren osagarriak* eta *osagarria estandarrak* berdinak dira.

## Ebakidura lausoak 
A eta B bi multzo lausoen ebakidura normalean hurrengo paragrafoetan deskribatutako funtzioaren antzeko funtzioz definitzen da.

:e:[0,1]\times[0,1] \rightarrow [0,1].

:\mu_{A \cap B}(x) = e(\mu_{A}(x), \mu_{B}(x)) \quad x \in X\quad guztientzat

:A \cap B = \{x \mid  x\in X eta e(\mu_A(x),\mu_B(x))>0\}

### Ebakidura lausoentzako axiomak 
Goiko e funtzioak ebakidura lauso bat defini dezan hurrengo lau axiomak bete behar ditu:

**e1 axioma**, *Mugalde-baldintza*, multzo zurrunen ebaketarekin bateragarria izateko.
:e(1,1) = 1; e(0,1)=e(1,0)=e(0,0)=0

**e2 axioma**, *Monotonotasuna* ziurtatzrkoa.
:a \le b eta c \le d badira, orduan e(a,c) \le e(b,d)

**e3 axioma**, *Trukakortasuna* ziurtatzekoa
:e(a,b) = e(b,a)

**e4 axioma**, *Elkarkortasuna*) ziurtatzekoa.
:e(a,e(b,d)) = e(e(a,b),d)

Lau axioma horiek betetzen dituzten funtzio guztiak mugatuta daude hurrengo ezberdintzekin:

:e_{min}(a,b)\le e(a,b)\le \min(a,b)

:non\quad e_{min}(a,1)=a,\quad e_{min}(1,b)=b\quad eta beste kasu guztietan \quad e_{min}(a,b)=0\quad diren.

Batzuetan desiragarriak diren beste axioma batzuk ere bete ditzan eskatzen da. Gehien eskatutakoen artean hurrengo biak daude:

**e5 axioma**, *Jarraitutasuna* ziurtatzekoa.
:e funtzio jarraitua da.

**e6 axioma**, *Idenpotentzia* ziurtatzekoa-
:e(a,a) = a

Ebaketa estandarra da jarraitua eta idenpotentea den ebaketa bakarra; aurreko sei axiomak betetzen dituen ebaketa bakarra.

### Proposatutako ebakidura batzuk 
Ebakidura estandarraz gain hurrengo ebakidurak ere, proposatu dira:

Yager motakoak:
:e(a,b) = e_w(a,b)=1-\min[1,((1-a)^w+(1-b)^w)^{1/w}]
:w parametroaren ibiltartea w\in(0,\infty) delarik.
:w=\infty denean *Yagerren ebakidura* eta *ebakidura estandarra* berdinak dira
:\operatorname{Lim}\limits_{w\rightarrow\infty}[1-\min{[1,((1-a)^w+(1-b)^w)^{1/w}]]}=\min(a,b) delako. .

Schweizer & Sklar motakoak:
:e(a,b)=e_p(a,b)=\max(0,a^{-p}+b^{-p}-1)^{-1/p}
:p parametroaren ibiltartea p\in(-\infty,\infty) izanik.

## Bildura lausoak 
A eta B bi multzo lausoen bildura normalean hurrengo paragrafoetan deskribatutako funtzioaren antzeko funtzioz definitzen da.

:u:[0,1]\times[0,1] \rightarrow [0,1].

:\mu_{A \cup B}(x) = u(\mu_{A}(x), \mu_{B}(x)) \quad x \in X \quad guztientzat eta

:A \cup B = \{x \mid  x\in X eta u(\mu_A(x),\mu_B(x))>0\}

### Bildura lausoentzako axiomak 
Goiko u funtzioak bildura lauso bat defini dezan hurrengo lau axiomak bete behar ditu:

**u1 axioma**, *Mugalde-baldintza*, multzo zurrunen bilketarekin bateragarria izateko.
:u(0,0) = 0; u(0,1)=u(1,0)=u(1,1)=1

**u2 axioma**, *Monotonotasuna* ziurtatzekoa.
:*b* ≤ *d* implies *u*(*a*, *b*) ≤ *u*(*a*, *d*)

**u3 axioma**, *Trukakortasuna* ziurtatzekoa.
:u(a,b) = u(b,a)

**u4 axioma**, *Elkarkortasuna* ziurtatzekoa
:u(a,u(b,d)) = u(u(a,b),d)

Lau axioma horiek betetzen dituzten funtzio guztiak mugatuta daude hurrengo ezberdintzekin:

:\max(a,b)\le u(a,b)\le u_{max}(a,b)

:non\quad u_{max}(a,0)=a,\quad u_{max}(0,b)=b\quad eta beste kasu guztietan \quad u_{max}(a,b)=1\quad diren.

Batzuetan desiragarriak diren beste axioma batzuk ere bete ditzan eskatzen da. Gehien eskatutakoen artean hurrengo biak daude:

**u5 axioma**, *Jarraitutasuna* ziurtatzekoa.
:u funtzio jarraitua da.

**u6 axioma**, *Idenpotenzia* ziurtatzekoa.
:u(a,a) = a

Bilketa estandarra da jarraitua eta idenpotentea den bilketa bakarra; aurreko sei axiomak betetzen dituen bilketa bakarra.

### Proposatutako bildura batzuk 
Bildura estandarraz gain hurrengo bildurak ere, proposatu dira:

Yager motakoak:
:u(a,b) = u_w(a,b)=\min[1,(a^w+b^w)^{1/w}]
:w parametroaren ibiltartea w\in(0,\infty) delarik.
:w=\infty denean *Yagerren bildura* eta *bildura estandarra* berdinak dira
:\operatorname{Lim}\limits_{w\rightarrow\infty} \min{[1,(a^w+b^w)^{1/w}]}=\max(a,b) delako.

Schweizer & Sklar motakoak:
:u(a,b)=u_p(a,b)=1-\max[0,(1-a)^{-p}+(1-b)^{-p}-1]^{1/p}
:p parametroaren ibiltartea p\in(-\infty,\infty) izanik.

## Multzo lausoren elkartze-eragiketak 
Multzo lausoren elkartze-eragiketen bidez multzo lauso batzuk elkartzen dira multzo lauso bakarra emanez.

n multzo lausoren elkartze-eragiketak

:h:[0,1]^n\rightarrow[0,1]\quad erako funtzioren bidez definitzen dira.

### Elkartze-eragiketa orokorren axiomak 
**h1 axioma**, *Mugalde-baldintzak*.
:h(0, 0, ..., 0) = 0\quad eta \quad h(1, 1, ..., 1) = 1

**h2 axioma**, *Monotonotasuna* ziurtatzekoa.
:Edozein \quad(a_i \mid i\in\mathbb{N}_n)\quad eta \quad(b_i \mid i\in\mathbb{N}_n)\quad bikoterentzat, non \quad a_i\in[0,1]\quad eta \quad b_i\in[0,1]\quad diren, \quad i\in\mathbb{N}_n\quad guztientzat \quad a_i\ge b_i\quad bada \quad h(a_i\mid i \in\mathbb{N}_n) \ge h(b_i\mid i \in\mathbb{N}_n) 

Nahiz eta funtsezkoak ez izan hurrengo axiomak betetzea ere, eskatzen zaie askotan elkartze-eragiketei.

**h3 axioma**, *Jarraitutasuna* ziurtatzekoa
:h funtzio jarraitua da.

**h4 axioma**, *Simetrikotasuna* ziurtatzekoa.
:\mathbb{N}_nren edozein p permutaziorako h(a_{i}\mid i \in \mathbb{N}_n)=h(a_{p(i)}\mid i \in \mathbb{N}_n)

Orain arte ikusi ditugun ebaketak eta bilketak bi eragigaiko elkartze-eragiketak dira baina, bai ebaketak eta bai bilketak elkarkorrak direnez, aise zabaldu ahal dira haien definizioak eragigairen edozein kopururako. Beraz ebaketak eta bilketak haien emaitzak gorago ikusi diren mugen artean dituzten elkartze-eragiketak dira.

Azken lau axioma hauek ez dute muga haiek jartzen eta badira ***batezbestekoak lortzeko eragiketak*** deitutako elkartze-eragiketak ebaketek eta bilketek eman ezin dituzten emaitzak ematen dutenak.

Ikusitako hiru elkartze-eragiketa moten emaitzen arteko mugak hurrengoak dira:

i_{min}(a_1,a_2...a_n)\le EBAKIDURAK \le\min (a_1,a_2...a_n)\le BATEZBESTEKOAK \le\max (a_1,a_2...a_n)\le BILDURAK \le\ u_{max}(a_1,a_2...a_n)

Ba dago ***batezbesteko orokortuak*** izena ematen zaion batezbestekoak lortzeko eragiketen mota bat ebakiduren eta bilduren arteko tarte osoa hartzen duena eta hurrengo funtzioez osatuta dagoena.

:h_\alpha(a_1,a_2,...,a_n)=\left (\dfrac {a_1^\alpha+a_2^\alpha+...+a_n^\alpha} {n} \right )^{1/\alpha}

\alpha parametroa \alpha \in \mathbb{R}(\alpha\neq0) izanik.

\alpha 1 denean *batezbesteko aritmetiko*a lortzen da

:h_1(a_1,a_2,...,a_n)= \dfrac {a_1+a_2+...+a_n} {n}

\alpha 2 denean *batezbesteko koadratiko*a lortzen da

:h_2(a_1,a_2,...,a_n)=\sqrt{\dfrac {a_1^2+a_2^2+...+a_n^2} {n}}

\alpha -1 denean *batezbesteko harmoniko*a lortzen da

:h_{-1}(a_1,a_2,...,a_n)= \dfrac {n} {\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+...+\dfrac{1}{a_n}}

eta \alpha 0-ra hurbiltzen denean *batezbesteko geometriko*a lortzen da

:h_0(a_1,a_2,...,a_n)=(a_1.a_2...a_n)^{1/n}

Elkartzen diren multzoen garrantzien arteko ezberdintasunak kontuan hartu gura badira h_\alpha oraindik gehiago orokortu ahal da hurrengo funtzioa erabiliz ***batezbesteko orokor haztatu***ak emateko.

:h_\alpha(a_1,a_2,...,a_n;w_1,w_2,...,w_n) = \left ( \sum_{i=1}^n w_{i}a_i^\alpha\right )^{1/\alpha}

bertan w_i pisuek \quad w_i \ge 0 (i \in \mathbb{N}_n)\quad eta \quad\sum_{i=1}^n w_i=1\quad baldintzak bete behar dituztela.

## Erreferentziak 
## Kanpoko Erreferentziak 
* L.A. Zadeh. Fuzzy sets. Information and Control, 8:338–353, 1965

## Ikus, gainera 
* Logika lauso
* Multzo lauso
* T-norma
* 2. motako multzo eta sistema lausoak

## Kanpo estekak