Peanoren axiomak

Logika matematikoan, **Peanoren axiomak** edo **Peanoren postulatuak** Giuseppe Peanok (XIX. mendeko matematikalari italiarrak) zenbaki arruntak definitzeko sorturiko axiomen multzoa da. Axioma hauek ia aldatu gabe erabili izan dira matematikako ikerketa ugaritan, zenbakien teoria koherentea eta osoa den frogatzeko esate baterako.

Aritmetika formaltzeko beharra ez zen ongi baloratu Herman Grassmann en lana arte. 1860ko hamarkadan, Grassmannen lanak, aritmetikako datu asko oinarrizkoagoak diren ondorengo eragiketa eta indukzio gertaeretatik eratorri zitezkeela erakutsi zuen. 1881ean, Charles Sanders Peirce -k zenbaki naturalen axiomatizazioa eskaini zuen. 1888.urtean, Richard Dedekind matematikalariak zenbaki naturalen aritmetikari buruzko beste axiomatizazioa bat eskaini zuen, eta 1889an Peanok axioma horien bertsio sinpleago bat argitaratu zuen,  *Aritmetices principia, nova methodo exposita* deituriko liburuxka batean. Liburuxka horretan bederatzi axioma ageri dira, baina horietako bost nahikoak dira zenbaki arruten multzoa (\N) sortarazteko. Axioma hauek beste zenbaki multzoak sortzeko oinarria dira.

Aipatutako Peanoren bederatzi axiomek, hiru motatako adierazpenak egiten dituzte. Lehenengoak, zenbaki arrunten multzoko gutxienez elementu baten existentzia berresten du. Hurrengo lau axiomak berriz, berdintasunaren inguruko adierazpen orokorrak dira, eta hauek, prozedura modernoetan ez dira Peanoren axioma gisa hartzen, "azpiko logika" gisa baizik. Ondorengo hirurak, lehen ordeneko enuntziatuak dira, zenbaki natural bakoitzaren ondorengoaren oinarrizko propietateen ingurukoa. Bederatzigarren eta azken axioma berriz, bigarren ordeneko zenbaki naturalei buruzko indukzio matematikoaren enuntziatu bat da. Lehen ordeneko sistema sinpleago bat, Peanoren aritmetika deritzona, batura eta biderketaren operaketen sinboloak gehituz eta bigarren ordeneko indukzio matematikoaren axioma lehen ordeneko axiomen eskema batez ordezkatuz lortzen da.

## Axiomak 
Peanoren bost axiomak ondokoak dira:

# Zenbaki arrunten multzoan zenbaki berezi bat dago 1 (bat) deiturikoa.
# Zenbaki arrunt guztiek ondorengo bat dute: n zenbaki arrunt bat bada, {\displaystyle n^{+}} bere ondorengoa izango da.
# 1 ez da inoren ondorengoa.
# Bi zenbaki arruntek ondorengo berdina badute, orduan biak zenbaki berbera dira: {\displaystyle {\displaystyle n^{+}}} = 
 {\displaystyle {\displaystyle m^{+}}} bada, orduan n=m.
# Zenbaki arrunten multzoan azpimultzo bat badago 1 zenbakia duena eta bertako zenbaki guztiek hurrengo bat badute, orduan multzo hori zenbaki arrunten multzoa da.

Matematikarien artean eztabaidak daude 0 zenbakiaren inguruan: batzuek diote 0 zenbaki arrunt bat dela, beste batzuek kontrakoa dioten bitartean. Orokorrean, kasuaren arabera, 0 zenbakia zenbaki arrunt kontsideratzea edo ez erabakitzen da. 0 zenbakia zenbaki arrunta bada, Peanoren axiomak ondokoak dira:

# 0 zenbaki arrunt bat da.
# n zenbaki arrunt bat bada, {\displaystyle n^{+}} bere ondorengoa izango da.
# 0 ez da inoren ondorengoa.
# Bi zenbaki arruntek ondorengo berdina badute, orduan biak zenbaki berbera dira: {\displaystyle {\displaystyle n^{+}}} = 
 {\displaystyle {\displaystyle m^{+}}} bada, orduan n=m.
# Zenbaki arrunten multzoan azpimultzo bat badago 0 zenbakia duena eta bertako zenbaki guztiek hurrengo bat badute, orduan multzo hori zenbaki arrunten multzoa da.

## Aurkezpen formala 
Lehen esan bezala, eztabaida dago ea 0 zenbakia zenbaki arrunten artean dagoen ala ez.
Jarraian, Peanoren axiomak formalki aurkezten dira, bi aukerak kontuan hartuta:

Kontzeptu primitibo edo oinarrizkoak izendatzen dituzten sinboloak ''`N, 1, x '`* dira.

*N* sinboloak predikatu monadiko bat izendatzen du, «Zenbaki naturala izatea» irakurtzen dena. *1* sinboloak, berriz, bat zenbakia irudikatu nahi duen konstante bat izendatzen du. Eta *x'* sinboloak, azkenik, x gainean funtzio bat izendatzen du, eta X-ren ondorengoa itzultzen duena. Funtzio horri askotan *S(x)* deritzo. .

Peanoren bost axiomak hauek dira:

# Lehenengo axiomak 0 konstantea zenbaki naturala dela dio;  0 zenbaki naturala da.

Hurrengo lau axiomek berdintasun-erlazioa deskribatzen dute. Lehen ordenako logikan logikoki baliozkoak direnez berdintasunarekin,ez dira gaur egungo tratamenduetan "Peano axiomatzat" hartzen.

2. X, x = x zenbaki natural bakoitzeko. Hau da, berdintasuna erreflexiboa da.

3. Zenbaki natural guztientzat, x = y baldin bada, orduan y = x. Hau da, berdintasuna simetrikoa da.

4. Zenbaki natural guztientzat x, y eta z, baldin eta x = y eta y = z badira, orduan x = z. Hau da, berdintasuna transitiboa da.

5. A eta b guztientzat, b zenbakia naturala bada eta a = b bada, orduan a ere zenbaki natural bat da. Hau da, zenbaki naturalak berdintasunaren

pean itxita daudedaude.

Gainerako axiomek zenbaki naturalen propietate aritmetikoak definitzen dituzte. Naturalak S. S. "ondorengo" funtzio bakar baten pean ixten direla uste da.

6. n zenbaki natural bakoitzerako, S (n) zenbaki natural bat da. Hau da, zenbaki naturalak S ren pean ixita daudela.

7. m eta n zenbaki natural guztietarako, m = n, baldin eta soilik baldin S(m) = S (n) bada. Hau da, S injekzioa baldin bada.

8. n zenbaki natural guztietarako, S (n) = 0 faltsua da. Hau da, ez dago bere ondorengoa 0 den zenbaki naturalik.

Peanok axiomen jatorrizko formulazioan 1 erabili zen lehen zenbaki natural gisa, 0 erabili ordez.Baina, 0 aritmetikan identitate gehigarria denez, Peanoren axiomen formulazio moderno gehienak 0tik hasten dira.  

1, 6, 7, 8 axiomek zenbaki naturalen nozio intuitiboaren irudikapen unario bat definitzen dute: 1 zenbakia s (0) gisa defini daiteke, 2 zenbakia berriz, 

S(S (0)) bezala, etab. Hala ere, zenbaki naturalen nozioa axioma hauen bidez definitzen dela kontuan hartuz, 1, 6, 7, 8 axiomek,  ez dute esan nahi ondorengo funtzioak 0ren desberdinak diren zenbaki natural guztiak sortarazten dituenik. Bestela esanda, ez dute bermatzen zero ez den beste edozein zenbaki naturalek ondorengo beste zenbaki naturalen bat izan behar duenik.

Zenbaki natural bakoitza zeroan behar adinako maiztasunez oinordekoa aplikatuz lor daitekeela intuizioz ulertzeko, axioma gehigarri bat behar da,  batzuetan indukzioaren axioma deitzen zaiona.

9. K halako multzoa bada, non:

* 0 barne K dagoen
* *n* zenbaki natural bakoitzerako , *n* barne *K* egoteak *S*(*n*) barne *K'' egotea inplikatzen du,

orduan K-k zenbaki natural oro du barne.

Indukzioaren axioma ondoko eran ere ezartzen da batzuetan: 

9.  Baldin eta φ predikatu unario bat bada eta honako hau betetzen baldin badu:

* φ(0) egiazkoa bada, eta
* n zenbaki natural bakoitzarentzat, φ(n) egiazkoa izateak :φ(S(n)) egia izatea inplikatzen badu,

Orduan, φ(0) egia da n zenbaki natural guztietarako.

Peanoren jatorrizko formulazioan, indukzioaren axioma bigarren mailako axioma da. Orain ohikoa da bigarren mailako printzipio hori lehen mailako indukzio-eskema ahulago batez ordezkatzea. Alde handiak daude bigarren mailako eta lehen mailako formulazioen artean.

## Aritmetika 
Peanoren axiomak handitu egin daitezke batuketa- eta biderketa-eragiketen eta N-n ohikoa den orden totalaren (linealaren) bidez.

Bakoitzaren funtzio eta erlazioak multzo-teorian edo bigarren ordenako logikan egituratuta daude, eta Peanoren axiomak erabiliz bakarrak direla froga daiteke.

### Batuketa 
Batuketa funtzio bat da, bi zenbaki natural (N-ren bi elementu) beste bati esleitzen dizkiona. esanda, honela definitzen da:

Berriro 

{\displaystyle {\begin{aligned}a+0&=a,&{\textrm {(1)}}\\a+S(b)&=S(a+b).&{\textrm {(2)}}\end{aligned}}}

:

Adibide gisa:

{\displaystyle {\begin{aligned}a+1&=a+S(0)&{\mbox{definizioz}}\\&=S(a+0)&{\mbox{(2) erabiliz }}\\&=S(a),&{\mbox{(1) erabiliz}}\\\\a+2&=a+S(1)&{\mbox{definizioz}}\\&=S(a+1)&{\mbox{(2) erabiliz}}\\&=S(S(a))&{\mbox{ erabiliz }}a+1=S(a)\\\\a+3&=a+S(2)&{\mbox{definizioz}}\\&=S(a+2)&{\mbox{(2) erabiliz}}\\&=S(S(S(a)))&{\mbox{erabiliz }}a+2=S(S(a))\\{\text{etc.}}&\\\end{aligned}}}

Egitura (N, +) monoide konmutatzaile bat da, identitate elementu 0 dituena. (N, +) magma gaindiezina ere bada, eta horrela talde batean lor daiteke.

(N, +) egitura  0 identitate-elementuarekin monoide konmutatiboa da. Aldi berean, magma ezeztatzaile bat da (magma  (A,*) formako egitura algebraiko bat delarik), eta, beraz, talde batean txerta daiteke. N barne duen talderik txikiena zenbaki osoak dira.

### Biderkaketa 
Era berean, biderkaketa, bi zenbaki arrunt beste bati esleitzen dizkion funtzioa da.Honela definitzen da:

: 
\displaystyle {\displaystyle {\begin{aligned}a*0&=0,&{\textrm {}}\\a*S(b)&=a+ (a*b)&{\textrm {}}\end{aligned}}}
: 

Erraz ikusten da S(0)  (edo "1", irudikapen hamartarraren familia-hizkuntzan) biderketa identitatea dela:

a\cdot S(0) = a + (a\cdot 0) = a + 0 = a

Ezkerreko identitate biderkatzailea ere badela frogatzeko, indukzio-axioma behar da biderketa definitzen den moduagatik:

S(0)

:

## Kanpo estekak