Hiperbola

thumb|313x313px|Ebakiduraren inklinazioa dela eta, hiperbolaren planoak konoaren bi adarrak ebakitzen ditu.
Matematikan, ***hiperbola*** plano batean etzanda dagoen kurba leun ireki bat da, bere propietate geometrikoen edo hura deskribatzen duten ekuazioen bidez definitu daitekeena; hiperbola bera ekuazio horien soluzio multzoa da. Hiperbola batek bi atal ditu, *konektatutako osagaiak* edo *adarrak* deituak, bata bestearen ispilu-irudiak direnak eta bi arku infinituren antza dutenak. Hiperbola hiru sekzio koniko motetako bat da, plano baten eta kono bikoitz baten arteko ebakiduraz osatua. Beste sekzio konikoak *parabola* eta *elipsea* dira. Planoak kono bikoitz baten bi erdiak ebakitzen baditu, baina konoen erpinetik igarotzen ez bada, lortutako sekzio konikoa hiperbola bat da. 

Hiperbolek propietate analitiko asko partekatzen dituzte elipseekin, hala nola eszentrikotasuna, fokua eta zuzentzailea. Beste objektu matematiko askok hiperbolan dute jatorria; hala nola paraboloide hiperbolikoak, hiperboloideak, geometria hiperbolikoa, funtzio hiperbolikoak (sinh, cosh, tanh, etab. ) eta espazio girobektorialak (erlatibitatean zein mekanika kuantikoan erabiltzeko proposatutako geometria, euklidearra ez dena).

## Etimologia 
"Hiperbola" hitza grezierazko περβολος hitzetik dator, "gehiegizkoa" esan nahi duena. Hortik dator euskarazko “hiperbole” hitza ere, gauzak gehiegikeriaz adieraztean oinarritutako figura erretorikoa dena.  

## Historia 
Tradizioaren arabera, sekzio konikoak (elipsea, parabola eta hiperbola) Menecmo matematikari eta geometrialari greziarrak aurkitu zituen (K.a. 380 – K.a. 320), kuboaren bikoizketaren arazoa aztertzen zuen bitartean. Lan horretan, aipatutako arazoa parabola bat eta hiperbola bat tartekatuz konpon zitekeela erakutsi zuen. Dena den, kuboaren bikoizketaren arazoaren konponketa beste geometrialari greko batzuek beranduago baieztatu zuten, hala nola Proclo-k eta Eratostenes-ek.

Hala ere, “hiperbola” hitza lehen aldiz Apolonio de Perge-k erabili zuen bere *Konikoak* izeneko tratatuan. Liburu horretan, Apoloniok sekzio konikoen ukitzaileak eta propietateak sakonki aztertu zituen.

## Hiperbolaren elementuak 
**Erpinak**

Hiperbolaren erpinak bere zeharkako ardatzaren muturren puntuak dira. Erpin bat bi lerro edo gehiago gurutzatzen diren ebakitze-puntu bat da. Matematikan eta geometrian, erpinak irudi geometrikoen funtsezko elementuak dira.
thumb|240x240px|Hiperbola: bi fokuetara dituen distantzien diferentziaren balio absolutua konstantea duten puntuen multzoa. M zentroa da.
**Fokuak**

Bi puntu dira, F1 eta F2, eta haiekiko konstante mantentzen da hiperbola horren edozein puntutarainoko (x) distantzien diferentzia (balio absolutuan).

\vert d(F_1,x)-d(F_2,x)\vert=2a

**Zentroa**

Hiperbolaren erpinen eta fokuen erdiko puntua.

**Zeharkako ardatza**

Hiperbolaren fokuak eta erpinak kokatuta dauden segmentu lerrozuzenari *zeharkako ardatza* deritzo. 2a balioa du, eta ardatz konjugatuarekiko perpendikularra da.

**Ardatz konjugatua**

Hiperbolaren erditik igarotzen den segmentu lerrozuzena da; zeharkako ardatzarekiko perpendikularra da eta 2b-ko luzera du.

**Foku-ardatza**

Segmentu lerrozuzena da; haren muturrak hiperbolaren fokuak dira, eta 2c-ko luzera du. Ardatz hori zeharkako ardatzarekiko lerrokidea da.

**Asintotak**
thumb|Hiperbola bertikalaren asintotak, lerrozuzen diagonalak dira.
Hiperbolaren erdian elkar ebakitzen duten zuzenak dira, adarretara hurbiltzen direnak, hauek hiperbolaren zentrotik urruntzean. Ekuazio kanonikoak koordenatu kartesiarretan ataleko bi ekuazioei aplikatu beharreko asintoten ekuazioak, ondoko hauek dira:

\left\{\begin{array}{llr}
    y&=&\displaystyle \pm \frac{b}{a}x \\ \\
    y&=&\displaystyle \pm \frac{a}{b}x
\end{array}
\right. 

Zentroa C(h, k) puntuan duten hiperbolen ekuazioak ataleko ekuazioen bidez adierazitako hiperbolen asintotak honela adierazten dira, hurrenez hurren, ekuazio horiek zerorekin berdinduz:

\left\{\begin{array}{lr}
    \displaystyle\left(\frac{x-h}{a}-\frac{y-k}{b}\right)\left(\frac{x-h}{a}+\frac{y-k}{b}\right)=0 \\ \\
    \displaystyle\left(\frac{y-k}{a}-\frac{x-h}{b}\right)\left(\frac{y-k}{a}+\frac{x-h}{b}\right)=0
\end{array}
\right. 

**Ukitzailea**

Hiperbola baten kurbaren edozein punturekiko ukitzailea da puntu horretako bektore erradioek osatutako angeluaren erdikaria. 

Puntu jakin bateko (x_{0}, y_{0}) ukitzailea kalkulatzeko modurik errazena hiperbolaren ekuazioa, \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = 1 , deribatzea da \frac{dy}{dx} eginez.

Horrela: 

\frac{2x}{a^2}-\frac{2yy'}{b^2}= 0 \ \Rightarrow \ y'=\frac{x}{y}\frac{b^2}{a^2}\ \Rightarrow \ y=\frac{x_0}{y_0}\frac{b^2}{a^2}(x-x_0) +y_0. 

Beraz, ukitzailearen ekuazioa aipatutako (x_{0}, y_{0}) puntuan hau izango litzateke: 

\frac{x_0}{a^2}x-\frac{y_0}{b^2}y = 1. 

## Ekuazio kanonikoak koordenatu kartesiarretan 
thumb|O(0,0) jatorrian kokatuta dauden hiperbola bertikala (berdea) eta horizontala (urdina).
Zentroa O(0,0) koordenatu-jatorrian duen hiperbola honako ekuazio hauetako baten bidez adieraz daiteke (hiperbolaren *ekuazio kanonikoak*, edo hiperbola baten ekuazioaren *forma normalak* izenez ezagutuak):

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = 1\Rightarrow  b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2

\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2} = 1\Rightarrow  b^2y^2-a^2x^2=a^2b^2

Ekuazio horietan, a, b eta c balioek zeharkako ardatzerdia, ardatzerdi konjugatua eta foku-ardatzerdia adierazten dituzte, hurrenez hurren. Lehenengo ekuazioak ardatz fokala x ardatzarekiko lerrokide duten hiperbolak adierazten ditu, eta bigarren ekuazioak, y ardatzarekiko lerrokide dutenak. Lehenengo ekuazioan, fokuak F(±c,0) puntuetan daude, eta erpinak V(±a,0) puntuetan. Bigarrenean, fokuak F(0,±c) puntuetan daude eta erpinak V(0,±a) puntuetan. Nolanahi ere, hiru ardatzerdien arteko erlazioa ekuazio honek ematen du:

c^2=a^2+b^2

Bestalde, elipsearen kasuan ez bezala, ez da zertan a>b izan behar. 

## Zentroa C(h,k) puntuan duten hiperbolen ekuazioak 
Aurreko kasuan bezala, ekuazioak egitura hauetariko bat hartzen du:

\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1

\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1

Lehenengo ekuazioa haien foku-ardatza eta zeharkako ardatza x ardatzarekiko paralelo dituzten hiperbolei dagokie. Hauetan, erpinak V(h±a,k) puntuetan daude eta fokuak F(h±c,k) puntuetan. 

Bigarren ekuazioa, aldiz, haien foku-ardatza eta zeharkako ardatza y ardatzarekiko paralelo dituzten hiperbolei dagokie. Kasu hauetan, erpinak V(h,k±a) posizioan daude, eta fokuak F(h,k±c) posizioan.

## Eszentrikotasuna 
thumb|Hainbat eszentrikotasun.
Hiperbola baten *e* eszentrikotasuna honela definitzen da:

e=\frac{c}{a}, 

non *c* foku-ardatzaren luzeraren erdia den, eta *a* zeharkako ardatzak duen luzeraren erdia den.

*c* balioa *a* baino handiagoa denez, hiperbolaren eszentrikotasuna 1 baino handiagoa da beti. Eszentrikotasunak zenbat eta balio handiagoa izan, orduan eta estuagoa edo "itxiagoa" izango da hiperbola.
## Hiperbolaren ekuazio orokorra 
Hiperbola baten ekuazio orokorra honako hau da:

Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0

A eta C koefizienteak zeinu desberdinekoak, ez-nuluak eta A>0 eta Cko hiperbola ReIm planoko z puntu-multzo batek osatutako leku geometrikoa da. Puntu horietako edozeinek honako baldintza geometriko hau betetzen du: z puntuen eta foku-ardatzeko bi fokuen arteko distantzien diferentziaren balio absolutua (|z-w_1|-|z-w_2| puntu finkoetara dagoena) konstante positibo bat da; konstante hori hiperbolaren zentroaren eta foku-ardatzeko edozein erpinen arteko distantziaren bikoitza da (hau da, 2l).

|z-w_1|-|z-w_2|=2l\,

Jakina, eragiketa hori zenbaki konplexuen multzoan egiten da.

## Koordenatu polarretako ekuazioak 
*Ezkerretik eskuinera irekita dagoen hiperbola:*

: r^2 =a\sec 2\theta \,

*Goitik behera irekita dagoen hiperbola:*

: r^2 =-a\sec 2\theta \,

*Ipar-ekialdetik hego-mendebaldera irekita dagoen hiperbola:*

: r^2 =a\csc 2\theta \,

*Ipar-mendebaldetik hego-ekialdera irekita dagoen hiperbola:*

: r^2 =-a\csc 2\theta \,

Eskuineko fokuan jatorria duen hiperbola:

r(\theta) = \frac{a(\varepsilon^2-1)}{1-\varepsilon\cos\theta}

Ezkerreko fokuan jatorria duen hiperbola:

r(\theta) = \frac{a(\varepsilon^2-1)}{1+\varepsilon\cos\theta}

## Ekuazio parametrikoak 
Hiperbolaren ekuazio kanonikoa, \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = 1 , hainbat ekuazio parametrikoren bidez deskriba daiteke:

* Funtzio trigonometriko hiperbolikoen bidez:

\begin{cases}
 x = \pm a\cosh t \\
 y = b\sinh t \\
\end{cases}\;\; t \in\,\R

* Errepresentazio arrazional gisa:

\begin{cases}
  x = \pm a \dfrac{t^2 + 1}{2t}, \\[1ex]
  y = b \dfrac{t^2 - 1}{2t},
 \end{cases} \qquad t > 0

* Funtzio trigonometriko zirkularren bidez:

\begin{cases}
  x = \frac{a}{\cos t} = a \sec t, \\
  y = \pm b \tan t,
 \end{cases} \qquad 0 \le t 

## Adibide praktikoak 
**1. adibidea:**

Beheko ekuazioa duen hiperbolaren grafikoa egin eta kalkulatu fokoen koordenatuak, erpinen koordenatuak eta hiperbolaren eszentrikotasuna.

\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{81} = 1

Hiperbola jatorrian zentratuta dago.

**Soluzioa:**

Hiperbolaren ekuaziotik:

a^2 = 144 \rightarrow a=12

b^2 = 81 \rightarrow b = 9

a eta b-ren balioak jakinda, c-ren balioa lor dezakegu:

c=\sqrt{a^2 + b^2}  \quad \Longrightarrow \quad c=\sqrt{144+81}=15

Orain, a, b eta c-ren balioak dakizkigunez, erpinen koordenatuak (A1, A2), fokuen koordenatuak (F1, F2) eta eszentrikotasuna (e) kalkula ditzakegu:

A_1 = (-a,0), \quad A_2 = (a,0) \Longrightarrow A_1 = (-12,0), \quad A_2 = (12,0)

F_1 = (-c,0), \quad F_2 = (c,0) \Longrightarrow F_1 = (-15,0), \quad F_2 = (15,0)

e=\frac{c}{a} \quad  \Longrightarrow  \quad e=\frac{15}{12}=\frac{5}{4}

**2. adibidea:**

Lortu zentroa jatorrian duen, zeharkako ardatz horizontala 8 luzaerakoa duen eta fokuen arteko distantzia 10 duen hiperbolaren ekuazioa.

**Soluzioa:**

Zeharkako ardatzaren luzera eta fokuen arteko distantzia dakizkigunez:

2a = 8 \quad \Longrightarrow \quad a=4

2c = 10 \quad \Longrightarrow \quad c=5

Datu hauekin, b kalkula dezakegu:

b= \sqrt{c^2-a^2}  \quad \Longrightarrow \quad b=\sqrt{9}=3

Beraz, hiperbolaren ekuazioa:

\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9} = 1

**3. adibidea:**

Zentroa jatorrian duen hiperbola horizontalaren ekuazioa kalkulatu, (4,\sqrt{8}) eta (2\sqrt{3}, 2) puntuetatik pasatzen dela jakinda:

**Soluzioa:**

Badakigu hiperbolaren ekuazioa era honetakoa dela: 

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = 1

a^2 eta  b^2 aurkitzeko, enuntziatuko puntuetako balioak hiperbolaren ekuazioan ordezkatu behar dira:

\frac{4^2}{a^2}-\frac{\sqrt{8}^2}{b^2} = 1

\frac{(2\sqrt{3})^2}{a^2}-\frac{2^2}{b^2} = 1

Ekuazio hauek ebatziz:

a^2=8,  \quad b^2=8

Beraz, hiperbolaren ekuazioa:

\frac{x^2}{8^2}-\frac{y^2}{8^2} = 1

## Erreferentziak