Multzoen teoria informal

**Multzoen teoria informala** (ingelesez, *Naive set theory*) matematikaren oinarriei buruzko eztabaidetan erabiltzen diren multzoen teoriek osatzen dute.  Logika formala erabiliz definitzen den multzo-teoria axiomatikoarekin konparatuz, multzo-teoria informalean hizkuntza naturala erabiltzen da. Matematika diskretuan erabiltzen diren multzoak deskribatzen dira (adibidez, Venn-en diagramak eta Boole-ren aljebrari buruzko arrazonamendu sinbolikoa). Gaur egun, multzo-teoriaren kontzeptuak formaltasun matematiko gehiegirik gabe erabiltzeko egokia da .

Multzoak oso garrantzitsuak dira matematikan; tratamendu formal modernoetan, matematika-objektu gehienak (zenbakiak, erlazioak, funtzioak, etab.) multzoen bidez definitzen dira. Multzoen teoria informala nahikoa da helburu askotarako.

## Metodoa 
"Teoria informal" terminoak formalizatu gabeko teoria esan nahi du, hau da, multzoak eta eragiketak deskribatzeko hizkuntza naturala erabiltzen duen teoria. Hizkuntza naturaleko *eta, edo, baldin...orduan, ez, existitzen da, edozein*, etab. hitzak erabiltzen dira matematika arrunteko hitzak balira bezala. Multzoen teoria informalaren eta haren formalismoa erabiltzea egokia gertatzen da baita goi-mailako matematikan ere.

Multzoen teoriaren lehen garapena multzoen teoria informal bat izan zen. XIX. mendearen amaieran sortu zuen Georg Cantorrek, multzo infinituen azterketaren barruan , eta Gottlob Fregek garatu zuen *Grundgesetze der Arithmetik* lanean.

Multzoen teoria informal-ak honakoei egin diezaieke erreferentzia:

* Multzo-teoria axiomatikoaren aurkezpen informala, Paul Halmos-en Naive Set Theory liburuan agertzen dena, adibidez.
* Georg Cantorren teoriaren hasierako edo ondorengo bertsioak eta beste sistema informalak.
* Beste teoria batzuk (axiomatikoak izan ala ez), hala nola, Russell-en paradoxa ekarri zuen Gottlob Frege-ren teoria, eta Giuseppe Peanoren  eta Richard Dedekind-en teoriak.

### Paradoxak 
Edozein propietate, inolako murrizketarik gabe, multzo bat osatzeko erabil daitekeela usteak paradoxak eragiten ditu.  Adibide ezagun bat Russell-en paradoxa da: "Elementu gisa beren burua ez duten multzo guztien multzoa ez da existitzen". Hala, multzoen teoria informalerako sistemak kontsistenteak izateko, zenbait murrizketa izan behar dituzte multzoak osatzeko erabil daitezkeen printzipioetan.

### Cantor-en teoria 
Batzuen ustez, Georg Cantorren multzo-teoriak ez du multzo-teoriako paradoxarik eragiten. Hori hala den ziur jakitea zaila da, Cantorrek ez zuelako sistemaren axiomatizaziorik eman. 1899rako, Cantorrek bazekien bere teoria mugarik gabe interpretatzeak hainbat paradoxa ekar zitzakeela, hala nola Cantorren paradoxa eta Burali-Fortiren paradoxa, baina ez zuen uste horregatik bere teoria bazter zitekeenik. Cantorren paradoxa lehen aipatutako uste okerretik erator daiteke ("*edozein P(x) propietate multzo bat osatzeko erabil daiteke"*), P(x) propietate moduan "x zenbaki kardinala da" erabiliz. Frege-k modu esplizituan axiomatizatu zuen teoria bat, non multzoen teoria informalaren bertsio formala interpreta zitekeen, eta teoria formal hori izan zen Bertrand Russell-ek erabili zuena bere paradoxa aurkezteko, baina ez nahitaez Cantor-ek bere buruan zuen teoria, esan dugunez, bera zenbait paradoxaz jabetu baitzen.

### Teoria axiomatikoak 
Multzoen teoria axiomatikoa multzoak ulertzeko lehen saiakera horiei erantzunez garatu zen. Zein eragiketa erabil zitezkeen eta noiz zehaztea zen teoria garatzearen helburua. 

### Kontsistentzia 
Multzoen teoria informal bat ez da zertan inkonsistentea izan behar, nahitaez, onargarriak diren multzoak zuzen zehazten badira. Hori definizioen bidez egin daiteke, hau da, axioma inplizituen bidez. Posiblea da modu esplizituan axioma guztiak zehaztea, Halmos-en *Naive Set Theory*-n bezala. Izan ere, bertan Zermelo–Fraenkel-en ohiko multzo-teoria axiomatikoaren aurkezpen informala ematen da. Matematika informal arruntean erabili ohi diren lengoaia eta notazioa erabiltzen direlako esaten zaio "informal", sistema axiomatikoaren kontsistentzia edo osotasuna tratatu gabe.

Era berean, multzo-teoria axiomatiko bat ez da nahitaez kontsistentea, hau da, ez da nahitaez paradoxarik gabea. Gödel-en ez-osotasunaren teorematik ondorioztatzen da nahiko konplexua den lehen mailako sistema logiko bat (multzo-teoria axiomatiko ohikoenak barne hartzen dituena) kontsistentea izanda ere ezin dela kontsistente denik frogatu. Hala ere, sistema axiomatiko arruntak kontsistenteak direla uste da; haien axiometatik paradoxa batzuk baztertzen dira, Russell-en paradoxa, adibidez. Gödelen teoreman oinarrituta, ezin da jakin eta sekula ezingo da jakin, ea teoria horietan edo lehen mailako edozein multzo-teorian paradoxaririk ba ote dagoen.

*Multzoen teoria informal* terminoa Fregek eta Cantorrek aztertutako multzoen teoriari erreferentzia egiteko erabiltzen da gaur egun oraindik ere, eta ez multzoen teoria axiomatiko informal modernoari erreferentzia egiteko.

### Erabilgarritasuna 
Neurri handi batean, komeni denaren arabera aukeratzen da multzoen teoria axiomatikoa edo beste teoria bat. Eguneroko matematikan, multzoen teoria axiomatiko informala aukeratzea da onena, seguraski.  Horregatik, normalean, beharrezkoa denean bakarrik egiten zaie erreferentzia axioma partikularrei; hautapenaren axioma, adibidez, erabiltzen denean bakarrik aipatzen da. Era berean, froga formalak beharrezkoak direnean bakarrik egiten dira. Multzoen teoria axiomatikoa hain modu informalean erabiltzeak multzo-teoriari *itxura* informala eman diezaioke. Formulazioak eta frogak modu informalean egitea formalki eta zorroztasun handiz egitea baino errazagoa da, bai irakurtzeko eta baita idazteko ere, eta errore gutxiago sortzen dira.

## Multzoak, osaera eta berdintasuna 
Multzoen teoria informalean, **multzo** bat ondo definitutako objektuen bilduma gisa deskribatzen da. Objektu horiei multzoko **elementu** esaten zaie. Objektuak edozer izan daitezke: zenbakiak, pertsonak, beste multzo batzuk, etab. Esate baterako, 4 zenbaki osoen multzoko elementu bat da. Argi dago zenbaki osoen multzoa infinituki handia dela; ez da beharrezkoa multzoa finitua izatea.
thumb|Multzoaren definizioaren pasarte bat (Georg Cantor)
Multzoen definizioa Georg Cantor-ek eman zuen 1915ean *Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre* artikuluan:“Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die 'Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen.” – Georg Cantor“Multzo bat gure pertzepzioko edo pentsamenduko objektu zehatz eta desberdinen bilduma bat da, eta multzoko elementu deritze”. – Georg Cantor
[thumb|ϵ ikurraren lehen erabilera [Giuseppe Peano-ren "*Arithmetices principia nova methodo exposita*" lanean:{{Teorema| P  propietate bat bada, orduan   Y =\{ x \ : \ P(x)\} multzoa existitzen da.
(faltsua)|}}Axioma hori hasierako multzo-teoriako hainbat paradoxaren iturria da:

* Y=\{ x \ : \ x \ \mathrm{ zenbaki\ ordinala\ den}\} multzoak Burali-Forti-ren paradoxa izenez ezagutzen den paradoxa eragin zuen 1897an. Argitaratua izan zen lehen antinomia da.
* Y=\{ x \ : \ x \ \mathrm{ zenbaki\ kardinala\ den}\} multzoak Cantor-en paradoxa eragin zuen 1897an. Hemen,  propietatea egiazkoa da  guztietarako, eta ondorioz  multzo unibertsala izango litzateke, elementu guztiak dituena.
* Y=\{ x \ : \ x \not \in x\} multzoak, hau da, beren burua elementu gisa ez daukaten multzoen multzoak, Russell-en paradoxa eragin zuen 1902an.

Multzoak murrizketarik gabe osa daitezkeela baieztatzen duen printzipioa erlaxa daiteke "*axiom schema of separation"* edo *"axiom schema of specification"*  izenez ezagutzen den beste axioma honetara:{{Teorema| P  propietate bat bada, orduan edozein  X  multzorako  Y =\{ x\in X \ : \ P(x)\} multzoa existitzen da.|}}Horrela, aipatutako paradoxa guztiak desagertu egiten dira. Korolario bat dago. Teoriaren axioma moduan "*axiom schema of specification"* hartuz gero, honakoa teoriaren teorema dela ondorioztatzen da:Edo, are ikusgarriagoa dena (Halmos-ek esana): Unibertsorik ez da existitzen. *Froba*: Demagun existitzen dela eta U notazioaz izendatzen dugula. X = U-rako "*Axiom schema of separation"*  axioma erabiliz, eta  P(x) propietate x \not \in x hartuz, horrek Russell-en paradoxa dakar berriro. Hortaz, teoria horretan  ezin da existitu. 

Har dezagun orain honako multzoa:

* Y=\{ x \ : \ (x \in x) \longrightarrow \{\} \neq \{\}\},

non inplikazioaren ondorengo adierazpena faltsua den, nabaria denez. Y-ren definiziotik abiatuta eta ohiko inferentzia-arauak erabiliz, honakoak ondorioztatzen dira: (Y \in Y) \longrightarrow \{\} \neq \{\} eta Y \in Y. Hortaz, \{\} \neq \{\} betetzen da. Hori Curry-ren paradoxa da.

Nahiz eta harrigarria izan daitekeen, arazoa ez da x \in x  posiblea izatea. Berriro ere, arazoa "*axiom schema of unrestricted comprehension"* axioma da, P(x)  propietaterako (x \in x) \longrightarrow \{\} \neq \{\} onartzen duelako. Axioma horren ordez "*axiom schema of specification"* hartuz gero, ez da *Y \in Y* ondorioztatzen eta, beraz, \{\} \neq \{\} ez da ondorio logikoa.

Hala ere, askotan x \in x  betetzeko aukera baztertu egiten da esplizituki, edo inplizituki, Zermelo–Fraenkel (ZFC) teoriako "*axiom of regularity"* edo "*axiom of foundation"* izenez ezagutzen den axioma bete dadin eskatuz. Horren ondorio bat hau da:
 edo, bestela esanda, ez dago multzorik bere buruaren elementu denik.

"A*xiom schema of specification"* axioma ahulegia da eta "*axiom schema of unrestricted comprehension",* aldiz, gogorregia multzo-teoria goian aipatu bezala garatzeko, hau da, bere ohiko eragiketekin eta eraikuntzekin. Bestalde, "*axiom of regularity"* axioma ere murriztailea da. Beraz, beste axioma batzuen formulazioa beharrezkoa gertatzen da, multzo-teoria garatzeko adina multzoren existentzia bermatzeko. Horietako batzuk artikulu honetan bertan modu informalean deskribatuak izan dira, eta beste asko ere deskriba daitezke. Axioma bururagarri guztiak ezin dira modu librean konbinatu teoria sendoak osatzeko. Adibidez, Zermelo–Fraenkel (ZFC) teoriako hautapenaren axioma ("*axiom of choice"* ) bateraezina da beste honekin: "zenbaki errealen multzoak *Lebesgue measure* neurriaren bidez neur daiteke". Hautapenaren axiomatik ondorioztatzen da bigarrena faltsua dela.

## Erreferentziak 
## Ikus, gainera 
* Multzoen arteko aljebra
* Multzoen identitateen eta erlazioen zerrenda
* Multzoen-teoria
* Multzoa (matematika)
* Curry-ren paradoxa
* Russell-en paradoxa

## Bibliografia 
* Bourbaki, N.: *Elements of the History of Mathematics*, John Meldrum (trans.), Springer Verlag, Berlin, Alemania, 1994.
* Cantor, Georg (1874), *Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen. doi:10.1515/crll.1874.77.258.ISSN 0075-4102, J. Reine Angew. Math 1874 (77):258-262*
* Devlin, K.J., *The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory*, 2. argitalpena, Springer - Verlag, New York, NY, 1993.
* María J. Frapolli–Frapolli, María J., 1991, ""Is Cantorian set theory an iterative conception of set?". *Modern Logic,* v.1. 4, 1991, 302–318.
* Frege, Gottlob. (1893). *Grundgesetze der Arithmetik*, vol. 1, Jena
* Halmos, Paul (1960). *Naive Set Theory*. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company.
** Halmos, Paul (1974). *Naive Set Theory* (Reprint ed.). New York: Springer-Verlag. .
** Halmos, Paul (2011). *Naive Set Theory* (Paperback ed.). Mansfield Centre, CN: D. Van Nostrand Company. .

* Jech, Thomas (2002). *Set theory, third millennium edition (revised and expanded)*. Springer. .
* Kelley, J.L., *General Topology*, Van Nostrand Reinhold, New York, NY, 1955.
* van Heijenoort, J., *From Frege to Gödel, A Source Book in Math Logic*, 1879-1931, Harvard University Press, Cambridge, MA, 1967. Zuzenketekin berrinprimatua, 1977.  ISBN 0-674-32449-8.
* Meschkowski, Herbert; Nilson, Winfried. (1991). *Georg Cantor: Briefe. Edited by the authors*. Springer .
* Peano, Giuseppe. (1889). *Arithmetices Principies nova Methoda exposita*. Turin
* Zermelo, Ernst. (1932). *Georg Cantor: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. Mit erläuternden Anmerkungen sowie mit Ergänzungen aus dem Briefwechsel Cantor-Dedekind*. Edited by the author. Berlin. Springer.

## Kanpo estekak 
*  https://jeff560.tripod.com/s.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S)
*  https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_set_identities_and_relations List of set identities and relations (Wikipedia)
*  Weisstein, Eric W. https://mathworld.wolfram.com/SetTheory.html "Set Theory." From *MathWorld*--A Wolfram Web Resource,