Fraunhofer difrakzioa

Optikan, **Fraunhofer difrakzioa** (Joseph von Fraunhofer izandakoaren omenez) edo **eremu urruneko difrakzioa**, eremu uhinak irekidura edo zirrikitu batetik igarotzean sorturiko uhin difrakzio forma bat da, behaturiko irekidurak irudiaren neurria aldatzea dakarrelarik  behaketaren eremu urrunaren kokapenagatik eta difraktatutako irekiduratik irtendako uhinen izaera planoa (geroz eta handiagoa) dela eta.

Fresnel difrakzioa eremu hurbileko distantzietatik harago ikus daiteke fenomeno hau gertatzen, behaturiko irekidurako irudiaren neurria eta itxurari eragiten. Hauxe gertatzeko, ezinbestekoa da Fresnel zenbakia F \ll 1, betetzea; orduan izpi paraleloen hurbilketa aplika daiteke.
thumb|300px|eskuinera|**eremu hurbila|Eremu hurbileko** Fresnel difrakzioa azaltzen duen esperimentu optiko baten adibidea. Diagrama honetan, uhin bat difraktatu egiten da eta behatua izanen da \sigma puntuan. Puntu hau atzerago mugitu hala, Fresnelen ataria edo **eremu urruna** urrutiagoan gertatuko da Fraunhofer difrakzioa.

## Fraunhofer hurbilketa 
Difrakzio eskalarraren teorian, Fraunhofer hurbilketa Fresnel difrakzioaren integralari eginiko eremu urruneko hurbilketa da,

:U(x,y) = \frac{e^{i k z} e^{\frac{ik}{2z} (x^2 + y^2)}}{i \lambda z} \iint_{-\infty}^{\infty} \,u(x',y') e^{-i \frac{2\pi}{\lambda z}(x' x + y' y)}dx'\,dy'.

## Formak 
### Azalpena 
Fraunhofer difrakzioak Huygens-Fresnel printzipioa du oinarritzat, izatez, uhin bat irekidura, arrakala edo zulo batetik igarotzean uhin askotan banatzen delakoan. Adibide hau maiz erabili ohi izan da behaketa esperimentuetan lenteak erabiliz argia nahita difraktatzeko. Uhinek berauek zeharkatzean, uhina bi uhin difraktatutan banatzen da, angelu elkarrekiko paralelotan garraiatuz datorren sarrerako uhinarekin batera. Sarritan behaketa metodotan erabili izan ohi dira, beren bidean pantaila bat kokatuz horrela fenomenoak sortutako irudi patroia ikusi ahal izateko.

Hasiera batean eremu hurbil batean uhin difraktatu bat beste batekiko paralelo egonda, Fresnel difrakzioa, irekidura eta behatutako \sigma puntuaren arteko distantzia 1 baino handiagoa izanik, Fresnel zenbakiaren ekuazioarekin.

### Irekidura itxura 
Fresnel difrakzioan irekidurako irudiaren itxura eta neurria aldatu egiten da behaketaren unean, hau da, ertzak 'horztun' bilakatzen dira. Bestalde, Fraunhofer difrakzioa gertatzen ari dela behatutako irekidurako irudia, neurriz baino ez da aldatzen uhinen izaera kolimatua edo laua dela eta.

Iturri baten eremu urruneko marrazkia ondo zuzendutako lente baten plano fokalean ere (eskala arazoak salbu) beha daiteke. Difrakzioa eragiten duen pantaila baten eremu urruneko marrazkia, iturri puntual batekin argiztatua delarik, iturriaren irudi planoan ikus liteke.

Argi iturri bat eta behaketa pantaila bat difrakzio irekidura batengandik behar bezain urrun badaude (arrakala batetik adibidez), irekidurara eta pantailara heldutako uhin fronteak orduan kolimatutzat edota lautzat (bata edo bestea) jo daitezke. Fresnel difrakzioa edo *eremu hurbileko difrakzioa* deskribatutako kasutik kanpo, sarrerako uhin fronteen kurbatura kontuan izaten denean gertatzen da.

Eremu urruneko difrakzioan, behaketa pantaila irekidurara hurbiltzen bada, sortutako difrakzio marrazkia neurriz uniformeki aldatzen da. Hau ez da eremu hurbileko difrakzioan gertatzen, difrakzio marrazkia bai neurriz eta bai itxuraz eraldatzen baita.

### Arrakala itxura 
Arrakala batean zehar bi lente eta pantaila batekin, Fraunhofer difrakzioa lor daiteke. Argi iturri puntual bat eta lente kolimatu bat erabiliz argi paraleloa egitea posible da, ondoren arrakaletik igaroaz. Arrakalaren ostean beste lente bat dago argi paraleloa behaketarako pantaila batean fokatzen duena. Eraketa berdina arrakala ugarirekin ere erabil daiteke, difrakzio marrazki anitz sortzen direla.

Difrakzio mota hau matematikoki sinplea denez, esperimentu eraketa hau sarrerako argi monokromatikoaren uhin luzeera zehatz ebazteko erabil daiteke.

### Anplitude transmitantzia 
Deskribapen honetan, ondoko eremu elektriko (edo dena delakoa) suposatzen dugu:
:\psi_0 (x,y,z,t) = \ e^{i (k z - \omega t)}.
Ondorengo honetan, eremu guztiek denboraren menpe jokatzen dutela esaten da \exp(-i\omega t). Eremu hau, irekidura batean sarrerakoa (nolabait esateko, datorrena) bada xy-planoan T(x,y) transmitantzia konplexua duelarik, difraktaturiko eremu urruneko zonaldea, eremu urruneko koordinatu esferiko sistemaren (\theta,\phi,r) angeluen menpeko funtzio bezala kalkulatu daiteke Huygens-Fresnel printzipioaren bidez, izpi paraleloen hurbilketaren bitartez,
:\psi_{\mathrm{rad}}(\theta,\phi,r) \, \propto \, \frac{e^{ikr}}{r}\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \psi_0(x,y) \, T(x,y) \, e^{i k \sin \theta (x \cos \phi + y \sin \phi)} \, dx \,dy .
k=2\pi/\lambda sarrerako (eraso) uhin zenbaki zirkularra izanik. Adierazpena, irekidura funtzioaren Fourierren transformatua da, Fourierren kernela den
:\ e^{i k \sin \theta (x \cos \phi + y \sin \phi)}.
Kontutan izan irekidura funtzioak eremu konplexuan duela eragina, ez uhinen intentsitatearengan (anplitudea karratura). Era konplexuan adieraz daiteke fasearen desplazamendua adierazteko.

Hainbat kasutan, ez dago y -rekiko, \phi -rekiko eta \theta\ll1-rekiko menpekotasunik. Arestiko integrala orduan horrela hurbil daiteke:
:\psi_{\mathrm{rad}}(\theta) \propto \int_{-\infty}^{\infty} \psi_0(x,y)\, T(x) \, e^{i (k\theta) x} \, dx,
adierazpen honetan r-rekiko menpekotasuna ere baztertu egin dugu. Hau x espazio koordenatuetatik u\equiv k\theta-ra egindako Fourierren transformatua da.

Edozein hurbilketatan, ekuazioak ez ditu anplitude absolutuak ematen, eremuak, (elektrikoa) espazio dimentsioetan integratuta, ez duelako kontserbatutako zenbateko fisiko bat adierazten, potentzia edo energia adibidez. Anplitude absolutuak lortzeko, normalizatzea beharrezkoa da,
:\int |\psi_\mathrm{rad}(\theta,\phi,r)|^2 r^2 \sin\theta\,d\theta\,d\phi =   \int |\psi_0\, T(x,y)|^2\, dx\,dy.
izanik.

## Adibideak 
### Arrakala difrakzioa 
Adibiderik sinpleena arrakala bateko Fraunhofer difrakzioa da, \ f(x) = 1 adibidez, \ -a/2  eta \ f(x)=0 besteentzat izanik. Kasu honetan, :\psi(\theta) = \mathrm{sinc}\left(\frac{\pi a \theta}{\lambda}\right), eta zeroak ditu \theta=\pm n\lambda/a balioetan, n=1, 2, \ldots izanik.

### Profil gausstarra 
Profil gausstarra duen irekidurak (argazki gardenki batean disko garden lau bat adibidez) f(x) = \exp(-ax^2) hau du, eta ondorioz
:\psi(\theta) = \exp\left(\frac{-k^2\theta^2}{4a}\right).
Laser izpi batek adibidez zabalera osoa maximo erdian (FWHM) W intentsitate profila badu, orduan a=2\ln 2/W^2.

\lambda uhin luzeera batean orduan, anplitudearen profila \psi(\theta) = \exp\left(-\frac{\pi^2W^2}{2 \lambda^2\ln 2}\theta^2\right),
FWHM angeluarra adibidez 2\lambda\ln 2/\pi W \approx 0.44\lambda/W izanik.

## Erreferentziak 
## Bibliografia 
* 
* 

## Ikus, gainera 
* Fresnel difrakzioa
* Fresnel zenbakia
* Huygensen Printzipioa
* Airy diska
* Fourier optika
* Puntu sakabanaketa funtzioa

## Kanpo estekak 
* Fraunhofer difrakzioa ScienceWorld-en
* Fraunhofer difrakzioa HyperPhysics-en