Gorriranzko lerrakuntza grabitatorio

**Gorriranzko lerrakuntza grabitatorioa** (edota **Einstein-en lerrakuntza**) fisikan eta erlatibitate orokorrean ezagutzen den fenomeno bat da. Fenomeno honen funtsa putzu elektromagnetiko batetik ateratzen diren fotoien itxurazko energia galera da. Honako energia galera uhinaren maiztasunaren txikitzearekin eta uhin luzeraren hazkundearen ondorioa da (gorriranzko lerrakuntza moduan ezagutzen dena). Kontrako efektua ere ezaguna da, hau da, putzu grabitazional batera gerturatzen diren fotoien itxurazko energia irabaztea urdineranzko lerrakuntza grabitatorio modura ezagutzen da. Efektua lehendabiziko aldiz Einstein-ek deskribatu zuen 1907an (bere erlatibitatearen teoria osoaren argitarapena baino lehenago).
thumb|Espektro elektromagnetikoa. Ikusi daitekeenez, gorriranzko lerrakuntza batek uhin-luzeraren handiagotzea dakar. Kontra efektuan berriz (urdineranzko lerrakuntza), uhin-luzeraren txikitzea ikusi daiteke

Gorriranzko lerrakuntza grabitatorioa aldiberekotasunaren printzipioaren (grabitatea eta azelerazioa baliokideak direla eta gorriranzko lerrakuntza Doppler efektuagatik gertatzen dela) ondorio baten modura ikusi daiteke (edota masa-energiaren baliokidetasuna bezela). Bestetik, denbora grabitazionalaren zabalkuntza modura ikusi daiteke erradiazio iturrian: erradiazio elektromagnetikoa sortzen duten bi osziladore potentzial grabitatorio ezberdinetan badaude, potentzialaltuenean dagoen osziladoreak oszilazio gehiago egiten dituela emango du.

Lehen hurbilketa batean, gorriranzko lerrakuntza grabitazionala potentzial diferentziaren eta argiaren abiaduraren arteko zatiduraren proportzionala da; efektu oso txiki batean bukatzen duena. 1911an Einsteinek Eguzkitik ateratzen den argia 2 ppm-tan gorriranzko lerrakuntza izango zuela aurreikusi zuen. 20.000 km-tara orbitatzen duren GPS sateliteen nabigazio seinaleak urdinerantz lerratuta ikusten dira 0,5 ppb-tan.
thumb|Esne Bideko Eguzki Sistema. Bertan, ezagunak diren planetak Ikusi daitezke. Horien artean, Lur planeta. Bertan, gorriranzko lerrakuntza grabitatorioa behatu da. Beraz, erlatibitate orokorraren froga sendoa aurkezten du Eguzki Sistemak.
Gorriranzko lerrakuntza Eguzki Sisteman behatu izana erlatibitate orokorraren froga klasikoetako bat da. Gorriranzko lerrakuntza zehaztasun handiz neurtu izanak Lorentz-en simetriaren froga bat izan daiteke eta materia ilunaren bilaketan lagundu dezake.

## Baliokidetasun printzipioarengatik eta erlatibitate orokorrarengatik predikzioa 
### Eremu grabitazional uniformea edo azelerazioa 
Einstein-en erlatibitate orokorraren teoriak baliokidetasunaren printzipioa dakar zein hainbat modutara adierazi daitekeen. Horietako bat erorketa askean dagoen behatzaile batentzako efektu grabitatorioak lokalki detektaezinak direla da. Beraz, Lurreko gainazaleko laborategiko experimentu batean, efektu grabitatorio guztiak berdinak izan beharko lirateke laborategia espazioan *g* faktoreagatik azeleratua izango balitz bezela. Ondorioetako bat Doppler efektu grabitazionala da. Laborategi bateko lurretik argi pultso bat emititzen bada, erorketa askean dagoen behatzaile batentzako argi pultsoa zapaira iristerakoan zapaia berarengandik aldendu egin da eta beraz, zapaira itsatsita dagoen detektagailu batek behatzen duenean, Doppler efektu bat nabarituko du gorrirantz. Erorketa askean dagoen behatzailearentzako desplazamendu hau Doppler zinematikoa izango da, aldiz, laborategiko behatzaile batentzako gorriranzko lerrakuntza grabitazionala izango da. Honako efektua Pound-Rebka experimentuan egiaztatu zen 1959an. Honako kasu batean, eremu grabitatorioa uniformea den kasuan, uhin luzeraren aldaketa honen bidez dago emanda:

z=\Delta\lambda/\lambda\approx g\Delta y/c^{2}

Honako predikzioa zuzenean datorrenez baliokidetasun printzipiotik, ez du erlatibitate orokorreko tresnarik behar.

### Redshift-a eremu grabitatorio estatiko (ahul) batean 
Honako metrika izango dugu:

ds^{2} = -\left(1 + \dfrac{2\phi}{c^{2}}\right)dt^{2} + \dots + dx^{2} + dy^{2} non dt^{2}-ri laguntzen dion terminoa g_{00} denbora den. Demagun gu behatzaileak garela eta gurekin batera erlojua eramaten dugula. Guk daramagun erlojuarekin ezin dugu grabitazio efekturik behatu grabitazioak modu berean eragiten digulako. Beraz, ideia honakoa izango da: eremuaern puntu ezberdinetan dauden erlojuak aztertu eta beraien neurketak (edota erlatibitate berezian denbora propioak) konparatu. Definizioz, behatzaile baten desbora propioa honakoa izango da:

d\tau=1/c \sqrt{-\eta_{\mu\nu}dx^{*\mu} dx^{*\nu}}=1/c \sqrt{-g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}}=1/c\sqrt{-g_{\mu\nu}\dfrac{dx^{\mu}}{dt}\dfrac{dx^{\nu}}{dt}dt}
thumb|Poloetatik zapalduta dagoen elipsoide baten geodesikoak. Geodesikoak espazioko bi puntu ezberdin lotzen dituen lerro motzena da. Gainazal bat
Honen ondorioz, honakoa izango dugu dt=c\left(-g_{\mu\nu}\dfrac{dx^{\mu}}{dt}\dfrac{dx^{\nu}}{dt}\right)^{-1/2}d\tau.

Gainera, geldi duden erlojuen kasuan, honakoa betetzen da: \dfrac{dx^{i}}{dt} = 0 \Rightarrow dt=c\left(-g_{00}\left[\dfrac{d(ct)}{dt}\right]^{2}\right)^{-1/2}d\tau

Fotoia geodesika nulu batean barrena higitzen da iturritik detektagailura joaen geodesikoak egon daitezkeen lerro "zuzenenak" dira behin puntu bat eta norabide bat zehaztuak direla.teko.

Orain, kalkulatu dezagun zenbat denbora behar duen fotoiak iturritik detektagailura joateko. Horretarako, bi denboren arteko diferentzia kalkulatuko dugu integral baten bidez:

t_{D}-t_{I}=\int^{\sigma_{D}}_{\sigma_{I}}\dfrac{dt}{d\sigma}d\sigma=\int^{\sigma_{D}}_{\sigma_{I}}\dfrac{g_{ij} (\vec{x})}{-g_{00}}d\sigma. Ikusi daiteke adierazpen honek ez duela denboraren menpekotasunik. Honek esan nahi du fotoi guztien hegal denbora berdina dela. Beste modu batera esanda, \Delta t_{D}=\Delta t_{I}. Hau da, laborategiko sistematik neurtuta detektagailuak erritmo berdinarekin jasoko ditu fotoiak. Orain, definitu ditzagun detektagailuko eta iturriko denbora tarte horiek:

\Delta t_{I}=\dfrac{1}{\nu_{I}(-g_{00}(x_{I}))}

\Delta t_{D}=\dfrac{1}{\nu_{D}(-g_{00}(x_{D}))}

Berdinak izan behar direnez, honakoa beteko da: \dfrac{\nu_{I}} {\nu_{D}}=\sqrt{\dfrac{g_{00}(x_{D})}{g_{00}(x_{I})}}=1+z Bertan, z gorriranzko lerrakuntza izango da. Orokorrean, z honen Balioa positiboa izaten da eta sakoneraren ideia ematen du.

### Esferikoki simetrikoa den eremu grabitatorioa 
Eremua uniformea ez denean, kasurik errazena eta erabilgarriena esferikoki simetrikoa den eremu batena da. Kasu honetarako, emaitza maiztasunak eta uhin luzerak d\tau^{2}=(1-r_{s}/R)dt^{2}+\dots+d\tau dt r_{s}2GM/c^{2}GMc erlazioaren bidez lerratzen dira

1+z=\lambda_{\infty}/\lambda_{e}=(1-r_{s}/R_{e})^{-1/2}

non

* \lambda_{\infty} behatzaileak infinitutik neurturiko uhin luzera den
* \lambda_{e} iturritik neurturiko uhin luzera den
* R_{e} fotoia emititzen den erradioa den

Honakoa gorriranzko lerrakuntzaren parametroarekin erlazionatu daiteke: z=(\lambda_{\infty}/\lambda_{e})-1

#### Limite Newtondarra 
thumb|Schwarzschild-en erradioa oso lotuta dago zulo beltzekin. Izan ere, zulo beltz bat estatikoa bada (errotaziorik ez badu), eta haren eremu grabitatorioak simetria esferikoa badu, Schwarzschild-en erradioa argiak eremu horretatik atera ezin izango duen distantiza maximoa izango da. Erradio hori baino distantzia txikiagoetarako, inongo gorputzik ezin izango du ihes egin zulo beltzaren eremu grabitatoriotik.
Limite Newtondarrean, R_{e} Schwarzschild-en erradioarekin alderatuz nahiko handia denea, redshift-a modu honetara hurbildu daiteke:

z=\dfrac{\Delta \lambda}{\lambda}\approx 1/2 \dfrac{r_{s}}{R_{e}}=\dfrac{GM}{R_{e}c^{2}}=\dfrac{gR_{e}}{c^{2}}

non g azelerazio grabitatorioa den R_{e} puntuan. Infinitoarekiko Lurraren gainazalean, z-ren balioa 7 × 10−10 da. Ilargiaren kasuan, 3 × 10−11. Eguzkiaren gainazalerako, balioa 2 × 10−6-koa da. 

z-ren balioa R_{e} puntuko ihes abiaduraren menpe adierazi daiteke, potentzial grabitatorioa ihes abiaduraren erdiaren karratua delako:

z\approx 1/2 \left(\dfrac{v_{e}}{c}   \right)^{2}non v_{e} ihes abiadura den R_{e} puntuan.

z-ren balioa R_{e} puntuko abiadura zirkular orbitalaren bidez adierazi daiteke baita ere:

z \approx \left(\dfrac{v_{0}}{c}    \right)^{2} non v_{0} abiadura zirkular orbitala den.

## Frogapen experimentala 
### Behaketa astronomikoak 
Hainbat fisikarik aitortu dute gorriranzko lerrakuntza behatu izana eta WS Adams-ek 1925ean Sirio B izarrarean detektatu izana kontsideratu zen. Hala ere, Adams-en neurketak kritikatuak izan ziren bajuegiak izateagatik. Izar nini txuri baten lehendabiziko gorriranzko lerrakuntza Popper-ek lortu zuen 1954an, zeinek 21 km/s-ko gorriranzko lerrakuntza neurtu zuen 40 Eridani B-n. 2020an, zientzialari talde batek orain arteko neurketarik zehatzena egin zuen eguzkiaren gorriranzko lerrakuntzaren inguruan. Honakoa Ilargian islaturiko eguzkiaren izpien Fe gamma-ren lerro espektralak aztertuz egin zuten: 638 \pm 6 m/s balio teorikoa 633,1 m/s izanik. Eguzkiaren gorriranzko lerrakuntza grabitatorioa neurtzea zaila da Eguzkiaren gainazalaren mugimenduagatik sortzen den Doppler efektuagatik (orden antzekoak dituelako lerrakuntza grabitatorioarekin alderatuz.

### Lurretiko behaketak 
Orain efektua egiaztatua izan dela kontsideratuko da Pound, Rebka eta Sneider-engatik 1959 eta 1965 bitartean. 1959ko Pound-Rebka experimentuak marra espektralen gorriranzko lerrakuntza neurtu zuen Fe iturri bat erabiliz 22,5 m-ko altuerara. Lan hau fotoien uhin luzeraren aldakuntza kontuan hartu zuen lehen lana izan zen zeinek lehendabiziko aldiz gorriranzko lerrakuntza baieztatu zuen.

1976an gorriranzko lerrakuntzaren oso experimentu zehatza egin zen. Experimentu honetan, hidrogenozko erloju maser bat bridal zen kohete batean 10.000 km-ko altuerara eta haren abiadura Lurrean zegoen erloju identiko batekin alderatu zen. Gorriranzko lerrakuntza grabitatorioa frogatu zuen %0,007-an.
thumb|GPS hasierako sistemaren irudia. GPS sistemak redshift-a izan behar du kontutan neurketa ahalik eta zehatzenak egiteko. Bestela, posizioaren irakurketa okerra izan daiteke.
GPS (ingelesetik Global Positioning System) sistemarekin frogak egin daitezke baita ere, baina kontuan izan behar dute gorriranzko lerrakuntza grabitatorioa haien neurketetan. Lehen satelitea bidali zenean, eguneko 38 mikrosegundoko aldakuntza neurtu zuen. Desadostasun tasa hau nahikoa da GPS-en funtzionamenduan eragina izateko kontuan ez bada hartzen. Ashby 2003-an erlatibitate orokorrak jokatzen duen papera Ikusi daiteke GPS-aren funtzionamenduan.

2020an, Tokioko unibertsitateko ikerkuntza talde batek estrontzio-87 sare optikoa zuten bi ordularitan neurtu zuten gorriranzko lerrakuntza. Neurketa Tokioko dorrean izan zen non erlojuak 450 m-tara zeuden urrunduta bata bestetik. Gorriranzko lerrakuntza modu honetara adierazi daiteke:

z=\dfrac{\Delta\nu}{\nu_{1}}=(1+\alpha)\dfrac{\Delta U}{c^{2}}

non \Delta\nu redshift optikoa, \Delta U potentzial grabitatorioaren diferentzia eta \alpha erlatibitate orokorraren haustura faktorea den. Erloju optikoaren Ramsey espektroskopiaren bidez, bi erloju optikoen arteko gorriranzko lerrakuntza grabitatorioa 21,18 Hz-koa zela detektatu zuen ikerkuntza taldeak, z-ren 5\times 10^{10-14} balioari dagokiona.

## Teoriaren garapen historikoa 
Jon Michell-ek grabitate altuaren menpeko izarren argiaren ahultze grabitatorioa aurresan zuen 1783an baita Pierre-Simon Laplace-k 1796an Isaac Newtonek proposaturiko argiaren korpuskuluaren kontzeptuaren bidez. Bestetik, Johann Georg von Soldner-ek grabitateak argiaren gainean zuen efektua kalkulatu zuen desbideraketen kontextuan. Konturatu zen Eguzkitik iristen zitzaigun argia erlatibitate orokorraren testuinguruan desbideratu beharko litzatekeenaren erdia bakarrik desbideratzen dela. Hastapeneko lan guzti honek argi izpiak moteldu daitezkeela asumitu zuen, gaur egungo argi uhinen ulerpenarekin bat egiten duena.

Behin argia uhin elektromagnetikoa zela asumituta, argi geratu zen argiaren maiztasuna leku batetik bestera ezin zela aldatu, iturri batetik ateratzen diren uhinek maiztasuna mantentzen dutelako edonon. Ondorio hau ekiditzeko, denbora bera aldatzea izango litzateke, erlojuek puntu ezberdinetan abiadura ezberdinak izango balituzte.

Honakoa izan zen Einstein-en ondorioa 1911-n. Azelerazio kutxa bat suposatu zuen eta erlatibitate bereziaren teoria jarraituz, kutxaren beheko parteko (azeleraziotik urrunen zegoen puntua) erlojuaren maiztasuna kutxaren goiko parteko (azelerazioaren norabideko puntua) erlojuarena baino motelagoa zela azpimarratu zuen. Gaur egun, honakoa koordenatu azeleratuen bidez frogatu daiteke. Metrika tentsorea (argiaren abiadura unitatetzat hartuta):

ds^{2}=-r^{2}dt^{2}+dr^{2}

r konstante batera dagoen behatzaile batentzako, erloju batek "tik-tak" egiten duen abiadura, R(r), denboraren koefizientearen erro karratua izango da, R(r)=r. r posiziono azelerazioa r puntuko hiperbolaren kurbaduraren berdina izango da.

Beraz, g balio finko batentzako, azelerazio kutxa baten goiko zatiaren eta beheko zatiaren "tik-tak"-aren zatidura (proportzioan) honakoa izango da:

\dfrac{R(r+dr)-R(r)}{R}=\dfrac{dr}{r}=gdr

Abiadura handiagoa da geroz eta R-ren balio handiagoetarako. Tasa nuloa da r=0 posizioan, azelerazio horizontearen kokalekua hain zuzen ere. Baliokidetasun printzipioa erabiliz, Einstein-ek esan zuen berdinak balio zuela eremu grabitatorio baterako, hau da, erlojuen abiadurak g eremu grabitazionalaren bidez aldatu zirela. Eremu grabitatorioa, g, lausoki aldatzen bada, honek "tik-tak"-aren tasaren aldaketa frakzionalaren tasa ematen du. "Tik-tak"-aren tasa berdina bada leku guztietan, aldaketaren tasa frakzionala berdina izango da aldakuntza tasa absolutoarekin alderatuz. Beraz:

\dfrac{dR}{dx}=g=-\dfrac{dV}{dx}

Erlojuen abiadurak eta potentzial grabitatorioak deribatu berdina dutenez, konstante bat kenduta dira berdinak. Konstantea erlojuaren maiztasuna infinitoan 1 izateko aukeratzen da. Potentzial grabitatorioa zero denez infinituan:

R(x)=1 -\dfrac{V(x)}{c^{2}}

Metrika tentsorearen koefizientea erlojuaren maiztasunaren karratua da, zein potentzialaren balio txikietarako dt^{2} termino lineala bakarrik mantenduz lortzen den.

R^{2}=1-2V

eta metrika tentsore totala:

ds^{2}=- \left(1-\dfrac{2V(r)}{c^{2}}\right)c^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}

Honako adierazpen hau erlatibitate orokor osoan da zuzena, metrika tentsorearen espazio-espazio eta espazio-denbora terminoen aldakuntzak arbuiatuz eta eremu grabitatorioaren orden baxuenean (oso azkar mugiesen diren objetuen gainean eragiten dituzte eta).

Honako hurbilketa erabiliz, Einstein-ek argiaren desbideraketaren balio okerra lortu zuen 1909an. Hala ere, argi izpia oso azkar higitzen den objektua denez, espazio-espazio terminoek ere eragina dute. 1916an erlatibitate orokorraren teoria osoa garatu ondoren, Einstein-ek espazio-espazio terminoak ebatzi zituen hurbilketa post-Newtondar batean eta argiaren desbideraketaren kantitate zuzena kalkulatu zuen: balio Newtondarraren bikoitza. Einstein-en predikzioa experimentu askoren bidez egiaztatua izan zen.

Erlojuen tasa aldakorrek mugitzen diren uhinen maiztasunaren aldakuntzaren berri eman zioten Einstein-i. Maiztasunaren aldaketak kalkulatzeko eremu grabitatorio ia estatiko batean, metrika tentsorearen denbora osagaia garrantzitsua da bakarrik, eta orden baxueneko hurbilketa izar eta planetentzako nahikoa zehatza da.

## Gorriranzko lerrakuntza grabitazionalaren aplikazioak 
Teorikoa den zerbait izatetik gain, gorriranzko lerrakuntza grabitazionalak edota era ezagunago batean ,"redshift", aplikazio asko ditu. Horien artean, gaur egungo eredu estandarraren bultzada. 

Eredu estandarrarentzako egonkortasun berri bat aurkezten da barioien oszilazio akustikoak erabiliz (BAO ingelesezko siglak) eta redshift-aren espazio distortsioak (RSD ingelesezko siglak) neurtzen dira galaxien redshift-etatik. Zehazki, f\sigma_{s}(z)-ren puntako posizioa zehazten da RSD-k ahalbidetzen duen redshift-aren bidez, eta BAO-k egindako neurketarekin alderatzen da.

### Sarrera 
Eredu estandarrean materia ilunak eta konstante kosmologikoak berebiziko garrantzia dute zeintuzek haien energia dentsitateak 1/3 eta 2/3-koak diren hurrenez hurren. Nahiz eta eredu hau behaketa gehienengatik babestuta dagoen, erronka du "Hublle-en krisia"-ren ondorioz.

Kontextu honetan, eredu estandarrarentzako beste egonkortasun froga bat proposatzen da Galaxien espektroskopiaren bidez ahalbidetutakoak. Metodo berria aurkeztuko da haren emaitza nagusiekin.

### Metodologia 
#### Ideia eta prozedura 
Materia dentsitatearen parametroaren eboluzio erlazio ezagunetatik hasiko gara

\Omega_{M}(a)=\dfrac{\Omega_{M,0}}{a^{3}}\left[\dfrac{H_{0}}{h(a)}\right]^{2}

f(a)\equiv\dfrac{dlog \delta(a)}{dloga}=\Omega_{M}^{\gamma}(a)

\sigma_{s}(a)\propto \delta(a)

non H parametroak unibertsoaren zabalkuntza adierazten duen, \Omega_{M} materia dentsitatearen frakzioa den, \delta materiaren gain-dentsitatea eta \sigma_{s} materiaren fluktuazioen rms (root-mean-square) den. Parentesi artean dauden terminoek redshifteko balioak direla esan nahi dute. Lehenengo eta hirugarren ekuazioak elkartuz, honakoa lortzen da:

\dfrac{(f\sigma_{s})'}{f\sigma_{s}}=1/a(\Omega_{M}^{\gamma}(a)-\gamma[1-2q(a)])

non prima-k eskala faktorearekiko deribatua adierazten duen. Bertan, q dezelerazio parametroa da q\equiv-\ddot{a}a/\dot{a}^{2} non puntuak denborarekiko deribatua adierazten duen.

Azken ekuazioari erreparatuz gero, f\sigma_{s} funtzioak maximo bat du a (baita z-n ere) puntuan redshift zehatz baterako a=a_{p} deituko duguna honakoa betetzen bada:

\Omega_{M}^{\gamma}(a_{p})=\gamma[1-2q(a_{p})]=3\gamma[1-\Omega_{M}(a_{p})]

Ikusteko ea f\sigma_{s} funtzioaren maximoa existitzen den kosmologia ezberdinetarako, \gamma indizearen hazkuntza ahalbidetzen dugu, energia ilunaren w ekuazioa (konstantetzat onartuz), eta gaur egungo materia dentsitatearen frakzioa \Omega_{M,0} izanik.

#### Emaitzak 
BAO eta RSD simulazioek emandako emaitzak aurkeztuko dira. Hainbat eredu ezberdinak ikusiko dira eta haien emaitzak:

* 1. eredua: w=-1,\gamma=6/11 (\Lambda CDM)
* 2. eredua: w=-1,\gamma=0.45
* 3. eredua: w=-1,\gamma=0.65
* 4. eredua: w=-0.8,\gamma=0.65

Honako emaitza hauek 18 redshift balio ezberdinak erabiliz lortuak izan dira. Esanguratsua da w=1,\gamma=0.45 \text{ eta } w=1,\gamma=0.65 desadostasun bat dagoela 2\sigma \text{ eta } 4\sigma balioen inguruan redshift-en balioetan.

## Erreferentziak 
## Kanpo estekak