Plano

Geometrian, **planoaren ekuazioak** hiru dimentsioko espazioan plano bat osatzen duten puntu guztiak ditu soluzio. Adibidez **x+y+z-6=0** planoko soluzio guztiak (besteak beste, **(x=2,y=2,z=2), (x=3, y=2, z=1), (x=4, y=1, z=1)**) hiru ardatzeko diagrama kartesiar irudikatzen badira, plano bat sortuko da.

Plano bat zenbait eratara finka daiteke:

* kolinealak edo zuzen berekoak ez diren hiru puntu emanez;
* puntu bat eta planoarekiko normal edo elkarzuta izango den bektore baten bitartez;
* puntu bat eta planoaren norabidea emango duten bi bektore zuzentzaile eta elkarrekiko independente emanez.

## Ekuazio bektoriala 
Planoko hiru puntuak (x_0,y_0,z_0),(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)\, izanik, planoa osatzeko behar diren bi bektore zuzentzaileak honela eman daitezke:

:\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3)=(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)\,
:\mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3)=(x_2-x_0,y_2-y_0,z_2-z_0)\,

Horrela, hau izango da planoaren ekuazio bektoriala:

\begin{align}
\mathbf{x}=(x,y,z)&=\mathbf{x}_0+\lambda\mathbf{u}+\mu\mathbf{v}=\\
&=(x_0,y_0+z_0)+\lambda(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)+\mu(x_2-x_0,y_2-y_0,z_2-z_0).
\end{align} 

Planoko puntuak \lambda,\ \mu\, parametroei edozein balio erreal emanez sortzen dira.

## Ekuazio parametrikoak 
Ekuazio bektoriala deskonposatuz eratzen dira ekuazio parametrikoak:

:x=x_0+\lambda(x_1-x_0)+\mu(x_2-x_0)\,
:y=y_0+\lambda(y_1-y_0)+\mu(y_2-y_0)\,
:z=z_0+\lambda(z_1-z_0)+\mu(z_2-z_0)\,

Ekuazio bektorialean bezala, \lambda,\ \mu\, parametroei edozein balio erreal emanez, planoko *(x,y,z)* puntuak sortuko dira.

## Ekuazio orokorra 
Ekuazio bektorialetik abiatuz, hau betetzen denez:

:\mathbf{x}-\mathbf{x}_0=\lambda\mathbf{u}+\mu\mathbf{v}\,,

honako determinante honetan lehenengo zutabea bigarren zutabearen eta hirugarren zutabearen konbinazio lineala denez, determinantearen balioa 0 da:

:
\left|
\begin{array}{ccc}
x-x_0 & x_1-x_0 & x_2-x_0\\
y-y_o & y_1-y_0 & y_2-y_0\\
z-z_0 & z_1-z_0 & z_2-z_0\\
\end{array} \right|=0.

Determinantea garatuz eta 0 baliora berdinduz, ekuazio orokor, kartesiar edo inplizitua lortzen da:

:Ax+By+Cz+D=0\,

Planoko (x,y,z)\, puntu bat x,y\, aldagaiei balio erreal bat eman eta ondoren z\, balioa bakanduz lortuko da.

## Ekuazio normala 
Bitez \mathbf{P}_0=(x_0,y_0,z_0)\, planoko puntu bat eta \mathbf{n}=(a,b,c)\, planoarekiko normala edo elkarzuta den bektore bat. Orduan, \mathbf{P}=(x,y,z)\, planoko edozein punturentzat hau betetzen da:

:\vec{PP_0}\mathbf{n}=0\,

Garatuz, planoaren ekuazio normala lortzen da:

:\mathbf{n}\vec{PP_0}=a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=ax+by+cz+d=0\, ,

non d=-ax_0-by_0-cz_0\,.

Planoko (x,y,z)\, puntu bat x,y\, aldagaiei balio erreal bat eman eta ondoren z\, balioa bakanduz lortuko da.

Beraz, ekuazio orokorrarekin alderatuz, ekuazio okorreko A,B,C\, parametroek planoarekiko normala den bektore bat osatzen dute.

## left|24px Ariketak 

Fitxategi:Nola kalkulatu punto batetik plano batera dagoen distantzia?  SELEKTIBITATEA 2020.webm|thumbtime=3|**Puntu** batetik **plano** batera dagoen distantzia kalkulatzeko ariketa.
Fitxategi:Nola jakin plano bat eta zuzen bat paraleloak diren  SELEKTIBITATEA 2020.webm|thumbtime=3|**Plano** bat eta **zuzen** bat paraleloak diren jakiteko ariketa.
Fitxategi:Nola egin zuzen bat 2 puntutatik pasatzen dena eta plano batekiko paralelo denakSELEKTIBITATEA 2020.webm|thumbtime=3|Bi puntutatik pasatzea **zuzen** bat eta plano baten **paraleloa** izatea.

## Ikus gainera 
* Plano inklinatua

## Kanpo estekak