Banach-Tarskiren paradoxa

**Banach-Tarskiren paradoxa** multzo-teoriaren geometrian dagoen teorema bat da, eta hau dio: bola solido bat emanda hiru dimentsioko espazioan, badago bolaren deskonposizio bat azpimultzo disjuntuen kopuru finituan, zeinak elkar daitezkeen jatorrizko bolaren bi kopia berdin emateko. Izan ere, birmuntatze-prozesuak piezak bere inguruan mugitzea eta biratzea besterik ez du eskatzen, jatorrizko forma aldatu gabe. Piezak berez ez dira "solidoak" zentzu tradizionalean, puntuen sakabanaketa infinituak baizik. Berreraikuntzak baita bost piezako kopuru txikiarekin ere funtzionatzen du.

Teoremaren beste forma batek batek dio "zentzuzko" edozein bi objektu solido emanda (bola txiki bat eta bola erraldoi bat, adibidez), batetik moztutako piezak berriro mihizta daitezkeela bestea eraikitzeko. Hori askotan honela azaltzen da informalki "Ilar bat xeha daiteke eta berriro munta daiteke Eguzkia eraikitzeko" eta "**Ilarraren eta Eguzkiaren paradoxa**' deitzen zaio.

Teorema benetako paradoxa bat da: oinarrizko intuizio geometrikoaren aurka egiten du, baina ez da faltsua edo bere buruarekin kontraesankorra. "Bola bikoiztea", zatika zatituz eta biraketez eta translazioz mugituz, luzatu, tolestu edo puntu berriak gehitu gabe, ezinezkoa dirudi, eragiketa horiek guztiek, intuizioz, bolumena gorde behar baitute. Eragiketa horiek bolumena gordetzen dutelako intuizioa ez da matematikoki zentzugabea, eta bolumenaren definizio formalean ere sartzen da. Baina hori ez da hemen aplikagarria, kasu honetan ezinezkoa delako erabilitako azpimultzoen bolumenak definitzea. Berriro muntatzeak multzo bat sortzen du, eta multzo horren bolumena definituta dago, baina hasierako bolumenetik ezberdina da.

Geometriako teorema gehienetan ez bezala, emaitza horren froga matematikoa multzo-teoriarako axiomen aukeraketaren mende dago. Hautapen-axioma erabiliz froga daiteke, multzo ez-neurgarriak eraikitzea ahalbidetzen duena, hau da, zentzu arruntean bolumenik ez duten puntu-bildumak, eta horien eraikuntzak hautapen-kopuru zenbakiezina eskatzen du.

2005ean frogatu zen deskonposizioan dauden piezak modu jarraituan lekuz aldatzeko moduan aukera daitezkeela, bata bestearekin topo egin gabe.

Leroy-k eta Simpson-ek modu independentean frogatu zuten moduan, Banach–Tarskiren paradoxak ez ditu bolumenak urratzen espazio topologikoekin baino lokalekin lan egiten bada. Multzo abstraktu horietan, posible da oraindik hutsik ez diren punturik gabeko azpiespazioak izatea. Deskonposizio paradoxikoaren piezek elkar ebakitzen dute lokalen zentzuan, halako moduan non ebakidura horietako batzuei masa positiboa eman beharko litzaiekeen. Ezkutuko masa hori kontuan hartzea ahalbidetuz, lokalen teoriak espazio euklidearreko azpimultzo guztiak (eta baita azpilokal guztiak ere) behar bezala neurtzea ahalbidetzen du.

## Banachen eta Tarskiren argitalpena 
1924an argitaratutako lan batean, Stefan Banachek eta Alfred Tarskik **deskonposizio paradoxiko** horren eraikuntza bat eman zuten, Giuseppe Vitalik unitate-tarteari buruz aurretik egindako aurreko lanean eta Felix Hausdorffen esferaren deskonposizio paradoxikoetan oinarrituta, eta hainbat dimentsiotako espazio euklidearren azpimultzoen deskonposizioei buruzko kontu erlazionatu batzuk eztabaidatu zituzten. Honako baieztapen orokorrago hau frogatu zuten, **Banach-Tarskiren paradoxaren forma sendoa**:

: Gutxienez hiru dimentsioko espazio euklidear bateko  eta  azpimultzo bornatu bana emanda, biek barnealde ez-hutsa dutelarik, -ren eta -ren azpimultzo disjuntu kopuru finituko partizioak daude, A=A_1 \cup \cdots\cup A_k, B=B_1 \cup \cdots\cup B_k (zenbaki oso batentzat), non,  eta  arteko  (zenbaki oso) bakoitzeko,  eta  multzoak kongruenteak dira.

Orain, izan bedi  jatorrizko bola eta  jatorrizko bolaren bi kopien translazioen bildura. Orduan, proposizioak esan nahi du jatorrizko  bola pieza kopuru jakin batean zatitu daitekeela eta, ondoren, biratu eta mugitu, halako eran non emaitza  multzo osoa den, -ren bi kopia dituena.

Banach-Tarskiren paradoxaren forma sendoa faltsua da bat eta bi dimentsioetan, baina Banachek eta Tarskik frogatu zuten antzeko baieztapen batek egia izaten jarraitzen duela azpimultzo zenbakigarri asko asko onartzen badira. Alde batetik 1 eta 2 dimentsioen eta bestetik 3 eta handiagoen arteko aldea, 3 dimentsioko higidura euklidearren  taldearen egitura aberatsagoaren ondorioa da. n = 1, 2 kasurako talde ebazgarria da, baina n ≥ 3 kasurako bi sortzaile dituen talde aske bat dauka, bi sorgailurekin. John von Neumannek deskonposizio paradoxikoa posible egiten duten baliokidetasun-taldearen propietateak aztertu zituen, eta talde amenableen nozioa sartu zuen. Paradoxaren forma bat ere aurkitu zuen planoan, ohiko kongruentzien ordez azalera gordetzen duten transformazio afinak erabiltzen dituena.

Tarskik frogatu zuen talde amenableak direla, hain zuzen ere, deskonposizio paradoxikorik ez dutenak. Banach-Tarskiren paradoxan azpitalde askeak besterik behar ez denez, horrek von Neumannen aspaldiko aierua ekarri zuen, 1980an gezurtatu zena.

## Tratamendu formala 
Banach-Tarskiren paradoxak dioenez, espazio euklidear arruntean bola bat bikoiztu egin daiteke azpimultzoetan zatitzeko, multzo bat multzo kongruente batez ordezkatzeko eta berriro mihiztatzeko eragiketak soilik erabiliz. Bere egitura matematikoa asko argitzen da, mugimendu euklidearren taldeak jokatzen duen papera azpimarratuz eta **multzo ekideskonposagarrien** eta multzo paradoxikoen nozioak sartuz. Demagun   multzo baten gainean eragiten duen taldea dela. Kasu berezi garrantzitsuenean,   dimentsioko espazio euklidearra da ( osorako), eta  -ren isometria guztiek osatzen dute, hau da, distantziak gordetzen dituzten -ren bere baitako eraldaketak, eskuarki  bezala izendatuak. Elkar transforma daitezkeen bi irudi geometrikori kongruente deritze, eta terminologia hori -akzio orokorrera zabalduko da. -ren  eta  bi azpimultzori biri **-ekideskonposagarri** deritze, edo **-rekiko ekideskonposagarri**,  eta  hurrenez hurren -kongruenteak diren piezen kopuru finitu berean zatitu badaitezke. Horrek baliokidetasun-erlazio bat definitzen du -ren azpimultzo guztien artean. Formalki, A_1, \dots, A_k, B_1, \dots, B_k multzo ez-hutsak badaude, non

:
A=\bigcup_{i=1}^k A_i, \quad B=\bigcup_{i=1}^k B_i,

:\quad A_i\cap A_j=B_i\cap B_j=\emptyset\quad1 \leq i 

baitira eta existitzen badira g_i \in G elementuak, non

:g_i(A_i) = B_i \quad 1 \le i \le k \text{ guztietarako,}

baitira, esan daiteke  eta  -ekideskonposagarriak direla  pieza erabiliz.  multzo batek  eta  azpimultzo disjuntu bi baditu, non  eta , baita  eta  ere, -ekidekonposagarriak diren, orduan -ri **paradoxikoa** deritzo.

Terminologia hori erabiliz, Banach-Tarskiren paradoxa honela birformulatu daiteke:

:Hiru dimentsioko bola euklidear bat bere buruaren bi kopiarekin ekidekonposagarria da.

Izan ere, emaitza zorrotza dago kasu honetan, Raphael M. Robinsonen esker: baloia bikoiztea bost piezarekin lor daiteke, eta bost pieza baino gutxiago ez dira nahikoa izango.

Paradoxaren bertsio sendoak hau dio:

:3 dimentsioko espazio euklidearreko edozein bi azpimultzo bornatu, barnealde ez-hutsekin, ekideskonposagarriak dira.

Itxuraz orokorragoa bada ere, baieztapen hori bola baten bikoizketatik eratortzen da modu sinplean, Banach-i zor zaion Bernstein-Schroederren teoremaren orokortze bat erabiliz; horrek esan nahi du  -ren azpimultzo batekin ekideskonposagarria bada eta  -ren azpimultzo batekin ekideskonposagarria bada, orduan  eta  ekideskonposagarriak direla.

Banach-Tarskiren paradoxa testuinguruan jar daiteke adieraziz paradoxaren forma sendoan dauden bi multzorentzat beti dagoela funtzio bijektibo bat, forma bateko puntuak bestean banan-banan aplikatu ditzakeena. Georg Cantorren multzo-teoriaren hizkuntzan, bi multzo horiek kardinalitate berdina dute. Horrela, batek taldea handitzen badu -ren hautazko bijekzioak ahalbidetzeko, orduan barnealdea hutsik ez duten multzo guztiak kongruente bihurtzen dira. Era berean, bola bat bola handiago edo txikiago batean egin daiteke luzapenen bidez, edo bestela esanda, antzekotasun-transformazioak aplikatuz. Hori dela eta,  taldea nahikoa handia bada, "tamaina" desberdina duten -multzo ekideskonposagarriak aurki daitezke. Gainera, multzo zenbakigarri bat bere buruaren bi kopiatan deskonposa daitekeenez, espero liteke pieza asko erabiliz trikimailua nolabait egin litekeela.

Bestalde, Banach-Tarskiren paradoxan, pieza kopurua finitua da, eta onartutako baliokidetasunak kongruentzia euklidearrak dira, bolumenak gordetzen dituztenak, baina, nolabait, bolaren bolumena bikoizten dutenak. Hori benetan harrigarria bada ere, deskonposizio paradoxikoan erabiltzen diren pieza batzuk multzo ez-neurgarriak dira, eta, beraz, bolumenaren nozioa (zehatzago esanda, Lebesgueren neurria) ez dago haientzat definituta, eta partiketa ezin da modu praktikoan gauzatu. Izan ere, Banach-Tarskiren paradoxak frogatzen du ezinezkoa dela hiru dimentsioko (eta handiagoko) espazio euklidear baten azpimultzo guztietan definitutako neurri finituki batukor bat (edo Banachen neurri bat) aurkitzea, mugimendu euklidearrekiko inbariante dena eta bat balioa hartzen duena unitate kubo batean. Bere ondorengo lanean, Tarskik erakutsi zuen, alderantziz, mota honetako deskonposizio paradoxikorik ez egoteak neurri finituki inbariante baten existentzia dakarrela.

Jarraian aurkezten den paradoxaren "bola bikoiztea" formaren frogaren funtsa honako hau da: isometria euklidear baten bidez (eta elementuak berrizendatuz), multzo jakin bat (funtsean, unitate esfera baten azalera) lau zatitan bana daitekeela, eta, ondoren, horietako bat biratu, bera gehi beste zatietako bi bihurtzeko. Hau nahiko erraz jarraitzen da -ren deskonposizio paradoxiko batetik, bi sortzaile dituen talde askea. Banach eta Tarskiren froga Hausdorffek urte batzuk lehenago aurkitutako antzeko egitate batean oinarritu zen: espazioko unitate esfera baten gainazala hiru  multzoren eta  multzo zenbakigarri baten bildura disjuntua da, halako moldez non, alde batetik,  binaka kongruenteak diren, eta, bestetik,  -ren eta -ren bildurarekin kongruentea den. Honi Hausdorffen paradoxa deitzen ohi zaio.

## Aurreko lanarekiko lotura eta hautapen-axiomaren rola 
Banachek eta Tarskik esplizituki aitortzen dute Giuseppe Vitalik 1905ean eraiki zuen eta bere izena daraman multzoa, Hausdorffen paradoxa (1914) eta Banachen 1923ko artikulu bat beren lanaren aitzindari gisa. Vitali eta Hausdorffen eraikuntzak Zermeloren hautapenaren axiomaren ("**HA**") araberakoak dira, eta hori ere erabakigarria da Banach–Tarskiren artikuluan, bai haien paradoxa frogatzeko, bai beste emaitza baten frogagatik:

:Bi poligono euklidear, batak bestea hertsiki daukana, ez dira ekideskonposagarriak.

Errebindikatzen dute:
: 
: (Gure arrazoiketetan axioma honek jokatzen duen paperak arreta merezi duela iruditzen zaigu)

Adierazi dute, bigarren emaitza intuizio geometrikoarekin guztiz bat datorren bitartean, bere frogapenak **HA** paradoxaren frogapena baino are modu sendoagoan. Beraz, Banachek eta Tarskik aditzera eman dute **HA** ez dela baztertu behar soilik deskonposizio paradoxikoa sortzen duelako, horrelako argumentuak geometrikoki intuitiboak diren enuntziatuen frogapenak ere ahultzen baititu.

Baina 1949an, A. P. Morse-k erakutsi zuen poligono euklidearrei buruzko baieztapena **ZF** multzo-teorian froga daitekeela eta, beraz, ez duela hautapen-axioma behar. 1964an, Paul Cohen-ek frogatu zuen hautapenaren axioma independentea dela **ZF**tik, hau da, ezin dela frogatu **ZF**tik. Hautapen-axioma baten bertsio ahulago bat mendeko hautapenaren axioma da, **MH**, eta frogatu da **MH** ez dela nahikoa Banach-Tarskiren paradoxa frogatzeko, hots,

:Banach-Tarskiren paradoxa ez da **ZF**ren teorema bat, ezta **ZF**+**MH**rena ere, haien tinkotasuna onartuz. Janusz Pawlikowskik Banach-Tarskiren paradoxa **ZF**tik eta Hahn-Banachen teorematik lortzen dela frogatu zuen. Hahn-Banachen teorema ez da aukeraketaren axioma osoan oinarritzen, baina ultrairagazkiaren lema deritzon **HA**ren bertsio ahulago bat erabiliz froga daiteke.

## Frogapenaren eskema 
Hemen Banachek eta Tarskik emandakoaren antzekoa baina ez berdina den froga bat eskematizatzen da. Funtsean, bolaren deskonposizio paradoxikoa lau urratsetan lortzen da:

# Bi sortzailetan talde askearen deskonposizio paradoxikoa aurkitzea.
# Aurkitu bi sortzailetan talde askearekiko isomorfoa den 3D espazioko biraketa-talde bat.
# Talde horren deskonposizio paradoxikoa eta hautapen-axioma erabiltzea unitate esfera hutsaren banaketa paradoxikoa eragiteko.
# Esferaren deskonposizio hori unitate-bola solidoaren deskonposizio batera zabaltzea.

Ondoren, zehatzago aztertuko dira urrats horiek.

### 1. urratsa 
, *S*(*a*) eta *aS*(*a*&minus;1) multzoetan deskonposizioa erakusten duena. Grafikoaren ertz horizontal bat eskuinerantz zeharkatzeak *F*2 taldearen elementu baten ezkerretik biderkatzea adierazten du *a*-rekin; ertz bertikal bat gorantz zeharkatzeak *F*2 taldearen elementu baten ezkerretik biderkatzea adierazten du *b*-rekin. *S*(*a*) multzoko elementuak puntu berdeak dira; *aS*(*a*&minus;1) multzoko elementuak puntu urdinak edo ertz urdineko puntu gorriak dira. Ertz urdineko puntu gorriak *S*(*a*&minus;1) multzoko elementuak dira, eta hori *aS*(*a*&minus;1) multzoaren azpimultzo bat da.]]

Bi sortzaile *a* eta *b* dituen talde askea *a*, *a*−1, *b* eta *b*−1 lau sinboloetatik osatutako kate finitu guztiek osatzen dute; non *a* ez den zuzenean agertzen *a*−1 ondoan, eta ez dela *b* ez den zuzenean agertzen *b*−1 ondoan. Halako bi kate elkartu daitezke eta mota horretako kate bihurtzen dira, behin eta berriz “debekatutako” azpikateak kate hutsarekin ordezkatuz. Adibidez: *abab*−1*a*−1 eta *abab*−1*a* elkartzean *abab*−1*a*−1*abab*−1*a* lortzen da , zeinak *a*−1*a* azpikatea daukan eta *abab*−1*bab*−1*a* katera laburtzen den, zeinak *b*−1*b* azpikatea daukan eta *abaab*&minus;1*a* katera laburtzen den. Egiazta daiteke eragiketa horrekin kate horien multzoak talde bat osatzen duela, identitate elementua *e* kate hutsa izanik. Talde hori *F*2 deitu ohi da.

F_2 taldea “paradoxikoki deskonposa” daiteke honela: izan bedi *S*(*a*) *a*-rekin hasten diren kate guztien F_2 azpimultzoa, eta era berean definitu *S*(*a*−1), *S*(*b*) eta *S*(*b*−1). Argi dago:
:F_2=\{e\}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1})
baina baita ere
:F_2=aS(a^{-1})\cup S(a), 
eta
:F_2=bS(b^{-1})\cup S(b), 
non *aS*(*a*−1) notazioak esan nahi duen *S*(*a*−1) multzoko kate guztiak hartu eta ezkerrean *a* gehitzea.

Hori da frogaren funtsa. Adibidez, aS(a^{-1}) multzoan aa^{-1}b katea egon daiteke. Arauaren arabera a ezin denez a^{-1}-ren ondoan agertu, katea b bihurtzen da. Antzera, aS(a^{-1}) multzoak a^{-1} sinboloarekin hasten diren kate guztiak biltzen ditu (adibidez, aa^{-1}a^{-1} katea a^{-1}-era katera laburtzen dena).
Modu honetan, aS(a^{-1}) multzoak b, b^{-1} eta a^{-1} sinboloekin hasten diren kate guztiakbarne hartzen ditu, baita e kate hutsa ere.

*F*2 taldea lau zatitan banatu da (eta {*e*} elementu bakartia), gero horietako bi “mugitu” dira *a* edo *b*-rekin biderkatuz, eta ondoren bi zatitan “berreraiki” dira, bakoitza F_2 baten kopia bihurtuz. Printzipio bera aplikatzen zaio bolari.

### 2. urratsa 
3D espazioko talde aske bat aurkitzeko, hau da, *F*2 talde aske bezala portatzen dena (edo “isomorfo” dena), bi ardatz ortogonal hartzen dira (adibidez, *x* eta *z* ardatzak). Ondoren, ''* hartzen da \theta = \arccos\left(\frac{1}{3}\right) angeluko biraketa gisa *x* ardatzaren inguruan, eta  angelu bereko biraketa gisa *z'' ardatzaren inguruan (π-ren multiplo irrazionalen bikote egoki asko ere erabil daitezke hemen).

 eta '** biraketek sortzen duten taldea **H** deituko dugu. Har dezagun **H'* taldeko \omega elementu bat, *z* ardatzaren inguruko biraketa positibo batekin hasten dena, hau da, \omega=\ldots b^{k_3}a^{k_2}b^{k_1} formako elementua, k_1>0,\ k_2,k_3,\ldots,k_n\ne0,\ n\ge1 izanik. Indukzioz frogatu daiteke \omega elementuak (1,0,0) puntua \left(\frac k {3^N}, \frac{l\sqrt 2}{3^N}, \frac m {3^N}\right) puntura eramaten duela, non  k,l,m \in \mathbb Z, N \in \mathbb N. k,l eta m 3-moduluan aztertuta, l\neq 0 dela frogatzen da. Argumentu bera (problemaren simetriagatik) balio du \omega *z* ardatzaren inguruko biraketa negatibo batekin edo *x'' ardatzaren inguruko biraketa batekin hasten denean. Horrela, \omega '**-ren eta -ren hitz ez-nabari baten bidez adierazten bada, \omega \neq e.
Beraz, **H'* taldea talde aske bat da, *F*2-ren isomorfoa.

Bi biraketa horiek *F*2 taldeko *a* eta *b* elementuek bezala jokatzen dute: orain, **H** taldearen deskonposizio paradoxikoa dugu.

Urrats hau ezin da egin bi dimentsiotan, hiru dimentsioko biraketak behar direlako. Ardatz beraren inguruko bi biraketa ez-nabari hartzen badira, sortutako taldea \mathbb{Z} da (bi angeluren arteko erlazioa arrazionala bada) edo bi sortzaileko talde *abeldar* askea; bi kasuetan, lehen urratsean behar zen propietatea falta da.

Talde ortogonal berezi batzuetan, talde askeak existitzen direlako beste froga batek, kuaternioi integralak erabiltzen dituenak, biraketa-taldearen deskonposizio paradoxikoetara darama.

### 3. urratsa 
Unitate esfera *S*2 orbitaetan zatitzen da gure **H** taldearen akzioaren bidez: bi puntu orbita berekoak dira baldin eta soilik baldin **H**-ko biraketa batek puntu bat bestera eramaten badu. (Kontuan izan puntu baten orbita multzo dentso bat dela *S*2-an.) Hautapen-axioma erabil daiteke orbita bakoitzeko puntu bat hautatzeko; puntu horiek *M* multzo batean biltzen dira. **H**-ren akzioa orbita jakin batean libre eta iragankorra da, eta, beraz, orbita bakoitza **H**-rekin identifika daiteke. Beste modu batera esanda, *S*2-ko puntu bakoitza lor daiteke modu bakar batean, **H**-ko biraketa egokia aplikatuz eta dagokion *M*-ko elementuari. Horren ondorioz, **H**-ren deskonposizio paradoxikoak S2-ren deskonposizio paradoxiko bat ematen du, *A*1, *A*2, *A*3, *A*4, lau zatietan banatuta, honela:

:A_1=S(a)M \cup M \cup B,
:A_2=S(a^{-1})M \setminus B,
:\displaystyle A_3=S(b)M,
:\displaystyle A_4=S(b^{-1})M,

non

:S(a)M = \{s(x) | s \in S(a), x\in M\}
definitzen dugun eta modu berean beste multzoetarako, eta non
:B = a^{-1}M \cup a^{-2}M \cup\dots

definitzen dugun.

(*F2*-ren bost zati “paradoxikoak” ez dira zuzenean erabili, *M* kopia gehigarri gisa utziko bailuke bikoizketaren ondoren, {*e*} elementu bakartiaren dela medio.)

Orain, esfera(ren gehiena) lau multzotan banatu da (horietako bakoitza esferan dentsoa izanik), eta horietako bi biratzean, emaitza lehen zegoenaren bikoitza da:

:aA_2 = A_2 \cup A_3 \cup A_4,
:bA_4 = A_1 \cup A_2 \cup A_4.

### 4. urratsa 
Azkenik, *S*2-ko puntu bakoitza jatorrira lotu segmentu erdi‑irekitako batekin; horrela, *S*2‑ren deskonposizio paradoxikoak unitate‑bola solidoaren deskonposizio paradoxiko bat ematen du, bolaren zentroko puntua salbu. (Bolaren zentroko puntuak arreta handiagoa behar du; begiratu behean.)

*Oharra:* eskema honek xehetasun batzuk alde batera uzten ditu. Kontuz ibili behar da **H**-ko biraketa batzuen ardatzetan dauden esfera gaineko puntuekin. Baina puntu horiek zenbakigarriak dira soilik, eta bolaren zentroko puntua bezala, frogapena moldatu daiteke puntu horiek  guztiak kontuan hartzeko (ikusi beherago).

### Xehetasun batzuk, garatuta 
3. urratsean, esfera gure talde **H**‑ren orbitetan zatitu zen. Froga sinplifikatzeko, biraketaren batek finkatzen dituen puntuen eztabaida alde batera utzi da; *F*2‑ren deskonposizio paradoxikoak azpi-multzo batzuk desplazatzea eskatzen duenez, puntu batzuk finkatuta egoteak arazoren bat sor lezake. *S*2‑ren edozein biraketak (biraketa nulua izan ezik) bi puntu finko dituenez, eta **H**, *F*2‑ren isomorfoa dena, zenbakigarria denez, **H**‑ko biraketaren batek finkatutako *S*2‑ko puntu kopuru zenbakigarria da. Puntu finkoen multzo horri D deituko diogu. 3. urratsek frogatzen duenez, *S*2 − *D* multzoak deskonposizio paradoxikoa onartzen duela.

Orain, baieztapen hau frogatu behar da: *S*2 − *D* eta *S*2 ekideskonposagarriak dira.

Froga. Izan bedi λ jatorritik igarotzen den zuzen bat, *D*‑ko edozein puntutatik igarotzen ez dena. Hau posible da, *D* zenbakigarria delako. Izan bedi *J* α angeluen multzoa, zeinetarako existitzen den *n* zenbaki arrunt  bat eta *D*-ko *P* puntu bat, non **r**(*n*α)P ere *D*-ko puntu bat den, **r**(*n*α) λ ardatzaren inguruko *n*α angeluko biraketa izanik. Orduan *J* zenbakigarria da. Beraz, existitzen da *J*‑ko elementua ez den θ angelua. Izan bedi ρ λ inguruko θ angeluko biraketa. Orduan ρ akzioak ez du puntu finkorik *D*‑n, hau da, ρ*n*(*D*) disjuntua da *D*‑rekiko, eta natural *m**n*(*D*) disjuntua da ρ*m*(*D*)‑rekiko. Izan bedi *E* ρ*n*(*D*)‑ren batura disjuntua *n* = 0,1,2,…. Orduan, *S*2 = *E* ∪ (*S*2 − *E*) ~ ρ(*E*) ∪ (*S*2 − *E*) = (*E* − *D*) ∪ (*S*2 − *E*) = *S*2 − *D*, non ~ ikurrak “ekideskonposagarria” esan nahi duen.

4. urratsean, bola, puntu bat kenduta, deskonposizio paradoxikoa onartzen duela frogatu da; orain erakutsi behar da bola, puntu bat kenduta, bola osoarekin ekideskonposagarria dela. Hartu bola barruko zirkulu bat, bolaren zentroko puntuarekin. Baieztapena frogatzeko erabilitako arrazoibidea erabilita, zirkulu osoa bolaren zentroko puntu gabeko zirkuluarekin ekideskonposagarria dela ikus daiteke. (Oro har, zirkulu bateko puntu-multzo zenbakigarri bat biratuz, multzo bera gehi puntu berri bat lor daiteke). Ohartu horrek jatorria ez den beste puntu baten inguruko biraketa bat erabiltzen duela, beraz, Banach-Tarskiren paradoxak 3-espazio euklidearreko isometriak erabiltzen ditu, SO(3) baino gehiago..

*A* ~ *B* eta *B* ~ *C*, orduan *A* ~ *C* delakoa erabili da. *A* *C*‑n deskonposatzeko, *A* *B*‑n eta *B* *C*‑n deskonposatzeko behar diren zati kopuruen biderkadura adinako zati kopurua erabil daiteke.

Goiko froga zirriborroak 24 zati behar ditu: 2 × 4 × 2 + 8 = 24. 2 faktorea puntu finkoak kentzeko, 1. urratseko 4 faktorea, 2 faktorea puntu finkoak berreskuratzeko, 8 bigarren bolaren zentroko puntuarentzat. Baina 1. urratsean, {*e*} eta *an* formako kate guztiak *S*(*a*−1)‑ra mugitzean, orbita guztiekin egiten da, bat izan ezik. Azken orbita horretako {*e*} bigarren bolaren zentroko puntura mugitu. Horrela, guztira 16 + 1 zati geratzen dira. Aljebra gehiago erabilita, orbita finkoak 4 multzotan deskonposa daitezke, 1. urratsean bezala. Horrek 5 zati ematen ditu eta hori lor daitekeen kopuru onena da..

## Bola batetik bola kopuru infinitua lortuz 
Banach–Tarskiren paradoxa erabiliz, bola baten k kopia lor daitezke bola batetik n-espazio euklidearrean, n ≥ 3 edozein oso eta k ≥ 1 izanik. Hau da, bola bat k zatitan zatitu daiteke, non zatietako bakoitza hasierakoaren tamaina duen bola baten ekideskonposagarria den. Bi heineko F2 talde askeak hein infinitu zenbakigarriko azpitalde aske bat onartzen duela erabiliz, antzeko froga batek erakusten du Sn−1 unitate esfera zati kopuru infinitu zenbakigarrian zatitu daitekeela, zati bakoitza (bi zatirekin) Sn−1 esferarekin ekideskonposagarria izanik biraketak erabiliz.

SO(n) biraketa-taldearen, Lieren talde analitiko konexua denaren, propietate analitikoak erabiliz, Sn−1 esfera zenbaki erreal adina zatitan zatitu daitekeela ere frogatu daiteke, (hau da, 2א0א zati), non zati bakoitza bi zatirekin Sn−1 esferarekin ekideskonposagarria den biraketak erabiliz. Emaitza horiek jatorri gabeko unitate bolara zabaltzen dira. Valeriy Churkin-en 2010eko artikulu batek Banach–Tarskiren paradoxaren bertsio jarraituaren froga berria ematen du.

## Von Neumann paradoxa plano euklidearrean 
Plano euklidearrean, higidura euklidearren taldearekiko ekideskonposagarriak diren bi figura azalera berekoak dira nahitaez, eta, beraz, ezinezkoa da kongruentzia euklidearrak soilik erabiltzen dituen Banach–Tarski motako karratu edo disko baten deskonposizio paradoxikoa. Von Neumannek planoko kasuaren eta dimentsio handiagoko kasuen arteko bereizketaren azalpen kontzeptuala eman zuen: hiru dimentsioko SO(3) biraketa-taldea ez bezala, planoko higidura euklidearren *E*(2) taldea ebazgarria da, eta horrek *E*(2) eta ℝ2-ren gaineko neurri finituki batukor baten existentzia dakar, translazioen eta biraketen pean inbariante dena, eta multzo ez- mespretxagarrien deskonposizio paradoxikoak baztertzen ditu. Orduan, von Neumannek galdetu zuen: eraiki al daiteke halako deskonposizio paradoxiko bat baliokidetasun-talde handiago bat onartzen bada?

Argi dago, batek antzekotasunak onartzen baditu, planoko edozein bi karratu baliokide bihurtzen direla beste zatiketa gehiagorik gabe ere. Hori dela eta, arreta mugatu egiten da azalera gordetzen duten transformazio afinen SA2 taldera. Azalera gordetzen denez, talde honekiko karratu baten edozein deskonposizio paradoxiko intuizio kontrakoa izango litzateke, bola baten Banach–Tarskiren deskonposizioaren arrazoi berberengatik. Izan ere, SA2 taldeak SL(2,ℝ) talde lineal berezia du azpitalde gisa, eta talde horrek, aldi berean, bi sortzaileko *F*2 talde askea azpitalde gisa du. Horrek posible egiten du Banach-Tarskiren paradoxaren froga planoan imitatu ahal izatea. Hemen zailtasun nagusia da unitate karratua ez dela inbariante SL(2, ℝ) talde linealaren eraginez; beraz, ezin da besterik gabe deskonposizio paradoxiko bat taldetik karratura eraman, Banach–Tarskiren paradoxaren aurreko frogaren hirugarren urratsean bezala. Are gehiago, taldeko puntu finkoek zailtasunak aurkezten dituzte (adibidez, jatorria transformazio lineal guztiek finkatzen dute). Horregatik, von Neumannek SA2 talde handiena erabili zuen translazioak barne, eta unitate karratuaren deskonposizio paradoxikoa eraiki zuen talde zabalduarekiko (1929an). Banach–Tarskiren metodoa aplikatuz, karratuaren paradoxa honela indartu daiteke:

Barnealde ez-hutsak dituzten plano euklidearreko edozein bi azpimultzo bornatu ekideskonposagarriak dira azalera gordetzen duten aplikazio afinekiko.

Von Neumannek esaten duen bezala:

*«Infolgedessen gibt es bereits in der Ebene kein nichtnegatiboak gehigarriak Maß (wo das Einheitsquadrat das Maß 1 hat), das gegenüber allen Abbildungen von A2 invariant wäre.»*

(Horrekin bat etorriz, planoan jada ez dago neurri batukor ez-negatiborik (zeinarekin unitate karratuak 1 neurria duen), *A''2-ko [azalera gordetzen duten transformazio afinen multzoko] transformazio guztiekiko inbariante dena.)

Xeheago azaltzeko, neurri finitu batukor bat (zenbait transformazioren pean gordetzen dena) existitzen den ala ez, zer transformazio onartzen diren araberakoa da. Planoko multzoen Banachen neurria, transformazioen eta biraketen bidez gordetzen dena, ez da transformazio ez-isometrikoen bidez gordetzen, ezta poligonoen azalera gordetzen dutenean ere. Planoko puntuak (jatorria ez direnak) '** eta  izena izan dezaketen bi multzo dentsotan bana daitezke. Poligono jakin bateko **' puntuak azalera gordetzen duen transformazio baten bidez transformatzen badira eta '** puntuak beste batez, bi multzoak **' puntuen azpimultzo bihur daitezke bi poligono berritan. Poligono berriek lehengo poligonoaren azalera bera dute, baina transformatutako bi multzoek ezin dute lehengo neurri bera izan (''* puntuen zati bat baino ez baitute), eta, beraz, neurri batek ere ez du "funtzionatzen".

Banach-Tarskiren fenomenoa aztertzerakoan von Neumann-ek isolatutako taldeen klasea oso garrantzitsua izan zen matematikaren arlo askotan: talde amenableak dira, edo batezbesteko inbariantea duten taldeak, eta talde finitu guztiak eta talde ebazgarri guztiak hartzen dituzte. Oro har, deskonposizio paradoxikoak sortzen dira ekideskonposagarritasunaren definizioan baliokidetasunetarako erabiltzen den taldea amenable ez denean.

## Azken aurrerapenak 
* 2000: Von Neumann-en artikuluak irekita utzi zuen unitate karratuaren barrualdearen banaketa paradoxikoa existitzen ote zen SL(2,ℝ) taldearen arabera (Wagon, Galdera 7.4). 2000. urtean, Miklós Laczkovich-ek frogatu zuen halako deskonposizio bat badagoela. Zehatzago esanda: Izan bedi *A* planoko azpimultzo bornatu guztien familia (barrualde hutsa ez dutenak eta jatorritik distantzia positiboan daudenak), eta *B* izan dadila multzo-planarren familia bat, zeinek SL(2,ℝ)-ko elementu batzuen bidez transladatuen bildura finitu batek jatorriaren auzo zulatu bat duelako propietatea duten. Orduan, ** familiako multzo guztiak SL(2,ℝ)-ekidekomposagarriak dira, eta gauza bera gertatzen da  familiakoekin. Ondorioz, bi familiek multzo paradoxikoak dituzte.
* 2003: Aspaldi ezaguna zen plano osoa paradoxikoa zela SA₂ taldearekiko, eta gutxienez lau zatitan banatzea nahikoa zela baldin eta SA₂ taldean azpitalde aske lokalki trukakorra badago. 2003an, Kenzi Satô-k halako azpitalde bat eraiki zuen, eta  lau zati nahikoak direla egiaztatuz.
* 2011: Laczkovich-en artikuluak irekita utzi zuen *D* \ {(0,0)} disko zulatuan puntu finkorik gabe eragiten duten zatikako transformazio linealen *F* talde askea existitzeko aukera. Grzegorz Tomkowicz-ek halako talde bat eraiki zuen, erakutsiz *A* ≈ *B* ≈ *C* ≈ *B* ∪ *C* kongruentzien sistema *F*-ren eta *D* \ {(0,0)} multzoaren bidez gauzatu daitekeela.
* 2017: Aspaldi ezagutzen zen badela **H**2 plano hiperbolikoan *E* multzo bat, zeina **H**2-ren heren bat, laurden bat, ... 2\aleph_0-ren zatia den. Horretarako, orientazioa gordetzen duten **H**2-ko isometriak erabiltzen dira. Antzeko emaitzak lortu zituzten John Frank Adams-ek eta Jan Mycielski-k, erakutsiz **S**2 unitate esferan *E* multzo bat existitzen dela, zeina **S**2-ren erdi bat, heren bat, laurden bat... eta 2\aleph_0-ren zatia den. Tomkowiczek frogatu zuen Adamsen eta Mycielskiren eraikuntza orokortu daitekeela **S**2-ren proipietate berdinak dituen **H**2-ko *E* multzoa lortzeko.
* 2017: Von Neumann-en paradoxa plano euklidearrari dagokio, baina badaude espazio klasiko gehiago, non paradoxa horiek gerta daitezkeen. Adibidez, galdetu daiteke Banach–Tarskiren paradoxa **H**2 plano hiperbolikoan gertatzen ote den. Mycielskik eta Tomkowiczek frogatu zuten baietz. Halaber, Tomkowiczek ere frogatu zuen paradoxa klasiko gehienak grafo-teoriako emaitza baten ondorio errazak direla eta delako taldeak nahikoa aberatsak direla.
* 2018: 1984an, Mycielskik eta Stan Wagonek Borel multzoak erabiltzen dituen **H**2 plano hiperbolikoaren deskonposizio paradoxikoa eraiki zuten. Paradoxa hau **H**2-ko isometria-taldearen azpitalde eten baten existentziaren araberakoa da. Antzeko paradoxa bat 2018an lortu zuen Tomkowiczek, zeinek eraiki baitzuen SA(3,ℤ) talde afinaren azpitalde aske eta eten bat. Horrelako taldearen existentziak inplikatzen du **ℤ**³-ren *E* azpimultzo bat existitzea, non **ℤ**³-ren edozein *F* multzo finitutarako *G*-ren *g* elementu bat existitzen den, non *g*(*E*) = *E* △ *F*  den, *E* △ *F*  *E*-ren eta *F*-ren arteko diferentzia simetrikoa izanik.
* 2019: Banach–Tarskiren paradoxoak zati kopuru finitua erabiltzen du bikoizketan. Zati kopuru zenbakigarrien kasuan, barnealde ez-hutseko edozein bi multzo ekideskomposagarriak dira translazioak erabiliz. Baina zati Lebesgue-neurgarriak bakarrik onartzen badira, ondorio hau lortzen da: ** eta  barnealde ez-hutsa duten ℝn-ren bi multzo badira, biek Lebesgue-neurri bera dute baldin, eta soilik baldin, ekideskomposagarriak badira zati zenbakigarrietan Lebesgue-neurgarriak diren zatiak erabiliz. Mycielskik eta Tomkowiczek (2019) emaitza hori hedatu zuten dimentsio finituko Lie-ren taldeetara eta bigarren zenbakigarriak diren talde topologiko lokalki trinkoetara, zeinak edo zeharo ez-konexuak diren edo osagai konexu zenbakigarriak dituzten.
* 2024: Tomkowiczek eta Robert Samuel Simon-ek Cantor espazioko puntuen koloreztatze-arau bat aurkeztu zuten, zeinak deskonposizio paradoxikoak optimizazioarekin lotzen dituen. Horri esker, deskonposizio paradoxikoen aplikazio bat aurki daiteke ekonomian.
* 2024: Tomkowiczek frogatu zuen espazio metriko batean jarraituki eta iragankorki eragiten duten *G* Lieren talde konexu ez-supramenableen kasuan, *G'' multzo paradoxiko bornatuak ohikoak direla.

## Erreferentziak 
## Kanpo estekak 
*  The Banach-Tarski Paradox, Stan Wagon (Macalester College), the Wolfram Demonstrations Project.
* Irregular Webcomic! #2339, David Morgan-Mar-ek paradoxaren azalpen ez teknikoa ematen du. Esfera bakarretik bi esferetara nola pasa daitekeen, pausoz pauso, erakusten du.
* VSauce (2015eko uztailak 31). "The Banach–Tarski Paradox" YouTube-ko bideoak paradoxaren funtsezko oniarriei buruzko ikuspegi orokorra ematen du.
* Banach-Tarski and the Paradox of Infinite Cloning