Fibonacciren segida

Matematikan, **Fibonacciren segida** edo **seriea** zenbaki naturalen segida infinitu hau da:

{\displaystyle 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597\ldots \,}. 

Segida 0 eta 1 zenbakiekin hasten da; horietatik abiatuta, termino bakoitza aurreko bien batura da.

Segida honetako elementuei Fibonacciren seme-alabak deitzen zaie. Leonardo de Pisak (XIII. mendeko matematikari italiarra, Fibonacci izenez ere ezaguna) deskribatu zuen segida hori Europan. Aplikazio ugari ditu konputazio-zientzietan, matematikan eta joko-teorian. Konfigurazio biologikoetan ere agertzen da, hala nola, zuhaitzen adarretan, ekilore-loreetan, brokoli erromatarraren infloreszentzietan, koniferoen pinaburuen konfigurazioan, untxien ugalketan eta DNAk forma organiko konplexuen hazkundea kodetzeko duen moduan. Era berean, molusku batzuen oskolaren egitura espiralean aurkitzen da, nautilusean esaterako.

## Definizioa 
Honako ekuazio hauek definitzen dituzte Fibonacci zenbakiak:

f_{0}=0

{\displaystyle f_{1}=1}

{\displaystyle f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}\,}

Horrek ondorengo zenbaki hauek sortzen ditu:

f_{2}=1

{\displaystyle f_{3}=2\,}

{\displaystyle f_{4}=3\,}

{\displaystyle f_{5}=5\,}

{\displaystyle f_{6}=8\,}

{\displaystyle f_{7}=13\,}

{\displaystyle f_{8}=21\,}

eta horrela hurrenez hurren.

Definitzeko modu hori (algoritmikoa) ohikoa da matematika diskretuan.

Garrantzitsua da definitzea f_{0}=0
 honako propietate garrantzitsu hau betetzeko:

f_{n}
-k {\displaystyle f_{m*n}}
 zatitzen du edozein {\displaystyle m,n>=1}
-entzat.

## Historia 
Leonardo Pisano, Leonardo de Pisa, edo Leonardo Bigollo, Fibonacci izenez ere ezaguna, 1170ean jaio zen eta 1240an hil zen. Mendebaldean ezagutu aurretik, Fibonacciren segida Indiako matematikan deskribatuta zegoen, sanskrito-prosodiarekin lotuta.

Susantha Goonatilakek ohartarazten du Fibonacciren sekuentziaren garapena, baina neurri batean, Pingalari egozten zaiola (200. urtea) garapen hori, geroago Virahanka (700 inguruan), Gopāla (1135 inguruan) eta Hemachandra (1150 inguruan) autoreei lotuta zegoen. Parmanand Singhek Pingala aipatzen du (450 inguruan) sekuentziaren aurkikuntzaren aitzindari gisa.

Oinordetza Fibonaccik deskribatu eta ezagutarazi zuen mendebaldean, untxi-hazkuntzaren arazo baten konponbide gisa.

Horrela, Fibonaccik oinordetza 1202an argitaratutako Liber Abaci liburuan aurkeztu zuen. Fibonacciren oinordekotzaren propietate asko Édouard Lucasek aurkitu zituen, gaur egun ezagutzen den bezala izendatzearen arduraduna.

## Errepresentazio alternatiboak 
Fibonacciren segida (eta, oro har, edozein segida) aztertzeko, matematikoki irudikatzeko beste modu batzuk lortzea komeni da.

{\displaystyle {\frac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}={\frac {b}{a}}={\frac {c}{b}}},\ non\ c=a+b;\ a\neq0;\ b\neq0;\ b>a

{\displaystyle bb=ac}

{\displaystyle b^{2}=ac}

{\displaystyle b^{2}=a*(a+b)}

{\displaystyle b^{2}=a^{2}+ab}

{\displaystyle a^{2}-b^{2}+ab=0}

Aldagaiak Fibonacci-ren segidako balio bikoteen bidez ordeztuz (a=1;\ b=2
 edo a=3;\ b=5
), hau ikus daiteke:

{\displaystyle (1)^{2}-(2)^{2}+(1)*(2)=-1}

{\displaystyle (3)^{2}-(5)^{2}+(3)*(5)=-1}

Formula honen bidez, bi zenbakiren arteko urrezko erlazioa zein den ezar daiteke: 0 urrezko erlazio perfektua da, eta muturretako 1 eta -1 zenbakiak Fibonaciren {\displaystyle -1 segidako zenbakiak dira.

## Segidaren propietateak 
Fibonacciren segidak ondoko propietateak ditu:

* Segidako gai baten eta bere aurrekoaren arteko arrazoi edo zatidura etengabe aldatzen da, baina estabilizatu egiten da urrezko zenbakian; hau da: \lim _{\frac  {f_}{f_{n}}}=\varphi 

Limite hau ez da Fibonacciren segidarentzako esklusiboa. Edozein 2ko ordenako segida errepikakor limite berdinerantz hurbiltzen da. Hau frogatu zuten Barr eta Schooling Londreseko *The Field* izeneko aldizkari batean publikatutako artikuluak 1912ko abenduaren 14an. Arrazoaiak oszilatzaileak dira; hau da, zatidura bat limitea baino txikiagoa da eta hurrengoa, aldiz, handiagoa.

* Edozein zenbaki arrunt idatz daiteke Fibonacciren segidako gai kopuru mugatu baten batuketa gisa, horietako bakoitza besteen desberdina delarik.
* Hiru terminotatik bakarra da bikoitia, lautik bakarra da hiruren multiploa, bostetik bakarra da bosten multiploa... Hau orokortu daiteke, beraz Fibonacciren segida periodikoa da *(mod m)*  kongruentzientzat, edozein *m*-rentzat.
* Segida *Binet-en forma* izeneko formularekin adieraz daiteke: Izan bitez \textstyle \alpha ={\frac  {1+{\sqrt  5}}{2}} eta  {\displaystyle \textstyle \beta ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}\textstyle , orduan f_{n}={\frac  {\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\alpha -\beta }} eta f_{n}\approx {\frac  {\alpha ^{n}}}\,
* Fibonacciren zenbaki bakoitza bi posizio atzerago dagoen eta posizio bat aurrerago dagoen terminoen batez bestekoa da. Hau da, f_{n}={\frac  {f_+f_}2}
 edo beste modu batean adierazita f_=f_*2-f_
* Lehen *n* gaien batura *n+2* posizioan dagoen gaiaren balioa ken bat da. Hau da, f_{0}+f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{n}=f_-1
* Fibonacciren segidako bi gaien arteko zatitzaile komunetako handiena segidako beste gai bat da, zehazki  {\mathrm  {mcd}}\left(f_{n},f_{m}\right)=f_{{{\mathrm  {mcd}}\left(n,m\right)}}.
* Izan bedi f_p=a, a edozein zenbaki lehen izanda, orduan p ere zenbaki lehena da, f_4=3 gaia izan ezik (3 zenbaki lehena dela, baina 4 ez) .
* \textstyle {\frac  {f_{n}}{10^{n}}} segidaren terminoen batuketa infinitua \textstyle {\frac  {10}{89}} da.
* Fibonacciren segidako elkarrek ondoko hamar zenbakiren batura serieko zazpigarren zenbakia baino 11 aldiz handiagoa da beti.
* Zenbaki bakoitzeko azken digitua 60 zenbakiro errepikatzen da periodikoki. Azken biak 300 zenbakiro eta hortik aurrera 15\times 10^ zenbakiro.
* Fibonacciren segidaren oinarrian Pascalen piramidearen biderketen batuketa dago. Batuketa hauetan oinarrituz, urrezko zenbakia \varphi  karakterizatu daiteke triangeluko diagonal bikoitien batuketen eta diagonal bakoitien batuketen zatiduraren limitea infinituan adieraziz, modu honetan: {\displaystyle \varphi =\displaystyle \lim _{n\to {+}\infty }{\left({\dfrac {{\binom {2n-1}{0}}+{\binom {2n-2}{1}}+{\binom {2n-3}{2}}+...+{\binom {n}{n-1}}}{{\binom {2n-2}{0}}+{\binom {2n-3}{1}}+{\binom {2n-4}{2}}+...+{\binom {n-1}{n-1}}}}\right)}}  edo  {\displaystyle \varphi \,\approx {}\,{\dfrac {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\,\displaystyle {\binom {2n-1-k}{k}}}{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\,\displaystyle {\binom {2n-2-k}{k}}}}}.

## Ikus, gainera 
* Fibonacciren zenbakiak

## Kanpo estekak