Balio absolutu

Matematikan, x zenbaki erreal baten **balio absolutua** edo **modulua**, |x| gisan adierazten dena, zeinua kontuan hartu gabe -positiboa nahiz negatiboa izan- zenbaki horrek duen balio ez-negatiboa da.  Adibidez, 3
-ren balio absolutua 3
 da eta -3
-ren balio absolutua 3
 da.

Balio absolutua magnitudearen, distantziaren eta normaren ideiekin lotuta dago testuinguru matematiko eta fisiko desberdinetan. Zenbaki erreal baten balio absolutuaren kontzeptua matematikako beste objektu askotara orokor daiteke, hala nola, koaternioietara, eraztun ordenatuetara, gorputz edo espazio bektorialetara.
thumb|Zenbaki baten balio absolutua zerotik zenbaki horretara dagoen distantzia dela pentsa daiteke.
eskuinera|thumb|230x230px|Balio absolutuaren funtzioaren grafikoa.

## Terminologia eta notazioa 
1806an, Jean-Robert Argand-ek *modulu* terminoa sartu zuen, frantsesez *neurri-unitatea* esan nahi duena, bereziki balio absolutu konplexurako, eta 1866an ingelesean barneratu zuten latinezko *modulu* baliokide gisa eta 1857tik ingelesez.  Alde bakoitzeko barra bertikal |x| notazioa Karl Weierstrass-ek sartu zuen 1841ean. *Balio absoluturako* beste termino batzuk *zenbakizko balioaeta goi normarako, oso erlazionatuta dagoen baina desberdina den notazioa da, nahiz eta azpiindizedun barra bertikal bikoitzak ( \|\cdot\|_2 eta \|\cdot\|_\infty, hurrenez hurren) notazio arruntagoak eta ez hain anbiguoak diren.

## Definizioa 
### Zenbaki errealak 
Edozein x zenbaki errealen **balio absolutua** edo **modulua,** honela adierazten da: |x| eta modu honetan definitzen da:

|x|= 
\left\{
\begin{array}{rcl}
    x, & \mbox{baldin eta} & x \geq 0 \\
    -x, & \mbox{baldin eta} & x 

x-ren balio absolutua beti da zenbaki positiboa edo zero, baina inoiz ez negatiboa: x zenbaki negatiboa denean (x, haren balio absolutua nahitaez positiboa da (|x|=-x>0).

Ikuspuntu geometrikotik, zenbaki erreal baten balio absolutua zenbaki horren eta zeroaren artean dagoen distantzia bezala ikus daiteke. Oro har, bi zenbakiren arteko aldearen balio absolutua haien arteko distantzia da.

### Propietateak 
Balio absolutuak funtsezko lau propietate hauek ditu, a,b\in\mathbb{R}
 izanik:

\begin{align}
    &|a|\geq0 & \text{Ez-negatibotasuna} \\
    &|a|=0\iff a=0 & \text{Positiboki definitua} \\
    &|ab|=|a||b| & \text{Propietate biderkakorra} \\
    &|a+b|\leq|a|+|b| & \text{Desberdintza triangeluarra} 
\end{align}

Beste propietate erabilgarri batzuk ondoko hauek dira:

\begin{align}
    &||a||=|a| \\
    &|-a|=|a| \\
    &|a-b|=0 \iff a=b \\
    &|a-b|\leq|a-c|+|c-b| \\
    &\left|\frac{a}{b}\right|=\frac\quad\text{baldin  }b\neq0 \\
    &|a-b|\geq||a|-|b||
\end{align}

horiek definizioaren edo lehenengo lau propietateen ondoriok dira.

Desberdintasunak erabiltzen dituzten beste bi propietate, ondokoak dira:

\begin{align}
    &|a|\leq b \iff -b\leq a\leq b \\
    &|a|\geq b \iff a\leq -b\quad\mbox{ edo }\quad a\geq b
\end{align}

Erlazio horiek balio absolutua duten desberdintasunak ebazteko erabil daitezke, adibidez:

\begin{align}
    |x-3|\leq 9 
    &\iff -9\leq x-3\leq 9 \\
    &\iff -6\leq x\leq 12 
\end{align}

### Zenbaki konplexuak 
Zenbaki konplexuak ez daudenez ordenatuta, zenbaki errealentzat emandako balio absolutuaren definizioa ezin zaie zuzenean aplikatu. Hala ere, zenbaki erreal baten balio absolutuaren interpretazio geometrikoa 0tik bere distantziara orokor daiteke. Eta beraz, zenbaki konplexu baten balio absolutua plano konplexuan dagokion puntutik jatorriraino dagoen distantzia euklidearrak definitzen du. Hau Pitagorasen teorema erabiliz kalkula daiteke: edozein zenbaki konplexutarako.
[eskuinera|thumb|&nbsp;z zenbaki konplexu baten balio absolutua z-tik jatorrira dagoen &nbsp;r distantzia da. Irudian, z eta bere [Konjugatu (matematika)|konjugatu konplexua&nbsp;\bar z balio absolutu bera dutela ere ikus daiteke.]]
   z=x+iy

non    x eta    y zenbaki errealak diren,    z -ren **balio absolutua** edo **modulua**    |z|  ikurraren bidez adierazten da eta honela definitzen da:

   |z|=\sqrt{x}=\frac{x} 

### Deribatua 
Balio absolutu funtzioak deribatu bat du  x\neq0  bakoitzerako, baina ez da diferentziagarria  x=0   kasuan.   x\neq0  kasuan, aldiz, deribatua honako funtzio honek ematen du:

 \frac{d}{dx}|x|=\frac{x}
=
\begin{cases}
  -1 & x0
\end{cases} 
[thumb|332x332px|Balio absolutuaren [Funtzioen konposaketa|osaera ordena ezberdinetako funtzio kubiko batekin.]]

### Antideribatua 
Zenbaki errealen balio absolutu funtzioaren integral mugagabea hurrengoa da:

 \int |x|dx=\frac{x|x|}{2}+C 

non  C  integrazio arbitrario konstantea den.

## Distantzia 
Balio absolutuak lotura estua du distantziaren ideiarekin. Lehen esan bezala, zenbaki erreal edo konplexu baten balio absolutua, zenbaki horrek jatorrira duen distantzia da;  zenbaki errealetarako, zenbaki errealen zuzenean zehar, eta zenbaki konplexuetarako, plano konplexuan. Eskuarki, bi zenbaki errealen edo konplexuren arteko diferentziaren balio absolutua, bi zenbaki errealen edo konplexuen arteko distantzia da.

Bi  a = (a_1, a_2, \dots, a_n)  eta b = (b_1, b_2, \dots, b_n)  punturen arteko distantzia euklidear estandarra -espazio euklidearrean honela definitzen da:

\sqrt{\textstyle\sum_{i=1}^n(a_i-b_i)^2}. 

Hau orokortze gisa ikus daiteke; izan ere a_1 eta b_1 errealentzat , hau da, dimentsio baten, balio absolutuaren definizio alternatiboaren arabera, honako adierazpena dugu:

|a_1 - b_1| = \sqrt{(a_1 - b_1)^2} = \sqrt{\textstyle\sum_{i=1}^1(a_i-b_i)^2},

eta  a = a_1 + i a_2  eta  b = b_1 + i b_2  zenbaki konplexuentzat , hau da, bi dimentsiotan, honako hau:

Aurrekoak erakusten du "balio absolutu"-distantzia, bat datorrela distantzia euklidear estandarrarekin, zenbaki errealentzat eta konplexuentzat. Zeintzuk oinordetzan hartzen dituzten, dimentsio bakarreko eta bi dimentsioko espazio euklidear gisa hartzearen ondorioz, hurrenez hurren.

Bi zenbaki erreal edo konplexuren diferentziaren balio absolutuaren propietateek: ez-negatibotasunak, bereizezinen identitateak, simetriak eta goian adierazitako desberdintza triangeluarrak, distantzia-funtzioaren ideia orokorragoa bultzatzen dutela ikus daiteke:

X × X multzoko d funtzio erreal bati -ko metrika (edo *distantzia funtzioa* ) deitzen zaio lau axioma hauek betetzen baditu:

## Orokortzeak 
### Zenbaki hiperkonplexuak 
Zenbaki konplexuetan ez ezik, balio absolutuaren funtzioa zenbaki hiperkonplexuetara ere orokor daiteke, hala nola, kuaternioietara edo oktonioietara. Zenbaki errealen gaineko aljebran, h zenbaki baten balio absolutua honela definitzen da:

\left\vert h \right\vert=\sqrt{ h \bar{h}}

Non \bar{h} h-ren hiperkonjugazioa den.

### Eraztun ordenatuak 
Goian aipatutako zenbaki errealetarako emandako balio absolutuaren definizioa edozein eraztun ordenatutara heda daiteke. Hau da, a \in \mathbb{R} eraztun ordenatuaren elementu bat baldin bada, a-ren balio absolutua, |a| bidez adierazten dena, honela definitzen da:

|a| = \left\{
  \begin{array}{rl}
   a, & \text{baldin } a \geq 0 \\
   -a, & \text{baldin } a 

non −a, a-ren alderantzizko gehigarria den, 0 identitate gehigarria den, eta \mathbb{R}^nespazio euklidearraren kasuan, honela definitutako funtzioari

\|(x_1, x_2, \dots, x_n) \| = \sqrt{\textstyle\sum_{i=1}^{n} x_i^2}

norma euklidearra deritzo.  \mathbb{R} zenbaki errealak dimentsio bakarreko \mathbb{R}^1 espazio bektorialtzat hartzen direnean, balio absolutua p-norma da, (ikusi Lp  espazioa) edozein p-rentzat. Izan ere, balio absolutua norma "bakarra" da, zentzu honetan, \mathbb{R}^1-eko || \cdot ||
 norma guztietarako, ||x||= ||1|| \cdot |x|
  betetzen da.

Balio absolutu konplexua,  barne produktu-espazio bateko normaren kasu berezi bat da.  Balio absolutu hau, norma euklidearraren berdina da plano konplexua \mathbb{R}^2-ko plano euklidear gisa identifikatzen denean.

### Konposaketa aljebraikoak 
A konposaketa aljebraiko orok bere **konjugazio** izena hartzen duen *x → x** inboluzioa du. A-n, x elementu baten eta *x** elementu horren konjokatuaren arteko produktuari, *x* elementuaren **norma** deritzo eta era honetan adierazten da: *N(x) = x x**.

\mathbb{R} zenbaki errealak, \C zenbaki konplexuak eta \H kuaternioiak forma koadratiko zehatzek emandako normak dituzten konposaketa aljebraikoak dira. Zatiketa-aljebra horietan, balio absolutua, aljebraren normaren konposizioaren erro karratuak ematen du.

Orokorrean, konposaketa aljebraikoaren norma definitu gabeko forma koadratikoa izan daiteke eta bektore nuluak ditu. Hala ere, zatiketa-aljebren kasuan bezala, *x* elementu batek zero ez den norma duenean, orduan *x-*k *x*/N (x)'' -k emandako alderantzizko biderkadura du.

### Eremuak 
Zenbaki errealen balio absolutuaren oinarrizko lau propietateak, balio absolutuaren ideia eremu arbitrario batera orokortzeko erabil daitezke, era honetan:

   v balio errealeko funtzio bati    F eremu batean balio absolutu deritzo (modulua, magnitudea, balioa edo balorazioa ere) lau axioma hauek betetzen baditu:

Non **0**-k    F-ren identitate gehigarria adierazten duen. Definizio positibotik eta biderkagarritasunetik    v(1)=1 dela ondorioztatzen da , non **1**    F- ren identitate biderkatzailea adierazten duen. Eremu arbitrario baterako, goian definitutako balio absolutu errealak eta konplexuak balio absolutuen adibideak dira.

   v    F-n balio absolutua bada, orduan    d(a,b)=v(a-b) gisa definitutako    F\times F -n dagoen d funtzioa, metrika bat da eta honako hauek baliokideak dira:

*    d-k desberdintasun ultrametrikoa betetzen du     d(x,y)\leq max(d(x,z),d(y,z)) non    x,y,z\in F
*    \{ v(\textstyle \sum_{k=1}^n 1 \displaystyle):n \in \N \} **R**  barruan mugatuta dago .
*    n \in \N bakoitzarentzat     v(\textstyle \sum_{k=1}^n 1 \displaystyle)\leq 1 .
*     v(a)\leq 1 \Rightarrow v(1+a)\leq 1      a \in F guztientzat .
*     v(a+b)\leq \max \{ v(a),v(b) \}     a,b \in F guztientzat.

Balio absolutua goiko edozein baldintza edo baldintza guztiak asetzen baditu **ez-Arkimedianoa** dela esaten da; bestela Arkimedianoa dela esaten da.

## Balio absolutuaren programazioa 
Programazio arloan, balio absolutua kalkulatzeko gehien erabiltzen den funtzio matematikoa `abs()` da. Funtzio hau, zenbaki osoak, errealak eta konplexuak onartzen dituzten Fortran, Matlab eta GNU Octave programazio lengoaietan erabiltzen da. C programazio lengoaian ere erabiltzen da, non:

`labs()`, `llabs()`, `fabs()` ,`fabsf()` eta `fabsl()` funtzioak ere baliozkoak diren.

Zenbaki osoen balio absolutu funtzioaren kodeketa hurrengoa da:
```c
int abs (int i)
{
  if (i < 0)
    return -i;
  else
    return i;
}
```
Hala ere, koma mugikorrekin lan egiterako orduan, kodeaketa zailtzen da. Izan ere, infinitu eta NaN balioekin nahastu egiten da kodeketa.  [erreferentzia behar] Mihiztadura-lengoaiarekin zenbaki baten balio absolutua kalkulatzea posible da hiru argibide erabiliz. Adibidez, x86 arkitekturan, 32 biteko erregistro baterako, hurrengo Intel sintaxia dugu:
```
cdq
xor eax, edx
sub eax, edx
```
`cdq` komandoak, `eax` komandoaren zeinuaren bit-a `edx-en` hedatzen du.`eax`negatiboa ez bada, orduan `edx`zero bihurtzen da eta azken bi argibideek ez dute eraginik, `eax`aldatu gabe utziz. `eax`negatiboa bada, berriz, `edx`0xFFFFFFFF edo -1 bihurtzen da. Hurrengo bi argibideak bi osagarrien inbertsio bihurtzen dira, balio negatiboaren balio absolutua `eax`-en utziz.

## Erreferentziak 
## Kanpo estekak