Ordena-erlazio

**Ordena teoria** matematikaren adar bat da, ordena bitarreko harremanak erabiltzen dituen ordenaren nozio intuitiboa ikertzen duena. Adierazpenak deskribatzeko esparru formal bat eskaintzen du, esate baterako “hau hori baino gutxiago da” eta “hau hori baino lehenago dago”. Artikulu honek eremua aurkezten du eta oinarrizko definizioak eskaintzen ditu. Ordena teoriako terminoen zerrenda ordena teoriako glosarioan aurki daiteke.

## Historia eta motibazioa 
Ordenak leku guztietan aurki ditzakegu matematikan eta erlazionatutako eremuetan informatikan bezala. Ikusten den lehen ordena erlazioa lehen hezkuntzan izaten da, zenbaki arrunten ordena estandarra; adibidez, “2 txikiago 3”, “10 handiago 5”, “Jonek Anek baino sagar gutxiago ditu?”. Kontzeptu intuitibo hau, zenbakietatik haratago zabaldu daiteke, zenbaki oso eta errealetara adibidez. Zenbaki bat beste bat baino handiagoa edo txikiagoa izatea, zenbaki sistemen oinarrizko intuizioetako bat da gehienetan, (naiz eta bat normalean bi zenbakien desberdintasun errealean interesatua egon, hau ez da ordenak emana). Ordenaren beste adibide oso ezagun bat hitzen ordena alfabetikoa da hiztegi batean, edota pertsona talde batean jatorri genealogikoa.

Ordenaren kontzeptua oso zabala da, berehalako eta intuitiboa den sekuentzia edo kantitate erlatiboraino iritsiz. Beste testuinguru batzuetan aldiz, eduki edo espezializazio nozioak jasotzen ditu. Laburki, ordena mota hau azpimultzoen erlazioari dagokio, adibidez, “pediatrak medikuak dira” eta “zirkuluak elipsearen kasu bereziak besterik ez dira”.

Ordena batzuk, “baino gutxiago” modukoak zenbaki arruntetan eta ordena alfabetikoa hitzetan, propietate berezi bat dute: elementu bakoitza beste edozein elementurekin *konpara* daiteke, hau da, txikiagoak baino (lehenago), handiagoak baino (geroago) edo berdinak direla. Beste askok ez dute ordea. Esate baterako, multzoen bildumako azpimultzoen ordena: Txoriak eta txakurrak animalien multzoko azpimultzoak badira ere, ez dute batak bestearen azpimultzoa osatzen. *Konpara ezinak* diren elementuak dituzten multzoetako erlazioei *ordena partzial* deritze; elementu pare bakoitza konparagarria den *ordena totala* deritze.

Ordena teoriak orokorrean ezarritako adibideetatik sortzen den intuizioa atzematen du. Hau, ordena matematiko bat izan behar duen ≤ erlazioaren propietateak zehaztuz lortzen da. Hurbilketa abstraktuago hau zentzuzkoa da, teorema asko sor daitezke esparru orokorrean, ordena jakin baten xehetasunak bideratu gabe. Ikasketa hauek, aplikazio ez hain abstraktuetara erraz transferitu daitezke.

Ordena-erlazioen erabilera praktikoak bultzaturik, multzo ordenatu mota ugari ezarri dira, horietako batzuk beren eremu matematikoa sortu dutelarik. Horrez gain, ordena teoriak ez ditu ordenazio mota ezberdinetara mugatzen, baizik eta elkarren arteko funtzio egokiak bultzatzen ditu. Funtzioen propietate teorikoaren adibide sinple bat analisitik dator non funtzio monotonoak ohikoak diren.

## Oinarrizko definizioak 
[thumb|60 zatitzaileen multzoaren [Hass diagrama, zatikortasunaren arabera partzialki ordenatua.]]
Atal honek multzo ordenatuak sartzen ditu multzo teorian, aritmetika eta harreman bitarren kontzeptuen gainean eraikiz.

### Partzialki ordenatutako multzoak 
Ordenak erlazio bitar bereziak dira. Imajina dezagun X multzo bat dela eta ≤ erlazio bat dela X-rekiko. Orduan, ≤ ordena partziala izango da baldin eta bihurkorra, antisimetrikoa eta iragankorra bada.

:\forall a \in X,\ a R a (Bihurkorra)
:\forall a, b  \in X,\ a  \,R\, b \land b \,R\, a \; \Rightarrow a = b (Antisimetrikoa)
:\forall a, b, c  \in X,\ a  \,R\, b \land b \,R\, c \; \Rightarrow a \,R\, c (iragankorra)

A multzoan ezarritako  \le  ordena-erlazioa, (A,\le) bikote ordenatuaren bidez adierazten da.

Ordena partziala duen multzoari **partzialki ordenatutako multzoa** edo **multzo ordenatua** deritzo baldin eta esanahi argia badu.  Propietate hauek egiaztatuz, berehala ikus daiteke zenbaki arrunt, oso, arrazional eta errealen multzoen gaineko ordena ezagunak ordena partzialak direla. Hala eta guztiz ere, **totala** izatearen propietate gehigarria dute, adibidez, a eta b guztientzat Xren barne direlarik, honakoa dugu:

a x \lor y  ***(gorena)*** eta x \land y ***(beherena)*** ere idatz daiteke.

Adibidez, 1 oso positiboetako beherena da zenbaki osoen azpimultzoa izanik honakoa.

Beste adibide bat emanik, zenbaki arruntetan zatigarritasunaren erlazioa “|” harturik. Bi zenbakiren arteko goi muga txikiena biak zatitzen dituen zenbakirik txikiena da, beste modu batera esanda multiplo komun txikiena. Behe muga handiena berriz, zatitzaile komun handiena izango da.

### Dualtasuna 
Aurreko definizioetan, aditzera eman ohi da kontzeptu bat aurretik dugun definizio bati buelta emanez defini daitekeela. Hau “handiena” eta “txikiena”, “minimoa” eta “maximoa”, “goi muga” eta “behe muga” kasuetan ikusi dugu. Hau kasu orokorra da ordena teorian: Ordena bat alderantzikatu daiteke bere norabidea aldaturik bakarrik, Hasseren diagrama goitik beherantz irudikatuz. Honi ordena **duala**, **alderantzizkoa** edo **aurkakoa** deritzo.

Ordena teoriko guztiek dute beraien duala: aurkako ordenaren definizioa aplikatuz lortzen da hau. Kontzeptu guztiak simetrikoak diren heinean, eragiketa hau teoremetan eta ordena partzialetan mantentzen da. Emaitza matematiko jakin baterako, ordena aldarazi eta behin betiko definizioak ordezkatu eta beste baliozko teorema lortzen da. Hau inportantea izateaz gain erabilgarria ere bada, bi teorema lortzen baitira baten prezioan.

### Ordena berriak sortzen 
Emandako ordena batetik ordena berri bat sortzeko modu asko daude. Ordena duala adibide bat da. Beste eratze inportante bat partzialki ordenatutako bi multzoren arteko biderketa kartesiarra da, produktuen ordenarekin batera elementu pareak harturik. Ordena honela definitzen da, *(a, x) ≤ (b, y)* baldin eta soilik baldin *a ≤ b* eta *x ≤ y.* Kontuan hartu behar da definizio honetan ≤ sinboloak hiru esanahi desberdin dituela. Bi partzialki ordenatutako multzoen arteko bildura disjuntua adibide ohikoa da non ordena berria ordena originalen arteko bildura disjuntua soilik den.

≤ ordena partzial guztiak ordena zorrotz bati dagokie \land existitzen bada, orduan arrazoizko propietate bat eskatzea litzateke non, f(x \land y) = f(x) \land f(y), *x* eta *y* guztietarako. Propietate guzti hauek eta gehiago hain zuzen ere, muga-mantentze funtzioen etiketen azpian bil daiteke.

Bukatzeko, ikuspegia alderantzikatu ahal izango da ordenen funtzioak funtzioen ordenekin aldatuz. Hain zuzen ere, *P* eta *Q* bi partzialki ordenatutako multzoen arteko funtzioak ordena zehatzarekiko ordenatu daitezke. *f* eta *g* funtzioetarako, *f ≤ g* izango da baldin eta f(x) ≤ g(x), *x* elementu guztietarako. Hau adibidez domeinuaren teorian ikus daiteke non espazio funtzionalak eginkizun handi bat betetzen duen.

## Mota bereziko ordenak 
Ordena teorian aztertzen diren egitura askok ordena erlazioak erabiltzen dituzte beste propietate askorekin. Izan ere, erlazio batzuk ordena partzialekoak ez badira ere, interes espezial bat dute. Honetarako, aurreordenaren kontzeptua aipatu behar da. Aurreordena, erlazio bihurkorra eta iragankorra da baina ez dauka zertan antisimetrikoa izan beharrik. Aurreordena bakoitzak baliokidetasun-erlazio bat du elementuen artean, non a b-ren baliokidea den baldin eta *a ≤ b* eta *b ≤ a*. Aurrreordenak ordenetan bihur daitezke elementu guztiak baliokideak direla azaltzen bada erlazio horrekiko.

Ordena mota asko defini daitezke zenbakizko datuetatik hasita: zenbaki errealak gehitzean elementu bakoitzari eta zenbakizko konparaketak erabiltzean artikuluak ordenatzeko ordena totala lortzen da; Horren ordez, elementu desberdinak zenbaki hamartarren partizio berdinak izateko baimentzen badira, ordena ahul zorrotza lortzen da. Atari finko batez bereizitako bi puntuazio behar badira alderatu aurretik, ordena-erdi baten kontzeptura eramaten gaitu.

Propietate gehigarri sinple baina erabilgarri batek **ongi-ordenatuetara** eramaten gaitu non azpimultzo ez huts guztiek minimo bat duten. Ongi ordenatuak orokortzean ordena linealetatik partzialetara, multzo bat **partzialki ongi-ordenatua** izango da baldin eta bere azpimultzo ez huts guztiek elementu minimo finitu bat duten.

Beste mota batzuetako ordenak multzo zehatz batzuen beherena eta gorena existitzen direnean sortzen dira. Alderdi horri begira, normalean aginduen osotasun gisa aipatzean honakoa lortzen da:
* Partzialki ordenatutako multzo mugatuak; adibidez partzialki ordenatutako elementu minimo eta maximoak dituzten multzoak (azpimultzo hutsen gorena eta beherena litzatekeenak),
* Hesiak, non edozein multzo finitu ez hutsek gorena eta beherena duten,
* Hesi osoak, non multzo guztiek duten gorena eta beherena, eta
* Zuzendutako ordena partzial osoak, zuzendutako azpimultzo guztietan gorenaren existentzia bermatzen duena eta domeinu teorian aztertzen dena.
* Osagarriak dituzten ordena partzialak,  *S* azpi multzo bakarra duten partzialki ordenatutako multzoak dira 0 \in S, ordena-alderantzikatuaren inboluzioarenkin batera non a ≤ a* \Rightarrow a = 0.
Hala ere, bat haratago joan daiteke: ez huts beheren finitu guztiak existitzen badira, orduan \land operazio bitar total bat bezala ikus daiteke aljebra unibertsalaren ikuspuntutik. Bestalde, hesietan, bi operazio \land eta \lor eskuragarriak dira, eta batek propietate berriak defini ditzake identitateak emanaz,

x \land (y \lor z) = (x \land y ) \lor (x \land z) *x, y* eta *z* guztietarako.

Baldintza honi **banaketa** deritzo eta banaketa hesietaraino iristen dira. Beste banaketa mota inportante asko daude eta ordena teoriako banaketan eztabaidatzen dira. Beste ordena egitura gehigarri batzuk askotan operazio aljebraikoen bidez espezifikatzen dira eta identitate definitzaileak hauek dira,
* Heyting-en aljebra eta,
* Aljebra boolearra,
non biek operazio berri batera garamatzaten – **ukapena**. Bi egiturek eginkizun bat betetzen dute logika matematikoan eta bereziki aljebra boolearrak aplikazio gehien ditu informatikan. Amaitzeko, egitura askok matematikan ordenak konbinatzen dituzte operazio aljebraiko gehiagorekin.

Partzialki ordenatutako multzoen beste propietate asko existitzen dira. Adibidez, partzialki ordenatutako multzo bat **lokalki finitua** izango da baldin eta bertako tarte itxi guztiak [a, b] finituak badira. Partzialki ordenatutako multzo lokalki finituak intzidentzia aljebraikoak sorrarazten dituzte. Aldi berean, partzialki ordenatutako multzoen muga finituen Eulerren ezaugarriak definitzeko erabil daitezke.

## Multzo ordenatuen azpimultzoak 
Multzo ordenatu batean, azpimultzo berezi asko defini daitezke emandako ordenarekiko. Oinarrizko adibide bat **multzo gorenak** lirateke, ordenan beraiek baino gorago dauden elementu guztiak dituzten multzoak. Formalki, *S* multzo baten **goiko itxiera**, partzialki ordenatutako *P* multzoaren barne delarik, {*x* barne *P* | bada *y* bat *S*-n non *y ≤ x*} multzoak ematen du. Bere goiko itxieraren berdina den multzoei, multzo gorena deritze. **Behe multzoak** dualki definitzen dira.

Azpimultzo konplexu txikiagoak idealak dira, propietate osagarriak dituztenak eta beraien bi elementu bakoitzeko goi muga bat dutena idealarekiko. Euren dualak filtroen bidez ematen dira. Zuzendutako azpimultzoen kontzeptu erlazionatu bat, ideal bat litzateke goiko mugak balitu azpimultzo finituetan, baina behe muga izatea derrigorrezkoa ez litzatekeena. Gainera, askotan aurreordenatutako multzoetara orokortzen da.

Linealki ordenatutako azpimultzo bat, katea deitzen da. Aurkakoa, antikatea, elkarrekin konparatu ezin diren elementuak dituen azpimultzoa izango da, adibidez ordena diskretua.

## Erlazionatutako ordena matematikoak 
Matematikako alderdi gehienek ordenak erabiltzen badituzte ere modu batean edo bestean, badira teoria gutxi batzuk aplikazio sinpleetatik haratago doazen aplikazioekin erlazionatuta daudenak. Harremanetan jartzen dituzte ordena puntu nagusiekin batera; eta horietako batzuk behean azalduko dira.

### Aljebra unibertsala 
Lehen esan bezala, aljebra unibertsaleko metodo eta formalismoak tresna inportanteak dira ordena teorikoen kontsiderazioetarako. Ordenak, egitura aljebraikoen bidez formalizatzeaz gain identitate espezifiko batzuk asetuz, aljebrarekin erlazionatu daitezke beste modu batera. Adibide bat, aljebra boolearra eta eraztun boolearraren arteko korrespondentzian ematen da. Beste arazo batzuk eraikuntzen existentzia askeari dagozkie, sorgailu multzo jakin batean oinarritutako hesi libreak direnak. Gainera, itxiera-eragileak garrantzitsuak dira aljebra unibertsala aztertzeko.

### Topologia 
Topologian ordenak oso eginkizun nabarmena betetzen dute. Izan ere, multzo irekien multzoak hesi osoen adibide klasikoak dira, eta han zuzen ere, Heyting aljebra osoa. Filtroak eta sareak ordena teoriarekin lotutako nozioak dira eta multzo itxiak topologia definitzeko erabili daitezke. Erlazio horiez gain, topologia sare irekien terminoetan soilik ere ikus daiteke, honek puntu gabeko topologiara eramaten gaituelarik. Gainera, topologiaren azpimultzo baten elementuen ordena, espezifikazio ordena deitzen da, hau da, ordena partziala topologia T_{0} bada.

Alderantziz, ordena teorian, sarritan emaitza topologikoak erabiltzen dira. Ordena baten azpimultzoak definitzeko modu ezberdinak daude, hauek topologiako multzo irekiak bezala kontsidera daitezkeelarik. Bereziki, interesgarria litzateke topologiak kontuan hartzea partzialki ordenatutako multzoetan (*X, ≤*) eta horrek aldi berean, ≤ espezializazio ordena bultzatzen du. Topologiarik bikainena Alexandrov topologia da, goiko multzo guztiak irekiak balira bezala hartzen direnean gertatzen dena. Alderantziz, espezializazio ordena induzitzen duen topologia gordinena, goi-topologia da, ideia nagusien osagarriak izanik (hau da, {*y* barne *X* | *y ≤ x*} edozein x-rako) azpi-oinarri dena. Gainera, topologia bat ≤ erlazio ordenarekin ordena sendoa izan daiteke, honekin esan nahirik, bere multzo irekiak “helezina zuzendutako gorenarekiko” (≤-ri dagokionez). Ordena helezin topologiko bikainena Scott topologia da, Alexandrov topologia baino gordinagoa dena. Hirugarren topologia inportante bat Lawson topologia litzateke. Konexio hurbilak daude hiru topologia hauen artean eta baita ordena teoriako kontzeptuetan ere.

### Kategoria topologia 
Hasse diagramekin bistaratutako ordenek orokortze zuzen bat dute: handiagoak diren beheko elementu txikiagoak erakutsi beharrean, ordenaren norabidea irudikatu daiteke jarraibideak emanik grafoko ertzei emanaz. Modu honetan, ordena bakoitza grafo zuzendu azikliko baten berdin bezala ikus daiteke, non adabegi bakoitza partzialki ordenatutako multzoko elementuak diren eta bide zuzendu bat ematen duena *a*-tik *b*-ra baldin eta soilik baldin *a ≤ b*. Aziklikoaren baldintza kentzean, aurre-ordenak ere lor daitezke.

Ertz trantsizio guztiak hornituak geratzen direnean, grafo hauek kategoria berezian sartzen dira, non elementuak objektuak diren. Ordena arteko funtzioak funtzional bihurtzen dira kategorien artean. Ordena teoriako hainbat ideia kategoria teoriako kontzeptu sinplifikatuak besterik ez dira. Adibidez, beherena emaitza kategoriko bat besterik ez da. Orokortuz, beherena eta gorena limite kategorikoaren nozio abstraktupean sar daitezke.

Baina kategoria teoriak eragin handia izan du teoria ordenan. Adibidez, funtzio egokiak dituzten partzialki ordenatutako multzoetako klaseak, aurretik ikusitako klase interesgarrietan. Ikuspegi gehiago sortzen dira ordena-kategoriak beste kategorietan sailkatzen direnean, esaterako espazio topologikoen arabera. Ikerketa lerro honek ordezkaritza teorema desberdinetara eramaten gaitu, askotan Stone dualitatearen etiketarekin bilduak.

## Historia 
Aurretik azaldu bezala, ordenak nonahi daude matematikan eta erlazionatutako eremuetan. Hala eta guztiz ere, ordena partzialen aipamen esplizitu zaharrenak ziurrenik ez dira XIX. mendea baino lehen aurkituko. Testuinguru honetan George Boole-ren lanak garrantzi handikoak dira. Are gehiago, Charles Sanders Peirce, Richard Dedekind eta Ernst Schröder-en lanak ordena teoriako kontzeptu bezala kontsideratzen dira. Zalantzarik gabe badira beste asko aipagarriak direnak eta zalantzarik gabe ordena teorian bada material zehatzagoa.

## Erreferentziak 
* Birkhoff, Garrett (1940)*.* Hesi teoria. **25** (errebisatutako 3. edizioa).Amerikako Matematika Sozietatea. ISBN 978-0-8218-1025-5.
* Burris, S. N.; Sankappanavar, H. P. (1981)*. A Course in Universal Algebra*. Springer. ISBN 978-0-387-90578-5.
*  Davey, B. A.; Priestley, H. A. (2002). *Introduction to Lattices and Order* (2. edizioa). Cambridge University Press. ISBN 0-521-78451-4.
* Gierz, G.; Hofmann, K. H.; Keimel, K.; Mislove, M.; Scott, D. S. (2003). *Continuous Lattices and Domains*. Matematikaren entziklopedia eta bere aplikazioak. **93**. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-80338-0.

## Ikus, gainera 
## Kanpo estekak