Lorentzen indarra

Fisikan (elektromagnetismoan bereziki), **Lorentzen indarra** (edo **indar elektromagnetikoa**) eremu elektromagnetikoen ondorioz karga puntual batean sortzen den indar elektrikoaren eta magnetikoaren batura da. **E** eremu elektriko eta **B** eremu magnetiko batean **v** abiadura batez mugitzen ari den q kargako partikula batek hurrengo **F** indarra pairatzen du.

\mathbf{F} = q\,\mathbf{E} + q\,\mathbf{v} \times \mathbf{B} 

Legeak honako bi osagaien baturak eragindako indarrak hartzen ditu kontuan: **E** eremu elektrikoaren norabidean q karga baten gaineko indar elektrikoa  batetik, eta **B** eremu magnetikoaren eta q kargaren zein **v** abiaduraren produktuaren arteko biderketa angeluarra bestetik. Indarraren modulua eremuaren magnitudearen, kargaren eta abiaduraren araberakoa da beraz. Oinarrizko formula horren aldaketek honako fenomenoak deskribatzen dituzte: korronte eroale baten indar magnetikoa (batzuetan, Laplaceren indarra), eremu magnetiko baten bidez mugitzen den hari-begizta bateko indar elektroeragilea (Faradayren indukzio-legearen alde bat), eta mugimenduan kargatutako partikula baten gaineko indarra. 

Historialariek iradokitzen dute legea inplizituki dagoela James Clerk Maxwellek 1865ean argitaratutako artikulu batean. Oliver Heavisidek indar magnetikoaren ekarpena zuzenki identifikatu zuen. Urte batzuk geroago (1895) Hendrik Lorentz behin betiko formara heldu zen, indar elektrikoaren ekarpena identifikatuz.

## Lorentzen indarraren legea E eta B eremuen definizio bezala 
Elektromagnetismo klasikoaren testuliburu askotan, Lorentz-en indar-legea **E** eta **B** eremu elektriko eta magnetikoen definizio gisa erabiltzen da. Zehatzagoak izateko, Lorentzen indarra honako baieztapen enpiriko hau dela ulertzen da:

*Une eta posizio jakin batean, proba-karga baten gaineko **F** indar elektromagnetikoa bere q kargaren eta **v** abiaduraren funtzio jakin bat da, eta **E** eta **B** bektoreen bidez parametriza daiteke, hurrengo berdintza betetzen delarik:*

\mathbf{F} = q(\mathbf{E}+\mathbf{v} \times \mathbf{B})

Emaitza hori baliagarria da nahiz eta partikula argiaren abiadurara hurbildu (hau da, **v**, |**v**| ≈ *c* ). Hau horrela izanik, **E** eta **B** bektore-eremuak espazioan eta denboran zehar definitzen dira, eta eremu elektriko eta eremu magnetiko bezala ezagutzen dira. Bektore-eremuak espazio eta denbora osoan definitzen dira proba-karga batek jasoko lukeen indarrarekiko, karga hori indarra jasaten dagoen edo ez kontuan izan gabe.

**E** eta **B**-ren definizio gisa, Lorentzen indarra idealizazio bat baino ez da; izan ere, partikula erreal batek (masa eta karga infinitesimalki txikia izan ezin duenak) bere **E** eta **B** eremu finituak sortuko lituzke, eta horrek karga berak pairatzen duen indar elektromagnetikoa aldatuko luke. Gainera, kargak azelerazioa badu, ibilbide kurbatu batera behartua balitz bezala, energia zinetikoa galduko du erradiazioa media. Ikus, adibidez, Bremsstrahlung eta sinkrotroi-argia. Fenomeno horiek efektu zuzen baten bidez (erradiazioarekiko erreakzio-indarra deritzona) gertatzen dira, baita zeharka (erradiazioari eragiten diona).

## Ekuazioa 
**E** kanpoko eremu elektriko baten eta **B** eremu magnetiko baten ondorioz, **v** aldiuneko abiadurako q karga elektrikoko partikula bat hurrengo **F** indarra (SI unitateetan) pairatzen du: 

\mathbf{F} = q(\mathbf{E}+\mathbf{v} \times \mathbf{B}) 

non × biderkadura bektoriala den (letra lodiz agertzen diren kantitate guztiak bektoreak dira). Osagai kartesiarrei dagokienez, hauek ditugu:

F_x = q \left(E_x + v_y B_z - v_z B_y\right), 

F_y = q \left(E_y + v_z B_x - v_x B_z\right), 

F_z = q \left(E_z + v_x B_y - v_y B_x\right). 

Oro har, eremu elektriko eta magnetikoak posizioaren eta denboraren funtzioak dira. Beraz, esplizituki, honela idatz daiteke Lorentzen indarra:

\mathbf{F}\left(\mathbf{r},\dot\mathbf{r},t,q\right) = q\left[\mathbf{E}(\mathbf{r},t) + \dot\mathbf{r} \times \mathbf{B}(\mathbf{r},t)\right] 

non r kargatutako partikularen posizio-bektorea, t denbora eta primak denboraren deribatua diren.

Positiboki kargatutako partikula bat **E** eremuaren orientazio lineal berean azeleratuko da, baina aldiuneko **v** abiadura-bektorearekiko eta **B** eremuarekiko perpendikularki kurbatuko da eskuineko eskuaren arauaren arabera (eskuineko eskuko hatzak **v** norabidean jarriz gero **B**-ren norabidean uzkurtzen badira, orduan hatz lodiak **F** norabidea zehazten du).

q**E** terminoari **indar elektriko** deritzo, eta q(**v** \times  **B**) terminoari, berriz, **indar magnetiko**. Zenbait definizioren arabera, "Lorentzen indarra" terminoa indar magnetikorako formulari dagokio, bi indarrei (indar elektrikoa eta magnetikoa) beste izen bat ematen zaiolarik (ez estandarra). Artikulu honek ez du nomenklatura hau jarraituko: Aurrerantzean, "Lorentzen indarra" terminoa indar totalerako adierazpenari dagokio.

Lorentzen indarraren indar magnetikoaren osagaia da eremu magnetiko batean korrontea daraman eroale bati eragiten dion indarra. Testuinguru horretan, Laplaceren indar bezala ere ezagutzen da.

Lorentzen indarra eremu elektromagnetikoak kargatutako partikularen gainean eragindako indarra da, hau da, pultsu lineala eremu elektromagnetikotik partikulara transferitzen den abiadura. Horri lotuta dago eremu elektromagnetikotik partikulara energia transferitzen den abiadura. Hau da potentzia hori:

\mathbf{v} \cdot \mathbf{F} = q \, \mathbf{v} \cdot \mathbf{E}. 

Azpimarratu behar da eremu magnetikoak ez duela potentzian parte hartzen, indar magnetikoa beti baita partikularen abiadurarekiko perpendikularra.

## Historia 
Indar elektromagnetikoa kuantitatiboki deskribatzeko lehen saiakerak XVIII. mendearen erdialdean egin ziren. Polo magnetikoen eta elektrikoki kargatutako objektuen gaineko indarrak aurkako karratuaren legea jarraitzen dutela proposatu zuten Johann Tobias Mayerek eta beste batzuek 1760an eta Henry Cavendishek 1762an hurrenez hurren. Bi kasuetan, ordea, proba esperimentala ez zen ez osoa ez erabakigarria izan. 1784. urtera arte ez zuen lortu Charles-Augustin de Coulombek, tortsio-balantzea erabiliz, hori egia zela behin betiko frogatzea. 1820an Hans Christian Ørstedek iparrorratz bat korronte boltaiko batez aktibatu zuen eta, gutxira, André-Marie Ampère gai izan zen esperimentazioaren bidez formula bat asmatzeko bi elementuren arteko indarraren mendekotasun angeluarra azaltzeko. Deskribapen horietan guztietan, indarra beti deskribatu izan da materiaren propietateei eta bi masa edo kargen arteko distantziei dagokienez, eta ez eremu elektriko eta magnetikoei dagokienez.

Eremu elektriko eta magnetikoen kontzeptu modernoa Michael Faradayren teorietan sortu zen lehenik, bereziki indar-lerroei buruz zuen ideian, Lord Kelvinek eta James Clerk Maxwellek deskribapen matematiko osoa jaso ondoren. Ikuspegi moderno batetik, Maxwellen 1865eko formulazioan landa-ekuazioetatik Lorentz-en indarraren ekuazioaren forma bat identifika daiteke korronte elektrikoei dagokienez, nahiz eta Maxwellen garaian ez zen nabaria nola erlazionatzen ziren haren ekuazioak mugimenduan kargatutako objektuen gaineko indarrekin. J. J. Thomson izan zen lehena Maxwellen landa-ekuazioetatik higitzen ari zen objektu baten gaineko indar elektromagnetikoak ondorioztatzen, objektuaren propietateen eta kanpo-eremuen arabera. Izpi katodikoetan kargatutako partikulen portaera elektromagnetikoa zehaztu nahi zuen, eta Thomsonek artikulu bat argitaratu zuen 1881ean, non partikulekiko indarra eman baitzuen kanpoko eremu magnetiko baten eraginez: 

\mathbf{F} = \frac{q}{2}\mathbf{v} \times \mathbf{B}. 

Thomsonek formularen oinarrizko forma zuzena deribatu zuen, baina, zenbait kalkulu-akats eta desplazamendu-korrontearen deskribapen osatu gabea zirela eta, eskala-faktore okerra sartu zuen. Oliver Heavisidek idazkera bektorial modernoa asmatu zuen eta Maxwellen landa-ekuazioei aplikatu zien; hark ere (1885 eta 1889) Thomsonen deribazioaren erroreak finkatu zituen, eta indar magnetikoaren forma egokira iritsi zen mugimenduan kargatutako objektu batean. Azkenik, 1895ean, Hendrik Lorentzek indar elektromagnetikorako formularen forma modernoa deribatu zuen, eremu elektriko eta magnetikoen indar osoari egindako ekarpenak barne. 

## Lorentzen indarrak eragindako partikulen ibilbideak 
Kasu praktiko askotan, elektrikoki kargatutako partikula batek (elektroi bat edo ioi bat plasman) eremu magnetiko batean sartzean higidura zirkularra deskribatuko du bere v abiadura eta B eremu magnetikoa ortogonalak diren kasuan. Horien artean angelu ez zuzena baldin badago **desplazamendu** bat agertuko da eremu magnetikoaren norabidean eta **ibilbide helikoidal** bat agertuko da.

Hainbat partikularen kasuan, bira-abiadura aldatu egin daiteke hauen karga-egoeraren, masen edo tenperaturen arabera. Ondorioz, korronte elektrikoak edo bereizketa kimikoa gerta daitezke.

## Lorentzen indarraren garrantzia 
Maxwellen ekuazio modernoek elektrikoki kargatutako partikulek eta korronteek edo kargatutako partikula higikorrek eremu elektriko eta magnetikoen sorkuntza deskribatzen du. Hala ere, Lorentzen indarrak, eremu elektromagnetikoen aurrean q kargak jasaten duen indarraren deskribapenaz, irudia guztiz osatzen du. Lorentzen legeak **E** eta **B**-k karga puntual batean duten eragina deskribatzen du, baina indar elektromagnetiko horiek ez dira irudi osoa. Elektromagnetismoarekin lotuta, karga puntualetan bi fenomeno ematen dira; **E** eta **B** eremuen sorkuntza eta Lorentzen indarra. Hala ere, kargatutako partikulek beste indar batzuk pairatu ditzakete, bereziki grabitate eta indar nuklearrena, hau da, Maxwellen ekuazioak ez daude beste lege fisikoetatik bereizita, baizik eta kargaren eta korronte-dentsitatearekin erlazionatuta. 

Material errealetan, Lorentzen eredua ez da egokia, printzipioz, kargatutako partikulen portaera kolektiboa deskribatzeko zein kalkuluari dagokionez. Ingurune material batean kargatutako partikulek **E** eta **B** eremuak jasan ez ezik, sortu ere egiten dituzte. Higidura-ekuazio konplexuak ebatzi behar dira kargen espazio eta denborarekiko erantzunak zehazteko; adibidez, Boltzmannen ekuazioa, Fokker–Planck ekuazioa edo Navier–Stokes ekuazioak. Adibideentzako ikusi: magnetohidrodinamika, fluidoen dinamika, elektrohidrodinamika, supereroankortasuna, izarren bilakaera... Gai horiek lantzeko fisikako arlo oso bat garatu da.

## Korrontea daraman kable baten gaineko indarra 
Korronte elektrikoa daraman kable bat eremu magnetiko baten barruan ipintzerakoan, korrontean (mugimenduan) dagoen karga bakoitzak Lorentzen indarra jasaten du. Indar infinitesimal hauen baturak indar makroskopikoa sor dezakete kablean (**Laplaceren indarra** deitzen zaio batzuetan). Lorentzen indar-legea korronte elektrikoaren definizioarekin konbinatzean, ekuazio hau lortzen da alanbre zuzen eta geldikorraren kasuan:

\mathbf{F} = I \boldsymbol{\ell} \times \mathbf{B} 

non \boldsymbol \ell kablearen luzera bektorea eta I korronte konbentzionaleko karga-fluxuaren modulua den, biek norabide eta norantza berdina izanik.

Kable zuzenaren ordez kurbatua bada, jasandako indarra kablearen segmentu infinitesimal bakoitzari formula aplikatuz kalkula daiteke, indar horiek guztiak integrazioaren bidez gehituz. Formalki, hau da I korronte konstantea duen haril finko eta zurrun baten gaineko indar erresultantea:

\mathbf{F} = I\int \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times \mathbf{B} 

Gainera, normalean torke bat egongo da, eta beste efektu batzuk kablea erabat zurruna ez bada.

Honen aplikazio bat Ampèreren indar-legea da. Lege horrek korrontea daramaten bi kable erakarri edo aldaratu egin daitezkeela azaltzen du, bestearen eremu magnetikotik, bakoitzak Lorentzen indar bat jasaten baitu . Informazio gehiago nahi izanez gero, ikus Ampèreren indar-legeari buruzko artikulua.

## Indar elektroeragilea (i.e.e.) 
Lorentzen indarraren osagai magnetikoari esker (q**v** \times **B**) ematen da indar elektroeragilea (i.e.e.), sorgailu elektriko askoren azpian dagoen fenomenoa. Eroale bat eremu magnetiko batean zehar mugitzen denean, eremu magnetikoak kontrako indarrak eragiten ditu elektroietan eta kablearen nukleoetan, eta horrek indar elektroeragilea sortzen du. Beste sorgailu elektriko batzuetan, imanak mugitu egiten dira, eta eroaleak ez. Kasu horretan, Lorentzen indarraren termino elektrikoari (qE) zor zaio i.e.e.a. Eremu elektriko horrek eremu magnetiko aldakorrak sortzen ditu, induzitutako i.e.e. bat sortuz, Maxwell–Faradayren ekuazioak deskribatzen duen bezala.

Bi i.e.e.ak, nahiz eta jatorriak itxuraz desberdinak izan, ekuazio bakarraren bidez deskribatzen dira, Faradayren indukzio-legearen bidez. Albert Einsteinen erlatibitatearen teoria berezia bi efektuen arteko lotura hori hobeto ulertzeko nahiak eragin zuen hein batean. 

## Lorentzen indarra eta Faradayren indukzio legea 
Eremu magnetiko batean begizta forma duen kable bat sartzen bada, Faradayren indukzio-legeak ezartzen du kablean induzitutako indar elektroeragilea (i.e.e.) hau dela:

\mathcal{E} = -\frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t} 

non 

\Phi_B = \iint_{\Sigma(t)} \mathrm{d} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) 

espiratik igarotzen den fluxu magnetikoa den, **B** eremu magnetikoa, Σ(t) mugatutako ibilbidea den, t denboran, d**A** azaleraren elementu bektorial infinitesimala da (magnitudea azaleko adabaki infinitesimal baten azalera da, norabidea ortogonala da azaleko adabaki horrekiko).

I.e.e.-aren ikurra Lenzen legeak zehazten du. Kontuan izan horrek ez duela balio kable egonkor batentzat bakarrik, baizik eta mugitzen ari den kable batentzat ere.

Faradayren indukzio-legetik (mugitzen ari den korronte batentzat balio duenak, adibidez, motor batean) eta Maxwell-en ekuazioetatik, Lorentzen indarra ondoriozta daiteke. Kontrakoa ere egia da, Lorentzen indarra eta Maxwellen ekuazioak Faradayren legea deribatzeko erabil daitezke.

Σ(t) higitzen ari den espira bada, elkarrekin biraketa gabe eta v abiadura konstantearekin mugituz, eta Σ(t) kablearen barne-gainazala izatea. Mugatutako ibilbidean sortutako i.e.e.-a hurrengoa da:

\mathcal{E} =\oint_{\partial \Sigma (t)} \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} \cdot \mathbf{F} / q 

non

\mathbf{E} = \mathbf{F} / q 

eremu elektrikoa den, eta d\boldsymbol \ell ibilbidearen elementu bektorial infinitesimala den. d\boldsymbol \ell-kzein d**A**-k zeinu berdina dute; eta, zeinu zuzena lortzeko, eskuineko eskuaren araua erabiltzen da, Kelvin–Stokesen teoreman azaltzen den bezala.

## Aplikazioak 
Gailu askok erabiltzen dute Lorentzen indarra, beste askoren artean:

* Ziklotroiak eta ibilbide zirkularreko partikulen beste azeleragailu batzuk
* Masa-espektrometroak
* Abiadura-iragazkiak
* Magnetroiak
* Lorentzen abiadura-neurgailuak
* Laplaceren indarra hurrengo gailuetan erabiltzen da:
* Motor elektrikoak
* Erraileko kanoiak
* Motor linealak
* Bozgorailuak
* Propultsatzaile magnetoplasmadinamikoak
* Sorgailu elektrikoak eta beste batzuk
* Alternadore linealak

## Bibliografia 
* Feynman, Richard Phillips; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew L. (2006). The Feynman lectures on physics (3 vol.). Pearson / Addison-Wesley. .: volume 2.

* Griffiths, David J. (1999). Introduction to electrodynamics (3rd ed.). Upper Saddle River, [NJ.]: Prentice-Hall. .
* Jackson, John David (1999). Classical electrodynamics (3rd ed.). New York, [NY.]: Wiley. .
* Serway, Raymond A.; Jewett, John W., Jr. (2004). Physics for scientists and engineers, with modern physics. Belmont, [CA.]: Thomson Brooks/Cole. .
* Srednicki, Mark A. (2007). Quantum field theory. Cambridge, [England] ; New York [NY.]: Cambridge University Press. .

## Ikus, gainera 
## Kanpo estekak