Reissner eta Nordströmen metrika

Fisika eta astronomian, **Reissner eta Nordström-en metrika** Einstein-Maxwell-en eremu ekuazioen soluzio estatikoa da. *M* masa estatiko, *q* karga eta simetría esferikodun zulo beltz batek sortzen duen grabitazio-eremu baten kasuan. Soluzio hau Kerr eta Newman-en metrikaren kasu partikularra da non masa biratzen ari den.

1916an eta 1921ean Hans Reissner, Hermann Weyl, Gunnar Nordström eta George Barker Jeffery-k deskubritu zuten era independentean. 

## Metrika 
Metrika lortzeko Einstein-Maxwellen eremu ekuazioen soluzio estatiko, asintotikoki lau eta esferikoki simetrikoa bilatzen da. Einsteinen ekuazioak ondorengoak dira;

G^{\mu\nu}=8\pi G\cdot T^{\mu\nu},

non T^{\mu\nu} energia-momentu tentsorea den. Karga gabeko eremu batean honela definitzen dena;

T^{\mu\nu} = \frac{1}{\mu_0} \left[ F^{\mu \alpha}F^\nu{}_{\alpha} - \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta}\right] \,,

Tentsore honen heina zero denez Ricciren eskalarra nulua izango da eta ondorioz Einsteinen ekuazioen baliokidearekin lan egin dezakegu;

R^{\mu\nu}=8\pi G\cdot T^{\mu\nu}.

Gainera, F_{\mu\upsilon} Maxwell-en tentsoreak karga gabeko Maxwell-en ekuazioak bete behar ditu 

\nabla_{\mu} F^{\mu \alpha} = 0,

\partial_{[\mu}F_{\nu\rho]}.

Simetria esferikoa betetzen dela onartu denez *(t,r,θ,Φ)* koordinatu sistema erabili daiteke eta estatikotasuna kontuan hartuz hurrengoa da metrika;

ds^{2} = -A(r)c^{2}dt^{2}+B(r)dr^{2}+r^{2}d\Omega^{2},

non d\Omega^{2} = d\theta^{2}+sin^{2}\theta d\varphi^{2} angelu solidoaren infinitesimala den.

F_{\mu\nu}=E(r)\begin{bmatrix}
   0 & -1 & 0 & 0 \\
  1 & 0 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix},

Maxwellen lehen ekuazio identikoki betetzen da eta bigarren ekuazioa aplikatuz 

E = K \frac{\sqrt{AB}} {r^{2}}.

Asintotikoki laua izatea eskatzen denez infinituan A, \ B \rightarrow 1, eta E =  \frac{K} {r^{2}}. q kargako partikula baten eremu Coulomb-dar klasikoa berreskuratu nahi izanez gero K=q aukeratu behar da.

Azken emaitza Einsteinen ekuazioetan ordezkatuz, A'' ezabatu ondoren, geratzen diren baldintzen artean AB'+A'B = (AB)*=0 dago. Ondorioz AB=konst eta infinituan AB \rightarrow 1. Beraz, r guztietarako,

B=\frac{1}{A}.

Baldintza hauekin hurrengo aukeraketa egin dezakegu:

A=1-\frac{\tilde K}{r}+\frac{G q^{2}}{c^{4} r^{2}}.

ds^{2}=-\left(1-\frac{r_{S}}{r}+\frac{r_{q}^{2}}{r^{2}}\right)c^{2}dt^{2}+\left(1-\frac{r_{S}}{r}+\frac{r_{q}^{2}}{r^{2}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega^{2},

non r_{S}=\tilde K= \frac {8 \pi G} {c^{2}} Schwarzschilden erradioa eta r_{q}^{2}\equiv \frac{Gq^{2}}{c^4} diren, q gorputzaren karga elektriko osoa izanik. Q karga (edota r_{q}) desagertzen den limitean Schwarzschilden metrika berreskuratzen da. Gainera, Newtonen grabitateren teoria klasikoa berruskuratu dezakegu r_{s}/r \rightarrow 0 limitean. r_{s}/r \rightarrow 0 eta r_{q}/r \rightarrow 0 limitean erlatibitate bereziko Minkowskiren metrika berreskuratzen dugu.

M(r)=M -Q^2/2r

## Horizonteak 
Izan bedi hurrengo koefizientea;

A=1-\frac{2m}{r}+\frac{ q^{2}}{r^{2}}=\frac {Q}{r^{2}}

non 

\frac {Q}{r^{2}}=r^{2}-2mr+q^{2}.

Q kuadratikoaren diskriminantea \Delta=m^{2}-q^{2} da.. Emaitza hau ez da harritzekoa, izan ere, hemen dago kokatuta eremua sortzen duen *q* karga. Singularitate biluziek arazoak sortzen dituzte kausalitatearekin, hori dela eta, normalean Penrose-n zentsura kosmikoaren hipotesian oinarrituz ez da soluzio fisiko bezela onartzen.

d\theta=d\varphi=0 planoa aztertuz, honela idazten da geodesiko nulu baten ekuazioa:

ds^{2}=0 \rightarrow c \frac {dt}{dr}=\pm A^{-1}, 

ct=\pm[r - \frac{2r_{q}^2 - r_{s}^2}{\sqrt{4r_{q}^2-r_{s}^2}} arctan\frac{2r-r_{s}}{\sqrt{4r_{q}^2-r_{s}^2}}+\frac{r_{s}}{2} ln\frac{r^2A}{r_{s}^2}]+K

\begin{align}
\Gamma^t_{t r} & = \frac{M r-Q^2}{r ( Q^2 + r^2 - 2 M r ) } \\[6pt]
\Gamma^r_{t t} & = \frac{(M r-Q^2) \left(r^2-2Mr+Q^2\right)}{r^5} \\[6pt]
\Gamma^r_{r r} & = \frac{Q^2-M r}{Q^2 r-2 M r^2+r^3} \\[6pt]
\Gamma^r_{\theta \theta} & = -\frac{r^2-2Mr+Q^2}{r} \\[6pt]
\Gamma^r_{\varphi \varphi} & = -\frac{\sin ^2 \theta \left(r^2-2Mr+Q^2\right)}{r} \\[6pt]
\Gamma^\theta_{\theta r} & = \frac{1}{r} \\[6pt]
\Gamma^\theta_{\varphi \varphi} & = - \sin \theta \cos \theta \\[6pt]
\Gamma^\varphi_{\varphi r} & = \frac{1}{r} \\[6pt]
\Gamma^\varphi_{\varphi \theta} & = \cot \theta
\end{align}

Ikur hauen bidez proba partikula baten geodesikoa lor daiteke.

## Higidura ekuazioak 
Simetria esferikoa dela eta, beti hautatu daiteke koordinatu sistema proba-partikula plano batean aurkitzeko moduan. Hori dela eta, *θ* erabiliko dugu *φ''-ren ordez. Dimentsio gabeko unitate naturaletan G=M=c=K=1 q kargako partikula baten higidura

\ddot x^i = - \sum_{j=0}^3 \ \sum_{k=0}^3 \ \Gamma^i_{j k} \ {\dot x^j} \ {\dot x^k} + q \ {F^{i k}} \ {\dot x_k}

da eta ondorioz,

\ddot t =  \frac{ \ 2 (Q^2-Mr) }{r(r^2 -2Mr +Q ^2)}\dot{r}\dot{t}+\frac{qQ}{(r^2-2mr+Q^2)} \ \dot{r}

\ddot r = \frac{(r^2-2Mr+Q^2)(Q^2-Mr) \ \dot{t}^2}{r^5}+\frac{(Mr-Q^2) \dot{r}^2}{r(r^2-2Mr+Q^2)}+\frac{(r^2-2Mr+Q^2) \ \dot{\theta}^2}{r} + \frac{qQ(r^2-2mr+Q^2)}{r^4} \ \dot{t}

\ddot \theta = -\frac{2 \ \dot\theta \ \dot{r}}{r} .

Kontuan hartu deribatu guztiak denbora propioarekiko direla, \dot a=\frac{da}{d\tau}.

Higidura konstanteak S (t,\dot t,r,\dot r,\theta,\dot\theta,\varphi,\dot\varphi)-rekin lortzen dira, hurrengo ekuazio diferentzialaren soluzioa dena,

\dot t\dfrac{\partial S}{\partial t}+\dot r\frac{\partial S}{\partial r}+\dot\theta\frac{\partial S}{\partial\theta}+\ddot t \frac{\partial S}{\partial \dot t} +\ddot r \frac{\partial S}{\partial \dot r} + \ddot\theta \frac{\partial S}{\partial \dot\theta} =0

Lehenago aipatutako bigarren deribatuak ordezkatu ondoren metrika bera ekuazio diferentzialaren soluzioa da,

 S_1=1 = 
\left( 1 - \frac{r_s}{r} + \frac{r_{\rm Q}^2}{r^2} \right) c^2\, {\dot t}^2 -\left( 1 - \frac{r_s}{r} + \frac{r_Q^2}{r^2} \right)^{-1} \, {\dot r}^2 - r^2 \, {\dot \theta}^2 .

\frac{\partial S}{\partial r}-\frac{2}{r}\dot\theta\frac{\partial S}{\partial \dot\theta}=0 

Ekuazio banangarriak momentua angeluar erlatibista ematen digu,

S_2=L=r^2\dot\theta.

Hirugarren konstantea energia espezifikoa (energia geldiuneko masaran unitateko) da

\frac{\partial S}{\partial r}-\frac{2(Mr-Q^2)}{r(r^2-2Mr+Q^2)}\dot t\frac{\partial S}{\partial \dot t}=0

S_3=E=\frac{\dot t(r^2-2Mr+Q^2)}{r^2} + \frac{qQ}{r} .

S_2 eta S_3, S_1-en ordezkatuz ekuazio erradiala lortzen da,

c\int d\,\tau =\int \frac{r^2\,dr}{ \sqrt{r^4(E-1)+2Mr^3-(Q^2+L^2)r^2+2ML^2r-Q^2L^2 } } .

Berriro ere S_2-rekin biderkatuz eta integratuz

c\int Lr^2\,d\theta =\int \frac{L\,dr}{ \sqrt{r^4(E-1)+2Mr^3-(Q^2+L^2)r^2+2ML^2r-Q^2L^2 }  }.

Proba partikularen eta infinituan kokatuta dagoen behatzailearen arteko denboraren dilatazioa

\gamma= \frac{q \  Q  \ r^3 + E \ r^4}{r^2 \ (r^2-2 r+Q^2)} 

da.

v^i 3-abiadura lokalaren osagai kontrabarianteak eta \dot x^ilehen deribatuak \dot x^i = \frac{v^i}{\sqrt{(1-v^2) \ |g_{i i}|}}-ren bidez erlazionatzen dira eta honela ezartzen dira hasierako baldintzak;

\dot r = \frac{v_\parallel \sqrt{r^2-2M+Q^2}}{r \sqrt{(1-v^2)}}

\dot \theta = \frac{v_\perp}{r \sqrt{(1-v^2)}} .

Proba-partikularen energia orbital espezifikoa

E=\frac{\sqrt{Q^2-2rM+r^2}}{r \sqrt{1-v^2}}+\frac{qQ}{r}

eta momentu angeluar erlatibo espezifikoa

L=\frac{v_\perp \ r}{\sqrt{1-v^2}}

higiduraran konstatnte mantentzen diren kantitateak dira.  v_{\parallel} eta v_{\perp}abiadura lokalaren osagai erradial eta tangentziala dira, hurrenez hurren, beraz, abiadura lokala

v = \sqrt{v_\perp^2+v_\parallel^2} = \sqrt{\frac{(E^2-1)r^2-Q^2-r^2+2rM}{E^2 r^2}}

izango da,

## Zuzenketa kuantikoak 
Grabitazio kuantikoaren zenbait alderditan, Reissner-Nordströmen metrikak zuzenketa kuantikoak behar ditu. Honen adibide da, Barvinsky eta Vilkovisky-k eremuen teorien hubilketa. Bigarren ordeneko kurbaduran, Einstein-Hilberten akzio klasikoa termino lokal eta ez-lokalekin batzen da:

:  \Gamma=\int d^4x\, \sqrt{-g}\,\bigg(\frac{R}{16\pi G_N}+c_1(\mu)R^2
    +c_2(\mu)R_{\mu\nu}R^{\mu\nu}
    +c_3(\mu)R_{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu\rho\sigma}\bigg)-\int d^4 x \sqrt{-g}\bigg[\alpha R\ln\left(\frac{\Box}{\mu^2}\right)R
    +\beta R_{\mu\nu}\ln\left(\frac{\Box}{\mu^2}\right)R^{\mu\nu} + \gamma R_{\mu\nu\rho\sigma}\ln\left(\frac{\Box}{\mu^2}\right)R^{\mu\nu\rho\sigma}\bigg],

non \mu energia eskala den. Alde batetik,  c_1,c_2  eta  c_3 koefizienteen balio zehatza ezezaguna da, izan ere, grabitazio kuantikoaren teoria ultra-morearen naturan oinarritzen dira. Bestalde, \alpha, \beta  eta \gamma koefizienteak kalkulagarriak dira.  \ln\left(\Box/\mu^2\right) operadorea integral baten bidez adierazi daiteke

: 
    \ln\left(\frac{\Box}{\mu^2}\right)=\int_0^{+\infty}ds\, \left(\frac{1}{\mu^2+s}-\frac{1}{\Box+s}\right).

Akzioaren termino berriek soluzio klasikoaren aldaketa bat dakarkate. Kuantukoki zuzendutako Reissner–Nordström metrika, \mathcal{O}(G^2) ordeneraino, Campos Delgado-k aurkeztu zuen:

:   ds^2=-f(r)dt^2+\frac{1}{g(r)}dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2, 

non

:   f(r)=1-\frac{2G M}{r}+\frac{G Q^2}{r^2}-\frac{32\pi G^2 Q^2}{r^4} \bigg[c_2+4c_3+2\left(\beta+4\gamma\right)\left(\ln\left(\mu r\right)+\gamma_E-\frac{3}{2}\right)\bigg],
:   g(r)=1-\frac{2G M}{r}+\frac{G Q^2}{r^2}-\frac{64\pi G^2 Q^2}{r^4}\Big[c_2+4c_3+2\left(\beta+4\gamma\right)\left(\ln\left(\mu r\right)+\gamma_E-2\right)\Big]. 

## Erreferentziak 
## Kanpo estekak 
*Charged Black Holes: The Reissner-Nordström Geometry
* Reissner - Nordstrom Solution II, Cosmic Censorship conjecture
* Reissner-Nordstrom Metric Derivation | Solving The Maxwell-Einstein Equations