Topologia

[300px|thumb|Kikara bat [Toru (topologia)|toru bihurtzen.]]
**Topologia** (Grekotik *topos*, "lekua", eta *logos*, "zientzia" edo "estudioa") matematikaren atal bat da, espazio topologikoak aztertzen dituena. Beraz, topologiak objektu geometrikoen propietate kualitatiboak aztertzen ditu, hau da, deformazio birjarraituez aldatzen ez diren propietateak.

Topologia hitza erabiltzen da ikasketen arlo hori deskribatzeko zein multzoen (multzo irekiak) familia bat izendatzeko, teoriaren oinarrizko kontzeptua (espazio topologikoa) definitzeko erabiltzen direnak.

Espazio topologikoaren nozioa oinarrizkoa da gaur egungo matematikan, eta matematikaren adar oso ezberdinen arteko lotura da. Baina topologia bera matematikaren adar oso zabala da. Hiru arlo nagusi ditu:

* Topologia orokorra: topologiako arlo guztien oinarria da. Espazio topologikoetatik eta haien gainean definitutako oinarrizko nozioetatik abiatuz, trinkotasuna eta konexutasuna aztertzen ditu, besteak beste. Horrez gain, topologia orokorrean espazio topologikoen arteko aplikazioak sailkatzen dira jarraitutasuna, homeomorfismoa, aplikazio propioak eta antzeko nozioak erabiliz;
* Topologia aljebraikoa: arlo honetan, aljebra abstraktuaren tresnak erabiltzen dira espazio topologikoak aztertzeko. Adibide bat oinarrizko taldea funktorea da, espazio topologiko bidez konexu bakoitzari talde bat lotzen diona. Homotopia, homologia eta antzeko nozioak aztertzen ditu;
* Topologia diferentziala: era konkretu bateko espazio topologikoen propietateak aztertzen ditu: barietate diferentziagarriak. Geometria diferentzialaren arlo auzokidea da. Teoria honen aplikazioen artean, Gauss-Boneten teorema, Morseren teoria eta Hopfen indizea ditugu.

Espazio topologikoen estudioan bereziki garrantzitsuak dira Homeomorfismoak, bere espazioko "egitura topologikoa" gordetzen duten funtzioak. Hortaz, bi espazioen artean homeomorfismo bat existitzen bada, orduan espazio horiek bereizezinak dira.

## Historia 
[thumb|[Königsberg-eko zazpi zubietako ebazkizuna|Königsbergeko zubien problema Eulerrek ebatzi zuen.]]
Historikoki, Johann Benedict Listingek erabili zuen lehenengo aldiz, 1836an, Topologie hitza (alemanez), bere irakasle bati idatzitako eskutitz batean, eta, geroago, 1847an argitaratutako *Vorstudien zur Topologie* izeneko liburuan.

Hala ere, 100 urte lehenago, 1736. urtean, hain zuzen ere, Leonhard Euler (1707-1783) matematikari suitzarrak *Solutio problematis ad geometrian situs pertinentis* izenburuko lana argitaratu zuen. Lan horretan, Königsbergeko zubien problemaren soluzioa azaltzen zuen.

Königsberg hirian (Errusiako Kaliningrad gaur egun), Eulerren garaian, zazpi zubi zeuden, eta ibaiaren ertzak eta bi irlak lotzen zituzten (hurrengo irudian ikusten den bezala). Jendeak galdetzen zuen ea posible izango ote zen zubi bakoitzetik behin eta behin bakarrik igarotzen zen ibilbiderik aurkitzea. Eulerrek frogatu zuen horrelakorik ezin zela aurkitu. Lanaren izenburuan jadanik adierazi zuen geometria-mota ezberdin bat erabiltzen ari zela, non distantziak ez zuen inolako garrantzirik. Emaitza hori ez da aldatzen, zubien luzerak edota beren arteko distantziak aldatzen badira, benetan garrantzizkoak diren datu bakarrak zubien arteko kokapenak dira. Bere oroimenez, gaur egun, grafo eulertar deritze era horretako ibilbideei.

Askotan esaten da Eulerren artikulua topologiaren abiapuntua dela. Hala ere, oso arbitrarioa izango litzateke topologiaren hasiera-data momentu horretan jartzea. Argi dago problema ebazteko modua topologikoa dela, baina benetako lehenengo ideia topologikoak konbergentziaren nozioarekin eta espazio metriko baten osotasunarekin agertu ziren XIX. mendearen bukaeran eta XX. mendearen hasieran.

Gaur egungo topologia Georg Cantorrek (1845-1918) XIX. mendearen bukaeran garatutako multzoen teoriaren ideietan oinarritzen da. Cantor, multzo-teoriaren hastapenak finkatzeaz gain, espazio euklidearraren azpimultzoak aztertzen hasi zen Fourierren serieak ikertzean.

1895. urtean, Henri Poincarék (1854-1912), *Analysis Situs* izeneko liburuan, homotopia eta homologiaren nozioak sartu zituen. Hori dela eta, topologia aljebraikoaren fundatzailetzat hartu izan da.

Maurice Fréchetek (1878-1973) Cantor, Volterra, Arzelà, Hadamard, Ascoli eta beste batzuen lanak bateratu zituen, eta 1906an espazio metrikoaren nozioa sartu zuen.

Espazio topologikoaren kontzeptuaren formalizazioa Felix Hausdorff (1868-1942) matematikari alemaniarrak egin zuen 1914. urtean. Gaur egun, kontzeptu hori Hausdorffen espazio gisa da ezaguna. Oraingo espazio topologikoaren kontzeptua zertxobait orokorragoa da, eta Kazimierz Kuratowski (1896-1980) matematikari poloniarrak finkatu zuen 1922. urtean.

## Ikus, gainera 
* Espazio topologikoa
* Topologia orokorra

## Kanpo estekak 
* Topologiako problema batzuk