Christoffelen ikurrak

thumb|Elwin Bruno Christoffel, Christoffelen ikurren sortzailea.
Matematikan eta fisikan, **Christoffelen ikurrak** konexio metriko bat deskribatzen duten zenbaki-sorta bat dira. Zehazki, tentsore metrikotik eratorritako Levi-Civita konexioaren adierazpenak dira koordenatu espazialetan. Christoffelen ikurrak kalkulu praktiko ugari egiteko erabili ohi dira. Esate baterako, Riemannen kurbadura-tentsorea Christoffelen ikurren eta beren lehenengo deribatu partzialen funtzioan idatz daiteke. Gainera, koordenatu-sistemak eta tentsore metrikoak simetriaren bat daukatenean, gai asko nuluak dira. Bestalde, Levi-Civita konexioaren notazio formala (indizerik gabekoa) dotorea da, eta teoremak laburki idaztea ahalbidetzen badu ere, kalkulu praktikoak egiteko ia erabilezina da.

Christoffelen ikurrek Elwin Bruno Christoffelen omenez jaso zuten haien izena.

## Oharra 
Artikuluan zehar emandako definizioak zuzenak dira Riemannen barietateen eta barietate sasirriemanndarren kasuan, hots, erlatibitate orokorrean agertzen diren horien kasuan; goiko eta beheko indizeak arretaz bereiztea ezinbestekoa da, eta Einsteinen batuketa-hitzarmena erabiliko da. Halaber, esplizituki kontrakoa esaten ez bada, formulok edozein zeinu-hitzarmenetarako balio dute. Azkenik, f eremu eskalar, bektorial edo tentsorial baten x^\nu-rekiko deribatu arrunta adierazteko hurrengo notazioa erabiliko da:

f_{,\nu}=\frac{\partial f}{\partial x^\nu}

## Definizioa 
### Lehen motako Christoffelen ikurrak 
Lehen motako Christoffelen ikurren definizioa honako hau da:

\Gamma_{\rho \mu \nu}=\frac{1}{2}(g_{\rho \mu ,\nu}+g_{\rho \nu ,\mu}-g_{\mu \nu ,\rho})

### Bigarren motako Christoffelen ikurrak 
Bigarren motako Christoffelen ikurrak, konexio-koefiziente edo konexio izenaz ere ezagunak, honela definitzen dira:

\Gamma^{\lambda^{\prime}} _{\mu^{\prime}\nu^{\prime}}=\frac{\partial x^{\lambda^{\prime}}}{\partial x^{\alpha}} \frac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\mu^{\prime}}}\frac{\partial x^{\gamma}}{\partial x^{\nu^{\prime}}}\Gamma^{\alpha}_{\beta \gamma}-\frac{\partial^2 x^{\lambda^{\prime}}}{\partial x^{\alpha}\partial x^{\beta}}\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\mu^{\prime}}}\frac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\nu^{\prime}}}        

Garrantzitsua da ohartzea konexioa, orokorrean, **ez** dela tentsore baten gisa transformatzen, aurreko adierazpenean argiro ikus daitekeen bezala.

## Deribatu kobariantea 
Christoffelen ikurrak deribatu kobariantearen definizioan agertzen dira. Honela definitzen dira eremu eskalar, bektorial eta tentsorialen deribatu kobarianteak:

## Ricciren kurbadura-tentsorea 
Riemannen kurbadura-tentsorearen antisimetria dela eta, R^{\lambda}_{\;\lambda \mu \nu}=0 da. Haatik, Ricciren kurbadura-tentsorea,

Geometria diferentzialean, Einsteinen tentsorea barietate sasirriemanndar baten kurbadura adierazteko erabiltzen da.

## Aplikazioak erlatibitate orokorrean 
### Geodesikoen ekuazioa 
Azpiatal honetan erlatibitate orokorrean hain esanguratsua den geodesikoen ekuazioa ondorioztatuko da.

### Geodesikoen desbideratzea 
thumb|440x440px|Geodesikoen desbideratzea. Eskala ez da errespetatu.
Atal honetan geodesikoen desbideratzea aztertuko da. horretarako, Christoffelen ikurrekin lan egitea ezinbestekoa izango da. Demagun masa-banaketa bornatu batek sortutako eremu grabitatorio estatiko ahula eta haren eraginpean higitzen den partikula bat. Teoria newtondarrean \Phi potentziala aukeratu ohi da infinituan zero izan dadin. Abiadura txikia denez, honela idazten da geodesikoen ekuazioa, teoria newtondarreko t denbora eta x^i koordenatuetan, x^0=ct jartzen badugu:

\left\vert \frac{dx^i}{d\tau} \right\vert \ll \frac{dx^0}{d\tau} \Longrightarrow
\frac{d^2x^\lambda}{d\tau^2}+\Gamma^{\lambda}_{00}\frac{dx^0}{d\tau}\frac{dx^0}{d\tau}=
\frac{d^2x^\lambda}{d\tau^2}+c^2\Gamma^{\lambda}_{00}\left( \frac{dt}{d\tau} \right)^2=0
 

Eremua estatikoa denez, denborarekiko deribatuak nuluak dira:

\Gamma^\lambda_{00}=-\frac{1}{2}g^{\lambda\rho}g_{00,\rho} =-\frac{1}{2}g^{\lambda i}g_{00,i} 

Eremua ahula bada, dagokion metrika eta Minkowskirena ez dira oso desberdinak izango, koordenatu egokietan,

g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}, \;\;\;\left\vert h_{\mu\nu} \right\vert \ll 1 

eta h -rekiko koadratikoak diren gaiak arbuiatuz, hauxe dugu:

\Gamma^\lambda_{00}=-\frac{1}{2}\eta^{\lambda i}h_{00,i} \Longrightarrow 
\begin{cases}
\Gamma^0_{00}=0,\\
\Gamma^i_{00}=-\frac{1}{2}\delta^{ij}h_{00,j}
\end{cases} 

Hortaz, honela geratzen dira hasierako ekuazioak:

\frac{d^2t}{d\tau^2}=0 \iff \frac{dt}{d\tau}=\text{konstantea} 

\frac{d^2\bold{x}}{d\tau^2}=\frac{c^2}{2}\left( \frac{dt}{d\tau}\right)^2 \nabla h_{00} \Longrightarrow 
\frac{d^2\bold{x}}{d\tau^2}=\frac{c^2}{2}\nabla h_{00} 

Mekanika newtondarrean honako hau da higidura-ekuazioa:

\frac{d^2\bold{x}}{dt^2} =-\nabla \Phi 

Ondorioz, h_{00}=-2\Phi/c^2 . Azkenik, eremu grabitatorio estatiko ahuletan, potentzial grabitatorio newtondarraren eta erlatibistaren arteko erlazioa hauxe da:

g_{00}\approx -\left( 1+2\frac{\Phi}{c^2} \right) 

Eguzkiaren azalean \Phi/c^2 \approx -2.12 \times 10^{-6}   da eta Lurraren azalean \Phi/c^2 \approx -6.95 \times 10^{-10}  : grabitazioak oso gutxi aldatzen du geometria, kasu horietan. Eremu grabitatorio bortitzak behar dira aldaketak handiak izateko, zulo beltz baten inguru hurbilean esate baterako.

## Erreferentziak 
## Kanpo estekak