Elipse

Geometrian, **elipsea** bi puntu finkoetarako distantzien batura konstantea duten planoko puntu guztien leku geometrikoa da. Aldi berean, kono bati ebakidura zeihar bat egitean agertzen den kurba da. Horrela, elipsea konika-mota bat da, parabola eta hiperbola bezala. Zirkunferentzia elipse berezi bat da, zeina konoari ebakidura zuzen bat eginez agertzen den.

Errealitatean maiz agertzen den kurba bat da. Horrela, eguzki-sistemako planetek elipse motako orbita batean zehar egiten dute bira eguzkiaren inguruan. Zirkunferentzia bat proiektatuz sor daitekeen kurba ere bada elipsea.

## Elipse baten elementuak 
thumb|400px|**Elipse baten elementuak.**

Elipsearen **zentroa** 0 puntuan kokaturik, **ardatz nagusia** *-a*tik *a*ra doan zuzenkia da eta **ardatz txikia** *-b*tik *b*ra doana. Bi ardatzak elkarzutak dira eta elipsearen simetria-ardatzak dira gainera.

**Fokuak** *-c* eta *c* puntuetan kokaturik daude, zentrotik distantzia berera. Elipseko puntu orotik bi fokuetara dagoen distantzien batura bat dator ardatz nagusiaren luzerarekin: 2a. Gainera, berdintza hau betetzen da: *a2+b2=c2*.

Elipsearen **eszentrikotasuna** honela definitzen da: *e=c/a*. Beraz, *c=ea* betetzen da. Eszentrikotasuna zenbat eta txikiagoa izan, elipsea orduan eta *borobilagoa* da.

**Zuzentzaileak** *-D* eta *D* dira eta fokuen bertikaletik elipsearen zuzen tangenteak ardatz nagusiarekiko ebaki-puntuan altxatzen diren elkarzutak dira. Gainera, eszentrikotasuna zuzentzaileen arteko distantziaren eta ardatz nagusiaren luzeraren arteko konstante proportzionala ere bada: *e=2a/2d=a/d*.

## Elipsearen ekuazioak 
### Ekuazio kanonikoa 
Elipsearen ekuazio kanonikoa bere ardatzak abzisa eta ordenatuen ardatzekiko paraleloak direnean erabiltzen da.

* Elipsea ardatz nagusia **X** ardatza bada eta zentrua (0,0) puntuan ez badago:
:::\frac{(x-x_1)^2}{a^2}+\frac{(y-y_1)^2}{b^2} = 1 
* Elipsearen ardatz nagusia **X** ardatza bada eta zentrua (0,0) bada:
:::\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1 
* Elipsearen ardatz nagusia **Y** ardatza bada eta zentrua (0,0) puntuan ez badago:
:::\frac{(x-x_1)^2}{b^2}+\frac{(y-y_1)^2}{a^2} = 1 
* Elipsearen ardatz nagusia **Y** ardatza bada eta zentrua (0,0) bada:
:::\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2} = 1 

Frogapena, ardatz nagusia **X** ardatza izanik, puntu batetik fokuetarako distantzien batura erabiliz egiten da:

* elipsearen x,\ y\, puntu batetik F_1:(-c,0)\, eta F_2:(c,0)\, fokuetarako distantzien batura konstantea eta 2a\, ardatz nagusiarekin bat datorrenez:

:::d(P,F_1)+d(P,F_2)=2a \rightarrow\,

:::\sqrt{(x-(-c))^2+(y-0)^2}+\sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2}=2a\,;

* bigarren erroa beste aldera eraman ondoren, karratura berretuz:

:::(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2}+(x-c)^2-y^2\,;

* erroa bakanduz eta laburtuz:

:::
\begin{align}
\sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2}&=\frac{-1}{4a}(x^2+2xc+c^2+y^2-4a^2-x^2+2xc-c^2-y^2)\\
&=-\frac{1}{4a}{4xc-4a^2}\\
&=a-\frac{c}{a}x.
\end{align}

* bi aldeak karratura berretuz eta laburtuz:

:::
\begin{align}
x^2-2xc+c^2+y^2&=a^2-2cx+\frac{c^2}{a^2}x\\
x^2\frac{a^2-c^2}{a^2}+y^2&=a^2-c^2\\
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}&=1.
\end{align}

* b^2=c^2-a^2\, aldaketa eginez:

:::::\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

Zentroa x_1,\ y_1\, puntuan dagoenean nahikoa da, zentroa jatorria bihurtu X=x-x_1\, eta Y=y-y_1\, aldagai-aldaketak erabiliz, aurreko formula erabili eta ondoren, aldagai-aldaketa desegin. Ardatz nagusia bertikala denena, x\, eta y\, aldagaiak aldatzea besterik ez da egin behar.

2b\, ardatz txikiaren luzera da, x=0\, eginez, y=\pm b\, elipseko puntuen arteko aldea, hain zuzen.

### Lau puntuetatik igarotzen den elipsea 
thumb|300px|Lau punutuetatik elipse bakarra igarotzen da.

Konziklikoak ez diren, hots, zirkunferentia berean ez dauden lau puntuetatik elipse bakarra igarotzen da. Puntuak (x_1,\ y_1),(x_2,\ y_2),(x_3,\ y_3),(x_4,\ y_4) izanik, determinante hau garatuz eratzen da elipsearen ekuazioa:

:::::\begin{vmatrix} x^2 & y^2 & x & y & 1\\
x_1^2 & y_1^2 & x_1 & y_1 & 1\\
x_2^2 & y_2^2 & x_2 & y_2 & 1\\
x_3^2 & y_3^2 & x_3 & y_3 & 1\\
x_4^2 & y_4^2 & x_4 & y_4 & 1
\end{vmatrix}

## Erreferentziak 
## Kanpo estekak