Collatzen aierua

thumb|Zenbait zenbakik osatzen duten segida sorta, zuhaitz motako grafikoan adierazia (ez dira pauso guztiak ageri).
**Collatzen aierua** matematikako aieru bat da, honela definitutako sekuentziei dagokiena: hasi edozein zenbaki oso positiborekin n. Beraz, termino bakoitza honela ateratzen da aurreko terminotik: aurreko terminoa bikoitia bada, hurrengo terminoa aurreko terminoaren erdia da. Aurreko terminoa bakoitia bada, hurrengo terminoa aurreko terminoa bider 3 gehi 1 da. Ustea zera da, n-ren balioa zeinahi dela ere, sekuentzia beti iritsiko da 1 zenbakira.

Lothar Collatz matematikariarengandik hartu du izena aieruak, 1937an sartu baitzuen ideia, doktoretza jaso eta bi urtera. Izen hauek ere hartzen ditu aieruak: **3n + 1 arazoa**, **3n + 1 aierua**, **Ulamen aierua** (Stanisاaw Ulamen arabera), **Kakutaniren arazoa** (Shizuo Kakutaniren arabera), **Thwaitesen aierua** (Sir Bryan Thwaitesen arabera), **Hasseren algoritmoa** (Helmut Hasseren arabera), edo **Sirakusako arazoa**. Parte hartzen duten zenbakien sekuentziari, batzuetan, **kazkabar-sekuentzia edo txingor-zenbakiak** esaten zaio (izan ere, balioek, oro har, jaitsiera eta igoera ugari izaten dituzte, hala nola hodei bateko txingorra), edo **zenbaki zoragarriak**.

## Problemaren definizioa 
Zenbaki oso positibo batentzat honako eragiketa definitzen da, lehenik:

* Zenbakia bikoitia bada, zati bi egin behar da.
* Zenbakia bakoitia bada, bider hiru egin eta bat gehitu behar da.

Zenbakiari *n* deituz gero, eta eragiketa *f(n)* funtzio gisa definituz:

 f(n) = \begin{cases} \frac{n}{2} &\text{baldin } n \equiv 0 \pmod{2}\\[4px] 3n+1 & \text{baldin } n\equiv 1 \pmod{2} .\end{cases}

Azkenik, eragiketa hori behin eta berriz aplikatzen den segida definitzen da. Honela, *ai* zenbaki sorta lortzen da, aldiro *ai-1* balioari eragiketa aplikatuz lortzen diren zenbakiz osatua.

 a_i = \begin{cases}n & \text{non } i = 0 \\ f(a_{i-1}) & \text{non } i > 0 \end{cases}

Collatz aieruak dioenez, azkenean segidak *ai* *= 1* balioa hartuko luke beti, hasierako zenbakia (*n*) edozein izanik ere. Ohar bedi *n = 1* hasierako baliorako sekuentzia itxia dela, hots 1, 4, 2, 1 zikloa betetzen duela etengabe. Zenbaki batetik abiatuz 1 zenbakira heltzeko segidari zikloa edo orbita deitzen zaio.

Collatz aierua zuzena ez balitz, bi aukera leudeke: edo hasierako balioak 1 balioa sekula hartzen ez duen segida itxia sortzea, edo segida etengabe haztea. Oraingoz, ez da horrelakorik aurkitu, ez denik frogatu ez bada ere.

## Aldaerak 
*3n + 1* formularen ordez besteren batzuk ere erabil daitezke, *3q + 1* itxura errespetatuz, antzeko segidak sortzen dituztenak. Adibidez, *5n + 1* formulak antzeko zikloak sortzen ditu, baina frogatua da kasu horretan 1 zenbakian bukatzen ez diren beste ziklo itxiak badaudela. Segida infinituak ere sor ditzakeela uste da, baina hori ez da frogatua.

1011 baino gutxiago 75128138247 da, 1228 urrats dituena,

1012 baino gutxiago 989345275647 da, 1348 urrats dituena,

Adierazitako pasabideen zenbaketa duten zenbaki baxuenak dira, baina ez derrigorrez emandako mugaren azpitik dauden bakarrak. Adibidez, 9780657631k 1132 urrats ditu, 9780657630ek bezala.

Guztizko gelditze-denbora txikiena duten hasierako balioak, digitu kopuruari dagokionez (2. oinarrian), biren potentziak dira; izan ere, 2*n* erdira n aldiz murrizten da 1era iristeko, eta inoiz ez da handitzen.

## Erreferentziak 
## Kanpo estekak