Espazio euklidear

thumb|Hiru dimentsioko espazio euklidearreko puntu bat hiru koordenaturen bidez aurki daiteke
**Espazio euklidearra** geometriaren oinarrizko espazioa da, espazio fisikoa irudikatzera bideratua dagoena. Jatorrian, Euklidesen *Elementuak* liburuan, geometria euklidearraren espazioa hiru dimentsioko espazioa zen; baina, matematika modernoan, edozein zenbaki oso positibotako dimentsioko espazio euklidearrak daude. Espazio hauek '*espazio *n*-euklidearrak*' deitzen dira, eta haien dimentsioa *n*-ren arabera zehatz daiteke. Espazio 1-euklidearrari lerro euklidearra deitu ohi zaio; espazio 2-euklidearrari, plano euklidearra. "Euklidear" kalifikatzailea geroago fisika eta matematika modernoan kontsideratu ziren bestelako espazio (ez-euklidearretatik) bereizteko erabiltzen da.

Antzinako Greziako geometrialariek espazio euklidearra sortu zuten espazio fisikoa irudikatzeko. Lan hori Euklides antzinako matematikari greziarrak jaso zuen bere *Elementuak* liburuan. Lan horren berrikuntzarik handiena honako hau da: espazioren propietate guztiak teorema gisa frogatu zituen Euklidesek, postulatu deituriko funtsezko propietate gutxi batzuetatik abiatuta. Postulatu horietako batzuk begibistakotzat hartu ziren (adibidez, bi puntu ezberdinetatik zuzen bakar bat pasatzen dela), eta beste batzuek frogaezinak ziruditen (paraleloen postulatua, esate baterako).

Funtsean, dimentsio bakoitzeko espazio euklidear bakarra dago, hau da, dimentsio jakin bateko espazio euklidear guztiak isomorfoak dira. Beraz, oro har, dimentsio bakoitzeko, posible da espazio euklidear espezifiko batekin lan egitea. Espazio hori, \mathbb{E} ^n  sinboloz denotatua, koordenatu kartesiarrak erabiliz irudika daiteke, eta biderketa eskalar estandarraz hornitutako *n*-espazio erreal bezala izango da: \mathbb{E} ^n = (\reals^n,\cdot).

## Definizioa 
### Definizioaren historia 
thumb|Euklides matematikari greziarra
Espazio euklidearra antzinako greziarrek definitu zuten lehenengo aldiz, gure espazio fisikoaren abstrakzio bat bezala. Haien berrikuntza handiena, Euklidesen *Elementuak* liburuan agertzen dena, geometria osoa eraikitzea eta frogatzea izan zen, mundu fisikotik abstraitzen diren propietate gutxi batzuetatik abiatuta. Propietate horiei postulatu edo axioma deritze. Espazio euklidearra definitzeko modu hau geometria sintetikoan (koordenaturik gabe, geometria analitikoaren kontrako alderdia) oraindik erabiltzen dena da.

Artikulu honetan garatuko den espazio euklidearren definizioa eta Euklidesena oso desberdinak dira. Egia esan, Euklidesek ez zuen espazioa formalki definitu, garai horretan zeuden ezaguera, handia bazen ere, ez zen nahikoa errealak ez zirudien beste espazio mota zeudela hautemateko. Definizio formalaren beharra XIX. mendearen amaieran agertu zen, geometria ez-euklidearrak definitzen hasi zirenean.

Bi ikuspegi ezberdin erabili dira definizioa ematen saiatzeko. Felix Kleinek geometria bat espazio horrek dauzkan simetrien bidez definitzea proposatu zuen. Artikulu honetan ematen den espazio euklidearren aurkezpena, funtsean, bere Erlangen programatik abiatuta ematen da.

Bestalde, David Hilbertek Euklidesen postulatuetan inspiratutako axioma multzo bat proposatu zuen. Geometria sintetikoan erabiltzen den definizioa da, ez baitu zenbaki errealen definiziorik inplikatzen. Geroago, G. D. Birkhoff-ek eta Alfred Tarski-k axioma multzo sinpleagoak proposatu zituzten, zenbaki errealak erabiltzen dituztenak (ikusi Birkhoffen axiomak eta Tarskiren axiomak).

Aljebra Geometrikoa erabiliz, Emil Artin-ek frogatu zuen espazio euklidearren definizio horiek guztiak baliokideak direla.

### Definizio formala 
**Espazio euklidear** oro \R-espazio afina da eta, beraz, elkartutako bektore-espazio edo espazio bektorial bat izango du. Espazio euklidear baten kasuan, hornitutako espazio bektorial hori espazio bektorial euklidearra da.  

**Espazio bektorial euklidearra** dimentsio finitua duen \R-espazio prehilbertiarra da.  

Espazio euklidearrak *espazio afin euklidearrak* deitu ohi dira, espazio bektorial euklidearrekin nahas ez daitezen. 

\mathbb{E} espazio euklidearra (afina) bada, bere espazio bektorial elkartua (espazio bektorial euklidearra) \overrightarrow \mathbb{E} denotatu ohi da. Espazio afin euklidear baten *dimentsioa* bere espazio bektorial elkartuaren dimentsioa da.

\mathbb{E} espazioko elementuei *puntu* esaten zaie, eta letra larriz adierazten dira normalean. \overrightarrow \mathbb{E}
-ren elementuei bektore euklidearrak edo bektore askeak deritze, etaletra xehez adierazten dira. *Translazioak* ere deitzen dira, batzuetan, nahiz eta erabilera hori guztiz zuzena ez izan. Izan ere, berez, translazio bat bektore euklidear batek espazio euklidearrean eragiten duen akzioaren ondoriozko transformazio geometrikoa da.

v translazio batek P puntu baten gainean eragiten duen akzioak P+v bezala adierazten den puntu bat ematen du. Akzio horrek hau betetzen du:

P+(v+w)=(P+v)+w

**Oharra**: berdintza honen ezkerraldeko bigarren + ikurrak batuketa vektorial bat adierazten du; beste + ikur guztiek puntu batean bektore baten akzioa adierazten dute. Notazio hori ez da anbiguoa; izan ere, + ikurraren bi esanahiak bereizteko, nahikoa da ikurraren ezkerreko argumentuari erreparatzea: batuketa bektorialek bektore bat dute ezkerrean, eta akzioek, ordea, puntu bat.

Akzioa askea eta iragankorra denez, froga daiteke (P,Q)
  edozein bi puntutarako P+v=Q betetzen duen v desplazamendu-bektore bat dagoela. v bektore hori Q-P edo \overrightarrow {PQ}\vphantom{\frac){}} ikurrez adierazten da.

Espazio euklidearren oinarrizko propietate batzuk espazio afinaren egituratik datoz. Egitura afina atalean eta haren azpiataletan deskribatzen dira. Barne-produktuaren propietateak Egitura metrikoa atalean eta azpiataletan azaltzen dira.

## Egitura afina 
Izan bitez A multzo bat eta \overrightarrow A hari elkartutako espazio bektoriala. **Espazio afin** bat honako aplikazio honen bidez definitzen da:

\begin{align}
A \times \overrightarrow{A} &\to A \\
 (a,v)\; &\mapsto a + v.
\end{align}

Aplikazio hau talde-akzio bat da. Espazio euklidearra espazio afin mota bat da.

Espazio euklidearren oinarrizko propietate batzuk zehaztuta geratzen dira espazio euklidear guztiak espazio afinak izateagatik. Propietate afinak deitzen dira horiek, eta lerroen, azpiespazioen eta paralelismoaren kontzeptuak hartzen dituzte barnean, hurrengo azpiataletan zehazten direnak.

### Azpiespazioak 
Izan bitez \mathbb{E} espazio euklidear bat eta \overrightarrow \mathbb{E}  hari elkartutako espazio bektoriala. \mathbb F \mathbb{E}-ren **azpiespazio euklidear** bat da, \mathbb F \mathbb{E}-ren azpiespazio afin bat bada eta 

\overrightarrow \mathbb{F} = \Bigl\{\overrightarrow {PQ} \mathrel{\Big|} P\in \mathbb F, Q\in \mathbb F \Bigr\}\vphantom{\frac({}}

\mathbb F azpiespazio afinari elkartutako espazio bektoriala \overrightarrow \mathbb{E}-ren aspiespazio bektoriala bada. \overrightarrow \mathbb F aspiespazio bektorial hau \mathbb F-ren **norabidea** ere deitzen da.

P \mathbb F-ren puntu bat bada, orduan:

\mathbb F = \Bigl\{P+v \mathrel{\Big|} v\in \overrightarrow \mathbb F \Bigr\}.

Alderantziz, P \mathbb{E}-ren puntu bat bada eta \overrightarrow V \overrightarrow \mathbb{E}-ren azpiespazio bektoriala bada, orduan:

P + \overrightarrow V = \Bigl\{P + v \mathrel{\Big|} v\in \overrightarrow V \Bigr\}

\overrightarrow V-ren norabidea duen espazio euklidear bat da.

\mathbb{E}  espazio euklidear batek bi azpiespazio mota ditu: azpiespazio euklidearrak eta azpiespazio linealak. Azpiespazio linealak azpiespazio euklidearrak dira; azpiespazio euklidear bat azpiespazio lineal bat da baldin eta zero puntua azpiespazioaren barne dagoen.

### Lerro zuzenak eta segmentuak 
Espazio euklidear batean, **zuzen** bat dimentsio bateko azpiespazio euklidear bat da. Dimentsio bateko bektore-espazio bat zero ez den edozein bektorek sortzen duenez, zuzen bat honako multzo hau da: 

r=\Bigl\{P + \lambda \overrightarrow{PQ} \mathrel{\Big|} \lambda \in \R \Bigr\},\vphantom{\frac({}} 

non P eta Q espazio euklidearraren edozein bi puntu desberdin diren. Zuzen hau P eta Q puntuetatik igarotzen duen zuzena da. Hortik ondorioztatzen da edozein bi puntutatik igarotzen den zuzen bakar bat dagoela. Horrek esan nahi du bi lerro zuzen desberdinak gehienez puntu batean gurutzatzen direla. Hona hemen faktu horren frogapen labur bat: Demagun r eta s bi lerro zuzenak diren, non P_1, P_2 \in r diren, baita P_1, P_2 \in s ere. Baina aurkeztu berri den lerroen karakterizazioa erabiliz, 

r=\Bigl\{P_1 + \lambda \overrightarrow{P_1P_2} \mathrel{\Big|} \lambda \in \R \Bigr\},\vphantom{\frac({}} s = \Bigl\{P_1 + \lambda \overrightarrow{P_1P_2} \mathrel{\Big|} \lambda \in \R \Bigr\},\vphantom{\frac({}} 

eta beraz, berdinak direla ondoriozta daiteke.

P eta Q-tik igarotzen den zuzenaren irudikapen simetrikoagoa  

r=\Bigl\{O + (1-\lambda)\overrightarrow{OP} + \lambda \overrightarrow{OQ} \mathrel{\Big|} \lambda \in \R \Bigr\}\vphantom{\frac({}} 

da, non O hautazko puntu bat den.

Espazio euklidear batean, zero puntua O-rentzat aukeratzen da eskuarki; hala, aurreko formula sinplifika daiteke:

r=\Bigl\{(1-\lambda) \overrightarrow {P} + \lambda  \overrightarrow {Q} \mathrel{\Big|} \lambda \in \R\Bigr\}.

**Oharra:** Azken formula honetan notazio-abusu erabili da. P puntua bektoretzat (\overrightarrow P) hartzen denean, zero puntutik P puntura doan bektorea (\overrightarrow {0P}\vphantom{\frac){}}) dela esan nahi du. Kontuan izan ez dela eskalar baten eta puntu baten arteko biderkadura definitu, bakarrik eskalar baten eta vektore baten artekoena. Hala ere, puntuak \R^2-ko pareak direnean, intuitiboki egiten dira eragiketak haien artean, baina komenigarria da hau kontuan hartzea beste motatako multzoak lantzen direnean.

P eta Q puntuak lotzen dituen zuzen-segmentua, edo, besterik gabe, **segmentua**, aurreko formuletan 0 \leq \lambda \leq 1 betetzen duten puntuen azpimultzoa da. Bere adierazpena PQ edo QP da; eta horrela idaz daiteke:

PQ = QP = \Bigl\{P+\lambda \overrightarrow{PQ} \mathrel{\Big|} 0 \le \lambda \le 1\Bigr\} = \Bigl\{(1-\lambda) \overrightarrow {P} + \lambda  \overrightarrow {Q} \mathrel{\Big|} 0 \le \lambda \le 1\Bigr\}.

### Paralelismoa 
Espazio euklidear batean, dimentsio bereko S eta T azpiespazioak paraleloak dira baldin eta norabide bera badute. Era berean, paraleloak dira baldin eta v translazio-bektore bat badago, batean aplikatuta bestea aplikazio horren irudi den:

T=S+v

P puntu bat eta S azpiespazio euklidear bat emanda, P duen eta S-rekiko paraleloa den azpiespazio bakar bat dago, zehazki: P + \overrightarrow S.  

Hortik ondorioztatzen da plano euklidear batean dauden bi zuzen puntu batean bat egiten dutela edo paraleloak direla.

Azpiespazio paraleloen kontzeptua dimentsio ezberdinetako azpiespazioetara heda daiteke: bi azpiespazio paraleloak dira baldin eta horietako baten norabidea bestearekiko norabidean badago.

## Egitura Metrikoa 
[thumb|Espazio matematikoen inklusio katea. Espazio prekilbertiarrak [Espazio normadun|espazio normadunen azpimultzo bat dira. Aldi berean, espazio normadunak espazio metrikoen azpimultzoa dira. Azkenik, espazio metrikoak espazio topologikoen azpimultzoa dira.]]
Espazio euklidearra, espazio afina izateaz gain, kontzeptu geometrikoa dena, ikuspuntu metriko batetik aztertuta espazio metriko mota bat da. Beraz, egiturak neurtzea eta haren objektuen arteko distantzia kalkulatzea posible da. Gainera, espazio normaduna (espazio metrikoen azpimultzo bat) da, eta, hortaz, norma bat defini daiteke, hau da, bektore baten luzeraren orokortasuna. Azkenik, definizio formalan adierazi den bezala, Espazio euklidear batek hornituta duen espazio bektoriala espazio prehilbertiarra da eta, beraz, biderketa eskalar bat defini daiteke haren barne. 

Hurrengo azpiataletan ikusiko da nola defnitzen diren espazio euklidearren kasu konkretuan eta ze propietate duten espazio hauek. Gainera, erraz ikusiko da egitura hauek osatzen duten inplikazio katea:

X ~ espazio ~ prehilbertiarra \implies ~ X ~ espazio ~ normaduna \implies  X ~ espazio ~ metrikoa

### Biderketa eskalarra 
Espazio euklidear \mathbb{E} batean, puntuen eta bektoreen arteko eragiketaz gain, \overrightarrow \mathbb{E}-ko bi bektoreen arteko biderketa eskalar bat defini daiteke. Biderketa hau "eskalar" deritzo bi bektoreen biderketa egitean, emaitza eskalar bat (kasu honeran zenbaki erreal bat) delako.     v eta w \overrightarrow \mathbb{E}-ko bi bektoreen arteko **biderketa eskalarra**, v \cdot w adierazita,  honako formularen bitartez definitzen da:

v \cdot w = v_1 \cdot w_1 + v_2 \cdot w_2 + \dots + v_n \cdot w_n,

non v = (v_1, v_2, \dots , v_n) eta w = (w_1, w_2, \dots , w_{n})  *n* dimentsioko bektore errealak diren.

Biderketa eskalarrak zenbait propietate betetzen du espazio metriko batean:

* **Ez negatibotasuna:**
v \cdot w \geq 0 \quad \forall  v, w \in \overrightarrow {\mathbb{E}} , eta v \cdot w = 0 baldin eta soilik baldin v=w=0 diren.

* **Simetria:**

v \cdot w = w \cdot v \quad \forall v, w \in \overrightarrow \mathbb{E}.

* **Bilinealtasuna:**
v \cdot (\alpha \cdot w_1 + \beta \cdot w_2)= \alpha \cdot (v \cdot w_1) + \beta \cdot (v \cdot w_2)
 \quad \forall  v, w_1, w_2 \in \overrightarrow \mathbb{E}, \quad \forall \alpha, \beta \in \R. \alpha eta \beta-ri eskalarrak deritze.

### Norma 
Bektore baten **norma**, biderketa eskalarrean oinarri daiteke. Orokorrean, barne biderketa bat induzi daiteke norma bat, baina badaude inolako barne biderketek induzitzen ez duten normak ere. Honela ikusten da espazio prehilbertiarrak normadunak direla (barne biderketa baitute), baina espazio normadunak diren eta barne biderketa ez duten espazioak ere badaudela. Bektore baten norma euklidearra bektore horren luzeraren orokortasun bat da. Honela definitzen da v \in \overrightarrow {\mathbb{E}} bektore batentzat:

\|v\| = \sqrt {v \cdot v}.

Hala ere, orokorrean, norma ondoren azalduko diren 3 propietateak betetzen dituen edozein funtzioa da (erraz egiazta daiteke biderketa eskalar batetik eratorritako "norma" benetako norma funtzioa dela, propietate horiek betetzen baititu). Biz N=(V, \| \cdot \|)   espazio normadun bat. Orduan, hurrengo propietateak betetzen dira:

* **Ez negatibotasuna:**

\|v\|\geq 0 \quad \forall v \in V, eta \|v\|=0 baldin eta soilik baldin v=0 den.

* **Homogeneotasuna:**

\| \alpha v\| = | \alpha |\cdot\|v\| \quad \forall v \in V, \quad \forall \alpha \in K. (K gorputz bat da, V espazio vektorialak hornituta duena. Espazio euklidearren kasuan, \overrightarrow \mathbb {E} = K = \mathbb R)

* **Triangeluaren desberdintasuna:** 

\|v + w\| \leq \|v\| + \|w\| \quad \forall v, w \in V.

Gainera, badago barne produktu batetik eratorriak diren normak dituzten espazioak karakterizatzen dituen laugaren propietate bat. Hau da, edozein espazio normatu V-n, espazio horrek elkartua duen normak propietate hau betetzen badu, orduan badago barne biderketa batek norma hori induzitzen duena, eta V espazio normatua espazio prehilbertiarra da. Propietate hura paralelogramoaren legea deritzo, eta honako hau adierazten du:

* **Paralelogramoaren legea:**

2 \cdot \|v\|^2+2 \cdot \|w\|^2=\|v+w\|^2+\|v-w\|^2 \quad \forall v, w \in V.

### Distantzia 
Espazio metriko batean **distantzia funtzio** baten bidez neur daiteke espazio horren edozein bi elementuen arteko tartea. Norma batek era tribial batean induzi dezake distantzia bat espazio normadun batean, baina badaude inolako normatik eratorriak diren distantziak ere. Orduan, espazio normadun guztiak (beraz, espazio euklidearra) espazio metrikoak dira. Biz N=(V, \| \cdot \|)   espazio normadun bat eta bira v, w \in V. Honako distantzia induzitzen da:

d(v,w)= \|v-w\|.

Hala ere, orokorrean, distantzia ondoren azalduko diren 3 propietateak betetzen dituen edozein funtzioa da (erraz egiazta daiteke norma batetik eratorritako "distantzia" benetako distantzia funtzioa dela, propietate horiek betetzen baititu). Biz M=(V, d)   espazio metriko bat. Orduan, hurrengo propietateak betetzen dira:

* **Ez negatibotasuna:**

d(v, w) \geq 0 \quad \forall v, w \in V,    eta d(v, w)=0   baldin eta soilik baldin v = w    den.

* **Simetria:**

d(v,w) = d(w,v) \quad \forall v, w \in V  

* **Triangeluaren desberdintasuna:**

d(v, w) \leq d(v, u) + d(u, w)\quad \forall v, w, u \in V  

**Oharra:** Gehienean propietateak honela ematen badira ere, triangeluaren desberdintasuna eta simetria erabiltzen froga dezakegu ez negatibotasunaren ordez nahikoa dela frogatzea d(v,w)=0 \iff v=w.   Honela froga daiteke ez negatibotasuna propietate hauetatik abiatuta:

0= d(v,v) \leq d(v,w) + d(w,v) = d(v,w) + d(v,w) = 2 \cdot d(v, w) \implies d(v,w) \geq {0} 
\quad \forall v,w \in V  

Espazio euklidearrean, beraz, bektoreen arteko distantzia kalkulatzea argi dago. Hala ere, interesgarriena dena puntu euklidearren arteko distantzia kalkulatzea da. Horretarako, espazio euklidearrean zero puntua behin ezarrita, P eta Q puntuen arteko distantzia \overrightarrow {0P}\vphantom{\frac){}} eta \overrightarrow {0Q}\vphantom{\frac){}} bektoreen arteko distantzia da. 

Adibidez, plano euklidearrean, P=(x_1, y_1) eta Q=(x_2, y_2) puntuen arteko distantzia hurrengo formula erabiliz lortzen da:

d(P,Q) = d(\overrightarrow{0P}, \overrightarrow{0Q})= \| \overrightarrow {0P} - \overrightarrow {0Q}\| = \|((x_1, y_1)-(0,0)) - ((x_2, y_2)-(0,0)) \| = \|(x_1,y_1)-(x_2, y_2)\| =

=  \|(x_1-x_2, y_1-y_2)\| = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}

Hiru dimentsioko espazioan, z koordenatua gehitzen da, eta P=(x_1, y_1, z_1) eta Q=(x_2, y_2, z_2) puntuen arteko distantzia hurrengo formula erabiliz lortzen da:

d(P,Q) = d(\overrightarrow{0P}, \overrightarrow{0Q})= \| \overrightarrow {0P} - \overrightarrow {0Q}\| = \|((x_1, y_1, z_1)-(0,0,0)) - ((x_2, y_2, z_2)-(0,0,0)) \| =  

= \|(x_1,y_1,z_1)-(x_2, y_2,z_2)\| = \|(x_1-x_2, y_1-y_2, z_1-z_2)\| = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1-z_2)^2} 

### Ortogonalitatea 
Bi bektore ortogonalak dira haien arteko biderkadura eskalarra 0 denean. v, w \in \overrightarrow E badira, v eta w ortogonalak dira  

v \cdot w = 0  bada. Adibidez, hiru dimentsioko espazio euklidearrean v=(v_1, v_2, v_3) eta w=(w_1, w_2, w_3) bektoreak ortogonalak dira honako baldintza betetzen bada: 

v_1 \cdot w_1 + v_2 \cdot w_2 + v_3 \cdot w_3 = 0

### Angeluak 
thumb|Angelu positiboak eta negatiboak plano orientatuan
Bi bektoreen arteko angelua haien arteko biderkadura eskalarraren bidez kalkulatzen da. Zehazki, v, w \in \overrightarrow \mathbb E bi bektoreren arteko angelua, \theta, honela lortzen da:

\cos (\theta) = \frac {v \cdot w}{\|v\|\cdot \|w\|}

Beraz bi bektoreen arteko angelua 90º edo \frac{\pi}{2} rad bada, ortogonalak dira, senak esaten duen bezala.
## Beste espazio geometriko batzuk 
### Espazio proiektiboa 
Jatorrian, espazio proiektiboak espazio euklidearrei "infinituan puntuak" gehituz sortu dira, espazio afinek "bi lerro planokide ezberdin puntu bakar batean bat egiten dute" baieztapena kasu guztietan bete dezaten. Honela, malda berdina duten zuzenek infinituko puntu batean bat egiten dutela esaten da. Infinituko puntu bat dago malda bakoitzeko; hortaz, infinituko puntu bat dago zenbaki erreal bakoitzerako. Infinituko puntu guztien multzoari infinituko zuzena deritzo, eta erraz ikus daiteke \mathbb R-ri isomorfoa dela.

Espazio proiektiboak espazio euklediar eta antzekoekin isotropikoa izateko propietatea partekatzen du, hau da, ez dago bi puntu edo bi lerro bereiztea ahalbidetzen duen espazioaren propietaterik. 
thumb|Gainazal esfeniko honetan 3 angelu zuzen dituen triangelua ikusten da. Hala, barne angeluen batuketa 270º-koa da, geometria euklidearrean ezinezkoa dena.

### Geometria ez-euklidearrak 
Geometria ez-euklidearrak paraleloen postulatua (Euklidesen 5. postulatua) betetzen ez duten espazio geometrikoak lantzen ditu. Definizioaren historian azaldu den bezala, postulatuak frogaezinak dira. Beraz, 5. postulatua ukatzean, euklidearrak ez diren espazio geometriko berriak agertzen dira. Geometria hiperbolikoan, adibidez, triangelu baten barne angeluen batuketa 180° baino txikiagoa da. Bestalde, geometria eliptikoan, batuketa hori 180° baino handiagoa da.

Izan ere, gure mundu erreala ez da laua, eliptikoa baizik —lurra esfera antzeko itsura baitu—, eta erraz aurki dezakegu hiru angelu zuzen dituen triangelu bat.

## Ikus, gainera 
* Geometria euklidearra.
* Espazio Hilbertiarra, dimentsio infiniturako orokortasuna, analisi funtzionalean erabiltzen dena.

## Bibliografia 
* Artin, Emil (1988) [1957], *Geometric Algebra*, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons Inc., pp. x+214, doi:10.1002/9781118164518, , MR 1009557
* Ball, W.W. Rouse (1960) [1908], *A Short Account of the History of Mathematics* (4th ed.), Dover Publications. ISBN 0-486-20630-0
* Berger, Marcel (1987), *Geometry I*, Berlin: Springer, ISBN 3-540-11658-3
* Coxeter, H.S.M. (1973) [1948], *Regular Polytopes* (3rd ed.), New York: Dover. "Schläfli ... discovered them before 1853 -- a time when Cayley, Grassman and Möbius were the only other people who had ever conceived of the possibility of geometry in more than three dimensions."
* Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Euclidean space", *Encyclopedia of Mathematics*, EMS Press
* Anton,Howard(1987),Elementary Linear Algebra(5th ed.), New York,Wiley:ISBN 0-471-84819-0

## Kanpo estekak