Deribatu partzial

Matematikan, aldagai anitzeko funtzio baten **deribatu partziala** aldagai horietako bakar batekiko deribatua da, gainerako aldagaiak konstanteak direla suposatuz. Adibidez, f(x,y,z) funtzioak x, y eta z aldagaiak baditu, f -ren  x-rekiko deribatu partziala kalkulatzean, y eta z aldagaiak konstante mantentzen dira. Deribatu partzialak kalkulu bektorialean eta geometria diferentzialean erabiltzen dira.

f(x,y,...) funtzio baten deribatu partziala x aldagaiarekiko zenbait eratara denotatu daiteke:

\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial x}f, \, D_1f, \, \partial_x f, \, f^\prime_x, \,f_x.

\partial ‘Jacobiren d letra’ izenez ezagutzen da. Ikur hau matematikan erabili zuen lehenengo pertsona Condorcet-eko markesa izan zen (1770) . Aurrerago, deribatu partzialen idazkera modernoa Adrien-Marie Legendre-k (1786) sortu zuen arren, Carl Gustav Jakob Jacobik eman zion ospea  \partial ikurrari 1841ean.

## Notazioa 
Izan bedi f funtzioa, x, y eta z aldagaiekin.

Lehen ordenako deribatu partziala x aldagaiarekiko:   \frac{\partial f}{\partial x}=f_x= \partial_x f

Bigarren ordenako deribatu partziala x aldagaiarekiko:   \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=f_{xx}=\partial_{xx}f=\partial^2_xf

Bigarren ordenako deribatu partzial gurutzatuak:   \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=f_{xy}=\partial_{yx}f=\partial_y\partial_xf

Ordena altuagoko deribatu partzialak eta deribatu partzial gurutzatuak:    \frac{\partial^{i+j+k} f}{\partial x^i \partial y^j \partial z^k } = f^{(i, j, k)} = \partial_x^i \partial_y^j \partial_z^k f.

## Definizio matematikoa 
Deribatu arruntak bezala, deribatu partziala limite gisa definitzen da. Izan bitez U \in \mathbb{R}^n multzo irekia eta f: U \rightarrow \mathbb{R} funtzioa. a= (a_1, ..., a_n)  \in U
  puntuko f .ren deribatu partziala i. aldagaiarekiko, x_i , honela definitzen da: 

\frac{ \partial}{\partial x_i} f(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a_1, ..., a_{i-1}, a_i +h, a_{i+1}, ..., a_n)- f(a_1, ..., a_i, ..., a_n)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+he_i)-f(a)}{h} 

non e_i , i.  aldagaiaren bektore unitarioa den.

Nahiz eta \frac{\partial f}{\partial x_i} (a)  deribatu partzial guiztiak existitu a  puntu batean untzioak ez du zertan jarraitua izan bertan. Hala ere, deribatu partzial guztiak existitzen badira a -ren ingurune batean eta bertan jarraituak badira, orduan f  guztiz diferentziagarria izango da ingurune horretan eta deribatua jarraitua izango da. Kasu honetan, esaten da f  funtzioa C^1 motakoa dela.

Modu berean, \frac{\partial f}{\partial x}   deribatu partziala U  eremuan definitutako beste funtzio bat bezala ikus dezakegu eta berriro ere diferentziagarria izan daiteke. Deribatuaren norabidea (hau da, zein aldagairekiko deribatu dugun) ez bada errepikatzen, emaitzari (hots, bigarren ordenako deribatu berriari) *deribatu partzial gurutzatu* deritzo. Bigarren mailako deribatu gurutzatu guztiak puntu edo multzo jakin batean jarraituak badira, f \in C^2   dela esaten da puntu edo multzo horretan.

## Gradientea 
Aldagai anitzeko funtzio baten adibide garrantzitsu bat da f(x_1,...,x_n) funtzio eskalar bat   \reals^neremu euklidearreko domeinu batean. Kasu horretan, f funtzioak x_j aldagai bakoitzarekiko {\partial f\over\partial x_j}deribatu partzial bat du. a=(a_1,...,a_n) puntuan, deribatu partzial horiek ondoko bektorea definitzen dute:

\nabla f(a)=\Bigl({\partial f\over\partial x_1}(a),...,{\partial f\over\partial x_n}(a)\Bigl)

Bektore horri a puntuko f-ren gradientea esaten zaio. f-ren definizio-eremuko puntu guztietan  f diferentziagarria bada, orduan \nabla f  gradientea funtzio bektorial bat da, a puntua  f(a) bektorera eramaten duena. Ondorioz, gradienteak eremu bektorial bat sortzen du.

Askotan, notazioaren gehiegizko erabilera egiten da eta \nabla eragilea \reals ^3 espazio euklidearrean (\hat{i},\hat{j} ,\hat {k}) bektore unitarioekin honela definitzen da:

\nabla = \Big[{\partial\over\partial x}\Big] \boldsymbol \hat{ \imath } +  \Big[{\partial\over\partial y}\Big] \boldsymbol \hat{ \jmath } +  \Big[{\partial\over\partial z}\Big]\boldsymbol \hat{ k }

Edo, orokorki, n dimentsioko \reals^n espazio euklidearrean (x_1,...,x_n) koordenatuak izanik eta ( \hat{e}_1 ,..., \hat{e}_n) bektore unitarioak, honela definitzen da:

\nabla = \sum_{j=1}^n 
\left [ \frac{ \partial }{ \partial x_j} \right ] \boldsymbol \hat{e}_j = 
\left [ \frac{ \partial }{ \partial x_1} \right ] \boldsymbol \hat{e}_1 +
\left [ \frac{ \partial }{ \partial x_2} \right ] \boldsymbol \hat{e}_2 + ... +
\left [ \frac{ \partial }{ \partial x_n} \right ] \boldsymbol \hat{e}_n 

## Adibideak 
thumb|Kono baten bolumena bere altuera (h) eta erradioaren (r) menpekoa da.

### Lehenengo adibidea 
Demagun h altuerako eta r erradioko kono bat dugula. Bere B bolumena honako formularen bidez emanda dago:

B(r,h) = \frac{\pi r^2h}{3}

Orduan, r-rekiko deribatu partziala honako hau da, eta konoaren bolumenaren aldaketa adierazten du erradioa aldatzen bada:

\begin{align}
    \frac{\partial B}{\partial r}&=\frac{2\pi rh}{3} 
\end{align}

Bestalde, h-rekiko deribatu partziala, berriz, erradioa konstante mantenduta, konoaren bolumenaren aldaketa da h altuerarekiko:

\begin{align}
    \frac{ \partial B}{\partial h}&=\frac{\pi r^2}{3}
\end{align}
thumb|254x254px|z=x^2+xy+y^2 funtzioaren grafikoa.

### Bigarren adibidea 
Demagun honako f funtzioa dugula:z = f(x,y) = x^2 + xy + y^2

Orduan, f funtzioaren deribatu partziala x-rekiko ondokoa da:

\frac{\partial z}{\partial x} = 2x+y.

Orain, demagun f funtzioaren x-rekiko deribatu partziala (1,1) puntuan aztertzen dugula:

\frac{\partial z}{\partial x} (1,1)= 3

## Ordena altuagoko deribatu partzialak 
Bigarren ordenako edo ordenako altuagoko deribatu partzialak aldagai bakarreko funtzioen ordena altuagoko deribatuen antzera definitzen dira.

Izan bedi f(x, y, ...) funtzioa. f -ren bigarren ordenako deribatu partziala x aldagaiarekiko, x-rekiko deribatu partzialaren x-rekiko deribatu partziala da:\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \partial \frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\partial x} = \partial \frac{\partial f_x}{\partial x}

Bestalde, x eta y-ren deribatu partzial gurutzatuak, aldiz, x-rekiko f -ren deribatu partziala eginez eta honen y-rekiko deribatu partziala hartuz lortzen dugu.\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \partial \frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\partial y} = \partial \frac{\partial f_x}{\partial y}= f_{xy}

Schwarzen teoremaren arabera, badakigu, bigarren ordenako deribatu partzialak jarraituak badira, deribazioa zein aldagairekiko egin den lehenengo eta zeinekiko egin den hurrengo ez duela axola. Bestela esanda, berdinak izango dira bi kasuetan. Hau da,

\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}

betetzen da; edo, baliokideki, f_{xy}=f_{yx}.

## Funtzio primitiboa 
Deribatuarentzat alderantzizko funtzioa (hots, integrala) defini dezakegun moduan, deribatu partzialentzat ere antzeko termino bat defini dezakegu. Hortaz, deribatu partzial bat emanda, hasierako funtzioa berreskuratzea da helburua.

Ikus dezagun honako adibidea. Demagun hurrengo funtzioa dugula:

\frac{\partial z}{ \partial x}= 2x +y

Hasierako funtzioa, z, lortzeko, x aldagaiarekiko egingo dugu integrala, y konstante mantenduz.

z = \int \frac{\partial z}{\partial x} \,dx = x^2 + xy + g(y).

Kasu honetan, ikus dezakegu integrazioaren konstantea jada ez dela konstante bat, baizik eta y-ren menpeko funtzio bat. Orokorrean, funtzioa aldagai batekiko integratuko dugu. Beraz, konstante hori beste aldagaien menpeko funtzioa izango da.

## Ikus, gainera 
* Deribatu
* Katearen erregela
* Kalkulu multibariable
* Deribatu kobariante

## Erreferentziak 
## Kanpo estekak 
* 
* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Derivada parcial», *Encyclopaedia of Mathematics* (en inglés), Springer, .