Denboraren zabalkuntza

thumb|Abiadurak eragindako denboraren zabalkuntza asimetrikoa
Fisikan **denboraren zabalkuntza** bi behatzaileek neurtutako denbora tarteen desberdintasunari deritzo. Bi arrazoiengatik izan daiteke: haien arteko abiadura erlatiboa dela eta, edo behatzaileen kokalekuetan dauden potentzial grabitatorioaren desberdintasunagatik.  "Denboraren zabalkuntza" besterik gabe erabiltzean abiadura erlatiboaren kasuari egiten zaio erreferentzia.

Ideia nagusia honela laburbil daiteke aurreko bi kasuetarako: behatzaile batek higitzen ikusten duen erlojuaren tiki-taka bere erloju propioarena baino motelago neurtuko du. Erloju propioa behatzailearen erreferentzia sisteman geldirik dagoen erlojua da. Benetan  erlojuaren barneko mekanismoak ez dira aldatzen behatzaileak tik-tak erritmo mantsoa nabaritzeagatik. Ohartu behatzaileak berak kontrola dezakeela abiadura erlatiboa, beraz, ezinezkoa da behatzaileak erabakitako zerbait erlojuaren barne mekanikeria eraldatzea. Are gehiago, bi behatzaile edo gehiago badaude, eta bakoitza erlojuarekiko abiadura erlatibo desberdin batean, ez da posible  erlojuak eragin desberdinak aldi berean pairatzea.  Behatzaile bakoitzak denboraren zabalkuntza ezberdina nabaritu luke, hala ere, guztiek bat etorriko dira erlojuaren denbora propioan.  Bigarren kasuan, gorputz masibo baten alboan dagoen erloju batek denbora mantsoago neurtuko du gorputz masibotik urrunago dagoen behatzaile batentzat.

Erlatibitatearen teoriak fenomeno hau aurreikusi zuen eta behin eta berriz frogatua izan da. Erlatibitate bereziak abiadura konstantez higitzen diren objektuentzat espazio eta denbora nola erlazionatzen diren azaltzen du. Bi postulatuetan oinarritzen da; Fisikaren legeak aldaezinak dira erreferentzia sistema inertzial guztietarako eta hutseango argiaren abiadura behatzaile guztietarako berdina da, argi iturriaren edo behatzailearen higidura gorabehera. Sistema inertziala Newtonen inertziaren legea betetzen duen sistema da, honetan  objektuak lerro zuzenean mugitzen dira abiadura konstantez haien gainean indarrik aplikatu ezean. Erraza da frogatzea edozein erreferentzia inertzialen arteko abiadura erlatiboa ere konstantea izango dela. Denboraren zabalkuntzaren adibide gisa, espazio-anezketetan dauden erloju atomikoek Lurreko erlojuek baino pixkat geldoago doaz Lurreko erreferentzia sistematik ikusita. Azken argibide hori funtsezkoa da: erreferentzia sistemak berebiziko garrantzia dauka erlatibitatean, beti argitu behar dugu zein ari garen erabiltzen. Izatez, akastuna izango litzateke beste erlojuaren denbora geldotu dela esatea, hori  soilik egia baita behatzailearen ikuspuntutik; lokalki denbora beti erritmo berean igarotzen baita.

## Historia 
thumb|Albert Einstein 1921. urtean Vienako konferentzia batean
Fisika newtondarraren barnean behatzaileen arteko denboraren zabalkuntzari buruz ez da ezer esaten, izatez, denbora eta espazioa absolututzat hartzen dira. 1887an Michelson eta Morleyk egindako esperimentuaren emaitzek Poincaré eta Lorentz denbora ez absolututzat kontsideratzera eraman zituzten. Joseph Larmorrek 1897an ere Lorentzen faktoreak sortutako zabalkuntza aurreikusi zuen nukleoa orbitatzen duten elektroien kasuan. Berak zioen elektroiak denbora laburragoak behar duela orbitak osotzeko geldiuneko sisteman higiduran zegoenean baino. Bien arteko faktorea \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} zela ondorioztatu zuen eta 1904 urtean Emil Cohnek erlojuen erritmo desberdintasunarekin lotu zuen.

Urte bat geroago, 1905an, Einsteinek erlatibitate bereziaren teoria aurkeztu zuen. Bere teorian,  lehen absolututzat hartutako denbora, behatzaileen arteko abiaduraren menpekotasuna zuela iragarri zuen. Denbora abiadura erlatiboa eta behatzaileek neurtutako argiaren abiaduraren trinkotasunarekin batu zituen. 1907an Hermann Minkowski denbora propioaren kontzeptua eratu eta denboraren zabalkuntzaren gaia argitzen lagundu zuen.

1914an Einsteinek bere Erlatibitate Orokorreko teoria jakitera eman zuen. Lan honen bidez, momentu hartan zuten grabitatearen eredu newtondarra zaharkituta gelditu zen. Grabitatearen eredua erabat aldatu zen; indar zentral klasiko batetik espazio-denboraren kurbaturan oinarritutako eredu batera. Erlatibitate Orokorreko teoriaren eremu ekuazioen soluzioak metriken bidez ematen dira. Lehena Schwarzchild metrika izan zen eta honek,  beste aurreikuspenen artean, energiak eragindako denboraren zabalkuntza aurresan zuen.

Erlatibitatearen teoriaren garapenarekin batera, fisika bi mailatan banatu zen: klasikoa eta erlatibista. Lehen esan bezala, zabalkuntza erlatibista normalean abiadura erlatiboekin erlazionatzen da, baina baita grabitateak eragindako existitzen da.

## Abiadura erlatibo batek eragindako denboraren zabalkuntza 
thumb|ISS-56 Nazioarteko Espazio Estazioa
Erlatibitate bereziak adierazten du erreferentzia-marko inertzial batean dagoen behatzaile batentzat berarekin batera doan erloju batek berarekiko higiduran dagoen erlojua baino azkarrago adieraziko duela denboraren igarotzea. Honi erlatibitate bereziko denbora zabalkuntza erlatibista deitzen zaio. Abiadura  erlatiboa handitu ahala erlojuak gero eta mantsoago egingo du tik-tak, abiadura limitera, c\thickapprox3\cdot10^{8}m/s,  hurbiltzean erlojua geldituko litzateke, ez zen denborarik igaroko erloju horrentzat behatzailearen ikuspuntutik.

Teorian, denbora luzatzeak aukera emango lieke ibilgailu oso azkar bateko bidaiariei epe laburrean etorkizunerantz aurreratzeko, beti ere, haien denbora propio tarte motz batean. Abiadura behar beste handituz, efektu dramatikoak nabari daitezke. Adibidez, ibilgailu horretan 1 urtez bidaiatzeak Lurreko 10 urteen baliokidea izan liteke. Izatez, 1g azelerazio konstanteaz higitzeak giza bizitza batean unibertso ezagun osoa zeharkatzea ahalbidetuko luke. Hala ere, gaur egungo teknologiak mugatzen gaitu eta denbora desberdintasun oso txikiak paira dezakete gizakiek: Nazioarteko Espazio Estazioan 7700m/s-ko abiadura duten astronautek 0,005s-ko desberdintasuna nabaritu dute. Sergei Krikalev eta Sergei Avdeyev dira zabalkuntza gehien jasan dutenak: 20 milisegundokoa. Horrek esan nahi du  haiek gu baino pixkat gutxiago zahartu direla.

### Inferentzia sinplea 
#### Argi-erlojua 
Erlatibitate bereziaren bigarren postulatuaren arabera edozein erreferentzia sistematan argiaren hutseango abiadura konstantea da. Hau da, argiaren abiadura ez da behatzailearen eta iturriaren mendekoa eta bere balioa c da. Demagun bi ispilu bertikalez osatutako erlojua dugula. A puntua ukitzen duen bakoitzean  erlojuaren tik bat izango da.

Erlojua geldirik dagoen erreferentzia sistema batean erraz kalkula dezakegu erlojuaren periodoa:

\Delta t=2L/c

v abiaduraz higitzen ari den behatzaile baten erreferentzia sistema inertzialean ez da hain tribiala kalkulatzea. Hala ere, argiaren abiadura konstantea denez sistema inertzial guztietan trigonometria erabiliz ere arin lor dezakegu:
Fitxategi:Time-dilation-002-mod.svg|Ezkerraldean erlojua geldirik dagoen erreferentzia sistematik periodo bat irudikatuta. Eskuinaldean, v abiaduraz mugitzen den behatzaile baten erreferentziatik periodoa ere irudikatuta
Erreferentzia sistema higikorrean periodoa \Delta t'=2D/c izango da non D trigonometria erabiliz ezagut daiteke

D = \sqrt{\left (\frac{1}{2}v \Delta t'\right )^2 + L^2}

L aurreko erreferentziaren ekuaziotik askatuz, L=\Delta t\cdot c/2 eta ordezkatuz,  bi erreferentzia sistemen denbora tarteen arteko erlazioa

\Delta t' = \frac{\Delta t}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} dela kontuan hartuz berridatz daiteke modu laburrago batean:

\Delta t' =\gamma{\Delta t}

v denez, \gamma\geq1 izango da, hau da, erlojuarekiko higitzen ari den behatzailearen denbora tartea erlojua gelditzat duen behatzailea baino handiagoa da. Halaber, geldiuneko sisteman erloju guztiek periodo berdina badute, denek zabalkuntza berdina jasan behar dute, erloju motaren gorabehera (mekanikoa, elektrikoa, optikoa...)

#### Haga higikorra 
Demagun argi iturri bat dugula haga bertikal batean kokatuta. Haga hari laborategiko ikuspuntutik ikusita v abiaduraz higitzen da eskuinerantz. Argi iturritik fotoi bat ateratzen da eta hagaren ikuspuntutik  t' segundu behar ditu Lurra jotzeko, beraz egindako distantzia ct' izango da. Laborategiko ikuspuntutik  t denbora behar izan du eta tarte horretan haga vt distantzia desplazatu da eskuinera. Kontuan izan behar dugu higidura erlatiboa norabide horizontalean gertatzen ari dela eta ez bertikalean, beraz bertikalki kokatuta dagoen hagaren zatiak ez du uzkurdurarik edo efekturik jasango. Bientzat fotoiak egindako distantzia bertikala berdina da. Honek dakar, distantzia horren karratua hartzean:

c^2t'^2=c^2t^2-v^2t^2

Edo berridatziz,

t'=t(1-v^2/c^2)^{1/2}

Hemen berriro ere, denboraren zabalkuntza ageri da.

### Elkarrekikotasuna 
Bi behatzaile baditugu eta haien arteko abiadura erlatiboa ez nulua bada, orduan bakoitzaren erreferentzia sisteman kokatuta bestea higitzen dagoela esango genuke eta hortaz, bere erlojua motelago doala. Logikak esango liguke, erlojua motelago doan erreferentzia sistema horretako behatzaile batek kanpoko munduaren denbora azkarrago doala hautemango lukeela, erlatibitate bereziak, haatik, intuizioaren aurkakoa aurresaten du: erreferentzia sistema bakoitzak bestearen erlojua motelago doala ikusiko du. Honek paradoxa bat ematen du, baina Lorentzen transformazioei erreparatzen badiegu ikusiko dugu xehetasun gehiago daudela.

Demagun bi erreferentzia sistema ditugula, S  eta S', bakoitza erloju propio batekin eta S' v abiaduraz aldentzen X ardatzean zehar (kontsideratuko dugu dimentsio bakarreko higidura). S-rentzat S'-ren posizioa x=-vt da eta bere posizioa  x=0 (konstantea)

Denborarako Lorentzen transformazioa

t'=\gamma(t-\frac{vx}{c^{2}})

x=0  denean t'= \gamma t

x=-vt denean t'=\gamma(t+\frac{v^{2}t}{c^{2}})=\frac{1}{\gamma}t.

Horrek adierazten digu, posizioaren menpekotasuna dagoela. x=0 posizioan, S'-ak denbora tarte luzeagoa ikusten du S-k baino eta  x=-vt posizioan S' denbora tarte laburragoa igaro dela ikusten du.

Elkarrekikotasunaren fenomenoa bikien paradoxara eramaten gaitu, non bikietako batek Lurrean gelditzen den eta eta bestea espazio-bidaia batean ontziratzen den, elkarrekikotasuna iradokitzen du biki bakoitzaren ikuspuntutik besteak zaharragoa izango dela, baina biak berriro elkartzean, bien erreferentzia sistema berbera izango da eta hortaz, adin berdina eduki beharko dute. Hori ez da benetan kasua, paradoxa biki bidaiariaren azelerazioarekin konpon daiteke; bidaztiak nonbaiten buelta eman behar duenez, azeleratu behar izan du nahitaez. Azelerazio horrek eragin du denboraren zabalkuntza asimetrikoa eta honen ondorioz, elkartzean Lurrera bueltatuko bikia zaharragoa izango da. Hala ere, hori ez da eman daitekeen azalpen bakarra, gainera azeleraziorik gabe ere bidaiariak gazteagoa izango dela ondorioztatzen da.

### Egiaztapen esperimentala 
#### Doppler efektua 
Uhin batekiko higidura erlatiboa duen behatzaile batek ikusten duen uhinaren maiztasun aldaketari Doppler efektua deritzo. Ives eta Stilwell (1938) esperimentu batzuk gauzatu zituzten Doppler efektua erabiliz denboraren zabalkuntza frogatzeko. Esperimentu horietan izpi katodikoen bidez, izpiak aurrez aurretik edo atzealdetik zetozenean aztertu zituzten.

Demagun v abiaduraz mugitzen den izpi-iturria dugula.

Denboraren zabalkuntza kontuan hartu gabe, Doppler formula honelakoa da:

f'=f(1-\frac{v}{c}\cos{\theta})

Denboraren zabalkuntza kontuan hartuz, Doppler formula honelakoa da:
thumb|v abiaduraz mugitzen den izpi iturriak uhina f maiztasunarekin igortzen du
f'=f\gamma(1-\frac{v}{c}\cos{\theta)}

non f'  behatzaileak detektaturiko maiztasuna den eta f iturriak igorritakoa. Esperimentua \theta=0,\pi balioetan egin zen:

Uhina behatzailera hurbiltzen ari bada f' neurtuko du:

Denboraren zabalkuntza gabe

f'=f(1-\frac{v}{c})

Denboraren zabalkuntzarekin

f'=f\gamma(1-\frac{v}{c})

Uhina behatzailetik aldentzen ari bada f'' neurtuko du:

Denboraren zabalkuntza gabe

f'=f(1+\frac{v}{c})

Denboraren zabalkuntzarekin

f'=f\gamma(1+\frac{v}{c})

Denboraren zabalkuntza gabe, f beste bi maiztasunen  erdian egongo litzateke baina hori ez da neurtu zena, neurtutako balioak ez ziren klasikoki esperotakoak, \gamma faktorea duten adierazpenak lortu zituzten.

Hasselkamp, Mondry eta Scharmanek angelu zuzenetarako neurtu zuten efektua 1979an. Einsteinek ondorioztatu zuen moduan \theta=\pi/2  denean f'=f\gamma betetzen da. Geldiunean dagoen erreferentziaren maiztasun txikitze hori denboraren zabalkuntzaren ondorioa da eta zeharkako Doppler efektutzat ezagutzen da.

#### Muoiak 
Muoiak  leptoi familiako  oinarrizko partikulak  dira. Oso masiboak dira (207 aldiz elektroiaren masa). Lurreko goi atmosferan eratzen dira oso energia altuko protoien talken ondorioz. Sortuak diren altuera 10 kilometroko magnitude ordenakoa izan ohi da. Muoiak ezegonkorrak dira eta 2\cdot10^{-6}s behar dituzte neutrino eta elektroi batean desintegratzeko. Lurreko gainazalera minuturo 10.000 muoi ailegatzen dira metro karratu bakar batean, baina nahiz eta  abiadura erlatibista dutela onartu (0.9999c),  fisika klasikoak 600 metro baino distantzia laburragoa egin dezaketela adierazten digu. Klasikoki ezinezkoa da guk Lurrean muoien presentzia nabaritzea, halarik ere, neurtzen ditugu. Erlatibitate bereziak azalpen egokia eman dezake: Lurretik ikusita, denboraren zabalkuntzak bere bizi iraupena luzatzen du \Delta t'=\gamma \Delta t=1,4\cdot10^{-4}s . Guk genekien 2\cdot10^{-6}s behar zituela geldiuneko erreferentzia sisteman, hau da, muoiaren ikuspuntutik hori da behar duena, baina Lurreko behatzaile batek ez du hori ikusiko, denbora luzeagoan desintegratzen dela neurtuko du. Denbora tarte horretan 42km egin ditzake,  distantzia nahikoa gainazala ukitzeko. Hori horrela, zein da muoiaren ikuspuntutik gertatzen dena? Bere erreferentzia sisteman bera da geldirik dagoena eta Lurra argiaren %99,99 abiaduraz hurbiltzen zaiona. Kasu honetan, muoiak atmosferaren kontrakzioa nabaritzen du (Lorentzen uzkurdura deitzen zaio fenomeno honi). Labur esanda, muoiarentzat atmosfera oso fina bilakatzen da (2\cdot10^{-6}s-tan zeharkatzeko modukoa) eta berehala zeharkatzen du. Bi ikuspegiak zuzenak dira  eta nahiz eta  bi interpretazio oso desberdin izan, azkenean bietan muoiak gainazala ukitzen du.

Partikula azeleragailuetan sortutako partikulen bizi iraupena ere luzeagoa da denboraren zabalkuntza dela eta. Muoiaren desintegrazioa eragiten duten prozesuak muoiaren ikuspuntutik laborategian ikusten den erritmo desberdinean gertatzen dira. Ohizko fenomenoa da eta zehaztasunez aztertuta izan da. Adibidez, CERN-eko muoi biltegirako eraztunean  muoien (\gamma=29,327) bizi iraupena 64,378\mu s-ko zabalkuntza zuela neurtu zen.

### Minkowskiren diagramak eta denbora propioa 
thumb|C erlojua A eta B erloju sinkronizatuekiko abiadura erlatiboan.
Denboraren zabalkuntza grafikoki adierazteko Minkowskiren diagramak erabiliko ditugu. Demagun hiru erloju ditugula, A, B eta C. C S' erreferentzia sisteman geldiunean dago, A eta B S-n geldiunean daude. C-k A-rekin topo egiten du d-n eta B-rekin f-n. 3 Erlojuak aldi berean martxan jartzen dira ( tik egiten) S-n. Bakoitzaren mundu lerroak: A-rena ct, B-rena ct-rekiko paraleloa baina f ebakitzen duena eta C-rena ct'. d-rekiko aldi berekoak diren gertaerak S-n X ardatzean daude, S'-n, aldiz, X' ardatzean.

Bi gertakarien arteko denbora propioa bietan presente dagoen erlojuak adierazten du.  Aldaezina da; sistema inertzial guztiek ados daude denbora propioaren balioarekin. Gure adibidera bueltatuz, df da C erlojuaren denbora propioa eta ef=dg (S-n) baino laburragoa da. Modu berean, B-ren ef denbora propioa laburragoa da if denborarekiko S'-n.
thumb|Hiperbola inbarianteak
Hortik ondoriozta daiteke, bi gertakarien arteko denbora propioa  beti da bi gertakizun horien arteko denbora minimoa, hau da, beste edozein erreferentzia sistema inertzialetan denbora luzeagoa neurtuko da.

Beste era bat denboraren zabalkuntza irudiztatzeko hiperbola aldaezinen erabilpenean datza. Horretarako \Delta s^{2}inbariantea erabiltzen da. Dimentsio bakarrean egingo dugu kalkulua erraztasunagatik, beraz,

\Delta s^{2}=c^2t^2-x^2=c^2t'^2-x'^2

Kalibratzeko hauxe erabiliko dugu:

\Delta s^{2}=c^2t^2-x^2=c^2t'^2-x'^2=\pm1

Hiperbola hauen  proiekzioak eginez ere erraz konproba daiteke denboraren zabalkuntza.

Ondorengo adibidearen bitartez ikusiko da zergatik garrantzia duen denbora propioak. Demagun c abiaduratik gertu higitzen doan gidari batek Bilbotik Gasteizerako bidean doala. Bidean zehar hainbat erloju ikusiko ditu errepidean eta badaki garaiz iritsi behar dela hirira. Hiriaren erlojua errepidekoa izango da, geldirik dagoena, eta aldiz, gidariaren erloju propioak bere metabolismoa edota bihotz taupaden erritmoa markatuko du. Beraz, garaiz iritsiko den konprobatzeko errepideko ordulariei erreparatu beharko die eta bazkaltzeko ordua den edo ez jakiteko denbora propioari. Kontuan izan, errepidekoa dt  tartea igaro dela esatean propioak tarte laburragoa adieraziko du, d\tau

d\tau=dt/\gamma

Ohiko abiaduretan \gamma baten inguruan egongo da, hortaz ez dugu ezer hautematen baina partikulen fisikan desberdintasuna oso garrantzitsua da.

### Eratorpena eta formulazioa 
Inferentzietan egiten dena gehiago orokortu daiteke Lorentzen transformazioak erabilita. Demagun bi gertakizun  (a eta b) eta  bi erreferentzia sistema inertzial v abiadura erlatiboa dutenak.  Gertaerak leku berberean gertatzen diren behatzailearentzat bi jazoerak  t_{a} eta t_{b} denboretan gertatzen dira. Beste erreferentzia inertzial batean dagoen behatzaile inertzialak honako denborak ikusiko ditu:

t_{a}^{\prime}=\frac{t_{a}-\frac{vx_{a}}{c^{2}}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}},\ t_{b}^{\prime}=\frac{t_{b}-\frac{vx_{b}}{c^{2}}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}

Leku berberean gertatzen direnez prima gabeko erreferentziarentzat x_{a}=x_{b} dugu eta,

\Delta t'=\gamma \Delta t=\frac{\Delta t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

non \Delta t  denbora propioa den, hau da,  erreferentzia sistema inertzial batean dagoen behatzaileak ikusten dituen bi gertakizun kolokalen ( posizio berdinean gertatzen direnak) denbora tartea den. \Delta t  v abiaduraz higitzen den behatzaileak ikusten duen bi gertakizunen arteko denbora tartea da. Hemen lehen bezala, gertakizunen denbora tartea desberdina da.

Hala ere, guk ez dugu honelako eraginik hautematen, argiaren abiadurara gerturatzean efektuak gero eta nabariagoak izaten dira baina abiadura oso baxuagoetan arbuiagarriak.

### Higidura hiperbolikoa 
Erlatibitate berezian, denboraren zabalkuntza normalean v abiadura erlatibo konstantearekin deskribatzen da. Hala ere, atal honetan ikusiko dugu nola Lorentzen transformazioek ahalbidetzen duten g azelerazio konstantedunak eragindako masa unitateko indarrak sortutako denbora propioa kalkulatzea ahalbidetzen duten.

Izan bitez t  "geldiuneko" deituko dugun erreferentzia sisteman neurtuko den denbora, x espazio koordenatua eta X ardatza abiadura eta azelerazioaren norabidea. Demagun hasieran x=0, t=0 direla eta v_ abiadura duela espazio ontzi batek.

Hasierako abiadura horrekin \gamma_{0} faktorea

\gamma_0 = \frac{1}{\sqrt{1-v_0^2/c^2}}

Posizioa t denboraren menpe:

x(t) = \frac {c^2}{g} \left( \sqrt{1 + \frac{\left(gt + v_0\gamma_0\right)^2}{c^2}} -\gamma_0 \right)

Abiadura:

v(t) =\frac{gt + v_0\gamma_0}{\sqrt{1 + \frac{ \left(gt + v_0\gamma_0\right)^2}{c^2}}}

Denbora propioa  t  denboraren menpe:

\tau(t) = \tau_0 + \int_0^t \sqrt{ 1 - \left( \frac{v(t')}{c} \right)^2 } dt'

Baldintza hauekin; v(0)=v_{0}=0, \tau(0)=\tau_{0}=0 integrala funtzio logaritmiko bezala edo alderantzizko funtzio hiperboliko gisa adieraz daiteke.

\tau(t) = \frac{c}{g} \ln \left( \frac{gt}{c} + \sqrt{ 1 + \left( \frac{gt}{c} \right)^2 } \right) = \frac{c}{g} \operatorname {arsinh} \left( \frac{gt}{c} \right)

Ontziaren denbora propioaren menpe espresioak:

Posizioa:

x(\tau) = \frac{c^2}{g} \left( \cosh \frac{g \tau}{c}-1 \right)

Abiadura:

v(\tau) = c \tanh \frac{g \tau}{c}

t denbora propioaren menpe:

t(\tau) = \frac{c}{g} \sinh \frac{g \tau}{c}

### Erlojuaren hipotesia 
Hipotesi honetan asumitzen da erlojuaren tik taken erritmoaren zabalkuntzak ez duela azelerazioaren menpekotasunik, aldiuneko abiaduraren menpekotasuna dauka soilik. Horren baliokidea izango litzateke P ibilbidean zehar doan erlojuak neurtzen duen denbora propioa

\tau = \int_P \sqrt {dt^2 - dx^2/c^2 - dy^2/c^2 - dz^2/c^2}

izatea.

Erlojuaren hipotesia Einsteinen 1905-ko erlatibitate berezian modu inplizituan agertzen da. Harrezkero, erlatibitateko axiometan sartua izan da.

## Grabitateak edo azelerazioak eragindako denboraren zabalkuntza 
Masa batetik distantzia desberdinetara dauden behatzaileek bi gertaeren artean igarotako denbora tarte desberdinak neurtuko dituzte masa horren grabitatea dela eta. Potentzial grabitatoriotik gero eta gertuago orduan eta erlojua mantsoago egingo du tik tak. Beste era batera esanez,  grabitate-iturritik hurbilago dauden erlojuen denbora geldoago doa urrun daudenekiko.

Albert Einsteinek bere erlatibitatearen teorian aurresan zuen eta esperimentalki frogatua izan da erlatibitate orokorreko hainbat testen bidez. Lehenengo aldiz Pound-Rebka  1955ko esperimentuan  eta geroago Gravity Probe A-n findu zen. Erlatibitate orokorrean espazio-denboraren tentsore metrikoaren bidez deskribaturiko denbora propioaren igaropenean desberdintasuna egongo dela aurresaten da.

Denboraren zabalkuntzaren adibide esanguratsuak: mendi tontorreko eskalatzaile baten erlojuak itsas-mailan dauden surflarien erlojua baino azkarrago doala edota Lurreko gainazala nukleoa baino 2,5 urte zaharragoak dira, besteak beste. Nazioarteko Espazio Estazioan dauden astronautek ere nabarituko duten fenomeno bat da.

### Gorriranzko lerrakuntza grabitatorioa 
Gorriranzko lerrakuntza grabitatorioak azaltzen du uhin elektromagnetikoak edo fotoiak putzu grabitazional batetik ateratzen saiatzen direnean, energia galtzen dutela. Energia galera hori fotoiaren maiztasuna txikitzea dakar. 

E=h\nu=\frac{hc}{\lambda}

Gorriranzko lerrakuntza deritzo uhin luzera handiagoetara jotzen dutelako, baina aldrebes ere gerta daiteke, hau da, putzu grabitazionalaren barnealdera joatean urdineranzko lerrakuntza dugu. Fenomeno hori denboraren zabalkuntzarekin lot daiteke. Hasteko, kontuan izan behar da lehen inplizituki adierazi dena;  argiari grabitateak eragiten dio. Demagun argiaren maiztasunean oinarritutako erloju bat dugula eta dorre baten behealdean kokatzen dugula. Guk dorrearen goialdean gaudenean ailegatzen zaigun argiaren maiztasuna  txikiagoa da, argiak  energia galdu duelako, eta hortaz geldoago mugitzen dela esango dugu. Denbora erritmo mantsoago batean igarotzen da eremu grabitazional batean murgilduta.

Iturrian uhinaren maiztasun propioa, hau da, iturria geldi dagoeneko sistema inertzial lokalean neurtua \nu_{I} bada eta goialdean jasotzen dena \nu_{D} bada,  gorriranzko lerrakuntza

z=\frac{{\nu _{I}}-\nu _{D}}{\nu _{D}}

Eremu grabitatorioa ahultzat har badaiteke,

z \approx \frac{\Phi(x_{D})-\Phi(x_{I})}{c^2}

Honi buelta emanda

T_{I}=T_{D}(1-\frac{\Delta\Phi}{c^2})^{-1}\approx T_{D}(1+\frac{\Delta\Phi}{c^2})

### Abiadurak eta azelerazio grabitazionalak eragindako denboraren zabalkuntza 
Zehaztasun handiko kronometrajea, Lurraren orbita baxuko sateliteen jarraipena eta pultsarren kronometrajea denboraren zabalkuntza jasaten duten prozesuak dira. Zabalkuntza hori masaren eta mugimenduaren efektu konbinatuek eragiten dute. Eguzki-sistemarako eta Lurrerako denboraren zabalkuntza efektu erlatiboak oso zehatz modelatu daitezke Einsteinen eremu ekuazioen Schwarzschild-en soluzioarekin. Schwarzschild-en metrikan, dt_\text{E} tartea honako formulak ematen du:

 dt_\text{E}^2 = \left( 1-\frac{2GM_\text{i}}{r_\text{i} c^2} \right) dt_\text{c}^2 - \left( 1-\frac{2GM_\text{i}}{r_\text{i} c^2} \right)^{-1} \frac{dx^2+dy^2+dz^2}{c^2} 

* dt_\text{E} t_\text{E} denbora propioaren gehikuntza txiki bat da  (erloju atomiko batean neur daitekeen tartea),
* dt_\text{c}  t_\text{c} koordenatuaren gehikuntza txiki bat da  ( koordenatu denbora ),
* dx, dy, dz  erlojuaren posizioaren, x, y, z,hiru koordenatuetan gehikuntza txikiak dira  ,
* \frac{-G M_i}{r_i} Auzoko masen ondoriozko Newtonen potentzial grabitatorioen batura adierazten du, erlojutik dauden kokapenaren arteko distantzietan oinarrituta ( r_i ). Batura honek marea-potentzial guztiak barne hartzen ditu. Erlojuaren koordenatu-abiadura honela ematen da:

v^2 = \frac{dx^2+dy^2+dz^2}{dt_\text{c}^2} 

Koordenatu denbora( t_c )masa grabitatorio guztietatik infinituki urruti eta koordenatu sisteman geldirik  dagoen "erloju koordenatu" hipotetiko batean irakurriko litzatekeen denbora da ( U=0 eta  ). Abiaduraren osagai erradiala duen erloju baten denbora propioaren eta koordenatu-denboraren arteko erlazio zehatza hau da:

\frac{dt_\text{E}}{dt_\text{c}}
= \sqrt{ 1 + \frac{2U}{c^2} - \frac{v^2}{c^2} + \left( \frac{c^2}{2U} + 1 \right)^{-1} \frac{{v_\shortparallel}^2}{c^2} }
= \sqrt{ 1 - \left( \beta^2 + \beta_e^2 + \frac{\beta_\shortparallel^2 \beta_e^2}{1 - \beta_e^2} \right) } 

non:

* v_\shortparallel abiadura erradiala da,
* v_e = \sqrt{ \frac{2 G M_i}{r_i} } ihes abiadura da,
* \beta = v/c, \beta_e = v_e/c eta \beta_\shortparallel = v_\shortparallel/c  *c* argiaren abiaduraren ehuneko gisan emandako abiadurak dira,
* U = \frac{-G M_i}{r_i} potentzial newtoniarra da; horregatik -U ihes abiaduraren karratuaren erdia da.

Goiko ekuazioa zehatza da Schwarzschild-en soluzioaren hipotesien arabera. Abiadurak eragindako denbora zabalkuntza ekuaziora murrizten da higiduraren presentzian eta grabitate ezean, alegia \beta_e = 0  denean. Grabitazio-denbora zabalkuntza-ekuaziora murrizten da mugimendurik ezean eta grabitatearen presentzian, hau da. \beta = 0 = \beta_\shortparallel .

## Saiakuntzak esperimentalak 
Hafelek eta Keating -ek, 1971n, zesioko erloju atomikoak hegaldatu zituzten Lurraren inguruan ekialderantz eta mendebalderantz, hegazkin komertzialetan, igarotako denbora AEBetako Itsas Behatokian geratzen zen erloju batenarekin alderatzeko. Kontrako bi efektu sartu ziren jokoan. Alde batetik erlojuak arinago zahartzea espero zen (iragandako denbora handiagoa erakustea) erreferentziako erlojua baino, grabitazio potentzial handiagoan (ahulagoan) baitzeuden (cf. Pound-Rebka esperimentua ). Baina, beste  aldetik, ere kontuan hartu beharra zegoen  mugitzen diren erlojuak astiroago zahartzen direla, bidaiaren abiadura dela eta. Bidaia bakoitzaren benetako hegaldi-ibilbideetatik abiatuta, teoriak aurreikusi zuen erloju hegalariek, AEBetako Itsas Behatokiko erreferentziazko erlojuekin alderatuta, 40±23  nanosegundo galdu behar zituztela ekialderako bidaian eta 275±21 nanosegundo irabazi &nbsp;mendebalderantz bidaian. AEBetako Itsas Behatokiko denbora atomikoaren eskalarekin alderatuta, erloju hegalariek 59±10 nanosegundo galdu zituzten ekialderako bidaian eta 273±7 nanosegundo irabazi zituzten mendebalderako bidaian (non errore-barrak desbideratze estandarra adierazten duten).  2005ean, Erresuma Batuko Fisika Laborategi Nazionalak esperimentu honen erreplika mugatua jakinarazi zuen.  NPL esperimentua jatorrizkoaren desberdina zen, zesio-erlojuak bidaia laburrago batean bidaltzen zirelako (Londres-Washington, DC itzulera), baina erlojuak zehatzagoak ziren. Emandako emaitzak erlatibitatearen iragarpenen %4ren barruan daude, neurketen ziurgabetasunaren barruan.

Posizionamendu Globala erlatibitate bereziko zein orokorreko funtzionamenduan oinarritutako esperimentutzat har daiteke. Orbitan dauden erlojuak denboraren zabalkuntza efektu erlatibistak pairatzen dituzte aldi oro, zuzenketak egiten dira konstanteki  Lurraren gainazaleko erlojuen abiadura berean ibil daitezen.

## Errefentziak 
## Kanpo estekak