Interpolazio

[300px|thumb|[Epitrokoide baten puntuetatik pasatzen den interpolatzailea. Puntuak gorriz ageri dira, puntuetatik pasatzen den spline interpolatzailea urdinez.]]
Matematikan, **interpolazioa** puntu multzo bat edukirik, puntu horiek erakusten duten joerarekin bat datozen puntu berriak aurkitzeko metodo matematiko bat da, puntu horiek *lotu* edo *hurbildu* egiten dituen funtzio baten bitartez puntu ezezagunen balioak eskuratzeko helburuarekin. Interpolazioa ohikoa da zientzian eta teknologian, non esperimentazioaren eta behaketaren bitartez maiz eskuratzen diren puntu bakanak.

Interpolazioarekin erlazionatutako beste problema bat funtzio konplexu bat funtzio sinple baten bitartez hurbiltzea izaten da. Formula konplexu bat era eraginkorrean ebaluatzeko, jatorrizko funtzioaren puntu batzuk erabili daitezke, ondoren interpolazio sinple bat burutzeko baliatuko direnak. Funtzio sinple bat erabiltzen denean puntu berriak estimatzeko, interpolazio erroreak gertatu ohi dira; aldiz, problema-mota eta baliatutako interpolazio metodoa zein diren, sinplifikazioaren irabazia garrantzitsuagoa izan daiteke zehaztasun galera baino.

## Adibidea 
Adibidez, demagun ezagutzen ez dugun *f* funtzioari buruzko honako datu-taula daukagula.
eskuinera|thumb|230px|Taulako puntuei dagokien irudia.

Interpolazioaren bidez tarteko puntuen balioaren hurbilketa edo estimazioa lor daiteke, esate baterako, *x*&nbsp;=&nbsp;2.5 balioarentzat ez dugu *f(x)* balioa ezagutzen, baina funtzio interpolatzaileak balio hori lortzeko aukera emango digu.

Hainbat interpolazio metodo daude eta horietako batzuk azpian azaltzen dira, bakoitzarekin *f(2.5)* balio ezberdinak lortuko dira. Interpolazio metodoa aukeratzerakoan kontuan hartu beharrekoak honakoak izan daitezke: lortu nahi den zehaztasun maila, metodoaren konputazio kostua, lortutako funtzioaren leuntasuna (deribagarritasuna) edota metodoak eskatzen duen datu kopurua.

### Interpolazio lineala 
eskuinera|thumb|230px|Interpolazio linealaren bidezko grafikoa

Interpolazio metodorik sinpleenetakoa da. Aurreko adibidean f(2.5) hurbiltzerakoan, 2.5 balioa x=2 eta x=3 nodoen artekoa denez, zentzuzkoa dirudi f(2.5) gisa f(2)= 0.9093 eta f(3)= 0.1411 balioen artekoa izatea, horrek 0.5252 baliora garamatza. Elkarren ondoko bi puntu lotzen dituen zuzena eraiki behar da interpolazioa egiteko.

Azkarra eta erraza da, baina ez oso zehatza. Horrez gain, metodo honen bitartez lortzen den funtzioa ez da deribagarria kalkulatutako edozein xk puntuan.

Orokorrean, ezagunak diren (xa, ya) eta (xb, yb) puntuak hartuta, haien arteko interpolazioa honela lortzen da:
: y = y_a + \left( y_b-y_a \right) \frac{x-x_a}{x_b-x_a} \text{ horrela, } \left( x,y \right) \text{ puntua lortuko da, }
Demagun g funtzioa interpolatu nahi dugula, suposatuta x balioa xa eta xb-ren artean dagoela eta g jarraitua eta bi aldiz deribagarria dela. Interpolazio-errorea honakoa izango da:

: |f(x)-g(x)| \le C(x_b-x_a)^2 \quad\text{non}\quad C = \frac18 \max_{y\in[x_a,x_b]} |g*(y)|. 
Beste era batera esanda, errorea puntu ezagunen arteko distantziaren karratuarekiko proportzionala da.

### Interpolazio polinomikoa 
eskuinera|thumb|230px|Interpolazio polinomikoaren bidezko kurbaren irudia

Interpolazio polinomiala, interpolazio linealaren orokortzea da. Interpolatzaile lineala funtzio lineala izanik, interpolatzailea maila altuagoko polinomio batengatik ordezkatzen da.

Goian azaldutako adibidearen jarraituz, hurrengo sei mailako polinomioa zazpi puntuetatik pasatzen da.
: f(x) = -0.0001521 x^6 - 0.003130 x^5 + 0.07321 x^4 - 0.3577 x^3 + 0.2255 x^2 + 0.9038 x. 
*x* = 2.5 balioarentzat *f*(2.5) = 0.5965 hurbilketa lortuko du.

Orokorrean, *n* puntu izanda, gehienez *n-1* maila duen polinomio bat existitzen da puntu guztietatik pasatzen dena. Interpolazio errorea puntuen arteko distantzien *n.'' potentziarekiko proportzionala da. Gainera, interpolatzailea polinomio bat denez, infinituki diferentziagarria da. Ondorioz, ikus daiteke interpolazio polinomikoak interpolazio linealaren arazo gehienak gainditzen dituela.

Dena den, interpolazio polinomikoak bere desabantailak ere baditu. Interpolatzaile polinomikoa kalkulatzea konputazionalki garestia da interpolazio linealarekin konparatuta. Are gehiago, interpolatzaile polinomikoak oszilazio arazoak azal ditzake, batez ere muturretan. Lortutako kurbaren forma espero dugunaren aurkakoa izan daiteke, adibidez puntuak sortu dituen esperimentuaz dakigunaren aurkakoa, bereziki aldagai askearen balio oso altu edo baxuetarako. Desabantaila hauek spline interpolazioa edo Chebyshev-en polinomioak erabiliz txikitu daitezke.

### Spline bidezko interpolazioa 
eskuinera|thumb|230px|Spline bidezko kurbaren grafikoaInterpolazio linearrak [xk, xk+1] tarte bakoitzeko funtzio linearra erabiltzen du. Spline bidezko interpolazioak gradu baxuko polinomioak ditu tarte bakoitzean eta tarte bakoitza modu leun batean elkartzea ahalbidetzen du.

Tarte bakoitzari dagokion funtzioa hirugarren mailakoa da, eta, era berean, bi aldiz deribagarria era jarraian. Gainera, bigarren deribatua muturretan zero da. Funtzio honek aurreko taulako puntuak interpolatzen ditu:

:  f(x) = \begin{cases}
-0.1522 x^3 + 0.9937 x, & \text{if } x \in [0,1], \\
-0.01258 x^3 - 0.4189 x^2 + 1.4126 x - 0.1396, & \text{if } x \in [1,2], \\
0.1403 x^3 - 1.3359 x^2 + 3.2467 x - 1.3623, & \text{if } x \in [2,3], \\
0.1579 x^3 - 1.4945 x^2 + 3.7225 x - 1.8381, & \text{if } x \in [3,4], \\
0.05375 x^3 -0.2450 x^2 - 1.2756 x + 4.8259, & \text{if } x \in [4,5], \\
-0.1871 x^3 + 3.3673 x^2 - 19.3370 x + 34.9282, & \text{if } x \in [5,6].
\end{cases} 
 
Kasu honetan, f(2.5)=0.5972 lortu dugu.
Interpolazio polinomikoa bezala, linealak baino errore txikiagoa hartzen du eta interpolazioa leunagoa da. Hala ere, polinomikoan baino errazagoa da interpolazioa ebaluatzea.

## Ikus, gainera 
* Estrapolazio (matematika)

## Kanpo estekak