Henri Poincaré

**Jules Henri Poincaré** (Nancy, Frantzia, 1854ko apirilaren 29a – Paris, 1912ko uztailaren 17a) frantses matematikaria, fisikari teorikoa, ingeniaria eta zientziaren filosofoa izan zen. Askotan polimatikoa bezala deskribatzen da, eta matematikan "Azken unibertsala" bezala, bere bizitzan zehar diziplinako alor guztietan nabarmendu baitzen. Bere arrakasta zientifikoagatik, eraginagatik eta bere aurkikuntzei esker, "zientzia modernoaren filosofo nagusitzat" jo dute.

Matematikari eta fisikari gisa, oinarrizko ekarpen original asko egin zituen matematika puruari eta aplikatuari, fisika matematikoari eta zeruko mekanikari. Hiru gorputzen arazoari buruzko ikerketan, Poincarék kaosaren teoria modernoaren oinarriak ezarri zituen, eta sistema kaotiko bat aurkitu zuen lehen pertsona izan zen. Topologiaren alorreko sortzaileetako bat ere izan.

Poincarék argi utzi zuen garrantzi handikoa zela fisikaren legeen inbariantzari erreparatzea eraldaketa ezberdinen pean, eta lehena izan zen Lorenzen eraldaketak beren forma simetriko modernoan aurkezten. Poincarék abiadura erlatiboko gainerako eraldaketak aurkitu zituen, eta 1905ean Hendrik Lorentzi bidalitako gutun batean erregistratu zituen. Horrela lortu zuen Maxwellen ekuazio guztien inbariantzia perfektua, erlatibitatearen teoriaren formulazioan urrats garrantzitsua izan zena. 1905ean, Poincarék lehen aldiz proposatu zituen grabitazio-uhinak gorputz batetik zetozenak eta argiaren abiaduran hedatzen zirenak, Lorentz eraldaketek eskatzen zuten bezala. 1912an, eragin handiko artikulu bat idatzi zuen, mekanika kuantikoari argudio matematikoa ematen ziona.

Fisikan eta matematikan erabiltzen zen “Poincaré taldea” izena, bere omenez zen. Bestalde, XX. mendearen hasieran Poincaréren aierua formulatu zuen, denborarekin matematikan konpondu gabeko arazo ospetsuetako bat bihurtu zen, 2002tik 2003ra Grigori Perelmanek konpondu zuen arte.

## Bizitza 
Poincaré 1854ko apirilaren 29an jaio zen Cité Ducale auzoan, Nancy hirian, Meurthe-et-Mosela departamenduan, Frantziako familia garrantzitsu batean. Bere aita Léon Poincaré (1828-1892) medikuntza irakaslea zen Nancyko Unibertsitatean. Aline arreba gazteena Émile Boutroux filosofo espiritualarekin ezkondu zen. Henriren familiako beste kide aipagarri bat bere lehengusua zen, Raymond Poincaré, Frantziako Akademiako kidea, 1913tik 1920ra Frantziako presidentea izan zena, eta 1913 eta 1929 artean Frantziako lehen ministroa hiru aldiz.

### Hezkuntza 
Haurtzaroan, oso gaixorik egon zen difteriarekin, eta bere amaren, Eugénie Launois-en (1830-1897), heziketa berezia jaso zuen. 

1862an, Henri Nancyko Lizeoan sartu zen (gerora Henri-Poincaré Lizeoa izena hartu zuen bere omenez, Henri Poincaré Unibertsitatearekin batera). Hamaika urte eman zituen Lizeoan, eta denbora horretan ikasi zuen gai bakoitzeko ikasle gailenetako bat izan zen. Konposizio idatzian nabarmendu zen. Matematikako irakasleak "matematikako munstro" gisa deskribatu zuen, eta lehen sariak irabazi zituen “lehiaketa orokorrean”, Frantzia osoko lizeo guztietako ikasle onenen arteko lehian. Bere gairik pobreenak musika eta heziketa fisikoa ziren, non kasurik onenean "ertaina" zela esaten zen. Hala ere, ikusmen txarrak eta absentismorako joerak azal ditzakete zailtasun horiek. Lizeoan 1871n graduatu zen, letretako zein zientzietako batxilergoak osatuz.

Parisko Eskola Politeknikoan lehen sailkatu bezala sartu zen 1873an, 1875ean graduatuz. Han matematika Charles Hermitenekin ikasi zuen, 1874an bere lehen lana argitaratuz, “Gainazal baten emailearen propietateen demostrazio berria.” Izenekoa. 1875eko azarotik 1878ko ekainera Meategi Eskola Gorenean ikasi zuen, eta aldi berean matematika ikasten jarraitu zuen meatzaritza ingeniaritzako programaz gain. 1879ko martxoan meatzaritzako ingeniari arruntaren titulua jaso zuen.

Aldi berean, Poincaré Matematikako Zientzietan doktoretza prestatzen ari zen, Charles Hermiteren zuzendaritzarekin. Doktoretza tesia ekuazio diferentzialen eremuan zen: “Ekuazioek zehaztutako funtzioen propietateei eta desberdintasun partzialei buruz.”. Poincarék ekuazio hauen propietateak aztertzeko modu berri bat asmatu zuen. Ekuazio horien osotasuna zehazteaz gain, haien propietate geometriko orokorrak aztertu zituen lehen pertsona izan zen. Konturatu zen Eguzki Sistemaren barruan mugimendu askeko gorputz anitzen portaera modelatzeko balio zezaketela. Poincaré Parisko Unibertsitatean 1879an graduatu zen.

Poincaré laster jarri zen Europako matematikari handienen artean, matematikari nabarmen askoren arreta bereganatuz. 1881ean, Poincarék Parisko Unibertsitateko Zientzien Fakultatean irakasle postu bat betetzeko gonbidapena jaso zuen, eta onartu ondoren, 1883tik 1897ra analisi matematikoa irakatsi zuen Eskola Politeknikoan.

1881-1882an Poincarék matematikaren adar berri bat sortu zuen: ekuazio diferentzialen teoria kualitatiboa. Erakutsi zuen nola lor daitekeen soluzio familia baten portaerari buruzko informazio garrantzitsuena, ekuazioa ebatzi beharrik gabe (hori ez baita beti posible izango). Mekanika zerutiarreko eta fisika matematikoko problemekiko hurbilketa hau arrakastaz erabili zuen. 

1881ean hasi eta karrera osoan, Parisko Unibertsitatean (Sorbonan) eman zituen eskolak. Hasieran "analisi irakasle elkartua" izendatu zuten. Gerora, Mekanika Fisikoa eta Esperimentala, Fisika Matematikoa eta Probabilitatearen Teoria, eta Zeruko Mekanika eta Astronomia aulkietan egon zen.

1904an, Alfred Dreyfusen epaiketetan parte hartu zuen, Dreyfusen aurka aurkeztutako frogei buruzko baieztapen zientifiko beldurgarriei eraso eginez.

Poincaré Frantziako Elkarte Astronomikoaren lehendakaria izan zen 1901etik 1903ra.

#### Ikasleak 
Poincarék bi doktore ikasle bikain izan zituen Parisko Unibertsitatean: Louis Bachelier (1900) eta Dimitrie Pompeiu (1905).

### Heriotza 
1912an, Poincaréri ebakuntza egin zioten prostatako arazo batengatik, eta ondoren enbolia baten ondorioz hil zen 1912ko uztailaren 17an, Parisen. 58 urte zituen. Poincaré familiaren nitxoan lurperatuta dago, Montparnasseko hilerrian, Parisen, Émile-Richard kalearen ondoko 16. atalean.

Frantziako Hezkuntza ministro ohi batek, Claude Allègrek, 2004an proposatu zuen Poincaré Parisko Panthéonen lurperatzea, ohore handiko frantses hiritarrentzat erreserbatua dagoena.

## Lana 
### Laburpena 
Poincarék ekarpen ugari egin zituen matematika huts eta aplikatuaren hainbat arlotan, hala nola: zeruko mekanika, fluidoen mekanika, optika, elektrizitatea, telegrafia, kapilaritatea, elastikotasuna, termodinamika, teoria potentziala, teoria kuantikoa, erlatibitatearen teoria eta kosmologia fisikoa.

Matematikan eta fisikan ere ospetsua zen, eta hainbat liburu idatzi zituen jende xehearentzat. Honako gai zehatz hauek landu zituen:

• Topologia aljebraiko (Poincarék berak asmatu zuen ia eremua)

• Hainbat aldagai konplexuren funtzio analitikoen teoria.

• Funtzio abelikoen teoria

• Geometria aljebraiko

• Poincaréren aierua, 2003an Grigori Perelmanek frogatua.

• Poincaréren errepikapenaren teorema 

• Geometria hiperboliko

• Zenbakien teoria

• Hiru gorputzeko arazoa

• Ekuazio diofantoaren teoria

• Elektromagnetismo

• Erlatibitatearen teoria berezia

• Funtsezko taldea

• Ekuazio diferentzialen alorrean, Poincarék ekuazio diferentzialen teoria kualitatiborako kritikoak diren emaitza asko eman zituen, adibidez Poincaré esfera eta Poincaré mapa.

• Poincaré, "mundu guztiak duen sinesmenari" buruzkoa, “Erroreen Lege Normalari” buruz. 

• Eragin handiko lan bat argitaratu zuen, mekanika kuantikoaren euskarri den argudio.

### Hiru gorputzeko arazoa 
Eguzki Sisteman orbitatzen zuten bi gorputz baino gehiagoren mugimenduari irtenbide orokorra aurkitzeko arazoak matematikariei ihes egin zien Newtonen garaitik. Hau, hasiera batean, hiru gorputzeko arazoa bezala ezagutzen zen, eta beranduago "n-gorputzekoa", non "n" orbitatzen duten bi gorputz baino gehiagoko edozein gorputz den. Gorputzeko irtenbidea oso garrantzitsutzat eta erronkatzat hartu zen XIX. mendearen amaieran. Izan ere, 1887an bere 60. urtebetetzearen ohoretan, Suediako errege Oscar II.ak, Gösta Mittag-Lefflerrek aholkatuta, sari bat ezarri zuen arazoaren konponbidea aurkitzen zuenarentzat. Iragarpena zehatza zen:“Newtonen legearen arabera bakoitza erakartzen duen nahierara masa-puntu askoko sistema bat emanda, bi puntuk inoiz talka egiten ez dutelakoan, puntu bakoitzaren koordenatuen irudikapen bat bilatzen saiatzen da serie gisa denboraren funtzio ezagunen bat den aldagaian, eta serieak uniformeki bat egiten duen balio guztietarako.”Arazoa konpontzerik ez balego, mekanika klasikoaren beste edozein ekarpen garrantzitsu goresgarritzat joko litzateke. Azkenean, Poincareri eman zioten saria, nahiz eta berak ez zuen jatorrizko arazoa konpondu. Epaileetako batek, Karl Weierstrass ospetsuak esan zuen: "*Lan hau, egia esan, ezin da planteatu den arazoaren soluzio osoa hornitzetzat hartu, baina hala ere hain garrantzitsua da, ezen bere argitalpenak aro berri bat irekiko baitu zeruko mekanikaren historian*." (Bere ekarpenaren lehen bertsioak akats larri bat ere bazuen; xehetasunak Diacuren artikuluan eta Barrow-Greenen liburuan datoz). Azkenean, bertsio inprimatuak kaosaren teoriara eraman zuten ideia garrantzitsu asko zekartzan. Arazoa hasieran esan bezala, Karl F. Sundmanek konpondu zuen azkenean n = 3rentzat 1912an, eta Qiudong Wangek 90eko hamarkadan n > 3 gorpuen kasura orokortu zuen. Serieko soluzioek oso konbergentzia geldoa dute. Milioika termino beharko lirateke partikulen higidura denbora-tarte oso laburretan ere zehazteko, eta beraz, zenbakizko lanean erabilezinak dira.

### Erlatibitateari buruzko lana 
#### Tokiko ordua 
thumb|Henri Poincaré gaztea 1887an, 33 urterekin.
Poincarék Longitudeen Bulegoa delakoan nazioarteko denbora-zonak ezartzeari buruz egin zuen lan. Lurrean dauden erlojuak, espazio absolutuaren (edo "argizarizko eterraren") aldean abiadura ezberdinetan mugitzen zirenak, nola sinkroniza zitezkeen aztertzera eraman zuen. Aldi berean, Hendrik Lorentz holandar teorikoa Maxwellen teoria garatzen ari zen partikula kargatuen mugimenduaren teoria batean ("elektroiak" edo "ioiak") eta erradiazioarekiko elkarreraginean. 1895ean, Lorenzek "denbora lokala" izeneko kantitate osagarri bat sortu zuen t ′ = t − v x / c 2  (interpretazio fisikorik gabe), eta luzeraren uzkurduraren hipotesia sartu zuen, esperimentu optiko eta elektrikoen porrota azaltzeko, mugimendua antzemateko eterrarekiko. Poincaré Lorenzen teoriaren interpretatzaile etengabea izan zen (eta batzuetan kritiko adeitsua). Poincarék, filosofo gisa, "esanahi sakonagoa" nahi zuen. Horrela interpretatu zuen Lorenzen teoria eta, horrekin batera, gaur egun erlatibitate bereziarekin lotzen diren ikuspegi asko bururatu zitzaizkion. "Denboraren neurria" liburuan (1898), Poincarék zioen: "Gogoeta txiki bat aski da baieztapen horiek guztiek berez zentzurik ez dutela ulertzeko. Bakarra izan behar da hitzarmen baten emaitza gisa." Era berean, argudiatu zuen zientzialariek argiaren abiaduraren konstantzia postulatu bezala ezarri behar dutela, teoria fisikoei forma errazena emateko. Hipotesi horietan oinarrituta, 1900. urtean, Lorenzek tokiko denborari buruz egindako "asmakizun zoragarria" eztabaidatu zuen, eta erloju mugikorrak sinkronizatzean sortu zela adierazi zuen, bi noranzkoetan abiadura berarekin koadro mugikor batean bidaiatzeko onartutako argi-seinaleak trukatzean.

#### Erlatibitatearen printzipioa eta Lorentz eraldaketak 
1881ean, Poincarék geometria hiperbolikoa deskribatu zuen, eredu hiperboloidearen arabera, eta transformazioak formulatu zituen Lorentz tartea inbariante utziz, x 2 + y 2 – z 2 = -1, matematikoki Lorenzen 2+1 dimentsioko transformazioen baliokide bihurtuz. Gainera, Poincaréren beste geometria hiperbolikoko ereduak (Poincaréren disko-modeloa, Poincaréren plano erdiko modeloa) eta Beltrami-Klein modeloa, abiadura erlatiboko espazioarekin erlazionatu daitezke. 

1892an Poincarék argiaren teoria matematiko bat garatu zuen, polarizazioa barne. Polarizatzaileen eta atzeratzaileen ekintzari buruzko bere ikuskera, egoera polarizatuak adierazten dituen esfera batean jarduten duena, "Poincaré esfera" deitzen da. Poincaré esferak azpian Lorentziar simetria bat duela frogatu zen, eta horren bidez Lorentz transformazioen eta abiadura-gehiketen irudikapen geometriko gisa erabil daiteke.

"Mugimendu erlatiboaren printzipioa" eztabaidatu zuen 1900. urtean bi artikulutan, eta erlatibitate printzipioa izendatu zuen 1904. urtean. Bertan azaltzen zuen edozein esperimentu fisikok ezin duela bereizi mugimendu uniformearen eta atseden egoeraren artean. 1905ean Poincarék 1904ko Lorentzen artikuluari buruz idatzi zuen, "garrantzi handiko paper" gisa deskribatuz. Gutun horretan, Lorentzek bere eraldaketa Maxwellen ekuazio batean aplikatu zuenean egindako akats bat adierazi zuen, alegia kargarako okupatutako espazioarena, eta zalantzan jarri zuen halaber Lorentzek emandako denbora-dilatazioaren faktorea. Lorentzi bidalitako bigarren gutun batean, Poincarék bere arrazoia azaldu zuen, zergatik Lorentzen denbora-dilatazioaren faktorea benetan zuzena zen azken batean - Lorentzen eraldaketa talde bihurtu behar zen - eta gaur egun abiadura erlatibo-gehigarriaren legea bezala ezagutzen dena eman zuen."Lorentzek ezarritako funtsezko puntua da eremu elektromagnetikoaren ekuazioak ez direla formaren transformazio jakin batez (Lorentz izenaz deituko dudana) aldatzen:  x ′ = k ℓ ( x + ε t ) , t ′ = k ℓ ( t + ε x ) , y ′ = ℓ y , z ′ = ℓ z , k = 1 / 1 − ε 2."                                 eta erakutsi zuen funtzio arbitrarioak ℓ ( ε ) ”ε” denentzako batasuna izan behar zutela (Lorentzek beste argudio batez ℓ = 1 ezarria zuen) eraldaketak talde bihurtzeko. 1906an agertu zen artikuluaren bertsio zabaldu batean, Poincarék adierazi zuen "x 2 + y 2 + z 2 − c 2 t 2" konbinazioa inbariantea zela. Ohartarazi zuen Lorentzen eraldaketa bat jatorriari buruzko lau dimentsioko espazioan egindako errotazio bat besterik ez dela, "c t − 1" laugarren alegiazko koordenatu gisa sartuz, eta lau bektoreko forma goiztiarra erabili zuen. Poincarék 1907an bere mekanika berriaren lau dimentsioko birformulazioarekiko interes falta adierazi zuen, bere ustez fisika geometria laudimentsionalaren hizkuntzara itzultzeak etekin mugatua lortzeko ahalegin handiegia ekarriko lukeelako. Geroago, Hermann Minkowski izan zen ideia horren ondorioak landu zituena 1907an.
#### Masa-energia erlazioa 
Beste batzuk aurretik bezala, Poincarék 1900an energia masiboaren eta elektromagnetikoaren arteko erlazioa aurkitu zuen. Ekintza/erreakzio printzipioaren eta Lorentz eterraren teoriaren arteko gatazka aztertzen ari zela, saiatu zen zehazten ea grabitate-zentroa oraindik abiadura uniformez mugitzen den eremu elektromagnetikoak barne hartzen ote den. Ondorioztatu zuen uhin elektromagnetiko baten eremu elektromagnetikoko energiak "E/c2" dentsitate masiboko gezurrezko fluido baten antzera jokatzen duela. Masa-markoaren erdigunea materiaren masak eta fikziozko jariakinaren masak definitzen badute, eta fikziozko jariakina suntsiezina bada - ez dena ez sortzen ez suntsitzen -, orduan masa-koadroaren erdigunearen mugimenduak uniformea izaten jarraitzen du. Baina energia elektromagnetikoa beste energia mota bat bihur daiteke. Horrela, Poincarék onartu zuen energia fluido ez-elektriko bat dagoela espazioko puntu bakoitzean, non energia elektromagnetikoa eralda daitekeen eta, gainera energiarekiko proportzionala den masa bat daramala. Horrela, masa-zentroaren mugimenduak uniformea izaten jarraitzen du. Poincarék zioen ez zela gehiegi harritu behar suposizio horiekin, fikzio matematikoak besterik ez baitziren.

Gai horretara itzuli zen bere San Luis hitzaldian (1904). Energiak masa eramateko aukera baztertu zuen, eta aipatutako arazoak konpentsatzeko bere konponbidea kritikatu zuen:“Aparatuak kanoi bat balitz bezala atzera egingo du eta proiektatutako energia bola bat izanik, eta hori Newtonen printzipioarekin kontraesanean dago, gure egungo proiektilak masarik ez baitu; ez da materia, energia da. [...] Esango al dugu osziladorea hargailutik bereizten duen eta asaldurak batetik bestera igarotzean zeharkatu behar duen espazioa ez dagoela hutsik, baizik eta ez bakarrik eterrez, airez are beteta dagoela. Eta planeta arteko espazioa fluido sotil, baina ponderable batekin; materia honek shocka jasotzen duela, hartzaileak bezalaxe, energia bertara iristen den unean, eta atzera egiten duela, asaldurak uzten duenean? Horrek Newtonen printzipioa salbatuko luke, baina ez da egia. Hedatzean energia substratu material bati lotuta egongo balitz beti, materia horrek argia eramango luke berarekin eta Hippolyte Fizeau fisikariak erakutsi du, aireari dagokionez behintzat, ez dagoela horrelakorik. Michelson-Morley esperimentuak hori baieztatu du geroztik. Era berean, suposa genezake materiaren higidurak zehatz-mehatz konpentsatu zutela eterrarenak; baina horrek orain une batez egindako gogoeta berdinetara eramango gintuzke. Printzipioak, horrela interpretatuz gero, edozer azaldu lezake, ikus daitezkeen mugimenduak edozein direla ere, eta horiek konpentsatzeko higidura hipotetikoak imajina genitzake. Baina ezer azaldu ahal badu, ezer iragartzeko aukera emango digu; ez digu aukerarik emango hainbat hipotesi posibleen artean, dena aldez aurretik azaltzen baitu. Beraz, alferrikakoa bihurtzen da.”Aurreko aipuan Fizeau-ren esperimentuak faltsutu zuen eter osoaren arrastearen Hertz-en hipotesiari egiten dio erreferentzia, baina esperimentu horrek argia substantzia batekin partzialki "eramaten" dela erakusten du. Azkenik, 1908an arazoa berrikusten du eta erreakzio-printzipioa guztiz alde batera utziz amaitzen da, eterraren beraren inertzian oinarritutako konponbide baten alde.  
[thumb|[Marie Curie eta Poincaré 1911ko Solvayko konferentzian hitz egiten.]]
Baina gorago ikusi dugu Fizeauren esperimentuak ez duela uzten Hertzen teoriari eusten; beraz, beharrezkoa da Lorentzen teoria onartzea eta, beraz, erreakzioaren printzipioari uko egitea. Azaldu gabeko beste bi efektu ere eztabaidatu zituen: (1) Lorentz-en masa aldakorrak suposatzen duen masa ez-kontserbatzea γ m, Abrahamen masa aldakorraren teoria eta Kaufmann-en esperimentuak mugitzen diren elektroien masari buruz, eta (2) energia-erradioan ez-kontserbatzea Marie Curieren esperimentuetan.

Albert Einsteinen masa-energia baliokidetasunaren (1905) kontzeptua izan zen, erradiazio edo bero gisa energia galtzen zuen gorputz batek "m = E/c2" masa galtzen ari zela, Poincaré-ren paradoxa ebatzi zuena, eterraren barneko konpentsazio mekanismorik erabili gabe. Osziladore hertziarrak masa galtzen du emisio-prozesuan, eta momentua edozein fotogramatan kontserbatzen da. Hala ere, Poincaréren Grabitate Zentroaren problemaren ebazpenari dagokionez, Einsteinek adierazi zuen Poincaréren formulazioa eta 1906ko berea matematikoki baliokideak zirela.

#### Grabitazio-uhinak 
1905ean Poincaré-k lehen aldiz gorputz batetik irten eta argiaren abiaduran hedatzen ziren grabitazio-uhinak proposatu zituen. Honela idatzi zuen:“Garrantzitsua bihurtu da hipotesi hori hurbilagotik aztertzea eta, berezik, grabitazioaren legeak aldatzea zein modutan eskatuko genituzkeen galdetzea. Hori da zehazten saiatu naizena; hasieran, grabitazioaren hedapena ez dela berehalakoa suposatu nuen, argiaren abiadurarekin gertatzen dela baizik.”

#### Poincaré eta erlatibitateari buruzko ebaluazioak 
Poincaré-k erlatibitate bereziaren garapenean egindako lana ondo aitortua izan zen, nahiz eta historialari gehienek azpimarratu Einsteinen lanarekin antzekotasun asko izan arren, biek ikerketa-agenda eta interpretazio oso desberdinak zituztela lanaren inguruan. Poincaré-k tokiko denboraren antzeko interpretazio fisikoa garatu zuen eta seinalearen abiadurarekin lotura zuela nabaritu zuen, baina Einsteinek ez bezala eter-kontzeptua erabiltzen jarraitu zuen bere artikuluetan, eta eterrean atsedenean dauden erlojuak "egiazko" denbora erakusten zutela, mugitzen ziren erlojuak tokiko ordua erakusten zuten bitartean. Beraz, Poincaré erlatibitate-printzipioa kontzeptu klasikoen arabera mantentzen saiatu zen, eta Einsteinek berriz, matematikoki baliokidea den zinematika bat garatu zuen espazioaren eta denboraren erlatibitatearen kontzeptu fisiko berrietan oinarrituta. 
thumb|Katilu baten eraldaketa topologikoa.
Historialari gehienen iritzia hori bada ere, gutxi batzuk askoz urrunago doaz, hala nola E. T. Whittaker, Poincaré eta Lorentz erlatibitatearen benetako aurkitzaileak zirela uste zuelako.

#### Aljebra eta zenbakien teoria 
Poincaré-k talde-teoria sartu zuen fisikan, eta Lorentz-en transformazioen taldea ikertzen lehena izan zen. Talde diskretuen teorian eta haien irudikapenetan ere ekarpen handiak egin zituen.

#### Topologia 
Topologiaren gaia argi eta garbi definitzen du Felix Klein matematikariak bere 1872ko "Erlangen Program" artikuluan: "eraldaketa jarraitu arbitrarioaren geometria aldaezinak, geometria moduko bat". Johann Benedict Listing-ek "Topologia" terminoa iradoki zuen, aurretik "Analisia egoera" erabilitakoaren ordez. Beste kontzeptu garrantzitsu batzuk Enrico Betti eta Bernhard Riemann-ek sartu zituzten. Baina zientzia honen oinarria, edozein dimentsiotako espazio baterako, Poincarék sortu zuen. Gai honi buruzko bere lehen artikulua 1894an agertu zen. 

Geometrian egindako ikerketak homotopiaren eta homologiaren definizio topologiko abstraktua ekarri zuen. Halaber, topologia konbinatzailearen oinarrizko kontzeptuak eta aldaezinak sortzen lehena izan zen, hala nola “Betti zenbakiak” eta “Oinarrizko taldea”. Poincaré-k “n” dimentsioko poliedroaren ertz, erpin eta aurpegien kopurua erlazionatzen duen formula bat frogatu zuen (Euler-Poincaré teorema), eta dimentsio-nozio intuitiboaren lehen formulazio zehatza eman zuen.

#### Astronomia eta zeruko mekanika 
thumb|Mugimendu kaotikoa hiru gorputzeko arazoan (ordenagailu bidezko simulazioa).
Poincaré-k gaur egun klasikoak diren bi monografia argitaratu zituen, "Zeruko mekanikako metodo berriak" (1892-1899) eta "Zeruko mekanikari buruzko hitzaldiak" (1905-1910). Horietan, haien ikerketen emaitzak arrakastaz aplikatu zituen hiru gorputzen higiduraren arazoan, eta zehatz-mehatz aztertu zituen soluzioen portaera (maiztasuna, egonkortasuna, asintotikoa, etab). Parametro txikien metodoa, puntu finkoak, integral aldaezinak, bariazio-ekuazioak, eta hedapen asintotikoen konbergentzia sartu zituen. Brunsen 1887ko teoria bat orokortuz, Poincarék hiru gorputzen arazoa integragarria ez dela erakutsi zuen. Beste era batera esanda, hiru gorputzen problemaren soluzio orokorra ezin da funtzio aljebraiko eta transzendentalen arabera adierazi gorputzen koordenatu eta abiadura anbiguoen bidez. Arlo honetan egin zuen lana Isaac Newtonen geroztik zeruko mekanikan izandako lehen lorpen handia izan zen.

Monografia hauek Poincaréren ideia bat jasotzen dute, gerora "kaosaren teoria" matematikoaren oinarri bihurtu zena (ikus, bereziki, Poincaréren errepikapenaren teorema), eta sistema dinamikoen teoria orokorra. Poincaré-k astronomiari buruzko lan garrantzitsuak egin zituen biraka ari den fluido grabitatorio baten oreka-zifretarako. Bifurkazio-puntuen kontzeptu garrantzitsua sartu zuen, eta elipsoideak ez diren bezalako oreka zifrak badirela frogatu zuen, eraztun eta udare formako irudiak barne, eta haien egonkortasuna. Aurkikuntza horregatik, Poincaré-k Royal Astronomical Society-ren Urrezko Domina jaso zuen 1900ean.

#### Ekuazio diferentzialak eta fisika matematikoa 
Ekuazio diferentzialen sistemako puntu singularren azterketari buruzko doktore-tesia defendatu ondoren, Poincaré-k "Ekuazio diferentzialen bidez definitutako kurbetan" (1881–1882) izenburupean memoria sorta bat idatzi zuen. Artikulu horietan, matematikaren adar berri bat eraiki zuen, "ekuazio diferentzialen teoria kualitatiboa" izenekoa. Poincaré-k erakutsi zuen ekuazio diferentziala funtzio ezagunen arabera ebatzi ezin bada ere, ekuazioaren formatik bertatik, soluzioen propietateei eta portaerari buruzko informazio ugari aurki daitekeela. Bereziki, Poincarék planoko kurba integralen ibilbideen izaera ikertu zuen, puntu singularren sailkapena eman zuen (jarra, fokua, zentroa eta nodoa), muga-zikloaren kontzeptua eta begizta-indizea sartu zituen, eta erakutsi zuen muga-ziklo kopurua beti dela mugatua, kasu berezi batzuetan izan ezik. Halaber, Poincarék aldagai integralen eta ekuazio bariazioen soluzioen teoria orokor bat garatu zuen. Diferentzia finituko ekuazioetarako, norabide berri bat sortu zuen: soluzioen analisi asintotikoa. Lorpen horiek guztiak fisika matematikoko eta zeruko mekanikako problema praktikoak aztertzeko aplikatu zituen, eta erabilitako metodoak izan ziren bere topologia-lanen oinarria.
Fitxategi:Phase Portrait Sadle.svg|Jarra
Fitxategi:Phase Portrait Stable Focus.svg|Fokua
Fitxategi:Phase portrait center.svg|Zentroa
Fitxategi:Phase Portrait Stable Node.svg|Nodoa

## Izaera 
Poincaréren lan ohiturak lorez lore hegan dabilen erle batekin alderatu dira.Poincaréri bere adimenaren funtzionamendua interesatzen zitzaion; zituen ohiturak aztertu ondoren, bere behaketen inguruko hitzaldia eman zuen 1908an Pariseko Psikologia Orokorraren Institutuan, bere pentsamoldea egin zituen hainbat aurkikuntzekin lotuz.

Jean Gaston Darboux matematikariak esan zuen intuitibo bat zela, irudikapen bisualaren bidez hainbeste lan egin izanak hori frogatzen zuelako. Jacques Hadamard-ek idatzi zuen Poincaréren ikerketek argitasun zoragarria erakusten zutela. Eta Poincaré-k berak idatzi zuen uste zuela logika ez zela ideiak asmatzeko modu bat, baizik eta ideiak egituratzeko modu bat, logikak ideiak mugatzen dituelako. 

• Egunero ordu berean lan egiten zuen denbora tarte laburretan. Egunean lau orduz egiten zituen ikerketa matematikoak, 10:00ak eta 12:00ak bitartean eta gero berriz 17:00etatik 19:00etara. Aldizkarietako artikuluak gauean irakurtzen zituen. 

• Bere lan-ohitura arrunta bere buruan zegoen arazo bat guztiz konpontzea zen, ondoren amaitutako arazoa artikuluan idazteko. 

• Eskuin-ezkerti eta miopea zen. 

• Entzuten zuena ikusteko gaitasuna bereziki erabilgarria izan zen hitzaldietara joaten zenean, bere ikusmena hain eskasa baitzen, non irakasleak arbelean idatzitakoa behar bezala ikusten ez baitzuen.

Gaitasun horiek neurri batean konpentsatu zituzten bere gabeziek:

• Fisikoki eta artistikoki traketsa zen.

• Beti presaka zegoen eta ez zitzaion gustatzen aldaketak edo zuzenketak egiteko atzera joatea.

• Inoiz ez zuen denbora luzerik eman arazo batean, subkontzienteak arazoa lantzen jarraituko zuela uste baitzuen, hark kontzienteki beste arazo batean lan egiten zuen bitartean.

Horrez gain, Toulousek adierazi zuen matematikari gehienek lehendik ezarritako printzipioetatik lan egiten zutela, eta Poincaré aldiz, oinarrizko printzipioetatik abiatzen zen aldi bakoitzean.

Bere pentsatzeko metodoa honela laburbiltzen da: “*Detaileak alde batera utzi eta mendi-gailurrei soilik begiratzera ohitua, gailur batetik bestera bizkortasun harrigarriz ibiltzen zen, eta aurkitutako gertakariak, haien erdigunean bilduta, berehala eta automatikoki gordeta geratzen ziren bere memorian*.” 

## Argitalpenak 
• Argiaren teoria matematikoari buruzko ikasgaiak. Paris: Carrè. 1889.

• Soluzio periodikoak, integral uniformerik ez egotea, soluzio asintotikoak. 1. liburukia.  Paris: Gauthier-Villars. 1892. 

• Mm-ren metodoak. Newcomb, Gylden, Lindstedt eta Bohlin. 2. liburukia. Paris: Gauthier-Villars. 1893. 

• Oszilazio elektrikoak. Paris: Carrè. 1894. 

• Inbariante integralak, bigarren motako soluzio periodikoak, soluzio bikoitz asintotikoak. 3. Liburukia.  Paris: Gauthier-Villars. 1899. 

• Zientziaren balioa. Paris: Flammarion. 1900. 

• Elektrizitatea eta optika. Paris: Carrè & Naud. 1901. 

• Zientzia eta hipotesia. Paris: Flammarion. 1905. 

• Termodinamika. Paris: Gauthier-Villars. 1908. 

• Azken gogoetak. Paris: Flammarion. 1913. 

• Zientzia eta metodoa. Londres: Nelson and Sons. 1914.

## Ohoreak 
### Sariak 
• Oscar II.a Suediako erregearen matematika lehiaketa (1887)

• Herbehereetako Arte eta Zientzien Errege Akademiako kide atzerritarra (1897) 

• Ameriketako Elkarte Filosofikoa (1899)

• Londresko Royal Astronomical Society-ren Urrezko Domina (1900)

• Bolyai saria (1905)

• Matteucci domina (1905)

• Frantziako Zientzien Akademia (1906)

• Frantziako Akademia (1909)

• Bruce domina (1911)
[thumb|Henri Poincaré [Zentral hidroelektriko|zentral hidroelektrikoa. ]]

### Bere izena jarria 
• Henri Poincaré Institutua (matematika eta fisika teorikoko zentroa)

• Poincaré saria (Matematikako Fisika Nazioarteko Saria)

• Annales Henri Poincaré (Aldizkari zientifikoa)

• Poincaré mintegia («Bourbaphy» ezizena zuena)

• Poincaré kraterra Ilargian

• 2021 Poincaré asteroidea

• Henri Poincaréren izena duten gauzen zerrenda.

Henri Poincaré-k ez zuen Fisikako Nobel Saria jaso, baina Henri Becquerel edo Gösta Mittag-Leffler batzordekideak bezalako eragin handiko defendatzaileak izan zituen. Izendapenen artxiboak agerian uzten du Poincarék guztira 51 izendapen jaso zituela 1904 eta 1912 artean, bere heriotzaren urtea. 1910eko Nobel Sarirako 58 izendapenetatik 34k Poincaré aukeratu zuten. Izendapenen artean Hendrik Lorentz eta Pieter Zeeman  (biak 1902koak), Marie Curie (1903koa), Albert Michelson (1907koa), Gabriel Lippmann (1908koa) eta Guglielmo Marconi (1909koa) Nobel saridunak  izan ziren. 

Poincaré, Ludwig Boltzmann edo Josiah Willard Gibbs bezalako fisikari teoriko entzutetsuek Nobel Saria jaso ez izanaren arrazoia honakoa da: Nobel batzordeak esperimentazioa gehiago hartzen zuela aintzat, teoria baino. Poincaréren kasuan, bera izendatu zutenetako hainbatek adierazi zuten arazo handiena aurkikuntza, asmakizun edo teknika zehatz bat izendatzea zela.

## Filosofia 
Poincaréren iritzi filosofikoak Bertrand Russell eta Gottlob Fregeren kontrakoak ziren, hauek matematika logikaren adar bat zela uste baitzuten. Poincaré ez zegoen batere ados, intuizioa matematikaren bizitza zela esanez. Horrela, Poincarék ikuspuntu interesgarri bat eman zuen 1902ko “*Zientzia eta hipotesia*” liburuan:"Azaleko behatzaile batentzat, egia zientifikoa zalantzazko aukerarik gabe dago; zientziaren logika hutsezina da, eta zientzialariak batzuetan oker badaude, hau bere arauaren hutsegiteagatik baino ez da."Poincarék uste zuen aritmetika sintetikoa zela. Argudiatu zuen Peanoren axiomak ezin direla frogatu modu ez zirkularra indukzio-printzipioarekin , beraz, ondorioztatu zuen aritmetika a priori sintetikoa dela eta ez analitikoa. Poincarék esan zuen gero matematika ezin dela logikatik ondorioztatu, ez baita analitikoa. Haren iritziak Immanuel Kanten antzekoak ziren. Kanttoriar multzoen teoriaren aurka gogor egin zuen, definizio inpredikatiboen erabileraren aurka.

Hala ere, Poincaré-k ez zituen iritzi kantiarrak partekatzen filosofiaren eta matematikaren adar guztietan. Adibidez, geometrian Poincaré-k uste zuen euklidear ez den espazioaren egitura analitikoki ezagutu daitekela. Poincarék esan zuen konbentzioak paper garrantzitsua betetzen duela fisikan. Bere ikuspegia (eta beranduago horren bertsio muturreko batzuk) "konbentzionalismo" izenez ezagutu zen. Poincaré-k uste zuen Newtonen lehen legea ez zela enpirikoa, baizik eta mekanikarako ohiko esparru-suposizioa zela. Gainera, espazio fisikoaren geometria konbentzionala dela uste zuen. Eremu fisikoen geometria edo tenperatura-gradienteak alda daitezkeen adibideak kontuan hartu zituen, bai espazio bat erregela zurrunez neurtutako ez-euklidear gisa deskribatuz, edo erregelak bero-banaketa aldakor baten bidez hedatu edo txikitzen diren espazio euklidear gisa deskribatuz. Hala ere, Poincaré-k uste zuen hain ohituta geundela geometria euklidearrera, non nahiago genukeen lege fisikoak aldatzea geometria euklidearra gordetzeko, geometria fisiko ez-euklidear batera aldatu beharrean.
thumb|Henri Poincaré.
Bestalde, Poincarék honela zioen olerkigintza eta matematikari buruz: “Poesia errealitate berari izen ezberdinak emateko artea da, eta matematikak izen bera ematen die errealitate ezberdinei. Matematika gizakiok errealitatearen, naturaren, teknologiaren eta gizarte-zientzien alderdi desberdinak modu abstraktu eta erabilgarrian laburbiltzeko eraiki dugun pentsamenduaren tresna handia da.”

### Borondate askea 
Parisko Société de Psychologie-ren aurrean Poincaréren hainbat hitzaldi ospetsu egin zituen, hala nola, *Zientzia eta hipotesia*, *Zientziaren balioa* eta *Zientzia eta metodoa* izenekin argitaratuak. Horietan oinarrituz, Jacques Hadamard-ek sormena eta asmakuntza bi fase mental osatzen dituzten ideien iturri gisa aipatu zituen, lehen ausazkoa arazo baten irtenbide posible bezala, eta ondoren ebaluazio kritikoa.

Gehienetan unibertso deterministaz hitz egiten zuen arren, Poincaré-k esan zuen aukera berrien sorkuntza inkontzientearen zorteak dakarrela:“Zalantzarik ez dago lan inkontzientearen aldi luze samarraren ondoren, adimenari nolabaiteko argiztapen batean aurkezten zaizkion konbinazioak, orokorrean konbinazio baliagarriak eta emankorrak direla... konbinazio guztiak ego subliminalaren ekintza automatikoaren ondorioz sortzen dira, baina interesgarriak direnek bakarrik aurkitzen dute bidea kontzientziaren eremuan... Gutxi batzuk baino ez dira harmoniatsuak, eta ondorioz aldi berean erabilgarriak eta ederrak, eta hitz egiten ari naizen geometriaren sentsibilitate berezian eragiteko gai izango dira; horrek, behin piztuta, haiengana bideratuko du gure arreta, eta horrela kontzientzia hartzeko aukera emango die... Ego subliminalean, aitzitik, askatasuna deituko nukeena da nagusi, izen hori eman badizkioke diziplina-eza hutsetik eta kasualitatetik sortutako nahasteari."Poincaréren bi etapak -ausazko konbinazioak eta ondorengo hautapena- Daniel Dennett-en borondate askearen ereduaren oinarri bilakatu ziren.

### Teoremak 
Hona hemen Poincarék frogatutako teoremen zerrenda:

• Poincaré-ren errepikapen-teorema: zenbait sistema, denbora nahiko luze baina finitu baten ondoren, hasierako egoeratik oso hurbil dagoen egoera batera itzuliko dira. 

• Poincaré–Bendixson teorema: sistema dinamiko jarraituen orbitak planoan, zilindroan edo bi esferan epe luzerako portaerari buruzko adierazpena. 

• Poincaré–Hopf teorema: bola iletsuaren teorema orokortzea, zeinak dioen ez dagoela bektorial-eremu leunen iturririk edo hondorik ez duen esfera batean. 

• Poincaré–Lefschetz bikoiztasunaren teorema: topologia geometrikoan Poincaré dualtasunaren bertsioa, muga duen anizkera bati aplikatuz. 

• Poincaré-ren bereizketa-teorema: B'AB matrize simetriko erreal baten balio propioen goiko eta beheko mugak ematen ditu, A matrize simetriko erreal handiago baten proiekzio ortogonaltzat har daitekeena B-ren zutabeek hedatutako azpiespazio lineal batean. 

• Poincaré–Birkhoff teorema: bi mugak kontrako noranzkoetan biratzen dituen eraztun baten eremua eta orientazioa mantentzen dituen homeomorfismo bakoitzak gutxienez bi puntu finko ditu. 

• Poincaré–Birkhoff–Witt teorema: Lie aljebra baten inguratzaile unibertsalaren deskribapen esplizitua. 

• Poincaré–Bjerknes zirkulazio-teorema: marko birakariaren kantitatearen kontserbazioari buruzko teorema. 

• Poincaréren aierua (gaur egun teorema bat): 3-anizkera itxi eta konektatu soil oro homeomorfoa da 3-esferarekiko. 

• Poincaré–Miranda teorema: tarteko balioaren teorema “n” dimentsiotan orokortzea.

## Ikus gainera 
*  Erlatibitate bereziaren historia

*  Henri Poincaréren izena duten gauzen zerrenda
*  Henri Poincaré Institutua, Paris

## Erreferentziak 
## Kanpo estekak 
*  Henri Poincaréren artikuluak