Irudi (matematika)

[eskuinera|thumb|250px|**X** [abiaburu-multzotik **Y** multzorako **f** funtzioaren irudia **Y**-ren azpimultzoa da.]]

Matematikan, funtzio baten **irudia** funtzioaren eremua elementu batek kodominioan hartzen duen balioa da. Halaber, **irudi-multzoa**, **helburu-multzoa** edo **ibiltartea** dominioko elementu batzuek (edo guztiek) hartzen duten balioen multzoa da.

Formalki honela adierazten da:

:Im_f := \left\{y \in Y \; | \; \exists x \in X, \; f(x)=y\right\}

Irudi-multzoa kodominioaren azpimultzo bat da, beste alde batetik.

## Definizioa 
"Irudi" hitza hiru modutan erabiltzen da. Definizio horietan, f:X\longrightarrow Y funtzio bat da X multzotik Y multzora doana.

### Elementu baten irudia 
Baldin eta x X-ren elementua bada, orduan x-ren irudia f-n, f(x) deitua, x ordezkatzean f-k hartzen duen balioa da. f(x) x-rako f-ren irteera gisa ezagutzen da.

y emanda, f funtzioak "y-ren balioa hartzen duela" esaten da baldin eta existiten bada x bat funtzioaren eremuan non f(x)=y den. Era berean, S multzo bat emanda, f-k "S-ren balioa hartzen duela" esaten da baldin eta existiten bada x bat funtzioaren eremuan non f(x)\in S. Aldiz, "f-k S-ren balio guztiak hartzen dituela" esaten da  edozein x f-ren eremuan f(x)\in S bada.

### Azpimultzo baten irudia 
A \subseteq X azpimultzoaren irudia f-n, f(A) deitua, Y-ren azpimultzoa da multzoak osatzeko notazioa erabiliz definitu daitekeena:  

f(A)=\{f(x):x \in A\}

Nahasteko arriskurik ez dagoenean, f[A] honela idazten da: f(A). Konbentzio hori komuna da; aurreikusitako esanahia testuingurutik ondorioztatu behar da. Horren ondorioz, f [ \cdot ] funtzio bat da zeinen eremua X-ren potentzia-multzoa den eta koeremua Y-ren potentzia-multzoa.

### Funtzio baten irudia 
Funtzio baten irudia bere domeinu osoaren irudia da, funtzioaren heina ere deitua. Erabilera hori saihestu egin behar da, "hein" hitza ere f-ren koeremua adierazteko erabiltzen baita.

### Erlazio bitarretara orokortzea 
R erlazio bitar arbitrarioa bada X \times Y-n, orduan \{ y \in Y : xRy \ non \ x \in X \} multzoari R-ren irudia (edo heina) deitzen zaio. Era berean, \{ x \in X : xRy \ non \ y \in Y \} multzoari R-ren eremua deritzo.

## Aurreirudia 
f X-tik Y-ra doan funtzioa izanda, B\subseteq Y multzoaren aurreirudia, f^{-1} [B] deitua, f^{-1}[B] = \{ x\in X : f (x) \in B \} definitutako X-ren azpimultzoa da.

Beste notazio batzuetan f^{-1} (B) eta f^{-} (B) erabiltzen dira. Multzo baten aurreirudia f^{-1} [\{B\}] edo f^{-1} [B] da.

Adibidez, f(x) = x^2 funtziorako, \{4\}-ren aurreirudia \{-2,2\} izango litzateke. Ez da nahasi behar f^{-1} notazioa erabiltzean aurreirudia alderantzizko funtzioarekin, nahiz eta bat etorri injekzioetarako ohikoa denarekin non B-ren aurreirudia f-n, B-ren irudia den f^{-1}-n.

## Irudiarentzako eta aurreirudiarentzako notazioa 
Aurreko atalean erabilitako notazio tradizionalak nahasgarriak izan daitezke. Aukera bat  irudiari eta aurreirudiari izen esplizituak ematea da, potentzia-multzoen arteko funtzio gisa:

### Geziaren notazioa 
* f^\rightarrow : P(X) \rightarrow P(Y), f^\rightarrow = \{f(a) \mid a \in A\}
* f^\leftarrow : P(Y) \rightarrow P(X), f^\leftarrow = \{a \in X \mid f(a) \in B\}

### Izarren notazioa 
* f_\star : P(X) \rightarrow P(Y), f^\rightarrow -ren ordez
* f^\star : P(Y) \rightarrow P(X), f^\leftarrow -ren ordez

### Beste terminologiak 
* f[A]-ren ordez f''A ere erabiltzen da. 
* Zenbait testuk f-ren irudia f-ren heina deitzen dute, baina erabilera hori saihestu egin behar da, “hein” hitza ere erabili ohi baita f-ren koeremua adierazteko.

## Adibideak 
1.f:\{ 1,2,3\}\rightarrow \{a,b,c,d\} honek definituta: f(x) = \begin{cases} a, & x\text{=1 } \text{bada} \\ a, & x\text{=2 } \text{bada}\\ c, & x\text{=3 } \text{bada.} \end{cases}

\{2,3\} multzoaren irudia f-n f (\{2,3\}) = \{a,c\} da. f funtzioaren irudia \{a,c\} da. a-ren aurreirudia f^{-1} (\{a\}) = \{1,2\} da. \{a,b\}-ren aurreirudia ere f^{-1} (\{a,b\}) = \{1,2\} da eta \{b,d\}-ren aurreirudia multzo hutsa da \{ \ \} = \varnothing.

2. f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} honek definituta: f(x) = x^2.

\{-2,3\}-ren irudia f-n f^{-1} (\{-2,3\}) = \{4,9\} da, eta f-ren irudia \mathbb {R}^+ da (zenbaki erreal positibo guztien multzoa eta zero). \{4,9\}-ren aurreirudia  f-n f^{-1} (\{4,9\}) = \{-3,-2,2,3\} da. N = \{n\in \mathbb{R} : n multzoaren aurreirudia f-n multzo hutsa da, zenbaki negatiboek ez dutelako erro karraturik errealen multzoan.

## Propietateak 
### Orokorrean 
f:X\longrightarrow Y edozein funtziorako eta A\subseteq X eta B\subseteq Y azpimultzo guztietarako, propietate hauek betetzen dira:

Horrez gain:

* f(A) \cap B =\emptyset baldin eta soilik baldin A \cap f^{-1}(B) =\emptyset

### Funtzio konposatuak 
f:X\longrightarrow Y eta g:Y\longrightarrow Z funtzioetarako A\subseteq X eta C\subseteq Z azpimultzoekin, ondorengo propietateak betetzen dira:

* (g \circ f)(A) = g (f(A))
* (g \circ f)^{-1}(C) = f^{-1}(g^{-1}(C))

## Erreferentziak 
## Ikus, gainera 
* Izate-eremua

## Kanpo estekak