Baliokidetasun-klase

Matematikan, {\displaystyle S} multzo bateko elementuek baliokidetasun-erlazio bat definituta dutenean,  {\displaystyle S} multzoa **baliokidetasun-klase**etan banatu daiteke. Baliokidetasun-klaseak eraikitzeko honakoa kontuan hartzen da: {\displaystyle a} eta {\displaystyle b} elementuak baliokidetasun-klase berekoak dira baldin eta soilik baldin baliokideak badira.

{\displaystyle S} multzoa eta beraren gaineko {\displaystyle \sim} baliokidetasun-erlazioa izanik, {\displaystyle a} elementuaren baliokidetasun-klasea, {\displaystyle [a]} adierazita, multzo hau da:

{\displaystyle [a]=\{x\in S:x\sim a\}}

## Adibideak
* X auto guztien multzoa bada, eta \,\sim\, "kolore bera du" baliokidetasun-erlazioa, orduan baliokidetasun-klase jakin bat auto berde guztiek osatuko lukete, eta X / \sim era naturalean identifikatu ahal izango litzateke autoen kolore guztien multzoarekin.
*X plano bateko laukizuzen guztien multzoa, eta \,\sim\, "azalera bera du" baliokidetasun-erlazioa badira, orduan A zenbaki erreal positibo bakoitzeko A azalera duten laukizuzen guztien baliokidetasun-klase bat egongo da.
*Har dezagun 2 moduluko baliokidetasun-erlazioa \Z zenbaki osoen multzoan. Horrela, x \sim y  baldin eta soilik baldin haien aldea x - y zenbaki bikoitia bada. Erlazio honek zehazki bi baliokidetasun-klase definitzen ditu: klase bat zenbaki bikoiti guztiek osatzen dute eta beste klasea zenbaki bakoiti guztiek osatzen dute. Erlazio honen pean baliokidetasun-klase bat adierazteko, klaseko kide baten inguruan kakotxak erabiliz, [7], [9], eta [1], \Z /\sim -ren elementu bera adierazten dute.
*Izan bedi X, (a, b) zenbaki osoen bikote ordenatuen multzoa non b zero ez den. \,\sim\, baliokidetasun-erlazio bat definituz (a, b) \sim (c, d) baldin eta soilik baldin a d = b c bete dadin, (a, b) bikotearen baliokidetasun klasea a / b zenbaki arrazionalarekin identifika daiteke, eta baliokidetasun-erlazio hau eta bere baliokidetasun-klaseak zenbaki arrazionalen multzoaren definizio formala emateko erabil daitezke. 
*X plano Euklidearreko zuzen guztien multzoa bada eta L \sim M, L eta M paraleloak direla esan nahi badu, elkarrekiko paraleloak diren zuzen guztien multzoak baliokidetasun-klase bat definitzen du, zuzen bat bere buruaren paraleloa dela kontsideratuz gero.
## Definizioa eta notazioa
Baliokidetasun erlazio bat X multzo batean \,\sim\, erlazio bitarra da X-n ondoko hiru propietateak betetzen dituena:
* a \sim a, a \in X guztietarako (erreflexiboa),
* a \sim b -k, b \sim a inplikatzen du a, b \in X guztietarako (simetrikoa),
* a \sim b eta b \sim c betetzen badira, orduan a \sim c izango da a, b, c \in X guztietarako (trantsitiboa).

a elementuaren baliokidetasun-klasea, [a] adierazita, \{ x \in X : a \sim x \} multzoa da, hau da, \,\sim. Era berean, X-ren edozein partiketa baliokidetasun-erlazio batetik dator, zeinaren arabera x \sim y baldin eta soilik baldin x eta y partiketa bereko elementuak dira.

Hortaz, \,\sim\, X multzoaren gaineko baliokidetasun-erlazioa bada eta x eta y X multzoko bi elementu badira, ondokoak baliokideak dira:

* x \sim y
* [x] = [y]
* [x] \cap [y] \ne \emptyset.

## Inbarianteak 
~ X-n baliokidetasun-erlazio bat bada, eta P (x) X-ren elementuen propietate bat bada, halako moldez non x ~ eta P (x) egiazkoa den P (y) egiazkoa bada, orduan esaten da P jabetza ~ -ren inbariante bat dela, edo ~ erlazioaren barruan ondo definituta dagoela.

Kasu berezi bat maiz gertatzen da f X-etik Y beste multzo baterako funtzioa denean; baldin eta f (x_1) = f(x_2), baldin eta x_1~ x_2 bada; orduan esaten da f klase baxuko inbariantea dela ~, edo, besterik gabe, ~ baxuko inbariantea. Hori gertatzen da, adibidez, talde finituen izaeraren teorian. Autore batzuek "~ bateragarria" erabiltzen dute, edo, besterik gabe, "~ errespetatua" erabiltzen dute, "Inbariante txikia ~" erabili beharrean.

Edozein funtzio f: X\rightarrow Y baliokidetasun-erlazio bat definitze du X-n,  zeinaren arabera x_1~ x_2 baldin eta soilik baldin  f(x_1) = f(x_2).  Xbaliokidetasun mota f(x) -ri esleitzen zaizkion X elementu guztien multzoa da, hau da, [x] mota f(x)-ren alderantzizko irudia da. Baliokidetasun-erlazio horri f-ren nukleoa esaten zaio.

Orokorkiago, funtzio batek argumento baliokideak eman diezazkieke (X-n \sim_x baliokidetasun-erlazio baten pean) balio baliokideei (Y-n \sim_\gamma baliokidetasun-erlazio baten pean). Funtzio hori baliokidetasun-harremana duten taldeen morfismoa da.

## Erreferentziak 
## Kanpo estekak