Brahmagupta

**Brahmagupta** (jaio , hil ), indiar matematikari eta astronomoa izan zen. Astronomiari buruzko *Brāhmasphuṭasiddhānta* izeneko lanean, matematika eta aljebrari buruzko hainbat atal idatzi zuen. Zenbaki negatiboak erabili zituen lehena izan zen, eta oinarrizko lau eragiketa matematikoak enuntziatu zituen.

## Bizitza 
Brahmagupta, berak adierazi zuenez, K.o. 598. urtean jaio zen. Brahmagupta Indiako ipar-sartaldeko Bhinmalen bizi izan zen Harsharen jaurgoan. Horregatik, askotan, «Bhillamalacarya» () deitzen zaio. Gero Malwako Ujjaingo behatoki astronomikoko burua izan zen. Bertan, 628an, matematikari eta astronomiari buruzko liburua idatzi zuen, *Brāhmasphuṭasiddhānta* (), eta *Khandakhadyaka* ( edo ) lan praktikoa 665ean. Bi liburu horien artean, *Brāhmasphuṭasiddhānta* da, zalantzarik gabe, garrantzitsuena.

Garai horretako matematikari handientzat hartzen da. Baliteke Brahmagupta izatea «zeroaren» kontzeptuaren asmatzailea, bada, 628. urteko *Brahma-sphuta-siddhanta* obran agertzen baita ideia hori lehen aldiz. Obrak aritmetika eta zenbaki negatiboak ere lantzen zituen, matematika modernoaren antzeko terminoetan.

Brahmagupta izan zen lehena zeroarekin eragiketa matematikoen arauak ezartzen. Brahmaguptak idatzitako testuak poesia eliptiko estiloan idatziak zeuden, sanskritoz, garai hartako matematikari indiarren artean ohikoa zena.

## Bizitza eta ekarpenak
Brahmagupta K.o. 598. urtean jaio zen, bere aitorpenaren arabera. Bhillamalan (gaur egun Bhinmal) bizi izan zen Vyagrahamukha dinastia agintariaren erregealdian. Jishnuguptaren semea zen, eta shivaismoaren praktikante erlijiosoa izan zen.​ Aditu gehienek Brahmagupta Bhillamalan jaio zela ziurtzat jotzen badute ere, ez dago horren ebidentzia sendorik. Hala ere, bertan bizi eta lan egin zuen bere bizitzaren zati handi batean. Prithudaka Svamin, geroagoko matematikari batek, Bhillamalacharya deitu zion, Bhillamalako maisua. G. S. Ghurye soziologoak uste zuen Multan edo Abu eskualdekoa izan zitekeela.

Bhillamala hiria (Xuanzangek Pilomolo deitua), itxuraz, Gurjaradesako hiriburua izan zen, mendebaldeko Indiako bigarren erresumarik handiena, hegoaldetik Rajastan eta iparraldetik India modernoko Gujarat hartzen zituena. Matematika eta astronomia ikasteko zentroa ere izan zen. Brahmagupta brahma paksha eskolako astronomo bihurtu zen, indiar astronomiaren lau eskola nagusietako bat garai horretan. Indiako astronomiari buruzko bost *siddhantha* tradizionalak aztertu zituen, baita beste astronomo batzuen lana ere, Aryabhata I, Latadeva, Pradyumna, Varaja Mijira, Simha, Srisena, Vijayandin eta Vishnuchandra-rena barne.

628. urtean, 30 urte zituela, *Brahma-sphuta-siddhanta* konposatu zuen, brahmapaksha eskolatik jasotako *siddhanta*ren bertsio berrikusia dela uste dena.

Adituek diotenez, originaltasun handia erantsi zion bere berrikuspenari, material berri ugari gehituz.

Liburuak 24 kapitulu ditu eta 1008 bertso, metrika ariaz idatziak. Idatzi horren zati handi bat astronomia da, baina matematikari buruzko funtsezko kapituluak ere baditu, hala nola aljebra, geometria, trigonometria eta algoritmia. Brahmaguptaren ekarpenari esker, ideia berriak dituztela uste da.

Geroago, Brahmagupta Ujjain herrira aldatu zen, garai hartan astronomiaren gune garrantzitsua. 67 urterekin, *Khanda-khādyaka* izeneko bere hurrengo lana konposatu zuen, karana kategoriako indiar astronomiari buruzko eskuliburu praktikoa, ikasleei zuzendua.

Brahmagupta K.o. 665. urtetik aurrera ere bizirik zegoen. Ujjainen hil zela uste da.

## Eztabaida
Brahmaguptak kritika ugari egin zizkion astronomo aurkarien lanari, eta haren *Brahma-sphuta-siddhanta*k Indiako matematikarien arteko lehen zismetako/ezberdintasunetako bat erakusten du. Ezberdintasuna, batez ere zentratu zen matematika mundu fisikoan aplikatzean, eta ez matematikan beran. Brahmaguptaren kasuan, desadostasunak, neurri handi batean, parametro eta teoria astronomikoen aukeraketatik eratorri ziren.​ Aurkarien teorien kritikak lehen hamar kapitulu astronomikoetan agertzen dira, eta hamaikagarren kapitulua, hala, teoria horien kritikari eskainita dago erabat, nahiz eta hamabigarren eta hemezortzigarren kapituluetan kritikak agertzen ez diren.

## Harrera
George Sartonek, zientziaren historialariak, «bere motako zientzialari handienetako bat eta bere garaiko handiena» izendatu zuen.

Brahmaguptaren aurrerapen matematikoak, geroago, Bhaskara II.ak aztertu eta berrekin zituen, ondorengo zuzen batek Ujjainen; hark «ganaka-chakra-chudamani» (matematikarien harribitxia) gisa deskribatu zuen Brahmagupta.

Era berean, Prithudakak Brahmaguptaren bi lan ezagunen inguruko iruzkinak idatzi zituen, baieztapen eta sententzia konplexuak hizkuntza sinpleagoan aurkeztuz eta ilustrazioak gehituz. Lalla-k eta Bhattotpala-k *Khanda-Khadak*i buruzko iruzkinak idatzi zituzten VIII. eta IX. mendeetan.​ Geroago, iruzkinak XII. mendean hasi ziren agertzen.

Brahmagupta hil eta hamarkada batzuetara, Sindh arabiar kalifa-herriaren mende geratu zen K.o. 712an. Gurjaradesara espedizioak bidali zituzten. Badirudi Bhillamalako Erreinua suntsituta gelditu zela, baina Ujjainek atzera bota zituen erasoak. Al-Mansur kalifaren gorteak (754-775) Sindh-eko enbaxada bat jaso zuen, Kanaka izeneko astrologo bat barne, eta hark testu astronomikoak ekarri zituen (agian buruz ikasiak), baita Brahmaguptarenak ere.

Brahmaguptaren testuak arabierara itzuli zituen, *Sindhind* eta *Arakhand* izenekin, Muhammad al-Fazari-k, Almanzor gortean zegoen astronomoa. Berehalako emaitza izan zen testuetan erabilitako zenbaki-sistema hamartarra hedatzea.

Al-Khwarizmi matematikariak (K.o. 800-850) *Al-jam wal-tafru bi hisal-al-hind* (Batuketa eta kenketa Indiako aritmetikan) izeneko testu bat idatzi zuen, XIII. mendean, latinera itzuli zena *Algorithmi de número indorum* izenez. Testu horien bidez, mundu osora zabaldu dira zenbaki-sistema hamartarra eta Brahmaguptaren algoritmoak aritmetikarako. Al-Khwarizmik *Sindhind*ren bertsio propioa ere idatzi zuen, Al-Fazariren bertsioan oinarrituta eta elementu ptolemaikoak gehituta. Indiako material astronomikoa asko hedatu zen mendeetan zehar, baita Erdi Aroko latinezko testuetan ere. ​​

## Matematikak
### Algebra
Brahmaguptak ekuazio lineal baten emaitza orokorra aurkitu zuen. *Brahma-sphuta-siddhanta*ko hemezortzigarren kapituluan deskribatzen da aurkikuntza hori:

Aurreko hori, irtenbide bat da *bx + c = dx + e* ekuazioaretzat, *x = e − cb − d* ekuazioaren baliokide dena, non «rupas» hitzak *c* eta *e* konstanteei egiten dien erreferentzia.

Brahmaguptak bi irtenbide-balio aurkitu zituen ekuazio koadratikorako:

zeinak diren, hurrenez hurren *ax2 + bx = c* ekuazioaren irtenbideak eta hauen baliokide:
:x = \frac{\sqrt{4ac+b^2}-b}{2a} 

eta

:x = \frac{\sqrt{ac+\tfrac{b^2}{4}}-\tfrac{b}{2}}{a}. 

Aldibereko ekuazio zehaztugabeen sistemak ebazten jarraitu zuen, eta adierazi zuen aldagai desiratua lehen isolatu egin behar dela, eta, gero, ekuazioa aldagai desiratuaren koefizienteagatik zatitu behar dela. Zehazki, ezezagun asko dituzten ekuazioak ebazteko «lainoztagailua» erabiltzea gomendatu zuen.

Diofanto Alexandriakoaren aljebraren antzera, Brahmaguptaren algebra sinkopatua izan zen. Batuketa adierazteko, zenbakiak elkarren ondoan jarriz adierazi zen; kenketa, berrakuramenduaren gainean puntu bat jarriz; eta zatiketa, zatitzailea zatikizunaren azpian jarriz, gure notazioaren antzekoa, baina barrarik gabe. Biderketa, eboluzioa eta kopuru ezezagunak termino egokien laburduren bidez adierazi ziren. Aljebraren historian greziar eraginaren norainokoa den, baldin badago, ez da ezagutzen, eta litekeena da sinkopazio greziarra zein indiarra iturri babiloniarreko komun batetik eratorria izatea.

### Aritmetika
Oinarrizko lau eragiketak (batuketa, kenketa, biderketa eta zatiketa) kultura askok ezagutzen zituzten Brahmaguptaren aurretik. Eragiketa sistema hori (gaur egungoa ere badena) Indiako zenbakizko sistema arabiarrean oinarritzen da, eta, lehen aldiz, *Brahma-sphuta-siddhantan* agertu zen.

Brahmaguptak honela deskribatzen du biderketa:

Indiako aritmetika *modus indoram* (indioen metodoa) izenez ezagutzen zen Europan, Erdi Aroan.

*Brahma-sphuta-siddhanta*n, biderketari «gomutrika» deritzoten. *Brahma-sphuta-siddhanta* obraren hamabigarren kapituluaren hasieran —Kalkulua deitua—, Brahmaguptak eragiketak xehatzen ditu zatikietan. Irakurleak erro karratua lortzeko oinarrizko eragiketa aritmetikoak ezagutzea espero da, nahiz eta oso baten kuboa eta erro kubikoa nola aurkitu azaltzen duen eta, gero, laukiak eta erro karratuak errazago kalkulatzeko erregelak ematen dituen. Geroago, zatikien bost konbinazio mota tratatzeko arauak ematen ditu:
::; ; ; ; eta .

#### Serieak
Brahmaguptak jarraitzen du *n* zenbaki osoaren karratuen eta kuboen batura ematen:

Honetan, Brahmaguptak, hala, lehen *n* osoaren «batuketa» terminoetan aurkitu zuen emaitza, eta ez *n* terminoetan, gaur egun gertatzen den antzera.

Zenbaki arrunten lehenengo *n* zenbakiaren karratuen batura  gisa ematen du, eta lehenengo *n* zenbaki arrunten kuboen batura  gisa.

#### Zero
Brahmaguptaren *Brahma-sphuta-siddhanta* lana bere espezieko lehen liburua da, zero zenbakiarekin eta zenbaki negatiboekin eragiketa aritmetikoak egiteko arauak dituena.

*Brahma-sphuta-siddhanta* da lehen testu ezaguna zero zenbakia gaur egun ezagutzen ditugun propietateekin tratatzen duena eta ez beste zenbaki bat irudikatzen duen posizio-markatzaile soil baten gisa, hau da, babiloniarrek egin zuten moduan, edo kopuru nulua irudikatzen duen sinbolo gisa (Ptolomeok eta erromatarrek egin zutena). *Brahma-sphuta-siddhanta*ko hemezortzigarren kapituluan, Brahmaguptak zenbaki negatiboekin egindako eragiketak deskribatzen ditu:
Brahmaguptak, orain, bi zenbakiren arteko biderketa deskribatzen jarraitzen du:

Baina zeroz zatitzeari buruz egiten duen deskribapena eta gure ulermen modernoarena desberdinak dira:

Hemen, Brahmaguptak baieztatzen du  = 0 dela, eta, -ren gaiari dagokionez, non  ≠ 0 den, ez zen oso argi geratu. Zenbaki negatiboei eta zero zenbakiari dagokienez, dituen arau aritmetikoak ulermen modernotik nahiko hurbil daude, salbu eta gaur egungo matematiketan zeroz zatitzea mugagabe uzten den.

## Brahmaguptaren formula 
[thumb|[Brahmaguptaren teoremaren diagrama.]]

Bere lanean, hirukote pitagorikoa eratzeko araua dago:

{{ekuazio|m,\frac{m^{2}}{2(m-n)},\frac{m^{2}}{2(m+n)} }}hori Babiloniako antzinako arauaren aldaketa izan arren, berak ezin hobeto ezagutu ahal izan zuena. Laukientzako eremuaren Brahmaguptaren formula, formulekin batera erabili zuen:{{ekuazio|\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{(ad+bc)}} y \sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd)}}}}

diagonaletarako, zenbaki arruntak diren alde, diagonal eta eremuak dauzkaten laukiak aurkitzeko.

## Ekuazio zehaztugabeen teoria 
Brahmaguptak, jakina, matematika berez atsegin zuen, ezen praktikatik kanpoko gauzak ezartzen baitzituen, hala nola haren laukiei buruzko emaitzak. Antza denez, bera ekuazio diofantiko linealari irtenbide orokorra ematen lehena izan zen: {{ekuazio|ax+by=c con a,b,c\in \mathbb{Z}.}}

Ekuazio horrek emaitzak eduki ditzan, c a eta b-ren zatitzaile komun handienaz zatitu behar da, eta Brahmaguptak bazekien, a eta b elkarrekiko zenbaki lehenak baldin badira, orduan, ekuazioaren emaitza guztiak honako formula hauek ematen dituztela:

 Bertan m zenbaki oso arbitrarioa da.

non m zenbaki oso arbitrarioa den.

### Diofantoren ekuazioaren analisia
#### Pitagorasen hirukoa
Bere *Brahma-sphuta-siddhanta*ren hamabigarren kapituluan, Brahmaguptak Pitagorasen hrukoak sortzeko formula baliagarri bat ematen du:

Bestela esanda,  bidaiari batek *d* distantzia bat «jauzi» egiten badu gorantz, bertikalki, *m* altueradun mendi baten gailurretik eta, gero, horizontalean, mendiaren oinarritik, zuzenean, *mx* distantziara dagoen hiri batera bidaiatzen badu ibiliko du menditik bertikalki jaisten den eta gero horizontalean hirira bidaiatzen duen bidaiari baten distantzia bera. Geometrikoki esanda, horrek zera dio: triangelu angeluzuzen batek  luze-oinarria duela eta  luze-altitudea baldin baditu, orduan, bere hipotenusaren -k emango du. Izan ere, oinarrizko manipulazio aljebraikoak erakusten du  dela, betiere *d*-k adierazitako balioa badu. Gainera, *m* eta *x* arrazionalak badira, *d, a, b* eta *c* ere bai. Beraz, Pitagorasen *a, b* eta *c*-ren hirukoak lor daitezke bakoitza izendatzaileen multiplo komun txikienaz biderkatuz.

## Astronomia
*Brahma-sphuta-siddhanta*ren bidez ikasi zuten arabiarrek Indiako astronomia.

Edward Saxhonek adierazi zuenez, Brahmagupta izan zen arabiarrei astronomia irakatsi ziena.

Bagdad hiria, Almanzor kalifa abbastar ospetsuak (712-775) sortu zuen, Tigris ibaiaren ertzean, eta ikasketa gune bihurtu zuen. Kalifak Kankah izena zuen Ujjaingo aditua gonbidatu zuen 770. urtean. Kankahk *Brahma-sphuta-siddhanta* erabili zuen Indiako astronomia sistema aritmetikoa azaltzeko.

Kalifak eskatuta, Muhammad al-Fazarik arabierara itzuli zuen Brahmaguptaren lana.

*Brahma sphuta siddhanta*ren zazpigarren kapituluan, Ilgora erdia izendatua, Brahmaguptak Ilargia, Lurretik, Eguzkia baino urrunago dagoen ideia ezeztatzen du, ideia hori idazketetan mantentzen delarik. Eguzkiak nola ilargia argiztatzen duen azalduz egiten du hori.

Azaltzen du: Ilargia hurbilago dagoenez Lurretik Eguzkitik baino, Ilargiaren alde argiztatuaren gradua, hala, Eguzkiaren eta Ilargiaren posizio erlatiboen araberakoa da, eta hori bi gorputzen arteko angeluaren neurritik zenbatu daiteke

Hona hemen Brahmaguptak astronomian egin zituen ekarpen garrantzitsuenetako batzuk: gorputz zerutiarren posizioa denborarekin kalkulatzeko metodoak (efemerideak), irteerak eta postak, lerrokatzeak eta eguzki- eta ilargi-eklipseen kalkulua.

Lurra laua zelako ikuspuntu puranikoa kritikatu zuen Brahmaguptak. Horren ordez, Lurra eta zerua esferikoak zirela behatu zuen, eta Lurra mugimenduan dagoela. 1030ean, Abu al-Rayhān al-Bīrānān astronomo musulmanak, bere ''Tu'rikh al-Hind* obran, geroago latinera *Indika* izenez itzulia, Brahmaguptaren lana komentatu zuen, eta kritikoek argudiatu zutela idatzi zuen:.

Al-Biruniren arabera, Brahmaguptak grabitazioan oinarritutako argudio honekin erantzun zien kritika horiei:

## Erreferentziak 
## Bibliografia
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

Ingelesera itzulitako obrak:
* 
* Prakash, Satya eta Sharma, Ram Swarup (eds.). *Brāhmasphuṭasiddhāntaḥ ''. Iṇḍiyana Insṭīṭyūta Āpha Aisṭrānaumikala Eṇḍa Saṃskṛta Risarca, 1966. (sanskritoz) eta 

## Kanpo estekak 
* 
* 
* 
* 
* 
* "Brahmagupta's Brahma-sphuta-siddhanta" Ram Swarup Sharmak editatua, Indian Institute of Astronomical y Sanskrit Research, 1966. itzaurrea ingelesez, sanskritozko testua eta hindierazko iruzkinak (PDF).