Tunel-efektua

[thumb|Irudi honetan [elektroi sorta bat potentzial langa batera hurbiltzen ikus daiteke, eta langara iritsitakoan, nola zati handiena etorritako lekutik itzultzen bada ere zati txiki batek langa tunel efektuaren bidez gainditzen duen.]]

**Tunel-efektua** deritzo mekanika kuantikoan partikula batek bere energia baino energia potentzial handiagoko potentzial-langa bat zeharkatzean jazotzen den fenomenoari.

Mekanika klasikoan efektu hau azaltzea ezinezkoa da, potentzial-langa bat igarotzeko aukera bakarra honek behar beste energia lortu eta gainetik pasatzea baita. Baina mekanika kuantikoan, uhin-partikula dualtasunari esker, partikularen posizioa uhin-funtzioa erabiliz deskribatu daiteke, eta honela, langara iritsi ondorengo partikularen posizioaren probabilitatea kalkulatu. Probabilitate hori aztertuz, potentzial-langa behar adina energia izan gabe zeharkatzea posible dela ikus daiteke. Zeharkatzeko probabilitatea finitua da, eta esponentzialki txikiagotzen da langaren altuera eta zabalera handiagotzean. Tunel efektua 1-3nm edo txikiagoko potentzial langetan gertatzen da.

Efektu hau Heisenbergen ziurgabetasunaren printzipioa erabiliz ere uler daiteke, partikula baten posizioa zehazki jakin ahal ez izateak honi mekanika klasikoaren arauak bortxatzea ahalbidetzen baitio, potentzial-langa energia nahikorik gabe zeharkatzea posible eginez.

Tunel efektua XX. mendearen hasieran aurresan zen, eta mende bereko erdialdera izan zen fenomeno fisiko orokor gisa onartua.

## Historia 
Tunel efektua gerta zitekeela proposatu zuen lehena Friedrich Hund izan zen, 1927. urtean, energia potentzial langa bikoitza aztertzen ari zen bitartean. Urte berean, Leonid Mandelstam eta Mikhail Leontovich-ek aurkitu zuten fenomeno bera, garai hartan berria zen Schrödingerren uhin ekuazioak zekarren ondorioak analizatzeko prozesuan.

Jadanik erradioaktibitatea ezaguna zen, Henri Becquerelek 1896. urtean aurkitu baitzuen. Marie eta Pierre Curie-k, gainera, ikerkuntza zabalagoa egin zuten gai honen inguruan, Fisikako Nobel Saria irabaztera eraman ziena. Bestalde, Ernest Rutherford eta Egon Schweidler-ek ere erradioaktibitatearen izaera aztertu zuten, erdibizitzaren kontzeptuak garatuz. Hala ere, ez zegoen azalpen matematikorik fenomeno hauentzako.

Ez zen izan 1928. urtera arte non George Gamowek,(Madelstam eta Leontovichen experimentuak ezagututa) tunel efektuari esker, alfa desintegrazioaren teoria ebatzi zuen. Klasikoki, nukleo atomiko batetik ateratzeko behar duten energia oso handia denez, partikulek ez dute haietatik ihes egiteko aukerarik. Baina mekanika kuantikoaren ikuspegitik, nukleoak ezartzen duen potentziala zeharkatzeko probabilitatea badu partikulak, kontuan hartzeko modukoa izanik. Horrela, Gamowek nukleoentzako potentzial eredu bat proposatu, eta partikula baten erdibizitzaren eta igorpen energiaren arteko lotura aurkitu zuen.

Urte berean, Ronald Gurneyek eta Edwar Condonek ere alfa desintegrazioaren teoria ebatzi zuten. Harrezkero, partikulek tunel energetiko bat zeharkatzeko aukera dutela onartzen da.

Max Bornek, 1926. urtean Schrödingerren ekuazioari esanahi probabilistikoa eman ziona, Gamowen mintegian egon ondoren, tunel efektuaren orokorkuntza egin zuen. Fenomenoa ez zen soilik fisika nuklearrean ematen, mekanika kuantikoaren ondorio zuzena baitzen, eta honen ondorioz, hainbat sistematan ikus zitekeen

Bi ikuspuntuen arteko aldearen jatorria materiak uhin zein partikulen propietateak dituela onartzea da. Dualtasun honen interpretazio batek Heisenbergen ziurgabetasunaren printzipioa sartzen du tartean. Printzipio honek muga bat jartzen du aldi berean partikula baten posizioa eta momentu lineala jakiteko zehaztasunean. Hori dela eta, "partikularen posizioa x da" esan beharrean, testuinguru honetan egokiena "partikula x posizioan aurkitzeko probabilitatea P(x) da" esatea da. Heisenbergen printzipioaren ondorioz, egoera batek zero (edo bat) probabilitatea izatea debekatuta dago. Hortaz, partikula bat oztopo baten beste aldean topatzeko probabilitatea beti izango da ez-nulua.

### Tunelatzea 
[ezkerrera|thumb|249x249px|1. Irudia. Potentzial langa bat erasotzen duen uhin-fardelaren simulazioa. [Uhin fardelaren zati batek langa zeharkatzen du.]]
Partikula baten uhin-funtzioak sistema fisiko bati buruz jakin daitekeen guztia laburbiltzen du .

Schrödingerren ekuazioa bezalako formulazio matematikoak erabiliz aurki daiteke uhin-funtzioa. Bere moduluaren karratua zuzenean dago erlazionatuta partikula espazioko puntu batean aurkitzeko probabilitatearekin.

Langa zenbat eta zabalagoa eta energia altuagokoa izan, orduan eta txikiagoa da tunelatzeko probabilitatea. Tunelatzearen eredu sinpleak, dimentsio bateko potentzial langa esaterako, aljebraikoki analiza eta ebatz daiteke. Horrelakoetan, oztopoaren barruan anplitude ez-nulua duen uhin-funtzioa da prozesuaren eredua. 1. irudiko simulazioak mota honetako sistema erakusten du.

Errealitateko mota honetako problemek askotan soluziorik ez dutenez, WKB hurbilketa bezalako metodo "semiklasikoak" garatu dira soluzio hurbilduak aurkitzeko.

## Garapen matematikoa 
thumb|289x289px|Tunelatze kuantikoa. Jatorrian (x=0) potentzial langa oso garai (baina estua) dago. Tunel efektu adierazgarria ikus daiteke.
Denborarekiko independentea den Schrödingerren ekuazioa honako hau da,

: -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) + V(x) \Psi(x) = E \Psi(x)
: \frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right) \Psi(x) \equiv \frac{2m}{\hbar^2} M(x) \Psi(x) ,

Erabilitako magnitudeak hauek dira:

* \hbar  Plancken konstantea.
* m  partikularen masa.
* x  mugimenduaren norabidean neurtutako distantzia.
* \Psi  partikularen uhin funtzioa.
* V
  partikularen energia potentziala (erreferentziazko maila egoki batekiko neurtuta).
* *E * partikularen x  ardatzeko higidurari dagokion energia den (V
 -rekiko neurtuta).
* M(x) =V(x)-E
 .

Schrödingerren ekuazioak hainbat forma har ditzake x -ren balio ezberdinetarako, M(x) -ren arabera. M(x)  negatiboa eta konstantea den kasuetan, ekuazioa honela idatz daiteke:

: \frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) = \frac{2m}{\hbar^2} M(x) \Psi(x) = -k^2 \Psi(x),\qquad \mathrm{non} \;\;\; k^2=- \frac{2m}{\hbar^2} M \quad \mathrm{den} 

Soluzioak uhinak dira, +k  edo -k  fase-konstanteekin. Aldiz, M(x)  positiboa eta konstantea bada, Schrödingerren ekuazioak honako eite hau hartuko du:

: \frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) = \frac{2m}{\hbar^2} M(x) \Psi(x) = {\kappa}^2 \Psi(x), \qquad \mathrm{non} \;\;\; {\kappa}^2= \frac{2m}{\hbar^2} M\quad \mathrm{den} 

M(x)  konstantea izan beharrean x -rekin aldatzen diren kasuak zailagoak dira. Salbuespenak diren kasuetan da errazagoa ebazpena, baina errealitate fisikoarekin loturarik ez duten egoerei dagozkie.

### WKB hurbilketa 
thumb|298x298px|Klasikoki, partikularen posizioa E\geq V(x)  deneko gunera dago mugatuta.
WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin) hurbilketak koefiziente aldakorreko ekuazio diferentzial linealen soluzio hurbilduak ematen ditu. Bereziki erabilgarria da mekanika kuantikoko kalkulu semiklasikoak egiteko, zeinetan uhin funtzioa esponentzial gisa idatz daitekeen. Uhin funtzioaren anplitudea oso mantso aldatzen denean erabiltzen da. Ondoko forma duen soluzioa bilatuko da,:

: \psi (x) = A(x)e^{i\phi(x)}

Deribatuak:

: \frac{d\psi}{dx}=(A'+iA\phi')e^{i\phi}, \quad \frac{d^2\psi}{dx^2}=(A''+2iA'\phi'+iA\phi''-A(\phi')^2)e^{i\phi}

Schrödingerren ekuazioa, -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+V(x)\psi=E\psi, horrela berridatz daiteke p(x)\equiv\sqrt{2m[E-V(x)]} funtzioa definituz

: \frac{d^2\psi}{dx^2}=-\frac{p^2}{\hbar^2}\psi

Gure soluzioa ordezkatuz

: A''+2iA'\phi'+iA\phi''-A(\phi')^2=-\frac{p^2}{\hbar^2}A

Zati errealak eta irudikariak bananduz, hurrengo bi ekuazioak lortuko dira

: A''-A(\phi')^2=-\frac{p^2}{\hbar^2}A, \quad \mathrm{edo} \quad A''=A\left[(\phi')^2-\frac{p^2}{\hbar^2}\right]
: 2A'\phi'+A\phi''=0, \quad \mathrm{edo} \quad (A^2\phi')'=0

Bigarren ekuaziotik lortutako soluzioa hauxe da,

: A^2\phi'=C^2,\quad \mathrm{edo} \quad A=\frac{C}{\sqrt{\phi'}}

Lehenengo ekuazioko A''  arbuiagarria da

: (\phi')^2=\frac{p^2}{\hbar^2}, \quad \mathrm{edo} \quad \frac{d\phi}{dx}=\pm\frac{p}{\hbar} \Rightarrow \phi(x)=\pm\frac{1}{\hbar}\int p(x)dx

Beraz, soluzioa eta probabilitate banaketa ondoko hauek dira,

: \psi(x) \cong \frac{C}{\sqrt{p(x)}}e^{\pm\frac{i}{\hbar}\int p(x)dx}, 
\qquad |\psi(x)|^2\cong\frac}e^{-\frac{1}{\hbar}\int |p(x')|dx'}+\frac{\tilde{D}}{\sqrt}e^{\frac{1}{\hbar}\int |p(x')|dx'} \qquad (0

Baina potentziala konstantetzat hartuko denez, |p(x)| integrakizunetik atera daiteke. Ondoko parametroak definituz, \alpha\equiv p(x)/\hbar=\sqrt{2m[E-V_0]/\hbar^2} eta k\equiv \sqrt{2mE}/\hbar, eta integralaren ordez \int dx'=x ipiniz, tarte horretan aurreko adierazpenek hartuko duten eitea hauxe da:

: \psi(x)=\frac{\tilde{C}}{\sqrt{\alpha\hbar}}e^{-\alpha x}+\frac{\tilde{D}}{\sqrt{\alpha\hbar}}e^{\alpha x}

\alpha  eta \hbar konstanteak direnez \tilde{C} eta \tilde{D}-ren barruan sar daitezke: \psi(x)=Ce^{-\alpha x}+De^{\alpha x}.

Beraz,

: \psi(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
    &Ae^{ikx}+Be^{-ikx}, \qquad &x
: *Oharra*: kasu partikular honetan, emaitza berberera iritsiko litzateke espazioa hiru zatitan banatuz potentzialaren arabera eta Schrödingerren ekuazioa zati bakoitzean ebatziz, mugalde baldintzak errespetatuz.

Transmisio eta islapen koefizienteen adierazpenetara iristeko aurreko ekuazioetan mugalde baldintzak inposatu behar dira: \psi(0) , \psi(a) eta bi hauen deribatuek jarraituak izan behar dute. Horrela lau ekuazio lortzen dira

: thumb|324x324px|Horma garai eta zabal bat zeharkatu duen uhin funtzioaren egitura kualitatiboa.\left \{ \begin{array} {l} 
A+B=C+D \\
ik(A-B)=\alpha (D-C)\\
Ce^{-a\alpha}+De^{a\alpha}=Fe^{ika}\\
\alpha (De^{a\alpha}-Ce^{-a\alpha})=Fike^{ika}
\end{array}\right.

Hemen soluzio zehatzak lor daitezke; hala ere, kalkuluak zailak dira. Baina horma oso handia edota oso garaia baldin bada (hau da, tunelatze-probabilitatea txikia da), esponentzialki hazten den gaiaren koefizienteak (D) txikia izan behar du (izatez, zero izango litzateke horma infinituki handia balitz). Horrela, zuzenean hurrengoa lortzen da

: Ce^{-a\alpha}\approx Fe^{ika} \Rightarrow |C^2|e^{-2a\alpha}=|F|^2 

Bestela, lehenengo bi ekuazioetatik, D=0 hartzen bada, C A-ren funtzio gisa lor daiteke

: A+B=C \Rightarrow ik(2A-C)=-\alpha C \Rightarrow C=\frac{2ik}{ik-\alpha}A

Lehen bezala, moduluak kalkulatzerakoan ondokoa lortzen da

: |D|^2=\frac{4k^2}{k^2+\alpha^2}|A|^2

Eta beraz, T transimisio-indizea modu honetan idatz daiteke

: T=\frac{|F|^2}{|A|^2}\approx\frac{|C|^2}{|A|^2}e^{-2ka}=4\frac{k^2}{k^2+\alpha ^2}e^{-2ka}

Orain, k eta \alpha-ren definizioak ordezkatuz

: T\approx \frac{4E}{V_0}e^{-2a\sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar ^2}

Transmisio-indizea (tunelatze probabilitatearen adierazletzat har daiteke) esponentzialki txikitzen da potentzial-langaren zabalera handitzean. Hala ere hau ez da emaitza zehatza. Hurbilketarik erabiltzen ez bada, lortutako adierazpena hau da:

: T=\frac{1}{1+\frac{4E}{V_0}\left(1-\frac{E}{V_0}\right)\sinh ^2{a\alpha}}

Modu berean, errefrakzio-indizea kalkula daiteke:

: R=\frac{\frac{4E}{V_0}\left(1-\frac{E}{V_0}\right)\sinh ^2{a\alpha}}{1+\frac{4E}{V_0}\left(1-\frac{E}{V_0}\right)\sinh ^2{a\alpha}}

Erraz konproba daiteke R+T=1 betetzen dela, behar den moduan.

## Aplikazioak 
Tunel efektua hainbat fenomeno fisiko makroskopiko garrantzitsuren eragilea da, eta nanoteknologiaren funtzionamenduan ere funtsezkoa da.

### Desintegrazio erradioaktiboa 
*Artikulu nagusia: Desintegrazio erradioaktiboa*

Desintegrazio erradioaktiboa atomo nukleo ezegonkorrek produktu egonkor bat lortzeko partikulak eta energia igortzen dituzten prozesua da. Hau partikulek nukleoan zehar tunelatzean gertatzen da (elektroi batek nukleora itzultzeko tunelatzen duenean prozesuari elektroi-harrapaketa deritzo). Hau izan zen tunel efektuaren lehen aplikazioa. Desintegrazio erradioaktiboa garrantzitsua da astrobiologian, tunel efektuaren ondorioz energia iturri handi bat sortzen baita denbora luzez irauten duena zona zirkunestelar bizigarrietatik at dauden inguruneetan, non intsolazioa ez den posiblea edo eraginkorra. Tunel efektua gertatzeko probabilitatea oso baxua bada ere, izarretan dagoen partikula kopuruan hain da handia, efektu hau une oro gertatzen baita. Honek izar batek zenbat eta masa gehiago izan (erraldoi urdinak bezala) orduan eta sekuentzia nagusi laburragoa izatea azaltzen du, hidroien energia zinetikoa handiagoa baita, eta bera, tunel efektua gertatzeko probabilitatea ere bai.

### Elektronikan 
Tunel efektua korronte ihesen iturria da oso integrazio maila handiko (VLSI) elektronikan, eta honen ondorio dira energia kontsumo handia eta aparailu elektronikoei eragiten dien berotze efektuak. Aparailu mikroelektronikoak eraikitzeko behe limite kontsideratzen da. Gainera, tunelazioa oinarrizko teknika bat da flash memorien ate flotatzaileen programazioan.

#### Eremu efektuko igorpena 
Elektroien eremu efektuko igorpena garrantzitsua da erdieroaleen eta supereroaleen fisikan. Igorpen termoionikoaren antzekoa da, non elektroiak zoriz metal baten gainazaletik jauzi egiten duten tentsio-elektrikoaren alborapena jarraituz, estatistikoki, beste partikulekin egindako zorizko talken ondorioz elektroiek potentzial langak baino energia gehiagorekin amaitzen baitute. Eremu elektrikoa oso handia denean, langa elektroiak egoera atomikotik at tunela daitezen bezain fina egiten da, gutxi gorabehera eremu elektrikoarekiko esponentzialki aldatzen den korronte bat sortuz. Material hauek oso garrantzitsuak dira flash memorietan, hutseango hodietan eta mikroskopio elektronikoetan.

#### Tunel lotura 
Bi eroale isolatzaile oso fin batekin banantzean, oztopo sinple bat sor daiteke, zeinari tunel lotura deritzon, eta tunel efektuari esker, elektroi batzuek oztopo hau gaindi dezakete. Josephson loturek tunel efektua eta erdieroale batzuen supereroankortasuna erabiltzen dituzte Josephson efektua sortzeko. Hau tentsioak eta eremu magnetikoak.

#### Tunel diodoa 
[thumb|342x342px|[Erresonantziazko tunel diodoa|Erresonantziazko tunel diodo baten mekanismoa]]
Diodoak gailu elektroniko erdieroaleak dira, korrontea alde baterantz mugatzen dutenak. Gailu hauek N-motako eta P-motako erdieroaleak eta euren arteko gainazal isolatzaile batez baliatzen dira funtzionatzeko. Hauek oso dopatuta daudenean, gainazal isolatzailea behar bezain txikia izan daiteke tunelatzea emateko. Aurrerantza doan korronte txiki bat aplikatzean, tunelatzea handia da, eta honen maximoa tentsioaren energia n eta p kondukzio banden mailan dagoenean dago. Tentsioa handitzean diodoek normal jokatzen dute.

Tunelatzea azkar jaisten denez, tunel diodoak euren korrontea tentsioa handitzearekin batera txikitzeagotzeko sortu daitezke. Ezaugarri berezi honek hainbat aplikazio ditu, tunelatzearen probabilitatea tentsioarekin batera azkar jaisten den abiadura handiko gailuak bezala.

#### Tunel eremu-efektuko transistorea 
Europako ikerketa batek frogatu zuenez, eremu-efektuko transistoreetan, zeinaren atea tunel efektuaren bidez kontrolatzen den, atearen potentzial diferentzia 1V inguru izatetik 0,2V ingurura jaisten da, potentzia kontsumizioa ehun aldiz gutxituz. Transistore hauek VLSI mailan jarriz gero, beraien zirkuitu integratuen potentziarekiko errendimendua handituko litzateke.

### Eroankortasun kuantikoa 
Eroankortasun elektrikoaren Druderen ereduak metaletan elektroien eroankortasunaren aurresan bikainak egiten baditu ere, hau tunel efektuaren bidez hobetzea dago, elektroien arteko talkak azalduz. Elektroien tunelatzea funtsezkoa da hainbat erredox erreakzio biokimikotan (fotosintesia eta arnasketa zelularra bezala), eta baita entzimetan gertatzen den katalisian ere. Protoien tunelatzea berriz, giltzarria da DNA mutazio espontaneoetan. Hidrogeno lotura bat DNA base pareetara batzen da. Hidrogeno loturan zehar dauden bi potentzial zulok potentzial langa bat banantzen dute. Uste da potentzial zulo bikoitza asimetrikoa dela, zulo bat bestea baino sakonagoa izanik, protoia sakonenean egonik. Mutazioa jazo dadin, protoiak sakonena ez den potentzial zulora tunelatu behar du. Protoiaren mugimendu honi trantsizio tautomeroa deritzo. DNA mutazioa egoera honetan ematen bada, DNA baseen parekatzea arriskuan jartzen da eta mutazio bat gerta daiteke. Per-Olov Lowdin izan zen teoria hau garatzen lehenengoa. Uste da tunel efektuaren eraginez emandako beste mutazio mota batzuen ondorio direla zahartzea eta minbizia ere.

## Erreferentziak 
## Bibliografia 
* 
* 

## Kanpo estekak