Bézouten identitate

**Bézouten identitatea**k (edo **Bézouten lema**k) zera dio: zeroren ezberdinak diren a eta b bi zenbaki oso elkarrekiko lehenak badira, orduan existitzen dira x eta y bi zenbaki oso non 1=ax+by=d den.

Era berean, d=zkh(a,b)izanik. Bezouten identitateagatik ondokoa ondorioztatu daiteke.:

* Alde batetik, baldin eta n\neq 0 bada, orduan zkh(na, nb) = |n| zkh(a, b)dela . 

* Bestalde,  zkh(a/c, b/d) = 1dela ziurtatzen du.

Identitateari izena Étienne Bézout (1730-1783) matematikari frantsesaren omenez jarri zitzaion. Zenbaki teoriako beste teorema batzuk (Euklidesen lema edo Hondarraren teorema txinatarra, adibidez) Bézouten identitatean oinarritzen dira.

## Soluzioen egitura 
Bézouten identitateko (x, y) zenbakiak (a, 
b)-rako Bézouten koefizienteak direla esaten da. Koefiziente horiek eta d=zkh(a,b) haien zatitzaile komun handiena Euklidesen algoritmo hedatuaren bitartez kalkula daitezke eta lortuko diren balioek honakoa beteko dute:

:: |x|\le \left |\frac{b}{d}\right | eta |y|\le\left |\frac{a}{d}\right |

a eta b bata bestearen multiplo badira, goiko erlazioan berdintza beteko da.

Bézouten koefizienteak ez dira bakarrak. Izan ere,

::a(x - kb) + b(y + ka) = ax - kba + by + kba = ax + by.

Hortaz, (x, y) Bézouten koefiziente pare bat kalkulatua izan denean, (Euklidesen algoritmo hedatuaren bidez, adibidez), gainerako (x', y') koefiziente-pareek existitzen diren Bézouten koefiziente guztiak (infinitu) adieraziko dituzte.

:: x^\prime = x - kb, \qquad  y^\prime = y + ka.

## Adibidea 
Izan bitez a=502 eta b=110 bi zenbaki oso. Euklidesen algoritmo hedatuaren bidez (x, y)  Bézouten koefizienteak eta haien zatitzaile komun handiena den d=zkh(a,b) kalkulatuko ditugu. Zatiketa euklidearrak eginek eta hondarrak askatuz, zera lortuko dugu:

\begin{align} & 502 = 110(4)+62 \quad \Rightarrow \quad 62 = 502(1)-110(4) \quad \Rightarrow \quad 62 = 502(1)+110(-4)
\\& 110 = 62(1)+48 \quad \Rightarrow \quad 48 = 110(1)-62(1) \quad \Rightarrow \quad 48 = 110(1)+62(-1)
\\& 62 = 48(1)+14 \quad \Rightarrow \quad 14 = 62(1)-48(1) \quad \Rightarrow \quad 14 = 62(1)+48(-1)
\\& 48 = 14(3)+6 \quad \Rightarrow \quad 6 = 48(1)-14(3) \quad \Rightarrow \quad 6 = 48(1)+14(-3)
\\& 14 = 6(2)+2 \quad \Rightarrow \quad 2 = 14(1)-6(2) \quad \Rightarrow \quad 2 = 14(1)+6(-2)
\end{align}

Hortaz, zkh(502,110)=2 da. Hondarrak atzera ordezkatuz, (x, y) Bézouten koefizienteak kalkulatuko ditugu:

\begin{align} 2 & = 502(x) + 100(y) 
\\ 2 & = 14(1) + 6(-2) 
\\ & = [62(1)+48(-1)](1) + [48(1)+14(-3)](-2)
\\ & = [62(1)+48(-1)] + [48(-2)+14(6)]
\\ & = 62(1)+48(-3)+14(6)
\\ & = [502(1)+110(-4)](1) + [110(1)+62(-1)](-3)+[62(1)+48(-1)](6)
\\ & = [502(1)+110(-4)](1) + [110(-3)+62(3)]+[62(6)+48(-6)]
\\ & = [502(1)+110(-7)+62(9)+48(-6)]
\\ & = [502(1)+110(-7)]+[502(9)+110(-36)+[110(-6)+62(-6)]]
\\ & = [502(10)+110(-49)+62(6)]
\\ & = [502(10)+110(-49)]+[502(1)+110(-4)](6)
\\ & = [502(10)+110(-49)]+[502(6)+110(-24)]
\\ & = 502(16)+110(-73)
\end{align}

Beraz, lortu ditugu Bézouten koefizienteak: x=16 eta y=-73.

Egiazta daiteke Bézouten identitatea (ax+by=d) betetzen dela:

: 502(16)+110(-73)=2.

Esan dugunez, Bézouten koefizienteak ez dira bakarrak. k=1 baliorako, adibidez, honako beste (x', y') koefiziente-parea lortuko dugu:

: x^\prime = x - kb = 16 - 110 = -94, \, \qquad  y^\prime = y + ka = -73 + 502 = 429.

Egiazta daiteke Bézouten identitatea (ax+by=zkh(a,b)) betetzen dela:

: 502(-94)+110(429)=2.

## Erreferentziak 
## Kanpo estekak 
* EHU TB - Alderantzizkoen kalkulua Z/nZ moduko eraztunetan
*  Online calculator of Bézout's identity.
* Wolfram MathWorld, Bézout's identity