Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza

Matematikan, **Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza, Schwarz-en desberdintza, Cauchy-ren desberdintza** eta **Cauchy-Schwarz-en desberdintza** izenekin ere ezagutzen da. Desberdintza hau matematikaren hainbat arlotan aplikatu ohi da, besteak beste, aljebra lineala, analisi matematikoa eta probabilitate teorian.

Augustin Louis Cauchy (1821) batuketarako desberdintza publikatu zuen, aldiz, Vitor Yakovlevich Bunyakovsky          (1859) integralei dagokion desberdintza ezarri zuen eta ondoren, Hermann Amandus Schwarzek (1888) berraurkitu zuen.

## Cauchy-Schwarz-en desberdintza 
Izan bedi V espazio bektorial konplexua biderketa eskalarrarekiko, non u,v\in V bektoreek Cauchy-Schwarz-en desberdintza betetzen dute.

\left\vert (u,v) \right\vert^2\leq(u,u)(v,v)

Non (\cdot,\cdot) biderketa eskalarra den.

**Frogapena**

Har dezagun \lambda u -\mu v bektoreen konbinazioa non \lambda, \mu \in \Complex. Biderketa eskalarraren propietateengatik, bektore honen biderketa bere buruarekiko handiago edo berdin zero da beti.

(\lambda u -\mu v, \lambda u-\mu v)\geq 0

Linealtasuna biderketa eskalarraren eskumatik aplikatuz, aurreko espresioa garatu daiteke.

|\lambda|^2(u,u)-2\left\vert (u,v) \right\vert^2 (u,u)+(u,u)^2(v,v)\geq0

Eta azkenik:

(u,u)(v,v)\geq\left\vert (u,v) \right\vert ^2

Q.E.D

Beraz, desberdintza berdintza bihurtzen da baldin eta soilik baldin bektoreak linealki dependienteak badira haien artean.

## Kasu berezia: Desberdintza V espazio bektoriala \Reals^n-ren gain 
Izan bitez { a_1,\cdots,a_n } eta b_1,\dots,b_n edozein zenbaki errealak.

**Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza**

\biggl(\sum_{k=1}^n a_k b_k\Biggr)^2\leq\Biggl(\sum_{k=1}^n \ a_k^2\Biggr)\Biggl(\sum_{k=1}^n b_k^2\Biggr)

Gainera, desberdintza egiaztatzen da baldin eta soilik baldin existitzen bada zenbaki erreal bat x non a_kx+b_k=0 edozein k=1, \dots ,n.

**Frogapena**

Karratuen batuketa ezin da inoiz negatiboa izan, beraz, hauxe daukagu:

\sum_{k=1}^n(a_kx+b_k)^2 = \Biggl(\sum_{k=1}^n a_k^2\Biggr) x^2 + 2\Biggl(\sum_{k=1}^n a_k b_k\Biggr) x + \sum_{k=1}^n b_k^2 \geq 0 

edozein x zenbaki erreal izanik.

Desberdintza betetzen da baldin eta soilik baldin batuketaren termino bakoitza (a_kx + b_k edozein k) berdin zero bada. 

Desberdintza hau modu honetan idatz daiteke: 

Ax^2 + 2Bx + C \geq0

non

A = \sum_{k=1}^n a_k ^2,      B=\sum_{k=1}^n a_kb_k ,      C=\sum_{k=1}^n b_k^2 

Aurreko ekuazioak polinomio koadratiko batek ezin izango duela izan bi erro errealak zehazten du, handiago edo berdin zero delako beti. Hortaz, bere diskriminatzailea txikiago edo berdin zero izan behar da.

\Delta=(2B)^2-4AC = 4(B^2-AC) \leq0 , 

Orduan:

B^2\leq AC, eta hauxe da Cauchy-Schwarz-en desberdintza.

Notazio bektoriala erabiliz, Cauchy-Schwarz-en desberdintzak forma hau hartzen du:

(a\cdot b)^2 \leq \lVert a \rVert^2 \lVert b \rVert^2 

non

a = (a_1,...,a_n), b=(b_1,...,b_n) bi bektore n dimentsiokoak diren, a\cdot b=\sum_{k=1}^n a_k b_k haien biderkadura eskalarra den eta \lVert a \rVert = \sqrt{(a,a)} , \lVert b \rVert = \sqrt{(b\cdot b)} a eta b-ren norma diren.

## Bitxikeriak
* Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza Hölder desberdintzaren kasu partikular batekin froga daiteke, p=q=2-rekin.
* Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza Lagrange-en identitatearen kasu partikular batekin froga daiteke, baita zenbaki konplexuko kasurako ere. 
* Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza biderketa eskalarra topologia induzituarekiko funtzio jarraitua dela frogatzeko erabiltzen da. 
* Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza Bessel-en desberdintza frogatzeko erabiltzen da.
* Heisenberg-en ziurgabetasun printzipioaren formula orokorra Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza erabiliz  deribatzen da biderketa eskalarrarekiko uhin funtzio fisikoen espazioan definituta.

## Erreferentziak 
## Bibliografia 
* Hardy, G., Littlewood J.E., Polya, G. (1999). *Inequalities*, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8
* H. Minkowski, *Geometrie der Zahlen* , Chelsea, reprint (1953) 
* M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4

## Ikus, gainera 
* Hölderren desberdintza
* Minkowskiren desberdintza

## Kanpo estekak 
* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Cauchy Schwarz inequality», *Encyclopaedia of Mathematics* (ingeleses), Springer, ISBN 978-1556080104.