Hiru kuboen batura

Potentzien batuketaren matematikan, **hiru kuboen gehiketaren problema**, problema irekia da (oraindik ez da emaitza orokorrik lortu), non edozein zenbaki arrunta hiru zenbaki osoen kuboen batura gisa adieraz daitekeen. Batuketa honetarako zenbaki positiboak zein negatiboak baimentzen dira. Teorema honen proposamena hurrengoa da: Aurkitzea 'k' deitutako edozein zenbaki arrunt bat (\mathbb{N}) zenbat modutan jar daitekeen hiru zenbaki positiboen kuboen batura gisa:  (x^3 + y^3 + z^3 = k).

Problema matematiko hau Diofantoren ekuaziorekin erlazionatuta dago. Arazo honen emaitza guztiak zenbaki osoak izan behar ziren. Hauen adibide garrantzitsuenatariko bat Fermaten azken teorema da. Honek soluzio osoak lortzean datza hurrengo ekuaziorako:  x^n + y^n = z^n , non n zenbaki arrunta den (n \in \mathbb N).).

## Frogapena 
Zenbaki guztiak 9k + r bezala jar daitezke, non r zenbaki arrunta den, eta 0 (9k)^3 = 9^3 \cdot k^3 = 9 (9^2 \cdot k^3) + 0

Beraz, hondarra 0 izango da

* 9k + 1 kasua:

(9k + 1)^3 = (9k)^3 + 3\cdot (9k)^2 + 3 \cdot 9k + 1 = 9 ((9^2\cdot k^3) + 3\cdot9k^2 + 3k) + 1

Hondarra 1 izango da

* 9k + 2 kasua:

(9k + 2)^3 = (9k)^3 + 3\cdot2\cdot (9k)^2 + 3 \cdot2^2\cdot 9k + 8 (9-1) = 9 ((9^2\cdot k^3) + 3\cdot2\cdot9k^2 + 3\cdot4\cdot k + 1)  - 1

Bigarren paussuan, konturatu behar gara 8, 9 - 1 bezala jar daitekeela, eta beraz, hondarra -1 izango dela

* 9k + 3 kasua:

(9k + 3)^3 = (9k)^3 + 3\cdot3\cdot (9k)^2 + 3 \cdot3^2\cdot 9k + 27 = 9 ((9^2\cdot k^3) + 3\cdot3\cdot9k^2 + 3\cdot3^2\cdot k + 3) + 0

27, 9 * 3 denez, barrura sar daiteke, eta hondarra berriro 0 da

Prozesua beste guztiekin errepikatuz, ikusten da hurrengoa:

* 9k + 4 kasua:
\begin{array}{lll}
    (9k + 4)^3 & = 9 (9^2k^3 + 9\cdot3\cdot4\cdot k^2 + 9\cdot3\cdot4^2\cdot k) + 64
    = 9 (9^2k^3 + 9\cdot3\cdot4\cdot k^2 + 9\cdot3\cdot4^2\cdot k) + 7\cdot9 + 1 \\
    & = 9 (9^2k^3 + 9\cdot3\cdot4\cdot k^2 + 9\cdot3\cdot4^2\cdot k + 7) + 1.
\end{array}
Hondarra 1 izango da
* 9k + 5 kasua:
\begin{array}{lll}
    (9k + 5)^3 & = 9 (9^2k^3 + 9\cdot3\cdot5\cdot k^2 + 9\cdot3\cdot5^2\cdot k) + 125
    = 9 (9^2k^3 + 9\cdot3\cdot5\cdot k^2 + 9\cdot3\cdot5^2\cdot k) + 14\cdot9 - 1 \\
    & = 9 (9^2k^3 + 9\cdot3\cdot5\cdot k^2 + 9\cdot3\cdot5^2\cdot k + 14) - 1
\end{array} 
Hondarra -1 izango da
* 9k + 6 kasua:
\begin{array}{lll}
    (9k + 6)^3 & = 9 (9^2k^3 + 9\cdot3\cdot6\cdot k^2 + 9\cdot3\cdot6^2\cdot k) + 216
    = 9 (9^2k^3 + 9\cdot3\cdot6\cdot k^2 + 9\cdot3\cdot6^2\cdot k) + 9\cdot24 \\
    & = 9 (9^2k^3 + 9\cdot3\cdot6\cdot k^2 + 9\cdot3\cdot6^2\cdot k + 24) + 0

\end{array}
Hondarra 0 izango da
* 9k + 7 kasua:
\begin{array}{lll}
    (9k + 7)^3 & = 9 (9^2k^3 + 9\cdot3\cdot7\cdot k^2 + 9\cdot3\cdot7^2\cdot k) + 343
    = 9 (9^2k^3 + 9\cdot3\cdot7\cdot k^2 + 9\cdot3\cdot7^2\cdot k) + 9\cdot38 + 1\\
    & = 9 (9^2k^3 + 9\cdot3\cdot7\cdot k^2 + 9\cdot3\cdot7^2\cdot k + 38) + 1
\end{array}

Hondarra 1 izango da
* 9k + 8 kasua:
\begin{array}{ll}
    (9k + 8)^3 &= 9 (9^2k^3 + 9\cdot3\cdot8\cdot k^2 + 9\cdot3\cdot8^2\cdot k) + 512
    = 9 (9^2k^3 + 9\cdot3\cdot8\cdot k^2 + 9\cdot3\cdot8^2\cdot k) + 9\cdot57 - 1\\
    &= 9 (9^2k^3 + 9\cdot3\cdot8\cdot k^2 + 9\cdot3\cdot8^2\cdot k + 57) - 1
\end{array}
Hondarra -1 izango da

Ikusten da, beraz, hondarra beti 0, 1 edo -1 izango dela.

## Historia 
1955ean, informatikariek softwarea programatu eta ordenagailuak kalkuluak egiten hasi ziren, [0, 1000]-zenbakien arteko emaitzak ateratzeko. Ia zenbaki guztietarako emaitzak lortu zituzten, zenbaki hauetarako izan ezik:

33,  42,  52,  74, 114, 156, 165, 195, 290, 318, 366, 390, 420, 452, 530, 534, 564, 579, 588, 606, 609, 627, 633, 732, 735, 758, 767, 786, 789,

795, 830, 834, 861, 894, 903, 906, 912, 921, 933, 948, 964, 975.

Ordenagailuek probatzen jarraitu zuten, baina emaitza berriak abiadura azkarrekin lortzeari uzti zioten, konputazionalki oso garestia zelako zenbaki oso altuekin lan egitea.

2000. urtean 100 billioi baino txikiagoko zenbaki guztien konbinazioak frogatu ziren, eta 2015-ean 1.000 billioi zenbakiraino heldu zen.

2001-eko uztailaren 29an, D. J. Bernstein zenbaki hauen emaitzak lortu zituen:, oso posiblea da konjetura hori egia izatea, baina emaitzak hain alderatuta daudenez elkarrekiko, oso zaila izango da beste emaitzak lortzea, baldin eta egiatan badaude.

## Kasu txikiak 
0-rako erantzun bakarrak tribialak dira, Leonhard Euler frogatutakoak. Kasu honetan, zenbaki bat bestearen zeinu kontrakoa dauka:

a^3 + (-a)^3 + 0^3 = 0, \forall a\in \mathbb{Z}

1 eta 2-rako infinitu emaitza familiak daude:

(9b^4)^3+(3b-9b^4)^3+(1-9b^3)^3=1, \forall b\in \mathbb {Z} (Errepresentazio hau 1936-an izan zen aurkituta K. Mahle-rengatik)

(1+6c^3)^3+(1-6c^3)^3+(-6c^2)^3=2, \forall c\in \mathbb {Z} (Errepresentazioa A.S. Verebrusov-ek aurkitu zuen 1908-an, eta L.J. Mordell-ek aipatua)

Hauek eskala daitezke bi aldiz kuboak diren edozein kuboren edo edozein zenbakiren irudikapenak lortzeko.

Wikipediako sarrera hau idatzi zen momentura arte dauden beste 2-ko errepresentazioak hauek dira:

1\ 214\ 928^3 + 3\ 480\ 205^3 + (-3\ 528\ 875)^3 = 2,

37\ 404\ 275\ 617^3 + (-25\ 282\ 289\ 375)^3 + (-33\ 071\ 554\ 596)^3 = 2,

3\ 737\ 830\ 626\ 090^3 + 1\ 490\ 220\ 318\ 001^3 + (-3\ 815\ 176\ 160\ 999)^3 = 2

3-ren irudikapenaren kasuan, Louis J. Mordell-ek 1953-an idatzi zuen hurrengoa: "Ez dakit ezer",  kasu handiei erreferentzia eginez. Horrekin batera, 3-rentzako emaitz bat eman zuen:

1^3 + 1^3 + 1^3 = 4^3 + 4^3 - 5^3 = 3

Izan ere, kasu honetan hiru zenbaki kubikoetako bakoitza 9 moduloaren berdina da.

## Emaitzak konputazionalak 
Ordenagailuak emaitz asko kalkulatu zituzten. Orain dauden lengoiaekin, zenbaki batzuetarako emaitz anitz kalkula dezakegu, adibidez, 8-rako edo 64-rako, bakarrik [-100,100] arteko zenbakiak erabiltzen.

Hainbat lengoiatan egin daiteke, hala nola, Python eta C (kodea optimizatu gabe dago):

(Kode honetan ez dira 1 ezta 2 zenbietarako emaitzak kalkulatzen, infinituak baitira, beraz, 3-tik hasten da kalkulatzen)

### PYTHON 
```python3
temp1 = -200
temp2 = -200

for i in range (3, 100+1):
    konp_orokor = False
    
    if i%9 == 4 or i%9 == 5:
        continue
    
    for j in range (101):
        for k in range (-100, 101):
            for l in range (-100,101):
                if j**3 + k**3 + l**3 == i:
                    if l == temp1 or k == temp2:
                        break
                    
                    print (i, '=',j,k,l, sep='\t')
                    temp2 = l
                    temp1 = k
                    
                    konp_orokor = True
                    break
        
        if konp_orokor == True:
            continue
```

### C 
```c
#include 
#include 
#include 
#include 

int i, j, k, l;
int konp1 = -200, konp2 = -200;

int main()
{
    int hasi = 3, amaitu = 10, konp_orokor;
    
    for (i=hasi; inull");
    return 0;
}
```

## Interes komuna 
Hiru kuboren arazoen batuketak azken urteetan Brady Haranek ezagutzera eman zuen, Numberphile YouTube kanalaren sortzaileak, "33-ren arazo ebaztezina" (The Uncracked Problem with 33), 2015eko bideoarekin hasita, Timothy Browning-ekin egindako elkarrizketa batekin. Handik sei hilabetera, "74 ebaztu da" bideoa atera zen Huismanekin 74-rako irtenbidea eztabaidatzen.

2019an, Numberphilek erlazionatutako hiru bideo argitaratu zituen, "42 da 33 berria", "42ren misterioa konpondu da" eta "3 3 kuboren batura gisa" ("42 is the new 33", "The mystery of 42 is solved", and "3 as the sum of 3 cubes").

Bookerrek eta Sutherland-ek 42rako irtenbideari buruz egindako iragarkiek nazioarteko prentsa estaldura jaso zuten: *New Scientist*, *Scientific American*, *Popular Mechanics*, *The Register*, *Die Zeit*, *Der Tagesspiegel*, *Helsingin Sanomat*, *Der Spiegel*, *New Zealand Herald*, *Indian Express*, *Der Standard*, *Las Provincias*, *Nettavisen**, Digi24*, and *BBC World Service*

## Emaitzak [0,100] 
Aurreko ataletan ikusi den bezala, zenbaki batzuk hainbat erantzun dituzte. Beste batzuk, berriz, ezin dira kalkulatu. Hemen 0-tik 100-era kalkulatu daitezkeen zenbaki guztien emaitzak agertuko dira (Zenbaki bat infinitu soluzio badauka, letra batekin adierazita egongo da 'ekuazioa').

## Erreferentziak 
## Kanpo estekak 
* Hiru kuboen arazoa, Eduardo Saenz de Cabezón, UPV valentziako irakaslea eta Derivando-ren kanalaren egile.
* Diofantine equations
* Solutions of *n* = *x*3 + *y*3 + *z*3 for  0 ≤ *n* ≤ 99, Hisanori Mishima
* Sums of three cubes, Mathpages
* threecubes, Daniel J. Bernstein
* How to search the solutions of n=x3+y3+z3, Hisanori Mishima
* Historia pixka bat, Hisanori Mishima. (Japoniarraz dago)