Riemannen kurbadura-tentsore

Matematikaren geometria diferentzialaren arloan **Riemannen kurbadura-tentsoreak** edo **Riemann-Christoffel tentsoreak** Riemannen barietateen kurbadura adierazten du. Horrez gain, kurbadura-tentsorea konexioa ondo finkatuta duen edozein pseudo-Riemannen barietaterako definitu daiteke.
thumb|Grabitateak sortzen duen espazio-denboraren kurbadura.
Erlatibitate orokorraren teorian, Riemannen kurbadura-tentsoreak grabitazioak espazio-denboran sortzen duen kurbadura ulertzen laguntzen du. Izan ere, kurbadura-tentsoreak geodesiko batean zehar higitzen den gorputz zurrun batek jasotzen duen marea-indarra adierazten du.

Kurbadura-tentsorea Bernhard Riemann matematikari alemaniarrak proposatu zuen 1862. urtean, eta Elwin Bruno Christoffel fisikari eta matematikari alemaniarrak garatu zuen 1869an. Horregatik, kurbadura-tentsorea Riemann-Christoffel tentsore moduan ere ezagutzen da.

2 dimentsioko espazioan puntu bakoitzean kurbadura eskalar baten bidez adierazi daiteke, Gaussen kurbadurak azaltzen duen moduan. Riemannen barietateen geometriak 3 dimentsio edo gehiago dituenez, geometria oso konplexua da puntu bakoitzeko kurbadura eskalar batekin adierazteko. Horregatik, 3 dimentsioko espazioan kurbadura 2 ordenako tentsore baten bidez azaldu daiteke (Ricciren tentsorea), baina dimentsio handiagoko espazioetako kurbadura adierazteko 4 edo ordena handiagoko tentsore bat behar da (Riemannen tentsorea). Horregatik, kurbadura-tentsorea erlatibitate orokorraren 4 dimentsioko espazio-denboraren kurbadura adierazteko erabiltzen da.

## Definizioa 
Formalki, Riemannen barietate bakoitzerako kurbadura-tentsorea formula honen bidez definitzen da:

R(u,v)w=\nabla_u \nabla_v w -\nabla_v \nabla_u w -\nabla_{[u,v]} w

Beste era batera, Riemannen kurbadura tentsorea Christoffelen ikurren bidez ere horrela definitzen da:

R^{\rho}_{\sigma\mu\nu}\equiv\Gamma^{\rho}_{\sigma\nu,\mu}-\Gamma^{\rho}_{\sigma\mu,\nu} +\Gamma^{\rho}_{\lambda\mu}\Gamma^{\lambda}_{\sigma\nu} -\Gamma^{\rho}_{\lambda \nu} \Gamma^{\lambda}_{\sigma\mu}

Aurreko adierazpenetan komak deribatu arrunta adierazten du: f_{,\nu}=\frac{\partial f}{\partial x^\nu}

Minkowskiren metrikan (kurbadurarik gabekoa) Riemannen tentsoreak balio hauek hartzen ditu:

* Koordenatu kartesiarretan ( ds^2=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2) : \Gamma\equiv0 eta \Gamma,\equiv 0 \Longrightarrow R^{\rho}_{\sigma\mu\nu}=0 (metrika konstantea)
* Beste edozein koordenatutan: R^{\lambda'}_{\mu'\nu'\rho'}=\frac{\partial x^{\lambda'}}{\partial x^{\alpha}}\frac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\mu'}}\frac{\partial x^{\gamma}} {\partial x^{\nu'}}\frac{\partial x^{\delta}} {\partial x^{\rho'}}R^{\alpha}_{\beta\gamma\delta}=0 baina \Gamma\neq0

Hortik ondorioztatzen da barietatea laua bada, Riemannen tentsorea beti adieraz daitekeela koordenatu sistema batean zeinetan nulua den. Gainera, tentsorea denez, beste edozein koordenatu sisteman nulua izango da.

### Riemannen kurbadura-tentsore kobariantea 
Kurbadura-tentsore kobariantea horrela definitzen da:

R_{\mu\nu\rho\sigma}=g_{\mu\lambda}R^\lambda{}_{\nu\rho\sigma}=\Gamma_{\mu\nu\sigma,\rho}
-\Gamma_{\mu\nu\rho, \sigma}+\Gamma_{\lambda\mu\sigma}\Gamma^\lambda{}_{\nu\rho}-
\Gamma_{\lambda\mu\rho}\Gamma^\lambda{}_{\nu\sigma}

R_{\mu\nu\rho\sigma}=\frac{1}{2}(g_{\mu\sigma,\nu\rho}-g_{\nu\sigma,\mu\rho}+g_{\nu\rho,\mu\sigma}-g_{\mu\rho,\nu\sigma})+ 
\Gamma_{\lambda\mu\sigma}\Gamma^\lambda{}_{\nu\rho}-
\Gamma_{\lambda\mu\rho}\Gamma^\lambda{}_{\nu\sigma}

Tentsorearen forma desberdinak ezagutzen dira, zeinu batzuen arabera aldatzen direnak. Horregatik, autorearen zeinu irizpidea kontuan hartu behar da. Hala ere, adierazpen guztiak Ricciren kurbadura edo kurbadura eskalarra aldatu gabe uzteko definitzen dira.

### Riemannen tentsorearen deribatu kobariantea 
Riemannen tentsorearen deribatu kobarianteak honako adierazpena du:

R_{\mu\nu\rho\sigma;\lambda}=R_{\mu\nu\rho\sigma,\lambda}-\Gamma^{\eta}_{\mu\lambda}R_{\eta\nu\rho\sigma}-\Gamma^{\eta}_{\nu\lambda}R_{\mu\eta\rho\sigma}-\Gamma^{\eta}_{\rho\lambda}R_{\mu\nu\eta\sigma}-\Gamma^{\eta}_{\sigma\lambda} R_{\mu\nu\rho\eta}

Deribatu kobarianteak deribatu arrunten ordezkoak dira, eta antzeko propietateak dituzte, salbuespen batekin; oro har, ordena desberdinetan egindako deribatu kobariante gurutzatuak ez dira berdinak.

## Esangura geometrikoa 
thumb|Garraio paraleloa 2 dimentsioko espazio euklidearreanSuposatuz espazio euklidearreko bektorea begizta baten inguruan paraleloan mugitzen dela (modulua eta norabidea aldatu gabe), jatorrizko posiziora itzuli ondoren berriro hasierako bektorea berreskuratuko da. Hala ere, hori ez da Riemannen barietate orokor guztietan betetzen. Horregatik, Riemannen kurbadura-tentsoreak zuzenean neurtzen ditu kurbadura horiek Riemannen barietate orokorrean. 

Aurrekoa hobeto ulertzeko kontsidera dezagun hurrengo kasua. 2 dimentsioko espazio euklidearrean, bektore batek norabidea eta modulua aldatu gabe ibilbide itxi bat egingo duela suposatuko dugu. Horrela, irudiko begizta itxian, A→B→C→D ibilibidea egin ondoren, amaierako bektorea eta hasierako bektorea berdinak dira, eta ondorioz ez da bektorearen norabidea aldatzen. 3 dimentsioko espazio bat kontsideratzen badugu ordea, gainazal esferiko bat esate baterako, bi puntu desberdinetako bektoreak ez dira paraleloak izango, bektoreak plano tangenteetan daudelako. Horrenbestez, bira osoa eman ondoren hasierako eta amaierako bektoreak desberdinak izango dira. thumb|Garraio paraleloa 3D-ko gainazal bateanMatematikoki, izan bedi *xt* Riemannen *M* barietateko kurba bat. Kurba horretan zeharreko garraio paraleloa τ*xt*:Tx0*M* → Txt*M* moduan adieraziko da. Garraio paraleloa deribatu kobariantearekin horrela erlazionatzen da kurban zehar edozein *Y* bektore espaziorako:

\nabla_{\dot{x}_0} Y =
  \lim_{h\to 0} \frac{1}{h}\left(Y_{x_0} - \tau^{-1}_{x_h}\left(Y_{x_h}\right)\right) =
  \left.\frac{d}{dt}\left(\tau_{x_t}Y\right)\right|_{t=0}

Suposa dezagun *X* eta *Y* trukakorrak diren bi bektore espazio direla. Espazio bakoitzak x0-ren inguruan parametro bakarreko difeomorfismoen talde bat sortzen du. Edozein t aldiuneko X eta Y-ren fluxuen bitarteko garraio paraleloak τtX eta τtY moduan idatziko dira. Horrela, *Z* ∈ Tx0*M* bektorearen *tY*, *sX*, −*tY*, −*sX* aldeko kuadrilateoaren inguruko garraio paraleloa horrela idatzi daiteke:\tau_{sX}^{-1}\tau_{tY}^{-1}\tau_{sX}\tau_{tY}Z

Adierazpen horrek Tx0*M* espazio tangentean Z bektorea hasierako posiziora itzultzeko garraio paraleloaren porrota adierazten du. Azkenik, *s*, *t* → 0 limitea hartuz, honako adierazpen infinitesimala lortzen dugu:

\left.\frac{d}{ds}\frac{d}{dt}\tau_{sX}^{-1}\tau_{tY}^{-1}\tau_{sX}\tau_{tY}Z\right|_{s=t=0} = \left(\nabla_X\nabla_Y - \nabla_Y\nabla_X - \nabla_{[X,Y]}\right)Z = R(X, Y)Z

Adierazpen horretan R Riemannen kurbadura-tentsorea da.

## Kurbadura eta koordenatuak 
Minkowskiren metrika koordenatu kartesiarretan honela idazten da:

ds^2=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2

Koordenatu hauetan metrika konstantea denez, kurbadura eta konexioa nuluak dira. Koordenatu esferikoak erabiltzen badira:

x=r\sin\theta\cos\varphi 

y=r\sin\theta\sin\varphi

z=r\cos\theta

Koordenatu aldaketa horrekin, metrikak honako itxura hau du:

ds^2=-c^2dt^2+dr^2+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta \ d\varphi^2)

Hala ere, koordenatu hauetan konexioa nulua ez bada ere, kurbadurak nulua izaten jarraitzen du. Izan ere, Minkowskiren espazioa laua denez, kurbadura nulua izango da koordenatu guztietarako, eta ondorioz kurbadura-tentsorea nulua izango da Minkowskiren espazio-denborako edozein gertaerarako.

### Koordenatu singularitateak 
Dimentsio bakarrean kurbadura-tentsorea identikoki nulua da, baina hori ez da dimentsio gehiagoko espaziotan gertatu behar; zehazki, ez da berdina plano bat koordenatu kartesiarretan edo koordenatu esferikoetan adieraztea. Egindako koordenatuen aukera da arazoaren jatorria: koordenatu-singularitatea.

Aurrekoa hobeto ulertzeko kontsidera dezagun *a* erradioko *S* gainazal esferiko bat ohiko espazio euklidearrean. Lehenengo koordenatu kartesiarrak kontsideratuko ditugu. Kalkuluak sinplifikatzeko z=0 planoko 2 dimentsioko (x,y) proiekzioa hartuko dugu. Gainazalean x^2+y^2+z^2=a^2 adierazpena betetzen da, beraz hortik *z* eta *dz*-ren adierazpenak lor daitezke:

z=\sqrt{a^2-(x^2+y^2)}

dz=-\frac{xdx+ydy}{\sqrt{a^2-(x^2+y^2)}}

Adierazpen horietatik abiatuz, metrika distantzia euklidarrak gainazalean duen balioa izango da:

ds^2=(dx^2+dy^2+dz^2)_{S}=dx^2+dy^2-\frac{xdx+ydy}{\sqrt{a^2-(x^2+y^2)}}

Bestalde, koordenatu polarrak (ρ,φ) erabiltzen badira, x=\rho\cos\varphi eta y=\rho\sin\varphi aldagai aldaketa eginez, metrikak honako itxura hau du:

ds^2=\frac{a^2d\rho^2}{a^2-\rho^2}+\rho^2d\varphi^2

Metrikaren bi adierazpenetan ikusten da singularitate bat dagoela gainazalaren ekuadorrean. Izan ere, ds^2 infinitu egiten da bi koordenatuetan, bai \rho=a denean bai x^2+y^2=a^2 denean. Hala ere, simetria esferikoaren ondorioz, ardatz kartesiarrei edo gainazalari biraketa bat aplikatuz singularitate hori ekiditzen da, hau da, metrika erregularra berreskuratzen da ekuatorrean. Horregatik, lehen aipatu bezala, egindako koordenatuen aukera da arazoaren jatorria, koordenatu-singularitatea desagerrarazi daitekeelako koordenatu-sistema egoki bat erabiltzen bada.

Horrez gain, 3 dimentsioko espazioan, definiziotik zuzenean lortzen da koordenatu esferikoetan kurbadura-tentsorea ez dela nulua, gainazal esferikoa ez delako laua. Hala ere, tentsorearen osagai bakarra R_{\theta\phi\theta\phi}=a^2sin^2\theta da eta beste guztiak simetriaren eraginez nuluak dira.

## Propietateak 
Christoffelen ikurren propietateak kontuan izanda, Riemannen kurbadura-tentsorearen definiziotik honako propietate hauek ondorioztatu daitezke:

R^\lambda{}_{\mu\nu\rho}=-R^\lambda{}_{\mu\rho\nu}

R^\lambda{}_{\mu\nu\rho} + R^\lambda{}_{\rho\mu\nu} + R^\lambda{}_{\nu\rho\mu}=0

Aurretik definituriko kurbadura-tentsorearen forma kobariantea honako hau da:

R_{\mu\nu\rho\sigma}=\frac{1}{2}(g_{\mu\sigma,\nu\rho}-g_{\nu\sigma,\mu\rho}+g_{\nu\rho,\mu\sigma}-g_{\mu\rho,\nu\sigma})+ 
\Gamma_{\lambda\mu\sigma}\Gamma^\lambda{}_{\nu\rho}-
\Gamma_{\lambda\mu\rho}\Gamma^\lambda{}_{\nu\sigma}

Simetriaren eraginez, kurbadura-tentsore kobarianteak propietate hauek betetzen ditu:

# Antisimetria lehenengo bi indizeak trukatzean: R_{\mu\nu\rho\sigma}=-R_{\mu\nu\sigma\rho}
# Antisimetria azkenengo bi indizeak trukatzean: R_{\mu\nu\rho\sigma}=-R_{\nu\mu\rho\sigma}
# Bianchiren lehenengo identitatea: R_{\mu\nu\rho\sigma}=R_{\rho\sigma\mu\nu}=R_{\nu\mu\sigma\rho}
# Bianchiren bigarren identitatea: R_{\mu\nu\rho\sigma}+R_{\mu\sigma\nu\rho}+R_{\mu\rho\sigma\nu}=0 ⇔ R_{ab[cd;e]} =0\;
x^{\mu}_0 puntu baten inguruko sistema inertzial lokalean metrikaren deribatuak eta konexioak nuluak direnez eta g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}, hauxe dugu puntu horretan:

R_{\mu\nu\rho;\lambda}=R_{\mu\nu\rho\sigma,\lambda}=\Gamma_{\mu\nu\sigma,\rho\lambda}-\Gamma_{\mu\nu\rho,\sigma\lambda}=\Gamma_{\mu\nu\sigma,\rho\lambda}-\Gamma_{\mu\nu\rho,\lambda\sigma} eta hortaz, puntu horretan R_{\mu\nu\rho\sigma;\lambda}+R_{\mu\nu\lambda\rho;\sigma}+R_{\mu\nu\sigma\lambda;\rho}=0 (adierazpen tentsorial hau koordenatu eta puntu guztietan beteko da: lotura diferentziala)

## Ricciren tentsorea 
Ricciren kurbadura tentsorea Riemannen tentsorearen lehenengo eta hirugarren indizeen kontrakzio bat eginez definitzen da. Tentsore hau Riemannen tentsorearen kasu partikular bat da eta 3 dimentsioko espazioko kurbadura adierazten du.

\underbrace{R_{\mu\nu}}_{\text{Ricci}}\equiv \underbrace{R^\lambda{}_{\mu\lambda\nu}}_{\text{Riemann}}=g^{\lambda\sigma}\underbrace{R_{\lambda\mu\sigma\nu}}_{\text{Riemann}}

Kurbadura-tentsorearen antisimetriaren ondorioz, R^{\lambda}_{\lambda\mu\nu}=0 da, baina, Ricciren tentsorearen kasuan R_{\mu\nu}\equiv R^{\lambda}_{\mu\lambda\nu} simetrikoa da: R_{\mu\nu}=R_{\nu\mu}

Horrez gain, Ricciren tentsoretik abiatuz **kurbadura-eskalarra** ere lor daiteke:

R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}=R^\mu{}_{\mu}=R_{\mu}{}^{\mu}

Ricciren tentsoreaz baliatuz, Einsteinen tentsorea definitu daiteke: G^{\mu\nu}\equiv R^{\mu\nu}-\frac{1}{2} R g^{\mu\nu}

Einsteinen tentsorea simetrikoa da eta kontserbatu egiten da: G^{\mu\nu}=G^{\nu\mu}
 , G^{\mu\nu}_{;\nu}=0

## Weylen kurbadura 
Izan bedi n>3 dimentsioko Riemannen barietate bat. Kasu horretan, kurbadura-tentsorea bi ataletan banatu daiteke. Lehenengo zatiak Ricciren kurbaduraren menpekotasuna izango du eta bigarren zatia Weylen tentsorea izango da. Horrela, (0,4) moduko Riemannen kurbadura-tentsorea *R* bada:

R=s/2n(n-1) g\circ g + (Ric-sg/n) \circ g/(n-2) +W 

Adierazpen horretan *Ric* Ricciren (0,2) moduko tentsoreari dagokio, s kurbadura eskalarra da, *W* Weyl-en tentsorea da eta g letrak (0,2) moduko tentsore metrikoa adierazten du. Horrez gain, *g o g* adierazpenak Kulkarni-Nomizu deritzon bi tentsoreen produktua da. Matematikoki bi tentsoreen Nulkarni-Numizu produktua horrela adierazten da:

h\circ k(v_1,v_2,v_3,v_4) =h(v_1,v_3)k(v_2,v_4)+h(v_2,v_4)k(v_1,v_3)-h(v_1,v_4)k(v_2,v_3)-h(v_2,v_3)k(v_1,v_4)

Bestalde, Weylen tentsorearen osagaiak Riemannen kurbadura tentsoretik, Ricciren tentsoretik eta kurbadura eskalarretik abiatuz kalkula daitezke:

C_{abcd}=R_{abcd}-\frac{2}{n-2}(g_{a[c}R_{d]b}-g_{b[c}R_{d]a})+\frac{2}{(n-1)(n-2)}s~g_{a[c}g_{d]b}

Adierazpen horretan, R_{abcd} Riemannen tentsorearen osagaiak dira, R_{ab} Ricciren tentsorearen osagaiak dira eta s Ricciren kurbadura eskalarra da. Gainera, [] notazioak tentsore baten zati antisimetrikoa adierazten du.

Kurbadura konstantearen kasurako, Weylen tentsorea nulua da. Horrez gain, kurbadura konstantea dela esango da, baldin eta soilik baldin W=0 bada, hau da, Weylen tentsorea nulua bada, eta Ricciren tentsoreak *Ric*=s/n adierazpena badu.

## Erreferentziak 
### Bibliografia 
* Lee, J.M. *Riemannian manifolds: an introduction to curvature*. GTM 176. 
* Spivak, Michael (1999), *A Comprehensive introduction to differential geometry*, Volumen 2, Publish or Perish, 
* Bergmann P.G. (1976). *Introduction to the Theory of Relativity*. Dover. pp. 172–174. ISBN 978-0-486-63282-7.
* Lawson, H. Blaine, Jr.; Michelsohn, Marie-Louise (1989). *Spin Geometry*. Princeton U Press. p. 154. ISBN 978-0-691-08542-5.
* Lovelock, David; Rund, Hanno (1989) [1975]. *Tensors, Differential Forms, and Variational Principles*. Dover. p. 84,109. ISBN 978-0-486-65840-7.
* P. A. M. Dirac (1996). *General Theory of Relativity*. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-01146-2.

## Ikus, gainera 
* Erlatibitate orokorra
* Ricciren kurbatura tentsorea
* Einsteinen tentsorea
* Christoffelen ikurrak
* Metrika
* Geodesikoak
* FRLW metrika
* Deribatu kobariantea

## Kanpo estekak