Matematikaren didaktika

[thumb|350px|**Matematikaren didaktika**; irudian, [zenbaketa eta estatistika batera ikasteko jarduera didaktiko bat.]]

**Matematikaren didaktika** matematikaren hezkuntzarako metodologia eta praktika egokia aztertzen dituen didaktikaren arlo berezitua da. Zehatzago, matematikaren ikaskuntzari buruz ezarritako teorietan oinarriturik ikasle guztientzat eta bakoitzaren berezitasunak kontuan harturik matematikaren irakaskuntza eta ikaskuntza prozesuak aztertu, horretarako curriculum osatuak eratu, sailkatu, horretarako teknologia prestatu eta ebaluazio tresna egokiak diseinatzea dira bere zereginak. Zeregin horien helburua ikasleak *matematikan gai izatea* da, kontzeptu horren baitan historian zehar zoritxarrez nabarmendu diren kalkulu-algoritmoen ikaskuntzaz gainera beste dimentsio anitz barneratuz. Bereziki matematikan, ikaslearen ulertze eta ikaste adierazgarriaren garrantzia nabarmendu da. Beste alde batetik, filosofia, soziologia eta psikologia jakintza arloek matematikaren hezkuntzari buruz osatu dituzten teorien multzoa eta matematikaren didaktika praktikoa banandu izan badira ere, marko teorikoak praktika didaktikoa erabat eragin eta matematikaren hezkuntza eta matematikaren didaktika batera aztertu beharreko arloak dira. Eguneroko jardunean, beste alde batetik, matematika ikasten behar bereziak dituzten ikasleekin (diskalkulia dutenak, talentu aparteko haurrak, ...) moldatzen eta teknologiak eskaintzen dituen baliabideak eta matematikarako ikasmaterial berezia nola erabili ere aztertzen ditu.

## Matematikatik matematikaren didaktikara 
:::

Matematika jakintzaren azalpen klasikoa axiomatikoa da, baieztapen matematikoak logikaz garatutako froga matematikoen bitartez egiaztatuz. Matematikariak emaitzak berriak plazaratzen dituenean, emaitzak horiek eskuratzeko lanaren gorabeherak eta testuingurua ezabatu eta emaitza hutsak aurkeztu behar ditu, froga matematikoak baliatuz, bere ekarpenak ahalik eta modu garbienean azaltzeko. Matematika baliatzen duenak, berriz, matematikarien azalpenak aldatu eta birformulatu egiten ditu, aurretik duen jakite-mailara moldatuz. Hots, matematika ezagutza etengabe aldatzen da, komunikazio prozesu batean zehar, pertsona nahiz talde batetik bestera, bakoitzaren beharretara egokituz. Matematika irakastean, beraz, ikuspuntu axiomatiko hutsak ezkutatu egiten du matematikaren benetako eskuratzea, funtzionamendua eta aplikazioa. Hori dela eta, matematikaren didaktikak matematikaren *transposizioa*
edo berrantolaketa eskatzen du, besteak beste kontzeptuak eta erlazioak modu praktikoan azalduz, tarteko pausoak geroratuz, intuiziorako bideak zabalduz eta sormena bultzatuz. Gero, ikasleak ere barne-prozesu bat eramango du aurrera jasotakoa barneratuz. Matematikaren irakaskuntzan eragina duen beste faktore bat matematikaren formalismoa eta sinbolismoa da. Matematika purua erakutsi nahiak matematika ikurren gehiegizko erabilerak ekarri izan du batzuetan. Horrek ikasleek matematika jakintza *esoteriko* moduan ikustea ekarri eta aldi berean matematikaren benetako izaera eta aplikazioa ezkutuan utzi du. Adibide moduan, matematika moderno izeneko matematika ikuspuntuak 1960ko hamarkadan multzo teorian oinarritutako matematikaren didaktika izan zen, azkenean baztertu egin zena.

Beraz, axiomatizazioa baztertuz eta matematikaren izaera antropologikoa onartuz, matematikaren lanaren berezko eta oinarrizko ezaugarri nagusiak sormen lana izatea eta matematikak problemak ebazteko duen balio praktikoa direla esan behar da. Erabiltzearen poderioz matematikak problema arruntak eta errepikakorrak ebazteko teknologiak (algoritmoak, ...) eta teoriak garatu ditu. Ikasleari matematika irakasteko, matematikaren orden antropologikoan aurkeztu beharko litzaizkioke ezagutzak: lehendabizi, problemak aurkeztuz; ondoren, problemaren miaketa eginez eta azkenik, teknika egoki batez problema ebatziz. Hala eta guztiz ere, zoritxarrez historian izan dira irakasleak matematika denborarik gabeko egien multzo moduan hartzen dutenak, kultura eta aplikazioetatik at.

## Matematikaren gizarte pertzepzioa 
Jakintza-arlo aplikatua den arren, matematika modu negatiboan baloratu izan da gizartean, belaunaldiz belaunaldi transmititu dena, jakintza-arlo zaila, pertsona azkarrek soilik menderatu eta baliorik gabea dela nabarmenduz. Adibidez, matematikaren irakaskuntzari buruzko Cockport txostenerako aukeratutako pertsonen erdiek uko egin zioten elkarrizketatuak izateari. Horretan ardura matematikako irakasleek beraiek izan dute, historian zehar matematika algoritmo errepikakor hutsez, aplikazio seriorik gabe, irakatsi egin dutelako. Matematikaren zeharkakotasunak ere, beste jakintza arlo batzuetan erabiltzeko jakintza arloa izateak alegia, ikusgarritasuna kendu dio matematika puruari, hizkuntzak, marrazketak edo fisikak ez bezala ez baitu berezko erabilgarritasunik beste arlo baterako aplikatzeko ez bada. Azkenik, nabarmena izan da matematikan lortutako kalifikazioa ikasleak mailakatzeko erabili izan dela: ikasle onak matematiketan *nota onak* zituztenak ziren, matematika-gaitasuna adimenarekin lotzen zelako, egun adimenak bere baitan alderdi anitz hartzen dituen kontzeptua dela irizten bada ere. Horrek ere eragin dio beste ikasleen matematikarekiko zuten jarrerari. Hori guztia dela eta, zenbait matematika irakaslek konpromiso sozialaren beharra nabarmendu dute matematikaren irakaskuntza egoki baterako: familia eta gizartearen sostengua eta laguntza ezinbestekoak dira matematikaren pertzepzio negatiboak gainditzeko.

Beste alde batetik, matematika *zientzia zehatz* moduan hartu izan da. Hain zuzen, Espainian matematikako unibertsitate-ikasketek "*ciencias exactas*" izena izan dute. Gizartean, izaera hori finkatu eta *matematikek gezurrik ez dutela esaten* eta antzeko topikoak zabaldu dira. Horrela, matematika irakasteko modu itxi eta zurrun bat garatu da, matematika atazen erantzunak bai-ez eta kopuru zehatz batez azalduz, eztabaidarako eta problemen ebazpenerako aukera aniztasunerako bideak itxiz. Matematikaren emaitzak eztabaidagarriak dira, ordea, eta gehienetan zenbatespen eta hurbilketak egiten dira. Metodo parte hartzaile eta komunikatibo bat aurrera eramanez eta soluzio aniztasuna duen problemak planteatuz matematikaren jardunaren benetako izaerari helduko zaio.

## Matematikaren psikopedagogia 
Adimenaren ataletako bi matematikarekin estu loturik daude: atal logiko-matematikoa eta atal espaziala. Horregatik, matematikaren irakaskuntzarako bereziki garrantzitsua da matematika kontzeptuen ikaskuntzarekin batera giza adimenaren funtzionamendua aztertzen duten teoriak gogoan hartu eta didaktikaren ildotik garatzea.

Garapen intelektual eta ikaskuntza matematikoan garrantzi handiena izan duen pentsalari bat Jean Piaget izan zen. Piageten arabera, haurraren garapen kognitiboa hisu fase diskretuetan zehar garatzen da: lehenengoan, 18 hilabete izan arte, fase sensomotorea garatzen da, non munduko objektuak bereizten ikasten duen; 7 urte arte fase preoperazionala garatzen da; 11 urtera arte gutxi gorabehera fase operazional konkretua garatzen da eta hortik aurrera fase operazional formala, non haurrak logika guztiz bereganatu eta arrazonamendu deduktiboa garatzeko gauza den. Aldi bakoitzak mota jakin bateko jarduera matematikoak bildu beharko lituzke, teoria horren arabera: fase sensomotorean, haurrak zenbaketa-jarduerak egin ditzake, hatzamarrak eta bestelako multzo sinpleak erabiliz eta oso aberasgarriak zaizkio ipuin eta istorioak, non zenbakiak ere azal daitezkeen; fase preoperazionalean, haurra gauza da pentsamedu formala modu sinplean garatzeko eta beraz, objektuak propietate bakunen arabera bildu (bloke logikoak erabiliz, adibidez) eta problema sinpleak ebazteko gauza da, baina ez da gauza, aitzitik, eragiketa matematikoak alderantziz ulertzeko (batuketatik kenketa ikasteko, adibidez); fase operazional konkretuan, haurra gauza da erlazioak eta dimentsio bat baino gehiago lantzeko, abstraktotik konkreturako bidean, komeni da berarekin objektu manipulatiboak (geoplanoa, Cuisenaire zotzak, ...) lantzea eta emaitzak era formalean azaltzen hastea (taulak, grafoak eta baita ikurrak ere); azkenik, fase operazional formalean, haurra problema konkretu bat modu abstraktoan planteatu eta ikurrak erabiltzeko gauza da, ekuazioak eta funtzioak baliatuz besteak beste.

Piageten teoriak garrantzi handia izan zuen egun matemaktikaren didaktikan nagusi den konstruktibismoan
. Horren arabera, pertsonak munduaren interpretazioak egiten ditu bere ikaskuntza prozesuan eta interpretazio horietan oinarrituz ikasten du; beraz, matematikaren ikaskuntza ere adierazgarria izan behar da. Matematikan, gainera, ikasleak edukiak ulertzearen garrantzia nabarmendu da, matematikak aplikazio zabal eta malguak dituen jakintza-arloa baita.

## Matematikaren curriculuma 
Matematikaren didaktikaren azken helburua ikaslea matematikan gai izatea da. Matematika gaitasuna curriculumaren zortzi gaitasun edo konpententza nagusietako bat da Europar Batasunaren baitan. Espainian, esaterako, honela definitzen da:

Eremu instituzionaletik kanpo, berriz, puntu hauek zehaztu dira matematika gaitasuna zer den definitzeko: kontzeptuen ulermena, prozedurak burutzeko trebetasuna, pentsaera estrategikoa, komunikazio eta azalpen matematikorako trebetasuna eta norberarekiko konfiantza eta bestelako jarrera positiboak.

Horretarako, hainbat lerrobide proposatu dira. Adibidez, *National Council of Teachers of Mathematics* estatubatuar erakundeak hauek proposatzen ditu matematika curriculum eraketa egoki baterako:

* **koherentzia eta sakontasuna**, edukiak elkarren artean loturik izatea eta edukien ugaritasuna baino, eduki gutxi eta modu sakonean aurkeztea gomendatzen dira;
* **matematika garrantzitsuak**, erabilgarriak eta ondorengo prestakuntza baterako egokiak izan behar dira, edukien arteko lotura argiak aplikazio argi eta zabalak eskainiz;
* **edukien arteko artikulazio egokia**, non irakasleek aurreko ikasturteetan ikasleak ikasi dituen edukien berri zehatza duen eta eduki horiekiko lotura zuzena egiten den; izan ere, beste irakasgaien aldean, matematikaren curriculumaren berezitasuna bere hierarkizazioan datza; hori dela eta, matematikaren aurkezpen axiomatikoari uko eginez ere, matematika-trebeziak modu ordenatuan irakatsi behar dira, haur eskolatik unibertsitateko hezkuntza-mailetaraino.

### Matematika edukiak 
Haur baten hezkuntza matematikorako curriculum batean funtsezkotzat jotzen dira lau eduki-arlo hauek:

* **zenbakiak eta eragiketak**, zenbaketa, zenbaki arrazionalak (zatikiak, zenbaki hamartarrak eta ehunekoak), zenbakien batuketa, kenketa, biderketa eta zatiketa, kopuru, tamaina, distantzia eta beste magnitudeei aplikatuz eta kalkulu mentala landuz; horrela, egunerokoan gehien baliatuko dituen matematikak ikasteaz gainera, zenbakiaren kontzeptua argi eta garbi bereganatuko haurrak;
* algebra,
* geometria,
* probabilitatea eta estatistika.

## Matematikaren irakaskuntzarako metodoak 
* **Metodo axiomatikoa**: 1960 hamarkadan eta besteak beste Sobiet Batasunak Sputnik satelite artifiziala jaurtitzean eskuratu zuen abantaila teknologikoari aurre egin nahian eta elektronika eta informatikaren garapenari laguntzeko mendebaldeko herrialdeetan matematika moderno izeneko matematika curriculum berria garatu zen. Aritmetika eta geometria nabarmentzen zituen matematika tradizionalaren aukera moduan ezarri zen eta haurrak zenbaki-sistema ezberdinak eta multzo teoria ikasten hasten ziren. Curriculum horrek urte gutxiko iraupena izan zuen, besteak beste, gurasoen kexa biziak eragin zituelako, haurrek eguneroko bizimodurako beharrezkoak ziren eragiketa aritmetikoak egiten bukatzen zutelako. Metodoaren oztopo nagusia, beraz, ikasleen ingurunearekiko lotura eza zen. Metodo axiomatikoaren justifikazioa matematikaren izaera erlazionala matematikaren ikaskuntzara eramatea izan daiteke, baina matematikaren balio praktiko eta aplikatua ahaztu egiten du. Ikuspuntu erlazionala garatzea ez da berez desegokia, baina ikasleak ikasitako puntuak elkarrekin lotu eta aplika ditzan balio behar du eta ez lotura zurrun eta teorikoak soilik garatzeko.

* **Ariketen metodoa**: matematika kalkulu, algoritmo eta prozedura sistematikoen bilduma gisa ikusi izan da sarri; ondorioz batzuetan nagusitu den metodo didaktikoa ikasleari ariketa-zerrendak egiaraztea izan da, ikasleak errutina azkar eta eragikontarsunez barneratzearren. Egun ez da oso metodo egokitzat jotzen, ikasleen matematika-gaitasun mugatua bultzatzen duelako. Hain zuzen, matematikan ulermen instrumentala eta ulermen erlazionala bereizi dira: ulermen instrumentalaren bitartez, ikasleak zer egin behar duen soilik ikasten du; ulermen erlazionalaz, berriz, ikasleak zergatik egiten duen ere ikasten du. Ariketen metodoak ulermen instrumentala soilik lantzen du, ulermen erlazionalak ekartzen dituen aukerak (algoritmoa zergatik egiten den ikasten duenean, epe luzera ikasleak aiseago eta hobeto ikasten du, eta problema berrietarako erabil dezake) baztertuz.

* **Problemen ebazpena**: matematika algoritmo errepikakorrak burutzearekin ez, baizik eta sormenarekin loturik dagoen jarduera eta jakintza-arloa dela baieztatzen da ikaskuntza-metodo hau aldezten dutenek, egun bultzatu eta indarrean dagoena. Ikasleak, problema irudikatu eta ulertzeaz gainera, saiatu eta erratu (ikasleak problema ebazteko estrategia zenbait erabiltzea), arrazonamendu [enpiriko]]-induktiboa, pentsaera laterala, zatitu eta garaitu (problema termino sinpleagoetan nahiz problema-atal txikietan zatitzea) eta problema ebazteko beste zenbait estrategia baliatzea bilatzen da metodo honekin. Problemen didaktikarako eredu zenbait proposatu dira, hala nola George Pólya eta Alan Schoenfeldek proposatutakoak.

* **Metodo parte hartzaile eta komunikatiboa**: ikaskuntza adierazgarria bultzatzeko matematikarekin zerikusia duten irakurketak eta idazketak landu daitezke eskoletan, eztabaidak sortu eta ideiak azalarazteko; zenbakizko erantzun soilak eskatzen dituen ariketen metodoaren aurkakoa da.

## Matematika eta teknologia 
Teknologia elektronikoak aldaketa handia ekarri zuen matematikaren irakaskuntzara. Hasiera batean kalkulagailuei eta konputagailuei esker ondoren lehenago kalkuluak buruz egiteko erabiltzen ziren algoritmoak eta bestelako materialak (logaritmo-taulak, kalkulatzeko erregelak, ...) baztertu ahal izan ziren. Aurrerago, arbelan marrazten zailak diren hiru dimentsiotako irudiak eta osatzen zailak diren diagramak erakusteko balio izan zuen. Teknologiak balio instrumentalaz gainera, balio hezitzailea ere baduela aipatu da, ordea. Hala ere, teknologiak iraganeko eduki eta praktikak burutzeko baino, etorkizuneko edukiak eta praktikak diseinatzeko balio behar duela nabarmendu da , matematika hezkuntzaren helburuak eta estrategia pedagogikoak berrituz. Hain zuzen, bi motako software matematikoa bereizten da: alde batetik, ikasleari atazak proposatzen dizkiona eta, bestetik, problema baten planteamendua eta ebazpenerako balio duena. Ildo horretatik, frogatu da teknologiak goi mailako atazetan (problemen ebazpena, ...) eskola-errendimendua hobetu, baina behe-mailako atazetan (kalkulu-agoritmoak, esaterako) erredimendua jeitsiarazi egiten duela. Software matematikoa idazle batek testu prozesadore bat erabiltzen duen moduan baliatu behar du ikasleak, beraz: tresna hutsa da eta ideiak ikasleak izan behar ditu.

## Matematika hezitzaileen zerrenda 
* Lewis Carroll, jolas-matematika eta logika problemak.
* Zoltan Dienes, MBA blokeak edo Dienes blokeak.
* George Pólya, problemen ebazpena dibulgatzen nabarmendu zena, bereziki *How to Solve It* ("Nola ebatzi") liburuarekin.

## Matematikaren didaktikarako erakundeak 
* ICMI *International Commission on Mathematical Instruction*, 1908 urtetik.

## Matematikarako liburu didaktikoak 
* *Der Zahlenteufel* (euskaraz, "Zenbakien deabrua"), Hans Magnus Enzensberger (1997), gaztelania, frantses eta ingelesezko itzulpenak daude.
* *O Homem que Calculava* (euskaraz, "Kalkulatzen zuen gizona"), Júlio César de Mello e Souza, Malba Tahan ezizenez (1949), gaztelaniazko itzulpenak badaude https://web.archive.org/web/20111015152357/http://pregonandolaverdad.org/literatura/otros_libros/el-hombre-que-calculaba.pdf.
* *Bruce and Alice’s Adventures in Ruritania*, Zoltan Dienes, ingelesez hemen eskuragarri.

## Ikus, gainera 
* Jolas-matematika

## Erreferentziak 
## Kanpo estekak