Zenonen paradoxak

Eleako Zenon Elean jaiotako filosofo grekoa izan zen, eskola eleatikoko jarraitzailea. Eleako Parmenidesen ikaslea izan zen. Bere eskuko doktrinarik osatu ez bazuen ere, bere paradoxengatik da ezaguna. Paradoxa horietako bat Akiles eta dortokarena da.

## Paradoxaren Azalpena 
Elezahar grekoen arabera, Akiles antzinako heroi garaiezin bat izan zen. Bere amak, bera txikia izanik, Estigia aintziran sartu zuen Medusa gorgonetik babesteko, baina orpoa ahaztu zuen. Zenonen paradoxa honela dio: Akiles atleta bizkorrenak, 10 segundoan 100 metroko lasterka egiteko gai denak, ezin izango du bera baino hamar aldiz motelagoa den dortoka motel harrapatu.
thumb|Paradoxaren irudikapen grafikoa.
Demagun dortoka Akilesengandik 100 metrotara jartzen dela. Hurrengo taulan azaltzen da lasterketaren kronologia:

Akilesek dortoka sekula harrapatuko ez dirudien arren, ez da egia.  

## Kontextu historikoa 
Batez ere jarraituaren arazoari eta espazioaren, denboraren eta mugimenduaren arteko harremanei eskainia, Zenonek 40 paradoxa —Prokloren arabera— planteatuko zituen. Oro har onartzen da, Platon, Parmenidesen elkarrizketan oinarrituta(128. urtea), Zenonek aporia horiek sortzeko lanari ekin ziola, beste filosofo batzuek Parmenidesen ikuspegiaren kontrako paradoxak sortu zituztelako. Hori dela eta, Platonek idatzi du Zenonen paradoxen xedea, "pluraltasunaren hipotesiak, arrazoibide egoki bat egiten bada, emaitza are zentzugabeagoak dituela  dioen hipotesiak baino" erakustea dela. Platonek Sokratesen baieztapen bat ere jasotzen du: Zenon eta Parmenides funtsean ikuspuntu bera argudiatzen ari ziren.

Zenonengan bizirik dirauden bederatzi paradoxetako batzuk (Aristotelesen Fisikan eta Simplicio de Ciliciak horri buruz egindako iruzkinean kontserbatuak) funtsean baliokideak dira. Aristotelesek haietako batzuk ezeztatzea eskaini zuen.

Hona hemen aurre egiteko paradoxa ezagun eta zailenetako hiru:

# Akiles eta dortoka 
# Dikotomiaren argumentua  
# Hegaldian dagoen gezia

Zenonen argudioak, agian, "reductio ad absurdum" izeneko proba-metodo baten lehen adibideak dira, kontraesanezko froga gisa ere ezagunak direnak. Sokratesek erabiltzen duen metodo dialektikoaren iturrigisa agertzen dira.

Matematikari eta historialari batzuek, hala nola Carl Benjamin Boyer-ek, diote Zenonen paradoxak matematika-problemak besterik ez direla, eta horietarako, kalkulu infinitesimal modernoak irtenbide matematikoa eskaintzen duela. Hala ere, beste filosofo batzuek diote Zenonen paradoxak eta haren aldaketak (ikusi Thomson-en lanpara) metafisika-arazo garrantzitsuak direla oraindik ere.

Paradoxen jatorria ez da oso argia. Diogenes Laerciok, Zenoni eta haren ikasketei buruzko laugarren informazio-iturria, Favorino aipatuz dio Parménides, Zenonen maisua, izan zela lehena Akilesen paradoxa eta dortoka aurkezten. Baina geroagoko pasarte batean, Laerciok paradoxaren jatorria Zenoni egozten dio, Favorinus ados ez dagoela azalduz.

## Azalpen Matematikoa 
Hurrengo moduan kalkula daiteke zein puntutan harrapatuko duen Akilesek dortoka, izan ere distantzien batura finitua da. Horretarako, azter dezagun hurrengo taula:

Beraz, hurrengo seriearekin islatu eta kalkula daiteke zein puntutan gaindituko duen Akilesek dortoka:

100+ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{10^{n-1}
}

Seriearen batura kalkulatzeko hurrengo formula ondorioztatu daiteke segiden baturen partzialen bidez:

S_n=a_0+a_0r+a_0r^2+...+a_0r^{n-1} = \frac{a_0-a_0 r^n}{1-r} 

Hortaz, serie geometrikoen definizioa aplikatuz:
thumb|Paradoxaren ezeztapena grafiken bidez.
100+ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{10^{n-1}
}=100+\lim_{n \to \infty}{S_n}=100+\lim_{n \to \infty}{\frac{10-10\frac{1}{10^n}}{1-\frac{1}{10}}}
=111,\bar{1} 

Hortaz, 111,2 metroan, esate baterako, Akilesek dortoka aurreratuko du. 

James Gregory matematikari eskoziarrak paradoxaren frogapena egin zuen kalkulu infinitesimalean oinarritzen, hots, emaitza finituko infinitu gaien baturan. Paradoxa azaltzeko beste modu bat analisi diskretuan oinarritzen da. Izan ere, Akilesek ez du distantzia infinitesimorik ibiltzen, diskretua baizik. Demagun Akilesek metro bat ibiltzen duela urrats bakoitzeko, dortokaren urratsak txikiagoak direnez, momentu batean Akilesek dortoka gaindituko du puntu hori zein den ez jakin arren. Hau da, nahikoa da aldagaietako bat diskretua izatea eta suposatzea ezen, denbora jakin batean, distantzia infinitesimalak gaindi ditzakeela mugimendua existitzen dela frogatzeko.

## Dikotomiaren Paradoxa 
Aurrekoaren antzeko paradoxa dikotomiaren paradoxa da. Paradoxa hau Aristotelesen esan batean oinarritzen da:
Demagun Homerok bide bat zeharkatu nahi duela. Bide osoa ibili baino lehen, lehenengo bide erdia osatu behar du; eta bide erdia egin baino lehen, bidearen laurdena egin behar du... Hurrengoa litzateke paradoxaren adierazpena segida gisa:

\{...\frac{1}{16},\frac{1}{8},\frac{1}{4},\frac{1}{2},1\} 

Modu honetan, eginkizun kopuru infinitu bat osatu behar da, eta hori ezinezkoa da Zenonen ustez. Bestalde, bigarren arazo bat topa dezakegu; izan ere, tarte bat etengabe zatitu daitekeenez ezinezkoa da hasierako tarte bat topatzea. Hortaz, Homerok ezin du ezta ibilbidea hasi ere. Ondorio gisa, mugimendua ilusio bat izan behar du edozein distantzia ezin baita ezta hasi ere egin. Paradoxa honi “dikotomia” deritzo tarte bakoitza bitan banatzen delako. 

Paradoxa hau kalkulu infinitesimalarekin azal daiteke modu matematikoan.

## Proposatutako Soluzioak 
### Diogenes Zinikoa 
Antzinako beste filosofo batzuen esanetan Diogenesek ez zituen Zenonen argudioak ezeztatu, zutik jarri eta ibili baino ez zuen egin. 

### Aristoteles 
Aristotelesek (K.a. 384 – K.a. 322) ikusi zuenez, distantzia murriztu ahala, distantzia horiek betetzeko behar den denbora ere murriztu egiten da, eta beraz, behar den denbora ere gero eta txikiagoa bihurtzen da.

"Gauza infinituak zatigarritasunarekiko" ere bereizi zituen (espazioko unitate bat, zeina unitate gero eta txikiagotan zatitu baitaitekeespazioan berdin mantentzen den bitartean) eta luzapenean infinituak diren gauzena (edo distantziak) ("gorputz-adarrekiko"). Geziaren paradoxari Aristotelesek jartzen zion eragozpena hurrenagoa zen: "Denbora ez dagp nodo zatiezinez osatua, beste edozein magnitude ere ez bezala, zatiezinak dira".

### Tomas Akinokoa 
Tomas Akinokoak, Aristotelesen eragozpenari buruz hitz eginez, honela idatzi zuen: "Frogatu dugunez, aldiuneak ez dira denboraren zati, denbora ez baitago puntu-magnitude bat baino aldiune gehiagoz osatua. Beraz, ez da gauza bat une jakin batean mugimenduan dagoen ala ez, baizik eta une horretan mugitzen ez delako".

### Arkimedes 
Arkimedesek metodo bat garatu zuen infinitu gaien baturaren emaitza finitua lortzeko, Parabolaren Kuadraturan azaltzen den moduan. Metodo honekin serie infinituekin lortzen den emaitza bera lortzen zen.

### Bertrand Russell 
Bertrand Russellek "de higiduraren teoria" eskaini zuen. Ados zegoen ezin dela egon une batez iraupenik gabeko mugimendurik, eta mugimenduan behar den guztia dela gezia aldi berean puntu batean egotea zioen, beste puntu batean beste une batean eta bi puntu horien arteko puntu egokietan tarteko denboretarako. Ikuspuntu horretatik, mugimendua posizioak denborarekiko duen funtzioa da.

### Nick Huggett 
Nick Huggettek argudiatu zuen, Zenon gainerakoen espazio bera betetzen zuten obejtuek atsedenean egon behar zutela esaten zuenenean ondorioa onartzen ari zela.

### Peter Lynds 
Peter Lyndsek argudiatu zuenez, Zenonen mugimenduko paradoxa guztiak hurrengo ondorioaren bidez ebazten dira: Denboran dauden uneak eta aldiuneko magnitudeak ez dira fisikoki existitzen. Mugimendu erlatiboan dagoen objektu batek ezin duela berehalako posizio erlatibo bat izan edo kokapen jakin bat (izango balu, ezingo litzateke mugimenduan egon) argudiatzen zuen, eta beraz, ezin du bere mugimendua zatika zatituta eduki, paradoxek bezala.

**Hermann Weyl**

Beste irtenbide bat, Zenonek bere paradoxetan (bereziki Dikotomia) erabili zuen kasuetako bat zalantzan jartzea da: espazioan (edo denboran) bi puntu desberdinen artean beti dago beste puntu bat. Kasu hori gabe, bi punturen arteko distantzia kopuru mugatu bakarra dago, eta beraz, ez dago mugimenduen sekuentzia infinitu bat, eta horrela paradoxa ebatzi daiteke. Plancken luzera eta Plancken denbora, fisika modernoan ideiek muga bat jartzen dute denbora eta espazioa neurtzeko muga jartzen dute, denboran eta espazioan ez bada. Hermann Weylen arabera, espazioa unitate finitu eta diskretuz osatuta dago, eta arazo gehigarri bat agertzen da, "baldosen argumentuak" edo "distantzia-funtzioaren arazoak" emana.

Horren arabera, triangelu angeluzuzen baten hipotenusaren luzera, diskretizatutako espazioan, bi aldeetako baten luzeraren berdina da beti, geometriarekin kontraesanean. Jean Paul Van Bendegemek arrazoitu zuen baldosen argumentua ebatz daitekeela, eta diskretizazioak paradoxa ken dezakeela.

## Kanpo estekak