Rainer K. Sachs

= Rainer K. Sachs =

**Rainer "Ray" Kurt Sachs** (Frankfurt am Main,1932ko ekainaren 13a-2024ko apirilaren 16a) fisikari eta matematikari alemaniar-estatu batuarra izan zen. Astronomian, kosmologia erlatibista orokorrean, biologia eta erradiazioaren simulazio konputazionaletan ihardun zen, besteak beste. Berkeleyko Kaliforniako Unibertsitatearen (UCB) fisikako eta matematikako irakasle emeritua eta Tuftseko Medikuntza Eskolako irakasle elkartua izan zen.
## Bizitza 
Sachs 1932ko ekainaren 13an jaio zen Alemanian, Frankfurt am Mainen hain zuzen. Bere gurasoak George eta Liselotte Lehman Sachs izan ziren, eta bi neba-arreba izan zituen; Peter Lorenz eta Marie Margarate Klara. Gurasoak juduak izanik, familia osoa Alemaniatik alde egin behar izan zuen Estatu Batuetara 1937an erregimen naziko errepresiotik alde egiteko. lanarekin doktoregoa bereganatu zuen 1958an Syracuseko Unibertsitatean.

1966an Ronald Kantowskirekin batera Einsteinen eremu ekuazioaren Kantowski-Sachs hauts-soluzioak lortu zituzten. Soluzio hauek oso erabiliak dira eredu kosmologiko anisotropikoetan.
thumb|271x271px|Hondoko mikrouhin erradiazioak. WMAP misioko irudia.
1967an Sachs-Wolfe efektua argitaratu zuen Arthur M. Wolferekin batera, hondoko mikrouhin erradiazioaren propietate bat azalduz. Gutxi geroago, 1968an hain zuzen, Ehler-Geren-Sachs teorema argitaratu zuen J. Ehlers eta P. Gerenekin batera. Teorema honen arabera, unibertsoren batean gertaera bakoitzeko erreferentzia-sistema bat badago non hondoko mikrouhin erradiazioa isotropikoa den, orduan, baldintza jakin batzuen menpean, unibertso hori FLRW motako espazio-denbora izango da, isotropikoa eta homogeneoa. eta *General Relativity for Mathematicians* (1977) liburuak idatzi zituen.

80ko hamarkadatik aurrera bere ikerkuntza-interesa biologia matematiko eta konputazionalean oinarritu zen. Bereziki, erradiazioak kromosometan eragindako aberrazioak eta hauen konponketa-zinetika ikertzen ihardun zen. Beste adibide bat erradioterapia lineal koadratikoaren eredu estandarrean birbanaketa eta biroxigenazioa kontuan hartzeko egindako hedapena da. Ildo berean, frogatu zuen literaturako erradiazio-eredu ezberdinen efektuak, dosi baxuetan, formalismo lineal koadratikoarekin lortzen diren efektu berdin-berdinak direla, dosiarekiko menpekotasun estandarra barne.

Ikerkuntza ibilbide berdinetik jarraituz, Sachsek erradiazioaren kartzinogenesiaren modelizazioan lan egin zuen emaitza iraultzaileak lortuz. Esaterako, leuzemia mieloide kronikoaren inguruan egindako ikerkuntzak minbizia zelula kaltetu bakar batetik sortu beharrean, zelula multzo batetik sortzen dela iradokitzen du, garaian zeukaten jakintzaren aurkakoa zena.

### Heriotza 
Rainer K. Sachs 2024ko apirilaren 16an zendu zen 91 urteekin Berkeleyn, Californian.

Konkretuki, teorema hau Einsteinen ekuazioen hutseko soluzioetako bat da da, eta Weyl tentsorearen kongruentzia aljebraiko jakin bat arakatzen du. Izan espazio-denbora hutsa non Einsteinen ekuazioak betetzen diren:

R_{ab}=0 

Non R_{ab}=0  Ricciren tentsorea den. Orduan, hurrengo bi baldintzak baliokideak dira:

* Weylen tentsorea C_{abcd} aljebraikoki berezia da, konkretuki Petroven II, D, III, N edo O motakoa.
* Existitzen da hedapenik ez duen eremu bektorial geodesiko nulua (bektore nulu nagusi errepikatua izenarekin ezagutzen da ere).

Esaten dugu bektore nagusi bat nulua dela l^{a}l_{a}=0 denean. Horrelako bektoreei dagokien autobalioa Weylen deskonposaketan 0 da: C_{abcd}l^{b}l^{d}=0. Gainera, bektore nagusi nulu honen anizkoiztasuna bat baino handiagoa bada, errepikatuta dela esaten da. Anizkoiztasuna bat baino handiagoa denean Weylen bektorea aljebraikoki berezia dela esaten da.

Bestalde, hedapenik gabeko eremu bektorial geodesiko nuluak bi propietate nagusi ditu:

# Geodesikoa da: l^{a} bektorearen kurba integralak geodesikoak dira. Eremu honetako argi izpiak ibilbide geodesikoak jarraitzen dituzte.
# Ez da hedatzen: deformazio optikoaren tentsorea erabiliz baldintza hau honela adierazi daiteke: \sigma_{ab}=0.

Beraz horrela definitutako espazio-denboran dauden argi-izpiak geodesiko nuluetan zehar ibiliko dira inolako hedapen ezta uzkurdurarik gabe, ezta distortsiorik zeharkako sekzioan. Modu horretan, argi izpien ibilbideen eta espazio-denboraren geometriaren ezaugarrien arteko erlazioa ezartzea lortzen da.

Teorema honek berebiziko garrantzia du kosmologiako hainbat arloetan, esaterako grabitazio uhinen hedapenaren ikerkuntzan edo zulo beltzen horizonteen definizioan. 

### Kantowski-Sachs hauts-soluzioak 
Soluzio hauek unibertso homogeneo baina anisotropiko bat deskribatzen duten eredu kosmologiko zehatzak dira. Honakoa da oinarritzat hartzen duten Kantowski-Sachs metrika:

ds^2=dt^{2}-X^{2}(t)dr^{2}-Y^{2}(t)(d\theta^{2}+sin^{2}\theta d\phi^{2})

non X(t) eta Y(t) eskala faktoreak diren, eta t-ren funtzioa baino ez diren.

Presioa nulua dela kontuan hartuz (P=0), Einsteinen ekuaziok hurrengo moduan geratzen dira:     

2(\dot{X}\dot{Y})/(XY)+(1+\dot{Y}^2)/Y^{2}=\rho(t)

2\ddot{Y}/Y+(1+\dot{Y}^{2})/Y^{2}=\rho(t)

\ddot{X}/X+\ddot{Y}/Y+(\dot{X}\dot{Y})/(XY)=0

Non \rho(t) materia-dentsitatea den. Honako hauek dira aurreko ekuazioen soluzio esplizitua:

t=\int\frac{dY}{(c-b/Y)^{1/2}}+t_{o}

X=a(c-b/Y)^{1/2}

\rho=\frac{1+c}{Y^{2}}  

* Y(t)-ren soluzio parametrikoa: soluzio esplizituen lehenengo integralak denbora kosmikoa t eta espazioaren hedapen angeluarra dY lotzen ditu. Soluzio zehatza lortzeko, b eta c parametroen balioak aukeratu behar dira, baina hala ere dinamika angeluarra guztiz deskribatzen du.
* X(t)-ren soluzioa: X(t) eta Y(t)-ren arteko erlazioa aztertuz argi dago hedapen erradiala eta angeluarra erritmo ezberdinetan ematen dira, eredu honen unibertsoaren anisotropia agerian utziz.
* \rho(t)-ren soluzioa: dentsitatearen soluzioari begiratuz agerian dago materia-dentsitatea hedapen angeluarraren aurkako proportzionaltasuna duela, eta hedapen erradialaren menpekotasunik ez duela, berriz ere unibertso anisotropikoaren ideia indartzen.

Aurreko erlazioetan agerikoa da unibertsoaren anisotropia Kantowski-Sachs metrikaren kasuan,  a,b,c  parametroen balioak edozeintzuk ere izanik.
alt=Pythonekin egina|thumb|342x342px|Kantowski-Sachs metrikaren hedapen erradialaren eta angeluarraren eta materia-dentsitatearen eboluzio kurbak denbora kosmikoan. Kasu partikularra non b=0, a=c=1 hautatu diren.
Kasu partikular errazena hurrengoa da: b=0, a=c=1. Parametroen balio horientzat, soluzioak honakoak dira:

Y(t)=\Omega(t-t_{0})

X=a\Omega

\rho(t)=(1+c)[\Omega(t-t_{0})]^{-2}

non \Omega^{2}=c den. Ikusi daitekeenez:

* Y(t) hedapen angeluarra lineala da denbora kosmikoarekiko.
* X(t) hedapen erradiala ez du denbora kosmikoarekiko menpekotasunik. Konstantea da.
* \rho(t) materia dentsitatea oso azkar txikitzen da Y(t) handitu ahala eta singularitatea du t=t_{o} puntuan (t_{0}=0).

### Sachs-Wolfe efektua 
thumb|402x402px|Gorriranzko lerrakuntza kosmikoa. Argiaren uhin luzera zabaltzen da unibertsoa hedatzen den heinean, ondorioz, argiaren espektroak gorrirantz jotzen du.
Hondoko mikrouhin erradiazioko fotoiek jasaten duten gorriranzko lerrakuntza kosmologikoa deskribatzen du Sachs-Wolfe efektuak. Gorriranzko lerrakuntza kosmologikoa espazioaren hedapenaren ondorioa da. Prozesuan argiaren uhin-luzera zabaltzen da, eta hortaz argiaren espektroa gorrirantz jotzen du.

\phi potentzial grabitatorioarentzat hurrengoa da gorriranzko lerrakuntza kosmologikoak eragindako tenperatura aldaketa frakzionala hondoko mikrouhin erradiazioan:

\frac{\delta T}{T}=\frac{\phi}{c^{2}}

Non c hutseko argiaren abiadura den.

Gorriranzko lerrakuntza kosmologikoaz gain, Sachs-Wolfe efektuak denboraren zabalkuntzarekin erlazionatutako jatorria izan dezake ere. Denboraren zabalkuntzaren fenomenoa metrikaren perturbaziotik eratortzen da, eta haren ondorioz behatzaileak fotoia hipergainazal ezberdin batetik baletorke bezala ikusten du, a(t) eskala faktore kosmiko ezberdin baten bidez deskribatutakoa. 

Hurrengoa da denboraren zabalkuntzaren ekarpena Sachs-Wolfe efektuan: 

\frac{\delta T}{T}=-\frac{\delta a}{a} 

Aipatutako bi Sachs-Wolfe efektuaren jatorrien ekarpena eredu kosmologiko partikularraren araberakoa izango da. Esaterako, Friedmannen ereduak deskribatutako materiaz beteriko unibertso lauan denboraren zabalkuntzaren efektua -\frac{2}{3} aldiz gorriranzko lerrakuntza kosmologikoarena da, beraz Sachs-Wolfe efektuaren eragin netoa kasu partikular horretan \frac{\delta T}{T}=\frac{\phi}{3c^{2}} izango da. 

Aurrekoaz gain, potentzial grabitatorioaren denboran aldatzen bada, orduan **Sachs-Wolfe efektu integratua** aipatu behar da. Energia ilunaz betetako unibertso batean potentzial grabitatorioek gainbeheratzeko joera dute. Horrela, \phi(t) potentzial grabitatorio aldakor batean erortzen diren fotoiek energia kantitate jakina irabazten dute, baina potentziala gainbehera doanez, potentzialetik irtetean ez dute irabazi duten energia kantitate berdina galtzen. Hortaz, energia osoaren aldaketa ez nulua gertatzen da. Gainera efektu hau metatzen doa fotoiak potentzial grabitatorio aldakor batean zehar igarotzen den bakoitzean.  

### Ehler-Geren-Sachs teorema 
Demagun haustez betetako unibertsoan hautsaren fluxua geodesikoa dela: 

u^{b}\nabla _{b} u^{a}=0

Unibertso horretako behatzaile fundamentalak denbora motako geodesikoen unibertso-lerroen kongruentzia berean daude, eta kongruentzia hori zizaila eta errotazio gabekoa da:

\sigma _{ab}=0 eta w_{ab}=0

Orduan, Ehler-Geren-Sachs teoremaren arabera hautsarekin batera u^{a} geodesikoan higitzen diren behatzaile fundamentalek hondoko mikrouhin erradiazioa isotropikoa dela neurtzen badute, orduan espazio-denbora lokalki isotropikoa eta homogeneoa izango da, edo berdina dena, FLRW metrikako espazio-denbora izango da.

Ehler-Geren-Sachs teoremak ondorio sakonak ditu kosmologian:

# Printzipio kosmologikoaren (eskala handietan unibertsoa isotropiko eta homogeneoa izatearen kontzeptua) oinarri teoriko sendoa da.
# Hondoko uhin erradiazioaren isotropiaren neurketen bidez espazio-denboraren geometriaren hainbat ezaugarri ondorioztatu daiteke.
# FLRW eredua erabiltzeko justifikazio teorikoa ematen du, Big Bangaren eredu estandarraren oinarria dena.

## Aitortzak eta sariak 
* Guggenheim beka,1972-1973.

## Argitalpen nabarmenak 
* Goldberg, J. N. and **Sachs, R. K.** (2009). *Republication of: a theorem on Petrov types [refcno 0156679].* Gen. Relativity Gravitation **41** No.2, 433-444.https://mathscinet.ams.org/mathscinet/relay-station?mr=MR2476101
* **Sachs, R. K.** and Wolfe, A. M. (2007). *Republication of: Perturbations of a cosmological model and angular variations of the microwave background [Astrophys. J. 147 (1967), 73--90].* Gen. Relativity Gravitation **39** No.11, 1929-1961. Edited and with commentary by George Ellis and with notes on Sachs-Wolfe integration by Jürgen Ehlers, With brief autobiographies by Sachs and Wolfe. https://mathscinet.ams.org/mathscinet/relay-station?mr=MR2350483
* Levy, Dan and Reeder, Christopher and Loucas, Bradford and Hlatky, Lynn and Chen, Allen and Cornforth, Michael and **Sachs, Rainer** (2007). *Interpreting chromosome aberration spectra.* J. Comput. Biol. **14** No.2, 144-155 (electronic).https://mathscinet.ams.org/mathscinet/relay-station?mr=MR2299867
* Ponomarev, A. L. and **Sachs, R. K**. (2001). *Radiation breakage of DNA: a model based on random-walk chromatin structure.* J. Math. Biol. **43** No.4, 356-376. https://mathscinet.ams.org/mathscinet/relay-station?mr=MR1868626
* **Sachs, R. K**. and Hlatky, L. R. and Hahnfeldt, P. (2001). *Simple ODE models of tumor growth and anti-angiogenic or radiation treatment.* Math. Comput. Modelling **33** No.12-13, 1297-1305.https://mathscinet.ams.org/mathscinet/relay-station?mr=MR1837410

## Erreferentziak 
## Ikusi gainera 
* Hondoko mikrouhin erradiazioa
* Geodesikoak
* Einsteinen ekuazioak
* Erlatibitate orokorra

## Kanpo estekak