Zenbakien teoria

[200px|eskuinera|thumb|Zenbakien teoria modernoa [Diofanto Alexandriakoa|Diofantoren antzinako aritmetika grekotik eratorria da. Diofantoren aritmetikaren azala, Bachet de Méziriacek latinera itzulia, Pierre de Fermaten iruzkinak dituen edizioa, 1670ean argitaratua.]]
[thumb|250x250px|Zenbaki lehenen banaketa zenbakien teorian azterketa puntu garrantzitsu bat da. [Ulamen espirala|Ulamen espiral honek hori ilustratzeko balio du, bereziki polinomio koadratiko batzuen balio bat izatearen eta zenbaki lehena izatearen arteko baldintzapeko independentzia iradokiz.]]
**Zenbaki-teoria**, **zenbakien teoria** edo **goi mailako aritmetika** matematika puruaren edo matematika hutsaren adar bat da, zenbaki osoak eta zenbaki osoetako funtzioetan sakontzen duena gehienbat, baina, oro har, zenbaki-eraztunen propietateak aztertzen ditu \mathbb{Z} duten eraztun osoak \mathbb{Z} \hookrightarrow A morfismo finitu eta injektagarri baten bidez. *Matematikoak ez direnek* erraz uler ditzaketen problema ugari ditu. Modu orokorragoan, zenbaki osoak aztertzean sortzen diren problemak aztertzen ditu eremu horrek. Jürgen Neukirchek dio:
.}}

Carl Friedrich Gauss matematikari alemaniarrak honela zioen: «Matematika zientzien erregea da, eta zenbaki-teoria matematikaren erregea da». Zenbaki-teorian lan egiten duten zientzialariek, izan ere, zenbaki lehenak, zenbaki osoetatik eratorritako beste elementu matematiko batzuk (zenbaki arrazionalak, esaterako) eta zenbaki osoen orokorpenak aztertzen dituzte.

Zenbaki osoak berez har daitezke edo ekuazio-soluziotzat (geometria diofantoar). Zenbakien teoriaren auziak, askotan, hobeto ulertzen dira analisi-objektuak aztertuz (adibidez, Riemannen zeta funtzioa), zenbaki osoen propietateak, zenbaki lehenak edo beste objektu batzuk kodetzen baitituzte (zenbakien teoria analitikoa). Halaber, zenbaki errealak zenbaki arrazionalekin lotuta ere azter daitezke, adibidez, azken horien hurbilketa gisa, (hurbilketa diofantoar).

*Aritmetika* terminoa zenbakien teoriari erreferentzia egiteko ere erabiltzen zen. Termino hori nahiko zaharra da, baina, gaur egun, ez hain erabilia. Hortik, zenbakien teoriari, goi aritmetika deitu ohi zaio, nahiz terminoa gero eta gutxiago erabiltzen den. Aritmetika terminoaren adiera hori, ez da nahastu behar oinarrizko aritmetikarekin edo Peanoren aritmetika sistema formal gisa aztertzen duen logikaren adarrarekin. Zenbakien teoria aztertzen duten matematikariei, zenbakien teoriko deritze.

## Historia 
### Jatorriak 
#### Aritmetikaren jatorria 
thumb|Plimpton 322 buztinezko taulatxoa
Mesopotamiako Larsa hirian K.a. 1800. urtean jatorria duen Plinton 322 buztinezko taulatxoan ageri da historian lehen aldiz aritmetikaren erabilera, non Pitagorasen hirukoen zerrenda bat azaltzen den, hau da, a^2+b^2=c^2 betetzen duten (a,b,c) zenbaki osoez osatutako tupla edo bektoreen zerrenda bat. Hirukoitzak gehiegi eta handiegiak dira indar gordinaren bidez lortzeko. Lehenengo zutabearen gaineko izenburuak honela dio: «Diagonalaren *takiltum*a, zeinari kenketa egin zaion zabalera...». 

Taularen antolaerak iradokitzen du osatu zela hizkuntza modernoan
:\left(\frac{1}{2} \left(x - \frac{1}{x}\right)\right)^2 + 1 = \left(\frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{x} \right)\right)^2, 
identitatearen baliokide denaren bidez, antzinako Babiloniako ohizko ariketetan inplizitua dagoena.​ Beste metodoren bat erabili bazen, hirukoitzak lehendabizi eraikitzen ziren, eta, gero, c/a bidez berrantolatzen ziren, seguruenik *taula* gisa erabiltzeko, adibidez, aplikazioei begira.

Zerrenda hori, seguruenik, garai hartako zenbait arazori irtenbidea aurkitzeko eta arazo horiek konpontzeko sortua izango zen. Babiloniar astronomian, erabilera izan zezakeela uste da eta, beste iturri batzuen arabera, baita eskolako problemen zenbakizko adibideetan erabiltzeko ere, eztabaidagarria dena. Robsonen artikulua modu polemikoan dago idatzita, «beharbada [...] [Plimpton 322] bere idulkitik botatzeko»;​ aldi berean, ondorio hau atera zuen:
.
 
Babiloniako zenbaki-teoria –Babiloniako matematikatik bizirik irauten duena horrela dei badaiteke– zati bakar eta deigarri horretan datza; aldiz, Babiloniako aljebra (aljebraren bigarren mailako zentzuan) oso garatua zegoen. Iturri neoplatoniko berantiarrek diote Pitagorasek babiloniarren matematika ikasi zuela. Horiek baino lehenagoko iturrien arabera, Talesek eta Pitagorasek Egipton zehar bidaiatu eta ikasi zuten.

Euklides IX.a 21-34 oso litekeena da pitagoriko izatea;​ oso material sinplea da («bakoitiak bider bikoitiak bikoitia da»; «zenbaki bakoiti batek zenbaki bikoiti bat neurtzen [=zatitzen] badu, orduan, zenbaki bikoiti horren erdia ere neurtzen [=zatitzen] du») baina hori da \sqrt{2} irrazionala dela frogatzeko behar den guztia. Mistiko pitagorikoek garrantzi handia ematen zieten bakoiti eta bikoitiei. \sqrt{2} irrazionala dela aurkitzea lehen pitagorikoei egozten zaie (Teodoro aurrekoa).​ Zenbakiak irrazionalak izan zitezkeela adieraztean (termino modernoetan), badirudi aurkikuntzak eragin zuela matematikaren historiako lehen fundazio-krisia; batzuetan, Hipasori egozten zaio haren frogapena edo zabalkundea, pitagorikoen sektatik kanporatua edo bereizia izan zena.​ Horrek behartu zuen alde batetik zenbakiak (osoak eta arrazionalak —aritmetikaren subjektuak—) eta bestetik luzerak eta proportzioak (zenbaki errealekin identifikatuko genituzkeenak, arrazionalak izan ala ez) bereiztera.

Tradizio pitagorikoak poligonal edo zenbaki figuratu deiturikoz ere hitz egiten zuen.​ Zenbaki karratuak, kubikoak, eta abar, orain zenbaki triangeluarrak, pentagonalak eta abar baino naturalago ikusten diren arren, zenbaki triangeluarren eta pentagonalen batuketen azterketa emankorra izango zen aro modernoaren hasieran (XVII. mendetik XIX. mendearen hasierara).

Antzinako egiptoar edo vediar iturrietan, ez dugu ezagutzen inolako material aritmetiko garbirik, nahiz eta bietan aljebra pixka bat badagoen. Hondarraren txinatar teorema Sun Zi Suanjing-en (K.o. III., IV. edo V. mendeak) ariketa gisa agertzen da (Sun Ziren soluzioan, bada oharkabean pasatzen den urrats garrantzitsu bat: geroago, ​Kutzakako Āryabhaṭak ebatzi zuen problema da).

Zenbakiei buruzko nolabaiteko mistizismo ere badago matematika txinatarretan,​ baina, pitagorikoetan ez bezala, badirudi ez dutela inora eraman. Pitagorikoen zenbaki perfektuekin gertatu den moduan, karratu magikoak ere sineskeriatik gozamenera pasa dira.

### Grezia klasikoa eta Aro helenistiko goiztiarra
Pasarte batzuez gain, Grezia klasikoko matematikak ezagunak zaizkigu, bai matematikari ez garaikideen txostenengatik, bai lehen garai helenistikoko matematika-lanengatik.​ Zenbakien teoriaren kasuan, horrek esan nahi du, oro har, Platon eta Euklides, hurrenez hurren.

Asiako matematikek greziar eta heleniar ikaskuntzan eragina izan bazuten ere, badirudi Greziako matematikak ere tradizio autoktonoa direla.

Eusebio Zesareakoak, *PE X*, 4. kapituluan, Pitagoras aipatzen du:

Aristotelesek zioen Platonen filosofiak hurbiletik jarraitzen ziola pitagorikoen irakaspenei,​ eta Zizeronek ere gauza bera dio: *Platonem ferunt didicisse Pythagorea omnia* (Diotenez, Platonek pitagoriko guztia ikasi zuen).

Platonek interes handia zuen matematiketan, eta argi bereizten zituen aritmetika eta kalkulua (Aritmetikaz aritzerakoan, zenbakiari buruzko teorizazioaz ari zen neurri batean, aritmetika edo zenbakien teoria esan nahi izan dutenaren ordez). Platonen elkarrizketa baten bidez, *Theaetetus*, dakigu Teodorok \sqrt{3}, \sqrt{5}, \dots, \sqrt{17} irrazionalak direla frogatu zuela. Theaetetus, baita Platon ere, Teodororen ikaslea izan zen; mota guztietako neurtezinak bereizten lan egin zuen; beraz, esan daiteke aitzindaria izan zela zenbaki-sistemen azterketan. Pappusek Euklidesen *Elementuak* X. liburua, hein handi batean, Theaetusen lanean oinarritutakoa deskribatzen du.

Euklidesek *Elementuak* liburuen zati bat zenbaki lehenei eta zatigarritasunari eskaini zien, zenbakien teoriari argi eta garbi dagozkion gaiak, teoria horretan oinarrizkoak direnak (*Euklidesen Elementuak* liburuen VII.etik IX.era). Bereziki, bi zenbakiren zatitzaile komun maximoa kalkulatzeko, algoritmo bat eman zuen (Euklidesen algoritmoa; *Elementuak*, Prop. VII.2), eta zenbaki lehenen infinitutasunaren lehen froga ezaguna (*Elementuak*, Prop. IX.20).

1773an, Lessingek, liburuzain lanean ari zela, eskuizkribu batean aurkitutako epigrama bat argitaratu zuen; Arkimedesek Eratostenesi bidalitako gutuna omen zen. Epigramak Arkimedesen aziendaren arazoa deritzona proposatzen zuen; emaitzak, eskuizkribuan ez dagoena, ekuazio koadratiko zehaztugabe bat ebaztea eskatzen du, geroago, oker, Pell-en ekuazio deitutakoari mugatua. Dakigunez, ekuazio horiek Indiako eskolak erabili zituen lehen aldiz  arrakastaz. Arkimedesek berak soluziorako metodorik ba ote zuen ez da jakiterik.

### Diofanto Alexandriakoa
Oso gutxi ezagutzen da Diofanto Alexandriakoari buruz; seguruenik, gure aroko III. mendean bizi izan zen, hau da, Euklides baino bostehun urte beranduago. Diofantoren *Aritmetika*ko hamahiru liburuetatik sei jatorrizko grekoan gordetzen dira, eta beste lau arabierazko itzulpen batean. *Aritmetika* problema landuen bilduma bat da, non zeregina beti datzan ekuazio polinomikoen sistema bati ebazpen arrazionalak aurkitzean, normalean f(x,y)=z^2 o f(x,y,z)=w^2 formakoa. Hala, gaur egun, *ekuazio diofantoarrez* ari gara ekuazio polinomikoez ari garenean, zeinei soluzio arrazionalak edo osoak aurkitu behar zaizkien.

Esan daiteke Diofantok puntu arrazionalak aztertzen zituela, hau da, koordenatu arrazionalak dituzten puntuak, kurba zein aldaera aljebraikoetan; hala ere, greziarrek garai klasikoan ez bezala, zeinak geometrikoki gaur egun oinarrizko aljebra deituko genukeena egiten zuten, Diofantok gaur egun, termino aljebraiko hutsetan, oinarrizko geometria aljebraikoa deituko genukeena egiten zuen. Hizkuntza modernoan, Diofantok aldakien parametrizazio arrazionalak aurkitu zituen; Hau da, f(x_1,x_2,x_3)=0 formako ekuazio bat emanik, bere helburua, funtsean, hiru funtzio arrazional, g_1, g_2, g_3, aurkitzea zen, non r eta s ezar dezaten x_i = g_i(r,s) balio guztietarako;i=1,2,3-rentzat, f(x_1,x_2,x_3)=0. ebazpena ematen du.

Diofantok zenbait kurba ez-arrazionalen ekuazioak ere aztertu zituen, zeinetarako ezinezkoa den parametrizazio arrazional bat. Kurba horietan (kurba eliptikoak; badirudi lehen agerraldi ezaguna dela), zenbait puntu arrazional aurkitzea lortu zuen, eraikuntza tangente baten parekoaren bidez: koordenatuen geometriara itzulita (Diofantoren garaian ez zegoena), haren metodoa puntu arrazional ezagun batean kurba baten tangentea marraztu balitz bezala bistaratuko litzateke, eta, gero, tangentearen eta kurbaren arteko beste elkargunea aurkitu; beste puntu hori puntu arrazional berri bat da. (Diofantok, era berean, sekante baten eraikuntza kasu berezi bat dei zitekeenera jo zuen).

Nahiz eta Diofanto, neurri handi batean, soluzio arrazionalez arduratzen zen, onartu zituen zenbaki osoen gaineko emaitza batzuk, bereziki, zenbaki oso oro lau karraturen batura dela, nahiz, esplizituki, inoiz ez zuen esan.

### Āryabhaṭa, Brahmagupta, Bhāskara
Nahiz eta greziar astronomiak, ziurrenik, indiar ikaskuntzan eragina izan zuen trigonometria sartzeraino, badirudi Indiako matematika tradizio indigena dela ;​ bereziki, ez dago frogarik esateko Euklidesen *Elementuak* Indiara XVIII. mendea baino lehen iritsi zirenik.

Āryabhaṭak (K.o. 476-550) frogatu zuen n\equiv a_1 \bmod m_1, n\equiv a_2 \bmod m_2 aldibereko kongruentzia bikoteak *kuṭṭaka* edo *lainoztagailu* deitu zuen metodo baten bidez ebatz zitezkeela; Euklidesen algoritmoaren (horren orokortze bat) antzeko prozedura bat da, ziur aski, Indian modu independentean aurkitu zena.​ Dirudienez, Āryabhaṭak kalkulu astronomikoen aplikazioak zituen buruan.

Brahmaguptak (K.o. 628) ekuazio koadratiko mugagabeen azterketa sistematikoari ekin zion, bereziki gaizki deitutako Pellen ekuazioari, zeinean Arkimedesek interesa izan zezakeen lehenik, baina Mendebaldean Fermat eta Euler-en garaira arte ez zen ebazten hasi. Sanskritoko ondorengo autoreek jarraituko zioten Brahmaguptaren terminologia teknikoa erabiliz. Azkenean, Pell-en ekuazioa ebazteko prozedura orokor bat (txakravala metodoa, edo metodo ziklikoa) aurkitu zuen Jayadevak (XI. mendean aipatua; hala ere, bere obra galdu egin da); eskura dagoen azalpenik zaharrena Bhaskara II.ko *Bīja-gaṇita*n agertzen da (XII. mendea).

Indiako matematika, neurri handi batean, ezezagunak izan ziren Europan XVIII. mendearen amaiera arte;​ Brahmagupta eta Bhāskararen lana 1817an itzuli zuen Henry Colebrookek ingelesera.

### Aritmetika urrezko aro islamiarrean
[upright|eskuinera|thumb|[Alhazen Mendebaldeko ikuspegitik ikusita: *Selenographia*ren aurrealdean, Alhasenek [sic] arrazoimenaren bidezko ezagutza irudikatzen du, eta Galileok, zentzumenen bidezkoa.]]
IX. mendearen hasieran, Al-Ma'mun kalifak matematika greziarraren lan asko itzultzea agindu zuen, eta sanskritozko lan bat gutxienez (*Sindhind*, Brahmaguptaren *Brāhmasphuṭasiddhānta* izan daitekeena edo ez). Diofantoren lan nagusia, *Aritmetika*, Qusta ibn Luqak itzuli zuen (820-912) arabierara. *al-Fakhriren tratatua*ren zati bat (al-Karajī, 953 - *ca*. 1029) hartan oinarritzen da, neurri batean. Rashed Roshdiren arabera, Al-Karajiren garaikidea zen Ibn al-Haythamenek, ordurako, ezagutzen zuen gerora Wilsonen teorema deituko zena.

### Mendebaldeko Europa Erdi Aroan
Fibonacciren –Afrika iparraldean eta Konstantinoplan bidaiatu eta ikasia– progresio aritmetikoko karratuei buruzko tratatu batez gain, Erdi Aroan ez zen zenbakien teoriarik egin mendebaldeko Europan. Europan, gauzak aldatzen hasi ziren Pizkundearen amaieran, Greziako antzinateko lanen azterketa berritu bati esker. Katalizatzaile bat izan zen Diofantoren *Aritmetika*ren testuaren emendatzea eta latinera itzultzea.

### Zenbakien teoria modernoa 
#### Fermat 
[thumb|246x246px|[Pierre de Fermat|Pierre de Fermat (1607-1665)]]
Pierre de Fermat (1607-1665) frantziar abokatu eta matematikaria izan zen. Zenbakien teoriari buruz egin zuen lanaren zati handiena, beste matematikari batzuei idatzitako gutunetan eta ohar pribatuetan gorde da. Gutun eta ohar horietan, ez zuen ia frogarik idatzi.

Bere bizitzan zehar, Fermatek zenbaki-teorian hainbat ekarpen egin zituen. Horien artean, hauek dira nabarmenenak:

* 1638an, edozein zenbaki beste lau zenbaki edo gutxiagoren karratu gisa idatz daitekeela aldarrikatu zuen, nahiz eta frogarik eman ez.
* Fermaten teorema txikia (1640): p zenbaki lehenak ez badu zenbaki osoa zatitzen, orduan: a^{p-1}\equiv 1\pmod{p}
* x^4+y^4=z^4 problemak zenbaki osoetan soluzio ez-tribialik ez zuela frogatu zuen.
* Fermaten azken teorema: x^n+y^n=z^n \forall n \geq 3 problemak ez du soluzio ez-tribialik.

#### Euler 
Fermaten lan batzuk lagun batek erakutsi zizkionean interesatu zen Leonhard Euler (1707-1783) lehen aldiz zenbakien teoriaz. Eulerrek zenbakien teoriaz egin zituen ekarpenen artean, honakoak dira nabarmenenak:

* Fermaten teorema txikia frogatu zuen modulu ez-lehenetara orokortuz. Fermaten beste lan askorekin ere gauza bera egin zuen.
* Zatiki jarraituen eta Pell-en ekuazioaren arteko erlazioa idatzi zuen. Adibidez, hasiera batean, zenbaki lehenen teorema analisi konplexua erabiliz frogatu zen (1896. urtean), baina 1949. urtera arte ez zen froga elementalik aurkitu.

### Zenbakien teoria analitikoa 
Zenbakien teoria analitikoa da zenbaki osoen problemak ebazteko analisi matematikoa erabiltzen duen zenbakien teoriaren azpiatal bat. Azpiatal horretan gehien erabiltzen diren metodoen artean, Dirichleten serieak eta Riemannen zeta funtzioak daude.

### Zenbakien teoria aljebraikoa 
Zenbaki konplexu bat aljebraikoa dela esaten da koefiziente arrazionalak dituen polinomio baten erroa bada; adibidez, x^2+x+1 zenbakiaren erro guztiak. Eraztunen teoriako zenbaki idealen, idealen teoriaren eta balorazio-teoriaren garapenarekin batera etorri zen zenbaki aljebraikoen teoriaren garapena.

Orain arte ikusitako hiru azpiatalekin, zenbaki baten faktorizazioa bakarra dela frogatzen da.
### Geometria Diofantikoa 
Geometria diofantikoaren oinarrizko problema ekuazio diofantoar batek soluziorik duen ala ez jakitean datza, eta baiezko kasuan zenbat dituen jakitean.

Adibidez, bi aldagai errealen menpe  definitutako ekuazio batek kurba bat definitzen du planoan. Ideia orokortuz, bi aldagai edo gehiagoren menpe definitutako ekuazio batek edo ekuazio-sistema batek kurba bat, gainazal bat edo **n** dimentsioko espazioko objektu bat definitzen du. Geometria diofantoarrean, problemak ea balio arrazionaletarako edo osotarako soluziorik duen aztertzen da. Baiezko kasuan, zenbat dauden eta lantzen ari garen espazioan nola banatuta dauden jakitea da hurrengo urratsa. Horretarako, soluzio kopurua ea finitua den eta bere kontagarritasuna aztertu behar da.

## Beste eremu batzuk 
### Konbinatoria aritmetikoa 
Konbinatoria aritmetikoak honako galdera hauek hartzen ditu abiapuntutzat: A multzo *txiki* eta infinitu bat hartzen badugu, multzo honek\{a,a+b,a+2b,....,a+10b\} segida aritmetikoko zenbat elementu izango ditu? Posible izango al da multzoko elementuen batura bidez balio batetik gorako elementuak idaztea? Multzoko elementuen batura ekuazio modura hartuta lortzen diren ekuazioei konbinatoria aritmetikoko karakteristikak deritze.

Eremu hori aipatutako ekuazioen azterketan oinarritzen denez, zenbaki-teoria batukorra eta zenbakien geometria erabiltzen dira. Orokorrean, azaltzen diren problemak erlazionatuta daude talde-teoria finituarekin, modelo teoriarekin eta teoria ergodikoarekin.

### Zenbaki-teoria konputazionala 
Soluzioak lortzeko metodoen deskribapena frogapenak egitearen ideia baino lehenagotik dator. Metodo horiek (algoritmoak) Antzinako Grezian azaltzen dira lehen aldiz historian. Horren adibidea da algoritmo euklidearra: zenbaki-teorian algoritmo euklidearra erabiltzen den modua zaharragoa da konputazioan algoritmo euklidearra erabiltzen den modua baino.

Orokorrean, bi arazo izango ditugu, edo izango ote ditugun jakin nahiko dugu: batetik, ea konputatzeko gai izango garen eta, beraz, ea konputazionalki emaitza bat lortuko dugun; bestetik, ea zenbat iraungo duen kalkulu konputazionalak, hau da, kostu konputazionala zenbatekoa izango den. Agian, erraza izan daiteke zenbaki bat lehena den erabakitzea, baina konputazionalki modu eraginkor eta azkarrean egitea oso zaila izan daiteke (zenbakia oso handia bada, baliteke kalkulu gehiegi egin behar izatea). Gaur egun, badira lehentasun test azkarrak, baina faktorizaziorako test azkarrak falta dira.

Kriptografian, mezu bat bere hartzailearentzat (eta soilik berarentzat) ulergarria izatea lortu nahi da, horretarako pribatutasuna bermatuz. Hari beretik, demagun kodifikatutako zifratutako mezu bat dugula; hori deskodetzeko, zifratutako mezua zenbakitzat hartuz, faktore lehenetan deskonposatzea premiazkoa da ia beti (gaur egun erabiltzen diren sistema kriptografikoetan), eta konputazionalki programatzeko, lehentasun test azkarren beharra dugu. Mezu baten pribatutasuna bermatzeko (baina gero mezua deskodetu ahal izateko), zenbaki lehenetan deskonposatzeko oso konplexuak diren zenbakiak erabiltzen dira. Horrela, faktorizaziorako test azkarrik ez dagoenez, mezuaren hartzailea ez den batek ezingo du deskodetu, eta, beraz, pribatutasuna mantentzen da.

## Aplikazioak 
Zenbaki teoria elementala matematika diskretuko kurtsoetan irakasten da zientzia konputazionalerako. Horrez gain, zenbaki teoriak aplikazio ugari ditu analisi numerikoan, bai eta aski ezaguna den kriptografian ere.

## Oharrak
## Erreferentziak 
## Bibliografia 
* 
*  (Subscription needed)
* 
*  1968 edition at archive.org
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*  Volume 1 Volume 2 Volume 3 Volume 4 (1912)
*  For other editions, see Iamblichus#List of editions and translations
*  This Google books preview of *Elements of algebra* lacks Truesdell's intro, which is reprinted (slightly abridged) in the following book:
* 
* 
* 
* 

* 

## Kanpo estekak