Élie Cartan

**Élie Joseph Cartan** ( ahoskatua; Dolomieu, Isère,  – Paris, ) frantziar matematikaria izan zen. Lie taldeekin aritu izan zen lanean. Baliokidetasunaren teoriak eta baliokidetasunak integral aldaezinekin, mekanikarekin eta erlatibitatearen teoriarekin zuen harremana aztertu zituen. Kanpo kalkulu diferentziala sortu zuen, H. Poincarérekin batera.  Henri Cartan matematikariaren eta Jean Cartan musikagilearen aita izan zen.

## Bizitza pertsonala eta hezkuntza 
Élie Cartan Dolomieu izeneko Frantziako herri txiki batean jaio zen, familia apal batean. Bere aita ferra-gilea zen, eta baldintza ekonomiko zailak izan arren, gaztetatik ikasteko grina erakutsi zuen. Bere lehen ikasketak tokiko eskolan egin zituen, baina azkar nabarmendu zen matematikan zituen trebetasunengatik.
thumb
19 urterekin, Parisko École Normale Supérieure ospetsuan sartu zen. Bertan, matematikako figura nabarmenekin lan egiteko aukera izan zuen, eta berehala erakutsi zuen alor honetan zituen trebetasunak.

## Karrera akademikoa 
Cartanen karrera akademikoa zabala eta arrakastatsua izan zen. Bere lan nagusiak taldeen ereduetan eta geometria diferentzialean egon ziren. **1894an doktoretza lortu zuen** doktore-tesi bikain batekin, non Lie taldeei buruzko sakoneko azterketa bat garatu zuen.

Cartanen lehen lan akademiko garrantzitsuak Lie taldeekin lotuta zeuden. **Sophus Lie** matematikari norvegiarrarekin izandako harremanak eragin handia izan zuen Cartanen ikerketetan, eta haren lanak sakonduz, Lie algebren eta geometria diferentzialaren oinarriak finkatu zituen.

Cartanen lehen lan akademiko garrantzitsuak Lie taldeekin lotuta zeuden. Sophus Lie matematikari norvegiarrarekin izandako harremanak eragin handia izan zuen Cartanen ikerketetan, eta haren lanak sakonduz, Lie algebren eta geometria diferentzialaren oinarriak finkatu zituen.

Cartanek Frantziako hainbat unibertsitatetan irakasle lanak egin zituen, eta, 1909an, **Parisko Unibertsitatean** katedra bat eskuratu zuen. Bertan, ikerketa-lan ugari garatu zituen, eta hainbat ikasle ospetsuren irakasle izan zen.

## Ekarpen nagusiak 
Cartanen lanek hainbat arlotan izan zuten eragina. Bere ekarpenak bereziki nabarmentzen dira talde teoriaren eta geometria diferentzialaren arloan.

### Talde teoria eta Lie taldeak 
Cartanen lanik esanguratsuenetakoa Lie talde eta algebren inguruko azterketak izan ziren. Lie-taldeak, matematikako objektu multzo bat dira, non taldeek forma jarraitua eta aljebraikoki egituratuta dauden. Cartan-ek Lie-taldeen ikerketan izandako ekarpenak ezinbestekoak izan ziren talde horien erabilera fisikan, geometria diferentzialean eta talde teorietan.

Cartan-ek bere teoria zientifikoa garatu zuen bere ikerketetan, eta Lie-taldeen irudikapena hobeto ulertzeko aukera eman zuen. Bere lana, talde hauek aztertzeko moduan iraultza egin zuen, eta hala, matematikaren arlo askotan aplikazio praktikoak aurkitu zituen.

Lie-taldeek, batetik, simetriak eta transformazioak deskribatzen laguntzen dute, eta bestetik, sistema dinamikoei buruzko ikerketa egiteko aukera ematen dute. Cartan-en teoriak, bestalde, matematikaren esparru desberdinetan eragina izan zuen, hala nola geometria algebragatik, azterketa funtzionala eta sistemak kontrolatzeko teoria.

Gaur egun, Cartan-en ekarpenak oinarri sendoa dira matematikaren ikerketan, eta Lie-taldeak jarraitzen du zientzia eta ingeniaritza alorretan eraginkortasunez erabiltzen. Élie Cartan-en irudikapenak, bere lanak eta pentsamendu sakonak, betiko irauteko bideak ireki zizkion matematikaren eta fisika teoretikoaren munduari.. 

### Geometria diferentziala eta erlazioak fisikan 
Geometria diferentzialean, konexioak eta kurbadurak kontzeptuak aztertu zituen sakon. Eremu horretan, espazio geometrikoen propietateak ikertzen dira, eta Cartanen formulazioak fisika modernoan erabilera ugari izan ditu, adibidez, erlatibitate orokorraren teorian.

Bere ekarpenetako bat Cartan konexioa izan zen, espazio kurbatuetan gertatzen diren fenomeno fisikoak ulertzeko tresna garrantzitsua. Espazio denboraren geometriak fisika teorikoan duen eragina ulertzeko, Cartanen konexioek ekarpen funtsezkoa egin zuten.

#### Oinarrizko Kontzeptuak 
# **Espazio Diferentziala**: Espazio diferentziala, irudikatzeko modua da, non puntuak eta lerroak deskribatu ahal ditugun. Espazio honek kurbak, gainazal lauak eta bestelako irudi geometrikoak har ditzake.
# **Forma Diferentzialak**: Forma diferentzialak objektu geometrikoen propietateak aztertzeko erabiltzen diren objektu matematikoak dira. Adibidez, forma diferentzial batek irudi baten kurbaturak edo azaleraren aldaerak deskribatzeko laguntzen du.
# **kurbadura**: Kurbadura, irudi baten formaren aldaketa adierazten du. Adibidez, esfera batek curvatura positiboa du, eta plano batek curvatura zero du.
# **Sistemak**: Cartanek sistema koordinatuak sartu zituen, objektuen posizioa eta forma deskribatzeko. Horrela, objektu desberdinak modu eraginkorrean azter daitezke.

Geometria diferentziala aplikazio ugari ditu, fisikatik ingeniaritza, astronomiatik biologia arte. Adibidez, material baten deformazioa aztertzeko, edo espazio-temporalaren forma ulertzeko erabil daiteke.

### Egitura eta aplikazioak 
Cartanek algebra geometrikoak garatzeko lan esanguratsua egin zuen, eta haien aplikazioak hainbat eremutan zabaldu zituen. Bere lanak espazioak eta eragiketa matematikoak ulertzeko metodo berriak ekarri zituen, bereziki aplikazio praktikoetan, hala nola mekanika eta teoria kuantikoan.

### Fisikarekiko ekarpenak 
#### Erlatibitate orokorraren garapena 
Élie Cartanek, matematikaz gain, fisikaren eremuan ere ekarpen handiak egin zituen. Albert Einsteinen erlatibitatearen teoria sakon aztertu zuen, eta hura zabaldu eta hobetu zuen bere lan matematikoak aplikatuz.

Einsteinen erlatibitate orokorraren teoria Cartanen lanaren bitartez matematika abstraktuago baten bidez formulatu zen, eta geometria diferentzialaren erabilera sakondu zen fisikaren esparruan. Bere ekarpenek espazio denboraren ulermena erraztu zuten, eta espazio kurbatuen kontzeptua matematika eta fisika teorikoan finkatu zen.

#### Spinor teoriak eta aplikazio kuantikoak 
Cartanek, halaber, spinorren teoriak aztertu eta garatu zituen. Spinorrak partikulen portaera deskribatzeko objektu matematikoak dira, eta kuantika modernoaren oinarrizko zatia osatzen dute. Bere lanak partikulen fisikan eta teoria kuantikoan bultzada berria eman zuen, eta gaur egun ere funtsezkoak dira arlo horretan.

## Sariak eta aitortzak 
Cartanen lana bere garaian ez zen beti erabat ulertua edo aitortua izan, baina denborak aurrera egin ahala, haren ekarpenen balioa onartua izan zen. Hainbat sari eta ohore jaso zituen bere bizitzan zehar, eta haren izena matematikaren historian garrantzi handikoa da.

### Aipamenak eta sariketak 
Cartanek hainbat sari eta aipamen jaso zituen, besteak beste, Frantziako Zientzia Akademiako kidea izatea. Gainera, bere omenez hainbat ekitaldi eta hitzaldi egin dira, eta haren ekarpenak sakon aztertu dira bere heriotzaren ondoren ere.

### Eragin akademikoa 
Élie Cartanen lanak matematikaren eta fisikaren alorreko hainbat belaunalditan izan du eragina. Bere ekarpenek ezarri zituzten oinarriak hainbat ikerketa garaikiderentzat, eta ikasle eta matematikari ospetsu askoren lana zuzenean inspiratu zuten.

## Lanak 
* Lie-ren taldeak
* Lie taldeen antzezpenak
* Zenbaki hiperkonplexuak, banaketa-aljebrak
* EDP sistemak, Cartan-Kählerren teorema
* Baliokidetasun-teoria
* Multzo integragarriak, luzapen-teoria eta inboluzio-sistemak
* Multzo eta sasi-multzo infinito-dimentsionalak
* Geometria diferentziala eta marko mugikorrak
* Espazio orokortuak egitura eta konexio taldeekin, Cartan konexioa, holonomia, Weyl tenkagailua
* Lie taldeen geometria eta topologia
* Riemann-en geometria
* Espazio simetrikoak
* Talde trinkoen topologia eta haien espazio homogeneoak
* Aldaezin integralak eta mekanika klasikoa
* Erlatibitatea, arantzak

## Bibliografia 
* Dieudonné, Jean. *Élie Cartan and His Mathematical Work*. Princeton University Press, 1993.
* Gilmore, Robert. *Lie Groups, Lie Algebras, and Some of Their Applications*. Dover Publications, 2006.
* Hawkins, Thomas. *Emergence of the Theory of Lie Groups: An Essay in the History of Mathematics 1869–1926*. Springer, 2000.