Azalera

thumb|250px|Hiru irudi geometriko sinpleren azalera, koloreatuak.

**Azalera** espazio metriko bat da, eta, haren bidez, gainazal baten neurria kalkula daiteke. Matematikan, azalera neurtzeko unitatea metro karratua da (m^2). Azalerak luzera neurri baten zehaztasuna eskatzen du. *Azalera,* txukuna ez delakoan, zenbaitzuk, **eremu** eta **luze-zabal** izenak hobetsi izan dituzte.''''*

*Azalera* kontzeptua intuitiboagoa da gainazal lauak erabiltzen badira. Edozein gainazal lau (hau da, edozein poligono) hirukitan banatu daiteke, eta, beraz, gainazal horren azalera kalkula daiteke gainazal hori banatzen duten hiruki guztien azaleren batura egiten bada. *Azalera* hitza izaria adierazteko baino ez da erabiltzen; bestetarako, *azal* (leun, zakar...), *gainazal, eremu* (lurralde batena, adib.), eta abar daude.*'

Forma solido baterako, hala nola esfera, kono edo zilindro batentzat, bere muga-azalerari gainazal-azalera deitzen zaio. Antzinako greziarrek forma sinpleen azaleraren formulak kalkulatzen zituzten, baina irudi konplikatuago baten azalera kalkulatzeak aldagai anitzeko kalkulua behar du askotan.

Gainazal kurbatuen azalera kalkulatu ahal izateko, ezinbestekoa da geometria diferentzialeko metodoak erabiltzea. Gainazal orokor baten azalera kalkulatzeko, aldiz, gainazal horren tentsore metriko bat definitu behar da; gainazala espazio euklidear baten barnean badago, gainazal horrek metrika euklidearraren bidez induzitutako egitura metriko arrunta hartzen du.

## Historia 
Antzinatik uste izan da azalera irudi geometriko baten barruko eskualdearen tamaina ematen duen neurria dela. Antzinako Egipton, urteroko Nilo ibaiko uraldien ondoren eta eragindako uholdeen ondorioz, nekazaritza lursail bakoitzaren azalera kalkulatzeko beharra agertu zen lursail mugak berrezartzeko. Arazo honi konponbidea aurkitu nahian, egiptoarrek geometria sortu zuten, Herodotoren arabera.

Poligono baten azalera triangeluen azaleren batura gisa kalkulatzeko metodoa, lehen aldiz Antifon greziar jakintsuak proposatu zuen, K.a. 430. urtearen inguruan. Irudi kurbadun baten azalera kalkulatzeak zailtasun gehiago sortzen du. Exhauzio-metodoak poligonoak irudi geometrikoan zirkunskribatzean eta inskribatzean datza, poligono horien aldeen kopurua handitu eta azalera bilatu. 

*Eudoxo-ren Exhauzio-metodo* izenez ezagutzen den sistemarekin, zirkuluaren azalera kalkulatzeko hurbilketa lortu zuen. Sistema hori, geroago Arkimedes-ek erabili zuen antzeko problemak ebazteko, hala nola pi zenbakiaren balioaren hurbilketa.

### Zirkuluaren eta elipsearen azalera 
K. a. V. mendean, Hipokrates Koskoa izan zen zirkulu baten azalera (zirkunferentzia batez itxitako eremua) bere diametroaren karratuarekiko proportzionala dela erakusten lehena, bere lunularen koadraturaren zati gisa, baina ez zuen proportzionaltasunaren konstantea identifikatu. Eudoxo Knidokoa, halaber, K.a. V. mendean, zirkulu baten azalera bere erradioarekiko proportzionala dela ere aurkitu zuen.

Geroago, Euklidesen *Elementuak I. Liburua bi dimentsioko irudien arteko eremu-berdintasunaz arduratu zen. Arkimedes matematikariak geometria euklidiarraren tresnak erabili zituen zirkulu baten barruko azalera eta zirkuluaren zirkunferentziaren luzera duen triangelu angeluzuzena berdinak direla erakusteko, bere *Zirkuluaren neurriari buruz*ko liburuan. (Zirkunferentzia 2πr da, eta triangelu baten azalera da oinarriaren erdia bider altuera; ondorioz, diskoaren πr2 azalera lortzen da). Arkimedesek, π-ren balioa hurbildu zuen (eta, beraz, erradio unitarioko zirkulu baten azalera) bere metodoaren bidez, eta triangelu erregular bat zirkulu batean inskribatu eta bere azalera apuntatu zuen; gero, hexagono erregular bat emateko, albo-kopurua bikoiztu zuen, ondoren, behin eta berriz, albo-kopurua bikoiztu zuen poligonoaren azalera zirkuluarenera hurbiltzen zen heinean (eta gauza bera egin zuen poligono zirkunskribatuekin). 1794an, Adrien-Marie Legendre matematikari frantziarrak frogatu zuen «π2 irrazionala» dela; horrek frogatzen du ere «π irrazionala» dela. 1882an, Ferdinand von Lindemann alemaniar matematikariak «π transzendentala» dela frogatu zuen (ez da koefiziente arrazionalak dituen ezein ekuazio polinomikoren soluzioa); horrek Legendre eta Eulerren aieru bat berresten du, eta *Métrica *antzinako munduan eskuragarri zegoen ezagutza matematikoaren bilduma zenez, litekeena da formula lan horretan emandako erreferentzia baino lehenagokoa izatea.

499an, Aryabhatak, Indiako matematika eta astronomiaren garai klasikoko matematikari-astronomo batek, triangelu baten azalera oinarriaren erdia bider altueraz adierazi zuen *Aryabhatiya*n (2.6 atala).

Txinatarrek Heronen formula bera aurkitu zuten greziarrak alde batera utzita. 1247an argitaratu zen *Shushu Jiuzhang*en (Tratatu matematikoa bederatzi ataletan), Qin Jiushaok idatzia.

## Definizio formala
*Azalera* zer den definitzeko hurbilketa bat axiomen bidezkoa da. *Azalera* irudi planoen mota berezi bateko M bilduma batetik (multzo neurgarriak deitzen direnak) zenbaki errealen multzora arteko funtzio gisa defini daiteke honako propietate hauek betez:

* M-ren S guztientzat, a(S) ≥ 0.
* S eta T M-n badaude, orduan, S ∪ T eta S ∩ T ere bai, eta baita a(S∪T) = a(S) + a(T) − a(S∩T).
* *S* eta *T* *M*-n con *S* ⊆ *T*-rekin badaude, orduan, *T* - *S* *M*-n dago eta  *a*(*T*−*S*) = *a*(*T*) − *a*(*S*).
* *S* multzo bat *M*-n badago eta *S* kongruentea bada *T*-rekin, orduan, *T* ere *M*-n eta *a*-n (*S*) = *a*(*T*) dago.
* *R* laukizuzen bakoitza *M*-n dago. Laukizuzenak *h* luzera eta *k* zabalera baditu, orduan, *a*(*R*) = *hk*.
* Izan bedi *Q* mailakako bi eremuen artean itxitako multzoa, *S* eta *T*. Oinarri komun batean oinarritzen diren aldameneko laukizuzenen batasun finitu batetik eratzen da maila-eremu bat, hau da, *S* ⊆ *Q* ⊆ *T*. *c* zenbaki bakar bat badago, hala nola *a*(*S*) ≤ c ≤ *a*(*T*) halako eremu mailakatu guztietarako *S* eta *T*, orduan, *a*(*Q*) = *c*.

Froga daiteke eremu-funtzio hori benetan existitzen dela.

## Azaleraren eta perimetroaren arteko nahasmena
thumb|upright=0.6|Zenbat eta ebaketa gehiago egin, orduan eta azalera gehiago murrizten eta perimetroa handitzen da.
Perimetroa, eremuarekin batera, irudi geometriko planoen bi neurri nagusietako bat da. Unitate berean adierazten ez diren arren, ohikoa da bi nozio horiek nahastea​ edo sinestea zenbat eta handiagoa izan bestea ere handiagoa dela. Izan ere, irudi geometriko baten handitzeak (edo murrizteak) aldi berean bere azalera eta perimetroa handitzen (edo txikitzen) ditu. Adibidez, mapa batean, lur zati bat 1:10.000 eskalan agertzen bada, lurren benetako perimetroa kalkula daiteke irudikapenaren perimetroa 10&nbsp;000-z biderkatuz eta azalera 10&nbsp;0002ez biderkatuz. .000. Hala ere, ez dago inolako lotura zuzenik azaleraren eta perimetroaren artean. Adibidez, metro karratuko azalera duen laukizuzen batek dimentsio gisa izan ditzake, metrotan: 0,5 eta 2 (beraz, 5 m-ko perimetroa) baina baita 0,001 eta 1000 ere (beraz, 2.000 m baino gehiagoko perimetroa). Proklok (V. mendea) dio greziar nekazariek perimetroen arabera, *bidezko banaketan*, partekatzen zituztela soroak, baina azalera ezberdinekin. Hala ere, soro baten ekoizpena azalerarako proportzionala da, ez perimetroarekiko.
## Gainazal lauen azalera: 
### Poligonoen formulak
Koordenatu kartesiarrak ezagutzen diren poligono (soil) baterako (x_i,y_i) (*i *= 0, 1, ..., *n *− 1) bere *n* erpinetatik, Gaussen azalera formulak ematen du:
:A = \frac{1}{2} \Biggl\vert \sum_{i = 0}^{n - 1}( x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i) \Biggr\vert

i=n−1 denean, orduan i+1 *n* modulu gisa adierazten da eta, beraz, 0-ri dagokio.

#### Laukizuzenak
thumb|Laukizuzen honen azalera l\times a.|221x221px da.
Azaleraren formula oinarrizkoena laukizuzen baten azaleraren formula da. l luze eta a zabal dituen laukizuzena emanda, eremuaren formula hau da:

:A=l\times a&nbsp;(laukizuzen).

Laukizuzenaren azalera luzera zabalerarekin biderkatuta da. Kasu zehatz gisa, l = a karratuaren kasuan, c albo-luzera duen karratu baten azalera
:A=c^2&nbsp;(karratu). formulak ematen du.

Laukizuzen baten azaleraren formula azaleraren oinarrizko propietateetatik dator zuzenean, eta, batzuetan, definizio edo axioma gisa hartzen da. Bestalde, geometria aritmetikaren aurretik garatzen bada, formula hori zenbaki errealen biderketa definitzeko erabil daiteke.

#### Hiruki edo triangeluak
Hirukien azalera da hiruki horren oinarriaren eta altueraren arteko biderketaren erdia, hau da:

:A=\left ( \frac{b\cdot h}{2} \right ),
non *b *hirukiaren oinarria eta *h *hirukiaren altuera baita (edozein alde har daiteke oinarritzat).

Triangelua angeluzuzena bada, altuerak eta katetoak balio bera dute; beraz, azalera formula honen bidez adieraz daiteke:

:A=\left ( \frac{a\cdot b}{2} \right ),

non triangeluaren katetoak *a* eta *b* diren .

Aldeen luzera ezagutzen bada, Heron-en formula erabil daiteke:

:A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} ,

non *a, b* eta *c *aldeen luzera-balioak eta s=\left ( \frac{1}{2} \right )(a+b+c) , hirukiaren perimetroerdia diren.

Triangelua aldekidea bada, horren azalera formula honek adierazten du:

:A=\left ( \frac{\sqrt{3\cdot a^2}}{4} \right ),

non hirukiaren alde baten luzera *a *den.
thumb|Trapezoidea

#### Disekzioa eta paralelogramoak 
Azalera kalkulatzeko, formula sinple gehienek disekzioaren metodoa jarraitzen dute. Forma bat zatitan moztean datza, zeinen azalerak jatorrizko formaren azalerara gehitu behar diren.[thumb|227x227px|[Paralelogramo bat nola laukizuzen bihur daitekeen erakusten duen diagrama.|left]] Adibidez, edozein paralelogramo trapezio batean eta triangelu angeluzuzen batean zati daiteke, irudian ikusten den bezala. Triangelua, trapezioaren beste aldera eramaten bada, ondoriozko irudia laukizuzena da. Horren ondorioz, paralelogramoaren azalera laukizuzenaren berdina da:

:A=b\times h&nbsp;(paralelogramo).
thumb|180x180px|Bi triangelu berdinetan banatutako paralelogramoa.
Hala ere, paralelogramo bera diagonal batean zehar bi triangelu kongruentetan ere moztu daiteke, irudian ikusten den bezala. Triangelu bakoitzaren azalera paralelogramoaren azaleraren erdia dela ondorioztatzen da:

:A = \frac{1}{2}bh&nbsp;(triangelu).

Trapezoide edo lauki baten azalera haren diagonalen arteko distantziek eta hauek eratzen duten angeluaren sinuaren arteko biderkadura zati bi da.

:A=\left ( \frac{\bar{AC}\cdot \bar{BD}\cdot\sin \theta}{2} \right )

Azalera triangulazioaren bitartez ere lor daiteke:

:A=\left ( \frac{a\cdot d\cdot \sin\alpha + b\cdot c\cdot\sin\gamma}{2} \right ),

non \alpha *a *eta *d *aldeen arteko angelua baita eta \gamma , *b *eta *c *aldeen arteko angelua.

Laukizuzena paralelogramo bat da, eta haren angelu guztiak 90^\circ gradukoak dira. Azalera laukizuzenaren aldameneko bi aldeen arteko biderkadura da:

:A=a\cdot b

Erronboa lau aldeak berdinak dituen paralelogramoa da. Haren azalera erronboaren bi diagonalen distantziaren biderkadura zati bi da:

:A=\left ( \frac{\bar{AC}\cdot\bar{BD}}{2} \right )

Laukia lau aldeko poligono erregularra da, eta, aldi berean, laukizuzena eta erronboa. Beraz, haren azalera horien antzera kalkulatzen da. Hala ere, haren aldeak berdinak direnez, honako formula hau erabiltzen da bereziki:

:A=a\cdot a=a^2,

Erronboidearen azalera haren alde baten eta altueraren arteko biderketaren bidez kalkulatzen da:

:A=b\cdot h,

non *b *alde baten luzera eta *h *altuera diren.

Trapezioak bi alde elkarrekiko paralelo, eta bi alde elkarrekiko ez-paralelo ditu. Haren azalera bi alde elkarrekiko paraleloen batezbestekoa bider euren arteko distantziaren (altuera) bitartez kalkulatzen da:

:A=\left ( \frac{a+b}{2} \right )\cdot h

### Forma kurbatuen azalera
#### Zirkulua 
Zirkulu baten azaleraren formula (egokiago, zirkulu batek inguratutako azalera edo disko baten azalera) antzeko metodo batean oinarritzen da. r erradioko zirkulu bat emanda, posible da sektoretan zatitzea, irudian ikusten den moduan. Sektore bakoitza triangeluarra da, gutxi gorabehera, eta sektoreak berrantolatu daitezke gutxi gorabehera paralelogramo bat osatzeko. Paralelogramo honen altuera r da, eta, zabalera, zirkuluaren zirkunferentzia edo \pi r erdia. Beraz, zirkuluaren azalera osoa \pi r^2 da:
[thumb|Zirkulu bat [Zirkulu-sektore|sektore ordenatuetan bana daiteke gutxi gorabeherako paralelogramo bat antolatzeko.]]
:A=\pi r^2&nbsp;(círculo).

Formula horretan erabiltzen den disekzioa gutxi gorabeherakoa den arren, zirkulua gero eta sektore gehiagotan banatu ahala errorea gero eta txikiagoa da. Gutxi gorabeherako paralelogramoen azaleren muga zehazki \pi r^2 da, zeina zirkuluaren azalera den.

Argumentu hori kalkuluarn ideien aplikazio sinplea da. Antzina, Exhauzio-metodo antzeko modu batean erabiltzen zen zirkulu baten azalera aurkitzeko, eta metodo hori, gaur egun, Exhauzio-metodo integralaren aitzindari gisa onartzen da. Metodo modernoak erabiliz, zirkulu baten azalera integral zehatz baten bidez kalkula daiteke:

:A \;=\;2\int_{-r}^r \sqrt{r^2 - x^2}\,dx \;=\; \pi r^2

#### Elipsea 
Elipse batek mugatutako azalera zirkuluaren azaleraren antzekoa da, eta ardatzerdi handiaren, txikiaren eta \pi-ren arteko biderkaduraren bitartez kalkulatzen da:

:A=\pi \cdot a \cdot b
[thumb|[Arkimedes|Arkimedesek erakutsi zuen esfera baten azalera erradio bereko disko lau baten azalera baino lau aldiz handiagoa dela eta esferak inguratutako bolumena altuera eta erradio bereko zilindro baten bolumenaren 2/3 dela.]]
thumb|triangeluaren azalera = {b\times h \over 2}

#### Azaleraren gainazala
Azaleraren gainazalaren oinarrizko formula gehienak gainazalak moztu eta lautuz lor daitezke. Adibidez, zilindroaren alboko gainazala (edo edozein prisma) luzetara mozten bada, gainazala lautu daiteke laukizuzen bat osatu arte. Era berean, kono batean zehar ebaki bat egiten bada, alboko gainazala lautu daiteke zirkulu baten sektore bat lortu arte, eta, ondorioz, azalera kalkulatu.

Esfera baten gainazalaren formula zailagoa da lortzen: esfera batek Gaussen kurbadura zerotik berezia duenez, ezin da berdindu. Arkimedesek, lehenengoz, esfera baten azaleraren formula lortu zuen *Esferaren eta zilindroaren gainean* obran. Formula hau da:

:A=4\pi r^2&nbsp;(esfera).

non r esferaren erradioa den. Zirkulu baten azaleraren formularekin gertatzen den moduan, formula horren edozein deribaziok berez erabiltzen ditu kalkuluaren antzeko metodoak.

### Bi funtziok mugatutako azalera 
Bi funtziok mugatutako azalera kalkulatzeko modu bat kalkulu integrala erabiltzea da:
thumb|Bi funtziok mugatutako azalera
A(a,b)=\int_{a}^{b} \left\vert f(x)-g(x) \right\vert dx (A formula)

Integral horren emaitza f(x) eta g(x)[ funtzioek osatutako azalera izango da [a,b] tartean.

**ADIBIDEA**

X ardatzak eta f(x)=4-x^2 funtzioak mugatutako azalera kalkulatu nahi bada [-2,2] tartean, A formula erabili behar da. Kasu honetan, g(x)=0 izanik, honako emaitza lortzen da:

A(-2,2)=\int_{-2}^{2} \left\vert 4-x^2-0 \right\vert dx= 2\int_{0}^{2} 4-x^2 dx= 2[4x-\left ( \frac{x^3}{3} \right )]_0^2=2\left [8- \frac{2^3-0}{3} \right ]=\left ( \frac{32}{3} \right )

Beraz, mugatutako azalera 32/3 da.

Bi funtziok mugatutako bolumena integralaren kalkuluaren bitartez lor daiteke.

### Azaleraren eta perimetroaren arteko lotura 
Plano euklidear batean  kurba itxi eta sinple bat emanda, froga daiteke azalera itxi baten perimetroak edo luzerak eta azalera itxiak berak honako lotura hau dutela:

\left ( \frac{A}{L^2} \right )\leq\left ( \frac{1}{4\pi} \right )

Zirkuluaren kasuan berdintza betetzen da, eta gainerako irudietan, desberdintza hertsia.

## Gainazal kurbatuen azalera 
thumb|thumbtime=71|**Zilindroa** eta **zilindroaren azalera** lantzeko ariketa.
Gainazal kurbatuaren azalera konplexuagoa da eta orokorrean idealizazio edo limite motaren bat egin behar da neurtzeko:

* Gainazala garagarria denean, zilindro baten edo kono baten aldearen azalera bezala, gainazalaren azalera azalera garatu batetik abiatuta kalkula daiteke. Hori irudi laua da beti. Gainazala garagarria izan dadin, Gaussen kurbadurak nulua izan behar du.

* Gainazala garagarria ez denean, gainazalaren kalkulua edo balio hori lortzeko modu analitikoa neketsuagoa da. Gainazal ez-garagarri baten adibide bat esfera da, izan ere, Gaussen kurbadurak eta erradioaren karratuaren alderantzizkoak bat datoz, eta beraz, ez da nulua. Hala ere, esfera biraketa-gainazal bat da.

A_r(a,b)=2\pi \int_{a}^{b} f(x)\sqrt{1+\left ( \frac{df(x)}{dx} \right )^2}\operatorname{d}\!x
thumb|Biraketa-gainazala

### Biraketa-gainazala 
Gainazal kurbatu bat kurba lau  bat  edo kurba sortzaile bat ardatz gidagarri baten inguruan biratuz sor daiteke, eta gainazal erresultanteari biraketa-gainazala deitzen zaio. Haren azalera  erraz kalkula daiteke kurba sortzailearen luzeratik abiatuta, zeinak biratzean gainazala sortzen baitu. y=f(X) ekuazioak kurbaren zati bat definitzen badu,  kurba X ardatzaren inguruan biratzean biraketa-gainazala sortzen da eta bere azalera honako hau da:

Biraketa-gainazalen adibideak honako hauek dira:

* Esferaren azalera, R erradioduna: 4\pi R^2
* Konoaren azalera, R erradioduna eta h altueraduna: \pi Rh\sqrt{1+R^2/h^2}
* Zilindroaren aldeko azalera, R erradioduna eta h altueraduna: 2\pi Rh

### Azaleraren kalkulu orokorra 
Gainazalen geometria diferentzialaren bitartez edota Riemann-en geometria erabiliz, edozein gainazal kurbatu finituren azalera kalkula daiteke. Gainazala z=f(x,y) funtzio esplizituaren bidez adierazita badago, \Omega eskualdean izanik, orduan, azalera honako hau da:

A(\Omega)=\iint\limits_\Omega xy\sqrt{1+\left ( \frac{\partial f}{\partial x} \right )^2+\left ( \frac{\partial f}{\partial y} \right )^2 dxdy} (B formula)

Gainazalaren ekuazio parametrikoa edozein u eta v koordenaturen bidez ezagutzen bada, orduan B formula hori honela idatz daiteke:

A(\Omega)=\iint\limits_\Omega \sqrt{EG-F^2 }\operatorname{d}\!u\operatorname{d}\!v ,

non tentsore metrikoaren elementuak diren E, F eta G .

n >1 dimentsioko Riemann-en barietate batean, 2 dimentsioko zenbait azpibarietateren azalera kalkula daiteke. Azalera kalkulatu ahal izateko, bi koordenatu (u,v), dituen multzo bat definitzen da, azpibarietatea parametrizatzen duena, eta, ondoren, azpibarietatearen atlas bat eratzen da. Beraz, azalera barietate horren 2-forma baten integralaren bidez kalkulatzen da.

## Gainazalaren neurri-unitateak 
Nazioarteko Unitate Sistema erabiliz:

* kilometro karratua: 10^6 metro karratu
* hektometro karratua edo hektarea: 10^4metro karratu
* dekametro karratua: 10^2metro karratu
* dezimetro karratua: 10^{-2} metro karratu
* zentimetro karratua: 10^{-4} metro karratu
* milimetro karratua: 10^{-6}metro karratu
* barn: 10^{-28}metro karratu

## Erreferentziak 
## Bibliografia 
*  Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo (1992). McGraw-Hill, ed. *Fórmulas y tablas de matemática aplicada*. Aravaca (Madrid). .
*  Weisstein, Eric W (1999). Chapman&Hall, ed. *''. .
*
## Kanpo estekak