Serie teleskopiko

Matematikan, **serie teleskopiko** bat serie bat da non batura partzialek termino-kopuru finko bat duten ezeztatu ondoren.

: (a_2-a_1) + (a_3 - a_2) + (a_4- a_3) + \ldots + (a_{n}-a_{n-1})=a_n-a_1\,

Serie teleskopikoaren ohiko adibide bat Mengoliren seriea da, honela definitzen dena:

: \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)}

honela kalkula daitekeena:

: \begin{align}
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} & {} = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\
{} & {} = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\
{} & {} = \lim_{N\to\infty} \left\lbrack {\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N} - \frac{1}{N+1}\right) } \right\rbrack  \\
{} & {} = \lim_{N\to\infty} \left\lbrack {  1 + \left( - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) + \left( - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left( - \frac{1}{N} + \frac{1}{N}\right) - \frac{1}{N+1} } \right\rbrack \\
{} & {} = \lim_{N\to\infty} \left\lbrack { 1 - \frac{1}{N+1}  } \right\rbrack = 1.
\end{align}

## Oro har 
Izan bedi zenbaki-sekuentzia bat a_n. Orduan, 

: \sum_{n=1}^N \left(a_n - a_{n-1}\right) =  a_N - a_{0},

eta, baldin a_n \rightarrow 0

: \sum_{n=1}^\infty \left(a_n - a_{n-1}\right) =  - a_{0}.

## Salbuespenak 
Serie teleskopikoak teknika erabilgarria izan daitezkeen arren, eragozpen batzuk izan daitezke. Honako prozedura

: 0 = \sum_{n=1}^\infty 0 = \sum_{n=1}^\infty (1-1) = 1 + \sum_{n=1}^\infty (-1 + 1) = 1\,

ez da zuzena, zeren eta terminoak multzokatzeko modu horrek balioa izateko, terminoak bereizita 0 balioa izan behar du. Akats hori saihesteko, lehenik eta behin, lehenengo *N* terminoen batura aurkitu behar da, eta, bigarrenik, *N*-rekiko limitea aplikatu, infiniturantz hurbilduz.

: 
\begin{align}
\sum_{n=1}^N \frac{1}{n(n+1)} & {} = \sum_{n=1}^N \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\
& {} = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N} -\frac{1}{N+1}\right) \\
& {} =  1 + \left(- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right)
+ \left( - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) + \cdots
+ \left(-\frac{1}{N} + \frac{1}{N}\right) - \frac{1}{N+1} \\
& {} = 1 - \frac{1}{N+1}\to 1\ \mathrm{cuando}\ N\to\infty.
\end{align}

## Adibideak 
* Funtzio trigonometriko asko ezberdintasun gisa adieraz daitezke, eta, horri esker, serie teleskopikoan elkarren segidako terminoen arteko deuseztapena egin daiteke.

:: 
\begin{align}
\sum_{n=1}^N \sen\left(n\right) & {} = \sum_{n=1}^N \frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \left(2\sen\left(\frac{1}{2}\right)\sen\left(n\right)\right) \\
& {} =\frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \sum_{n=1}^N \left(\cos\left(\frac{2n-1}{2}\right) -\cos\left(\frac{2n+1}{2}\right)\right) \\
& {} =\frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \left(\cos\left(\frac{1}{2}\right) -\cos\left(\frac{2N+1}{2}\right)\right).
\end{align}

* Forma honetako batuketa batzuk

:: \sum_{n=1}^N {f(n) \over g(n)},

: non *f* eta *g* funtzio polinomikoak baitira eta horien zatidura zati partzialetan bereiz baitaiteke, ez dute onartzen metodo horren bidez batuketarik egitea. Zehazki,

:: 
\begin{align}
\sum^\infty_{n=0}\frac{2n+3}{(n+1)(n+2)} & {} =\sum^\infty_{n=0}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right) \\
& {} = \left(\frac{1}{1} + \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) + \cdots \\
& {} \cdots + \left(\frac{1}{n-1} + \frac{1}{n}\right) + \left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}\right) + \left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2}\right) + \cdots \\
& {} =\infty.
\end{align}

: Kontua da terminoak ez direla ezeztatzen.

* Izan bedi *k* zenbaki oso positibo bat. Orduan,

:: \sum^\infty_{n=1} {\frac{1}{n(n+k)}} = \frac{H_k}{k},

: non *H*k baita zenbaki harmoniko *k*-garrena. 1/(k–1) eta gero, termino guztiak ezeztatu egiten dira.

## Erreferentziak 
## Kanpo estekak