Einsteinen tentsore

thumb|286x286px|Espazio-denboraren distortsioa, Einsteinen erlatibitate orokorrak aurresaten duen bezala.
Geometria diferentzialaren alorrean, **Einsteinen tentsorea** barietate sasiriemanndarraren kurbadura definitzeko erabiltzen den bi heineko tentsorea da. Izena Albert Einstein fisikariarengandik datorkio, eta **aztarna alderantzizkatutako Ricciren tentsorea** ere deitzen zaio. Erlatibitate orokorrean espazio-denboraren kurbadura adierazteko erabiltzen da; zehazki, Einsteinen eremu-ekuazioetan, espazio-denboraren kurbadura lokala espazio-denbora horretako energia eta momentuarekin erlazionatzeko.

Einsteinen tentsorearen definizio matematikoa:

\mathbf{G_{\mu\nu}}=\mathbf{R_{\mu\nu}}-\frac{1}{2}\mathbf{g_{\mu\nu}}R

* \mathbf{G_{\mu\nu}}: Einsteinen tentsorea
* R^{\mu\nu}: Ricciren tentsorea
* R : Kurbadura-eskalarra edo Ricciren eskalarra
* g^{\mu\nu} : Tentsore metrikoa

## Historia 
Newtonen Grabitazio Unibertsalaren Legeak ia berrehun urtez egon ziren zalantzapean jarri gabe. Newtonen formulaziotik mende batera, behaketa astronomiko garrantzitsu batzuk agertu ziren, teoria eta behaketen artean azaldu ezin zirenak. Newtonen ereduan grabitatea objektu masiboen arteko indar erakarle baten emaitza izan zen. Indar horren izaera ezezagunak Newton bera ere kezkatzen bazuen ere, oinarrizko teoria oso arrakastatsua izan zen planeten dinamika deskribatzeko. Anomalia horietako bat Merkurioren orbiten higidura izan zen.

Albert Einstein espazio-denboraren kurbaduraren jatorri fisikoa aztertzen aritu zen. 1913an, Marcell Grossgam matematikariarekin elkarlanean jardun ondoren, naturaren legeak orokorrean modu kobariantean adierazten zituen grabitazio teoria eraiki zuen. Teoria honi *Entwurf* izena jarri zioten. 
thumb|306x306px|"Einsteinen teoria" baieztatu zen 1919an. Argazki honetan *The New York Times* aldizkariko berria.
Einstein, ordea, ez zen gustora geratu egindako lanarekin; 1913ko abuztuaren 16an Lorentzi idatzitako eskutitzean aitortu zion *Entwurf* teoriak "ugly dark spot" bat zuela . Arazoa zen, azken teoria honen oinarrizko ekuazioak (eremu grabitatorioaren ekuazioak), ez zirela osotasunean kobarianteak. Izan ere, ekuazio hauen limite Newtondarrean Newtonen Grabitazio legea berreskuratzeko konplikazio matematikoak eduki zituztenez, eremu grabitatorioen ekuazioen adierazpenetik Ricciren tentsoreak kentzea erabaki zuten.

Hau da bere hasierako hipotesi okerra:

R_{\mu\nu}=T_{\mu\nu}

Hipotesi honen bidez Merkurioren perihelioaren prezesioa ondo finkatuta geratzen zen. Einsteinek uste zuen lortu zuela hainbeste urteetan ezezagunak ziren dinamika batzuk definitzea, baina bizkor konturatu zen ez zela teoria oso sendoa. Izan ere, energia-momentu lokalaren kontserbazioa ez zen betetzen unibertsoaren dentsitatea konstantea ez bazen. Beste hitz batzuetan, unibertsoa osatzen zuen objetu orok dentsitate berdina izan behar zuela, eta jakina, hori ez da erreala.

Gaur egun badakigu akats bat izan zela, adierazpen zuzena Ricciren tentsoreen bidezkoa baita. Buruhaustez beteriko hiru urteren ondoren, 1915eko azaroan Einsteinen eremu-ekuazio arrakastatsuak aurkeztu zituen Berlingo *Königlich-Preußische Akademie der Wissenschaften-*en *(*Zientzien Prusiar Akademia).  Ekuazio hauek idazteko Einsteinen tentsorea deiturikoa definitu zuen.

Hala ere, teoria guztien atzean beti dago norbait lehenago aurkitu zuela esango duena. Nahiz eta Einsteinek eremu ekuazioak aurkitu, David Hilbert matematikari alemaniarrak artikulu batean argitaratu zituen Einsteinen artikulua baino lehen. Horrek Einsteinen aurkako plagio salaketak ekarri zituen, baina ez Hilberten aldetik. Ondorioz, Einsteinen ekuazioak moduan ezagutzen ditugun ekuazio horiek "Einstein-Hilberten eremu ekuazioak" moduan esan behar direla esaten da. Hala ere, Hilbertek ez zuen bere lehentasuna eskatu, eta batzuk esan zuten Einsteinek aurkeztu zituela ekuazio zuzenak, Hilbertek bere lana zuzendu aurretik. Horrek iradokitzen du Einsteinek garatu zituela lehenengo eremu-ekuazio zuzenak, nahiz eta Hilbertek, agian, geroago beregain iritsi.

### Bestelako teoriak 
Hainbat saio egin dira erlatibitate orokorraren akatsak aurkitzeko. Horietatik ezagunenak Brans – Dicke teoria (eskalar-tentsore teoria bezala ere ezaguna) eta Rosen teoria bimetrikoa dira. Bi teoriek erlatibitate orokorraren eremu-ekuazioetarako aldaketak proposatu zituzten. Rosenen jatorrizko teoria ezeztatua izan da pulsar binarioen behaketa batzuen ondorioz.

Gainera, erlatibitate orokorra mekanika kuantikoarekin bateraezina da; materiaren partikula-uhin dualtasunak eta mekanika kuantikoak deskribatzen dituen teoria fisikoek, ez dute grabitatearen erakarpenik deskribatzen eskala mikroskopikoan.Fisika komunitatean espekulazio handia dago erlatibitate orokorrean eta mekanika kuantikoan behar liratekeen eraldaketei buruz, elkarren artean bat egiteko.

Erlatibitate orokorra eta mekanika kuantikoa elkartzen dituen teoria hipotetikoari grabitate kuantikoa deitu ohi zaio. Baina oraindik teoria huts bat da.

## Jatorria 
Korrespondentzia printzipioetatik abiatuz, Einsteinen tentsoreak eduki behar dituen propietateak ondorioztatu daitezke.

### Korrespondentzia printzipioak 
* Eremu grabitatorioa estatikoa eta ahula bada eta abiadurak ez-erlatibistak, Newtonen grabitazio unibertsalaren legea berreskuratu beharda. (Grabitazio newtondarraren orokorpena da erlatibitate orokorra.)
* Eremu grabitatoriorik ezean, abiadura guztietan, erlatibitate berezia berreskuratu behar da. (Erlatibitate bereziaren orokorpena da erlatibitate orokorra.)

Grabitazioa estatikoa eta ahula bada eta abiadurak txikiak, hurbilketa ona izango da Newtonen teorian \Phi potentzial grabitatorioak betetzen duen ekuazioa:

\nabla^2\Phi=4\pi G\rho non G grabitazio unibertsalaren konstantea eta \rho masa dentsitatea diren.

Eremu grabitatorioa ahula denean, metrika Mikowskiren metrikaren antzekoa da:

g_{\mu\nu}=\eta _{\mu\nu}+h_{\mu\nu} non |h_{\mu\nu}| eremu grabitatorioak eragindako perturbazio txikia den.

Orduan, eremu grabitatorio estatiko ahuletan:

g_{00}=\eta_{00}+h_{\mu\nu}\approx-1-\frac{2\Phi}{c^2}

(Grabitazio iturritik aldentzean \Phi \longrightarrow0 eta g_{00}\longrightarrow\eta_{00}=-1; Mikowskiren metrika berreskuratzen da)

Erlatibitatean energiaren zati bat masa da. Hortaz, masaren dentsitateaz gain, energiarena ere hartu beharko da kontuan. Baina energia eta momentu lineala ez dira independenteak, elkarrekin transformatzen baitira Lorentzen transformazioetan. Beraz, masaren eta momentu linealaren dentsitateak eta korronteak kontsideratu behar dira. Horregatik, Newtonen ekuazioan, masa dentsitatea energia-momentu tentsorearekin ordezkatzea da egokiena. Grabitazioaren jatorria \rho dentsitate txikia duen eta v abiadura txikian doan hauts-hodei bat dela onartzen badugu, energia-momentu tentsorean v/c eta \rho v/c ordenako gaiak arbuila ditzakegu

(R^\nu_\sigma-\frac{1}{2} R\delta^\nu_\sigma)_{;\nu}=0

Eta horregatik dira Ricciren tentsoreak egokiak Einsteinen tentsorea adierazteko (parentesi artekoa Einsteinen tentsorea da).

Ricciren tentsoreek indizeen arteko simetria hau dute: R_{\mu\nu}=R_{\nu\mu}

Eta ondorioz, Einsteinen matrizeek propietate hau izango dute:

G_{\mu\nu}=G_{\nu\mu}

Baldintza honek tentsoreen osagaien kopurua murrizten digu; izan ere, bi indize ditugu, indize bakoitzak lau osagai izanik (bat denborarena eta beste hirurak espazioarena) eta tentsoreek 16 osagai izatea ahalbidetzen du. Simetria honek, aldiz, 10 osagaietan uzten du tentsorea.

Badago Einsteinen tentsorea adierazteko beste modu bat: energia-momentu tentsorearen bidez. Horretarako bi heineko tentsore orokorrena hartzen da, betiere metrikaren deribatu altuenak bigarrenak dituena, eta hauek bakarrik modu linealean dituena:

K_{\mu\nu}=\alpha R_{\mu\nu}+\beta R g_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}

Kasu honetan \Lambda=0 hartuko dugu; bestela, ez da desagertzen azken gaia grabitaziorik gabeko espazio-denbora mikowskiarrean, eta korrespondentzia printzipioaren aurka doa. Energia-momentu tentsorearekin lotuta dagoenez bere propietateak jarraituko ditu. Horietako garrantzitsuena, deribatu kobariantearena.

T^{\mu\nu}_{;\nu}=0

Gure tentsoreari hau aplikatuz honetara heltzen gara:

(\frac{1}{2}\alpha+\beta)R_{;\nu} g^{\mu\nu}=0

Ondorioz, gure konstanteen balioak finka genitzake: \beta=\frac{-\alpha}{2}

Eta gure ekuazioa honela geratuko litzateke:

K_{\mu\nu}=\alpha G_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu} non \kappa=\frac{8\pi G}{c^4} 
 den.

\alpha=1 moduan hartuko dugu (limite newtondarra ), eta Einsteinen tentsorearen eta energia-momentuaren tentsorearen arteko erlazio bat lortuko dugu:

G_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}

Azken adierazpen honetan dauden ekuazioak Einsteinen eremu-ekuazioak izenez ezagutzen dira.

## Traza 
thumb|243x243px|Traza matrize karratu baten diagonaleko osagaien batura da
Erlatibitate orokorrean traza erabiltzen da, baina aljebran aztarna izenez ere ezagutzen da. Matrize karratu baten traza bere diagonal nagusiko elementuen batura da.

Einsteinen tentsorearen traza lortzeko, metrika tentsoreakin egingo dugu kontrakzioa, n dimentsiotan. Hau da:

g^{\mu\nu} G_{\mu\nu}=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}

Definizioak kontuan hartuz, Riemannen eskalarra ekuazioaren eskuma aldeko lehenengo zatia da. Ezkerreko aldean, formatu berdina du. Bestetik metrika tentsoreen arteko biderkadura dimentsioaren arabera geratuko da.

G=R-\frac {1}{2}nR=\frac {2-n}{2}R

Formula honetatik atera dezakegun ondorio garbiena n=4 denekoa da. Izan ere, lau dimentsiotan G=-R da, hau da, Einsteinen tentsorearen traza lau dimentsiotan Ricciren tentsorearen aurkakoa da. Hori dela eta, Einsteinen tentsoreari "aztarna alderantzizkatuko Ricciren tentsorea" deritzogu.

## Aplikazioak 
### Einsteinen eremu-ekuazioak 
thumb|359x359px|Einsteinen eremu-ekuazioak ( Einstein's field equations EFE)
*Ikus artikulu nagusia : Einsteinen eremu-ekuazioak.*

Einsteinen eremu-ekuazioek espazio-denboraren geometria materiaren distribuzioarekin lotzen dute. Honela adierazten dira:

G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \kappa T_{\mu \nu} 

Ikusten den bezala, aurrerago genuen ekuazioaren antzekoa da, konstante kosmologiko izenez ezagutzen den koefizientea aldatzen da bakarrik. Kontua da Einsteinen tentsorea definitzeko unean baztertu zela \Lambda , baina Einsteinek ondorioztatu zuen konstante kosmologikoa beharrezkoa eta egokia zela zabaltzen edo kontraitzen ez den unibertso batean. Bi arazo nagusi izan zituen:

* Azaldu daitezkeen egoera geldikorren soluzioak ez dira egonkorrak
* Unibertsoaren zabalkuntza dago, Edwin Hubblek ondorioztatu zuen moduan.

Hala ere, urte batzuen burura, behaketa astronomiko batzuk frogatu zuten unibertsoa azeleratzen dagoela. Azelerazio positibo hori adierazteko modu bakarra konstante kosmologiko positiboa kontuan hartu behar da. 

Konstante kosmologikoa baztergarria da galaxia edo galaxia baino txikiagoko eskaletan.

## Berezitasuna 
Einsteinen tentsorea metrikaren dibergentziarik gabekoa da, eta soilik metrikaren lehenengo eta bigarren ordenako deribatu partzialak ditu. 1971an David Lovelock-ek lau dimentsioko barietate diferentziagarrian baldintza hauek betetzen dituen tentsore bakarra Einsteinen tentsorea dela frogatu zuen. 

Einsteinen eremu-ekuazioek hiru oinarrizko baldintza betetzen dituzte:

# Newton-Poissonen ekuazio grabitazionalaren orokorpen bat izatea, eta limite Newtondarrean berau berreskuratzea
# Edozein koordenatu sistemetan aplikagarria izatea
# Edozein metrikatarako energia-momentuaren kontserbazio kobariante lokala bermatzea

Badaude hiru baldintza hauek betetzen dituzten beste ekuazio alternatibo batzuk, esaterako, Einstein-Cartan teorian deskribatzen direnak. Azken teoria hau erlatibitate orokorretik bereizten da espazio-denboraren kurbaduran tortsio ez nuluko baldintza ezartzean. 

## Erreferentziak 
## Ikus, gainera 
## Kanpo estekak