Koordenatu sistema

thumb|386x386px|3 dimentsioko espazioko koordenatu sistemen adibideak
**Koordenatu sistema** *n* dimentsioko espazio bateko puntu bakoitzari koordenatu (zenbaki) *n*-kote bat esleitzeko bilduma da. Horrela, erreferentziatzat hartutako puntu edo ardatz finkoekiko posizioa zehazteko erabiltzen diren *n* koordenatuek *n* dimentsioko espazioan edozein objektu era bakarrean kokatzen dute. Beraz, koordenatu sistema ondo definituta egoteko, *n* dimentsioko espazioan erreferentzia gisa finkatzen diren koordenatu-jatorria (O letraz adierazten dena) eta, gehienez, *n* koordenatu-ardatza behar dira. Azken horiek objektu bat koordenatu-jatorritik zein distantziatara dagoen zehazteko erabiltzen diren ardatz irudikariak dira. Hau da, horrelako, ardatz bakoitzak koordenatu bat zehazten du, eta, era ordenatuan, *n* koordenatuek objektua espazioan kokatzen dute era bakarrean. Koordenatuen ordena esanguratsua da, eta, normalean, koordenatuak *n*-kote baten bidez adierazten dira. 

Koordenatu sistema mota ugari daude, eta, aztertu nahi den fenomenoaren arabera, bat edo beste aukeratzen da. *n* dimentsioko espazioan erabilitako koordenatu sistema guztiak baliokideak dira; hau da, *n* dimentsioko koordenatu sistemen artean, erlazio zehatzak daude, eta sistema batetik bestera pasa daiteke. Hala eta guztiz ere, aztergai den fenomenoaren arabera, kalkulu analitikoak errazten direlako, sistema bat edo beste lehenesten da. 

Koordenatu-sistema batean, geometria analitikoa arduratzen da, aljebra eta analisi matematikoaren oinarrizko teknikak aplikatuz, lerro eta forma geometrikoen ikerketa egiten.

Koordenatu sistemak, gertaera fisikoak neurtzeko gai den behatzailea eta gertaerak noiz jasotzen diren neurtzeko erlojuarekin batera, erreferentzia sistema osatzen du. Erreferentzia sistema baten bidez objektuen posizioa, bektore baten osagaiak edo higidura deskribatzen, eta, analitikoki, aztertzen dira.

## Sarrera
### Koordenatuak geometrian
thumb|eskuinera|350px|thumb|Hiru dimentsioko koordenatu cartesiarren sistema
Geometrian, koordenatuak zenbakizko balioak dira, eta, plano batean edo espazioan, puntu batek duen posizioa zehazten dute. Plano euklidear batean, puntu baten posizioa puntu batean (jatorria) angelu zuzenean (koordenatu-ardatzak) gurutzatzen diren bi lerro zuzenekiko distantziek zehaztu dezakete; koordenatuetako bati, ordenatu deritzo, eta, besteari, abzisa. Espazio euklidear tridiomentsionalean, Descartesen sistemaren arabera, puntu baten posizioa zehaztuta dago baldin eta elkarrekiko angelu zuzenean dagoen puntu batean ebakitzen diren hiru koordenatu-planoetarako distantziak zehazten badira. Hala ere, puntu bat zehazteko modu horiek ez dira posible diren bakarrak; izan ere, beste forma batzuk dira koordenatu polarrak planoan edo koordenatu esferikoak (non jatorria esfera multzo baten erdian baitago) edo koordenatu zilindrikoak espazioan distantzia gutxiago eta orientazio-angelu gehiago zehaztea eskatzen dutenak.

Geografian, koordenatuak gutxi gorabehera esferikoa den koordenatu-sistema gisa aukeratzen dira: latitudea, longitudea eta altuera ezagutzen den maila orokorretik gora (adibidez, ozeanoarena). Latitudeak, ekuatorearekiko, puntu baten iparra-hegoa kokapena neurtzen du; longitudeak, Greenwich meridianoarekiko, ekialde-mendebalde kokapena neurtzen du, eta altuerak erreferentzia-maila bati buruzko puntu baten gorapena adierazten du, hala nola itsasoaren maila. Koordenatu-sistema hori funtsezkoa da Lurraren gainazalean zehazki kokatzeko, eta kartografian, nabigazioan, topografian eta GNSS (Satelite bidezko nabigazio-sistema) teknologietan erabiltzen da, mundu osoko lekuen irudikapen geoespazialerako eta geolokalizazio zehatzerako oinarri sendoa emanez.

Koordenatu-sistemarik erabiliena, koordenatu angeluzuzeneko sistema da, koordenatu cartesiarren sistema ere esaten zaio. Sistema mota horrek koordenatu-sistema bakar gisa funtziona dezake espazio euklidear oso baterako eta espazio horren barruan dauden puntu eta objektuetarako. Hori lortzeko, koordenatu-jatorriaren nozioa behar da.

Planoko eta espazioko koordenatuak nahi adina modutan defini daitezke. Problema matematiko edo fisiko ugari ebazteko, koordenatu-sistema espezifiko bat aukeratu behar da, problema kasu jakin bakoitzean errazago edo komenigarriago ebatzi ahal izateko.

### Koordenatuak fisikan eta astronomian
Astronomian, zeruko koordenatuak kantitate angeluarren pare ordenatu bat dira (adibidez, igoera zuzena eta deklinazioa), eta, haien bidez, zeru-esferako puntu argitsuen eta puntu osagarrien posizioa zehazten da. Praktikan, hainbat zeru-koordenatu sistema erabiltzen dira. Horietako bakoitza, funtsean, koordenatu esferikoen sistema bat da (koordenatu erradialik gabe), oinarrizko plano bat eta jatorri egoki bat dituena. Oinarrizko planoaren aukeraren arabera, zeruko koordenatu-sistemari deitzen zaio: horizontal (zeruertzaren plano), ekuatorial (ekuatore-plano), ekliptiko (ekliptikaren plano) edo galaktiko (plano galaktiko). Koordenatu-sistemen kontzeptua espazio euklidearra baino konplexuagoak diren espazio geometrikoei aplikatzen zaie; horregatik, definizio formala behar da puntuen kokapena zehazteko. Kontuan izan behar da, kosmologia modernoaren arabera, espazio-denboraren forma espazio kurbatua dela; beraz, unibertsoan ezingo lirateke beti koordenatu kartesiarrak erabili.

### Definizio formala
Demagun N dimentsioko barietate-egitura duen \mathcal{E} espazio geometriko edo topologiko bat dugula, koordenatu-sistema bat difeomorfismo bat da: \phi:\mathcal{E} \to A\subset\R^n, non A = \phi[\mathcal{E}] espazio euklidear *n* dimentsionalaren multzo irekia den. Hau da, P\in \mathcal{E} puntu bakoitzeko \phi(P) = (x_1, \dots, x_n) koordenatuak ditugu: \mathcal{E} espaziorako *n*-kote horien guztien multzoak koordenatu-sistema lokal bat definitzen du.

## Koordenatu sistema ezagunenak 
### Sistema koordenatu lineala
Zenbaki errealen multzoa da, grafikoki, zenbaki arrunt, oso, zatikizko, hamartar eta abar guztiak koka daitezkeen zuzen batez irudikatua.

Zuzenaren puntu bakoitzak zenbaki erreal bat adierazten du, dela korrespondentzia biunibokoaren bidez edo aplikazio bijektibo baten bidez, zenbakiak puntu bereziki markatu gisa irudikatzeko erabilia, adibidez, zenbaki osoak **lerro zuzen graduatu**.

Zuzen errealeko zenbaki erreal bat adierazteko, letra larriak eta dagozkien koordenatuak erabiltzen dira, hala nola **A(5), B(3), C(-3), D(-5)**, etab. puntuak.
center|Zuzen erreal

### Koordenatu sistema kartesiarrak 
Artikulu nagusia: «koordenatu kartesiar»

Koordenatu sistema kartesiarra da sinpleena, espazio euklidearretan gehien erabiltzen dena. René Descartes (1596-1650) filosofo eta matematikaria izan zen koordenatu sistema hori publikatzen lehena, eta, horregatik, *Renatus Cartesius*, bere izen latindarra, erabili zen sistema hori izendatzeko. N=2 dimentsioko espazio euklidearrerako definitu bazituen ere, orokortuz, *n* dimentsioko espazio euklidearretan defini daiteke.

*n* dimentsioko espazio euklidearreko ardatz koordenatuak, jatorritik pasatuz, elkarrekiko elkarzutak diren lerro zuzenak dira. *n* koordenatu ardatzek elkar ebakitzen duten puntua (*O*) da koordenatu sistemaren jatorria, eta espazioko puntu bakoitzari dagozkion koordenatuak jatorritik punturako distantzien proiekzio ortogonalen luzerak(x_i \in \mathbb{R}) dira. Koordenatu ardatz bakoitzak koordenatu-jatorriak zehazten dituen alde positiboa eta negatiboa ditu, eta, beraz, proiekzio ortogonala ardatzaren zein aldetan dagoen, koordenatuak positiboak zein negatiboak izan daitezke.

Hortaz, *n* dimentsioko espazio batean puntu baten posizioa, koordenatu kartesiarren bidez zehaztuta, hurrengoa litzateke:  (x_1, x_2,...,x_n).

Kordenatu kartesiarrak erabiliz, espazioko *P* puntu bat jatorriarekiko duen distantzia, \overline{OP}, eta bektorea, \vec{OP}, adieraziz ere, modu bakarrean zehatz daiteke:\overline{OP}=r=\sqrt{\sum_{k=1}^N x_k^2 }\vec{OP}= \textstyle \sum_{k=1}^N x_k\hat{u_k}\displaystyle 

non \hat{u_k}  koordenatu ardatzaren norabidearen bektore unitario den.

==== Koordenatu sistema kartesiar linealak (N=1) ====
thumb|Dimentsio bakarreko koordenatu sistema kartesiarra|252x252px
Dimentsio bakarreko espazio euklidearreko –hots, zuzen baterako– koordenatu sistema kartesiarra zehazteko, koordenatu ardatz bakarra behar da. Ardatz horren gainean, koordenatu jatorria dago, *O*, eta horrek ardatzaren noranzkoa zehazten du alde negatiboa eta positiboa bereiztuz. Normalean, eta zuzena horizontalean kokatuta badago, ezkerreko partea negatiboa da, eta eskuineko partea, positiboa. Espazioko puntu bakoitzari dagokion koordenatua jatorritik punturako distantzia da.

Dimentsio bakarreko sistema kartesiarreko ardatzari, zuzen erreala deitzen zaio. Zenbaki erreal bakoitzak era bakarreko kokapena du lerroan, koordenatua. Alderantziz, zuzenaren puntu bakoitzaren koordenatua zenbaki gisa interpreta daiteke jarraibide ordenatu batean, hala nola zenbaki erreal gisa.

Hortaz, dimentsio bakarreko espazio batean, puntu baten posizioa koordenatu kartesiarren bidez zehaztuta, puntua bera litzateke:  x \in \mathbb{R}.

Kordenatu kartesiarrak erabiliz, espazioko P puntu bat jatorriarekiko duen distantzia, \overline{OP}, eta bektorea, \vec{OP}, adieraziz ere, modu bakarrean zehatz daiteke:\overline{OP}=r=\sqrt{ x^2 }=|x| \vec{OP}= \textstyle x\hat{u}\displaystyle non \hat{u}  koordenatu ardatzaren norabidearen bektore unitario den.

==== Koordenatu sistema kartesiarrak planoan (N=2) ====
thumb|Hiru punturen koordenatu kartesiarrak planoan
Bi dimentsioko espazio euklidearreko –hots, plano euklidearreko– koordenatu sistema kartesiar bat zehazteko, elkarzutak diren bi zuzen erabiltzen dira. Horrela, koordenatu-sistema ortogonala lortzen da. Ardatz horizontala izendatzeko, *OX* ardatza erabiltzen da, eta, ardatz bertikala izendatzeko, *OY* ardatza. Zuzen horiek sistemaren koordenatu ardatzak dira, eta elkar ebakitzen duten puntua, berriz, koordenatu jatorria.  

Orokorrean, *OX* ardatzeko jatorritik eskuineranzko distantziak positibotzat hartzen dira, eta ezkerreranzkoak negatibotzat. *OY* ardatzeko jatorritik goranzko distantziak positibotzat hartzen dira, eta negatibotzat jatorritik beheranzkoak.

Espazioko puntu bakoitzari dagozkion koordenatuak koordenatu jatorritik punturako distantziaren proiekzio ortogonalen luzerak dira. *OX* ardatzarekiko koordenatuari abzisa deritzo, eta  *OY* ardatzerainoko distantzia adierazten du. Normalean, x ikurraz adierazten da. Aldiz, *OY* ardatzarekiko koordenatuari, ordenatu deritzo, eta *OX* ardatzerainoko distantzia da; normalena, y ikurraz adierazten da. Planoko puntu baten posizioa, koordenatu kartesiarren bidez zehaztuta, hurrengoa litzateke: (x,y).

Koordenatu kartesiarrak erabiliz, planoko P**(x,y)** puntu bat jatorriarekiko duen distantzia, \overline{OP}, eta bektorea, \vec{OP}, adieraziz ere, modu bakarrean zehatz daiteke: \overline{OP}=r=\sqrt{ x^2 + y^2 }\vec{OP}= \textstyle x\hat{i} + y \hat{j}  \displaystyle non **\hat{i}** eta **\hat{j}**, hurrenez-hurren, *OX* eta *OY* koordenatu ardatzen norabidearen bektore unitarioak diren.

==== Koordenatu sistema kartesiarrak espazioan (N=3) ====
thumb|288x288px|Hiru dimentsioko koordenatu sistema kartesiarra
Hiru dimentsioko espazio euklidearreko –hots, espazioko– koordenatu sistema kartesiarra zehazteko elkarzutak diren hiru zuzen erabiltzen dira. Horretarako, hirugarren ardatz bat baliatzen da (*OZ* ardatza), beste bi ardatzekiko perpendikularrean kokatua; puntuaren posizioa, orduan, hiru koordenatu bidez adierazten da **(x,y,z)**.

Koordenatu kartesiarrak erabiliz, espazioko P=**(x,y,z)** puntu bat jatorriarekiko duen distantzia, \overline{OP}, eta bektorea, \vec{OP}, adieraziz ere, modu bakarrean zehatz daiteke:\overline{OP}=r=\sqrt{ x^2 + y^2 + z^2}\vec{OP}= \textstyle x\hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k} \displaystyle non **\hat{i}**, **\hat{j}** eta **\hat{k}**,  hurrenez-hurren, *OX, OY* eta *OZ* koordenatu ardatzen norabidearen bektore unitarioak diren.

### Koordenatu sistema polarrak 
thumb|Hiru puntu ezberdinen koordenatu kartesiar eta polarrak. 0 \leq \theta Koordenatu sistema polarrak n=2 dimentsioko espazioan, hots, planoan, definitzen dira, eta, simetria zentrala duten sistemekin erabiltzeko, egokiak dira. Sistemaren erdiko puntua koordenatu-jatorria da, eta *polo* esaten zaio. Bertatik, ardatz koordenatua (*polo-ardatza*) igarotzen da, eta sistema kartesiarreko *OX* ardatzaren baliokide da. Kasu horretan, planoko puntu baten koordenatuak polorainoko r distantzia eta polo-ardatzarekin osatzen duen \theta angelua dira. *Koordenatu erradial* edo *erradio bektorea* deitzen zaio *r* distantziari (r \geq 0), eta *koordenatu polarra* edo *angelu polarra*  \theta koordenatuari, zeinak balioak [0, 2\pi) (edo baliokidea dena (-\pi, \pi]) tartean hartzen dituen.

Hortaz, koordenatu polarrak, bi dimentsiotako plano batean, puntu bat distantzia eta angelu banarekin definitzen dituen koordenatu sistema da. Koordenatu polarrak (r,\theta) tuplarekin adierazten dira.

*Polo* puntuaren kasua berezia da; izan ere, ez du adiera bakarra sistema horretan. Koordenatu erradiala nulua (r=0) da, baina koordenatu polarrak edozein balio har dezake. Konbenioz, eta adiera bakarra izan dezan, koordenatu polar nulua hartzen da (\theta =0°). Horrela, *polo* hurrengo eran adierazten da: *O = (0,0^\circ).*

### Log-polar koordenatuen sistema
Puntu bat bi zenbakirekin identifikatzen duen koordenatu-sistema bat da; bat puntu jakin baterako distantziaren logaritmorako, eta, bestea, angelu baterako. Koordenatu logaritmikoak estuki lotuta daude koordenatu polarrekin, zeinak, eskuarki, simetria birakariren bat duten planoko domeinuak deskribatzeko erabiltzen diren.

==== Koordenatu sistema polarren hedatzea N=3 dimentsioan ====
Koordenatu sistema polarrak planorako definitzen badira ere, baditu ezagunak diren bi hedatze 3 dimentsioko espazioetarako: koordenatu sistema zilindrikoak eta koordenatu sistema esferikoak.

###### Koordenatu sistema zilindrikoak 
thumb|Koordenatu sistema zilindrikoa
Koordenatu sistema zilindrikoak N=3 dimentsiorako koordenatu sistema polarren hedadura dira. Polo-ardatza izateaz gain, puntu batek espazioan izango duen altuera zehazteko, *OZ* ardatza erabiltzen da, hiru dimentsioko koordenatu kartesiarretan bezala.

Hortaz, espazioko puntu bat zehazteko, bi dimentsioko koordenatu polarrak *(r,\theta)* eta puntuak koordenatu horiek dauden plano horretarainoko z distantzia ematen dituzten zenbakietako bakoitza dira koordenatu zilindrikoak. Puntua, horrela, hiru koordenatu bidez adierazten da *(r,\theta,z)*.

Zilindrikoa izena lehenengo koordenatua konstantetzat hartuz eta beste bi koordenatuak balio guztietatik pasaraztean sortzen den gainazaletik dator, hain zuzen ere, zilindro-gainazal bat sortzen delako.

###### Koordenatu sistema esferikoak 
thumb|Koordenatu sistema esferikoaKoordenatu sistema zilindrikoak, N=3 dimentsiorako, koordenatu sistema polarren hedadura dira. Kasu horretan, bigarren koordenatu-ardatz bat izan beharrean, puntu bat espazioan kokatzeko hirugarren koordenatua angelu bat da, eta, horrek, lehen koordenatuarekin batera, puntua espazioaren zein altuera planotan dagoen zehazten du. Hortaz, espazioan, puntu bat zehazteko erabiltzen diren koordenatu esferikoak bi dimentsioko koordenatu polarrak *(r,\theta)* eta *\phi *angelua dira:* r* koordenatuak polo-jatorritik punturako distantzia adierazten du (r \geq 0); *\theta* koordenatuak; *OXY* planoko angelua zehazten du, hau da, puntua OXY planoan non kokatzen den (OX ardatzetik 0 \leq \theta ), eta \phi koordenatuak, berriz, *OXZ* planoko angelua zehazten du (*OZ* ardatzetik 0 \leq \phi \leq \pi). Espazioko puntu baten posizioa, koordenatu esferikoen bidez zehaztuta, hurrengoa litzateke:  *(r,\theta, \phi)*.

### Koordenatu sistema ortogonalak 
Sistema erabilienak dira, eta koordenatu-ardatzak elkarzutak dituzten koordenatu sistemak dira. Hau da, puntu bakoitzean, ardatz koordenatuak elkarren perpendikularra da, eta, gainera, ardatz koordenatu guztiak, bat ez ezik, hartuz, puntu bakoitzeko *gainazal koordenatuak* lortzen dira.

Adibidez, aurretik aipatutako hiru dimentsioko espazioetako koordenatu sistemak ortogonalak dira: koordenatu sistema kartesiarrak espazioan, koordenatu sistema zilindrikoak eta koordenatu sistema esferikoak. Horietan eratzen diren gainazal koordenatuak bi dimentsioko objektu geometrikoak dira; batzuetan, lauak (planoak), eta, besteetan, kurbadunak (zilindroak, zirkunferentziak, esferak…).

Ardatz perpendikularrik ez duen koordenatu-sistemak existitzen dira, eta koordenatu lapran izena deritze. Azken kasu horretan, bigarren koordenatu-sistema baten orientazioa (normalean «lokala» esaten zaiona), nodoan finkatua, lehenengoan oinarrituta definitzen da (normalean «globala» edo «mundukoa»). Adibidez, gorputz zurrun baten orientazioa orientazio-matrize baten bidez adieraz daiteke, hiru zutabeetan hiru puntuko koordenatu kartesiarrak dituena. Puntu horiek sistema lokalaren ardatzen orientazioa definitzeko erabiltzen dira; ardatz horiekin lerrokatutako hiru bektore unitateren puntak dira.

## Sistema geografikoak 
Lurra, oro har, espazio geometriko arruntenetako bat da, kokapenaren neurketa zehatza eskatzen duena, eta, beraz, sistemak koordinatzen dituena. Garai helenistikotik abiatuz, hainbat koordenatu-sistema garatu dira aurreko motetan oinarrituta, besteak beste: 
* Koordenatu geografikoen sistema, latitudearen eta longitudearen koordenatu esferikoak.
* Koordenatu-sistema proiektatuak, milaka koordenatu-sistema kartesiar barne, bakoitza mapa-proiekzio batean oinarrituta, munduaren edo eskualde baten azalera planetarioa sortzeko.
* Koordenatu geozentrikoen sistema, Lurra objektu gisa modelatzen duen hiru dimentsioko koordenatu kartesiarren sistema, sateliteen orbitak modelatzeko gehien erabiltzen dena, posizionamendu sistema globala eta satelite bidezko beste nabigazio sistema batzuk barne.

### Koordenatu homogeneoak
Matematikan, eta zehatzago geometria proiektiboan, koordenatu homogeneoak proiekzio-espazioko puntu bat deskribatzeko erabiltzen diren tresnak dira. August Ferdinand Möbius matematikari alemanak sartu zituen 1837an.

Espazio euklidearrean lan egiteko, koordenatu-sistema alternatibo gisa ere erabil daitezke, bada, hori proiekzio-espazioaren azpimultzo gisa ikus baitaiteke. Horrela, koordenatu homogeneoak asko erabiltzen dira infografian eszenak hiru dimentsiotan irudikatzeko. Haren forma matrizialeko notazioa 3Dko programazio grafikoko liburutegietan erabiltzen da, hala nola OpenGL-n eta Direct3D-n.

Koordenatu homogeneoetan, bi dimentsioko puntu oro hiru koordenatuk definitzen dute; hala,  dimentsioko puntu bat honela adierazten da:

Bi dimentsioko koordenatuak errazago aurki daitezke  bada, sinplifikazio bidez. Hiru dimentsiotan, gauza bera gertatu ohi da.

Idazkera horren ondorio bat da puntu propio batek infinitu modu idazteko dituela; izan ere, baliokidetasun-erlazio batek zehazten du puntu jakin horren eta sortzen duen zuzenaren beste edukien artean.

Oinarrizko ideia plano euklidearra (bi dimentsioko kasuan) plano proiektibora zabaltzea da. Horrek puntu desegokiak, edo infinitua, kontuan hartzea eskatzen du. Puntu desegokia  dena da, eta zuzen baten norabideak zehazten du, plano proiektiboan dagoena

### Ohiko beste sistema batzuk
Hona hemen ohiko beste koordenatu-sistema batzuk:
* Koordenatu lerromakurrak koordenatu-sistema orokorren orokortze bat dira; sistema kurben ebakiduran oinarritzen da.
** Koordenatu ortogonalak: Koordenatu-gainazalak angelu zuzenetan aurkitzen dira.
** Koordenatu zeiharrak: Koordenatu-gainazalak ez dira ortogonalak.
* Koordenatu log-polarren sistemak puntu bat adierazten du planoan jatorrirako distantziaren logaritmoaren eta jatorria ebakitzen duen erreferentzia-lerro batetik neurtutako angelu baten bidez.
* Koordenatu plückeriarrak espazio euklidear tridimentsionalean lerroak irudikatzeko modu bat dira, koordenatu homogeneotzat seigarren zenbaki bikote bat erabiliz.
* Koordenatu orokortuak Lagrangeren mekanikaren tratamenduan erabiltzen dira.
* Koordenatu kanonikoak mekanika hamiltondarraren tratamenduan erabiltzen dira.
* Koordenatu barizentrikoak (n-simplex) diagrama hirutarrak adierazteko erabiltzen dira, eta, gehienetan, triangeluen analisian. August Möbiusek sartu zituen lehen aldiz, eta hark ebatzi zuen triangeluaren erpinetan kokatutako masen grabitate-zentroari buruzko auzia. Antzeko inbarianteak dira, eta koordenatu orokor homogeneoen kasu berezi bat adierazten dute. Koordenatu barizentrikoen puntu bat bektore espazio batean aurkitzen da n-dimentsionala E^n, eta benetako koordenatuak, kasu honetan, azpiespazioan ez dagoen puntu-sistema finko bati dagozkio (n-1)-dimentsionala. Koordenatu barizentrikoak simplexeko puntuekiko topologia aljebraikoan ere erabiltzen dira.
* Koordenatu trilinealak koordenatu homogeneoen laginetako bat dira, eta triangelu jakin batean oinarritzen dira, non puntu baten posizioa triangelu horren aldeekiko erlazioan zehazten baita, batez ere haietatik dagoen distantziaren balioagatik, nahiz eta beste aldaketa batzuk ere eman daitezkeen. Koordenatu trilinealak nahiko erraz bihur daitezke koordenatu barizentriko; gainera, koordenatu angeluzuzen bidimentsional ere bihur daitezke, eta, horretarako, dagozkien formulak erabiltzen dira. Triangeluen testuinguruan erabiltzen dira.
* Koordenatu biangeluarrak. Matematikan, koordenatu biangeluarrak planoko koordenatu-sistema bat dira, non C_1 eta C_2 bi puntu finko diren, eta \overline{C_1C_2}-rekin lerrokatuta ez dagoen **P** puntu baten posizioa \angle PC_1C_2 eta \angle PC_2C_1 angeluek zehazten dute. Koordenatu mota hori Lazare Carnotek aztertu zuen lehen aldiz, eta bere emaitzak 1803an argitaratu zituen.
* Koordenatu bipolarrak. Apolonioren zirkunferentzietan oinarritutako bi dimentsioko koordenatu ortogonal sistema bat da. Nahasgarria bada ere, termino bera erabiltzen da batzuetan koordenatu bizentrikoak izendatzeko ere. Horrez gain, hirugarren sistema bat ere badago, bi polotan oinarrituta (koordenatu biangeluarrak).
* Koordenatu bizentrikoak, (bi zentroko koordenatu bipolarrak ere deituak) Koordenatu-sistema bat dira, bi koordenatutan oinarrituta, bi zentro finkoetatik, c_1 eta c_2..​
* Koordenatu konikoak dira: esfera zentrokidez osatutako hiru dimentsioko sistema ortogonal bat, zeinak beren erradioaren bidez deskribatzen diren, eta bi kono perpendikular familiek Ox \land Oz ardatzetan zehar kokatutakoak.
* Koordenatu proiektiboak. Definituta dauden Pn(K) espazio proiektiboaren arabera izendatzen dira, eta bere elementuen eta K eremuko elementuen azpimultzo finituen klaseen arteko bana-banako korrespondentzia adierazten du, baliokidetasun eta ordenazio propietateek ezaugarritzen duena. Azpiespazio proiektiboen koordenatu proiektiboak zehazteko, nahikoa da espazio proiektiboan dauden puntuei dagokien koordenatuak zehaztea. Kasu orokorrean, oinarri bati dagokionez, koordenatu proiektiboak bide proiektibo hutsez sartzen dira.
* Rindlerren koordenatuak erlatibitatearen teoriaren esparruan erabiltzen dira, batez ere, eta espazio-denbora lauaren zati hori deskribatzen dute, normalean, Minkowski espazioa deitua. Erlatibitatearen teoria berezian, azelerazio uniformean mugitzen den partikula bat higidura hiperbolikoan da, eta Rindlerren koordenatuetako partikula horietako bakoitzerako geldirik dagoenarekiko erreferentzia-puntu bat aukera daiteke.
* Koordenatu toroidal sistema hiru dimentsioko koordenatu ortogonal sistema bat da, bi dimentsioko koordenatu bipolar sistema bat bere bi fokuak bereizten dituen ardatz baten inguruan biratuz lortzen dena. Sistema bipolarraren fokuak, hurrenez hurren, a erradioa duen eraztun bihurtzen dira, koordenatu-sistema toroidaleko Oxy planoan kokatuta dagoena, eta Oz ardatza sistemaren biraketa-ardatz bihurtzen da. Foku-eraztunari, batzuetan, oinarrizko zirkulua ere deitzen zaio.

Badaude kurbak koordenaturik gabe deskribatzeko moduak, kantitate aldaezinak erabiltzen dituzten ekuazio intrintsekoak erabiliz, hala nola kurbadura eta arku-luzera. Hauek barne hartzen dute:
* Whewell-en ekuazioak arku-luzera eta angelu tangentziala erlazionatzen ditu.
* Cesàroren ekuazioak arkuaren luzera eta kurbadura erlazionatzen ditu.

## Erreferentziak 
## Bibliografia 
* https://www.aristasur.com/contenido/sistema-de-coordenadas-geograficas-longitud-y-latitud
* 
* 
* Gelfand I.M., Glagoleva E.G., Kirillov A.A. Método de coordenadas.  (enlace inaccesible) Quinta edición, estereotipada. Serie: Biblioteca de la Escuela de Física y Matemáticas. Matemáticas. Edición 1.M.: Nauka, 1973.
* Delone N.B. Coordenadas en matemáticas // Diccionario enciclopédico Brockhaus y Efron  : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - SPb. , 1890-1907.

## Ikus, gainera 
* Erreferentzia-sistema

## Kanpo estekak