Serie konbergente

**Serie konbergentea** bere gaien batura partzialen segidak limite finitua duen seriea da; kasu horretan, serieak batura finitua du, batura partzialen segidaren limitea hain zuzen.

## Definizio formala 
Kontuan hartutako serieak zenbakizkoak (termino erreal edo konplexuekin) edo bektorialak (eratutako espazio bektorialean balioekin) dira. Termino orokorraren serieak a_n
 bat egiten du batuketa partzialen segidak bat egiten duenean.

a_n = \sum_{k=0}^n a_k

Kasu honetan, seriearen batura batura partzialen segidaren limitea da.

\sum_{k=0}^\infty a_k = \lim_{n \to \infty} a_n

Serie baten konbergentzia edo ez konbergentzia izaera ez da aldatzen seriearen termino-kopuru finitu bat aldatzen bada.

## Adibideak 
Konbergenteak dira sekuentzien serieak:

* Zenbaki oso bakoitietako elkarrekikoak, zeinuak tartekatuta dituztenak \left ( \frac{1}{1}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{5}, -\frac{1}{7}, \frac{1}{9}, -\frac{1}{11}, ... \right ). Leibnizen serie bezala ezagutzen dira:

\frac{1}{1} - \frac{1}{3} +\frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} -\frac{1}{11} ... =  \frac{\Pi}{4}
* Zenbaki triangeluarren elkarrekikoak:
\frac{1}{1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{21} + ... = 2

* Hurrengo faktorialetako elkarrekikoak (n!): 
\frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + ... = e

* Ondoz ondoko karratu perfektuen elkarrekikoak (ikus Basileako problema): 
\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \frac{1}{36} + ... = \frac{\Pi^2}{6}

* 2ren potentzien elkarrekikoak: 
\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + ... = 2

* 2ren berreturen elkarrekikoak, zeinu txandakatuekin: 
\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16} - \frac{1}{32} + ... = \frac{2}{3}

* Fibonacciren zenbakien elkarrekikoak (ikus Fibonacciren alderantzizkoen konstantea): 
\frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8} + ... = \psi

* Zeinu txandakatuak dituzten zenbaki naturalen elkarrekikoak \biggl(\frac{1}{1}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{5}, -\frac{1}{6}, \frac{1}{7}, ...\biggr)
: 
\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k} = \ln2

Dibergenteak dira sekuentzien serieak:

* Zenbaki naturalen elkarrekikoak, serie harmonikoa bezala ezagutua dena \left (1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, ... \right )
:
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + ... \rightarrow \infty

* Zenbaki lehenen elkarrekikoak \left (\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \frac{1}{11}, \frac{1}{13}, ... \right )
:

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13} + ... \rightarrow\infty

## Konbergentzia absolutua 
\sum a_n
 seriea absolutuki konbergentea dela diogu baldin eta termino orokorraren seriea \lVert a_n \rVert
 konbergentea bada. Kasu honetan \sum a_n
 serieak bat egiten du.

Erabateko konbergentzia oso interesgarria da Banachen espazio batean balioak dituzten serieak aztertzeko (horixe da zenbaki-serieen kasua), non nahikoa baita serieak erabateko konbergentzia izatea bat egiten duela frogatzeko. Teknika horri esker, kasu askotan, termino positiboen serieetan soilik egin daiteke azterketa; horretarako, metodo ugari daude.

## Gai positiboko serieen konbergentziarako-irizpideak 
**Konparazio irizpidea**: izan bitez \sum a_n

 eta \sum b_n

 gai positiboko serieak, \sum a_n  izanik. Orduan:

* \sum b_n

 konbergentea bada, \sum a_n

 ere konbergentea da.

* \sum a_n

 dibergentea bada, \sum b_n

 ere dibergentea da.

**Limitearen irizpidea**: izan bitez \sum a_n

 eta \sum b_n

 gai positiboko serieak, b_n \neq 0

 izanik n \in N

 guztietarako. Izan bedi \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lambda
.

* \lambda \neq 0, +\infty
 denean, \sum a_n

 konbergentea da baldin eta soilik baldin \sum b_n

 konbergentea bada.
* \lambda = 0

 denean, \sum b_n

 konbergentea bada, \sum a_n

 ere konbergentea da.
* \lambda = +\infty

 denean, \sum b_n

 dibergentea bada, \sum a_n

 ere dibergentea da.

'''D'Alamberten irizpidea**: izan bedi \sum a_k
 seriea gai positiboko seriea eta demagun \lim_{k \to \infty} \frac{a_{k+1}}{a_k} = l
 limitea existitu egiten dela. Orduan:

* l \sum a_k
 konbergentea da.

* l > 1 bada, orduan \sum a_k
 dibergentea da.

**Raaberen irizpidea**: izan bedi \sum a_k
 gai positiboko seriea, zeinetarako \lim_{k \to \infty} \frac{a_{k+1}}{a_k} = 1
 den, eta izan bedi \lim_{k \to \infty} 1-\frac{a_{k+1}}{a_k} = l
. Orduan:

* l >1 edo l = \infty
 bada, orduan \sum a_k
 konbergentea da.

* l \sum a_k
 dibergentea da.

**Cauchyren irizpidea** edo **erroaren irizpidea**: izan bedi \sum a_k
 gai positiboko seriea eta demagun \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{a_k} = l
 limitea existitzen dela. Orduan:

* l \sum a_k
 konbergentea da.

* l >1 bada, orduan \sum a_k
 dibergentea da.

**Integralaren irizpidea''': Izan bedi f funtzio positiboa eta beherakorra [1, +\infty
) tartean. Izan bedi a_k = f(k)
, k\in\Nu
 guztietarako. Orduan \sum a_k
 konbergentea da baldin eta soilik baldin \lim_{k \to \infty} \int_{1}^{k} f(x)dx
 existitzen bada eta finitua bada.

## Erreferentziak 
## Kanpo estekak