Leonhard Euler

**Leonhard Euler** (Basilea, Suitza, 1707ko apirilaren 15a - San Petersburgo, Errusia, 1783 irailaren 18a) matematikaria eta fisikaria izan zen. Historiako matematikari handienetakoa, Arkimedesekin, Newtonekin eta Gaussekin batera, eta, argitaratutako lan kopuruari begiratuz gero, emankorrena dudarik gabe. Orduko matematika-arlo ia guztietan ekarpen garrantzitsuak egiteaz gain, terminologia eta notazio matematiko modernoaren sortzaileetakoa izan zen. Orobat lan garrantzitsuak egin zituen fisikan, mekanikan, hidrodinamikan, optikan eta astronomian. Oso ezaguna da Eulerren (e) zenbakiagatik, zenbaki hori kalkulu-formula askotan eta fisikan agertzen baita.

Luterotar Elizaren santu egutegian, Eulerren eguna ospatzen dute maiatzaren 24an. Kristau fededuna zen, Bibliaren hutsezintasunean sinesten zuena, eta bere garaiko ateisten aurkako apologiak idatzi zituen.

Bere helduaroaren zatirik handiena, San Petersburgon (Errusia) eta Berlinen (Prusia) bizi izan zen, eta aurkikuntza garrantzitsuak egin zituen kalkulu edo grafoen teoria gisako arlo desberdinetan. Terminologia modernoaren eta notazio matematikoaren zati handi bat ere sartu zuen, bereziki analisi matematikoaren alorrerako, adibidez, funtzio matematikoaren nozioa.​ 

Euler matematikari handienetako bat izan da, emankorrenetako bat, eta kalkulatzen da haren lan osoek hirurogei eta laurogei liburuki artean beteko lituzketela.​ Pierre Simon Laplace-ri egotzitako baieztapen batek adierazten du Eulerrek ondorengo matematikariengan izan duen eragina: «Irakur Euler, irakur Euler, bera da gu guztion maisua».

## Bizitza 
### Lehen urteak 
Leonhard Euler Basilean sortu zen, Paul Euler artzain kalbinista zuen aita; ama, Marguerite Brucker, ere artzain kalbinista baten alaba zen. Hiru haurrideren arteko zaharrena zen. Oraindik haurra zelarik, familia Basilea inguruko herri txiki batera joan zen bizitzera, Riehenera. Leonharden aita Bernoulli familiakoen laguna zen, eta horrek eragina izan zuen gaztearen interes zientifikoan.

Leonhard Basileara joan zen ikasketak egitera 13 urte zituelarik. Basileako Unibertsitatean izena eman, eta, 1723an, Filosofia titulua eskuratu zuen Newton eta Descartesen arteko konparaketa bati buruzko lan bat aurkeztuz. Garai hartan, ikasgaiak jasotzen zituen Johann Bernoullirengandik, eta irakaslea berehala konturatu zen gazteak matematikarako zuen gaitasunaz.

Gaitasunak gorabehera, Eulerrek aitaren pausoak jarraitu nahi zituen, eta teologia, greziera eta hebreera ikasten ari zen artzain izateko asmoz. Johann Bernoullik Eulerren gurasoekin hitz egin, eta matematikaren munduan etorkizun oparoa izango zuela konbentzitu zituen. 1726an, soinuaren hedapenari buruzko tesia aurkeztu zuen (*De sono*), eta, 1727an, Frantziako Zientzia Akademiaren lehiaketa batera aurkeztu zuen bere burua. Lehiaketaren helburua itsasontzi batean masta nagusia kokapen egokia aurkitzeko metodo onena aurkeztean zetzan, eta Eulerrek bigarren postua eskuratu zuen, Pierre Bouguerren atzetik. Geroago lortuko zuen lehiaketan gainditzea, baita bi aldiz ere saria irabazi ere.

### San Petersburgo 
Euler, Basilean ikasle zebilen bitartean, Johann Bernouilliren semeetako bi San Petersburgon ari ziren lanean, Errusiako Zientzien Akademian. Nicolaus matematika eta fisiken arloan ari zen lanean, eta, Daniel, berriz, fisiologia arloan. Nicolausen heriotzaren ondoren, Danielek eskuratu zuen matematika eta fisikako postua, eta fisiologiakoa Eulerri eskaintzea proposatu zuen. Eulerrek, Basilean irakasle postua eskuratu nahian ari zenak, eskaintza onartu, eta 1727ko maiatzean heldu zen San Petersburgora. Laster pasa zuten fisiologia sailetik matematika sailera.

Egoera nahasia zen San Petersburgoko Akademian. Petri I.ak sortua zen atzerriko zientzialariak erakarri eta herrialdeko hezkuntza eta ikerketa arloak hobetzeko. Kanpotik zetozen ikerlari eta irakasleek baldintza onetan egiten zuten lan, baina hori aldatu egin zen garai hartako estatu burua, Katalina I.a, hil zenean, Euler San Petersburgora heldu zen egun berean. Heriotza horren ondorioz, Petri II.a, 12 urteko mutikoa, bihurtu zen estatuburu, eta errusiar nobleziak botere asko eskuratu zuen. Atzerritarrekiko mesfidantzaz, diru iturriak gutxitu, eta askatasuna murriztu zieten errusiar nobleek.

Petri II.a hiltzean, baldintzak hobetu egin ziren ikerlarientzat. Euler akademiako postuetan gora joan zen apurka, eta, 1731an, matematika sailaren zuzendaritza postua eskuratu zuen Daniel Bernoullik San Petersburgo utzi zuenean.

1734an, Euler Katharina Gsellekin ezkondu zen, Georg Gsell margolariaren alabarekin. 13 seme-alaba ukan zituzten, nahiz eta bost soilik iritsi ziren helduarora.

### Berlin 
1741eko ekainean, Berlinera joan ziren Euler eta bere familia. Errusiako Akademiako giro nahasiaz nazkaturik, Federiko II.a Handiaren eskaintza onartu, eta, Berlingo Akademian, lanpostu bat eskuratu zuen. 25 urtez bizi izan zen Berlinen, eta bertan idatzi zituen bere lan nagusiak: *Introductio in analysin infinitorum* 1748an argitaratu zuen, eta *Institutiones calculi differentialis* 1755ean. Anhalt-Dessauko printzesaren tutore izan zen, eta 200 eskutitz baino gehiago idatzi zizkion, matematika, fisika eta bere sinesmenei buruz mintzatuz. Eskutitz horiek liburu batean bildu, eta argitaratu ere egin ziren, baita bere lanik irakurriena bihurtu ere.

Berlingo Akademian zuen itzala gorabehera, Eulerrek Berlin utzi behar izan zuen, azkenean. Hein batean, Federikorekin zituen desadostasunak, Voltairerekin zituen ika-mikak eta gortean sentitzen zuen ezerosotasuna lirateke arrazoiak.

### Ikusmenaren galera 
Eulerrek ikusmen arazoak izan zituen ia bizitza osoan. 1735ean, San Petersburgon zelarik jasandako sukar bortitzen ondorioz, begi bateko ikusmena ia guztiz galdu zuen. Federiko II.ak Ziklope izengoitiz aipatzen du Euler behin baino gehiagotan. Beranduago, beste begia lausotu zitzaion, eta, 1766ean, ikusmena erabat galdu zuen. Bizitzako azken urteak itsu eman zituen.

Ikusmen falta ez zen oztopo izan bere jardun akademikoan. Memoria fotografikoa eta kalkulu gaitasun ikaragarria omen zituen, eta, seme zaharrenari diktatuz, matematika lanak argitaratzen jarraitu zuen.

### Errusiara itzulera 
1766an, Katalina Handia zen Errusiako buru, eta, akademiaren egoera hobetu zatekeelakoan, Euler San Petersburgora itzuli zen. Bertako egonaldia, ordea, zoritxarrekoa gertatu zitzaion familiari: 1771n, sute batean, etxea eta ia bizia bera ere galdu zuen Eulerrek, eta, 1773an, emaztea hil zitzaion. Hiru urte beranduago, Salome Abigailekin ezkondu zen Euler, bere lehen emaztearen ahizpa batekin.

Euler 1783an hil zen San Petersburgon, arazo zerebro-baskularren ondorioz.

## Ekarpenak 
thumb|*Solutio problematis... a. 1743 propositi* lanari dagokion ilustrazioa (*Acta eruditorum*, 1744). 
Eulerrek lan oparoa egin zuen, eta ia matematikaren garaiko adar guztietan egin zituen ekarpenak, hala nola geometria, kalkulua, trigonometria, aljebra, zenbakien teoria, fisika jarraitua, ilargiaren teoria, baita fisikaren arloan ere. Horrez gain, ekarpen garrantzitsuak egin zizkion logika matematikoari bere multzo-diagramaren bidez.

Historiako matematikari emankorrenetako bat izan da. Haren argitaratze jarduera etengabea izan zen (urtean, batez beste, 800 orrialde artikulu egiten zituen ekoizpen handieneko garaian, 1727 eta 1783 artean), eta obra osoaren zati handi bat argitaratu gabe dago. Bere lan guztien biltze eta argitaratzea, *Opera Omnia* izendatua, ​1911n hasi zen, eta gaur egun arte 76 liburuki argitaratzera iritsi da. Hasierako proiektuak, 72 liburukitan, 887 izenbururen gainean egitea aurreikusten zuen. Jakintzaren edozein arlotan lan eta artikulu gehien dituen gizakitzat hartzen da, Gaussekin soilik pareka daitekeena. Haren lan guztiak inprimatuko balira, horietako asko garrantzi handikoak, 60 eta 80 liburuki bitartean hartuko lituzkete.​ Horregatik guztiagatik, Eulerren izena matematikako auzi ugariri lotuta dago.

Uste denez, sudoku denbora-pasa sorrarazi zuen, probabilitateak kalkulatzeko jarraibide batzuk sortuz.

Jarraian, ekarpen famatuenetako batzuk zehaztu dira:

### Notazioa 
Idazkera matematikoaren arloan, bere lanen ugaritasunak eta idazkeraren zehaztasunak konbentzio asko hedatu zituen, haietako asko Eulerrek berak sortuak. Aldagai baten menpeko funtzioa idazteko *f(x)* erabiltzen, lehena izan zen, eta funtzio trigonometrikoen notazio modernoak ezarri zituen. Logaritmo naturalaren oinarria *e* letraz adieraztea, zenbaki irudikarientzat *i* erabiltzea, batukariaren \Sigma sinboloa proposatu eta hedatu zituen.

Berak proposatu ez bazuen ere, zirkunferentzia baten diametroa eta perimetroaren arteko erlazioa adierazteko **\pi** letraren erabilera hedatu zuen ikerlarien artean.

### Analisia 
Kalkulu matematikoaren garapena zen Eulerren garaiko gai garrantzitsuenetako bat. Bernoulli familiarentzat ikergai nagusietakoa izan zen, baita Eulerrentzat ere.
Kalkuluaren garapena XVIII. mendeko matematika-ikerketaren gai nagusietako bat zen, eta Bernoulli familia zen ordura arte egindako aurrerapenaren zati handi baten erantzulea. Haien eraginari esker, Eulerren lanaren objektu nagusietako bat kalkuluaren azterketa bihurtu zen. Nahiz eta haren frogapen matematiko batzuk zorroztasun matematikoaren estandar modernoetatik begiratuta ez diren onargarriak egia da haren ideiek aurrerapen handiak ekarri zituztela arlo horretan.

[eskuinera|200px|e da [zenbaki erreal zeinarentzat *x*&nbsp;=&nbsp;0 puntuan *f* (*x*) = *ax* (kurba urdina) funtzioaren deribatuaren balioa zehazki 1 den. Alderatuz 2*x* (lerro puntuduna) eta 4*x* (lerro etena) funtzioak ageri dira, eta horiek ez dira 1 malda duen lerroarekiko ukitzaileak (gorriz)|alt=e                 {\displaystyle e}     da zenbaki erreal zeinarentzat x = 0 puntuan f (x) = ax (kurba urdina) funtzioaren deribatuaren balioa zehazki 1 den. Alderatuz 2x (lerro puntuduna) eta 4x (lerro etendua) funtzioak ageri dira, eta horiek ez dira 1 malda duen lerroarekiko ukitzaileak (gorriz)]]

#### e zenbakia
Arlo horretan, Eulerrek e konstantearen balioa definitu zuen, f(x) = ex funtzioak x=0 puntuan zuen deribatuaren balioa 1 izan behar zuela esanaz, eta *f(x)* = ex funtzioa bere buruaren deribatu moduan definitu zuen

Euler ezaguna da frogapenetan berretura-serieak eta logaritmoak arrakastaz erabiltzeagatik. Zenbaki negatiboen eta zenbaki konplexuen logaritmoak nola kalkula zitezkeen zehaztu zuen, logaritmoen erabilgarritasuna handituz.

Zenbaki konplexuen berredura funtzioak aztertu, eta funtzio trigonometrikoekin zuten harremana aurkitu zuen. Horrela definitu zituen Eulerren formula eta Eulerren identitatea:

e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi

e^{i \pi} +1 = 0

Horrez gain, aljebra eragiketetan oinarritzen ez ziren funtzioak aztertu zituen, gamma funtzioa sortuz. Laugarren mailako ekuazioak askatzeko metodo bat ere garatu zuen. Limite konplexuak kalkulatzeko modua aurkitu zuen, eta, horrela, analisi konplexuaren hasiera ezarri.

#### Beste ekarpenak
Bere *Infinituen analisirako sarrera*n (1748), aljebraren, ekuazioen teoriaren, trigonometriaren eta geometria analitikoaren lehen tratamendu analitiko osoa egin zuen.

Funtzio-serieen garapena landu zuen, eta serie konbergente infinituak baino ezin direla behar bezala ebaluatu araua formulatu zuen. Gainazal tridimentsionalak ere jorratu zituen, eta sekzio konikoak, bigarren graduko ekuazio orokorraren bidez, bi dimentsiotan adierazten direla frogatu zuen.

Zenbakietarako erraztasun harrigarria eta luzera handiko kalkuluak buruz egiteko dohain arraroak gogorarazten da ezen, behin, haren ikasleetako bi hamazazpi terminoko serieen batuketa egitean, berrogeita hamargarren zifra esanguratsuaren unitate bateko emaitzekin ados ez zeudela ados eta Eulerrengana jo zutela. Hark buruz berrikusi zuen kalkulua, eta erabakia zuzena izan zen.

Astronomian, mekanikan, optikan eta akustikan ere ekarpenak egin zituen. Haren lanik aipagarrienen artean daude: *Kalkulu diferentzialaren ezarpenak* (Institutiones Calculi Differentialis) (1755), *Kalkulu integralaren ezarpenak* (Institutiones Calculi Integralis) (1768-1770) eta *Aljebrarako gida osoa* (Vollständige Anleitung zur Algebra) (1770).

### Zenbakien teoria 
Eulerren interesa zenbakien teorian Christian Goldbach-en eraginetik dator, San Petersburgoko Akademian egon zen bitartean bere laguna izan zena. Eulerrek zenbakien teorian egindako lehen lanen zati handi bat Pierre de Fermaten lanetan oinarritzen da. Eulerrek matematikari frantses horren ideia batzuk garatu zituen, baina haren aieru batzuk ere baztertu zituen.

Eulerrek zenbaki lehenen banaketaren izaera eta bere analisi matematikoaren ideiak batu zituen. Zenbaki lehenen alderantzizkoen baturaren dibergentzia frogatu zuen, eta, hori egitean, Riemann-en zeta funtzioaren eta zenbaki lehenen arteko konexioa aurkitu zuen. Horri Riemann-en zeta funtziorako Euler-en biderkadura deritzo.

Eulerrek Newtonen identitateak, Fermaten teorema txikia, Fermaten bi karratuen baturari buruzko teorema ere frogatu zituen, eta ekarpen garrantzitsuak egin zizkion Joseph-Louis Lagrangeren lau karratuen teoremari. Eulerren **φ** funtzioa ere definitu zuen: zenbaki oso positibo ororentzat, **n** baino txikiagoak edo berdinak diren osoko positiboen kopurua eta **n**-rekin batera zenbaki lehenak direnak kuantifikatzen duena. Geroago, funtzio horren propietateak erabiliz, Fermaten teorema txikia Eulerren teorema izenez ezagutzen denera orokortu zuen.

Nabarmen lagundu zuen zenbaki perfektuak ulertzen (Euklides-Eulerren teorema). Gai horrek matematikariak  liluratu zituen Euklidesen garaietatik, eta aurrera egin zuen geroago zenbaki lehenen teoreman zehaztuko zenaren ikerketan. Bi kontzeptuak zenbakien teoriaren oinarrizko teorematzat hartzen dira, eta haren ideiek Carl Friedrich Gauss matematikariaren bidea ireki zuten.

1772an, Eulerrek frogatu zuen 231 – 1 = 2&nbsp;147&nbsp;483&nbsp;647 Mersenneren zenbaki lehena dela. Digitu hori 1867. urtera arte ezagutzen zen zenbaki lehenen handiena izan zen.

### Grafoen teoria eta geometria 
eskuinera|Königsberg hiriaren mapa Eulerren garaian, berdez nabarmenduta zazpi zubiak kokatuta zeuden lekua erakusten duena.
1736an, Königsbergeko zubien problema ebatzi zuen Eulerrek, grafo teoriako lehen teorema izango zena sortuta.

1736an, Eulerrek Königsberg-eko zubien problema bezala ezagutzen dena ebatzi zuen.​ Königsberg hiria, Ekialdeko Prusian (gaur egun Kaliningrad, Errusian), Pregolia ibaiaren ertzean zegoen, eta elkarrekin zubi batez lotuta zeuden bi uharte handi zituen, eta ibaiaren bi ertzekin sei zubiren bidez (zazpi zubi guztira). Bertako biztanleek planteatzen zuten arazoa zen erabakitzea ea posible ote zen, eta nola egin, bide bati jarraituz zubi guztiak behin bakarrik gurutzatuz abiapuntura iritsiz amaitzea. Eulerrek matematikoki frogatu zuen ez zela egiterik, izan ere, konfigurazio horren bidez, ezin da osatu ibilbidea modelatzen duen grafoan gaur egun ziklo eulertar deritzona zubi kopurua bakoitia delako bi bloketan baino gehiagotan (dagokion grafoan erpinen bidez adieraziak).

Espazioan, Eulerren ezaugarria deritzona sortu zuen Eulerren erlazioaren bidez, gorputz geometriko baten aurpegien, hertzen eta erpinen arteko erlazioa zehazten duena. Erlazio horren azterketaren ondorioz sortuko zen beranduago topologiaren arloa.

Soluzio hori grafoen eta grafo lauen teoriaren lehen teorematzat hartzen da eta L'Huillier-ek, topologiaren jatorria suposatu zuen.

Geometria analitikoaren arloan, gainera, triangelu bateko puntu nabarmenetako hiru —barizentroa, ortozentroa y zirkunzentroa— ekuazio berari obedi ziezaioketela ikusi zuen, hau da, zuzen berari. Barizentroa, ortozentroa eta zirkunzentroa dituen zuzenari «Eulerren zuzena» deritzo bere omenez.

### Matematika aplikatua 
Euler analisi matematiko nozioak mundu errealeko problemetan arrakastaz aplikatzeagatik famatu zen. Bernoulliren zenbakiak, Fourierren serieak, Venn diagramak, *e* eta \pi zenbakiak, integralak... erabili zituen, eta, horientzat, aplikazio berriak aurkitu zituen.

Eulerren arrakasta handienetako batzuk izan ziren analisi matematikoaren bidez mundu errealeko problemak ebaztea Matematika aplikatuak deritzon horretan, eta aplikazio ugarien deskribapenean, hala nola Bernoulliren zenbakiak, Fourierren serieak, Venn-en diagramak, Eulerren zenbakiak,  e  eta  \pi  konstanteak, zatiki jarraituak eta integralak. Leibniz-en kalkulu diferentziala Newtonen fluxio-metodoarekin integratu zuen, eta kalkuluak problema fisikoetan aplikatzea errazten zuten tresnak garatu zituen. Eulerrek Fourierren serieak erabiltzen zituen Fourierrek berak aurkitu aurretik, eta bariazioen kalkuluaren Lagrangeren ekuazioak, Euler-Lagrangeren ekuazioak.

Aurrerapen handiak egin zituen integralak ebazteko zenbakizko hurbilketak hobetzeko, Eulerren hurbilketak izenez ezagutzen dena asmatuz. Hurbilketa horietan, nabarmenenak ekuazio diferentzial arruntak ebazteko Eulerren metodoa da, eta Euler-Maclaurin formula. Metodo horren bidez, urratsez urrats aldagai independentea handitzen joaten da, eta hurrengo irudia deribatuarekin aurkitzen da. Ekuazio diferentzialen erabilera ere erraztu zuen, bereziki Euler-Mascheroni konstantea sartuz:

:\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n} - \ln(n) \right).

Bestalde, Eulerren interes deigarrienetako bat izan zen ideia matematikoen aplikazioa musikari. 1739an, *Tentamen novae theoriae musicae* obra idatzi zuen; horrekin espero zuen matematikaren erabilera teoria musikalari gehitu ahal izatea. Bere lanaren zati honek, ordea, ez zuen publikoaren arreta gehiegi erakarri, eta honela deskribatu zen: «musikarientzat matematikoegia eta matematikarientzat, berriz, musikalegia».

### Fisika eta ingeniaritza 
Analisi matematikoa problema fisikoei aplikatu zien, fisika, ingeniaritza, mekanika, optika eta astronomian ekarpenak eginez.

Eulerrek kurba elastikoaren ekuazioa garatzen lagundu zuen, ingeniaritzaren zutabe bihurtu zena. Bere tresna analitikoak mekanika klasikoko problemetan arrakastaz aplikatzeaz gain, Eulerrek zeruko astroen mugimenduen arazoen gainean ere aplikatu zituen. Bere ibilbidean, egindako astronomia-lanak Frantses Akademiaren hainbat sari jaso zituzten, eta eremu horretan egindako ekarpenek zenbait gai hartzen dituzte beren baitan, hala nola kometen eta zeruko beste gorputz batzuen orbitak zehaztasun handiz ezartzea, lehenen izaeraren ulermena areagotuz, edo eguzki-paralaxiaren kalkulua. Eguzki-sistemaren egiturari eta dinamikari buruzko funtsezko zazpi lege edo printzipio formulatu zituen, eta baieztatu zuen zeruko eta planeten gorputz ezberdinak Eguzkiaren inguruan biraka dabiltzala forma eliptikodun orbita bati jarraituz. Haren kalkuluek nabigaziorako luzera-taula zehatzagoak garatzen ere lagundu zuten.​ Halaber, Ilargiaren mugimenduari buruzko lanak ere argitaratu zituen.

Gainera, Eulerrek ekarpen garrantzitsuak egin zituen optikaren arloan. Ez zegoen ados Newtonek argiari buruz garatutako teoriekin, *Opticks* lanean garatutakoekin, alegia, zeinak teoria nagusiak baitziren une hartan. 1740ko hamarkadan optikari buruz egindako lanek lagundu zuten Christiaan Huygens-ek proposatutako korronte berriak uhin formako argiaren teoria hegemoniko bihurtzea. Teoria berriak estatus horri mantenduko zuen argiaren teoria kuantikoa garatu arte.

Mekanikaren arloan, Eulerrek, 1739ko bere tratatuan, esplizituki sartu zituen partikula eta masa puntualaren kontzeptuak eta notazio bektoriala, abiadura eta azelerazioa adierazteko, eta horrek mekanikaren Lagrangerainoko azterketa guztiaren oinarriak ezarriko zituen. Solido zurrunaren mekanikaren arloan, «posizioa deskribatzeko Eulerren hiru angeluak» deiturikoak definitu zituen, eta mugimenduaren teorema nagusia argitaratu zuen, Horren arabera, beti dago aldiuneko errotazio-ardatz bat eta mugimendu librearen soluzioa (angeluak denboraren arabera garbitzea lortu zuen).

Hidrodinamikan, jariakin ez konprimagarriak aztertu, eta hidraulikako Eulerren ekuazioak zehaztu zituen.

Maxwelli ehun urte baino gehiago aurreratuz, erradiazio-presioaren fenomenoa aurreikusi zuen, elektromagnetismoaren teoria bateratuan funtsezkoa dena. Eulerren ehunka lanetan, bere garairako izugarri aurreratutako arazo eta kontuen erreferentziak aurkitzen dira, bere garaiko zientziaren esku ez zeudenak.

Ingeniaritzan, elastikotasunaren ekuazioa garatzen lagundu zuen, eta zutabeen karga kritikoa eta gilbordura aztertu zituen.

### Logika 
Silogismoak aztertzeko kurba itxiak erabili, eta Euler diagramak sortu zituen.

### φ funtzioa 
1763an, Eulerren φ funtzioa sortu zuen. Hala ere, une horretan ez zuen sinbolo berezirik aukeratu hura denotatzeko. 1784ko argitalpen batean, Eulerrek sakonago aztertu zuen funtzioa, eta π letra grekoa aukeratu zuen hura denotatzeko: πD idatzi zuen «D baino zenbaki txikiagoak eta berarekin zatitzaile komunik ez dutenak» idazteko.

1879an, J.J. Sylvesterrek funtzio horretarako termino totientea asmatu zuen, eta Eulerren funtzio totiente edo Eulerren totiente ere deitzen zaio. Eulerren ideia orokortzea da Jordanen totientea.  **n**-ren kobotientea **n-φ(n)** gisa definitzen da. **n** baino txikiagoak edo berdinak diren osoko positiboen kopurua kontatzen du, gutxienez, **n** duten faktore lehenetsi komun bat dutenak.

## Ikus, gainera 
* Königsbergeko zazpi zubietako ebazkizuna
* e (zenbakia)
* Eulerren identitatea
* Euler diagrama
## Erreferentziak 
## Beste irakurketa batzuk 
* *Lexikon der Naturwissenschaftler*, 2000. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag.
* Demidov, S.S., 2005, «Treatise on the differential calculus» en Grattan-Guiness, I., ed., *Landmark Writings in Western Mathematics*. Elsevier: 191-98.
* Dunham, William (1999) *Euler: The Master of Us All*, Washington: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-328-0.
* Euler, Leonhard (1768) - Mínguez Pérez, Carlos (ed.) (1990) *Cartas a una Princesa de Alemania sobre diversos temas de Física y Filosofía*, Prensas de la Universidad de Zaragoza, ISBN 84-7733-145-6
* Fraser, Craig G., 2005, «Book on the calculus of variations» en Grattan-Guiness, I., ed., *Landmark Writings in Western Mathematics*. Elsevier: 168-80.
* Gladyshev, Georgi, P (2007) «Leonhard Euler’s methods and ideas live on in the thermodynamic hierarchical theory of biological evolution», *International Journal of Applied Mathematics & Statistics* (IJAMAS) 11 (N07), Special Issue on Leonhard Paul Euler’s: Mathematical Topics and Applications (M. T. A.).
* 
* Heimpell, Hermann, Theodor Heuss, Benno Reifenberg (editors). 1956. *Die großen Deutschen*, volume 2, Berlín: Ullstein Verlag.
* Krus, D.J (2001) «Is the normal distribution due to Gauss? Euler, his family of gamma functions, and their place in the history of statistics», *Quality and Quantity: International Journal of Methodology,* 35: 445-46.
* Nahin, Paul (2006) ''Dr. Euler's Fabulous Formula'', New Jersey: Princeton, ISBN 978-0-691-11822-2
* Reich, Karin, 2005, «Introduction' to analysis» en Grattan-Guiness, I., ed., *Landmark Writings in Western Mathematics*. Elsevier: 181-90.
* Sandifer, Edward C (2007), *The Early Mathematics of Leonhard Euler*, Washington: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-559-3
* Simmons, J (1996) *The giant book of scientists: The 100 greatest minds of all time*, Sydney: The Book Company.
* Singh, Simon (1997). ''Fermat's last theorem*, Fourth Estate: New York, ISBN 1-85702-669-1
* Thiele, Rüdiger (2005). «The mathematics and science of Leonhard Euler», in *Mathematics and the Historian's Craft: The Kenneth O. May Lectures*, G. Van Brummelen and M. Kinyon (eds.), CMS Books in Mathematics, Springer Verlag. ISBN 0-387-25284-3.
* 

## Kanpo estekak 
* Leonhard Euler, *Zientzia.net*.
*  *The Euler Archive''.