Leibnizen serie

Matematikan, **Leibnizen formulak** π kalkulatzeko balio du. Gottfried Leibnizen ohorez horrela izendatua, honela dio:

: 1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}.\!

Aurreko espresioa serie infinitu bat da, **Leibnizen seriea** deritzona, π&nbsp;⁄&nbsp;4 denean konbergentzia lortzen duena. **Gregalik-Leibniz saila** ere deitzen zaio, James Gregoryren lana aitortzeko, Leibnizko garaikidea baita. Batuketaren ikurra erabiliz, honela adieraz daiteke seriea:

: \sum_{n=0}^\infty \, \frac{(-1)^n}{2n+1} \;=\; \frac{\pi}{4}.\!

Serie edo formula hori sailak alderantzizko funtzio tangenterako duen hedapen orokorrago baten kasu berezia da. XV. mendean aurkitu zuen Madhava Sangamagramakoak, Keralako astronomia- eta matematika-eskolaren sortzaile indiarrak, Leibnizek bere serie espezifikoa argitaratu baino 300 urte lehenago. Bere lana eskertzeko, formula horri **Madhava-Leibniz** saila ere esaten zaio.

## Demostrazioa 
Har dezagun serie geometriko infinitua

: 1 \,-\, x^2 \,+\, x^4 \,-\, x^6 \,+\, x^8 \,-\, \cdots \;=\; \frac{1}{1+x^2}, \qquad |x| 

Berdintasunaren bi kideak integratuz, potentzia batzuk lortzen dira arkotangente batentzat:

: x \,-\, \frac{x^3}{3} \,+\, \frac{x^5}{5} \,-\, \frac{x^7}{7} \,+\, \frac{x^9}{9} \,-\, \cdots \;=\; \tan^{-1} x , \qquad |x| 

x = 1 balioa sartzean, Leibnizen formula lortzen da (1 balioa π tangente da). Arrazoibide horren arazoa da 1 ez dagoela potentzia horien konbergentzia-erradioan, eta, beraz, argumentu sendoago bat behar da erakusteko seriea tan−1(1)  dela x = 1 denean. Aukera bat seriearen konbergentzia Leibnizen irizpidearen bidez erakustea da, gero Abelen teorema aplikatzeko tan−1(1) konbergentzia izan behar duela frogatzeko. Baina oinarrizko argudioa ere erabil daiteke.

### Oinarrizko argudioa 
Demagun deskonposizio hau dugula:

: \frac{1}{1+x^2} \;=\;1 \,-\, x^2 \,+\, x^4 \,-\, \cdots \,+\, (-1)^n x^{2n} \;+\; \frac{(-1)^{n+1}\,x^{2n+2} }{1+x^2}.\!

|*x*|&nbsp;&#x3C;&nbsp;1rako, eskuineko frakzioa da serie geometrikoko gainerako terminoen batura. Hala ere, ekuazioak ez ditu serie infinituak erabiltzen, eta x-ren edozein balio errealetan betetzen da. Bi kideak 0tik 1era integratuz, hau lortzen da:

: \frac{\pi}{4} \;=\; 1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \cdots \,+ \frac{(-1)^n}{2n+1} \;+\; (-1)^{n+1}\!\! \int_0^1 \frac{x^{2n+2}}{1+x^2}\,dx.\!

Gero eta n \rightarrow \infty\!\,-ra gehiago hurbildu, ekuazioko gaien baturak, integralak izan ezik, Leibnizen seriera jotzen du, eta integralak 0ra jotzen du:

: \int_0^1 \frac{x^{2n+2}}{1+x^2}\,dx \;

Horrek frogatzen du Leibnizen formula.

## π kalkulatzeko eraginkortasuna 
Praktikan, Leibnizen formula ez da oso eraginkorra π kalkulatzeko, urrats kopuru handia behar baitu nolabaiteko zehaztasuna lortzeko. π kalkulatzeko, 10 hamartar *zuzen* erabiliz, bost mila milioi eragiketa matematiko baino gehiago egin behar dira, eta ordenagailuek denbora gehiago beharko dute π kalkulatzeko formula eraginkorragoak erabiliz.

Hala ere, seriea une egokian eteten bada, hurbilketaren irudikapen hamartarra zuzena izango da beste digitu askorentzat, zifra isolatuak edo zifra multzoak izan ezik. 5 milioi termino hartuta, hau lortzen da:

: 3.1415924535897932384646433832795027841971693993873058...

azpimarratutako zifrak okerrak dira. Hain zuzen, aurresangarriak dira akatsak: Eulerren zenbakiek sortzen dituzte *En* formula asintotikoaren arabera

: \frac{\pi}{2} - 2 \sum_{k=1}^{N/2} \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1} \sim \sum_{m=0}^{\infty} \frac{E_{2m}}{N^{2m+1}}\!

no *N* zenbaki oso bat baita, 4rekin zatitu daitekeena. *N* hamarreko potentzia bada, eskuineko gai bakoitza zatiki hamartar finitu bat da. Formula Boolek serie alternoen batuketa egiteko formularen kasu berezia da. 1992an, Jonathan Borweinek eta Mark Limberrek π kalkulatu zuten 5.263 hamartarrekin, Leibnizen formulako lehen mila terminoak bakarrik erabiliz.

## Erreferentziak 
## Kanpo estekak