Erreferentzia-sistema

Fisikan, **erreferentzia-sistema** esatean, kontzeptuen multzo bat adierazi nahi da, puntu materialak ***non*** dauden eta bertako gertaerak ***noiz*** jazotzen diren zehazteko balio duena. Objektuen posizioa edo higidura deskribatu eta analitikoki aztertzeko, behar-beharrezkoa da aldez aurretik erreferentzia-sistema bat definitzea espazioan.

## Erreferentzia-sistemen osagaiak 
Fisikan erabiltzen diren erreferentzia-sistemek hiru osagai nagusi dituzte: behatzailea, koordenatu-sistema eta erlojua.
thumb|300x300px|Erreferentzia-sistemako B behatzailea, Ox,Oy,Oz ardatz koordenatuak, P puntuko (x,y,z) koordenatuak  eta t denbora neurtzeko erlojua.

### Gertaera fisikoak neurtzeko gai den behatzailea 
Sistema osoan presente dagoen ***behatzaile*** berezi bat behar da, B, neurketa espazio-denboralak egiteko. Izatez, behatzaile hori omnipresentea (toki guztietan dagoena) eta ahalguztiduna (edozer egiteko gai dena) dela imajinatuko dugu, “jainko” moduko bat, aldiune guztietan espazioko puntu guztien posizio espazio-denboralak neurtzeko gai izango dena. Neurketa horiek eginez, behatzaileak unibertsoko objektuen higidurei erreferentzia-sistema horretan dagozkien magnitude zinematikoak definitu ahalko ditu.

### Puntuak espazioan kokatzeko koordinatu-sistema 
Koordenatu-sistemak espazio tridimentsionaleko zenbait elementu geometrikoz daude osatuta. Lehenik eta behin, espazioko puntu bat definitzen da, zeinari ***jatorria*** deritzon eta O sinboloaz adierazten den. Puntu horretatik abiatuta, jatorritiko distantzia metrikoak adierazten dituzten hiru lerro kontsideratzen dira, espazioko hiru norabide nagusitan: horiexek dira espazio tridimentsionaleko ***ardatz koordenatuak***. Horietan oinarriturik, behatzaileak puntu materialen ***koordenatuak*** neurtuko ditu, ardatz bakoitzaren norabidean jatorritik punturainoko distantziak neurtuz. Horrela, unibertsoko puntu bakoitzean eta aldiune bakoitzean partikulak duen ***posizioa*** adieraziko du, hiru zenbakiren bitartez. Zenbaki horiek dira puntuaren ***koordenatuak***, puntuaren posizio zehatza adierazten dutenak. Adibidez, koordenatu kartesiarren kasuan, hiru zenbakiok x,y,z sinboloez idazten dira. Beraz, puntuaren P posizioa (x,y,z) hirukotearen bidez adierazten da.

### Gertaerak noiz jazotzen diren neurtzeko erlojua 
Erreferentzia-sistemak behar du, baita ere, espazioko puntu guztietako gertaerak noiz jazotzen diren neurtzeko ***erloju*** berezi bat*.* Erloju hori, izatez, *erloju multzo* bat da, honelaxe imajina dezakeguna praktikan: puntu guztietan erloju bat dago, eta erloju horiek guztiak elkarrekin sinkronizaturik daude. Horrela izanik, ordu bakarra izango dugu erreferentzia-sistema osoan.  Eta sinkronizazio horri esker, behatzaileak sistemako ***denbora*** neurtuko du edozein puntutan, eta gertakari fisiko bakoitza zein aldiunetan jazo den zehaztu ahalko du. Aldiune bakoitzeko denbora tsinboloaz idatziko den zenbaki batez adieraziko da.

## Mekanika newtondarreko koordenatu-sistemen ezaugarriak 
Jarraian ikusiko dugunez, mekanika newtondarrean erabiltzen diren erreferentzia-sistemek zenbait ezaugarri berezi dituzte koordenatuen osaerari dagokionez, baita denboraren eta espazioaren neurketei dagokienez ere.
### Koordenatu-sistemetako ardatzak 
thumb|300x300px|Koordenatu-sistema kartesiarra: P puntuko (x,y,z) koordenatuak eta (e_x,e_y,e_z) ardatz koordenatuak eta (\boldsymbol i, \boldsymbol j,\boldsymbol k ) bektore unitarioak..
Fisikan, mota desberdinetako koordenatu-sistemak erabiltzen dira, aztergai den fenomeno fisikoak dituen ezaugarri geometrikoak kontuan hartuta. Sistema guztiak baliokideak dira fisikaren ikuspuntutik, baina, problemaren simetriaren arabera, kalkulu analitikoak erraztu egiten dira sistema egokia aukeratzean. Hiru dimentsioko espazio fisikoan ari garenez, espazioko puntu bakoitzaren posizioa zehazteko, hiru zenbaki edo *parametro* behar dira: puntuaren hiru *koordenatuak*.

Mekanika newtondarrean gehien erabiltzen diren sistemak aipatuko ditugu jarraian, puntu bakoitzeko ardatz koordenatuak nola definitzen diren azalduz. Sistema hauek guztiak *ortogonalak* dira; horrek esan nahi du, puntu bakoitzeko hiru ardatz koordenatuak elkarren perpendikularrak direla. Bestalde, ardatz koordenatuak binaka harturik, puntu bakoitzeko *gainazal koordenatuak* lortzen dira. Gainazal horiek bi dimentsioko objektu geometrikoak dira, batzuetan lauak (planoak) eta besteetan kurbadunak (zilindroak, konoak, esferak…).

#### Koordenatu-sistema kartesiarra 
Sistema kartesiarra da sinpleena, espazio euklidearretan gehien erabiltzen dena eta beste sistemen zehaztapenerako baliagarria dena. Ardatz koordenatuak jatorritik pasatuz elkarrekiko perpendikularrak diren hiru lerro zuzen dira ( Ox,Oy,Oz ardatzak), eta espazioko puntu bakoitzari dagozkion koordenatuak jatorritik P punturako distantzien proiekzio ortogonalen luzerak dira, (x,y,z) koordenatuak. Korrdenatu kartesiarrak erabiliz gero, honelaxe adierazten dira \overrightarrow{OP} bektorea eta \overline{OP} distantzia:

\overrightarrow {OP} =\boldsymbol r = x \boldsymbol i + y \boldsymbol j + z \boldsymbol k, \overline{OP} = r = \sqrt {x^2+y^2+z^2}.Puntu bakoitzean, sistema kartesiarretako gainazal koordenatuak hiru plano dira, elkarrekiko perpendikularrak, jatorriko hiru plano koordenatuen paraleloak direnak, banaka harturik. Horien arteko ebakidurak hiru lerro zuzen dira, P puntutik pasatzen direnak eta elkarrekiko perpendikularrak direnak; horiexek dira P puntutik pasatzen diren hiru ardatz koordenatuak: e_x, e_y, e_z.Ardatz koordenatuen norabideetako bektore unitarioak berberak dira espazioko puntu guztietan: (\boldsymbol i,\boldsymbol j, \boldsymbol k) edo (\boldsymbol u_x, \boldsymbol u_y, \boldsymbol u_z)***.*** Kordenatu kartesiarretako bektore unitarioek balio berbera dute espazioko puntu guztietan. Askotan, horrek erraztu egiten ditu kalkuluak thumb|300x300px|Koordenatu-sistema zilindrikoa: P puntuko koordenatuak, ardatz koordenatuak eta bektore unitarioak.|alt=

Mota honetako koordenatuak erabili zituen lehena René Descartes (1596-1650) izan zen, eta horregatik deitzen dira “*kartesiarrak*”.
#### Koordenatu-sistema zilindrikoa 
Honelaxe definitzen dira sistema zilindrikoaren gainazal koordenatuak eta P puntuko koordenatuak, jatorri bereko sistema kartesiarrean oinarriturik.

* Lehenengo gainazal koordenatuak Oz ardatzaren inguruko \rho erradiodun zilindroak dira. Erradio horren balioa da sistema honetako lehenengo koordenatua, eta hortik datorkio sistemari “zilindrikoa” deitzea. Lehenengo ardatz koordenatua erradioaren norabideko lerro zuzen horizontala da: e_\rho.Norabide horretako bektore unitarioa \boldsymbol u_\rho da.
* Bigarren gainazal koordenatua hauxe da: Oz ardatza barnean edukirik Oxz plano bertikalarekin \varphi angelua osatzen duen plano bertikala. Bi plano horien arteko \varphi angelua da, hain zuzen, sistema honetako bigarren koordenatua. Eta puntuko bigarren ardatz koordenatua e_\varphi da. Norabide horretako bektore unitarioa \boldsymbol u_\varphi da.
* Hirugarren gainazal koordenatua P puntutik pasatzen den plano horizontala da. Sistemako hirugarren koordenatua plano horren altuera kartesiarra da: z. Eta ardatz koordenatua puntutik pasatzen den lerro zuzen bertikala da: e_z.Norabide horretako bektore unitarioa \boldsymbol u_z da.

Kasu honetan, honelaxe adierazten dira \boldsymbol r  bektorea eta r  distantzia hiru koordenatu zilindrikoen bidez: \boldsymbol r =  \rho \cos \varphi \text { } \boldsymbol i + \sin \varphi \text { } \boldsymbol j 
+ z \text { } \boldsymbol k, r^2 = \sqrt {\rho^2 + z^2}. Bestalde, ikus daitekeenez, lehenengo bi bektore unitarioak aldatu egiten dira puntutik puntura.        
thumb|300x300px|Koordenatu-sistema esferikoa: Ppuntuko koordenatuak, ardatz koordenatuak eta bektore unitarioak.

#### Koordenatu-sistema esferikoa 
Sistema esferikoaren gainazal koordenatuak eta P puntuko koordenatuak honakoak dira, jatorri bereko sistema kartesiarrean oinarriturik.

* Lehenengo gainazal koordenatuak O puntuan zentraturiko r erradiodun esferak dira. Erradio horren balioa da sistema honetako lehenengo koordenatua, eta hortik datorkio sistemari “*esferiko*” deitzea. Lehenengo kordenatua erradio hori da, , eta berari dagokion ardatz koordenatua puntutik eta jatorritik pasatzen den norabideko lerro zuzen erradiala da: e_r.
* Bigarren gainazal koordenatua hauxe da: erpina jatorrian eta ardatza Oz ardatzean daukan konoa, Oz ardatzarekin \theta angeluko irekiera duena. Hain zuzen \theta angelua da sistema honetako bigarren koordenatua. Eta puntuko bigarren ardatz koordenatua honako hau da: Ppuntua eta Oz ardatza barnean dauzkan plano bertikalaren eta esferaren arteko ebakidura, hots, jatorrian zentraturiko zirkunferentzia bertikala: e_\theta. Norabide horretako bigarren bektore unitarioa \boldsymbol u_\theta da.
* Hirugarren gainazal koordenatua hauxe da: Oz ardatza barnean daukan eta Oxzplanoarekin \varphi angelua osatzen duen plano bertikala. Plano horren eta Oxzplanoaren arteko \varphi angelu diedroa da, hain zuzen, sistema honetako hirugarren koordenatua. Eta puntuko hirugarren ardatz koordenatua konoaren eta esferaren arteko ebakidura da, alegia, e_\varphi zirkunferentzia horizontala. Norabide horretako bektore unitarioa \boldsymbol u_\varphi bektore horizontala da.

Kasu honetan, honelaxe adierazten da \boldsymbol r  bektorea hiru koordenatuen bidez: \boldsymbol r = r \sin \theta \cos \varphi \text { } \boldsymbol i +
r \sin \theta \sin \varphi \text { } \boldsymbol j + r \cos \theta  \text { } \boldsymbol k, Bestalde, hiru bektore unitarioak aldatu egiten dira puntutik puntura.

#### Koordenatu-sistema guztiak baliokideak dira 
Koordenatu-sistema guztiak baliokideak dira fenomeno fisikoak deskribatzeko, eta erlazio zehatzak daude sistema bateko koordenatuen beste sistemetako koordenatuekin erlazionatzeko. Hori dela eta, sistema desberdinetan higidura jakin bat deskribatzen duten ekuazio matematikoak desberdinak izan arren, guztiak dira baliokideak. Kalkuluak egiteko zein sistema aukeratu, hori problemaren simetria geometrikoak kontuan hartuz erabakiko da.

### Denboraren eta espazioaren izaera 
Fenomeno fisikoak aztertzeko oinarrizkoak diren denborari eta espazioari ezaugarri berezia du esleitzen zaie.

#### Denbora absolutua da 
Mekanika newtondarrean, denbora kontzeptu ***absolutua*** da. “Absolutua” dela esatean adierazi nahi da, denbora modu berean pasatzen dela erreferentzia-sistema guztietan, eta sistema desberdinetako erlojuek modu berean neurtzen dutela. Alegia, bi puntu desberdinetan jazoriko bi gertaera puntualen arteko denbora-tartea berbera dela edozein erreferentzia-sistematan neurturik; bestela esanda, posible dela erreferentzia sistema guztietako erlojuak sinkronizatzea, eta behatzaile guztiek ordu berbera neurtzea. Besteak beste, horrek esan nahi du denbora-tarteak ez daukala menpekotasunik partikula materialen posizio eta abiadurarekiko.

#### Espazioa ere absolutua da 
Mekanika newtondarrean espazioa ere kontzeptu ***absolutua*** da. Horrekin adierazi nahi da, espazioko puntuak finko daudela, nahiz eta erreferentzia-sistema higitu, eta edozein behatzailek espazioko bi punturen artean neurtutako distantzia berbera izango dela edozein erreferentzia-sistematatik neurtuta.

#### Denbora eta espazioa independenteki azter daitezke 
Denboraren eta espazioaren absolututasuna onarturik, banandurik azter daitezke bi erreferentzia-sistematako denboraren dimentsioa, (t), espazioaren hiru dimentsioak, (x,y,z), eta horiei buruko neurketen arteko erlazioak; hots, denbora eta espazioa elkarrekiko independenteak dira mekanika newtondarrean. Hain zuzen ere, denboraren eta espazioaren izaera absolutuari buruz aurreko lerroetan esandakoak laburbiltzeko, kontsidera ditzagun bi gertaera puntual S eta S' sistema inertzialen behatzaileen ikuspuntuetatik:

* S sisteman lehenengo gertaera P_1(x_1,y_1,z_1) puntuan gertatuko da t_1 aldiunean; bigarren gertaera, P_2(x_2,y_2,z_2) puntuan gertatuko da t_2 aldiunean.
* Bestalde, S' sisteman lehenengo gertaera P'_1(x'_1,y'_1,z'_1) puntuan gertatuko da t'_1 aldiunean; bigarren gertaera, P'_2(x'_2,y'_2,z'_2) puntuan gertatuko da t'_2 aldiunean.

Denbora absolutua izateak esan nahi du ezen bi gertaera horien arteko denbora-tartea berbera dela bi sistematan neurturik, hau da,

\Delta t = (t_2-t_1) = \Delta t' = (t'_2-t'_1) 

betetzen dela. Halaber, espazioa absolutua izateak esan nahi du ezen bi gertaera jazo diren puntuen arteko arteko distantzia berbera dela bi sistematan neurturik, hau da

d_{12}= \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2} =
d'_{12}= \sqrt{(x'_2-x'_1)^2 + (y'_2-y'_1)^2 + (z'_2-z'_1)^2}. 

dela. Horregatik, denboraren eta espazioaren absolututasuna onarturik, banandurik azter daitezke bi erreferentzia-sistematako denboraren dimentsioa, (t), espazioaren hiru dimentsioak, (x,y,z), eta horiei buruko neurketen arteko erlazioak; hots, denbora eta espazioa elkarrekiko independenteak dira mekanika newtondarrean.

## Mota desberdinetako erreferentzia-sistemak 
Mekanika newtondarrean, Newtonen lehenengo legean oinarriturik, bi motatako erreferentzia-sistemak erabili ohi dira, ***inertziaren printzipioa*** betetzen duten ala ez kontuan izanik.
### Inertziaren printzipioa eta Galileoren sistemak 
thumb|460x460px|S sistema inertziala bada, S' sistema ez da inertziala, \boldsymbol \omega  abiadura angeluarraz ari baita biraka. S* sistema inertziala ez da inertziala, \boldsymbol A azelerazio linealaz higitzen ari baita.
Inertziaren printzipioa betetzen duten erreferentzia-sistemak bereziak direla esan dezakegu, zeren sistema horietan inolako indarren eraginik jasaten ez duen gorputz puntuala *higidura zuzen uniformea*rekin higitzen baita: *erreferentzia-sistema* *inertzialak* dira. Sistema hauei *Galileoren sistemak* ere esaten zaie.

### Erreferentzia-sistema ez-inertzialak 
Inertziaren printzipioa betetzen ez dutenei *erreferentzia-sistema ez-inertzialak* deritze. Sistema ez-inertzialak azelerazioz edo biraka higitzen dira sistema inertzialekiko.

Fisikaren legeen adierazpena baliozkoa izan behar du errefererentzia-sistema guztietan, baina mekanika newtondarrean arazo txiki bat dago, zeren, Newtonen legeak sistema inertzialei baitagozkie bakarrik, bertan agertzen diren indar "*errealak*" kontuan hartuz gero. Lege horiek sistema ez-inertzialetan ere erabili ahal izateko, *inertzia-indarrak* gehitu behar izaten dira. Indar horiei indar "irudikari" edo "*fiktizio*" ere esaten zaie, baina nahitaezkoak dira Newtonen legeak sistema ez-inertzialetan aplikatzeko; horien artean daude *indar zentrifugoa* eta *Coriolis-en indarra*, besteak beste.thumb|Lurreko S_\text {L} erreferentzia-sistema P puntuan, Lurraren zentroko S_\text {G} sistema geozentrikoarekinn batera.
### Adibideak 
Fisika newtondarrean, hiru erreferentzia-sistema hauek erabiltzen dira gehienbat, besteak beste.
#### Lurreko erreferentzia-sistema 
Sistema hau da fisikan gehien erabiltzen dena, fenomeno fisikoa behatzen ari garen tokian, P  puntuan, koka baitaiteke beraren jatorria. Hiru ardatz koordenatuak honako hauek izan daitezke: lehena, hegoalderako norabidea, x ; bigarrena, ekialderako norabidea, y ; eta hirugarrena, tokiko bertikalaren norabidea, z . Gizakiok sistema honetan bizi gara, eta bertoko behatzaileok gara fenomeno fisikoak aztertzen dugunak; berdin dio lurrazaleko zein puntutan gauden esperimentua egiten. Irudietan S_\text {L}  sinboloaz adieraziko ddugu

Dakigunez, Lurrak birabetea osatzen du egunean zehar bere ardatzaren inguruan. Biraketa-higidura horri dagokion abiadura angeluarrak balio hau du:

\omega = \frac {2 \pi \text { rad}} {\text {86.600 s}} = 7,26 \times 10^{-5} \text {rad/s}. thumb|220x220px|Lurreko sistema, S_\text {L}, eta sistema geozentrikoa, S_\text {G}.

Argi dago, hortaz, S_\text {L}  sistema ez dela inertziala. Dena den, abiadura angeluarra hain txikia izanik, lurrazalaren gaineko higidura laburrak aztertzeko, inertzia-indarren efektua txikia da, eta arbuiatu egin daiteke lehenengo hurbilketa batean; ondorioz, horrelako kasuetan Lurreko sistema inertzialtzat hartzen da, hurbilketa modura. Baina higidura luzeak direnean, atmosferako haize-korronteak aztertzean, adibidez, oso kontuan hartu behar izaten da inertzia-indarren eragina kalkuluak egitean.
#### Erreferentzia-sistema geozentrikoa 
Sistema honen jatorria Lurraren zentroa dago, eta hiru ardatzak oso urruneko izarretarako norabideetan daude orientaturik. Hori dela eta, sistema honek ez du Lurraren biraketarik, baina Lurrarekin batera parte hartzen du Eguzkiaren inguruko higidura eliptikoan (ia zirkularra). Kasu honetan birabetea osatzeko urte bat behar duenez, batez besteko abiadura angeluarra honakoa da:

\omega = \frac {2 \pi \text { rad}} { 365 \times 86.600 \text { s}} = 
1,989 \times 10^{-7} \text {rad/s}. 
thumb|Sistema geodesikoa, S_\text {G}, eta sistema heliozentrikoa, S_\text {E}.
Agerikoa denez, Lurreko sistemaren abiadura angeluarra baino askoz txikiagoa. Ondorioz, sistema geozentrikoa inertzialtzat har daiteke higidura “ez oso luzeak” aztertu behar direnean, horrela oso hurbilketa ona lortzen baita kalkuluetan. Alboko irudian S_\text {G} eran sinbolizatu dugu.

#### Erreferentzia-sistema heliozentrikoa (Keplerren sistema) 
Kasu honetan, sistemaren jatorria Eguzkiaren zentroan dago, eta ardatzak, sistema geozentrikoan bezala daude definiturik, alegia, haiekiko paraleloak baitira. Zehaztasun handiz, sistema helizentrikoa inertziala dela kontsidera daiteke, zeren Eguzkiak galaxiaren zentroarekiko biraketan duen abiadura angeluarra oso-oso txikia baita. Sistema hau S_\text {E} sinboloaz adierazi dugu.

## Mekanika erlatibistako erreferentzia-sistemen ezaugarriak 
Orain arte aipatu duguna XIX. mendean fisikariek intuitiboki onartzen zuten fisikako ***espazio-denbora newtondarra*** izan da, zeinean independenteki aztertzen ziren espazioa eta denbora, biak ala biak absolutuak izanik. Baina XX. mendearen hasieran *erlatibitatearen teoria berezia* plazaratzean, abiadura handien kasuan suposizio hori egokia ez zela konturatu ziren fisikariak. Izan ere, mekanika erlatibistan denbora eta espazioa hertsiki erlazionaturik daude eta ez dira jadanik absolutuak. Hori dela eta. espazio-denbora kontzeptu bakarra erabili behar da, espazio tetradimentsionala bere osotasunean kontsideratuz

*Erlatibitatearen teoria berezi*an, ezin da definitu erreferentzia-sistema batean neurketa denboralak neurtzeko balio duen erloju bakar bat. Aitzitik, puntu bakoitzean erloju bat kontsideratu behar da eta erloju horiek guztiak elkarrekin sinkronizaturik egon behar dute, argi-seinaleen bitartez. Horretarako, kontuan eduki behar da argiaren abiaduraren postulatua, zeinaren arabera abiadura berberaz higitzen den sistema inertzial guztietan. Eta postulatu hori onartuz gero, *aldiberekotasuna* eta *sinkronizazioa* erlatiboak direla ondorioztatzen da, erreferentzia-sistemaren araberakoa. Horrek ondorio bereziak dauzka, mekanika newtondarrean harrigarriak zirenak:

* Sistema inertzial batean aldi berean gertatzen diren bi gertaera puntual ez dira aldi berean gertatzen beste sistema batean. Denbora ***erlatiboa*** da, hots, erreferentzia-sistemaren araberakoa. Bestela esanda, elkarrekiko higitzen ari diren bi sistema inertzial ezin dira elkarrekin sinkronizatu, ez baitute denbora berbera adierazten.
* Antzera gertatzen da objektuen luzerekin. Objektuaren luzera geldi dagoen erreferentzia-sistema batean neurtzean eta luzera berbera luzeraren norabidean higitzen ari den beste sistema batean neurtzean, emaitza desberdinak lortzen dira. Bestela esanda, espazioa ere ***erlatiboa*** da, erreferentzia-sistemaren araberakoa.

### Aldaezin espazio-denborala 
Nolanahi dela, denboraren eta espazioaren erlatibotasun horiek hertsiki lotuta daude, eta biak batera kontuan harturik magnitude berri batek balio berbera hartzen du sistema inertzial guztietan. Magnitude horrek gertaera puntualen arteko ***distantzia espazio-denborala*** definitzen du erlatibitateko espazio tetradimentsionalean. Honelaxe definitzen dena edozein sistematan P_1(x_1,y_1,z_1,t_1) eta P_1(x_2,y_2,z_2,t_2) gertaera puntualen arteko distantzia espazio-denboralaren karratua:

\Delta s^2 = c^2(t_2-t_1)^2 -(x_2-x_1)^2-(y_2-y_1)^2- (z_2-z_1)^2.

Adierazpen horretan c sinboloak argiaren abiadura adierazten du. Erlatibitate berezian, magnitude hori *aldaezina'' da. Horrek esan nahi du ezen bi gertaera puntual horien arteko \Delta sdistantzia espazio-denborala S eta S' sistema inertzialetatik kalkulatzean, kasu bietan distantzia berbera neurtuko dela:

\Delta s^2 = \Delta s'^2.

Aldaezin espazio-denboralak erlatibitate bereziko espazio tetradimentsionalaren bi punturen arteko "distantzia" adierazten du, edo, beste hitz batzuekin esanda, Minkowskiren espazioaren metrika ez-euklidearra definitzen du.

## Erreferentziak 
## Bibliografia 
* *Fisika Orokorra*, UEU, 2003, 
* Fishbane, Paul (2008) *Fisika zientzialari eta ingeniarientzat. 1. bolumena, (1.etik-21.era Gaiak)* Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea ISBN9788490820308PMC932800438.
* J.R. Etxebarria & F. Plazaola (1992) *Mekanika eta Uhinak* , UEU, 

## Ikus, gainera 
* Erreferentzia-sistema inertzial
* Erreferentzia-sistema ez inertzial
* Indar zentrifugo
* Coriolisen indar
* Teoria geozentrikoa
* Teoria heliozentrikoa
* Zinematika
* Dinamika

## Kanpo estekak