Matematika

[eskuinera|thumb|[Euklides eskolak ematen, *Atenasko eskola* margolanaren xehetasunean (Rafael)]]**Matematika** ezagutza-arlo bat da. Bertan sartzen diren gaien artean, zenbakiak daude, formulak eta erlazionatutako egiturak, formak eta horiek biltzen dituzten espazioak, eta kantitateak eta euren aldaketak. Gai horiek matematika modernoan irudikatzen dira, zenbakien teoriaren, aljebraren, geometriaren eta analisiaren azpi-diziplina handiekin, hurrenez hurren. Matematikariek ez dute adostasun orokorrik beren diziplina akademikoaren definizio komun bati buruz.

Matematika-jardueraren zatirik handienean, objektu abstraktuen propietateak aurkitu behar dira, eta horiek frogatzeko arrazoimen hutsa erabili. Objektu horiek naturaren abstrakzioak dira, edo, matematika modernoetan, zenbait propietate dituzten entitateetan, axioma deritzenetan. Froga bat da arau deduktiboen aplikazioen segida bat jadanik ezarrita dauden emaitzetan. Emaitza horiek aldez aurretik frogatutako teoremak, axiomak eta, naturaren abstrakzioaren kasuan, kontuan hartutako teoriaren abiapuntutzat jotzen diren oinarrizko propietate batzuk dituzte.

Ezagutza-arlo funtsezkoa da natur zientzietan, ingeniaritzan, medikuntzan, finantzetan, informatikan eta gizarte-zientzietan. Nahiz eta matematika asko erabiltzen den fenomenoak modelizatzeko, matematikaren funtsezko egiak ez dira edozein esperimentazio zientifikorekiko independenteak. Matematikaren arlo batzuk, hala nola estatistika eta jokoen teoria, korrelazio estuan garatzen dira beren aplikazioekin, eta matematika aplikatuen epigrafean biltzen dira. Beste arlo batzuk edozein aplikaziotatik kanpo garatzen dira (eta horregatik esaten zaie matematika puru), baina askotan geroago aplikazio praktikoak aurkitzen dituzte. Zenbaki osoen faktorizazioaren arazoak, adibidez, K.a. 300. urtean Euklidesen hasi zenak, ez zuen aplikazio praktikorik RSA kriptosisteman erabili aurretik, orain asko erabiltzen baita sare informatikoen segurtasunerako.

Historikoki, frogapenaren kontzeptua eta hari lotutako zorroztasun matematikoa lehen aldiz agertu ziren greziar matematikan, batez ere Euklidesen *Elementuetan*. Hasieratik, matematika funtsean geometrian eta aritmetikan (zenbaki naturalen eta zatikien manipulazioan) banatu zen, XVI. eta XVII. mendeetara arte, aljebra eta kalkulu infinitesimala eremu berri gisa sartu zirenean. Ordutik aurrera, berrikuntza matematikoen eta aurkikuntza zientifikoen arteko elkarreraginak bi horien garapena azkar handitzea ekarri du. XIX. mendearen amaieran, matematikaren sorrerako krisiak metodo axiomatikoaren sistematizaziora eraman zuen, zeinak iragarri baitzuen izugarri handitu zirela matematika-arloen kopurua eta haien aplikazio-eremuak. Matematika-irakasgaien egungo sailkapenak lehen mailako 60 matematika-arlo baino gehiago aipatzen ditu.

## Historia 
Nahiz eta matematika izena Grezia klasikotik datorkigun, Babiloniar Inperioko garaiko aztarnek, jadanik zenbatzeko sistema konplexuak izateaz gainera 3.mailako zenbait ekuazio ebazteko metodoak bazituztela erakutsi dute. Ezaguna da baita ere antzinako egiptoarrek Nilo ibai hertzeko lurraldeak mugatzeko trigonometria erabiltzen zutela. Geometrian ere aurreratuak ziren, piramideak eraikitzeko ezinbestekoa.

Antzinaroan, gaur egungo matematikaren arlo batzuen oinarriak ezarri baziren ere, grekoak izan ziren ordura arte ezagutzen zena, zientzia arrazional eta estrukturatu batean bihurtzen lehenak. Haiek ideia abstraktuak aztertu zituzten, nahiz eta hasiera batean aplikazio praktikorik ez eduki. Garai honetakoak dira lehenengo teorema geometrikoak, Pitagorasen teorema kasu. Geometria euklidearraren oinarri diren Euklidesen bost axiomak ere garai hartakoak dira.

Europan XIII. mendea arte ez zen aurrerapen garrantzitsurik gertatu. Mende horietan zehar batez ere indiar eta txinatar matematikariek garatu zuten matematika. Indiarrak izan ziren zero zenbakia matematikan sartu zutenak (K.o. 650) eta txinatarrak aldiz, zenbaki negatiboak. Aipatzekoak dira ere VIII. mendetik XVII.era [islamiar]]rek egindako ekarpenak.

1202. urtean Leonardo Fibonacci matematikari italiarrak, islamiar herrialdeetako maisuengandik ikasitakoaren argitalpenak, Europa mailan, greziarren garaitik ematen zen lehen aurrera pausua izan zen. Hala eta guztiz ere XVI. mendean hasi zen benetako pizkundea, ekuazio kubikoen soluzio orokorraren aurkikuntzarekin. XVII. mendean Descartesek geometria analitikoa garatu zuen, haren ekarpen nabarmenena, haren ohorez ezagutzen diren ardatz kartesiarrak izanik. Mende honetan ere, Newton eta Leibnizek, bakoitza bere aldetik, kalkulu diferentziala garatuko dute. Pierre de Fermat eta Blaise Pascalek probabilitate eta konbinatoriaren lehen lan formalak zabaldu zituzten.

XVIII. mendeko protagonista Leonhard Euler izan zen. Aurkikuntza eta garapen izugarriak egiteaz aparte, Eulerrek eragin handia izan zuen notazio matematikoaren estandarizazioan. Esaterako, John Napierrek ikertutako konstanteari lehen aldiz *e* bezala agertu zuen eta zirkunferentzia batek diametroarekin duen erlazioari *pi* deitu zion.

XIX. mendeak berriz Carl Friedrich Gauss matematikari alemaniarraren lanak ezagutuko ditu. Askorentzat historiako matematikaririk argiena den honek, geometria, aldagai konplexuzko funtzioetan eta serieen konbergentzian egin zituen aurrerapen izugarriak. Honetaz aparte teorema garrantzitsuak ere frogatu zituen, hala nola, Aljebraren oinarrizko teorema. Garai honetan ere, Euklidesen 5. axioma baztertuz, lehen aldiz geometria ez-euklidearrari buruz hitz egin zen. Gero, George Boolek garrantzi handiagoa hartuko zuen 0 eta 1ean oinarritutako Aljebra boolearra garatu zuen.
Évariste Galois matematikari frantziarrak, 16 urte zituela, matematikaren arlo berria garatu zuen, Galoisen teoria deiturikoa. Orokorrean esan daiteke matematika abstraktuago bilakatu zela mende honetan.

Garai honetan ere sortu ziren lehen matematika elkarteak. Esaterako 1865ean, Londresko matematika elkartea, 1872an Frantziako matematika elkartea edo 1889an Amerikako matematika elkartea.

## Matematikaren arloak 
Errenazimentuaren aurretik, matematika bi arlo handitan banatzen zen: aritmetika, zenbakien manipulazioari buruzkoa, eta geometria, formen azterketari buruzkoa. Sasizientzia mota batzuk, hala nola numerologia eta astrologia, ez ziren argi bereizten matematikatik.

Errenazimentuan beste bi eremu agertu ziren. Notazio matematikoak aljebra ekarri zuen, zeina, oro har, formulak aztertu eta manipulatzean datza. Kalkulua, kalkulu diferentzialaren eta kalkulu integralaren bi azpieremuek osatua, funtzio jarraituen azterketa da. Funtzio horiek kopuru aldakorren (aldagaien bidez adieraziak) arteko erlazio ez-linealak modelizatzen dituzte. Lau eremu nagusitan banatze hori –aritmetika, geometria, aljebra eta kalkulua– XIX. mendearen bukaera arte mantendu zen. Orduan, matematikariek aztertu zituzten zeruko mekanika eta solidoen mekanika bezalako arloak, baina orain fisikatzat hartzen dira. Konbinatoria historiaren zati handi batean aztertu da, baina ez zen matematikatik bereizitako adar bihurtu XVII. mendera arte.

XIX. mendearen amaieran, matematikaren fundazio-krisiak eta, ondorioz, metodo axiomatikoaren sistematizazioak matematikaren arlo berrien leherketa eragin zuten. 2020ko Matematika Irakasgaien Sailkapenak lehen mailako hirurogeita hiru arlo ditu gutxienez. Arlo horietako batzuk zatiketa zaharrenari dagozkio, hala nola zenbakien teoriari (goiko aritmetikaren izen modernoa) eta geometriari. Lehen mailako beste eremu batzuek "geometria" dute beren izenean, edo normalean geometriaren zatitzat hartzen dira. Aljebra eta kalkulua ez dira lehen mailako area gisa agertzen, lehen mailako zenbait eremutan banatzen dira, hurrenez hurren. Lehen mailako beste arlo batzuk XX. mendean sortu ziren edo lehenago matematikatzat hartu ez ziren, hala nola logika matematikoa eta fundamentuak.

### Zenbakien teoria 
[thumb|[Ulamen espiralak zenbaki lehenen distribuzioa erakusten du. Hardy eta Littlewooden F aieruak diagonalen egiturari buruzko proposamen bat egiten du.]]
Zenbakien teoria zenbakien manipulazioarekin hasi zen, hau da, zenbaki arruntekin (\mathbb{N}), eta geroago, zenbaki osoetara zabaldu zen (\mathbb{Z}) eta zenbaki arrazionaletara (\mathbb{Q}). Antzina, zenbakien teoriari aritmetika deitzen zitzaion, baina gaur egun termino hori batez ere zenbakizko kalkuluei erreferentzia egiteko erabiltzen da. Zenbakien teoria Babilonia zaharrean hasi zen, eta, seguru asko, Txinan ere. Zenbakien bi teorialari garrantzitsu Greziako Euklides eta Alexandriako Diofanto izan ziren. Zenbakien teoriaren forma abstraktuko azterketa modernoa, neurri handi batean, Pierre de Fermati eta Leonhard Eulerri egozten zaie. Adrien-Marie Legendre eta Carl Friedrich Gaussen ekarpenekin lortu zuen garapen osoa.

Erraz enuntziatzen diren zenbakizko problema askok metodo sofistikatuak behar dituzten soluzioak dituzte, askotan matematika guztietakoak. Adibide aipagarri bat Fermaten azken teorema da. Aieru hori 1637an enuntziatu zuen Pierre de Fermatek, baina 1994 arte ez zuen frogatu Andrew Wilesek, geometria aljebraikoaren eskemen teoria, kategorien teoria eta aljebra homologikoa bezalako tresnak erabilita. Beste adibide bat Goldbachen aierua da: 2 baino handiagoa den zenbaki oso bat bi zenbaki lehenen batura dela dio. Christian Goldbachek 1742an enuntziatua, oraindik ez da frogatu ahalegin handiak egin arren.

Zenbakien teoriak zenbait azpiarlo ditu, hala nola zenbakien teoria analitikoa, zenbakien teoria aljebraikoa, zenbakien geometria (metodoetan oinarritzen dena), ekuazio diofantikoak eta transzendentziaren teoria (problemei begira).

### Geometria 
[thumb|[Esfera baten gainazalean, geometria euklidearra hurbilketa lokal gisa baino ez da aplikatzen. Eskala handiagoan, triangelu baten angeluen batura ez da 180º]]
Geometria matematikaren adarrik zaharrenetako bat da. Hasieran, forma, lerro, angelu eta zirkuluei buruzko errezeta enpirikoak egin ziren, batez ere topografiaren eta arkitekturaren beharretarako, baina ordutik beste azpieremu askotan loratu da.

Funtsezko berrikuntza bat Antzinako Grezian froga kontzeptua sartzea izan zen, baieztapen guztiak frogatzea eskatzen duena. Adibidez, ez da nahikoa neurketa bidez egiaztatzea bi luzera berdinak direla; haien berdintasuna frogatu behar da aldez aurretik onartutako emaitzetatik (teoremak) eta oinarrizko baieztapen batzuetatik abiatuta. Oinarrizko enuntziatuak ez dira frogatu behar bistakoak direlako (postulatuak) edo aztergaiaren definizioaren parte direlako (axiomak). Printzipio hori funtsezkoa zen matematika guztientzat, eta lehen aldiz egin zen geometriarako, eta Euklidesek sistematizatu zuen K.a. 300. urte inguruan *Elementuak* liburuan.

Geometria euklidearra plano euklidearreko (geometria laua) eta hiru dimentsioko espazio euklidearreko lerro, plano eta zirkuluetatik abiatuta eraikitako formak eta haien antolaerak aztertzea da.

Geometria analitikoari esker, zirkuluekin eta zuzenekin zerikusirik ez duten kurbak azter daitezke. Kurba horiek funtzioen grafiko gisa defini daitezke, eta haien azterketak geometria diferentziala ekarri zuen. Ekuazio inplizitu gisa ere defini daitezke, askotan ekuazio polinomikoak (geometria aljebraikoa eragin zutenak). Geometria analitikoari esker, hiru dimentsiotik gorako espazio euklidearrak ere kontuan har daitezke. Era berean, metodo axiomatikoari esker, lortutako geometriak azter daitezke, bai axiomak aldatuz, bai espazioaren eraldaketa jakin batzuen ondorioz aldatzen ez diren propietateak kontuan hartuz.

Gaur egun, geometriaren baitan honako azpieremuak daude:
* Geometria proiektiboak, XVI. mendean Girard Desarguesek sortua, geometria euklidearra handitzen du, eta puntu batzuk gehitzen ditu infinituan, non zuzen paraleloak gurutzatzen baitiren. Horrek geometria klasikoaren alderdi asko sinplifikatzen ditu lerro paraleloen eta ebakiduren tratamendua bateratzean.
* Geometria afina, paraleloei dagozkion propietateen azterketa eta luzeraren kontzeptuarekiko independenteak.
*Geometria diferentziala, kurben, azaleren eta haien orokortzeen azterketa, funtzio bereizgarrien bidez definitzen direnak.
* Barietateen teoria, nahitaez espazio handiago batean sartuta ez dauden formen azterketa.
* Riemannen geometria, espazio kurboetako distantzia-propietateen azterketa.
* Geometria aljebraikoa, kurben, azaleren eta haien orokortzeen azterketa, polinomioen bidez definitzen direnak.
* Topologia, deformazio jarraituetan mantentzen diren propietateen azterketa.
** Topologia aljebraikoa, topologian metodo aljebraikoak erabiltzea, batez ere aljebra homologikoa.
* Geometria diskretua, geometriako konfigurazio finituen azterketa.
* Geometria konbexua, multzo konbexuen azterketa, bere garrantzia hartzen duena optimizazioan dituzten aplikazioetatik.
* Geometria konplexua, zenbaki errealak zenbaki konplexuekin ordezkatuz lortzen den geometria.

### Aljebra 
[thumb|[Formula koadratikoa, bigarren mailako ekuazioak ebazteko erabiltzen dena.]]
Aljebra ekuazioak eta formulak manipulatzeko artea da. Diofanto (III. mendea) eta al-Khwarizmi (IX. mendea) izan ziren aljebraren bi aitzindari nagusiak. Diofantok zenbaki natural ezezagunek parte hartzen zuten ekuazio batzuk ebatzi zituen, erlazio berriak ondorioztatuz ebazpena lortu arte. Al-Khwarizmik ekuazioak eraldatzeko metodo sistematikoak sartu zituen, hala nola termino bat ekuazio batetik bestera eramatea. Aljebra terminoa *al-jabr* arabiar hitzetik dator, "zati hautsien bilera" esan nahi baitu, eta metodo horietako bat izendatzeko erabili zuen bere tratatu nagusiaren izenburuan: *Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala*.

Aljebra François Vièterekin (1540-1603) baino ez zen eremu berezi bihurtu, hark aldagaiak erabili zituen zenbaki ezezagunak edo zehaztu gabeak adierazteko. Aldagaien bidez, matematika-formulen bidez irudikatutako zenbakiekin egin behar diren eragiketak deskriba ditzakete matematikariek.

XIX. mendera arte, aljebra, nagusiki, ekuazio linealak (gaur egun aljebra lineala) eta ekuazio polinomikoak ezezagun bakar batean aztertzean oinarritzen zen, ekuazio aljebraiko deritzenak (oraindik erabiltzen den terminoa, anbiguoa izan arren). XIX. mendean, matematikariak aldagaiak erabiltzen hasi ziren zenbakiez bestelako gauzak irudikatzeko (hala nola matrizeak, aritmetika modularra eta transformazio geometrikoak), eta, askotan, baliagarriak izaten dira eragiketa aritmetikoen orokortzeak. Egitura aljebraikoaren kontzeptuak gai horri heltzen dio. Multzo horren elementuak ez dira zehazten, multzoko elementuetan eragiten duten eragiketetan eta eragiketa horiek jarraitu behar dituzten arauetan. Hala, aljebraren eremua handitu egin zen, egitura aljebraikoak aztertu arte. Aljebraren objektu horri aljebra modernoa edo aljebra abstraktua deitu zitzaion, Emmy Noetherren eraginak eta lanek ezarri bezala (azken termino hori batez ere hezkuntza-testuinguru batean agertzen da, aljebra elementalaren aurka, zeina formulak manipulatzeko modurik zaharrenaz arduratzen baita).

Egitura aljebraiko mota batzuek propietate erabilgarriak dituzte, eta askotan funtsezkoak, matematikaren arlo askotan. Haren azterketa aljebraren zati autonomo bihurtu zen, eta hauek biltzen ditu:

* talde-teoria;
* eremuen teoria;
* bektore-espazioak, batez ere aljebra linealaren azterketa bera dutenak;
* eraztunen teoria;
* aljebra kommutatiboa eraztun kommutatiboen azterketa da, polinomioen azterketa barne hartzen du eta geometria aljebraikoaren zati fundazionala da;
* aljebra homologikoa;
* Lieren aljebra eta Lieren taldeen teoria;
* Booleren aljebra, ordenagailuen egitura logikoa aztertzeko asko erabiltzen dena.

Aljebra unibertsalaren eta kategorien teoriaren helburua da egitura aljebraiko motak objektu matematiko gisa aztertzea. Azken hori egitura matematiko guztiei aplikatzen zaie (ez aljebraikoei bakarrik). Jatorrian, aljebra homologikoarekin batera, objektu ez-aljebraikoak, hala nola espazio topologikoak, aztertzeko aukera emateko sartu zen; aplikazio-eremu zehatz horri topologia aljebraikoa deitzen zaio.

### Kalkulua eta analisia 
[thumb|[Cauchyren segida, arbitrarioki gertuago dauden elementuz osatua.]]
XVII. mendeko Newton eta Leibniz matematikariek modu independentean eta aldi berean sortu zuten kalkulu infinitesimala. Funtsean, elkarren mende dauden aldagaien zerrenda aztertzea da. XVIII. mendean, Eulerrek handitu egin zuen kalkulua, funtzio kontzeptua eta beste emaitza asko sartuz. Gaur egun, "kalkulua" batez ere teoria horren oinarrizko zatiari dagokio, eta "analisia" eskuarki zati aurreratuetan erabiltzen da.

Analisia, era berean, honela banatzen da: analisi erreala (aldagaiek zenbaki errealak adierazten dituzte), eta analisi konplexua (aldagaiek zenbaki konplexuak adierazten dtituzte). Analisiak matematikaren beste arlo batzuek partekatutako azpiarlo asko biltzen ditu, besteak beste:

* Aldagai anitzeko kalkulua
* Analisi funtzionala, non aldagaiek funtzio aldakorrak adierazten baitituzte;
* Integrazioa, neurriaren teoria eta potentzialaren teoria; horiek guztiak probabilitatearen teoriarekin lotura estua dute;
* Ekuazio diferentzial arruntak;
* Ekuazio diferentzial partzialak;
* Zenbakizko analisia, aplikazio askotan sortzen diren ekuazio diferentzial arrunt eta partzialen soluzioak ordenagailuetan kalkulatzeari eskainia.

### Matematika diskretua 
[thumb|Bi-egoerako [Markoven kate baten diagrama. Egoera bakoitzak 'A' edo 'E' letrak daramatza. Zenbakiak batetik bestera aldatzeko probabilitatea dira.]]
Matematika diskretuak, adiera zabalean, objektu matematiko indibidualen eta multzo zenbakigarrien azterketa dira. Adibide bat zenbaki oso guztien multzoa da. Aztergaiak diskretuak direnez, kalkulu eta analisi matematikoko metodoak ez dira zuzenean aplikatzen. Algoritmoek –bereziki haien inplementazioa eta konplexutasun konputazionala– funtsezko zeregina dute matematika diskretuetan.

Lau koloreen teorema eta esferen paketatze optimoa XX. mendeko bigarren erdian ebatzitako matematika diskretuen problema nagusietako bi izan ziren. P vs NP problema, gaur egun soluziorik gabe dagoena, matematika diskretuentzat ere garrantzitsua da, haren konponbideak arazo zail askori eragin baitiezaieke konputazioaren ikuspuntutik.

Matematika diskretuen barruan, honakoak sartzen dira:

* Konbinatoria: emandako muga batzuk asetzen dituzten objektu matematikoak zerrendatzeko artea. Jatorrian, objektu horiek multzo jakin baten elementuak edo azpimultzoak ziren; hori hainbat objektutara zabaldu da, eta horrek lotura handia ezartzen du konbinatoriaren eta matematika diskretuaren beste zati batzuen artean. Adibidez, geometria diskretuak forma geometrikoen konfigurazioen zenbaketa barne hartzen du.
* Grafoen eta hipergrafoen teoria.
* Kodetzearen teoria, erroreak zuzentzeko kodeak eta kriptografiaren zati bat barne.
* Matroideen teoria.
* Geometria diskretua.
* Probabilitate-banaketa diskretuak.
* Jokoen teoria (joko jarraituak ere aztertzen diren arren, ohikoenak, xakea eta pokerra kasu, diskretuak dira).
* Optimizazio diskretua, optimizazio konbinatorioa, programazio osoa eta murrizketadun programazioa barne.

### Logika matematikoa eta multzo-teoria 
Logika matematikoaren bi gaiak eta multzo-teoria XIX. mendearen bukaeratik daude matematikan. Garai horren aurretik, multzoak ez ziren objektu matematikotzat hartzen, eta logika, nahiz eta matematika-erakustaldietarako erabili, filosofiarena zen eta matematikariek ez zuten berariaz aztertzen.

Cantorrek multzo infinituak aztertu baino lehen, matematikariek ez zituzten onartzen bilduma benetan infinituak, eta infinitua zenbaketa amaigabe baten emaitza zela uste zuten. Cantorren lanak mindu egin zituen matematikari asko, multzoak benetan infinitutzat jotzeagatik ez ezik, horrek infinituaren tamaina desberdinak dakartzala frogatzeagatik ere, Cantorren Argudio Diagonalaren arabera. Horrek Cantorren multzoen teoriari buruzko eztabaida ekarri zuen.

Aldi berean, matematikaren zenbait arlotan ondorioztatu zen oinarrizko matematika-objektuen antzinako definizio intuitiboak ez zirela nahikoak matematika-zehaztasuna bermatzeko. Definizio intuitibo horien adibideak dira "multzo bat objektu-bilduma bat da", "zenbaki arrunta da zenbatzeko erabiltzen dena", "puntu bat zero luzera duen forma bat da norabide guztietan", "kurba bat da mugitzen ari den puntu batek utzitako arrastoa", etab.

Hori matematikaren fundazio-krisi bihurtu zen. Denborarekin, matematikaren korronte nagusian ebatzi zen, metodo axiomatikoa sistematizatuz multzoen teoria formalizatu baten barruan. Oro har, objektu matematiko bakoitza antzeko objektu guztien multzoak eta objektu horiek izan behar dituzten propietateek definitzen dute. Adibidez, Peanoren aritmetikan, zenbaki arruntak honela definitzen dira: "zero zenbaki bat da", "zenbaki bakoitzak oinordeko bakarra du", "zenbaki bakoitzak zero izan ezik aurrekari bakarra du" eta arrazoitzeko arau batzuk. Errealitatearen abstrakzio matematiko hori formalismoaren filosofia modernoan islatzen da, David Hilbertek 1910 inguruan sortu zuen bezala.

Horrela definitutako objektuen "izaera" matematikariek filosofoen esku uzten duten problema filosofikoa da, nahiz eta matematikari askok izaera horri buruzko iritziak izan eta beren iritzia —batzuetan "intuizioa" deiturikoa— erabili haien azterketa eta frogak gidatzeko. Ikuspegiak aukera ematen du "logikoak" (hau da, kenketa-arau baimenduen multzoak), teoremak, probak eta abar kontuan hartzeko. objektu matematiko gisa, eta haiei buruzko teoremak frogatzea. Adibidez, Gödelen ez-osotasunaren teoremek, oro har, esaten dute ezen, zenbaki naturalak dituen sistema formal tinko orotan, badaude egiazkoak diren teoremak (hau da, sistema solidoago batean froga daitezkeenak), baina sistemaren barruan ezin direla frogatu. Matematikaren oinarrien ikuspegi hori zalantzan jarri zuten XX. mendearen lehen erdian Brouwer buru zuten matematikariek, logika intuizionista sustatu baitzuten, ez baitzuen esplizituki hirugarrena baztertzearen printzipio.

Problema eta eztabaida horiek logika matematikoaaren hedapen zabala ekarri zuten, azpieremu hauekin: ereduen teoria (teoria logiko batzuk beste teoria batzuen barruan modelatzea), probaren teoria, tipoen teoria, konputagarritasunaren teoria eta konplexutasun konputazionalaren teoria. Nahiz eta logika matematikoaren alderdi horiek ordenagailuen gorakada baino lehen sartu ziren, konpiladoreen diseinuan, programen ziurtagirian, probetan parte hartu zutenek eta informatikaren beste alderdi batzuetan, teoria logiko horiek hedatzen lagundu zuten.

### Estatistika eta erabakiak hartzearen zientziak 
Estatistikaren eremua datu-laginak bildu eta tratatzeko erabiltzen den aplikazio matematikoa da, metodo matematikoetan oinarritutako prozedurak erabiliz, bereziki probabilitatearen teoria. Estatistikoek ausazko laginketak edo ausazko esperimentuak dituzten datuak sortzen dituzte. Lagin edo esperimentu estatistiko baten diseinuak zehaztuko ditu erabiliko diren metodo analitikoak. Behaketa-azterketetatik datozen datuen analisia eredu estatistikoen eta inferentziaren teoriaren bidez egiten da, ereduen hautapena eta zenbatespena erabiliz. Ondoren, lortutako ereduak eta iragarpenak datu berriekin probatu behar dira.

Teoria estatistikoak erabaki-problemak aztertzen ditu, hala nola ekintza estatistiko baten arriskua minimizatzea (espero den galera), hala nola prozedura baten erabilera parametro-estimazioan, hipotesiak egiaztatzean eta onena hautatzean. Estatistika matematikoaren eremu tradizional horietan, estatistika-erabakiaren problema bat formulatzeko, funtzio objektibo bat minimizatu behar da, hala nola itxarondako galera edo kostua, murrizketa espezifikoen pean. Adibidez, inkesta baten diseinuak konfiantza-maila jakin bat duen populazioaren batezbestekoa kalkulatzearen kostua minimizatzea eskatzen du. Optimizazioaren erabilera dela eta, estatistikaren teoria matematikoa beste erabaki-zientzia batzuekin gainjartzen da, hala nola ikerketa operatiboarekin, kontrolaren teoriarekin eta ekonomia matematikoarekin.

### Matematika konputazionala 
Matematika konputazionala giza zenbaki-gaitasunerako handiegiak izan ohi diren problema matematikoen azterketa da. Zenbakizko analisiak analisi funtzionalaren eta hurbilketaren teoriaren bidez analisi-problemetarako metodoak aztertzen ditu; zenbakizko analisiak, oro har, hurbilketaren eta diskretizazioaren azterketa barne hartzen du, eta arreta berezia jartzen die biribiltze-akatsei. Zenbakizko analisiak eta, zabalago, konputazio zientifikoak matematika-zientziaren gai ez-analitikoak ere aztertzen dituzte, batez ere matrizeen eta grafoen teoria algoritmikoa. Matematika konputazionalaren beste arlo batzuk aljebra konputazionala eta kalkulu sinbolikoa dira.

## Arlo formal, metodologiko eta estetikoak 
### Notazioa, hizkuntza eta arauak 
Gaur egun erabiltzen den notazio matematikoaren gehiengoa ez zen XVIII. mende arte asmatu. Hori baino lehen, matematikak hitzez idazten ziren, horrek matematikaren aurreratzea mugatzen zuen. XVIII. mendean, Euler, gaur egun erabiltzen diren notazio askoren asmatzaile izan zen. Notazio modernoak asko errazten dizkie matematikak profesionalei, baina hasiberriei, ordea, zail egiten zaie. Notazioak matematikak murrizten ditu erabat, hainbat ikurrek informazio asko izatea egiten du. Notazio musikala bezala, notazio matematiko modernoak ere sintaxi zorrotz bat badu eta beste modu batera idaztea zaila izango litzatekeen informazioa kodifikatzen du.

Hizkuntza matematikoa ere zaila izan daiteke hasiberrientzat. *Edo* eta *soilik* bezalako hitzek, egunerokotasuneko hizkuntzan duten esanahia baino zehatzagoa dute. Gainera, *ireki* eta *gorputz* esanahi matematiko oso zehatza dute. Jargoi matematikoak, edo hizkuntza matematikoak, termino teknikoak sartzen ditu *homeomorfismoa* eta *integrazioa* bezalakoak. Notazioa eta jargoia erabiltzeko arrazoia hizkuntza matematikoak egunerokotasuneko hizkuntzak baina zehaztasun gehiago behar duela da. Matematikoek hizkuntza eta logikaren zehaztasuna «zorroztasunatzat» jotzen dute.

Zorroztasuna frogapen matematiko baten ezinbesteko baldintza da. Matematikoek haien teoremak axiomei bitartez arrazoiketa sistematiko bat jarraitzea nahi dute. Horrek teorema okerrak saihesteko balio du, intuizio hutseginkorretan oinarrituak izan direnak, historian zehar hainbatetan gertatu dena. Zorroztasun maila aldatzen joan da denboran zehar: grekoek argumentu zehatzak bilatzen zituzten, baina Isaac Newtonen garaian erabilitako metodoak ez ziren hain zorrotzak. Newtonek erabiltzen zituen definizioei datxikien arazoek analisi arduratsu eta XIX. mendeko frogapenak sustatu zituen. Gaur egun, matematikoak haien artean babesten jarraitzen dira ordenagailuz lagunduriko frogapenen bidez.

Axioma bat tradizionalki «begi bistako egia» bezala interpretatzen da, baina ikuskera horrek arazoak ditu. Esparru formalean, axioma bat sinbolo kate bat besterik ez da, sistema axiomatiko batetik deribatu diren formula guztien testuinguruan berezko esanahia duena.

## Matematikari ospetsuak 
Hona hemen matematikari batzuk:[120px|thumb|[Pitagoras]]

### Grezia Klasikoa 
* Tales Miletokoa
* Pitagoras
* Euklides
* Arkimedes
* Hipatia

### Erdi Aroa 
V
:* Zu Chongzhi
XII
:* Bhaskara II.a
:* Leonardo Fibonacci
XV
:* Leonardo da Vinci

### Aro Berria 
XVI
:* Tartaglia
:* John Napier
:* Galileo Galilei
:* Johannes Kepler
XVII
[thumb|120px|eskuinera|[Pierre de Fermat]]
:* Rene Descartes
:* Pierre de Fermat
:* Blaise Pascal
:* Isaac Newton
:* Gottfried Leibniz
:* Jacob Bernoulli
XVIII
:* Leonhard Euler
:* Jean D'Alembert
:* Joseph Louis Lagrange
:* Laplace
:* Sophie Germain
:* Johann Gauss
:* Bolzano
:* Cauchy

### Aro Garaikidea 
XIX
:* Evariste Galois
:* Karl Weierstrass
:* Henri Poincaré
:* Henri Lebesgue

XX

:* John Von Neumann
:* Alan Turing
:* Edward Lorenz
:* John Nash

## Erreferentziak 
## Bibliografia 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* .
* 
* 
* 
* 
* 

## Kanpo estekak