Higidura zirkular

thumb|**Higidura zirkularra** ezagutzeko azalpena.Fisikan, **higidura zirkularra** partikula puntual batek plano batean duen higidura berezia da, zeinean ibilbidea zirkunferentzia bat den, behin eta berriro errepikatzen dena. Beraz, partikula biraka ari da zirkunferentziaren zentroaren inguruan, beti ere distantzia berberera; distantzia hori da, hain zuzen, zirkunferentziaren *erradioa*.

Partikularen abiaduraren norabidea zirkunferentziaren tangentea da etengabe; alegia, zirkunferentziaren erradioaren perpendikularra; abiaduraren modulua, ordea, aldatu egin daiteke denboran zehar. Abiaduraren modulua konstantea bada, partikulak *higidura zirkular uniformea* duela esango dugu. Nolanahi dela, ibilbidea zuzena ez denez, partikulak etengabe izango du azelerazio ez-nulua.

## Higidura zirkularra deskribatzeko kontzeptuak eta magnitudeak zinematikan 
ezkerrera|thumb|330x330px|Higidura zirkularra plano batean gertatzen da. Partikula biraka ari O biraketa-zentroaren inguruan edo gauza bera dena, Oz biraketa-ardatzaren inguruan.
Higidura zirkularraren azterketa zinematikoa eta dinamikoa era matematikoan egin ahal izateko, lehenik eta behin zenbait oinarrizko kontzeptu definitu eta zehaztu behar ditugu.

### Ibilbidearen zentroa eta erradioa 
Ibilbidea zirkunferentzia bat da, espazio tridimentsionalean plano batean (\pi planoa) irudika dezakeguna. Zinkunferentziaren zentroa O puntua da, eta erradioa, R. Erradioa konstantea da higiduran zehar. Plano horretan Oxy koordenatu-sistema kartesiarra erabil dezakegu higidura deskribatzeko.
### Biraketa-ardatza eta biraketa-zentroa 
*Biraketa-ardatza* higidurren planoarekiko perpendikularra den lerro zuzen bat da, hain zuzen ere zirkunferentziaren zentrotik pasatzen dena. Partikula ardatz horren inguruan ari da biraka, betiere distantzia berera, hau da, R erradioaz. Biraketa-ardatzaren eta \pi planoaren arteko ebaki-puntua ibilbidearen *biraketa-zentroa* da.

### Partikularen posizioa 
thumb|Higidura zirkularreko posizio espaziala eta posizio angeluarra definitzeko elementuak.|alt=|270x270px
Zinematikan ohikoa denez, lehenik ibilbidearen *jatorri-puntua* aukeratzen da, puntu horren erreferentziarekin edozein aldiunetako posizioa adierazteko. Hortaz, demagun t=0 aldiuneko posizioan partikula P_0  puntuan egon dela, eta t aldiunean partikula P  puntutik pasatu dela. Gauzak horrela, P_0 puntua *hasierako posizioa* izan da; eta P  puntua, t  *aldiuneko posizioa,* P(t) alegia. Dena den, aldiuneko posizioa bi modutara definituko dugu: \overset{\frown}{P_0 P} zirkunferentzia-arkuaren bidez eta arku horri dagokion \varphi angelu zentralaren bidez.

#### Posizio espaziala 
Aldiune bakoitzeko posizio espaziala P puntua bera izango da, eta ohikoa da t_0 \rightarrow t bitartean *ibilitako distantzia* (edo *desplazamendua*) \overset{\frown}{P_0 P} zirkunferentzia-arkuaren bidez ematea, eta arkuaren luzera s sinboloaz adieraztea. Partikula higitzen ari denez, ibilitako distantzia denboraren funtzioa da, s(t), eta luzera-unitatetan neurtzen da, hots, *metro*tan (\text {m}).

#### Posizio angeluarra 
Aldiuneko posizio angeluarra \overset{\frown}{P_0 P} arkuari dagokion \varphi angelu zentralaren bidez adierazten da. Hitzarmenez, angelu hori neurtzeko noranzko positiboa erlojuaren orratzen noranzkoaren alderantzizkoa da. Angeluaren balioa denboraren funtzioa da, \varphi (t),eta angelu-unitatetan neurtzen da, *radian*etan (\text {rad})hain zuzen. Arkuaren luzeraren eta angelu zentralaren arteko erlazio trigonometrikoa hauxe da:
s=R \varphi.

### Partikularen abiadura 
Abiadurari dagokionez, *abiadura lineala* eta *abiadura angeluarra* bereiziko ditugu:

#### Abiadura lineala 
Abiadura lineala partikularen abiadura bektorearen modulua da eta ibilitako distantziaren denborarekiko deribatua eginez kalkulatzen da:v = \frac {\text {d} s}{\text {d}t}.Kontuan izanik  s=R \varphi dela, honelaxe eman dezakegu abiadura lineala abiadura angeluarraren bidez:v = \frac {\text {d} (R \varphi)}{\text {d}t} =R \frac {\text {d}\varphi}{\text {d}t} =R \omega .Formula horretan, \omega  sinboloak jarraian aipatuko dugun abiadura angeluarra adierazten du. Geometrikoki kontsideraturik, abiadura bektoreak ibilbidearen norabide tangentziala du; hau da, ibilbidearen puntu guztietan zirkunferentziaren ukitzailea da. Abiadura lineala neurtzeko unitatea \text {m · s}^{-1}da.
#### Abiadura angeluarra 
Definizioz, abiadura angeluarra partikulak higidura zirkularrean duen posizio angeluarraren denborarekiko deribatua da:\omega \equiv \frac {\text {d}\varphi}{\text {d}t}.Abiadura angeluarra \omega sinboloaz adierazten da eta \text {rad} \cdot \text{s}^{-1} unitatetan neurtzen da.
### Partikularen azelerazioa 
*Azelerazio*aren kasuan ere, *azelerazioa lineala* eta *azelerazio angeluarra* kontsideratuko ditugu:alt=Abiaduraren eta azelerazioaren osagaiak higidura zirkularrean.|thumb|Higidura zirkularreko abiadura eta azelerazioa (osagai tangentziala eta osagai normala erakutsirik).|270x270px

#### Azelerazio lineala 
Azelerazio lineala planoko bektore modura aztertu beharko dugu, bi osagai izango batitu: osagai tangentziala eta osagai normala:

* **Azelerazio tangentziala** azelerazio bektoreak ibilbidearen lerro ukitzailearen norabidean duen osagaia da. Abiadura linealaren moduluaren deribatua eginez kalkulatzen da, eta balio hau du:a_{\text {T}}= \frac {\text {d} v} {\text {d}t}.

* **Azelerazio normala** azelerazio tangentzialaren perpendikularra da, eta beti du zentroranzko noranzkoa; horregatik, *azelerazio zentripetua* ere deritzo. Azelerazioaren osagai horrek ibilbidearen norabide-aldaketa adierazten du, ibilbidearen kurbadura sorraraziz. Higidura zirkularraren kasuan, honelaxe adieraz daiteke beraren balioa abiadura linealaren edo abiadura angeluarraren funtzioan:a_\text {N}= \frac {v^2}{R}= R \omega^2.

Beraz, azelerazio bektorearen balioa honelaxe adieraziko da bektorialki ibilbideko edozein puntutan:

\boldsymbol a = \frac {\text {d}v} {{\text {d}t}} \boldsymbol u_\text {T} + 
R \omega^2 \boldsymbol u_\text {N}

\boldsymbol u_\text {T} eta \boldsymbol u_\text {N} ibilbideko puntu bakoitzari dagozkion bektore unitario tangentziala (abiaduraren noranzkoan) eta normala (zentroranzko noranzkoan) izanik, hurrenez hurren.

#### Azelerazio angeluarra 
Definizioz, azelerazio angeluarra abiadura angeluarraren denborarekiko deribatua kalkulatuz lortzen da:\alpha \equiv \frac {\text{d} \omega} {\text{d} t} = \frac {\text{d}^2 \varphi} {\text{d} t^2}.Azelerazio angeluarra \alpha sinboloz adierazten da eta \text {rad · s}^{-2} unitatetan neurtzen da.
## Higidura zirkularraren dinamikako magnitudeak 
Higidura zirkularraren dinamika aztertzean bestelako magnitude batzuk ere erabiltzen dira:
thumb|270x270px|Higidura zirkular ez-uniformeko azelerazioaren eta indarraren osagaiak.

### Higidura zirkularreko indarrak 
Higidura zirkularreko dinamikan lehenik kontuan hartu behar dugun magnitudea higitzen ari den objektuan eragiten ari den indarra da, zeina Newtonen bigarren legean zehaztutakoa izango den:\boldsymbol F = m \boldsymbol a. Indar honen bi osagaiak honako hauek izango dira:

* **Indar tangentziala.** Aurreko atalean adierazitako azelerazio tangentzialari dagokiona da:\boldsymbol F_\text {T} = m\boldsymbol a_\text {T}
= m \frac {\text {d}v} {{\text {d}t}} \boldsymbol u_\text {T}.  Osagai hau da abiaduraren moduluan eragiten duena.
* **Indar normala.** Era berean, azelerazio normalari dagokiona da:\boldsymbol F_\text {N}= m R \omega^2 \boldsymbol u_\text {N}.Indar normal honek erradioaren norabidea du eta zentroranzko noranzkoa; horregatik, *indar zentripetua* ere deitzen zaio.Osagai honek ez du eraginik abiaduraren modulua, baina bera da ibilbidea zirkunferentzia izatera behartzen duena.

### Biraketa-zentroarekiko *momentu angeluarra* 
Definizioz, biraketa-zentroarekiko zehaztu ohi den magnitude hau bi bektoreren arteko biderkadura bektoriala da. Hortaz, bektore bat da, hain zuzen ere, partikularen \boldsymbol r posizio-bektorearen eta partikularen \boldsymbol p momentu linealaren arteko biderkadura bektoriala, ordena horretan egina:\boldsymbol L_O \equiv \boldsymbol r \times \boldsymbol p = \boldsymbol r \times m \boldsymbol v.Oro har, edozein punturekiko momentu angeluarra \boldsymbol L sinboloaz adierazi ohi da. Higidura zirkularraren kasuan, O azpi-indizea biraketa-zentroari dagokio.
### Biraketa-zentroarekiko *inertzia-momentua* 
Era honetan definituriko magnitudea da:I_O=mR^2. Alegia, partikularen masaren eta zirkunferentziaren erradioaren karratuaren arteko biderkadura da. Oro har, biraketa-ardatz batekiko inertzia-momentua I sinboloaz adierazi ohi da. Kasu honetan, Oazpi-indizea higidura zirkularreko biraketa-zentroari dagokio.

### Biraketa-zentroarekiko indar-momentua 
Higidura zirkularrean higitzen ari den partikulak jasaten duen indarraren bitartez definitzen da magnitude hau, honelaxe hain zuzen:\boldsymbol M_O \equiv \boldsymbol r \times \boldsymbol F.Hortaz, bektore bat da, balio hau duena: \boldsymbol r posizio-bektorearen eta \boldsymbol F indarraren arteko biderkadura bektoriala, ordena horretan egina. Magnitude hau \boldsymbol M edo \boldsymbol \tausinboloez idazten da. Kasu honetan ere, Oazpi-indizea higidura zirkularreko biraketa-zentroari dagokio
## Higidura zirkular uniformea 
thumb|**Higidura zirkular uniformea** identifikatzeko bideoa.
Higidura zirkularraren kasu berezi modura, oso interesgarria da abiadura lineal konstantez gertatzen dena aztertzea. Higidura horri **higidura zirkular uniformea** deritzo. Higidura zirkular uniformean zenbait magnitude fisikok balio bereziak dute.

### Abiadura lineala eta abiadura angeluarra 
Abiadura lineala eta abiadura angeluarra, biak ala biak, konstanteak dira:v= \text {kte},\omega = \text {kte}.
### Periodoa eta maiztasuna  
Higidura zirkular uniformean, partikula etengabe ari da ibilbide zirkularra osatzen, betiere denbora-tarte berbera behar izanik birabetea osatzeko. Hain zuzen, denbora-tarte horri higiduraren *periodoa* deritzo; segundotan neurtzen da eta P edo T sinboloaz adierazten da. Esan bezala, higidura zirkular uniformean, ibilbidea errepikatu egiten da denbora-tarte hori pasatu ondoren, behin eta berriro. Izan ere, periodoa konstantea da, eta higidura osoa ezaugarritzen du; horregatik, ibilbidea "*periodikoa*" dela esaten da.

Erraz kalkula daiteke periodoaren balioa abiadura angeluar edo abiadura linealaren funtzioan. Periodo batean ibilitako birabetea 2 \pi R distantziaren edo 2 \pibalioko angeluaren baliokidea dela kontsideraturik, berdintza hauek idatz ditzakegu:vP= 2 \pi R \rightarrow P=\frac {2 \pi R}{v},\omega P = 2 \pi \rightarrow P =\frac {2 \pi} {\omega}.Periodoaren alderantzizko magnitudea *maiztasuna* da; *frekuentzia*  ere esaten zaio, eta f edo \nu (“nu” letra grekoa) sinboloez adierazten da:\nu \equiv \frac {1} {P}.Higidura zirkular uniformearen maiztasunak zehazki adierazten du partikulak zenbait birabete osatzen dituen segundo bakoitzean. Maiztasuna neurtzeko unitatea *hertz* deitzen da eta \text {Hz}sinboloaz adierazten da. Hertz unitatea \text{s}^{-1}unitatearen baliokidea da dimentsionalki.thumb|Higidura zirkular uniformeko abiadura, azelerazio zentripetua eta indar zentripetua.|alt=|270x270px
### Azelerazioa 
#### Azelerazio tangentziala 
Higidura zirkular uniformearen kasuan abiadura lineala konstantea denez, azelerazio tangentziala nulua da:a_{\text{T}}=\frac {\text {d}v} {\text {d}t} = 0.

#### Azelerazio normala 
Beraz, kasu honetan partikularen azelerazioak osagai bakarra du, azelerazio normala, eta beraren balioa hauxe da:a_{\text{N}}= \frac {v^2}{R} = \omega^2 R.Azelerazio normal horri *azelerazio zentripetua* ere esaten zaio, zentroranzko noranzkoa duelako. Zer esanik ez, partikulak azelerazio hori izan dezan, kanpotik noranzko bereko indar bat egin behar zaio; horregatik, indar horri *indar zentripetua* deritzo. Hain zuzen, m masa duen partikula puntual batek higidura zirkular uniformea izan dezan, etengabe egin behar zaio balio honetako indar zentripetu bat: F_{\text{N}}= ma_{\text{N}}=m \frac {v^2}{R} = m \omega^2 R.Izatez, balio hori indar zentripetu bektorearen modulua da, eta norabidea etengabe aldatzen ari da posizioarekin, beti pasatzen baita zentrotik; gainera, beti du zentroranzko noranzkoa, alboko irudian ikus daitekeen bezala.
thumb|270x270px|Higidura zirkular uniformeko magnitudeak koordenatu kartesiarretan.

### Higidura zirkular uniformea planoko koordenatu kartesiarretan 
Higidura zirkularreko planoan, jatorria zirkunferentziaren zentroan daukan koordenatu-sistema kartesiarra hartuko dugu erreferentziatzat. Bestalde, hasierako unean, t= 0      izan denean, partikula P_0       puntutik pasatu dela kontsideratuko dugu. Gauzak horrela, honelaxe adierazi ahal dira higidura zirkular uniformeko magnitude zinematikoen balioak edozein *t* aldiunetan.

thumb|Donostiako zaldiko-maldikoa.|alt=|270x270px
## Higidura zirkular uniformeko adibideak 
ezkerrera|thumb|250x250px|alt=|Noriaren kasuan bidaiarien ibilbidea plano bertikalean gertatzen da, ardatz horizontalaren inguruan.
Eguneroko bizitzan, higidura zirkularraren hainbat adibide ditugu.

### Zaldiko-maldikoak eta noriak 
Umeek (eta helduek) gustuko jolasgarri dituzten zaldiko-maldikoek (*karrusel* ere deituak) erdigunean dagoen ardatz bertikal baten inguruan ari dira biraka. Bitartean, plataforma zirkular horizontaleko puntu guztiek higidura zirkularra osatzen dute plataformako biraketa-ardatz horren inguruan.thumb|alt=|Lurra biraka ari etengabe poloetatik pasatzen den ardatzaren ingurua, egunero birabetea osatuz.|270x270px

Norien kasuan ere, jendearentzako kutxek ibilbide zirkularra osatzen dute, baina kasu honetan biraketa-ardatza horizontala da eta higidura zirkularra plano bertikal batean gauzatzen da.
### Lurraren biraketa-higidura 
Lurra, gu bizi garen planeta, Ipar Polotik Hego Polora doan ardatzaren inguruan ari da biraka, egunero birabete osoa eginez. Horregatik, gutariko bakoitzak higidura zirkularra dugu ardatz horren inguruan, etengabe; hala ere, konturatu ere ez gara egiten higidura hori dugunik, ohituta baikaude sistema ez-inertzial horretan bizitzen, eta pisu-sentsazioan integraturik sumatzen baitugu biraketa horren ondoriozko indar zentrifugoa.

## Higidura zirkular ez-uniformea 
Higidura zirkular ez-uniformean abiadura lineala eta abiadura angeluarra ez dira konstanteak; aldatu egiten dira. Hortaz, azelerazio tangentziala ez da nulua, eta hortaz azelerazio bektorean bi osagai izango ditu etengabe:

### Azelerazio tangentziala 
Kasu honetan abiadura aldatzen ari denez,
v=v(t) \text {  eta  } \omega = \omega(t), a_{\text{T}}=\frac {\text {d}v} {\text {d}t} \neq 0****da, eta horrek esan nahi du kontuan eduki behar dugula osagai tangentziala,\boldsymbol a_\text {T} = \frac {\text {d}v}{\text {d}t} \boldsymbol u_\text {T}
= R \frac {\text {d}\omega} {\text {d}t} \boldsymbol u_\text {T},non \boldsymbol u_\text {T} ibilbidearen bektore unitario tangentea den puntu bakoitzean. 

### Azelerazio normala 
Beti ere kontuan izanik bai azelerazio lineala eta bai abiadura angeluarra denboraren funtzioak direla, azlerazio normala honako izango da:\boldsymbol a_{\text{N}}= \frac {v^2}{R} \boldsymbol u_\text {N} = R \omega^2  \boldsymbol u_\text {N},****non \boldsymbol u_\text {N} aldiuneko erradioari dagokion zentroranzko bektore unitarioa den. Zer esanik ez, azelerazio normalaren modulua aldatu egingo da denboraren funtzioan, abiaduraren modulua ere aldatu egiten baita, nahiz erradioa konstantea izan:

a_\text {N} = f(t).

### Azelerazio bektorea 
Beraz, higidura zirkular uniformearen kasuan ez bezala, higidura zirkular ez-uniformean azelerazio bektoreak ez du erradioaren norabidea, bi osagaiek batera adierazten dutena baizik:\boldsymbol a = \frac {\text {d}v}{\text {d}t} \boldsymbol u_\text {T} 
+  \frac {v^2}{R} \boldsymbol u_\text {N} 
= R \frac {\text {d}\omega}{\text {d}t} \boldsymbol u_\text {T} 
+  R \omega^2 \boldsymbol u_\text {N}.
### Higidura zirkular uniformeki azeleratua 
thumb|330x330px|Higidura zirkular ez-uniformean abiaduraren eta azelerazioaren osagaien moduluak aldatuz doaz denboraren funtzioan. Kasu honetan higidura uniformeki azeleratua adierazi da  (azelerazio tangentearen modulua konstantea izanik).
Higidura zirkular ez-uniformearen kasu berezi honetan, azelerazio angeluarra *konstantea* da, hots, \alpha = \text {kte.} Balio horretan oinarriturik, erraz kalkula ditzakegu higidura uniformeki azeleratuari dagozkion gainerako magnitude zinematikoak.

Azelerazio angeluarraren definiziotik abiaturik,\alpha \equiv \frac {\text{d} \omega} {\text{d} t},partikularen *abiadura angeluarra* lor dezakegu, integrazioz. Era horretan, abiadura angeluarrak denboraren funtzioan duen eboluzioa kalkulatuko dugu:\text {d} \omega = \alpha \text {d} t\longrightarrow 
\int_{\omega_0}^{\omega} \text {d} \omega = \alpha \int_{0}^{t} \text {d}t,\omega (t) = \alpha t+ \omega_0.Eta horren bidez, partikulak edozein aldinuetan daukan *posizio angeluarra* ere kalkula dezakegu, hau ere denboraren funtzio modura:\omega \equiv \frac {\text{d} \varphi} {\text{d} t}.Hortik,\int_{\varphi_0}^{\varphi} \text {d} \varphi = \int_{0}^{t} \omega \text {d}t  \longrightarrow
\varphi (t) = \frac {1}{2} \alpha t^2 + \omega_0 t + \varphi_0.Bestalde, abiadurari dagokionez, honako hau izango da *abiadura linealaren modulua*:v(t) = R \omega = R \alpha t + R \omega_0.Alegia, abiaduraren modulua aldatuz joango da denboran zehar, azelerazio angeluarraren kausaz. Zer esanik ez, *abiadura bektorea*k ibilbidearen lerro ukitzailearen norabidea izango du puntu bakoitzean.

Bestalde, *azelerazio lineala*k bi osagai hauek izango ditu:

* **Azelerazio tangentziala.** Aurreko balioak ordezkatuz, honako hau lortuko dugu:a_\text {T} = \frac {\text{d} v} {\text {d}t} = R \frac {\text{d} \omega} {\text {d}t} 
= R \alpha = \text {kte}. Agerikoa denez, azelerazioaren osagai tangentzialak balio konstantea du ibilbidean zehar, azelerazio angeluarra konstantea baita.

* **Azelerazio normala (**edo **zentripetua).** Abiadura linealaren balio ordezkatuz,a_\text {N} (t) = \frac {v^2} {R} = \omega^2 R = (\alpha t + \omega_0)^2 R. Beraz, azelerazioaren osagai zentripetua denboraren funtzioa da; horrela behar du izan abiadura ere denboraren funtzioa baita.

Hortaz, honelaxe eman dezakegu *azelerazio bektorea* edozein puntutan:\boldsymbol a = R \alpha \boldsymbol u_\text {T} + 
(\alpha t + \omega_0)^2 R \boldsymbol u_\text {N}.Alegia, azelerazioa denboraren funtzioa da, bai norabidez eta bai moduluz.thumb|270x270px|Pawel Fajdek mailu-jaurtiketako proban, Gwanju-ko Udako Unibertsiadan (2015).

### Abididea: mailu jaurtitzaileen teknika 
Higidura zirkular uniformeki azeleratuaren adibide bat atletismoko mailu-jaurtiketaren probetan gertatzen da, gutxi gorabehera. Kasu honetan, lehenik kable muturreko bola posizio egokira igo ondoren, atleta behin eta berriro hasten da biraka, gero eta bizkorrago biratuz eta lauzpabost zirkunferentzia osatuz. Mailu-jaurtitzaileak horretarako beharrezko diren indar tangentziala eta indar normala egin beharko ditu: azelerazio tangentziala, bolaren abiadura lineala areagotzeko; eta indar normala (zentripetua), bola higidura zirkularrean edukitzeko.

Indar tangentziala nahikoa antzekoa izango da jaurtitze-prozesuan zehar, baina indar zentripetua gero eta handiagoa izango, abiadura linealaren karratuaren proportzionala baita. Era horretan, bolaren abiadura lineala modulu eta norabide egokian daudenean (eta indar zentrifugoari ia eutsi ezinik dagoela), atletak eskuak askatu eta mailu-bolak ibilbidea (ia parabolikoa) osatzen du airean, ahalik eta urrunen jaurti ondoren, alboko bideoan ikus daitekeenez.

## left|24px Ariketak 

Fitxategi:Higidura motak Batez besteko abiadura azelerazioa eta aldiuneko abiadura.webm|thumbtime=3|**Higidura motak ezberdintzen** ikasteko bideoa.
Fitxategi:Higidura eta pausagunea.webm|thumbtime=3|**Higidura eta pausagunea** lantzeko ariketa.
Fitxategi:Higidura zirkular uniformea HZRU Ariketa 1.webm|thumbtime=3|**Higidura zirkular uniformea** identifikatzeko bideoa.
Fitxategi:HZU bi gorputz Ariketa 4 DBH.webm|thumbtime=3|**Higidura zirkular uniformea** bi gorputz ariketa

## Erreferentziak 
## Bibliografia 
* Etxebarria, Jose Ramon (argitaratzailea) (2003) Fisika Orokorra (2. arg.), Udako Euskal Unibertsitatea (UEU), 
* Marion, Jerry B. (1996). *Dinámica clásica de las partículas y sistemas*. Barcelona: Ed. Reverté. 
* J.R. Etxebarria & F. Plazaola, *Mekanika eta Uhinak*, UEU (1992), 
* J.M. Agirregabiria, *Mekanika klasikoa*, UPV/EHU (2004), 

## Ikus gainera 
## Kanpo estekak 
* Higidura zirkularra. Fisika. Euskal Herriko Unibertsitatea. 
* Higidura zirkularraren dinamika. Fisika. Euskal Herriko Unibertsitatea.