Kongruentzia (zenbakien teoria)

Zenbakien teorian, **kongruentzia** terminoa bi zenbaki oso a eta b,  m\neq0 zenbaki arruntaz  —**modulua** deiturikoa— zatitzerakoan, hondar berdina dutela adierazteko erabiltzen da. Honako notazio hau erabiliz:
: a \equiv b \pmod m
Honela irakurtzen da: a *kongruente* b modulu m.

a eta b  m moduluarekiko kongruenteak dira, baldin eta soilik baldin m moduluak a eta b-ren arteko desberdintza zehazki zatitzen badu, hau da, m|a-b. Beste modu batera esanda, a eta b-k m-rekiko zatiketan, hondar bera uzten badute. Gainera, baiezta daiteke a zenbakia b-ren batura eta   m-ren multiplo bezala idatzi daitekela, m|a-b denez, mk = a-b izango da k\in \mathbb{Z} batentzat eta orduan, a = b+mk.

## Adierazpen baliokideak 
Kongruentziak hainbat modu matematikotan adieraz daitezke. Esate baterako, adierazpen hauek baliokideak dira:
* a kongruente b modulu m
:a\equiv b\pmod m
* a zati m-ren hondarra b zati m-ren hondarra da
:a\; \bmod \; m = b \; \bmod \; m
* m-k zehatz zatitzen du a eta b-ren kendura
:m\mid a-b
* a idatz daiteke b-ren eta m-ren multiplo baten batura bezala
:\exists k\in \mathbb{Z}\quad a=b+km

## Propietateak 
Kongruentziak m moduluarekiko a eta b zenbakien arteko baliokidetasun-erlazio bat adierazten du, hurrengo erlazioak betetzen dituelako: 

* Erlazio bihurkaria (erreflexiboa): a\equiv a\pmod m, a guztietarako.
* Simetria erlazioa: a\equiv b\pmod m bada, b\equiv a\pmod m da.
* Iragate-erlazioa (trantsitiboa): a\equiv b\pmod m eta b\equiv c\pmod m badira, a\equiv c\pmod m izango da.

a\equiv b\pmod m eta  k\in \mathbb{Z} badira:

* a(+-)k\equiv b(+-)k\pmod m
* ak\equiv bk\pmod m
* a^k\equiv b^k\pmod m       k>0

Gainera, a eta b elkarrekiko lehenak badira, beste zenbait propietate ere betetzen dituzte, besteak beste:

* a zenbakia m eta a\equiv b\pmod m-rekiko lehena bada, b ere m-rekiko lehena izango da.
* k m-rekiko lehena bada, orduan \exists{\displaystyle h^{-1}} non {\displaystyle kh^{-1}\equiv 1{\pmod {m}}}. Horregatik, zatiketari buruz aritzeak zentzua du eta beraz, zuzena da {\displaystyle {\frac {a}{k}}\equiv {\frac {b}{k}}{\pmod {m}}} non definizioz,  {\displaystyle a/k=ak^{-1}\,}.
* Aurrekoaren ondorio bezala, modulu bereko bi kongruentzia badaude, {\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}} eta  {\displaystyle c\equiv d{\pmod {m}}}, batu, kendu edo biderka ditzakegu, kongruentziak egiaztatzeko: {\displaystyle a+c\equiv b+d{\pmod {m}}} eta {\displaystyle ac\equiv bd{\pmod {m}}}.
*Fermaten teorema txikia: Izan bitez p lenbaki lehena eta a \in \N. a, p-ren multiploa ez bada orduan:  

a^{(p-1)(q-1)}\equiv 1 \pmod{pq}
*Izan bitez p eta q zenbaki lehenak eta a \in \N. a ez bada ez p-ren ez q-ren multiploa, orduan:

## Kongruentzia klaseak 
Edozein kongruentzia-erlazio bezala, n kongruentzia-modulua baliokidetasun-erlazio bat da, eta a zenbaki osoaren baliokidetasun-klasea, \bar{a_n} bidez adierazten dena, {… , *a* − 2*n*, *a* − *n*, *a*, *a* + *n*, *a* + 2*n*, …} multzoa da. Multzo hori, a modulo n-rekin kongruenteak diren zenbaki osoek osatzen dute. Baliokidetasun-erlazioa denez, baliokidetasun-klaseak defini daitezke. Klase bakoitzean m-rekin zatitzean hondar bera ematen duten zenbaki osoak daude. Beraz, m hondar desberdin daudenez, m baliokidetasun-klase daude. Bakoitzaren ordezkari modura 0, 1, . . . eta m − 1 zenbakiak har daitezke. Baliokidetasun klasea [a] bezala ere adieraz daiteke.

## Adibideak 
* 7 \equiv 3 \ \mbox{(mod 4)} \ , 7 = 3 + 1 ⋅ 4 baita.
* 82 \equiv 1 \ \mbox{(mod 9)} \ , 82 = 1 + 9 ⋅ 9 baita.
* 27 \equiv 0 \ \mbox{(mod 3)} \ , 27 = 0 + 3 ⋅ 3 baita.
* -3 \equiv 3 \ \mbox{(mod 6)} \ , -3 = 3 + -1 ⋅ 6 baita.
* 2 \not\equiv 5\ \mbox{(mod 6)} \ , 2 ≠ 5 + k ⋅ 6 baita.

## Kongruentzia linealak 
a\equiv b\pmod m  motako ekuazioen ebazpen orokorrean, *d = zkh(a, n)* zatitzaile komunetako handienak *b* zatitzen badu, orduan *x* soluzioa aurki daiteke kongruentziarako: Euklidesen algoritmoak *r* eta *s*  osoak sortzen ditu, non *d = ra + sn*. Hortaz, *x = rb/d* soluzio bat da. Gainerako soluzioak *x* modulo *n/d* -rekin kongruenteak diren zenbakiak dira.

Adibidez, ondoko kongruentziak 4 soluzio ditu:

12x \equiv 20 \pmod {28}\ 

*zkh (12, 28) = 4*-k 20 zatitzen duelako. Euklidesen algoritmoak ondokoa ematen du: (-2)*12 + 1*28 = 4, hau da, *r* = -2 eta *s* = 1. Beraz, soluzio bat *x =* -2*20/4 = -10 izango da, eta -10 = 4 mod(7). Beste soluzio guztiak ere 4 modulo 7-rekin kongruenteak izan beharko dira.

## Ikus, gainera 
* Aritmetika modularra
* Kongruentzien ebazpena
* Baliokidetasun klasea

## Kanpo estekak 
* Dibisibilitatearen teoria eta kongruentziak UEU Iruñea 1979
*  Kongruentziak mathworld-en
*  Kongruentziak. Aljebra eskolak.