Oinarri (aljebra)

[thumb|300x300px| [Koordenatu kartesiar|Plano kartesiarrean oinarri estandarra (bektore urdin eta laranjek sortua). Bektore berdea, edozein izanik ere, modu bakarrean deskonposa daiteke beste bi bektoreen arabera.]]
Aljebra linealean, K gorputz baten gaineko V espazio bektorial baten \beta **oinarria**, ondorengo baldintzak betetzen dituen V-ren azpimultzo bat da (\beta\subseteq V)

* \beta oinarriko elementu guztiak V espazio bektorialean daude.
* \beta -ko elementu guztiak linealki independenteak dira.
* V espazio bektorialeko elementu guztiak oinarriko elementuen konbinazio lineal gisa idatz daitezke (hau da, \beta , V-ren sistema sortzailea da).

## Zornen lema 
Zorn-en lema erabiliz, ikus daiteke bektore-espazio guztiek oinarribat dutela. Espazio bektorial batek oinarri bat baino gehiago izan dezakeen arren, betetzen da espazio bektorial bereko bi oinarrik kardinaltasunbera dutela. Hala, kardinaltasun horri espazio bektorialaren dimentsioa deituko zaio.

Zornen lemaren ondorioz, ondoko beste propietate batzuk ditugu:

* Espazio bektoriala sortzen duen sistema orok base bektoriala du.

* Bektore-espazio batean linealki independentea den multzo orooinarri batera zabal daiteke.

## Ohar gehigarriak 
# Oinarriak **multzo ordenatuak** dira. Hau da, nahiz eta eremu bektorial bera sortzen duten {a,b,c} eta {b,a,c} -k, oinarriak ez dira berdinak.
# V dimentsio finituko espazio bektoriala bada, bere oinarri guztiak **finituak** izango dira eta elementu kopuru bera izango dute
# v bektore bat eta Vespazio bektorial baten \beta oinarri bat emanda, v bektorea \beta oinarriko elementuen konbinazio lineal gisa idazteko **modu bakarra** dago, hau da, bektore batek oinarri batean duen irudikapena bakarra da.
# Aurreko behaketatik ondorioztatzen da oinarriak ez direla bakarrak. Oro har, bektore-espazio baterako **infinitu oinarri** egon ohi dira. Adibidez, V=\mathbb{R}^3 espazioa badugu, bere oinarri sinpleena ondokoa da:

: \mathcal \beta =\{ (1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)\}

\mathbb{R}^3-ren oinarri kanoniko deritzo. \mathbb{R}^3-ko beste oinarri batzuk, adibidez:

: \begin{cases} \mathcal \beta'=\{(2,0,0); (0,1,0); (0,0,1)\} \\
\mathcal \beta*=\{(1,1,1); (1,1,0); (1,0,0)\} \\ \mathcal \beta*'=\{(504,0,0); (0,7,0); (0,0,1/2)\} \end{cases} 

Oro har, \mathbb{R}^3-ren oinarri guztiak linealki independenteak diren \mathbb{R}^3-ko hiru bektorez osatuta egongo dira.

## Oinarri eta koordenatu aldaketak 
Lehen aipatu dugun bezala,  espazio bektorial batean oinarri desberdinak har daitezke. Demagun, \beta  eta \beta' V-ren bi oinarri direla, baina zer erlazio dago \beta-rekiko eta \beta'-rekiko v V-ko bektore baten koordenatuen artean? Galdera honi erantzun ahal izateko, matrizeak erabiliko ditugu, eta horregatik koordenatuak zutabe-matrize bezala idatziko ditugu. Horrela v=(x_1,...,x_n)_\beta baldin bada, eta X=\binom{x_1}{x_n} bada, X  \beta oinarriarekiko v-ren koordenatuen zutabea da. Beraz, \beta=(v_1,...,v_n) bada,v=(x_1,...,x_n)_\beta=x_1v_1+...+x_nv_n=(v_1...v_n)\binom{x_1}{x_n}  da, edo beste modu batean, v=(v_1...v_n)X.

##### Oinarri aldaketarako matrizea 
Oinarri batetik beste oinarri batera aldatu nahi bada, matrizeak erabili behar dira eta matrize horri, oinarri aldaketarako matrizea deitzen zaio ,hain zuzen ere.\beta -tik \beta'-rako oinarri aldaketaren matrizea  tamainako matrize karratu bat da eta bere zutabeak \beta'-ko bektoreen koordenatuak \beta oinarriarekiko izanik.

Hona hemen **adibide** bat:

Demagun,  V=\mathbb{R}^2espazioa dugula, \beta=\{(1,0);(0,1)\} oinarri kanonikoa eta \beta'={\{(1,0);(1,1)}\} oinarria ditugula. Egin dezagun, \beta-tik \beta'-rekiko matrize oinarri aldaketa. Horretarako,  \beta'oinarriko bektoreak \beta-rekiko jarriko ditugu. Ondoren, koordenatuak matrizean jarriz:

(1,0)=1(1,0)+0(0,1)

(1,1)=1(1,0)+1(0,1) eta matrizea honako hau izanik:P=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} .

Nahiz eta, \beta
oinarri kanonikoarekin egin dugun, beste edozein oinarrirekin egin daiteke, nahiz eta beharbada, prozesua luzeagoa izan, ikus dezagun beste **adibide** bat:

Demagun, V=\mathbb{R}^2 espazioa dugula, {\displaystyle \beta '={\{(1,0);(1,1)}\}} lehen genuen oinarria eta {\displaystyle \beta *={\{(3,2);(1,0)}\}}
 oinarria. Egin dezagun, \beta*-tik \beta'-rekiko matrize oinarri aldaketa. Lehen egin bezala,  \beta'oinarriko bektoreak \beta''-rekiko jarriko ditugu.

(1,0)=0(3,2)+1(1,0)

(1,1)=1/2(3,2)-1/2(1,0)
 eta matrizea honako hau izanik :M=\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} \\ 1 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}

## Kanpo estekak