Integral inpropio

Kalkuluan, funtzio baten **integral inpropio** bat integral zehatz baten limitea da, integrazio-tartearen mutur bateko edo bietako puntuak bere eremuan ez dagoen zenbaki batera hurbiltzen direnean, \infty-ra edo -\infty-ra. Gainera, integral definitu bat inpropioa da integral definituaren funtzio integratua integrazio-tarte osoan jarraitua ez denean. Bi egoerak ere gerta daitezke.

## Muga infinituko integral inpropioak 
Izan bedi f: [a,b)\rightarrow \Re eta f [a,t]-n integragarria (t>a zanik), \exists \lim_{t \to \infty}\int_{a}^{\infty} f(x)dx, \int_{a}^{\infty} f(x)dx integral inpropioa konbergentea da.

\int_{a}^{\infty} f(x)dx=\lim_{t \to \infty}\int_{a}^{t} f(x)dx

Izan bedi f: (-\infty,\infty)\rightarrow \Re eta f [t_1,t_2]-n integragarria. Orduan, \int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx integral inpropioa konbergentea da\int_{-\infty}^{a} f(x)dx eta \int_{a}^{\infty} f(x)dx konbergenteak direnean. Kasu horretan, \int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx=\int_{-\infty}^{a} f(x)dx+\int_{a}^{\infty} f(x)dx.

Orokorrean,

\int_{1}^{\infty} {1 \over x^\alpha}dx=\begin{cases} konbergentea, & \alpha>1 \\dibergentea,& \alpha \leq1 \end{cases} 

## Funtzio ez-negatiboen integral inpropioen konbergentzia irizpideak 
### Konbergentzia irizpidea 
Izan bitez f,g: [a,\infty)\rightarrow \Re funtzioa integragarriak [a,t]-n (t>a zanik). Suposatu 0\leq f(x) \leq g(x) \forall x\geq a. Orduan,

\int_{a}^{\infty} g(x)dx  konbergentea \Rightarrow\int_{a}^{\infty} f(x)dx konbergentea

\int_{a}^{\infty} f(x)dx  dibergentea \Rightarrow\int_{a}^{\infty} g(x)dx dibergentea

#### Froga 
0\leq f(x)\leq g(x) bada \forall x\geq a

\Rightarrow 0 \leq \int_{a}^{t} f(x)dx \leq \int_{a}^{t} g(x)dx. Beraz, 0 \leq \lim_{t \to \infty}\int_{a}^{t} f(x)dx \leq \lim_{t \to \infty} \int_{a}^{t} g(x)dx

#### \boxtimes 
#### Adibideak 
Izan bedi \int_{1}^{\infty} {1 \over x^5+7}dx integral inpropioa.

0\leq {1 \over x^5+7} \leq {1 \over x^5} , x\geq1 .

\int_{1}^{\infty} {1 \over x^5}dx , \alpha=5>1\Longrightarrow  konbergentea \xrightarrow[]{konp. irizp} \int_{1}^{\infty} {1 \over x^5}dx\geq\int_{1}^{\infty} {1 \over x^5+7}dx  konbergentea.

### Limitearen irizpidea 
Izan bitez f,g: [a,\infty)\rightarrow \Re funtzioa integragarriak [a,t]-n. Suposatu 0\leq f(x) eta 0 \forall x\geq a eta \lim_{x \to \infty}\biggl({f(x) \over g(x)}\biggr)=l. Orduan,

(i) l\neq 0,\infty

\int_{a}^{\infty} f(x)dx  konbergentea \Rightarrow\int_{a}^{\infty} g(x)dx konbergentea

(ii) l=0

\int_{a}^{\infty} g(x)dx  konbergentea \Rightarrow\int_{a}^{\infty} f(x)dx konbergentea

(iii) l=\infty

\int_{a}^{\infty} g(x)dx  dibergentea \Rightarrow\int_{a}^{\infty} f(x)dx dibergentea

#### Froga 
(i) l\neq 0,\infty

\lim_{x \to \infty} \left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )=l \Longleftrightarrow \left [\forall \varepsilon>0: \exists M>0, x>M\Rightarrow\left \vert \frac{f(x)}{g(x)}-l \right \vert

Kasu partikularra, \varepsilon ={l \over 2}. Orduan,

\left \vert \frac{f(x)}{g(x)}-l \right \vert 

(ii) l=0

\lim_{x \to \infty} \left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )= \infty \Longleftrightarrow \left [\forall k>0: \exists M>0, x>M\Rightarrow\left \vert \frac{f(x)}{g(x)} \right \vert

Kasu partikularra, k=1:

\left \vert \frac{f(x)}{g(x)} \right \vert0   

\int_{0}^{\infty} f(x)dx    konbergentea \Longleftarrow \int_{a}^{\infty} g(x)dx    konbergentea   

##### \boxtimes    
#### Adibideak 
\int _{2}^{\infty }{x+1 \over \sqrt{x^3}}dx  integral inpropioaren konbergentzia aztertu.

\lim_{x \to \infty}{{x+1 \over \sqrt{x^3}} \over {x+1 \over \sqrt{x}}}=\lim_{x \to \infty}{{(x+1)\sqrt{x} \over x\sqrt{x}}}=1\Longrightarrow  f(x) eta g(x) bera izaera bera dute.

Orduan,

\int _{1}^{\infty }{1 \over {\sqrt {x}}}dx  dibergentea (\alpha=\operatorname{1}/\operatorname{2} \Longrightarrow {\displaystyle \int _{a}^{\infty }{x+1 \over {\sqrt {x^{3}}}}dx}  dibergentea

## Konbergentzia absolutua 
Funtzioa negatiboa denean konbergentzia absolutua aztertu behar da.

\int_{a}^{\infty} |f(x)|dx konbergente  \Longrightarrow \int_{a}^{\infty} f(x)dx absolutuki konbergente  \Longrightarrow \int_{a}^{\infty} f(x)dx konbergente eta \left \vert {\int_{a}^{\infty} f(x)dx} \right \vert\leq \int_{a}^{\infty} |f(x)|dx

### Adibideak 
\int_{1}^{\infty} {sin(x)\over x^3} dx -ren konbergentzia aztertu:

\left \vert  \right \vert\leq{|sin(x)| \over x^3}={1 \over 3} ,x>1

\int_{1}^{\infty} {1\over x^3}dx eta \alpha=3>1 denez, integrala konbergentea da. Horrek inplikatzen du \int_{1}^{\infty} \left \vert \frac{sin(x)}{x^3} \right \vert{}dx konbergentea izatea eta, beraz, \int_{1}^{\infty} {sin(x)\over x^3} dx absolutuki konbergentea \Longrightarrow \int_{1}^{\infty} {sin(x)\over x^3} dx konbergentea.

## Kanpo estekak