Amal Kumar Raychaudhuri

**Amal Kumar Raychaudhuri** (Barisal, 1923ko irailaren 14 – Kalkuta, 2005eko ekainaren 18) fisikari indiarra izan zen, erlatibitate orokorrean eta kosmologian egindako ikerketagatik ezaguna. Ekarpen adierazgarriena Raychaudhuriren ekuazioa da, zeinak frogatzen duen singularitateak modu naturalean sortzen direla erlatibitate orokorrean. Emaitza hau funtsezkoa da Penrose–Hawking singularitateen teoremen frogan. Raychaudhuri irakasle izan zen Kalkutako Presidency College-en.

## Biografia 
### Jaiotza, haurtzaroa eta ikasketak 
Raychaudhuri Barisalen jaio zen, gaur egungo Bangladeshen, Baidya familia batean, 1923ko irailaren 14an, *Surabala-Sureshchandra Raychaudhuri* izenpean. Oraindik haur bat zelarik, familia Kalkutara mugitu zen. Lehen hezkuntza Tirthapati Institutuan jaso zuen, horren ostean Kalkutako Hindu Schoolen jarraituz. 2005ean hil baino lehentxeago egindako film dokumental batean, Raychaudhurik agerian uzten du matematikazaletasun handia zuela bere eskola-garaietatik eta problemak askatzeak plazer handia ematen ziola. Dokumentalean gogorarazten du nola bere 9. mailako irakasleak matematika-arazo baterako irtenbide errazago bat aurkitu izana aitortu ziola. Aipagarria da bere aita, Suresh Chandra Raychauhuri, matematika irakaslea izan zela eskola batean. Hala ere, bere aita matematiketan hain "arrakastatsua" izan ez zenez, unibertsitatean matematikako ikasketak gauzatzeaz gogogabetu zen.

1942an *Bachelor of Science* titulazioa lortu zuen Presidency College unibertsitatean, jarraian, 1944ean *Master of Science* titulazioa lortuz Kalkutako Unibertsitateko Science College campusean.

### Ikerkuntza eta helduaroa 
1945ean Indian Association for the Cultivation of Science (IACS) elkartera inkorporatu zen gradu osteko ikertzaile bezala. Hala ere, esleitu zitzaion ikerkuntza esparrua metalen propietateena izan zen, eta ez berak nahi zuena: erlatibitate orokorra. Lau urte luzez ikertu ondoren, nahiko etsita geratu zen emaitza esanguratsurik aurkitu ez izanagatik. Urte haietan, Ashutosh College-n hasi zen irakasle lanetan ere, non Nikhil Ranjan Sen irakasleak erlatibitate orokorraren teoria irakasten zuen. Raychaudhuri Sen irakaslearekin hasi zen erlatibitate orokorraren teoria ikasten, eta irakaslearen laguntzaz bere lehen ikerketa-artikuluak argitaratu zituen. Geroago, bakarka jarraitu zuen ikerketan.

Ikerketa-etapa horretan aurkitu zuen bere ekuazio ospetsua, gaur egun bere izenaz ezagutzen dena: Raychaudhuriren ekuazioa. Lortutako lanpostuagatik, ekuazioa aurkezteko gai izan zen, zeina oso garrantzitsua bihurtu zen Penrose–Hawking singularitateen teoremen ulerpenerako, ospe handia hartuz. Nahiz eta ekuazioa 1953ean garatua izan, bi urte itxaron behar izan zituen, 1955ean Physical Review aldizkari internazionalean aurkeztua izan zedin. Raychaudhurik nazioarteko ospea irabazi zuen eta oraindik ez zuen ezta bere doktoretza bukatu. Izan ere, bere artikulua oso goraipatua izan zen garaiko astronomo ospetsuengatik; hots, P. Jordan edota O. Heckmann. Lortutako emaitzengatik bultzatua, tesia aurkeztu eta doktoretza lortu zuen 1959an. Bere tesia gogorki goraipatua izan zen J.A. Wheeler-gatik.

1958an Nomita Sen-ekin ezkondu zen, zeinarekin bi seme eta bi alaba izan zituen.

1961ean Raychaudhuri bere alma materra izan zen unibertsitatera itzuli zen, Presidency College-era (aurrerago Kalkutako Unibertsitatearekin afiliatu zena). Bertan igaro zituen bere egunak jubilatu zen arte. Hala ere, ikertzen jarraitu zuen bere kontura.

Raychaudhuriren ikerkuntza kosmologian zentratu zen eta ekarpen garrantzitsuak egin zituen. Esaterako, unibertso hedatu batean materiaren kondentsaziorako ereduak proposatu zituen. Baita Schwarzschilden singularitatearen erronka aztertu zuen; bere ekarpenaren aurretik, fisikariek (Einstein barne) uste zuten singularitatea iristezina zela. Raychaudhurik ostera, kolapsorako soluzio ez-estatiko bat eraiki zuen, erakutsiz ez zuela ezerk singularitatearen fenomenoa ekiditzen. Bere bizitzan zehar bost liburu idatzi zituen.

Raychaudhuriren ikerlana ez zen guztiz aitortua izan Indian 1972 arte, Jayant Vishnu Narlikar herrialdera bueltatu zenean. Une hartan, Raychaudhuri Indiako heroi zientzialari bilakatu zen.

### Azken urteak eta heriotza 
Bere azken urteak bere jaioterrian igaro zituen, jada erretiratuta. Hala ere, ikerkuntza lanetan jarraitu zuen bere azken egunetara arte, lan baldintza oso umiletan. Izatez, bere azken ikerketa-artikulua hil baino urte pare bat lehenago argitaratu zen. 

Amal Kumar Raychaudhuri 2005eko ekainaren 18an hil zen Kalkutan, India, 81 urte zituelarik. Heriotzaren arrazoiak bere osasun egoeraren konplikazioak izan ziren. Inoiz ez da gaixotasun zehatzik zuela aipatu, ziurrenik adinarekin lotutako zailtasunak pairatu zituen. Azken egunak ospitaleratuta igaro zituen.

### Hil osteko errekonozimenduak 
Heriotza ostean, Interuniversitary Astronomy & Astrophysics Centre (IUCAA) eta Vigjan Prasar (VP) erakundeek bere bizitzaren inguruko dokumental bat sortu zuten, Raychaudhuriren ibilbide zientifikoa goraipatuz.

Aipagarria da Raychaudhuri hil ostean, 2007an, Indiako Zientzien Akademiak *Pramana* fisika aldizkarian argitaratutako artikulu bilduma, zeintzuetan Raychaudhuriren lankide askok homenaldi bezala hausnarketak partekatu zituzten izandako eztabaiden inguruan. Hain zuzen hurrengo kideek idatzi zuten: A. Ahmadi, H. Nouri-Zonoz, A. Ashtekar, D. R. Brill, S. Khetarpal, R. Kaul, N. Dadhich, A. Das, J. Ehlers, G. F. R. Ellis, P. S. Joshi, S. Kar, G. Sengupta, V. Mukku, S. Mahajan, R. Bambah, eta  J. M. M. Senovilla.
Dipayan Pal idazle eta ikertzaile indiarrak Raychaudhuriren inguruan hurrengoa idatzi zuen *Science Reporter* (CSIR, NISCAIR) aldizkarian 2018an:*"Erlatibitate orokorrean, Raychaudhuri-ren ekuazioak funtsezko eginkizuna du espazio-denborako singularitateak eta grabitazioaren fokatze-propietateak azaltzeko kosmologian. Singularitatearen oinarrizko galderari erantzutea zuen helburu, modu ahalik eta sinpleenean eta orokorrenean, espazio-denboraren eta energiaren banaketaren inolako simetria edo propietate zehatzik kontuan hartu gabe.*

*‘Raychaudhuri ekuazioa’ terminoa lehen aldiz 1965ean George F.R. Ellis eta Stephen Hawking-ek argitaratutako ikerketa-artikulu batean agertu zen. Raychaudhuri-ren ekuazioak ospearen gailurra jo zuen 1960ko hamarkadaren erdialdean eta amaieran, Stephen Hawking eta Roger Penrose bezalako erlatibista gazteen esku tresna giltzarri bihurtu baitzen, espazio-denborako singularitateen existentziari buruzko galderari erantzun eta unibertsoaren teoria azaltzen saiatu zirenean. Izan ere, ekuazio hau funtsezko lematzat hartzen da Penrose-Hawking-en singularitate-teorementzat.*

''Ekuazio honek oso onarpen zabala du fisikako beste ekuazio ospetsu batzuen parean, hala nola 'Dirac ekuazioa' eta 'Schrödinger ekuazioa', eta inork ez dio jaramonik egiten ez bere jatorriari ezta argitalpen-datari ere. Raychaudhuri-ren ekuazioak bidea ireki zuen geroagoko ikerketetarako singularitateen arloan. Erlatibitate orokorrari eta kosmologia erlatibistari buruzko testuliburu ospetsuetan leku du. Ekuazioa sendo mantenduko da Einsteinen Erlatibitate Orokorraren Teoria (GTR) indarrean den bitartean. Ekuazioa tresna nagusi izaten jarraitzen du zulo beltzen horizonteen portaera aztertzeko. Harrigarria da horrelako mailako ikerketa-lanik sortu izana Indiako independentzia ondoko garaian."*

## Ikerkuntzaz kanpoko ekintzak 
Zientzialari bikaina izateaz gain, Amal Kumar Raychaudhuri irakasle bikaina zen eta ikerlari amorratua ere. Liburuak irakurtzea gustuko zuen eta *Rabindra Sangeet* izeneko abestiak gustatzen zitzaizkion (Indiako zonaldeko abesti estilo ospetsua, baita *Tagore abestiak* izenaz ezagutuak).

Amal Kumar Raychaudhuri ez zen politikoki oso aktiboa izan publikoan, interes handia izan zuen arren. Jakina da ideia aurrerakoi eta arrazionalistekin bat egiten zuela. Pentsamendu kritikoan, hezkuntzan eta zientzian sinesten zuen gizartearen aurrerapenerako motor gisa. Idazki eta elkarrizketa batzuetan, erlijio-dogmatismoarekiko kezka adierazi zuen, eta munduaren ikuspegi laiko eta zientifikoa defendatzen zuen.

Ez zen alderdi politiko jakin bateko kide izan, baina filosofiaren aldetik, XX. mendeko erdialdeko Indiako intelektual askoren ildotik zihoan: arrazionaltasuna, justizia soziala eta laizismoa baloratzen zituen.

## Raychaudhuriren ekuazioa 
### Egitura matematikoa 
Bedi u denbora motako eremu bektorial unitarioa, kurba integral moduan definitutako unibertso-lerro ez-ebakitzaileen kongruentzia familia bat bezala ulertua izan daitekena, ez halabearrez geodesikoak. Zehazki u notazioaz abiadura-eremuaz ari garela aitortzen dugu, baina eremu bektorial unitario orokorrago bat izan liteke (X). Gogora dezagun erlatibitate orokorrean *kongruentzia* (zehazki *kurben kongruentzia*), lau dimentsioko barietate lorentzdar bateko eremu bektorial baten kurba integral multzo bat dela (inoiz ez kurba desagerkorrez osatua). Barietatea hautatua espazio-denboraren modelo bezala uler daiteke.

Testuinguru honetan Raychaudhuriren ekuazioa D dimentsioko espazio-denbora batean hurrengo erara idatzia izan daiteke:
:\dot{\theta} = - \frac{\theta^2}{D-1} - 2 \sigma^2 + 2 \omega^2 - {E[\vec{u}]^a}_a + {{\dot{u}^a}}_{;a}
Raychaudhuriren ekuazioa idazteko modu asko daude. *Dot* deribatu notazioak kongruentzia-lerroen denbora-propioarekiko diferentziazioa adierazten du. Ikusten denez kontrakzio eskalarrak erabili dira, non:
:2\sigma^2 = \sigma_{mn} \, \sigma^{mn}, \; 2\omega^2 = \omega_{mn} \, \omega^{mn}
Zeinak hain zuzen *zizaila-tentsore* (\sigma_{ab}) eta *bortizitate-tentsoreen* (\omega_{ab}) aldaezin (eskalare) kuadratiko ez-negatiboak diren, tentsoreak hurrengoak direlarik:
:\sigma_{ab} = \theta_{ab} - \frac{1}{D-1} \, \theta \, h_{ab}
:\omega_{ab} = {h^m}_a \, {h^n}_b u_{[m;n]}
Hemen, \theta_{ab} *espantsio-tentsorea* da, eta \theta bere traza (*espantsio-eskalarra*); eta h_{ab} *proiekzio-tentsorea* da, zeinak \vec{u}-rekiko ortogonala den hiperplanora proiektatzen duen: 
:\theta_{ab} = {h^m}_a \, {h^n}_b u_{(m;n)}
:h_{ab} = g_{ab} + u_a \, u_b
Ohartu hemen sarritan deribatu kobariante simetrizatu (u_{(m;n)}) eta antisimetrizatua (u_{[m;n]}) erabiltzen direla:

u_{(m;n)} \equiv \frac{1}{2} \left( \nabla_n u_m + \nabla_m u_n \right)

u_{[m;n]} \equiv \frac{1}{2} \left( \nabla_n u_m - \nabla_m u_n \right)

Bukatzeko, *marea-tentsorearen* (E[\vec{u}]_{ab}) traza agertzen zaigu, zeina baita Ricciren tentsorearen bidez adieraz daitekeen:
:{E[\vec{u}]^a}_{a} = R_{mn} \, u^m \, u^n
Kantitate hau *Raychaudhuriren eskalar* bezala ezagutzen da ere.

Orohar D=4 espazio batean arituko garenez, ekuazioa hurrengo forman aurkitu dezakegu ere:

\dot{\theta} = -\frac{1}{3}\theta^2 - \sigma_{\mu\nu}\sigma^{\mu\nu} + \omega_{\mu\nu}\omega^{\mu\nu} - R_{\mu\nu}u^{\mu}u^{\nu}+{{\dot{u}^a}}_{;a}

### Ekuazioaren esangura intuitiboa 
Lehenik, uler ditzagun ekuazioan agertzen diren aldagai ezberdinak:

* \theta *espantsio-eskalarrak* materia bola baten bolumen aldaketa-tasa neurtzen du denboran zehar (behatzaile kohigikor zentral baten denbora), beraz, ekuazioak denbora-motako kongruentzia baten espantsiorako eboluzioa ematen digu. \dot{\theta} bada aldiuneren batean, bolaren hedapenari kolapso batek jarraituko dio, kontrako kasuan espantsio jarraitu bat posible da.

* \sigma_{ab} *zizaila-tentsoreak* hasiera batean esferikoa den bola horren distortsiorako joera adierazten du (elipsoide forma baterantz).
* \omega_{ab} *bortizitate-tentsoreak* ondoz ondoko unibertso-lerroek elkar kurbatzeko (kiribilkatzeko) duten joera adierazten du, fluidoen oso antzekoa, baina espazio-denboran.

Ekuazioaren eskuinaldean bi gai mota ezberdintzen dira:

# Kolapsoaren aldekoak:
#* \theta(t_0)>0 bada hasierako aldiunean.
#* \sigma_{ab}\neq 0 denean (desoreka sortzaileak).
#* {E[\vec{u}]^a}_{a} >0 traza positiboduna denean (*energia bortitzaren baldintza* da, soluzio gehienetan erabiltzen dena).
# Kolapsoaren aurkakoak:
#* \omega_{ab}\neq 0 denean (indar newtondar zentrifugoak).
#* {{\dot{u}^a}}_{;a}>0 azelerazio bektorearen dibergentzia positiboa, hau da, materiak eragindako kanporanzko gorputz-indarrak.

Orokorrean gai bat gailentzen da bestearekiko, baina, egon badaude oreka-soluzioak. Oreka honen izaera egonkor edo ezegonkorra izan daiteke, adibidez:

* Oreka egonkorra: orokorrean fluido perfektu baten oreka hidrostatiko batetaz ari gara (izarren barneko eredua), zeinetan orohar\theta,\sigma_{ab},\omega_{ab}= 0 betetzen den eta azelerazio dibergentziak (presioak eraginda) Raychaudhuri eskalarra konpentsa dezakeen. Fluido perfekto baten kasuan {E[\vec{u}]^a}_{a} =4 \pi (\mu + 3p) da (unitate geometrizatuetan, c=G=1), non \mu energia-dentsitatea den eta p presioa. Grabitazio newtondarraren {E[\vec{u}]^a}_{a} =4 \pi \mu dugu; erlatibitate orokorrean presioak kolapso gelditzen duen arren, kasu honetan kolapsoaren alde egiten dezake ere.
* Oreka ezegonkorra: hauts partikulentzat existitzen den Gödelen soluzioa kontsideratuz gero (ikusi Gödelen unibertsoa edo Gödelen metrika), \theta,\sigma_{ab},{{\dot{u}^a}}_{;a}= 0 den arren, \omega_{ab}\neq 0 dugu Raychaudhuriren eskalarra konpentsatuz modu ahul batean. Unibertso honetan Raychaudhuriren eskalarraren jatorria konstante kosmologikoak eragindako hutsaren energia ez-nulua da.

### FLRW ereduarekin bateratzea 
Unibertso irrotazional (\omega_{\mu \nu}=0) eta isotropo (\sigma_{\mu \nu}=0) bateko geodesika (\dot u ^a_{;a}=0) bat suposatuko dugu, hau da, FLRW ereduko geodesika bat. Alde batetik Ricciren tentsore gaia garatuko dugu (konstante kosmologikoa barne) eta Raychaudhuriren ekuazioan txertatuko dugu (guztia unitate naturaletan c=1):

R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = 8\pi G T_{\mu\nu} \quad \Rightarrow \quad R_{\mu\nu} u^\mu u^\nu = 8\pi G \left( T_{\mu\nu} u^\mu u^\nu + \frac{1}{2} T \right) - \Lambda

\frac{d\theta}{d\tau} = -\frac{1}{3} \theta^2 - 8\pi G \left( T_{\mu\nu} u^\mu u^\nu + \frac{1}{2} T \right) + \Lambda

Energia-momentu tentsorearen adierazpena fluido perfektu batena dela onar dezakegu:

T_{\mu\nu} = (\rho + p) u_\mu u_\nu + p g_{\mu\nu}

T_{\mu\nu} u^\mu u^\nu = \rho \quad , \quad T = g^{\mu\nu} T_{\mu\nu} = -\rho + 3p 

\frac{d\theta}{d\tau} = -\frac{1}{3} \theta^2 - 4\pi G (\rho + 3p) + \Lambda

Bestetik, definizioz, \theta-ren adierazpena hurrengoa da:

\theta=3\frac{\dot a}{a}=3 H

Ondorioz, geratzen zaigun ekuazioa hurrengoa da:

\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3} (\rho + 3p) + \frac{\Lambda}{3}

Hain zuzen FLRW ereduko oinarrizkoak diren Friedmannen ekuazioetako bat dugu hau.

### Fokatze teorema 
Kasu partikular baten ondorio bat da. Lehen aipatutako *energia bortitzaren baldintza* onartuko dugu. Baita bortizitatea nulua dela onartuko dugu. Adibidez hautsarentzako Einsteinen ekuazioen soluzioetan, hautsa beraren unibertso-lerroek baldintza hauek betetzen dituzte. Aipatutako baldintzapean Raychaudhuriren ekuazioa hurrengoa da:
:\dot{\theta} = \left(- \frac{\theta^2}{D-1} - 2 \sigma^2 - {E[\vec{u}]^a}_a \right) \leq 0
Eskuineko gaia negatibo edo nulua da, beraz espantsio eskalarrak ez da inoiz haziko. Azken bi gaiak negatiboak direnez, hurrengoa egia da ere:
:\dot{\theta} \leq - \frac{\theta^2}{D-1}
Zeina, integratuz:
:\frac{1}{\theta} \geq \frac{1}{\theta_0} + \frac{\tau}{D-1}
Edo beste hitzetan:

\theta(\tau) \leq \frac{\theta_0}{1 + \frac{\theta_0}{D - 1} \tau}

Hasierako espantsio eskalarraren balioa \theta_0 uneren batean negatiboa baldin bada, horrek esan nahi du geodesikek kaustika batean konbergitu beharko dutela halabeharrez (hau da, \theta \rightarrow - \infty), hain zuzen, gehienez jota (D-1)/|\theta_0| denbora propio bat igaro ostean \theta_0-ren neurketatik. Honek ez du derrigorrean singularitate bat suposatu behar, baina bai suposatzen du apurketa erradikal bat hautsaren dinamikan.

Izan ere, hemen dugu goraipatua izan den Raychaudhuriren emaitza kolapsoetarako; hots:"Partikula multzo bat kolapsatzen ari bada eta grabitatea erakarle izaten jarraitzen badu (energia bortitzaren baldintza), orduan ez dago kolapso hori denbora finitu batean betetzea oztopatuko duen ezer. Osagarri den materia motak ez du eraginik kolapsoan, soilik espazio-denboraren propietate geometrikoek eta kurbadurak eragiten du."

### Ekuazio optikoak 
Raychaudhuriren ekuazioen argiarentzako kasu partikularra aztertzen badugu, hau da, geodesiko nuluena, *ekuazio optikoak* lortzen ditugu, zeintzuek *geodesiko nuluen kongruentziak* aztertzen dituzte. Kasu honetan ez gaude denbora-motako eremu bektorial bat aztertzen (hasieran aipatu zen bezala) baizik eta argi-motako eremu bat. Lortzen den ekuazioa hurrengoa da:

: \dot{\widehat{\theta}} = - \frac{1}{D-2}\widehat{\theta}^2 - 2 \widehat{\sigma}^2 + 2 \widehat{\omega}^2 - T_{\mu\nu} U^\mu U^\nu

Txapela erabili ohi da adierazteko espantsioa, zizailadura eta bortizitatea soilik zeharkako norabidetan eman daitezkela. Aipatu beharra dago abiadura-eremuak beharrean hemen geodesika nuluaren gaineko energiaren proiekzio bat dugula: T_{\mu\nu} U^\mu U^\nu. Kasu honetan *energia nuluko baldintza* planteatzen da ekuazioa askatzeko eta (D-2)/\hat\theta_0 denbora bat lortzen da.

### Aplikazioa gertaera-horizontean 
Gertaera-horizontea geodesiko nuluen iragan kausalaren muga infinitu bezala definitzen dira, puntu honi *infinitu nulo* deritzogu. Infinito nulora heltzean, \tau parametro afina infina infiniturantz doakigu eta beraz ez da kaustikarik osatuko infinitura arte. Ondorioz, gertaera-horizontearen espantsio-eskalarra ez-negatiboa da (lortutako \theta(\tau) emaitzetik ikusi daiteke). \theta(\tau) espantsioa baita geodesiko multzoaren zeharkako azaleraren logaritmoaren aldakuntza-tasa bezala ulertu daiteke ere:

\theta(\tau)=\frac{1}{A} \frac{dA}{dt}=\frac{d \ln{A(\tau)}}{d \tau}>0

Beraz honek esan nahi du gertaera-horizontearen azalera ezin dela txikitu, gutxienez ikuspuntu klasiko batetik (Hawking erradiazio gabe etab.)

## Singularitate gabeko unibertsoak. Senovillarekin eztabaida.  
-ekin batera (zentroan, IUCAA zuzendariordea garaian, geroago zuzendari izango zena).]]1997ko abenduan *15th International conference on General Relativity and Gravitation (GR15)* konferentzia ospatu zen Pune-n (Maharashtra, India), aipatutako IUCAA zentroan, zeinetara mundu osoko ikerlari asko hurbildu ziren. Baita, Euskal Herriko Unibertsitatetik hainbat ikerlari joan ziren; adibidez: J. M. M. Senovilla, R. Lazkoz, A. Chamorro... Artikulua prestatzeko prozesuan J. M. M. Senovillarekin elkarrizketa bat izateko aukera eduki da, zeinetan, Raychaudhurirekin izandako harremanei buruz hurrengoa esan duen:*"Raychaudhuri jada pertsona heldua zen konferentziara joan ginenean. Eta bertan aukera bikaina izan genuen eztabaidak izateko singularitateen inguruan. Aurretiaz ere, jada kontaktuan geunden. Bere bizimodua guztiz umila zen, ez zuen ezta posta elektronikorik. Berarekin eztabaidatu ahal izateko bere kide batekin,  Dr. Narayan Banerjee, kontaktuan jarri behar nintzen posta elektroniko bidez, ostean honek mezua inprimatu eta Raychaudhuriri etxera eraman ziezaion. Modu berean, kideak Raychaudhuriren idatzizko erantzuna digitalizatu eta bueltan bidaltzen zidan."*Senovilla eta Raychaudhuriren artean eztabaida sakona gauzatu zen, hain zuzen lehenak, 1990ean, unibertso guztiz inhomogeneo eta singularitate gabeko batentzako soluzioak aurkitu baitzituen (Senovillaren metrika), Raychaudhurik singularitateen agerpen naturala frogatu zuen bitartean. Are gehiago, Raychaudhurik singularitate gabeko ereduak aurkitu eta aplikatu zituen, eztabaida piztuz. Izandako gutun-harremanean luze eztabaidatu zen honen harira. Raychaudhuri hil ostean *Pramana* aldizkarian argitaratutako artikuluen artean Senovillaren hausnarketa irakurri daiteke. Lehenik bere metrikaren inguruan:*"Eredu sinple honek erakusten du badaudela ongi oinarritutako eta portaera egokiko eredu klasikoak, zeintzuetan unibertsoa nonahi hedatzen den, energia eta kausalitate baldintza guztiak betetzen dituztenak eta singularitaterik gabeak direnak. Hala ere, [...] eredua nolabait 'ez-kosmologikotzat' har daiteke, goian aipatutako batez besteko espazialak huts egiten duelako. [...]. Norbaitek esan lezake eredu erregularrak 'ez-kosmologikoak' direla, baldin eta uste badugun unibertsoaren materia sakabanaketa inhomogeneoegia ez dela."*Ostera, Senovillak hurrengoa dio Raychaudhurik lortutako ereduen inguruan:*"[...] Hala ere, bertan hiperbolikotasun globala suposatu zen, esplizituki aipatu gabe. [...]. Bestalde, denbora-motako autobektore eremuari lotutako azekelerazioaren dibergentziaren batazbesteko espaziala desagertzen delaren hipotesia ez zen modu argian frogatu. Garrantzitsuagoa dena, bektore propio horren kantitate zinematikoen dibergentzia gaizki lotu zen Ricciren eskalar inbariante batzuen dibergentziarekin [39a]. [...]. Horrek beste ikerle batzuen lan interesgarriak ekarri zituen [40,41], non singularitaterik gabeko eta simetria zilindrikoko fluido zurruneko kosmologia klase zabal baten existentzia esplizituki frogatu zen, eta hainbat soluzio ere aurkeztu ziren. [...]. Nire ustez, singularitaterik gabeko ereduetarako gakoa identifikatu ondoren [...], emaitza anbiziotsuago eta erronka handiagokoak frogatzen saiatu zen, agian bere tekniken bidez oraindik eskuragarri ez zeudenak. Horrek, jakina, ez du inolaz ere bere ekarpen funtsezkoa lausotzen kosmologiako singularitateen arloan, non, seguruenik, ideia garrantzitsuenak bere intuizio sakonetik eta ikuspegi zorrotzetik etorri baitziren."*Laburrean, argi ikusten da bai Raychaudhuri zein Senovillaren ereduak baliagarriak direla, betiere bakoitza bere baldintza egokietan erabiltzen bada.

## Esker onak 
Eskerrak ematen dira artikulu honen egilearen aldetik R. Lazkoz eta J. M. M. Senovilla EHUko ikertzaileei, zeintzuk laguntzazkoak izan diren Raychaudhuriri buruz ikerketa biografiko-akademiko esparruan. Esker bereziak eman nahi dira Senovillari, partekatutako elkarrizketa, eztabaida, argazki, anekdota eta artikulu guztiengatik.

## Erreferentziak 
## Bibliografia 
# *The Meaning of Einstein's Field Equation,* John C. Baez and Emory F. Bunn. Raychaudhuri-ren ekuazioa funtsezko elementu bihurtzen da azalpen erdi-tekniko ezagun (eta gomendagarri) honetan, non Einstein-en ekuazioak zer adierazten duen.
# Raychaudhuri, A.K. (1979). *Theoretical Cosmology*. Oxford Science Publications. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-851462-6.

## Kanpo estekak 
* *Pramana* — Journal of physics, Indian Academy of Sciences Vol. 69, No. 1 July 2007
* Dadhich, Naresh (2005), "Amal Kumar Raychaudhuri (1923–2005)" (PDF), *Current Science*, **89**: 569–570
* Narlikar, J. V. (January 2006), "Amal Kumar Raychaudhuri" (PDF), *Biographical Memoirs of Fellows of the Indian National Science Academy*: 169, retrieved 4 July 2013
* Sen, Parongama (April 2008), "The Legacy of Amal Kumar Raychaudhuri", *Biographical Memoirs of Fellows of the Indian National Science Academy*: 309
* *Interview with Professor Amal Kumar Raychaudhuri* (2003), 1. zatia & 2. zatia
* Biografia insaindia.res.in webgunean
* *The life and work of Professor Amal Kumar Raychaudhuri'' dokumentala.