Azpiespazio topologia

Topologiaren arloan, X espazio topologiko baten **azpiespazioa**, X-ren A azpimultzo bat da X-tik heredaturiko topologia duena, **azpiezpazio topologia** ( edota **topologia erlatiboa)** deiturikoa.

## Definizioa 
Izan bedi (X,\tau_X)  espazio topologikoa eta A X  -ren azpimultzoa, A-ren azpiezpazio topologia honela dago definituta:

\tau_A=\{A\cap U \mid U\in\tau_X\}.

Hau da, A -ren azpimultzo bat irekia da azpiespazio topologikoan baldin eta solik baldin A-ren eta (X,\tau_X) -n irekia den multzo baten ebakidura gisa adieraz badaiteke.

\tau_Aazpiespazioan itxiak izango dira,\tau_Xespazioan itxia den eta A-ren arteko ebakidura gisa adieraz badaiteke, eta itxien multzoa  C_A  denotatuko dugu.

A multzoak azpiezpazio topologia badauka, orduan, berez espazio topologikoa da, eta (X,\tau_X) -ren azpiezpazioa deritzo. Espazio topologikoen azpimultzoek azpiezpazio topologia dutela ulertzen da maiz, besterik esaten ez bada.

## Propietateak 
A, X -ren azpimultzo baterako azpiezpazio topologia modu honetan ere defini dezakegu: topologiarik txikiena zeinetarako partekotasun aplikazioa \imath: A\hookrightarrow X  jarraitua den.
link=https://eu.wikipedia.org/wiki/Fitxategi:Azpiezpazio.png|thumb|125x125px
Izan bitez A, X -ren azpimultzoa eta \imath_A: (A,\tau_A)\longrightarrow (X,\tau_X) | \imath_A(x)=x  partekotasun aplikazioa.

* Orduan (Y, \tau_Y) edozein espazio topologiko baterako f: (Y,\tau_Y) \longrightarrow (A,\tau_A)  aplikazioa jarraitua da baldin eta soilik baldin \imath_A \circ f   jarraitua bada.
* \tau A-ren gaineko beste topologia bada non \imath_A: (A,\tau_A)\longrightarrow (X,\tau_X)  jarraitua den, orduan, \tau_A\subseteq\tau .

Ondorioz, f: (X,\tau_X) \longrightarrow (Y,\tau_Y) jarraitua bada, orduan f_{|A}: (A,\tau_A)\longrightarrow (Y,\tau_Y) | f(x)=x jarraitua da. Izan ere, f_{|A}=\imath_A \circ f ,

eta aurreko proposizioaren ondorioz, f_{|A}
 jarraitua da.

Propietate gehiago:

* V ∈ \tau_A baldin eta soilik baldin U \in \tau_Xbadago non V=U\cap A den.
* F \in C_A   baldin eta soilik baldin G \in C_X badago non F = G \cap A   den.
* \beta  \tau_X -ren ireki-oinarria bada, orduan, \beta_A=\{B \cap A \mid B\in\beta \}  \tau_A-ren ireki-oinarria da.
* N \in N_x^A  baldin eta soilik baldin M \in N_x^X badago non N = M \cap A  den.
* B_x x-ren ingurune-oinarria bada (X,\tau_X)  espazio topologikoan, orduanB_x^A=\{B\cap A \mid B \in B_x\} x-ren ingurune-oinarria da (A,\tau_A) -n.
* \sigma  \tau -ren azpioinarria bada orduan \sigma_A = \{S \cap A : S \in \sigma\}\tau_A -ren azpioinarria da.
* B\subseteq A  bada, orduan, \bar{B}^A=\bar{B}^X \cap A  eta B' ^A=B' ^X \cap A. 
* B\subseteq A  bada, orduan, fr_A(B) \subseteq fr(B) \cap A   eta  {\displaystyle {\stackrel {\ \circ }{B}}} \cap A \subseteq  {\displaystyle {\stackrel {\ \circ }{B^A}}} , eta berdintza ematen da A \in \tau  denean.

Izan bitez (X,\tau_X)  espazio topologikoa, (A,\tau_A)  eta B\subseteq A . B  (X,\tau_X) -ren azpiezpazio moduan ikus daiteke, B -ren gaineko \tau_B topologia erlatiboa lortuz edota (A,\tau_A) -ren azpiezpazio moduan(\tau_A)_B topologia erlatiboa lortuz. Orduan,\tau_B=(\tau_A)_B 

## Adibideak 
Hurrengoetan \R sinboloak zenbaki errealen multzoa adierazten du ohiko topologiarekin.

* Zenbaki arrunten, \N, azpiezpazio topologia, \R-ren azpiezpazio gisa, topologia diskretua da(zenbaki osoena, \Z, ere bai) .
* Zenbaki arrazionalek, \Q, \R-ren azpiezpazio gisa,  ez dute topologia diskretua,\tau_{dis} , {0} adibidez ez da multzo irekia \Q-n. *a* eta *b* arrazionalak badira, orduan (a,b) eta [a,b] tarteak irekia eta itxia dira hurrenez hurren, baina *a* eta *b* irrazionalak badira, orduan x arrazional guztien multzoa non *a* \R-ren azpiezpazio gisa, itxia eta irekia da, aldiz, \R-ren azpiezpazio gisa bakarrik itxia da.
* \R-ren azpiezpazio gisa, [0, 1] ∪ [2, 3] multzoa, bi multzo ireki disjuntuek osatzen dute (itxiak ere direnak), eta, ondorioz, azpiespazio ez-konexu bat da.
* Izan bitez A = [0, 1) \R-ren azpiezpazioa . Orduan [0, 1/2) irekia da A -n, baina ez \R-n. Halaber, [½, 1) itxia da A-n, baina ez *\R*-n. *A* bai irekia eta itxia da bere buruaren azpimultzo gisa, baina ez \R-ren azpimultzo gisa.

Adibide gehiago ikasitako espazio topologikoetan

* (X, \tau_{ind}) espazioan, non \tau_{ind}=\{X,\empty\},edozein A \subset X , \tau_A = \tau_{ind} .
* (X, \tau_{dis}) espazioan,non \tau_{dis}=\mathcal{P},X -ren partiketa ,orduan edozein A \subset X , \tau_A = \tau_{dis} 
* (X, \tau_{kof}) espazioan, non, \tau_{kof}=\{U\subset X : X\backslash U\mbox{ finitua da edo }U=\empty\} ,  A   infinitua bada, orduan \tau_A = \tau_{kof}  eta  A   finitua bada, orduan \tau_A = \tau_{dis} .
* (X, \tau_{kok}) espazioan, non \tau_{kok} = \{U \subseteq X\ :\ X \setminus U\mbox{ kontagarria da edo }A=\empty\},  A   kontagarria ez bada, orduan \tau_A = \tau_{kok}  eta  A   kontagarria bada, orduan \tau_A = \tau_{dis} .

## Propietate topologikoen kontserbazioa 
Propietate bat **heredagarria** da, espazio topologiko batek propietate bat betetzeak inplikatzen badu bere edozein azpiezpaziok ere propietate hori beteko duela. Azpiezpazio itxiek soilik propietatea betetzen badute orduan **ahulki** **heredagarri** deritzo.

* Metrizagarria izatea propietate heredagarria da.
* Baire espazio baten edozein azpiezpazio ireki Baire ezpazio bat da.
* Espazio trinko baten edozein azpiespazio itxi trinkoa da.
* Hausdorff (T2) izatea propietate heredagarria da.
* Espazio normala izatea ahulki heredagarria da.

## Aplikazio konbinatuak 
Izan bitez X eta Y bi multzo eta \{A_i: i \in I\}X-ren estalkia (hau da \bigsqcup_{i\in I} A_i= X) . Demagun f_i: A_i\longrightarrow Y  erako aplikazioa dugula non i \neq j denean x\in A_i\cap A_jguztietarako f_i(x) = f_j(x)den( f_{i|_{A_i\cap A_j}}=f_{j|_{A_i\cap A_j}}).

Orduan, f: X\longrightarrow Y  **aplikazio konbinatua,** modu honetan definituta dagoen aplikazioa da: f: X\longrightarrow Y | f(x)=f_i(x)   x\in A_i  bada.

Aurreko egoeran, (X,\tau_X) eta (Y,\tau_Y) espazio topologikoak badira :

(i) \forall i \in I , A_i \in \tau_X eta f_i: (A_i,\tau_{A_i})\longrightarrow (Y,\tau_Y)  jarraitua bada, orduan f: (X,\tau_{X})\longrightarrow (Y,\tau_Y)  aplikazio konbinatua jarraitua da.

(ii) I  finitua bada,\forall i\in I  , A_i \in C_X  eta f_i: (A_i,\tau_{A_i})\longrightarrow (Y,\tau_Y)  jarraituak ,orduanf: (X,\tau_{X})\longrightarrow (Y,\tau_Y)  aplikazio konbinatua jarraitua da.

#### Kontradibidea 
(ii) atalean, I  finitua izan behar da. Adibidez,I= \R bada, 1_\R: (\R, \tau_{u})\longrightarrow(\R, \tau_{dis})  ez da jarraitua, aldiz, 1_{\R|_{\{x\}}} (\{x\}, \tau_{u})\longrightarrow(\R, \tau_{dis})  jarraitua da x \in \R guztietarako.

## Murgilketak 
Murgilketa bat f: (X,\tau_X) \longrightarrow (Y,\tau_Y) apliklikazio bat da nonf: (X,\tau_X) \longrightarrow (f(X),\tau_{f(X)})  homeomorfismo bat den. Esango dugu X  Y -n murgilduta dagoela f  -ren bidez.

Murgilketa baten bidez(X, \tau_X)  espazioa (Y, \tau_Y) -ren azpiezpazio gisa ikusten da.

### Propietateak 
* Izan bitez f: (X,\tau_X) \longrightarrow (f(X),\tau') murgilketa eta g: (Y,\tau') \longrightarrow (Z,\tau'')  homeomorfismoa. Orduan, g \circ f  murgilketa da.
* Izan bedi (X, \tau_X)  espazio topologikoa eta A  bere azpimultzo bat \tau'
 topologiarekin. Orduan, \imath: (A,\tau')\hookrightarrow (X,\tau_X) partekotasun aplikazioa murgilketa da baldin eta solik baldin \tau'=\tau_{A}
 

## Ikus gainera 
Zatidura espazio topologikoa

Biderkadura espazio topologikoa

## Kanpo estekak