Aplikazio lineal

Matematiketan **aplikazio lineala** bi bektore-espazioren arteko aplikazio bat da, zeinak bektoreen arteko batuketa eta bektore eta eskalar baten arteko biderketa operazioak mantentzen baititu.

Aljebra abstraktuan eta aljebra linealean aplikazio lineal bat homomorfismoa da bektore-espazioen artean, edo kategorietako teoriako terminoetan, morfismo bat bektore-espazioen kategorian emandako gorputz baten gainetik.

## Definizioa 
**Aplikazio lineal, ** **funtzio lineal** edo **transformazio lineal **esaten zaio dominio eta kodominio moduan bektore-espazioak dituen eta hurrengo baldintza betetzen duen edozein T aplikaziori:

:Bitez K gorputzaren gainean eraikitako Veta W bektore-espazioak. T:V\to W aplikazio lineala izanen da baldin eta edozein bi bektorendako \forall u,v\in V eta edozein eskalarrendako \forall k\in K ondokoa betetzen bada:
:# T(u+v) = T(u) + T(v) \,
:# T(ku) = kT(u) \,.
Bi berdintza hauek betetzeari "gainjartze printzipioa" deritzo eta hurrengo berdintzaren bidez adieraz daiteke:

* T(ku+k'v) = kT(u)+k'T(v).

## Adibideak 
# **Identitate** aplikazioa aplikazio lineala da edozein bektore-espazioren gainean:\begin{array}{cccl}
T:& V&\to& V\\
& x&\mapsto& T(x)=x
\end{array}
# **Homoteziak** n-dimentsioko \mathbb{K} gorputzean ere aplikazio linealak dira, non k\in\mathbb{K} handitze (k>1) edo txikitze (k) konstantea baita:\begin{array}{cccl}
T:& \mathbb{K}^n &\to& \mathbb{K}^n \\
& x&\mapsto& T(x)=kx
\end{array}*Demostrazioa*: bitez x,y\in\mathbb{K}^n,a,b\in\mathbb{K}. Orduan T(ax+by)=k(ax+by)=kax+kby=a(kx)+b(ky)=aT(x)+bT(y).

## Irudia eta nukleoa 
### Irudia 
Izan bitez \mathbb{K} gorputzaren gaineko V,W espazio bektorialak.  T:V\to W aplikazio lineala definituz, orduan, T(f) multzoari **aplikazioaren irudia** deritzo definizioz, eta \operatorname{Im} f ere adierazten da.  Multzo hau W-ren azpimultzoa da, are gehiago,  \operatorname{Im} f W-ren azpiespazio bektoriala izango da.

Aplikazio lineal bat supraiektiboa izango da baldin eta soilik baldin, \operatorname{Im} T= W bada.

### Nukleoa 
T:V\to W hartuz, bere **nukleoa** (\operatorname{Ker} T adierazia) honako hau izango da:

\operatorname{Ker} T=\{v\in V:T(v)=0_W\}=T^{-1}(\{0_W\})

Hau da, aplikazio lineal baten nukleoa eremuren azpimultzo bat da, zeinaren elementuen irudia koeremuko 0-a den. Gainera, \operatorname{Ker} T V-ren azpiespazio bektoriala da ere. 

Bestalde, aplikazio lineal bat injektiboa izango da baldin eta soilik baldin \operatorname{Ker} T= \{0_V\} bada.

### Aplikazio linealen oinarrizko teorema 
Izan bedi T:V\to W aplikazio lineala. Orduan, \operatorname{dim} V= \operatorname{dim} \operatorname{Im} T+\operatorname{dim}\operatorname{Ker} T berdintza betetzen da.

## Aplikazio linealen eraikuntza 
f_1: V\rightarrow W  eta f_2: V\rightarrow W linealak badira, f_1 + f_2 ere lineala izango da ((f_1+f_2)(x)=f_1(x)+f_2(x)).

f:V\rightarrow W lineala bada eta a K gorputzeko elementu bat bada, orduan, (af)(x)=a(f(x)) ere lineala izango da.

Bi propietate horiei esker, eta dena elementu nulura bidaltzen duen funtzioa aplikazio lineala denez, f: V\rightarrow W transformazio linealen multzoak V-ren funtzioen azpiespazio bat eratzen du W-n. Azpieremu horri L(V,W) esaten zaio.

f:V\rightarrow W  eta g: W\rightarrow Z linealak badira, orduan haien konposizio *g*∘*f*: *V* → *Z*  ere lineala izango da.

V espazio bektoriala emanda, L(V,V) espazio bektorialak, eskuarki End(V) gisa hautematen denak, aljebra asoziatibo bat eratzen du oinarrizko gorputzaren gainean, non biderketa konposizioa baita eta unitatea identitatearen eraldaketa baita.

f:V\rightarrow W  transformazio lineal bijektiboa bada, alderantzizkoa ere lineala izango da.

## Transformazio linealen sailkapena 
* Funtzional lineala:  T: V \rarr \mathbb K transformazio linealei (non \mathbb K den V-ren oinarrizko gorputza) funtzional linealak deritze.
* Monomorfismoa: T: V\rightarrow W  injektiboa da, nukleoko elementu bakarra bektore nulua bada. \operatorname{ker}(T) = {0_V}
* Epimorfismoa: Baldin eta T: V\rightarrow W  supraiektiboa bada.
* Isomorfismoa: Baldin eta T: V\rightarrow W  bijektiboa bada (injektiboa eta supraiektiboa).
* Endomorfismoa: Transformazio lineal bat esaten zaio, non eremua eta koeremua bat baitatoz.
* Automorfismoa: Endomorfismo bijektiboari deitzen zaio.

## Aplikazio linealari dagokion matrizea 
Izan bitez V eta W bi bektore-espazio dim V=n eta dim W=m izanik eta \beta =\{v_1,v_2,...,v_n\} eta \beta '=\{w_1,w_2,...,w_m\} V eta W-ren oinarriak. Hartu f \in L(V,W). f aplikazio linealari elkartutako matrizea \beta eta \beta' oinarriekiko, i. zutabean f(v_i) bektorearen \beta' oinarriarekiko koordenatuak dituen matrizea da.

M_{\beta,\beta'} (f)= \begin{pmatrix} | & | & ... & | \\ | & | & ... & | \\ f(v_1)-en & f(v_2)-ren & ... & f(v_n)-ren\\ koordenatuak & koordenatuak & ... & koordenatuak\\  \{w_1,w_2,...w_m\} -rekiko & \{w_1,w_2,...w_m\} -rekiko & ...& \{w_1,w_2,...w_m\} -rekiko \end{pmatrix}

hau da, i \in \{1,...,n\} guztietarako, f(v_i)=\textstyle \sum_{k=1}^m \displaystyle a_{ki}w_k da.

## Kanpo estekak