Kosinuaren teorema

Trigonometrian, **kosinuaren teorema**, triangelu zuzenetarako Pitagorasen teoremaren orokortze bat da. Teoremak triangelu baten edozein alde beste biekin eta bi alde horiek osatzen duten angeluaren kosinuarekin erlazionatzen du:
thumb

Hizkuntza gehienetan, teorema horri **kosinuaren teorema** deitzen zaio. Frantsesez, ordea, Ghiyath al-Kashi matematikari persiarraren izena du, honek bere aurrekoen emaitzak bateratu baitzituen.
eskuinera|thumb|280x280px|# irudia - Triangelu baten notazio ohikoena.

## Historia 
Euklidesen "Elementuak" K.a. III. mendekoak dira, eta Pitagorasen teoremaren orokortzearen hurbilketa geometrikoa daukate dagoeneko: II. liburuko 12. eta 13. proposizioek bereizita lantzen dituzte triangelu kamuts baten eta triangelu zorrotz baten kasuak. Formulazioa arkaikoa da; izan ere, funtzio trigonometrikorik eta aljebrarik ez zegoenez, azaleren arteko desberdintasunen arabera arrazoitu behar izan zen. Horregatik, 12. proposamenak termino hauek erabiltzen ditu:

ABC triangelua izanik, haren angelu kamutsa C da eta BH, berriz,  B erpinarekiko altuera (ikusi ondoko 2. irudia). Notazio modernoak enuntziatua honela adierazteko aukera ematen du:
thumb|2. irudia - *ABC* triangelua, *BH* altuerarekin.
A B^2 = CA^2 + CB^2 + 2CACHErdi Aroko trigonometria arabiar-musulmanari esker, teoremak bere formara eta irismenera eboluzionatzea lortu zen: al-Battani astronomo eta matematikariak Euklidesen emaitza X. mendearen hasieran orokortu zuen, eta horri esker eguzkiaren eta lurraren arteko distantzia angeluarraren kalkuluak egin ahal izan ziren. Garai berean ezarri ziren lehenengo taula trigonometrikoak, sinu eta kosinu funtzioetarako. Horri esker, XV. mendean, Ghiyath al-Kashik, Samarkandako eskolako matematikariak, triangulaziorako modu erabilgarrian jarri zuen teorema. Mendebaldean, François Viètek zabaldu zuen teorema; dirudienez, bere kabuz berraurkitu ondoren.

XVII. mendearen amaieran, notazio aljebraiko modernoak, Eulerrek bere “Introductio in analysin infinitorum” liburuan idatzitako funtzio trigonometrikoen notazio modernoarekin batera, teorema egungo forman idazteko aukera eman zuen, *kosinuaren teorema* izena zabalduz.

## Teorema eta haren aplikazioak 
Kosinuaren teorema **Pitagorasen teorema orokortua** izenaz ere ezaguna da, Pitagorasen teorema kasu berezi bat baita: \gamma \, angelua zuzena denean edo, bestela esanda, \cos\gamma = 0\, denean, kosenoaren teorema honetara murrizten da:eta hori, Pitagorasen teoremaren formulazioa da.
thumb|3. irudia - Kosinuaren teorema erabilera: angelu edo alde ezezaguna.
Teorema triangulazioan erabiltzen da (ikusi 3.irudia) triangelu bat ebazteko, eta honako hauek zehazten jakiteko:

* triangelu baten hirugarren aldea, angelu bat eta alboko aldeak ezagutzen ditugunean:
{{Ekuazio|c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}.}}

* triangelu baten angeluak, hiru aldeak ezagutzen ditugunean:
{{Ekuazio|\gamma = \arccos \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.}}Formul*a* horiek aplikatzea zaila da trian*g*elu oso zorrotzak  neurtzen direnean metodo sinpleak era*b*iliz, hau da, *c* aldea oso txikia denean a eta b aldeekiko ,edo haren baliokidea dena, *γ*  angelua oso txikia denean. Kosinuaren teoremaren korolario bat dago antzekoak diren bi triangeluren kasurako: ABC eta A'B'C'.

## Frogapenak 
### Pitagorasen teoremaren arabera 
Ikus dezagun kosinuen teorema Pitagorasen teoremaren baliokidea dela \gamma angelua zuzena denean. Beraz, c bi angelu zorrotzen ondoan dagoenean kasua eta *c* angelu zorrotz baten eta kamuts baten ondoan dagoen kasua hartu behar ditugu kontuan.
thumb|1. kasua: *c* bi angelu zorrotzen ondoan dago
**Lehenengo kasua**: *c* bi angelu zorrotzen ondoan dago.

Har dezagun ondoko irudia. Pitagorasen teoremaren arabera, honela kalkulatzen da *c* luzera:Baina *h* luzera ere horrela kalkulatzen da:Bi ekuazioak batuz eta gero sinplifikatuz, hau lortzen dugu:Kosinuaren definizioaren arabera:{{Ekuazio|cos\gamma\,= \frac{b-u}{a}|4=left}}eta, beraz:u-ren balioa *c*2 rako ekuazioan ordezkatzerakoan hau ondorioztatzen dugu:Beraz, lehenengo kasuaren proba amaitu da.
thumb|2. kasua: *c* angelu kamuts baten ondoan dago
**Bigarren kasua**: *c* angelu kamuts baten ondoan dago.

Har dezagun ondoko irudia. Pitagorasen teoremak berriro ezartzen du, c^2 = h^2 + u^2 . Baina kasu honetan, h^2 = a^2 - (b+u)^2 ekuazioa dugu. Bi ekuazioak konbinatuz, hau lortzen dugu: c^2 = u^2 + a^2 - b^2 - 2bu - u^2 Kosinuaren definiziotik hau dugu cos\gamma\,= \frac{b+u}{a} eta horregatik:

Adierazpenean ordezkatuz, c^2 = a^2 - b^2 - 2b (a \cos\gamma\ - b) lortzen dugu.Hori da frogapenaren amaiera. *c*2 = *a*2 - *b*2 - 2*b*(*a* cos(γ) - *b*) Kontuan hartu behar da, u segmentu bideratutzat hartzen bada, kasu bakarra dagoela, eta bi frogapenak kasu bera bihurtzen direla.

### Puntu batek zirkulu batekiko duen potentziagatik 
[thumb|6.irudia - Kosinuaren teoremaren erakustaldia, [Potentzia (geometria)|puntu batek zirkulu batekiko duen potentzia erabiliz.]]
Har dezagun zirkulu bat, zentroa B-n eta BC erradioa dituena, 6. irudian bezala. AC zirkuluaren ukitzailea bada, berriz ere Pitagorasen teorema daukagu. AC u*k*itzailea ez denean,  zirkuluarekin ebakitzen duen beste K puntu bat dago.. A puntuak zirkulu horrekiko duen potentzia hau da:

Bestalde, AL = c+a eta AP = c-a da; beraz,Gainera, CK= -2a cos(g) (ikus eranskina); beraz,Lortutako adierazpenak berdinduz, azkenean hauxe lortzen da :Aurreko frogen aldera, froga honetarako ez da beharrezkoa kasuz kasu azterketa egitea, erlazio aljebraikoak berdinak baitira angelu zorrotzaren kasuan.

### Zenbaki konplexuen arabera 
Erreparatu eskuineko irudia plano konplexuan.
[thumb|260x260px|Kosinuaren teorema erakustea [Zenbaki konplexu|zenbaki konplexuak erabiliz]]
Hau frogatuko dugu:|c|^2=|a|^2+|b|^2-2|a|\cdot|b|\cos \gamma

Grafikotik,c=b-a.Honen moduluaren karratua kalkulatuz:

|c|^2=|b-a|^2

Zenbaki konplexuen propietateen arabera, konjokatuen kasuan :(|u|^2=u \overline{u})

|c|^2=(b-a)\overline{(b-a)}

|c|^2=(b-a)(\overline{b}-\overline{a})

Kontuan izan \overline{a}=a  dela, a zenbaki erreala delako (ikus grafikoa).Orduan:

|c|^2=(b-a)(\overline{b}-a)

|c|^2=b\overline{b}-a\overline{b}-ab+a^2

|c|^2=b\overline{b}-a(\overline{b}+b)+a^2

|c|^2=\underbrace{b\overline{b}}_

### Frogapen geometrikoa 
*ABC* triangelua edozein izanik, hau betetzen da:

AB^2=AC^2+BC^2-2 \cdot AC\cdot BC\cdot \cos \gamma. 

γ  angelua 90º bada, proposizioa Pitagorasen teoremara itzultzen da, cos 90º=0 baita. Angelua zorrotza bada, aurreko teorema baten arabera, hau betetzen da:

AB^2=AC^2+BC^2-2 \cdot BC \cdot CD. 

ACD triangeluan, hau betetzen da: CD= AC \cos \gamma.   Horregatik,

AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot BC \cdot AC \cdot \cos \gamma. 

Izan bedi, oraingoan, γ angelu kamutsa:

AB^2=AC^2+BC^2+2\cdot BC \cdot CD, 

baina *ADC* triangeluan hau aurkitzen da: CD= AC \cdot \cos(\widehat{ACD}).  Hala ere, ACD angelua *ABC* triangeluaren γ  angeluaren betegarria da. Hala, hau lortzen da:  \cos(\widehat{ACD})=-\cos \gamma  -AC \cos \gamma

## Eranskina 
### Paralelogramo baten azalera 
thumb

Honela adierazten da:

Demagun a eta b aldeak dituen eta θ angelu bat osatzen duen paralelogramo bat, irudian ikusten den bezala. Paralelogramoa diagonal baten bidez zatituz gero, bi eremu triangeluar lortzen dira. Horietako batean, h altuera bat eraikitzen da irudian ageri den moduan.

Eremu triangeluar gorriak ah / 2 azalera du. Definizioz, sin (θ) = h / b, beraz, h = b sin (θ) da. Eremu triangeluarraren  formulan ordezkatzeak honako hau frogatzen du:
{{Teorema|Triangelu baten azalera, non aldeek a eta b neurtu eta θ angelua osatzen duten honako hau da:
  A_T=\frac{ab\, \sin\theta}{2}}}
Paralelogramoaren azalera triangeluaren bikoitza dela kontuan hartuta,honako hau ondorioztatzen da.

Ondorioz, ikusten da θ = 90-γ baldin bada, sin (θ) = sin (90 ° -γ) = cos (γ) jarraitzen duela. Hala ere, ikusten da, nahiz eta paralelogramoaren edozein diagonal hartuta ere, froga berdina dela, sin (θ) = sin (180 ° -θ) baita.

### Sokak zirkulu batean 
[thumb|[Potentzia (geometria)|Puntu bakarreko potentzian oinarritutako proban erabilitako diagrama]]
Kosinuaren Teoremaren frogapenean, puntu bateko potentzia erabiliz*,* diagramako *CK* segmentuak -2a cos (γ)  zehazki neurtzen duela adierazten da.

Frogarik errazena *CB* segmentua luzatzea da zirkunferentzia berriro *D* puntu batean moztu arte, *CD* zirkuluaren diametroa izan dadin, zirkuluaren erdigunetik pasatzen baita.

Diametroa izanik, inskribatutako *CKD* angelua zuzena da nahitaez, beraz, *CKD* triangelua zuzena da. *DCK* angeluak θ = 180 ° -γ neurtzen du eta definizioz:{{Ekuazio|\cos(\theta) = \frac{CK}{CD} = \frac{CK}{2a}}}eta horregatik,zeren eta cos (180 º - *x)* = -cos *(x)* *x* balioa edozein baita.

## Erreferentziak 
## Ikus, gainera 
* Trigonometria
** Triangelaketa
** Trigonometria esferikoa
** Funtzio trigonometrikoa
* Triangeluaren geometria
** Pitagorasen teorema
** Sinuaren teorema
* Matematikariak
** Euclideak
** Al-Battani
** Ghiyath al-Kashi
** François Viète

## Bibliografia 
* Los Elementos, II. liburukia, Euclides.
* 
* Éfimov, N. (1981). Géométrie Supérieure. Moscú: Éditions Mir. OCLC 11732242.
* Lions, Jacques Louis (1980). Petite Encyclopédie des Mathématiques. París: Didier. OCLC 23703843.
* Pogorélov, A. V. (1974). *Oinarrizko geometria*. Mir argitaletxea, Mosku.'

## Kanpo estekak