Khi-karratuaren proba

Estatistikan, **doikuntzaren egokitasunerako khi-karratuaren proba** datu multzo baten probabilitate eredu batekiko doikuntzaren egokitasunari buruz erabakitzen duen proba estatistiko bat da, khi-karratu estatistikoan oinarritzen dena. Probak balio edo balio-tarte bakoitzeko maiztasun enpiriko eta teorikoen arteko aldea hartzen du oinarrittzat, khi-karratu estatistikoaren bitartez, erabakia hartzeko: aldea txikia bada, hipotesi nulua onartu eta eredua datuetara doitasunez egokitzen dela erabaki behar da; aldea handia bada, berriz, probabilitate ereduaren berezko aldakortasunarengantik gertatu ez eta ereduaren egokitzapenaren doitasun ezari dagozkiola erabakitzen da. Khi-karratu estatistikoak kalkulatrzen duen aldearen adierazgarritasuna khi-karratu banaketaren bitartez aztertzen da, hipotesi nulupean estatistikoa banaketa horri jarraiki banatzen baita.

Proba probabilitate eredu jarraitu zein diskretuetarako erabil daiteke. Eredu jarraituetan datuak tartetan biltzen dira maiztasunak eratzeko.

## Adibideak 
### Probabilitate berdintasunerako proba bat 
[thumb|300px|[Khi-karratu estatistikoaren balioa 2.398 da. Khi-karratuaren proban estatistikoaren balio handiek, maiztasun enpirikoak eta teorikoak oso ezberdinak direnean sortzen direnak, hipotesi nuluko eredua baztertzera daramate; hau da, eskualde kritikoa eskubian dago proba honetan. Adibidean, erreferentziazko khi-karratu banaketan %10eko adierazgarritasun-maila gainetik uzten duen balio kritikoa 6.251 da. Hortik gorako khi-karratu estatistikoaren balioek eredua baztertzea ekarriko dute. Kasu honetan, estatistikoa ez da horretara heltzen eta beraz, eredua onartu egiten da.]]

Jogurt berri baterako lau aukera eman zaie dastatzeko 60 bezero potentzialeko talde bati eta lauetatik zein nahiago duten galdetu zaie. A, B, C eta D aukerak nahiago izan dituztenak 20, 14, 12 eta 14 dira, hurrenik hurren. Lau aukerak berdintsuak edo probabilitate berekoak direla baiezta al daiteke %10eko adierazgarritasun-maila batez?

:::

:\Chi^2=\sum_i\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}=1.666+0.066+0.600+0.066=2.398

Estatistikoaren emaitza \chi^2_{4-1}=\chi^2_3\, da, khi-karratu banaketa bateko 90. pertzentilarekin alderatu behar da, gainetik %10eko probabilitatea (adierazgarritasun maila) utziz, askatasun-maila kopurua 4-1 (4 jogurt edo datu-klase - 1) izanik:

::\chi^2_{4-1,0.1}=6.251

2.398 betetzen denez, khi-karratu estatistikoak maiztasun enpiriko eta teorikoen artean duen aldea, probabilitate berdintasuna ezartzen duen hipotesi nulupean, ez da aski handia eta beraz probabilitate berdintasuna onartu egiten da: lau jogurt aukerak neurri berean nahiago direla erabaki behar da.

### Eredu diskretu baten egokitasuna 
100 egunetan zehar egunero gertatzen den matxura kopurua jaso da (datu gordinak 0, 0, ..., 1, ... izango lirateke):

:::

Eguneko matxura kopurua Poissonen banaketari jarraiki gertatzen dela esan al daiteke, adierazgarritasun maila %10 izanik?

Poissonen banaketak ezartzen dituen probabilitateak kuantifikatzeko \lambda\, parametroa zenbatetsi behar da lehenbizi. Ohiko zenbateslea batezbesteko aritmetikoa da (3 baino handiagoak diren datuen balio adierazgarri gisa 5 balioa hartu da, jatorrizko daturik ezean):

::\hat{\lambda}=\overline{x}=\frac{0 \times 21 + 1 \times 19 + 2 \times 15 + 3 \times 20 + 5 \times 25}{100}=2.34\ matxura\ eguneko

Parametroaren zenbatespen honekin, ereduaren probabilitate zehatzak eman daitezke. Poissonen banaketaren probabilitate funtzioa erabiliz:

::P[X=x]=\frac{e^{-2.34}\times 2.34^x}{x!}

Probabilitateak kalkulaturik, khi-karratu estatistikoa kalkulatzeari ekiten zaio:

:::

:\Chi^2=\sum_i\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}=13.537+0.544+4.922+0.012+0.848=19.863

Kasu honetan, ereduaren parametro bat datuetatik zenbatetsi denez, erreferentzia gisa hartu beharreko khi-karratu banaketak 5-1-1 (5 klase - 1 zenbatespen - 1) askatasun-maila ditu, zenbatespenaren balioaren erabilerak askatasun-maila bat gutxiago uzten baitu: \chi^2_{5-1-1, 0.1}=6.251

19.863>6.251 betetzen denez, hipotesi nuluak baieztatzen duen Poissonen eredua baztertu behar da eta beraz, datuetarako bestelako probabilitate-eredu bat zehaztu behar da.

### Eredu jarrai baten egokitasuna 
Eredua jarraia denean, datuak tartetan bildu behar dira.

Ikasle talde bati matematika-test bat proposatu zaie. Izandako puntuazioak hauek dira:

:::

%10eko adierazgarritasun mailaz datuetara banaketa normala doi egokitzen den erabaki behar da.

Banakuntza normalaren probabilitateak kalkulatzeko, batezbestekoa eta desbidazio estandarra zenbatetsi behar dira:

::\hat{\mu}=\overline{x}=58.8\ ; \ \hat{s}=\sqrt{\frac{\sum_i(x_i-\overline{x})^2}{n-1}}=18.92

Datuek konfirmatu beharreko eredu normal zenbatetsia hau da: N(58.8,18.92)\,. Eredu honetatik probabilitateak zehaztuko dira.

:::

:\Chi^2=\sum_i\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}=0+0+0.243+0.470+0.077=0.79

Balio hau 5-2-1=2 askatasun maila dituen khi-karratu banaketaren 90. pertzentilarekin alderatu behar da, zenbatespenek bi askatasun-maila kentzen dituztelako: \chi^2_{2,0.1}=4.60. Estatistikoaren balioa txikiagoa denez, hipotesi nulua onartu eta beraz, eredu normala egokitzat jotzen da.

## Kanpo estekak