Laplaceren ekuazioa

thumb| Pierre-Simon Laplace
Kalkulu bektorialean, **Laplace-ren ekuazioa** mota eliptikoko bigarren mailako deribatu partzialetako ekuazioa da, Pierre-Simon Laplace fisikariaren eta matematikariaren omenez izendatua.

Mekanika newtondarraren beharrizanek sartuta, Laplaceren ekuazioa fisika teorikoko beste adar askotan agertzen da, hala nola astronomian, elektrostatikan, fluidoen mekanikan edo mekanika kuantikoan.

## Definizioa 
Hiru dimentsiotan, bi aldiz deribagarria, eta (x,y,z) aldagai errealetako u funtzio erreal bat aurkitzean datza problema,  non

**koordenatu cartesiarretan**,

: 
{\partial^2 u\over \partial x^2 } +
{\partial^2 u\over \partial y^2 } +
{\partial^2 u\over \partial z^2 } = 0.

(\rho,\varphi,z)\, **koordenatu zilindrikoetan**,

:  {1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho}
 \left( \rho {\partial u \over \partial \rho} \right) 
+ {1 \over \rho^2} {\partial^2 u \over \partial \varphi^2}
+ {\partial^2 u \over \partial z^2 } =0 

(r,\theta,\phi)\, **koordenatu esferikoetan**,

:  {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
 \left( r^2 {\partial u \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
 \left( \sin \theta {\partial u \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 u \over \partial \varphi^2} =0 

: baita.

: \nabla^2 u = 0 \,

non \nabla^2  Laplace-ren eragilea edo "Laplacetarra" da.

Ekuazio hau deribatu partzialetan honela ere idatz daiteke:

: \nabla \cdot \nabla u = 0, 

non \nabla\cdot dibergentzia den, eta \nabla gradientea den.

Edo, batzuetan notazioa hau izan daiteke:

: \Delta u = 0,\,

non \Delta Laplace-ren eragilea ere baden.

Laplace-ren ekuazioaren soluzioei funtzio harmoniko deitzen zaie.

Berdintzaren eskuinaldean f(x,y,z) funtzio bat zehazten bada, hau da, ekuazioa honela idazten bada:

: \Delta u = f\,

orduan "Poisson-en ekuazioa" duzu, beraz, Laplace-ren ekuazioa horren kasu partikularra da. Laplace-ren ekuazioa Helmholtz-en ekuazioaren kasu partikular bat ere bada.

Laplace-ren ekuazioa, baita Poisson-en ekuazioa ere, deribatu partzialetako ekuazio eliptikoren adibiderik errazenak dira.

## Laplaceren ekuazioa bi dimentsiotan 
Laplaceren ekuazioa bi aldagai independentetan:

{\displaystyle \varphi _{xx}+\varphi _{yy}=0.\,}

Denboraren mende ez dauden zenbait egoera fisiko modelatzen ditu Laplaceren ekuazioak. Bero-transferentziari buruzko Fourier-en legean tenperatura, edo Fick-en difusio-legean kontzentrazio kimikoa edo Ohm-en eroapen-legean potentzial elektrostatikoa adieraz ditzake.

### **Funtzio analitikoak** 
Konplexuetako funtzio analitiko baten parte errealak eta irudikariak Laplaceren ekuazioa betetzen dute. Hau da, {\displaystyle z=x+iy} bada eta {\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y)}, orduan {\displaystyle f(z)}  analitikoa izateko baldintza Cauchy-Riemann-en ekuazioak betetzea da: 

{\displaystyle u_{x}=v_{y},\quad v_{x}=-u_{y}} non  {\displaystyle u_{x}} x-rekiko u-ren lehen deribatu partziala den. 

Orduan, {\displaystyle u_{yy}=(-v_{x})_{y}=-(v_{y})_{x}=-(u_{x})_{x}}. 

Ondorioz, u-k Laplaceren ekuazioa betetzen du. Antzeko kalkulu batek frogatzen du  {\displaystyle v}-k ere betetzen duela Laplaceren ekuazioa.

Alderantziz, funtzio harmoniko baten ondorioz, funtzio analitiko baten zati erreala da {\displaystyle f(z)} . Hori frogatzeko modu bat da: 

{\displaystyle f(z)=\varphi (x,y)+i\psi (x,y)}, orduan Cauchy-Riemann-en ekuazioak betetzen dira;

{\displaystyle \psi _{x}=-\varphi _{y},\quad \psi _{y}=\varphi _{x}}.

Erlazio horrek ez du zehazten {\displaystyle \psi }, bere gehikuntzak soilik;

{\displaystyle d\psi =-\varphi _{y}\,dx+\varphi _{x}\,dy}

Laplace-ren ekuazioak {\displaystyle \varphi }-rako adierazten du betetzen dela integragarritasun-baldintza {\displaystyle \varphi }-rako.

{\displaystyle \psi _{xy}=\psi _{yx}}, eta, hala, {\displaystyle \psi }, lineako integral batekin defini daiteke. 

Integragarritasun-baldintzak eta Stokes-en teoremak adierazten dute bi puntu lotzen dituen linearen integralaren balioa eta bidea independenteak direla. Laplaceren ekuaziotik ateratzen den emaitza-pareari funtzio harmoniko konjokatua esaten zaio. Hau lokalki baino ez da baliozkoa, edo baldin eta bidea berezitasun batekin inguratzen ez bada. Adibidez, r eta {\displaystyle \theta } koordenatu polarrak badira eta {\displaystyle \varphi =\log r}, orduan, dagokion funtzio analitikoa hurrengoa da:

{\displaystyle f(z)=\log z=\log r+i\theta }

Hala ere, {\displaystyle \varphi } angelua jatorririk gabeko eskualde batean baino ez da kokatzen.

Laplaceren ekuazioaren eta funtzio analitikoen arteko erlazio estuak ezartzen du Laplaceren ekuazioko edozein ebazpenak maila guztietan dituela deribatuak, eta potentzia-serieetan zabal daitekeela, berezitasunik ez duen zirkulu baten barruan gutxienez. Hori uhinaren ekuazioaren emaitzekin kontrastean dago, eskuarki erregulartasun txikiagoa baitu.

Potentzia-serieen eta Fourier-en serieen arteko lotura estua dago. Potentzia-serieetan f funtzio bat hedatzen badugu R erradioko zirkulu baten barruan, horrek esan nahi du

{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}}, behar bezala definitutako koefizienteekin, non benetako eta irudizko zatiak hauek diren: 

{\displaystyle c_{n}=a_{n}+ib_{n}}

Orduan, {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\left[a_{n}r^{n}\cos n\theta -b_{n}r^{n}\sin n\theta \right]+i\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}r^{n}\sin n\theta +b_{n}r^{n}\cos n\theta \right]}

### Fluido-fluxua 
Izan bitez  {\displaystyle u} eta  {\displaystyle v} kantitateak, hurrenez hurren, fluxu konprimaezin geldikorraren eta irrotazionalaren abiadura-eremuaren osagai horizontal eta bertikalak, bi dimentsiotan. 

Fluxua konprimaezina izateko baldintza hau da: {\displaystyle u_{x}+v_{y}=0}. 

Eta fluxua irrotazionala izateko baldintza hau da: {\displaystyle \nabla \times \mathbf {V} =v_{x}-u_{y}=0}

\psi -ren diferentziala {\displaystyle d\psi =v\,dx-u\,dy} bezala definitzen badugu, orduan, konprimi-ezintasunaren baldintza da diferentzial horren integragarritasuna: ondoriozko funtzioari korronte-funtzio deritzo, konstantea baita fluxu-lerroetan zehar. 

\psi 
-ren lehen deribatuak:

{\displaystyle \psi _{x}=v,\quad \psi _{y}=-u}
, eta irrotazionaltasunaren baldintzak ezartzen duenez, {\displaystyle \psi }-k betetzen du Laplaceren ekuazioa. {\displaystyle \varphi } funtzio harmonikoak, {\displaystyle \psi }-ren konjokatua denak, abiadura-potentzial deritzo. Cauchy-Riemann-en ekuazioek hau ezartzen dute: 

{\displaystyle \varphi _{x}=-u,\quad \varphi _{y}=-v}.

Beraz, funtzio analitiko bakoitzari fluido konprimiezinen fluxu geldikor eta irrotazional bat dagokio planoan. Zati erreala abiadura-potentziala da, eta zati irudikaria korronte-funtzioa.

### Elektrostatika 
Maxwellen ekuazioen arabera, bi dimentsioko eremu elektriko batek (u,v), denborarekiko independentea denak, hau betetzen du:

{\displaystyle {\begin{cases}\nabla \times (u,v)=v_{x}-u_{y}=0\,\\\nabla \cdot (u,v)=\rho \,\end{cases}}}

non \rho kargaren dentsitatea den. Maxwellen lehen ekuazioa integragarritasun-baldintza da {\displaystyle d\varphi =-u\,dx-v\,dy\,} diferentzialarentzat. Beraz, {\displaystyle \varphi } potentzial elektrikoa honako hau asetzeko eraiki daiteke: 

{\displaystyle \varphi _{x}=-u,\quad \varphi _{y}=-v\,}

Maxwellen bigarren ekuazioak hau ezartzen du:

{\displaystyle \varphi _{xx}+\varphi _{yy}=-\rho\,}, Poisson-en ekuazioa izenez ezagutua.

Garrantzitsua da ikustea Laplaceren ekuazioa hiru dimentsioko problemetan erabil daitekeela elektrostatikan eta fluido-fluxuan, bai eta bi dimentsiotan ere.

## Erreferentziak 
## Kanpo estekak