Espazio-denbora

[thumb|318x318px|[Masa handi bateko objektu baten ondorioz distortsionatutako espazio-denboraren analogia bidimentsionala.]]
Fisikan **espazio-denbora** espazioko hiru dimentsioak eta denboraren dimentsioa batzen diren lau dimentsioko modelo matematiko bat da. Kontzeptualki, modelo horretan espazioaren betiko hiru dimentsioak denborarekin konbinatzen dira, hura laugarren dimentsioa izanik. Espazio-denbora diagramak efektu erlatibistak ikustarazteko erabiltzen dira, esate baterako, behatzaile ezberdinen gertaeren diferentziak. Izen hori ematen zaio, fenomenoak deskribatzeko behatzaileak aztertzen dituen gertaera fisikoak *non* (espazioa) eta *noiz* (denbora) gertatzen diren adierazi behar delako. Horregatik, gertaera fisikoen kokalekua *continuum espazio-tenporala* dela esaten da.

20. menderarte uste zen espazioa osatzen zuten hiru dimentsioak denboraren independienteak zirela. Einstein-ek erlatibitate bereziaren teorian guztiz kontrakoa zela proposatu zuen bi postulatu hauen bidez: Argiaren abiadura hutsean berdina dela edozein behatzailentzat eta lege fisiko guztiak inbarianteak direla sistema inertzial guztietan. Bi postulatu horiek kontuan hartuta espazio eta denbora derrigorrez batera existitu behar direla ondorioztatzen da.

1908an Hermann Minkowskik erlatibitate bereziaren interpretazio geometriko bat pentsatu zuen denbora eta espazioko hiru dimentsioak bateratzen zuena, Minkowskiren espazioa moduan ezagutzen dena.

Minkowskiren geometriaren interpretazioa erlatibitatean oso garrantzitsua izan zen Einestein-en 1915ko erlatibitate orokorreko teoriaren garapenean, bertan ondoriaztatu baizuen masa eta energiak espazio-denbora planoa kurbatzen duela barietate pseudo-riemann batean.

## Definizioa 
Fisika klasiko ez-erlatibistan denbora uniformea kontsideratzen da espazio osoan zehar. Fisika klasikoan denbora berdina da edonorentzat, behatzailearen independentea da. Gainera, espazioa euklidearra dela jotzen da, hau da, espazioak zentzuzko geometria betetzen duela.

Erlatibitate berezian, denbora ezin da aldendu espazioko hiru dimentsioetatik, behatua izan den gertaera baten denbora behatzailearen abiaduraren menpekoa delako. Erlatibitate orokorraren arabera, eremu grabitatorioak denbora moteldu dezake eremutik kanpo dagoen behatzaile batek ikustean.
thumb|Espazio-denborako kokapena lau zenbakiren bidez definitzen da erreferentzi-sistema batean. Espazioko posizioa, eta denbora.
Espazio normalean, posizioa hiru zenbakiren bidez deskribatzen da. Horietako bakoitzari dimentsio deritze. Koordenatu kartesiarretan *x*, *y* eta *z*-ren bidez deskribatzen dira. Espazio-denborako posizioari gertaera deitzen zaio eta lau zenbakirekin deskribatzen da: espazioko hiru dimentsioetako posizioa gehi denboraren posizioa. Gertaerak *x*, *y*, *z* eta *t* koordenatuen bidez deskribatzen dira. Espazio-denbora lau dimentsiokoa da.

Espazio-denboran zehar dabilen partikula baten ibilbidea gertaeren segida bat moduan ulertu ahal da. (Gertaeren serie hura posible da partikula baten progresua espazio-denboran adierazten duen lerro baten bidez lotzea. Lerro horiei unibertso-lerro deritze.)

Matematikoki espazio-denbora barietatea da, hau da, lokalki “laua” dela kontsideratu ahal da puntu bakoitzaren ondodan. Hori ulertzeko globo baten pentsa dezakegu, non eskala txikiak kontsideratzen baditugu gure ingurukoa laua dela esan ahal dugun. Oso handia den eskala faktore bat, *c* (argiaren abiadura bezala ezaguna) espazioan neurtutako distantziak denboran egindako neurketekin erlazionatzen ditu. Magnitude hori oso altua da ohituta gauden abiadurekin konparatuta, gainera espazio-denbora barietatea izanik, iradokitzen du egoera normaletan, hau da, abiadura ez-erlatibistetan eta giza-eskalan ez garela gai euklideoa ez den espaziorik antzemateko. Bakarrik zientzian egindako esperimentu zehatzetan hasten gara kontuan hartzen espazio euklidearra ez datorrela bat neurtutako emaitzekin.

## Espazio-denbora erlatibitate berezian 
### Espazio-denborako tartea 
Hiru dimentsiotan, bi punturen arteko \Delta d distantzia Pitagoras-en teoremaren bidez definitzen da.
:(\Delta{d})^2 = (\Delta{x})^2 + (\Delta{y})^2 + (\Delta{z})^2
Bi puntuen posizioak behatzaile desberdinek neurtuz gero, orokorrean desberdina izango da. Hala ere, neurketak unitate berdinetan egin badute, bi puntuen arteko distantzia berdina izan behar da, hau da, behatzailearen independentea izango da. Distantzia inbariantea dela esaten da.

Erlatibitate berezian ordea, Lorentz-en uzkurdura dela eta, bi punturen arteko distantzia ez da berdina izango behatzaile ezberdinentzat horietako bat mugitzen ari bada. Oraindik zailagoa da bi puntuak espazioaz gain denboran ere aldenduta badaude. Adibidez, behatzaile batek bi gertaera ikusten baditu leku berean, baina denbora desberdinetan, eta pertsona bat aurreko behatzailearekiko mugitzen ari bada, bi gertaera horiek leku desberdinetan ikusiko ditu. Beraz, beste zerbait erabili behar da bi gertaeren “distantzia” efektiboa neurtzeko.

4 dimentsioko espazio-denboran, hiru dimentsiotako distantziaren analogoa *espazio-denborako tartea* da. Denbora laugarren dimentsioa izan arren, dimentsio espazialen jokaera desberdina du, hau da, ez da berdina Minkowskiren espazioa eta lau dimentsioko espazio euklidearra. Espazioa eta denbora bateratzeko arrazoi nagusiena da espazioa eta denbora nor bere aldetik ez direla inbarianteak. Kasu gehienetan, behatzaile desberdinek ez dute gertaera baten denbora tartea berdin neurtuko (denboraren zabalkuntzagatik), edo bi gertaeren arteko distantzia (Lorentz-en uzkurduragatik). Baina erlatibitae berezian badago inbariantea den objektu bat, espazio-denborako tartea, non denbora eta espazioaren distantziak konbinatzen diren. Edozein behatzailek bi gertaeren arteko denbora eta espazioaren distantziak neurtzen baditu beti emaitza berdina lortuko du. Demagun behatzaile batek bi gertaera neurtzen dituela \Delta t denbora tartean eta \Delta x espazioko distantzian. Orduan, bi gertaeren arteko espazio denborako tartea (\Delta s)^2 hau izango da:
:(\Delta s)^2 = (\Delta ct)^2 - (\Delta x)^2,
Eta espazioko hiru dimentsioak kontsideratuz:
:(\Delta s)^2 = (\Delta ct)^2 - (\Delta x)^2 - (\Delta y)^2 - (\Delta z)^2.
thumb|2 fotoiren irudia espazio-denborako grafiko baten, eta argia baino motelago mugitzen den objetu baten unibertso lerroa.
Ikur negatiboa dela eta, bi gertaeren arteko espazio-denborako tartea nulua izan daiteke. s^2 positiboa denean *denbora motako tartea* dugu, hau da, denbora-tartea espaziala baino handiagoa da. s^2 negatiboa bada *espazio motako tartea* dugu, hau da, bi gertaeraren arteko espazio-tartea denbora-tartea baino handiagoa da. Espazio-denborako tartea nulua da x=\plusmn ct denean, espazio- eta denbora-tarteak berdinak dira, hau da, argiaren abiaduran doan partikula baten unibertso lerroan dauden bi gertaeren arteko espazio-denborako tartea nulua da. Argi motako tartea dela ere esaten da.

Espazio-denborako tartea s^2 da eta ez s. Geometria euklidearrean ez bezala, Minkowskiren espazioko tarteak negatiboak izan ahal dira. Horregatik ez da s erabiltzen, errazagoa da s^2 bera erabiltzea zenbaki irudikariekin ibiltzea baino.

Orokorrean espazio-denbora diagramak espazioko dimentsio batekin eta denborarekin eraikitzen dira. Ondoko irudian, gertaera berdinetik sortutako bi fotoiren unibertso lerroak (espazio-denborako ibilbideak) ikusten dira. C unibertso lerroa argiaren abiadura baino motelagoz mugitzen den objektu batena da. Fotoiak argiaren abiaduran mugitzen direnez, beraien unibertso lerroak 45º-ko angelua osatzen dute *x* eta *ct* ardatzekin.

Zeinuen hitzarmena metrikarekin lotuta dago, (+ - - -) eta (- + + +). Bi hitzarmenak erabliltzen dira fisikako arlo desberdinetan.

### Erreferentzia sistemak 
[thumb|2 [Erreferentzia-sistema inertzial|sistema inertzial S eta S', non S' v abiaduraz aldentzen den x norabidean.]]
Behatzaile desberdinen espazio-denboran zeharreko neurketak egiteko oso erabilgarria izaten da diagrama sinplifikatuak erabiltzea. Horietan, bi behatzaile ezberdin kontuan hartzen dira, eta bakoitzak bere erreferentzi sistema dauka ondoko irudian ikusten den moduan. Lehenengo behatzaileari, S sistema dagokio (*x, y, z, t* koordenatuekin), eta bestea, S' sistema (*x’, y’ ,z ’,t’* koordenatuekin) v abiaduraz mugitzen ibiliko da x norabidean zehar. Hasieran (*t=t’=0*) bi sistemak posizio berean daude, eta gero S' sistema aldendu egingo da S-rekiko. S sistema geldi eta S' mugitzen ari dela kontsideratuko dugu. Irudian ikusten den moduan, bakarrik espazioko 3 dimentsioak kontuan hartuko ditugu. Izatez, hau ez da espazio-denbora diagrama bat, baizik eta, ondoren agertuko den benetako espazio-denbora diagrama ulertzeko hasierako pausua.

Ondoko irudian (b) ikus dezakegu espazio-denborako diagrama bat, Minkowskiren diagrama bezala ezagutzen dena. Lau dimentsiotan egon beharrean bi dimentsio bakarrik marrazten da. Horren arrazoia ondokoa da: Kontsideratu dugunez S' sistema soilik *x* norabidean mugitzen dela, lehengo irudian ondo ikusten da *y=y*' eta *z=z’* direla, beraz, ez dago diferentziarik behatzaileen artean koordenatu horien neurketetan. Orduan, sinplifikatzeko bakarrik garrantzitsuak diren bi dimentsioak marraztea aski da. Bi sistemak jatorri berdina dute, lehen esan bezala, hasieran S eta S' leku berean daudelako.

*ct’* ardatzetik pasatzen diren gertaerak espazioko *x’=0* posizioan gertatzen dira S' sisteman. Baina *x’=0-n* dauden puntuak *x* norabidean zehar mugitzen dira S sistema v abiaduraz doalako, eta orduan, ez dira *ct* ardatzaren gainean egongo *t=0* unean izan ezik. Ondorioz *ct’* ardatza \theta angelu batekin aldenduta dago *ct* ardatzetik.
thumb|288x288px|(a) 2 sistema inertzia S eta S' non S' v abiaduraz aldentzen den x norabidean, (b) aurreko kasurako Minkowskiren diagrama, (c) argi pulsu baten espazio denbora diagrama.
tan(\theta)=v/c

*x’* ardatza *x* ardatzarekiko ere aldenduta dago \theta angelu berdinarekin. Zenbat eta angelu handiagoa, orduan eta abiadura handiagoarekin ibiliko da S' sistema. Hala ere, maximo bat du \theta=45^o denean. Kasu horretan, v abiadura argiarena izango litzateke, hau da, argi pultsu batena, eta ezin denez argia baino azkarrago joan malda handiagoko kasuak ez daukate inolako zentzu fisikorik. Irudiko (c) grafikoan argi pultsu baten iblibidea ikusten da, non *x=0-tik x=a-ra* joan eta ispilu baten bitartez hasierako espazioko puntura iristen den. Ikusten denez argi pultsu baten malda \plusmn 1 da. S' sistema -v abiaduraz mugituko balitz S sistemarekiko \theta angeluak beste norantzan egongo ziren, hau da, *x’* ardatza, *x* ardatzaren azpian egongo litzateke, eta *ct’* ardatza, *ct* ardatzaren ezkerrean egongo litzateke.

### Argi-konoa 
Argi-konoaren ideia erlatibitate berezia eta orokorrean erabiltzen da argi izpi baten ibilbidea adierazteko. Gertaera jakin batetik igorriz, norabide guztietara bidaiatzen du espazio-denbora osoan zehar. Argi-konoak kausalitate printzipioa irudikatzeko balio du, hau da, fenomenoen kausa eta efektua lotzen ditu.
thumb|218x218px|A-ren argi-konoa 2D-tan egokitua.
Ondoko grafikoan espazio-denbora tarte nulua duten gertaerak adieraten dira, hau da, argia pultsuarenak. A jatorrizko gertaera bada, bere inguruan sortzen den irudia kono batena da, eta horregatik deitzen zaio argi-konoa. Kono batek etorkizuna adierazten du (t>0), eta besteak iragana (tv=0,3 c-ko abiduraz doan behatzaile batek ikusia da, eta berak ikusten dituen gertaeren ordena C, B eta A dira. Azkenik, v=-0,3c-ko abiaduraz doan behatzaile batek ikusten dituen gertaeren ordena A, B eta C dira. Lerro zuriak behatzaile bakoitzaren denboraren iblibidea irudikatzen du, eta grisez marraztutako zatia behatzailearen argi-konoa da, inbariantea dena. Nahiz eta behatzaile bakoitzarentzat gertaerak aldiune desberdinetan gertatzen diren, animazioan argi ikusten da espazio-denboran leku berdinean daudela, edo beste era batera esanda, espazio-denborako tartea aldaezina dela.

### Grabitazioa 
Orain arte esandako guztia erlatibitate berezian kokatzen da, errezena baita deskribatzeko. Minkowskiren espazioa laua da, ez du grabitaterik kontuan hartzen, eta metrika oso sinplea da, baina grabitatearen presentziak espazio-denboraren deskribapena pila bat konplikatzen du. Erlatibitate orokorrean, espazio-denbora kurbatua da, eta koordenatu bidez identifikatuak izan daitezkeen unibertso-puntuez osaturik dago. Unibertso-puntu bakoitzari koordenatu-sistema bat dagokio, halako moldez non eskualde txiki bat kontsidera daitekeen, zeinean aplikagarria den erlatibitate berezia. Horrelako unibertso-puntuen ondoz ondoko segidak partikulen ibilbidea edo argi-izpien ibilbidea adierazten du, zeinari *unibertso-lerro* deritzon, eta huts-hutsean, *geodesikoa*. Espazio-denbora materiaren aurrean kurbatzen da, eta horrek hainbat fenomeno dakar: uhin grabitazionalak, grabitazio-leiarrak, zulo beltzak eta beste hainbat gertaera bitxi.

## Espazio-denboraren matematika 
### Lorentz-en transformazioak 
Orain arte erlatibitateak espazio-denboran duen ondorio batzuk ikusi ditugu (soilik kualitatiboki), baina efektu horiek zehazki noiz gauzatzen diren kalkulatzeko, sistemen arteko transformazio zinematikoak egin behar ditugu.

Kontsidera dezagun behatzaile bat S sisteman (*x, y, z, t*) koordenatuekin eta beste behatzaile bat S' sisteman (*x’, y’, z’, t’*) koordenatuekin. *t=t’=0* aldiunean bi sistemak toki berean baldin badaude, eta S' sistema v abiaduraz mugitzen bada *x* norabidean zehar, hau izango bi sistemen arteko erlazioa kasu ez-erlatibistan:

\begin{array}{lcl} x' = x-vt \\ y=y' \\z'=z \\t'=t \end{array}

Horiek Galileoren transformazioak dira, fisika klasikoan erabiltzen direnak. Baina v abiadura c-tik gertu badago, hau da, abiadura erlatibistetan, gauzak nahiko aldatzen dira. Lehenago esan bezala denbora iada ez da absolutua izango, eta behatzailearen arabera aldatuko da. Hala ere, lehenago Lorentzen faktorea definitu behar dugu, oso garrantzitsua dena erlatibitatean:

\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}} non \beta =\dfrac{v}{c}  den.

S sisteman neurturiko balioak S' sisteman honela neurtzen dira:

\begin{array}{lcl} ct' = \gamma(ct-x\dfrac{v}{c}) \\ x'=\gamma(x-vt) \\y'=y \\z'=z \end{array}

Horiei Lorentz-en transformazioak deitzen zaie, eta erlatibitate bereziko espazio-denboran zehar mugitzeko erabiltzen dira. Ohartu v argiaren abiadura baino askoz txikiagoa denean (v), hau da, gure ohiko bizitzan, \gamma=1 bilakatzen dela eta Galileoren transformazioak berreskuratzen direla.

### Tetrabektoreak eta tentsoreak 
Hiru dimentsioko espazio euklidear baten gaudenean, bektoreak (V_x,V_y,V_z) erabiltzen ditugu posizoa, abiadura edota beste edozein magnitude fisiko adierazteko. Erlatibitatean ari garenean denbora ere kontuan hartu behar dugunez tetrabektoreak erabiltzen dira. Tetrabektoreetan erabiltzen den notazioa hau da: tetrabektoreak 4 osagai ditu eta indize grekoak (\mu,\nu,\lambda...) erabiltzen dira 0-tik 3ra. Latinezko indizeak (i,j,k...) erabiltzean 1-tik 3-ra doala adierazten du. Espazio-denboran gertaera bat adierazteko ondoko tetrabektorea erabiltzen da:

x^\mu=(ct,\vec{x})=(ct,x^i)=(ct,x,y,z)

Kasu honetan x^0=ct-k denbora adierazten du, eta x^i=(x,y,z) espazioko dimentsioak. Azken finean ohiko espazioko bektoreari laugarren dimentsioaren gaia gehitzea da. Abiadurarekin ere berdina gertatzen da, posizioaren tetrabektorea deribatuz:

u^\mu={dx^\mu \over d\tau}=\gamma(c,\vec{v})=\gamma(c,v_x,v_y,v_z)

Behatzaileen arteko transformazioak egiteko bi bektore erlazionatzen duen zerbait aurkitu behar dugu, eta horiek tentsoreak dira. Notazio honetan lorentz-en transformazioak egiteko 2. heineko tentsoreak erabiltzen dira.

(\Lambda^{\mu'}_\nu)=\begin{pmatrix} \gamma & -\gamma\beta & 0 & 0 \\ -\gamma\beta & -\gamma & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Honela geratzen da S eta S' sistemen arteko erlazioa:

x^{\mu'}=\Lambda^{\mu'}_\nu x^{\nu}

non x^{\mu'} S' sistemak neurtzen dituen koordenatuak eta x^\nu S sistemak neurtzen dituen koordenatuak diren.

Erlatbitate orokorreko kalkuluak egiteko metrika ezinbestekoa da. Metrika g_{ij} 2. heineko tentsore bat da, eta bere formaren arabera espazio-denboraren kurbadura zelakoa den ikusten da, eta derrigorrezkoa da hori jakitea Einsteinen ekuazioak askatzeko. Erlatibitate bereziko metrika esate baterako, Minkowskiren metrika da, hau da, espazio-denbora laukoa. Metrika espazio-denborako tartearekin lotuta dago:

ds^2=g_{ij}dx^idx^j

Nahiz eta tetrabektoreak eta tentsoreak erabiltzea nahiko abstraktua iruditu, erlatibitateko matematika guztia era trinkoago baten egiten da. Batez ere erlatibitate orokorrean non espazio-denbora kurbatua agertzen den eta geometria diferentziala erabili behar den.

## Espazio-denbora kurbatua 
### Oinarrizko proposamenak 
Aurretik kontatuko guztia erlatibita berezian kokatzen da, hau da, espazio-denbora lau batean. Hemendik aurrera erlatibitate orokorrean zentratuko gara, eta orain espazio-denbora ez da beti laua izango, kurbatua ere izan ahal da, eta kasu horretan fenomeno desberdinak gauzatzen dira. Azken batean, erlatibitate berezia erlatibitate orokorreko limite bat da non grabitatea arbuiatzen den.

Grabitatea indarrarekin lotzen dugu Newtonen 2. legean adierazten den bezala. Objektuek indar bat jasaten dute eta azelerazio konstante batekin lurrera erortzen dira. Horreri grabitatea deritzogu. Einsteinek ordea, grabitazio indarrik ez zegoela proposatu zuen, baizik eta gertatzen diren fenomeno guztiak espazio-denboraren geometriaren ondorio direla.
thumb|232x232px|3 masadun objektu non lehenengoaren masa besteak erakartzeko bezain handia den. 2 eta 3 objektuak erorketa askean daude A eta B kasuetan.
Lurraren inguruan orbitatzen dabilen satelite baten ibilbidea ez dago Lurra, Ilargia eta Eguzkiaren eraginen menpe. Horren ordez, satelitea baldintza lokalen menpe mugitzen da espazioan zehar. Eskala txikietan espazio-denbora lokali laua denez, satelitea lerro zuzen baten zehar higitzen egongo da bere sistema inertzial lokalean. Sateliteak beti geodesikoak jarraitzen duela esaten da.

Espazio-denboraren ikuspuntutik grabitatearen efektuak nabaritzeko behatzaile batek bi partikulen azelerazio erlatiboa ikusi behar du. Erorketa askean distantzia batera aldenduta dauden bi objektu azeleratuta egongo dira, baina eremu grabitatorioaren inhomogeneotasunagatik ibilbide desberdina jarraituko dute espazio-denboran zehar. Beste era batera esanda, demagun ondoko irudiko A eta B egoerak daudela. Behatzaile bat badago bi partikulen masa zentroan, baina ez badaki 1 masa dagoela, ondorioztatuko du A kasuan bi partikulen artean indar alderatzaile bat existitzen dela eta B kasuan indar erakartzaile bat dagoela. Beste behatzaile batek 1 masa existitzen dela baldin badaki, ohartuko da 1 masak 2 eta 3 partikulak erakartzen ari dela, eta bi partikulen arteko itxurazko indarra marea efektuaren ondorioa dela. Einsteinek espazio-denboraren geometria erabiliz deskribatzen zuen, esanez espazio-denbora kurbatua zegoela, eta marea-indarrak geometria kurbatuaren ondorioak zirela. Horren arabera ez dago indarrik hiru masen artean, baizik eta, hiru objektuak geodesikoetan zehar mugitzen direla espazio-denboran.

Aurreko kasuarekin lotutako ideia bat baliokidetasunaren printzipioa da. Demagun bi egoera, non batean pertsona bat kutxa handi baten barruan dagoen erorketa askean eta bestea kutxa baten barruan ere baina geldi. Lehenengo kasuko kutxa marea indarrak ez neurtzeko bezain txikia bada, barruko pertsonak ez dauka modurik (edozein esperimentu eginda) jakiteko zein den kutxaren kanpoko egorea. Hau da, geldi egotea eta erorketa askean (erreferentzia sistema inertzial lokalean) egotea baliokidea da.

Espazio-denboraren deskribapen sinpletik grabitazioaren deskribapen osoa egiteko kalkulu tensorial eta geometria diferentziala behar da. Horiek gabe posible da erlatibitate orokorrari buruz hitz egitea, baina ez da posible tribialak ez diren emaitzak lortzea.

### Denboraren kurbadura 
thumb|Einsteinen esperimentua gorriranzko lerrakuntza grabitatorioa adierazteko
1916an Einsteinek erlatibitate orokorra garatu ondoren, hainbat zientzilarik erlatibitate orokorrak gorriranzko lerrakuntza grabitatorioaren existentzia adierazten zuela zioten. Einsteinek honako esperimentua mentala proposatu zuen: demagun h altuerako dorre baten puntan gaudela. m masako partikula bat erortzen uzten badugu g azelerazioaz eroriko da, eta lurrera iristean edukiko duen abiadura v=\sqrt{2gh} izango da. Beraz, lurrean dagoen batek bere E energia neurtzen badu ondokoa lortuko du:

mc^2+\dfrac{1}{2}mv^2=mc^2+mgh

Orain imagina dezagun masa-energia tresna batek partikularen energia osoa fotoi bakar batean bilakatzen duela eta goruntz itzultzen dela. Dorreko puntara iristean beste masa-energia tresna baten bidez aurreko prozesuaren alderantzikoa egingo dugu, hau da, fotoiaren E' energia osoa m' masako partikula batean bilakatu. m=m' izan behar da derrigorrean, bestela betirako ibiliko litekeen makina bat eraikitzeko gai izango ginake. E'=mc^2izango da, eta orduan:

\dfrac{E'}{E}=\dfrac{h\nu'}{h\nu}=\dfrac{mc^2}{mc^2+mgh}=1-\dfrac{gh}{c^2}

Fotoi bat Lurraren eremu grabitaorioaren kontra igotzean energia galtzen du eta gorriranzko lerrakuntza gertatzen da. Fenomeno hau neurtzeko hainbat behaketa astronomiko egin ziren, eta behin betiko behaketa Pound eta Rebka (1959) eta beranduago Pound eta Snider (1964) lortu zuten egitea.

Argia maiztasunarekin lotuta dago, eta maiztasuna erlojuaren funtzionamenduak eraikitzeko erabili ahal da. Gorriranzko lerrakuntza grabitatorioak ondorio batera eramaten gaitu: Grabitateak denbora moteltzen du. Demagun berdin-berdinak diren bi erloju atomiko eraikitzen ditugula, eta bat dorrearen puntan kokatzen dugula eta bestea lurrean. Goian dagoen pertsonak beheko erlojua behatzen badu ohartuko da bere seinaleen maiztasuna goiko erlojuarena baino txikiagoa dela. Dirudienez beheko erlojua polikiago doa, eta bi erlojuak konparatuz horixe bera ikusten da. Kilometro bateko dorre baten kasuan diferentzia 9,4 nanosegundo eguneko da.

Erlojuak ez dira aldi berean iblitzen eremu grabitatorio batean. Pound-Rebka esperimentuak denboaren kurbadura frogatu zuen espazio-denboraren osagaietan, baina ez du ezer esaten espazioaren kurbadurarekiko. Izatez, grabitatearengatik gertatzen den denboraren zabalkuntzaren argumento teorikoak ez datoz soilik erlatibitate orokorretik. Grabitazioaren edozein teoriak emaitza berdinera aurresango zuen baliokidetasunaren printzipioa errespetatzen bada. Hura ere Newtonen grabitazioan gertatzen da. Erlatibitate orokorrean ikusi ahal da “limite Newtondarrean” (partikulak poliki mugitzea, eremu grabitatorioa txikia izatea, eta eremua estatikoa izatea), denboraren kurbadura nahikoa dela Newtonen grabitatearen legeak deribatzeko.

Newtonen grabitazioa denbora kurbatuaren teoria bat da. Erlatibitate orokorra, berriz, espazio eta denbora kurbatu baten teoria. *G* grabitazio konstantea bada, *M* izar baten masa, eta bere inguran *r* distantzia masa askoz txikiagoko objektuak orbitatzen ari badira, Newtonen grabitazioan espazio-denborako tartean soilik denboraren koefizienteak aldatzen dira:

\Delta s^2 = \left( 1 - \frac{2GM}{c^2 r} \right) (c \Delta t)^2 - \, (\Delta x)^2 - (\Delta y)^2 - (\Delta z)^2 

### Espazioaren kurbadura 
(1-2GM/(c^2r)) faktorea (c\Delta t)^2-ren aurrean egotea denboraren kurbadura adierazten du Newtonen grabitazioan. Espero bezala faktore hori *G* eta *M*-ren proportzionala da, eta izendatzailean *r* agertzen denez, *M* masara gerturatzean grabitatearen efektu handiagoak nabaritzen dira, hau da, faktorea handitu egiten da, eta denbora kurbatzen dela adierazten du.

Baina erlatibitate orokorra espazio eta denbora kurbatuaren teoria da, beraz, satelite eta planetetan espazioarekin lotutako osagaiak ere aldatu beharko ziren denborarekin gertatzen den bezala. Izatez, efektu horiek ikusiak izan dira, baina oso gutxi. Horren arrazoia planeten abiadura argiaren abiadurarekin konparatuta oso txikia delako da, eta eguzki sistemako planeta eta sateliteentzat (c\Delta t)^2terminoa oso txikia da zati espazialean aldaketak nabaritzeko.

1916an Einstenek Merkurioren prezesioa, espazio-denbora kurbatuaren zati espazialarekin azaltzen zela frogatu zuen. Newtonen grabitazioarekin agertzen den denboraren kurbadura ez da nahiko fenomeno bitxi hori deskribatzeko, eta Einsteinen kalkuluen arrakasta aurrerapauso handia izan zen erlatibitate orokorraren alde. Einsteinek zati espazialaren kurbadura honela idatzi zuen:

\Delta s^2 = \left( 1 - \frac{2GM}{c^2 r} \right) (c \Delta t)^2- \, \left( 1 + \frac{2GM}{c^2 r} \right) \left[  (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2  \right] 

### Espazio-denbora kurbatuaren jatorria 
Newtonen grabitazioan jatorri bakarra masa da. Erlatibitate orokorrean berriz, masaz gain beste hainbat jatorri daude. Jatorria eta kurbaduraren arteko erlazioa Einsteinen eremu ekuazioak adierazten du.

G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\dfrac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}

non \Lambda konstante kosmologikoa, g_{\mu\nu} metrika, T_{\mu\nu} energia-momentu tentsorea, G grabitazio konstantea, c argiaren abiadura eta G_{\mu\nu} Einstenen tentsorea diren. Einsteinen tentsorea honela idazten da:

G^{\mu\nu}=R^{\mu\nu}-\dfrac{1}{2}Rg^{\mu\nu}

non R^{\mu\nu} Ricciren kurbadura tentsorea eta R Ricciren kurbadura eskalarra diren, hau da, azken finean, espazio-denboraren kurbadura adierazten dituzten gaiak. Beraz, ekuazioko ezkerreko gaiek kurbadura adierazten dute eta eskumako zatiak sistemaren energia edota momentua.

Einstenen ekuazioetan metrika agertzen denez, soluzioak lortzeko garrantzitsua da metrika zelakoa den jakitea. Adibidez, erlatibitate berezian ez dagoenez energia-momentu tentsorearen gairik ez dago kurbadurarik, eta, beraz, kasu horretan metrika Minkowskirena da, hau da, espazio-denbora laua da. Energia agertzean ekuazioetako eskumako zatia ez da zero, eta metrika aldatu egiten da, hots, espazio-denbora kurbatu egiten da.

## Schwarzschilden espazio-denbora 
Einsteinen ekuazioak askatzeko orduan ezin dugu analitikoki soluzio orokor bat lortu, hala ere, kasu konkretu baten zentratuz gero posible da soluzio zehatza lortzea. Hori egin zuen lehenengoa Karl Schwarzschild izan zen.

Schwarzschildek simetria esferikoko objektu batek sortzen duen eremu grabitatorio estatiko bat adierazten duen metrikan pentsatu zuen. Horretarako metrika estatiko eta espazialki isotropiko baterako forma orokor batetik hasi zen. Espazio-denbora estatikoak honelako propietateak ditu: g_{\mu\nu}-ren osagai guztiak x^0-ren independenteak dira, hau da, denboraren independiente, eta espazio-denborako tartea inbarinatea de transformazio honekiko x^0\rightarrow-x^0edo t\rightarrow-t.

Aplikatu beharreko propietate guztiak erabiliz metrikaren forma lortzen da, eta koordenatu esferikotan idatzita ondoko eran geratzen da:

ds^2=-\biggl(1-\dfrac{r_s}{r}\biggr)c^2dt^2+\biggl(1-\dfrac{r_s}{r}\biggr)^{-1}dr^2
+r^2(d\theta^2+sin^2\theta d\phi^2)

distantzi handitan, hau da *r>>rs* denean, eremua ahula izan behar da eta horrekin *rs*-ren balioa zein den jakin dezakegu:

g_{00}=-\biggl(1-\dfrac{r_s}{r}\biggr)\approx-\biggl(1-2\dfrac{\Phi}{c^2}\biggr)=-\biggl(1-\dfrac{2GM}{c^2}\biggr)

Beraz r_s=\dfrac{2GM}{c^2} Schwarzschilden erradioa esaten zaio.

Metrika hura erabiltzen da masa-banaketa esferiko baten inguruan gertatzen den fisika ikusteko, esate baterako masa handiko objektuen ibilbidea erorketa askean eta fotoietan. Metrikaren forma begiratuz argi ikusten da espazio-denborak masa edo energiaren inguruan laua izateari uzten diola eta efektu bitxiak gertatu ahal direla. Schwarzschild-en metrika infinitora doa *r=rs* denean, eta masa-banketaren gainazala *rs* erradio hori baino txikiagoa izatera uzkurtuko balitz, objektua Schwarzschilden zulo beltza bilatuko litzateke, argiak ere ihes ezin duen zonalde bat.

## Erreferentziak 
## Ikus, gainera 
* Espazio-denboraren kurbadura

## Kanpo estekak