Zenbaki

thumb|Zenbaki motak azaltzen dituen bertso sorta.

**Zenbaki**a (laburtuta, **zk.**) multzo batek dauzkan unitateen adierazpen matematikoa da. Zenbaki ezagunenak arruntak dira (0,1, 2, eta abar), oro har kontatzeko, neurtzeko edo etiketatzeko erabiliak. Bestalde, hainbat orokortze ditugu matematikan: zenbaki negatiboak, zenbaki arrazionalak (zatiki bidez adieraz daitezkeenak, adibidez 1/2), zenbaki errealak (adibidez \sqrt{2} edo \pi) eta zenbaki konplexuak (erro -1 erroa gehituz errealei, hau da, i unitate irudikaria). 

Zenbaki indibidualak sinbolo bidez adieraz ditzakegu, *zifrak* deituak; adibidez, "2" bi zenbakia adierazten duen zifra da, baina askotan *zenbaki* hitza berau erabiltzen da kontzeptua eta sinboloa biak adierazteko. Gainera, sinbolo kopuru finitu bat gogora dezakegunez, gizakiak zifra basikoak ordezkatzeko zenbaki-sistemak ditu. Zenbaki-sistema erabiliena indo-arabiar zenbaki-sistema da, non edozein zenbaki 10 zenbaki sinboloren konbinazioez adieraz daitekeen.

Zenbakiak ikertzen dituen matematikaren adarra zenbaki-teoria da , ariketa aritmetikoetatik at (batuketa, kenketa, biderketa, zatiketa, eta berreketa) zenbakien teoria modernoak matematikako hainbat adar batzen ditu; hala nola, analisia, aljebra edo geometria. Zenbaki-sistema hamartarra baino egitura aljebraiko orokorragoen adibide berezi garrantzitsutzat hartzen dira, eraztunak eta gorputzak adibidez, eta *zenbaki* hitzak ez du funtsezko esanahirik bertan.

Erabilera aritmetikoaz gain, zenbakiak askotan errepresentazio ikur moduan erabiltzen dira (mugikor zenbakien kasuan bezala), ordenatzeko (serie-zenbakien kasua online erosketetan), edo kode identifikatzaileetan (ISBN liburuentzat). Gainera, zenbait zenbakik garrantzi eta esanahi handia dute munduan zehar; adibidez, 13 zoritxarreko zenbakia dela uste da mendebaldeko hainbat kulturatan. Gaur egun pseudozientziatzat hartzen den arren, zenbakien esanahi mistikoaren sinesmena, numerologia deitua, ohikoa zen mendebaldeko kulturetan. Kondairak dio Pitagorasen jarraitzaileek Hipaso greziar filosofoa itoarazi zutela erro bi (\sqrt{2}) zenbaki irrazionalaren existentzia defendatzeagatik.

## Zenbaki kontzeptuaren historia 
### Zenbatzeko lehen sinboloak 
Zenbakiak historiaurrean sortu zirela uste da; lehen gizakiaren garaiko objektu fisikoetan (hala nola harriak, hezurrak edo enborrak) hainbat marka aurkitu dira, zenbatzeko erabiliak seguruenik. Horren lekuko dira Lebombon aurkitu zuten 37.000 urteko antzinatasuneko babuino-hezur landua, 29 hortz markarekin, edo Txekoslovakian aurkitutako otso-hezurra, 5 multzotan banatutako 57 hozkadarekin.
thumb|267x267px|Ixango-ko hezurra, duela 20.000 urte egindako aztarnak dituena. Marka horien erabilerak denboraren jarraipenarekin zerikusirik izan dezakeela iradoki da, adibidez, egunen jarraipena edo kantitateak kontatzeko. Dena dela, markek ez dute posizio-balioaren kontzepturik (egungo zenbaki sistema hamartarrak duen bezala); eta honek marken erabilera mugatzen du, zaildu egiten bai du zenbaki handiak irudikatzea.

Ezagutzen den lehen posizio-baliodun zenbaki sistema Mesopotamiakoa zen, 60 oinarrikoa. Marken ordez, sinboloak erabiltzen hasi ziren, zerga- eta jabetza-erregistroak zenbatzeko. Aurkikuntzak Mesopotamian egin ziren, K.a. 8.000. urtean. Hasieran, erregistro horiek zenbatzeko, buztinezko fitxak erabiltzen ziren, baina denbora pasa ahala, buztinezko oholtxoetan hasi ziren idazten zenbakiak, sinbolo desberdinak erabiliz. Hala ere, metodo horiek merkataritza edo kontabilitate gaietan bakarrik erabili ziren, nahiz eta lur-neurketan eta astronomian ere oso erabilgarriak izan, esate baterako, mugimendu planetarioak erregistratzeko.

Duela 5.000 urte hasi ziren erabiltzen gaur egun ezagutzen ditugun zenbaki-sinboloak, 10 oinarridunak, Egipton.

### Zeroaren sorkuntza 
Zeroaren erabilera posizionala bere zifra baliotik ezberdindu behar da, bigarrena kontzeptu gisa zenbaki sistema osoa baino berriagoa izanik. Esate baterako, Greziako filosofoek K.a III. mendean, zeroaren egoerarekiko ziurtasun eza adierazi zuten "nola izan daiteke 'ezereza' zerbait?". Hutsunea, ezereza, edo zeroaren izaerak eztabaida filosofiko eta erlijioso asko ekarri zituen Erdi Aroan zehar.

Amerikan, hogei oinarriko zenbaki sistemen lehenengo adierazpena K.a III. mendekoa da. Olmeka, Mexiko hegoaldeko zibilizazioko biztanleria, hilarri batean zeroaren eta ordenaren kontzeptuak ageri dira. Maiek (K.a. IV. mendea), aldiz, zeroa adierazteko lau ikur asmatu zituzten. Garrantzitsuenak bi dira: batetik, zero matematikoa adierazteko, barraskilo baten oskolaren ebaketa erabiltzen zen, eta bestetik, egutegiko zeroa adierazteko, lore bat erabiltzen zuten. Dena dela, ez da uste zero honek mundu zaharreko zenbaki-sisteman eraginik izan zuenik.

Egiazko zero bat zen 525. urteko zenbaki erromatarren tauletan aurkitua ere (Dionysius Eziguusen eskutik), hitz gisa, *nulla*, 'ezereza' esan nahi duelarik, ez sinbolo moduan. Zatiketa baten zero hondarra ematen bazuen, *nihil* erabiltzen zen, 'ezer ez' esan nahi du.

Zeroaren lehen erabilera aritmetikoa Brahmagupta indiar matematikari eta astronomoari dagokio, 628. urtean. Zero zenbaki gisa tratatu eta parte hartzen zuen eragiketak eztabaidatu zituen, zatiketa barne. Garaiko dokumentuek argi adierazten dute kontzeptuak azkar hartu zuela indarra, eta gerora Txinara eta mundu islamiarrera zabaldu zela.

### Zenbaki negatiboak 
Zenbaki negatiboen kontzeptu abstraktua K.a. 100 - K.a. 50 urteen artean sortu zen. *Matematika-artearen bederatzi kapituluak* (Jiu-Zhang Suanshu) txinatar obra matematikoak figuren azalerak neurtzeko metodoak biltzen ditu, eta zenbaki negatiboen aitzindaria lantzen du: koefiziente positiboak adierazteko, barra gorriak erabiltzen dira; eta koefiziente negatiboak adierazteko, beltzak.

600eko hamarkadan, Indian ohikoak ziren zenbaki negatiboak, zorrak adierazteko. Brahmaguptak, bigarren mailako ekuazioen soluzioetan, bi erroak hartu zituen kontuan, nahiz eta horietako bat negatiboa edo irrazionala izan zitekeen. *Brahma-Sphuta-Siddhanta* (628. urtea) obran agertu zen lehenengoz zenbaki positiboen, negatiboen eta zeroaren (+, -, *, /, berreketak eta erroak) aritmetika sistematizatuta. Zenbaki negatiboak entitate isolatutzat ere erabili zituen, geometria aipatu gabe.

Mendebaldeko lan batean zenbaki negatiboen lehen erreferentzia K.o. III. mendekoa da, Grezian. Diofanto Alexandriakoak, *Aritmetika* lanean, honako ekuazio hau aipatu zuen:

Ekuazio horrek emaitza absurdoa emanen zuela adierazi zuen.

Europako matematikari gehienek ez zituzten zenbaki negatiboak onartu XVII. mendea arte. Nahiz eta Leonardo Fibonaccik zor gisa interpreta zitezkeen finantza-arazoei irtenbide negatiboak onartu (*Liber Abaci* liburuko 13. kapitulua, 1202), Nicolas Chuquet (XV. mendea, Frantzia) izan zen lehena zenbaki negatiboak erabiltzen. Bere lanean, berretzailetzat agertu ziren zenbaki negatiboak, baina emaitza horiek zenbaki absurdotzat jo zituen. XVIII. mendean ere, Leonhard Euler suitzar matematikari ezagunak zenbaki negatiboak infinitua baino handiagoak zirela uste zuen, eta ohikoa zen ekuazioren batek emaniko emaitza negatiboa izanez gero emaitza hori alde batera uztea, esanguratsua ez zelakoan. Hori egiten zuen René Descartesek ere koordenatu sistema kartesiarreko emaitza negatiboekin.

### Zatikiak 
1858an Henry Rhindek, Egipton, zatikiei buruzko informazioa zeukan papiro bat aurkitu zuen. Papiro hori, K.a. 2.000. eta K.a. 1.800. urteen artekoa da. Hala ere, zatiki unitarioak soilik hartzen zituzten kontuan, hau da, zenbaki naturalen alderantzizkoak zirenak, 1/n, eta obalo batekin adierazten zituzten. Bazeuden beste sinbolo bereziekin adierazten zituzten frakzioak, hala nola 
{{Ekuazio|:\frac{2}{n} \textrm{ edo }\frac{n}{n} + 1 ,}} itxurakoak. Papiro honetan, 2/n motako zenbakien deskonposizio-taulak zeuden, adibidez, {{Ekuazio|:\frac{2}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15} \textrm{ edo } \frac{2}{7} = \frac{1}{4} + \frac{1}{28}.}} Taula hauetan agertzen ziren frakzioetan erabili zuten n zenbakia 1etik 101era bitartekoa zen.

Zatiki hamartarren kontzeptua oso erlazionatuta dago leku-balio hamartarra duen notazioarekin; biak paraleloan garatu zela dirudi. Adibidez, Jain erlijio indiarreko sutra matematikoan (K.a. III. mendea), ohikoa zen pi edo erro bi (\sqrt{2})-ren hurbilketak kalkulatzea zatiki hamartar bidez. Garai berdintsuan, Babiloniako textu matematikoetan ere 60 oinarriko zenbaki-sistemako zatikiak oso ohikoak ziren. Greziar matematikarietan zatikien analisi zehatzena Euklidesen *Elementuak* liteke.

### Zenbaki konplexuak 
Zenbaki konplexuak XVI. mendean agertu ziren matematikari italiarren eskutik, bi eta hirugarren graduko ekuazioak aztertzean. Dena dela, gutxitan onartzen ziren ekuazio hauen soluzio gisa eta ia inoiz ez koefiziente modura, garai hartan zenbaki negatiboak ere ez baitzeuden oso onartuak. René Descartesek zenbaki hauei 'irudikari' izena mespretxuz eman zien, interpretazio errealik ez omen zutelako. 

Girolamo Cardanok (1501-1576) *10 zenbakia bi zatitan zatitu, haien biderkadurak 40 balio dezan* (x^2-10x+40=0 problema ebaztean, soluzio hauek lortu zituen: 5+\sqrt{-15} eta 5-\sqrt{-15}. Ekuazio kubikoak Cardano-Tartaglia formularen bidez ebaztean, nahiz eta emaitzak errealak izan, zenbaki negatiboen erroak ageri dira tarteko urratsetan. Egoera horretan, Rafael Bombellik (1526-1573) bere *Aljebra* liburuan 'ideia ero' zeritzona izan zuela dio, hau da, errotzaileek errokizunen erlazio bera izan eta haiekin lan egin zezaketen, beranduago, desagerrarazten saiatuz gero.

Beste nahasmen iturrietako bat zenbaki konplexuen erabilera aljebraikoak sorturiko arazoak ziren. Adibidez,
{{Ekuazio|:(\sqrt{-1})^2=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=-1,}}
ez zetorren bat zenbaki positiboen identitate aljebraikoarekin
{{Ekuazio|:\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}.}}
Gaur egun badakigu ekuazio hau ez dela betetzen zenbaki konplexuentzako, eta zailtasun hau izan zen Leonhard Euler zenbaki irudikarientzako sinbolo berri bat sortzera eraman zuena i=\sqrt{-1}.

Zenbaki konplexuen irudikapen grafikoa Caspar Wesselek (1745-1818) egin zuen, baina oharkabean igaro zen. Horregatik deitzen zaio zenbaki konplexuen planoari *Gaussen planoa*, Carl Friedrich Gaussi (1777-1855) esleitzen baitzaio. Girarden garaitik (XVII. mendearen erditik) ezagutzen da zenbaki errealak zuzen baten puntuekin bat egiten dutela, beraz hauek ardatz bertikalean kokatuz gero, zenbaki konplexuak bi dimentsioko plano batean irudika ditzakegu, non irudikariak ardatz bertikalean kokatzen diren. a+bi motako zenbaki konplexuekin ere lan egin zuen, a eta b zenbaki osoak izanik, eta i Eulerren zenbaki irudikarien ikurra. Gaussek zabaldu zuen honen erabilera *Disquisitiones arithmeticae* obran (1801).

thumb|upright=1.15|Zenbaki konplexuak z=a+ib bi dimentsioko planu konplexuko bikote moduan adieraz daitezke (a,b). *Re* ardatz horizontal erreala da eta *Im* ardatz bertikal irudikaria, non i^2=-1.

### Indukzio matematikoaren printzipioa 
Indukzio matematikoaren aurrekaria indukzio osoa izeneko frogapen metodoa da. Pascalek (1623-1662) indukzio matematikoaren metodoa erabili zuen, gaur egun ezagutzen dugun moduan, bere izena daraman zenbaki triangeluari dagozkion propietateak frogatzeko. Indukzioaren bidezko frogapenek bi zati dituzte beti: oinarrizko urratsa eta indukziozko urratsa. Ondoren, notazio gaurkotuan deskribatzen dira:

S zenbaki arrunten azpimultzoa bada (\aleph moduan ezaguna) eta n elementu bakoitzak P(n) propietatea betetzen badu non:

# 0 S azpimultzoan dago.
# n S -n badago, orduan n+1 ere S -n dago.

Beraz, S=\aleph, hau da, edozein n zenbaki arruntak P(n) propietatea betetzen du.

Intuizioz, indukzioa domino efektu gisa ulertzen da. Domino fitxen errenkada infinitua dugula suposatuz, oinarrizko urratsa lehenengo fitxa jaurtitzean datza; bestalde, urrats induktiboak frogatzen du fitxaren bat erortzen bada, hurrengo fitxa ere eroriko dela. Horren ondorioa errenkada horretako fitxa guztiak bota daitezkeela da.

### Multzoen-teoria 
Multzoen teoriak zenbaki arruntak eta zenbaki errealak zenbaki konplexuek zenbaki errealen multzora hedatzen zituzten modu ezberdinez zabaltzeko modu asko eta askotarikoak iradoki zituen. Multzoaren ideia elementu-kopuru ez finitu batekin atzemateko saiakerak zenbaki transfinituen aritmetikara eraman zuen, zenbaki naturalak orokortzen baitituzte, baina ez zenbaki osoak. Zenbaki transfinituak Georg Cantorrek sartu zituen 1873 inguruan.

Analisi ez-estandarrean erabilitako zenbaki hipererrealek zenbaki errealak orokortzen dituzte, baina ez zenbaki konplexuak (nahiz eta konplexutasun bat onartzen duten, zenbaki konplexuak ere orokortuko lituzkeena). Zenbaki hipererrealak dirudien arren, ez dute emaitza matematiko interesgarririk ematen analisi errealean lor daitezkeenetatik haratago doazenik, frogapen eta froga matematiko batzuek sinpleagoak dirudite zenbaki hipererrealen formalismoan, eta, beraz, ez daude garrantzi praktikotik salbuetsita.

### Irrazionalen teoriak 
XIX. mendearen erdialdera arte matematikariak zenbakien ulermen intuitiboarekin konformatzen ziren eta euren propietate sinpleak ez ziren logikoki XIX. mendera arte ezarriak izan. Azterketan zorroztasuna sartzeak agerian utzi zuen zenbaki errealen sistemaren argitasunik eza eta zehaztasunik eza, eta oinarri aritmetikoen gainean egituratze logikoa eskatzen zuen.

Bolzanok zenbaki errealak zenbaki arrazionalen segidetan oinarrituta eraikitzeko saiakera bat egin zuen, baina bere teoria oharkabean igaro zen eta 1962ra arte ez zen argitaratu. Hamiltonek saiakera bat egin zuen, denbora magnitudeari erreferentzia eginez, zenbaki arrazionalen banaketetatik abiatuta:

: baldin eta  a = \cfrac{n_1}{m_1} 
,   b = \cfrac{n_1^2}{m_1^2} 
 denean eta baldin eta  a = \cfrac{n_2}{m_2} 
,  b = \cfrac{n_2^2}{m_2^2} 
 denean  \quad \longrightarrow \quad a= \sqrt{b} 
          
: Baina ez zuen bere teoria gehiago garatu.
: Baina 1872an bertan bost matematikarik, frantses batek eta lau alemanek, zenbaki errealen aritmetizazioari buruzko beren lanak argitaratu zituzten

* Charles Merayk (1835-1911) ''Nouveau précis d'analyse infinitésimale* lanean zenbaki irrazionala zenbaki arrazionalen segiden limite gisa definitzen du, kontuan hartu gabe limitearen existentziak berak zenbaki errealaren definizioa suposatzen duela.

* Hermann Heinek (1821-1881), *Journal de Crelle* egunkarian, 1872an, «Funtzioen teoriaren elementuak» izeneko artikulua argitaratu zuen, non Cantorren antzeko ideiak proposatzen zituen, gaur egun «Heine-Cantorren teorema» deitzen dena.

* Richard Dedekindek (1831-1916) *Stetigkeit und irrationale Zahlen* argitaratu zuen. Bere ideia zuzen errealaren jarraitutasunean eta zenbaki arrazionalak bakarrik kontuan hartuz dauden "zuloetan" oinarritzen da. «R domeinua» izeneko atalean, zuzenaren jarraitutasuna ezartzen duen axioma bat adierazten du: «Zuzenaren puntu bakoitzak zuzenaren puntuak bi motatan banatzen ditu, hots, lehenengoaren puntu bakoitza bigarren motako puntu bakoitzaren ezkerraldean dago; orduan, zatiketa hori eragiten duen puntu bakarra dago». Ideia hori bera erabiltzen du «zenbaki irrazionalen sorrera» atalean, «Ebakidura» kontzeptua sartzeko. Bertrand Russellek gero esango luke klase batekin nahikoa dela, honek bestea definitzen baitu.

* Georg Cantor (1845-1918). Oinarrizko segida, segida elementala eta oinarrizko segidaren limite kontzeptuak definitzen ditu, eta horietatik abiatuz zenbaki erreala definitzen du.

* Karl Weierstrass (1815-1897). Ez zuen bere lana argitaratu, Bolzano, Abel eta Cauchykoen jarraipena, baina Berlingo Unibertsitatean ikasi zuelako izan zen ezaguna. «Tarte ahokatuetan» oinarritutako karakterizazioa, zenbaki arrazional bati kontrajar dakizkiokeenak baina ez derrigorrez egiten dutenak, ez da aurrekoak bezain orokorgarria, baina zenbaki errealen irudikapen hamartarrerako sarbide erraza ematen du.

### Aljebra hiperkonplexuak 
Zenbaki errealetatik zenbaki konplexuak lortzeko eraikuntzak eta horiek planoko antzeko transformazioen multzoarekin duten loturak zenbaki hiperkonplexuak izenez ezagutzen diren antzeko beste orokortze batzuk iradoki zizkien matematikari batzuei. Orokortze horietan guztietan zenbaki konplexuak zenbaki-sistema berri horien azpimultzo bat dira, nahiz eta orokortze horiek aljebra-egitura matematikoa izan gorputz baten gainean, baina haietan biderkatze-eragiketa ez da kommutatiboa.

## Zenbakien sailkapena 
### Zenbaki arruntak 
thumb|ezkerrera|0,1,2,3,4 / ta osteko denak / izenak dion gisan / dira ARRUNTenak / duguna zenbatzeko / balio dutenak.
Zenbaki motarik ezagunenan zenbaki arruntak dira, askotan **zenbaki oso** ere deituak: 1, 2, 3 eta ondoren doazen guztiak. Tradizionalki zerrenda hau 1 zenbakiarekin hasi da, 0 ez baitzen kontsideratzen zenbaki bat Antzinako Grezian. Hala ere, XIX. mendetik aurrera multzo-teoriaren garatzaileek eta matematikariek 0 gehitzen hasi ziren zenbaki arrunten barnean. Gaur egun, matematikariek bi multzoak izendatzeko erabiltzen dute zenbaki arruntak, 0 barnebildu edo ez. Matematikan zenbaki hauek izendatzeko erabiltzen den sinboloa **N** da, baita \mathbb{N} idatzia, eta batzuetan \mathbb{N}_0 edo \mathbb{N}_1 beharrezkoa denean adieraztea 0 edo 1 zenbakitik hasten diren.

Zenbaki sistema hamartarrean, gaur egun operazio matematikoetan ia unibertsalki erabiltzen dena, zenbaki naturalak hamar digitu erabiltzen idazten dira: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, eta 9. Zenbaki-sistemaren oinarria zenbaki-sistema batek zenbakiak irudikatzeko erabiltzen duen digito ezberdinen kopurua da. Zenbaki sistema hamartarrean 10 da. Sistema honetan, eskuman idazten den sistemak 1-eko leku-balioa du, eta beste edozein digitok bere eskuman dagoen digitoaren 10 aldiz balio handiagoa izango du. Adibidez, 34 zenbakian *4* digitoak 4 \times 1 balioa izango du eta *3* digitoak 3 \times 10.

### Zenbaki osoak 
thumb|Jasotzeko adina / dugunez kentzeko / minus-a beharrezko zen / hori azaltzeko / negatiboak / gehitu / ziren OSOtzeko
thumb|**Zenbaki osoak** ulertzeko bideoa.
Zenbaki osoen multzoan zenbaki arruntak biltzen dira (0,1,2,...), beren aurkakoekin batera (-0,-1,-2,...). -0 eta 0 berdintzat jotzen dira. Zenbaki osoen multzoa Z hizkiaz izendatu ohi da (*Zahlen* germanierazko hitzetik). Zenbaki osoak batu, kendu eta biderkatu egin daitezke: emaitza beti izango da zenbaki oso bat.

x+a=b motako ekuazioen soluzioa, non a eta b zenbaki osoak diren, zenbaki osoa izango da. Zenbaki arrunten kasuan ez da esaterako gauza bera gertatzen. Zorrotzago, zenbaki osoen multzoak, batuketa eta biderketa eragiketak definitu ondoren, eraztun trukakorra osatzen duela esan behar da.

### Zenbaki arrazionalak 
thumb|Ta elkarbanatzea / denez naturala / pizza bat zein pastel bat / zatitu bezala / osoen zatidura / da ARRAZIONALA
Zenbaki arrazional bat zatiki moduan espresa daitekeen edozein zenbaki da, zenbakitzailea zenbaki oso bat baldin bada eta izendatzailea zenbaki oso positibo bat. Izendatzaile negatiboak baimentzen dira, baina normalki ez dira erabiltzen, edozein zenbaki arrazional izendatzaile positibo bat duen zatiki baten berdina delako. Zatikiak bi zenbaki osorekin osatzen dira, zenbakitzailea eta izendatzailea, barra bat jarrita zatitzen euren erdia. Adibidez \tfrac{m}{n} zatikiak *m* zatitzen du *n* atal berdinetan. Bi zatiki egon daitezke zenbaki arrazional berdinari dagokionak, adibidez \tfrac{1}{2} eta \tfrac{2}{4} berdinak dira, hau da,
: {1 \over 2} = {2 \over 4}.

Orokorrean
:{a \over b} = {c \over d} baldin eta bakarrik { a \times d} = {c \times b}.

*m*ren balio absolutua *n*rena baino handiagoa bada (positiboak direla pentsatuz), orduan zatikiaren balio absolutua 1 baino handiago izango da. Zatikiak izan daitezke 1 baino handiago, txikiago edo berdin, eta izan daitezke positibo, negatibo edo 0. Zenbaki arrazional guztien multzoak zenbaki oso guztiak barnean hartzen ditu, edozein zenbaki oso idatzi daitekeelako izendatzailearen zatiki gisa. Adibidez, -7 idatzi daiteke \tfrac{-7}{1} gisa. Zenbaki arrazionalen ikurra **Q** da (*quotient* hitzetik), eta horrela ere idatzi daiteke: \mathbb{Q}.

### Zenbaki arrunt bereziak 
Zenbakien ezaugarrien ikerketari esker, bitxiak diren zenbakiak aurkitu dira, matematikoki balio berezirik izan ez arren:

* **Sheldon,** adibidez, 73 zenbakia. 21. zenbaki lehena da, eta 7 · 3 = 21 betetzen da. Digituak trukatzean, 37 zenbakia lortzen da, eta hori, 12. zenbaki lehena da.
* **Nartzisista,** n digituko zenbakia da, haren digituak n. mailara berretzean eta batzean, zenbaki bera ematen dute. Adibidez, 153 = 13 + 53 + 33.
* **Omirp,** zenbaki lehen baten digituak trukatzean, beste zenbaki lehen bat ematen dute. Adibidez, 1597 eta 7951.
* **Banpiro,** bere digituetatik lortutako bi zenbakiren biderkadurak, beste zenbaki lehen bat ematen du.

### Beste zenbaki batzuk 
Zenbaki errealen artean, ekuazio aljebraikoen soluzio ez direnei transzendenteak deritzegu; adibidez, Pi eta e. Bi zenbaki horiek Eulerren identitatearen bidez erlazionatuak daude.

### Beste zenbaki batzuk 
* Koaternioi
* Zenbaki aljebraiko
** Zenbaki defektibo
** Zenbaki kardinal
** Zenbaki konposatu
** Zenbaki lehen
** Zenbaki oparo
** Zenbaki ordinal
** Zenbaki perfektu
**Zenbaki alai
** Zero
* Zenbaki erreal
* Zenbaki infinitu
* Zenbaki irrazional
* Zenbaki konplexu

** Zenbaki bakoiti
** Zenbaki bikoiti
* Zenbaki-sistemak
** Zenbaki-sistema bitarra
** Zenbaki-sistema hamartarra
** Zenbaki-sistema hamaseitarra
** Zenbaki-sistema zortzitarra
* Zenbaki transfinitu
* Zenbaki transzendente: Π, e

* Taxicab zenbakiak

## Zenbakien adierazpen sistema 
### Zifra, digitu eta zenbakizko 
Zenbakiak letraz adierazteko modu ohikoenetako bat *sinboloen multzo finitu'' bat edo digitu bat da, eta modu egokian konbinatuz, zenbaki gisa funtzionatzen duten zifrak eratzea ahalbidetzen du. Zeinu-sekuentzia jakin bat zenbaki bat irudikatzeko erabiltzen denean, zenbakizkoa deitzen zaio.

### Zenbakizko oinarria 
Hizkuntza naturalek eta zifren bidez idazten diren zenbakiek arazoak izan ohi dituzte kopuru handiak adierazteko. Hori konpontzeko, matematika arloan oinarri aritmetiko bezala ezagutzen dena erabiltzen hasi zen, hau da, edozein zenbaki beste baten batuketaren edo biderketaren bidez adierazi zen. Adibidez, 13568 zenbaki arabiarra horrela banakatzen da:

* 8ak, azken zifra denez, unitateak adierazten ditu; 
* 6ak, hamarrekoak; 
* 5ak, ehunekoak; 
* 3ak, milakoak; 
* eta 1ak, hamar milakoak. 

Hau da:

1 · 104 + 3 · 103 + 4 · 102 + 6 · 101 + 8 · 100 = 13568

Hizkuntza askok oinarri hamartarra erabiltzen dute, sistema arabiarrak bezala, beste hainbat hizkuntzatan, aldiz, ohikoa da hogei oinarriko sistemak erabiltzea.

### Zenbakiak hizkuntza naturaletan 
Hizkuntza naturalek izenak erabiltzen dituzte hatz bidezko zenbaketan oinarritutako zenbakietarako. Horregatik, hizkuntza gehienek 10 oinarriko (eskuetako hatzak) edo 20 oinarriko (esku eta oinetako hatzak) zenbaki-sistemak erabiltzen dituzte.

## left|24px Ariketak 

Fitxategi:Zenbaki osoak  Ariketa 2  1 DBH.webm|**Zenbaki osoak** lantzeko ariketa.
Fitxategi:Zenbaki osoak  Ariketa  1 DBH.webm|**Zenbaki osoak** lantzeko ariketa II.

## Erreferentziak 
## Ikus, gainera 
* Matematika
* Oinarri konstanteko zenbaki-sistema
* Zenbakizko kognizioa
* Erromatar zenbakera

## Kanpo estekak