Zenbaki kardinal

**Zenbaki kardinala** multzo bat osatzen duten  elementu kantitatea adierazten duen zenbakia da, kantitate hori finitua edo infinitua izanda.  Izan bedi A multzoa. A multzoa finitua dela esango dugu A = ∅  bada edo existitzen bada n ∈ N zeinentzako A multzoa eta {1,...,n} multzoa ekipotenteak diren. Multzo hutsaren kardinala 0 dela diogu, eta bestelako kasuan, n horri **A-ren kardinala** esaten zaio, eta a |A| = Card(A) = n gisa adieraziko dugu. 

A multzo infinitua dela diogu finitua ez bada. 

## Historia 
George Cantorrek, 1874an, zenbaki kardinalaren kontzeptua proposatu eta aurrera eraman zuen. 

Handitu zuen zenbaki infinituetara ez soilik finituetara.

Cantorrek definitu zuen hau, esanez bi multzo finitu kardinal berdina (ekipotenteak) zutela haien elementuen arteko bijekzio bat existitzen bada.

Zenbaki naturalen kardinala izendatu zuen: **ℕ:** Álef 0

## Kardinalaren propietate batzuk 
* A eta B bi multzo finitu eta disjuntoak baldin badira (A\cap B = \emptyset), orduan bi multzo horien bilduraren kardinala horrela kalkula daiteke: Card(A \cup B) = Card(A) + Card(B)
* A multzoa finitua etaB \subsetneq A  azpimultzo propioa baldin bada, orduan B ere finitua izango da eta Card (B) 
* A eta B bi multzo finitu badira, Card(A\times B) = Card(A)Card(B)

Lehenengoa **printzipio batukorra**ren formarik sinpleena da. Izan ere, honek hurrengoa dio: 

A_1, A_2, ..., A_n binaka disjuntoak baldin badira (A_i \cap A_j = \emptyset       i\neq j  guztietarako    i,j=1, ..., n), orduan multzo guztien bilduraren kardinala multzo bakoitzaren kardinalaren batura izango da: Card(A_1\cup A_2 \cup ... \cup A_n) = Card(A_1) + Card(A_2) + ... + Card(A_n) 

Garrantzitsua da multzoak binaka disjuntoak izatea. Adibidez, A_1=\{1,2\}, A_2=\{2,3\} eta A_3=\{3,4,1\} -ren kasuan, multzo guztien ebakidura hutsa da (A_1 \cap A_2 \cap A_3 = \emptyset), baina binaka ez dira hutsak (A_1 \cap A_2 = \{2\} , A_2 \cap A_3 = \{3\}
 eta A_1 \cap A_3 = \{1\})
. Beraz, Card(A_1\cup A_2 \cup A_3) 

 ez da izango Card(A_1) + Card(A_2) +  Card(A_3) = 2 + 2 +2 = 6

, baizik eta 

Card(A_1\cup A_2 \cup A_3) = Card(\{1,2,3,4\}) = 4

Izan ere, orokorrean, A eta B bi multzo finitu direnean **inklusio-esklusioaren printzipioa** betetzen da: 

Card(A \cup B) = Card(A) + Card(B) - Card(A\cap B)

## Multzo baten kardinalaren kalkuluaren adibideak 
### Multzo finituak 
A = {2,4,5} kardinal multzo finitua 3 da. Hutsala da funtzio hori injektiboa dela frogatzea: f: {2,4,5} → {1,2,3}:

f(x) = \begin{cases} 1, & \text{x = 2 }\text{bada} \\ 2, & \text{x = 4 }\text{bada} \\ 3, & \text{x = 5 }\text{bada} \end{cases} 

### Multzo infinituak 
#### Zenbaki naturalak 
P= \{{x\in \mathbb{N}  \text{  non x bikoitia da}}\} multzo infinituaren kardinala zenbaki bikoitiez osatuta \aleph_0 da. Hori frogatzeko, nahikoa da funtzioak definitzea:

f               :      P\longrightarrow \mathbb{N}                                                     g               :   \mathbb{N} \longrightarrow P            

x\mapsto y = f(x)=\tfrac{x}{2}                                            x\mapsto y=g(x)=2x            

Bien injektibotasuna frogatuz, ondorioztatzen dugu f bijektiboa dela. Multzoaren kardinaltasuna \aleph_0 da. Hau frogapena amaitzen da. Emaitza honek intuizioaren kontrakoa irudi dezakeen arren, pareak baino naturalagoak direla pentsa baitaiteke (adibidez, 1) naturala delako eta ez dagoelako pareetan sartuta, multzo horiek ekiahaltsuak direla frogatzen dugu.

Zenbaki arrunten pare ordenatuen (edo, eskuarki, n-tuploen) multzoak \aleph_0 kardinal bat du. Hau zenbaki pareak diagonalaren aurka zenbakituz froga daiteke. \mathbb{N} \times \mathbb{N}             naturalen azpimultzo infinitu batek duen kardinal bera duela frogatzeko beste modu bat da:

g              :  {\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} } \longrightarrow  \mathbb {N}            

x,y \mapsto z=g(x,y)= 3^x \cdot 2^y            

3 eta 2 zenbaki lehenak direnez, x pare bakoitzerako, eta zenbaki desberdina lortuko dugu. Orduan g             injektiboa da eta card({\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }) \leq card(\mathbb {N})            .

#### Zenbaki arrazionalak 
\mathbb{Q}              zenbaki arrazionalen multzoak \aleph_0-ren pareko kardinala du. Emaitza horrek intuizioari aurre egiten dio, alde batetik, arrazionalen multzoa "trinkoa" delako \mathbb{R}            -n, zeinak 2^{\displaystyle \aleph _{0}}             kardinala baitu. Izan ere, zenbaki errealen topologia pixka bat aztertuz gero, bi zenbaki errealen artean zenbaki arrazional bat dago beti, eta bi arrazionalen artean beti dago erreal irrazional bat. Horrek  {\displaystyle \mathbb {Q} }             eta {\displaystyle \mathbb {R} }             elementu kopuruaren arabera alderagarriak direla pentsaraz lezake, baina {\displaystyle {\displaystyle \mathbb {Q} }}            -k \mathbb{N}             adina elementu baino ez ditu, eta {\displaystyle {\displaystyle \mathbb {R} }}             elementuen kopurua {\displaystyle {\displaystyle \mathbb {Q} }}            -ren elementu kopurua baino askoz ere handiagoa da.

{\displaystyle \mathbb {Q} }             multzoa zenbakigarria dela eta, beraz, naturalek duten kardinal bera duela egiaztatzeko, ikus dezakegu i_{\displaystyle \mathbb {Q} }             funtzio injektibo bat dagoela. {\displaystyle \mathbb {Q} }             zenbaki arrazional bat r/s-ren berdina bada, bi zenbaki lehenen arteko erlatiboak izanik, orduan definitzen dugu:

{\displaystyle i_{\displaystyle \mathbb {Q} }}             :     {\displaystyle {\displaystyle \mathbb {Q} }} \longrightarrow \mathbb {N}\times\mathbb {N}            

q                \mapsto              {\displaystyle {\displaystyle i_{\displaystyle \mathbb {Q} }}} (q) = (r,s)                [mcd(r,s)=1]            

Horrek erakusten du card(\mathbb{Q} )\leq card(\mathbb{N} \times \mathbb{N} )            , eta card(\mathbb{N} \times \mathbb{N}  ) = card(\mathbb{N} )             eta naturalak arrazionalen multzo baten parekoak direnez, desberdintasunen katea dugula:

card(\mathbb{N} ) \leq card(\mathbb{Q} )\leq card(\mathbb{N} \times \mathbb{N})\leq card(\mathbb{N})             

Beraz:

card(\mathbb{Q})=card(\mathbb{N})            

## Kardinalen aritmetika 
\scriptstyle \mathcal{A} eta {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {B}}}  multzoak, \scriptstyle A eta \scriptstyle B kardinalekin, batuketaren printzipioa eta produktuaren printzipioa definitzen dira, kardinalak batu eta biderkatzeko:

A + B=|\mathcal{A} \cup  {\mathcal {B}}|  ,    A \cdot B = | \mathcal{A}\times  {\mathcal {B}}|

Bi multzoak finituak direnean, kardinalen aritmetika zenbaki arrunten aritmetikara mugatzen da. Hala ere, bi multzoetako bat infinitua denean, zenbaki arrunten aritmetikaren hedadura sendoa izaten da. Kardinal transfinituen artean erlazio aritmetiko interesgarri batzuk daude:

* Bi multzoren batasunaren kardinala bat dator kardinal handienarekin: A+B=\max(A,B)
* Bi multzotako produktu kartesiarraren kardinala kardinal handienekoa da: A\cdot B = \max(A,B)

Kardinalen esponentziazioa bi {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}} eta {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {B}}} multzoen arteko funtzio-multzotik abiatuta definitzen da:

\Alpha^\Beta = |\{f:\mathcal{B} \longrightarrow\mathcal{A}\}|=|\mathcal{A}\mathcal{^B}|

Aurreko definizioekin, berehala egiaztatu behar da:

\overbrace{ A+\cdots+A }^{n}= n\cdot A   ,    \overbrace{ A\cdot\cdots\cdot A}^{n}=\Alpha^n

## Kanpo estekak