Kalkuluaren oinarrizko teorema

**Kalkuluaren oinarrizko teorema** (edo **Kalkulu inegralaren oinarrizko teorema**) funtzio baten deribazioa eta integrazioa alderantzizko eragiketak direla baieztatzean datza. Baieztapen horrek edozein funtzio jarraitu integragarrirako egiaztatzen du haren integralaren deribatua hura bera dela. Teorema hori funtsezkoa da matematikaren adarretako bat den analisi matematiko edo kalkulu deiturikoan.

Teorema horren ondorio zuzena Barrowren erregela da, *Kalkuluaren bigarren oinarrizko teorema* ere deiturikoa. Bigarren teorema horren bidez funtzio baten integrala kalkula dezakegu integratu beharreko funtzioaren jatorrizkoa erabiliz.

Arkimedesek eta antzinako beste matematikariek bolumenen, azaleren eta luzera makurren gutxi gorabeherako kalkulua egiteko metodoak bazituzten ere, hasiera batean Isaac Barrow matematikari ingelesak garatutako ideia bati esker eta gero Isaac Newtonen eta Gottfried Leibnizen ekarpenei esker teorema hori enuntziatu eta frogatu ahal izan zuten.

## Kalkulu integralaren oinarrizko teoremak 
### Lehenengo oinarrizko teorema 
{{teorema|1=Izan bitez \,[a,b] tartean integragarria den \,f funtzio bat eta \,F beste funtzio bat honela definitua: F(x) = {\int_{\alpha}^x f(t)dt} non \alpha \in [a,b] den.

Teoremak hau esaten du:

\,f funtzioa c \in [a,b] puntuan jarraitua bada , orduan \,F funtzioa \,c puntuan deribagarria da eta \,F'(c) = f(c) betetzen da.}}

#### Frogapena 
Lema garrantzitsua:

Demagun **f** funtzioa [a,b] tartean integragarria dela eta m \leq f(x) \leq M \forall x \in [a,b], orduan:

:::m(b-a) \leq {\int_a^b f(t)dt} \leq M(b-a)

**Frogapenaren hasiera**

Hipotesia:
:Biz c \in (a,b).
:Biz [a,b] tartean integragarria eta **c** puntuan jarraitua den **f** funtzioa.
:Biz [a,b] tartean honela definitutako **F** funtzioa: F(x)= \int_{\alpha}^x f(t)dt, non \alpha \in [a,b] den.

Tesia:
:F'(c)=f(c)

Definizioz hau daukagu: F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} }.

Demagun h>0 dela, orduan F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt}.

m_h eta M_h honela definituta:

::m_h = \inf\{f(x)| c\leq x \leq c+h\},
::M_h = \sup\{f(x)| c\leq x \leq c+h\}

'Lema' aplikatuta, hau daukagu:
::m_h \cdot h \leq {\int_c^{c+h} f(t)dt} \leq M_h \cdot h.

Beraz,

::m_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq M_h

Orain demagun h  dela, izan bitez:
::{m^*}_h = \inf \{ f(x)|c+h \leq x \leq c \},
::{M^*}_h = \sup \{ f(x)|c+h \leq x \leq c \}.

'Lema' aplikatuta, hau daukagu:
:: {m^*}_h \cdot (-h) \leq {\int_{c+h}^c f(t)dt } \leq {M^*}_h \cdot (-h) .

Honako hau betetzen denez:
::F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt} = -{\int_{c+h}^{c} f(t)dt},

Orduan:
::{m^*}_h \cdot h \geq F(c+h)-F(c) \geq {M^*}_h \cdot h.

h  denez gero, orduan hau daukagu:
:: {m^*}_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq {M^*}_h.

Eta **f** funtzioa **c** puntuan jarraitua denez, orduan:
:: \lim_{h \rightarrow 0} m_h = \lim_{h \rightarrow 0} M_h = \lim_{h \rightarrow 0} {m^*}_h = \lim_{h \rightarrow 0} {M^*}_h = f(c),

Azkenean, guzti horrek teorema frogatzera garamatza:

:::F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} } = f(c).

#### Adibideak 
:F(x) = \int_{0}^{x} t^2 dt \Rightarrow F'(x) = x^2
:H(x) = \int_{10}^{\exp{3x}} \sin(t) dt \Rightarrow H'(x) = \sin(e^{3x}) e^{3x} 3  
:G(x) = \int_{0}^{x^2} \arcsin(t) dt \Rightarrow G'(x) = \arcsin(x^2) 2x  

### Bigarren oinarrizko teorema 
'''*Barrow*ren erregela''' ere deiturikoa, Isaac Barrowren omenez.

{{teorema|1=Izan bitez \,[a,b] tartean jarraitua den \,f funtzio bat eta \,g haren edozein jatorrizko funtzio bat, hau da \,g'(x)=f(x). Orduan:

:\int_{a}^{b} f(x) dx = g(b) - g(a)}}

Teorema hau askotan erabiltzen da integral mugatuak ebaluatzeko.

#### Frogapena 
Hipotesia:
:Biz [a,b] tartean jarraitua den f funtzioa
:Biz [a,b]  tartean diferentziagarria den g funtzioa, non g'(x)=f(x) {\  }\forall x \in [a,b]  den

Tesia:
:\int_a^b f(x)dx = g(b)-g(a)

Frogapena:

Izan bedi
::: F(x)= \int_a^x f(t)dt .

*Kalkuluaren lehenengo oinarrizko teorema* dela medio, hau daukagu:
::: F'(x)=f(x)=g'(x) {\   } \forall x \in [a,b].

Beraz:
::: \exists K \in \mathbb{R} {\  } non \forall x \in [a,b], F(x)=g(x) + K den.

Hau aintzat hartuta:
::: 0=F(a)=g(a)+K

Eta hortik segitzen denez c=-g(a) da; beraz:
::: F(x) = g(x) - g(a).

Bereziki, baldin x=b bada, hau dugu:
::: \int_a^b f(t)dt = F(b) = g(b) - g(a) 

#### Adibideak 
:\int_0^{\pi} \cos(x)dx = \sin(\pi)-\sin(0)=0
:\int_1^e \frac{dx}{x} = \ln(e)-\ln(1)=1

## Ikus, gainera 
* Barrowren erregela
* Integrala
* Integrazio metodoak
* Leibnizen erregela
* Riemannen integrala

## Kanpo estekak