Zenbaki arrazional

thumb|Ta elkarbanatzea
denez naturala
pizza bat zein pastel bat
zatitu bezala
osoen zatidura
da ARRAZIONALA
thumb|4 zati duten zatikien irudikapen grafikoa. Lau zatiki horiek «zenbaki arrazionalak» dira.

**Zenbaki arrazionalak** zatiki bidez adieraz daitezkeen zenbakiak dira. Adibidez, 345/456. Zenbaki guztiak ez dira arrazionalak. Adibidez, (\sqrt{2}) zenbakia ez da arrazionala: irrazionala da. Zenbaki arrazionalak identifikatzeko pista bat hau da: dezimal kopuru mugatua dute. Zenbaki irrazionalek aitzitik, dezimal kopuru infinitua dute (\sqrt{2}, pi, e zenbakia, ...). Zenbaki arrazionalen multzoa **\mathbb{Q}** ikurrez izendatzen da 
(edo, bestela \mathbb{Q}, arbeleko letra lodiz) *zatidura*tik eratortzen dena (latineko ***Quotiens***-etik, Europako hainbat hizkuntzatara *zatidura* gisa egokitua). Zenbaki multzo horrek zenbaki osoak (\mathbb{Z}) eta zatiki zenbakiek hartzen ditu barne, eta zenbaki errealen azpimultzo bat da (\mathbb{R}).

Zenbaki arrazional baten grafia hamartarra zenbaki hamartar finitua edo zenbaki erdiperiodikoa da. Hau ez da egia 10 oinarrian (sistema hamartarra) idatzitako zenbakientzat bakarrik, bitarrean, hamaseitarran edo beste edozein osoko oinarrian ere egia da. Era berean, hedapen finitua edo periodikoa onartzen duen edozein zenbakia (edozein oinarri osotan) zenbaki arrazionala da.

Arrazionala ez den zenbaki erreal bati zenbaki irrazionala deitzen zaio; zenbaki irrazionalen adierazpen hamartarra, arrazionalak ez bezala, infinitu *aperiodikoa* da.

Zentzu hertsian, zenbaki arrazionala zatiki baten baliokideen multzoa da; horien guztien artean, zatiki laburtezina hartzen da zenbaki arrazional horren *ordezkari kanonikotzat*. Elkarren artean baliokideak diren zatikiak –zenbaki arrazionala– baliokidetasun-klase bat dira,  \mathbb{Z}-ri  aplikatutako baliokidetasun-erlazioaren emaitza

## Zenbaki arrazionalen eraikuntza 
* Har ditzagun \left( a,b\right) zenbaki arrunten bikoteak non b\neq 0.

* \frac{a}{b} zatikiak \left( a,b\right) denotatzen du.  a \,  *zenbakitzaile* deritzogu eta  b \,  *izendatzaile*

* Mota horretako zenbakiak \mathbb{Q} hitzaz adierazten dira. Hots, \mathbb{Q}=\left\{ \frac{p}{q}\mid p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{Z},q\neq0\right\}

## Historia 
Egiptoarrek problema praktikoen ebazpena kalkulatzen zuten izendatzaile bezala zenbaki oso positiboak dituzten zatikiak erabiliz; zenbaki oso baten zatiak irudikatzeko erabili ziren lehenengo zenbaki arrazionalak dira, zenbaki oso baten alderantzizkoaren kontzeptuaren bidez.

Antzinako Greziako matematikariek zioten bi magnitude *neurgarriak* zirela, baldin eta hirugarren bat aurkitzerik bazegoen non lehen biak azkenekoaren multiploak ziren, hau da, *unitate* komun bat aurki zitekeen zeinentzako bi magnitudeek balio osoa izango zuten. Zenbaki guztiak osoen zatidura direla dioen printzipio pitagorikoak honela adierazten zuen edozein bi magnitudek neurgarriak izan behar dutela zenbaki arrazional izan aurretik.

Etimologikoki, zenbaki horiek arrazionalak deitzea bi zenbaki osoren arrazoia izateari dagokio, eta hitz horren sustraia latinezko *ratio*ean eginiko Giuseppe Peanoren lan batetik eratorria den *quoziente* italiar hitzetik dator.

## Zenbaki arrazionalen aritmetika 
### Baliokidetasun eta ordena erlazioak 
#### Osoen murgilketa 
Edozein n zenbaki oso n/1 zenbaki arrazional bezala adieraz daiteke, horregatik idazten da maiz \scriptstyle \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}
 bezala.

### Baliokidetasuna 
Hau betetzen bada:

   \frac{a}{b} = \frac{c}{d}
   \quad \longleftrightarrow \quad
   ad = bc
   

#### Ordena 
Izendatzaile biak positiboak badira:

   \frac{a}{b} 

Izendatzaileetako bat negatiboa bada, zatikiak, lehenik, izendatzaile positiboak dituzten beste batzuk bihurtu behar dira, ekuazio hauei jarraituz:

   \frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}

eta

   \frac{a}{-b} = \frac{-a}{b}

### Eragiketa arrazionalak 
Batuketa, kenketa, biderketa eta zatiketa eragiketei **eragiketa arrazionalak** deitzen zaie.

#### Gehiketa 
Bi zenbaki arrazionalen batuketa edo gehiketa zenbaki arrazionalen pare orori bere batuketak egokiarazten dion eragiketari deitzen zaio:

   \frac{a}{b}+\frac{c}{d} =
   \cfrac{ad}{bd}+\cfrac{bc}{bd} =
   \frac{ad+bc}{bd}

#### Kenketa 
Zenbaki arrazional guztiei bere diferentzia egokitzen dien eragiketari kenketa edo diferentzia deitzen zaio, eta baturaren *alderantzizko eragiketatzat*
: \frac{a}{b} \times \left ( \frac{c}{d} +\frac{e}{f} \right )= \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} + \frac{a}{b} \times \frac{e}{f} (banakorra).

Badira batuketarako eta biderketarako elementu neutroak. Batuketaren elementu neutroa *zeroa* da, 0z adierazten dena, izan ere, \tfrac{a}{b}+0= \tfrac{a}{b} edozein \tfrac{a}{b}-rentzat. Biderketaren elementu neutroa 1 da, \tfrac{n}{n}=1 gisa adieraz daitekeena (*n* zero ez bada), eta \tfrac{a}{b}\times 1 = \tfrac{a}{b} betetzen duena.

Batuketarako eta biderketarako elementu simetrikoak ere baditu. Horrela, edozein zenbaki arrazionalen \tfrac{a}{b} batuketarekiko elementu simetrikoa -\tfrac{a}{b} da, *aurkako elementu* izenekoa, eta \tfrac{a}{b}+ (-\tfrac{a}{b})= 0 betetzen du. Gauza bera gertatzen da biderketarekiko elementu simetrikoarekin: edozein q=\tfrac{a}{b} (zero ez dena) zenbakirentzat, badago q^{-1}=\tfrac{b}{a}, *alderantzizko zenbaki* izenekoa, eta  q\times q^{-1} = \tfrac{a}{b} \times \tfrac{b}{a} = 1  da.

Goian definitutako batuketa eta biderketa operazioekin, \Q multzoak gorputz kommutatibo bat osatzen du, osoko zenbakien \Z zatiki-gorputza dena.

Zenbaki arrazionalak dira karakteristika nulua duen gorputzik txikiena. Karakteristika nulua duen beste edozein gorputzek \Q-ren kopia bat dauka barnean.

\Q-ren itxiera aljebraikoa zenbaki aljebraikoen multzoa da.

Zenbaki arrazionalek faktorizazio bakarreko eremu bat osatzen dute, zero ez den edozein arrazional honela faktorizatu baitaiteke:
q = u p_1^{\alpha_1}\dots p_n^{\alpha_n},
non p_i\in \mathbb{N} zenbaki lehenak diren, \alpha_i\in \mathbb{Z} (haietako batzuk negatiboak izango dira *q* osoa ez bada), eta u\in{1,-1}.
Adibidez: 260/693 = 2^2 3^{-2} 5^1 7^{-1} 11^{-1} 13^1.

## Erreferentziak 
## Kanpo estekak 
* 3.DBH. ZENBAKI ARRAZIONALAK: Zatikiak eta hamartarrak bideoa youtuben.