Multzo-teoria

::Artikulu hau multzoen teoria matematikoari eta bere axiomatizazioari buruzkoa da. Multzoak era didaktiko eta sinpleago batez jakiteko ikus: Multzo.

[thumb|eskuinera|300px|[Vennen diagrama|Vennen diagramek **multzo-teoria** arloko hastapenak ikasleei azaltzen laguntzen dute, elementuen eta multzoen arteko erlazioak eta eragiketak irudikatuz: A=\{a\},\ B=\{a,b,c\}\, badira, A \subseteq B (A Bren barnean dago), b \in B (b elementua Bren baitan dago) eta d,e \notin B (d eta e ez daude Bren baitan). Multzo-teoria axiomatikoa, ordea, sistema formal konplexua da eta matematikaren eta logikaren tresna zorrotzak baliatzen ditu.]]

**Multzo-teoria** multzoen propietateak eta erlazioak aztertzen dituen logika matematikoaren adar bat da. Objektuen bilduma abstraktuak objektu moduan hartzen ditu. Multzoak eta haien arteko eragiketak edozein teoria matematikoren oinarrizko tresna dira.

Multzo-teoria aberatsa da matematikaren gainerako objektuak eta egiturak eraikitzeko: zenbakiak, funtzioak, irudi geometrikoak... Logikaren tresnei esker, haien oinarriak aztertzea ahalbidetzen du. Gaur egun, Zermelo-Fraenkelen teoriaren axioma multzoa matematika osoa garatzeko nahikoa dela onartua dago.

Multzo-teoriaren lehenengo ikerketa formala Georg Cantor matematikariak egin zuen XIX. mendean. Egun, multzo-teoria eskolako matematiketan irakasten den gaia da, zenbaketa irakasteko adibidez, baina ebatzi gabeko problema eta paradoxa anitz aztertzeko tresna ere bada. Horrela, ohikoa da *multzo teoria naive* edo sinplea (eskolan irakasten dena) eta *multzo-teoria axiomatikoa* (matematika puruaren arloan formalki konplexutasun handikoa eta paradoxak ebazteko sortu zena) bereiztea.

## Historia
[thumb|160px|[Georg Cantor.]]
Matematika-gaiak ikertzaile askoren arteko elkarrekintzen bidez sortu eta garatu ohi dira. Hala ere, multzoen teoria Georg Cantor-en artikulu bakar batek sortu zuen 1874an: *Zenbaki aljebraiko erreal guztien bildumako propietate bati buruz*.​

K.a. V. mendez geroztik, Mendebaldean, Zenon Eleakoa matematikari greziarretik eta, Ekialdean, lehen matematikari indiarretik hasita, matematikariak infinituaren kontzeptuarekin borrokatu ziren. Bereziki nabarmena da Bernard Bolzanoren lana XIX. mendearen lehen erdian. Infinituaren ulermen modernoa 1870-1874an hasi zen, eta Cantorrek analisi errealean egindako lanak eragin zuen.​ 1872an, Cantor eta Richard Dedekinden arteko topaketa batek eragina izan zuen Cantorren pentsamenduan, eta horrek Cantorren 1874ko artikulua ekarri zuen.

Cantorren lanak bere garaiko matematikariak polarizatu zituen hasieran. Karl Weierstrassek eta Dedekindek Cantorren alde egin zuten, Leopold Kroneckerrek, orain konstruktibismo matematikoaren sortzailetzat jotzen denak, berriz, ez. Azkenean, multzoen teoria cantoriarra orokortu egin zen kontzeptu cantoriarren erabilgarritasunari esker, hala nola multzoen arteko banan-banako korrespondentzia, zenbaki errealak osoak baino gehiago direla frogatzea eta potentzien operazio bateratuaren ondoriozko «infinituaren amaigabetasuna» (Cantorren paradisua). Multzoen teoriaren erabilgarritasun horrek, 1898an, eraman zuen Arthur Schönflies *Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen*eri (Klein-en Entziklopedia) emandako «Mengenlehre» artikulura.

Multzoen teoriaren hurrengo berotasun-bolada 1900. urte inguruan gertatu zen, Cantorrren multzoen teoriaren zenbait interpretaziok kontraesan batzuk (antinomiak edo paradoxak deiturikoak) sortzen zituztela aurkitu zenean. Bertrand Russellek eta Ernst Zermelok paradoxarik sinpleena eta ezagunena aurkitu zuten modu independentean, gaur egun Russellen paradoxa deritzona: hartu «norberaren kide ez diren multzo guztien multzoa», eta horrek kontraesana sortzen du; bada, norberaren kide izan behar baitu, eta ez norberaren kide. 1899an, Cantorrek berak galdera hau egin zuen: «Zein da multzo guztien zenbaki kardinala?», eta horri lotutako paradoxa bat lortu zuen. Russellek bere paradoxa erabili zuen gai gisa 1903ko matematika kontinentalen berrikuspenean *Principia Mathematica* (Matematikaren printzipioak) lanean.

1906an, irakurle ingelesek *Theory of Sets of Points* (Puntuen Multzo Teoria) liburua eskuratu zuten William Henry Young eta Grace Chisholm Young senar-emazteek, *Cambridge University Press*ek argitaratua.

Multzoen teoriaren bultzada hain izan zen handia, ezen paradoxei buruzko eztabaida ez zen baztertu. Zermelok 1908an eta Abraham Fraenkelek eta Thoralf Skolemek 1922an egindako lanek ZFC axiomen multzoa ekarri zuten, multzoen teoriarako gehien erabiltzen den axiomen multzoa bihurtu zena. Analisten lanak, hala nola Henri Lebesguerenak, multzoen teoriaren baliagarritasun matematiko handia erakutsi zuen, geroztik matematika modernoaren ehun bihurtu dena. Multzoen teoria, eskuarki, sortze-sistema gisa erabiltzen da, nahiz eta zenbait arlotan uste den kategorien teoria oinarri hobea dela, hala nola geometria aljebraikoan eta topologia aljebraikoan.

## Multzoen teoria intuitiboa 
### George Cantor 
Cantorren hasierako definizioa guztiz intuitiboa da: «Multzo bat osotasun batean bilduta dauden objektu jakinen C bilduma bat da, gure pertzepziotik edo gure pentsamendutik (C elementuak deitzen direnak) oso ezberdinak direnak».

Ideia sinple eta begiesgarri hori, inozoa ere bada, kontraesan izugarriak sortzen baititu berehala, Russellen paradoxa, adibidez.

Erakutsi ahal izateko, teoria intuitibo hori formalizatzen hasi behar dugu; izan ere, multzoetarako sinboloez eta haien elementuez gain (x, C, eta abar), pertenentzia *\in* eta berdintasun *=* sinboloak izango ditu.

x C multzoko elementu bat dela honela adieraziko da: x*\in*C edo "x barne C" eta x C multzoko elementua ez dela honela: x\not\in C edo "x ez dago C-n"

Kontuan izango dugu ez dela beharrezkoa beti multzoak maiuskulaz eta haien elementuei letra xehez adieraztea; izan ere, multzo bat aldi berean beste multzo bateko elementua izan daiteke, eta gure teorian ez dago multzoak ez diren objekturik.

Ezaguna da multzoko elementuak giltzen artean giltzapetzeko notazioa.

**Adibidea:** A = {a, b, c}.

## Sarrera 
Funtsezko multzo-teoria lengoaia matematikoaren oinarrizko tresna da. Zenbakiak eta poligonoak, adibidez, objektu matematikoak dira, eta objektuen multzo moduan ikus daitezke. Elementu horietako bakoitza multzo baten barruan dago. Multzoak beste multzo batzuen elementu izan daitezke.

Multzo baten partaide izatearen kontzeptua \in ikurraz adierazten da. Horrela, a elementua A multzoaren barruan dagoela edo multzoaren partaide dela a \in A notazioaz adierazten da.

Partaide izatearen kontzeptutik lortzen da multzoen arteko partekotasun-erlazioa. A multzo jakin baten barruan dagoen B azpi-bilduma A-ren azpimultzo bat da. A eta B multzoen arteko erlazio hori horrela adierazten da: B \subseteq A. B multzoa A-ren parte dela esaten da..

Multzoen artean aurki ditzakegu multzo finitua, multzo infinitua, multzo hutsa, multzo ez-zenbakigarriak, multzo zenbakigarriak, etab.

#### Adibideak
* Hauek dira matematikan erabiltzen diren zenbaki-multzoak:  zenbaki arrunten multzoa,  zenbaki osoena,  zenbaki arrazionalena,  zenbaki errealena eta  zenbaki konplexuena. Bakoitza hurrengoaren azpimultzoa da:
{{ekuazio|\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}}}
* E_3 hiru dimentsioko espazioa p, p \in E_3 *puntu* izeneko oinarrizko objektuen multzoa da. r zuzenak eta \alpha planoak, aldi berean, puntu-multzoak dira, eta, bereziki, E_3, r \subseteq E_3 eta  \alpha \subseteq E_3-ren azpimultzoak.

### Multzoen aljebra
Oinarrizko eragiketa batzuek eragiketa aritmetikoen antzeko multzoak eta elementuak manipulatzeko aukera ematen dute, eta multzoen aljebra osatzen dute.
* Bildura: A eta B multzoen bildura, A-renak edota B-renak diren elementuek osatzen duten multzoa da. A\cup B notazioaz adierazten da.
ezkerrera|frameless
* Ebakidura: A eta B multzoen ebakidura aldi berean A-renak eta B-renak diren elementuek osatzen duten multzoa da. A\cap B notazioaz adierazten da.
ezkerrera|frameless
* Diferentzia: A eta B multzoen arteko diferentzia B-ren barruan ez dauden A multzoaren elementu guztiak dituen multzoa da. A\setminus B notazioaz adierazten da.

ezkerrera|frameless

* Osagarria: A multzoaren osagarria A multzoak ez dituen gainerako elementu guztiak dituen multzoa da. A^C notazioaz adierazten da.

ezkerrera|frameless

* **Diferentzia simetrikoa**. '*** eta **** bi multzoren arteko diferentzia simetrikoa **** multzoa da, ****, edo ***'-renak diren elementu guztiak dituena, baina ez bienak batera:

ezkerrera|frameless

* Biderkadura kartesiarra: A eta B multzoen arteko biderkadura kartesiarra A\times B notazioaz adierazten da eta a eta b elementuek osatzen dituzten (a, b) bikote ordenatuen multzoa da, non a\in A eta b\in B.

ezkerrera|frameless
* Multzo disjuntuak: A eta B multzoek elementu komunik ez badute disjuntuak direla esaten da,  A\cap B=\{ \}=\emptyset.
160px|ezkerrera|frameless
* Potentzia-multzoa: A multzoaren potentzia-multzoa A-ren azpimultzo guztiek osatzen duten multzoa da eta \mathcal{P}(A) notazioaz adierazten da.
160px|ezkerrera|frameless
* Partizioa: A multzoaren partizioa A-ren azpimultzo-familia bat da, non azpimultzoak haien artean disjuntuak diren eta guztien bildura A multzoa den.
ezkerrera|160px|frameless

Multzoak eta multzoen arteko eragiketak Venn-en diagramen bidez irudika daitezke.

### Zenbakizko multzo ezagunak 
Matematikan badira oso ezagunak eta erabiliak diren hainbat zenbakizko multzo: \mathbb{N} zenbaki arrunten multzoa da, \mathbb{Z} zenbaki osoen multzoa, \mathbb{Q} zenbaki arrazionalen multzoa, \mathbb{R} zenbaki errealen multzoa eta \mathbb{C} zenbaki konplexuen multzoa. Zera betetzen da: \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}

## Aplikazioak 
Multzo-teoriaren bidez, kontzeptu matematiko ugari defini daitezke zehaztasun handiz. Grafoak, eraztunak eta espazio bektorialak, adibidez, multzo-teoriaren propietate axiomatikoetan oinarrituz deskribatuak izan daitezkeen egitura matematikoak dira. Baliokidetasun erlazioa eta bestelako erlazio matematikoak ere, hau da, erlazioen teoria multzo-teoriaren bidez deskriba daiteke.

Izan ere, multzo-teoria matematikaren arlo desberdin askoen oinarria da. *Principia of Mathematica* -ren lehen atala argitaratu zenetik, matematikako teorema guztiak edo gehienak multzo-teoriako axiomak erabiliz ondoriozta daitezkeela onartu da. Zenbaki arrunten eta errealen propietateak, adibidez, multzo-teoriatik abiatuz lor daitezke.

Analisi matematikoaren, topologiaren, algebra abstraktuaren eta matematika diskretuaren oinarria multzo-teoria dela ezin daiteke uka; matematikariek onartu dute arlo horietako teoremak, multzo-teoriako axiometatik eta definizioetatik abiatuz lor daitezkeela. Metamath egiaztatze-proiektuak multzo-teoriako, lehen ordenako logikako eta logika proposizionaleko 12.000 teorema baino gehiagoren egiaztapenak ditu, gizakiak idatzitako eta konputagailuak egiaztatutakoak guztiak.

## Multzo-teoria axiomatikoa 
Oinarrizko multzo-teoria modu informalean eta intuizioa erabiliz azter daiteke. Halaxe irakasten da eskoletan, Vennen diagramak erabiliz. Modu intuitiboan, multzoa baldintza jakin bat betetzen duten objektuek osatutako klasetik osa daitekeela esaten da. Baina, definizio horrek hainbat paradoxarako bidea ematen du. Ezagunenak Bertrand Russell matematikariak aurkitutako Russell-en paradoxa, Burali-Forti-ren paradoxa eta Cantor-en paradoxa dira. Paradoxa horiek hasiera batean Georg Cantor eta Gottlob Frege matematikariek garatutako multzoen teoria kontraesankorra dela frogatu zuten.

Matematika azaltzeko oinarrizko tresna multzo-teoria izanik, paradoxa horiek saihestea beharrezkoa bihurtu zen. Lehen-mailako logika erabiliz eta multzo-teoria ondo eraikitzeko helburuarekin multzo-teoria axiomatikoa garatu zen, Zermelo-Fraenkel-en axiomak, adibidez. Hala ere, kasu askotan multzo-teoriaren oinarrizko formulazioa erabiltzea nahikoa izaten da.

## Ikasketa eremuak
Multzoen teoria da matematikako ikerketa-arlo nagusietako bat, eta elkarrekin lotutako azpi-esparru asko ditu.
### Multzoen teoria konbinatorioa
Multzoen teoria konbinatorioa konbinazio finitutik multzo infinituetara egiten diren luzapenei dagokie. Honek barne hartzen ditu aritmetika kardinalaren azterketa eta Ramseyren teoremaren hedaduren azterketa, hala nola Erdos-Ko-Radoren teorema.

### Multzoen teoria deskribatzailea
Multzoen teoria deskribatzailea zuzen errealaren azpimultzoen azterketa da, eta, gehienetan, poloniar espazioen azpimultzoena. Borelen hierarkiako «puntu motak» aztertzearekin hasten da, hierarkia konplexuagoetara zabaltzen da, hala nola hierarkia proiektibo eta Wadgeren hierarkiara. Borelen multzoen propietate asko ZFCn (Zermelo-Fraenkel-en axiomak) ezar daitezke, baina propietate horiek multzo konplexuagoetan mantentzen direla frogatzeko, determinazioarekin eta kardinal handiekin lotutako axioma gehigarriak behar dira.

Multzoen teoria deskribatzaile eraginkorraren eremua multzoen teoriaren eta errekurtsioaren teoriaren artean dago. Puntu arinen klaseen azterketa barne hartzen du, eta teoria hiperaritmetikoarekin estuki lotuta dago. Kasu askotan, multzoen teoria deskribatzaile klasikoaren emaitzek bertsio eraginkorrak dituzte; beste batzuetan, emaitza berriak lortzeko, lehenik bertsio eraginkorra frogatu behar da, eta, gero, bertsio hori hedatu (erlatibizatuz), zabalago aplika ahal izateko.

Duela gutxi, Borelen baliokidetasun-erlazioak eta baliokidetasun-erlazio definigarri konplexuagoak aztertzen hasi dira. Horrek, matematikaren arlo askotan, aplikazio garrantzitsuak ditu aldaezinen ikasketan.

### Multzo lausoen teoria
Multzoen teorian, Cantorrek definitu eta Zermelok eta Fraenkelek axiomatizatu zuten moduan, objektu bat multzo bateko kide da, edo ez da. Multzo zehaztugabeen teorian, baldintza hori Lotfi A. Zadeh-k erlaxatu zuen, esanez objektu batek multzo baten parte izateko maila bat duela, 0 eta 1en arteko zenbaki bat. Adibidez, pertsona bat «pertsona altuen» multzokoa izatea malguagoa da baiezko edo ezezko erantzun soil bat baino, eta 0,75 gisako zenbaki erreal bat izan daiteke.

### Barne ereduaren teoria
Zermelo-Fraenkelen (ZF) multzoen teoriaren *barne-eredu* bat da ordinal guztiak barne hartzen dituen eta ZFren axioma guztiak betetzen dituen klase iragankor bat. Adibide kanonikoa Gödel-ek garatutako ***L*** unibertso eraikigarria da. Barne-ereduen azterketa interesgarria izatearen arrazoietako bat da trinkotasun-emaitzak frogatzeko erabil daitekeela. Adibidez, froga daiteke jatorrizko ereduaren barruan eraikitako ***L*** barne-ereduak bai continuum orokortuaren hipotesia bai hautapen-axioma asebeteko dituela ZFren ***V*** eredu batek jarraituaren hipotesia edo Hautapenaren axioma betetzen baditu ere. Hala, ZF tinkoa delako hipotesiak (gutxienez eredu bat badu) esan nahi du ZF, bi printzipio horiekin batera, tinkoa dela.

Barne-ereduen azterketa ohikoa da determinazioaren eta kardinal handien azterketan, bereziki, hautapenaren axiomaren aurkako determinazio-axiomatzat hartzen direnean. Multzoen teoriaren eredu finko batek hautapenaren axioma asetzen badu ere, baliteke barne-eredu batek hautapenaren axioma ez asetzea. Adibidez, kardinalak behar bezain handiak izateak esan nahi du determinazio-axioma betetzen duen barne-eredu bat dagoela (eta, beraz, ez du betetzen hautapenaren axioma).

### Kardinal handiak
Kardinal handi bat da propietate gehigarri bat duen zenbaki kardinal bat. Mota horretako propietate asko aztertzen dira, kardinal eskuraezinak, kardinal neurgarriak eta beste asko barne. Propietate horiek, eskuarki, zenbaki kardinalak oso handia izan behar duela esan nahi dute, eta Zermelo-Fraenkelen multzoen teorian frogatu ezin den propietate espezifikatuko kardinal bat izan behar duela.

### Zehaztapena
Zehaztapenak esan nahi du, hipotesi egokien pean, informazio perfektua duten bi jokalariren zenbait jokok hasieratik adierazten dutela jokalari batek estrategia irabazlea izan behar duela. Estrategia horiek egoteak ondorio garrantzitsuak ditu multzoen teoria deskribatzailean, Izan ere, joko-mota zabalago bat zehazturik dagoela suposatzeak maiz esan nahi du multzo-mota zabalago batek propietate topologiko bat izango duela. Zehaztapen-axioma (ZA) aztergai garrantzitsua da; aukerako axiomarekin bateraezina den arren, ZAk esan nahi du zuzen errealeko azpimultzo guztiek ondo jokatzen dutela (partikularki, neurgarriak eta multzo perfektuaren propietatearekin). ZA erabil daiteke Wadges-en graduek egitura dotorea dutela erakusteko.

### Behartze
Paul Cohenek behartze-metodoa asmatu zuen jarraituaren hipotesiak huts egingo zuen ZFC eredu bat edo hautapenaren axiomak huts egingo zuen ZF eredu bat bilatzen ari zelarik. Behartzeak multzo gehigarrien teoriaren eredu jakin batera darama erantsitako jatorrizko eraikuntzak eta ereduak zehaztutako propietateak (hau da, *behartuak*) dituen eredu handiago bat sortzeko. Adibidez, Cohenen eraikuntzak zenbaki arrunten azpimultzo gehigarriak lotzen ditu jatorrizko ereduko zenbaki kardinaletako bat bera ere aldatu gabe. Behartzea da, halaber, trinkotasun erlatiboa frogatzeko metodoetako bat bukaera duten metodoen bidez, beste metodoa da eredu boolear baliozkotua.

### Aldaezin kardinalak
Aldaezin kardinala zenbaki kardinal batek neurtutako lerro errealaren propietate bat da. Adibidez, ondo aztertutako aldaezin bat da zenbaki errealen multzo txiki baten kardinaletasun txikiena, zeinaren lotura zuzen erreal osoa den. Aldaezinak dira zentzu honetan: multzoen teoriaren bi eredu isomorfikok kardinal bera eman behar dute aldaezin bakoitzarentzat. Aldaezin kardinal asko aztertu dira, eta haien arteko erlazioak konplexuak dira askotan, eta multzoen teoriaren axiomekin lotuta daude.

### Multzoen topologia
Multzoen topologia teorikoak topologia orokorreko gaiak aztertzen ditu multzoen izaera teorikokoak direnak edo multzoen teoriaren metodo aurreratuak behar dituztenak ebazteko. Teorema horietako asko ZFCrekiko independenteak dira, frogatzeko axioma indartsuagoak eskatuz. Arazo ospetsu bat da Mooreren espazio normala, sakon ikertu zen topologia orokorreko gai bat. Azkenik, Mooreren espazio normalaren auziaren erantzuna ZFCrekiko independentea dela frogatu zen.

## Multzoen teoriari eragozpenak
Multzoen teoriaren hastapenetatik, matematikari batzuek eragozpenak jarri dituzte matematikaren oinarritzat hartzeko. Multzoen teoriari buruzko eragozpenik ohikoena (multzoen teoriaren lehen urteetan adierazitako Kronecker bat), matematika konputazioarekin nolabait lotuta dagoela dioen ikuspegi konstruktibistatik abiatzen da. Ikuspuntu hori onartzen bada, orduan, multzo infinituen tratamendua, bai multzoen teoria informalean, bai multzoen teoria axiomatikoan, konputagarriak ez diren, ezta printzipioz ere, metodoak eta objektuak sartzen ditu matematikan. Konstruktibismoaren bideragarritasuna matematikaren ordezko oinarri gisa nabarmen handitu zen Errett Bishop-en *Foundations of Constructive Analysis* liburu eragingarriarekin.

Henri Poincarék beste eragozpen bat jarri zuen: espezifikazio- eta ordezkapen-eskema axiomatikoen bidez eta potentzia multzoaren axiomaren bidez multzoak definitzean, inpredikatibitatea sartzen da (zirkularitate mota bat) matematika-objektuen definizioetan. Prediktibitatean oinarritutako matematikaren helmena, onartutako Zermelo-Fraenkelen teoria baino txikiagoa den arren, matematika konstruktibokoa baino askoz handiagoa da, hainbesteraino, ezen Solomon Fefermanek esan baitu zientifikoki aplika daitekeen analisi guztia garatu daitekeela metodo predikatiboak erabiliz.

Ludwig Wittgensteinek filosofikoki gaitzetsi zuen multzoen teoria, platonismo matematikoaren konnotazioengatik. Idatzi zuen: «multzoen teoria okerra da, fikziozko sinbolismoaren zentzugabekerian oinarritzen baita; mugimendu kaltegarriak ditu, eta zenbaki guztiez hitz egiteak ez du zentzurik».​ Wittgensteinek giza dedukzio algoritmikoarekin identifikatu zuen matematika;​ matematikarako oinarri seguruaren beharra zentzugabekeria iruditzen zitzaion. Gainera, giza ahalegina mugatua denez, Wittgensteinen filosofiak konpromiso ontologikoa eskatzen zuen konstruktibismo erradikalarekin eta finitismoarekin. Enuntziatu meta-matematikoak ―zeinak Wittgensteinen aburuz domeinu infinituei buruzko edozein enuntziatu sartzen zuten, eta, beraz, multzoen teoria moderno ia osoa― ez dira matematika.​ Filosofo moderno gutxik bereganatu dituzte Wittgensteinen ikuspuntuak, *Matematikaren oinarriei buruzko oharrak* artikuluarekin hanka-sartze ikusgarri bat egin ondoren: Wittgenstein saiatu zen Gödelen ez-osotasunaren teoremak ezeztatzen laburpena bakarrik irakurri ondoren. Kreisel, Bernays, Dummett eta Goodstein berrikusleek adierazi zutenez, bere kritika asko ez zitzaizkion artikulu osoari aplikatzen. Azken aldian, filosofo batzuk, hala nola Crispin Wright, hasi dira Wittgensteinen argudioak berritzen.

Kategoriaren teorialariek topoen teoria proposatu dute ohiko multzoen teoria axiomatikoaren alternatiba gisa. Topoen teoriak teoria horren zenbait alternatiba interpreta ditzake, hala nola konstruktibismoa, multzo finituen teoria eta konputagarriaren multzoen teoria.​​ Topoek ere marko natural bat ematen dute ZFren hautaketaren independentzia behartu eta eztabaidatzeko, zentzurik gabeko topologiarako markoa eta Stone-ren espazioa emateaz gain.

Ikerketa aktiboko arlo bat oinarri unibalenteena da, eta horrekin lotuta dago Moten teoria homotopikoa. Mota teoria homotopikoaren multzo bat homotopiaren 0 motatzat har daiteke, goiko mota induktiboen propietate induktibo eta errekurtsiboetatik sortzen diren multzoen «propietate unibertsalak» dituena. Hautapenaren axioma eta kanpoan utzitako hirugarrenaren printzipioa formula daitezke formulazio klasikoari dagokion modu batean multzoen teorian edo, agian, moten teoriarekin bat ez datozen forma desberdinen espektro batean. Printzipio horietako batzuk beste printzipio batzuen ondorioz froga daitezke. Printzipio axiomatiko horien formulazioak askotarikoak direnez, zehatz-mehatz azter daitezke behar diren formulazioak zenbait emaitza matematiko ondorioztatzeko.

## Ikus, gainera 
* Multzo
* Venn diagrama
* Multzoen arteko aljebra
* Multzoen teoria informal

## Erreferentziak 
### Bibliografia 
*.
*
*
*
*
*
*
*
*
*

## Kanpo estekak 
*  https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_set_identities_and_relations List of set identities and relations (Wikipedia)
*  Weisstein, Eric W. https://mathworld.wolfram.com/SetTheory.html "Set Theory." From *MathWorld*--A Wolfram Web Resource,