Partikula kutxan harrapatuta

[thumb|200px|eskuinera|Partikula baten ibilbidea eredu ezberdinen arabera: [mekanika klasikoa (A), Schrödinger-en ekuazioa (B-F). (B-F) grafikoetan ardatz horizontalak posizioa adierazten du eta bertikalean zati erreala (urdina) eta zati irudikaria (gorria). (B-C-D) grafiketan egoera geldikorra ageri da eta (E-F)-n berriz ez.]]

**Partikula kutxan harrapatuta**ko ereduak (edo potentzial infinituko kutxak), mekanika kuantikoan, zeharkatu ezinezko mugen artean mugimenduan aurkitzen den partikula bat deskribatzen du. Sistema klasikoa eta kuantikoaren arteko ezberdintasunak adierazteko adibide hipotetiko bezala erabiltzen da. Sistema klasikoan, partikula kutxa luze baten barruan sartzean, hau edozein lekutik libre mugitu daiteke leku batean edo bestean egoteko probabilitate gehiago egon gabe. Kutxa estutzen dugunean (nanometro gutxi batzuetako eskalan) efektu kuantikoek garrantzia hartzen dute. Partikulak energia maila positibo jakin batzuk soilik har ditzake. Aldi berean, partikularen energia ezin da nulua izan, ezin baitu erabat geldirik egon. Gainera, bere energia mailaren arabera probabilitate handiagoa dago leku batzuetan aurkitzeko besteetan baino. Horrez gain, partikula ezin da posizio zehatz batean detektatu baizik eta nodo espazialean.

Mekanika kuantikoan analitikoki ebatzi daitekeen problema bakarrenetakoa da kutxan harrapatuta aurkitzen den partikularena, hurbilketarik egin gabe. Hau dela eta, partikula baten propietate behagarriak (adibidez, energia edo posizioa) partikularen masaren eta kutxaren zabaleraren menpekoak dira eta adierazpen matematiko sinple batzuen bidez ebatzi daitezke. Bere sinpletasuna dela eta, ez da beharrezkoa matematikaren inguruan ezagutza sakonik izatea eredu hau ulertzeko. Oinarrizko fisika ikasketetan lantzen den mekanika kuantikako lehen ereduetako bat da eta konplexuagoak diren ereduak ulertzeko beharrezkoa.

## Problemaren planteamendua 
thumb|Dimentsio bakarreko kutxa baten paretetatik kanpo potentziala infinito den bitartean kutxaren barnean zero da.

Problema hau hainbat dimentsio ezberdinetan plantea daiteke. Sinpleena dimentsio bakarrekoa izanik eta erabilgarriena hiru dimentsioetakoa. Dimentsio batean, gure partikula x ardatzaren menpe aurkitzen da, hasiera eta bukaera paretek mugatzen dutelarik. Hiru dimentsioetan aldiz, partikula x, y eta z ardatzen menpe izango dugu.

Fisikaren ikuspuntutik kutxaren barnean dagoen partikulak ez du inongo indarrik jasaten, hau da, bere energia potentziala konstantea da eta ondorengo eragiketetan zerotzat hartuko dugu. Kutxaren paretetan eta hauetatik kanpo pontentzialak infiniturantz jotzen du, zeharkaezin bihurtuz. Hau dela eta Schrödinger-en ekuazioaz balia gaitezke soluzio bat aurkitzeko.

Eredu hau mekanika klasikoaren ikuspuntutik landuko bagenu lortutako emaitzak zentzuzkoak eta intuitiboak lirateke. Aldiz, mekanika kuantikoan Schrödinger-en ekuazioa aplikatuz lorturiko emaitzak ez dira intuitiboak. Izan ere, mekanika kuantikoan partikulak energia maila espezifiko batzuk soilik izan ditzazke, hau da, energia kuantizatuta dago eta ez da posible energia zero izatea. Gainera, partikula kutxa barnean aurkitzeko probabilitateak ez dira uniformeak (zenbait posiziotan aurkitzeko probabilitateak altuak diren bitartean beste zenbait posiziotan ezinezkoa da partikula bertan aurkitzea). Nahiz eta, printzipio hauek esperimentu ugariren bitartez baieztatuak izan ez dira munduarekiko dugun ikuspegiarekiko logikoak.

## Dimentsio bakarreko soluzioa 
thumb|Dimentsio bateko kutxako hormek energia potentzial infinitua dute, kutxaren barnealdeak aldiz nulua.
Partikula kutxa batean ereduaren formarik sinpleena dimentsio bakarreko sistema da. Hemen, partikula soilik aurrera eta atzera mugitu daiteke horma zeharkaezinez mugatutako lerro zuzen batean. Dimentsio bakarreko kutxaren hormak energia potentzial infinitua duten espazioko eremuak bezala imagina daitezke. Kutxa barruko zonaldeak aldiz, konstantea edo zero den energia potentziala dauka. Horrek esan nahi du partikularen gainean ez duela indarrik eragiten eta aske higitu daitekeela kutxa barruan. Hala ere, indar infinituki handi aldaratzaileak eragiten diote partikulari hormetako bat ukitzen badu, ihes egitea ekidinez. Eredu honetan energia potentziala horrela idazten da:

V(x)= \begin{cases} 0, & x_c-L/2

non L kutxaren luzera, xc kutxaren erdiko puntua eta x partikularen kutxako posizioa diren. Kasu sinpleak kutxa zentratua (xc=0) eta desplazatutako kutxa (xc=L/2) dira.

### Posizioaren uhin-funtzioa 
Mekanika kuantikoan, uhin-funtzioak partikularen jokabidearen deskribapen oinarrizkoena ematen du, ezaugarri neurgarri guztiak (posizioa, momentua eta energia adibidez) uhin funtziotik lor daitezke. \psi(x,t) uhin funtzioa Schrödinger-en ekuazioa ebatziz lor daiteke hurrengo sistemarako:

i\hbar{\partial\over\partial t}\psi(x,t)=-{\hbar^2\over2m}{\partial^2\over\partial x^2}{\psi(x,t)}+V(x,t)\psi(x,t)

non \hbar erreduzitutako Planck-en konstantea, m partikularen masa, i unitate irudikaria eta t denbora diren.

Kutxa barruan, partikularen gainean ez du indarrik eragiten, ondorioz, kutxaren barruan dagoen uhin-funtzioaren zatiak denboran eta espazioan partikula aske bat bezala oszilatzen du:

\psi(x,t)=[Asin(kx)+Bcos(kx)]e^{-iwt} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  (1)
 ,

non A eta B zenbaki konplexuak diren. Espazioko eta denborako oszilazioen maiztasuna k uhin-zenbakia eta w maiztasun angeluarraren arabera zehazten dira hurrenez hurren. Bi hauek energia totalaren adierazpenarekin loturik daude:

E=\hbar w= {\hbar^2k^2\over2m},

non partikula askearen kasuan dispertsio-erlazio bezela ezagutzen den adierazpen hau.

k_n={n\pi\over L},

eta

E_n=\hbar w_n={\pi^2\hbar^2 \over 2mL^2}n^2,

diren. n zenbaki osoa eta positiboa da. 0=1,2,3,4.... Desplazatutako kutxaren erreferentzia-sisteman (xc=L/2) soluzioa partikularki sinplea da. Soluziorik sinpleenek, k_n=0 edo A=0, uhin-funtzio tribiala sortzen dute \psi(x)=0, sisteman inon existitzen ez den partikula bat deskribatzen duena. Hemen ikus daiteke soilik energia eta k uhin-zenbakien balio diskretuen multzo bat dela onargarria partikularako. Orokorrean, uhin-funtzioaren deribatua ere jarraitua izan behar da, baina kasu honetan baldintza hori ezin da inposatu kutxaren bi muturretan potentziala infinitua delako. Jakina, potentzial infinitua duen sistema limiteko sistema abstrakto ez-fisiko bezala ikus daiteke Baldintza hori kontuan ez hartzean, uhin-funtzioa ez da diferentziagarria kutxaren hormetan.

Amaitzeko, A konstante ezezaguna uhin-funtzioa normalizatuz finkatu daiteke, horrela sistema osoan partikula aurkitzeko probabilitate dentsitatea 1 izango baita. Lorturiko emaitza hauxe da:

\left\vert A \right\vert=\sqrt{2\over L}

Beraz, A, modulua \sqrt{2/L} duen edozein zenbaki konplexu izan daiteke, A-ren balio ezberdin hauek egoera fisiko berdina deskribatzen dute, beraz A=\sqrt{2 \over L} aukera daiteke sinplifikatzeko.

Esperotako *autobalioak,* adibidez, kutxako partikularen energia E_n berdina izan behar da posizioa edozein delarik ere, baina \psi(x,t) x-ren arabera aldatzen da. Konturatu (x_c-L/2) magnitudek uhin-funtzioaren fasearen desplazamendua adierazten duela. Fasearen desplazamendu honek ez du eraginik Schrödinger-en ekuazioa ebaztean, eta ondorioz ez du eraginik *autobalioengan.* Koordenatuen jatorria kutxaren zentroan jarriz, espazioko zatia horrela berridatz daiteke:

\psi_n(x) = \begin{cases} \sqrt{2 \over L}sin(k_nx), & \text{n bikoitia denean} \\ \sqrt{2 \over L}cos(k_nx), & \text{n bakoitia denean}\end{cases}

### Momentuaren uhin-funtzioa 
Uhin-funtzioaren momentua, uhin-funtzio berberaren posizioaren Fourierren transformatuaren proportzionala da. k={p / \hbar} izanik, (ohartu, uhin-funtzioaren momentua deskribatzen duen k paramentroa ez dela lehenago deskribatutako balio propioen energiarekin erlazionatutako k_n), uhin-funtzioaren momentua honako hau da:

\phi_n(p,t)={1 \over \sqrt{2\hbar \pi}}\int\limits_{-\infin}^{\infin} \psi_n(x,t)e^{-ipx/\hbar}dx=\sqrt{L \over \pi \hbar}\left({n\pi \over n\pi+kL}\right)sinc(1/2(n\pi-kL))e^{-ikx}e^{i(n-1)\pi/2}e^{-iw_nt}

sinc sine sinc funtzioaren kardinala izanik sinc(x)=sin(x)/x. Zentratutako kutxarako (x_c=0), soluzioa erreala eta bereziki sinplea da, fase faktorea unitatera erreduzitzen baita. (p-ren funtzio bikoiti bezala idatzia izan daiteke).

Uhin pakete honetarako, espektroaren momentua jarraia dela ikus daiteke, eta ondoriozta daiteke k_n uhin-zenbakiak deskribaturiko energiaren egoerarako, momentuak, neurtua denean, p=\pm \hbar k ez diren beste balio batzuk lor ditzakeela.

Horregatik, energia E_n={\hbar^2 k_n^2 \over 2m} denez n-garren autoegoerarako, E={p^2 \over 2m} erlazioa ez da zorrozki betetzen neurturiko p momenturako; energiaren \psi_{n} autoegoera ez da momentuaren autoegoera, eta izatez, bi momentuen autoegoeren gainezarmena ere ez, bat tentatua izan baitaiteke imaginatzera (1) ekuaziotik haratago.

## Energia mailak 
thumb|298x298px|Kutxa bateko partikularen (zirkulu beltzak) eta partikula askearen (lerro grixa) energiek uhin-zenbakiarekiko menpekotasuna dute modu berean. Hala ere, kutxako partikularen energiak diskretuak dira eta balio jakin batzuk soilik har ditzazke.
Baimendutako uhin-zenbaki bakoitzari dagozkion energiak horrela idaz daitezke

E_1={\hbar^2\pi^2 \over 2mL^2}.

Partikulak, ondorioz, beti energia positiboa dauka. Hau mekanika klasikoaren aurkakoa da, non partikulak energia nulua izan dezakeen geldirik egonez. Hau ziurgabetasun printzipioaren bidez azaldu daiteke, zeinek esaten duen momentuaren eta posizioaren ziurgabetasunak mugatuta daudela honako adierazpenaren bidez

\Delta{x}\Delta{p}\geq{\hbar \over 2}

Erakutsi daiteke posizioaren ziurgabetasuna kutxaren zabaleraren proportzionala dela. Beraz, momentuaren ziurgabetasuna gutxi gorabehera kutxaren zabaleraren alderantziz proportzionala da. Partikularen energia zinetikoa E={p^2 \over 2m} da, eta beraz partikularen energia zinetiko minimoa partikularen masaren eta kutxaren zabaleraren karratuaren alderantziz proportzionala da, aurreko kalkuluekin kualitatiboki ados egonik.

## Dimentsio altuagoko kutxak 
### Horma hipererrektangeluarrak 
Partikula bat bi dimentsioko kutxa batean harrapatuta badago, x eta y noranzkoetan aske mugi daiteke L_x eta Ly L_ydistantzia batzuetaz banandutako hormen artean, hurrenez hurren. Jatorrian zentratutako kutxan, kutxaren luzeera adieraziz idatz genezake uhin funtzioa, \psi_n(x,t,L) moduan. Dimentsio bakarreko ekuazioa ereduz hartuta, ikusi egin daiteke jatorrian zentratutako kutxa baten uhin funtzioaren eta energiaren adierazpenak ondokoak direla:thumb|2D potentzial osineko uhin-funtzioa nx=4 eta ny=4 izanik.\psi_{n_x,n_y}=\psi_{n_x}(x,t,L_x)\psi_{n_y}(y,t,L_y)

E_{n_x,n_y}={\hbar^2k_{n_x,n_y}^2 \over 2m}

non bi dimentsioko uhin-bektorea honela dagoen emanda:

\mathbf{k_{n_x,n_y}}=k_{n_x}\hat{\mathbf{x}}+k_{n_y}\hat{\mathbf{y}}={n_x\pi \over L_x}\hat{\mathbf{x}} + {n_y\pi \over L_y}\hat{\mathbf{y}}

Hiru dimentsioko kutxan, ebazpenak hauek dira:

\psi_{n_x,n_y,n_z}=\psi_{n_x}(x,t,L_x)\psi_{n_y}(y,t,L_y)\psi_{n_z}(z,t,L_z)

E_{n_x,n_y,n_z}={\hbar^2k_{n_x,n_y,n_z}^2 \over 2m}

non hiru dimentsioko uhin bektorea honela dagoen emanda:

\mathbf{k_{n_x,n_y,n_z}}=k_{n_x}\hat{\mathbf{x}}+k_{n_y}\hat{\mathbf{y}}+k_{n_z}\hat{\mathbf{z}}={n_x\pi \over L_x}\hat{\mathbf{x}} + {n_y\pi \over L_y}\hat{\mathbf{y}}+{n_z\pi \over L_z}\hat{\mathbf{z}}

Orokorrean, n dimentsioko kutxan, ebazpenak hauek dira:

\psi=\prod_{i=1}\psi_n(x_i,t,L_i)

n-dimentsioko momentu uhin funtzioak \phi_n(x,t,L_x) adierazpenaz adieraz litezke, eta ondorioz momentuaren uhin funtzioa n dimentsioko kutxa zentratuan honakoa da:

\phi=\prod_{i=1}\phi_n(k_i,t,L_i)

Aurreko adierazpena aztertuz, bi luzera edo gehiago berdinak direnean (adibidez L_x=L_y ) uhin funtzio bat baino gehiago energia maila berdinari dagokiola ikus daiteke. Adibidez, n_x=2 eta n_y=1 egoerak daukan uhin funtzioak eta n_x=1
 eta n_y=2
 egoerak daukanak energia bera dute. Egoera desberdinek energia bera dutenean, energia hori *endekatua dela* esaten da, edo energia horren endakapena bi dela. Endekapena sistemaren simetriatik dator. Goiko kasuan osinaren bi luzerak berdinak dira, beraz sistema simetrikoa da 90º biraketarekiko.

### Forma konplikatuagoko hormak 
Forma arbitrarioko paretak dituen kutxa batean harrapatutako partikula mekaniko-kuantiko baten uhin funtzioa Helmholtzen ekuaziotik dator, mugalde baldintzak uhin funtzioa paretetan nulua dela izanik. Sistema hauek kaos kuantikoan aztertzen dira.

## Aplikazioak 
Bere matematika sinpleagatik, partikula kutxan eredua beste eredu konplexuago batzuen soluzio gerturatuak bilatzeko erabiltzen da. Eredu horietan, partikula potentzial elektriko baxuko eremu estu batean harrapaturik dago, non mugek potentzial altua dute. Kutxa kuantikoaren sistema hauek garrantzitsuak dira optoelektronikan, eta beste zenbait gailuetan erabiliak izan dira adibidez, kutxa kuantikoko laserra, kutxa kuantikoko infragorri fotodetektagailua. Baita ere, metal finitu bateko elektroi libren gerturaketarako.

## Ondorioak 
Uhin-funtzioak jarraia izan behar duenez eta gure mugetan zero balioa hartzen duenez energiak kuantizatua egon behar du, hau da, ezin du edozein energia balio izan. Hau izanik mekanika kuantikoa eta tradizionala bereizten dituen ezaugarri nagusietako bat da. Bestalde, aipatu bezala, energia ezin da zero izan kasu honetan. Honek esan nahi du partikula ezin dela geldirik egon, izan ere, potentziala nulua izanik, energia guztia zinetikoa delako.

## Erreferentziak 
## Bibliografia 
* Bransden, B. H.; Joachain, C. J. (2000). *Quantum mechanics* (2nd ed.). Essex: Pearson Education. ISBN 978-0-582-35691-7.
* Davies, John H. (2006). *The Physics of Low-Dimensional Semiconductors: An Introduction* (6th reprint ed.). Cambridge University Press. 
* Griffiths, David J. (2004). *Introduction to Quantum Mechanics* (2nd ed.). Prentice Hall. 

## Ikus, gainera 
* Partikula aske

## Kanpo estekak 
* Scienceworld (Potentzial infinituko kutxa)
* 1-D quantum mechanics java applet Partikula kutxan eta dimentsio bakarreko beste hainbat kasuren simulazioa.