Felix Klein

**Christian Felix Klein** (Düsseldorf, 1849ko apirilaren 25ean  - Göttingen,1925eko ekainaren22a) alemaniar matematikaria izan zen. Irakasle-lanak egin zituen Erlangenen, Munichen eta Leipzigen, besteak beste. Geometria ez euklidearra, eta multzoen eta funtzioen teoriak ikertu zituen; baita funtzio eliptikoak eta automorfoak, eta bosgarren mailako ekuazioak ere. *Erlanger Programm* deritzan obran geometria modernoa aztertu zuen bere osotasunean. Matematikari buruzko ikasketak antolatzeko zuen ahalmenagatik matematikari ezaguna eta aintzat hartua da.

## Bizitza 
Felix Klein Düsseldorfen jaio zen, guraso prusiarrengandik. Bere aita, Caspar Klein (1809–1889), Prusiako gobernuaren funtzionario idazkaria zen, Rhin probintzian kokatua. Bere ama Sophie Elise Klein (1819–1890, jaiotzez Kayser) zen. Düsseldorfeko Gimnasioan ikasi zuen, eta ondoren matematika eta fisika ikasi zituen Bonn-eko Unibertsitatean 1865–1866, fisikari izateko asmoarekin. Garai hartan, Julius Plückerrek Bonn-eko matematika eta fisika esperimentaleko katedra zuen, baina Klein bere laguntzaile bihurtu zenerako, 1866an, Plückerren interesa batez ere geometria zen. Kleinek doktoretza jaso zuen Bonn-eko Unibertsitatean, Plückerren gainbegiratzearekin, 1868an.

Plücker 1868an hil zen, lerro-geometriaren oinarriei buruzko bere liburua osatu gabe utziz. Klein zen Plückerren "Espazioaren geometria berria" (*Neue Geometrie des Raumes*) liburuaren bigarren zatia osatzeko pertsonarik egokiena, eta horrela ezagutu zuen Alfred Clebsch, 1868an Göttingenera joan zena. Kleinek Clebsch bisitatu zuen hurrengo urtean, Berlin eta Parisera bisitak eginez. 1870eko uztailean, Frantzia-Prusia Gerraren hasieran, Parisen zegoen eta herrialdea utzi behar izan zuen. Denbora labur batez Prusiako armadan mediku ordenantza gisa aritu zen, 1871ko hasieran Göttingenen irakasle izendatu aurretik.

Erlangengo Unibertsitateak Klein irakasle izendatu zuen 1872an, 23 urte besterik ez zituenean. Horregatik, Clebschek babestu zuen, bere garaiko matematikaririk onena izango zela uste baitzuen. Kleinek ez zuen Erlangenen geratu nahi, ikasle gutxi zeudelako, eta pozik agertu zen 1875ean Municheko Teknologia Goi Eskolan irakasle postua eskaini ziotelako. Han, Alexander von Brillek eta berak ikastaro aurreratuak eman zizkieten ikasle bikain askori, besteak beste, Adolf Hurwitz, Walther von Dyck, Karl Rohn, Carl Runge, Max Planck, Luigi Bianchi eta Gregorio Ricci-Curbastro.

1875ean, Klein Anne Hegelekin ezkondu zen, Georg Wilhelm Friedrich Hegel filosofoaren bilobarekin.
ezkerrera|thumb|Klein Leipzig-eko garaian.
Bost urte Technische Hochschule-n eman ondoren, Klein Leipzigeko Unibertsitateko geometria katedradun izendatu zuten. Bere lankideen artean Walther von Dyck, Rohn, Eduard Study eta Friedrich Engels zeuden. Kleinek Leipzig-en eman zituen urteek, 1880tik 1886ra, funtsean bere bizitza aldatu zuten. 1882an, bere osasuna okertu egin zen eta hurrengo bi urteetan depresioarekin borrokatu zen. Hala ere, bere ikerketak jarraitu zuen; 1886 eta 1888 artean argitaratutako sigma funtzio hipereliptikoei buruzko lan garrantzitsua garai hartakoa da.

Kleinek Göttingengo Unibertsitatean irakasle postua onartu zuen 1886an. Ordutik aurrera, 1913an erretiratu zen arte, Göttingen munduko matematika ikerketa zentro nagusi gisa berreskuratzen saiatu zen. Hala ere, ez zuen inoiz lortu geometriaren garatzaile gisa zuen paper nagusia Leipzig-etik Göttingen-era eramatea. Hainbat ikastaro eman zituen Göttingenen, batez ere matematikaren eta fisikaren arteko interfazeari buruzkoak, bereziki mekanikari eta potentzialaren teoriari buruzkoak.

Kleinek Göttingenen ezarritako ikerketa-instalazioa mundu osoko instalazio onenen eredu izan zen. Asteko eztabaida-bilerak ezarri zituen, eta matematika-irakurketa-gela eta liburutegi bat sortu zituen. 1895ean, Kleinek David Hilbert kontratatu zuen Königsbergeko Unibertsitatetik. Izendapen honek garrantzi handia izan zuen; Hilbertek Göttingenen matematikan zuen nagusitasuna indartzen jarraitu zuen 1932an erretiratu zen arte. Kleinek eta Hilbertek Emmy Noether gonbidatu zuten Göttingenera 1915ean, eta han Emmy Noether talde-teoria eta simetrien eta kontserbazio-printzipioen arteko harremana aurkeztu zizkion Einsteini.

Kleinen zuzendaritzapean, "Mathematische Annalen" munduko matematika aldizkari onenetako bat bihurtu zen. Clebschek sortua, Kleinen zuzendaritzapean hazi zen, Berlingo Unibertsitatean egoitza zuen "Crelle's Journal" aldizkariaren aurka lehiatu eta azkenean gainditu arte. Kleinek editore talde txiki bat sortu zuen, aldizka biltzen zirenak eta erabakiak espiritu demokratikoan hartzen zituztenak. Aldizkaria hasieran analisi konplexuan, geometria aljebraikoan eta teoria inbarianteetan espezializatu zen. Analisi errealarentzat eta talde teoria berriarentzat irteera garrantzitsua ere izan zen.

1893an, Klein hizlari garrantzitsua izan zen Chicagon egindako Nazioarteko Matematika Kongresuan, Munduko Kolonbiako Erakusketaren barruan. Neurri batean Kleinen ahaleginei esker, Göttingenek emakumeak onartzen hasi zen 1893an. Göttingenen emakume batek idatzitako matematikako lehen doktorego-tesia gainbegiratu zuen, Grace Chisholm Young ingelesak idatzia, Arthur Cayleyren ikasle ingelesa eta Kleinek miresten zuena. 1897an, Klein Herbehereetako Arte eta Zientzien Errege Akademiako kide atzerritar bihurtu zen.

1900 inguruan, Kleinek eskoletan matematika irakasteaz interesatzen hasi zen. 1905ean, funtsezkoa izan zen geometria analitikoa, kalkulu diferentzial eta integralaren oinarriak eta funtzio kontzeptua bigarren hezkuntzako ikastetxeetan irakasteko gomendioa ematen zuen plan bat formulatzeko. Gomendio hau pixkanaka ezarri zen munduko herrialde askotan. 1908an, Klein Matematika Irakaskuntzari buruzko Nazioarteko Batzordeko presidente hautatu zuten Erromako Matematikarien Nazioarteko Kongresuan. Bere gidaritzapean, Batzordearen zati alemaniarrak liburuki ugari argitaratu zituen matematikaren irakaskuntzari buruz, Alemanian maila guztietan. 1892an, Manchesterko Literatura eta Filosofia Elkarteak Klein Elkarteko ohorezko kide izendatu zuen. Londresko Matematika Elkarteak De Morgan domina eman zion Kleini 1893an. 1885ean Royal Society-ko kide hautatu zuten, eta 1912an Copley domina eman zioten. Hurrengo urtean erretiratu zen osasun arazoak zirela eta, baina matematika irakasten jarraitu zuen etxean beste hainbat urtez. 

Klein Lehen Mundu Gerraren hasieran Belgikako inbasio alemaniarraren alde idatzitako "Laurogeita Hamahirukoen Manifestuaren" laurogeita hamahiru sinatzaileetako bat izan zen.

1925ean hil zen Göttingenen.

## Lana 
Kleinen tesiak, lerro-geometria eta mekanikako aplikazioei buruz, bigarren mailako lerro-konplexuak sailkatu zituen Weierstrassen oinarrizko zatitzaileen teoria erabiliz.

Kleinen lehen aurkikuntza matematiko garrantzitsuak 1870ean egin zituen. Sophus Lierekin lankidetzan, Kummer gainazaleko lerro asintotikoen oinarrizko propietateak aurkitu zituen. Geroago, W kurbak ikertu zituzten, transformazio proiektiboen talde baten pean aldaezinak diren kurbak. Lie izan zen Kleini taldearen kontzeptua aurkeztu ziona, eta horrek paper garrantzitsua izango zuen bere geroagoko lanean. Kleinek taldeei buruz Camille Jordanengandik ere ikasi zuen.
ezkerrera|thumb|Klein botila baten eraikuntza bi Möbius-en bandatik
Kleinek bere izena daraman "Klein botila" asmatu zuen, hiru dimentsioko espazio euklidearrean txertatu ezin den gainazal itxi aldebakarrekoa, baina bere burua zeharkatzen duen zilindro gisa murgildu daitekeena bere beste muturrarekin "barrutik" elkartzeko. 4 dimentsioko eta handiagoko espazio euklidearrean txertatu daiteke. Klein botilaren kontzeptua 3 dimentsioko Möbius banda gisa asmatu zen, eraikuntza-metodo bat bi Möbius bandaren ertzak lotzea izanik.

1890eko hamarkadan, Klein fisika matematikoa sakonago ikasten hasi zen, giroskopioari buruz Arnold Sommerfeldekin batera idatziz. 1894an, matematikaren entziklopedia baten ideia abiarazi zuen, bere aplikazioak barne, eta hori "Matematika Zientzien Entziklopedia" (*Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften*) bihurtu zen. 1935era arte iraun zuen ekimen honek balio iraunkorreko erreferentzia estandar garrantzitsua eman zuen.

### Erlangen programa 
1871n, Göttingenen zegoela, Kleinek aurkikuntza garrantzitsuak egin zituen geometrian. Bi artikulu argitaratu zituen Geometria ez-euklidearrari buruz, eta bertan erakutsi zuen geometria euklidearrak eta ez-euklidearrak Cayley-Klein metrika batek zehaztutako espazio metrikotzat har zitezkeela. Ikuspegi honek honako hau zuen: geometria ez-euklidearra koherentea zela baldin eta bakarrik geometria euklidearra hala bazen, geometria euklidear eta ez-euklidearrei estatus bera emanez, eta geometria ez-euklidearrari buruzko eztabaida guztia amaituz. Arthur Cayleyk ez zuen inoiz Kleinen argudioa onartu, zirkularra zela uste baitzuen.
[ezkerrera|thumb|Kleinek (ezkerrean) eta [Raymond Poincaré|Poincarék (eskuinean) proposatutako geometria ez-euklidear ereduak.]]
Kleinen geometriaren sintesia, espazio baten propietateen azterketa gisa, transformazio-talde jakin baten menpe aldaezina dena, "Erlangen programa" (1872) bezala ezagutzen dena, eragin handia izan zuen matematikaren bilakaeran. Programa hau Kleinek Erlangeneko irakasle gisa eman zuen lehen hitzaldiarekin hasi zen, nahiz eta ez izan une horretan eman zuen benetako hitzaldia. Programak geometria sistema bateratu bat proposatu zuen, metodo moderno onartua bihurtu dena. Kleinek erakutsi zuen nola geometria jakin baten propietate oinarrizkoak, propietate horiek mantentzen dituzten transformazio-taldearen bidez irudika daitezkeen. Horrela, programaren geometriaren definizioak geometria euklidearra eta ez-euklidearra hartzen zituen barne.

Gaur egun, Kleinen geometriari egindako ekarpenen garrantzia agerikoa da, pentsamendu matematikoaren parte bihurtzeraino, baina zaila da lehen aldiz aurkeztu zirenean zuten berritasuna baloratzea, eta bere garaikideek berehala onartu ez izana ulertzea.

### Analisi konplexua 
Kleinek analisi konplexuari buruzko bere lana matematikari egindako ekarpen nagusitzat jo zuen, zehazki honako gaiei buruzko lana:

* Bernhard Riemannen ideia batzuen eta aldaezintasunaren teoriaren arteko lotura,
* Zenbakien teoria eta aljebra abstraktua,
* Talde-teoria,
* 3 dimentsio baino gehiagoko geometria eta ekuazio diferentzialak, batez ere berak asmatutako ekuazioak, funtzio modular eliptikoek eta funtzio automorfikoek asetzen dituztenak.
Kleinek erakutsi zuen talde modularrak plano konplexuaren oinarrizko eskualdea mugitzen duela planoa teselatu ahal izateko. 1879an, PSL(2,7)-ren ekintza aztertu zuen, talde modularraren irudi gisa hartuta, eta Riemann gainazal baten irudikapen esplizitua lortu zuen, gaur egun Klein kuartikoa deritzona. Erakutsi zuen espazio proiektiboan kurba konplexu bat zela, bere ekuazioa x3y + y3z + z3x = 0 zela, eta bere simetria taldea 168 ordenako PSL(2,7) zela. Bere "Riemannen funtzio aljebraikoen eta haien integralen teoriari buruz" (''Ueber Riemann's Theorie der algebraischen Funktionen und ihre Integrale*) (1882) liburuak analisi konplexua modu geometrikoan jorratzen du, potentzialaren teoria eta aplikazio konformalak lotuz. Lan honetarako fluidoen dinamikako nozioetan oinarritu zen.

Kleinek > 4 mailako ekuazioak kontuan hartu zituen, eta bereziki interesatu zen bosgarren mailako ekuazio orokorra ebazteko metodo transzendentalak erabiltzeaz. Charles Hermite eta Leopold Kroneckerren metodoetan oinarrituta, Brioschiren antzeko emaitzak lortu zituen eta geroago arazoa erabat konpondu zuen talde ikosaedrikoaren bidez. Lan horri esker, funtzio modular eliptikoei buruzko artikulu sorta bat idatzi ahal izan zuen.

1884an ikosaedroari buruzko liburuan, Kleinek funtzio automorfikoen teoria bat ezarri zuen, aljebra eta geometria lotuz. Raymond Poincarék funtzio automorfikoen teoriaren zirriborroa argitaratu zuen 1881ean, eta horrek bi gizonen arteko lehia atsegina sortu zuen. Bietako bakoitzak uniformizazio-teorema handi bat adierazi eta frogatu nahi izan zuen, teoria berria osotasun handiagoz ezarriko zuena. Kleinek teorema hori formulatzea eta frogatzeko estrategia bat deskribatzea lortu zuen. Froga hori asma-eraso batean bururatu zitzaion, 1882ko martxoaren 23an.

Kleinek funtzio modular automorfiko eta eliptikoei buruzko bere lana lau liburukiko tratatu batean laburbildu zuen, Robert Frickerekin batera 20 urte inguruko epean idatzia.

## Aukeratutako lanak 
*  1882: "Riemannen funtzio aljebraikoen eta haien integralen teoriari buruz" (*Über Riemann-en Theorie der Algebraischen Functionen und ihre Integrale*) 
*  1884: "Ikosaedroari eta 5. mailako ekuazioen ebazpenari buruzko hitzaldiak" (*Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom 5ten Grade*). G. G. Morriceren ingelesezko itzulpena 1888an: "Ikosaedroari buruzko hitzaldiak; eta Internet Artxiboaren bidez Bosgarren Graduko Ekuazioen Ebazpena" (*Lectures on the Ikosahedron; and the Solution of Equations of the Fifth Degree*)
*  1886: "Sigma funtzio hipereliptikoei buruz" (*Über hyperelliptische Sigmafunktionen*).
*  1887: "Matematikaren atmetizazioa." (*The athmetizing of mathematics*) 
*  1888: "Sigma funtzio hipereliptikoei buruz" (*Über hyperelliptische Sigmafunktionen)*.
*  1890: "Geometria ez-euklidearra" (*Nicht-Euklidische Geometrie*)

*  1890, 1892: "Funtzio modular eliptikoen teoriari buruzko hitzaldiak" (*Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen*), Robert Frickerekin, 2 liburuki.
*  1894:  "Funtzio hipergeometrikoari buruz" (*Über die hypergeometrische Funktion*)
*  1894: "Bigarren mailako ekuazio diferentzial linealei buruz" (*Über lineare Differentialgleichungen der 2. Ordnung*)
*  1894: "1893ko Evanstongo kolokioa" (*Evanston Colloquium-1893*) Ziwetek argitaratu eta jakinarazi zuen, New York, 1894.
*  1894: "Matematikari buruzko hitzaldiak (*Lectures on Mathematics*), New York, Londres: Macmillan and Co.
* 1895: "Oinarrizko geometriako gai hautatuei buruzko hitzaldiak" (*Vorträge über ausgewählte Fragen der Elementargeometrie*). W. W. Beman eta D. E. Smith-en ingelesezko itzulpena 1897an: "Oinarrizko Geometriaren Problema Ospetsuak" (*Famous Problems of Elementary Geometry*) 
*  1897: "Giroskopioaren teoria." (*Theorie des Kreisels*), Arnold Sommerfeldekin, geroko liburukiak: 1898, 1903, 1910.
* 1897: "Funtzio Automorfikoen Teoriari buruzko Hitzaldiak. Lehen Bolumena. Talde-Teoriaren Oinarriak " (*Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Erster Band; Die gruppentheoretischen Grundlagen)*, Fricke Robert-ekin.
*  1897: "Goialdearen teoria matematikoa" (*Mathematical Theory of the Top*), Princetongo hitzaldia, New York

*  1901: "Gaussen-en zientzia-egunkaria, 1796–1814. Felix Kleinen oharpenekin" (*Gaussen wissenschaftliches Tagebuch, 1796-1814. Mit Anmerkungen von Felix Klein*)
*  1912: "Funtzio Automorfikoen Teoriari buruzko Hitzaldiak. Bigarren Bolumena: Funtzio-Teoriaren Azalpenak eta Aplikazioak. 1. Zatia: Funtzio Automorfikoen Teoria Zehatzagoa" (*Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere Theorie der automorphen Funktionen*) Fricke, Robertekin.
*  1908: "Oinarrizko matematika ikuspuntu altuago batetik" (*Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus*) (Leipzig)
*  1921: "Matematikako tratatuen bilduma" (*Gesammelte mathematische Abhandlungen*), A. Ostrowskirekin, Berlin, 3 liburuki. 
*  1926 - 1927: "Matematikaren garapenari buruzko hitzaldiak XIX. mendean, 2 liburuki" (*Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert. 2 Bände*), Springer argitaletxearekin, Berlin. 
*  1928: "Geometria ez-euklidearrari buruzko hitzaldiak, zientzia matematikoen oinarrizko printzipioak" (*Vorlesungen über nichteuklidische Geometrie, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften*), Springer argitaletxea
*  1933: "Funtzio hipergeometrikoari buruzko hitzaldiak, zientzia matematikoen oinarrizko printzipioak" (*Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften''), Springer argitaletxea. 

## Erreferentziak 
## Kanpo estekak 
  ,  Project Gutenberg-en

## Ikus gainera