Inplikazio

**Inplikazioa** (latinezko *implicare*) baieztapen bat da, inplizituki beste bat duena. Etimologiari dagokionez, bere esanahia 'ezkutu' hitzetik dator; izan ere, inplizituki duen baieztapena ez da ikusgarria nahiz eta bere barnean egon, horregatik ez dago bigarren enuntziatua komunikatzeko beharrik. Inplikazioaren kontrako terminoa azalpena (latinezko *explicare*) da, ezkutuan dagoen zerbait ikusgarri eta ulergarria bihurtzea esan nahi duena.

Logikan, inplikazioa **inplikazio logikoa** edo **inplikazio materiala** izenekin ere ezagutzen da eta hurrengo eran adierazten da:A \Rightarrow BB A-ren ondorio logiko bat da eta "A-k B inplikatzen du" irakurtzen da.

## Inplikazioen egiazkotasuna 
A eta B bi enuntziatu izanik, bakoitza egia edo gezurra izateko aukera dago eta horren arabera inplikazioa beteko da ala ez. Aukera posible guztiak modu sinple batean aztertzeko egiazkotasun taulak erabili ohi dira:

Argi ikusten denez gezurrak edozer inplikatzen du; beraz, modu bakarra dago inplikazio bat gezurra izateko: A enuntziatua egia izatea eta B, ordea, gezurra. 

### Baldintza beharrezkoak eta nahikoak 
Ikusi dugunez, A \Rightarrow B egia izateko, A egia bada B derrigorrez egia izan behar du. Horregatik, A gertatzea nahikoa da B ere gertatzeko; beraz, A B-ren baldintza nahikoa da. Bestalde, B ez bada gertatzen A ez da gertatuko; hortaz, B A-rentzako baldintza beharrezkoa da. Hala ere, inplikazio egia izan daiteke nahiz eta A gezurra izan eta B egia, ondorioz B ez da A-rentzako baldintza nahikoa izango. Gainera, B-k gertatzea ez du ziurtatzen A gertatuko denik; beraz, A ez da B-ren baldintza beharrezkoa. 

Baliteke A \Rightarrow B eta B \Rightarrow A aldi berean betetzea; hau da, A B-rentzako baldintza beharrezkoa eta nahikoa izatea. Kasu horietan, A eta B enuntziatuak baliokideak direla esaten da eta bi aukera bakarrik daude: bi enuntziatuak egia izatea edo biak gezurra. Baliokidetasuna horrela adierazten da:

(A \Leftrightarrow B)\Longleftrightarrow ((A\Rightarrow B)\land(B\Rightarrow A) )

Hau da, A-k B inplikatu behar du, baina, gainera, *kontrako inplikazioa* ere egia izan behar du (B-k A inplikatzea).

## Inplikazioak frogatzeko zenbait metodo 
Inplikazio bat gezurtatzeko, enuntziatu horren *kontraadibide* bat aurkitu behar da; hau da, A(x)\land \rceil B(x) betetzen duen elementua. Ordea, inplikazio bat baieztatu nahi dugunean, orokorki frogatu behar dugu. Frogapena aurrera eramateko ez dago bide zehatzik, baina hainbat metodo existitzen dira prozesuan erabilgarriak izaten direnak. 

### Inplikazio kateak 
Gure helburua A \Rightarrow B inplikazioa egia dela frogatzea da. Metodo hau erabilita, nahi adina enuntziatu tartekatzean datza.

Enuntziatu bat gehituz: A \Rightarrow C eta C \Rightarrow B bada, orduan {\displaystyle A\Rightarrow B} da.

Esan bezala, nahi bezain luzeak diren kateak osa ditzakegu: A \Rightarrow C1  \Rightarrow  ... \Rightarrow\ Cn \Rightarrow B

Esate baterako, \forall x \in R, 0\leq x \leq 2 \Longrightarrow -x^3 +4x+1=0 inplikazio hau frogatuko dugu.

Hortaz, adibidean, R(x) = -x^3 +4x=0 izango litzateke. Behin P \Longrightarrow R frogatuta, Q = -x^3 +4x +1=0 frogatu beharko litzateke, besterik ez. Orduan, P \Longrightarrow R eta R \Longrightarrow Q moduan frogatzea errazagoa da.

### Kontrajartzearen metodoa 
Gure helburua A \Rightarrow B inplikazioa egia dela frogatzea da. Metodo honetan oinarrituz, A-k B inplikatzen duen kontrajarriaren ukapena frogatu behar da: \urcorner B\land \urcorner A.

Adibidez, \existsn\in   \N   non   n  bikoitia \Longrightarrow n^2 bikoitia den  izanik,

Hori dela eta, n  bikoitia\Longrightarrow n^2 bikoitia frogatu beharrean,  n^2 bakoitia \Longrightarrow n  bakoitia dela frogatuko genuke.

### Kontraesanaren bidezko froga 
Metodo hau *absurdura eramanez* izenarekin ere ezagutzen da eta dioenez, A \Rightarrow B inplikazioa egia dela frogatzeko A\land \rceil B enuntziatutik abiatu behar gara *kontraesan* batera heldu arte. Kontraesana absurdua izango denez, ezinezkoa izango da A\land \rceil B egia izatea; beraz, hasierako inplikazio egia izan beharko du.

### Indukzio bidezko froga 
Aurreko metodoetan arrazonamendu deduktiboa erabiltzen da; hau da, enuntziatu bat egia dela suposatuz beste bat egia dela frogatzea. Honetan, aldiz, arrazonamendu induktiboa erabiltzen da; alegia, zerbait behin eta berriz gertatzen ada, beti egia dela ondorioztatzea. Bi printzipio induktibo ezberdintzen dira:

#### Indukzio matematikoaren printzipioa 
Zenbaki arrunten (Peanoren axiomak jarraituz osatutako multzoa) enuntziatuak zenbaki arrunt guztietarako betetzen direla frogatzeko balio du. 

Demagun P(n) enuntziatua egia dela n\geqno guztietarako, ondoko baldintzan betetzen badira:

# P(no) egia dela
# P(k) egia bada, P(k+1) ere egia dela k\geqno guztietarako

#### Indukzio sendoaren printzioa 
Batzuetan indukzio matematikoaren printzipioaren bigarren pausua frogatzea ezinezkoa izan daiteke. Kasu horietan, horren ordez indukzio sendoaren printzioa aplikatzen da. 

Demagun P(n) enuntziatua egia dela no\geqn guztietarako, baldin eta:

# P(no) egia bada
# P(k) egia bada k\geqno guztietarako, P(k+1) ere egia bada k\geqno guztietarako

## Erreferentziak 
## Ikus, gainera 
* Enuntziatu
* Beharrezkotasuna eta nahikotasuna
* Arrazoibide deduktibo
* Arrazoibide induktibo

## Kanpo estekak 
* https://egela.ehu.eus/pluginfile.php/4756597/mod_resource/content/7/1.gaia_teoria.pdf