Bigarren mailako ekuazio

thumb|**Bigarren mailako ekuazioak** ulertzeko bideoa.
thumb|250px|eskuinera|Gorputzen erorketa mugimenduetan, lurrera heldu arte igaroko den denbora kalkulatzeko, **bigarren mailako ekuazio** bat ebatzi behar da.

Matematikan, aldagai bakarreko **bigarren mailako ekuazioa** edo **ekuazio koadratikoa** , era osoan, honela adierazten den aldagai bakarreko ekuazio polinomiko bat da:

:ax^2 + bx + c = 0\;

Ekuazioa ebaztean, *ezezaguna* den *x* aldagaiaren balioa zehaztea da helburua, hau da, ekuazioaren *erroak* edo soluzioak ateratzea, *a*, *b* eta *c* zenbakizko konstanteak izanik. Konstante hauei *koefiziente* deritze. Definizioz, bigarren mailako ekuazioan *a* ≠ 0 bete behar da, bestela lehenengo mailako ekuazio bat izango bailitzateke. *a=1* betetzen denean, *x2+bx+c=0* ekuazioetan alegia, ekuazio koadratikoa *monikoa* dela esaten da .

Bigarren mailako ekuazio osatugabeak ere badaude , baina agertzen ez diren koefizienteak 0 bihurtuz aise aldatzen dira adierazpen orokorrera:

:ax^2 + c = 0\;
:ax^2 + bx = 0\;
:ax^2 = 0\;

Bigarren mailako ekuazioek aplikazio zabalak dituzte zientzian, hala-nola fisikan, azeleraziozko mugimenduen aztertzeko  :

* Diskriminatzailea positiboa bada, bi soluzioak zenbaki erreal dira. Diskriminatzailea zenbaki karratu edo karratu perfektua bada, bi soluzioak zenbaki arrazionalak direla egiaztatzen da.
* Diskriminatzailea 0 bada, soluzioa bakarra da eta gainera zenbaki erreala: x=\frac{-b}{2a}\,.
* Diskriminatzailea negatiboa bada, ez dago erro errealik eta bi soluzioak zenbaki konplexuak dira eta bata bestearen zenbaki konplexu konjugatu dira.

thumb|erdian|200px|Diskriminatzailearen zeinua zein den, bigarren mailako ekuazioaren erroen kopurua eta izaera ezberdina da:■ &lt;0: *x*2+1⁄2■ =0: −4⁄3*x*2+4⁄3*x*−1⁄3■ &gt;0: 3⁄2*x*2+1⁄2*x*−4⁄3

## Ebazpena osatu gabeko ekuazioetan 
Ebazpen orokorrak baliozkoa da osatu gabeko ekuazioetarako, agertzen ez diren koefizienteak 0 bihurtuz. Dena den, ekuazio hauetarako ebazpen bereziak ere eman daitezke :

* ax^2 + c = 0\; motako ekuazioaren erroak hauek dira:
::x=\pm\sqrt{\frac{-c}{a}}.\,
* ax^2 + bx = 0\; motako ekuazioaren erroak hauek dira:
::x=0\ ,\ x=\frac{-b}{a}.\,
* ax^2 = 0\; motako ekuazioaren erroa hau da: x=0\,.

## Faktorizazioa 
Bigarren mailako ekuazio bat ebatzita, bi soluzioak hartzen badira (ikus Ebazpena, artikulu honetan bertan), honela faktoriza daiteke ekuazioa:

:ax^2+bx+c=\left(x-\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}\right)\left(x-\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}\right)=0

Soluzioa bakarra bada, honela faktorizatzen da:

:ax^2+bx+c=\left(x-\frac{-b}{2a}\right)^2=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=0

Osatu gabeko ekuazioak honela faktorizatzen dira:

* ax^2 + c = \left(x-\sqrt{\frac{-c}{a}}\right)\left(x+\sqrt{\frac{-c}{a}}\right),
* ax^2 + bx = x(x+\frac{b}{a})\;,
* ax^2 = ax \cdot x= 0\;.

## Maila handiagoko ekuazioak 
ax^{2n}+bx^n+c=0\, motako ekuazioak (n=2,3,\ldots)\, bigarren mailako ekuazioen ebazpena erabiliz ebaz daitezke, u=x^n\, aldagai aldaketa baten bitartez. Adibidez, ax^4+bx^2+c=0\, ekuazio bikoadratikoa honela ebazten da:

:u=x^2\,\rightarrow au^2+bu+c=0

Bigarren mailako ekuazioko u\, askatuz:

:u = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}.

Eta aldagai aldaketa deseginez:

:x=\pm\sqrt{u} = \pm\sqrt{\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}}.

Hori horrela, ekuazio bikoadratikoak lau soluzio ezberdin ditu.

## Ekuazio irrazionalak 
Ekuazio irrazionaletan ezezaguna errokizun baten barnean agertzen da, besteak beste. Batzuetan, berreketak eginez, bigarren mailako ekuazio batera heltzen da. Adibidez,

:ax+n\sqrt{bx+c}=d

Erroketa isolatuz eta karratua kalkulatuz, bigarren mailako ekuazio batera heltzen da:

:(n\sqrt{bx+c})^2=(d-ax)^2
:a^2x^2-(2da-n^2b)x+(d^2-cn^2)=0\,

Ebazpena ohizko formulaz egiten da.

## Ebazpen metodoak 
### Karratuaren osaketa 
Karratuaren osaketa delako teknika aljebraikoaz, ax^2+bx+c\, trinomioa (x-m)^2+n\, erako adierazpenaz ordezten da. Horrela, x\, ezezaguna aise bakantzen da.

*  ax^2 + bx + c = 0 \, ekuaziotik abiatuz, *a* koefizienteaz zatitzen da lehendabizi:

:: x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 

:: x^2 + \frac{b}{a}x = - \frac{c}{a} 

* Trinomio karratu perfektoa sortzeko ezker aldean, \left(\frac{b}{2a} \right)^2 konstantea gehitzen ekuazioaren alde bietan:

:: x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a} \right)^2 = \left(\frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{c}{a}  

:: \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} 

:: \left(x + \frac{b}{2a} \right )^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2} 

* Erro karratua hartuz alde bietan eta gaiak lekuz aldatuz, ekuazioaren soluziora heltzen da:

:: x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt { \frac{b^2-4ac}{4a^2} } 

:: x + \frac{b}{2a} = \pm \frac { \sqrt{b^2 - 4ac} }{ \sqrt{(2a)^2} } 

:: x + \frac{b}{2a} = \pm \frac { \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a } 

:: x = - \frac{b}{2a} \pm \frac { \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a } 

:: x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a } 

## Koefizienteen eta erroen arteko erlazioak 
ax^2+bx+c=0\, ekuazioko a,\ b,\ c\, koefizienteen eta ekuazioaren x_1,\ x_2\, erro edo soluzioen artean berdintza erlazio hauek egiaztatzen dira, Vièteren formulei esker:

x_1 + x_2 = -\frac ba \quad \quad x_1x_2 = \frac ca

Erlazio hauek honela froga daitezke:

:ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)= ax^2 -ax(x_1 + x_2) +ax_1x_2\, 

Beraz,

:-a(x_1 + x_2)=b \quad ; \quad ax_1x_2 = c

Eta, azkenik,

:x_1 + x_2 = -\frac ba \quad ; \quad x_1x_2 = \frac ca

## Ebazpenerako formula alternatibo bat 
ax^2+bx+c=0\, ekuazioa x^2\, monomioaz zatituz hasiera batean, ebazpenerako beste formula bat lortzen da, karratuaren osaketa garatuz:

\begin{align}
ax^2+bx+c &= 0\\
c\frac{1}{x^2}+b\frac1x+a&= 0\\
c\left(\frac1x+\frac{b}{2c}\right)^2-c\frac{b^2}{4c^2}+a &= 0\\
c\left(\frac1x+\frac{b}{2c}\right)^2 &= \frac{b^2-4ac}{4c}\\
\frac1x+\frac{b}{2c} &= \pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4c^2}}\\
\frac1x&=-\frac{b}{2c}\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4c^2}}.
\end{align}

Eta azken berdintzatik bigarren mailako ekuazioaren erroen formula alternatiboa lortzen da:

:x=\frac{2c}{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}.

## left|24px Ariketak 

Fitxategi:Bigarren mailako ekuazio ez osoak ebazten  Azalpena  4 DBH.webm|thumbtime=3|**Bigarren mailako ekuazio** baten ebazpena lantzeko ariketa.
Fitxategi:Bigarren mailako ekuazioak ebazten  Ariketa  4 DBH.webm|thumbtime=3|**Bigarren mailako ekuazioak** ulertzeko bideoa.
Fitxategi:Bigarren mailako ekuazio osoak ebazten  Ariketa  4 DBH.webm|thumbtime=3|**Bigarren mailako ekuazio** baten ebazpena lantzeko ariketa II.
Fitxategi:Bigarren mailako ekuazioen soluzio kopurua Diskriminatzailea.webm|thumbtime=3|**Bigarren mailako ekuazioaren** soluzio kopurua kalkulatzea diskriminatzailea erabilita.
Fitxategi:Bigarren mailako funtzioak Irudikapen grafikoa- Erpina.webm|thumbtime=3|**Bigarren mailako funtzioak** irudikapen grafikoa: erpina.
Fitxategi:Bigarren mailako funtzioak Irudikapen grafikoa- Erpina II.webm|thumbtime=3|**Bigarren mailako funtzioak** irudikapen grafikoa: Erpina II.
Fitxategi:Bigarren mailako funtzioak Irudikapen grafikoa- ©.webm|thumbtime=3|**Bigarren mailako funtzioak** irudikapen grafikoa: ©.
Fitxategi:Bigarren mailako funtzioak Irudikapen grafikoa- Ebakitze puntuak.webm|thumbtime=3|**Bigarren mailako funtzioak** irudikapen grafikoa: ebakitze puntua..

## Erreferentziak 
## Kanpo estekak