Jaiotza-heriotza prozesu

**Jaiotza-heriotza prozesuak** denbora jarraituko Markov kateen kasu berezi bat dira, non egoera trantsizioak bakarrik bi motakoak izan daitezkeen: jaiotzea, egoera aldagaiari bata gehitzen diona, eta heriotza, egoera batean gutxitzen duena. Ereduaren izena aplikazio arrunt batetik dator: populazioaren uneko tamaina adierazteko ereduetan erabiliak dira, non trantsizioak literalki jaiotzak eta heriotzak diren. Jaiotza-heriotza prozesuek aplikazio asko dituzte demografian, ilara-teorian, errendimendu ingeniaritzan, epidemiologian edo biologian. Adibidez, bakterioen eboluzioa, populazioko zenbat pertsonak duten gaixotasun bat edo supermerkatu bateko ilaran zenbat erosle egongo diren aztertzeko.  

Jaiotze bat ematen denean prozesua n egoeratik n+1 egoerara pasatzen da. Heriotza gertatzean berriz, prozesua n egoeratik n-1 egoerara pasatzen da. Prozesua \{\lambda_i\} \ {i=0,\dots,\infty} jaiotza tasa eta \{\mu_i\}_ \ {i=1,\dots,\infty} heriotza tasekin zehazten da.

## Sarrera 
erdian|frame|Jaiotza-heriotza prozesuen egoera diagrama
Jaiotza-heriotza prozesu bat **jaiotza prozesu puru**a da baldin eta \mu_{i} = 0 i \ge 0 guztietarako.

Jaiotza-heriotza prozesu bat **heriotza prozesu puru**a izango da baldin eta \lambda_{i} = 0 i \ge 0  guztietarako.

Poisson prozesu bat jaiotza prozesu purua izango da \lambda_{i} = \lambda denean i \ge 0 guztietarako.

M/M/1 eta M/M/C ereduak, biak ilara-teorian erabiliak, ilara infinitu bateko bezeroak deskribatzeko jaiotza-heriotza prozesuak dira.

\Delta t denbora tarte txikian, hiru motako trantsizioak bakarrik dira posible: heriotza bat, jaiotza bat edo ez jaiotza ez heriotzarik. Jaiotza tasa (denbora unitatean) \lambda bada eta heriotza tasa \mu, orduan trantsizio horien probabilitateak hauek dira, hurrenez hurren: \lambda \Delta t, \mu \Delta t, eta 1 - (\lambda + \mu
) \Delta t.

## Erabilera Ilara-teorian 
Ilara-teorian jaiotza-heriotza prozesua da ilara ereduaren oinarrizko adibidea, *M/M/C/K/∞/FIFO* ilara Kendallen notazioan. Honek adierazten du ilararen etorrerak Poisson prozesuaren araberakoak direla, populazio infinitu batetik, bere zerbitzu denborek banaketa esponentziala jarraitzen duten *C* zerbitzari eta *K* toki daudela ilaran. Nahiz eta populazio infinitua izango dela onartu, eredu hau ona da telekomunikazio sistema hainbatentzat. Banaketa esponentzialean kopuruen arteko independentzia dagoenean, denborak infinituraino askeak izango dira trantsizioei buruz.

### M/M/1 ilara 
thumb|288x288px|M/M/1 ilara sistema
Zerbitzari bakarra egongo da tamaina infinituko bufferrarekin. Ausazkoa ez den ingurunean jaiotza-heriotza prozesuak ilara ereduan batezbeste epe luzekoak dira, beraz batezbesteko etorrera tasa \lambda moduan ematen da eta batezbesteko zerbitzu denbora 1/\mu bezala. Jaiotze-heriotza prozesu bat *M/M/1* ilara da baldin eta,

\lambda_{i}=\lambda\text{  eta  }\mu_{i}=\mu \quad i \text{ guztietarako}. \, 

Sistema *t* denboran *k* egoeran izateko probabilitatearen funtzio errekurtsiboa hau da:

p_0^\prime(t)=\mu_1 p_1(t)-\lambda_0 p_0(t) \, 

p_k^\prime(t)=\lambda_{k-1} p_{k-1}(t)+\mu_{k+1} p_{k+1}(t)-(\lambda_k +\mu_k) p_k(t) \, 

### M/M/C ilara 
thumb|281x281px|M/M/C ilara sistema
Zerbitzari anitzeko ilarak buffer infinitua du *C* zerbitzariekin. *M/M/1* ilararekin alderatuz, desberdintza bakarra zerbitzu denbora da orain honelakoa izanik

\mu_i = i\mu \quad 0 

eta

\mu_i = C\mu \quad i\geq C \text{ izanik }\, 

non

\lambda_i = \lambda \quad i \text{ guztietarako}. \, 

### M/M/1/K ilara 
Zerbitzari bakarra eta *K* tamainako bufferra (finitua) duen ilara da. Ilara mota hau telekomunikazioetan erabiltzen da, baita ere biologian populazioaren tamaina mugatuta dagoenean. Telekomunikazioetan berriro ere erabiltzen dira *M/M/1* ilararen parametroak

\lambda_i = \lambda\text{ baldin }0 \leq i 

\lambda_i=0\text{ baldin }i\geq K \, 

\mu_i=\mu\text{ non }1 \leq i \leq K. \, 

Biologian, batez ere bakterioen hazkundearen analisian, populazioa zero denean ez dagoenez hazteko gaitasuna,

\lambda_0=0. \, 

Gainera, *K*-k populazioaren limitea adierazten badu, non hortik aurrera bakterioen populazioaren soberakina hil egiten den

\mu_K = 0. \, 

Probabilitatearen funtzio errekurtsiboa sistema *k* egoeran izateko *t* unean

p_0^\prime(t)=\mu_1 p_1(t)-\lambda_0 p_0(t)

p_k^\prime(t)=\lambda_{k-1} p_{k-1}(t)+\mu_{k+1} p_{k+1}(t)-(\lambda_k +\mu_k) p_k(t)\text{ baldin }k \leq K \, 

p_k^\prime(t)=0\text{ baldin }k > K \, 

## Oreka 
Ilara bat orekan dagoela esaten da baldin eta \lim_{t \to \infty}p_k(t) existitzen bada. Horretarako p'_k(t) = 0 izan behar da.

*M/M/1* ilara adibide moduan erabiliz, egoera egonkorraren ekuazioak hauek dira:

\lambda_0 p_0(t)=\mu_1 p_1(t) \, 

(\lambda_k +\mu_k) p_k(t)=\lambda_{k-1} p_{k-1}(t)+\mu_{k+1} p_{k+1}(t) \, 

\lambda_k=\lambda eta \mu_k=\mu baldin badira k guztietarako orduan ekuazioen kasu homogeneoan gaude eta honela laburtu daitezke:

\lambda p_k(t)=\mu p_{k+1}(t)\text{ non }k\geq 0. \, 

## Ikus, gainera 
* Ilara-teoria
* Markov kate
* Prozesu estokastiko

## Bibliografia 
* R. Jain. *The Art Of Computer Systems Perfomance Analysis.* 1. edizioa. 31. kapitulua: *Analysis of a Single Queue*; WILEY, 1991.
* G. Latouche, V. Ramaswami. *Introduction to Matrix Analytic Methods in Stochastic Modelling*, 1. edizioa. 1. kapitulua: *Quasi-Birth-and-Death Processes*; ASA SIAM, 1999.
* M. A. Nowak. *Evolutionary Dynamics: Exploring the Equations of Life*, Harvard University Press, 2006.
* K. S. Trivedi. *Probability and Statistics with Reliability, Queuing and Computer Science Applications,* 2. edizioa. 8. kapitulua: *Continuous-Time Markov Chains*; WILEY, 2002.
* J. Virtamo,"Birth-death processes"[http://www.netlab.tkk.fi/opetus/s383143/kalvot/E_bdpros.pdf ], 38.3143 Queueing Theory.

## Kanpo estekak