Koaternioi

**Koaternioiak** zenbaki konplexuen hedadura dira. Koaternioien multzoak, \mathbf{H} multzoak, lau dimentsioetako bektore espazioa osatzen du, multzo hau \mathbf{R}^4 multzoarekin identifika daiteke, alegia, errealen gaineko 4 dimentsioetako bektore espazioa osatzen dute. Bi elementuren arteko batuketaren definizioa \mathbf{R}^4 espazioko elementuen batuketaren bera da. Koaternioi bati zenbaki erreal bat biderkatzeko ere \mathbf{R}^4 espazioko elementuei eskalarra biderkatzea bezala definitzen da. Bi koaternioi biderkatzeko, ordea, bektore espazioko oinarria behar dugu, oinarriko lau bektoreak behar dira, lau elementu horiek 1, *i*, *j*, eta *k* izenez ezagutzen dira normalean. Eta oinarri hori erabiliz parekatzen dira koaternioien multzoa eta \mathbf{R}^4, hau da, edozein koaternioi *a*1 + *bi* + *cj* + *dk* konbinazio linealaren bidez adieraz daiteke, non a, b, c eta d zenbaki errealak diren eta **1, i**, **j** eta ***k*** oinarrizko koaternioiak diren. Oinarri horretako lehen elementua, **1** elementua, elementu neutroa da eta edozein elementuri **1** elementua biderkatzean elementua ez da aldatzen.

Koaternioien oinarriko beste elementuen arteko biderketek baldintza hauek betetzen dituzte:

\mathbf{i i = j j = k k = i j k = -1}.

Baldintza hauetatik beste batzuk ondoriozta daitezke, esate baterako, **ijk=-1** ekuazioari bi aldeetan ***k*** biderkatuz **ijkk =-1k** lortuko genuke, baina **kk =-1** denez, **-ij =-k** bezala adieraz genezake, edo beste era batera, **ij = k**.

Laburbilduta, biderketa-taula hau betetzen dute:

Aipatzekoa da biderketa ez dela trukakorra. Banakortasun legeari esker bi koaternioiren arteko biderketa oinarrizko koaternioien arteko biderketen bidez adieraz daiteke. Biderketaren hedapenak honako espresioa ematen digu:

*(a*1 + *b*1*i* + *c*1*j* + *d*1*k* ).(*a*2 + *b*2*i* + *c*2*j* + *d*2*k*) =

*a*1 *a*2 + *a*1 *b*2*i* + *a*1*c*2*j* + *a*1 *d*2*k + b1a2i + b1b2ii + b1c2ij + b1d2ik + *c1a2j + c1b2ji + c1c2jj + c1d2jk + d1a2k + d1b2ki + d1c2kj + d1d2kk

Oinarriko elementuen biderketak aplikatuz,

*a*1 *a*2 - *b1b2 - c1c2 - d1d2 +* *a*1 *b*2*i* + *b1a2i +* c1d2i - *d1c2i * + *a*1*c*2*j* *+ *c1a2j *- b1d2*j + d1b2j + *a*1 *d*2*k + d1a2k + b1c2k *- c1b2k

azkenik, elkartze-legeari esker, biderketari dagokion koaternioia honako konbinazio linealak adierazten du:

*(a*1 *a*2 - *(b1b2 + c1c2 + d1d2)) **1** +* (*a*1 *b*2 + *b1a2 +* c1d2 - *d1c2) **i** * + (*a*1*c*2 *+ *c1a2 *- b1d2* + d1b2) **j** + (*a*1 *d*2 *+ d1a2 + b1c2 *- c1b2) **k**

Hainbatetan koaternioiak adierazteko eskalar bat eta bektore bat erabiltzen dira, alegia,

q = (r,\ \vec{v}),\ q\in\mathbf{H},\ r\in\mathbf{R},\ \vec{v}\in\mathbf{R}^3

Adierazpide horrekin batuketa eta biderketa honela adieraz daitezke:

 (r_1,\ \vec{v}_1) + (r_2,\ \vec{v}_2) = (r_1 + r_2,\ \vec{v}_1+\vec{v}_2)

eta

(r_1,\ \vec{v}_1) (r_2,\ \vec{v}_2) = (r_1 r_2 - \vec{v}_1\cdot\vec{v}_2, r_1\vec{v}_2+r_2\vec{v}_1 + \vec{v}_1\times\vec{v}_2)

non "**·**" biderketa eskalarra den eta and "**×**" bektore biderketa den.

q koaternioiaren norma honela definitzen da:

:\mathbf{|q| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}}

Koaternioien biderketak elkartze-legea eta banatze-legea betetzen ditu, baina ez trukatze-legea. Koaternioiek, batuketarekin eta biderketarekin, osatzen duten egitura aljebraikoa zatiketa duen eraztuna da.

## Kanpo estekak