Keplerren legeak

thumb|thumbtime=71|**Keplerren legeak** ulertzeko bideoa.
**Keplerren legeak** Johannes Keplerek eguzkiaren inguruan planeten orbitak azaltzeko enuntziatu zituen. Tycho Brahe astronomo daniarrak egindako behaketak erabiliz atera zituen lege hauek.

Keplerren legeak Newtonen grabitazioaren legearen eta mugimendu legeen konsekuentzia bezala ikusi daitekeen arren, egiatan alderantziz izan zen. Keplerrek behaketen eredu matematiko bat eman zuen, gero Newtonek interpretatu zituenak kalkulua eta fisika erabiliz.

## Lehenengo legea 
150px|Lehenengo legea
*Planeta guztiak Eguzkiaren inguruan higitzen dira, orbita eliptikoak eginez. Eguzkia elipsearen bi fokuetako batean dago.*

## Bigarren legea 
150px|Bigarren legea
*Planetatik Eguzkira doan irudizko lerroak azalera berdina estaltzen du denbora-tarte berdinean.*

Perihelioan, eguzkira distantzia txikiagoa denez, abiadura handiagoa izan behar da azalera berdina ekortzeko, eta afelioan, distantzia handiagoa denez, abiadura txikiagoa izango da.

## Hirugarren legea 
150px|Bigarren legea
*Planetak orbita osatzeko behar duen periodoaren karratua, Eguzkirako batez besteko distantziaren kuboarekiko proportzionala da.*

T^2 \propto a^3

non,

* T \;: planetaren orbita-periodoa
* a \;: Eguzkirainoko distantzia

thumb|thumbtime=71|**Keplerren hirugarren legea** ulertzeko bideoa.
Honek bi planeten periodoak erlazionatzen ditu, eguzkira distantziaren arabera, biak proportzionalak direlako: T1 eta T2 planeten periodoak badira, eta a1 eta a2 ardatzerdi nagusiak, bien arteko erlazioa honako hau da:

 \left ( \frac{T_1}{T_2}\right)^2 = \left ( \frac{a_1}{a_2}\right)^3 

## Newtonen legeekin lotura 
Keplerrek, zuezkan datuekin, erlazioak aurkitu zituen, baina ez zekien zergatik ziren horrela. Mende erdi geroago, Newtonek aurkitu zuen azalpena, beraren legeen bidez.

### Lehenengo legea 
Newtonek esan zuenez, objektu batek beste bat erakartzen du bien arteko irudizko lerroan zehar, masari proportzionala eta distantziaren karratuari alderantziz proportzionala den indarrez. Azelerazioa, beraz, erradio-bektoreari paraleloa da:

 \vec{a} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = f(r)\vec{u_r}. (1)

Koordenatu polarrak erabiliz, zinematikan abiadurak eta azelerazioak hurrengo itxura hartzen dute:

\frac{d\vec{r}}{dt} = \dot{r} \vec{u_r} + r \dot{\theta} \vec{u_\theta}

\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = (\ddot{r} - r {\dot{\theta}}^2) \vec{u_r} + (r\ddot\theta + 2\dot r \dot\theta) \vec{u_\theta}

Azken ekuazio hau (1) ekuazioarekin berdinduz:

:\ddot{r} - r \dot{\theta}^2 = f(r)  (2)

:r \ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta} = 0

Bigarren ekuazioa txukunduz,

:r \frac{d\dot{\theta}}{dt} + 2\frac{dr}{dt} \dot{\theta} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{d\dot{\theta}}{\dot\theta} = -2\frac{dr}{r}

ekuazio diferentzial bat gelditzen zaigu. Ekuazio hau ebaztuz:

:\log \dot\theta = -2 \log r + \log h \quad\Rightarrow\quad \log h = \log r^2 + \log\dot\theta \quad\Rightarrow\quad h = r^2 \dot\theta = kte.

h\, konstantea aurkitzen dugu, integrazio konstantea baitzen. Konstante hau momentu angeluar espezifikoa da.

Orain aldagai aldaketa bat egingo dugu, *r = 1/u*, eta horren menpe azelerazioa kalkulatu:

:r = \frac {1}{u} (3)

:\dot r = \frac{dr}{du}\frac{du}{d\theta}\frac{d\theta}{dt} = -\frac{1}{u^2}\dot\theta\frac{du}{d\theta} = -h\frac{du}{d\theta}

:\ddot r = -h \frac{d}{dt} \left ( \frac{du}{d\theta} \right ) = -h\dot\theta\frac{d^2 u}{d\theta^2} = -h^2 u^2 \frac{d^2 u}{d\theta^2} (4)

Newtonen grabitazioaren legetik dakigunez, indar espezifikoa hurrengoa da:

: f \left ( \frac{1}{u} \right ) = f(r) = - \frac{GM}{r^2} = - GMu^2 (5)

Ondorioz, (2) ekuazioan (3), (4) eta (5) sartuz, hurrengoa gelditzen da:

:: -h^2 u^2 \frac{d^2 u}{d\theta^2}\ -\ h^2 u^3 = f(r) \quad\Rightarrow\quad \frac{d^2 u}{d\theta^2}\ +\ u = -\frac{1}{h^2 u^2} f \left ( \frac{1}{u} \right ) \quad\Rightarrow\quad \frac{d^2 u}{d\theta^2}\ +\ u = \frac{GM}{h^2}

Hau ekuazio diferentzial bat da, soluzio orokorra

::: u = \frac{GM}{h^2} \bigg[ 1 + e\cos(\theta - \theta_0) \bigg] 

duena.

Azkenik, θ0=0 hartuz, eta aldagai aldaketa deseginez, erradioaren formula daukago angeluaren menpe:

:::: r = \frac{1}{u} = \frac{h^2 / GM}{1 + e\cos\theta}

Ekuazio hau konika batena da, *e* eszentrikotasuna eta jatorria foku batean dituenak. Beraz, ikusten denez, lehenengo legea Newtonen mugimendu eta grabitazio legeetatik atera daiteke.

### Bigarren legea 
Definizioz, *m* masa eta *v* abiadura duen objektu baten momentu angeluarra, *L*,

\vec{L} \equiv \vec{r} \wedge \vec{p} = \vec{r} \wedge (m\vec{v}) = \vec{r} \wedge m\frac{d\vec{r}}{dt} da.

Momentu angeluarra deribatuz:

\frac{d\vec{L}}{dt} = (\vec{r} \wedge m\frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}) + \left ( \frac{d\vec{r}}{dt} \wedge m\frac{d\vec{r}}{dt} \right ) = (\vec{r} \wedge \vec{F}) + (\vec{v} \wedge \vec{p}) = 0  da,

indarra, lehen esan bezala, erradioari paraleloa delako, baita *v* abiadura eta *p* higidura-kantitatea (*p = mv*), eta bi bektore paraleloren arteko biderketa bektoriala 0 da. Beraz,

|\vec{L}| = kte.

Bere mugimenduan planeta batek ekortutako azalera *r* eta *dr* bektoreek osatzen duten paralelogramoaren erdia da, eta hortik azalera-abiadura atera dezakegu:

dA = \frac{1}{2} |\vec{r} \wedge d\vec{r}| = \frac{1}{2} \left| \vec{r} \wedge \frac{d\vec{r}}{dt} dt \right| = \frac{2m} dt \Longrightarrow v_{az} = \frac{dA}{dt} = \frac{2m} = \frac{2} 

Ikusi denez, *L* konstantea da, baita *m* ere, beraz abiadura ere konstantea izango da.

=== Hirugarren legea === cacot
eskuinera|200px

Momentu angeluar espezifikoak, *h*, honakoak betetzen ditu:

 \vec{h} = \vec{r} \wedge \vec{v} = \frac{\vec{L}}{m} = kte. 

Orbita eliptiko baten, ardatzerdi nagusiari *a* deituaz eta txikiari *b*, erlazio hauek betetzen dituzte, orbitaren ekuaziotik ateratzen direnak:

 a = \frac{h^2}{GM(1-e^2)} \quad;\quad b = \frac{h^2}{GM\sqrt{1-e^2}} \quad\Longrightarrow\quad b = \frac{h}{\sqrt{GM}}\sqrt{a}

Orain, *T* periodoa ateratzeko azalera-abiadura erabiliko dugu. Hau konstantea denez, periodoa azalera eta abiaduraren arteko zatiketa da:

 v_{az} = \frac{\pi a b}{T} = \frac{h}{2} \quad\Longrightarrow\quad T = \frac{2\pi a b}{h}

*b*, *a*-ren menpe dagoenez,

 T = \frac{2\pi a b}{h} = \frac{2\pi}{h}a\frac{h}{\sqrt{GM}}\sqrt{a} = \frac{2\pi}{\sqrt{GM}}a^{2 / 3}

Azkenik, karratua eginez, 3. legea daukagu:

 T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} a^3 

Esan beharra dago ekuazio hau objektuaren masa eguzkiarenaren aldean mespretxagarria denean bakarrik balio duela. Masa hau ez bada mespretxagarria, hurrengo itxura hartzen du:

 T^2 = \frac{4\pi^2}{G(M+m)} a^3 

## Zehaztasuna eta mugak 
Keplerren legeak, orbitatzen ari den objektuaren masa fokuan dagoen objektuaren masaren aldean mespretxagarria bada bakarrik dira zehatzak, eta bi objektu besterik ez direnean.

Newtonek lehenengo legea orokortu egin zuen, ihes-abiadura baino azkarrago mugitzen den objektu batek orbita irekia (parabolikoa edo hiperbolikoa) duela konturatu zenez. Orbitak ez dira, beraz, elipseak, baizik eta edozein konika. Bigarren legea baliogarria da orbita irekientzako, momentu angeluarra kontserbatzen delako, baina hirugarren legeak ez du zentzurik orbita ez delako periodikoa.

Keplerren legeek ez dute erlatibitatea kontuan hartzen, eta ondorioz ez dute ondo azaltzen Merkurioren prezesioa, adibidez. Izan ere, prezesio honen azalpena erlatibitatearen teoria orokorraren froga garrantzitsu bat izan zen haren hastapenetan.
## left|24px Ariketak 

Fitxategi:Kepler-en legeak Ariketa 4 DBH.webm|thumbtime=71|**Keplerren legeak** lantzeko ariketa I.
Fitxategi:Kepler-en legea Ariketa 4 DBH.webm|thumbtime=71|**Keplerren legeak** lantzeko ariketa II.

## Kanpo estekak