Sistema dinamiko

**Sistema dinamiko** bat sistema bat da denborarekin eboluzionatzen duena. Sistema fisikoak ez geldiuneko egoeran sistema dinamikoaren ereduak dira baina ere eredu ekonomiko, matematiko eta beste eredukoak ere sistema abstraktuak dira, era berean, sistema dinamikoak. Egoera horren jarrera adieraz daiteke sistemaren limiteak, elementuak eta haien arteko erlazioekin; modu honetan ebatzi daiteke sistema horren egitura adieraz nahi dutenak.

Sistemaren limiteak ebaztean, lehenengo, egoera horrek eragiten duten osagaiak bilatzen dira, eta gero azterketa egingo den lekua bilatzen da, garrantzirik gabeko datuak baztertuz.

## Kontuan izateko elementuak 
Eredu, elementu eta erlazio hauek ebaztean, kontuan hartu behar da:

* Sistema batek erlazioan dauden elementuekin osatuta dagoela
* Sistemaren jarrera ebatz daitekeela diagrama kasualen bidez
* Aldagai ugari daude: aldagai exogenoak (sisteman eragina daude baina hauek ez dute sortzen) eta aldagai endogenoak (sisteman eragina daude, hauek sortuta).

## Sistema dinamiko baten eredua 
Sistema dinamikoaren eredu bat ikus daiteke arrain espezie bat erreproduzitzen dela modu batean esan dezakegunean arrain kantitatea Xk dela, eta hurrengo urtean *X_{k+1}*. Horregatik izendatu dezakegu egongo den arrain kantitatea urte bakoitzean: hasierako urtean X0, lehenengo urtean X1…

Ikus dezakegunez: {\displaystyle x_{k+1}=f(x_{k})\,\!}, betetzen dela edozein k urterako; hau da, arrain kantitatea zehaztu dezakegu aurreko urteko arrain kantitatea jakin baldin badugu. Horrela, ekuazio hau adierazten du sistema dinamiko bat.

## Sistema dinamiko motak 
Sistema dinamikoak sistema disketuetan denbora eta jarraietan denboran zatitzen dira. Sistema dinamiko bat diskretua izango da denbora tarte txikietan neurtzen bada, erlazio errekurtsiboak izango direnak ekuazio hau adierazten duen bezala:

{\displaystyle x_{t+1}=ax_{t}(1-x_{t})\,\!}

non t denboraren pausu diskretuak adierazten ditu eta x honekin alda daitekeen aldagaia. Sistema dinamiko determinista orokor bat modelatu daiteke ekuazio abstraku batekin mota honetakoa:

Denbora modu jarraian neurtzen bada, sistema dinamiko jarrai erresultantea ekuazio diferentzial baten bidez adieraziko da:

{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=ax(1-x)}

non x denborarekin aldatuko den aldagaia izango da. x aldagaia orokorrean zenbaki erreal bat izango da, baina baita izan daiteke bektore bat Rk-n.

## Sistema linealak eta ez linealak 
Sistema dinamiko linealak eta sistema dinamiko ez linealak bereizten dira. Sistema linealetan, ekuazioaren bigarren identitatea forma linealarekiko dagoela, adibidez:

{\displaystyle x_{n+1}=3x_{n}\,\!}

Sistema lineal batentzat bi erantzun ezagutzen badira, bi hauen batuketa izango da ere erantzun bat. Hau superposizioaren printzipio bezala ezagutzen da ere. Orokorrean, espazio bektorial baten erantzunak algebra linealaren erabilera uzten dute, eta analisia simplifikatzen dute. Sistema lineal jarraientzat, Laplace-ren metodoa ere erabilita izan daiteke ekuazio difierentzial bat ekuazio algebraiko batean transformatzeko; modu berean sistema lineal diskretuentzat, Z metodo transformatua ere erabilita izan daiteke ekuazio diferentzial bat ekuazio algebraiko batean transformatzeko.

Sistema ez linealak aztertzeko askoz zailagoa izango da, eta askotan kaos bezala ezagutzen dugu fenomeno bat, eta fenomeno hauek ezin dira aurresan.

## Kanpo estekak