Zenbaki lehen

*Artikulu honetan zenbaki lehenak aurkezten dira, zenbaki osoetan. Eraztunen orokortasunerako, ikusi elementu lehen eta elementu irreduzible.*

Matematikan, **zenbaki lehena** 1 baino handiagoa den zenbaki arrunta da, bi zatitzaile positibo besterik ez duena: bera eta 1. Zenbaki konposatuak, berriz, zenbaki harexetaz eta 1az aparte, zatitzaile osoren bat duten zenbaki osoak dira; beraz, faktorizatu egin daitezke. Hitzarmenez, 1 zenbakia ez da ez lehentzat ez konposatutzat hartzen.

1000 zenbakia baino txikiago diren zenbaki lehenak hurrengoak dira:
thumb|337x337px|100 zenbakia baino txikiagoak diren zenbaki lehenak gorriz markatuta daude|ezkerrera
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991 eta 997.

1000 zenbakiaren ondorengo lehendabiziko zenbaki lehena 1009 da; 10.000 eta gero, 10.007; 100.000tik aurrera, 100.003, eta 1.000.000en hurrengoa, 1.000.003. Bestalde, gero eta zailagoa da zenbaki lehen bat aurkitzea: adibidez, orain arteko azkena 2^{77.232.917}-1  da, 24.862.048 zifraz osatua.
thumb|282x282px|400 zenbakira arte zenbaki lehenen (marra urdinak) banaketa
Zenbakien teoria aljebraikoan, zenbaki lehenei zenbaki *arrazional lehenak* esaten zaie, zenbaki gaussiar lehenenetatik bereizteko. Zenbaki lehenak izatea ez dago zenbaki-sistemaren menpe, baina bai, ordea, aztertzen den eraztunaren menpe. Adibidez, 2 zenbaki lehen arrazionala da; hala ere, zenbaki gaussiar osoa bezala faktoreak ditu: 2 = (1+i)*(1-i) .

Zenbaki lehenen azterketa zenbakien teoriaren zati garrantzitsu bat da. Berriz, zenbakien teoria, batez ere, zenbaki osoen propietate aritmetikoak ikertzen dituen matematikaren adarra da.

Zenbaki lehenak ehun urtetik gorako aieru batzuetan agertzen dira; hala nola, Riemannen hipotesia eta Goldbachen aierua, Harald Helfgottek bere forma ahulean ebatzi zuena.

Zenbaki lehenen banaketa zenbakien teoriaren ikerketa-gai errepikakorra da: zenbaki isolatuak kontuan hartuz gero, zenbaki lehenak probabilitatearen arabera banatuta daudela ematen du; baina, zenbaki lehenen banaketa "globala" ondo definitutako legeetara egokitzen da.

## *Bat* zenbakia ez da lehentzat hartzen 
XIX. mendera arte, matematikari gehienek zenbaki lehentzat hartzen zuten 1 zenbakia.

Haietako lan matematiko asko baliozkoak dira oraindik, nahiz eta 1 zenbaki lehentzat hartu, adibidez, Stern-en eta Zeisel-en lanak.  Derrick Norman Lehmerren zenbaki lehenen zerrenda, 10.006.721 zenbakira arte iristen  zena, 1956 urtera arte berrinprimatua, 1 zenbakia lehentzat hartuta hasten zen.

Gaur egun, matematika-komunitatea 1a zenbaki lehenen zerrendan kontuan ez hartzearen alde dago. Konbentzio horrek, adibidez, aritmetikaren oinarrizko teoremaren formulazio oso ekonomikoa ahalbidetzen du: “zenbaki arrunt orok adierazpide bakarra du faktore lehenen biderketaren emaitza gisa, ordena kontuan hartu gabe”.

Gainera, zenbaki lehenek propietate ugari dituzte, 1 zenbakiak betetzen ez dituenak, adibidez, zenbakiaren eta Eulerren funtzioari dagokion balioaren arteko erlazioa, edo baita funtzio zatitzailea ere. Horrez gain, edozein n arruntetarako, 1=1^n . Beraz, horrek dio 1 zenbakiak n faktore dituela.

## Propietateak 
### Aritmetikaren oinarrizko teorema 
thumb|219x219px|Irudi honetan ikus dezakegu 11 zenbaki lehena dela, baina 12 ez.
Aritmetikaren oinarrizko teoremaren arabera, zenbaki arrunt orok adierazpide bakarra du faktore lehenen biderkadura gisa, ordena izan ezik. Faktore lehen bera zenbait aldiz ager daiteke. (Hortaz, 1 zenbakia biderkadura huts gisa irudikatzen da.) Beraz, esan daiteke zenbaki lehenak edozein zenbaki arrunt eraikitzeko erabiltzen diren "adreiluak" direla. Adibidez, 23.244 zenbakia idatz daiteke 2^2*3*13*149  biderkadura gisa, eta 23.244 zenbakiaren beste edozein faktorizazio zenbaki lehenen biderkadura berdina izango da, faktoreen ordenagatik izan ezik.

Teorema horrek garrantzia du, 1 zenbaki lehentzat ez hartzeko arrazoietako bat delako: 1 lehentzat onartuko balitz, teoremaren enuntziatuak argibide gehiago beharko lituzke.

Zenbaki arruntek faktorizazio bakarra edukitzetik abiatuta, matematikan sarritan erabiltzen diren beste kontzeptu batzuk garatzen dira, hala nola, multiplo komunetako txikiena, zatitzaile komunetako handiena eta bi zenbaki (edo gehiago) elkarrekiko lehenak izatea.

* Bi zenbaki edo gehiagoren multiplo komunetako txikiena zenbaki horien guztien multiplo komunetatik txikiena da. Hori kalkulatzeko, zenbakiak faktore lehenetan deskonposatzen dira eta faktore komunak eta ez-komunak hartzen dira berretzaile maximoarekin. Adibidez, mkt(10,12) = 60.

10 = 2*5   eta 12=2^2*3 . Orduan, 60 = 2^2*3*5 

* Bi zenbaki edo gehiagoren zatitzaile komunetako handiena zenbaki horien guztien zatitzaile komunetatik zenbaki handiena da. Faktore komunen arteko biedrkadura da, beti ere gutxieneko berretzailea hartuta. Aurreko adibidearekin jarraituz, zkh(10,12) = 2.
* Bi zenbaki edo gehiago *elkarren artean* (edo *elkarrekiko*) *lehenak* dira (beraz, bata bestearekiko lehena da), faktore lehen komunik ez badute, hau da, zatitzaile komun maximoa 1 bada. Zenbaki lehen bat haren multiploa ez den beste edozein zenbaki arrunt elkarrekiko lehenak dira.

### Beste propietate batzuk 
* Zenbaki-sistema hamartarrean idatzitako idazketan, zenbaki lehen guztiek, 2 eta 5 izan ezik, unitateen zifra gisa hauetako bat dute: 1, 3, 7 edo 9. Oro har, edozein zenbaki-sistematan, zenbaki lehen guztiek, kopuru finitu bat izan ezik, oinarriarekin elkarrekiko lehen den zifra batean amaitzen dira.
* Aurrekotik ondorioztatzen da zenbaki lehen guztiak, 2 izan ezik, 4n+1 edo 4n+3 modukoak direla. Era berean, zenbaki lehen guztiak, 2 eta 3 izan ezik, 6n+1 edo 6n-1 modukoak dira.
* Progresio aritmetiko honetan: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, …, zenbaki lehenen kopuru infinitua dago, 4n-1 motakoa, non n osoa den.
* Progresio aritmetiko honetan: 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61, 67, …, zenbaki lehenen kopuru infinitua dago, 6k+1 motakoa, non k osoa den.
* *Euclides-en lema*: Izan bitez *p* zenbaki lehen bat, eta ab bi zenbaki osoren biderkadura. Baldin *p* zenbakia *ab* biderkaduraren zatitzailea bada, orduan *p* *a*-ren edo *b*-ren zatitzailea da.thumb|119x119px|Pierre de Fermat
* Fermat-en teorema txikia: Izan bitez *p* zenbaki lehen bat, eta a 1-en ezberdina den zenbaki arrunt bat. Orduan, a^p - a  *p*-rekin zatigarria da.
* *Wilsonen teorema*: *n*>1 den zenbaki arrunt bat zenbaki lehena da baldin eta soilik baldin (*n* - 1)! +1 faktoriala *n*-rekin zatigarria bada. Era berean, *n* > 4 den zenbaki arrunt bat konposatua da baldin eta soilik baldin (*n* - 1)! *n*-rekin zatigarria bada.
* Gorputz ororen karakteristika zero edo zenbaki lehena da.
* \Z / p\Z  eraztuna gorputz bat da baldin eta soilik baldin p lehena bada. Modu baliokidean, p zenbaki lehena da baldin eta soilik baldin φ(*p*) = *p* − 1.
* *p*>1 bada, x^{p-1} + x^{p-2} + ... + 1  polinomioa irreduziblea da \Z / p\Z  gainean baldin eta soilik baldin p lehena bada.

### Zenbaki lehenak eta funtzio aritmetikoak 
Funtzio aritmetikoek, hau da, zenbaki arrunten multzo batean definitutako funtzio erreal edo konplexuek, eginkizun erabakigarria dute zenbakien teorian. Garrantzitsuenak biderketa-funtzioak dira, hau da, (a,b) zenbaki bikote bakoitzarentzat honako hau betetzen duten f funtzioak:

f(a*b)=f(a)*f(b)

Biderketa-funtzioen adibideetako batzuk hauexek dira:

- Eulerren φ funtzioa, n bakoitzari zenbaki positibo osoen kopurua lotzen diona, zeintzuk n baino txikiagoak eta n-rekiko lehenak diren.

- τ funtzioa, n bakoitzari n-ren zatitzaileen kopurua lotzen diona.

- σ funtzioak, n bakoitzari n-ren zatitzaile guztien batura lotzen diona.

Hauxe da funtzio horien balioa zenbaki lehenen berreturetan:

: \varphi(p^m)=p^m-p^{m-1},
: \tau(p^m)=m+1,
: \sigma(p^m)=1+p^2+p^3+...+p^m.

Definitzen dituen propietateari esker, funtzio aritmetikoak erraz kalkula daitezke zenbaki lehenen berreturetan hartzen duten baliotik abiatuta. Izan ere, n faktorizazio-zenbaki arrunt bat emanda

n =p_1^{q_1}...p_a^{q_a}

Hurrengoa lortuko dugu

f(n) = f(p_1^{q_1})...f(p_a^{q_a})

eta, hala, f(n) kalkulatzeko problema n zatitzen duten zenbaki lehenen berreturen gainean f kalkulatzeko problema birbideratu da; balio horiek lortzeko errazagoak dira formula orokor baten bidez. Adibidez, φ funtzioaren n = 450 = 2*32*52 funtzioaren balioa ezagutzeko, nahikoa da hau kalkulatzea:

\varphi(459)= \varphi(2)\varphi(3^2)\varphi(5^2) = (2-1)*(9-3)*(25-5) = 120

## Zenbaki lehen motak 
### Lehen mailako zenbaki lehenak eta faktorial lehenak 
*Lehen mailako zenbaki lehenak* (zenbaki lehenen infinitutasunaren frogapen euklidearrarekin zerikusi zuzena dutenak)  p = n# ± 1 formakoak dira, n zenbaki arrunt batentzat: hor, n# = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 ·… (n baino txikiagoak edo berdinak diren zenbaki lehen guztien biderkadura).

Halaber, zenbaki lehen bati *faktorial lehen* esaten zaio, n! ± 1 formakoa bada. Honako hauek dira lehenengo zenbaki faktorial lehenak:

n! − 1 lehena da n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, … -etarako

n! + 1 lehena da n = 0, 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, …-etarako

### Fermat-en zenbaki lehenak 
thumb|Pentagono angeluzuzen baten eraikuntza.
Fermat-en zenbakiak F_{n}=2^{2^{n}}+1 erakoak dira, *n* \in\N. Orain arte ezagutzen diren Fermat-ek zenbaki lehen bakarrak berak ezagutzen zituen bost zenbakiak dira, hau da, n = 0, 1, 2, 3 eta 4 zenbakiei dagozkienak; aldiz, n-ren 5 eta 32 bitarteko balioei dagokienez, zenbaki horiek konposatuak dira.

Lehenak direla zehazteko, test espezializatu bat dago, exekuzio-denbora polinomikoa duena: *Pepin-en testa*. Hala ere, hain azkar hazten dira Fermat-en zenbakiak ezen n txikien balioetarako bakarrik aplikatu ahal izan den. 1999an, n = 24 zenbakirako aplikatu zen Pepin-en testa.

Fermat-en zenbaki handi batzuen izaera zehazteko, segidako zatiketen metodoa erabiltzen da. Horrela, 2009ko ekainean, Fermat-en 241 zenbaki konposatu ezagutzen dira, nahiz eta kasu gehienetan ez ezagutu haien faktorizazio osoa.. Ezagutzen diren zenbaki lehen handienak mota horretakoak izaten dira, test oso eraginkor bat baitago, Lucas-Lehmerren testa, Mersenne-ren zenbaki bat zenbaki lehena den ala ez zehazteko.

Gaur egun, ezagutzen den zenbaki lehen handiena M_{82 589 933} = 2^{82 589 933} - 1 da, sistema hamartarrean 24 862 048 zifra dituena. Ezagutzen den Mersenne-ren 51. zenbaki lehena da. Haren aurkikuntza 2018ko abenduaren 7an iragarri zen, «Great Internet Mersenne Prime Search» konputazio banatuaren proiektuari esker.

### Beste zenbaki lehen batzuk 
Propietate zehatzen bat betetzen duen azpimultzo bati erreferentzia egiteko, zenbaki lehenaren kontzeptu eta terminoari hamaika "abizen" erants dakizkioke.

Adibidez, zenbaki lehen pitagorikoak 4n+1 forman adieraz daitezkeenak dira. Beste era batera esanda, zenbaki lehenak dira, non x ☰ 1 mod(4).

Beste adibide bat Wieferich-en zenbaki lehenak dira: hor,  p^2-k 2^{p-1} - 1 zatitzen du, p zenbaki lehena izanik.

Propietate horietako batzuk beste zenbaki lehen batekin duten erlazio jakin bati dagozkio:

* *Zenbaki lehen biki*: p eta p+2 bikoteak, biak lehenak izanik. Adibideak: (3,5), (5,7), (11, 13).
* *Sophie Germain-en zenbaki lehen*: p eta 2p+1 bikoteak, biak lehenak izanik. Adibideak: (2,5), (3,7), (5,11), (11,23)
* *Wagstaff-en zenbaki lehena*: p= \frac{2^{q}+1}{3} zenbaki lehenak, non q beste lehena den. Adibideak: 3 = \frac{2^{3}+1}{3} eta 11 = \frac{2^{5}+1}{3}.

## Aplikazioak 
### Matematika 
* Zenbaki konplexuen azterketan, "lehen erlatibo" kontzeptura jotzen da unitatearen jatorrizko erroak definitzeko. n zenbaki lehena bada, 1en enegarren erro guztiak erro erlatiboak dira, 1 erroa izan ezik.
* Gorputz finitu baten definizioan, eraztun baten elementu kopurua lehen osoa izatea eskatzen da. Kasu horretan, zeroa kenduz, elementu bakoitzak alderantzizko biderkatzailea du eta gorputz baten egitura lortzen da.
* n aldeko izar-itxurako poligono baten definizioan, m-tik m-ra doazen puntuak hartzeko, m  eta m n-rekiko elkarrekiko lehena izatea eskatzen da.
* Zenbaki arrazional baten ordezkari kanonikoa definitzean, zenbaki osoen bikote ordenatuen baliokidetasun motak erabiliz, nahitaez, bikote ordenatu definitzaileak bi lehen  erlatibo osoak inplikatu behar ditu. Arrazoi handiagoz, horietako bat behintzat, lehen absolutu bat.

### Konputazioa 
RSA algoritmoa gako publikoa lortzean oinarritzen da, lehenak diren bi zenbaki handi (10^{100} baino handiagoak) biderkatuz.

Algoritmo horren segurtasuna honako gertaeran oinarritzen da: ez dela ezagutzen, ohiko ordenagailuak erabiliz, zenbaki handi bat faktore lehenetan faktorizatzeko modu azkarrik.

## Erreferentziak 
## Kanpo estekak 
* Zenbaki lehen batzuk. Zerrenda bat (1 - 10000).