Bektore espazio

thumb|250px|Bektore espazioaren irudikapena.

Matematikan eta zehazkiago aljebra linealean **bektore espazioa** edo **espazio bektoriala** hutsa ez den multzo batetik sorturiko egitura aljebraiko bat da, egitura hau aipatutako multzo ez hutsa horren eta bektore batuketa batetik (barne operazioa) edota eskalar biderketa sortzen da.

## Definizioa: 
Izan bitez (K,+,\cdot)eta Vmultzoa, orduan V K-espazio bektoriala da baldin eta solik baldin:

# (V,+)Talde abeldarra da, hau da, multzoak gehiketa aplikazioa definituta du, taldearen elementu neutroa 0_Vdenotatuko dugu.
# Kanpo aplikazioa (eragiketa) existitzen da:\begin{align} \cdot:K\times V\to V \\(k,v)\to k\cdot v \\ \end{align} (eskalar eta bektore arteko biderketa)

Gorputzeko elementuak eskalarrak deritze eta V-ko elementuak bektore, kanpo aplikazioak betetzen dituen propietateak hurrengoak dira:

* Banatze propietatea eskalarren gehiketarekiko: \forall k_1,k_2\in K,\forall v\in V: (k_1+k_2)\cdot v=k_1\cdot v + k_2\cdot v
* Banatze propietatea bektoreen gehiketarekiko:\forall v_1,v_2\in V,\forall k\in K: (v_1+v_2)\cdot k=v_1\cdot k + v_2\cdot k
* Elkartze propietatea: \forall k_1,k_2\in K,\forall v\in V: k_1(k_2\cdot v)=(k_1\cdot k_2)\cdot v
* Bektorea eta gorputzeko biderketarekiko elementu neutroaren arteko produktua bektore bera da: \forall v\in V: v\cdot 1_K=v

## Adibideak: 
\mathbb{Z}ez da \mathbb{Q}-espazio bektoriala zeren, nahiz eta (\mathbb{Z},+)talde abeldarra izan, adibidez bektore moduan 3 zenbakia hartzen badugueta eskalar moduan 1/2, bektore bider eskalar produktua ez dago multzo barruan, hau da, 1.5 ez da zenbaki osoa.

Ostean, \mathbb{Q}-\mathbb{Q}-espazio bektoriala da, baita \mathbb{Q}^2\mathbb{Q}espazio bektoriala da.

Beraz (K,+,\cdot)gorputza izanik, K^nKespazio bektoriala da.

Espazio bektorialak: \mathbb{Q}^n\mathbb{Q}espazio bektoriala da, \mathbb{R}^n\mathbb{R}espazio bektoriala da, \mathbb{C}^n\mathbb{C}espazio bektoriala da.

## Propietate gehiago: 
VKespazio bektoriala bada:

(i)\forall k\in K : k\cdot 0_V = 0_V

Badakigu 0_V=0_V+0_V, orduan k\cdot 0_V= k\cdot(0_V+0_V)=k\cdot0_V+k\cdot0_V dugu, eta, beraz, k\cdot 0_V=k\cdot0_V+k\cdot0_V. Adierazpena sinplifikatuz, 0_V=k\cdot 0_V  ondorioztatzen da.

(ii)\forall v\in V : v\cdot 0_K = 0_V

Badakigu 0_K=0_K+0_Korduan v\cdot 0_K=v\cdot(0_K+0_K)=v\cdot 0_K+v\cdot 0_K \Longrightarrow v\cdot 0_K=v\cdot 0_K+v\cdot 0_Keta adierazpena sinplifikatuz 0_V=v\cdot 0_K 

(iii)k\cdot v=0_V \Longleftrightarrow k=0_K edo v=0_V

\Longrightarrow

Demagun k\in K-\{0_K\}dela, orduan existitzen da eskalarraren alderantzizkoa k^{-1}, orduan k\cdot v=0_Vadierazpenean biderkatuz:

(k^{-1}\cdot k)\cdot v=k^{-1}\cdot 0_V \Longrightarrow 1_K\cdot v = 0_V \Longrightarrow v=0_V

\LongleftarrowFrogatuta dago (i)eta (ii)-n.

(iv)-v=(-1_K)\cdot v , \forall v\in V

Mugitu adierazpenean bektorea eskumara: 0_V=v+(-1_K)\cdot v, badakigu v=(1_K)\cdot v , \forall v\in V, ordezkatu: (1_K)\cdot v+(-1_K)\cdot v=0_Vbanatze propietatea erabiliz:

v\cdot(1_K-1_K)=0_Veta badakigu 1_K-1_K=0_Kberaz v\cdot(1_K-1_K)=v\cdot (0_k) = 0_V

(v)   u+w = v+w \Longrightarrow u=v 

(vi) 0v=0, \forall v \in V

(vii) \lambda0=0, \forall\lambda \in K

(viii) (-\lambda)v=-\lambda v, \forall \lambda \in K 
 eta  \forall v \in K 

 (ix)  \lambda v=0 \Longleftrightarrow \lambda =0  edo  v=0

 (x) \lambda v= \mu v  eta  v \neq 0\Longrightarrow \lambda =\mu

 (xi) \lambda  v = \lambda  w eta  \lambda \neq 0 \Longrightarrow v=w

## Kanpo estekak