Segida

thumb|sin(nx) eta cos(nx) segida bornatuak dira. Ez dira ez segida konbergenteak, ez monotonoak ezta Cauchyrenak ere.
Aljebra eta analisi matematikoan, **segidak** aplikazio diskretuak dira, non eremua zenbaki arrunten multzoa den eta koeremua beste edozein multzo (zenbakiena, irudi geometrikoena edo funtzioena). Multzo horietako elementu bakoitzari segidako elementu edo gai deritzo eta, elementu ordenatu kopuruari (batzuetan, infinitua), segidaren luzera.

Multzoetan ez bezala, segidetan elementuen ordenak garrantzia du, eta gai bat hainbat posiziotan ager daiteke.

Adibidez, (A, B, C) eta (C, A, B) letren segida desberdinak dira eta bakoitzaren luzera 3 da (finitua). Segida infinituen kasu bat zenbaki positibo bikoitiek osatzen dutena da: 2, 4, 6, 8....

## Historia 
thumb|Leonhard Euler, XVIII.mendeko matematikari suitzarra.
Ezarritako arau bati jarraitzen dioten segidek beti deitu izan diete atentzioa matematikariei. Hala ere, nahiz eta segidak antzinatik ezagunak izan, XVIII. mendean matematikaren garapena heldu zen arte ez ziren sakonki aztertu. Garai hartan, balio batera hurbiltzen ziren segiden kasuak aztertu ziren eta balio horri segidaren limite izena eman zitzaion.

Leonhard Euler izan zen garai hartako matematikari garrantzitsuenetarikoa, batez ere, segiden eta serieen inguruan egindako ekarpenengatik. Aipatzekoa da Leonardo Pisano matematikari italiarra ere, berak ekarri baizituen XII. mendean Europara Fibonacciren zenbakiak.

Oro har, segidak elementuen zerrenda ordenatuak adierazteko erabiltzen dira. Konputazioan eta jokoen teoriaenre oso erabilgarriak dira.

## Orokortasunak 
### Notazioa 
Badira hainbat notazio desberdin, ikasketa alorraren arabera erabiltzen direnak. Normalean,\{a_{n}\} notazioa erabiltzen da, non a_{n}, gai orokor deritzona, segidako n. posizioko elementua den. n\in\mathbb{N} azpiindizeak elementu batek segidan hartzen duen posizioa adierazten du. Zenbaki bikoiti positiboen segida da adibideetako bat:

\{a_{n}\} = 2,4,6,8,10,12,...

Orduan,

a_{1}=2, a_{2}=4, a_{3}=6, a_{4}=8,....

Segidetako elementuek ezarritako arau bati jarraitzen diote, eta segidako elementu oro gai arbitrario baten bidezko formula baten bitartez adieraz daiteke. Aurreko segidaren kasuan, \{a_{n}\} a_n=2n formularen bidez adieraz daiteke edozein elementu.

1
 azpiindizetik hasi beharrean 0 azpiindizetik hasten diren segidak ere badaude; azken horiek matematika diskretuan eta konputazioan agertu ohi dira. Gai orokorra adierazteko, n ez den beste aldagai bat erabil daiteke, horrela beste aldagai batzuekiko nahasketak saihesteko.

Notazio alternatiboak aurki daitezke literaturan, adibidez:
* (a_{n})=a_{1},a_{2},a_{3},...
* (a_{n})_{k=1}^{m} = a_{1},a_{2},...,a_{m}
* \{a_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}=a_{1},a_{2},...

### Errekurrentzia bidez definitutako segidak 
\{a_{n}\}_{n\in \mathbb{N}_{0}}
segidaren errekurrentzia-erlazioa a_n elementuak ezartzen du; azken hori aurreko {\displaystyle a_{0},\;a_{1},\;a_{2},\;...\;,\;a_{n_{0}-1}} 
 gaien araberako funtzio bat da, non n \geq n_{0}
. Segida bera da errekurrentzia-erlazio horren soluzioa, betiere haren elementuek erlazio hori betetzen badute edozein n baliotarako.

Algoritmo errekurtsiboek soluzioa ematen diote n tamainako problema bati. Fibonacci-ren segida da errekurrentzia bidezko segiden adibide on bat:

a_{n} = a_{n-1}+a_{n-2}.

## Definizio formala eta propietateak 
Definizio asko daude, eta ikerketa-arlo bakoitzean horietako bat erabiltzen da. Ohikoena eta orokorrena zenbaki-segidaren definizioa da. Praktikan, era intuitiboan erabili ohi dira segidak.

### Definizio formala 
**Zenbaki-segidak** zenbaki arruntetatik X zenbaki multzo batera doan aplikazio baten bitartez definitzen dira:

    {\displaystyle {\begin{matrix}a:&\mathbb {N} &\to &X\\&n&\to &a_{n}.\end{matrix}}}

X=\mathbb{N} multzoa aukeratuta, Fibonacci-ren segida lor dezakegu. Oro har, zenbaki-segidak X=\mathbb{R} koeremua dute. Edozein kasutan, \{a_{n}\}_{n \in \mathbb{N}} notazio orokorra erabili ohi da, edo azpiindizeak zenbaki osoak direla ulertutzat ematen bada, orduan \{a_{n}\}_{n\geq 0} notazioa erabil daiteke.

Askotan, segidari ematen zaion izena aplikazioaren koeremuarekin lotuta dago. Adibidez, a -ren irudia zenbaki arrazionalen parte bada, hau da, \dfrac{x}{y}, y\neq0 motakoa, zenbaki arrazionalen segida esaten zaio. Gauza bera gertatzen da zenbaki irrazionalekin, arruntekin, osoekin, aljebraikoekin,eta transzendentalekin.

### Segida finitu eta infinituak 
\{a_{n}\}
 r luzerako **segida finituak** irudiak S multzo batean baditu, funtzio hau definitzen da:

f:\{1,2,3,...,r\} \longrightarrow S

eta, kasu horretan, a_n = f(n) berdintza betetzen da. Esaterako, 10 baino txikiagoak diren zenbaki lehenek osatzen duten 4 luzerako segida finituari (2,3,5,7) f: \{1,2,3,4\} \longrightarrow \mathbb{P} funtzioa dagokio, non \mathbb{P} zenbaki lehenen multzoa den. f-k honako balioak hartzen ditu:

f(1)=2,f(2)=3,f(3)=5,f(4)=7.

\{a_{k}\} **segida infinituak** irudiak S multzoan hartzen baditu, honako funtzioa definitzen da:

f:\mathbb{N} \longrightarrow S.

Kasu horretan ere, a_{n}=f(n) berdintza betetzen da.

### Azpisegidak 
\{a_{n}\} segida baten **azpisegida** edo **segida partziala** jatorrizko segidaren elementu batzuk ezabatzean sortzen den segida da; betiere ezabatu ez diren elementuen posizio erlatiboa aldatu gabe. Adibidez, zenbaki positibo bikoitiez osatutako segida (2,4,6...), (1,2,3...) zenbaki arrunten segidaren azpisegida bat da. Elementu batzuen posizioa aldatu egiten da beste batzuk ezabatzen direnean. Hala ere, horien posizio erlatiboa mantendu egiten da.

Formalki, \{a_{n}\}_{n\in \mathbb{N}} segida baten azpisegida\{a_{n_{k}}\}_{k \in \mathbb{N}} motakoa da, non \{n_{k}\}_{k\in \mathbb{N}} zenbaki oso positiboen segida hertsiki gorakorra den. Segida bakar baterako hainbat azpisegida ezberdin lor daitezke.

### Segida monotonoak 
**Segida monotono**etan, gai baten eta hurrengoaren arteko diferentzia beti da zeinu berekoa. Gorakorrak edo beherakorrak izan daitezke.

**Segida gorakorr**etan a_{n}\leq a_{n+1} desberdintza gertatzen da; hau da, elementu bakoitza hurrengoaren berdina edo txikiagoa da. Horien artean, **segida konstanteak** ere badaude. a_{n} desberdintasun hertsia betetzen denean, aldiz, segida hertsiki gorakorra dela esaten da.

**Segida beherakor**rek a_n \geq a_{n+1} desberdintza betetzen dute, eta hertsiki beherakorrak dira a_n > a_{n+1} denean.

### Segida bornatuak 
Segida bornatuen artean hiru kasu bereiz daitezke:
* \{a_{n}\} segida **goitik bornatuta** egongo da M zenbaki erreal bat existitzen bada \{a_{n}\} \leq M betetzen duena edozein n baliotarako.
* \{a_{n}\} segida **behetik bornatuta** egongo da N zenbaki erreal bat existitzen bada \{a_{n}\} \geq N betetzen duena edozein n baliotarako.
* Aurreko bi kasuak aldi berean gertatzen direnean, **segida bornatua** da.

## Limiteak eta konbergentzia 
thumb|Segida konbergentea 0-rantz.
Segidetako propietate garrantzitsu bat da **konbergentzia**. Segida batek konbergituz gero, balio partikular baterantz konbergituko du, eta balio horri limite deritzo. Segida batek limite baterantz konbergitzen badu, orduan, segida hori konbergentea dela esaten da. Konbergitzen ez duen segida, aldiz, segida **dibergentea** dela esaten da.

Hizkuntza formala alde batera utzita, segida batek limitea du bere elementuak L balio batera (segidaren limitera) gero eta gehiago hurbildu eta elementu batetik aurrera, gai guztiak L baliotik gertu mantentzen direnean. Hau da, d>0 edozein zenbaki erreal emanda, segidako elementu guztiek (kopuru finitu batek izan ezik)Lrekiko duten distantzia d baino txikiagoa da.

Esaterako, {\displaystyle a_{n}={\frac {n+1}{2n^{2}}}} segidak 0-rantz konbergitzen du. Aldiz, {\displaystyle b_{n}=n^{3}} (1,8,27,...)  eta {\displaystyle c_{n}=(-1)^{n}} (-1,1,-1,1,...)  segidak dibergenteak dira.

Segida batek konbergitzen badu, konbergitzen dueneko limitea bakarra da. Normalen, \{a_{n}\} segidaren limite hori adierazteko, {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}  notazioa erabiltzen da (logikoki, segida dibergenteetan adierazpen horrek ez du inongo zentzurik).

### Konbergentziaren definizio formala 
\{a_{n}\} zenbaki errealen segida batek **Lrantz konbergitzen** du, baldin eta: \forall\epsilon>0 , N\in\mathbb{N}  existitzen da, zeinetarako {\displaystyle |a_{n}-L| betetzen den \forall n\geq N rako.

Aldiz, \{a_{n}\} zenbaki konplexuen segida bada, oraindik ere aurreko definizioa erabil daiteke, eraldaketa txiki batekin. Kasu horretan, |\cdot |   modulu arrunta erabili beharrean, konplexuen modulua erabili behar da: {\displaystyle |z|={\sqrt {z^{*}z}}}  .

\{a_{n}\} espazio metriko bateko puntuen segida bada, berriz, definizioa berrerabil daiteke. Betiere, {\displaystyle |a_{n}-L|}   adierazpena {\displaystyle {\text{dist}}(a_{n},L)}  espresioarekin ordezkatzen bada. Azken horrek a_n  eta L balioen arteko distantzia adierazten du.

### Aplikazioak 
\{a_{n}\} eta \{b_{n}\} segidak konbergenteak badira, hurrengo segiden limitea existitzen da, eta honela kalkula daiteke:
* (Squeeze teorema)
\{c_{n}\} segida batek a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}  betetzen badu n\geq Nrako, eta \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L baldin bada, \{c_{n}\} konbergentea da eta \lim _{n\to \infty }c_{n}=L.
* Segida bat bornatua eta monotonoa bada, konbergentea da.
* Segida bat konbergentea da baldin eta soilik baldin haren azpisegida guztiak konbergenteak badira.

### Cauchyren segidak 
\{a_{n}\} segida **Cauchyren segida** dela esaten da hurrengo baldintza hau betetzen baldin badu: r>0 zenbaki erreal positibo bat emanda, eta p,q>n_0\in\mathbb{N} hartuta, |a_p - a_q| .

Zenbaki errealen kasuan, Cauchyren segida orok limite baterantz konbergitzen du. Propietate horrek analisi errealaren emaitza garrantzitsu bat dakar: s*egiden konbergentziarako Cauchyren karakterizazioa*.

#### Definizioa 
Izan bedia {an}n€N zenbaki errealen segida. {an}n€N Cauchyren segida dela diogu baldin eta ;

\forall\epsilon > 0 ,  \exists n_0 \in \N : \forall n,m \geq n_0  \left\vert a_n - a_m \right\vert 

#### Teorema 
Izan bedia {an}n€N  zenbaki errealen segida.

{an}n€N konbergentea  \Longleftrightarrow  {an}n€N  Cauchyrena

##### Froga 
\Longrightarrow) Izan bedi \lim_{n \to \infty} a_n = l  eta har dezagun \epsilon > 0 edozein. Orduan existitzen da n_0 \in \N non, n \geq n_0  guztietarako \left\vert a_n - l \right\vert .

Izan bitez n,m \geq n_0.

\left\vert a_n - a_m  \right\vert = \left\vert a_n -l +l a_m \right\vert \leq \left\vert a_n - l \right\vert + \left\vert a_m - l \right\vert 

beraz {an}n€N Cauchyrena da.

\Longleftarrow) Orain suposatzen dugu {an}n€N Cauchyrena dela. Ikus dezagun bornatua dela.

Izan bedi \epsilon = 1. {an}n€N Cauchyrena denez, existitzen da n_0 \in \N non n \geq n_0 guztietarako,\left\vert a_n-a_{n0+1} \right\vert \leq 1 den. Orduan n \geq n_0 guztietarako, \left\vert a_n \right\vert \leq \left\vert a_n - a_{n0+1} \right\vert + \left\vert a_{n0+1} \right\vert .

K = \max[\left\vert a_1 \right\vert ,\left\vert a_2 \right\vert, ... , \left\vert a_{n0} \right\vert, \left\vert a_{n0+1} \right\vert + 1] {an}n€N  segidaren borne bat da, hau da, \left\vert a_n  \right\vert \leq K    n \in \N guztietarako, beraz {an}n€N  bornatua da.

Orain, Bolzano-Weierstrassen teoremaren arabera existitzen da \{a_{nk}\}_{k \in \N}  {an}n€N  segidaren azpisegida konbergentea. Izan bedi l = \lim_{n \to \infty} a_{nk}  eta kontsidera dezagun \epsilon > 0  edozein.

\lim_{n \to \infty} a_{nk} = l \Longleftrightarrow \exist n_0 \in \N : \forall k \geq n_1 \left\vert a_{nk} - l  \right\vert 

{an}n€N  Cauchyrena \Longleftrightarrow \exists n_2 \in \N : \forall n,m \geq n_2 \left\vert a_n - a_m \right\vert 

Izan bedi n_0 = \max \{n_1,n_2\}   . k \geq n_0    guztietarako n_k \geq k    denez

\left\vert a_k -l \right\vert \leq\left\vert a_k - a_{nk} \right\vert + \left\vert a_{nk} - l \right\vert 

Beraz, \lim_{n \to \infty} a_n = l   da.

### Limite infinituak 
thumb|Urdinez dagoen funtzio honen limitea n infinitua da infiniturantz doanean. n minus infiniturantz doanean, aldiz, minus infinitu izango da.
Kalkuluan badira konbergentziaren definizio esplizitua betetzen ez duten baina arbitrarioki luzatzen diren segidak (noranzko positiboan zein negatiboan). Orduan, bi kasu bereiz daitezke:
* \lim_{n\to\infty}a_n = \infty bada, segidak infiniturantz konbergitzen duela edo dibergentea dela esaten da. Adibide ona da a_n=n segida.
* \lim_{n\to\infty}a_n = -\infty bada, segidak infinitu negatiborantz konbergitzen duela edo dibergentea dela esaten da.

## Segiden sailkapena 
Hainbat segida mota bereizten dira:
* \{a_{n}\}_{n\in \mathbb{N}} *segida aritmetikoa* da baldin etaa_n = a_{n-1} + d = a_1 + (n-1)d, \forall \geqslant 2
 bada, d \in \mathbb{R}
 izanik. d zenbakia segidaren *diferentzia* da.
* \{a_{n}\}_{n\in \mathbb{N}} *segida geometrikoa* da baldin eta a_n = a_{n-1} r = a_1 r^{n-1}, \forall \geq 2 bada, r \in \mathbb{R} izanik. r zenbakia segida geometrikoaren *arrazoia* da.
* \{a_{n}\}_{n\in \mathbb{N}} *segida harmonikoa* da baldin eta \dfrac{1}{a_n} = \dfrac{1}{a_{n-1}+d} = \dfrac{1}{a_0 + nd}, \forall \geq 1, d \in \mathbb{R}
 izanik.

## Serieak 
**Serie**ak segiden gaien batura dira. \sum_{n=0}^\infty a_n edo a_0 + a_1 + a_2 + a_3... moduan idazten dira, non (a_n) zenbaki erreal edo konplexuen segida bat den.

Baturan infinitua ordez zenbaki finitu bat jarriz, **seriearen batura partziala** lortzen da. Adibidez, \sum_{n=0}^\infty a_n seriearen N. batura partziala S_n = \sum_{n=0}^{N} a_n = a_0 + a_1 + ... + a_{N-1} + a_N zenbakia da. Batura partzial horiek segidak osatzen dituzte, (S_N)_{N \in \mathbb{N}}, eta horiei \sum_{n=0}^\infty a_n **seriearen batura partzialen segidak** deritze. Seriearen batura partzialen segida konbergentea bada, orduan \sum_{n=0}^\infty a_n segida konbergentea dela esaten da, eta seriearen balioa (baturaren emaitza) \lim_{N \to \infty} S_N da. Beraz, \sum_{n=0}^\infty a_n = \lim_{N \to \infty} S_N.

## Oharrak 
## Erreferentziak 
## Bibliografia 
* Fernández Novoa, Jesús (1991). *Análisis Matemático I (Tomo 1)*. Madrid: UNED. .
* Watson Fulks. "Cálculo avanzado".
* J. Dieudonné. " Fundamentos de análisis moderno".
* Lages Lima. " Curso de análisis matemático
* Banach. " Cálculo".
* Spivak . "Calculus"
* V.F. Butúzov. " Análisis matemático"

## Ikus, gainera 
* Serie (matematika)

## Kanpo estekak