Logaritmo

link=https://eu.wikipedia.org/wiki/Fitxategi:Logarithm_plots.png|thumb|296x296px|Logaritmo funtzioaren grafikoa, hiru oinarri erabilienetan.
Analisi matematikoan, zenbaki erreal positibo baten **logaritmoa** (logaritmoaren oinarri jakin batean) zenbaki bat da zeinarekin oinarria berretzen baita zenbaki erreal positibo hori lortzeko. Adibidez, 1000 zenbakiaren logaritmo hamartarra (10 oinarria duen logaritmoa) 3 da, \log_{10}1000 = 3, 1000=10^3=10\times10\times10.

Kenketa batuketaren eta zatiketa biderketaren kontrako eragiketak diren moduan, logaritmoa bere oinarriaren berreketaren aurkako eragiketa da.

Logaritmo-eragiketa adierazteko, \log laburdura idazten da, eta, haren ondoren, oinarria azpi-indize modura. Adibidez, 3^5=243 denez, \log_3 243=5 da. Bi salbuespen nagusi daude: logaritmo hamartarretan (\log_{10}) normalean, ez da azpi-indizerik idazten, baizik eta zuzenean \log ; eta logaritmo naturaletan (\log_e), \ln laburdura erabiltzen da. Logaritmo naturalari era informalean, *logaritmo nepertar* ere deitzen zaio, nahiz eta funtsean kontzeptu ezberdinak izan.

John Napier-ek definitu zuen lehenengo aldiz logaritmoa, XVII. mendearen hasieran, kalkuluak errazteko baliabide gisa. Kalkuluaren arauek eta logaritmoen taulen erabilerak eragiketak asko errazten zituztenez, azkar asko zabaldu zen haren erabilera zientzialari, ingeniari eta bankarien artean, besteak beste.

Logaritmoaren egungo ideia Leonhard Euler-i dagokio, funtzio esponentzialarekin erlazionatu baitzuen XVIII. mendean.

## Definizioa 
x zenbaki erreal positibo baten logaritmoa (b oinarri jakin batean), b oinarriari ezarri behar zaion n berretzailea da, x bera lortzeko. Beste hitz batzuetan, b ber n funtzioaren alderantzizkoa da. Funtzio hori n=\log_bx idazten da, eta "x-ren logaritmoa b oinarrian" irakurtzen da.

\log_bx=n  \Leftrightarrow  x=b^n

Logaritmoaren definizioa egokia izateko, b oinarriak positiboa eta 1en desberdina izan behar du (b > 0 eta b\neq1 non b\in\Reals), x zenbakiak positiboa izan behar du (x>
 0 non x\in\Reals), eta n edozein zenbaki erreal izan daiteke (n\in\Reals).

### Adibideak 
* \log_{10}1000=3 ; izan ere, 10^3=10\times10\times10=1000.

* \log_216=4 ; izan ere, 2^4=2\times2\times2\times2=16.
* Logaritmoak negatiboak izan daitezke: \log_2\frac{1}{2}=-1 ; izan ere, 2^{-1}=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}.
* \log_e\frac{1}{e^5}=\ln\frac{1}{e^5}=-5 ; izan ere, e^{-5}=\frac{1}{e^5}.

## Historia 
link=https://eu.wikipedia.org/wiki/Fitxategi:John_Napier.jpg|thumb|John Napier.
Logaritmoen bidezko kalkulua 1614an John Napierrek proposatu zuen lehen aldiz bere *Mirifici Logarithmorum* liburuan, nahiz eta Joost Bürgi matematikari eta erlojugile suitzarra horien existentziaz lehenago jabetu; izan ere, beranduago argitaratu baitzuen bere aurkikuntza. Hasiera batean, logaritmoen erabilerari uko egin zitzaion arren, Keplerrek horien erabileraren azalpenak liburu batean argitaratu ostean, iritzi hori guztiz aldatu zen, logaritmoen erabilerari hasiera emanez.

Metodo honek zientziaren garapenean lagundu zuen, bereziki astronomian, kalkulu konplexuen ebazpena erraztuz. Logaritmoak gehienbat geodesian, nabigazioan eta matematika aplikatuetan erabili ziren. Kalkuluan duen erabileraz gain, matematika aurreratuan ere garrantzi izugarria du.

Nahiz eta Napierrek gaur egun ezagutzen dugun logaritmoen oinarria ez erabili, hauek ondo funtzionatzen zuten \frac{1}{e} oinarriarekin interpolazioan eta kalkuluen laguntzan; are gehiago, erabat erabilgarriak ziren 1era jotzen zuten serie geometrikoen kalkuluan. Napierren logaritmoek ez zuten betetzen \log1=0, \log10^7=0 baizik. Horrela, N zenbaki bat eta L logaritmo bat izanik, N=10^7(1-10^{-7})^L; r = 1-10^{-7} delarik, non (1-10^{-7})^{10^7} gutxi gorabehera \frac{1}{e} den, \frac{L}{10^7} eta \log_\frac{1}{e}\frac{N}{10^7} baliokideak izanik.Hasiera batean, Napierrek "*zenbaki artifizialak*" bezala izendatu zituen logaritmoak eta, aldiz, "*zenbaki naturalak*" bezala antilogaritmoak. Geroago, logaritmo hitza, proportzio bat adierazten duen zenbaki bat bezala izendatu zuen: *logos*, proportzio zentzuarekin eta *arithmos*, ordea, zenbaki zentzuarekin; proportzio edota erlazio bat adierazten duen zenbaki bezala hain zuzen ere. Napierren arabera, bi logaritmoen arteko kendura horiek dituzten zenbakien erlazioa ematen digute, hori kontutan izanik, logaritmoen segida aritmetikoa horiek dituzten zenbakien segida geometrikoa izango da.

## Propietate orokorrak 
Edozein logaritmok, edozein oinarritan, honako propietateak betetzen ditu:

Oinarriaren logaritmoa 1 izango da beti, \log_bb=1 \ ,\  b^1=b delako b guztietarako.

1en logaritmoa 0 da beti (edozein oinarritan), \log_b1=0 , b^0=1 delako b guzietarako

Izan bedi a\in(0,1) tartean dagoen zenbaki erreal bat; orduan, \log_ba funtzioak balio negatiboa hartzen du, logaritmo negatibo izenekoa. Emaitza nabaria da, 1en logaritmoa 0 delako eta logaritmoa funtzio hertsiki gorakorra delako, haren irudia (-\infty,+\infty) da.

Zenbaki negatiboek ez dute logaritmorik \Reals zenbaki errealen gorputzean; edozein n berretzailea izanik, b^n>0 da. Eragozpen hori ekiditeko, definizio-eremua \Complex zenbaki konplexuen gorputzera heda daiteke. Modu horretan, zenbaki negatiboen logaritmoa kalkula daiteke, logaritmo konplexua edo Euler-en formula erabiliz.

Oinarri bateko ondoz ondoko berreturek progresio geometriko bat osatzen dute; berretzaileek, aldiz, progresio aritmetiko bat. Adibidez, 2ren berreturak (1,2,4,8,16,32...) eta haren berretzaileak (0,1,2,3,4,5...).

## Propietate aljebraikoak 
Identitate logaritmiko izeneko formula batzuen bidez, eragiketa bat maila txikiagoko eragiketa bilaka dezakegu. Hori da logaritmoaren asmakuntzaren arrakastaren arrazoi nagusia. Logaritmoei esker, biderketa batuketa bihur daiteke; zatiketa kenketa, berreketa biderketa, eta n graduko erroa, zatiki. Aldaketa horiek XVII. mendeko astronomian, nabigazioan eta matematikan egiten ziren kalkulu eta eragiketak guztiz aldatu zituen. Hurrengo propietateak oso erabilgarriak dira logaritmoak kalkulatzeko orduan:

- Biderkadura baten logaritmoa faktoreen logaritmoen batuketa da.

\log_b{(x \cdot y)}=\log_b{(x)}+\log_b{(y)}

- Zatiki baten logaritmoa zatikizunaren logaritmoa ken zatitzailearen logaritmoa da.

\!\, \log_b \left ( \frac{x}{y} \right ) = \log_b(x) - \log_b(y) \,

- Berreketa baten logaritmoa berretzailearen eta berrekizunaren logaritmoaren arteko biderkadura da.

\!\, \log_b(x ^ y) = y \log_b(x) \,

- Erroketa baten logaritmoa errokizunaren logaritmoa zati erroketaren indizea da.

\!\, \log_b(\sqrt[y]{x}) = \frac{\log_b(x)}{y} \,

### Aukeraketa eta oinarri aldaketa 
Logaritmo erabilienak logaritmo naturala (\ln), logaritmo hamartarra (\log_{10}) eta logaritmo bitarra (\log_{2}) dira. Hala ere, oinarriaren aukeraketa ez da erabakigarria, oinarri guztiak elkarren artean proportzionalak baitira. Hurrengo formula erabilgarria da oinarri ezberdineko logaritmoak erlazionatzeko:

\log_b(x) = \frac {\log_k(x)}{\log_k(b)} \,\!\,,

non k izan baitaiteke onargarria den edozein oinarri.

k = x eginez:

\log_b(x) = \frac {1}{\log_x(b)}.

Propietate hau erabiliz, hurrengo bi identitateak lor daitezke:

x = b^{\log_b{(x)}} \text{ eta } b = x^{\frac{1}{\log_b{(x)}}}.

## Propietate analitikoak 
Logaritmoen azterketa sakonago batek funtzio edo aplikazioaren kontzeptua eskatzen du. Funtzioa bi multzotako elementuen arteko *f* erlazioa da, zeinak X multzo bateko x elementu bakoitzari Y multzoko y elementu bakarra esleitzen baitio. Adibidez, b-ren x-garren berretzailea edozein x zenbaki errealetarako. Funtzio hori idazkera matematikoan:

\ \ \ \ f(x) = b^x 

### Funtzio logaritmikoa 
Logaritmoaren definizioa ziurtatzeko asmoz, ekuazio esponentzialerako ( b^x = y \,) x\,-ren soluzio bakarra existitzen dela frogatu behar da, kontuan izanik y>0, b>0  eta b\neq 1. Hori frogatzeko, batez besteko balioaren teorema ezinbestekoa da. Teorema horrek dio funtzio jarraitu bateko [m,n] edozein tarte harturik, funtzio horrek tartearen barneko edozein balio hartzen duela. Beste hitzetan, funtzio bat jarraitua izango da, baldin eta, bere grafikoa marraz badaiteke arkatza paperetik altxatu gabe.

Propietate hori f(x)=b^x funtzioak betetzen duela froga daiteke, x_0 eta  x_1 egokiak aukeratuz, f(x_0)\geq y \geq f(x_1) betetzen dutelarik. Beraz, batez besteko balioaren teoremak ziurtatzen du f(x)=y ekuazioak baduela soluzioa. Are gehiago, ekuazio horretarako soluzio bakarra dago, b>1  baldin bada. f(x) funtzio hertsiki gorakorra izango da, eta 1>b>0  baldin bada, aldiz, hertsiki beherakorra.

### Funtzioaren hazkuntza edo murriztea 
\log_bx funtzioak +\infty-ra jotzen du (hau da, emandako edozein zenbaki baino handiago egiten da) x-k +\infty-ra jotzen duen neurrian, b>1  izanik. Kasu horretan, \log_bx funtzio gorakorra da. Hala ere, b bada, \log_bx funtzioak -\infty -ra jotzen du. Bestalde, x 0-ra hurbiltzen denean, b>1 erako \log_bx funtzioak minus infinitura jotzen du (aldiz, b denean, plus infinitura). Izan ere, edozein b oinarritarako, funtzio logaritmikoaren grafikoak (1,0) puntuan mozten du abzisa-ardatza.

### Deribatu eta integral mugagabea 
link=https://eu.wikipedia.org/wiki/Fitxategi:Logarithm_derivative.svg|thumb|287x287px|Logaritmo naturalaren grafikoa (berdez) eta haren ukitzailea (beltzez) x=1,5 puntuan (gorriz).
Funtzioen propietate analitikoak eta hauen alderantzizkoenak berdinak dira. Adibidez, f(x)=b^x funtzio jarraitua eta diferentziagarria da eta ondorioz \log_b(y) ere horrelakoa izango da. Hizkera arrunta erabiliz, esan daiteke funtzio jarraitu bat diferentziagarria dela honen grafikoak > ez badu. Are gehiago, har dezagun f(x) funtzioaren deribatua \ln(b)b^x-n ebaluatuta funtzio esponentzialaren propietateengatik, katearen erregela erabiliz \log_b (x) funtzioaren deribatua honako hau da:\int \ln (x) dx =x\ln (x) -x +K Beste edozein oinarritako logaritmoen integral mugagabeak ekuazio honetatik lor daitezke, oinarria aldatuz.
link=https://eu.wikipedia.org/wiki/Fitxategi:Natural_logarithm_integral.svg|thumb|282x282px|t-ren logaritmo naturala, f(x)=\frac{1}{x} funtzioaren grafikoaren azpian grisez dagoen azalera da.

### Logaritmo naturalaren adierazpide integrala 
*t* zenbakiaren logaritmo naturala bat dator \frac{1}{x} funtzioaren integralarekin, mugak 1 eta t direlarik:\int_1^t \frac{1}{x}dxBeste modu batera esanda, \frac{1}{x} funtzioaren eta OX ardatzaren (1,t) tartean dagoen azaleraren balioa \ln(t) izango da. Hori kalkuluaren oinarrizko teoremaren eta \ln (x) funtzioaren deribatua \frac{1}{x} izatearen ondorioa da. Aurreko ekuazioa logaritmo naturalaren definizio bezala ikus daiteke. Gainera, ekuazio horretatik logaritmoen biderketa eta berreturen formulak lor daitezke; adibidez \ln(tu)=\ln(t)+\ln (u) hurrengo erlaziotik ondoriozta daiteke:\ln(tu)=\int_1^{tu}\frac{1}{x}dx=\int_1^t\frac{1}{x}dx + \int_t^{tu}\frac{1}{x}dx=\ln(t) + \int_1^u\frac{1}{w}dw=\ln(t)+\ln{u}Lehenengo berdintzan integrala bi zatitan banatzen da; bigarrenean w=\frac{1}{x} aldagai aldaketa erabiltzen da.
link=https://eu.wikipedia.org/wiki/Fitxategi:Natural_logarithm_product_formula_proven_geometrically.svg|erdian|thumb|527x527px|Logaritmo naturalaren biderkaduraren formularen froga grafiko bat.
Berreketaren formula ere modu berdinean lor daiteke:\ln(t^r)=\int_1^{t^r}\frac{1}{x}dx=\int_1^t \frac{1}{w^r}(rw^{r-1}dw)=r\int_1^t\frac{1}{w}=r\ln(t)Bigarren berdintzan w=x^{\frac{1}{r}} aldagai aldaketa erabiltzen da.

Zenbaki naturalen alderantzizkoen batura, hau da, \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} serie armonikoa, logaritmo naturalarekin erlazionaturik dago. Izan ere, n infiniturantz doanean, \sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln(n) kendura Euler-Maschenoniren konstante bezala ezagutzen den zenbakirantz konbergentea da. Erlazio hau algoritmoen eraginkortasuna aztertzeko erabiltzen da da.

## Kalkulua 
Logaritmo batzuen kalkulua oso erraza da: \log_{10}1000 = 3 , adibidez. Kalkulua zailagoa denean, logaritmoak berretura-serieen edo batezbesteko aritmetiko eta geometrikoen bidez, kalkulatzen dira, edo aldez aurretik kalkulatutako logaritmo taulen bitartez. Newton-en metodoa ere, ekuazioen emaitzak hurbiltzeko iterazio-metodoa erabili daiteke logaritmoa kalkulatzeko, funtzio esponentziala kalkulatzea eraginkorra baita. Logaritmo bitarretan, \log_2(x^2) = 2 \log_2 (x) \,erlazioa erabil daiteke era errekurtsiboan kalkulatzeko.

### Berretura-seriea 
#### Taylor-en seriea 
link=https://eu.wikipedia.org/wiki/Fitxategi:Taylor_approximation_of_natural_logarithm.gif|thumb|\ln(z) funtzioaren Taylor-en seriea z=1 puntuan zentratua. Animazioak lehenengo 10 hurbilketak erakusten ditu 99.arekin eta 100.arekin batera.
z\in(0,2) tarteko edozein zenbaki erreal izanik, honako berretura-seriea betetzen da:

\ln (z) = (z-1) - \frac{(z-1)^2}{2} + \frac{(z-1)^3}{3} - \frac{(z-1)^4}{4} + \cdots

Serie horrek ln(z) zehaztasun arbitrarioarekin hurbiltzen du batugai kopurua nahikoa denean; oinarrizko kalkuluan, beraz, \ln(z) serie horren limitea da. Adibidez, z=1,5 izanda, serie bidezko hirugarren ordenako hurbilketan 0,4167 lortzen da (\ln(1,5)=0,405\ 465). Taylor-en serieak \ln(1+z)-ren hurbilketa berezi bat ematen du \left\vert z \right\vert  den kasuan:

\ln (1+z) = z - \frac{z^2}{2} + \cdots \approx z.

## Orokorpena 
Zenbaki erreal positiboez gain, *logaritmo* kontzeptua beste multzoetara hedatu daiteke:

### Zenbaki errealak 
x eta b zenbaki osoak badira eta batak besteak ez duen faktore lehen bat badu, \log_b(x) irrazionala izango da.

Zenbaki erreal positibo baten logaritmo naturala ongi definituta dago, eta zenbaki erreala da. Zenbaki erreal negatiboen logaritmo naturala definitzeko, ordea, zenbaki konplexuen beharra dago. Zenbaki konplexuen logaritmoekin gertatzen den bezala, zenbaki negatibo baten logaritmoa ez da bakarra.

### Zenbaki konplexuak 
link=https://eu.wikipedia.org/wiki/Fitxategi:Complex_number_illustration_multiple_arguments.svg|thumb|*z = x + iy* zenbaki konplexuaren forma polarra. *φ* eta *φ*' zenbakiaren argumentuak dira.
link=https://eu.wikipedia.org/wiki/Fitxategi:Complex_log.jpg|thumb|Logaritmo konplexuaren adar nagusia: *Log(z)*.
z zenbaki konplexu baten logaritmo naturala, b=\ln(z), zenbaki konplexua da eta honako ekuazioaren soluzioa da:

z=e^b.

Ekuazio horrek infinitu soluzio ditu. z forma polarrean idatzitako zenbaki konplexua izanik, b_0 ekuazioaren soluzio posible bat da:

b_0= \ln{\rho} + i \theta,  \qquad non \ z=\rho e^{i\theta} \ baita.

Soluzio gehiago daudela baieztatu daiteke; k\in\mathbb{Z}\,edozein balio izanik, b_kzenbaki konplexua ekuazioaren soluzioa da ere:

b_k = \ln \rho + i\theta + 2\pi ki \qquad \Rightarrow e^{b_k} = \rho e^{i\theta}\cdot e^{2\pi ki} = z.

Matrizeen berreketarekin ez bezala, matrize erreal baten logaritmoa ezin da beti definitu. Matrize diagonalizagarri baten kasuan, logaritmoa ondo definituta egon behar du matrizearen autobalio bakoitzarentzat. Kasu horretan, matrizearen logaritmoa definituta dago eta autobalio positibodun matrize baten logaritmoa beste matrize erreal bat izango da. 0 zenbakia matrizearen autobalioa bada, bere logaritmoa ez dago definituta.

Logaritmoa definituta badago autobalio multzo batean, eta multzo horretan zenbaki negatiboren bat badago, matrize-logaritmoa definitu daiteke zenbaki negatibo eta konplexuekin egiten den modu berean. Matrize-logaritmo hori ez da bakarra izango.

Matrizea ez bada diagonalizagarria logaritmoa definitzea zailagoa da, matrizearen Jordan-en forma kanonikoa aurkitu behar baita.

## Aplikazioak 
link=https://eu.wikipedia.org/wiki/Fitxategi:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|thumb|161x161px|Nautilus baten espiral logaritmikoa.
Logaritmoak hainbat aplikazio ditu, bai matematika eta baita arlo horretatik kanpo ere. Adibidez, nautilus baten oskolaren ganbera bakoitza hurrengoaren gutxi gorabeherako kopia da, konstante batez biderkaturik; horrek espiral logaritmikoa sortzen du. Logaritmoak antzekotasunarekin ere lotuta daude. Adibidez, problema bat ebaztekotan problema hori bi problema txikiagotan zatitzen duten algoritmoetan agertzen dira. Antzeko forma geometrikoen dimentsioen erlazioa ere lotuta dago logaritmoekin. Gainera, eskala logaritmikoak baliagarriak dira balio baten aldaketa absolutua neurtzeko. Funtzio logaritmikoak (\log x) x handitzen doan neurrian astiro handitzen direnez, eskala logaritmikoak eskala handiko datu zientifikoak konprimatzeko erabiltzen dira. Logaritmoak hainbat formula zientifikotan ere erabiltzen dira: Tsiolkovsky-ren zuziri-ekuazioan, Fenske-ren ekuazioan, Nernst-en ekuazioan...
link=https://eu.wikipedia.org/wiki/Fitxategi:Germany_Hyperinflation.svg|thumb|225x225px|Eskala logaritmikoan irudikatutako grafiko bat.

### Eskala logaritmikoak 
Kantitate zientifikoak sarritan agertzen dira beste kantitate batzuekin logaritmo batez erlazionatuta, eskala logaritmikoak erabiliz. Adibidez, Voltai elektrikoa logaritmoarekin deskribatzen da; baita soinuaren maila, dezibelioak, ere. Halaber, optikan agertzen da, argiaren xurgakotasunean.

Lurrikara baten indarra neurtzeko, logaritmo arrunta erabiltzen da, Richter eskalan. Beste eskala logaritmiko baten adibidea itxurazko magnitudeetan agertzen da, izarren distira logaritmoaren laguntzaz neurtzen baita. Kimikan, logaritmo negatiboa erabiltzen da pH-maila neurtzeko: hidrogeno ioien aktibitatea aztertzen da.

Logaritmoerdiak irudikatzeko, eskala logaritmikoaren kontzeptua erabiltzen da; abzisa bat, gehienetan bertikala, logaritmikoki eskalatzen du. Adibidez, eskuineko irudian ikus daiteke milioi batetik bilioi baterako hazkundea eta 1etik milioi baterainoko igoera tarte berdinak direla, ardatz bertikalean. log-log grafikoak bi abzisak logaritmikoki eskalatzen ditu.

### Probabilitate teoria eta estatistika 
[link=https://eu.wikipedia.org/wiki/Fitxategi:PDF-log_normal_distributions.svg|thumb|202x202px|Hiru zorizko aldagaien [probabilitatearen dentsitate-funtzioa log-normal banaketarako. \mu parametroa, zorizko aldagaien logaritmoen batezbestekoa dena, hiru dentsitate-funtzioetan 0 da.]]
Logaritmoa probabilitate-teorian agertzen da. Zenbaki handien legearen arabera, txanpon bat airera botata, aterako den gurutze kopuruak infinitura jotzen du; aldiz, aurpegi-gurutze erlazioak, erdira. Izan ere, erlazio horren arteko fluktuazioa logaritmo iteratuaren legearen arabera deskribatzen da.

Logaritmoa log-normal banaketan ere agertzen da. Zorizko aldagai baten logaritmoa banaketa normala duenean, aldagaia log-normal banaketa duela esaten da. Log-normal banaketa arlo askotan aurkitzen da, aldagai bat ausazko zenbaki positibo askeen biderketa bezala eratzen den bakoitzean; esaterako turbulentzien azterketa.

Logaritmoak modelo estatistikoen egiantz-handieneko estimazioan erabiltzen dira. Horrelako modeloetan, egiantza funtzioa, gutxienez, estimatu beharreko parametro baten menpe dago. Egiantz-handieneko funtzioa egiantz logaritmoko parametro-balio maximoan agertzen da, logaritmoa funtzio gorakorra delako. Egiantz logaritmoa maximizatzeko errazagoa da, bereziki ausazko aldagai askeek duten biderkatzen probabilitateengatik.

Benford-en legeak dio hainbat datu-baseetan logaritmoa aurki dezakegula, esaterako eraikuntzen pisuan. Benford-en legearen arabera, lagin bateko edozein zenbakiren lehen dezimalaren balioa d (1tik 9ra) \log_{10}(d+1)-\log_{10}(d) da, unitatearen neurrian edozein izanik. Ondorioz, lagin bateko datuen %30 1 digituarekin hasten da, %18 2 digituarekin eta abar. Auditoreek Benford-en legea erabiltzen dute zerga-iruzurren desbiderapenak aurkitzeko.

## Erreferentziak 
## Ikus, gainera 
* Logaritmo nepertar
* Logaritmo natural
* Logaritmo hamartar
* Funtzio esponentzial
* e zenbakia

## Kanpo estekak 
* Weisstein, Eric W.: "Natural Logarithm" MathWorld-en.