Abiadura

**Abiadura** magnitude fisikoak puntu material batek norabide jakin batean denbora-unitateko duen desplazamendua adierazten du. Magnitude hau bektorea da, \boldsymbol v (edo \vec v) sinboloaz adierazi ohi da, eta denborarekiko posizio-aldaketa adierazten du.

Analisi dimentsionalean, hauxek dira abiaduraren dimentsioak oinarrizko magnitudeen funtzioan: [\boldsymbol v] = \text {L T}^{-1}. Hortaz, nazioarteko SI sisteman, abiaduraren unitatea \text {m s}^{-1} edo \text {m/s} da («metro segundoko» edo «metro zati segundo» irakurtzen da).

Beti ere, abiadura bektorea erreferentzia-sistema batekiko definitzen da. Hortaz, abiadura oro erlatiboa da, erreferentzia-sistema jakin bati baitagokio, erlatibitate bereziak postulatu gisa hartzen duen argiaren abiadura (\text {c}) izan ezik, zeinak balio berbera duen sistema guztietan.

## Abiadura kontzeptuaren historia 
Nahiz eta gaur egun, abiadura kontzeptua nahikoa barneraturik daukagun irakaskuntzan eta gizartean, oso prozesu luzea behar izan zen, lehenik, naturan presente dagoen etengabeko *higidura*ren ulermenera iristeko, eta gero, gaur egun fisikan erabiltzen ditugun *abiadura* eta *azelerazioa* bezalako kontzeptuak zehazteko.
thumb|234x234px|Aristotelesen bustoa Erroman.

### Aristoteles 
Grezia zaharreko *naturaren filosofoak* K.a. VII. mendearen inguruan hasi ziren Naturan gertatzen ziren higiduren izaerari buruzko ideiak lantzen.enbait mende geroago, haien lanen sintesia egin zuen Aristoteles-ek (K.a. 384-322). Berak idatzitako *Fisika* izeneko lanean adierazi zuenez, Naturako materia orok du higidura-printzipio bat —ohar gisa diogun ezen «physis» (***φύσις**,* grezieraz idatzita) hitzak  “natura” esan nahi zuela greziera zaharrean—, eta printzipio horren arabera sorturiko higidura naturalak aztertu zituen. Beraren iritziz, berez erortzen ari zen gorputz orok abiadura jakin bat lortzen zuen, eta gorputzaren pisuak zerikusi funtsezkoa zuen abiaduraren balioan, honelakoa hain zuzen: pisu desberdineko bi gorputz kontsideraturik, batak bestearen pisu bikoitza bazuen, abiadura ere bikoitza izango zuen. Bistan denez, ez zuen ondo ulertu abiadura kontzeptua, eta ez zuen neurketa zehatzik egin gorputzen abiaduren balioa zenbatesteko; aitzitik, Aristotelesek deskribatu egin zituen higiduraren inguruko fenomenoak, baina matematika erabili gabe; eta zehaztasunik gabe.

### Erdi Aroko aurrerapausoak 
Aristotelesengandik poliki-poliki aldenduz, Erdi Aroan asko aurreratu zen abiadura kontzeptua ulertzeko ahaleginean, denbora neurtzeko erlojuetan eginiko aurrerapenak baliatuz, besteak beste. Horrela, abiaduraren balioen estimazioak egiten hasi ziren, eta horregatik, gaur egungo zenbait ikertzailek Galileo-ren lanen ikusi dituzte Oxford-eko eta Parisko unibertsitateetan garai haietan eginiko lanetan.
thumb|215x215px|Galileo Galilei (1564-1642)

### Galileo 
Galileo Galilei (1564-1642) izan zen *abiadura* kontzeptua zehazki eta sistematikoki aztertu zuen lehena. Horretarako, esperimentu egokiak diseinatu zituen abiadura neurtu ahal izateko. Funtsezkoak izan ziren *plano inklinatua*n erortzen ziren gorputzekin eginiko saiakuntzak. Haietan, Galileo gai izan zen denbora zehazki neurtzeko penduluaren bidez, baita denbora-tarte zehatz batean solidoek ibilitako bidea edo *distantzia* neurtzeko ere. Era horretan zehaztu eta definitu zuen abiadura kontzeptua, esanez ezen abiadura «*gorputzek denbora-unitatean ibilitako distantzia*» dela.  

Definizio horrek aurrerapen handia ekarri zuen, baina mugaturik egon zen hasieran, garai hartako matematikaren gaitasun mugatuagatik. Kasurako, posible —eta erraz— zen *abiadura konstanteaz* higitzen ari zen *higikari* baten abiadura kalkulatzea. Halaber posible zen *azelerazio konstanteaz* ari zen higikariaren abiadura kalkulatzea, hala nola Galileok berak aztertu zituen erorketa askeko kasuetako abiadurak lortzea. Nolanahi ere, higikariaren abiadura modu korapilatsuagoan aldatzen zenean, garai hartan ez zegoen tresna matematiko egokirik kalkuluak egiteko.
ezkerrera|thumb|213x213px|Isaac Newton (1643-1726)
thumb|216x216px|Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

### Newton eta Leibnitz 
Horretarako, XVII. mendearen bukaera aldera itxaron behar izan zen, Newton eta Leibinitzen lanen emaitzak ezagutu arte. Biek ala biek, ia aldi berean eta modu independentean garatu zuten *kalkulu infinitesimala*, eta horrela ebatzita geratu zen higikari batean *aldiuneko abiadura* kalkulatzeko problema. Labur esanda, kalkulu infinitesimalean bi arlo bereizten dira kalkulu diferentziala, *deribatua*k aztertzen dituena, eta kalkulu integrala, *integral*en izaeraz ari dena, biak elkarrekin koherenteak izanik. Hain zuzen, Newtonen irakasle izandako Isaac Barrow-ek (1630-1677) frogatu zuenez, deribazioa eta integrazioa alderantzizko eragiketak dira.

Ordutik aurrera esan dezakegu «*abiadura higikariaren posizioaren denborarekiko deribatua*» dela. Eta bide beretik aurrera eginez, XVIII. mendearen hasierakin, 1700ean, Pierre Varignon-ek (1654-1722) formalizatu egin zuen azelerazioaren definizioa hain zuzen ere «*azelerazioa abiaduraren denborarekiko deribatua*» zela zehaztuz.

thumb|Partikula puntualaren higidura deskribatzeko elementuak.|alt=|330x330px
## Partikula puntualaren higidura 
Alboko irudian marrazturik ageri dira partikula puntual baten higidura definitzen duten elementuak: erreferentzia-sistema (Oxyz), behatzailea (B), ibilbidea (A_0AA' kurba), hasierako posizioa (A_0, t=0 aldiuneari dagokiona), t aldiuneko posizioa (A puntua), t'aldiuneko posizioa (A' puntua), A puntuaren posizio-bektorea (\boldsymbol r), A' puntuaren posizio-bektorea (\boldsymbol r'), AA' ibilbide-tartearen arku-luzera (\Delta s), \vec {AA'} bektorea (\Delta \boldsymbol r), (t'-t) denbora tartea (\Delta t).

## Batez besteko abiadurak 
Lehenik, bi eratan definituko ditugu batez besteko abiadurak:

* Eskalarki: \bar{v} = {\Delta s \over \Delta t}. *Batez besteko abiadura eskalar* hau da ibilbidearen arkutik ibilitako bidearen eta pasatutako tartearen arteko zatidura, ibilbide osoa kontuan izanik.
* Bektorialki: \langle \boldsymbol v\rangle={\Delta \boldsymbol r \over \Delta t} = { \Delta (\boldsymbol r' - \boldsymbol r) \over {t'-t}}  . Izatez, balio honek ez dauka interpretazio orokorrik, ibilbidearen formaren araberakoa baita. Dena den, aurrerago aldiuneko abiadura definitzeko erabiliko dugu.

thumb|250x250px|*Ford* markako automobil baten abiadura-neurgailua, aldiuneko abiadura \text {km/h} eta\text {mph} unitatetan adieraztekoa.

## Aldiuneko abiadurak 
Honetan ere bi modutara definituko ditugu:

* *Aldiuneko abiadura eskalarra* batez besteko abiadura eskarralaren limite modura definituko dugu, denbora-tartea zerorantz doanean:v=\lim_{\Delta t \to 0} \bar{v} = \lim_{\Delta t \to 0} {\Delta s \over \Delta t}= {\operatorname{d}\!s\over\operatorname{d}\!t}Abiadura hau da automobilen abiadura-neurgailuan adierazten dena

* *Aldiuneko abiadura bektoriala* ere antzera definitzen da, baina kasu honetan batez besteko abiadura bektorialaren limite modura:\boldsymbol v=\lim_{\Delta t \to 0} \langle \boldsymbol v \rangle = \lim_{\Delta t \to 0} {\Delta \boldsymbol r \over \Delta t}=
{\operatorname{d}\boldsymbol r \over\operatorname{d}\!t}.thumb|Puntu bakoitzeko abiaduraren norabidea ibilbidearen ukitzailearena da.|alt=|330x330px|ezkerreraEzkerraldeko irudian ikus daitekeenez, aldiuneko abiadura bektorialaren norabidea ibilbidearen *zuzen ukitzailea*rena da. Hauxe da *abiadura* *bektorea*.

Ondorioz, era honetan adieraz daiteke aldiuneko abiadura bektorea, ibilbideko puntu bakoitzeko lerro ukitzailearen norabideko \boldsymbol u_t bektore unitarioaren bidez:\boldsymbol v=v \boldsymbol u_t.Bestetik, aldiuneko abiadura bektorea posizio-bektorearen osagaien bidez ere adieraz daiteke, honelaxe:\boldsymbol v = \frac {\text {d}\boldsymbol r} {\text {d}t}= \frac {\text{d} (x \boldsymbol i+
y \boldsymbol j + z \boldsymbol k)} {\text {d}t} = \frac {\text {d}x} {\text {d}t} \boldsymbol i + \frac {\text {d}y}
{\text {d}t} \boldsymbol j +\frac {\text {d}z} {\text {d}t} \boldsymbol k= v_x \boldsymbol i
+ v_y \boldsymbol j + v_z \boldsymbol k .Adierazpen horretan, v_x,v_yeta v_z abiadura bektorearen hiru osagai kartesiarrak dira. Osagaiok kontuan izanik, hauxe da aldiuneko abiadura bektorearen modulua:v = \left \vert \boldsymbol v \right \vert = \left \vert {\operatorname{d}\boldsymbol r\over\operatorname{d}\!t}
\right \vert = {\operatorname{d}\!s\over\operatorname{d}\!t} =\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}.
## Posizioaren adierazpena abiadura eta denboraren funtzioan 
Aldiuneko abiaduraren definiziotik abiaturik, eta hasierako posizioa (\boldsymbol r_\text {0}) eta abiadurak denboraren funtzioa daukan \boldsymbol v (t) balioa zein diren jakinik, modu errazean kalkula daiteke zein izango den partikularen posizioa, \boldsymbol r (t), edozein t aldiunetan. Era honetan egin daitezke kalkuluak:\boldsymbol v (t) = \frac {\mbox {d}\boldsymbol r (t)} {\mbox {d}t},\mbox {d} \boldsymbol r (t) = \boldsymbol v (t) \mbox {d}t,\int_{\boldsymbol r_0}^ {\boldsymbol r (t)} \mbox {d}\boldsymbol r = \boldsymbol r (t) -
\boldsymbol r_0 = \int_{t_0}^{t} \boldsymbol v (t) \mbox {d}t , \boldsymbol r (t) =
\boldsymbol r_0 + \int_{t_0}^{t} \boldsymbol v (t)\mbox {d}t. Integral hori kalkulatzeko, abiadura nola aldatzen den jakin behar da aldez aurretik, alegia,  \boldsymbol v (t)  funtzioa nolakoa den jakin behar da. Abiadura konstantea den kasuan, oso erraz lortzen da emaitza: \boldsymbol r (t) = \boldsymbol r_0 + \boldsymbol v (t-t_0). 
## Abiadura kontzeptu erlatiboa da 
Zer gertatzen da erreferentzia-sistema aldatzen denean? Elkarrekiko higitzen ari diren behatzaile guztiek modu berean neurtzen ote dute puntu material jakin baten abiadura? Galdera hohriei erantzuteko, bi kasu sinpletan aztertuko dugu arazoa: elkarrekiko translazioko higidura zuzen uniformea duten bi erreferentzia-sistemaren kasuan, eta elkarrekiko biraketa-higidura konstantea duten sistemen kasuan.thumb|330x330px|Ox'y'z'sistema v abiadura konstantez higitzen ari da Oxyz sistemarekiko.
### Elkarrekiko translazio-higidura zuzen eta uniformea duten bi erreferentzia-sistemaren kasua 
Kontsidera dezagun bi erreferentzia-sistema paralelo ditugula,  Oxyz  eta  O'x'y'z'  sistemak, bakoitza bere behatzailearekin,  B  eta  B' , alboko irudian ageri den bezala. Bigarren sistema  \boldsymbol V  abiadura konstantez higitzen ari da lehenarekiko, eta  t=0  aldiunean bi sistemak kointzidenteak izan direla onartuko dugu, hots, aldiune horretan  O=O' izan dela.

Beraz, edozein  t  aldiunetan, bigarren sistemaren jatorriak lehenengo sisteman duen posizio-bektorea \boldsymbol R = \boldsymbol V t izango da. Hortaz,  A  puntuaren posizioa neurtzean, bi behatzaileek bektore desberdinak neurtuko dituzte,  \boldsymbol r ** **eta  \boldsymbol r' , bi bektore horien artean erlazio hau izanik:   \boldsymbol r = \boldsymbol R + \boldsymbol r' = \boldsymbol V t + \boldsymbol r'. 

### Abiaduren batuketa mekanika klasikoan 
Eta mekanika klasikoan denbora bi behatzaileentzat modu berean pasatzen denez, berdintza horren alde biak denborarekiko deribatuz, bi behatzaileek neurtzen dituzten abiaduren arteko erlazioa lortuko dugu: {\operatorname{d}\boldsymbol r \over\operatorname{d}\!t}=
{\operatorname{d}(\boldsymbol V {t}) \over\operatorname{d}\!t}+
{\operatorname{d}\boldsymbol r' \over\operatorname{d}\!t},  \boldsymbol v = \boldsymbol V + \boldsymbol v'. Ikus dezakegunez, bi behatzaileek neurtzen dituzten abiadurak desberdinak dira; hain zuzen, lehenengo behatzaileak neurturiko  \boldsymbol v  abiaduraren balioa beste bi ***abiaduren batura*** da, hots,  \boldsymbol V +\boldsymbol v'.  Agerikoa denez, abiaduraren balioa kontzeptu erlatiboa da, neurketako erreferentzia-sistemaren araberakoa.

### Elkarrekiko biraketa-higidura duten bi erreferentzia-sistemaren kasua 
thumb|330x330px|Elkarrekiko biraka ari diren bi erreferentzia-sistemaren kasua.
Oraingoan, alboko irudian ageri den moduko higidura erlatiboa duten bi erreferentzia-sistemaren kasua aztertuko dugu. Kontsideratuko dugu  Oxyz  sistema geldi dagoela eta  Ox'y'z'  sistema biraka ari dela  O  puntutik pasatzen den ardatz baten inguruan  \boldsymbol \omega  abiadura angeluar konstanteaz.

Jatorri bereko bi sistema direnez, posizio-bektoreak berberak izango dira denbora guztian, baina sistema bakoitzean osagai desberdinak izango dituzte: \boldsymbol r \equiv \boldsymbol r',  x \boldsymbol i + y \boldsymbol j+ z \boldsymbol k = x' \boldsymbol i' + y' \boldsymbol j'
+ z' \boldsymbol k'. Bi sistemetan partikulak dituen abiadurak kalkulatzeko, denborarekiko deribatuak kalkulatu behar dira. Dena den, hemen ez dugu deribazio-prozesua zehatz-mehatz aztertuko; bakarrik jarriko dugu azken emaitza: \boldsymbol v = \boldsymbol v' + \boldsymbol \omega \times \boldsymbol r'. Bistan denez, bi behatzaileek neurtzen dituzten abiadurak desberdinak dira, eta horretan eragin zuzena du baita bigarren sistemaren \boldsymbol \omega abiadura angeluarrak ere.
## Abiadura neurtzeko unitateak 
Abiadura hainbat arlotan erabiltzen denez, ohitura dago unitate espezifikoak erabiltzeko bizimodu arrunteko arloan arloko praktikan.

### Nazioarteko SI unitate-sistema 
Oro har, zientziaren arlo gehienetan unitate estandarrak erabiltzen dira, alegia, SI sistemako zazpi oinarrizko unitateetatik eratorritakoak. Hortaz, abiaduraren dimentsio-ekuazioa, [\boldsymbol v] = \text {L T}^{-1}, kontuan izanik,

* zientzian erabili ohi den unitatea «metro zati segundo» (edo «metro segundo minus bat» edo «metro segundoko») da. Era sinbolikoan honelaxe adierazten da: \text {m/s} edo \text {m s}^{-1}.  

Nolanahi ere, SI sistemakoak izan gabe, unitate hauek ere erabiltzen dira askotan:

* Ibilgailuen kasuan, ohikoena «kilometro orduko» unitatea da, eta \text {km/h} sinboloaz adierazten da.
* Abiadura oso handien kasuan, argiarenean adibidez, «kilometro segundoko» unitatea, \text {km/s} sinboloaz adierazten dena.

### CGS sistema (sistema zegesimala) 
Zientziaren zenbait arlotan ohitura dago, antzina arrunta zen CGS sistemako abiadura-unitatea erabiltzeko, alegia:

* «zentimetro segundoko» unitatea da, \text {cm/s} sinboloaz adierazten dena.

### Unitate-sistema anglosaxoia 
Lurralde anglosaxoietan beren tradiziozko unitate-sistema erabiltzen segitzen dute bizimodu arruntean, nahiz eta zientziaren arloan SI sistema nagusitzen ari den gero eta gehiago. Hona hemen sistema anglosaxoizko abiadura-unitateak:

* «oin segundoko» unitatea, \text {ft/s} sinboloduna.
* «milia orduko» unitatea, \text {mph} sinboloduna, ibilgailuetan ohikoena.
* «milia segundoko» unitatea, \text {mps} sinboloduna.

### Itsas nabigazioko unitatea 
Itsasoko nabigazioan «korapiloa» deritzon unitate berezia erabiltzen da; beraren sinboloa \text {kn} da (ingelesezko «knot» hitzetik sortua)

* Korapilo bateko abiadura ordubetean «itsas milia bat ibiltzean eginiko» desplazamenduari  dagokio. Beraren sinboloa \text {kn} da. Itsas milia bat («milia nautikoa» ere deitua) \text {1852 m}-ren baliokidea denez, baliokidetza hau du: \text {1 kn = 1,852 km/h}Ohar gisa diogun ezen lehorrean erabili ohi den «milia»-aren balioa \text {1609,344 m} dela.

### Aeronautikako unitate berezia 
Aeronautikan, abiadura handiko hegazkinen kasuan, soinuak atmosferan baldintza berezietan duen abiadura hartzen da erreferentziatzat. Hain zuzen, itsas mailan airearen hezetasuna \% \text { 50}-eko izanik eta \text {20 } ^\circ \text {C}-eko tenperaturan neurturik, soinuaren abiadurak 343,2 \text { m/s} m/s balio du (hots, \text {1235,52 km/h}).

Soinuaren abiadura hori oinarri hartuta, «Mach zenbakia» izeneko abiadura erlatibo bat definitzen da, hegazkinaren abiaduraren, v, eta soinuaren abiaduraren, v_\text{s}, zatidura modura.

\text {Mach zenbakia} = M = \frac {v} {v_\text {s}}.Mach zenbakiaren osagai dimentsionalak kalkulatzean, emaitza hau lortzen da:
thumb|260x260px|*Concorde* hegazkin supertsonikoa airean.
[M] = \frac {[v]} {[v_\text {s}]}= \frac {\text {L T}^{-1}}{\text {L T}^{-1}}
= \text {L}^{0}\text {T}^{0}.

Agerikoa denez, zenbaki adimentsionala da, logikoa dena bestalde, hegazkina soinuaren abiadura baino zenbat aldiz bizkorrago dabilen adierazten baitu soilik. Adibidez, M = 2 abiaduraz doan hegazkina soinua baino bi aldiz bizkorragoan dabil, hots, v = 2\times \text {1235,52 km/h} = \text {2471,04 km/h} abiaduran. Normalean, gerra-hegazkinak baino ez dabiltza tarte labur batzuetan soinua baino bizkorrago. Orain arte bi hegazkin komertzial supertsoniko baino ez dira fabrikatu eta erabili. Lehena Tupolev Tu-144a hegazkin sobietarra izan zen, 1968-1978 bitartean erabili zena. Bigarrena Frantziak eta Erresuma Batuak fabrikaturiko Concorde izenekoa, 1969 eraikia, 1976an komertzialki erabiltzen hasia, eta 2000. urtean istripu bat izan ondoren, bere hegaldiak 2003an amaitu zituena.

### Argiaren abiadura 
Erlatibitatearen teoriaren ondorioak kontuan izanik, argiaren abiadurak ezaugarri berezia du: argiak hutsean duen abiadura *konstante unibertsala* da. Pisu eta Neurrien Nazioarteko Batzordearen (frantsesez, *Comité international des poids et mesures*, CIPM)https://www.bipm.org/fr/committees/cipm/ azpibatzorde baten proposamena kontuan harturik, oinarrizko zazpi unitateen definizioa zazpi konstante unibertsalen bidez ematea erabaki zen 2018ko 26. Batzar Orokorrean. Aukeratutako zazpi konstante horietako bat argiaren abiadura da. Hain, zuzen argiak hutsean duen abiadurak  c = \text{299 792 458 m s}^{-1}balio du.
## Abiadura mekanika erlatibistan 
Mekanika erlatibistan, aldatu egin behar dira mekanika ez-erlatibistaren atalean esandako zenbait kontzeptu, bereziki goragoko atal batean elkarrekiko translazio-higidura zuzen eta uniformea duten bi erreferentzia-sistemaren kasuan azaldutako transformazioei buruzkoak. Izan ere, jadanik denbora eta espazioa ez dira kontzeptu absolutuak, eta bi sistemetako behatzaileek (B eta B') neurtzen dituzten abiaduren arteko transformazio-ekuazioak desberdinak baitira.

Ondorioz, abiaduren batuketa egitean, jadanik ez da betetzen mekanika klasikoaren ekuazio sinplea —alegia,  \boldsymbol v = \boldsymbol V + \boldsymbol v'  batuketa—. Aitzitik, mekanika erlatibistan transformazio ekuazio hau hartu beharko dugu kontuan:

v = \frac {V +v'} {1 + \frac {Vv'}{c^2}}.Horrek mekanika ez-erlatibitaren arloan ulertu ezin diren ondorioak dauzka.

Adibidez, ikus dezagun zer gertatzen den S' sistematik argia bera behatzean. Kasu horretan, B' behatzaileak v' =c abiadura neurtuko du. Abiaduren batuketa erlatibistari dagokion formula aplikatuz gero, B behatzaileak abiadura hau neurtuko du:

v = \frac {V + c} {1+ \frac {Vc} {c^2} } =
\frac {V + c} {\frac {c^2 + Vc} {c^2} } = \frac {V + c} {\frac {c(c + V)} {c^2} } = c.

Alegia, argiaren abiadura v= c izango da baita S sisteman ere. Emaitza hori guztiz ados dago erlatibitatearen teoriaren postulatuarekin: argiaren abiadura konstante unibertsala da.

## Abiadura-modulua 
**Abiadura-** edo **lastertasun-modulua** egindako bitartearen eta bitartea osatzeko erabilitako denboraren arteko harremana da. Bere izaria *v* izendatzen da. Abiadura-modulua L]/t] dimentsioko izari eskalar bat da.

## Abiaduraren bidez definituriko bi magnitude fisiko 
Mekanika ez-erlatibistan, abiaduraren bidez definitzen dira bi magnitude hauek:

* Momentu lineala (\boldsymbol p) magnitude bektoriala da, partikularen masaren eta abiaduraren biderkadura gisa definitua: \boldsymbol p = m \boldsymbol v.
* Energia zinetikoa (E_\text {k}) magnitude eskalarra da: E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}mv^{2} .

Gainera, partikularen masa konstantetzat hartzen da; hau da, beraren balioa ez da aldatzen abiadura handiagotzean, eta balio bera du erreferentzia-sisteman geldi egon zein v abiaduraz ibili.

Mekanika erlatibistan, ordea, masa aldatu egiten da abiadurarekin, era honetan, hain zuzen:

m= \frac {m_0} {\sqrt {1 - \frac {v^2}{c^2}}} = \gamma m_0,non m_0 *pausaguneko masa* den, eta \gamma Lorentzen faktorea. Horrek momentu linealaren eta energiaren definizioen aldaketa dakar:

* Momentu lineala honelaxe adierazten da pausaguneko masaren eta abiaduraren bidez: \boldsymbol p = \gamma m_0 \boldsymbol v. 
* Partikula geldi dagoela, hauxe da pausaguneko energia: E_0 = m_0 c^2. 
* Eta abiaduraz doan partikularen energia zinetikoa: E=mc^2 = \gamma m_0 c^2. 

Azkenik, energia osoaren adierazpena eta momentuaren definizioa konbinatzen baditugu,  faktore gabeko energia osoaren adierazpena lortuko dugu:

E^2=(m_0 c^2)^2 + (pc)^2

Masaren terminoa askatuta, honela geratzen da adierazpena:

E^2-p^2c^2 = {m_0}^2 c^4.

Eskuineko aldea konstantea denez, ezkerreko aldeak ere konstantea izan behar du, eta beraz, erreferentzia-sistema guztietan balio berbera izan behar du. Hau da, azken adierazpen hori aldaezin erlatibista da.
## ezkerrera|24px Ariketak 

Fitxategi:Distantzia, abiadura, denbora ariketa 1.webm|thumbtime=71|**Distantzia, abiadura eta denbora** lantzeko ariketa.
Fitxategi:Distantzia, abiadura, denbora ariketa 2.webm|thumbtime=71|**Distantzia, abiadura eta denbora** lantzeko ariketa II.
Fitxategi:Higidura eta unitateak Ariketa 1 DBH3.webm|thumbtime=71|**Higidura**, **abiadura unitateak** eta **azelerazio unitateak** lantzeko ariketa I.
Fitxategi:Higidura eta unitateak Ariketa 2 DBH3.webm|thumbtime=71|**Higidura**, **abiadura unitateak** eta **azelerazio unitateak** lantzeko ariketa II.
Fitxategi:Higidura eta unitateak Ariketa 3 DBH3.webm|thumbtime=71|**Higidura**, **abiadura unitateak** eta **azelerazio unitateak** lantzeko ariketa III.
Fitxategi:Higidura eta unitateak Ariketa 4 DBH3.webm|thumbtime=71|**Higidura**, **abiadura unitateak** eta **azelerazio unitateak** lantzeko ariketa IV.

## Erreferentziak 
## Bibliografia 
* Aguirregabiria, Juan María.. (2004). *Mekanika klasikoa.* Universidad del País Vasco ISBN 84-8373-631-4 PMC 932541663

* Fishbane, Paul (2008) *Fisika zientzialari eta ingeniarientzat. 1. bolumena, (1.etik-21.era Gaiak)* Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea ISBN9788490820308PMC932800438.
* Etxebarria Bilbao, Jose Ramon (arg.) *Fisika orokorra (2. argitalpena)* UEU, Bilbo (2003) ISBN 9788484380450.
* Marcelo Alonso, Edward J. Finn (1976). *Física*. Fondo Educativo Interamericano. ISBN 84-03-20234-
* J.R. Etxebarria & F. Plazaola (1992) Mekanika eta Uhinak, UEU, Bilbo, 

## Ikus, gainera 
## Kanpo estekak