Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker metrika

**Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker** (**FLRW**) **metrika** erlatibitate orokorreko Einstein-en eremu ekuazioen soluzio zehatza da. Hedatzen (edo uzkurtzen) dagoen unibertso homogeneo eta isotropo bat deskribatzen du. Metrikaren forma orokorrak homogeneotasun eta isotropia propietatetik dator; Einstein-en eremu ekuazioak unibertsoaren eskala faktorea denboraren funtzio gisa ondorioztatzeko baino ez dira behar. Lehentasun geografiko edo historikoen arabera, lau zientzilarien taldea—Alexander Friedmann, Georges Lemaître, Howard P. Robertson eta Arthur Geoffrey Walker—**Friedmann**, **Friedmann-Robertson-Walker** (**FRW**), **Robertson-Walker** (**RW**) edo **Friedmann–Lemaître** (**FL**) bezala taldekatzen ohi dira. Eredu honi batzuetan kosmologia modernoaren *Eredu Estandarra* deitzen zaio, deskribapen hori Lambda-CDM eredu garatuagoarekin baita lotuta badago ere. FLRW eredua modu independentean garatu zuten izendatutako egileek 1920ko eta 1930eko hamarkadetan.

## Metrikaren forma 
alt=Unibertsoaren zabalkuntzaren eskema|thumb|Irudi honek unibertsoaren zabalkuntza espaziala eskematikoki azaltzen du, FLRW metrikan eskala faktoreak emanik. Irudi honetan unibertsoa bi dimentsioko (2D) plano batekin adierazi da. Ikusten denez, denbora aurrera joan ahala (ardatz bertikalean gora) galaxiak gero eta urrunago daude, haien artean espazioa sortzen baita.
FLRW metrika espazioaren homogeneotasunaren eta isotropiaren onarpenarekin hasten da. Metrikaren osagai espaziala denboraren menpekoa izan daitekela onartzen du ere bai. c=1 egiten dituzten unitatetan, baldintza hauek betetzen dituen metrikaren forma orokorra honako hau da:

: \operatorname{d}\! s^2
=-\operatorname{d}\! t^2+a(t)^2\operatorname{d}\! \mathbf{\Sigma}^2

non a(t) **eskala faktorea** den, denboraren menpekotasun esplizitua duena eta c=1 egiten dituzten unitatetan adierazita dagoena. Metrika kordenatu kartesiarretan lortu dezakegu \operatorname{d}\! \mathbf{\Sigma}^2 = \operatorname{d}\!x^2+\operatorname{d}\!y^2+\operatorname{d}\!z^2 ordezkatuz, baina ohikoena koordenatu esferikoetan adieraztea da:

: \operatorname{d}\! s^2
=-\operatorname{d}\! t^2+a(t)^2\left(\frac{\operatorname{d}\! r^2}{1-k r^2}+r^2\operatorname{d}\! \theta^2+r^2\sin^2\theta\operatorname{d}\! \varphi^2\right)

non k espazioko kurbadura errepresentatzen duen konstantea den. Einstein-en eremu-ekuazioak ez dira erabiltzen metrikaren forma orokorra lortzeko, homogeneotasunaren eta isotropiaren propietate geometrikoetatik ateratzen da. Hala ere, a(t)-ren forma zehatza lortzeko Einstein-en eremu-ekuazioak eta \rho(a) egoera-dentsitate ekuazioaren definizioa behar dira.

### Normalizazioa 
Metrikak normalizaziorako zenbait aukera uzten ditu. k konstantea definitzeko bi unitate konbentzio daude:

* k luzera−1 unitateak izan ditzan aukeratu daiteke, kasu horretan r luzera unitateak ditu eta a(t) adimentsionala da. Orduan, k espazioaren kurbadura Gaussiarra da a(t)=1 denean. Batzuetan, r-ri zirkunferentzia laburtua deitzen zaio zirkulu baten neurtutako zirkunferentzia delako (r-ren balio horretan), jatorrian zentratua eta **2\pi**-gatik zatitua (Schwarzschild-en koordenatuen r bezala). Aproposa denean, a(t)oraingo era kosmologikoan 1
 izateko aukeratzen da, \mathrm{d}\mathbf{\Sigma}-k distantzia kohigikorra neurtu dezan. Ohiko aukera gaur egungo eskala faktorea unitate bezala kontsideratzea da (a(t_0)\equiv1).
* Alternatiboki, k \{-1,0,1\} balioetako bat izateko aukeratu daiteke (balio negatibo, nulu eta positiboetarako, hurrenez hurren). Ondorioz, r unitate gabekoa da eta a(t)-k luzera unitateak ditu. k=\pm1 denean, a(t) espazioaren kurbatura erradioa da, eta maiz R(t) bezala idazten da ere bai.

Maiz metrika *kurbadura normalizatutako* eran idazten da hurrengo transformazioaren bidez:

: \chi=
\begin{cases} 
\sqrt{k}^{-1}\sin^{-1}{(\sqrt{k}r)}, & k>0 \\
r, & k=0 \\
\sqrt^{-1}\sinh^{-1}{(\sqrtr)}, & k

Kurbaturan normalizatutako koordenatuetan metrikak ondorengo forma hartzen du:

: \operatorname{d}\! s^2=-\operatorname{d}\! t^2 + a(t)^2 \left[ \operatorname{d}\! \chi^2+S_k(\chi)^2 (\operatorname{d}\!\theta^2+\sin^2\theta \operatorname{d}\!\varphi^2) \right],

non

: S_k(\chi)=
    \begin{cases} 
        \sqrt{k}^{-1}\sin{(\sqrt{k}\chi)}, & k>0 \\
        \chi, & k=0 \\
        \sqrt^{-1}\sinh{(\sqrt\chi)}, & k

Aukera honek eskala faktorea adimentsionala dela baina edozein unetan k normalizatura errez bihurtu daitekela onartzen du.

Distantzia kohigikorra abiadura pekuliar nulua duen objektu baterainoko distantzia da. Kurbadura normalizatuan koordenatua \chi da. Distantzia propioa aldiune jakin bateko espazioko puntu baterainoko distantzia fisikoa da. Distantzia propioa a(t) \chi da.

## FLRW espazio-denboraren propietate orokorrak 
FLRW metrikak emandako soluzioak Friedmann-en ekuazioak emandako dentsitate eta presioak dituen jariakin idealez beteriko unibertsoa deskribatzen du. G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=8\pi G T_{\mu\nu} Einstein-en eremu-ekuazioen soluzio bat da, Friedmann-en ekuazioak emanez energia-momentu tentsorea baita homogeneo eta isotropoa suposatzen denean. c=1 den unitatetan, lortutako ekuazioak honako hauek dira:

: \frac{\dot{a}^2}{a^2}+\frac{k}{a^2}-\frac{\Lambda}{3}=\frac{8\pi G}{3}\rho,
: 2\frac{\ddot{a}}{a}+\frac{\dot{a}^2}{a^2}+\frac{k}{a^2}-\Lambda=-8\pi G p.

non:

: k \in \{ -1,0,1\} kurbadura espazialaren zeinua den,
: a eskala faktorea den, zeinetik unibertso behagarriaren tamaina kalkulatu daitekeen,
: \Lambda konstante kosmologikoa den,
: G grabitazio unibertsalaren konstantea den eta
: \rho, p izararteko materiaren dentsitate eta presioa diren, hurrenez hurren.

Ekuazio horiek Big Bang eredu kosmologiko estandarraren oinarria dira egungo ΛCDM eredua barne. FLRW metrika zehatzak unibertso guztiz homogeneoa deskribatzen duenez, zenbait iturri ezagunek gaizki diote FLRW metrikan oinarritutako Big Bang ereduak ezin duela behatutako unibertsoaren pikortasuna edo eskala ezberdinetan behatutako temperatura aldakuntzak kontutan hartu. FLRW eredu zorrotz batean, ez dago multzo galaktikorik edo izar multzorik, egitura hauek ez-homogeneotasunak osatzen baituzte. Nolanahi ere, FLRW eredua unibertso erreal eta pikordunaren bilakaeraren lehen hurbilketa gisa erabiltzen da, kalkulatzea erraza baita, eta unibertsoaren pikortasuna edo tenperatura bariazioak ereduztatzeko luzatu daiteke. Kosmologo gehienak ados daude unibertso behagarria *ia-FLRW eredu batera* hurbiltzen dela, hau da, dentsitate-fluktuazio primordialetatik eratorritako FLRW metrika erabiltzen duen eredua. 2003. urteraino, FLRW ereduaren luzapen desberdinen inplikazio teorikoak ondo ulertzen zirela zirudien, eta helburua COBE eta WMAP behaketekin bat etortzea zen.

### Geodesikoak 
Unibertso bateko partikula askeen higidura, hau da, espazio-denbora osoa eboluzionatu ahala jarraitzen dituzten ibilbideak lerro geodesikoengatik emanda datoz, metrikatik kalkulatu daitezkeenak. FLRW metrika x^\mu=(t,\chi,\theta,\varphi) kordenatu kohigikorretan hurrengoa dela ikusi da:

: \operatorname{d}\! s^2= g_{\mu\nu}\operatorname{d}\!x^\mu\operatorname{d}\!x^\nu
=-\operatorname{d}\! t^2 + a(t)^2 \left[ \operatorname{d}\! \chi^2+S_k(\chi)^2 (\operatorname{d}\!\theta^2+\sin^2\theta \operatorname{d}\!\varphi^2) \right].

Unibertsoko puntu jakin batetatik pasatzen den geodesikoa kalkulatzeko, \chi=0 izateko moduan aukeratuko dugu koordenatu kohigikorrak. Geodesikoen ekuazioa hurrengoa da:

: \dot{v}_\lambda=\frac{1}{2}g_{\mu\nu,\lambda}v^\mu v^\nu

non

: \dot{}\equiv\frac{\rm d}{\rm d\tau},\qquad v^\mu\equiv\dot{x}^\mu ,

\tau denbora propioa izanda. S_k(\chi=0)=0 denez, \dot{\theta}=\dot{\varphi}=0 izango da eta, gainera, lerro geodesikoen adierazpena eraztuko da. v_\mu v^\mu=-\dot{t}^2+a(t)^2\dot{\chi}^2=-\alpha betetzen da tetra-abiaduraren modulurako, \alpha =1 denbora motako geodesikoetarako eta \alpha =0 argi motako geodesikoetarako (geodesiko nulu ere deiturikoak). *\chi=0 aukeratzen bada geodesikoko puntu batean*, lerro geodesikoaren ekuazioak ondorengoak dira:

: \dot t^2 =\alpha+a(t)^2\dot\chi^2,
: a(t)^2\ddot\chi=0,
: \dot\theta=0,
: \dot\varphi=0.

Frogatu daiteke espazio-denboraren kurbadura eragiten duen materiarekin batera higitzen diren behatzaile galaktiko deiturikoek lerro geodesikoak jarraitzen dituztela.

### Isometria taldea 
Parametroen edozein baliorako FLRW metrikak unibertso espazialki isotropo eta homogeneoa definitzen du, denborarekiko simetriarik existitzen ez den arren, horrek isometria taldea zehazki kurbadura uniformeko espazio isotropo eta homogeneo baten isometria taldea izatea dakar. Hura 6 dimentsioko Lie talde bat da, espazio lau (k=0) baten kasurako talde hura zehazki \R^3\times SO(3) da.

## Kurbadura 
### Riemann-en tentsorea 
Riemann-en tentsorearen 55 osagai potentzialki independenteen artetik, kurbadura normalizatutako koordenatuetan, Riemann-en tentsorea nuluak ez diren gehienez sei osagaietatik idatzi daiteke:

: R_{0101}=a\ddot{a},
: R_{0202}=a\ddot{a}S_k^2,
: R_{0303}=a\ddot{a}S_k^2\sin^2\!\theta\,,
: R_{1212}=a^2S_k\sin^2\!\theta\,(S*_k-S_k\dot{a}^2),
: R_{1313}=a^2S_k(S*_k-S_k\dot{a}^2),
: R_{2323}=a^2{S_k}^2\sin^2\!\theta\,(1+{S_k}^2\dot{a}^2-{{S_k}'}^2).

Adierazpenak sinplifikatzeko a=a(t) eta S_k = S_k(\chi) erabili dira.

### Koordenatu kartesiarrak 
FLRW espazio lauan (k=0), koordenatu kartesiarrak erabiliz, bizirik dirauten Ricci-ren tentsorearen osagaiak

:  R_{tt} = - 3 \frac{\ddot{a}}{a}, \quad R_{xx}= R_{yy} = R_{zz} = a \ddot{a} + 2 \dot{a}^2 

dira, eta Ricci-ren eskalarra

:  R = 6 \left(\frac{\ddot{a}}{a}  +  \frac{\dot{a}^2}{a^2}\right)

da.

### Koordenatu esferikoak 
FLRW espazio orokortuago batean, koordenatu esferikoak erabiliz, anulatzen ez diren Ricci-ren tentsorearen osagaiak hurrengoak dira:

:  R_{tt} = - 3 \frac{\ddot{a}}{a} ,
: R_{rr}=\frac{a\ddot{a} + 2\dot{a}^2 + 2k}{1 - k\,r^2},
:  R_{\theta\theta} = r^2(a\ddot{a} + 2\dot{a}^2 + 2k),
: R_{\varphi\varphi} =r^2(a\ddot{a} + 2\dot{a}^2 + 2k)\sin^2\theta,

eta Ricci-ren eskalarra:

:  R =  6  \left(\frac{\ddot{a}}{a}  +  \frac{\dot{a}^2}{a^2} + \frac{k}{a^2}\right).

## FLRW metrikan oinarritutako eredu kosmologikoak 
### Interpretazioa 
Friedmann-en ekuazioak honako ekuazio bikote honen parekoak dira:

: \dot{\rho}=-3\frac{\dot{a}}{a}(\rho+p),
: \frac{\ddot{a}}{a}=-4\pi G\left(\frac{\rho}{3}+p\right)+\frac{\Lambda}{3}.

k, kurbatura espazialaren indizea, lehen ekuazioaren integrazio konstante gisa dugularik.

Lehen ekuazioa *jarraitutasunaren ekuazioa* eukiko genuke, energia/materia edota horren fluxuaren kontserbazioa bermatzen diguna. Ekuazio hura gogoeta termodinamikoetatik erator daiteke eta termodinamikaren lehenengo printzipioaren baliokidea da, unibertsoaren hedapena prozesu adiabatikoa dela suposatuz (inplizituki suposatzen dena FLRW metrikaren eratorpenean).

Bigarren ekuazioak dioenez, *azelerazioaren ekuazioa* deritzoguna, energia-dentsitateak eta presioak \dot{a} unibertsoaren hedapen-tasa jaistea eragiten dute, hau da, biek desazelerazioa (balaztatzea) eragiten dute unibertsoaren hedapenean. Grabitazioaren ondorioa da, presioak energiaren (edo masaren) dentsitatearen antzeko papera betetzen, erlatibitate orokorraren printzipioen arabera. Konstante kosmologikoak, berriz, azelerazio bat eragiten du unibertsoaren hedapenean.

### Konstante kosmologikoa 
Konstante kosmologikoa kendu egin daiteke honako ordezkapen hauek egiten baditugu:

: \rho\rightarrow\rho+\frac{\Lambda c^2}{8\pi G},
: p\rightarrow p-\frac{\Lambda c^4}{8\pi G}.

Hori dela eta, konstante kosmologikoa presio negatiboa duen energia modu batetik sortua dela interpretatu daiteke, bere energia-dentsitatearen berdina (positiboa) magnitudean:

: p=-u=-\rho c^2.

Energia mota hori—konstante kosmologikoaren nozioaren orokortzea—energia ilun bezala ezagutzen da.

Izan ere, unibertsoaren hedapenaren azelerazioa eragiten duen terminoa lortzeko, nahikoa da honako hau asetzen duen eremu eskalar bat edukitzea:

: p.

Halako eremuari kintesentzia deitzen zaio batzuetan.

### Hurbilketa newtondarra 
Puntu jakin bateraino, aurretik emandako Friedmann-en ekuazioak mekanika klasikoa erabiliz hurbil daitezke. a(t) faktorearen balio nahiko handietarako, unibertsoa gutxi gorabehera laua da dentsitate terminoa (a^{-3}-ren proportzionala materia edo materia ilunerako eta a^{-4}-ren proportzionala erradiazioarentzat) \frac{k}{a} kurbadura gaia baino askoz handiagoa den zentzuan, eta hura arbuiatu daiteke. Konstante kosmologikoaren gaia ere nahiko txikia da eta arbuiatu daiteke eta orduan lehenengo ekuazioa hurrengoan transformatzen da:

: \frac{1}{2}\dot{a}^2\sim\frac{8\pi G}{3}a^2\rho.

Izan ere, ekuazio hau energia klasiko newtondarraren kontserbazioaren legetzat har daiteke:

# Unibertsoak M masa dauka a^3\rho-ren proportzionala eta, hortaz, bere energia potentziala -GM^2/a=-GM\rho a^2-ren proportzionala da.
# Unibertsoaren energia zinetikoa bestalde M \dot{a}^2/2-ren proportzionala da.

Energia zinetikoaren eta potentzialaren baturak aurreko ekuazioa ematen du, konstante jakin bategatik biderkatuta:

: \frac{1}{2}M\dot{a}^2-CMa^2G\rho=0.

C arestian emandako ekuazioaren emaitzarekin bat etortzeko 8\pi/3-ren berdina hartu behar den proportzionaltasun konstante jakin bat izanda.

Ohartu unibertsoaren garai goiztiarrenetan hurbilketa hau ez dela egokia hainbat arrazoiengatik. Esaterako, inflazio kosmikoan zehar konstante kosmologikoaren gaiak higidura ekuazioetan nagusi dela eta haiek menperatzen dituela. Aurretik ere, Planck-en garaian zehar, efektu kuantikoak ezin dira arbuiatu.

## Izena eta historia 
Alexander Friedmann matematikari sobietarrak lehen aldiz FLRW ereduaren emaitza nagusiak atera zituen 1922an eta 1924an. *Zeitschrift für Physik* fisika aldizkari ospetsuak bere lana argitaratu zuen arren, bere garaikideek nahiko oharkabean jarraitu zuten. Friedmann Albert Einstein-ekin zuzeneko komunikazioan zegoen, zeina *Zeitschrift für Physik*-en izenean, Friedmann-en lanaren epaile zientifikoa izan zen. Azkenean Einsteinek aitortu zuen Friedmannen kalkuluen zuzentasuna, baina ez zuen aintzat hartu Friedmannen iragarpenen esanahi fisikoa.

Friedmann 1925ean hil zen. 1927an, Georges Lemaître, Belgikako apaiza, astronomoa eta Lovainako Unibertsitate Katolikoko fisikako aldizkako irakaslea, modu independentean iritsi zen Friedmann-en antzeko emaitzetara eta argitaratu zituen *Annales de la Société Scientifique de Bruxelles*-en. 1920ko hamarkadaren amaieran Edwin Hubble-ek lortutako unibertsoaren hedapenaren behaketarako ebidentziaren aurrean, Lemaître-ren emaitzak Arthur Eddington-ek nabaritu zituen batez ere, eta 1930-31 urteetan Lemaître-ren artikulua ingelesera itzuli eta *Monthly Notices of Royal Astronomical Society*.

AEBetako Howard P. Robertson-ek eta Erresuma Batuko Arthur Geoffrey Walker-ek arazoa gehiago aztertu zuten 1930eko hamarkadan. 1935ean Robertson-ek eta Walker-ek zorroztasunez frogatu zuten FLRW metrika espazio-denbora espazialki homogeneoa eta isotropikoa den bakarra dela (arestian adierazi den bezala, emaitza geometrikoa da eta ez dago erlatibitate orokorraren ekuazioei lotuta beti, Friedmann eta Lemaître-ek beti suposatu zituztenak).

Soluzio hau, Robertson-Walker *metrika* deitzen dena bere propietate generikoak frogatu zituztelako, "Friedmann-Lemaître" *eredu* dinamikoen ezberdina da, estres-energiarekiko ekarpenak materia hotza ("hautsa"), erradiazioa eta konstante kosmologikoa baino ez direla suposatzen dituen a(t)-rako soluzio espezifikoak direnak.

## Einstein-en unibertsoaren erradioa 
**Einstein-en unibertsoaren erradioa** Einstein-en unibertsoaren espazioaren kurbadura-erradioa da, aspalditik abandonatutako eredu estatikoa, gure unibertsoa forma idealizatuan irudikatzen omen zuena. Jartzen \dot{a}=\ddot{a}=0 Friedmann-en ekuazioan, bere unibertsoaren espazioaren kurbadura-erradioa (Einstein-en erradioa) honako hau da:

: R_E=c/\sqrt{4\pi G \rho},

non c argiaren abiadura, G grabitazio konstante newtondarra, eta \rho unibertso honen espazioaren dentsitatea diren. Einstein-en erradioaren zenbakizko balioa 10^{10} argi-urte ordenakoa da.

## Ebidentziak 
WMAP eta Planck bezalako esperimentu batzuen behaketa datuak Ehlers-Geren-Sachs teoremaren eta haren orokortzearen emaitza teorikoekin konbinatuz, astrofisikariak ados daude unibertsoa ia homogeneoa eta isotropoa dela (oso eskala handian batez bestekoa denean) eta, beraz, ia FLRW espazio-denbora.

## Erreferentziak 
## Kanpo estekak