Uhin-funtzio

thumb|Fotoiaren dentsitate uhinaren propagazioa 2 dimentsiotan.

Mekanika kuantikoan, **uhin-funtzioa** sistema fisiko bat deskribatzen duen funtzio matematikoa da.

Uhin-funtzioa balio konplexuko probabilitate-anplitude bat da, eta hortik abiatuta, sisteman egindako neurketen balizko emaitzen probabilitateak deriba daitezke. Uhin funtzio baterako sinbolo ohikoenak \psi edo \Psi dira.

Adibidez, Schrödingerren ekuazioan, uhin-funtzioak partikula edo partikula-sistema baten egoera eta bilakaera uhin-ezaugarriak kontuan hartuz definitzen ditu. Bornen interpretazio estatistikoan, uhin funtzioaren normaren karratua, ||\Psi||^{2}, aldiune batean partikula bat \vec{r} posizio edo \vec{p} momentu jakinarekin neurtzeko probabilitate-dentsitate bezala interpretatzen da.

Kantitate honen integralak espazio osoan, \int_{-\infty}^{\infty} {||\Psi||^{2}}dx, 1 izan behar du, probabilitatearen intepretazio arabera. Honi normalizazio baldintza deritzo.

## Testuinguru historikoa 
1905ean, Albert Einsteinek fotoi baten frekuentziaren eta bere energiaren arteko proportzionaltasuna, E=h\nu ,postulatu zuen, eta 1916an fotoi baten momentuaren eta uhin luzeraren arteko erlazioa zehaztu zuen, \lambda=\frac{h}{p}non h Planck-en konstantea den.
thumb|Erwin Schrödinger, Schrödingerren ekuazioaren garatzailea, 1933an. Urte horretan Nobel saria irabazi zuen Paul Dirac-ekin batera.
Louis de Broglie izan zen aurreko erlazioa, orain de Broglieren erlazioa deritzona, *partikula masiboentzat* balio duela iradokitzen lehena, zantzu nagusia Lorentzen aldaezintasuna delarik. Hau mekanika kuantikoaren garapen modernoaren abiapuntua izan daiteke. Ekuazioek uhin-korpuskulu dualtasuna adierazten dute, bai masarik gabeko partikulentzat, bai masiboentzat.

1926an, Erwin Schrödingerrek bere uhin ekuazioa argitaratu zuen, Schrödingerren ekuazioa deritzona:

i\hbar\frac{\partial \Psi(\vec{r},t)}{\partial t}=- \frac{\hbar^2}{2m}\Delta \Psi(\vec{r},t)+V(\vec{r},t)\Psi(\vec{r},t)

Ekuazio hau operadore kuantikoen bidez energiaren kontserbazio klasikoan eta de Broglieren erlazioetan oinarritzen zen, eta ekuazioaren soluzioak sistema kuantikoaren uhin funtzioak ziren. Hala ere, ez zegoen erabat argi nola interpretatu: Hasieran, Schrödingerrek eta beste batzuek pentsatu zuten uhin-funtzioek sakabanatutako partikulak adierazten zituztela, non partikula gehienak funtzioaren balio handieneko tokietan zeuden.

1926an, Bornek probabilitatearen zabaltasunaren perspektiba eman zuen. Honek mekanika kuantikoaren kalkuluak behaketa esperimental probabilistikoekin erlazionatzen ditu zuzenean. Kopenhageko mekanika kuantikoaren interpretazioaren zati bezala onartzen da.

## Definizioa 
### Garapena 
Gaur egun Schrödingerren ekuazioa postulatu bat da fisika kuantikoan, baina ekuaziora iristeko modu ikuskor batean honako garapen hau egingo dugu (partikula askearen kasuan), nahiz eta oso formala ez izan: 

**Uhin-ekuazioa** (bai elektromagnetikoa edo uhin mekanikoa denean) dimentsio bakar batean hau da:
\frac{\partial^2y}{\partial t^2}=v^2 \frac{\partial^2y}{\partial x^2}

\frac{\partial^2y}{\partial t^2}=v^2 \frac{\partial^2y}{\partial x^2}

Soluzioa:

y(x,t)=A \cos(kx-\omega t), non k=\frac{2\pi}{\lambda} eta \omega=v k

Bestalde, deBroglie-ren postulatuaren arabera:

p=\frac{h}{\lambda}=\hbar k

E=\hbar \omega denez, eta E_{K}=\frac{p^2}{2m} dugunez energia zinetiko ez erlatibista, \omega=\frac{\hbar k^2}{2m}

Beraz, elektroia ezin da adierazi aurreko uhin funtzioarekin, \omega eta k-ren arteko erlazioa ez-lineala izan behar delako.

Honako ekuazio hau proposatu egingo dugu:

\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}=\alpha \frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial x^2}

Ondoko funtzio hau aurreko ekuazioan ordezkatuz: \Psi (x,t)=A e^{i(kx-\omega t + \delta )}, \alpha = \frac{i \hbar}{2m} lortzen da. Ordezkatuz eta \hbar-z biderkatuz:

i \hbar \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}= - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial x^2} Schrödingerren *uhin-ekuazioa* lortu da*.* 

Orain \frac{(k \hbar)^2}{2m}=\hbar \omega erlazioa ez lineala izatea lortu da.

Hiru dimentsiotan: i \hbar \frac{\partial \Psi(\vec{r},t)}{\partial t}= - \frac{\hbar^2}{2m} \Delta \Psi(\vec{r},t), non \Delta Laplacearra den. Hiru dimentsioko soluzioa hauxe da,\Psi (\vec{r},t)=A e^{i(\vec{k} \cdot  \vec{r}-\omega t )}

## Spin-ik gabeko partikularen dimentsio bakarreko uhin-funtzioa 
Uhin funtzioa azalzeko lehenik kasu errazena aipatuko dugu: spin-ik gabeko partikula dimentsio bakarrean.

### Posizio-denbora uhin funtzioa 
Partikula baten posizio-denbora uhin funtzioa honela adierazten da:

\Psi(x,t) , x posizioa izanik, eta t denbora.

Funtzio hau bi aldagai errealeko funtzio konplexua da, zeinak probabilitate anplitudea adierazten duen. Funtzio honen moduluaren karratua kalkulatuz gero, partikulak t aldiunean x posizioan egoteko daukan probabilitate dentsitatea lortuko da:

|\Psi(x,t)|^{2}=P(x,t)

Beraz, uhin funtzioak ez duu partikularen posizioa zehazteko gaitasunik ematen, baizik eta partikularen posizioaren probabilitate banaketa deskribatzeko.

1=\int_{-\infty}^{\infty} {|\Psi|^{2}}dx=\int_{-\infty}^{\infty} {|A|^{2}}dx, non A uhinaren anplitudea den.

Uhin funtzioa normalizatuta dagoenean 
(\Psi,\Psi)=1 da, eta bi uhin funtzio \Psi_{1} eta \Psi_{2} ortogonalak badira, 
(\Psi_{1},\Psi_{2})=1. Gainera, bi funtzio hauek normalizatuta badaude, funtzio ortonormalak dira.

### Posizioa eta momentuaren arteko erlazioa 
Posizioaren eta momentuaren adierazpenak hurrengoak dira:

\begin{align}
|\Psi\rangle = I|\Psi\rangle &= \int |x\rangle \langle x|\Psi\rangle dx = \int \Psi(x) |x\rangle dx,\\
|\Psi\rangle = I|\Psi\rangle &= \int |p\rangle \langle p|\Psi\rangle dp = \int \Phi(p) |p\rangle dp.\end{align}

\Psi egoeraren proiekzioa, momentuaren funtzio propioetan sartuz eta aurreko bi ekuazioak erabiliz,

\int \Psi(x) \langle p|x\rangle dx = \int \Phi(p') \langle p|p'\rangle dp' = \int \Phi(p') \delta(p-p') dp' = \Phi(p).

orduan Schrödingerren ekuazio askean erabilitako adierazpena egoera propio normalizatuetarako erabiliz,

\langle x | p \rangle = p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{\frac{i}{\hbar}px} \Rightarrow \langle p | x \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{-\frac{i}{\hbar}px},

honako hau lortzen da:

\Phi(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int \Psi(x)e^{-\frac{i}{\hbar}px}dx\,.

Modu berean, posizioaren funtzio propioak erabiliz,

\Psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int \Phi(p)e^{\frac{i}{\hbar}px}dp\,.

Orduan ikusten da, momentu eta posizio funtzioak bata bestearen Fourier transformatuak direla. Bi uhin-funtzioek informazio bera dute, eta bakarra nahikoa da partikularen propietate guztiak kalkulatzeko.

Hilbert espazio fisiko abstraktuaren elementuen ordezkari bezala, non hauen elementuak sistemaren egoerak desberdinak diren, bektore berdina irudikatzen dute. Hauek propietate fisiko berdinak dituzte, baina adierazpenak ez dira berdinak funtzio integral karratu bezala adierazten badira.

## Potentzial osina 
Uhin funtzioak erabiltzeko adibide sinple bat potentzial osin infinituarena da. Demagun V=0 potentzialeko eremua dagoelax\in(0,L) tartean, eta tarte horretatik kanpo V=\infty dela. 

thumb|Potentzial osina (kasu honetan osinetik kanpoko potentziala ez da infinitua)
V(x) = \begin{cases} \infty, & x

Honelako egoera batean aztertzen ari den partikula x\in(0,L) tartean egongo da, eta ezinezkoa da partikula hori tarte horretatik kanpo egotea.

Partikularen posizioaren probabilitate dentsitatea kalkulatu nahi bada, uhin funtzioa lortu behar da, eta osinaren barruan, V=0 denez, honako hau da ebatzi beharreko ekuazioa:

-\frac{\hbar^2}{2m}{d^2\psi(x) \over dx^2}=E\psi(x) \Rightarrow {d^2\psi(x) \over dx^2}+\frac{2mE}{\hbar^2}\psi(x)=0.

k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} definituz, osziladore harmonikoaren ekuazioa lortuko da. Beraz soluzioa erraz lortu daiteke:

\psi(x)=Asin(kx)+Bcos(kx)

Orain A eta B ren balioak lortzeko mugalde baldintzak aplikatuko dira. eta momentuaren kontserbazioa) ez direla gertatzen hasierako eta bukaerako uhin-funtzioak ez direlako gainezartzen.

* Matematikoki, potentzial jakin baterako, Schrödingerren ekuazioaren soluzioak ortogonalak dira nolabait, eta hau, normalean, integral baten bitartez deskribatzen da: \int \Psi_m^*\Psi_n \ dV = \delta_{n,m} , non m, n indizeak diren (zenbaki kuantikoak), soluzio ezberdinak irudikatuz eta \delta_{n,m} kronecker delta den. Integral hau aztertutako espazio osoan egin behar da.

## Erreferentziak 
## Bibliografia 
* Eisberg, Robert M.; Resnick, Robert (1985). "Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles". 
* Rae, A.I.M. (2008). "Quantum Mechanics". Volume 2 (5th ed.). Taylor & Francis Group. .
* Griffiths, D. J. (2004). "Introduction to Quantum Mechanics" (2nd ed.). Essex England: Pearson Education. .
* Serway, Raymond A.; Moses, Clement J.; Moyer, Curt A. (2005). "Modern Physics". (3rd ed.). Thomson Learning Inc. .

## Ikus, gainera 
* Uhin
* Mekanika kuantiko
* Heisenbergen ziurgabetasunaren printzipioa
* Uhin-partikula dualtasuna

## Kanpo estekak 
* https://www.physlink.com/Education/AskExperts/ae329.cfm
* http://physics.gmu.edu/~pnikolic/PHYS308/lectures/schrodinger.pdf
* http://physics.mq.edu.au/~jcresser/Phys201/LectureNotes/SchrodingerEqn.pdf