Gainazal (matematika)

[eskuinera|thumb|[Esfera bat bola solido baten gainazala da, hemen *r* erradioa duena.]]
Matematikan, gainazal kontzeptu arruntaren eredu matematiko edo artistikoa da **gainazala**. Plano baten orokortzea da, baina, plano bat ez bezala, kurbatua izan daiteke; hori kurba batek lerro zuzen bat orokortzen duenaren antzekoa da.

Badira definizio zehatzago batzuk, testuinguruaren eta haien azterketarako erabiltzen diren tresna matematikoen arabera. Gainazal matematiko sinpleenak planoak eta esfera euklidearrak dira. Gainazal baten definizio zehatza testuinguruaren araberakoa izan daiteke. Normalean, geometria aljebraikoan, gainazal batek bere burua gurutzatu dezake (eta beste singularitate batzuk izan ditzake), baina topologian eta geometria diferentzialean, agian ez.

Gainazal bat bi dimentsioko espazio topologiko bat da; horrek esan nahi du gainazal bateko puntu mugikor batek bi norabidetan mugi daitekeela (bi askatasun gradu ditu). Beste era batera esanda, ia puntu guztien inguruan bi dimentsioko koordenatu sistema bat definitzen den *tokiko koordenatu-mapa* bat dago. Adibidez, Lurraren gainazalak (idealki) bi dimentsioko esfera baten antza du, eta latitudeak eta luzerak bi dimentsioko koordenatuak ematen dituzte bertan (poloetan eta 180. meridianoan izan ezik).

## Definizioak 
Askotan, gainazal bat bere puntuen koordenatuek betetzen dituzten ekuazioek definitzen dute. Hori gertatzen da bi aldagaiko funtzio jarraitu baten grafikoan. Hiru aldagaiko funtzio baten zeroen multzoa gainazal bat da, eta gainazal inplizitu deitzen zaio.  Hiru aldagaiko funtzio definitzailea polinomio bat bada, gainazala gainazal aljebraikoa da. Adibidez, esfera unitarioa gainazal aljebraikoa da, honela defini baitaiteke:

: x^2+y^2+z^2 -1= 0.

Gainazal bat bi aldagairen funtzio jarraitu baten irudi gisa ere defini daiteke, gutxienez 3 dimentsioko espazio batean (baldintza gehigarri batzuk behar dira irudia kurba bat ez dela ziurtatzeko). Kasu horretan, gainazal parametriko bat dugula esaten dugu, bi aldagai horiek *parametrizatuta* dagoena, *parametroak* deiturikoak. Adibidez, esfera unitarioa Eulerren angeluek parametriza dezakete, luzera u eta latitudea v ere deituak, honela:

: \begin{align} x&= \cos(u)\cos(v)\\ y&=\sin(u)\cos(v)\\ z&=\sin(v)\,. \end{align}

Gainazalen ekuazio parametrikoak sarritan irregularrak dira puntu batzuetan. Adibidez, unitate-esferako puntu guztiak, bi izan ezik, goiko parametrizazioaren arabera, Eulerren angelu pare baten irudia dira (2\pi moduloa). Gainerako bi puntuetarako (iparburua eta hegoburua), hau dugu 1=\cos v = 0 eta u luzerak edozein balio har dezake.

Gainera, gainazal batzuetan ezin da gainazal osoa hartzen duen parametrizazio bakarra egon. Hori dela eta, gainazalak askotan hainbat ekuazio parametrikoren bidez parametrizatuta daudela uste da, eta haien irudiek gainazala estaltzen dute. Hau barietate kontzeptuarekin formalizatzen da: barietateen testuinguruan, normalean topologian eta geometria diferentzialean, gainazal bat bi dimentsioko barietatea da; horrek esan nahi du gainazal bat espazio topologiko bat dela, non puntu bakoitzak plano euklidearraren azpimultzo ireki bati homeomorfoa den ingurune bat duen (ikus *Gainazala (topologia)* eta *Gainazala (geometria diferentziala))*. Horri esker, hiru dimentsio baino handiagoa den espazioetako gainazalak defini ditzakegu, eta baita beste espazio batean ez dauden *gainazal abstraktuak* ere. Bestalde, horrek baztertzen ditu singulartasunak dituzten gainazalak, hala nola gainazal koniko baten erpina edo gainazal batek bere burua gurutzatzen duen puntuak.

Geometria klasikoan, gainazal bat, oro har, puntu edo lerro baten leku geometrikoa bezala definitzen da. Adibidez, esfera puntu finko batetik, zentro deitzen den puntu batetik, distantzia jakin batera dagoen puntu baten kokapena da; gainazal konikoa puntu finko batetik igarotzen den eta kurba bat ebakitzen duen lerro zuzen baten kokapena da; biraketa-gainazal bat lerro zuzen baten inguruan biratzen den kurba baten kokapena da. Gainazal erregelatua muga batzuk betetzen dituen lerro mugikor baten kokapena da; terminologia modernoan, gainazal erregelatua lerroen bilketa da.

## Erreferentziak