Limite

Matematikan, **limitea** kontzeptu bat da segida edo funtzio baten *joera* adierazten duena, segida edo funtzio horren parametroak balio jakin batera hurbiltzen direnean. Kalkuluan (bereziki analisi errealean eta matematikoan) kontzeptu horrek erabiltzen da honako funtsezko kontzeptuak definitzeko: konbergentzia, jarraitutasuna, deribazioa eta integrazioa, besteak beste.

**Limitea** funtzio baten aldagai independenteari baldintzaren bat jarri ondoren, funtzioa hurbiltzen den balioa da, beraz:

 \lim_{x\to c} \, \, f(x) = L

## Funtzio baten limitea 
thumb|250px|Limitearen definizioan erabilitako parametroak.

### Definizio zehatza 
Informalki, diogu '*f(*x*) funtzioaren limitea *L* dela, *x* *c*-rantz doanean*', eta honela idazten da:
:  \lim_{x\to c} \, \, f(x) = L

okasio bakoitzerako, *x* aurkitzen badugu *c*-tik aski hurbil, non f(*x*) balioa baita L-tik nahi bezain hurbil. Formalki, termino logiko-matematikoak erabiliz:

:
   \begin{array}{l}
      \underset {x\to c}{\lim} \, \, f(x) = L \iff  \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \ \delta > 0 /     \\
      \forall x / 0

Definizio honi limitearen **epsilon-delta definizioa** deritzogu, eta honela irakurtzen da:

### Limite aipagarriak 
**Limite aipagarriak** bezala honako hauek ditugu:

*  {\lim_{x \to \infty} \left (1+ \frac {1}{x} \right )^x } =\, e  &nbsp; &nbsp; (e zenbakia)
*  {\lim_{x \to 0} \left (\frac {\operatorname{sen\,} x}{x} \right )} =\, 1 
*  {\lim_{x \to 0} \left (\frac {\tan x}{x} \right )} =\, 1 

## Segida baten limitea 
eskuinera|250px|thumb| a_{n} = \begin{cases} 16 & \mbox{; } n = 0 \\ \cfrac{a_{n-1}}{2} & \mbox{; } n > 0 \end{cases} 

Segida baten limitearen definizioa eta funtzio baten limitearen definizioa, x \infty-rantz doanean, oso antzekoa dira. a_n segida **a limitera doala**, edo **jotzen duela** esaten da, eta honela adierazten da:
:\lim_{n\to\infty}a_n = a

N zenbaki arrunt bat aurkitu ahal badugu, non segidaren gai guztiak n handitzen denean a-tik oso hurbil dauden. Formalki:
: a_n \to a \Leftrightarrow \forall\epsilon>0, \exists N>0 : \forall n\ge N, |a_n - a|

## Limiteen propietateak 
### Orokorrak 
Limiteek honako propietate hauek betetzen dituzte:

*  \lim_{x \to a} x = \, a \, 
* Eskalar bat duen limitea.
: \lim_{x \to a} kf(x) =\, k\lim_{x \to a} f(x)\,  non *k* eskalar biderkatzailea den.

* Batuketaren limitea.
: \lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) =\, \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)\, 

* Kenketaren limitea.
: \lim_{x \to a} (f(x) - g(x)) =\, \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x)\, 

* Biderketaren limitea.
: \lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) =\, \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)\, 

* Zatiketaren limitea.
: 
   \underset {x \to a} {\lim} \; \frac {f(x)}{g(x)} =
   \frac 
      {\underset {x \to a} {\lim} \; f(x)}
      {\underset {x \to a} {\lim} \; g(x)}
   \quad
   \mathrm{si}\ \lim_{x \to a} g(x) \ne 0

### Indeterminazioak 
Badaude zenbait limite zuzenean ebaluatuz gero, honako adierazpenen bat lortzen dugun:
: 
   \infty - \infty , \quad
   \frac{\infty}{\infty} , \quad
   \infty \cdot 0 , \quad
   \frac{0}{0} , \quad
   \infty ^0 , \quad
   1^\infty , \quad
   0^0

Adierazpen hauei **indeterminazioak** deritzegu, zeren, lehen begiratuan, ez baitago argi zein izan liteke limitea (existitzen baldin bada). Esaterako, bigarrena ekuazioan, limitea 0, 1 edo infinitu izan liteke. Batzuetan, adierazpena sinplifikatuz edo hasierako adierazpenaren beste baliokide bat lortuz, arrazionalizazioaren edo faktorizazioaren bidez, indeterminazioa ebatz daiteke eta limitea kalkulatu. Beste batzuetan, ahalmen handiagoko beste tresnez baliatu behar dugu, esaterako desberdintzak edo L'Hopitalen erregela.
 
\textstyle \frac{0}{0} motako indeterminazioaren adibideak dira honako hiru kasuetan agertzen direnak, eta kasu bakoitzean (sinplifikatu ondoren), limite desberdina lortzen da:

\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t^2}=\frac{0}{0} \quad \xrightarrow[\mathrm{sinplifikatuz}]{}  \quad  \lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t} = \infty
 
\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t}=\frac{0}{0} \quad \xrightarrow[\mathrm{sinplifikatuz}]{}  \quad  \lim_{t\rightarrow 0} 1 =1

\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t^2}{t}=\frac{0}{0} \quad \xrightarrow[\mathrm{sinplifikatuz}]{}  \quad  \lim_{t\rightarrow 0} {t} = 0

## Kanpo estekak 
*  Funtzioen limiteak eta jarraitasuna
*  Funtzioen limiteak Orixe webgunean