Stefan-Boltzman legea

thumb|Gorputz beltz batek emititutako energia totala j^{\star}=R(T), bere tenperatura termodinamikoaren arabera T\,. Urdinez, Wien-en hurbilketaren araberako energia totala: j^{\star}_{W} = j^{\star} / \zeta(4) \approx 0.924 \, \sigma T^{4} \!\, |286x286px
**Stefan-Boltzmann legeak** gorputz beltz batek erradiatzen duen potentzia deskribatzen du, gorputz beltzak duen tenperaturaren arabera. Lege hau, zehatza izango da gorputz beltz idealen kasuan (xurgatzaile perfektuak), baina hurbilketa ona da gorputz grisen kasurako. Hain zuzen, Stefan-Boltzmann legeak esaten du, gorputz beltz baten azalera unitateko erradiatzen den energia (gorputz beltzaren erradiantzia R(T)) edozein denbora unitateko maiztasunetarako, gorputz beltzaren tenperatura termodinamikoaren (T) laugarren potentziaren zuzenki proportzionala da:

R(T)=\sigma T^4

\sigma proportzionaltasun konstantea, Stefan-Boltzmann konstantea da:

\sigma = \frac {2 \pi^5 k^4} {15 c^2 h^3} \approx 5.670374419184429453...\times 10^{-8} W m^{-2} K^{-4}

non k Boltzmann-en konstantea, h Planck-en konstantea, eta c argiaren abiadura hutsean diren.

Ikuspuntu angeluar zehatz batekiko erradiantzia (W m^{-2} rad^{-1}) hurrengo eran definitzen da:

L=\frac {R(T)}{\pi}=\frac {\sigma}{\pi}T^4

Erradiazioa guztiz xurgatzen ez duen gorputz batek (“gorputz gris” bezala ezagunak), ez du guztiz Stefan-Boltzmann legea beteko; hau da, gorputz honek emititzen duen energia, ez da gorputz beltz batek emititzen duen parekoa izango. Desberdintasun hau \epsilon gorputzaren emisibitateak adierazten du:

R(T)=\epsilon\sigma T^4

Erradiantziaren dimentsioak energia fluxuarenak dira (energia azalera unitateko eta denbora unitateko). SI sistema internazionalean Joule (J) m^2-ko eta segunduko edo Watt (W) m^2-ko adierazten da. Tenperaturaren (T) SI unitatea Kelvin-a (K) da. Emisibitatea (\epsilon), 0 tarteko balio adimentsionala da (gorputz beltz perfektuaren kasuan \epsilon = 1 da), eta bere balioa gorputzak erradiatutako fotoien uhin-luzeeraren araberakoa da:\epsilon=\epsilon(\lambda).

Gorputz beltz batek erradiatzen duen potentzia totala, gorputzaren erradiantziaren eta gorputzaren azalera osoaren biderketak adierazten du.

P = AR(T)= A\sigma T^4

## Historia 
thumb|198x198px|Josef Stefan, fisikari austriar-esloveniarra
1864an, John Tyndall-ek platinozko harizpiaren emisio infragorriaren neurriak eta harizpiaren kolore egokia aurkeztu zuen. Jožef Stefan-ek (1835-1893) tenperatura absolutuaren laugarren potentziarako proportzionaltasuna ondorioztatu zuen 1879-an Tyndall-en neurketa esperimentaletan oinarriturik, Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur artikuluan (tenperatura eta erradiazio termikoaren erlazioari buruz) deduzitu eta Vienako Zientzietako Akademia sesioetako Boletinetan argitaratu zuen.

Ludwig Boltzmann-ek (1844-1906) 1884an begirune teorikoetatik legearen eratorpena aurkeztu zuen, Adolfo Bartoli-ren lanean oinarrituta. 1876an Bartoli-k printzipio termodinamikoetatik, erradiazioaren presioaren existentzia eratorri zuen. Bartoli-ri jarraituz, Boltzmann-ek erradiazio elektromagnetikoa erabiltzen zuen motore termiko ideala erabiltzea kontsideratu zuen, gas ideal baten ordez.thumb|Ludwig Boltzmann, fisikari austriarra|alt=Boltzmann 10566.jpg|ezkerrera|197x197pxLegea ia berehala egiaztatu zen esperimentalki. 1888an, Heinrich Weber-ek tenperatura altuagoetan desbideratzeak zeudela ikusi zuen, baina neurketa ziurgabetasunen barruan zehaztasun perfektuak zeudela egiaztatu zen 1535K-eko tenperaturaraino,1897an. Legea, Stefan-Boltzmann-en konstantea argiaren abiaduraren menpe denaren aurresan teorikoa barne, Boltzmann konstantea eta Planck-en konstantea, 1900an Planck-ek formulatutako legearen ondorio zuzena da.

2019ko nazioarteko sistemako oinarri unitate berdefiniziotik, Boltzmann-en k konstantearen balioak ezartzen ditu, baita Planck-en h konstantea, argiaren c abiadura eta Stefan-Boltzmann-en konstantea zehazki:

\sigma = \frac {5454781984210512994952000000 \pi^5} {29438455734650141042413712126365436049}  W m^{-2} K^{-4}

## Sinbologia 
## Adibideak 
#### Eguzkiaren tenperatura 
Bere legearekin, Stefan-ek Eguzkiaren gainazaleko tenperatura zehaztu zuen . Jacques-Louis Soret-en (1827- 1890) datuak erabiliz, Eguzkiaren energia fluxu dentsitatea, berotutako metal-lagin (xafla mehea) baten energia fluxu dentsitatea baino 29 aldiz handiagoa dela ondorioztatu zuen. Lagin biribila kokatu eta neurketa gailua distantzia zehatz batera jarri zuen, hori Eguzkiaren angelu berean ikusteko moduan. Soret-ek laginaren tenperatura gutxi gorabehera 1900℃-tik 2000℃-ra bitartean estimatu zuen. Stefan-ek suposatu zuen, Eguzkiko energia fluxuaren herena Lurraren atmosferak xurgatzen zuela, beraz, Eguzki energia fluxuaren balio zuzen bezala Soret-en emaitza baino 3/2 aldiz handiagoa zen balioa hartu zuen , \frac {29 \times 3} {2} =43.5.

Xurgatze atmosferikoaren neurketa zehatzik ez zen egin  1888-tik 1904-ra arte. Stefan-ek lortu zuen tenperatura aurrekoen balio ertaina 1950℃, eta tenperatura absolutua 2200K izan ziren. Nola 2.574^4 = 43.5 den, Eguzkiaren tenperatura 2.57 aldiz laginaren tenperatura baino handiagoa den legetik, Stefan-ek 5430℃ edo 5700K balioa lortu zuela (5778K da) ondorioztatzen da. Hori izan zen Eguzkiaren tenperaturarako lehen balioa. Izan ere, honen aurretik 1800℃-tik 13,000,000℃-raino zihoazen balioak erreklamatu ziren. Claude Pouillet-ek (1790-1868) balio baxuena,1800℃-koa, zehaztu zuen 1838-an, Dulong-Petit-en legea erabiliz.

#### Izarren tenperatura 
Eguzkia ez diren gainontzeko izarren tenperatura, aurrekoan erabilitako antzeko ingurunean, igorritako energia, gorputz beltzetako erradiazioa bezala tratatzerakoan , hurrengo eran estimatu daiteke:

L=4 \pi R^2 \sigma T_e^2

non L argitasuna, \sigma Stefan-Boltzmann-en konstantea, R izarraren erradioa eta T tenperatura eraginkorra diren. Formula hori bera erabil daiteke sekuentzia nagusiko izar baten gutxi gorabeherako erradioa kalkulatzeko, Eguzkiaren erradioarekiko:

\frac {R}{R\odot} \approx \biggl(\frac {T\odot}{T}\biggr)^{-2} \sqrt{\frac {L}{L\odot}}

non R\odot Eguzkiaren erradioa den, L\odot Eguzkiaren argitasuna, etab...

Stefan-Boltzmann-en legearekin, astronomoek izarren erradioak ondoriozta ditzakete. Hawking-en erradiazioa deituriko zulo beltzen termodinamikan ere lege hau betetzen da.

#### Lurraren tenperatura efektiboa 
Lurraren tenperatura efektiboa (T\oplus) kalkulatzea posible da honek eguzkitik jasotako energia, berak irradiatutakoarekin berdinduz, lurra gorputz beltza dela kontsideratuz. Eguzkiak irradiatutako potentzia osoa, P\odot:

P\odot=4 \pi R\odot^2 \sigma T\odot^4

Potentzia hau duen erradiantzia, espazioan zehar modu esferikoan banatuko da uniformeki, eta esfera horrek r balioko erradioa duenean (eguzkia eta lurraren arteko distantzia), esferaren azalera unitateko erradiatutako energia hurrengoa da :

E\oplus=\frac{P\odot}{4 \pi r^2}

Lurra, R_L erradioko esfera izanik, bere zeharkako-sekzioaren azaleran jasoko du eguzkiaren erradiazioa. Eguzkitik jasotzen den potentzia hau, erradiantzia fluxua deitzen da, eta lurra gorputz-beltza dela kontsideratu denez, guztiz xurgatuko du:

\Phi\odot= \pi R\oplus^2 \times E\oplus

Stefan-Boltzmann legeak laugarren potentzia erabiltzen duenez, efektu egonkortzailea dauka. Beraz, Lurrak igorritako fluxuak xurgatutako fluxua bezalakoa izateko joera du, egoera geldikorretik hurbil non:

4 \pi R\oplus^2 \sigma T\oplus^4 =\pi R\oplus^2 \times E\oplus=\pi R\oplus^2 \times \frac {4 \pi R\odot^2 \sigma T\odot^4}{4 \pi r^2}

Bertatik lurraren tenperatura (T\oplus) egiaztatu daiteke:

T\oplus^4=\sqrt{\frac{R\odot^2 T\odot^4 }{4r^2}} \Rightarrow T\oplus= T\odot^2 \times \sqrt{\frac{R\odot}{2r}}\approx 279K

non T\odot eguzkiaren gainazaleko tenperatura, R\odot eguzkiaren erradioa eta r, lurraren eta eguzkiaren arteko distantzia diren. Lurraren tenperatura efektiboa bere gainazalean 6^o C ingurukoa dela lortzen da, baina lurrak eguzkitik datorren energia osoa xurgatzen duela kontsideratu da (lurra gorputz beltz moduan hartu da), eta gainera ez da efektu atmosferikoak kontuan hartu (lurrak atmosferarik ez duela kontsideratu da).

Lurrak, 0.3-ko albedoa du. Honek esan nahi du, jasotzen duen erradiazio guztitik, %30-a ez duela xurgatuko. Aurreko adibidean, eguzkitik jasotako energiaren etekina %70-ekoa dela kontsidera daiteke, eta honek, lurraren tenperatura efektiboa 0,7^{\frac{1}{4}} faktorean murriztuko du. Beraz, T\oplus \approx 255K = -18^o C.

Aurrekoa, espaziotik ikusita kalkulatutako lurraren tenperatura efektiboa da; hau da, lurrean dauden objektuek emititzen duten tenperaturaren batezbestekoa da. Baina berotegi-efektua kontsideratuz gero, Lurraren gainazaleko tenperaturaren batezbestekoa 288K edo 15^o C-koa litzateke.

## Hastapenak 
### Energia dentsitatearen deribazio termodinamikoa 
Erradiazioa duen kutxa batean dagoen energia dentsitatea T^4-ren proportzionala izatea, termodinamika erabiliz deribatu daiteke.Deribazio horrek p erradiazio presioaren eta  u barne energia dentsitatearen arteko erlazioa erabiltzen du. Energia-bulkada tentsore elektromagnetikoaren forma erabiliz, erlazio hori ikusi daiteke:

p=\frac{u}{3}

Termodinamikaren funtsezko erlaziotik:

dU=TdS-pdV ,

dV zatitu eta T finkatu ondoren, hurrengo adierazpena lortzen da:

\biggl({\partial U\over\partial V}\biggr)_T=T\biggl({\partial S\over\partial V}\biggr)_T-p=T\biggl({\partial p\over\partial T}\biggr)_V -p

Azkenengo berdintza Maxwell-en erlazio honetatik dator:

\biggl({\partial S\over\partial V}\biggr)_T=\biggl({\partial p\over\partial T}\biggr)_V.

Energia dentsitatearen definiziotik ondoko erlazioa ondorioztatu daiteke

U=uV

non erradiazioaren energia dentsitatea soilik tenperaturaren menpe dagoen. Orduan,

\biggl({\partial U\over\partial V}\biggr)_T=u .

Hortaz, berdintza:

\biggl({\partial U\over\partial V}\biggr)_T=T\biggl({\partial p\over\partial T}\biggr)_V-p ,

\biggl({\partial U\over\partial V}\biggr)_T eta p ordezkatzen badira haien adierazpen egokietan, horrela idatzi daiteke,

u=\frac{T}{3}\biggl({\partial u\over\partial T}\biggr)_V -\frac{u}{3}

Deribatu partziala \biggl({\partial u\over\partial T}\biggr)_V soilik u eta T-ren arteko erlazioa bezala adierazi daiteke, bat berdintzaren alde batean bakanduz gero. Deribatu partziala deribazio arrunt batez ordezkatu daiteke, diferentzialak bakandu eta gero, berdintza honelakoa da:

\frac{du}{4u}=\frac{dT}{T}

u=AT^4-ra zuzenean eramaten da, A integrazio konstantea izanik.

### Planck-en legearen deribazioa 
Esfera erdiak igorritako gorputz beltz baten gainazal lau txiki bat kontuan hartuz Planck-en legea deribatu daiteke. Deribazio horretan koordenatu esferikoak erabiltzen dira, \theta angelu zenitala eta \varphi angelu azimutala izanik. Gorputz beltzaren gainazal lau txikia xy planoan dago, non \theta = \frac {\pi} {2} den.

Gorputz beltzaren gainazala igortzen duen argiaren intentsitateak, Planck-en legeak ematen du:
[thumb|Stefan–Boltzmann legea [Planck-en erradiazio legea|Planck-en legetik deribatzen.|314x314px]]

I(\nu,T)=\frac{2h\nu^3}{c^2}\frac{1}{e^\frac{h\nu}{kT}-1}

non:

* I(\nu,T) T tenperatura eta \nu maiztasun jakin batean gorputz beltz batek igorritako potentzia kantitatea azalera, angelua eta maiztasun unitateko.

* h Planck-en konstantea

* c argiaren abiadura

* k Boltzmann-en konstantea
I(\nu,T)Ad\nu d\Omega magnitudeak, A azalerako gainazalak d\Omega angelu solidoan igorritako potentzia da \nu eta \nu + d\nu artean.

Stefan-Boltzmann legea gorputz igorlea igortzen duen potentzia azalera unitateko adierazten du,

\frac{P}{A}=\int_{0}^{\infty} I(\nu,T)d\nu\int \cos \theta d\Omega

Kontuan hartu daiteke, kosinua gorputz beltzak Lambertiarrak (Lamberten kosinuaren legea betetzen dute) izatearen ondorioz agertzen dela. Horrek esan nahi du, esferan zehar behatutako intentsitatea, intentsitatea bider angelu zenitalaren cosinua izango dela. Stefan-Boltzmann legea deribatzeko,  d\Omega=\sin\theta d\theta d\varphi integratu behar da esfera erdiaren gainean eta \nu integratu 0-tik \infty-ra.

\frac{P}{A}=\int_{0}^{\infty} I(\nu,T)d\nu\int_{0}^{2\pi} d\varphi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta\sin\theta d\theta= \pi \int_{0}^{\infty} I(\nu,T)d\nu

I-ra gehituz,

\frac{P}{A}=\frac{2\pi h}{c^2}\int_{0}^{\infty} \frac{\nu^3}{e^\frac{h\nu}{kT}-1}d\nu

Integral hori ebaluatzeko, ordezkapen bat egingo da,

u=\frac{h\nu}{kT}

du=\frac{h}{kT}d\nu

Hortaz, hau lortzen da:

\frac{P}{A}=\frac{2\pi h}{c^2}\biggl(\frac{kT}{h}\biggr)^4\int_{0}^{\infty}\frac{u^3}{e^u -1}du .

Eskuineko integrala orokorra da eta zenbait izen ditu; hala nola, Bose-Einstein integralaren kasu partikularra da, polilogaritmoa edo Riemann-en zeta funtzioa \varsigma(s).Integralaren balorea 6\varsigma(4)=\frac{\pi^4}{15} da,horrek gorputz beltz perfektu baten azaleraren emaitza ematen du:

R(T)=\sigma T^4 , \sigma=\frac{2\pi^5k^4}{15c^2 h^3}=\frac{\pi^2k^4}{60\hbar^3c^2}.

Azkenik, frogapen hori hasi zen gainazal lau txiki bat kontuan hartuz. Hala eta guztiz ere, edozein gainazal diferentziagarria gainazal lau txikien bilduma batera hurbildu daiteke.

Baldin eta gainazalaren geometriak, gorputz beltza bere erradiazoa birxurgatzea eragiten ez badu, erradiatutako energia guztia gainazal bakoitzak erradiatutako energiaren batura da. Era berean, gainazalaren azalera guztia gainazalen azaleraren batura da; hortaz, gorputz beltz konbexuetan, gainazalak azalera guztian zehar tenperatura berbera izan behar du, eta orduan, lege hori ere aplika daiteke.

Lege hori gorputz beltz ez konbexuen erradiaziora ere aplikatu ahal da. Horretarako, gorputz beltz baten kasko konbexua, kaskoa bera gorputz beltz bat izango balitz bezala jokatzen duela kontuan hartzen da.

### Energia dentsitatea 
Gorputz beltzen U energia dentsitate totala kalkulatu daiteke, integrazioa esfera osoaren gainean edota kosinurik ez egotean izan ezik, energia dentsitatea (U) lortzeko energiaren fluxua (U c)  abiaduraz c zatitu behar da:

U=\frac{1}{c}\int_{0}^{\infty} I(\nu,T) d\nu\int d\Omega

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta\sin\theta d\theta , \int_{0}^{\pi} \sin\theta d\theta magnidudez ordezkatu da 4 faktore gehigarria emanez.

Beraz, U=\frac{4}{c}\sigma T^4 .

### Leslie-ren kuboraen esperimentua 
Leslie-ren kuboa erabiliz egindako hurrengo saiakerarekin Stefan-Boltzmann legea demostratu daiteke:

Orokorrean, tenperatura oso altuko gorputzekin, tenperaturaren magnitudea dela eta (laugarren potentzia), giro-tenperatura, kalkuluetan baztergarria da. Baina saiakuntza honetan, Stefan-Boltzmann legea tenperatura baxuetarako aztertzen da, , ezin da aurreko hurbilketa egin.
ezkerrera|thumb|324x324px|Leslie-ren kuboa (ezkerra) eta detektagailu termikoa (eskuina).
Orduan, Leslie-ren kuboak beroa askatu eta erradiazio sentsorea duen detektagailuak, jasotako erradiantzia neurtuko du. Neurketa hori ez da zehazki Leslieren kuboak igorritako energia izango; giro tenperatura baztergarria ez denez, detektatutako erradiantzia, benetakoaren balio proportzional bat izango da; hurrengoa hain zuzen:

R_{det}(T_{det})=\sigma T_{det}^4 

Beste aldetik, detektagailuak ere energia erradiatuko du (bere tenperatura ez baita nulua Leslie-ren Kuboaren eraginpean egon ondoren):

R_{rad}(T_{rad})=\sigma T_{rad}^4 

Teorikoki, detektagailuak xurgatzen eta igortzen duen erradiantzia berdina izan beharko litzateke, baina kasu honetan esperimentua tenperatura baxuetan egin denez, giro-tenperatura ez kontsideratzeak sortuko lukeen errorea nabaria da, eta hurrengo eran definitutako erradiantzia netoak nulua izan beharrean, giro-tenperaturan detektagailuak irradiatutako erradiantziaren balioa emango du, Stefan-Boltzmann legea frogatuz:

R_{net}=(R_{rad}-R_{det})=(\sigma T_{rad}^4-\sigma T_{det}^4) 

### Gorputz beltzen arteko erradiazio trukea 
Bi gorputz beltzen arteko erradiazio trukean, gorputz beltz batek T_1 tenperaturan beroa igorriko du eta beste gorputz beltzak T_2 tenperaturan energia erradiatzaile guztia xurgatuko du, energia trukea honela adierazi daiteke:

q=\sigma A_1({T_1}^4-{T_2}^4)

Bi gorputz beltzen artean erlazio geometriko jakin bat izanez gero, erlazio hori F forma faktorearekin zehaztu daiteke.

Era berean, beroaren fluxua honela lortzen da:

q=A E=A\varepsilon\sigma({T_e})^4

Bi gorputz beltzen arteko erradiazio trukeak kalkulatzeko, aurreko adierazpenari forma-faktorea (F) eragin behar zaio. Forma faktorea kontzeptu geometrikoa da; hain zuzen ere, gainazal batetik igortzen den energia guztiaren frakzioa beste gainazal batean jotzea (xurgatua, islatuta edo transmitituta) zehazten du. Azkenengo adierazpena:

q_{(1-2)}=A_1 F_{12}\sigma ({T_1})^4

q_{(2-1)}=A_2 F_{21}\sigma ({T_2})^4

q_{12}=q_{(1-2)}-q_{(2-1)}=A_1 F_{12}\sigma (({T_1})^4-({T_2})^4)

Kontuan hartu behar da A_1 F_{12}=A_2 F_{21} betetzen dela. Gainazal errealetarako (emisibitatea 1 baino txikiagoa) kontuan hartu behar da energia igortzeaz gain, gainazalak, energia islatu ere egiten duela. Horretarako, J definitzen da erradiositate bezala, energia islatu eta igorriaren batura.

q_{(1-2)}=A_1 F_{12}J_1

q_{(2-1)}=A_2 F_{21}J_2

q_{12}=q_{(1-2)}-q_{(2-1)}=A_1 F_{12}(J_1-J_2)

Gorputz beltz baten kasu partikularrean J=E betetzen da.

#### Adibidea 
Bi gainazal errealez osatutako barrunbe itxiarentzako erradiazio trukea:

q_{12}=\frac{\sigma (({T_1})^4-({T_2})^4)}{\bigl(\frac{1-\varepsilon_1}{\varepsilon_1A_1}\bigr)+\bigl(\frac{1}{A_1F_{12}}\bigr)+\bigl(\frac{1-\varepsilon_2}{\varepsilon_2A_2}\bigr)}

Gorputz errealek ez dituzte erradiatzaile idealen zehaztasunak betetzen; hala ere, gorputz beltzek baino abiadura gutxiagorekin igortzen dute erradiazioa.

## Ikus, gainera 
* Ludwig Boltzmann
* Boltzmann-en konstantea
* Jožef Stefan
* Stefan-Boltzmann konstantea
* Gorputz Beltza
* Gorputz eltzaren erradiazioa
* Erradiantzia
* Erradiazio Termikoa
* Wien-en desplazamendu legea
* Planck-en erradiazio legea
* Rayleigh–Jeans legea

## Erreferentziak 
## Bibliografia 
* Eisberg, Robert M.; Resnick, Robert (1985). "Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles". 
* Griffiths, D. J. (2004). "Introduction to Quantum Mechanics" (2nd ed.). Essex England: Pearson Education. .