Erlazio bitar

Matematikan, **erlazio bitar** bat A eta B multzoen elementuen artean definitutako  \mathcal{R} matematika-erlazio bat da.

A eta B multzoen arteko \mathcal{R} erlazio bat \mathcal{P} (a, b) propietatea betetzen duten (a, b) bikote ordenaturen bidez adierazi ahal da,  A \times B  biderkadura cartesiarraren  (a,b)\in A \times B  bikote ordenatuen azpimultzo batekoak. Notazio matematikoa erabiliz

   \mathcal{R} = 
   \Big\{
      (a,b): \; a \in A \quad \land \quad
      b \in B  \quad \land \quad
      \mathcal{P}(a,b) =  egiazkoa  \Big\} 

idatz daitekeena eta mintzatuz

'\mathcal{R} erlazio bitarra haietan \mathcal{P} propietatea betetzen den A multzoaren a elementuak B multzoaren b elementuekin lotzen dituzten (a, b) bikote ordenatuen multzoa da'

adierazi.

Notazio matematiko ohikoenetan a eta b elementuen arteko \mathcal{R} erlazio bitarra hurrengo eratan adierazten da:

: a \mathcal{R} b &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; edo &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
 \mathcal{R}(a,b) &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; edo &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
   (a,b) \in \mathcal{R}

edo baita ere

: 
   \mathcal{R} \; a \; b
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; edo.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
   a \; b \; \mathcal{R}

poloniar notazioa edo alderantzizko poloniar notazioa erabiltzen badira.

## Adibidea 
*  \mathbb{R}  zenbaki errealen multzoa emanda, \mathbb{R}^2 planoko x abzisen eta y ordenatuen arteko  P (x,y)  erlazio bitar bat definitu ahal dugu,  y =  2 x^2 - 3x +5  funtzio koadratikoa betetzen duten puntuak aukeratuz.
Notazio matematikoaz 
   P = \{ (x,y): \; (x,y) \in \mathbb{R}^2 \;
   \land \; y =  2 x^2 - 3x +5 \}

adierazten dena.

## Erlazio bitarren taxonomia, sailkapen orokorra 
Erlazio bitarren taxonomia erakusteko grafikoan, definizio orokorragoetatik espezifikoagoetara joateko jarrai gezien noranzkoa.
700px|erdian

Erlazio bitarren garrantzia matematikan, multzoren zenbakidun eta ez zenbakidun elementuen arteko elkartze asko eta asko sarritan binaka egitetik dator; eta hori elementuak bai multzo berekoak direnean eta baita ere multzo ezberdinekoak direnean.

Goiko eskeman egitura aljebraiko edo erlazio bitarren azpimota batzuk agertzen dira. Eskema hori lagungarri izango dugu aurrerago erlazio mota horiek aztertzerakoan.

Lehenengo eta behin erlazio homogeneo eta heterogeneoak bereizi behar dira; lehenengoetan erlazio bitarrak multzo bereko elementuen artekoak dira eta, horren ondorioz, multzo horren barne egitura bati lotuta daude; bigarrenetan erlazioak bi multzo ezberdinen elementuen artekoak dira eta kalkulu-eragiketa edo funtzioei lotuta izaten ohi dira.
Erlazio homogeneo bat erlazio heterogeneoen moduan ere sailkatu ahal da, baina ez alderantziz.

### Erlazio homogeneoak 
Multzo biren arteko erlazio bitar bat homogeneoa da multzo biak multzo bera direnean:
: 
   R (a,b): \;
   (a,b)\in A \times B
   \quad \land \quad
   A = B

A eta B multzoak multzo bera direnez,
: 
   R (a,b): \;
   (a,b)\in A \times A

idatzi ohi da, edo
: 
   R (a,b): \;
   (a,b)\in A^2

### Erlazio heterogeneoak 
A eta B multzo biren arteko erlazioa heterogeneoa da A eta B multzoak multzo bera ez direnean:

: 
   R (a,b): \;
   (a,b)\in A \times B
   \quad \land \quad
   A \ne B

A multzoari erlazioaren *abiaburu-multzoa* deitzen zaio eta B multzoari erlazioaren *helburu-multzoa*.
Erlazio batean partaideak diren A multzoko elementuek erlazioaren *aurreirudi-multzoa* edo erlazioaren *izate-eremua* (ingelesez *domain*) osatzen dute eta B multzokoek erlazioaren *irudi-multzoa* (ingelesez *range*).

## Aurrez ikusi beharreko kontzeptuak 
Erlazio bitarrak aztertu baino lehen badaude ezagutzea komeni den kontzeptu batzuk; garrantzitsuenak hurrengoak dira:

### Bikote ordenatuak 
**bikote ordenatu** bat *lehenengo elementu* bat eta *bigarren elementu* bat dituen objektu matematikoen bikote bat da. Lehenengo elementua **a** eta bigarren elementua **b** dituen bikote ordenatua irudikatzeko **(a,b)** idazten da.

**(a,b)** bikote ordenatua ez da **{a,b}** idazten den **a** eta **b** elementuez osatuta dagoen multzoa. Multzo bat bera osatzen duten elementuez baino ez dago definitua, bikote ordenatu bat definitzerakoan, aldiz, elementuen ordena ere kontuan hartu behar da. Adibidez, **{0, 1}** eta **{1, 0}** multzoak multzo bera dira baina **(0, 1)** eta **(1, 0)** bikote ordenatuak bi bikote ezberdinak dira.

Bikote ordenatuak 2-tuplak edo 2 dimentsioko bektoreak ere izendatzen dira. Ordenatuta dauden objekturen bilduma finituaren nozioa objektu pare bat baino gehiagorako zabaldu ahal da eta *n*-koteren kontzeptua sortu.

**(a, b)** bikote ordenatu baten osagaiak hurrengoak dira:

:Lehenengo multzoari dagokion **a** lehenengo osagaia
:Bigarren multzoari dagokion **b** bigarren osagaia

### Biderkadura cartesiarra 
**A** eta **B** multzoen **A**x**B** **biderkadura cartesiarra** lehenengo osagaia **A** multzoko elementuez eta bigarrena **B** multzoko elementuez osatutako **bikote ordenatu** guztien multzoa da.

Eta notazio matematikoan

: 
   A \times B =
   \{(x,y) \; | \quad
   x \in A \quad \land \quad
   y \in B \}

idazten da.

      \hline
               5 & (1,5) & (4,5) & (6,5) \\
               3 & (1,3) & (4,3) & (6,3) \\
               2 & (1,2) & (4,2) & (6,2) \\
      \hline
      A \times B &     1 &     4 &     6 \\
      \hline
   \end{array}

|}

Hurrengo bi multzoak baditugu:
:  A = \{1, 4, 6 \} \, 
:  B = \{2, 3, 5 \} \, 

**A**x**B** biderkadura cartesiarra lortzeko **A** multzoaren elementuak taula baten ardatz horizontalean eta **B** multzoarenak ardatz bertikalean jartzen dira eta gurutzaketa gelaxketan gagozkien bikote ordenatuak; kontuan izanda bikote ordenatuetan lehenengo tokian ardatz horizontaleko **A** multzoaren elementuak jarri behar direla eta bigarren tokian ardatz bertikaleko **B** multzoarenak.

Bikote ordenatuen multzoaren elementuak hurrengoak lirateke:
: 
   A \times B = \{
     (1,2), (1,3), (1,5),
     (4,2), (4,3), (4,5),
     (6,2), (6,3), (6,5)
   \} \,

### Erlazio bitarrak: biderkadura cartesiarraren azpimultzoak 
**A**x**B** biderkadura cartesiarra ikusita, erlazio bitar bat, adibidez **baino txikiagoa** erlazioa, biderkadura cartesiar horren azpimultzo baten bidez adierazi ahal da.
:::***Oharra: a>b** adierazpen matematikoaren esangura hurrengoa da:*
:::''ingelesez 'a (is) greater than b', frantsesez 'a (est) plus grand que b', espainieraz 'a (es) mayor que b' *
:::*eta euskaraz 'a handiagoa (da) b baino' edo, gauza bera dena, 'a baino txikiagoa (da) b' *
:::*eta irakurtzen denean, aditza ezabatuz, hurrengoa esan ohi dute matematikariek: *
:::*ingelesez 'a greater than b', frantsesez 'a plus grand que b', espainieraz 'a mayor que b' *
:::*eta euskaraz, jende arruntarentzat ulergarria izateko inguruko hizkuntzen formari hurbilegi jarraituz, 'a handiago b' *
:::*baina hau jende arruntarentzat ia ulertu ezina da, konparaketa nolakoa den jakiteko funtsezkoa den **baino**a ere, ezabatzen delako; *
:::*hori dela eta, jende arruntarentzat ulergarriagoa gerta dadin *
:::* artikulu honetan **a>b** adierazpena 'a baino txikiagoa b' irakurriko da.*

   R = \{(a,b) : \quad
   a \in A \quad \land \quad
   b \in B\ \quad \land \quad
   a > b \}

eta parte hartzen duten bikote ordenatu guztiak banan banan idatziz:

   R = \{ (4,2), (4,3), (6,2), (6,3), (6,5) \} \,

Erlazio bitarra definitzen duten bikote ordenatuak multzoen biderkadura cartesiarraren azpimultzo bat direla.

   R \subset A \times B
|

Hori dela eta, multzo biren artean izan litezkeen erlazio bitarren kopurua estimatu ahal da.

\alpha = \mathrm{card}(A), \qquad \beta = \mathrm{card}(B) badira

**A** eta **B** multzoen artean izan litezkeen erlazio bitarren kopurua hurrengoa da:

   2^{\alpha\cdot\beta}
   \quad \Leftarrow \quad
   \mathrm{Rel}_{bin} \subset \mathcal{P}(A\times B)

Multzoren bat infinitua izanez gero aurreko kopurua zenbaki transfinitua legez hartu behar da.

## Erlazio bitar homogeneoak 
Aurrerago esan den legez, erlazio bitar homogeneo bat multzo bakar baten elementuen artekoa da; multzo hori **A** multzoa bada notazio matematikoz honela adierazten da:
: 
   R (a,b): \;
   (a,b)\in A^2

200px|eskuinera
Erlazio bitarrak multzo bakar baten elementuen artekoak direnean, erlazio horiek multzoak modu ezberdinetan egituratu ahal dituzte, egitura bat ematen diete multzoei eta multzoak sortutako egitura horien arabera sailka daitezke. Eredu baten bidez ikusiko dugu nola irudikatu horrelako erlazioak:

Alboko irudian geziez irudikatzen den  A = \{a, b, c, d \} \,  multzoaren elementuen arteko erlazioan A multzo bakar bat dagoela eta erlazionatuta duden elementu guztiak haren barnekoak direla ikusten da.
: R \subset A^2 

Erlazio berbera erlazionatuta dauden elementuen eralzio zerrenda batez irudikatu ahal da:
: a \mathcal{R} b \quad b \mathcal{R} a \quad b \mathcal{R} c 
: c \mathcal{R} d \quad d \mathcal{R} b \quad d \mathcal{R} d 

edo bikote ordenaturen multzo baten bidez:
:  R = \{ (a,b),(b,a),(b,c),(c,d),(d,b),(d,d) \} \, 

200px|eskuinera

Erlazio bitar homogeneo bat **A**tik **A**rako korrespondentzia bat bezala ere, irudikatu ahal da:
:  R: A \rightarrow A 

**A** multzoa abiaburu-multzo legez hartuz eta, baita ere, helburu-multzo bezala.

Kasu honen erlazio bitarra aztertzeko erlazio bitar heterogeneoak aztertzerakoan erabiltzen diren irizpideak erabili ahal dira, eta haien arabera sailkatu erlazioa.

Erlazio bitar baten irudikapena biderkadura cartesiarraren azpimultzo batez:

Alboko taulan  A \times A  biderkadura cartesiarraren bikote ordenatu guztiak agertzen dira; ereduaren erlazioa irudikatzeko balio dutenak letra lodiz nabarmenduta daudela.

Beraz, hurrengoa da R erlazioa irudikatzeko erabili ahal den A \times A biderkadura cartesiarraren azpimultzoa:
:  R = \{ ( a, b ), ( b, a ), ( b, c ), ( c, d ), ( d, b ), ( d, d ) \} \,

*Kontuan hartu ardatz horizontalean abiaburu-multzoa irudikatzen dela eta bertikalean helburu-multzoa.*

### Erlazio bitar homogeneoen propietateak 
Bera osatzen duten bikote ordenatuen arabera, erlazio bitar batek propietate ezberdin batzuk izan ditzake. Ikus ditzagun euretariko batzuk:

#### Propietate erreflexiboa 
A multzoaren elementuen arteko R erlazio bitar homogeneo batek propietate erreflexiboa du A multzoaren elementu guztiak euren buruekin erlazionatuta daudenean.
: 
   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R

A multzoaren a elementu guztientzako A \times A biderkadura cartesiarraren (a,a) bikote ordenatua R erlazio bitarrarena da.

Kontuan izan multzoaren elementu guztiak egon behar direla erlazionatuta euren buruekin, euretariko batzuk ez badaude erlazionatuta euren buruekin erlazioa *erlazio ez-erreflexibo*a dela esaten da.

Goiko adierazpen matematikoaren baliokidea da hurrengoa:
: 
   \nexists a \in A : \;
   (a,a) \notin R

Ez dago A multzoaren a elementurik R erlazio bitarrean (a,a) bikote ordenatua ez duenik.

#### Propietate irreflexiboa 
Erlazio bitar batek propietate irreflexiboa du ez dagonean berberarekin erlazionatuta dagoen ezein elementurik:
: 
   \forall a \in A : \;
   (a,a) \notin R

Propietate honi *propietate antierreflexibo*a ere, esaten zaio batzuetan, eta beste era honetara ere, irudikatu ahal da notazio matematikoaz:
: 
   \nexists a \in A : \;
   (a,a) \in R

Ez dago berberarekin erlazionatuta dagoenA multzoaren ezein a elementurik.

#### Propietate simetrikoa 
Erlazio bitar batek propietate simetrikoa du (a,b) bikote ordenatu bat erlaziokoa izateak halabeharrez (b,a) bikote ordenatua ere, erlaziokoa izatera behartzen duenean:
: 
   \forall a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \quad \longrightarrow \quad
   (b,a) \in R

Gorago esandakoa kontuan izanda, (a,b) bikote ordenatua R erlazioarena ez bada (b,a) bikotea ere, ezin da izan erlazioarena. Hori argi ikusten da goiko adierazpen matematikoaren baliokidea den hurrengo adierazpenean:
: 
   \nexists a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \quad \land \quad
   (b,a) \notin R

Ezin da egon Rko ezein (a,b) bikote ordenaturik (b,a) bikote ordenatua ere Rkoa ez bada.

#### Propietate antisimetrikoa 
Erlazio bitar batek propietate antisimetrikoa du (a,b) eta (b,a) bikote ordenatuak aldi berean erlaziokoak izateak a = b izatera behartzen duenean, hau da a eta b elementuak elementu berbera izatera behartzen duenean:
: 
   \forall a,b \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,a) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad
   a = b

Beste era batera esanda, ez daude lehengoa bigarrenarekin eta aldi berean bigarrena lehenengoarekin erlazionatuta dauden aeta b elementu ezberdin bi:
: 
   \nexists a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \quad \land \quad
   (b,a) \in R
   \quad \land \quad
   a \ne b

Adibidez, \ge (*baino txikiago edo berdin*) erlazioa antisimetrikoa da, eta baita > (*baino txikiago*) erlazioa, baina bigarren kasu honetan definizioaren baldintza inoiz betetzen ez delako, hau da ( a > b \quad \land \quad b > a ) inoiz ez delako egia.

#### Propietate asimetrikoa 
Erlazio bitar batek propietate asimetrikoa du (a,b) eta (b,a) bikote ordenatuak ezin direnean aldi berean erlaziokoak izan.
: 
   \forall a,b \in A : \;
      (a,b) \in R
   \quad \longrightarrow \quad
   (b,a) \notin R

Erlazio bitar batek bakarrik du propietate asimetrikoa aldi berean propietate antisimetrikoa eta irreflexiboa dituenean.
Esate baterako, > (*baino txikiago*) erlazioa asimetrikoa da, baina \ge (*baino txikiago edo berdin*) erlazioa ez.

#### Propietate iragankorra 
Erlazio bitar batek propietate iragankorra du multzoaren a elementu bat b elementuarekin eta b elementua c elementu batekin erlazionatuak egoteak a elementua halabeharrez c elementuarekin erlazionatuta egotera behartzen duenean:
: 
   \forall a, b, c \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,c) \in R
   \Big )
   \quad \longrightarrow \quad
   (a,c) \in R

#### Osotasun-propietatea 
Erlazio bitar batek osotasun propietatea du eta, beraz, erlazio osoa da elementu guztiak euren artean erlazionatuta daudenean; hau da multzoaren a eta b edozein elementu beti daudenean erlazionatuta lehenengoa bigarrenarekin edo/eta bigarrena lehenengoarekin:
: 
   \forall a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \quad \lor \quad
   (b,a) \in R

#### Erlazio ondo sortuak 
A multzo baten elementuen arteko R erlazioa erlazio ondo sortua da A multzoaren B azpimultzo guztietan m ez den B azpimultzoaren b edozein elementua (b,m) bikotea erlazioarena ez izatea egiten duen m elementua badago.
: 
   \forall B \subset A
   \; , \quad
   \exists m \in B
   \; : \quad
   \forall b \in B
   \; \land \;
   b \ne m
   \; : \quad
   (b,m) \notin R

Hau da A multzoaren B azpimultzo guztietan azpimultzo horien elementu txikiena den m elementu bat dago.

### Erlazio bitar homogeneoen motak 
Erlazio bitar homogeneoek izan ditzaketen propietateen arabera sailka daitezke; sailkapena egiteko propietate bakar bat kontuan hatuz gero hurrengo motak dira gehien erabilitakoak:

Propietate bat baino gehiago kontuan hartuz gero sailkapen zehatzagoa egin daiteke, beste mota batzuk ere erabiliz.

Jarraian sailkapen zabalagoaren edo zehatzagoaren nahiko interesgarriak diren erlazio mota batzuei buruzko informazio gehigarria a agertzen da:

#### Erlazio erreflexiboak 
Propietate erreflexiboa duten erlazioei erlazio erreflexiboak deitzen zaie eta beste erlazio mota konplexuago batzuk aztertzeko abiaburu dira. Kontuan izan erlazio bitar ez-erreflexiboak eta irreflexiboak oso kasu berezietan agertzen direla eta, kasu arruntenetan daukaten garrantzi txikiagatik, gutxi ikertuak direla.

Erlazio erreflexiboen definizioa hurrengoa da:
{{teorema|A multzoaren elementuen arteko 
   R = 
   \{
      (a,b)\in \; A^2 
      : \quad
      R(a,b)
   \} 
 erlazio bitar homogeneoa **erlazio erreflexibo**a da hurrengo propietatea duenean:

1.- Propietate erreflexiboa: 
   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R

}}

Propietate erreflexiboa duen erlazio baten eredurik argiena berdintza matematikoarena da; zenbaki multzo batean, zenbaki arrunten \N multzoan adibidez, edozein zenbakia berdina da berberarekin.

200px|eskuinera

A = \{ a, b, c, d \} \; multzoaren elementuen arteko R = \Big \{ (a,a), (a,b), (b,b), (b,c), (c,c), (d,b), (d,d) \Big \} erlazioak **propietate erreflexibo**a du eta, beraz, **erlazio erreflexibo**a da, multzoaren elementu guztiak euren buruekin erlazionatuta daude eta.

Multzoaren elementu guztiak agertzen dira termino biak berdinak dituzten erlazioaren bikote ordenatuetan.
:  (a,a) \in R \quad (b,b) \in R \quad (c,c) \in R \quad (d,d) \in R

120px|eskuinera
R erlazioa koordenatu cartesiarren bidez ere, irudikatu ahal da.

Horretarako, ardatz horizontalean (abszisena) ezkerretik eskuinera abiaburu-multzoaren elementuak, ardatz bertikalean (ordenatuena) behetik gora helburu-multzoenak *(kontuan izan erlazio homogeneotan abiaburu-multzoa eta helburu-multzoa multzo berbera direla)* eta bikote ordenatu bat erlazioarena bada koordenatu biak gurutzatzen diren gelaxkan gurutze bat jarriz *(kontuan izanda bikotearen lehengo terminoa ardatz horizontalari dagokiola eta bigarrena ardatz bertikalari)*.

Beheko ezker muturretik goiko eskuin muturrera doan diagonal nagusiko gelaxkak elementu biak berdinak dituzten bikote ordenatuei dagozkienak dira eta erlazioa erreflexiboa izan dadin diagonal horren gelaxka guztietan gurutze bat egon behar da.

Diagraman ikus dezakegu, ereduko erlazioa erreflexiboa dela.

Hiru irudikapen moduetako edozein (bikote ordenaturen zerrendakoa, gezi-diagramakoa edo koordenatu cartesiarrekoa) erabili ahal dugu erlazio bat erreflexiboa den ala ez ikusteko.

#### Erlazio ez-erreflexibo 
Gehien aztertu diren erlazio bitar homogeneoak erlazio erreflexiboak dira, baina erlazio guztiak ez dira erreflexiboak. Propietate erreflexiboa ez duten erlazioak **erlazio ez-erreflexibo** deitzen dira eta erlazio hauen kasu berezia da inongo elementurik berberarekin erlazionatuta ez duten **erlazio irreflexibo**rena.
Orain arte ikusitakoaren arabera erlazio bitar homogeneoak beheko diagraman adierazten den moduan sailka daitezke.
:

Erlazio ez-erreflexiboen kasu berezia diren erlazio irreflexiboak honela definitzen dira:
{{teorema|A multzoaren elementuen arteko 
   R = 
   \{
      (a,b)\in \; A^2 
      : \quad
      R(a,b)
   \} 
 erlazio bitar homogeneoa **erlazio irreflexibo**a da hurrengo propietatea duenean:

1.- Propietate irreflexiboa:  \forall a \in A : \; (a,a) \notin R
}}

Gorago ikusi den moduan propietate irreflexiboa horrela ere irudikatu ahal da:
:  \nexists a \in A \, : \quad (a,a) \in R

A multzoan ez dago bere buruarekin erlazionatuta dagoen edozein a elementurik.

200px|eskuinera
Alboan gezi-grafo baten bidez irudikatuta dagoen 
   A =
   \{ a, b, c, d \} \,
 multzoaren elementuen arteko 
   \R =
   \Big \{
   (a,b), (b,c), (d,b)
   \Big \}
 erlazioan

: 
   (a,a) \notin R \quad
   (b,b) \notin R \quad
   (c,c) \notin R \quad
   (d,d) \notin R

eta erlazioa irreflexiboa da.

120px|eskuinera
Erlazioa koordenatu cartesiarren bidez irudikatuz gero diagonal nagusian inolako gurutzerik agertzen ez dela ikusten da, erlazioa irreflexiboa izateko baldintza dena.

Propietate erreflexiboa eta irreflexiboa ezin dira batera bete; propietate erreflexiboa duen erlazio batean:
: 
   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R

eta propietate irreflexiboa duen batean:
: 
   \forall a \in A : \;
   (a,a) \notin R

baina baldintza biak batera betetzea ezinezkoa da. Kontrako argudioa ez da zuzena, erlazio bitar bat batera izan daiteke EZ-erreflexiboa eta EZ-irreflexiboa. Ez-erreflexiboa den erlazio batean:

: 
   \exist a \in A
   \, : \quad
   (a,a) \notin R

Eta ez-irreflexiboa den batean:
: 
   \exist a \in A
   \, : \quad
   (a,a) \in R

Eta baldintza horiek batera bete ahal dira, erlazioa aldi berean ez-erreflexiboa eta ez-irreflexiboa izanik.
: 
   \begin{cases}
      \exist a \in A \, : \quad (a,a) \notin R  \\
      \exist b \in A \, : \quad (b,b) \in R
   \end{cases}

200px|eskuinera
Alboan gezi-grafo baten bidez irudikatuta dagoen  A = \{ a, b, c, d \} \,  multzoaren elementuen arteko  R = \Big \{ (a,a), (a,b), (b,c), (c,c), (d,b) \Big \} erlazioan

: 
   (a,a) \in R \quad
   (c,c) \in R \quad
   (b,b) \notin R \quad
   (d,d) \notin R

Eta horren ondorioz, erlazioa ez da ez erreflexiboa ez irreflexiboa.

120px|eskuinera
Koordenatu cartesiarrak erabiliz erlazioa irudikatzeko, diagonal nagusiko gelaxka guztietan gurutze bat ez dagoenez erlazioa erreflexiboa ez dela eta gelaxka horiek guztiak hutsik ez daudenez erlazioa irreflexiboa ez dela ikusten da; hau da erlazioa aldi berean da ez-erreflexiboa eta ez-irreflexiboa.

Laburbilduz, hiru motako erlazioak izan ditzakegu:
* Erlazio erreflexiboak
* Erlazio irreflexiboak
* Aldi berean ez-erreflexiboak eta ez-irreflexiboak diren erlazioak

#### Lotura erlazioak 
Erlazio bitar homogeneo bat lotura-erlazioa da propietate erreflexiboa eta simetrikoa baditu:
{{teorema|A multzoaren elementuen arteko 
   R = 
   \{
      (a,b)\in \; A^2 
      : \quad
      R(a,b)
   \} 
 erlazio bitar homogeneoa **lotura-erlazio**a da hurrengo propietateak dituenean:

1.- Propietate erreflexiboa: 
   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R

2.- Propietate simetrikoa: 
   \forall a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \quad \longrightarrow \quad
   (b,a) \in R

}}

Adibidez, zenbaki arrunten \N multzoa hartzen badugu eta bertan zenbaki biren arteko Dist distantzia zenbaki horien arteko kenduraren balio absolutua dela definitu.
: 
   \forall a, b \in \N : \;
   Dist= | a-b|

esaten badugu a eta b zenbaki arrunt bi hurbil daudela haien arteko distantzia D balio finko bat baino handiagoa ez denean, hurbiltasun-erlazio bitarra hurrengoa da:
: 
   (a, b) \in R : \;
   (a, b) \in \N^2
   \quad \land \quad
   |a-b| \le D

erlazio hori lotura-erlazioa da, propietate erreflexiboa:
: 
   \forall a \in \N : \;
   |a-a| \le D 

eta simetrikoa:
: 
   \forall a, b \in \N : \;
   |a-b| \le D
   \quad \longrightarrow \quad
   |b-a| \le D

dituelako. Hala ere hurbiltasun-erlazio bitarra ez da iragankorra
: 
   \forall a, b, c \in \N : \;
   \Big (
       |a-b| \le D
      \quad \land \quad
       |b-c| \le D
   \Big )
   \quad \nrightarrow \quad
    |a-c| \le D

ez da betetzen eta.

Aldi berean a eta b-ren arteko distantzia eta b eta c-ren arteko distantzia D baino handiagoak ez izateak ez du ziurtatzen a eta c-ren arteko distantzia D baino handiagoak ez izatea. Distantzien araberako zenbakiren arteko lotura-erlazio honek ez du ezartzen euren artean inolako baliokidetasunik baina, euren arteko lotura bat bai.

#### Multzo aurreordenatuak 
Erlazio bitar homogeneo batek multzo bati multzo aurreordenatuko egitura ematen dio propietate erreflexiboa eta iragankorra dituenean.

{{teorema|A multzoaren elementuen arteko 
   R = 
   \{
      (a,b)\in \; A^2 
      : \quad
      R(a,b)
   \} 
 erlazio bitar homogeneoak A multzoari **multzo aurreordenatu**ko egitura ematen dio hurrengo propietateak dituenean:

1.- Propietate erreflexiboa:  \forall a \in A : \; (a,a) \in R

2.- Propietate iragankorra:  \forall a, b, c \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,c) \in R \Big ) \longrightarrow \quad (a,c) \in R
}}

#### Baliokidetasun-erlazioak 
Erlazio bitar homogeneo bat baliokidetasun-erlazioa da propietate erreflexibo, simetriko eta iragankorra dituenean:

{{teorema|A multzoaren elementuen arteko 

 R = \{(a,b)\in A^2\; : \quad R(a,b)\} 
 erlazio bitar homogeneoa **baliokidetasun-erlazio**a da hurrengo propietateak dituenean:

1.- Propietate erreflexiboa:  \forall a \in A : \; (a,a) \in R

2.- Propietate simetrikoa:  \forall a,b \in A : \; (a,b) \in R \longrightarrow (b,a) \in R

3.- Propietate iragankorra:  \forall a, b, c \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,c) \in R \Big ) \longrightarrow (a,c) \in R
}}

Baliokidetasun-erlazio batek A multzoa **baliokidetasun-klase**tan zatitzen du; haien elementu guztiak elkarrekin erlazionatuta dauden eta beste klase batzuetako elementuekin erlazionatuta ez dauden elementuz osatutako azpimultzotan. Azpimultzo horiek elkarrekin disjuntuak dira eta haien bilkura A da. Ikus dezagun adibide bat:

Aritmetika modularrean zenbaki arrunten arteko kongruentzia-erlazioa definitzen da, zenbaki bi n modulu batentzat kongruenteak direla definituz zenbaki biak modulu horrekin zatitzean hondar bera geratzen denean.

: 
   8 \equiv 17 \quad ( \mathit{ Mod \;} 3)

8 eta 17 kongruenteak dira 3 moduluarentzat, hiruz zatikatzean kasu bietan hondarra 2 delako.

Zenbaki arrunten **n** graduko modulu-kongruentzia baliokidetasun-erlazioa da, erreflexiboa:
: 
   \forall a \in \N : \;
   a \equiv a \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n)

simetrikoa:
: 
   \forall a, b \in \N : \;
   a \equiv b \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n)
   \longrightarrow \quad
   b \equiv a \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n)

eta iragankorra:
: 
   \forall a, b, c \in \N : \;
   \Big (
      a \equiv b \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n)
      \quad \land \quad
      b \equiv c \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n)
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   a \equiv c \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n)

baita.

#### Multzo partzialki ordenatuak 
Multzo bat erlazio bitar homogeneo batez partzialki ordenatua dago erlazio horrek propietate erreflexiboa, iragankorra eta antisimetrikoa baditu.

{{teorema|A multzoaren elementuen arteko  R =  \{ (a,b)\in \; A^2   : \quad R(a,b) \} erlazio bitar homogeneoak A multzoari **multzo partzialki ordenatu**ko egitura ematen dio hurrengo propietateak dituenean:

1.- Propietate erreflexiboa:  \forall a \in A : \; (a,a) \in R

2.- Propietate iragankorra:  \forall a, b, c \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,c) \in R \Big ) \longrightarrow \quad (a,c) \in R

3.- Propietate antisimetrikoa:  \forall a,b \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,a) \in R \Big ) \longrightarrow \quad a = b
}}

#### Ordena osoak 
R erlazio batek A multzo batean ordena-osoa sortzen du erlazioa erreflexibo, iragankor, antisimetriko eta osoa bada:

{{teorema|A multzoaren elementuen arteko  R =  \{ (a,b)\in \; A^2   : \quad R(a,b) \} erlazio bitar homogeneoak A multzoari **ordena osoko**ko egitura ematen dio hurrengo propietateak dituenean:

1.- Propietate erreflexiboa:  \forall a \in A : \; (a,a) \in R

2.- Propietate iragankorra:  \forall a, b, c \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,c) \in R \Big ) \longrightarrow \quad (a,c) \in R

3.- Propietate antisimetrikoa:  \forall a,b \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,a) \in R \Big ) \longrightarrow \quad a = b

4.- Osotasun-propietatea:   \forall a, b \in A : \; (a,b) \in R \quad \lor \quad (b,a) \in R
}}

Esate baterako, zenbaki osoen \Z multzoan **baino handiagoa edo berdina** erlazio bitarra ordena osoko erlazioa da, hurrengo baldintzak betetzen direlako
:  \forall a \in \Z : \;  a \le a &nbsp;&nbsp;&nbsp;(propietate erreflexiboa)

:  \forall a, b, c \in \Z : \; \Big ( a \le b \quad \land \quad b \le c \Big ) \longrightarrow \quad a \le c &nbsp;&nbsp;&nbsp;(propietate iragankorra)

:  \forall a,b \in \Z : \; \Big ( a \le b \quad \land \quad b \le a \Big ) \longrightarrow \quad a = b &nbsp;&nbsp;&nbsp;(propietate antisimetrikoa)

:  \forall a, b \in \Z : \; a \le b \quad \lor \quad b \le a &nbsp;&nbsp;&nbsp;(osotasun-propietatea)

#### Multzo ondo ordenatuak 
Ordena osoko A multzo bat **multzo ondo ordenatua** da haren elementuen arteko erlazioa propietate erreflexibo, iragankor, antisimetriko eta osotasunekoaz hornitua izateaz gain, erlazio ondo sortua denean.

{{teorema|
Haren elementuen artean 
   R = 
   \{
      (a,b)\in \; A^2 
      : \quad
      R(a,b)
   \} 
 erlazio bitarra duen A multzo bat **multzo ondo ordenatu**a da erlazioak hurrengo propietateak dituenean:

1.- Propietate erreflexiboa: 
   \forall a \in A : \;
   (a,a) \in R

2.- Propietate iragankorra:  
   \forall a, b, c \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,c) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   (a,c) \in R

3.- Propietate antisimetrikoa: 
   \forall a,b \in A : \;
   \Big (
      (a,b) \in R
      \quad \land \quad
      (b,a) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad
   a = b

4.- Osotasun-propietatea:  
   \forall a, b \in A : \;
   (a,b) \in R
   \quad \lor \quad
   (b,a) \in R

5.- Erlazioa ondo sortua da:  
   \forall B \subset A
   \; , \quad
   \exists m \in B
   \; : \quad
   \forall b \in B
   \; \land \;
   b \ne m
   \; : \quad
   (b,m) \notin R

}}

## Erlazio bitar heterogeneoak 
180px|eskuinera

A eta B multzoen arteko erlazio bitar bat heterogeneo dela esaten da A eta B multzoak ezberdinak direnean:
: 
   R (a,b): \;
   (a,b) \in A \times B
   \quad \land \quad
   A \ne B

Korrespondentzia (matematiko) ere, deitzen zaio.

Eskuinaldeko irudia erlazio bitar heterogeneo baten **gezi-diagrama** da, bertan haien elementuek erlazionatuta dituzten bi multzoak agertzen dira, erlazionatuta dauden elementuak aurreirudietatik irudietara doazen geziez lotuta daudela. P multzoan margo batzuekin hornitutako pintzelak agertzen dira eta C multzoan margo horiekin margotutako aurpegiak, eta aurpegi bakoitza bera margotzeko erabili daitezkeen pintzelekin lotuta dago.
: 120px

Baliteke margo bereko pintzelak edo aurpegiak egotea, baina multzoaren elementu desberdintzat hartu behar dira; pintzel edo aurpegi batzuk margo berekoak badira ezaugarri bera duten pintzel edo aurpegia ezberdinak dira.

Diagraman erlazioa definituta dagoen pintzelen P **abiaburu-multzo**a ikus dezakegu:
:

**Abiaburu-multzo**ko elementu guztiak ez daude erlazionatuta aurpegien multzoaren elementurekin. Erlazionatuta dauden elementuez osatuta dagoen multzoari **aurreirudi-multzo** deitzen zaio:
:

eta margotuta dauden aurpegien C **helburu-multzo**a:
:

Erlazioan partaideak diren **helburu-multzo**ko elementuez osatutako multzoari **irudi-multzo** deitzen zaio.
:

Erlazio bitarra hurrengo bikote ordenatuek osatzen dute:
:

: 
   R (a,b): \;
   (a,b)\in A \times A
 bezalako erlazio bitar homogeneo bat erlazio heterogeneo baten moduan ere aztertu ahal da, abiaburu-multzoa eta helburu-multzoa ezberdinak izango balira legez. Beraz, erlazio homogeneoak bi modutara azter daitezke.

### Erlazio bitar heterogeneoen propietateak 
: 
   R: A \rightarrow B
 erako erlazio bitar heterogeneo edo korrespondentzien azpimota batzuk aztertzeko daukaten garrantziagatik komeni da aurretik hurrengo propietateak (edo baldintzak) ikustea:

#### Irudien existentziaren baldintza 
180px|eskuinera

Irudien existentziaren baldintza betetzen da A multzoaren a elementu guztiek B multzoan b irudi bat behintzat dutenean. Ez da nahikoa B multzoan irudi batzuk egotea, beharrezkoa A multzoaren elementu guztiek irudi bat gutxienez izatea:
: 
   \forall a \in A: \;
   \exists b \in B
   \quad \land \quad
   (a,b)\in R.

Eskuineko irudian irudikatu den korrespondentzian baldintza betetzen da, P multzoaren pintzel guztiek irudi bat gutxienez daukatelako aurpegien C multzoan.

#### Aurreirudien existentziaren baldintza 
180px|eskuinera

Aurreirudien existentziaren baldintza betetzen da B multzoaren b elementu guztiek A multzoan a aurreirudi bat behintzat dutenean. Ez da nahikoa A multzoan aurreirudi batzuk egotea, beharrezkoa B multzoaren elementu guztiek aurreirudi bat gutxienez izatea.:
: 
   \forall b \in B: \;
   \exists a \in A
   \quad \land \quad
   (a,b)\in R.

Eskuineko irudian irudikatu den korrespondentzian baldintza betetzen da, C multzoaren aurpegi guztiek aurreirudi bat gutxienez daukatelako pintzelen P multzoan.

#### Irudi bakarreko baldintza 
180px|eskuinera

Irudi bakarreko baldintza betetzen da B multzoan b irudia duten A multzoaren a elementu guztiek irudi bakar bat dutenean. Baldintza ez da irudi bakar bat egotea, irudia duten aurreirudiek irudi bakar bat edukitzea baino:
: 
   \Big (
      (a,b_1)\in R
      \quad \and \quad
      (a,b_2) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad 
   b_1 = b_2.

Irudi bakarreko baldintzak irudia duten A multzoaren elementuek irudi bakarra dutela ziurtatzen du, baina ez A multzoaren elementu guztiek irudia dutenik.

Eskuineko irudian irudikatu den korrespondentzian baldintza betetzen da, irudia duten P multzoaren pintzel guztiek irudi bakarra dutelako aurpegien C multzoan.

#### Aurreirudi bakarreko baldintza 
180px|eskuinera

Aurreirudi bakarreko baldintza betetzen da A multzoan a aurreirudia duten B multzoaren b elementu guztiek aurreirudi bakar bat dutenean. Baldintza ez da aurreirudi bakar bat egotea, aurreirudia duten irudiek aurreirudi bakar bat edukitzea baino:
: 
   \Big (
      (a_1,b)\in R
      \quad \and \quad
      (a_2,b) \in R
   \Big )
   \longrightarrow \quad 
   a_1 = a_2.

Aurreirudi bakarreko baldintzak aurreirudia duten B multzoaren elementuek aurreirudi bakarra dutela ziurtatzen du, baina ez B multzoaren elementu guztiek aurreirudia dutenik.

Eskuineko irudian irudikatu den korrespondentzian baldintza betetzen da, aurreirudia duten C multzoaren aurpegi guztiek aurreiirudi bakarra dutelako pintzelen P multzoan.

#### Eredu-galeria 
Elkarrengandik independenteak diren lau baldintza horien arabera agertu ahal diren kasuen eredu batzuk ikusiko ditugu.

**Abiaburu-multzo**ak margo-tuturen T multzoak izango dira, **helburu-multzo**ak pintzelen P multzoak; eta erlazioak margoak bat etortzean oinarrituta egongo dira.

|}
|

|}
|

|}
|

|}
|-
|

|}
|

|}
|

|}
|

|}
|-
|

|}
|

|}
|

|}
|

|}
|-
|

|}
|

|}
|

|}
|

|}
|}

### Erlazio bitar heterogeneoen motak 
Erlazio bitar heterogeneoen artean hurrengo motak bereiz ditzakegu:

#### Korrespondentzia uníbokoak 
Korrespondentzia bat unibokoa da irudi bakarreko baldintza betetzen denean:

Baldintza hau beharrezkoa eta nahikoa da korrespondentzia unibokoa izan dadin.

#### Korrespondentzia biuníbokoak 
Korrespondentzia bat biuníbokoa da (edo bana-banakoa) irudi bakarreko eta aurreirudi bakarreko baldintzak betetzen direnean:

#### Aplikazioak 
A eta B multzoen arteko 
   R: A \rightarrow B
 korrespondentzia bati **aplikazioa** deitzen zaio Aren a elementu guztiek b irudi bakar bat badute B irudi-multzoan, hau da irudi bakarreko baldintza eta irudien existentziaren baldintza betetzen badira.

: 
   \begin{array}{rcl}
      R : \; A & \to     & B       \\
      a        & \mapsto & b = R(a)
   \end{array} 

Aurreko lerro bietan agertzen den moduan irudikatuta dagoen erlazio bat aplikazio bat izan dadin A multzoaren a elementu guztiak B multzoaren b elementu bakar batekin egon behar dira erlazionatuta; eta notazioa matematikoa erabiliz honela adierazi ahal da:
: 
   \forall a \in A
   \, : \quad
   \exists !  b \in B
   \; / \quad
   b = R(a)

: *Abiaburu-multzoa eta helburu-multzoa zenbakidunak direnean aplikazioei **aplikazio** deitu ordez askotan **funtzio** izena ematen zaie.*

: *Kopuru bi edo gehiagoren arteko erlazio edo korrespondentzia bati normalean **funtzioa** esaten zaio *

: *Ingelesez aplikazio bati* **mapping** *deitzen zaio, normalean* **map**-*era laburbilduta.''

#### Aplikazio injektiboak 
Aplikazio bat injektiboa da aurreirudi bakarreko baldintza betetzen duen aplikazioa bada; beraz Aplikazio injektiboak irudi bakarreko, irudien existentziaren eta aurreirudi bakarreko baldintzak betetzen dituzten korrespondentziak dira.

Beraz, Aplikazio injektiboa aurreirudi bakarreko baldintza betetzen duen aplikazioa dela esan dezakegu; baina, baita ere, irudien existentziaren baldintza betetzen duen korrespondentzia biunibokoa.

#### Aplikazio supraiektiboak 
Aplikazio bat supraiektiboa da aurreirudien existentziaren baldintza betetzen duen aplikazioa bada; beraz Aplikazio injektiboak irudi bakarreko, irudien existentziaren eta aurreirudien existentziaren baldintzak betetzen dituzten korrespondentziak dira.

#### Aplikazio bijektiboak 
Aplikazio bat bijektiboa da aldi berean aplikazio injektiboa eta supraiektiboa denean. Beraz, aplikazio bijektiboa irudi bakarreko, irudien existentziaren, aurreirudi bakarreko eta aurreirudien existentziaren baldintzak betetzen dituen korrespondentzia da.

## Erreferentziak 
### Bibliografia 
liburuak

## Ikus, gainera 
* Ordena-teoria

## Kanpo estekak 
* Relación