Analisi erreal

[250px|thumb|[Fourierren analisia: Funtzio eten baten hurbilketa puntualki konbergentea den funtzio sinusoidalen serie baten bidez.]]
**Analisi erreala**, zenbaki errealak, zenbaki errealen segidak, zenbaki errealen serieak eta funtzio errealak aztertzen dituen matematikaren adarra da, hau da, aldagai errealeko funtzioen analisi erreala edo teoria eta zenbaki errealen multzoarekin eta zenbaki errealen funtzioekin zerikusia duen analisi matematikoaren adarra.​ Bereziki, zenbaki errealen funtzio eta segiden propietate analitikoak aztertzen ditu: bere muga, jarraitutasuna eta zenbaki errealen kalkulua.

Hauek dira analisi errealak aztergai dituen segida, serie eta funtzioen propietateetako batzuk: limitea, konbergentzia, jarraitutasuna, deribagarritasuna eta integragarritasuna.

Analisi erreala izena erabiltzen da analisi konplexutik bereizteko; analisi konplexua zenbaki konplexuak eta horien funtzioak aztertzeaz arduratzen baita.

## Irismena 
Analisi erreala analisi matematikoaren arlo bat da, eta kontzeptu hauek aztertzen ditu: segida, limitea, jarraitutasuna, Desberdintza eta integrazioa. Bere izaera dela eta, analisi erreala zenbaki errealetara mugatuta dago lan-tresna gisa.

Emaitza garrantzitsuen artean, besteak beste, daude: Bolzano-Weierstrassen teorema, Heine-Borelen teorema, Batez besteko balioaren teorema eta Kalkuluaren oinarrizko teorema.

### Oinarrizko kontzeptuak 
«Kalkulu aurreratuko» testuak, normalean, froga matematikoetarako eta multzoen teoriarako sarrera batekin hasten dira. Horren ondoren, zenbaki errealak axiomatikoki definitzen dira, edo Cauchyren segidekin edo zenbaki arrazionalen Dedekind-en ebaketa gisa eraikitzen dira. Ondoren, zenbaki errealen propietateen ikerketa egiten da, horietatik garrantzitsuenetako bat desberdintza triangeluarra izanik.

### Segidak eta serieak 
Zenbaki errealak definitu ondoren, zenbaki errealen segidak eta haien konbergentzia ikertzen dira (analisian, kontzeptu nagusi bat) segiden edo multzoen metatze-puntuen mugen bidez. Ondoren, serieak aztertzen dira, hala nola txandakako serieak eta berretura-serieak.

Oinarrizko kontzeptu topologikoak garatzen hasteko, zenbaki errealen hainbat azpimultzo mota aztertzen dira: multzo irekiak, multzo itxiak, espazio trinkoak, multzo konexu, etab., non Bolzano-Weierstrassen teorema eta Heine-Borelen teorema aztertzen baitira.

### Funtzio jarraituak 
Ondoren, aldagai errealeko funtzioak aztertzen dira, eta funtzio jarraituaren kontzeptua definitzen da funtzio baten limitearen Epsilon-delta definiziotik abiatuta. Tarte batean definituriko funtzio jarraitu baten propietateen artean, Bolzanoren teorema, Tarteko balioaren teorema eta Weierstrassen teorema izenez ezagutzen diren teoremak nabarmentzen dira.

### Deribazioa edo bereizketa 
Une horretan, funtzio baten deribatua defini daiteke muga gisa, eta zorrotz froga daitezke deribazioari buruzko teorema garrantzitsuak, hala nola Rolleren teorema edo Batez besteko balioaren teorema. Taylorren serieak eraikitzen dira, eta funtzio esponentzialen eta funtzio trigonometrikoen Maclaurinen serieak kalkulatzen dira.

Garrantzitsua da azpimarratzea zenbait aldagairen funtzioak ere aztertzen direla, bai eta deribatu partzialak ere. Oso garrantzitsua da Alderantzizko funtzioaren teorema eta Funtzio inplizituaren teorema aztertzea, Morseren funtzioak adina.

### Integrazioa 
Integrazio definitua, funtzio baten «grafikoaren azpiko azalera» gisa defini daitekeena, berez, deribazioaren ondoren doa, zeinaren integrazio mugagabea alderantzizko eragiketa baita. Riemannen integralarekin hasten da, tartea azpitartetan zatitzean datzana (partiketa batekin), luzatu azpitarteak gorantz iritsi arte edo funtzioak azpi-tartean duen minimora (kasu horretan, behe batura deritzo), edo, maximora, azpitartean (kasu horretan, goi batura deritzo). Badago, halaber, funtzio gehiago integratu ditzakeen beste integral mota bat ere (Lebesgueren integrala deitua, neurria eta «ia leku guztietan» kontzeptua erabiltzen dituena). Beherago agertzen da.

Riemannen edo Lebesgueren integrazioaren kasuan, integrazioaren teoriarekin, hainbat teorema froga daitezke, Fubiniren teorema kasu, baina, modu garrantzitsuagoan, Kalkuluaren oinarrizko teorema.

### Oinarrizko kontzeptuetara itzultzea giro orokorragoetan 
Hori guztia egin ondoren, baliagarria da jarraitutasun eta konbergentzia kontzeptuetara itzultzea eta testuinguru abstraktuago batean aztertzea funtzio-espazioen azterketa prestatzeko. Hori analisi funtzionalean edo espezializatuagoetan egiten da, hala nola, analisi konplexuan.

## Zenbaki errealen eraikuntza
Analisi errealaren teoremak zenbaki errealen sistemaren propietateetan oinarritzen dira, zeinak finkatu behar diren. Zenbaki errealen sistema da kontaezinezko multzo bat (\mathbb{R}) bi eragiketa bitarrekin batera,  eta  izendunak, eta  deituriko ordena batekin batera. Eragiketak eginez, zenbaki errealak eremu bat bihurtzen dira, eta ordenarekin batera, eremu ordenatu bat. Zenbaki errealen sistema da eremu ordenatu oso bakarra, bada, beste edozein eremu ordenatu osoa isomorfoa da berekiko. Intuizioz, osotasunak esan nahi du ez dagoela *hutsunerik* zenbaki errealetan. Propietate horrek zenbaki errealak beste eremu ordenatu batzuetatik bereizten ditu (adibidez, zenbaki arrazionalak \mathbb{Q}) eta funtsezkoa da zenbaki errealen funtzioen zenbait propietate nagusi frogatzeko. Errealen osotasuna, sarritan, behar bezala adierazten da goi-baturaren muga minimoaren propietate gisa.

### Zenbaki errealen ordena-propietateak 
Zenbaki errealek hainbat propietate dituzte, Sareten teoria, zenbaki konplexuek ez dituztenak. Gainera, zenbaki errealek eremu ordenatu bat osatzen dute, non zenbaki positiboen batuketak eta emaitzak ere positiboak diren. Gainera, zenbaki errealen antolaketa totala da, eta zenbaki errealek goi-baturaren muga minimoaren propietatea dute:
{{Aipua|Goi-muga duen \mathbb{R} azpimultzo ez-huts orok goi-muga txikiagoa du, eta hori ere zenbaki erreal bat da}}

Ordena teorikoaren propietate horiek analisi errealeko funtsezko emaitza batzuetara daramate, hala nola Konbergentzia monotonoaren teoremara, Tarteko balioaren teoremara eta Batez besteko balioaren teoremara.

Hala ere, analisi errealeko emaitzak zenbaki errealetarako enuntziatzen diren arren, emaitza horietako asko beste objektu matematiko batzuetara orokortu daitezke. Bereziki, analisi funtzionaleko eta operadoreen teoriako ideia askok zenbaki errealen propietateak orokortzen dituzte. Halako orokortzeetan sartzen dira Rieszen eta eragile positiboaren espazio-teoriak. Gainera, matematikariek errealtzat eta sekuentzia konplexuen irudizko zatitzat edo eragileen sekuentzien ebaluazio puntualaren arabera hartzen dituzte.

### Zenbaki errealen propietate topologikoak 
Analisi errealaren teorema asko zenbakizko erreal zuzenaren propietate topologikoen ondorioak dira. Arestian deskribatutako zenbaki errealen ordena-propietateak estuki erlazionatuta daude propietate topologiko horiekin. Espazio topologiko gisa, zenbaki errealek topologia estandarra dute, hau da,  ordenak induzitutako ordena-topologia. Bestela, d:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}_{\geq 0} distantzia funtzioa edo metrika definituz eta balio absolutuaren funtzioa  gisa erabiliz, zenbaki errealak espazio metriko baten adibide prototipiko bihurtzen dira. d metrikak induzitutako topologia  ordenak induzitutako topologia estandarraren bera da. Tarteko balioaren teorema gisako teoremak, berez, funtsean topologikoak direnak, espazio metriko edo topologikoen ingurune orokorragoan froga daitezke maiz \mathbb{R}-n soilik frogatu beharrean. Askotan, proba horiek laburragoak edo sinpleagoak izaten dira metodo zuzenak erabiltzen dituzten proba klasikoekin alderatuta.

### Mugak eta konbergentzia
Oro har, limitea da sarrera edo indizea balioren batera hurbildu ahala funtzio edo segida bat *hurbiltzen* den balioa​ (balio horretan, \pm\infty ikurrak sar daitezke, aldagaia mugarik gabe handitzen edo txikitzen den heinean funtzio edo sekuentzia baten portaerari heltzen zaionean). Limitearen ideia funtsezkoa da kalkuluan (eta analisi matematikoan, oro har), eta bere definizio formala, era berean, jarraitutasun, deribatu eta integral gisako nozioak definitzeko erabiltzen da (izan ere, limitearen portaeraren azterketa, izan ere, matematikaren beste adar batzuetatik kalkulu eta analisi matematikoak bereizten dituen ezaugarri gisa erabili izan da).

Limitearen kontzeptua Newtonek eta Leibnizek informalki sartu zuten funtzioetarako XVII.&nbsp;mendearen amaieran kalkulu infinitesimala eraikitzeko. Sekuentzietarako, Cauchyk sartu zuen kontzeptua, eta, XIX.&nbsp;mendearen amaieran, Bolzano eta Weierstrass-ek zehaztu zuten ondorengo ε-δ&nbsp;definizio modernoa eman zutenean:

**Definizioa**: f da {{nowrap|E\subset\mathbb{R}.}}-n definitutako balio errealeko funtzio bat. Esaten du f(x)-k L-rantz jotzen duela x x_0-etara hurbildu ahala, edo f(x)-ren muga, x x_0-ra hurbildu ahala L dela baldin eta edozein \varepsilon>0-rako, \delta>0 baldin badago x en E, 0  orotarako, |f(x) - L|  dela inplikatzen duena. Hau sinbolikoki honela idazten dugu:
f(x)\to L\ \ \text{denean}\ \ x\to x_0 , edo, honela: \lim_{x\to x_0} f(x) = L .
(a_n)k ez badu bat egiten, (a_n) *urrundu* egiten dela esaten dugu.

### Trinkotasuna 
Trinkotasuna topologia orokorreko kontzeptu bat da, analisi errealeko teorema askotan paper garrantzitsua jokatzen duena. Trinkotasun-propietatea multzo itxi eta mugatuaren nozioaren orokortze bat da. Analisi errealaren testuinguruan, nozio hauek baliokideak dira: multzo bat espazio euklidearrean trinkoa da baldin eta itxia eta mugatua bada. Labur esanda, multzo itxi batek bere muga guztiak ditu; multzo bat, berriz, bornatu egiten da baldin eta zenbaki erreal bat badago multzoko bi punturen arteko distantzia zenbaki hori baino txikiago bada. \mathbb{R}-n, itxiak eta mugatuak diren multzoak eta, beraz, trinkoak, barne hartzen dituzte: multzo hutsa, edozein puntu-kopuru finitu, tarte itxiak eta horien lotura finituak. Hala ere, zerrenda hori ez da osoa; adibidez, \{1/n:n\in\mathbb{N}\}\cup \{0}\ multzoa multzo trinkoa da; Cantor-en \mathcal{C}\subset [0,1] talde hirutarra multzo trinkoaren beste adibide bat da.  Bestalde, {1/n:n\in\mathbb{N}} multzoa ez da trinkoa mugatuta delako, baina ez itxita; izan ere, 0 puntua ez da multzoko kidea. [0,\infty) multzoa ere ez da trinkoa itxia delako, baina ez mugatua.

Zenbaki errealen azpimultzoetarako, trinkotasunaren hainbat definizio baliokide daude:
**Definizioa**: E\subset\mathbb{R} multzo bat trinkoa da itxia eta mugatua bada.

Definizio horrek edozein dimentsio finituko espazio euklidear baterako ere balio du, \mathbb{R}^n, baina, oro har, ez du balio espazio metrikoetarako. Definizioaren eta azpiestalduretan oinarritutako trinkotasunaren definizioaren arteko baliokidetasunari —atal honetan, aurrerago emango dugu— Heine-Borelen teorema deritzo.

Espazio metriko guztiei aplikatzen zaien definizio orokorrago batek azpisekuentziaren nozioa erabiltzen du.

### Jarraitutasuna
Zenbaki errealekiko zenbaki errealen multzoaren funtzio bat grafiko baten bidez adieraz daiteke plano kartesiarrean; funtzio hori jarraitua da, baldin eta, gaingiroki, grafikoa etenik gabeko kurba bakarra bada, *zulorik* eta *jauzirik* gabea, alegia.

Intuizio hori matematikoki zorrotz egiteko hainbat modu daude. Hainbat definizio eman daitezke, orokortasun-maila desberdinekin. Bi definizio edo gehiago aplikagarriak diren kasuetan, erraz frogatzen da elkarren baliokideak direla; beraz, funtzio jakin bat jarraitua den ala ez zehazteko, definiziorik komenigarriena erabil daiteke. Ondoren emandako lehen definizioan, f:I\to\R da zenbaki errealen multzoaren I tarte ez-endekatu baten gainean definitutako funtzio bat, bere domeinu gisa. Aukera batzuk barne hartzen dute: I=\R; zenbaki errealen multzo osoa; I = (a, b) = \{x \in \R \mid a  tarte ireki bat, edo I = [a, b] = \{x \in \R \mid a \leq x \leq b\} tarte itxi bat. Hemen, a eta b zenbaki erreal ezberdinak dira, eta baztertu egiten dugu I hutsik egotea edo puntu bakarrekoa izatea, bereziki.

**Definizioa**: I\subset \mathbb{R} endekatu gabeko tartea bada, esaten dugu f jarraitua dela p\in I-n baldin eta lim_{x \to p} f(x) = f(p) bada. f etengabeko mapa dela diogu f jarraitua bada p\in I bakoitzean.

## Orokortzeak eta matematikarekin lotutako arloak 
Analisi errealeko hainbat ideia orokor daitezke lerro errealetik testuinguru zabalago edo abstraktuagoetara. Orokortze horiek beste diziplina eta azpigaitasunekin lotzen dute benetako azterketa. Adibidez, ideiak funtzio jarraitu gisa orokortzeak eta analisi erreala espazio metriko eta espazio topologikoetara trinkotzeak benetako analisia topologia orokorraren eremuarekin lotzen du; espazio euklidear finitu-dimentsionalak infinitu-dimentsioen analogoetara orokortu izanak, berriz, Banachen espazioen eta Hilberten espazioen kontzeptuetara eraman zuen, eta, orokorrago, analisi funtzionalera. Georg Cantorrek zenbaki errealen multzoei eta sekuentziei buruz egindako ikerketek, horien arteko mapaketek eta analisi errealaren sorrerako arazoek multzoen teoria informala sortu zuten. Funtzio-sekuentzietarako konbergentzia-gaiak aztertzeak Fourier-en analisi matematikoaren azpidiziplina ekarri zuen azkenean. Aldagai erreal baten funtzioen bereizgarritasuna aldagai konplexu baten funtzioetara orokortzearen ondorioak ikertzeak ekarri zuen funtzio holomorfikoaren kontzeptua eta analisi konplexuaren hasieran analisia ez den beste azpidiziplina batera. Bestalde, integrazioa Riemannen zentzutik Lebesguerenera orokortu izanak eraman zuen neurketa-espazio abstraktuaren kontzeptua formulatzera, funtsezko kontzeptua neurrien teorian. Azkenik, zuzen errealetik dimentsio handiagoko espazioetako kurba eta gainazaletarako integrazioa orokortu zenean, kalkulu bektoriala aztertu zen, geroago orokortu eta formalizatu zena eta zeregin garrantzitsua izan zuena geometria diferentzialeko eta geometriarekin eta topologiarekin estu lotutako beste arlo batzuetako forma diferentzial eta aukera bereizgarri kontzeptuen bilakaeran.

## Erreferentziak