Sommerfelden eredu atomikoa

**Sommerfeld-en eredu atomikoa** Arnold Sommerfeld​ (1868-1951) fisikari alemaniarrak egindako eredu atomikoa da. Eredu hau Bohr-en eredu atomikoa-ren orokorpen bat da, ikuspegi erlatibista batetik atomo bateko elektroien ibilbideak fisikoki deskribatzen dituena.

## Bohr-en ereduaren mugak 
Bohr-en eredu atomikoak oso ondo funtzionatzen zuen atomo hidrogenoide-rako, izan ere, esperimentalki behatutako atomoen igorpen espektro-etan agertzen ziren lerroak azaltzeko, energiaren kuantizazioa baliatu zuen, hau da, elektroien energia ezin zitekeen edozein izan. Bohr-ek ondorengoa proposatu zuen:

# Elektroien eta nukleoaren arteko indar Coulomb-darraren eraginez, elektroiak nukleoaren inguruan orbita zirkularretan higitzen dira.
# Orbita hauek ezin dira edonolakoak izan, momentu angeluarra \frac{h}{2\pi} unitatekoa izan behar da (L=\frac{h}{2\pi}n, n=1,2,...). Hortaz, elektroien energia ere kuantizatuta dago, ondorengoa izanik: E=-\frac{me^4}{(4\pi\epsilon_0)^22\hbar^2}\frac{Z^2}{n^2}
# Elektroiek ez dute energia igortzen orbita batean daudenean, egoera egonkorra da.
# Elektroi bat orbita batetik bestera pasatzean energia igortzen du fotoi baten bidez. Igorritako fotoien uhin luzeren erlazioa (espektroan agertzen direnak) ondorengoa da:

E_{fot}=\frac{hc}{\lambda}=\Delta E=E_{n_{buk}}-E_{n_{has}}\Rightarrow\frac{1}{\lambda}=\frac{me^4}{(4\pi\epsilon_0)^24\pi\hbar^3}Z^2(\frac{1}{n_{has}^2}-\frac{1}{n_{buk}^2})

Nolanahi ere, saiakuntza kalitate handiagoko espektrospkopio-en bidez burutzean, hasiera batean lerro bakarra zena zenbait azpilerroz osatuta zegoela behatu zen; beste era batera esanda, uhin luzera oso antzekoa zuten zenbait lerro agertzen ziren espektroan, azpilerro horien arteko aldeak, lerro nagusien arteko aldeak baino 104 aldiz txikiagoak zirelarik, orokorrean. Bohr-en ereduak ezin zuen egitura fin hau azaldu, beraz, argi zegoen orokortu egin behar zela eredua.

Sommerfeld-en esperimentalki behatutako azpilerro hauek azaltzeko, maila energetiko berdin baten barruan azpimailak existitzen zirela ondorioztatu zuen, hau da, energia arinki desberdinak. Gainera, ikuspegi teoriko batetik, zenbait atomotan elektroien abiadurak argi abiadura-ren frakzio hautemangarri batera heltzen zirela behatu zuen. Hortaz, Sommerfeld-ek elektroi erlatibistetarako aztertu zuen eztabiadagaia.

## Sommerfeld eta Wilson-en kuantizazioa 
XX. mendearen lehen laurdenean, Arnold Sommerfeld eta Charles Wilson-ek Planck-en legea-ren eta Bohr-en eredu atomikoan arteko erlazioa azaltzen ahalegindu ziren, bi teoria hauetan h konstante bera  (Plank-en konstantea)  agertzen baitzen.

1916. urtean, fase-espazio klasikoan oinarrituriko kuantizazio arau bat proposatu zuten, arestian aipatutako Planck-en Legea eta Bohr-en eredu atomikoa berne hartzen zituena. Ondorengoa zen proposatutako postulatua:

Kuantizazio lege arau hau erabiliz, hainbat sistema fisikoren energia diskretuen balioa loru daiteke. Hemen bi egoera ezberdinetako kalkuluak aipatzen dira.

### Oszilatzaile harmonikoa 
Har dezagun m masadun partikula bat k zurruntasun-konstantedun malguki batera lotuta, sistema osoak E energia izanda:

E=\frac{1}{2m}p^2+\frac{k}{2}q^2 (2)

Ekuazio honetan agertzen diren atal bietan E zatitzerakoan, (p,q) planoan dagoen eta a=\sqrt{2mE} eta b=\sqrt{\frac{2E}{k}} ardatz-erdiak dituen elipsea deskribatzen da (3):

1=\frac{1}{2mE}p^2+\frac{k}{2E} q^2 (3)

Planoan dagoen elipse baten azalera \pi ab dela jakinda eta (1) Sommerfeld eta Wilson-en kuantizazio araua jarraituz, energia askatzerakoan (4) lortutako mailak, diskretuak direla ikusi daiteke:

E_n=nhv, v=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} (4)

Azken ekuazio hau, hain zuzen, Planck-ek gorputz beltza-ren erradiazioa ikertzen zuenean postulatu zuen ekuazioa da.

### Eraztun batean higitzen den partikula 
m masadun partikula bat R erradiodun eraztun batean mugitzen dela suposatuz; eraztunak muga baldintza periodikoak ditu, beraz q(\theta)=q(\theta+2\pi). Horrela, sistema (5) energia erabiliz deskribatuko litzateke:

E=\frac{L^2}{2I},I=mR^2 (5)

L momentu angeluarra askatuz:

L=\sqrt{2IE} (6)

Eraztuna angelu guztietarako (R jakin baterako) isopotentziala dela hartuta eta sistemaren baldintza periodikoak direla eta, I konstantea da edozein \theta angelurentzat eta fase espazioan koordenatuari dagokion luzera 2\pi dela ikus daiteke. Hots, fase espazioko orbita itxiaren azalera 2\pi\sqrt{2IE} da eta Sommerfeld-Wilson-en araua erabiliz honelako adierazpena lortu daiteke:

E_n=\frac{h^2}{8\pi^2I}n^2=\frac{L^2}{2I} (7)

(7) ekuazioko gai guztiak kuadratikoak dira; berriz L momentu angeluarra askatzerakoan (8) ekuazioa lortzen da, Bohr-ek proposatutako momentu angeluarrarekin bat datorrena hain zuzen ere:

L=\frac{h}{2\pi}n^2 (8)

### Partikula 1D-ko kutxan 
m masadun eta E energiadun partikula bat L luzerako dimentsio bakarreko kutxa baten barruan higitzen dela suposatuz, partikulak kutxaren hormak jotzen dituenean talka guztiz elastikoak direlarik eta energia eta momentua kontserbatzen direlarik. Sistemaren energia honela deskribatu daiteke:

E=\frac{p^2}{2m} (9)

p askatzerakoan, momentuak har ditzakeen baloreak adierazpen honek definitzen ditu:

p=\pm\sqrt{2mE}. (10)

Momentua positiboa denean partikula ezkerretik eskubira higiko da eta momentua negatiboa denean alderantziz. Kutxan zehar potentziala konstantea denez, partikularen abiadura konstantea izango da norantza eta moduluan hormen aurka talka egin arte. Hortaz, kutxaren luzera L dela kontuan izanik, argi ikusten da fase espazioko azalera itxiaren balioa 2L\sqrt{2mE} dela. Sommerfeld-Wilson-en kuantizazio araua aplikatuta (11) lortzen da:

E_n=\frac{h^2}{8mL^2}n^2 (11)

Ikus daitekeenez, maila hauek beranduago proposatuko litzatekeen Schrödinger-en ekuazioa askatuz lortzen diren berberak dira.

## Sommerfeld-en ereduaren garapena 
1916. urtean, Sommerfield-ek Bohr-en eredu atomikoa hobetu zuen, bi funtsezko aldaketa sartuz: elektroien orbitak zirkularrak izan ordez eliptikoak zirela eta elektroi hauen abiadurak erlatibistak zirela.

Nukleoa-ren masa infinitutzat hartuz eta pausagunean dagoela onartuz, elektroiaren posizioa adierazteko, (r,\theta) koordenatu polarrak erabiltzen dira, eta biak periodikoak dira. Bi osagai periodiko izanik, Wilson eta Sommerfeld-en bi adierazpen idatzi daitezke:

\oint Ld\theta=n_\theta h           (12)

\oint pdr=n_r h       (13)

(12) ekuaziotik erlazio hau ateratzen da:

L=\frac{h}{2\pi}n_\theta           (14)

Erlazio hori Bohr-en ereduaren postulatua da, beraz, orbita zirkularretan ere agertu zen.

(13) ebazteko, kontuan hartu behar da energiaren adierazpena:

E=\frac{1}{2}m_ev^2+\frac{L^2}{2m_er^2}-\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0r}\Rightarrow p_r=\frac{\sqrt{2m}}{r}\sqrt{Er^2+\frac{Ze^2r}{4\pi\epsilon_0}-\frac{L^2}{2m}}          (15)

Wilson eta Sommerfeld-en bigarren adierazpena erabiliz, ondorengoa lortzen da:

2\pi(\frac{me^2Z}{4\pi\epsilon_0\sqrt{-2me}}-L)=n_rh        (16)

Baina, lehenengo baldintzaren arabera L=\frac{h}{2\pi}n_\theta denez:

E=-\frac{me^4Z^2}{(4\pi\epsilon_0)^22\hbar^2}\frac{1}{n^2}, n=n_r+n_\theta           (17)

Bestalde, orbita eliptikoetan, \epsilon eszentrikotasuna hau da:

\epsilon=\sqrt{1+\frac{2EL^2(4\pi\epsilon)^2}{me^4Z^2}}         (18)

L eta E-ren balioak (14) eta (17) adierazpenekin ordezkatuz:

\epsilon=\sqrt{1-\frac{n_\theta^2}{n^2}}           (19)

Beraz, n jakin bat emanda, n_\theta=1,2,...,n da. Energia bereko n orbita daude, eszentrikotasun desberdinekin (ikus (1) irudia). Orbita horiek endekatuak direla esaten da. Energia endekatua da.

erdian|thumb|762x762px|1.irudia: Wilson eta Sommerfeld-en ereduaren orbita eliptikoak, atomo hidrogenoidean.

Endekapena kentzeko, Sommerfeld-ek arestian aipatutako erlatibitatearen teoria erabili zuen. Hidrogeno atomoan, elektroiaren abiadura \frac{v}{c}\backsimeq 10^{-2} da, beraz, energia zinetikoa-ren zuzenketaren ordena (\frac{v}{c})^2=10^{-4} da, behatutako azpilerroen arteko aldearen proportzioa dena hain zuzen ere.

Orbita bakoitzean, zuzenketaren balioa elektroiaren batez besteko abiaduraren karratuaren proportzionala da, eta batez besteko hori desberdina da energia bereko orbita eliptikoetan. Beraz, hori izango da azpimailen arteko energia aldea eragingo duena. Kalkuluak egin ondoren, energiaren adierazpen hau lortuko da:

E=-\frac{me^4Z^2}{(4\pi\epsilon_0)^22\hbar^2}\frac{1}{n^2}(1+\alpha^2\frac{Z^2}{n}(\frac{1}{n_\theta}-\frac{3}{4n}))           (20)

\alpha magnitudea zenbaki hutsa da, egitura fineko konstantea deiturikoa. Bere balioa hau da:

\alpha=\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar c}\simeq \frac{1}{137}\Rightarrow \alpha^2\simeq 10^{-4}           (21)

Hortaz, n bereko baina n_\theta desberdineko orbitek energia desberdina dute, beraien arteko aldea \alpha^2\simeq10^{-4} magnitude ordenekoa izanik, behatutako azpilerroen arteko aldearen proportzioa dena.

Sommerfeld-en ereduak, beraz, trantsizio posible gehiago egiten ditu posible, baina trantsizio posible horiek igorriko lituzketen fotoien uhin-luzera guztiak ez dira agertzen espektroetan.

Esperimentalki behatutako trantsizioak, ondorengo hautatze araua betetzen dutenak dira soilik:

n_{\theta_{buk}}-n_{\theta_{has}}=\pm1         (22)

erdian|thumb|475x475px|2.irudia: Baimendutako trantsizioak (beltzez) eta debekatutako trantsizioak (gorriz)

## Sommerfeld-en eredua-ren mugak 
Sommerfeld-en ereduak eredu atomikoaren garapenean aurrerapauso handia suposatu bazuen ere, zenbait muga ditu:

# Sistema perdiodikoetan aplikatu daiteke bakarrik, sistema ez-periodikoetan, ordea, ez.
# Ez du ondo azaltzen zein trantsizio diren onargarriak eta zein ez.
# Atomo konplexuen gainean aplikatzean, emaitzak ez dira onak.

## Laburpena 
1916. urtean, Arnold Sommerfeld-ek ondorengo aldaketak egin zizkion Bohr-en eredu atomikoa-ri,  Albert Einstein-en Erlatibitatearen Teoria-ren laguntzaz:

# Elektroiak nukleoaren inguruan mugitzen dira, orbita zirkularretan edo orbita eliptikoetan
# Energiaren bigarren mailatik aurrera azpimaila bat edo gehiago existitzen dira maila berean.

## Eredu atomikoak 
## Kanpo estekak