Talesen teorema (elkarketa)

eskuinera|300px|
**Talesen teorema** edo **elkarketaren teorema** —ingelesez, teorema hau *Intercept theorem* izenarekin da ezaguna— Geometriako oinarrizko teorema bat da, eta hau dio:
{{teorema|1=Eman ditzagun hiru zuzen paralelo. Beste bi zuzen ebakitzailek (d eta d') mozten badituzte, d lerroko zuzenkiek (\overline{AB} eta \overline{BC}) eta d' lerrokoek (\overline{A'B'} eta \overline{B'C'}) proportzionaltasuna gordetzen dute:

{\overline{AB}\over\overline{A'B'}}={\overline{BC}\over\overline{B'C'}}.}}

Geometria klasikoan, bi teorema daude *Talesen teorema* izena daukatenak: bata hau da, *Talesen teorema (elkarketa)*; eta bestea, *Talesen teorema (zirkulua)*. Uste da Tales Miletokoa K. a. VI. mendeko greziar matematikari eta filosofoak formulatu zituela bi teorema horiek, eta berarengandik datorkie izena.

Lehenengoa (elkarketaren teorema) artikulu honen gaia da, eta azaltzen du nola eraiki triangelu baten beste triangelu antzeko bat ("antzeko triangeluek angelu berdinak dituzte").

Bigarrenak (zirkuluarena), aldiz, triangelu zuzenen zirkunzentroen funtsezko berezitasun bat argitzen du ("hipotenusaren erdigunean dago zirkunzentroa"), marrazketa geometrikoan angelu zuzenak eraikitzeko erabiltzen dena.

Triangelu isoszeleek bi angelu berdin dituztela frogatzeko erabili zituen Talesek emaitza horiek, bai eta triangelu baten hiru angeluen batura bi angelu zuzen dela ere.

## Formulazioa 
Demagun S bi lerroren elkargunea dela, eta A, B, lehen lineak bi paraleloekin dituen elkarguneak. Hala, B S-tik A-tik baino urrutiago dago, eta, era berean, C, D bigarren lineak bi paraleloekin dituen elkarguneak dira, D S-tik C-tik urrutiago baitago.

# Lehenengo lerroan bi segmenturen arteko erlazioa eta bigarren lerroan adostasun-segmentuen erlazioa berdinak dira:| SA | : | AB | =| SC | : | CD | , | SB | : | AB | =| SD | : | CD | , | SA | : | SB | =| SC | : | SD |  
# S-n hasten den lerro bereko bi segmentuen erlazioa eta paraleloetako segmentuen erlazioa berdinak dira:| SA |:| SB | = | SC | :| SD | =| AC | : | BD |  
# Lehenengo esaldikoaren kontrakoa ere egia da, hau da, bi lerro arbitrariok elkar ebakitzen badute eta | SA | : | AB | =| SC | : | CD |  eusten baditu, bi intertzeptazio paraleloak dira. Hala ere, bigarren baieztapenaren aurkakoa ez da egia.
# S-n bi lerro baino gehiago ebakitzen baditu, paraleloan dauden bi segmentuen arteko erlazioa bat dator beste paraleloan dauden hitzarmen-segmentuen erlazioarekin:| AF | : | BE | =| FC | : | ED | , | AF | : | FC | =| BE | : | ED |  

Talesen lehen teoremak lerroen sekzioen proportzioak erakusten ditu; bigarrenak, lerroen sekzioen proportzioak, eta paraleloen sekzioak; azkenik, hirugarrenak paraleloen sekzioen proportzioak erakusten ditu.
erdian|700x700px
erdian|700x700px

## Froga
Teoremaren oinarrizko froga batek azalera berdineko triangeluak erabiltzen ditu arrazoiei buruzko oinarrizko adierazpena (1.) frogatzeko. Ondoren, beste baieztapenak lehenengoa eta kontraesana aplikatuz frogatzen dira.

### 1. baieztapena 
=\frac eta \frac=\frac

Triangelu-azaleren formula ( \tfrac{\text{oinarria} \cdot \text{altura}}{2}) erabiliz aurreko adierazpenak honela idatzi ahal dira;

\frac=\frac eta \frac =\frac

Faktore komunak ezabatuz honela geratzen direnak:

 \, \frac=\frac &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; eta &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;  \, \frac=\frac &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 1. baieztapenaren frogatu beharreko 1. eta 3. berdintzak

eta 3. berdintza horretatik
1-\frac=1-\frac &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; eta &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;  \frac=\frac

eta, beraz,  \, \frac=\frac edo gauza bera dena  \, \frac=\frac &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Frogatu beharreko 2. berdintza.
\, \square 
|-
|}

### 2. baieztapena 
=\frac dugu, eta hemen  |DG|-a | AC|-z ordezkatuz:

\frac=\frac  \square 
|-
|}

### 3. baieztapena 
 dugu. eta, bestalde, 1. baieztapenetik |SB_{0}|=\frac.  Beraz,  B  eta  B_{0}   S -ren alde berean eta  S -tik distantzia berera daude,  B=B_{0}  dela esan nahi duena. Egindako hipotesiarekin bat ez datorrena; beraz, hipotesi hori ezin da egia izan, eta  AC  eta  BD paraleloak dira  \square .
|-
|}

## Lotutako kontzeptuak 
### Antzekotasuna eta antzeko triangeluak 
eskuinera|thumb|400x400px|Antzeko bi triangelu ordenatuz, Talesen teorema aplikatu ahal izateko
Talesen teoremak lotura estua du antzekotasunarekin. Antzeko triangeluen baliokidea da, hau da, antzeko triangeluen eta antzeko triangeluen propietateak probatzeko erabil daiteke, Talesen teorema probatzeko. Angelu berdinak parekatzean, elkarren antzeko bi triangelu jar daitezke beti, Talesen teorema aplikatzen den konfigurazioa lortzeko; eta, kontrara, Talesen teoremaren konfigurazioak beti antzeko bi triangelu ditu.

### Biderketa eskalarra bektore-espazioetan 
Bektore-espazio normalizatu batean, biderketa eskalarrari buruzko axiomek (bereziki  \lambda \cdot (\vec{a}+\vec{b})=\lambda \cdot \vec{a}+ \lambda \cdot \vec{b}  eta  \|\lambda \vec{a}\|=|\lambda|\cdot\ \|\vec{a}\| ) bermatzen dute Talesen teorema mantentzen dela. Batek
\frac{ \| \lambda \cdot \vec{a} \| }{ \| \vec{a} \|}
=\frac{\|\lambda\cdot\vec{b}\|}{\|\vec{b}\|}
=\frac{\|\lambda\cdot(\vec{a}+\vec{b}) \|}{\|\vec{a}+\vec{b}\|}
=|\lambda|
 du.

600x600px

## Aplikazioak 
### Konpas eta erregela eraikuntzen formulazio aljebraikoa 
Oinarrizko geometrian hiru problema ezagun daude, eta grekoek planteatu zituzten konpas eta eskuairarekin eraiki daitezkeenei dagokionez:

# Angeluaren trisekzioa
# Kuboa bikoiztea
# Zirkuluaren koadratura

2000 urte baino gehiago iraun zuten, eta azkenean hirurak ezinezkoak agertu ziren XIX. mendean emandako tresnekin, denbora horretan eskuragarri zeuden metodo aljebraikoak erabiliz. Aljebrako terminoetan birformulatzeko, gorpoutz-eragiketak eta konpasa eta eskuaira konbinatu behar dira. Bereziki, garrantzitsua da bi linea-segmentu jakinetarako linea-segmentu berri bat eraiki ahal izatea, haien luzera beste bien luzeren biderkaduraren berdina izan dadin. Era berean,  a luzera-lerroko segmentu baterako,  a^{-1}  luzera-lerroko segmentu berri bat eraiki behar da. Bi kasuetan eraikuntza hori posible dela erakusteko erabil daiteke intertzeptazio-teorema.

### Lerro-segmentu bat proportzio jakin batean zatitzea 
### Neurketa eta azterketa 
#### Keops piramidearen altuera 
eskuinera|thumb|300x300px|neurketa-piezak
eskuinera|thumb|287x287px|C eta D kalkulatzea
Zenbait iturri historikoren arabera, Tales matematikari grekoak Gizako piramide handiaren altuera zehazteko teorema gurutzatua aplikatu zuen. Piramidearen altuera kalkulatzeko intertzeptazio-teoremaren erabilera erakusten du hurrengo deskribapenak. Hala ere, ez du kontatzen Talesen jatorrizko lana, galdu egin baitzen.

Talesek piramidearen oinarriaren luzera eta makilaren altuera neurtu zituen. Gero, eguneko ordu berean, piramidearen itzalaren luzera eta makilaren itzalaren luzera neurtu zituen. Datu hauek eman zituen horrek:

* makilaren altuera (A): 1,63 m
* makilaren itzala (B): 2 m
* piramidearen oinarriaren luzera: 230 m
* piramidearen itzala: 65 m

Hortik konputatu zuen berak

:  C = 65~\text{m}+\frac{230~\text{m}}{2}=180~\text{m} 

A, B eta C ezagututa, orain gai izan zen konputatzeko teorema gurutzatua aplikatzeko

:  D=\frac{C \cdot A}{B}=\frac{1.63~\text{m} \cdot 180~\text{m}}{2~\text{m}}=146.7~\text{m}

#### Ibai baten zabalera neurtzea 
 
|eskuinera|400x400px
|-
|}

### Lerro paraleloak triangeluetan eta trapezoideetan 
Talesen teorema erabil daiteke frogatzeko eraikuntza jakin batek lerro paraleloak (segmentua)s sortzen dituela.

## left|24px Ariketak 

Fitxategi:Talesen teorema antzekotasunak   ariketa.webm|thumbtime=71|**Talesen teoremak** antzekotasunak lantzeko ariketa.

## Erreferentziak 
## Bibliografia 
* 
* 
* 
* 

## Kanpo estekak 
*  Aplicaciones del Teorema de Tales