Prozesu estokastiko

[thumb|Esfera baten gainazalean Wiener prozesu ([Browndar higidura|Browniar mugimendu-prozesua ere deitua) baten ordenagailuz simulatutako gauzatzea. Wiener prozesua probabilitate-teorian gehien aztertutako eta zentraleko prozesu estokastikotzat hartzen da.]]
Probabilitate teorian eta erlazionatutako arloetan, prozesu estokastiko bat (/stəˈkæstɪk/) edo ausazko prozesu bat objektu matematiko bat da, normalean probabilitate espazio bateko ausazko aldagaien familia gisa definitzen dena, familiaren indizeak askotan denboraren interpretazioa duela. Prozesu estokastikoek diziplina askotan dituzte aplikazioak, hala nola biologian, kimikan, ekologian, neurozientzian, fisikan, ekonomian, kontrolaren teorian, informazio teorian, informatikan, eta telekomunikazioetan. Gainera, finantza merkatuetan izandako itxuraz ausazko aldaketek bultzatu dute prozesu estokastikoen erabilera zabala.

Aplikazioek eta benetako munduko fenomenoek behin eta berriz bultzatu dituzte matematikariak prozesu estokastiko berriak proposatzera. Bi adibide klasiko dira Wiener prozesua (Browniar mugimendu-prozesua ere deitua) eta Poisson prozesua. Louis Bachelierrek Wiener prozesua erabili zuen Parisko Burtsan prezioen aldaketak modelatzeko, eta A. K. Erlangek Poisson prozesua erabili zuen denbora-tarte jakin batean gertatzen diren telefono-deien kopurua modelatzeko. Bi prozesu hauek prozesu estokastikoen teoriaren erdigunetzat hartzen dira, eta behin eta berriz eta modu independentean asmatu ziren, bai Bachelier eta Erlangen aurretik bai ondoren, testuinguru eta herrialde desberdinetan.

Ausazko funtzio terminoa prozesu estokastiko edo ausazko bat aipatzeko ere erabiltzen da, prozesu estokastiko bat funtzio-espazio bateko ausazko elementu gisa ere interpreta daitekeelako. Prozesu estokastiko eta ausazko prozesu terminoak elkarren artean trukagarriak dira, askotan ausazko aldagaiak indexatzen dituen multzoarentzako espazio matematiko espezifikorik gabe. Baina askotan bi termino hauek erabiltzen dira ausazko aldagaiak zenbaki osoen edo lerro errealaren tarte baten bidez indexatzen direnean. Ausazko aldagaiak koordenatu kartesiar baten edo dimentsio handiagoko espazio euklidear baten bidez indexatzen badira, orduan ausazko aldagaien bildumari ausazko eremu deitzen zaio normalean. Prozesu estokastiko baten balioak ez dira beti zenbakiak eta bektoreak, baizik eta beste objektu matematiko batzuk izan daitezke.

Beren propietate matematikoetan oinarrituta, prozesu estokastikoak hainbat kategoriatan sailka daitezke, besteak beste, ausazko ibilaldiak,martingalak, Markov prozesuak, Lévy prozesuak, Gauss-en prozesuak, ausazko eremuak, berritze prozesuak eta adarkatze prozesuak.Prozesu estokastikoen azterketak probabilitate, kalkulu, aljebra lineal, multzoen teoria eta topologiako ezagutza eta teknikak erabiltzen ditu, baita analisi matematikoaren adarrak ere, hala nola analisi erreala, neurri teoria, Fourier analisia eta analisi funtzionala. Prozesu estokastikoen teoria matematikarako ekarpen garrantzitsutzat jotzen da, eta ikerketa gai aktiboa izaten jarraitzen du arrazoi teorikoengatik eta aplikazioengatik.

## Sarrera 
thumb|0 ≤ t ≤ 2 denborarako hiru dimentsioko Wiener edo Browniar mugimendu-prozesu baten ordenagailuz simulatutako funtzio edo gauzatze bakarra, besteak beste. Prozesu estokastiko honen indize-multzoa zenbaki ez-negatiboak dira, eta bere egoera-espazioa hiru dimentsioko espazio euklidearra da.
Prozesu estokastiko edo ausazko bat multzo matematiko batek indexatzen dituen ausazko aldagaien bilduma gisa defini daiteke, hau da, prozesu estokastikoaren ausazko aldagai bakoitza multzoko elementu batekin modu bakarrean lotuta dagoela. Ausazko aldagaiak indexatzeko erabiltzen den multzoari indize multzoa deritzo. Historikoki, indize multzoa lerro errealaren azpimultzo bat zen, hala nola zenbaki naturalak, indize multzoari denboraren interpretazioa emanez. Bildumako ausazko aldagai bakoitzak egoera-espazio izeneko espazio matematiko beretik hartzen ditu balioak. Egoera-espazio hau izan daiteke, adibidez, zenbaki osoak, lerro erreala edo n-dimentsioko espazio euklidearra. Gehikuntza prozesu estokastiko batek bi indize-balioen artean aldatzen duen kopurua da, askotan denboran bi puntu gisa interpretatzen dena. Prozesu estokastiko batek emaitza asko izan ditzake, bere ausazkotasunagatik, eta prozesu estokastiko baten emaitza bakar bati, besteak beste, lagin-funtzio edo errealizazio deitzen zaio.

### Sailkapenak 
Prozesu estokastiko bat modu ezberdinetan sailka daiteke, adibidez, bere egoera-espazioaren, indize-multzoaren edo ausazko aldagaien arteko menpekotasunaren arabera. Sailkapen-modu ohiko bat indize-multzoaren eta egoera-espazioaren kardinalitatearen arabera da.

Denbora gisa interpretatzean, prozesu estokastiko baten indize-multzoak elementu kopuru finitua edo zenbagarria badu, hala nola zenbaki multzo finitua, zenbaki osoen multzoa edo zenbaki naturalak, orduan prozesu estokastikoa denbora diskretuan dagoela esaten da. Indize-multzoa lerro errealaren tarte bat bada, orduan denbora jarraitua dela esaten da. Bi prozesu estokastiko motak denbora diskretuko eta denbora jarraituko prozesu estokastiko gisa aipatzen dira, hurrenez hurren. Denbora diskretuko prozesu estokastikoak errazago aztertzen dira, denbora jarraituko prozesuek teknika eta ezagutza matematiko aurreratuagoak behar baitituzte, batez ere indize-multzoa zenbaezina delako. Indize-multzoa zenbaki osoak edo horien azpimultzoren bat badira, orduan prozesu estokastikoari ausazko sekuentzia ere dei dakioke.

Egoera-espazioa zenbaki osoak edo zenbaki naturalak badira, prozesu estokastikoari prozesu estokastiko diskretu edo balio osokoa deitzen zaio. Egoera-espazioa lerro erreala bada, prozesu estokastikoari balio errealeko prozesu estokastiko edo egoera-espazio jarraitua duen prozesu deitzen zaio. Egoera-espazioa n-dimentsioko espazio euklidearra bada, prozesu estokastikoari n-dimentsioko bektore-prozesu edo n-bektore-prozesu deitzen zaio.

## Erreferentziak 
## Kanpo estekak 
 Prozesu estokastikoen gaien zerrenda

## Ikus gainera