Errepresentazioaren teoria

thumb|250x250px|Irudikapenaren teoriak aztertzen du zelan "eragiten" duten egitura aljebraikoek objektuetan. Adibide sinple bat da aztertzea poligono erregularren simetriek  nola  aldazen duten poligonoa, islapen eta errotazioen bidez.
**Errepresentazioaren teoria** edo **irudikapenaren teoria** matematikaren adar bat da, eta egitura aljebraiko abstraktuak aztertzen ditu, haien elementuak espazio bektorialen eraldaketa lineal gisa irudikatuz, eta egitura algebraiko abstraktu horiei buruzko moduluak aztertzen ditu. Funtsean, irudikapen batek zehatzagoa egiten du objektu aljebraiko abstraktu bat, eta haren elementuak matrizeen bidez eta eragiketa aljebraikoen bidez deskribatzen ditu (adibidez, matrizeen batura, matrizearen biderketa). Matrizeen eta eragile linealen teoria hobeto ulertzen dira, eta, batzuetan, teoria abstraktuagoen kalkuluak sinplifikatzen dituzte. 

Deskribapen honetako objektu algebraikoen artean daude taldeak, aljebra asoziatiboak eta Lie-ren aljebrak. Nabarmenena (eta historikoki lehena) taldeen irudikapenaren teoria da, non talde bateko elementuak matrize alderantzikagarrien bidez adierazten baitira, talde-eragiketa matrizeen biderketa izan dadin.

Irudikapenaren teoria metodo erabilgarria da, aljebra abstraktuaren arazoak aljebra linealeko problemetara murrizten baititu, oso gai ulertua. Gainera, talde bat irudikatzeko erabiltzen den espazio bektoriala (adibidez) infinito dimentsiokoa izan daiteke, eta, adibidez, Hilbert-en espazio bat izan dadin, talde-teoriari analisi-metodoak aplika dakizkioke. Irudikapenaren teoria ere garrantzitsua da fisikan; izan ere, adibidez, sistema fisiko baten simetria-taldeak sistema hori deskribatzen duten ekuazio-soluzioei nola eragiten dien deskribatzen du.

Irudikapenaren teoria bi arrazoirengatik orokortzen da matematikaren eremuetan. Lehenik eta behin, irudikapenaren teoriaren aplikazioak askotarikoak dira: aljebran duen eraginaz gain, irudikapenaren teoria:

* Fourier-en analisia argitu eta orokortzen du analisi harmonikoaren bidez,
* geometriarekin lotuta dago, teoria aldaezinaren eta Erlangen programaren bidez,
* eragina du zenbakien teorian, forma automatikoen eta Langlands programaren bidez.

Bigarrenik, irudikapenaren teoriaren zenbait ikuspegi daude. Objektu berberak geometria aljebraikoko metodoen, moduluen teoriaren, zenbakien teoria analitikoaren, geometria diferentzialaren, eragileen teoriaren, konbinazio aljebraikoaren eta topologiaren bidez azter daitezke.

Irudikapenaren teoriaren arrakastak orokortze ugari eragin ditu. Orokorrenetako bat kategorien teoria da. Irudikapenaren teoria aplikatzen zaien objektu aljebraikoak kategoria mota berezi gisa ikus daitezke, eta funtore gisako irudikapenak, objektuen kategoriatik espazio bektorialen kategoriara. Deskribapen horrek bi orokortze nabari adierazten ditu: lehenik, objektu aljebraikoen ordez kategoria orokorragoak erabil daitezke; bigarrenik, bektore-espazioen kategoria objektiboaren ordez, oso ulertuak diren beste kategoria batzuk erabil daitezke.

## Definizioak eta kontzeptuak 
Bedi V espazio bektorial bat F gorputzean. Adibidez, V **R***n* edo **C***n* dela joz, espazio n-dimentsional estandarra zutabe-bektoreeetako zenbaki erreal edo konplexuekin, hurrenez hurren. Kasu honeta*n*, irudikapenaren teoriaren ideia aljebra abstraktua konkretatzea da, n aldiz zenbaki erreal edo konplexuzko n matrizeak erabiliz.

Hiru objektu algebraikoren gainean egin daiteke hori: taldea, aljebra asoziatiboak eta Lieren aljebrak.

* *n \times n* matrize alderantzikagarri guztien multzoa matrizeen biderketa errespetatzen duen taldea da, eta taldeen irudikapenaren teoriak talde bat aztertzen du bere elementuen deskribapena (irudikapena) horien matrize *alderantzikagarrien* arabera.
* Matrizeen batuketak eta biderketak *n* aldiz eratutako n matrize guztien talde bat osatzen dute aljebra asoziatibo batean, eta, beraz, dagokion elkarte-aljebrak irudikatzeko teoria bat dago.

* MN matrizee*n* biderketaren ordez *MN* – *NM* matrize-kommutadorea erabiltzen bada, orduan n aldiz n matrizeak Lieren aljebra bihurtzen dira, eta horrek Lieren aljebra-irudikapen bat eragiten du.

Hori orokortu egin daiteke F eremu guztietan eta V bektore-espazio guztietan, aplikazio linealak erabiliz, matrizeak eta funtzioen konposizioa ordezkatuz, matrizeen biderketa ordezkatuz, hiru hauek existitzen dira: GL(V,F)  V-ren automorfismoen  talde bat, V-ren endomorfismo guztien End**F**(*V*)  aljebra asoziatibo bat, eta **gl**(*V*,**F**) Lie-ren aljebra bat.

## Erreferentziak 
## Bibliografia 
* Alperin, J. L.. *Local Representation Theory: Modular Representations as an Introduction to the Local Representation Theory of Finite Groups*.  Cambridge University Press, 1986. ..
* Bargmann, V. «Irreducible unitary representations of the Lorenz group». *Annals of Mathematics*, 48, 3, 1947, p. 568–640. DOI: 10.2307/1969129..
* Borel, Armand. *Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups*.  American Mathematical Society, 2001. ..
* Borel, Armand; Casselman, W. *Automorphic Forms, Representations, and L-functions*.  American Mathematical Society, 1979. ..
* Curtis, Charles W.; Reiner, Irving. *Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras*.  John Wiley & Sons (Reedition 2006 by AMS Bookstore), 1962. ..
* Gelbart, Stephen «An Elementary Introduction to the Langlands Program». *Bulletin of the American Mathematical Society*, 10, 2, 1984, p. 177–219. DOI: 10.1090/S0273-0979-1984-15237-6..
* Folland, Gerald B. *A Course in Abstract Harmonic Analysis*.  CRC Press, 1995. ..
* Fulton, William; Harris, Joe. *Representation theory. A first course*. 129.  Nova York: Springer-Verlag, 1991. MR 1153249, . ..
* Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. *Representations and Invariants of the Classical Groups*.  Cambridge University Press, 1998. ..
* James, Gordon; Liebeck, Martin. *Representations and Characters of Finite Groups*.  Cambridge: Cambridge University Press, 1993. ..
* Hall, Brian C. *Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction*. 222. 2nd.  Springer, 2015. .
* Helgason, Sigurdur. *Differential Geometry, Lie groups and Symmetric Spaces*.  Academic Press, 1978. .
* Humphreys, James E. *Introduction to Lie Algebras and Representation Theory*.  Birkhäuser, 1972a. ..
* Humphreys, James E. *Linear Algebraic Groups*. 21.  Berlin, New York: Springer-Verlag, 1972b. .
* Jantzen, Jens Carsten. *Representations of Algebraic Groups*.  American Mathematical Society, 2003. ..
* Kac, Victor G. «Lie superalgebras». *Advances in Mathematics*, 26, 1, 1977, p. 8–96. DOI: 10.1016/0001-8708(77)90017-2..
* Kac, Victor G. *Infinite Dimensional Lie Algebras*. 3rd.  Cambridge University Press, 1990. ..
* Knapp, Anthony W. *Representation Theory of Semisimple Groups: An Overview Based on Examples*.  Princeton University Press, 2001. ..
* Kim, Shoon Kyung. *Group Theoretical Methods and Applications to Molecules and Crystals: And Applications to Molecules and Crystals*.  Cambridge University Press, 1999. ..
* Kostrikin, A. I.; Manin, Yuri I. *Linear Algebra and Geometry*.  Taylor & Francis, 1997. ..
* Lam, T. Y. «Representations of finite groups: a hundred years». *Notices of the AMS*, 45, 3,4, 1998, p. 361–372 (Part I), 465–474 (Part II)..
* Yurii I. Lyubich. *Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups*. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
* Mumford, David; Fogarty, J.; Kirwan, F. *Geometric invariant theory*. 34. 3rd.  Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994. .; MR 0719371 (2nd ed.); MR 1304906(3rd ed.)
* Olver, Peter J. *Classical invariant theory*.  Cambridge: Cambridge University Press, 1999. ..
* Peter, F.; Weyl, Hermann «Còpia arxivada». *Mathematische Annalen*, 97, 1, 1927, p. 737–755. Arxivat de l'original el 2014-08-19. DOI: 10.1007/BF01447892 [Consulta: 14 octubre 2021]..
* Pontrjagin, Lev S. «The theory of topological commutative groups». *Annals of Mathematics*, 35, 2, 1934, p. 361–388. DOI: 10.2307/1968438..
* Sally, Paul; Vogan, David A. *Representation Theory and Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups*.  American Mathematical Society, 1989. ..
* Serre, Jean-Pierre. *Linear Representations of Finite Groups*.  Springer-Verlag, 1977. ..
* Sharpe, Richard W. ''Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program*.  Springer, 1997. ..
* Simson, Daniel; Skowronski, Andrzej; Assem, Ibrahim. *Elements of the Representation Theory of Associative Algebras*.  Cambridge University Press, 2007. ..
* Sternberg, Shlomo. *Group Theory and Physics*.  Cambridge University Press, 1994. ..
* Tung, Wu-Ki. *Group Theory in Physics*. 1st.  New Jersey·London·Singapore·Hong Kong: World Scientific, 1985. .
* Weyl, Hermann. *Gruppentheorie und Quantenmechanik*. The Theory of Groups and Quantum Mechanics, translated H.P. Robertson, 1931.  S. Hirzel, Leipzig (reprinted 1950, Dover), 1928. ..
* Weyl, Hermann. *The Classical Groups: Their Invariants and Representations*. 2nd.  Princeton University Press (reprinted 1997), 1946. ..
* Wigner, Eugene P. «On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group». *Annals of Mathematics'', 40, 1, 1939, p. 149–204. DOI: 10.2307/1968551..

## Kanpo estekak