Ekuazioak ebaztea

thumb|**Ekuazio** baten ebazpena azaltzen duen bideoa.
Ekuazioak zenbakiz eta letraz osatutako berdintza baldintzatuak dira. Zenbakiak ezagunak dira; letrak, aldiz, ezezagunak; **ekuazioak ebaztea** letren balio zehatza aurkitzean datza, berdintza bete dadin.

Baliteke emaitza bat baino gehiago zuzenak izatea, edota ekuazioak emaitza errealik ez izatea. Ekuazio-mota asko daude, ezezagun kopuruaren eta ekuazioaren egituraren arabera.

## Ezezagun bakarreko ekuazio-motak 
### Ekuazio polinomikoak 
**Ekuazio polinomiko**etan polinomioak agertzen dira berdintzaren bi aldeetan. Adierazpen orokorra honako hau da:

a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dotsb + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0

Gehienez, ekuazioaren maila den adina erro edo soluzio izaten du ekuazio polinomikoak; hau da, gure ekuazioaren maila nbaldin bada, ekuazioak nsoluzio edo gutxiago izango ditu.

Adibideak:

* x^5-4x^4+16x^2-16x=0\quad5. mailako ekuazioa da, eta gehienez 5 soluzio izango ditu. Soluzioak: x_1=0,\quad x_2=2\quadeta  \quad x_3=-2.
* x^2-1=0\quad2. mailako ekuazioa da, eta gehienez 2 soluzio izango ditu. Soluzioak: x_1=1\quadeta \quad x_2=-1.

#### Lehenengo mailako ekuazioak 
ax + b  = 0 \; , \quad a \neq 0 erako ekuazioak dira, eta x=-\frac{b}{a}formako soluzioa dute.

Honako hauek dira ekuazioaren soluzioa edo erroa lortzeko urratsak:

# Berdintzaren alde batean, ezezagunak dituzten gaiak jartzen dira, eta beste aldean, berriz, gai askeak.
# Berdintzaren alde bakoitzeko gaiak laburtzen dira, euren arteko batuketak eta kenketak eginez.
# Ezezaguna bakantzen da: xbiderkatzen duen gaia beste aldera pasatzen da, zatituz.
# Posiblea bada, zatikia laburtzen da.

Adibidea:

* 6x-2-x=-5+3x+7

Ebazteko urratsak:

# Ezezagunak dituzten gaiak berdintzaren ezkerraldean jartzen dira, eta gai askeak, berriz, eskuinaldean: 6x-x-3x=-5+7+2
# Alde bakoitzeko adierazpena laburtzen da, gaiak batuz eta kenduz: 2x=4
# xbiderkatzen duen gaia berdintzaren beste aldera pasatzen da zatituz: x=\frac{4}{2}
# Zatikia laburtzen da: x=2.

#### Bigarren mailako ekuazioak 
Hau da bigarren mailako ekuazioen adierazpen orokorra: ax^2+bx+c=0 ,  a\neq0.

Hortaz, lehenengo zeregina ekuazioari adierazpen orokorraren itxura ematea da.

Behin adierazpen orokorra izanda, kontuan hartu behar da bigarren mailako ekuazioen ebazpenek bi emaitza dituztela beti (errealak zein konplexuak izan daitezke). Emaitza horiei erro deritze.

Erroak lortzeko, honako formula hau dago:

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \quad\quad(1) 

\pm (plus,minus) zeinuarekin bereizten dira bi erroak:

x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}  eta x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} 

Askotan, ebatzi beharreko ekuazioak bigarren maila duenean, erroak aurkitzeko, (1) formula erabiltzen da zuzenean. Baina c=0  edo b=0 denean, ez da beharrezkoa formula hori erabiltzea, eta modu sinpleago batean ebatz dezakegu ekuazioa. Ikus dezagun:

c=0  denean, gure ekuazioak honako itxura izango du: ax^2 + bx =0 

Ebazteko pausoak:

# Biderkagai komun moduan aterako dugu x: x(ax+b)=0 
# Biderkadura zero izan dadin, biderkagaietako batek, behintzat, zero izan behar du. Orduan, bi biderkagaiak zerora berdinduz, honako hau daukagu;
## Alde batetik, lehenengo biderkagaia hartuz: x=0 \Longrightarrow x_1=0 
## Bestetik, bigarren biderkagaia hartuz: ax+b=0  eta lehenengo mailako ekuazio hori askatuz (goian ikasi den moduan), bigarren erroa lortzen da: x_2=\frac{-b}{a} 

b=0 denean, ekuazioak honako itxura hau hartzen du: ax^2+c=0 

Ebazteko pausoak:

# x askatuko dugu: x=\pm\sqrt{\frac{-c}{a}} . Bistakoa da soluzioak hauek direla: x_1=\sqrt{\frac{-c}{a}}  eta x_2=-\sqrt{\frac{-c}{a}} 

Horretaz gain, aipatzekoa da c denean soilik existitzen direla soluzio errealak.

Adibideak:

* x^2-3x+6=2x

Ebazteko pausoak:

# Adierazpen orokorra lortzen da: x^2-3x+6=2x\Longrightarrow x^2-5x+6=0
# a\neq0, b\neq0 , c\neq0 direnez, formula orokorra aplikatzen da eta erroak lortzen dira:

\quad\quad\quad x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}=\frac{-(-5)\pm\sqrt{5^2 - 4\cdot1\cdot 6}}{2\cdot1}=\frac{5\pm\sqrt{25 - 24}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm{1}}{2}\Longrightarrow 

\quad\quad\quad\Longrightarrow\quad x_1=\frac{5+{1}}{2}=\frac{6}{2}=3 \quad eta \quad x_2=\frac{5-{1}}{2}=\frac{4}{2}=2 

* x^2=1 

Ebazteko pausoak:

# Adierazpen orokorra lortzen da: x^2-1=0 eta b=0 denez, ez da formula orokorra erabiltzen.
# x  askatzen da eta erroak lortzen dira:

\quad\quad x^2-1=0\Longrightarrow x^2=1 \Longrightarrow x=\pm\sqrt{1}\Longrightarrow x_1=+\sqrt{1}=1 \quad eta \quad x_2=-\sqrt{1}=-1 

* x^2+4x=0 

Adierazpen orokorraren parekidea da, eta c=0  denez, ez da formula orokorrera (1)jo behar.

Ebazteko pausoak:

# Biderkagai komun bezala ateratzen da x  . Orduan: x^2+4x=0 \Longrightarrow x(x+4)=0 
# Biderkadura zero izan dadin, gutxienez, biderkagai batek zero izan behar du. Hortaz, biderkagai bakoitza zerora berdinduz, erroak lortzen dira.

\quad\quad x(x+4)=0 \Longrightarrow x=0 \quad eta \quad x+4=0 \Longrightarrow x_1=0 \quad eta \quad  x_2=-4 

#### Hirugarren mailako edo maila altuagoko ekuazioak 
Ezezagun bakar bateko **n. mailako ekuazio** batek honako itxura izango du:

a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+... + a_2x^2 + a_1x + a_0= 0 \; , \quad a_n \neq 0

##### Ruffiniren erregela 
Hirugarren mailako (edo altuagoko) ekuazioak ebazteko, orokorrean, **Ruffini-ren erregela** erabiltzen da. Adibidea:

* x^3 + 6x^2 - 11x + 6 = 0 \;  \quad 

Ebazpena:

1.Gai bakoitzari dagokion koefizientea lerro zuzen batean jartzen da:

    \begin{array}{ c c c c } | & 1 & 6 & 11 & 6 \\  | \\| \\ \hline \end{array}

2. Eskuineko zenbakiaren zatitzaileak zeintzuk diren kontuan hartuz, hau da, kasu honetan \pm1,\pm2,\pm3, zenbakia zero izatea lortu behar da:

    \begin{array}{ c c c c }  & |  & 1 & 6 & 11 & 6 \\&| \\ -2&|& &-2&-8&-6 \\ \hline\\& & 1& 4&3&0 \end{array}

3. Aurreko emaitzatik abiatuz, pausoak errepikatzen dira behin eta berriro, emaitzak zenbaki bakar bat eta zero bat lortu arte:

    \begin{array}{ c c c c }  & |  & 1 & 4 & 3  
\\&|
\\ -3&|& &-3&-3
\\ \hline
\\& & 1& 1&0
\end{array}

\begin{array}{ c c c c }  & |  & 1 & 1
\\&|
\\ -1&|& &-1
\\ \hline
\\& & 1& 0
\end{array}

Ruffiniren metodoa erabiliz, ebatzitako ekuazioaren erroak lortu dira. Hau da, ekuazioaren erroak honakoak dira:

 x_1=-2

x_2=-3

x_3=-1

##### Birkarratuak 
4. mailako ekuazio bereziak dira **ekuazio birkarratuak**, zein 1. eta 3. mailako koefizientea 0 baita. Adierazpen orokorra honako hau da:

ax^4+bx^2+c=0\quad\quad (2)

Ebazpena:

Honako hauek dira ekuazioa birkarratuen soluzioak edo erroak lortzeko ohiko urratsak:

# Aldagai-aldaketa egiten da: x^2=z. Beraz, ekuazio hau lortzen da: az^2+bz+c=0.
# Problema 2. mailako ekuazio baten ebazpenera murrizten da; z-ren balioak lortzen dira.
# z_1eta z_2bigarren mailako ekuazioaren erroak izanik, aldagai-aldaketa desegiten da eta hasierako ekuazioaren (2) 4 erroak lortzen dira:
#* x_1=+\sqrt{z_1}
#* x_2=-\sqrt{z_1}
#* x_3=+\sqrt{z_2}
#* x_4=-\sqrt{z_2}

Adibidea:

* x^4-5x^2+4=0

Ebazteko urratsak:

# Aldagai-aldaketa egiten da: x^2=z. Beraz, ekuazio hau lortzen da: z^2-5z+4=0.
# Bigarren mailako ekuazioa ebazten da. Erroak: z_1=1,\quad z_2=4.
# Aldagai-aldaketa desegiten da, adibideko ekuazioaren 4 erroak lortzen dira:
#* x_1=1
#* x_2=-1
#* x_3=2
#* x_4=-2

### Ekuazio esponentzialak 
Ezezaguna zenbaki baten berretzailean agertzen da, **ekuazio esponentzialetan.**

### Ekuazio logaritmikoak 
Ekuazioan logaritmo bat agertzen bada, **ekuazio logaritmiko** deritzo.

### Ekuazio trigonometrikoak 
### Alderantzizko proportzionaltasun funtzioak 
### Errodun ekuazioak 
## Bi ezezagun edo gehiagoko ekuazioak 
## left|24px Ariketak 

Fitxategi:Ekuazio baliokideak.webm|thumbtime=3|**Ekuazio baliokideak** ulertzeko bideoa.
Fitxategi:Ekuazioen ebazpena Lehenengo mailako ekuazioak.webm|thumbtime=3|**Lehenengo mailako ekuazio** baten ebazpena lantzeko ariketa.
Fitxategi:Lehehengo mailako ekuazioak Problema.webm|thumbtime=3|**Lehenengo mailako ekuazio** baten ebazpena lantzeko ariketa II.
Fitxategi:Ekuazio linealen adierazpen grafikoa  2 DBH.webm|thumbtime=3|**Ekuazio linealen** adierazpen grafikoa ulertzeko ariketa.
Fitxategi:Ezezagun bakarreko ekuazio baten ebazpena.webm|thumbtime=3|**Aldagai bakarreko** ekuazio baten ebazpena.
Fitxategi:Bigarren mailako ekuazioak Ezaugarriak.webm|thumbtime=3|**Bigarren mailako ekuazioak** ulertzeko bideoa.
Fitxategi:Bigarren mailako ekuazio ez osoak ebazten  Azalpena  4 DBH.webm|thumbtime=3|**Bigarren mailako ekuazio** baten ebazpena lantzeko ariketa.
Fitxategi:Bigarren mailako ekuazioak ebazten  Ariketa  4 DBH.webm|thumbtime=3|**Bigarren mailako ekuazioak** ulertzeko bideoa.
Fitxategi:Bigarren mailako ekuazio osoak ebazten  Ariketa  4 DBH.webm|thumbtime=3|**Bigarren mailako ekuazio** baten ebazpena lantzeko ariketa II.
Fitxategi:Bigarren mailako ekuazioen soluzio kopurua Diskriminatzailea.webm|thumbtime=3|**Bigarren mailako ekuazioaren** soluzio kopurua kalkulatzea diskriminatzailea erabilita.
Fitxategi:Ekuazio birkarratuak.webm|thumbtime=3|**Ekuazio birkarratuak** ebazteko ariketa.

## Erreferentziak 
## Ikus, gainera 
* Ekuazio sistemak
* Ekuazio diferentzialak
* Inekuazioak

## Kanpo estekak