Fourierren transformatu

**Fourierren transformatua** seinale edo funtzio baten maiztasun osagaiak lortzeko eraldaketa matematikoa da. Transformazio honek denbora-domeinuko funtzio bat maiztasun-domeinura eramaten du, eta alderantziz itzulgarria da.

Izena Joseph Fourier matematikari eta fisikari frantsesaren omenez jarri zitzaion. Matematikaren eta ingenieritzaren arlo askotan erabiltzen da, hala nola, seinaleen analisian, irudi-prozesamenduan, uhinen fisikan, komunikazioetan eta ekuazio diferentzialak ebazteko metodoetan.

## Definizioa 
Fourierren transformatua funtzio baten maiztasun-espektroa lortzeko erabiltzen den eraldaketa matematikoa da. Modu intuitiboan azaltzeko, adibide erabilgarria da giza entzumen-sistemaren funtzionamendua: entzumen-sistemak uhin akustikoa jasotzen du eta frekuentzia-desberdinen deskonposizio batean bihurtzen du, azkenean entzuten duguna eratzeko. Giza belarriak denboran zehar aldatzen diren frekuentziak hautematen dituen bitartean, Fourierren transformatuak seinale osoaren maiztasun-espektro bakarra ematen du; hau da, seinaleak bere iraupen osoan duen frekuentzia-eduki globala jasotzen da.

### Definizio formala 
Eman dezagun {f} funtzio integragarria dela, hau da: ' f \in L^1(\mathbb{R})  edo  f \in L^1(\mathbb{C}) 

Fourierren transformatua honela definitzen da:

\hat{f}(\xi):=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i \xi x}\,dx 

Integral honek zentzua du, integrakizunaren funtzioa integragarria delako. Estimazio sinple batek erakusten du \hat{f} funtzioa mugatua dela. Gainera, nagusitasun bidezko konbergentziaren teorema aplikatuz, erraz ikus daiteke \hat{f} funtzio jarraitua dela.

#### Fourierren alderantzizko transformatua 
*f̂* funtzio integragarri baten Fourierren transformatuaren alderantzizkoa honela definitzen da:

:\mathcal{F}^{-1} \{ \hat{f} \} = f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi)\ e^{2 \pi i \xi x}\,d\xi,

Ikus daitekeenez, Fourierren transformatuaren eta alderantzizko transformatuaren arteko desberdintasun bakarra integrakizuneko esponentearen zeinuaren aurkakotasuna da. Beherago azaltzen den **Fourierren inbertsio-teoremak** justifikatzen du izen hori: alderantzizko transformatuak jatorrizko funtzioa berreskuratzen du.

## Aurrekarriak 
Fourierren transformatua ulertzeko, beharrezkoa da bere oinarri historiko eta matematikoak ezagutzea.

### Historia 
Fourierren analisiaren hastapenak XIX. mendearen hasierara datoz. Joseph Fourier matematikariak 1821 inguruan proposatu zuen edozein funtzio periodiko sinusoide harmonikoen batura moduan adierazi zitekeela. Bere lana beroaren difusioari buruzko ikerketan oinarritu zen, eta bertatik eratorri ziren gaur egun Fourier serie eta transformazioaren oinarriak.

### Sinusoide konplexuak 
Fourier analisian, seinaleak sinusoide konplexuen bidez adierazten dira. Sinusoide hauek oinarrizko bloke edo “osagai” gisa hartzen dira, eta edozein funtzio edo seinale konbinazio lineal gisa deskonposa daiteke. Horri esker, seinaleak errazago aztertu, iragazi edo eraldatu daitezke maiztasun-domeinuan.

### Fourier serieak 
Funtzio periodikoetarako, Fourier serieak tresna klasikoa dira. Serieek funtzio periodikoa sinusoide sinpleen infinitu batura moduan adierazten dute. Hala ere, seinale ez-periodikoak ere aztertu ahal izateko, Fourier transformazioa garatu zen: seriearen mugaren antzeko gisa, periodoa infinitura eramanez lortzen den kontzeptua da.

### Konbergentzia eta analisi harmonikoa: 
Fourierrek proposatutako ideia hauek hasiera batean eztabaida matematikoen iturri izan ziren, funtzioen jarraitutasuna eta integrabilitatea ez baitziren garai hartan gaur egun bezala formalizatzen. Geroago, Dirichlet, Riemann eta Lebesgue bezalako matematikariek konbergentzia-baldintzetan eta integrazioaren teorian sakondu zuten, Fourierren analisi harmonikorako oinarri sendoagoa eskainiz.

### Aplikazio historikoak 
Hasiera batean beroaren transmisioa aztertzeko sortu bazen ere, Fourierren analisiek laster hartu zuten garrantzia mekanika kuantikoan, seinale-prozesamenduan, akustikan, astronomian eta irudi digitalen tratamenduan. Hori dela eta, gaur egun transformazio hau zientzia eta ingeniaritza arlo askotan da ezinbesteko tresna.

## Notazioa 
Fourierren transformatua hainbat modutan adieraz daiteke:\mathcal{F}[f],\ \hat{f},\ \mathcal{F}(f(t)),\ \mathcal{F}\{f(t)\},\ F(f),\ F(\xi),\ \mathcal{F}(f)(\xi).
## Oinarrizko ezaugarriak 
* **Linealtasuna:**
\mathcal{F}\{af + bg\} = a\mathcal{F}\{f\} + b\mathcal{F}\{g\}
* **Translazioa:**
Denbora-domeinuan seinalea "a" denboraz atzeratu edo aurreratzen denean, haren Fourier-transformatuan fase-aldaketa (fase-faktore esponentziala) agertzen da: \mathcal{F}\{f(t - a)\}(\omega) = e^{-i \omega a}\,\hat{f}(\omega)

Maiztasun-domeinuko seinalea "a" maiztasunez mugitzen bada, denbora-domeinuan seinalea modulatu egiten da, hau da, sinusoide konplexu batez biderkatzen da: 

\mathcal{F}^{-1}\{\hat{f}(\omega - a)\}(t) = e^{i a t}\,f(t)

* **Eskala-aldaketa:**
Seinalearen zabaltze/estutzeak maiztasun-eskalan alderantzizko efektua du: \mathcal{F}\{f(a t)\}(\omega) = \frac{1}\,\hat{f}\!\left(\frac{\omega}{a}\right)

* **Konboluzioaren teorema:**
Bi funtzioren, {f} eta {g}, konboluzioa honela definitzen da:

(f*g)(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(\eta)\, g(t-\eta)\, d\eta

{f} eta {g} guztiz integragarriak badira, konboluzioa ere integragarria da, eta honako identitatea betetzen da:

\mathcal{F}\{f*g\}=2\pi\cdot \mathcal{F}\{f\}\cdot \mathcal{F}\{g\}

Aldi berean, transformazio aldagaian antzeko emaitza lortzen da:

\mathcal{F}\{f\cdot g\}=2\pi\cdot \mathcal{F}\{f\} * \mathcal{F}\{g\}

* **Deribatuaren transformatua:**
{f} eta {t}  ({f(t)}) integragarriak badira, Fourierren transformatua deribagarria da, eta:

\mathcal{F}\{f\}'(\xi)=\mathcal{F}\{(-it)\cdot f(t)\}(\xi)

Identitate hauek aldagai-aldaketaren bidez edo zati bidezko integrazioaren bidez froga daitezke.
* **Integralen propietatea:**  
Seinalea denboran integratzeak maiztasun-domeinuan zatidura eragiten du:  \mathcal{F}\!\left\{\int_{-\infty}^{t} f(\tau)\,d\tau \right\}(\omega) = \frac{1}{i\,\omega}\,\hat{f}(\omega)

## Ohiko transformatu-pareak 
Azpiko taulan agertzen dira gehien erabiltzen diren Fourierren transformatu-pareak. Hona hemen erabiliko den definizioa:

\mathcal{F}\{f(t)\}(\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\, e^{-2\pi i \xi t}\, dt

 ||  \frac{2a}{a^2+w^2} \!
|-
|te^{-at}u(t), \quad \mathrm{Re}(a)>0  \! ||  \frac{1}{(a+iw)^{2}} \! 
|-
|\begin{cases} \cos w_0x & |x|\le A \\ 0 & |x| > A \end{cases} || \frac{\sen A(w-w_0)}{2\pi(w-w_0)} + \frac{\sen A(w+w_0)}{2\pi(w+w_0)}
|-
|x(t) = \mathrm{rect}\left(\frac{t}{2T_1}\right) = \begin{cases} 1, & \mbox{si }|t|T_1 \end{cases} \!||2 T_1\mathrm{sinc}\left(\frac{wT_1}{\pi}\right) = 2 \frac{\sen(wT_1)}{w} 
|-
|x(t) = \mathrm{tri}\left(\frac{t}{2T_1}\right) = \begin{cases} 1-\frac{T_1}, & \mbox{si }|t|T_1 \end{cases} \!||2 T_1\mathrm{sinc}^{2}\left(\frac{wT_1}{\pi}\right) 
|-
|x(t) = e^{-t^2/a^2}, \quad \mathrm{Im}(a)= 0 \!|| \frac{a}{\sqrt{2}} e^{-a^2 w^2/4}  
|-
|e^{-at^2}
|

 \sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{-w^2/4a}  
|}

Taula hauek ohiko konbentsioa jarraitzen dute eta seinale-prozesamenduan eta analisi matematikoan sarri erabiltzen dira.

## Erreferentziak 
## Ikus, gainera
* Fourierren transformatu diskretu
* FFT

## Kanpo estekak 
* Transformada rápida de Fourier

* Transformada de Fourier discreta