Plancken legea

**Planck-en legeak** gorputz beltz batek oreka termikoan eta T tenperatura jakin batean isurtzen duen erradiazio elektromagnetikoaren dentsitate espektrala deskribatzen du, gorputzaren eta bere ingurunearen artean materia edo energia fluxu sarerik ez dagoenean.

XIX. mendearen amaieran, gorputz beltzaren erradiazio espektroa ezaguna zen arren, garai hartako teoriek iragartzen zutenetik nabarmen aldentzen zen lortutako emaitza esperimentala. Horregatik, fisikariek ezin zuten gorputz beltzaren erradiazio hori ondo azaldu eta teoria desberdin baten bila hasi ziren, gertaera horiek ondo azal zitzakeena.

1900ean Max Planck fisikari eta matematikariak heuristikoki erradiazio espektro hori adierazten duen formula bat lortu zuen. Honek, gorputz beltzaren erradiazioa ondo azaltzen zuen, fisika klasikoak iragarritako arazoa konponduz, katastrofe ultramorea izenekoa.

Teoria hau fisika modernoaren aitzindaria kontsideratzen da eta garrantzia handia du teoria kuantikoan.

## Legea 
Gorputz fisiko orok berezkoa eta jarraitua den erradiazio elektromagnetikoa igortzen du. Gorputz baten erradiazio espektralak edo erradiantziak, gorputz horrek azalera eta angelu solido unitateko maiztasun jakin baterako duen emisio espektralaren potentzia adierazten du. Planck-en legeak jarraian aurki dezakegun erradiantziaren adierazpena ematen digu. Honek tenperatura igotzean erradiazioen energia totala handitu eta uhin-luzera maximoa (potentzia maximoa lortzen deneko uhin-luzera) txikitu egiten direla erakusten du. Planck-en legearen arabera, \nu maiztasuna eta {T} tenperatura dituen gorputz baten erradiazio espektrala honako adierazpenak ematen du:

B(\nu, T) = \frac{ 2 h \nu^3}{c^2} \frac{1}{e^\frac{h\nu}{k_\mathrm B T} - 1}

non {k_B} Boltzmannen konstantea, h Planck-en konstantea eta c argiaren abiadura hutsean diren.

Erradiazioa maiztasunaren funtzioan eman beharrean, beste aldagai batzuren menpe ere eman daiteke, haien artean \lambda uhin-luzera gisa adierazten dena. Aldagai aldaketa hori egiteko, ez da nahikoa maiztasuna uhin-luzeraren funtzioan jarriz adierazpenean ordezkatzea. Erradiazio espektralaren adierazpena uhin-luzeraren menpe emateko, honako integrala hartu behar da abiapuntutzat:

\int_{\lambda_1}^{\lambda_2}B(\lambda, T) d\lambda=\int_{\nu(\lambda_2)}^{\nu(\lambda_1)}B(\nu, T) d\nu=\int_{\lambda_2}^{\lambda_1}B(\nu, T) \frac{d\nu}{d\lambda}d\lambda=\int_{\lambda_1}^{\lambda_2}-B(\nu, T) \frac{d\nu}{d\lambda}d\lambda

Bigarren integralean, \nu(\lambda_2)-etik \nu(\lambda_1)-era integratu dugu adierazpena eta ez alderantziz, uhin-luzera maiztasunaren alderantziz proportzionala delako. Hau da, maiztasuna igo ahala uhin-luzera gero eta txikiagoa izango da. Horregatik, \lambda_1 bada, \nu(\lambda_2) izango da. Beraz, honakoa da bien artean dugun lotura:

B(\lambda, T)=-B(\nu, T)\frac{d\nu}{d\lambda}

c=\lambda\nu betetzen denez, honakoa izango da gorputz baten erradiazio espektrala uhin-luzeraren eta tenteraturaren menpe:

B(\lambda, T) =\frac{2hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{ e^{\frac{hc}{\lambda k_\mathrm B T}} - 1}

thumb|384x384px|Planck-en legeak gorputz beltzaren erradiazioa azaltzen du. Irudi honetan tenperatura desberdinen kasuan izango ditugun kurbak ikus daitezke. Kurba klasikoa (beltza) behatutako intentsitatearekiko dibergentea da maiztasuna handia denean (uhin-luzera txikia).
Azken adierazpen honen arabera, uhin-luzera gero eta txikiagoetan tenperaturaren menpe igorritako energia orduan eta azkarrago handiagotzen da. Planck-en legea beste magnitude batzuren menpe adieraztea ere posible da, baina bi horiek dira ohikoenak eta orokorrean erabilgarrienak.

Planck-en legeak gorputz beltzaren erradiazioa azaltzen du. Irudi honetan tenperatura desberdinen kasuan izango ditugun kurbak ikus daitezke. Kurba klasikoa (beltza) behatutako intentsitatearekiko dibergentea da maiztasuna handia denean (uhin-luzera txikia).

Aldagai desberdinen menpeko erradiazio espektralak unitate desberdinak izan behar ditu, hau da, haren unitateak ez dira berdinak izango aldagai desberdinen funtzioan kalkulatzean. Sistema internazionalean erradiazio espektralak honako unitateak ditu maiztasunaren menpekoa denean, B=    W·sr^{-1}·m^{-2}·Hz^{-1}. Uhin-luzeraren menpekoa denean berriz, B=  W   · sr^{-1}  ·m^{-3}   da.

Maiztasun baxuenen limitean edo uhin-luzera handienetan Planck-en legeak Rayleigh-Jeans-en legearen berdina izango da. Maiztasun altu edo uhin-luzera txikien limitean berriz Wien-en hurbilketarantz joko du.

Max Planck zientzialariak 1900. urtean garatu zuen lege hau, soilik modu enpirikoan determinatutako konstanteen arabera. Ondoren, oreka termodinamikoan dagoen gorputz baten erradiazioaren energia banaketa adierazteko aukera egonkor bakarra zela frogatu zuen.

u_i(T) = \frac{4\pi}{c} B_i(T)  

Adierazpen honek, igorritako energia ematen du bolumen unitateko hautatutako aldagaiaren arabera (maiztasuna, uhin-luzera...).

## Propietateak 
### Gailurra 
B_\nu,B_\omega,B,
   eta B_k   banaketen fotoien energien gailurra honakoa da:

E = \left[ 3 + W \left(\frac{-3}{e^3} \right) \right] k_\mathrm{B}T \approx 2.821\ k_\mathrm{B}T
  

non W, Lanbert W funtzioa eta e Eulerren zenbakia diren.  B_\lambda   eta B_y   banaketen energien gailurrak ordea, ezberdinak dira

B_\nu(T) \approx \frac{2 \nu^2 }{c^2} k_\mathrm{B} T
   eta B_\lambda(T) \approx \frac{2c}{\lambda^4} k_\mathrm{B} T   lortuz.

Erradiaizoa maiztasunaren erro karratuarekin batera handituz doa, katastrofe ultramorea erakutsiz. Maiztasun altuen limitean, berriz, Planck-en legea Wien-en hurbilketaratz doa:

B_\nu(T) \approx \frac{2 h \nu^3}{c^2} e^{-\frac{h \nu}{k_\mathrm{B}T}}   eta B_\lambda(T) \approx \frac{2 h c^2}{\lambda^5} e^{-\frac{hc}{\lambda k_\mathrm{B} T}}
  

Bi hurbilketa hauek ezagunak ziren Planck-ek bere legea garatu aurretik, beraz legeak hurbilketa hauek betetzen dituela ziurtatu zuen.

## Gorputz beltzaren erradiazioa 
Gorputz beltz ideala, jasotzen duen erradiazio elektromagnetiko osoa xurgatzen duen gorputza da, batere islatu barik, erradiazioaren maiztasuna edozein izanik. Hala ere, gorputz guztiek berezko erradiazioa igortzen dute. Planck-ek bere legea lehen aldiz gorputz beltzak igorritako erradiazioa azaldu ahal izateko proposatu zuen. Erradiazio hori termikoa dela esaten da, tenperaturaren menpekoa delako. Gainera, gorputzaren materialaren independentea da. Gorputz beltzaren erradiantzia handiagoa da tenperatura ere handiagoa denean. Stefan eta Boltzmann-en legeak lotzen ditu tenperatura eta erradiantzia.

Stefan eta Boltzmann-en legeak, gorputz beltz baten erradiantzia ematen digu gorputzaren tenperaturaren menpe. Honako integrala eginez lortzen da erradiantzia horren adierazpena:

B=\int_0^\infty d\nu \int_0^{\tfrac{\pi}{2}} d\theta \int_0^{2\pi}d\phi \, B_\nu(T) \cos(\theta)\sin(\theta)=\sigma T^4
  

Beraz, honakoa da azken emaitza:

B=\sigma T^4

  

non \sigma=\frac{2k_\mathrm{B}^4\pi^5}{15c^2h^3}\approx 5.670 400 \times 10^{-8}\, \mathrm{J\, s^{-1}m^{-2}K^{-4}}

   Stefan eta Boltzmann-en konstantea den.. Aurrerapen enpiriko eta fisikoei esker, 1899an Lummer eta Pringsheim zientzialariek eskuragarri zeuden ebidentzia esperimentalak gutxi gorabehera intentsitatearen lege espezifikoarekin bat zetozela ikusi zuten. Honakoa lortu zen:    C\lambda^{-5}e^{-\frac{c}{\lambda T}}
  , C eta c enpirikoki kalkulatu daitezkeen konstanteak, λ uhin-luzera eta T tenperatura izanik. Planck-ek ordura arteko jakintzak kontuan hartuz formulazio hau onartzea erabaki zuen.

### Lege enpirikoen bila 
Max Planck-ek 1900eko urriaren 19an argitaratu zuen bere legea, Wien-en hurbilketaren hobekuntza gisa. Hurbilketa hau datu esperimentalei egokitzen zaie uhin-luzera txikia denean, baina ez uhin-luzera handien kasuan. 1900. urteko ekainean Rayleigh-ek honakoa proposatu zuen: Stewart-Kirchhoff-en formula unibertsala  c_1T\lambda^{-4} exp(-\frac{c}{\lambda T})
   formakoa izan ziteekela.  1900eko urriaren 7an, Rubens-ek adierazi zuen, uhin-luzera handietarako (eta soilik haietarako)  Rayleigh-en 1900. urteko formula egokia zela.

Formula horrek uhin-luzera handietarako, energia tenperaturarekiko propotzionala zela adierazten zuen, U_\lambda = const
  .T
   , horrela, adierazpena edozein uhin-luzera guztietarako egokia zela ikusiz. Geroago, Rubens eta Kurlumb-ek txosten osatuago bat egin zuten Planck-en legea baieztatzen zuena.

### Legeari azalpen teorikoa bilatzen 
Planck-ek behin enpirikoki egokia zen funtzioa lortuta, legearen eratorpen fisikoa eraiki zuen. Horretarako, horma islatzaileko barrunbe bat osziladorez osatuta dagoela onartu zuen, eta oziladore hauetan energia elektromagnetikoa banatzeko era posible guztiak aztertu zituen. Boltzmann-ek ez bezala, Planck-ek osziladore bakoitzak ondoko energia zuela suposatu zuen:

\epsilon=h\nu.
  

Gerora, adierazpen horretatik abiatuta, kuantizazioaren kontzeptua proposatu zen, ideia hau garatuz.

## Erreferentziak 
## Kanpo estekak