Polinomio laburtezin

Eraztunen teorian, K gorputza izanik,  p(x) \in K[x] polinomio ez-nulu bat **irreduziblea** dela diogu baldin eta honako polinomioaren edozein faktorizaziotan  p(x)=q(x)r(x) berdintzako q(x) eta r(x) polinomioetako bat unitatea bada. Hau da, ez badira existitzen q(x),r(x) \in K[x] zeinek p(x) polinomioaren maila baino maila hertsiki txikiagoa duten eta  p = r \cdot q betetzen den. Beraz,  r \in R edo q \in R da derrigor; beste era batera esanda, bietako bat polinomio konstante bat izango da. Kontrako kasuan,  p(x) polinomio erreduziblea dela esaten da.

Erreduzible izatea edo ez gorputzaren arabera aldatzen da eta  K gorputza, \scriptstyle \mathbb{R} zenbaki errealen multzoa, \scriptstyle \mathbb{C} zenbaki konplexuen multzoa, \scriptstyle \mathbb{Q} zenbaki arrazionalen multzoa edo \scriptstyle \mathbb{Z} zenbaki osoen multzoa (eraztuna) izan daiteke.

## Adibideak 
Ondorengo bost polinomioek polinomio erreduzible eta irreduzibleen oinarrizko ezaugarri batzuk erakusten dizkigute, definiturik dauden eremuaren arabera:

: p_1(x)=x^2+4x+4\,=(x+2)(x+2),
: p_2(x)=x^2-4\,=(x-2)(x+2),
: p_3(x)=x^2-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3),
: p_4(x)=x^2-2\,=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}),
: p_5(x)=x^2+1\,=(x-i)(x+i).

* \scriptstyle \mathbb{Z} zenbaki osoen eraztunaren gainean, lehen bi polinomioak erreduzibleak dira, baina azken hirurak irreduzibleak dira.
* \scriptstyle \mathbb{Q}  zenbaki arrazionalen gorputzaren gainean, lehen hiru polinomioak erreduzibleak dira, baina azken biak irreduzibleak dira.
* \scriptstyle \mathbb{R} zenbaki errealen gorputzaren gainean, lehen lau polinomioak erreduzibleak dira, baina azkena irreduziblea da.
* \scriptstyle \mathbb{C} zenbaki konplexuen gorputzaren gainean, bost polinomioak erreduzibleak dira. Izan ere, \scriptstyle \mathbb{C}-n polinomio ez konstante bakoitza, faktore linealetan faktorizatu daiteke:

: p(z)=a_n (z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_n)
: non a_n polinomioaren koefiziente nagusia den eta z_1,\ldots,z_n  p(x)-ren erroak diren. Beraz, polinomio irreduzible guztiak 1 mailakoak dira.

## Irreduzibilitate irizpideak 
Polinomio bat irreduziblea den edo ez frogatzeko hainbat irizpide erabil daitezke, horien artean, erredukzio irizpidea, Gauss-en lema eta Einstein-en irizpidea aurki ditzakegu.

### Lehen mailako polinomioak 
Irreduzibleak dira beti,  p(x)=q(x)r(x) bada, deg (p) = deg (q) + deg (r) delako eta deg (p) = 1
 denez eta deg (q), deg (r) \geq 1
 izan behar duenez, ez da posible.

### Bigarren edo hirugarren mailako polinomioak 
Baldin eta deg (p) = 2
 edo deg (p) = 3
 bada, orduan  p(x) irreduziblea da K-ren gainean baldin eta soilik baldin ez badu errorik.

### Q gorputzeko erroak 
Baldin eta P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n \in Z[x] bada eta deg (p) \geq 2
 bada, orduan P(x)-k Q-n \alpha = r/s erroren bat izatekotan zkh(r, s) = 1 izanik, derrigorrez, r | a_0 eta s | a_n izan behar du.

### Gaussen lema 
Baldin eta  p(x) \in Z[x] bada, orduan Q[x]-n  p(x) polinomioa q(x),r(x) \in Q[x] maila txikiagoko bi polinomio ez-konstanteren biderkadura gisa adieraz daiteke, baldin eta soilik baldin q_0(x),r_0(x) \in Z[x]-ko maila txikiagoko bi polinomio ez-konstanteren biderkadura gisa adieraz badaiteke. Hau da, Z eta Q-n irreduzible izatea baliokidea da.

### Einseinstein-en irizpide orokortua 
Baldin eta P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n \in Z[x] bada, p \in N zenbaki lehena bada, eta

* p | a_0, p | a_1 ,..., p | a{\scriptstyle\text{r-1}} non 1 \leq r \leq n
* p^2 \nmid a_0
* p \nmid a_r

Orduan p(x)-k Z[x] eraztunean r edo r baino maila handiagoko faktore irreduzible bat dauka. Bereziki, r = n  bada, p(x) irreduziblea da Q[x]-ren gainean.

## Kanpo estekak