Poligono erregular

thumb|250px|Zirkunferentzia batean inskribatutako pentagono erregularra:
*C* = zirkunferentzia zirkunskribatuaren zentroa
*V* = poligonoaren erpin bat
*L* = poligonoaren alde bat
*d* = poligonoaren diagonal bat
*r* = zirkunferentzia zirkunskribatuaren erradioa
*a* = poligonoaren apotema
Geometrian, poligono bat **erregularra** da, aldeberdina (alde guztiak luzera berekoak dira) eta angeluberdina (angelu guztiak neurri berekoak dira) bada.

Poligono erregularrak bi motatakoak izan daitezke: ganbilak eta ahurrak (izar itxurakoak azken horiek, izar-poligono izenekoak).

Hiru eta lau aldeko poligono erregularrak triangelu aldeberdina eta karratua dira, hurrenez hurren; alde gehiagoko poligono erregularrak izendatzeko, *erregular* terminoa gehitzen da (pentagono erregularra, hexagono erregularra...).
 
## Poligono erregularren elementuak 
* Aldea (**L**): poligonoa osatzen duten zuzenkietako bakoitza
* Erpina (**V**): poligono baten bi aldek elkar ebakitzen duten puntua
* Zentroa (**C**): erpinetatik distantziakidea den puntua
* Erradioa (**r**): poligonoaren zentroa eta erpin bat lotzen dituen zuzenkia
* Apotema (**a**): aldearekiko elkarzuta den eta poligonoaren zentroraino doan zuzenkia
* Diagonala (**d**): ondoz ondokoak ez diren bi erpin lotzen dituen zuzenkia
* Perimetroa (**P**): alde guztien luzeren batura

## Poligono erregularren propietateak 
* *n* aldeko poligono erregularrak *n* ordenako biraketa-simetria du.

* Erpin guztiak zirkunferentzia berean daude (zirkunferentzia zirkunskribatua); hau da, erpinak ziklokideak dira. Beraz, poligono erregularrak ziklikoak dira.

* Aurreko bi propietateetatik, eta kontuan hartuta aldeak berdinak direla, ondoriozta daiteke poligono erregular guztiek zirkunferentzia inskribatu bat daukatela, alde guztien erdiguneak barnetik ukitzen dituena. Hortaz, poligono erregularrak poligono ukitzaileak dira.

* Poligono erregularretan, angelu zentralak eta kanpo-angeluak berdinak dira.

## Poligono erregularren angeluak 
thumb|250px|&nbsp;&nbsp;α = angelu zentrala,&nbsp;&nbsp;β = barne-angelua,&nbsp;&nbsp;γ = kanpo-angelua

### Angelu zentrala 
* Poligono erregular baten angelu zentralak ( \alpha \,) kongruenteak dira, eta haien neurria honela kalkula daiteke, poligonoaren alde kopuruaren (**n**) arabera:
:  \alpha = \frac{360^\circ}{n} \;  (gradu hirurogeitarretan)

:  \alpha = \frac{2\pi}{n} \;  (radianetan)

### Barne-angelua 
* Poligono erregular baten barne-angelua ( \beta \,) honela kalkula daiteke:
:  \beta = 180^\circ \cdot \frac{(n-2)}{n} \;  (gradu hirurogeitarretan)

:  \beta = \pi \cdot \frac{(n-2)}{n} \;  (radianetan)

* Poligono erregular baten barne-angeluen batura ( \sum \beta \; ), beraz:

:  \sum \beta = 180^\circ \cdot {(n-2)} \;  (gradu hirurogeitarretan)

:  \sum \beta = \pi \cdot {(n-2)} \;  (radianetan)

### Kanpo-angelua 
* Poligono erregular baten kanpo-angelua ( \gamma \; ) honela kalkula daiteke:
:  \gamma = \frac{360^\circ}{n} \;  (gradu hirurogeitarretan)

:  \gamma = \frac{2 \pi}{n} \;  (radianetan)

* Poligono erregular baten kanpo-angeluen batura ( \sum \gamma \,), beraz:
:  \sum \gamma = 360^\circ \;  (gradu hirurogeitarretan)

:  \sum \gamma = 2 \pi \;  (radianetan)

## Poligono erregular batzuk 

Image:Polig 03b.svg|Triangelu aldeberdina (triangelu erregularra) (3)
Image:Polig 04b.svg|Karratua (lauki erregularra) (4)
Image:Polig 05b.svg|Pentagono erregularra (5)
Image:Polig 06b.svg|Hexagono erregularra (6)
Image:Polig 07b.svg|Heptagono erregularra (7)
Image:Polig 08b.svg|Oktogono erregularra (8)
Image:Polig 09b.svg|Eneagono erregularra (9)
Image:Polig 10b.svg|Dekagono erregularra (10)
Image:Polig 11b.svg|Endekagono erregularra (11)
Image:Polig 12b.svg|Dodekagono erregularra (12)
Image:Polig 13b.svg|Tridekagono erregularra (13)
Image:Polig 14b.svg|Tetradekagono erregularra (14)

**Oharra**: Poligono erregularrak zenbat eta alde gehiago izan, orduan eta zirkunferentzia baten antz handiagoa izango du.

## Poligono erregularraren azalera 
Poligono erregular baten azalera kalkulatzeko, ezagunak ditugun elementuen arabera, hainbat formula daude:

### Azalera: perimetroaren eta apotemaren arabera 
:  A = \frac {P \cdot a}{2} 

{{Froga|
eskuinera|250px
* Poligonoaren aldea **L** triangeluaren oinarria da, eta **a** apotema triangeluaren garaiera; beraz, triangeluaren azalera,  A_h , hau da:
:  A_h = \frac{L \cdot a}{2} \; 

* **n** aldeko poligonoak **n** triangelu ditu, eta guztizko azalera hau da:
:  A = \frac{L \cdot a}{2} \cdot n = \frac{L \cdot n \cdot a}{2} \;  

* **L** aldearen luzera bider **n** (alde kopurua) perimetroa denez gero, formula hau dugu:
:  A = \frac{P \cdot a}{2} \; 
}}

### Azalera: alde kopuruaren eta apotemaren arabera 
:A = a^2 \cdot n \cdot \tan \left ( \frac {\pi} {n} \right ) \ 

{{Froga|
eskuinera|250px
* Hau jakinda:

:A = \frac {L \cdot n \cdot a} {2}  \ 

* eta  \delta = \frac {\pi} {n} \  kontuan hartuta, angelu zentralaren erdia baita (radianetan).

* trigonometriako formulak erabiliz, hau ondoriozta daiteke:

: L = 2 \cdot a \cdot \tan \left ( \frac {\pi} {n} \right )  

* Aldea azalerarako formulan ordezkatuta:

:A = \frac { (2 \cdot a \cdot \tan \left ( \frac {\pi} {n} \right )  ) \cdot n \cdot a} {2} \ 

* Azkenik:

:A = a^2 \cdot n \cdot \tan \left ( \frac {\pi} {n} \right ) \ 
}}

### Azalera: alde kopuruaren eta erradioaren arabera 
:  A = \frac{n r^2 \sin({\frac{2\pi}{n}})}{2} \; 

{{Froga|
eskuinera|250px
* Trigonometriako formulak erabiliz, hau ondoriozta daiteke:
:  L = 2 r \sin({\delta}) \; 
:  a = r \cos({\delta}) \; 

* non angelu zentrala hau den:
:  \alpha = 2 \delta = \frac{2\pi}{n} \; 

* Poligonoaren azalera hau denez:
:  A = \frac{L \cdot n \cdot a}{2} \; 

* eta lehen kalkulatutako aldea eta apotemaren balioak ordezkatuz, hau dugu:
:  A = \frac{2 r \sin({\delta})  \cdot n \cdot r \cos({\delta})}{2} \; 

* Ordenatuta:
:  A = \frac{n r^2 \cdot 2 \sin({\delta}) \cos({\delta})}{2} \; 

* Trigonometrian, ezaguna da berdintza hau:
: 2 \sin({\delta}) \cos({\delta}) = \sin({2 \delta}) \; 

* Emaitza hau da:
:  A = \frac{n r^2 \sin({\alpha})}{2} \; 

* Edo beste era honetan:
:  A = \frac{n r^2 \sin({\frac{2\pi}{n}})}{2} \; 
}}

### Azalera: aldearen arabera 
:A =
   n \cdot \cfrac{L^2}{4} \cdot
   \tan
   \left (
      \cfrac{\pi}{2}\cfrac{(n-2)}{n}
   \right )

{{Froga|
eskuinera|250px
* Poligonoaren azalera hau denez:
:  A = n \cdot \frac{L \cdot a}{2} \; 

* Erabil dezagun  \varphi  sinboloa "**L**" aldearen eta "**r**" erradioaren arteko angelua izendatzeko:
: 
   \varphi =
   \frac{\pi-\alpha}{2} \ =
   \frac{\pi-\frac{2\pi}{n}}{2} \ =
   \frac{\pi}{2}\frac{(n-2)}{n} \;

* Definizioz, tangentearen balioa hau da (apotemaren eta aldearen arabera):
: 
   \tan \varphi =
   \frac{a}{\frac{L}{2}} =
   \frac{2a}{L}

* Apotema askatuz gero, hau dugu:
: 
   a = \frac{L \cdot \tan \varphi}{2}

* Adierazpen hori azaleraren formulara eramanda:
: 
   \left .
      \begin{array}{l}
         A = n \cdot \cfrac{L \cdot a}{2}    \\
                                               \\
         a = \cfrac{L \cdot \tan \varphi}{2}   \\
                                               \\
         \varphi = \cfrac{\pi}{2}\cfrac{(n-2)}{n}
      \end{array}
   \right \}
   \quad \longrightarrow \quad
   A =
   n \cdot \cfrac{L^2}{4} \cdot
   \tan
   \left (
      \cfrac{\pi}{2}\cfrac{(n-2)}{n}
   \right )

}}

## Laburpen-taula 
thumb|240px|Pentagono erregular bat eraikitzen

Oharra: alde kopuru oso handia duen poligonoaren kasuan, barne-angeluek lauak izatera joko dute, aldea nulua izatera eta azalera π zenbakiaren baliorantz.

## Erreferentziak eta oharrak 
## Kanpo estekak