Oinarrizko talde

Topologia aljebraikoaren eremu matematikoan, espazio topologiko baten **oinarrizko taldea** espazioan dauden begizten homotopia bidezko baliokidetasun-klaseen taldea da. Espazio topologikoaren oinarrizko formari, edo zuloei, buruzko informazioa jasotzen du. Oinarrizko taldea lehenengo homotopia-taldea da, sinpleena. Oinarrizko taldea homotopia-inbariante bat da: homotopiari dagokionez baliokide diren espazio topologikoek oinarrizko talde isomorfikoak dituzte. X espazio topologiko baten oinarrizko taldea \pi_1(X) notazioaz adierazten da.

## Intuizioa 
Izan bitez espazio bat (gainazal bat, adibidez), espazioko edozein puntu bat eta puntu horretan hasi eta amaitzen diren begizta (bide) guztiak. Bi begizta konbina daitezke horrela: lehenengo begizta zeharkatu eta amaitzean bigarrena zeharkatu. Bi begizta baliokideak direla esaten da, horietako bat deformatzean bestea lor badaiteke, hautsi gabe. Espazio baten oinarrizko taldea, begiztak konbinatzeko metodo horren bidez eta begizten arteko baliokidetasunaren definizio horretan oinarrituz osatzen diren begizta guztien multzoa da.

## Historia 
Henri Poincarék 1895ean definitu zuen oinarrizko taldea "*Analysis Situs*" artikuluan. Kontzeptua Riemann-en gainazalen teorian sortu zen, Bernhard Riemannen, Poincaré-ren eta Felix Kleinen obran. Zenbaki konplexuetako funtzioen monodromia-propietateak deskribatzen ditu, eta gainazal itxien sailkapen topologiko oso bat ematen du.

## Definizioa 
thumb|*X* espazio topologiko baten adibide bat
Artikulu honetan zehar, *X* espazio topologiko bat da. Adibide tipiko bat eskuineko irudikoa bezalako gainazala da. Gainera, *X-ko* x_0 puntua oinarri-puntua dela esaten da. Talde-homotopiaren definizioak zera adierazten du: X-ko zenbat kurba deforma daitezkeen batetik bestea lortzeko. Definizio zehatza begizten homotopiaren nozioaren araberakoa da.

### Begizten homotopia 
*X* espazio topologikoa izanik, oinarri-puntua *x_0* duen begizta honako funtzio jarraitua da:

: *x_0*\gamma \colon [0, 1] \to X

non \gamma(0) iturburu-puntua (begiztaren hasierakoa) eta \gamma(1) helburu-puntua (amaierakoa) x_0 puntuaren berdinak diren.
thumb|Begizten homotopia
*Homotopia* bi begizten arteko interpolazio jarraitua da. Zehatzago esanda, x_0 oinarri-puntu bereko \gamma, \gamma' \colon [0, 1] \to X bi begizten arteko homotopia, horrelako aplikazio jarraitu bat da:

: h \colon [0, 1] \times [0, 1] \to X,

non,

* h(0, t) = x_0 den t \in [0, 1] guztietarako, hau da, homotopiaren abiapuntua x_0 da t guztietarako (denbora-parametro moduan hartu ohi da t).
* h(1, t) = x_0 den t \in [0, 1] guztietarako, hau da, homotopiaren helburu-puntua x_0 da t guztietarako.
* h(r, 0) = \gamma(r),\, h(r, 1) = \gamma'(r) den, r \in [0, 1] guztietarako.

Halako *h* homotopia bat existitzen bada, \gamma eta \gamma' *homotopikoak* direla esaten da. " \gamma eta \gamma' homotopikoak dira " erlazioa baliokidetasun-erlazioa da. Ondorioz, honako zatidura-multzoa (baliokidetasun-klaseen multzoa) har daiteke:

: .\pi_1(X, x_0) := \{ x_0 \text{ puntuan oinarritutako } \gamma \text{ begizta guztiak } \} / \text{homotopia}

Zatidura-multzo horri (ondoren deskribatzen den talde-egiturarekin batera) *X* espazio topologikoaren *oinarrizko taldea* deitzen zaio x_0 oinarri-puntuan. Begizten baliokidetasun-klaseak homotopiarekiko hartzen dira, zatidura-multzo hori erabilgarriagoa eta konputagarriagoa gertatzen delako askotan. Bestela, begizta guztiek osatutako multzoa hartzen da zatidura-multzoan (X-ren begizta-espazioa esaten dena), zenbait helburutarako erabilgarria dena.

### Talde-egitura 
thumb|Begizten batura
Aurreko definizioaren arabera, \pi_1(X, x_0) multzo bat besterik ez da. Talde bihurtzen da begiztak kateatzearen ondorioz. Hortik datorkio *oinarrizko talde* izena. Zehatzago esateko, bi begizta \gamma_0 eta \gamma_1 izanik, haien arteko biderketa horrela definitutako begizta da:

: \gamma_0 \cdot \gamma_1 \colon [0, 1] \to X
: (\gamma_0 \cdot \gamma_1)(t) = \begin{cases}
        \gamma_0(2t) & 0 \leq t \leq \tfrac{1}{2} \\
    \gamma_1(2t - 1) & \tfrac{1}{2} \leq t \leq 1.
  \end{cases}

Hala, \gamma_0 \cdot \gamma_1 begiztan aurrena \gamma_0 begizta zeharkatzen da "abiadura bikoitzarekin", eta gero \gamma_1 "abiadura bikoitzarekin".

Ondorioz, begizten [\gamma_0] eta [\gamma_1] bi homotopia-klaseen biderketa definitzen da, [\gamma_0 \cdot \gamma_1]. Froga daiteke, biderketa hori ez dagoela ordezkarien aukeraketaren mende eta, beraz, \pi_1(X, x_0) multzoan ondo definitutako eragiketa dela. Eragiketa horrek \pi_1(X, x_0) multzoa talde bihurtzen du. Haren elementu neutroa begizta konstantea da, x_0 puntuan dagoena t parametroaren balio guztietarako (une oro). Begizta baten homotopia baliokodetasun-klase baten alderantzizkoa begizta bera da, baina kontrako noranzkoan zeharkatzen dena. Formalki,

: .\gamma^{-1}(t) := \gamma(1-t)

Hiru begizta \gamma_0, \gamma_1 eta \gamma_2 izanik, honako biderketa

: (\gamma_0 \cdot \gamma_1) \cdot \gamma_2

hiru begizten kateatzea (uztartzea) da, hasteko \gamma_0 zeharkatuz, ondoren \gamma_1 abiadura laukoitzean eta gero \gamma_2 abiadura bikoitzean. Modu berean, hiru begizten biderketa moduan sortutako beste begizta honetan,

: \gamma_0 \cdot (\gamma_1 \cdot \gamma_2)

bide bera zeharkatzen du (ordena berean), baina \gamma_0 abiadura bikoitzean eta \gamma_1 eta \gamma_2 abiadura laukoitzean. Ondorioz, abiadurak desberdinak direnez, bi bideak ez dira berdinak. Elkartze-propietatearen axioma

: [\gamma_0] \cdot \left([\gamma_1] \cdot [\gamma_2]\right) = \left([\gamma_0] \cdot [\gamma_1]\right) \cdot [\gamma_2]

beraz, zatidura-multzoa homotopiarekiko kontsideratu izanaren mendekoa da. Izan ere, aurreko bi kateatzeak \gamma_0, \gamma_1 eta \gamma_2 begiztak abiadura hirukoitzarekin zeharkatzen dituen begiztarekin homotopikoak dira. Hortaz, homotopiarekiko baliokide diren oinarrizko begiztak, aurreko eragiketarekin hornituak, \pi_1(X, x_0) multzoa talde bihurtzen dute.

### Oinarri-puntuaren mendekotasuna 
Oinarrizko taldea, oro har, hautatzen den oinarri-puntuaren mendekoa den arren, *X* espazioa bideen bidez konexua bada (*path-connected*), isomorfismoari (barne-isomorfismoari) dagokionez oinarri-puntuaren aukeraketak ez du alderik eragingo. Hori dela eta, bideen bidez konexu diren *X* espazioak adierazteko, autore askok \pi_1(X) notazioa erabiltzen dute \pi_1(X, x_0) erabili ordez.

## Adibideak 
Atal honetan, oinarrizko taldeen zenbait adibide aipatzen dira. Hasteko, \R^n espazio euklidestarrean edo \R^nespazioaren edozein azpimultzo ganbiletan, begizten klase homotopiko bakarra dago, eta, beraz, oinarrizko taldea elementu bakarra duen talde nabaria da. Oro har, izar-eremu guztiek eta uzkurgarri diren eremu guztiek oinarrizko talde nabaria dute. Hala, oinarrizko taldeak ez ditu bereizten espazio horiek.

Fitxategi:Star_domain.svg|Izar-eremu bat konexua da, edozein begizta eremuaren x_0 erdigunera uzkurtu baitaiteke.
File:P1S2all.jpg|Begizta bat 2-esfera batean (pilota baten gainazalean), puntu batera uzkurtzen
Fitxategi:Fundamental_group_of_the_circle.svg|Zirkuluaren homotopia taldearen elementuak
Fitxategi:Wedge_of_Two_Circles.png|Zortziko-irudiaren oinarrizko taldea a eta *b* bi letra sortzaileeen talde librea da.
Fitxategi:Trefoil_knot_left.svg|Hiruorriko korapilo bat.

### 2-esfera 
Bideen bidez konexua (*path-connected*) den espazio baten oinarrizko taldea nabaria bada, **guztiz konexua** deritzo (ingelesez, *simply connected*). Adibidez, irudiko S^2 = \left\{(x, y, z) \in \R^3 \mid x^2 + y^2 + z^2 = 1\right\} 2-esfera, eta baita dimentsio handiagoko esfera guztiak ere, guztiz konexuak dira. Irudiak homotopia bat erakusten du, begizta bat begizta konstantera uzkurtuz. Ideia hori \gamma begiztaren irudian ez dauden (x, y, z) \in S^2 puntuak dituzten \gamma begizta guztietara egokitu daiteke. Hala ere, begizta batzuetan \gamma([0, 1]) = S^2 betetzen denez, (Peano-ren kurbaren bidez eraikitzen direnetan, adibidez), froga egiteko topologia aljebraikoko tresnak erabili behar dira, Seifert-van Kampen teorema edo *cellular approximation* teorema.

### Zirkulua 
Zirkulua edo 1-esfera, S^1 = \left\{(x, y) \in \R^2 \mid x^2 + y^2 = 1\right\}, ez da guztiz konexua. Homotopia-klase bakoitzean, zirkuluaren inguruan hainbait aldiz biratuz lortzen diren begizta guztiak daude (positiboak edo negatiboak izan daitezke, biraketaren noranzkoaren arabera). *m* bira eman dituen begizta baten eta *n* bira eman dituen beste baten biderketaren emaitza *m* + n bira eman dituen begizta bat da. Beraz, zirkuluaren oinarrizko taldea zenbaki osoen multzoak eta batuketa eragiketak (\Z, +) osatzen duten taldearekin isomorfoa da. Hori erabil daiteke Brouwer-en puntu finkoaren teoremaren eta Borsuk-Ulam-en teoremaren frogak 2 dimentsiotan egiteko.

### Zortziko-irudia 
Zortziko-irudiaren oinarrizko taldea bi letren talde librea da. Hori horrela frogatzen da: bi zirkuluen ebaki-puntua (irudian puntu beltz baten bidez adierazten dena) oinarri-puntu moduan aukeratuz, \gamma begizta oro horrela deskonposa daiteke:

: \gamma = a^{n_1} b^{m_1} \cdots a^{n_k} b^{m_k}

non a eta *b* bira ematen duten bi begiztak diren (irudiko begizta gorria eta urdina) eta n_1, \dots, n_k, m_1, \dots, m_k zenbaki osoak berretzaileak diren. \pi_1(S^1) ez bezala, zortziko-irudiaren oinarrizko taldea *ez* da talde abeldarra: *a* eta *b* konposatzeko bi moduak ez dira elkarren artean homotopikoak:

: [a] \cdot [b] \ne [b] \cdot [a].

Oro har, r zirkulu-sortaren oinarrizko taldea r letretako talde librea da.

Bideen bidez konexuak (*path-connected*) diren *X* eta Y espazioen puntu bateko baturaren (*wedge sum*) oinarrizko taldea, haien oinarrizko taldeen biderkadura libre moduan kalkula daiteke:

: \pi_1(X \vee Y) \cong \pi_1(X) * \pi_1(Y).

Horrek aurrekoak orokortzen ditu, zortziko-irudia bi zirkuluren puntu bateko batura baita.

*n* puntutan zulatutako planoaren oinarrizko taldea *n* sortzaile dituen talde librea da. *i.* sortzailea *i.* zulotik doan begiztaren klasea da, beste zulo batetik pasa gabe.

### Grafoak 
Oinarrizko taldea egitura diskretuetarako ere defini daiteke. Izan bitez  grafo konexua eta V erpinen multzoko *v*0 erpina.  grafoan begiztak *v*0 erpinean hasten eta amaitzen diren zikloak dira. Izan bedi G grafoaren T hedapen-zuhaitz bat. G-ko begizta sinple guztiek ertz bat dute *E* \ *T*-n; G-ko begiztak begizta sinpleen kateatzeak dira. B*e*raz, grafo baten oinarrizko taldea talde libre bat da, eta duen sortzaile kopurua *E* \ *T*-n dagoen ertz kopurua da, hau da,  ertz.

Demagun, adibidez, G-k 16 erpin dituela, 4 erpineko 4 errenkadetan antolatuta, eta horizontalki edo bertikalki alboko diren erpinak ertzen bidez konektatuta daudela. Hortaz, G-k 24 ertz ditu guztira, eta hedapen-zuhaitz bakoitzean duen ertz-kopurua  da; beraz, G-ren oinarrizko taldea 9 sortzaileko talde librea da. Kontuan izan behar da, G grafoak 9 "zulo" dituela, oinarrizko talde bera duen 9 zirkuluko sorta batek bezala.

### Korapilo-taldeak 
Definizioz, korapilo-taldeak \R^3 espazioan txertatutako K korapilo baten osagarriaren oinarrizko taldea dira. Adibidez, hiruorriko korapiloaren korapilo-taldea B_3 adaxka-taldea da, oinarrizko talde ez-abeldarra.

## Ikus, gainera 
* Topologia

## Erreferentziak 
## Bibliografia 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* Peter Hilton eta Shaun Wylie, Teoría de la Homología, Cambridge University Press (1967) [oharra: autore horiek *kontrahomologia* erabiltzen dute kohomologiarako]
* 
* 
* 
* 
* 
* Deane Montgomery eta Leo Zippin, *Transformazio Topologikoko Taldeak*, Editore Interzientifikoak (1955)
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Kanpo estekak 
*  Fundamental group MathWorld
*  Intro to the Fundamental Group // Algebraic Topology with @TomRocksMaths Youtube
*  Introducción a la Topología Algebraica Youtube
*  Oinarrizko taldea ulertzeko animazioak Nicolas Delanoue, web.archive.org
*  Groupoids in Mathematics Ronald Brown, groupoids.org.uk
*  Grupos de homotopía Irene Llerena, topologiaparausuarios.es