Bisekzio-metodoa

[[Fitxategi:Bisection method.svg|thumb|Bisekzio-metodoaren zenbait iterazio [a_1,b_1] tartean. Puntu gorria funtzioaren erroa da.]]Matematikan, **bisekzio-metodoa** funtzio baten erroak aurkitzeko metodo bat da. Metodo hau erabili ahal izateko, beharrezkoa da funtzioa jarraitua izatea eta aurkako zeinuko irudia duten bi x zenbaki izatea (hots, aurkako zeinuko bi y balio edukitzea). Metodoa balio horiek definitutako tartea behin eta berriz erdibitzean datza, ondoren funtzioa zeinuz aldatzen den azpitartea aukeratzeko; izan ere, azpitarte horrek erro bat izan beharko du.

Oso metodo sinple eta sendoa da, baina nahiko motela ere bai. Hori dela eta, askotan erabiltzen da erro baten hurbilketa on bat lortzeko; gero, hurbilketa hori finduko da azkarrago konbergitzen duten metodoen bitartez. Existitzen dira helburu bera duten beste metodo batzuk; hauen artean ezagunenetako bat Regula falsi metodoa da.  

## Metodoa 
Metodoa, x aldagai errealerako, f(x)=0 ekuazioa ebazteko erabiltzen da, non f [a,b] tarte batean definitutako funtzio jarraitu bat den eta f(a) eta f(b) aurkako zeinukoak diren. Kasu horretan, Bolzanoren teoremaren arabera, f funtzio jarraituak erro bat izan behar du gutxienez (a,b) tartean.

Metodoa urraska aplikatzen da. Urrats edo iterazio bakoitzean, metodoak tartea erdibitzen du, tartearen c=\frac{a+b}{2}  erdiko puntua eta f(c) funtzioaren balioa puntu horretan kalkulatuz. c zenbaki erreala erro bat bada, orduan prozesua amaitzen da. Bestela, bi aukera daude: f(a) eta f(c) aurkako zeinukoak badira, (a,c) tartean erro bat egongo da; aldiz, f(b) eta f(c) badira aurkako zeinukoak, erroa (c,b) tartean egongo da. Metodo honen bidez, hurrengo iterazioan erabiliko den azpitartea kalkulatu da jada, (a,c) edo (b,c) tartea, lehen esan bezala, f(c) zeinuaren araberakoa dena. Horrela, f-ren erro bat duen tarte bat erdira murrizten da iterazio bakoitzean. Prozesua errepikatzen jarraitzen da tartea nahiko txikia izan arte, tarte hori lortu eta gero egindako iterazioetan kalkulatzen diren erroen hurbilpenak oso antzekoak baitira.

Esplizituki, f(c)=0 bada, orduan c har daiteke soluziotzat, eta prozesua gelditu egiten da. Bestela, f(a)-k eta f(c)-k zeinu bera badute,

* orduan, a=c  egin behar da hurrengo iteraziorako → [c,b] tartea hartuko da.
* bestela, b=c  egin behar da hurrengo iteraziorako → [a,c] tartea hartuko da.

Bi kasuetan, f(a) eta f(b) berriek kontrako zeinua dute; beraz, metodoa tarte txikiago horretan aplika daiteke. 

Behin prozesua hasita, tartearen ezkerreko eta eskuineko muturretako zeinuak berdin mantentzen dira iterazio guztietan.

Metodo honetan, \{P_n\}_{n\in\N} segida bat sortuko da non P_n\rightarrow P. Iterazioa noiz gelditu behar den zehazteko, finkatutako tolerantzia batekiko (\epsilon) hainbat gelditze-irizpide posible hartu behar dira kontuan (\epsilon). Horretarako lau gelditze-irizpide identifika daitezke:

* Zehaztasun absolutua: \left| P_n - P_{n-1} \right| 
* Zehaztasun erlatiboa: \left| \frac{P_n - P_{n-1}}{P_{n}} \right| , P_{n}\neq0
* Zehaztasun maximoa: f(P_n)
* Iterazio kopuru maximoa: i_{max} bat finkatzea

Erroaren balioari buruz ez badakigu ezer, orduan zehaztasun erlatiboa da gelditze-irizpiderik onena.

## Iterazio prozesua 
Metodorako sarrerak f funtzio jarraitu bat eta [a,b] tarte bat dira, non f(a) eta f(b) irudiek kontrako zeinua duten. Horrek tarte horretan gutxienez funtzioaren erro bat dagoela bermatzen du. Iterazio bakoitzak urrats hauek jarraitzen ditu:

# c kalkulatu, tartearen erdiko puntua c=\frac{a+b}{2}.
# Kalkulatu funtzioaren balioa c erdiko puntuan.
# f(c)=0 bada, c da erroa eta amaitu da; bestela jarraitu.
# Konbergitzen badu, hau da, \left| \frac{c-a}{c}\right|

 nahi bezain txikia bada, c da erroa eta amaitu; bestela jarraitu.
# f(a)\cdot f(c) bada, erroa [a,c] tartean dago. Orduan a ez da aldatzen eta b=c egin hurrengo iterazioan. f(b)\cdot f(c) bada, erroa [c,b] tartean dago. Orduan a=c egin eta b berdin mantendu hurrengo iterazioan.

## Adibidea 
Demagun bisekzio-metodoa erabili nahi dugula polinomio honen erroak aurkitzeko.

f(x) = x^3-x-2.

Lehenik, aukera ditzagun bi zenbaki, a eta b, non f(a) eta **f(b)** zeinu desberdinekoak diren. Aurreko funtzioaren kasuan, a=1 eta b=2 aukeratuz honakoa dugu:

f(1)=(1)^3-(1)-2 = -2

eta

f(2)=(2)^3-(2)-2= +4

Beraz, ikus dezakegu a eta b-ren irudien zeinuak kontrakoak direla. Gainera, f funtzioa jarraitua denez, erro bat egongo da [1,2] tartean, bisekzio-metodoaren bidez lor daitekeena:

Taulan bisekzio-metodoaren 15 iterazio ageri dira. Lehen errenkadan ikus daitekeen bezala, hasierako tartea [1,2] da, a_1=1 eta b_1=2 izanik. Iterazio bat aplikatuz, erdiko puntua c_1=1.5 dela lortzen da, bere irudia f(c_1)= -0.125 izanik. Hori dela eta, f(c_1)  denez, f(c_1)\cdot f(b_1)  da eta hurrengo iterazioko tartea kalkulatzeko a_2=c_1 hartuko dugu. Hortaz, bigarren iterazioko tartea [c_1, b_1] = [a_2, b_1] = [1.5, 2] izango da eta prozesu berdina aplikatuko diogu tarte horri.

13 iterazioren ondoren nabaria da bisekzio-metodoak 1.521 zenbakira konbergitzen duela. Beraz, f(x) funtzioaren [1, 2] tarteko erroa 1.521 zenbakitik oso hurbil egongo da. 

## Abantailak eta desabantailak 
### Abantailak 
Metodo sendoa da, hau da, f(a)\cdot f(b) bada, beti lortuko du hurbilpen bat.

### Desabantailak 
* Metodoa motela da beste batzuekin alderatuta.
* Ez die hurbilpen onei probetxurik ateratzen; izan ere, iterazio batean lortutako hurbilpena aurreko iterazioko hurbilpena baino okerragoa izan daiteke.
* Funtzio jakin batzuetan ezin daiteke aplikatu. Erroa maximo edo minimo erlatibo batean badago, ezin da aplikatu, f(a)\cdot f(b)>0 izan baitaiteke nahiz eta erro bat izan barruan.

## Erreferentziak