Ireki-oinarri

Matematikako topologia alorrean erabilitzen den termino bat da. Espazio topologiko bateko ireki oinarria familia bat da espazioko edozein **ireki** ez-huts bertako elementuen bildura gisa adierazteko aukera ematen diguna.

Ireki-oinarriak \tau topologia sortzen duela esango dugu, eta bertako elementuei oinarriko ireki deituko diegu. Oinarriak oso erabilgarriak dira, izan ere, topologien propietate asko, topologia sortzen duen oinarriari buruzko baieztapenetara laburbil daitezke. Horrez gain, hainbat topologia askoz errazago definitzen dira ireki-oinarriak emanda, topologia osoa emanda baino.

## Definizioa 
(X, \tau) espazio topologikoan, topologia ezagun batekin lanean gabiltzanean, \beta \subseteq \tau ireki-oinarri bat ote den jakiteko ondorengo baliokidetasuna erabili daiteke:\beta \ \ \ \tau -ren \ ireki \ oinarria \Leftrightarrow \forall U \in \tau, \forall x \in U,\exist B \in \beta : x \in B \subseteq Uedo aipatu dugun bezala eta baliokidea dena:\beta \quad \tau -ren \ ireki \ oinarria \Leftrightarrow \forall \ U \in \tau \ \ (U\neq\emptyset), \ U=\bigcup_{i\in I}B_i \ eran \ adieraz \ daiteke \ (B_i\in\beta, \ \forall i\in I) Hau da, \beta  \tau topologiaren ireki-oinarria izango da baldin eta soilik baldin U ireki bateko edozein puntu hartuz, existitzen bada \beta  oinarriko elementu bat, puntu hori barruan duena U irekitik atera gabe. 

### Adibideak 
(\mathbb{R},\tau_u) espazio topologikoan \beta=\left \{ (a,b):a ohiko topologiaren,\tau_u, ireki-oinarria da.

(\mathbb{R}^n,\tau_u)  espazioan, bola irekiek \tau_u-ren ireki-oinarria osatzen dute.

(X,\tau_{dis}) topologia diskretuan, espazioko irekiak Xmultzoko azpimultzo guztiak direla, \beta=\{\{x\}:x\in X\}familia \tau_{dis}-ren ireki oinarria da.

Ohartu ireki-oinarriak ez direla bakarrak. Are gehiago, \beta \ \ \tau -ren ireki oinarria bada, eta \beta \subseteq \beta' \subseteq \tau, orduan \beta' ere, ireki-oinarria da.

## Oinarri batek sortutako topologia 
Orokorrean, azpimultzoz osatutako familia batek ez du topologia baten ireki-oinarri bat osatuko. Interesgarria da ordea hau noiz gertatuko den aztertzea, izan ere, modu honetara \beta \subseteq \mathcal{P}(X)  familia batetik topologia berri bat sortu ahalko dugu. Jarraian azaltzen den teoremak irizpide hauek zehaztuko dizkigu.

### Teorema 
Izan bitez, X multzoa eta \beta \subseteq \mathcal{P}(X) . Topologia zehaztuta ez dagoenean, \betafamilia topologiaren baten ireki oinarria izango da baldin eta hurrengo bi baldintzak betetzen baditu:

# \bigcup_{B \in \beta}B=X
# \forall B_1, B_2 \in \beta, \forall x \in  B_1 \cap \ B_2, \exist B_3 \in \beta : x \in B_3 \subseteq B_1 \cap B_2

2. baldintza honi baliokidea izango da: \forall B_1,B_2 \in \beta , B_1 \cap B_2 =\bigcup_{i \in I}B_i , (B_i \in \beta). Eta hauek dira zehazki bete behar diren baldintzak \betafamiliako multzoen bildura guztiek X-ren gaineko topologia bat osa dezaten.

Beraz, bi baldintza hauek betetzen dituen \beta familiatik abiatuz, X-ren gaineko topologia bat sor dezakegu. Topologia hau \beta barne duten X -ren gaineko topologia guztien ebakidura izango da eta honela definituko dugu:\tau_\beta=\left \{ U \subseteq X: \forall x \in U, \exist B \in \beta : x \in B \subseteq U \right \}Hau da gertatzen dena adibidez espazio metrikoekin. Orokorrean, espazio metriko batek, (X,d), beti sortzen du espazio topologiko bat, (X,\tau_d), bola irekien bidez.

\tau_d=\left \{ U \subseteq X: \forall x \in U, \exist \epsilon >0 : B(x,\epsilon) \subseteq U \right\}
\ non \ B(x,\epsilon)=\left \{y \in X: d(x,y)

## Topologien arteko konparaketak 
Izan bitez \beta_1eta \beta_2 X-ren gaineko bi ireki-oinarri eta \tau_{\beta_1}, \tau_{\beta_2} sortzen dituzten topologiak, hurrenez hurren. Orduan, esaten da \beta_1 \ \ \beta_2 baino finagoa dela \tau_{\beta_2} \subseteq \tau_{\beta_1} denean. Biek topologia bera sortzen badute berriz, \beta_1 eta \beta_2 baliokideak direla esango dugu.

### Proposizioa 
\beta_1 \ \beta_2 \ baino \ finagoa \ da \ \left ( \tau_{\beta_2} \subseteq \tau_{\beta_1} \right )\Leftrightarrow\forall B \in \beta_2, \forall x \in B, \exist D \in \beta_2:x \in D \subseteq B

Beste modu batean esanda, \beta_1 \beta_2baino finagoa izango da \beta_2-ko edozein irekitako edozein puntu hartuta \beta_1-eko elementu bat existitzen bada x barruan duena eta \beta_2-ko ireki horretatik ateratzen ez dena.

### Adibidea 
Adibidez, har ditzagun ohiko topologia eta Sorgenfreyren topologia, hau da, \beta_u=\left \{ (a,b): aeta \beta_{Sor}=\left \{ [a,b): aireki-oinarriek sortutako topologiak. Nabaria da ohiko topologiako tarte bateko edozein puntu hartuz beti aurki dezakegula Sorgenfreyren topologiako oinarriko irekiren bat puntu hori estaltzen duena eta aldi berean ohiko topologiako tartearen barruan dagoena. Aldiz, alderantziz aztertuz, Sorgenfreyren topologiako [a,b) tartea izanik eta x=a puntuko ohiko topologiako edozein oinarriko ireki bilatzen badugu beti aterako gara [a,b) tartetik. Beraz \beta_{Sor} \beta_u baino finagoa izango da.

## Erlazionatutako teoremak 
* Izan bitez \beta_1 \ ,\ \beta_2 \ , ..., \beta_n \tau_1 \ ,\ \tau_2 \ , ..., \tau_n topologien ireki-oinarriak hurrenez hurren, orduan \beta_1 \ \times\ \beta_2 \ \times\ ...\times\ \beta_n biderkadura kartesiarra \tau_1 \ \times\ \tau_2 \ \times\ ...\times\ \tau_n biderkadura topologiaren ireki-oinarria da.
* Izan bedi \beta (X,\tau), espazio topologikoaren ireki-oinarria eta Y bere azpiespazioa. \beta-ko elementu bakoitzaren eta Y-ren arteko ebakidura eginez gero, lortutako multzoen familia (Y,\tau_Y)azpiesapzio topologikoaren ireki-oinarria izango da.
* Izan bitez, (X,\tau)espazio topologikoa eta \beta \subseteq \tau. Orduan, \beta ireki-oinarria izango da baldin eta soilik baldin {\mathcal{B}}_x=\left \{ B\in \beta: x\in B\right \}ingurune oinarria bada Xmultzoko edozein x elementurako.

* Izan bedi f:X\longrightarrow Ybi espazio topologikoren arteko aplikazioa. Orduan,
** f aplikazioa **irekia** izango da baldin eta soilk baldin Xko edozein oinarriko irekiren irudia irekia baldin bada Y-n.
** f aplikazioa **jarraitua** izango da baldin eta soilik baldin Yko edozein oinarriko irekiren aurreirudia irekia bada X-n.

Hemen ikus daiteke ireki-oinarriak erabiltzearen abantaila.

## Azpioinarriak 
Batzuetan, ditugun familiek ez dituzte ireki-oinarriak izateko baldintzak betetzen. Baina baldintza ahulagoekin ere posible da topologia bat sortu ahal izatea. Ikusiko dugunez, benetan eskatu beharreko baldintza minimoa familiako elementuen bildura Xmultzoa osoa izatea da. Hori betetzen duten familiei azpioinarri izena ematen zaie. Hainbat propietate frogatzeko nahikoa izango da azpioinarrien irekiak kontuan hartzea. Jarraian ikusiko dugu zein modutan sortzen duen topologia azpioinarri batek.

Izan bitez (X,\tau)espazio topologiakoa eta \sigma \subseteq \mathcal{P}(X). Esaten da \sigma \ \ \ \tau-ren azpioinarria dela \sigma  familiaren elementuen ebakidura finitu guztiek osatutako familia, \tautopologiaren ireki-oinarria bada.

### Adibideak 
# \sigma =\left \{ (- \infty,a),(b,\infty ): a,b \in \mathbb{R}\right \}familia ohiko topologiaren azpioinarria da.
# \sigma =\left \{ (- \infty,a],[b,\infty ): a,b \in \mathbb{R}\right \}familia topologia diskretuaren azpionarria da.
# Topologia guztiak bere buruaren azpionarri dira.

Ireki-oinarriekin gertatzen den moduan, hemen ere interesgarria da X multzoa eta \sigma \subseteq \mathcal{P}(X) familia baditugu, \sigma familiak topologiaren baten azpioinarria izan dadin ze baldintza bete behar dituen ikustea.

### Proposizioa 
Izan bitez, Xmultzoa eta \sigma \subseteq\mathcal{P}(X),
\bigcup_{S \in \sigma}S=Xbaldintza betetzen bada \sigmafamiliak topologia berri bat sortuko du. Izan ere, \beta_\sigma=\left \{ S_1\cap ... \cap S_n:n \in \mathbb{N}, \ S_1, ...,S_n \in \sigma \right \}familiak topologiaren baten ireki-oinarria izateko baldintzak betetzen ditu, eta beraz sortutako topologia ondokoa izango da:\tau_{\beta_\tau}=\left \{ U \subseteq X:\forall x \in U, \exist B \in \beta_\sigma: x \in B \subseteq U \right \}

## Erreferentziak 
## Kanpo estekak