Taylor serie

thumb|Seriearen elementu kopurua igo ahala, jatorrizko funtzioari hurbiltzen zaio Taylorren seriea. Irudian, x=0 puntuan zentraturiko Taylor seriea dugu, f(x)=sin(x) funtzioarentzat (**beltzez**). Polinomioaren graduak edo (n) kolorez adieraziak dira 1, 3, 5, 7, 9, 11 eta 13 balioentzat.
Matematikan, **Taylor seriea** funtzio baten serie bidezko garapen bat da. Taylorren serieak berretura-serie bat erabiltzen du jatorrizko funtzio baten funtzio baliokide bat lortzeko, x=a puntuaren ingurunean. x=0 puntuaren ingurunean ari bagara, edo a=0 balioa denean, serieari **MacLaurin serie** deritzo.

Zenbait funtzio ezin dira Taylor serie baten bidez adierazi, x=a puntuan singulartasun bat dutelako. Kasu horietan, Laurent seriea erabil daiteke funtzio baliokide bat lortzeko.

## Definizioa 
Taylor seriea honela definitzen da:

f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f*(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots = \sum_{n=0} ^ {\infin } \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n},

non

*f(x)* hurbilpena lortu nahi den jatorrizko funtzioa den,

*a* hurbilpen hori lortu nahi deneko ingurunea den,

*f(n)(a)* jatorrizko funtzioaren *n* mailako deribatuaren balioa den, a puntuan.

## Taylor serie bidezko hurbilpena 
Taylor seriea funtzio batek *x'' puntuaren inguruan hartzen duen baliora hurbiltzeko erabil daiteke, seriearen batugai zenbait bakarrik erabiltzen direnean. Era honetan, errore bat sortzen da, funtzioaren balioarekin bat datorren seriea ez baita modu osotuan garatzen:

: f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + R_n(x), 

Orokorrean, zenbat eta batugai gehiago, hobea izango da Taylor seriearen bidezko hurbilketa, eta txikiagoa *Rn(x),* edo sortuko den errorea.
R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(x^*)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}, sortzen den errore edo hondarra da a betetzen bada, Lagrangeren hondarra alegia.

## Funtzio analitikoak 
Funtzio bat eta dagokion Taylor seriea konbergenteak direnean, jatorrizko funtzioa funtzio analitikoa dela esaten da. Beste hitz batzuetan, funtzio analitiko bat eta bere Taylor serieak balio berak emango lituzke funtzio hori definitua den tartean.

## Serie nabarmenak 
### Funtzio esponentzialaren eta logaritmikoaren serieak 
e^x  = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots= \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!}. 

\ln(x) = 2\sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2n+1} 

### Funtzio trigonometrikoen serieak 
\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad, \forall x

\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad, \forall x

\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad, \mbox{ non } \left| x \right| 

Non *Bs* Bernouilliren zenbakiak diren.

## Erabilerak 
Taylor serieak erabiltzeak abantaila edo erraztasun batzuk eskein ditzake. Alde batetik, Taylor seriea funtzio polinomikoa izanik, honen deribatze eta integratzea askoz errazagoa da. Horrek, gainera, optimizazio problemak ebaztea ere errazten du. Bestetik, askotan Taylor seriearen balioa bera kalkulatzea azkarragoa da eta hurbilpen onak kalkulatzeko bidea ematen du. Eta orokorrean, limiteen, konbergentziaren, integralen eta abarren estimazioak egiteko bide azkar bat ematen dute Taylor serieek.

## Historia 
Eleako Zenon Elea filosofoak serie infinitu bat batzearen arazoa hartu zuen emaitza finitua lortzeko, baina baztertu egin zuen, ezinezkoa zela uste baitzuen: emaitza Zenonen paradoxak izan ziren. Ondoren, Aristotelesek ebazpen filosofiko bat proposatu zion paradoxari, baina haren matematika-edukia ez zen ebatzi Demokritok eta gero Arkimedesek berriro ekin zioten arte. Arkimedesen metodo zehatzaren bidez, azpisailkapen geometriko progresibo infinitu batek emaitza trigonometriko finitua lor zezake. Liu Huik antzeko metodo bat erabili zuen, ehunka urte ondoren.

XIV. mendean, Taylorren serieen eta antzeko metodoen erabileraren lehen adibideak eman zituen Madhava de Sangamagramak. Nahiz eta gaur egun bere lanaren erregistrorik ez izan, ondorengo matematikari hinduek iradokitzen dute Taylorren serieko kasu berezi batzuk aurkitu zituela, sinu, kosinu, tangente eta arkotangente funtzio trigonometrikoetarako barne.

XVII. mendean, James Gregoryk ere lan egin zuen arlo horretan, eta Maclaurinen zenbait serie argitaratu zituen. Baina 1715ean, serie horiek funtzio guztietarako eraikitzeko forma orokor bat aurkeztu zen, eta Brook Taylorrek aurkeztu zuen, izen horrekin.

Horrela izendatu zituen Maclaurinen serieak Edinburgoko irakasle Colin Maclaurin-ek, eta XVIII. mendean Taylorren serieen kasu berezia argitaratu zuen.

## Erreferentziak 
## Kanpo estekak