Taldeen errepresentazio

Matematikan, aljebrako talde teoriaren adar bat den taldeen errepresentazio teorian, **talde errepresentazioa** deritzo aztertu nahi den talde abstraktua talde lineal batekin lotzen duen homomorfismo orori. Horrela, talde abstraktuak bektore espazio baten automorfismoen bidez azter daitezke.

Izan ere, taldeen errepresentazio teoriak G talde abstraktuak deskribatzen ditu V K-bektore espazioa baten GL_{K}(V) automorfismoen taldearen terminoetan; hau da, espazio bektorialetik espazio bektorial berberera doazen transformazio lineal bijetiboen multzoak aplikazioen konposaketarekin batera eratzen duen taldearen bitartez. Taldearen deskribapen hori,  R: G\longrightarrow GL_{K}(V) talde homomorfismo baten bitartez lortuko da. Talderen baten gainean horrela definituriko R homomorfismo bat, ***G taldearen K-errepresentazio*** bat dela esaten da.

Taldeen errepresentazioak garrantzitsuak dira, talde teoriako problema asko aljebra linealeko problema bilakatzen dituztelako. Horrela problemak erraztu egiten dira, hobeto ezagutzen baitugu aljebra lineala talde teoria baino. Garrantzitsuak dira fisikan ere, adibidez, sistema fisiko baten simetria-taldeek sistema hori deskribatzen duten ekuazioen soluzioei nola eragiten dien deskribatzen baitute. Kimikan ere, talde errepresentazioak erlaziona daitezke molekulen errotazio simetrikoekin eta islapenekin.

Talde baten errepresentazioa terminoa adiera orokorragoan ere erabiltzen da, talde baten "deskribapena" edozein objektu matematikoren transformazio talde gisa adierazteko. Formalago, errepresentazio bat talde baten elementuak edozein objekturi dagokion automorfismoen taldera daraman homomorfismoa da. Objektua espazio bektoriala bada, orduan errepresentazio lineala dugu. Batzuetan, *errealizazioa* terminoa erabiltzen da kontzeptu orokorrerako, errepresentazio terminoa errepresentazio linealen kasu berezirako soilik erabiliz. Artikulu honetan talde finituen errepresentazio linealak deskribatzen dira batik bat.

## Definizioak 
### Talde errepresentazioa 
Izan bedi G taldea. Izan bitez, baita ere, K gorputz baten gaineko V espazio bektoriala bat eta haren GL_{K}(V) automorfismoen taldea. Orduan, R: G\longrightarrow GL_{K}(V) talde homomorfismo bat bada, R homomorfismoa ***G taldearen K-errepresentazio*** bat da. (Espazio bektorialaren dimentsioa finitua denean, era berean defini daiteke talde errepresentazio bat GL_{K}(V) automorfismoen taldea beharrean GL(n,K) talde lineal orokorra erabilita). 

Beraz, R *errepresentazio* batek talde homomorfismoa izateagatik ondoko propietatea bete behar du:

R(x\cdot y)=R(x)\cdot R(y),     \forall \ x,y\in G .

V bektore espazioari *errepresentazio espazio* esaten zaio eta V-ren dimentsioari berriz *errepresentazioaren dimentsio* esaten zaio. Testuinguruarengatik homomorfismoa argi dagoenean ohikoa izaten da V errepresentazio espazioari deitzea errepresentazio. Errepresentazio espazioa V n dimentsio finitukoa denean, bektore espazioaren oinarri bat zehazturik identifikatzen dira  GL_{K}(V) taldeko automorfismoak GL(n,K) taldeko matrizeekin. 

Errepresentazioaren **nukleoa**, iruditzat identitate automorfismoa duten elementuek osatzen duten G-ren azpitaldea da; hau da, Ker=\{g\in G\ |\ R(g)=id_{V}\}. Errepresentazio bat **fidela** dela esaten da Ker=\{1_{G}\} denean.

### Errepresentazio isomorfoak 
thumb|353x353px|R eta S bi talde errepresentazio isomorfoak izateko \alpha bektore espazioen arteko isomorfismoaren bidez bete behar den R(g)=\alpha^{-1}\circ S(g)\circ\alpha baldintza azaltzen duen diagrama.V eta W bi K-bektore espazio izanik, eta R: G\longrightarrow GL_{K}(V) eta S: G\longrightarrow GL_{K}(W) bi errepresentazio izanik, **baliokideak** (batzuen arabera *antzeko* egokiagoa litzateke) edo **isomorfoak** direla esaten da baldin eta bektore espazioen arteko \alpha: V\longrightarrow W

isomorfismo bat badago, zeinak g \in G guztietarako  R(g)=\alpha^{-1}\circ S(g)\circ\alpha automorfismoen arteko berdintza betetzen duen. Bestela ere, gauza bera da  \alpha\circ R(g)=S(g)\circ\alpha berdintza betetzea.

### Karakterea 
Izan bitez, G talde finitua eta K, char(K)=0 zero karakteristikako gorputza. Orduan, V n dimentsioko K-bektore espazioa bada R: G\longrightarrow GL(n,K)  errepresentazioak induzituriko \chi:G\longrightarrow K aplikazio bat defini daiteke honela: \chi(g)=\text{tr}R(g) \ , \ \  \       \forall \ g\in G, (\text{tr} ikurrak matrizearen aztarna, edo traza, adierazten duelarik). Aplikazio horri, R K-errepresentazioak induzituriko G-ren ***karaktere*** deritzo. Antzeko matrizeek aztarna bera dutenez, errepresentazio baliokideek karaktere bera dutela ondorioztatzen da. Beraz, karakterea klase funtzioa da, hots, \chi(g^{h})=\chi(g) \ , \ \  \       \forall \ g,h\in G beteko da. 

### G-inbarianteak eta azpierrepresentazioak 
G talde baten, R: G\longrightarrow GL_{K}(V), V bektore espazioaren gaineko K-errepresentazio bat izanik, W\leq V  azpiespazioa bada, orduan ***taldearen ekintzarekiko inbariantea*** dela esaten da (G*-inbariantea* da laburdura), baldin eta wR(g)\in W \ \ \ \ \forall\ w\in W, \ \forall\ g\in G betetzen bada; hau da, W-ko bektoreen irudiek azpiespazioan egoten jarraitzen badute  R(g)  V-ren automorfismo guztietarako. Ondorioz,  R(g)-ren W azpiespaziorako murrizketa,   R(g)_{|W}:W\longrightarrow W adierazten dena, W bektore espazioaren automorfismoa izango da. Orduan,  R_{|W}:G\longrightarrow GL_{K}(W) errepresentazioa definitu daiteke  R_{|W}(g)=R(g)_{|W} betearaziz;  R_{|W} errepresentazioari  R errepresentazioaren ***azpierrepresentazio*** deritzo.

Azpiespazio tribialak, hau da,  V eta \{0_{V}\} azpiespazioak, G-inbarianteak dira errepresentazio guztietarako.

### Errepresentazio laburgarriak eta laburtezinak 
Izan bitez, G taldea eta R: G\longrightarrow GL_{K}(V) errepresentazioa. Orduan, ***errepresentazioa*** ***laburgarria*** dela esango dugu (*erreduziblea* dela), V bektore espazioaren azpiespazio propioren bat inbariante utziz gero, hau da,  V eta \{0_{V}\} azpiespazio tribialetaz gain besteren bat ere inbariante utziz gero. Bestela, ***errepresentazio laburtezina*** (*irreduziblea*) dela esaten dugu. (Ohartu, 1 mailako errepresentazio guztiak irreduzibleak direla, kasu horretan bektore espazioek ez baitu azpiespazio propiorik).

Talde finituen kasuan, GL(n,K) matrize alderantzizgarrien gaineko R K-errepresentazioak erabil ditzakegunez, errepresentazio laburtezinen definizioa era matrizialean adieraz dezakegu, honela:

R errepresentazioa laburtezina izango da, V K-bektore espazioaren oinarri bat lor badaiteke R errepresentazioaren matrizea blokeka banatuko duena hurrengo eran,       R(g)=\begin{pmatrix} 
R_1(g) & B(g) \\ 0 & R_2(g) 
\end{pmatrix}, \ \ \ \ \ \ \forall \ g\in G non  R_1(g), R_2(g) eta B(g) matrize karratuak diren. Orduan, ohartu R errepresentazioa izateagatik R_1 eta R_2 ere errepresentazioak direla ondorioztatu daitekeela. Izan ere, g_1,g_2\in G taldeko edozein bi elementu harturik, R talde homomorfismoa izateagatik R(g_1g_2)=R(g_1)R(g_2) beteko da, hots, \begin{pmatrix} 
R_1(g_1g_2) & B(g_1g_2) \\ 0 & R_2(g_1g_2) 
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} 
R_1(g_1)R_1(g_2) & R_1(g_1)B(g_2) + B(g_1)R_2(g_2) \\ 0 & R_2(g_1)R_2(g_2) 
\end{pmatrix} eta beraz, R_1 eta R_2 ere G taldearen K-errepresentazioak dira baina R baino maila txikiagokoak.

### Errepresentazio guztiz laburgarriak 
Gainera, n mailako R errepresentazio laburgarri bat errepresentazio **guztiz laburgarria** dela esango dugu, errepresentazioaren matrizea R(g)=\begin{pmatrix} 
R_1(g)& & 0 \\
&\ddots &\\
0 & & R_m(g) 
\end{pmatrix} baldin bada  g\in G guztietarako non   R_1(g),\dots,R_m(g) matrize karratuei dagozkien R_1,\dots,R_m errepresentazioak laburtezinak diren; noski m\leq n. Kasu horretan, R errepresentazioa R_1,\dots, R_m errepresentazioen batura zuzen gisa banatzen da. Honela adierazten da, R(g)=R_1(g)\bigoplus\dots\bigoplus R_m(g), \ \ \ \forall \ g\in G edo laburturik bestela, R(g)=\bigoplus_{i=1}^{m} R_i(g), \ \ \ \forall \ g\in G . Demagun, gainera, badaudela elkarren baliokideak diren errepresentazio irreduzibleak eta ondorioz soilik r errepresentazio direla guztiz ezberdinak. Orduan, V K-bektore espazioaren oinarri aldaketa egokiarekin errepresentazio baliokideak errepresentazio bera bilaka ditzakegu eta  n_1,\dots,n_r baldin badira haietako bakoitza errepikatzen den kopurua:  R(g)=\bigoplus_{j=1}^{r} n_jR_j(g), \ \ \ \forall \ g\in G idatz dezakegu. Gainera, errepresentazio laburtezin bakoitzari dagokion karakterea \chi_j bezala adieraziz gero,  R errepresentazioaren \chi karakterea honela lor daiteke: \chi(g)=\sum_{j=1}^rn_j\chi_j(g) \ , \ \ \ \forall \ g\in G.

Talde errepresentazioak errepresentazio laburtezinetan deskonposatzeari buruzko emaitza garrantzitsu bat ondokoa da. K gorputzaren karakteristikak G talde finituaren ordena zatitzen ez badu, G taldearen edozein K-errepresentazio azpierrepresentazio laburtezinen batura zuzen gisa bana daiteke (ikus Maschke-ren teorema). Bereziki, talde finitu baten \Complex zenbaki konplexuen gaineko edozein errepresentaziok beteko du, zenbaki konplexuen gorputzaren karakteristika, char(\Complex)=0 zero baita, eta noski, ez du inoiz talde baten ordena zatituko.

Ohartu, K-laburgarritasuna, K-laburtezintasuna eta guztizko laburgarritasuna mantendu egiten dela errepresentazio baliokideetarako.

### Talde errepresentazioen orokorpenak 
* *Talde topologikoak*: G talde topologiko baten kasuan,  V K-bektore espazio topologiko bat izanik, R: G\longrightarrow GL_{K}(V) talde errepresentazioa **errepresentazio jarraitua** izango da, baldin eta \phi: G\times V\longrightarrow V ,  \phi(g,v)=R(g)(v) aplikazio jarraitua bada.

## Adibideak 
# G-ren 1 mailako K-***errepresentazio tribiala*** deritzogu, R: G\longrightarrow K^{*},  g\in G guztietarako  R(g)=1 betetzen duen talde homomorfismoari. (Ohartu, K^{*}=K-\{0\} gorputzari batuketarekiko elementu neutroa kendurik biderketarekiko osatzen den taldea dela). Noski, \chi(g)=1 ere beteko da  g\in G guztietarako.
# Izan bitez G talde finitua eta  V 1 dimentsioko K-bektore espazioa, orduan, GL_{K}(V)\cong\displaystyle GL(1,K)=K^{*} izango da eta beraz, R: G\longrightarrow K^{*} talde homomorfismo bat, G-ren ***1 mailako*** K-***errepresentazio*** bat dela esango dugu. Ohartu, edozein  g\in G harturik,  \chi(g)=trR(g)=R(g) beteko dela 1 mailako errepresentazioetarako. Hots, errepresentazioa eta karakterea bat datoz taldeko elementu guztietarako.
# G-ren ***1 mailako*** K-***errepresentazio*** batzuen adibide konkretuak ondokoa dira: izan bitez \Complex zenbaki konplexuen gorputza eta \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} talde ziklotomikoa. Orduan, j=1,...,n guztietarako, \chi_{j}: \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\longrightarrow \Complex^* talde homomorfismoak defini ditzakegu honela, \chi_{j}(\bar{1})=e^{i(2j\pi)/n}. Hare gehiago, horrek dira \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} talde ziklotomikoaren \Complex-errepresentazio laburtezin (irreduzible) guztiak.
# Izan bedi, \tau: G\longrightarrow\Sigma_{n} talde homomorfismoa non \Sigma_{n} n permutazioz osaturiko taldea den. Orduan, \tau K-errepresentazio bat bezala uler daiteke honela: Izan bitez K gorputza eta n dimentsioko V K-bektore espazioa \{v_1, v_2, ...,v_n\} bere K-oinarri bat delarik. Defini dezagun ondoko aplikazioa, \begin{align} R_\tau(g):\ & V\longrightarrow V\\
& v_i\mapsto v_{i^{\tau(g)}}\\ \end{align}, hau da, oinarriko bektoreak \tau(g) permutazioen bidez honela berrantolatuko dituen aplikazioa; v_i R_\tau(g)=v_j izango da j=i^{\tau(g)} delarik i=1,...,n guztietarako. Horrela, R_\tau(g) bektore espazioaren automorfismoa izateko naturalki definitzen da v\in V bektore bakoitzeko v=k_1v_1+...+k_nv_n bektorearen oinarriaren araberako adierazpena izanik;  vR_\tau(g)=k_1(v_1)R_\tau(g)+...+k_n(v_n)R_\tau(g). Gainera, erraz ikus daiteke R_\tau ere talde homomorfismoa dela. Izan ere, g_1,g_2\in G taldeko bi elementu hartuz gero, v_i zehazturik dugun  bektore espazioaren oinarriko edozein bektore izanik,                                                                                \begin{align} v_iR_\tau(g_1g_2) & = \ v_{i^{\tau(g_1g_2)}}
=v_{i^{\left(\tau(g_1)\ \circ \ \tau(g_2)\right)}}\\
&= \ v_{\left(i^{\tau(g_1)}\right)^{\tau(g_2)}}=\left(v_{i^{\tau(g_1)}}\right)R_\tau(g_2)\\
&= \ \left((v_i)R_\tau(g_1)\right)R_\tau(g_2)=v_iR_\tau(g_1)R_\tau(g_2) \ .
\\ \end{align}                                                                                                                                    Hau da, R_\tau(g_1g_2)=R_\tau(g_1)R_\tau(g_2) betetzen da g_1,g_2\in G guztietarako eta ondorioz talde homomorfismoa da. Beraz, R_\tau: G\longrightarrow GL_K(V) talde homomorfismoa definitu dugu, zeinari G taldearen ***K-errepresentazio permutazionala*** deitzen zaion. Gainera, ohartu R_\tau(g) automorfismo bakoitzari dagokion GL(n,K) talde lineal orokorreko matrizea, hain zuzen ere, \tau(g) permutazioari dagokion permutazio matrizea dela. Matrize honek, 1 bat eta bakarra du errenkada eta zutabe bakoitzean, gainontzeko elementuak aldiz 0-ak dira. Beraz, ondokoa izango da errepresentazioaren \chi_\tau karakterea:  \chi_\tau(g):= 
\begin{cases} n & g\in \text{ ker }\tau \text{,   baldin bada,} \\ 
\pi(\tau(g)) & \text{bestela,} \end{cases} non  \pi(\tau(g))=|\{i \ |\  i^{\tau(g)}=i,\ \ 1\leq i\leq n\}| aplikazioa den, hau da, \tau(g) permutazioak finko uzten duen letra kopurua zehazten du \pi aplikazioak.
# G talde baten K-errepresentazio permutazional baten adibide konkretu bat \rho  ***K-errepresentazio erregularra*** da,  G  taldearen eskumako errepresentazio erregularrak sorturikoa. Explizituago, izan bedi \begin{align} \tau:\ & G \longrightarrow  \Sigma_{G}\\
& x\ \longmapsto  \tau_x\\ \end{align}  non  \begin{align} \tau_x:\ & G \longrightarrow  G\\
& g\ \longmapsto  gx\\ \end{align} aplikazioa taldeko elementuen permutazioa den. Berehalakoa da,   x\in G taldeko elementu guztierako   \tau_x\in\Sigma_{G} betetzen dela, eta beraz, aplikazioa ondo definiturik dagoela. Izan ere, argi dago   G taldea izateagatik,   (g)\tau_x=gx \in G eta ondo definiturik dagoela. Gainera,   \tau_x-ren bidezko irudi bera duten y,z\in G taldeko bi elementu harturik, 

\begin{align}
(g_1)\tau_x=(g_2)\tau_x &\Longrightarrow g_1x=g_2x \Longrightarrow  g_1xx^{-1}=g_2xx^{-1}\Longrightarrow g_1=g_2 
\end{align}
 betetzen denez, aplikazioa injektiboa da. Horretaz gain, aplikazioa supraiektiboa ere badela ikusteko, nahikoa da ohartzea y\in G taldeko elementu bat hartuz gero, yx^{-1}\in G elemetuaren irudia izango dela; hau da, 

\left(yx^{-1}\right)\tau_x=yx^{-1}x=y
  betetzen dela. Beraz,   \tau_x aplikazio bijektiboa da eta ondorioz   \tau_x\in\Sigma_{G} dugunez, ondo definiturik dago   \tau aplikazioa. Gainera, erraz ikus daiteke \tau talde homomorfismoa dela, izan ere, x,y,z\in G  taldeko elementu oro harturik, 

\begin{align}
z^{\tau(xy)} &=z^{\tau_{xy}}=zxy=(zx)y=(zx)\tau_y \\ 
&=\left((z)\tau_x\right)\tau_y=(z)\left(\tau_x\circ\tau_y\right)=z^{\left(\tau(x)\ \circ\ \tau(y)\right)} \\

\end{align}betzen baita, hots, 

\tau(xy)=\tau(x)\circ\tau(y)
 beteko da x,y\in G taldeko elementu guztietarako eta ondorioz, \tau talde homomorfismoa da. Orain, izan bitez K gorputza eta |G| dimentsioko V K-bektore espazioa \{v_g\ | \ g\in G\} bektore espazioaren K-oinarri bat delarik,   G taldearen bidez indekazaturik dagoena. Orduan, errepresentazio erregularra honela definitzen da, \begin{align} \rho:\ & G \longrightarrow  GL_{K}(V)\\
& x\ \longmapsto  \rho(x)\\ \end{align} non aplikazioaren irudiko automorfismoak \begin{align} \rho(x):\ & V \longrightarrow  V\\
& v_g\longmapsto  v_{gx}\\ \end{align}diren. Errepresentazio erregularrak induzituriko karakterea \rho_G bidez adierazten da eta \rho_G:= 
\begin{cases} |G| & g=1_{G} \text{,   bada} \\ 
0 & \text{bestela,} \end{cases} dira bere balioak, ez baitago talde batean neutroa ez den elementurik beste elementuren batekin biderkaturik elementua finko uzten duenik.
# Izan bitez R_1 eta R_2   G taldearen K-errepresentazioak  V eta W bektore espazioen gainean hurrenez hurren. Gainera,  R_1 eta R_2 errepresentazioen karaktere induzituak \chi_1 eta \chi_2 diren hurrenez hurren. Orduan: 
#* Bektore espazioen  V\bigoplus W batura zuzenaren gaineko   G taldearen K-errepresentazioa sor daiteke honela: R: G\longrightarrow GL_{K}\left(V\bigoplus W\right)  talde homomorfismoa, zeina 
g\in G
 taldeko elementu bakoitzerako honela definitzen den;
\begin{align} 
R(g)=R_1(g)\bigoplus R_2(g) : \ & V\bigoplus W \longrightarrow V\bigoplus W \\ 
& (v,w)R(g)= \left(vR_1(g),wR_2(g) \right) \\ 
\end{align}. Gainera, R errepresentazioak induzituriko karakterea jatorrizko errepresentazioek induzituriko karaktereen batura da, hots, \chi=\chi_1+\chi_2.
#* Bektore espazioen V\bigotimes W biderkadura tentsorialaren gaineko   G taldearen K-errepresentazioa sor daiteke honela: R: G\longrightarrow GL_{K}\left(V\bigotimes W\right)  talde homomorfismoa, zeina 
g\in G
 taldeko elementu bakoitzerako honela definitzen den;
\begin{align} 
R(g)=R_1(g)\bigotimes R_2(g) : \ & V\bigotimes W \longrightarrow V\bigotimes W \\ 
& (v\otimes w)R(g)= vR_1(g)\otimes wR_2(g) \\ 
\end{align} eta gainera, R errepresentazioak induzituriko karakterea jatorrizko errepresentazioek induzituriko karaktereen biderketa da, hots, \chi=\chi_1\chi_2.
# Izan bedi, G=\{1,-1,i,-i\}\subseteq\Complex taldea zenbaki konplexuen ohiko biderketarekin. Orduan, R: G\longrightarrow GL\left(2,\Complex\right) errpresentazioa defini dezakegu honela: R(1)=\bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \bigr), R(-1)=\bigl( \begin{smallmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{smallmatrix} \bigr), R(i)= \bigl( \begin{smallmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{smallmatrix} \bigr) eta R(-i)= \bigl( \begin{smallmatrix} -i & 0 \\ 0 & i \end{smallmatrix} \bigr). Ohartu, R errepresentazioa guztiz laburgarria dela eta beraz, R(g)=R_1(g)\bigoplus R_2(g) batura zuzen bezala adieraz dezakegula  g\in G guztietarako. Batura zuzenean agertzen diren errepresentazioak ondokoak dira: R_1(1) = 1, R_1(-1) = -1, R_1(i) = i eta R_1(-i) = -i; eta, R_2(1) = 1, R_2(-1) = -1, R_2(i) = -i eta R_2(-i) = i lehen mailako errepresentazio irreduzibleak. Gainera, R errepresentazioa P= \bigl( \begin{smallmatrix} 1 & i \\ 1 & -i \end{smallmatrix} \bigr) matrizearekin transformatuz gero, R': G\longrightarrow GL\left(2,\Reals\right) errpresentazio baliokidea lortuko dugu: R'(1)=\bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \bigr), R'(-1)=\bigl( \begin{smallmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{smallmatrix} \bigr), R'(i)= \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{smallmatrix} \bigr) eta R'(-i)= \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix} \bigr). Ohartu, R' errepresentazioaren kasuan irudi denak direla matrize errealak. Karaktereaari dagokionez, \chi_{R}=\chi_{R'} beteko da noski, R eta R'errepresentazio balikideak izateagatik:  \chi_{R}(1)=2,  \chi_{R}(-1)=-2  eta  \chi_{R}(i)=\chi_{R}(-i)=0 direlarik.

## Erreferentziak 
## Ikus, gainera 
* Errepresentazioaren teoria 
* Errepresentazio teorema
* Itôren teorema
* Maschke-ren teorema
* Zenbakizko analisi
* Aljebra unibertsala

## Apunteak 
#  Group representation theory, Lecture Notes. **Travis Schedler**      https://www.imperial.ac.uk/people/t.schedler/document/8765/lecture-notes/?lecture-notes.pdf
#  Lecture notes: Basic group and representation theory; Thomas Willwacher (February 27, 2014) https://people.math.ethz.ch/~wilthoma/docs/grep.pdf
# ["1.4: Representations". *Chemistry LibreTexts*. 2019-09-04. Retrieved 2021-06-23.](https://chem.libretexts.org/Bookshelves/Inorganic_Chemistry/Supplemental_Modules_and_Websites_(Inorganic_Chemistry)/Advanced_Inorganic_Chemistry_(Wikibook)/01%3A_Chapters/1.04%3A_Representations)

## Bibliografia 
* Burrow, M. (2014). *Representation theory of finite groups*. Courier Corporation. , 9780486145075
* Alperin, J. L.. *Local Representation Theory: Modular Representations as an Introduction to the Local Representation Theory of Finite Groups*. Cambridge University Press, 1986. ..
* Bargmann, V. «Irreducible unitary representations of the Lorenz group». *Annals of Mathematics*, 48, 3, 1947, p. 568–640. DOI: 10.2307/1969129..
* Borel, Armand. *Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups*. American Mathematical Society, 2001. ..
* Borel, Armand; Casselman, W. *Automorphic Forms, Representations, and L-functions*. American Mathematical Society, 1979. ..
* Curtis, Charles W.; Reiner, Irving. *Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras*. John Wiley & Sons (Reedition 2006 by AMS Bookstore), 1962. ..
* Gelbart, Stephen «An Elementary Introduction to the Langlands Program». *Bulletin of the American Mathematical Society*, 10, 2, 1984, p. 177–219. DOI: 10.1090/S0273-0979-1984-15237-6..
* Folland, Gerald B. *A Course in Abstract Harmonic Analysis*. CRC Press, 1995. ..
* Fulton, William; Harris, Joe. *Representation theory. A first course*. 129. Nova York: Springer-Verlag, 1991. MR 1153249, . ..
* Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. *Representations and Invariants of the Classical Groups*. Cambridge University Press, 1998. ..
* James, Gordon; Liebeck, Martin. *Representations and Characters of Finite Groups*. Cambridge: Cambridge University Press, 1993. ..
* Hall, Brian C. *Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction*. 222. 2nd. Springer, 2015. .
* Helgason, Sigurdur. *Differential Geometry, Lie groups and Symmetric Spaces*. Academic Press, 1978. .
* Humphreys, James E. *Introduction to Lie Algebras and Representation Theory*. Birkhäuser, 1972a. ..
* Humphreys, James E. *Linear Algebraic Groups*. 21. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1972b. .
* Jantzen, Jens Carsten. *Representations of Algebraic Groups*. American Mathematical Society, 2003. ..
* Kac, Victor G. «Lie superalgebras». *Advances in Mathematics*, 26, 1, 1977, p. 8–96. DOI: 10.1016/0001-8708(77)90017-2..
* Kac, Victor G. *Infinite Dimensional Lie Algebras*. 3rd. Cambridge University Press, 1990. ..
* Knapp, Anthony W. *Representation Theory of Semisimple Groups: An Overview Based on Examples*. Princeton University Press, 2001. ..
* Kim, Shoon Kyung. *Group Theoretical Methods and Applications to Molecules and Crystals: And Applications to Molecules and Crystals*. Cambridge University Press, 1999. ..
* Kostrikin, A. I.; Manin, Yuri I. *Linear Algebra and Geometry*. Taylor & Francis, 1997. ..
* Lam, T. Y. «Representations of finite groups: a hundred years». *Notices of the AMS*, 45, 3,4, 1998, p. 361–372 (Part I), 465–474 (Part II)..
* Yurii I. Lyubich. *Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups*. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
* Mumford, David; Fogarty, J.; Kirwan, F. *Geometric invariant theory*. 34. 3rd. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994. .; MR 0719371 (2nd ed.); MR 1304906(3rd ed.)
* Olver, Peter J. *Classical invariant theory*. Cambridge: Cambridge University Press, 1999. ..
* Peter, F.; Weyl, Hermann «Còpia arxivada». *Mathematische Annalen*, 97, 1, 1927, p. 737–755. Arxivat de l'original el 2014-08-19. DOI: 10.1007/BF01447892 [Consulta: 14 octubre 2021]..
* Pontrjagin, Lev S. «The theory of topological commutative groups». *Annals of Mathematics*, 35, 2, 1934, p. 361–388. DOI: 10.2307/1968438..
* Sally, Paul; Vogan, David A. *Representation Theory and Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups*. American Mathematical Society, 1989. ..
* Serre, Jean-Pierre. *Linear Representations of Finite Groups*. Springer-Verlag, 1977. ..
* Sharpe, Richard W. ''Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program*. Springer, 1997. ..
* Simson, Daniel; Skowronski, Andrzej; Assem, Ibrahim. *Elements of the Representation Theory of Associative Algebras*. Cambridge University Press, 2007. ..
* Sternberg, Shlomo. *Group Theory and Physics*. Cambridge University Press, 1994. ..
* Tung, Wu-Ki. *Group Theory in Physics*. 1st. New Jersey·London·Singapore·Hong Kong: World Scientific, 1985. .
* Weyl, Hermann. *Gruppentheorie und Quantenmechanik*. The Theory of Groups and Quantum Mechanics, translated H.P. Robertson, 1931. S. Hirzel, Leipzig (reprinted 1950, Dover), 1928. ..
* Weyl, Hermann. *The Classical Groups: Their Invariants and Representations*. 2nd. Princeton University Press (reprinted 1997), 1946. ..
* Wigner, Eugene P. «On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group». *Annals of Mathematics'', 40, 1, 1939, p. 149–204. DOI: 10.2307/1968551..

## Kanpo estekak