Aljebra multilineal

**Aljebra multilineala** Matematikan aljebra linealeko metodoak orokortzen dituen azterketa-eremua da. Aztergaiak espazio bektorialen produktu tentsorialak eta espazioen arteko transformazio multilinealak dira.

## Notazioa 
Aljebra multilinealak indize anitzeko notazioaren erabilera intentsiboa egiten du. Horrelako notazio baten bidez, konbinazio linealak bi indize edo gehiago errepikatuz adierazten dira.

* Oinarrizko kasuan (**1 mailako** tensore, kontrabariantea), Einsteinen baturaren konbentzioa erabiliz: \scriptstyle X = X^se_s\,  Horrek adierazten du X *objektua* konbinazio lineala dela:
{{Ekuazio|\scriptstyle\sum_{s = 1}^{n}X^se_s = X^1e_1+X^2e_2+\cdots+X^ne_n ||left}}

: \scriptstyle e_s\,  *oinarrizko bektoreen gainean*, eta X-ren *osagaiak* deituriko \scriptstyle X^s\, balioen gainean, non  n  hemen baita X "bizi" den espazioaren dimentsioa (aljebraikoa). Konbentzioz, 1-kontratensore deitzen zaie.

* 1. mailan ere 1. tensorea dago, hau da, funtzio linealak  aukeratutako espaziotik eskalarren gorputzera. \scriptstyle i^s  funtzio linealen konbinazio lineal gisa idazten dira, \scriptstyle i^s (e_{\sigma}) ={\delta^s}_{\sigma}betetzen duten \scriptstyle V\to\mathbb{K} transformazio lineal gisa, non (klasikoki bezala) Kronecker-en delta erabiltzen ari den. Hala, edozein \scriptstyle f\colon V\to\mathbb{K} kobektore honela idazten da:\scriptstyle f = f_se^s\,  Notazioa hori honela laburtu daitekeela: \scriptstyle f = f_1e^1+\cdots+f_ne^n\, 
* Bigarren mailako tentsoreak:
** **Kontrabarianteko bi heineko** tentsore bat da hau:\scriptstyle B = B^{st}e_s\otimes e_t 
** **Kobarianteko bi heineko** tensorea da. \scriptstyle C = C_{st}e^s\otimes i^t 
** Eta bi heineko tensore misto bat da hau: \scriptstyle D ={D^s}_T e_s\otimes e_t  Horrek **bi-indezedun** konbinazio lineal  bat adierazten du.

: Adibidez:
{{Ekuazio|\scriptstyle B = B^{11}e_1\otimes e_1+B^{12}e_1\otimes e_2+B^{21}e_2\otimes e_1+B^{22}e_2\otimes e_2 ||left}}

: espazioaren dimentsioa bi bada.

* Aurrekoa orokortuz, \scriptstyle{A^{i_1i_2 ... i_p}}_{j_1j_2 ... j_q} idazten da A *tensore misto* baten *osagaiak* irudikatzeko , p-kontrabariante eta q-kobariantea baita. Baina
{{Ekuazio|\scriptstyle A ={A^{i_1i_2 ... i_p}}_{j_1j_2 ... j_q}e_{I_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_p}\otimes i^{j_1}\otimes\cdots\otimes i^{j_q}||left}}

: indexatutako konbinazio lineal bat adierazten du.

Hori guztia ko*n*tuan hartzeko, kontuan hartu behar izan da bektore-espazioa n dimentsio finitua duela.

## Produktu tentsoriala 
V eta *W* bi bektore-espazio baditugu, dagozkien oinarriekin, haien produktu tentsoriala definitzen da\{b_1 ,..., b_n\}\{c_1 ,..., c_m\}

: \scriptstyle V\otimes W: =\langle\{b_i\otimes c_j\}\rangle 

hau da, sinbolo berriek sortutako espazio bektoriala

: \scriptstyle\{b_1\otimes c_1, b_1\otimes c_2 ,..., b_n\otimes c_{m-1}, b_n\otimes c_m\}

Eta, beraz, \scriptstyle V\otimes W  espazioan *bizi* den (edo horren parte den) objektu bat, konbinazio lineal gisa adieraz daiteke.

: \scriptstyle X = X^{11}b_1\otimes C_1+X^{12}b_1\otimes C_2+\cdots+
X^{ij}b_i\otimes c_j+\cdots+X^{nm}b_n\otimes c_m 

eta honela **laburtu** daiteke

: \scriptstyle X = X^{st}b_s\otimes c_t  *s* edo *t* indize errepikatuak, behin gora eta behin behera —batutze-hitzarmenaren arabera—, banan-banan.

Definizio hori guztiz abstraktua da, baina algebraren ikuspuntutik ez dago inolako arazorik produktu tensorialaren aukera guztiak aztertzean. Espazio pila bat (eta garrantzi handikoa) sortzen da V bektore-espazioa eta  V^*  bere espazio dual bat espazioak kontsideratzen direnean:

: \scriptstyle V\otimes V\otimes V = V^{3\otimes}
: \scriptstyle V\otimes V^*={\rm Hom}(V) 
: \scriptstyle V^*=\Lambda^1 (V)\, 
: \scriptstyle V\wedge V 
: \scriptstyle\Lambda^k (V)\, 

Horiek guztiak egunero erabiltzen dira geometria diferentzialean, geometria aljebraikoan, aljebra konmutatiboan, erlatibitatean eta kuantikoan, QFT teorian, TQFT teorian eta beste batzuetan.

## Tensoreak eta formak 
Bedi  V  espazio bat  b_i -ekin sortua. Sinboliza dezagun \beta^{\mu}-rekin \scriptstyle V^*  oinarri duala, \scriptstyle V^*\otimes V^*   multiespazioko edozein elementu  honela idazten da: \scriptstyle B_{\mu\nu}\beta^{\mu}\otimes\beta^{\nu}. Adierazpen hori funtzio bilineal gisa ikus daiteke

: \begin{array}[c]{rcl}
V\times V & \stackrel{B_{\mu\nu}\beta^{\mu}\otimes\beta^{\nu}}\longrightarrow & \mathbb{R} \\
\scriptstyle (b_i, b_j) & \mapsto & B_{\mu\nu}\beta^{\mu}\otimes\beta^{\nu}(b_i, b_j) = B_{ij} \\
\end{array}

jakinik\scriptstyle
\beta^{\mu}\otimes\beta^{\nu}(b_i, b_j) ={\delta^{\mu}}_i{\delta^{\nu}}_j
 dela, non *\delta* Kronecker-en delta. 

## Garatutako kontzeptu batzuk (zerrenda guztiz osatu gabea) 
* tensore
* espazio dual
* Bobektoreak
* geometria diferentziala
* tensore-kalkulua
* analisi bektoriala
* bektoreen kobariantza eta kontraxia
* tensore metrikoa
* deribatu kobariantea
* konexioa
* Riemann-en kurbadura-tensorea
* Christoffelen ikurrak
* kanpoko aljebra
* forma diferentziala
* kurbadura
* Stokesen teorema
* Levi-Civita ikurra
* Atala (matematika)
* Eremu bektoriala
* Eremu tensoriala
* Pullback

## Erreferentziak 
## Bibliografia 
* Grassmann, Hermann (2000) [1862]. Extension Theory [Die Ausdehnungslehre]. Translated by Kannenberg, Lloyd. American Mathematical Society. .
* Fleming, Wendell H. (1977). "Exterior algebra and differential calculus". Functions of several variables. Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Springer. pp. 275–320. doi:10.1007/978-1-4684-9461-7_7. . OCLC 2401829.
* Ricci-Curbastro, Gregorio; Levi-Civita, Tullio (1900). "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications". Mathematische Annalen. 54 (1): 125–201. doi:10.1007/BF01454201. ISSN 1432-1807. S2CID 120009332.
* Shaw, Ronald (1983). Multilinear algebra and group representations. Linear Algebra and Group Representations. Vol. 2. Academic Press. . OCLC 59106339.

## Ikus, gainera 
* Aljebra lineal

## Kanpo estekak