Erlatibitate berezia

[link=https://eu.wikipedia.org/wiki/Fitxategi:Light_cone_colour.svg|thumb|[Argi-konoa, espazio-denboraren adierazpen grafikoa.]]
Fisikan, **erlatibitate berezia** deritzo espazioaren eta denboraren portaera azaltzen duen teoria fisikoari. Mekanika newtondarraren orokorpen bat da, eta bateragarria da Maxwellen teoria elektromagnetikoarekin.

Albert Einsteinek 1905. urtean argitaratu zuen *Zur Elektrodynamik bewegter Körper* artikuluan agertzen da lehen aldiz erlatibitate berezia. Espazioa eta denbora erlatiboak direla iragartzen du, hots, behatzailearen higiduraren araberakoak direla. Besteak beste, denboraren zabalkuntza, espazioaren uzkurdura edota aldiberekotasunaren erlatibitatea aurresaten ditu.

Teoriaren baliagarritasuna grabitazio-eremu ahuletara dago mugatuta. Grabitazio-eremuak oso bortitzak direnean, orokorragoa den erlatibitate orokorra behar dugu espazio-denboraren deskribapen egoki bat egiteko. Era berean, gorputzen abiadurak txikiak direnean argiaren abiaduraren aldean, ez da beharrezkoa erlatibitate berezia erabiltzea (bai ordea, zuzena), mekanika newtondarrak emaitza onargarriak ematen baititu.

## Historia
XIX. mendearen amaieran, fisikariek uste zuten Newtonen mekanika klasikoak, Galileo Galileiren erlatibitate deiturikoan oinarritua (Galileoren eraldaketak izenez ezagutzen diren ekuazio matematikoen jatorria), abiadura eta indar kontzeptuak deskribatzen zituela behatzaile guztientzat (edo erreferentzia-sistemak). Hala ere, Hendrik Lorentzek eta lehentxeago Woldemar Voigtek egiaztatu zuten elektromagnetismoa gobernatzen duten Maxwellen ekuazioek ez zituztela Galileoren transformazioak betetzen erreferentzia-sistema inertziala aldatzen denean (adibidez, arazo fisiko bera kontsideratzen denean bata bestearekiko mugitzen diren bi behatzaileren ikuspuntutik). Maxwellen ekuazioek, bereziki, argiaren abiadura konstantea izatea eskatzen zutela zirudien (horregatik interpretatu zen abiadura hori argiak eterrarekiko duen abiadurari zegokiola). Hala ere, Michelsonen eta Morleyren esperimentuak berretsi zuen argiaren abiadura konstantea zela nonahiko eterraren edozein abiadura eta mugimendurentzat, eta, gainera, edozein erreferentzia-sistematan ere neurtzen zela (Galileoren eraldaketak aplikatzetik espero zenaren kontra).​ Beraz, eterraren hipotesia baztertuta geldeitzen zen, eta Galileoren eraldaketekin lotutako arazo teoriko larri bat irekitzen zen. Ordurako, Hendrik Lorentzek aurkitua zuen aldaezintasuna bermatzen zuten transformazio zuzenak ez zirela Galileorenak, gaur egun Lorentzen transformazio izenez ezagutzen direnak baizik.

Urteetan, gaiari buruz, Lorentzen eraldaketak eta Henri Poincarék egindako lanak azalpenik gabe geratu ziren harik eta Albert Einstein (1905era arte ezezaguna zen fisikaria) denbora eta espazioaren izaera erlatiboa kontuan hartuz interpretazio bat emateko gai izan zen arte. Ernst Mach fisikari eta filosofoaren eragina ere izan zuen Einsteinek.​ Einsteinek ikasle zela irakurri zuen Ernst Mach, eta, 1902an, beraren jarraitzailea zen Zurichen bizi zenean eta Conrad Habicht eta Maurice Solovine lagunekin erregularki biltzen zenean.​ Einsteinek behin eta berriz eskatu zion taldeari Machek ordura arte argitaratutako bi liburuak irakurtzeko: *Die Mechanik in ihrer Entwicklung* (Mekanikaren garapena), Leipzig, 1883 eta *Die Analyse der Empfindungen und das Verhältnis des Physischen zum Psychischen*, (Sentsazioen analisia) Jena, 1886.​ Einsteinek 1905ean *Zur Elektrodynamik bewegter Körper* izenburupean idatzitako artikuluak​ erabat aldatu zuen espazioaren eta denborari buruz garai hartan zegoen pertzepzioa. Artikulu horretan, Einsteinek gaur egun erlatibitate bereziaren teoriatzat duguna sartu zuen. Teoria hori erlatibitatearen printzipioan eta edozein erreferentzia-sistema inertzialetan argiaren abiaduraren konstantzian oinarritzen zen. Hortik Einsteinek Lorentzen ekuazioak ondorioztatu zituen. Momentuaren eta energia zinetikoaren erlazioak ere berridatzi zituen, horiek ere aldaezinak manten zitezen.

Teoriak masaren eta energiaren arteko baliokidetasuna eta espazio-denboraren definizio berri bat ezartzea ahalbidetu zuen. Hortik iragarpenak eta bitxikeriak sortu ziren. Adibide gisa, behatzaile batek mugimenduan dagoen gorputz bati gorputzak atsedenean duena baino luzera laburragoa ematen dio, eta mugitzen ari den gorputzari eragiten dioten gertaeren iraupena luzeagoa da geldirik dagoen gorputzaren erreferentzia-sisteman behatzaile batek neurtutako gertaera berarekiko.

1912an, Wilhelm Wienek, 1911ko Fisikako Nobel saridunak, Lorentz eta Einstein proposatu zituen sari horretarako erlatibitatearen teoriagatik, esanez:

Einsteinek ez zuen Nobel saririk jaso erlatibitate bereziagatik, batzordeak, hasiera batean, ez baitzuen saria teoria hutsei ematen. Nobel saria ez zitzaion 1921era arte iritsi, eta efektu fotoelektrikoari buruzko lanagatik izan zen.

## Einstein-en postulatuak
Einsteinek, 1905. urtean, erlatibitate bereziaren teoriak, oinarrizko bi postulatu zituela adierazi zuen:

# **Erlatibitatearen printzipioa:** Fisikaren oinarrizko legeak modu berean azaltzen dira erreferentzia-sistema inertzial guztietan. Fisika berdina da higidura zuzen uniformean doan edo behatzailearen ikuspuntutik geldirik dagoen.
# **Argiaren abiaduraren aldaezintasunaren printzipioa:** Hutsean, argiaren abiadura ez da behatzailearen eta iturriaren mendekoa. Hots, abiadura berbera da erreferentzia-sistema guztietan: c=3 \sdot 10^{8} m/s.

Bigarren printzipioa Maxwellen elektrodinamikaren teoriaren ondorioz postulatu zuen. Izan ere, Maxwellen ekuazioak sistema inertzial guztietan betetzen badira, c abiadura sistema inertzialekiko independentea da. Hau da, argiaren abiadura hutsaren ezaugarri unibertsala da, eta ez erreferentzia-sistema berezi batean neurturiko ezaugarria.

## Lorentz-en transformazioak
Lorentzen transformazioak, Lorentzen faktorearen bidez, bi behatzailek neurturiko magnitude fisikoak erlazionatzen ditu.

Lorentzen faktorea honako era honetan definitzen da:

  \gamma\equiv\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}

Demagun bi behatzaile ditugula, non S' sistemako behatzailea S sistemako behatzailearekiko v abiadura uniformean higitzen den x ardatzean. Lorentzen faktorearen bitartez, S eta S' sistemetako behatzaileek neurtuko dituzten oinarrizko magnitude fisikoak erlaziona daitezke:

t=\gamma\left(t'+\frac{v}{c^{2}}x'\right)

 x=\gamma\left(x'+vt'\right)

y=y'

z=z'

Alderantzizko transformatuak, berriz, v abiadura -v abiadurarekin ordezkatuz eta \gamma berdin mantenduz lortzen dira:

t'=\gamma\left(t-\frac{v}{c^{2}}x\right)

 x'=\gamma\left(x-vt\right)

y'=y

z'=z

Funtzioak linealak direnez, denbora- eta espazio-tarteak (\Delta t, \Delta x) ere modu berean transformatzen dira:

\Delta t=\gamma\left(\Delta t'+\frac{v}{c^{2}}\Delta x'\right)

 \Delta x=\gamma\left(\Delta x'+v\Delta t'\right)

\Delta y=\Delta y'

\Delta z=\Delta z'

Alderantzizko transformazioak:

\Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v}{c^{2}}\Delta x\right)

 \Delta x'=\gamma\left(\Delta x-v\Delta t\right)

\Delta y'=\Delta y

\Delta z'=\Delta z

Ohartu Lorentzen faktorea ia bat bihurtzen dela sistemen arteko abiadura argiarena baino askoz txikiagoa denean:

\frac{v}{c}

Horrelako kasuetan, adierazi berri ditugun Lorentzen transformazioak Galileoren transformazio bihurtzen dira. Ondorioz, gure egunerokotasunean, sistema makroskopikoan aurkitzen ditugun abiadurak argiarena baino askoz txikiagoak izaten direnez, oso erabilgarriak egiten zaizkigu Galileo eta Newtonen mekanikak. Bestalde, horren ondoriotako bat izan daiteke erlatibitate bereziaren hainbat ondorio ulertzeko zailtasunak izatea, ez baikaude ohituta horrelako fenomenoak behatzera. Abiadura handiko fenomeno horiek aztertu ahal izateko, gure eskala asko aldatu beharra daukagu, mundu makroskopikoan eta astrofisikan eta kosmologian gertatzen baitira soilik zuzenean.

Berebat, bi sistemen arteko abiadura |\vec{v}|=c denean, Lorentzen koefizientea infinitu bihurtzen da. Ondorioz, beste behin ere ikusten dugu sistemen arteko abiadura ezin dela c edo handiagoa izan.

### Minkowskiren diagramak
thumb|S eta S' behatzaileei dagozkien (ct,x) eta (ct',x') koordenatu bikoteen ardatzak, Minkowskiren diagraman.
Esan bezala, erlatibitate bereziaren hainbat ondorio oso zailak dira ulertzen. Zailtasun hori erraztu asmoz, Minkowski-ren diagrama erabiltzen da. Minkowskiren diagramak espazio-denbora deskribatzeko erabiltzen diren 4 dimentsioko tresna grafikoak dira. Diagrama horiek irudikatzean gertaerek denbora-osagai bat dutenez, denbora hartzen da ardatzetako batean; besteetan, berriz, espazioaren hiru osagaiak. Ardatz guztien dimentsioak berdinak izan daitezen, denbora-ardatza c argiaren abiadurarekin biderkatzen da; horrela, ct, x, y eta z ardatzak lortzen dira.

Minkowskiren diagramen arazoa da paperean ezinezkoa dela elkarzut diren lau ardatz irudikatzea. Aztertzen diren kasurik sinpleenak, ordea, dimentsio batekoak izan ohi dira. Demagun gure gertaera x ardatzean soilik jazo dela. Gertaera hori irudikatzeko, nahikoa izango da ct eta x ardatzak soilik irudikatzea, y eta z ardatzak konstante mantenduko baitira. Erlatibitate berezian, ct ardatza beti ardatz bertikalean irudikatzen da. Horrela, S eta S' sistemen diagramak:

Diagrama horien erabilgarritasuna aztertzeko, demagun S sistemarekiko v abiaduran higitzen den partikula bat, non S' sisteman geldirik mantentzen den (ohartu S' sistema S sistemarekiko v abiaduran higitzen dela). S sisteman, partikularen higidura x=x_{0}+vt ekuazioak deskribatuko du. Baina, oraingoan denbora ordenatuetan dagonenez, diagraman partikularen eboluzioa ct=\frac{c}{v}(x-x_{0}) adierazpenak ematen du. Horrek \frac{c}{v} maldako lerroa ematen du, eta zuzen horri unibertso-lerroa deritzo. S' sisteman, berriz, unibertso-lerroa x'=x_{0}'lerro zuzen bertikala izango da.

Aipatzekoa da, baita ere, Minkowskiren diagramen bitartez Einsteinen bigarren printzipioa modu grafikoan froga daitekeela. Demagun OX eta O'X' ardatzetan zehar higitzen den argi-izpi bat. Argi-izpiaren abiadura c izango denez (edo v=-c aurkako noranzkoan badoa) eta igorpena (t_{0}, x_{0})\approx (t_{0}',x_{0}') gertaera bada, bi sistemen unibertso-lerroak hauek dira:

c(t-t_{0})=\pm (x-x_{0})

c(t'-t_{0}')=\pm (x'-x_{0}')

Horren bitartez, argi ikusten da fotoiaren unibertso lerroa \pm 1 maldako unibertso-lerroa dela sistema-inertzial guztietan.

## Lorentzen transformazioen ondorioak
Erlatibitate bereziaren ondorioak Lorentzen transformazioen bidez azter daitezke. Erlatibitate berezian lorturiko emaitzak ez datoz bat mekanika newtondarrarekin lortzen diren emaitzekin (zeinak Galileoren transformazioetan oinarritzen diren). Gorputzen abiadurak argiarena baino askoz txikiagoak direnean, Galileoren transformazioak hurbilketa egokiak dira. Argiaren abiadura oso handia denez, erlatibitate bereziaren ondorioak ez dira hautematen eguneroko egoeretan. Hori dela eta, ez dira intuitiboak izaten.

### Denboraren zabalkuntza
Bi gertaeren arteko denbora-tartea ez da absolutua erreferentzia-sistemaren mendekoa baizik. Demagun S' sisteman geldi dagoen erloju bat. Bi momenturen gertaerak modu honetan karakteriza daitezke: G'_1(x'_1,t'_1) eta {\displaystyle G'_{2}(x'_{2},t'_{2})}. Nabaria denez, igarotako denbora ondorengoa izango da: \Delta t'=\Delta t'_{2} - \Delta t'_{1}. Bestalde, erlojua geldi dagoenez: \Delta x'=x'_{2}- x'_{1}=0. S erreferentzia-sisteman, berriz, gertaerak G_{1}(x_{1},t_{1}) eta G_{2}(x_{2},t_{2}) gisa karakterizatzen dira, eta denbora eta espazio tarteak \Delta t=\Delta t_{2} - \Delta t_{1} eta \Delta x=x_{2}- x_{1} izango dira. Lorentzen transformazioak erabiliz, \Delta t  kalkula daiteke:

\Delta t=\gamma(\Delta t' - \frac{v}{c^2}\Delta x')=\gamma \Delta t'

\gamma > 1 denez beti, \Delta t > \Delta t' izango da. Beste modu batean esanda, S sistemako behatzaileak neurtzen duen denbora tartea bi gertaeren artean handiagoa izango da S' sistemako behatzaileak neurtzen duena baino. Fenomeno honi denboraren zabalkuntza deritzo.

### Fitz-gerald eta Lorentzen uzkurdura
Denbora ez ezik, distantziak ere behatzailearen araberakoak dira. Jo dezagun, S erreferentzia-sisteman, L luzerako hagaxka bat higitzen dela v abiadura konstantean. Luzera hori neurtzeko, mutur bakoitzaren posizioa neurtu behar da aldiune berean. Hurrengo eran adieraz daitezke neurketak: G_{1}(x_{1},t_{1}) eta G_{2}(x_{2},t_{2}).

Nabaria denez, \Delta x=x_{2}-x_{1}=L eta \Delta t=t_{2}-t_{1}=0

Orain, kontsidera ditzagun hagaxkarekin batera higitzen den S' erreferentzia sistemako G'_{1}(x'_{1},t'_{1}) eta G'_{2}(x'_{2},t'_{2}) gertaerak. Sistema horretako behatzaile batek neurtuko duen barraren distantzia Lorentzen transformazioen bidez \Delta x'=x'_{2}-x'_{1} kalkula daiteke:

\Delta x'=\gamma(\Delta x-v\Delta t)=\gamma \Delta x=\gamma L

Beraz, hagaxkarekin batera mugitzen den behatzaileak luzera handiagoa neurtuko du barra mugitzen ikusten duen behatzaileak baino. Beste era batean esanda, behatzailearekiko abiadura erlatiboa duten objektuak uzkurtu egiten dira. Fenomeno honi Fitz-gerald eta Lorentzen uzkurdura deritzo.

### Aldiberekotasunaren erlatibitatea
Lorentzen transformazioen beste ondorio zuzen bat da aldiberekotasuna erlatiboa izatea; hots, ezin esan dezakegu absolutuki bi gertaera leku banatan aldi berean gertatu direnik. Kontzeptu hori hobeto ulertzeko, Einsten-en ohiturari jarraituz, buru-esperimentu bat egingo dugu.

Demagun tren bateko bagoi baten muturretan detektagailu bana jarri dugula, D_{1} eta D_{2}. Are gehiago, demagun bagoiaren erdian mutur bietara argia igortzen duen argi-iturri bat jarri dugula. Bestalde, jo dezagun bagoian behatzaile bat dagoela: O'. Behatzaile horrentzat, argi-izpiak aldi berean helduko dira D_{1} eta D_{2} detektagailuetara, \Delta t'=\frac{l}{2c} denbora igarota ( ll bagoiaren luzera da).

Orain, demagun kanpoan beste behatzaile bat dagoela, O. Behatzaile horrek argia c abiaduran higitzen dela ikusiko du. Gainera, trena v abiaduran higitzen bada, berebat ikusiko du D_{2} detektorea argi-izpirantz v abiaduran hurbiltzen dela; D_{1} detektorea igorritako argitik v abiaduran urruntzen den moduan. Hori horrela, argi-izpiek detektagailuetara heltzeko, denbora hau beharko dute:

\Delta t_{D_{1}}=\frac{\frac{l}{2}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{c-v}

\Delta t_{D_{2}}=\frac{\frac{l}{2}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{c+v}

Ikus daiteke O behatzailearentzat izpiak ez direla aldi berean heltzen bi detektagailuetara. Argi-izpia D_{2} detektagailura heldu, eta denbora-tarte bat igarota heltzen da D_{1}detektagailura:

\Delta t_{D1}-\Delta t_{D2}=\frac{\frac{lv}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

Buru-esperimentu horren bidez, argi ikusten da behatzaile batentzat bi gertaera aldiberekoak direla, baina beste erreferentzia-sistema bateko behatzaile batentzat ez dela horrela gertatzen.  Beraz, erlatibitate bereziaren ondorio garrantzitsu bat  aztertu dugu: erreferentzia-sistema inertzial ezberdinetan gertaera berak denbora-tarte ezberdinetan jazo daitezke. Beste era batera esanda, baliteke S sisteman G_{1} eta G_{2} gertaerak aldi berean neurtu eta S'sisteman G_{1} G_{2} baino arinago neurtu izana; are gehiago, beste erreferentzia-sistema batean ( S'' ) G_{2} G_{1} baino arinago neurtu izana.

### Bikien paradoxa
Bikien paradoxa Lorentzen transformazioen ondorio den esperimentu mentala da. Esperimentu hori Einsteinek proposatu zuen denbora absolutua ez dela frogatzeko asmotan. Paradoxa honek aldaera asko ditu; ezagunena Paul Langevin-ek proposatu zuen 1911. urtean. Aldaera honako eran azalduko dugu.

Esperimentu horretako protagonistak biki bi dira (Ane eta Beñat, adibidez). Ane izar urrun batera doa bidaian ia argiaren abiaduran doan espazio-ontzi batean; Beñat, berriz, Lurrean geratu da. Bueltatzen denean, Ane, izan ere, bikia baino gazteagoa dela konturatzen da.

Orain arte, inplizituki, Lurrean dagoen bikiaren ikuspuntutik ebatzi dugu proposatutako problema. Baina, zer gertatzen da espazio-ontzian doan bikiaren ikuspuntutik ebazten badugu? Hona hemen paradoxa. Espazio-ontzian doan bikiaren ikuspuntutik, Lurrean dagoen bikia da aldenduz doana, eta, ondorioz, azkarrago zahartuko den bikia espazio-ontzikoa izango da.

Einsteinek, paradoxa honi, erlatibitate berezia eraiki zuenean eman zion erantzuna. Hala ere, atal honetan, paradoxa erlatibitate bereziaren mugetan ebatziko dugu. Paradoxa argitzeko, kalkuluak bi bikien ikuspuntua kontuan hartuz egingo ditugu, hala Lurreko bikiaren ikuspuntutik nola espazio-ontziko bikiaren ikuspuntutik.

Lurrean geratzen den bikiaren ikuspuntutik, problema bost gertaeratan bana daiteke:

# t=0 unean, espazio-ontziko bikia \omega=\frac{F}{m} «sasi-azelerazio»  konstantearekin irtengo da Lurretik izarrerantz. Lurrean neurtutako t=0 eta t=T_{1} denbora-tartean, azeleratu egingo da V abiadura lortu arte.
# V abiadura lortzen duen unean, bikiak motorrak itzaliko ditu, eta abiadura konstantean higituko da Lurreko bikiarekiko. Hau guztia lurrean neurtutako t=T_{1} eta t=T_{1} + T_{2} denbora-tartean gertatuko da.
# Abiadura uniformean bidaiatu ondoren, bikiak martxan jarriko ditu berriro espazio-ontziaren motorrak; baina, oraingoan, aurkako noranzkoan eta hasieran izandako «sasi-azelerazio» berberarekin dezeleratuko da. Horrela, t=T_{1} denbora pasatuta (betiere Lurretik neurtua), abiadura nulua izango da, eta, beste t=T_{1} denbora-tarte bat igarota, abiadura -v izango da.
# -v abiadura lortuta, bikia abiadura uniformean hurbilduko da Lurrerantz, t=T_{2} denbora tarte batez.
# Azkenik, Lurreko bikiarengana itzuli ahal izateko, espazio-ontziko bikiak beste dezelerazio bat jasango du, t=T_1 denbora tartez

Gertaera horiek guztiak kontuan hartuz, Lurreko behatzailearen ikuspuntutik, honako hau da espazio-ontziko bikiak bidaiatzen emandako denbora:

T_{bidaia}=T_1 + (T_1 + T_2 - T_1 ) +( T_1 + T_1)+ T_2 + T_1=4 T_1 +2 T_2

Orain, kalkulatuko dugu zenbat uste duen espazio-ontziko bikiak bidaiak iraun duela Lurreko bikiak egindako neurketaren arabera. Kalkulu horiek egiteko, problema pauso desberdinetan banatuko dugu berriro ere:

1. Hasiera batean, sasi-azelerazioaren eta higidura azeleratu erlatibistaren arteko erlazioa erabilita kalkula dezakegu Lurrean dagoen bikiak estimatuko duen denbora:

\overline{T_1}=\int_{0}^{T_1} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{\omega^2t^2}{c^2}}}dt=\frac{c}{\omega}\ln\left(\frac{\omega T_1}{c}+\sqrt{1+\frac{\omega^2 T_1^2}{c^2}}\right)

2. t=T_1 eta t=T_1 +T_2 espazio-ontzia v abiadura uniformean higitzen da; beraz:

\overline{T_2}=\int_{T_1}^{T_1 + T_2} \sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}dt=\frac{T_2}{\sqrt{1+\frac{\omega^2 T_1^2}{c^2}}}

3. Espazio-ontzikoak bere bikiak  honako denbora hau neurtu duela uste du:

\overline{T_{bidaia}}=4\overline{T_1}+2 \overline{T_2}=\frac{4c}{\omega}\ln\left(\frac{\omega T_1}{c}+\sqrt{1+\frac{\omega^2 T_1^2}{c^2}}\right)+\frac{2T_2}{\sqrt{1+\frac{\omega^2 T_1^2}{c^2}}}

Ikus daiteke edozein \omega, T_{1} eta T_{2} izanda T_{bidaia}-\overline{T_{bidaia}}>0 dela.  Hau da, problema Lurreko bikiaren ikuspuntutik ebazten badugu, bere iritziz, bere bikia baino azkarrago zahartuko da.

Kalkuluak espazio-ontziko bikiaren ikuspuntutik egitea zailagoa da, eta ez ditugu egingo; izan ere, bere erreferentzia-sistema ez da inertziala. Hala ere, ikus daiteke Lurrean dagoen bikiaren ikuspuntutik lortutako emaitza bera lortzen dela.

Problema ebatziz, bi ondorio nagusi atera daitezke:

# Erreferentzia-sistema inertzialean egindako kalkuluen emaitza eta erreferentzia-sistema ez-inertzialean egindakoenak berdinak dira; bi bikiek Lurreko bikia arinago zahartuko dela ondorioztatu dute.
# Paradoxa erlatibitate bereziaren limiteetan aska daiteke erlatibitate orokorrera jo gabe; baina kontu handia izan behar da erreferentzia-sistema inertzialekin eta metrika ez haustearekin.

## Momentu lineal erlatibista
Sistema bakartuen momentu lineal osoaren kontserbazioa fisikaren funtsezko kontzeptu bat da. Hori beteko bada, momentuaren definizioa berregokitu behar da lehenengo postulatuarekin baliagarri izan dadin. Mekanika newtondarrean honela definitzen da momentu lineala:

\vec{p}=m\dot{\vec{r}}

Bi partikulaz osaturiko sistema baten hasierako eta amaierako momentuak berdinak izango dira:

m_{1}\dot{\vec{r_{1}}}+m_{2}\dot{\vec{r_{2}}}=m_{3}\dot{\vec{r_{3}}}+m_{4}\dot{\vec{r_{4}}}

Lehenengo postulatuaren arabera, fisikaren oinarrizko legeek forma bera izan behar dute erreferentzia sistema guztietan; hortaz, Lorentzen transformazio bat aplikatzean, kontserbazio-printzipioak itxura bera mantendu beharko luke. Hasierako S sistemarekiko v abiaduran higitzen den S'sistematik behatuz gero, honako balio hauek neurtzen dira:

m_{1}\frac{\sqrt{{}1-\frac{|\vec{r_{1}}|^2}{c^2}}}{\sqrt{{}1-\frac{|\vec{r'_{1}}|^2}{c^2}}}\dot{\vec{r'_{1}}}+m_{2}\frac{\sqrt{{}1-\frac{|\vec{r_{2}}|^2}{c^2}}}{\sqrt{{}1-\frac{|\vec{r'_{2}}|^2}{c^2}}}\dot{\vec{r'_{2}}}=m_{3}\frac{\sqrt{{}1-\frac{|\vec{r_{3}}|^2}{c^2}}}{\sqrt{{}1-\frac{|\vec{r'_{3}}|^2}{c^2}}}\dot{\vec{r'_{3}}}+m_{4}\frac{\sqrt{{}1-\frac{|\vec{r_{4}}|^2}{c^2}}}{\sqrt{{}1-\frac{|\vec{r'_{4}}|^2}{c^2}}}\dot{\vec{r'_{4}}} 

Horrek ez du hasierako kontserbazio-printzipioaren antzik. Hori konpontzeko, momentu linealaren definizioa aldatu behar da:

\vec{p}=m\gamma \dot{\vec{r}}=\vec{p}=m\frac{1}{\sqrt{1-\frac{|\vec{r}|^2}{c^2}}} \dot{\vec{r}}

Modu honetan, kontserbazio-printzipioa horrela idatzi daiteke S erreferentzia-sisteman:

m_{1}\gamma_{1} \dot{\vec{r_{1}}}+m_{2}\gamma_{2} \dot{\vec{r_{2}}}=m_{3}\gamma_{3} \dot{\vec{r_{3}}}+m_{4}\gamma_{4} \dot{\vec{r_{4}}}

\gamma_{i}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{|\vec{r_{i}}|^2}{c^2}}}

Eta S'erreferentzia-sisteman:

m_{1}\gamma_{1} \dot{\vec{r'_{1}}}+m_{2}\gamma_{2} \dot{\vec{r'_{2}}}=m_{3}\gamma_{3} \dot{\vec{r'_{3}}}+m_{4}\gamma_{4} \dot{\vec{r'_{4}}}

\gamma_{i}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{|\vec{r'_{i}}|^2}{c^2}}}

Momentuaren definizio berri honekin, kontserbazio legea bateragarri bihurtzen da lehenengo postulatuarekin. Limite galilearrean, momentuaren definizio klasikoa berreskuratzen dugu, espero bezala:

\frac{v}{c}\approx 0\Rightarrow \gamma \approx 1\Rightarrow \vec{p} \approx m\vec{v}

## Masa eta energia
Energiaren kontserbazio-printzipoak dioen moduan, sistema bakartuen energia osoa kontserbatu egiten da. Erlatibitate berezian, energiak forma ezberdinak hartzen ditu. Horren adibide honakoa dugu:

E=m \gamma c^2

Energiaren adierazpen hori partikula bakartu baten energia osoa da (kanpo-eremu baten mende badago, dagokion energia potentziala batu behar zaio energiari).

Adierazpenaren Taylorren garapena egiten badugu:

E=m \gamma c^2=mc^2 + \frac{1}{2}m \dot{\vec{r}}^2 + \frac{3}{8}m \frac{\dot{\vec{r}}^4}{c^2}+ ...

Limite galilearrean, adierazpenaren lehenengo bi terminoak geratuko zaizkigu soilik:

E=m \gamma c^2 \approx mc^2 + \frac{1}{2}m \dot{\vec{r}}^2

Hori da, hain zuzen ere, energia zinetikoaren eta gai konstante baten arteko batura (gogoratu, mekanika newtondarrean ere, energiaren balio zehatzek ez dutela esangura fisikorik; energia aldaketek soilik dute garrantzia). Gai konstante horri partikularen pausaguneko energia (E_{0}) deritzo, eta m kantitateari, berriz, pausaguneko masa.

E_{0}=mc^2

Azkenik, energia osoaren adierazpena eta momentuaren definizioa konbinatzen baditugu, \gamma faktore gabeko energia osoaren adierazpena lortuko dugu:

E^2=(mc^2)^2 + (pc)^2

Masaren terminoa askatuta, honela geratzen da adierazpena:

E^2-p^2c^2=m^2c^4

Eskuineko aldea konstantea denez, ezkerreko aldeak ere konstantea izan behar du, eta, beraz, erreferentzia-sistema guztietan, balio berbera izan behar du. Hau da, azken adierazpen hori aldaezin erlatibista da.

## Erreferentziak
## Bibliografia
* 
*  
*  
*   
*   
* 
* 
* Bertrand Russell, *El ABC de la relatividad*, 1925.

## Kanpo estekak