Elwin Bruno Christoffel

**Elwin Bruno Christoffel** (1829ko azaroaren 10a - 1900eko martxoaren 15a) fisikari eta matematikari alemaniarra izan zen. Geometria diferentzialaren oinarrizko kontzeptuak ezarri zituen eta erlatibitate orokorrerako oinarri matematikoa eman zuen, ondorioz, kalkulu tentsorea garatzeko bidea ireki zuen.

## Bizitza 
Christoffel Montjoien (gaur eguneko Monschau), Prusian, 1829ko azaroaren 10ean jaio zen. Bere familia oihal-merkatariak ziren. Hasieran, etxean eskolatua, hizkuntzetan eta matematiketan hezi zuten; ondoren, Kolonian, Jesuiten Gymnasiumera eta Koloniako Friedrich-Wilhelms Gymnasiumera bertaratu zen.

1850ean Berlineko unibertsitatera joan zen. Unibertsitatean Matematika ikasi zuen Gustav Dirichlet-ekin (eragin handia izan zuen harengan) , besteak beste, eta fisikako eta kimikako ikastaroetara joan zen. 1856an Berlinen doktoratu zen gorputz homogeneoetako elektrizitatearen mugimenduari buruzko tesiarekin, Martin Ohm, Ernst Kummer eta Heinrich Gustav Magnus zuzendarien gainbegiratzean idatzia. 

Doktoretza jaso ondoren, Montjoiera itzuli zen. Bertan, hurrengo hiru urteak komunitate akademikotik isolatuta igaro zituen. Hala eta guztiz ere, matematika ikasten jarraitu zuen, batez ere, fisika matematikoa Bernhard Riemann, Dirichlet eta Augustin-Louis Cauchyren liburuekin. Gainera, bere ikerketa egiten jarraitu zuen, geometria diferentzialeko bi lan argitaratuz. ]]

Matematikako institutu berri bat antolatu zuen oso estimatua zen gazte erakundean (zazpi urte lehenago sortua). Aldi berean, ikerketa lanak argitaratzen jarraitu zuen eta 1868an, Prusiako Zientzia Akademiako eta Milaneko Istituto Lombardoko kide hautatu zuten. 1869an Christoffel Berlinera itzuli zen, Gewerbe akademian (gaur egun Berlineko Unibertsitate Teknikoaren parte da) irakasle izan zen bitartean, Hermann Schwarz Zurichen jarraitu zion. Hala ere, Gewerbe akademia Berlineko unibertsitatetik oso hurbil zegoenez lehiaketa handia zegoen ikasleak erakartzeko. Ondorioz, Gewerbe akademia ezin izan zuen ikasle nahiko ekarri matematikako ikastaro aurreratuak mantentzeko eta Christoffel Berlinetik berriz joan zen 3 urte igaro ondoren. ]]
1872an Christoffel Estrasburgoko Unibertsitateko irakaslea bihurtu zen. Estrasburgoko Unibertsitatea, ehun urteko erakundea, unibertsitate moderno batean berrantolatu zen Frantzia-Prusia gerran Alsazia-Lorrena bereganatu ondoren. Christoffelek, Theodor Reye lankidearekin batera, Estrasburgon matematika departamentu ospetsu bat eraiki zuen. Ikerketak egin eta argitaratu zituen eta  doktoregoko zenbait ikasle izan zituen, besteak beste, Rikitaro Fujisawa, Ludwig Maurer eta Paul Epstein.

1894an Christoffel Estrasburgoko Unibertsitatetik erretiratu zen, eta haren oinordekoa Heinrich Weber izan zen. . Bertan, funtsezko teknika sartu zuen, ondoren diferentzia kobariantea deitu zen, eta Riemann-Christoffelen tentsorea definitzeko erabili zuen (barietate riemanniarren kurbadura adierazteko metodorik arruntena).
ezkerrera|thumb|*Journal für die reine und angewandte Mathematik.*

Artikulu horretan Christoffelen ikurrak aipatu zituen \Gamma_{kij} eta \Gamma^{k}_{ij}. Ikur horiek koordenatu lokalen sistema bati lotutako Levi-Civita konexioaren osagaiak adierazten dituzte. Christoffelen ideiak Gregorio Ricci-Curbastro eta bere ikaslea Tullio Levi-Civitak orokortu eta garatu zituzten, hain zuzen ere, tentsoreen eta kalkulu diferentzial absolutuaren kontzeptu bihurtu zituzten. Kalkulu diferentzial absolutuak, ondoren tentsore kalkulua deitua, erlatibitate orokorraren teoriaren  oinarri matematikoa osatzen du. ]]
Christoffelek integraziorako koadratura gaussiarraren metodoa orokortu zuen. Honekin batera, Christoffel-Darboux-en formula ere sartu zuen Legendreko polinomioetarako  (geroago polinomio ortogonal orokorretarako formula ere argitaratu zuen).

### Beste ikerketak 
Christoffelek teoria potentziala eta ekuazio diferentzialen teoria ere landu zituen, baina arlo horietan egin zituen ikerketa asko oharkabean geratu ziren. Ekuazio diferentzial partzialen erantzunetan etenak hedatzeari buruz bi artikulu idatzi zituen. Artikulu horiek talka-uhinen teorian aitzindari izan den lana irudikatzen dute. Fisika ere ikasi zuen eta optikari buruzko ikerketa argitaratu zuen, baina bere ekarpenek berehala galdu zuten erabilgarritasuna, argizagiaren kontzeptua bertan behera utzi zenean.  \Gamma^{k}_{ij} (batzuetan \Gamma^{k}_{ij} edo \{ ^{k}_{ij}\}) :

{\Gamma^i}_{kl}
  = \frac{1}{2} g^{im} \left(\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^l} + \frac{\partial g_{ml}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{kl}}{\partial x^m} \right)
  = \frac{1}{2} g^{im} \left(g_{mk,l} + g_{ml,k} - g_{kl,m}\right),

non ( g^{jk}) matrizearen (g_{jk}) alderantzizkoa den, (Kroneckerren delta, eta Einsteinen notazioa batuketarako erabiliz) honela definitzen da: g^{ji}g_{ik}=\delta^j_k . Christoffelen ikurrak indizedun tentsoreen notazio berean idatzita dauden arren, ez dira tentsoreak bezala koordenatu-aldaketa baten pean eraldatzen.

Tentsore metrikoa objektu intrintsekoa denez, tentsorearen terminoetan deskribatu ahal diren objektuak eta haien deribatuak ere intrintsekoak dira. Tentsore metrikotik erator daitekeen objektu bat Christoffelen sinboloa da. Christoffelen ikurrak oinarrizko bektoreen aldaketa deskribatzen du puntu batetik bestera kurbadura koordenatu sistemetan. Christoffelen ikurrak koordenatu bakoitzetik bereizitako oinarrizko bektore bakoitzaren 𝑛3 deribatu partzialak dira. Christoffelen ikurrak ds^2=dx^2+dy^2+dz^2koordenatuen aldagaiekiko kobariantzaren aldaketa-tasa neurtzen dute.

Orokorrean, bektore edo tentsore baten osagaien deribatu partzialak ez dira tentsore baten osagaiak. Christoffelen ikurren kasuan hau gertatzen da, tentsore metrikotik partzialki eratortzen baitira, baina ez dira berez tentsoreak. Kobariantza deribatuak tentsoreak sortzen ditu tentsoreetatik abiatuta. 

Antzeko koordenatuetan, kobariantza oinarria berbera da puntu guztietan. Ondorioz, deribatu kobariantea konmutatiboa da. Hala ere, hau ez da gainazal kurbatuen kasuan gertatzen.

### Indizeak uzkurtzea 
Goiko indizea beheko edozein indizerekin uzkurtzeak (simetrikoak direnak):

{\Gamma^{i}}_{ki} = \frac{\partial}{\partial x^k} \ln\sqrt

Non g = \det g_{ik}  tentsore metrikoaren determinantea den. Identitate hori bektoreen dibergentzia ebaluatzeko erabil daiteke.

### Lehen motako Christoffelen ikurrak 
Lehen motako Christoffelen ikurrak bigarren motako Christoffel ikurretatik eta metrikatik lor daitezke

\Gamma_{cab} = [ab, c].

Garrantzitsua da aipatzea: [ab, c]=[ba,c]

### Ricci errotazio-koefizienteak (definizio asimetrikoa) 
\mathbf{X_i}\equiv \mathbf{u_i} oinarri ortonormala aukeratzen bada: g_{ab}\equiv \eta_{ab}= , orduan g_{mk,l}\equiv \eta_{mk,l}=0. Ondorioz,

{\omega^i}_{kl} = \frac{1}{2} \eta^{im} \left( c_{mkl} + c_{ml k} - c_{kl m} \right)

eta lotura-koefizienteak antisimetriko bihurtzen dira lehenengo bi indizeetan:

\omega_{abc} = -\omega_{bac}\,,

non 

\omega_{abc} = \eta_{ad}{\omega^d}_{bc}\, .

Kasu honetan, \omega^a_{bc} konexio-koefizienteei Ricci errotazio-koefizienteak deitzen zaie. 

Era berean, Ricci errotazio koefizienteak honela defini daitezke 

erdian|thumb|Schwarz – Christoffel planoaren kartografiaren adibidea.

## Christoffel ekuazioa 
Uhin batek hurrengo forma du:

 \mathbf{u}[\mathbf{x}, \, t] = U[\mathbf{k} \cdot  \mathbf{x} - \omega \, t] \, \hat{\mathbf{u}}

\hat{\mathbf{u}} unitate-luzerarekin. Uhin-ekuazioaren soluzio bat da, zero indarrarekin, baldin eta soilik baldin w^2 eta \hat{\mathbf{u}} *eragile aljebraiko akustikoaren* autobalio/autobektore bikotea badira.

A_{kl}[\mathbf{k}]=\frac{1}{\rho} \, k_i \, C_{iklj} \, k_j.

Hedapen-baldintza hori (**Christoffel ekuazioa** bezala ere ezagutzen da) honela idatz daiteke:

A[\hat{\mathbf{k}}] \, \hat{\mathbf{u}} = c^2 \, \hat{\mathbf{u}}

non \hat{\mathbf{k}}=\mathbf{k} / \sqrt{\mathbf{k}\cdot\mathbf{k}} hedapen-norabidea eta c = \omega / \sqrt{\mathbf{k} \cdot \mathbf{k}} fase-abiadura adierazten duten.

## Christoffel–Darboux formula 
**Christoffel – Darboux formula** polinomio ortogonalen sekuentzia baterako identitate matematikoa da. Elwin Bruno Christoffelek (1858) eta Jean Gaston Darbouxek (1878) aurkeztu zuten. Identitatearen arabera,

\sum_{j=0}^n \frac{f_j(x) f_j(y)}{h_j} = \frac{k_n}{h_n k_{n+1}} \frac{f_n(y) f_{n+1}(x) - f_{n+1}(y) f_n(x)}{x - y}

f_j(x) h_j norma karratuko eta k_j koefiziente nagusiko polinomio ortogonalen multzo baten jth terminoa da. Identitate horren "forma konfluente" bat dago y\to x muga hartzen bada:

\sum_{j=0}^n \frac{f_j^2(x)}{h_j} = \frac{k_n}{h_n k_{n+1}} \left[f_{n + 1}'(x)f_{n}(x) - f_{n}'(x) f_{n + 1}(x)\right].

## Riemann – Christoffel tentsorea 
Geometria diferentzialean, Riemann – Christoffel tentsorea (Bernhard Riemann eta Elwin Bruno Christoffelen ondoren)  edo hobeto ezaguna **Riemann kurbadura tentsorea**, manifestu riemannarren kurbadura adierazteko modurik arruntena da. Riemanniar espazioa baten puntu bakoitzari tentsore bat ematen dio (hau da, tentsore-eremu bat da). Riemanniar metriken inbaditzaile lokal bat da, bigarren deribatu kobarianteen konmutazioaren gatazka neurtzen duena. Riemanniar espazioa, laua bada, zero kurbadura du, hau da, euklidear espazioarekiko tokiko isometrikoa bada.

Erlatibitate orokorra teoriaren funtsezko tresna matematikoa da. Espazio-denboraren kurbadura, printzipioz, desbideratze geodesikoaren ekuazioaren bidez ikus daiteke. Kurbadura tentsoreak, geodesiko batean zehar mugitzen den gorputz zurrun batek bizi duen itsasaldi indarra irudikatzen du, Jacobiren ekuazioak zehaztutako zentzuan.

### Definizioa 
Izan bedi (M, g) Riemanniar edo pseudo-Riemanniar espazioa, eta \mathfrak{X}(M) bektore-eremu guztien espazioa M den. Riemannen kurbadura-tentsorea mapa gisa definitzen dugu \mathfrak{X}(M)\times\mathfrak{X}(M)\times\mathfrak{X}(M)\rightarrow\mathfrak{X}(M) hurrengo formula 

\nabla^2_{X,Y} Z = \nabla_X\nabla_Y Z - \nabla_{\nabla_X Y} Z

eta

R(X, Y) = \nabla^2_{X,Y} - \nabla^2_{Y,X} 

Horrela kurbadura tentsoreak bigarren deribatu kobariantearen ez-kommutatibotasuna neurtzen du. Notazio indize abstraktuan,

R^d{}_{cab} Z^c = \nabla_a \nabla_b Z^d - \nabla_b \nabla_a Z^d . 

Riemann kurba tentsorea A_{\nu} kobektore arbitrarioa, bere buruarekin, deribatu kobariantearen kommutadorea da :

A_{\nu;\rho\sigma} - A_{\nu;\sigma\rho} = A_{\beta} R^{\beta}{}_{\nu\rho\sigma}.

Formula hori *Ricci-ren identitatea* deitzen da. Riccik eta Levi-Civitak Riemann kurbadura tentsorearentzako adierazpen bat lortzeko erabili zuten metodo klasikoa da. Identitate hau orokortu daiteke tentsore arbitrarioen bi kobariante lortzeko:

\begin{align}
      &\nabla_\delta \nabla_\gamma T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s} - \nabla_\gamma \nabla_\delta T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s} \\[3pt]
  ={} &R^{\alpha_1}{}_{\rho\delta\gamma} T^{\rho\alpha_2 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s} + \ldots +
       R^{\alpha_r}{}_{\rho\delta\gamma} T^{\alpha_1 \cdots \alpha_{r-1}\rho}{}_{\beta_1 \cdots \beta_s} -
       R^{\sigma}{}_{\beta_1\delta\gamma} T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\sigma\beta_2 \cdots \beta_s} - \ldots -
       R^{\sigma}{}_{\beta_s\delta\gamma} T^{\alpha_1 \cdots \alpha_r}{}_{\beta_1 \cdots \beta_{s-1}\sigma}
\end{align}

Formula hau aldaketarik gabeko dentsitate tentsoreei ere aplikatzen zaie, Levi-Civitarentzat (ez generikoarentzat) lotura bat lortzen da: Erster Band, Zweiter Band-en laguntzarekin (Service Commun de Documentation de l'Université Louis Pasteur, Estrasburgo).

## Ohoreak 
Christoffel zenbait akademiatako kide hautatu zuten:

thumb|Akademiaren eraikina  Theaterstraße-n (Antzerki kalean), Göttingenen.

* Prusiako Zientzia Akademiako  (1868)
* Istituto Lombardo (1868)
* Göttingeneko Zientzien Akademia (1869)

Prusiako Erresumak Christoffeli bi sari eman zizkion:

* Arrano Gorriaren ordena, 3. Brankadun klasea (Schleife) (1893)
* Bigarren mailako koroaren ordena (1895)
erdian|thumb|Koroaren ordena (Prusia).

## Erreferentziak 
## Kanpo estekak