Bonaventura Cavalieri

[thumb|276px|Cavalieriren monumentua [Giovanni Antonio Labus|Giovanni Antonio Labusek egina, Brerako jauregia, Milán, 1844]]
**Bonaventura Cavalieri** (Milan, 1598 &ndash;Bolonia, 1647ko azaroaren 30a), apaiz jesuato eta matematikari italiarra eta kalkulu infinitesimal modernoaren aitzindarietako bat izan zen. Galileoren ikaslea izan zen. Matematika irakatsi zuen Bolonian (1629). Astronomia, trigonometria esferikoa eta kalkulu logaritmikoa landu zituen batez ere. Zenbaki zatiezinen teoria azaldu zuen *Geometria indivisibilibus continuorum quadam nova ratione promota* lanean (1635).

## Biografia
Jaiotzean, Bonaventura Cavalierik Francesco izena jaso zuen. Bere aitak Bonaventura Cavalieri zuen izena, baina, 1615ean, Francesco Milanen jesuatoen ordena erlijiosoan sartu zenean, Bonaventura izena hartu zuen. Izen horrekin ezagutu izan da beti. Jesuatoen ordena erlijiosoa, zeinarekin bat egin baitzuen, Sienako Giovanni Colombinik eta bere lagun Francesco Mianik sortu zuten 1660an. Hasieran, izurri beltzak jotako gaixoak artatzen zituzten jesuatoek, baina ordenak gero eta jende gutxiago biltzen zuen. 1606an gazte gehiago bat egitera animatzen saiatu ziren. horretan nolabaiteko arrakasta izan bazuten eta Cavalierik bat egin bazuen ere, azkenean, ordenak porrot egin zuen, eta Klemente IX.a aita santuak desegin zuen 1668an. Ordenari «Jesuati» deitzen zitzaion bere sermoiak beti «Jesus» oihukatuz hasten eta amaitzen zirelako. Jesuato gisa, Cavalierik sandaliak zeramatzan beti, eta egunero zigortzen zuen bere burua.

Milanen urtebete egin ondoren, 1616an, Pisako monasterio jesuatora joan zen, San Girolamo monasteriora, non 1620ra arte egon zen, salbu 1617 inguruan Florentzian igaro zuen urte bat. Cavalierik, Pisan, matematika ikasketak jaso zituen Benedetto Antonio Castelli Pisako Unibertsitateko matematika irakaslearengandik. Castelli 1611n izendatu zuten Pisan, eta irakasle ona izatearen ospea zuen; horregatik, ikasleak eskualde ezberdin askotatik joaten ziren harekin ikastera. Castelli beneditarra zen, baina, Pisan beneditarren monasteriorik ez zegoenez, Castelli hiriko jesuatoen monasterioan bizi zen. Geometria irakatsi zion Cavalieriri, eta Galileoren ideiak erakutsi zizkion. Euklidesen Elementuek akuilatu zuten Cavalieriren matematikarekiko interesa, eta, Galileo ezagutu ondoren, astronomoaren dizipulutzat hartu zuen bere burua. Galileorekin topaketa, Federico Borromeo kardinalak antolatu zuen, zeinak Castellirekin korrespondentzia izana baitzuen. Milango monasterioan zegoela, Kardinalak berak argi ikusi zuen Cavalieriren jeinua. Horrek eman zuen Cavalierik Galileori egindako 100 eskutitz baino gehiago, 1619-1641 bitartean. Galileok ez zien guztiei erantzun, baizik eta noizbehinka gutun bat bidali zion Cavalieriri; horietatik, guztiak, gutxi batzuk izan ezik, desagertu egin dira.

Cavalieri hain zen etorkizun handikoa, ezen batzuetan Castelliren klaseen ardura hartzen zuen unibertsitatean. Urbano Diviso Cavalieriren ikasleak, eta Cavalieri hil eta 30 bat urtera idatzi zuen lehen biografoak, esan zuen Castellik esan ziola Cavalieriri matematika ikasteko, horrek sendatuko baitzion depresioa. Hala ere, ez dago baieztapen horren beste frogarik, eta, egia esan, Cavalieriren bizitzari buruz, Divisok egindako kontakizunean egiazta daitezkeen baieztapen batzuk okerrak dira.

1619an, Cavalieri Boloniako matematika katedrara aurkeztu zen, Giovanni Antonio Maginiren heriotzaren ostean hutsik geratu zena, baina ez zuen arrakastarik izan, antzinatasun horretako postu baterako gazteegia zela uste baitzen. Beste unibertsitate batzuetan ere ez zuen matematikako katedra lortu, Erroman eta Pisan, esaterako, Castelli Erromara joan zenean, 1626an. Cavalierik berak, eskaera horietan arrakastarik ez izatearen arrazoi gisa, jesuatoen ordenako kide izatea jo zuen errudun. Ordena ez zela Erroman ezaguna jotzen zuen, eta hori egia zen, zalantzarik gabe, baina ezinezkoa da jakitea horrek azaltzen ote duen bere eskaeren porrota. Hala ere, aurrera egin zuen bere eliza ibilbidean. 1621ean, Cavalieri diakono eta Federico Borromeo kardinalaren laguntzaile bihurtu zen Milango San Girolamo monasterioan. Milaneko egonaldian hasi zen zatiezinen metodoa garatzen, eta metodo horri esker da ezaguna gaur egun. Teologia irakatsi zuen Milanen, 1623ra arte, Lodin, San Pedroko prior izendatu zuten arte. Lodin hiru urte eman ondoren, Parmako jesuatoen monasteriora joan zen, eta, han, prior izan zen. 1626ko udazkenean, Parmatik Milanerako bidaia batean, hezueriak jota gaixotu egin zen; gaixotasuna haurtzarotik zekarren, eta bizitza amaitu arte eragin zion. Gaixotasunak hainbat hilabetez atxiki zuen Milanen. 1626-1629 hiru urteak Parman eman zituen. 1627ko abenduaren 16an, Galileori eta Federico Borromeo kardinalari idatzi zien *Geometria* liburua amaitu zuela esanez. Horrek zatiezinen metodoa dakar, kalkulu integralaren garapenerako faktore bihurtu zena. 1629an, Cavalieri matematikako katedradun izendatu zuten Bolonian. Bere hautagaitza Galileok babestu zuen.

Galileok, 1629an, Cesare Marsili Boloniako jaun eta «Accademia dei Lincei» elkarteko kideari idatzi zion, zeinak matematikako irakasle berri bat aurkitzeko enkargua jaso baitzuen. Bere gutunean, Galileok zera zioen Cavalieriri buruz: «Arkimedesetik inor gutxik sakondu du horrenbeste eta hain sakonki geometriaren zientzian». Boloniako posturako bere hautagaitzaren alde, Cavalierik geometriako eskuizkribua eta sekzio konikoei eta optikan dituzten aplikazioei buruzko tratatu txiki bat bidali zizkion Marsiliri. Galileoren lekukotzak (Marsilik idatzi zionez) bultzatu zituen «Erregimentuko Jaunak» matematikako lehen katedra Cavalieriren esku uztera, etenik gabe okupatu zuelarik 1629tik hil zen arte. Boloniako matematika katedra ez zen izan jaso zuen kargu bakarra, Boloniako jesuatoen komentuko priore ere izendatu baitzuten, Santa Maria della Mascarella elizaren ondoan. Egoera ezin hobea zen hura Cavalierirentzat; orain lasaitasuna zuen matematika ikerketei ekiteko jesuatoen komentuan, eta, unibertsitatean, matematika irakasten zuen, non beste matematikari batzuekin harremanak izan zitzakeen. Hamaika liburu argitaratu zituen Bolonian eman zituen hemezortzi urteetan. Hala ere, bere osasunak okerrera egin zuen Boloniarako izendatu zuten garaian, eta bizitza osoan iraun zuten arazoak izan zituen hanketan. Izan ere, Cavalieri Boloniarako izendatzea, hasiera batean, hiru urteko probaldi baterako izan zen, baina, ondoren azalduko dugunez, luzatua izan zen.

Cavalieriren geometriako eskuizkribua (Bolonian izendatzeko faktore izan zena) 1627ko abenduan amaitu bazen ere, ez zen 1635. urtera arte argitaratu. Zatiezinen teoria, bere 1635eko *Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota* aurkeztua, Arkimedesen agortze-metodoaren garapena zen, Keplerren kopuru geometriko infinitesimalen teoria barne hartzen zuena. Teoria horri esker, Cavalierik erraz eta azkar aurkitu zituen irudi geometrikoen azalera eta bolumena. Howard Evesek dio:

(Azken emaitza hori modu deigarrian irudika daiteke karta-pila bertikal bat hartuz eta, ondoren, pilaren aldeak gainazal kurbatuetara bultzatuz; pila desordenatuaren bolumena eta jatorrizko pilarena berdinak dira). Emaitza horiek Cavalieriren printzipioak deritzenak ematen dituzte:

1. Bi pieza lau lerro paralelo pare baten artean sartuta badaude eta lerro paraleloetan ebakitako bi segmentuen luzerak beti berdinak badira, orduan, bi pieza lauen azalerak ere berdinak izango dira.

2. Bi solido plano paralelo pare baten artean badaude eta horiek ebakitako bi sekzioen azalerak inklusio-planoekiko edozein plano paralelotan beti berdinak badira, bi solidoen bolumenak ere berdinak izango dira.

Zatiezinen metodoa ez zen modu zorrotzean oinarritu, eta haren liburuari eraso handia egin zioten. Bereziki, Paul Guldinek eraso zion Cavalieriri:

Cavalieriren eta Guldinen arteko eztabaida aipatu ohi da Guldinek Cavalierik zatiezinez egiten duen erabilerari egindako eragozpenen harira. Cavalieriren eta Guldinen arteko auzi nagusia hori izango den arren, eztabaidaren irakurketa arretatsuagoak beste kontu interesgarri batzuk ere badaudela adierazteko aukera emango digu... Guldin geometrialari klasiko bat zen, antzinako matematikari greziarren metodoei jarraitzen ziena. Hala ere, bere lehen puntua da Cavalieriri egozten zaiola Keplerren *Stereometria Doliorum* (1615) eta Soverren *Curvi ac Recti Proportio* (1630) plagiatu izana. Haren argudioan, bada zerbait Keplerrekin zerikusia duena; bada, lan horretan, Keplerrek bai hartzen du zirkulu bat poligono infinitesimalez osaturiko poligono infinitutzat. Hala ere, Cavalieriren zatiezinak eta Keplerren infinitesimalak desberdinak dira. Soverri buruzko aipamenari dagokionez, bere defentsan Cavalierik adierazi zuen Soverrena argitaratu aurretik idatzi zuela bere liburua. Guldinek Cavalieriren zatiezinei eraso zien argudiatuz azalera bat ardatzaren inguruan lerro bat biratuz sortzen denean, azalera ez dela lerro multzo bat bakarrik. Idatzi zuen:

Mancosuk idatzi zuen moduan, Guldin geometrialari «klasizista» bat zen, eraikuntza esplizituaren ideiaz blaitua, geometriaren esparruan infinituari buruzko kontsiderazioekiko eszeptikoa eta jarraituaren teoria atomista bat amaitzeko arriskuarekiko errezeloz betea. Arrazoia Guldinek edo Cavalierik ote duen galdetuz gero, Cavalierik erantzun behar du. Hala ere, Guldinen erasoaren alde on bat izan zen Cavalierik bere azalpena hobetu zuela *Exercitationes geometricae sex* (1647) argitaratuz, XVII. mendeko matematikarientzat iturri nagusi bihurtu zena.

Italian, logaritmoak tresna konputazional gisa sartzeko ardura ere izan zuen Cavalierik, hein handi batean, *Directorium Generale Uranometricum* liburuaren bidez. Aipatu dugu Boloniako izendapena hiru urterako izan zela hasiera batean. Logaritmoen liburu hori Cavalierik argitaratu zuen kargua luzatzeko egin zuen eskaera arrakastatsuaren parte gisa. Argitaratu zituen logaritmo-taulek funtzio trigonometrikoen logaritmoak zituzten astronomoek erabiltzeko.

Obra hiru zatitan banatuta dago: logaritmoak, trigonometria laua eta trigonometria esferikoa. Terminologian berrikuntza nabarmenak izateaz gain, John Napierren triangelu esferikoaren arauen demostrazio garrantzitsuak eta triangelu esferiko bakoitzaren koadraturaren teorema ere jasotzen ditu lanak; teorema hori, Albert Girard-i egotzia, Joseph Lagrangek aldarrikatu zuen gerora. Galileok, logaritmoei buruz egindako lanengatik, goraipatu zuen Cavalieri, bereziki *Askotariko ehun problema logaritmoen erabilera ilustratzeko* (1639) izenburupean idatzi zuen liburuagatik.

Cavalierik, halaber, sekzio koniko, trigonometria, optika, astronomia eta astrologiari buruz ere idatzi zuen. Arau orokor bat garatu zuen lenteen distantzia fokalerako, eta teleskopio islatzaile bat deskribatu zuen. Mugimendu arazo batzuk ere landu zituen. Piero Ariottik hau idatzi du teleskopio islatzaileari buruz:

...Cavalieriren obra interesgarriena bere *Specchio ustorio* da, 1632an inprimatua eta 1650ean berrinprimatua. Lan horretan, Cavalieri ispilu islatzaileez arduratu zen, hain zuzen, K.a. 212. urtean Arkimedesek, ustez, Sirakusa setiatzen ari zen erromatar flota nola erre zuen ebazteko asmo zehatzarekin. Liburua, ordea, adierazitako helburutik askoz harago doa, eta sistematikoki jorratzen ditu atal konikoen propietateak, argiaren islapena, soinua, beroa (eta hotza!), arazo zinematiko eta dinamikoak, eta teleskopio islatzailearen ideia.

Cavalierik esan zuen teleskopio bat lortuko zela ispilu ahurrak lente ahurrekin konbinatuz; horrek eraman du historialari batzuek esatera teleskopio islatzailea Cavalierik asmatu zuela James Gregoryk edo Isaac Newtonek baino lehenago.

Astrologiari buruzko hainbat liburu ere argitaratu zituen, bata 1639an, *Nuova pratica astromlogica* izenekoa, eta bestea, bere azken lana, *Trattato della ruota planetario perpetua*, 1646an. Hala ere, astrologiaren terminologia erabiltzen duten arren, lan astronomiko serioak dira. Cavalierik ez zuen uste gogoeta astrologikoetatik etorkizuna iragar zitekeenik, eta, noski, ez zuen astrologia praktikatzen. Argi eta garbi dio 1639ko bere obran.

Cavalierik matematikari askorekin izan zuen harremana, hala nola Galileo, Mersenne, Renieri, Rocca, Torricelli eta Vivianirekin. Torricellik Cavalieriren metodoei buruzko laudorioak idatzi zituen, esanez: «Ez naiz ausartzen banaezinen geometria hori benetan aurkikuntza berri bat dela esatera. Uste dut antzinako geometrialariek metodo hau erabili zutela teoremarik zailenak aurkitzeko, nahiz eta beren frogapenean beste era batera nahiago izan duten, dela beren artearen sekretua ezkutatzeko, dela etsai amorratuen kritikari aukerarik ez emateko. Nolanahi ere, kontua da geometria horrek lan-ekonomia zoragarri bat irudikatzen duela frogapenetan, eta ezin konta ahala teorema, ia araka ezinak, ezartzen dituela frogapen labur, zuzen eta baiezkoen bidez, antzinakoen doktrina gai ez zelarik. Zatiezinen geometria, izan ere, sasi matematikoan, errege-bidea deiturikoa zen, eta Cavalierik lehen aldiz ireki eta publikoari azaldu ziona, asmakizun miragarriko gailu gisa». Izan ere, Cavalierik *Arithmetica infinitorum*en (1655) sartu zituen ideiak garatzen jarraitu zuen Torricellik. Agian, Cavalieriren ikaslerik ezagunena Stefano degli Angeli izan zen. Cavalierirekin ikasi zuen Bolonian, Cavalieri nahiko heldua, eta artritisa zuen garaian. Angelik idatzi zituen Cavalierik bere ikaskide matematikariei bidalitako gutun asko.

Cavalierik hankekin zituen arazoak 1629. urte inguruan hasi ziren, eta aspaldiko hezueria arazoak ere izan zituen. 1636an, hezueriaz asko sufritzen zuen, eta, sendabide baten bila, Arcetriko bainuetxera joan zen, eta han igaro zuen uda. Garai hartan, Galileo Arcetrin bizi zen, etxean giltzapetuta, eta Cavalierik berarekin matematikari buruz eztabaidatzen igaro zuen uda. Boloniara itzultzean, bizitza gero eta zailagoa bihurtu zitzaion Cavalieriri. Osasunak ez zuen hobera egin, eta unibertsitateko agintariek presio egiten zioten matematikan (Cavalierik maite zuen gaia) beharrean astronomian lan egin zezan. Boloniatik alde egiteko aukera izan zuen Pisan matematikako katedra eskaini ziotenean, baina atzera bota zuen. Federico Borromeo kardinalak Milango Ambrosiar Liburutegian leku bat eskaini zion, baina, berriro, Cavalierik nahiago izan zuen Bolonian geratu. 1646an, bere osasunak okerrera egin zuen, eta irakaskuntza utzi behar izan zuen. Hurrengo urtean, hil zenean, erabat elbarri zegoen, eta ezin zen ibili. Boloniako Santa Maria della Mascarella elizan lurperatu zuten.

## Obra
1632tik 1646ra, astronomia, optika, mugimendu eta geometria arazoak jorratzen zituzten hamaika liburu argitaratu zituen Cavalierik.

### Optikari buruzko obra
Cavalieriren lehen liburua, 1632an lehen aldiz argitaratua eta 1650ean berrinprimatua izan zen, *Lo Specchio Ustorio, Overo, Trattato delle settioni coniche* (Ispilu kiskalgarria, edo sekzio konikoei buruzko tratatu bat). *Lo Specchio Ustorio*ren helburua zen erromatar flota, Sirakusara hurbiltzen ari zela, Arkimedesek ispiluak erabili ote zituen erretzeko eztabaidatzea, oraindik eztabaidatzen den kontua.​​ Liburua asmo horretatik harago joan zen, eta atal konikoak, argiaren islapenak eta parabolen propietateak ere arakatu zituen. Liburu horretan, parabola, hiperbola eta elipse itxurako ispiluen teoria garatu zuen, baita ispilu horien hainbat konbinazio ere. Frogatu zuen (geroago frogatu zen moduan) argiak abiadura finitu eta jakin bat badu, irudian interferentzia minimo bat dagoela ispilu paraboliko, hiperboliko edo eliptiko baten fokuan, nahiz eta hori teorikoa izan, bada, beharrezko ispiluak ezin baitziren garaiko teknologiarekin eraiki. Horrek garai hartako teleskopioek baino irudi hobeak sortuko lituzke.

thumb|*Lo Speccio Ustorio*ren irudi geometrikoak, gainazal islatzaile parabolikoen propietateak probatzeko erabiltzen direnak.|alt=*Lo Speccio Ustorio*ren bi ilustrazio, parabola baten gainazalean argia islatzeko bi printzipio erakusten dituztenak
Kurben zenbait propietate ere frogatu zituen. Lehenengoa da, parabola baten ardatzarekiko paraleloa den eta fokutik pasatzeko moduan islatuta dagoen argi-izpi baten kasuan, angelu erasotzailearen eta haren islapenaren batura antzeko beste edozein izpiren berdina izatea. Jarraian, antzeko emaitzak erakutsi zituen hiperboletarako eta elipseetarako. Bigarren emaitza (teleskopio islatzaileak diseinatzeko erabilgarria) da parabola baten kanpoaldeko puntu batetik fokuraino lerro bat hedatzen bada, orduan, lerro horren islapena parabolaren kanpoaldeko gainazalean ardatzarekiko paraleloa dela. Beste emaitza batzuen arabera, lerro bat hiperbola batetik eta bere kanpo-fokutik igarotzen bada, orduan, hiperbolaren barruko islapena barne-fokutik igaroko da; aurrekoaren alderantzizkoa, hau da, parabolan zehar barneko fokurantz zuzenduriko izpi bat kanpoko gainazaletik kanpoko fokurantz islatzen dela; eta, propietate hori lerro bat elipse baten barne-foku batetik igarotzen bada, elipsearen barne-gainazalean duen islapena beste barne-fokutik igaroko da. Ezaugarri horietako batzuk aurretik ikusi baziren ere, Cavalierik horietako askoren lehen froga eman zuen. Bere teleskopio modeloan, ispilu islatzaileak txertatzeko hiru kontzeptu ezberdin ilustratu zituen. Lehen plana eguzkira zuzendutako ispilu ahur handi bat zen, argia bigarren ispilu ganbil txikiago batean islatzeko. Cavalieriren bigarren kontzeptua zen ispilu nagusi, moztu eta paraboliko bat eta bigarren ispilu ganbil bat. Bere hirugarren aukerak antzekotasun handia erakusten zuen aurreko kontzeptuarekin, lente sekundario ganbilaren ordez lente ahurra jarriz.

Elementu paralelo horiei, azaleraren eta bolumenaren zatiezin deritze, hurrenez hurren, eta Cavalieriren metodoaren eraikuntza-blokeak ematen dituzte; gainera, kalkulu integralaren funtsezko ezaugarriak dira. Zatiezinen metodoa ere erabili zuen hurrengo emaitza kalkulatzeko\int_{0}^{1} x^2dx = 1/3, Arkimedesen espiral batean itxitako azalera kalkulatzeko prozesuan, geroago beste irudi batzuetara orokortu zuena, adibidez, kono baten bolumena bere zilindro inguratzailearen bolumenaren herena dela frogatuz 

Zatiezinen metodoaren berehalako aplikazioa Cavalieriren printzipioa da, zeinak baitio bi objekturen bolumenak berdinak direla baldin eta dagozkien zeharkako sekzioen azalerak berdinak badira kasu guztietan. Zeharkako bi sekzio bat datoz baldin eta hautatutako oinarrizko plano baten plano distantziakideekiko gorputzaren ebakiguneak badira. (Printzipio bera erabilia zuen lehenago Txinako Zu Gengzhik (480–525), esferaren bolumenaren kalkuluaren kasuan zehazki​).

Zatiezinen metodoa, Cavalierik azaldu zuen moduan, indartsua zen, baina bere erabilgarritasuna hiru alderditan mugatuta zegoen. Lehenik eta behin, Cavalieriren frogak intuitiboak baziren ere eta gero zuzenak zirela frogatu bazen ere, ez ziren zorrotzak; bigarrenik, idazkera lodi eta opakua zuen; hirugarrenik, bere garaian, «continuum»aren tratamendua infinitesimalez osaturiko konposatu gisa, jesuiten ordenak kondenatu zuen Italian atomismoaren ezaugarri gisa, debekatutako doktrina. Matematikari garaikide askok zatiezinen metodoa bultzatu bazuten ere, Cavalierik sarritan infinitesimalen erabilerari ezarri zizkion mugak kontuan hartu gabe polemika saihesteko, *Geometria indivisibilius*aren harrera kritikoa zorrotza izan zen. Andre Taquetek eta Paul Guldinek *Geometria indivisibilus*ari emandako erantzun bana argitaratu zuten. Guldinen kritikak, bereziki sakonak, iradokitzen zuen Cavalieriren metodoa Johannes Kepler eta Bartholomew Sover-en lanetik eratorria zela; zorroztasun faltagatik erasotzen zuen haren metodoa, eta, gero, ezin dela bi infinituren arteko proportzio esanguratsurik egon argudiatzen zuen, eta, beraz, ez duela zentzurik elkarren artean alderatzeak.

## Esker onak
Cavalerius ilargi-kraterrak bere omenez darama izena.

## Erreferentziak 
## Bibliografia
* Amir Alexander, Infinitamente piccoli. La teoria matematica alla base del mondo moderno, Torino, Codice edizioni, 2015.
* Enrico Giusti, Bonaventura Cavalieri y la Teporía de los Indivisibles, Bologna, Edizioni Cremonese, 1980, p. 157.
* Umberto Bottazzini, Infinito, Bologna, il Mulino, 2018, ISBN 978-88-15-26735-1.
## Kanpo estekak 
* Mille Anni di Scienza in Italia. Bonaventura Cavalieri 
* Cavalieriren testuak sarean:
**  * Lo specchio ustorio: overo, Trattato delle settioni coniche...* (1632)
**  *Directorium generale uranometricum* (1632)
**  *Geometria indivisibilibus* (1653)
**  *Sfera astronomica* (1690)
* Biografiak: 
** 
** Short biography on bookrags.com
** 
* Matematika modernoak edo ikerketa historikoak:
** Infinitesimal Calculus Bere garapen historikoaz, Matematikaren Entzploedian, Michiel Hazewinkel ed.
**  Cavalieriren metodoari buruzko informazio gehigarria
** Cavalieriren integrazioa