Endomorfismo

thumb|Funtzio lineal baten irudikapena

## Definizioa: 
Endomorfismo bat eremu eta koeremu bera dituen aplikazio lineal bat da. V espazio bektorial baten endomorfismo taldea (End(V)), V-tik V-ra doazen aplikazio linealek osatzen dute:

f\in End(V)\Leftrightarrow \forall v\in V: (\exists f(v)\Rightarrow f(v)\in V)

## Propietateak: 
* Definizioz, alderantzizko funtzioa duten V-ko endomorfismoek, GL(V) multzoa osatzen dute: GL(V)=\{f\in End(v):\exists g\in End(V): f\circ g (v) = g \circ f (v) = v, \forall v\in V\}

* f\in End(V) alderanzgarria da baldin eta soilik baldin bere matrize elkartua (\beta -tik \beta -ra) alderanzgarria bada
* Hartu V K gorputzaren gainean dagoela definituta. \lambda \in K, f-ren balio propioa da baldin eta soilik baldin \exists v\neq0\in V: f(v)= \lambda v

## Matrize elkartuak: 
Edozein aplikazio linealek matrize elkartuak dauzka bere baitan, eremuko oinarri bat eta koeremuko bat erlazionatzen dituena. Endomorfismoen kasuan, \beta\longrightarrow\beta motako elkartutako matrizeak erabili daitezke funtzioa definitzeko. Honek bisualki asko lagundu dezake. Adibidez, gure funtzioari lotutako matrizea identitate matrizea bada, badakigu funtzioa konstantea dela. Lehen aipatutako propietatean sakonduz, GL(V)-ko funtzioei elkartutako matrizeek GLn(V) taldea osatzen dute, hau da, V espazioaren dimentsioa duten matrize alderanzgarrien taldea.

## Balio propioak edo autobalioak: 
V K gorputzaren gainean definituta egonik, \lambda \in K, f-ren balio propioa da baldin eta soilik baldin \exists v\neq0\in V: f(v)= \lambda v.

Adibidez: f\in End(R^3): f(x,y,z)=(2x,x+y-z,2z)
: Ohartu f(1,0,1)= (2,0,2)=2(1,0,1) delataz.

Gainera, f(0,1,0)=(0,1,0)=1(0,1,0), beraz \lambda =2 eta \lambda =1 funtzioaren balio propiak dira, eta (1,0,1), (0,1,0) haiei lotutako bektoreak, hurrenez hurren.

## Balio propioei lotutako azpiespazio bektorialak: 
Hau jakinda, azpiespazio ezberdinak defini ditzakegu, \lambda balioari dagokion f-ren azpiespazio propioak deritzonak:

V(\lambda)=\{v\in V: f(v)=\lambda v\}.

Ohartu gure eremu eta koeremua V direnez, V(\lambda)\leq V,  edozein balio propiorako. Hain zuzen:      (1 = V gaineko funtzio konstantea)

V(\lambda)= \{v\in V: f(v)=\lambda v\}=\{v\in V: f(v)-\lambda v=0\}=\{v\in V: (f-\lambda 1)(v)=0\}=ker(f-\lambda1) eta

(f-\lambda1) V-ren gaineko endomorfismo bat denez, V(\lambda)\leq V.

Hartzen badugu A=\underset{\beta}{M}(f) (beta bidezko f-ri elkartutako matrizea), eta dim(V)=n :

\underset{\beta}{M}(f-\lambda1)= \underset{\beta}{M}(f)-\underset{\beta}{M}(\lambda1)=\underset{\beta}{M}(f)-\lambda\underset{\beta}{M}(1)=A-\lambda In.

Hemendik erraz lortu dezakegun edozein azpiespazio propioren dimentsioa:

dim(V(\lambda))=dim(ker(f-\lambda1))=n-dim(Im(f-\lambda1))=n-rg(A-\lambda In)

## Polinomio karakteristikoa: 
Matrize ororekin polinomio karakteristikoa izena duen polinomio bat dago lotuta. Polinomio hori sortzeko arrazonamendu bat dago:

Lehenik, konturatu behar gara edozein \lambda izanik gure A=\underset{\beta}{M}(f) matrizearen balio propioa dela baldin eta soilik baldin hau betetzen bada:
\exists X \in \underset{nx1}{M}(K): AX=\lambda X \Leftrightarrow 0=\lambda X - AX=(\lambda In-A)X: X\neq0 \Leftrightarrow BX=0: B=\lambda In X 
 sistemak soluzio ez nulurik badu \Leftrightarrow detB=0\Leftrightarrow det(\lambda In-A)= 0,thumb|318x318px|Matrize baten autobalioak aurkitzeko prozesua.Orduan, expresio horri polinomio karakteristikoa deituko diogu. \underset{A}{\Chi}(x)=det(xIn-A) eta \lambda polinomio horren erroa bada, orduan A-ren balio propioa da, eta ondorioz endomorfismoarena ere.

## Erreferentziak 
## Kanpo estekak