Baliokidetasun-erlazio

thumb|5 elementuko multzo batean posible diren 52 baliokidetasun-erlazioen matrize logikoak; eremu koloredunek batekoa eta eremu txuriek zerokoa adierazten dutelarik.
Multzo-teorian eta algebran baliokidetasun-erlazio batek A multzo bateko elementuen arteko erlazio bat definitzen du, elementuak euren artean baliokidetasun klaseetan antolatuz partizio bat sortuz. \mathcal{R} **baliokidetasun-erlazioa** da baldin eta erlazio bitar bihurkor, simetriko eta iragankorra bada.

## Definizioa 
Izan bediA multzo ez huts bat eta \mathcal{R} multzoaren gaineko erlazio bat. Erlazio hori baliokidetasun erlazioa izango da, baldin eta honako propietate hauek betetzen baditu:
* Erreflexiboa bada, hau da, A multzoko elementu oro bere buruarekin erlazionaturik badago.

\forall x \in A: \ x \mathcal{R} x

* Simetrikoa bada, A multzoko x elementu bat multzoko beste y elementu batekin erlazionatuta egonik, y ere x-rekin erlazionaturik badago.

\forall x, y \in A : \ x \mathcal{R} y \Rightarrow y \mathcal{R} x
* Iragankorra (edo trantsitiboa) bada: A multzoko elementu bat multzoko beste elementu batekin erlazionatuta badago, eta beste elementu hori hirugarren batekin; hasierako elementua hirugarrenarekin erlazionatuta badago:

\forall x, y, z  \in A,\ x  \mathcal{R} y \land y \mathcal{R} z\; \Rightarrow x \mathcal{R} z

## Idazkera 
A multzoko a eta b-ren arteko baliokidetasun-erlazioa a\sim b edo a\equiv b moduetan idazten da erlazioa definiturik badago eta a\sim_R b, a\equiv_R b edo a \mathcal{R} b, hala ez bada.

A multzoan ezarritako \sim baliokidetasun-erlazioa, (A,\sim)\, bikote ordenatuaren bidez adierazten da.

Aritmetika modularrean  a \equiv b (mod \mathcal{R} ) (a baliokide b modulu \mathcal{R}) bezala adierazten da.

## Baliokidetasun klasea 
\mathcal{R} baliokidetasun-erlazioak azpimultzo disjuntuak definitzen ditu A multzoan. x \in A elementua emanik, x-rekin erlazionaturik dauden elementu guztiek honako baliokidetasun-klase hau definitzen dute:

[x]=\{ y \in A \, \mid y \mathcal{R} x \}

Baliokidetasun-erlazio batek sortzen dituen klase kopuruari **ordena** deritzo; kopurua finitua bada ordena finituko erlazioa izanik.

## Partiketa 
X-ren partiketa bat X-ren azpimultzo ez-hutsen P multzo bat da; beraz, X-ren elementu bakoitza P-ren elementu bakar baten elementua da. Gainera, P-ren elementuak binaka disjuntoak dira, eta haien lotura X da.

## Adibideak 
### Baliokidetasun erlazioa eta klaseak 
\lbrace a, b, c \rbrace multzoan \lbrace (a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)\rbrace erlazioak betetzen badira, erlazioaren baliokidetasun klaseen multzoak honako hauek dira:

[a]=\{a\}, ~~~~ [b]=[c]=\{b,c\}

Erlazio honetako baliokidetasun klase guztien multzoa \{\{a\},\{b,c\}\} da.

### Baliokidetasun erlazioak 
* Triangelu guztien multzoan "Antzekoak dira" edo "Kongruentea da".
* Zenbaki osoen multzoan "Kongruentea da modulu n".
* Funtzio baten eremuko elementuetan "Irudi bera dute".
* Zenbaki errealen multzoan "Balio absolutu bera du".
* Angelu guztien multzoan "Kosinu bera du".
* Berdintza matematikoa.

## Erreferentziak 
* Brown, Ronald, 2006. *Topology and Groupoids.* Booksurge LLC. .
* Castellani, E., 2003, "Symmetry and equivalence" in Brading, Katherine, and E. Castellani, eds., *Symmetries in Physics: Philosophical Reflections*. Cambridge Univ. Press: 422-433.
* Robert Dilworth and Crawley, Peter, 1973. *Algebraic Theory of Lattices*. Prentice Hall. Chpt. 12 discusses how equivalence relations arise in lattice theory.
* Higgins, P.J., 1971. *Categories and groupoids.* Van Nostrand. Downloadable since 2005 as a TAC Reprint.
* John Randolph Lucas, 1973. *A Treatise on Time and Space*. London: Methuen. Section 31.
* Rosen, Joseph (2008) *Symmetry Rules: How Science and Nature are Founded on Symmetry*. Springer-Verlag. Mostly chpts. 9,10.
* Raymond Wilder (1965) *Introduction to the Foundations of Mathematics* 2nd edition, Chapter 2-8: Axioms defining equivalence, pp 48–50, John Wiley & Sons.

## Kanpo estekak