Inferentzia bayestar

**Inferentzia bayestarra** inferentzia estatistiko mota bat da, non ebidentzia edo behaketak erabiltzen diren hipotesi bat egia izateko probabilitatea eguneratzeko edo ondorioztatzeko. «Bayestar» izena inferentzia prozesuan, Bayesen teorema maiz egiten den erabileratik dator. Bayesen teorema Thomas Bayes matematikariak egindako lanetatik atera da. Gaur egun, aplikazio-eremuetako bat erabakien teorian, ikusmen automatikoan (pertzepzioaren simulazioa orokorrean) eta ordenagailu bidezko patroien ezagutzan dago.

## Hasierako testuingurua 
Ziurgabetasun eta zehaztasun eza berezkoak dira arrazoiketa prozesuan. Logikak arrazoibide deduktibo-sistema eraikitzen den inferentzia-arauak ezartzen ditu, zeinetan proposizio jakin bat egiazko edo faltsutzat hartzen den, hau da, bi egoera posible baino ez dituen sistema, bi mutur horien artean gradurik onartu gabe. Gutxi gorabeherako arrazoibide-metodoek —metodo bayestarrak barne—, ziurgabetasun-baldintzetan arrazoitzeko gaitasuna simulatzen duten eredu teorikoak eskaintzen dituzte, baieztapen edo hipotesi baten egia edo faltsutasuna ziurtasun osoz ezagutzen ez direnean, eta zehaztasunik gabeak, aldakuntza sorta bat onartzen duten enuntziatuak.

Gutxi gorabeherako arrazoibide metodoen artean, Bayesen metodoak daude, Bayesen teorema ezagunean oinarritutakoak. Horiek guztiek komunean dute probabilitate bat esleitzea hipotesien sinesgarritasunaren neurri gisa. Testuinguru horretan, inferentzia sinesgarritasun neurriak eguneratzeko prozesu gisa ulertzen da, froga berriak ezagutzen direnean. Bayesen teorema aplikatuz, ezagutzen diren ebidentziaren baldintzapean dauden hipotesien probabilitateak lortu nahi ditugu. Metodo bayestar ezberdinen —eredu kausalen eta sare bayestarren— arteko aldea hipotesi eta frogen arteko baldintzapeko independentzia hipotesietan datza. Horrelako erlazioak grafiko azikliko zuzendu baten bidez adierazten dira normalean.

### Froga eta sinesmen aldaketa 
Inferentzia bayestarrak metodo zientifikoaren alderdiak erabiltzen ditu, eta hipotesi jakin batekin koherenteak edo koherenteak ez diren frogak biltzea dakar. Ebidentziak pilatzen diren heinean, hipotesi baten sinesmen-maila aldatzen da. Nahiko frogarekin, askotan, oso altua edo oso baxua izan daiteke. Beraz, Bayesen inferentziaren aldekoek hipotesi gatazkatsuak bereizteko erabil daitekeela diote: sinesmen-maila oso altua duten hipotesiak egiatzat onartu behar dira, eta sinesmen-maila oso baxua dutenak faltsutzat baztertu behar dira. Hala ere, kritikariek diote inferentzia metodo hori alborapenaren eraginpean egon daitekeela frogarik biltzen hasi aurretik izan behar diren hasierako sinesmenengatik.

### Zer du erakargarria estatistika bayestarrak? 
i) Eraikuntza axiomatikoa

ii) Erabaki-arau bakarrai

iii) Arazo batzuei irtenbidea ematen dien bakarra

### Koherentzia axiomak 
i) Konparazioa

ii) Iragankortasuna

iii) Nagusitasuna-Ordezkatzea

iv) Erreferentzia

### Inferentzia adibideak 
Inferentzia bayestarraren adibide bat honako hau da:

* Milaka milioi urtez, eguzkia sartu ondoren atera egin da. Eguzkia sartu da gaur gauean. Probabilitate oso handia dago (edo «irmo sinesten dut» edo «egia da») bihar eguzkia berriro aterako dela. Probabilitate oso txikia da (edo «ez dut batere sinesten» edo «faltsua da») bihar eguzkia ez dela aterako.

Inferentzia bayestarrak hipotesi baten sinesmen-mailaren zenbatesle zenbakiko bat erabiltzen du ebidentzia ikusi aurretik ere, eta hipotesiaren sinesmen-mailaren zenbatesle zenbakiko bat kalkulatzen du ebidentzia ikusi ondoren. Inferentzia bayestarrak, oro har, sinesmen-mailetan edo probabilitate subjektiboetan oinarritzen dira indukzio-prozesuan, eta ez du indukzio-metodo objektiborik ematen duenik aldarrikatzen.

### Definizio formalak 
Hala ere, estatistikari bayestarrek uste dute probabilitateak balio objektiboa izan dezaketela eta, beraz, inferentzia bayestarrak indukzio metodo objektiboa eman dezakeela. (Ikus metodo zientifikoa) Ebidentzia berriak emanda, Bayesen teorema bere probabilitateak honela doitzen ditu:

: P(H_0|E) = \frac{P(E|H_0)\;P(H_0)}{P(E)}

non

* H_0 hipotesi bat adierazten duen, hipotesi nulua deritzona eta froga berrien aurretik ondorioztatu dena, E, eskuragarri egongo da.
* P(H_0) *aldez aurreko probabilitatea* deritzo H_0-ri.
* P(E|H_0) frogak duen *baldintzapeko probabilitatea* deritzo: E hipotesia bada H_0 egia da. E*-*ri *Probabilitate-funtzioa* ere deitzen zaio H_0-ri emana funtzio gisa adierazten denean.
* P(E) E-ren *probabilitate marjinal* deritzo: froga berriak behatzeko probabilitatea E elkarrekiko esklusiboak diren hipotesi guztien arabera. Elkarrekin esklusiboak diren hipotesi guztien eta dagozkien baldintzapeko probabilitateen arteko batura gisa kalkula daiteke: \sum P(E|H_i)P(H_i) .
* P(H_0|E) H_0-ri *atzeko probabilitatea* deritzo  E-ri emana.

P(E|H_0) / P(E) faktoreak frogak hipotesiaren sinesmenean duen eragina adierazten du. Kontuan hartzen den hipotesia egia denean frogak behatzea posible bada, orduan, faktore hori handia izango da. Hipotesiaren aurretiazko probabilitatea faktore horrekin biderkatzeak, ebidentzia ikusita, atzealdeko probabilitate handia izango du. Bayesen inferentzian, beraz, Bayesen teorema zenbat froga berri hipotesiaren sinesmena aldatzeko gai den neurtzen du.

### Inferentzia ezartzea 
Estatistikari bayestarrek uste dute —pertsona ezberdinek aldez aurretiko probabilitate oso desberdinak izan ditzaketen arren— behaketa berrien ebidentzia berriek probabilitate subjektiboak gero eta gehiago hurbilduko dituztela. Beste batzuek, ordea, diote —pertsona ezberdinek aldez aurretiko probabilitate oso desberdinak proposatzen dituztenean—, agian, atzealdeko probabilitate subjektiboak ez direla inoiz bat egiten, froga berri zenbat bilduta ere. Kritika horiek uste dute hasieran zeharo desberdinak diren mundu-ikuskerak, denboran zehar, guztiz desberdinak izan daitezkeela froga gehiago pilatzen diren heinean.

P(H_0) goiko probabilitatea biderkatuz faktorearen arabera P(E|H_0) / P(E) ezin duzu inoiz lortu 1 baino handiagoa den probabilitatea. P(E), gutxienez, P(E \cap H_0)  baino handiagoa da,   P(E|H_0) \cdot P(H_0) berdintasuna ahalbidetzen duena (ikus probabilitate bateratua), P(E) ordezkatuz P(E \cap H_0)rekin P(E|H_0) / P(E) faktorean, horrek 1eko atzeko probabilitatea utziko du. Beraz, atzeko probabilitatea ez da bat baino handiagoa izango P(E \cap H_0) ezpada P(E) baino txikiagoa, inoiz egia ez dena.

E-ren probabilitatea H_0-ri emana, P(E|H_0) bere bigarren argumentuaren funtzio gisa irudika daiteke, balio bat emanez egin daitekeena. Funtzio horri probabilitate funtzioa deitzen zaio; E-ren funtzioa H_0-ri emana da. Bi probabilitate-funtzioren erlazioari \Lambda  probabilitate erlazioa deitzen zaio. Adibidez:

: \Lambda = \frac{L(H_0|E)}{L(\mathrm{not}\,H_0|E)} = \frac{P(E|H_0)}{P(E|\mathrm{not}\,H_0)} 

P(E) probabilitate marjinala, elkarren artean esklusiboak diren hipotesien probabilitate guztien eta baldintzazko probabilitateei dagozkien probabilitate guztien produktuen batura gisa ere irudika daiteke: P(E|H_0)P(H_0)+ P(E|\mathrm{not}\,H_0)P(\mathrm{not}\,H_0) .

Ondorioz, Bayesen teorema honela berridatz daiteke:

: P(H_0|E) = \frac{P(E|H_0)P(H_0)}{P(E|H_0)P(H_0)+ P(E|\mathrm{not}\,H_0)P(\mathrm{not}\,H_0)} = \frac{\Lambda P(H_0)}{\Lambda P(H_0) +P(\mathrm{not}\,H_0)}

Bi froga independenterekin, E_1 Y E_2, Bayesen inferentzia iteratiboki aplika daiteke. Lehenengo froga erabil dezakezu atzealdeko lehen probabilitatea kalkulatzeko, eta hurrengo probabilitatea kalkulatzeko erabili eta horrela jarraitu besteekin ere.

Frogaren independentziak zera dakar:

: P(E_1, E_2 | H_0) = P(E_1 | H_0) \times P(E_2 | H_0)
: P(E_1, E_2) = P(E_1) \times P(E_2)
: P(E_1,E_2|\mathrm{not}\,H_0) = P(E_1|\mathrm{not}\,H_0) \times P(E_2|\mathrm{not}\,H_0)

Bayesen teorema iteratiboki aplikatuz, inplikatzen du

: P(H_0|E_1, E_2) = \frac{P(E_1|H_0)\times P(E_2|H_0)\;P(H_0)}{P(E_1)\times P(E_2)}

Probabilitate ratioak erabiliz, hauxe aurki daiteke

: P(H_0|E_1, E_2) = \frac{\Lambda_1 \Lambda_2 P(H_0)}{[\Lambda_1 P(H_0) + P(\mathrm{not}\,H_0)] [\Lambda_2 P(H_0) + P(\mathrm{not}\,H_0)]}  ,

Bayesen inferentziaren iterazio hori ebidentzia gehiago sartuz zabaldu daiteke. Erabakiak hartzeko probabilitateen kalkuluan, inferentzia bayestarra erabiltzen da. Arriskuak kalkulatzeko teorian, kalkulatutako probabilitateetan erabiltzen dira, errore bat egitearen ondorioak islatzen dituen galera-funtzioan.

## Erreferentziak 
## Bibliografia 
* Berger, JO (1999) *Erabaki Estatistikoaren Teoria eta Analisi bayestarra*. Bigarren Edizioa. SpringerVerlag, New York. ISBN 0-387-96098-8 eta  ere.
* Bolstad, William M. (2004) *Introduction to Bayesian Statistics*, John Wiley 
* Bretthorst, G. Larry, 1988, *Bayesian Spectrum Analysis and Parameter Estimation* in Lecture Notes in Statistics, 48, Springer-Verlag, New York, New York
* Dawid, AP eta Mortera, J. (1996) *Coherent analysis of forensic identification evidence*. Royal Statistical Society aldizkaria, B seriea, 58.425-443.
* Foreman, LA; Smith, A.F.M. eta Evett, I.W. (1997). *Bayesian analysis of deoxyribonucleic acid profiling data in forensic identification applications* (eztabaidarekin). Royal Statistical Society aldizkaria, A seriea, 160, 429-469.
* Gardner-Medwin, A. *What probability should the jury address?*. Esangura. 2. liburukia, 1. alea, 2005eko martxoa
* Gelman, A., Carlin, B., Stern, H. eta Rubin, DB (2003). *Bayesian Data Analysis*. Bigarren Edizioa. Chapman & Hall/CRD, Boca Raton, Fla.  .
* Gelman, A. eta Meng, XL (2004).  ''Applied Bayesian Modeling and Causal Inference from Incomplete-Data Perspectives: an essential journey with Donald Rubin's statistical family*. John Wiley & Sons, Chichester, Erresuma Batua. 
* Giffin, A. eta Caticha, A. (2007) *Probabilitateak eguneratzea datuekin eta momentuekin*
* Jaynes, E. T. (1998) *Probabilitatearen teoria: zientziaren logika* .
* Lee, Peter M. *Bayesian Estatistika'': Sarrera. Bigarren Edizioa. (1997).  .
* O'Hagan, A. eta Forster, J. (2003) Kendall's *Advanced Theory of Statistics*, Volume 2B: Bayesian Inference. Arnold, New York.  .
* Pearl, J. (1988) *Probabilistic Reasoning in Intelligent Systems,* San Mateo, CA: Morgan Kaufmann.
* Robert, C. P. (2001) *Bayesian Choice*. SpringerVerlag, New York.
* Robertson, B. eta Vignaux, GA (1995) *Interpreting Evidence: Evaluating Forensic Science in the Courtroom*. John Wiley and Sons. Chichester.
* Winkler, Robert L, *Introduction to Bayesian Inference and Decision, 2. Edizioa* (2003) Probabilista. 

## Ikus, gainera 
* Bayesen teorema - Inferentziaren oinarria

## Kanpo estekak 
* Online textbook: *Information* *Theory, Inference, and Learning Algorithms*, David MacKay-k, metodo bayestarrei buruzko kapituluak ditu, adibideak barne; metodo bayestarrak defendatzen dituzu (Edwin Jaynesen estiloan); Monte Carlo metodoaren metodo modernoak eta metodo aldaerak; eta datuen konpresioaren algoritmoetan sare bayestarrak nola erabiltzen diren erakusten duten adibide adierazgarriak.