Itxitura (topologia)

Intuitiboki, espazio topologiko bateko A azpimultzo baten itxitura A multzotik “hurbil” dauden edo A-n dauden puntu guztiek osatzen duten multzoa da.  Beste modu batean esanda, itxitura A multzoaren eta bere “mugaren” arteko bildura bezala defini daiteke.

Definizio formalago bat emanez, itxitura A multzoa barruan duten multzo itxi guztien arteko ebakidura da.

A multzoaren itxituran dagoen puntu bati, A-ren puntu itsatsia deitzen zaio.

Itxituraren kontzeptua era askotan erlazionatuta dago barrualde kontzeptuarekin.

## Definizioak 
### Puntu itsatsiak 
Izan bedi A, espazio topologiko  baten edozein azpimultzo. x A-ren **puntu itsatsia** da x puntuaren edozein ingurunek A ebakitzen badu. Beraz, A-ren edozein puntu A-ren puntu itsatsia da.

Bereziki, X espazio metrikoa (d metrika izanik) eta A X-ren azpimultzo bat izanik, x A-ren puntu itsatsia da x puntuan zentratutako edozein bola irekik A multzoa ebakitzen badu.

Beste modu batera esanda, x A-ren puntu itsatsia da baldin eta soilik baldin (b.s.b)

d(x,A)=inf \{(x,x'):x'\in A\}=0 bada.

### Metatze-puntuak 
Metatze-puntuak eta puntu itsatsiak antzekoak dira, baina desberdintasun garrantzitsu bat dute. Izan ere,x  puntu itsatsi baten inguruneek eta A multzoak sortzen duten ebakidura x bera izan daiteke. Baina metatze puntuen kasuan ebakidura ezin da x izan. Beraz, A-ren puntu bat (x) A-ren **metatze-puntua** izango da, x-ren edozein ingurunek A ebakitzen badu x bera ez den beste puntu batean.

Ondorioz, edozein metatze-puntu puntu itsatsia da, baina ez alderantziz. Metatze-puntuak ez diren puntu itsatsiei **puntu isolatu** deritze. Beste modu batean esanda, x puntua A-ren puntu isolatua izango da, x-ren ingurune bat aurki badaiteke A multzoarekin duen ebaki puntu bakarra x bera izanik.

Beraz, A multzo bat eta x puntu bat izanik, A-ren puntu itsatsia izango da, x A multzoan badago edo x A-ren metatze-puntua bada (edo bi gauzak).

### Itxitura 
A multzo baten itxitura A-ren puntu itsatsi guztiek osatzen duten multzoa da, hau da, A multzoa eta bere metatze-puntu guztien arteko bildura. A-ren itxitura gehienetan honela adierazten da: cl(A), Cl(A) edo A.

Itxiturak honako propietate hauek ditu:

* Cl(A) A partetzat duten azpimultzo itxi guztien arteko ebakidura da.
* Cl(A) A partetzat duen azpimultzo itxirik txikiena.
* A multzo bat itxia da b.s.b A=cl(A) bada.
* Cl(A) A eta bere mugaren bildura da.
* A T-ren azpimultzo bat bada, cl(A) cl(T)-ren azpimultzoa da.
* A multzo itxia bada,orduan,  S⊆A da b.s.b cl(S) ⊆A bada.

Horrez gain, esaten da (X, Ԏ) espazio topologikoan A {\displaystyle \subseteq } X multzoa dentsoa dela, Cl(A)=X bada.

## Adibideak 
Izan bedi zuzen erreala ohiko topologiarekin.

* (a,b) moduko tarte irekien itxitura Cl((a,b))=[a,b] da.
* Q zenbaki arrazionalen multzoaren itxitura Cl(Q)= ℝ da. Beraz, Q **dentsoa** da espazio horretan

Orain, X=ℝ hartuz beste topologia batzurekin:

* Topologia diskretua hartuta: cl((0,1))=(0,1) da.

(Ԏdisk=P(ℝ)={U:U⊆ ℝ) izanik.

* Topologia indiskretua hartuta, cl((0,1))= ℝ

(Ԏindisk={ ℝ, ∅}) izanik.

* Sorgenfrey-ren topologia hartuz, edo behe limitearen topologia, cl((0,1))=[0,1) da.

Adibide hauek multzo baten itxitura aukeratutako topologiaren menpe dagoela erakusten dute. Azken aurreko bi adibideak hurrengo hauen kasu konkretuak dira:

* Topologia diskretua badugu, edozein multzo irekia eta itxia denez, edozein multzo bere itxituraren berdina da (Cl(A)=A)
* Topologia indiskretua badugu, multzo itxi bakarrak ∅ eta X direnez, edozein ∅≠A⊆X multzorako cl(A)=X da. Beste modu batean esanda, ez-hutsa den espazio indiskretuko edozein azpimultzo dentsoa da.

Bestalde, multzo baten itxitura hartutako espazioaren menpe ere badago.

Adibidez, izan bedi S={q∈Q :q^2>2,q>0} ⊆ ℝ. Orduan,  X=Q hartuz ohiko topologiaren azpiespazio gisa, cl(S)=S betetzen da S itxia baita espazio horretan.  

X=ℝ bada, berriz, cl(S)={x∈ℝ :x≥ {\displaystyle {\sqrt {2}}} 
}da.

## Itxitura eragilea 
Espazio topologikoak itxiturak erabiliz ere zehaztu daitezke, hain zuzen ere, itxitura eragileak erabiliz.

X multzo baten itxitura eragilea ϕ aplikazio bat da P(X)-tik P(X)-ra doana eta Kuratowski-ren axiomak betetzen dituena. Hau da honako propietate hauek betetzen dituena:

* A ⊆ ϕ(A)
* ϕ(ϕ(A)) = ϕ(A)
* ϕ(A\cupB) = ϕ(A) \cupϕ(B)
* ϕ(∅) = ∅

Ohartu (X,Ԏ) espazio topologikoa bada, itxiturak honako propietateak betetzen dituela. Alderantziz, itxitura eragile bat dugunean, automatikoki espazio topologiko bat zehaztuta dugu.

Itxitura eragileak sortutako topologia honakoa izango da:

Ԏ={U⊆X: ϕ(X-U)=X-U }

Espazio topologiko horretan, edozein  A⊆ X azpimultzorako cl(A)= ϕ(A) izango da.

## Itxitura eta jarraitasuna 
Izan bitez X eta Y espazio topologikoak eta f:X→Y aplikazioa. Orduan, itxiturak jarraitutasunari buruzko  karakterizazio hauek ematen dizkigu:

{\displaystyle fjarraitua\Longleftrightarrow \forall A\subseteq X,f(cl(A))\subseteq cl(f(A))}

{\displaystyle fjarraitua\Longleftrightarrow \forall B\subseteq Ycl(f^{-}1(B))\subseteq f^{-}1(cl(B))}

## Itxitura eta barrualdea 
X espazio topologiko bat eta A honen azpimultzo bat izanik, A multzoaren itxituraren eta barrualdearen artean honako erlazio hau daukagu:

(i) X-Aº=Cl (X-A)

(ii) X-Cl(A)=(X-A)º

Beraz, itxiturarako erabili ditugun Kuratowski-ren axiomak barrualdeen menpe ere erabil ditzakegu multzoak beraien osagarriekin ordezkatuz:

* Å ⊆ A
* (A°)° = A°
* (A∩B)° = A°∩B°
* X° = X

Ondorioz, itxituraren eta barrualdearen artean dualtasun bat dagoela ikus dezakegu.

## Erreferentziak 
* Baker, Crump W. (1991), *Introduction to Topology*, Wm. C. Brown Publisher, 
* Croom, Fred H. (1989), *Principles of Topology*, Saunders College Publishing, 
* Gemignani, Michael C. (1990) [1967], *Elementary Topology* (2nd ed.), Dover, 
* Hocking, John G.; Young, Gail S. (1988) [1961], *Topology*, Dover, 
* Kuratowski, K. (1966), *Topology*, **I**, Academic Press
* Pervin, William J. (1965), *Foundations of General Topology*, Academic Press
* Schubert, Horst (1968), *Topology*, Allyn and Bacon

## Kanpo estekak 
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Closure of a set", *Encyclopedia of Mathematics*, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers,