Soluzio zehatzak erlatibitate orokorrean

thumb|308x308px|Masadun gorputz esferiko batek espazio-denboran eragiten duen kurbaduraren irudi eskematikoa, erlatibitate orokorraren arabera.
Erlatibitate orokorrean, **soluzio zehatz**ak Einsteinen eremu-ekuazioen soluzio jakin batzuk dira, zeinak ez diren hurbilketa bidez lortu. Hurbilketarik erabili ez arren, soluzioak egoera idealizatuetatik abiatuta lortutakoak izan daitezke. Adibidez, esfera perfektu baten itxurako materia motaren bat. Matematikoki, soluzio zehatz bat Lorentzen barietate bat da. Barietate horrek ingurune jakin bateko espazio-denboraren metrika zehazten du, bertako materiaren egoeraren arabera (fluidoak edota eremu elektromagnetikoak, adibidez).

## Testuingurua eta definizioa 
Edozein tentsore-eremuk lege fisikoak bete behar ditu. Eremu elektrostatiko batek, adibidez, Maxwellen ekuazioak bete behar ditu. Eremu tentsorial horiek eta, aldi berean, materiak ekarpen jakin bat egiten diote T^{\mu\nu} energia-momentu tentsoreari. T^{\mu\nu} energia-momentu tentsorearen ekarpen guztiak batu ostean, soluzio zehatzak Einsteinen eremu-ekuazioen soluzioa izan behar du.

G^{\mu\nu}=8\pi G\cdot T^{\mu\nu}

Goiko ekuazioetan, G^{\mu\nu} Einsteinen tentsorea da eta zuzenean kalkula daiteke tentsore metrikotik abiatuta. Tentsore metrikoa Lorentzen barietatearen definizioaren parte da.

Hala ere, Einsteinen tentsoreak ez du Riemannen tentsorea guztiz zehazten, Weylen tentsorea zehaztugabe uzten baitu. Beraz, Einsteinen ekuazioak bateragarritasun baldintzak direla kontsidera daiteke. Hau da, espazio-denboraren geometriak bateragarria izan behar du materia eta eremu ez-gabitatorioen kantitate eta higidurarekin. Izan ere, energia-momentu ez-grabitatorioak aldiuneko ekarpena egiten baitio Ricci kurbadurari. Bestalde, deribatu kobarianteak eta Bianchi identitateak erabiliz, posible da kurbaduran uhin moduko batzuk aurkitzea, erradiazio grabitatorioaren gisan hedatzen direnak espazio hutsean eta guzti.

## Definitzeko zailtasunak 
Lorentzen barietate guztiak dira Einsteinen ekuazioen soluzioak eta energia-momentu tentsore jakin bat dagokie. Honela azal daiteke hori:

* Izan bedi Lorentzen edozein barietate eta dagokion G^{\mu\nu} tentsorea.
* Zatitu G^{\mu\nu} tentsorea 8\pi G faktorearekin.
* Lortutako bi heineko tentsorea T^{\mu\nu} energia-momentu tentsorea da

Ondorioz, erlatibitate orokorra erabiltzeko bi modu baliokide existitzen direla esan dezakegu:

* Batean, energia-momentu tentsorearen itxura zehaztu daiteke lehenik, arrazoi fisikoetan oinarrituz. Ondoren, energia-momentu tentsore horri dagozkion Einsteinen ekuazioen soluzioak bila daitezke. Adibidez, fluido perfektu baten energia-momentu tentsore bat aukeratuz, simetria esferikodun soluzio batek izar baten eredua zehaztu dezake.
* Era baliokidean, lehenik espazio-denboraren ezaugarri batzuk zehaztu daitezke, eta, ondoren, ezaugarri horiek sortu ditzakeen materia iturri bat bilatu. Hori da, hain zuzen, 2000. urtetik aurrera kosmologian egiten dena. Unibertsoa isotropoa, homogeneoa eta azeleratua dela suposatzen dute eta hori bermatuko lukeen materiaren itxura zehazten saiatzen dira (materia iluna adibidez).
Goian aipatutako lehen metodoan, energia-momentu tentsoreak zentzuzko materia-banaketa edo eremu ez-grabitatorioen presentzia adierazi behar du. 1916an ezaguna zen eremu bakarra eremu elektromagnetikoa zen eta bere energia-momentu tentsorea era egokian ezaugarrituta zegoen jada. Hala ere, oraindik ez da ezagutzen metodo matematikorik energia-momentu tentsoreei aplikatu eta benetako egoera fisikoei dagokien guztia azaleratu dadin, gainerako guztia arbuiatuz. Badira energia-baldintzak aplikatzea bezalako metodoak baina ez dira behar bezain zehatzak. Askotan, horietatik azaleratzen diren soluzioak ez dute inongo zentzu fisikorik. Gainera, energia-baldintza horietako askok Casimir efektua apurtzen dute.

Einsteinek soluzio zehatzen definizioaren beste elementu bat ere zehaztu zuen. Soluzioek Lorentzen barietateak, hau da, barietate leunak izan behar dute. Erlatibitate orokorrarekin lan egitean, ordea, puntu guztietan leunak ez diren soluzioak onartzea ere oso erabilgarria izan daiteke. Horren adibide dira ingurune huts baterako kanpo-soluzioa eta fluido perfektu baterako barne-soluzioa konbinatzean lor daitezkeen soluzioak.

Oztopo lokal horiez gain, beste arazo batzuk ere ageri dira soluzio zehatzetan. Lokalki inolako eragozpenik ez duen soluzio batek fenomeno arraroak izan ditzake globalki: denbora motako kurba itxiak edota banantze puntuak dituzten estrukturak, adibidez. Izan ere, soluzio zehatz ezagunen artean badaude globalki izaera arraroa dutenak.

## Soluzio zehatz motak 
Ezagutzen diren soluzio zehatzan jarraian zerrendatutako moten barruan sailka daitezke, energia-momentu tentsoreaten interpretazio fisikoaren arabera:

* Hutserako soluzioak: T^{\mu\nu}=0; materiarik edo eremu ez-grabitatoriorik gabeko ingurune bat deskribatzen dute. Hutseko soluzioak dira Minkowskiren espazio-denbora, Schwarzschilden kanpo-soluzioa eta Kerren kanpo-soluzioa, adibidez.
* Elektrohutserako soluzioak: T^{\mu\nu} energia-momentu tentsorea hutseko Maxwellen ekuazioak betetzen dituen (Lorentzen barietate jakin horretan) eremu elektromagnetiko batek sortutakoa da. Hau da, eremu grabitorioaren iturri bakarra eremu elektromagnetikoen energia eta momentua dira. Elektrohutseko soluzioak dira Reissner–Nordströmen kanpo-soluzioa eta Kerr–Newmanen kanpo-soluzioa, adibidez.
* Hauts nulurako soluzioak: T^{\mu\nu} energia-momentu tentsorea erradiazio elektromagnetiko inkoherente bati dagokiona da. Erradiazio horrek ez du hutseko Maxwellen ekuazioak bete beharrik.
* Fluidorako soluzioak: T^{\mu\nu} energia-momentu tentsoreak fluido batena izan behar du (fluido perfektua aukeratzen da sarri). Kasu horretan, eremu grabitatorioaren iturriak fluidoa osatzen duen masaren energia, momentua eta tentsioa dira. Kosmologian kontsideratzen FLRW soluzioak fluido soluzioak dira.

Fluidoak eta eremu elektromagnetikoak bezalako iturri ezagunak kontsideratu ordez, bestelako eremu-energia batek edo alegiazko eremu motaren batek sortutako eremu grabitatorioak har daitezke kontuan:

* Eremu eskalarrerako soluzioak: T^{\mu\nu} energia-momentu tentsorea eremu eskalar batek (askotan, masarik gabeko eremu eskalar batek) sortutakoa da. Eremu eskalar horiek mesoi sorten eremu klasikoen teorian ager daitezke edo, kosmologian, kintesentzia izeneko enegian.
* Lambda hutserako soluzioak: T^{\mu\nu} energia-momentu tentsorea konstante kosmologiko ez-nulu batek sortutakoa da. De Sitterren ereduak dira soluzio horien adibide.

Badira beste solido elastiko baten soluzioak bilatzen saiatu direnak ere, baina ez da mota horretako soluzio zehatzik aurkitu.

Interpretazio fisikoaren arabera ere sailka daitezke soluzio motak. Soluzio bakoitzari dagokion Ricciren tentsorearen simetria algebraikoak erabiliz, soluzioen Segre sailkapena egin daiteke:

* Elektrohuts ez-nuluak \{\left(1,1\right)\left(11\right)\} Segre motakoak eta SO\left(1,1\right)\times SO\left(2\right) isotropia taldekoak dira.
* Elektrohuts nuluek eta hauts nuluek \{\left(2\right)\left(11\right)\} Segre mota eta E(2) isotropia taldea dute.
* Fluido perfektuak \{\left(1\right)\left(111\right)\} Segre motakoak eta SO(3) isotropia taldekoak dira.
* Lambda hutsak \{\left(1\right)\left(111\right)\} Segre motakoak eta SO(1,3) isotropia taldekoak dira
Gainerako Segre motek ez dute balio interpretazio fisikoak egiteko, eta, beraz, ezin dute energia-momentu tentsorearen inolako ekarpenik adierazi.

## Adibideak 
### Minkowskiren espazio-denbora 
Inolako materiarik edo energia-formarik gabeko espazio-denbora deskribatzen du Minkowskiren metrikak. Hau da, hutserako soluzio sinpleena da Minkowskiren espazio-denbora laua. Erlatibitate bereziaren teoria betetzen da horrelako espazio-denbora batean:

ds^{2}=-\left(1-\frac{r_{S}}{r}\right)c^{2}dt^{2}+\left(1-\frac{r_{S}}{r}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}\left(d\theta^{2}+\sin^{2}\theta d\phi^{2}\right)

non r_{S} Schwarzschilden erradioa den. Soluzio horren propietate garrantzitsuak dira izaera estatikoa eta limite asintotikoan \left(r \longrightarrow \infty\right) Minkowskiren metrika berreskuratzen dela.

### Schwarzschilden barne-soluzioa 
Schwarzschilden soluzioa lortzeko egin diren suposizio berdinetatik abiatuko gara kasu honetan. Hala ere, R erradioko masadun gorputzaren barneko \left(r  geometria bilatu nahi dugunez, ezin dugu energia-momentu tentsorea nulua dela suposatu. Gorputz esferikoa fluido konprimaezin batez osatuta dagoela suposatuko dugu; hau da, haren \rho dentsitatea uniformea dela erabiliko dugu m(r)=\frac{4}{3}\pi r^{3}\rho. Kasu horretan lortzen den soluzioa fluidorako soluzioen barnean sailka daiteke. Honako itxura dauka:

 ds^2 = -\frac{\Delta}{\rho^2}\left(dt - a \sin^2\theta \,d\phi \right)^2 +\frac{\sin^2\theta}{\rho^2}\Big[\left(r^2+a^2\right)\,d\phi - a \,dt\Big]^2 + \frac{\rho^2}{\Delta}dr^2 + \rho^2 \,d\theta^2 

non, kasu honetan, a=\frac{L}{M} ; \Delta=r^{2}-2Mr+a^{2}+Q^{2} eta \rho^{2}=r^{2}+a^{2}\cos^{2}\theta diren. Ohartu azken hori gorputz esferikoen kasurik orokorrena dela eta azken adierazpenean karga eta momentua angeluarra nuluak direla aukeratuz gero, Schwarzschilden kanpo-soluzioa berreskuratzen dela.

### FLRW metrika 
Kosmologian erabiltzen da FLRW metrika. Zehazki, eskala handian, unibertsoaren metrika FLRW metrika dela dio gaur egungo eredu kosmologiko estandarrak. Printzipio kosmologikoan oinarritzen da; hau da, unibertso homogeneoa eta isotropoa deskribatzen du metrika horrek. Bestalde, Hubblek neurtu bezala, unibertsoa hedatzen ari dela kontuan hartzen du. Azkenik, unibertsoak kurbadura espazial ez-nulua izan dezakeela ere aurreikusten du FLRW metrikak.

ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+a^{2}(t)\left[\frac{dr^{2}}{1-kr^{2}}+r^{2}\left(d\theta^{2}+\sin^{2}\theta d\phi^{2}\right)\right]

non a(t) unibertsoaren zabalkuntza zenbatesten duen eskala-faktorea den eta k unibertsoaren kurbadura espazialari dagokion konstantea den.

### De Sitteren unibertsoa 
Einsteinen ekuazioetan \Lambda konstante kosmologiko positibo batek duen eragina kontsideratzen da. Hori da, lambda hutserako soluzioetako bat, hain zuzen. Eredu kosmologiko azeleratuak aztertzeko erabiltzen da batez ere, Big Bang ondorengo inflazio kosmikoa azaltzeko adibidez

Bestalde, badaude beste transformazio batzuk (Belinski-Zakharov transformatua, adibidez) hutseko soluzio bat beste hutseko soluzio berri batean transforma dezaketenak, etab. Hauek Bäcklund transformazioen analogoak dira, zenarbait ekuazio diferentzial partzialen teoriagatik ezagunak direnak (solitoien ekuazio batzuk, adibidez). Zoritxarrez, nahiz eta “ondo ulertzen” den soluzio batean aplikatu, transformazio hauek askotan ulertzeko zailak diren soluzioak ematen dituzte eta haien interpretazio orokorra oraindik ezezaguna da.

## Soluzioen existentzia 
Soluzioen multzo txiki esplizitu bat lortzea hain zaila denez (oraindik zailagoa da Einsteinen ekuazioen soluzio “orokor” bat lortzea edo Einsteinen hutseko ekuazioaren soluzio “orokor” bat lortzea), onargarria den hurbilketa bat soluzio guztietarako balio duten propietate kualitatiboak aurkitzea da, edo, gutxienez, hutseko soluzioetarako balio dutenak. Oinarrizko galdera bat honako hau da: soluzioak existitzen al dira? Eta, horrela bada, zenbat?

Hasteko, eremu ekuazioaren hasierako balioaren formulazio egoki bat hartu behar dugu, bi ekuazio-sistema berri emango dizkiguna: batak hasierako datuen muga emango digu eta besteak hasierako datuak garatzeko prozedura emango digu, soluzio bat lortzeko. Horrela, froga daiteke soluzioak gutxienez lokalki existitzen direla, beste ekuazio diferentzial batzuk aztertzeko erabiltzen diren antzeko ideiak erabiliz.

Gutxi gorabehera “zenbat” soluzio izango ditugun jakiteko, Einsteinen muga-zenbaketaren metodoa erabil dezakegu. Einsteinen ekuazioaren hutseko soluzio orokor bat lortzeko hiru aldagaiko lau funtzio arbitrario eta bi aldagaiko sei funtzio arbitrario behar dira. Funtzio hauek hasierako datuak zehazten dituzte. Hortik abiatuta, hutseko soluzio bakarra lor daiteke.

Hala ere, analisi hori soluzioen existentzia globalaren galderatik oso urrun dago.

## Erreferentziak 
## Ikus, gainera 
## Kanpo estekak