Kaosaren teoria

[thumb|[Lorentzen sistema|Lorentzen sistemaren ibilbidearen diagrama r=28, \sigma=10, b=8/3balioetarako.]]
Kaosaren teoria matematikan, fisikan eta beste zenbait zientziatan (hala nola biologian edo meteorologian) aztertzen den adarra da. Teoria honek sistema konplexu eta dinamiko batzuk aztertzen ditu, bereziki hasierako baldintzekiko oso sentikorrak direnak. Horrek esan nahi du hasiera batean egindako aldaketa txikiek emaitza oso desberdinak sor ditzaketela; ondorioz, epe luzeko iragarpenak egitea ia ezinezkoa bihurtzen da.  
[thumb|[Lorentz erakarle|Lorentz erakarlearen errepresentazio grafikoa hiru dimentsiotan.]]
Fenomeno hori “tximeleta-efektua” izenez ezagutzen da. Izendapena Edward Lorenz meteorologo eta matematikariari zor zaio, hura ohartu baitzen eguraldi-ereduetan hasierako datuetan egindako aldaketa txikiek emaitza guztiz desberdinak sortzen zituztela. Esaldi ospetsuak dioen bezala: “Brasilgo tximeleta baten hego-kolpeak Texasen tornado bat sor dezake.”:181-184  

Jokabide kaotikoa naturako sistema askotan agertzen da: fluidoen fluxuetan, bihotzaren erritmoaren irregulartasunetan, klimaren eta eguraldiaren portaeran, besteak beste. Alabaina ez da soilik naturan gertatzen; giza jarduerak sortutako sistema batzuetan ere antzeko jokabide kaotikoak azter daitezke, hala nola trafikoaren dinamikan. Jokabide mota hau aztertzeko hainbat metodo matematiko erabil daitezke, eta horiei esker diziplina askotan aplikazio zuzenak garatzen dira. Diziplina hauen artean, meteorologia, antropologia, soziologia, ingurumen-zientzia, informatika, ingeniaritza, ekonomia, ekologia eta baita pandemia-krisien kudeaketa aurki daitezke.

Hala ere, kaos guztia ez da iragarrezina. Kaos matematikoak ondoko sistemak deskribatzen ditu: itxuraz ausazkoak diruditen baina errealitatean ekuazio eta arau zehatzek gidatzen dituztenak. Adibide sinple bat pendulu bikoitza da. Noizbait elkarri lotutako bi barra mugitzen ikusi badituzu, ohartuko zinen haien mugimenduak nahasiak eta iragarrezinak diruditela. Haatik, portaera horren atzean dauden matematikak argiak dira, eta ekuazio diferentzialen bidez deskriba daitezke. 

## Dinamika kaotikoak 
[thumb|x \rightarrow 4x(1-x) \quad eta \quad y \rightarrow (x+y) mod 1 definitutako [Mapa(matematika)|mapak x hasierako posizioekiko sentikortasuna erakusten du. Hemen, x eta y balioen bi serie nabarmen aldentzen dira denboran zehar hasierako baldintzetan zeukaten alde txiki batengatik.]]
Hizkera arruntean, "kaos" hitzak "desordena egoera" esan nahi du. Hala ere, kaosaren teorian, termino hori zehazkiago definitzen da. Nahiz eta unibertsalki onarturiko kaosaren definizio matematikorik ez egon, orokorrean erabiltzen den definizio batek dio,  sistema dinamiko bat kaotikotzat jotzeko, ezaugarri hauek izan behar dituela:

# hasierako baldintzekiko sentikorra izan behar du,
# topologikoki iragankorra eta bornatua izan behar du,
# ezin du izan orbita periodikorik.

Kasu batzuetan, zerrendako azken bi propietateak betetzeak hasierako baldintzekiko sentikortasuna izatea inplikatzen duela frogatu egin da. Denbora diskretuaren kasuan, espazio metrikoei buruzko fase-diagrama guztientzat hori egia dela frogatu da. Kasu hauetan, definizioan ez da beharrezkoa “hasierako baldintzekiko sentikortasuna” adieraztea, askotan propietate praktiko esanguratsuena bada ere.

Bestalde, ikerketaren arreta tarteetara mugatzen bada, bigarren propietateak beste biak inplikatzen ditu.

Ondorioz, beste definizio alternatibo ez hain osatu batek goiko zerrendako lehen bi propietateak soilik erabiltzen ditu.

## Hasierako baldintzen garrantzia 
Hasierako baldintzekiko sentikortasunak esan nahi du sistema kaotiko bateko puntu bakoitza modu arbitrarioan hurbiltzen ari dela etorkizunean ibilbide desberdinak izango dituzten beste puntuetara. Hortaz, ibilbidean perturbazio arbitrario txiki batek etorkizuneko portaera oso desberdin bat izatea ekar dezake.thumb|Lyapunoven esponentea.|265x265pxHizkuntza matematikoago batean, Lyapunoven esponentearen bidez neurtzen da hasierako baldintzekiko sentikortasuna, hasierako baldintza perturbatuetatik sortzen den aldentze esponentzialaren abiadura gisa .

Zehatzago esanda, fase-espazioan infinitesimalki hurbil dauden bi ibilbide hartuta, hasierako bereizketa denean, bi ibilbideek denborarekin honako abiaduran egiten dute dibergentzia:

 \mid \delta Z(t) \mid \approx e^{\lambda t} \mid \delta Z_0 \mid , 
 

non  t
  denbora den eta  \lambda
  Lyapunoven esponenteari dagokion parametroa den.

Bereizketa-tasa hasierako bereizketa-bektorearen orientazioaren araberakoa da eta, beraz, Lyapunoven esponentearen balio multzo oso bat egon daiteke. Lyapunoven esponenteen kopurua fase-espazioaren dimentsioen kopuruaren berdina da, nahiz eta ohikoa den handiena bakarrik aipatzea.

Adibidez, Lyapunoven esponente maximoa (MLE) izaten da gehien erabiltzen dena, sistemaren aurreikusgarritasun orokorra zehazten baitu. MLE positiboa bada eta soluzioa mugatua bada, sistemak portaera kaotikoa duela adierazten du. 

Aurreko propietate horretaz gain, hasierako baldintzekiko sentikortasunarekin erlazionatutako beste propietate batzuk ere badaude. Horien artean daude, esaterako, neurri-teoriaren araberako nahastea (teoria ergodikoan aztertua) eta K sistemaren propietateak. 

## Sistemen sailkapena 
Sistema dinamikoak hurrengo taldeetan sailkatzen dira:

* Egonkorrak: sistema egonkor batean, perturbazio txikiek eta hasierako baldintzen aldaketek eragin txikiak sortzen dituzte sistemaren portaeran. Sistemak bere ezaugarri nagusiak mantentzen ditu, hasierako baldintzak edo ingurunea pixka bat aldatzen badira ere, eta sistemaren bilakaera denboran zehar muga onargarrien barruan geratzen da. Beste modu batean esanda, sistemak ez ditu erroreak handitzen eta portaera aurreikusgarria gordetzen du. Honen adibide daukagu pendulu sinplea.

* Ezegonkorrak: sistema ezegonkor batean, perturbazio oso txikiek edo hasierako baldintzen aldaketek sistema egonkortasunetik urruntzea eragiten dute. Sistema mota honek erroreak neurririk gabe handitu egiten ditu eta honen ibilbidea ez da orbita mugatu edo bornatu baten barruan geratzen, askotan sistemak infinitura jotzen baitu. Bertikalki jarrita, bere puntan orekatuta dagoen arkatz bat har daiteke adibide gisa; ingurunean perturbazio oso txiki batek arkatzaren kolapsoa eragiten du.

[thumb|

Antzeko hasierako baldintzak dituzten sei [Pendulu bikoitz|pendulu bikoitzen eboluzioa.

]]

* Kaotikoak: sistema kaotiko bat determinista da, hau da, arau finko batzuk jarraitzen ditu, baina bere portaera oso sentikorra da hasierako baldintzekiko. Hori dela eta, hasierako baldintza oso-oso antzeko dituzten n sistema kaotiko berdin hartzen baditugu, n sistemek denboran zehar era desberdinetan eboluzionatuko dute. Hau da, hasierako baldintzetan aldakuntza txikienek ere sistemaren bilakaeran eragin handia suposatzen dute. Hortaz, zaila da sistema hauen portaera epe luzean zehazki aurreikustea. Sistema hauek, sistema ezegonkorrak ez bezala, orbita bornatu baten barruan geratuko dira eta ez dute inoiz infinitura joko. Sistema kaotikoen hainbat adibide ditugu gure inguruan, hala nola plaka tektonikoak, gizartearen hazkundea eta meteorologia.

Sistema ezegonkorren eta kaotikoen ezaugarri nagusietako bat da hasierako baldintzekiko duten mendekotasun handia (horrek bereizten ditu sistema horiek sistema egonkorretatik). Ezegonkorretan, hasierako baldintzek sistema orekatik guztiz urruntzea eta infinitura jotzea eragin dezakete; kaotikoetan, ordea, hasierako baldintzek determinatuko dute sistemak izango duen eboluzioa, baina honek hartuko dituen balioak beti geratuko dira orbita mugatu batean (balioak beti egongo dira zenbaki-tarte bornatu baten barruan). Sistema egonkor batek denboran zehar izango duen bilakaera deskribatzen duen ekuazioa ezaguna denean eta bere hasierako baldintzak finkoak eta ezagunak direnean, denbora pasa ahala sistema hark izango dituen aldaketak zehatz-mehatz aurreikus daitezke.

## Erakarleak 
thumb|237x237px|Eredu matematikoa.
Sistema dinamikoetan, erakarlea sistema batek eboluzionatzeko joera finkoa duen zenbakizko balioen multzoa da. Bestela esanda, erakarlea da sistema dinamiko batek epe luzera duen jokabidea. Hasierako baldintzak aldatzen badira ere, sistemaren joerak berdina izaten jarraitzen du. Geometrikoki, erakarlea puntu bat, kurba bat, barietate bat edo erakarle arrotz izenez ezagutzen den egitura fraktaleko multzo konplexua izan daiteke.

Muga-multzoa da denborak infiniturantz jotzen duenean sistemak duen egoera. Erakarleak muga-multzoak dira, baina muga-multzo guztiak ez dira erakarleak; izan ere, posible da sistema bat muga-multzo baterantz konbergitzea, baina, behin muga horretara iritsitakoan, multzotik behin betiko aldenduko duen perturbazio txiki bat jasatea. 

Haien ibilbideen arabera erakarleak honela sailka daitezke:

* Puntu finkoko erakarlea.  Puntu finkoko erakarlea duen sistemak puntu bakar batean egonkortzeko joera izango du. Pendulua da adibide arruntena. Penduluak bertikalarekiko angelua nulua duen puntura jotzen du, airearekiko marruskaduraren ondorioz.
* Erakarle periodikoa. Erakarpen-mota horrek berdin irauten du beti. Adibide gisa, alde batetik bestera oszilatzen duen pendulua. 
* Erakarle kaotikoa. Hasierako baldintzekiko oso sentikorrak diren sistema ez-linealetan agertzen da. 

Sistema ez-lineal kaotikoen portaera fase-espazioan irudikatzen denean, ikus daiteke nola sistema hauek modu irregularrean mugitzen diren eredu egonkorren inguruan, hau da, erakarleen inguruan. Bestela esanda, nahiz eta sistema portaera egonkor baten inguruan mugitu, jarraituko duen bidea ezin izango da aurreikusi, hasierako baldintzen aldaketa txikiek oso eragin handia dutelako. 

Horrela, sistemaren fase-espazioko mugimenduak traza irregular eta konplexuak sortzen ditu; erakarleak  norabidea markatuko duen arren, ezinezkoa izango da zehaztasunez aurreikustea jarraituko duen bidea.

## Ez-linealtasunaren garrantzia dimentsio finituan 
Bi sistema dinamiko mota nagusi daude: ekuazio diferentzialetan oinarritutakoak eta funtzioen sistema iteratiboak. Lehenengoek sistema baten bilakaera denbora jarraituan deskribatzen dute, eta bigarrenek, berriz, denbora diskretua duten egoerak aztertzen dituzte.

Biak baliagarriak dira kaosaren adibideak emateko, baita ekuazio diferentzialen soluzio periodiko edo kaotikoak aztertzeko ere.

Sistema bat ez-lineala dela esaten da, baldin eta haren aldagaiak lehen mailakoak ez badira, hau da, aldagaiak berretu egiten badira, elkarrekin biderkatzen badira edo haien funtzioak agertzen badira. Adibidez: X₁², X₁ · X₂ , cos X₂.

Sistema ez-linealen gehiengoa ezin da analitikoki ebatzi, hau da, gehienetan ez dago soluzio zehatzik.

Horrelakoetan, hurbilketa-metodoak erabil daitezke, baina sarritan soluzio fisiko batzuk galtzen dira.

Ekuazio linealak aztertzea errazagoa da, hauek zati bereizietan banatu baitaitezke eta, zatika ebatzita, soluzio orokorra zatiak bateratuz lor daiteke. Hala ere, naturako fenomeno gehienek ez-linealtasunez jokatzen dute.

Horren ondorioz, ez-linealtasuna da kaosaren agerpenaren oinarria. Sistema dinamiko bat ez-sentikorra dela esaten da, baldin eta hasierako baldintzetan egindako aldaketa txikiek ez badute aldaketa nabarmenik eragiten sistemaren garapenean eta azken emaitzan; aitzitik, sentikorra bada, sistema kaotikoaren ezaugarriak azaltzen hasten dira.

## Aplikazioak 
Kaosaren teoria eguraldi-ereduak aztertzetik sortu bazen ere, denboraren poderioz hainbat esparrutan aplikagarria bihurtu da; esaterako, geologian, matematikan, biologian, informatikan, ekonomian,ingeniaritzan,  finantzetan,  meteorologian, filosofian, antropologian,  fisikan ,  politikan,  populazio-dinamikan eta  robotikan.

Aplikazio berriak etengabe agertzen ari dira; behean zenbait adibide aurkezten dira, nahiz eta zerrenda ez den osoa.

### Ekonomia 
Baliteke eredu ekonomikoek ere hobetu ahal izatea kaosaren teoriaren aplikazio baten bidez, baina sistema ekonomiko baten egonkortasuna lortzea eta zein faktorek eragiten dioten aurreikustea oso lan konplexua da. Ekonomia- eta finantza-sistemak, funtsean, zientzia natural klasikoetako sistemetatik desberdintzen dira; izan ere,  lehenengoek izaera estokastikoa dute berez, pertsonen arteko elkarrekintzetatik sortzen direlako. Beraz, eredu determinista sinpleek nekez eskain ditzakete datuen modelizazio zehatzak. Kaosa frogatzen duen literatura enpirikoak emaitza oso kontrajarriak aurkezten ditu, neurri batean kaoserako proba espezifikoen eta erlazio ez-linealetarako proba orokorragoen arteko nahasketagatik. 

Ekonomian, kaosa aurki liteke errekurtsio-kuantifikazioaren analisiaren bidez. Izan ere, Orlando et al.-ek , errekurtsio-kuantifikazioaren korrelazio-indizea deritzonaren bitartez, denbora-serieetan ezkutuko aldaketak detektatzea lortu zuten. Ondoren, teknika bera erabili zen fase laminarretatik (erregularretatik) fase turbulentuetara (kaotikoetara) igarotzea identifikatzeko, baita aldagai makroekonomikoen arteko desberdintasunak aztertzeko eta dinamika ekonomikoaren ezaugarri ezkutuak agerian jartzeko ere . Azkenik, kaosaren teoriak lagundu lezake ekonomia batek nola funtzionatzen duen modelizatzen, baita COVID-19 bezalako kanpoko eragin bortitzak txertatzen ere .

### Eguraldiaren eta klimaren aurreikuspenaren mugak 
Soluzioek hasierako baldintzekiko duten mendekotasun sentikorra (SDIC) dela eta, tximeleta-efektua ere esaten zaiona, Lorenz (1963) eredua bezalako sistema kaotikoek aurreikuspen-horizonte finitua dute. Horrek esan nahi du iragarpen zehatzak denbora-tarte finitu batean egin daitezkeen arren, ez direla bideragarriak denbora-tarte mugagabe batean. Lorentzen soluzioen izaera kaotikoa kontuan hartuta, Charney et al.-ek (1966)  bost eguneko bikoizketa-denbora estimatu zuen zirkulazio-eredu orokor batean oinarrituta, bi asteko aurreikuspen-muga iradokiz. Bost eguneko bikoizketa-denboraren eta bi asteko aurreikuspen-mugaren arteko lotura hori 1969ko txosten batean ere jaso zuen Global Atmospheric Research Program (GARP) egitasmoak . Mintz eta Arakawa ereduen zein Lorenz-en ereduen eragin zuzen eta zeharkako konbinatua, eta Charney et al.-en gidaritza aintzat hartuz, Shen et al.-ek  bi asteko aurreikuspen-muga “Aurreikuspen-mugaren hipotesia” gisa izendatzen dute, Mooreren Legearekin analogia eginez.

### Kriptografia 
Kaosaren teoria urte askotan zehar erabili izan da kriptografian. Azken hamarkadetan, kaosa eta dinamika ez-linealak ehunka primitibo kriptografiko diseinatzeko erabili dira. Algoritmo horien artean daude irudien enkriptatze-algoritmoak, hash funtzioak, ausazko zenbaki seguruak asmatzeko sorgailuak, fluxu-zifraketa, ur-marka digitalak eta esteganografia. 

Algoritmo horien gehiengoa dimentsio bakarreko mapa kaotikoetan  oinarritzen da, eta haietako askok mapa kaotikoen kontrol-parametroak eta hasierako baldintzak erabiltzen dituzte gako gisa.  Oro har, ikuspegi zabalago batetik, mapa kaotikoen eta sistema kriptografikoen arteko antzekotasunak dira kaosean oinarritutako kriptografia-algoritmoak diseinatzeko motibazio nagusia. 

## Herri kulturan 
Teoriaren izendapena mendeetan zehar aipatua izan da, herri jakintzan ere islatu delarik:

## Erreferentziak 
## Kanpo estekak