Tentsore

[thumb|250px|Tentsore ezberdinak [kartesiar koordenatu|koordenatu kartesiarretan kokaturik]]

**Tentsore** bat, matematikan eta fisikan, erlazio multilinearrak deskribatzen dituen entitate aljebraiko bat da. Hautatutako koordenatu sistemarekiko independentea den objektu matematikoa da, hortaz, aldaezina erreferentzia sistema aldaketekiko.

Problemak formulatzeko oinarri matematikoa ematen dutenez, tentsoreak garrantzia handikoak dira fisikan. Fisikaren esparru askotan azaltzen dira: mekanikan (tentsioa, elastikotasuna, fluidoen mekanikan, besteak beste), elektrodinamikan (tentsore elektromagnetikoa...), edo erlatibitate orokorrean (energia-momentu tentsorea, kurbadura-tentsorea, etab.).

Kordenatu sistema jakin batean tentsoreak osagaien bidez deskriba daitezke. Osagai hauek indizeen bidez izendatzen dira. Tentsorearen ordena bere osagai guztiak identifikatzeko behar diren indize kopuruak zehaztuko du. Hala, tentsore eskalar batek 0 ordena izango du; bektore batek 1 ordena izango du; matrize batek 2 ordena izango du, etab.

Hala ere, tentsoreen osagaiek arau zehatz batzuk jarraitu behar dituzte, aldaezintasuna bermatzeko. Arau hau aurrerago azalduko da eta honakoa da:

T^{\mu_1' \mu_2'\ldots \mu_n'}{}_{\nu_1' \nu_2'\ldots \nu_l'}={\left(R^{-1}\right)}{}^{\mu_1'}{}_{\mu_1} {\left(R^{-1}\right)}{}^{\mu_2'}{}_{\mu_2}\ldots {\left(R^{-1}\right)}{}^{\mu_n'}{}_{\mu_n} R^{\nu_1}{}_{\nu_1'}\ldots R^{\nu_l}{}_{\nu_l'} T^{\mu_1 \mu_2\ldots \mu_n}{}_{\nu_1 \nu_2\ldots \nu_l}.

Hortaz, osagaietan deskriba daiteken oro ez da tentsorea, adibidez, Levi-Civita ikurra, honela definitzen dena: 

\epsilon_{ijk} =
\left\{ \begin{matrix}
+1 & (i,j,k)=(1,2,3), (2,3,1) \mbox{ edo } (3,1,2) \mbox{ bada} \\
- 1 & (i,j,k)=(3,2,1), (1,3,2) \mbox{ edo } (2,1,3)  \mbox{ bada} \\
0  & \mbox{bestela}
\end{matrix} 
\right.
 

Definizio hori berdina da edozein koordenatu-sistematan; beraz, osagaiak ez dira aldatzen, eta, ondorioz, ez dute eraldaketa-araua errespetatzen. Horregatik, Levi-civita ikurra ez da tentsorea.  

## Tentsore baten ordena
* **0 ordenako tentsorea**: Eskalar bat da, zenbaki bat, hain zuzen ere (adibidez, tenperatura, energia). Adibidea:

 T= 5^\circ C 

* **1 ordenako tentsorea**: Bektore bat da, magnitudea eta norabidea dituen objektu matematikoa da (adibidez, azelerazioa, indarra). Halako tentsoreek T^{i} osagaiak dituzte, non i indizeak osagai bakoitza izendatzen duen. *Adibidea:*

 A=(A^1, A^2, A^3)= (0,1,0) m/s^2  

* **2 ordenako tentsorea**: Matrize baten bidez adierazten da eta aplikazio linealak ({T^i}_j) edo forma bilinealak (T_{ij}) edo orokorrean bektoreen arteko erlazioak deskribatzen ditu (adibidez, solido batean tentsioak edo inertzia tentsorea). Halako tentsoreek  T^{ij} osagaiak dituzte, non, oro har (konbentzioz), lehenego indizea ("i") matrize baten errenkadak eta bigarrenak ("j") zutabeak diren. Bi norabideen arteko erlazioak kodetzen ditu. *Adibidea: Inertzia tentsorea*

  \bar{\bar{I}}= I^{ij}= \begin{pmatrix}
    I^{xx} & I^{xy} & I^{xz}\\
    I^{yx} & I^{yy} & I^{yz}\\
    I^{zx} & I^{zy} & I^{zz} \\
  \end{pmatrix} m^2 kg
  

kontuan hartu orokorrean  i  eta  j  zenbaki oso bezala uler ditzakegun arren, batzuetan, fisikan norabideen izenak ere har ditzaketela,  x ,  y  eta  z  kasu.
* **Ordena handiagoko tentsorea**: 2 dimentsio baina gehiago dituzten matrizeak balira bezala uler daitezke. Hiru ordenako tentsoreak matrize multzo bat litzateke, "kubo" bat hain zuzen ere, osagai bat aurkitzeko hiru indize beharko dituena. Lau ordenakoa "tetrakuboa" litzateke, kubo multzoa, hain zuzen ere, eta abar. *Adibidea: {R^{\alpha}}_{\beta \gamma \rho} Riemannen kurbadura-tentsorea.*[thumb|[Levi-Civita ikurra, kubo batean adierazia. Tentsore bat ez den arren, 3. ordeneko tentsore baten irudia egiteko balio du.]]
Orokorrean bi indize mota ditugu: goi- eta azpi-indizeak. Horrelako zenbat dauzkagun ordenean ere zehaztu ohi da. **Ordena (n,l)** duen tentsore batek 
T^{\mu_1' \mu_2'\ldots \mu_n'}{}_{\nu_1' \nu_2'\ldots \nu_l'}
 osagaiak ditu, hots, n goi-indize (kontrabariante) eta l azpi-indize (kobariante). Indizeen kokalekua garrantzitsua da, tentsoreak kordenatu aldaketetan eraldatze-arau ezberdina baitu indizearen kokalekuaren arabera. Hortaz, orokorrean osagai bat izendatzeko ezin da besterik gabe azpi-indize bat edo goi indize bat idatzi, ezta azpi-indize bat goi-indize bihurtu ere edota alderantiz, horik esanahia baitute.

## Tentsore idazkera 
### Einsteinen batura hitzarmena (Baturaren hitzarmena) 
Tentsoreen idazkeran **Einstein-en batura hitzarmena** erabili ohi da. Hitzarmen honen arabera, gai bateko indize bat errepikatuta agertzen denean, indize horrek har ditzakeen balio guztietarako gai horren batuketa egin behar dela esan nahi du.

*Adibidez*, A_iB^i  adierazpenean,  i  balio posible guztien batura egin behar dela ulertzen da. Adibidez,  i  indizeak 1,2,3 balioak izan baditzazke  i \in \{1,2,3 \} , orduan:

: 
A_i B^i = \sum_{i=1}^3 A_i B^i  = A_1 B^1 + A_2 B^2 + A_3 B^3.

*Oharra:* Batzen diren indizeak zein batzen ez direnak dituzten adierazpenetan, adibidez,  T^{ij} S_j , batzen diren indizeei "**mutuak**/fiktizioak" deritze eta batzen ez direnei "**askeak**". Hala, mutuei izena alda dakieke  \left(a_ib^i=a_jb^j\right)  , ez ordea, askeei  a^{i} \neq {a^{j}} .

### Ohiko eragiketak indize idazkeran 
Lehenik eta behin, ohartu indize idazkeran idatzitako oro ez dela tentsorea (Adibidez, aurretik aipatutako Levi-Civita ikurra ez da tensorea, ezta Christoffel-en ikurrak ere.). Matrize guztiak ez dira tentsoreak, osagaiek ez baituzte kordenatu- aldaketa arauak betetzen. Atal honetan ohikoak diren matrize edo bektoreen eragiketen laburpen bat egingo da indize idazkeran.

#### Biderketa eskalarra 
Matrize idazkeran biderketa eskalarra honela idatziko litzateke:

: 
\vec{A} \cdot \vec{B}=
\begin{pmatrix}
    A^1 & A^2 & A^3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
    B^1 \\
    B^2 \\
    B^3
\end{pmatrix}=A_1 B^1 + A_2 B^2 + A_3 B^3,

eta indize idazkeran idatzi dugula ikusi dugu,  A_i B^i  moduan alegia,

: 
\begin{pmatrix}
    A^1 & A^2 & A^3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
    B^1 \\
    B^2 \\
    B^3
\end{pmatrix}=A_i B^i.

Orokorrean, biderkaketa eskalarra, metrika baten bitartez ere uler dezakegu.

\vec{A} \cdot \vec{B}= \vec{A} \mathbb{I} \vec{B} =
\begin{pmatrix}
    A^1 & A^2 & A^3
\end{pmatrix}
\underbrace{\begin{pmatrix}
    1 & 0 & 0\\
    0 & 1 & 0\\
    0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}}_{\mathbb{I}}

\begin{pmatrix}
    B^1 \\
    B^2 \\
    B^3
\end{pmatrix}=A_1 B^1 + A_2 B^2 + A_3 B^3,

Kasu honetan metrika, identitate matrizea da, baina beste koordenatu batzuetan beste adierazpen bat izan dezake, orokorrean metrika 
g
-rekin izendatuko dugu. Hala, indize idazkeran:

\vec{A} \cdot \vec{B}= g_{ij} A^i B^j

Hala, adierazitako, bi tentsorez osatutako biderkaketa eskalarrak, beti eskalar bat itzuliko du, tentsorea dena.

Euklidear espazioko metrikan, oinarri ortonormalean, identitate matrizea berreskuratzen dugu, hortaz 
g_{ij}= \delta_{ij}
, non 
\delta_{ij}
 Kroneckerren delta den.

\vec{A} \cdot \vec{B}= \delta_{ij} A^i B^j= A_iB^i

#### Iraulketa 
Matrize baten iraulketa, matrize idazkeran A^T da:

: 
A= \begin{pmatrix}
    A^{11} & A^{12} \\
    A^{21} & A^{22}
\end{pmatrix} 
\longrightarrow 
A^T= \begin{pmatrix}
    A^{11} & A^{21} \\
    A^{12} & A^{22}
\end{pmatrix} .

Indize idazkeran, hau honela adierazten da:

: 
\left({A^T}\right)_{ij}=A_{ji}.

Beraz, indizeak ez dira *trukagarriak* tentsore idazkeran, haien kokaleku erlatiboa aldatzea eragiketa bat egitea baita.

Orokorrean, A tentsorea bada, A^Ttentsorea ere bada.

#### Matrizeen arteko biderketa 
Izan bitez  m \times n  dimentsioko  A  matrize bat eta  n \times p  dimentsioko  B  matrize bat.

 C = AB matrizearen  c_{ij}  sarrera honela kalkulatzen da:

: 
c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}.

Honela:

*  a_{ik}   A  matrizearen  i  errenkada eta  k  zutabean dagoen elemetua da.
*  {b_{kj}}   B  matrizearen  k  errenkada eta  j  zutabean dagoen elementua.
* Batura  k  indizean egiten da, eta honek 1etik  n -ra bitarteko balioak hartzen ditu.

C matrizearen sarrera bakoitza A matrizearen errenkada bakoitzeko osagai guztien eta B matrizearen zutabe bakoitzeko osagai biderketaren bidez lortzen da. Errenkada eta zutabeak c_{ij} sarrerako indizeek adierazten dute, non i lehenengo matrizearen errenkada eta j bigarrenaren zutabea diren.

*Adibidez*, 2x2 matrizeen kasuan:

: 
A = \begin{pmatrix}
    a_{11} & a_{12} \\
    a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix} , \quad B =  \begin{pmatrix}
    b_{11} & b_{12} \\
    b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix} .

Lehen sarrera c_{11}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}= a_{1k}b_{k1} izango litzateke. Azken hau Einstein batura hitzarmena erabiliz.

Beraz,

: 
C=\begin{pmatrix}
    a_{1k}b_{k1} & a_{1k}b_{k2}\\
    a_{2k}b_{k1} & a_{2k}b_{k2}
\end{pmatrix},

eta tentsore idazkeran:

: 
c_{ij} = a_{ik} b_{kj}.

Hemen  k  indizea batzen ari da, Einsteinen hitzarmenagatik. Beraz, espresioa baliokidea da.

Azkenik, tentsore idazkeran gai ezberinen posizioa aldatu dezakegula kontuan izatea garrantzitsua da: a_{ik} b_{kj}=b_{kj}a_{ik}, izan ere, a_{ik} eta b_{kj} errealak edo konplexuak diren zenbakiak dira, eta hauen biderketa trukagarria da. Badirudi hori matrize idazkeran gertatzen denarekin AB \neq BA kontraesanean dagoela. Ezberdintza hori ordea, indizeen posizioan datza;  hauek baitira ez trukakorrak, izan ere, a_{ik} b_{kj} \neq a_{ik} b_{jk} edo a_{ik} b_{kj} \neq b_{jk} a_{ik} edo a_{ik} b_{kj} \neq b_{ik} a_{kj}. Lehen berdintasunak A B= A (B^T) dio, bigarrenak AB= (A^T) B eta hirugarrenak AB= BA esango luke, eta orokorrean ez dira betetzen. 

Orokorrean, A eta B tentsoreak badira, 
C=A B
 tentsorea izango da baldin eta goi- eta behe- indizeen arteko biderkaketa bada.

### Eragiketa nabariak 
#### Kontrakzioa 
Tentsoreen kontrakzioa tentsore baten ordena murrizten duen eragiketa bat da. Zehazki, *(n, m)* motako tentsore bat *(n - 1, m - 1)* motako tentsore batera murrizten du. Hortaz, kontrakzioaren ondorioz, tentsore baten ordena bi unitatetan gutxitzen da. Eragiketa hau bi indize ezberdin berdintzean datza, hau da, goi-indize bat eta azpi-indize bat berdintzean datza. Ondorioz, Einsteinen batura hitzarmena kontuan hartuz, termino guztien batura egin behar da, bi indize ezberdinak dituzten osagaiak baztertuz. Beraz, tentsoreen kontrakzioa matrize baten aztarnaren kasu orokortu bat da, aztarna (1,1) ordenako tentsoreen kasu partikularra baita.

*Adibidez*, demagun *(2, 2)* motako tentsore bat dugula,  {T^{ab}}_{cd}
  , lau indize dituelarik: bi goi-indize eta bi azpi-indize. Tentsore honen kontrakzio bat adibidez, *a = c* egitean izango dugu. Horrek honakoa esan nahi du: 

 {T^{b}}_{d} = {T^{ab}}_{ad}  .

Hala, tentsore berri bat lortzen dugu, bi indize gutxiagorekin.

#### Biderkaketa tentsoriala 
Biderkaketa tentsoriala, bi tentsoren arteko eragiketa bat da, ordena handiagoko tentsore berri bat sortzen duena. Tentsore berriaren ordena, hasierako ordenaren batuketatik lortzen da. Bi matrize m × n eta p × q neurrikoak badira, haien biderkaketa tensorialak (m × p) × (n × q) neurria izango du.

Orokorrean, osagai idazkeran honela idatz daiteke:

{{{(S \otimes T)^{i_1\ldots i_l}}_{j_1\ldots j_k}}^{i_{l+1}\ldots i_{l+n}}}_{ j_{k+1}\ldots j_{k+m}} =
  {S^{i_1\ldots i_l}}_{j_1\ldots j_k} {T^{i_{l+1}\ldots i_{l+n}}}_{j_{k+1}\ldots j_{k+m}}. 

*Adibidez*, demagun 2 \times 2 dimentsioko bi tentsore ditugula:

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}.

Biderkaketa tensoriala 
A \otimes B
 honela kalkulatzen da, 4 ordenako, tentsore bat emanez (
2 \times 2 \times 2 \times 2
 matrize bat)

A \otimes B = \begin{pmatrix} a \cdot B & b \cdot B \\ c \cdot B & d \cdot B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} a \cdot e & a \cdot f \\ a \cdot g & a \cdot h \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} b \cdot e & b \cdot f \\ b \cdot g & b \cdot h \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} c \cdot e & c \cdot f \\ c \cdot g & c \cdot h \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} d \cdot e & d \cdot f \\ d \cdot g & d \cdot h \end{pmatrix} \end{pmatrix} 
.

Emaitza 4 × 4 matrize gisa ere adieraz daiteke:

A \otimes B = \begin{pmatrix} a \cdot e & a \cdot f & b \cdot e & b \cdot f \\ a \cdot g & a \cdot h & b \cdot g & b \cdot h \\ c \cdot e & c \cdot f & d \cdot e & d \cdot f \\ c \cdot g & c \cdot h & d \cdot g & d \cdot h \end{pmatrix} 
.

Hala eta guztiz ere, ez da ahaztu behar (m × p) × (n × q) ordenakoa dela, eta hortaz, 4. ordeneko tentsoreen eraldaketa araua jarraitu beharko duela, eta ez (m · p) × (n · q) -rena, hots, 2 ordenako batena. 

#### Indizeak igotzea eta jeistea 
Indize bat jaisteko, hots, indize kontrabariante bat indize-kobariante bihurtzeko, metrika tentsorea erabiltzen da:

Hala, {T^{i_1 i_2 \cdots i_m \cdots i_n}}_{j_1 j_2 \cdots j_l} osagaiak dituen tentsore baten kasuan, 
i_m 
 indizea jaisteko formula honakoa da:

{{{T^{i_1 i_2 \cdots i_{m-1}}}_{i_m}}^{i_{m+1} \cdots i_n}}_{j_1 j_2 \cdots j_l}=g_{i_m k_m} {T^{i_1 i_2 \cdots k_m \cdots i_n}}_{j_1 j_2 \cdots j_l}.

non, espazioaren metrika tentsorea den.

{{{T^{i_1 i_2 \cdots i_{m-1}}}_{i_m}}^{i_{m+1} \cdots i_n}}_{j_1 j_2 \cdots j_l}
 osagaiez osaturiko tentsorea, 
 i_m
 indizean kobarianteki transformatzen dela froga daiteke betiere {T^{i_1 i_2 \cdots i_m \cdots i_n}}_{j_1 j_2 \cdots j_l}osagaiak tentsore batenak badira.

Alderantziz, indize bat igotzeko, (indize kobariantetik kontrabariantera pasatzeko) metrika tentsorearen alderantzizkoa (
g^{ij}
 ) erabiltzen da.

g_{ik}g^{kj}= \delta_i^j
.

Konturatu hau identitatea ematen duen matrize biderkaketa baten baliokidea dela, hau da, 
g^{ij}
 tentsorea 
g_{ij}
 tentsorearen alderantzizkoa dela esatearen baliokidea da.

Hortaz,

{{{T^{i_1 i_2 \cdots i_n}}_{j_1 j_2 \cdots j_{m-1}}}^{j_m}}_{j_{m+1} \cdots j_l }= g^{j_m k_m} {T^{i_1 i_2 \cdots i_n}}_{j_1 j_2 \cdots k_m \cdots j_l}.

## Tentsorearen Definizioa 
Tentsoreak definitzeko hainbat ikuspegi daude, hizkuntza desberdina eta abstrakzio maila ezberdinak erabililtzen dituztenak, baina denek nolabait honakoan bat egiten dute:

**Tentsorea** koordenatu aldaketa bat egitean **aldaezin mantentzen** den **objektu matematikoa** da**.**

### Esangura fisikoa 
*Adibidea: Azelerazio jakin batekin mugitzen den objetu bat*
thumb|Azeleratutako objetu bat, biratuta dauden bi erreferentzi sistemen ikuspuntutik
Azelerazioa **tentsore** baten adibide sinplea da, bi erreferentzia-sistema inertzialek bat egingo baitute objektuak azelerazio bera duela adieraztean. Hala ere, erreferentzia-sistema ezberdinetako *A* eta *B* behatzaileak ez dira ados jarriko bektore horren osagaiekin.

Tentsorea, hautatutako koordenatu sistemarekiko independientea den objetu matematikoa da, hau da, edozein erreferentzia sistema ezberdinetako bi behatzaileek bat egiten duten *objetu geometriko* horri deritzo tentsore. Nahiz eta osagaiak aldatu daitezkeen, tentsoreak entitate fisiko edo geometriko bera irudikatzen jarraitzen du.

*Oharra:* Tentsore mota gehiago ere badirela kontuan hartu beharra dugu, hala nola tenperatura (eskalar bat), inertzia (matrizeak) etab. Tentsorearen definizioa bektorearen definiziotik haratago doa.

### Tentsorearen intuizio geometrikoa 
Bektore espazio bateko tentsorea **osagaietan** deskribatzen denean, beti bektore espazio horretako oinarri batekin, hau da, erreferentzia-sistema konkretu batekin batera egin behar da. Hortaz, *B* behatzailearen erreferentzia-sistema A sistemarekiko biraturik dagoela definituko dugu, aurrekoaren antzera.
thumb|Elkarrekiko θ angelua biratuta dauden bi erreferentzia sistema.
Bi sistemen arteko biraketa-matrizea 
A \xrightarrow{} B 
 honakoa da:

: 
R = \begin{pmatrix}
\cos\theta & \sin\theta \\
-\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}.

Beste modu batera esanda, B erreferentzia-sistema "prima" sistema bada, sistema hauen oinarriak honakoa beteko dute

: 
\hat{e}'=
\begin{pmatrix}
\hat{i}' \\
\hat{j}'
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\cos\theta & \sin\theta \\
-\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\hat{i} \\
\hat{j}
\end{pmatrix}.

Tentsoreen idazkeran (beraz, Einsteinen batura hitzarmena erabilita) honakoa da

: 
\hat{e}'_\alpha=R_{\alpha}{}^{\beta} \hat{e}_{\beta}.

:

*Oharra:* bektore batek bi oinarri ezberdinetan osagai berdinak edukiko balitu, biak bektore ezberdinetaz hitz egiten ariko lirateke.
thumb|Erreferentzia sistema ezberdinetan osagai berdinak diktuen bektorea (v,0)_A \neq (v,0)_B

Beraz, bi erreferentzia-sistema ezberdinek **objektu geometriko berean bat egiteko,** objektu horren **osagaiak oso modu zehatzean aldatu behar dira,** **koordenatu-sistemaren oinarriaren biraketa desegiteko moduan,** hain zuzen ere. Bestela, ez genuke objektu fisiko edo geometriko bera izango, hau da, tentsorea.
thumb|Objektu geometriko berdina izateko**,** erreferentzi sistema berrian, objektu horren osagaiek koordenatu-sistemaren biraketa desegin beharko dute.

Osagaiak sistema biraketaren aurka biratu behar dira, objetu berdina izan dadin

: 
\vec{v}'=R^{-1} \vec{v}.

Tentsore-idazkeran hau honela adierazten da:

: 
v'^{\alpha}= {{R^{-1}}^\alpha}_\beta v^\beta.

Bektorearen osagaiak, goi-indizea dutenak, **kontrabariante** izenez ere ezagutzen dira, haien biraketa-matrizea sistemaren oinarriarenaren aurkakoa baita. 

### Osagaien bidezko definizioa 
Berreskuratu dezagun berriro tentsorearen definizioa:

*Tentsore bat koordenatu-aldaketekiko aldaezina den objektu matematiko bat da.*

Definizio matematikoa emateko hasi gaitezen oinarri eta ingurune bat definitzen:

Izan bitez 
\hat{e}_\alpha
 espazio bektorial bateko oinarri bat eta 
{\hat{e}'}_\beta
 aurrekoarekiko biraturik dagoen beste koordenatu sistema bateko oinarri bat. Era berean, izan bitez, tentsore baten osagaiak 
v^\alpha
 eta 
v^\beta
, hurrenez hurren aipatu ditugun bi sistemetan.

Orain, izan bedi hurrengo objektu matematikoa:

\mathbf{V} := v'^\alpha \hat{e}'_\alpha \equiv {v'}^1 \hat{e}'_1+ v'^2 \hat{e}'_2 + \cdots +v'^n \hat{e}'_n.

Horretan, aurreko ekuazioak eta transformazioaren ekuazioak erabiliz, honako berdintasuna lortuko dugu:

v'^\alpha \hat{e}'_\alpha= R^{-1}{}^\alpha{}_\gamma v^\gamma R_{\alpha}{}^{\beta} \hat{e}_{\beta}=R^{-1}{}^\alpha{}_\gamma R_{\alpha}{}^{\beta} v^\gamma \hat{e}_{\beta}= \delta_\gamma^\beta v^\gamma \hat{e}_{\beta} = v^\alpha \hat{e}_{\alpha}.

Hala, hurrengoa ondorioztatzen dugu:

\mathbf{V} = v'^\alpha \hat{e}'_\alpha = v^\alpha \hat{e}_{\alpha}. 

Orokorrean, 
\hat{e}_\alpha  
 espezio bektorialaren oinarria bada eta 
\hat{\theta}_\alpha 
 espazio dualaren oinarria bada tentsorea honela definitu dezakegu:

\textbf{T}:={T^{\mu_1 \ldots \mu_n}}_{\nu_1 \nu_2 \ldots \nu_l} {\hat{e}}^{\nu_1} \ldots \hat{e}^{\nu_l} \hat{\theta}_{\mu_1} \ldots \hat{\theta}_{\mu_n}.

Beraz, objektu hori (lodiz idatzia dagonea) **koordenatu-aldaketekiko aldaezina den objektua da**, hau da, **tentsorea**.

*Oharra*: Batzuetan 
{T^{\mu_1 \ldots \mu_n}}_{\nu_1 \nu_2 \ldots \nu_l}
 tentsore izenez ere deitzen zaio, baina hau akatsa edo zehaztasun faltaren ondorioa da. Izan ere, 
{T^{\mu_1 \ldots \mu_n}}_{\nu_1 \nu_2 \ldots \nu_l}
, \textbf{T}
-tentsorearen **osagaiak** direla esan behar genuke.

Azkenik, osagaien transformazio-araua tentsorearen definiziotik abiatuta lor daiteke, hots, ekuazio honetatik. Honek tentsore ordena handiagoko kasuetara orokortzea ahalbidetzen du. 

T^{\mu_1' \mu_2'\ldots \mu_n'}{}_{\nu_1' \nu_2'\ldots \nu_l'}={\left(R^{-1}\right)}{}^{\mu_1'}{}_{\mu_1} {\left(R^{-1}\right)}{}^{\mu_2'}{}_{\mu_2}\ldots {\left(R^{-1}\right)}{}^{\mu_n'}{}_{\mu_n} R^{\nu_1}{}_{\nu_1'}\ldots R^{\nu_l}{}_{\nu_l'} T^{\mu_1 \mu_2\ldots \mu_n}{}_{\nu_1 \nu_2\ldots \nu_l}.

Definizio zehatzagoa baduten arren, azpi- eta goi-indizeak, erreferentzi-sistema aldeketako biraketa matrizarekin batera aldatzen diren indizeak aurkako biraketarekin aldatzen direnetaz ezberdintzeko erabiltzen dira. Hau da, indize **kobariante** (azpi-indizeak) eta **kontrabarianteen** (goi-indizeak) arteko ezberdintasuna adierazten dute.

Askotan honela dio tentsorearen definizioak:

*Tentsore bat koordenatu-aldaketa baten aurrean bere osagaiak tentsore bezala transformatzen dituen objektu matematiko bat da.*

Definizio honek tautologikoa dirudi, baina askok tentsorearen transformazioa kanpo-definizio gisa hartzen dute, eta hori, hasiera batean esan dugun transformazioa da, hain zuzen ere.

## Eremu-tentsoreak 
Barietateetan, askotan koordenatu-oinarri bana aukeratzen da barietateko puntu guztietan existitzen den bektore-espazio tangente bakiotzerako. Hauek oso garrantzitsuak dira geometria diferentzialean eta fisikan. Eraldaketa-legea, orduan, koordenatu-funtzioen ( 
\overline{x}^i=(x^1, \ldots , x^n) 
 ) deribatu partzialen bidez adieraz daiteke,
{\hat{T}^{i'_1\dots i'_p}}_{j'_1\dots j'_q}\left(\bar{x}^1, \ldots, \bar{x}^n\right) =
  \frac{\partial \bar{x}^{i'_1}}{\partial x^{i_1}}
  \cdots
  \frac{\partial \bar{x}^{i'_p}}{\partial x^{i_p}}
  \frac{\partial x^{j_1}}{\partial \bar{x}^{j'_1}}
  \cdots
  \frac{\partial x^{j_q}}{\partial \bar{x}^{j'_q}}
  {T^{i_1\dots i_p}}_{j_1\dots j_q}\left(x^1, \ldots, x^n\right). 

Azken hau aurreko erregelaren orokorpena da. 

## Tentsore dentsitateak 
Tentsoreen orokorpen bat, tentsore dentsitateak dira. Horiek, honako erregela araua jarraitzen dute:

T^{\mu_1' \mu_2'\ldots \mu_n'}{}_{\nu_1' \nu_2'\ldots \nu_l'}= |det(R)|^{-w} {\left(R^{-1}\right)}{}^{\mu_1'}{}_{\mu_1} {\left(R^{-1}\right)}{}^{\mu_2'}{}_{\mu_2}\ldots {\left(R^{-1}\right)}{}^{\mu_n'}{}_{\mu_n} R^{\nu_1}{}_{\nu_1'}\ldots R^{\nu_l}{}_{\nu_l'} T^{\mu_1 \mu_2\ldots \mu_n}{}_{\nu_1 \nu_2\ldots \nu_l},

non w
 pisua den, eta 0 denean aurreko definizioa berreskuratzen den. 

## Kanpo estekak