Ekuazio

[alt=Berdin zeinuaren lehen erabilera islatzen duen ekuazioaren irudia.|thumb|Berdin zeinuaren lehen erabilera, gaur egungo notazioan 14x + 15 = 71 ekuazioaren baliokidea litzatekeena, Galesko [Robert Recorderen *The Whetstone of Witte* liburutik ateratakoa.]]

Matematikan, **ekuazioa** ezezagun bat edo gehiago dituen berdintza aljebraikoa da, adibidez x+4=7, ekuazio bat da, non bi adierazpen matematiko berdintzen diren eta x ezezaguna den. Zenbakizko berdintzetan (2+3=5, esaterako) ez bezala, ekuazioa ez da, oro har, egiazkoa ezezagunaren edozein baliotarako (aurreko ekuazioan adibidez, x=5 	ext{,  orduan}  5+4
e 7).
Horrela, *ekuazioa ebaztea* berdintza betetzen duten ezezagunen balioak aurkitzea da, *ezezaguna* aurkitzea alegia, ekuazioa identitate edo zenbakizko berdintza bihurtzeko (aurreko ekuazioan, x+4=7 	ext{,  orduan}  x=7-4=3). Horrela, x, *bakandu* edo *askatu* egin dela esaten da.

Oro har, ezezagunak **x**, **y**, **z**, etab. hizkiez adierazten dira, eta konstanteak alfabetoko lehenengo hizkiez (**a**, **b**, **c**, eta abar).

Alfabeto-egiunez finkatzeko ideia, ezezagunak konstanteetatik desberdintzeko, François Viète matematikari frantziarrarena izan zen. François Viètek kontsonanteak aldagaietarako eta bokalak konstanteetarako erabili zituen.

## Sarrera 
### Irudikapen baliokidea 
[alt=Ekuazio baten ilustrazioa.|thumb|Ekuazio baten ilustrazioa, zeinetan *x,* y eta *z* diren [ezezagunak.]]
Ekuazio bat pisu balantza bat bezala irudika genezake, berdin zeinuaren alde bakoitza balantzaren beso bat delarik. Bi besoetan, elementu ezberdinak jar daitezke eta, pisua berdina den bitartean, balantza orekatua egongo da. Desberdintza bat gertatzen den momentuan, inekuazio bat edukiko genuke.

Ilustrazioan, *x*, *y* eta *z* kopuru ezberdinetan dauzkagu (zenbaki errealak dira, kasu honetan), horietako bakoitzak pisu ezberdina duelarik.

### Konstanteak eta ezezagunak 
Batzuetan, ekuazioek ez ezagunetaz gain elementu gehiago izaten dituzte, balio ezagun bat izan ohi dutenak, parametro, konstante edota koefiziente bezala ezagutzen direnak.

Normalean, ezezagunak alfabetoaren amaierako hizkiekin adierazten dira: *x, y, z, w*.... Konstanteak, aldiz, alfabetoaren hasierako hizkiak erabilita adierazten dira: *a, b, d...* Esate baterako, bigarren mailako ekuazioa, normalean, ondorengo notazioarekin adierazten da: *ax2 + bx + c = 0.*

Ekuazioaren soluzioa aurkitzearen prozesuari, ekuazio ebaztea deritzo.

Ekuazio-sistema bat hainbat ezezagun komun dituzten ekuazioek osatutako multzoa da. Ekuazio-sistema horren soluzioa ezezagun bakoitzarentzako balio multzo bat da, multzoko ekuazio guztientzako baliagarria dena. Adibidez:

\begin{align}
3x+5y&=2\\
5x+8y&=3
\end{align}

Ekuazio-sistema honek soluzio bakarra dauka, zeinetan x = –1 eta y = 1 diren.

### Ekuazioen erabilera 
Ekuazioak, zientzian, oso erabiliak dira legeak modu zehatzean adierazteko, ekuazioek aldagaien arteko harremana adierazten dute eta. Adibidez, fisikan, Newtonen bigarren legeak *F* indarraren, *a* azelerazioaren eta *m* masaren arteko harremana adierazten du: F = ma. Ekuazio horren emaitza baliozkoak diren balioek Newton-en bigarren legea betetzen dute. Esate baterako, *m* = 1 kg bada eta azelerazioa *a = 1* *m/s,* ekuazioaren soluzio bakarra F = 1 kg·m/s = 1 newton izango da, legearen ekuazioak onartzen duen balio bakarra delako.

Ekuazioen aplikazio eremua oso zabala da, eta, hortaz, esparru askotan erabiltzen da. Ian Stewart matematikariaren arabera, «ekuazioen boterea (...) matematikaren (giza garunaren asmakuntza kolektiboa dena) eta errealitate fisikoaren arteko harreman zaila egin ahal izatean datza».

## Historia 
### Antzina 
K.a. XVI. mendean, egiptoarrek eguneroko arazoak ebazten zituzten, elikagaiak, uztak eta materialak banatzearekin zerikusia zutenak eta lehen mailako ekuazio aljebraiko sinpleak ebazteko balio zutenak; notazio aljebraikoa existitzen ez zenez, gutxi gorabeherako metodo iteratibo bat erabiltzen zuten, «kokapen faltsuaren metodoa» izenekoa.

Gure aroaren hasierako Txinako matematikariek *Matematika-arteari buruzko bederatzi kapituluak* liburua idatzi zuten. Bertan, lehen eta bigarren mailako ekuazio aljebraikoak ebazteko zenbait metodo eta bi ezezaguneko bi ekuazioko sistemak planteatu zituzten.

Diofanto Alexandriakoa matematikari grekoak bere *Arithmetika* obra III. mendean argitaratu zuen, lehen eta bigarren mailako ekuazioak landuz; ekuazioak irudikatzeko sinboloak erabiltzen lehenetako bat izan zen. Ekuazioak soluzio osoekin ere planteatu zituen, ekuazio diofaniko deituak.

### XV-XVI. mendea 
Aro Modernoan, ekuazio aljebraikoen azterketak bultzada handia izan zuen. XV. mendean, erronka matematiko publikoak zeuden aztergai, irabazleari sariak emanez; hala, erronka famatu batek hirugarren mailako ekuazioak ebaztera behartu zituen bi matematikari, eta irabazlea Niccolò Fontana Tartaglia izan zen, aljebrari aditua.

XVI. mendearen erdialdean, Girolamo Cardano eta Rafael Bombelli matematikari italiarrek jakin zuten ezen bigarren, hirugarren eta laugarren graduko ekuazio guztiak ebazteko, ezinbestekoa zela zenbaki irudikariak erabiltzea. Tartagliaren etsai amorratua zen Cardano, eta laugarren mailako ekuazioak ebazteko metodoak ere aurkitu zituen.

Mende eren, René Descartes matematikari frantsesak notazio aljebraiko modernoa ospetsu egin zuen. Notazio horren, konstanteak alfabetoko lehen letrek adierazten dituzte, a, b, c, …, eta aldagaiak edo ezezagunak azkenek, , y, z.

Garai horretan, orain dela gutxi ebatzi diren ekuazio-problemak aipatzen dira; besteak beste, Fermat-en azken teorema, matematikaren teorema ezagunenetako bat, 1995 arte Andrew Wilesek eta Richard Taylorrek frogatu ez zutena.

### XVII-XVIII. mendea 
XVII. mendean, Isaac Newtonek eta Gottfried Leibnizek dinamikaren problemetan agertzen diren ekuazio diferentzialak ebazteko lehen metodoak argitaratu zituzten. Ziurrenik, ekuazio horiei buruzko lehen liburua Gabriele Manfrediren *Lehen mailako ekuazio diferentzialen eraikuntzei* buruzkoa izan zen (1707). XVIII. mendean, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, Joseph-Louis Lagrange eta Pierre Simon Laplacek ekuazio diferentzial arruntei eta deribatu partzialetako ekuazioei buruzko emaitzak argitaratu zituzten.

### Aro modernoa 
Aurreko garaietako ahalegin guztiak gorabehera, bosgarren mailako eta goi-mailako ekuazio aljebraikoak ez ziren ebatzi; kasu partikularretan bakarrik lortu zen, baina ez zegoen irtenbide orokorrik. . mendearen hasieran, Niels Henrik Abelek frogatu zuen ekuazio ez-ebazgarriak daudela; zehazki, erakutsi zuen ez dagoela formula orokorrik bosgarren mailako ekuazioa ebazteko; ondoren, Évariste Galoisek, bere talde-teoria erabiliz, frogatu zuen gauza bera esan daitekeela bost edo gehiagoko graduko ekuazio orori buruz.

XIX. mendean, zientzia fisikoek ekuazio diferentzialak erabili zituzten deribatu partzialetan eta/edo ekuazio integraletan, hala nola James Clerk Maxwellen elektrodinamikan, mekanika hamiltondar edo fluidoen mekanikan. Ekuazio horien eta ebazpen-metodoen ohiko erabilerak espezialitate berri bat sortzea ekarri zuen, fisika matematikoa.

XX. mendean, fisika matematikoak bere ekintza-eremua zabaltzen jarraitu zuen; Erwin Schrödinger, Wolfgang Ernst Pauli eta Paul Dirac-ek mekanika kuantikorako funtzio konplexuak zituzten ekuazio diferentzialak formulatu zituzten. Albert Einsteinek ekuazio tentsorialak erabili zituen bere erlatibitate orokorrerako. Ekuazio diferentzialek ere aplikazio-eremu zabala dute teoria ekonomikoan.

Praktikan aurkezten diren ekuazio gehienak analitikoki ebazteko oso zailak edo ezinezkoak direnez, ohikoa da zenbakizko metodoak erabiltzea gutxi gorabeherako erroak aurkitzeko. Informatikaren garapenak, gaur egun, milaka eta milioika aldagairen ekuazio arrazoizkoak ebazteko aukera ematen du zenbakizko algoritmoak erabiliz.

## Propietateak 
Bi ekuazio edo bi ekuazio-sistema baliokideak dira, soluzio multzo bera badute. Ekuazio edota ekuazio-sistema bati eragiketa oinarrizko bera aplikatzen bazaie, berdintza mantentzen duena, horren baliokide bat lortuko dugu:

* Ekuazioaren bi aldeei kopuru bera gehitu edo kentzen badiegu, berdintza mantentzen da:a=b\Rightarrow a+c=b+c
* Ekuazioaren bi aldeak kopuru berarekin biderkatuz gero (balio positibo zein negatiboa), berdintza mantentzen da:

a=b\Rightarrow ac=bc

* Ekuazioaren bi aldeak kopuru berarekin zatituz gero (0 ez den balio positibo zein negatiboa), berdintza mantentzen da:

\forall c \ne 0 \quad a=b\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{c}

Eragiketa batzuk ekuazioaren bi aldeei aplikatuta ekuazioaren soluzioez gain soluzio berriak ager daitezke. Esaterako, x = 1 ekuazioak soluzio bakarra dauka, x = 1. Hala ere, ekuazioaren bi aldeei ber 2 berreketa aplikatuko bagenie, ekuazioa x^2=1 bilakatuko litzateke, aurreko soluzioaz gain x = -1 soluzioa ere edukiko lukeena. Hortaz, horrelako transformazioak tentuz egin behar dira ekuazioaren soluzioak ez eraldatzeko.

## Ekuazio motak 
* **Aldagai edo ezezagun bakarreko ekuazioa**: ezezagun horren balio egokiarentzat bakarrik egiaztatzen den ekuazioa; adibidez, 3x+1=10; x=3.
* **Aljebrako ekuazioa**: ezezaguna aljebrako eragiketa arrunten (batuketa, kenketa, biderketa, erroketa) mende dagoen ekuazioa. Aztertu ziren lehenengo ekuazioak aljebrakoak izan ziren; horretarako, hainbat polinomio berdindu ziren beren artean, balio ezezagunak argitzeko.
* Ekuazio diferentziala, ezezagunak deribatu moduan agertzen direnean;
* Integralen ekuazioa.
* Aplikazio jakina duten ekuazioak ere badaude, aplikazio horren izenarekin izendatzen direnak; adibidez, mugimendu-ekuazioak, denbora-ekuazioak.

## Ekuazioak ebaztea
Ekuazio bat ebaztea haren soluzio domeinua aurkitzea da, berdintasuna betetzen duten ezezagunen balioen multzoa dena.

Oro har, problema matematikoak ekuazio baten edo gehiagoren bidez adieraz daitezke; hala ere, ekuazio guztiek ez dute ebazpenik, izan ere, izan ere, baliteke berdintasun jakin bat egia bihurtzen duen ezezagunaren baliorik ez egotea. Kasu horretan, ekuazioaren emaitzen multzoa hutsa izango da, eta ekuazioa ezin dela ebatzi esaten da. Era berean, balio bakarra izan dezake, edo balio bat baino gehiago, edo baita balore infinitu ere, eta horietako bakoitza ekuazioaren emaitza jakin bat da.

Inkognitaren edozein baliok berdintasuna betearazten badu (hau da, ez dago betetzen ez den baliorik) ekuazioa, berez, identitate bat da.

## Ekuazio aljebraikoak
Ekuazio aljebraiko bat adierazpen aljebraikoak baino ez dituena da, hala nola polinomioak, adierazpen arrazionalak, erradikalak eta beste batzuk. Adibidez:

### Definizioa
Ezezagun bat duen ekuazio aljebraiko deritzo honetara murrizten den ekuazioari:
{{Ekuazio|\alpha_0 x^n + \alpha_1 x^{n-1} + \alpha_2 x^{n-2} + \cdots + \alpha_{n-1}x + \alpha_n = 0||left}}

non  zenbaki oso positibo bat den; , , , ..., ,  ekuazioaren *koefiziente* edo *parametro* deritze, eta emanda hartzen dira;  ezezaguna izendatzen da, eta bere balioa bilatzen da.  zenbaki positiboari ekuazioaren *gradu* deritzo. Zenbaki aljebraiko bat definitzeko, zenbaki arrazionalak hartzen dira koefizientetzat.

### Forma kanonikoa
Ekuazio baten bi ataletan transformazio-serie bera eginez, horietako bat zerora murriztea lor daiteke. Horrez gain, terminoak ezezagunen gainean dauden berretzaileen arabera ordenatzen badira, handienetik txikienera, ekuazioaren *forma kanoniko* izeneko adierazpen bat lortzen da. Askotan, ekuazio polinomikoak forma kanonikotik abiatuta aztertzen dira, hau da, lehenengo gorputz-adarra polinomio bat dena eta bigarren gorputz-adarrak zero.

Emandako adibidean,  batuz eta bi ataletan  kenduz eta gero ordenatuz, hau lortzen dugu:

### Gradu 
Ekuazio polinomial baten *gradu* deritzo ezezagunak goratuta dituen berretzaile handienari. Adibidez:

Hirugarren mailako ekuazioa da  aldagaia kubora berretua dagoelako kasurik gehienetan.

Zenbaki errealen edo konplexuen gaineko aldagai bakarreko  graduko ekuazio polinomikoek, erradikalen metodoaren bidez ebatz daitezke  denean (izan ere, kasu horietan, ekuazioaren erroei lotutako Galoisen taldea ebazgarria da). Bigarren mailako ekuazioaren ebazpena antzinatik ezagutzen da; hirugarren eta laugarren mailako ekuazioak XV. eta XVI. mendeetatik ezagutzen dira, eta erradikalen metodoa erabiltzen dute. Bosgarren mailako ekuazioaren emaitza ezin da lortu erradikalen metodoaren bidez, baina Jacobiren theta funtzioaren terminoetan idatz daiteke.

thumb|Ekuazio lineal baten grafikoa zuzen bat da.
### Lehen mailako ekuazioa
Ekuazio aljebraiko bat lehen gradukoa dela esaten da ezezaguna  (hemen  letraz adierazia) 1 potentziara berretua dagoenean (gradu = 1), hau da, 1 dela berretzailea.

Lehen mailako ekuazioek forma kanoniko hau dute:

non  eta  (, )  zero ez den zenbakizko multzo batean dauden.
Emaitza erraza da: x = -\tfrac{b}{a}. Ebazpenak eskatzen du biderketa-alderantzizkoak egotea. Ekuazio lineal bat ebaztearen helburua ezezagunaren balioa aurkitzea da, «ekuazioaren aldeen artean dagoen berdintasuna errespetatuz, ezezagun bakoitzeko balioen bakartasuna ekuazioaren ezaugarri bat da».

thumb|Ekuazio koadratiko baten grafikoa parabola bat da.
### Bigarren mailako ekuazioa
Bigarren mailako ekuazio polinomikoek forma kanoniko hau dute:

Non  baita *termino koadratikoaren* koefizientea (ezezaguna 2. potentziara berretua duena),  *termino linealaren* koefizientea (ezezaguna berretzailerik gabe duena, hau da, 1. potentziara berretua dagoena) eta  *termino independentea* den (aldagaiaren mende ez dagoena, hau da, konstantez edo zenbakiz soilik osatuta dagoena).

Ekuazio hau  gainean planteatzen denean, beti bi irtenbide ditugu, Eulerren metodoarekin kalkulatuz:
{{Ekuazio|x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ||left}}

Ekuazioak  zenbaki errealen gainean soluzioa izateko baldintza  behar du, eta  zenbaki arrazionalen ebazpenak izan ditzan  zenbaki oso baten karratua izan behar du.

Ekuazio mota horiek ebazteko, hainbat metodo daude: hala ere, metodo horiek erabiltzea ez da nahikoa, lortutako zenbakien esanahia ezagutu behar da. Ekuazio koadratiko baten ebazpena lortzeko hainbat metodo aljebraiko daude; «ohikoa da ikasleek prozedura aljebraikoak mekanizatzea, eta ez dira ohartzen erantzuna zuzena den ala ez, egindako eragiketak ez dituelako ulertzen eta, ondorioz, ez dituelako akatsak identifikatzen» (Méndez, 2012).

### Ekuazio polinomikoak
thumb|right|220px| *ekuazio polinomialaren* -1 eta 2 *soluzioak*  funtzio koadratikoaren grafikoak *x* ardatza ebakitzen duen puntuak dira.
Oro har, ekuazio aljebraiko edo ekuazio polinomiko bat honako ekuazio hau da:
:P = 0, edo
:P = Q 

non *P* eta *Q* eremuren batean koefizienteak dituzten polinomioak diren (adibidez, zenbaki arrazionalak, zenbaki errealak, zenbaki konplexuak). Ekuazio aljebraiko bat aldagai *bakarrekoa* da, aldagai bakarra inplikatzen badu. Bestalde, ekuazio polinomiko batek aldagai bat baino gehiago izan ditzake, kasu horretan, aldagai anitzeko deritzo (aldagai anizkoitzak, x, y, z, etab.). *Ekuazio polinomiko* terminoa *ekuazio aljebraikoa* baino gehiago erabiltzen da.
:x^5-3x+1=0
aldagai bakarreko ekuazio aljebraikoa (polinomikoa) da, koefiziente osoak dituena, eta
:y^4+\frac{xy}{2}=\frac{x^3}{3}-xy^2+y^2-\frac{1}{7}
zenbaki arrazionalen gaineko aldagai anitzeko ekuazio polinomiko bat da.

Koefiziente arrazionalak dituzten ekuazio polinomiko batzuek (baina ez guztiek) adierazpen aljebraiko bat den ebazpen bat dute, koefiziente horiek baino ez dituzten eragiketen kopuru finitu batekin (hau da, aljebraikoki ebatz daiteke). Hori egin daiteke bat, bi, hiru edo lau graduko ekuazio horietarako guztietarako; baina bost graduko edo gehiagoko ekuazioetarako, ebatz daiteke ekuazio batzuetarako, baina, Abel-Ruffiniren teoremak erakusten duen moduan, ez ekuazio guztietarako.

Ikerketa asko egin dira aldagai bakarreko ekuazio aljebraiko baten zenbaki erreal edo konplexu baten ebazpenen hurbilketa zehatzak modu eraginkorrean kalkulatzeko eta aldagai anitzeko zenbait ekuazio polinomikoren emaitza komunak.

## Ekuazio diferentzialak eta integralak
thumb|upright=1.2|Erakarle bat, ekuazio diferentzial jakin bat ebaztean sortzen dena
Ekuazio diferentzial bat da funtzio bat bere deribatuekin erlazionatzen duen ekuazio matematiko bat. Aplikazioetan, funtzioek kantitate fisikoak adierazten dituzte; deribatuek, berriz, beren kanbio-tasak adierazten dituzte, eta ekuazioak bien arteko erlazio bat definitzen du. Harreman horiek oso arruntak direnez, ekuazio diferentzialek zeregin garrantzitsua dute diziplina askotan, fisika, ingeniaritza, ekonomia eta biologia barne.

Matematika purutan, ekuazio diferentzialak hainbat ikuspuntutatik aztertzen dira, batez ere, haien konponbideei dagokienez, ekuazioa betetzen duten funtzioen multzoa. Ekuazio diferentzial sinpleenak baino ezin dira ebatzi formula esplizituen bidez; hala ere, ekuazio diferentzial jakin baten ebazpenen propietate batzuk zehaztu daitezke haien forma zehatza aurkitu gabe.

Ez badago soluziorako kontrol-formularik, zenbakien bidez hurbil daiteke, ordenagailuen bidez. Sistema dinamikoen teoriak ekuazio diferentzialen bidez deskribatutako sistemen analisi kualitatiboa nabarmentzen du, eta, aldi berean, zenbakizko metodo asko garatu dira soluzioak doitasun-maila jakin batekin zehazteko.

Matematikan, fisikan eta beste zientzia aplikatuetan, askotan, ekuazio ez-aljebraikoak erabiltzen dira, non ezezagunak ez baitira zenbakizko balioak soilik, funtzioak baizik. Adibidez, partikula arin batek izar baten eremu grabitatorioan egiten duen \scriptstyle \mathbf{r}(t) ibilbidea, gutxi gorabehera aurki daiteke mota honetako ekuazio diferentzial baten emaitza bilatzeari esker:

{{Ekuazio|
\frac{\text{d}^2 \mathbf{r}(t)}{\text{d}t^2} =
- \frac{GM}{\|\mathbf{r}(t)\|^3} \mathbf{r}(t)
||left}}

non \scriptstyle \mathbf{r}(t) partikularen posizio-bektorea den izarreko koordenatu-jatorria hartuz; *M* eguzkiaren masa da, eta *G* grabitazio unibertsalaren konstantea.

Ekuazioetan, ebazpen guztiek halako funtzio-eremu bat osatzen dute, non denek betetzen baitute ekuazioa. Ebazpen multzoa hasierako baldintza kopuru mugatu batez zehatz badaiteke, orduan, espazio hori neurri finituko aldaera bereizgarria da lokalki, eta hori maiz gertatzen da ekuazio diferentzial arruntekin. Deribatu partzialetako ekuazioetan, askotan, mugalde-baldintza desberdinak dituzten ebazpen posibleen multzoak dimentsio ez-finituko espazio bat osa dezakete.

### Ekuazio diferentzial arruntak
Ekuazio diferentzial arrunt bat edo **EDO** aldagai aske baten eta haren deribatuen funtzio bat duen ekuazio bat da. Termino arrunta ekuazio diferentzial partzial terminoarekin kontrastean erabiltzen da, zeina aldagai aske bat baino gehiagorekiko izan baitaiteke.

Ekuazio diferentzial linealak, koefizienteen bidez batu eta biderkatu daitezkeen soluzioak dituztenak, ondo definituta daude; elkar ulertzen dute, eta emaitza zehatzak modu itxian lortzen dira. Aldiz, batuketa-soluziorik ez duten EDOak ez-linealak dira, eta askoz ere korapilatsuagoa da bere erabakia; izan ere, oso gutxitan irudika daitezke oinarrizko funtzioen bidez modu itxian: Aldiz, EDOen irtenbide zehatzak eta analitikoak serie edo integral moduan daude. Metodo grafiko eta zenbakizkoak, eskuz edo ordenagailuz aplikatuak, EDOen irtenbideak hurbildu ditzakete, eta, agian, informazio erabilgarria eman, maiz nahikoa soluzio zehatz eta analitikorik ezean.

### Ekuazio diferentzial partzialak
Deribatu partzialetako ekuazio diferentzial bat (EDP) da aldagai anitzeko funtzio ezezagunak eta haien deribatu partzialak dituena (hori ez dator bat ekuazio diferentzial arruntekin, aldagai bakarreko funtzioekin eta haien deribatuekin lan egiten dutenak). EDPak hainbat aldagairen funtzioak dituzten problemak formulatzeko erabiltzen dira, eta eskuz konpontzen dira, edo eredu informatiko egokia sortzeko erabiltzen dira.

EDPak hainbat fenomeno deskribatzeko erabil daitezke, hala nola soinua, beroa, elektrostatika, elektrodinamika, fluido-fluxua, elastikotasuna eta mekanika kuantikoa. Itxuraz desberdinak diren fenomeno fisiko horiek antzera formalizatu daitezke EDP terminoetan. Ekuazio diferentzial arruntek sistema dinamiko dimentsio bakarrak modelizatzen dituzten moduan, ekuazio diferentzial partzialek sistema multidimentsionalak modelizatu ohi dituzte. EDPak ekuazio diferentzial partzial estokastikoetan orokortzen dira.

## Ekuazioak geometrian
### Geometria analitikoa
thumb|Sekzio koniko bat da plano baten eta biraketa-kono baten arteko ebakidura.
Geometria euklidearrean, koordenatu-multzo bat lot dakioke espazioko puntu bakoitzari, adibidez, lauki-sare ortogonal baten bidez. Metodo horrek irudi geometrikoak ekuazioen bidez karakterizatzeko aukera ematen du. Hiru dimentsioko espazio bateko plano bat honela adieraz daiteke:  ax+by+cz+d=0 formako ekuazio baten ebazpen multzoa, non a,b,c eta d zenbaki errealak baitira, eta x,y,z, berriz, erretikula ortogonalak emandako sistemako puntu baten koordenatuei dagozkien ezezagunak. a,b,c balioak dira ekuazioak definitutako planoarekiko perpendikularra den bektore baten koordenatuak. Zuzen bat bi planoren arteko ebakidura gisa adierazten da, hau da, \mathbb{R}^2 balioa duen ekuazio lineal bakar baten emaitza multzo gisa edo \mathbb{R}^3-n balioak dituzten bi ekuazio linealen ebazpen multzoa.

Sekzio koniko bat x^2+y^2=z^2 ekuazioa duen kono baten eta plano baten arteko ebakidura da. Bestela esanda, espazioan, koniko guztiak definitzen dira plano baten ekuazio baten eta eman berri den kono baten ekuazioaren emaitza gisa. Formalismo horrek aukera ematen du koniko baten fokuen posizioak eta propietateak zehazteko.

Ekuazioak erabiliz, matematikaren eremu zabal batera jo daiteke geometriari buruzko gaiak ebazteko. Koordenatu kartesiarren sistemak problema geometrikoa analisi-problema bihurtzen du irudiak ekuazio bihurtzen direnean; hortik datorkio geometria analitiko izena. Ikuspuntu hori, Descartesek zirriborratua, antzinako matematikari greziarrek asmatutako geometria mota aberastu eta aldatzen du.

Gaur egun, geometria analitikoak matematikaren adar aktibo bat izendatzen du. Irudiak karakterizatzeko ekuazioak erabiltzen jarraitzen duen arren, beste teknika sofistikatu batzuk ere erabiltzen ditu, hala nola analisi funtzionala eta aljebra lineala.

### Ekuazio kartesiarrak
Koordenatu kartesiarren sistema da puntu bakoitza plano batean modu bakarrean zehazten duen koordenatu-sistema bat, zenbakizko edo koordenatu-bikote baten bidez, zeinak puntutik bi lerro finko perpendikular zuzenduetarako distantziak diren eta luzera-unitate bera erabiliz markatzen diren.

Printzipio bera erabil daiteke hiru dimentsioko espazioan edozein punturen posizioa zehazteko hiru koordenatu kartesiar erabiliz, zinak hiru plano elkarrekiko perpendikularrekiko zeinua duten distantziak diren (edo, bestela esanda, elkarzutak diren hiru lerroren gainean perpendikularki proiektatuz).
thumb|eskuinera|250px|Koordenatu kartesiar sistema 2 erradioko zirkulua gorriz markatuta jatorrian zentratuta. Zirkulu baten ekuazioa da: , non *a* eta *b* zentroaren koordenatuak diren  eta *r* erradioa.

René Descartesen (latinizatutako izena: Cartesius) koordenatu kartesiarren asmakuntzak, XVII. mendean, matematikak irauli zituen, geometria euklidiarraren eta aljebraren arteko lehen lotura sistematikoa eman baitzuen. Koordenatu kartesiarren sistema erabiliz, irudi geometrikoak (kurbak, adibidez) ekuazio kartesiarren bidez deskriba daitezke: ekuazio aljebraikoak, zeinak forman dauden puntuen koordenatuak adierazten dituzten. Adibidez, plano bateko 2 erradioko zirkulu bat, jatorria izeneko puntu jakin batean zentratua, deskriba daiteke  ekuazioa betetzen duten *x* eta *y* koordenatuak dituzten puntu guztien multzo gisa.

### Ekuazio parametrikoak
Kurba batentzako ekuazio parametriko batek adierazten ditu kurbako puntuen koordenatuak parametro deituriko aldagai baten funtzio gisa
:\begin{align}
x&=\cos t\\
y&=\sin t
\end{align}.
ekuazio parametrikoak dira zirkulu unitarioarentzat, non *t* parametroa den. Oro har, ekuazio horiei, kurbaren **adierazpen parametriko** deritze.

**Ekuazio parametrikoaren** nozioa orokortu da dimentsio handiagoko azalerara, barietateetara eta barietate aljebraikoetara, berdinak izanik parametroen kopurua eta barietatearen dimentsioa, eta ekuazioen kopurua eta barietatea kontuan hartzen den espazioaren dimentsioa berdinak (kurbentzat, dimentsioa *bat* da, eta parametro *bat* erabiltzen da; azaleren neurria *bi*, eta *bi* parametro, eta abar.).

## Oharrak
## Erreferentziak 
## Kanpo estekak