Tasasuse probleem

**Tasasuse probleemiks** nimetatakse Suure Paugu teoorias kerkinud probleemi, kus stabiilse tasase universumi tekkeks ja arenguks peab energiatihedus olema kindla väärtusega.

Energiatihedus mõjutab aegruumi kõverust ning vaid üks kriitiline väärtus tagab tasase aegruumi. Vastasel juhul areneb universum tasasest geomeetriast eemale: kas suletud universumiks, mis kollapseerub tagasi singulaarsuseks, või avatud universumiks, kus energia tihedus muutub liialt väikseks, et saaksid tekkida galaktikad jms suured kosmoloogilised struktuurid.

## Ajalugu
1915. aastal avaldas Albert Einstein üldrelatiivsusteooria väljavõrrandid, mis kirjeldavad aegruumi kõverdumist gravitatsiooni mõjul. Sel ajal oli teadusliku kogukonna arusaam, et universum on ajas muutumatu, aga üldrelatiivsusteooria võrrandite jaoks ei leidunud staatilist lahendit. Selle tõttu tõi Einstein sisse lisaliikme: kosmoloogilise konstandi. Vene füüsik Alexander Friedmann oli üks esimesi, kes uuris Einsteini väljavõrrandite lahendit ilma kosmoloogilise konstandita.

1922. aastal tuletas ta Friedmanni võrrandid, mis kirjeldavad ajas paisuvat universumi. 1927. aastal käis Georges Lemaitre välja paisuva universumi teooria. 1929. aastal avaldas Ameerika astronoom Edwin Hubble'i artikli, mis näitas, et Linnuteed ümbritsevad galaktikad kaugenevad. Mida kaugemal asus uuritav galaktika, seda suurema kiirusega see meist kaugenes. Hubble'i tulemustel põhinedes avaldas Lemaitre 1931. aastal Suure Paugu teooria esimese versiooni – universumil oli alghetk, mil kogu mateeria paiknes ühes punktis ning on sellest ajast saadik paisunud. See teooria ennustas, et varajasest universumist on säilinud footonid, mida saame kiirguse näol mõõta.1964. aastal leidis see ennustus katselist kinnitust kosmilise taustkiirguse näol ning Suure Paugu teooria aktsepteeriti kui kõige tõenäolisem universumi arengu kirjeldus. Sellest hoolimata esinesid teooria kontekstis lahendamata probleemid. Neist ühe – tasasuse probleemi – sõnastas 1969. aastal Robert Dicke.

## Matemaatiline seletus
Kosmoloogilise printsiibi järgi on universum kui tervik isotroopne ja homogeenne. Sellist universumi kirjeldab Friedmanni-Walkeri-Robertsoni meetrika:


    g_{\mu\nu}=
    \begin{pmatrix}
        -1  &   0   &   0   &   0\\
        0   &   \frac{a^2}{1-kr^2}  &   0   &   0\\
        0   &   0   &   a^2r^2  &   0\\
        0   &   0   &   0   &   a^2r^2\sin^2(\theta)\\
    \end{pmatrix}


kus oleme võtnud c=1, g_{\mu\nu} tähistab aegruumi meetrikat,

a(t) on ajast sõltuv ja universumi ruumilist paisumist kirjeldav mastaabi kordaja,

k on kõveruskonstant ja tulemus on avaldatud sfäärilistes koordinaatides r,\theta,\phi.

Einsteini väljavõrrandid saab kirja panna kujul:

R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=8\pi GT_{\mu\nu}

kus R_{\mu\nu} on Ricci kõverustensor,

R on Ricci skalaar,

G on gravitatsioonikonstant ja

T_{\mu\nu} on energia-impulsi tensor.

Modelleerides universumi ideaalse vedelikuna, millele vastab energia-impulsi tensor:

T_{\mu\nu}=(\rho+p)u_{\mu}u_{\nu}+pg_{\mu\nu}

ja tuues sisse Plancki mass:

M_P=\frac{1}{\sqrt{8\pi G}}

saab leida väljavõrrandite ajalisele komponendile vastava võrrandi:

G_0{}^0=\frac{T_0{}^0}{M_P^2}\rightarrow\frac{\dot{a}}{a}+\frac{k}{a^2}=\frac{\rho}{3M_P^2}\quad\quad\quad\quad\quad\quad(1)

Väljavõrrandite ruumilistele komponentidele vastava võrrandi saab leida:

G_i{}^i=\frac{T_i{}^i}{M_P^2}\rightarrow 2\frac{\ddot{a}}{a}+\frac{\dot{a}}{a}+\frac{k}{a^2}=-\frac{p}{M_P^2}\quad\quad\quad\quad\quad\quad(2)

Lahutada võrrandist (2) võrrandi (1):

2\frac{\ddot{a}}{a}+\frac{\dot{a}}{a}+\frac{k}{a^2}-\frac{\dot{a}}{a}-\frac{k}{a^2}=\frac{p}{M_P^2}+\frac{\rho}{3M_P^2}

Seejärel on tulemuseks

\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{\rho+3p}{6M_P^2}\quad\quad\quad\quad\quad\quad(3)

Tähistades \frac{\dot{a}}{a}=H ja \frac{\ddot{a}}{a}=\dot{H}+H^2 võrrandites (1) ja (3), saadakse tulemuseks Friedmanni võrrandid:

H^2=\frac{1}{3M_p^2}\rho-\frac{k}{a^2}

\dot{H}+H^2=\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{1}{6M_p^2}(\rho+3p)

Vaatleme esimest Friedmanni võrrandit juhul, kui ruum on tasane, st k=0. Saame avaldada kriitilise energiatiheduse \rho_k, mis on energiatihedus, mis tagab tasase universumi:

H^2=\frac{\rho_k}{3M_P^2}\rightarrow\rho_k=3H^2M_P^2

Toome Friedmanni võrranditesse sisse tiheduse parameetri \Omega=\frac{\rho}{\rho_k}, mis näitab mõõdetud energiatiheduse ja kriitilise energiatiheduse suhet, ning olekuparameetri w=\frac{p}{\rho}:

H^2=H^2\Omega-\frac{k}{a^2}\rightarrow\Omega -1=\frac{k}{a^2H^2}

\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{1}{2}H^2\Omega(1+3w)

Ülemisest võrrandist näeme, kust tuleneb tasasuse probleem. Nimelt suvalise k\neq0 väärtuse korral suureneb universumis, milles domineerib kas aine või kiirguse osakaal, tiheduse parameeter, sest aH väheneb ajas. Seega jagatise \frac{k}{a^2H^2} absoluutväärtus ajas suureneb ning see tähendab, et \Omega-1 absoluutväärtus peab samuti ajas suurenema. Ainuke erijuht on k=0. Sel juhul on tiheduse parameeter kogu universumi evolutsiooni vältel üheselt võrdne kriitilise tihedusega.

## Tiheduse parameetri väärtus
Tiheduse parameetri praegust väärtust tähistatakse kosmoloogias \Omega_0-ga. Seda saab kaudselt mõõta kosmilise taustkiirguse anisotroopiate ruumilise jagunemise kaudu. 9 aasta jooksul kogutud vaatlusandmed NASA satelliidilt Wilkinson Microwave Anisotropy Probe annavad \Omega_0 väärtuseks \Omega_0=1,037_{-0,044}^{+0,042}. Kui arvestada veel teiste projektide kogutud andmeid (BAO, eCMB, H_0), on tulemuseks 1,0027_{-0,0039}^{+0,0038}. Euroopa Kosmoseagentuuri satelliidi Planck 2018. aastal avaldatud mõõtmisandmed kitsendavad võimalikku väärtust veelgi: \Omega_0=1,0007_{-0,0019}^{+0,0019}.

## Võimalikud seletused

### Antroopsusprintsiip
Üks võimalik seletus tasasuse probleemile on antroopsusprintsiibi kasutamine. Seda lähenemist kasutasid 1973. aastal C. B. Collins ja Stephen Hawking multiversumi teooria kaudu. Selles teoorias realiseeruksid erinevates universumites kõik võimalikud algtingimused, kuid intelligentsed vaatlejad saaksid tekkida vaid nendes universumites, kus olid sobivad algtingimused elu tekkeks. Antroopsusprintsiipi on siiski palju kritiseeritud, sest see ei võimalda teha ühtegi ennustust universumi kohta ja seetõttu ei leidu praktilisi kasutusviise.

### Kosmiline inflatsioon
1981. aastal avaldas Alan Guth artikli kosmilise inflatsiooni teemal. Sel juhul oleks Suurele Paugule järgnenud aegruumi eksponentsiaalne kasv. See lahendaks nii tasasuse probleemi kui ka horisondi probleemi, mis on teine Suure Paugu teoorias esilekerkiv väga spetsiifilisi algtingimusi nõudev probleem. Inflatsioon toimuks skalaarvälja potentsiaalse energia arvelt ning sel juhul toimuks tiheduse parameetri eksponentsiaalne lähenemine väärtusele 1 hoolimata selle algväärtusest. Hilisem universumi paisumine mateeria ja kiirguse mõjul muudaks tiheduse parameetrit väga aeglaselt, andes praegustele mõõtetulemustele vastava tulemuse.

### Einsteini-Cartani-Sciama-Kibble’i gravitatsioon
Selle teooria puhul ei ole eeldatud afiinse seostuse sümmeetrilisust. Nimelt on seostuse sümbolites antisümmeetriline väändetensori osa, mis kirjeldab osakeste spinnide interaktsiooni aegruumiga. Need efektid muutuvad märgatavaks ainult väga suurte tiheduste korral. Selle mudeli järgi ei toimunudki Suurt Pauku, vaid universum tõmbus kokku, kuni spinn-aegruumi interaktsioonid muutusid nii suureks, et algas uus paisumine.

## Viited