Friedmanni võrrandid

**Friedmanni võrrandid** on üldrelatiivsusteooriast leitud kosmoloogia võrrandid, mis määravad homogeense ja isotroopse aegruumi evolutsiooni. Võrrandid tuletas esimesena Alexander Friedmann aastal 1922 ja 1924. aastal lisas ka täiendavad võrrandid negatiivse ruumikõveruse jaoks.

## Võrrandid

Friedmanni võrrand on
:
  H^2 = \frac{8 \pi G }{3}\rho - \frac{k c^2}{a^2}
.

Friedmanni kiirenduse võrrand on
:
  \dot{H} + H^2 = \left( \frac{\ddot{a}} {a} \right)^2 = -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right)
.

Suurus G on Newtoni gravitatsioonikonstant, \rho c^2 on energiatihedus, c on valguse kiirus, a on mastaabikordaja ja p on rõhk.
Hubble'i parameeter H on defineeritud kui

:H \equiv \frac{\dot{R}}{R} = \frac{\dot{a}}{a} .

Mastaabikordaja a on pikkuse dimensiooniga suurus, mis määrab kahe kaasaliikuva punkti suhtelise kauguse. Kasutusel on ka pikkuse dimensiooniga mastaabikordaja, mis saadakse dimensioonitu mastaabikordaja korrutamisel mingi pikkusega, näiteks ruumikõveruse raadiusega. 

Ruumikõverust määrav kordaja k võib olla vastavalt mastaabikordaja valikule pidev või diskreetne. 
* Kui mastaabikordaja on pikkuse dimensiooniga, siis kõveruse kordaja on dimensioonitu ning võib omada ainult kindlaid väärtusi: +1, 0 ja −1. Väärtusele *+1* vastab sfääriline, *0* eukleidiline ning *-1* hüperboolne ruum.
* Dimensoonitu mastaabikordaja korral omab kõveruse kordaja pikkuse pöörddimensiooni ning lubatud väärtuste hulk on pidev. Sfäärilisele ruumile vastab *k > 0*, eukleidilisele *k = 0* ning hüperboolsele *k < 0*.

Võrrandid pole sõltumatud. Esimese võrrandi saab teisest, kui arvestada adiabaatilist paisumist. Lisaks saab teise võrrandi avaldada pidevusevõrrandi:
:
  \dot{\rho} = -3 H \left(\rho + \frac{p}{c^2}\right).


Kuna kiirenduse võrrand on teist järku tuletise tõttu komplitseeritum, siis kasutatakse rohkem esimest võrrandit.

Tiheduse võib jagada kolmeks teadaolevaks komponendiks:

:\rho = \rho_0 + \frac{\rho_3}{a^3} + \frac{\rho_4}{a^4}.

Esimene liige vastab vaakumi energiatihedusele ehk kosmoloogilisele konstandile ning on avaldatav kujul  \rho_0 = \Lambda c^2 / 8 \pi G. Teine liige vastab barüon- ja tumeainele. Kolmas liige vastab kiirgusele. Kuna mastaabikordaja võetakse antud ajahetkel üheks, siis tihedused vastavad hetke hetkeväärtustele. Kiirguse liikmele tekib ruumilisele sõltuvusele a^{-3} lisaks sõltuvus punanihkest a^{-1}.

Võrrandite leidmisel eeldatakse kosmoloogilise printsiibi kehtimist, millest saadakse Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker meetrika:

:ds^2 = (c dt)^2 - a(t)^2 \left[ \frac{dr^2}{1 - K r^2} + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2) \right].

Võetakse ideaalse vedeliku energia-impulsi tensor

:T_{\mu \nu} = (p + \rho c^2) U_\mu U_\nu - p g_{\mu \nu}

ning sisestatakse see koos meetrikaga Einsteini väljavõrranditesse.
Esimene võrrand tuleb 00 komponendist ning teine ruumilise osa jäljest.

## Tihedusparameeter
Tihedusparameeter on defineeritud kui tegeliku ja kriitilise tiheduse suhe \Omega \equiv \rho / \rho_c. Kriitiline tihedus on defineeritud kui \rho_c \equiv 3 H^2 / (8 \pi G) ning on selline tihedus, mille korral on kindla H väärtuse korral aegruumi ruumiline osa tasane. Kuna Hubble'i parameeter sõltub üldjuhul ajast, siis peab ka kriitiline tihedus ajast sõltuma. \Omega_0 tähistab tihedusparameetri hetkelist väärtust.

Tihedusparameeter võib üldiselt koosneda mitmest erinevast komponendist
\Omega = \sum_{n=-\infin}^{\infin} \Omega_n a^{-n}.
Kui vaadata ajahetke kui a = 1, siis saab \Omega = \sum_{n=-\infin}^{\infin} \Omega_n.

Friedmanni esimesest võrrandist saab leida seose tihedusparameetri ja ruumikõveruse vahel 
\Omega - 1 = \frac{k}{a^2 H^2}.
Sellest järeldub, et ruum on avatud, kui 0 , tasane, kui \Omega = 1 ning kinnine, kui \Omega > 1.

\Omega_\Lambda \equiv \frac{\Lambda}{3 H^2} on kosmoloogilisele konstandile vastav tihedusparameeter.

## Barotroopne olekuvõrrand
Kuna sõltumatuid Friedmanni võrrandeid on kaks ning otsitavaid parameetreid on kolm (a, \rho ja p), siis selleks, et võrrandid lahendata, tuleb teha täiendavaid eelduseid.

Eeldusel, et universum sisaldab homogeenset ja isotroopset vedelikku, saab leida rõhku ja energiatihedust siduva barotroopse olekuvõrrandi

p = w \rho c^2.

Suurust w nimetatakse barotroopseks indeksiks. Erinevatele w väärtustele vastavad erinevad mateerialiigid:
* w = 1/3 vastab relativistlikule mateeriale, milleks on kiirgus ja neutriinod;
* w = 0 vastab mitterelativistlikule mateeriale, milleks on barüon- ja tumeaine;
* w = -1 vastab kosmoloogilisele konstandile.
Universum paisub kiirenevalt kui w  ning superkiirenevalt kui w .

Superkiirenevale paisumisele vastab fantoomenergia, mille osakaal suureneb Universumi paisumisel ning lõpliku aja vältel tekib singulaarsus nimega Big Rip. Singulaarsust iseloomustab seotud struktuuride, näiteks galaktikate ja aatomite, lahtirebimine. Mida negatiivsem on w, seda kiiremini saabub singulaarsus.

## Ühekomponendilise ideaalse vedeliku lahendid
Vaadates ainult ühte komponenti ning eeldades, et vedelik allub barotroopsele olekuvõrrandile, saab leida Friedmanni võrranditele lahendid. Tasase ruumi jaoks saab:


  a(t) = a_0 \left( \frac{t}{t_0} \right)^{\frac{3}{2(w+1)}}



  H \equiv \frac{\dot{a}}{a} = \frac{2}{3(w+1)t}



  \rho = \rho_0 \left( \frac{t}{t_0} \right)^{-2} = {\frac{1}{6(w+1)^2 \pi G t^2}}



  q \equiv -\frac{a\ddot{a}(t)}{a^2} = \frac{1+3w}{2}



  t_0 = \frac{2}{3(1+w)H_0}


Kõiki tasase universumi mudeleid iseloomustab mastaabikordaja lõputu kasv ning konstantne aeglustusparameeter q. Kui suurendada w väärtust ning seetõttu ka rõhku, siis aeglustusparameeter väheneb ning ruumi paisumine aeglustub. Negatiivsed rõhu väärtused kiirendavad ruumi paisumist.

Kõikidel w  mudelitel eksisteerib singulaarsus kus mastaabikordaja läheneb nullile ning tihedus hajub. Vastavate lahendite nimeks on Suur Pauk. Nullist erineva kosmoloogilise konstandi korral võib singulaarsust vältida.

Üldjuhul mittetasase juhu jaoks võrrandid analüütiliselt ei lahendu. Mitterelativistliku aine erijuhul (w=0) saab võrrandid siiski lahendada.

Negatiivse kõverusega mudeli jaoks on lahendiks:


  a(\Psi) = a_0 \frac{\Omega_0}{2(1-\Omega_0)} \left( \cosh\Psi -1 \right)



  t(\Psi) = \frac{1}{2 H_0} \frac{\Omega_0}{2(1-\Omega_0)^{3/2}} \left( \cosh\Psi -\Psi \right)


Positiivse kõverusega mudeli lahendiks on tsükloid:


  a(\theta) = a_0 \frac{\Omega_0}{2(1-\Omega_0)} \left( 1 -\cos\theta \right)




  t(\theta) = \frac{1}{2 H_0} \frac{\Omega_0}{2(1-\Omega_0)^{3/2}} \left( \theta - \sin\theta \right)
 .

Positiivse kõveruse juhu korral saab leida punkti, kus \dot{a} = 0  ning millest alates a hakkab vähenema sümmeetriliselt kasvuga. Nulli jõudes tekib singulaarsus nimega Big Crunch.

## Viited