Butterworthi filter

**Butterworthi filter** on signaalitöötluses kasutatav lineaarne sagedusfilter, mille sageduskoste (amplituudi-sageduse karakteristik) pääsuribas (ingl passband) on tasane ning tõkkeribas (ingl stopband) sujuvalt langev.. Sellist filtrit mainis esimesena 1930. aastal Briti insener ja füüsik Stephen Butterworth oma uurimuses „On the Theory of Filter Amplifiers“.

## Ülevaade

Vaadeldes filtri sageduskostet amplituudi-faasi sageduskarakteristikul ehk Bode diagrammil, läheneb koste tõkkeribas lineaarselt miinus lõpmatusele, olenevalt filtri järgust *n*: tõus on –6*n* dB oktaavi kohta (või –20*n* dB dekaadi kohta). Butterworthi filtritel on monotoonselt muutuv ülekandefunktsioon sageduse \omega suhtes, erinevalt mitut teist tüüpi filtrist, kus pääsuribas ja/või tõkkeribas esineb vähemal või suuremal määral lainelisust.

Võrreldes Tšebõšovi või elliptilise filtriga on Butterworthi filtri sageduskarakteristiku langus  siirdealas väiksem, mille tõttu on sageli vajaliku filtreerimisvõime saamiseks kasutada kõrgemat järku filtrit.

## Näide

Butterworthi kolmandat järku madalpääsfiltri ülekandefunktsioon on avaldatav kujul:
:\frac{U_o(s)}{U_i(s)}=\frac{R_4}{s^3(L_1C_2L_3)+s^2(L_1C_2R_4)+s(L_1 + L_3)+R_4},
kus U_o ja U_i on vastavalt filtri väljundpinge ja sisendpinge amplituud. 

Joonisel on kolmandat järku Butterworthi madalpääsfiltri skeem. Eeldades, et C_2 = \frac{4}{3} F (faradit), R_4 = 1\, \Omega, L_1 = \frac {3}{2} H (henrit) ja L_3 = \frac {1}{2} H, ning induktiivpoolide L_n impedants on Ls ja kondensaatorite C_n impedants \frac {1}{Cs}, kus s = \delta + j\omega on elektriahela komplekssagedus.

Selle elektriahela ülekandefunktsioon on
:H(s) = \frac {U_o(s)}{U_i(s)} = \frac {1}{1+2s+2s^2+s^3}.
Sageduskoste amplituud G(\omega) avaldub kujul
:G(\omega) = |H(j\omega)| = \frac {1}{\sqrt{1+\omega^6}},
mis on tuletatud valemist
:G^2(\omega) = |H(j\omega)|^2 = H(j\omega) \cdot H^*(j\omega) = \frac {1}{1+\omega^6},
kus \omega on süsteemi sagedus.
Süsteemi faasinihe sageduse \omega korral avaldub kujul
:\phi(\omega) = \text{arg}(H(j\omega)).

Analoogselt on võimalik luua ka teisi Butterworthi filtreid:
* vahetades üksteisega kondensaatorid ja induktiivpoolid Butterworthi madalpääsfiltris, on tulemuseks Butterworthi kõrgpääsfilter;
* ühendades iga induktiivpooliga jadamisi kondensaatorid ning iga kondensaatoriga paralleelselt induktiivpooli, on tulemuseks Butterworthi ribapääsfilter (ingl band-pass) ;
* ühendades iga induktiivpooliga paralleelselt kondensaatorid ning iga kondensaatoriga jadamisi induktiivpooli, on tulemuseks Butterworthi ribatõkkefilter (ingl band-stop).

## Butterworthi filtri realiseerimine
### Analoogfiltrid
Lineaarsete analoogfiltrite realiseerimiseks on olemas erinevaid filtri topoloogiaid. Butterworthi filtri korral on kõige sagedamini kasutusel kas Caueri (passiivkomponentidel põhinev) või Sallen-Key (aktiiv-passiivkomponentidel põhinev) topoloogia.

Kindla ülekandefunktsiooniga Butterworthi filter on esitatav esimest järku Caueri võrrandiga. Elektriahela k-s element on leitav valemitega:
:C_k = 2\text{sin}[\frac {(2k-1)}{2n}\pi], kus k on paaritu arv ja n on filtri järk;
:L_k = 2\text{sin}[\frac {(2k-1)}{2n}\pi], kus k on paarisarv ja n on filtri järk.
Filter võib analoogselt alata ka jadamisi ühendatud induktiivpooliga, sel juhul on L_k väärtuste arvutamisel k-väärtused paaritud arvud ning C_k k-väärtused paarisarvud.

### Digitaalfiltrid
Butterworthi filtri digitaalkuju saamiseks on vajalik analoogfiltri pidev signaal ajas diskreetida. Selleks kasutatakse lineaarsete filtrite puhul näiteks bilineaarset teisendust (ingl bilinear transform).

Näiteks teist järku Butterworthi madalpääsfiltri digitaalne realisatsioon, kasutades bilineaarset teisendust, näeks välja selline:

Butterworthi analoogfiltri ülekandefunktsiooni võib esitada kujul
:H(s) = \frac {1}{s^2+\sqrt{2}s+1}.
Kasutades bilineaarse teisenduse valemit
:s=c\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}},
kus
:c=\text{cot}(\omega_c\frac {T}{2})=\frac {\text{cos}(\omega_c\frac {T}{2})}{\text{sin}(\omega_c\frac {T}{2})},
leidmaks digitaalset lõikesagedust (ingl cut-off frequency) kohal \omega_c radiaani sekundis.
Eeldades, et \omega_cT = \frac {\pi}{2} (lõikesagedus veerandi diskreetimissageduse juures), saame
:c=\frac {\text{cos}(\frac {\pi}{4})}{\text{sin}(\frac {\pi}{4})} = 1.
Järelikult on digitaalfiltri ülekandefunktsioon esitatav kujul
:H(z) = H_a(\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}) = \frac {1}{(\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}})^2 + \sqrt{2}(\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}) + 1} = 
:=\frac {(1+z^{-1})^2}{(1-2z^{-1}+z^{-2})+(\sqrt{2}-\sqrt{2}z^{-2})+(1+2z^{-1}+z^{-2})}=
:=\frac {(1+z^{-1})^2}{(2+\sqrt{2})+(2-\sqrt{2})z^{-2}}=
:=\frac {1}{2+\sqrt{2}}\cdot\frac {(1+z^{-1})^2}{1+\frac {2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}z^{-2}},
kus H_a on analoogfiltri ülekande funktsioon.

## Filtri omadused
Butterworthi filtri omadused:
* monotoonne (tasane, võngeteta) sageduskoste nii pääsuribas kui tõkkeribas;
* ühtlane langus lõikesageduse juurest alates, kusjuures langus on seda järsem, mida suurem on filtri järk;
* mittelineaarne faasikoste;
* sisendsignaali äkilisel muutusel arvestatav ülevõnge (ingl overshoot) ja kiiresti sumbuv võnkumine, reaktsiooniaeg halveneb filtri järgu suurenedes.

Butterworthi filter on teiste filtritega võrreldes tasase sageduskostega, kuid ülekandetegur langeb tõkkeribas aeglasemalt kui teistel filtritel.

## Vaata ka
* Sagedusfilter
* Signaalitöötlus

## Viited