Mittelineaarne optika

**Mittelineaarne optika** on optika haru, mille eesmärgiks on kirjeldada valguse käitumist mittelineaarses aines, mis tähendab, et dielektriline polarisatsioon **P** reageerib valguse elektriväljale **E** mittelineaarselt. Mittelineaarsust täheldatakse enamasti ainult väga suurte intensiivsuste juures (elektrivälja väärtus on võrdeline aatomitevaheliste elektriväljadega, 108 V/m) nagu laserite puhul. Ülal pool Schwingeri limiiti muutub ka vaakum mittelineaarseks. Mittelineaarses optikas ei kehti superpositsiooni printsiip.

Mittelineaarset optikat hakati uurima 1961. aastal, kui avastati teise harmooniku tekitamine Peter Frankeni ja teiste poolt Michigani Ülikoolis. Mitmete mittelineaarsete protsesside teoreetilist baasi selgitas esmakordselt Bloembergeni teadustekst "Mittelineaarne optika".

## Mittelineaarse optika protsessid
Mittelineaarne optika kirjeldab valguse omaduste nagu sageduse, polarisatsiooni, faasi või langeva valguse teekonna mittelineaarset käitumist. Need mittelineaarsed vastastikmõjud tekitavad mitmeid optilisi ilminguid.

### Sageduste segamise protsessid
* Teise harmooniku tekitamine – kahekordse sagedusega valguse tekitamine, kus kaks footonit hävivad, tekitades ühe footoni poole lühema lainepikkusega.
* Kolmanda harmooniku tekitamine – kolmekordse sagedusega valguse tekitamine, kus kolm footonit hävivad, tekitades ühe footoni kolm korda lühema lainepikkusega.
* Kõrgharmooniku tekitamine – tunduvalt kõrgema sagedusega valguse tekitamine (tavaliselt 100 kuni 1000 korda kõrgem sagedus).
* Liitharmooniku tekitamine – valguse, mille sagedus on kahe teise valguse sageduste summa, tekitamine.
* Vaheharmooniku tekitamine – valguse, mille sagedus on kahe teise valguse sageduste vahe, tekitamine.
* Optilise parameetri võimendamine – sisendsignaali võimendamine, kasutades kõrgema sagedusega pumpamislainet. Samal ajal tekib ka inertsem laine.
* Optilise parameetri võnkumine – signaali ja inertsema laine tekitamine, kasutades parameetrilist võimendit resonaatoris (sisendsignaalita).
* Parameetriline hajumine – vaakumi fluktuatsioonide võimendamine madala võimendusega režiimis.
* Optiline alaldamine  – kvaasistaatilise elektrivälja tekitamine.
* Mittelineaarne valguse-aine vastastikmõju vabade elektronide ja plasmaga.

### Teised mittelineaarsed protsessid
* Optiline Kerri efekt – intensiivsusest sõltuv murdumisnäitaja.
** Enesefokuseerimine – nähtus, mis tuleneb optilisest Kerri nähtusest (ja võimalik, et veel kõrgematest mittelineaarsustest), mida tekitab intensiivsuse varieerumine ruumis, mis tekitab murdumisnäitaja ruumilise mittehomogeensuse.
** Kerr-läätse moodide sünkronisatsioon- kasutades enesefokuseerimist laseri moodide sünkronisatsiooni mehhanismina.
** Enda faasi modulatsioon –  nähtus, mis tuleneb optilisest Kerri nähtusest (ja võimalik, et veel kõrgematest mittelineaarsustest), mida tekitab ajaline variatsioon intensiivsuses, mis tekitab murdumisnäitaja ajalise mittehomogeensuse.
** Optilised solitonid – tasakaaluline lahend kas optilise pulsi (ajaline soliton) või ruumi moodi (ruumi soliton), mis ei muutu leviku jooksul, kuna dispersiooni ja Kerri nähtuse vahel on tasakaal (e.g. enda faasi modulatsioon ajalise puhul või enesefokuseerimine ruumilise solitoni puhul).
* Ristfaasi modulatsioon – valgusekiire faasi muutumine, mille põhjustab vastastikmõju teise valguskiirega läbi Kerri efekti.
* Nelja laine segunemine – kahe valguslaine vastastikmõjust kahe uue valguslaine tekkimine.
* Ristpolariseeritud laine tekkimine – nähtus, kus tekib laine, mille polarisatsiooni vektor on risti sisendlaine omaga.
* Modulatsiooni ebastabiilsus.
* Ramani võimendus.
* Optilise faasi konjugatsioon.
* Ergutatud Brillouini hajumine – footonite ja akustiliste foononite vastastikmõju.
* Mitme footoni neeldumine – kahe või enama footoni üheaegne neeldumine, kandes energia ühele elektronile.
* Mitme-fotoionisatsioon – peaaegu üheaegne mitme elektroni eemaldamine ühe footoni poolt.
* Kaos optilistes süsteemides.

## Seotud protsessid
Nendes protsessides reageerib keskkond valgusele lineaarselt, aga keskkonna omadusi mõjutavad teised tegurid:
* Pockelsi efekt – staatiline elektriväli mõjutab murdumisnäitajat, kasutatakse elektro-optilistes modulaatorites.
* Akustiline optika – akustilised lained (ültraheli) mõjutab murdumisnäitajat, kasutatakse akustilistes optika modulaatorites.
* Ramani hajumine – footonite ja optiliste foononite vastastikmõju.

## Parameetriline protsess
Mittelineaarseid toimeid saab jagada kvalitatiivselt kahte kategooriasse, parameetrilised ja mitteparameetrilised nähtused. Parameetriline mittelineaarsus on vastastikmõju, kus mittelineaarse aine kvantolek ei muutu optilise välja tõttu. Selle tõttu on protsess "silmapilkne". Energia ja impulss on optilisel väljal jäävad, seega on faasi kattumine tähtis ja polarisatsioonist sõltuv.

### Teooria
Parameetrilist ja "silmapilkset" (i.e. aine on kadudeta ja dispersioonita läbi Kramers-Kronigi suhete) mittelineaarset optilist nähtust, kus optilised väljad ei ole liiga suured, saab kirjeldada läbi dielektrilise polarisatsiooni tiheduse (dipoolmoment ühikruumala kohta) Taylori rea arenduse, kus on **P**(t) ajal t elektrilise välja **E**(t) suhtes:

\mathbf{P}(t) = \epsilon_0(\chi^{(1)}\mathbf{E}(t)+\chi^{(2)}\mathbf{E}^2(t)+\chi^{(3)}\mathbf{E}^3(t)+...),

kus tegurid X(n) on keskkonna n-inda järgu dielektriline vastuvõtlikkus – sellised liikmeid nimetatakse tavaliselt n-inda järgu mittelineaarsuseks. Tuleb tähele panna, et polarisatsiooni tihedust **P**(t) ja elektrivälja **E**(t) käsitletakse lihtsustusena skalaaridena. Üldiselt on X(n) (n+1)'st järku tensor esitledes polarisatsioonist sõltuvat parameetrilist vastastikmõju ja mittelineaarse aine sümmeetriaid või nende puudumist.

### Mittelineaarse aine lainevõrrand
Keskne elektromagnetlainete uurimisele on lainevõrrand. Võttes aluseks Maxwelli võrrandid isotroopilises ruumis, kus puuduvad vabad laengud, saab näidata, et

\nabla\times\nabla\times\mathbf{E}+\frac{n^2}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\mathbf{E}=
-\frac{1}{\epsilon_0c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\mathbf{P}^{NL},

kus **P**NL on polarsiatsiooni tiheduse mittelineaarne osa ja n on murdumisnäitaja, mis tuleb **P** lineaarse liikme osast.

Saab ka kasutada vektori omadust

\nabla\times(\nabla\times\mathbf{V}) = \nabla(\nabla\sdot\mathbf{V})-\nabla^2\mathbf{V}

ja Gaussi seadust (eeldades vabade laengute puudumist),

\nabla\sdot\mathbf{D}=0,

et saada tuttavam lainevõrrand

\nabla^2\mathbf{E}-\frac{n^2}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\mathbf{E}=0.

Mittelineaarse keskkonna jaoks, ei saa Gaussi seadusest eeldada, et omadus

\nabla\sdot\mathbf{E}=0

kehtib üldiselt, isegi isotroopilises keskkonnas. Kuigi liige ei ole täpselt 0, on see tihti piisavalt tühine, et praktikas saab selle välja jätta, andes meile standardse mittelineaarse lainevõrrandi:

\nabla^2\mathbf{E}-\frac{n^2}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\mathbf{E}=
\frac{1}{\epsilon_0c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\mathbf{P}^{NL}.

### Mittelineaarsused lainete segunemise protsessina
Mittelineaarne lainevõrrand on mittehomogeenne diferentsiaalvõrrand. Üldise lahendi saab leida Greeni funktsiooni abil. Füüsiliselt saab homogeense osa kohta tavalised elektromagnetlainete lahendused:

\nabla^2\mathbf{E}-\frac{n^2}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\mathbf{E}=0,

ja mittehomogeenne liige

\frac{1}{\epsilon_0c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\mathbf{P}^{NL}

käitub kui elektromagnetlainete allikas. Tulenevalt sellest tekib mittelineaarne vastastikmõju, mille tulemusena seguneb energia erinevate sageduste vahel, seda kutsutakse "lainete segunemiseks".

Üldiselt tekib n'inda järgu mittelineaarsusest (n+1) laine segunemine. Näiteks, kui meil on teise järgu mittelineaarsus (kolme laine segunemine), siis polarisatsioon võtab järgmise kuju,

\mathbf{P}^{NL}=\epsilon_0\chi^{(2)}\mathbf{E}^{(2)}(t).

Kui me eeldame, et E(t) koosneb kahest komponendist sagedustel ω1 ja ω2, siis me saame avaldada E(t) sellisel kujul

\mathbf{E}(t)=E_1cos(\omega_1t)+E_2cos(\omega_2t),

kasutades Euleri valemit, saame viia valemi eksponentsiaalkujule,

\mathbf{E}(t)=\frac{1}{2}E_1e^{-i\omega_1t}+\frac{1}{2}E_2e^{-i\omega_2t}+kk.,

kus "kk." on kaaskompleksarv. Pannes see nüüd **P** avaldisse sisse saame

\mathbf{P}^{NL}=\epsilon_0\chi^{(2)}\mathbf{E}^2(t)=\frac{\epsilon_0}{4}\chi^{(2)}
\left[|E_1|^2e^{-i2\omega_1t}+|E_2|^2e^{-i2\omega_2t}+
2E_1E_2e^{-i(\omega_1+\omega_2)t}+2E_1E^*_2e^{-i(\omega_1-\omega_2)t}
+\left(|E_1|^2+|E_2|^2\right)e^0+kk.\right],

millel on sageduskomponentideks 2ω1, 2ω2, ω1 + ω2, ω1 – ω2 ja 0. Need kolme laine segunemisprotsessid vastavad sellistele mittelineaarsetele nähtustele nagu teise harmooniku tekitamine, liitharmooniku tekitamine, vaheharmooniku tekitamine ja optiline alaldamine.

Märkus: Parameetriline tekitamine ja võimendamine on vaheharmooniku tekitamise variatsioon, kus madalama sagedusega tekitavväli on teisest tunduvalt nõrgem (parameetriline võimendus) või täiesti puuduv (parameetriline tekitamine). Viimase puhul alustab protsessi kvantmehaanika fundamentaalne määramatus elektriväljas.

### Faasi sobitamine
Ülaltoodus on välja jäetud elektrivälja asukoha sõltuvus. Tavaliselt on elektriväljad liikuvad lained, mida saab kirjeldada järgmiselt:

E_j(\mathbf{x},t)=E_{j,0}e^{i(\mathbf{k}_j\sdot\mathbf{x}-\omega_jt)}+kk.

asukohas **x**, kus lainevektor ||**k**j||=**n**(ωj)ωj/c, kus c on valguse kiirus vaakumis ja **n**(ωj) on murdumisnäitaja keskkonnas, kui ringsagedus on ωj. Seega teise järgu polarisatsioon, kui ringsagedus on ω3 = ω1 + ω2, on

P^{(2)}(\mathbf x,t)\propto E_1^{n_1}E_2^{n_2}e^{i[(\mathbf{k}_1+\mathbf k_2)\sdot\mathbf x-\omega_3t]}+kk.

Mittelineaarse keskkonna igas asukohas **x** teise järgu võnkuv polarisatsioon kiirgab sagedusel ω3 ja sellele vastav lainevektor on ||**k**3||=**n**(ω3)ω3/c. Konstruktiivinterferents ja see tõttu tugev ω3 väli tekib ainult siis, kui

\vec{k}_3=\vec{k}_1+\vec k_2.

Ülal esile toodud valemit teatakse kui faasi sobivuse tingimust. Tavaliselt tehakse kolme laine segamist kaksikmurduvas kristallilises aines, kus murdumisnäitaja sõltub valguse suunast ja polarisatsioonist. Väljade polarisatsioon ja kristalli suund valitakse nii, et faasi sobivuse tingimus oleks täidetud. Tavaliselt on kristallil kolm telge, millest ühel või kahel on erinev murdumisnäitaja teistest.Üheteljelise kristalli puhul on üks eelistatud telg, mida kutsutakse ebaharilikuks teljeks ja teist kahte harilikeks telgedeks. Polarisatsiooni valikuks on sellise kristalli puhul mitmeid erinevaid skeeme. Kui signaalil ja inertsel lainel on sama polarisatsioon, siis kutsutakse seda "esimest tüüpi sobivuseks", ja kui nende polarisatsioonid on teine-teisega risti, siis kutsutakse olukorda "teist tüüpi sobivuseks". Leidub muidki kokkuleppeid, mis täpsustavad, millisel sagedusel on milline polarisatsioon kristalli telje suhtes. Need on allpool välja toodud, kokkuleppel, et signaali lainepikkus on inertsema omast lühem.

Enamik levinud mittelineaarseid kristalle on negatiivsed üheteljelised, ehk e-teljel on väiksem murdumisnäitaja kui o-teljel. Nendes kristallides on tavaliselt parimaks valikuks esimest ja teist tüüpi faasi sobitamise skeemid. Positiivsete üheteljeliste kristallide puhul on  seitsmendat ja kaheksandat tüüpi sobivamad. Teist ja kolmandat tüüpi on sisuliselt võrdväärsed va, et signaali ja inertse nimed on vahetatud kui signaalil on pikem lainepikkus kui inertsel. Sellepärast kutsutakse neid vahepeal IIA ka IIB. Skeemide tüübid numbritega V-VIII on harvemini kasutusel kui I ja II tüüpi variandid.

Üks probleeme nurga justeermisega on see, et optilised sagedused ei levi üksteisega kollineaarselt. See tekib, kuna ebahariliku laine, mis levib läbi kaksikmurduva kristalli, Poyntingi vektor ei ole paralleelne leviku vektoriga. Selle tõttu tekib kiire ära-kõnd (kiire intensiivsuse jaotus triivib  eemale lainevektori suunast), mis piirab mittelineaarse optilise muundumise efektiivsust. Kiire ära-kõnnist hoidumiseks on kaks teist meetodit, milleks on sundida kõiki sagedusi levima 90kraadise nurga all kristalli optilise telje suhtes. Nende meetodite nimedeks on temperatuuri justeerimine ning kvaasifaasi sobitamine.

Temperatuuri justeerimist kasutatakse kui pumba (laseri) sageduse polarisatsioon on signaali ja inertse omadega ortogonaalne. Mõnedes kristallides (eriti liitumiumniobaadi puhul) on kaksikmurdumine vägagi temperatuurist sõltuv. Seega tuleb kristalli temperatuuri kontrollida, et saavutada faasi sobivuse tingimused.

Kvaasifaasi sobitamise korral ei ole sagedused pidevalt omavahel sünkroonis, vaid selle asemel pöörab kristalli telg ennast intervallil Λ regulaarselt ümber (tavaliselt 15 mikromeetrit pikk). Sellest tulenevalt kannavad need kristallid nimeperioodiliselt vahetuvate poolustega kristallid. Mille tõttu nihkub kristalli polarisatsioon-koste pumba kiirega tagasi faasi, pöörates ümber mittelineaarse vastuvõtlikkuse. Selle tõttu tekib kasuliku energia voog pumbast signaali ja inertse sagedustesse. Antud juhul varustab kristall ise lisa lainevektori k=2π/Λ, et täita faasi sobivuse tingimust. Kvaasifaasi sobitamist saab laiendada ka difraktsioonivõredele, mille periood on lineaarselt varieeruv, et saada suurem ribalaius. Pumba ja signaali enda faasi modulatsiooni teise harmooniku tekitamise ja optilise parameetri võimendamise saab monoliitselt integreerida.

## Välislingid
*  Matti Laan. Optika põhikursus – 10. ptk. Mittelineaarne optika