Kvartiil

**Kvartiil**id on kirjeldavas statistikas tunnuse väärtused variatsioonireal, mis jagavad variatsioonirea neljaks ligikaudu võrdseks osaks. 

***[[Keskmine kvartiil]]** ehk **2. kvartiil** e. **50-protsentiil** e **0,5 kvantiil** ehk **[[mediaan]]** on tunnuse väärtus, millest suuremaid ja väiksemaid tunnuseid on variatsioonireas ligikaudu võrdselt. 
***[[Alumine kvartiil]]** e. **1. kvartiil** e. **25-protsentiil** ehk **0,25 kvantiil** (lühendid LQ ja Q1) on tunnuse väärtus, millest väiksemaid või võrdseid tunnuseid on ligikaudu 25%
***[[Ülemine kvartiil]]** e. **3. kvartiil** e **75-protsentiil** ehk **0,75 kvantiil** (lühendid UQ ja Q3) on tunnuse väärtus, millest suuremaid või võrdseid tunnuseid on ligikaudu 25%
Ülemise ja alumise kvartiili vahele jääb 50% tunnuste väärtustest. Seda vahemikku nimetatakse kvartiilhaardeks.

Ülemist ja alumist kvartiili saab defineerida ka tõenäosuslikult – variatsioonirea 1. kvartiil on selline tunnuse väärtus x, millest väiksemate väärtuste esinemise tõenäosus variatsioonireas on kõige rohkem 1/4. 3. kvartiil on selline tunnuse väärtus x, millest väiksemate väärtuste esinemise tõenäosus on kõige rohkem 3/4.
 
=Ülemise ja alumise kvartiili arvutamise meetodeid=
Kvartiilide arvutamiseks on kasutusel erinevaid meetodeid, mis annavad pisut erinevaid tulemusi. Eristatakse nn. klassikalisi meetodeid, mis on mõeldud ennekõike kvartiilide arvutamiseks, ja meetodeid, mis on mõeldud protsentiilide arvutamiseks, kusjuures 25-protsentiil, 50-protsentiil ja 75-protsentiil vastavad vastavalt 1., 2. ja 3. kvartiilile.

## Klassikalised meetodid

### Tukey meetod
Tukey meetod on John Tukey välja töötatud meetod, mille eesmärk oli teha kvartiilide leidmine võimalikult lihtsaks.

Selle meetodi järgi:
*järjestatakse variatsioonirea elemendid väärtuste kasvamise järjekorras;
*jagatakse variatsioonirida pooleks nii, et mõlemale poole jääb võrdne arv elemente (leitakse mediaan);
*kui variatsioonireas on paaritu arv elemente, lisatakse mediaanväärtus mõlemale poolele;
*leitakse mõlema poole mediaan.

Näiteks:

```
Variatsioonirida elementidega {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
1. mediaan jaotab rea pooleks: 1, 2, 3, 4, - 5, 6, 7, 8    – mediaan on 4,5
2. alumine kvartiil: 1, 2, - 3, 4     - alumine kvartiil on 2,5
3. ülemine kvartiil: 5, 6, - 7, 8     - ülemine kvartiil on 6,5
```

Valemina: 

:Kui n on paaritu arv, siis LQ= (n+3)/4; UQ= (3n+1)/4; 
:Kui n on paarisarv, siis LQ= (n+2)/4; UQ= (3n+2)/4
kus n on elementide arv variatsioonireas


```
Variatsioonirida elementidega {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
n=8, mis on paarisarv. Järelikult 
LQ=(8+2)/4= 2,5
UQ=(3&times;8+2)/4= 6,5
```


### Moore'i ja McCabe'i meetod
Moore'i ja McCabe'i meetod on edasiarendus Tukey meetodist. Kui variatsioonireas on paaritu arv elemente, siis erinevalt Tukey meetodist ei lisata mediaanväärtust kummalegi poolele. Muul juhul on tulemus sama.

:Kui n on paaritu arv, siis LQ= (n+1)/4; UQ=(3n+3)/4
:Kui n on paarisarv, siis LQ= (n+2)/4; UQ=(3n+2)/4
kus n on elementide arv variatsioonireas

### Mendenhalli ja Sincichi meetod
Selle meetodiga leitakse alumine kvartiil valemiga L = (n+1)/4, kus n on elementide arv ja L näitab alumisele kvartiilile vastava elemendi järjekorranumbrit variatsioonireas. Tulemus ümardatakse lähima täisarvuni; kui väärtus jääb täpselt kahe täisarvu vahele, ümardatakse ülespoole. Ülemine kvartiil leitakse valemiga U = (3n+3)/4, kus n on elementide arv ja U näitab ülemise kvartiili järjekorranumbrit variatsioonireas. Tulemus ümardatakse lähima täisarvuni; kui väärtus jääb täpselt kahe täisarvu vahele, ümardatakse allapoole.

Näiteks:

```
Variatsioonirida elementidega {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
1. L= (8+1)/4= 2,25 -> L=2, alumine kvartiil on 2. element ehk 2
2. U= (3&times;8+3)/4= 6,75 -> L=7, ülemine kvartiil on 7. element ehk 7
```


### Mendenhalli ja Sincichi 1. variatsioon
Kasutusel on ka sama meetodi variatsioon, kus L ja Q väärtust ei ümardata, vaid leitakse lineaarse interpolatsiooni abil lähimate väärtuste vahele jääv sobiv väärtus. Näiteks kui L=2,25, siis leitakse teise (L täisosa) ja sellele järgneva (kolmanda) elemendi vahel väärtus, mis on 1/4 kaugusel (L väärtuse murdosa 0,25) 2. elemendi väärtusest. (Antud näites on 2. ja 3. elemendi vahel sobivas kohas 2,25)

### Mendenhalli ja Sincichi 2. variatsioon
Kasutusel on ka sama meetodi variatsioon, kus L=(n+1)/4, kus n on elementide arv ja L näitab alumisele kvartiilile vastava elemendi järjekorranumbrit variatsioonireas. Tulemus ümardatakse lähima täisarvuni; kui väärtus jääb täpselt kahe täisarvu vahele, ümardatakse ülespoole. Ülemine kvartiil leitakse valemiga U = (3n+2)/4, kus n on elementide arv ja U näitab ülemise kvartiili järjekorranumbrit variatsioonireas. Tulemus ümardatakse lähima täisarvuni; kui väärtus jääb täpselt kahe täisarvu vahele, ümardatakse allapoole.

### Freundi ja Perlesi meetod
See on vähekasutatud meetod, mille järgi L = (n+3)/4, kus n on elementide arv ja L-nda elemendi väärtus on alumine kvartiil. Kui L pole täisarv, kasutatakse väärtuse leidmiseks lineaarset interpolatsiooni. Ülemise kvartiili leidmisel U = (3n+1)/4, kus n on elementide arv ja U-nda elemendi väärtus on ülemine kvartiil. Kui U pole täisarv, kasutatakse väärtuse leidmiseks lineaarset interpolatsiooni.


```
Variatsioonirida elementidega {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
1. L=(8+3)/4= 2,75 alumine kvartiil on 2,75
2. U=(3&times;8+1)/4= 6,25 ülemine kvartiil on 6,25
```


## Muud meetodid
Muud meetodid sarnanevad muude protsentiilide arvutamise meetoditega, kus leitakse vastavalt 25-protsentiili alumise kvantiili ja 75-protsentiili ülemise kvantiili jaoks.

## Kirjandust
*Math Forum - ask Dr. Math. Defining Quartiles.
*Franklin, David. Calculating the Quartile (or why are my Quartile answers different?).
*Percentile Calculation Options in STATISTICA. StatSoft, Inc. (2004). STATISTICA Electronic Manual.