Cavendishi eksperiment

**Cavendishi eksperiment** on aastatel 1797&ndash;1798 tehtud kuulus eksperiment füüsikas, mille käigus inglise teadlane Henry Cavendish mõõtis esimest korda laboratooriumis gravitatsiooni kahe massi vahel  ja sai esimesena rahuldava täpsusega gravitatsioonikonstandi väärtuse.

Samasugust eksperimenti kavandas enne 1783. aastat geoloog John Michell, kes ehitas mõõtmiseks vajaliku väändekaalu. Michelli surma tõttu 1793. aastal jäi töö eksperimendi kallal pooleli. Pärast Michelli surma anti väändekaal mõõtmisteks üle Francis John Hyde Wollastonile ja seejärel Cavendishile, kes ehitas kaalu uuesti vastavalt Michelli algsele ideele. Cavendish viis seejärel läbi vastavad mõõtmised ning avaldas saadud tulemused 1798. aastal väljaandes Philosophical Transactions of the Royal Society.

## Eksperimendi kirjeldus

Cavendishi ehitatud väändekaal koosnes 1,8&nbsp;m pikkusest puust vardast, mis rippus horisontaalselt traadi otsas. Puust varda mõlemasse otsa oli kinnitatud 0,73 kg raskust tinast kera läbimõõduga 51 mm. Kaks suuremat 300 mm läbimõõduga 158 kg massiga tinast kera olid asetatud väiksematest keradest ligikaudu 230 mm kaugusele. Suuremate kerade asukoht oli fikseeritud väiksematest keradest eraldi seisvalt. Eksperimendis mõõdeti väikeste ja suurte kerade vahelist nõrka gravitatsioonist tulenevat tõmbejõudu.

Suurte ja väikeste kerade vaheline tõmbejõud paneb puust varda pöörduma ja temaga ühendatud traadi väänduma. Mõõtes varda pöördenurka ja teades traadi väändetegurit sai Cavendish määrata masside vahel mõjuva jõu suurust. Väikesele kerale mõjuvat gravitatsiooni jõudu saab otseselt mõõta teda kaaludes. Kahe kera vahelise jõu ja väikese kera gravitatsioonijõu suhe võimaldab arvutada Maa tiheduse suurust kasutades Newtoni gravitatsiooniseadust.

Cavendish sai mõõtmiste tulemuseks, et Maa tihedus on  korda suurem vee tihedusest. Cavendishi avaldatud artiklis esineb samas teine väärtus , mis tuleneb 1821. aastal Francis Baily poolt Cavendishi arvutustes tehtud veast.

Cavendish määras väändekaalu traadi väändeteguri mõõtes väändekaalu vabavõnkumise sagedust. Kaalu puust varrast tema tasakaaluasendist pöörates ja vabastades võngub varras harmooniliselt pöördudes päri- ja vastupäeva. Seejuures sõltub kaalu vabavõnkumise sagedus varda inertsimomendist ja niidi väändetegurist. Leides varda inertsimomendi saab vabavõnkumise sageduse abil määrata ka niidi väändeteguri.

Cavendishi mõõteseade oli oma aja kohta tähelepanuväärse tundlikkusega. Väändekaalu raskuste vahel mõjuv gravitatsiooniline vastasmõju on suurusega 1,74×10−7 N, mis on ligikaudu  väikese kera kaalust. Välistamaks õhu liikumise ja temperatuuri muutuste mõju mõõtmisele asetas Cavendish mõõteseadme 0,61 m paksuste seintega 3,0 m kõrge ja 3,0 m laia puidust kasti, mis kõik paiknes tema mõisas asunud kuuris. Kuuri seintes olevast kahest avausest vaatles Cavendish teleskoopide abil väändekaalu horisontaalse varda pöördumist. Seejuures liikus horisontaalne varras ainult 4,1 mm. Cavendish oli võimeline mõõtma väikest siiret täpsusega 0,25 mm kasutades mõlemas varda otsas nooniust. Cavendishi eksperimendi täpsus ületati alles 1895. aastal C. V. Boysi poolt. Gravitatsioonikonstandi (G) määramine Michelli väändekaalude abil levis laialt ning sama metoodika on väikeste muudatustega kasutusel enamikus tänapäevastes mõõtmistes.

Cavendishi tulemus oli esimeseks tõendiks Maa välistuuma metalsusest. Tiheduse väärtus 5,4 g·cm&#x2212;3 moodustab 80% vedela raua tihedusest ja on 80% suurem Maa koore tihedusest ning viitab seetõttu tiheda metallist tuuma olemasolule.

## Cavendishi ''G'' väärtuse määramisest
Newtoni gravitatsiooniseaduse esitamine kasutades gravitatsioonikonstanti muutus üldlevinuks alles aastaid pärast Cavendishi eksperimenti. Esimene viide *G-*le esines 1873. aastal ehk 75 aastat pärast Cavendishi avaldatud artiklit.

Cavendish esitas oma tulemuseks Maa tiheduse. Sellel põhjusel leidub palju ajaloolasi, kes väidavad, et Cavendish ei mõõtnud oma eksperimendis gravitatsioonikonstanti. Samuti rääkis Cavendish kirjavahetuses oma eksperimendist, kui 'maailma kaalumisest'. Hilisemad autorid formuleerisid tema tulemusi vastavalt nende kaasajale.

Pärast SI ühikutesse teisendamist on Cavendishi leitud Maa tiheduse väärtus 5,448&nbsp;g&nbsp;cm&#x2212;3. Asendades saadud tiheduse valemisse 

G = g\frac{R_\text{Maa }^2}{M_\text{Maa}} = \frac{3g}{4\pi R_\text{Maa}\rho_\text{Maa }}\,,

saame gravitatsioonikonstandi väärtuseks

: *G* = 6,74×10−11 m3 kg–1 s−2,

mis erineb 2014. aastal CODATA mõõdetud väärtusest 6,67408×10−11 m3 kg−1 s−2 ainult 1%.

Tänapäeval kasutavad füüsikud ühikuid, milles gravitatsioonikonstant avaldub teisel kujul. Näiteks võib Cavendishi eksperimendile omistada astrodünaamikas kasutatavat Gaussi gravitatsioonikonstandi mõõtmist. Cavendishi kaasajal kasutasid füüsikud massi ja kaalu jaoks samu ühikuid ehk võttes *g* väärtust standardse väärtusena. Maa raadiuse *R*Maa teadmise tõttu oli Maa tiheduse *ρ*Maa mõõtmine gravitatsioonikonstandi pöördväärtuse mõõtmiseks vajalik puuduolev suurus. Seejuures oli Maa tiheduse määramine Cavendishi ajal oluline teadusküsimus ja see eksperiment polnud esimene, kus Maa tihedust prooviti mõõta. Üheks näiteks eelnevast eksperimendist oli Schiehallioni eksperiment aastal 1774.

Nendel põhjustel peetakse just Cavendishi paljudes allikates esimeseks gravitatsioonikonstandi mõõtjaks.

## Maa massi ja ''G'' tuletamine
Järgnev tuletuskäik ei vasta Cavendishi kasutatud tuletuskäigule ja kirjeldab tänapäevaste füüsikute poolt eksperimendi tulemuste tuletamist. Väändevedru korral on Hooke'i seaduse järgi traadis mõjuv väändemoment võrdeline väändekaalu varda pöördenurgaga *θ*. Väändemoment on võrdeline seega *κθ,* kus *κ* on traadi väändetegur. Momenti tekitab ka gravitatsiooniline vastasmõju väändekaalu masside vahel. Vastav moment on võrdne gravitatsioonist tuleneva tõmbejõu *F* ja väikeste kerade kauguse traadist *L* korrutisega *LF*. Väändekaalu tasakaalu korral peavad väändemoment traadis ja moment gravitatsioonist tulenevatest jõududest olema võrdsed:

: \kappa\theta\ = LF \,

Jõu *F* suuruse väikeste ja suurte kerade vahel saab asendada Newtoni gravitatsiooniseadusest. Tähistades suure kera massi *M* ja väikse kera massi *m* avaldub jõu *F* väärtus kujul:

: F = \frac{G m M}{r^2}\,

Asendades *F* väärtuse esimesest võrdusest saame

: \kappa\theta\ = L\frac{GmM}{r^2} \qquad\qquad\qquad(1)\,

Leidmaks väändetegurit, (*κ*) mõõtis Cavendish väändekaalu vabavõnkumise perioodi *T,* mis sõltub väändekaalu inertsimomendist *I* ja väändetegurist vastavalt avaldisele:

: T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{\kappa}}

Eeldades, et väändekaalu puust varda mass on võrreldes tema otstes paiknevate raskuste massidega hüljatava suurusega, võib väändekaalu inertsimomendi kirja panna kujulː

: I = m\left (\frac{L}{2}\right )^2 + m\left (\frac{L}{2}\right )^2 = 2m\left (\frac{L}{2}\right )^2 = \frac{mL^2}{2}\,,

ja seega võrdub vabavõnkumise periood:

: T = 2\pi\sqrt{\frac{mL^2}{2\kappa}}\,

Avaldades viimases *κ*, asendades tulemuse võrrandisse (1) ja avaldades *G* saame tulemuseks:

: G = \frac{2 \pi^2 L r^2 \theta}{M T^2} \,

Teades *G* väärtust, saab teadaoleva massiga keha kaalu kasutades leida Maa massi ja tiheduse vastavalt valemiteleː

: mg = \frac{GmM_{\rm Maa}}{R_{\rm Maa}^2}\,

: M_{\rm Maa} = \frac{gR_{\rm Maa}^2}{G}\,

: \rho_{\rm Maa} = \frac{M_{\rm Maa}}{\tfrac{4}{3} \pi R_{\rm Maa}^3} = \frac{3g}{4 \pi R_{\rm Maa} G}\,

## Vaata ka
* Eksperimentaalfüüsika
* Gravitatsioon
* Väändekaal

## Viited