Mõõduteooria

**Mõõduteooria** on matemaatika haru, mis konstrueerib ja uurib mõõte. Need on elementaargeomeetria lõigu pikkuse, pindala ja ruumala üldistused keerulisematele hulkadele. Mõõduteooria on tänapäeva integraalarvutuse (integreerimisteooria) ja tõenäosusteooria alus.

Mõõdu all mõistetakse mõõduteoorias kujutust, mis seab mingi alushulga teatud alamhulkadele vastavusse reaalarvud. Need alamhulgad peavad moodustama teatud omadustega hulkade süsteemi ja ka vastavusse seadmine ise peab täitma teatud tingimusi. Praktikas on sageli ette teada ainult osaline vastavusse seadmine. Näiteks seatakse tasandil ristkülikutele  pindalana vastavusse nende küljepikkuste korrutis. Mõõduteooria uurib nüüd, kas seda vastavusse seadmist saab kooskõlaliselt ja üheselt laiendada suurematele alamhulkade süsteemidele ja kas seejuures säilivad soovitavad lisatingimused. Tasandi puhul tahaks muidugi ka ringidele omistada mõtteka pindala ja samal ajal nõutakse peale nende omaduste, mida nõutakse mõõtudelt üldiselt, ka translatsioonisümmeetriat, st et tasandi alamhulga pindala oleks asendist sõltumatu.

## Motiveering
Mõõduteooria keeruline ülesehitus tuleb sellest, et pole võimalik leida mõõdufunktsiooni, mis seaks reealtasandi *igale* suvalisele alamhulgale vastavusse mõõdu, mis mõttekalt vastab klassikalisele pindalale. Juba ühemõõtmeliste arvsirgete korral see katse nurjub ja ka kõrgemate mõõtmete korral see ei õnnestu. Juba ühemõõtmeliste arvsirgete korral see katse nurjub ja kõrgemate mõõtmete korral see ei õnnestu. Küsimuse, kas see on võimalik, püstitas esimesena Henri Lebesgue 1902  oma väitekirjas kui mõõduprobleemi.

Pindala *mõttekale* vastavusele (kui rääkida 2-mõõtmelisest juhtumist) esitatakse seejuures  järgmised nõuded:
# Ruudul küljepikkusega üks on pindala üks ("normeeritus").
# Mis tahes pinna lüke, pööre või peegeldus ei muuda selle pindala ("invariantsus liikumiste suhtes").
# Lõpliku või loenduva hulga paarikaupa ühisosata hulkade ühendi pindala on osapindade pindalade suhe (σ-aditiivsus).

1905 näitas Giuseppe Vitali, et see probleem ei ole suvaliste alamhulkade korral lahendatav. Mõnda neist nõuetest tuleb lõdvendada. Kui lõdvendada kolmandat nõuet ja piirduda lõplike ühenditega, viib see Felix Hausdorffi sisuprobleemini (*Inhaltsproblem*). Hausdorff näitas 1914, et see sisuprobleem ei ole üldiselt (mõõde 3 või suurem) ei ole lahendatav. Erandid on reaalarvud ja reaaltasand, mille korral sisuprobleemil on lahend, nimelt nn sisufunktsioon (#Sisu). Kui aga siiski kitsendada mõõdetavate hulkade kogumit ning vaadelda suvaliste alamhulkade asemel ainult teatud alamhulkade süsteemi, siis saab mõõduprobleemi üldiselt lahendada suvaliste ruumimõõtmete korral ja defineerida sellel hulkade süsteemidel soovitud omadustega mõõdu  (#Mõõt). σ-aditiivsuse nõuet ei ole siis enam tarvis lõdvendada. 

Mõõduteooria tegeleb niisiis mitmesuguste hulkade süsteemidega ja sisufunktsioonidega, mida nendel saab defineerida. Seejuures ei vaadelda mitte ainult reaalseid hulkade süsteeme, vaid abstraktseid hulkade süsteeme suvalistel alushulkadel. See toob küll kaasa väikesi lisakulusid, kuid nii saab tulemusi rakendada funktsionaalanalüüsis ja tõenäosusteoorias.

## σ-aditiivsus

Tänapäeva mõõdumõiste juures keskse omaduse σ-aditiivsuse võttis kasutusele Émile Borel 1909. Alguses suhtuti sellesse kriitiliselt. Muu hulgas osutub, et σ-aditiivsus on nii tugev nõue, et isegi mitte σ-aditiivse funktsiooni olemasolu mitteloenduva hulga astmehulgal ei ole ilma pikemata antud, rääkimata lisanõuetest, nagu translatsioonisümmeetria (Ulami mõõduprobleem).

Ka viib Jordani konstruktsioon ainult lõplikult aditiivsete sisudeni, lõplik aditiivsus (nõrgem omadus kui σ-aditiivsus) järeldub siin sisu definitsioonist. Borel seevastu postuleerib mõõdu σ-aditiivsuse ja määrab niimoodi nende hulkade mõõdud, mis kuuluvad mingisse teatud hulgatehete loenduva hulga rakenduste suhtes täielikku σ-algebrasse. Henri Lebesgue'i  integraalidefinitsioon 1902. aastast sisaldab σ-aditiivsust. Aditiivsuse kitsendamist lõplikule või loenduvale hulgale hulkadele võib pidada väljapääsuks (moderniseeritud) Zenoni mõõduparadoksist.

Mõõduteooria kui tõenäosusarvutuse alus, nii nagu Andrei Kolmogorov selle rajas, kasutab tõenäosustena ühele normeeritud mõõte, mitte ühele normeeritud sisusid. Tavaliselt põhjendatakse seda suurte tehniliste eelistega, nii põhjendas seda ka Kolmogorov ise. Sellest kalduvad kõrvale mõned subjektivistlikud tõenäosusetõlgendused, millest tuntuim on Bruno de Finetti oma. Teisalt on olemas hollandi kihlveole toetuvad argumendid, mis toetavad usaldusastmete (vt Bayesi tõenäosusemõiste) σ-aditiivsust.

## Definitsioonid ja näited
Mõõdetavad hulgad koondatakse hulkade süsteemideks, mis on hulgatehete suhtes erineval määral kinnised. Mõõduteoorias oluliste hulkade süsteemide tüüpide seas on astmehulk, σ-algebra, poolring, ring, algebra, Dõnkini süsteem, monotoonne klass ja lõikestabiilne hulkade süsteem.

Astmehulk on kõige hõlmavam hulkade süsteem: sellesse kuulub alushulga mis tahes alamhulk.
σ-algebrasse, mis on mõõduteoorias tähtsaim hulkade süsteemi tüüp, kuulub üldjuhul vähem hulki kui astmehulka.

Mõõduteoorias olulised sisaldumised:
* Iga astmehulk on σ-algebra ja Dõnkini süsteem.
* Iga σ-algebra on algebra.
* Iga algebra on ring.
* Iga ring on poolring.
* Iga poolring on lõikestabiilne hulkade süsteem.

Nendel hulkade süsteemidel defineeritakse  hulgafunktsioonid, nagu näiteks sisud, eelmõõdud, mõõdud ja välismõõdud, mis seavad hulkade süsteemi iga hulgaga vastavusse ühe väärtuse laiendatud mitte­negatiivsel reaalteljel
[0,∞]. 

Tuleb arvestada, et nimetatud mõisteid (sisu, eel­mõõt, mõõt) defineeritakse eri allikates erinevalt, eriti mis puutub aluseks olevat hulkade süsteemi. Nii näiteks defineeritakse sisu mõnikord ringidel, mõnikord poolringidel või ka suvalistel hulkade süsteemidel, millesse kuulub tühihulk. 

### Sisu

Funktsiooni \mu, mis seab igale hulgale A hulkade süsteemist \mathcal{C}, kus \emptyset\in\mathcal{C},   üle hulga  \Omega, vastavusse väärtuse \mu ( A ), mis kuulub hulka [0,\infty], nimetatakse sisuks, kui see kujutus \mu \colon \mathcal{C} \rightarrow [0,\infty] täidab järgmisi tingimusi:
* Tühihulgale seatakse vastavusse väärtus null: \mu (\emptyset) = 0.
* Funktsioon on lõplikult aditiivne. See tähendab, kui A_1,A_2, \dotsc, A_n on lõplik hulk paarikaupa ühisosata hulki süsteemist \mathcal{C} ja \textstyle \bigcup_{i=1}^n A_i\in\mathcal{C}, siis
:\mu\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right)= \sum_{i=1}^{n}{\mu(A_i)}.

Teatud tingimustel saab sisu laiendada poolringilt ringile.

### Nullmõõduga hulk

Hulka A süsteemist \mathcal{C} nimetatakse nullmõõduga hulgaks ehk hulgaks mõõduga null, kui \mu ( A ) = 0.

### Eelmõõt

σ-aditiivset ehk loenduvalt aditiivset sisu nimetatakse eelmõõduks. Olgu \mu \colon \mathcal{C} \rightarrow [0,\infty] sisu. Siis \mu on eelmõõt, kui iga loenduva hulga süsteemi \mathcal{C} kuuluvate paarikaupa ühisosata hulkade jada  (A_i)_{i\in\mathbb{N}} korral kehtib juhul, kui 
\textstyle \bigcup_{i=1}^\infty A_i \in \mathcal{C}:
:\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)=\sum_{i=1}^\infty \mu(A_i).

Eelmõõdud on eriti tähtsad Carathéodory mõõdulaiendusteoreemi jaoks. See teoreem ütleb, et eelmõõdu saab laiendada mõõduks ringi tekitatud σ-algebral. Kui eelmõõt on σ-lõplik, siis see jätkamine on ühene.
 
### Mõõt

Olgu \mu \colon \mathcal{A} \rightarrow \overline {\R} kujutus, mis seab igale hulgale A σ-algebrast \mathcal{A} üle \Omega vastavusse väärtuse \mu(A), mis kuulub laiendatud reaalarvude hulka  \overline {\R} (vaata allpool võimalike üldistuste kohta). Kujutus  \mu on mõõt, kui on täidetud järgmised tingimused:
* Tühihulga mõõt on null: \mu (\emptyset) = 0.
* Positiivsus: \mu(A) \geq 0  iga  A \in \mathcal{A}  korral.
* Mõõt on loenduvalt aditiivne ehk σ-aditiivnev: kui A_1, A_2, A_3, \dotsc on loenduv hulk paarikaupa ühisosata hulki, mis kuuluvad σ-algebrasse \mathcal{A}, siis
::\mu{}\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k\right)= \sum_{k=1}^{\infty}{\mu{}(A_k)}.
: Seega on mõõt ka lõplikult aditiivne, sest võib valida σ-algebrasse \mathcal{A} kuuluvate paarikaupa ühisosata hulkade jada A_1, A_2,\dotsc, A_n \neq \emptyset,A_{n+1}:=\emptyset, \dotsc.

Seega on iga mõõt eelmõõt üle mõne σ-Algebra, sellel on kõik sisu  ja eelmõõdu omadused. Tuleb arvestada, et mõnes allikas defineeritakse mõõt nagu eelmõõt ja aluseks olevale hulkade süsteemile \mathcal{C} üle alushulga \Omega seatakse ainult see tingimus, et \emptyset\in\mathcal{C}.

### Mõõtuv ruum, mõõtuvad hulgad, mõõtuvad funktsioonid

Olgu \mathcal{A} σ-algebra, mis koosneb alushulga \Omega alamhulkadest. Siis nimetatakse järjestatud paari (\Omega, \mathcal{A}) mõõtuvaks ruumiks. σ-algebra \mathcal{A} elemente A nimetatakse mõõtuvateks hulkadeks. Kujutust f\colon \Omega \to \Omega' mõõtuvast ruumist (\Omega, \mathcal{A}) mõõtuvasse ruumi (\Omega', \mathcal{A}') nimetatakse mõõtuvaks funktsiooniks (täpsemalt \mathcal{A}-\mathcal{A}'-mõõtuvaks funktsiooniks), kui iga mõõtuva hulga originaal on mõõtuv.

Tuleb arvestada, et mõõduteoorias eristatakse mõõtuvust mõõtuva ruumi suhtes ja mõõtuvust Carathéodory mõttes välismõõdu suhtes. Viimast saab aga ekvivalentselt vaadelda mõõtuvusena välismõõdu indutseeritud mõõtuva ruumi suhtes. 

### Mõõduga ruum

Matemaatilist struktuuri (\Omega, \mathcal{A}, \mu) nimetatakse mõõduga ruumiks ehk mõõduruumiks, kui (\Omega, \mathcal{A}) on mõõtuv ruum ja \mu on sellel mõõtuval ruumil defineeritav mõõt. Mõõtuva ruumi näide on tõenäosusruum (\Omega,\mathcal{A},P) tõenäosusteoorias. See koosneb elementaarsündmuste hulgast \Omega, sündmuste algebrast \mathcal{A} ja tõenäosusmõõdust P.

### Peaaegu kõikjal

Mingi omadus kehtib peaaegu kõikjal (ehk \mu-peaaegu kõikjal ehk \mu-peaaegu kõikide elementide korral) mõõduga ruumis (\Omega, \mathcal{A} , \mu ), kui leidub nullmõõduga hulk, mille täiendi kõikidel elementidel on see omadus.

Kõikide nende elementide \omega \in \Omega hulk, millel seda omadust ei ole, ei pruugi ise olla mõõtuv. Piisab sellest, et see  sisaldub mõnes mõõtuvas hulgas mõõduga null.

Tõenäosusteoorias nimetatakse tõenäosusruumis (\Omega,\mathcal{A},P) peaaegu kõikjal kehtivat omadust ka peaaegu kindlaks omaduseks (ehk P-peaaegu kindlaks omaduseks).

### Täield

Nullmõõduga hulkade alamhulki nimetatakse tühisteks hulkadeks. Mõõduga ruumi nimetatakse täielikuks, kui kõik selle tühised hulgad on mõõtuvad. Tähistagu \mathcal{N} kõikide tühiste hulkade hulka.

Mõõtuvat ruumi (\Omega, \mathcal{A}', \mu') nimetatakse mõõtuva ruumi (\Omega, \mathcal{A}, \mu) täieldiks, kui \mathcal{A}':= \{A\bigtriangleup N:A\in\mathcal{A},N\in \mathcal{N}\} (kus \bigtriangleup on sümmeetriline vahe) ja \mu'(A\bigtriangleup N):=\mu(A).

### Näited

* Nullmõõt, mis seab igale hulgale A vastavusse väärtuse \mu(A)=0.
* Sisu näide on Jordani sisu, mille abil saab definerida mitmemõõtmelise Riemanni integraali.
* Loendav mõõt seab lõpliku või loenduva hulga alamhulgale A vastavusse selle elementide arvu, \mu(A)=|A|.
* Lebesgue'i mõõt reaalarvude hulgal \R Boreli σ-algebraga, defineeritud translatsioonisümmeetrilise mõõduna tingimusega \mu(\left[0,1\right])=1.
* Haari mõõt lokaalselt kompaktsete rühmadel.
* Tõenäosusmõõt ehk normeeritud mõõt on mõõt tingimusega \mu(\Omega)=1.
* Loendav mõõt naturaalarvude hulgal \N on lõpmatu, kuid σ-lõplik.
* Kanooniline Lebesgue'i mõõt reaalarvude hulgal \R on samuti lõpmatu, kuid σ-lõplik, sest \R saab esitada loenduva hulga lõplike intervallide \left[ k, k+1\right] ühendina.

## Üldistused
Üks võimalik üldistus puudutab funktsiooni  \mu sihthulka.
* Võib lubada negatiivseid reaalarvulisi ja kompleksarvulisi väärtusi (märgiga mõõt või kompleksmõõt).
* Veel üks üldistuse näide on spektraalmõõt, mille väärtused on lineaarsed operaatorid. Sea mõõtu kasutatakse muu hulgas  funktsionaalanalüüsis seoses spektraalteoreemiga.
* Üldiselt saab vaadelda mõõte, mille väärtused kuuluvad Banachi ruumi.

Üks üldistus on välismõõt. See on defineeritud astmehulgal.

Veel üks üldistus on juhuslikud  mõõdud. Nii võib punktprotsessi, nagu näiteks Poissoni protsessi, vaadelda loendava mõõduna, mis seab hulgale vastavusse sellel asetsevate punktide juhusliku arvu.

### Mõõduteooria topoloogilistel vektorruumidel

Mõõduteooria lõpmatumõõtmelistel ruumidel seob funktsionaalanalüüsi mõõduteooriaga ning on paljude tänapäeva tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika valdkondade teoreetiline alus.

## Tulemused
Hadwigeri teoreem klassifitseerib kõik võimalikud translatsioonisümmeetrilised mõõdud ruumil \R^n.

## Ajalugu
Mõõduteoria on saanud alguse püüdest defineerida tülikalt käituvatele hulkadele "suurus", mida võiks intuitiivselt pidada näiteks pindalaks või ruumalaks.

Mõõduteooria juured ulatuvad Vana-Kreekasse, kus Archimedes püüdis täpselt arvutada ringi pindala. Selleks töötas ta välja algelist integreerimist meenutava ammendamismeetodi.

19. sajandi matemaatikud teadsid, et diferentsiaalarvutuses saab defineerida kummaliselt käituvaid funktsioone, näiteks pidevaid, kuid mitte­diferentseeruvaid funktsioone, pidevate funktsioonide ridasid, mille summa ei ole pidev,  tõkestatud tuletistega funktsioone, mis ei ole Riemanni mõttes integreeruvad, ja mitteintegreeruvaid funktsioone, mis on integreeruvate funktsioonide jadade piirväärtused. Nendes veidrates näidetes olid funktsioonid tavaliselt meelevaldselt ja abstraktselt konstrueeritud, nii et polnud põhjust muretseda, sest eeldati, et matemaatilistes ja loodusteaduslikes rakendustes on funktsioonid  pidevad, diferentseeruvad ja integreeruvad. Kuid juba tekkis teoreetilise aluse probleem seoses väga oluliste ja oluliste rakendustega funktsioonidega, näiteks Fourier' ridade teoorias, mida arendasid Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Bernhard Riemann, Georg Cantor, Camille Jordan ja teised 19. sajandi matemaatikud. Selle aluse andsid Giuseppe Peano, Émile Borel, Camille Jordan ja lõpuks Henri Lebesgue mõõdu ja integraali mõistet üldistades.  Seda peetakse otseseks jätkuks Bertrand Riemanni, Gaston Darboux' ja Georg Cantori tööle funktsiooniteoorias. Thomas W. Hawkins Jr. ütleb: "Mõõtuvuse mõiste tähtsust hakati tunnistama kordsete integraalide teooria kaudu ja eriti Camille Jordani tööde kaudu. 

Vajadus ühtse ja süsteemse integraali järele  viis 19. sajandi lõpus ja 20. sajandi lõpus mõõduteooria kui matemaatika haru kujunemisele. Sellest ajast pärineb ka mõõduteooria ja integraaliteooria tihe seos.

Esimeste matemaatikute hulgas, kes mõõduteooriat põhjalikult uurisid, olid Henri Lebesgue, Felix Hausdorff (Hausdorffi mõõt), Émile Borel (Boreli mõõt), Johann Radon (Radoni mõõt) Constantin Carathéodory, Maurice Fréchet, Alfréd Haar ja Andrei Kolmogorov. Lebesgue töötas välja revolutsioonilise Lebesgue'i mõõdu ja Lebesgue'i integraali. Cantor ja Borel defineerisid hiljem mõõtuvad hulgad ja Boreli hulgad. Carathéodory arendas üldist mõõduteooriat, defineerides muu hulgas välismõõdu ja mõõdu. Haar konstrueeris Haari mõõdu, mis üldistab mõõdu  mõiste lokaalselt kompaktsetele rühmadele.

## Vaata ka
*mõõduteoreetiline induktsioon
*Banachi-Tarski paradoks
*Vitali hulk
*geomeetriline mõõduteooria

## Viited

## Välislingid

## Kirjandus
* Heinz Bauer. *Maß- und Integrationstheorie*, 2., ümbertöötatud trükk, de Gruyter, Berlin jt 1992, ISBN 3-11-013626-0.
* Jürgen Elstrodt. *Maß- und Integrationstheorie*, 4., parandatud trükk, Springer: Berlin 2005, ISBN 3-540-21390-2.
* David H. Fremlin. *Measure Theory*, kd 1–5, 2000–2008.

## Viited