Sirge

**Sirge** ehk **sirgjoon** on ilma läbimõõduta, mõlemas suunas lõpmata pikk, kõverusteta joon ehk ühemõõtmeline ruum, mis võib sisalduda mitmemõõtmelises ruumis.

## Sirge tasandil

### Üldvõrrand

Sirge üldvõrrand tasandil on (Descartesi koordinaadistikus) ristkoordinaadistikus lineaarvõrrand Ax + By + C = 0, kus A, B ja C on konstandid, kusjuures A ja B ei võrdu samaaegselt nulliga.

#### Näide

Sirge võrrand tasandil:

:4x - 1y - 1 = 0\text{ ehk }y = 4x - 1

### Parameetriline kuju

Kasutatakse üldvõrrandi Ax + By + C = 0 parameetrilist kuju L = \left\{
\begin{array}{c}
 x = x_0 + ta \\
 y = y_0 + tb
\end{array}
\right. \text{, kus }t \in \R

#### Näide

\R^{2}, kus sirge on määratud 2 vektori kaudu \alpha =\left(
\begin{array}{c}
 2 \\
 4
\end{array}
\right)\text{ ja }\beta =\left(
\begin{array}{c}
 3 \\
 3
\end{array}
\right) :

:L = {a + t(\overrightarrow{\beta-\alpha}),\text{ kus }t \in \R}= {\left(
\begin{array}{c}
 2 + t\\
 4 - t
\end{array}
\right),\text{ kus }t \in \R}

või

:L = {b + t(\overrightarrow{\beta-\alpha}),\text{ kus }t \in \R}= {\left(
\begin{array}{c}
 3 + t\\
 3 - t
\end{array}
\right),\text{ kus }t \in \R}
Lisaks eelnimetatule on võimalik parameetrilist kuju tähistada, kui parameetrilisi võrrandeid
:L = \left\{
\begin{array}{c}
 x_1 = a_1 + ts_1 \\
 x_2 = a_2 + ts_2
\end{array}
\right. \text{, kus }t \in \R = \left\{
\begin{array}{c}
 x_1 = 3 + t \\
 x_2 = 3 - t
\end{array}
\right. \text{, kus }t \in \R

ja (Descartesi kujul) ehk kanoonilisel kujul

:\frac{ x_1- a_1}{s_1}=\frac{ x_2- a_2}{s_2} \to \frac{x_1- 2}{1}=\frac{ x_2- 4}{-1} \to x_1=-x_2+ 6

### Joonised


Pilt:Tasand3.svg|Võrrandiga y = 4x - 1 määratud sirge.
Pilt:Tasand2.svg|Parameetrilise võrranditega  x_1 = 3 + t, .x_2 = 3 - t  määratud sirge.
Pilt:Linear_functions2.PNG|Sirged tasandil.


## Omadused
Olgu antud sirged u ja v, ning nendele vastavad sihivektorid \vec s_1 ja \vec s_2.

### Ristuvad sirged
Sirged on risti parajasti siis, kui nende sihivektorite tadamskalaarkorrutis on 0:

:\vec s_1 \cdot \vec s_2=0

### Paralleelsed sirged
Sirged on paralleelsed parajasti siis, kui nende sihivektorite skalaarkorrutise moodul on 1:

:|\vec s_1 \cdot \vec s_2| = 1

### Kahte punkti saab läbida vaid üks sirge
Eukleidese geomeetrias läbib kahte eri punkti parajasti üks sirge.

## Määratud
### tõusu ja algordinaadiga
Tõusu (k) ja algordinaadiga (a) määratud sirge võrrand tasandil:

:y = kx + a.

### kahe punktiga
Kahe punktiga määratud **sirge** võrrand tasandil:

:\frac {y - y_1}{y_2 - y_1}=\frac {x - x_1}{x_2 - x_1}.

### punkti ja sihivektoriga
Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand tasandil:

:\frac {y - y_1}{s_y}=\frac {x - x_1}{s_x}.
### punkti ja tõusuga
Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand tasandil:

:y - y_1 = k( x - x_1 ).
### kahe tasandi lõikena
Kahe tasandi \Pi_1 : \mathbf {n}_1 \cdot \mathbf r = h_1 ja \Pi_2 : \mathbf {n}_2 \cdot \mathbf r = h_2 lõike sirge, kus \mathbf {n}_i on normaal vektor, on antud

: \mathbf {r} = (c_1 \mathbf {n}_1 + c_2 \mathbf {n}_2) + \lambda (\mathbf {n}_1 \times \mathbf {n}_2) 

kus

: c_1 = \frac{ h_1 - h_2(\mathbf {n}_1 \cdot \mathbf {n}_2) }{ 1 - (\mathbf {n}_1 \cdot \mathbf {n}_2)^2 } 
: c_2 = \frac{ h_2 - h_1(\mathbf {n}_1 \cdot \mathbf {n}_2) }{ 1 - (\mathbf {n}_1 \cdot \mathbf {n}_2)^2 } .

## Rakendatavad funktsioonid
### Sirge kaugus punktist ℝ<sup>3</sup> ruumis
Olgu antud sirge u ja punkt D(x_1;y_1;z_1). Olgu sirge u sihivektoriks \overrightarrow{s}=(s_x;s_y;s_z), siis leiame punkti X = (x ; y ; z) sirgel, mis asub sirgel u ja mille kaugus on vähim punkti D(x_1;y_1;z_1). Selleks lahendame võrrandid:

:\frac{x-x_1}{s_x}=\frac{y-y_1}{s_y}=\frac{z-z_1}{s_z}

Siis leiame vektori \overrightarrow{DX} ja selle pikkuse r=\left|\left|\overrightarrow{DX}\right|\right|, mis on punkti kaugus sirgest:

:r = \sqrt{\left(x-x_1\right){}^2+\left(y- y_1\right){}^2+\left(z-z_1\right){}^2}

### Sirgete kaugus ruumis
Olgu antud sirged u ja v. Sellest leiame vastavad sihivektorid \overrightarrow{s_1} ning \overrightarrow{s_2} ja suvalised punktid mõlemal sirgel vastavalt A ja B.

#### Paralleelsed sirged
:\varrho =\frac{\left|\left|\overrightarrow{s_1}\times\overrightarrow{\text{AB}}\right|\right|}{\left|\left|\overrightarrow{s_1}\right|\right|}

#### Kiivsirged
:\varrho(u, v) =\frac{\left|(\overrightarrow{s_1}\times\overrightarrow{s_2})\cdot\overrightarrow{\text{AB}}\right|}{\left|\left|\overrightarrow{s_1}\times\overrightarrow{s_2}\right|\right|}

### Puutuja
:y - y_1 = \frac{}{}(f'(x))( x - x_1 )

### Normaal
:y - y_1 = \left(\frac{-1}{f'(x)}\right)( x - x_1 )

## Vaata ka
*Tuletis
*Punkt
*Sirgete lõikumine
*Kiir
*Lõik

## Kirjanduse märgendid