Portfelliteooria

**Modernne portfelliteooria** (ingl *modern portfolio theory*) on majandusteadlase Harry Markowitzi 1952. aastal esitatud teooria aktivaportfellide loomiseks, mis maksimeerib oodatava tulu teatud riskitaseme jaoks. Markowitz avaldas artikli „Portfolio Selection” ajakirjas Journal of Finance, mis sai moodsa portfelliteooria aluseks. Teooria järgib põhimõtet, et valides portfelli varasid, tuleb hinnata nende mõju tervele portfellile, mitte lähtuda nende üksikomadustest.

1990. aastal sai Harry Markowitz teooria eest Nobeli auhinna .

## Markowitzi portfelliteooria eeldused
Teooria põhineb teatud eeldustel :
# investeerimisotsuste tegemisel lähtuvad investorid üheperioodilisest investeerimishorisondist;
# investorid maksimeerivad ühe perioodi oodatavat kasulikkust;
# investeerimisotsuseid tehakse üksnes oodatava tulumäära ja tulumäära standardhälbe põhjal;
# investorid on riskikartlikud.

Seega teooria kohaselt valib investor portfelli varasid ainult efektiivsete portfellide hulgast (vastavalt oma riskitasemele). Portfelli nimetatakse efektiivseks juhul, kui ei leidu ühtegi teist portfelli, mis sama riskitaseme juures ei paku suuremat oodatavat tulu või sama oodatava tulu korral ei võimalda väiksemat riski.

## Oodatav tulumäär ja standardhälve

Portfelli oodatava tulumäära saamiseks leitakse portfelli kuuluvate aktivate oodatavate tulumäärade kaalutud keskmine. Kaaludeks võetakse vastavalt nende aktivate osatähtsused antud portfellis. 

Oodatava tulumäär leitakse järgmise valemiga :


E(R_p)=\sum_{i=1}^mw_iE(R_i),


kus  w_i  on i-nda aktiva osatähtsus portfellis,  E(R_i)  on i-nda aktiva oodatav tulumäär ning  m  on aktivate arv portfellis.

Portfelli oodatava tulumäära standardhälve sõltub lisaks aktivate dispersioonidele ka aktivapaaride tulumäärade kovariatsioonidest. Oodatava tulumäära standardhälbe üldvalem :

E(\sigma_p)=\sqrt{\sum_{i=1}^m w_i^2\cdot E(\sigma_i^2)+\sum_{i=1}^m\sum_{k\not=i,k=1}^m w_i\cdot w_k\cdot E(Cov_{ik})}


Mitmekesistamise mõju portfellile on sageli näha siis, kui võrrelda kõikvõimalikke kombinatsioone kahest aktivast. Kui portfellis on kaks aktivat, siis leitakse portfelli oodatava tulumäära standardhälve järgmise valemiga :


E(\sigma_p)=\sqrt{w_1^2\cdot E(\sigma_1^2)+2\cdot w_1\cdot w_2\cdot E(Cov_{1,2})+w_2^2\cdot E(\sigma_2^2)}


Valemis mõõdab  Cov_{1,2}  kahe aktiva tulumäära koosmuutumise määra. Kui kovariatsioon on positiivne, siis muutuvad tulumäärad ühes suunas. Negatiivse kovariatsiooni korral muutuvad tulumäärad eri suundades. Kovariatsiooni leitakse järgmiselt :


E(Cov_{1,2})=\sum_{j=1}^n(R_{1j}-E(R_1))\cdot(R_{2j}-E(R_2))\cdot p_j,


kus  E(Cov_{1,2})  on kahe aktiva tulumäärade vaheline oodatav kovariatsioon,  R_{1j}  on esimese aktiva tulumäär olukorras  j ,  E(R_1)  on esimese aktiva oodatav tulumäär,  R_{2j}  on teise aktiva tulumäär olukorras  j ,  E(R_2)  on teise aktiva oodatav tulumäär,  p_j  on olukorra  j  tõenäosus ning  n  olukordade arv.

Juhul kui arvutamiseks kasutatakse ajaloolist tulumäärade aegrida, siis on kovariatsiooni leidmiseks valem 


Cov_{12}=\sum_{j=1}^T\frac{(R_{1j}-r_1)(R_{2j}-r_2)}{T-1},


kus  T  on vaatlusaluste perioodide arv.

Selleks, et näha seoste vahelist tugevust, mida kovariatsioon ei näita, tuleb leida korrelatsioonikordaja :


corr_{12}=\frac{E(Cov_{12})}{E(\sigma_1)\cdot E(\sigma_2)}


## Portfelli hajutamine

Teooria kohaselt on võimalik riske vähendada omades portfellis instrumente, mis ei ole tugevalt korreleeritud. Seega on riskide maandamise eesmärgil mõistlik hoida portfell mitmekesisena. Näiteks on võimalus portfelli mitmekesistada, kui investeerida erinevate majanduslike omadustega tööstusharudesse. Sel juhul on kovariatsioon väiksem kui ühte harusse investeerimisel.

## Viited