Tuletis (matemaatika)

Funktsiooni **tuletis** on matemaatilise analüüsi üks põhimõisteid. Funktsiooni tuletis mingil kohal näitab selle funktsiooni väärtuse *muutumise kiirust* funktsiooni argumendi muutumisel. Täpsemalt, funktsiooni tuletis on funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus, kui argumendi muut läheneb nullile.

Füüsikas on kohavektori tuletis aja järgi hetkkiirus, kiiruse tuletis omakorda on kiirendus.

Reaalarvulise argumendiga ning reaalarvuliste väärtustega funktsiooni tuletis mingis punktis on funktsiooni puutuja tõus selles punktis.

Matemaatilise analüüsi eeskujul on tuletise mõistet mitmel viisil üldistatud teistesse matemaatika valdkondadesse. See artikkel käsitleb eelkõige reaal- või kompleksmuutuja funktsiooni tuletist matemaatilise analüüsi tähenduses. Mõiste *tuletis* tähenduste kohta matemaatika teistes harudes vaata alajaotust "Üldistusi".

## Määratlus
### Tuletis antud kohal
Olgu antud reaalarvuliste väärtustega funktsioon f ning mõni reaalarv x funktsiooni määramispiirkonnast. Kui leidub (lõplik või lõpmatu) piirväärtus \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}, siis seda nimetatakse funktsiooni f\, **tuletiseks kohal <math>x\,</math>**ning tähistatakse sümboliga f'(x)\,.

Tavaliselt määratletakse funktsiooni tuletis ainult tema määramispiirkonna sisepunktides, s. t. eeltoodud definitsiooni lisatakse veel eeldus, et x\,on hulga D\, sisepunkt.

Kui funktsioonil f\, on lõplik tuletis kohal x\,, nimetatakse funktsiooni f\, **diferentseeruvaks kohal <math>x\,</math>**.

Samamoodi defineeritakse tuletis ja diferentseeruvus ka kompleksmuutuja funktsiooni korral, s. t. juhul f : D \to \mathbb{C}, kus D \subset \mathbb{C}.

### Tuletis kui funktsioon. Kõrgemat järku tuletised
Kui funktsioon f\, on diferentseeruv igas oma määramispiirkonna D\, punktis, öeldakse lihtsalt, et **funktsioon <math>f\,</math> on diferentseeruv**.

Kui funktsioon f\, on diferentseeruv, saame vaadelda tema tuletist funktsioonina f': D \to \mathbb{K}.

Sellisel juhul saame uurida funktsiooni f'\, tuletiste olemasolu. Funktsiooni f'\, tuletist nimetatakse funktsiooni f\, **teist järku tuletiseks** ning tähistatakse f*\,</math>. Kui funktsioon <math>f'\,</math> on diferentseeruv ehk funktsioonil <math>f\,</math> on kogu tema määramispiirkonnas olemas lõplik teist järku tuletis, nimetatakse funktsiooni <math>f\,</math> *'kaks korda diferentseeruvaks**.

Samamoodi, kui funktsioon <math>f''\,</math> on diferentseeruv, määratletakse ka funktsiooni <math>f\,</math> **kolmandat järku tuletis** <math>f**\, jne. Üldiselt, funktsiooni f\, **<math>n\,</math>-ndat järku tuletist** kohal x\,, kus n \in \mathbb N, tähistatakse f^{(n)}(x)\,.

## Tähistusi
### Lagrange'i tähistus
Eeltoodud määratluses kasutasime Joseph-Louis Lagrange'i tähistust:
: f'(x)\, – funktsiooni f\, tuletis kohal x\,
: f*(x)\,</math> – teist järku tuletis
: <math>f*'(x)\, – kolmandat järku tuletis
: f^{IV}(x)\, ehk f^{(4)}(x)\, – neljandat järku tuletis
: f^{(n)}(x)\, – n-ndat järku tuletis (n \in \mathbb N)

### Leibnizi tähistus
Kui muutujate y\, ja x\, vahel on seos y=f(x)\,, siis nii funktsiooni f\, tuletisfunktsiooni f'\, kui ka selle väärtust kohal x\, tähistatakse Leibnizi tähistuses \frac{dy}{dx}.

Leibnizi tähistust põhjendab seos \frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}, kus \Delta x\, on suuruse x\, muut ning \Delta y = f(x+\Delta x)-f(x)\, on vastav suuruse y\, muut. Tuletise kui funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtuse tähistamiseks asendame selles suhtes kreeka tähe delta lihtsalt talle ladina tähestikus vastava tähega d\,.

Kõrgemat järku tuletise f^{(n)}(x)\, jaoks kasutatakse tähistust \frac{d^ny}{dx^n}.

### Newtoni tähistus
Kui funktsiooni argument tähistab aega (sel juhul kasutatakse argumendi tähistamiseks tähe x\, asemel enamasti tähte t\,), siis kasutatakse füüsikas sageli ka Newtoni tähistust. Kui muutuja y\, sõltuvust ajast t\, kirjeldab seos y = f(t)\,, siis funktsiooni f\, tuletisi tähistatakse:
: \dot{y} = f'(t)
: \ddot{y} = f*(t)</math>
ja nii edasi.

Kõrgemat järku tuletiste puhul on Newtoni tähistust raske kasutada, sest mitut täppi on tüütu kirjutada ja kokku lugeda. Samuti puudub üldine tähistus <math>n</math>-ndat järku tuletise jaoks, kuid paljudes füüsikaülesannetes piisab esimest ja teist järku tuletisest.

==Näide==
Olgu <math>y\! = x\!^2</math>, sellisel juhul <math>\Delta y\! = (x\! + \Delta x\!)^2 - x\!^2</math> ja

<math>\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{x^2+2x\Delta x + (\Delta x)^2-x^2 }{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{(2x+\Delta x)\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}2x+\Delta x=2x</math>

==Tuletise rakendusi==
===Matemaatika===

====L'Hospitali reegel====

Kui <math>\lim_{x\to a} f(x)= \lim_{x\to a} g(x) = 0</math> ja leidub  <math>\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}</math>

või <math>\lim_{x\to a}|f(x)|= \lim_{x\to a}|g(x)|= \infty</math> ja leidub  <math>\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}</math>

siis kehtib võrdus
: <math>\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} .</math>
Näiteks <math>\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{(\sin x)'}{(x)'} = \lim_{x\to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1 .</math>

====Taylori valem====


Taylori valem on avaldis funktsiooni väärtuste ligikaudseks arvutamiseks mingi punkti ümbruses, teades tema erinevat järku tuletiste väärtusi antud punktis:

: <math> f(x) \approx f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n.</math>

Lihtne näide Taylori valemist on [[eksponentfunktsioon]]i <math>e^x\,</math> lähendamine *x* = 0 juures:

:  <math> \textrm{e}^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}.</math>

Taylori valemi vea (s. o. Taylori valemiga arvutatud väärtuse ja täpse väärtuse <math>f(x)</math> vahe) hindamiseks on mitmeid võimalusi. Üks neist, Lagrange'i veahinnang, kõlab järgmiselt. Kui *n* &ge; 0 on [[täisarv]] ja <math>f\,</math> on funktsioon, mis on *n* korda pidevalt diferentseeruv [[lõik (matemaatika)|lõigul]] [*a*, *x*] ja *n*&nbsp;+&nbsp;1 korda diferentseeruv [[vahemik (matemaatika)|vahemikus]] (*a*, *x*), siis leidub arv <math>\xi \in (a, x)</math> nii, et
<math> f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}.</math>

====Funktsiooni uurimine====

Kui reaalmuutuja funktsiooni tuletis on positiivne mingis lõigus, siis funktsioon [[kasvav funktsioon|kasvab]] selles lõigus. Kui tuletis on negatiivne, siis funktsioon [[kahanev funktsioon|kahaneb]] antud lõigus. Funktsiooni tuletise [[nullkoht|nullkohad]] on funktsiooni lokaalsed [[miinimum]]- ja [[maksimum|maksimumkohad]].

Teine tuletis määrab funktsiooni graafiku "kõveruse": kui teine tuletis mingil kohal on nullist erinev, siis funktsiooni graafik asub antud punkti ümbruses selles punktis tõmmatud puutujast paremal või vasakul ("kõverdub" päripäeva või vastupäeva) ning esimese ja teise tuletise abil saab arvutada graafiku [[kõverusraadius]]e. Kui funktsiooni teine tuletis on mingis lõigus positiivne või negatiivne, siis funktsioon on antud lõigus vastavalt [[kumer funktsioon|kumer]] või [[nõgus funktsioon|nõgus]]. Graafiku punkte, kus funktsiooni teine tuletis on 0, nimetatakse [[käänupunkt]]ideks.

=== Füüsika ===

Tuletis (ja matemaatiline analüüs üldiselt) on tänapäeva füüsikas asendamatu abivahend loodusnähtuste kirjeldamisel. Üks olulisi tuletise rakendusi on näiteks füüsikaliste suuruste (ajalise) muutmise kiiruse kirjeldamine ning [[liikumisvõrrand]]ite kirjapanemine.

*'Näide:** [[Kiirus]] ehk asukoha ajalise muutumise kiirus leitakse kohavektorist ajalise tuletise võtmise teel. Liikugu punkt mingis [[koordinaadisüsteem|koordinaadisüsteemis]] sirgjooneliselt võrrandi <math>x = t^2 + 3</math> järgi. Kiiruse leidmiseks ajahetkel <math>t</math> võetakse liikumisvõrrandist aja järgi tuletis: <math>\dot{x} = 2t</math>. Kiiruse võrrandist omakorda tuletise võtmine annab kiiruse ajalise muutumise kiiruse ehk [[kiirendus]]e: <math>\dot{v} = 2</math>. Näeme, et antud punkt liigub ühtlase kiirendusega.

**Näide:*' Liikugu keha keskkonnas, mille poolt avaldatav [[hõõrdejõud]] on [[võrdelisus|võrdeline]] keha kiirusega, st *F = – k v*, kus *k* on võrdetegur. Seega on keha liikumisvõrrand vastavalt [[Newtoni II seadus]]ele
: <math>m \dot{v} = - k v,</math>
kus <math>\dot{v} = a</math> on kiirendus ja *m'' on keha mass. Saadud avaldis annab hariliku diferentsiaalvõrrandi, mille lahend ütleb, kuidas keha kiirus ajas muutub.

## Üldistusi

### Diskreetne matemaatika
Loogikafunktsiooni tuletis argumendi järgi määrab loogikatingimused, milliste puhul  funktsiooni väärtus on tundlik selle argumendi  muutuste suhtes (kas  otse-  või vastandfaasis).
\frac{\partial (f(x_1,x_2,...,x_n))}{\partial x_i}=f(x_1,x_2,...,x_{i-1},0,x_{i+1},...,x_n) \oplus f(x_1,x_2,...,x_{i-1},1,x_{i+1},...,x_n)

Näide: olgu f(x_1,x_2,x_3,x_4)=\sum (2,3,6,7,8,9,12,13,15)_1

\frac{\partial (f(x_1,x_2,x_3,x_4))}{\partial x_2}=x_1 \lor x_2 x_4 \oplus \bar{x_1} \lor x_2 x_4= \bar{x_1}  \bar{x_2} \lor  \bar{x_1}  \bar{x_4} \lor  \bar{x_1} x_2 x_4

## Vaata ka

* Osatuletis
* Integraal
* Diferentsiaalvõrrand