Lihtne juhuslik valik

**Lihtne juhuslik valik** on selline valikuprotseduur, kus kõik  n -mahulised valimid  N -mahulisest üldkogumist on võrdtõenäosed.

Eristatakse kahte liiki lihtsat juhuslikku valikut: tagasipanekuta ja tagasipanekuga valik. Esimesel juhul valitud objekt eemaldatakse üldkogumist, teisel juhul mitte.

## Lihtne juhuslik valik tagasipanekuta
Olgu üldkogum  U=\{1,2,\dots, N\} .Kõigi n mahuliste valimite arv, mida U-st saab moodustada on M=C^n_N. Olgu S=\{s_1, \dots, s_M\} kõigi võimalike valimite hulk.

Lihtsa juhusliku valiku korral on kaasamistõenäosus järgmine:
            \pi_i=\frac{n}{N} \quad \forall i
ning teist järku kaasamistõenäosus on
            \pi_{ij}=\frac{n(n-1)}{N(N-1)} \quad \forall i\ne j

### Valimi genereerimise võimalused

#### Definitsiooni järgi
Loetleda kõikvõimalikud valimid mahuga n (selliseid võimalusi on C^n_N) ja siis valida üks valim võrdse tõenäosusega.

#### Tõmbeviis (elemendid on nummerdatud)
#  i = 1 \Rightarrow  valime tõenäosusega 1/N  ja eemaldame üldkogumist;
#  i = 2,...,n \Rightarrow  valime tõenäosusega  \frac{1}{N -(i-1)}  ja eemaldame iga kord üldkogumist.

#### Loeteluviis (tulemuseks on vektorvalim)
\forall i = 1,...,N  seame vastavusse juhusliku arvu  u_i \sim U(0,1).
# i = 1 : kui  u_1 , siis 1. element on valimis 
#  i = 2,...,N : kui u_i , siis  i.s element on valimis. 
Siin n_i on elementide arv, mis on valitud üldkogumi esimese i-1 objekti seast.

#### Järjestusvalik
# \forall i = 1,...,N  seame vastavusse juhuslikud arvud  u_1,...,u_N,\quad u_i \sim U(0,1). 
# Järjestame üldkogumi objektid ümber u_i  järgi kasvavalt: u_{(i_1)} 
# Võtame valimisse esimest n objekti.

### Kogusumma hinnang ja hinnangu dispersioon
Lihtsa juhusliku valiku korral avaldub kogusumma t=\sum_U y_i nihketa hinnang kujul
            \hat t=N \overline{y}, 
kus \overline{y}=\sum_s y_i  on valimi keskmine.

Kogusumma hinnangu dispersioon on
            D(\hat t)=N^2(1-f)S_{yU}^2/n
ja dispersiooni hinnang on 
            \hat D(\hat t)=N^2(1-f)S_{ys}^2/n,
kusjuures f=\frac{n}{N} on valikusuhe,
            S_{yU}^2=\frac{1}{N-1}\sum_U(y_i-\overline{Y})^2
on  tunnuse y dispersioon üldkogumis ja
            S_{ys}^2=\frac{1}{n-1}\sum_s(y_i-\overline{y})^2
on  tunnuse y dispersioon valimis.

### Keskmise hinnang ja hinnangu dispersioon
Lihtsa juhusliku valiku korral avaldub keskmine \overline{Y}=\frac{Y}{N} nihketa hinnang kujul
            \hat \overline{Y} =\frac{1}{n}\sum_s y_i=\overline{y}. 
Valimi keskmise dispersiooni ja dispersiooni hinnangu avaldised on järgmised:
            D\hat \overline{y}=(1-f)S_{yU}^2/n,
            \hat D\hat \overline{y}=(1-f)S_{ys}^2/n.
## Lihtne juhuslik valik tagasipanekuga
Tagasipanekuga disainide korral objektid võivad sattuda valimisse korduvalt, seetõttu on valikuindikaator I_i juhuslik suurus, mille realisatsioonid võivad olla hulgast \{0,1,2,..\}. 
### Valimi genereerimise võimalused
Praktikas on väga levinud kahte tüüpi tagasipanekuga disainid: multinoomiaal- ja hüpergeomeetriline disain. [konspekt]
#### Multinominaaldisain
# Valikutõenäosused p_i on fikseeritud iga i jaoks, i \in U kogu valikuprotsessis,\sum^N_{i=1} p_i = 1. 
# Objekt valitakse vastavalt p_i-le, registreeritakse ja seejärel pannakse tagasi üldkogumisse. 
# Protsessi korratakse n korda (kuni valim on käes).
#### Hüpergeometriline disain
Iga element saab olla valitud kuni m_i korda.

Olgu m =\sum^N_{i=1} m_i.

Tähistame I \sim HG(n;m_1,m_2,...,m_N), kus jaotuse tõenäosusfunktsioon on järgmine: p(k) = P(I = k) =\frac{\prod^N_{i=1} C^{k_i}_{m_i}}{ C^n_m} , kui |k| = n.
### Kogusumma hinnang ja hinnangu dispersioon
Lihtsa juhusliku valiku tagasipanekuga korral nihketa hinnang üldkogumi kogusummale t =\sum_U y_i avaldub järgmiselt: 
            \hat t = N\overline{y}.
Hinnangu \hat t dispersioon on järgmine:
            V (\hat t) = (N(N -1))/n S^2_y,
ja dispersiooni hinnang:
            \hat V (\hat t) = N^2 / (n(n-1)) s^2_y,
kus
            \overline{y} =1/n \sum_s  y_i
on valimi keskmine,
            \overline{Y} = 1/N \sum_U y_i
on üldkogumi keskmine,
            S^2_y = 1/( N -1) \sum_U (y_i - \overline{Y} )^2
on tunnuse y dispersioon üldkogumis ja
            s^2_y = 1/( n -1) \sum_s (y_i - \overline{y} )^2
on tunnuse y dispersioon valimis.

= Viited =