Signaali eraldus

**Signaali eraldus** on protsess, mille käigus eraldatakse ühest signaalide „segust“ ehk liitsignaalist kõik algsed komponendid ehk algsignaalid. Enamasti räägitakse signaali eralduse korral BSS-ist ehk *Blind Signal Separation*-ist (otsetõlkes: tundmatute signaalide eraldus), mis kujutabki liitsignaali lahutamist algseteks signaalideks, kasutades ainult olemasolevat liitsignaali. Kuigi sõna "*blind*" ehk n-ö tundmatust sisaldav on negatiivse alatooniga, siis tegelikkuses tähistab see hoopis võimekust lahutada igat signaali algkomponentideks.

## Matemaatiline olemus
Kui aegruumi algsignaali komponente on n, siis saab kujutada neid n\times1 maatriksina: s(t)=\left[s_1(t),s_2(t),...,s_n(t)\right].

Signaalide omavahelisel liitumisel peab summa sisaldama kindla arvu kõiki komponente. Selleks et signaale lahutada, kasutatakse m arv sensoreid, millest igaüks salvestab kõiki algsignaale. Levinuim näide on kokteilipeoefekt. Kui peol räägib palju inimesi korraga ning sensoriteks on mitmed mikrofonid, siis salvestabki iga mikrofon igat kõnelejat, kuid erinevatel mikrofonidel on erinevad hääle allikad erinevalt kuulda. 

Seega saab signaalide summa kujutamiseks kasutada kordajate maatriksit A, millega korrutatakse läbi kõik algsignaalid. Maatriksi A mõõtmed on m \times n (eelneva näite korral ongi tarvis m korda n kordajat, sest igale mikrofonile rakendub iga signaal erineva „kordajaga“), kus enamasti m=n ning milles on välja toodud iga vastava sisendsignaali ning loodud summa elemendi kordaja: A=\left[a_{11},a_{12},...,a_{mn}\right].

Siiski võib tekkida ka olukord, kus m \ne n. Juhul kui m>n, on tegu ülemääratud süsteemiga, kus võrrandeid on rohkem kui tundmatuid. Sel juhul kasutatakse algkomponentide leidmiseks vähimruutude meetodit või lineaarteisendusi. Kui m, on tegu alamääratud süsteemiga, kus tehakse algkomponentide leidmiseks rohkem eeldusi ja kasutatakse mittelineaarteisendusi.

Kuna uuritava signaali moodustavad kõik algsed komponendid, siis on ka uuritav signaal lõpuks m \times 1 maatriks, mille elementideks on vastavate kordajatega läbi korrutatud s(t) elementide summad: x(t)=As(t).

x_i(t)=\sum_{j=1}^n a_{ij}s_j(t), i=\left[1,2,...,m\right]

Seega seisneb BSS-i idee s(t) leidmises, kui on teada x(t). Selle tarvis luuakse uus n \times m maatriks, mis suudab teisendada uuritava signaali taas algkomponentideks: B=\left[b_{11},b_{12},...,b_{nm}\right].

Saadav tulemus y(t) ei pruugi olla täpselt sama algsignaalide maatriksiga, kuid see on siiski ligilähedane: y(t)=Bx(t) \approx s(t).

## Meetodid
### Independent Component Analysis

ICA (otsetõlkes: eraldiseisvate komponentide analüüs) seisneb kolmel põhitõel:
*eeldatakse, et kõik algsignaalid on eraldiseisvad ning pole eelnevalt kokku liidetud
*kõik algsignaalid on Gaussi kõverast võimalikult erineva kujuga
*algsignaalide keerukus on väiksem kui liitsignaali oma.

Algsignaalid peaksid olema Gaussi kõverast erinevad, kuna tsentraalse piirteoreemi kohaselt hakkavad piisavalt suure valimi korral suvalised väärtused sarnanema normaaljaotusele ehk Gaussi kõverale. ICA puhul eeldatakse, et suvalisteks väärtusteks on signaalide komponendid, mistõttu võib öelda, et signaalide liitumisel saadud summad hakkavad lähenema normaaljaotusele. Sellest võib järeldada, et mida rohkem erineb saadud signaal Gaussi kõverast, seda tõenäolisemalt on tegu algsignaaliga. Sarnaselt oletatakse, et mida lihtsam on signaal, seda suurema tõenäosusega on tegu algsignaaliga.

ICA kasutamisel genereeritakse maatriks B=\left[b_{11},b_{12},...,b_{nm}\right], mille korrutis liitsignaaliga vastab potentsiaalsele algsignaalide maatriksile. Saadud maatriksit y(t) võrreldakse eelnevalt mainitud põhitõdedega. Eraldiseisvuse korral arvestatakse, kui palju sarnaneb saadud algsignaal etteantud signaalide summaga. Gaussi kõveruse korral jälgitakse ekstsessi ja asümmeetriakordajat (normaaljaotust kirjeldavad parameetrid).

### Dependent Component Analysis
Sarnaselt ICA-le jagab DCA (otsetõlkes: sõltuvate komponentide analüüs) signaalide summa tagasi algsignaalideks, kuid erinevalt ICA-st ei jaga DCA signaale üksikuteks signaalideks, vaid signaalide hulkadeks. DCA jagab algsignaalid hulkadesse, kus iga element mõjutab teisi elemente.

### Principal Component Analysis
PCA (otsetõlkes: põhikomponentide analüüs) ideeks on algsignaali vektorite leidmine. Selleks kasutatakse SVD (*Singular Value Decomposition*, otsetõlkes: üksikväärtusteks jagamine) ja NMF (*Non-Negative Matrix Factorization*, otsetõlkes: mittenegatiivse maatriksi tegurdamine) meetodeid. SVD puhul kasutatakse algkomponentide leidmiseks omavektoreid (inglise keeles: eigenvector). Omavektorid on nullvektorist erinevad vektorid, mida kasutatakse lineaarteisendustes.

Standardses NMF meetodis on antud n \times m maatriks X, millest luuakse n \times r maatriks F ning m \times r maatriks G, mille korral X \approx FG^T ning r. Saadud maatriksite F ja G väärtused ja rollid sõltuvad konkreetsetest arvutustest, mistõttu on NMF universaalne vahend.

### Stationary Subspace Analysis
SSA (otsetõlkes: statsionaarse alammaatriksi analüüs) meetodis kujutatakse n \times 1 maatriksit X sarnaselt matemaatilisele definitsioonile: X=AS_t. Erinevus seiseneb maatriksite A ja S_t sisudes – mõlemates on elemendid jagatud liikuvateks ning statsionaarseteks ehk püsivateks. Statsionaarsuse all peetakse silmas väärtuste konstantsust ajas. Meetod on vajalik juhtudel, kus on tarvis tuvastada ajutisi muutusi signaalides.

### Common Spatial Pattern
CSP-d (otsetõlkes: ühine ruumiline muster) kasutatakse enamasti elektroentsefalograafias (EEG), et eraldada ajukoorest saabuvaid signaale. Meetodis muudetakse liitsignaal lineaarteisendustega väiksemateks maatriksiteks, mille kovariatsioone uurides on võimalik leida sõltuvusi etteantud ja algsignaalide vahel.

## Kasutusalad
Signaali eraldust kasutatakse väga laiaulatuslikult. Üldiseks kasutusalaks on erinevate mürade vähendamine ning signaalide töötlemine. Pilditöötluses kasutatakse BSS-d näiteks peegelduste eemaldamisel, helinduses häälte eraldamiseks (nt kokteilipeoefekt), meditsiinis elektrokardiogrammis (nt lapse ja ema südamete töö eristamiseks) ning magnetresonantstomograafias (aju mitmed osad kiirgavad infot ning neid on vaja eristada). Lisaks kasutatakse signaali eraldust statistikas korrelatsioonide leidmiseks ja telekommunikatsioonis.

## Viited