Fresneli valemid

**Fresneli valemid** on matemaatilised seosed, mis kirjeldavad kahe isotroopse dielektriku lahutuspinnale langeva elektromagnetlaine amplituudi muutust peegeldumisel ja murdumisel. Elektromagnetlainet saab vaadelda kahes omavahel risti polariseeritud osas (s- ja p-polariseeritud kiir), mis dielektriku pinnal erinevalt murduvad või peegelduvad. Milline osa valgusest peegeldub ja milline murdub, sõltub keskkondade murdumisnäitajatest, langemisnurgast ja valguse polarisatsioonist.

## Peegeldunud ja murdunud valguse intensiivsus
Fresneli valemid saab tuletada, kasutades Snelli murdumisseadust, langemisnurga \alpha ja peegeldumisnurga \gamma võrdsust, elektri- ja magnetvälja vahelist seost elektromagnetlaines \sqrt{\epsilon \epsilon_0 \mu \mu_0}E = B  ning tingimust, et elektrivälja E ja magnetvälja tugevuse H tangentsiaalkomponendid ning elektrinihke välja D ja magnetilise induktsiooni B normaalkomponendid on dielektriliste keskkondade lahutuspinnal pidevad.

### s- ja p-polarisatsioon
Peegeldumise ja murdumise uurimiseks vaadeldakse valgust kahes lineaarselt polariseeritud osas – langemistasandiga paralleelselt ('''p-polariseeritud''') ning langemistasandiga risti polariseeritud ('''s-polariseeritud''') kiirtena (vastavalt E^{\mid\mid} ja E^{\perp}).

Polariseeritus on määratud elektrivälja võnkumise suunaga langemistasandi suhtes. Langemistasand on määratud kahe sirgega – langeva kiire ja selle kiire projektsiooniga keskkondade lahutuspinnale. S-polariseeritud valguse puhul võngub elektriväli risti langemistasandiga, p-polariseeritud valguse puhul aga paralleelselt.

**Peegelduva valguse elektrivälja amplituudväärtus on:**
*s-polariseeritud valguse puhul:
E_1^{\perp} = -\frac{sin(\alpha - \gamma)}{sin(\alpha + \gamma)} E^{\perp}
*p-polariseeritud valguse puhul:
E_1^{\mid\mid} = -\frac{tan(\alpha - \gamma)}{tan(\alpha + \gamma)} E^{\mid\mid}

**Murduva valguse elektrivälja amplituudväärtus on:**
*s-polariseeritud valguse puhul:
E_2^{\perp} = \frac{2cos\alpha \cdot sin\gamma}{sin(\alpha + \gamma)} E^{\perp}
*p-polariseeritud valguse puhul:
E_2^{\mid\mid} = \frac{2cos\alpha \cdot sin\gamma}{sin(\alpha + \gamma)\cdot cos(\alpha - \gamma)} E^{\mid\mid}

### Suhtelised energeetilised koefitsiendid ehk suhteline intensiivsus
Peegeldavat pinda iseloomustatakse **suhtelise energeetilise peegeldumiskoefitsiendiga** R ning murdvat keskkonda **läbilaskvuskoefitsiendiga** T. Energia jäävuse seaduse kohaselt on R+T=1.

R=\frac{I_1}{I}=\left(\frac{E_1}{E}\right)^2

T=\frac{I_2}{I}=\frac{n_2}{n_1}\left(\frac{E_2}{E}\right)^2\cdot \frac{cos\gamma}{cos\alpha}
## Fresneli valemite analüüs

### <math>\alpha</math>=0
Kui langemisnurk \alpha=0 siis valemid lihtsustuvad ning elektrivälja tugevused avalduvad:

E_1^{\mid\mid}=E_1^{\perp}=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}E^{\mid\mid,\perp}

E_2^{\mid\mid}=E_2^{\perp}=\frac{2n_1}{n_1+n_2}E^{\mid\mid,\perp}

**elektrivälja amplituudi peegeldumis- ja neeldumiskoefitsiendid** avalduvad:

r=\frac{E_1}{E}=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}

t=\frac{E_2}{E}=\frac{2n_1}{n_1+n_2}

ja **energeetilised koefitsiendid** avalduvad:

R=\left(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)^2

T=\frac{4n_1n_2}{(n_1+n_2)^2}

### N21>0
Kui \alpha > \gamma ehk valgus murdub optiliselt hõredamast keskkonnast optiliselt tihedamasse keskkonda, siis langemisnurga suurenedes peegeldumisel E_1^{\mid\mid} amplituud väheneb, E_1^{\perp} aga kasvab. 

Kui \alpha+\gamma=\frac{\pi}{2} siis Fresneli valemite põhjal läheneb nimetaja lõpmatusele ning E_1^{\mid\mid}\rightarrow 0. Sellist langemisnurka \alpha_B nimetatakse **Brewsteri nurgaks** (nurk, mille all valguse langedes materjalile läheb materjalist läbi nii s- kui ka p-polariseeritud valgus, kuid peegeldub vaid s-polariseeritud valgus). Kui valgus langeb Brewsteri nurgast väiksema nurga all, on langev ja peegelduv p-polariseeritud valguskiir vastasfaasis. Kui valgus langeb Brewsteri nurgast suurema nurga all, on langev ja peegelduv p-polariseeritud valguskiir samas faasis. S-polariseeritud langev ja peegelduv kiir on alati vastasfaasis. Langev ja murduv kiir on alati samas faasis. 

### N21<0
Kui \alpha  ehk valgus murdub optiliselt tihedamast keskkonnast optiliselt hõredamasse keskkonda, siis eksisteerib langemisnurk \alpha_p, mille korral murdumisnurk saab võrdseks \gamma=\frac{\pi}{2}. Sellist nurka nimetatakse **täieliku sisepeegeldumise piirnurgaks**. Kui \alpha>\alpha_p, siis kogu valgus peegeldub.