Isomeetria

**Isomeetria** on kujutus ühest meetrilisest ruumist teise, mis säilitab meetrika (punktidevahelised kaugused). See tähendab, et kujutispunktide vaheline kaugus on võrdne lähtepunktide vaheliste kaugustega.

## Definitsioon
Kui on antud kaks meetrilist ruumi (M_1,d_1) ja (M_2,d_2) ning f\colon M_1\rightarrow M_2 on kujutus omadusega 
: d_2\left(f(x),f(y)\right) = d_1(x,y)\  kõikide x,y\in M_1 korral, siis kujutust f nimetatakse **isomeetriaks** ruumist M_1 ruumi M_2. 

Selline kujutus on alati injektsioon. Kui f on isegi bijekrsioon, siis kujutist f nimetatakse isomeetriliseks isomorfismiks ning niisuguse kujutuse olemasolu korral nimetatakse ruume M_1 ja M_2 isomeetriliselt isomorfseteks.

## Erijuhtumid
### Normeeritud ruumid
Normeeritud ruumis ehk normeeritud vektorruumis V on kahe vektori vaheline kaugus u, v \in V defineeritud vahevektori norm]na:

:d(u,v) = \|v-u\|.

Kui V ja W on kaks normeeritud ruumi normidega \| \cdot \|_V ja \| \cdot \|_W ning f \colon V \to W on lineaarkujutus, siis see kujutus on **lineaarne isomeetria** parajasti siis, kui ta säilitab normi, st kui kõikide v \in V korral kehtib
:\|f(v) \|_W = \|v \|_V.

Ilma lineaarsuse eelduseta kehtib:
*Kui sihtruum on rangelt kumer, siis iga isomeetria ruumist V ruumi W on afiinne
*Iga sürjektiivne isomeetria on afiinne kujutus (Mazuri-Ulami teoreem).

Kui isomeetria kujutab V nullvektori W nullvektoriks, siis ta on lineaarkujutus.

### Skalaarkorrutisega vektorruumid
Kui V on skalaarkorrutisega vektorruum (skalaarkorrutisruum), siis vektori indutseeritud norm ehk skalaarkorrutisnorm (pikkus) on defineeritud ruutjuurena vektori skalaarkorrutisest iseendaga. Kahe vektori u ja v vaheline kaugus avaldub siis nii:
:d(u,v) = \|v-u\| = \sqrt{\langle u-v, u-v \rangle},
kus skalaarkorrutis on tähistatud kolmnurksulgudega.

Kui V ja Won vektorruumid skalaarkorrutistega \langle \cdot , \cdot \rangle_V ja \langle \cdot , \cdot \rangle_W ning f \colon V \to W on lineaarkujutus,
siis see kujutus on lineaarne isomeetria parajasti siis, kui ta säilitab skalaarkorrutise, st 
:\langle f(u), f(v) \rangle_W = \langle u, v \rangle_V kõikide u,v \in V korral.
Selliseid kujutusi nimetatakse juhul, kui vektorruum on üle reaalarvude korpuse, ka ortogonaalseteks kujutusteks, ja juhul, kui vektorruum on üle kompleksarvude korpuse, unitaarseteks kujutusteks. Reaalarvude juhtumil ei ole seejuures tarvis eeldada, et kujutis on lineaarne, sest iga isomeetria, mis kujutab nullvektori nullvektoriks, on sel juhtumil lineaarne. 

Kui \{a_1,\ldots ,a_n\} on ruumi V ortonormeeritud baas, siis lineaarkujutus f\colon V\to W on isomeetria parajasti siis, kui \{f(a_1),\ldots, f(a_n)\} on ortonormeeritud süsteem ruumis W.

Eukleidilise vektorruumi kõik lineaarsed isomeetriad iseendasse moodustavad rühma, mida nimetatakse selle ruumi ortogonaalseks rühmaks. Unitaarse vektorruumi kõik lineaarsed isomeetriad iseendasse moodustavad rühma, mida nimetatakse selle ruumi unitaarseks rühmaks.

## Eukleidiline punktiruum

Iga isomeetria f \colon E \to F eukleidiliselt punktiruumilt E eukleidilisele punktiruumile F on afiinne kujutus. Seda saab esitada kujul
:f(Q) = f(P) + \vec f (\overrightarrow{PQ}) kõikide P, Q \in E
korral, kusjuures \vec f \colon V_E \to V_F on lineaarne isomeetria vastavast eukleidilisest vektorruumist V_E vastavasse eukleidilisse vektorruumi V_F.
 
Ümberpöördult, iga kujutus, mida saab nii esitada, on isomeetria. 

Eukleidilise punktiruumi isomeetriaid iseendasse nimetatakse ka liikumisteks.

## Viited