Stefani-Boltzmanni seadus

**Stefani-Boltzmanni seadus** väidab, et absoluutselt musta keha soojuskiirguse intensiivsus (võimsus) ühikulise pindala kohta  j^{\star} kasvab võrdeliselt temperatuuri *T* neljanda astmega:

:  j^{\star} = \sigma T^4. \,

Võrdetegurit \sigma kutsutakse Stefani-Boltzmanni konstandiks.

Planck suutis aastal 1900 leida teoreetilise avaldise tasakaalulise kiirguse spektri kirjeldamiseks (Plancki kiirgusseadus), millest muuseas järeldub ka Stefani-Boltzmanni seadus. Konstandi \sigma teoreetiliseks avaldiseks tuleb

:
\sigma=\frac{2\pi^5 k^4}{15c^2h^3}= 5.670 400 \times 10^{-8} \textrm{J} \, \textrm{s}^{-1}\textrm{m}^{-2}\textrm{K}^{-4}
,

kus *k* on Boltzmanni konstant, *c* on valguse kiirus vaakumis ja *h* on Plancki konstant.

Keha, mis ei neela kogu talle langevat valgust, kiirgab vähem energiat kui must keha. Sellist keha iseloomustab keha kiirgamisvõime ehk emissiivsus \varepsilon. Kui kiirgamisvõime ei sõltu kehale langeva valguse lainepikkusest (\varepsilon = Const), siis nimetatakse keha ka halliks kehaks ja keha soojuskiirguse intensiivsus ühikulise pindala kohta avaldub \varepsilon kaudu:

: j^{\star} = \varepsilon\sigma T^{4}.

Kogu keha soojuskiirguse võimsuse saab leida, korrutades eelneva keha pindalaga S:

: P= S j^{\star} = S \varepsilon\sigma T^{4}.

## Ajalugu
Seaduse avastas aastal 1879 Josef Stefan, kes järeldas seaduse eksperimentaalsete mõõtmiste põhjal. Enne Stefani tööd oli teada, et kiirgusenergia ei sõltunud temperatuurist lineaarselt, kuid täpset seost ei olnud leitud. Aastal 1817 avaldasid teadlased Dulong ja Petit eksperimentaalsed tulemused katsest, kus uuriti sfäärilist pirni sfäärilises kambris temperatuuri juures kuni *300 °C*. Dulong ja Petit järeldasid mõõtmiste põhjal, et keha poolt kiiratud energia *E* ja temperatuuri *T* vaheline seos on astmefunktsioon:
:E(T) = \mu a^T,
kus \mu on konstant, mis sõltub materjalist ja keha mõõtmetest, *a* konstant väärtusega *1,0077* ja temperatuuri *T* mõõdetakse Celsiuse kraadides. Stefan ei olnud aga pakutud mudeliga rahul.

Pärast tulemuste ja metoodika analüüsi järeldas Stefan, et eksperimendi ülesehitus põhjustas märkimisväärseid soojuskadusid sfääriliste pirnide soojusjuhtivuse tõttu. Pärast andmete kohandamist pakkus Stefan välja omaenda mudeli kiiratud energia *H* ja temperatuuri *T* jaoks:
:H(T) = AT^4,
kus *A* on konstant, mis sõltub keha suurusest ja pinnast. Kuna aga katses kasutatud kõrgeim temperatuur oli suhteliselt madal, siis oli mudeli korrektsuse tõestamiseks vaja rohkemaid mõõtmisi.

Stefan uuris seejärel John Tyndalli poolt avaldatud katsetulemusi. Tyndalli katse uuris plaatinatraadi poolt kiiratud soojushulka suuremas temperatuurivahemikus kui Dulong ja Petit oma katses. Tyndalli tulemused kinnitasid Stefani hüpoteesi, mille järel Stefan avaldas oma mudeli ka Viini Teaduste Akadeemia infolehes. Stefan kirjutas:

Stefani teadmata oli plaatina katsetulemuste analüüsimises siiski märkimisväärseid vigu, kuna arvesse ei olnud võetud näiteks plaatina emissiivsust. Juhuse tahtel ei seganud vead aga Stefanit tulemuseni jõudmisel. Stefan rakendas oma valemit ka teistele avaldatud katsetulemustele ja leidis, et tema mudel sobib tulemustega palju paremini kui Dulong' ja Petit' oma.

Stefan kasutas oma valemit ka Päikese pinna temperatuuri arvutamiseks. Ta leidis, et Päikese temperatuur on vahemikus 5580*–*5838*K*, mille sisse langeb ka praegu teadaolev Päikese pinna temperatuuri väärtus. Tegemist oli esimese mõistliku viisiga Päikese pinna temperatuuri hindamiseks.

Kuna neljanda astme funktsioon oli füüsikalise seaduse jaoks pretsedenditu ja seda oli raske uskuda, siis ei aktsepteeritud tulemust esialgu laialdaselt. Aastal 1884 tuletas Stefani endine õpilane Ludwig Boltzmann seaduse termodünaamika alustest. Seejärel sai seadus tuntuks kui Stefani-Boltzmanni seadus. Mõned teadlased usuvad, et Stefani panus seaduse avastamisesse on liiga väike, et teadlasele pool seaduse avastamise aust anda. Teised vaidlevad aga, et niisugune seisukoht on liialt range. Tänapäeval viidatakse seadusele siiski peamiselt Stefani-Boltzmanni nime all.

Stefan ega Boltzmann ei arvutanud kunagi oma publikatsioonides välja Stefani-Boltzmanni konstandi väärtust, kuigi oleksid seda lihtsasti teha võinud.

## Tuletuskäik
### Tuletus Plancki seadusest
Stefani-Boltzmanni seadust on võimalik tuletada, uurides väikese absoluutselt musta keha pinda, mis kiirgab energiat poolkerakujuliselt. Järgnev tuletuskäik kasutab sfäärilisi koordinaate, kus *φ* on kaugus seniidist ja *θ* asimuut. Väike absoluutselt must keha asub xy-tasandis, kus *φ* = π/2.

Musta keha pinna poolt eraldatava elektromagnetkiirguse intenstiivsus avaldub Plancki seadusest :

::I(\nu,T) =\frac{2 h\nu^3}{c^2}\frac{1}{ e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}.
:kus
:*I(\nu,T)\, on ühikuliselt pindalalt normaalsuunas ühikulisse ruuminurka kiiratava kiirguse võimsus etteantud sageduse \nu \, ja temperatuuri *T* korral;
:*h \, on Plancki konstant;
:*c \, on valguse kiirus vaakumis ning
:*k \, on Boltzmanni konstant.

Stefani-Boltzmanni seadus annab elektromagnetkiirguse intensiivsuse pindalaühiku kohta:
:\frac{P}{A} = \int_0^\infty I(\nu,T) d\nu \int \cos{\phi} d\Omega \,

Seadust saab tuletada, integreerides *Ω* üle poolkera ja *ν* nullist lõpmatuseni. Kuna absoluutselt mustad kehad on Lamberti kiirgurid (neid iseloomustab Lamberti koosinusseadus), siis on mööda kera pinda vaadeldav kiirguse intensiivsus tegeliku intensiivsuse ja seniidi nurkkauguse *φ* koosinuse korrutis. Sfäärilistes koordinaatides *dΩ* = sin(*φ*) *dφ dθ*.

:: 
\begin{align}
\frac{P}{A} & = \int_0^\infty I(\nu,T) \, d\nu \int_0^{2\pi} \, d\theta \int_0^{\pi/2} \cos \phi \sin \phi \, d\phi \\
& = \pi \int_0^\infty I(\nu,T) \, d\nu
\end{align}


Asendades sisse *I*, saab järgneva avaldise:

:: \frac{P}{A} = \frac{2 \pi h}{c^2} \int_0^\infty \frac{\nu^3}{ e^{\frac{h\nu}{kT}}-1} d\nu \,

Selle integraali leidmiseks võib teha asenduse

:: u = \frac{h \nu}{k T} \,

:: du = \frac{h}{k T} \, d\nu, 

mis annab järgmise tulemuse:

: \frac{P}{A} = \frac{2 \pi h }{c^2} \left(\frac{k T}{h} \right)^4 \int_0^\infty \frac{u^3}{ e^u - 1} \, du.

Avaldise paremal pool olev integraal on Riemanni dzeetafunktsiooni erijuht  \zeta(4) . Integraali väärtuseks tuleb  \frac{\pi^4}{15} , andes musta keha pinna jaoks järgmise tulemuse:

: j^\star =  \sigma T^4 ~, ~~ \sigma = \frac{2 \pi^5 k^4 }{15 c^2 h^3} = \frac{\pi^2 k^4}{60 \hbar^3 c^2}. 

Antud tõestus eeldas väikest lamedat musta pinda, kuid kuna ükskõik missuguse diferenseeruva pinna saab lähendada väikestest lamedatest pindadest kokku pandud pinnale, siis senikaua kui pinna geomeetria ei põhjusta olukorda, kus pind neelab enda poolt kiiratud soojust, kehtib antud tõestus ka suuremate mittelamedate pindade jaoks. Järeldame, et valem kehtib kõigi kumerate mustade kehade jaoks. Seadust saab ka üldistada mittekumerate kehade jaoks, kuna absoluutselt musta keha kumer kate kiirgab samamoodi nagu keha ise.

## Näited
### Maa temperatuur
Stefani-Boltzmanni seaduse abil on võimalik hinnata Maa efektiivset temperatuuri *T*⊕. Seda saab teha, võrdsustades Päikeselt saadud energia ja Maa poolt kiiratud soojushulga, lähendades Päikest ja Maad absoluutselt mustadele kehadele.

Päikese kiirgusvõimsuse *L*⊙ saab arvutada järgnevalt:
:
L_\odot = 4\pi R_\odot^2 \sigma T_\odot^4,


kus *T*⊙ on Päikese pinna temperatuur ja *R*⊙ Päikese raadius.

Maa lähedal jaotub Päikeselt tulev kogu kiirgusvõimsus kerale raadiusega *a*0, kus *a*0 on keskmine kaugus Maa ja Päikese vahel, ja kiirgusintensiivsuse saab arvutada järgnevalt:
:
E_\oplus = \frac{L_\odot}{4\pi a_0^2}


Maa raadius on *R*⊕ ja ristlõikepindala \pi R_\oplus^2. Päikeselt Maale jõudev kiirgusvoog avaldub seega järgnevalt:
:
\Phi_\text{abs} = \pi R_\oplus^2 \times E_\oplus
:

Eeldusel, et Maa keskmine temperatuur on suhteliselt stabiilne (planeet on termilises tasakaalus), on Maa poolt välja kiiratav kiirgusvoog sama suur kui Maa poolt neelatud kiirgusvoog. Seda olukorda saab väljendada matemaatiliselt:
:
\begin{align}
4\pi R_\oplus^2 \sigma T_\oplus^4 &= \pi R_\oplus^2 \times E_\oplus \\
 &= \pi R_\oplus^2 \times \frac{4\pi R_\odot^2\sigma T_\odot^4}{4\pi a_0^2} \\
\end{align}


Viimasest võrrandist saab avaldada Maa efektiivse temperatuuri *T*⊕:

:
\begin{align}
T_\oplus^4 &= \frac{R_\odot^2 T_\odot^4}{4 a_0^2} \\
T_\oplus &= T_\odot \times \sqrt\frac{R_\odot}{2 a_0} \\
& = 5780 \; {\rm K} \times \sqrt{696 \times 10^{6} \; {\rm m} \over 2 \times 149.598 \times 10^{9} \; {\rm m} } \\
& \approx 279 \; {\rm K} \\
& \approx 6 \; ^{\circ} {\rm C}
\end{align}


See tuletuskäik eeldab, et Maa atmosfääri mõju on tühine ja et Maa neelab kogu talle langeva valguse. Tegelikkuses on Maa albeedo umbes 0,3, mis tähendab, et 30% talle langevast valgusest peegeldub tagasi kosmosesse. Albeedo mõju saab hinnata, kui korrutada neeldunud energia hulk koefitsiendiga 0,7, kuid eeldades, et planeet kiirgab endiselt kui absoluutselt must keha. See lähendus alandab arvutatud temperatuuri 0,71/4 korda, andes lõplikuks vastuseks hoopis 255&nbsp;K (&minus;18&nbsp;°C).

Arvutatud temperatuuri näol on tegemist Maa temperatuuriga, kui vaadata planeeti kosmosest, mitte maapinna temperatuuriga. Kasvuhooneefekti tõttu on maapinna tegelik keskmine temperatuur 288&nbsp;K (15&nbsp;°C), mis on eelnevalt arvutatud väärtustest suurem.

## Vaata ka

* Wieni nihkeseadus
* Rayleigh'-Jeansi seadus

## Viited