Implikatsioon

**Implikatsioon** ehk **materiaalne implikatsioon** on tõeväärtuste algebras ehk loogikaalgebras binaarne tehe, mille tulem on *väär* parajasti siis, kui tehte esimene operand on *tõene* ja teine operand on *väär.*

Implikatsiooni saab tähistada järgnevalt:
# 𝑝 ⊃ 𝑞 (Seda sümbolit kasutatakse ka alamhulga-ülemhulga seose tähistamiseks hulgateoorias);
# 𝑝 ⇒ 𝑞
# C𝑝𝑞 (kasutades poola kuju)

Ülal tähistatud implikatsioonitehete juures kutsutakse lausemuutujaid järgmiselt:
* *p* on implikatsiooni **[[eeldus]]** (ehk antetsedent ehk alus) ja
* *q* on implikatsiooni **[[Järeldus (traditsiooniline loogika)|järeldus]]** (ehk konsekvent ehk tagajärg).

Klassikalises loogikas on lausearvutuse valem p \rightarrow q samaväärne tehtega \neg(p \land \neg q) ning De Morgani seadust kasutades on see ekvivalentne tehtega \neg p \lor q.

Loomulikus keeles vastab implikatsiooni tehtele kõige lähedamalt lausekonstruktsioon "kui ..., siis ...". Nt "Kui täna on esmaspäev, siis homme on teisipäev."

## Definitsioonid
Loogikutel on erinevad vaated materiaalse implikatsiooni olemusest ja erinevad lähenemised selle kirjeldamiseks.

### Boole'i funktsioonina
Klassikalises loogikas on tehe  loogiliselt ekvivalentne lausega: mitte *p* ja *q* eitus korraga. Seega on tehe  *väär* parajasti siis, kui *p* on tõene ja *q* on väär. Samal põhjusel on  tõene siis ja ainult siis, kui *p* on väär või *q* on tõene (või mõlemad korraga). Seega on → funktsioon, mis võtab argumendiks tõeväärtuste paari *p, q* ning viib selle vastavusse tõeväärtusega , mille tõeväärtus sõltub vaid argumentide tõeväärtustest. Seega sellist interpretatsiooni kutsutakse tõefunktsionaalseks.

#### Tõeväärtustabel
Implikatsiooni  tõeväärtustabel on järgmine:

Tasub mainida, et Boole'i algebras võib tõeväärtusi *tõene* ja *väär* kujutada ka numbrite 1 ja 0 abil, vastavalt.

## Omadused

* kommutatiivsus: ei
* assotsiatiivsus: ei
* distributiivsus: iseendaga jah. (s \rightarrow (p \rightarrow q)) \rightarrow ((s \rightarrow p) \rightarrow (s \rightarrow q))
* transitiivsus: jah. (a \rightarrow b) \rightarrow ((b \rightarrow c) \rightarrow (a \rightarrow c))
* refleksiivsus: jah. a \rightarrow a
* tõesust säilitav: jah
* eelduste kommutatiivsus: jah.(a \rightarrow (b \rightarrow c)) \equiv (b \rightarrow (a \rightarrow c))

## Filosoofilised probleemid implikatsiooniga

Klassikalise loogika materiaalse implikatsiooni definitsiooni kasutades on võimalik koostada valemeid, mis on loogiliselt tõesed, kuid millest on intuitiivselt keeruline aru saada. Neid kutsutakse *implikatsiooniparadoksideks*. Need on näiteks:

p \rightarrow (q \rightarrow p), \neg p \rightarrow (p \rightarrow q), (p \rightarrow q) \lor (q \rightarrow p)

Idee paradoksidega tegelemiseks pakkus välja vene filosoof Ivan Jefimovitš Orlov, ja sellist loogika ülesehitust kutsutakse relevantsusloogikaks (*relevance logic*). Relevantsusloogikaid on mitmeid ning nendes nõutakse, et tehtest p \rightarrow q räägitaks ainult siis, kui on tagatud, et *q* tõestamise juures läheb vaja *p*-d.

## Viited

## Lisalugemine
* Brown, Frank Markham (2003), *Boolean Reasoning:  The Logic of Boolean Equations*, 1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA.  2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY, 2003.
* Edgington, Dorothy (2001), "Conditionals", in Lou Goble (ed.), *The Blackwell Guide to Philosophical Logic*, Blackwell.
* Quine, W.V. (1982), *Methods of Logic*, (1st ed. 1950), (2nd ed. 1959), (3rd ed. 1972), 4th edition, Harvard University Press, Cambridge, MA.
* Stalnaker, Robert, "Indicative Conditionals", *[[Philosophia (journal)|Philosophia]]*, **5** (1975): 269–286.