Üldistatud lineaarne mudel

**Üldistatud lineaarne mudel** (inglise keeles *generalized linear model*, lühend **GLM**) on analüüsimeetod statistikas, mis võimaldab mingit uuritavat tunnust Y prognoosida teiste, sõltumatute tunnuste X abil, kusjuures erinevalt lineaarregressioonist võimaldab üldistatud lineaarne mudel sobitada lineaarse mudeli ka mittelineaarse seose peale. GLM sobitab lineaarse mudeli uuritavale seosele seosefunktsiooni abil.

## Olemus
Lihtne lineaarregressioon hindab uuritava tunnuse Y väärtust, kui see on lineaarkombinatsioon sõltumatu tunnuse X väärtustest (vaadeldud väärtused). Sellisel juhul Y allub normaaljaotusele. Olgu meil näiteks lihtne lineaarne mudel, mis hindab õhutemperatuuri põhjal rannas olevate inimeste arvu. Iga 10 °C muutus õhutemperatuuris toob kaasa 1000-pealise muutuse rannasviibijate arvus. Kui on rand, kus inimesi on alguses 50, siis 10 °C languse korral annaks selline lineaarne mudel rannasviibijate arvu hinnanguks võimatu –950 inimest.

Üldistatud lineaarne mudel võimaldab kahte tunnust omavahel siduda nii, et uuritav tunnus Y allub mingisugusele juhuslikule jaotusele, mis ei pea olema normaaljaotus. Meie näite kohaselt tähendaks see, et õhutemperatuuri X muutudes rannasviibijate arv Y võib muutuda mittelineaarselt.

Jätkates sama näidet, olgu meil nüüd mingisugune üldistatud lineaarne mudel. 10-kraadise õhutemperatuuri languse korral selline mudel ei anna meile hinnanguks mitte –950 aktiivset rannasviibijat, vaid esialgsest 50 inimesest poole vähem ehk 25 rannasviibijat. Samas esialgse temperatuuriga võrreldes 10-kraadise tõusu korral oleks rannas jällegi 1000 inimest rohkem. On näha, et X konstantse muutuse korral Y muutub mittelineaarselt. Selles konkreetses näites Y allub Poissoni jaotusele.

Üldistatud lineaarne mudel võimaldab sellist mittelineaarset seost esitada lineaarsel kujul, teisisõnu Y|X oleks justkui lineaarne. Sellist teisendamist üldistatud lineaarses mudelis võimaldab mudelis kasutatav seosefunktisoon (sellest täpsemalt allpool).

## Ülevaade
Üldistatud lineaarne mudel eeldab, et uuritav tunnus Y allub mingisugusele jaotusele, mis kuulub eksponentjaotuste perre (nt normaaljaotus, eksponentjaotus, Bernoulli jaotus, Poissoni jaotus). Sellise jaotuse keskväärtus \mu sõltub sõltumatu tunnuse X väärtustest.

\mathbb{E}(Y|X) = \mu = g^{- 1}(X\beta), kus:

* \mathbb{E}(Y|X) on Y keskväärtus X korral;
* g on seosefunktsioon;
* X\beta on lineaarkombinatsioon tundmatutest parameetritest \beta.

GLM-i eesmärk on hinnata suurust \mu ehk keskväärtust. Parameetri \beta hindamiseks kasutatakse üldiselt suurima tõepära meetodit, kvaasitõepära või Bayesi meetodeid.

## Mudeli komponendid
Üldistatud lineaarne mudel koosneb kolmest komponendist.

# **Juhuslik komponent** (*random component*). Määrab uuritava tunnuse (Y) jaotuse, kui Y sõltub X-st (tähistatakse kui Y|X). See jaotus kuulub eksponentsjaotuste perre. Y|X jaotuse keskväärtus on \mu_i, mille hindamine ongi mudeli eesmärk.
# **Süsteemne komponent** (*systematic component*). Määrab mudeli sõltumatute tunnuste X hulga, kasutades selleks lineaarkombinatsiooni \eta_i = x_i^T \beta = x_1 \beta_1 + ... + x_p \beta_p.
# **Seosefunktsioon** (*link function*). Seosefunktsioon g on funktsioon, mis seob juhusliku ja süsteemse komponendi, täpsemini Y|X keskväärtuse \mu_i ja \eta_i, moodustades seeläbi lineaarfunktsiooni: g(\mu_i) = \eta_i.

### Seosefunktsioon
Sõltuvalt uuritavate andmete olemusest, on valida mitme seosefunktsiooni vahel.

## Vaata ka

* Üldistatud aditiivne mudel
* Regressioonanalüüs

## Viited