Diraci mõõt

**Diraci mõõt** on matemaatikas mõõt, mille väärtus on 1 hulkade puhul, millesse kuulub mingi kindel element, ja 0 ülejäänud hulkade puhul. 

See mõõt kontsentreerub ühele punktile, st selle kandja on üheelemendiline. See on ka tõenäosusmõõt.

Diraci mõõduga on seotud peaaegu kindlalt konstantse juhusliku suuruse jaotus.

Funktsionaalanalüüsis läheb Diraci mõõtu tarvis sellepärast, et see on seotud üldistatud funktsiooniga, mida nimetatakse Diraci deltafunktsiooniks.

Diraci mõõt on nimetatud Paul Diraci auks.

## Definitsioon

Olgu antud mõõtuv ruum 
(X, \Sigma), st alushulk X koos sellel defineeritud σ-algebraga \Sigma. Iga punkti  x\in X korral defineeritakse kujutus \delta_x, mis seab igale hulgale A\in\Sigma vastavusse väärtuse 1, kui x kuulub sellesse, ja väärtuse 0, kui x ei kuulu sellesse:
: \delta_x(A) :=
\begin{cases} 
1, & \text{kui } x \in A, \\ 
0 & \text{vastasel korral.} 
\end{cases}


Kujutus \delta_x \colon  \Sigma \to [0,1] on sel juhul mõõt ja seda nimetatakse **Diraci mõõduks** punktis x.

Karakteristliku funktsiooni \chi abil saab definitsiooni kirja panna ka nii:
:\delta_x(A) = \chi_A(x)
kõikide x\in X ja A\in\Sigma korral.

## Omadused
Diraci mõõt on lõplik ja mõõduruum on σ-lõplik.

Olgu \delta_{x} Diraci mõõt, mis on kontsentreeritud kindlasse punkti x  mõõtuvas ruumis (X, \Sigma). Et  \delta_x(X) = 1, siis 

* \delta_{x} on tõenäosusmõõt ja seega lõplik mõõt. (X,\Sigma,\delta_x) on tõenäosusruum. Nii saab defineerida Diraci jaotuse. 

Eeldusel, et (X, T) on topoloogiline ruum ja  \Sigma on vähemalt sama peen nagu Boreli <math>\sigma</math>-algebra \sigma(T) ruumis X, siis kehtib:
* \delta_{x} on rangelt positiivne mõõt siis ja ainult siis, kui topoloogia T on niisugune, et x asetseb igas mittetühjas lahtises hulgas, nt triviaalne topoloogia \{\varnothing, X\}.
* Et \delta_{x} tõenäosusmõõt, siis see on ka lokaalselt lõplikult mõõt.
* Kui X on Hausdorffi ruum oma Boreli  \sigma -algebraga, siis \delta_{x} on sisemine regulaarne mõõt, sest üheelemendilised ruumid, nagu \{x\}, on alati kompaktsed. Järelikult on \delta_{x} ka Radoni mõõt.
* Eeldusel, et topoloogia T on piisavalt peen, et \{x\} oleks kinnine (nagu enamikus rakendustes ongi), on mõõdu \delta_{x} kandja võrdne hulgaga \{x\}. (Vastasel korral on \operatorname{supp}\left(\delta_{x}\right) hulga \{x\} sulund ruumis (X, T).) Peale selle on \delta_{x} ainus tõenäosusmõõt, mille kandja on \{x\}.
* Kui X on n-mõõtmeline eukleidiline ruum  \mathbb{R}^{n} oma tavalise \sigma-algebraga ja n-mõõtmelise Lebesgue'i mõõduga \lambda^{n}, siis  \delta_{x} on singulaarne mõõt mõõdu \lambda^{n} suhtes: lahutatagu näiteks ruum \mathbb{R}^{n} ruumideks A=\mathbb{R}^{n} \setminus \{x\} ja B=\{x\} veendutagu, et \delta_{x}(A)=\lambda^{n}(B)=0.
* Diraci mõõt on <math>\sigma</math>-lõplik.

* Saab tõestada, et Diraci mõõdu mõõduintegraal funktsiooni f : A \rightarrow \R\, korral on

:\int_A \, f \,  d\delta_x = f(x) .

## Diraci integraal

Funktsiooni f\colon A\to \mathbb{R} Diraci integraal on defineeritud kui Lebesgue'i integraal Diraci mõõdu suhtes. Lebesgue'i mõõdu asemel kasutatakse integraali arvutamiseks Diraci mõõtu. Suvalise funktsiooni f Diraci integraal on

:\int_A f \mathrm d\delta_z = \begin{cases}f(z)&z\in A\\0&z\notin A\end{cases}

## Kirjandus
* W. Rudin. *Functional analysis*, McGraw-Hill  1973.