Formaalne grammatika

**Formaalseks grammatikaks** nimetatakse informaatikas ja keeleteaduses formaalse keele täpset kirjeldust, mis tähendab keele kuuluvate stringide (sõne (informaatika)) määratlemist. Formaalses grammatikas on kaks põhilist kategooriat. Esimene neist, *generatiivsed grammatikad* tegeleb reeglitega kuidas keelde kuuluvaid stringe genereerida. Teine, *analüütilised grammatikad* tegeleb reeglitega kuidas on võimalik stringe analüüsida, et aru saada, kas see kuulub keelde. Lühidalt, analüütiline grammatika kirjeldab kuidas ära tunda stringe mis kuuluvad mingisse hulka, samal ajal kui generatiivne grammatika kirjeldab kuidas kirjutada ainult neid stringe, mis kuuluvad mingisse hulka.

## Generatiivsed grammatikad

Generatiivne grammatika koosneb reeglitest, mille abil konstrueerida stringe. Selleks, et genereerida keelde kuuluvat stringi tuleb alustada grammatika algussümbolist ning seejärel rakendada teisi sobivaid reegleid. Reegleid võib kasutada suvalises järjekorras ja suvaline arv kordi. Reeglite rakendamise tulemusena saadakse string, mis kuulub grammatikaga määratud keelde. Osad grammatikad võimaldavad saada sama stringi mitmel eri viisil reegleid kohaldades, neid grammatikaid nimetatakse *mitmeseks*. Grammatikat, mille abil saab kõiki stringe ainult ühtviisi reegleid rakendades genereerida nimetatakse *üheseks*.

Näiteks võtame keele, milles on kaks tähte - a ja b ning 2 reeglit:

: 1. S \rightarrow aSb
: 2. S \rightarrow ba

Alustame S-st mis on *algussümbol*. Valides esimese reegli, asendame me S-i aSb-ga ja saame stringi aSb. Valides reegli 1 veel üks kord saame stringi aaSbb ja seejärel rakendades reeglit 2 saame stringi aababb. Lühidalt kokkuvõttes oli tuletuskäik järgmine: S \Rightarrow aSb \Rightarrow aaSbb \Rightarrow aababb. Grammatikaga määratud keeleks on kõikide nende stringide hulk mida antud reeglite abil on võimalik genereerida: \left \{ba, abab, aababb, aaababbb, ...\right \}.

### Formaalne definitsioon
Noam Chomsky pakkus 1950 aastatel välja formaalse grammatika definitsiooni. Grammatika *G* koosneb 4 komponendist:
* Mitteterminalide lõplikust hulgast N
* Terminalide lõplikust hulgast \Sigma, millel puudub ühisosa mitteterminalide hulgaga.
* Produktsioonireeglite lõplikust hulgast P, igaüks kujul
:: (\Sigma \cup N)^{*} N (\Sigma \cup N)^{*} \rightarrow (\Sigma \cup N)^{*} 
: Lahtiseletatuna, iga produktsioonireegel seob ühe stringi teisega, vasakul pool peab olema vähemalt üks sümbol mitteterminalide hulgast. Juhul kui paremal pool on tühi string (string, milles ei ole ühtegi sümbolit), siis kasutatakse selle väljanäitamiseks sümbolit epsilon (\epsilon).
* Algussümbolist S, mis sisaldub hulgas N
:: S \in N

Tavaliselt viidatakse grammatikale kui nelikule: G = (N, \Sigma, P, S). Formaalse grammatika G poolt määratud *keel* (\boldsymbol{L}(G)) on defineeritud kui kõikide nende stringide hulk, mis koosnevad ainult sümbolitest hulgast \Sigma ja mida on võimalik genereerida alustades algussümbolist S ja seejärel rakendades produktsioone hulgast P kuni sõnad koosnevad ainult terminalidest (ei leidu sümboleid mitteterminalide hulgast N).

### Näide
*Nende näidete jaoks on formaalsete keelte spetsifitseerimiseks kasutatud [[set-builder notation]]i.*

Olgu meil grammatika G, kus N = \left \{S, B\right \}, \Sigma = \left \{a, b, c\right \}, S on algussümbol ja P sisaldab järgmisi produktsioonireegleid:

: 1. S \rightarrow aBSc
: 2. S \rightarrow abc
: 3. Ba \rightarrow aB
: 4. Bb \rightarrow bb 

Mõned näited keelde \boldsymbol{L}(G) kuuluvate stringide tuletamisest oleks: 

* \boldsymbol{S} \Rightarrow_2 \boldsymbol{abc}
* \boldsymbol{S} \Rightarrow_1 \boldsymbol{aBSc} \Rightarrow_2 aB\boldsymbol{abc}c \Rightarrow_3 a\boldsymbol{aB}bcc \Rightarrow_4 aa\boldsymbol{bb}cc
* \boldsymbol{S} \Rightarrow_1 \boldsymbol{aBSc} \Rightarrow_1 aB\boldsymbol{aBSc}c \Rightarrow_2 aBaB\boldsymbol{abc}cc \Rightarrow_3 a\boldsymbol{aB}Babccc \Rightarrow_3 aaB\boldsymbol{aB}bccc  \Rightarrow_3 aa\boldsymbol{aB}Bbccc \Rightarrow_4 aaaB\boldsymbol{bb}ccc \Rightarrow_4 aaa\boldsymbol{bb}bccc

:(Selgitus: loe L \Rightarrow_i R kui "*L* genereerib *R*-i kasutades selleks produktsiooni number *i*" ja genereeritud osa näidatakse iga kord rasvaselt)

See grammatika defineerib keele L = \left \{ a^{n}b^{n}c^{n} | n \ge 1 \right \}, kus a^{n} tähendab *n* arvust a sümbolitest koosnevat stringi. Seega, see keel sisaldab stringe, milles on võrdne nullist suurem arv a, b ja c stinge ning need sümbolid asuvad samas järjekorras.

### Chomsky hierarhia
## Analüütilised grammatikad
## Kirjandus

*Jaak Henno. *Formaalsed keeled, grammatikad ja translaatorid* 2006. TTÜ Kirjastus. ISBN 9985-59-627-7.