Z-teisendus

**Z-teisendus** on diskreetse-ajalise signaali muutmine sagedusruumi komponentideks (sageduskomponentideks). Diskreetne-ajaline signaal võib olla reaalarvuline või kompleksarvuline.

## Definitsioon
On olemas kaks Z-teisenduse tüüpi: *kahepoolne* ja *ühepoolne* Z-teisendus.

### Kahepoolne Z-teisendus
Diskreetse-ajalise signaali x[n] *kahepoolse* Z-teisenduse X(z) valem on defineeritud selliselt:

X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} 

kus n on täisarv ja z on üldjuhul kompleksarv:
:z = A e^{j\phi} = A\cdot(\cos{\phi}+j\sin{\phi}),
kus A on z kompleksarvu absoluutväärtus, j on imaginaarühik ning \phi on *kompleksarvu argument* radiaanides.

### Ühepoolne Z-teisendus
Juhul, kui x[n] on defineeritud ainult n \ge 0 jaoks, *ühepoolse* Z-teisenduse valem on defineeritud selliselt:

X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} =  \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}

Seda definitsiooni saab signaalitöötluses kasutada diskreetse-ajalise põhjusliku (kausaalse) süsteemi ühiku siirdega filtri Z-teisenduse välja arvutamiseks.

Üks näide ühepoolsest Z-teisendusest on tõenäosuse genereeriv funktsioon, kus komponent x[n] on tõenäosus, et diskreetne juhuslik muutuja omandab väärtust n ning funktsioon X(z) on üldiselt kujutatud nagu X(s) (kus s=z^{-1}). Z-teisenduse omadustel on kasulikud interpretatsioonid tõenäosuseteooria kontekstis.

## Pöörd-Z-teisendus

*Pöörd*-Z-teisendus on 

 x[n] = \mathcal{Z}^{-1} \{X(z) \}= \frac{1}{2 \pi j} \oint_{C} X(z) z^{n-1} dz

kus *C* on vastupäeva suletud rada mis ümbritseb algpunkti ning mis on täielikult konvergentsipiirkonnas. Juhul, kui konvergentsipiirkond on põhjuslik (kausaalne) (vaata Näide 2), see tähendab, et *C* rada peab ümbritsema kõik X(z) pooluseid.

Kontuurintegraali erijuht ilmub, kui *C* on ühik ring. Sellist kontuuri saab kasutada, kui konvergentsipiirkond sisaldab ühikringi, mis on alati garanteeritud kui X(z) on stabiilne, ehk siis, kui kõik pooluseid on ühikringi sees. Sellise kontuuriga pöörd-Z-teisendus taandub ühikringi läheduses Z-teisenduse perioodiliste väärtuste diskreetse-ajalise pöörd-Fourier' teisendusele:

: x[n] = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{+\pi}  X(e^{j \omega}) e^{j \omega n} d \omega.

Z-teisendus *n* lõpliku vahemikuga ja ühtlaste vahedega *z* väärtuste lõpliku arvuga saab välja arvutada kasutades Bluestein FFT algoritmi. Diskreetne-ajaline Fourier' teisendus on *z* piiramisega ühikringile saadud Z-teisenduse erijuht.

## Konvergentsipiirkond

Konvergentsipiirkond on komplekstasandi punktide hulk, millele Z-teisenduse summeerimine koondub.

:\mathrm{ROC} = \left\{ z : \left|\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}\right| 

### Näide 1 (ilma konvergentsipiirkonnata)

Olgu *x[n]* = (0.5)*n*. Laienedes *x[n]* intervaalis (−∞, ∞) see muutub

:x[n] = \left \{\cdots, 0.5^{-3}, 0.5^{-2}, 0.5^{-1}, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, \cdots \right \} = \left \{\cdots, 2^3, 2^2, 2, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, \cdots \right\}.

Vaadates summa

:\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} \to \infty.

Järelikult, pole *z* väärtusi mis rahuldavad seda tingimust.

### Näide 2 (põhjuslik (kausaalne) konvergentsipiirkond)

Olgu x[n] = 0.5^n u[n]\  (kus *u* on Heaviside funktsioon). Laienedes *x[n]* intervaalis (−∞, ∞) see muutub

:x[n] = \left \{\cdots, 0, 0, 0, 1, 0.5, 0.5^2, 0.5^3, \cdots \right \}.

Vaadates summa

:\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}0.5^nz^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{0.5}{z}\right)^n = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1}}.

Viimane võrdsus tuleneb lõpmatust geomeetrilisest rajast ja võrdsus kehtib ainult kui |0.5*z*−1|  0.5. Seega konvergentsipiirkond on |*z*| > 0.5. Sel juhul konvergentsipiirkond on komplekstasand kus raadiuse ring 0.5 on nö "välja löödud".

### Näide 3 (antikausaalne konvergentsipiirkond)

Olgu x[n] = -(0.5)^n u[-n-1]\  (kus *u* on Heaviside funktsioon).  Laienedes *x[n]* intervaalis (−∞, ∞) see muutub

:x[n] = \left \{ \cdots, -(0.5)^{-3}, -(0.5)^{-2}, -(0.5)^{-1}, 0, 0, 0, 0, \cdots \right \}.

Vaadates summa

:\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n} = -\sum_{n=-\infty}^{-1}0.5^nz^{-n} = -\sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac{z}{0.5}\right)^{m} = -\frac{0.5^{-1}z}{1 - 0.5^{-1}z} = -\frac{1}{0.5z^{-1}-1} = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1}}.

Jälle kasutades lõpmatu geomeetrilist rada, võrdusus kehtib ainult kui |0.5−1*z*| x[n] = 0.5^nu[n] - 0.75^nu[-n-1]

sisaldab pooluseid 0.5 ja 0.75 peal. Konvergentsipiirkond tuleb 0.5 *n**u*[*n*] ja antikausaalse piiri &minus;(0.75)*n**u*[&minus;*n*&minus;1].

Süsteemi stabiilsus saab olla määratud teades ainult konvergentsipiirkonda. Kui konvergentsipiirkond sisaldab ühikringi (|*z*| = 1), siis süsteem on stabiilne. Üleval süsteemidel kausaalne süsteem (Näide 2) on stabiilne sest |*z*| > 0.5 sisaldab ühikringi.

Olgu meil on süsteemi Z-teisendus ilma konvergentsipiirkonnata (ebamäärane *x[n]*). Me saame määrata unikaalset *x[n]* tingimusel, et soovime:
* Stabiilsust
* Kausaalsust

Stabiilsuse jaoks konvergentsipiirkond peab sisaldama ühikringi. Kui meil on vaja kausaalset süsteemi, siis konvergentsipiirkond peab sisaldama lõpmatust ja süsteemi funktsioon tuleb parempoolseks jadaks. Kui meil on vaja antikausaalset süsteemi, siis konvergentsipiirkond peab sisaldama algpunkti ja süsteemi funktsioon tuleb vasakpoolseks jadaks. Kui meil on vaja nii stabiilsust kui ka kausaalsust, siis kõik süsteemi funktsiooni pooluseid peab olema ühikringi sees.

Seejärel saab leida unikaalset *x[n]*.

## Omadused

**Parseval teoreem**
:\sum_{n=-\infty}^{\infty} x_1[n]x^*_2[n] \quad = \quad \frac{1}{j2\pi}\oint_C X_1(v)X^*_2(\tfrac{1}{v^*})v^{-1}\mathrm{d}v

## Vaata ka
*Laplace'i teisendus

## Viited