Ühtlaselt kiirenev liikumine

**Ühtlaselt kiireneva liikumise** korral liigub keha nii suuruselt kui suunalt muutumatu kiirendusega. Selline olukord realiseerub, kui keha liigub muutumatu jõu toimel (näiteks vabalangemine raskusjõu väljas). Ühtlaselt kiireneva liikumise korral on kehas trajektoor üldjuhul parabool. Erijuhul, kui kiirendus on samasihiline kiirusega liigub keha piki sirgjoont. Sellist liikumist nimetatakse **ühtlaselt kiirenevaks sirgjooneliseks liikumiseks**.

Ühtlaselt kiirenevaks liikumiseks võib nimetada ka konstantse tangentsiaalkiirendusega liikumist. Sel juhul püsib konstantsena kiiruse mooduli ajalise muutumise kiirus ja, mis puutub läbitud vahemaa arvutamisse, rakenduvad samad valemid, mis alajaootuses sirgjoonelise liikumise erijuht. Valemeis esinevate suuruste tõlgendus on sel juhul aga mõnevõrra erinev, sest liikumine pole sel juhul enam sirgjooneline: *x* tähistab kaugust alguspunktist *x*0 mõõdetuna piki liikumise trajektoori ja *v* tähistab kiiruse moodulit.

## Liikumisvõrrandi üldlahend

Vastavalt definitsioonile kirjeldab ühtlase kiirendusega liikumist teist järku diferentsiaalvõrrandist

: \vec a = \frac{d\vec v}{dt} = \frac{d^2\vec r}{dt^2},

kus \vec a on konstantne kiirenduse vektor, \vec v on kiiruse vektor, kus \vec r on kohavektor ja *t* on aeg. Selle võrrandi integreerimine annab

: \vec  v(t) = \vec  v_0 + \vec  a t,

kus \vec v_0 on keha kiirus alghetkel t=0. Vastavalt kiiruse definitsioonile

: \vec v = \frac{d \vec r}{dt} = \vec v_0 + \vec a t. .

Teistkordne integreerimine annab keha trajektoori parameetrilise kuju ehk kohavektori sõltuvuse ajast

: \vec  r(t) = \vec r_0 + \vec  v_0t + \frac{1}{2}\vec a t^2, \,.

kus \vec r_0 on keha kohavektor alghetkel t=0.

## Paraboolne trajektoor

Näitamaks, et trajektoor on paraboolne, on valime sobiva ristkoordinaadistiku. Selleks tuleb fikseerida koordinaatide alguspunkt ja telgede suunad. Hea koordinaatide võib probleemi lahendamist tunduvalt lihtsustada.
* Olgu x-telg valitud kiirenduse suunal. Sel juhul võtab kiirendusvektor kuju \vec a = (a,0,0)
* Olgu xy-tasandiks tasand, millel asuvad vektorid \vec v_0 ja \vec a. Sel juhul \vec v_0 = (v_{0x},v_{0y},0). 
* Koordinaatide alguspunkti võib valida nii, et see ühtiks kohavektoriga alghetkel. Sel juhul \vec r_0 = \vec 0

Valitud koordinaatides on liikumisvõrrandi lahend on komponenthaaval lahtikirjutatuna
:  x(t) = v_{0x} t + \frac{1}{2}a t^2 , \,
:  y(t) = v_{0y} t, \,
:  z(t) = 0 , \,
kusjuures kiiruse x-komponent sõltub ajast kui
: v_x(t) =  v_{0x} + a t,
Kuna z-telje suunalist liikumist ei toimu, siis võib edaspidises ajas muutumatut z-koordinaati ignoreerida. Avaldades aja y-koordinaadi kaudu, leiame parabooli võrrandi

:  x = \frac{v_{0x}}{v_{0y}} y + \frac{a}{2v_{0y}^2} y^2. \qquad (*)  

### Näide: liikumine Maa gravitatsiooniväljas

Juhul, kui *x* tähistab kõrgust maapinnast ja *a* = -*g* on raskuskiirendus, siis tingimus *x* = 0 tähendab kokkupuudet maapinnaga. Võrrandi (*) järgi on see tingimus täidetud kahe *y* väärtuse korral: lahend *y* = 0 vastab alghetkele ja

:  y = \frac{2v_{0x}v_{0y}}{g} \,

näitab, kui kaugele lendab keha, kui selle kiiruse horisontaalkomponent on v_{0y} ja vertikaalkomponent v_{0x}. See on vaid ligikaudne hinnang keha tegelikule lendamiskaugusele, sest siin ei arvestata õhutakistusega.

## Sirgjoonelise liikumise erijuht

Kui algkiirus on kiirenduse sihiline, siis on liikumine sirgjooneline ent piisab, kui vaadelda ainult kiiruse ja kohavektori kiirenduse suunalist komponenti. Ülalantud koordinaatides vastab sellele olukorrale v_{0y} = 0 ja võib tähistada v_{0x} = v_{0} ehk algkiirus on \vec  v_0 = (v_0,0,0). Kiirus muutub ajas kui
: v(t) =  v + a t,
ja koordinaat muutub kui
: x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}\vec a t^2, \,

Avaldades aja *t* kiiruse *v* kaudu, jõutakse valemini:

:  x =  x_0 + \frac{v^2-v_0^2}{2a}. \qquad (**) 

### Näide: Liikumine Maa gravitatsiooniväljas

Antud olukord kirjeldab algkiirusega v_0 vertikaalselt üles visatud keha. Valem (**) võimaldab leida selle keha tõusukõrguse. Sel juhul x_0=0 (maapinnal), v=0 (hetkelise seismajäämise hetk) ja a=-g, kus *g* on raskuskiirendus. Seega

: x_\text{max}=\frac{v_0^2}{2g}.

Tasub tähele panna, et viimane valem kehtib ka juhul, kui v_{0y} \neq 0, sest ühtlane horisontaalsuunaline liikumine ei mõjuta tõusukõrgust. Viimane asjaolu on erijuht üldisemastest printsiipidest – liikumiste sõltumatuse printsiibist.

## Vaata ka

* Ühtlane ringliikumine