Plokkmaatriks

Maatriksite teoorias (matemaatika harus) nimetatakse **plokkmaatriksiks** maatriksit, mille elementideks on omakorda maatriksid. Viimaseid nimetatakse **plokkideks**. Iga maatriksit saab käsitleda plokkmaatriksina, mis koosneb ühest plokist.

## Näide

Maatriksi

:A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 2\\
1 & 1 & 2 & 2\\
3 & 3 & 4 & 4\\
3 & 3 & 4 & 4\end{pmatrix}

saab jaotada neljaks 2×2 plokiks 

:A_{11} = \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1 \end{pmatrix}, A_{12} = \begin{pmatrix}
2 & 2\\
2 & 2\end{pmatrix}, A_{21} = \begin{pmatrix}
3 & 3 \\
3 & 3 \end{pmatrix}, A_{22} = \begin{pmatrix}
4 & 4\\
4 & 4\end{pmatrix}.

Maatriksi A saab nüüd plokkmaatriksina ümber kirjutada:

:A = \begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12}\\
A_{21} & A_{22}\end{pmatrix}.

## Definitsioon

Olgu iga i = 1, . . . , k, j = 1, . . . , l jaoks antud *m<sub>i</sub>*&nbsp;×&nbsp;*n<sub>j</sub>*-maatriks A_{ij} (m_i ja n_j on naturaalarvud, mis sõltuvad vastavalt i-st ja j-st). **Plokkmaatriksiks** nimetatakse maatriksit A = (A_{ij}); maatrikseid A_{ij} nimetatakse **maatriksi <math>A</math> plokkideks**.

## Plokkmaatriksite korrutamine

Plokkmaatriksite korrutamist saab teostada plokkide kaudu. Olgu antud *m*&nbsp;×&nbsp;*k*-maatriks A, mille ridades on *q* plokki ja veergudes *p* plokki

:
A = \begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1s}\\
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2s}\\
\vdots          & \vdots          & \ddots &\vdots \\
A_{q1} & A_{q2} & \cdots & A_{qs}\end{pmatrix},

ning *k*&nbsp;×&nbsp;*n*-maatriks B, mille read on jaotatud *q* ja veerud *p* plokiks

:
B = \begin{pmatrix}
B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1r}\\
B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2r}\\
\vdots          & \vdots          & \ddots &\vdots \\
B_{s1} & B_{s2} & \cdots & B_{sr}\end{pmatrix},
siis maatrikskorrutise

:
C=AB \,


saab leida plokkhaaval, kusjuures C on *m*&nbsp;×&nbsp;*n*-maatriks, mille ridades on *q* plokki ja veergudes *p* plokki. Maatriksi C plokid on

:
C_{\alpha \beta} = \sum^s_{\gamma=1}A_{\alpha \gamma}B_{\gamma \beta}. 


## Plokk-diagonaalsed maatriksid

**Plokk-diagonaalne maatriks** ehk **kast-diagonaalmaatriks** on ruutmaatriks, mille peadiagonaali elementideks on ruutmaatriksid (plokid) nii, et kõik ülejäänud elemendid on nullid. Plokk-diagonaalse maatriksi üldine kuju on

: 
A = \begin{pmatrix} 
A_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 
0 & A_{2} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & A_{n} 
\end{pmatrix}
,

kus iga A_{i} on ruutmaatriks; teisisõnu on see maatriksite A_{1}, ... , A_{n} otsesumma, mida võib tähistada, kui A_{1}\oplus A_{2} \oplus ... \oplus A_{n} või sarnaselt diagonaalsete maatriksitega \operatorname{diag}(A_{1}, A_{2}, ... , A_{n}). Iga ruutmaatriksit võib käsitleda kui ühest plokist koosnevat diagonaalset plokkmaatriksit.

Plokk-diagonaalse maatriksi determinandi ja jälje jaoks kehtib
: \operatorname{det} A = \operatorname{det} A_1 \cdots \operatorname{det} A_n,
: \operatorname{tr} A = \operatorname{tr} A_1 +\cdots +\operatorname{tr} A_n .

## Plokk-kolmnurkmaatriksid

**Plokk-kolmnurkmaatriksid** on kolmnurkmaatriksid, mille elementideks on plokid (ehk maatriksid). Analoogselt kolmnurkmaatriksitega saab rääkida *ülemistest* ja *alumistest* plokk-kolmnurkmaatriksitest.

## Otsesumma

Iga maatriksi A (*m*&nbsp;×&nbsp;*n*-järku) ja B (*p*&nbsp;×&nbsp;*q*-järku), saab konstrueerida maatriksite A ja B otsesumma
 
:
  A \oplus B =
\begin{pmatrix}
A & 0 \\
0 & B \\
\end{pmatrix}

=
  \begin{pmatrix}
     a_{11} & \cdots & a_{1n} &      0 & \cdots &      0 \\
     \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
    a_{m 1} & \cdots & a_{mn} &      0 & \cdots &      0 \\
          0 & \cdots &      0 & b_{11} & \cdots &  b_{1q} \\
     \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
          0 & \cdots &      0 & b_{p1} & \cdots &  b_{pq} 
  \end{pmatrix}.



Näiteks

:
  \begin{pmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    2 & 3 & 1
  \end{pmatrix}
\oplus
  \begin{pmatrix}
    1 & 6 \\
    0 & 1
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
    1 & 3 & 2 & 0 & 0 \\
    2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 1
  \end{pmatrix}.


Paneme tähele, et maatriksite vektorruumide otsesumma on väljendatav maatriksite otsesummana.

## Tensorkorrutis

## Viited