Vektoralgebra

Matemaatikas ja lineaaralgebras viitab **vektoralgebra** algebralistele toimingutele vektorruumis. Kõige sagedamini viitab see operatsioonidele Eukleidese vektoritega.

## Põhimõisted
Vektor geomeetrias (geomeetriline vektor) on suunatud segment. Suunatud segmendi esimest punkti nimetatakse vektori alguseks ja teist - vektori lõpuks.

Vektori a pikkus on selle segmendi pikkus. Vektorit, mille pikkus on võrdne ühega, nimetatakse **üksikuks**.

Ortogonaalses koordinaatsüsteemis oleva vektori koordinaadid on selle projektsioonid koordinaatteljel.

## Üldine vektorruum
Selle teema kohta lisateavet vt Vektorruum.

### Liitmine ja lahutamine
Oletame, et **a** ja **b** on vektorid, millel võib olla suvaline suund ja suurus. **A** ja **b** summa on

\mathbf{a}+\mathbf{b}
=\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)\mathbf{e}_i
=(a_1+b_1)\mathbf{e}_1
+(a_2+b_2)\mathbf{e}_2
+\cdots
+(a_n+b_n)\mathbf{e}_n.

Vektorite summat saab graafiliselt näidata, asetades vektori **b** alguse vektori **a** pähe ja joonistades vektori **a** algusest kuni **b** lõpuni uue vektori. Noolega kujutatud uus vektor on vektor **a** + **b**, nagu allpool näidatud:

Seda vektori liitmismeetodit nimetatakse mõnikord *rööpküliku reegliks*, kuna **a** ja **b** moodustavad rööpküliku küljed ning **a** + **b** on selle diagonaal.

Kahe vektori erinevust saab geomeetriliselt määratleda järgmiselt: **b-st** lahutamiseks **a-st** peate paigutama vektorite **a** ja **b** algused ühte punkti ja seejärel joonistama nool vektori **b** esimehelt vektor **a**. See uus nool on vektor **a** - **b**, nagu allpool näidatud:

Kahe vektori lahutamise saab teha ka nii, et võetakse teise vektori vastand ja liidetakse see esimesse vektorisse, see näeb välja selline, **a** - **b** = **a** + (**−b**).

### Skalaariga korrutamine

Vektorit saab korrutada või *skaleerida* reaalarvuga *r*. Traditsioonilise vektoralgebra kontekstis nimetatakse neid reaalarvusid sageli **skalaarideks** (sõnast skaala), et neid vektoritest eristada. Vektori korrutamist skalaariga nimetatakse *skalaarkorrutiseks*. Saadud vektor on võrdne

r\mathbf{a}
=\sum_{i=1}^n (ra_i)\mathbf{e}_i
=(ra_1)\mathbf{e}_1
+(ra_2)\mathbf{e}_2
+\cdots
+(ra_n)\mathbf{e}_n.

On ilmne, et korrutamine skalaariga r skaalab vektorit suurusega *r*. Geomeetriliselt saab seda kujutada (vähemalt juhul, kui *r* on täisarv), asetades vektorist *r* koopiad üks kord reale, nii et ühe vektori lõpp on iga järgneva algus.

Kui *r* on negatiivne arv, siis muudab vektor suunda: see pöörleb 180 °. Järgnevalt on toodud kaks näidet (*r* = -1 ja *r* = 2 puhul):

Korrutamine skalaar on distributiivne operatsiooni koos vektorite lisamisega järgmises tähenduses: *r*(**a** + **b**) = *r***a** + *r***b** kõigi vektorite **a** ja **b** ning kõigi skalaaride *r* korral.

### Skalaarkorrutis

Kahe vektori a ja b *skalaarkorrutist* (mida mõnikord nimetatakse *siseproduktiks*, kuid kuna tulemus on skalaar, sageli *skalaarkorrutis*) tähistatakse kui **a** ∙ **b** ja see määratletakse järgmiselt:

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}
=\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\cos\theta

kus *θ* on vektorite a ja b vahelise nurga väärtus (koosinusfunktsiooni kohta leiate teavet trigonomeetrilistest funktsioonidest). Geomeetriliselt tõmmatakse vektorid **a** ja **b** vektorite alguses ühise punktiga, seejärel korrutatakse vektori **a** pikkus vektori **b** komponendiga, mis on suunatud **a-ga** samas suunas.

Skalaarkorrutise võib määratleda ka iga vektori komponentide saaduste summana järgmiselt:

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n

## Kolmemõõtmeline ruum

### Vektorkorrutis

*Vektorkorrutis* (mida nimetatakse ka *väliseks korrutiseks*) on mõttekas ainult kolme või seitsme mõõtme jaoks. Vektorkorrutis erineb skalaarkorrutisest peamiselt selle poolest, et kahe vektori vektorkorrutisi tulemus on vektor. Vektorkorrutis, mida tähistatakse kui **a** × **b**, on vektor, mis on risti mõlema vektoriga **a** ja **b** ning tähistatakse kui

\mathbf{a}\times\mathbf{b}
=\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\sin(\theta)\,\mathbf{n}

kus *θ* on nurk **a** ja **b** vahel ja **n** on ühikvektor, mis on risti nii **a** kui ka **b**, mis vastab parema käe reeglile. Parempoolse süsteemi määratlus on antud juhul oluline, kuna **a** ja **b** suhtes on risti kaks ühikvektorit, nimelt **n** ja **(-n)**.

Pikkus **a** × **b** on rööpküliku pind, millel on küljed **a** ja **b**.

Vektorprodukti saab kirjutada järgmiselt

{\mathbf a}\times{\mathbf b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2) {\mathbf e}_1 + (a_3 b_1 - a_1 b_3) {\mathbf e}_2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1) {\mathbf e}_3.

### Segakorrutis

Segakorrutis ei ole vektorite uus toiming, vaid see on kombinatsioon kahest olemasolevast korrutamisoperatsioonist kolme vektoriga. Segakorrutist tähistatakse mõnikord kui (**a b c**) ja see määratletakse järgmiselt:

(\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c})
=\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}).

Sellel on kolm peamist kasutust. Esiteks on ülaltoodud toote tähendus võrdne rööptahuka ruumalaga, mille küljed on antud nende kolme vektori abil. Teiseks on segatoode võrdne nulliga ja ainult siis, kui kõik kolm vektorit on lineaarselt sõltumatud, mida saab olukorda arvesse võttes hõlpsasti tõestada, nii et kolm vektorit moodustavad nullmahu, kõik kolm asuvad samal tasapinnal. Kolmandaks on segatoode positiivne ainult siis, kui kolm vektorit **a**, **b** ja **c** moodustavad parempoolse vektorite kolmekordse osa.

Komponente kasutades (*vastavalt parempoolsele ortogonaalsele alusele*), kui kolm vektorit on kujutatud ridadena (või veergudena, kuid samas järjekorras), on segatoode 3×3 maatriksite determinanti, mis sisaldab kolme vektorit ridades

(\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c})=\left|\begin{pmatrix}
 a_1 & a_2 & a_3 \\
 b_1 & b_2 & b_3 \\
 c_1 & c_2 & c_3 \\
\end{pmatrix}\right|

Skalaarkorrutise on kõigi kolme elemendi jaoks lineaarne ja antisümmeetriline järgmises tähenduses:


(\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}) = (\mathbf{c}\ \mathbf{a}\ \mathbf{b}) = (\mathbf{b}\ \mathbf{c}\ \mathbf{a})=
 -(\mathbf{a}\ \mathbf{c}\ \mathbf{b}) = -(\mathbf{b}\ \mathbf{a}\ \mathbf{c}) = -(\mathbf{c}\ \mathbf{b}\ \mathbf{a}).

## Vaata ka

* Geomeetriline algebra
* Kvaternion