RANSi turbulentsimudel

**RANSi (Reynold’s averaged Navier-Stokes) turbulentsimudel** on kasutuses CFD (arvutuslik vooliste dünaamika) simulatsioonides turbulentsi arvutamiseks. Tegemist on kahevõrrandilise mudeliga, mis lihtsustavad Navier'-Stokesi vooliste liikumise võrrandeid, et saavutada kasulik lahend vähema arvutusvõimsusega. See mudel on üks populaarsemaid viise Navier'-Stokesi võrrandite lahendamiseks. Mudel põhineb Reynoldi dekompositsioonil, mis eraldab osakesete liikumisvektorid kaheks: ajaliselt keskmistatud osaks ja muutuvaks osaks. 

## Navier'-Stokesi võrrand
Navier'-Stokesi võrrand on kahest osatuletisega diferentsiaalvõrrandist koosnev matemaatiline mudel, mis kirjeldab vooliste liikumist. Navier'-Stokesi võrrandid said alguse 1822. aastal, kui need avaldas Prantsuse insener C. L. M. H. Navier . Tänapäevase kuju said need aga hiljem, 1845. aastal, kui mitu teadlast, näiteks Poisson, de Saint Venant ja eeskätt inglane Stokes täpsustasid Navier' võrrandeid . Navier' ja Stokesi järgi nimetatigi see vooliste liikumist kirjeldav süsteem Navier'-Stokesi võrranditeks. Mudel koosneb kahest võrrandist: massijäävuse seadus ja impulsijäävuseseadus. Navier'-Stokesi mittelineaarsetele osatuletistega diferenetsiaalvõrranditele puudub seni matemaatiliselt lõplik analüütiline lahendus ning see on ka üks seitsmest Clay instituudi Miljoni auhinna nimekirja kuuluvast probleemist.  Küll aga on võimalik lahendada Navier'-Stokesi diferentsiaalvõrrandeid numbriliste meetoditega. Otsene numbriline lahendamine on aga kallis (ressursinõudlik) arvutusvõimsuselt ja on seetõttu toodete arendamiseks ebaratsionaalne. Seetõttu ongi loodud erinevad mudelid kirjeldamaks turbulentsi Navier'-Stokesi võrrandites, mis võimaldavad saavutada vähema arvutusvõimsusega kasulikke lahendeid olenevalt uuritavast eesmärgist. Üks nendest mudelitest on RANS. 

### Navier'-Stokesi võrrandite matemaatiline väljendus kokkusurumatutele voolistele
Impulsijäävuseseadus ehk Newtoni teise seadus kohandatud voolise liikumisele:

\partial u/\partial t + (u\cdot\triangledown u)u=\nu \triangledown^2 u - 1/(\rho) \cdot \triangledown p + F ,                                                                  (1)

kus *u* on kiirus, ν on viskoossus, *ρ* on tihedus, *p* on rõhk ja *F* on muud jõud (tavaliselt raskusjõud).

Massijäävuse seadus:

\triangledown \cdot u= 0 ,                                                                                                                                    (2)

kus *u* on kiirus.

## Reynoldi dekompositsioon
RANS-i mudel põhineb Reynoldi dekompositsioonil, kus kõik ajast ja ruumist sõltuvad komponendid jagatakse aja keskmistatud osaks ja muutuvaks osaks. See ongi RANS-i põhiline funktsioon – tegemist on aja keskmistatud mudeliga. Selle mudeli peamine eelis on just keskmiste omaduste (nagu näiteks keskmiste jõudude) leidmine. 

Reynoldi dekompositsiooni matemaatiline väljendamine kiirusvälja alusel väljendub järgenvalt:

u(x,t)=\bar{U}(x)+u\prime(x,t)
 *,                                                                                                    *     (3)

kus *u* on antud võrrandis kiirusväli, kuid võib olla ükskõik milline vektorväli, \bar{U}  on selle keskmistatud osa ja u\prime  on muutuv osa. Keskmistatud osa saab kirjeldada ka piirväärtuse abil:

\bar{U}(x)=\lim_{T \to \infty}\int_{0}^{T} u(x,t)dt                                                                                                        (4)

Reynoldi dekompositsioon asendatakse mõlemasse Navier'-Stokesi võrrandisse .

Kahe muutujaga komponentidest jäävad alles vaid kolm komponenti, mida nimetatakse Reynoldi stressideks. Need komponendid tähistavad voolu turbulentset muutuvat osa, mis omakorda mõjutavad keskmistatud voolu. Siin tekib aga matemaatiline probleem, kus muutujaid on rohkem kui võrrandeid ja lahenduse leidmiseks tuleb koostada uus mudel, mis lihtsustaks Reynoldi stresse – seda nimetatakse RANS-i sulgemisprobleemiks (*RANS closure problem*). 

## Sulgemisprobleemis turbulentsi modelleerimine (''Closure problem turbulence modeling'')
Enamasti kirjeldavad turbulentsuse mudelid Reynoldi stresse energia muutuste kaudu, kasutades selleks ainult keskmistatud komponente. Uuritakse, kuidas keskmise voolu kineetiline energia mõjutab turbulentset kineetilist energiat ja vastupidi. 

### Keeriste viskoossuse modelleerimine
Keeriste viskoossuse modelleerimine *(eddy viscosity modelling*) on pärit juba aastast 1872, kui selle mudeli pakkus välja Boussinesq . Turbulentsusele määratakse näiline efektiivne viskoossus. Viskoossus võib olla konstant nagu see oli Boussinesqi algses mudelis, kuid sellisel juhul on mudel ebatäpne. Prandtl parandas mudelit kaasates piirkihi paksuse. Lisaks on arendatud tänapäevasemad ja täpsemad mudelid nagu k-epsiloni mudel, k-oomega ja k-oomega SST mudel ning Spalart'-Allmarasi mudel. Muutuvad Reynoldi stressid avaldatakse keskmistatud kiiruse gradiendi kaudu ja keerise viskoossuse korrutisena ja avaldatakse järgmiselt:

-\bar{\rho U\prime U\prime}= \mu_t (\triangledown U + (\triangledown U)^T)-\frac{2}{3}\rho k I ,                                                                                (5)

kus \bar{\rho U\prime U\prime}  on Reynoldi stressid, \mu_t  keerise viskoossus, (\triangledown U + (\triangledown U)^T)  keskmistatud kiiruse gradient ja \frac{2}{3}\rho k I   turbulentne kineetilise energia. 

#### K-epsiloni mudel
K-epsiloni mudel on CFD simulatsioonides populaarne mudel, kuid seda peetakse ebatäpseks juhtudel, kus esineb ebasoodsat rõhugradienti ja seetõttu voolu pöördumist (nt eraldumine tiibadel). Koosneb kahest osatuletisega diferentsiaalvõrrandist, kus *k* tähistab turbulentset kineetilist energiat ja epsilon selle hajumiskiirust. Keerise viskoossus avaldatakse läbi k ja ε. 

\mu_t = C_\mu \frac{\rho k^2}{\epsilon}  ,                                                                                                                            (6)

kus C_\mu   on hajumiskiiruse konstant, k on turbulentne kineetiline energia ja ε on turbulentsi hajumiskiirus.

Võrrandites lahendatakse turbulentse kineetilise energia ja turbulentsuse hajumiskiiruse transpordivõrrandid ning leitakse keerise viskoossus  .

K-epsiloni mudelil on veel erinevaid variatsioone: standard, RNG ja realiseeritav (*realizale*), mis erinevad hajumiskiiruse konstantide poolest . 

Madal Reynoldsi formulatsiooni lisab summutamisfunktsiooni, mis vähendab hajumiskiirust pindade lähedal. Summutamisfunktsioon tuletatakse turbulentsest Reynoldi numbrist. Selle funktsiooni ebatäpsuse tõttu tekivad vead voolu eraldumise arvutamisel. Keeriste viskoossus avaldatakse järgmiselt:  

    \mu_t = f_\mu C_\mu \frac{\rho k^2}{\epsilon}  ,                                                                                                                         (7)

kus f_\mu   on summutamisfunktsioon.

#### K-oomega mudel
K-oomega mudel sarnaneb ülesehituselt k-epsiloni mudeliga, kus esimene transpordivõrrand turbulentse kineetilise energia suhtes jääb samaks ning teine lahendatakse epsiloni asemel oomegaga. K-mudelil on oma hajumiskiiruse konstandid. K-oomega mudel ei vaja eraldi summutamisfunktsioone ja on seetõttu täpsem voolu eraldumise korral. Mudeli nõrkus tuleneb suurest sõltuvusest vabavoolu turbulentsi tingimustest ning võib seetõttu mitte näidata päriselulikku eraldumist. 

#### K-oomega SST mudel
K-ω SST (*shear stress transport*) mudel on kombinatsioon k-ε ja k-ω mudelist. Pindade lähedal kasutatakse k-ω mudelit, pindadest kaugel k-ε ja vahepealses osas on kombinatsioon mõlemast. Võrreldes k-ε ja k-ω mudeleid, on k-ω mudelil juures vaid üks komponent ning see komponent korrutatakse pindade lähedal võrdeteguriga 1 ning pindadest kaugenedes võrdetegur väheneb, vähendades seega pinnast kaugemal k-ω, kus teatavasti k-ω mudelil kitsaskohad tekivad. Võrdeteguriga korrutatakse läbi ka vastavad konstandid. Lisandub piirviskoossus, mis on samuti võrdeline pinnakaugusega (pinna lähedal on keerise viskoossus madalam, et vähendada nihkepingeid, mis suurendavad eraldumise tõenäosust). 

#### Spalart'-Allmarasi mudel
Ühevõrrandiline mudel, mis on disainitud lennundusvaldkonna jaoks. Transpordivõrrandis antakse keerise viskoossusele funktsioon  v_t . Kuna aga piirkihi võrgustik pole rakenduslikes olukordades piisavalt peen (arvutusvõimsuse tõttu), siis arvutatakse kõigepealt lihtsama funktsiooniga \tilde{v}  ning v_t leidmiseks korrutatakse alles pärast neljanda astme võrrandiga. Seega keerise viskoossus avaldatakse järgmiselt. 

\mu_t=\rho v_t ,                                                                                                                                        (8)

kus viskoossuse funktsioon v_t = \tilde{v} f 

## Viited