Foucault' pendel

**Foucault’ pendel** on pikk vabalt võnkuv pendel, mida kasutatakse Maa pöörlemise demonstreerimiseks. Pendel on nimetatud prantsuse füüsiku Léon Foucault' järgi. Kuigi juba varem teati, et Maa pöörleb, oli Foucault’ pendli esmaesitlus 1851. aastal esimene lihtne eksperiment, tõestamaks Maa pöörlemist. Tänapäeval on Foucault’ pendlid populaarsed teadusmuuseumides ja ülikoolides.

## Esimene Foucault’ pendel

Foucault’ pendlit demonstreeriti esimest korda 1851. aastal Pariisi observatooriumis. Mõni nädal hiljem ehitas Foucault oma kuulsaima pendli, riputades 67-meetrise messingiga kaetud tinapommiga pendli Pariisi Panthéoni kupli alla. Pendli võnkumistasand pöördus hoone suhtes 11° tunnis ja tegi täisringi 32,7 tunniga. 1855. aastal viidi pendel Conservatoire national des arts et métiers' (rahvuslik kunsti ja käsitöö konservatoorium) Pariisis.

Muuseumi rekonstrueerimise ajal riputati pendel ajutiselt uuesti Pariisi Panthéoni (1995), kuid pärast Musée des arts et métiers' (kunsti ja käsitöö muuseum) taasavamist 2000. aastal viidi pendel muuseumi tagasi. 6. aprillil 2010 katkes pendli tross. Pendli kukkumise tagajärjel purunesid nii originaalpendel kui ka muuseumi marmorpõrand. Alates 1995. aastast ripub originaalpendli täpne koopia Pariisi Panthéoni kupli all.

## Pendli ülesehitus

Katseseade koosneb pikast suvalise vertikaaltasandi suhtes vabalt võnkuvast pendlist. Maa pöörlemise tõttu pendli vertikaalne võnkumistasand pöördub.

Põhja- ja lõunapoolusel on pendli võnkumistasandi pöörlemise kiirus võrdne Maa omaga. Tasand teeb ühe päeva jooksul põhjapoolusel päripäeva täispöörde ja lõunapoolusel vastupäeva täispöörde.

Kui pendel on riputatud ekvaatorile, siis võnkumistasand Maa suhtes ei muutu. Seega on tasandi pöörlemise kiirus suurim poolustel ja ekvaatori poole liikudes see väheneb. Nurkkiirus *ω* (päripäeva vaadatuna on *ω* ühikuks kraad sideerilises päevas) on võrdeline laiuskraadi siinusega sin*φ*:

::\omega=360\sin\varphi\ ^\circ/p\ddot{a}ev,

kus põhja- ja lõunalaiuskraad ekvaatorilt vaadates on defineeritud vastavalt positiivselt ja negatiivselt. Näiteks 30° lõunalaiusel asuv pendel pöördub vastupäeva 360° kahe päevaga, kui seda Maa suunas ülevalt alla vaadelda.

Tõestamaks Maa pöörlemist ja jättes kõrvale laiuskraadidest tulenevad komplikatsioonid, kasutas Foucault 1852. aasta eksperimendis güroskoopi. Güroskoobi pöörlev rootor oma asendit tähtede suhtes ei muuda. Kui Maa on olenemata laiuskraadist teinud ühe täispöörde, on güroskoobi telgede asend sama mis päev varem. Tegemist ei ole pendlile selle geomeetrilise asümmeetrilisuse tõttu mõjuva tasakaalustamata Coriolisi jõuga.

Foucault’ pendli ülesseadmine nõuab suurt hoolt, sest väikseimgi konstruktsiooni ebatäpsus põhjustab võnkumistasandi lisapöördumist ja maine efekt jääb tagaplaanile. Samuti on väga oluline pendlile võnke andmine. Traditsiooniline viis selleks oli põletada läbi nöör, mis ajutiselt pendli pommi algasendis hoidis. Sellega välditi pendli kõrvalekaldumist. Kuna õhutakistus summutab võnkumist, siis kasutavad muuseumid tihti Foucault’ pendliga ühendatud elektromagnetilist või muud ajamit, et hoida pendlit võnkumas. Muudel juhtudel pannakse pendel võnkuma tavapärasel viisil, millega tihti kaasneb eriline tseremoonia.

Pendlipäev on periood, mille jooksul teeb pendli võnkumistasand arvestatava täispöörde. Foucault’ pendli pendlipäev on võrdeline sideerilise päevaga ja pöördvõrdeline laiuskraadi siinusega.

## Pretsessiooni paralleelne lüke

Maa pinnaga seotud intertsiaalses taustsüsteemis, mis Maa pöörlemise tõttu liigub, olev pendel joonistab selle kinnituspunkt ühe sideerilise päevaga ringi. Pariisi laiuskraadil võtab täielik pöörlemistelje asendi muutus aega 32 tundi. See tähendab, et ühe sideerilise päeva jooksul, kui Maa on pöörlemisega jõudnud samasse punkti, kus ta üks sideeriline päev varem oli, on võnkumistasand teinud 90-kraadise pöörde. Kui algul toimub võnkumine põhja ja lõuna suunas, siis päev hiljem ida ja lääne suunas. Järelikult on toimunud impulsivahetus: Maa ja pendli pomm vahetavad impulsi. Kuna Maa on palju massiivsem kui pomm, siis impulsi vahetus Maad ei mõjuta. Kuna pendli pommi võnkumistasand on nihkunud, siis jäävusseaduste kohaselt pidi toimuma impulsside vahetus.

Impulsi muutumise järgimise asemel saame võnkumistasandi pretsessiooni kirjeldada ka selle paralleellükke kaudu. Selleks eeldame, et pretsessiooni kiirus on võrdeline Maa nurkkiiruse projektsiooniga Maa pöörlemisteljel. Gaussi-Bonnet’ teoreemi kohaselt on pendli võnkumistasandi alg- ja lõpporientatsiooni vahe *α* = −2 sin(*φ*) *α* on pendli geomeetriline faas. Vaadates Maaga seotud liikumisi, ei ole Maa taustsüsteemina enam inertsiaalne, kuid selle efektiivne nurkkiirus on  radiaani päevas. Lihtne viis selleks, kuidas kasutada paralleellüket Foucault’ pendli võnkumistasandi pöördenurga kirjeldamiseks, on vaadata paralleellüket koonusekujulise puutuja tasandil Maa pinnal.

Vaadatuna Maa pinnaga seotud taustsüsteemist, mille x-telg on suunatud põhja ja y-telg itta, kirjeldab pendli pretsessiooni Coriolisi jõud. Oletagem, et pendli võnkesagedus on *ω*, see võngub tasapinnal ja võnkeamplituud on väike. Pendli pommi mõjutavad kaks jõudu: gravitatsiooni ja trossi tekitatud taastav jõud ning Coriolisi jõud. Corliolisi jõud laiuskraadil *φ* on horisontaalne pendli väikse amplituudiga. Coriolisi jõud on esitatud järgmiselt: 
:
\begin{align}
F_{c,x} &= 2 m \Omega \dfrac{dy}{dt} \sin(\varphi)\\
F_{c,y} &= - 2 m \Omega \dfrac{dx}{dt} \sin(\varphi),
\end{align}


kus Ω on Maa pöörlemissagedus, *F<sub>c,x</sub>* Coriolisi jõud x-telje suunaline komponent ja *F<sub>c,y</sub>* y-telje suunaline komponent.

Taastavad jõud väikse amplituudi korral on esitatud järgmiselt:
:
\begin{align}
F_{g,x} &= - m \omega^2 x \\
F_{g,y} &= - m \omega^2 y.
\end{align}


Newtoni seaduste kohaselt saame järgmise võrrandisüsteemi:
:
\begin{align}
\dfrac{d^2x}{dt^2} &= -\omega^2 x + 2 \Omega \dfrac{dy}{dt} \sin(\varphi)\\
\dfrac{d^2y}{dt^2} &= -\omega^2 y - 2 \Omega \dfrac{dx}{dt} \sin(\varphi) \,.
\end{align}


Minnes üle kompleksmuutujatele z = x + iy, saame võrrandid kujul:
:\frac{d^2z}{dt^2} + 2i\Omega \frac{dz}{dt} \sin(\varphi)+\omega^2 z=0 \,.

Selle võrrandi lahendiks on
:z=e^{-i\Omega \sin(\varphi) t}\left(c_1 e^{i\omega t}+c_2 e^{-i\omega t}\right) \,.

Kui mõõdame aega päevades, siis Ω = 2π. Näeme, et ühe päeva jooksul teeb pendel pöörde −2π sin(*φ*).

## Sarnased füüsikalised süsteemid

Paljude füüsikaliste süsteemide pöörlemistelje asend muutub samal viisil kui Foucault’ pendlil. 1851. aastal kirjeldas Charles Wheatstone seadet, mis kujutas endast keerleva ketta külge kinnitatud võnkuvat vedru. Vedru ja ketta vahel on fikseeritud nurk \phi. Vedru liikumist on piiratud nii, et ta võnguks ühel tasandil. Kui ketast keerata, muutub ka võnkumistasand ketta suhtes sarnaselt Foucault’ pendli võnkumistasandi muutumisega Maa suhtes laiuskraadil \phi.

Sellise katse saab teha täiuslikult tasakaalus oleva algselt mittepöörleva jalgratta rattaga, mis on omakorda asetatud pöörlevale kettale nii, et nende pöörlemisteljed moodustavad nurga \phi. Kui ketas teeb päripäeva täispöörde, siis ratas oma algpositsiooni tagasi ei jõua, vaid tema pöörlemistelg on läbinud pöörde suurusega 2\pi\, \sin(\phi).

Foucault’ pendli võnkumistasandiga sarnaselt pretsesseerib ka ringorbitaalil liikuv pöörlev relativistlik osake. Relativistliku kiiruse paiknemist Minkowski aegruumis saab vaadelda kui sfääri *S*3 neljamõõtmelises eukleidilises ruumis, kus raadius ja ajakoordinaat on imaginaarsed. Paralleelse lükke polarisatsiooni vektorid mööda sfääri (Maa pinda) moodustavad Thomase pretsessiooni, mis on analoogne Foucault’ pendli võnkumistasandi pöörlemisega, kui vaadata paralleelset kulgemist sfääri *S*2 kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis.

Füüsikas on selliste süsteemide areng määratud geomeetriliste faaside, matemaatikas paralleellükke kaudu.

## Foucault’ pendel lõunapoolusel

Maailmas on palju Foucault' pendleid. Enamasti asuvad need ülikoolides, teadusmuuseumides ja planetaariumides. Eriti kuulus ja esinduslik pendel asub ÜRO kontoris Manhattanil.

Selle pendliga korraldati katse lõunapoolusel. Lõunapooluse pendliprojekti, nagu seda on kirjeldatud ajalehes The New York Times ja tsiteerituna raamatust "Seven Tales of the Pendulum", püstitasid ja katsetasid lõunapoolusel asuvas Amundsen-Scotti polaarjaamas seiklushimulised John Bird, Jennifer McCallum, Michael Town ja Alan Baker. Nende mõõtmised on tõenäoliselt täpseimad, mis iial Maa poolustel teostatud. Pendel püstitati poolusele ehitatava jaama kuuenda korruse trepile. Tingimused olid keerulised: kõrgust umbes 3300 meetrit, atmosfäärirõhk vaid umbes 65% merepinnal olevast. Temperatuur kütmata trepil oli umbes −68&nbsp;°C. Pendli pikkus oli 33 meetrit ja pommi raskus 25&nbsp;kg.

Ainult poolusel tõestab Foucault' katse Maa tegelikku pöörlemiskiirust: pendel pöörleb vastupäeva ühe täisringi iga 24 tunni jooksul. Seega võlgnesid nad teadusele selle lugupidamisavalduse. Uus jaam pakkus Foucault' pendlile häid tingimusi. Selle kõrgus kindlustas täpse tulemuse, mida ei saanud häirida õhu liikumine. Nädalavahetustel tagas inimtegevuse vähesus vibreerimise peaaegu täieliku puudumise. Lisaks tagab poolusel madal õhurõhk väiksema õhutakistuse. Isegi algelise pendli sellistes tingimustes püstitamine oleks olnud keeruline. Kuid kui takistused ületati, kinnitasid uurijad, et võnkumistasandi pöörlemise periood on umbes 24 tundi.

## Foucault’ pendel Tartus

1978. aasta märtsis avati Tartu Tähetornis Hugo Raudsaare püstitatud Foucault’ pendel. Pendel oli 7&nbsp;m pikk ja kaalus 30&nbsp;kg. Pendel ei olnud statsionaarne ja igaks demonstratsiooniks tuli see algul kokku ja lõpus lahti monteerida. Viimati töötas pendel 1990. aastal.

1982. aastal Tartu Ülikooli 350. aastapäeva ajal tekkis Henn Voolaiul, Matt Ansol, Malle Fischeril ja Matti Laanel idee püstitada Tartu Tähe tänava füüsikahoonesse uus Foucault’ pendel. Pendli projekteeris, valmistas ja paigaldas Hando Kruuv. Alusplatvormi kujundas Imbi Kruuv. Pendel avati Tähe perepäeval 6. novembril 1999.

## Viited