Sümmeetria

**Sümmeetria** (kreeka sõnast συμμετρία – *koosmõõtuvus*) on laiemas tähenduses määratletav kui *ühetaolisus*, *proportsionaalsus*, *tasakaal*, *vastavus* või *püsivus*. Täpsemalt defineeritud kui struktuurne omadus, mis avaldub objekti ühetaoliste osade ühtlases kordumises nii ruumis kui ka ajas. 

Levinud on arusaam sümmeetriast kui paarsusest – *sümmeetria* on objekti omadus, kus selle mingist keskpunktist või sümmeetriateljest samal kaugusel olevad osad on ühetaolised .

Sümmeetriailminguid esineb nii ühiskonnas kui ka elusas ja elutus looduses. Ideaalselt sümmeetriline objekt on kera.
## Sümmeetria juured

Sümmeetria on looduse ilming, kus selle objektide sümmeetria on tingitud fundamentaalsetest loodusseadustest:

A) Taimsete objektide vertikaalne asend on *[[gravitatsioon]]i* poolt esile kutsutud *korrastatud jaotumine ruumis*, kus taimede võra *tasakaalustab* nende juurestik. Loomne olend aga peab *tasakaalu hoidmiseks* ja liikumiseks omama keskmest kahele poole väljaulatuvaid paarisarv jäsemeid, mis teeb selle *bilateraalselt sümmeetriliseks*.

B) Kordumised ehk *korrastatud jaotumine ajas* on üks esimesi looduslikke sümmeetriailminguid mitmesuguste astronoomiliste, klimaatiliste jt tsüklite näol. 

Mikro- ja makromaailmas võivad selleks olla ka teised jõud ja teistsugused tsüklid.

Bilateraalset looduslikku sümmeetriat kujutasid oma *[[ornament]]idel ja gravüüridel* juba vanad sumerid 3. aastatuhandel eKr. Korrastatud jaotumise vastu ajas ehk astronoomiliste tsüklite vastu huvituti Vana-Indias juba 5. aastatuhandel eKr.

## Sümmeetria mitmepalgelisus

See mitmepalgelisus avaldub eelkõige lahknevuses korrastatud jaotumises ruumis ja ajas. Sümmeetriat võib täheldada seega *ajas, ruumilistes suhetes, [[geomeetria|geomeetrilistes teisendustes]]* nagu peegeldus ja pöörded, mitmesugustes *abstraktsetes [[mudel]]ites, [[keel]]es ja [[muusika]]s*. Sümmeetrilised objektid esinevad nii *materiaalsel kujul*, nagu elusisendid, kristallid või esemed, kui ka *[[abstraktne|abstraktsel]] kujul* matemaatiliste konstruktsioonide või helindite jadana. 

*Eluslooduses* on sümmeetria äratuntav peamiselt geomeetriliselt, *bilateraalsel ja radiaalsel* kujul. *Elutus looduses* esinevad sümmeetriailmingud mitmel viisil: füüsikas näiteks *[[invariant]]suse, [[jäävusseadus]]te, tasakaalu või võre* näol; *[[keemiline ühend|keemilise ühendi]]* sümmeetriaomadused on väljaloetavad selle *[[struktuurivalem]]ist* või *[[struktuurimudel]]ist*. Matemaatikas on sümmeetria määratletud nii *ühetaolisuse* kui ka *vastavuse* aspektist: a) Rühmateoorias on sümmeetria määratletud kui elementide transpositsioonide (transitiivsuspiirkonna) ehk *orbiidi* olemasolu, näiteks graafides. b) *Binaarse relatsiooni* omadus: relatsioon *R* on sümmeetriline, kui *xRy* korral alati ka *yRx*. . Ka arvtelg on sümmeetriline. Positiivne ja negatiivne osa on nulli suhtes absoluutväärtustena võrdsed. 

*[[Sotsiaalia]]s* otsitakse sarnasusi ehk sümmeetriat mitmesuguste tunnuste järgi. *[[kujutav kunst|Kujutavas kunstis]]* esineb sümmeetriat n-ö looduslikul kujul, st bilateraalselt ja radiaalselt kui ka *kordumiste* näol. *[[Arhitektuur]]is* domineerib geomeetriline sümmeetria (kui seda üldse esineb). Sümmeetriailmingud *[[muusika]]s* avalduvad *helindite ja žanriliste kordumiste* ning *rütmi* näol kus oluline osa on ka *kontrastidel*. Nii on see ka *[[ilukirjandus]]es*, kus need võivad avalduda *olukordade ja stseenide sarnasuses ning kordumises*, kusjuures *[[poeesia]]s* lisanduvad sellele ka *riimid*. Neid loetelusid võib veelgi jätkata ja täpsustada, kuid piirdugem praegu sellega.

## Sümmeetria kui niisugune

Vaatamata sellele, et sümmeetriat on käsitletud paljudest aspektidest, on tegemist siiski sellesama sümmeetriaga, st süsteemis esinevate *ühesugusustega*, kuigi eri valdkondades võib see *ühesugusus* kanda erinevaid nimetusi. See ühesugusus tähendab ka *vasaku ja parema poole ühesugusust*. Liikluses on neid pooli vaja muidugi eristada, kuid see sõltub sellest, kus ja kuidas. 

Sümmeetriat tuleb vaadata ka kui *lihtsuse ja selguse* avaldumise vormi. Albert Einstein tõdes, et loodusele meeldib lihtsus ja looduse mõistmine tähendab lihtsamate matemaatiliste ideede mõistmist. 

Sümmeetria kui niisuguse vastu on huvi tundnud eri valdkondade uurijaid. Eriline koht on siin saksa matemaatikul ja filosoofil Hermann Weylil, kes oli veendunud, et olenemata objektist *on sümmeetria kujunenud oluliseks matemaatiliseks mõisteks*, nii nagu seda on *[[arv]], [[Funktsioon (matemaatika)|funktsioon]] või [[võrrand]]* . Kuid siin peab kohe märkima seda, et paljude eluslooduse objektide sümmeetria ei ole fikseeritav n-ö matemaatilise täpsusega.

Sümmeetria *algab* siis, kui objektil esineb vähemalt *kaks sarnast osist (elementi)* ja saavutab *täielikkuse* siis, kui selle *kõik elemendid on sarnased*. Ideaalselt sümmeetriline objekt on *[[kera]]* *(sfäär)*, tasapinnal aga *[[ring]]*. Sümmeetria lõpeb seal, kus sarnaseid elemente ei esine, siis on tegemist sümmeetria alumise piiri, *asümmeetria ehk 0-sümmeetriaga*.

Sümmeetriat kui niisugust on uuritud peamiselt kahel viisil:
# sümmeetriat kui *tervikilmingut* on uuritud *sümmeetriarühmade (teatud tingimustele vastavate hulkade)* baasil, nagu seda tegi ka Weyl;
# sümmeetriat kui *[[struktuur]]set omadust* on uuritud *[[struktuurimudel]]ite* baasil kus sümmeetriaomadused on esitatud sümmeetriaklasside täpsusega. 

## Sümmeetria mõõt

Sümmeetria kui struktuurne omadus on *mõõdetav* vastavate *[[struktuurimudel]]ite* baasil. *Sümmeetria mõõt* sõltub sümmeetriaklasside ehk orbiitide võimsusest ja arvust. Sümmeetria mõõdu lähtealuseks on Shannoni klassikaline infomahu valem:
  H = -\sum_{n=1}^N p_n \log p_n, kus *N* on sümmeetriaklasside arv, *n* sümmeetriaklassi indeks ja *p<sub>n</sub>* sümmeetriaklassi osakaal struktuuris.

Saadud suuruse *H* alusel määratakse objekti sümmeetriamõõt *M* järgmiselt:

 M=1 - \frac {H} {log|E|} ,
kus |E| on elementide koguarv struktuuris ning  0 \leqslant  M \leqslant 1 .

Sümmeetriat saab mõõta nii struktuursete elementide kui ka binaarsuhete aspektist. Sümmeetriamõõt on 1, kui esineb üksainus sümmeetriaklass; sümmeetriamõõt on 0, kui sümmeetriaklasside arv võrdub elementide (või binaarsuhete) arvuga. Sümmeetriaväärtused võimaldavad eri suurusega objektide sümmeetriaomadusi võrrelda. Sümmeetriamõõdu *M* ametlik nimi on ***korrapära***.

## Viited