Tee (topoloogia)

Topoloogias nimetatakse **teeks** (või mõnikord **parametriseeritud jooneks**) topoloogilises ruumis *X* pidevat kujutust *f* ühiklõigust *I* = [0,1] (mõnikord ka mis tahes lõigust, sel juhul samastatakse tee parametriseeritud joonega) ruumi *X*
:*f* : *I* &rarr; *X*.
Tee alguspunkt on *f*(0), tee lõpp-punkt on *f*(1). Sageli räägitakse "teest punktist *x* punkti *y*", kus *x* ja *y* on tee algus- ja lõpp-punkt. Tee ei ole lihtsalt ruumi *X* alamhulk, mis "näeb välja nagu" joon, vaid kätkeb ka  parametriseeringut. Näiteks kujutused *f*(*x*) =  *x* ja  *g*(*x*) = *x*² tekitavad kaks erinevat teed  0-st 1-ni reaalsirgel.

Aas ruumis *X* baaspunktiga *x* ∈ *X* on tee punktist *x* punkti *x*. Aasa võib defineerida ka kujutusena  *f* : *I* → *X*, mille korral *f*(0) = *f*(1), või pideva kujutusena ühikringjoonelt *S*1 ruumi *X*
:*f* : *S*1 &rarr; *X*.
Viimane tuleneb sellest, et ruumi  *S*1 võib pidada ruumi *I* faktorruumiks  0 ja 1. Kõigi aasade hulk ruumis *X* moodustab ruumi, mida nimetatakse ruumi *X* aasruumiks .

Topoloogilist ruumi, mille mis tahes kaht punkti ühendab tee, nimetatakse lineaarselt sidusaks.  Iga ruumi saab lahutada lineaarselt sidusateks komponentideks. Ruumi *X* lineaarselt sidusate komponentide hulka tähistatakse sageli  π0(*X*).

Teed ja aasad saab defineerida ka punkteeritud ruumidel, mis on olulised homotoopiateoorias. Kui  *X* on topoloogiline ruum fikseeritud punktiga  *x*0, siis tee ruumis *X* on tee, mille alguspunkt on  *x*0. Samamoodi on aas ruumis *X* aas punktis *x*0.

## Teede homotoopia

Teed ja aasad on algebralise topoloogia haru homotoopiateooria kesksed uurimisobjektid. Teede homotoopia eksplitseerib tee pideva otspunkte säilitava deformatsiooni mõiste. 

Teede homotoopia ruumis *X* on niisuguste *I* järgi indekseeritud teede  *f**t* : *I* → *X* pere, et: 
* *f**t*(0) = *x*0 ja *f**t*(1) = *x*1 on fikseeritud;
* kujutus *F* : *I* &times; *I* → *X*, mille annab *F*(*s*, *t*) = *f**t*(*s*), on pidev.
Öeldakse, et teed *f*0 ja *f*1 on homotoopsed (ehk täpsemalt lineaarselt homotoopsed), kui nad on seotud homotoopiaga. Analoogselt võib defineerida baaspunkti säilitava aasade homotoopia. 

Homotoopsus on teede ekvivalentsusseos topoloogilises ruumis. Tee  *f* ekvivalentsiklassi selle seose järgi nimetatakse tee *f* homotoopiaklassiks ning seda tähistatakse sageli  [*f*].

## Teede kompositsioon
Teede kompositsiooni topoloogilises ruumis saab moodustada ilmsel viisil. Olgu  *f* tee punktist  *x* punkti *y* ja  *g* tee punktist *y* punkti  *z*. Tee *fg* defineeritakse kui tee, mis saadakse, kui läbitakse kõigepealt  *f* ning seejärel *g*:
:fg(s) = \begin{cases}f(2s) & 0\leq s \leq \frac{1}{2} \\ g(2s-1) & \frac{1}{2} \leq s \leq 1.\end{cases}
Teede kompositsioon on muidugi defineeritud ainult juhul, kui tee *f* alguspunkt langeb kokku tee *g* alguspunktiga. Kui vaadelda aasu punktis  *x*0, siis teede kompositsioon on binaarne tehe. 

Teede kompositsioon (kui see on defineeritud), ei ole assotsiatiivne, sest parametrisatsioon on erinev. Küll aga on see assotsiatiivne homotoopia täpsusega, st [(*fg*)*h*] = [*f*(*gh*)]. Teede kompositsioon määrab aasade homotoopiaklasside hulgal ruumis *X* baaspunktiga  *x*0 rühma struktuuri. Saadavat rühma nimetatakse ruumi *X* fundamentaalseks rühmaks  punktis *x*0  ja seda tähistatakse tavaliselt  π1(*X*,*x*0).

Tee ruumis *X* võib defineerida pideva kujutusena lõigust [0,*a*] ruumi *X* mis tahes reaalarvu  *a* ≥ 0 puhul.  Niisugusel teel *f* on pikkus |*f*|, mis defineeritakse kui  *a*.  Teede kompositsioon defineeritakse siis teatud muudatusega: 
:fg(s) = \begin{cases}f(s) & 0\leq s \leq |f| \\ g(s-|f|) & |f| \leq s \leq |f|+|g|\end{cases}
Kui eelmises definitsioonis on teedel  *f*, *g* ja *fg* pikkus 1, siis selle definitsiooni järgi |*fg*| = |*f*| + |*g*|. Eelmises definitsioonis rikkus assotsiatiivsuse see, et kuigi teedel  (*fg*)*h* ja  *f*(*gh*) on sama pikkus 1, on tee  (*fg*)*h* keskpunkt *g* ja *h* vahel, aga tee  *f*(*gh*) keskpunkt on *f* ja *g* vahel. Muudetud definitsioonis on teedel (*fg*)*h* ja *f*(*gh*) sama pikkus, nimelt |*f*|+|*g*|+|*h*|, ja sama keskpunkt, nimelt (|*f*|+|*g*|+|*h*|)/2. Ja isegi parametrisatsioon on sama.

## Fundamentaalne rühmoid
Mis tahes topoloogiline ruum *X* tekitab kategooria, mille objektid on ruumi  *X* punktid ja morfismid on teede homotoopiaklassid. Et mis tahes morfism selles kategoorias on isomorfism, on see kategooria rühmoid, mida nimetatakse ruumi *X* fundamentaalseks rühmoidiks. Aasad selles kategoorias on endomorfismid (kõik need on tegelikult automorfismid). Punkti *x*0 automorfismide rühm ruumis  *X* on lihtsalt selle punktiga seotud fundamentaalne rühm ruumis *X*. Saab defineerida fundamentaalse rühmoidi ruumi *X* mis tahes alamhulgas  *A*, kasutades alamhulga *A* punkte ühendavate teede homotoopiaklasse. Seda konstruktsiooni kasutatakse näiteks seoses Seiferti – van Kampeni teoreemiga.

## Teed normeeritud ruumis

Normeeritud ruumis saab punkte ühendavate teede loomust täpsustada.

Sirge tee on tee, mida saab esitada kujul \gamma(t) = x + t \vec{u} kõikide t \in [0,1] puhul. Vektorit \vec{u} nimetatakse tee \gamma juhtvektoriks. Tee kujutiseks olev joon on siis sirge lõik. 

Murdjooneline tee on tee, mis on esitatav lõpliku arvu sirgete teede kompositsioonina. Tee kujutiseks olev joon on murdjoon.

## Viited

## Kirjandus
*John Frank Adams. *Infinite Loop Spaces*,  Princeton University Press 1978. *Annals of mathematics studies*, kd 90. ISBN 9780691082066.
*Peter May. *A concise course in algebraic topology*, Chicago: University of Chicago Press 1999.  ISBN 0226511820, ISBN 9780226511825.
*James R. Munkres. *Topology*, 2. trükk, Prentice Hall 2000.
*Ronald Brown. *Topology and groupoids*, Deganwy 2006. ISBN 1-4196-2722-8.
*О. Я. Виро, О. А. Иванов, Н. Ю. Нецветаев, В. М. Харламов. *Элементарная топология*, М.: МЦНМО 2010. ISBN 978-5-94057-587-0.