Binoommudel

**Binoommudel** (inglise keeles *binomial options pricing model*) on numbriline meetod optsioonide hindamiseks, mille esmakordselt avaldasid Cox, Ross ja Rubinstein aastal 1979. Autorite nimedest tulenevalt on binoommudel tuntud ka kui **CRR mudel**. Binoommudel baseerub juhusliku ekslemise teoorial ning erinevalt teistest optsioonide hindamise mudelitest, mis eeldavad stohhastiliste diferentsiaalvõrrandite lahendamist, on binoommudel matemaatiliselt küllaltki lihtne.

## Mudeli kasutus
Binommudelit optsioonide hindamiseks on laialdaselt kasutatud, sest see suudab käsitleda erinevaid tingimusi, mille jaoks teisi mudeleid ei saa rakendada. Seda suuresti sellepärast, et binoommudel baseerub alusvara hinna kirjeldamisele pikema aja vältel, mitte kindlal fikseeritud ajahetkel. Sellest tulenevalt kasutatakse binoommudelit selleks, et hinnastada nii Ameerika optsioone, mida saab realiseerida mis tahes ajal teatud intervallis, kui ka Euroopa optsiooni, mida saab realiseerida mingil kindlaksmääratud ajal tulevikus.

Olles olemuselt küllaltki lihtne, on mudel kergesti arvutiga implementeeritav. Kuigi arvutuslikult on see aeglasem kui Black-Scholesi valem, on binoommudel täpsem, eriti pikemaajaliste optsioonide korral. Seetõttu on erinevad variatsioonid binoommudelist finantsturgudel laialdaselt kasutusel, nagu näiteks Boyle (1988), Nelson ja Ramaswamy (1990), Hull ja White (1990), Tian (1993) ning Leisen ja Reimer (1995).

## Meetod

Optsiooni hindamine toimub kahendpuu abil, kus iga tipp tähistab võimalikku alusvara väärtust antud ajahetkel. Hindamine teostatakse iteratiivselt alustades viimastest tippudest ning seejärel liikudes mööda puud ülespoole kuni juurtipuni. Igas tipus arvutatud väärtus tähistab optsiooni hinda konkreetsel ajahetkel.

Väärtustamine toimub iteratiivselt alustades kahendpuu tagumistest lehtedest (need on kõik võimalikud hinnad, kuhu optsiooni väärtus võib oma täitmisajaks jõuda). Seejärel liigutakse tagurpidi puus üles kuni juurtipuni, mis on alusvara hind ajahetkel t=0. Väärtus, mis arvutatakse igas vahetipus, on optsiooni võimalik hind vaadeldaval ajahetkel. 

Optsiooni hindamist binoommeetodil saab kirjeldada kui kolmesammulist protsessi:

# kahendpuu genereerimine,
# optsiooni väärtuse arvutamine igas lehttipus,
# optsiooni väärtuse arvutamine vahetippudes.

### Samm 1: Loome kahendpuu
Puu konstrueeritakse liikudes optsiooni väärtustamise hetkest kuni täitmishetkeni.

Igal sammul eeldatakse, et alusvara hind liigub üles või alla kindla kordaja võrra (u või d, kus u \ge 1 ja 0 ). Seega, kui S on praegune hind, siis järgmisel ajahetkel on hind kas S_{ules} = S \cdot u või S_{alla} = S \cdot d.

Kordajad u ja d määratakse nii, et alusvara volatiilsus mudelis vastaks tegelikule alusvara hinna volatiilsusele \sigma, ning aeg t on mõõdetud aastates: 

: u = e^{\sigma\sqrt \vartriangle t}
: d = e^{-\sigma\sqrt \vartriangle t}

CRR meetod eeldab, et puu on tasakaalus, st kui hind liigub kõigepealt üles kordaja u võrra ja seejärel alla kordaja d võrra, siis hind on sama, mis juhul, kui hind oleks kõigepealt liikunud alla kordaja d võrra ja seejärel üles kordaja u võrra. Niisugune omadus vähendab tippude arvu puus ning seega kiirendab optsiooni hinna arvutamist.

Samuti saame selle omaduse tõttu arvutada alusvara väärtuse otse, ilma hinnapuud genereerimata. Tipu väärtus avaldub valemist:

: S_n = S_0 \times u ^{N_u - N_d}

kus N_u on sammude arv, mis tuleb teha tipuni jõudmiseks üles ja N_d on sammude arv, mis tuleb teha tipuni jõudmiseks alla.

### Samm 2: Leiame optsiooni hinna igas lehttipus
Iga lehttipu väärtus, mis tähistab optsiooni hinda tema täitmisajal, avaldub järgmiste valemite kaudu:

: max\{{(S_n-K), 0}\}ostuoptsiooni korral,
: max\{{(K-S_n), 0}\}müügioptsiooni korral,

kus K on täitmishind ja S_n on alusvara hind n-ndal perioodil.

### Samm 3: Leiame optsiooni hinna vahetippudes
Kui optsiooni hind kõikides lehttippudes on leitud, arvutatakse mööda puud alt üles liikudes väärtus ka kõikides vahetippudes, mis tähistavad optsiooni hinda nendes punktides.

Riskineutraalsuse eelduse korral on tuletisväärtpaberite õiglane hind võrdne selle tuleviku väljamaksetega, mis on diskonteeritud riskineutraalse tõenäosusega. Seega oodatav väärtus arvutatakse optsiooni hindadest puu kahes hilisemas tipus ning kaalutakse vastavate tõenäosustega t õenäosus p, et hind liigub üles, ja tõenäosus(1-p), et hind liigub alla. Seejärel oodatav väärtus diskonteeritakse riskineutraalse tõenäosusega r.

Valem oodatava väärtuse arvutamiseks avaldub kujul

: C_{t-\Delta t,i} = e^{-r \Delta t}(pC_{t,i+1} + (1-p)C_{t,i-1}) \,,
: kus C_{t,i} \, on optsiooni hind i \,-ndas tipus ajahetkel {t} \,.
: p = \frac{e^{(r-q) \Delta t} - d}{u - d}  valitakse sedasi, et vastav binoomjaotus simuleerib alusvara käitumist kui geomeetrilist Browni liikumist parameetritega r ja \sigma**.**

## Viited