Graafide süsteem

**Graafide [[süsteem]]** on graafide hulk, mille elementide vahel on fikseeritud seosed. Graafe on süstematiseeritud erinevatest aspektidest. Tavaliselt on selleks mingi kindel struktuurne omadus, nagu *planaarsus, regulaarsus, transitiivsus* jne. 

Palju tööd on tehtud *graafide loendamise* alal nende tippude ja servade arvu järgi . Paraku ei ole need siiski veel süsteemid, sest neis ei ole fikseeritud vahetud *seosed* elementide (st graafide) vahel. Need seosed on leitud hilisemate uuringute käigus .

Olgu |*V*|-tipuliste graafide süsteemi mitteisomorfsete graafide arv *p*, sh sidusate arv *p** ja märgistatute arv *p***. Süsteemi graafid jagunevad servade arvu järgi *m* nivooks. Seoste arv graafide süsteemis *q* ja orbiitide arv *q**.

Graafide süsteeme tippude arvu |*V*| järgi:
* Kolmetipulised: *p* = 4, *p** = 2, *p*** = 8, *m* = 4, *q* = 3, *q** = 6.
* Neljatipulised: *p* = 11, *p** = 6, *p*** = 64, *m* = 7, *q* = 14, *q** = 28.
* Viietipulised: *p* = 34, *p** = 21, *p*** =1024, *m* = 11, *q* = 72, *q** = 144.
* Kuuetipulised: *p* = 156, *p** = 112, *p*** = 32768, *m* = 16, *q* = 572, *q** = 1144.
* Seitsmetipulised: *p* = 1044, *p** = 853, *p*** = 2097152, *m* = 22, *q* =?

Nivoode arv *m* vastab *täisgraafi* servade arvule pluss üks, mis tähendab *tühigraafi* (st 0 servaga graafi) olemasolu. Graafide arv *p*, kui: |*V*| = 8 – 12 344, kui |*V*| = 9 – 276 668, kui |*V*| = 10 – 12 005 168, kui |*V*| = 11 – 1 018 997 864 jne. Need aga ei moodusta süsteeme, sest seosed ei ole veel tuvastatud.

## Graafide süsteemi atribuutika
Graafide süsteemi moodustamine toimub ***[[graafide identifitseerimine|graafide identifitseerimise]]*** baasil.
Igal graafil  G  on oma *suurimad alamgraafid*  G^{sub} , mis saadakse *serva*  e_{i,j}  *eemaldamisel*  G^{sub} = G\setminus e_{i,j}  ja oma *väikseimad ülemgraafid*  G^{sup} = G\cup e_{i,j} , mis saadakse serva lisamisel. Graafi alamgraafide arv võrdub servade arvuga ja ülemgraafide arv "mitteservade" arvuga. Saadud graafe nimetagem koos *naabergraafideks*  G^{adj} . Nii on |*V*|-tipuliste graafide süsteemis iga nivoo seotud oma alumise ja ülemise naabernivooga.

Graafi tippude hulk jaguneb ''orbiitideks'' (st teatud tüüpi ekvivalentsusklassideks, transitiivsuspiirkondadeks). Nende raames jaguneb tipupaaride hulk omaette orbiitideks . Iga tipupaari orbiidi raames saadud naabergraafid on isomorfsed ja moodustavad *isomorfismiklassi*. Graafide süsteemi iga nivoo koosneb aga *mitteisomorfsetest* graafidest, st erinevaid isomorfismiklasse esindavatest graafidest, ehk struktuuridest.

Seega graafi igale tipupaari orbiidile (binaarorbiidile) vastab üks naaberstruktuur. Need vastavused kujutavad endast *seoseid*  F  ehk *morfisme*  F= G\rightarrow G^{adj}  naabernivoodel asuvate struktuuride (st isomorfismiklasse esindavate graafide) vahel. Seoste (morfismide)  F  fikseerimine graafide vahel muudab |*V*|-tipuliste graafide kogumi ***graafide süsteemiks*** \mathfrak {G} = (G, F) .

## Graafide süsteemi üldised omadused

* Graafide süsteem \mathfrak {G}  on kujutatav hariliku graafina (täpsemini, võrena).
* Kui nivoode arv *m* süsteemis on *paarisarv* (näiteks |*V*|=6 ja |*V*|=7 puhul), siis on võre *bilateraaalselt sümmeetriline* seda poolitava telje suhtes, mis lahutab graafid  G  nende *täienditest*  \overline G .
* Kui nivoode arv *m* süsteemis on *paaritu arv* (näiteks |*V*|=4, |*V*|=5, |*V*|=8 ja |*V*|=9 puhul), siis on poolitavaks teljeks nivoo millel asuvad nii graafid  G  ja *täiendid*  \overline G  kui ka *isetäienduvad struktuurid*.
* Morfism  F  on *pööratav*, graafi igal naaberstruktuuril  G^{adj}  on "pöördorbiit", millele rakendatud "pöördmorfism"  F^{op}  taastab lähtegraafi  F^{op}= G^{adj}\rightarrow G .
* Süsteem \mathfrak {G}  on otseselt seotud rekonstruktsiooniprobleemiga.

## Tõenäosuslikud omadused
* Juhuslikkus süsteemis \mathfrak {G}  avaldub *naaberstruktuuride valiku*, st *elementaarsete struktuurimuutuste* näol. Tõenäosus on seotud graafi struktuuri *sisemise mitmekesisuse*, st ''orbiitidega''.
* Suhe  PF_{n}=\left(\frac {m_{n}} {card}\right) , kus *n* on binaarorbiidi indeks,  m_{n}  selle võimsus ja *card* vastavate tipupaaride arv struktuuris, määrab *morfismi tõenäosuse* struktuurilt  G  selle naaberstruktuurile  F_{n}=G\rightarrow G_{n}^{adj} .
* Morfismi tõenäosuse kõrval on süsteemis määratletav ka *ülemineku tõenäosus*  P_{i,j}  lähtestruktuurilt  G_{i}  mitte-naaberstruktuurile  G_{j} .
* Süsteemi üleminekutõenäosused  P_{i,j}  moodustavad statsionaarse markovi ahela.
* Struktuuri *olekutõenäosus*  PS  süsteemis \mathfrak {G}  iseloomustab selle olekut teiste struktuuride seas struktuurinivool. See avaldub kujul:  PS=\sum_{n=1}^N PS_{n}^{sup}\times PF_{n}^{sub} , kus *n* on antud struktuuri (graafi) binaarorbiidi indeks,  PS_{n}^{sup}  on naaber ülemstruktuuri olekutõenäosus ja  PF_{n}^{sub}  selle *morfismi tõenäosus*.
* Struktuurinivool olevate struktuuride *olekutõenäosuste summa võrdub ühega*,  PS_{m}=\sum PS_{i}=1 .
* Struktuuri ja selle täiendi *olekutõenäosused on võrdsed*,  PS(G)= PS(\overline G) .
* Olekutõenäosused  PS  on ratsionaalarvud, kus selle *väikseimad ühisnimetajad* on otseselt seotud süsteemi astakuga |V|.
*  PS  jaotus struktuurinivool on parempoolse asümmeetriaga ja läheneb *logaritmilisele normaaljaotusele*

## Algebralisi omadusi
Morfismidel on süsteemis \mathfrak {G}  oluline roll. Nii mõnigi algebraline struktuur iseloomustab selle süsteemi mõnda fragmenti või aspekti. Lihtsalt tõestatavad on järgmised propositsioonid.
* Süsteemi morfismide klass **F** moodustab kompositsiooni *F&F* mõttes aditiivse rühma  A .
* Süsteemi struktuuride klass **GS** koos morfismide klassiga **F** moodustab kategooria  C .

## Rakendusi
Esineb reaalseid süsteeme mille toimimist on võimalik kujutada selle struktuuri järkjärgulise muutumise näol ajas. Kui süsteemi \mathfrak {G}  struktuure käsitleda reaalse süsteemi *seisunditena*  S_{t}  ajahetkel  t , siis kujutab suktsessioon  SF = S_{t=1}\rightarrow S_{t=2}\rightarrow S_{t=3}\rightarrow , endast morfismide  F , kui *sisendmõjutuste*, poolt genereeritud *dünaamilist või [[evolutsioon]]ilist nähtust*. Sellisel viisil on ülesehitatud elegantne kuid abstraktne ontogeneesimudel.

Niisugust lähenemist on rakendatud loodusliku koosluse evolutsiooni ehk tsönogeneesi uurimisel, kus selle seisundid olid esitatud graafidena .

## Kokkuvõte
Selliseid graafide süsteeme on praegu võimalik moodustada vaid algoritmilisel teel, täpsemini, semiootilise modelleerimise teel . Ei ole usutav, et keegi oleks üritanud seda teha kombinatoorika või algebra baasil, sest seal puudub vastav atribuutika. Ametlikult tuntakse vaid |*V*|-tipuliste graafide kogumeid, mitte süsteeme. Esimese, kuni kuuetipuliste graafide kogumi esitas Frank Harary 1969. aastal. 2004. aastal välja antud mahukas "Graafiatlases" on jõutud kuni seotsmetipuliste graafide diagrammide ja parameetrite kogumi esitamiseni. Küll aga on see teos tähelepanuväärne oma mahu (üle 10 000 graafi), graafide klassifitseerimise ja parameetrite aspektist .

## Vaata ka
* Graafide identifitseerimine
* Semiotic modelling of the graph systems (PDF)

## Viited

## Välislingid
* Identification and systemization of the graphs (pdf)