Binaarne tehe

**Binaarne tehe** ehk **kahekohaline tehe** ehk **binaarne operatsioon** ehk **binaarne operaator** ehk **düaadiline tehe** ehk **düaadiline operatsioon** on laiemas mõttes kahe muutuja funktsioon, kitsamas mõttes kahe muutuja funktsioon, mille argumendid kuuluvad tema muutumispiirkonda.

Binaarne tehe kitsamas mõttes ehk binaarne algebraline tehe on binaarne algebraline tehe hulgal *S* on kahe muutuja funktsioon *S*-ilt ja *S*-ilt *S*-isse, teiste sõnadega funktsioon *f* otsekorrutiselt S × S hulka S.

Eriti informaatikas kasutatakse seda terminit mõnikord laiemas mõttes. Sel juhul esitatakse tingimus, et funktsiooni väärtused kuuluvad samasse hulka, kuhu argumendidki, kinnisuse omadusena.

## Definitsioon
**Kahekohaliseks tehteks** hulgal *A* nimetatakse kujutust A\times A\to B, kus *B* on mingi hulk (mis võib olla võrdne hulgaga *A*, aga ei pruugi). 

**Kahekohaliseks algebraliseks tehteks** hulgal *A* nimetatakse kujutust A\times A\to A. Sõna *algebraline* rõhutab siin seda, et tehte rakendamise tulemus peab kuuluma samasse hulka, kust on võetud argumendid. *Kahekohaline* viitab sellele, et tehtel on kaks argumenti. Kahekohaline algebraline tehe on ''n''-kohalise algebralise tehte kõige olulisem erijuht.

Näiteks naturaalarvude liitmine (\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{N}, (a,b)\mapsto a+b) on algebraline tehe, aga naturaalarvude lahutamine on tehe, mis ei ole algebraline (see on kujutus \mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{Z}, (a,b)\mapsto a-b). 

Kolmemõõtmelise ruumi vabavektorite vektorkorrutamine on algebraline tehe selle ruumi vabavektorite hulgal \mathbb{E}_3, aga skalaarkorrutamine on tehe, mis ei ole algebraline (see on kujutus \mathbb{E}_3\times \mathbb{E}_3\to \mathbb{R}).

## Binaarsed tehted üldalgebras
Binaarsetel algebralistel tehetel on väga tähtis koht üldalgebras: nad esinevad rühmades, monoidides, poolrühmades ja mujal. Ühe binaarse tehtega hulga üldnimetus on "rühmoid".

## Binaarsete tehete eriomadused ja näited
Paljud huvipakkuvad binaarsed tehted on kommutatiivsed või assotsiatiivsed. Paljudel on ka ühikelemendid ja pöördelemendid.

Binaarset tehet nimetatakse **[[assotsiatiivsus|assotsiatiivseks]]**, kui mis tahes *x*, *y* ja *z* korral *f*(*x*, *f*(*y*, *z*)) = *f*(*f*(*x*, *y*), *z*).

Binaarset tehet nimetatakse **[[kommutatiivsus|kommutatiivseks]]**, kui mis tahes *x* ja *y* korral *f*(*x*, *y*) = *f*(*y*, *x*).

Näiteks täisarvude liitmine ja korrutamine on assotsiatiivne ja kommutatiivne.
 
Binaarset tehet nimetatakse alternatiivseks, kui mis tahes *x* ja *y* korral *f*(*x*, *f*(*x*, *y*)) = *f*(*f*(*x*, *x*), *y*) ja *f*(*f*(*x*, *y*), *y*) = *f*(*x*, *f*(*y*, *y*)). See tingimus on nõrgem kui assotsiatiivsus.
 
Binaarset tehet nimetatakse assotsiatiivseks astmetel, kui mis tahes *x* korral *f*(*x*, *f*(*x*, *x*)) = *f*(*f*(*x*, *x*), *x*). See tingimus on nõrgem kui alternatiivsus.

Binaarsete tehete tüüpilisteks näideteks on liitmine naturaalarvude, täisarvude, ratsionaalarvude, reaalarvude, kompleksarvude  ja maatriksite liitmine (+) ja korrutamine (×) ning funktsioonide kompositsioon (liitfunktsioonide moodustamine) mingil hulgal. Olgu meil on hulk *S* ja kaks funktsiooni  ** ''r'' **: *S* → *S* ja  ** ''s'' **: *S* → *S*. Siis kompositsioon  ** ''r'' ** o  ** ''s'' **: *S* → *S* on funktsioon, mis on määratud nii: ( ** ''r'' ** o  ** ''s'' **) (*x*) =  ** ''r'' **( ** ''s'' **(*x*)) mis tahes *x* \in  *S* korral. Nõnda on defineeritud assotsiatiivne binaarne tehe o hulgal *S*.

Mittekommutatiivsed tehted on näiteks lahutamine (–), jagamine (/) ja  astendamine (^).

Jagamine ei ole binaarne tehe ei naturaalarvude, täisarvude, ratsionaalarvude, reaalarvude ega kompleksarvude hulgal, sest nulliga jagamine ei ole defineeritud. Naturaalarvude ja täisarvude hulgal on teisigi raskusi: näiteks 1 ja 3 jagatis ei ole defineeritud, sest 1/3 ei ole naturaal- ega täisarv.

## Tähistused
Sageli kirjutatakse binaarseid tehteid funktsionaalse notatsiooni *f*(*a*,*b*) asemel infiksnotatsioonis *a* * *b*, *a* + *b* või *a* · *b*. Neid saab väljendada ka prefiksnotatsiooni või postfiksnotatsiooni abil. Poola notatsioon on üks prefiksnotatsioon, mis saab läbi ilma sulgudeta. Praegu on rohkem kasutusel Poola notatsiooni postfiksversioon ümberpööratud Poola notatsioon.

## Binaarsed välistehted
**Binaarne välistehe** on kahe muutuja funktsioon *K*-lt ja *S*-ilt  *S*-isse. Binaarsest tehtest kitsamas mõttes erineb binaarne välistehe selle poolest, et *K* ja *S* ei pruugi kokku langeda. *K* elemendid tulevad väljastpoolt.

Binaarse välistehte näiteks on skalaarkorrutamine lineaaralgebras.  Selles näites on *K* korpus ja *S* on vektorruum üle selle korpuse.

Binaarset välistehet võib vaadelda ka mõjuna: *K* mõjub *S*-ile.

## Vaata ka
*Binaarne algebraline tehe