Ehrenfesti teoreem

**Ehrenfesti teoreem** kvantmehaanikas seob vaadeldava suuruse keskväärtuse ajatuletise selle suuruse ja Hamiltoni operaatori kommutaatori keskväärtusega. Lühidalt kirjeldab see, kuidas mistahes kvantmehaanilise suuruse keskväärtus muutub ajas.  

\frac{d}{dt} \langle \hat{A} \rangle = \left\langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t} \right\rangle + \frac{i}{\hbar} \langle [\hat{H}, \hat{A}] \rangle


Ehrenfesti teoreem ilmus 1927. aastal Austria füüsiku Paul Ehrenfesti artiklis „*Bemerkung über die angenäherte Gültigkeit der klassischen Mechanik innerhalb der Quantenmechanik*“, kus ta näitas, et kvantmehaaniliste suuruste keskväärtused järgivad Newtoni II seadust. 

## Tuletus Schrödingeri võrrandi kaudu
Eeldame, et kvantsüsteemi olekut saab täielikult kirjeldada kompleksse lainefunktsiooniga \psi(x,t). Kui vaadeldav suurus on määratud hermiitilise operaatoriga \hat{A} (t), siis on suuruse keskväärtus määratud avaldisega

\langle \hat{A}(t) \rangle = \langle \psi(t) | \hat{A}(t) | \psi(t) \rangle

Võttes sellest täistuletise ajas saame

\frac{d}{dt} \langle \hat{A}(t) \rangle =
\left( \frac{d}{dt} \langle \psi(t) | \right) \hat{A}(t) | \psi(t) \rangle
+ \langle \psi(t) | \frac{\partial \hat{A}(t)}{\partial t} | \psi(t) \rangle
+ \langle \psi(t) | \hat{A}(t) \left( \frac{d}{dt} | \psi(t) \rangle \right)

Schrödingeri võrrand ja selle komplekskonjugaat

\frac{d}{dt} |\psi(t)\rangle = -\frac{i}{\hbar} \hat{H} |\psi(t)\rangle, \quad

\frac{d}{dt} \langle \psi(t)| = \frac{i}{\hbar} \langle \psi(t)| \hat{H}

Asendades need tuletisse saame\frac{d}{dt} \langle \hat{A}(t) \rangle

= \frac{i}{\hbar} \langle \psi(t) | \hat{H} \hat{A}(t) | \psi(t) \rangle

+ \left\langle \frac{\partial \hat{A}(t)}{\partial t} \right\rangle

- \frac{i}{\hbar} \langle \psi(t) | \hat{A}(t) \hat{H} | \psi(t) \rangle 

= \left\langle \frac{\partial \hat{A}(t)}{\partial t} \right\rangle

+ \frac{i}{\hbar} \langle \psi(t) | [\hat{H}, \hat{A}(t)] | \psi(t) \rangle

Kokkuvõttes

\frac{d}{dt} \langle \hat{A}(t) \rangle =

\left\langle \frac{\partial \hat{A}(t)}{\partial t} \right\rangle

+ \frac{i}{\hbar} \langle [\hat{H}, \hat{A}(t)] \rangle

Kui vaadeldav suurus \hat{A} ei sõltu ajast ehk kehtib \frac{\partial \hat{A}}{\partial t} = 0, saame lihtsustatud kuju

\frac{d}{dt} \langle \hat{A} \rangle = \frac{i}{\hbar} \langle [\hat{H}, \hat{A}] \rangle

## Seos klassikalise mehaanikaga

### Diraci vastavusprintsiip
Diraci vastavusprintsiip võimaldab klassikalise mehaanika võrrandeid viia kvantmehaanilisse vormi, asendades Poissoni sulud vastavate operaatorite kommutaatoritega. Klassikalises mehaanikas kirjeldab mingi suuruse A(q(t), p(t); t) ajas muutumist järgmine võrrand:

\frac{dA(q,p;t)}{dt} = \frac{\partial A}{\partial t} + \sum_i \left( \frac{\partial A}{\partial q_i} \frac{dq_i}{dt} + \frac{\partial A}{\partial p_i} \frac{dp_i}{dt} \right)

Näeme, et esimene liige vasakul pool kirjeldab suuruse A(q(t), p(t); t) otsest ajasõltuvust ning ülejäänud liikmed  kirjeldavad kaudset ajasõltuvust koordinaatide q_i(t) ja impulsside p_i(t) kaudu. Kasutame Hamiltoni liikumisvõrrandeid:

\frac{dq_i}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad \frac{dp_i}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial q_i}

Asendades need, saame:

\frac{dA(q,p;t)}{dt} = \frac{\partial A}{\partial t} + \sum_i \left( \frac{\partial A}{\partial q_i} \frac{\partial H}{\partial p_i} - \frac{\partial A}{\partial p_i} \frac{\partial H}{\partial q_i} \right)

kus \{A, H\} on Poissoni sulg. Võrreldes saadud tulemust Ehrenfesti teoreemi definitsiooniga, kus oleme vahetanud viimases seoses kommutaatorite järjekorra

\frac{d}{dt} \langle \hat{A} \rangle = \left\langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t} \right\rangle + \frac{i}{\hbar} \langle [\hat{H}, \hat{A}] \rangle = \left\langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t} \right\rangle + \frac{1}{i\hbar} \langle [\hat{A}, \hat{H}] \rangle

saame tuletada Diraci vastavusprintsiibi, mis üldiselt avaldub kujul

\{A, H\} \quad \longleftrightarrow \quad \frac{1}{i\hbar} [\hat{A}, \hat{H}]

### Klassikalised liikumisvõrrandid
Ehrenfesti teoreemi abil saab tuletada seosed, mis meenutavad klassikalise mehaanika liikumisvõrrandeid. Eeldame, et tegemist on massiga osakesega potentsiaaliväljas V(x). Hamiltoni operaator avaldub kujul:

\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(\hat{x})

Kui \hat{A} = \hat{x} ning \hat{x} ei sõltu ajast, siis Ehrenfesti teoreemi üldkujus osatuletise liige puudub ning kommutaatori kaudu saame:

\frac{d}{dt} \langle \hat{x} \rangle = \frac{i}{\hbar} \left\langle \left[ \hat{H}, \hat{x} \right] \right\rangle = \frac{i}{\hbar} \left\langle \left[ \frac{\hat{p}^2}{2m}, \hat{x} \right] \right\rangle

Kuna kehtib seos [\hat{p}^2, \hat{x}] = -2i\hbar \hat{p}, siis saame:

m\frac{d}{dt} \langle \hat{x} \rangle = \langle \hat{p} \rangle

mis on vastav klassikalise mehaanika seosele p = mv impulsi jaoks. 

Samamoodi, kui \hat{A} = \hat{p}, siis:

\frac{d}{dt} \langle \hat{p} \rangle = \frac{i}{\hbar} \left\langle \left[ \hat{H}, \hat{p} \right] \right\rangle = \frac{i}{\hbar} \left\langle \left[ V(\hat{x}), \hat{p} \right] \right\rangle

Teades, et [V(\hat{x}), \hat{p}] = -i\hbar V'(\hat{x}), saame:

\frac{d}{dt} \langle \hat{p} \rangle = - \langle V'(\hat{x}) \rangle

Tuletatud liikumisvõrrandid annavad meile seose:

m \frac{d^2}{dt^2} \langle \hat{x} \rangle = \frac{d}{dt} \langle \hat{p} \rangle = - \langle V'(\hat{x}) \rangle

ehk Ehrenfesti teoreem viib kujule, mis meenutab Newtoni II seadust

m \frac{d^2}{dt^2} \langle \hat{x} \rangle = - \langle V'(\hat{x}) \rangle 

Siin eeldame, et tegemist on konservatiive jõuväljaga, mis defineeritakse klassikalises mehaanikas kujul

F(x) = -\frac{dV(x)}{dx} = -V'(x)

Klassikalise konservatiivse jõuvälja definitsiooni põhjal avaldub potentsiaal kvantmehaanikas järgmiselt:

F = -\left. \frac{dV(x)}{dx} \right|_{x = \langle \hat{x} \rangle} = -\frac{dV}{dx}(\langle \hat{x} \rangle) = -V'(\langle \hat{x} \rangle)

See konservatiivse jõuvälja tõlgendus kvantmehaanikas erineb Ehrenfesti teoreemi põhjal tuletatust kasutatavast, sest 

\langle V'(\hat{x}) \rangle \neq V'(\langle \hat{x} \rangle)

### Klassikalise lähenduse kehtivus
Ehrenfesti teoreemi põhjal kehtib kvantmehaanikas liikumisvõrrandi kuju, mis meenutab klassikalist mehaanikat, juhul kui rahuldub seos

\langle V'(\hat{x}) \rangle = V'(\langle \hat{x} \rangle)

See seos kehtib vaid erijuhtudel, aga võib olla ka hea lähendus \langle V'(\hat{x}) \rangle \approx V'(\langle \hat{x} \rangle), kui lainepakett on koondunud kitsasse piirkonda.  

Kui potentsiaal on lineaarne, näiteks V(x) = ax + b, siis V'(x) = a, mis tähendab, et

\langle V'(\hat{x}) \rangle = a = V'(\langle \hat{x} \rangle)

Kui potentsiaal on ruutvõrdeline, näiteks harmoonilise 
ostsillaatori korral  V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2, siis V'(x) = m\omega^2 x ning

\langle V'(\hat{x}) \rangle = m\omega^2 \langle \hat{x} \rangle = V'(\langle \hat{x} \rangle)

Kui potentsiaal on aga kirjeldatav näiteks V(x) = \frac{1}{4}kx^4, siis võrdsus ei kehti täpselt. Sel juhul saab potentsiaali tuletise operaatori arendada Taylori ritta

V'(\hat{x}) = V'(\langle \hat{x} \rangle) + V*(\langle \hat{x} \rangle)(\hat{x} - \langle \hat{x} \rangle) + \frac{1}{2}V*'(\langle \hat{x} \rangle)(\hat{x} - \langle \hat{x} \rangle)^2 + \cdots

mille keskväärtus annab:

\langle V'(\hat{x}) \rangle = V'(\langle \hat{x} \rangle) + \frac{1}{2}V'''(\langle \hat{x} \rangle) \sigma_x^2 + \cdots

kus \sigma_x^2 = \langle (\hat{x} - \langle \hat{x} \rangle)^2 \rangle on lainepaketi dispersioon. Kui \sigma_x^2 \ll 1, siis hajuvus on väike ja seos kehtib heas lähenduses

\langle V'(\hat{x}) \rangle \approx V'(\langle \hat{x} \rangle)

Sellisel juhul järgib osakese keskmine asukoht kvantmehaanikas ligikaudu sama trajektoori, mida ennustaks klassikaline mehaanika. Kui aga lainepakett on laiali hajunud, siis erinevus \langle V'(\hat{x}) \rangle ja V'(\langle \hat{x} \rangle) vahel kasvab ning klassikaline lähendus ei kehti. 

## Viited