Võrdtempereeritud 12-helisüsteem

**Võrdtempereeritud 12-helisüsteem**, lühend **12vjo** ("kaheteistkümneks võrdseks [osaks] jagatud oktav"), ka **võrdtempereeritud häälestus** on muusikas helisüsteem, milles oktav jagatakse kaheteistkümneks võrdseks pooltooniks sagedussuhtega 
:\frac{f_2}{f_1} = \sqrt[12] \frac 2 1 \approx 1{,}05946309 

Võrdtempereeritud 12-helisüsteemis häälestatud muusikainstrumendil ei leidu peale oktavi ühtegi helisageduste naturaalarvulise suhtega puhtas häälestuses intervalli. 

Võrdtempereeritud 12-helisüsteemis pooltooni kokkuleppeline suurus on 100 tsenti.

Võrdtempereeritud 12-helisüsteem on muutunud lääne muusikas aktsepteeritavaks tänu sotsiaal-kultuurilisele kokkuleppele.

## Ajalugu
Võrdtempereeritud 12-helisüsteemis helikõrguste suhted arvutas esimest korda välja Zhu Zaiyu Hiinas aastal 1584 üheksakohaliste arvude süsteemi abil. Euroopas said need arvutused tuntuks alles aastal 1799, kuid viiteta Zhu Zaiyule. Aastal 1588 pakkus Gioseffo Zarlino välja võrdtempereeritud 12-häälestussüsteemi täpse geomeetrilise esituse. Simon Stevin kirjeldas esimese eurooplasena teoses "Vande Spiegheling der Singconst" (manuskript aastast 1600) arendatumat lahendust juurimise abil, arvates samas ekslikult, et puhtad suured tertsid säilivad. 

16. sajandi lauto häälestamine tugines Vincenzo Galilei praktika põhjal pooltoonile suhtega 18:17 (umbes 99 tsenti).

17. sajandil diskuteerisid võrdtempereeritud häälestuse üle teoreetikud (Pietro Mengoli ja Marin Mersenne), heliloojad, muusikainstrumentide ehitajad ning haritud muusikud. Teada on näiteks 1600. aastate alguses toimunud Giovanni Artusi ja Claudio Monteverdi häälestussüsteemide-alane diskussioon. Girolamo Frescobaldi soovitas võrdtempereeritud häälestust Damaso Basilica S. Lorenzo oreli häälestamisel.

Saksa keeleruumis kasutas sõna "võrdtempereeritud" (täpsemalt küll sõna *gleichstufig* asemel *gleichschwebend*) Andreas Werckmeister aastal 1707 ilmunud teoses "Musikalische Paradoxal-Discourse": *„ ... wenn die Temperatur also eingerichtet wird/daß alle Quinten 1/12 Commat: ... schweben, und ein accurates Ohr dieselbe auch zum Stande zu bringen und zu stimmen weiß/so dann gewiß eine wohltemperirte Harmonia, durch den gantzen Circul und durch alle Clavis sich finden wird.“* Werckmeister ei rõhuta seejuures, et võnkumise sagedussuhted oleksid võrdsed. Tema poolt kirjeldatud võrdtempereeritult häälestamise probleemi võivad näiteks klaverihäälestajad lahendada nii, et kasutavad klaveri häälestamisel erinevas registris erinevaid kvintide sagedussuhteid.

Kuni 18. sajandini oli võrdtempereeritud häälestuse tähtsus vähene. See kasvas aga jätkuvalt pooldajate arvu suurenedes, kelle hulka kuulusid näiteks Jean-Philippe Rameau ja Friedrich Wilhelm Marpurg. 18. sajandi lõpuks võitis võrdtempereeritud häälestus lõplikult "hästi tempereeritud häälestuse" (*Wohltemperierte Stimmung*) ja pani end lõplikult maksma 19. sajandil.

Võrdtempereeritud häälestusega kaotas uues muusikas tähtsuse eelkõige helistiku karakter, kuna võrdtempereeritud häälestuse korral kõlavad kõik helistikud sarnaselt. Vanamuusika teoste ettekandmisel võrdtempereeritult häälestatud instrumentidel lähevad seetõttu kaduma heliteose olulised kunstilised aspektid, näiteks vanamuusikaheliloojate poolt spetsiaalselt kasutatud halvasti kõlavad "võimatud" helistikud, mille eesmärk oli väljendada muusikas negatiivseid afekte nagu "valu" või "patt".

Tänapäeva muusikainstrumendid (klaver, kitarr) on reeglina häälestatud võrdtempereeritult. Paljud ajaloolised instrumendid (orel, tšembalo) häälestatakse aga historitsistlikel põhjustel võrdtempereerimata häälestussüsteemide põhjal.

## Sageduste arvutamine

Võrdtempereeritud häälestuse matemaatiline valem on järgmine: 

:
f(i) = f_0 \cdot 2^{i/12} \,
,

kus *f<sub>0</sub>* on näiteks kammertooni võnkesagedus a&rsquo; (440 Hz). 
*i* on pooltooni kaugus valitud toonist võnkesagedusega *f<sub>0</sub>*.
Sellist matemaatilist jada nimetatakse geomeetriliseks jadaks.

Häälestamisel leitakse pooltooni kaugus kammertooni helist (*i* = – 2, allapoole liikudes) ja saadakse väärtused vastavalt võrrandile:

:
f(-2) = 440\,\mathrm{Hz} \cdot 2^{-2/12} \approx 391{,}995\,\mathrm{Hz} \,


ning helile g&rsquo;&rsquo; mis vastab pooltooni vahekaugusele *f<sub>0</sub>*, kui *i* = 10:

:
f(10) = 440\,\mathrm{Hz} \cdot 2^{10/12} \approx 783{,}991\,\mathrm{Hz} \,


Nagu näha, vastab g&rsquo;&rsquo; heli g&rsquo; kahekordsele võnkesagedusele; seejuures nendevaheline intervall kõlab konsonantselt ka kahe enharmoonilise heli puhul, mis on võrdtempereeritud häälestuse üks põhiomadusi. Võrdtempereeritud häälestuse teine eelis on, et teost võib transponeerida (näiteks Fis-duurist C-duuri), ilma et kuulaja jaoks teose karakteris midagi muutuks (välja arvatud absoluutse kuulmisega isikud).

## Võrdtempereeritud häälestuse väärtused tsentides

Järgnev tabel näitab kõigi intervallide väärtusi nii võrdtempereeritud kui ka puhtas häälestuses ja nende erinevust tsentides:

## Võrdtempereeritud häälestuses muusikaliste helide võnkesagedused hertsides (''a<sup>1</sup> = 440 Hz'')

### Subkontraoktav
C2 = 16,353 ; Cis2 = 17,324 ; D2 = 18,354 ; Dis2 = 19,445 ; E2 = 20,602 ; F2 = 21,827 ; Fis2 = 23,125 ; G2 = 24,5 ; Gis2 = 25,975 ; A2 = 27.5 ; Ais2 = 29,135 ; H2 = 30,868

### Kontraoktav
C1 = 32,703 ; Cis1 = 34,648 ; D1 = 36,708 ; Dis1 = 38,891 ; E1 = 41,203 ; F1 = 43,654 ; Fis1 = 46,249 ; G1 = 48,999 ; Gis1 = 51,913 ; A1 = 55,0 ; Ais1 = 58,270 ; H1 = 61,375

### Suur oktav
C = 65,406 ; Cis = 69,296 ; D = 73,416 ; Dis = 77,782 ; E = 82,407 ; F = 87,307 ; Fis = 92,499 ; G = 97,999 ; Gis = 103,83 ; A = 110,0 ; Ais = 116,54 ; H = 123,47

### Väike oktav
c = 130,81 ; cis = 138,59 ; d = 146,83 ; dis = 155,56 ; e = 164,81 ; f = 174,61 ; fis = 185,0 ; g = 196,0 ; gis = 207,65 ; a = 220,0 ; ais = 233,08 ; h = 246,94

### Esimene oktav
c1 = 261,63 ; cis1 = 277,18 ; d1 = 293,66 ; dis1 = 311,13 ; e1 = 329,63 ; f1 = 349,23 ; fis1 = 369,99 ; g1 = 392,0 ; gis1 = 415,30 ; a1 = 440,0 ; ais1 = 466,16 ; h1 = 493,88

### Teine oktav
c2 = 523,25 ; cis2 = 554,37 ; d2 = 587,33 ; dis2 = 622,25 ; e2 = 659,26 ; f2 = 698,46 ; fis2 = 739,99 ; g2 = 783,99 ; gis2 = 830,61 ; a2 = 880,0 ; ais2 = 932,33 ; h2 = 987,77

### Kolmas oktav
c3 = 1046,5 ; cis3 = 1108,7 ; d3 = 1174,7 ; dis3 = 1244,5 ; e3 = 1318,5 ; f3 = 1396,9 ; fis3 = 1480,0 ; g3 = 1568,0 ; gis3 = 1661,2 ; a3 = 1760,0 ; ais3 = 1864,7 ; h3 = 1975,5

### Neljas oktav
c4 = 2093,0 ; cis4 = 2217,5 ; d4 = 2349,3 ; dis4 = 2489,0 ; e4 = 2637,0 ; f4 = 2793,8 ; fis4 = 2960,0 ; g4 = 3136,0 ; gis4 = 3322,4 ; a4 = 3520,0 ; ais4 = 3729,3 ; h4 = 3951,1

### Viies oktav
c5 = 4186,0 ; cis5 = 4434,9 ; d5 = 4698,6 ; dis5 = 4978,0 ; e5 = 5274,0 ; f5 = 5587,7 ; fis5 = 5919,9 ; g5 = 6271,9 ; gis5 = 6644,9 ; a5 = 7040,0 ; ais5 = 7458,6 ; h5 = 7902,1

## Vaata ka
*Pythagorase komma
*Kvindiring
*Tsent

## Kirjandus
*Mark Lindley: *Stimmung und Temperatur*, in Frieder Zaminer (Hrsg.): *Geschichte der Musiktheorie*, Bd. 6. *Hören Messen und Rechnen in der frühen Neuzeit*, S. 109–332, Darmstadt 1987