William Rowan Hamilton

Sir **William Rowan Hamilton** (4. august 1805 – 2. september 1865) oli iiri matemaatik ja füüsik, üks 19. sajandi paremaid matemaatikuid.

Ta tegi fundamentaalseid avastusi matemaatikas (kvaternioonid, vektoranalüüsi alused, variatsioonarvutus, (kompleksarvude mõiste põhjendus), analüütilises mehaanikas (Hamiltoni mehaanika) ja optikas. Temalt pärineb vähima mõju printsiip – variatsiooniprintsiip, mida kasutatakse paljudes füüsika harudes.

Hamilton oli Iirimaa kuninglik astronoom (1827–1865), Royal Irish Academy liige (1837. aastast; 1837–1845 selle president), paljude teaduste akadeemiate ja teadusseltside kirjavahetajaliige, Rahvusliku Teaduste Akadeemia (USA) esimene välisliige (1864. aastast). Aleksei Krõlovi sõnul oli Hamilton "üks suuremaid matemaatikuid, kes paistis silma oma tööde arvukusega, neis kätkenud avastuste tähtsusega, mõttesügavusega, meetodite originaalsusega, ühtlasi oli talle kui arvutajale vähe võrdseid.

## Elulugu
### Lapse- ja noorpõlv
Hamilton oli iirlanna Sarah Huttoni (1780–1817) ja pooliirlase, poolšotlase Archibald Hamiltoni (1778–1819) pere üheksast lapsest neljast. Archibald, kes oli pärit Dunboyne'i linnakesest, töötas Dublinis juristina. Vanemate rahaliste raskuste ja halva tervise tõttu otsustati umbes aastane poiss anda isapoolse onu kasvatada. Onu James Hamilton, haritud inimene, oli Trimi linnas vikaar ja õpetaja; ta suhtus vennapojasse sümpaatiaga ning aitas tema arengule igati kaasa. Peagi jäi William orvuks: ema suri, kui poiss oli 12-aastane, isa kaks aastat hiljem. Hiljem võttis Hamilton enda peale oma kolme õe eest hoolitsemise.

Juba lapsepõlves ilmutas poiss ebatavalisi andeid. Kolmeaastaselt luges ta vabalt ja hakkas aritmeetikat omandama. Seitsmeaastaselt valdas ta ladina, kreeka ja heebrea keelt. 12-aastaselt oli ta onu Jamesi juhendamisel ära õppinud 12 keelt, sealhulgas araabia, pärsia ja sanskriti keele. 13-aastaselt kirjutas ta süüria keele grammatika õpiku. Kirjandust ja luulet hindas Hamilton eluaeg kõrgelt ning püüdis aeg-ajalt ise luuletusi kirjutada. Tema kirjanikest tuttavate seas olid kuulus romantiline luuletaja William Wordsworth, nende sõprus kestis Wordsworthi elu lõpuni, ja Samuel Taylor Coleridge, kellega Hamilton oli tihedas kirjavahetuses. 

Pärast keeli tuli matemaatikast innustumise aeg. Kui Hamilton oli kümnene, sattus talle kätte Eukleidese "Elementide" ladinakeelne tõlge, ja ta uuris selle teose üksikasjalikult läbi; 13-aastaselt luges ta läbi Isaac Newtoni raamatu "Arithmetica Universalis"; 16-aastaselt suure osa Newtoni raamatust "Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica" (seejuures uuris Hamilton Alexis Claude Clairault' ja Pierre-Simon Laplace'i tööde järgi ka kontinentaalset matemaatikat, mis oli Suurbritannias alles uudis). 17-aastaselt hakkas William uurima Laplace'i "Taevamehaanikat"; sellest traktaadist leidis ta loogikavea ning teatas sellest Iirimaa kuninglikule astronoomile John Brinkleyle. Too hindas nooruki võimeid ja hakkas tema teaduslikule arengule kaasa aitama. Väljapaistvaid teadlasi oli Iirimaal päris vähe, ning faktiliselt õppis Hamilton matemaatikat ja füüsikat iseõppijana, raskusi valmistavatel juhtudel pöördus Brinkley poole. Iiri kirjanik Maria Edgeworth, kes oli tema perekonnasõber, nimetas teda "andekuse imeks, kelle kohta professor Brinkley ütleb, et temast võib saada teine Newton".

Aastatel 1815–1823 õppis William koolis, seejärel astus 18-aastane nooruk Dublini Ülikooli Trinity kolledžisse. Seal ilmutas ta nii hiilgavaid võimeid (oli kõikides ainetes parim), et 1827. aastal, kui ta oli alles 22-aastane üliõpilane, määrati ta pensionile läinud Brinkley soovitusel tema asemel Dublini ülikooli astronoomiaprofessoriks ja Iirimaa kuninglikuks astronoomiks. Ülikoolis õpetas endine üliõpilane Hamilton, kellel jäigi väitekiri kaitsmata, taevamehaanika kursust.

### Kuningliku astronoomina
1827. aastal sai Hamiltonist Iirimaa kuninglik astronoom (millega kaasnes Dunsinki observatooriumi direktori ametikoht). Sellele kohale jäi ta 38 aastaks, kauemaks kui keegi teine. Ta avaldas rea töid geomeetrilise optika alal, millel on optikainstrumentide teooriale suur väärtus, kuid puhtastronoomiliste probleemidega tegeles ta vähe; komisjonid Londonist kritiseerisid teda kaks korda ebapiisava innukuse eest.

Aastatel 1834–1835 ilmusid klassikalised tööd "Hamiltoni mehaanika" (Hamiltoni võrrandid) alal. Šoti matemaatik Peter Guthrie Tait on neid töid nimetanud "teoreetilise dünaamika suurimaks täienduseks Newtoni ja Lagrange'i suurtest ajastutest saadik". 

Ent ees oli veel terve rida suuri avastusi. 1835. aastal töötas Hamilton lõplikult välja uue, üldise lähenemise dünaamika ülesannete lahendamisele variatsiooniprintsiibi näol (Hamiltoni printsiip). Peaaegu sada aastat hiljem oli just sellel printsiibil võtmetähtsus kvantmehaanika rajamisel, ja Hamiltoni avastatud variatsiooniprintsiipi kasutas edukalt Albert Einstein üldrelatiivsusteooria väljavõrrandite (Einsteini võrrandid) väljatöötamisel. 

1843. aasta oli Hamiltoni elus murranguline. Sel aastal avastas ta kvaternioonid – algebralise süsteemi, mis on kompleksarvude üldistus, ja ülejäänud kaks aastakümmet oma elust pühendas ta nende uurimisele. Suurbritannias võeti kvaternioonide teooria vastu ebatavalise entusiasmiga ja "sügava austusega, mis ulatus aukartuseni"; Iirimaal (ning seejärel ka Inglismaal) sai sellest hariduse kohustuslik element.

1846. aastal leidis aset ebameeldiv vahejuhtum geoloogiaassotsiatsiooni lõunasöögil, kuhu Hamilton ilmus erakordselt tugevas joobes; sellest tekkinud skandaali tõttu astus ta Iiri Kuningliku Akadeemia presidendi kohalt tagasi. 1847. aastal suri onu James, kes oli talle isa eest.

1865. aasta kevadel hakkas Hamiltoni tervis kiiresti halvenema. Oma aastatepikkuse töö, monograafia "Kvaternioonide elemendid" jõudis ta lõpetada mõni päev enne surma. Hamilton suri 2. septembril 1865 60-aastaselt. Ta on maetud Dublini kalmistule Mount Jerome Cemetery and Crematorium.

## Panus teadusse
Kõikides oma põhilistes töödes püüdis Hamilton püstitada ja lahendada ülesande maksimaalselt üldisel, universaalsel viisil, enda avastatud meetodeid sügavalt uurida ning selgelt piiritleda nende praktilise rakendamise valdkonnad.

### Matemaatika
#### Kompleksarvude teooria
1835. aastal avaldas Hamilton töö "Theory of Algebraic Couples" ("Algebraliste paaride teooria"), milles ta andis kompleksarvude teooria range konstruktsiooni. Leonhard Euler oli kompleksarvu käsitanud formaalse summana ning Caspar Wessel ja Carl Friedrich Gauß olid jõudnud kompleksarvude geomeetrilise tõlgenduseni, vaadeldes neid koordinaattasandi punktidena (kusjuures Gauß oli 1831. aastal töös "Biruutjääkide teooria" ette pannud ka kompleksarvude täiesti range teooria). Hamilton, kes tõenäoliselt ei olnud Gaußi tööga tuttav, käsitas kompleksarvu reaalarvude paarina (a,b). Tänapäeval on kõik kolm lähenemist võrdselt levinud. Gaußi ja Hamiltoni tööd võtsid päevakorrast maha kompleksarvude teooria mittevasturääkivuse küsimuse (täpsemalt, see taandus reaalarvude teooria mittevasturääkivuse küsimusele).

Kompleksarvude geomeetriline tõlgendus andis võimaluse neid viljakalt rakendada planimeetrias ja matemaatilise füüsika kahemõõtmeliste ülesannete lahendamisel. Püüdes jõuda analoogse tulemuseni kolmemõõtmelisel juhtumil, töötas Hamilton mitu aastat kompleksarvu mõiste ülditamise ning reaalarvude kolmikutest täisväärtusliku arvuvalla loomise kallal (liitmine pidi käima komponentide kaupa, nagu kompleksarvude puhulgi; probleem seisnes korrutamise sobivas defineerimises). Et tal see ei õnnestunud, hakkas ta tegelema reaalarvude nelikutega. Taipamine tuli talle ühel 1843. aasta oktoobripäeval, kui ta jalutas ühel Dublini sillal. Nii ilmusid kvaternioonid.

#### Kvaternioonid

##### Kvaternioonide teooria rajamine
Enda avastatud "neljaliikmelisi arve" hakkas Hamilton nimetama kvaternioonideks. Kõrvuti kvaternioonide esitamisega reaalarvude nelikutena kirjutas ta neid analoogia põhjal kompleksarvudega ka formaalsete summadena kujul
: (*)\qquad q\,=\,a+bi+cj+dk\,,
kus i,j,k on kolm kvaternioonühikut (imaginaarühiku i analoogi). Eeldades, et kvaternioonide korrutamine on liitmise suhtes distributiivne, taandas Hamilton kvaternioonide korrutamistehte defineerimise baasühikute 1,i,j,k Cayley tabeli andmisele kujul
\begin{matrix}
& \times & \mathbf1 & \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
& \mathbf1 & \,1 & \,i & \,j & \,k \\
& \mathbf{i} & \,i & \,-1 & \,k & \,-j \\
& \mathbf{j} & \,j & \,-k & \,-1 & \,i \\
& \mathbf{k} & \,k & \,j & \,-i & \,-1 \\
\end{matrix}

Tabelist on näha, et kvaternioonide korrutamine ei ole kommutatiivne (sellepärast moodustavad kvaternioonid kaldkorpuse, mitte korpuse. Aastal 1878 seletas Ferdinand Georg Frobenius ära, miks Hamiltonil reaalarvude kolmikutega mitte midagi välja ei tulnud, tõestades järgmise väite (Frobeniuse teoreemi): üle reaalarvude korpuse \mathbb R leidub ainult kolm assotsiatiivset jagamisega algebrat: korpus \mathbb R ise, kompleksarvude korpus \mathbb C ja kvaternioonide kaldkorpus \mathbb H.

Kaks järgnevat aastakümmet pühendas Hamilton uute arvude uurimisele ja praktilistele rakendustele, kirjutas sel teemal 109 artiklit ja kolm mahukat monograafiat "Loengud kvaternioonidest" ja "Kvaternioonide elemendid". Valemi (*) paremat poolt vaatles ta kahe liidetava – skalaarosa (arvu a) ja vektorosa (summa ülejäänud osa) summana; hiljem kasutasid mõned autorid vastavalt väljendeid "reaalosa" ja imaginaarosa". Nii tulid matemaatikasse esimest korda sõnad "vektor" (1847. aastal kvaterniooni kohta skalaarosaga null ja "skalaar" (1853. aastal) kvaterniooni kohta vektorosaga null. Kvaternioonide korrutise vektorosa ja skalaarosa kohta võeti kasutusele vastavalt terminid "vektorkorrutis" ja "skalaarkorrutis".

##### Kvaternioonide rakendused
Hamiltoni tööde väljapaistvaks jätkajaks ja kvaternioonide populariseerijaks sai tema õpilane, šoti matemaatik Peter Guthrie Tait, kes pani ette hulga rakendusi geomeetrias, sfäärilises geomeetrias ja füüsikas. Üks esimesi rakendusi oli ruumiliste teisenduste uurimine. Kompleksarve kasutatakse edukalt suvaliste liikumiste modelleerimiseks tasandil: arvude liitmisele tasandil vastab punktide rööplüke komplekstasandil, korrutamisele vastab pööre (samaaegse sarnasusteisendusega, kui teguri moodul ei ole 1).

Analoogselt on kvaternioonid mugav instrument liikumiste uurimiseks kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis (vt Ruumi pöörded kvaternioonidega): nende niisugune rakendamine põhineb kvaternioonide geomeetrilis-arvulisel tõlgendusel, mille puhul kvaterniooniühikutele seatakse vastavusse (tänapäeva terminoloogias) mingi ortonormeeritud baasi vektoris kolmemõõtmelises ruumis. Siis seatakse üksühesesse vastavusse kolmemõõtmelised pöörded ja kvaternioonide kaldkorpuse siseautomorfismid; iga niisuguse automorfismi saab tekitada kvaternioon mooduliga (kvaterniooni moodul q on defineeritud ruutjuurena tema komponentide summasta,b,c,d), kusjuures antud kvaternioon, mida nimetatakse pöörde kvaterniooniks, on määratud märgi täpsusega. Seejuures vastab kahe pöörde järjestikusele sooritusele vastavate pöörde kvaternioonide korrutamine. See tõsiasi illustreerib muide järjekordselt kvaternioonide korrutamise mittekommutatiivsust, sest kahe kolmemõõtmelise pöörde sooritamise tulem oleneb oluliselt nende sooritamise järjekorrast.

Kvaternioonide uurimise käigus võttis Hamilton kasutusele vektorvälja mõiste (terminit "väli" tal veel ei ole, selle asemel kasutas ta punkti vektorfunktsiooni mõistet) ja pani aluse vektoranalüüsile. Hamiltoni sümbolid (sealhulgas nabla-operaator) võimaldasid tal kompaktselt kirja panna vektoranalüüsi põhilised diferentsiaaloperaatorid: gradiendi, rootori ja divergentsi. Hamiltoni tööde põhjal töötasid Josiah Willard Gibbs ja Oliver Heaviside välja vektoranalüüsi süsteemi, mis oli juba kvaternioonide teooriast eraldi; see osutus rakendusmatemaatikas erakordselt kasulikuks ja jõudis õpikutesse.

James Clerk Maxwell tutvus kvaternioonidega tänu Taitile, kes oli tema koolivend, ja hindas neid kõrgelt: "Kvaternioonide arvutuse leiutamine on samm edasi ruumiga seotud suuruste tunnetamises, mida tähtsuse poolest saab võrrelda ainult ruumikoordinaatide leiutamisega Descartesi poolt". Oma varajastes elektromagnetvälja alastes artiklites kasutab Maxwell diferentsiaaloperaatorite väljendamiseks kvaternioonisümboleid, ent oma viimastes töödes loobus Maxwell kvaternioonisümbolitest mugavama ja näitlikuma Gibbsi ja Heaviside'i vektoranalüüsi kasuks.

##### Kvaternioonide teooria ajalooline tähtsus
20. sajandil tehti mitu katset kasutada kvaternioonmudeleid kvantmehaanikas ja relatiivsusteoorias. Reaalse rakenduse on kvaternioonid leidnud tänapäeva arvutigraafikas ja mängude programmeerimises, samuti arvutusmehaanikas, inertsiaalses navigatsioonis ja automaatikas. Alates 2003. aastast antakse välja ajakirja Giperkompleksnõje Tšisla v Geometrii i Fizike ()Гиперкомплексные числа в геометрии и физике.

Felix Klein avaldas arvamust, et "kvaternioonid on omal kohal head ja rakendatavad, kuid neil pole siiski niisugust tähtsust nagu tavalistel kompleksarvudel.. Paljudes rakendusvaldkonades on leitud üldisemad ja praktilisemad vahendid kui kvaternioonid. Näiteks kasutatakse meie päevil liikumiste uurimiseks ruumis kõige sagedamini maatriksarvutust; ent seal, kus on tarvis anda kolmemõõtmeline pööre minimaalse arvu skalaarparameetrite abil, osutub Rodriguesi-Hamiltoni parameetrite (st pöörde kvaterniooni nelja komponendi) kasutamine üsna sageli eelistatavaks: niisugune kirjeldus ei ole mitte kunagi kõdunud, aga pöörete kirjeldamisel kolme parameetriga (näiteks Euleri nurkade puhul) leiduvad alati nende parameetrite kriitilised väärtused, mille korra kirjeldus on kõdunud..

Igal juhul oli kvaternioonide ajalooline panus matemaatika ajalukku hindamatu. Henri Poincaré on kirjutanud: "Nende ilmumine andis võimsa tõuke algebra arengule; nendest lähtudes läks teadus arvu mõiste üldistamise teed, jõudes maatriksi ja lineaaroperaatori kontseptsioonile, mis läbivad tänapäeva matemaatikat. See oli revolutsioon aritmeetikas, mis sarnanes sellele, mille tegi Lobatševski geomeetrias.".

#### Geomeetria ja teised matemaatika valdkonnad
Aastal 1861 tõestas Hamilton planimeetria valdkonnas tema nime kandva Hamiltoni teoreemi: kolm sirglõiku, mis ühendavad ortotsentrit teravnurkse kolmnurga tippudega, jaotavad selle kolmeks Hamiltoni kolmnurgaks, millel on sama Euleri ringjoon (üheksa punkti ringjoon) nagu algsel teravnurksel kolmnurgal.

Aastal 1856 uuris Hamilton korrapärase ikosaeedri sümmeetriarühma ja näitas, et sellel on kolm tekitajat. Korrapärase dodekaeedri uurimine viis hiljem graafiteoorias kasuliku Hamiltoni graafi mõiste ilmumiseni.
; peale selle mõtles Hamilton välja dodekaeedri servade läbikäimisega seotud peamurdmisülesande ning hakkas seda müüma (1859). Seda mängu anti nime "Reis ümber maailma" all Euroopa maades pikka aega välja Эта игра, красочно оформленная как «Путешествие вокруг света», долгое время выпускалась в разных странах Европы.

Kvaternioonide teooria tekkimisest saadik mõtles Hamilton selle raames tekkinud vektorite aparaadi rakendamise peale ruumilises geomeetrias. Suunatud lõiku \overline{AB} algusega punktis A ja lõpuga punktis B käsitles Hamilton vektorina ja märkis seda (August Ferdinand Möbiuse eeskujul) kujul B-A (st lõpu ja alguse vahena). Termini "vektor" moodustas ta ladina sõnast *vehere* 'vedama' (ta pidas silmas liikuva punkti lüket algasendist A lõppasendisse B.

Geomeetrias on Hamilton kasutusele võtnud ka terminid "kollineaarsus" ja "komplanaarsus" (ta kasutas neid ainult punktide puhul; ühise algusega vektorite puhul kasutas ta sõnu *termino-collinear* ja *termino-coplanar*).

Mitu Hamiltoni tööd on pühendatud Niels Henrik Abeli viienda astme võrrandi lahenduvuse alaste tööde (Abeli-Ruffini teoreem) täpsustamisele] jja arvutusmeetoditele. Kvaternioonide uurimise käigus tõestas Hamilton rea algebrateoreeme, mis meie päevil arvatakse maatriksiteooriasse. Lineaaralgebras tähtsa Hamiltoni-Cayley teoreemi tõestas ta faktiliselt 4 \times 4 maatriksite jaoks, maatriksi mõiste enda ning teoreemi formuleeringu (ilma tõestuseta) avaldas Arthur Cayley 
(1858), üldjuhu puhul andis tõestuse Ferdinand Georg Frobenius 1898. aastal.

### Optika
#### Valguse levimise teooria
Oma esimese suurema teadustöö "Caustics" esitas 19-aastane Hamilton 1824. aastal John Brinkleyle, Iiri Kuningliku Akadeemia tollasele presidendile. See töö (mis oli pühendatud sirgjooneliste kongruentside diferentsiaalgeomeetria arendamisele, rakendades optikainstrumentide teooriat, jäi käsikirja, ent alates 1827. aastast hakkas Hamilton avaldama artikleid selle oluliselt laiendatud ja süvendatud variandiga üldpealkirja "Theory of Systems of Rays" ("Kiirtesüsteemide teooria").

Nendes artiklites püüdis Hamilton rajada teadaolevate optikanähtuste formaalse teooria, mis oleks vastuvõetav sõltumatult vaatest valguse olemusele (sellest, kas valgust peetakse osakeste vooks või lainete levimisest). Ta kuulutas oma eesmärgiks luua optikanähtuste teooria, millel oleks samasugune "ilu, tõhusus ja harmoonia" nagu Lagrange'i analüütilisel mehaanikal.

Tsükli esimeses artiklis (1827) uurib Hamilton optiliselt homogeense keskkonna juhtumil ühest helendavast punktist lähtuvate peegelduvate või murduvate valguskiirte üldisi omadusi. Uurimise aluseks võtab ta kogemusest teadaolevad kiirte peegeldumise ja murdumise seadused. Nendest geomeetrilise optika ettekujutustest lähtudes jõuab Hamilton "konstantse mõju pindade" (lainelises tõlgenduses lainepindade) mõisteni, leiab neid pindu kirjeldavad diferentsiaalvõrrandid ja analüüsib neid.

Hamilton näitab artikli lõpus, et kõik optikaseadused saab tuletada erakordselt üldisest ja viljakast variatsiooniprintsiibist, mida rakendatakse mingile "karakteristlikule funktsioonile", mis iseloomustab konkreetset optikasüsteemi. Tänapäeva terminoloogias on see funktsioon integraal mõjust kui integreerimise piirväärtuste funktsioon; seda nimetatakse sageli Hamiltoni eikonaaliks (vt eikonaalivõrrand). Kirjas Samuel Taylor Coleridge'ile meenutas Hamilton: "Minu eesmärk ei olnud avastada uusi nähtusi ega parandada optikainstrumentide konstruktsiooni, vaid valguse geomeetriat diferentsiaalarvutuse abil teisendada, pannes paika ühtse meetodi selle teaduse kõikide probleemide lahendamiseks." Ta selgitab: "Üldine probleem, mille ma endale optikas seadsin, on uurida vähima mõju printsiibi matemaatilisi järeldusi." See printsiip, mis kaugelt üldistab klassikalist Fermat' printsiipi, osutus mehaanikale ja optikale ühiseks. Oma teooria vahenditega tõestas Hamilton ka rangelt, et geomeetriline optika on laineoptika piirjuhtum väikeste lainepikkuste puhul. 

## Tunnustus
Avastuste eest optikas ja kõigi teaduslike teenete eest kokku tõstis Iirimaa asekuningas Hamiltoni rüütliseisusesse (1835) ja määras talle igaaastase abiraha 200 naela, ja Londoni Kuninglik Selts autasustas teda (koos Michael Faradayga) Kuningliku medaliga. 

Aastal 1837 valiti Hamilton Iiri Kuningliku Akadeemia presidendiks. Samal aastal valiti ta akadeemikute Viktor Bunjakovski, Mihhail Ostrogradski ja Paul Heinrich Fussi (Pavel Fussi) esitatuna töö "Üldisest meetodist dünaamikas" eest Keiserliku Peterburi Teaduste Akadeemia kirjavahetajaliikmeks.

## Isiklikku
Hamilton abiellus 1833 Helen Maria Bayleyga. Neil sündis kaks poega ja tütar. Abielu ei kujunenud kuigi õnnelikuks, ja Hamilton hakkas alkoholi kuritarvitama.

## Viited