Levi-Civita sümbol

**Levi-Civita sümbol** ehk **Levi-Civita permutatsioonitensor** ehk **Levi-Civita tensor**  on matemaatiline sümbol, mis vastab *n*-mõõtmelisele tensorile ja millel on *n* naturaalarvulist indeksit. Sümbol on nime saanud itaallasest matemaatiku ja füüsiku Tullio Levi-Civita järgi. Levi-Civita sümboli märkimiseks kasutatakse kreeka väiketähte epsiloni, mida eri autorid kirjutavad kas ε või ϵ, vähem levinud variant on ladina väiketäht *e*. 

Levi-Civita sümbolit kasutatakse, et märkida indeksite permutatsiooni nii, et see oleks vastavuses tensoranalüüsiga:

:\varepsilon_{i_1 i_2 \cdots i_n},

kus iga indeks *i<sub>1</sub>*, *i<sub>2</sub>*, ... , *i<sub>n</sub>* saab väärtused naturaalarvude hulgast *1, 2, ... , n*, kusjuures erinevaid \varepsilon_{i_1 i_2 \cdots i_n} saab olla *n<sup>n</sup>* tükki. Indeks *n* näitab Levi-Civita sümboli mõõdet. 

Termin "*n*-mõõtmeline Levi-Civita sümbol" viitab asjaolule, et indeksite arv sümbolis vastab vaatluse all oleva vektorruumi dimensionaalsusele. Selleks ruumiks võib olla näiteks eukleidiline ruum või meetriline ruum. Levi-Civita sümboli väärtused on sõltumatud koordinaatide süsteemist või meetrikast.

Tullio Levi-Civita avaldas koos Gregorio Ricci-Curbastroga 1900. aastal artikli "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications", kus esmakordselt kirjeldati sümbolit, mis hiljem sai tuntuks Levi-Civita sümbolina. Oma hilisemas töös kutsus Levi-Civita sümbolit ε-süsteemiks.

## Definitsioon

Levi-Civita sümbol peab olema antisümmeetriline ehk kui kaks suvalist indeksit, olenemata nende väärtusest, vahetavad kohad, muutub kogu Levi-Civita sümbol vastasmärgiliseks.

:\varepsilon_{\cdots i_p \cdots i_q \cdots} = \varepsilon_{\cdots i_q \cdots i_p \cdots} 

Kui kaks või enam suvalist indeksit on võrdsed, on sümboli väärtus võrdne nulliga. Kui kõik indeksid on üksteisest erinevad, saab võrduse

:\varepsilon_{i_1 i_2 \cdots i_n} = (-1)^p \varepsilon_{12 \cdots n},

kus *p* on inversioonide arv ja näitab, kui mitu korda on vaja indekseid ümber tõsta, et permutatsioonist *(i<sub>1</sub>*, *i<sub>2</sub>*, ... , *i<sub>n</sub>)* saaks *n*-elemendiline permutatsioon *(1, 2, ... , n)*, mida tuntakse ka loomuliku permutatsioonina.

### Ühemõõtmeline

Ühemõõtmeline Levi-Civita sümbol on sümboli lihtsaim näide, kuna on üksainus indeks *i*, mis on alati endaga võrdne:

:\varepsilon_i = 0 \text{ kuna } i=i .

### Kahemõõtmeline

Kahemõõtmeline Levi-Civita sümbol on defineeritud järgmiselt:

: \varepsilon_{ij} =
\begin{cases}
+1 & \text{kui } (i,j) \text{ on } (1,2) \\
-1 & \text{kui } (i,j) \text{ on } (2,1) \\
\;\;\,0 & \text{kui }i=j.
\end{cases} 

Kõik võimalikud väärtused annavad 2×2 antisümmeetrilise maatriksi:

: \begin{pmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} \\ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} .

### Kolmemõõtmeline

Kolmemõõtmeline Levi-Civita sümbol on defineeritud järgmiselt:

: \varepsilon_{ijk} =
\begin{cases}
+1 & \text{kui } (i,j,k) \text{ on } (1,2,3), (3,1,2) \text{ või } (2,3,1), \\
-1 & \text{kui } (i,j,k) \text{ on } (1,3,2), (3,2,1) \text{ või } (2,1,3), \\
\;\;\,0 & \text{kui }i=j \text{ või } j=k \text{ või } k=i.
\end{cases} 

Kui *(i, j, k)* moodustavad paarispermutatsiooni, siis on \varepsilon_{ijk} väärtus +1; kui (i, j, k) moodustavad paaritu permutatsiooni, siis on \varepsilon_{ijk} väärtus −1; kui kaks või enam indeksi väärtust korduvad, on tulemuseks 0. 

Sarnaselt kahemõõtmelise Levi-Civita sümboli väärtustega saab kolmemõõtmelise sümboli kõik väärtused esitada 3×3×3 maatriksina, kus *i* on sügavus, *j* on rida ja *k* on veerg.

\varepsilon_{ijk} või ükskõik milline selle skalaarkorrutis on ainus kolme alaindeksiga suurus, mis muudab märki, kui kahe indeksi kohad omavahel ära vahetada.

:

Mõned näited:

: \varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Violet}{3}\color{Orange}{2}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{2}\color{Violet}{3}} = - 1
:\varepsilon_{\color{Violet}{3}\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{2}} = -\varepsilon_{\color{Orange}{2}\color{BrickRed}{1}\color{Violet}{3}} = -(-\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{2}\color{Violet}{3}}) = 1
:\varepsilon_{\color{Orange}{2}\color{Violet}{3}\color{BrickRed}{1}} = -\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Violet}{3}\color{Orange}{2}} = -(-\varepsilon_{\color{BrickRed}{1}\color{Orange}{2}\color{Violet}{3}}) = 1
:\varepsilon_{\color{Orange}{2}\color{Violet}{3}\color{Orange}{2}} = -\varepsilon_{\color{Orange}{2}\color{Violet}{3}\color{Orange}{2}} = 0

### Neljamõõtmeline

Neljamõõtmeline Levi-Civita sümbol on defineeritud sarnaselt kolmemõõtmelise Levi-Civita sümboliga:

: \varepsilon_{ijkl} =
\begin{cases}
+1 & \text{kui } (i,j,k,l) \text{ on paarispermutatsioon jadast (1, 2, 3, 4)}, \\
-1 & \text{kui } (i,j,k,l) \text{ on paaritupermutatsioon jadast (1, 2, 3, 4)}, \\
\;\;\,0 & \text{kui kaks või enam indeksit on võrdsed.}
\end{cases}

Neljamõõtmelise Levi-Civita sümboli kõiki võimalike väärtusi saab esita nagu ka kahe- ja kolmemõõtmelisi: 4×4×4×4 maatriksina. 

### Üldistus n-mõõtmele

Üldistus *n*-mõõtmele tuleb kolmemõõtmelise Levi-Civita sümboli definitsioonist. Kui võtta indeksiteks naturaalarvud *a<sub>1</sub>*, *a<sub>2</sub>*, *a<sub>3</sub>*, ... , *a<sub>n</sub>* , saab neljamõõtmelise Levi-Civita sümboli järgmiselt:

: \varepsilon_{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} =
\begin{cases}
+1 & \text{kui } (a_1 a_2 a_3 \cdots a_n) \text{ on paarispermutatsioon jadast (1, 2, 3,..., n)}, \\
-1 & \text{kui } (a_1 a_2 a_3 \cdots a_n) \text{ on paaritupermutatsioon jadast (1, 2, 3,..., n)}, \\
\;\;\,0 & \text{kui kaks või enam indeksit on võrdsed.}
\end{cases} 

Levi-Civita sümboli võib kirjutada ka järgmisel kujul:

: \begin{align}
\varepsilon_{a_1 a_2 a_3 \ldots a_n} & = \prod_{1\leq i 

Selles valemis tähistab \prod korrutamise sümbolit, mis tähendab, et avaldist tuleb korrutada üle muutujate *i* ja *j*. *Sgn* on signumfunktsioon, mille väärtused on kas *(+1, 0, −1)* vastavalt sellele, kas funktsiooni avaldis on suurem või väiksem kui null või nulliga võrdne. Valem kehtib kõikide *n* väärtuste korral, kuid on siiski vähelevinud, kuna indeksite ümbertõstmine Levi-Civita sümboli leidmiseks on lihtsam ja kiirem.

## Omadused

Tensor, mille komponendid on ortonormaalses baasis esitatud Levi-Civita sümboli kaudu, on pseudotensor, sest ortogonaalse transformatsiooni käigus omandab jakobiaan negatiivse märgi. Kuigi Levi-Civita sümbol käitub pärisortogonaalteisendustel nagu tensor, on ta siiski kolmandat järku Descartesi pseudotensor. Seega Levi-Civita sümboli nimetamine Levi-Civita permutatsioonitensoriks on pigem formaalne.

Vastavalt kontekstile, kus Levi-Civita sümbolit on tensorite komponentide muutmiseks vaja kasutada, tuleb sümbol kirjutada kas kovariantsena (\varepsilon_{ij \cdots k}) või kontravariantsena (\varepsilon^{ij \cdots k}). Indeksite asukoha muutusest ei sõltu Levi-Civita sümboli väärtus ja seega võib neid vaadelda kui kahte võrdset avaldist:

\varepsilon_{ij \cdots k} = \varepsilon^{ij \cdots k} .

Selline käsitlusviis on võetud eelduseks järgnevate näidete jaoks.

### Einsteini kokkulepe

Tihti otsitakse Levi-Civita sümboli korrutist mingi tensori komponentidega. Sel juhul on vaja kõik võimalikud korrutised kokku liita, mille lihtsustamiseks on kasutusele võetud Einsteini kokkulepe. Einsteini kokkulepe ehk Einsteini summeerimisreegel on kokkulepe, tähistamaks korduvate indeksite summeerimist üle nende indeksite. Korraga võib summeerida mitu indeksipaari korraga, kuid tuleb meeles pidada, et kõikidel indeksitel oleks sama piirkond. See kehtib nii kovariantsete kui ka kontravariantsete komponentide jaoks. Summamärki \Sigma ei ole enam vaja kirjutada. 

### Seos Kroeneckeri deltaga

Võttes Levi-Civita sümboli indeksiteks *i*, *j*, *k*, *l*, *m*, *n,* saab kirjutada kahe Levi-Civita sümboli korrutise Kroeneckeri deltade determinandina:
:\begin{align}
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn} & = \begin{vmatrix}
\delta_{il} & \delta_{im}& \delta_{in}\\
\delta_{jl} & \delta_{jm}& \delta_{jn}\\
\delta_{kl} & \delta_{km}& \delta_{kn}\\
\end{vmatrix}\\
 & = \delta_{il}\left( \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}\right) - \delta_{im}\left( \delta_{jl}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{kl} \right) + \delta_{in} \left( \delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{kl} \right). 
\end{align}

Selle determinandi erijuht on: 

:
\sum_{i=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}.


Vastavalt Einsteini summeerimisreeglile saab saadud avaldise kirjutada lihtsamal kujul ilma summeerimismärgita:

:\varepsilon_{ijk} \varepsilon_{imn} = \delta_{jm} \delta_{kn} - \delta_{jn} \delta_{km}.

Järgides seda põhimõtet, saab Levi-Civita sümbolite korrutist edasi arendada:

:\varepsilon_{ijk} \varepsilon_{ijl} = 2 \delta_{kl},

:\varepsilon_{ijk} \varepsilon_{ijk} = 6.

#### Kahemõõtmeline

Kui Levi-Civita sümbol on kahemõõtmeline, siis indeksid *i*, *j*, *k* ja *l* saavad väärtused 1 või 2.

:\varepsilon_{ij} \varepsilon^{mn} = \delta_i^n \delta_j^m

:\varepsilon_{ij} \varepsilon^{in} = \delta_j^n

:\varepsilon_{ij} \varepsilon^{ij} = 2 

#### n-mõõtmeline

*N*-mõõtmelise Levi-Civita sümboli korral saavad indeksid *i<sub>1</sub>*, ..., *i<sub>n</sub>*, *j<sub>1</sub>*, ..., *j<sub>n</sub>* väärtused naturaalarvude hulgast *(1, 2, ..., n)*.

:\varepsilon_{i_1 \dots i_n} \varepsilon^{j_1 \dots j_n} = n! \delta_{[ i_1}{}^{j_1} \dots \delta_{i_n ]}{}^{j_n} = \delta^{j_1 \dots j_n}_{i_1 \dots i_n} 

:\varepsilon_{i_1 \dots i_k~i_{k+1}\dots i_n} \varepsilon^{i_1 \dots i_k~j_{k+1}\dots j_n}= k!(n-k)!~\delta_{[ i_{k+1}}{}^{j_{k+1}} \dots \delta_{i_n ]}{}^{j_n} = k!~\delta^{j_{k+1} \dots j_n}_{i_{k+1} \dots i_n} 

:\varepsilon_{i_1 \dots i_n}\varepsilon^{i_1 \dots i_n} = n! 

Hüüumärk (!) tähistab faktoriaali ja \delta_{\beta \cdots}^{\alpha \cdots} on üldistatud Kroeneckeri delta. Iga *n* jaoks kehtib järgmine omadus:

:
\sum_{i,j,k,\dots=1}^n \varepsilon_{ijk\dots}\varepsilon_{ijk\dots} = n! ,


mis tuleneb sellest, et

*iga permutatsioon on kas paaris või paaritu,
*(+1)2 = (−1)2 = 1,
*iga *n* elemendilise arvurea permutatsioonide arv on *n!*.

Üldistatult saab *n*-mõõtmeliste Levi-Civita sümbolite korrutise kirjutada kujul:

: \varepsilon_{i_1 i_2 \dots i_n} \varepsilon_{j_1 j_2 \dots j_n} = \begin{vmatrix}
\delta_{i_1 j_1} & \delta_{i_1 j_2} & \dots & \delta_{i_1 j_n} \\
\delta_{i_2 j_1} & \delta_{i_2 j_2} & \dots & \delta_{i_2 j_n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\delta_{i_n j_1} & \delta_{i_n j_2} & \dots & \delta_{i_n j_n} \\
\end{vmatrix}.

## Rakendused

### Determinandid

Lineaaralgebras saab 3×3 ruutmaatriksi determinandi kirjutada Levi-Civita sümbolite abil. Tähistades maatriksi *A*-ga, ja maatriksi komponendid *a<sub>ij</sub>*:

:\det(\mathbf{A}) = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_{1i} a_{2j} a_{3k} .

Saadud tulemuse saab üldistada *n*×*n* maatriksi jaoks, pidades silmas Einsteini summeerimisreeglit:

: \det(\mathbf{A}) = \varepsilon_{i_1\cdots i_n} a_{1i_1} \cdots a_{ni_n} .

Vastavalt vajadusele võib Einsteini summeerimisreeglist tuleneva valemi kirjutada indeksite *i* ja *j* abil:

: \det(\mathbf{A}) = \frac{1}{n!} \varepsilon_{i_1\cdots i_n} \varepsilon_{j_1\cdots j_n} a_{i_1 j_1} \cdots a_{i_n j_n} ,

mille saab omakorda anda veelgi üldisemate juhtude jaoks:

:\varepsilon_{i_1\cdots i_n} a_{i_1 \, j_1} \cdots a_{i_n \, j_n} = \det(\mathbf{A}) \varepsilon_{j_1\cdots j_n} .

### Vektorite korrutamine

#### Ristkorrutis

Kui *a* = (*a<sup>1</sup>*, *a<sup>2</sup>*, *a<sup>3</sup>*) ja *b* = (*b<sup>1</sup>*, *b<sup>2</sup>*, *b<sup>3</sup>*) on vektorid, mis moodustavad paremakäelise koordinaatide süsteemi üle ortonormaalse baasi ja kuuluvad hulka \mathbb{R}^3, siis nende determinant on 

:
\mathbf{a \times b} =
 \begin{vmatrix} 
 \mathbf{e_1} & \mathbf{e_2} & \mathbf{e_3} \\
 a_1 & a_2 & a_3 \\
 b_1 & b_2 & b_3 \\
 \end{vmatrix}
= \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} \mathbf{e}_i a^j b^k,


mis tänu Levi-Civita sümbolile lihtsustub järgmiselt:

:
(\mathbf{a \times b})_i = \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a^j b^k.


Jälgides Einsteini reeglit, võib summeerimissümbolid kirjutamata jätta. Seega on kahe vektori ristkorrutise *i* komponent

: (\mathbf{a\times b})_i = \varepsilon_{ijk} a^j b^k.

Võttes *i* väärtuseks (1, 2, 3) saab leida kõik kolm ristkorrutise komponenti ilma, et peaks neid eraldi välja arvutama.

:(\mathbf{a\times b})_1 = a^2 b^3-a^3 b^2\,
:(\mathbf{a\times b})_2 = a^3 b^1-a^1 b^3\,
:(\mathbf{a\times b})_3 = a^1 b^2-a^2 b^1\,

#### Kolme vektori segakorrutis

Vektorite korrutamise reeglist on teada, et 

:\mathbf{a\times b} = -\mathbf{b\times a} .

Võttes kolmandaks vektoriks *c* = (*c<sup>1</sup>*, *c<sup>2</sup>*, *c<sup>3</sup>*), siis vektorite *a*, *b* ja *c* segakorrutiseks tuleb

: \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b\times c}) = \varepsilon_{ijk} a^i b^j c^k.

Siit on kerge näha, et kui vahetada ükskõik millise kahe vektori järjestus, siis muudab segakorrutis märki, ehk vektorite segakorrutis on antisümmeetriline: 

:\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b\times c})= -\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a\times c}).

#### Vektorvälja rootor

Kui funktsionaal *F* = (*F<sup>1</sup>*, *F<sup>2</sup>*, *F<sup>3</sup>*), mille Descartesi koordinaadid on *x* = (*x<sup>1</sup>*, *x<sup>2</sup>*, *x<sup>3</sup>*), on vektorväli lahtisel hulgal \mathbb{R}^3, siis funktsiooni *F* rootori *i* komponent avaldub järgmiselt: 

: (\nabla \times \mathbf{F})^i(\mathbf{x}) = \varepsilon^{ijk}\frac{\partial}{\partial x^j} F^k(\mathbf{x}),

mis tuleneb eespool saadud ristkorrutise avaldisest, kui võtta kasutusele gradiendi operaator nabla.

## Viited