Aladiskreetimine

**Aladiskreetimiseks** nimetatakse signaalitöötluses pideva elektrisignaali diskreetimist sagedusega, mis on väiksem kui signaali kahekordne ribalaius. Teatud eeldustel on seejuures võimalik teostada signaalimuundus ilma Nyquisti-Shannoni teoreemi tingimusi rikkumata. Aladiskreetimine võimaldab sel juhul asenda kõrgema sagedusega signaali madalamasageduslikuga, nii nagu saadakse kahe signaali segustamisel vahesagedusega signaal.

Aladiskreetimist kutsutakse ka harmooniliseks diskreetimiseks või super-Nyquisti diskreetimiseks. Nyquisti-Shannoni teoreem, mis on modifitseeritud versioon Nyquisti teoreemist, väidab, et diskreetimissagedus peab olema kahekordne algse signaali ribalaius selleks, et signaali saaks edukalt taastada.

Kui B on signaali ribalaius, siis on vajalik, et f_s > 2B kus f_s on diskreetimissagedus. 

Aladiskreetimise käigus tekib aliase efekt, mis muudab eri signaalid diskreetimise käigus eristatamatuks üksteisest ehk aliasteks. (aliasing).  

## Teooria

Fourier' teisenduse rakendamisel on reaalarvulised funktsioonid sümmeetrilised 0 Hz telje suhtes. Pärast diskreetimist jääb Fourier' teisendusest alles vaid perioodiline summa(diskreetne Fourier' teisendus). Algse signaali eraldiseisvad sagedusnihkega koopiad on selle signaali aliased. Sagedusnihe kõrvuti paiknevatel aliastel on võrdne diskreetimissagedusega fs. Kui aliased on teineteisest täiesti eraldatavad sagedusruumis, siis on võimalik taastada algne signaal või selle sageduse kaudu nihutataud koopia. 

Nyquisti tsooniks nimetatakse diskreetimissageduse telge, kus f_s on diskreetimissagedus ja tsoonid moodustuvad iga \frac{f_s}{2} tagant, kus konkreetse signaali fs väärtus on madalam kui Nyquisti sagedus. 

Signaali diskreetimisel tuleb jälgida, et sisendsignaali ribalaius ei ületa \frac{f_s}{2} ja signaali ribalaius ei tohi ületada üht Nyquisti tsooni. Teisisõnu signaali ribalaius peab jääma vahemikku 0 ja \frac{f_s}{2}. 

Diskreetides signaali, mille madalaim sagedus on f_L ja kõrgeim sagedus f_H, saame arvutada signaali ribalaiuse kujul f_H - f_L. 

Eeldusel, et signaali ribalaius on väiksem kui \frac{f_s}{2}, saame selle signaali paigutada Nyquisti tsoonidesse. Signaali võimalike Nyquisti tsoonide arvu on võimalik arvutada, kasutades kõrgeimat ja madalaimat sageduskomponenti.

\frac{2f_H}{n} \leqslant f_s \leqslant \frac{2f_L} {n-1}, kõigi täisarvude n kohta, mis on vahemikus 1 \le n \le \left\lfloor\frac{f_H}{f_H - f_L}\right\rfloor

Kõige kõrgem n väärtus, mis rahuldab seda tingimust, on selle signaali madalaim võimalik diskreetimissagedus. Kõigi n > 1 väärtuste puhul saame diskreetimisel tulemuseks aladiskreeditud signaali, mis on aliaseks algsele signaalile.

**Näide:** USA FM-raadio töötab sagedusvahemikus f_L = 88 \, \text{MHz} kuni f_H = 108\, \text{MHz}. Sellest saab tuletada ribalaiuse
:W = f_H - f_L = 108\, \text{MHz} - 88 \, \text{MHz} = 20 \, \text{MHz}

Saame arvutada Nyquisti tsoonide vahemiku:
:1 \le n \le \lfloor 5.4 \rfloor = \left\lfloor { 108 \ \mathrm{MHz} \over 20 \ \mathrm{MHz} } \right\rfloor

Kuna n peab olema täisarv, saame võimalikud väärtused 1, 2, 3, 4, 5. n = 5 annab madalaima aladiskreetimissageduse vahemiku:
:\frac{2 f_L}{n - 1} = 44 \,\text{MHz} ja \frac{2 f_H}{n} = 43,2 \,\text{MHz}

Antud signaali puhul on madalaim aladiskreetimisvahemik 43,2 \text{MHz} .

Reaalsete signaalide aladiskreetimisel tasub silmas pidada, et diskreetimisel peame suutma kinni püüda kõrgeima sagedusega huvipakkuva signaali. Teoreetiliselt peaks selle saavutamiseks kahe diskreedi vahel olema lõputult väike ajavahemik, mis praktiliselt ei ole saavutatav. Selle asemel peaks mõõtma diskreete sellise intervalliga, et saaks esitada kõrgeima sagedusega signaali hetkeväärtust. Siinses FM-raadio näites võib diskreetimissagedus olla vaid veidi üle 43,2 MHz, et kinni püüda 108 MHz sagedusega algne signaal. Seega diskreetimissageduse ajaline täpsus peab olema selline, et kinni püüda sagedusi, mis on diskreeditud 108 MHz juures.

Tulles tagasi Shannoni-Nyquisti teoreemi juurde, mille kohaselt peaksime signaali diskreetima sagedusel, mis on kaks korda suurem suurimast algses signaalis esinevast sagedusest, siis peaksime oma FM-raadio näites olevat signaali diskreetima sagedusel 216 MHz. Vaadeldaval juhul oleks aga tegemist tugeva ülediskreetimisega, sest sama tulemus on võimalik saavutada diskreetimissagedusega 44 MHz.

## Praktilisi rakendusi
Signaali aladiskreetimisel saab kasutada aliase efekti. Kui signaali diskreetida sagedusel, mis on madalam Nyquisti sagedusest, siis selle signaali aliased tekivad vastavalt sagedusele f_s - f_{in}, kus f_s on diskreetimissagedus ja f_{in} on sisendsignaali sagedus.

Näide. Kui diskreetida 70 MHz signaali diskreetimissagedusega 100 MSPS (Mega Samples Per Second – miljon diskreeti sekundis), siis signaali alias ilmub 30 MHz peale (100–70).

Nüüd kuna on teada, et signaal on alias, siis on võimalik algse signaali sagedus kätte saada kasutades f_s - f_{in} seost.

Samuti on võimalik ribalaiusega piiratud signaalide aliased kinni püüda. Võttes näiteks 70 MHz signaali ribalaiusega 20 MHz ja diskreetides seda sagedusel 100 MSPS, saame, et aliased tekivad vahemikku 20 MHz – 40 MHz (30 \pm 10 MHz).

Eelnevat tehnikat kasutades saame panna analoog-digitaalmuunduri signaali sagedust allapoole konverteerima.

## Viited