Regulaarne funktsioon

Ühe muutuja **regulaarne funktsioon** ehk **holomorfne funktsioon** on kompleksmuutuja funktsioon f: U \rightarrow \mathbb{C}.  mille määramispiirkond on lahtine hulk *U* ning mis on diferentseeruv hulga *U* igas punktis. 

Kuigi see definitsioon on analoogiline diferentseeruva reaalmuutuja funktsiooni definitsiooniga, osutub kompleksmuutuja funktsiooniteoorias, et erinevalt reaalmuutuja funktsioonide diferentseeruvusest on tegu väga tugeva omadusega.  Näiteks on regulaarne funktsioon alati lõpmatu arv kordi diferentseeruv funktsioon ning ta on igas punktis arendatav astmeritta (analüütiline funktsioon).

Et regulaarsed funktsioonid langevad kokku analüütiliste kompleksmuutuja funktsioonidega, siis nimetatakse neid kompleksmuutuja funktsiooniteoorias sageli **analüütilisteks funktsioonideks**. 

Funktsiooni regulaarsus on defineeritav ka mitme muutuja funktsioonide korral. 
 
## Ühe muutuja regulaarsed funktsioonid
### Definitsioonid

Olgu U \subset \mathbb{C} komplekstasandi lahtine alamhulk ning z_0\in U punkt selles alamhulgas. Funktsiooni f:U \rightarrow \mathbb{C} nimetatakse kompleksselt diferentseeruvaks funktsiooniks punktis  z_0, kui eksisteerib piirväärtus 
:\lim_\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}. 
Sel juhul tähistatakse seda piirväärtust \ f'(z_0).

Funktsiooni f nimetatakse **regulaarseks punktis <math>z_0</math>**, kui eksisteerib punkti z_0 ümbrus, milles f on kompleksselt diferentseeruv funktsioon. 

Kui f on regulaarne kogu komplekstasandil \mathbb{C}, siis nimetatakse funktsiooni  f täisfunktsiooniks.

### Selgitused

#### Erinevus kompleksse ja reaalse diferentseeruvuse vahel

Mitte iga diferentseeruv funktsioon f: U \rightarrow \mathbb{R}^2, kus U \subset \mathbb{R}^2, ei osutu regulaarseks, kui käsitada teda funktsioonina komplekstasandil. Reaalarvude puhul nimetatakse funktsiooni diferentseeruvaks, kui eksisteerib niisugune  \mathbb{R} -lineaarne kujutus A, et kehtib võrrand 

:f(x+h) = f(x) + A(h) + r(h), 

kus  r on funktsioon, mille korral 

:\lim_{h \rightarrow 0} \frac{r(h)} = 0. 

Regulaarsete funktsioonide korral peab A olema \mathbb{C}-lineaarne, mis tähendab tugevat kitsendust.

#### Kompleksse ja reaalse diferentseeruvuse vaheline seos

Funktsioon f\left(x+iy\right)=u\left(x,y\right) + i\,v\left(x,y\right) on kompleksselt diferentseeruv parajasti siis, kui u, v on pidevalt osaliselt diferentseeruvad ning on rahuldatud Cauchy-Riemanni võrrandid

:\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial v}{\partial y} ja \frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x}.

### Näited

Järgmised funktsioonid on regulaarsed kogu komplekstasandil \mathbb{C}:

* iga polünomiaalfunktsioon \textstyle z\mapsto\sum_{j=0}^na_jz^j koefitsientidega a_j \in \mathbb{C}
* eksponentsiaalfunktsioon \exp
* trigonomeetrilised funktsioonid \sin ja \cos
* hüperboolsed funktsioonid \sinh ja \cosh

Järgmised funktsioonid ei ole *mitte üheski* punktis z\in\mathbb{C} kompleksmuutuja diferentseeruvad funktsioonid ega ole seega ka mitte kuskil regulaarsed:

* moodulifunktsioon z\mapsto |z|
* projektsioonid reaalosale z\mapsto\mathrm{Re}(z) ja imaginaarosale z\mapsto\mathrm{Im}(z)
* kaaskompleksarvu võtmine z\mapsto\overline{z}

### Omadused
Kui f, g: U \rightarrow \mathbb{C} on kompleksselt diferentseeruvad punktis z \in U, siis on seda ka f+g ja f-g. Kui g(z)\neq 0, siis on ka \frac{f}{g} punktis z\in U kompleksselt diferentseeruv. 

Peale selle, kehtivad summa tuletise reegel, korrutise tuletise reegel, jagatise tuletise reegel ja liitfunktsiooni diferentseerimise reegel.

Järgnevad regulaarsete funktsioonide omadused, millel puudub vaste reaalmuutuja funktsioonide korral. 

Järgnevas olgu U \subset \mathbb C piirkond ja f: U \rightarrow \mathbb C regulaarne.

#### Cauchy integraalteoreem
Kui U \subset \mathbb{C} on ühelisidus ja \gamma on tsükkel alamhulgas U, siis kehtib Cauchy integraalteoreem
::\int_\gamma f(z)\mathrm dz=0\!\,.

## Vaata ka

* Cauchy integraalvalem

## Viited