Õhutakistusega langemine

**Õhutakistusega langemine** on keha, näiteks langevarjuri langemine, mille korral õhutakistus ei võimalda vaba langemist.

## Erinevus vabast langemisest

Ilma õhutakistuseta kasvab langemisel maapinna lähedal langeva keha kiirus v 9,81 m/s võrra sekundis. Langemine on seega  ühtlaselt kiirenev liikumine. See tähendab, kiirus kasvab võrdeliselt kestusega. Kiirendus on seejuures raskuskiirendus maapinna lähedal. Sekundi pärast on langeval kehal maapinna suhtes kiirus 9,81 m/s (umbes 35 km/h), kahe sekundi pärast 19,62 m/s (umbes 71 km/h) ja kolme sekundi pärast 106 km/h. Langevarjuril oleks pärast minutit vaba langemist kiirus üle 2100 km/h.

Tegelikult mõjub langevarjurile siiski ka õhutakistus, mis kasvab võrdeliselt kiiruse ruuduga. Resultantkiirendus vastab seetõttu ainult alguses raskuskiirendusele, edasisee kahaneb, kuni umbes seitsme sekundi pärast võrdub kiirendus nulliga — langevarjur langeb nüüd inimkeha langemise piirkiirusega umbes 55 m/s (umbes 198 km/h). See kiirus ei ole siiski maksimaalne saavutatav kiirus, vaid kiirus, mis saavutatakse, kui võetakse stabiilne, langemisega risti olev asend väljasirutatud käte ja harkis jalgadega. Sirge vertikaalse pea ees asendi puhul on õhutakistustegur palju väiksem. Atmosfääri alumises suhteliselt tihedas osas on maksimaalsed kiirused napilt üle 500 km/h. Väga kõrgel hüppel stratosfäärist on väga suures kõrguses võimalik saavutada isegi helikiirus.

## Arvutamine
Vabaks langemiseks loetakse keha langemist raskusväljas ilma ümbritseva keskkonna või atmosfääri mõjuta. Väikeste kiiruste korral on see sagel mõistlik lähendus. Ent täpse kiirenduse saamiseks tuleb arvestada üleslükkejõudu, Stokesi hõõrdumist ja Newtoni hõõrdumist. 

### Üleslükkejõuga langemine

Ümbritsev keskkond mõjub kehale jõuga, mis vastab väljatõrjutud keskkonna raskusjõule ning on sellele vastuipidise suunaga. Üleslükkejõu võib arvestamata jätta, kui suhe  \rho_{\text{keha}}/\rho_\text{keskkond}\gg1, kus \rho on tihedus.

Nläiteks ei saa õhupalli üleslükkejõudu õhus ja inimese üleslükkejõudu vees arvestamata jätta. 

Üleslükkejõud on 
:F_\mathrm{A} = \rho_0\cdot V\cdot g = \rho_\mathrm{K} \cdot V \cdot \left(\frac{\rho_0}{\rho_\mathrm{K}}\cdot g\right) = m \cdot \left(\frac{\rho_0}{\rho_\mathrm{K}}\cdot g\right),
kus V on keha ruumala, \rho_\mathrm{K} on selle tihedus ja \rho_0 on väljatõrjutud keskkonna tihedus.
Defineerime
:g_\mathrm{A} := \frac{\rho_0}{\rho_\mathrm{K}}\cdot g
üleslükkekiirendusena.
Seega saame kogu jõu kohta:
:F = F_\mathrm{G} + F_\mathrm{A} = -m\cdot g +m\cdot g_\mathrm{A} = -m\cdot(g - g_\mathrm{A}) = -m\cdot\tilde g,
kus suurust
:\tilde g:= g-g_\mathrm{A} = \left(1 - \frac{\rho_0}{\rho_\mathrm{K}}\right)\cdot g
nimetame kohandatud raskuskiirenduseks.
Selle diferentsiaalvõrrandi lahend on siis analoogne nagu vaba langemise korral:
: z(t)=-\frac{1}{2}\tilde g t^2 + v_0 t + z_0
Tuleb tähele panna, et \tilde g võib olla ka negatiivne, kui \rho_\mathrm{K}.

### Stokesi hõõrdumisega langemine

Väikestel kiirustel on hõõrdejõud võrdeline langemiskiirusega:

: F_\mathrm{R} = -\beta v

hõõrdeteguriga \beta. Liikumisvõrrand *z*-sihis (vertikaalselt) on siis

: m\ddot z = -mg - \beta \dot z

ehk

: m\dot v = -mg - \beta v.

See võrrand viib avaldisteni

: v(t) = -\frac{mg}{\beta}\left( 1 - e^{-\beta t/m} \right) + v_0 e^{-\beta t/m} 

kiiruse kohta ja 

: z(t) = \left(v_0 + \frac{mg}{\beta}\right)\left(\frac{m}{\beta}\right)\left( 1 - e^{-\beta t/m} \right) - \frac{mg}{\beta}t + z_0

kõrguse kohta. Nii langeva keha kiirus kui ka selle teepikkus sõltuvad selle massist, mis on kooskõlas igapäevakogemusega. Piirkiirus, milleni  Stokesi hõõrdumisega langemisel jõutaks, on

: \lim_{t \to \infty}v(t) = v_{\infty} = -\frac{mg}{\beta}.

### Õhutakistusega langemine: Newtoni hõõrdumine

Alates teatud kriitilisest kiirusest (vt Reynoldsi arv) läheb laminaarne õhuvoolamine keha juures üle turbulentseks. See viib selleni, et õhutakistus on nüüd võrdeline kiiruse ruuduga:   F_W = k v^2. 

Allapoole liikumise (st v) liikumisvõrrandist m \ddot z = -m g + k v^2 järeldub diferentsiaalvõrrand

:  m \dot v = -m g + k v^2.

See diferentsiaalvõrrand on Riccati tüüpi ning on juhul, kui üks lahend on teada, analüütiliselt lahendatav. Üks lahend vastab statsionaarsele olekule

:  v(t\rightarrow\infty) = v_\infty = -\sqrt{mg/k}.

Sellest tuleneb kiirus 
: v(t) = -v_\infty \tanh\left(\frac{g t}{v_\infty} - \operatorname{artanh}\left(\frac{v_0}{v_\infty}\right) \right),

kus \tanh(x) on hüperboolne tangens, \operatorname{artanh}(x) on areatangens ja v_0 :=v(t=0) ja peab kehtima |v_0|.

Teepikkus avaldub siis kiiruse integraalina üle aja:

: z(t) = -\frac{v_\infty^2}{g} \ln\Biggl(\sqrt{1-\frac{v_0^2}{v_\infty^2}}\cosh\left(\frac{g t}{v_\infty} - \operatorname{artanh}\left(\frac{v_0}{v_\infty}\right)\right)\Biggr)+z_0,

kus \ln(x) on naturaallogaritm, \cosh(x) on hüperboolne koosinus ja z_0 :=z(t=0).

Et liikumisvõrrandis esineb kiiruse ruut, tuleb märgi vahetamist liikumise ümberpööramisel hõõrdumisavalises juhtumi eristamisega eksplitsiitselt arvesse võtta. Üldine liikumisvõrrand on seetõttu 

: m \ddot z = -m g -\sgn(v) k v^2.

Lahendid hetkede korral, mil v(t)>0 (hetkliikumine üles) järelduavd ülaltoodud lahenditest asendusega k\rightarrow -k. Konstant k sõltub keha kujust ja voolava keskkonna (näiteks õhu) tihedusest. Kehtib:

: k = \frac{1}{2} c_\mathrm{w} A \rho,

kus c_\mathrm{w} on kujutakistustegur, A on keha ristlõikepindala ja \rho on ümbritseva keskkonna (õhu) tihedus.

#### Näide: meteoorkeha

Järgnevas eeldatakse, et kerakujuline meteoorkeha ristlõikepindalaga A ja massiga m Maa atmosfääri ja pidurdub. Otsitakse meteoorkeha kiirust ja pidurduskiirendust kõrguse (maapinnast) funktsioonina. Seejuures eeldatakse puhast Newtoni hõõrdumist, st jäetakse arvestamata ülehelikiirusest, õhu kuumenemisest ja rõhu vähenemisest peaaegu vaakumini tulenevad efektid. Maa gravitatsioonikiirendus jääb kõrguse (maapinnast) h(t) kasvades väiksemaks. Kehtib

: a_\mathrm{grav} = - g \cdot \left( \frac{r}{r+h(t)} \right)^2,

kus r on Maa raadius. baromeetrilise valemi järgi on õhu tihedus sellel kõrgusel

:  \rho(h) = \rho_0 \cdot e^{-\frac{M g}{R T} h(t)},

kus \rho_0  on õhu tihedus maapinnal, M on  atmosfäärigaaside molaarmass (0,02896 kg mol−1), R\, on universaalne gaasikonstant (8,314 J K−1 mol−1) ja T\, on absoluutne temperatuur. Õhutakistus F_L kiiruse v(t)  korral sõltub sellest takistusest:

: F_L = \frac{1}{2} \rho(h) C_w A v^2(t).

Massiga *m* meteoorkeha tegelik kiirendus on gravitatsioonikiirenduse ja pidurduskiirenduse vahe:

: a_\mathrm{eff} = \ddot h(t) = a_\mathrm{grav} + \frac{F_L}{m}

Asetades ülaltoodud valemid sellesse võrrandisse, saame meteoorkeha   liikumisvõrrandi:

: \ddot h(t) + g\left(\frac{r}{r+h(t)}\right)^2 - \frac{1}{2 m} \rho_0\ \cdot e^{-\frac{M g}{R T} h(t)} C_w A \cdot \dot h^2(t)=0

Juuresolevatel diagrammidel on ruumalaga *V* = 1 cm³  ja massiga *m* = 7,874 g  raudmeteoriidi puhul see võrrand lahendatud numbrilisel meetodil. Seejuures on meteoriidi algkiirus *v*0 1 = 15 km/s, *v*0 2 = 25 km/s või *v*0 3 = 35 km/s. Selgub, et niisugune keha pidurdub alati sama kõrguste piirkonnas, kusjuures suurem mass sama tiheduse juures üksnes nihutab kõik kõverad diagrammidel vasakule. Et  kiirendus 1&nbsp;km/s² on 102-kordne raskuskiirendus, mõjub kiiretele meteoorkehadele tohutu jõud, mis rebib need tükkideks ja paneb suure hõõrdumissoojuse tõttu hõõguma. Nõnda tekkiv valgus moodustab väikese osa langeva tähe valgusnähtusest.

## Vaata ka
*Euleri meetod ehk väikeste sammude meetod
*Õhutakistusega viskeparabool 
*Lõppkiirus