Helilainevõrrand

**Helilainevõrrand** on füüsikas võrrand, mis kirjeldab helilaine levi keskkonnas. Helilainevõrrand on lainevõrrand ja seega on samuti teist järku osatuletistega diferentsiaalvõrrand. Helilainevõrrand võib kirjeldada helirõhu p, osakese kiiruse ***u***, kiiruste potentsiaali \Phi või siirete potentsiaali \Psi muutusi sõltuvana asukohast ***x*** ja ajast t.

## Lineaarne homogeenne helilainevõrrand
Lineaarne homogeenne ilma sumbuvuseta helilainevõrrand helirõhust p avaldub kujul:
:\nabla^2 p = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 p}{\partial t^2}
kus,
* \nabla^2  on Laplace'i operaator;
* c on helikiirus;

## Lineaarse homogeense helilainevõrrandi tuletamine
Helilainevõrrandi saab tuletada lineariseeritud olekuvõrrandist, pidevuse võrrandist ja lineariseeritud Newtoni teisest seadusest pideva keskkonna jaoks ehk lineariseeritud Euleri võrrandist.

### Akustilised suurused helirõhk ja surutavus
Vaatleme keskkonna ühte osakest. Antud osake hõlmab keskkonna piisavalt suurt ruumala sisaldamaks miljoneid molekule, kuid on piisavalt väike, et tema piires kõik akustilised muutujad (näiteks rõhk, tihedus, osakese siire) on ühtlase suurusega. Antud osakesel on tasakaaluolek ja sellele taskaaluolekule vastab *häirimata osakese [[tihedus]]* \rho_0 ja *häirimata osakese [[rõhk]]* \mathcal{P}_0. Osakese piires on rõhk ja tihedus igal ajahetkel sama väärtusega. Helilaine levimisel keskkonnas muutub osakese rõhk ja tihedus ajas. Helilaine levimise ajal leidub osakese piires antud *osakese hetkeline tihedus* \rho ja osakesele mõjuv *hetkeline rõhk* \mathcal{P}. Seejuures on helirõhk on defineeritud hetkelise- \mathcal{P} ja häirimata rõhu \mathcal{P}_0 vahe ehk p = \mathcal{P} - \mathcal{P}_0. *Akustiline tihedus on* analoogselt defineeritud hetkelise tiheduse \rho ja *häirimata tiheduse* \rho_0 vahena. Viimasest olulisema suurusena defineeritakse surutavus s, mis on akustilise tiheduse ja häirimata tiheduse suhe ehks = \frac{\rho - \rho_0}{\rho_0}.

### Olekuvõrrand akustikas
Reaalseid gaase ja vedelikke ei saa enamasti lähendada ideaalse gaasiga ja seetõttu määratakse nende puhul mõõtmiste abiga isentroopsed seosed mis esinevad rõhu ja tiheduse muutuste vahel. Viimaseid seoseid saab esitada Taylori reana\mathcal{P} = \mathcal{P}_0 + \left( \frac{\partial \mathcal{P}}{\partial \rho}\right)_{\rho_0} (\rho - \rho_0) + \frac{1}{2} \left( \frac{\partial^2 \mathcal{P}}{\partial \rho^2}\right)_{\rho_0} (\rho - \rho_0)^2 + \ldots\, ,kus häirimata oleku voolise isoentroopse kokkusurumise ja paisumise osatuletiste \left( \frac{\partial^n \mathcal{P}}{\partial \rho^n}\right)_{\rho_0}, n \in 1,2,\ldots  väärtused määratakse katseliselt. Kui häirituse suurus on piisavalt väikese amplituudiga, võib kõrgemat järku Taylori rea liikmed hüljata. Sedasi toimides saame rõhu fluktuatsioonide ja tiheduse muutuste vahel kirja panna lineaarse seose\mathcal{P} - \mathcal{P}_0 \approx \mathcal{B} (\rho - \rho_0)/\rho_0,kus suurust \mathcal{B}=\rho_0(\partial \mathcal{P}/\partial \rho )_{\rho_0}, nimetatakse adiabaatiliseks mahtelastsusmooduliks. Kasutades akustilise rõhu ja surutavuse definitsioone saame lineariseeritud olekuvõrrandi kirja panna seosena, mis sarnaneb Hooke'i seadusele ehkp\approx \mathcal{B}\, s.Seega on helirõhk p ehk hetkeline erinevus tasakaalu oleku rõhust ligikaudu võrdeline surutavusega s ehk hetkelise tiheduse erinevusega tasakaaluoleku tihedusest ning võrdeteguriks nende kahe suuruse vahel on adiabaatiline mahtelastusmoodul \mathcal{B}.

### Keskkonna pidevuse võrrand
Oletades, et vaadeldava osakese ruumala on \Omega ja tema pinna pindala S. Osakese pinna kuju on määratud vektorfunktsiooniga d \mathbf{S}, mis on defineeritav kõikides pinna punktides olevate pinnanormaalide \mathbf{n} ja elementaarpindade dS korrutisega d\mathbf{S} = \mathbf{n}\, dS. Osakese massi juurdekasv ruumalas \Omega võrdub osakese pinda S läbiva massi voo suurusega:\underbrace{\Omega \frac{\partial \rho}{\partial t}}_{\text{massi muutus}} = \underbrace{-\int_S \rho \mathbf{u}\,d\mathbf{S}}_{\text{massi voog läbi pinna}}.Kasutades Gauss-Ostrogradski teoreemi, mis seob vektorvälja voo läbi pinna ja pinna sisese tensorvälja \int_S(\mathbf{F}\cdot\mathbf{n})\,dS = \int_V\left(\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{F}\right)\,dV saame pidevusvõrrandi parema poole kirjutada kujule\int_S \rho \mathbf{u} \, \mathbf{dS} = \int_{\Omega} \nabla (\rho u) \, d\Omega.Vastavalt eeldustele võib osakese piires osakese kiiruse ja tiheduse korrutise gradienti pidada konstantseks, ning seega võib kirjutada: \int_{\Omega} \nabla (\rho u) \, d\Omega \approx \nabla (\rho u)\Omega.Asendades viimase algsesse pidevuse võrrandisse ja jagades mõlemat poolt läbi osakese ruumalaga \Omega saame keskkonna pidevuse võrrandi kujul\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla (\rho u) = 0.Asendades hetkelise tihedused \rho surutavusega s vastavalt tema definitsioonile \rho = \rho_0+s \rho_0 ja arvestades, et häirimata tihedus \rho_0 muutub võrreldes surutavusega ajas aeglaselt ja eeldusest tuleneva surutavuse s vähese muutumisega osakese piires saame lineariseeritud keskkonna pidevuse võrrandi\frac{\partial s}{\partial t} + \nabla u = 0.

### Euleri võrrand
Pidevate keskkondade jaoks on Newtoni teine seadus kirja pandav laialt levinust teistsugusel kujul. Pidevas keskkonnas on osakese pinnale mõjuva rõhu resultandi muutus võrdne jõuga, mis paneb osakese massiga m = \rho\Omega liikuma vastavalt kiirendusega m\mathbf{a} = \rho \Omega \mathbf{a} ehk\underbrace{\rho \Omega \frac{D\mathbf{u}}{Dt}}_{\text{inertsijõud}} = - \underbrace{\int_S p \,d\mathbf{S}}_{\text{rõhu reslultant}}.Kasutades jälle Gauss-Ostrogradski teoreemi saame Euleri võrrandi parema poole kirjutada\int_S p\, d \mathbf{S} = \int_{\Omega} \mathbf{\nabla} p\, d\Omega.Vastavalt eeldustele võib pidevas keskkonnas osakese piires gradienti rõhust lugeda konstantseks ja seega\int_{\Omega} \mathbf{\nabla} p\, d\Omega \approx \mathbf{\nabla} p\, \Omega,mida asendades algsesse Euleri võrrandisse ja jagades mõlemaid pooli ruumalaga \Omega saame Euleri võrrandi viia kujule\rho \frac{\mathrm{D} \mathbf{u}}{\mathrm{D}t} + \mathbf{\nabla} p = 0.Viimases on \mathrm{D}\mathbf{u}/\mathrm{D}t materiaalne tuletis kiirusest:\frac{\mathrm{D}\mathbf{u}}{\mathrm{D} t} = \underbrace{\frac{\partial \vec{u}}{\partial t}}_{\text{lok. kiirendus}} + \underbrace{u_x \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial x} + u_y \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial y} + u_z \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial z}}_{\text{konvektiivne kiirendus}} =
\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot \mathbf{\nabla})\mathbf{u},Tavaliselt on helilainete amplituudid väikesed. Olgu T ja L helilainele iseloomulikud suurused (harmoonilise laine korral periood ja lainepikkus)

\frac{\partial }{\partial t} \rightarrow \frac{1}{T} \quad \quad \frac{\partial}{\partial x} \rightarrow \frac{1}{L}

\underbrace{\frac{\partial u }{\partial t}\rightarrow \frac{u}{T}}_{\text{lokaalne kiirendus}} \quad \quad \underbrace{u_x \frac{\partial u}{\partial x}\rightarrow \frac{u^2}{L}}_{\text{konvektiivne kiirendus}}

\frac{\text{konvektiivne kiirendus}}{\text{lokaalne kiirendus}} = \frac{u^2 T}{L u} = \frac{u T}{L} = \frac{\delta}{L} \ll 1

Viimases on \delta osakese siire. Kui osakese siire on lainepikkusega võrreldes väike on konvektiivne kiirendus võrreldes lokaalse kiirendusega samuti väike suurus ja Euleri võrrand lihtsustub kujule\rho \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \vec{\nabla} p = 0

### Lineaarne helilainevõrrand
Võttes divergentsi *lineaarsest Euleri võrrandist* saame\mathbf{\nabla} \cdot \left( \rho_0 \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}\right) = - \mathbf{\nabla}^2 p ,kus \nabla\cdot \nabla = \nabla^2 on Laplace'i operaator. Järgnevalt võtame aja järgi tuletise *lineaarsest pidevuse võrrandist*  ja arvestame, et \rho_0 on ajas vähe muutuv,\rho_0 \frac{\partial^2 s}{\partial t^2} + \mathbf{\nabla} \cdot \left( \rho_0 \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} \right) =0*lineaarne olekuvõrrand* lubab surutavust esitada, kui s \approx p/B ja kuna B on ajas vähe muutuv saame\nabla^2 p = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 p}{\partial t^2}

kus c on helikiirus, mis on defineeritud kui c^2 = B/\rho_0

## Vaata ka
* Helilaine
* Akustika
* Lainevõrrand

## Viited