Lõplik hulk

Matemaatikas nimetatakse **lõplikuks hulgaks** hulka, mille puhul mõnd naturaalarvu (kaasa arvatud null) saab nimetada tema elementide arvuks. 

Nii näiteks on hulk
:S\,=\,\{4,6,2,8\}
lõplik hulk, mille elementide arv on 4. Tühihulgal  definitsiooni järgi elemendid puuduvad, st 0 on selle elementide arv, sellepärast loetakse seda lõplikuks hulgaks.

Lõpliku hulga S võimsust |S| samastatakse mõne naturaalarvuga. Näiteks kirjutatakse siis |S|=4, et väljendada, et hulgal S on 4 elementi.

Hulka, mis ei ole lõplik, nimetatakse lõpmatuks hulgaks. 

Lõpliku hulga võib samaväärselt defineerida kui hulga, mis pole võrdvõimas ühegi oma pärisalamhulgaga (vt #Dedekindi definitsioon). 

## Definitsioon

Hulka M nimetatakse lõplikuks, kui leidub naturaalarv n (mis võib olla null,) nii, et leidub bijektsioon
:f\colon M\rightarrow N_n \quad := \{m\in\N_0 \, \mid \, m
hulgast M kõikide arvust n väiksemate naturaalarvude hulgale N_n. 

Selle definitsiooni järgi on tühihulk \emptyset := \{ \}  lõplik, sest triviaalsel moel leidub bijektsioon hulgast \emptyset  tühihulgale N_0  (kõikide arvust 0 väiksemate naturaalarvude hulgale).

Nii näiteks on hulk
:S\,=\,\{4,6,2,8\} 
lõplik, sest eksisteerib bijektsioon sellelt hulgalt hulgale 
:N_4\,=\,\{0,1,2,3\}
(vaata joonist).

Seevastu ei leidu bijektsiooni kõikide naturaalarvude hulgast
: \N_0 = \{0,1,2,3,\dotsc\}
lõplikule hulgale, nii et hulk \N_0 on lõpmatu.

Alternatiivse definitsiooni järgi nimetatakse hulka *S*  lõplikuks, kui ta on tühihulk või kui leidub bijektsioon
:f\colon S\rightarrow\{1,\ldots,n\}
mõne naturaalarvu *n* korral.  Arvu *n* nimetatakse hulga *S* võimsuseks.

## Lõplike hulkade omadusi
* Lõpliku hulga A iga alamhulk on lõplik.
* Kui A on lõplik hulk ja B on suvaline hulk, siis on nii ühisosa A\cap B kui ka vahe A\setminus B lõplikud hulgad, sest mõlemad on hulga A  alamhulgad.
* Kui A,B on lõplikud hulgad, siis on ka nende ühend Vereinigungsmenge A \cup B lõplik. Selle võimsus  &nbsp; &nbsp; |A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B| .Kui A ja  B on lõplikud ja ühisosata hulgad, (A\cap B = \emptyset, ), siis &nbsp; &nbsp; |A \cup B| = |A| + |B| = |A \, \dot\cup \, B| .
* Lõpliku arvu lõplike hulkade ühend on lõplik hulk. Selle võimsus on antud inklusiooni ja eksklusiooni printsiibiga. 
* Kui hulk A on lõpmatu ja hulk B on lõplik, siis nende vahe A \setminus B on lõpmatu.
* Lõpliku hulga A astmehulk \mathcal P(A) := \{ U \mid U \subseteq A \} on suurema võimsusega kui see hulk ise, kuid lõplik; kehtib |\mathcal{P}(A)| = 2^ .
* Lõplike hulkade otsekorrutis A \times B on lõplik. Selle võimsus on suurem kui kummalgi teguril, kui kumbki tegur ei ole tühihulk ja mõlema teguri võimsus on suurem kui 1. Lõplike hulkade A,B otsekorrutise võimsus |A\times B| = |A| \cdot |B| . Lõpliku arvu lõplike hulkade otsekorrutis on lõplik hulk.

## Dedekindi definitsioon
Teine lõpliku hulga definitsioon pärineb Richard Dedekindilt. See on niisugune: 
:Hulka S nimetatakse lõplikuks, kui see ei ole võrdvõimas ühegi oma pärisalamhulgaga, vastasel juhtumil lõpmatuks.  
Tänapäeval räägitakse **Dedekindi lõplikkusest** ja **Dedekindi lõpmatusest**. .

Et matemaatilise induktsiooni teel näidata, et iga lõplik hulk on ka Dedekindi-lõplik, piisab, kui näidata järgmist:  
# Tühi hulk ei ole võrdvõimas ühegi oma pärisalamhulgaga.
# Kui hulk S ei ole ühegi oma pärisalamhulgaga võrdvõimas, siis ei ole ka hulk S \cup \{a\} ühegi oma pärisalamhulgaga võrdvõimas.

(Punkt 1 on selge, sest tühihulgal ei ole pärisalamhulki. Punkti 2 juures tuleb näidata, et bijektsioonist f' hulgast S' := S \cup \{a\} hulga S' pärisalamhulgale U' võib konstrueerida bijektsiooni f hulgast S selle pärisalamhulgale U.)

Ümberpöördult, iga Dedekindi-lõplik hulk A on ka lõplik, sest kui A oleks lõpmatu, siis peaks valikuaksioomi põhjal leiduma paarikaupa erinevate elementide a_n\in A jada F := ( a_0, a_1, a_2, \dotsc ) = \left( a_n \right)_{n\in \N_0}. Kujutus
:
on hästi defineeritud, sest kui a \in F , siis leidub üheselt määratud n\in \N_0 nii, et a_n=a . See näitab, et A on võrdvõimas oma pärisalamhulgaga A\setminus \{a_0\} ja  seetõttu ei ole ta Dedekindi-lõplik – mis on eeldusega vastuolus.

## Viited

## Kirjandus
* Paul R. Halmos. *Naive Mengenlehre* (= *Moderne Mathematik in elementarer Darstellung*, kd 6),. 5. trükk, Vandenhoeck & Ruprecht: Göttingen 1994, ISBN 3-525-40527-8.
* Oliver Deiser. *Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo*, =3., parandatud trükk, Springer 2010, ISBN 978-3-642-01444-4.