Zermelo-Fraenkeli aksiomaatika

**Valikuaksioomiga Zermelo-Fraenkeli aksiomaatika** ehk **valikuaksioomiga Zermelo-Fraenkeli hulgateooria** ehk **Zermelo-Fraenkeli aksiomaatika** ehk **Zermelo-Fraenkeli hulgateooria** (tähis **ZFC** või **ZF + C**) on üks aksiomaatilise hulgateooria variante, tänapäeval standardne variant. See on saanud nime Ernst Zermelo ja Abraham Fraenkeli järgi. Selles teoorias ei ole tagatud kõikide mingit predikaati rahuldavate objektide hulga olemasolu.

ZFC on mõeldud formaliseerima ühte algmõistet, nimelt päriliku fundeeritud hulga mõistet, nii et kõik indiviidid arutluse universumis on niisugused hulgad. Seega käib ZFC aksiomaatika ainult hulkade kohta, mitte urelementide (hulkade elemendid, mis ise ei ole hulgad) ega kõikide klasside (matemaatiliste objektide kogumid, mis on määratletud omadusega, mis neil on) kohta. ZFC aksiomaatika on niisugune, et selle mudelid ei saa sisaldada urelemente ning pärisklasse saab käsitleda ainult kaudselt.

Formaalselt on ZFC ühesordiline teooria esimest järku loogikas. Signatuuris on võrdsusseos ning üksainus algne binaarne seos, kuulumine, mille tähis on tavaliselt ∈. Valem *a* ∈ *b* tähendab, et hulk *a* on hulga *b* element.

ZFC aksiomaatikal on palju ekvivalentseid formuleeringuid. Enamik ZFC aksioome väidab teiste hulkade kaudu teatud viisil määratletud hulkade olemasolu. Näiteks paari aksioom ütleb, et kui on antud mis tahes kaks hulka *a* ja *b*, siis on olemas uus hulk, mille elemendid on täpselt *a* ja *b*. Teised aksioomid kirjeldavad kuulumisseose omadusi. ZFC aksiomaatika üks eesmärke on, et iga aksioom oleks tõene, kui teda interpreteerida kõikide von Neumanni universumisse (kumulatiivsesse hierarhiasse) kuuluvate hulkade kohta.

ZFC metamatemaatikat on ulatuslikult uuritud. Väljapaistvad tulemused selles valdkonnas on kontiinumhüpoteesi sõltumatus ZFC aksioomidest ning valikuaksioomi sõltumatus ülejäänud ZFC aksioomidest.

## Ajalugu
Aastal 1908 esitas Ernst Zermelo esimese aksiomaatilise hulgateooria, Zermelo hulgateooria. See aksiomaatiline teooria ei võimaldanud suurte ordinaalarvude konstrueerimist. Kuigi suuremat osa "tavalisest matemaatikast" saab arendada neid suuri ordinaalarve kasutamata, on nad hulgateoorias enamasti vajalikud. Zermelo teoorial oli veel see puudus, et ühes aksioomidest (aksioomis III) kasutati definiitse omaduse mõistet, mille operatsionaalne tähendus polnud selge.

Aastal 1922 esitasid Abraham Fraenkel ja Thoralf Skolem teineteisest sõltumatult definiitse omaduse operatsionaliseeringu: see on omadus, mida saab formuleerida esimest järku teooriana, mille atomaarsed valemid kasutavad ainult kuulumis- ja võrdusseost. Samuti tegid nad teineteisest sõltumatult ettepaneku asendada väljaeraldamise aksioomiskeem asenduse aksioomiskeemiga.

Kui Zermelo hulgateooriale (ilma valikuaksioomita) lisada asenduse aksioomiskeem ning regulaarsuse aksioom (mille pakkus esimesena välja Dmitri Mirimanov 1917), saame teooria ZF.

Kui lisada ZF-ile kas valikuaksioom või mõni sellega ekvivalentne väide, saame teooria ZFC.

## Aksioomid
ZFC aksiomaatikal on palju samaväärseid formuleeringuid (Fraenkel jt 1973). Siin on järgitud Kuneni (1980) esitust. Aksioomid on esitatud esimest järku loogika keeles. Lisatud on arusaamist kergendavad sõnastused loomulikus keeles.

Kõigist ZFC formuleeringutest järeldub, et eksisteerib vähemalt üks hulk. Kunen esitab peale alltoodud aksioomide veel aksioomi, mis otseselt väidab hulga olemasolu, (olemasolu aksioomi). Selle ärajätmist siin võib põhjendada kahel moel. Paljud autorid nõuavad esimest järku teooria semantikalt, et arutluse universum oleks mittetühi. Teiseks, ka lõpmatuse aksioomist järeldub, et vähemalt üks hulk on olemas, sest ta algab olemasolukvantoriga.

### 1. Ekstensionaalsuse aksioom

Kaks hulka on võrdsed (on sama hulk), kui neil on samad elemendid.
:\forall x \forall y [ \forall z (z \in x \Leftrightarrow z \in y) \Rightarrow x = y].
Selle aksioomi pöördväide järeldub võrdsuse omadusest, et võrdsetel objektidel on samad omadused. Kui taustloogika ei hõlma võrdsusseost "=", siis võib *x*=*y* defineerida järgmise valemi lühendina (Hatcher 1982:138, definitsioon 1):
:\forall z [ z \in x \Leftrightarrow z \in y] \land \forall z [x \in z \Leftrightarrow y \in z].
Sel juhtumil võib ekstensionaalsuse aksioomile anda niisuguse kuju:
:\forall x \forall y [ \forall z (z \in x \Leftrightarrow z \in y) \Rightarrow \forall z (x \in z \Leftrightarrow y \in z) ],
st kui hulkadel *x* ja *y* on täpselt samad elemendid, siis nad on täpselt samade hulkade elemendid (Fraenkel jt 1973).

### 2. Regulaarsuse aksioom

Igal mittetühjal hulgal *x* leidub niisugune element *y*, et *x* ja *y* on mittelõikuvad hulgad.
:\forall x [ \exists a ( a \in x) \Rightarrow \exists y ( y \in x \land \lnot \exists z (z \in y \land z \in x))].

### 3. Väljaeraldamise aksioomiskeem ehk eraldamise aksioomiskeem

Kui *z* on hulk ja \phi\! on mis tahes omadus, mis saab iseloomustada hulga *z* elemente *y*, siis on olemas hulga *z* alamhulk, mis seda omadust rahuldab. Alamhulga paigutamine hulka *z* on vajalik Russelli paradoksi ja selle teisendite vältimiseks. Rangemalt öeldes: kui \phi\! on ZFC keele mis tahes valem, milles vabad muutujad võivad olla x,z,w_1,\ldots,w_n\! (nii et *y* ei ole valemis \phi\! vaba), siis
:\forall z \forall w_1 \ldots w_n \exists y \forall x [x \in y \Leftrightarrow ( x \in z \land \phi )].
See aksioomiskeem kuulub aksiomaatikasse Z, kuid ZF-is on ta liiane, sest teda saab järeldada asenduse aksioomiskeemist koos tühihulga aksioomiga või ilma selleta.

Väljaeraldamise aksioomile toetudes konstrueeritud hulka tähistatakse sageli tingimuse abil määratlemise tähistustes. Kui *z* on hulk ja φ(*x*) on valem ühe vaba muutujaga *x*, siis hulga *z* kõigi nende elementide *z* hulka, mis rahuldavad tingimust φ, tähistatakse
:\{x \in z : \phi(x)\}.

Kui on tagatud, et eksisteerib vähemalt üks hulk (ülalpool on selgitatud, kuidas see on tagatud), siis saab tõestada, et eksisteerib tühihulk (selle tähis on \varnothing). Selleks võetakse tavaliseks omaduseks φ mingi omadus, mida ühelgi hulgal ei ole. Näiteks kui *w* on hulk, mille olemasolu on juba kindlaks tehtud, siis saab tühihulga konstrueerida kui 
:\varnothing = \{u \in w \mid (u \in u) \land \lnot (u \in u) \}.
Kui taustloogika hõlmab võrdsust, siis saab tühihulga defineerida kui  
:\varnothing = \{u \in w \mid \lnot (u = u) \}.
Seetõttu järeldub tühihulga aksioom siin esitatud aksiomaatikast. Ekstensionaalsuse aksioomist tuleneb, et on ainult üks tühihulk (konstrueeritud hulk ei sõltu hulga *w* valikust). Tavaliselt tehakse laiendus definitsiooni alusel, mis lisab ZFC keelele sümboli \varnothing.

### 4. Paari aksioom
 

Kui *x* ja *y* on hulgad, siis eksisteerib hulk, millesse *x* ja *y* elementidena kuuluvad.
:\forall x \forall y \exist z (x \in z \land y \in z).
See aksioom kuulub aksiomaatikasse Z, kuid aksiomaatikas ZF on ta liiane, sest ta saadakse asenduse aksioomiskeemi rakendamisel mis tahes kaheelemendilisele hulgale. Kaheelemendilise hulga eksisteerimise tagab kas lõpmatuse aksioom või astmehulga aksioomi kahekordne rakendamine tühihulgale.

### 5. Ühendi aksioom
 

Mis tahes hulga \mathcal{F} korral eksisteerib hulk *A*, millesse kuulub elemendina iga hulk, mis on hulga \mathcal{F}. mõne elemendi element. 
:\forall \mathcal{F} \,\exists A \, \forall Y\, \forall x [(x \in Y \land Y \in \mathcal{F}) \Rightarrow x \in A].

### 6. Asenduse aksioomiskeem

Kui \phi \! on ZFC keele valem, mille vabad muutujad on x,y,A,w_1,\ldots,w_n \! seas (nii et *B* ei ole valemis \phi \! vaba, siis
:\forall A\forall w_1,\ldots,w_n \bigl[ \forall x ( x\in A \Rightarrow \exists!y\,\phi ) \Rightarrow \exists B \forall x \bigl(x\in A \Rightarrow \exists y (y\in B \land \phi)\bigr)\bigr].
Teiste sõnadega, see aksioom ütleb, et kui defineeritava funktsiooni *f* määramispiirkond on hulk ning *f*(*x*) on selle piirkonna iga elemendi *x* korral hulk, siis funktsiooni *f* muutumispiirkond on mingi hulga alamklass kitsendusega, mida on tarvis paradokside vältimiseks. Siinset teisendit, milles *B* võib olla suurem kui rangelt tarvilik, nimetatakse mõnikord kogumi aksioomiskeemiks.

### 7. Lõpmatuse aksioom

Olgu S(x)\! avaldise  x \cup \{x\} \! lühend, kus  x \! on mingi hulk. Siis eksisteerib niisugune hulk *X*, et tühi hulk \varnothing on hulga *X* element ning kui mingi hulk *y* on hulga *X* element, siis ka S(y)\! on hulga *X* element. 
:\exist X \left [\varnothing \in X \land \forall y (y \in X \Rightarrow S(y)  \in X)\right ].
Teiste sõnadega, eksisteerib hulk *X*, millel on lõpmata palju elemente. Vähim hulk *X*, mis rahuldab lõpmatuse aksioomi tingimust, on von Neumanni ordinaal ω, mida võib ka samastada naturaalarvude hulgaga \mathbb{N}.

### 8. Astmehulga aksioom

Olgu z \subseteq x valemi \forall q (q \in z \Rightarrow q \in x) lühend. Mis tahes hulga *x* korral eksisteerib hulk *y*, mis on hulga *x* astmehulga ülemhulk. Hulga *x* astmehulk on klass, mille elemendid on hulga *x* kõik alamhulgad.
:\forall x \exists y  \forall z [z \subseteq x \Rightarrow z \in y].

Sageli kohtab aksioomide **1&ndash;8** alternatiivseid kujusid, millest mõned on loetletud raamatus Jech (2003). Mõned ZF-i aksiomaatikad sisaldavad tühihulga aksioomi, mis ütleb, et tühihulk eksisteerib. Paari aksioom, ühendi aksioom, asenduse aksioomiskeem ja astmehulga aksioom sõnastatakse sageli nii, et selle hulga *x* elemendid, mille olemasolu väidetakse, on täpselt need hulgad, mis aksioomi väite kohaselt peavad hulka *x* elementidena kuuluma.

### 9. Täieliku järjestuse teoreem

Iga hulga *X* korral eksisteerib binaarne seos *R*, mis on hulgal *X* täielik järjestus. See tähendab, et *R* on niisugune lineaarne järjestus hulgal *X*, et hulga *X* igal mittetühjal alamhulgal on element, mis on järjestuse *R* suhtes vähim element.
:\forall X \exists R ( R \;\mbox{on täielik järjestus hulgal}\; X).

Kui on antud aksioomid **1–8**, siis on olemas palju väiteid, mis on tõestatavalt samaväärsed aksioomiga **9**. Tuntum neist on valikuaksioom, mis ütleb järgmist. Olgu *X* hulk, mille elemendid on kõik mittetühjad. Siis eksisteerib niisugune funktsioon *f* (mida nimetatakse valikufunktsiooniks) hulgalt *X* hulga *X* elementide ühendisse, et kõikide *Y* ∈ *X* puhul *f*(*Y*) ∈ *Y*. Et valikufunktsiooni olemasolu lõpliku hulga *X* korral on hõlpsasti tõestatav aksioomide **1–8** alusel, siis on valikuaksioomil tähtsust ainult teatud lõpmatute hulkade korral. Konstruktiivse matemaatika seisukohast on valikuaksioom "mittekonstruktiivne", sest ta väidab valikhulga olemasolu, kuid ütle midagi selle kohta, kuidas valikhulka "konstrueerida". On tehtud palju jõupingutusi, et iseloomustada nende hulkade defineeritavust või mittedefineeritavust, mille olemasolu valikuaksioom väidab.