Kolmnurga võrratus

**Kolmnurga võrratuseks** nimetatakse elementaargeomeetrias kolmnurga külgede omadust, mis väidab, et kolmnurga iga kahe külje summa on suurem kui kolmas külg või on sellega võrdne.

Teiste sõnadega kolmnurga küljed x, y  ja z on seoses  

:z\le x+y.

Eukleidese geomeetrias käsitletakse kolmnurga võrratust kauguse teoreemina, kus kasutatakse vektoreid x ja y ning nende pikkusi:

:\| x + y\| \leq \|x\| + \|y\| .

## Eukleidese geomeetria

Eukleides tõestas kolmnurga külgede pikkuste võrratust tasapinnalises geomeetrias kasutades  joonist 1. Järgnev tõestus on välja toodud Eukleidese raamatus "Elemendid".

Alustatakse kolmnurgaga \Delta ABC. Küljele BC moodustatakse võrdhaarne kolmnurk \Delta BCD nii, et külg BD on külje AB pikendus.

Seejärel väidetakse, et nurk \alpha, nii et külg AD> AC. 

Kuid AD = AB + BD = AB + BC, nii et külgede summa on AB + BC> AC, mis tõestab kolmnurga külgede pikkuste võrratust.

## Võrratusest tulenevad valemid

### Võrratus teisel kujul
Võrratusest tulenevalt kehtivad kolmnurga külgede x, y  ja z vahel järgmised seosed:   x + y > z,  y + z > x,  x + z > y.

Sellest valemist järeldub

|x - y| 

Eelnevatest valemitest tuleneb, et

|x-y|

Seda saab panna kirja valemina

\max(x,{\text{ }}y,{\text{ }}z) mis on sama mis 2\max(x,{\text{ }}y,{\text{ }}z)

### Kolmnurga võrratuse juhud
Kui on antud kolm külge x, y  ja z, kus z on pikim külg, siis tulenevalt z-külje pikkusest saab võrratus esineda kolmel kujul: 

# z  
# z = x + y(summavektor vektorite käsitluses) 
# z \approx x + y, kus z-külje pikkus on vähesel määral väiksem kui x ja y summa.

## Näide kolmnurga võrratuse kasutamisest

### Näide kahel hulknurgal
Olgu meil hulknurk ABCD ja selle sees kolmnurk \Delta AMD. 

Tõestame, et P(ABCD) > P(AMD),kus P on ümbermõõt ehk kõikide külgede summa.

# Rakendame kolmnurga võrratust kolmnurkadele \Delta ABM ja  \Delta DCM.
# Saame AB + BM > AM ja MC + CD > MD.
# Liidame võrratused: AB + (BM + MC) + CD > AM + MD ehk AB + BC + CD > AM + MD.
# Liites võrratuse mõlemale poolele suuruse AD.
# Saame AB + BC + CD + AD > AM + MD + AD ehk P(ABCD) > P(AMD).

## Kolmnurga võrratus vektorruumis

Kui on antud normeeritud vektorruum V,siis üks normi määratlevaks tingimuseks on kolmnurga võrratus:

\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|\quad \forall \,x,y\in V

Sellest tuleneb kolmnurga reegel, mis seisneb selles, et geomeetriliste vektorite x ja y summavektoriks x+y nimetatakse vektorit, mis on suunatud vektori x alguspunktist vektori y lõpp-punkti ning summavektori pikkus on väiksem kui x ja y pikkuste summa. 

## Meetriline ruum
Olgu X mitte tühi meetriline ruum ning d funktsioon X \times Xüle reaalarvude. Üheks meetrilise ruumi tingimuseks on: 

d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y), \forall x,y,z\in X. 

Igale paarile x,y\in X on vastavusse seatud reaalarv d (x,y),mis on x ja y vaheline kaugus: d (x, y) = |x - y|(absoluutväärtus või moodul arvude  x ja y vahest).   

Tõestame antud aksioomi lähtudes kauguse definitsioonist.  

\forall x,y,z\in\ X  korral:  

**(M1)** d(x,y)\geq 0;  

**(M2)** d(x,y) = |x-y|, kui x=y;   

**(M3)<math>d(x,y) = |x-y| = |-(x-y)| = |y-x| = d(y,x); </math>**   

**(M4)** d(x,y)=|x-y|=|(x-z)+(z-y)|\leq|x-z|+|z-y|=d(x,z)+d(z,y).  

## Tagurpidi kolmnurga võrratus
Tuletame meetrilise ruumi Xeeltoodud aksioomist tagurpidi kolmnurga võrratust.  

\forall x,y,z\in\ X  korral:   

d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y).   

Teisendame võrratust eelmises peatükis mainituid sammude **M3** ja **M4** abil:   

d(y,z)\leq d(y,x)+d(x,z)=d(x,y)+d(x,z)   

ja sellest tuleneb   

-d(x,y)\leq d(x,z)-d(y,z)\leq d(x,y)   

ning  saame   

|d(x, y) - d(x, z)| \leq d(y, z), mis on tagurpidi kolmnurga võrratus.  

Tagurpidi kolmnurga võrratus omab kuju |\|x\|-\|y\||\leq \|x-y\|,  kus \|x-y\|=d(x,y)  ehk meetrilise (ja normeeritud) ruumi kaugus. Sellest tulenevalt on kolmnurga tõestus järgmine:  

d(x, y) = \|x - y\| = \|(x - z) + (z - y)\| \leq \|x - z\| + \|z - y\| = d(x,z) + d(z,y), 

mis tähendabki seda, et  d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y).

Tõestame, et tagurpidi kolmnurga võrratus kasutab fundamentaalset kolmnurga võrratust eeldades, et  \|y-x\|=\|-1(x-y)\|=|-1|\|x-y\|=\|x-y\|:

\|x\|=\|(x-y)+y\|\leq \|x-y\|+\|y\|\Rightarrow \|x\|-\|y\|\leq \|x-y\|,

\|y\|=\|(y-x)+x\|\leq \|y-x\|+\|x\|\Rightarrow \|x\|-\|y\|\geq -\|x-y\|,

Ning kui paneme mõlemad võrratused kokku, saame

-\|x-y\|\leq \|x\|-\|y\|\leq \|x-y\|\Rightarrow {\bigg |}\|x\|-\|y\|{\bigg |}\leq \|x-y\|.     

## Vaata ka
*Kolmnurk
*Meetriline ruum
*Vektorruum

## Viited