Graafi paljuaspektilisus

Graafe kasutas Leonhard Euler kõmulise Königsbergi sildade probleemi lahendamiseks 1736 aastal . Seda peetakse ka graafiteooria alustuseks. Neid on korduvalt erinevate nimede all taasavastatud teid, vooge ja tsükleid puudutavate praktiliste ülesannete lahendamise käigus. See on jätnud graafiteooriale tugeva jälje.

Graafid on "mitmepalgelised" ehk paljuaspektilised objektid. Neid on käsitletud geomeetria, kombinatoorika, algebra, topoloogia, tõenäosuse jt aspektidest. Levinuim on kombinatoorikaline aspekt, mis paraku jätab graafide nii mõnegi muu külje märkamatuks. On olemas ka algebraline , algoritmiline , geomeetriline , ekstreemne , spektraalne , topoloogiline , juhuslike graafide teooria  ning neid teooriad on tekkinud teisigi.

Paraku on graafide struktuurne aspekt unarusse jäetud. Järgnevas on esitatud lühiülevaade graafide struktuurisemiootilise käsitlemise käigus ilmsiks tulnud atribuutidest  .

## Graaf ja selle struktuur
Struktuur on diskreetse süsteemi elementidevahelist organiseeritust iseloomustav atribuut. Struktuur ise on kujutatav graafina. 

Graafi struktuur on tuvastatav selle tippudevaheliste binaarsuhete süvaidentifitseerimise teel saadud struktuurimudeli SM või graafi seosmaatriksi korrutise (astme) E^n_{ord} näol. Isomorfsetel graafidel on ühesugune struktuur ning selle esitis isomorfsete graafide täielik invariant.

## Struktuur ja selle sümmeetria
Sümmeetria kui nähtus (omadus) tähendab millegi kordumist ruumis või ajas. Niisugused kordumised graafi struktuuris avalduvad ühesuguste elementide,  *ekvivalentsusklasside*, näol. Rühmateooria käsitluses kujutavad need *[[automorfism]]ide transitiivsuspiirkondi* mida *[[graafi orbiit]]ideks* \Omega  nimetatakse (väga ebakohane termin!).
Graafi tippudevaheliste *binaarsuhete orbiitide*  \Omega_{bir} baasil kooruvad välja ka *tipuorbiidid* \Omega_{vert} .

Täiesti sümmeetrilised on vaid *[[täisgraaf]]id* ja nende *[[graafi täiend|täiendid]]* tühigraafide näol, omades vaid üht tipu ja binaarsuhete orbiiti. *Tippudest sümmeetrilisi ehk transitiivseid* graafe millel on rohkem kui üks binaarorbiit on juba rohkem. Binaarorbiiti kuuluvad elemendid moodustavad *[[orbiitgraaf]]e*.  *Mitmete tipu- ja binaarorbiitidega* graafide ehk *ositi sümmeetriliste* esinemissagedus on kõige suurem. Graafe, mille iga binaarsuhe kujutab endast omaette orbiiti on nimetatud *0-sümmeetrilisteks*. Nende esinemissagedus suureneb graafi tippude arvu suurenemisel.

Seega avalduvad graafi sümmeetriaomadused tema *[[graafi orbiit|orbiitide]]* baasil. Sümmeetria väärtus on Shannoni infomahu valemi baasil 0 ja 1 vahel *mõõdetav suurus*, mida *korrapärasuseks* nimetatakse. .

## Sümmeetriaomadused ja naaberstruktuurid
Graafi G^{init} binaarorbiidist \Omega_{bir} serva e_{ij} eemaldamisel saadud *suurimad alamgraafid*  G\setminus e_{1} \simeq G\setminus e_{2} \simeq \ldots on isomorfsed ning kujutavad endast graafi *suurimat alam-naaberstruktuuri* GS^{adj}_{n}.

Graafi G^{init} binaarorbiiti \Omega_{bir} serva e_{ij} lisamisel saadud *väikseimad ülemgraafid*  G\cup e_{1} \simeq G\cup e_{2} \simeq \ldots on isomorfsed ja kujutavad endast graafi *väikseimat ülem-naaberstruktuuri* GS^{adj}_{n}.
 
Graafi *naaberstruktuuride* arv võrdub binaarorbiitide \Omega_{bir} arvuga.
Üleminekut lähtestruktuurilt G^{init} naaberstruktuurile GS^{adj}_{n} nimetame *morfismiks*  F_{n} = GS\rightarrow GS^{adj}_n .*
 
Morfism on *reversiivne*: lähtestruktuuri <math>GS^{init}</math> igas naaberstruktuuris 
<math>GS^{adj}_{n}</math> eksisteerib *reversiivne orbii*t <math>\Omega^{rev}_{n}</math> millele rakendatud reversiivne morfism <math>F^{rev}_{n}=GS^{adj}_n \rightarrow GS</math> *rekonstrueerib (taastab)* lähtestruktuuri  <math>GS^{init}</math>.

==Graafide kogum ja naaberstruktuuride süsteem==
On käsitletud ja esitatud *n*-tipuliste graafide [[hulk]]i jaotatult alamhulkadeks nende servade arvu järgi. Esimesena esitas 3- kuni 6-tipulisi kogumaid [[Frank Harary]] 1969 aastal. Tänaseks on Graafiatlases selliselt esitatud kõik kolme kuni seitsmetipuliste graafide hulgad . Näiteks, kuuetipuliste graafide hulk koosneb 156 graafist. Siin on õigem öelda, koosneb 156 mitteisomorfsest graafist ehk struktuurist. [[Graafide süsteem]]i moodustamiseks on vaja fikseerida morfismid naaberstruktuuride vahel  <math> F_{n} = GS\rightarrow GS^{adj}_n </math>. Igal struktuuril on oma väikseimad ülemstruktuurid ja suurimad alamstruktuurid, st struktuuride (graafide) vahel eksisteerivad kindlad seosed. [[Struktuurimudel]]ite baasil on need morfismid paika pandavad ning on genereeritud *n*-tipuliste struktuuride süsteeme koos vastavate struktuursete ja tõenäosuslike parameetritega .

Graafide [[süsteem]]e tippude arvu *n*, struktuuride  (mitteisomorfsete graafide) arvu *p*, nivoode arvu  *m*,  ja morfismide arvu *q* järgi:
* Kolmetipulised: *p* = 4, *m* = 4, *q* = 3.
* Neljatipulised: *p* = 11, *m* = 7, *q* = 14.
* Viietipulised: *p* = 34, *m* = 11, *q* = 72.
* Kuuetipulised: *p* = 156, *m* = 16, *q* = 572.
* Seitsmetipulised: *p* = 1044, *m* = 22, *q'' =?

Graafide süsteemide olemasolu kinnitab Ulami hüpoteesi kehtivust.

## Vaata ka
*Graafide identifitseerimine

## Viited

## Välislingid
* Graafide identifitseerimise ja süstematiseerimise alused (pdf)
* Systematic analysis of the graphs (pdf)