Nyquisti-Shannoni teoreem

**Nyquisti-Shannoni teoreem** on digitaalses signaalitöötluses kasutatav teoreem, mis seob ajaliselt pidevaid ja diskreetseid signaale. Teoreem sätestab, milline peab olema diskreetimissagedus, et digitaalses signaalis oleks olemaks kogu teave piiratud ribalaiusega pideva signaali kohta.

Teoreem on nimetatud Harry Nyquist ja Claude Shannoni järgi, ehkki Vladimir Kotelnikov oli selle juba 1933. aastal avastanud. Iseseisvalt on teoreemi avastanud ka E. T. Whittaker ja teised. Teoreemi võib kohata ka Nyquisti-Shannoni-Kotelnikovi, Whittakeri-Shannoni-Kotelnikovi*  ja Whittakeri-Nyquisti-Kotelnikovi-Shannoni' teoreemi nimega.

==Sissejuhatus==
[[Diskreetimine|Diskreetimiseks]] nimetatakse signaali (näiteks pideva aja või ruumi funktsioon) teisendamist väärtuste jadaks (diskreetse aja või ruumi funktsioon). [[Claude Shannon|Shannoni]] versioon teoreemist väidab:

<blockquote>Kui funktsioon <math>x(t)</math> ei sisalda kõrgemaid sagedusi kui *B*&nbsp;[[herts|hertsi]], siis on see täielikult määratav punktidega, mille vahe on <math>1/(2B)</math>.</blockquote>

Seega piisavaks signaali rekonstrueerimiseks (pidevsignaaliks tagasi muundamiseks) peab olema diskreetimissagedus suurem kui <math>2B</math> ehk <math>B < f_s/2</math>, kus <math>f_s</math> on [[diskreetimissagedus]] ja <math>B</math> on signaali kõrgeim sagedus.

Kui diskreetimissagedus oleks aga väiksem, siis signaali rekonstrueerimisel tekiksid Aliase efekti tõttu [[diskreetmoonutus]]ed. Teoreemi praegusaegne tõlgendus on ettevaatlikum, öeldes, et <math>x(t)</math> ei tohi sisaldada [[Sinusoid|sinusoidset]] komponenti, mis oleks täpselt sagedusega *B*, või et *B* peab olema oluliselt väiksem kui ½ diskreetimissagedust.




==Diskreetmoonutused==

Kui <math>x(t)</math> on funktsioon Fourier' teisenduses <math>X(f)</math> :
:<math>X(f)\ \triangleq\ \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \ e^{- i 2 \pi f t} \ {\rm d}t,</math>

siis Poissoni liitmisvalemi kohaselt saame asendada <math>x(t)</math> funktsiooniga <math>x(nT)</math>, mis on piisav, et luua <math>X(f)</math> perioodiline summa. Seega saame*':'''

:X_s(f)\ \triangleq \sum_{k=-\infty}^{\infty} X\left(f - k f_s\right) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} T\cdot x(nT)\ e^{-i 2\pi n T f},

mis on perioodiline funktsioon ja on võrdväärne Fourier' reaga, mille koefitsient on T\cdot x(nT). Seda funktsiooni tuntakse ka kui diskreetse aja Fourier' teisendust (DTFT).

Kõrval oleval joonisel on näha, et funktsiooni X(f) on nihutatud f_s võrra ja liidetud. Algse funktsiooni koopiad eristuvad juhul, kui kehtib &nbsp;(X(f) = 0, |f| \ge {B}&nbsp; ja f_s on piisavalt suur. Kui aga Nyquisti kriteerium ei ole täidetud, siis külgnevad koopiad kattuvad ja sellisel juhul pole võimalik ühemõtteliselt eristada X(f). Kõik sageduskomponendid, mis on kõrgemad kui f_s/2, on eristamatud madalamatest sageduskomponentidest, neid kutsutaksegi diskreetmoonutusteks. Kui diskreetimissagedus on eelnevalt määratletud, siis x(t) on tavaliselt juba piiratud kõrgeid sagedusi madalpääsfiltri abil sobivale tasemele..

## Kriitiline sagedus
Näitamaks f_s>2B vajalikkust, vaatleme sinusoidide süsteemi, mis on saadud järgneva valemi järgi, kasutades erinevaid \theta väärtusi:
:x(t) = \frac{\cos(2 \pi B t + \theta )}{\cos(\theta )}\ = \ \cos(2 \pi B t) - \sin(2 \pi B t)\tan(\theta ), \quad -\pi/2 

Kasutades lugemivõtmissagedust f_s=2B või lugemitevahelist aega T=1/2B, saame tulemuseks
:x(nT) = \cos(\pi n) - \underbrace{\sin(\pi n)}_{0}\tan(\theta ) = (-1)^n

On näha, et lõpptulemus ei sõltu enam \theta väärtustest. Seepärast on vaja diskreetimisteoreemis ranget ebavõrdsustingimust.

## Viited