Binaarne algebraline tehe

**Binaarne algebraline tehe** ehk **kahekohaline algebraline tehe** ehk **binaarne algebraline operatsioon** ehk **kompositsiooniseadus** hulgal *S* on kujutus ehk funktsioon otsekorrutisest *S*×*S* hulka *S*. See on binaarne tehe, mis on algebraline tehe. 

Sageli nimetatakse binaarset algebralist tehet lihtsalt **binaarseks tehteks** ehk **binaarseks operatsiooniks**. Ent eriti informaatikas kasutatakse neid termineid mõnikord laiemas mõttes, lubades funktsiooni väärtustena ka elemente, mis ei kuulu hulka *S*. Sel juhul esitatakse tingimus, et funktsiooni väärtused kuuluvad samasse hulka, kuhu argumendidki, kinnisuse omadusena. Nii on binaarne algebraline tehe sama mis **binaarne kinnine tehe**. 

## Binaarsed tehted üldalgebras
Binaarsetel algebralistel tehetel on väga tähtis koht üldalgebras: nad esinevad rühmades, monoidides, poolrühmades ja mujal. Ühe binaarse tehtega hulga üldnimetus on "rühmoid".

## Tähistus

Tavaliselt kasutatakse tehte üleskirjutamisel samu vahendeid nagu arvude korrutamise puhul (multiplikatiivne tähistusviis) ning tehte tulemit nimetatakse korrutiseks. Elementide *x* ja *y* korrutis on *xy* või ka *x* · *y*.

Mõnikord kasutatakse ka aditiivset tähistusviisi: tehte tulem närgitakse üles kujul *x*+*y* ning seda nimetatakse *x* ja *y* summaks. Tavaliselt kasutatakse aditiivset tähistusviisi ainult juhtudel, kui tehe on kommutatiivne.  

Peale infiksnotatsiooni kasutatakse ka funktsionaalset notatsiooni *f*(*x*,*y*) ning prefiksnotatsiooni ja postfiksnotatsiooni. Poola notatsioon on üks prefiksnotatsioon, mis saab läbi ilma sulgudeta. Praegu on rohkem kasutusel Poola notatsiooni postfiksversioon ümberpööratud Poola notatsioon.  

## Binaarsete tehete eriomadused ja näited
Paljud huvipakkuvad binaarsed tehted on kommutatiivsed või assotsiatiivsed. Paljudel on ka ühikelemendid ja pöördelemendid. 

Binaarset tehet nimetatakse **[[assotsiatiivsus|assotsiatiivseks]]**, kui mis tahes *x*, *y* ja *z* korral *f*(*x*, *f*(*y*, *z*)) = *f*(*f*(*x*, *y*), *z*). 

Binaarset tehet nimetatakse **[[kommutatiivsus|kommutatiivseks]]**, kui mis tahes *x* ja *y* korral *f*(*x*, *y*) = *f*(*y*, *x*).

Näiteks täisarvude liitmine ja korrutamine on assotsiatiivne ja kommutatiivne.  
 
Binaarset tehet nimetatakse alternatiivseks, kui mis tahes *x* ja *y* korral *f*(*x*, *f*(*x*, *y*)) = *f*(*f*(*x*, *x*), *y*) ja *f*(*f*(*x*, *y*), *y*) = *f*(*x*, *f*(*y*, *y*)). See tingimus on nõrgem kui assotsiatiivsus.   
 
Binaarset tehet nimetatakse assotsiatiivseks astmetel, kui mis tahes *x* korral *f*(*x*, *f*(*x*, *x*)) = *f*(*f*(*x*, *x*), *x*). See tingimus on nõrgem kui alternatiivsus.  

Binaarsete tehete tüüpilisteks näideteks on liitmine naturaalarvude, täisarvude, ratsionaalarvude, reaalarvude, kompleksarvude ja maatriksite liitmine (+) ja korrutamine (×) ning funktsioonide kompositsioon (liitfunktsioonide moodustamine) mingil hulgal. Olgu meil on hulk *S* ja kaks funktsiooni ***r'' '''</span>: ''S'' → ''S'' ja <span style="color:#6666FF;">***s* *': *S* → *S*. Siis kompositsioon ***r*** o ***s'' '''</span>: ''S'' → ''S'' on funktsioon, mis on määratud nii: (<span style="color:#6666FF;"> ***r***</span> <sup>o</sup> <span style="color:#6666FF;">***s* *') (*x*) = ***r'' '''</span>(<span style="color:#6666FF;"> ***s* *'(*x*)) mis tahes *x* \in *S* korral. Nõnda on defineeritud assotsiatiivne binaarne tehe o hulgal *S*.

Mittekommutatiivsed tehted on näiteks lahutamine (–), jagamine (/) ja astendamine (^). 

Jagamine ei ole binaarne tehe ei naturaalarvude, täisarvude, ratsionaalarvude, reaalarvude ega kompleksarvude hulgal, sest nulliga jagamine ei ole defineeritud. Naturaalarvude ja täisarvude hulgal on teisigi raskusi: näiteks 1 ja 3 jagatis ei ole defineeritud, sest 1/3 ei ole naturaal- ega täisarv. 
## Eriomadustega elemendid
* e on binaarse tehte vasakpoolne ühikelement, kui \forall x\in S, f(e,x)=x;
* e on binaarse tehte parempoolne ühikelement, kui \forall x\in S, f(x,e)=x;
* e on binaarse tehte ühikelement, kui ta on parempoolne ja vasakpoolne ühikelement;
* e on binaarse tehte vasakpoolne nullelement, kui \forall x\in S, f(e,x)=e;
* e on binaarse tehte parempoolne nullelement, kui \forall x\in E, f(x,e)=e;
* e on binaarse tehte nullelement, kui ta on parempoolne ja vasakpoolne nullelement;
* e on binaarse tehte vasakpoolne regulaarne element, kui kujutus x\mapsto f(e,x) on injektiivne;
* e on binaarse tehte parempoolne regulaarne element, kui kujutus x\mapsto f(x,e) on injektiivne;
* e on binaarse tehte regulaarne element, kui ta on parempoolne ja vasakpoolne regulaarne element. 

Näiteks täisarvude hulgal on 0 liitmise ühikelement, korrutamise nullelement ja lahutamise parempoolne ühikelement.  

## Pööratavus
Kui binaarsel tehtel on ühikelement (olgu see e), siis saab defineerida järgmised mõisted: 
* x\in S on vasakult pööratav element, kui eksisteerib niisugune element x'\in S (vasakpoolne pöördelement, mis osutub ainsaks), et f(x',x)=e;
* x\in S on paremalt pööratav element, kui eksisteerib niisugune element x'\in S (parempoolne pöördelement, mis osutub ainsaks), et f(x,x')=e;
* vasakult ja paremalt pööratavat elementi nimetatakse pööratavaks; ning tema vasakpoolne pöördelement ja parempoolne pöördelement on võrdsed, nii et tal on üks ja ainus pöördelement. 

Näited: 
* 2 ei ole naturaalarvude liitmise pööratav element;
* 2 on täisarvude liitmise pööratav element ja tema pöördelement on –2; 
* 2 ei ole täisarvude korrutamise pööratav element;  
* 2 on ratsionaalarvude korrutamise pööratav element ja tema pöördelement on 1/2.