Mooduli ruut

**Mooduli ruut** on kompleksarvu mooduli ruut. Kompleksarvuliste väärtustega funktsiooni mooduli ruut on funktsioon, mille väärtused on lähtefunktsiooni väärtuste mooduli ruudud. 

Mooduli ruutu kasutatakse näiteks signaaliteoorias, et arvutada signaali koguenergiat. Kvantmehaanikas rakendada mooduli ruutu, et arvutada olekute tõenäosusi, näiteks osakeste viibimistõenäosusi. 

## Definitsioonid

### Arvud

Reaalarvu x mooduli ruut  |x|^2 on lihtsalt:

:|x|^2 = x^2.

Kompleksarvu z = x + \mathrm iy (reaalosaga \operatorname{Re}(z) = x ja imaginaarosaga \operatorname{Im}(z) = y) mooduli ruut |z|^2 aga (juhu kui y \neq 0) ei ole mitte selle ruut  z^2 = x^2 + 2 \mathrm ixy - y^2, vaid

:|z|^2 = z^\ast\cdot z = (x - \mathrm iy)\cdot(x + \mathrm iy) = x^2 + y^2.

Siin on z^\ast = x - \mathrm iy arvu z kaaskompleksarv.

Mooduli ruut on alati mittenegatiivne reaalarv.

### Funktsioonid

Funktsioonide mooduli ruut defineeritakse punktikaupa, nii et saadakse jälle funktsioon. Reaalarvuliste väärtustega funktsiooni mooduli ruut    \phi \colon \Omega \to \R on antud valemiga

:| \phi |^2 \colon \Omega \to \R, ~ x \mapsto | \phi(x) |^2 = (\phi(x))^2

ning võrdub seega funktsiooni ruuduga. Kompleksarvuliste väärtustega funktsiooni  \phi \colon \Omega \to \Complex mooduli ruut on defineeritud valemiga

:| \phi |^2 \colon \Omega \to \Complex, ~ x \mapsto | \phi(x) |^2 = (\phi(x))^\ast \cdot \phi(x). 

Funktsiooni mooduli ruut on seega sama määramispiirkonnaga \Omega reaalarvuliste väärtustega funktsioon, mille väärtused võrduvad lähtefunktsiooni väärtuste mooduli ruutudega. Reaalarvulisel juhtumil tähistatakse seda \phi^2 ja kompleksarvulisel juhtumil ka \phi^\ast \phi.

## Omadused

Järgnevalt on ära toodud kompleksarvude mooduli ruudu põhiomadused. Need omadused kanduvad puunktikaupa üle funktsioonidele. 

### Pöördväärtus

Kompleksarvu z \neq 0 pöördväärtuse kohta kehtib

:\frac{1}{z} =  \frac{z^*}{z^* z} = \frac{z^*}{|z|^2}.

Niisiis võib selle arvutada, jagades kaaskompleksarvu arvu mooduli ruuduga. 

### Ruudu moodul

Kompleksarvu mooduli ruut võrdub arvu ruudu mooduliga, st

:| z |^2 = | z^2 |.

Nimelt kehtib

:| z^2 | = | (x + \mathrm iy)^2 | = | x^2 - y^2 + 2 \mathrm ixy | = \sqrt{(x^2-y^2)^2 + (2xy)^2} = \sqrt{(x^2 + y^2)^2} = x^2 + y^2 = | z |^2.

Polaarkujul z=r\cdot \mathrm e^{\mathrm i \varphi}, kus r = |z|, saadakse vastavalt 

:| z^2 | = | r^2 \mathrm e^{2 \mathrm i \varphi} | = | r^2 | \cdot | \mathrm e^{2 \mathrm i \varphi} | = r^2 \cdot 1 = |z|^2.

### Korrutis ja jagatis

Kahe kompleksarvu z_1 = r_1 \mathrm e^{\mathrm i \varphi_1} ja z_2 = r_2 \mathrm e^{\mathrm i \varphi_2} puhul kehtib:

:| z_1 z_2 |^2 = ( r_1 \mathrm e^{-\mathrm i \varphi_1} r_2 \mathrm e^{-\mathrm i \varphi_2} ) ( r_1 \mathrm e^{\mathrm i \varphi_1} r_2 \mathrm e^{\mathrm i \varphi_2} ) = r_1^2 r_2^2 = | z_1 |^2 | z_2 |^2.

Analoogselt kehtib kahe kompleksarvu (z_2 \neq 0) puhul:

:\left| \frac{z_1}{z_2} \right|^2 = \left( \frac{r_1 \mathrm e^{-\mathrm i \varphi_1}}{r_2 \mathrm e^{-\mathrm i \varphi_2}} \right) \left( \frac{r_1 \mathrm e^{\mathrm i \varphi_1}}{r_2 \mathrm e^{\mathrm i \varphi_2}} \right) = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{| z_1 |^2}{| z_2 |^2}.

Kahe kompleksarvu korrutise või vastavalt jagatise mooduli ruut on niisiis nende arvude mooduli ruutude  korrutis või vastavalt jagatis. Need omadused on ka juba moodulil endal. 

### Summa ja vahe

Kahe kompleksarvu summa või vastaval vahe puhul kehtib vastavalt:

:| z_1 \pm z_2 |^2 = ( r_1 \mathrm e^{-\mathrm i \varphi_1} \pm r_2 \mathrm e^{-\mathrm i \varphi_2} ) ( r_1 \mathrm e^{\mathrm i \varphi_1} \pm r_2 \mathrm e^{\mathrm i \varphi_2} ) = r_1^2 + r_2^2 \pm 2 r_1 r_2 \cos (\varphi_2 - \varphi_1).

Kui kujutleda kompleksarve z_1 ja  z_2 ning nende summat või vastavallt vahet  z_1 \pm z_2 punktidena komplekstasandil, siis vastab see seos täpselt koosinusteoreemile tekkiva kolmnurga kohta. Kui mõlema kompleksarvu moodul on 1, siis saame kahe kompleksarvu summa mooduli ruuduks:

:| \mathrm e^{\mathrm i \varphi_1} + \mathrm e^{\mathrm i \varphi_2} |^2 = 2 + 2 \cos (\varphi_2 - \varphi_1) = 4 \cos^2\left(\frac{\varphi_2-\varphi_1}{2}\right).

## Rakendused

### Signaaliteooria

Signaaliteoorias on pideva kompleksarvuliste väärtustega signaali f \colon \R \to \Complex koguenergia defineeritud integraalina üle selle mooduli ruudu, st 

:E = \int_{-\infty}^\infty | f(t) |^2 \, \mathrm dt.

Koguenergia vastab seega signaali <math>L^2</math>-normile. Üks keskne tulemus on siin Planchereli teoreem, mille järgi signaali energia ajapiirkonnas võrdub signaali energiale sagedusepiirkonnas. Kui \mathcal{F} on funktsiooni f (normeeritud) Fourier' teisenduse tulem, siis kehtib

:\int_{-\infty}^\infty | f(t) |^2 \, \mathrm dt = \int_{-\infty}^\infty | \mathcal{F}(\omega) |^2 \, \mathrm d\omega.

Fourier' teisendus säilitab niisiis signaali koguenergia ja on seega unitaarne kujutus.

### Kvantmehaanika

Mooduli ruutu kasutatakse sageli ka kvantmehaanikas.  Bra-ket-tähistuses kirjutatakse aluseks oleva Hilberti ruumi kahe vektori | \phi \rangle ja | \psi \rangle   skalaarorrutis kui \langle \phi | \psi \rangle. Kui mingi vaadeldav on antud operaatorina A 
mittekõdunud omaväärtusega a, mis 
vastab normeeritud omavektorile  |u\rangle, st

:A|u\rangle = a|u\rangle,

siis saab tõenäosuse mõõta olekus |\psi\rangle vaadeldava A väärtus a arvutada vastava tõenäosusamplituudi kaudu:

:\mathcal P(a) = \left|\langle u | \psi\rangle\right|^2.

Schrödingeri võrrandis figureeriva normeeritud lainefunktsiooni mooduli ruut punktikaupa mõttes võrdub osakese viibimistõenäosustihedusega:

:\rho(\mathbf r,t)=|\psi(\mathbf r,t)|^2=\psi^\ast(\mathbf r,t)\,\psi(\mathbf r,t).

## Viited