Murruline diferentsiaal- ja integraalarvutus

**Murruline diferentsiaal- ja integraalarvutus** on matemaatilise analüüsi ja täpsemalt diferentsiaal- ja integraalarvutuse alaliik, mis tegeleb erinevate viiside uurimisega, kuidas defineerida diferentsiaaloperaatori *D* ja integraaloperaatori *J* reaalarvulisi või kompleksarvulisi astmeid ning analüüsi arendamisega, mis üldistaks klassikalist matemaatilist analüüsi.

:D f(x) = \frac{d}{dx} f(x)\,,

:J f(x) = \int_0^x f(s) \,ds\,,

Käesolevas kontekstis kasutatakse terminit *aste* viitamaks korduvale lineaaroperaatori *D* rakendamisele funktsioonile *f*. Täpsemalt nii: D^n(f) = (\underbrace{D\circ D\circ D\circ\cdots}_n)(f) = \underbrace{D(D(D\cdots}_n(f).

Näiteks võib küsida, mis on mõistlik tõlgendus

:\sqrt{D} = D^\frac12

jaoks, kuivõrd peaks tegu olema ruutjuure analoogiga diferentsiaaloperaatori jaoks. Sellise operaatori näol on tegu lineaaroperaatoriga, mida tuleb rakendada kaks korda, et saavutada efekt, mis on tavalisel diferentseerimisel. Üldisemalt võib vaadelda küsimust, kuidas defineerida 

:D^a

mistahes reaalarvu *a* korral nii, et kui *a* on täisarvulise väärtusega *n* ∈ ℤ, langeb definitsioon kokku klassikalise n-järku diferentseerimisega.

Selliste üldistuste sissetoomise ja arendamise üks motivatsioon on asjaolu, et operaatori *D* astmete hulk on {D^a| a ∈ ℝ} puhul pidev poolrühm, millest klassikaline diskreetne n-ide poolrühm {D^n| n ∈ ℤ} korral on esimese alamhulk. Kuna pidevate poolrühmade kohta on välja arendatud korralik teooria, saab seda kasutada ka antud kontekstis.

Murrulised diferentsiaalvõrrandid, mida on ka ebatavalisteks diferentsiaalvõrranditeks nimetatud, on diferentsiaalvõrrandite üldistus murrulise matemaatilise analüüsi rakendamise kaudu.

## Ajaloost
Rakendusmatemaatikas ja matemaatilises analüüsis on murruline tuletis suvalist järku tuletis, kusjuures järk võib olla reaal- või kompleksarvuline. Selline kontseptsioon nägi ilmavalgust kirjas, mille kirjutas Gottfried Wilhelm Leibniz Guillaume de l'Hôpitalile 1695. aastal. Murruline diferentsiaal- ja integraalarvutus toodi esmakordselt välja ühes Niels Henrik Abeli varases artiklis, kus kõik vajaminevad komponendid on olemas: idee murrulist järku diferentseerimisest ja integreerimisest; nendevahelisest suhtest, mis on teineteise pöördtehe; mõistmine, et murrulist järku diferentseerimine ja integreerimine on sisuliselt samade klassikaliste operatsioonide üldistus; ning isegi üldistatud tähistusviis suvalise reaalarvulist järku operaatori jaoks.
Sõltumatult rajas kõnealuse valdkonna aluseid ka Joseph Liouville'i 1832. aasta artikkel.
Autodidakt Oliver Heaviside tõi esmakordselt välja murruliste diferentsiaaloperaatorite praktilise kasutusvõimaluse elektri ülekandeliinide analüüsimiseks umbes 1890. aastal. Murrulise analüüsi teooria ja rakendused laienesid 19. ja 20. sajandil märkimisväärselt ning mitmed autorid on andnud murruliste tuletiste ja integraalide definitsioone.

## Murrulise tuletise olemus

*a*-ndat järku tuletis funktsioonist *f(x)* punktis *x* on lokaalne omadus vaid juhul, kui *a* on täisarv; see ei ole nii mitte-täisarvuliste astmetega tuletiste puhul. Teisisõnu, mitte-täisarvuline murruline tuletis *f(x)* punktis *x=a* sõltub kõigist *f* väärtustest, isegi neist, mis on punktist *a* kaugel. Seega võib eeldada, et murrulise tuletise võtmise operatsioon hõlmab mingisuguste ääretingimuste seadmist, mis sisaldab informatsiooni funktsiooni kohta kaugemal.

*a*-ndat järku murruline tuletis on sageli defineeritud Fourier või Mellini integraalteisenduse kaudu.

## Heuristika
Loomulik on küsida, kas leidub lineaaroperaator *H*, nn pooltuletis nii, et

:H^2 f(x) = D f(x) = \dfrac{d}{dx} f(x) = f'(x) \,.

Osutub, et on olemas selline operaator, ning iga *a* > 0 jaoks on olemas operaator *P* nii, et

:\left(P ^ a f\right)(x) = f'(x),

või teisiti öeldes, \dfrac{d^n y}{dx^n} definitsiooni saab üldistada kõigile *n* reaalarvulistele väärtustele.

Olgu *f(x)* defineeritud *x* > 0 korral. Koostame määratud integraali nullist x-ni. Nimetame selle

: ( J f ) ( x ) = \int_0^x f(t) \, dt \,.

Protsessi korrates saame

: \left( J^2 f \right) ( x ) = \int_0^x ( J f ) ( t ) \,dt = \int_0^x \left( \int_0^t f(s) \, ds \right) \, dt \,,

ning seda võib üldistada edasi.

Cauchy valem kordseks integreerimiseks, täpsemalt

: \left(J^n f\right) ( x ) = \frac{ 1 }{ (n-1) ! } \int_0^x \left(x-t\right)^{n-1} f(t) \, dt \,,

viib otse üldistuse juurde reaalarvuliste *n* jaoks.

Gammafunktsiooni kasutamine, et minna mööda faktoriaali funktsiooni diskreetsest iseloomust, annab meile loomuliku kandidaadi murrulise integraaloperaatori rakenduseks.

: \left(J^\alpha f\right) ( x ) = \frac{ 1 }{ \Gamma ( \alpha ) } \int_0^x \left(x-t\right)^{\alpha-1} f(t) \, dt \,.

See on hästi defineeritud operaator.

Siit on otseselt nähtuv, et operaator *J* rahuldab

: \left(J^\alpha\right) \left(J^\beta f\right)(x) = \left(J^\beta\right) \left(J^\alpha f\right)(x) = \left(J^{\alpha+\beta} f\right)(x) = \frac{ 1 }{ \Gamma ( \alpha + \beta) } \int_0^x \left(x-t\right)^{\alpha+\beta-1} f(t) \, dt \,.

:

Seda suhet nimetatakse murruliste diferentsiaal- ja integraaloperaatorite poolrühma omaduseks. Kahjuks on samaväärne protseduur diferentsiaaloperaatori *D* jaoks märkimisväärselt keerulisem, kuid on võimalik näidata, et *D* ei ole üldiselt kommutatiivne ega aditiivne.

## Lihtsa astmefunktsiooni murruline tuletis

Olgu *f(x)* tegur kujul

: f(x)=x^k\,.

Esimest järku tuletis on

: f'(x)=\frac{d}{dx}f(x)=k x^{k-1}\,.

Seda korrates saame üldisema tulemuse

: \frac{d^a}{dx^a}x^k=\dfrac{k!}{(k-a)!}x^{k-a}\,,

Mis peale faktoriaalide asendamist gammafunktsiooniga viib avaldiseni

: \frac{d^a}{dx^a}x^k=\dfrac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(k-a+1)}x^{k-a}, \qquad k \ge 0

*k=1* ja  a=\dfrac{1}{2} jaoks saame pooltuletise funktsioonist *x* kui

: \frac{d^\frac12}{dx^\frac12}x=\frac{\Gamma(1+1)}{\Gamma\left(1-\frac12 + 1\right)} x^{1-\frac12}=\frac{\Gamma(2)}{\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}x^\frac12 = \frac{1}{\frac{\sqrt{\pi}}{2}}x^\frac12.

Näitamaks, et see on tõepoolest pooltuletis (kus  H^2f(x)=Df(x)), kordame protseduuri ja saame:

:\dfrac{d^\frac12}{dx^\frac12} \dfrac{2x^{\frac12}}{\sqrt{\pi}}=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\dfrac{\Gamma(1+\frac12)}{\Gamma(\frac12-\frac12+1)}x^{\frac12-\frac12}=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \frac{\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}{\Gamma(1)} x^0 = \frac{2 \frac{\sqrt{\pi}}{2} x^0}{\sqrt{\pi}}=1\,,

(sest \Gamma \left(\frac{3}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} ja *Γ(1)=1*) mis on tõepoolest oodatud tulemus, kui

: \left(\frac{d^\frac12}{dx^\frac12} \frac{d^\frac12}{dx^\frac12}\right)x=\frac d {dx} x = 1\,.

Negatiivse täisarvulise astme k korral ei ole gammafunktsioon defineeritud ning tuleb kasutada järgnevat seost:

: \frac{d^a}{dx^a}x^{-k}=\left(-1\right)^a\dfrac{\Gamma(k+a)}{\Gamma(k)}x^{-(k+a)} \quad\text{ kui } k \ge 0

Ülaltoodud diferentsiaaloperaatori üldistus ei pea olema piiratud reaalarvuliste astmetega. Näiteks (1 + *i*) järku tuletis võetuna (1 − *i*) järku tuletisest annab tulemuseks teist järku tuletise. Muutujale *a* negatiivsete väärtuste andmine annab tulemuseks integraalid.

Üldise funktsiooni *f(x)* ja 0 D^\alpha f(x)=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{d}{dx} \int_0^x \frac{f(t)}{\left(x-t\right)^\alpha} \, dt

Suvalise *α* jaoks, kuna gammafunktsioon ei ole defineeritud argumentide jaoks, mille reaalosa on negatiivne täisarv ning mille imaginaarosa on null, on vajalik rakendada murrulist tuletist peale täisarvulise tuletise rakendamist. Näiteks

:D^\frac32 f(x) = D^\frac12 D^1 f(x)=D^\frac12 \frac d {dx} f(x)

## Laplace'i teisendus

Võime jõuda murruliste diferentsiaal- ja integraaloperaatorite küsimuseni ka Laplace'i teisenduse kaudu. Teades, et

:\mathcal L \left\{Jf\right\}(s) = \mathcal L \left\{\int_0^t f(\tau)\,d\tau\right\}(s)=\frac1s\bigl(\mathcal L\left\{f\right\}\bigr)(s)

ja

:\mathcal L \left\{J^2f\right\}=\frac1s\bigl(\mathcal L \left\{Jf\right\} \bigr)(s)=\frac1{s^2}\bigl(\mathcal L\left\{f\right\}\bigr)(s)

jne, seega väidame

:J^\alpha f=\mathcal L^{-1}\left\{s^{-\alpha}\bigl(\mathcal L\{f\}\bigr)(s)\right\}.

Näiteks

:J^\alpha(t^k) = \mathcal L^{-1}\left\{\frac{\Gamma(k+1)}{s^{\alpha+k+1}}\right\} = \frac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(\alpha+k+1)} t^{\alpha+k} 

nagu oligi oodata. Tõepoolest, kasutades konvolutsioonireeglit

:\mathcal L\{f*g\}=\bigl(\mathcal L\{f\}\bigr)\bigl(\mathcal L\{g\}\bigr)

ning selguse mõttes kirjutame  p(x) = x^{\alpha-1}  ja saame

:\begin{align}
\left(J^\alpha f\right)(t) &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\mathcal L^{-1}\left\{\bigl(\mathcal L\{p\}\bigr)\bigl(\mathcal L\{f\}\bigr)\right\}\\
&=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}(p*f)\\
&=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t p(t-\tau)f(\tau)\,d\tau\\
&=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t\left(t-\tau\right)^{\alpha-1}f(\tau)\,d\tau\\
\end{align}

mis on sama, mille saime eelnevalt Cauchy abil.

Laplace'i teisendused "töötavad" suhteliselt väheste funktsioonidega, aga nad on sageli kasulikud murruliste diferentsiaalvõrrandite lahendamisel.

## Murrulised integraalid

### Riemanni-Liouville'i murruline integraal
Murrulise analüüsi klassikaline vorm algab Riemanni-Liouville'i integraaliga, mida sisuliselt kirjeldati ka ülal. Riemanni-Liouville'i integraal esineb kahes vormis – ülemine ja alumine. Vaadeldes vahemikku [*a,b*], on need integraalid defineeritud nii

:_aD_t^{-\alpha} f(t)={}_aI_t^\alpha f(t)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_a^t \left(t-\tau\right)^{\alpha-1} f(\tau) \, d\tau 
:_tD_b^{-\alpha} f(t)={}_tI_b^\alpha f(t)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_t^b \left(\tau-t\right)^{\alpha-1} f(\tau) \, d\tau 

Kus ülemine kehtib *t>a* korral ja alumine kehtib *t<b* korral.

Vastupidi algab Grünwaldi-Letnikovi tuletis hoopis tuletisest, mitte integraalist.

### Hadamardi murruline integraal
Hadamardi murrulist integraali tutvustas Jacques Hadamard ning see on antud järgnevalt

:_a\mathbf{D}_t^{-\alpha} f(t) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_a^t \left(\log\frac{t}{\tau} \right)^{\alpha -1} f(\tau)\frac{d\tau}{\tau}, \qquad t > a\,.

### Atangana-Baleanu murruline integraal

Kasutades üldistatud Mittagi-Leffleri funktsiooni, pakkusid Atangana ja Baleanu välja uue formuleeringu mittelokaalse ja mittesingulaarse tuumaga murrulise tuletise jaoks. Integraal on defineeritud nii

: ^{AB}_aD_t^{-\alpha} f(t)=^{AB}_aI_t^\alpha f(t)=\frac{1-\alpha}{AB(\alpha)}f(t)+\frac{\alpha}{AB(\alpha)\Gamma(\alpha)}\int_a^t \left(t-\tau\right)^{\alpha-1} f(\tau) \, d\tau, 

kus *AB(α)* on funktsiooni normaliseerimine nii, et *AB(0)=AB(1)=1*.

## Murrulised tuletised
Erinevalt klassikalistest Newtoni tuletistest defineeritakse murruline tuletis murrulise integraali kaudu.

### Riemanni-Liouville'i murruline tuletis
Vastav tuletis arvutatakse, kasutades Langrange'i reeglit diferentsiaaloperaatorite kohta. Arvutades *n*-dat järku tuletist integraalist järguga (*n* − *α*), saadakse *α*-ndat järku tuletis. On oluline märkida, et *n* on vähim täisarv, mis on suurem kui *α* (st, *n=⌈α⌉*). Sarnaselt Riemanni-Liouville'i integraalile on ka tuletisel ülemine ja alumine variant.
: _aD_t^\alpha f(t)=\frac{d^n}{dt^n} {}_aD_t^{-(n-\alpha)}f(t)=\frac{d^n}{dt^n} {}_aI_t^{n-\alpha} f(t)
: _tD_b^\alpha f(t)=\frac{d^n}{dt^n} {}_tD_b^{-(n-\alpha)}f(t)=\frac{d^n}{dt^n} {}_tI_b^{n-\alpha} f(t)

### Caputo murruline tuletis
Veel üks võimalus murrulise tuletise arvutamiseks on Caputo murruline tuletis. Seda tutvustas Michele Caputo oma 1967. aasta artiklis. Erinevalt Riemanni-Liouville'i tuletisest ei ole Caputo definitsiooni abil diferentsiaalvõrrandeid lahendades tarvis defineerida murrulist järku algtingimusi. Caputo definitsiooni illustratsioon, kus taas *n=⌈α⌉*, on järgnev:

: {}^C D_t^\alpha f(t)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)} \int_0^t \frac{f^{(n)}(\tau) \, d\tau}{\left(t-\tau\right)^{\alpha+1-n}}.

Caputo murrulise tuletise definitsioon:
: {} D^\nu f(t)=\frac{1}{\Gamma(n-\nu)} \int_0^t (t-u)^{(n-\nu-1)}f^{(n)}(u)du \qquad (n-1)
millel on eelis, et ta on null kui *f(t)* on konstant ja tema Laplace'i teisendus on väljendatud funktsiooni ja tema tuletise algväärtuste keskväärtustena.

### Caputo-Fabrizio murruline tuletis
2015. aasta artiklis esitasid M. Caputo ja M. Fabrizio murrulise tuletise definitsiooni, millel on mittesingulaarne tuum, funktsiooni f(t)  C^1 jaoks:

: _a^{CF} D_t^\alpha f(t)=\frac{1}{1-\alpha} \int_a^t f'(\tau)\exp\left(-\alpha\frac{t-\tau}{1-\alpha}\right)d\tau,

kus a 

### Atangana-Baleanu tuletis
Sarnaselt integraalile on ka murruline tuletis, mille puhul kasutatakse üldistatud Mittagi-Leffleri funktsiooni tuumana. Autorid tutvustasid kahte versiooni, üks on Atangana-Baleanu tuletis Caputo mõttes (ABC), mis on antud funktsiooni lokaalse tuletise ja Mittagi-Leffleri funktsiooni konvolutsioon. Teine on Atangana-Baleanu tuletis Riemanni-Liouville'i mõttes (ABR), mis on sellise funktsiooni konvolutsiooni tuletis, mida ei saa diferentseerida üldistatud Mittag-Leffleri funktsiooni abil. Atangana-Baleanu murruline tuletis Caputo mõttes on defineeritud järgnevalt:

:  {}_a^{ABC} D_t^\alpha f(t)=\frac{AB(\alpha)}{1-\alpha} \int_a^t f'(\tau) E_\alpha \left(-\alpha\frac{\left(t-\tau\right)^\alpha}{1-\alpha}\right)\,d\tau\,.

Atangana-Baleanu murruline tuletis Riemanni-Liouville'i mõttes on defineeritud nii:
: {}_a^{ABR} D_t^\alpha f(t)=\frac{AB(\alpha)}{1-\alpha}\frac {d} {dt} \int_a^t f(\tau) E_\alpha \left(-\alpha\frac{\left(t-\tau\right)^\alpha}{1-\alpha}\right)\,d\tau\,.

### Rieszi tuletis

: \mathcal{F} \left\{ \frac{\partial^\alpha u}{\partial \left|x\right|^\alpha} \right\}(k) = -\left|k\right|^{\alpha} \mathcal{F} \{u \}(k) 

kus *F* tähistab Fourier integraalteisendust.

### Veel mõningaid variante
Klassikaliste murruliste tuletiste hulka kuuluvad:
* Grünwaldi-Letnikovi tuletis
* Sonini-Letnikovi tuletis
* Liouville'i tuletis
*Caputo tuletis
* Hadamardi tuletis
* Marchaud' tuletis
* Rieszi tuletis
* Milleri-Rossi tuletis
*Weyli tuletis
*Erdélyi-Koberi tuletis

Uute murruliste tuletiste hulka kuuluvad:
* Coimbra tuletis
*Katugampola tuletis
* Hilferi tuletis
* Davidsoni tuletis
* Cheni tuletis
* Caputo-Fabrizio tuletis
* Atangana–Baleanu derivative

## Üldistused

### Erdélyi-Koberi operaator

Erdélyi-Koberi operaator on Arthur Erdélyi poolt 1940. aastal ja Hermann Koberi poolt samuti 1940. aastal tutvustatud integraaloperaator ning see on antud järgnevalt:

:\frac{x^{-\nu-\alpha+1}}{\Gamma(\alpha)}\int_0^x \left(t-x\right)^{\alpha-1}t^{-\alpha-\nu}f(t) \,dt\,, 

mis üldistab Riemanni-Liouville'i integraaloperaatorit ja Weyli integraali.

## Funktsionaalanalüüs
Funktsionaalanalüüsi kontekstis uuritakse ka üldisemaid funktsiooni *f(D)* kujusid, kui astmefunktsioon, sellega tegeletakse spektraalteoorias. Pseudo-diferentsiaaloperaatorite teooria lubab samuti käsitleda *D* astmeid. Seal esilekerkivad operaatorid on singulaarsed integraaloperaatorid ning klassikalise teooria kõrgematele järkudele üldistamine kannab Rieszi potentsiaalide nime. Seega on mitu kaasaegset teooriat, mille raames on võimalik rääkida murrulisest matemaatilisest analüüsist.

## Rakendused

### Murruline massi jäävus
Nagu kirjeldasid Wheatcraft ja Meerschaert (2008), on tarvis kasutada murrulist massi jäävuse võrrandit, et modelleerida vedeliku voolamist, kui kontrollruumala ei ole piisavalt suur võrreldes materjali heterogeensusega või kui voog kontrollruumala sees on mittelineaarne. Viidatud artiklis on massi jäävuse murruline võrrand toodud järgmiselt:

:-\rho \left(\nabla^\alpha \cdot \vec{u} \right) = \Gamma(\alpha +1)\Delta x^{1-\alpha} \rho \left (\beta_s+\phi \beta_w \right ) \frac{\partial p}{\partial t} 

### Põhjavee ülesanne
2013–2014 kirjeldasid Atangana *et al.* mõningaid põhjavee voolamise probleeme kasutades murrulist järku tuletise kontseptsiooni. Nendes töödes üldistatakse klassikalist Darcy seadust, käsitledes veevoolu kui funktsiooni piesomeetrilise samba kõrguse murrulisest tuletisest. Seda üldistust ja massi jäävuse seadust kasutati, et tuletada uus võrrand põhjavee voolamise kirjeldamiseks.

### Murruline advektsiooni hajumise võrrand
Kõnealune võrrand on leidnud kasutust, et modelleerida saastunud aine voolamist poorses keskkonnas.

Atangana ja Kilicman laiendasid murrulise advektsiooni hajumise võrrandit. Nende töös üldistati hüdrodünaamilise dispersiooni võrrandit, kasutades varieeruvat järku tuletist. Modifitseeritud võrrand lahendati numbriliselt Crank-Nicolsoni meetodil. Numbriliste simulatsioonide stabiilsus ja koonduvus näitasid, et modifitseeritud võrrand on usaldusväärsem saaste liikumise ennustamiseks, kui varasemad variandid.

### Murrulised difusioonivõrrandid
Anomaalseid difusiooniprotsesse keerulistes keskkondades saab edukalt modelleerida murrulist järku difusioonivõrrandite abil. Murrulise difusiooni kirjeldava võrrandi võib kirja panna näiteks nii

: \frac{\partial^\alpha u}{\partial t^\alpha}=-K (-\Delta)^\beta u.

Murrulise tuletise laiendus on varieeruvat järku diferentsiaalvõrrand, *α* ja *β* viiakse kujule *α(x,t)* ja *β(x,t)*. Selle rakendusi anomaalse difusiooni modelleerimisel võib leida viidetest.

### Sumbuvuse mudelid
Murrulisi tuletisi kasutatakse, et modelleerida viskoelastset sumbuvust teatud tüüpi materjalides, nt polümeerides.

### PID kontrollerid
PID kontrollerite üldistamine murruliste järkude kaudu suurendab nende vabadusastet. Uus võrrand, mis seob kontrollmuutuja *u(t)* mõõdetud veahinnnagu *e(t)* külge, saab kirjutada

:u(t) = K_\mathrm{p} e(t) + K_\mathrm{i} D_t^{-\alpha} e(t) + K_\mathrm{d} D_t^{\beta} e(t)

kus *α* ja *β* on positiivsed murrulised järgud ja K_p, K_i, ning K_d, kõik mittenegatiivsed, tähistavad koefitsiente vastavalt proportsionaalse, integraaliga, ja tuletisega liikmete jaoks (vahel tähistatud *P*, *I*, ja *D*).

### Akustilised lainevõrrandid keerulistes keskkondades
Helilainete levik keerulistes keskkondades, nt bioloogilises koes, viitab sageli laine levikule mõjuvale segajale, mis allub sageduse ja võimsuse suhtele. Sellist nähtust võib kirjeldada, kasutades põhjuslikku lainevõrrandit, mis hõlmab ka murrulist järku tuletist aja järgi:

:\nabla^2 u -\dfrac 1{c_0^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + \tau_\sigma^\alpha \dfrac{\partial^\alpha}{\partial t^\alpha}\nabla^2 u - \dfrac {\tau_\epsilon^\beta}{c_0^2} \dfrac{\partial^{\beta+2} u}{\partial t^{\beta+2}} = 0\,.

Vt ka Holm & Näsholm (2011) ja sealsed viited. Sellised mudelid on seotud laialt levinud hüpoteesiga, et korduvad relaksatsiooniprotsessid mõjutavad lainete sumbuvust keerulistes keskkondades. Seda seost on täpsemalt kirjeldanud Näsholm & Holm (2011) ja ülevaateartiklis, ja niisamuti akustilise sumbuvuse artiklis. Vt Holm & Näsholm (2013), kus võrreldakse murrulisi lainevõrrandeid astmefunktsioone kasutava mudeliga. Holmi raamat astmefunktsioonidega kirjeldatavast sumbuvusest käsitleb samuti kõnealust teemat detailselt.

Pandey ja Holm andsid murrulistele diferentsiaalvõrranditele füüsikalise tähenduse, kui tuletasid need füüsikalistest printsiipidest ning tõlgendasid murrulisi järke akustilise keskkonna parameetrite kaudu. Pandey ja Holm tuletasid seismoloogias tuntud Lomnitzi seaduse ja reoloogias tuntud Nuttingi seaduse, kasutades murrulist matemaatilist analüüsi. Nuttingi seadust kasutati modelleerimaks lainete levikut meresetetes, kasutades murrulisi tuletisi.

### Murruline Schrödingeri võrrand kvantfüüsikas
Murruline Schrödingeri võrrand, mis on murrulise kvantmehaanika põhivõrrand, omab järgnevat kuju:

:i\hbar \frac{\partial \psi (\mathbf{r},t)}{\partial t}=D_{\alpha } \left(-\hbar^2\Delta \right)^{\frac{\alpha}{2}}\psi (\mathbf{r},t)+V(\mathbf{r},t)\psi (\mathbf{r},t)\,.

kus võrrandi lahendiks on lainefunktsioon kujul *ψ(*'r**, t)'' – kvantmehaaniline tõenäosusamplituud, et osakesel on teatud olekuvektori väärtus **r** mistahes ajahetkel ''t'', kus ''ħ'' on [[Plancki nurkkonstant]]. Potentsiaalse energia ''V(**r*', t)* avaldise täpne kuju sõltub vaadeldavast süsteemist.

\Delta=\dfrac{\partial ^2}{\partial \mathbf{r}^2} on Laplace'i operaator, ja D_\alpha on skaalategur, mille füüsikaline dimensioon on [D_\alpha]=J^{1-\alpha}\cdot m^\alpha\cdot s^-\alpha=kg^{1-\alpha} \cdot m^{2-\alpha} \cdot s^{\alpha-2}, (kus *α=2*, D^2=\dfrac{1}{2m} osakese jaoks massiga *m*), ja operaator (-\hbar^2\Delta^{\alpha/2}) on 3-mõõtmeline murruline Rieszi tuletis, mis on defineeritud kui

: (-\hbar^2\Delta)^\frac{\alpha}{2}\psi (\mathbf{r},t) = \frac 1 {(2\pi \hbar)^3} \int d^3 p e^{\frac{i}{\hbar} \mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}|\mathbf{p}|^\alpha \varphi (\mathbf{p},t) \,.

Indeks *α* on murrulises Schrödingeri võrrandis Lévy indeksi nime all, 1 i\hbar \frac{\partial \psi^{\alpha(\mathbf{r})}  (\mathbf{r},t)}{\partial t^{\alpha(\mathbf{r})} }= \left(-\hbar^2\Delta \right)^{\frac{\beta(t)}{2}}\psi (\mathbf{r},t)+V(\mathbf{r},t)\psi (\mathbf{r},t),

kus \Delta=\dfrac{\partial ^2}{\partial \mathbf{r}^2} on Laplace'i operaator ja operaator (-\hbar^2\Delta)^{\beta(t)/2} on varieeruva järguga murruline Rieszi tuletis.

## Viited

### Allikad
* 

## Lisalugemiseks
### Artikleid murrulise matemaatilise analüüsi ajaloost

* 
* 
* 
* 
* 

### Raamatud

* 
* 
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
* 

* 
* 

* 

* 

## Välislingid
*Eric W. Weisstein. "Fractional Differential Equation." From MathWorld &mdash; A Wolfram Web Resource.
*MathWorld – Fractional calculus
*MathWorld – Fractional derivative
*Fractional Calculus at MathPages
*Eriala-ajakiri: Fractional Calculus and Applied Analysis (1998–2014) and Fractional Calculus and Applied Analysis (from 2015)
*Eriala-ajakiri: Fractional Differential Equations (FDE)
*Eriala-ajakiri: Communications in Fractional Calculus
*Eriala-ajakiri: Journal of Fractional Calculus and Applications (JFCA)
*www.nasatech.com
*Igor Podlubny's collection of related books, articles, links, software, etc. 
*GigaHedron – Richard Herrmann's collection of books, articles, preprints, etc. 
*s.dugowson.free.fr
*History, Definitions, and Applications for the Engineer (PDF), by Adam Loverro, University of Notre Dame
*Fractional Calculus Modelling
*Introductory Notes on Fractional Calculus
*Power Law & Fractional Dynamics
*The CRONE Toolbox, a Matlab and Simulink Toolbox dedicated to fractional calculus, which is freely downloadable
*
*