Pseudorühmoid

**Pseudorühmoid** ehk **osaline rühmoid** (ka *pseudogrupoid*, *osaline grupoid*, *pseudomagma*, *osaline magma*, *poolrühmoid*, *poolgrupoid*) on osaline algebra ( M, f ), mis koosneb hulgast M ja sellel defineeritud osalisest binaarsest algebralisest tehtest (osalisest kujutusest f\colon M \times M \rightsquigarrow M).

See on rühmoidi mõiste üldistus; erinevus on ainult selles, et rühmoidi puhul ei tohi tehe olla osaline, pseudorühmoidi puhul aga tohib. 

Nagu ka rühmoidi puhul, peab osaline tehe olema kinnine, st kõik tulemid  (kujutised) peavad olema hulga M elemendid. Midagi muud ei nõuta. 

## Alampseudorühmoid

Analoogselt rühmoidi alamrühmoidiga ja rühma alamrühmaga saab defineerida pseudorühmoidi alampseudorühmoidi, ent siin tuleb eraldi vaadelda tehte määramispiirkonda.

Olgu \boldsymbol M = (M,*) pseudorühmoid. Pseudorühmoidi \boldsymbol U = (U,\circ) nimetatakse pseudorühmoidi \boldsymbol M **alampseudorühmoidiks**, kui U \subseteq M ja \circ = *|_{\mbox{Def}(\circ)}, st tehe \circ on tehte * ahend tehte \circ määramispiirkonnale \mbox{Def}(\circ) \subseteq U\times U.

Teiste sõnadega, pseudorühmoid \boldsymbol U on pseudorühmoidi \boldsymbol M alampseudorühmoid, kui U \subseteq M ja

:\mbox{Def}(\circ) \subseteq \mbox{Def}(*) \cap U \times U
ja
:a * b = a \circ b \in U kõikide (a,b) \in \mbox{Def}(\circ) korral.

Rühmoidil \boldsymbol M = (M,*) võib olla alampseudorühmoid, mis ei ole alamrühmoid, nimelt juhul, kui 

:\mbox{Def}(\circ) \subsetneq U \times U =  \mbox{Def}(*) \cap U \times U .

### Näide

Olgu \boldsymbol M = (M,*) ja \boldsymbol U = (U,\circ) pseudorühmoidid, kus M = \{a,b,c\}, U = \{a,b\} ing tehete * ja  \circ Cayley tabelid on

Siis pseudorühmoid \boldsymbol U on pseudorühmoidi \boldsymbol M alampseudorühmoid.

Märkused:
* Tehte b * a tulem võiks olla suvaline (see võiks ka olla a, b või defineerimata), sest (b,a) \notin \mbox{Def}(\circ).
* Kui oleks nii, et (a,b) \notin \mbox{Def}(*), siis pseudorühmoid \boldsymbol U ei oleks pseudorühmoidi \boldsymbol M alampseudorühmoid, sest (a,b) \in \mbox{Def}(\circ), nii et ei kehtiks  \mbox{Def}(\circ) \subset \mbox{Def}(*) \cap U \times U.

### Kinnised alampseudorühmoidid ning pseudorühmoidide laiendid, täielikud laiendid ja lahtised laiendid
Olgu \boldsymbol M = (M,*) pseudorühmoid ja \boldsymbol U = (U,\circ) selle alampseudorühmoid.

* Alampseudorühmoidi \boldsymbol U nimetatakse **kinniseks** pseudorühmoidis \boldsymbol M), kui juhul kui a,b \in U ja (a,b) \in \mbox{Def}(*) ja a*b=c, siis (a,b) \in \mbox{Def}(\circ) ja a\circ b=c. Näide:

* Pseudorühmoidi \boldsymbol M nimetatakse oma alampseudorühmoidi \boldsymbol U **laiendiks**), kui juhul kui a,b \in M ja (a,b) \in \mbox{Def}(*), siis a,b \in U, ja juhul kui c \in M \land c \notin U, siis  \exists (a,b) \in U \times U: (a,b) \in \mbox{Def}(*) \land c=a*b. Näide:

* Pseudorühmoidi \boldsymbol U laiendit  \boldsymbol M nimetatakse selle **täielikuks laiendiks), kui <math>\forall (a,b) \in U \times U: (a,b) \in \mbox{Def}(*)</math>. Näide:


* Pseudorühmoidi <math>\boldsymbol U</math> laiendit <math>\boldsymbol M</math> nimetatakse selle **lahtiseks laiendiks**), kui juhul kui <math>(a,b) \in \mbox{Def}(*)</math>, <math>a*b=c</math> ja <math>c \in U</math>,  siis <math>(a,b) \in \mbox{Def}(\circ)</math> ja <math>a\circ b=c</math>, ning kui <math>c \in M \land c \notin U</math> ja <math>(a,b) \in \mbox{Def}(*) \land (a',b') \in \mbox{Def}(*) \land a*b=a'*b'=c</math>, siis <math>a=a' \land b=b'</math>. Näide:



Märkused:
* Iga pseudorühmoid on iseenda kinnine alampseudorühmoid.
* Iga pseudorühmoid on iseenda lahtine laiend. 
* Iga pseudorühmoid, mis on iseenda täielik laiend, on rühmoid.
* Pseudorühmoidil, mis ei ole rühmoid, saab olla lahtine laiend, saab olla täielik laiend ning saab olla lahtine ja täielik laiend. Lahtise ja täieliku laiendi näide:



== Arvutamisseadused ==

Analoogselt rühmoidiga võib pseudorühmoid olla [[assotsiatiivsus|assotsiatsiivne]] või [[kommutatiivsus|kommutatiivne]], kuid siin tuleb täpsustada määramispiirkonnasse puutuvat. Assotsiatiivsuse ja kommutatiivsuse definitsioonid on niisugused: 

* Pseudorühmoid <math>( M, \circ )</math> on **assotsiatiivne** (ja seda nimetatakse siis ka [[osaline poolrühm|osaliseks poolrühmaks]], kui kõikide <math>x,y,z \in M</math> korral juhul kui <math> x\circ y\in M</math> ja <math> y\circ z\in M</math>, siis 
# <math>x \circ (y \circ z) \in M</math> parajasti siis, kui <math>( x \circ y) \circ z \in M</math>
# ja <math>x \circ (y \circ z ) = ( x \circ y) \circ z</math>, kui <math>x \circ (y \circ z) \in M</math> (ning punkti 1. tõttu ka <math>( x \circ y) \circ z \in M</math>)
* Pseudorühmoid <math>( M, \circ )</math> on **kommutatiivne*', kui kõikide <math>x,y \in M</math> korral
# <math>x \circ y \in M</math> parajasti siis, kui <math> y \circ x \in M</math>
# ja <math>x \circ y = y \circ x</math>, kui <math>x \circ y \in M</math> (ning punkti  1. tõttu ka <math>y \circ x \in M</math>)

==Näited==
*Kõik [[rühmoid]]id on pseudorühmoidid.
*Kui võtta [[naturaalarvude hulk|naturaalarvude hulgal]] tehteks [[lahutamine]] või [[jagamine]] ning defineerida see ainult nende [[naturaalarv]]ude [[järjestatud paar]]ide jaoks, mille korral [[vahe]] või vastavalt [[jagatis]] on naturaalarv, saame mitteassotsiatiivse mittekommutatiivse pseudorühmoidi. 
* [[Väike kategooria|Väikese kategooria]] [[morfism]]ide [[klass (matemaatika)|klass]] on hulk, mis koos [[morfismide korrutamine|morfismide korrutamisega]] moodustab assotsiatiivse pseudorühmoidi. Enamasti saab pseudorühmoidi moodustada ka morfismide klassil.
* Mis tahes [[kujutus]]te hulk *S* koos [[kujutuste korrutamine|kujutuste korrutamisega]]  <math>\circ\colon M\times M\to M, (\operatorname f,\operatorname g)\mapsto\operatorname f\circ\operatorname g</math> moodustab assotsiatiivse pseudorühmoidi <math>(M,\circ).</math>

* [[Formaalne keel]] koos [[konkatenatsioon]]iga moodustab assotsiatiivse pseudorühmoidi. [[Tähestik (matemaatika)|Tähestik]]u [[Kleene kate]] on [[poolrühm]] (isegi [[monoid]]), sest konkatenatsioon on sellel [[kinnine tehe]]. Formaalne keel on aga selle suvaline alamhulk, millel konkatenatsioon üldjuhul ei ole kinnine.

==Kirjandus==
*[[Yoshifumi Inui]], [[François Le Gall]]. *Quantum Property Testing of Group Solvability'', lk 2.

## Välislingid