Buckinghami π teoreem

**Buckinghami π teoreem** on inseneriteaduses, rakendusmatemaatikas ja füüsikas oluline teoreem dimensionaalanalüüsis.

Antud teoreem on formaalsem variant Rayleigh' dimensionaalanalüüsi meetodist. Buckinghami π teoreem ütleb, et füüsikaliselt tähenduslikku *n* füüsikalist suurust siduvat võrrandit saab esitada läbi *p* = *n* − *k* dimensioonitu parameetri *π<sub>1</sub>*, *π<sub>2</sub>*, ..., *π<sub>p</sub>* ning *k* on algsete algsetest füüsikalistest suurustega seotud füüsikaliste põhisuuruste arv (*k* langeb kokku ka dimensioonide arvuga kuna igale dimensioonile vastab põhisuurus).

Teoreem annab juhised, kuidas võrrandeid teadmata leida dimensioonita suuruseid etteantud füüsikalistest suurustest.

## Teoreemi sõnastus

Olgu *f(q**i**)* füüsikaliselt tähenduslik võrrand üldkujul

:f(q_1,q_2,\ldots,q_n)=0,

kus *q**i* tähistavad *n*-i füüsikalist suurust, mida saab esitada *k* põhisuurusega. Sel juhul saab antud võrrandit ümber kirjutada kujul

:F(\pi_1,\pi_2,\ldots,\pi_p)=0,

kus *π<sub>i</sub>* on dimensioonitud parameetrid, mis on leitud *füüsikalistest suurustest q**i* vastavalt valemile *p* = *n* − *k* dimensioonitust võrrandist – *Pi rühmast* – mis avalduvad kujul

:\pi_i=q_1^{a_1}\,q_2^{a_2}\cdots q_n^{a_n},

kus eksponendid *a**i* on ratsionaalarvud.

## Näide teoreemi rakendusestː matemaatilise pendli võnkumine
Määramaks matemaatilise pendli väikese amplituudiga võnkumiste perioodi *T* eeldame, et periood sõltub pendli nööri pikkusest *L*, massist *M* ja raskuskiirendusest *g,* mille  dimensiooniks on pikkus jagatud aja ruuduga. Antud mudeli saab kirja panna kujul

:f(T,M,L,g) = 0.

Antud võrrandis on 3 füüsikalist suurust: aeg t, mass m ja pikkus \ell ning 4 dimensiooniga muutujat *T*, *M*, *L* ja *g*. Seega on vaja 4&nbsp;−&nbsp;3&nbsp;=&nbsp;1 dimensioonitut suurust, mida tähistades π saab mudeli kirja panna kujul

:f(\pi) = 0,

kus π on

:\pi =T^{a_1}M^{a_2}L^{a_3}g^{a_4}

mingite *a*1, ..., *a*4 väärtuste korral.

Dimensiooniga suuruste dimensioonidele vastavad põhisuurused onː

:T = t, M = m, L = \ell, g = \ell/t^2.

Dimensioonide maatriks on:

:M=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & -2\\
0 & 1 & 0 &  0\\
0 & 0 & 1 &  1
\end{bmatrix}.

(Maatriksi read vastavad põhisuurustele t, m, and \ell ja veerud dimensiooniga muutujatele *T*, *M*, *L* ning *g*. Näiteks neljandas veerus (&minus;2,&nbsp;0,&nbsp;1) on kirjas tuletatud suurse *g* moodustavad põhisuurused t^{-2}m^0 \ell^1.)

Otsime tuumavektorit *a* = [*a*1,&nbsp;*a*2,&nbsp;*a*3,&nbsp;*a*4], mis annaks maatriksi *M* ja tuumavektori *a* vektorkorrutise vastuseks nullvektori [0,0,0] ehk M \times a = 0. Antud juhul on selliseks vektoriks:

:a=\begin{bmatrix}2\\ 0 \\ -1 \\ 1\end{bmatrix}.

Dimensioonitu konstandi saab avaldada kujul:

:\begin{align}\pi &= T^2M^0L^{-1}g^1\\
                        &= gT^2/L\end{align}.
Põhisuurustest avaldub see:

:\pi=(t)^2(m)^0(\ell)^{-1}(\ell/t^2)^1 = 1,

mis on dimensioonitu.

Antud näites on analüüs lihtsam, kuna dimensiooniga muutujatest kolm on põhisuurused ja (*g*) avaldub antud põhisuuruste kaudu. Juhul kui vektori a teine element *a*2 oleks nullist erinev puuduks võimalus maatriksi *M* taandamiseks ja seetõttu *a*2 *peab* olema võrdne nulliga. Seega saab antud dimensionaalanalüüsist järeldada, et matemaatilise pendli võnkeperiood ei sõltu tema massist.

Mudel avaldub seega kujul:

:f(gT^2/L) = 0.

Eeldades, et *f* nullkohad on täisarvulised võime öelda, et *gT*2/*L*&nbsp;=&nbsp;*C**n*, kus *C<sub>n</sub>* on *n*is funktsiooni *f* nullkoht. Kui leidub ainult üks nullkoht, siis *gT*2/*L*&nbsp;=&nbsp;*C*. Selgitamaks, et leidub ainult üks nullkoht, *C*&nbsp;=&nbsp;4π2 oleks vaja süsteemi kohta lisateadmisi.

## Vaata ka

* Dimensionaalanalüüs
*Dimensioonita suurus

## Viited