Elektromagnetvälja tensor

**Elektromagnetvälja tensor** on füüsikaline suurus, mis võimaldab elektromagnetvälja kovariantselt kirjeldada. Elektromagnetvälja tensor on neljamõõtmeline tensor, mida hakkas kasutama Hermann Minkowski enda loodud erirelatiivsusteooria formalismis. Elektromagnetvälja tensor võimaldab mõningaid füüsikaseadusi väga kompaktselt kirja panna.

## Detailid

: *Matemaatiline märkus: selles artiklis kasutatakse [[abstraktne indeksinotatsioon|abstraktset indeksinotatsiooni]].*

Elektromagnetvälja tensor F^{\mu\nu} esitatakse tavaliselt maatriksina: 

::F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix}
0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\
E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\
E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\
E_z/c & -B_y & B_x & 0
\end{pmatrix}
 

või

::F_{\mu\nu} = \begin{pmatrix}
0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\
-E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\
-E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\
-E_z/c & -B_y & B_x & 0
\end{pmatrix}
 
:kus
::***E*** on elektriväli, 
::***B*** on magnetväli ja
::***c*** on valguse kiirus.
:Ülaltoodud märgid sõltuvad aegruumi meetrilise tensori valikust. Siin kasutatakse märgikokkulepet +---, millele vastab meetriline tensor
:\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} 

### Omadused
Väljatensori maatrikskujust ilmnevad järgmised omadused:

* antisümmeetria: F^{\mu\nu} \, = - F^{\nu\mu} (millest ka nimi bivektor).
* elektrivälja tensoril on kuus sõltumatut komponenti.

Et tegemist on tensoriga, siis moodustub kontraktsioonidel Lorentzi invariant:
::F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} = \ 2 \left( B^2 - \frac{E^2}{c^2} \right) = \mathrm{invariant} 
Tensori F^{\mu\nu} \, korrutis oma duaalse tensoriga annab pseudoskalaarse invariandi:
:: \epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}F^{\alpha\beta} F^{\gamma\delta} = \frac{4}{c} \left( \vec B \cdot \vec E \right)  = \mathrm{invariant} \,
kus \ \epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta} \, on neljandat järku täielikult antisümmeetiline pseudotensor ehk Levi-Civita sümbol.  

Märkus: ülalasuva avaldise märk sõltub Levi-Civita sümboli jaoks kasutatavast märgikokkuleppest. Siin kasutatud kokkulepe on \ \epsilon_{0123} \, = +1. 

Elektromagnetvälja tensori determinant on
:: \det \left( F \right) = \frac{1}{c^2} \left( \vec B \cdot \vec E \right) ^{2} .

Elektromagnetvälja tensori saab kirja panna 4-vektorpotentsiaali A^{\alpha} \, kaudu:

::
F_{ \alpha\beta } \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \frac{ \partial A_{\beta} }{ \partial x^{\alpha} } - \frac{ \partial A_{\alpha} }{ \partial x^{\beta} } \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ 
\partial_{\alpha} A_{\beta} - \partial_{\beta} A_{\alpha}
Kus nelivektorpotentsiaal on moodustatud magnetvälja vektorpotentsiaalist ja elektrivälja (skalaarsest) potentsiaalist:
::A^{\mu} = \left( \frac{\phi}{c} , \vec A \right) 
ja selle kovariantne kuju leitakse korrutamisel Minkowski meetrikaga \eta \, :
::A_{\mu} \, = \eta_{\mu\nu} A^{\nu} = \left( -\frac{\phi}{c}, \vec A \right) 

## Maxwelli võrrandid

Maxwelli võrrandid võtavad elektromagnetilise tensori kaudu väljendudes võrdlemisi kompaktse kuju. Elektrivälja jaoks kehtib  

::\partial_{\beta} F^{\alpha\beta} = \mu_0 J^{\alpha} \,
kus
::J^{\alpha} = ( c \, \rho , \vec{J} ) \, 
on elektrilaengu 4-vool.

Võrrandid magnetismi jaoks taanduvad kujule

::F_{ \alpha \beta , \gamma } + F_{ \beta \gamma , \alpha } + F_{ \gamma \alpha , \beta } = 0 \,

kus koma tähistab osatuletist

:{\partial f \over \partial x^\gamma}\equiv \partial_\gamma f \equiv {f}_{,\gamma}.

## Vaata ka

* Elektromagnetism