Wieneri filter

**Wieneri filter** on filtreerimistehnika, mida kasutatakse algse või soovitud mürarikka objekti (*nt: pildi või signaali*) taastamiseks või puhastamiseks. 

Wieneri filter teostab dekonvulutsiooni pöördfiltreerimisega kõrgpääsfiltriga ning lisaks eemaldab müra kasutades madalpääsfiltrit.
See filtreerimisviis on lineaarne eeldus originaalist, mida tihti kasutatakse. Wieneri filtreerimine on optimaalne kompromiss pöördfiltreerimise ja müra silumise vahel. Wieneri filtri optimaalsus väljendub *Mean Square Errori* (MSE) üleüldises minimeerimises.

*Pilt 1 – Wiener filtri demonstratsioon hägustatud pildil*

## Ülevaade
Wieneri teooria, mille sõnastas Norbert Wiener 1940. aastatel, lõi aluse andmetest sõltuvate lineaarsete *Mean Squared Errori* veafiltritele. 

Wieneri filtri peamiseks kasutamise eesmärgiks on leida arvutuslikult statistiline eeldus tundmatule signaalile, selleks kasutades seotud signaali (algsignaali vms) sisendina ning filtreerides antud tuntud signaali ning seeläbi luua eeldus väljundiks. Näiteks kontserdil esitatavat muusikat telefoniga salvestades on helifailil kuulda palju kõrvalist mitte soovitud müra. Selleks võib näiteks olla plaksutamine, inimeste sahistamine või jutukõmin. Eeldades, et salvestamine algas enne kontserdil muusika algust, saame eraldada salvestise algusest mingi osa helifailist ja seeläbi anda antud signaal Wieneri filtri sisendiks. Kasutades antud filtrit alginfoga kogu salvestuse peal on võimalik välja filtreerida kõrvaline ebasoovitud müra ning alles jätta soovitud kontserdi muusika. 

Tavalised ette määratud filtrid on loodud vastava sagedus koste tarvis. Näiteks kõrgpääsfilter on loodud nii, et filtreerimisprotsessis jäetakse alles kõik sagedused, mis ületavad mahalõikesagedust. Madalpääsfilter aga eemaldab filtreerimisprotsessis kõik sagedused, mis ületavad mahalõikesagedused. Wieneri filter läheneb filtreerimisele hoopis teisiti. Wieneri filter töötab eeldustega. See eeldab mingisuguseid teadmisi originaalse signaali ja müra kohta. Need on aspektid, mis ei mängi absoluutselt rolli tavapäraste filtrite puhul.
Wieneri filtriga filtreerimisel otsitakse lineaarset ajas muutmatut signaali, mis oleks võimalikult sarnane originaalsignaaliga. Wieneri filtri karakteriseeritakse järgmiste aspektidega: 
* Eeldus – algsignaal ja soovimatu müra on statsionaarsed, lineaarsed stohhastilised protsessid
* Tingimused – filter ja filtri lahendus peab olema realiseeritav (vt Kasutusvaldkond ja lahendusviisid)
* Tulemused – *mean square error* peab olema minimaalne
## Kasutusvaldkonnad ja lahendusviisid
Wieneri filtrid omavad keskset rolli nii pilditöötluses, signaalitöötluses, juhtimissüsteemides kui ka digitaalses suhtluses. Peamised ülesanded, mida antud teemades Wieneri filtrid kannavad on: 
* Lineaarne ennustamine
* Kaja eemaldamine
* Signaali taastamine
* Kanali tasakaalustamine (heli moonutuse eemaldamine e originaalheli taastamine)
* Süsteemide identifitseerimine 

Wieneri filtril on ka kolm erinevat lahendust, mida kõiki kasutatakse olenevalt probleemi eeldustest ja olemasolevast informatsioonist: 
**Causal* lahendus – seda kasutatakse, kui on olemas lõputus koguses alginfot.
**Non-causal* lahendus – seda kasutatakse, kui on olemas lõputus koguses alginfot ja lõputult olemas tulevikku puudutavat infot.
**Finite Impulse Response (FIR)* lahendus – seda kasutatakse, kui kasutatakse ainult sisendinfot.

Wieneri filtri kasutusjärjekorra valikut mõjutab peamiselt:
# filtri võimekust eemaldada moonutusi ja vähendada müra
# filtri arvutuslikku raskusastet
# Wieneri lahenduse valemi numbrilist stabiilsust

Wieneri filtri pikkust oleneb ka aplikatsioonist ning spetsiifilisest Wieneri filtri implementatsioonist. Näiteks võib tuua Wieneri filtri filtripanga implementatsiooni täiendava müra vähendamiseks. Siinkohal Wieneri filtri koefitsientide arv on võrdeline filtripankade arvuga ja tavaliselt antud filterpankade arv võib jääda suurusvahemiku 16–64.

## Implementatsioon
### Wieneri filtri implementatsioon helitöötluses
Wieneri filtri rakendamine täiendava müra vähendamiseks vajab autokorrelatsiooni funktsioone või samaväärset signaali võimsusspektrit ja müra võimsusspektrit. Müra võimsusspektrit on võimalik saada signaali passiivsest vahemikust, kus eksisteerib ainult müra. Eeldus siinkohal on, et müra võimsusspekter on võrdlemisi statsionaarne uuendus perioodide vahel. Reaalsuses antud eeldus on üsna mõistilk, kuna see hõlmab näiteks arvuti ventilatsioonide pöörlemist, autoliiklust akna taga vms. Probleem, mis Wieneri filtri kasutamisel tavaliselt tekib, on just müra võimsusspektri mittestatsionaarsus eelpool mainitud uuendus perioodide vahel, nt kontserdil olles lauljaga kaasa laulvad austajad. Soovitud signaal on tihti ümbritsetud müraga ning autokorrelatsioon või soovitud signaali võimsusspektrid ei ole nii kergesti saadaval.

### Wieneri filtri implementatsioon pilditöötluses
Wieneri filtri rakendamine pilditöötluses ei erine eriti sama filtri rakendamisest helitöötluses. 
Wieneri filtri kohaldamiseks praktikas me peame eeldama originaalpildi võimsusspektrit ning pildil olevat lisandunud müra. Valge lisamüra puhul on võimsusspekter võrdeline müra dispersiooniga. Originaalpildi võimsusspektri hindamiseks on palju meetodeid – kõige otsesem hinnang saavutatakse võimsusspektri periodogrammi eeldusega, mida on võimalik arvutada vaatlusega saadavast informatsioonist.

## Viited