Poolrühm

**Poolrühm** (inglise keeles *semigroup*) on rühmoid, mille tehe on assotsiatiivne. 

Poolrühmi uurib algebra haru, mida kutsutakse poolrühmateooriaks.

## Definitsioon
**Poolrühmaks** nimetatakse hulka *S* koos kahekohalise algebralise tehtega *: S\times S\to S, \; (x,y)\mapsto x*y (igale hulga *S* elementide järjestatud paarile (*x*,*y*) seatakse vastavusse mingi element hulgast *S*, mida tähistatakse *x*y*), mis on assotsiatiivne, st kõikide hulga *S* elementide *x*, *y*, *z* korral kehtib võrdus 

:(x*y)*z = x*(y*z).

Näiteks naturaalarvude hulk \mathbb{N} on poolrühm nii hariliku korrutamistehte kui ka hariliku liitmistehte suhtes. Ka täisarvude hulk \mathbb{Z} on poolrühm liitmise ja korrutamise suhtes, kuid mitte lahutamistehte suhtes (sest näiteks (1-2)-3 = -4 \neq 2 = 1-(2-3) ).

## Tehe
Poolrühmal defineeritud tehe on kahekohaline algebraline tehe. Poolrühma elementide x ja y korral tähistatakse nendele elementidele tehte rakendamisel saadavat elementi tihti ka järgmiselt:

:x\cdot y (või lihtsalt xy).

Seda võib mõista ka kui poolrühma operaatori rakendamist järjestatud paarile (x,y).

Kui poolrühma tähistamisel ei ole spetsiaalselt välja toodud tehet, siis võib tavaliselt eeldada, et tehteks on korrutamine. Muul juhul võib tehteks olla ka näiteks liitmine, maksimumi võtmine, suurima ühisteguri leidmine, vähima ühiskordse leidmine vms. Sellisel juhul võib kirjutada ka vastavalt x+y, max(x,y), min(x,y) vms.

### Assotsiatiivsus
 
Assotsiatiivsuse samasuse abil saab tõestada, et tehte tulemus poolrühmas ei sõltu sulgude paigutusest. Näiteks elemendid x*(y*(z*w)) ja (x*y)*(z*w) on võrdsed. Selle omaduse tõttu jäetakse poolrühma elementidega arvutades sulud tihti üldse kirjutamata. 

Assotsiatiivsus kehtib ka iga poolrühma alampoolrühmade korral. Olgu nendeks alampoolrühmadeks X, Y ja Z. Siis

:(XY)Z=X(YC).

### Korrutamine
Olgu X poolrühm korrutamise suhtes. Siis defineeritakse mistahes elemendi x \in X astmed järgmiselt:

:x^n=\underbrace{xxx\cdots x}_{n}.

### Liitmine
Olgu X' poolrühm liitmise suhtes. Siis defineeritakse mistahes elemendi x \in X' kordsed järgmiselt:

:nx=\underbrace{ x+x+\cdots+x }_{n}.

## Elemendid
Poolrühma (S,*) elementi e nimetatakse **[[idempotent|idempotendiks]]**, kui e*e=e (ehk e^2=e).

Poolrühma (S,*) elementi z nimetatakse **nullelemendiks**, kui z*x=z=x*z iga x\in S korral. Poolrühmas saab olla ainult üks nullelement ja harilikult tähistatakse seda sümboliga 0.

## Eri tüüpi poolrühmi

### Kommutatiivne poolrühm
Kui poolrühma suvaliste elementide x ja y korral kehtib võrdus xy=yx, siis nimetatakse seda poolrühma kommutatiivseks poolrühmaks.

### Vaba poolrühm
Poolrühma X elementidest koosnevatest lõplikest jadadest koosnevat struktuuri nimetatakse vabaks poolrühmaks (tähistus X'), kui jadadel tehet teostades ei muutu ükski jada(de)sse kuuluv element ega nende järjekord.

**Näide 1.**

Jadade (abcd),(lmnop)\in X' ning elementide a,b,c,d,l,m,n,o,p\in X korral:

:(abcd)(lmnop)=abcdlmnop.

**Näide 2.**

Olgu \bigtriangleup\in X. Siis \bigtriangleup\bigtriangleup, \bigtriangleup\bigtriangleup\bigtriangleup, ...\in X'.

Seega (\bigtriangleup\bigtriangleup)(\bigtriangleup\bigtriangleup\bigtriangleup)=\bigtriangleup\bigtriangleup\bigtriangleup\bigtriangleup\bigtriangleupvõi liitmistehte korral: \bigtriangleup\bigtriangleup+\bigtriangleup\bigtriangleup\bigtriangleup=\bigtriangleup\bigtriangleup\bigtriangleup\bigtriangleup\bigtriangleup.

## Seos teiste struktuuridega
Poolrühm on üks algebralistest struktuuridest. Poolrühmas on tehete arv sama kui näiteks rühmoidis, monoidis, rühmas ja Abeli rühmas.

Kõrvaldades poolrühmalt assotsiatiivsuse nõude, tekib rühmoid.

Lisades aga ühikelemendi nõude, tekib monoid. Selleks piisab ühe elemendi, täpsemini ühikelemendi, poolrühma elementidele juurde lisamisest.

## Näited
**Poolrühm on:**
* naturaalarvude hulk korrutamise suhtes,
* naturaalarvude hulk liitmise suhtes,
* naturaalarvude hulk suurima ühisteguri võtmise suhtes,
* naturaalarvude hulk vähima ühiskordse leidmise suhtes,
* täisarvude hulk korrutamise suhtes,
* täisarvude hulk liitmise suhtes,
* ratsionaalarvude hulk korrutamise suhtes,
* ratsionaalarvude hulk liitmise suhtes,
* reaalarvude hulk korrutamise suhtes,
* reaalarvude hulk liitmise suhtes,
* vektorruum vektorite tavalise liitmise suhtes,
* hulga *X* kõigi teisenduste hulk *T(X)* teisenduste järjestrakendamise suhtes, 
* *n*-ndat järku reaalarvuliste elementidega ruutmaatriksite hulk maatriksite korrutamise suhtes,  
* vasakpoolse korrutamisega rühmoid (ehk vasakpoolne tegur on alati korrutiseks, st xy=x iga *x* ja *y* korral).
**Poolrühm ei ole:**
* naturaalarvude hulk astendamise suhtes,
* täisarvude hulk lahutamise suhtes,
* kolmemõõtmelise ruumi vabavektorite vektorruum vektorkorrutamise suhtes.

## Viited