Laplace'i operaator

**Laplace'i operaator** on matemaatikas kaks korda diferentseeruvatele mitme muutuja funktsioonidele rakendatav diferentsiaaloperaator, mis on eukleidilises ruumis defineeritud kui funktsiooni gradiendi divergents.

Ristkoordinaatides avaldub Laplace'i operaator kujul

: \Delta = \nabla^2 = \sum_{i=1}^n {\partial^2\over \partial x_i^2},

kus \nabla on nabla-operaator ja \partial / \partial x_i tähistab osatuletise võtmise operaatorit muutuja x_i järgi.

Laplace'i operaator on saanud nimetuse prantsuse matemaatiku Pierre-Simon de Laplace'i (1749–1827) järgi. Laplace kasutas antud operaatorit esmakordselt taevamehaanikas, kus ta gravitatsioonivälja potentsiaalile rakendatuna annab konstandi kordse massi tiheduse. Selle võrrandi Δ*f*  0 üldisemat kuju nimetatakse tänapäeval Laplace'i võrrandiks.

## Laplace'i operaator eri koordinaadistikes
### Kahemõõtmelises ruumis
Laplace'i operaatori rakendamine kahe muutuja funktsioonile f(x,y) annab ristkoordinaatides *x* ja *y'

:<math>\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}</math>

[[Polaarkoordinaadid|Polaarkoordinaatides]] kehtib

:<math> \Delta f 
= {1 \over r} {\partial \over \partial r}
  \left( r {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}
. 
</math>

=== Kolmemõõtmelises ruumis ===
Kolmes dimensioonis on Laplace'i operaatori kuju olulisemates [[koordinaadisüsteem]]ides järgmine:

[[Ristkoordinaadid|Ristkoordinaatides]]:

:<math>
\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.
</math>

[[Silindrilised koordinaadid|Silindrilistes koordinaatides]]:

:<math> \Delta f 
= {1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho}
  \left( \rho {\partial f \over \partial \rho} \right) 
+ {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}
+ {\partial^2 f \over \partial z^2 }. 
</math>

[[Sfäärilised koordinaadid|Sfäärilistes koordinaatides]]:

:<math> \Delta f 
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}.
</math>

(<math> \theta \ </math> tähistab [[sfääriline laius|sfäärilist laiust]] ja <math>\phi</math> [[sfääriline pikkus|sfäärilist pikkust]]).

Avaldise <math>{1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right)</math> võib asendada samaväärse avaldisega <math>{1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2} \left( r f \right)</math>.

=== *N* dimensioonis ===
*N*-dimensionaalsetes sfäärilistes koordinaatides, mis on parametriseeritud kujul <math>x=r\theta \in {\mathbb R}^N</math>, kus <math>r \in [0,+\infty)</math>, <math> \theta \in S^{N-1}</math>, on Laplace'i operaatoril kuju

:<math> \Delta f
= \frac{\partial^2 f}{\partial r^2}
+ \frac{N-1}{r} \frac{\partial f}{\partial r}
+ \frac{1}{r^2} \Delta_{S^{N-1}} f
</math>

kus <math>\Delta_{S^{N-1}}</math> on [[Laplace'i-Beltrami operaator]] <math>N-1</math> dimensionaalsel [[sfäär]]il ehk [[sfääriline Laplace'i operaator]].

Avaldise <math>{\partial^2 f \over \partial r^2} + \frac{N-1}{r} \frac{\partial f}{\partial r}</math> võib asendada samaväärse avaldisega <math>\frac{1}{r^{N-1}} \frac{\partial}{\partial r} \Bigl(r^{N-1} \frac{\partial f}{\partial r} \Bigr).</math>

== Laplace'i operaator diferentsiaalvõrrandites ==
Laplace'i operaator esineb paljudes olulistes [[diferentsiaalvõrrand]]ites. Neist mõned on:

[[Laplace'i võrrand]]:
: <math>\Delta f = 0 \, ,</math>
kusjuures selle võrrandi lahendeid nimetatakse [[Harmooniline funktsioon|harmoonilisteks funktsioonideks]].

[[Biharmooniline võrrand]]:
: <math>\Delta^2 f = 0 \, ,</math>
kusjuures selle võrrandi lahendeid nimetatakse [[biharmooniline funktsioon|biharmoonilisteks funktsioonideks]].

[[Poissoni võrrand]]:
: <math>\Delta f = -g \, ,</math>
kus *g* on teadaolev funktsioon.

[[Lainevõrrand]]:
:<math>\Delta f = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} \, ,</math>
kus <math>c</math> on laine liikumise kiirus.

[[Difusioonivõrrand]]:
: <math>\frac{\partial f}{\partial t} = k \Delta f</math>
kus *k'' on konstant.

Schrödingeri võrrand kvantmehaanikas:
: i \hbar \frac{\partial \phi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta \phi + V \phi\, ,
kus \phi on lainefunktsioon, \hbar on taandatud Plancki konstant, m on osakese mass ja V on potentsiaalne energia.

## Vaata ka
* Nabla-operaator
* Pierre-Simon Laplace

## Viited

## Välislingid

*Wolfram MathWorld, Laplacian (inglise keeles)