Kahe valimi t-test

**Kahe valimi ''t''-test** on üks statistiline test, üks ''t''-testidest. See kontrollib kahe valimi keskmiste järgi, kas kahe üldkogumi keskmised on omavahel võrdsed (alternatiiviks on see, et üks keskmistest on teisest väiksem).

Kahe valimi *t*-testil on kaks varianti:

* kahe sõltumatu valimi jaoks, kusjuures mõlemal üldkogumil on *sama* standardhälve* <math>\sigma</math>
*kahe mittesõltumatu valimi jaoks.

Kui kaks sõltumatut valimit pärinevad *erineva* standardhälbega üldkogumitest, siis tuleb kasutada [[Welchi test]]i.

== Testi idee ==

Kahe valimi *t*-test kontrollib (lihtsaimal juhul) kahe valimi keskmiste <math>\bar{x}_1</math> ja <math>\bar{x}_2</math> järgi, kas vastavate üldkogumite keskmised on erinevad. 

Joonis näitab kahte üldkogumit (mustad punktid) ja kahte valimit  (sinised ja punased punktid), mis on üldkogumitest juhuslikult valitud. Valimite keskmised <math>\bar{x}_1</math> ja <math>\bar{x}_2</math> saab valimitest, arvutada, üldkogumite keskmised  <math>\mu_1</math> ja <math>\mu_2</math> on aga tundmatut. Joonisel on üldkogumid nii konstrueritud, et nende keskmised on võrdsed:  <math>\mu_1=\mu_2</math>. Nüüd oletatakse ajaloosündmuste tõttu või teoreetilistel kaalutlustel, et üldkogumite keskväärtused <math>\mu_1</math> ja <math>\mu_2</math> on erinevad.

Lihtsaimal juhul kontrollib test  
*[[nullhüpotees]]]i, et üldkogumite keskmised on võrdsed (<math>H_0:\,\mu_1=\mu_2</math>), *[[alternatiivhüpotees]]i vastu, et üldkogumite keskmised on erinevad  (<math>H_1:\,\mu_1\neq\mu_2</math>).



Kui valimid on sobivalt valitud, näiteks [[lihtne juhuvalim|lihtsate juhuvalimitena]], siis on valimi 1 keskmine <math>\bar{x}_1</math> suure tõenäosusega üldkogumi 1 keskmise <math>\mu_1</math> lähedal ja valimi 2 keskmine <math>\bar{x}_2</math> suure tõenäosusega üldkogumi 2 keskmise <math>\mu_2</math> lähedal. See tähendab, [[kaugus]] punase ja musta [[punktiirjoon]]e vahel ning kaugus sinise ja musta punktiirjoone vahel on suure tõenäosusega väikesed. 

*Kui <math>\bar{x}_1</math> ja <math>\bar{x}_2</math> vaheline kaugus ehk sinise ja punase punktiirjoone vaheline kaugus on väike, siis on ka üldkogumite keskmised  <math>\mu_1</math> ja <math>\mu_2</math> lähestikku. Siis ei saa nullhüpoteesi tagasi lükata.
*Kui <math>\bar{x}_1</math> ja <math>\bar{x}_2</math> vaheline kaugus ehk sinise ja punase punktiirjoone vaheline kaugus on suur, siis on ka üldkogumite keskmised  <math>\mu_1</math> ja <math>\mu_2</math> teineteisest kaugel. Siis võib nullhüpoteesi tagasi lükata.  

Täpsed arvutused on järgnevates jaotistes. 

== Kahe valimi *t*-test sõltumatute valimite korral ==

Et uurida kahe võrdse tundmatu standardhälbega <math>\sigma</math> üldkogumi keskmiste vahesid, kasutatakse kahe valimi *t*-testi.  Selleks peavad mõlemad üldkogumid olema [[normaaljaotus]]ega või valimid nii suured, et rakendub [[tsentraalne piirteoreem]], (valimite suurus ületab 30).  Testi jaoks valitakse *n*-elemendiline valim <math>x_1, \ldots, x_n</math>  1. üldkogumist ja sellest sõltumatult *m*-elemendiline valim <math>y_1,\ldots,y_m</math>  2. üldkogumist. Vastavate [[statistiline sõltumatus|sõltumatute]] [[valimimuutuja]]te <math>X_1,\ldots,X_n</math> ja <math>Y_1,\ldots,Y_m</math> [[keskväärtus]]te kohta kehtib siis   <math>E(X_i)=\mu_X</math> ja <math>E(Y_j)=\mu_Y</math>, kus <math>\mu_X</math> ja <math>\mu_Y</math> on üldkogumite keskmised. Kui keskmiste vahe jaoks on ette antud arv <math>\omega_0</math>, siis ütleb nullhüpotees, et 
:<math>H_0:\,\mu_X-\mu_Y=\omega_0,</math>

ja alternatiivhüpotees, et
:<math>H_1:\,\mu_X-\mu_Y \neq \omega_0</math>.  

[[Statistiline kriteerium|Statistiliseks kriteeriumiks]] osutub 

:<math>T=\frac{\bar X-\bar Y - \omega_0}{S\sqrt{\frac 1n+\frac 1m}} = \sqrt{\frac{nm}{n+m}} \frac{\bar X-\bar Y - \omega_0}{S},</math>

kus<math>\scriptstyle \bar X</math> ja <math>\scriptstyle \bar Y</math> on vastavad [[valimikeskmine|valimikeskmised]] ja 

:<math>S^2 = \frac{(n-1)S_X^2 + (m-1)S_Y^2}{n+m-2}</math> 

[[kaalutud dispersioon]], mis arvutatakse [[valimi dispersioon|valimite dispersioonide]] <math>\scriptstyle S_X^2</math> ja <math>\scriptstyle S_Y^2</math> [[kaalutud keskmine|kaalutud keskmisena]].

Statistilisel kriteeriumil <math>T</math> on nullhüpoteesi korral <math>m+n-2</math> [[vabadusaste|vabadusastmega]] [[Studenti *t*-jaotus|*t*-jaotus]]. [[Kontrollväärtus]] (statistilise kriteeriumi realisatsioon valimi korral) saadakse siis kujul

:<math>t=\sqrt{\frac{nm}{n+m}} \frac{\bar x -\bar y - \omega_0}{s},</math>

kus <math>\bar x</math> ja <math>\bar y</math> on valimist arvutatavad keskväärtused ja  
:<math>s^2=\frac{(n-1)s_x^2 + (m-1)s_y^2}{n+m-2}</math>
kaalutud dispersiooni realisatsioon, mis arvutatakse valimite dispersioonidest  <math>\scriptstyle s_x^2</math> ja <math>\scriptstyle s_y^2</math>.

[[Olulisnivoo]]l <math>\alpha</math> lükatakse nullhüpotees alternatiivi kasuks tagasi, kui 
:<math>|t| > t(1-\tfrac 12 \alpha,\ n+m-2).</math>

Teise võimalusena võib sama statistilise kriteeriumiga <math>T</math> testida järgmisi hüpoteese:

* <math>\!H_0:\mu_X-\mu_Y\leq\omega_0</math> versus <math>\!H_1:\mu_X-\mu_Y>\omega_0</math> ja nullhüpotees lükatakse tagasi, ui <math>t > t(1-\alpha,\ m+n-2)</math>.
* <math>\!H_0:\mu_X-\mu_Y\geq\omega_0</math> versus <math>\!H_1:\mu_X-\mu_Y<\omega_0</math> ja nullhüpotees lükatakse tagasi, kui <math>t < -t(1-\alpha,\ m+n-2)</math>.

=== Märkus ===

Kui üldkogumite dispersioonid ei ole võrdsed, siis tuleb teha [[Welchi test]].

=== Näide 1 ===

Tuleb võrrelda väetisesorte. Selleks kasutatakse 25 väetisena ühesuurust portsjonit, nimelt <math>n=10</math>&nbsp;portsjonit väetist sordist&nbsp;A ja <math>m=15</math>&nbsp;portsjonit väetist sordist&nbsp;B. Eeldatake, et saakidel on normaaljaotus ja dispersioonid on võrdsed. Esimese sordi puhul on keskmine saak <math>\bar x = 23{,}6</math> valimi dispersiooniga <math>s_x^2 = 9{,}5</math> ja teise sordi puhul on keskmine saak <math>\bar y = 20{,}1</math> dispersiooniga <math>s_y^2 = 8{,}9</math>. Kaalutud keskmiseks saame
: <math>s^2 = \frac{9\cdot 9{,}5 + 14 \cdot 8{,}9}{10+15-2} = 9{,}135</math>.
Siit saame kontrollväärtuse
: <math>t = \sqrt{\frac{10 \cdot 15}{10+15}} \cdot \frac{23{,}6-20{,}1}{\sqrt{9{,}135}} = 2{,}837</math>.
See väärtus on suurem kui <math>10+15-2=23</math> vabadusastmega *t*-jaotuse 0,975-[[kvantiil]] <math>t(0{,}975;\ 23) = 2{,}069</math>.
Järelikult saab <math>95 \%</math>-ise usaldusega väita, et väetisesortide toimes on erinevus. 

== Kahe valimi *t*-test mittesõltumatute valimite korral (paarisvõrdluse *t*-test) ==




Siin on <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> und <math>y_1, y_2, \dots, y_n</math> kaks paarikaupa erinevat valimit, mis on saadud näiteks samade uuritavate üksuste kahest [[mõõtmine|mõõtmisest]] ([[korduvmõõtmine]]). Valimid võivad olla paarikaupa mittesõltumatud ka muudel põhjustel, näiteks kui <math>x</math>-i ja <math>y</math>-i väärtused on partnerluses olevate naiste ja meeste näidud ning huvi pakuvad soolised erinevused. 

Selleks et testida nullhüpoteesi, et normaaljaotusega üldkogumil on võrdsed keskmised, võib testida [[ühe valimi t-test|ühe valimi *t*-test]]i abil [[statistiline hüpotees|hüpoteesi]], et vahede <math>d_i = x_i - y_i</math> keskmine on null. Praktikas peab väiksemate valimite (<math>n\leq30</math>) korral olema täidetud tingimus, et vahedel on üldkogumis normaaljaotus. Piisavalt suurte valimite korral jaotuvad paaride vahed ligikaudselt normaaljaotusega ümber üldkogumi vahe [[aritmeetiline keskmine|aritmeetilise keskmise]]. Tingimuste täidetuse suhtes ei ole *t*-test kuigi tundlik.

=== Näide 2 ===
Et testida uut ravimeetodit [[kolesterooli tase]]me alandamiseks, määratakse 10 katsealusel kolesterooli tase enne ja pärast ravi. Saadakse järgmised näidud:


Näitude vahede aritmeetiline keskmine on <math>\bar d = 5{,}9</math> ja valimi [[standardhälve]] on <math>s_d=11{,}3866</math>. Kontrollväärtuseks saame 
: <math>t=\sqrt{10}\frac{5{,}9}{11{,}3866}=1{,}6385</math>.
Et <math>t(0{,}975;\ 9) = 2{,}2622</math>, siis <math>|t| \leq t(0{,}975;\ 9)</math>. Seega *ei saa* nullhüpoteesi, et kolesteriini taseme keskväärtused on enne ja pärast ravi võrdsed, nii et ravil *pole toimet*, [[olulisusnivoo]]l <math>\alpha=5\%</math> tagasi lükata.
Et <math>t<t(0{,}95;\ 9) = 1{,}8331</math>, siis ka ühepoolne alternatiiv, et ravi *alandab* kolesterooli taset, statistiliselt oluline. Kui ravil üldse toime on, pole see nii suur, et seda võiks nii väikse valimi pealt avastada.

== Welchi test ==

Welchi testi puhul arvutatakse [[statistiline kriteerium]] sarnaselt nagu kahe valimi *t*-testi puhul:

:<math>T=\frac{\bar X-\bar Y - \omega_0}{\sqrt{\frac{S_X^2}n+\frac{S_Y^2}m}}  \approx t_\nu.</math>

Ent sellel kriteeriumil ei ole nullhüpoteesi korral *t*-jaotust, vaid seda lähendatakse *t*-jaotuse abil vabadusastmete arvu muutmise teel (vaata ka [[Behrensi-Fisheri probleem]]):

:<math>\nu = { \left(\frac{s_x^2}{n} + \frac{s_y^2}{m}\right)^2  \over  \frac 1{n-1} \left(\frac{s_x^2}{n}\right)^2 + \frac 1{m-1}\left(\frac{s_y^2}{m}\right)^2 },</math>

kus <math>s_x</math> ja <math>s_y</math> on üldkogumite standardhälvete hinnangud valimite järgi ning  <math>n</math> ja <math>m</math> on valimite suurused.

Kuigi Welchi test on välja töötatud spetsiaalselt juhtumiks, kus <math>\sigma_X\neq\sigma_Y</math>, ei tööta ta hästi, kui vähemalt üks jaotus on mittenormaalne ning juhtumite arvud on väikesed ja väga erinevad  <math>n\neq m</math>).


== Alternatiivsed testid ==

*t*-testi kasutatakse selleks, et testida hüpoteese ühe või kahe tundmatu standardhälbega normaaljaotusega üldkogumitest võetud valimi keskväärtuste kohta. 
* Eeldust, et kumbki rühm omaette on normaaljaotusega, saab kontrollida [[Shapiro-Wilki test]]iga või [[Kolmogorovi-Smirnovi test]]iga. Kui normaaljaotus puudub, võib *t*-testi asemel kasutada [[mitteparameetriline statistika|mitteparameetrilisi]] teste, näiteks [[Wilcoxoni-Manni-Whitney test]]i ehk Manni-Whitney *U*-kriteeriumi ehk [[Wilcoxoni astaksummatest]]i sõltumatute valimite korral või [[Wilcoxoni astakmärgitest]]i paarikaupa seotud valimite korral. Lihtne alternatiivne meetod kiireks hindamiseks on [[Tukey kiire test]].
*Kui on tarvis testida keskväärtuste võrdsust rohkem kui kahe normaaljaotusega valimi puhul, võib kasutada [[dispersioonanalüüs]]i.
*Kui tuleb võrrelda keskväärtusi teadaoleva standardhälbega normaaljaotusega valimite puhul, siis võib kasutada [[Gaußi test]]e.

==Viited==
</ref>

}}

==Välislingid==
*[http://matheguru.com/stochastik/t-test.html#rechner Võimalus teha *t''-teste]