Leĝo de kosinusoj

eta|198px|dekstra|Triangulo
En trigonometrio, la **leĝo de kosinusoj**, nomita ankaŭ **kosinusa formulo**, **kosinusa regulo**, **kosinusa teoremo** aŭ **kosinusa teoremo de Carnot**, estas interrilato inter longoj de lateroj kaj kosinuso de unu el anguloj ĉe triangulo sur eŭklida ebeno.

: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)\,

kie *c* estas longoj de latero kontraŭa al angulo *γ*,
: *a* kaj *b* estas longoj de latero inter kiuj estas angulo *γ*.

Ekvivalente por la aliaj anguloj de la triangulo la leĝo estas:

: b^2 = c^2 + a^2 - 2ca\cos(\beta)\,
: a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\alpha)\,

La leĝo de kosinusoj estas ĝeneraligo de la teoremo de Pitagoro, kiu veras nur por ortaj trianguloj: se la angulo *γ* estas orto (90° aŭ *π/2* radianoj), tiam *cos γ=0*, kaj tial la leĝo de kosinusoj reduktiĝas al

: c^2 = a^2 + b^2 \,

kio estas la teoremo de Pitagoro.

## Aplikoj 
eta|240px|Aplikoj de la leĝo de kosinusoj: nekonata latero kaj nekonata angulo.

La leĝo de kosinusoj povas esti uzata por komputi la trian lateron de triangulo se du lateroj kaj angulo inter ili estas sciataj:

:c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)}\,

Tiel la teoremo estas uzata en triangulado.

La leĝo de kosinusoj povas esti uzata por komputanti angulojn de triangulo se ĉiuj tri lateroj estas sciataj:

:\gamma = \cos^{-1} \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\,

La leĝo de kosinusoj povas esti uzata por komputi la trian lateron de triangulo se du lateroj kaj angulo kontraŭa al unu el ili estas sciataj:

:a=b\cos(\gamma) \pm \sqrt{c^2 -b^2\sin^2(\gamma)}\,

Ĉi tiuj formuloj produktas grandajn rondigajn erarojn en flosantaj punktaj kalkuloj se la triangulo estas tre akuta, kio estas, se *c* estas malgranda relative al *a* kaj *b* aŭ *γ* estas malgranda.

La tria formulo estas la rezulto de solvado por *a* de la kvadrata ekvacio

: *a*2 − 2*ab* cos γ + *b*2 − *c*2 = 0.

Ĉi tiu ekvacio povas havi 0, 1 aŭ 2 pozitivajn solvaĵojn depende de kvanto de eblaj trianguloj donitaj per la datumoj *b*, *c* kaj *γ*. Estas du pozitivaj solvaĵoj se *b* sin(γ)  b* aŭ *c* = *b*&nbsp;sin(*C*), kaj ne estas pozitivaj solvaĵoj se *c* c = \sqrt{(b\cos \theta - a)^2+(b\sin \theta - 0)^2} kaj plu:

: 
\begin{align}
c^2 & {} = (b\cos \gamma - a)^2+(b\sin \gamma - 0)^2 \\
c^2 & {} = b^2 \cos ^2 \gamma - 2ab\cos \gamma + a^2 + b^2\sin ^2 \gamma \\
c^2 & {} = a^2 + b^2 (\sin ^2 \gamma + \cos ^2 \gamma ) - 2ab\cos \gamma \\
c^2 & {} = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma
\end{align}

## Izocela okazo 
Se la triangulo estas izocela, *a* = *b*, la leĝo de kosinusoj plisimpliĝas) grave. Ĉar tiam *a*2 + *b*2 = 2*a*2 = 2*ab*, la leĝo de kosinusoj iĝas kiel

: \cos(\gamma) = 1 - \frac{c^2}{2a^2}.

## Analogo por kvaredroj 
Estu  \scriptstyle{\alpha,\ \beta,\ \gamma,\ \delta }  areoj de la kvar edroj de kvaredro. Estu la duedraj anguloj per \scriptstyle{ \widehat{\beta\gamma}, } kaj tiel plu. Tiam

:\alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2 + \delta^2 - 2\left(\beta\gamma\cos\left(\widehat{\beta\gamma}\right) + \gamma\delta\cos\left(\widehat{\gamma\delta}\right) + \delta\beta\cos\left(\widehat{\delta\beta}\right)\right). 

## Vidu ankaŭ 
* Leĝo de sinusoj
* Leĝo de tangentoj
* Leĝo de kosinusoj (sfera)
* Triangulado
* Polariza idento

## Eksteraj ligiloj 
* Leĝo de kosinusoj  je PlainMath
* Kelkaj derivaĵoj de la kosinusa leĝo je tranĉi-la-nodon

Kategorio:Trigonometrio
Kategorio:Angulo
Kategorio:Pluredroj