3-sfero

En matematiko, **3-sfero** estas pli multdimensia analogo de sfero. Ĝi konsistas el punktoj samdistancaj de fiksita centra punkto en 4-dimensia eŭklida spaco. Ordinara sfero (aŭ 2-sfero) estas du dimensia surfaco dum 3-sfero estas objekto kun tri dimensioj, konata kiel 3-sternaĵo.

3-sfero estas parto okazo hipersfero, kiu estas *n*-sfero por *n* &ge; 3.

## Difino 
En karteziaj koordinatoj, 3-sfero kun centro (*C*0, *C*1, *C*2, *C*3) kaj radiuso *r* estas la aro de ĉiuj punktoj (*x*0, *x*1, *x*2, *x*3) en **R**4 tiaj ke
:\sum_{i=0}^3(x_i - C_i)^2 = ( x_0 - C_0 )^2 + ( x_1 - C_1 )^2 + ( x_2 - C_2 )^2+ ( x_3 - C_3 )^2 = r^2.
La 3-sfero centrita je la fonto de koordinatoj kun radiuso 1 estas nomita la **unuobla 3-sfero** kaj estas kutime skribata kiel *S*3:

:S^3 = \left\{(x_0,x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^4 : x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1\right\}.

## Propraĵoj
### Rudimentaj propraĵoj 
La 3-dimensia volumeno (aŭ *hiperareo*) de 3-sfero de radiuso *r* estas
:2\pi^2 r^3 \,
kaj la 4-dimensia *hipervolumeno* (la volumeno de la 4-dimensia regiono barita per la 3-sfero) estas
:\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \pi^2 r^4.

Ĉiu ne-malplena komunaĵo de 3-sfero kun tri-dimensia hiperebeno estas 2-sfero (se ne la hiperebeno estas tangento al la 3-sfero, en ĉi tiu okazo la komunaĵo estas sola punkto). Se 3-sfero moviĝas tra donita tri-dimensia hiperebeno, la komunaĵo startas kiel punkto, poste iĝas kreskantan 2-sferon kiu atingas sian maksimuma amplekso kiam la hiperebeno sekcas ĝuste tra la ekvatoro de la 3-sfero. Poste la 2-sfero malpligrandiĝas denove al sola punkto kiam la 3-sfero lasas la hiperebenon.

### Topologiaj propraĵoj 
3-sfero estas kompakta, koneksa, 3-dimensia sternaĵo sen rando. Ĝi estas ankaŭ simple-koneksa. Ĉi tio signifas ke ĉiu ciklo, aŭ cirkla vojo, sur la 3-sfero povas esti kontinue malpligrandigita al punkto ne lasante la 3-sferon. La konjekto de Poincaré proponas ke la 3-sfero estas la nura tri-dimensia sternaĵo kun ĉi tiuj propraĵoj (kun precizo de homeomorfio).

La 3-sfero estas homeomorfa al la unu-punkta kompaktigo de **R**3. Ĝenerale, ĉiu topologia spaco kiu estas homeomorfa al la 3-sfero estas nomata kiel **topologia 3-sfero**.

### Geometriaj propraĵoj 
La 3-sfero estas nature glata sternaĵo, fakte, fermita enigita substernaĵo de **R**4. La eŭklida metriko sur **R**4 donas metriko sur la 3-sfero donante al ĝi la strukturon de rimana sternaĵo. Kiel kun ĉiuj sferoj, la 3-sfero havas konstanta pozitiva sekcian kurbecon egalan al 1/*r*2 kie *r* estas la radiuso.

## Koordinatoj sur la 3-sfero 
La kvar eŭklida koordinatoj por *S*3 estas superfluaj ĉar ili estas kun rezervo pro la kondiĉo ke {x_0}^2 + {x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2 = 1. Ĉar ĝi estas 3-dimensia sternaĵo oni devus kapabli parametrigi la 3-sferon *S*3 per tri koordinatoj, simile al kiel oni povas parametrigi la 2-sferon uzanta du koordinatojn (latitudo kaj longitudo). 

### Hipersferaj koordinatoj 
Hipersferaj koordinatoj estas analogio al la kutimaj sferaj koordinatoj sur *S*2. La koordinatoj estas (ψ, θ, φ) kaj
:x_0 = \cos\psi\, 
:x_1 = \cos\phi\,\sin\theta\,\sin\psi 
:x_2 = \sin\phi\,\sin\theta\,\sin\psi 
:x_3 = \cos\theta\,\sin\psi 
kie ψ kaj θ estas en limigoj ekde 0 al π, kaj φ estas en limigoj ekde 0 al 2π. Notu, ke por ĉiu fiksita valoro de ψ, θ kaj φ parametrigas 2-sferon de radiuso sin(ψ), krom okazoj kiam ψ egalas al 0 aŭ π, en ĉi tiu okazo ili priskribi punkton.

## Vidu ankaŭ
*Hipersfero
*1-sfero, 2-sfero
*4-hiperkubo
*4-hiperpluredro
*Simplaĵo
*Sfero de Poincaré

## Eksteraj ligiloj
*  *Noto*: Ĉi tiu artikolo uzas la alternan sistemon de nomado por sferoj en kiu sfero en *n*-dimensia spaco estas nomata kiel *n*-sfero.

Kategorio:4-dimensia geometrio
Kategorio:Algebra topologio
Kategorio:Elementa geometrio
Kategorio:Geometria topologio