Kvadrata funkcio

eta|dekstra|*f(x) = x2 - x - 2 = (x+1)(x−2)*.  La radikoj estas -1 kaj 2.
En matematiko, **kvadrata funkcio** estas polinoma funkcio de la grado 2, do de formo:

: *f(x)=ax2+bx+c*

kie *a≠0*.

Ekvacio, en kiu la kvadrata funkcio estas egala al nulo, nomiĝas kvadrata ekvacio. La solvoj (radikoj) de la ekvacio estas nuloj de la funkcio.

## Radikoj 
Kvadrata ekvacio estas solvebla per la metodo plenigo de kvadrato.

La du radikoj de la kvadrata ekvacio *ax2+bx+c=0*, kie *a≠0*, estas:

 x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} 

Estu diskriminanto *D = b2-4ac*. Tiam:

* Se *D = 0* do la du radikoj estas egalaj pro tio ke *√D* estas nulo, aŭ ĉi tio povas esti konsiderata kiel ekzisto de unu radiko de obleco 2.
* Se *D ≠ 0* kaj se konsideri nur reelajn valorojn *x* do (*a*, *b* kaj *c* estas reelaj):
** Se *D > 0* do estas du malsamaj radikoj pro tio ke *√D* estas pozitiva reela nombro.
** Se *D  0* do estas du malsamaj radikoj pro tio ke *√D* estas pozitiva reela nombro.
** Se *a*, *b* kaj *c* estas reelaj kaj *D  r_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} 
:  r_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} 

Tiam oni povas faktorigi la funkcion:

: *f(x) = ax2+bx+c = a (x - r1) (x - r2)*

### Formuloj de Viète 
**Formuloj de Viète** donas simplajn rilatojn inter radikoj kaj koeficientoj de la funkcio.

:  r_1 + r_2 = -\frac{b}{a} 
:  r_1 \cdot r_2 = \frac{c}{a} 

La formuloj estas faritaj de François Viète.

## Grafikaĵo 
La grafikaĵo de reela kvadrata funkcio estas parabolo, kies simetria akso estas paralela al la *y*-akso.

Se *a > 0*, la parabolo havas branĉojn supren. Se *a 2 + k*

Tiam la vertico estas *(h, k)*.

Se

: *f(x)=ax2+bx+c*

tiam

:  f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2-4ac}{4 a} 

kaj la vertico estas:

:  \left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4 a}\right) 

aŭ

:  \left(\frac{r_1 + r_2}{2}, f\left(\frac{r_1 + r_2}{2}\right)\right) 

La vertico estas ankaŭ la maksimuma punkto se *a  0*.

La vertikalo (paralelo al la y-akso), kiu pasas tra la vertico, difinita per:

: *x=h*

aŭ

:  x=-\frac{b}{2a} 

estas simetriakso de la parabolo.

## Kvadrata radiko de kvadrata funkcio 
La kvadrata radiko de kvadrata funkcio priskribas elipson aŭ al hiperbolon (por reelaj *x* kaj *y*).

Estu ekvacio:

:  y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c} 

aŭ ekvivalente:

:  y^2 = a x^2 + b x + c 

* Se *a y_p = a x^2 + b x + c \, estas pozitiva, tiam la ekvacio priskribas elipson.
** Se la *y*-koordinato estas negativa tiam la ekvacio priskribas malplenan aron de punktoj.

* Se *a>0* do la ekvacio priskribas hiperbolon. La akso de la hiperbolo estas difinita per la *y*-koordinato de la minimuma punkto de la respektiva parabolo  y_p = a x^2 + b x + c \,.
** Se la *y*-koordinato estas negativa, do la hiperbola akso estas horizontala.
** Se la *y*-koordinato estas pozitiva, do la hiperbola akso estas vertikala.

## Multvariabla kvadrata funkcio 
**Multvariabla kvadrata funkcio** estas polinoma funkcio de la grado 2 de *D+1* variabloj, en koordinatoj \{x_0, x_1, x_2, \ldots, x_D\} en *D+1*-dimensia spaco ĝi estas

: \sum_{i,j=0}^D Q_{i,j} x_i x_j + \sum_{i=0}^D P_i x_i + R = 0 

kie *Q* estas *D+1* dimensia kvadrata matrico ne egala al la nula matrico kaj *P* estas *D+1* dimensia vektoro kaj *R* estas nombro. Ĝenerale, la loko de nuloj de ĉi tia funkcio estas kvadriko.

**Duvariabla kvadrata funkcio** estas polinoma funkcio de la grado 2 de du variabloj, do de formo:

: *f(x,y) = A x2 + B y2 + C x + D y + E x y + F*

La funkcio priskribas kvadratan surfacon *z=f(x,y)*. Ekvacio *f(x,y)=0* priskribas la komunaĵon de la surfaco kun la ebeno *z=0*, kiu komunaĵo estas koniko.

## Vidu ankaŭ 
* Kvadrata formo
* Matrica prezento de konikoj
* Periodaj punktoj de kompleksa kvadrata surĵeto
* Koniko
* Kvadriko
* Kvadrato (algebro)
* Kvadrato (geometrio)
* Kvadrata radiko
* Plenigo de kvadrato

## Eksteraj ligiloj 
* 

Kategorio:Polinomoj