ZFC

**ZFC** estas mallongigo por la aroteorio laŭ Zermelo kaj Fraenkel, kun la aksiomo de elekto (angle c*hoice*, france c*hoix*). 

En la jaro 1908, Ernst Zermelo proponis la Zermelo aroteorio kiel aksiomata matematika bazo. Tamen en la jaro 1925, Abraham Fraenkel skribis leteron al Ernst Zermelo kaj menciis ke ne la kardinala nombro \aleph_{\omega} kaj la aro \{Z_{0},\mathcal{P}(Z_{0}),\mathcal{P}( \mathcal{P}(Z_{0}) ),\mathcal{P}( \mathcal{P}( \mathcal{P}(Z_{0}) ) ),...\}, (ĉi tie, Z_{0} estas senfinia aro kaj \mathcal{P}(X) signifas 
aro de ĉiuj subaroj de X) ne estas konstruebla per lia teorio.

Kun Thoralf Skolem, ili proponis novajn aksiomojn, aldonis la aksiomon de reguleco, kaj anstataŭigis la aksiomon de specifio per la aksiomo de apartigo. Tiu aksiomaro estas konata kiel ZF. Kun la aksiomo de elekto, la aksiomaro nomiĝas ZFE (pli kutime ZFC laŭ la angla aŭ la franca).

## Aksiomoj 
### Aksiomo de etendo 
Supozu ke a, b, kaj c estas aroj. Per la aksiomo de etendo oni povas difini la koncepton de egaleco de aroj. Unu aro egalas la alian aron se ĉiu elemento ekzistas en ambaŭ aroj:

\forall a \forall b [ \forall c (c \in a \Leftrightarrow c \in b) \implies a = b]

### Aksiomo de reguleco 
Supozu ke a kaj b estas aroj. Per la aksiomo oni povas eldoni elementon de aro se la aro havas pli ol nul elementojn:

\forall a (a \neq \varnothing \implies \exists b (b \in a \land b \cap a = \varnothing))]

Interesa demando estas kial oni bezonas b \cap a = \varnothing en la formulo. La kialo estas la evito de la paradokso de Bertrand Russell.

### Aksiomo de apartigo 
Supozu ke a, b, c, kaj la finia vico e_1, \dots, e_n estas aroj. Cetere supozu ke \varphi estas predikato (petas arojn en rondaj krampoj kiel argumentoj kaj respondas pravon aŭ malpravon).

\forall e_1, \dots, e_n \forall c \exists b \forall a (a \in b \iff [a \in c \land \varphi(a, e_1, \dots, e_n, c)])

La ideo de la aksiomo estas ke per la predikato oni povas elekti subaro b de la baza aro c.

### Para aksiomo 
Supozu ke a kaj b estas aroj. Oni povas krei superaro de elementoj de a kaj b, nome c:

\forall a \forall b \exists c ((a \in c) \land (b \in c))

### Aksiomo de kunaĵo 
Supozu ke a, b, kaj c estas aroj. Supozu ke k estas aro de aroj. La aksiomo diras ke oni povas elpreni ĉiu elemento de la aroj de k kaj enmeti ĝin en kuna aro a:

\forall k \exists a \forall b \forall c [(c \in b \land b \in k) \implies c \in a]

### Aksiomo de ĵeto 
La signo \exists! signifas ke akurate nur unu elementon ekzistas. Kontraŭe la signo \exists signifas ke unu elemento aŭ pli da elementoj ekzistas.

Supozu ke a, b, c, d, kaj e_1, \dots, e_n estas aroj. Cetere supozu ke \varphi estas predikato.

\forall a \forall e_1, \dots, e_n [
  \forall c (c \in a \implies \exists!\, d: \varphi(a, c, e_1, \dots, e_n, d)) \implies
  \exists b \forall c (c \in a \implies \exists d (d \in b \land \varphi(a, c, e_1, \dots, e_n, d)))
]

La aksiomo enkondukas la ideon de ĵeto. La funkcio f(n) = -n reprezentas ke oni povas ĵeti la nombron 3 al -3 kaj la nombro 42 al -42. Sed oni devas difini la baza aro de la nombroj \{3, 42\} kaj \{-3, -42\}. En la aksiomo oni ne jam povas uzi la koncepton de funkcio sed la ideo estas ke a estas la aro \{3, 42\} kaj b estas la aro \{-3, -42\}. Per \varphi oni povas ĵeti elementojn de a al b.

### Aksiomo de senfineco 
Ni difinu la mallongigon S(n) kiel \{d, \{d\}\}. Supozu ke a, b, kaj c estas aroj

\exists a [\exists b (\forall c (c \not\in b) \land b \in a) \land \forall d (d \in a \implies S(d) \in a)]

Tielmaniere oni povas krei la naturajn nombrojn:

### Aksiomo pri la aro de ĉiuj subaroj 
Supozu ke a, b, kaj c estas aroj:

\forall a \exists b \forall c (c \subseteq a \implies c \in b)

Do por ĉiu subaro c, oni povas enmeti ĉi tiu subaro al b. Tiel oni povas kolekti la tutan aron de subaroj. Fakte oni kutime difinas funkcion P(a) kiu kreas la aro de ĉiuj subaroj (kun la nomo P ĉar alia nomo estas “potencaro”):

P(\{1,2,3\}) = \{\{\}, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}\}

### Aksiomo de elekto 
Ĉi tiu aksiomo kontribuas la C en ZFC. Supozu ke a kaj b estas aroj kaj \varphi estas predikato:

\forall b (\forall a (a \in b) \implies a \neq \varnothing) \implies (\exists \varphi (\forall a (a \in b) \implies \varphi(a) \in a))

La aksiomo diras ke, por ĉiu aro kun pli ol unu elemento, oni povas trovi predikaton \varphi kiu elektas elementon de la aro. Se vi havas la aron b kiel \{\{1\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}\}, la predikato \varphi(a) := 1 plenumas la kriterion. Ĝenerale por entjeraj finiaj aroj, oni povas difini \varphi(a) := \operatorname{min}(a). Sed la situacio pri senfinaj aroj estas malfacila kaj oni bezonas la aksiomon de elekto. Pli detale, la aksiomo estas diskutata en aparta artikolo.

Kategorio:Aro-teorio