Ejgeno kaj ejgenvektoro

En lineara algebro, **ejgeno**, aŭ **ajgeno** aŭ ankoraŭ **propra valoro** de kvadrata matrico *A* estas nombro *λ* tia, ke por iu nenula vektoro *x* validas egalaĵo

: *Ax = λx* .

Tiam la vektoro *x* nomiĝas **ejgenvektoro**, aŭ **ajgenvektoro** aŭ ankoraŭ **propra vektoro**, respektiva al la ajgeno *λ*.

La postulon, ke la ajgenvektoro estu ne-nula, pravigas la triviala observo, ke la ekvacio *A**0** = λ**0*** (**0** estas la nula vektoro) validas por ĉiu *A* kaj ĉiu *λ*. Pro tio, ke la ekvacio estas tiam bagatele vera, ĉi tio ne estas interesa okazo. En kontrasto, ajgeno povas esti nulo en netriviala vojo. Ajgeno povas esti, kaj kutime estas, ankaŭ kompleksa nombro. En la difino donita pli supre, ajgenvektoroj kaj ajgenoj ne okazas sendepende. Anstataŭe, ĉiu ajgenvektoro estas asociita kun specifa ajgeno. Tial ajgenvektoro **x** kaj respektiva ajgeno λ estas kune la **ajgenparo**.

[eta|270px|La fonta bildo (maldekstre) estas prilaborata per [lineara transformo de tondo, la rezulto estas dekstre. La bildo estas misformata en tia maniero ke ĝia centra vertikala akso estas ne modifita. Do, la ruĝa vektoro ne ŝanĝas sian direkton kaj do estas **ejgenvektoro** de la transformo. La blua diagonala vektoro ŝanĝas sian direkton, do ĝi ne estas ejgenvektoro de la transformo. Pro tio ke la ruĝa vektoro ne ŝanĝas sian longon, ĝia **ejgeno** estas 1. Ankaŭ ĉiuj vektoroj paralelaj al la ruĝa vektoro, do ĉiu vertikalaj vektoroj, ne ŝanĝas sian direkton kaj do ili estas ejgenvektoroj kun la sama ajgeno.]]

Matrico *A* prezentas linearan transformon de la vektora spaco - turnadon, reflekton, streĉon, kunpremon, tondon aŭ kombinaĵon de ĉi tiuj.

Vektoroj, kiuj ne estas ajgenvektoroj (kutime plejparto de la vektoroj), ŝanĝas sian direkton kiam la lineara transformo difinita per la matrico *A* estas aplikata. Ajgenvektoroj ne ŝanĝas sian direkton kiam la lineara transformo difinita per la matrico estas aplikata, alivorte *Ax* estas paralela al *x*. Notu, ke ĉi tie ŝanĝo de direkto estas laŭsence iĝi neparalela al lA origina vektoro. Ŝanĝo de la direkto al la kontraŭa ne estas konsiderata ŝanĝo de la direkto, kaj ĉi tia okazo respektivas al negativa ajgeno.

La termino **ajgeno** (prefereble nomata ***ejgeno*** de PIV) originas de la germana vorto *eigen* (= propra, tipa), kiu estis uzata, en ĉi tiu kunteksto, de David Hilbert en 1904. *Eigen* tradukiĝas per la adjektivoj *propra*, *karakteriza* aŭ la prefiksece uzata *aŭto-*.

## Bazaj ecoj 
Ĉiu ajgeno estas asociita kun nefinie multaj ajgenvektoroj. Se *x* estas ajgenvektoro respektiva al ajgeno *λ*, do por ĉiu reela aŭ kompleksa *α*, *α≠0*, ankaŭ *αx* estas ajgenvektoro respektiva al ajgeno *λ*, ĉar

: *A(αx) = α(Ax) = α(λx) = λ(αx)* .

Tamen unu ajgeno povas esti asociita ankaŭ kun kelkaj neparalelaj ajgenvektoroj. Se *x* kaj *y* estas ĉi tiaj neparalelaj ajgenvektoroj respektivaj al la sama ajgeno *λ*', do por ĉiuj reelaj aŭ kompleksaj *α* kaj *β*, tiaj ke *α≠0* aŭ *β≠0*, ankaŭ *αx+βy* estas ajgenvektoro respektiva al ajgeno *λ*, ĉar

: *A(αx+βy) = α(Ax)+β(Ay) = α(λx)+β(λy) = λαx+λβy = λ(αx+βy)* .

Do ĉiu (ne nula) lineara kombinaĵo de ajgenvektoroj estas denove ajgenvektoro de la sama ajgeno. Tiel, kune kun la nula vektoro ajgenvektoroj respektivaj al la ajgeno formas linearan spacon, kiu estas nomata kiel **ajgenspaco** de la ajgeno.

Sed male, se ajgenvektoro estas donita, la asociita ajgeno por ĉi tiu ajgenvektoro estas unika. Ja, de la egaleco

: ''Ax = λx = λ'x* kaj de *x ≠ **0*** sekvas ke *λ = λ' * .

Ajgenvektoro estas la **ĉefa ajgenvektoro** aŭ **domina ajgenvektoro** se ĝi respektivas al la ajgeno de plej granda absoluta valoro. Rezulto de ripetita apliko de lineara transformo al ajna vektoro (kiu estas ne nula kaj ne estas la alia, neparalela, ajgenvektoro) proksimiĝas al vektoro paralela al la ĉefa ajgenvektoro.

Se *A* estas la identa matrico multiplikita per iu nombro, tiam neniu vektoro ŝanĝas sian direkton, kaj ĉiuj ne-nulaj vektoroj estas ajgenvektoroj.

## Pluaj ecoj 
Konsideru *n*×*n* matricon, *A*, kun ejgenoj \lambda_i, i=1,2,\dots,n. Sekvas ke:

* la spuro de *A* estas
:\operatorname{tr}(A) = \sum \lambda_i= \lambda_1+ \lambda_2 +\cdots+ \lambda_n;

* la determinanto de *A* estas
:\operatorname{det}(A) = \prod \lambda_i=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n;

* la ejgenoj de *k*-a potenco de A, A^k, estas la *k*-aj potencoj de la \lambda_i, t.e. \lambda_1^k,\dots,\lambda_n^k.

:La tri supraj rezultoj obteneblas per lineara transformo de la matrico al supra triangula matrico, pri kiu la ejgenoj estas lokataj laŭ la diagonalo, la spuro kaj la determinanto estas respektive la sumo kaj la produto de la diagonalelementoj.

* Se A=A^H, t.e., A estas hermita matrico, ĉiu ejgeno estas reela. Se ankaŭ ĝi estas pozitive difinita matrico, pozitive duondifinita, negative difinita, aŭ negative duondifinita, ĉiu ejgeno estas respektive pozitiva, nenegativa, negativa, aŭ nepozitiva.

* Ĉiu ejgeno de unita matrico havas absolutan valoron |\lambda|=1.

## Karakteriza ekvacio 
La trovado de la ajgenoj kaj ajgenvektoroj estas grava en multaj terenoj.

La difinan egalecon

: *Ax = λx* ,

eblas reskribi kiel

: *Ax = λIx* ,

kie *I* estas la identa matrico, kaj plu kiel

: *Ax - λIx = **0*** ,

: *(A - λI)x = **0*** &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (1).

Ĉi tio povas esti vidita kiel lineara sistemo en kiu la koeficienta matrico estas *(A - λI)*, la vektoro de la nekonataj valoroj estas *x*, kaj la dekstra flanko estas nulo. Laŭ regulo de Cramer, ĉi tiu sistemo havas ne-bagatelajn solvaĵojn (ne ĉiuj komponantoj de *x* estas nuloj) se kaj nur se ĝia determinanto estas nula:

: *det(A - λI) = 0* .

Ĉi tio estas ekvacio por *λ* kaj estas la *karakteriza ekvacio* de *A*, kaj la maldekstra flanko de ĝi estas la *karakteriza polinomo*. Se iu *λ* verigas la karakterizan ekvacion do ekzistas ne nula vektoro *x* kiu verigas la ekvacion (1) kaj do la difinan ekvacion de ajgeno, kaj tiam *λ* estas ajgeno kaj *x* estas ajgenvektoro.

Solvinte la karakterizan ekvacion eblas ekscii ajgenon *λ*, sed la ajgenvektoro **x** ne estas prezentita en la karakteriza ekvacio, do en ĉi tiu ŝtupo ne eblas ĝin kalkuli.

Ekzemple por se *A* estas 2 × 2 kvadrata matrico, la karakteriza ekvacio povas esti skribita kiel

:\begin{vmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{21} & a_{22} - \lambda\end{vmatrix} = 0 .

Elvolvado de la determinanto en maldekstre donas la karakterizan polinomon de grado 2, kaj la karakteriza ekvacio estas la kvadrata ekvacio:

:\lambda^2 - \lambda (a_{11} + a_{22}) + (a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}) = 0  ,

kiu havas jenajn solvaĵojn (radikojn):

:\lambda_{1,2} = \frac{1}{2} \left [(a_{11} + a_{22}) \pm \sqrt{4a_{12} a_{21} + (a_{11} - a_{22})^2} \right ] .

Por reelaj matricoj, la koeficientoj de la karakteriza polinomo estas ĉiuj reelaj. La kvanto kaj speco de radikoj dependas de valoro de la diskriminanto, *D*. Por okazoj) *D>0*, *D=0* aŭ *Dp(\lambda) = \sum_{k=0}^n (-1)^k S_k \lambda^{n-k} ,

kie *S*0 = 1, *S*1 = tr(*A*), la spuro de la matrico *A*, kaj *Sk* kun *k > 1* estas sumoj de la ĉefaj minoroj de ordo *k*.

Laŭ la fundamenta teoremo de algebro, en kompleksa spaco la karakteriza polinomo havas almenaŭ unu nulo. Sekve, ĉiu matrico havas almenaŭ unu ajgenon.

Por ke trovi la ajgenvektorojn la trovitaj ajgenoj devas esti metitaj reen en la ekvacion.

Ekzemplo por *n=2*:

:\left (\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}\end{bmatrix} - \lambda \begin{bmatrix} 1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix} \right ) \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{21} & a_{22} - \lambda \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} ,

kie λ estas unu el la ajgenoj. Ĉi tiu matrica ekvacio estas ekvivalenta al sistemo de du linearaj ekvacioj:

:\begin{cases}
 \left ( a_{11} - \lambda \right ) x + a_{12} y = 0 \\
 a_{21} x + \left ( a_{22} - \lambda \right ) y = 0
\end{cases}

La ekvacioj estas solvataj por *x* kaj *y* per la kutimaj algebraj aŭ matricaj manieroj. Ofte eblas dividi ambaŭ flankojn de la ekvacioj je koeficientoj tiel ke la koeficientoj ĉe la nekonataj valoroj estos 1. Ĉi tio estas *normaligo* de la vektoroj, kaj respektivas al elekto de unu el la ununormigita ajgenvektoro kiel prezentanta de ĉiuj vektoroj en la ajgenspaco respektiva al la ajgeno. La *x* kaj *y* tial estas la komponantoj de la ajgenvektoro.

Per teoremo de Cayley-Hamilton kiu diras ke ĉiu kvadrata matrico kontentigas sian karakterizan ekvacio, eblas montri ke (plej ĝenerale, en la kompleksa spaco) ekzistas almenaŭ unu ne-nula vektoro kiu kontentigas la ajgenan ekvacion por la matrico.

La dimensio de ajgenspaco de ajgeno estas kvanto de la lineare sendependaj ajgenvektoroj, ĝi estas la **geometria obleco** de la ajgeno. La geometria obleco ne povas esti pli granda ol la algebra obleco.

Tamen (kiel estas pli supre skribite) al malsamaj ajgenoj ĉiam respektivas lineare sendependaj ajgenvektoroj.

## Komputado 
La komplikeco de la problemo de trovo de ajgenoj pligrandiĝas rapide kun pligrandiĝo de *n*. Por *n=3*, ajgenoj estas radikoj de kuba ekvacio, por *n=4* - radikoj de la ekvacio de la 4-a ordo. Por *n > 4* ne estas akurataj solvaĵoj en ĝenerala okazo.

**Noto** ke maniero de kalkulado de ajgenoj kaj ajgenvektoroj per la karakteriza polinomo ne estas bone taŭga por reala nombra komputado en komputilo. Uzo de ĉi tiu maniero povas rezultiĝi je granda perdo de la precizeco. Por nombra komputado de ajgenoj kaj ajgenvektoroj estas specialaj algoritmoj, kiuj kondutas pli bone.

## Propraj funkcioj 
Ajgenoj povas esti konsiderataj ĉe linearaj operatoroj en vektora spaco de malfinia dimensio.

Ekzemple, estu spaco de diferencialeblaj funkcioj *f(t)*. La transformo *T* estu diferenciala operatoro de diferencialado kun respekto al la argumento *t*. La ajgenvektoroj estas tiam kutime nomataj kiel **propraj funkcioj** de la operatoro*T*.

Diferencialado estas lineara transformo pro tio ke

: \displaystyle\frac{d}{dt}(af+bg) = a \frac{df}{dt} + b \frac{dg}{dt} 

kie *f(t)* kaj *g(t)* estas diferencialeblaj funkcioj, kaj *a* kaj *b* estas nombroj.

La propraj funkcioj *h(t)* devas kontentigi la ajgenan ekvacion:

:\displaystyle\frac{dh}{dt} = \lambda h ,

kie *λ* estas la ajgeno asociita kun la funkcio.

La solvaĵo estas:

: *h(t)=αeλt*

por ĉiuj nombroj *α≠0* kaj *λ*.

Ĝi estas konstanta funkcio se *λ=0* kaj eksponenta funkcio se *λ≠0*.

La ajgenspaco asociita kun ĉiu donita ajgeno *λ* estas de unu dimensio, la dimensio respektivas al ŝanĝo de nombro *α*.

## Spektra teoremo 
En ĝia plej simpla versio, la spektra teoremo diras, ke, je certaj kondiĉoj, produto de matrico kaj vektoro *Av* povas esti esprimita kiel lineara kombinaĵo de ajgenvektoroj de *A*, en kiu la koeficiento de ĉiu ajgenvektoro estas egala al la respektiva ajgeno multiplikita je skalara produto de la ajgenvektoro kun vektoro *v*. Ĉi tio povas esti skribita kiel:

:\mathbf{Av}= \lambda_1 (\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}) \mathbf{v}_1 + \lambda_2 (\mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{v}) \mathbf{v}_2 + \cdots 

kie *v1, v2, ...* kaj *λ1, λ2, ...* estas ajgenvektoroj kaj respektivaj ajgenoj de *A*. La teoremo estas valida por ĉiuj hermitaj matricoj (inter ili - por ĉiuj reelaj simetriaj matricoj), kaj por la pli ĝenerala klaso de (kompleksaj) normalaj matricoj.

La *k*-a potenco de matrico *A* povas esti difinita kiel matrico *A* multiplikita je si *(k-1)* fojojn,

:*A2=AA*, *A3=AAA*, ... .

Tiam la *k*-a potenco de transformo *T(v)=Av* estas sinsekve *k* transformoj *T*, rezultas produto de la vektoro *v* al la multipliko de *A* je si *(k-1) *fojojn:

:*Tk(v) = Akv* ;

ekzemple por *k=2*:

:*T2(v) = T(T(v)) = A(Av) = (AA)v = A2v* .

Tiel oni povas ankaŭ difini polinomon de matrico kaj de transformo. Pli ĝenerala versio de la teoremo diras, ke ĉiu polinomo *P* de *A* aŭ de *T* estas donita per

:P(T)(\mathbf{v}) = P(A)\mathbf{v} = P(\lambda_1) (\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}) \mathbf{v}_1 + P(\lambda_2) (\mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{v}) \mathbf{v}_2 + \cdots  .

## Ejgena malkompono 
La spektra teoremo por matricoj povas esti komencita kiel sekvas. Estu **A** kvadrata *n×n* matrico. Estu *q1, ... ,qk* ejgenvektora bazo, kio estas indeksita aro de *k* lineare sendependaj ejgenvektoroj, kie *k* estas la dimensio de la spaco generita de la ejgenvektoroj de *A*. Se *k = n*, tiam **A** povas esti skribita kiel

: *A=QΛQ−1*

kie *Q* estas kvadrata *n×n* matrico kies *i*-a kolumno estas la baza ejgenvektoro *qi* kaj *Λ* estas la diagonala matrico kies diagonalaj eroj estas la respektivaj ejgenoj, kio estas *Λii = λi''.

## Vidu ankaŭ 
* Karakteriza ekvacio
* Kvadrata ejgena problemo
* Lineara algebro
* Lineara bildigo
* Spektro de matrico aŭ farata per ĝi transformo sur finie dimensia vektora spaco estas difinita kiel la aro de ĉiuj ĝiaj ejgenoj.

## Eksteraj ligiloj 
* 
* Ajgenvektoro je MathWorld
* ARPACK  - kolekto de fortran-proceduroj por ajgenaj taskoj
* LAPACK - kolekto de fortran-proceduroj por ajgenaj taskoj
* ALGLIB inkluzivas parton de proceduroj de LAPACK reskribitaj en C++, C#, Paskalo kaj tiel plu
* Surlinia kalkulilo por ajgenoj kaj ajgenvektoroj
* Surlinia matrica kalkulilo  de ajgenoj ajgenvektoroj kaj aliaj malkomponaĵoj de matricoj.
* Ŝablonoj por la solvado de ajgenaj problemoj

Kategorio:Matrica teorio