Modulo (algebro)

En abstrakta algebro, la nocio **modulo** super ringo estas komuna ĝeneraligo de du plej gravaj nocioj en algebro, vektora spaco, kaj komuta grupo.

## Difino 
'*Maldekstra *R*-modulo*' super la ringo *R* konsistas el komuta grupo (*M*, +) kaj operacio *R* × *M* → *M* (nomata *skalara multipliko*; notacie: *rx* por *r* en *R* kaj *x* en *M*) tia, ke

por ĉiuj *r*,*s* en *R*, *x*,*y* en *M*:
:*r*(*x*+*y*) = *rx*+*ry*
:(*r*+*s*)*x* = *rx*+*s x*
:(*rs*)*x* = *r*(*s x*)

En la kuntekstoj, kiuj implicas, ke la ringo *R* estas unuohava (tiel estas en plejmulto da kutimaj kuntekstoj), aldoniĝas ankaŭ jena postulo:
:*1**R* *x* = *x*

Kutime, oni simple skribas "maldekstra *R*-modulo *M*" aŭ *R**M*. '*Dekstra *R*-modulo*' *M* aŭ *M**R* estas difinita simile, sed la ringo operacias dekstre, kio signifas, ke la skalara multipliko estas de formo *M* × *R* → *M*, kaj la pli supraj aksiomoj estas skribitaj kun skalaroj *r* kaj *s* dekstre de *x* kaj *y*.

**Dumodulo** aŭ **duflanka modulo** estas modulo, kiu estas samtempe maldekstra modulo kaj dekstra modulo.

Se *R* estas komuta, tiam la maldekstraj *R*-moduloj estas esence la samo kiel dekstraj *R*-moduloj kaj estas nomataj simple *R*-moduloj.

## Ekzemploj 
* Se *K* estas kampo, tiam nocioj "*K*-vektora spaco" kaj *K*-modulo estas identaj.
* La koncepto de **Z**-modulo estas ekvivalenta al la nocio de komuta grupo. Tio estas, ke ĉiu komuta grupo estas modulo super la ringo de entjeroj **Z** en triviala maniero. Por *n* &gt; 0, estu *nx* = *x* + *x* + … + *x* (*n* termoj), 0*x* = 0, kaj (−*n*)*x* = −(*nx*).
* Se *R* estas iu ringo kaj *n* estas natura nombro, tiam la kartezia produto *R**n* estas ambaŭ maldekstra kaj dekstra moduloj super *R* se oni uzu la laŭkomponantajn operaciojn. Speciale, kiam *n*=1, tio montras, ke *R* estas *R*-modulo, por kiu la ringa multipliko servas kiel skalara multipliko. La kazo *n*=0 estas nul-modulo, la triviala unuelementa *R*-modulo {0}. Moduloj de ĉi tiu tipo nomiĝas liberaj, kaj la nombro *n* estas la rango de la libera modulo.
* Se *S* estas nemalplena aro, *M* estas maldekstra *R*-modulo, kaj *M**S* estas kolekto de ĉiuj funkcioj *f* : *S* → *M*, tiam kun aldono kaj skalara multipliko en *M**S* difinita per (*f* + *g*)(*s*) = *f*(*s*) + *g*(*s*) kaj (*_rf_*)(*s*) = *_rf_*(*s*), *M**S* estas maldekstra *R*-modulo. La okazo de dekstra *R*-modulo estas analoga. Aparte, se *R* estas komuta tiam la kolekto de *R-modulaj homomorfioj* *h* : *M* → *N* (vidi pli sube) estas *R*-modulo (kaj fakte *submodulo* de *N**M*).
* Se *X* estas glata sternaĵo, tiam la glataj funkcioj de *X* al la reela nombra formas ringon *C*∞(*X*). La aro de ĉiuj glataj vektoraj kampoj difinitaj sur *X* formas modulon super *C*∞(*X*), kaj do faras la tensorajn kampojn kaj la diferencialajn formojn sur *X*.
* La kvadrataj *n*-per-*n* matricoj kun reelaj elementoj formas ringon *R*, kaj la eŭklida spaco **R***n* estas maldekstra modulo super ĉi tiu ringo se oni difinas la modula operacio tra matrica multipliko.
* Se *R* estas iu ringo kaj *I* estas iu maldekstra idealo de *R*, tiam *I* estas maldekstra modulo super *R*. Tute analoge dekstraj idealoj estas dekstraj moduloj.

## Tipoj de moduloj 
* La **nul-modulo** {0}.
* **Finie generita.** Modulo *M* estas finie generita, se en ĝi ekzistas finie multaj elementoj *x*1,…,*x**n* tiaj, ke ĉiu elemento de *M* estas lineara kombinaĵo de tiuj elementoj kun koeficientoj de la skalara ringo *R*.
* **Cikla modulo.** Oni nomas modulon cikla modulo, se ĝi estas generebla per unu elemento.
* **Libera.** Libera modulo estas modulo, kiu havas bazon, aŭ ekvivalente, kiam ĝi estas izomorfa al direkta sumo de kopioj de la skalara ringo *R*. Ĉi tiaj moduloj similas al vektoraj spacoj.
* **Projekcia modulo** estas tia modulo M, ke ekzistas modulo N, por kiu M\oplus N estas libera modulo.
* **Injekcia modulo** estas tia modulo Q, ke se Q estas submodulo de modulo M, tiam M = Q \oplus K por iu alia submodulo K de M.
* **Simpla modulo** estas ĉia modulo, kiu havas precize du submodulojn: {0} kaj sin mem. Tia difino interalie implicas, ke la nul-modulon oni ne konsideras simpla. Simplajn modulojn oni foje nomas *neredukteblaj*.

## Vidu ankaŭ 
* Vektora spaco
* Ringo-teorio
* Modulo-teorio

Kategorio:Modulo-teorio