Determinanto

En lineara algebro, **determinanto** estas funkcio, kiu asociigas skalaron det(*A*) al ĉiu *n*×*n* kvadrata matrico *A*. La fundamenta geometria signifo de determinanto estas kiel la skala faktoro por volumeno se *A* estas konsiderita kiel lineara transformo. 

Por ĉiu pozitiva entjero *n*, estas unika determinanta funkcio por la *n*×*n* matricoj super ĉiu komuta ringo *R*. Aparte, ĉi tiu funkcio ekzistas kiam *R* estas la kampo de reelaj aŭ kompleksaj nombroj.

Determinanto de *A* estas ankaŭ iam skribita kiel |*A*|, sed ĉi tiu skribmaniero estas ambigua: ĝi estas ankaŭ uzata por matricaj normoj, kaj por la kvadrata radiko de {AA}^*.

## Ĝenerala difino kaj kalkulado 
Estu A = (A_{i,j}) \, kvadrata matrico.

Se A estas 1-per-1 matrico, tiam \det(A) = A_{1,1} .

Se A estas 2-per-2 matrico, tiam \det(A) = A_{1,1}A_{2,2} - A_{2,1}A_{1,2} .

Por 3-per-3 matrico *A*, la formulo estas pli komplika:

:
\begin{matrix}
\det(A) & = & A_{1,1}A_{2,2}A_{3,3} + A_{1,3}A_{2,1}A_{3,2} + A_{1,2}A_{2,3}A_{3,1}\\
& & - A_{1,3}A_{2,2}A_{3,1} - A_{1,1}A_{2,3}A_{3,2} - A_{1,2}A_{2,1}A_{3,3}.
\end{matrix}\,

Por ĝenerala *n*-per-*n* matrico, la determinanto estis difinita per **formulo de Leibniz**:

:\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i, \sigma(i)}

La sumo estas komputita super ĉiuj permutoj \sigma de nombroj {1,2,...,*n*} kaj \sgn(\sigma) estas signumo de la permuto \sigma: =+1 se \sigma estas para permuto kaj =−1 se ĝi estas nepara.

Ĉi tiu formulo enhavas n! \  (faktorialon) da termoj, kaj pro tio uzi ĝin por kalkuli determinantojn pri granda n \  maloportunas.

Determinanto povas esti komputita kun la gaŭsaj algoritmaj uzante jenajn regulojn:
* Se A estas triangula matrico, kio estas A_{i,j} = 0 \, ĉiam i > j, tiam \det(A) = A_{1,1} A_{2,2} \cdots A_{n,n}. \,
* Se B rezultas de A per interŝanĝo de du linioj aŭ de du kolumnoj, tiam \det(B) = -\det(A). \,
* Se B rezultas de A per multipliko de unu linio aŭ de unu kolumno kun la nombro c, tiam \det(B) = c\,\det(A). \,
* Se B rezultas de A per adicio al linio de unu alia linio multiplikita per iu koeficiento, aŭ adicio al kolumno de unu alia kolumno multiplikita per iu koeficiento, tiam \det(B) = \det(A). \,

Uzante la lastajn tri regulojn eblas konverti ĉiun matricon en triangulan matricon, tiam eblas uzi la unua regulo por komputi ĝian determinanton.

## Propraĵoj 
La determinanto estas *multiplika mapo* en la senco ke
:\det(AB) = \det(A)\det(B) \, por ĉiuj *n*-per-*n* matricoj A kaj B.
Ĉi tiu estas ĝeneraligita per la Koŝio-Binet-a formulo al produktoj de ne-kvadrataj matricoj.

Estas facile vidi ke, se I_n \  estas la n\ -per-n\  identa matrico, \det(rI_n) = r^n \ \, kaj tial:
:\det(rA) = \det(rI_n \cdot A) = r^n \det(A) \,, por ĉiuj n-per-n matricoj A kaj ĉiuj skalaroj r \ .

Matrico super komuta ringo *R* estas inversigebla, se kaj nur se ĝia determinanto estas unuo en *R*.

Aparte, se *A* estas matrico super kampo *K*, kiel la realaj nombroj aŭ kompleksaj nombroj, tiam *A* estas inversigebla se kaj nur se det_(*A*) estas ne-nulo. En ĉi tiu okazo, ni havas

:\det(A^{-1}) = \det(A)^{-1} \ . \,

Esprimita malsame: la vektoroj *v*1,...,*v**n* en **R***n* formas bazon, se kaj nur se det(*v*1,...,*v**n*) estas ne-nulo.

Matrico kaj ĝia transpono havas la saman determinanton:
:\det(A^\top) = \det(A). \,

La determinanto de
kompleksa matrico kaj de ĝia konjugita transpono
estas konjugita:
:\det(A^*) = \det(A)^*. \,
Notu ke konjugita transpono de matrico estas identa al la transpono pri reela matrico.

Se A kaj B estas similaj, tio estas, se tie ekzistas inversigebla matrico X , tia ke A = X^{-1} B X , tiam pro la multiplika propraĵo,

:\det(A) = \det(B) \, .

## Vidu ankaŭ 
* Rango de matrico
* Ejgeno

Kategorio:Matrica teorio
Kategorio:Lineara algebro
Kategorio:Abstrakta algebro
Kategorio:Algebro