Ekvivalentrilato

En matematiko, **ekvivalent(o)rilato** estas duvalenta rilato inter du elementoj de aro, kiu grupigas ilin kune kiel *ekvivalentaj* en iu senco. Estu *a* kaj *b* elementoj de iu aro *X*. Tiam, notacie, "*a ~ b*" aŭ "*a ≡ b*" signifas, ke *a* estas ekvivalenta al *b*.

## Difino 
Ekvivalentrilato estas duvalenta rilato, kiu estas:

* Refleksiva - por ĉiu *a*, *a ~ a*.
* Simetria - por ĉiuj *a*, *b*, se *a ~ b*, tiam *b ~ a*.
* Transitiva - por ĉiuj *a*, *b*, *c*, se *a ~ b* kaj *b ~ c*, tiam *a ~ c*.

La ekvivalentklaso de elemento *a* sub ekvivalentrilato "~" sur aro *X* (notacie: *[a]*) aŭ, pli precize, *[a]~*, estas la subaro de *X* konsistanta el ĉiuj elementoj *x*\in*X* tiaj, ke *x ~ a*.

## Ekzemploj de ekvivalentrilatoj 
* Egaleco ("=").
* "Havas la saman bildon sub funkcio" sur la elementoj de la fonta aro (aŭ de la malbildo) de la funkcio, *a ~ b* se kaj nur se *f(a) = f(b)*.
* Estu *a*, *b*, *c*, *d* entjeroj tiaj, ke *b ≠ 0*, *d ≠ 0*, kaj *(a, b)* kaj *(c, d)* ordaj duopoj de la nombroj, respektivaj al racionalaj nombroj *a/b* kaj *c/d*. Tiam la rilato de egaleco de la nombroj *a/b = c/d* estas ekvivalenta al la ekvivalentrilato de la ordaj duopoj difinita jene: *(a, b) ~ (c, d)*, se kaj nur se *ad = bc*.
* Estu *(rn)* kaj *(sn)* du koŝiaj vicoj de racionalaj nombroj. La reelaj nombroj difinataj per la koŝiaj vicoj, estas la ekvivalentklasoj de la rilato *(rn) ~ (sn)*, se la vico *(rn - sn)* havas limeson 0.
* Logika ekvivalenteco propozicioj en matematika logiko.
* "Estas simila al" (aŭ "kongrua al") sur la aro de ĉiuj trianguloj.
* "Estas kongrua al module *n*" sur la entjeroj.
* "Estas paralela al" sur la aro de subspacoj de la sama dimensio de afina spaco.

## Ekzemploj de rilatoj, kiuj ne estas ekvivalentrilatoj 
* La rilato "≥" inter reelaj nombroj estas refleksiva kaj transitiva, sed ne simetria, *a ≥ b* ne implicas ke *b ≥ a*.
* La rilato "estas proksimume egala al" inter reelaj nombroj, ekzemple difinita kiel *a ~ b* se kaj nur se *|a-b|1, x2, ..., xn* en *X* tiaj ke
: *a = x1, b = xn* kaj
: *xi R xi+1* aŭ *xi+1 R xi por ĉiu *i = 1, ..., (n-1)*.

Ekvivalentrilato generita per ĉi tiu maniero povas esti bagatela. Ekzemple, la ekvivalentrilato generita surbaze de "pli malgranda ol" *≤* sur reelaj nombroj donas ekvivalentecon de ĉiuj nombroj, *a ~ b* por ĉiuj *a* kaj *b*.

## Uzoj 
Ekvivalentrilato povas konstrui novan topologian spacon per kungluado de partoj de la fonta spaco.

Ekzemple estu *X* unuobla kartezia kvadrato, kartezia produto *[0,1] &times; [0,1]*, kaj estu ~ ekvivalentrilato sur *X* taŭge difinita. Tiam la kvocienta spaco *X/~* estas la nova spaco. La plej konataj ekzemploj estas:

Reela projekcia ebeno povas rezultiĝi ankaŭ surbaze de sfero se ekvivalentigi ĉiuj du diametre kontraŭajn ĝiajn punktojn.

## Vidu ankaŭ 
* Ekvivalento
* Ekvivalenteco
* Ekvivalentklaso
* Parta ekvivalentrilato
* Kongrueca rilato
* Tuteca ordo
* Aŭtomorfio
* Aŭtomorfia grupo
* Direktita aro
* Eŭklida rilato
* Geometria simetria grupo
* Transforma grupo

## Eksteraj ligiloj 
* http://www.bangor.ac.uk/r.brown/topgpds.html  R. Brown, *Topologio kaj grupoidoj* Booksurge LLC, 2006. ISBN 1-4196-2722-8.
* http://www.emis.de/journals/TAC/reprints/articles/7/tr7abs.html P.J. Higgins, 1971. *Kategorioj kaj grupoidoj'', van Nostrand, elŝutebla kiel TAC Reprint, 2005.
* http://www.cut-the-knot.org/blue/equi.shtml Bogomolny, A., Ekvivalenta Interrilato je tranĉi-la-nodon.

Kategorio:Rilatoj