Sigma adicieco

En matematiko, **adicieco** kaj **sigma adicieco** de funkcio difinita sur subaroj de donita aro estas propraĵoj de la funkcio kiu donas la intuiciajn propraĵojn de amplekso (longo, areo, volumeno) de la subaroj.

## Adiciaj (aŭ finie adiciaj) araj funkcioj 
Estu *μ* funkcio difinita sur algebro de aroj *D* kun valoroj en [-∞, +∞] (vidu en la etendita reela nombra linio). La funkcio *μ* estas **adicia** se, por ĉiuj disaj aroj *A* kaj *B* en *D*

:  \mu(A \cup B) = \mu(A) + \mu(B)

Konsekvenco de ĉi tio estas, ke adicia funkcio ne povas preni ambaŭ -∞ kaj +∞ kiel valoroj, pro tio ke esprimo +∞+(-∞) estas nedifinita.

Oni povas pruvi per matematika indukto, ke adicia funkcio kontentigas

: \mu(\bigcup_{n=1}^N A_n)=\sum_{n=1}^N \mu(A_n)

por ĉiuj disaj aroj *A1, A2, ..., AN* en *D*.

## σ-adiciaj araj funkcioj 
Estu *D* estas σ-algebro. Se por ĉiu vico *A1, A2, ..., Ak, ...* de disaj aroj en *D*

:  \mu(\bigcup_{n=1}^\infty A_n) = \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)

*μ* estas **kalkuleble adicia** aŭ **σ-adicia**.

Ĉiu σ-adicia funkcio estas aficia sed ne inverse, kiel estas montrite pli sube.

## Propraĵoj 
* *μ(&empty;) = 0*.
* Se *μ* estas nenegativa kaj *A &sube; B*, do *μ(A) &le; μ(B)*.
* Se *A &sub; B*, do *μ(B-A) = μ(B) - μ(A)*.
* *μ(A &cup; *B*) + μ(A &cap; B) = μ(A) + μ(B)*.

## Ekzemploj 
Ekzemplo de σ-adicia funkcio estas funkcio *μ* difinita super la aro de ĉiuj subaroj de la reelaj nombroj kiel

:  \mu (A)= \begin{cases} 1 & \mbox{ se } 0 \in A \\
 0 & \mbox{ se } 0 \notin A.
\end{cases}

Se *A1, A2, ..., Ak, ...* estas vico de disaj aroj de reelaj nombroj, tiam neniu el la aroj enhavas 0, malinkluzive aŭ precize unu de ilin enhavas 0. En ĉu okazo la egaleco

:  \mu(\bigcup_{n=1}^\infty A_n) = \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)

veras.

Ekzemplo de adicia funkcio kiu estas ne σ-adicia estas funkcio *μ* difinita super la aro de ĉiuj subaroj de la reelaj nombroj kiel

: \mu (A)= \begin{cases} \infty & \mbox { se } 0 \in \bar A \\
 0 & \mbox { se } 0 \notin \bar A
\end{cases}

kie \bar A signifas la fermaĵon de aro *A*.

Ĉi tiu funkcio estas adicia pro tio ke fermaĵo de finia unio de aroj estas la unio de fermaĵoj de la aroj, kaj povas esti la du okazoj se 0 estas en la fermaĵo de iu el ĉi tiuj aroj aŭ ne. Ĉi tiu funkcio estas ne σ-adicia, ĉi tio sekvas el konsidero de vico de disaj aroj

: A_n=\left[\frac {1}{n+1},\, \frac{1}{n}\right)

por *n=1, 2, 3, ...* La unio de ĉi tiuj aroj estas la intervalo (0, 1) kies fermaĵo estas [0, 1] kaj *μ* aplikita al la unio estas tiam malfinio, sed *μ* aplikita al ĉiu el la *An* estas nulo, do la sumo de *μ(An)* estas ankaŭ nulo, kiu demonstras la kontraŭekzemplon.

Lebega mezuro estas ekzemplo de σ-adicia funkcio. Vidu en mezuro kaj signuma mezuro por pliaj ekzemploj de σ-adiciaj funkcioj.

## Ĝeneraligoj 
Oni povas difini adiciajn funkciojn kun valoroj en ĉiu adicia monoido (ekzemple ĉiu grupo aŭ pli kutime vektora spaco). Por sigmo-adicieco, oni bezonas aldone ke la koncepto de limeso de vico estu difinita sur ĉi tiu aro. Ekzemple, spektraj mezuroj estas sigmo-adiciaj funkcioj kun valoroj en banaĥa algebro. Alia ekzemplo, ankaŭ de kvantummekaniko, estas la pozitiva operatoro-valora mezuro.

## Vidu ankaŭ 
* Mezuro (matematiko)
* Signuma mezuro
* Lebega mezuro
* Adicia funkcio
* Subadicia funkcio
* Teoremo de Hahn-Kolmogorov

## Eksteraj ligiloj 
* 

Kategorio:Mezura teorio