Ekvacioj de Maxwell

La **ekvacioj de Maxwell** estas kvar ekvacioj kiuj priskribas la konduton de elektraj kaj magnetaj kampoj. Ili estas la fundamento de klasika elektromagnetismo, de klasika optiko, kaj de elektraj kaj magnetaj cirkvitoj. Ili estis eltrovitaj de James Clerk Maxwell en 1864.
Konsekvence al la leĝo de Lenz-Faraday pri la variado de magneta flukso   \Delta \Phi  , la laboro *W* de la elektromagneta forto (de Lorentz/Laplace) sur elektra konduktilo, kiu estas trairita de elektra kurento *I*, estas :

: W = I \Delta \Phi \ , 

 \Delta \Phi  estas la variado de la magneta fluo, kiu trairis la surfacon de la elektra konduktilo, aŭ kiun trapasas la elektra konduktilo.

En la sekvantaj ekvacioj, **dikliteraj** simboloj reprezentas **vektorojn**, dum *kursivaj* simboloj reprezentas *skalarojn*.

La ekvacioj de Maxwell estas ĝeneralaj, sed sekvas iliaj aplikoj laŭ la konsiderataj medioj.

## Formulado pri *liberaj* ŝargoj kaj kurentoj 
Tiuj ĉi ekvacioj aplikiĝas aparte al konduktanta medio.

Pri lokala formo :
:
\left\{
\begin{matrix}
  \nabla \cdot \mathbf D = {\rho_l} & \mathrm{(ekvacio \;  de  \; Maxwell-Gauss\;  pri \; elektrostatiko)}
\\
  \nabla \cdot \mathbf B = 0 & \mathrm{(ekvacio \;  de\;  Maxwell-Gauss\;  pri \; magnetismo)}
\\
  \nabla \times \mathbf E = - {\partial \mathbf B}/{\partial t} & \mathrm{(ekvacio \;  de \; Maxwell-Faraday)}
\\
  \nabla \times \mathbf H = \mathbf j_l +
{\partial \mathbf D}/{\partial t} & \mathrm{(ekvacio \;  de \;  Maxwell-Ampere)}
\end{matrix}
\right.

kie
:\nabla \cdot \mathrm N estas diverĝenco de **N** kaj
:\nabla \times \mathrm N estas kirlo de **N**, konsiderante
:\rho_l la ŝargodenso de liberaj ŝargoj, kaj
:\mathbf j_l  la libera kurenta denseco.

La kurenta denseco estas proporcia al la trairantaj elektraj ŝargoj, kiuj estas proporciaj al la elektra kampo **E**, la proporcia koeficiento nomiĝas elektra konduktivo σ :
:\mathbf j_l =\sigma \mathbf E \; .

Se oni integras la kvar ĉisuprajn ekvaciojn de Maxwell, la integralaj formoj deduktiĝas tiel :

kie
:\mathrm N  \cdot  \mathrm n estas skalara produto inter **N** kaj **n** ,
:Q_l(V) estas la sumo de liberaj elektraj ŝargoj tra la fermita volumeno *V* ,
:I_l estas la sumo de liberaj elektraj kurentoj tra la surfaco *S* ,
:\Phi_B estas la magneta flukso de la magneta indukdenso **B** kaj
:\Phi_D estas la elektra flukso de la elektra ŝovodenso **D**.

## Formulado pri *tutaj* ŝargoj kaj kurentoj 
Tiuj ĉi ekvacioj aplikiĝas aparte al konduktanta medio kun dielektraj aŭ/kaj magnetaj propraĵoj.

:
\left\{
\begin{matrix}
  \nabla \cdot \mathbf E = {\rho}/{\epsilon \varepsilon_0} & \mathrm{(MG)}
\\
  \nabla \cdot \mathbf B = 0 & \mathrm{(M\Phi)}
\\
  \nabla \times \mathbf E = - {\partial \mathbf B}/{\partial t} & \mathrm{(MF)}
\\
  \nabla \times \mathbf B = \mu \mu_0 \mathbf J + \mu \mu_0 \epsilon \varepsilon_0  { \partial \mathbf E}/{\partial t} & \mathrm{(MA)}
\end{matrix}
\right.

kie
:\rho \  estas la tuta la ŝarga denseco de liberaj ŝargoj kaj baraj ŝargoj  \rho = \rho_l + \rho_b \ ,
:\mathbf J la tuta kurenta denseco,  \mathbf J = \mathbf j_l + \mathbf j_b ,
: \epsilon \  estas la dielektra permeableco (povus esti kompleksa) de la medio kaj
: \mu \  estas la permeableco (povus esti kompleksa) de la medio ;
sciante ke
: \varepsilon_0  estas la permitiveco de vakuo kaj
: \mu_0 \  estas la permeableco de vakuo.

Se oni integras la ĉisuprajn ekvaciojn:

kie
:Q(V) estas la tutaj elektraj ŝargoj en la fermita volumeno *V* ,
:I estas la tutaj kurentoj tra la surfaco *S* limigita per la kurbo *C*, kaj
:\Phi_E estas la elektra fluo.

::***Aparta kazo de konstanta frekvenco kaj kompleksaj komponantoj*** :

:
\left\{
\begin{matrix}
  \nabla \cdot  \underline{ \mathbf D} = \rho
\\
  \nabla \cdot \underline{\mathbf B} = 0
\\
  \nabla \times \underline{\mathbf E} = - i \omega \underline{ \mathbf B}
\\
  \nabla \times {\underline{\mathbf B}}/{\mu \mu_0} =  (\sigma + i  \varepsilon \varepsilon_0 \omega) \underline E
 \end{matrix}
\right.

kie
:i = \sqrt{-1} , kaj \omega \   estas la angula frekvenco .

## Formulado pri *linearaj* medioj 
Tiu ĉi ekvacioj aplikiĝas aparte al linearaj, izotropaj kaj tempo-invariantaj medioj.

:
\left\{
\begin{matrix}
  \nabla \cdot \varepsilon \varepsilon_0 \mathbf E = \rho_l
\\
  \nabla \cdot \mathbf B = 0
\\
  \nabla \times \mathbf E = - {\partial \mathbf B}/{\partial t}
\\
  \nabla \times {\mathbf B}/{\mu \mu_0} = \mathbf j_l + \varepsilon \varepsilon_0
{\partial \mathbf E}/{\partial t}
\end{matrix}
\right.

kie
:\varepsilon estas la relativa permitiveco (reela valoro) de la materio,
:\mu \  estas la relativa permeableco (reela valoro) de la materio.

Se oni integras la ĉisuprajn ekvaciojn:

## Formulado pri vakuo 
En vakuo, la relativa permitiveco egalas al unu (\varepsilon=1), same kiel la relativa permeableco (\mu=1 \ ), plie estas neniuj ŝargoj (\rho=0 \ ) kaj neniu kurento (\mathbf j = 0 \ ).

La formuloj simpliĝas :
:
\left\{
\begin{matrix}
  \nabla \cdot  \mathbf E = 0
\\
  \nabla \cdot \mathbf B = 0
\\
  \nabla \times \mathbf E = - {\partial \mathbf B}/{\partial t}
\\
  \nabla \times \mathbf B =  \varepsilon_0 \mu_0
  {\partial \mathbf E}/{\partial t}
\end{matrix}
\right.

La integralaj formoj estas facile dedukteblaj.

## Vidu ankaŭ 
* Oliver Heaviside
* Elektrostatiko
* Magnetostatiko
* Elektromagnetismo
* Klasika elektromagnetismo

Kategorio:Elektromagnetismo
Kategorio:Fiziko