Jordana normala formo

En lineara algebro, **jordana normala formo** aŭ **jordana kanona formo** aŭ **klasika kanona formo** aŭ pli mallonge **jordana formo** de *n×n* kvadrata matrico *A* estas matrico *J=P−1AP* kiu havas certan formon.

Ĝi estas nomita en honoro de Camille Jordano.

## Difino 
Ĝenerale, kompleksa kvadrata matrico *A* estas simila al bloka diagonala matrico *J* (ekzistas inversigebla matrico *P* tia ke *P−1AP = J*):

:J = \begin{bmatrix}
J_1 & \; & \; \\
\; & \ddots & \; \\
\; & \; & J_p\end{bmatrix}

kie ĉiu bloko *Ji* estas kvadrata matrico de formo

:J_i =
\begin{bmatrix}
\lambda_i & 1 & \; & \; \\
\; & \lambda_i & \ddots & \; \\
\; & \; & \ddots & 1 \\
\; & \; & \; & \lambda_i
\end{bmatrix}.

Ne-nulaj elementoj de *J* estas nur sur la ĉefdiagonalo kaj la super-diagonalo. *J* estas la **jordana normala formo** de *A*. Ĉiu *Ji estas **jordana bloko** de *A*. En ĉiu jordana bloko, ĉiu elemento sur la super-diagonalo estas 1.

Estas jenaj propraĵoj:

* Inkluzivante oblecojn, la ajgenoj de *J*, la samaj kiel ajgenoj de *A*, estas la diagonalaj elementoj de *J*.
* Por ĉiu ajgeno *λi*, ĝia geometria obleco estas dimensio de *Ker(*A-λ*i* I)*, kaj ĝi estas kvanto de jordanaj blokoj respektivaj al *λi*.
* Sumo de ampleksoj de ĉiu jordanaj blokoj respektiva al ajgeno *λi* estas ĝia algebra obleco.
* *A* estas diagonaligebla se kaj nur se por ĉiu ajgeno *λi* de *A*, ĝia geometria kaj algebra oblecoj egalas. Aŭ, ekvivalente, *n×n* matrico *A* estas diagonaligebla se kaj nur se sumo de dimensioj de la ajgenspacoj estas *n*. Aŭ, ekvivalente, se kaj nur se *A* havas *n* lineare sendependajn ajgenvektorojn. Ne ĉiu matrico estas diagonaligebla.
* Jordana bloko respektiva al *λ* estas de formo *λ I + N*, kie *N* estas nulpotenca matrico difinita kiel *Nij = δi,(j-1)* (kie δ estas la delto de Kronecker). La nulpotenceco de *N* povas esti uzata en kalkulado de *f(A)* kie *f* estas kompleksa analitika funkcio. Ekzemple, la jordana formo povas doni fermitan forman esprimon por la eksponenta funkcio *exp(A)*.

## Ekzemplo 
Estu matrico:

:A =
\begin{bmatrix}
 5 & 4 & 2 & 1 \\ 
 0 & 1 & -1 & -1 \\ 
-1 & -1 & 3 & 0 \\ 
 1 & 1 & -1 & 2
\end{bmatrix}.

Inkluzivante oblecon, ajgenoj de *A* estas 1, 2, 4, 4. La dimensio de la kerno de *A-4 **I*** estas 1, tiel *A* estas ne diagonaligebla. Tamen, estas inversigebla matrico *P* tia ke *A* = *PJP−1* kie

:J = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 2 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 4 & 1 \\ 
0 & 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}

estas preskaŭ diagonala. Ĉi tiu estas la jordana normala formo de *A*.

## Ĝeneraligitaj ajgenvektoroj 
Konsideri la matrico *A* de la ekzemplo en la antaŭa sekcio. La jordana normala formo estas ricevita per iu simileca transformo *P*−1*AP* = *J*, kio estas

: AP = PJ.

Estu *P* konsistanta de kolumnaj vektoroj *pi*, *i = 1, ..., 4*, tiam

: A \begin{bmatrix} p_1 & p_2 & p_3 & p_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_1 & p_2 & p_3 & p_4 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
5 & 1 & 0 & 0 \\ 
0 & 5 & 1 & 0 \\ 
0 & 0 & 5 & 1 \\ 
0 & 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}.

Do

:\; (A - 5 I) p_1 = 0 

kaj

:\; (A - 5 I) p_i = p_{i - 1} \mbox{ por } i = 2, \; 3, \;4.

Por *i=1*, *p1 ∈ Ker(A-5**I**)*, do *p1* estas ajgenvektoro de *A* respektiva al la ajgeno 5. Por *i* = 2, 3, 4, tamen, *pi ∈ Ker(A-5**I**)i*. Ĉi tiaj vektoroj estas ĝeneraligitaj ajgenvektoroj de *A*.

Tial, por ĉi ajgeno *λ*, al ĝi respektivas la **jordana ĉeno**. La **generilo**, aŭ **konduka vektoro** *pr*, de la ĉeno estas ĝeneraligita ajgenvektoro tia ke *(A-λ **I**)rpr = 0*, kie *r* estas la amplekso de la jordana bloko. La vektoro *p1 = (A-λ **I**)r-1pr* estas ajgenvektoro respektiva al *λ*. Ĝenerale, *pi* estas antaŭbildo de *pi-1* sub *A-λ **I***. Tiel la konduka vektoro generas la ĉenon per multipliko per *A-λ **I***.

Pro tio, frazo ke ĉiu kvadrata matrico *A* povas esti prezentita en jordana normala formo signifas ke ekzistas bazo konsistanta nur de ajgenvektoroj kaj ĝeneraligitaj ajgenvektoroj de *A*

## Unikeco 
La jordana normala formo de donita matrico *A* estas unika supren ĝis la ordo de la jordanaj blokoj.

Scio de algebra kaj geometriaj oblecoj de la ajgenoj estas ne sufiĉa por difini la jordanan normalan formon de *A*. Estu *m(λ)* la algebra obleco de ajgeno *λ*, do la strukturo de la jordana formo sekvas el rangoj de la potencoj *(A-λ **I**)m(λ)*. Ekzemple *n×n* matrico *A* havu nur unu ajgenon *λ*. Tiel *m(λ)=n*. La plej malgranda entjero *k1 tia ke

:(A - \lambda I)^{k_1} = 0

estas la amplekso de la plej granda jordana bloko en la jordana formo de *A*. (Ĉi tiu nombro *k*1 estas ankaŭ nomata kiel la **indekso** de λ. La rango de

:(A - \lambda I)^{k_1 - 1}

estas la kvanto de jordanaj blokoj de amplekso *k*1. Simile, la rango de

:(A - \lambda I)^{k_1 - 2}

estas dufoje la kvanto de jordanaj blokoj de amplekso *k1* plus la kvanto de jordanaj blokoj de amplekso *k1-1*. Simile, la rango de

:(A - \lambda I)^{k_1 - 3}

estas trifoje la kvanto de jordanaj blokoj de amplekso *k1* plus dufoje la kvanto de jordanaj blokoj de amplekso *k1-1* plus la kvanto de jordanaj blokoj de amplekso *k1-2*. La ĝenerala okazo estas simila. Ripetado tiamaniere donas la precizan jordanan strukturon de *A*.

Ĉi tiu estas uzebla por montri la unikeco de la jordana formo. Estu *J*1 kaj *J2* du jordanaj normala formoj de *A*. Tiam *J1* kaj *J2* estas simila kaj havas la saman spektron, inkluzivante la algebrajn oblecojn de la ajgenoj. La proceduro supre priskribita povas esti uzata por difini la strukturon de ĉi tiuj matricoj. Pro tio ke rango de matrico estas konservata, per simileca transformo, estas reciproke unuvalora surĵeto inter la jordanaj blokoj de *J1* kaj *J2*. Ĉi tiu demonstras la unikecon.

## Potencoj 
Se *n* estas natura nombro, la *n*-a potenco de matrico en jordana normala formo estas direkta sumo de supraj triangulaj matricoj, sekve de bloka multipliko. Pli aparte, post potencigo ĉiu jordana bloko estas supra triangula bloko. Ĉiu triangula bloko konsistas el *λn* sur la ĉefdiagonalo, \tbinom{n}{1}*λn-1* sur la supra diagonalo, kaj tiel plu.

Ekzemple:
:
\begin{bmatrix}
 \lambda_1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
 0 & \lambda_1 & 1 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & \lambda_1 & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & \lambda_2 & 1 \\
 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_2
\end{bmatrix}^n
=\begin{bmatrix}
 \lambda_1^n & \tbinom{n}{1}\lambda_1^{n-1} & \tbinom{n}{2}\lambda_1^{n-2} & 0 & 0 \\
 0 & \lambda_1^n & \tbinom{n}{1}\lambda_1^{n-1} & 0 & 0 \\
 0 & 0 & \lambda_1^n & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & \lambda_2^n & \tbinom{n}{1}\lambda_2^{n-1} \\
 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_2^n
\end{bmatrix}

:
\begin{bmatrix}
 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 
 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 
 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 
 0 & 0 & 0 & 5 & 1 \\ 
 0 & 0 & 0 & 0 & 5
\end{bmatrix}^4
=\begin{bmatrix}
 16 & 32 & 24 & 0 & 0 \\ 
 0 & 16 & 32 & 0 & 0 \\ 
 0 & 0 & 16 & 0 & 0 \\ 
 0 & 0 & 0 & 625 & 500 \\ 
 0 & 0 & 0 & 0 & 625
\end{bmatrix}

## Konsekvencoj 
### Spektra surĵeta teoremo 
Uzante la jordanan normalan formon, direkta kalkulo donas spektran surĵetan teoremon por polinomo: Estu *A* *n×n* matrico kun ajgenoj *λ1, ..., λn*, tiam por ĉiu polinomo *p*, *p(A)* havas ajgenojn *p(λ1), ..., p(λn)*.

### Cayley-Hamiltona teoremo 
La Cayley-Hamiltona teoremo asertas ke ĉiu matrico *A* kontentigas sian karakterizan ekvacion: se *p* estas la karakteriza polinomo de *A*, tiam *p(A) = 0*. Ĉi tio povas esti montrita per direkta kalkulo en la jordana formo.

## Cifereca analitiko 
Se la matrico *A* havas oblajn ajgenojn, aŭ estas proksime al matrico kun oblaj ajgenoj, tiam ĝia jordana normala formo estas tre delikata al perturboj. Konsideru ekzemple matricon
: A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \varepsilon & 1 \end{bmatrix}. 
Se *ε = 0*, tiam la jordana normala formo estas simple
: \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. 
Tamen, por *ε ≠ 0'', la jordana normala formo estas
: \begin{bmatrix} 1+\sqrt\varepsilon & 0 \\ 0 & 1-\sqrt\varepsilon \end{bmatrix}. 
Ĉi tiu kondiĉeco faras tre malfacilan, ellabori fortikan ciferecan algoritmon por la jordana normala formo, ĉar la rezulto dependas kritike de tio ĉu du ajgenoj estas konsiderataj kiel egalaj. Pro ĉi tiu kaŭzo, la jordana normala formo estas kutime evitita en cifereca analitiko; la stabila malkomponaĵo de Schur estas ofte pli bona alternativo.

## Vidu ankaŭ 
* Matrica malkomponaĵo
* Kanona formo

## Eksteraj ligiloj 
* Jordana kanona formo je MathWorld

Kategorio:Lineara algebro
Kategorio:Matrica teorio