Kontraŭsimetria matrico

En lineara algebro, **kontraŭsimetria matrico** aŭ **oblikve-simetria matrico** aŭ **malsimetria matrico** estas kvadrata matrico *A* kies transpono egalas al ĝia negativo:

: *AT = -A*

Tiel se la elementoj estas *A=(aij)*, do *aij=-aji* por ĉiuj eblaj valoroj de *i* kaj *j*.

Ekzemple, jena matrico estas oblikve-simetria:

:\begin{bmatrix}
0 & 3 & -5 \\
-3 & 0 & -2 \\
5 & 2 & 0\end{bmatrix}.

Kompari ĉi tiun kun simetria matrico kies transpono estas la sama kiel la matrico: *A*T = *A*.

## Propraĵoj 
Sumo de deklivo-simetriaj matricoj estas denove deklivo-simetria. Produtoj de deklivo-simetria matrico kun skalaro estas denove deklivo-simetria. Tiel, la deklivo-simetriaj matricoj formas vektoran spacon. Ĝia dimensio estas \tfrac{n\left(n-1\right)}{2}.

Se matrico *A* estas deklivo-simetria, kaj *B* estas ajna matrico, tiam produto *BT*AB* estas deklivo-simetria.

La "deklivo-simetria komponanto" de kvadrata matrico *A* estas la matrico B=\tfrac{1}{2}\left(A-A^{T}\right); la "simetria komponanto" de *A* estas C=\tfrac{1}{2}\left(A+A^{T}\right); la matrico *A* estas sumo de ĝia simetria kaj deklivo-simetriaj komponantoj.

*A* estas deklivo-simetria se kaj nur se *xTAx* = 0 por ĉiuj reelaj vektoroj *x*.

Ĉiuj ĉefdiagonalaj elementoj de kontraŭsimetria matrico estas nuloj, Tiel la spuro estas nulo.

### Determinanto 
Estu *A* esti *n×n* kontraŭsimetria matrico. La determinanto de *A* estas

: *det(A) = det(AT) = det(-A) = (-1)*n* det(A)*.

Do se *n* estas nepara la determinanto estas nulo. Ĉi tiu rezulto estas **jakobia teoremo**.

En la para-dimensia okazo, la determinanto de *A* por povas esti skribita kiel kvadrato de polinomo de elementoj de *A* (teoremo de Thomas Muir):

: *det(A) = (Pf(A))2.

Ĉi tiu polinomo estas signifita kiel Pf(*A*). Tial la determinanto de reela kontraŭsimetria matrico estas ĉiam nenegativa.

### Spektra teorio 
La ejgenoj de kontraŭsimetria matrico ĉiam estas en paroj ±λ, escepti en la nepara-dimensia okazo kiam estas aldona unuopa ejgeno 0. Por reela kontraŭsimetria matrico la ĉiuj nenulaj ejgenoj estas pure imaginaraj kaj tial estas de formo *iλ1, -iλ1, iλ2, -iλ2, ..., kie ĉiuj *λk* estas reelaj.

Reela deklivo-simetria matrico estas normala matrico (ĝi komutiĝi kun sia adjunkta matrico) kaj tial laŭ la spektra teoremo reela kontraŭsimetria matrico povas esti diagonaligita per unita matrico. Pro tio ke ejgenoj de reela kontraŭsimetria matrico estas kompleksaj ĝin ne eblas diagonaligi per reela matrico. Tamen, ĉiun kontraŭsimetrian matricon eblas transformi al diagonala bloka matrico per orta matrico. Aparte, ĉiu *2n × 2n* reela kontraŭsimetria matrico povas esti skribita en formo *A=QΣQT* kie *Q* estas orta kaj
:\Sigma = \begin{bmatrix}
\begin{matrix}0 & \lambda_1\\ -\lambda_1 & 0\end{matrix} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \begin{matrix}0 & \lambda_2\\ -\lambda_2 & 0\end{matrix} & & 0 \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \begin{matrix}0 & \lambda_r\\ -\lambda_r & 0\end{matrix} \\
& & & & \begin{matrix}0 \\ & \ddots \\ & & 0 \end{matrix}
\end{bmatrix}
por reelaj *λk*. La ejgenoj de ĉi tiu matrico estas *±iλk*. En la neparo-dimensia okazo *Σ* havas almenaŭ unu linion de nuloj kaj almenaŭ unu kolumnon de nuloj.

## Alterna formo 
**Alterna formo** de vektora spaco *V* estas dulineara funkcio *φ(v, w)* (*v* kaj *w* estas el *V*) tia ke
: *φ(v, w) = -φ(w, v)*
Ĉi tia *φ(v, w)* estas prezentata per kontraŭsimetria matrico *A*:
: *φ(v, w) = vTAw''.

## Vidu ankaŭ 
* Simetria matrico
* Deklivo-memadjunkta matrico
* Simetrio
* Simetrio en matematiko
* Malsimetria tensoro
* Malsimetria

## Eksteraj ligiloj 
* Disdivido de matrico en simetrian kaj deklivo-simetrian 
* Kontraŭsimetria matrico je Mathworld

Kategorio:Matricoj