Matrica normo

En matematiko, **matrica normo** estas ĝeneraligo de nocio de vektora normo al matricoj.

## Ecoj 
Estu *K* reelaj aŭ kompleksaj nombroj. Konsideru spacon *Km×n* de ĉiuj matricoj kun *m* linioj kaj *n* kolumnoj kun elementoj en *K*.

Matrica normo sur *Km×n* kontentigas ĉiujn propraĵojn de vektora normo. Tio estas ke se *||A||* estas la normo de matrico *A*, do:

* *||A|| ≥ 0*
* *||A|| = 0* se kaj nur se *A=0*
* *||αA|| = α||A||* por ĉiu α en *K* kaj ĉiu *A* en *Km×n*
* *||A+B|| ≤ ||A||+||B||* por ĉiuj *A* kaj *B* en *Km×n*

Aldone, iuj matricaj normoj difinita sur kvadrataj *n*-per-*n* matricoj (sed ne ĉiuj tiaj normoj) kontentigas iujn el jenaj kondiĉoj kiuj rilatas al tio ke matricoj estas pli ol ĝuste vektoroj:

* *||AB|| ≤ ||A|| ||B||* por ĉiuj *A* kaj *B* en *Kn×n*
* *||A|| = ||A*||* por ĉiu *A* en *Kn×n*, kie *A** estas la konjugita transpono de *A*, aŭ simple la transpono, por reela matrico

Matrica normo kiu kontentigas la unuan el la aldonaj propraĵoj estas **sub-multiplika normo**. La aro de ĉiuj *n*-per-*n* matricoj kune kun ĉi tia sub-multiplika normo estas ekzemplo de banaĥa algebro. En iu libroj la termino *matrica normo* estas uzata nur por ĉi tiaj sub-multiplikaj normoj.

## Konkludita normo 
Se vektora normo sur *Km* kaj *Kn* estas donita, tiam oni difinas la respektivan **konkluditan normon** aŭ **operatoran normon** sur la spaco de *m*-per-*n* matricoj:
: \begin{align}
\|A\| &= \max\{\|Ax\| : x\in K^n \mbox{ kun }\|x\|\le 1\} \\
&= \max\{\|Ax\| : x\in K^n \mbox{ kun }\|x\| = 1\} \\
&= \max\left\{\frac{\|Ax\|}{\|x\|} : x\in K^n \mbox{ kun }x\ne 0\right\}.
\end{align} 

Se *m=n* kaj estas uzata la sama normo por *x* kaj *Ax*, tiam la konkludita normo estas sub-multiplika matrica normo.

Ekzemple, la konkludita normo respektiva al la *p*-normo por vektoroj estas:

: \left \| A \right \| _p = \max \limits _{x \ne 0} \frac{\left \| A x\right \| _p}{\left \| x\right \| _p}. 

Se *p=1*:

:\| A \| _1 = \max \limits _{1 \leq j \leq n} \sum _{i=1} ^m | a_{ij} |

Se *p=∞*:

:\| A \| _\infty = \max \limits _{1 \leq i \leq m} \sum _{j=1} ^n | a_{ij} |

Ĉi tiuj normoj estas malsamaj de la *p*-normoj de Schatten por matricoj, ankaŭ kiuj estas kutime skribataj
kiel  \left \| A \right \| _p .

En la speciala okazo de *p=2* (la eŭklida normo) kaj *m=n* (kvadrata matrico), la konkludita matrica normo estas la **spektra normo**. La spektra normo de matrico *A* estas la plej granda singulara valoro de *A* aŭ la kvadrata radiko de la plej granda ejgeno de la pozitive duondifina matrico *A*A*:
:\left \| A \right \| _2=\sqrt{\lambda_{\text{max}}(A^* A)}

Ĉiu konkludita normo verigas neegalaĵon
:\left \| A \right \| \ge \rho(A), 
kie *ρ(A)* estas la spektra radiuso de *A*. Fakte, *ρ(A)* estas la preciza malsupra rando de ĉiuj konkludita normoj de *A*.

Plue
: \lim_{r\rarr\infty}\|A^r\|^{1/r}=\rho(A). 

## Laŭelementaj normoj 
Ĉi tiu normoj traktas la matricon kiel vektoro de *mn* elementoj, kaj uzas iun el la vektoraj normoj.

Ekzemple, uzante la *p*-normo por vektoroj estas:

:\Vert A \Vert_{p} = \Big( \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^p \Big)^{1/p}. \, 

Notu, ke laŭelementa *p* normo estas malsamo de konkludita *p* normo.

### Normo de Frobenius 
Por *p=2*, ĉi tiu normo estas nomata kiel la **normo de Frobenius** aŭ la **normo de Hilberto-Schmidt**, kvankam la lasta termino estas ofte rezervata por operatoroj sur hilberta spaco. Ĉi tiu normo povas esti difinita diversmaniere:

:\|A\|_F^2=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2=\operatorname{spuro}(A^\ast{} A)=\sum_{i=1}^{\min\{m,\,n\}} \sigma_{i}^2

kie *A** estas la konjugita transpono de *A*, *σi* estas la singularaj valoroj de *A*, kaj la spuro estas uzata. La normo de Frobenius estas tre simila al la eŭklida normo sur *Kn* kaj venas de ena produto sur la spaco de ĉiuj matricoj.

La normo de Frobenius estas sub-multiplika kaj estas tre utila por cifereca lineara algebro. Ĉi tiu normo estas ofte pli simpla por komputi ol konkluditaj normoj.

### Spura normo 
La **spura normo** estas difinita kiel
:\|A\|_{tr}
=\operatorname{spuro}(\sqrt{A^*A})=\sum_{i=1}^{\min\{m,\,n\}} \sigma_{i}.

### Maksimuma normo 
La **maksimuma normo** estas difinita kiel \|A\|_{max}=\max\{|a_{ij}|\}.

## Konsekvenca normo 
Matrica normo \| \cdot \|_{ab} sur *Km×n* estas konsekvenca kun vektora normo \| \cdot \|_{a} sur *Kn* kaj vektora normo \| \cdot \|_{b} sur *Km* se:
:\|Ax\|_b \leq \|A\|_{ab} \|x\|_a
por ĉiuj *A* en *Km×n* kaj *x* en *Kn*. Ĉiu konkludita normo estas konsekvenca laŭ difino.

## Ekvivalenteco de normoj 
Por ĉiuj du vektoraj normoj *||·||α* kaj *||·||β*

: *r ||A||α ≤ ||A||β ≤ s ||A||α*

por iuj pozitivaj nombroj *r* kaj *s*, kaj por ĉiuj matricoj *A* en *Km×n*. En aliaj vortoj, ili estas *ekvivalentaj normoj*; ili donas la saman topologion sur *Km×n*.

### Iuj ekvivalentecoj de normoj 
Por matrico *A* en *Rm×n* jenaj neegalaĵoj veras:

* \|A\|_2\le\|A\|_F\le\sqrt{n}\|A\|_2
* \|A\|_{max} \le\|A\|_2\le\sqrt{mn}\|A\|_{max}
* \frac{1}{\sqrt{n}}\|A\|_\infty\le\|A\|_2\le\sqrt{m}\|A\|_\infty
* \frac{1}{\sqrt{m}}\|A\|_1\le\|A\|_2\le\sqrt{n}\|A\|_1
* \|A\|_2\le\sqrt{\|A\|_1\|A\|_\infty}

## Eksteraj ligiloj 
* http://www.cs.ut.ee/~toomas_l/linalg/lin1/node18.html  L. Thomas. Normoj kaj kondiĉaj nombroj de matrico

Kategorio:Lineara algebro