Kardinalo de kontinuumo

En matematiko, la **kardinalo de kontinuumo** aŭ la **kvantonombro de kontinuumo**, estas la amplekso (kardinalo) de la aro de reelaj nombroj ***R*** (kiu aro estas iam nomata kiel la kontinuumo). La kardinalo de ***R*** estas skribata kiel |***R***| aŭ kiel *c*. Kiel kardinalo, *c* estas egala al beth-nombro beth-unu, c = \beth_1). Se la kontinuumo-hipotezo veras, tiam *c* estas ankaŭ egala al alef-nombro alef-unu,  c = \aleph_1.

## Nekalkulebleco 
Kardinalo de la kontinuaĵo estas pli granda ol kardinalo de la aro de naturaj nombroj ***N***, |\mathbf{N}| = \aleph_0 , konkrete c = 2^{\aleph_0} kie \aleph_0 (alef-nulo) estas la kardinalo de ***N***. En aliaj vortoj, kvankam ***R*** kaj ***N*** estas ambaŭ nefiniaj aroj, la reelaj nombroj estas iusence pli multaj ol la naturaj nombroj.

Georg Cantor pruvis ĉi tion en malsamaj manieroj - kiel la unua nekalkulebleca pruvo de Cantor kaj per la diagonala argumento de Cantor.

## Egalaĵoj kun la kardinaloj 
Estu *{0, 2}**N*** la aro de nefiniaj vicoj kun valoroj el aro *{0, 2}*. Ĉi tiu aro klare havas kardinalecon 2^{\aleph_0} (la natura inversigebla funkcio inter la aro de duumaj vicoj kaj *P*(**N**) estas la nadla funkcio). La asociaĵo al ĉiu tia vico *(ai)* estas la unika reela nombro en la intervalo [0,1] kies triuma elvolvaĵo estas donita per la ciferoj *(ai)*, kio estas la *i*-a cifero post la dekuma punkto estas *ai*. La bildo de ĉi tiu mapo estas nomata kiel la aro de Kantor. Ĉi tiu mapo estas enjekcia. Per evito de punktoj kun la cifero 1 en ilia triuma elvolvaĵo estas evitataj konfliktoj kreis per tio ke la triuma -elvolvaĵo de reela nombro estas ne unika. Tiel 2^{\aleph_0} \le  c.
Per la teoremo de Cantor-Bernstein-Schroeder

:  c = |P(\mathbb{N})| = 2^{\aleph_0}

Egaleco *cc = c* povas esti montrita per la kardinala aritmetiko:

: c^2 = (2^{\aleph_0})^2 = 2^{2\times{\aleph_0}} = 2^{\aleph_0} = c

Ĉi tiu argumento estas densigita versio de la alternado de du duumaj vicoj: estu *0,a0a1a2...* la duuma elvolvaĵo de reela *x* kaj estu *0,b0b1b2...* esti la duuma elvolvaĵo de reela *y*. Tiam *z* = *0,a0b0a1b1a2b2...*, la alternado de la duumaj elvolvaĵoj, estas bone-difinita funkcio se *x* kaj *y* havas unikajn duumajn elvolvaĵojn. Nur kalkuleble multaj reelaj nombroj havas ne-unikajn duumajn elvolvaĵojn.

Per uzado de la reguloj de kardinala aritmetiko eblas montri ke

:  c^{\aleph_0} = {\aleph_0}^{\aleph_0} = n^{\aleph_0} =  c^n = \aleph_0 c = nc =  c

kie *n* estas ĉiu finia kardinalo, *n≥2*, kaj

:   c^c = (2^{\aleph_0})^c = 2^{c\times\aleph_0} = 2^c

kie *2c* estas la kardinalo de aro de ĉiuj subaroj de ***R***, kaj *2c>c*.

## Beth-nombroj 
La vico de beth-nombroj estas difinita per \beth_0 = \aleph_0 kaj \beth_{k+1} = 2^{\beth_k}. Tiel c = \beth_1 kaj 2^ c = \beth_2.

## La kontinuumo-hipotezo 
La kontinuumo-hipotezo statas ke *c* estas ankaŭ la dua alef-nombro \aleph_1. En aliaj vortoj, la kontinuumo-hipotezo statas ke ne ekzistas aro *A* kies kardinalo kuŝas severe inter \aleph_0 kaj *c*.

Ĉi tiu frazo estas sciata al esti sendependa de la aksiomoj de aroteorio de Zermelo-Fraenkel kun la aksiomo de elekto. Tio estas, ambaŭ la hipotezo kaj ĝia nego estas konsekvencaj kun ĉi tiuj aksiomoj. Fakte, por ĉiu nenula natura nombro *n*, la egaleco c = \aleph_n estas sendependa de aroteorio de Zermelo-Fraenkel kun la aksiomo de elekto. La okazo *n=1* estas la kontinuumo-hipotezo. La samo estas vera por plejparto de la aliaj okazoj, kvankam en iuj okazoj egaleco povas estas neebla pro la teoremo de König pri la fundoj de kunfinieco, ekzemple, c\neq\aleph_\omega. Konkrete, *c* povas esti \aleph_1 aŭ \aleph_{\omega_1}, kie \omega_1 estas la unua nekalkulebla orda numero. Tiel *c* povas esti postanta kardinalo aŭ limiga kardinalo, kaj krom ĉi tio *c* povas esti regula kardinalo aŭ singulara kardinalo.

## Aroj kun kardinalo egala al kardinalo de kontinuumo 
Multaj aroj uzataj en matematiko havan kardinalon egalan al *c*:

* Aro de ĉiuj reelaj nombroj ***R***
* Ĉiu nedegenera fermita aŭ malfermita intervalo en ***R*** (kiel ekzemple la unuobla intervalo [0, 1])
* Aro de ĉiuj neracionalaj nombroj
* Aro de ĉiuj transcendaj nombroj
* Aro de ĉiuj kompleksaj nombroj ***C***
* Aro de ĉiuj punktoj de (finidimensia) eŭklida spaco * **R**n*
* Aro de ĉiuj vicoj de entjeroj, kio estas ĉiuj funkcioj * **N**→**Z** *, ofte skribata kiel * **Z****N***
* Aro de ĉiuj vicoj de reelaj nombroj, kio estas ĉiuj funkcioj * **N**→**R** *, ofte skribata kiel * **R****N***
* Aro de ĉiuj kontinuaj funkcioj de ***R*** al ***R***
* Aro de ĉiuj subaroj de la naturaj nombroj *P(**N**)*
* Aro de Kantor
* Eŭklida topologio sur * **R**n*, kio estas la aro de ĉiuj malfermitaj aroj en * **R**n*
* Borela *σ*-algebro sur ***R***, kio estas la aro de ĉiuj borelaj aroj en ***R***

## Aroj kun kardinalo pli granda ol kardinalo de kontinuumo 
Iuj aroj kun kardinalo 2^c = \beth_2, kiu estas pli granda ol *c*:

* Aro * **R****R*** de ĉiuj funkcioj de ***R*** al ***R***
* Aro *P(**R**)* de ĉiuj subaroj de ***R***
* Aro *2**R*** de nadlaj funkcioj difinantaj subarojn de reelaj nombroj; ĝi estas izomorfia al *P(**R**)*, la nadla funkcio elektas erojn kiujn ĉiu subaro inkluzivas
* Lebega *σ*-algebro de ***R***, kio estas, la aro de ĉiuj lebege mezureblaj aroj en ***R***

## Eksteraj ligiloj 
* 

Kategorio:Aro-teorio
Kategorio:Senfineco