Totala ordo

En matematiko, **totala ordo**, **tuteca ordo**, **linia ordo** aŭ **simpla ordo** sur aro *X* estas ordorilato, kiu ordigas ajnan paron da elementoj, tiel ke inter ajnaj du elementoj, unu estas pli granda ol la alia.

## Difino 
Sur aro X, **totala ordo** \le estas parta ordo kiu estas totala. Alivorte, ĝi estas duargumenta rilato sur *X*, kiu estas antisimetria, transitiva, kaj tuteca. Tio signifas ke se ni nomos iun tian rilaton per ≤ , tiam jenaj propozicioj veros por ĉiuj *a*, *b* kaj *c* en *X*:

: se *a* ≤ *b* kaj *b* ≤ *a* tiam *a* = *b* (antisimetrio)
: se *a* ≤ *b* kaj *b* ≤ *c* tiam *a* ≤ *c* (transitiveco)
: *a* ≤ *b* aŭ *b* ≤ *a* (tuteco)

Aro parigita kun asociita totala ordo sur ĝi nomiĝas **totale ordita aro**, **linie ordita aro**, **simple ordita aro**, aŭ **ĉeno**.

Rilata propraĵo de tuteco povas esti priskribita tiamaniere: ke ĉiu paro de eroj en la aro estas **reciproke komparebla** sub la rilato.

Rimarku ke la kondiĉo de *totaleco* implicas refleksivecon, tio estas *a* ≤ *a*. Tial totala ordo estas ankaŭ parta ordo, tio estas, duargumenta rilato kiu estas refleksiva, antisimetria kaj transitiva. Totala ordo povas ankaŭ esti difinita kiel parta ordo, kiu estas totala.

Alternative, oni povas difini totale ordan aron kiel aparta speco de latiso, nome unu en kiu ni havas

: { *a* ∨ *b*, *a* ∧ *b* } = { *a*, *b* } por ĉiuj *a*, *b*.

Ni tiam skribas *a* ≤ *b* se kaj nur se *a = a ∧ b*.  Sekvas, ke totale ordita aro estas distribueca latiso.

Se *a* kaj *b* estas membroj de aro kiu estas totale ordigita per ≤, tiam ni povas difini duargumentan rilaton *a* X estas iu ajn aro kaj f reciproke unuvalora rilato de iu ajn totale ordita aro al X tiam f produktas totalan ordon sur X per tio fari x_1  se kaj nur se x_1 = f(n_1) kaj x_2 = f(n_2) kaj n_1 .
* La leksikographia (vortara, alfabeta) ordo sur la kartezia produto de aro de totale ordaj aroj indicita per orda numero, mem estas totala ordo. Ekzemple, iu ajn aro de vortoj ordita alfabete estas totala ordo, rigardata kiel subaro de kartezia produto de kalkulebla kvanto de kopioj de aro formita per aldonado de la spaco-simbolo al la alfabeto (kaj difinado spacon esti malpli ol iu ajn litero).
* *Naturaj nombroj*, *entjeraj nombroj*, *racionalaj nombroj*, kaj *reelaj nombroj* orditaj per la kutimaj malpli ol () rilatoj estas ĉiuj totalaj ordoj. Ĉiu el ĉi tiuj povas esti montrita esti la unika (al en izomorfio) *plej malgranda* ekzemplo de totale ordita aro kun certa propraĵo, (totala ordo *A* estas la *plej malgranda* kun certa propraĵo se kiam ajn *B* havas la propraĵon, tiam estas orda izomorfio de *A* al subaro de *B*).:
**La *naturaj nombroj* konstituas la plej malgrandan totale ordan aron sen supera limo.
**La *entjeroj* konstituas la plej malgrandan totale ordan aron kun neniu supra nek suba limo.
**La *racionalaj nombroj* konstituas la plej malgrandan totale ordan aron sen supra aŭ suba baro, kiu estas *densa* en la senco ke (*a*, *b*) estas ne-malplena por ĉiu *a*  pli granda ol, ni povus paroli pri ordotopologio sur **N** produktita de  (en ĉi tiu kazo tiuj du topologioj estas identaj, sed tio ne validas ĝenerale).

La ordotopologio povas esti montrita herede normala.

### Kompleteco
Totale ordita aro estas **kompleta**, se ĉiu subaro kiu havas superan limon, ankaŭ havas malplejan superan limon. Estas nombro de rezultoj rilatantaj propraĵojn de la ordotopologio al la kompleteco de X:
*Se la ordotopologio sur *X* estas koneksa, *X* estas kompleta.
**X* estas koneksa sub la ordotopologio, se kaj nur se ĝi estas kompleta kaj mankas *breĉo* en *X* (breĉo estas du punktoj *a* kaj *b* en *X* sen *c* kontentiganta *a* &lt; *c* &lt; *b*.)
**X* estas kompleta, se kaj nur se ĉiu limita aro kiu estas fermita en la ordotopologio estas kompakta.

### Ĉenoj 
Dum el difina vidpunkto, **ĉeno** nure estas sinonimo por **totale ordita aro**, la termino kutime priskribas totale orditan subaron de iu parta ordo. Tial la reelaj nombroj kredeble priskribiĝus kiel **totale ordita aro**. Tamen, se ni konsiderus ĉiujn subarojn de la entjeroj *parte orditaj* per inkludado tiam la totale ordita aro sub inkludo { *I**n* : *n* estas natura nombro} difinita supre en ekzemplo ofte nomiĝus *ĉeno*.

La emo uzi la vorton *ĉeno* por nomi totale orditan subaron de parta ordo verŝajne estas pro la grava rolo kiun tiaj totale orditaj subaroj ludas en la Lemo de Zorn.

### Finia totala ordo 
Simpla argumento per nombrado konfirmos, ke kiu ajn finia totala ordo (kaj tial kiu ajn subaro de tiu) havas plej malgrandan eron. Tial ĉiu finia totala ordo estas fakte bona ordo. Ĉu per rekta pruvo, ĉu per observado, ke ĉiu bona ordo estas orde izomorfia al orda numero, oni povas montri, ke ĉiu finia totala ordo estas orde izomorfa al komenca segmento de la naturaj nombroj ordigita per <. Alivorte, totala ordo kun k elementoj produktas estas en reciproke unuvalora rilato kun la unuaj k naturaj nombroj. Tial  estas ordinare indeksi finiajn totalajn ordojn aŭ nombreblajn bonajn ordojn per naturaj nombroj per maniero, kiu respektas la ordon.

Komparu kun parta ordo, al kiu mankas la tria kondiĉo. Ekzemplo de parta ordo estas la rilato okazis-antaŭe.

## Vidu ankaŭ 
Parta ordo

## Referencoj 
Kategorio:Ordoteorio