Elipsa filtrilo

En elektroniko kaj signal-prilaborado, la **elipsaj filtriloj** (ankaŭ sciataj kiel **filtriloj de Cauer**, nomitaj post Wilhelm Cauer) estas speco de analogaj aŭ ciferecaj linearaj filtriloj. Ilia amplitudo-frekvenca karakterizo havas egalajn laŭ alto inter si ondetojn en la pasanta bendo kaj ankaŭ havas egalajn laŭ alto inter si ondetojn en la haltata bendo. La kvanto kaj alto de la ondetoj en ĉiu bendo estas sendepende pliprecizigebla, kaj neniu la alia filtrilo de egala ordo povas havi pli krutan deklivon inter pasanta bendo kaj haltata bendo, por la donitaj maksimumaj altoj de la ondetoj (sendepende de tio ĉu la ondetoj estas egalaj inter si aŭ ne).

Alternative, oni povas ne uzi la eblecon sendepende ĝustigi la pasanta-bendajn kaj haltata-bendajn ondetojn, kaj anstataŭe dizajni filtrilon kiu estas maksimume nesencanta al la komponantaj variadoj.

Se la kvanto de ondetoj en la haltata bendo estas nulo, la filtrilo estas speco-I filtrilo de Ĉebiŝev. Se la kvanto de ondetoj en la pasanta bendo estas nulo, la filtrilo estas speco-II filtrilo de Ĉebiŝev. Se ambaŭ kvantoj de ondetoj estas nuloj, la filtrilo estas filtrilo de Butterworth.

Por malalta-pasa elipsa filtrilo kun la sama kvanto de ondetoj en la pasanta bendo kaj en la haltata bendo, la amplifo kiel funkcio de angula frekvenco *ω* estas donita per:

:  G_n(\omega) = {1 \over \sqrt{1 + \epsilon^2 R_n^2(\xi,\omega/\omega_0)} } 

kie *Rn* estas la *n*-a orda elipsa racionala funkcio (iam sciata kiel racionala funkcio de Ĉebiŝev);
: *ω0* estas la fortranĉa frekvenco;
: *ε* estas la ondeta faktoro;
: *ξ* estas la selekteca faktoro.

La valoro de la ondeta faktoro precizigas la pasanta-bendajn ondetojn, kaj la kombinaĵo de la ondeta faktoro kaj la selekteca faktoro precizigas la haltata-bendajn ondetojn.

## Propraĵoj 
eta|altdekstre=2|La amplitudo-frekvenca karakterizo de kvara-orda elipsa malalta-pasa filtrilo kun *ε=0,5* kaj *ξ=1,05*. Ankaŭ montritaj estas la minimuma amplifo en la pasanta bendo kaj la maksimuma amplifo en la haltata bendo, kaj la traira regiono inter ununormigitaj frekvencoj 1 kaj *ξ*
eta|altdekstre=2|Pli granda vido de la traira regiono de la pli supra grafikaĵo

* En la pasanta bendo, la elipsa racionala funkcio varias inter 0 kaj 1. La amplifo en la pasanta bendo pro tio varias inter 1 kaj  1/\sqrt{1+\epsilon^2} .

* En la haltata bendo, la elipsa racionala funkcio varias inter malfinio kaj la diskriminacia faktoro *Ln* kiu estas difinita kiel:

: *Ln=Rn(ξ, ξ)*

: La amplifo en la haltata bendo pro tio varias inter 0 kaj  1/\sqrt{1+\epsilon^2L_n^2}  .

* En la limeso de  \xi \rightarrow \infty  la elipsa racionala funkcio iĝas polinomon de Ĉebiŝev, kaj pro tio la filtrilo iĝas speco-I filtrilon de Ĉebiŝev kun ondeta faktoro *ε*.

* Pro tio ke la filtrilo de Butterworth estas limesa formo de la filtrilo de Ĉebiŝev, en la limeso de  \xi \rightarrow \infty ,  \omega_0 \rightarrow 0  kaj  \epsilon \rightarrow 0  tia ke  \epsilon\,R_n(\xi,1/\omega_0)=1  la filtrilo iĝas filtrilon de Butterworth

* En la limeso de  \xi \rightarrow \infty ,  \epsilon \rightarrow 0  kaj  \omega_0\rightarrow 0  tia ke  \xi\omega_0=1  kaj  \epsilon L_n=\alpha , la filtrilo iĝas filtrilon de Ĉebiŝev de speco II kun amplifo

:  G(\omega)=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\alpha^2 T^2_n(1/\omega)}}} 

## Polusoj kaj nuloj 
[eta|altdekstre=2|Logaritmo de la absoluta valoro de la amplifo de 8-orda elipsa filtrilo en [kompleksa frekvenca spaco (*s = σ + jω*) kun *ε=0,5*, *ξ=1,05* kaj *ω0=1*. La blankaj makuloj estas polusoj kaj la nigraj makuloj estas nuloj. Estas tutece 16 polusoj kaj 8 duoblaj nuloj. Tio kio aspektas kvazaŭ sola poluso kaj nulo proksime la traira regiono estas reale kvar polusoj kaj du duoblaj nuloj kiel estas montrita en la pligrandigita vido pli sube. En ĉi tiu bildo, nigra respektivas al amplifo de 0,0001 aŭ malpli kaj blanka respektivas al amplifo de 10 aŭ pli.]]
eta|altdekstre=2|Pligrandigita vido de la traira regiono de la pli supra bildo, malkomponanta la kvar polusojn kaj du duoblajn nulojn.

La nuloj de la amplifo de elipsa filtrilo koincidas kun la polusoj de la elipsa racionala funkcio.

La polusoj de la amplifo de elipsa filtrilo povas esti derivitaj en maniero tre simila al la derivado de la polusoj de la amplifo de speco-I filtrilo de Ĉebiŝev. Por simpleco, alprenu ke fortranĉa frekvenco egalas al 1. La polusoj  (\omega_{pm})  de la amplifo de la elipsa filtrilo estas la nuloj de la denominatoro de la amplifo. Uzante la kompleksan frekvencon *s = σ + jω* ĉi tio signifas ke:

:  1+\epsilon^2R_n^2(-js,\xi)=0 

Difinante *-js=cd(w, 1/ξ)* kie *cd()* estas la jakobia elipsa kosinusa funkcio kaj uzante la difinon de la elipsaj racionalaj funkcioj rezultas:

:  1+\epsilon^2\left(\mathrm{cd}\left(\frac{nwK_n}{K},\frac{1}{L_n}\right)\right)^2=0 

kie  K=K(1/\xi)  kaj  K_n=K(1/L_n) . Solvante por *w*

:  w=\frac{K}{nK_n}\mathrm{cd}^{-1}\left(\frac{\pm j}{\epsilon},\frac{1}{L_n}\right)+\frac{mK}{n} 

kie la multaj valoroj de la inversa *cd()* funkcio estas faritaj eksplicite uzante la entjeran indekson *m*.

La polusoj de la amplifa funkcio estas do:

:  s_{pm}=i\,\mathrm{cd}(w,1/\xi) 

Kiel estas en la okazo de la polinomoj de Ĉebiŝev, ĉi tio povas esti esprimita en eksplicita kompleksa formo

:  s_{pm}=\frac{a+jb}{c} 

:  a=-\zeta_n\sqrt{1-\zeta_n^2}\sqrt{1-x_m^2}\sqrt{1-x_m^2/\xi^2} 

:  b=x_m\sqrt{1-\zeta_n^2(1-1/\xi^2)} 

:  c=1-\zeta_n^2+x_i^2\zeta_n^2/\xi^2 

kie *ζn* estas funkcio de *n*, *ε*, *ξ*;
 *xm* estas la nuloj de la elipsa racionala funkcio.

*ζn* estas esprimebla por ĉiuj *n* per la jakobiaj elipsaj funkcioj, aŭ algebre por iuj ordoj, aparte ordoj 1, 2 kaj 3. Por ordoj 1 kaj 2 estas

:  \zeta_1=\frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2}} 

:  \zeta_2=\frac{2}{(1+t)\sqrt{1+\epsilon^2}+\sqrt{(1-t)^2+\epsilon^2(1+t)^2}} 

kie

:  t=\sqrt{1-1/\xi^2} 

La nestanta propraĵo de la elipsaj racionalaj funkcioj povas esti uzata por konstrui pli alta-ordajn esprimojn por  \zeta_n  :

:  \zeta_{m\cdot n}(\xi,\epsilon)= \zeta_m\left(\xi,\sqrt{\frac{1}{\zeta_n^2(L_m,\epsilon)}-1}\right) 

kie *Lm=Rm(ξ, ξ)*.

## Elipsaj filtriloj kun minimumaj Q-faktoroj 
eta|altdekstre=2|La ununormigitaj Q-faktoroj de la polusoj de 8-a orda elipsa filtrilo kun *ξ=1,1* kiel funkcioj de ondeta faktoro *ε*. Ĉiu kurbo prezentas kvar polusoj, pro tio ke kompleksaj konjugitaj polusaj paroj kaj pozitiva-negativaj polusaj paroj havas la saman Q-faktoro. La blua kaj cejana kurboj preskaŭ koincidas. La Q-faktoroj de ĉiuj polusoj estas samtempe minimumigataj je *εQmin=1/√Ln=0,02323...*.

Elipsaj filtriloj estas ĝenerale precizigataj per postulado de aparta valoro por la pasanta-bendaj ondetoj, haltata-bendaj ondetoj kaj la akreco de la fortranĉo. Ĉi tio ĝenerale precizigas minimuman ordon de la filtrilo kiu devas esti uzata. Alia dizajna konsidero estas la sentkapablo de la amplifa funkcio al la valoroj de la elektronikaj komponantoj uzata por konstrui la filtrilon. Ĉi tiu sentkapablo estas inverse proporcia kun la kvalita faktoro (Q-faktoro) de la polusoj de la tradona funkcio de la filtrilo. La Q-faktoro de poluso estas difinita kiel:

:  Q =-\frac{2\mathrm{Re} (s_{pm})} = -\frac{1}{2\cos(\arg(s_{pm}))} 

kaj estas mezuro de la influo de la poluso sur la amplifan funkcion. Por elipsa filtrilo, okazas ke, por donita ordo, tie ekzistas interrilato inter la ondeta faktoro kaj selekteca faktoro kiu samtempe minimumigas la Q-faktoron de ĉiuj polusoj en la tradona funkcio:

:  \epsilon_{Qmin}=\frac{1}{\sqrt{L_n(\xi)}} 

Ĉi tio rezultas en filtrilo kiu estas maksimume nesencanta al komponantaj variadoj, sed la ebleco sendepende precizigi la pasanta-bendajn kaj haltata-bendaj ondetoj perdiĝas. Por ĉi tiaj filtriloj, se la ordo pligrandiĝas, la ondetoj en ambaŭ bendoj malaltiĝas kaj la kurzo de fortranĉo pligrandiĝas. Se oni decidas uzi minimumo-Q elipsan filtrilon por ke atingi apartajn minimumajn ondetojn en la bendoj kune kun aparta kurzo de fortranĉo, la ordo bezonata estas ĝenerale esti pli granda ol la ordo kiu estus alie bezonata sen la minimumo-Q postulo. Bildo de la absoluta valoro de la amplifo aspektas tre simile al la bildo en la antaŭa sekcio, escepte de tio ke la polusoj estas aranĝitaj en cirklo anstataŭ elipso. Ili estas ne egale interspacitaj kaj tie estas nuloj sur la *ω* akso, malsimile al la filtrilo de Butterworth, ankaŭ kies polusoj estas aranĝitaj en cirklo.

## Komparo kun aliaj linearaj filtriloj 
Jena bildo montras la karakterizojn de elipsaj filtriloj kune kun tiuj de la aliaj komunaj specoj de filtriloj ricevitaj kun la sama kvanto de koeficientoj (ĉiuj filtriloj estas de kvina ordo):

Kiel videblas de la bildo, elipsaj filtriloj havas la plej krutan deklivon de amplitudo-frekvenca karakterizo inter pasanta bendo kaj haltata bendo.

## Vidu ankaŭ 
* Filtrilo de Butterworth
* Filtrilo de Ĉebiŝev
* Filtrilo de Bessel

## Eksteraj ligiloj 
* Elipsaj filtriloj
* Malalta-pasaj filtriloj
* Rikuraj filtriloj 
* Komparo de filtriloj 

Kategorio:Linearaj filtriloj
Kategorio:Elektronika dizajno