Kvadrata radiko

En matematiko, **kvadrata radiko** (simbolo **√**) de nombro *x* estas nombro *r* tia ke *r2 = x*, aŭ alivorte, nombro *r* kies *kvadrato* (rezulto de multipliko de la nombro per si) estas *x*.

Ĉiu nenegativa reela nombro *x* havas unikan nenegativan kvadratan radikon, nomatan kiel la **ĉefa kvadrata radiko** kaj skribatan per radikala simbolo **√x**. Ekzemple, la ĉefa kvadrata radiko de 9 estas 3, √9=3, ĉar *32 = 3 × 3 = 9*.

Ĉiu pozitiva nombro *x* havas du kvadratajn radikojn. Unu el ili, *√x*, estas *√x* pozitiva, kaj la alia, *(-√x)*, estas negativa. Kune, ĉi tiuj du radikoj estas skribataj kiel *±√x*.

Se ne estas rekte alie skribite, kiel la kvadrata radiko de nombro estas komprenata la ĉefa kvadrata radiko.

Kvadrataj radikoj de negativaj reelaj nombroj estas  kaj estas diskutataj en la kadro de .

Kvadrataj radikoj ankaŭ de objektoj kiuj ne estas nombroj povas esti difinitaj.

Kvadrataj radikoj aperas dum solvado de , tio estas ekvacioj de formo *ax2+bx+c=0*.

Kvadrataj radikoj de entjeroj kiuj ne estas perfektaj kvadratoj estas ĉiam , do nombroj ne esprimeblaj kiel rilatumo de du entjeroj, do ili ne povas esti skribitaj akurate kiel *m/n*, kie *n* kaj *m* estas entjeroj. (*Vidu en kvadrata radiko de 2 por pruvo de neracionaleco de ĉi tiu nombro.*)

## Kvadrataj radikoj de nenegativaj nombroj 
[eta|400px|Grafikaĵo de funkcio *f(x) = √x*, kiu havas formon de duono de [parabolo (matematiko) kun vertikala direktanto.]]
La ĉefa kvadrata radika funkcio *f(x) = √x* (kutime nomata simple kiel la "kvadrata radika funkcio") estas funkcio kiu bildigas la aron de nenegativaj reelaj nombroj **R**+ ∪ {0} sur sin, kaj ĉiam redonas unikan valoron. La kvadrata radika funkcio ankaŭ bildigas  enen  (superaro de la racionalaj nombroj); *√x* estas racionala se kaj nur se *x* estas racionala nombro kiu povas esti prezentita kiel rilatumo de du . En geometriaj terminoj, la kvadrata radika funkcio el areo de kvadrato kalkulas ĝian longon de latero.

Por ĉiuj reelaj nombroj *x*,
:
\sqrt{x^2} = \left|x\right| =
\begin{cases}
 x, & \mbox{se }x \ge 0 \\
 -x, & \mbox{se }x \le 0
\end{cases}

Por ĉiuj nenegativaj reelaj nombroj *x* kaj *y*,

:\sqrt{xy} = \sqrt x \sqrt y

kaj

:\sqrt x = x^{1/2}.

La kvadrata radika funkcio estas kontinua funkcio por ĉiuj nenegativaj *x* kaj diferencialebla por ĉiuj pozitivaj *x*. Ĝia derivaĵo estas

:f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}.

La serio de Taylor de *√(1+x)* ĉirkaŭ *x* = 0

:\sqrt{1 + x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots\!

konverĝas por *|x| &lt; 1*.

## Kalkulado 
Eblas kalkuli kvadratan radikon per la eksponenta funkcio kaj la natura logaritmo:

:\sqrt{x} = e^{\frac{1}{2}\ln x} aŭ \sqrt{x} = 10^{\frac{1}{2}\log x}

La sama idento estas uzata por komputi kvadratan radikon per logaritma baremo aŭ glitkalkulilo.

La plej konata, sed malrapida, maniero de kalkulado de kvadrata radika estas nomata kiel la "babilona maniero". Ĝi estas algoritmo, kiuj rezultoj proksimiĝas al la reala kvadrata radiko kun ripetoj.

* Starti kun ajna pozitiva starta valoro *r* (ju pli proksima al la kvadrata radiko de *x*, des pli bonas).
* Anstataŭigi *r* per la averaĝo inter *r* kaj *x/r*. Estas sufiĉe preni aproksimaĵon de la averaĝo, ne tro proksiman al la antaŭa valoro de *r* kaj *x/r* por konverĝo.
* Ripeti se *r* kaj *x/r* ne estas sufiĉe proksimaj kiel deziratas.

Sciataj la plej bonaj laŭ komputa komplikeco algoritmoj por komputo de kvadrata radiko kun *n* ciferoj de precizeco estas la same komplikaj kiel tiuj por multipliko de du *n*-ciferaj nombroj.

## Kvadrataj radikoj de negativaj kaj kompleksaj nombroj 
dekstra|eta|Kompleksa kvadrata radiko
dekstra|eta|Dua folio de la kompleksa kvadrata radiko
dekstra|eta|Uzante la rimanan surfacon de la kvadrata radiko, oni povas vidi kiel la du folioj kuniĝas
La kvadrato de ĉiu pozitiva aŭ negativa nombro estas pozitiva, kaj kvadrato de 0 estas 0. Pro tio, negativa nombro ne povas havi reelan kvadratan radikon.

Tamen, eblas labori kun pli granda aro de , kiuj enhavas kvadratan radikon de ĉiu reela negativa nombro.

La imaginara unuo *i* estas tia ke *i2 = -1*. Tiel *i* estas kvadrata radiko de -1.

Sed ankaŭ *(-i)2 = i2 = -1*, tiel ankaŭ *-i* estas kvadrata radiko de -1. Simile al la reelaj nombroj, la ĉefa kvadrata radiko de -1 estas *i*, aŭ pli ĝenerale, se *x* estas pozitiva nombro, do la ĉefa kvadrata radiko de *-x* estas
:\sqrt{-x} = i \sqrt x
ĉar
:(i\sqrt x)^2 = i^2(\sqrt x)^2 = (-1)x = -x.

Por ĉiu ne-nula kompleksa nombro *z* tie ekzisti precize du nombroj *w* tiaj ke *w2 = z*. Ekzemple, la kvadrataj radikoj de *i* estas:

:\sqrt{i} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)

kaj

:- \sqrt{i} = - \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i).

La *i* estas nek pozitiva nek negativa. Tiel oni ne povas difini *√z* por kompleksa nombro *z* kiel la "pozitiva" kvadrata radiko de *z*.

La kutima difino de *√z* estas per prezentanta jena branĉa tranĉo: se *z* estas prezentita en polusaj koordinatoj kiel *z = r eiφ* kaj *-π \sqrt{z} = \sqrt{r} \, e^{i\phi \over 2}.

Tiel difinis, la kvadrata radika funkcio estas kontinua kaj holomorfa ĉie escepte sur la nepozitivaj reelaj nombroj. La pli supre donita serio de Taylor por *√(1+x)* restas valida por kompleksaj nombroj *x* kun *|x| \sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{r + x}{2}} + i \frac{y}{\sqrt{2 (r + x)}}

kie r = |x + iy| = \sqrt{x^2+ y^2} estas la absoluta valoro, se ne *x = −r* kaj *y = 0*.

Signo de imaginara parto de la radiko estas la sama kiel signo de imaginara parto de la originala nombro. La reela parto de la ĉefa valoro estas ĉiam nenegativa.

Notu, ke pro la nekontinua naturo de la kvadrata radika funkcio en la kompleksa ebeno, la leĝo *√(zw) = √z √w* estas ĝenerale *ne vera*. La problemo okazas pro la libereco en la elekto de branĉo. Tamen, veras *√(zw) = √z √w* aŭ *√(zw) = -√z √w*

## Kvadrataj radikoj de matricoj kaj operatoroj 
Se *A* estas pozitive difinita matrico aŭ operatoro, tiam ekzistas precize unu pozitive definitiva matrico aŭ operatoro *B* tia ke *B2 = A*. Tiam oni difinas ke *√A = B*.

Pli ĝenerale, por ĉiu normala matrico aŭ operatoro *A* ekzistas normalaj matricoj aŭ operatoroj *B* tiaj ke *B2 = A*. Ĝenerale, estas kelkaj tiaj *B* por ĉiu *A* kaj la kvadrata radika funkcio ne povas esti difinita por normalaj matricoj kaj operatoroj en kontentiga maniero.

## Ĉefaj kvadrataj radikoj de la unuaj 20 pozitivaj entjeroj 
### Kiel neperiodaj dekumaj frakcioj 
### Kiel periodaj ĉenfrakcioj 
Unu el la plej intrigantaj rezultoj de la studo de ĉenfrakcioj estis ricevita per Joseph-Louis de Lagrange en proksimume 1780. Ĝi estas ke kvadrata radiko de ĉiu ne-kvadrata pozitiva entjero povas esti prezentita per perioda ĉenfrakcio.

La skribmaniero kun kvadrataj krampoj uzata pli supre estas ekvivalenta al pli tradicia skribmaniero de ĉenfrakcio. Ekzemple la kvadrata radiko de 11 skribata kiel [3; 3, 6, 3, 6, ...] aspektas kiel:

:
\sqrt{11} = 3 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{\ddots}}}}}

kie la du-nombra ŝablono {3, 6} ripetiĝas en la partaj denominatoroj.

## Geometria konstruado de kvadrata radiko 
Kvadrata radiko povas esti konstruita kun cirkelo kaj liniilo. En liaj eroj, Eŭklido donis konstruadon de la geometria meznombro de du longoj en du malsamaj lokoj. Pro tio ke la geometria meznombro de *a* kaj *b* estas *√(ab)*, onu povas konstrui na *√a* per preno de *b = 1*.

Alia maniero de geometria konstruado uzas  kaj indukton: se 1=√1 estas donita, kaj se *√x* estas konstruita, do la orta triangulo kun katetoj 1 kaj *√x* havas hipotenuzon *√(x+1)*.

## Vidu ankaŭ 
* Manieroj de komputado de kvadrata radiko
* Kvadrata radiko de matrico
* Entjera kvadrata radiko
* Kvadrata radika principo
* Kvadrata restaĵo
* Kuba radiko
* *n*-a radiko
* Radiko de unu
* Kvadrata radiko de 2
* Kvadrata radiko de 3
* Kvadrata radiko de 5
* Kvadrato (algebro)
* Kvadrata funkcio
* Funkcia kvadrata radiko

## Eksteraj ligiloj 
* [http://webhome.idirect.com/~totton/soroban/katoSq/ ]  maniero de Fukutaro Kato
* [http://webhome.idirect.com/~totton/soroban/KojimaSq/ ]  maniero de Takashi Kojima
* Algoritmoj kaj realigoj
* Kvadrata radiko de pozitivaj reelaj nombroj kun realigo en Rexx.
* Kvadrataj radikoj je MATHPATH
* Kvadrato-radikaj manieroj de alta ordo
* Kiel kalkuli kvadratan radikon 
* Propozicio II.14 - konstruado de la geometria meznombro per cirkelo kaj liniilo en elementoj de Eŭklido
* Propozicio VI.13 - konstruado de la geometria meznombro per cirkelo kaj liniilo en elementoj de Eŭklido
* http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=00570001&seq=12&frames=0&view=50 konstruado de Kartezio en lia *La Géométrie*, figuro 2.

Kategorio:Rudimentaj specialaj funkcioj