Racionala trigonometrio

Matematiko > Trigonometrio > Racionala trigonometrio

**Racionala trigonometrio** estas moderna ideo pri trigonometrio implikanta *etendeco* kaj *kvadranco* anstataŭ angulo kaj distanco. Ĉi tiu nova maniero estas la laboro de Doktoro Norman Wildberger de la Universitato de Nova Sud-Kimrio (ĉe Sidnejo en Aŭstralio). Pli da informo estas havebla je lia paĝaro http://web.maths.unsw.edu.au/~norman/book.htm. Anstataŭ la klasikaj funkcioj (sinuso, kosinuso, tangento) ĝi uzas nur algebrajn operaciojn.

Ĝia nomo devenas de la malplia uzado de neracionalaj nombroj, kiel kvadratoradikoj kaj la matematika konstanto &#960; kiu estas neracionala.

## Fundamentaj Kvantoj - kvadranco kaj etendeco 
Kiel matematiko adoptis la araban ciferan sistemon kun nulo kaj lok-valoro anstataŭ romanaj numeraloj, simile trigonometrio bonfarus adopti ĉi tiujn ideojn de Doktoro Wildberger. Eble la individuaj partoj ne estas novaj, sed la sugeston ke ili povas kombini por krei novan trigonometrion meritas rimarkon.
Antaŭ la tempo de Koperniko, astronomoj referencis tabelojn por kalkuli la *kontraŭmovadon* de la planedoj, kion ili ne povis ekspliki. Sammaniere, modernaj lernantoj ĉe mezlernejoj ĉien referencas tabelojn aŭ kalkulilojn por trovi trigonometriajn proporciojn. Wildberger redifinas trigonometrion el novajn kvantojn kaj uzas la koordinatan sistemon rekte por solvi geometriajn problemojn.

### Kvadranco - la apartiĝo inter punktoj 
Kvadranco ("Q") diferencas ol simpla distanco ĉar ĝi kvadratigas la distancon. Ĉi tio signifas ke oni povas plifacile kalkuli la apartiĝo inter du punktoj en 2-dimensia spaco ĉar si ne devas trovi la kvadratoradikon, kiu ofte estas neracionala.

En kartezia spaco (x, y), inter la punktoj p_1 kaj p_2, la kvadranco Q_\mathrm{1-2} estas difinita kiel,

:Q_\mathrm{1-2} = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2

### Etendeco - la apartiĝo inter linioj 
Laŭ racionala trigonometrio, etendeco ("s") estas fundamenta koncepto difinita kiel la proporcio de du kvadrancoj. Establu punkto p_1 kie du linioj kruciĝas, kaj elektu du punktojn p_2 sur unu kaj p_3 sur la alia tiel, kiel la linio \ell_\mathrm{2-3} estas orta laŭ \ell_\mathrm{1-3}.

Inter la linioj \ell_\mathrm{1-2} kaj \ell_\mathrm{1-3}, la etendeco s_1 estas difinita kiel,

:s_1 = {Q_\mathrm{1-3} \over Q_\mathrm{1-2}}

### Komparita kun la Tradiciaj Geometriaj Konceptoj 
Kvadranco komparita kun distanco:

:Q = (\mathrm{distanco})^2

Etendeco komparita kun angulo (dum angulo estas akuta):

:s = (\sin(\mathrm{angulo}))^2

Etendeco ne estas sama kiel la koncepto en tradicia geometrio de angulo. Etendeco priskribas rilato inter du linioj, de paraleleco ĝis orteco, sed angulo priskribas rilato inter du radioj emanantaj el la sama punkto. Plue, ĉar etendeco kaj angulo 'ne' estas linie proporciaj, oni ne povas adicii etendecoj tiom simple kiel anguloj.

## Leĝoj de Racionala Trigonometrio 
278ra|dekstra|

### La Tri-Kvadranca Formulo 
Kiam tri punktoj kuŝas estas samliniaj (restantaj en sama linio), la sekvanta esprimo estas vera:

:(Q_1 + Q_2 + Q_3)^2 = 2(Q_1^2 + Q_2^2 + Q_3^2)

### La Pitagora Teorio 
La facetoj \ell_1 kaj \ell_2 de triangulo kruciĝas orte kiam,

:Q_1 + Q_2 = Q_3

### La Etendeca Leĝo 
Je ia triangulo kun ne-nulaj kvadrancoj,

:{s_1 \over Q_1} = {s_2 \over Q_2} = {s_3 \over Q_3}

### La Kruca Leĝo 
Je ia triangulo, difinu la *krucon*, c_3 = 1 - s_3. Tiel,

:(Q_1 + Q_2 - Q_3)^2 = 4Q_1Q_2c_3

### La Tri-Etendeca Formulo 
Je ia triangulo,

:(s_1 + s_2 + s_3)^2 = 2(s_1^2 + s_2^2 + s_3^2) + 4s_1s_2s_3

### Por Speguligi Etendecojn 
Etendecojn ne adicias linie kiel anguloj. Anstataŭe, oni povas trovi la etendecon enhavantan ambaŭ flankojn de speguligita etendeco (same kiel duobligita angulo). Do la etendeco de linio al ĝia speguligitaĵo estas,

:s_\mathrm{speguligita} = 4s(1 - s)

## Eksteraj ligiloj 
* Divine Proportions *(angle)* - la libro de Norman Wildberger.

Kategorio:Trigonometrio
Kategorio:Matematiko