Operacio (matematiko)

En matematiko, **operacio** estas kalkulo aŭ alia manipulo plenumata super konataj kvantoj aŭ objektoj (nombroj, vektoroj, matricoj, aroj, ...) por eltrovi unu aŭ plurajn rezultojn. Ekzemple, la kvar bazaj operacioj de aritmetiko estas adicio, subtraho, multipliko kaj divido.

Per plia formaligo de la kutima nocio "aritmetika operacio", oni difinas **operacion sur aro E**, kiel funkcion de **E×E** al **E**.

La ĝenerala nocio *operacio* estas vastigebla ankaŭ al funkcioj, kies fontaro estas kartezia produto de pli aŭ malpli (t.e. unu aŭ, cele al unuformeco de difinoj, 0) ol du (kutime, sed ne nepre identaj) aroj kaj la cela aro (denove, kutime, sed ne nepre) estas aro identa al unu el ili (sed povas esti alia aro, kiel, ekzemple, la skalara cela aro de la duvalenta operacio *skalara produto de vektoroj*).

Oni tiam parolas pri la argumentaj lokoj, aŭ operandoj; pri *nulvalenta*, *unuvalenta*, *duvalenta*, *trivalenta*, *kvarvalenta* aŭ ĝenerale *n-valenta operacio*, kie *n* estas la valento de la operacio, t.e. la nombro de ĝiaj operandoj.

Se, en tia ĝenerala situacio, kaj ĉiuj aroj, kies kartezia produto formas la fontan aron, kaj la cela aro estas kopioj de la sama aro, tiam la operacio nomiĝas **interna operacio**; alie temas pri **ekstera operacio**.

La kutimaj operacioj estas plejparte *duvalentaj* aŭ *unuvalentaj* (vd valento). Por koncepta unuformeco oni povas konsideri konstanton **0-valenta operacio**.

Apartaj ecoj, kiujn povas havi duvalenta operacio:
* **asocia** - operacio * sur E estas *asocia*, se **(x*y)*z = x*(y*z)** por ĉiuj x, y, z el E;

* **komuta** - du elementoj x, y el E estas *komutaj* rilate al operacio * en E, se **x*y = y*x**;

* **distribua** - operacio * estas *distribua* rilate al operacio T, se por ĉiuj x, y, z validas la egalaĵoj **x*(yTz) = (x*y)T(x*z)** kaj **(yTz)*x = (y*x)T(z*x)**.

## Operacioj sur entjeraj kaj reelaj nombroj 
* **Adicio** – operacio por trovi la **sumon** de nombroj aŭ kvantoj. La signo de adicio estas **+** (plus). Se ni adicias 5 kaj 3, ni ricevos 8. 5 kaj 3 estas **adiciatoj**, 8 estas **sumo**.

* **Subtraho** – operacio por trovi la **diferencon** de la dua nombro per la unua nombro; La signo de subtraho estas **−** (minus). Ekz. ĉe la subtraho: 9−6=3 oni diras, ke 9 estas la **malpliigato**, 6 estas la **subtrahato**, 3 estas la **diferenco**.

* **Multipliko** – operacio, per kiu, se oni multiplikas nombron **a** per pozitiva entjero **n**, oni povas trovi la sumon de **n** ekzempleroj de nombro **a**. La signo de multipliko estas **·** aŭ **×**. Ĉe la multipliko: *a* × *b* = *c* oni nomas *a* kaj *b* **faktoroj**, kaj *c* la **produto**, × estas la multiplika signo.

* **Divido** – operacio, kies celo estas scii, kiomoble unu kvanto (nomata **dividato**) entenas alian (nomatan **dividanto**); la rezulto nomiĝas **kvociento**. La signo por divido estas **:** (dupunkto) au **/** (stango). Ekz. a:b=a/b; **a** dividite per **b** egalas **a** sur **b**.

* **Potenco** – la produto de **n** faktoroj, el kiuj ĉiu egalas al **a**; ekz. 34=3 x 3 x 3 x 3=81 aŭ la kvara potenco de tri. La nombro 4 estas **eksponento**. Kutime la operacio estas skribita per indekso, la eksponento tiam estas skribita kiel supra indekso.

* **Radiko** – la radiko de nombro **a** per alia nombro **n** estas tia nombro, ke ĝia potenco per **n** egalas al **a**: la *noa* radiko de 10; la radiko de 8 per 3 estas 2 (kuba radiko el 8); kvadrata radiko el 25 estas 5.

* **Logaritmo** (de pozitiva nombro **a** en logaritma sistemo kun bazo **b**) – La eksponento, per kiu oni devas potenci **b** por ekhavi **a**. Dekuma logaritmo estas kun bazo 10; natura logaritmo – kun bazo e=2,71828...

* **Hiperoperatoro** donas pluajn operaciojn en vico de adicio, multipliko, potencigo.

En la aro **N** (naturaj nombroj) ĉiam eblas la operacioj de la adicio, multipliko, potencigo, sed ne ĉiam subtraho, divido kaj radikigo. Ekzemple, ne ekzistas natura nombro, kiu estas rezulto de la operacioj: 3−6 kaj 3:7. Por solvi ĉi-tiujn problemojn oni enkondukis la nociojn de negativaj nombroj kaj racionalaj nombroj.

Necesas bone distingi inter nombroj kaj numeroj, kiuj havas restriktitan aron da eblaj operacioj.

## Operacioj sur vektoroj 
* Skalara produto: du vektoroj eniras, rezulto estas skalaro (nombro)
* Vektora produto: du vektoroj eniras, rezulto estas vektoro