Divido

eta|20: 4=5
En matematiko, aparte en elementa aritmetiko, **divido** estas aritmetika operacio kiu estas la inverso de multipliko.

Specife, se c \times b = a
kie *b* estas ne nulo, tiam
:\frac ab = c
kio estas, *a* dividita per *b* egalas al *c*. Oni povas pli koncize legi kiel "a sur b egalas al c".

Ekzemple, \frac 63 = 2 ĉar 2 \times 3 = 6\,.

En la pli supre esprimo, *a* estas nomita la **dividato** aŭ **numeratoro**, *b* la **dividanto** aŭ **denominatoro** kaj *c* la **kvociento**.

Divido per nulo (do kiam la dividanto estas nulo) estas kutime ne difinita.

## Notacio 
Divido estas plej ofte montrita per skribado de la *dividato* super la *dividanto* kun horizontalo inter ili. Ekzemple, *a* dividita per *b* estas skribata kiel \frac ab.

Maniero esprimi dividon tute sur unu linio estas skribi la *dividaton*, tiam oblikvon, tiam la *dividanton*, tiamaniere: a/b\,.
Ĉi tio estas la kutima maniero precizigi dividon en plej multaj komputilaj programadaj lingvoj ĉar ĝi povas facile esti tajpita kiel simpla vico de signoj.

Presa variado kiu estas meze inter ĉi tiuj du formoj uzas oblikvon sed altigas la dividaton, kaj malaltigas la dividanton: a⁄b

Iu ajn el tiuj formoj povas ordinare elmontri frakcion. Frakcio estas divida esprimo kie kaj dividato kaj dividanto estas entjeroj (kvankam tipe nomitaj la *numeratoro* kaj *denominatoro* respektive), kaj ne estas implico, ke la divido bezonas esti plue pritaksita.

Aliaj manieroj montri dividon estas uzi la obeluson (aŭ dividan signon) jene: a \div b aŭ uzi dupunkton jene: *a* : *b*. La obeluso estas ankaŭ uzata sola por prezenti la dividan operacion mem, kiel ekzemple kiel marko sur klavo de kalkulilo.

## Komputado de divido 
Kun scio de multiplikaj tabeloj, du entjeroj povas esti dividataj sur papero uzante la metodon de skriba divido. Se la dividato havas frakcian parton (esprimita kiel dekuma frakcio), oni povas daŭrigi la algoritmon pasante la lokon de unuoj tiel malproksimen kiel dezirite. Se la dividanto havas frakcian parton, oni povas reformuli la problemon per movado de la dekuma signo dekstren en ambaŭ nombroj ĝis la dividanto ĉesas havi frakcion.

En modula aritmetiko, iuj nombroj havas inverson kun respekto al la modulo. En tia kazo, divido povas esti kalkulata per multipliko. Ĉi tiu maniero estas utila en komputiloj, kiuj ne havas rapidan dividan komandon.

## Divido de entjeroj 
Divido de entjeroj ne estas fermita. Krom tio, ke divido per nulo entute ne estas nedefinita, la kvociento ne estos entjero, se la dividato estas ne entjera oblo de la dividanto; ekzemple 26 ne povas esti dividita per 10 kun entjero kiel rezulto. En tia kazo estas kvar eblaj elturniĝoj.
# Diri, ke 26 ne povas esti dividita per 10.
# Doni la respondon kiel dekuman frakcion aŭ miksitan nombron, do \frac{26}{10} = 2.6 aŭ 26/10 = 2 \frac 35. Ĉi tiu estas la aliro kutime prenita en matematiko.
# Doni la respondon kiel *kvociento* kaj *resto*, do \frac{26}{10} = 2 resto 6.
# Doni la kvocienton kiel la respondon, do \frac{26}{10} = 2. Ĉi tiu estas iam nomita *entjera divido*.

Oni devas singardi kiam oni plenumas dividon de entjeroj en komputila programo. Iuj programlingvoj, kiel C, traktas dividon de entjeroj kiel en la kazo 4 pli supre, do la respondo estos entjero. Aliaj lingvoj, kiel MATLAB, unue konvertas la entjerojn al reelaj nombroj, kaj tiam donas reelan nombron kiel la respondon, kiel en la kazo 2 pli supre. Tiakaze la respondo facile povas enteni tre malgrandan forpurigendan erareton.

## Divido de racionalaj nombroj 
La rezulto de dividado de du racionalaj nombroj estas alia racionala nombro kiam la dividanto estas ne 0. Ni povas difini dividon de du racionalaj nombroj *p*/*q* kaj *r*/*s* per

:{p/q \over r/s} = (p \times s)/(q \times r).

Ĉiuj kvar kvantoj estas entjeroj, kaj nur *p* povas esti 0. Ĉi tiu difino certigas, ke divido estas la inversa operacio de multipliko.

## Divido de reelaj nombroj 
Divido de du reelaj nombroj rezultas en alia reela nombro kiam la dividanto estas ne 0. Ĝi estas difinata jene: *a*/*b* = *c* se kaj nur se *a* = *cb* kaj *b* ≠ 0.

## Divido de kompleksaj nombroj 
Dividado de du kompleksaj nombroj rezultas en alia kompleksa nombro kiam la dividanto estas ne 0, difinata jene:

:{p + iq \over r + is} = {pr + qs \over r^2 + s^2} + i{qr - ps \over r^2 + s^2}.

Ĉiuj kvar kvantoj estas reelaj nombroj. *r* kaj *s* ne povas ambaŭ esti 0.

Divido por kompleksaj nombroj esprimitaj en trigonometria prezento estas pli simpla kaj pli simple memorebla ol la difino ĉi-supre:

:{pe^{iq} \over re^{is}} = {p \over r}e^{i(q - s)}.

Denove ĉiuj kvar kvantoj estas reelaj nombroj, kaj *r* ne povas esti 0.

## Divido de polinomoj 
Oni povas difini la dividan operacion por polinomoj. Tiam, kiel ĉe entjeroj, oni havas restaĵon. Vidu en polinoma divido.

## Divido en abstrakta algebro 
En pli ĝeneralaj algebraj strukturoj de abstrakta algebro kiel, ekzemple, (duon)grupoj, ringoj, matricaj kaj kvaternionaj alĝebroj ktp, frakcioj kiel {a \over b} estas tipe difinitaj kiel a \cdot {1 \over b} aŭ a \cdot b^{-1} (aŭ b^{-1} \cdot a), kie b devas esti inversigebla elemento (t.e. ekzistas inverso b^{-1} tia, ke bb^{-1} = b^{-1}b = 1, kie 1 estas la multiplika neŭtrala elemento).

## Divido kaj infinitezima kalkulo 
La derivaĵo de la kvociento de du funkcioj estas kalkulebla per la kvocienta regulo:

:{\left(\frac fg\right)}' = \frac{f'g - fg'}{g^2}

Ne estas ĝenerala maniero integrali la kvocienton de du funkcioj.

## Notacioj por divido 
* En Usono, Unuiĝinta Reĝlando ktp (divido de 63.59 per 17, kiu estas 3.74 kun resto de 1.)

         3.74
     17)63.59
        51
        12 5
        11 9
           69
           68
            1

* En Francio (same)

## Vidu ankaŭ 
* Divido (elektroniko)
* Frakcio (matematiko)
* Kvociento
* Racionala nombro
* Inverso
* Divido per du
* Divido per nulo
* Kvazaŭgrupo
* Grupo
* Korpo
* Skriba divido
* Polinoma divido
* Dividismo

## Eksteraj ligiloj 
* Maniero por dividi en dekuma sistemo (anglalingva)
* Ekzemploj de algebraj dividoj (hispanlingva)
* Divido sur Japana abako  (anglalingva)
* Ĉiniaj mallongaj dividaj teknikoj sur Suan Pajno  (anglalingva)


Kategorio:Rudimenta aritmetiko
Kategorio:Aritmetiko
Kategorio:Dulokaj operacioj