Adicia funkcio

Malsamaj difinoj ekzistas depende de la specifa kampo de apliko. Tradicie, **adicia funkcio** estas funkcio kiu konfitas la adician operacion:
:*f(x+y) = f(x) + f(y)*
por ĉiu du eroj *x* kaj *y* en la argumentaro.

En nombroteorio, **adicia funkcio** estas aritmetika funkcio *f*(*n*) de la pozitiva entjero *n* tia ke por ĉiuj reciproke primaj *a* kaj *b*, la funkcio de la produto estas la sumo de la funkcioj:
:*f(ab) = f(a) + f(b)* .

Ekster nombroteorio, la termino *adicia* povas ankaŭ esti uzita por ĉiuj funkcioj kun la propraĵo *f(ab) = f(a) + f(b)* por ĉiuj argumentoj *a* kaj *b*.

La resto de ĉi tiuj artikolo diskutas nombro-teoriajn adiciajn funkciojn, uzante la duan difinon.
Por specifa okazo de la unua difino vidu en adicia polinomo. Noto ankaŭ ke ĉiu homomorfio *f* inter komutaj grupoj estas *adicia* laŭ la unua difino.

## Plene adiciaAdicia 
Adicia funkcio *f*(*n*) estas **plene adicia** se *f(ab) = f(a) + f(b)* veras *por ĉiuj* pozitivaj entjeroj *a* kaj *b*, eĉ se ili estas ne reciproke primaj.

Ĉiu plene adicia funkcio estas adicia, sed ne nepre male.

## Ekzemploj 
### Plene adiciaj 
* La limigo de la logaritma funkcio al **N**, *a*0(*n*) - la sumo de primoj dividantaj na *n*, iam skribata kiel *sopfr(n)*. *a*0(20) = *a*0(22 · 5) = 2 + 2 + 5 = 9.

::*a*0(4) = 4
::*a*0(27) = 9
::*a*0(144) = *a*0(24 · 32) = *a*0(24) + *a*0(32) = 8 + 6 = 14
::*a*0(2000) = *a*0(24 · 53) = *a*0(24) + *a*0(53) = 8 + 15 = 23
::*a*0(2003) = 2003
::*a*0(54032858972279) = 1240658
::*a*0(54032858972302) = 1780417
::*a*0(20802650704327415) = 1240681
:: ...

* La funkcio Ω(*n*), la entuta kvanto de primaj faktoroj de *n*, kalkule oblajn faktoroj multaj oblfoje. Ĝi estas ofte nomata kiel "granda omega funkcio". Ĉi tio implicas Ω(1) = 0 ĉar 1 ne havas primajn faktorojn.

::Ω(4) = 2
::Ω(27) = 3
::Ω(144) = Ω(24 · 32) = Ω(24) + Ω(32) = 4 + 2 = 6
::Ω(2000) = Ω(24 · 53) = Ω(24) + Ω(53) = 4 + 3 = 7
::Ω(2001) = 3
::Ω(2002) = 4
::Ω(2003) = 1
::Ω(54032858972279) = 3
::Ω(54032858972302) = 6
::Ω(20802650704327415) = 7
:: ...

### Adiciaj sed ne plene adiciaj 
* *a*1(*n*) - la sumo de diversaj primoj dividantaj na *n*, iam skribata kiel *sopf(n)*. *a*1(1) = 0, *a*1(20) = 2 + 5 = 7.

::*a*1(4) = 2
::*a*1(27) = 3
::*a*1(144) = *a*1(24 · 32) = *a*1(24) + *a*1(32) = 2 + 3 = 5
::*a*1(2000) = *a*1(24 · 53) = *a*1(24) + *a*1(53) = 2 + 5 = 7
::*a*1(2001) = 55
::*a*1(2002) = 33
::*a*1(2003) = 2003
::*a*1(54032858972279) = 1238665
::*a*1(54032858972302) = 1780410
::*a*1(20802650704327415) = 1238677
:: ...

* La funkcio ω(*n*), la entuta kvanto de malsamaj primaj faktoroj de *n*.

::ω(4) = 1
::ω(27) = 1
::ω(144) = ω(24 · 32) = ω(24) + ω(32) = 1 + 1 = 2
::ω(2000) = ω(24 · 53) = ω(24) + ω(53) = 1 + 1 = 2
::ω(2001) = 3
::ω(2002) = 4
::ω(2003) = 1
::ω(54032858972279) = 3
::ω(54032858972302) = 5
::ω(20802650704327415) = 5
:: ...

## Multiplikaj funkcioj 
De ĉiu adicia funkcio *f*(*n*) facilas krei rilatantan multiplika funkcio *g*(*n*) kio estas kun la propraĵo, ke por ĉiuj reciproke primaj *a* kaj *b* :
:*g(ab) = g(a) × g(b)* ,
:*g(n) = w(f(n)-f(1))* .
:kie *w* estas pozitiva reela nombro.

## Eksteraj ligiloj 
* SIDN A001414 *sopfr(n)*
* SIDN A008472 *sopf(n)*
* SIDN A001222 granda omega funkcio Ω(*n*)
* SIDN A001221 ω(*n*)

Kategorio:Aritmetikaj funkcioj