Principo de reflektado

En probabloteorio kaj stokastikaj procezoj, la **reflektadprincipo** por Wiener-procezo deklaras ke se la pado de Wiener-procezo f(t) atingi valoron f(s)=a en tempo t=s, tiam la posta vojo post tempo s havas la saman distribuon kiel la reflektado de la posta vojo sur la valoro a . Pli formale, la principo de reflektado rilatas al lemo koncerne la distribuadon de la suprema de la Wiener-procezo, ankaŭ nomita Browniana moviĝo . La rezulto rilatigas la distribuadon de la suprema de la Browniana movo al la tempo t kun la distribuo de la procezo en tempo t . Ĝi estas konsekvenco de la forta Markov-posedaĵo de Brownia moviĝo. 

## Aserto 
se  (W(t):t\geq 0)  estas Wiener-procezo a>0 estas sojlo (ankaŭ nomita krucpunkto), tiam la lemo diras: \mathbb{P}\left(\sup_{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)=2\mathbb{P}(W(t)\geq a). Pli forte, la principo de pripensado deklaras ke se  \tau  estas halta tempo, tiam la reflekto de la Wiener-procezo komencanta je  \tau , indikita  (W^\tau(t):t\geq 0), ankaŭ estas Wiener-procezo, kie: W^\tau(t)=W(t)\chi_\left\{t\leq\tau\right\}+(2W(\tau)-W(t))\chi_\left\{t>\tau\right\}kaj la indikila funkcio \chi_{\{t\leq\tau\}}=\begin{cases}1,&\text{se }t\leq\tau\\0,&\text{de outro modo }\end{cases} Ĝi estas \chi_{\{t>\tau\}}  estas difinitaj simile. La plej forta formo implicas la originalan moton dum elektado \tau=\inf\left\{t\geq0:W(t)=a\right\} . 

## Pruvo 
La plej frua halttempo por atingi la interkruciĝpunkton a,  \tau_a:=\inf\left\{t:W(t)=a\right\} , estas preskaŭ certe limigita halttempo. Tiam ni povas apliki la fortan Markov-econ por dedukti ke posta relativa vojo al  \tau_a , donita de  X_t:=W(t+\tau_a)-a , estas ankaŭ simpla Brownia movo sendependa de  \mathcal{F}^W_{\tau_a}  . Do la probabla distribuo por la lasta fojo  W(s)  estas sur la sojlo  a  aŭ super ĝi en la tempointervalo  [0,t]  kaj povas esti malkomponita kiel: 
\begin{align}
\mathbb{P}\left(\sup_{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)&=\mathbb{P}\left(\sup_{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,W(t)\geq a\right)+\mathbb{P}\left(\sup_{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,W(t)Per la turo por kondiĉaj atendoj, la dua termino reduktas al: \begin{align}
\mathbb{P}\left(\sup_{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,X(t-\tau_a)donita tion  X(t)  estas norma Brownia movo sendependa de  \mathcal{F}^W_{\tau_a}  kaj havas probablecon  1/2  esti malpli ol  0  . La pruvo de la lemo estas kompletigita per anstataŭigado de tio en la duan linion de la unua ekvacio: 
\begin{align}
\mathbb{P}\left(\sup_{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)&=\mathbb{P}\left(W(t)\geq a\right)+\frac{1}{2}\mathbb{P}\left(\sup_{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)\\
\mathbb{P}\left(\sup_{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)&=2\mathbb{P}\left(W(t)\geq a\right)
\end{align}. 

## Konsekvencoj 
La reflektadprincipo estas ofte uzata por simpligi distribuajn trajtojn de Browniana moviĝo. Konsiderante Brownian moviĝon en la limigita intervalo  (W(t):t\in[0,1]) , tiam la principo de reflektado permesas al ni pruvi, ke la loko de maksimumoj  t_\text{max} , kiuj kontentigas  W(t_\text{max})=\sup_{0\leq s\leq 1}W(s) , havas la arksinusan distribuon. Tio estas unu el la arksinuoj de Lévy.

## Vidu ankaŭ
* Reflekto

## Referencoj 

Kategorio:Matematikaj teoremoj
Kategorio:Stokastikaj procezoj