Divizora funkcio

eta|dekstra|Divizora funkcio *σ0(n)* por *n≤250*
eta|dekstra|Divizora funkcio *σ1(n)* por *n≤250*
eta|dekstra|Sumo de la kvadratoj de divizoroj, *σ2(n)* por *n≤250*
eta|dekstra|Sumo de kuboj de divizoroj, *σ3(n)* por *n≤250*
En nombroteorio, la **divizora funkcio** estas aritmetika funkcio rilata al divizoroj de entjero.

## Difino 
La funkcio, kiu prezentas sumon de pozitivaj divizoroj *σx(n)* estas difinita kiel la sumo de la *x*-aj potencoj de ĉiuj pozitivaj divizoroj de *n*, aŭ

:\sigma_{x}(n)=\sum_{d|n} d^x\,\! .

La notacia stilo *d(n)* kaj *τ(n)* (la funkcio *τ*) estas uzata ankaŭ por *σ0(n)*, t.e. la kvanto de divizoroj de *n*. Se *x* estas 1, la funkcio estas identa al la funkcio *σ*, kaj la suba indico estas ofte neskribata, do *σ(n)* estas ekvivalenta al *σ1(n)*.

La **obla suma funkcio** estas sumo de la propraj divizoroj (tio estas, la divizoroj malinkluzivante *n* mem), estas *s(n)=σ1(n)-n*; la obla vico de *n* estas formita per multfoja aplika de la obla suma funkcio.

## Ekzemplo 
Ekzemple, *σ0(12)* estas la kvanto de la divizoroj de 12:
:*σ0(12)=10+20+30+40+60+120=1+1+1+1+1+1=6*

kaj *σ1(12)* estas la sumo de ĉiuj divizoroj:

:*σ1(12)=11+21+31+41+61+121=1+2+3+4+6+12=28*

## Ecoj 
Por primo *p*:
:*d(p)=2*
:*d(pn)=n+1*
:*σ(p)=p+1*

Por ĉiu *n>2*:
:*1n*

La divizora funkcio estas multiplika funkcio, sed ne plene multiplika funkcio. La konsekvenco de ĉi tio estas tiu ke, se
:n = \prod_{i=1}^{r}p_{i}^{a_{i}}
kie *r=\omega(n)* estas la kvanto de diversaj primaj faktoroj de *n*, *pi* estas la *i*-a prima faktoro, kaj *ai* estas la maksimuma povo de *pi* per kiu *n* estas dividebla, do
:\sigma_x(n) = \prod_{i=1}^{r} \frac{p_{i}^{(a_{i}+1)x}-1}{p_{i}^x-1}

kiu estas ekvivalento al la utila formulo:
:
\sigma_x(n) = \prod_{i=1}^{r} \sum_{j=0}^{a_{i}} p_{i}^{j x} =
\prod_{i=1}^{r} (1 + p_{i}^x + p_{i}^{2x} + ... + p_{i}^{a_i x})

Ekvacio por kalkulo de *d(n)* estas
:
d(n)=\prod_{i=1}^{r} (a_i+1)

Ekzemple, se *n* estas 24, estas du primaj faktoroj (*p1* estas 2; *p2* estas 3); 24 estas produto de 23×31, *a1* estas 3 kaj *a2* estas 1. Do *d(24)* estas:
: d(24) = \prod_{i=1}^{2} (a_i+1) = (3 + 1)(1 + 1) = 4 \times 2 = 8.
(la ok divizoroj estas 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, kaj 24).

Funkcio de sumo de la propraj divizoroj *s(n)* estas la uzata por difini perfektajn nombrojn, por kiu *s(n)=n*. Se *s(n)>n* do *n* estas abunda nombro kaj se *s(n)\sigma_x(n)=\sum_{\mu=1}^{n} \mu^{x-1}\sum_{\nu=1}^{\mu}\cos\frac{2\pi\nu n}{\mu}
sen eksplicita referenco al la divizoroj de *n*.

## Seriaj rilatoj 
Du serioj de Dirichlet engaĝantaj la divizoran funkcion estas:

:\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s}=\zeta(s) \zeta(s-a)
kaj
:\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)}

Serio de Lambert engaĝanta la divizoran funkcion estas:
:\sum_{n=1}^{\infty} q^n \sigma_a(n) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^a q^n}{1-q^n}
por ajna kompleksa nombro *|q|≤1* kaj *a*. Ĉi tiu sumado ankaŭ aspektas kiel la serio de Fourier de la serio de Eisenstein kaj la invariantoj de la elipsa funkcio de Weierstrass.

## Asimptota kreskado 
En malgranda o skribmaniero, la divizora funkcio plenumas la jenan neegalaĵon:
:\mbox{por ĉiu }\epsilon>0, d(n)=o(n^\epsilon).

En granda O skribmaniero, Dirichlet montris ke la averaĝa ordo de la divizora funkcio kontentigas jenan neegalaĵon
:\mbox{por ĉiu } x\geq1, \sum_{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma-1)x+O(\sqrt{x}),
kie \gamma estas konstanto de Eŭlero-Mascheroni. Plibonigo de la baro O(\sqrt{x}) en ĉi tiu formulo estas konata kiel la divizora problemo de Dirichlet

La konduto de la *σ* funkcio estas malregula.
La kreska kurzo de la *σ* funkcio povas esti esprimita kiel:
:
\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{\sigma(n)}{n\ \log \log n}=e^\gamma .

kie *limsup* estas la limigo supera. Ĉi tiu rezulto estas teoremo de Thomas Hakon Grönwall, publikigita en 1913.

En 1984 Guy Robin pruvis ke
: \sigma(n) por *n>5040*
estas vera se kaj nur se la rimana hipotezo estas vera. La plej granda sciata valoro kiu malverigas la neegalaĵon estas *n=5040*. Se la rimana hipotezo estas vera, ne estas pli grandaj esceptoj. Se la hipotezo estas malvera tiam estas malfinia kvanto da valoroj *n* tiaj por kiu la neegalaĵo estas malvera.

Rilatanta baro estis donita de Jeffrey Lagarias en 2002, kiu pruvis ke la rimana hipotezo estas ekvivalento al la frazo ke
: \sigma(n) \le H_n + \ln(H_n)e^{H_n}
por ĉiu natura nombro *n*, kie H_n estas la *n*-a harmona nombro.

## Vidu ankaŭ 
* Eŭlera φ funkcio
* Rimana ζ funkcio

## Eksteraj ligiloj 
* 
* 

Kategorio:Nombroteorio
Kategorio:Multiplikaj funkcioj