Multiplika funkcio

En nombroteorio, **multiplika funkcio** estas aritmetika funkcio *f*(*n*) de la pozitiva entjero *n* kun la propraĵoj *f*(1) = 1 kaj por ĉiuj reciproke primaj *a* kaj *b*
:*f(ab) = f(a) f(b)* .

Aritmetika funkcio *f*(*n*) estas **forte multiplika** se *f(ab) = f(a)* por ĉiu primo *a* kaj pozitiva entjero *b*.

Aritmetika funkcio *f*(*n*) estas **plene multiplika** se *f*(1) = 1 kaj *f(ab) = f(a) f(b)* veras *por ĉiuj* pozitivaj entjeroj *a* kaj *b*, eĉ se ili estas ne reciproke primaj. Tiam *f(ab) = f(a)b*.

Ekster nombroteorio, la termino **multiplika** estas kutime uzata por funkcioj kun la propraĵo *f(ab) = f(a) f(b)* por *ĉiuj* argumentoj *a* kaj *b*; ĉi tio postulas ke *f*(1)&nbsp;=&nbsp;1, aŭ *f*(*a*)&nbsp;=&nbsp;0 por ĉiuj *a* escepti *a*&nbsp;=&nbsp;1. Ĉi tiu artikolo diskutas nombro-teoriajn multiplikajn funkciojn.

## Ekzemploj 
Ekzemploj de multiplikaj funkcioj inkluzivas multajn funkciojn gravajn en nombroteorio:
* \phi(*n*): eŭlera funkcio \phi, kalkulanta la pozitivajn entjerojn kiuj estas reciproke primaj al *n* kaj esras ne pli grandaj *n*
* \mu(*n*): la funkcio de Möbius, rilatanta al la kvanto de primaj faktoroj de kvadrato-liberaj nombroj
* plej granda komuna divizoro(*n*,*k*): la plej granda komuna divizoro de *n* kaj *k*, kie *k* estas fiksita entjero.
* *d*(*n*): la kvanto de pozitivaj divizoroj de *n*,
* \sigma(*n*): la sumo de ĉiuj pozitivaj divizoroj de *n*,
* \sigma*k*(*n*): la dividanta funkcio, kiu estas la sumo de la *k*-onaj potencoj de ĉiuj pozitivaj divizoroj de *n* (kie *k* povas esti ĉiu kompleksa nombro). En specialaj okazoj:
** \sigma0(*n*) = *d*(*n*) kaj
** \sigma1(*n*) = \sigma(*n*) ,
* 1(*n*): la konstanta funkcio, difinita kiel 1(*n*) = 1 (plene multiplika)
* Id(*n*): identa funkcio, difinita kiel Id(*n*) = *n* (plene multiplika)
* Id*k*(*n*): la pova funkcio, difinita kiel Id*k*(*n*) = *n**k* por ĉiu natura aŭ kompleksa nombro *k* (plene multiplika). Kiel specialaj okazoj:
** Id0(*n*) = 1(*n*) kaj
** Id1(*n*) = Id(*n*) ,
* \epsilon(*n*): la funkcio difinita kiel \epsilon(*n*) = 1 se *n* = 1 kaj = 0 se *n* > 1, iam nomata kiel *multiplika unuo por rulumo de Dirichlet* aŭ simple la *unuobla funkcio*; iam skribita kiel *u*(*n*), ĝi estu ne konfuzita kun \mu(*n*) (plene multiplika).
* (*n*/*p*), la simbolo de Legendre, kie *p* estas fiksita primo (plene multiplika).
* \lambda(*n*): la funkcio de Liouville, rilatanta al la kvanto de primaj faktoroj dividantaj na *n* (plene multiplika).
* \gamma(*n*), difinita kiel \gamma(*n*)=(-1)\omega(n), kie la adicia funkcio \omega(*n*) estas la kvanto de diversaj primoj dividantaj na *n*.
* Ĉiuj signoj de Dirichlet estas plene multiplikaj funkcioj.

Ekzemplo de ne-multiplika funkcio estas la aritmetika funkcio *r**2*(*n*) - la kvanto de prezentoj de *n* kiel sumoj de kvadratoj de du entjeroj, pozitivaj, negativaj, aŭ nulo, kie en kalkulo de la kvanto de la manieroj, malaj ordoj estas permesataj. Ekzemple:

:1 = 12 + 02 = (-1)2 + 02 = 02 + 12 = 02 + (-1)2

kaj pro tio *r*2(1) = 4 ≠ 1. Ĉi tio montras ke la funkcio estas ne multiplika. Tamen, *r*2(*n*)/4 estas multiplika.

Vidu en aritmetika funkcio por iuj aliaj ekzemploj de ne-multiplikaj funkcioj.

## Propraĵoj 
Multiplika funkcio estas plene difinita per siaj valoroj je la potencoj de primoj, kio estas konsekvenco de la fundamenta teoremo de aritmetiko. Tial, se *n* estas produto de potencoj de diversaj primoj
:*n* = *p**a* *q**b* ..., tiam
:*f*(*n*) = *f*(*p**a*) *f*(*q* *b*) ...

Ĉi tiu propraĵo de multiplikaj funkcioj grave reduktas la necesan por kalkulado, kiel en jenaj ekzemploj por *n* = 144 = 24 · 32:
: d(144) = \sigma0(144) = \sigma0(24)\sigma0(32) = (10 + 20 + 40 + 80 + 160)(10 + 30 + 90) = 5 · 3 = 15,
: \sigma(144) = \sigma1(144) = \sigma1(24)\sigma1(32) = (11 + 21 + 41 + 81 + 161)(11 + 31 + 91) = 31 · 13 = 403,
: \sigma*(144) = \sigma*(24)\sigma*(32) = (11 + 161)(11 + 91) = 17 · 10 = 170.

Simile:

:\phi(144)=\phi(24)\phi(32) = 8 · 6 = 48

Ĝenerale, se *f*(*n*) estas multiplika funkcio kaj *a*, *b* estas iuj du pozitivaj entjeroj, tiam
:*f*(*a*) · *f*(*b*) = *f*(PGKD(*a*,*b*)) · *f*(PMKO(*a*,*b*)).

Ĉiu plene multiplika funkcio estas homomorfio de monoidoj kaj estas plene difinita per ĝia limigo al la primoj.

## Rulumo 
Se *f* kaj *g* estas du multiplikaj funkcioj, unu difinas nova multiplika funkcio *f* * *g*, la *rulumo de Dirichlet* de *f* kaj *g*, per
:(*f* * *g*)(*n*) = ∑*d* |*n* *f*(*d*)*g*(*n*/*d*)
kie la sumo etendas super ĉiuj pozitivaj divizoroj *d* de *n*.
Kun ĉi tiu operacio, la aro de ĉiuj multiplikaj funkcioj estas komuta grupo kun la neŭtrala elemento \epsilon.

Rilatoj inter la multiplikaj funkcioj estas:

* \epsilon = \mu * 1 (la inversiga formulo de Möbius)
* \phi = \mu * Id
* *d* = 1 * 1
* \sigma = Id * 1 = \phi * *d*
* \sigma*k* = _Id_*k* * 1
* Id = \phi * 1 = \sigma * \mu
* Id*k* = \sigma*k* * \mu

La rulumo de Dirichlet povas esti difinita por ĝeneralaj aritmetikaj funkcioj, kaj donas ringan strukturon, la ringon de Dirichlet.

## Vidu ankaŭ 
* Eŭlera produto
* Serio de Bell
* Adicia funkcio
* Unuobla funkcio