Unua leĝo de termodinamiko

**Unua leĝo de termodinamiko** estas unu el tri fundamentaj leĝoj de termodinamiko. Ĝi estas pliuniversaligo de mekanika leĝo pri konservado de energio.

Versio por izolataj sistemoj:
::**Metamorfozoj kaj aliaj ŝanĝoj de izolata termodinamika sistemo ne ŝanĝas internan energion.**

Aparte, pri *adiabata procezo* varmo ne interŝanĝiĝas eksteren.

Versio por fermataj sistemoj:
::**Ŝanĝo de Interna energio estas sumo de energio liverita je maniero de laboro (farita por sistemo) kaj maniero de varmo.**

Laŭ formulo estas:
::  \Delta U = \ \Delta Q + \Delta W \,
kaj:
: \Delta U - estas ŝanĝo de Interna energio,
: \Delta W  - estas laboro,
: \Delta Q  - estas varmo.

En supera formulo se::
*  \Delta W > 0  – en sistemo enfluas energio (maniero de laboro),
*  \Delta W  – el sistemo elfluas energio (maniero de laboro),
*  \Delta Q > 0  – en sistemo enfluas energio (maniero de varmo),
*  \Delta Q  – el sistemo elfluas energio (maniero de varmo).

Kiam sistemo estas **termodinamike izolata**, tiam ĝi interŝanĝas energion nek laŭ maniero de laboro (\Delta W = 0\;) nek laŭ maniero de varmo (\Delta Q = 0\;), do:
::  \Delta U = 0 \,\ .

## Historio 
Sendepende de si mem elsplorojn faris Julius Mayer (1842), kaj James Prescott Joule (1843) rezultis ekformuladon de unua leĝo de termodinamiko en nuna formo. Antaŭe varmo estis tute alia fenomeno. Agnosko de varmo kiel formo de ŝanĝo de energio (krom laboro) kaŭzis aldonadon de varmo al principo de konservado de energio.

## Formulado 
La varmo estas speco de energio, kaj tial, post ĉiu ŝanĝo de la varmo en la laboron, egalas la malgajno de la varmo al la gajnita laboro.

Nuntempe kaj la varmo kaj la laboro mezuriĝas en J. Iam pli frue por ĉi tiu samvaloreco validis la sekvaj rilatoj:

 1 cal = 4,1868 J  1 kcal = 4186,8 J

1 J =
0,2389 cal 
1 kJ =
0.2389 kcal 

Post la malrapida ŝanĝo la ekesta varmo egalas al la pereigita laboro aŭ al la malgajno de iu alia energispeco.
Matematike, ĉi tiun leĝo esprimiĝas jene:

::U - U_0 = Q + W    \,

U0 – la komenca interna energio, J
U – la fina interna energio, J
Q – la aldonita varmo, J
W – la aldonita laboro, J .

La diferenco de internaj energioj U-U_0  estas indikita en J

La interna energio estas funkcio de stataj grandoj, kaj ĝi mem estas ia stata grando. Tial la entuta sumo de eldonita aŭ aldonita varmo kaj laboro estas en rilato nur al la komenca kaj al la finaj statoj de la interna energio. Ĝi tute ne dependas de maniero, laŭ kiu la ŝanĝo inter ambaŭ statoj okazis.
Kiam la diferenco nulas (U-U_0 =0) , tiam ŝanĝiĝas la tuta varmo en la laboron, aŭ male – la tuta laboro en la varmon. Ĉi tiuj estas ekstremaj kazoj.
La valideco de Q = -W, kiam estas U-U_0 =0, aŭ memkompreneble la valideco de la ekvacio U-U_0 = Q + W  harmonias kun la realeco kaj tiel ankaŭ kun la principo de konservado de energio. Ĝi samtempe neas la eblecon de gajno de iu ajn energispeco senfonte aŭ senkompense. Sed, sen energiperdo, estas ankaŭ la ebleco de "perpetum mobile" (senĉese moviĝanta aparato – senĉesa moviĝilo).

-─── ● ───

Oni povas esprimi rilaton inter grandoj laŭ la unua termodinamika leĝo, kaj, kiam oni konsideras pozitiva la laboron aldonitan per la sistemo, skribi la ekvacion ankaŭ jene:

(46a)

::\Delta Q = \Delta U + \Delta W    \,

aŭ por kvanto da 1&nbsp;kg:

(46b)

::dq = du + dw   \,,
kie

+*du* estas la pligrandiĝo de la interna energio, kaj

-*du* estas la plimalgrandiĝo de la interna energio.

La interna energio konsistas el la ena potenciala energio.
La ena kineta energio estas la kineta energio de molekuloj de la gaso, kiuj estas en daŭra procezo kaj rotacia movado, kaj la kineta energio de la atomoj, kiuj oscilas. Ĝi dependas de la stato de gaso difinita per la premo kaj temperaturo.
La ena potenciala energio estas difinita per koheraj fortoj inter la molekuloj kaj atomoj. Ankaŭ ĝi dependas de la stato de gaso kaj precipe de la specifa maso dum ia donita temperaturo.

Tial estas:

(47)

:: du = du_p + du_k   \, ,

kie

*up* estas la ena potenciala energio, kaj
*uk* estas la ena kineta energio.

Por ideala gaso estas du_p = 0 , ĉar la difino de ideala gaso ne konsideras iujn ajn koherajn fortojn inter elementaj maseroj.

### Interna energio 
La interna energio estas la funkcio de stataj grandoj (p, v, T):

(48)

:: u = f(p,v,T)  \,

Tial ĝi mem estas stata grando ne dependanta de la karaktero de stata aliiĝo.

La samo validas pri la diferenco u2 – u1.

Se el tri fundamentaj stataj grandoj p,v, T estas du nedepende ŝanĝeblaj, tiel la internan energion u difinas unu el tri sekvaj ekvaciaj rilatoj:

(49)

:: u = f_1(p,v)  \,

:: u = f_2(v,T)  \,

:: u = f_3(p,T)  \,

El dependeco de la interna energio je la stataj grandoj rezultas, ke "du" estas totala diferencialo:

:: du = \left( \frac {\partial u}{\partial p}\right)_v dp + \left( \frac {\partial u}{\partial v}\right)_p dv  \,

:: du = \left( \frac {\partial u}{\partial T}\right)_p dT + \left( \frac {\partial u}{\partial v}\right)_p dv  \,

:: du = \left( \frac {\partial u}{\partial T}\right)_p dT + \left( \frac {\partial u}{\partial p}\right)_T dp \,

La rilatoj esence plisimpliĝos por idealaj gasoj. Por ili dup = 0, koherajn fortojn inter la molekuloj oni ne supozas. Oni konsideras la volumenon de molekuloj kiel nulan, kaj tial la premo dum la konstanta volumeno dependas nur de la temperaturo.

El tri stataj grandoj restas nur unu sendepende ŝanĝigebla – kaj tio estas la temperaturo. La ekvacioj (48) plisimpliĝas jene:

(51)

:: u = f(T)  \,

En la kazo, kiam oni alkondukas la varmon dq dum la konstanta volumeno (v=konst), tiam dw = p•dv = 0, kaj la tuta varmo transformiĝas en la plialtigon de la interna energio.

Por la ideala gaso validas:

:: v = konst  \,

:: u_0 = 0 \,

:: dv = 0 \,

::::: dq = du \,

::::: dq = c_vdT\,

(52)
:: q_{1,2} = \Delta u = c_v(T_2-T_1)=c_v(t_2-t_1)  \,

La ŝanĝiĝo de la interna energio egalas al la varmo, kiun oni alkondukas al la ideala gaso dum ĝia konstanta volumeno, plivarmiginte ĝin en temperatura pliigo Δt.

La rilato plisimpliĝas post la elekto de la eka temperaturo je 0 oC jene:

:: v = konst  \,

:: t_1 = 0 \,

:: u_0 = 0 \,

(53)

::::: u - u_0 = c_v(t_2-t_1) \,

::::::: u = c_vt \, \ ,

kie cv estas la specifa varmokapacito de la substanco en konstanta volumeno.

Kaj tiam la ekvacio (46b) ricevas la formon:

:::::dq = du + dw   \,

:: dq = 0 \,

:::::dw = -du     \,

::du + dw = 0  \,

(54)

:::::w_{1,2} = u_1 - u_2     \,

─── ● ───

La fundamenta ekvacio esprimanta la unuan termodinamikan leĝon (46b)

:::::dq = du + dw   \,
povas havi ĉi tiun formon:

(55)

::dq = du + pdv   \,

aŭ

(55a)

::dq = c_vdT + pdv   \,

Sed ĝi povas havi ankoraŭ unu forman, kiam oni anstataŭas en la ekvacio (55a) la produkton p•dv el la diferencigita stata ekvacio

::pv = rT   \,

::pdv + vdT = rdT   \,

:::::dq = c_vdT + rdT - vdp  \,

::pdv = rdT - vdT     \,
kaj oni ricevas (pro la rilato de Mayer:  c_p-c_v = r ):

(56)
:::::dq = c_pdT - vdp  \, \ ,

kie cp estas la specifa varmokapacito de la substanco sub konstanta premo.

─── ● ───

La unuan termodinamikan leĝon oni povas formuli plurmaniere. Ĉiu formulo esprimas ian aparatan econ de la leĝo pri la energikonservado. Oni uzas plej ofte ĉi tiujn formulojn:

1) La varmo kaj la laboro estas reciproke samvaloraj (ekvivalentaj).
2) La energio de izolita sistemo estas konstanta kaj dum tempo neŝanĝema.
3) La varmo alkondukita al la izolita sistemo egalas al la plialtigo de interna energio kaj de volumena laboro, rilatante ĉi tiun sistemon.
4) La konstruo de "perpetum mobile" (senĉesa moviĝilo) de unua ordo ne estas ebla. Oni ne povas konstrui maŝinon kiu kapablas plimultigi energion de izolita sistemo.
5) "du" estas la totala diferencialo de la interna energio.

─── ● ───

### Entalpio 
En varmmaŝinoj oni gajnas daŭre laboron el enkondukita labormaterio. Tio okazas ekzemple en varmturbinoj el vaporo aŭ el bruligaĵoj.

Estu du provizujoj kunligitaj trans motoro M unu kun la alia. En la ujoj estas piŝtoj kun areoj S1 kaj S2.

El la provizujo I. estas labormaterio havanta premon p1 kaj temperaturon T1. Ĝi estas alkondukata en la motoron M por ĉi tie efektivigi la laboron Wt. Ĝi enfluas poste la provizujon II., kie daŭre estas la premo p2 kaj la temperaturo T2. La tuta sistemo estas izolita kontraŭ la ĉirkaŭaĵo. Tial la varmperdoj estas dQ = 0. Kiam la motoron trafluas 1&nbsp;kg da labormaterio, tiam ŝoviĝas la piŝto de areo S1 en la provizujo I. je la vojdimensio l1 en la motoro M efektiviĝas la laboro Wt, kaj en la provizujo II. ŝoviĝas la piŝto de areo S2 je vojdimensio l2.
Laŭ la leĝo pri la energikonservado estas la ŝanĝo de interna energio en ĉi tiu izolita sistemo, kiu egalas al la sumo de alkondukitaj energioj (ĝi estas nula). Dum ĉiu laborprocezo oni devas aldoni novan labormaterion m en la provizujon I. Ĉi tio okazas kontraŭ la premo p1, kiu daŭre estas en la provizujo I. Tiel oni aldonas la laboron S2 p2 l2 = p2V2. Ĉiuj ŝanĝoj en ĉi tiu izolita sistemo povas realigi nur malprofite de la interna energio de la sistemo. Tial validas la sekvaj rilatoj:

(57)

::U_1 - U_2 = W_t+p_2V_2 -  p_1V_1   \,

(58a)

::W_t = (U_1 + p_1V_1) - (U_2+p_2V_2)    \,

(58b)

::W_t = (H_1 -H_2 )      \,

La sumo en la krampeto estas:

(59)

::H = U + pV      \,

kaj por 1&nbsp;kg da labormaterio:

(60)

::h = u + pV      \,

Oni nomas ĉi tiun grandon – entalpio.

Unu kilogramo da gaso efektivigas en la motoro M ĉi tiun meĥanikan laboron:

(61)

::w_t =h_1 - h_2     \,

h1 – entalpio de labormaterio ĉe la eniro de motoro, [kJ/kg]
h2 – entalpio de labormaterio ĉe la eliro de motoro, [kJ/kg].

La laboro tiamaniere gajnita estas ankaŭ nomata la *daŭra laboro*, ĉar ĝi povas esti daŭre gajnata el la maŝino, kiam oni aldonas al ĝi novajn kvantojn da labormaterio.

Kontraŭe, la volumena laboro:

::w_{1,2} =(u_1 - u_2 )    \,

estas gajnita nur unufoje malprofite de la interna energio.

La entalpio dependas de la interna energio u kaj de la produto p•v. Ambaŭ valoroj de la produto estas stataj funkcioj. Tiel ankaŭ la aliiĝo de entalpio ne dependas de la vojo de procezo, sed nur de la komenca kaj fina statoj de labormaterio, kiu estas difinita de stataj grandoj – p,v,T (fundamentaj stataj grandoj), eventuale u.
La aliiĝo de entalpio dh estas la totala diferencialo. Por ĝi validas similaj kiel por u.

:: h = f_1(p,v)  \,

:: h = f_2(v,T)  \,

:: h = f_3(p,T)  \, ,

:: dh = \left( \frac {\partial h}{\partial p}\right)_v dp + \left( \frac {\partial h}{\partial v}\right)_p dv  \,

:: dh = \left( \frac {\partial h}{\partial T}\right)_p dT + \left( \frac {\partial h}{\partial v}\right)_p dv  \,

:: dh = \left( \frac {\partial h}{\partial T}\right)_p dT + \left( \frac {\partial h}{\partial p}\right)_T dp \, .

Kiam oni anstataŭigas la valoron dh el la derivita h = u + pv en la ekvacion de la unua termodinamika leĝo

(55)

::dq = du + pdv      \,

estas post la anstataŭigo:

::dh = du + pdv + vdp     \,

::dh - vdp = du + pdv     \,

(63)

::dq = dh - vdp      \,

kaj post la integrado:

(63a)

::q_{1,2} =h_2 - h_1 - \int_{p_1}^{p_2} vdp      \,

La kamparo de la ekvacioj (63) kaj (56)

(63)

::dq = dh - vdp      \,

(56)

::dq = c_pdT - vdp      \,

rezultigas la sekvan ekvacion:

(64)

:: dh = c_pdT     \, \ .

Kiam oni aldonas la varmon al la ideala gaso dum la konstanta premo, la ekvacio (63) plisimpliĝas jene:

::p = konst     \,

:: dp = 0     \,

:::::dq = dh - vdp      \,

:::::dq = dh = c_pdT       \, ,

kie cp estas la varmokapacito de la substanco sub konstanta premo.

(65)

::q_{1,2} =h_2 - h_1 = c_p(T_2-T_1) = c_p(t_2-t_1)   \,

Do, la entalpio estas la varmo aldonita al 1&nbsp;kg da ideala gaso dum la konstanta premo pro la varmigo ekde la temperaturo T1 al la temperaturo T2.
Oni kutime elektas kiel fundamentan kaj ekan entalpion la entalpion rilatantan al la temperaturo 0 oC kaj al la premo 1 bar. Oni ne bezonas koni la absolutan entalpion. En ĉi tia kazo, ĉiuj ekvacioj plisimpliĝas:

h0 = 0 – dum la temperaturo 0 oC kaj la premo 1 bar 
t0 = 0 oC

::h - h_0 = c_p(t-t_0) = q   \,

Tial estas:

(65a)

::h = c_pt   \, \ .

## Inversigeblaj kaj neinversigeblaj procezoj 
Oni dividas la termodinamikajn procezojn en du grupojn:

1) la unua estas pri inversigeblaj procezoj ,
2) la dua estas pri neinversigeblaj procezoj.

; La inversigeblaj procezoj

La inversigebla ŝanĝo estas tia procezo, en kiu la sistemo transpasas nur ekvilibrajn statojn. La procezo efektiviĝas senfine malrapide. La gaso estas sen ena kaj ekstera frotado.
La materio estas en ekvilibra stato, kiam estas en ĉiu loko de ĝia volumeno la sama premo kaj la sama temperaturo. Oni memkompreneble eligas la konsideron de brulado, ĉar dum brulado la materio substance ŝanĝiĝas. Ĉi tiu procezo apartenas al sfero de ĥemio.
Post la plenumiĝo de ĉi tiuj kondiĉoj, povas la inversigeblaj procezoj – en ambaŭ direktoj – okazi. Dum la rea procezo trapasas la materialo la samajn statojn al sia komenca kaj fina statoj.

; La neinversigeblaj procezoj

Realaj gasoj, kies unuopaj maseroj interfrotiĝas, povas efektivigi nur neinversigeblajn procezojn. La gasa labormaterio ne trapasas ekvilibrajn statojn. Ja, ĉiu procezo okazas nur tiam, kiam la materio volas atingi ekvilibrecon. Tial oni ne povas por ĉi tiuj procezoj de realaj gasoj uzi la statan ekvacion. La materio ne revenas al sia komenca stato sed ĝi emas atingi ion daŭran ekvilibran staton forlasante sian neekvilibrecon.

### Fundamentaj inversigeblaj procezoj de ideala gaso 
La termodinamikaj procezoj estas la stataliĝoj de la gaso, kiu estas kaŭzitaj per la alkonduko (aŭ forkonduko) de energio al (el) la gaso.
La fundamentaj termodinamikaj procezoj de ideala gaso estas tiaj aliiĝoj, kiuj limigas tutajn aliiĝzonojn indikante ilin per siaj ekstremaj ecoj.

La fundamentaj termodinamikaj procezoj estas:

1) la izoĥora procezo – procezo dum konstanta volumeno (samvolumena procezo)

2) la izobara procezo – procezo dum konstanta premo (samprema procezo)

3) la izoterma procezo – procezo dum konstanta temperaturo (samtemperatura procezo)

4) la adiabata procezo – procezo sen iu alkonduko aŭ forkonduko de varmo (senvarminterŝanĝa procezo)

5) la politropa procezo – procezo difinita per la rilato: pv^n = konst.

***1) La izoĥora procezo***

La izoĥora procezo okazas, kiam oni alkondukas (aŭ forkondukas) la varmon al (el) la gaso dum ĝia konstanta volumeno.

::v = konst      \,
::dv= 0      \,

Laŭ la stata ekvacio pv = rT validas:

::p_1v_1 = rT_1     \ \ \ \  - \, por la komenca stato
::p_2v_2 = rT_2      \ \ \ \  - \, por la fina stato .

Do

(66)

::::\frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2}{T_1}       \, \ ,

dum la izoĥora procezo estas la premo proporcia al la absoluta temperaturo. La alkondukita varmo estas:

::dq = du + pdv       \,
::dv = 0      \,
::dq = du = c_vdT      \,

(67)

::q_{1,2} = c_v(T_2 - T_1) = c_v(t_2 - t_1) =u_2 - u_1 \,

La alkondukita varmo plialtigas la internan energion de gaso.

La volumena laboro dum la izoĥora procezo ne efektiviĝas – ĝi ne ekzistas:

::da_v = pdv   \ \ \ \    \ \ \ \  \ \ \  v = konst    \,

::w_{1,2} = \int_{v_1}^{v_2}pdv  \ \ \ \   dv = 0 \,
::w_{v_{1,2}} = 0 \, ,
kie *wv* estas la volumena laboro.

***2) La izobara procezo***

La izobara procezo okazas, kiam oni alkondukas (aŭ forkondukas) la varmon al (el) la gaso dum ĝia konstanta premo.

El la stata ekvacio, validas ĉi tiuj rilatoj:

::p = konst      \,
::p_1 = p_2 = p      \,
::p_1v_1 = rT_1     \ \ \ \  - \, por la komenca stato
::p_2v_2 = rT_2     \ \ \ \  -   \, por la fina stato .

Do

(68)

::::\frac{V_2}{V_1} = \frac{T_2}{T_1}       \, \ ,

dum la izobara procezo estas la volumeno proporcia al la temperaturo. Oni povas ankaŭ ĉi tiun rilaton esprimi jene, per:

::v = \frac{1}{\rho}        \,

*v* – la volumeno de 1&nbsp;kg da gaso [m3/kg],
ρ – la specifa maso de gaso [kg/m3].

(68a)

:: \frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{T_2}{T_1}       \, \  :

la specifaj masoj de gaso estas inverse proporciaj al la absolutaj temperaturoj dum la izobara procezo.

La volumena laboro dum la izobara procezo estas:

(69)

:: w_{v_{1,2}} = \int_{v_1}^{v_2} pdv = p\int_{v_1}^{v_2} dv  = p(V_2 - V_1)     \, .

Kiam oni anstataŭigas en ĉi tiu rezulto la esprimon **pv** pere de esprimo **rT** laŭ la stata ekvacio, oni ekhavas jenan formon:

:: w_{v_{1,2}} = r(T_2-T_1)     \, \  .

Por la plivarmigo de la diferenco je 1^oC validas:

:: w_v = r     \, \  .

Laŭ ĉi tiu ekvacio, la universala gaskonstanto **r** egalas al la volumena laboro, kiu efektivigas 1&nbsp;kg da gaso plivarmigita je unu grado de Celsius dum la konstanta premo.

Laŭ la ekvacio esprimanta la rilatojn de la unua termodinamika teoremo validas:

::p = konst    \ \ \ \   \ \ \ \   \ \ \ \  dq = c_v(dT +  pdv) \,

::dp = 0    \ \ \ \   \ \ \ \   \ \ \ \   \ \ \ \    dq = c_vdT +  rdT \,

::pdv + vdp = rdT       \ \ \ \   dq = (c_v + r)dT  \,

::pdv  = rdT     \quad    \ \ \ \   \ \ \ \   dq = c_p dT  \,

::::::::::dq = dh  \,

(70)

::q_{1,2} = c_p(T_2 - T_1) =  h_2 - h_1 \, \  .

La tuta varmo por la plivarmigo de m kg da gaso estas:

(70a)

::Q_{1,2} = mc_p(T_2 - T_1) = m( h_2 - h_1) = H_2 - H_1 \,

La ekvacio vidigas, ke la alkondukita varmo dum konstanta premo plialtigas la entalpion de gaso.

La izobara procezo troviĝas en praktiko ekzemple en kaldrono dum varmigo de akvo, dum kondensado, dum vaporigado kaj dum varmigego de vaporo. Sed ni devas konscii, ke dum ĉi tiuj, en unu ciklo, kunigitaj procezoj ekzistas kaj devas ekzisti iun premdiferencon inter la komenca kaj la fina statoj.

***3) La izoterma procezo***

La izoterma procezo okazas, kiam oni alkondukas aŭ forkondukas la varmon al la gaso dum ĝia konstanta temperaturo.

La rilatoj por la izoterma procezo laŭ la stata ekvacio estas:
::p_1v_1 = rT \,

::p_2v_2 = rT \,

::\frac{p_2v_2}{p_1v_1} = 1 \,
aŭ
::p_1v_1 = p_2v_2 = pv = konst \,
aŭ
::\frac{p_1}{p_2} =\frac{v_2}{v_1} = \frac{\rho_1}{\rho_2} \,

La ekvacio pv = konst esprimas, ke la produto de premo kaj volumeno estas konstanta, ke inter la premo kaj volumeno estas inversa proporcieco. La ekvacio de izoterma kurbo – izotermo – estas samtempe la ekvacio de ortaksa hiperbolo kun asimptotoj kuŝantaj en la aksoj x kaj y (ĉi tie *v* kaj *p*).

Laŭ la ekvacio esprimanta la rilatojn de la unua termodinamika teoremo validas:

::dT = 0 \,

::du = 0 \,

::::dq = du + pdv = c_vdT + pdv \,

::::dq = du + pdv = dw \, \ . 

Tio signifas, ke dum la izoterma procezo la ena kinetika energio de gaso ne ŝanĝigas. Ĉiu alkondukita varmo transformiĝas en la laboron.

:: p = \frac{rT}{v}  \,

::dq = dw = rT\frac{dv}{v}  \,

post la integrado:

(72)

::q_{1,2} =w_{1,2} = rT\int_{v_1}^{v_2}\frac {dv}{v} = rT \ln \frac {v_2}{v_1}  \,

aŭ ankaŭ:

(72a)

::q_{1,2} = w_{1,2} = rT \ln \frac {p_1}{p_2}  \, \ .

***4) La adiabata procezo***

Dum la adiabata procezo oni nek alkondukas nek forkondukas la varmon al labormaterio. La procezo efektiviĝas en la izolita sistemo. La varminterŝanĝo kun ĉirkaŭaĵo estas malebligita – ĝi ne ekzistas.
La ekvacio de la unua termodinamika teoremo havas la sekvan formon:

::q = konst \,

::dq = 0 \,

::::dq = 0 = c_vdT + pdv \,

El la diferencialigita stata ekvacio oni anstataŭigas dT

::::dT = \frac {1}{r}(pdv + vdp) \,

Pro tio, ke
::r = c_p - c_v \, \ ,

post la anstataŭigo sekvas:

:::: \frac {c_v}{r}(pdv + vdp) + pdv = 0 \,

::::c_v(pdv + vdp) + (c_p-c_v)pdv = 0 \,

::::pdv + vdp + \frac {c_p - c_v}{c_v} pdv = 0 \,

::::pdv + vdp + (\kappa - 1) pdv = 0 \, \ ,

kun

:: \kappa  = \frac{c_p}{c_v} \,

do

::::vpd +\kappa  pdv = 0 \quad \, \ ,

kaj post divido per pv

::::\frac {dp}{p} + \kappa  \frac {dv}{v} = 0 \, \ ,

kies integralo estas:

::\ln p + \kappa  \ln v = \ln konst \,

(73)

::pv^\kappa =   konst \,

aŭ

::p_1v_1^\kappa = p_2v_2^\kappa =  pv^\kappa =  konst \, \  .

La ekvacio (72) estas la ekvacio de la adiabata kurbo – adiabato.
La dependeco inter la fundamentaj stataj grandoj p,v,T estas jena:

(73a)

::\frac{p_1}{p_2} = \left(\frac{V_2}{V_1}\right)^\kappa   \,

Ĉi tio estas la alia formo de la ekvacio (73). Laŭ la stata ekvacio validas:

::p_1v_1 = rT_1 \,

::p_2v_2 = rT_2 \,

::\frac{p_2v_2}{p_1v_1} = \frac{T_2}{T_1} \, 

Post la anstataŭigo de \frac{p_1}{p_2} per \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^\kappa   estos:

(73b)

::\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^{\kappa -1}   \, 

Post la anstataŭigo de \frac{v_1}{v_2} per \left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\kappa}}    ekestos:

(73c)

::\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\kappa -1}{\kappa}}   \, 

Dum la adiabata procezo efektiviĝas la volumena laboro malprofite por la interna energio de gaso. Dum la adiabata kunpremo la temperaturo plialtiĝas. Dum la adiabata ekspansio la temperaturo malplialtiĝas.

La rilatoj por la laboro havas la sekvan formon:

::dq = 0 = du + dw \,

::dw = -du \,

Post la integrado ekestos:

::w_{1,2} -(u_2 - u_2) = u_1 - u_2 = c_v(T_1 - T_2) = c_vT_1\left(1 - \frac{T_2}{T_1}\right) \,

Kiam oni anstataŭigas por T_1=\frac{p_1v_1}{r}  el la stata ekvacio kaj por

::\frac{T_2}{T_1}= \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\kappa -1}{\kappa}}   \, 

oni ricevos:

::w_{1,2} = \frac {c_v}{r}p_1v_1\left[1-\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\kappa-1}{\kappa}}\right]   \,

Sed  \frac{c_v}{r}=\frac{1}{\kappa -1}  kaj tial oni povas skribi:

(74)

::w_{1,2} = \frac{1}{\kappa -1}  p_1v_1\left[1-\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\kappa -1}{\kappa}}\right]     \,

;Komparo de la izotermaj kaj adiabatikaj kurboj

La komparo de proceztendencoj de izoterma kaj adiabatika kurboj estas grava, ĉar ambaŭ kurboj reprezentas ekstermajn kazojn de termodinamikaj ŝanĝoj, kaj ili dividas diagramojn en tipajn partojn. La rilatoj de la adiabato kaj izoterma esprimitaj per sekvaj ekvacioj

 \frac{p_1}{p_2} =  \left (\frac{v_2}{v_1}\right)^\kappa      \,  (adiabato)

kaj

 \frac{p_1}{p_2} =  \frac{v_2}{v_1}  \ \ \ \     \, , (izotermo)

 klare montras, ke la sama volumenpligrandiĝo kaŭzas dum la ekspansio de la adiabata procezo pligrandan malaltigon de la premo ol dum la izoterma ekspansio.
El analizo de ĉi tiuj kurbekvacioj ankaŭ rezultas, ke la adiabata kurbo havas pli altiĝantan tendencon ol la izoterma.

***5) La politropa procezo***

La izoterman kaj adiabatan procezojn ne povas praktike reprezenti neidealajn procezoj, al kiuj oni klopodas per alproksimigoj. La realaj procezoj en piŝtaj varmmaŝinoj sekvas laŭ kurboj de procezoj situantaj inter la izotermo kaj la adiabato; oni nomas ĉi tiujn kurbojn – politropoj. Matematike oni esprimas la politropajn procezojn per ekvacioj por la ideala gaso jene:

(75)

::pv^n = konst \,

aŭ

(75a)

::vpd + npdv = 0 \,

La ekvacio (75a) ekestis post la derivado de la ekvacio (75):

La ekvacio (75a) pvn = konst estas la ekvacio de politropaj kurboj, kiujn oni povas desegni en la koordinata sistemo p-v.
Kiam oni subtrahas la ekvacion (75a) de la derivaĵo de la ekvacio de stato, oni ricevas la sekvan rezulton:

::vpd + npdv = 0 \,

::vpd + pdv = rdT \,

::(n-1)pdv =  - rdT \, \ .

Ĉi tiun rezulton oni uzos por la anstataŭigo en la ekvacio de la varmo:

::dq =  du + pdv \,

::dq = c_vdT - \frac{rdT}{n-1} = \left(c_v - \frac{r}{n-1}\right)dT = \left(c_v - \frac{c_p-c_v}{n-1}\right)dT \, 

(76)

::dq = c_v \frac{n - \kappa}{n-1} dT \, \  ,

kie cv estas la varmokapacito laŭ konstanta volumeno.

La esprimo

::::  c_v \frac{n - \kappa}{n-1} = c_n \,

:::::::::nomiĝas *la specifa varmo de la politropa procezo*.

Tial la ekvacio (76) plisimpliĝas jene:

(76a)

::dq = c_ndT \,

kaj post la integrado estas:

(76b)

:: q_{1,2} = c_n(T_2 - T_1) = c_n(t_2 - t_1) \,

La specifa politropa varmo havas dum ordinaraj ŝanĝiĝoj, kies la kurbo (la politropo) situas en p – v diagramo inter la izotermo kaj adiabato, la eksponenton **n** en ĉi tiuj limoj:

:: 1 

El la ekvacio por  c_n = c_v \frac{n - \kappa}{n-1}   
rezultas, ke la specifa politropa varmo estas negativa, tio signifas, ke dum la ekspansio oni devas aldoni la varmon al la gaso kaj dum la kunpremado forkonduki ĝin.
Oni povas ĝenerale ĉiujn procezojn de ideala gaso konsideri, kiel politropajn procezojn. En ĉi tiu kazo havu la eksponento valorojn ekde –∞ ĝis +∞.

Tial validas, ke

la izobaro estas la politropo kun n = 0; pv^0 = p = konst 
la izoĥoro estas la politropo kun n = ∞; p^{\frac{1}{n}}v_1 = p^0v = v = konst  
la izotermo estas la politropo kun n = 1; pv = v = konst 
la adiabato estas la politropo kun n = κ; pv^\kappa  = konst.

Kiam oni anstataŭas ĉi tiujn valorojn por la eksponento n en la ekvacio de la specifa politropa varmo

:: c_n = c_v \frac{n - \kappa}{n-1}   \  ,

:::tiam oni ricevos:

por la izobara procezo – n = 0,  c_n = c_v \frac{0 - \kappa}{n-1} = c_v\kappa = c_p   \ ;

por la izoĥora procezo – n = ∞,  c_n = c_v \frac{\mathcal{1} - \kappa}{n-1} = c_v.1 = c_v \ ;  

por la izoterma procezo – n = 1,  c_n = c_v \frac{1 - \kappa}{1-1} = c_v \frac{1 - \kappa}{0} = \mathcal{1} \  ;

por la adiabata procezo – n = κ,  c_n = c_v \frac{\kappa - \kappa}{\kappa-1} = c_v \frac{0}{\kappa-1} = 0  \  .

Por la politropo validas la samaj matematikaj rilatoj kiel por la adiabato.

La dependeco de stataj grandoj estas:

(77)

:: \frac{p_2}{p_1} =  \left (\frac{v_1}{v_2}\right)^n      \,

(78)

:: \frac{T_2}{T_1} =  \left (\frac{v_1}{v_2}\right)^{n-1}       \,

(79)

:: \frac{T_2}{T_1 }= \left (\frac{p_2}{p_1} \right)^{\frac{n-1}{n}} \, \ .

La volumena laboro dum la politropa procezo estas:

(80)

::  w_v = \frac{1}{n-1}p_1v_1 \left [1- \left(\frac{p_2}{p_1} \right)^{\frac{n-1}{n}}\right] \, \ .

Laŭ la ekvacio de varmo estas la laboro dw:

::dq = du + dw \,

::dw = dq - du = c_ndT - c_vdT = c_v^{\frac{n-\kappa}{n}}dT - c_vdT = -c_v\frac{\kappa -1}{n-1}dT \,

:: w = c_v\frac{\kappa -1}{n-1}T \left (1-\frac{T_2}{T_1}\right) \, \ ;

samtempe validas:

:: c_v(\kappa -1) = r \, \ , 

tial oni povas skribi:

:: w = \frac{r}{n-1}T_1 \left (1-\frac{T_2}{T_1}\right)\, \ ; 

kaj post la anstataŭigo de T2/T1 ekestos:

:: w = \frac{1}{n-1}rT_1 \left [1- \left(\frac{p_2}{p_1} \right)^{\frac{n-1}{n}}\right] \, \ .

Ĉi tio estas la alia formo de la ekvacio (80), ĉar p1v1 = rT1 laŭ la stata ekvacio.

Kiam oni konas du punktojn de politropo, oni povas alkalkuli la politropan eksponenton n, uzante la sekvan ekvacion:

::\left (\frac{v_2}{v_1}\right)^n = \frac{p_1}{p_2} \,

kaj logaritmigante ĝin, oni ricevas:

::n\log \frac{v_2}{v_1} = \log \frac{p_1}{p_2} \,

(81)

::n= \frac {\log \frac{p_1}{p_2}}{\log \frac{v_2}{v_1}} \, \ .

La ekvacio de la politropo post la logaritmigado ricevas la formon de la linera ekvacio (82):

:: pv^n = konst \,

(82)

:: \log p + n \log v = konst \, \ .

La eksponento n estas la tangento de la angulo α, kiu estas inter la politropo kaj la akso x (log V en abciso):

::n= tg \alpha = \frac{\log p_1 - \log p_2}{\log v_2 - \log v_1}\,

La p – v diagramo kun desegnitaj fundamentaj termodinamikaj procezoj plisimpliĝas en logaritma koordinata sistemo. La kurboj ŝanĝiĝas en rektajn liniojn.

### La termodinamikaj ŝanĝiĝoj de la reala gasoj kaj la aliiĝanta specifa varmo de la gaso 
Rilatoj inter la stataj grandoj dum la termodinamikaj ŝanĝiĝoj por la ideala gaso estas tre simplaj, ĉar oni konsideras la specifajn varmojn dum la tuta ŝanĝiĝo kiel konstantajn, en ĉi tiu kazo eĉ la eksponento n konstanta.
Sed en la realeco la specifaj varmoj dependas de la temperaturo:

:: c = a + bt \,

Memkompreneble ankaŭ la koeficiento de specifaj varmoj dependas de la temperaturo:

:: \frac{c_p}{c_v} = \kappa \,

::   \kappa = \kappa_0 -\alpha T \,

Post ĉi tiu precizigo de la ekvacioj por la ideala gaso la rilatoj rimarkinde alproksimiĝas al la realeco, sed tamen ĉi tie ia neprecizeco restas jam pro tio, ĉar oni ja baziĝas sur la stata ekvacio de ideala gaso.

## Termikaj cikloj kaj ties termikaj efikecoj 
La varmciklo estas aro da kelkaj sinsekvaj procezoj, post kiuj la labormaterio denove atingas sian komencan elirpunkton.

La varmciklo efektiviĝas dum sia ekspansio sur tuta alia vojo al dum sia kunpremo. La senco de la varmciklo estas en la gajnado de laboro malprofite de varmo, aŭ dum la mala kaj rea procezciklo ĝi estas en la gajnado de varmo malprofite de laboro.

Sadi Carnot la unua ekkomprenis la sencon de la varmcikloj (en la jaro 1824), kaj detale esploris la plej efikan ciklon nun nomatan ciklo de Carnot.

### La termika efikeco 
La proporcio de la varmo eluzita por ŝanĝo en la mekanikan laboron el la alkondukita varmo servas por la takso de la varmŝanĝa rilato. Oni nomas ĝin *termodinamika efikeco* aŭ *termika efikeco*:

(85)

:: \eta_t= \frac{q_1 - \left| q_2 \right|}{q_1} = \frac {w_0}{q_1} = 1 - \frac{\left| q_2 \right|}{q_1} \,

Oni povas ankaŭ el la alkondukita varmo elkalkuli la laboron de unu ciklo, se oni konas la efikecon de maŝino:

:: w_0 =\eta_t q_1    \,

q1 – la alkondukita varmo por unu kilogramo da labormaterio dum unu ciklo [kJ/kg]

w0 – la laboro de unu kilogramo da labormaterio efektivigita dum unu ciklo [kJ/kg].

### La rea ciklo 
Kiam oni realigas ciklon en la rea direkto, tiam la ekspansia laboro estas pli malgranda ol la kunprema. La kunprema kurbo en ĉi tiu kazo kuŝas super la kurbo de la ekspansio. La ciklo realiĝas kontraŭ la cirkuldirekto de horloĝmontriloj desegnite en la p – v diagramo. Ĝia laboro estas negativa, tio signifas, ke oni devas ĝin al la maŝino aldoni. Oni nomas la ciklojn de ĉi tiu speco – reaj cikloj.

### La difino de inversigeblaj cikloj 
La inversigeblaj cikloj konsistas ekskluzive nur el inversigeblaj procezoj. Eĉ kiam estas en ili nur unu neinversigebla procezo, tiam la tuta ciklo iĝas neinversigebla.

La *inversigeblaj procezoj* estas tiuj, kiuj okazas dum la senĉesa meĥanika kaj varmeca ekvilibro. Tio signifas, ke la labormaterio trapasas dum siaj ŝanĝiĝoj nur ekvilibrajn statojn, kaj ke ĉiuj procezoj povas okazi, kiam ajn, ankaŭ en la rea direkto sur la sama vojo, kiu estas bildigita per unu kurbo en la p – v diagramo. Ĉi tiuj ŝanĝoj povas okazi nur tre malrapide prezentante samtempe la ekstremajn procezojn, al kiu oni bedaŭrinde nur klopodas per proksimumado.

Sed ekzistas procezoj, kiuj okazas nur en unu direkto. Tiaj ĉi procezoj okazas nur pri la frotado, solvado, miksado, ĥemiaj ŝanĝoj, ktp. Ili estas *neinversigeblaj procezoj*. Inter ili estas unu tre grava procezo por la termodinamiko – la varmtransiro de la pli varma korpo al la korpo malpli varma: ĉi tiu procezo okazas sen ekstera helpo tiel longe, ĝis kiam la temperaturoj de ambaŭ korpoj egaliĝas.

## Vidu ankaŭ 
### Vidu ankaŭ 
* Nula leĝo de termodinamiko,
* Dua leĝo de termodinamiko,
* Tria leĝo de termodinamiko,
* Kvara leĝo de termodinamiko,
* Ciklo de Carnot
* Entalpio,
* Entropio,
* Interna energio.

### Eksteraj ligiloj 
* MISN-0-158, *The First Law of Thermodynamics* (Unua leĝo de termodinamiko) (PDF) de Jerzy Borysowicz el Project PHYSNET.
* *First law of thermodynamics* (Unua leĝo de termodinamiko) in the MIT kurso *Unified Thermodynamics and Propulsion* (Unuiĝinta termodinamiko kaj propulso) de Prof. Z. S. Spakovszky

Kategorio:Fiziko
Kategorio:Termodinamiko