Dudekedro

{{Pluredro
|Schl2 = kaj s\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 \end{Bmatrix}
|hi = 2
|vbildo = Icosahedron vertfig.png
|bildo2 = Icosahedron.svg
|duala_bildo = Dodecahedron.png
|retbildo = Icosahedron flat.svg
|duedra_angulo = 138,189685°
|grupo = Ih
|Schl = {3,5}
|duala = Dekduedro
|Wythoff = 5 &#124; 2 3
|bildo3 = Icosahedron.gif
|vfiguro = 3.3.3.3.3
|edroj_detale = 20{3}
|CD = o5o3(o)
|bildo = Icosahedron.png
|W = 4
|speco1 = Trianguledra pluredro
|U = 22
|verticoj = 12
|B = Ike
|C = 25
|lateroj = 30
|edroj = 20
|K = 27
|nomo = Dudekedro
|speco = Regula pluredro
}}
**Dudekedro** estas ĉiu pluredro havanta 20 edrojn, sed kutime estas subkomprenata **regula dudekedro**, kiu havas egallaterajn triangulojn kiel edroj.

La regula dudekedro estas unu el la kvin platonaj solidoj. Ĝi estas konveksa regula pluredro komponita el 20 triangulaj edroj, kaj kvin edroj kuniĝas je ĉiu el verticoj. Ĝi havas 30 laterojn kaj 12 verticojn.
Ĝia duala pluredro estas la dekduedro.

## Formuloj 
Se la randa longo de regula dudekedro estas *a*, la radiuso de ĉirkaŭskribita sfero estas
: r_u = \frac{a}{2} \sqrt{\varphi \sqrt{5}} = \frac{a}{4} \sqrt{10 +2\sqrt{5}} \approx 0,9510565163 \cdot a 

La radiuso de enskribita sfero (tangenta al ĉiu de la dudekedraj edroj) estas
: r_i = \frac{\varphi^2 a}{2 \sqrt{3}} = \frac{a}{12} \sqrt{3} \left(3+ \sqrt{5} \right) \approx 0,7557613141\cdot a 

La radiuso de sfero kiu tuŝas ĉiujn laterojn (je la mezo de la lateroj) estas
:  r_m = \frac{a \varphi}{2} = \frac{1}{4} \left(1+\sqrt{5}\right) a \approx 0,80901699\cdot a 
kie \varphi (ankaŭ nomata kiel \tau) estas la ora proporcio.

La surfaca areo *A* estas:
:A = 5\sqrt{3}a^2 \approx 8,66025404a^2

La volumeno *V* estas:
:V = \frac{5}{12} (3+\sqrt5)a^3 \approx 2,18169499a^3

## Karteziaj koordinatoj 
eta|maldekstra|Oraj ortanguloj en dudekedro
Karteziaj koordinatoj de verticoj de dudekedro centrita je la nulo de koordinatoj kun longo de lateroj 2:
: (0, \pm 1, \pm \varphi)
: (\pm 1, \pm \varphi, 0)
: (\pm \varphi, 0, \pm 1)
kie \varphi = \tfrac{1+\sqrt{5}}{2} refoje estas la ora proporcio.

## Geometriaj rilatoj 
La tiuj verticoj formas kvin arojn ĉiu el tri reciproke perpendikularaj oraj ortanguloj.

La 12 randoj de okedro povas esti disdividita en la ora proporcio tiel ke la rezultantaj verticoj donas regulan dudekedron. La kvin okedroj donantaj dudekedro formas regulan pluredran kombinaĵon.

eta|Dudekedro kiel riproĉa kvaredro
Estas malformiĝoj de la dudekedro kiuj estas ne regulaj sed vertico-unuformoj. Ili estas invariantaj sub la samaj turnadoj kiel la kvaredro.

La dudekedro havas grandan kvanton de steligoj, inkluzivanta unuon el pluredroj de Keplero-Poinsot.

La dudekedro estas unika inter la platonaj solidoj pro havo de duedra angulo ne malpli ol 120°. Ĝia duedra angulo estas proksimume 138,19°. Seslateroj havantaj angulojn ne malpli ol 120° ne povas esti uzataj kiel edroj de konveksa regula pluredro ĉar ĉi tia konstruado bezonas ke almenaŭ tri edroj devas kuniĝi je vertico kaj post ĉi tio devas resti pozitiva angula difekto por faldado en tri dimensioj. Simile, dudekedroj ne povas esti uzataj kiel ĉeloj de konveksa regula plurĉelo ĉar almenaŭ tri ĉeloj devas kuniĝi je latero kaj same devas esti pozitiva angula difekto por faldado en kvar dimensioj (ĝenerale por konveksa hiperpluredro en *n* dimensioj, almenaŭ tri facetoj devas kuniĝi je *n-3* dimensia rando kaj ili devas lasi pozitivan angulan difekton por faldado en *n*-spaco).

Tamen, en kombino kun taŭgaj ĉeloj havantaj pli malgrandajn duedrajn angulojn, dudekedroj povas esti uzataj kiel ĉeloj en duonregulaj plurĉeloj (ekzemple en la riproĉa 24-ĉelo), same kiel seslateroj povas esti uzataj kiel edroj en duonregulaj pluredroj (ekzemple en la senpintigita dudekedro). Nekonveksaj hiperpluredroj ne havas ĉi tiujn limigojn pri la anguloj kiel konveksaj hiperpluredroj, kaj do dudekedroj estas la ĉeloj de la dudekedra 120-ĉelo, unu el la dek nekonveksaj regulaj plurĉeloj.

[eta|[Kvinlatera kontraŭprismo - la meza parto de la dudekedro]]
Dudekedro povas ankaŭ nomiĝi turnoplilongigita kvinlatera dupiramido. Ĝi povas esti malkomponita enen de turnoplilongigita kvinlatera piramido kaj kvinlatera piramido aŭ en kvinlateran kontraŭprismon kaj du egalajn kvinlaterajn piramidojn.

La dudekedron oni povas nomi ankaŭ kiel riproĉa kvaredro, aŭ kiel riproĉa okedro (ĉar okedro estas rektigita kvaredro).

### Solidoj de Johnson 
Solidoj de Johnson surbaze de la dudekedro estas:

### Dudekedro kaj dekduedro 
Malgraŭ tio kiel ŝajnas, se dudekedro estas enskribita en sfero, ĝi okupas malplion de la sfera volumeno (60,54%) ol dekduedro enskribita en la sama sfero (66,49%).

### Vico de rilatantaj pluredroj kaj kahelaroj 
La dudekedro estas *riproĉa kvaredro* kaj estas ero de vico de riproĉigitaj regulaj pluredroj kaj regulaj kahelaroj de la eŭklida kaj hiperbola ebenoj kun verticaj figuroj (3.3.3.3.n).

### Unuformaj pluredraj kombinaĵoj 
## Uzo 
* Multaj virusoj, ekzemple herpeto, havas formon de dudekedro. Por vivaj strukturoj kiuj estas konstruita el ripetitaj identaj proteinaj aĵoj la dudekedro estas la plej facila formo.
* La regula dekduedro estas ofte uzita en rolludoj kiel 20-flankita ĵetpluredro ("d20" mallonge). Ankaŭ povas esti ke cifero "0" ... "9" estas markitaj po dufoje, tiam ĝi estas *d10*.

## Diversaĵoj 
Se ĉiu rando de dudekedro estas anstataŭigita per 1 oma rezistancilo, la rezistanco inter kontraŭaj verticoj estas 0,5 omoj, kaj tiu inter najbaraj verticoj 11/30 omoj

## Vidu ankaŭ 
* Senpintigita dudekedro
* Dudekedro–seslateraj kradoj en vetera antaŭdiro
* Kombinaĵo de dekduedro kaj dudekedro

## Referencoj 
## Eksteraj ligiloj 
* 
* La unuformaj pluredroj
* Virtualaj realaj pluredroj

Kategorio:Platonaj solidoj