Teoremo de Green

En fiziko kaj matematiko **teoremo de Green** donas la interrilaton inter linia integralo ĉirkaŭ simpla fermita kurbo *C* kaj duobla integralo super la ebena regiono *D* barita per *C*. La teoremo de Green estis nomita laŭ brita sciencisto George Green kaj estas speciala okazo de la pli ĝenerala teoremo de Stokes.

La aserto de la teoremo estas jena: Estu *C* direktita, glata, simpla fermita linio en la ebeno kaj estu *D* la regiono barita per *C*. Se *L* kaj *M* havas kontinuajn partajn derivaĵojn en malfermita regiono enhavanta *D*-an, rezultas
:\int_{C} L\, dx + M\, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA

Iam malgranda cirklo estas lokita supre sur la integrala simbolo:

:\oint_{C}

Tio indikas, ke la kurbo *C* estas fermita. Por indiki pozitivan orientiĝon, sago en la laŭhorloĝnadla direkto estas iam desegnita en la cirklo sur la integrala simbolo.

## Pruvo de la teoremo kiam *D* estas simpla regiono 
[[Dosiero:Green's-theorem-simple-region.png|eta|250ra|dekstra|Se D estas la simpla regiono tiel ke *x* ∈ [*a*, *b*] kaj *g*1(*x*) 2(*x*) kaj la rando de D estas dividita je la kurboj *C1*, *C2*, *C3*, *C4*, oni povas demonstri la teoremon.]]
Se eblas esti montrite ke

:\int_{C} L\, dx = \iint_{D} \left(- \frac{\partial L}{\partial y}\right) dA\qquad\mathrm{(1)}

kaj

:\int_{C} M\, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x}\right)\, dA\qquad\mathrm{(2)}

estas veraj, la teoremo estas pruvita.

Estu regiono *D* simpla sufiĉe por la celoj. Se regiono *D* estas esprimita kiel:

:D = \{(x,y)|a\le x\le b, g_1(x) \le y \le g_2(x)\}

kie *g*1 kaj *g*2 estas kontinuaj funkcioj, la duopa integralo en (1) povas esti skribata kiel:

:

Nun *C* povas esti reskribita kiel la unio de kvar kurboj C1, C2, C3, C4.

Kun C1, uzu la parametrajn ekvaciojn, *x* = *x*, *y* = *g*1(*x*), *a* ≤ *x* ≤ *b*. Pro tio:

:\int_{C_1} L(x,y)\, dx = \int_a^b \Big\{L[x,g_1(x)]\Big\}\, dx

Kun −*C*3, uzu la parametrajn ekvaciojn, *x* = *x*, *y* = *g*2(*x*), *a* ≤ *x* ≤ *b*. Tiam:

:\int_{C_3} L(x,y)\, dx = -\int_{-C_3} L(x,y)\, dx = - \int_a^b [L(x,g_2(x))]\, dx

Sur *C*2 kaj *C*4, *x* restas konstanto, do:

: \int_{C_4} L(x,y)\, dx = \int_{C_2} L(x,y)\, dx = 0

Do:

:

Kombinante (3) kun (4), oni ricevas na:

:\int_{C} L(x,y)\, dx = \iint_{D} \left(- \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA

Simila pruvo povas esti farita por (2).

## Rilato al la teoremo de Stokes 
La teoremo de Green estas speciala kazo de la teoremo de Stokes, kiam aplikita al la xy-ebeno.

Konsideru du-dimensian kampon kiel tri-dimensian kampon, pri kiu z-komponanto en kartezia koordinato estas nula: \vec \mathbf F = (L, M, 0).

De la maldekstra termo de la teoremo de Green aplikita al tiu aparta kampo :
:\oint_{C} (L\, dx + M\, dy) = \oint_{C} (L, M, 0) \cdot (dx, dy, dz) = \oint_{C} \vec \mathbf F \cdot d \vec \mathbf r .\ 

Kaj laŭ la teoremo de Kelvino-Stokes :
:\oint_{C} \vec \mathbf F \cdot d \vec \mathbf r = \iint_S \nabla \times \vec \mathbf F \cdot \vec \mathbf n \, dS ,\ 

kie \nabla estas la nabla operatoro uzita ĉi tie pri la kirlo.

Se la surfaco S estas la ebena regiono D, kun \vec \mathrm n la unuobla vektoro normala al la surfaco kaj pozitive orientita laŭ la +z direkto, tial \vec \mathrm n = \vec \mathrm k.

La esprimo inter la integralo iĝas :
:\nabla \times \vec \mathbf F \cdot \vec \mathbf n = \left[ \left(\frac{\partial 0}{\partial y}  - \frac{\partial M}{\partial z}\right) \vec \mathbf i + \left(\frac{\partial L}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right) \vec \mathbf j + \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right) \vec \mathbf k \right] \cdot \vec \mathbf k = \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right) ;\ 

fakte oni obtenas la dekstran termon de la teoremo de Stokes:
:\iint_S \nabla \times \vec \mathbf F \cdot \vec \mathbf n \, dS = \iint_D \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right) \, dA .\ 

## Vidu ankaŭ 
* Vektora kalkulo
* Diverĝenca teoremo
* Gradienta teoremo
* Teoremo de Kelvino-Stokes

Kategorio:Vektora kalkulo
Kategorio:Matematikaj teoremoj