Filtrilo de Butterworth

eta|altdekstre=2|Amplitudo-frekvenca karakterizo de malalta-pasaj filtriloj de Butterworth de ordoj *n=1 ... 5*, kun fortranĉa frekvenco *ω0=1*. La inklino en la haltata bendo estas *20n* dB por dekumo.
eta|altdekstre=1.5|Amplitudo-frekvenca kaj fazo-frekvenca karakterizoj de unua-orda malalta-pasa filtrilo de Butterworth

En elektroniko kaj signal-prilaborado, la **filtriloj de Butterworth** estas speco de analogaj aŭ ciferecaj linearaj filtriloj. Ilia amplitudo-frekvenca karakterizo estas tiel plata kiel eblas en la pasanta bendo kaj ankaŭ en la haltata bendo.

La malalta-pasaj filtriloj de Butterworth havas amplitudo-frekvencan karakterizon (amplifon)

:  G=\sqrt{\frac {1}{1+\omega^{2n}}} 

La amplitudo-frekvenca karakterizo de la filtrilo de Butterworth estas maksimume plata (ne havas ondetoj) en la pasanta bendo kaj falas al nulo en la haltata bendo.

Kiam vidita sur logaritma skalo la karakterizo inklinas suben lineare al negativa malfinio. Karakterizo de unua-orda filtrilo falas je -20 dB por dekobla ŝanĝo de frekvenco (ĉiuj unua-ordaj malalta-pasaj filtriloj havas la saman ununormigitan amplitudo-frekvencan karakterizon). Karakterizo de dua-ordo filtrilo falas je -40&nbsp;dB por dekobla ŝanĝo de frekvenco, de tria-orda je -60&nbsp;dB kaj tiel plu. Filtriloj de Butterworth havas monotone ŝanĝantan amplifon kun ŝanĝo de *ω*, malsimile al aliaj specoj de filtrilo kiuj havas ne-monotonajn ondetojn en la pasanta bendo aŭ en la haltata bendo.

Komparita kun filtrilo de Ĉebiŝev de speco I aŭ speco II filtrilo aŭ kun elipsa filtrilo, la filtrilo de Butterworth havas pli malrapidan deklivon inter pasanta bendo kaj haltata bendo, kaj tial postulas pli altan ordon al realigi donitan malamplifon en haltata bendo, sed filtriloj de Butterworth havas pli linearan fazo-frekvencan karakterizon en la pasanta-bendo ol filtriloj de Ĉebiŝev de speco I aŭ speco II kaj elipsaj filtriloj.

## Ekzemplo 
eta|altdekstre=2|Tria-orda malalta-pasa filtrilo en topologio de Cauer. La filtrilo iĝas filtrilon de Butterworth kun fortranĉa frekvenco *ωc=1* se (ekzemple) *C2=4/3* faradoj, *R4=1* omo, *L1=3/2* henroj kaj *L3=1/2* henroj.
eta|altdekstre=2|Amplifo (verda) kaj grupa malfruo (ruĝa) de la tria-orda filtrilo de Butterworth kun *ωc=1*
[eta|altdekstre=2|Logaritmo de la absoluta valoro de la tradona funkcio *H(s)* en [kompleksa frekvenca spaco por la tria-orda filtrilo de Butterworth kun *ωc=1*. La tri polusoj kuŝas sur cirklo de radiuso 1 en la maldekstra duonebeno.]]

Simpla ekzemplo de filtrilo de Butterworth estas la tria-orda malalta-pasa filtrilo montrita en la figuro dekstre. Kun tio ke la impedanco de la kondensatoro *C* estas *1/Cs* kaj la impedanco de la induktilo *L* estas *Ls*, kie *s = σ + jω* estas la kompleksa frekvenco, la cirkvitaj ekvacioj liveras la tradonan funkcion por ĉi tiu aparato:

:  H(s)=\frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\frac{1}{1+2s+2s^2+s^3} 

La amplitudo-frekvenca karakterizo (amplifo) *G(ω)* estas donita per

:  G^2(\omega)=|H(j\omega)|^2=\frac{1}{1+\omega^6} 

kaj la fazo estas donita per

: *Φ(ω)=arg(H(jω))*

La grupa malfruo estas difinita kiel la derivaĵo de la fazo kun respekto al angula frekvenco kaj estas mezuro de la malformigo de la signalo pro fazaj diferencoj por malsamaj frekvencoj. La amplifo kaj la malfruo por ĉi tiu filtrilo estas montritaj en la grafikaĵo dekstre. Videblas ke ne estas ondetoj en la amplifa kurbo en la pasanta bendo kaj en la haltata bendo.

Logaritmo de la absoluta valoro de la tradona funkcio *H(s)* estas grafike prezentita en kompleksa frekvenca spaco en la sekva grafikaĵo dekstre. La funkcio estas difinita per la tri polusoj en la maldekstra duono de la kompleksa frekvenca ebeno. La polusoj estas aranĝitaj sur cirklo de radiuso 1, simetrie ĉirkaŭ la reela *s* akso. La amplifa funkcio havas tri pliajn polusojn en dekstra duonebeno por plenigi la cirklo.

Per anstataŭo de ĉiu el induktiloj per kondensatoro kaj ĉiu el kondensatoroj per induktilo, alta-pasa filtrilo de Butterworth estas ricevata.

Bendo-pasa filtrilo de Butterworth estas ricevata per meto de aldona kondensatoro en serio kun ĉiu fonta induktilo kaj meto de aldona induktilo en paralelo kun ĉiu fonta kondensatoro por formi resonancajn cirkvitojn. La valoro de ĉiu nova komponanto devas esti elektita por resonanci kun la malnova komponanto je la frekvenco de intereso.

Bendo-halta filtrilo de Butterworth estas ricevita per meto aldona kondensatoro en paralelo kun ĉiu fonta induktilo kaj meto de aldona induktilo en serio kun ĉiu fonta kondensatoro por formi resonancajn cirkvitojn. La valoro de ĉiu nova komponanto devas esti elektita por resonanci kun la malnova komponanto je la frekvenco kiu devas esti malakceptata.

## Tradona funkcio 
La amplifo *G(ω)* de *n*-orda malalta-pasa filtrilo de Butterworth estas donita en per la tradona funkcio *H(s)* kiel

:  G^2(\omega)=\left |H(j\omega)\right|^2 = \frac {{G_0}^2}{1+\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)^{2n}} 

kie *n* estas ordo de la filtrilo;
: *ωc* estas fortranĉa frekvenco (je nivelo de amplifo *1/√2*, kio estas proksimume -3 dB, kompare al la amplifo je nula frekvenco);
: *G0* estas la amplifo je nula frekvenco.

Se *n* proksimiĝas al malfinio, la amplifo iĝas ortangulan funkcion kaj frekvencoj pli sube *ωc* estas trapasataj kun amplifo *G0*, kaj frekvencoj pli supre de *ωc* estas tute subpremataj. Por pli malgrandaj valoroj de *n*, la fortranĉo estas malpli akra.

Por difini la tradonan funkcion *H(s)* kie *s = σ + jω* (de laplaca konverto), rimarku ke *H(s)H(-s)* komputita je *s = jω* estas egala al *|H(jω)|2*. El ĉi tio sekvas ke

:  H(s)H(-s) = \frac {{G_0}^2}{1+\left (\frac{-s^2}{\omega_c^2}\right)^n} 

La polusoj de ĉi tiu esprimo okazas sur cirklo de radiuso *ωc* je egale spacitaj punktoj. La tradona funkcio mem estas precizigita per la polusoj en la negativa reela duonebeno de *s*. La *k*-a poluso estas precizigita per

:  -\frac{s_k^2}{\omega_c^2} = (-1)^{\frac{1}{n}} = e^{\frac{j(2k-1)\pi}{n}}
\qquad\mathrm{k = 1,2,3, \ldots, n} 

kaj de ĉi tie

:  s_k = \omega_c e^{\frac{j(2k+n-1)\pi}{2n}}\qquad k = 1,2,3, \ldots, n 

La tradona funkcio povas esti skribita per ĉi tiuj polusoj kiel

:  H(s)=\frac{G_0}{\prod_{k=1}^n (s-s_k)/\omega_c} 

La denominatoro estas polinomo de Butterworth en *s*.

### Ununormigitaj polinomoj de Butterworth 
La polinomoj de Butterworth povas esti skribitaj en kompleksa formo kiel pli supre, sed ili estas kutime skribitaj kun reelaj koeficientoj per multiplikado en paroj de polusoj kiuj estas kompleksaj konjugitoj, kiel *s1* kaj *sn*. La polinomoj estas ununormigitaj per preno de *ωc=1*. La ununormigitaj polinomoj de Butterworth tiam havas la ĝeneralan formon

:  B_n(s)=\prod_{k=1}^{\frac{n}{2}} \left(s^2-2s\cos\left(\frac{2k+n-1}{2n}\,\pi\right)+1\right)  por para *n*

:  B_n(s)=(s+1)\prod_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} \left(s^2-2s\cos\left(\frac{2k+n-1}{2n}\,\pi\right)+1\right)  por nepara *n*

Kun precizeco de la koeficientoj de kvar dekumaj ciferoj kelkaj el ili estas:

La ununormigitaj polinomoj de Butterworth povas esti uzataj por difini la tradonan funkcion por ĉiu malalta-pasa filtrilo kun fortranĉa frekvenco *ωc*:

:  H(s) = \frac{G_0}{B_n\left(\frac{s}{\omega_c}\right)} 

Transformo ankaŭ al aliaj bendformoj estas ebla.

### Maksimuma plateco 
Alprenante ke *ωc=1* kaj *G0=1*, la derivaĵo de la amplifo kun respekto al frekvenco estas

:  \frac{dG}{d\omega}=-nG^3\omega^{2n-1} 

kiu estas monotone malkreskanta por ĉiu *ω* pro tio ke la amplifo *G* estas ĉiam pozitiva. La amplifa funkcio de la filtrilo de Butterworth pro tio ne havas ondetojn. Plue, la seria elvolvaĵo de la amplifo estas donita per

:  G(\omega)=1 - \frac{1}{2}\omega^{2n}+\frac{3}{8}\omega^{4n}+\ldots 

Tiel ĉiuj derivaĵoj de la amplifo supren ĝis sed ne inkluzivante la *2n*-a derivaĵo estas nuloj, rezultante en la maksimuma plateco. Se la bezono al esti monotona estas limigita al la pasanta bendo nur kaj ondetoj estas permesataj en la haltata bendo, do eblas dizajni filtrilon de la sama ordo, kiel ekzemple la filtrilo de Ĉebiŝev de speco II, kiu estas pli plata en la pasanta bendo ol la filtrilo maksimume plata en la senco de Butterworth.

### Alta-frekvenca falo de amplifo 
Alprenante ke *ωc=1* la inklino de la logaritmo de la amplifo por granda *ω* estas

:  \lim_{\omega\rightarrow\infty}\frac{d\log(G)}{d\log(\omega)}=-n 

En decibeloj, la alta-frekvenco kurzo de falo estas pro tio *20n* dB por dekumo, aŭ proksimume *6n* dB por okto.

## Filtrila cirkvito 
Estas pluraj malsamaj manieroj por realigi linearan analogan filtrilon. La plej ofte uzata varianto de pasiva cirkvito estas topologio de Cauer kaj la plej ofte uzata varianto por aktiva cirkvito estas topologio de Sallen-Key.

### Topologio de Cauer 
eta|altdekstre=2|Filtrilo de Butterworth kun topologio de Cauer

En la topologio de Cauer estas uzataj pasivaj komponantoj (ŝuntaj kondensatoroj kaj seriaj induktiloj) por realigi linearan analogan malalta-pasan filtrilon. La filtrilo de Butterworth havanta donitan tradonan funkcion povas esti realigita uzante 1-formon de Cauer. La *k*-a ero estas donita per

:  C_k = 2 \sin \left(\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right)  por nepara *k*

:  L_k = 2 \sin \left(\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right)  por para *k*

La filtrilo povas starti ankaŭ kun serio induktilo, en ĉi tiu okazo la *Lk* estas por nepara *k* kaj la *Ck* estas por para *k*.

### Topologio de Sallen-Key 
eta|altdekstre=2|Topologio de Sallen-Key

En topologio de Sallen-Key estas uzataj aktivaj kaj pasivaj komponantoj por realigi linearan analogan filtrilon. La aktivaj estas neinversantaj bufroj, kutime faritaj surbaze de operaciaj amplifiloj. La pasivaj komponantoj estas rezistiloj kaj kondensatoroj. Ĉiu kaskado realigas konjugitan paron de polusoj. La entuta filtrilo estas realigata per pluraj kaskadoj en serio. Se *n* estas nepara do estas reela poluso, kiu devas esti realigita aparte, kutime kiel RC cirkvito serie kun la aktivaj kaskadoj.

Por la dua orda cirkvito montrita dekstren la tradona funkcio estas donita per

:  H(s)=\frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)}=\frac{1}{1+C_2(R_1+R_2)s+C_1C_2R_1R_2s^2} 

Por krei la filtrilon de Butterworth, la denominatoro devas esti unu el la dua-ordaj faktoroj de la polinomo de Butterworth. Ĉi tio signifas ke

:  C_1C_2R_1R_2 = \frac{1}{\omega_c^2}

kaj

:  C_2(R_1+R_2)=\frac{-2\cos\left(\frac{2k+n-1}{2n} \pi\right)}{\omega_c} 

Ĉi tio lasas du nedifinitaj komponantaj valoroj, kiuj povas esti elektitaj laŭvole (ĉar estas nur 2 ekvacioj por 4 nesciataj valoroj).

### Cifereca realigo 
Ciferecaj realigoj de filtriloj de Butterworth kaj aliaj estas ofte bazitaj sur la dulineara konverta maniero aŭ la kongruita Z-konverta maniero, du malsamaj manieroj por diskretigi analogan filtrilon. Ĉe ĉiuj-polusaj filtriloj kiel la filtriloj de Butterworth, la kongruita Z-konverta maniero estas ekvivalento al la impulsa invarianta maniero. Por pli altaj ordoj, ciferecaj filtriloj estas delikataj al kvantumigaj eraroj, tiel ili estas ofte kalkulataj kiel kaskaditaj dukvadrataj sekcioj, kune kun unu unua-orda aŭ tria-orda sekcio en okazo de nepara ordo.

## Komparo kun aliaj linearaj filtriloj 
Jena bildo montras la karakterizojn de filtrilo de Butterworth kune kun tiuj de la aliaj komunaj specoj de filtriloj ricevitaj kun la sama kvanto de koeficientoj (ĉiuj filtriloj estas de kvina ordo):

Kiel videblas de la bildo, filtriloj de Butterworth havas malpli krutan deklivon de amplitudo-frekvenca karakterizo inter pasanta bendo kaj haltata bendo ol tiu de filtriloj de Ĉebiŝev kaj de la elipsaj filtriloj.

## Historio 
La filtriloj estis unue priskribitaj per brita inĝeniero Stephen Butterworth en lia artikolo nomata kiel "Pri la Teorio de Filtrilaj Amplifiloj".

Butterworth havis reputacion de estanto solvanto de kvazaŭ neeblaj matematikaj problemoj. Je la tempo filtrila dizajno estis farata grande per provoj kaj eraroj pro ilia matematika komplikeco. Lia artikolo estis malproksime antaŭe de ĝia tempo. La filtriloj ne estis en komuna uzo por pli ol 30 jaroj post la eldonaĵo. Butterworth komencis ke

Je la tempo filtriloj generis substancajn ondetojn en la pasanta bendo kaj la elekto de komponantaj valoroj estis alte interaga. Butterworth montris ke malalta-pasaj filtriloj povis esti dizajnitaj kies amplitudo-frekvenca karakterizo (amplifo) estas

:  G=\sqrt{\frac {1}{1+\omega^{2n}}} 

kie *ω* estas la angula frekvenco en radianoj por sekundo *n* estas la kvanto de reakciokapablaj eroj (polusoj) en la filtrilo. Butterworth laboris kun filtriloj kun nur para kvanto de polusoj en lia artikolo: li povis esti nescianta ke ĉi tiaj filtriloj povas esti dizajnitaj kun ankaŭ nepara kvanto de polusoj. Lia grafikaĵoj de la amplitudo-frekvencaj karakterizoj de 2, 4, 6, 8, kaj 10 polusaj filtriloj estas montritaj kiel A, B, C, D, kaj E en lia originala grafikaĵo.

Butterworth solvis la ekvaciojn por du-polusa kaj kvar-polusa filtriloj, montrante kiel la lasta povas esti kaskadita kiam apartigita per vakuaj tubaj amplifilo kaj tiel kapabligante la konstruadon de pli alta-ordaj filtriloj malgraŭ induktilaj perdoj. En 1930 malalta-perdaj kernaj materialoj kiel molibdena permalojo ne estis ankoraŭ esploritaj kaj aero-kernaj aŭdaj induktilaj bobenoj estis iom perdantaj energion. Butterworth esploris ke eblas ĝustigi la komponantajn valorojn de la filtrilo por kompensi por la reziston de la induktilaj bobenoj. Li ankaŭ montris ke lia baza malalta-pasa filtrilo povis esti modifita por doni alta-pasan, bendo-pasan kaj bendo-haltan funkciadon.

## Vidu ankaŭ 
* Filtrilo de Ĉebiŝev
* Filtrilo de Bessel
* Elipsa filtrilo

## Referencoj 
## Eksteraj ligiloj 
* Klasifiko de filtriloj
* Uzo de filtrilo de Butterworth en sintezo de regaj sistemoj 
* Gvidlibro al cifereca prilaboro de signaloj
* Filtriloj de Butterworth
* 10-orda malalta-pasa filtrilo de Butterworth
* Malalta-pasaj filtriloj
* Rikuraj filtriloj 

Kategorio:Linearaj filtriloj
Kategorio:Elektronika dizajno