open-index/open-wikipedia-markdown huggingface dataset:
Riproĉa kubo

{{Pluredro
|nomo = Riproĉa kubo
|hi = 2
|vbildo = Snub cube vertfig.svg
|bildo2 = Snubhexahedroncw.jpg
|duala_bildo = Pentagonalicositetrahedronccw.jpg
|retbildo = Snub cube flat.svg
|grupo = O
|Schl = s\begin{Bmatrix} 3 \\ 4 \end{Bmatrix}
|duala = Kvinlatera dudekkvaredro
|Wythoff = &#124; 2 3 4
|bildo3 = Snubhexahedroncw.gif
|vfiguro = 3.3.3.3.4
|edroj_detale = (8+24){3}+6{4}
|CD = ( )4( )3( )
|bildo = Snub hexahedron.png
|W = 17
|speco = nememspegulsimetria
|U = 12
|verticoj = 24
|B = Snic
|C = 24
|lateroj = 60
|edroj = 38
|K = 17
}}
La **riproĉa kubo**, aŭ **alternita kubokedro**, estas pluredro, arĥimeda solido.

La riproĉa kubo havas 38 edrojn, el kiuj 6 estas kvadratoj kaj la restaj 32 estas egallateraj trianguloj. Ĝi havas 60 laterojn kaj 24 verticojn. Ĝi havas du formojn, kiuj estas spegulaj bildoj unu de la alia.

## Karteziaj koordinatoj 
Karteziaj koordinatoj de la verticoj de riproĉa kubo estas ĉiuj paraj permutoj de
: (±1, ±ξ, ±1/ξ)
kun para kvanto de plusoj, kune kun ĉiuj neparaj permutoj kun nepara kvanto de plusoj, kie ξ estas la reela solvaĵo de
: ξ3+ξ2+ξ=1,
kiu estas
:\xi = \frac{1}{3}\left(\sqrt[3]{17+\sqrt{297}} - \sqrt[3]{-17+\sqrt{297}} - 1\right)
aŭ proksimume 0,543689.
Se preni la parajn permutojn kun nepara kvanto de plusoj, kaj la neparajn permutojn kun paraj nombroj de plusoj rezultiĝas la spegulita formo.

## Geometriaj rilatoj 
La riproĉa kubo estas farata per alternado de granda rombokub-okedro, do per fortranĉo de alternaj verticoj. Ĉiuj originalaj edroj havas nur duonon de verticoj, kaj la kvadratoj degeneras en laterojn. Ĉar granda rombokub-okedro havas 3 edrojn/vertico, novaj trianguloj estas formitaj. Poste necesas malmulte misformigi la pluredron por ke ĝi denove estu unuforma.

400ra

Ankaŭ, la riproĉa kubo povas esti konstruita per preno la ses kvadrataj edroj de la kubo kaj distirado ilin eksteren malmulte tiel ke ili jam ne intertuŝu. Tiam donu al ĉiu el ili malgrandan turnon ĉirkaŭ akso orta al la edra ebeno kaj estanta tra la centro. Ili ĉiuj devas esti turnitaj je la sama angulo kaj en la sama direkto - laŭhorloĝnadle aŭ mallaŭhorloĝnadle, se rigardi deekstere. Tiam la spaco inter la kvadratoj povas esti plenigita per trianguloj. Se ĉiuj operacioj estas faritaj je vera grado la trianguloj estos egallateraj kaj la rezultanta pluredro estos unuforma.

La riproĉa kubo estas ero de vico de riproĉigitaj regulaj pluredroj kaj regulaj kahelaroj de la eŭklida kaj hiperbola ebenoj kun verticaj figuroj (3.3.3.3.n).

## Vidu ankaŭ 
* Senpintigita kubo
* Riproĉa kvadrata kahelaro
* Kombinaĵo de 2 riproĉaj kuboj

## Referencoj 
*  (Sekcio 3-9)

## Eksteraj ligiloj 
* La unuformaj pluredroj
* Virtualaj realaj pluredroj - la enciklopedio de pluredroj

Kategorio:Arkimedaj solidoj
Algebra funkcio

En matematiko, **algebra funkcio** de argumentoj

:*x*1, *x*2, ..., *x**n*,

estas funkcio *F*, por kiu validas iu netriviala ekvacio

:*P*(*F*, *x*1, *x*2, ..., *x**n*) = 0,

kie *P* estas polinomo de *n* + 1 variabloj super iu kampo *K*. Alivorte, *F* estas implicita funkcio, kiu solvas algebran ekvacion. Simpla ekzemplo estas

:*F*(*x*) = √(*x*2 + 1).

La klaso de algebraj funkcioj enhavas ĉiujn , sed estas pli granda. Fakte en terminoj de abstrakta algebro ĝi estas la tegaĵo de la kampo de racionalaj funkcioj, por ĉiu fiksita aro de argumentoj. (Noto: se *K* estas finia kampo, estas malprecize egaligi polinomojn kun funkcioj; tamen la termino *algebra funkcio* estas uzata).

Kategorio:Algebro
Absoluta konverĝo

En matematiko, serio aŭ integralo estas **konverĝa absolute**, se la sumo aŭ integralo de la absoluta valoro de la termo aŭ integralato estas finia. La nocio *absoluta konverĝo* estas grava, ĉar ĝi estas ĝenerale postulata por reordigoj kaj produtoj de sumoj.

Pli detale, serio
:\sum_{n=1}^\infty a_n
estas **konverĝa absolute** se
:\sum_{n=1}^\infty \left|a_n\right|
Se a_n estas kompleksa nombro (aŭ, pli ĝenerale, elemento de vektora spaco), ĉi tiu teoremo povas esti alĝustigita jene: la sumo de ĉiuj a_k baziĝas sur la duvalenta operacio de vektora adicio en la kompleksa ebeno (respektive, la vektora spaco). Se la longo de la vojo, kiu estas la sumo de ĉiuj longoj |a_k|, estas finia, la fina punkto estas en finia distanco de la 0.

Ankaŭ, integralo
:\int_A f(x)\,dx
estas **konverĝa absolute**, se la integralo de la respektiva absoluta valoro estas finia, t.e.
:\int_A \left|f(x)\right|\,dx

## Reordigoj 
Absoluta konverĝo signifas ke la valoro de la sumo aŭ integralo estas sendependa de la ordo en kiu la sumo estas kalkulata. Tio estas, reordigo de la serio

:\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma(n)}

kie σ estas permuto de la naturaj nombroj, ne ŝanĝas la sumon al kiu la serio konverĝas. Simile estas pri integraloj.

En la lumo de lebega teorio de integralado, sumoj povas esti traktataj kiel specialaj okazoj de integraloj, iom kiel aparta okazo.

## Produtoj de serio 
La koŝia produto de du serioj konverĝas al la produto de la sumoj, se almenaŭ unu el la serioj konverĝas absolute. Estu:

:\sum_{n=0}^\infty a_n = A
:\sum_{n=0}^\infty b_n = B

La koŝia produto estas difinita kiel la sumo de termoj c_n kie:

:c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}

Tiam, se almenaŭ unu el sumoj de a_n kaj b_n konverĝas absolute, do

:\sum_{n=0}^\infty c_n = AB

## Kondiĉa konverĝo 
**Kondiĉe konverĝa** serio aŭ integralo estas unu tiu kiu konverĝas sed ne konverĝas absolute. Bernhard Riemann pruvis ke kondiĉe konverĝa serio povas esti reordigita por konverĝi al ĉiu donita nombro, inkluzivante na ∞ kaj −∞. Vidu en *rimana seria teoremo*.

## Vidu ankaŭ 
* Koŝia ĉefa valoro

Kategorio:Matematika serio
Kategorio:Integrala kalkulo
Kategorio:Analitiko
Frekvenca probablo

En probablo-teorio, **frekvenca probablo** estas kompreno de probablo kiel limigo de relativa frkveco de okazoj kiam la evento okazas.

Se n_t estas la tuta kvanto de provoj kaj n_x la kvanto de provoj en kiuj la evento P(x) \cong \frac{n_x}{n_t}

kaj

:P(x) = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n_x}{n_t}

## Motivado 
eta|150px|Johano Venn.

La problemoj kaj paradoksoj de la klasika interpretado de probablo motivigis la evoluigon de la koncepto de probablo, kiel relativa frekvenco.

La plejparto de la matematiko kutime kutima fari statistika taksas aŭ testoj estas ellaborita fare de statistikistoj kiuj uzas ĉi tiun koncepton ekskluzive. Ili kutime nomiĝas **frekvencistoj**, kaj ilia pozicio estas nomita **frekvencismo**. Statistikisto kiu uzas tradiciajn manierojn de konkludo pro tio nomiĝas *frekvencisto*, statistikisto. Frekvencismo estas la ege plej kutime tenata vidpunkto inter praktikantaj statistikistoj, probablo-teoriistoj kaj fizikistoj.

Frekvencistoj konversacias pri probabloj nur kiam kontraktanta kun bone-difinita *hazard-eksperimentoj*. La rezultoj de hazarda eksperimento estas nomita ĝiaj eblaj *eventoj*, kaj la aro de ĉiuj eblaj eventoj estas nomita la *specimena spaco* de la eksperimento. La relativa frekvenco de apero de evento en la specimena spaco, kiam ripetanta la eksperimento, estas mezuri de la probablo de tiu hazarda evento.

Ĉi tiu estas alte teknika kaj *scienca* difino de "probablo" kaj ne pretendas enkapti ĉiujn kunsencojn de la koncepto 'verŝajna' en komunuza parolado de naturaj lingvoj. Kompari kiel la koncepto de forto estas uzita fare de fizikistoj en preciza maniero malgraŭ la fakto, ke *forto* estas ankaŭ vorto en multaj naturaj lingvoj, uzita en religiaj tekstoj ekzemple. Tamen, tio malofte kaŭzas problemon aŭ konfuzon, ĉar la ĉirkaŭteksto kutime malkaŝas, ĉu temas pri la scienca koncepto, aŭ ne.

Ĉi tiu skolo estas ofte asociita kun la nomoj Jerzy Neyman kaj Egon Pearson kiuj priskribis la logikon de statistika testado de hipotezo. Aliaj influaj figuroj de la frekvencisma skolo estas Johano Venn, R.A. Fiŝisto, kaj Richard von Mises.

## Vidu ankaŭ 
* Probablaj interpretadoj
* Probablo de Bayes
* Probablo
* Statistiko
* Statistika reguleco
* Probablaj aksiomoj
* Ludo de ŝanco

## Eksteraj ligiloj 
* http://www.ma.utexas.edu/~friedman/freq.ps Charles Friedman, *The Frequency Interpretation in Probability* - *La Frekvenca Interpretado en Probablo*
* http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?ht=VIEW&did=D59523&p=1  John Venn, *The Logic of Chance* - *La Logiko de Ŝanco*

Kategorio:Probablo kaj statistiko
Idento de Bézout

En nombroteorio, **idento de Bézout**, nomita pro Étienne Bézout, estas fakto pri linearaj diofantaj ekvacioj. Ĝi diras, ke se *a* kaj *b* estas entjeroj kun plej granda komuna divizoro *d*, tiam tie ekzistas entjeroj *x* kaj *y* tiaj ke

:*ax + by = d*

Nombroj *x* kaj *y* de pli supre povas esti difinitaj per la etendita eŭklida algoritmo, sed ili estas ne unikaj.

Se estas unu solvaĵo *(x, y)* tiam la aliaj solvaĵoj estas

: \left\{ \left(x+\frac{kb}{d},\ y-\frac{ka}{d}\right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} 

Ekzemple, la plej granda komuna divizoro de 12 kaj 42 estas 6, kaj do la ekvacio

:*12x + 42y = 6*

havas iujn entjerajn solvaĵojn:

:(-3)·12 + 1·42 = 6

kaj ankaŭ

:4·12 + (-1)·42 = 6.

La plej granda komuna divizoro *d* de *a* kaj *b* estas fakte la plej malgranda pozitiva entjero kiu povas esti skribita en la formo *ax + by*.

Idento de Bézout laboras ne nur en la ringo de entjeroj, sed ankaŭ en ĉiu la alia ĉefideala domajno.
Tio estas, se *R* estas ĉefideala domajno, kaj *a* kaj *b* estas eroj de *R*, kaj *d* estas plej granda komuna divizoro de *a* kaj *b*,
tiam estas eroj *x* kaj *y* en *R* tiaj ke *ax + by = d*. La kaŭzo: la idealo *Ra + Rb* estas ĉefa kaj ja estas egala al *Rd*.

## Eksteraj ligiloj 
* Surlinia kalkulilo de Idento de Bézout.
* http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/06/bezouts-identity-for-gaussian-integers.html Idento de Bezout por gaŭsaj entjeroj, lasta teoremo de Fermat.

Kategorio:Diofantaj ekvacioj
Centra vastigaĵo

En grupa teorio, **centra vastigaĵo** de grupo G estas preciza vico de grupoj
:1\rightarrow A\rightarrow E\rightarrow G\rightarrow 1
tia, ke *A* estas en *Z*(*E*), la centro de la grupo E.

Ekzemploj de centraj vastigaĵoj povas esti konstruataj prenante ajnan grupon *G* kaj ajnan komutan grupon *A*, kaj ĝutigante *E* esti *A*&times;*G*. Tia *fendita* ekzemplo (fendi vastigaĵon en la senco de la vastigaĵa problemo, ĉar *G* estas enestas kiel subgrupo de *E*) ne aparte interesas. Pli gravaj ekzemploj troviĝas en la teorio de projekciaj prezentoj, en kazoj kie la projekcia prezento ne povas esti levita ĝis ordinara lineara prezento.

Simile, la centra vastigaĵo de la alĝebro de Lie estas preciza vico
:0\rightarrow \mathfrak{a}\rightarrow\mathfrak{e}\rightarrow\mathfrak{g}\rightarrow 0
tia, ke \mathfrak{a} estas en la centro de \mathfrak{e}.

Se la grupo *G* estas grupo de Lie, tiam centra vastigaĵo de *G* ankaŭ estas Grupo de Lie, kaj la alĝebro de Lie de centra vastigaĵo de *G* estas centra vastigaĵo de la alĝebro de Lie de *G*. En la terminologio de teoria fiziko, la generantoj de *E* ne inkluzivitaj en *G* estas nomitaj *centraj ŝarĝoj*. Ĉi tiuj generantoj estas en la centro de la alĝebro de Lie de *E*, kaj generantoj de geometriaj simetriaj grupoj esti konformaj al konservitaj kvantoj nomitaj *ŝarĝoj* laŭ la teoremo de Noether.

En la teorio de grupo de Lie centraj vastigaĵoj ekesti en rilato al algebra topologio. Supozi *G* estas koneksa grupo de Lie kiu ne estas simple koneksa. Ĝia universala kovro *G** estas denove iu grupo de Lie, en tia maniero, ke la projekcio

:&pi;: *G** &rarr; *G*

estas grupa homomorfio, kaj surĵeto. Ĝia kerno estas (ĝis izomorfio) la fundamenta grupo de *G*; tio sciatas esti abela (vidu H-spaco). Tiu konstruado estigas centrajn vastigaĵojn.

Speciala okazo estas tiu de la metaplectic  grupoj.  Tiuj staras en rilato kun la _symplectic_ grupoj, en la sama maniero, kiel la spinor  grupoj faras kun la specialaj perpendikularaj grupoj. La okazo de *Sl*2(*R*) koncernas fundamentan grupon kiu estas malfinio cikla. Ĉi tie la centra vastigaĵo koncernata estas famekonata en la teorio de modulaj formoj, ĉe formoj de pezo &frac12;. Projekcia prezento kiu kongruas estas la Weil-a prezento, konstruita el la konverto de Fourier; en tiu okazo sur la reela linio. _Metaplectic_ grupoj ankaŭ okazas en kvantummekaniko.

Kategorio:Grupo-teorio
NL (komplikeco)

En komputa komplikteorio, **NL** estas la komplikeca klaso enhavanta decidajn problemojn, kiu povas esti solvita per nedeterminisma maŝino de Turing uzante logaritman kvanton de memora spaco.

**NL** estas ĝeneraligo de **L**, la klaso de decidaj problemoj kiuj povas esti solvita per determinisma maŝino de Turing uzante logaritman kvanton de memora spaco. Pro tio ke ĉiu determinisma Maŝino de Turing estas ankaŭ nedeterminisma maŝino de Turing, **L** estas enhavita en **NL**.

Problemo de kontrolo ĉu vojo ekzistas inter du verticoj en orientita grafeo estas ekzemplo de grava problemo kiu estas sciata al esti plenuma por **NL**. En intuicia senco, ĝi estas unu de la plej pezaj aŭ plej esprimaj problemoj en **NL**. Alia grava **NL**-plena problemo estas 2-bulea plenumebloproblemo, kiu demandas, ĉu, por donita formulo kie ĉiu propozicio estas la disjunkcio de du variabloj, estas tia aro de enigaj variabloj kiu faras la formulon egalan al "VERO"? Ekzemplo de ĉi tia formulo povas esti:

:(*x*1 aŭ ~*x*3) kaj (~*x*2 aŭ *x*3) kaj (~*x*1 aŭ ~*x*2)

Estas sciate, ke **NL** estas enhavata en **P**, pro tio ke estas polinomo-tempa algoritmo por 2-bulea plenumebloproblemo, sed ne estas sciate, ĉu **NL** = **P** aŭ ĉu **L** = **NL**. Pro tio ke nedeterminisma spaco estas fermita sub komplemento, estas sciate, ke **NL** = **co-NL**, rezulto sendepende esplorita de Neil Immerman kaj Róbert Szelepcsényi en 1987 (teoremo de Immerman-Szelepcsényi) kaj juĝita la premio de Gödel en 1995.

Tamen, estas sciate, ke **NL**=**RL**, la klaso de problemoj solveblaj per probableca maŝino de Turing en logaritma spaco kaj nebarita tempo kiu malĝusta malakcepto kun probablo < 1/3. Ĝi estas ankaŭ egala al ZPL, la klaso de problemoj solveblaj per hazardigitaj algoritmoj en logaritma spaco kaj nebarita tempo sen eraro. Ĝi estas ne, tamen, sciata aŭ kredata esti egala al **RLP** aŭ **ZPLP**, la polinomo-tempaj limigoj de **RL** kaj **ZPL** kiujn iuj aŭtoroj nomas kiel **RL** kaj **ZPL**.

Estas simpla logika karakterizado de **NL**: ĝi enhavas precize lingvojn esprimeblajn en unua ordo logiko kun aldonita transitiva fermaĵa operatoro.

## Referencoj 
* C. Papadimitriou. *Komputa Komplekseco*. Addison-Wesley, 1994. ISBN 0-201-53082-1. Ĉapitro 16: Logaritma Spaco.
* Sekcio 8.4–8.6 (La Klasoj L kaj NL, NL-pleneco, NL egalas coNL), pp.294–302.

Kategorio:Komputa komplikeco
Abunda nombro

En matematiko, **abunda nombro** aŭ **ekscesa nombro** estas nombro *n* por kiu *Σ*(*n*) > 2*n*. Ĉi tie *Σ*(*n*) estas la dividanta funkcio, kiu estas la sumo de ĉiuj pozitivaj divizoro de *n*, inkluzivante *n* mem. La valoro *Σ*(*n*)&nbsp;−&nbsp;2*n* estas la **abundeco** de *n*. Ekvivalenta difino estas ke abunda nombro estas tiu ĉe kiu sumo de la *propraj divizoroj* de la nombro (la divizoroj escepte la nombron mem) estas pli granda ol la nombro.

La unuaj kelkaj abundaj nombroj estas:
:12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, …
Kiel ekzemplo, konsideru la nombro 24. Ĝiaj divizoroj estas 1,&nbsp;2, 3, 4, 6, 8, 12 kaj 24, kies sumo estas 60. Ĉar 60 estas pli granda 2&nbsp;×&nbsp;24, la nombro 24 estas abunda. Ĝia abundeco estas 60&nbsp;−&nbsp;2&nbsp;×&nbsp;24&nbsp;=&nbsp;12.

La plej malgranda nepara abunda nombro estas 945. Marc Deléglise montris en 1998 ke la natura denseco de abundaj nombroj estas inter 0.2474 kaj 0.2480.

Malfinie multaj paraj kaj neparaj abundaj nombroj ekzistas. Ĉiu nombro kiu estas produto de perfekta nombro kun pozitiva entjero estas abunda nombro. Ĉiu nombro kiu estas produto de abunda nombro kun pozitiva entjero estas denove abunda nombro. Ankaŭ, ĉiu entjero pli granda ol 20161 povas esti skribita kiel la sumo de du abundaj nombroj.

Abunda nombro kiu estas ne duonperfekta nombro estas bizara nombro; abunda nombro kun abundeco 1 estas kvazaŭperfekta nombro.

Proksime rilatantaj al abundaj nombroj estas perfektaj nombroj kun *Σ*(*n*)&nbsp;=&nbsp;2*n*, kaj mankaj nombroj kun *Σ*(*n*)&nbsp;<&nbsp;2*n*. La naturaj nombroj estis unue klasifikitaj kiel mankaj, perfektaj aŭ abundaj per Nicomachus en lia *Introductio Arithmetica* (ĉirkaŭ 100).

## Vidu ankaŭ 
* Alte komponigita nombro
* Kvazaŭperfekta nombro
* Superabunda nombro

## Eksteraj ligiloj 
* La Prima Glosaro: Abunda nombro
* MathWorld: Abunda nombro

Kategorio:Entjeraj vicoj
Esenca specialaĵo

En kompleksa analitiko, **esenca specialaĵo** de funkcio estas "severa" specialaĵo proksime al kiu la funkcio eksponas ege konduto.

Formale, estu malfermita aro *U* de la kompleksa ebeno **C**, ero *a* de *U*, kaj holomorfa funkcio *f* difinita sur *U-{a}*. La punkto *a* estas *esenca specialaĵo* por *f* se ĝi estas specialaĵo kiu estas nek poluso nek forprenebla specialaĵo.

Ekzemple, la funkcio *f(z) = exp(1/z)* havas esencan specialaĵon je *a=0*.

La punkto *a* estas esenca specialaĵo se kaj nur se la limigo

: \lim_{z\to a}f(z)

nek ekzistas kiel kompleksa nombro nek egalas al malfinio. Ĉi tio estas la okazo se kaj nur se unu aŭ ambaŭ el la sekvaj kondiĉoj veras:

* La serio de Laurent de *f* je la punkto *a* havas malfinie multajn termojn de negativaj gradoj (la ĉefa parto estas malfinia sumo).
* La funkcio *f* havas polusojn en ĉiu najbaraĵo de *a*, tiel la specialaĵo ne estas izolita.

La konduto de holomorfaj funkciaj proksime al esencaj specialaĵoj estas priskribita per la teoremo de Weierstrass-Casorati kaj per la konsiderinde pli forta granda teoremo de Picard. La lasta statas ke en ĉiu najbaraĵo de esenca specialaĵo *a*, la funkcio *f* prenas *ĉiun* kompleksan valoron, escepte eble unu, malfinie ofte.

Kategorio:Kompleksa analitiko
Gaŭsa funkcio

eta|325px|dekstra|Gaŭsaj kurboj (kloŝformaj kurboj) parametrigitaj por statistiko
**Gaŭsa funkcio** (nomita post Carl Friedrich Gauss) estas funkcio de formo:

: f(x) = a e^{-(x-b)^2/c^2}

por iu reelaj konstantoj *a>0*, *b* kaj *c*.

Gaŭsaj funkcioj kun *c2=2* estas propraj funkcioj de la konverto de Fourier. Ĉi tio signifas ke la konverto de Fourier de gaŭsa funkcio kun *c2=2* estas la funkcio kies Konverto de Fourier estis prenita multiplikita per skalaro.

Gaŭsaj funkcioj estas inter tiuj funkcioj kiuj estas rudimentaj sed iliaj malderivaĵoj ne povas esti skribitaj per rudimentaj funkcioj. Tamen la nepropra integralo super la tuta reela linio povas esti komputita akurate:

: \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}

Ĉi tiu kalkulo povas esti plenumita per la restaĵa teoremo de kompleksa analitiko, sed estas ankaŭ la alia simpla kaj maniero fari la kalkulon. Estu la valoro de ĉi tiu integralo *I*. Tiam

: I^2 = \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx \int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}\,dy = \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy

La variablo de integralado de *x* al *y* en unu al la du multiplikataj integraloj. Nun ŝanĝu al ebenaj polusaj koordinatoj

: I^2 = \int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2}r\,dr\,d\theta = 2\pi\int_0^\infty e^{-r^2}r\,dr=\pi\int_0^\infty e^{-u}\,du=\pi

per la anstataŭo *u=r2*, *du=2rdr*.

En la ĝenerala formo de la gaŭsa funkcio la nepropra integralo estas

: \int_{-\infty}^\infty a e^{- { (x-b)^2 \over 2 c^2 } }\,dx=ac\sqrt{2\pi}

## Aplikoj 
La malderivaĵo de la gaŭsa funkcio estas la funkcio de eraro de Gauss.

Gaŭsaj funkcioj aperas en multaj ĉirkaŭtekstoj en la natursciencoj, la socia scienco, matematiko, kaj inĝenierado. Iu ekzemploj estas:
* En statistiko kaj teorio de probabloj, gaŭsa funkcio aperas kiel la denseca funkcio de la normala distribuo, kiu estas limiga probablodistribuo de sumo de multaj distribuoj, laŭ la centra limiga teoremo.
*: La rilato kun la atendata valoro *&mu;* kaj varianco *&sigma;2* estas *a = 1/(&sigma;&radic;(2&pi;))*,  *b = &mu;*, *c = &sigma;*.
* Gaŭsa funkcio estas la onda funkcio de la tera stato de la kvantuma harmona oscilo.
* La molekulaj orbitumoj uzataj en komputa kemio estas linearaj kombinaĵoj de gaŭsaj funkcioj, nomataj kiel gaŭsaj orbitumoj.
* Matematike, la gaŭsa funkcio ludas gravan rolon en difino de la hermita polinomo.
* Sekve gaŭsaj funkcioj estas ankaŭ asociitaj kun la vakua stato en kvantuma kampa teorio.
* Gaŭsa elĵetaĵoj estas uzitaj en optikaj kaj mikroondaj sistemoj.
* Gaŭsaj funkcioj estas uzataj kiel antaŭ-glatigantaj kernoj en bilda procezado.

## Vidu ankaŭ 
* Funkcio de eraro
* Normala distribuo

Kategorio:Rudimentaj specialaj funkcioj
Kategorio:Carl Friedrich Gauss
Malloka kampo

En matematiko, la termino **malloka kampo** signifas iun ajn el jeno:

* Nombra kampo, kio estas finia pluigaĵo de **Q**
* Kampo de funkcioj de algebra kurbo super finia kampo, kiu estas finie generita kampo de karakteristiko *p*>0 de transcenda grado 1.

Estas nombro de formalaj similecoj inter la du specoj de kampoj. Kampon de ĉiu el la du tipoj karakterizas la eco, ke ĉiuj el ĝiaj kompletigoj estas loke kompaktaj kampoj (vidu: lokaj kampoj). Ĉiu kampo de tiuj tipoj povas estas la kampo de frakcioj de Dedekinda domajno en kiu ĉiu ne-nula idealo estas de finia indekso. En ĉiu okazo, estas la *produta formulo* por ne-nulaj eroj *x*:

:\prod_v |x|_v = 1

La analogio inter la du specoj de ksmpoj estas forta motiviganta forto en algebra nombroteorio. La ideo de analogio inter nombraj kampoj kaj rimanaj surfacoj iras historien al Dedekindo kaj Vebero en la dek-naŭa jarcento. La pli severa analogio esprimita per la 'malloka kampo' ideo, en kiu Rimana surfaca aspekto kiel algebra kurbo estas mapita al kurboj difinitaj super finia kampo, estis konstruita supren dum la 1930-aj jaroj, kulminante en la Rimana hipotezo por lokaj ζ-funkcioj kvitiĝis per André Weil en 1940. La terminologio povas esti pro la Weil, kiu skribis lian *Baza Nombra Teorio* (1967) (iluzia titolo se iam tie estis) parte por ellabori la paraleladon.

Estas kutime pli simple labori en la kazo de funkcia kampo kaj poste provi ellabori paralelajn teknikojn por la nombra kampo. La evoluigo de la teorio de Arakelov kaj ĝia ekspluatado fare de Gerd Faltings en ties pruvo de la konjekto de Mordell estas frapa ekzemplo de tia aliro.

Kategorio:Kampo-teorio (matematiko)
Kategorio:Algebra nombroteorio
Kategorio:Algebraj kurboj
Surfaca normalo

En matematiko, **surfaca normalo** (aŭ **normalo**, aŭ prefereble **ortanto**) al surfaco estas tri-dimensia vektoro, kiu estas perpendikulara al la surfaco en donita punkto. Por ne-ebena surfaco, ĝi estas perpendikulara al la tanĝanta ebeno al la surfaco je donita punkto. La vorto *normala* estas ankaŭ uzita kiel adjektivo kaj ankaŭ substantivo kun ĉi tiu signifo: linio *normala* al ebeno, la *normala* komponanto de forto, la *normala vektoro*, kaj tiel plu.

eta|dekstre|300ra|Surfacaj normaloj al diversaj punktoj de surfaco
[eta|dekstre|Surfaca normalo kaj [tanĝanta ebeno]]

## Kalkulado de surfaca normalo 
Por plurlatero, surfaca normalo povas esti kalkulita kiel vektora produto de iuj du ne paralelaj lateroj de la plurlatero.

Se surfaco *S* estas parametrigita kiel * **w**(s, t)*, kie *s* kaj *t* estas reelaj variabloj, tiam normala estas donita per vektora produto de la partaj derivaĵoj

:{\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}

Se surfaco *S* estas donita implice, kiel la aro de punktoj *(x, y, z)* tiaj ke *F(x, y, z)=0*, tiam normalo je punkto *(x, y, z)* sur la surfaco estas donita per la gradiento

:\nabla F(x, y, z)

Teil, por ebeno donita per la ekvacio *ax+by+cz=d*, la vektoro *(a, b, c)* estas normalo.

Se surfaco ne havas tanĝantan ebenon je punkto, ĝi ne havi normalon je la punkto. Ekzemple, konuso ne havas normalon je sia apekso.

## Unikeco 
eta|dekstra|Surfacaj normaloj kun malsamaj direktoj

Surfaco normala je punkto al surfaco ne havas unika direkto; la vektoro kun la kontraŭa direkto de surfaca normalo estas ankaŭ surfaca normalo. Por fermitaj surfacoj (kiel sfero), la surfaco normala estas kutime difinita al esti montranta eksteren.

## Uzoj 
* Surfaca normalo estas esenca en difino de surfaca integralo de vektora kampo.
* Surfaca normalo estas kutime uzata en komputila 3D grafiko por kalkuloj de lumigiteco (heleco) de surfacoj.

## Referencoj 
## Eksteraj ligiloj 
* Ekspliko de normalaj vektoroj je MSDN

Kategorio:Geometrio
Kategorio:Vektora kalkulo
Kategorio:3D komputila grafiko
Teoremo de Maschke

En matematiko, aŭ pli aparte en aparta grupa prezenta teorio, **teoremo de Maschke** estas la baza rezulto pruvanta, ke linearaj prezentoj de finia grupo super kampoj de karakterizo 0, kiel la kompleksaj, reelaj, kaj racionalaj nombroj, disfalas en *neredukteblajn* pecojn. Ĉi tio estas fundamenta, ekzemple, al la apliko de signaj tabeloj.

Oni devas singardi, ĉar la prezento povas malkomponiĝi malsame super malsamaj kampoj: prezento povas esti nereduktebla super la reelaj nombroj sed ne super la kompleksaj nombroj.

Pli ĝenerale, la teoremo veras por kampoj de pozitiva karakterizo *p*, kiel la finiaj kampoj, se la primo *p* ne dividas la ordon de *G.*

Estu *K* kampo, *G* finia grupo, kaj estu *KG* la grupa algebro. **Teoremo de Maschke** statas, ke kiel ringo, *KG* estas duonsimpla, se kaj nur se la karaktero de *K* ne dividas la ordon de *G*.

Sekve de tio de teoremo de Mascke, oni povas apliki la teoremon de Artin Wedderburn (iam nomatan kiel la struktura teoremo de Wedderburn) al *KG*. Kiam *K* estas la kompleksaj nombroj, ĉi tio montras, ke *KG* estas direkta sumo de kopioj de matrico (algebro), unu por ĉiu nereduktebla prezento.
## Vidu ankaŭ 
*  (1853, Breslau ()1908, Ĉikago IL)
* 

Kategorio:Prezenta teorio de grupoj
Kategorio:Matematikaj teoremoj
Koneksa sumo

Estas du komunaj uzoj de la termino **koneksa sumo** en la matematika kampo de topologio.

## Koneksa sumo de du sternaĵoj 
dekstra|eta|250px|Koneksa sumo de du sternaĵoj

En geometria topologio, **koneksa sumo** de du koneksaj *m*-dimensiaj sternaĵoj estas sternaĵo formita per forigo de pilko en ĉiu sternaĵo kaj gluado kune la rezultantaj randaj sferoj.

Se ambaŭ sternaĵoj estas orientitaj, estas unika koneksa sumo difinita per havo de la gluanta mapo de dorsflanka orientiĝo. La konstruado uzas la elekton de la sferoj, sed la rezulto estas unika ĝis homeomorfio. Oni povas fari ĉi tiun operacian laboron en glata kategorio kaj tiam la rezulto estas unika ĝis difeomorfio. La bona difiniteco de tiu operacio dependas krite de la _annulus_ teoremo, kiu estas neniel evidenta.

La operacio de koneksa sumo estas signifita per \#, ekzemple A \# B signifas la koneksa sumo de ''AS^m, kiel idento, do, M \# S^m estas difeomorfa al *M*.

## Koneksa sumo de du nodoj 
En noda teorio, la **koneksa sumo** de du nodoj signifas la sekvan operacion:

Ĉi tiuj rezultoj en la projekcio de nova nodo. Ĉi tiu operacio estas ankaŭ nomita la **nodo-sumado** aŭ **komponaĵo** de du nodoj. Estas grave precize difini la sumon, ĉar, se oni nur tranĉas ĉiun nodon kaj aligas la finojn kunen la rezulto estas malbone-difinita.

Nodoj en 3-spaca forma komuta monoido kun prima faktorigo, kiu permesas difini kio estas intencita per prima nodo. Pruvo de komuteco povas vidiĝi per tio ke oni lasu al unu termon ŝrumpiĝi ĝis kiam ĝi estas tre malgranda kaj tiam tiri ĝin laŭ la alia nodo. La malnodo estas la unuo. La trifolia nodo estas la plej simpla prima nodo.  Pli alte dimensiaj nodoj povas esti adiciita per tranĉo de la n-sferoj.

Oni ne povas formi la malnodon en tri dimensioj per aligado de du ne-bagatelaj nodoj. Tio sekvas de adicieco de noda genro. Alia pruvo subteniĝas sur malfinia konstruado iam nomita kiel la fraŭdo de Mazur. En pli altaj dimensioj, estas eble ricevi malnodon per adiciado de du netrivialaj nodoj.

## Vidu ankaŭ 
* Banda sumo
* Klasifiko de fermitaj surfacoj
* Prima malkomponaĵo (3-sternaĵo)

Kategorio:Diferenciala topologio
Kategorio:Geometria topologio
Kategorio:Noda teorio
Kategorio:Dulokaj operacioj
Konveksa plurlatero

eta|Konveksa kvinlatero

En geometrio, **konveksa plurlatero** estas simpla plurlatero kies eno estas konveksa aro. Jenaj propraĵoj de simpla plurlatero estas ĉiu ekvivalento al konvekseco:

* Ĉiu ena angulo estas ne pli granda ol 180 gradoj.
* Ĉiu rekta streko inter du verticoj de la plurlatero ne estas (eĉ parte) en eksteraĵo al la plurlatero (kio estas, ĝi estas ene aŭ sur la rando de la plurlatero).

Simpla plurlatero estas **severe konveksa** se ĉiu ena angulo estas severe malpli granda ol 180 gradoj. Ekvivalente, plurlatero estas severe konveksa se ĉiu rekta streko inter du ne najbaraj verticoj de la plurlatero estas severe en eno de la plurlatero escepte de la finaj punktoj.

Ĉiu ne-degenera triangulo estas severe konveksa.

## Nekonveksaj plurlateroj 
eta|Simpla konkava seslatero
eta|Nesimpla konkava kvinlatero

Se plurlatero estas ne konveksa, ĝi estas nomata kiel **nekonveksa** aŭ **konkava**. Almenaŭ unu ena angulo de simpla nekonveksa plurlatero estas pli granda ol 180 gradoj.

Ĉiu nekonveksa plurlatero povas esti disdividita en plurajn konveksajn plurlaterojn. Por ĉi tio sufiĉa polinoma tempo de komputado.

## Vidu ankaŭ 
* Konveksa koverto
* Stela plurlatero

Kategorio:Konveksa geometrio
Kategorio:Plurlateroj
Malfinio plus 1

En populara kulturo, **malfinio plus 1** estas frazo uzata en rilato al la nocio de malfinio kiel la plej granda ebla nombro. La ideo estas ke ĉi tia nombro ne devus ekzisti.

En matematiko, tamen, "malfinio plus 1" havas signifon kiel la nombro &omega; + 1 en la ordaj numeroj kaj surreelaj nombroj. Alternative, se "malfinio" estas interpretata kiel iu specifa kardinala nombro &kappa; &ge; \aleph_0 en kardinala aritmetiko, tiam "malfinio plus 1" = &kappa; + 1 = &kappa;.

La frazo estas iam trovata en infana kulturo per tiuj kiuj esploris la koncepton de malfinio. Kiam unu infano faras referencon al malfinio, la alia povas provi al esti plej bonaj el ili per faro de la simila referenco al *malfinio plus unu*. Unu ekzemplo de ĉi tio estas kiam du infanoj iras supren kun aŭdaco, kaj sinsekve redonas la aŭdacon, obligante ĝin per pligrandiĝantaj valoroj, ekzemple:

:*Infano 1: "Mi aŭdacas vin ..."*
:*Infano 2: "Mi duope aŭdacas vin."*
:*Infano 1: "Mi triope aŭdacas vin."*
:*Infano 2: "Mi aŭdacas vin miliono fojojn."*
:*Infano 1: "Mi aŭdacas vin malfinio fojojn."*
:*Infano 2: "Mi aŭdacas vin **malfinio plus unu** fojojn."*

Ĉi tiu speco de interparolo estas uzata en multaj popularaj televidaj serioj.

Kategorio:Senfineco
Skalara multipliko

En matematiko, **skalara multipliko** estas unu de la bazaj operacioj difinantaj vektoran spacon en lineara algebro.

Pli aparte, se *K* estas kampo kaj *V* estas vektora spaco super *K*, do skalara multipliko estas funkcio de *K* × *V* al *V*. La rezulto de aplikado de ĉi tiu funkcio al *c* en *K* kaj *v* en *V* estas *c**v*.

Skalara multipliko en ĉi tiu senco aplikas ankaŭ al matricoj.

Skalara multipliko obeas jenajn regulojn: *(vektoro en grasa tiparfasono)*:
* Maldekstra distribueco: (*c* + *d*)***v*** = *c****v*** + *d****v***;
* Dekstra distribueco: *c*(***v*** + ***w***) = *c****v*** + *c****w***;
* Asocieco: (*c**d*)***v*** = *c*(*d****v***);
* Multiplikado per 1 ne ŝanĝas la vektoron: 1***v*** = ***v***;
* Multiplikado per 0 donas la nulvektoron: 0***v*** = 0;
* Multiplikado per -1 donas la kontraŭegalon: (-1)***v*** = -***v***.
Ĉi tie + estas adicio en la kampo aŭ en la vektora spaco; kaj 0 estas la adicia idento.

Skalara multipliko povas esti konsiderata kiel ekstera operacio aŭ kiel grupa ago de la kampo sur la vektora spaco. Geometria interpretado de skalara multipliko estas streĉigo aŭ ŝrumpigo de la vektoro.

Kiel speciala okazo, *V* povas esti prenita al esti *K* mem kaj skalara multipliko povas tiam esti prenita al esti simple la multipliko en la kampo.
Se *V* estas *K**n*, do skalara multipliko estas difinita laŭkomponante.

## Vidu ankaŭ 
* Multipliko de vektoroj
* Matrica multipliko

Kategorio:Lineara algebro
Kategorio:Abstrakta algebro
Kategorio:Vektora kalkulo
Probableca maŝino de Turing

En komputebleca teorio, **probableca maŝino de Turing** estas speco de maŝino de Turing kiu hazarde elektas inter la haveblaj trairoj je ĉiu punkto kun egala probablo.

Ekvivalente, ĝi povas esti difinita kiel determinisma maŝino de Turing havanta aldonan *skriban* komandon ĉe kiu la valoro skribita estas unuforme distribuita en la maŝina alfabeto (ĝenerale, egala verŝajneco de skribo de '1' aŭ '0' sur la bendo). Alia komuna varianto estas simple determinisma maŝino de Turing kun aldona bendo plena de hazardaj bitoj, nomata kiel la *hazarda bendo*.

Sekve de tio, probableca maŝino de Turing povas (malsimile al determinisma maŝino de Turing) havi stokastajn rezultojn; sur donita enigo kaj komanda stata maŝino, ĝi povas havi malsamajn rultempojn, aŭ ĝi povas ne halti ajn; plui, ĝi povas akcepti enigon en unu rulo kaj malakcepti la saman enigon en la alia rulo.

Pro tio la nocio de akcepto de linio per probableca maŝino de Turing povas esti difinita en malsamaj manieroj. Estas diversaj polinomo-tempaj hazardigitaj komplikecaj klasoj kiuj rezultiĝas de malsamaj difinoj de akcepto - **RP**, **Co-RP**, **BPP** kaj **ZPP**. Se oni limigas la maŝinon al logaritma spaco anstataŭ polinoma tempo, rezultiĝas la analogaj **RL**, **Co-RL**, **BPL** kaj **ZPL**. Se fari ambaŭ limigojn, rezultiĝas klasoj **RLP**, **Co-RLP**, **BPLP**, kaj **ZPLP**.

Probableca kalkulado estas ankaŭ kritika por la difino de plejparto klasoj de interagaj pruvaj sistemoj, en kiu la kontrolila maŝino dependas sur hazardo por eviti estado aŭgurita kaj artifikita per la ĉiopova provata maŝino. Ekzemple, la klaso **IP** egalas al **PSPACO**, sed se hazardo estas forprenita de la kontrolilo, rezultiĝas nur **NP**, kiu estas ne sciata sed larĝe kredita al esti konsiderinde pli malgranda klaso.

Unu el la centraj demandoj de komplikteorio estas ĉu hazardo aldonas povon; tio estas, ĉu estas problemo kiu povas esti solvita en polinoma tempo per probableca maŝino de Turing sed ne per determinisma maŝino de Turing? Aŭ ĉu povas determinismaj maŝinoj de Turing kompetente simuli ĉiujn probablecajn maŝinojn de Turing kun maksimume polinoma malplirapidiĝo? Nun estas larĝe kredite de esploristoj ke la lasta estas la okazo, kiu devus enhavi ke **P** = **BPP**. La sama demando por logaritma spaco anstataŭ polinoma tempo (ĉu **L** = **BPLP**?) estas eĉ pli larĝe kredita al esti vera. Aliflanke, la pova hazardo donas al interagaj pruvaj sistemoj kaj la simplaj algoritmoj ĝi kreas por malfacila problemoj kiel polinomo-tempa primeco-testo kaj logaritmo-spaca grafea konekteca provo sugestas ke hazardo povas aldoni povon.

## Vidu ankaŭ 
* Hazardigita algoritmo
* Kvantuma komputilo estas alia modelo de kalkulado kiu estas imanente probableca.
* Nedeterminisma maŝino de Turing

## Eksteraj ligiloj 
* Retejo de NIST pri probablecaj maŝinoj de Turing

Kategorio:Komputaj modeloj
Listo de klasoj de komplikeco

Ĉi tio estas **listo de komplikecaj klasoj** en komputa komplikteorio.

Multaj el ĉi tiuj klasoj havas asociitan *Co*-klason, kiu konsistas de la komplementoj de ĉiuj lingvoj de la originala klaso (??? vidu sube (Ĉi ...)). Ekzemple se **L** estas en **NP**, tiam la komplemento de **L** estas en **Co-NP**. Ĉi tio ne signifas, ke la komplemento de **NP** estas **Co-NP** — estas lingvoj kiuj estas sciataj esti ambaŭ, kaj aliaj lingvoj kiuj estas sciataj esti neniun.

*La plej malfacilaj problemoj* de klaso estas problemoj, kiuj apartenas la klaso kaj ĉiu alia problemo de tiu klaso povas reduktiĝi al ili. Plue, la malpligrandiĝo estas ankaŭ problemo de la donita klaso, aŭ ĝia subaro.

## Vidu ankaŭ 
* Komputada tempo
* Uzata memoro
* Komplikecaj klasoj P kaj NP
* Granda O

## Eksteraj ligiloj 
* . Zoo de komplikeco — listo de pli ol 400 komplikecaj klasoj kaj ties propraĵoj

Kategorio:Komputa komplikeco
Kategorio:Matematikaj listoj
Pola notacio

**Pola notacio**, ankaŭ konata kiel **antaŭmeta operaciskribo**, estas maniero skribi matematikajn esprimojn. Ĝin proponis Jan Łukasiewicz precipe por plisimpligi certajn matematikajn pruvojn. Ĝia specialaĵo estas tio, ke ĝi ĉiam metas operatorojn antaŭ la argumentoj.

Ekzemple, anstataŭ "1+2, oni uzas ĉi tiun esprimon:

 + 1 2

kiu komputiĝas al 3.

Pola notacio estas aplikebla nek al nur du valoroj, nek al nur adicio. Ekzemple, ĉi tiu esprimo:

 (× (+ 0 1) (+ 2 3))

komputiĝas al 5.

En la ĉi-supraj ekzemploj estas uzitaj krampoj, tamen unu el la avantaĝoj de pola notacio estas tio, ke se la loknombro de ĉiu operatoro estas konata, tiam krampoj ne estas necesaj: la ordo de operacioj estas unika kaj facile determinebla. Ekzemple, se operacioj "×" kaj "+" estas duargumentaj, tiam ĉi tiu esprimo:
 × + 0 1 + 2 3
povas signifi *nur* ĉi tion:
 (× (+ 0 1) (+ 2 3))

Pola notacio ne estas vaste aplikata, sed inversa pola notacio, aŭ *postskriba* notacio, estas uzata en multaj stako-bazitaj programlingvoj, kaj estas la operacia principo de certaj kalkuliloj.

Kategorio:Matematika notacio
Revolucio de 1848 en Germanio

eta|310ra|jubilantaj revoluciuloj post strataj bataloj en Berlino la 18an de marto 1848, fone la urba kastelo

La demokratia **Revolucio de 1848 en Germanio**, kiun oni ankaŭ nomis **Marta Revolucio**, estis popolaj bataloj en la germanlingvaj ŝtatoj de centra Eŭropo, interalie Aŭstrio kaj Prusio, inter marto 1848 kaj la fino de somero 1849, kiuj celis fini la feŭdisman regadon en tiuj landoj, starigi demokration kaj rajton je libera esprimo de opinioj.

Tiuj bataloj estis parto de la burĝaj, demokratiaj kaj naciaj protestoj dum vastaj partoj de centra Europo dum tiuj jaroj. Jam dum januaro 1849 italaj revoluciuloj komencis batalojn kontraŭ la regantoj aŭstriaj en la nordo de Italio kaj hispanaj en la sudo de la lando. Post komenco de la *Februara Revolucio* de Francio, evidente dum februaro 1848, ankaŭ homoj en la germanaj ŝtatoj kaptiĝis de la revoluciaj ideoj.

En la germanaj princejoj la revolucio komenciĝis en la grandduklando Badeno kun ties administra centro Rastatt kaj ene de malmultaj semajnoj vastiĝis al ĉiuj ŝtatoj de la Germana Federacio. Ĉie inter Berlino kaj Vieno ĝi devigis instalon de liberalaj registaroj kaj la organizon de elektoj por demokratia Nacia Asembleo (*Nationalversammlung*), kiu ekkunvenis en la Paŭla Preĝejo en Frankfurto ĉe Majno kaj havis la unuan taskon ellabori nacian konstitucion.

Ĝis fino de julio 1849 tiu unua provo organizi demokratie strukturitan, unuecan germanan ŝtaton estis perforte disbatita de precipe la prusa kaj aŭstra (feŭdismaj) armeoj. Sennombraj politike engaĝitaj homoj enkarceriĝis, sed multaj sukcesis fuĝi kaj elmigris al Usono, kie ili vidis pli da ŝanco kunlabori en demokratia kaj libereca ŝtato. La politika evoluo de Usono dum la jaroj post 1849 signife profitis de la engaĝiĝo kaj entuziasmo de tiuj elmigrintoj.

## Vidu ankaŭ 
* Revolucio de 1848 en Aŭstria Imperio
* Hungara revolucio de 1848

Kategorio:Historio de Germanio
Germanio
Kategorio:1848
Rastatt

**Rastatt**  estas germana urbo en la federacia lando Baden-Virtembergo, 20 kilometrojn norde de Baden-Baden. La urbocentro troviĝas malpli ol 10 kilometrojn for de la rivero Rejno kaj de Francio.

## Muzeoj 
La urba muzeo montras la ĝeneralan historion de Rastatt. Plue ekzistas origine meblita muzea loĝdomo *Am Kirchplatz 6* kaj rejnoborda muzeo en *Ottersdorf*.

La Revolucio de 1848 en Germanio komenciĝis en marto 1848 en Rastatt, kaj ene de malmultaj semajnoj de ĉi tie kaptis ĉiujn tiamajn germanlingvajn ŝtatojn. Pri tio informas la "Memorejo pri Movadoj por Libereco en la Germana Historio", kiu troviĝas en la urba kastelo. Plue ekzistas armea muzeo, kaj urba galerio en konstruaĵo *Fruchthalle*.

eta|maldekstra|fronto de la kastelo
eta|maldekstra|fronto de kastelo *Favorite*
eta|maldekstra|fontano Alexius
eta|dekstra|fontanto Bernhardus
eta|dekstra|"la renkonto" de *Giuliano Vangi*

## Vidindaĵoj 
La impona kastelo de Rastatt, iama sidejo de la grafoj de Baden-Baden, estas la rekonilo de la urbo. Pliaj vidindaĵoj estas:
* la kastelo *Favorite*
* la kapelo *Einsiedeln*
* la kasteleto *Pagodenburg*
* la preĝejoj Bernhardus, Sankta Aleksandro kaj la protestanta urbopreĝejo
* la historia urbodomo
* la malnova akvoturo
* la armea fortikaĵo
* la domo *Rossi* kaj la
* jam menciita *Fruchthalle*.
Ankaŭ pluraj artaj fontanoj vivigas la centran urbon.

* Pram-ligo al *Seltz* en Alzaco. De la urboparto *Plittersdorf* pramŝipo veturigas aŭtojn kaj piedirantojn trans la Rejno al la franca urbeto Seltz. Post kolizia akcidento en 2005 la pramado estis ĉesigita dum kvin jaroj. La 11-an de septembro 2010 ĝi estis reinaŭgurita.
* WWF-Auen-Institut. La esplor-instituto de WWF estis inaŭgurita en 1985 de Princo Filipo (WWF-prezidanto de 1981 ĝis 1996). La esploroj servas al konservado de la riverejoj en la tuta mondo kaj ties specialaj flaŭro kaj faŭno.
* Filio de Daimler AG. Oni fabrikas la A-klason de Mercedes tie.

## Partneraj urboj 
* 20ra Orange en Francio, ekde 1965
* 20ra Ostrov en Ĉeĥio, ekde 1969
* 20ra New Britain en Usono, ekde 1984
* 20ra Fano en Italio, ekde 1985
* 20ra Entre Rios en Brazilo, ekde 1987
* 20ra Woking en Britio, ekde 2001

## Samnoma urbo 
En la ŝtato Norda Dakoto de Usono fondiĝis dua urbo kun la nomo **Rastatt**.

## Famuloj 
* Oliver Hassencamp, kaberedisto, aktoro kaj verkisto de junulara literaturo kaj de romanoj.

## Esperanto en Rastatt 
En la urbo vivis kaj mortis Horst Fischer. El liaj infanoj, aparte la filino Simone Fischer-Sorg aktiviĝis en la Esperanto-movado.

En 1987 en Rastatt okazis la 65-a Germana Esperanto-Kongreso. Antaŭe kaj poste pluraj BAVELO-seminarioj gastis en la urbo.

## Eksteraj ligiloj 
* La retpaĝaro de la *Historia klubo Rastatt * prezentas ...
** ... pli pri la kazematoj 
** ... pli pri la *Fortikaĵo Rastatt* 
** ... pli pri la revolucio 1848 
* WWF pri WWF-Auen-Institut  

eta|800ra|centre|kastelo Rastatt, vido de la parko

Kategorio:Urboj de Baden-Virtembergo
Kategorio:Distrikto Rastatt
Woking

eta|maldekstre|la ĉefa placo

**Woking** estas urbo de pli-malpli 90.000 loĝantoj en la okcidento de la graflando Surrey en sudokcidenta Anglio. La stacidomo **Charing Cross** de Londono troviĝas 37 kilometrojn de la urbo, kaj multaj homoj veturas al la metropolo por labori.

Laŭ la stato de  en la urbo vivis  sur areo de  kvadrataj kilometroj, kio rezultigas loĝdenson de  loĝantoj/km².

Al la plej konataj civitanoj de Woking apartenas la muzikistoj *Paul Weller, Bruce Foxton* kaj *Rick Buckler*, kies grupo *The Jam* estas unu el la plej sukcesaj en la brita historio de muziko. La aŭtoro Herbert George Wells loĝis en la urbo plurajn jarojn kaj eternigis ĝin en sia romano "Milito de la Mondoj".

Krome Woking estas la hejmurbo de la aŭtokonkursa teamo *McLaren-Mercedes* kaj tie trapasas la Kanalo Basingstoke.

## Partnera urbo 
* 20ra Rastatt en Germanio

## Ligoj 
* paĝoj de la urbo, anglalingvaj
* bildoj pri Woking 

Kategorio:Urboj de Britio
Orange (Francio)

**Orange** [] (esperantlingve **Oranĝo**; nomata en la antikva tempo *Arausio*) - estas mezgranda franca komunumo en la departemento Vaucluse, en la regiono Provenco-Alpoj-Bordo Lazura, proksime al Avignon. En la jaro 2009 ĝi havis  loĝantojn, kiujn oni kutime nomas *Orangeois* en la franca lingvo.

## Geografio 
eta|maldekstra|Antikva arko
La urbo situas en la valo de la rivero Rodano, en la nordokcidenta parto de la departemento Vaucluse, ĉe la limo kun Gard. Ĝi troviĝas 21 kilometrojn norde de Avignon.

La najbaraj komunumoj estas Uchaux, Sérignan-du-Comtat, Camaret-sur-Aigues, Jonquières, Courthézon, Châteauneuf-du-Pape, Roquemaure, Montfaucon, Caderousse kaj Piolenc.

## Historio 
eta|maldekstra|Antikva teatro
Orange estis fondita de romianoj, kaj posedas plurajn antikvajn konstruaĵojn, interalie imponaj urbofonda arko kaj teatro.

Dum la jaro 105 antaŭ Kristo apud Orange okazis batalo inter la romia armeo kaj pluraj triboj de ĝermanoj (precipe la cimbroj), dum kiu pli ol  romiaj soldatoj mortis.

Dum la 16-a jarcento la urbo kaj ĉirkaŭa regiono iĝis posedaĵo de la reĝlando Nederlando, kies reĝoj ekde tiam nomis sin “Oranĝaj” (pli detale pri tio vidu la artikolon Oranje-Nassau). Dum 1713 ĝi fariĝis franca, laŭ la traktato de Utrecht.

## Partneraj urboj 
* 20px Dillenburg en Germanio ekde 1964
* 20px Rastatt en Germanio ekde 1965

## Esperanto-movado 
* Estas gastiganto de Pasporta Servo tie.
* Grupo da esperantistoj rendevuas ĉiujn mardojn.
* Okaze de la eŭropaj balotoj, Eŭropo - Demokratio - Esperanto ricevis 11 voĉojn (0,17 % de voĉoj) en 2004, 11 voĉojn (0,18 % de voĉoj) en 2009 kaj 19 voĉojn (0,19 % de voĉoj) en 2014.

## Notoj kaj referencoj 
## Vidu ankaŭ 
* Komunumoj de Vaucluse
* Listo de urboj de Francio
* Orange (stacidomo)

## Eksteraj ligiloj 
* Oficiala TTT-ejo


Kategorio:Urboj de Francio
Kategorio:Komunumoj de Vaucluse
*Orange, Francio
Integrala eksponenta funkcio

400px|dekstra|eta|Graikaĵoj de *E1* (supra) kaj *Ei* (malsupra)
En matematiko, la **integrala eksponenta funkcio** *Ei(x)* estas difinita kiel difinta integralo de certa esprimo kun la eksponenta funkcio:

: \mbox{Ei}(x)=-\int_{-x}^{\infty} \frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm dt

Ĉar integralo de *1/t* malkonverĝas je *t=0*, la pli supre donita integralo estas komprenata kiel la koŝia ĉefa valoro.

La integrala eksponenta funkcio havas la serian prezenton:

:\mbox{Ei}(x) = \gamma+\ln x+ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k\; k!} \,

kie &gamma; estas la eŭlera γ konstanto.

La eksponenta funkcia integralo estas proksime rilatanta al la logaritma integrala funkcio *li(x)*

: *li(x) = Ei (ln (x))* por ĉiu pozitiva reela *x&ne;1*.

Ankaŭ proksime rilatanta estas funkcio kiu integralatas super malsama limigo:

:{\rm E}_1(x) = \int_x^\infty \frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm dt

Ĉi tiu funkcio povas esti estimita kiel etendado de la integrala eksponenta funkcio al negativaj reelaj nombroj per

: *Ei(-x) = - E1(x)*

Oni povas esprimi ilin ambaŭ per la tuta funkcio

:{\rm Ein}(x) = \int_0^x (1-e^{-t})\,\frac{\mathrm dt}{t} = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}x^k}{k\; k!}

Uzante ĉi tiun funkcion, oni tiam povas difini, uzante la logaritmon

:{\rm E}_1(x) \,=\, -\gamma-\ln x + {\rm Ein}(x)

kaj

:{\rm Ei}(x) \,=\, \gamma+\ln x - {\rm Ein}(-x)

La integrala eksponenta funkcio povas ankaŭ esti ĝeneraligita al

:E_n(x) = \int_1^\infty \frac{e^{-xt}}{t^n}\,\mathrm dt

## Eksteraj ligiloj 
* Milton Abramowitz kaj Irene A. Stegun, *Gvidlibro de matematikaj funkcioj kun formuloj, grafikaĵoj kaj matematikaj tabeloj. Novjorko, Dover, 1972. *(Vidu en ĉapitro 5)*
* 
* 
* Formuloj por *Ei''

Kategorio:Specialaj funkcioj
Kategorio:Specialaj supergeometriaj funkcioj
Distrikto Lahn-Dill

La **distrikto Lahn-Dill** situas en la distriktaro Gießen de la germana federacia lando Hesio. Ĝia sidejo estas la urbo kun speciala statuso **Veclaro**.

Najbaras la hesiaj distriktoj Marburg-Biedenkopf, Gießen, Hochtaunus, Wetterau, Wetterau, Limburg-Weilburg, kaj la federaciaj landoj Rejnlando-Palatinato kaj Nordrejn-Vestfalio.

## Urboj kaj neurbaj komunumoj 
*Nombroj de loĝantoj fine de  inter krampoj*

## Eksteraj ligiloj 
* paĝoj de la distrikto, germanlingvaj

Dosiero:Brücke_über_die_Lahn_in_Wetzlar.jpg|Ponto super rivero Lahn
Dosiero:Wetzlar_Altstadt_2003b.jpg|Wetzlar
Dosiero:Wetzlar_Altstadt_2003c.jpg|Wetzlar
Dosiero:Herborn_Blick_auf_die_Stadt.jpg|Herborn


L
L
Kategorio:Wetzlar
Limburg (Lahn)

eta|maldekstra|Limburg kaj siaj urbopartoj.

La germana urbo **Limburg** situas en la federacia lando Hesio ĉe rivero Lahn. Ĝi apartenas al la distriktaro Gießen  kaj ties distrikto Limburg-Weilburg , kaj estas la administra centro de la distrikto. Fine de la jaro  la urbo havis  loĝantojn.

eta|maldekstra|La katedralo de Limburg kaj la historia urbocentro vidate de sudokcidento.
Famas la Katedralo de Limburgo kiel unu el la plej idealaj kreaĵoj de romanika arĥitekturo.

Post la Dua Mondmilito la eldonejo "Limburger Vereinsdruckerei" ("Limburga Asocia Presejo") publikigis multajn Esperantajn librojn, vortarojn kaj informilojn, i.a. la lernolibron de la fratoj Wilhelm kaj Hans Wingen kaj la vortaron de Butin/Sommer.

## Esperanto en Limburg 
Inter la 27-a de decembro 1959 kaj la 3-a de januaro 1960 la 3-a Internacia Seminario de Germana Esperanto-Junularo okazis en Limburg kaj pritraktis la temon "afrikaj kaj aziaj problemoj".

Dum 1968 en Limburg samtempe okazis la 32-a Kongreso de IKUE kaj la 21-a KELI-Kongreso.
### Esperantistoj
*Klemenz Wieczorek;
*Hans Wingen;
*Wilhelm Wingen;

## Trafiko 
La komunumo per individua motora trafiko konektiĝas al la aŭtovojo . Ankaŭ estas moderna stacidomo Limburg por ICE-rapidtrajnoj. Krome la lokon oni kompreneble ankaŭ per bicikloj atingas facile, kaj ankaŭ per kajako per la rivero Lahn, venante el Marburg, Giessen, Runkel kaj Weilburg.

## Bildaro

Dosiero:Lahn limburg.jpg|rivero Lahn ĉe Limburg
Dosiero:LimburgerDomFront.jpg|la katedralo de Limburg
Dosiero:LimburgAltstadt.jpg|la malnova urbo de Limburg

## Eksteraj ligiloj 
*  ()

Kategorio:Distrikto Limburg-Weilburg
Kategorio:Urboj de Hesio