Faktorialo

[eta|250px|Grafikaĵo de [logaritmo de faktorialo kontraŭ logaritmo de la argumento]]

En la matematiko, **faktorialo** de natura nombro *n* estas la produto de la pozitivaj entjeroj malpli aŭ egalaj al *n*. Oni signas ĝin per *n!*, kion oni prononcas *no faktoriale* laŭ Christian Kramp.

## Difino 
:n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) \cdot n = \prod_{k=1}^n k
:n! = n \cdot (n-1)!
:0! = 1! = 1\,

Oni aldone difinas 0!=1, ĉar ĝenerale la produto de neniuj faktoroj estas konsiderata 1.

## Kombinatoriko 
En kombinatoriko, faktorialo *n!* estas kvanto de permutaĵoj de *n* eroj. Ekzemple:

: Por 1 ero {*A*} estas 1!=1 permuto:
:: A
: Por 2 eroj {*A*,*B*} estas 2!=2 permutaĵoj:
:: AB &nbsp; BA
: Por 3 eroj {*A*,*B*,*C*} estas 3!=6 permutaĵoj:
:: ABC &nbsp; ACB &nbsp; BAC &nbsp; BCA &nbsp; CAB &nbsp; CBA
: Por 4 eroj {*A*,*B*,*C*,*D*} estas 4!=24 permutaĵoj:
:: ABCD &nbsp; BACD &nbsp; CABD &nbsp; DABC
:: ABDC &nbsp; BADC &nbsp; CADB &nbsp; DACB
:: ACBD &nbsp; BCAD &nbsp; CBAD &nbsp; DBAC
:: ACDB &nbsp; BCDA &nbsp; CBDA &nbsp; DBCA
:: ADBC &nbsp; BDAC &nbsp; CDAB &nbsp; DCAB
:: ADCB &nbsp; BDCA &nbsp; CDBA &nbsp; DCBA

## Γ-funkcio 
Γ-funkcio estas funkcio, difinita por ĉiuj reelaj aŭ kompleksaj argumentoj krom nepozitivaj entjeroj (0, -1, -2, -3, ...). Ĝi estas vastigaĵo de faktorialo. Se *n* estas nenegativa entjero (0, 1, 2, 3, ...), do

: *Γ(n+1) = n!*

Aŭ ekvivalente se *n* estas pozitiva entjero (1, 2, 3, 4, ...), do

: *Γ(n) = (n-1)!*

## Proksimuma kalkulado de Stirling 
Proksimuma kalkulado de Stirling estas proksimuma formulo por faktoriala:

: n! = \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12 n} + \frac{1}{288 n^2} - \frac{139}{51840 n^3}+O\left(n^{-4}\right)\right),

kie la nombro *e* estas la bazo de la eksponenta funkcio kaj *O* estas granda O.

Pli simpla, malpli preciza sed iam uzebla estas formulo kun nur la unua membro de la proksimuma kalkulado de Stirling

: n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n

Tiam estas limigoj por la faktorialo.

: \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n 

Tia proksimumo permesas ankaŭ trovi proksimumon pri la logaritmo de n! :

\ln\left(n!\right) \simeq n\ln\left(n\right) - n \ \, .

## Duopa faktorialo 
**Duopa faktorialo** estas:

:
  n!!=
  \begin{cases}
    1,&\mbox{ se }n=0\mbox{ aŭ }n=1;
   \\
    n\times(n-2)!! &\mbox{ se }n\ge2.\qquad\qquad
  \end{cases}

Tiel:

: *n!!=n(n-2)(n-4)·...·6·4·2* se *n* estas para pozitiva;
: *n!!=n(n-2)(n-4)·...·5·3·1* se *n* estas nepara pozitiva;

Notu, ke duopa faktorialo ne estas faktorialo de faktorialo, ĝenerale *n!!≠(n!)!*.

La difino povas esti etendita reen al la negativaj argumentoj ĉar

:(n-2)!!=\frac{n!!}{n}

Tiel:

: *n!!=1/( (n+2)(n+4)·...·(-3)·(-1)·1 )* se *n* estas nepara negativa.

Per ĉi tia maniero duopa faktorialo ne estas difinita por para negativa argumento, tamen vidu sube pri ebleco difini per Γ funkcio.

Ekzemple, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384, 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945.

Valoroj de *n!!* por *n=0, 1, 2, ...* estas:

: 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...

Valoroj de *n!!* por *n=-1, -3, -5, ...* estas:

: 1, -1, \tfrac{1}{3}, -\tfrac{1}{15}, \dots

Iuj formuloj kun duopa faktorialo:

:n!=n!!(n-1)!! 

:(2n)!!=2^nn! 

:(2n+1)!!={(2n+1)!\over(2n)!!}={(2n+1)!\over2^nn!}

:(2n-1)!!={(2n-1)!\over(2n-2)!!}={(2n)!\over2^nn!}

:\Gamma\left(n+{1\over2}\right)=\sqrt{\pi}\,\,{(2n-1)!!\over2^n}

:\Gamma\left({n\over2}+1\right)=\sqrt{\pi}\,\,{n!!\over2^{(n+1)/2}}

kie *Γ* estas Γ funkcio. La lasta formulo povas esti konsiderata kiel difino de duopa faktorialo por ĉiuj kompleksaj *n≠0*.

## Plurfaktorialo 
**Plurfaktorialo** estas plua ĝeneraligo post la duopa faktorialo. Plurfaktorialo de la *k*-a ordo de *n*, aŭ alivorte la *k*-a plurfaktorialo de *n*, estas

:
  n!^{(k)}=
  \left\{
   \begin{matrix}
    1,\qquad\qquad\ &&\mbox{se }0\le n

Duopa faktorialo estas plurfaktorialo de la *2*-a ordo.

## Primofaktorialo 
**Primofaktorialo** *n#* estas produto de ĉiuj primoj ne pli grandaj ol *n*. Ekzemple:

: 11\# = 12\# = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 2310

Se *pn* estas la *n*-a primo, do *pn#* estas produto de *n* la unuaj primoj:

La unuaj valoroj de *pn#* por *n=1, 2, 3, ...* estas:

: 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410.

## Vidu ankaŭ 
* Kombinatoriko
* Γ-funkcio

## Eksteraj ligiloj 
* Retejo pri faktorialo (cs, en, fr)
*  - valoroj de faktorialo *n!* por *n = 0, 1, 2, ...*
*  - valoroj de duopa faktorialo *n!!* por *n = 0, 1, 2, ...*
*  - valoroj de *pn#*
*  - numeratoroj de proksimuma kalkulado de Stirling
*  - denominatoroj de proksimuma kalkulado de Stirling

Kategorio:Specialaj funkcioj
Kategorio:Entjeraj vicoj