Blanka bruo

[eta|200px|dekstra|Ekzemplo de blanka brua procezo. Fakte ĝi ne estas tute blanka - la supraj frekvencoj estis fortranĉitaj, nefiltrita blanka bruo havas malfinian [variancon, do la bildo estus malfinie alta.]]
eta|200px|dekstra|Ekzemplo de spektro de blanka bruo. Deklivo de la spektro ĉi tie estas pro komputaj eraroj.
**Blanka bruo** estas hazarda signalo (aŭ procezo) kun plata povuma spektra denseco. En alia vortoj, la signala povuma spektra denseco estas la sama en iu ajn bendo, je ĉiu centra frekvenco, se estas la sama bendlarĝo.

Malfinio-bendlarĝa blanka brua signalo estas pure teoria konstruo. Se tia signalo havus iun ajn nenulan povumon en limigita frekvenca bendo, la tuta povumo de ĉi tia signali estas malfinio. En praktiko, signalo povas esti blanka kun plata spektro nur en certa limigita frekvenca bendo.

## Statistikaj propraĵoj 
La termino "blanka bruo" estas ankaŭ kutime aplikita al brua signalo en la spaca domajno kiu havas nulan sinkorelacion super la taŭgaj spacaj dimensioj. La signalo estas tiam "blanka" en la spaca frekvenca domajno (ĉi tiu estas egale vera por signaloj en la angula frekvenca domajno, ekzemple la distribuo de signaloj de ĉiuj anguloj en la nokta ĉielo). La bildo dekstren montras finie longan, diskretotempan ekzemplon de blanka brua procezo generita de komputilo.

Blanka bruo estas nekorelaciigita tempe sed ĉi tio tamen ne limigas la valorojn kiujn la signalo povas havi. Iu ajn distribuo de valoroj estas ebla (kvankam ĝi devas havi nulan atendatan valoron). Ekzemple, duuma signalo kiu povas nur havi valorojn 1 kaj 0 estos blanka se la vico de 0 kaj 1 estas statistike nekorelaciigita. Ankaŭ bruo havanta kontinuan probablodistribuon, ekzemple normalan distribuon, povas esti blanka.

Ofte oni konsideras ke nur signalo normala distribuo povas esti blanka bruo, tamen ĉi tio ne estas nepra. Tamen, gaŭsa blanka bruo estas bona proksimuma kalkulado de multaj signaloj de la reala mondo kaj donas matematike uzeblajn modelojn.

Tamen, intereseco kontinuo-tempa blanka bruo devas havi malfinian povumon, do malfinian variancon de sia valoro en iu ajn tempo. Alie, estante filtrita al limigita bendlarĝo, kio estas nepra en praktiko, la signalo iĝos nulan.

Blanka bruo estas la ĝeneraligita  derivaĵo de la procezo de Wiener aŭ moviĝo de Brown.

## Koloroj de bruo 
[eta|200px|[Rozkolora bruo (maldekstre) kaj blanka bruo (dekstre) post spektra analizo. Horizontale estas tempo, vertikale - frekvenco, heleco de la bildo estas spektra denseco. Rozkolora bruo havas pli grandan spektran densecon je malgrandaj frekvencoj. Blanka bruo havas egelajn spektrajn densecojn je ĉiuj frekvencoj.]]
Estas ankaŭ la aliaj koloroj de bruo, la plej kutime uzitaj estas rozkolora, bruna kaj griza.

## Sona ekzemplo 
Blanka bruo http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/17/Ruido_blanco.ogg

## Aplikoj 
Unu uzi por blanka bruo estas en la kampo de arkitektura akustiko. Ĉi tie por ke (bani, subakvigi) distranta, _undesirable_ bruoj (ekzemple (konversacioj, konversacias), kaj tiel plu) en eno (spacoj, kosmoj, spacetoj), konstanta malalta nivelo de bruo estas generita kaj provizis kiel fona sono. Blanka bruo estas uzita per iu _sirens_ por krizo (veturiloj, veturas), pro al ĝia ebleco al tranĉi tra fona bruo (e.g. urba trafika bruo).

Blanka bruo havas ankaŭ estas uzita en elektronika muziko, kie ĝi estas uzita ĉu rekte aŭ kiel (enigo, enigi) por filtrilo al krei alia (klavas, tipoj) de bruo signali. Ĝi estas uzita (mult)amplekse en aŭda sintezo, tipe al rekrei _percussive_ iloj kiel (cimbaloj, cimbalas) kiu havi alta brua enhavo en ilia frekvenca domajno.

Ĝi estas ankaŭ kutima generi impulsaj respondoj. Al konstrui la _EQ_ por koncerto aŭ alia (seanco, rendimento) en _venue_, mallonga krevi de roza bruo estas sendita tra la _PA_ sistemo kaj ekranblokis de diversaj punktoj en la _venue_ tiel ke la inĝeniero povas telo se la akustiko de la konstruaĵo (naive, krude, nature) _boost_ aŭ tranĉi (ĉiu, iu) (frekvencoj, frekvencas). Li aŭ ŝi povas tiam (ĝustigi, adapti, alĝustigi) la entute _EQ_ al certiĝi (balancita, bilancis, balancita) miksi.

Blanka bruo estas uzita kiel la bazo de iuj hazardaj nombraj generiloj.

## Matematika difino 
### Blanka hazarda vektoro 
Hazarda vektoro \mathbf{w} estas blanka hazarda vektoro se kaj nur se ĝia averaĝa vektoro kaj sinkorelacia matrico estas jenaj:
:\mu_w = \mathbb{E}\{ \mathbf{w} \} = 0
:R_{ww} = \mathbb{E}\{ \mathbf{w} \mathbf{w}^T\} = \sigma^2 \mathbf{I}

Do, la averaĝa vektoro estas nula, kaj ĝia sinkorelacia matrico estas multiplikita per konstanto la identa matrico. 

### Blanka hazarda procezo (blanka bruo) 
Kontinuo-tempa hazarda procezo w(t) kie t \in \mathbb{R} estas blanka brua procezo se kaj nur se ĝia averaĝa funkcio kaj sinkorelacia funkcio estas jenaj:
:\mu_w(t) = \mathbb{E}\{ w(t)\} = 0
:R_{ww}(t_1, t_2) = \mathbb{E}\{ w(t_1) w(t_2)\} = \sigma^2 \delta(t_1 - t_2)

Do, la averaĝa vektoro estas nula por ĉiu tempo kaj procezo havas malfinian povumo je nula tempa ŝovo ĉar ĝia sinkorelacia funkcio estas la diraka delta funkcio.

La pli supra sinkorelacia funkcio implicas jenan povuman spektran densecon:
:S_{xx}(\omega) = \sigma^2 \,\!

ĉar la konverto de Fourier de la delta funkcio estas egala al 1. Pro ĉi tio povuma spektra denseco estas la sama por iuj ajn frekvencoj. Do oni nomas la prozecox kiel *blanka* kiel analogio al la frekvenca spektro de blanka lumo.

## Transformoj de hazarda vektoro 
Du teoriaj aplikoj uzas blankan hazardan vektoron - la *simulado* kaj *blankigado* de la alia hazarda vektoro. Por *simuli* ajnan hazardan vektoron, oni konvertas blankan hazardan vektoro per speciale elektita matrico. Oni elektas la transforman matricon tiel ke la averaĝo kaj kunvarianca matrico de la konvertita blanka hazarda vektoro estas la samaj kiel averaĝo kaj kunvarianca matrico de la simulata hazarda vektoro. Por *blankigi* ajnan hazardan vektoron, oni konvertas ĝin per malsama speciale elektita matrico tiel ke la rezulta hazarda vektoro estas blanka hazarda vektoro.

Ĉi tiuj du ideoj estas gravaj en aplikoj kiel priskribo de komunika kanalo. Ĉi tiuj konceptoj estas ankaŭ uzataj en datuma kunpremo.

### Simulado de hazarda vektoro 
Supozu ke hazarda vektoro \mathbf{x} havas kunvariancan matricon K_{xx}. Ĉar ĉi tiu matrico estas hermita, simetria kaj pozitiva duondifina, per la spektra teoremo de lineara algebro, oni povas diagonaligi aŭ faktorigi la matricon per jena vojo:
:\,\! K_{xx} = E \Lambda E^T

kie E estas la perpendikulara matrico de ajgenvektoroj kaj \Lambda estas la diagonala matrico de ajgenoj.

Oni povas simuli la 1-ajn kaj 2-ajn momantojn de ĉi tiu hazarda vektoro \mathbf{x} kun averaĝo \mathbf{\mu} kaj kunvarianca matrico K_{xx} tra jena transformo de blanka vektoro \mathbf{w}:
: \mathbf{x} = H \, \mathbf{w} + \mu

kie
: \,\!H = E \Lambda^{1/2}

Tial, la eligo de ĉi tiu transformo havas atendatan valoron
: \mathbb{E} \{\mathbf{x}\} = H \, \mathbb{E} \{\mathbf{w}\} + \mu = \mu

kaj kunvariancan matricon
: \mathbb{E} \{(\mathbf{x} - \mu) (\mathbf{x} - \mu)^T\} = H \, \mathbb{E} \{\mathbf{w} \mathbf{w}^T\} \, H^T = H \, H^T = E \Lambda^{1/2} \Lambda^{1/2} E^T = K_{xx}

### Blankigo de hazarda vektoro 
La maniero por blankiganta vektoro \mathbf{x} kun averaĝo \mathbf{\mu} kaj kunvarianca matrico K_{xx} estas per jena kalkulo:
:\mathbf{w} = \Lambda^{-1/2}\, E^T \, ( \mathbf{x} - \mathbf{\mu} )

Tial, la eligo de ĉi tiu transformo havas atendatan valoron
: \mathbb{E} \{\mathbf{w}\} = \Lambda^{-1/2}\, E^T \, ( \mathbb{E} \{\mathbf{x} \} - \mathbf{\mu} ) = \Lambda^{-1/2}\, E^T \, (\mu - \mu) = 0

kaj kunvariancan matricon
: \mathbb{E} \{\mathbf{w} \mathbf{w}^T\} = \mathbb{E} \{ \Lambda^{-1/2}\, E^T \, ( \mathbf{x} - \mathbf{\mu} )( \mathbf{x} - \mathbf{\mu} )^T E \, \Lambda^{-1/2}\, \}
: = \Lambda^{-1/2}\, E^T \, \mathbb{E} \{( \mathbf{x} - \mathbf{\mu} )( \mathbf{x} - \mathbf{\mu} )^T\} E \, \Lambda^{-1/2}\,
: = \Lambda^{-1/2}\, E^T \, K_{xx} E \, \Lambda^{-1/2}

Per diagonaligo K_{xx}, oni ricevas na:
: \Lambda^{-1/2}\, E^T \, E \Lambda E^T E \, \Lambda^{-1/2} = \Lambda^{-1/2}\, \Lambda \, \Lambda^{-1/2} = I

Tial, kun la pli supre transformo, ni povas blankigi la hazarda vektoro al havi nulo (meznombro, signifi) kaj la identa kunvarianca matrico.

## Transformoj de hazarda signalo 
Oni povas etendi la samajn du konceptojn de simulado kaj blankigado al la okazo de kontinuo-tempaj hazardaj signaloj aŭ procezoj. Por simulado, oni kreas filtrilon kiun oni nutras per blanka brua signalo. Oni elektas la filtrilon tiel ke la eliga signalo simulas la 1-an kaj 2-an momantojn de la simulata ajna hazarda procezo. Por blankigado, oni nutras per la blankigata hazarda signalo speciale elektitan filtrilon tiel ke la eligo de la filtrilo estas blanka brua signalo.

### Simulado de kontinuo-tempa hazarda signalo 
[eta|450px|dekstra|Blanka bruo estas en eneniro de [lineara, tempo-invarianta filtrilo por simuli la 1-an kaj 2-an momantojn de certa hazarda procezo.]]

Oni povas simuli ĉiun en larĝa senco senmovan, kontinuo-tempan hazardan procezon x(t) : t \in \mathbb{R}\,\! kun konstanta averaĝo \mu kaj kunvarianca funkcio

:K_x(\tau) = \mathbb{E} \left\{ (x(t_1) - \mu) (x(t_2) - \mu)^{*} \right\} \mbox{ kie } \tau = t_1 - t_2

kaj pova spektra denseco
:S_x(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} K_x(\tau) \, e^{-j \omega \tau} \, d\tau

Oni povas konstrui simulilon de ĉi tiu signalo uzante teknikojn de frekvenca domajno.

Ĉar K_x(\tau) estas hermita simetria kaj pozitiva duone-definitiva, do S_x(\omega)  estas reelaj kaj ĝi povas esti faktorigita kiel
:S_x(\omega) = | H(\omega) |^2 = H(\omega) \, H^{*} (\omega) 

se kaj nur se S_x(\omega) kontentigas la kriterion de Paley-Wiener.
: \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\log (S_x(\omega))}{1 + \omega^2} \, d \omega 

Se S_x(\omega) estas racionala funkcio, oni povas faktorigi ĝin en poluso-nulan formon kiel
:S_x(\omega) = \frac{\Pi_{k=1}^{N} (c_k - j \omega)(c^{*}_k + j \omega)}{\Pi_{k=1}^{D} (d_k - j \omega)(d^{*}_k + j \omega)}

Elektante minimumo-fazan H(\omega) tiel ke ĝia polusoj kaj nuloj kuŝas en la maldekstre duono de la kompleksa ebeno, oni povas tiam simuli na x(t) per tempo-invarianta filtrilo kun la tradona funkcio H(\omega):
:\hat{x}(t) = \mathcal{F}^{-1} \left\{ H(\omega) \right\} * w(t) + \mu 

kie w(t) estas kontinuo-tempa blanka brua signalo kun jenaj 1-a kaj 2-a momantoj:
: \mathbb{E}\{w(t)\} = 0
: \mathbb{E}\{w(t_1)w^{*}(t_2)\} = K_w(t_1, t_2) = \delta(t_1 - t_2)

Do, la rezulta signaloi \hat{x}(t) havas la samajn 2-ajn momantojn kiel la dezirata signalo x(t).

### Blankigado de kontinuo-tempa hazarda signali 
eta|450px|dekstra|Ajna hazarda procezo x(t) enigita en linearan, tempo-invariantan filtrilon kiu blankigas na x(t) por krei blankan bruon je la eligo.
Ĝi povas esti farita analoge al la antaŭ ĉapitro. Tamen la blankigilo kutimo devas esti amplifilo kun malfinia koeficiento de amplifado de povumo, ĉar realaj eneniraj signaloj kutime ne havas malfinian povumon, sed blanka bruo avas malfinian povumon.

## Vidu ankaŭ artikolojn 
* Elektroniko
* Elektronika bruo
* Delta funkcio
* Sendependa komponanta analitiko
* Bruo (fiziko)
* Analizo al precipaj konsisteroj
* Statistiko
* Blanka brua maŝino
* Rozkolora bruo
* Bruna bruo
* Griza bruo

Kategorio:Stokastikaj procezoj
Kategorio:Bruo
Kategorio:Datuma densigo