Pozitive difinita matrico

En lineara algebro, **pozitive difinita matrico** estas *n×n* matrico *M* tia ke *z*Mz > 0* por ĉiu nenula kompleksa vektoro *z*, kie *z** signifas la konjugitan transponon de *z*.

Por reela matrico la difino povas esti plisimpligita. Reela simetria matrico **pozitive difinita matrico** estas *n×n* matrico *M* tia ke *zTMz > 0* por ĉiu nenula vektoro *z* kun reelaj elementoj (kio estas *z ∈ **R**n)*, kie *zT* signifas la transponon de *z*.

Por ke eblu la komparo *z*Mz > 0*, necesas ke *z*Mz* estu reela por ĉiu *z*, ĉar por ĝeneralaj kompleksaj nombroj la rilato > ne estas difinita. Pro tio la matrico devas esti memadjunkta matrico (hermita matrico). Vidu sube pri la okazo de ne memadjunkta matrico.

La *n×n* memadjunkta matrico *M* estas **negative difinita** se

: *z*Mz *Mz ≥ 0*

por ĉiu kompleksa vektoro *z* (reela vektoro en okazo de reela simetria matrico).

Ĝi estas nomata kiel **negative duondifinita** se

: *z*Mz ≤ 0*

por ĉiu kompleksa vektoro *z* (reela vektoro en okazo de reela simetria matrico).

En difinoj de la duondifinitaj matricoj ne bezonatas postuli ke la vektoro estu nenula.

Memadjunkta matrico kiu estas nek pozitive duondifinita nek negative duondifinita estas nomata kiel **nedifinita**.

La pozitive difinitaj matricoj estas je multaj flankoj analogaj al pozitivaj reelaj nombroj. La nocio estas proksime rilatanta al pozitive difinita simetria dulineara funkcio en reela okazo aŭ seskvilineara formo en la kompleksa okazo.

## Ekvivalentaj kondiĉoj 
Estu *M* esti *n×n* memadjunkta matrico. Jenaj propraĵoj estas ekvivalentaj al tio ke *M* estas pozitive difinita:

* Ĉiuj kondukaj ĉefaj minoroj estas pozitivaj (la kriterio de James Joseph Sylvester). En aliaj vortoj, ĉiuj sekvaj matricoj havas pozitivajn determinantojn:
** la supra maldekstra 1×1 angulo de *M*
** la supra maldekstra 2×2 angulo de *M*
** la supra maldekstra 3×3 angulo de *M*
** ...
** *M* entute

* Ĉiuj ajgenoj *λi* de *M* estas pozitivaj. Ĉiu memadjunkta matrico laŭ la spektra teoremo povas esti estimita kiel reela diagonala matrico *D* en iu nova koordinatosistemo, kio estas, *M = P−1DP* por iu unita matrico *P* kies linioj estas ortonormalaj ajgenvektoroj de *M*, formantaj bazon. Tiel ĉi tiu karakterizado signifas ke *M* estas pozitiva difinita se kaj nur se la diagonalaj eroj de *D* (la ajgenoj) estas ĉiuj pozitivaj. En aliaj vortoj, en la bazo konsistanta el la ajgenvektoroj de *M*, la ago de *M* je vektoro estas laŭkomponanta multipliko per fiksitaj pozitivaj nombroj.

* Seskvilineara formo
*: \langle \textbf{x},\textbf{y}\rangle = \textbf{x}^{*} M \textbf{y}
*: difinas enan produton sur ***C**n*. Fakte, ĉiu ena produto sur ***C**n* estas donita en ĉi tiu maniero per iu memadjunkta pozitive difinita matrico.

* *M* estas la grama matrico de iu kolekto de lineare sendependaj vektoroj
*: \textbf{x}_1,\ldots,\textbf{x}_n \in \mathbb{C}^k
*: por iu *k*. Tio estas, *M* kontentigas
*: M_{ij} = \langle \textbf{x}_i, \textbf{x}_j\rangle = \textbf{x}_i^{*} \textbf{x}_j
*: En aliaj vortoj, *M* estas de formo *A*A* kie *A* estas ne nepre kvadrata sed devas esti disĵeta (enjekcia) ĝenerale.

* Ekzistas unika suba triangula matrico *L*, kun severe pozitivaj diagonalaj eroj, kiu permesas faktorigon de *M* kiel *M=L L**.
*: Ĉi tiu faktorigo estas nomata kiel malkomponaĵo de Cholesky.

Matrico *M* estas pozitive duondifinita se kaj nur se ĝi estas la grama matrico de iu aro de vektoroj. En kontrasto al la pozitive difinita okazo, ĉi tiuj vektoroj ne nepre estas lineare sendependa. Tiel, por ĉiu matrico *A*, matrico *A*A* estas pozitive duondifinita, kaj *rango(A) = rango(A*A)*. Reen, ĉiu pozitive duondifinita matrico *M* povas esti skribita kiel *M* = *A*A*; ĉi tio estas la malkomponaĵo de Cholesky.

Matrico estas negative difinita se ĉiu konduka ĉefa minoro de *k*-a ordo estas negativa por nepara *k* kaj pozitiva por para *k*.

Por reela simetria matrico, ĉi tiuj kondiĉoj povas esti plisimpligitaj per anstataŭigo de ***C**n* per ***R**n* kaj de *konjugita transpono* per *transpono*.

## Partaj ordoj 
Se *M* estas pozitive duondifinita, oni iam skribas ĉi tion kiel *M≥0* kaj se *M* estas pozitive difinita unu skribas *M > 0*. La nocio venas de funkcionala analitiko kie pozitive difinitaj matricoj difinas pozitivajn operatorojn. Ĉi tiu skribmaniero povas esti konfuzanta, pro tio ke iam nenegativaj matricoj estas ankaŭ skribataj ĉi tiel. Komuna alternativa skribmaniero estas M \succeq 0 kaj M \succ 0 por pozitive duondifinita kaj pozitive difinita matricoj respektive.

Por du kvadrataj *n×n* matricoj *M* kaj *N*, oni skribas ke *M≥N* se kaj nur se *M-N≥0*, kio estas ke *M-N* estas pozitive duondifinita. Ĉi tio difinas parta ordon sur la aro de *n×n* kvadrataj matricoj. Oni skribas ke *M>N* se kaj nur se *M-N>0*, kio estas ke *M-N* estas pozitive difinita. Ĉi tio difinas striktan partan ordon sur la aro de *n×n* kvadrataj matricoj.

## Propraĵoj 
* Se *M* estas pozitive difinita, tiam *M* estas ankaŭ pozitive duondifinita.
* Se *M* estas negative difinita, tiam *M* estas ankaŭ negative duondifinita.

* Multipliko je reela skalaro:
** Se *r>0* estas reela nombro, tiam:
*** Se *M* estas pozitive difinita do *rM* estas pozitive difinita.
*** Se *M* estas negative difinita do *rM* estas negative difinita.
*** Se *M* estas pozitive duondifinita do *rM* estas pozitive duondifinita.
*** Se *M* estas negative duondifinita do *rM* estas negative duondifinita.
** Se *r*(M+N)z = z*(Mz+Nz) = z*Mz + z*Nz*
*: Tiel se signoj de *z*Mz* kaj *z*Nz* estas sciataj kaj la samaj do ankaŭ signo de *z*(M+N)z* estas tia.

* Ĉiu pozitive difinita matrico estas inversigebla kaj ĝia inverso estas ankaŭ pozitiva difinita. Se *M≥N* kaj *N>0* tiam *N−1≥M−1* kaj *M−1>0*.

* Se *M* kaj *N* estas pozitive difinitaj, tiam produtoj *MNM* kaj *NMN* estas pozitive difinitaj. Se *MN = NM*, tiam ankaŭ *MN* estas pozitive difinita.

* Se *M=(mij) > 0* tiam la diagonalaj elementoj *mii* estas reelaj kaj pozitivaj. Pro tio la spuro *tr(M)>0*. Plu estas neegalaĵoj inter eroj de la matrico:
*: | m_{ij} | \leq \sqrt{m_{ii} m_{jj}} \leq \frac{m_{ii}+m_{jj}}{2}

* Matrico *M* estas pozitive difinita se kaj nur se estas pozitive difinita matrico *B*, nomata kiel la kvadrata radiko de B, tia ke *BB = B2 = M*. Ĉi tio estas skribata kiel *B = M1/2*. Ĉi tiu matrico *B* estas unika (sed nur se estas la kondiĉo ke *B>0*). Se *M>N>0* tiam *M1/2>N1/2>0*.

* Se *M>0* kaj *N>0* tiam  M\otimes N > 0, kie \otimes estas produto de Kronecker.

* Por matricoj *M=(mij)* kaj *N=(nij)* estu  M\circ N  la laŭelementa produto (produto de Hadamard) de *M* kaj *N*, kio estas la matrico kies *i, j* elemento estas *mij nij*. Tiam se *M>0* kaj *N>0* do  M\circ N > 0  kaj se aldone *M* kaj *N* estas reelaj matricoj do jena neegalaĵo de Oppenheim veras:  \det(M\circ N) \geq (\det N) \prod_{i} m_{ii} .

* Estu *M>0* kaj estu *N* memadjunkta. Tiam se *MN+NM≥0* do *N≥0*; se *MN+NM>0* do *N>0*.

* Se *M>0* estas reela, tiam ekzistas reela nombro *x*, *x>0*, tia ke *M≥xI* kie *I* estas la identa matrico.

* Se *M>0* kaj *N>0* kaj *M* kaj *N* estas reelaj matricoj tiam *tr(MN)≥0*.

* Ĉe pozitive duondifinitaj matricoj, ĉiuj kondukaj ĉefaj minoroj estas nenegativaj, sed ĉi tio ne estas sufiĉa kondiĉo de la pozitiva duondifiniteco. La kontraŭekzemplo estas matrico
*:  \begin{bmatrix} 1 & 1 & -10 \\ 1 & 1 & -10 \\ -10 & -10 & 1 \end{bmatrix} 
*: Ĝiaj  kondukaj ĉefaj minoroj estas 1, 0, 0, do ĉiuj nenegativaj. Sed por vektoro z = \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\1\end{bmatrix}, *z*Mz = -35 *Mx > 0* ne estas sufiĉa kondiĉo de tio ke *M* estas pozitive difinita. La kontraŭekzemplo estas matrico M = \begin{bmatrix}1 & 10i \\ -10i & 1\end{bmatrix}. Tiam por ĉiu nenula reela vektoro x = \begin{bmatrix}a \\ b\end{bmatrix}, *x*Mx = a2 + b2 > 0*. Sed por ne reela vektoro z = \begin{bmatrix}1 \\ i\end{bmatrix}, *z*Mz = -18*.

## Okazo de ne memadjunkta matrico 
Ne simetria reela matrico *M* (tiam, ĝi estas ne memadjunkta matrico) povas esti tia ke *xTMx > 0* por ĉiu nenula reela vektoro *x*. Ĝenerale, *xTMx > 0* por ĉiu reela nenula vektoro *x* se kaj nur se la simetria parto *(M + MT) / 2* estas pozitive difinita. Ekzemple matrico

:  M = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} 

havas ĉi tiun propraĵon, ĉar por ĉiu nenula reela vektoro x = \begin{bmatrix}a \\ b\end{bmatrix},

:  x^TMx = \begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = a^2 + b^2 > 0

Por kompleksa matrico, se *z*Mz* estas reela por ĉiuj kompleksaj vektoroj *z*, tiam la matrico *M* estas nepre memadjunkta. Se ne postuli ke *z*Mz* estas reela eblas doni kondiĉon ke *Re(z*Mz) > 0* por ĉiuj kompleksaj nenulaj vektoroj *z*; la kondiĉo estas kontentigata se kaj nur se la memadjunkta parto *(M + M*) / 2* estas pozitive difinita.

Ne estas konsento en literaturo pri difino de *pozitive difinita* por ne memadjunktaj matricoj.

## Vidu ankaŭ 
* Pozitive difinita
* Pozitive difinita funkcio
* Pozitive difinita dulineara funkcio
* Pozitive difinita kerno
* Seskvilineara formo
* Kvadrata formo
* Kvadrata radiko de matrico
* Malkomponaĵo de Cholesky
* Komplemento de Schur
* Entute pozitiva matrico
* Pozitiva ero - analogo de la pozitive difinita matrico en malfinie-dimensia hilberta spaco

Kategorio:Matricoj