Homogenaj koordinatoj

En matematiko, **homogenaj koordinatoj**, permesas al afinaj transformoj esti facile prezentitaj per matrico. Ankaŭ ili faras kalkulojn eblaj en projekcia spaco samkiel karteziaj koordinatoj faras en eŭklida spaco. La homogenaj koordinatoj de punkto de projekcia spaco de dimensio *n* estas kutime skribita kiel (*x* : *y* : *z* : ... : *w*), (linio, vico) vektoro de longo *n*&nbsp;+&nbsp;1, escepte (0 : 0 : 0 : ... : 0). Du aroj de koordinatoj, kiuj estas proporciaj signifas la saman punkton de projekcia spaco: por (ĉiu, iu) ne-nula skalaro *c* de la suba kampo *K*, (*ĉ* : *cy* : *cz* : ... : *cw*) signifas la saman punkton. Pro tio, ĉi tiu sistemo de koordinatoj povas esti eksplikita kiel sekvas: se la projekcia spaco estas konstruita el vektora spaco *V* de dimensio *n*&nbsp;+&nbsp;1, prezenti koordinatojn en *V* per elektanta bazo, kaj uzi ĉi tiuj en *P*(*V*), la ekvivalento-klasoj de proporcia ne-nulaj vektoroj en *V*.

Prenante la ekzemplon de projekcia spaco de dimensio tri, tie estos esti homogenaj koordinatoj (*x* : *y* : *z* : *w*). La **ebeno je malfinio** estas kutime identigita kun la aro de punktoj kun *w* = 0. For de ĉi tiu ebeno ni povas uzi (*x/w*, *y/w*, *z/w*) kiel ordinaran Kartezian sistemon; pro tio la afina spaco komplementa al la ebeno je malfinio estas koordinatigita laŭ familiara maniero, kun bazo koresponda (1 : 0 : 0 : 1), (0 : 1 : 0 : 1), (0 : 0 : 1 : 1).

Se ni provas sekci la du (planoj, ebenoj)n difinitajn per ekvacioj *x* = *w* kaj *x* = 2*w* tiam ni klare derivos unua *w = 0* kaj tiam *x* = 0. Tio diras, ke ni (tiu, ke, kiu) la komunaĵo estas enhavita en la ebeno je malfinio, kaj konsistas el ĉiuj punktoj kun koordinatoj (0 : *y* : *z* : 0). Ĝi estas linio, kaj fakte la linio (aniĝanta, aliganta, aliĝanta) (0 : 1 : 0 : 0) kaj (0 : 0 : 1 : 0). La linio estas donita per la ekvacio
: (0:y:z:0) = \mu (1 - \lambda) (0:1:0:0) + \mu \lambda (0:0:1:0) 
kie *&mu;* estas (krustanta, skalanta) faktoro. La (krustanta, skalanta) faktoro povas esti (ĝustigita, adaptita, alĝustigita) al ununormigi la koordinatojn (0 : *y* : *z* : 0), per tio eliminanta unu de la du gradoj de libereco. La rezulto estas aro de punktoj kun nur unu grado de libereco, kiel estas atendita por linio.

## Krampoj kontraŭ parantezoj 
Konsideri projekcia 2-spaco: punktoj en la projekcia ebeno estas projekcioj de punktoj en 3-spaco ("3-D punktoj"). Lasu ke la notacio (skribmaniero)

: (x:y:z) 

temu pri unu de ĉi tiuj 3-D punktoj. Lasu ke

: (u:v:w) 

temu pri alia 3-D punkto. Tiam

: (x:y:z) = (u:v:w) \leftrightarrow x=u \wedge y=v \wedge z=w. 

Aliflanke, lasu ke al la notacio

: [x:y:z] 

signifi la projekcion de 3-D punkto (*x*&nbsp;:&nbsp;*y*&nbsp;:&nbsp;*z*) sur la projekcia ebeno. La punkto [*x*&nbsp;:&nbsp;*y*&nbsp;:&nbsp;*z*] povas esti konsiderata esti egala al ekvivalento-klaso de 3-D punktoj kiu apartenas la 3-D linio (trairanta, pasanta) tra la punktoj (*x*&nbsp;:&nbsp;*y*&nbsp;:&nbsp;*z*) kaj (0&nbsp;:&nbsp;0&nbsp;:&nbsp;0). Se

: [u:v:w] 

estas alia projekcia punkto, tiam

: [x:y:z] = [u:v:w] \leftrightarrow \exists \alpha (x = \alpha u \wedge y = \alpha v \wedge z = \alpha w ). 

Du 3-D punktoj estas ekvivalento se iliaj projekcioj sur la projekcia ebeno estas egala:

: (x:y:z) \equiv (u:v:w) \leftrightarrow \exists \alpha (x = \alpha u \wedge y = \alpha v \wedge z = \alpha w ). 

Tial,

: (x:y:z) \equiv (u:v:w) \leftrightarrow [x:y:z] = [u:v:w]. 

## Aldono de homogenaj koordinatoj 
Ĉi tiu distingo inter krampoj kaj parantezoj signifas, ke aldono de punktoj en homogenaj koordinatoj estos difinita en du malsamaj manieroj, depende de tio, ĉu la koordinatoj estas enmetitaj kun krampoj aŭ parantezoj.

Konsideru denove la okazon de la projekcia ebeno. Adicio de du 3-D punktoj estas la sama kiel por ordinaraj koordinatoj:

: (a:b:c) + (x:y:z) = (a+x:b+y:c+z). 

Aliflanke, adicio de paro de projekciitaj punktoj povas esti difinita tiel:

: [a:b:c] + [x:y:z] = [z a + x c : z b + y c : c z]. 

Por projekcia 3-spaco, similaj konsideroj apliki. Aldono de paro de neprojekciitaj punktoj estas

: (a:b:c:d) + (x:y:z:w) = (a+x:b+y:c+z:d+w) 

ĉar adicio de paro de projekciitaj punktoj estas

: [a:b:c:d] + [x:y:z:w] = [w a + d x : w b + d y : w c + d z : d w]. 

## Skalara multipliko de homogenaj koordinatoj 
Estas du specoj de skalara multipliko: unu por neprojekciitaj punktoj kaj alia unu por projekciitaj punktoj.

Konsideru skalaron *a* kaj neprojekciitan 3-D punkto (*x*&nbsp;:&nbsp;*y*&nbsp;:&nbsp;*z*). Tiam

: a (x:y:z) = (a x : a y : a z). 

Rimarku ke

: (x:y:z) \equiv a (x:y:z) 

eĉ kvankam

: (x:y:z) \ne a (x:y:z). 

Nun konsideru la skalaron *a* kaj projekciitan punkto [*x* : *y* : *z*]. Tiam

: a [x:y:z] = [a x : a y : z] 

tiel ke

: [x:y:z] \ne a [x:y:z]. 

Rimarku tamen specialan okazon - se  a = z = 0 , la pli supre formulo donas [0:0:0] kiel rezulto, kiu ne prezentas iun punkto. Ja  0 \cdot \infty  estas nedefinita, tiel ĉi tio ne estas en la difino.

## Linearaj kombinaĵoj de punktoj priskribis kun homogenaj koordinatoj 
Estu tie esti paro de punktoj **A** kaj **B** en projekcia 3-spaco, kies homogenaj koordinatoj estas

: \mathbf{A} : [X_A:Y_A:Z_A:W_A], 
: \mathbf{B} : [X_B:Y_B:Z_B:W_B]. 

Estas dezirite trovi ilian linearan kombinaĵon  a \mathbf{A} + b \mathbf{B}  kie *a* kaj *b* estas koeficientoj kiu povas esti (ĝustigita, adaptita, alĝustigita) laŭvole, kun la kondiĉo, ke  a,b \ne 0 , aŭ (pli ĝuste), ke  a \mathbf{A}, b \mathbf{B} \ne 0 , eviti degeneri punktoj. Estas tri kazoj por konsideri:
* ambaŭ punktoj aparteni afina 3-spaco,
* ambaŭ punktoj aparteni la ebeno je malfinio,
* unu punkto estas afina kaj la alia unu estas je malfinio.

La koordinatoj *X*, *Y*, kaj *Z* povas esti konsiderataj kiel numeratoroj, kaj la *W* koordinato povas esti konsiderata kiel denominatoro. Por adicii homogenajn koordinatojn necesas ke la denominatoro estu la sama. Alie necesas reskaligi la koordinatojn ĝis ĉiuj denominatoroj estas la samaj. Homogenaj koordinatoj estas ekvivalento supren al ĉiu uniformo reskaligo.

### Ambaŭ punktoj estas afinaj 
Se ambaŭ punktoj estas en afina 3-spaco (ne en malfinio), tiam  W_A \ne 0  kaj  W_B \ne 0 . Ilia lineara kombinaĵo estas

: a [X_A:Y_A:Z_A:W_A] + b[X_B:Y_B:Z_B:W_B] \ 

:: = [a X_A:a Y_A:a Z_A:W_A] + [b X_B:b Y_B:b Z_B:W_B] \ 

::  = \left[ a {X_A \over W_A} : a {Y_A \over W_A} : a {Z_A \over W_A} : 1 \right] + \left[ b {X_B \over W_B} : b {Y_B \over W_B} : b {Z_B \over W_B} : 1 \right] 

::  = \left[ a {X_A \over W_A} + b {X_B \over W_B} : a {Y_A \over W_A} + b {Y_B \over W_B} : a {Z_A \over W_A} + b {Z_B \over W_B} : 1 \right] . 

### Ambaŭ punktoj estas je malfinio 
Se ambaŭ punktoj estas sur la ebeno je malfinio, tiam *W**A* = 0 kaj *W**B* = 0. Ilia lineara kombinaĵo estas

: a [X_A:Y_A:Z_A:W_A] + b [X_B:Y_B:Z_B:W_B] = [a X_A:a Y_A:a Z_A:0] + [b X_B: b Y_B:b Z_B:0] 

::::::  = [a X_A + b X_B : a Y_A + b Y_B : a Z_A + b Z_B : 0]. 

### Unu punkto estas afina kaj la alia je malfinio 
Estu la unua punkto esti afina, tiel ke  W_A \ne 0 . Tiam

: a [X_A:Y_A:Z_A:W_A] + b[X_B:Y_B:Z_B:0] 

:: = a [0:0:0:0] + b [X_B:Y_B:Z_B:0], 

:: = [b X_B:b Y_B:b Z_B:0], 

kio signifas, ke la punkto je malfinio estas *domina*.

### Ĝenerala okazo 
La kalkulo povas ankaŭ esti portita super sen distingi inter okazoj simile al la aldono de du punktoj:

: a [X_A:Y_A:Z_A:W_A] + b [X_B:Y_B:Z_B:W_B] 

::  = [a W_B X_A + b W_A X_B:a W_B Y_A + b W_A Y_B:a W_B Z_A + b W_A Z_B:W_A W_B] 

Startanta de ĉi tio, oni povas re-ricevi la formulojn por okazoj pli supre.

Aparte, apliko de ĉi tiu formulo en la degeneraj kazoj donas ke sumo de  [0:0:0:0]  kun io alia produktas rezulton  [0:0:0:0]  denove.

## Vidu ankaŭ 
* Pezocentraj koordinatoj

Kategorio:Lineara algebro
Kategorio:Projekcia geometrio