Formulo de Faà di Bruno

En matematiko, **formulo de Faà di Bruno** estas idento ĝeneraliganta la ĉenan regulon al pli altaj derivaĵoj. Ĝi estas nomita pro Francesco Faà di Bruno (1825 - 1888).

Eble la plej konata formo de formulo de Faà di Bruno estas

: {d^n \over dx^n} f(g(x))=\sum \frac{n!}{m_1!\,1!^{m_1}\,m_2!\,2!^{m_2}\,\cdots\,m_n!\,n!^{m_n}} f^{(m_1+\cdots+m_n)}(g(x)) \prod_{j=1}^n\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_j}

kie la sumo estas tra ĉiuj *n*-opoj *(m1, ..., mn)* kontentigantaj kondiĉon

:1m_1+2m_2+3m_3+\cdots+nm_n=n

Iam, por doni ĝi plaĉantan kaj memoreblan ŝablonon, ĝi estas skribita tiel ke la koeficientoj kiuj havas la kombinan interpretadon diskutitan pli sube estas malpli eksplicitaj:

:{d^n \over dx^n} f(g(x)) =\sum \frac{n!}{m_1!\,m_2!\,\cdots\,m_n!} f^{(m_1+\cdots+m_n)}(g(x)) \prod_{j=1}^n\left(\frac{g^{(j)}(x)}{j!}\right)^{m_j}

Kombinigo de la termoj kun la sama valoro de m_1+m_2+\cdots+m_n=k kondukas al alia iel pli simpla formulo esprimita per sonorilaj polinomoj B_{n,k}(x_1,\dots,x_{n-k+1}):

: {d^n \over dx^n} f(g(x)) = \sum_{k=0}^n f^{(k)}(g(x)) B_{n,k}\left(g'(x),g*(x),\dots,g^{(n-k+1)}(x)\right)

## Kombina formo 
La formulo havas la kombinan formon:

:{d^n \over dx^n} f(g(x))=(f\circ g)^{(n)}(x)=\sum_{\pi\in\Pi} f^{(\left|\pi\right|)}(g(x))\cdot\prod_{B\in\pi}g^{(\left|B\right|)}(x)

kie

* *π* ruliĝas tra la aro *Π* de ĉiuj dispartigoj de la aro *{1, ..., n}*,

* "B ∈ π" signifas ke la variablo *B* ruliĝas tra la listo de ĉiuj blokoj de la dispartigo *π*, kaj

* *|A|* signifas kardinalon de la aro *A*, tiel *|π|* estas kvanto de la blokoj en la dispartigo *π* kaj *|B|* estas amplekso de la bloko *B''.

### Ekzemplo 
Jen estas ekzemplo de uzo de la kombina formo:

:
\begin{align}
(f\circ g)'**(x)
& = f**'(g(x))g'(x)^4
+ 6f'*(g(x))g*(x)g'(x)^2 \\
& {} \quad+\; 3f*(g(x))g*(x)^2
+ 4f*(g(x))g*'(x)g'(x) \\
& {} \quad+\; f'(g(x))g''''(x)
\end{align}

La ŝablono estas

:
\begin{align}
 g'(x)^4
& & \leftrightarrow & & 1+1+1+1
& & \leftrightarrow & & f''*(g(x))
& & \leftrightarrow & & 1
\\ \\
 g*(x)g'(x)^2
& & \leftrightarrow & & 2+1+1
& & \leftrightarrow & & f'*(g(x))
& & \leftrightarrow & & 6
\\ \\
g*(x)^2
& & \leftrightarrow & & 2+2
& & \leftrightarrow & & f*(g(x))
& & \leftrightarrow & & 3
\\ \\
g*'(x)g'(x)
& & \leftrightarrow & & 3+1
& & \leftrightarrow & & f*(g(x))
& & \leftrightarrow & & 4
\\ \\
g*''(x)
& & \leftrightarrow & & 4
& & \leftrightarrow & & f'(g(x))
& & \leftrightarrow & & 1
\end{align}

La faktoro \scriptstyle g''(x)g'(x)^2 \; respektivas al la dispartigo 2+1+1 de la entjero 4 (4 ĉar estas trovata la 4-a derivaĵo), en la evidenta vojo. La faktoro \scriptstyle f'*(g(x))\; kiu estas kun ĝi respektivas al tio ke estas 3 termoj en ĉi tiu dispartigo. La koeficiento 6 kiu estas kun ĉi tiuj faktoroj respektivas al tio ke estas akurate 6 dispartigoj de aro de 4 membroj kiuj disdividas ĝin en unu parton de amplekso 2 kaj du partojn de amplekso 1.

Simile, la faktoro \scriptstyle g*(x)^2 \; en la tria linio respektivas al la dispartigo 2+2 de la entjero 4, dum \scriptstyle f*(g(x)) \,\! respektivas al tio ke estas *du* termoj en la dispartigo. La koeficiento 3 respektivas al tio ke estas 3 manieroj de disdivido de 4 objektoj en grupojn po 2 (4C2 / 2).

La sama koncepto aplikas al la aliaj linioj.

## Kombinatoriko de la koeficientoj de Faà di Bruno 
Ĉi tiuj dispartigo-kalkulantaj koeficientoj havas fermito-forman esprimon. La kvanto de dispartigoj de aro de amplekso *n* respektiva al la entjera dispartigo

: \displaystyle n=\underbrace{1+\cdots+1}_{m_1}
\,+\, \underbrace{2+\cdots+2}_{m_2}
\,+\, \underbrace{3+\cdots+3}_{m_3}+\cdots

de la entjero *n* estas egala al

: \frac{n!}{m_1!\,m_2!\,m_3!\,\cdots 1!^{m_1}\,2!^{m_2}\,3!^{m_3}\,\cdots}

Ĉi tiuj koeficientoj ankaŭ aperas en la sonorilaj polinomoj.

## Formala potencoseria versio 
En la formala potencoserio

: f(x)=\sum_n {a_n \over n!}x^n

oni havas la *n*-an derivaĵon je 0

: f^{(n)}(0)=a_n \;

Ĉi tiu devus ne esti komprenata kiel la valoro de funkcio, ĉar ĉi tiu serio estas pure formala; ne estas koncernata ĝia konverĝo aŭ malkonverĝo en ĉi tiu ĉirkaŭteksto.

Se

: g(x)=\sum_{n=1}^\infty {b_n \over n!} x^n

kaj

: f(x)=\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} x^n

kaj

:g(f(x))=h(x)=\sum_{n=1}^\infty{c_n \over n!}x^n

do la koeficiento *cn* (kiu devus esti la *n*-a derivaĵo de *h* komputita je 0 se ne konsideri konverĝecon de la serio) estas donita per

: c_n=\sum_{\pi=\left\{\,B_1,\,\dots,\,B_k\,\right\}} a_{\left|B_1\right|}\cdots a_{\left|B_k\right|} b_k

kie *π* ruliĝas tra la aro de ĉiuj dispartigoj de la aro *{1, ..., n}* kaj *B1, ..., Bk* estas la blokoj de la dispartigo *π*, kaj *| Bj |* estas kvanto de membroj en la *j*-a bloko, por *j = 1, ..., k*.

Ĉi tiu versio de la formulo estas aparte bone konvena por celoj de kombinatoriko.

Eblas ankaŭ skribi ke

:g(f(x)) = \sum_{n=1}^\infty {\sum_{k=1}^{n} b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) \over n!} x^n

kie la esprimoj

:B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1})

estas sonorilaj polinomoj.

## Eksponenta okazo 
Se *f(x) = ex* tiam ĉiuj derivaĵoj de *f* estas la samaj, kaj estas faktoro komuna al ĉiu termo. En okazo se *g(x)* estas duoninvarianto-generanta funkcio, do *f(g(x))* estas momanto-generanta funkcio, kaj la polinomo en diversaj derivaĵoj de *g* estas la polinomo kiu ekspresas la momantojn kiel funkcioj de la duoninvariantoj.

## Eksteraj ligiloj 
* W. P. Johnson, "La kurioza historio de formulo de Faà di Bruno", *Amerika Matematiko Monate'', Volumo. 109, Marto 2002, 217-234
* Formulo de Faà di Bruno je MathWorld
* Numeriga kombinatoriko ISBN 0-521-55309-1N. Vidu pri la formala potencoseria versio en ĉapitro 5.

Kategorio:Kalkulo
Kategorio:Kombinatoriko
Kategorio:Faktorialo kaj dutermaj temoj