Rando (topologio)

[eta|Aro en Eŭklida ebeno \mathbb R^2: rando (malhele blua) kaj [malfermaĵo (hele verdblua)]]
En topologio, **rando** de subaro *S* de topologia spaco *X* estas aro de punktoj kiuj kuŝas inter la “ekstero” (komplemento de fermaĵo) kaj la “interno” (malfermaĵo) de *S*. Pli formale, rando estas aro de punktoj en la fermaĵo de *S*, ne apartenanta al la malfermaĵo de *S*. Ĉiu punkto en la rando de *S* estas **randa punkto** de *S*. Skribmanieroj uzata por rando de aro *S* estas bd(*S*), fr(*S*), ∂*S*.

## Difino 
Supozu topologian spacon X kaj ĝian subaron S \subseteq X. Jen kelkaj ekvivalentaj difinoj de la rando de S:
* La aro de punktoj *p* de *X* tiaj, ke ĉiu ĉirkaŭaĵo de *p* enhavas almenaŭ unu punkton de *S* kaj almenaŭ unu punkton ne de *S*.
* La fermaĵo \bar S de *S* minus la malfermaĵo S^\circ de *S*:
* \partial S = \bar S\setminus S^\circ.
* La komunaĵo de la fermaĵo de *S* kun la fermaĵo de ĝia komplemento:
* :\partial S = \bar S \cap \overline{ (X \setminus S)}.

## Ecoj 
* La rando de aro estas fermita aro.
* La rando de aro estas la rando de la komplemento de la aro: \partial S = \partial\complement S.
* *p* estas randa punkto de aro se kaj nur se ĉiu najbaraĵo de *p* enhavas almenaŭ unu punkton en la aro kaj almenaŭ unu punkton ne en la aro.
* Aro estas fermita aro se kaj nur se ĝi enhavas sian randon, kaj malfermita aro se kaj nur se ĝi estas senkomunaĵa kun sia rando.
* La fermaĵo de aro egalas la kunaĵon de la aro kun ĝia rando.
* :\bar S = S \cup\partial S 
* La rando de aro estas malplena aro se kaj nur se la aro estas fermita-malfermita aro.
* En la eŭklida spaco \mathbb R^n, ĉiu fermita aro estas la rando de iu aro.

### Rando de rando 
Por ĉiu aro *S*,
:*∂S ⊇ ∂∂S*,
kun egaleco se kaj nur se la rando de *S* ne havas internajn punktojn; ĉi tio estas ĉiam vera se *S* estas fermita aŭ malfermita.

Pro tio ke la rando de ĉiu aro estas fermita,
:*∂∂S* = *∂∂∂S*
por ĉiu aro *S*.

## Ekzemploj 
Konsideru la reelan linion \mathbb R kun la kutima topologio (t.e. la topologio kies bazaj aroj estas malfermitaj intervaloj). Do:
* \partial (0,5) = \partial [0,5) = \partial (0,5] = \partial [0, 5] = \{0,5 \}
* \partial \varnothing = \varnothing
* \partial \mathbb Q = \mathbb R (\mathbb Q estas la subaro de la racionalaj nombroj)
* \partial \big(\mathbb Q\cap[0,1]\big) = [0,1]
La lastaj du ekzemploj ilustras tion, ke la rando de densa aro kun malplena malfermaĵo estas ĝia fermaĵo.

### Netriviala subaro, kies rando estas malplena 
En la spaco \mathbb Q de racionalaj nombroj kun la kutima topologio (la subspaca topologio de \mathbb R), la rando de la aro de nombroj, kies kvadrato estas malpli ol 2 estas malplena, ĉar la √2 ne apartenas al la spaco.

### Dependeco de la rando laŭ la topologio 
La rando de aro estas topologia nocio kaj povas ŝanĝiĝi se ŝanĝiĝas la topologio. Ekzemple, por la kutima topologio sur \mathbb R^2, la rando de fermita disko
:*Ω={(x, y): x2+y2 ≤ 1}*
estas la cirklo ĉirkaŭ la disko:
:*∂Ω = {(x, y) | x2+y2 = 1}*.
Se la sama disko estas vidata kiel aro en \mathbb R^3 kun ĝia kutima topologio, kiel
:*Ω={(x, y, 0): x2+y2 ≤ 1}*,
do la rando de la disko estas la tuta disko mem:
:*∂Ω = Ω*.
Se la disko estas vidata kiel la tuta topologia spaco, tiam la rando de la disko estas malplena:
:*∂Ω = ∅*.

## Vidu ankaŭ 
* Fermita aro
* Malfermita aro
* Fermita-malfermita aro
* Fermaĵo
* Limiga punkto
* Topologia spaco
* Komplemento (matematiko)

Kategorio:Ĝenerala topologio