Brahmagupta

**Brahmagupta** (sanskrite ब्रह्मगुप्त ; naskiĝis en 590 en Bhinmal, mortis en 665) estis barata matematikisto kaj astronomo.

Li estis la aŭtoro de du elstaraj verkoj pri matematiko kaj astronomio, nome *Brāhmasphuṭasiddhānta* (vasta teoria verko pri Brahmao) en 628) kaj *Khaṇḍakhādyaka* (pli praktika teksto). Estas kialoj por supozi, ke li devenas de Bhinmal. *Brāhmasphuṭasiddhānta* estas la unua teksto, en kiu la matematika plena nulo estas traktita kiel skribita cifero. Antaŭe en la 6-a jarcento antaŭ Kristo la babilonanoj jam simbolis la valoron de nulo per *malplena signo*.

Brahmagupta estis la unua matematikisto, kiu havigis regulojn por kalkuli pere de nulo. La tekstoj de Brahmagupta estis verkitaj en elipsaj versoj en Sanskrito, kiel estis komuna praktiko en hindia matematiko. Ĉar la tekstoj ne enhavas matematikajn pruvojn, ne estas klare, kiel la rezultoj de Brahmagupta estis derivitaj.

## Vivo kaj kariero 
Brahmagupta, laŭ lia propra aserto, naskiĝis en 598 a.K. Li loĝis en *Bhillamala* (moderna Bhinmal) dum la regado de Vjagramuĥ, reĝo el la Ĉapa dinastio. Li estis la filo de Jiŝnugupta. Li estis ŝivaismano laŭ religio. Eĉ kvankam plej fakuloj opinias ke Brahmagupta naskiĝis en Bhillamala, ne estas konkluda pruvaro por tio. Tamen, li loĝis kaj laboris tie dum granda parto de sia vivo. Prithudaka Svamin, posta komentisto, nomigis lin *Bhillamalaĉarja*, nome la instruisto el Bhillamala. Sociologo G. S. Ghurye kredis ke li povus esti el la regiono Multano de la areo de Monto Abu.

Bhillamala, nomita *pi-lo-mo-lo* fare de Xuanzang, estis la ŝajna ĉefurbo de Gurjaradeso, nome la due plej granda regno de Okcidenta Barato, enhavanta la sudan Raĝastanon kaj nordan Guĝaraton en moderna Barato. Ĝi estis ankaŭ centro de lernado por matematiko kaj astronomio. Brahmagupta iĝis astronomo de la skolo *Brahmapakŝa* (unu el la kvar ĉefaj lernejoj de barata astronomio dum tiu periodo). Li studis la kvin tradiciajn *sidhanthojn* de barata astronomio same kiel la verkojn de aliaj astronomoj kiaj Arjabhata la 1-a, Latadeva, Pradjumna, Varahamihira, Simha, Srisena, Vijajanandin kaj Viŝnuĉandra.

En la jaro 628, je aĝo de 30, li kompilis *Brāhmasphuṭasiddhānta* (la plibonigitan traktaĵon de Brahma), kiu supozeble estis reviziita versio de la jam ekzistanta *siddhanta* de la skolo Brahmapakŝa. Fakuloj asertas, ke li igis tiun ĉi revizion diversaspekte originala, aldoninte konsiderindan kvanton de nova materialo. La libro konsistas el 24 ĉapitroj kun 1008 versoj en metriko *ārya*. Grandparte en ĝi temas pri astronomio, sed ĝi enhavas ankaŭ ŝlosilajn ĉapitrojn pri matematiko, kiel pri algebro, geometrio, trigonometrio kaj algoritmoj, kio ŝajne enhavas novajn rigardojn fare de Brahmagupta mem.

Poste, Brahmagupta translokiĝis al Ujjain, kiu estis ankaŭ ĉefa centro por astronomio. Je la matura aĝo de 67, li komponis sian venontan bone konatan verkon *Ĥanda-ĥādjaka*, kiu estas praktika mangvidlibro de barata astronomio en la *karana* kategorio, kio signifas ke ĝi estas uzata de studentoj.

Brahmagupta vivis ĝis post 665 n.e. Ŝajnas, ke li mortis en Ujjain.

## Polemiko 
Ĉirkaŭ Brahmagupta formiĝis abundo de kritikaro direktita kontraŭ la verkaro de rivalaj astronomiistoj, kaj en lia *Brahmasphutasiddhanta* troviĝas unu el la plej fruaj atestitaj skismoj inter barataj matematikistoj. La divido estis unuarange pri la aplikado de matematiko al la fizika mondo, pli ol pri matematiko mem. En la kazo de Brahmagupta, la malkonsentoj ekaperis ĉefe el la elekto de astronomiaj parametroj kaj teorioj. Kritikoj de rivalaj teorioj ŝajne tra la unuaj dek astronomiaj ĉapitroj kaj la dekunua ĉapitro estas tute dediĉita al la kritikaro de tiuj teorioj, kvankam nek iu kritikaro aperis en la 12a kaj 18a ĉapitroj. La matematikaj antaŭeniroj de Brahmagupta estis portitaj al plua etendo fare de Bhaskara la 1-a, linia praulo en Ujjain, kiu priskribis Brahmagupta kiel la *ganaka-ĉakra-ĉudamani* (la juvelo de la cirklo de matematikistoj). Prithudaka Svamin verkis komentariojn pri ambaŭ liaj verkoj, ŝanĝante malfacilajn versojn en pli simpla lingvaĵo kaj aldonante ilustraciojn. Lalla kaj Bhattotpala en la 8a kaj 9a jarcentoj verkis komentariojn en la *Ĥanda-ĥadjaka*. Pliaj komentarioj estis poste verkitaj en la 12a jarcento.

Kelkajn jardekojn post la morto de Brahmagupta, Sindo venis sub Araban Kalifujon en 712 n.e. Oni sendis ekspediciojn kontraŭ *Gurjaradesa*. La regno de Bhillamala ŝajn estis nuligita sed Ujjain per la Batalo de Raĝastano kontraŭstaris la atakojn. La kortego de la kalifo Al-Mansur (754-775) ricevis ambasadon el Sindo, inklude astrologon nomitan Kanaka, kiu alportis (eble parkere) astronomiajn tekstojn, inter kiuj tiuj de Brahmagupta. La tekstoj de Brahmagupta estis tradukitaj en araban fare de Muhammad al-Fazari, nome astronomo en la kortego de Al-Mansur laŭ la nomoj *Sindhind* kaj *Araĥand*. Tuja rezulto estis la disvastigo de la dekuma nombrosistemo uzita en la tekstoj. La matematikisto Al-Ĥorezmi (800-850 n.e.) verkis tekston nomita *al-Jam ŭal-tafriq bi hisal-al-Hind* (Aldono kaj Subtraho en Hindia Aritmetiko), kiu estis tradukita en Latino en la 13a jarcento kiel *Algorithmi de numero indorum*. Tra tiuj tekstoj, la dekuma nombrosistemo kaj la algoritmoj de Brahmagupta por aritmetiko ekdisvastiĝis tra la tuta mondo. Al-Ĥorezmi verkis ankaŭ sian propran version de *Sindhind*, superante la version de Al-Fazari kaj aligante Ptolemajn elementojn. Hindia astronomia materialo cirkulis amplekse dum jarcentoj, eĉ pasante al mezepokaj latinaj tekstoj.

## Atingo de fama formulo 
200ra|eta|dekstra|Diagramo por klarigo

La plej fama malkovro de Brahmagupta estis lia tiel nomita formulo de Brahmagupta por la ciklaj kvarlateroj. Brahmagupta kreis proksimuman kaj ekzaktan formulojn por kalkuli la areon de ajna cikla kvarlatero surbaze de la longeco de ĝiaj flankoj: *La proksimuma areo estas la produkto de la duono de la sumo de la flankoj kaj vidalvidaj flankoj de triangulo kaj kvarlatero. La ekzakta areo estas la kvadratradiko de la produkto de la duono de la flankoj minus ĉiu flanko de la kvarangulo.

Se do estas donitaj la longecoj *p*, *q*, *r* kaj *s* de cirklata kvarlatero, la proksimuma areo estas (\tfrac{p + r}{2}) (\tfrac{q + s}{2}) dum, lasante t = \tfrac{p + q + r + s}{2} la ekzakta areo estas

: \sqrt{(t - p)(t - q)(t - r)(t - s)}.

Kvankam Brahmagupta ne klare indikas, ke la kvarlateroj estas ciklaj, el lia formulo evidentiĝas, ke temas pri ciklaj. La formulo de Herono estas speciala kazo de la formulo de Brahmagupta, kiun oni ricevas, se oni donas al unu el la flankoj la valoron 0.

## Matematiko 
### Algebro 
Brahmagupta trovis la solvon de la ĝenerala lineara ekvacio en la dekoka ĉapitro de *Brahmasphuṭasiddhānta*,

 La diferenco inter *rupas*, se invertitaj kaj dividitaj por la diferenco de [koeficientoj] de [nekonataĵoj], estas la nekonato en la ekvacio. La *rupas* estas [subtrahitaj el la flanko] sub tio el kio la kvadrato kaj la nekonato estas subtrakitaj.

kio estas solvo por la ekvacio  en kiu *rupas* referencas al la konstantoj  kaj . La solvo donita estas ekvivalento al .

Li plue donis du ekvivalentajn solvojn al la ĝenerala kvadrata ekvacio

18.44. Malpliigi per la meza [nombro] la kvadratan radikon de la *rupas* multobligite kvar fojojn la kvadraton kaj pliigite per la kvadrato de la meza [nombro]; dividi la ceteron per dufoje la kvadrato. [La rezulto estas] la meza [nombro].
18.45. Ajna kvadrata radiko de *rupas* multobligita per la kvadrato [kaj] pliigita per la kvadrato de la duono de la nekonato, malpliigita per la duono de la nekonato [kaj] dividas [la ceteron] per ĝia kvadrato. [La rezulto estas] la nekonato. La etendo de la greka influo sur tiu sinkopa historio de algebro, se eble, ne estas konata kaj eble kaj la greka kaj la hindia sinkopo povus deriviĝi el komuna Babilonia fonto.

Hindia aritmetiko estis konata en mezepoka Eŭropo kiel *modus Indorum* kun la signifo "metodo de hindianoj". En *Brāhmasphuṭasiddhānta*, oni priskribas kvar metodojn por multobligo, kiel *gomūtrikā*, pri kiu oni diras, ke ĝi estas proksima al la nuntempaj metodoj. En la komenco de la ĉapitro dekdua de lia *Brāhmasphuṭasiddhānta*, titolita "Kalkulado", li ankaŭ detaligas operaciojn pri frakcioj. Oni esperas, ke la leganto konas la bazajn aritmetikajn operaciojn eĉ kalkuli kvadratajn radikojn, kvankam li klarigas kiel trovi la kubon kaj la kuban radikon de entjero kaj poste havigas regulojn kiuj faciligas la komputadon de kvadratoj kaj de kvadrataj radikoj. Li poste havigas regulojn por trakti kvin tipojn de kombinado de frakcioj: ; ; ; ; kaj .

#### Kvadratoj kaj kuboj 
Brahmagupta tiam pluas al havigo de la sumo de kvadratoj kaj kuboj de la unuaj  entjeroj.
12.20. La sumo de la kvadratoj estas tiu [sumo] multobliginte dufoje la [nombron de] ŝtupo[j] pliigite per unu [kaj] dividite per tri. La sumo de la kuboj estas la kvadrato de tiu [sumo]. Piloj de tiuj kun identaj buloj [povas esti komputitaj].
Tie ĉi Brahmagupta trovis la rezultoj laŭ terminoj de la *sumo* de la unuaj  entjeroj, pli ol laŭ terminoj de  kiel en la moderna praktiko.

Li havigas la sumon de la kvadratoj de la unuaj  naturaj nombroj kiel  kaj la sumon de la kuboj de la unuaj n naturaj nombroj kiel .

#### Nulo 
La verko de Brahmagupta nome *Brahmasphuṭasiddhānta* estas la unua libro kiu havigas regulojn por aritmetika manipulado kiu aplikeblas al nulo kaj al negativaj nombroj. La *Brāhmasphuṭasiddhānta* estas la plej frua konata teksto kiu traktas nulon kiel nombro per si mem, anstataŭ kiel simple eja cifero kiu reprezentu alian nombron kiel faris la babilonianoj aŭ kiel simbolo por manko de kvanto kiel faris Ptolemeo kaj la romianoj. En la dekoka ĉapitro de sia *Brāhmasphuṭasiddhānta*, Brahmagupta priskribas operaciojn pri negativaj nombroj. Li unue priskribas aldonon kaj subtrahon,
18.30. [La sumo] de du pozitivoj estas pozitivoj, de du negativoj estas negativa; de pozitivo plus negativo [la sumo] estas ilia diferenco; se ili estas egalaj, ĝi estas nulo. La sumo de negativo kaj nulo estas negativa, [tiu] de pozitivo kaj nulo estas pozitivoj, [kaj tiu] de du nuloj estas nulo.
[...]
18.32. Negativo minus nulo estas negativo, pozitivo [minus nulo] estas pozitivo; nulo [minus nulo] estas nulo. Kiam pozitivo estas subtrakita el negativo aŭ negativo el pozitivo, tiam ĝi estu aldonita. Liaj reguloj por aritmetiko pri negativaj nombroj kaj nulo li estas tre proksima al la moderna kompreno, escepte ke en moderna matematiko divido per nulo estis lasita "nedifinita".

### Diofanta analizo 
#### Pitagoraj triopoj 
En la dekdua ĉapitro de sia *Brāhmasphuṭasiddhānta*, Brahmagupta havigas formulon utilan por generadi Pitagorajn triopojn:
12.39. La alto de monto multobligita per difnita multobligilo estas la distanco al urbo; ĝi ne estu nuligita. Kiam ĝi estas dividita per la multobligo pliigita per du ĝi estas la salto de unu el du kiuj faras la saman vojaĝon.
Aŭ alivorte se , tiam vojaĝanto kiu "saltas" vertikale supren distancon  el la montopinto de alteco , kaj poste veturas rekte al urbo laŭ horizontala distanco  el la bazo de la monto, li veturas samdistance kiel unu kiu descendas vertikale malsupren la monton kaj poste veturas laŭlonge de horizontalo ĝis la urbo.

La naturo de kvadratoj:18.64. [Metu] dufoje la kvadratan radikon de difinita kvadrato per multobligo kaj pliigita aŭ malpliigita per hazarda [nombro]. La produto de la unua [paro], multobligita pere de la multobligo, kun la produto de la lasta [paro], estas la lasta komputita.18.65. La sumo de la fulmaj produtoj estas la unua. La aldono estas egala al la produto de la aldonantoj. La du kvadrataj radikoj, dividitaj per la aldonanto aŭ per la subtrahanto, estas la aldonaj *rupas*.

### Geometrio 
#### Formulo de Brahmagupta 
200ra|eta|dekstra|Diagramo por referenco.
La plej fama atingo de Brahmagupta en geometrio estas lia formulo por ciklaj kvarlateroj. Difinita la longojn de la flankoj de ajna cikla kvarlatero, Brahmagupta havigis proksimuman kaj precizan formulon por la areo de la figuro,
12.21. La proksimuma areo estas la produto de la duonoj de la sumoj de la flankoj kaj malaj flankoj de triangulo kaj kvarlatero. La akurata [areo] estas la kvadrata radiko el la produto de la duonoj de la sumoj de la flankoj malpliigitaj per [ĉiu] flanko de la kvarlatero. La Formulo de Herono estas speciala kazo de tiu formulo kaj ĝi povas esti derivita fiksante unu el la flankoj kiel egala al nulo.

### Trianguloj 
Brahmagupta dediĉis esencan parton de sia laboro al geometrio. Unu teoremo havigas la longojn de du segmentoj de la bazo de triangulo estas dividitajn per ĝia altitudo:
12.22. La bazo malpliigita kaj pliigita per la diferenco inter la kvadratoj de la flankoj dividita per la bazo; se dividitaj per du ili estas la veraj segmentoj. La perpendikulara [altitudo] estas la kvadrata radiko el la kvadrato de flanko malpliigita per la kvadrato de ĝia segmento.

#### Teoremo de Brahmagupta 
eta|dekstra|La Teoremo de Brahmagupta asertas, ke *AF* = *FD''.

Brahmagupta pluas,
12.23. La kvadrata radiko de la sumo de du produtoj de flankoj kaj malaj flankoj de ne-malegala kvarlatero estas la diagonalo. La kvadrato de la diagonalo estas malpliigita per la kvadrato de la duono de la sumo de la bazo kaj la pinto; la kvadrata radiko estas la perpendikularaj [altitudoj].

### Trigonometrio 
## Astronomio 
## Referencoj 
## Bibliografio 
* Avari, Burjor (2013), Islamic Civilization in South Asia: A history of Muslim power and presence in the Indian subcontinent, Routledge, ISBN 978-0-415-58061-8
* Bose, D. M.; Sen, S. N.; Subbarayappa, B. V. (1971), A Concise History of Science in India, New Delhi: Indian National Academy of Science, pp. 95–97
* Bhattacharyya, R. K. (2011), "Brahmagupta: The Ancient Indian Mathematician", in B. S. Yadav; Man Mohan, Ancient Indian Leaps into Mathematics, Springer Science & Business Media, pp. 185–192, ISBN 978-0-8176-4695-0
* Boyer, Carl B. (1991), A History of Mathematics, John Wiley & Sons, Inc, ISBN 0-471-54397-7
* Cooke, Roger (1997), The History of Mathematics: A Brief Course, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-18082-3
* Gupta, Radha Charan (2008), Selin, Helaine, ed., Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures, Springer, pp. 162–163, ISBN 978-1-4020-4559-2, ISBN 1-4020-4425-9
* Joseph, George G. (2000), The Crest of the Peacock, Princeton University Press, ISBN 0-691-00659-8
* O'Leary, De Lacy (2001) [first published 1948], How Greek Science Passed to the Arabs (2nd ed.), Goodword Books, ISBN 8187570245
* Plofker, Kim (2007), "Mathematics in India", The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11485-9
* Stillwell, John (2004), Mathematics and its History (Second ed.), Springer Science + Business Media Inc., ISBN 0-387-95336-1
* Hockey, Thomas, eld. (2007), "Brahmagupta", Biographical Encyclopedia of Astronomers, Springer Science & Business Media, p. 165, ISBN 0387304002

## Plia bibliografio 
* Seturo Ikeyama (2003). Brāhmasphuṭasiddhānta of Brahmagupta with Commentary of Pṛthūdhaka, kritike eldonita kun anglaj traduko kaj notoj. INSA.
* David Pingree. Census of the Exact Sciences in Sanskrit (CESS). American Philosophical Society. A4, p. 254.
* Shashi S. Sharma. Mathematics & Astronomers of Ancient India. Pitambar Publishing. https://books.google.co.in/books?id=g9ykYZlzV1oC&hl=es Alirita la 8an de Majo 2016.

Kategorio:Barataj sciencistoj
Kategorio:Barataj astrologoj