Plurlineara funkcio

En lineara algebro, **plurlineara funkcio** estas funkcio de kelkaj variabloj, kiu estas lineara je ĉiu el la variabloj.

Plurlineara funkcio de *n* variabloj estas ankaŭ nomata *n*-lineara funkcio.

Se ĉiuj variabloj apartenas al la sama spaco, plurlineara funkcio povas esti simetria, malsimetria aŭ alterna . La lastaj du koincidas, se la ringo (aŭ kampo) havas karakteristikon ne egalan al 2, aliokaze la unuaj du koincidas.

Ĝenerala diskuto pri ĉi tiaj funkcioj troveblas en la artikolo "Plurlineara algebro".

## Subspecoj 
Plurlineara funkcio estas **simetria** se ĝia valoro ne ŝanĝiĝas se interŝanĝi iujn ajn argumentojn de la funkcio

: f(x_1,\dots, x_n) = f(x_1,\dots, x_{i-1}, x_j, x_{i+1},\dots, x_{j-1}, x_i, x_{j+1}, \dots, x_n)

Plurlineara funkcio estas **deklivo-simetria** aŭ **malsimetria** se ĝia valoro ŝanĝas sian signumon se interŝanĝi iujn ajn du argumentojn de la funkcio

: f(x_1,\dots, x_n) = -f(x_1,\dots, x_{i-1}, x_j, x_{i+1},\dots, x_{j-1}, x_i, x_{j+1}, \dots, x_n)

Plurlineara funkcio estas **alterna** se

: [\exists i\neq j, x_i=x_j] \Rightarrow f(x_1,\dots, x_n)=0

Alivorte ĝi valoro estas 0 se inter la argumentoj estas almenaŭ du la samaj

: *f(..., v, ..., v, ...) = 0*

Sekve de ĉi tio, valoro *f(v1, ...,vn)* de alterna plurlineara funkcio de estas 0 se ĝi argumentoj *vi* estas ne lineare sendependaj.

## Ekzemploj 
* Ena produto super la reela nombra kampo (skalara produto) estas simetria dulineara funkcio de du vektoraj variabloj.
* Vektora produto estas deklivo-simetria dulineara funkcio de du vektoraj variabloj.
* Determinanto de matrico estas deklivo-simetria plurlineara funkcio de la kolumnoj (aŭ linioj)) de kvadrata matrico.
* Spuro de matrico estas plurlineara funkcio de la kolumnoj (aŭ (linioj, vicoj)) de kvadrata matrico.
* Dulinearaj mapoj estas plurlinearaj mapoj.

## Plurlinearaj funkcioj sur kvadrataj matricoj 
Oni povas konsideri plurlinearajn funkciojn, sur *n×n* kvadrata matrico super komuta ringo *K* kun idento, kiel funkcio de la linioj (aŭ ekvivalente de la kolumnoj) de la matrico. Estu *A* ĉi tia matrico kaj *ai*, *1 ≤ i ≤ n* estu la linioj de *A*. Tiam la plurlineara funkcio *D* povas esti skribita kiel

: D(A) = D(a_{1},\ldots,a_{n}) 

tia ke

: D(a_{1},\ldots,c a_{i} + a_{i}',\ldots,a_{n}) = c D(a_{1},\ldots,a_{i},\ldots,a_{n}) + D(a_{1},\ldots,a_{i}',\ldots,a_{n}) 

Se *εj* estas la *j*-a linio de la identa matrico, oni povas esprimi ĉiun linion *ai* kiel sumo

: a_{i} = \sum_{j=1}^n A(i, j)\varepsilon_{j}

Uzante ĉi tiun esprimon por *a1* la _multilinearity_ de *D* la *D(A)* povas esti skribita kiel

:  D(A) = D\left(\sum_{j=1}^n A(1, j)\varepsilon_{j}, a_2, \ldots, a_n\right) = \sum_{j=1}^n A(1, j) D(\varepsilon_{j},a_2,\ldots,a_n) 

Plu faranta ĉi tiun anstataŭon por ĉiu a_i rezultas

:  D(A) = \sum_{k_1=1}^n \sum_{k_2=1}^n \dots \sum_{k_n=1}^n A(1,k_1)A(2,k_2)\dots A(n,k_n) D(\varepsilon_{k_{1}},\dots,\varepsilon_{k_{n}}) 

Tiel *D(A)* estas plene difinita per tio kiel *D* operacias sur \varepsilon_{k_{1}},\dots,\varepsilon_{k_{n}}.

Ĉe *2×2* matricoj estas

: 
D(A) = A_{1,1}A_{2,1}D(\varepsilon_1,\varepsilon_1) +
A_{1,1}A_{2,2}D(\varepsilon_1,\varepsilon_2) +
A_{1,2}A_{2,1}D(\varepsilon_2,\varepsilon_1) +
A_{1,2}A_{2,2}D(\varepsilon_2,\varepsilon_2)

Kie *ε1 = [1, 0]* kaj *ε2 = [0,1]*. Se D estas alterna funkcio tiam *D(ε1, ε1) = D(ε2, ε2) = 0* kaj *D(ε1, ε2) = -D(ε2 , ε1) = D(I)*. Se *D(I) = 1* rezultas la determinanta funkcio sur *2×2* matricoj:

: *D(A) = A1, 1 A2, 2 - A1, 2 A2, 1*

## Kontinueco 
Se la valoro kaj la argumentoj *vi* de plurlineara funkcio *f(v1, ...,vn)* estas eroj de spaco kun normo, do eblas uzi difinon de kontinueco de *f*.

Tiam *f* estas kontinua se kaj nur se estas tia *M>0* ke por ĉiu kolekto de la argumentoj *(v1, ...,vn)*

: *||f(v1, ...,vn)|| ≤ M ||v1|| ··· ||vn)||*

kie en la dekstra flanko estas produto.

## Propraĵoj 
Plurlineara funkcio ĉiam havas valoron de nulo, se unu el ĝiaj argumentoj estas nulo.

Por *n>1*, la sola *n*-lineara funkcio, kiu estas ankaŭ lineara funkcio estas la nula funkcio.

## Vidu ankaŭ 
* Algebra prezento
* Lineara
* Lineara funkcio
* Dulineara funkcio
* Homogena polinomo
* Homogena funkcio
* Tensoro

Kategorio:Plurlineara algebro