Kontinuumo-hipotezo

En matematiko, la **kontinuumo-hipotezo**, **kontinuum-hipotezo** aŭ **hipotezo pri kontinuumo** (iam mallonge **CH**) estas hipotezo pri la eblaj ampleksoj de nefiniaj aroj. Ĝi asertas ke ne ekzistas aro kies kardinalo estas strikte inter la kardinalo de la aro de entjeroj kaj la kardinalo de la aro de reelaj nombroj.*

La hipetezo estas de Georg Cantor de 1877. Kontrolado de vereco aŭ malvereco de la kontinuumo-hipotezo estas la unua el la 23 hilbertaj problemoj prezentitaj en 1900. Laboroj de Kurt Gödel en 1940 kaj Paul Cohen en 1963 montris ke la hipotezo povas esti nek pruvita nek malpruvita uzante la aksiomojn de aroteorio de Zermelo-Fraenkel, la norma fundamento de moderna matematiko, se la aroteorio estas konsekvenca.

La nomo de la hipotezo venas de la termino "kontinuumo" por la aro de reelaj nombroj kaj topologie similaj aroj.

## Kardinaloj de nefiniaj aroj 
Du aroj havas la saman kardinalecon aŭ potencon de aro, se inter ili ekzistas inversigebla funkcio). Tiel, tio ke du aroj *S* kaj *T* havas la saman kardinalon signifas ke eblas parigi erojn de *S* kun eroj de *T* en tia maniero ke ĉiu ero de *S* estas parita kun akurate unu ero de *T* kaj samtempe ĉiu ero de *T* estas parita kun akurate unu ero de *S*.

Kun nefiniaj aroj kiel la aro de entjeroj aŭ racionalaj nombroj, ĉi tio estas pli komplika al demonstracii ol por finiaj aroj. La racionalaj nombroj ŝajne formas kontraŭekzemplon al la kontinuumo-hipotezo: la racionalaj nombroj formas propran superaron de la entjeroj, kaj propran subaron de la reelaj nombroj, tiel intuicie, devus esti pli multaj racionalaj nombroj ol entjeroj, kaj malpli multaj racionalaj nombroj ol reelaj nombroj. Tamen, ĉi tiu intuicia analizo ne prenas en konsideron tion, ke ĉiuj tri aroj estas nefiniaj. Okazas, ke la racionalaj nombroj estas en reciproke unuvalora rilato kun la entjeroj, kaj pro tio la aro de racionalaj nombroj havas la saman kardinalecon kiel la aro de entjeroj, ili estas ambaŭ kalkuleblaj aroj.

Cantor donis du pruvoj ke la kardinalo de la aro de entjeroj estas severe pli malgranda ol kardinalo de la aro de reelaj nombroj; la dua el ĉi tiuj estas la diagonala argumento de Cantor. Liaj pruvoj, tamen, ne montras la amplekson je kiu la kardinalo de la naturaj nombroj estas malpli granda ol la kardinalo de la reelaj nombroj. Cantor proponis la kontinuumo-hipotezon kiel eblan solvon al ĉi tiu demando.

La hipotezo asertas ke la aro de reelaj nombroj havas minimuman eblan kardinalon kiu estas pli granda ol la kardinalo de la aro de entjeroj. Ekvivalente, se la kardinalo de la entjeroj estas \aleph_0 ("alef-nulo") kaj la kardinalo de la reelaj nombroj estas 2^{\aleph_0}, la kontinuumo-hipotezo asertas ke ne ekzistas aro *S* tia ke

:  \aleph_0 

Alprenante la aksiomon de elekto, estas plej malgranda kardinalo \aleph_1 pli granda ol \aleph_0, kaj la kontinuumo-hipotezo estas laŭvice ekvivalenta al la egaleco

: 2^{\aleph_0} = \aleph_1

Konsekvenco de la hipotezo estas ke ĉiu nefinia subaro de la reelaj nombroj havas la saman kardinalon kiel la aro de entjeroj aŭ la saman kardinalon kiel la tuta aro de reelaj nombroj.

Estas ankaŭ ĝeneraligo de la kontinuumo-hipotezo, la **ĝeneraligita kontinuumo-hipotezo**, kiu asertas ke por ĉiu orda numero \alpha,

: 2^{\aleph_\alpha} = \aleph_{\alpha+1}

## Neebleco de pruvo kaj malpruvo 
Cantor kredis ke la kontinuumo-hipotezo estas vera kaj provis dum multaj jaroj pruvi ĝin, sed vane. Ĝi iĝis la unua en listo de hilbertaj problemoj (listo de gravaj malfermitaj demandoj) kiu estis prezentita en la Internacia Kongreso de Matematikistoj en la jaro 1900 en Parizo. Aksioma aroteorio estis tiam ankoraŭ ne formulita.

Kurt Gödel montris en 1940 ke la kontinuumo-hipotezo ne povas esti malpruvita de la norma aroteorio de Zermelo-Fraenkel (ZF), eĉ se la aksiomo de elekto estas alprenata (ZFC). Paul Cohen montris en 1963, ke la kontinuumo-hipotezo ne povas esti pruvita de ĉi tiuj samaj aksiomoj. De ĉi tio, la kontinuumo-hipotezo estas sendependa de aroteorio de Zermelo-Fraenkel kun aksiomo de elekto. Ambaŭ ĉi tiuj rezultoj alprenas ke la aksiomoj de Zermelo-Fraenkel mem ne enhavas kontraŭdiron, ĉi tiu supozo estas larĝe kredata al esti vera.

La kontinuumo-hipotezo estas proksime rilatanta al multaj frazoj en analitiko, punkta ara topologio kaj mezura teorio. Sekve de ĝia sendependeco, multaj gravaj konjektoj en tiuj kampoj estas montritaj al esti same sendependaj.

Tiel, la kontinuumo-hipotezo ŝajnas esti sendependa de ĉiuj sciataj grandaj kardinalaj aksiomoj en la ĉirkaŭteksto de aroteorio de Zermelo-Fraenkel kun aksiomo de elekto.

La negativaj rezultoj de Gödel kaj Cohen ne estas ĝenerale akceptataj kiel respondo al la hipotezo, kaj la problemo restas en aktiva moderna esploro.

## Argumentoj por kaj kontraŭ 
Gödel kredis, ke la kontinuumo-hipotezo estas malvera kaj ke lia pruvo, ke la kontinuumo-hipotezo estas konsekvenca montras nur, ke la aksiomoj de Zermelo-Fraenkel ne sufiĉas por priskribi la universon de aroj. Gödel estis platonisto kaj pro tio havis ne problemojn kun asertado de vereco kaj malvereco de frazoj sendepende de ilia pruvebleco. Cohen, kvankam esti formalisto, ankaŭ strebis al malakceptado de la kontinuumo-hipotezo.

Historie, matematikistoj kiu komplezis pli riĉan kaj grandan universon de aroj estis kontraŭ la kontinuumo-hipotezo, dum tiuj komplezantaj netan kaj kontroleblan universon komplezis la kontinuumo-hipotezo. Paralelaj argumentoj estis faritaj por kaj kontraŭ la aksiomo de konstruebleco, kiu implicas la kontinuumo-hipotezon. Pli lastatempe, Matthew Foreman eltiris ke ontologia maksimumismo povas reale esti uzata por argumenti en komplezo de la kontinuumo-hipotezo, ĉar inter modeloj kiuj havas la samajn reelajn nombrojn, modeloj kun "pli multaj" aroj de reelaj nombroj havas pli bonan ŝancon de verigo de la kontinuumo-hipotezo.

Alia starpunkto estas ke la koncepto de aro ne estas sufiĉe preciza por decidi ĉu la kontinuumo-hipotezo estas vera aŭ malvera. Ĉi tiu starpunkto estis ekigita en 1923 de Skolem, eĉ antaŭ la unua nepleneca teoremo de Gödel. Skolem argumentis surbaze de tio kio estas nun sciata kiel paradokso de Skolem, kaj ĝi estis poste subtenata per la sendependeco de la kontinuumo-hipotezo de la aksiomoj de ZFC, pro tio ke ĉi tiuj aksiomoj estas sufiĉaj por fondi la rudimentajn propraĵojn de aroj kaj kardinaloj. Por argumenti kontraŭ ĉi tiu starpunkto, devus esti sufiĉa al demonstracii novajn aksiomojn kiuj estas subtenataj per intuicio kaj solvas la kontinuumo-hipotezon en unu aŭ alia direkto. Kvankam la aksiomo de konstruebleco solvas la kontinuumo-hipotezon, ĝi ne pli estas ĝenerale konsiderata kiel intuicie vera ol la kontinuumo-hipotezo estas ĝenerale konsiderata kiel malvera.

Almenaŭ du aliaj aksiomoj estas proponitaj kiuj havas sekvojn por la kontinuumo-hipotezo, kvankam ĉi tiuj aksiomoj nun ne trovas larĝan akcepton en la matematika komunumo. En 1986, Chris Freiling prezentis argumenton kontraŭ la kontinuumo-hipotezo per montrado ke la nego de la kontinuumo-hipotezo estas ekvivalenta al aksiomo de simetrio de Freiling, aserto pri probabloj. Freiling kredas ke ĉi tiu aksiomo estas "intuicie vera" sed la aliaj malkonsentas. Malfacila argumento kontraŭ la kontinuumo-hipotezo ellaborita de W. Hugh Woodin allogis konsidereblan atenton ekde la jaro 2000. Foreman ne malakceptas la argumenton de Woodin sed donas averton.

## Ĝeneraligita kontinuumo-hipotezo 
La **ĝeneraligita kontinuumo-hipotezo** (GCH) asertas ke se la kardinalo de nefinia aro *T* estas inter la kardinalo de nefinia aro *S* kaj la kardinalo de la aro de ĉiuj subaroj de *S*, tiam la kardinalo de *T* estas la sama kiel la kardinalo la aro *S* aŭ la kardinalo de *T* estas la sama kiel la kardinalo de la aro de ĉiuj subaroj de *S*. Tio signifas ke por ĉiu nefinia kardinalo *λ* ne ekzistas kardinalo *κ* tia ke *λλ*. Ekvivalenta kondiĉo estas ke \aleph_{\alpha+1}=2^{\aleph_\alpha} por ĉiu orda numero *α*. La alia skribmaniero por ĉi tiu kondiĉo estas \aleph_\alpha=\beth_\alpha por ĉiu orda numero *α*.

Ĉi tio estas ĝeneraligo de la kontinuumo-hipotezo pro tio, ke la kontinuumo havas la saman kardinalon kiel la aro de ĉiuj subaroj de la entjeroj. Simile al la kontinuumo-hipotezo, la ĝeneraligita kontinuumo-hipotezo estas ankaŭ sendependa de ZFC. Tamen Wacław Sierpiński pruvis ke la aksiomoj de Zermelo-Fraenkel kune kun la ĝeneraligita kontinuumo-hipotezo implicas la aksiomon de elekto. Tiel la aksiomo de elekto kaj la ĝeneraligita kontinuumo-hipotezo estas ne sendependaj en aroteorio de Zermelo-Fraenkel; ne ekzistas modeloj de aroteorio de Zermelo-Fraenkel en kiuj la ĝeneraligita kontinuumo-hipotezo veras kaj la aksiomo de elekto malveras.

Kurt Gödel montris ke la ĝeneraligita kontinuumo-hipotezo estas konsekvenco de la aksiomoj de Zermelo-Fraenkel kune kun la aksiomo de konstruebleco (la aksiomo ke ĉiu aro estas konstruebla relative al la ordaj numeroj), kaj estas akordigebla kun ZFC. Pro tio ke la ĝeneraligita kontinuumo-hipotezo implicas la kontinuumo-hipotezo, modelo de Cohen en kiu la kontinuumo-hipotezo malveras estas modelo en kiu la ĝeneraligita kontinuumo-hipotezo malveras, kaj tial la ĝeneraligita kontinuumo-hipotezo estas ne demonstrebla de ZFC. W. B. Easton uzis la manieron de altrudado ellaboritan de Cohen por pruvi la teoremon de Easton, kiu montras ke estas akordigeble kun ZFC ke por arbitre grandaj kardinaloj \aleph_\alpha, 2^{\aleph_\alpha} \ne; \aleph_{\alpha + 1}. Multe poste, Matthew Foreman kaj W. Hugh Woodin pruvis, supozante la akordigeblecon de tre grandaj kardinaloj, ke estas akordigeble ke 2^\kappa>\kappa^+\, veras por ĉiu nefinia kardinalo *κ*. Poste Woodin etendis ĉi tion per montrado de la akordigebleco de 2^\kappa=\kappa^{++}\, por ĉiu *κ*. Lastatempa rezulto de Carmi Merimovich montras ke, por ĉiu *n≥1*, estas akordigeble kun ZFC ke por ĉiu *κ*, *2κ* estas la *n*-a sekvanto de *κ*. Aliflanke, László Patai pruvis, ke se *γ* estas orda numero kaj por ĉiu nefinia kardinalo *κ*, *2κ* estas la *γ*-a sekvanto de *κ*, do *γ* estas finia.

Por ĉiuj nefiniaj aroj *A* kaj *B*, se estas injekto de *A* al *B*, do estas injekto de subaroj de *A* al subaroj de *B*. Tial por ĉiuj nefiniaj kardinaloj *|A|* kaj *|B|*,

: se *|A| |A| ≤ 2|B|*

Se A kaj B estas finiaj, veras la pli forta neegalaĵo

: se *|A| |A| |B|*

Ĝeneraligita kontinuumo-hipotezo implicas ke la lasta severa, pli forta neegalaĵo veras ankaŭ por nefiniaj kardinaloj.

### Implikacioj por potencigo de kardinaloj 
Kvankam la ĝeneraligita kontinuumo-hipotezo temas rekte nur pri potencigo de kardinaloj kun 2 kiel la bazo, el ĝi eblas konkludi la valorojn de potencigo de kardinaloj en ĉiuj okazoj. Ĝi implicas ke

: \aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}} = \aleph_{\beta+1} se *α ≤ β+1*;

: \aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}} = \aleph_{\alpha} se *β+1 \aleph_{\beta}  kie *cf* estas la kunfinia operacio;

: \aleph_{\alpha}^{\aleph_{\beta}} = \aleph_{\alpha+1} se *β+1 \aleph_{\beta} \ge \operatorname{cf} (\aleph_{\alpha}).

## Vidu ankaŭ 
* Alef-nombro
* Beth-nombro
* Kardinala nombro
* Kardinalo de kontinuumo
* Ω-logiko

## Eksteraj ligiloj 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* Vgl. J. Floyd, A. Kanamori: *How Gödel Transformed Set Theory - Kiel Gödel transformigis la aroteorion '', Notices of the AMS - Rimarkoj de la AMS 53.2006, S.424. ISSN 0002-9920
* http://www.math.leidenuniv.nl/~naw/serie5/deel010/mrt2009/hart.pdf
* http://www.math.uni-bonn.de/people/koepke/Preprints/Metamathematische_Aspekte_der_Hausdorffschen_Mengenlehre.pdf

Kategorio:Hilbertaj problemoj
Kategorio:Senfineco
Kategorio:Aro-teorio