Kvaterniono

In matematiko, la **kvaterniona** nombrosistemo etendas la kompleksajn nombrojn. La kvaternionoj unue estis priskribita de la irlanda matematikisto William Rowan Hamilton en 1843 kiel rimedo por reprezenti la grupon de turnadoj de tri-dimensia spaco.

La multipliko de kvaternionoj estas nekomuta.

La kvaternionoj ĝenerale estas representataj per la esprimo

a + b\ \mathbf i + c\ \mathbf j +d\ \mathbf k,
kie , kaj  estas reelaj nombroj; kaj , kaj  estas la normaj (kaj normalaj) kvaternionaj *bazaj* *vektoroj*.

La kvaternionoj povas esti uzata kun aliaj reprezentoj de tri-dimensiaj turnadoj, ekzemple anguloj de Eŭler kaj matricoj de turnado, aŭ sole, depende de la aplikaĵo.

## Difino 
Kvaterniono estas reprezentita per esprimo kun formo (a, b, c, d) aŭ, egale,

a + b\,\mathbf{i} +  c\,\mathbf{j} + d\,\mathbf{k}\ ,

kie a, b, c, d estas reela nombroj, kaj , estas simboloj, kiuj reprezentas unuvektoroj, kie ĉiuj estas ortaj unu al la aliaj. Kutime, se unu el  estas nulo, la termino de la responda komponento estas ellasita; se ĉiuj estas nulo,  la kvaterniono estas la *nula kvaterniono*, skribata kiel \mathbf{0}; se unu el  egalas 1, la responda termino estas skribata kiel nur , aŭ .

La aro de kvaternionoj estas 4-dimensia vektora spaco sur la reelaj nombroj, kun \left\{ 1, \mathbf i, \mathbf j, \mathbf k\right\} kiel bazo kun po-komponenta adicio.

\begin{align}
&(a_1+b_1\,\mathbf i + c_1\,\mathbf j + d_1\,\mathbf k) + (a_2 + b_2\,\mathbf i + c_2\,\mathbf j + d_2\,\mathbf k) \\[3mu]
&\qquad = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)\,\mathbf i + (c_1 + c_2)\,\mathbf j + (d_1 + d_2)\,\mathbf k,
\end{align}

kaj po-komponenta multipliko

\begin{align}
\lambda(a + b\,\mathbf i + c\,\mathbf j + d\,\mathbf k) = \lambda a + (\lambda b)\,\mathbf i + (\lambda c)\,\mathbf j + (\lambda d)\,\mathbf k.
\end{align}

La multiplika grupstrukturo (indikata per apudmeto), estas difinita sur la kvaternionoj tiel:
*La reela kvaterniono  estas la neŭtrala elemento.
*La **reelaj** kvaternionoj komutas kun ĉiuj aliaj kvaternionoj. Tio estas,  por ĉiu kvaterniono  kaj ĉiu reela kvaterniono .
*La produkto estas difinita por la bazaj elementoj, kaj tiam estas etendigita al ĉiuj kvaternionoj per la distribua proprieto. La produkto ne estas komuta, sed estas asocia, do la kvaternionoj formas asocian algebron sur la reeloj.
*Krome, ĉiu nenula kvaterniono havas inverson:
(a + b\,\mathbf i + c\,\mathbf j + d \,\mathbf k)^{-1} = \frac{1}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}\,(a - b\,\mathbf i - c\,\mathbf j- d\,\mathbf k).
Do la kvaternionoj formas dividan algebron.

## Kvaternionoj kiel turnadoj 
En tri-dimensia spaco, laŭ la Turnado Teoremo de Eŭlero, kiu ajn turnado aŭ sekvenco de turnadoj de rigida korpo ĉirkaŭ fiksata punkto egalas unu turnado tra angulo \theta ĉirkaŭ fiksata akso (nomata la *Eŭlera akso*), kiu enhavas la fiksatan punkton.

La Eŭlera akso estas kutime reprezentata per unuvektoro&nbsp;\vec{u} (\hat{e} en la jena bildo). Tial, ajna turnado en tri-dimensioj povas esti reprezentata kiel vectoro \vec{u} kaj angulo \theta.

Kvaternionoj prezentas simplan metodon enkodi tiun reprezenton
 kiel akso kaj angulo per kvar reelaj nombroj, kaj povas esti uzata por apliki (kalkuki) la respondan turnadon al situa vektoro , reprezentas punkto relative al la origino en tri-dimensia Kartezia spaco, skribata kiel **R**3.

Kartezia vectoro, ekzemple , povas esti reskribita kiel , kie , ,  estas la bazaj unukvaternionoj, kiuj tie ĉi korespondas al la tri-dimensiajn Karteziajn aksojn (tradicie nomiĝatajn , , ), kun la multiplikaj reguloj de la kvaternionoj. Do la "kvaterniona interpretado" de la Kartezian vektoron

estas
.
Tio estas "pura kvaterniono", kiu signifas, ke ĝi havas neniom reelan parton.

Kiel reprezenti turnadon per kvaronjono?
Se ni reprezentas la turnadan akson
\vec{u} = (u_x, u_y, u_z)
kiel la unukvaterniono
,
kaj la punkto \vec{p} = (p_x, p_y, p_z)
kiel
,
do la (kvarterniona interpretado de la) rezulto de la turnado de la punkto
tra angulo
\theta ĉirkaŭ 
estas
:\mathbf{r} \  \ \mathbf{q} \cdot \mathbf{p} \cdot \mathbf{q}^{-1}
kie
: \mathbf{q} = e^{\frac{\theta}{2}{(u_x\mathbf{i} + u_y\mathbf{j} + u_z\mathbf{k})}} = \cos \frac{\theta}{2} + (u_x\mathbf{i} + u_y\mathbf{j} + u_z\mathbf{k}) \sin \frac{\theta}{2} =  \cos \frac{\theta}{2} + \mathbf u \sin \frac{\theta}{2}.

Oni povas montri, ke la skalara komponanto de la rezulto  necese estas nulo. Estas ankaŭ montrebla, ke du turnadaj kvaternionoj povas esti kombinataj en unu kvaternionon per la esprimo \mathbf{q}' = \mathbf{q}_2 \cdot \mathbf{q}_1, kie  korespondas al la turnado  sekvita de la turnado . Tiel, multaj turnadoj povas esti kombinataj kune, kaj tiam aplikataj kiel unu turnado.

## Vidu ankaŭ 
* 3-dimensia turnada grupo
* Tridimensia komputila grafiko

## Referencoj 
Kategorio:Algebraj strukturoj
Kategorio:Geometrio 
Kategorio:Nombroj