Funkcio de Bessel

En matematiko, **funkcioj de Bessel**, unue difinitaj de Daniel Bernoulli kaj ĝeneraligitaj de Friedrich Bessel, estas kanonaj solvaĵoj *y(x)* de diferenciala ekvacio de Bessel

:  x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0 

por ajna reela aŭ kompleksa nombro *α* kiu (la *ordo* de la funkcio de Bessel); la plej komunaj kaj gravaj okazoj estas por *α* kiu estas entjero aŭ duono-entjero.

Kvankam *α* kaj *-α* produktas la saman diferencialan ekvacio, estas kutime difini malsamajn funkciojn de Bessel por ĉi tiuj du ordoj (ekzemple, por ke la funkcioj de Bessel estu plejparte glataj funkcioj de *α*). Funkcioj de Bessel estas ankaŭ sciata kiel **cilindraj funkcioj** aŭ **cilindraj harmonoj** ĉar ili estas trovataj en la solvaĵo al laplaca ekvacio en cilindraj koordinatoj.

## Aplikoj de funkcio de Bessel 
Ekvacio de Bessel ekestas kiam trovanta apartigeblaj solvaĵoj al laplaca ekvacio kaj la ekvacio de Helmholtz en cilindraj aŭ sferaj koordinatoj. Funkcioj de Bessel estas pro tio aparte grava por multaj problemoj de onda disvastigo kaj statika potencialoj. En solvanado problemoj en cilindraj koordinataj sistemoj, oni ricevas funkciojn de Bessel de entjero ordo (*α = n*); en sferaj problemoj, oni ricevas duono-entjerajn ordojn (*α = n + 1/2*). Ekzemple:

* Elektromagnetaj ondoj en cilindra ondokonduktilo;
* Varma kondukteco en cilindra objekto;
* Reĝimoj de vibrado de maldika cirkla (aŭ ringoforma) membrano (kiel tamburo aŭ alia membranofono);
* Difuzaj problemoj sur krado;
* Solvaĵoj al la radiusa ekvacio de Schrödinger (en sferaj kaj cilindraj koordinatoj) por libera partiklo;
* Solvado por ŝablonoj de akustika radiado.

Funkcioj de Bessel ankaŭ havas utilajn propraĵojn por aliaj problemoj, kiel signal-prilaborado (ekzemple, fenestro de Kaiser kaj filtrilo de Bessel).

## Difinoj 
Pro tio ke ĉi tiu estas dua-orda diferenciala ekvacio, tie devas esti du lineare sendependaj solvaĵoj. Dependante sur la situacio, tamen, diversaj formulaĵoj de ĉi tiuj solvaĵoj estas oportunaj, kaj la malsamaj variadoj estas priskribitaj pli sube.

### Funkcioj de Bessel de la unua speco *Jα* 
eta|altdekstre=1.6|Grafikaĵo de funkcioj de Bessel de la unua speco, *Jα(x)*, por entjeraj ordoj *α = 0, 1, 2*

Funkcioj de Bessel de la unua speco, signifitaj kiel *Jα(x)*, estas solvaĵoj de diferenciala ekvacio de Bessel kiuj estas finia je la fonto (*x=0*) por entjero *α*, kaj malkonverĝas kiam *x* proksimiĝas al 0 por negativa ne-entjera *α*. La solvaĵa speco kaj normaligo de *Jα(x)* estas difinitaj per ĝiaj propraĵoj pli sube. Eblas difini la funkcion per ĝia elvolvaĵo ĉirkaŭ *x=0* per serio de Taylor:

:  J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \, \Gamma(m+\alpha+1)} {\left(\tfrac{1}{2}x\right)}^{2m+\alpha} 

kie *Γ(z)* estas la Γ-funkcio (bazita sur ĝeneraligo de la faktoriala funkcio al ne-entjeraj valoroj). La grafikaĵoj de funkcioj de Bessel aspektas proksimume kiel oscilanta sinusa aŭ kosinusa funkcioj kiu malpligrandiĝas proporcie al *1/√x* (vidu ankaŭ iliajn asimptotajn formojn pli sube), kvankam iliaj radikoj estas ĝenerale ne perioda, escepti asimptote por granda *x*. La serio de Taylor indikas ke *-J1(x)* estas la derivaĵo de *J0(x)*, simile al tio ke *-sin(x)* estas la derivaĵo de *cos(x)*; pli ĝenerale, la derivaĵo de *Jn(x)* povas esti esprimita per *Jn&plusmn;1(x)* per la identoj donitaj pli sube.

Por ne-entjera *α*, la funkcioj *Jα(x)* kaj *J-α(x)* estas lineare sendependaj, kaj estas pro tio la du solvaĵoj de la diferenciala ekvacio. Aliflanke, por entjera orda *n*, jena interrilato estas valida (notu ke la Γ-funkcio iĝas malfinion por negativaj entjeraj argumentoj):

:  J_{-n}(x) = (-1)^n J_{n}(x) 

Ĉi tio signifas ke la du solvaĵoj estas jam ne lineare sendependaj. En ĉi tiu okazo, la dua lineare sendependa solvaĵo estas la funkcio de Bessel de la dua speco, kiel diskutita pli sube.

#### Integraloj de Bessel 
Alia difino de la funkcio de Bessel, por entjeraj valoroj de *n*, estas ebla per integrala prezento

:  J_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos (n \tau - x \sin \tau) \, d\tau 

Alia integrala prezento estas

:  J_n (x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi e^{-i(n \tau - x \sin (\tau))} \, d\tau 

Ĉi tiu estis la maniero kiun Bessel uzis, kaj de ĉi tiu difino li derivis kelkajn propraĵojn de la funkcio. La difino povas esti etendita al ne-entjeraj ordoj per adicio de la alia flanko

:  J_\alpha(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos(\alpha\tau- x \sin(\tau)) \, d\tau
 - \frac{\sin(\alpha\pi)}{\pi} \int_0^\infty e^{-x \sinh(t) - \alpha t} \, dt 

aŭ por *α>-1/2* per

:  J_\alpha(x)= \frac{1}{2^{\alpha-1}\Gamma(\alpha + \frac{1}{2}) \sqrt{\pi}\, x^\alpha} \int_0^x (x^2-\tau^2)^{\alpha-1/2}\cos \tau \, d\tau 

#### Rilato al hipergeometria serio 
La funkcioj de Bessel povas esti esprimitaj per la ĝeneraligita hipergeometria serio kiel

:  J_\alpha(x)=\frac{(x/2)^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)} \;_0F_1 (\alpha+1; -\tfrac{1}{4}x^2) 

Ĉi tiu esprimo estas rilatanta al la evoluo de funkcioj de Bessel per la funkcio de Bessel-Clifford.

#### Rilato al polinomoj de Laguerre 
Per la polinomoj de Laguerre *Lk* kaj arbitre elektita parametro *t*, la funkcio de Bessel povas esti esprimita kiel

:  \frac{J_\alpha(x)}{\left( \frac{x}{2}\right)^\alpha}= \frac{e^{-t}}{\Gamma(\alpha+1)} \sum_{k=0} \frac{L_k^{(\alpha)}\left( \frac{x^2}{4 t}\right)} \frac{t^k}{k!} 

### Funkcioj de Bessel de la dua speco *Yα* 
eta|altdekstre=1.6|Grafika prezento de funkcio de Bessel de la dua speco, *Yα(x)*, por entjeraj ordoj *α = 0, 1, 2*.

La funkcioj de Bessel de la dua speco, signifitaj per *Yα(x)*, estas solvaĵoj de la diferenciala ekvacio de Bessel. Ili havas specialaĵon je la fonto (*x=0*).

*Yα(x)* estas iam ankaŭ nomata kiel la **funkcio de Neumann**, kaj estas foje signifita anstataŭe per *Nα(x)*. Por ne-entjera *α*, ĝi estas rilatanta al *Jα(x)* per:

:  Y_\alpha(x) = \frac{J_\alpha(x) \cos(\alpha\pi) - J_{-\alpha}(x)}{\sin(\alpha\pi)} 

Ĉe entjera ordo *n*, la funkcio estas difinita per preno de la limeso kiam ne-entjera *α* strebas al *n*:

:  Y_n(x) = \lim_{\alpha \to n} Y_\alpha(x) 

kiu havas la rezulton (en integrala formo)

:  Y_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sin(x \sin\theta - n\theta) \, d\theta
 - \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \left( e^{n t} + (-1)^n e^{-n t} \right) e^{-x \sinh t} \, dt 

*Yα(x)* estas necesa kiel la dua lineare sendependa solvaĵo de la ekvacio de Bessel se *α* estas entjero. Sed *Yα(x)* havas plian signifon ol ĉu tiu. Ĝi povas esti konsiderata kiel natura asociano de *Jα(x)*. Vidu ankaŭ la subĉapitron pri funkcioj de Hankel pli sube.

Se *α* estas entjero, ankaŭ, kiel estas simile en la okazo por la funkcioj de la unua speco, jena interrilato estas valida:

:  Y_{-n}(x) = (-1)^n Y_n(x) 

Ambaŭ *Jα(x)* kaj *Yα(x)* estas holomorfaj funkcioj de *x* sur la kompleksa ebeno kun tranĉo laŭ la negativa reela duonakso. Se *α* estas entjero, do la funkcioj de Bessel *J* estas tutaj funkcioj de *x*. Se *x* estas tenita fiksita, do la funkcioj de Bessel estas tutaj funkcioj de *α*.

### Funkcioj de Hankel *Hα(1)*, *Hα(2)* 
Alia grava formulaĵo de la du lineare sendependaj solvaĵoj al ekvacio de Bessel estas la **funkcioj de Hankel** *Hα(1)(x)* kaj *Hα(2)(x)*, difinitaj kiel

:  H_\alpha^{(1)}(x) = J_\alpha(x) + i Y_\alpha(x) 
:  H_\alpha^{(2)}(x) = J_\alpha(x) - i Y_\alpha(x) 

kie *i* estas la imaginara unuo. Ĉi tiuj linearaj kombinaĵoj estas ankaŭ sciata kiel **funkcioj de Bessel de la tria speco**; ili estas du lineare sendependaj solvaĵoj de diferenciala ekvacio de Bessel. Ili estas nomitaj post Hermann Hankel.

La graveco de funkcioj de Hankel de la unua kaj dua speco kuŝas pli en teoria evoluo anstataŭ en apliko. Ĉi tiuj formoj de lineara kombinaĵo kontentigas multajn simple aspektantajn propraĵojn, simile al asimptotaj formuloj aŭ integralaj prezentoj. Ĉi tie, 'simpla' signifas aspekton de la faktoro de formo *eif(x)*. La funkcio de Bessel de la dua speco tiam povas esti konsiderata kiel nature aperanta kiel la imaginara parto de la funkcioj de Hankel.

La funkcioj de Hankel estas uzitaj por esprimi eksteren kaj enen propagantajn cilindrajn ondajn solvaĵojn de la cilindra onda ekvacio, respektive (aŭ male, dependanta de la signa konvencio por la frekvenco).

Uzante la antaŭajn interrilatojn ili povas esti esprimitaj kiel

:  H_\alpha^{(1)} (x) = \frac{J_{-\alpha} (x) - e^{-\alpha \pi i} J_\alpha (x)}{i \sin (\alpha \pi)} 

:  H_\alpha^{(2)} (x) = \frac{J_{-\alpha} (x) - e^{\alpha \pi i} J_\alpha (x)}{- i \sin (\alpha \pi)} 

se *α* estas entjero, la limeso devas esti kalkulita. Jenaj interrilatoj estas validaj, sendepende de tio ĉu *α* estas entjero aŭ ne:

:  H_{-\alpha}^{(1)} (x)= e^{\alpha \pi i} H_\alpha^{(1)} (x) 

:  H_{-\alpha}^{(2)} (x)= e^{-\alpha \pi i} H_\alpha^{(2)} (x) 

La funkcioj de Hankel kontentigas jenajn integralajn prezentojn (utila en la kalkulo de la propagilo de la kampo de Klein-Gordon )

:  H_\alpha^{(1)} (x)= \frac{e^{-\frac{1}{2} \alpha\pi i}}{\pi i}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{ix\cosh t - \alpha t} \, dt 

:  H_\alpha^{(2)} (x)= -\frac{e^{-\frac{1}{2} \alpha\pi i}}{\pi i}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ix\cosh t - \alpha t} \, dt 

### Modifitaj funkcioj de Bessel *Iα*, *Kα* 
eta|altdekstre=1.6|Modifitaj funkcioj de Bessel de 1-a speco *Iα(x)* por *α = 0, 1, 2, 3*
eta|altdekstre=1.6|Modifitaj funkcioj de Bessel de 2-a speco *Kα(x)* por *α = 0, 1, 2, 3*

La funkcioj de Bessel estas valida eĉ por kompleksaj argumentoj *x*, kaj grava speciala okazo estas tiu de pure imaginara argumento. En ĉi tiu okazo, la solvaĵoj al la ekvacio de Bessel estas nomataj kiel la **modifitaj funkcioj de Bessel** aŭ **hiperbolaj funkcioj de Bessel** de la unua kaj dua speco, kaj estas difinita per iu el ĉi tiuj ekvivalentaj alternativoj:

:  I_\alpha(x) = i^{-\alpha} J_\alpha(ix) =\sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m! \Gamma(m+\alpha+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+\alpha} 

:  K_\alpha(x) = \frac{\pi}{2} \frac{I_{-\alpha} (x) - I_\alpha (x)}{\sin (\alpha \pi)} = \frac{\pi}{2} i^{\alpha+1} H_\alpha^{(1)}(ix) = -\frac{\pi}{2} i^{\alpha+1} e^{-i \pi \alpha} H_\alpha^{(2)}(-ix) 

Ekzistas multaj integralaj prezentoj de ĉi tiuj funkcioj. Jena por *Kα(x)*, estas utila por la kalkulo de la propagilo de Feynman en kampa teorio:

:  K_\alpha(x) = \frac{1}{2} e^{-\frac{1}{2}\alpha\pi i} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ix\sinh t -\alpha t} \, dt 

Ĉi tiuj estas elektitaj al esti reelo-valoraj por reelaj pozitivaj argumentoj *x*. La seria elvolvaĵo por *Iα(x)* estas tial simila al tiu por *Jα(x)*, sed sen la alterna *(-1)m* faktoro.

*Iα(x)* kaj *Kα(x)* estas la du lineare sendependaj solvaĵoj al la modifita ekvacio de Bessel:

:  x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} - (x^2 + \alpha^2)y = 0 

Malsimile al la ordinaraj funkcioj de Bessel, kiuj estas oscilantaj kiel funkcioj de reela argumento, *Iα* kaj *Kα* estas eksponente kreskanta kaj eksponente malkreskanta funkcioj respektive. Simile al la ordinara funkcio de Bessel *Jα*, la funkcio *Iα* iras al nulo je *x=0* por *α>0* kaj estas finia je *x=0* por *α=0*. Analoge, *Kα* malkonverĝas je *x=0* por entjera *α *.

Modifitaj funkcioj de Bessel *K1/3* kaj *K2/3* povas esti prezentitaj per rapide konverĝantaj integraloj

:  K_{1/3} (\xi) = \sqrt{3}\, \int_0^\infty \, \exp \left(- \xi \left(1+\frac{4x^2}{3}\right) \sqrt{1+\frac{x^2}{3}} \right) \, dx 

:  K_{2/3} (\xi) = \frac{1}{ \sqrt{3}} \,
\int_0^\infty \, \frac{3+2x^2}{\sqrt{1+x^2/3}}
\exp \left(- \xi \left(1+\frac{4x^2}{3}\right) \sqrt{1+\frac{x^2}{3}} \right) \, dx 

La **modifita funkcio de Bessel de la dua speco** ankaŭ estadas nomata per la nun maloftaj nomoj:
* funkcio de Basset
* modifita funkcio de Bessel de la tria speco
* modifita funkcio de Hankel
* funkcio de MacDonald

### Sferaj funkcioj de Bessel *jn*, *yn* 
eta|altdekstre=1.6|Sferaj funkcioj de Bessel de 1-a speco *jn(x)* por *n = 0, 1, 2*
eta|altdekstre=1.6|Sferaj funkcioj de Bessel de 2-a speco *yn(x)* por *n = 0, 1, 2*

En solvado de la ekvacio de Helmholtz en sferaj koordinatoj per apartigo de variabloj, la radiusa ekvacio havas formon:

:  x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + 2x \frac{dy}{dx} + [x^2 - n(n+1)]y = 0 

La du lineare sendependaj solvaĵoj de ĉi tiu ekvacio estas nomataj kiel la **sferaj funkcioj de Bessel** *jn* kaj *yn*, kaj estas rilatantaj al la ordinaraj funkcioj de Bessel *Jn* kaj *Yn* per

:  j_{n}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{n+1/2}(x) 

:  y_{n}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} Y_{n+1/2}(x) = (-1)^{n+1} \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{-n-1/2}(x) 

*yn* estadas ankaŭ signifata kiel *nn* aŭ *ηn*; iuj aŭtoroj nomas ĉi tiujn funkciojn kiel la **sferaj funkcioj de Neumann**.

La sferaj funkcioj de Bessel povas ankaŭ esti skribita kiel (la formuloj de Rayleigh):

:  j_n(x) = (-x)^n \left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^n\,\frac{\sin (x)}{x} 
:  y_n(x) = -(-x)^n \left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^n\,\frac{\cos (x)}{x} 

La unua sfera funkcio de Bessel *j0(x)* estas ankaŭ sciata kiel la nenormigita sinc funkcio. La unuaj kelkaj sferaj funkcioj de Bessel estas:

:  j_0(x)=\frac{\sin (x)} {x} 
:  j_1(x)=\frac{\sin (x)} {x^2}- \frac{\cos (x)} {x} 
:  j_2(x)=\left(\frac{3} {x^2} - 1 \right)\frac{\sin (x)}{x} - \frac{3\cos (x)} {x^2} 
:  j_3(x)=\left(\frac{15}{x^3} - \frac{6}{x} \right)\frac{\sin (x)}{x} -\left(\frac{15}{x^2} - 1\right) \frac{\cos (x)}{x} 

kaj

:  y_0(x)=-j_{-1}(x)=-\,\frac{\cos (x)} {x} 
:  y_1(x)=j_{-2}(x)=-\,\frac{\cos (x)} {x^2}- \frac{\sin (x)} {x} 
:  y_2(x)=-j_{-3}(x)=\left(-\,\frac{3}{x^2}+1 \right)\frac{\cos (x)}{x}- \frac{3 \sin (x)} {x^2} 
:  y_3(x)=j_{-4}(x) =\left( -\frac{15}{x^{3}}+\frac{6}{x}\right) \frac{\cos (x)}{x}-\left( \frac{15}{x^{2}}-1\right) \frac{\sin (x)}{x} 

La ĝenerala idento estas

: 
\begin{align}
J_{n+\frac 1 2}(x)=\sqrt{\frac 2 {\pi x}}\sum_{i=0}^\frac {n+1} 2 (-1)^{n-i} & \left( \sin(x) \left(\frac 2 x\right)^{n-2i} \frac {(n-i)!}{i!} {-\frac 1 2 -i \choose n-2i} \right. \\
& \left.{} - \cos(x) \left(\frac 2 x\right)^{n+1-2i} \frac {(n-i)!}{i!} i {-\frac 1 2 -i \choose n-2i+1}\right)
\end{align}
 

kie la supra limigo de sumado estas komprenita al esti la plej granda entjero malpli granda ol aŭ egala al (n+1)/2.

#### Generantaj funkcioj 
La sferaj funkcioj de Bessel havas la generantajn funkciojn

:  \frac 1 {z} \cos (\sqrt{z^2 - 2zt}) = \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!} j_{n-1}(z) 
:  \frac 1 {z} \sin (\sqrt{z^2 + 2zt}) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-t)^n}{n!} y_{n-1}(z) 

#### Diferencialaj rilatoj 
En jena formulo *fn* estas ĉiu el  j_n, y_n, h_n^{(1)}, h_n^{(2)}  por *n = 0, ±1, ±2, ...*

:  \left(\frac{1}{z}\frac{d}{dz}\right)^m\left(z^{n+1}f_n(z)\right)=z^{(n-m)+1}f_{(n-m)}(z) 

### Sferaj funkcioj de Hankel *hn* 
Estas ankaŭ sferaj analogoj de la funkcioj de Hankel:

:  h_n^{(1)}(x) = j_n(x) + i y_n(x) 

:  h_n^{(2)}(x) = j_n(x) - i y_n(x) 

Fakte, estas simplaj fermita-formaj esprimoj por la funkcioj de Bessel de duono-entjeraj ordoj per la normaj trigonometriaj funkcioj, kaj pro tio por la sferaj funkcioj de Bessel. Aparte, por nenegativaj entjeroj *n*

:  h_n^{(1)}(x) = (-i)^{n+1} \frac{e^{ix}}{x} \sum_{m=0}^n \frac{i^m}{m!(2x)^m} \frac{(n+m)!}{(n-m)!} 

kaj  h_n^{(2)}  estas la komplekso-konjugita de ĉi tiu por reela *x*.

### Funkcioj de Riccati-Bessel *Sn*, *Cn*, *&xi;n*, *&zeta;n* 
Funkcioj de Riccati-Bessel nur malmulte malsamas de sferaj funkcioj de Bessel:

:  S_n(x)=x j_n(x)=\sqrt{\pi x/2} \, J_{n+1/2}(x) 

:  C_n(x)=-x y_n(x)=-\sqrt{\pi x/2} \, Y_{n+1/2}(x) 

:  \xi_n(x) = x h_n^{(1)}(x)=\sqrt{\pi x/2} \, H_{n+1/2}^{(1)}(x)=S_n(x)-iC_n(x) 

:  \zeta_n(x)=x h_n^{(2)}(x)=\sqrt{\pi x/2} \, H_{n+1/2}^{(2)}(x)=S_n(x)+iC_n(x) 

Ili kontentigas la diferencialan ekvacion

:  x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + [x^2 - n (n+1)] y = 0 

Ĉi tiu diferenciala ekvacio, kaj la solvaĵoj de Riccati-Bessel, ekestas en la problemo de verŝado de elektromagnetaj ondoj per sfero, sciata kiel verŝado de Mie post la unua publikigita solvaĵo de Mie (1908).

Sekve al Peter Debye (1909), la skribmanieroj *ψn*, *χn* estas iam uzata anstataŭ
*Sn*, *Cn*.

## Asimptotaj formoj 
La funkcioj de Bessel havas jenajn asimptotajn formojn por nenegativa *α*. Por malgrandaj argumentoj  0 

:  J_\alpha(x) \approx \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \left( \frac{x}{2} \right) ^\alpha 

:  Y_\alpha(x) \approx \begin{cases}
 \frac{2}{\pi} \left( \ln (x/2) + \gamma \right) & \alpha=0 \\ \\
 -\frac{\Gamma(\alpha)}{\pi} \left( \frac{2}{x} \right) ^\alpha & \alpha > 0
\end{cases} 

kie *γ* estas la konstanto de Eŭlero-Mascheroni (0,5772...) kaj Γ estas la Γ-funkcio. Por grandaj argumentoj  x \gg |\alpha^2 - 1/4| , ili estas

:  J_\alpha(x)\approx \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left( x-\frac{\alpha\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right) 

:  Y_\alpha(x) \approx \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sin \left( x-\frac{\alpha\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right) 

Por *α=1/2* ĉi tiuj formuloj estas akurataj; vidu la sferajn funkciojn de Bessel pli supre. Asimptotaj formoj por la aliaj specoj de funkcioj de Bessel sekvas simple de la pli supre donitaj rilatoj. Ekzemple, por granda  x \gg |\alpha^2 - 1/4| , la modifitaj funkcioj de Bessel estas:

:  I_\alpha(x) \approx \frac{e^x}{\sqrt{2\pi x}} \left(1 - \frac{4 \alpha^{2} - 1}{8 x} + \frac{(4 \alpha^{2} - 1) (4 \alpha^{2} - 9)}{2! (8 x)^{2}} - \frac{(4 \alpha^{2} - 1) (4 \alpha^{2} - 9) (4 \alpha^{2} - 25)}{3! (8 x)^{3}} + \cdots \right) 

:  K_\alpha(x) \approx \sqrt{\frac{\pi}{2x}} e^{-x} \left(1 + \frac{4 \alpha^{2} - 1}{8 x} + \frac{(4 \alpha^{2} - 1) (4 \alpha^{2} - 9)}{2! (8 x)^{2}} + \frac{(4 \alpha^{2} - 1) (4 \alpha^{2} - 9) (4 \alpha^{2} - 25)}{3! (8 x)^{3}} + \cdots \right) 

Simile, la lastaj esprimoj estas akurataj por *α = 1/2*.

Por malgrandaj argumentoj  0  ili estas:

:  I_\alpha(x) \approx \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \left( \frac{x}{2} \right) ^\alpha 

:  K_\alpha(x) \approx \begin{cases}
 - \ln (x/2) - \gamma & \alpha=0 \\ \\
 \frac{\Gamma(\alpha)}{2} \left( \frac{2}{x} \right) ^\alpha & \alpha > 0
\end{cases} 

## Proprecoj 
Por entjera ordo *n*, *Jn* estas ofte difinita per serio de Laurent por generanta funkcio

:  e^{(x/2)(t-1/t)} = \sum_{n=-\infty}^\infty J_n(x) t^n 

kio estas maniero uzita de P. A. Hansen en 1843. Ĉi tio povas esti ĝeneraligita al ne-entjeraj ordo per kontura integralado aŭ aliaj manieroj. Alia grava rilato por entjeraj ordoj estas la elvolvaĵo de Jacobi-Anger:

:  e^{iz \cos(\phi)} = \sum_{n=-\infty}^\infty i^n J_n(z) e^{in\phi} 

kaj

:  e^{iz \sin(\phi)} = \sum_{n=-\infty}^\infty J_n(z) e^{in\phi} 

kiu estas uzata por elvolvi ebenan ondon kiel sumo de cilindraj ondoj, aŭ por trovi la serion de Fourier de tono-modulita frekvence modulita signalo.

Pli ĝenerale, serio

:  f(z)=a_0^\nu J_\nu (z)+ 2 \cdot \sum_{k=1} a_k^\nu J_{\nu+k}(z) 
estas nomata kiel elvolvaĵo de Neumann de *f*. La koeficientoj por *ν=0* havas la eksplicitan formon

:  a_k^0=\frac{1}{2 \pi i} \int_{|z|=c} f(z) O_k(z) \, dz 

kie *Ok * estas polinomo de Neumann.

Elektitaj funkcioj konsentas la specialan prezenton

:  f(z)=\sum_{k=0} a_k^\nu J_{\nu+2k}(z) 

kun

:  a_k^\nu=2(\nu+2k) \int_0^\infty f(z) \frac{J_{\nu+2k}(z)}z \mathrm d z 

pro la orteca rilato  \int_0^\infty J_\alpha(z) J_\beta(z) \frac {\mathrm d z} z= \frac 2 \pi \frac{\sin\left(\frac \pi 2 (\alpha-\beta) \right)}{\alpha^2 -\beta^2} 

Pli ĝenerale, se *f* havas branĉo-punkton proksime de la fonto de tia naturo ke  f(z)= \sum_{k=0} a_k J_{\nu+k}(z)  do

:  \mathcal L \left\{\sum_{k=0} a_k J_{\nu+k} \right\}(s) = \frac 1 \sqrt{1+s^2} \sum_{k=0} \frac{a_k}{(s+\sqrt{1+s^2})^{\nu+k}} 

aŭ

:  \sum_{k=0} a_k \xi^{\nu+k}= \frac{1+\xi^2}{2\xi} \mathcal L \{f \} \left( \frac{1-\xi^2}{2\xi} \right) 

kie  \mathcal L \{f \}  estas laplaca transformo de *f*.

Alia maniero difini la funkciojn de Bessel estas la prezenta formulo de Poisson kaj la formulo de Mehler-Sonine:

:  \begin{align}J_\nu(z) &= \frac{ (\frac{z}{2})^\nu }{ \Gamma(\nu + \frac{1}{2} ) \sqrt{\pi} } \int_{-1}^{1} e^{izs}(1 - s^2)^{\nu - \frac{1}{2} } \, ds, \\
&=\frac 2{{\left(\frac z 2\right)}^\nu\cdot \sqrt{\pi} \cdot \Gamma\left(\frac 1 2-\nu\right)} \int_1^\infty \frac{\sin(z u)}{(u^2-1)^{\nu+\frac 1 2}} \, du,\end{align} 

kie *ν > -1/2* kaj *z* estas kompleksa nombro. Ĉi tiu formulo estas utila aparte en laboro kun konvertoj de Fourier.

La funkcioj *Jα*, *Yα*, *Hα(1)*, kaj *Hα(2)* ĉiuj kontentigas la rikurecajn rilatojn:

:  \frac{2\alpha}{x} Z_\alpha(x) = Z_{\alpha-1}(x) + Z_{\alpha+1}(x) 

:  2\frac{dZ_\alpha}{dx} = Z_{\alpha-1}(x) - Z_{\alpha+1}(x) 

kie *Z* estas *J*, *Y*, *H(1)* aŭ *H(2)*. Ĉi tiuj du identoj estas ofte kombinitaj, ekzemple adiciitaj aŭ subtrahitaj, por liveri diversajn aliajn rilatojn. Tiamaniere, ekzemple, oni povas komputi funkciojn de Bessel de pli altaj ordoj (aŭ pli altajn derivaĵojn) per donitaj valoroj je suba ordoj (aŭ subaj derivaĵoj). Tiel, el ĉi tio sekvas ke

:  \left( \frac{d}{x dx} \right)^m \left[ x^\alpha Z_{\alpha} (x) \right] = x^{\alpha - m} Z_{\alpha - m} (x) 

:  \left( \frac{d}{x dx} \right)^m \left[ \frac{Z_\alpha (x)}{x^\alpha} \right] = (-1)^m \frac{Z_{\alpha + m} (x)}{x^{\alpha + m}} 

Modifitaj funkcioj de Bessel sekvas similajn rilatojn

:  e^{(x/2)(t+1/t)} = \sum_{n=-\infty}^\infty I_n(x) t^n 

kaj

:  e^{z \cos \theta} = I_0(z) + 2\sum_{n=1}^\infty I_n(z) \cos(n\theta) 

La rikureca rilato estas

:  C_{\alpha-1}(x) - C_{\alpha+1}(x) = \frac{2\alpha}{x} C_\alpha(x) 

:  C_{\alpha-1}(x) + C_{\alpha+1}(x) = 2\frac{dC_\alpha}{dx} 

kie *Cα* estas *Iα* aŭ *eαπiKα*. Ĉi tiuj rikurecaj rilatoj estas utilaj por diskretaj difuzaj problemoj.

Ĉar ekvacio de Bessel iĝas hermita (memadjunkta) se ĝi estas dividita per *x*, la solvaĵoj devas kontentigi ortecan interrilaton por konvenaj randaj kondiĉoj. Aparte, el ĉi tio sekvas ke

:  \int_0^1 x J_\alpha(x u_{\alpha,m}) J_\alpha(x u_{\alpha,n}) dx
= \frac{\delta_{m,n}}{2} [J_{\alpha+1}(u_{\alpha,m})]^2
= \frac{\delta_{m,n}}{2} [J_{\alpha}'(u_{\alpha,m})]^2 

kie *α>-1*, *δm,n* estas la delto de Kronecker, kaj *uα,m* estas la *m*-a nulo de *Jα(x)*. Ĉi tiu orteca rilato povas tiam esti uzata por ekstrakti la koeficientojn en la serio de Fourier-Bessel, kie funkcio estas elvolvita en la bazo de la funkcioj *Jα(x uα,m)* por fiksita *α* kaj varianta *m*.

Analoga interrilato por la sferaj funkcioj de Bessel estas

:  \int_0^1 x^2 j_\alpha(x u_{\alpha,m}) j_\alpha(x u_{\alpha,n}) dx
= \frac{\delta_{m,n}}{2} [j_{\alpha+1}(u_{\alpha,m})]^2 

Alia orteca rilato estas la fermaĵa ekvacio

:  \int_0^\infty x J_\alpha(u x) J_\alpha(vx) dx = \frac{1}{u} \delta(u - v) 

por *α>-1/2* kie *δ* estas la diraka delta funkcio. Ĉi tiu propraĵo estas uzata por konstrui ajnan funkcion de serio de funkcioj de Bessel per la konverto de Hankel. Por la sferaj funkcioj de Bessel la orteca rilato estas:

:  \int_0^\infty x^2 j_\alpha(u x) j_\alpha(vx) dx = \frac{\pi}{2u^2} \delta(u - v) 

por *α>-1*.

Alia grava propreco de ekvacioj de Bessel, kiu sekvas el abela idento, estas

:  A_\alpha(x) \frac{dB_\alpha}{dx} - \frac{dA_\alpha}{dx} B_\alpha(x) = \frac{C_\alpha}{x} 

kie *Aα* kaj *Bα* estas ĉiuj du solvaĵoj de ekvacio de Bessel, kaj *Cα* estas konstanto sendependa de *x* (kiu dependas de *α* kaj de la apartaj funkcioj de Bessel konsiderataj). Ekzemple, se *Aα = Jα* kaj *Bα = Yα*, do *Cα=2/π*. Ĉi tio veras ankaŭ por la modifitaj funkcioj de Bessel, ekzemple, se *Aα = Iα* kaj *Bα = Kα*, do *Cα=-1*.

Estas granda kvanto de la aliaj sciataj integraloj kaj identoj.

## Multiplika teoremo 
La funkcioj de Bessel kontentigas multiplikan teoremon

:  \lambda^{-\nu} J_\nu (\lambda z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \left(\frac{(1-\lambda^2)z}{2}\right)^n J_{\nu+n}(z) 

kie *λ* kaj *ν* povas esti ajnaj kompleksaj nombroj. Simila formo povas esti donita por  Y_\nu(z)  kaj *kaj tiel plu*

## Hipotezo de Bourget 
Bessel mem originale pruvis ke por nenegativaj entjeroj *n*, la ekvacio *Jn(x) = 0* havas malfinian kvanton de solvaĵoj por *x*. Kiam la funkcioj *Jn(x)* estas grafike prezentitaj sur la sama grafikaĵo, kvankam, neniu el la nuloj aspektas al koincidi por malsamaj valoroj de *n* krom la nulo je *x=0*. Ĉi tio estas sciata kiel **hipotezo de Bourget** post la dek-naŭa jarcenta franca matematikisto kiu studis funkciojn de Bessel. Aparte ĝi statas ke por ĉiu entjeroj *n≥0* kaj *m≥1*, la funkcioj *Jn(x)* kaj *Jn+m(x)* ne havas komunajn nulojn escepte de la unu je *x=0*. La hipotezo estis pruvita de Siegel en 1929.

## Derivaĵoj de *J*, *Y*, *I*, *H*, *K* 
### *p-1* dependo 
:  \frac{d}{dx}y_p(\alpha x)=\alpha y_{p-1}(\alpha x) - \frac{p}{x} y_p(\alpha x) 

por * y = J, Y, I, H(1)* aŭ *H(2)*.

:  \frac{d}{dx}y_p(\alpha x)=-\alpha y_{p-1}(\alpha x) - \frac{p}{x} y_p(\alpha x) 

por *y = K*

### *p+1* dependo 
:  \frac{dy_p(\alpha x)}{dx}=-\alpha y_{p+1}(\alpha x) + \frac{p}{x} y_p(\alpha x) 

por *y = J, Y, K, H(1)* aŭ *H(2)*.

:  \frac{dy_p(\alpha x)}{dx}=\alpha y_{p+1}(\alpha x) + \frac{p}{x} y_p(\alpha x) 

por *y = I*

### Aliaj interrilatoj 
:  \frac{dy_p(\alpha x)}{dx}=\frac{\alpha}{2}[y_{p-1}(\alpha x) - y_{p+1}(\alpha x)] 

por *y = J, Y, H(1)* aŭ *H(2)*.

:  y_{p-1}(\alpha x) + y_{p+1}(\alpha x)=\frac{2p}{\alpha x}y_p(\alpha x) 

por *y = J, Y, H(1)* aŭ *H(2)*.

## Iuj identoj 
*  I_{-1/2} (z)= \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\cosh(z) 
*  I_{1/2} (z)= \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\sinh(z) 
*  I_\nu(z)=\sum_{k=0} \frac{z^k}{k!} J_{\nu+k}(z) 
*  J_\nu(z)=\sum_{k=0} (-1)^k \frac{z^k}{k!} I_{\nu+k}(z) 
*  I_\nu (\lambda z)= \lambda^\nu \sum_{k=0} \frac{\left(\tfrac{1}{2}(\lambda^2-1)z\right)^k}{k!} I_{\nu+k}(z) 
*  I_\nu (z_1+z_2)= \sum_{k=-\infty}^\infty I_{\nu-k}(z_1)I_k(z_2),\quad J_\nu(z_1\pm z_2)= \sum_{k=-\infty}^\infty J_{\nu \mp k}(z_1)J_k(z_2) 
*  J_\nu(z)=\frac z {2 \nu} (J_{\nu-1}(z)+J_{\nu+1}(z)), \quad I_\nu(z)=\frac z {2 \nu} (I_{\nu-1}(z)-I_{\nu+1}(z)) 
*  J_\nu'(z)=\tfrac{1}{2} (J_{\nu-1}(z)-J_{\nu+1}(z)), \quad I_\nu'(z)=\tfrac{1}{2}(I_{\nu-1}(z)+I_{\nu+1}(z)) 
*  \left(\tfrac{1}{2}z\right)^\nu= \Gamma(\nu) \sum_{k=0} I_{\nu+2k}(z)(\nu+2k){-\nu\choose k}
= \Gamma(\nu) \sum_{k=0}(-1)^k J_{\nu+2k}(z)(\nu+2k){-\nu \choose k}
= \Gamma(\nu+1) \sum_{k=0}\frac 1{k!}\left(\tfrac1 2z\right)^k J_{\nu+k}(z) 
*  K_\frac{1}{2}(z)=\sqrt{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{-z}z^{-1/2},\, z>0 

## Vidu ankaŭ 
* Γ-funkcio
* Funkcio de Bessel-Clifford
* Polinomo de Bessel
* Propagilo
* Serio de Fourier-Bessel
* Funkcio de Struve
* Funkcio de Kelvin
* Funkcio de Lommel
* Polinomo de Lommel
* Polinomo de Neumann
* Vibradoj de cirkla tamburo
* Filtrilo de Bessel
* Trigonometria funkcio

## Eksteraj ligiloj 
* 
* 
* 
* Funkciaj paĝoj de Wolfram pri funkcioj de Bessel: J kaj Y funkcioj, kaj modifitaj I kaj K funkcioj
* 
* http://www.math.ohio-state.edu/~gerlach/math/BVtypset/node122.html 
* http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_358.htm Abramowitz kaj Stegun, p. 358, 9.1.3, 9.1.4. Pri funkcioj de Hankel
* http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_360.htm Abramowitz kaj Stegun, p. 360, 9.1.10, serio de Taylor de funkcioj de Bessel
* http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_363.htm Abramowitz kaj Stegun, p. 363, 9.1.74. Multiplika teoremo
* http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_374.htm Abramowitz kaj Stegun, p. 374, 9.6.1. Du lineare sendependaj solvaĵoj al la modifita ekvacio de Bessel
* http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_375.htm Abramowitz kaj Stegun, p. 375, 9.6.2, 9.6.10, 9.6.11. Modifitaj funkcioj de Bessel
* http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_377.htm Abramowitz kaj Stegun, p. 377, 9.7.1. Asimptotaj formoj por la modifitaj funkcioj de Bessel
* http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_378.htm Abramowitz kaj Stegun, p. 378, 9.7.2. Asimptotaj formoj por la modifitaj funkcioj de Bessel
* http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_437.htm Abramowitz kaj Stegun, p. 437, 10.1.1. Sferaj funkcioj de Bessel
* http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_438.htm Abramowitz kaj Stegun, p. 438, 10.1.11. *j2(x)*, *y2(x)*
* http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_439.htm Abramowitz kaj Stegun, p. 439, 10.1.25, 10.1.26. La formuloj de Rayleigh por la sferaj funkcioj de Bessel, generantaj funkcioj, diferencialaj rilatoj
* http://www.nbi.dk/~polesen/borel/node15.html 
* http://www.pnas.org/cgi/reprint/36/12/752.pdf C. Truesdell. Pri la adicia kaj multiplika teoremoj por la specialaj funkcioj. *Paperoj de la Nacia Akademio de Sciencoj, Matematiko*, (1950) pp.752–757.

Kategorio:Specialaj funkcioj
Kategorio:Specialaj supergeometriaj funkcioj