open-index/open-wikipedia-markdown huggingface dataset:
Najbaraj anguloj

dekstra|eta|220px|En la ilustraĵo, anguloj *A* kaj *B* estas najbaraj.
En geometrio, **najbaraj anguloj** estas anguloj kiu havas komunan verticon kaj komunan randon, sed kiuj ne kovras unu la alian. Do, enaj punktoj de la anguloj, kiuj ne apartenas al randoj, ne estas samtempe apartenaj al ambaŭ anguloj. Laŭ difino, komplementaj anguloj kaj suplementaj anguloj estas najbaraj.

Kategorio:Geometrio
Centrita kuba nombro

En matematiko, la **centrita kuba nombro** estas centrita figuriga nombro kiu prezentas kubon. La centrita kuba nombro por *n* estas donita per la ekvacio

: *n3 + (n+1)3*

La unuaj kelkaj centritaj kubaj nombroj estas

1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, 1241, 1729, 2331, 3059, 3925, 4941, 6119, 7471, 9009, 10745, 12691, 14859, 17261, 19909, 22815, 25991, 29449, 33201, 37259, 41635, 46341, 51389, 56791, 62559, 68705, 75241, 82179, 89531, 97309, 105525. 

Se *Cn* estas la *n*-a centrita kuba nombro kaj *Pn*  estas la *n*-a kvadrata piramida nombro, do

: *Cn = Pn + 4Pn-1 + Pn-2*

Centritaj kubaj nombroj havas aplikojn en modelado de ŝeloj de atomoj.

## Vidu ankaŭ 
*Kuba nombro
*Figuriga nombro
*Centrita nombro

Kategorio:Figurigaj nombroj
Degenera matrico

En matematiko, **degenera matrico** estas matrico kiu estas degenera en iu senco:
* Singulara matrico, tio estas, matrico kun nula determinanto.
* Matrico kun nul vicoj aŭ nul kolumnoj.

Kategorio:Matricoj
Eksponento

La termino nomas kelkajn aferojn en matematiko:

*Kiel **eksponento** nomiĝas nombro n en formulo a^{n}, vidu artikolon potenco (matematiko)
***Eksponenta funkcia distribuo**
***Eksponenta funkcio**
***Eksponenta funkcia kresko**, **Eksponenta malkresko**
***Eksponenta funkcia tempo**
***Eksponenta tempo**
***Matrica eksponenta funkcio**
***Eksponenta funkcia surĵeto** (en diferenciala geometrio)

## Vidu ankaŭ 
*Logaritmo
*Listo de eksponentaj funkciaj temoj
*E (matematiko)
*Eksponenta funkcia pova distribuo

Kategorio:Matematiko
Nefinia aro

En aroteorio, **nefinia aro** estas aro, kiu ne estas finia aro. Nefinia aro povas esti kalkulebla aŭ nekalkulebla. Iuj ekzemploj estas:

* la aro de ĉiuj entjeroj, {..., -1, 0, 1, 2, ...}, estas kalkuleble nefinia aro, ĝia kardinala nombro estas alef-nulo;
* la aro de ĉiuj reelaj nombroj estas nekalkuleble nefinia aro, ĝia kardinala nombro estas kardinalo de kontinuumo.

## Ecoj 
La aro de naturaj nombroj (kies ekzisto estas certigita per la aksiomo de senfineco) estas nefinia. Ĝi estas la nura aro kiu estas rekte postulita per la aksiomoj al esti nefinia. La ekzisto de ĉiu la alia nefinia aro povas esti pruvita en aroteorio de Zermelo-Fraenkel kun aksiomo de elekto (ZFC) nur per montrado ke ĝi sekvas el la ekzisto de la naturaj nombroj.

Aro estas nefinia se kaj nur se por ĉiu natura nombro la aro havas subaron kies kardinala nombro estas tiu natura nombro.

Se la aksiomo de elekto veras, tiam aro estas nefinia se kaj nur se ĝi inkluzivas kalkuleblan nefinian subaron.

Se aro de aroj estas nefinia aŭ enhavas nefinian eron, tiam ĝia kunaĵo estas nefinia. La potencaro de nefinia aro estas nefinia. Ĉiu superaro de nefinia aro estas nefinia. Se nefinia aro estas fendita en finie multajn subarojn, tiam almenaŭ unu de ili devas esti nefinia. Ĉiu aro kiu povas esti mapita sur nefinian aron estas nefinia. La kartezia produto de nefinia aro kaj nemalplena aro estas nefinia. La kartezia produto de nefinia kvanto de aroj, ĉiu el kiuj enhavas minimume du erojn estas malplena aŭ nefinia; se la aksiomo de elekto veras, do ĝi estas nefinia.

Se nefinia aro estas bonorda, tiam ĝi devas havi nemalplenan subaron kiu ne havas plej grandan eron.

En aroteorio de Zermelo-Fraenkel sen aksiomo de elekto (ZF), aro estas nefinia se kaj nur se la potencaro de ĝia potencaro estas dedekindo-nefinia aro, havanta propran subaron samampleksa al si. Se ankaŭ la aksiomo de elekto estas vera, nefiniaj aroj estas precize la dedekindo-nefiniaj aroj.

Se nefinia aro estas bone-ordigebla, do ĝi havas multajn bonajn ordojn kiuj estas ne-izomorfiaj.

## Vidu ankaŭ 
* Malfinio
* Alef-nombro
* Kardinala nombro
* Kardinalo de kontinuumo

Kategorio:Aro-teorio
Kategorio:Senfineco
Reela parto

[dekstra|eta|La [komplekso ebeno. La reela parto de kompleksa nombro *z = x+iy* estas *x*.]]
En matematiko, la **reela parto** de kompleksa nombro *z*, estas la unua ero de la ordigita duopo de reelaj nombroj prezentanta *z*. Se *z = (x, y)*, aŭ ekvivalente, *z = x+iy*, do la reela parto de *z* estas *x*. Ĝi estas skribata kiel *Re z*. La kompleksa funkcio *Re z* de argumento *z* estas ne holomorfa, aŭ alivorte ĝi ne havas derivaĵon en senco uzata en la kompleksa analitiko.

La reela parto povas esti esprimita per la kompleksa konjugito \bar{z} kiel
:\operatorname{Re} z = {z+\bar z\over2} .

Por kompleksa nombro en trigonometria prezento
:*z = r(cos φ + i sin φ)* aŭ *z = r eiφ
la reela parto estas
:*Re z = r cos φ''.

## Vidu ankaŭ 
* Imaginara parto

Kategorio:Nombroj
Komputebla aro

En komputebleca teorio kalkulebla aro nomiĝas **komputebla**, **rekursia** aŭ **decidebla**, se ekzistas algoritmo, kies plenumado finiĝas post finia nombro da paŝoj per decido, ĉu donita ero apartenas al tiu aro aŭ ne.

## Difino
Subaro *S* de la naturaj nombroj estas nomita kiel **komputebla** se ekzistas tuteca komputebla funkcio
:f:S \to \mathbb{N}
kun
:f(x) =
\left\{\begin{matrix}
0 &\mbox{se}\ x \in S \\
\neq 0 &\mbox{se}\ x \notin S
\end{matrix}\right.

En aliaj vortoj la aro *S* estas komputebla se kaj nur se la nadla funkcio 1_{S} estas komputebla.

## Ekzemploj
*Malplena aro
*Aro de naturaj nombroj
*Ĉiu finia subaro de aro de naturaj nombroj
*Aro de primoj
*Rekursia lingvo estas komputebla aro en aro de ĉiuj eblaj vortoj super la alfabeto de la formala lingvo.

## Propraĵoj
Se *A* estas komputebla aro do la komplemento de *A* estas komputebla aro.
Se *A* kaj *B* estas komputeblaj aroj do *A* &cap; *B*, *A* &cup; *B* kaj *A* &times; *B* estas komputeblaj aroj. Aro *A* estas komputebla aro se kaj nur se *A* kaj la komplemento de *A* estas rekursie numereblaj aroj. La rezulto de komputebla aro sub tuteca komputebla funkcio estas komputebla aro.

## Vidu ankaŭ 
*Rekursie numerebla aro
*Rekursia funkcio

Kategorio:Rekursia teorio
Kategorio:Aro-teorio
Maso (nombro)

**Maso** aŭ **granda groco** estas entjero 1728, kiu estas egala al dekduo da dekduo da dekduoj, aŭ la kubo de 12, kio estas

: 12 × 12 × 12 = 123 = 12 × 144 = 1728 .

La nombro estadis uzata en dekduuma kalkulado de aĵoj.

El nomo de ĉi tiu nombro aperis uzo de vorto "maso" en senco "multaj", ekzemple en la rusa lingvo. Ekzemple, "maso da aferoj", "maso da homoj" ktp.

## Vidu ankaŭ 
* Mandelo
* Sesdeko
* Dekduo
* Granddekduo
* Groco (nombro) = 12 × 12 = 144
* Maso (nombro) = granda groco = 12 × 12 × 12 = 1728
* Grandsesdeko
* Dekduuma sistemo

Kategorio:Numeralo
Kategorio:Naturaj nombroj kun propraj nomoj
Suma regulo en diferencialado

La suma regulo en diferencialado estas unu el regulo en diferencialado. La suma regulo en integralado sekvas el la suma regulo en diferencialado. La regulo mem estas direkta konsekvenco de diferencialado de unuaj principoj.

La suma regulo asertas ke por du funkcioj *u* kaj *v*:

:\frac{d}{dx}(u + v)=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}

Ĉi tiu regulo ankaŭ aplikas al subtraho kaj al aldonoj kaj subtrahoj de pli ol du funkcioj
:\frac{d}{dx}(u + v + w + \cdots)=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}+\frac{dw}{dx}+\cdots

## Pruvo
Estu *y* esti funkcio donita per sumo de du funkcioj *u* kaj *v*, tia ke:

: y = u + v \,

Nun estu *y*, *u* kaj *v* pligrandiĝitaj per malgranda pligrandiĝo &delta;*y*, &delta;*u* kaj &delta;*v* respektive. De ĉi tie:
: y + \Delta{y} = (u + \Delta{u}) + (v + \Delta{v}) = u + v + \Delta{u} + \Delta{v} = y + \Delta{u} + \Delta{v}. \, 

Do:

: \Delta{y} = \Delta{u} + \Delta{v}. \, 

Nun dividu tuton per &delta;*x*:

: \frac{\Delta{y}}{\Delta{x}} = \frac{\Delta{u}}{\Delta{x}} + \frac{\Delta{v}}{\Delta{x}}. 

Sterbu &delta;*x* al 0:

: \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}. 

Nun memoru ke *y* = *u* + *v*, ricevante la suman regulon en diferencialado:

: \frac{d}{dx}\left(u + v\right) = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} .

La regulo povas esti etendita al subtraho, kiel sekvas:

: \frac{d}{dx}\left(u - v\right) = \frac{d}{dx}\left(u + (-v)\right) = \frac{du}{dx} + \frac{d}{dx}\left(-v\right). 

Nun uzu la speciala okazo de la konstanta faktora regulo en diferencialado kun *k*=-1 por ricevi:

: \frac{d}{dx}\left(u - v\right) = \frac{du}{dx} + \left(-\frac{dv}{dx}\right) = \frac{du}{dx} - \frac{dv}{dx}. 

Pro tio, la suma regulo povas esti etendita por ĝi "akceptu" aldonon kaj subtrahon kiel sekvas:

: \frac{d}{dx}\left(u \pm v\right) = \frac{du}{dx} \pm \frac{dv}{dx}. 

La suma regulo en diferencialado povas esti uzita kiel parto de la derivaĵo por ambaŭ la suma regulo en integralado kaj lineareco de diferencialado.

## Ĝeneraligo al sumoj
Oni havu iun aron de funkcioj *f*1, *f*2,..., *f**n*. Tiam

: \frac{d}{dx} \left(\sum_{1 \le i \le n} f_i(x)\right) = \frac{d}{dx}\left(f_1(x) + f_2(x) + \cdots + f_n(x)\right) = \frac{d}{dx}f_1(x) + \frac{d}{dx}f_2(x) + \cdots + \frac{d}{dx}f_n(x) 

do

: \frac{d}{dx} \left(\sum_{1 \le i \le n} f_i(x)\right) = \sum_{1 \le i \le n} \left(\frac{d}{dx}f_i(x)\right) .

En aliaj vortoj, la derivaĵo de ĉiu sumo de funkcioj estas sumo de la derivaĵoj de tiuj funkcioj.

Ĉi tiu sekvas facile per indukto; oni havas ĵus pruvitan ĉi tion por *n* = 2. Estu ĝi vera por ĉiuj *n* g(x)=\sum_{i=1}^{k-1} f_i(x).

Tiam

:\sum_{i=1}^k f_i(x)=g(x)+f_k(x)

kaj ĝi sekvas de la pruvo pli supre

: \frac{d}{dx} \left(\sum_{i=1}^k f_i(x)\right) =  \frac{d}{dx}g(x)+\frac{d}{dx}f_k(x).

Per la indukta hipotezo,

:\frac{d}{dx}g(x)=\frac{d}{dx} \left(\sum_{i=1}^{k-1} f_i(x)\right)=\sum_{i=1}^{k-1} \frac{d}{dx}f_i(x)

do

:\frac{d}{dx} \left(\sum_{i=1}^k f_i(x) \right) = \sum_{i=1}^{k-1} \frac{d}{dx}f_i(x) + \frac{d}{dx}f_k(x)=\sum_{i=1}^k \frac{d}{dx}f_i(x) 

kio finas la pruvon.

Kategorio:Diferenciala kalkulo
Vektora projekcio

**Vektora projekcio** de vektoro \mathbf{b} je vektoro \mathbf{a} (ankaŭ "\mathbf{b} sur \mathbf{a}"), estas:

:(\mathbf{b}\cdot\mathbf{\hat a})\mathbf{\hat a} aŭ (|\mathbf{b}|\cos\theta)\mathbf{\hat a}

kie \theta estas angulo inter vektoroj \mathbf{a} kaj \mathbf{b} kaj \hat{\mathbf{a}} estas la unuobla vektoro samdirekta kun vektoro \mathbf{a}.

Vektora projekcio estas vektoro, kaj estas orta projekcio de vektoro \mathbf{b} sur vektoron \mathbf{a}. Oni povas diri ankaŭ ke vektora projekcio estas komponanto de vektoro \mathbf{b} laŭ direkto de vektoro \mathbf{a}.

La alia komponanto de \mathbf{b}, perpendikulara al \mathbf{a}, estas donata per:

:\mathbf{b}\ -\ (\mathbf{b}\cdot\mathbf{\hat a})\mathbf{\hat a}

Vektora projekcio estas la skalara projekcio multiplikita per \mathbf{\hat a} (por ke konverti ĝin vektoron, doni al ĝi direkton).

## Vidu ankaŭ 
*Skalara projekcio
*Skalara produto
*Vektora produto

Kategorio:Vektora kalkulo
Aritmetika aro

En matematika logiko **aritmetika aro** estas kalkulebla aro kiu povas esti difinita per formulo de aritmetiko de la unua ordo. La aritmetikaj aroj estas orditaj en la aritmetika hierarkio.

Funkcio
:f:\subseteq \mathbb{N}^k \to \mathbb{N}
estas nomita kiel **aritmetike difinebla** se la grafikaĵo de f estas aritmetika aro.

## Ekzemploj 
* komputeblaj funkcioj estas aritmetike difineblaj
* Aro de ĉiuj primoj estas aritmetika
* rekursie numerigeblaj aroj estas aritmetikaj
* Teoremo de Tarski pri nedifinebleco: Se estas donita numerado \nu_{\Sigma} sur la aritmetika formuloj de logiko de la unua ordo. Tiam la aro \nu_{\Sigma}^{-1}[A], kie A estas la ara variablo libera kaj veraj propozicioj, estas **ne** aritmetika. (???)

## Propraĵoj 
* La komplemento de aritmetika aro estas aritmetika aro
* La nombro de aritmetikaj aroj estas kalkulebla.

## Vidu ankaŭ 
* Aritmetika hierarkio

Kategorio:Teorio de efikaj priskribaj aroj
Sepangula piramida nombro

**Sepangula piramida nombro** estas la sumo de la unuaj sepangulaj nombroj. La sepangula nombro por *n* povas esti kalkulita per adicio kune de la sepangulaj nombroj de 1 ĝis *n*, aŭ per uzo de formulo *n*(*n* + 1)(5*n* - 2)/6.

La unuaj kelkaj sepangulaj piramidaj nombroj estas:

1, 8, 26, 60, 115, 196, 308, 456, 645, 880, 1166, 1508, 1911, 2380, 2920, 3536, 4233, 5016, 5890, 6860, 7931, 9108

Kategorio:Figurigaj nombroj
Preskaŭ disaj aroj

En matematiko, du aroj estas **preskaŭ disaj** se ilia komunaĵo estas malgranda iusence. Malsamaj difinoj de "malgranda" rezultas ĉe malsamaj difinoj de "preskaŭ disa".

## Difino 
La plej komuna elekto estas al preni "malgranda" al signifi finia. En ĉi tiu okazo, du aroj estas preskaŭ disaj se ilia komunaĵo estas finia aro, kio estas se

:\left|A\cap B\right| 

Ĉi tie, *|X|* estas la kardinala nombro de *X*, kaj '*i*. Tiam la kolekto de aroj {*A**i* : *i* en *I*} estas preskaŭ disa se por ĉiuj *i* kaj *j* en *I*,

:A_i \ne A_j \quad \Rightarrow \quad \left|A_i \cap A_j\right| 

Ekzemple, la kolekto de ĉiuj linioj tra la fonto en eŭklida spaco **R**2 estas preskaŭ disa, ĉar ĉiu du el ili intersekcas nur je la fonto. Se {*A**i*} estas preskaŭ disa kolekto, tiam klare ĝia komunaĵo estas finia:

:\bigcap_{i\in I} A_i 

Tamen, la reo povas esti ne vera - la komunaĵo de la kolekto

: ''*

estas malplena, sed la kolekto estas ne preskaŭ disa; fakte, la intersekco de ĉiuj du malsamaj aroj el ĉi tiu kolekto estas nefinia.

## Aliaj signifoj
Iam "preskaŭ disa" estas uzata en iu alia senco, aŭ en la senco de mezura teorio aŭ topologia kategorio. Jen estas iuj alternativaj difinoj de "preskaŭ disa" kiuj estas iam uzita (similaj difinoj estas por nefiniaj kolektoj):

* Estu *κ* iu kardinalo. Tiam du aroj *A* kaj *B* estas preskaŭ disaj se la kardinalo de ilia intersekco estas malpli granda ol *κ*:

:\left|A\cap B\right| 

La okazo de *κ=1* estas simple la difino de disaj aroj; la okazo de

:\kappa = \aleph_0

estas simple la difino de preskaŭ disaj donita pli supre, kie la intersekco de *A* kaj *B* estas finia.

* Estu *m* iu plena mezuro sur mezurhava spaco *X*. Tiam du subaroj *A* kaj *B* de *X* estas preskaŭ disaj se ilia intersekco estas nula aro, kio estas se

: m(A\cap B) = 0

* Estu *X* topologia spaco. Tiam du subaroj *A* kaj *B* de *X* estas preskaŭ disaj se ilia intersekco estas apenaŭa en *X''.

Kategorio:Araj familioj
Orientiĝo (solido)

eta|dekstra|Ŝanĝo de orientiĝo estas la samo kiel turnado de la koordinataj aksoj
La **orientiĝo** de objekto en spaco estas la elekto de pozicio ĝi kun unu punkto tenita en fiksita (neŝanĝanta) pozicio. Pro tio ke la objekto povas ankoraŭ esti turnita ĉirkaŭ ĝia fiksa punkto, pozicio de la fiksa punkto estas ne sufiĉa por plene priskribi la objekton. Tial la konfigura spaco de ne-simetria objekto en *n*-dimensia spaco estas *SO(n) × **R**n*. Orientiĝo povas esti bildigita per alfikso de bazo de tangentaj vektoroj al objekto. La direkto de ĉiu vektoro alfiksita al ĝiaj punktoj difinas ĝian orientiĝon.

## Orientiĝo de solido 
La orientiĝo de solido en la tri dimensia spaco ŝanĝatas per turnado. Ĉe turnado ĉirkaŭ akso tra la centro de korpo, nur la orientiĝo ŝanĝiĝas, alie ankaŭ pozicio. Se la solido havas iun turnan simetrion, ne ĉiuj orientiĝoj estas diferencigebla, escepti per observado kiel la orientiĝo evoluas kun tempo de sciata startanta orientiĝo.

En du dimensioj la situacio estas simila. En unu dimensio solido ne povas moviĝi kontinue de unu el la nur du orientiĝoj al la alia.

Ĉi tiu signifo de orientiĝo devus ne esti konfuzita kun la alia signifo, kie malsama orientiĝo signifas ŝanĝon al la spegula bildo per nepropra turnado, kiu inkluzivas reflekto, vidu en orientiĝo (matematiko).

Formale, por ĉiu dimensio, la orientiĝo de la bildo de objekto sub direkta izometrio kun respekto al tiu objekto estas la lineara parto de tiu izometrio. Tial ĝi estas ero de *SO(n)*, aŭ alivorte, la respektiva flanka klaso en *E+(n) / T*, kie *T* estas la mova grupo.

## Vidu ankaŭ 
* Giroskopo
* Nememspegulsimetrieco
* Ortonormala matrico

Kategorio:Eŭklida geometrio
Kategorio:Orientiĝo
Izolita punkto

eta|400px|"0" estas izolita punkto de A
En topologio, punkto *x* de aro *S* estas nomita kiel **izolita punkto**, se tie ekzistas najbareco de *x* ne enhavanta aliajn punktojn de *S*.

Aparte, en eŭklida spaco (aŭ en metrika spaco), *x* estas izolita punkto de *S*, se oni povas trovi malfermitan pilko ĉirkaŭ *x* kiu ne enhavas aliajn punktojn de *S*.

Ekvivalente, punkto *x* estas ne izolita se kaj nur se *x* estas limiga punkto.

Aro kiu estas farita nur de izolitaj punktoj estas nomita kiel **diskreta aro** . Diskreta subaro de eŭklida spaco estas kalkulebla; tamen, aro povas esti kalkulebla sed ne diskreta, ekzemple racionalaj nombroj.

Fermita aro sen izolitaj punktoj estas nomita kiel perfekta aro.

## Ekzemploj 
Topologiaj spacoj en jenaj ekzemploj estas konsideritaj kiel subspacoj de la reela linio.

* Por aro S=\{0\}\cup [1, 2], la punkto 0 estas izolita punkto.

* Por aro S=\{0\}\cup \{1, 1/2, 1/3, \dots \}, ĉiu punktoj 1/k estas izolitaj punktoj, sed 0 estas ne izolita punkto ĉar estas aliaj punktoj en *S* tiel proksime al 0 kiel oni deziras.

* Aro **N**={0, 1, 2, ...} de naturaj nombroj estas diskreta aro.

## Vidu ankaŭ 
* Diskreta spaco

* Libera regula aro

Kategorio:Ĝenerala topologio
Kvinangula piramida nombro

**Kvinangula piramida nombro** estas nombro egala al la sumo de la unuaj kelkaj kvinangulaj nombroj. La unuaj kelkaj estas 1, 6, 18, 40, 75, 126, 196, 288, 405, 550, 726, 936, 1183, 1470, 1800, 2176, 2601, 3078, 3610, 4200, 4851, 5566, 6348, 7200, 8125, kaj 9126.

## Vidu ankaŭ 
*Triangula piramida nombro
*Kvadrata piramida nombro

Kategorio:Figurigaj nombroj
Kvinedro

**Kvinedro** estas pluredro kun kvin edroj. Estas du topologiaj specoj de nedegenera kvinedro:
dekstra|eta|200px
* Kun kvarlatera edro kaj kvar triangulaj edroj, kio estas (regula aŭ malregula) kvar-flanka piramido, kiel parta okazo - la kvadrata piramido.

dekstra|eta|200px
* Kun tri najbaraj kvarlateraj edroj kaj du ne-najbaraj triangulaj edroj, kiel partaj okazoj - triangula prismo, kojno, triangula piramida trunko, aŭ iu alia senpintigita triangula piramido (se la triangulaj edroj estas neparalelaj).

Degenera kvinedro povas esti ankaŭ la alia, ekzemple ĝi povas esti subspeco de duvertica pluredro kun 5 edroj.

## Vidu ankaŭ 
## Eksteraj ligiloj 
* Kalkulado de pluredroj 

Kategorio:Pluredroj
Unuforma bariteco

En matematiko, baritaj funkcioj estas funkcioj por kiu ekzistas suba baro kaj supera baro, en aliaj vortoj, konstanto kiu estas pli granda ol la absoluta valoro de ĉiu valoro de ĉi tiu funkcio. Se konsideri familion de baritaj funkcioj, ĉi tiu konstanto povas varii inter funkcioj de la familio. Se eblas trovi unu konstanton kiu baras ĉiujn funkciojn, ĉi tiu familio de funkcioj estas **unuforme barita**.

Pli detale, se \mathcal F=\{f_i: X \to Y, i\in I\} estas familio de funkcioj kie *Y* estante aro de reelaj aŭ kompleksaj nombroj, tiam ĉi tiu familio estas unuforme barita se ekzistas M\in\mathbb R tia ke por ĉiu i\in I kaj ĉiu x\in X la neegalaĵo
:|f_i(x)|\leq M
veras.

## Ekzemploj 
* Familio de funkcioj *fn(x)=sin(nx)*, kun reela *x* kaj entjera *n*, estas unuforme barita per valoro 1

* Familio de funkcioj *gn(x)=nsin(x)*, kun reela *x* kaj entjera *n>0*, estas ne unuforme barita, kvankam ĉiu aparta funkcio *gn(x)* por konstanta *n* estas barita.

Kategorio:Analitiko
Unuforma funkcio

eta|250ra|Grafikaĵo de la unuforma funkcio

En matematiko, **unuforma funkcio** (ankaŭ nomita *ŝarĝvagona funkcio" pro sia formo) estas ĉiu funkcio kiu estas nulo super la tuta reela linio krom sola intervalo kie ĝi estas egala al konstanto, kiun oni signifu per *A*. La normala uniforma funkcio povas esti esprimita per la unuforma distribuo kiel

: *boxcar(x) = (b-a) A f(a, b; x)*

kie *f(a, b; x)* estas la unuforma distribuo de *x* por la intervalo [*a*, *b*].
Kiel kun plejparto de ĉi tiaj nekontinuaj funkcioj, estas demando de la valoro je la trairaj punktoj. Ĉi tiuj valoroj estas plejofte elektitaj plej bone por ĉiu aparta apliko.

Kategorio:Specialaj funkcioj
Barita funkcio

En matematiko, funkcio *f* difinita sur iu aro *X* kun reela aŭ kompleksa valoro estas nomita kiel **barita**, se la aro de ĝiaj valoroj estas barita. En alia vortoj, ekzistas nombro *M*>0 tia ke
:|f(x)|\le M
por ĉiuj *x* en *X*.

La koncepto devas ne esti konfuzita kun barita operatoro.

Grava speciala okazo estas **barita vico**, kie *X* estas aro **N** de naturaj nombroj. Tial vico *f* =
(
*a*0,
*a*1,
*a*2, … )
estas barita se ekzistas nombro *M* > 0 tia ke
: |*a**n*| ≤ *M*
por ĉiu natura nombro *n*. Aro de ĉiuj baritaj vicoj, ekipita kun vektora spaca strukturo, formas vican spacon.

Ĉi tiu difino povas esti etendita al funkcioj kun valoroj en metrika spaco *Y*. Tiam la neegalaĵo pli supre estas anstataŭigita per
:d(f(x), a)\le M
por iu *a* en *Y*, *M*>0, kaj por ĉiuj *x* en *X*.

## Ekzemploj
*La funkcio *f*:**R** → **R** difinita per *f*&nbsp;(*x*)=sin *x* *estas* barita. La sinusa funkcio estas ne barita se ĝi estas difinita sur la aro de ĉiuj kompleksaj nombroj.
*La funkcio
:f(x)=\frac{1}{x^2-1}
difinita por ĉiuj reelaj *x* kiuj ne egalas al −1 kaj 1 estas *ne* barita. Se *x* prenas proksiĝas al −1 aŭ al 1, valoro de ĉi tiu funkcio malfinie pligrandiĝas. Ĉi tiu funkcio povas esti farita barita se oni konsideras ĝian domajnon ekzemple 
*La funkcio
:f(x)=\frac{1}{x^2+1}
difinita por ĉiuj reelaj *x* *estas* barita.
*Ĉiu kontinua funkcio *f*:[0,1] → **R** estas barita. Ĉi tiu estas speciala okazo de pli ĝenerala fakto: Ĉiu kontinua funkcio de kompakta spaco en metrikan spacon estas barita.
*La funkcio *f* kiu prenas la valoro 0 por *x* racionala nombro kaj 1 por *x* neracionala nombro *estas* barita. Tial, funkcio ne devas esti kontinua por ke esti barita. La aro de ĉiuj baritaj funkcioj difinitaj sur [0,1] estas multe pli granda ol la aro de kontinuaj funkcioj sur la intervalo.

Kategorio:Analitiko
Kalkula mezuro

En matematiko, la **kalkula mezuro** estas intuicia vojo por fari mezuron sur iu aro: la "amplekso" de subaro estas prenita kiel kvanto de la subaraj eroj se ĝi finia, kaj &infin; se la subaro estas malfinia.

Formale, oni startu kun aro &Omega; kaj konsideru la σ algebron *X* sur &Omega; konsistantan de ĉiuj subaroj de &Omega;. Oni difinu mezuron &mu; sur ĉi tiu σ algebro per opcio &mu;(*A*) = |*A*| se *A* estas finia subaro de &Omega; kaj &mu;(*A*) = &infin; se *A* estas malfinia subaro de &Omega;. Tiam (&Omega;, *X*, &mu;) estas mezurhava spaco.

La kalkula mezuro permesas traduki multajn propoziciojn pri L*p*-aj spacoj en pli kutimajn. Se &Omega; = {1,...,*n*} kaj *S* estas la mezurhava spaco kun la kalkula mezuro sur &Omega;, tiam L*p*(*S*) estas la sama kiel **R***n* (aŭ **C***n*), kun normo difinita per
:\|x\|_p = \left ( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right )^{1/p}
por *x* = (*x*1,...,*x**n*).

Simile, se &Omega; estas estas la naturaj nombroj kaj *S* estas la mezurhava spaco kun la kalkula mezuro sur &Omega;, tiam L*p*(*S*) konsistas de tiuj vicoj *x* = (*x**n*) por kiu
:\|x\|_p = \left ( \sum_{i=1}^\infty |x_i|^p \right)^{1/p}
estas finia. Ĉi tiu spaco estas ofte skribita kiel \ell^p.

Kategorio:Mezura teorio
Diskretiga eraro

En cifereca analitiko, komputa fiziko, kaj simulado, **diskretiga eraro** estas eraro rezultanta de la fakto, ke funkcio de kontinua variablo estas reprezentita en la komputilo per finia (t.e. ne-senfina) nombro de elkalkuloj de la funkcio, ekzemple sur krado. Diskretiga eraro povas kutime reduktiĝi per uzo de pli fajna krado (t.e. elkalkuli la valoron de la funkcio por pli da punktoj), sed kun pligrandigita komputa kosto.

Diskretiga eraro devus ne esti konfuzita kun eraro de rondigo kiu venas de flosanta punkta aritmetiko. Diskretiga eraro devus okazi eĉ se eblus uzi tut-akurata aritmetiko.

Diskretiga eraro estas la ĉefa fonto de eraro en por la metodo de metodo finiaj diferencoj kaj la pseŭdo-spektra metodo de komputa fiziko.

## Vidu ankaŭ 
* Kvantumiga eraro
* Diskretigo

Kategorio:Cifereca analitiko
Sepangula nombro

**Sepangula nombro** estas figuriga nombro kiu prezentas seplateron. La *n*-a sepangula nombro estas donita per la formulo
:*n*(5*n* - 3)/2.

La unuaj kelkaj sepangulaj nombroj estas:
1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 148, 189, 235, 286, 342, 403, 469, 540, 616, 697, 783, 874, 970

La pareco de sepangulaj nombroj sekvas la ŝablonon: nepara-nepara-para-para. Simile al kvadrataj nombroj, la cifereca radiko en bazo 10 de sepangula nombro povas nur esti 1, 4, 7 aŭ 9.

Sepangula nombro multiplikita je 5 kaj plus 1 egalas al triangula nombro.

Kategorio:Figurigaj nombroj
Homogena funkcio

En matematiko, **homogena funkcio** estas funkcio kun proporcieca multiplika konduto: se la argumento estas multiplikata per iu faktoro, tiam la rezulto estas multiplikata per iu potenco de ĉi-tiu faktoro. Ekzemploj estas la homogenaj polinomoj.

Formale, estu

: f: V \rarr W \qquad\qquad 

funkcio inter du vektoraj spacoj super kampo  F \qquad\qquad.

Ni diru, ke  f \qquad\qquad estas *homogena de grado  k \qquad\qquad*,
se la ekvacio
: f(\alpha \mathbf{v}) = \alpha^k f(\mathbf{v}) \qquad\qquad (*) 
veras por ĉiuj  \alpha \isin F \qquad\qquad kaj  \mathbf{v} \isin V \qquad\qquad.

Lineara funkcio estas homogena de grado 1.

:f(\alpha \mathbf{v})=\alpha f(\mathbf{v})

Plurlineara funkcio  f: V_1 \times \ldots \times V_n \rarr W \qquad\qquad  estas homogena de grado *n*:

:f(\alpha \mathbf{v}_1,\ldots,\alpha \mathbf{v}_n)=\alpha^n f(\mathbf{v}_1,\ldots, \mathbf{v}_n)

## Eŭlera teoremo pri homogenaj funkcioj 
Funkcio

: f(\mathbf{x}) = f(x_1, x_2,..., x_n) \qquad\qquad 
kiu estas homogena de grado  k \qquad\qquad, havas partajn derivaĵojn de grado  k-1 \qquad\qquad. Plue, ĝi verigas la **eŭleran teoremon pri homogenaj funkcioj**, kiu konstatas, ke
: \mathbf{x} \cdot \nabla f(\mathbf{x}) = kf(\mathbf{x}) \qquad\qquad 

Skribite eksplicite en komponantoj, ĉi tio estas
:
\sum_{i=1}^n x_i \frac{\partial f}{\partial x_i} (\mathbf{x})
= k f(\mathbf{x})

**Pruvo**

Estu f=f(x_1,\ldots,x_n) , trovu derivaĵon de

:f(\alpha \mathbf{y})=\alpha^k f(\mathbf{y})

je \alpha. Laŭ ĉena regulo estas

:\frac{\partial}{\partial x_1}f(\alpha\mathbf{y})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}(\alpha y_1)+ \cdots +
\frac{\partial}{\partial x_n}f(\alpha\mathbf{y})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}(\alpha y_n) = k \alpha ^{k-1} f(\mathbf{y}),

kaj do

:y_1\frac{\partial}{\partial x_1}f(\alpha\mathbf{y})+ \cdots
+ y_n\frac{\partial}{\partial x_n}f(\alpha\mathbf{y}) = k \alpha^{k-1} f(\mathbf{y}).

Ĉi tio povas esti skribita per nabla operatoro kiel

: \mathbf{y} \cdot \nabla f(\alpha \mathbf{y}) = k \alpha^{k-1}f(\mathbf{y}), \qquad\qquad \nabla= \left(\frac{\partial}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n} \right),

de kie la eŭlera teoremo rezultas se meti \alpha=1.

## Ĝeneraligoj 
Pli ĝenerale, funkcio  f \qquad\qquad estas nomata homogena, se la ekvacio  f(\alpha \mathbf{v}) = g(\alpha) f(\mathbf{v}) \qquad\qquad veras por iu severe pligrandiĝanta pozitiva funkcio  g \qquad\qquad.

Foje funkcio veriganta  (*) \qquad\qquad por ĉiu pozitiva  \alpha \qquad\qquad nomiĝas *pozitive homogena* (ĉi tio postulas, ke la kampo  F \qquad\qquad estu  \reals \qquad\qquad; almenaŭ necesas orda rilato por difini la pozitivecon).

## Eksteraj ligiloj 
* http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=10683

Kategorio:Lineara algebro
Kategorio:Diferencialaj operatoroj
Translacio (geometrio)

En eŭklida geometrio, **translacio**, aŭ **mova operatoro**, estas afina transformo de eŭklida spaco, kiu movas ĉiun punkton per la fiksita distanco je la sama direkto. Ĝi povas ankaŭ esti interpretita kiel aldono de konstanta vektoro al ĉiu punkto, aŭ kiel ŝovo de la fonto de la koordinatsistemo. En aliaj vortoj, se **v** estas fiksita vektoro, tiam la movo *T***v** estas ŝanĝo de ĉiu punkto **p** kiel *T***v**(**p**) = **p** + **v**.

Se *T* estas mova operatoro, la rezulto de subaro *A* sub la funkcio *T* estas la **translacio** de *A* per *T*. La movo de *A* per *T***v** estas ofte skribita *A* + **v**.

Ĉiu translacio estas izometrio. La aro de ĉiuj translacioj formas la translacian grupon *T*, kiu estas izomorfia al la spaco mem, kaj estas normala subgrupo de eŭklida grupo *E*(*n* ). La kvocienta grupo de *E*(*n* ) per *T* estas izomorfia al la perpendikulara grupo *O*(*n* ):
:*E*(*n* ) */ T* ≅ *O*(*n* )

## Vidu ankaŭ 
* Movado (fiziko)
* Mova simetrio

Kategorio:Eŭklidaj simetrioj
Unuobla funkcio

En nombroteorio, la **unuobla funkcio** estas plene multiplika funkcio sur la pozitivaj entjeroj difinita kiel:

:\varepsilon(n) = \begin{cases} 1, & \mbox{se }n\mbox{=1} \\ 0, & \mbox{se }n{>1} \end{cases} 

Ĝi estas nomata kiel la *unuobla funkcio* ĉar ĝi estas la identa ero por rulumo de Dirichlet.

Ĝi povas esti priskribita kiel la "nadla funkcio de 1" en la aro de pozitiva entjeroj. Ĝi estas ankaŭ skribata kiel *u*(*n*) (estu ne konfuzita kun &mu;(*n*)).

## Vidu ankaŭ 
* Inversiga formulo de Möbius
* Signuma funkcio

Kategorio:Multiplikaj funkcioj
Pondita geometria meznombro

En statistiko, por donita aro da datumoj:

: *X = {x1, x2, ..., xn}*

kaj respektivaj pondantaĵoj

: *W = {w1, w2, ..., wn}*

la **pondita geometria meznombro** aŭ **laŭpeza geometria meznombro** aŭ **pezita geometria meznombro** aŭ **laŭpeza geometria averaĝo** aŭ estas kalkulata kiel

:  \bar{x} = \left(\prod_{i=1}^n x_i^{w_i}\right)^{1 / \sum_{i=1}^n w_i} = \quad \exp \left( \frac{1}{\sum_{i=1}^n w_i} \; \sum_{i=1}^n w_i \ln x_i \right) 

Se ĉiuj pondantaĵoj estas egalaj inter si, la pondita geometria meznombro estas la samo kiel la geometria meznombro.

La dua formo de la ekvacio bildigas, ke la logaritmo de la pondita geometria meznombro egalas al la pondita aritmetika meznombro de la logaritmoj de la unuopaj datumoj.

Ponditaj versioj de ankaŭ la aliaj meznombroj povas esti kalkulataj. Inter ili estas la pondita aritmetika meznombro, kutime simple nomata kiel la *pondita meznombro*. La alia versio de pondita meznombro estas la pondita harmona meznombro.

## Piednotoj 
## Vidu ankaŭ 
* Averaĝo
* Centra dispozicio

Kategorio:Statistiko
Kategorio:Analitiko
Centrita sepangula nombro

**Centrita sepangula nombro** estas centrita figuriga nombro kiu prezentas seplateron kun punkto en la centro kaj ĉiuj aliaj punktoj ĉirkaŭbarantaj la centran punkton en sinsekvaj sepangulaj markotoj. La centrita sepangula nombro por *n* estas donita per la formulo

:{7n^2 - 7n + 2}\over2.

Ĉi tiu povas ankaŭ esti kalkulita per multiplikado de la triangula nombro por (*n* - 1) per 7, kaj adiciado de 1.

La unuaj kelkaj centritaj sepangulaj nombroj estas

1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197, 253, 316, 386, 463, 547, 638, 736, 841, 953

Centritaj sepangulaj nombroj havas parecon en ŝablono nepara-para-para-nepara.

## Centrita sepangula primo 
**Centrita sepangula primo** estas centrita sepangula nombra kiu estas primo. La unuaj kelkaj centritaj sepangulaj primoj estas

43, 71, 197, 463, 547, 953, 1471, 1933, ....

## Vidu ankaŭ 
* Regula sepangula nombro

Kategorio:Figurigaj nombroj
Arbitre granda

En matematiko, la frazo **arbitre granda** estas uzita en ĉirkaŭtekstoj kiel:

: *f(x)>0* por arbitre granda *x*

kiu estas reale stenografio por:

: por ĉiu N\in\mathbb{R}, *f(x)>0* por almenaŭ unu x\ge N.

Ĉi tio estas malsama de la frazo "sufiĉe granda". Ekzemple, veras ke primo povas esti arbitre granda, sed ne veras ke ĉiu sufiĉe granda nombro estas primo. Ankaŭ "arbitre granda" ne estas malsama de "malfinie granda" - ekzemple, primo povas esti arbitre granda, ne estas tia aĵo kiel malfinie granda primo.

En iu okazoj, frazoj kiel "*f(x)>0* estas vera por arbitre granda *x*" estas uzita unuavice por emfazo, kiel en "*f(x)>0* estas vera por ĉiuj *x*, ne gravas kiel granda *x* estas." En ĉi tiaj okazoj, la frazo "arbitre granda" povas ne havi la signifon indikis pli supre, sed estas fakte logike sinonima kun "ĉiuj."

Estas ankaŭ similaj esprimoj kiel "arbitre malgranda", "arbitre longa" kaj aliaj.

## Vidu ankaŭ 
*Sufiĉe granda

Kategorio:Matematika terminologio
Listo de integraloj de logaritmaj funkcioj

Jeno estas listo de nedifinitaj integraloj (malderivaĵoj) de logaritmaj funkcioj.

*Notu, ke estas supozite ke *x*&gt;0.*

: \int\ln c x\,dx = x\ln c x - x

: \int (\ln x)^2\; dx = x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x

: \int (\ln c x)^n\; dx = x(\ln c x)^n - n\int (\ln c x)^{n-1} dx

: \int \frac{dx}{\ln x} = \ln|\ln x| + \ln x + \sum^\infty_{i=2}\frac{(\ln x)^i}{i\cdot i!}

: \int \frac{dx}{(\ln x)^n} = -\frac{x}{(n-1)(\ln x)^{n-1}} + \frac{1}{n-1}\int\frac{dx}{(\ln x)^{n-1}} \qquad\mbox{(por }n\neq 1\mbox{)}

: \int x^m\ln x\;dx = x^{m+1}\left(\frac{\ln x}{m+1}-\frac{1}{(m+1)^2}\right) \qquad\mbox{(por }m\neq -1\mbox{)}

: \int x^m (\ln x)^n\; dx = \frac{x^{m+1}(\ln x)^n}{m+1} - \frac{n}{m+1}\int x^m (\ln x)^{n-1} dx \qquad\mbox{(por }m\neq -1\mbox{)}

: \int \frac{(\ln x)^n\; dx}{x} = \frac{(\ln x)^{n+1}}{n+1} \qquad\mbox{(por }n\neq -1\mbox{)}

: \int \frac{\ln x\,dx}{x^m} = -\frac{\ln x}{(m-1)x^{m-1}}-\frac{1}{(m-1)^2 x^{m-1}} \qquad\mbox{(por }m\neq 1\mbox{)}

: \int \frac{(\ln x)^n\; dx}{x^m} = -\frac{(\ln x)^n}{(m-1)x^{m-1}} + \frac{n}{m-1}\int\frac{(\ln x)^{n-1} dx}{x^m} \qquad\mbox{(por }m\neq 1\mbox{)}

: \int \frac{x^m\; dx}{(\ln x)^n} = -\frac{x^{m+1}}{(n-1)(\ln x)^{n-1}} + \frac{m+1}{n-1}\int\frac{x^m dx}{(\ln x)^{n-1}} \qquad\mbox{(por }n\neq 1\mbox{)}

: \int \frac{dx}{x\ln x} = \ln|\ln x|

: \int \frac{dx}{x^n\ln x} = \ln|\ln x| + \sum^\infty_{i=1} (-1)^i\frac{(n-1)^i(\ln x)^i}{i\cdot i!}

: \int \frac{dx}{x (\ln x)^n} = -\frac{1}{(n-1)(\ln x)^{n-1}} \qquad\mbox{(por }n\neq 1\mbox{)}

: \int \sin (\ln x)\;dx = \frac{x}{2}(\sin (\ln x) - \cos (\ln x))

: \int \cos (\ln x)\;dx = \frac{x}{2}(\sin (\ln x) + \cos (\ln x))

: \int e^x (x \ln x - x - \frac{1}{x})\;dx = e^x (x \ln x - x - \ln x) 

Kategorio:Integraloj
Kategorio:Matematikaj listoj
Punkto-linio-ebena postulato

La **punkto-linio-ebena postulato** en geometrio estas kolekto de tri supozoj (aksiomoj) kiu estas la bazo por eŭklida geometrio en tri dimensioj (solida geometrio) aŭ pli multaj dimensioj.

## Supozo de unika linio
Tra ĉiuj du malsamaj punktoj estas akurate unu linio.

## Nombra linia supozo
Ĉiu linio estas aro de punktoj kiu povas esti igita en bijekcia rilato kun la reelaj nombroj. Ĉiu punkto povas korespondi al 0 (nulo) kaj ĉiu alia punkto povas korespondi kun 1 (unu).

## Dimensia supozo
Se estas donita linio en ebeno, tie ekzistas almenaŭ unu punkto en la ebeno kiu estas ne sur la linio.

Se estas donita ebeno en spaco, tie ekzistas almenaŭ unu punkto en spaco kiu estas ne en la ebeno.

Kategorio:Geometrio
Kategorio:Matematikaj aksiomoj
Duon-hilberta spaco

En matematiko, **duon-hilberta spaco** estas ĝeneraligo de hilberta spaco en funkcionala analitiko. En duon-hilberta spaco la ena produto estas postulita nur al esti pozitive duon-difinita sed ne pozitive difinita, tiel ke ĝi donas la duonnormon sed ne normon.

La kvociento de ĉi tiu spaco per la kerno de ĉi tiu duonnorma estas ankaŭ postulita al esti hilberta spaco en la kutima senco.

## Referencoj 
* Optimala interpolo en duon-hilbertaj spacoj

Kategorio:Hilberta spaco
Sfera pendolo

[thumb|dekstre|240ra|Ekzemplo de [Hamiltona mekaniko, nome sfera pendolo: anguloj kaj rapidecoj.]]
**Sfera pendolo** estas ĝeneraligo de la pendolo.
Ĝi konsistas el maso movanta sen frotado sur sfero. La solaj fortoj agantaj al la maso estas la reago de la sfero kaj gravito.

Estas oportune uzi sferajn koordinatojn kaj priskribi la pozicion de la maso en terminoj de (r,\theta,\phi), kie *r* estas fiksita.

La lagrange-a estas

:
L=\frac{1}{2}
m\left(
 r^2\dot{\theta}^2+r^2\sin^2\theta\ \dot{\phi}^2
\right)
+ mgr\cos\theta.

La eŭlero-lagrange-aj ekvacioj donas ke

:
\frac{d}{dt}
\left(mr^2\dot{\theta}
\right)
-mr^2\sin\theta\cos\theta\dot{\phi}^2+
mgr\sin\theta =0

kaj
:
\frac{d}{dt}
\left(
 mr^2\sin\theta
 \,
 \dot{\phi}
\right)
=0

montrante ke angula movokvanto estas konservata.

Kategorio:Klasika mekaniko
Idento (matematiko)

En matematiko, **idento** aŭ **identaĵo** havas diversajn signifojn:
* Ĝi povas signifi egalaĵon, kiu restas valida sendistinge de la valoroj de la variabloj en ĝi, por distingi ĝin disde ekvacio, kiu estas vera sub pli apartaj kondiĉoj.

* En algebro, **idento** aŭ, pli kutime, **neŭtrala elemento** de magmo (t.e. aro *A* kun interna duvalenta operacio) estas elemento *e*, kiu - kombinite kun iu ajn elemento *a* de *A* - produktas elementon *a*. Fojfoje, kiam la operacio havas multiplikan notacion, tia elemento *e* nomiĝas ankaŭ "unuo".

* Tria signifo estas la **identa funkcio** de aro *A* al si, ofte nomata \mathrm{id} aŭ \mathrm{id}_A, tia ke \mathrm{id}(x)=x por ĉiuj *x* en *A*.

La simbolo ≡ estas iom kutima por indiki matematikan identon (aŭ kongruecan ekvivalentrilaton).

## Ekzemploj 
Komuna ekzemplo de la unua signifo estas la trigonometria idento

:( \sin ~ \theta)^2 + ( \cos ~ \theta)^2 = 1

kiu estas vera por ĉiuj reelaj valoroj de \theta (la aro de reelaj nombroj \mathbb{R} estas la domajno de la funkcioj sin kaj cos); kontraŭe la ekvacio

:\cos ~ \theta = 1

estas valida nur por certaj valoroj de \theta en la domajno.

Kutima ekzemplo de neŭtrala elemento estas la nombro 0 inter la reelaj nombroj sub adicio. Tio signifas, ke por ĉiu a\in\mathbb{R},

: *0 + a = a*
: *a + 0 = a*
: *0 + 0 = 0*

Kutima ekzemplo de identa funkcio estas la identa permuto, kiu sendas ĉiun elementon de la aro \{ 1, 2, \ldots, n \} al ĝi mem.

Ĉi tiuj signifoj ne estas reciproke ekskluzivaj; ekzemple, la identa permuto agas kiel identa funkcio kaj estas la neŭtrala elemento en la grupo de permutoj de la aro \{ 1, 2, \ldots, n \} sub la operacio de funkcia komponado.

## Vidu ankaŭ 
* Identa matrico
* Identeco (filozofio)
* Listo de matematikaj identoj

Kategorio:Matematikaj identoj
Simetria derivaĵo

En matematiko, la **simetria derivaĵo** estas operatoro simila al la ordinara derivaĵo.

Ĝi estas difinita kiel:

:\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}

Funkcio estas **simetrie diferencialebla** je punkto *x* se ĝia simetria derivaĵo ekzistas je ĉi tiu punkto. Se funkcio estas diferencialebla je punkto, ĝi estas ankaŭ simetrie diferencialebla, sed la reo povas ne esti vera. La simpla ekzemplo estas la absoluta valora funkcio *f(x) = |x|*, kiu estas ne diferencialebla je x = 0, sed estas simetrie diferencialebla ĉi tie kun simetria derivaĵo 0. La simetria derivaĵo je la punkto estas egala al la averaĝo de la unuflankaj derivaĵoj je ĉi tiu punkto.

## Vidu ankaŭ 
* Simetrie kontinua funkcio

Kategorio:Diferenciala kalkulo
Unuoglobo

[frame|dekstra|300ra|Iuj unuosferoj en [eŭklida spaco.]]
En matematiko, **unuosfero** estas la aro de punktoj je distanco 1 de fiksita centra punkto; ĝeneraligita koncepto de distanco povas esti uzata. **unuoglobo** estas la regiono ene de unuosfero. Kutime specifa punkto estas distingita kiel la fonto de la spaco por studi kaj unuosfero aŭ unuoglobo estas centrita je tiu punkto. Pro tio oni parolas pri "la" unuoglobo aŭ "la" unuosfero.

Unuosfero estas simple sfero de radiuso unu. La graveco de la unuosfero estas je tio ke ĉiu sfero povas esti konvertita en la unuosferon per kombinaĵo de translacio kaj homotetio. Tiamaniere propraĵoj de sferoj ĝenerale povas esti uzataj por studi unuosferon.

## Unuogloboj en eŭklida spaco 
En eŭklida spaco de *n* dimensioj, la unuosfero estas aro de ĉiuj punktoj x_1, \cdots, x_n kiu kontentigas ekvacion

: x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n ^2 = 1

kaj la fermita unuoglobo estas aro de ĉiuj punktoj kontentigantaj neegalaĵon

: x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n ^2 \le 1.

### Formuloj de areo kaj volumeno 
Volumeno de unuoglobo en *n*-dimensia eŭklida spaco kaj surfaca areo de unuosfero aperas en multaj gravaj formuloj de analitiko. La surfaca areo de unuosfero en *n* dimensioj, ofte skribita kiel \omega_n, povas esti esprimita per uzo de la Γ funkcio. Ĝi estas

:\omega_n = \frac{2 \pi ^ {n/2}}{\Gamma(n/2)}.

La volumeno de la unuoglobo estas \omega_n / n.

## Unuogloboj en normigitaj vektoraj spacoj 
La **malfermita unuoglobo** en normigita vektora spaco V, kun la normo \|\cdot\|, estas

: \{ x\in V: \|x\|.

Ĝi estas la eno de la **fermita unuoglobo** de (*V*,||·||),

: \{ x\in V: \|x\|\le 1\}.

La lasta estas unio de la antaŭa kaj ilia komuna rando, la **unuosfero** de (*V*,||·||),

: \{ x\in V: \|x\| = 1 \}.

### Komentoj 
La 'formo' de la *unuoglobo* estas tute dependa de la elektita normo; ĝi povas havi 'angulojn', kaj ekzemple povas aspekti kiel [−1,1]*n* en okazo de normo *l*∞ en *R**n*. La *ronda globo* estas farita de la kutima hilberta spaca normo, kiu estas en la finia dimensia okazo la samo kiel eŭklida distanco; ĝia rando estas kio estas kutime intencita per la *unuosfero*.

## Ĝeneraligo al metrikaj spacoj 
Ĉiuj tri el la pli supraj difinoj povas esti simple ĝeneraligitaj al metrika spaco, kun respekto al la elektita fonto. Tamen, topologiaj konsideroj (eno, fermaĵo, rando) povas ne aplikiĝi sammaniere (ekzemple, en mezuregaj spacoj, ĉiuj el la triopo estas samtempe malfermitaj kaj fermitaj aroj), kaj la unuosfero povas eĉ esti malplena en iuj metrikaj spacoj.

## Vidu ankaŭ 
* Unuocirklo
* Unuokvadrato
* Unuodisko
* Sfero
* Globo (matematiko)
* Normo (matematiko)
* Tabelo de matematikaj simboloj

Kategorio:Funkcionala analitiko
Operacioj en vektora kalkulo

Jenaj operacioj estas gravaj en vektora kalkulo:

## Kombinaĵoj de operatoroj
### Kirlo de gradiento
Kirlo de gradiento de skalara kampo \ \psi  estas ĉiam nulo:
:\nabla \times ( \nabla \psi ) = 0

### Diverĝenco de kirlo
Diverĝenco de kirlo de vektora kampo  \ \mathbf{A}  estas ĉiam nulo:
:\nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{A} ) = 0 

### Kirlo de kirlo
: \nabla \times \nabla \times \mathbf{A} = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^{2}\mathbf{A}

## Propraĵoj
### Distribueca propraĵo
: \nabla \cdot ( \mathbf{A} + \mathbf{B} ) = \nabla \cdot \mathbf{A} + \nabla \cdot \mathbf{B} 

: \nabla \times ( \mathbf{A} + \mathbf{B} ) = \nabla \times \mathbf{A} + \nabla \times \mathbf{B} 

### Gradiento de skalara produto
: \nabla(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} + (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} + \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{B}) + \mathbf{B} \times (\nabla \times \mathbf{A}) 

### Diverĝenco kaj kirlo de vektora produto
: \nabla \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot \nabla \times \mathbf{A} - \mathbf{A} \cdot \nabla \times \mathbf{B} 

: \nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{A}\nabla \cdot \mathbf{B} - \mathbf{B}\nabla \cdot \mathbf{A} + (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} 

### Diverĝenco kaj kirlo de produto de skalaro kaj vektoro
: \nabla \cdot (\psi\mathbf{A}) = \mathbf{A} \cdot\nabla\psi + \psi\nabla \cdot \mathbf{A} 

: \nabla \times (\psi\mathbf{A}) = \nabla\psi \times \mathbf{A} + \psi\nabla \times \mathbf{A} 

## Vidu ankaŭ 
* Vektora kalkulo

Kategorio:Vektora kalkulo
Unuargumenta perfekta nombro

**Unuargumenta perfekta nombro** estas entjero kiu estas sumo de ĉiuj siaj pozitivaj pozitivaj unuargumentaj divizoroj, ne inkluzivante la nombron sin. (dividanto *d* de nombro *n* estas unuargumenta dividanto se *d* kaj *n/d* ne havas komunajn faktorojn.)

Tial, 60 estas unuargumenta perfekta nombro, ĉar ĝiaj unuargumentaj divizoroj, 1, 3, 4, 5, 12, 15 kaj 20 estas ĝiaj pozitivaj unuargumentaj divizoroj, kaj 1 + 3 + 4 + 5 + 12 + 15 + 20 = 60. La unuaj kelkaj unuargumentaj perfektaj nombroj estas:

6, 60, 90, 87360, kaj 146&nbsp;361&nbsp;946&nbsp;186&nbsp;458&nbsp;562&nbsp;560&nbsp;000 (http://www.research.att.com/~njas/sequences/A002827)

Forestas neparaj unuargumentaj perfektaj nombroj. 

Ne estas sciata ĉu estas malfinie multaj unuargumentaj perfektaj nombroj.

## Vidu ankaŭ 
*Perfekta nombro

Kategorio:Entjeraj vicoj
Centrita oklatera nombro

eta|Centritaj oklateraj nombroj

En matematiko, **centrita oklatera nombro** estas centrita figuriga nombro kiu prezentas oklateron kun punkto en la centro kaj ĉiuj alia punktoj ĉirkaŭbarantaj la centra punkto kiel oklateraj tavoloj. La centrita okangula nombro por *n* estas donita per la formulo

: 8T_{n-1}+1

kie *T* estas normala triangula nombro, aŭ pli simple per kvadratoj de la neparaj nombroj:

: (2n+1)^2

La unuaj kelkaj centritaj okangulaj nombroj estas

: 1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529, 625, 729, 841, 961

Ĉiuj centritaj oklateraj nombroj estas neparaj, kaj en bazo 10 iliaj la lastaj ciferoj sekvas la ŝablonon 1-9-5-9-1.

Rezulto de τ funkcio de Ramanujan de centrita oklatera nombro estas nepara nombro, kaj por ĉiu la alia nombro rezulto de la funkcio estas para nombro.

## Vidu ankaŭ 
* Normala oklatera nombro

Kategorio:Figurigaj nombroj
Ekvacio de Ĉebiŝev

**Ekvacio de Ĉebiŝev** estas lineara ordinara diferenciala ekvacio de la dua ordo

: (1-x^2) {d^2 y \over d x^2} - x {d y \over d x} + p^2 y = 0 

kie *p* estas reela konstanto. La ekvacio estas nomita post rusia matematikisto Pafnutij Ĉebiŝov.

La solvaĵoj estas ricevita per potencoserio:

:y = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n

kie la koeficientoj obeas la rikuran formulon

: a_{n+2} = {(n-p) (n+p) \over (n+1) (n+2) } a_n 

Ĉi tiu serio konverĝas por *x* en *[-1, 1]*, kio povas vidiĝi per apliko de la rilatuma provo al la rikura rormulo.

La rikuro povas esti startita kun ajnaj valoroj de *a0* kaj *a1*, donante la du-dimensian spacon de solvaĵoj, kio estas pro la dua ordo de la diferenciala ekvacio. Estas du sendependaj solvaĵoj kiuj estas serioj por la valoroj de *a0* kaj *a1*:

: *a0 = 1 ; a1 = 0*
:: F(x) = 1 - \frac{p^2}{2!}x^2 + \frac{(p-2)p^2(p+2)}{4!}x^4 - \frac{(p-4)(p-2)p^2(p+2)(p+4)}{6!}x^6 + \cdots 

: *a0 = 0 ; a1 = 1*
:: G(x) = x - \frac{(p-1)(p+1)}{3!}x^3 + \frac{(p-3)(p-1)(p+1)(p+3)}{5!}x^5 - \cdots 

La ĝenerala solvaĵo estas ĉiu lineara kombinaĵo de ĉi tiuj du.

Se *p* estas entjero, unu aŭ la alia el la du funkcioj havas sian serion finitan post finia kvanto de termoj: *F* finias se *p* estas para, kaj *G* finias se *p* estas nepara.

En ĉi tiu okazo, tiu funkcio kiu estas polinomo de *p*-a grado (konverĝanta ĉie), kaj ĉi tiu polinomo estas proporcia kun la *p*-a polinomo de Ĉebiŝev.

Kategorio:Ordinaraj diferencialaj ekvacioj
Kondiĉa distribuo

Se estas du kolektive distribuitaj hazardaj variabloj *X* kaj *Y*, la **kondiĉa probabla distribuo** de *Y* je donita *X* (skribita "*Y* | *X*") estas la probablodistribuo de *Y* kiam estas sciate ke *X* egalas al certa valoro.

Por diskretaj hazardaj variabloj, la kondiĉa probabla distribua funkcio povas esti skribita kiel *P*(*Y* = *y* | *X* = *x*). De la difino de kondiĉa probablo, ĉi tio estas

:P(Y=y|X=x) = \frac{P(X=x\ \mathrm{kaj}\ Y=y)}{P(X=x)}= \frac{P(X=x|Y=y) P(Y=y)}{P(X=x)}.

Simile por kontinuaj hazardaj variabloj, la kondiĉa probabla denseca funkcio povas esti skribita kiel *p**Y*|*X*(*y* | *x*) kaj ĉi tio estas

:p_{Y|X}(y|x) = \frac{p_{X,Y}(x,y)}{p_X(x)}= \frac{p_{X|Y}(x|y)p_Y(y)}{p_X(x)}

kie *p**X*,*Y*(x, y) donas la artikan distribuon de *X* kaj *Y*, dum *p**X*(*x*) donas la bagatelan distribuon por *X*.

La koncepto de la kondiĉa distribuo de kontinua hazarda variablo estas ne tiel intuicia kiel ĝi povus aspekti: borela paradokso montras ke kondiĉaj probablaj densecaj funkcioj povas ne esti invariantaj sub la koordinataj transformoj.

Se por diskretaj hazardaj variabloj *P*(*Y* = *y* | *X* = *x*) = *P*(*Y* = *y*) por ĉiuj *x* kaj *y*, aŭ por kontinuaj hazardaj variabloj *p**Y*|*X*(*y* | *x*) = *p**Y*(*y*) por ĉiuj x kaj y, tiam *Y* estas sendependa de *X* kaj ĉi tio ankaŭ enhavas ke *X* estas sendependa de *Y*.

Kiel funkcio de *y* por donita *x*, *P*(*Y* = *y* | *X* = *x*) estas probablo, do  sumo super ĉiuj *y* (aŭ integralo se ĝi estas denseco) de ĝi estas 1. Kiel funkcio de *x* por donita *y*, ĝi estas verŝajneca funkcio, do la sumo super ĉiuj *x* povas ne esti 1.

Kategorio:Probablo-teorio
Densa aro

En topologio kaj rilataj areoj de matematiko, subaro *A* de topologia spaco *X* estas nomata **densa** (en *X*) se, ĉiu punkto en *X* povas esti "bone-aproksimita" per punktoj en *A*. Formale, *A* estas *densa* en *X* se por ĉiu punkto *x* en *X*, ĉiu najbareco de *x* enhavas almenaŭ unu punkton de *A*.

Ekvivalente, *A* estas densa en *X* se la sola fermita subaro de *X* enhavanta *A*-on estas *X* mem. Ĉi tiu povas ankaŭ esti esprimita per tio ke la fermaĵo de *A* estas *X*, aŭ ke la malfermaĵo de la komplemento de *A* estas malplena.

Alternativa difino en la okazo de la metrikaj spacoj estas jena: aro *A* en metrika spaco *X* estas densa se ĉiu x en X estas limigo de vico de eroj en *A*.

## Ekzemploj 
* Ĉiu topologia spaco estas densa en si
* La reelaj nombroj kun la kutima topologio enhavas racionalajn nombrojn kaj neracionalajn nombrojn kiel densaj subaroj
* Metrika spaco M estas densa en ĝia plenigo \gamma M

## Vidu ankaŭ 
* Apartigebla spaco, spaco kun kalkulebla densa subaro
* Nenie densa aro, la kontraŭa nocio

Kategorio:Ĝenerala topologio