Derivaĵo de produto

En matematiko, **produta regulo** aŭ **leĝo de Leibniz** estas formulo donanta derivaĵon de produto de funkcioj. Estu *f(x)* kaj *g(x)* esti du diferencialeblaj funkcioj de *x*. Tiam

: ''(f·g)'=f·g'+g·f' *

aŭ en la alia skribmaniero:

: {d(f(x)\cdot g(x)) \over dx}=f(x)\cdot {dg(x)\over dx}+g(x)\cdot {df(x)\over dx}

## Ekzemploj 
* Trovu derivaĵon de *f(x) = x2*. Ĉi tiu funkcio povas esti skribita kiel *f(x) = x·x* kaj per uzo de la produta regulo

: \frac{d(x^2)}{dx} = \frac{d(x \cdot x)}{dx} = x \cdot \frac{dx}{dx} + x \cdot \frac{dx}{dx} = x+x = 2x 

* Trovu derivaĵon de *f(x) = x3*. Ĉi tiu funkcio povas esti skribita kiel *f(x) = x2·x* kaj

: \frac{d(x^3)}{dx} = \frac{d(x^2 \cdot x)}{dx} = x^2 \cdot \frac{dx}{dx} + x \cdot \frac{d(x^2)}{dx} 

El la antaŭa ekzemplo prenu la formulon por \frac{d(x^2)}{dx} kaj do

: \frac{d(x^3)}{dx} = x^2 + x \cdot 2x = 3x^2 

* Trovu derivaĵon de *f(x) = x2 sin(x)*.

: \frac{d(x^2 \cdot \sin (x))}{dx} = x^2 \cdot \frac{d\sin(x)}{dx} + \sin(x) \cdot \frac{d(x^2)}{dx} 

Derivaĵo de *sin(x)* estas *cos(x)* kaj do

: \frac{d(x^2 \cdot \sin (x))}{dx} = x^2 cos(x) + 2x\,\sin(x) 

## Konsekvencoj 
* Speciff okazo de la produta regulo estas la **konstanta multiplika regulo** kiuj ststas ke se *c* estas konstanto (ne dependas de *x*) kaj *f(x)* estas diferencialebla funkcio, tiam *cf(x)* estas ankaŭ diferencialebla, kaj ĝia derivaĵo estas

: \frac{d(cf(x))}{dx} = c \cdot \frac{df(x)}{dx} 

ĉar  \frac{dc}{dx}=0 .

* La produta regulo donas la regulon por poparta integralado.

* La produta regulo donas la malfortan version de la regulo de derivaĵo de kvociento. Ĝi estas *malforta* versio en tio ke ĝi ne pruvas ke la kvociento estas diferencialebla, sed nur statas kio estas ĝia derivaĵo se estas ĝi estas diferencialebla.

## Pruvo 
### Per difino de derivaĵo 
eta|250px|*f(x)(g(x + h) - g(x)) + g(x + h)(f(x + h) - f(x))*

Ĉi tiu pruvo estas simila al la pruvo pli supre. Estu

: *y(x) = f(x)g(x)*

Laŭ difino de derivaĵo

: \frac{dy(x)}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{y(x + h) - y(x)}{h}

kaj do

: \frac{dy(x)}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h)g(x + h) - f(x)g(x)}{h}

Por plisimpligi la limigon oni adiciu kaj subtrahu termon *f(x)g(x + h)* al la numeratoro, tiam rezultas

: \frac{dy(x)}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h)g(x + h) - f(x)g(x) + f(x)g(x + h) - f(x)g(x + h)}{h}

Tiam eblas faktorigi partojn de la numeratoro

: \frac{dy(x)}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x)(g(x + h) - g(x)) + g(x + h)(f(x + h) - f(x))}{h}

La frakcio estas disdividiĝas en du frakciojn

: \frac{dy(x)}{dx} = \lim_{h \to 0} \left ( f(x)\frac{g(x + h) - g(x)}{h} + g(x + h)\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \right ) 

Pro tio ke *g(x)* estas diferencialebla ĝi estas kontinua je *x* kaj do  \lim_{h \to 0} g(x + h)  ekzistas kaj egalas al *g(x)*. Krome, *f(x)* ne dependas de *h* kaj povas esti eligita el la limigo kiel konstanta faktoro. Tiel la limigo povas esti aplikata aparte al eroj de la esprimo

:\frac{dy(x)}{dx} = f(x) \lim_{h \to 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h} + (\lim_{h \to 0} g(x + h)) \left(\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\right)

La difinoj de derivaĵoj de *f(x)* kaj *g(x)*

: \frac{df(x)}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

: \frac{dg(x)}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h}

Povas esti uzataj por anstataŭigi erojn de la antaŭ esprimo kaj rezultas la produta regulo

: \frac{dy(x)}{dx} = f(x) \frac{dg(x)}{dx} + g(x) \frac{df(x)}{dx}

### Per tuteca derivaĵo 
Funkcio *f(x) = g(x)h(x)* povas esti konsiderata kiel funkcio de du variabloj *g* kaj *h*, ĉiu el kiuj en sia vico estas funkcio de *x*.

Ambaŭ partaj derivaĵoj de *f* je *g* kaj *h* povas esti trovitaj:

:  \frac{\partial f}{\partial g} = h 

kie *h* estas konsiderata kiel konstanto; kaj

:  \frac{\partial f}{\partial h} = g

kie *g'' estas konsiderata kiel konstanto.

Tiam

:  \frac{df}{dx} = \frac{\partial f}{\partial g}g'(x) + \frac{\partial f}{\partial h}h'(x) =  h(x)g'(x) + g(x)h'(x) 

## Ekspliko per diferencialoj 
Malkovro de ĉi tiu regulo estas kreditita al Gottfried Wilhelm Leibniz, kiu monris ĝian verecon jene.

Estu *f(x)* kaj *g(x)* du diferencialeblaj funkcioj de *x*. La diferencialo de *fg* estas

: *d(fg) = (f + df)(g + dg) - fg = f·dg + g·df + df·dg*

Pro tio ke la termo *df·dg* estas *malatentebla* (ĉar ĝi estas kvadrate malgranda respektive al *df* kaj *dg*, Leibniz konkludis ke

: *d(fg) = f·dg + g·df*

kaj ĉi tio estas diferenciala formo de la produta regulo. Se dividi la esprimon per diferencialo *dx* rezultas

: \frac{d(fg)}{dx}  = f \frac{dg}{dx} + g \frac{df}{dx} 

## Aliaj okazoj 
### Derivaĵoj de produtoj de vektoraj funkcioj 
La regulo veras ankaŭ por skalara produto kaj vektora produto de du vektoro-valoraj funkcioj de skalara variablo.

Estu * **f**(x)* kaj * **g**(x)* ĉi tiaj funkcioj de skalaro *x*.

Tiam por derivaĵo de ilia skalara produto estas formulo

: {d(\mathbf{f}(x)\cdot \mathbf{g}(x)) \over dx}=\mathbf{f}(x)\cdot {d\mathbf{g}(x)\over dx}+\mathbf{g}(x)\cdot {d\mathbf{f}(x)\over dx}

Por derivaĵo de ilia vektora produto estas formulo

: {d(\mathbf{f}(x)\times \mathbf{g}(x)) \over dx}=\mathbf{f}(x)\times {d\mathbf{g}(x)\over dx}+ {d\mathbf{f}(x)\over dx}\times \mathbf{g}(x)

kie la ordo de multiplikatoj en ĉiu vektora produto gravas.

### Derivaĵo de produto de matricaj funkcioj 
La regulo veras ankaŭ por matrica produto kaj vektora produto de du matrico-valoraj funkcioj de skalara variablo.

Estu *A(x)* kaj *B(x)* ĉi tiaj funkcioj de skalaro *x*, de tiaj ampleksoj ke ilia matrica produto *A(x)B(x)* ekzistas.

Tiam por derivaĵo de ilia matrica produto estas formulo

: {d(A(x)B(x)) \over dx}=A(x){dB(x)\over dx} + {dA(x)\over dx}B(x)

kie la ordo de multiplikatoj en ĉiu produto gravas.

### Derivaĵo de produto de pli ol du funkcioj 
La produta regulo povas esti ĝeneraligita al produto de pli ol du faktoroj.

Por kolekto de funkcioj *f1(x), ..., fk(x)* de variablo *x*:

: \frac{d \prod_{i=1}^k f_i(x) }{dx} = \sum_{i=1}^k \left(\frac{df_i(x)}{dx} \prod_{j\ne i} f_j(x) \right) 

Ekzemple, por tri faktoroj:

: \frac{d(uvw)}{dx} = \frac{du}{dx}vw + u\frac{dv}{dx}w + uv\frac{dw}{dx}

Ĉi tio veras ankaŭ por matrico-valoraj funkcioj, sed tiam ordo de multiplikatoj en la produtoj devas esti ĉiam tia kia ĝi estas en la fonta produto. Por kolekto de matrico-valoraj funkcioj *A1(x), ..., Ak(x)* de variablo *x*, de ampleksoj tiaj ke ilia produto ekzistas. Taim

: \frac{d \prod_{i=1}^k A_i(x) }{dx} = \sum_{i=1}^k \left(\left(\prod_{j=1}^{i-1} A_j(x)\right) \frac{dA_i(x)}{dx} \left(\prod_{j=i+1}^k A_j(x) \right)\right) 

Ekzemple, por tri faktoroj:

: \frac{d(ABC)}{dx} = \frac{dA}{dx}BC + A\frac{dB}{dx}C + AB\frac{dC}{dx}

### Pli altaj derivaĵoj 
La produta regulo povas esti ĝeneraligita al pli altaj derivaĵoj de produto de du funkcioj *f(x)* kaj *g(x)* de variablo *x*:

: {d^n (f(x)g(x)) \over dx^n}= \sum_{k=0}^n {n \choose k} \cdot {d^{n-k} f(x) \over dx^{n-k}} \cdot {d^k g(x) \over dx^k}

kie {n \choose k} estas binomaj koeficientoj. La formulo aspekte similas al la binomo de Newton.

Ekzemple por *n=2*:

: {d^2 (f(x)g(x)) \over dx^2}= f(x) \cdot {d^2 g(x) \over dx^2}+2  \cdot {df(x) \over dx} \cdot {dg(x) \over dx}+{d^2 f(x) \over dx^2} \cdot g(x)

Ĉi tio veras ankaŭ por matrico-valoraj funkcioj, tiam la ordo de multiplikatoj en ĉiu produto gravas.

### Miksitaj partaj derivaĵoj 
Por miksita parta derivaĵo de *n*-a ordo de produto de du funkcioj *f(x1, ..., xn)* kaj *g(x1, ..., xn)* je *x1, ..., xn* estas formulo

: {\partial^n (fg) \over \partial x_1\,\cdots\,\partial x_n}
= \sum_S {\partial^ f \over \prod_{i\in S} \partial x_i} \cdot {\partial^{n-|S|} g \over \prod_{i\not\in S} \partial x_i}

kie la indekso *S* trapasas ĉiujn *2n* variantojn de subaro de aro *{1, ..., n}*.

Ekzemple por *n=3*:

:  {\partial^3 (fg) \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} = 
:  = f \cdot{\partial^3 g \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} + {\partial f \over \partial x_1}\cdot{\partial^2 g \over \partial x_2\,\partial x_3} + {\partial f \over \partial x_2}\cdot{\partial^2 g \over \partial x_1\,\partial x_3} + {\partial f \over \partial x_3}\cdot{\partial^2 g \over \partial x_1\,\partial x_2} + 
:  + {\partial^2 f \over \partial x_1\,\partial x_2}\cdot{\partial g \over \partial x_3}
+ {\partial^2 f \over \partial x_1\,\partial x_3}\cdot{\partial g \over \partial x_2}
+ {\partial^2 f \over \partial x_2\,\partial x_3}\cdot{\partial g \over \partial x_1}
+ {\partial^3 f \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3}\cdot g 

Ĉi tio veras ankaŭ por matrico-valoraj funkcioj, tiam la ordo de multiplikatoj en ĉiu produto gravas.

## Vidu ankaŭ 
* Derivaĵo de funkcia komponaĵo
* Operacioj en vektora kalkulo
* Derivaĵo de kvociento
* Poparta integralado
* Formulo de Faà di Bruno

Kategorio:Diferenciala kalkulo