Sinc funkcio

eta|altdekstre=2|La ununormigita *sinc* (blua) kaj nenormigita *sinc* funkcio (ruĝa) montritaj sur la sama skalo de *x* ekde *-6π* al *6π*.

En matematiko, la '* *sinc* funkcio*', skribata kiel *sinc(x)* kaj iam kiel *Sa(x)*, havas du proksimajn difinojn. En cifereca signal-prilaborado kaj informteorio, la '*ununormigita *sinc* funkcio*' estas kutime difinita per

: \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}

Ĝi estas nomata kiel ununormigita ĉar ĝia integralo super ĉiuj *x* egalas al 1. La konverto de Fourier de la ununormigita *sinc* funkcio estas la ortangula funkcio sen skalado. Ĉi tiu funkcio estas fundamenta en la koncepto de interpola formulo de Whittaker-Shannon por rekonstruo de la originala kontinua bendolimigita signalo de uniforme spacitaj specimenoj de la signalo.

En matematiko, la historia '*nenormigita *sinc* funkcio*' estas difinita per

: \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x}

La nura diferenco inter la du difinoj estas en la skalado de la nedependa variablo (la abscisa akso) per faktoro π.

En ambaŭ okazoj, la valoro de la funkcio je la forprenebla specialaĵo je nulo estas komprenita al esti la limesa valoro 1. La *sinc* funkcio estas analitika funkcio ĉie.

La simbolo "*sinc*" estas kuntiro de la funkcia plena latina nomo "*sinus cardinalis*" (kardinala sinuso).

## Propraĵoj 
La nuloj de la nenormigita *sinc* estas je nenulaj obloj de *π*, nuloj de la ununormigita *sinc* estas je nenulaj entjeraj valoroj.

La kontinua konverto de Fourier de la ununormigita *sinc* (al ordinara frekvenco) estas ortangula funkcio *rect(f)*

: \int_{-\infty}^\infty \mathrm{sinc}(t) \, e^{-i 2 \pi f t}\,dt = \mathrm{rect}(f)

kie la ortangula funkcio *rect* egalas al 1 por argumento inter -1/2 kaj 1/2, kaj nulo alie. Ĉi tio respektivas al la fakto ke la *sinc* filtrilo estas la ideala briko-mura kun ortangula frekvenca respondo malalta-pasa filtrilo. Ĉi tiu integralo de Fourier, inkluzivante la specialan okazon

: \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \, dx = \mathrm{rect}(0) = 1

estas nepropra integralo kaj ne konverĝa lebega integralo, ĉar

: \int_{-\infty}^\infty \left|\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \right|\, dx = +\infty

La ununormigita *sinc* funkcio havas propraĵojn kiuj faras ĝin idealan en interrilato al interpolo de specimenitaj bendolimigitaj funkcioj:

* Ĝi estas interpolanta funkcio, kio estas, *sinc(0) = 1*, kaj *sinc(k) = 0* por nenula entjera *k*.
* La funkcioj *xk(t) = sinc(t-k)* formas ortonormalan bazon por bendolimigitaj funkcioj en la funkcia spaco * **L**2(**R**)*, kun plej alta angula frekvenco *ωH = π*, kio estas kun plej alta cikla frekvenco *fH = 1/2*.

Aliaj propraĵoj de la du *sinc* funkcioj estas:

* La lokaj maksimumoj kaj minimumoj de la nenormigita *sinc* respektivas al ĝia intersekcoj kun la kosinusa funkcio. Tio estas, *sin(ξ)/ξ = cos(ξ)* por ĉiuj punktoj *ξ* kie la derivaĵo de *sin(x)/x* estas nulo (kaj tial loka ekstremumo estas atingita).

* La ununormigita *sinc* funkcio havas simplan prezenton kiel la malfinia produto
: \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)\,\!

* La ununormigita *sinc* funkcio estas rilatanta al la Γ-funkcio *Γ(x)* per la eŭlera reflekta formulo
: \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma(1+x)\Gamma(1-x)}

* \frac{\sin(x)}{x} = \prod_{n=1}^\infty \cos\left(\frac{x}{2^n}\right)

* La nenormigita *sinc* estas la nula orda sfera funkcio de Bessel de la unua speco *j0(x)*. La ununormigita *sinc* estas *j0(πx)*.

*  \int_0^x \frac{\sin(\theta)}{\theta}\,d\theta = \mathrm{Si}(x) 
: kie *Si(x)* estas la sinusa integralo.

* La ne ununormigita *λsinc(λx) = sin(λx)/x* estas unu el du lineare sendependaj solvaĵoj al la lineara ordinara diferenciala ekvacio
:: x \frac{d^2 y}{d x^2} + 2 \frac{d y}{d x} + \lambda^2 x y = 0
: La alia estas *cos(λx)/x*, kiu estas ne barita je *x=0*, malsimile al *sinc*.

*  \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\theta)^2}{\theta^2}\,d\theta = \pi 

*  \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\pi\theta)^2}{(\pi\theta)^2}\,d\theta = 1 

*  \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\theta)^3}{\theta^3}\,d\theta = \frac{3\pi}{4} 

*  \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\theta)^4}{\theta^4}\,d\theta = \frac{2\pi}{3} 

## Interrilato al la diraka delta distribuo 
La ununormigita *sinc* funkcio povas esti uzata kiel generanto de la diraka delta funkcio, en signifo ke jena malforta limeso veras:

: \lim_{a\rightarrow 0}\frac{1}{a}\mathrm{sinc}(x/a)=\delta(x)

Ĉi tiu estas ne ordinara limeso, ĉar la maldekstra flanko ne konverĝas. Ĉi tio signifas ke

: \lim_{a\rightarrow 0}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{a}\mathrm{sinc}(x/a)\varphi(x)\,dx
 = \varphi(0) 

por ĉiu glata funkcio *φ(x)* kun kompakta subteno.

En la pli supre donita esprimo, kiam *a* proksimiĝas al nulo, la kvanto de osciladoj por unuo de longo de la *sinc* funkcio proksimiĝas al malfinio. Tamen, la esprimo ĉiam oscilas ene de la koverto de *±1/(πax)*, kaj proksimiĝas al nulo por ĉiu nenula valoro de *x*. Ĉi tiu komplikigas la neformalan bildo de *δ(x)* kiel estanta nulo por ĉiuj *x* escepti de la punkto *x=0* kaj ilustras la problemon de opiniado de la delta funkcio kiel funkcio anstataŭ kiel distribuo. Simila situacio estas trovata en la aperaĵo de Gibbs.

## Vidu ankaŭ 
* Sinusa funkcio
* Glatigo
* *sinc*-filtrilo
* Interpola formulo de Whittaker-Shannon

## Eksteraj ligiloj 
* 

Kategorio:Signal-prilaborado
Kategorio:Rudimentaj specialaj funkcioj