open-index/open-wikipedia-markdown huggingface dataset:
Unita operatoro

En funkcionala analitiko, **unita operatoro** estas barita lineara operatoro *U* sur hilberta spaco tia ke

: *U*U = UU* = I*

kie *U** estas la hermita adjunkto de *U*, kaj *I* estas la identa operatoro. Ĉi tiu propraĵo estas ekvivalento al ĉiu el jenaj kondiĉoj:

* *U* estas surĵeta izometrio

*  *U* estas surĵeta kaj konservas la enan produton  sur la Hilberta spaco, tiel ke por ĉiuj vektoroj ***x*** kaj ***y*** en la hilberta spaco,

: *&lt;U**x**, U**y**> = *

Unitaj operatoroj prezentas izomorfiojn inter operatoraj algebroj.

## Ekzemploj
* La identa funkcio estas bagatele unita operatoro.
* Sur la aro **C** de kompleksaj nombroj, multipliko per nombro de absoluta valoro 1, tio estas, nombro de la formo *eiθ* por reela *θ*, estas unita operatoro.
* Unita matrico estas unuargumenta operatoro sur iu finidimensia hilberta spaco * **C**n*, tiel la nocio de unita operatoro estas ĝeneraligo de la nocio de unuargumenta matrico al malfinidimensiaj spacoj. Perpendikularaj matricoj estas la speciala okazo de unita matricoj en kiu ĉiuj elementoj estas reelaj. Perpendikularaj matricoj estas la unuargumentaj operatoroj sur * **R**n*.
* La ambaŭflanka ŝovo sur la vica spaco \ell^2 indeksita per la entjeroj estas unita. Ĝenerale, ĉiuoperatoro en hilberta spaco kiu agas kiel miksanta ĉirkaŭ ortnormala bazo estas unita.
* Konverto de Fourier kun pozitiva normaligo estas unita operatoro. Ĉi tiu sekvas de teoremo de Parseval.

## Propraĵoj 
* La spektro de unuargumenta operatoro kuŝas sur la unuobla cirklo. Tio estas, por ĉiu kompleksa nombro *&lambda;* en la spektro, veras *|&lambda;|=1*. Ĉi tio estas simpla konsekvenco de tio ke unuitaj operatoroj estas izometrioj.

## Lineareco 
La postulo de lineareco en la difino de unita operatoro povas esti forigita, ĉar ĝi sekvas el la propraĵoj de la ena produto:

: \langle \lambda\cdot U x-U(\lambda\cdot x), \lambda\cdot U x-U(\lambda\cdot x) \rangle 
:  = \| \lambda \cdot U x \|^2 + \| U(\lambda \cdot x) \|^2 - \langle U(\lambda\cdot x), \lambda\cdot U x \rangle - \langle \lambda\cdot U x, U(\lambda\cdot x) \rangle 
: = |\lambda|^2 \cdot \| U x \|^2 + \| U(\lambda \cdot x) \|^2 - \overline{\lambda}\cdot \langle U(\lambda\cdot x), U x \rangle - \lambda\cdot \langle U x, U(\lambda\cdot x) \rangle 
: = |\lambda|^2 \cdot \| x \|^2 + \| \lambda \cdot x \|^2 - \overline{\lambda}\cdot \langle \lambda\cdot x, x \rangle - \lambda\cdot \langle x, \lambda\cdot x \rangle 
: = 0

Analoge

: \langle U(x+y)-(U x+Uy), U(x+y)-(U x+Uy) \rangle = 0 

## Vidu ankaŭ 
* Antiunita operatoro - tia ke
*: \langle U x, Uy \rangle = \overline{\langle x, y \rangle}=\langle y, x \rangle 
* Unita matrico
* Perpendikulara matrico

Kategorio:Operatora teorio
Kategorio:Unuargumentaj operatoroj
Analitika geometrio

eta
**Analitika geometrio**, ankaŭ nomata **koordinata geometrio** kaj pli frue nomata **kartezia geometrio**, estas studo de geometrio uzanta la principojn de algebro. Kutime la karteziaj koordinatoj estas aplikitaj por manipuli ekvaciojn por ebenoj, rektoj, kurboj, cirkloj, en du, tri kaj iam en pli multaj dimensioj. Kiel instruite en lernejaj libroj, analitika geometrio povas esti eksplikita pli simple: ĝi okupiĝas pri difinado de geometriaj formoj en nombra vojo, kaj ekstraktante nombran informon de tiu prezento. La nombra elaĵo, tamen, povus ankaŭ esti vektoro aŭ formo. Iuj konsideras, ke la enkonduko de analitika geometrio estis la komenco de moderna matematiko.

Rene Descartes estas populare estimita kiel prezentinto de la fundamento por la metodoj de analitika geometrio en 1637 en apendico titolita *Geometrio* de verko titolita *Traktato pri la metodo de ĝusta konduto de la kaŭzo en la serĉo por vero en la sciencoj*, kutime mallongigita kiel *Traktato pri metodo*. Ĉi tiu verko, skribita en lia denaska lingvo franca lingvo, kaj ĝia filozofiaj principoj provizis la fundamenton por kalkulo en Eŭropo.

## Gravaj temoj de analitika geometrio 
* Vektora spaco
* Difino de la ebeno
* Distanco-problemoj
* Skalara produto, por trovi angulon inter du vektoroj
* Vektora produto
* Komunaĵo-problemoj

Multaj el ĉi tiuj problemoj engaĝas linearan algebron

## Ekzemplo 
Jen ekzemplo de problemo de la USAMTS, kiu povas esti solvita per analitika geometrio:

**Problemo:** En konveksa kvinlatero ABCDE, la lateroj havas longojn 1, 2, 3, 4 kaj 5, kvankam ne bezone en tiu ordo). Estu F, G, H, kaj I esti la mezpunktoj de la lateroj AB, BC, CD, kaj DE, respektive.
Estu X esti la mezpunkto de segmento FH, kaj Y esti la mezpunkto de segmento GI. La longo de
segmento XY estas entjero. Trovi ĉiujn eblajn valorojn por la longo de AE.

**Solvaĵo:** Estu A, B, C, D, kaj E troviĝi je A(0,0), B(a,0), C(b,e), D(c,f), kaj E(d,g).

Laŭ la mezpunkta formulo, la punktoj F, G, H, I, X, kaj Y situas je

:F\left(\frac{a}{2},0\right), G\left(\frac{a+b}{2},\frac{e}{2}\right), H\left(\frac{b+c}{2},\frac{e+f}{2}\right), I\left(\frac{c+d}{2},\frac{f+g}{2}\right), X\left(\frac{a+b+c}{4},\frac{e+f}{4}\right), kaj Y\left(\frac{a+b+c+d}{4},\frac{e+f+g}{4}\right)

Uzanta la distancan formulon,

:AE=\sqrt{d^2+g^2}

kaj

:XY=\sqrt{\frac{d^2}{16}+\frac{g^2}{16}}=\frac{\sqrt{d^2+g^2}}{4}

Pro tio ke longo de XY estas entjero,

:AE\equiv 0\pmod{4}

(vidu en modula aritmetiko), do AE=4.

## Aliaj uzoj 
**Analitika geometrio**, por algebra geometrio, estas ankaŭ la nomo por la teorio de (reela aŭ) kompleksaj sternaĵoj kaj la pli ĝeneralaj **analitikaj spacoj** difinitaj kiel lokoj de nuloj (nuligejoj) de analitikaj funkcioj de kelkaj kompleksaj variabloj (aŭ iam reelaj). Ĝi estas proksime ligita al algebra geometrio. Ĝi estas severe pli granda areo ol algebra geometrio, sed studata per similaj manieroj.

## Vidu ankaŭ 
* Aksiomo de Cantor-Dedekind

Kategorio:Geometrio
Kategorio:Algebra geometrio
Rolando

eta|la rolando de Bremeno
**Rolando** estas statuo de kavaliro kun nuda glavo (juĝista glavo), kiu relative ofte estas trovebla en urboj de norda kaj orienta Germanio.

## Signifo 
En la mezepoko oni starigis roland-statuojn kiel signon de burĝa libereco. La rolando figuris la memstarecon de urbo kun propra jurisdikcio. Sed ankaŭ aliaj kaŭzoj povis ludi rolon, ekz. la ekonomia bonfarto de urbo.

En la mezepoko la figuro de rolando, kiu konatiĝis per la roland-kanto, havis la statuson de popola heroo. La gloro baziĝis sur la sorto de Hruotland, kiu sub Karolo la Granda estis grafo en Bretonio. *Roland* falis en la batalo kontraŭ la eŭskoj sub grafo *Lupus* en la Pireneoj en la valo de Roncesvalles la 15-an de aŭgusto 778.

Poste oni uzis rolandojn ankaŭ kiel simbolon kontraŭ la eklezia regado. Tamen kontraŭe al tio la plej malnovaj figuroj de rolando, ĉefe en suda Eŭropo, havis gravan ligon al la kristana religio. Rolandoj ĉefe staris tie, kie regis la Magdeburga juro.

## La rolando de Bremeno 
La urbo Bremeno jam tre frue havis lignan rolandon, kiu tamen forbrulis en 1366. Jam en 1404 oni konstruis novan rolandon el hela kalkŝtono kiel simbolon por rajto kaj libereco en la Franka Regno. Ĝi estis starigita sur la urbodoma placo rekte vidalvide al la katedralo. Tio estis defio por la tiama eklezio, ĉar ĝi montris la deziron de la burĝaro de Bremen je sendependeco de la reganta eklezio. De Bremen la rolando disvastiĝis kiel simbolo de la libereco en Eŭropo.

En julio 2004, 600 jarojn post la starigo, la rolando de Bremen kune kun la urbodomo pro la signifo por la sendependeco de la urbo estis listigita kiel Monda Kulturheredaĵo de UNESKO.

## Pluaj statuoj 
[eta|140ra|la ŝtona rolando de la urbo [Bad Bramstedt en Ŝlesvigo-Holstinio]]
Konataj estas entute ĉirkaŭ 55 rolando-statuoj, el kiuj 20 ankoraŭ ekzistas. 13 el la konataj statuoj troviĝas en Saksio-Anhalto, kio montras koncentriĝon en la orienta kaj okcidenta tereno de la meza Elbo. Tio koincidas kun la orienta kaj norda limregiono de la Franka Regno ĉirkaŭ la jaro 800 kaj montras ligon al Karolo la Granda.

Specialaĵo estas la rolando de Haldensleben, ĉar ĝi estas la ununura rajdanta rolando. En kelkaj lokoj la rolando poste fariĝis motivo por la urba blazono, ekz. en Wedel, Bad Bramstedt aŭ en Wolfsburg-Hehlingen. La blazono de Hehlingen montras la rolandon, kiu nun troviĝas en Haldensleben. Laŭ legendo ĝi estis ŝtelita en 1419. Ekzistas kelkaj tiaj legendoj pri ŝtelado de rolandoj, kio pruvas la altan simbolan signifon de tiu figuro.

## Eksteraj ligiloj 
* Listo de rolandoj (germanlingva)

Kategorio:Germanio
Kategorio:Statuoj
Kategorio:Bremeno
Multaro

**Multaro** estas matematika objekto simila al aro, sed kun la diferenco ke en multaro elementoj povas plurfoje aperi. Alimaniere dirite, multaro estas neordigita opo. La koncepto de multaro estas uzata, ekzemple, en komputiko.

Same kiel arojn, oni uzas por multaroj notacion kun kunigaj krampoj. Ekzemple, {*a*, *a*, *b*, *b*, *c*} estas multaro. *a* aperas dufoje en ĝi; tial oni diras ke la elemento *a* havas la oblecon 2 en tiu ĉi multaro.

## Formala difino
En aroteorio, **multaro** povas esti formale difinita kiel paro (*A*, *m*) kie *A* estas iu aro kaj *m* : *A* → **N** estas funkcio de *A* al la aro **N** de (pozitivaj) naturaj nombroj. La aro *A* nomiĝas la *subkuŝanta aro de elementoj*. Por ĉiu *a* en *A* la *obleco* (tio estas, la nombro de aperoj) de *a* estas la nombro *m*(*a*).

La koncepto de multaro estas ĝeneraligo de la koncepto de aro: Multaro estas aro se la obleco de ĉiu elemento estas 1. 

Kutime en aroteorio oni difinas funkcion kiel aron de duopoj { (*a*, *m*(*a*)) : *a* &isin; *A* }. Ekzemple la multaro skribita kiel { *a*, *b*, *b* } estas difinita kiel { (*a*, 1), (*b*, 2) }, kaj la multaro skribita kiel { *a*, *a*, *b* } estas difinita kiel { (*a*, 2), (*b*, 1) }.

Se la aro *A* estas finia, la *longo* de la multaro (*A*, *m*) estas la sumo de ĉiuj oblecoj de la elementoj de *A*:
:|(A,m)|=\sum_{a\in A}m(a).

## Ekzemploj
Unu el la plej naturaj kaj simplaj ekzemploj estas la multaro de primaj faktoroj de iu nombro *n*. En ĉi tiu kazo la subkuŝanta aro estas la aro de primaj divizoroj de *n*. Ekzemple la nombro 120 havas la priman faktorigon
:120 = 2^3 3^1 5^1
kies multaro estas {2, 2, 2, 3, 5}.

Alia ekzemplo estas la multaro de solvoj de algebra ekvacio. Ĉiu lernas en mezlernejo ke kvadrata ekvacio havas du solvojn, sed en iuj okazoj ili estas ambaŭ la sama nombro. Tial la multaro de solvoj de la ekvacio povis esti { 3, 5 }, aŭ ĝi povis esti { 4, 4 }. En la lasta kazo ĝi havas solvon de obleco 2.

## Operacioj
La kutimaj operacioj de aroj kiel kunaĵo, komunaĵo kaj Kartezia produto povas esti facile ĝeneraligitaj por multaroj.

(*A*, *m*) kaj (*B*, *n*) estu multaroj
* La kunaĵo estas difinita kiel (*A* &cup; *B*, *f*) kie *f*(*x*) = (maks, maksimuma){*m*(*x*), *n*(*x*)}.
* La komunaĵo estas difinita kiel (*A* ∩ *B*, *f*) kie *f*(*x*) = min{*m*(*x*), *n*(*x*)}.
* La kartezia produto estas difinita kiel (*A* × *B*, *f*) kie *f*((*x*,*y*)) = *m*(*x*)*n*(*y*).

Aldone ekzistas jena operacio, kiu ne havas ekvivalenton ĉe la aroj:
* La sumo estas difinita kiel (A,m) \biguplus (B,n) = (A \cup B, f)  kie *f*(*x*) = *m*(*x*)+*n*(*x*).

## Vidu ankaŭ
*Aro
*Aroteorio
*Funkcio
*Neakra aro

Kategorio:Aro-teorio
Videbla (fiziko)

En fiziko, aparte en kvantuma fiziko, sistemo estas **videbla** se la sistema stato povas esti difinita per iu vico de fizikaj operacioj. Ĉi tiuj operacioj povus engaĝi submeton de la sistemon al diversaj elektromagnetaj kampoj kaj eble lego de valoro for iu kalibro. En sistemoj regataj de klasika mekaniko, ĉiu eksperimente videbla valoro povas esti priskribita per reelo-valora funkcio sur aro de ĉiuj eblaj sistemaj statoj. En kvantuma fiziko, aliflanke, la rilato inter sistema stato kaj la valoro de videbla estas pli subtila, postulanta iun bazan lineara algebron por ekspliki. En la matematika formulaĵo de kvantummekaniko, statoj estas donitaj per ne-nulo vektoroj en hilberta spaco *V* (kie du vektoroj estas konsideritaj precizigi la saman staton, se kaj nur se, ili estas skalaraj obloj unu de la alia kaj observeblaĵoj estas donita per hermitaj operatoroj sur *V*. Tamen, kiel indikiĝos pli sube, ne ĉiu hermita operatoro korespondas al fizike signifa videblo. Por la okazo de sistemo de partikloj, la spaco *V* konsistas el funkcioj nomataj kiel ondaj funkcioj.

En kvantummekaniko, mezuro de observeblaĵoj eksponas iu kvazaŭe misteraj fenomenoj. Ĉi tiu ofte kondukas al multaj miskomprenoj pri la naturo de kvantummekanika mem. La faktoj de la afero, tamen, estas ege pli ordinaraj. Aparte, se sistemo estas en stato priskribita per onda funkcio, la mezura procezo afektas la staton en ne-determinisma, sed statistike antaŭvidebla maniero. Aparte, post mezuro estas aplikita, la stato priskribo per sola onda funkcio povas neniiĝi, estante anstataŭigita per statistika ensemblo de ondaj funkcioj. La nemalfarebla naturo de mezuraj operacioj en kvantuma fiziko estas iam nomita la mezura problemo kaj estas priskribita matematike per kvantumaj operacioj. Per la strukturo de kvantumaj operacioj, ĉi tiu priskribo estas matematike ekvivalento al tiu ofertita de relativa stato interpretado kie la originala sistemo estas estimita kiel subsistemo de pli granda sistemo kaj la stato de la originala sistemo estas donita per la parta spuro de la stato de la pli granda sistemo.

Fizike signifo de observebleco devas ankaŭ kontentigi transformajn leĝojn kiuj klarigi observadoj plenumitan de malsamaj rigardantoj en malsamaj kadroj de referenco. Ĉi tiuj transformaj leĝoj estas aŭtomorfioj de la stato-spaco, tio estas inversigebla transformoj kiu kontentigas iun matematikan propraĵon. Ĉe kvantummekaniko, la bezonataj aŭtomorfioj estas unuohava (aŭ kontraŭ-unuohava) linearaj transformoj de la hilberta spaco *V*. Sub relativeco de Galileo aŭ speciala relativeco, la matematiko de kadroj de referenco estas aparte simpla, kaj fakte limigas konsiderinde la aron de fizike signifaj observeblaĵoj.

## Referencoj 
* S. Auyang, *Kiel estas Kvantuma Kampa Teorio Ebla*, Oksford University Press, 1995.
* G. Mackey, *Matematikaj Fundamentoj de Kvantuma Mekaniko*, W. A. Benjamen, 1963.
* V. Varadarajan, *La Geometrio de Kvantuma Mekaniko* (volumenoj, volumoj) 1 kaj 2, Springer-Verlag 1985.

Kategorio:Kvantummekaniko
Nulo (kompleksa analitiko)

En kompleksa analitiko, **nulo** de holomorfa funkcio *f* estas kompleksa nombro *a* tia ke *f(a) = 0*.

## Obleco de nulo 
Kompleksa nombro *a* estas **simpla nulo** de *f*, aŭ **nulo de obleco 1** de *f*, se *f* povas esti skribita kiel

: *f(z)=(z-a)g(z)*

kie *g* estas holomorfa funkcio *g* tia ke *g(a)≠0*.

Ĝenerale, la **obleco** de la nulo de *f* je *a* estas pozitiva entjero *n* tia ke estas holomorfa funkcio *g* tia ke *g(a)≠0* kaj

: *f(z)=(z-a)ng(z)*

## Ekzisto de nuloj 
La fundamenta teoremo de algebro statas ke ĉiu nekonstanta polinomo kun kompleksaj koeficientoj havas almenaŭ unu nulon en la kompleksa ebeno. Ĉi tiu estas en kontrasto al la situacio kun reelaj nuloj: iuj polinomaj funkcioj kun reelaj koeficientoj ne havas reelajn nulojn, kvankam pro tio ke reelaj nombroj estas subaro de kompleksaj nombroj, la funkcioj havas kompleksajn nulojn. Ekzemplo estas *f(x) = x2 + 1*, kies nuloj estas *i* kaj *-i*.

## Vidu ankaŭ 
* Radiko (matematiko)
* Poluso (kompleksa analitiko)
* Teoremo de Hurwitz

Kategorio:Kompleksa analitiko
Teorio de tipoj

En programlingva teorio, branĉo de komputiko, la **teorio de tipoj** provizas la formalan bazon por la dizajno, analitiko kaj studo de tipo-sistemoj. Ja, multaj komputilo-sciencistoj uzas la terminon *teorio de tipoj* por nomi la formalan studon de tipo-sistemoj por programlingvoj, kvankam iuj limigas ĝin al la studo de pli abstraktaj formalismoj kiel tipitaj λ-kalkuloj. Je la plej larĝa nivelo, **teorio de tipoj** estas la branĉo de matematiko kaj logiko, kiu koncernas sin kun klasigi entojn en kolektojn nomitajn kiel *tipoj*. En ĉi tiu senco, ĝi rilatas al la metafizika nocio de 'tipo'. La moderna teorio de tipoj estis inventita parte en respondo al la paradokso de Russell, kaj estas esprimitas elstare en *Principoj Mathematica* far Russell kaj Whitehead.

## Tipa sistemo 
La difinoj de *tipo-sistemo* diversas, sed jena de Benjamin C. Pierce malglate korespondas al la aktuala interkonsento en la programlingva teoria komunaĵo:

:Tipo-sistemo estas akordiĝema sintakta maniero pruvi la foreston de certaj programaj kondutoj kaj per tio klasigi frazojn laŭ la specoj de valoroj, kiujn ili komputas.

En aliaj vortoj, tipo-sistemo dividas programajn valorojn en arojn nomitajn kiel tipoj (ĉi tio estas nomata kiel "tip-asigno"), kaj proklamas certajn programajn kondutojn kiel mallaŭregula sur la bazo de la tipoj, kiuj estas tial asignitaj. Ekzemple, tip-sistemo povas klasifiki valoron "hola" kiel linio kaj la valoro 5 kiel nombro, kaj malpermesi la programisto adicii "hola" al 5 surbaze de tiu tip-asigno. En ĉi tiu tipa sistemo, la programo

: "hola" + 5

devas esti mallaŭregula. De ĉi tie, ĉiu programo permesita laŭ la tip-sistemo devus esti verŝajne libera de la erara konduto de adicio de linioj kun nombroj.

La dizajno kaj realigo de tip-sistemoj estas aktuala proksime same kiel aktuala estas programlingvo mem. Fakte, proponantoj de la teorio de tipoj kutime proklamas, ke la dizajno de tipo-sistemoj estas la pura esenco de programlingva dizajno: "Dizajnu la tip-sistemon ĝuste, kaj la lingvo dizajniĝos mem.".

## Vidu ankaŭ 
* Logiko de supera ordo

## Eksteraj ligiloj 
* Abstrakta datumtipo
* Enkonduka papero pri formala bazo de ADT-oj, interrilato al teorio de kategorioj, kaj listo de bonaj referencoj. Paĝoj 3-4 aperas taŭgaj. Referenca nombro [6] aspektas bona, sed ĝi povas ne esti havebla surlinie.
* Naiva komputa tip-teorio  per Robert L. Constable
* Peter B. Andrews, *Enkonduko al matematika logiko kaj tipa teorio: al vero tra pruvo*, dua redakcio, Kluwer Academic Publishers, 2002. http://www.springeronline.com/sgw/cda/frontpage/0,11855,4-0-22-33641956-0,00.html?referer=www.springeronline.com/isbn/1-4020-0763-9
* Luca Cardelli, "Tipaj Sistemoj," *La Komputila Scienco kaj Inĝenierada Gvidlibro*, Allen B. Tucker (red.), ĉapitro 103, pp. 2208-2236, CRC Press, Boca Raton, FL, 1997. (rete)

Kategorio:Matematika logiko
Kategorio:Logiko en komputiko
Kategorio:Teorio de tipoj
Aritmetika funkcio

En nombroteorio, **aritmetika funkcio** (aŭ **nombro-teoria funkcio**) *f(n)* estas funkcio difinita por ĉiuj pozitiva entjeroj kaj havanta kiel valoroj kompleksajn nombrojn. En alia vortoj, aritmetika funkcio estas vico de kompleksaj nombroj.

La plej gravaj aritmetikaj funkcioj estas la adicia kaj la multiplikaj.

Grava operacio sur aritmetikaj funkcioj estas la rulumo de Dirichlet.

Aritmetikaj funkcioj povas esti studita kun la serioj de Bell.

## Ekzemploj 
La artikoloj pri adiciaj kaj multiplikaj funkcioj enhavas kelkajn ekzemplojn de aritmetikaj funkcioj. Jen iuj ekzemploj, kiuj estas nek adiciaj, nek multiplikaj:

* *c*4(*n*) - la kvanto de manieroj kiel *n* povas esti esprimita kiel la sumo de kvar kvadratoj de nenegativaj entjeroj, kie oni distingas inter malsamaj ordoj de la termoj. Ekzemple:

::1 = 12+02+02+02 = 02+12+02+02 = 02+02+12+02 = 02+02+02+12,
:de ĉi tie *c*4(1)=4.

* *P*(*n*), la dispartiga funkcio - la kvanto de prezentoj de *n* kiel sumo de pozitivaj entjeroj, kie oni ne distingas inter malsama ordoj de la termoj. Ekzemple: *P*(2 · 5) = *P*(10) = 42 kaj *P*(2)*P*(5) = 2 · 7 = 14 ≠ 42.

* π (*n*), la prima kalkula funkcio - la kvanto de primoj malpli grandaj aŭ egala al donita nombro *n*. π(1) = 0 kaj π(10) = 4 (la primoj pli sube de 10 estas 2, 3, 5, kaj 7).

* ω (*n*), la kvanto de diversaj primoj dividantaj donitan nombron *n*. ω(1) = 0 kaj ω(20) = 2 (la primoj dividantaj na 20 estas 2 kaj 5).

* Λ(*n*), la funkcio de von Mangoldt - ln(*p*) se *n* estas entjera povo de primo *p*; 0 por ĉiuj aliaj *n*.

Kategorio:Aritmetikaj funkcioj
Evento (probablo-teorio)

En probablo-teorio, **evento** aŭ **okazaĵo** aŭ **okazo** estas unu el la eblaj rezultoj de hazardoprovo; formale ĝi estas aro da elementaj rezultoj de hazardoprovo, t.e. subaro de la provrezultaro, al kiu estas atribuata probablo. Tipe, ĉiu subaro de la provrezultaro estas evento (kio signifas, ke ĉiu elemento de la aro de ĉiuj subaroj de la provrezultaro estas evento); tamen formala difinado de probablospaco ekskludas certajn "nemezureblajn" subarojn de la provrezultaro el la klaso da eventoj (vidu sube).

## Ekzemplo 
Se oni havas kartaron el 52 ludkartoj kaj du ĵokeroj, kaj tiras unu karton el la kartaro, tiam la provrezultaro estas 54-elementa aro, ĉar ĉiu aparta karto prezentas eblan rezulton (observaĵon). Okazo, tamen, estas ĉiu subaro de la provrezultaro: interalie, eventoj, ke la elektita karto trafas al unu el jenaj aroj:
* ĉiu unuelementa aro konsistanta el unuopa individua karto (*simpla okazaĵo*, da kiuj estas 54, po unu prezentantaj la 54 eblajn kartojn de la kartaro);
* la malplena aro (kiu havas la probablon 0, ĉar tiu ĉi evento neniam okazas;
* la provrezultaro mem (la tuta aro el 54 kartoj, kiu havas la probablon 1, ĉar tiu evento nepre okazas);
* ĉiuj ceteraj propraj subaroj de la provrezultaro, enhavantaj plurajn elementojn. Tiel, ekzemple, inter la okazoj estas:

* «Ruĝa kaj nigra samtempe, sed ne ĵokero» (alia priskribo de la malplena aro),
* «Kera kvino» (1-elementa),
* «Reĝo» (4-elementa),
* «Figuro» (12-elementa),
* «Piko» (13-elementa),
* «Figuro aŭ ruĝa» (32-elementa),
* «Ajna karto» (54-elementa, la tuta aro).

Ĉar ĉiuj okazoj estas aroj, ili estas kutime skribataj kiel aroj (ekzemple {1, 2, 3}), kaj prezentataj grafike per Venn-aj diagramoj. Venn-aj diagramoj estas aparte utilaj por prezentado de okazoj, ĉar la probablon de la okazo eblas identigi kun la rilatumo de la areo de la okazo kaj la areo de la tuta provrezultaro. Ĉiu el la aksiomoj de probablo kaj la difino de kondiĉa probablo povas esti ilustrita en ĉi tia maniero.

## Eventoj en probablospacoj 
En la mezuro-teoria priskribo de probablospacoj, okazo povas esti difinita kiel ano de la σ-algebro sur la provrezultaro. Notu, tamen, ke ĉe ĉi tiu difino, ĉiu subaro de la provrezultaro kiu ne membras en la σ-algebro ne estas okazo, kaj ne havas probablon. Tamen ĉe racia difino de probablospaco ĉiu *interesa okazo* estas elemento de la σ-algebro.

Kategorio:Probablo-teorio
Disko (matematiko)

eta|dekstra|Disko
En geometrio, **disko** estas la regiono en ebeno enhavata interne de cirklo.

Disko estas *fermita* aŭ *malfermita* laŭ tio ĉu ĝi enhavas aŭ ne enhavas la cirklon kiu estas ĝia rando. En karteziaj koordinatoj, la malfermita disko kun centro *(a, b)* kaj radiuso *R* estas donita per la formulo

:D=\{(x, y)\in {\mathbb R^2}: (x-a)^2+(y-b)^2 

kaj la fermita disko de la sama centro kaj radiuso estas donita per

:\overline{ D }=\{(x, y)\in {\mathbb R^2}: (x-a)^2+(y-b)^2 \le R^2\}

La areo de disko de radiuso *R* (kaj malfermita kaj fermita) estas *&pi;R2*.

Pilko estas analogo de disko en spaco kun ajna kvanto de dimensioj. Iam tamen, oni uzas la vorton "disko" sinonime kun "pilko", permesante al disko havi pli aliajn dimensiojn.

## Vidu ankaŭ 
* Cirkla segmento estas parto de disko limigita per ĝiaj ĥordo kaj arko.
* Cirkla sektoro estas parto de disko limigita per ĝia arko kaj sekcanta rekta streko
* Unuobla disko
* Globo (matematiko)
* Cirklo
* Ringo (geometrio)
* Sfero
* Sfera ŝelo

Kategorio:Eŭklida geometrio
Unuvektoro

En matematiko, **unuvektoro** en normigita vektora spaco estas vektoro (ofte spaca vektoro) kies longo estas 1. Unuvektoro estas ofte skribata kun “ĉapelo”, do: **î**.

En eŭklida spaco, la skalara produto de du unuvektoroj estas simple la kosinuso de la angulo inter ili. Ĉi tiu sekvas el la formulo por la skalara produto, ĉar la longoj estas ambaŭ 1.

La **ununormigita vektoro** **û** de ne-nula vektoro **u** estas la unuvektoro samdirekta kun **u**, kio estas,
:\mathbf{\hat{u}} = \frac{\mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|}.

kie ||**u**|| estas la normo (aŭ longo) de **u**. La termino *ununormigita vektoro* estas foje uzata simple kiel samsencaĵo por *unuvektoro*.

Malsame al ĝenerala vektoro, kiu prezentas direkto kaj grandeco, unuvektoro prezentas nur direkton. La komponantoj estas nomataj kiel **direktaj kosinusoj**, ĉar ĉiu el ili estas la kosinuso de la angulo inter la vektoro kaj unu koordinata akso.

La eroj de bazo estas ofte elektitaj esti unuvektoroj. En la 3-dimensiaj karteziaj koordinatoj, ĉi tiuj estas kutime **i**, **j**, kaj **k** - unuvektoroj laŭ la *x*, *y*, kaj *z* aksoj respektive:

:\mathbf{\hat{i}} = \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \,\, \mathbf{\hat{j}} = \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}, \,\, \mathbf{\hat{k}} = \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}.

Ĉi tiuj estas ne ĉiam skribitaj kun ĉapelo; sed povas ĝenerale alprenite ke **i**, **j**, kaj **k** estas unuvektoroj en plejparto de ĉirkaŭtekstoj. Tre ofte ĉi tiuj unuvektoroj estas skribataj kiel **e1**, **e2** kaj **e3** respektive.

## Vidu ankaŭ 
* Spaco de Minkowski kun speciala difino de **unuvektoro**

Kategorio:Lineara algebro
Elipsoido

eta|200px|3D bildiganta de elipsoido

En matematiko, **elipsoido** estas tipo de kvadrika, kio estas pli altdimensia analogo de elipso. La ekvacio de norma elipsoido en sistemo de karteziaj koordinatoj *x, y, z* estas
:
{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}=1

kie *a*, *b* kaj *c* estas la radiusoj laŭ *x*-, *y*- respektive *z*- aksoj, kaj ĉiuj tri estas difinitaj pozitivaj reelaj nombroj, kiuj difinas la formo de la elipsoido. Se du de tiuj nombroj estas egala, la elipsoido estas sferoido, se ĉiuj tri estas egala, ĝi estas sfero.

Se ni prenas a &#8805; b &#8805; c, tiam kiam:
* a &#8800; b &#8800; c : ni havas **skalenan** elipsoidon
* c = 0 : ĝi estas **elipso** (dudimensia)
* a > b = c : la elipsoido estas **longigita** sferoido (cigaro-forma)
* c \frac{4}{3} \pi abc

## Surfaca areo 
La surfaca areo de elipsoido estas donita per:
:2 \pi \left( c^2 + \frac{bc^2}{\sqrt{a^2-c^2}} F(\theta, m) + b\sqrt{a^2-c^2} E(\theta, m) \right)

kie
:m = \frac{a^2(b^2-c^2)}{b^2(a^2-c^2)}
:\theta = \arcsin{\left( e \right)}
:e = \sqrt{1 - \frac{c^2}{a^2}}

kaj F(\theta, m) kaj E(\theta, m) estas la nekompletaj elipsaj integraloj de la unua kaj dua speco.

Akurataj formuloj estas:

:Se ebena (*c* = 0): = 2 \pi \left( ab \right)

:Se longigita: = 2 \pi \left( c^2 + ac \frac{\arcsin{\left( e \right)}}{e} \right)

:Se flaneca: = 2 \pi \left( a^2 + c^2 \frac{\operatorname{arctanh}{\left( e \right)}}{e} \right)

Aproksimita formulo estas:

:Se skalena: \approx 4 \pi \left( \frac{ a^p b^p + a^p c^p + b^p c^p }{3} \right)^{1/p}

Kie p &asymp; 1.6075 rendimenta relativa eraro de maksimume 1.061% (formulo de Knud Thomsen); valoro de
p = 8/5 = 1.6 estas optima por preskaŭ sfera elipsoido, kun relativa eraro de maksimume 1.178% (formulo de Davido W. Cantrell).

## Linearaj transformoj 
Se ni aplikas inversigeblan linearan transformon al sfero, ni ricevas elipsoidon; ĝi povas esti transformata al la norma formo per taŭga turnado, konsekvenco el la spektra teoremo. Se la lineara transformo estas prezentita per simetria 3-per-3 matrico, tiam la ajgenvektoroj de la matrico estas perpendikulara (pro la spektra teoremo) kaj prezentas la direktojn de la aksoj de la elipsoido: la longoj de la duonaksoj estas donitaj per la ajgenoj.

La komunaĵo de elipsoido kun ebeno estas malplena, sola punkto aŭ elipso.

Oni povas ankaŭ difini elipsoidojn en pli altaj dimensioj, kiel la bildoj de sferoj sub inversigeblaj linearaj transformoj. Per spektra teoremo oni denove ricevas norman ekvacion simile al la supre donita.

## Ova formo 
eta|Ovalo
La formo de birda ovo estas kvazaŭ kunmetita ĉe la ekvatoro el du duonelipsoidoj, unu proksimume sfera, la dua pli longigita. elipsoido, sed, dum ĝi konservas cilindran simetrion, ĝi ne havas simetrio en ebeno orta al la longa akso.

## Vidu ankaŭ 
* sferoido
* paraboloido
* hiperboloido
* referenca elipsoido

Kategorio:Surfacoj
Kategorio:Kvadrikoj
Teorio de komputebleco

**Teorio de komputebleco** povas havi la signifon:

* **Rekursia teorio**, branĉo de matematika logiko, siatempe nomita *teorio de komputebleco*.
* **Teorio de komputebleco** en la moderna senco, branĉo de la teorio de komputado.
Provo de Bernoulli

En probabloteorio kaj statistiko, **provo de Bernoulli** estas eksperimento, kies rezulto estas hazarda, kaj povas okazi unu el la du eblaj rezultoj: "sukceso" kaj "malsukceso."

En praktiko, ĝi rilatas al la sola evento, kiu povas havi unu el du eblaj rezultoj. Ĉi tiaj eksperimentoj povas esti priskribitaj kiel eventoj, kies rezultojn eblas vortumi kiel respondojn "jes" aŭ "ne" al eksperimento-rilataj demandoj. Ekzemple:

* Ĉu la monero falas je la *kapo* supren?
* Ĉu la novnaskita infano estas knabino?
* Ĉu moskito mortis post kiam la areo estis aspergita per veneno?
* Ĉu la okuloj de la persono eliranta el tramo estas verdaj?
* Ĉu potenciala kliento decidis aĉeti produkton?
* Ĉu civitano voĉdonis por specifa kandidato?

Pro tio "sukceso" kaj "malsukceso" estas markoj por rezultoj, kaj devus ne esti komprenataj laŭvorte. Ekzemploj de provo de Bernoulli estas:

* Klaku moneron. En ĉi tiu ĉirkaŭteksto, obverso de "kapoj" kutime signifas sukceson kaj de dorsflanko ("vostoj") signifas malsukceson. Laŭdifine honesta monero havas la probablecon de sukceso 0,5.
* Ruligu ĵetkubon. Ekzemple, ses estu "sukceso" kaj ĉio alia "malsukceso".
* En politika opiniosondo, elektu voĉdonanton hazarde. Estu "sukceso", se ĉu tiu voĉdonato voĉdonas "jes" en referendumo kaj "malsukceso", se "ne".

Matematike, tia sondado estas modelebla per hazarda variablo kiu povas preni nur du valorojn, 0 kaj 1, kun 1 konsiderata kiel "sukceso". Se *p* estas la probablo de sukceso, tiam la atendata valoro de tia hazarda variablo estas *p* kaj ĝia varianca devio estas

:\sqrt{p(1-p)}

Procezo de Bernoulli konsistas de multfoja plenumado de sendependaj sed samspecaj provoj de Bernoulli: ekzemple, 100-foja klakado de monero.

## Vidu ankaŭ 
* Familio Bernoulli
* Distribuo de Bernoulli

Kategorio:Probablo-teorio
Fundamenta frekvenco

La **fundamenta tono**, iam nomata simple kiel la **fundamento**, estas la plej malalta frekvenco en harmona serio.

La **fundamenta frekvenco** de perioda signalo estas la inverso de la tona periodo. La periodo estas la plej malgranda plene ripetanta parto de signali. Unu periodo tial priskribas la periodan signalon plene. La signifeco de difinado la periodo kiel la *plej malgranda* ripetanta parto estas en tio ke ankaŭ du aŭ pli multaj kunkroĉitaj periodoj formas ripetantan ŝablonon de la signalo. Tamen, la pluraj kunkroĉita periodaj signalo evidente enhavas redundan informon.

## Vidu ankaŭ 
* Oscilado
* Frekvenco
* Periodo

Kategorio:Furiera analitiko
Homogena polinomo

En matematiko, **homogena polinomo** aŭ **algebra formo** estas polinomo kies termoj estas unutermoj ĉiuj havantaj la saman tutecan gradon; aŭ estas eroj de la sama dimensio.

Ekzemple, x^5 + 2 x^3 y^2 + 9 x^1 y^4 estas homogena polinomo de grado 5 de du variabloj. Kaj
x^3 + 3 x^2 y + z^7 ne estas homogena polinomo.

Homogena polinomo povas esti konstruita de tensoro de ordo *n*. Tial, se *X* estas vektora spaco, kaj *Y* estas alia spaco, tiam, por donita tensoro *T*:

:
\begin{matrix}
T: & \underbrace{X \times X \times \cdots \times X} & \to & Y\\
 & n & &\\
\end{matrix}

la homogena polinomo \widehat{T}(x) de grado *n* asociita kun *T* estas

: \widehat{T}(x) = T(x, x, \ldots,x)

En ĉi tiu formo, estas klare ke homogena polinomo estas homogena funkcio de grado *n*. Tio estas ke por skalaro *a*

: \widehat{T}(ax) = a^n \widehat{T}(x)

kio sekvas de la mult-lineareco de la tensoro.

Kvanto de malsamaj (nu nur je koeficiento) unutermoj de grado *M* de *N* variabloj estas
 
: \frac{(M+N-1)!}{M!(N-1)!}=\binom{N+M-1}{N-1} 

Por la okazo de *n=2*, la tensoro estas simple kvadrata matrico, kaj la homogena polinomo estas kvadrata formo.

## Vidu ankaŭ 
* Algebra prezento
* Plurlineara formo

Kategorio:Polinomoj
Kategorio:Plurlineara algebro
Lima ordonombro

En aroteorio, **lima ordonombro** estas ordonombro kiu estas nek nul nek postanta ordonombro. Intuicie, ĉi tiuj estas la ordonombroj, kiuj ne povas esti atingitaj tra la orda numera postanta operacio *S*.

λ estas lma ordonombro se por ĉiu α 2 (legu pli pri ordonombra aritmetiko en la artikolo ordonombro). Ĉi tiu procezo povas esti ripetita kiel sekvas por produkti:

:\omega^3, \omega^4, \ldots, \omega^\omega, \omega^{\omega^\omega}, \ldots, \epsilon_0 = \omega^{\omega^{\omega^\ldots}}, \ldots

Ĝenerale, ĉiuj el ĉi tiuj rekursiaj difinoj tra multipliko, potencigo, ripetita potencigo, kaj tiel plu liveras limajn ordonombrojn. Ĉiuj el la ordonombroj diskutitaj tiel malproksime estas ankoraŭ kalkuleblaj ordonombroj; povas esti pruvite ke ekzistas ne rekursia numerigo de ĉiuj kalkuleblaj ordonombroj.

Preter la kalkuleblaj, la unua nekalkulebla ordonombro estas kutime skribata kiel ω1. Ĝi ankaŭ estas lima ordonombro.

Daŭrante, oni povas ricevi jenajn (kiuj ĉiuj estas nun pligrandiĝantaj je kvantonombro):

: \omega_2, \omega_3, \ldots, \omega_\omega, \omega_{\omega_\omega},\dots

Ĝenerale, oni ĉiam ricevas liman ordonombron kiam prenas la union de aro de ordonombroj kiu ne havas maksimuman eron.

## Propaĵoj 
La klasoj de postantaj ordonombroj kaj limaj ordonombroj (kaj ankaŭ nulo, se oni postulas ke limaj ordonombroj esti malfinioj) kune konsistas la tutan klason de ordonombroj, tiel ĉi tiuj okazoj estas ofte uzata en pruvoj per transfinia indukto aŭ difinoj per transfinia rekursio. limaj ordonombroj prezentas speco de "turnopunkto" en ĉi tiaj proceduroj, en kiuj oni devas uzi limajn operaciojn prenante la union de ĉiuj antaŭvenantaj ordonombroj. Principe, oni povas fari ion je limaj ordaj numeraloj, sed preno de la unio estas kontinua en la orda topologio kaj ĉi tio estas kutime dezirinda.

Se oni uzas la kardinalan asignon de Von Neumann, ĉiu malfinia kardinalo estas ankaŭ lima ordonombro (kaj ĉi tio estas ankaŭ lingva observado, ĉar *kardinalo* derivas de la latina *cardo* kun signifo *ĉarniro*, *artiko* aŭ *turnopunkto*!): la pruvo de ĉi tiu fakto estas farata per simple montrado ke ĉiu postanta ordonombro estas samonumera al lima ordonombro per la hilberta paradokso de la granda hotelo.

Kvantonombroj havas siajn proprajn nociojn de sekveco kaj limo (ĉio okazas en la pli alta nivelo!); vidu en lima kvantonombro.

## Vidu ankaŭ 
* Ordonombro
* Kardinala nombro
* Lima kvantonombro
* Hiper-operatoro

Kategorio:Nombroj
Kategorio:Senfineco
Singulara homologeco

En algebra topologio, **singulara homologeco** estas la kutima homologeco funktoro de la kategorio de topologiaj spacoj kaj kontinuaj surĵetoj al la kategorio de graditaj komutaj grupoj kaj grupaj homomorfioj.

La homologeco de spaco *X* estas kutime komprenita signifi la singularan homologecon de tiu spaco.

Singulara homologeco estas konstruita per aplikanta la ĝenerala homologeca konstruado al la singulara ĉena komplekso, la ĉena komplekso de formalaj sumoj de singularaj simplaĵoj.

## Singularaj simplaĵoj 
**Singulara n-simplaĵo** estas kontinua surĵeto *Σ* de la norma *n*-simplaĵo al topologia spaco *X*. Ĉi tiu surĵeto ne bezonas esti disĵeta, kaj tie povas esti ne-ekvivalenta singularaj simplaĵoj kun la sama bildo en *X*.

La rando de Σ, dΣ, estas difinita al esti la formala sumo de la singulara *(n−1)*-simplaĵo prezentita per la limigo de *Σ* al la edroj de la norma *n*-simplaĵo, kun alterna signo por preni orientiĝon en kalkulon.

Tial, en aparta, la rando de 1-simplaĵo Σ estas la formala diferenco

:Σ(1) − Σ(0)

## Singulara ĉena komplekso 
Se konsideri la liberajn komutajn grupojn generitajn per ĉiu singularaj *n*-simplaĵoj kaj etendi la randan operatoron *d* al formalaj sumoj de singularaj *n*-simplaĵoj, oni ricevas ĉenan komplekson de komutaj grupoj.

La *n*-ona homologeca grupo de *X* estas tiam difinita kiel la kvocienta grupo

:*H**n*(*X*) = ker(*d**n*) / im(*d**n*+1)

## Koeficientoj en *R* 
Se *R* estas iu ringo (alprenita unuohava sur Vikipedio), oni povas anstataŭi liberajn komutajn grupojn per liberaj *R*-moduloj. La difino de *d* ne ŝanĝiĝas, sed *H**n*(*X*, *R*) nun estas *R*-modulo (ne bezone libera).

## Homologeco de Betti kaj kunhomologeco de Betti 
Ekde la nombro de homologecaj teorioj havas iĝi granda, la terminoj ***homologeco de Betti*** kaj ***cohomology de Betti*** estas iam aplikata (aparte far aŭtoroj skribantaj pri algebra geometrio), al la singulara teorio, kiel donanta pligrandiĝo al la Betti nombroj de la plej familiaraj spacoj kiel simplaĵaj kompleksoj kaj fermitaj duktoj.

Kategorio:Homologeca teorio
Senpintigita kubo

{{Pluredro
|nomo = Senpintigita kubo
|hi = 2
|vbildo = Truncated cube vertfig.svg
|bildo2 = Truncatedhexahedron.svg
|duala_bildo = Triakisoctahedron.jpg
|retbildo = Truncated hexahedron flat.svg
|grupo = Oh
|Schl = t{4,3}
|duala = Trilateropiramidigita okedro
|Wythoff = 2 3 &#124; 4
|bildo3 = Truncatedhexahedron.gif
|vfiguro = 3.8.8
|edroj_detale = 8{3}+6{8}
|CD = (o)4(o)3o
|bildo = Truncated hexahedron.png
|W = 8
|speco1 = 
|U = 09
|verticoj = 24
|B = Tic
|C = 21
|lateroj = 36
|edroj = 14
|K = 14
}}
La **senpintigita kubo** aŭ **senpintigita sesedro** estas pluredro, arkimeda solido. Ĝi havas 6 regulajn oklaterajn edrojn, 8 regulajn triangulajn edrojn, 24 verticojn kaj 36 laterojn.

## Areo kaj volumeno 
La areo *A* kaj la volumeno *V* de senpintigita kubo de latera longo *a* estas:
:A = 2(6+6\sqrt{2}+\sqrt{3})a^2 \approx 32.4346644a^2
:V = \frac{1}{3}(21+14\sqrt{2})a^3 \approx 13.5996633a^3

## Karteziaj koordinatoj 
Karteziaj koordinatoj de verticoj de senpintigita kubo centrita je (0, 0, 0):
: (±ξ, ±1, ±1),
: (±1, ±ξ, ±1)
: (±1, ±1, ±ξ)
kie ξ = \sqrt2 - 1.

## Rilatantaj pluredroj 
La senpintigita kubo ekzistas en la aro de senpintigitaj formoj inter kubo kaj okedro:

Ĝi komunigas sian situon de verticoj kun tri stelaj unuformaj pluredroj:

Solidoj de Johnson surbaze de la senpintigita kubo estas:

La senpintigita kubo estas ero de vico de senpintigitaj regulaj pluredroj kaj regulaj kahelaroj de la eŭklida kaj hiperbola ebenoj kun verticaj figuroj (3.2n.2n).

Unuforma pluredra kombinaĵo:

## Referencoj 
*  (Sekcio 3-9)

## Eksteraj ligiloj 
* 
* La unuformaj pluredroj
* Virtualaj realaj pluredroj - la enciklopedio de pluredroj

Kategorio:Arkimedaj solidoj
Kombinaĵo (kombinatoriko)

En kombina matematiko, **kombinaĵo** estas ne ordigita kolekto de unikaj eroj. Por donita *S*, la aro de ĉiuj eblaj unikaj eroj, **kombinaĵo** estas subaro de la eroj de *S*. La ordo de la eroj en kombinaĵo estas ne grava (du listoj kun la samaj eroj en malsamaj ordoj estas konsiderataj kiel esti la sama kombinaĵo). Ankaŭ, la eroj ne povas ripetiĝi en kombinaĵo (ĉiu ero aperas unike iam). *k*-kombinaĵo (aŭ *k*-subaro) estas subaro kun *k* eroj. La kvanto de *k*-kombinaĵoj (ĉiu de amplekso *k*) de aro *S* kun *n* eroj (de amplekso *n*) estas la duterma koeficiento:

:  C^n_k = {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

## Kombinaĵo kun ripetoj 
Kvanto de **kombinaĵoj kun ripetoj** estas :

:{{(n + k - 1)!} \over {k!(n - 1)!}} = {{n + k - 1} \choose {k}} = {{n + k - 1} \choose {n - 1}}

Ekzemple, se estas *n=10* specoj de eroj (havatas multaj eroj de ĉiu speco) kaj de ili necesas preni *k=3* erojn (inter ili povas esti prenitaj kelkaj la samaj) do estas (10&nbsp;+&nbsp;3&nbsp;−&nbsp;1)!&nbsp;/&nbsp;3!(10&nbsp;−&nbsp;1)!&nbsp;=&nbsp;220 manieroj fari ĉi tion.

## Vidu ankaŭ 
* Permuto
* Multaro

Kategorio:Kombinatoriko
Nenegativa entjera potenco de 2

En matematiko, **nenegativa entjera potenco de 2** (plu ĉi tie simple **potenco de 2**) estas ĉiu de la nenegativa entjero potenco de la nombro 2; en aliaj vortoj 2 multiplikiĝita per si certan nombron de fojoj. 1 estas la 0-a povo de 2. Skribita en duuma sistemo, ĉi tia potenco de 2 ĉiam havas formon 10000…0, simile al potenco de 10 en la dekuma sistemo.

Ĉar 2 estas la bazo de la duuma sistemo, potencoj de 2 estas gravaj en komputiko.

## La unuaj 40 potencoj de 2 
## Potencoj de 2, kies eksponentoj estas potencoj de 2 
Ĉar modernaj memorĉeloj ofte registras nombron da bitoj kiu estas potenco de 2, la plej ofte uzataj potencoj de 2 estas tiuj kies eksponento estas ankaŭ potenco de 2. Ekzemple:

:2¹ = 2
:2² = 4
:24   = 16
:28   = 256
:216  = 
:232  = 
:264  = 
:2128 = 

Kelkaj de ĉi tiuj nombroj prezentas la kvanton de valoroj reprezenteblaj uzante komunajn komputilajn datumtipojn. Ekzemple, 32-bita vorto konsistanta el 4 bitokoj/bajtoj povas reprezenti 232 distingaj valoroj, kio povas esti estimita kiel nura bit-ŝablono, aŭ estas pli kutime interpretita kiel la sensignumaj nombroj de 0 al 232−1, aŭ kiel la limo de signitaj/signohavaj nombroj inter −231 kaj 231−1.

## Aliaj rekoneblaj potencoj de 2 
* 210 = 1024 - nombro proksimuma al 1000 - multiplikanto, kiu estas uzata per prefikso "kilo-" (kiel en kilogramo). Pro tio oni diras ke 1024 bajtoj = 1 kilobajto aŭ **kibibajto**. En komputiko oni uzas malmulte aliajn signifojn de "kilo-", "mega-", "giga-", "tera-". Estas pli ĝusta prefikso "kibi-", kiu tamen praktike estas malofte uzata.
* Simile,
** 220 =  proksimumas al 106, do megabajto = 220 bajtoj.
** 230 =  proksimumas al 109, do gigabajto = 230 bajtoj.
** 240 =  proksimumas al 1012, do terabajto = 240 bajtoj.
Rimarku ke ĉi tiel estas ne ĉiam, iam oni opinias ke 1000 bajtoj = 1 kilobajto ktp.

Ĉi tiuj nombroj ne havas speciala signifecon poj komputiloj, sed estas gravaj por homoj ĉar ili kutimas al potencoj de dek.

* 224 =  - la nombro de unikaj koloroj kiuj povas esti montritaj per kutimaj plenkoloraj ekranoj.
Ĉi tiu nombro estas la rezulto de uzado la tri-kanala RVB sistemo, kun 8 bitoj por ĉiu kanalo, aŭ kun 24 bitoj entute.

## Rapida algoritmo al kontroli ĉu la nombro estas povo de du 
La cifereca duuma prezento de nombroj permesas fari tre rapidan provon ĉu la donita nombro x estas povo de du:
:**x** estas povo de du \Leftrightarrow **(x & (x-1))** egalas nulo.
kie **&** estas bitlarĝa logika **KAJ** operatoro.

Ekzemploj:

## Vidu ankaŭ 
* Dekoblaj kaj dekonaj unuoj

## Eksteraj ligiloj 
* Listo de la unuaj 1058 potencoj de du 
* http://www.freewebs.com/chandlerklebs/Powersof2.zip ZIP arkivo pri potencoj de 2.

Kategorio:Entjeraj vicoj
Kategorio:Grandaj nombroj
Simetria funkcio

En matematiko, **simetria funkcio** de multaj variabloj estas funkcio, kiu estas invarianto sub permuto de ĝiaj variabloj.

En plej parto de ĉirkaŭtekstoj, la termino signifas polinomon kun la propraĵo, kio estas **simetria polinomo**.

Ekzemploj de simetriaj polinomoj:

:X_1 + X_2 + \ldots + X_n
:X_1^3 + X_2^3 + \ldots + X_n^3
:X_1X_2\cdots X_n
:X_1^3X_2X_3 + X_1X_2^3X_3 + X_1X_2X_3^3

La teorio de simetriaj polinomoj estas parto de la teorio de polinomaj ekvacioj, kaj ankaŭ substanca ĉapitro de kombinatoriko. Se *P(x)* estas polinomo kun radikoj

:&alpha;1, &alpha;2, ..., &alpha;*n*,

**simetria funkcio de la radikoj** de *P* estas

:*S*(&alpha;1, &alpha;2, ..., &alpha;*n*)

kie *S* estas funkcio de *n* variabloj kiu estas simetria en la senco ke ne dependas de la ordo de la *n*-opo de argumentoj.

Ekzemple

:*S*(*X*1, *X*2, ..., *X**n*)
 
povus esti

:*X*1 + *X*2 + ... + *X**n*,

aŭ

:*X*1*X*2...*X**n*.

La formuloj de Viète estas ekzemploj de simetriaj funkcioj de la radikoj.

Kategorio:Polinomoj
Kategorio:Invarianta teorio
Kategorio:Simetriaj funkcioj
Kategorio:Permutoj
Bona ordo

En matematiko, **bona ordo** sur aro *S* estas tia ordo-rilato sur *S*, ke ĉiu ne-malplena subaro de *S* havas plej malgrandan elementon laŭ ĉi tiu ordo. La aro *S* provizita per bona ordo estas nomata **bonorda aro**. Bona ordo estas nepre totala.

## Ekzemploj 
* La kutima ordo ≤ de la naturaj nombroj estas bona ordo.
* La kutima ordo ≤ de la entjeroj ne estas bona ordo, ĉar, ekzemple, tiu tuta aro mem ne enhavas plej malgrandan elementon.
* Jena duargumenta rilato *R* estas bona ordo de la plenaj nombroj: *x R y* se kaj nur se unu el jenaj kondiĉoj validas:

: *x* = 0
: *x* estas pozitiva, kaj *y* estas negativa
: *x* kaj *y* estas ambaŭ pozitivaj, kaj *x* ≤ *y*
: *x* kaj *y* estas ambaŭ negativaj, kaj *y* ≤ *x*

: *R* povas esti bildigita jene:

: 0 1 2 3 4 ..... -1 -2 -3 .....

: *R* estas izomorfia al la ordonombro ω + ω.

* Alia rilato por bona ordigo de plenaj nombroj estas difinata jene: *x*&nbsp;&lt;z&nbsp;*y* se kaj nur se |*x*|&nbsp;<&nbsp;|*y*| aŭ (|*x*|&nbsp;=&nbsp;|*y*| kaj *x*&nbsp;≤&nbsp;*y*).
Ĉi tiu bona ordo povas esti bildigita kiel sekvas:

: 0 -1 1 -2 2 -3 3 -4 4 ...

* La normo ordigo ≤ de la pozitivaj reelaj nombroj ne estas bona ordo, ĉar, ekzemple, la malfermita intervalo *(0, 1)* ne enhavas plej malgrandan eron. Ekzistas pruvoj dependantaj de la aksiomo de elekto ke eblas bone ordigi la reelajn nombrojn, sed ĉi tiuj pruvoj estas ne-konstruaj kaj ankoraŭ ne estas montrita maniero bone ordigi la reelajn nombrojn.

## Ecoj 
En bonorda aro, ĉiu elemento *x*, krom la plej granda (se tia ekzistas), havas unikan postanton *y*, kiu estas la plej malgranda elemento *y* inter la elementoj, kiuj estas pli grandaj ol *x*. Tamen,ne ĉiu elemento nepre havas antaŭanton. Kiel ekzemplo, konsideru bonan ordigon de plenaj nombroj kiel 0 1 2 3 4 ..... -1 -2 -3 ..... (vidu supre). Ĉiu elemento havas postanton (ĉar ne ekzistas plej granda elemento), sed ĉe du elementoj mankas antaŭanto: 0 kaj -1.

Se aro estas bonorda, la pruva tekniko de transfinia indukto povas esti uzata por pruvi ke iu taŭga donita frazo estas vera por ĉiuj elementoj de la aro.

La teoremo pri bonordigo, kiu estas ekvivalenta al la aksiomo de elekto, asertas, ke ĉiu aro povas esti bone ordigita. La teoremo pri bonordigo estas ekvivalenta ankaŭ al la lemo de Zorn.

## Vidu ankaŭ 
* Orda numero
* Bone-fundamentita aro
* Bona parta ordo
* Antaŭbonordo

Kategorio:Ordoteorio
Kategorio:Aro-teorio
Aritmetika vico

En matematiko, **aritmetika vico** aŭ **aritmetika progresio** estas unu el specoj de progresio. Aritmetika vico estas vico de nombroj tia ke la diferenco de ĉiuj du najbaraj membroj de la vico estas konstanto. Ekzemple, la vico 3, 5, 7, 9, 11, ... estas aritmetika vico kun komuna diferenco 2.

Se la komenca membro de aritmetika vico estas a_1 kaj la komuna diferenco de najbaraj membroj estas *d*, do la *n*-a membro, de la vico estas:
:a_n = a_1 + (n - 1)d.

## Sumo de aritmetika serio 
Sumo de malfinia aritmetika vico se *a1* ne egalas al 0 aŭ *d* ne egalas al 0 estas malfinio.

La sumo de komponantoj de aritmetika vico estas nomata kiel **aritmetika serio**. La formulo por sumo de la unuaj *n* membroj de aritmetika vico estas:
:S_n = a_1+a_2+\dots+a_n=\frac{n( a_1 + a_n)}{2} =\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d ]}{2}.
[160px|framed|dekstra|Konsideru vicon tiel ke la ĝenerala termo de la aritmetika progreso estas an = 5n, kie n estas [Pareco de nombroj|malpara entjero. La sumo de ĉiuj termoj, kaj la sumo de termoj simetriaj rilate al la meza, egalas al la duoblo de la meztermo.]]

Ĉi tiu formulo sekvas el la fakto ke sumo de la unua kaj la lasta membro estas la sama kiel sumo de la dua kaj la antaŭlasta, kaj tiel plu. Oni ofte diras ke ĉi tiu formulo estis esplorita de Carl Friedrich Gauss kiam lia instruisto de la tria jaro de mezlernejo petis la klason trovi sumon de la unua 100 naturaj nombroj, kaj li tuj kalkulis la respondon 5050.

## Produto 
La produto de komponantoj de aritmetika vico kun komenca ero a_1, komuna distanco d, kaj n eroj entute, estas:

:a_1a_2\cdots a_n = d^n {\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\overline{n}} = d^n \frac{\Gamma \left(a_1/d + n\right) }{\Gamma \left( a_1 / d \right) },

kie x^{\overline{n}} estas la pligrandiĝanta faktorialo kaj \Gamma estas la Γ funkcio. Notu, ke la formulo estas ne valida se a_1/d estas negativa entjero aŭ nulo.

Ĉi tio estas ĝeneraligo de tio ke produkto de la progresio 1 \times 2 \times \ldots \times n estas donita per la faktorialo n! kaj ke produto

:m \times (m+1) \times \ldots \times (n-1) \times n \,\!

por pozitivaj entjeroj m kaj n estas

:\frac{n!}{(m-1)!}.

## Vidu ankaŭ 
* Adicio
* Geometria vico
* Ĝeneraligita aritmetika vico
* Primoj en aritmetika vico
* Carl Friedrich Gauss

Kategorio:Vicoj
Kategorio:Matematika serio