Derivaĵo de kvociento

En matematiko, la **kvocienta regulo** estas idento por derivaĵo de funkcio kiu estas la kvociento de du la aliaj funkcioj por kiuj la derivaĵoj ekzistas.

Se la funkcio *f(x)* estas donita kiel

:f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}

kaj *h(x)≠0*, tiam la derivaĵo de *f(x)* estas

: \frac{df(x)}{dx} = \frac{\frac{dg(x)}{dx}h(x) - g(x)\frac{dh(x)}{dx}}{(h(x))^2} 

aŭ en la alia skribmaniero

:f'(x)=\frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2} 

Pli detale, se por ĉiu *x* en iu malfermita aro enhavanta nombron *a*, *h(x)≠0* kaj ''g'(a)* kaj *h'(a)* ambaŭ ekzistas do *f'(a)'' kaj

: f'(a)=\frac{g'(a)h(a) - g(a)h'(a)}{(h(a))^2}

## Ekzemplo 
\frac{d \tan(x)}{dx} = \frac{d {\frac{\sin(x)}{\cos(x)} } }{dx}

: *g(x) = sin(x)*
: ''g'(x) = cos(x)*
: *h(x) = cos(x)*
: *h'(x) = -sin(x)''

\frac{d \tan(x)}{dx} = \frac{\cos(x)\cos(x) - \sin(x)(-\sin(x))}{(cos(x))^2}  = \frac{(\cos(x))^2 + (sin(x))^2}{(cos(x))^2}= \frac{1}{(cos(x))^2}

## Pruvoj 
### Per difino de derivaĵo 
: f'(x) = \lim_{w \to 0} \frac{f(x + w)- f(x)}{w} = \lim_{w \to 0} \frac{\frac{g(x + w)}{h(x + w)} - \frac{g(x)}{h(x)}}{w}

Oni eligu la *1/w* kaj kombinu la frakciojn en la numeratoro:

: f'(x) = \lim_{w \to 0} \frac{1}{w} \left(\frac{g(x+w)h(x)-g(x)h(x+w)}{h(x)h(x+w)} \right)

Adiciante kaj subtrahante de *g(x)h(x)* en la numeratoro:

: f'(x) = \lim_{w \to 0} \frac{1}{w} \left( \frac{(g(x+w)h(x)-g(x)h(x)-g(x)h(x+w)+g(x)h(x)}{h(x)h(x+w)} \right)

Oni faktorigu ĉi tion kaj multipliku je la *1/w* tra la numeratoro:

: f'(x) = \lim_{w \to 0} \frac{\frac{g(x+w)-g(x)}{w}h(x)-g(x)\frac{h(x+w)-h(x)}{w}}{h(x)h(x+w)}

Nun oni movu la limigon tra:

: f'(x) = \frac{\lim_{w \to 0} \left(\frac{g(x+w)-g(x)}{w}\right)h(x) - g(x) \lim_{w \to 0} \left(\frac{h(x+w)-h(x)}{w}\right)}{h(x)h(\lim_{w \to 0} (x+w))}

Laŭ la difino, la limigoj en la numeratoro estas derivaĵoj, kaj do tiel:

: f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}

### Per regulo por derivaĵo de produto 
Se

: f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}

do

: *g(x) = f(x)h(x)*

kaj

: ''g'(x)=f'(x)h(x) + f(x)h'(x)*

De ĉi tie per algebraj transformoj eblas ricevi formulon por *f'(x)''.

: f'(x)=\frac{g'(x) - f(x)h'(x)}{h(x)} = \frac{g'(x) - \frac{g(x)}{h(x)} h'(x)}{h(x)} = 

: = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2}

Ankaŭ eblas apliki la regulo por derivaĵo de produto rekte se *1/h(x)* estas konsiderata kiel la dua multiplikato :

: f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} = g(x) \frac{1}{h(x)} 

Kun tio ke  (\frac{1}{h(x)})' = \frac{-1}{(h(x))^2} \cdot h'(x) rezultas

: f'(x) = g'(x) (h(x))^{-1} + g(x) (- (h(x))^{-2} h'(x)) = \frac{g'(x) h(x) - g(x) h'(x)}{(h(x))^2}

### Per tuteca derivaĵo 
Funkcio f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} povas esti konsiderata kiel funkcio de du variabloj *g* kaj *h*, ĉiu el kiuj en sia vico estas funkcio de *x*.

Ambaŭ partaj derivaĵoj de *f* je *g* kaj *h* povas esti trovitaj:

:  \frac{\partial f}{\partial g} = \frac{1}{h} 

kie *h* estas konsiderata kiel konstanto; kaj

:  \frac{\partial f}{\partial h} = g\cdot\frac{-1}{h^2}

kie *g* estas konsiderata kiel konstanto.

Tiam

:  \frac{df}{dx} = \frac{\partial f}{\partial g}g'(x) + \frac{\partial f}{\partial h}h'(x) = 

:   = \frac{1}{h(x)}g'(x) + g(x) \frac{-1}{(h(x))^2} h'(x) = \frac{g'(x) h(x) - g(x) h'(x)}{(h(x))^2} 

## Vidu ankaŭ 
* Derivaĵo de funkcia komponaĵo
* Derivaĵo de produto

Kategorio:Diferenciala kalkulo