Arĥimeda eco

En abstrakta algebro, la **arĥimeda eco ** aŭ **arĥimeda aksiomo** estas eco de iuj ordohavaj duongrupoj, grupoj, kampoj kaj aliaj algebraj strukturoj.

Proksimume, ĝi signifas, ke en la koncerna algebra strukturo ne ekzistas *nefinie grandaj* aŭ *nefinie malgrandaj* (infinitezimaj) elementoj. Ĉi tiu ideo povas esti realigita ekzakte en diversaj kuntekstoj, ekzemple, por kampoj kun absoluta valoro. Tiel, la ordigita kampo de reelaj nombroj estas arĥimeda, sed la kampo de *p*-adikaj nombroj kun la *p*-adika absoluta valoro estas nearĥimeda.

Ordohava algebra strukturo, en kiu ĉiuj du ne-nulaj elementoj estas *kompareblaj* en la senco, ke neniu el ili estas infinitezima rilate al la aliaj, estas nomata **arĥimeda**. Strukturo, kiu havas paron da ne-nulaj eroj, unu el kiuj estas infinitezima rilate al la alia, nomiĝas **ne-arĥimeda**.

## Difino 
Estu *x* kaj *y* pozitivaj elementoj de lineare ordigita grupo *G*. Tiam *x* estas infinitezima rilate al *y* (aŭ ekvivalente, *y* estas nefinia rilate al *x*), se por ĉiu natura nombro *n* la produto (ripetita sumo) *nx* estas malpli granda ol *y*:

:  \underbrace{x+\cdots+x}_{n\text{ fojoj}} 

La grupo *G* estas **arĥimeda**, se por neniu paro *x, y* da ĝiaj elementoj *x* estas infinitezima rilate al *y*.

Aldone, se *K* estas algebra strukturo kun unuo, ekzemple ringo, simila difino aplikas al *K*. Se *x* estas infinitezimo kun rilate al 1, tiam *x* estas **infinitezima elemento**. Ankaŭ, se *y* estas nefinia rilate al 1, tiam *y* estas **nefinia elemento**. La algebra strukturo *K* estas arĥimeda, se ĝi ne havas nefiniajn aŭ infinitezimajn elementojn.

## Pri kampoj 
Ordigita kampo havas ankaŭ jenajn ecojn:

* Se ĝia elemento *x* estas infinitezima, tiam *1/x* estas nefinia, kaj inverse. Tial por kontroli, ĉu kampo estas nearĥimeda, sufiĉas kontroli nur, ĉu ekzistas infinitezimaj elementoj, aŭ kontroli ĉu ekzistas nefiniaj elementoj.
* Se *x* estas infinitezimo kaj *r* estas racionala nombro, tiam *rx* estas ankaŭ infinitezimo. Tiel por, ajna donita ero *c*, la tri eroj *c/2*, *c* kaj *2c* estas aŭ ĉiuj tri infinitezimoj aŭ ĉiu tri ne-infinitezimoj.

### Arĥimeda aksiomo por reelaj nombroj 
En la aksioma teorio de reelaj nombroj, la malesto de nenulaj infinitezimaj reelaj nombroj estas implicita per la malplej-supera-lima propreco kiel sekvas.

Signifu per *Z* la aron konsistantan el ĉiuj pozitivaj infinitezimoj. Ĉi tiu aro estas barita desupre de 1. Nun alprenu per kontraŭdiro ke *Z* estas nemalplena. Tiam ĝi havas supremon (precizan supran randon) *c*, kiu estas ankaŭ pozitiva, tiel *c/2 g* se kaj nur se *f-g > 0*, tiel necesas nur diri kiuj racionalaj funkcioj estas konsiderataj kiel pozitivaj. Skribu la racionalan funkcion en la formo de rilatumo de du polinomoj tiel ke la konduka koeficiento de la denominatoro estas pozitiva. Estu la funkcio konsiderata kiel pozitiva se la konduka koeficiento de la numeratoro estas pozitiva. Eblas kontroli ke ĉi tiu ordigo estas bone difinita kaj kongrua kun la adicio kaj multipliko. Per ĉi tiu difino, la racionala funkcio *1/x* estas pozitiva sed malpli granda ol la racionala funkcio 1. Kaj, se *n* estas iu ajn natura nombro, tiam *n(1/x) = n/x* estas pozitiva sed ankoraŭ malpli granda ol 1. Pro tio, *1/x* estas infinitezimo en ĉi tiu kampo.

Ĉi tiu ekzemplo povas esti ĝeneraligita al la aliaj koeficientoj. Se ekzemple konsideri racionalajn funkciojn kun racionalaj koeficientoj rezultas kalkulebla ne-arĥimeda ordigita kampo.

## Historio 
La koncepto portas la nomon de la antikva greka geometro kaj fizikisto Arĥimedo el Sirakuzo. Arĥimedo diris, ke por ĉiuj du rektaj segmentoj, kuŝigante la pli mallongan el ili finian kvanton da fojoj ĉiam eblas krei segmenton pli longan ol la dua. El la vidpunkto de moderna matematiko, konsiderante, ke la longoj de la netrivialaj segmentoj estas pozitivaj reelaj nombroj, videblas ke ĉi tio estas la arĥimeda propraĵo de reelaj nombroj.

Tamen, Arĥimedo uzis infinitezimojn en heŭristikaj argumentoj, kvankam ne konsideris ĉi tiajn rezonadojn pretaj matematikaj pruvoj.

Ĉar Arĥimedo donis aŭtorecon de tiu ĉi eco al Eŭdokso el Knido, ĝi estas konata ankaŭ kiel la teoremo de Eŭdokso aŭ la aksiomo de Eŭdokso.

La arĥimeda aksiomo aperas en libro V de Elementoj de Eŭklido kiel difino 4.

## Eksteraj ligiloj 
* 

Kategorio:Kampo-teorio (matematiko)
Kategorio:Arĥimedo