Triangulo de Pascal

eta|En la triangulo de Pascal, ĉiu nombro estas la sumo de la du nombroj, skribitaj super ĝi
En matematiko, la **triangulo de Pascal** estas triangula tabelo de nombroj. En la supra vertico kaj laŭ la flankaj lateroj estas skribitaj unuoj. Ĉiu alia nombro estas la sumo de la du nombroj, skribitaj super ĝi. La triangulo estis nomita honore de Blaise Pascal. La nombroj, el kiuj konsistas la triangulo, sendepende aperas en algebro, kombinatoriko, probablo-teorio, infinitezima kalkulo, nombroteorio.

## Formulado 
maldekstre|eta
Laŭ konvencio, oni numeras linion de n=0 (la plej supra). Elementojn en ĉiu linio oni numeras de la plej maldekstra dekstren, kaj komencas de k=0. Kutime ĉiu sekva linio komenciĝas pli maldekstre ol la antaŭa je duono de la larĝo de elemento. La triangulon oni povas fari tiel: en la plej supra linio (n=0) ekzistas nur unu nenula elemento, kiu egalas 1. Ĉiu alia elemento estas la sumo de la supra maldekstra kaj supra dekstra elementoj, se iu el tiu du ne ekzistas, do ĝi egalas konvencie 0. Do la unua kaj la lasta elementoj en ĉiu linio ĉiam egalas 0.

La k-a elementon de la n-a linio oni skribas kiel \tbinom{n}{k}. Ekzemple, la plej supra elemento estas \tbinom{0}{0}=1. Do oni povas skribi:

:  {n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}, \forall n,k \in Z: n>0, 0\leqslant k \leqslant n .

(Oni povas konvencii, ke \tbinom{n}{k}=0, se k \leqslant 0 aŭ k \geqslant n, kaj tiel la rikura formulo ĝustas por ĉiu entjera k).

## Historio 
[eta|dekstre|La triangulo de Yang Hui en verko de [Zhu Shijie, 1303]]
La triangulon aperis multe pli antaŭe ol la tempo de Pascal.

Laŭ postaj komentarioj, la triangulon kaj la rikuran formulon por ĝia farado, \tbinom{n}{r}=\tbinom{n-1}{r}+\tbinom{n-1}{r-1}, sciis la hinda matematikisto Pingala en aŭ antaŭ la 2-a jarcento a.K.. Post verkoj de Pingala mem restis nur fragmentoj, sed priskribo de la formulo konserviĝis en komentoj de Varāhamihira (ĉirkaŭ 505), kaj pli detala en komentoj de Halayudha (ĉirkaŭ 975). Halayudha ankaŭ menciis malklare “la ŝtuparon de la monto Meru”, doninte la unuan konserviĝintan priskribon de la triangulo. kaj poste la fama poeto kaj matematikisto Omar Ĥajam (1048–1131), do en Irano oni ankaŭ nomas ĝin la triangulo de Ĥajam.

La triangulo estis konata en Ĉinio en komenco de la 11-a jarcento el verko de la ĉina matematikisto Jia Xian (ĉine: 贾宪) (1010–1070). En la 13-a jarcento la triangulon prezentis Yang Hui (ĉine: 杨辉) (1238–1298), do en Ĉinio oni nomas ĝin la triangulo de Yang Hui. 
eta|maldekstre|La versio de la triangulo fare de Blaise Pascal

En la okcidento, komence de la 14-a jarcento la binomajn koeficientojn kalkulis Levi ben Gershon. Michael Stifel publikigis parton de la triangulo (de la dua elemento ĝis la meza en ĉiu linio) en 1544, priskribinte ĝin kiel tabelo figurigaj nombroj.

## Binomaj koeficientoj 
eta|250ra|Geometria bildigo de transformo el ***n***-a potenco de binomo al polinomo (ĝis la kvara potenco)

La triangulo de Pascal determinas koeficientojn, kiuj aperas dum transformo el n-a potenco de binomo al polinomo. Ekzemple:

: (x+y)^2=x^2+2xy+y^2=\mathbf{1}x^2y^0+\mathbf{2}x^1y^1+\mathbf{1}x^0y^2.

La koeficientoj konsistigas la duan linion de la triangulo de Pascal.

Ĝenerale, por ajna entjera nenegativa potenco n estas:

: (x+y)^n=a_0x^n+ a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n,

kaj koeficientoj a_i konsistigas la n-an linion de la triangulo de Pascal. Alivorte,

: a_i = {n \choose i}.

Estas formulo de Newton

: (x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^k.

### Pruvo 
Ni pruvu per indukto, ke nombroj, kiu aperas en la triangulo laŭ simpla regulo \tbinom{n}{k}=\tbinom{n-1}{k-1}+\tbinom{n-1}{k} estas tiuj koeficientoj.

La **bazo de la indukto**

Kiel bazo ni rigardu veran egalaĵon, ekzemple:

:(x+y)^2=\tbinom{2}{0}x^2+\tbinom{2}{1}xy+\tbinom{2}{2}y^2=x^2+2xy+y^2.

La **paso de la indukto**

Se estas vere ke:

:(x+y)^{n-1}=\tbinom{n-1}{0}x^{n-1} +\tbinom{n-1}{1}x^{n-2}y+\tbinom{n-1}{2}x^{n-3}y^2+\cdots+\tbinom{n-1}{n-2}xy^{n-2}+\tbinom{n-1}{n-1}y^{n-1}.

Do

:(x+y)^n=(x+y)(x+y)^{n-1}=

&nbsp;

: =(x+y) \left (\tbinom{n-1}{0}x^{n-1} +\tbinom{n-1}{1}x^{n-2}y+\tbinom{n-1}{2}x^{n-3}y^2+\cdots+\tbinom{n-1}{n-2}xy^{n-2}+\tbinom{n-1}{n-1}y^{n-1}\right )=

&nbsp;

: =\tbinom{n-1}{0}x^n +\tbinom{n-1}{1}x^{n-1}y+\tbinom{n-1}{2}x^{n-2}y^2+\cdots+\tbinom{n-1}{n-2}x^2y^{n-2}+\tbinom{n-1}{n-1}xy^{n-1}+

: +\tbinom{n-1}{0}x^{n-1}y +\tbinom{n-1}{1}x^{n-2}y^2+\tbinom{n-1}{2}x^{n-3}y^3+\cdots+\tbinom{n-1}{n-2}xy^{n-1}+\tbinom{n-1}{n-1}y^n=

&nbsp;

: =\tbinom{n-1}{0}x^n+\left (\tbinom{n-1}{1}+\tbinom{n-1}{0}\right )x^{n-1}y+\left (\tbinom{n-1}{2}+\tbinom{n-1}{1}\right ) x^{n-2}y^2+\cdots+

: +\left (\tbinom{n-1}{n-1}+\tbinom{n-1}{n-2}\right ) xy^{n-1}+\tbinom{n-1}{n-1}y^n.

Sed

: \tbinom{n-1}{0}=\tbinom{n}{0}=1;

: \tbinom{n-1}{1}+\tbinom{n-1}{0}=\tbinom{n}{1};

: \tbinom{n-1}{2}+\tbinom{n-1}{1}=\tbinom{n}{2};

: \vdots

: \tbinom{n-1}{n-1}+\tbinom{n-1}{n-2}=\tbinom{n}{n-1};

: \tbinom{n-1}{n-1}=\tbinom{n}{n}=1.

Sekve,

:(x+y)^n=\tbinom{n}{0}x^n +\tbinom{n}{1}x^{n-1}y+\tbinom{n}{2}x^{n-2}y^2+\cdots+\tbinom{n}{n-1}xy^{n-1}+\tbinom{n}{n}y^n.

Do, la nombroj de la triangulo de Pascal estas koeficientoj, kiuj aperas dum transformo el n-a potenco de binomo al polinomo.

Ni ricevos interesan konsekvencon, se egaligos ambaŭ variablojn x kaj y al 1:

:(1+1)^n=\tbinom{n}{0}+\tbinom{n}{1}+\tbinom{n}{2}+\cdots+\tbinom{n}{n-1}+\tbinom{n}{n}y^n.

Do, la sumo de ĉiuj elementoj de la n-a linio de la triangulo de Pascal estas 2^n.

## Kombinaĵoj 
La dua utila uzo de la triangulo de Pascal estas kalkulado de la kvanto de k-kombinaĵoj (ĉiu de amplekso k) de aro kun n eroj (el n po k). Tiun kvavton eblas kalkuli laŭ la formulo:

:  C^n_k = {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Estas nerikura formulo de elemento de la triangulo de Pascal.

## Ecoj 
### Linioj 
eta|250 px|La sumoj de la elementoj de ĉiuj linioj
* La sumo de la elementoj de ĉiu linio estas duoble pli malgranda ol la sumo de la elementoj de la sekva linio. Ekzemple, la sumo de la linio 0 (la plej supra) estas 1, la linio 1 estas 2, la linio 2 — 4, kaj tiel plu. Tiel estas ĉar ĉiu elemento de linio estas adiciato por du elementoj de la sekva linio: dekstra kaj maldekstra. La sumo de ĉiuj elementoj de la n-a linio de la triangulo de Pascal estas 2^n.

* La produtoj de la elementoj por ĉiuj linioj de la triangulo de Pascal konsistigas la sinsekvon , kiu estas ligita kun la bazo de natura logaritmo, ***e***. La elementon de la sinsekvo oni povas difini tiel:

:s_n=\prod_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = \prod_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}~, ~ n \geq 0.

Do la proporcio inter du najbaraj elementoj de la sinsekvo estas:

:\frac{s_{n+1}}{s_{n}}=\frac{(n+1)!^{(n+2)}\prod_{k=0}^{n+1}{k!^{-2}}}{n!^{(n+1)}\prod_{k=0}^{n}{k!^{-2}}}
=\frac{(n+1)^n}{n!}

Kaj la proporcio inter tiuj proporcioj estas:

:\frac{(s_{n+1})(s_{n-1})}{(s_n)^2}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^n, ~ n\geq 1.

Sed dum malfinia kreskado de n limeso de la dekstra parto de la lasta formulo estas e:

:\textit{e} =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.

* La nombron pi oni povas trovi en la triangulo de Pascal danke al nefinia serio de Nilakantha.

:\pi=3+\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{\binom{2n+1}{1}}{\binom{2n+1}{2}\binom{2n+2}{2}}

* La sumo de la kvadratoj de ĉiuj elementoj en la linio n estas la meza elemento de la linio 2n:

:\sum_{k=0}^n {n \choose k}^2 = {2n \choose n}.

### Diagonaloj 
Ni nomu diagonalo vicon de nombroj, paralela al unu el la flankaj lateroj de la triangulo. En la diagonaloj troviĝas figurigaj nombroj de respektiva simplaĵo:

* En la randaj diagonaloj troviĝas unuoj.

* En la duaj diagonaloj troviĝas naturaj nombroj laŭ ordo.

* En la triaj diagonaloj troviĝas triangulaj nombroj laŭ ordo.

* En la kvaraj diagonaloj troviĝas kvaredraj nombroj laŭ ordo.

* En la k-aj diagonaloj troviĝas figurigaj nombroj de k-dimensia regula simplaĵo laŭ ordo.

### Kalkulado de linio aŭ diagonalo per si mem 
Ekzistas simplaj algoritmoj por kalkuli ĉiujn elementoj en linio aŭ diagonalo sen kalkulado aliaj elementoj aŭ faktorialoj:

* Por kalkuli la n-an linion, kies elementoj estas \tbinom{n}{0}, \tbinom{n}{1}, ..., \tbinom{n}{n}, ni komencu de \tbinom{n}{0}=1. Ĉiujn aliajn elementojn ni sinsekve ricevu laŭ la formulo:

: {n\choose k}= {n\choose k-1}\times \frac{n+1-k}{k}.

* Por kalkuli la n-an diagonalon, paralelan al la dekstra latero, kies elementoj estas \tbinom{n}{0}, \tbinom{n+1}{1}, \tbinom{n+2}{2}, ..., ni denove komencu de \tbinom{n}{0}=1. La aliaj elementoj ni sinsekve ricevu laŭ la formulo:

: {n+k\choose k}= {n+k-1\choose k-1}\times \frac{n+k}{k}.

La elementoj de la n-a diagonalo, paralela al la maldekstra latero, egalas al la respektivaj elementoj de n-a diagonalo, paralela al la dekstra latero.

### Ecoj de la tuta triangulo 
eta|La unuaj 32 linioj de la triangulo de Pascal, neparaj nombroj havas nigran fonon
* La triangulo estas simetria rilate al la vertikala akso.

* Desegno, kiun oni ricevas, se kolorigas nur neparajn nombrojn en la triangulo de Pascal, tre similas al fraktalo, nomata la triangulo de Sierpinski. Ĝi similas des pli, ju pli multe da linioj oni konsideras. Por ĝeneraligi, oni povas kolorigi nombrojn diverskolore laŭ resto ĉe divido per 3, 4, k.t.p., kaj ricevi similajn rezultojn.

* Se la triangulon oni konsideras kiel grafeo, en kiu ĉiu vertico estas ligita reciproke kun tiuj, kies sumo ĝi estas, do nombro en ĉiu vertico estas la kvanto da plej mallongaj vojoj el la supra vertico ĝis la konsiderita vertico.
centre|400ra

* Se oni movas ĉiujn liniojn de la triangulo, metante ĉiujn maldekstrajn (aŭ ĉiujn dekstrajn) randojn sur unu vertikala rekto, do la sumo de ĉiuj elementoj de la diagonala bendo (tiuj bendoj malsupre estas indikitaj per diversaj koloroj), kiu komenciĝas de la randa elemento de la (n-1)-a linio, estas n-a fibonaĉi-nombro: F_{n}=\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor} \tbinom {n-k-1} k

::

## Citaĵo 
## Referencoj 
Kategorio:Faktorialo kaj dutermaj temoj
Kategorio:Blaise Pascal
Pascal
Kategorio:Ĉinaj matematikaj malkovroj