Kuna spektra radiuso

En matematiko, la **kuna spektra radiuso** estas ĝeneraligo de la klasika nocio de spektra radiuso de kvadrata matrico, al aroj da kvadrataj matricoj.

La kuna spektra radiuso de aro da matricoj estas la maksimuma asimptota kreskada kurzo de produtoj de matricoj elektitaj el la aro. Por finia aro da matricoj M=\{A_1,\dots, A_m\} \subset \mathbb R^n, la kuna spektra radiuso estas difinita kiel:

: \rho (M)= \lim_{k \to \infty}\max{\{ \|A_{i_1}\cdots A_{i_k}\|^{1/k}:A_i\in M\}} 

Eblas pruvi ke la limeso ekzistas kaj ke la kvanto reale ne dependas de la elektita matrica normo, sed ĉi tiu normo devas esti sub-multiplika.

La nocio estis prezentita en 1960 de Gian-Carlo Rota kaj Gilbert Strang, du matematikistoj de Masaĉuseca Instituto de Teknologio, sed startis allogi atenton pro la laboro de Ingrid Daubechies kaj Jeffrey Lagarias. Ili montris ke la kuna spektra radiuso povas esti uzata por priskribi glatecajn propraĵojn de certaj ondosimilaĵaj funkcioj. Granda kvanto da aplikoj estis proponita post tiam. Estas sciate ke la kuna spektra radiusa kvanto estas NP-peza por komputi aŭ por aproksimi, eĉ se la aro *M* konsistas el nur du duumaj matricoj . Ankaŭ, la demando ĉu *ρ≤1*, estas nedecidebla problemo . Tamen, en lastatempaj jaroj granda progreso estas farita pri komprenado de ĝi, kaj ŝajnas ke en praktiko la kuna spektra radiuso povas ofte esti komputita kun kontentiga precizeco, kaj ke ĝi ankaŭ povas doni interesan studkapablon en inĝenieradaj kaj matematikaj problemoj.

## Kalkulado 
Malgraŭ la negativaj teoriaj rezultoj pri komputebleco de la kuna spektra radiuso, estas proponitaj manieroj, kiuj funkcias bone en praktiko. Estas eĉ sciataj algoritmoj, kiuj povas atingi ajnan precizecon en apriore komputebla kvanto da tempo. Ĉi tiuj algoritmoj povas vidiĝi kiel penantaj aproksimi la unu-globon de aparta vektora normo, nomata la ekstrema normo. Estas ĝenerale diferenco inter du familioj de tiaj algoritmoj: la unua familio, nomata **hiperpluredraj normaj manieroj**, konstruas la ekstreman normon per komputado de longaj trajektorioj de punktoj. Avantaĝo de ĉi tiuj manieroj estas tio, ke en la prefereblaj okazoj ili povas trovi la precizan valoron de la kuna spektra radiuso kaj provizi pruvon ke ĉi tio estas la preciza valoro.

La dua familio de manieroj aproksimas la ekstreman normon per **modernaj optimumigaj teknikoj**, simile al duondifinita programado, sumo de kvadratoj, konika programado. La avantaĝo de ĉi tiuj manieroj estas ke ili estas facilaj en realigo, kaj en praktiko, ili provizas ĝenerale la plej bonajn barojn por la kuna spektra radiuso.

## La finiteca konjekto 
Rilatanta al la komputebleco de la kuna spektra radiuso estas jena konjekto: 

: "Por ĉiu finia aro da matricoj M \subset \mathbb R^{n \times n}, estas produto  A_1\dots A_t de matricoj el ĉi tiu aro tia, ke

:: \rho(M) = \rho(A_1 \dots A_t)^{1/t} "

En la ekvacio pli supre " \rho(A_1 \dots A_t)" estas la simpla spektra radiuso de la produto de matricoj A_1 \dots A_t.

Ĉi tiu konjekto, proponita en 1995, estis pruvita kiel malvera en 2003,  sed multaj demandoj rilatantaj al ĉi tiu konjekto estas ankoraŭ malfermitaj, kiel ekzemple la demando, ĉu ĝi veras por paroj da duumaj matricoj.

## Aplikoj 
La kuna spektra radiuso okazas en stabileca kondiĉo por diskreto-tempaj reŝaltantaj dinamikaj sistemoj. Ja, la sistemo difinita per la ekvacioj

: x_{t+1}=A_tx_{t}, \quad A_t\in M \, \forall t

estas stabila se *ρ(M)p*-averaĝo de la normoj de la produtoj en la duongrupo.

La **lapunova eksponento** de la aro da matricoj karakterizas la kurzon de kreskado de la geometria meznombro.

## Referencoj 
*
*

Kategorio:Spektra teorio
Kategorio:Matrica teorio