Gaŭsa leĝo

*Tiu artikolo temas pri la "gaŭsa leĝo", kaj rilatas al la elektra kampo.*
*Analoga leĝo rilatas al la magneta kampo, laŭ la "leĝo de konservita flukso",*
*alienomita "gaŭsa leĝo pri magnetismo". Analoga leĝo rilatas al gravita kampo,*
*laŭ la "gaŭsa leĝo pri gravito". La ĝenerala teoremo rilatanta tiujn leĝojn*
*estas la teoremo de Ostrogradskij-Gaŭso.*

En fiziko, la **gaŭsa leĝo**, aŭ **leĝo de Gauss**, estas leĝo rilatanta al la distribuo de elektraj ŝargoj, kiuj kaŭzas elektran kampon. La *gaŭsa leĝo* esprimiĝas tiel:
*La elektra flukso tra fermita surfaco estas proporcia al la tuta enfermita elektra ŝargo.*
Ĝi estis formulita de Carl Friedrich Gauss en 1835, sed ne eldonita ĝis 1867, t.e. post lia morto
.

Ĝi estas integrala formo de unu el la kvar ekvacioj de Maxwell nomita *ekvacio de Maxwell-Gauss*, kaj estas fundamento de klasika elektromagnetismo.

En vakuo, por fermita gaŭsa surfaco *S*, la *elektra flukso* estas donita per sekvanta surfaca integralo:

 \iint_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset \vec{\mathbf{E}} \cdot d\vec{\mathbf{S}} = \frac{Q(V)}{\varepsilon_0}  \; ;

kie
* *Q(V)* estas la tuta elektra ŝargo (inkluzivanta ambaŭ liberajn ŝargojn kaj barajn ŝargojn) en la volumeno *V* limigita de la surfaco *S*,
* *ε0* estas la permitiveco de vakuo.

## Diversaj formoj de ŝargoj 
Oni povas konsideri diversajn kazojn de elektraj ŝargoj ĉirkaŭigitaj de surfaco *S*.

* Kiam la surfaco ĉirkaŭas plurajn punktajn ŝargoj, tiam la totala ĉirkaŭigita elektra ŝargo estas kalkulota laŭ la formulo:
 Q(V) = \sum q_i
kie ** q_i ** estas la elektra ŝargo de punkto *i*,
* Kiam la surfaco ĉirkaŭas linian ŝargon kun lineara ŝarga denseco **k**, tiam la ĉirkaŭigita elektra ŝargo estas kalkulota laŭ la formulo:
 Q(V) = \int k \mathrm d  l  ,
* Kiam la surfaco ĉirkaŭas enen surfacan ŝargon kun surfaca ŝarga denseco **j**, tiam la ĉirkaŭigita elektra ŝargo estas kalkulota laŭ la formulo:
 Q(V) = \iint_S j \mathrm d s  
* Kiam la surfaco ĉirkaŭas volumenan ŝargon kun volumena ŝarga denseco  \mathbf{\rho},
\mathbf{ \rho} = \mathbf{\rho_l}+ \mathbf{\rho_b}  
kie  \mathbf{\rho_l} estas ŝarga denseco de liberaj ŝargoj, kaj  \mathbf{\rho_b} estas ŝarga denseco de baraj ŝargoj en la medio, tiam la ĉirkaŭigita elektra ŝargo estas kalkulota laŭ la formulo:
 Q(V) = \iiint_V\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \;\;\;\;\;\;\;\; \subset\!\supset \; \rho \; \mathrm d V  

## Demonstro de kulomba leĝo 
La *gaŭsa leĝo* uzitiĝas por dedukti la kulomban leĝon, kaj reciproke.

[eta|250px|[Elektra fluo de punkta ŝargo ene de sfero.]]

Konsideru sferon de radiuso **r** kun punkta elektra ŝargo **q1**
(pozitiva aŭ negativa) lokata en ĝia centro, kiel indikita sur la desegno.
La elektra kampo \vec E  estas paralela al la surfaca normala vektoro  \vec{dS} , kaj la kampo estas konstanta pri ĉiuj punktoj de la sfera surfaco.
Konsekvence:
:\Phi_{E} =  \iint_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset \vec{\mathbf{E}} \cdot d\vec{\mathbf{S}} = \iint_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset {\mathbf{E}} \cos\theta d{\mathbf{S}}
:\Phi_{E} = \iint_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset {\mathbf{E}} \cos(0) d{\mathbf{S}} =  \mathbf{E} \cdot \iint_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset d{\mathbf{S}} = \mathbf{E} \cdot 4\pi r^2,
ĉar la surfaco de sfero estas:
\iint_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset d{\mathbf{S}} = 4\pi r^2 \; .
Laŭ la gaŭsa leĝo:
:\Phi_{E} = \frac{q_1}{\varepsilon_0}\; ,
do
:\mathbf{E} =  \frac{q_1}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \; .
Se sur la surfaco **S** oni metas alian punktan elektran ŝargon **q2** (pozitivan aŭ negativan), tiu ŝargo estas submetita al la lorenca forto:
:\vec{\mathbf{F}} = q_2 \cdot \vec{\mathbf{E}} \; ,
tio estas (kun vektoro  \vec{r} orientita de punkto **q1** al punkto **q2**):
:\vec{\mathbf{F}} = \frac{q_1 q_2  \; . \; \vec{r}}{4\pi \varepsilon_0 r^2 |\vec{r}|} \; ,
kio estas la kulomba leĝo.

## Rilato al ekvacioj de Maxwell 
La *ekvacio de Maxwell-Gauss* per elektra ŝovodenso kaj sub diferenciala formo permesas dedukti la *leĝon de Gauss*, fakte de:
::::::::::: \nabla \cdot \vec{\mathbf{D}} = \rho_l \; ,
la apliko de teoremo de Ostrogradskij-Gaŭso al la ĉi-supra ekvacio rezultigas:
 \iint_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset \vec{\mathbf{D}} \cdot d\vec{\mathbf{S}} =  \iiint_V\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \;\;\;\;\;\;\;\; \subset\!\supset \;\rho_l \; \mathrm d V  \; , 
kio estas la *gausa leĝo* en ĝenerala medio (inkluzive dielektriko).
Pri lineara, uniforma, izotropa medio:
  \vec{\mathbf{ D}} = \varepsilon \varepsilon_0 \vec{\mathbf{ E}}\; ,  
kie *ε* estas la relativa permitiveco de la medio, do
:::::::::: \iint_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset \vec{\mathbf{E}} \cdot d\vec{\mathbf{S}} \; = \frac{Q_l(V)}{\varepsilon \varepsilon_0} \; . 
Pri libera spaco *ε* = 1, *Ql(V)* = *Q(V)*, tial oni bone retrovas la originan *gausan leĝon* pri vakuo.

## Vidu ankaŭ 
* Gaŭso
* Elektra konstanto
* Kulomba leĝo
* Lorenca forto
* Vektora kalkulo

## Referencoj 
Kategorio:Elektrostatiko
Kategorio:Carl Friedrich Gauss