Matematika indukto

**Matematika indukto** estas matematika pruvmetodo, per kiu oni pruvas aserton por ĉiuj naturaj nombroj. Ĉar temas pri senfina kvanto da nombroj, tia pruvo ne povas esti realigata por ĉiu unuopa kazo. Tial oni realigas la pruvon per du ŝtupoj: La *bazo de la indukto* por la plej malgranda nombro (plej ofte 0 aŭ 1) kaj la *paŝo de la indukto*, kiu logike deduktas de aserto pri iu varianta nombro la koncernan aserton por la sekva nombro. Ĉi tiu pruvmetodo havas fundamentan rolon en la aritmetiko kaj aroteorio, kaj tial gravas por ĉiuj branĉoj de matematiko.

Matematika indukto ne estas speco de indukta logiko, kiu ne estas sufiĉe rigora por matematiko. Matematika indukto uzas nur deduktan logikon.

## Ilustrado 
eta|190px|maldekstra|Konkretaj paŝoj de indukto
Per la varianta indukto-paŝo la matematika indukto kovras ajnan kvanton de paŝoj, kiujn oni povas konkrete realigi komencante ĉe 1. Tion ilustras la ilustraĵo maldekstre. Tiu metodo estas komparebla kun la domen-efiko: Kiam la unua domen-tabulo falas kaj ĉiu falanta tabulo faligas la sekvan tabulon, tiam fine ĉiu domen-tabulo falas. Kontraste al la kazo de domeno, ĉe kiu povas ekzisti nur finhava kvanto da domen-tabuloj, ekzistas senfina kvanto da naturaj nombroj, tiel ke neniu ajne longa konkreta indukto atingas ĉiujn nombrojn. Nur per la varianta indukto-paŝo la indukto iĝas kompleta kaj vere atingas ĉiujn nombrojn.
[eta|500px|Matematika indukto kiel [domeno (ludo)|domen-efiko]]

## Etimologio kaj historio 
La esprimo "matematika indukto" devenas de la latina *inductio* (="internen-konduko" aŭ "supren-konduko"). La induktoprincipo jam latente enestas en la pitagora difino de nombroj transdonita de Eŭklido: *Nombro estas aro kunmetita el unuoj.* Eŭklido tamen ne faris induktajn pruvojn, sed kontentiĝis per intuiciaj, ekzemplaj induktoj, kiuj tamen ja estis kompletigeblaj. Ankaŭ aliaj elstaraj matematikistoj de la antikvo kaj mezepoko ne sentis la bezonon de precizaj induktopruvoj. Unuopaj esceptoj el la hebrea kaj araba lingvoregionoj restis sen posteuloj. Longe oni konsideris pruvon de Franciscus Maurolycus de 1575 kiel plej malnovan eksplicitan matematikan indukton (vidu malsupre). Li tamen ankoraŭ ne pritraktis la ĝeneralan pruvmetodon. La unua kiu eksplicite pritraktis la induktoprincipon kun indukto-bazo kaj indukto-paŝo estis Blaise Pascal en sia *Traite au Triangle Arithmetique* de 1654. Al la disvastigo de induktaj pruvoj signife kontribuis Jakob Bernoulli ekde 1686. La pruvmetodo estis unuafoje nomata "indukto" aŭ "sinsekva indukto" de Augustus De Morgan en 1838. En 1888 Richard Dedekind klarigis la pruvmetodon sub la nomo "kompleta indukto" (germane "vollständige Induktion", kiu iĝis la kutima esprimo por "matematika indukto" en la germana) en sia verko *Was sind und was sollen die Zahlen?* (*Kio estas kaj kion celas la nombroj?*). Per tiu verko el la fonda periodo de la aroteorio, ĝi iĝis ĝenerale konata, establiĝinta pruvmetodo, kiun de tiam neniu branĉo de la matematiko povas forlasi. Unu jaron poste, en 1889, Giuseppe Peano vortigis la unuan formaligitan deduktan sistemon por la naturaj nombroj kun indukt-aksiomo, el kiu la pruvskemo de matematika indukto estas derivebla. Li pruvis per formala rigoro ke de liaj nombro-aksiomoj, al kiuj apartenis la indukt-aksiomo, sekvas la tuta aritmetiko ĝis inkluzive la realaj nombroj. Per tio li konsciigis pri la fundamenta signifo kaj potenco de la indukto.

## Difino 
Ekde Richard Dedekind la *matematika indukto* estas difinita jene:
:Por pruvi, ke aserto validas por ĉiuj naturaj nombroj *n* ≥ *m*, sufiĉas pruvi ke ĝi validas por *n* = *m* kaj ke el la valideco de la aserto por nombro *n* ≥ *m* ĉiam sekvas ĝia valideco por la sekva nombro *n*+1.
:\,A(0) {,}\quad n \in \N \land A(n)\Rightarrow A(n+1)\ \vdash \forall n \in \N \colon A(n)

## Dedukto 
Oni povas dedukti la matematikan indukton el la aksiomoj por la naturaj nombroj. Plej konata estas la dedukto el la kvina aksiomo de Peano, la tiel nomata *indukt-aksiomo*, kiu tekstas jene: Se \,0 estas elemento de \,K kaj se por ĉiu \,n  en \,K  ankaŭ \,n+1  estas en \,K , tiam \N estas subaro de \,K. Se oni en ĉi tiu aksiomo elektas por \,K la aron de ĉiuj naturaj nombroj \,n, por kiuj validas la aserto \,A(n), tiam rezultas la matematika indukto kun indukto-bazo \,A(0).

Ankaŭ ĉe aliaj konceptoj de naturaj nombroj la aksiomoj de Peano kaj per ili la pruvmetodo de matematika indukto estas dedukteblaj, ekzemple ĉe la difino de la naturaj nombroj
* kiel de 1 naskita duongrupo, kiu respondas al la citita pitagora nombrodifino
* kiel plej malgranda indukta aro, do kiel plej malgranda aro por kiu validas la senfinec-aksiomo de Zermelo
* kiel aro de ĉiuj finhavaj ordonombroj

## Pruvskemo de la matematika indukto 
: **La formulo A(n) estas pruvota.**

:La pruvo estas plenumata en du paŝoj.

:**1. Bazo de la indukto: Kontrolu, ke A(m) validas.**

:**2. Paŝo de la indukto: Pruvu: A(n) => A(n+1) (n ≥ m)** ("El A(n) sekvas A(n+1)")

:Per la pruvo de la punktoj 1 kaj 2 la formulo A(n) estas pruvita por ĉiuj n ≥ m.

Normale m=0 aŭ m=1. Tamen en iuj okazoj m > 1, nome se A(n) ne validas por pluaj, finhave multaj naturaj nombroj.

## Ekzemploj 
En 1889 Peano pruvis per matematika indukto la bazajn kalkulregulojn por la adicio kaj obligo: ilian asociecon, komutecon kaj distribuecon.

### Sumo de neparaj nombroj (Maurolicus 1575) 
La laŭpaŝa kalkulado de la sumo de la unuaj  n  neparaj nombroj supozigas la sekvan konjekton: La sumo de ĉiuj neparaj nombroj de 1 ĝis 2n-1 egalas al la kvadrato de n:
: 1 = 1
: 1 + 3 = 4
: 1 + 3 + 5 = 9
: 1 + 3 + 5 + 7 = 16

La ĝenerala teoremo estas: \sum^n_{i=1} (2i-1) = n^2.. Ĝin pruvis Maurolicus en 1575 per matematika indukto. Kiel indukta hipotezo ankaŭ povas roli la aserto por ĉiu nombroj inter la komenca valoro kaj *n*. Unu ekzemplo estas la pruvo, ke ĉiu natura nombro n\geq 2 havas priman dividanton.
:Indukto-bazo: 2 estas dividebla per 2.
:Indukto-paŝo: La aserto estu vera por ĉiu \,m tia ke 2\leq m \leq n. Se \,n+1 estas primo, tiam \,n+1 mem estas la serĉata dividanto. Se \,n+1 ne estas primo, tiam ekzistas du nombroj \,a, b tiaj ke a\cdot b=n+1 kaj 2\leq a,b\leq n. Do ambaŭ nombroj plenumas la induktan hipotezon. Do certe \,a havas priman dividanton \,p. \,p ankaŭ dividas \,n+1 kaj sekve estas prima dividanto de \,n+1.

## Variaĵoj de indukto 
Induktopruvo ankaŭ eblas por asertoj pri ĉiuj plenaj nombroj (pozitivaj kaj negativaj). Oni komencas por tio per ajna indukto-bazo, kaj pruvas pozitivan indukto-paŝon de *n* al *n+1* kaj sekve indukto-paŝon en la negativan direkton de *n* al *n*-1. Ĉe indukto-bazo 0 oni povas la duan indukto-paŝon ankaŭ de *n* al −*n*.

En 1821 Cauchy enkondukis variaĵon de indukto, ĉe kiu la antaŭeniranta indukto-paŝo faras saltojn (ekzemple de *n* al 2*n*), kaj la ekestintaj interspacoj estas poste traktataj per malantaŭen-iranta indukto-paŝo de *n* al *n*-1.

La matematika indukto estas ĝeneraligebla de la naturaj nombroj al la ordonombroj. Ĉe senfinaj ordonombroj oni parolas pri transfinia indukto.

La principo de indukto estas transigebla ankaŭ al tiel nomataj bone-fundamentitaj aroj, kiuj posedas ordostrukturon kompareblan al tiu de la naturaj nombroj; ĉi-okaze oni parolas ankaŭ pri struktura indukto.

## Rikura aŭ indukta difino 
La rikura difino - ankaŭ nomata *indukta difino* - estas procedo analoga al la matematika indukto, ĉe kiu oni difinas matematikan esprimon per rikuro-bazo kaj rikuro-paŝo. Pruvo kun matematika indukto povas evitigi rikuran kalkulon. Ekzemple, la sumformulo de Gauss evitigas rikuran kalkulon de la sumo \sum^n_{k=1} k per rikuro-bazo \sum^1_{k=1} k=1 kaj rikuro-paŝo \sum^{n+1}_{k=1} k=\sum^{n}_{k=1}k+n+1.

Rikuro same kiel indukto havas diversajn variaĵojn.

## Referencoj 
## Vidu ankaŭ 
* Plena indukto
* Rikuro
* Transfinia indukto

## Eksteraj ligiloj 
Kategorio:Matematika logiko