Unuforma pluredro

**Unuforma pluredro** estas unuforma hiperpluredro, 3-dimensia pluredro kiu havas regulaj plurlateroj kiel edroj kaj estas vertico-transitiva. Ĉiuj ĝiaj verticoj estas kongruaj, kaj la pluredro havas altan gradon de reflekta kaj turna simetrio.

Unuformaj pluredroj povas esti regula, kvazaŭregula aŭ duonregula. La edroj kaj verticoj ne nepre estas konveksaj, inter unuformaj pluredroj estas ankaŭ stelaj pluredroj.

Malinkluzivante la malfiniajn arojn estas 75 unuformaj pluredroj (aŭ 76 se al lateroj estas permesite koincidi).

La kategorioj inkluzivas:
* Malfiniaj aroj de unuformaj prismoj kaj kontraŭprismoj (inkluzivanta stelajn formojn)
* 5 platonaj solidoj - regulaj konveksaj pluredroj
* 4 pluredroj de Keplero-Poinsot - regulaj nekonveksaj pluredroj
* 13 arĥimedaj solidoj - kvazaŭregula kaj duonregulaj konveksaj pluredroj
* 14 nekonveksaj pluredroj kun konveksaj edroj
* 39 nekonveksaj pluredroj kun nekonveksaj edroj
* 1 pluredro trovita de John Skilling ĉe kiu paroj de lateroj koincidas.

Ili povas ankaŭ esti grupita per ilia geometria simetria grupo, kio estas farita pli sube.

## Historio 
* La platonaj solidoj estas konataj ekde la klasikaj grekoj kaj estis studitaj de Platono, Theaetetus kaj Eŭklido.
* Keplero (1571-1630) estis la unua, kiu publikigis la plenan liston de arĥimedaj solidoj post kiam la originala laboro de Arkimedo estis perdita.
* Keplero (1619) esploris du de la regulajn pluredroj de Keplero-Poinsot kaj Louita Poinsot (1809) esplorita la aliajn du.
* De la ceteraj 37 estis trovitaj de Badoureau (1881). Edmund Hess (1878) esploris 2 pliajn kaj Pitsch (1881) sendepende esploris 18-n, el ili ne ĉiuj antaŭe esplorita.
* Harold Scott MacDonald Coxeter esploris la ceterajn dek du en kunlaboro kun J.C.P. Miller (1930-1932) sed ne publikigis la laboron. M.S. kaj H.C. Longuet-Higgins sendepende esploris 11-n el ĉi tiuj.
* En 1954 H.S.M. Coxeter, M.S. Longuet-Higgins, J.C.P. Miller publikigis la liston de unuformaj pluredroj.
* En 1970 S. P. Sopov pruvis ilia konjekton ke la listo estis plena.
* En 1974, Magnus Wenninger publikigis lian libron, *Pluredraj modeloj*, kiu estas la unua publikigita listo de ĉiuj 75 neprismaj unuformaj pluredroj, kun multaj antaŭe nepublikigitaj nomoj donitaj al ili de Norman Johnson.
* En 1975, John Skilling sendepende pruvis la plenecon, kaj montris ke se la difino de unuforma pluredro estas malstreĉiĝita al permesi al randoj koincidi tiam estas nur unu superflua ebleco.
* En 1993, Zvi Har'El produktis plenan komputilan konstruadon de la unuformaj pluredroj kaj dualaj tra ilia kalejdoskopa konstrua programo nomata kiel **Kaleido**, kaj resumis en papero *Unuforma solvaĵo por unuformaj pluredroj.*, donante al ili numerojn 1-80.
* Ankaŭ en 1993, R. Mäder aplikis solvaĵon de ĉi tiu Kaleido al Mathematica kun malmulte malsama indeksanta sistemo.

### Indeksado 
Estas kvar gravaj publikaĵoj indeksantaj la pluredrojn. Por distingi ilin, al la indeksoj estas aldonataj malsamaj literoj, **C** por la Coxeter 1954, **W** por la Wenninger 1974 , **K** por la Kaleido 1993, kaj **U** por la 1993 Maeder, kiu estas (mult)amplekse reproduktita aliloke. Nun **U** estas la plej kutima indeksado de la pluredroj.

# [**C**] 1954: Ĉi tiu papero listigas la unuformaj pluredroj per nombroj 15-92. 15-32 estas por la konveksaj, 33-35 por 3 malfiniaj prismaj aroj, kaj 36-92 por la nekonveksaj.
# [**W**] 1974: nombris ilin 1-119: 1-5 por la platonaj solidoj, 6-18 por la arĥimedaj solidoj, 19-66 por steligitaj formoj inkluzivante la 4 regulaj nekonveksaj pluredroj (sed plejparto de la steligitaj pluredroj estas neunuformaj), kaj 67-119 por la nekonveksaj unuformaj pluredroj. (La plenan liston de Wi rigardu en listo de pluredroj de Wenninger)
# [**K**] 1993 Kaleido: La 80 nombroj donitaj estis grupita per simetrio: 1-5 kiel prezentantoj por la malfiniaj familioj de prismaj formoj kun duedra simetrio, 6-9 kun kvaredra simetrio, 10-26 kun Okedra simetrio, 46-80 kun dudekedra simetrio.
# [**U**] 1993 Mathematica: Ĉi tiu listante sekvis la nombradon de Kaleido, sed movis la 5 prismajn formojn al fino de la listo, kaj la neprismaj havas numerojn 1-75.

## Konveksaj formoj kaj fundamentaj situoj de verticoj 
La konveksaj unuformaj pluredroj povas esti nomitaj per operacioj de konstruo de Wythoff sur la gepatra formo.

Ĉiu de ĉi tiuj konveksaj formoj difinas aron de *verticoj* kiuj povas esti uzataj ankaŭ por la nekonveksaj formoj, listigitaj en la sekva sekcio.

### Difino de operacioj 
## Nekonveksaj formoj listitaj laŭ geometriaj simetriaj grupoj kaj situoj de verticoj 
Ĉiuj unuformaj pluredroj estas listita pli sube laŭ iliaj geometriaj simetriaj grupoj kaj subgrupitaj laŭ iliaj situoj de verticoj.

Regulaj pluredroj estas markitaj per iliaj simboloj de Schläfli. Aliaj neregulaj unuformaj pluredroj estas listitaj kun iliaj verticaj konfiguroj aŭ ilia unuformaj pluredraj indeksoj U(1-80).

Noto: por nekonveksaj formoj pli sube estas aldonita komento **neunuforma** se la konveksa koverto de la situo de verticoj havas sama topologio kiel unu el unuformaj pluredroj, sed havas neregulajn edrojn. Ekzemple *neunuforma laterotranĉita* formo povas havi nekvadratajn ortangulojn kiel edroj.

### Kvaredra simetrio 
Estas 2 konveksaj unuformaj pluredroj, la kvaredro kaj senpintigita kvaredro, kaj unu nekonveksa formo, la kvar-duon-sesedro kiu havi *kvaredran simetrion*. La kvaredro estas mem duala.

Aldone la okedro, senpintigita okedro, kubokedro, kaj dudekedro havas kvaredran simetrion kaj ankaŭ pli altan simetrion. Ili estas aldonitaj por pleneco pli sube, kvankam iliaj nekonveksaj formoj kun okedra simetrio ne estas inkluzivitaj ĉi tie.

### Okedra simetrio 
Estas 8 konveksa formoj kaj 10 nekonveksaj formoj kun *okedra simetrio*.

### Dudekedra simetrio 
Estas 8 konveksa formoj kaj 46 nekonveksaj formoj kun *dudekedra simetrio* (aŭ 47 nekonveksa formoj se figuro de Skilling estas inkluzivita). Iu el la nekonveksa riproĉaj formoj havas neunuforman turnecan simetrion, kaj iu estas memspegulsimetriaj.

### Duedra simetrio 
Unuformaj pluredroj kun duedra simetrio estadas de jenaj specoj:

Ekzistas malfinie multaj unuformaj pluredroj de ĉiu el la 5 specoj, diferenciĝantaj per kvanto de verticoj aŭ per maniero de konekseco de la steloj.

## Figuro de Skilling 
Unu plua nekonveksa pluredro estas la granda duriproĉa durombo-dekduedro, ankaŭ sciata kiel *figuro de Skilling*, kiu estas vertico-unuforma, sed havas parojn de lateroj kiu koincidas en spaco tiel ke kvar edroj kuniĝas je ĉi tiuj lateroj.

Ĝi estas iam sed ne ĉiam enkalkulita kiel unuforma pluredro. Ĝi havas **I**h simetrion.
: 64ra

## Vidu ankaŭ 
* Pluredro
** Regula pluredro
** Kvazaŭregula pluredro
** Duonregula pluredro
* Listo de regulaj hiperpluredroj
* Listo de unuformaj pluredroj
* Listo de pluredroj de Wenninger
* Pluredra modelo
* Listo de unuformaj pluredroj laŭ vertica figuro
* Listo de unuformaj pluredroj laŭ simbolo de Wythoff
* Uniforma pluredra kombinaĵo
* Unuforma kahelaro
* Unuforma hiperpluredro

## Referencoj 
* Brückner, M. *Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte.*. Leipzig, Germanio: Teubner, 1900. http://www.hti.umich.edu/cgi/b/bib/bibperm?q1=ABN8316.0001.001
* H.S.M. Coxeter, M.S. Longuet-Higgins, J.C.P. Miller, *Unuformaj pluredroj*, **Phil. Trans.** 1954, 246 A, 401-50 http://links.jstor.org/sici?sici=0080-4614%2819540513%29246%3A916%3C401%3AUP%3E2.0.CO%3B2-4
* S. P. Sopov *Pruvo de la pleneco de la listo de rudimentaj homogenaj pluredroj.* Ukrain. Geometr. Sb. Ne. 8, (1970), 139-156
* 
* John Skilling, *La plenumi aro de unuformaj pluredroj.*, Filoj de Aleksandrio. Trans. Roy. Soc. Londono Ser. 278 (1975), 111-135 http://links.jstor.org/sici?sici=0080-4614%2819750306%29278%3A1278%3C111%3ATCSOUP%3E2.0.CO%3B2-F
* Har'El, Z. *Unuforma solvaĵo por unuformaj pluredroj.*, Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Zvi Har’El  http://www.math.technion.ac.il/~rl/docs/uniform.pdf , programaro Kaleido , Bildoj , dualaj bildoj 
* Mäder, R. E. *Unuformaj pluredroj.* Mathematica J. 3, 48-57, 1993. http://library.wolfram.com/infocenter/Articles/2254

## Eksteraj ligiloj 
* 
* Unuforma solvaĵo por unuformaj pluredroj 
* La unuformaj pluredroj
* Virtualaj pluredroj
* Stella: Pluredra Navigilo  - Programaro por generi kaj printi retojn por ĉiuj unuformaj pluredroj
* Paperaj modeloj:
** Unuformaj/dualaj pluredroj 
** Paperaj modeloj de unuformaj kaj aliaj pluredroj

Kategorio:Pluredroj