Derivaĵo (matematiko)

[maldekstra|eta|[Tanĝanto|Tanĝanta linio ĉe punkto. Por kalkuli la derivaĵon de punto al kurbo oni konverĝas la inkrementon de la inkrementa rilatumo al 0. Jen grafike kion signifas: la grizaj linioj estas la simulo de la konverĝo.]]
**Derivaĵo** estas unu el la bazaj konceptoj de analitiko kaj infinitezima kalkulo, kune kun la integralo. La derivaĵo de funkcio ĉe iu punkto estas la angula koeficiento de la grafikaĵo de la funkcio ĉe tiu punkto.

## Difino kaj notaciaj variaĵoj 
eta|dekstra|Tanĝanta rekto al linio. La angula koeficiento de tia rekto estas la derivaĵo de la funkcio ĉe la koncerna punkto.
En analitiko la derivaĵo de reela funkcio de reela variablo f(x) en la punkto x_0 estas difinita kiel la limeso de la inkrementa rilatumo konverĝanta al 0 de h, se ĝi ekzistas kaj estas finia.

eta|Klarigo, donanta la komencan intuician ideon pri la derivaĵo, kiel la "grado" de funkcioŝanĝo, dum la argumento ŝanĝiĝas.

Pli precize, funkcio f(x)difinita en ĉirkaŭaĵo x_0\quad estas derivebla en la punkto x_0 se ekzistas kaj estas finia la limeso:

:{\mathop {\lim_{h \to 0}} {{f\left( {x_0 + h} \right) - f\left( x_0 \right)} \over h}}

La valoro de ĉi tiu limeso nomiĝas derivaĵo de la funkcio en la punkto x_0. Se funkcio f(x) estas derivebla en ĉiu punkto de la intervalo (a,b), tiam oni diras, ke la funkcio estas derivebla en (a,b)\quad.

Ekzistas pluraj malsamaj simbolaj notacioj por derivaĵo de funkcio f en punkto x_0:

* Laŭ la notacio de Lagrange
::f ^{\prime} (x_0).

* Laŭ la notacio de Cauchy
::\operatorname D \left[{f}({x_0})\right].

* Laŭ la notacio de Leibniz:
::\frac {\mathrm d f(x_0)}{\mathrm d x}.

* La historie unua notacio estas ankoraŭ uzata en fiziko:
:: \left(\frac {\mathrm d f}{\mathrm d x} \right)_{(x_0)}.

* Laŭ la notacio de Newton, derivaĵo rilate al la tempo *t*:
::\dot f(t_o).

## Maldekstra kaj dekstra derivaĵo 
Nomiĝas *maldekstra derivaĵo* de *f* ĉe la punkto *x*0:
:f'_-(x_0) = \lim_{h \to 0^-}{{f(x_0+h)-f(x_0)}\over{h}}

Nomiĝas *dekstra derivaĵo* de *f* ĉe la punkto *x*0:
:f'_+(x_0) = \lim_{h \to 0^+}{{f(x_0+h)-f(x_0)}\over{h}}

Funkcio estas *derivebla* ĉe *x*0, se kaj nur se ekzistas la maldekstra kaj dekstra derivaĵoj, kiuj estas egalaj.

## Teoremoj 
### Teoremo de Fermat 
Estu:
* f(x)\quad derivebla funkcio, do kontinua en x_0\quad, kie
* x_0\quad estas interna punkto al argumentaro de la funkcio *f*, kaj
* x_0\quad estas maksimumo aŭ minimumo de la funkcio *f*,
tiam la derivaĵo de la funkcio en x_0 estas nula, tio estas f'(x_0) = 0\quad.

### Teoremo de Rolle 
Estu f(x) kontinua funkcio en [a,b] kaj derivebla en (a,b). Se f(a) = f(b), tiam ekzistas almenaŭ unu punkto x_0\quad en la intervalo (a,b), kies derivaĵo nuliĝas.

### Teoremo de Lagrange 
Estu f(x) kontinua funkcio en [a,b] kaj derivebla en (a,b). Ekzistas almenaŭ unu punkto x_0 en la intervalo (a,b), kies derivaĵo egalas al \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

### Teoremo de Cauchy 
Estu f(x) kaj g(x) kontinuaj funkcioj en [a,b] kaj deriveblaj en (a,b) kaj g'(x) \neq 0 \forall x \in (a,b), tiam ekzistas almenaŭ unu punkto x_0 en (a,b) tia, ke:
: \frac{f'(x_0)}{g'(x_0)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b)-g(a)}

### Teoremo pri konstanta funkcio 
Funkcio estas konstanta en iu intervalo [a,b], s.n.s. ĝi estas derivebla, kaj ĝia derivaĵo nulas en tia intervalo (a,b)\quad.

Tiu aserto estas konsekvenco de la difino de la derivaĵo, kaj apliko de la teoremo de Lagrange. 
 
## Vidu ankaŭ 
* Derivado
* Diferencialo
* Derivaĵo de ne entjera ordo
* Formulo de Faà di Bruno
* Malderivaĵo
* Parta derivaĵo
* Simetria derivaĵo

Kategorio:Diferenciala kalkulo