Matrica multipliko

Ĉi tiu artikolo donas priskribojn de la diversaj vojoj por multipliki matricojn.

## Ordinara matrica produto 
Ordinara matrica produto estas difinita inter du matricoj nur se la nombro de kolumnoj de la unua matrico estas la sama kiel la nombro de linioj de la dua matrico. Se *A* estas *m*-per-*n* matrico kaj *B* estas *n*-per-*p* matrico, tiam ilia **produto** estas *m*-per-*p* matrico skribata kiel *AB* (aŭ iam *A* · *B*). La produto estas donita per

: (AB)_{ij} = \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj}. 

por ĉiu paro *i* kaj *j* kun 1 ≤ *i* ≤ *m* kaj 1 ≤ *j* ≤ *p*. 

Jena bildo montras kiel kalkuli la eron (1,2) de *AB* se *A* estas 2×4 matrico, kaj *B* estas 4×3 matrico. Eroj de ĉiu matrico estas paritaj laŭ direktoj de la montriloj; ĉiu paro estas multiplikita en si kaj la produtoj estas adiciitaj. La loko de la rezultanta nombro en *AB* korespondas al la linio kaj kolumno kiuj estis konsideritaj.

:Diagramo de la multipliko
:(AB)_{12} = \sum_{r=1}^4 a_{1r}b_{r2} = a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32}+a_{14}b_{42}

### Propraĵoj 
Matrica multipliko estas ne komuta (do ĝenerale, *AB* ≠ *BA*), escepte specialajn okazojn. 

Ĉi tiu nocio de multipliko estas grava ĉar se *A* kaj *B* estas interpretataj kiel linearaj transformoj, tiam la matrica produto *AB* korespondas al la komponaĵo de la du linearaj transformoj, kun *B* estanta aplikita la unuan.

## Skalara multipliko 
La skalara multipliko de matrico *A* = (*a**ij*) kaj skalaro *r* donas produton *rA* de la sama amplekso kiel *A*. La elementoj de *rA* estas donitaj per
:  (rA)_{ij} = r \cdot a_{ij}. \, 

## Laŭelementa produto 
Por du matricoj de la samaj dimensioj ekzistas la **laŭelementa produto**. Laŭelementa produto de du *m*-per-*n* matricoj *A* kaj *B*, skribata kiel *A* • *B*, estas *m*-per-*n* matrico
(*A*•*B*)*_ij_* = *a**_ij_**b**_ij_*. Ekzemple

:
 \begin{bmatrix}
 1 & 3 & 2 \\
 1 & 0 & 0 \\
 1 & 2 & 2
 \end{bmatrix}
\bullet
 \begin{bmatrix}
 0 & 0 & 2 \\
 7 & 5 & 0 \\
 2 & 1 & 1
 \end{bmatrix}
=
 \begin{bmatrix}
 1 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 2 \cdot 2 \\
 1 \cdot 7 & 0 \cdot 5 & 0 \cdot 0 \\
 1 \cdot 2 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 1
 \end{bmatrix}
=
 \begin{bmatrix}
 0 & 0 & 4 \\
 7 & 0 & 0 \\
 2 & 2 & 2
 \end{bmatrix}

Notu ke la laŭelementa produto estas submatrico de la Kronecker-a produto (vidu pli sube). Ĉi tiu multipliko estas komuta.

## Kronecker-a produto 
*Ĉefa artikolo: kronecker-a produto.*

Por ĉiuj du matricoj *A* kaj *B*, ekzistas la **direkta produto** aŭ **kronecker-a produto** *A* *B* difinita kiel

:
 \begin{bmatrix}
 a_{11}B & a_{12}B & \cdots & a_{1n}B \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1}B & a_{m2}B & \cdots & a_{mn}B
 \end{bmatrix}.

Notu ke se *A* estas *m*-per-*n* kaj *B* estas *p*-per-*r* tiam *A* *B* estas *mp*-per-*nr* matrico. Ĉi tiu multipliko estas ne komuta.

Ekzemple
:
 \begin{bmatrix}
 1 & 2 \\
 3 & 1 \\
 \end{bmatrix}
\otimes
 \begin{bmatrix}
 0 & 3 \\
 2 & 1 \\
 \end{bmatrix}
=
 \begin{bmatrix}
 1\cdot 0 & 1\cdot 3 & 2\cdot 0 & 2\cdot 3 \\
 1\cdot 2 & 1\cdot 1 & 2\cdot 2 & 2\cdot 1 \\
 3\cdot 0 & 3\cdot 3 & 1\cdot 0 & 1\cdot 3 \\
 3\cdot 2 & 3\cdot 1 & 1\cdot 2 & 1\cdot 1 \\
 \end{bmatrix}

=
 \begin{bmatrix}
 0 & 3 & 0 & 6 \\
 2 & 1 & 4 & 2 \\
 0 & 9 & 0 & 3 \\
 6 & 3 & 2 & 1
 \end{bmatrix}
.

## Komunaj propraĵoj de la produtoj 
Ĉiuj variantoj de matrica multipliko estas asociecaj:

:*A*(*BC*) = (*_AB_*)*C*
kaj distribuecaj:
:*A*(*B* + *C*) = *AB* + *AC*
kaj
:(*A* + *B*)*C* = *AC* + *BC*
kaj kongrua kun la skalara multipliko:
:*c*(*AB*) = (*cA*)*B* = *A*(*cB*)

## Vidu ankaŭ 
* Matrica inversigo
* Algoritmo de Kupristo-Winograd
* Algoritmo de Strassen
* Matrica ĉena multipliko

Kategorio:Matrica teorio
Kategorio:Dulokaj operacioj