Maksimumo kaj minimumo

eta|280px|Lokaj kaj mallokaj maksimumoj kaj minimumoj de *cos(3πx)/x* por *0,1≤x≤1,1*
eta|300px|dekstra|La malloka maksimumo estas la punkto je la supro.

En matematiko, **maksimumo** estas la *plej granda valoro* kiun funkcio havas en la punkto kompare al ĉiu punkto de donita najbaraĵo (**loka maksimumo**) aŭ de argumentaro de la funkcio (**malloka maksimumo**). La **punkto de maksimumo** estas la punkto kie valoro de la funkcio estas la maksimumo.

**Minimumo** estas la *plej malgranda valoro* kiun funkcio havas en la punkto kompare al ĉiu punkto de donita najbaraĵo (**loka minimumo**) aŭ de argumentaro de la funkcio (**malloka minimumo**). La **punkto de minimumo** estas la punkto kie valoro de la funkcio estas la minimumo.

Ambaŭ maksimumo kaj minimumo estas nomataj kiel **ekstremumo**. Tiel, ĉiu loka maksimumo kaj ĉiu loka minimumo estas **loka ekstremumo**, ĉiu malloka maksimumo kaj ĉiu malloka minimumo estas **malloka ekstremumo**.

La valoroj de malloka maksimumo kaj malloka minimumo estas skribataj kiel *max* kaj *min* respektive.

Punkto de malloka maksimumo kaj punkto de malloka minimumo estas skribataj kiel *argmax* kaj *argmin* respektive.

La terminoj **loka** kaj **malloka** estas sinonimoj al **relativa** kaj **absoluta** respektive.

Sur grafikaĵo de funkcio ĝia loka maksimumo aspektas kiel supro de monteto kaj loka minimumo aspektas kiel fundo de kavo.

## Difinoj 
* Punkto *xm* estas **loka maksimuma punkto** de reelo-valora funkcio *f* difinita sur la reela linio se ekzistas iu *ε>0*, tia ke *f(xm) ≥ f(x)* por ĉiu *x* tia ke *|x-xm| m* estas **loka minimuma punkto** de reelo-valora funkcio *f* difinita sur la reela linio se ekzistas iu *ε>0*, tia ke *f(xm) ≤ f(x)* por ĉiu *x* tia ke *|x-xm| m* estas **loka maksimuma punkto** de reelo-valora funkcio *f* difinita sur la normigita vektora spaco se ekzistas iu *ε>0*, tia ke *f(xm) ≥ f(x)* por ĉiu *x* tia ke *||x-xm|| m* estas **loka minimuma punkto** de reelo-valora funkcio *f* difinita sur la normigita vektora spaco se ekzistas iu *ε>0*, tia ke *f(xm) ≤ f(x)* por ĉiu *x* tia ke *||x-xm|| m* estas **malloka maksimuma punkto** de funkcio *f* se *f(xm) ≥ f(x)* por ĉiu *x*.
* Punkto *xm* estas **malloka minimuma punkto** de funkcio *f* se *f(xm) ≤ f(x)* por ĉiu *x*.

Ĉiu malloka maksimuma aŭ minimuma punkto estas ankaŭ loka maksimuma aŭ minimuma punkto; tamen, loka maksimuma aŭ minimuma punkto ne nepre estas malloka maksimumo aŭ minimuma punkto.

*Limigitaj argumentaroj*: Povas esti konsiderataj maksimumaj kaj minimumoj por funkcio kies
argumentaro estas iel limigita (ekzemple ne inkluzivas ĉiujn reelaj nombroj).

Ekzemple funkcio *f(x)=x2* ne havas maksimumon. Tamen se limigi ĝian argumentaron al *[1, 2]* ĝi ekhavas maksimumon je punkto *x=2* (ĝi estas malloka maksimumo kaj la sola loka maksimumo).

Kontinua reelo-valora funkcio sur kompakta aro ĉiam havas maksimumon kaj minimumon sur ĉi tiu aro. Grava ekzemplo estas funkcio kies argumentaro estas fermita (barita) intervalo de reelaj nombroj. Tiam ĉiu fina punkto de la intervalo nepre estas punkto de loka maksimuma aŭ loka minimumo.

## Trovado de maksimumoj kaj minimumoj 
eta|400px|dekstra|La sola loka minimumo (0, 0) ne estas malloka minimumo
Se la funkcio estas diferencialebla, ĝia lokaj ekstremumoj povas troviĝi nur en kritaj punktoj (senmovaj punktoj). Por funkcio de unu argumento ĉi tio estas punktoj kie la unua derivaĵo estas nula. Por funkcio de multaj argumentoj ĉi tio simile estas punktoj kie la unuaj partaj derivaĵoj je ĉiu el la argumentoj estas nulaj. Funkcio de vektora argumento tiam devas esti konsiderata kiel funkcio de multaj nombraj argumentoj, kiuj estas komponantoj de la vektoro.

Kontrolo ĉu krita punkto estas loka maksimumo aŭ loka minimumo eblas per matrico de Hessian,
unua derivaĵa provo, dua derivaĵa provo aŭ dua parta derivaĵa provo.

Sufiĉa sed ne nepra kondiĉo de maksimumo estas ke matrico de Hessian estas pozitive difinita matrico; sufiĉa sed ne nepra kondiĉo de minimumo estas ke matrico de Hessian estas negative difinita matrico.

Por funkcio de unu variablo, se ekzistas derivaĵo de la *n*-grado *f(n)(a)* kaj ĉiuj la antaŭaj derivaĵoj estas nuloj

:''f'(a) = f' '(a) = ... = f(n-1)(a) = 0*

do

* *a* estas punkto de loka maksimumo se *n* estas para kaj *f(n)(a) > 0*
* *a* estas punkto de loka minimumo se *n* estas para kaj *f(n)(a) f(x, y)= x^2+y^2(1-x)^3,\qquad x, y\in\mathbb{R}

havas la solan kritan punkton estas je (0, 0), kiu estas loka minimumo kun *f*(0, 0) = 0*. Tamen, ĝi ne estas malloka minimumo ĉar *f(4, 1) = -11*.

## Optimumigo 
Trovado de mallokaj maksimumoj kaj minimumoj estas la celo de **optimumigo**.

La termino **optimumo** povas anstataŭigi unuon el la terminoj *maksimumo* aŭ *minimumo*, depende de la problemo.

## Ekzemploj 
* Funkcio *f(x)=x2*
** Se difinita sur la tuta reela linio ĝi havas:
*** neniun maksimumon;
*** minimumon je punkto *x=0* (ĝi estas malloka minimumo kaj la sola loka minimumo)
*** : \underset{x}{\operatorname{min}} \, x^2 = 0
** Se limigi ĝian argumentaron al *[1, 2]* ĝi havas:
*** maksimumon je punkto *x=2* (ĝi estas malloka maksimumo kaj la sola loka maksimumo);
*** : \underset{x \in [1, 2]}{\operatorname{max}} \, x^2 = 4
*** minimumon je punkto *x=1* (ĝi estas malloka minimumo kaj la sola loka minimumo).
*** : \underset{x \in [1, 2]}{\operatorname{min}} \, x^2 = 1
** Se limigi ĝian argumentaron al *[-1, 2]* ĝi havas:
*** maksimumon je punkto *x=2* (ĝi estas malloka maksimumo kaj unu el du lokaj maksimumoj);
*** : \underset{x \in [-1, 2]}{\operatorname{max}} \, x^2 = 4
*** maksimumon je punkto *x=-1* (la alia el du lokaj maksimumoj);
*** minimumon je punkto *x=0* (ĝi estas malloka minimumo kaj la sola loka minimumo).
*** : \underset{x \in [-1, 2]}{\operatorname{min}} \, x^2 = 0
** Se limigi ĝian argumentaron al *[-2, 2]* ĝi havas:
*** maksimumon je punkto *x=2* (ĝi estas unu el du mallokaj maksimumoj kaj unu el du lokaj maksimumoj);
*** maksimumon je punkto *x=-2* (la alia el du mallokaj maksimumoj kaj la alia el du lokaj maksimumoj);
*** : \underset{x \in [-2, 2]}{\operatorname{max}} \, x^2 = 4
*** minimumon je punkto *x=0* (ĝi estas malloka minimumo kaj la sola loka minimumo).
*** : \underset{x \in [-2, 2]}{\operatorname{min}} \, x^2 = 0
* Funkcio *x*3 ne havas mallokan aŭ lokan minimumon aŭ maksimumon. Kvankam la unua derivaĵo (3*x*2) estas 0 je *x=0*, ĉi tio estas trafleksa punkto.
* Funkcio *x3/3 - x* havas unuan derivaĵon *x2 - 1* kaj duan derivaĵon *2x*. La unua derivaĵo estas 0 je *x* egala al -1 kaj +1. De la signo de la dua derivaĵo sekvas ke -1 estas loka maksimumo kaj +1 estas loka minimumo. Tamen ĉi tiu funkcio ne havas mallokajn maksimumon aŭ minimumon.
* Funkcio *|x|* havas mallokan minimumon je *x=0* kiu ne povas troviĝi per derivaĵoj, ĉar la derivaĵo ne ekzisti je *x=0*.
* Funkcio *cos(x)* havas malfinie multajn mallokajn maksimumojn je 0, ±2π, ±4π, ..., kaj malfinie multajn mallokajn minimumojn je ±π, ±3π, ... .
* : \underset{x}{\operatorname{min}} \, {\cos x } = -1 , \underset{x}{\operatorname{max}} \, {\cos x } = 1
* Funkcio *cos(x) - x/2* havas malfinie multajn lokajn mallokajn kaj minimumojn, sed ne havas mallokajn maksimumojn aŭ minimumojn.
* Konstanta funkcio da ajnaj argumentoj havas mallokan maksimumon kaj minimumon je ĉiu punkto de sia argumentaro.
* Funkcio *cos(3πx)/x* kun *0,1 ≤ x ≤ 1,1* havas malloka maksimumo je *x=0,1* (fina punkto), mallokan minimumon je *x≈0,3*, lokajn maksimumojn je *x≈0,6* kaj *x=1,1* (fina punkto), lokan minimumon je *x≈1,0* (vidu grafikaĵon supre).

## Vidu ankaŭ 
* Unua derivaĵa provo
* Dua derivaĵa provo
* Dua parta derivaĵa provo
* Matrico de Hessian
* Krita punkto (matematiko)
* Senmova punkto
* Trafleksa punkto
* Sela punkto
* Punkto de malloka maksimumo
* Punkto de malloka minimumo
* Optimumigo (matematiko)
* Optimumo
* Loka optimumo
* Supera baro
* Suba baro
* Preciza supera baro
* Preciza suba baro
* Preciza supra rando
* Preciza malsupra rando

## Eksteraj ligiloj 
* Pri maksimumoj kaj minimumoj de Thomas Simpson

Kategorio:Kalkulo
Kategorio:Optimumigo