Aro (matematiko)

eta|A \subseteq B
En matematiko, la nocio de **aro** estas unu el la plej fundamentaj nocioj. Aro estas kolekto da elementoj konsiderataj kiel unu tutaĵo. Aro povas esti malplena, sed ne povas enhavi plurajn ekzemplerojn de unu elemento.

La nocio de **aro** estas tiel fundamenta, ke kutime oni ne difinas ĝin matematike, sed uzas ĝin kiel bazon por difini aliajn matematikajn konceptojn.

Oni signas arojn per latinaj majuskloj: **A, B, C, D, ..** kaj ĝiajn elementojn per minuskloj: **a, b, c, d, ...** La fakton ke **a** prezentas elementon de **A**, simbole oni skribas kiel a \in A. (legu: **a** apartenas al **A**).
La aro kies elementoj estas **a, b, c, ...** oni skribas jene: **A={a; b; c; ...}**, kaj la aro de tiuj elementoj, kiuj kontentigas ian **P** kondiĉon, oni skribas kiel **{x ∈ A | P}** aŭ **{x ∈ A : P}**. Ekzemple la aro de ĉiuj naturalaj nombroj kiuj estas malpli ol 100, signatas: \{x \in \mathbb{N}: x , kie **N** estas la aro de naturaj nombroj.

* La aro, kiu enhavas neniajn elementojn, nomiĝas **malplena** aro kaj estas signata per la simbolo **ø**. Ekzemple, la aro de homoj loĝantaj en la suno estas malplena.
* La aro **A** nomiĝas **subaro** de **B**, se ĉiuj elementoj de **A** apartenas al **B** kaj skribas: **A** ⊂ **B**. Ekzemple, se la **A** prezentas la aron de ortanguloj, kaj **B** - la aron de paralelogramoj, tiam **A** ⊂ **B**.
* Se **A** ⊂ **B** kaj **B** ⊂ **A**, tiam la aroj **A** kaj **B** estas **egalaj** kaj oni skribas: **A=B**.
* La aro de ĉiuj elementoj de la aroj **A** kaj **B**, kiuj apartenas almenaŭ al unu el du nomitaj aroj, nomiĝas **kunaĵo** de du aroj kaj signatas kiel **A** ∪ **B**.
* La aro de ĉiuj tiuj elementoj de **A** kaj **B**, kiuj apartenas samtempe al ambaŭ aroj, estas nomata **komunaĵo** de la aroj kaj signatas kiel **A** ∩ **B**.
Ekzemple, se **A={1;2;3;4;5}** kaj **B={1;3;5;7}**, tiam **A** ∪ **B** = {1;2;3;4;5;7} kaj **A** ∩ **B** ={1;3;5}

* La aro de ĉiuj elementoj de la aro **A**, kiuj ne apartenas samtempe al la aro **B**, estas nomata **diferenco** aŭ **diferencaro** kaj signatas kiel A \setminus B

Se estas donita la aroj **A** kaj **B**, kaj la regulo, per kiu ni povas kunigi iajn parojn **(a; b)**, kie **a** ∈ **A** kaj **b** ∈ **B**, oni diras ke estas donita **konformeco** inter **A** kaj **B**, kaj **b** estas nomata konforma al **a**.
Ekz. inter **A={1,5,10,14,20}** kaj **B={2,3,7}** oni povas establi konformon per tia regulo: "al elemento de **A** konformas ĝia divizoro el **B**". Ĉi tiu konformo donas sekvajn parojn: **(10;2)**, **(14;2)**, **(14;7)**, **(20;2)**. Inter la du donitaj aroj povas ekzisti ankaŭ inversa konformo.

La konformeco inter **A** kaj **B** estas **unu-al-unua** konformeco, se plenumiĝas la sekvaj du kondiĉoj:
:1. al ĉiu **a** (a ∈ A) konformas la sola elemento el **B**;
:2. ĉiu elemento el **B** estas konforma por la sola elemento el **A**.

Du aroj estas **ekvivalentaj**, se inter ili povas establi unu-al-unuan konformecon. Ekz. la aro de naturalaj nombroj {1;2;3;...} kaj la aro de paraj nombroj {2;4;6;...} estas ekvivalentaj, ĉar inter ili oni povas establi unu-al-unuan konformon laŭ regulo: "al ĉiu naturala nombro **n** konformu la paran nombron **2n**".

La aroj povas esti ankaŭ **finiaj** (kun difinita nombro de elementoj) kaj **nefiniaj** (kun senfina nombro de elementoj).

**Aro-teorio** estas la bazo de moderna matematiko.
----
La aron de ĉiuj subaroj de aro A oni nomas la partaĵa aro de A.

La reta vortaro ( subaro  ) diras ke la aro de ĉiuj subaroj ne havas specialan nomon.

## Vidu ankaŭ 
* Naiva arteorio
* Paradokso de Berry
* Paradokso de Cantor
* Paradokso de Russell

Kategorio:Aro-teorio