Strikta malforta ordo

[eta|La 13 eblaj striktaj malfortaj ordoj sur tri-elementa aro *{a, b, c}*. La [Parta ordo|partaj ordoj estas ruĝaj, tutecaj ordoj estas nigraj. Du ordoj estas montritaj kiel koneksa per streko se ili diferenciĝas per la ekzisto aŭ foresto de sola paro de rilatoj difinantaj la ordojn.]]

En matematiko, **strikta malforta ordo** estas duargumenta rilato *1, y1) 2, y2)* se kaj nur se *x1 2*.

Tiam *(x1, y1)* kaj *(x2, y2)* estas nekompareblaj se kaj nur se *x1 = x2* kaj *y1 ≠ y2*.

## Tuteca antaŭordigo 
Striktaj malfortaj ordoj estas proksime rilatantaj al **tutecaj antaŭordigoj** aŭ **malstriktaj malfortaj ordoj**. Ĉiu koncepto kiu povas esti priskribita per strikta malforta ordo povas esti priskribita egale bone per tuteca antaŭordigo. Tuteca antaŭordigo estas antaŭordigo t.e. tuteca rilato, kio signifas, ke ne ekzistas du elementoj kiuj estas nekompareblaj.

Tuteca antaŭordigo \lesssim havas jenajn propraĵojn:

* Por ĉiuj *x*, *y*, *z*, se *x \lesssim y* kaj *y \lesssim z* do *x \lesssim z* - transitiva rilato
* Por ĉiuj *x* kaj *y*, *x \lesssim y* aŭ *y \lesssim x* - tuteca ordo
** Do, por ĉiu *x*, *x \lesssim x* - refleksiva rilato

Tuteca ordo estas tuteca antaŭordigo kiu estas antisimetria rilato, aŭ ekvivalente kiu estas ankaŭ partordo.

La komplemento de strikta malforta ordo estas tuteca antaŭordigo kaj reen.

Ofte pli nature estas konsideri rilaton de strikta malforta ordoj kaj tuteca antaŭordigo kun la mala ordo de la argumentoj. Tiel oni prenu la inverson de la komplemento: por strikta malforta ordo \lesssim kiel *x \lesssim y* se kaj nur se ne *y \lesssim kiel *x \lesssim x*.

Por strikta malforta ordo "\lesssim *b* kaj *b* \lesssim *a*,
* en la (malstrikta) parta ordo nek *a ≤ b* nek *b ≤ a*.

Por striktaj tutecaj ordoj ĉi tiuj du asociitaj refleksivaj rilatoj estas la sama, la respektiva (ne-strikta) tuteca ordo.

En ĉiu antaŭordigo estas respektiva ekvivalentrilato, en kiu du elementoj *x* kaj *y* estas ekvivalentaj' se *x* \lesssim *y* kaj *y* \lesssim *x*. Ĉe *tuteca* antaŭordigo la respektiva parta ordo sur la aro de ekvivalentklasoj estas tuteca ordo. Du elementoj estas ekvivalentaj en tuteca antaŭordigo, se kaj nur se ili estas nekompareblaj en la respektiva strikta malforta ordo.

## Prezentado de malforta ordo per funkcio 
Se *X* estas aro kaj *f* reelo-valora funkcio sur *X* tiam *f* generas striktan malfortan ordon sur *X* kiel:

: *a \lesssim b* se kaj nur se *f(a) ≤ f(b)*

La asociita ekvivalenteco estas

: *a \sim b* se kaj nur se *f(a) = f(b)*

La rilatoj ne ŝanĝiĝas se *f* estas anstataŭigita per funkcia komponaĵo *g o f*, kie *g* estas strikte pligrandiĝanta monotona funkcio reelo-valora funkcio difinis sur almenaŭ aro de valoroj de *f*.

Se *X* estas finia, ĉiu malforta ordo povas esti prezentita per funkcio tiamaniere. Tamen ekzistas struktaj malfortaj ordoj kiuj ne havas respektivan reelan funkcio. Ekzemple, ne ekzistas ĉi tia funkcio por la leksikografia ordo sur **R***n*.

Pli ĝenerale, se *X* estas aro, kaj *Y* estas aro kun strikta malforta ordo "\lesssim b* se kaj nur se *f(a) \lesssim f(b)*

La asociita ekvivalenteco estas

: *a \sim b* se kaj nur se *f(a) \sim f(b)*

*f* ne estas ne bezone enĵeto, tiel ekzemple klaso de du ekvivalentaj elementoj de *Y* povas generi klason de 5 ekvivalentaj elementoj sur *X*. Ankaŭ *f* ne estas ne bezone surĵeto, tiel klaso de 2 ekvivalentaj elementoj de *Y* povas generi klason de nur unu elemento sur *X*, aŭ eĉe tute nenion. Estas respektiva enĵeto *g* kiu bildigas la dispartigon de *X* al tiu de *Y*. Tial, ĉe finiaj dispartigoj, la kvanto de klasoj en *X* estas malpli granda ol aŭ egala al kvanto de la klasoj en *Y*.

### Ekzemploj 
Sur la 2-dimensia reela ebeno:

* *f(x, y)= x+y*
* *f(x, y)= min(x, y)*

## Strikta tuteca ordo 
Strikta malforta ordo kiu estas trivarianta rilato (por ĉiuj *x* kaj *y* en *X*, veras akurate unu el *x<y*, *y<x*, *x=y*) estas **strikta tuteca ordo**. La tuteca antaŭordigo kiu estas la inverso de ĝia komplemento estas en ĉi tiu okazo tuteca ordo.

## Kvanto de tutecaj antaŭordigoj kaj de striktaj malfortaj ordoj 
Pro la 1 al 1 respektiveco, sur ĉiu aro kvanto de malsamaj tutecaj antaŭordigoj estas la sama kiel tiu de malsamaj striktaj malfortaj ordoj.

Por *n*-elementaj aroj, ĉi tiuj kvantoj estas ankaŭ nomataj **nombroj de Fubini** aŭ **ordigitaj nombroj de Bell**.

Kvanto de malsamaj tutecaj antaŭordigoj estas la sumo de kvantoj de tutecaj ordoj sur ĉiuj dispartigoj de la aro. Ekzemple:

* Por *n=1* estas 1 tuteca antaŭordigo:
** 1 dispartigo kiel 1, donanta 1 tutecan antaŭordigon
* Por *n=2* estas 3 tutecaj antaŭordigoj:
** 1 dispartigo kiel 2, donanta 1 tutecan antaŭordigon (ĉiu elemento estas rilatanta al ĉiu elemento)
** 1 dispartigo kiel 1+1, donanta 2! = 2 tutecajn antaŭordigojn (la tutecaj ordoj en la okazo)
* Por *n=3* estas 13 tutecaj antaŭordigoj:
** 1 dispartigo kiel 3, donanta 1 tutecan antaŭordigon (ĉiu elemento estas rilatanta al ĉiu elemento)
** 3 dispartigoj kiel 2+1, donanta 3 × 2! = 6 tutecajn antaŭordigojn
** 1 dispartigo kiel 1+1+1, donanta 3! = 6 tutecajn antaŭordigojn (la tutecaj ordoj en la okazo)
* Por *n=3* estas 75 tutecaj antaŭordigoj:
** 1 dispartigo kiel 4, donanta 1 tutecan antaŭordigon (ĉiu elemento estas rilatanta al ĉiu elemento)
** 7 dispartigoj kun du klasoj (4 de 3+1 kaj 3 de 2+2), donanta 7 × 2! = 14 tutecajn antaŭordigojn
** 6 dispartigoj kiel 2+1+1, donanta 6 × 3! = 36 tutecajn antaŭordigojn
** 1 dispartigo kiel 1+1+1+1, donanta 4! = 24 tutecajn antaŭordigojn (la tutecaj ordoj en la okazo)

Ĉi tie *k!* estas faktorialo.

## Eksteraj ligiloj 
*  - vico de kvantoj de malsamaj tutecaj antaŭordigoj de *n*-elementa aro

Kategorio:Entjeraj vicoj
Kategorio:Ordoteorio