Konstanto de Eŭlero-Mascheroni

eta|La konstanto de Eŭlero-Mascheroni egalas al la helblua areo
En matematiko, **konstanto de Eŭlero-Mascheroni** (ankaŭ nomata kiel la *Eŭlera konstanto*) estas matematika konstanto difinita kiel limigo de diferenco inter sumo de harmona serio kaj natura logaritmo:

: \gamma = \lim_{n \to \infty } [ (
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} ) - \ln(n) ]=\int_1^\infty({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x})\,dx 

Ĝi estas kutime skribata per minuskla greka litero gamo *γ*.

Ĝia proksimuma valoro estas:

: *γ ≈ 0,577215664901532860606512090082402431042159335 9399235988057672348848677267776646709369470632917467495...*

En deksesuma sistemo ĝi estas proksimume:

: *γ ≈ 0,93C467E37DB0C7A4D1B...16*

Konstanto de Eŭlero-Mascheroni estas malsama de la *eŭlera nombro* *e*, bazo de natura logaritmo.

## Historio 
La konstanto unue aperis en papero de Leonhard Euler, *De Progressionibus harmonicis observationes* (Indekso de Eneström 43) de 1735. Eŭlero uzis simbolojn *C* kaj *O* por la konstanto. En 1790, itala matematikisto Lorenzo Mascheroni uzis simbolon *A* por la konstanto. La skribmaniero *γ* aperas nek en la skribadoj de Eŭlero nek de Mascheroni, kaj estis elektita poste pro ligeco al Γ funkcio.

## Aperoj 
La konstanto aperas, en multaj lokoj, inter alia en († signifas ke ĉi tiu elemento enhavas eksplicitan ekvacion):
* Produto formulo de la Γ funkcio
* Kalkuloj de la digama funkcio
* Neegalaĵo por eŭlera φ funkcio
* La kreskada kurzo de la dividanta funkcio
* Esprimoj kun la eksponenta funkcia integralo
* Laplaca konverto de la natura logaritmo
* La unua termo de la serio de Taylor de la rimana zeta funkcio†, kie ĝi estas la unua de la konstantoj de Stieltjes†
* La kalkulo de la konstanto Meissel-Mertens
* La tria el teoremoj de Mertens†
* Solvaĵo de ekvacio de Bessel de la dua speco

## Propraĵoj 
La nombro *γ* ne estas pruvita al esti racionala aŭ neracionala. Ankaŭ, ĝi ne estas pruvita al esti algebra aŭ transcenda.

Ĉenfrakcia analitiko montras ke se *γ* estas racionala, ĝia denominatoro estas pli granda ol 10242080.

### Rilato al Γ funkcio 
*γ* estas minus la derivaĵo de la gama funkcio Γ je argumenta valoro 1. Tial:

:  \ -\gamma = \Gamma'(1) = \Psi(1)

kie Ψ estas digama funkcio.

γ estas ankaŭ la limigo:

:  \gamma = \lim_{x \to \infty} [ x - \Gamma ( \frac{1}{x} ) ] 

Limigo rilatanta al la beta funkcio (esprimita per Γ funkcio) estas

:  \gamma = \lim_{n \to \infty} [ \frac{ \Gamma(\frac{1}{n}) \Gamma(n+1)\, n^{1+1/n}}{\Gamma(2+n+\frac{1}{n})} - \frac{n^2}{n+1} ] 

### Rilato al la zeta funkcio 
*γ* povas ankaŭ esti esprimita kiel malfinia sumo (serio) kies termoj enhavas la rimanan zetan funkcion je pozitivaj entjeroj:

: \gamma = \sum_{m=2}^{\infty} \frac{(-1)^m\zeta(m)}{m} 

:  = \ln ( \frac{4}{\pi} ) + \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1} \zeta(m+1)}{2^m (m+1)} 

Alia serio rilatanta al la zeta funkcio:

:  \gamma = \frac{3}{2}- \ln 2 - \sum_{m=2}^\infty (-1)^m\,\frac{m-1}{m} [\zeta(m)-1] 

::  = \lim_{n \to \infty} [ \frac{2\,n-1}{2\,n} - \ln\,n + \sum_{k=2}^n ( \frac{1}{k} - \frac{\zeta(1-k)}{n^k} ) ] 

::  = \lim_{n \to \infty} [ \frac{2^n}{e^{2^n}} \sum_{m=0}^\infty \frac{2^{m \,n}}{(m+1)!} \sum_{t=0}^m \frac{1}{t+1} - n\, \ln 2+ O ( \frac{1}{2^n\,e^{2^n}} ) ] 

La eraro termo en la lasta ekvacio estas rapide malkreskanta funkcio de *n*. Tiel la formulo konvenas por kalkulado de la konstanto kun alta precizeco.

Alia estas la malsimetria limigo (Sondow, 1998):

:  \gamma = \lim_{s \to 1^+} \sum_{n=1}^\infty ( \frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n} ) = \lim_{s \to 1} ( \zeta(s) - \frac{1}{s-1} ) 

kaj

:  \gamma = \lim_{x \to \infty} [ x - \Gamma ( \frac{1}{x} ) ] 

::  = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\, \sum_{k=1}^n ( \lceil \frac{n}{k} \rceil - \frac{n}{k} ) 

Proksime rilatanta al ĉi tiu estas la racionala zeta seria esprimo:

: \gamma = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) -
\sum_{m=2}^\infty \frac{\zeta (m,n+1)}{m}

kie \zeta(s,k) estas la zeta funkcio de Hurwitz;
: *Hn* estas la *n*-a harmona nombro.

Elvolvado de iuj termoj en la zeta funkcio de Hurwitz rezultiĝas:

:  H_n = \ln n + \gamma + \frac {1} {2n} - \frac {1} {12n^2} + \frac {1} {120n^4} - \varepsilon , kie 0 

### Integraloj 
*γ* rezultiĝas kiel valoro de difinitaj integraloj:

: \gamma = - \int_0^\infty { e^{-x} \ln x }\,dx 

::  = - \int_0^1 { \ln\ln (\frac{1}{x} ) }\,dx 

::  = \int_0^\infty { (\frac{1}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x} )e^{-x} }\,dx 

::  = \int_0^\infty { \frac{1}{x} ( \frac{1}{1+x}-e^{-x} ) }\,dx 

Difinitaj integraloj en kiuj *γ* estas inkluzivata estas:

:  \int_0^\infty { e^{-x^2} \ln x }\,dx = -\frac14(\gamma+2 \ln 2) \sqrt{\pi} 

:  \int_0^\infty { e^{-x} \ln^2 x }\,dx = \gamma^2 + \frac{\pi^2}{6} 

*γ* rezultiĝas kiel valoro de kelkaj de duopa integralo (Sondow 2003, 2005) kun ekvivalenta serio:

:  \gamma = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)} \, dx\,dy = \sum_{n=1}^\infty ( \frac{1}{n}-\ln\frac{n+1}{n} ).
 

Interesa komparo (J. Sondow 2005) estas la duopa integralo kaj alterna serio

:  \ln ( \frac{4}{\pi} ) = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1+x\,y)\ln(x\,y)} \, dx\,dy = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} ( \frac{1}{n}-\ln\frac{n+1}{n} ) 

Tiel \ln ( \frac{4}{\pi} ) povas esti konsiderata kiel **alterna eŭlera konstanto**.

La du konstantoj estas ankaŭ rilatantaj per du serioj (vidi _Sondow_ 2005 #2)

:  \sum_{n=1}^\infty \frac{N_1(n) + N_0(n)}{2n(2n+1)} = \gamma 

:  \sum_{n=1}^\infty \frac{N_1(n) - N_0(n)}{2n(2n+1)} = \ln ( \frac{4}{\pi} ) 

kie *N0(n)* kaj *N1(n)* estas la kvanto de ciferoj "0" kaj "1", respektive, en la duuma prezento de *n*.

### Serioj 
*γ* rezultiĝas kiel valoro de malfiniaj serioj:

: \gamma = \sum_{k=1}^\infty [ \frac{1}{k} - \ln ( 1 + \frac{1}{k} ) ] 

La serio por *γ* estas ekvivalenta al serio de Nielsen (trovita en 1897):

 \gamma = 1 - \sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k\frac{\lfloor\log_2 k\rfloor}{k+1} .

En 1910, Vacca trovitis similan serion:

: 
 \gamma = \sum_{k=2}^\infty (-1)^k \frac{ \lfloor \log_2 k \rfloor}{k}
 = \frac12-\frac13
 + 2(\frac14 - \frac15 + \frac16 - \frac17)
 + 3(\frac18 - \dots - \frac1{15}) + \dots

kie *log2* estas la logaritmo kun bazo 2 kaj  \lfloor \, \rfloor  estas la planka funkcio.

En 1926, Vacca trovis serion:

: 
 \gamma + \zeta(2) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac1{k\lfloor\sqrt{k}\rfloor^2}
 = 1 + \frac12 + \frac13 + \frac14(\frac14 + \dots + \frac18)
 + \frac19(\frac19 + \dots + \frac1{15}) + \dots

aŭ

: 
 \gamma = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{k - \lfloor\sqrt{k}\rfloor^2}{k^2\lfloor\sqrt{k}\rfloor^2}
 = \frac1{2^2} + \frac2{3^2}
 + \frac1{2^2}(\frac1{5^2} + \frac2{6^2} + \frac3{7^2} + \frac4{8^2})
 + \frac1{3^2}(\frac1{10^2} + \dots + \frac6{15^2}) + \dots

(Krämer, 2005)

Serio de Vacca povas esti ricevita de integralo de Catalan de 1875 (Sondow kaj Zudilin):

:  \gamma = \int_0^1 \frac{1}{1+x} \sum_{n=1}^\infty x^{2^n-1} \, dx 

### Ĉenfrakcia elvolvaĵo 
La ĉenfrakcio elvolvaĵo de *γ* estas:

: *γ = [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, 1, 11, 3, 7, 1, 7, 1, 1, 5, 1, 49, 4, 1, 65, 1, 4, 7, 11, 1, 399, 2, ...]*

Tiel

:  \gamma = 0 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\ \ddots\ {}}}}}}

La ĉenfrakcia elvolvaĵo de *γ* enhavas almenaŭ 470000 erojn.

### Asimptotaj elvolvaĵoj 
Estas jenaj asimptotaj formuloj por *γ*:

: \gamma \sim H_n - \ln ( n ) - \frac{1} + \frac{1} - \frac{1} + ...
:(Eŭlero)

: \gamma \sim H_n - \ln ( {n + \frac{1}{2} + \frac{1} - \frac{1} + ...} )
:(Negoi)

: \gamma \sim H_n - \frac{{\ln ( n ) + \ln ( {n + 1} )}}{2} - \frac{1}{{6n( {n + 1} )}} + \frac{1}{{30n^2 ( {n + 1} )^2 }} - ...
:(Cesaro)

kie *Hn* estas la *n*-a harmona nombro.

La tria formulo estas ankaŭ nomita kiel la elvolvaĵo de Ramanujan.

### *e* en potenco *γ* 
Bazo de natura logaritmo e en potenco *γ*, la nombro *eγ≈1,78107241799019798523650410310717954916964521430343...* estas grava en nombroteorio. Iam ĝi estas skribata kiel ''γ' *.

*eγ* egalas al jena limigo, kie *pn* estas la *n*-a primo:

:  e^\gamma = \lim_{n \to \infty} \frac {1} {\ln p_n} \prod_{i=1}^n \frac {p_i} {p_i - 1} 

Aliaj malfiniaj produtoj rilatantaj al *eγ*, kiuj rezultiĝas de la G-funkcio de Barnes:

:  \frac{e^{1+\gamma /2}}{\sqrt{2\,\pi}} = \prod_{n=1}^\infty e^{-1+1/(2\,n)}\, (1+\frac{1}{n} )^n 

:  \frac{e^{3+2\gamma}}{2\, \pi} = \prod_{n=1}^\infty e^{-2+2/n}\, (1+\frac{2}{n} )^n 

Ankaŭ:

:  e^{\gamma} = ( \frac{2}{1} )^{1/2} (\frac{2^2}{1 \cdot 3} )^{1/3} (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} )^{1/4}
 (\frac{2^4 \cdot 4^4}{1 \cdot 3^6 \cdot 5} )^{1/5} \cdots 

kie la *n*-a faktoro estas la *(n+1)*-a radiko de

: \prod_{k=0}^n (k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}} 

Ĉi tiu malfinia produto, unue esplorita de Ser en 1926, estis reesplorita per Sondow (2003) uzante supergeometriajn funkciojn.

## Ĝeneraligoj 
**Eŭleraj ĝeneraligitaj konstantoj** estas

: \gamma_\alpha = \lim_{n \to \infty} [ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^\alpha} - \int_1^n \frac{1}{x^\alpha} \, dx ],

por *0 c_f = \lim_{n \to \infty} [ \sum_{k=1}^n f(k) - \int_1^n f(x) \, dx ]

por ajna malkreskanta funkcio *f*. Se

: f_n(x) = \frac{\ln^n x}{x}

rezultiĝas konstantoj de Stieltjes, kaj

: f_a(x) = x^{-a}

donas konstantojn

: \gamma_{f_a} = \zeta(a) - \frac{1}{a-1}

kie denove aperas la limigo

: \gamma = \lim_{a\to1}[ \zeta(a) - \frac{1}{a-1}]

La du-dimensia limiga ĝeneraligo estas la konstanto de Masser-Gramain.

## Sciataj ciferoj 
Eŭlero komence kalkulis la valoron kun 6 dekumaj ciferoj. En 1781, li kalkulis ĝin kun 16 dekumaj ciferoj. Mascheroni provis kalkuli kun 32 dekumaj ciferoj, sed faris erarojn en la 20...22-aj ciferoj. (startanta de la 20-a cifero, lia rezulto estas 1811209008239 la korekta valoro estas 0651209008240.)

Poste pli rapidaj komputiloj kaj algoritmoj permesis kalkuli la nombron kun pli multaj ciferoj de precizeco.

## Eksteraj ligiloj 
*  - *γ*
*  - ĉenfrakcia elvolvaĵo de *γ*
* 
*  γ derivata kiel sumoj de rimana zeta funkcio.
* Jonathan Sondow (1998) http://home.earthlink.net/~jsondow/id8.html  Malsimetria formulo por eŭlera konstanto *Matematika Revuo 71*: 219-220.
* Jonathan Sondow (2002) http://arXiv.org/abs/math.NT/0211075 Supergeometria proksimiĝo tra lineara formoj engaĝante logaritmojn al neracionalecaj kriterioj por eŭlera konstanto. Kun apendico de Sergey Zlobin 
* Jonathan Sondow (2003) http://arXiv.org/abs/math.CA/0306008 Malfinio produto por *eγ* tra supergeometriaj formuloj por eŭlera konstanto γ
* Jonathan Sondow (2003a) http://arXiv.org/abs/math.NT/0209070 Kriterioj por neracionaleco de Eŭlera konstanto. Paperoj de la Amerika Matematika Socio 131*: 3335-3344.
* Jonathan Sondow (2005) "http://arXiv.org/abs/math.CA/0211148 Duopaj integraloj por Eŭlera konstanto kaj ln 4/π kaj analoga de _Hadjicostas_'s formulo. Amerika Matematika Monate 112: 61-65.
* Jonathan Sondow (2005) http://arXiv.org/abs/math.NT/0508042 Nova Vacca-speca racionala serio por Eŭlera konstanto kaj ĝia alterna analogo *ln 4/π*
* Jonathan Sondow kaj Wadim Zudilin, http://arXiv.org/abs/math.NT/0304021 Eŭlera konstanto, *q*-logaritmoj, kaj formuloj de ramanujan kaj Gosper. Ramanujan J. (al aperi).
* Gourdon, Xavier kaj Sebah, P. (2002) http://numbers.computation.free.fr/Constants/Gamma/gammaFormulas.html Kolekto de formuloj por eŭlera konstanto γ
* Gourdon, Xavier kaj Sebah, P (2004) http://numbers.computation.free.fr/Constants/Gamma/gamma.html La eŭlera konstanto γ.
* http://www.mathcad.com/library/Constants/euler.htm  Konstanto de Eŭlero-Mascheroni en Biblioteko de Mathcad.
* Krämer, Stefan http://www.math.uni-goettingen.de/skraemer/gamma.html  Eŭlera konstanto *γ=0,577...*, ĝia matematiko kaj historio
* Jonathan Sondow 

Kategorio:Matematikaj konstantoj
Kategorio:Nesolvitaj problemoj en matematiko
Kategorio:Leonhard Euler