Σταθερά του Μπόλτσμαν

Η **σταθερά του Μπόλτσμαν** (*Boltzmann constant*), συμβολιζόμενη ως *k* ή και *k*B, είναι μία φυσική σταθερά, η οποία συσχετίζει τη μέση κινητική ενέργεια των σωματιδίων ενός αερίου με τη θερμοκρασία του αερίου. Απαντάται στον Νόμο του Πλανκ για την ακτινοβολία μέλανος σώματος και στη σχέση της εντροπίας του Μπόλτσμαν. Η σταθερά αυτή εισάχθηκε πρώτα από τον Μαξ Πλανκ, αλλά φέρει το όνομα του Λούντβιχ Μπόλτσμαν.

Προκύπτει από τη διαίρεση της παγκόσμιας σταθεράς των αερίων  δια του αριθμού του Αβογκάντρο :

: k = \frac{R}{N_\text{A}} .

Η σταθερά του Μπόλτσμαν έχει διαστάσεις ενέργειας δια θερμοκρασία, τις ίδιες διαστάσεις με την εντροπία. Μέχρι το 2018, η τιμή της στο σύστημα SI ήταν μετρούμενη ποσότητα. Η συνιστώμενη τιμή της (με το τυπικό σφάλμα σε παρένθεση) ήταν 1,38064852(79) × 10-23 J/K.

Ιστορικά οι μετρήσεις της σταθεράς του Μπόλτσμαν εξαρτώνταν από τον ορισμό του βαθμού (K) της κλίμακας Κέλβιν μέσω του τριπλού σημείου του νερού. Ωστόσο, στον επανορισμό των βασικών μονάδων του SI που υιοθετήθηκε στην 26η Γενική Διάσκεψη Μέτρων και Σταθμών (CGPM), στις 16 Νοεμβρίου 2018, ο ορισμός του βαθμού K άλλαξε σε έναν ορισμό βασισμένο σε μία σταθερή ακριβή αριθμητική τιμή της σταθεράς του Μπόλτσμαν, παρόμοια με τον τρόπο με τον οποίο δόθηκε στην ταχύτητα του φωτός μία συγκεκριμένη τιμή στη 17η CGPM το 1983. Η τελική αυτή τιμή είναι **1,380649 × 10<sup>-23</sup> J/K**.

## Γέφυρα από τη μακροσκοπική στη μικροσκοπική φυσική
Η σταθερά του Μπόλτσμαν είναι ένας συντελεστής ανάμεσα στη μακροσκοπική (απόλυτη θερμοκρασία) και στη μικροσκοπική (θερμική ενέργεια) φυσική. Μακροσκοπικώς, ο νόμος των ιδανικών αερίων δηλώνει ότι, για ένα ιδανικό αέριο, το γινόμενο της πιέσεως  και του όγκου  είναι ανάλογο του γινομένου της ποσότητας των σωματιδίων του αερίου  (σε γραμμομόρια) και της απόλυτης θερμοκρασίας :
:pV = nRT ,
όπου  είναι η παγκόσμια σταθερά των αερίων (8,31446 J⋅K−1⋅mol−1). Η εισαγωγή της σταθεράς του Μπόλτσμαν μετατρέπει τον νόμο των ιδανικών αερίων σε μια εναλλακτική μορφή:
:p V = N k T ,
όπου  είναι ο αριθμός των σωματιδίων του αερίου. Για  = 1 γραμμομόριo, ο  ισούται με τον αριθμό του Αβογκάντρο.

### Ρόλος στην ισοκατανομή της ενέργειας
Σε ένα θερμοδυναμικό σύστημα σε απόλυτη θερμοκρασία , η μέση θερμική ενέργεια που έχει ο κάθε μικροσκοπικός βαθμός ελευθερίας στο σύστημα είναι  (δηλαδή περίπου 2,07 × 10-21 J ή 0,013 eV, σε θερμοκρασία δωματίου).

Στην κλασική στατιστική μηχανική, αυτή η μέση τιμή προβλέπεται να ισχύει ακριβώς για ομοιογενή ιδανικά αέρια. Τα μονοατομικά ιδανικά αέρια (ουσιαστικά τα 6 ευγενή αέρια) έχουν τρεις βαθμούς ελευθερίας ανά άτομο, που αντιστοιχούν στις τρεις διαστάσεις του χώρου, οπότε έχουν θερμική ενέργεια  ανά άτομο. Αυτό συμφωνεί πολύ καλά με τα πειραματικά δεδομένα. Η θερμική ενέργεια μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της μέσης ταχύτητας rms των ατόμων, η οποία αποδεικνύεται ότι είναι αντιστρόφως ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας της ατομικής μάζας. Οι ταχύτητες rms που μετρούνται σε θερμοκρασία δωματίου αντιστοιχούν με ακρίβεια στην ιδιότητα αυτή, κυμαινόμενες από 1370 m/sec (μέτρα ανά δευτερόλεπτο) για το ήλιο μέχρι 240 m/sec για το ξένο.

Η κινητική θεωρία των αερίων δίνει τη μέση πίεση  για ένα ιδανικό αέριο ως
: p = \frac{1}{3}\frac{N}{V} m \overline{v^2}.
Ο συνδυασμός με τον νόμο των ιδανικών αερίων
:p V = N k T
δείχνει ότι η μέση μεταφορική κινητική ενέργεια είναι
: \tfrac{1}{2}m \overline{v^2} = \tfrac{3}{2} k T.
Επειδή το διάνυσμα της γραμμικής ταχύτητας  έχει τρεις βαθμούς ελευθερίας (έναν για κάθε διάσταση), η μέση ενέργεια ανά βαθμό ελευθερίας θα είναι ίση με το ένα τρίτο της παραπάνω ποσότητας, δηλαδή .

### Ρόλος στην κατανομή Μπόλτσμαν
Γενικότερα, συστήματα σε ισορροπία σε θερμοκρασία  έχουν πιθανότητα  να βρίσκονται σε μια κατάσταση  με ενέργεια , πιθανότητα που εξαρτάται από τον αντίστοιχο *παράγοντα Μπόλτσμαν*:
:P_i \propto \frac{\exp\left(-\frac{E}{k T}\right)}{Z},
όπου  είναι η συνάρτηση επιμερισμού. Και πάλι, ο παράγοντας που υπεισέρχεται είναι το γινόμενο *kT*.

Συνέπεια των παραπάνω είναι, μεταξύ άλλων, και η εξίσωση Αρρένιους στη χημική κινητική.

### Ρόλος στον στατιστικό ορισμό της εντροπίας
[thumb|right|205px|Ο τάφος του Μπόλτσμαν στο [Κεντρικό Κοιμητήριο της Βιέννης, με την προτομή του και τη σχέση της εντροπίας.]]
Στη στατιστική μηχανική η εντροπία  ενός απομονωμένου συστήματος σε θερμοδυναμική ισορροπία ορίζεται ως ο  φυσικός λογάριθμος του αριθμού *W* των διαφορετικών μικροσκοπικών καταστάσεων που είναι διαθέσιμες στο σύστημα (με δεδομένους τους μακροσκοπικούς περιορισμούς, όπως η σταθερή ολική ενέργεια), επί τη σταθερά του Μπόλτσμαν (*k*):
:S = k \,\ln W.

Η εξίσωση Μπόλτσμαν, συσχετίζοντας τις μικροκαταστάσεις του συστήματος με τη μακροσκοπική του κατάσταση (δια της εντροπίας), είναι η κεντρική ιδέα της στατιστικής μηχανικής. Η σημασία της είναι τόσο μεγάλη, ώστε είναι γραμμένη πάνω στον τάφο του Μπόλτσμαν.

Η  ως σταθερά αναλογίας καθιστά τη στατιστική εντροπία ίση με την κλασική θερμοδυναμική εντροπία του Κλαούζιους:
:\Delta S = \int \frac = \tfrac{1}{2} T \ 
Η χρήση των φυσικών μονάδων απλοποιεί πολλές σχέσεις της φυσικής. Σε αυτή τη μορφή ο ορισμός της θερμοδυναμικής εντροπίας συμπίπτει με τον ορισμό της πληροφοριακής εντροπίας:
: S = - \sum P_i \ln P_i.
όπου  είναι η πιθανότητα της κάθε μικροκαταστάσεως.

## Παραπομπές


## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* «Μέγα βήμα για τον επανορισμό του Kelvin: επιστήμονες βρίσκουν νέο τρόπο να προσδιορίζουν τη σταθερά του Boltzmann», *sciencedaily.com*

Μπολτσμαν
Σταθερα Μπολτσμ
Σταθερα Μπολτσμ