Ακέραιος αριθμός

**Ακέραιοι** ονομάζονται όλοι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετους τους και το μηδέν. Το σύνολο των ακεραίων δηλαδή το σύνολο: \mathbb{Z}=\{0,\pm1,\pm2,...\} Συμβολίζεται με το γράμμα \mathbb{Z}, αρχικό της λέξης Zahl που στα γερμανικά σημαίνει *αριθμός*. 

Το σύνολο \mathbb{Z} ορίζεται επίσης ως εξής: \mathbb{Z}=\{x-y:x,y\in\mathbb{N}\}

Όπως και το σύνολο των φυσικών, το σύνολο των ακεραίων είναι άπειρο αριθμήσιμο με πληθάριθμο \aleph_0 (*άλεφ-μηδέν*).

## Συμβολισμοί
Το σύνολο των ακεραίων αριθμών συμβολίζεται με το γράμμα \mathbb{Z}, έντονα τυπωμένο, όπως και όλα τα σημαντικά σύνολα των μαθηματικών. Συναντώνται όμως διαφοροποιήσεις ανάλογα με τη χρήση και τον συγγραφέα, προσθέτοντας στον συμβολισμό επιπλέον εκθέτες ή δείκτες. Συνήθως οι αρνητικοί ακέραιοι συμβολίζονται με \mathbb{Z}^-, οι μη αρνητικοί με \mathbb{Z}^*και οι θετικοί με \mathbb{Z^+}. Ο *δακτύλιος των ακεραίων* μερικές φορές συμβολίζεται με το έντονο \mathbb{I}, εκτός από το σύνηθες \mathbb{Z}.

## Αλγεβρικές Ιδιότητες
Οι ακέραιοι αριθμοί αποτελούν **αντιμεταθετικό [[δακτύλιος (άλγεβρα)|δακτύλιο]]** ως προς την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Το άθροισμα και το γινόμενο δυο ακεραίων είναι δηλαδή και αυτό ακέραιος. Ισχύουν η αντιμεταθετική και προσεταιριστική ιδιότητα ως προς πρόσθεση και πολλαπλασιασμό και ο πολλαπλασιασμός είναι επιμεριστικός ως προς την πρόσθεση.

Οι ακέραιοι αριθμοί δεν αποτελούν **[[σώμα (άλγεβρα)|σώμα]]**. Ο αντίστροφος ενός ακεραίου ως προς τον πολλαπλασιασμό δεν είναι δηλαδή απαραίτητα ακέραιος. Το μικρότερο σώμα που περιέχει τους ακεραίους είναι οι ρητοί αριθμοί.

## Διάταξη
Οι ακέραιοι αποτελούν ένα γνησίως διατεταγμένο σύνολο:
:... 
Οι ακέραιοι αποτελούν επομένως ένα διατεταγμένο δακτύλιο.

## Κατασκευή

Το σύνολο των ακεραίων μπορεί να κατασκευαστεί από τους φυσικούς αριθμούς. 

Θεωρούμε το σύνολο \mathbb{N} \times \mathbb{N} των ζευγαριών των φυσικών αριθμών και ορίζουμε την ακόλουθη σχέση ισοδυναμίας:
:(a, b) \sim (c, d) \Leftrightarrow a + d = c + b.
Το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας \mathbb{N} \times \mathbb{N} \,/\! \sim ορίζει τους ακέραιους αριθμούς \mathbb{Z}. 
Την κλάση ισοδυναμίας του ζεύγους (a, b) τη συμβολίζουμε με [(a, b)] ή a- b.
Έτσι στην κλάση ισοδυναμίας π.χ. του 0 ανήκουν τα μεταξύ τους ισοδύναμα ζεύγη (1,1), (2,2),... .

Ένας ακέραιος αριθμός (a, b) είναι θετικός, όταν a > b, αρνητικός όταν a  και 0 όταν a = b. Κάθε ακέραιος είναι ισοδύναμος με έναν της μορφής (*n*,0), (0,*n*) ή (0,0), ο οποίος διαλέγεται συνήθως και ως αντιπρόσωπος της αντίστοιχης κλάσης.

Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός μπορούν να οριστούν αντίστοιχα με τις πράξεις στους φυσικούς αριθμούς:
:[(a,b)]+[(c,d)] = [(a+c,b+d)].\,
:[(a,b)]\cdot[(c,d)] = [(ac+bd,ad+bc)].\,

Το αντίστροφο (ως προς την πρόσθεση) στοιχείο προκύπτει από την αναστροφή της σειράς των όρων του ζεύγους:
:-[(a,b)] = [(b,a)].\,

Η συνήθης διάταξη δίνεται από τη σχέση:
:[(a,b)]

## Πληθάριθμος
Το σύνολο των ακεραίων έχει πληθάριθμο \aleph_0 (*άλεφ-μηδέν*), όπως και το σύνολο των φυσικών.
Αυτό αποδεικνύεται από την ύπαρξη αμφιμονότιμης και επί συνάρτησης f:\mathbb{Z}\to \mathbb{N}, συνάρτησης δηλαδή που κάθε στοιχείο των φυσικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση από ένα ακριβώς στοιχείο των ακεραίων:
:f(x) = \begin{cases} 2|x|,  & x 

## Δείτε επίσης

Σύνολο των 
* φυσικών αριθμών \N
* ρητών αριθμών \Q
* πραγματικών αριθμών \R
* μιγαδικών αριθμών \Complex.

## Παραπομπές



Κατηγορία:Στοιχειώδη μαθηματικά
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών