Αντίστροφο στοιχείο

Στα μαθηματικά, **αντίστροφο** (ή **συμμετρικό**) ενός στοιχείου x του συνόλου S ως προς μία δυαδική πράξη \bullet : S \times S \to S με ουδέτερο στοιχείο e \in S, είναι το στοιχείο x' \in S το οποίο ικανοποιεί
:x \bullet x' = x' \bullet x = e.
Όταν το στοιχείο αυτό είναι μοναδικό συμβολίζεται ως x^{-1}. 

Στη συγκεκριμένη περίπτωση που η πράξη είναι πρόσθεση +, τότε το αντίστροφο στοιχείο λέγεται *[[αντίθετο στοιχείο|αντίθετο]]* και συμβολίζεται ως -x και το ουδέτερο στοιχείο λέγεται *[[μηδέν]]*. Αντίστοιχα, όταν η πράξη είναι πολλαπλασιασμός \cdot, τότε ο αντίστροφος λέγεται *[[πολλαπλασιαστικός αντίστροφος]]* και το ουδέτερο στοιχείο *[[μονάδα]]*.

## Παραδείγματα
* Στους πραγματικούς αριθμούς με πράξη την πρόσθεση, εξ'ορισμού κάθε αριθμός έχει αντίθετο. Με πράξη τον πολλαπλασιασμό, κάθε αριθμός εκτός από το μηδέν έχει αντίστροφο. Για παράδειγμα, για x = 4 ο αντίστροφός του είναι x^{-1} = 0.25 καθώς 4 \cdot 0.25 = 1.
* Στους μιγαδικούς αριθμούς με πράξη την πρόσθεση, κάθε αριθμός έχει αντίθετο. Για παράδειγμα, για x = 1 + 3i ο αντίθετός του είναι ο -x = (-1) + (-3)i, καθώς 1 + 3i + (-1 + (-3)i) = 0. Με πράξη τον πολλαπλασιασμό, κάθε αριθμός εκτός από το μηδέν έχει αντίστροφο. Για παράδειγμα, για x = 1 + 3i ο αντίστροφος είναι x^{-1} = 0.1 - 0.3i καθώς (1 + 3i) \cdot (0.1 - 0.3i) = 0.1 + 0.3i - 0.3i + 0.9 = 1.
* Στην αριθμητική υπολοίπων, στο \Z_n με πράξη την πρόσθεση με υπόλοιπο n, ένας αριθμός x \in \Z_n έχει αντίθετο τον n - x \in \Z_n, καθώς x + (n-x) = n \equiv 0 \pmod{n}. Με πράξη τον πολλαπλασιασμό με υπόλοιπο n, ένας αριθμός x \in \Z_n έχει πολλαπλασιαστικό αντίστροφο ανν \gcd(n, x) = 1. Για παράδειγμα, για n = 10, ο x = 3 έχει αντίστροφο τον x^{-1} = 7 καθώς 3 \cdot 7 = 21 \equiv 1 \pmod{10}, ενώ ο x = 5 δεν έχει αντίστροφο.
* Στον Ευκλείδειο χώρο \R^n με πράξη την πρόσθεση διανυσμάτων, ο αντίθετος του \mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_n) είναι ο -\mathbf{x} = (-x_1, \ldots, -x_n), καθώς \mathbf{x} + (-\mathbf{x}) = \mathbf{0}.
* Πολλές αλγεβρικές δομές έχουν ως αξίωμα την ύπαρξη αντιστρόφου για κάθε στοιχείο του συνόλου τους. Τέτοιες αλγεβρικές δομές είναι για παράδειγμα, οι ομάδες, οι δακτύλιοι (στην πράξη της πρόσθεσης) και τα σώματα.

## Δεξιός και αριστερός αντίστροφος

Έστω ένα σύνολο S και μία δυαδική πράξη \bullet : S \times S \to S με ουδέτερο στοιχείο e \in S. Ορίζονται οι πιο εξειδικευμένες έννοιες αντιστρόφων:
* Ένα στοιχείο x_R \in S λέγεται *δεξιός αντίστροφος* του x \in S όταν x \bullet x_R = e.
* Ένα στοιχείο x_L \in S λέγεται *αριστερός αντίστροφος* του x \in S όταν x_L \bullet x = e.
Ο αντίστροφος είναι και δεξιός και αριστερός αντίστροφος.

### Παραδείγματα

* Όλα τα παραδείγματα αντιστρόφων παραπάνω είναι και παραδείγματα δεξιών και αριστερών αντιστρόφων.
* Οι επί συναρτήσεις έχουν αριστερό αντίστροφο ως προς την σύνθεση, αλλά όχι κατά ανάγκη δεξιό. Για παράδειγμα, η f : \{1,2,3\} \to \{\alpha, \beta \} που ορίζεται ως εξής:
::f(1) = \alpha, f(2) = \beta, f(3) = \beta,
:έχει δεξιό αντίστροφο την g : \{\alpha, \beta \} \to \{ 1, 2, 3 \}, που δίνεται από την
::g(\alpha) = 1, g(\beta) = 2,
:καθώς f(g(\alpha)) = f(1) = \alpha, f(g(\beta)) = f(2) = \beta και επομένως f \circ g = \mathrm{id}_{\{\alpha, \beta\}}, όπου \mathrm{id}_{\{\alpha, \beta\}} η ταυτοτική συνάρτηση. Αλλά δεν έχει αριστερό αντίστροφο καθώς f(2) = f(3).

### Σε προσεταιριστική πράξη

## Δείτε επίσης

* Ομάδα
* Δακτύλιος (άλγεβρα)
* Αντίθετος αριθμός
* Πολλαπλασιαστικός αντίστροφος

## Παραπομπές


Κατηγορία:Μαθηματικά
Κατηγορία:Δυαδικές πράξεις