Επιλήσμων συναρτητής

Στα μαθηματικά, και πιο συγκεκριμένα στον τομέα της θεωρίας κατηγοριών, ένας **επιλήσμων συναρτητής** (γνωστός και ως συναρτητής) που "λησμονεί" ή παραλείπει μέρος ή το σύνολο της δομής ή των ιδιοτήτων της εισόδου πριν από την αντιστοίχιση με την έξοδο. Για μια αλγεβρική δομή μιας δεδομένης υπογραφής, αυτό μπορεί να εκφραστεί με τον περιορισμό της υπογραφής: η νέα υπογραφή είναι μια επεξεργασμένη μορφή της παλιάς. Εάν η υπογραφή παραμείνει ως κενή λίστα, ο συναρτητής απλώς παίρνει το υποκείμενο σύνολο μιας δομής. Επειδή πολλές δομές στα μαθηματικά αποτελούνται από ένα σύνολο με μια πρόσθετη δομή, ένας επιλήσμων συναρτητής που αντιστοιχεί στο υποκείμενο σύνολο είναι η πιο συνηθισμένη περίπτωση.

## Επισκόπηση

Ένδεικτικά, υπάρχουν αρκετοί επιλήσμων συναρτητές από την κατηγορία των αντιμεταθετικών δακτυλίων.  Ένας δακτύλιος με μονάδα, όπως περιγράφεται στη γλώσσα της καθολικής άλγεβρας, είναι μια διατεταγμένη πλειάδα (R,+,\times,a,0,1) που ικανοποιεί ορισμένα αξιώματα, όπου + και \times είναι δυαδικές συναρτήσεις στο σύνολο R, a είναι μια μονομερή πράξη που αντιστοιχεί στο αντίστροφο πρόσθεσης, και 0 και 1 είναι μηδενικές πράξεις που δίνουν τις ταυτότητες των δύο δυαδικών πράξεων.  Η διαγραφή του 1 δίνει έναν επιλήσμων συναρτητή στην κατηγορία των δακτυλίων χωρίς μονάδα· απλά "λησμονεί" τη μονάδα.  Η διαγραφή του \times και του 1 δίνει έναν συναρτη στην κατηγορία των αβελιανών ομάδων, ο οποίος αντιστοιχεί σε κάθε δακτύλιο R την υποκείμενη αβελιανή ομάδα πρόσθεσης του R. Σε κάθε μορφισμό δακτυλίων αντιστοιχεί ο ίδιος συναρτήτης που θεωρείται απλώς ως μορφισμός της πρόσθεσης μεταξύ των υποκείμενων ομάδων.  Με τη διαγραφή όλων των πράξεων λαμβάνουμε τον συναρτητή του υποκείμενου συνόλου R.

Είναι χρήσιμο να γίνει διάκριση μεταξύ των επιλήσμων συναρτητών  που "λησμονούν τη δομή" και εκείνων που "λησμονούν τις ιδιότητες".  Παραδείγματος χάριν, στο παραπάνω παράδειγμα των αντιμεταθετικών δακτυλίων, εκτός από τους συναρτητές που διαγράφουν μερικές από τις πράξεις, υπάρχουν συναρτητές που λησμονούν μερικά από τα αξιώματα.  Υπάρχει ένας συναρτητής από την κατηγορία **CRing** στην κατηγορία **Ring** που λησμονεί το αξίωμα της αντιμεταθετικότητας, αλλά διατηρεί όλες τις πράξεις.  Περιστασιακά, το αντικείμενο μπορεί να περιλαμβάνει επιπλέον σύνολα που δεν ορίζονται αυστηρά σε σχέση με το υποκείμενο σύνολο (σε αυτή την περίπτωση, το ποιο μέρος θα θεωρηθεί υποκείμενο σύνολο είναι θέμα γούστου, αν και στην πράξη αυτό σπάνια είναι ασαφές).  Για αυτά τα αντικείμενα, υπάρχουν επιλήσμονες συναρτητέ*ς* που λησμονούν τα επιπλέον σύνολα που είναι πιο γενικά.

Τα πιο συνηθισμένα αντικείμενα που μελετώνται στα μαθηματικά κατασκευάζονται ως υποκείμενα σύνολα μαζί με επιπλέον σύνολα δομών πάνω σε αυτά τα σύνολα ( πράξεις πάνω στο υποκείμενο σύνολο, προνομιούχα υποσύνολα του υποκείμενου συνόλου κ.λπ.) που μπορεί να ικανοποιούν ορισμένους αξιώματα.  Για αυτά τα αντικείμενα, ένας συνήθως χρησιμοποιούμενος **επιλήσμων συναρτητής**  είναι ο ακόλουθος.
Έστω \mathcal{C} οποιαδήποτε κατηγορία βασισμένη σε σύνολα, π.χ. ομάδες — σύνολα στοιχείων — ή τοπολογικοί χώροι — σύνολα σημείων. Ως συνήθως, γράφουμε \operatorname{Ob}(\mathcal{C}) για τα αντικείμενα του \mathcal{C} και \operatorname{Fl}(\mathcal{C}) για τους μορφισμούς του ιδίου. Ας εξετάσουμε τον κανόνα:
:Για όλα τα A στο \operatorname{Ob}(\mathcal{C}), A\mapsto |A|= το υποκείμενο σύνολο του A,
:Για όλα τα u στο \operatorname{Fl}(\mathcal{C}), u\mapsto |u|= ο μορφισμός, u, ως απεικόνιση συνόλων.
Ο συναρτητής |\cdot| είναι τότε ο επιλήσμων συναρτητής  από το \mathcal{C} στο **Set**, την κατηγορία των συνόλων.

Οι επιλήσμονες συναρτητές  είναι σχεδόν πάντα πιστοί. Οι συμπαγείς κατηγορίες έχουν επιλήσμονες συναρτητές στην κατηγορία των συνόλων — στην πραγματικότητα μπορούν να "οριστούν" ως εκείνες οι κατηγορίες που δέχονται έναν πιστό συναρτήση σε αυτή την κατηγορία.

Οι επιλήσμονες συναρτητές που λησμονούν μόνο αξιώματα είναι πλήρεις και πιστοί , αφού κάθε μορφισμός που σέβεται τη δομή μεταξύ αντικειμένων που ικανοποιούν τα αξιώματα σέβεται αυτόματα και τα αξιώματα.  Οι επιλήσμονες συναρτητές που λησμονούν τις δομές δεν χρειάζεται να είναι πλήρεις· ορισμένοι μορφισμοί δεν σέβονται τη δομή.  Ωστόσο, αυτές οι συναρτήσεις εξακολουθούν να είναι πιστές, επειδή οι διακριτοί μορφισμοί που σέβονται τη δομή εξακολουθούν να είναι διακριτοί όταν η δομή λησμονούνται.  Οι συναρτητές που λησμονούν τα επιπλέον σύνολα δεν χρειάζεται να είναι πιστοί, αφού οι διακριτοί μορφισμοί που σέβονται τη δομή αυτών των επιπλέον συνόλων μπορεί να είναι αδιακρίτως στο υποκείμενο σύνολο.

Στη γλώσσα της τυπικής λογικής, ένας συναρτητής του πρώτου είδους αφαιρεί τα αξιώματα, ένας συναρτητής του δεύτερου είδους αφαιρεί τα κατηγορήματα και ένας συναρτητής του τρίτου είδους αφαιρεί τους τύπους. Ένα παράδειγμα του πρώτου είδους είναι ο επιλήσμων συναρτητής   *Ab*' → **Grp**.  Ένα παράδειγμα του δεύτερου είδους είναι ο επιλήσμων συναρτητής  **Ab** → **Set**.  Ένας επιλήσμων συναρτητής  τρίτου είδους είναι ο τελεστής **Mod** → **Ab**, όπου **Mod** είναι η νηματική  κατηγορία όλων των προτύπων πάνω σε αυθαίρετους δακτυλίους.  Για να το διαπιστώσουμε αυτό, επιλέγουμε απλώς έναν ομομορφισμό δακτυλίου μεταξύ των υποκείμενων δακτυλίων που δεν αλλάζει τη δράση δακτυλίου.  Σύμφωνα με τον επιλήσμων συναρτητή, αυτός ο μορφισμός δίνει την ταυτότητα.  Να σημειωθεί ότι ένα αντικείμενο στο **Mod** είναι μια πλειάδα, η οποία περιλαμβάνει έναν δακτύλιο και μια αβελιανή ομάδα, οπότε το ποιο θα λησμονήσουμε είναι θέμα προτίμησης.

## Αριστερος συζυγής του επιλήσμονος συναρτητή

Οι επιλήσμονες συναρτητές τείνουν να έχουν αριστερό συζυγή, που είναι "ελεύθερες" κατασκευές. Επί παραδείγματι:
* ελεύθερο προτύπο: \mathbf{Mod}(R) (η κατηγορία των R-προτύπων) προς \mathbf{Set} έχει αριστερό συζυγή \operatorname{Free}_R, με X\mapsto \operatorname{Free}_R(X), το ελεύθερο R-προτύπο με βάση X.
* ελεύθερη ομάδα
* ελεύθερο πλέγμα
* Άλγεβρα τανυστών
* ελεύθερη κατηγορία, συζυγής του επιλήσμονος συναρτητή από κατηγορίες σε φαρέτρες (quivers)
* καθολική άλγεβρα περιβάλλουσας

Για έναν εκτενέστερο κατάλογο, βλέπε (Mac Lane 1997).

Καθώς αυτό είναι ένα θεμελιώδες παράδειγμα των συζυγιών, το αναλύουμε:
η συζυγία σημαίνει ότι δεδομένου ενός συνόλου *X* και ενός αντικειμένου (ας πούμε,  *R*-πρότυπο) *M*, οι απεικονίσεις *συνόλων* X \to |M| αντιστοιχούν σε απεικονίσεις μονάδων \operatorname{Free}_R(X) \to M: κάθε απεικόνιση συνόλων δίνει μια απεικόνιση μονάδων, και κάθε απεικόνιση μονάδων προέρχεται από μια απεικόνιση συνόλων.

Στην περίπτωση των διανυσματικών χώρων, αυτό συνοψίζεται ως εξής:
"Μια απεικόνιση μεταξύ διανυσματικών χώρων καθορίζεται από το πού στέλνει μια βάση, και μια βάση μπορεί να απεικονιστεί σε οτιδήποτε".

Συμβολικά:
:\operatorname{Hom}_{\mathbf{Mod}_R}(\operatorname{Free}_R(X),M) = \operatorname{Hom}_{\mathbf{Set}}(X,\operatorname{Forget}(M)).

Η μονάδα της ελεύθερης-επιλήσμονης σύζευξης είναι ο "έγκλεισμος μιας βάσης": X \to \operatorname{Free}_R(X).

Η **Fld** η κατηγορία των σωμάτων, παρέχει ένα παράδειγμα ενός επιλήσμονος συναρτητη χωρίς συζυγή.  Δεν υπάρχει σώμα που να ικανοποιεί μια ελεύθερη καθολική ιδιότητα για ένα δεδομένο σύνολο.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) 
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα 
Κατηγορία:Συναρτητές