Υπoπηλίκο

Στα σὠματα (άλγεβρα) της θεωρίας κατηγοριών και της αφηρημένης άλγεβρας, ένα **υπoπηλίκο** είναι ένα αντικείμενο διαίρεσης ενός υποαντικειμένου. Τα **υπoπηλίκα** είναι ιδιαίτερα σημαντικά στις αβελιανές κατηγορίες και στη θεωρία ομάδων, όπου είναι επίσης γνωστά ως τμήματα, αν και αυτό έρχεται σε αντίθεση με μια διαφορετική έννοια στη θεωρία κατηγοριών. 

Έτσι, στην αλγεβρική δομή των ομάδων, το  H είναι **υπoπηλίκο** της G αν υπάρχει μια υποομάδα G' της  G και μια κανονική υποομάδα G*</math> της <math>G'</math> έτσι ώστε το <math>H</math> να είναι [[Ισομορφισμός|ισομορφικό]] με το <math>G'/G*.

Στη βιβλιογραφία σχετικά με τις σποραδικές ομάδες, μπορεί να βρεθούν εκφράσεις όπως "H εμπεριέχεται στη  G" με την προφανή έννοια ότι "H είναι υπoπηλίκο της  G".

Όπως και στο πλαίσιο των υποομάδων, στο πλαίσιο των υπoπηλίκων ο όρος  "τετριμμένα " μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τα δύο υπoπηλίκα G και  \{1\}   που υπάρχουν σε κάθε ομάδα G.

Το πηλίκο μιας υποαναπαράστασης μιας αναπαράστασης (π.χ. μιας ομάδας) μπορεί να ονομαστεί υποπηλίκο αναπαράσταση, π.χ. το θεώρημα υποπηλίκων του Χάρις-Χάντρα..

## Παράδειγμα

Υπάρχουν υπoπηλίκα ομάδων που δεν είναι ούτε υποομάδα ούτε πηλίκο αυτής. Παραδείγματος χάριν, σύμφωνα με το άρθρο "Σποραδική ομάδα" η *Fi*22 έχει διπλή κάλυψη που είναι υποομάδα της *Fi*23, οπότε είναι υπoπηλίκο της *Fi*23 χωρίς να είναι υποομάδα ή πηλίκο της.

## Σχέση διάταξης

Η σχέση **υπoπηλίκο** του είναι μια σχέση τάξης, η οποία θα συμβολίζεται με  \preceq. Αποδεικνύεται για ομάδες.

;Σημειογραφία
:'Εστω  μια ομάδα, έστω  μια υποομάδα της , έστω  μια κανονική υποομάδα της , και έστω   η ομάδα πηλίκου .  Τότε λέμε ότι η  είναι υποπηλίκο της .  Με σύμβολα, έστω  και ; τότε .   Θα αποδειχθεί για ομάδες:

# Ανακλαστική σχέση : G\preceq G, δηλαδή κάθε στοιχείο σχετίζεται με τον εαυτό του. Πράγματι, η  G  είναι ισομορφική με το υπoπηλίκο G/\{1\} of G.
# Αντισυμμετρία: αν G\preceq H και H\preceq G τότε G\cong H; δηλαδή, δεν υπάρχουν δύο διακριτά στοιχεία που να προηγούνται το ένα το άλλο. Πράγματι, μια σύγκριση των τάξεων των ομάδων G και H δίνει |G| = |H|από όπου προκύπτει G\cong H.
# Μεταβατικότητα: αν H'/H* \preceq H</math> και <math>H\preceq G</math> τότε <math>H'/H* \preceq G.

### Απόδειξη της μεταβατικότητας για ομάδες

Έστω H'/H*</math> ένα υπoπηλίκο του <math>H</math>, ας είναι <math>H := G'/G* ένα υπoπηλίκο της G, και έστω \varphi \colon G' \to H ο κανονικός ομομορφισμός. Τότε, στο παρακάτω διάγραμμα, όλες οι κάθετες (\downarrow) απεικονίσεις \varphi \colon X \to Y, \; x \mapsto x \, G*</math>

είναι επιρριπτική για τα αντίστοιχα ζεύγη

Οι προ-εικόνες <math>\varphi^{-1}\left(H'\right)</math> και <math>\varphi^{-1}\left(H*\right) είναι και οι δύο υποομάδες της G' που περιέχουν την G* ,</math> και είναι <math>\varphi\left(\varphi^{-1}\left(H'\right)\right) = H'</math> και <math>\varphi\left(\varphi^{-1}\left(H*\right)\right) = H*,</math> επειδή κάθε <math>h \in H</math>έχει μια προ-εικόνα <math>g \in G'</math> με <math>\varphi(g) = h .</math> Επιπλέον, η υποομάδα <math>\varphi^{-1}\left(H*\right)  είναι κανονική στο \varphi^{-1}\left(H'\right) .

Κατά συνέπεια, το υπoπηλίκο H'/H*</math> του <math>H</math>  είναι ένα υπoπηλίκο του  <math>G</math>  της μορφής <math>H'/H* \cong \varphi^{-1}\left(H'\right)/\varphi^{-1}\left(H*\right) .</math>

===Σχέση με διαταξη πλυθικών===

Στην εποικοδομητική [[θεωρία συνόλων]], όπου η [[αρχή αποκλειόμενου μέσου]] δεν ισχύει απαραίτητα, μπορεί κανείς να θεωρήσει τη σχέση υπoπηλίκο ως αντικατάσταση της συνήθους σχέσης διάταξης στους [[Πληθικός αριθμός|πληθικούς]]. Όταν ισχύει η [[αρχή αποκλειόμενου μέσου]], τότε ένα υπoπηλίκο <math>Y</math> του <math>X</math>είναι είτε το [[κενό σύνολο]] είτε υπάρχει μια επιρριπτική συνάρτηση <math>X\to Y</math>. Αυτή η σχέση διάταξης συμβολίζεται συνήθως με <math>\leq^\ast .</math> Αν επιπλέον ισχύει το αξίωμα της επιλογής, τότε το <math>Y</math> έχει μια συνάρτηση ένα προς ένα με  <math>X</math> και αυτή η σχέση διάταξης είναι η συνήθης <math>\leq</math> στους αντίστοιχους [[Πληθικότητα|πληθικούς]].

== Εξωτερικοί σύνδεσμοι ==
*[https://www.itia.ntua.gr/en/docinfo/1318/ English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics] Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*[https://www.mas.ucy.ac.cy/georgios/bookfiles/dict1.pdf Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου]
*[https://mathbooksgr.wordpress.com/wp-content/uploads/2012/02/mlexiko2012.pdf ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ] Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*[https://www.nisidis.gr/nisidisn_categorial.pdf Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών]  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* [http://thales.math.uoc.gr:1080/Members/ddais/group_theory_XE_15_16/Theoria_Omadwn_Marmaridis.pdf Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης]
* [https://olympias.lib.uoi.gr/jspui/bitstream/123456789/28962/1/%CE%9C.%CE%95.%20%CE%A0%CE%95%CE%A4%CE%A1%CE%A9%CE%A4%CE%9F%CE%A5%20%CE%92%CE%91%CE%A3%CE%99%CE%9B%CE%99%CE%9A%CE%97%202016.pdf Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων]
* [https://mtzoumas.mysch.gr/mtz/docs_and_apps/Didaskalia/bibl_kath_geom.pdf Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο]
* [https://www.didaktorika.gr/eadd/handle/10442/20405 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών]
* [https://repository.kallipos.gr/bitstream/11419/107/5/NumberTheory30Sep.pdf Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές]
* [https://repository.kallipos.gr/handle/11419/1045 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών]
* [http://users.uoi.gr/abeligia/RingTheory2020/RingTheory_NM.pdf Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων]
* [https://thesis.ekt.gr/thesisBookReader/id/15362?lang=el#page/1/mode/2up Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες] Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* [https://www.didaktorika.gr/eadd/handle/10442/58427 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας] Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* [http://users.uoi.gr/brapt/stat/notes_chap_1.pdf  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή]
* [http://www.wolframalpha.com/calculators/integral-calculator/ Wolfram Mathematica Online Integrator]
* [https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/jres/73B/jresv73Bn1p1_A1b.pdf  A Table of Integrals of the Error Functions]

== Δείτε επίσης ==

* [[Προσεταιριστική ιδιότητα]]
* [[Αντιμεταθετική ιδιότητα]]
* [[Μορφοκλασματική διάσταση]]
* [[Ομοπαραλληλική γεωμετρία]]
* [[Αλγεβρική θεωρία αριθμών]]
* [[Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον]]
* [[Μοναδιαία βηματική συνάρτηση]]
* [[Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ]]
* [[Ευκλείδειος χώρος]]
* [[Αρχιμήδεια ιδιότητα]]
* [[Τοπολογικός χώρος]]
* [[Κατηγορία αβελιανών ομάδων]]
* [[Εφαρμοσμένα μαθηματικά]]
* [[Υπολογιστική ρευστοδυναμική]]
* [[Αβελιανή ομάδα]]
* [[Σύνθεση συνάρτησης]]
* [[Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων]]
* [[Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής]]
* [[Αλγεβρική γεωμετρία]]
* [[Ένα προς ένα]]
* [[Συναρτητής Hom]]
* [[Συνήθης διαφορική εξίσωση]]
* [[Γραμμική απεικόνιση]]
* [[Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)]]


== Βιβλιογραφία==
* 
*
*
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 

==Παραπομπές==
<references/>

*
* 

*
*[[:en:Serge Lang|Lang, Serge]] (2002), Algebra, [https://en.wikipedia.org/wiki/Graduate%20Texts%20in%20Mathematics Graduate Texts in Mathematics], vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, [https://mathscinet.ams.org/mathscinet/relay-station?mr=1878556 MR 1878556]
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
* [https://ncatlab.org/nlab/show/star-autonomous+category star-autonomous category] at the [https://en.wikipedia.org/wiki/NLab nLab]
* 
* *This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects.*
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. [https://mathscinet.ams.org/mathscinet/relay-station?mr=0202787 MR 0202787].
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

== Πηγές ==
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* [[:en:Hans Freudenthal|Hans Freudenthal]]: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.'' Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Γενική τοπολογία
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα