Δέκατο ένατο πρόβλημα του Χίλμπερτ

Το **δέκατο ένατο πρόβλημα του Χίλμπερτ** είναι ένα από τα 23 προβλήματα Χίλμπερτ που παρουσιάζονται σε έναν κατάλογο που συνέταξε ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ το 1900. Διερωτάται αν οι λύσεις των κανονικών προβλημάτων του λογισμού των μεταβολών είναι πάντα αναλυτικές . Άτυπα, και ίσως λιγότερο άμεσα, αφού η έννοια του Χίλμπερτ για ένα "κανονικό πρόβλημα παραλλαγών" το προσδιορίζει ακριβώς ως ένα πρόβλημα παραλλαγών του οποίου η εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ είναι μια ελλειπτική μερική διαφορική εξίσωση με αναλυτικούς συντελεστές , Το δέκατο ένατο πρόβλημα του Χίλμπερτ, παρά την προφανώς τεχνική του διατύπωση, θέτει απλώς το ερώτημα αν, σε αυτή την κατηγορία μερικών διαφορικών εξισώσεων, οποιαδήποτε λύση κληρονομεί τη σχετικά απλή και καλά κατανοητή ιδιότητα να είναι αναλυτική συνάρτηση από την εξίσωση που ικανοποιεί. Το δέκατο ένατο πρόβλημα του Χίλμπερτ επιλύθηκε ανεξάρτητα  στα τέλη της δεκαετίας του 1950 από τους Έννιο ντε Τζόρτζι και Τζον Φορμπς Νας Τζούνιορ.

## Ιστορία
### Η προέλευση του προβλήματος

Ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ παρουσίασε αυτό που σήμερα είναι γνωστό ως το δέκατο ένατο πρόβλημά του στην ομιλία του στο Δεύτερο Διεθνές Συνέδριο Μαθηματικών. Στο ( Χίλμπερτ 1900, σ. 288), αναφέρει ότι, κατά τη γνώμη του, ένα από τα πιο αξιοσημείωτα γεγονότα της θεωρίας των αναλυτικών συναρτήσεων είναι ότι υπάρχουν κλάσεις μερικών διαφορικών εξισώσεων που δέχονται μόνο αναλυτικές συναρτήσεις ως λύσεις, αναφέροντας ως παραδείγματα την εξίσωση Λαπλάς, την εξίσωση Λιούβιλ, την εξίσωση ελάχιστης επιφάνειας και μια κλάση γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων που μελετήθηκε από τον Εμίλ Πικάρ. Στη συνέχεια σημειώνει ότι οι περισσότερες μερικές διαφορικές εξισώσεις που μοιράζονται αυτή την ιδιότητα είναι εξισώσεις Όιλερ-Λαγκράνζ ενός καλά καθορισμένου τύπου μεταβλητού προβλήματος, οι οποίες ικανοποιούν τις ακόλουθες τρεις ιδιότητες
:{\iint F(p,q,z;x,y) dx dy} = \text{Minimum} \qquad 
\left[ \frac{\partial z}{\partial x}=p \quad;\quad \frac{\partial z}{\partial y}=q \right],
:\frac{\partial^2 F}{\partial^2 p}\cdot\frac{\partial^2 F}{\partial^2 q} - \left(\frac{\partial^2 F}\right)^2 > 0,
:  είναι αναλυτική συνάρτηση για όλα τα ορίσματά της  και .

Ο Χίλμπερτ το ονομάζει αυτό «κανονικό πρόβλημα μεταβολής». Η ιδιότητα (1) σημαίνει ότι πρόκειται για ελάχιστα προβλήματα. Η ιδιότητα (2) είναι η συνθήκη ελλειπτικότητας στις εξισώσεις Όιλερ-Λαγκράνζ  που σχετίζονται με τη δεδομένη συνάρτηση, ενώ η ιδιότητα (3) είναι μια απλή υπόθεση κανονικότητας για τη συνάρτηση . Έχοντας προσδιορίσει την κατηγορία των προβλημάτων που εξετάζονται, θέτει το ακόλουθο ερώτημα: «... κάθε μερική διαφορική εξίσωση Λαγκράνζ ενός προβλήματος κανονικής μεταβολής έχει την ιδιότητα να δέχεται αποκλειστικά αναλυτικά ολοκληρώματα;» Διερωτάται περαιτέρω αν αυτό ισχύει ακόμη και όταν η συνάρτηση απαιτείται να λάβει συνοριακές τιμές που είναι συνεχείς, αλλά όχι αναλυτικές, όπως συμβαίνει στο πρόβλημα του Ντίριχλετ για τη συνάρτηση δυναμικού .

### διαδρομή προς την πλήρη λύση
Ο Χίλμπερτ διατύπωσε το δέκατο ένατο πρόβλημά του ως πρόβλημα κανονικότητας για μια κατηγορία ελλειπτικών μερικών διαφορικών εξισώσεων με αναλυτικούς συντελεστές. Κατά συνέπεια, οι πρώτες προσπάθειες των ερευνητών που προσπάθησαν να το επιλύσουν στόχευαν στη μελέτη της κανονικότητας των κλασικών λύσεων για εξισώσεις που ανήκουν σε αυτή την κατηγορία. Για τις λύσεις *C*3, το πρόβλημα του Χίλμπερτ έλαβε θετική απάντηση από τον Σεργκέι Μπερνστάιν (1904) στη διατριβή του. Έδειξε ότι οι λύσεις *C*3 μη γραμμικών ελλειπτικών αναλυτικών εξισώσεων σε 2 μεταβλητές είναι αναλυτικές. Το αποτέλεσμα του Μπερνστάιν βελτιώθηκε με την πάροδο των ετών από διάφορους συγγραφείς, όπως ο Πετρόφσκι (), οι οποίοι μείωσαν τις απαιτήσεις διαφοροποίησης της λύσης που απαιτούνται για να αποδειχθεί ότι είναι αναλυτική. Από την άλλη πλευρά, άμεσες μέθοδοι στον λογισμό των μεταβολών έχουν δείξει την ύπαρξη λύσεων με πολύ αδύναμες ιδιότητες διαφορισιμότητας. Για πολλά χρόνια, υπήρχε ένα κενό μεταξύ αυτών των αποτελεσμάτων.
Οι λύσεις που μπορούσαν να κατασκευαστούν ήταν γνωστό ότι είχαν τετραγωνικά ολοκληρώσιμες δεύτερες παραγώγους, αλλά αυτό δεν ήταν αρκετά ισχυρό για να τροφοδοτήσει τον μηχανισμό που μπορούσε να αποδείξει ότι ήταν αναλυτικές, ο οποίος χρειαζόταν συνέχεια των πρώτων παραγώγων. Αυτό το κενό καλύφθηκε ανεξάρτητα από τον Έννιο Ντε Τζιόρτζι ( και τον Τζον Φορμπς Νας (), οι οποίοι μπόρεσαν να δείξουν ότι οι λύσεις είχαν πρώτες παραγώγους που ήταν συνεχείς κατά Χόλντερ. Από προηγούμενα αποτελέσματα αυτό σήμαινε ότι οι λύσεις είναι αναλυτικές όποτε η διαφορική εξίσωση έχει αναλυτικούς συντελεστές, ολοκληρώνοντας έτσι τη λύση του δέκατου ένατου προβλήματος του Χίλμπερτ. Στη συνέχεια, ο Γιούργκεν Μόζερ έδωσε μια εναλλακτική απόδειξη των αποτελεσμάτων που προέκυψαν από τον Έννιο Ντε Τζιόρτζι () και τον Τζον Φορμπς Νας (.).

### Αντιπαραδείγματα σε διάφορες γενικεύσεις του προβλήματος

Η καταφατική απάντηση στο δέκατο ένατο πρόβλημα του Χίλμπερτ που δόθηκε από τους Έννιο Ντε Τζιόρτζι και Τζον Φορμπς Νας έθεσε το ερώτημα αν το ίδιο συμπέρασμα ισχύει και για τις εξισώσεις Όιλερ-Λαγκράνζ γενικότερων συναρτησιακών. Στα τέλη της δεκαετίας του 1960, οι Μαζ'ια (), Ντε Γκιόργκι () και Γκιούστι & Μιράντα () κατασκεύασαν ανεξάρτητα διάφορα αντιπαραδείγματα, δείχνοντας ότι γενικά δεν υπάρχει ελπίδα να αποδειχθούν τέτοια αποτελέσματα κανονικότητας χωρίς την προσθήκη περαιτέρω υποθέσεων.

Συγκεκριμένα, ο Μαζ'ια ( ) έδωσε αρκετά αντιπαραδείγματα που αφορούσαν μια απλή ελλειπτική εξίσωση τάξης μεγαλύτερης των δύο με αναλυτικούς συντελεστές. Για τους ειδικούς, το γεγονός ότι τέτοιες εξισώσεις θα μπορούσαν να έχουν μη αναλυτικές και ακόμη και μη ομαλές λύσεις προκάλεσε αίσθηση.

Οι Ντε Γκιόργκι () και Γκιούστι & Μιράντα () έδωσαν αντιπαραδείγματα που έδειξαν ότι στην περίπτωση που η λύση είναι διανυσματικής αξίας και όχι κλιμακωτής αξίας, δεν χρειάζεται να είναι αναλυτική- το παράδειγμα του Ντε Γκιόργκι αποτελείται από ένα ελλειπτικό σύστημα με περιορισμένους συντελεστές, ενώ αυτό των Γκιούστι και Μιράντα έχει αναλυτικούς συντελεστές. Αργότερα, ο Νετσάς (1977) έδωσε άλλα, πιο εκλεπτυσμένα, παραδείγματα για το πρόβλημα με διανυσματική αξία.

## Το θεώρημα του Ντε Γκιόργκι

Το βασικό θεώρημα που απέδειξε ο Ντε Γκιόργκι είναι μια εκ των προτέρων εκτίμηση που δηλώνει ότι αν η *u* είναι λύση μιας κατάλληλης γραμμικής δευτεροβάθμιας αυστηρά ελλειπτικής PDE της μορφής

: D_i(a^{ij}(x)\,D_ju)=0

και η u έχει τετραγωνικά ολοκληρώσιμες πρώτες παραγώγους, τότε η u είναι συνεχής κατά Χόλντερ.

## Εφαρμογή του θεωρήματος του Ντε Γκιόργκι στο πρόβλημα του Χίλμπερτ

Το πρόβλημα του Χίλμπερτ διερωτάται αν οι ελαχιστοποιητές w μιας ενεργειακής συνάρτησης όπως η

:\int_UL(Dw)\,\mathrm{d}x

είναι αναλυτικές. Εδώ w είναι μια συνάρτηση σε κάποιο συμπαγές σύνολο U του **R***n*, Dw είναι το διάνυσμα κλίσης της, και L είναι η Λαγκρανζιανή, μια συνάρτηση των παραγώγων του w που ικανοποιεί ορισμένες συνθήκες αύξησης, ομαλότητας και κυρτότητας. Η ομαλότητα της w μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Ντε Γκιόργκι ως εξής. Η εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ για αυτό το μεταβλητό πρόβλημα είναι η μη γραμμική εξίσωση

: \sum\limits_{i=1}^n(L_{p_i}(Dw))_{x_i} = 0

και διαφοροποιώντας το ως προς x_k προκύπτει

: \sum\limits_{i=1}^n(L_{p_ip_j}(Dw)w_{x_jx_k})_{x_i} = 0

Αυτό σημαίνει ότι u=w_{x_k} ικανοποιεί τη γραμμική εξίσωση

: D_i(a^{ij}(x)D_ju)=0
με

:a^{ij} = L_{p_ip_j}(Dw)

οπότε σύμφωνα με το αποτέλεσμα του Ντε Γκιόργκι η λύση *w* έχει συνεχείς πρώτες παραγώγους Χόλντερ, υπό την προϋπόθεση ότι ο πίνακας L_{p_ip_j} είναι φραγμένος. Όταν αυτό δεν συμβαίνει, απαιτείται ένα επιπλέον βήμα: πρέπει να αποδείξουμε ότι η λύση w είναι συνεχής κατά Λίπσιτζ, δηλαδή η κλίση Dw είναι μια συνάρτηση L^\infty.

Αφού είναι γνωστό ότι η *w* έχει συνεχείς (*n*+1)st παραγώγους Χόλντερ για κάποιο *n* ≥ 1, τότε οι συντελεστές *a**ij* έχουν συνεχείς *n*th παραγώγους Χόλτερ, οπότε ένα θεώρημα του Σόουντερ (Schauder) συνεπάγεται ότι οι (*n*+2)nd παράγωγοι είναι επίσης συνεχείς Χόλτερ, οπότε επαναλαμβάνοντας αυτό απείρως συχνά αποδεικνύεται ότι η λύση *w* είναι ομαλή.

## Θεώρημα του Νας

Ο Τζον Νας έδωσε μια εκτίμηση συνέχειας για τις λύσεις της παραβολικής εξίσωσης

: D_i(a^{ij}(x)D_ju)=D_t(u)

όπου *u* είναι μια περιορισμένη συνάρτηση των *x*1,...,*x**n*, *t* που ορίζεται για *t* ≥ 0. Από την εκτίμησή του ο Νας μπόρεσε να συμπεράνει μια εκτίμηση συνέχειας για τις λύσεις της ελλειπτικής εξίσωσης

: D_i(a^{ij}(x)D_ju)=0 εξετάζοντας την ειδική περίπτωση κατά την οποία το *u* δεν εξαρτάται από το *t*.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*Proof of Dehn's Theorem at Everything2
*
*Dehn Invariant at Everything2
* Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Μαθηματικά προβλήματα, 6ο πρόβλημα, σε αγγλική μετάφραση.

## Δείτε επίσης
* Μερική διαφορική εξίσωση
* Διαφορική εξίσωση
* Εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ
* Έννιο ντε Τζόρτζι
* Ελλειπτική συνάρτηση
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Τζον Φορμπς Νας
* Ανρί Πουανκαρέ 
* Χώρος Χίλμπερτ
* Ντάβιντ Χίλμπερτ
* Ευκλείδειος χώρος
* Επιφάνεια Ρίμαν
* Αλγεβρική ποικιλία

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
* Reprinted in 
* "*On the analyticity of extremals of multiple integrals*" (English translation of the title) is a short research announcement disclosing the results detailed later in . While, according to the Complete list of De Giorgi's scientific publication (De Giorgi 2006, p.&nbsp;6), an English translation should be included in , it is unfortunately missing.
* Translated in English as "*On the differentiability and the analyticity of extremals of regular multiple integrals*" in .
* Translated in English as "*An example of discontinuous extremals for a variational problem of elliptic type*" in 
*
*
*
*, translated in English as 
*
*
*
*– Reprinted as – Translated to English by Mary Frances Winston Newson as – Reprinted as – Translated to French by M. L. Laugel (with additions of Hilbert himself) as – There exists also an earlier (and shorter) resume of Hilbert's original talk, translated in French and published as .
*
*– Translated in English as 
*
*
*
*
*
*

## Πηγές
* 
*
*
*

Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Μερικές διαφορικές εξισώσεις
Κατηγορία:Διαφορικές εξισώσεις
Κατηγορία:Προβλήματα του Χίλμπερτ
Κατηγορία:Ιστορία των Μαθηματικών
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά
Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία