Ψευδόσφαιρα

μικρογραφία|537x537εσ|H μελέτη της ψευδοσφαίρας από τον Ευγένιο Μπελτράμι
Στη γεωμετρία, η **ψευδόσφαιρα** είναι μια επιφάνεια με σταθερή αρνητική καμπυλότητα Γκάους.

Μια ψευδόσφαιρα ακτίνας  είναι μια επιφάνεια στο \mathbb{R}^3 με καμπυλότητα −1/*R*2 σε κάθε σημείο. Το όνομά της προέρχεται από την αναλογία με τη σφαίρα ακτίνας  η οποία είναι επιφάνεια καμπυλότητας 1/*R*2. Ο όρος εισήχθη από τον Ευγένιο Μπελτράμι στην εργασία του το 1868 σχετικά με τα μοντέλα της υπερβολικής γεωμετρίας
.

## Τρακτροειδές

Η ίδια επιφάνεια μπορεί επίσης να περιγραφεί ως το αποτέλεσμα της περιστροφής μιας **έλκουσας**  ή (**tractrix** που ανάγεται  στο λατινικό trahere 'τραβάω, σέρνω')  γύρω από την ασύμπτωσή της.
Για τον λόγο αυτό η ψευδοσφαίρα ονομάζεται επίσης **τρακτοειδές**. Παραδείγματος χάριν, η (μισή) ψευδόσφαιρα (με ακτίνα 1) είναι η επιφάνεια περιστροφής της τρακτίνας που παραμετροποιείται από τη σχέση 
:t \mapsto \left( t - \tanh t, \operatorname{sech}\,t \right), \quad \quad 0 \le t 

Είναι ένας ιδιόμορφος χώρος (ο ισημερινός είναι μια ιδιομορφία), αλλά μακριά από τις ιδιομορφίες, έχει σταθερή αρνητική καμπυλότητα Γκάους και επομένως είναι τοπικά ισομετρικός με ένα υπερβολικό επίπεδο.

Το όνομα «ψευδόσφαιρα» προκύπτει επειδή έχει μια δισδιάστατη επιφάνεια σταθερής αρνητικής καμπυλότητας Γκάους, όπως ακριβώς μια σφαίρα έχει μια επιφάνεια με σταθερή θετική καμπυλότητα Γκάους. Ακριβώς όπως η σφαίρα έχει σε κάθε σημείο τη θετικά καμπυλωμένη γεωμετρία ενός τρούλου, ολόκληρη η ψευδόσφαιρα έχει σε κάθε σημείο την αρνητικά καμπυλωμένη γεωμετρία μιας σέλας.

Ήδη από το 1693 ο Κρίστιαν Χόιγκενς διαπίστωσε ότι ο όγκος και η επιφάνεια της ψευδόσφαιρας είναι πεπερασμένα, παρά την άπειρη έκταση του σχήματος κατά μήκος του άξονα περιστροφής. Για μια δεδομένη ακτίνα ακμής , το εμβαδόν είναι  όπως ακριβώς και για τη σφαίρα, ενώ ο όγκος είναι  και επομένως το μισό της σφαίρας αυτής της ακτίνας.

Η ψευδόσφαιρα είναι ένας σημαντικός γεωμετρικός πρόδρομος για τις μαθηματικές τέχνες και την παιδαγωγική.

## Καθολικός χώρος κάλυψης
Η μισή ψευδόσφαιρα καμπυλότητας -1 καλύπτεται από το εσωτερικό ενός ορόκυκλου. Στο μοντέλο του ημιεπιπέδου του Πουανκαρέ μια βολική επιλογή είναι το τμήμα του ημιεπιπέδου με .. Τότε ο χάρτης κάλυψης είναι περιοδικός στη διεύθυνση  με περίοδο 2 και οδηγεί τους ορόκυκλους  στους μεσημβρινούς της ψευδοσφαίρας και τις κάθετες γεωδαισιακές  στις τρακτίνες που δημιουργούν την ψευδοσφαίρα. Αυτή η απεικόνιση είναι μια τοπική ισομετρία και συνεπώς εμφανίζει το τμήμα  του άνω ημιεπιπέδου ως τον καθολικό χώρο κάλυψης της ψευδοσφαίρας. Η ακριβής απεικόνιση είναι 

:(x,y)\mapsto \big(v(\operatorname{arcosh} y)\cos x, v(\operatorname{arcosh} y) \sin x, u(\operatorname{arcosh} y)\big)
όπου
:t\mapsto \big(u(t) = t - \operatorname{tanh} t,v(t) =  \operatorname{sech} t\big)

είναι η παραμετροποίηση της παραπάνω tractrix

## Υπερβολοειδές

Σε ορισμένες πηγές που χρησιμοποιούν το μοντέλο του υπερβολοειδούς του υπερβολικού επιπέδου, το υπερβολοειδές αναφέρεται ως ψευδόσφαιρα. Αυτή η χρήση της λέξης οφείλεται στο γεγονός ότι το υπερβολοειδές μπορεί να θεωρηθεί ως σφαίρα φανταστικής ακτίνας, ενσωματωμένη σε ένα χώρο Μινκόφσκι.

## Ψευδοσφαιρικές επιφάνειες

Η ψευδοσφαιρική επιφάνεια είναι μια γενίκευση της ψευδοσφαίρας. Μια επιφάνεια η οποία είναι τμηματικά ομαλά βυθισμένη στο \mathbb{R}^3 με σταθερή αρνητική καμπυλότητα είναι μια ψευδοσφαιρική επιφάνεια. Το τρακτίδιο είναι το απλούστερο παράδειγμα. Άλλα παραδείγματα περιλαμβάνουν τις επιφάνειες του Ντίνι, τις αναπνευστικές επιφάνειες και την επιφάνεια Κουέν.

## Σχέση με τις λύσεις της εξίσωσης ημιτόνου-Γκόρντον

Ψευδοσφαιρικές επιφάνειες μπορούν να κατασκευαστούν από λύσεις της εξίσωσης ημιτόνου-Γκόρντον. Μια σκιαγραφική απόδειξη ξεκινά με την επαναπαραμετροποίηση του τρακτροειδούς με συντεταγμένες στις οποίες οι εξισώσεις Γκάους-Κοντάζι μπορούν να ξαναγραφούν ως εξίσωση ημιτόνου-Γκόρντον.

Συγκεκριμένα, για το τρακτροειδές οι εξισώσεις Γκάους-Κοντάζι  είναι η εξίσωση ημιτόνου- Γκόρντον που εφαρμόζεται στη λύση του στατικού σολιτονίου, οπότε οι εξισώσεις Γκάους-Κοντάτζι ικανοποιούνται. Σε αυτές τις συντεταγμένες η πρώτη και η δεύτερη θεμελιώδης μορφή γράφονται με τρόπο που καθιστά σαφές ότι η καμπυλότητα Γκάους είναι -1 για κάθε λύση των εξισώσεων ημιτόνου-Γκόρντον.

Στη συνέχεια, οποιαδήποτε λύση της εξίσωσης ημιτόνου-Γκόρντον μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό μιας πρώτης και μιας δεύτερης θεμελιώδους μορφής που ικανοποιούν τις εξισώσεις Γκάους-Κοντάζι. Υπάρχει τότε ένα θεώρημα ότι οποιοδήποτε τέτοιο σύνολο αρχικών δεδομένων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να προσδιορίσει τουλάχιστον τοπικά μια βυθισμένη επιφάνεια στον \mathbb{R}^3..

Μερικά παραδείγματα ημιτονοειδών λύσεων Γκόρντον και της αντίστοιχης επιφάνειας δίνονται ως εξής: 

* Στατικό 1-σολιτόνιο: ψευδόσφαιρα
* Κινούμενο 1-σολιτόνιο: Ντίνι
* Λύση  Μπρέθερ : Επιφάνεια Μπρέθερ (Breather)
* 2-σολιτόνιο: Επιφάνεια Κουέν

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Τριγωνομετρική συνάρτηση
* Βαθμωτό πεδίο
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Υπερβολική γεωμετρία
* Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Μιγαδικός αριθμός
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
* 
* 
*
*
*
* .
* 
* . Review: Séquin, Carlo H. (2009), *Journal of Mathematics and the Arts* 3: 229–230, 
* 
*Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:Διαφορική τοπολογία
Κατηγορία:Εμβαδόν
Κατηγορία:Επιφάνειες
Κατηγορία:Γεωμετρικά σχήματα
Κατηγορία:Γεωμετρία
Κατηγορία:Υπερβολική γεωμετρία
Κατηγορία:Σφαίρα