Συνδυασμός (μαθηματικά)

Στα μαθηματικά, **συνδυασμός** των n στοιχείων ενός συνόλου A ανά k ονομάζεται κάθε υποσύνολο του συνόλου A με k στοιχεία.

Για παράδειγμα, για το σύνολο A = \{ \alpha, \beta, \gamma, \delta \}, τα υποσύνολα με τρία στοιχεία είναι τα εξής:
:\{\alpha,\beta,\gamma\}, \{ \alpha, \beta, \delta \}, \{ \alpha, \gamma, \delta \} και \{ \beta, \gamma, \delta \}. 
Κάθε ένα από αυτά τα τέσσερα υποσύνολα είναι ένας συνδυασμός των 4 στοιχείων του A ανά 3.

Το πλήθος των συνδυασμών n στοιχείων ανά k δίνονται από τον διωνυμικό συντελεστή
:\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1}{(k \cdot (k-1) \cdot \ldots \cdot 1) \cdot ((n-k) \cdot (n-k-1) \cdot \ldots \cdot 1)},
και διαβάζεται ως «συνδυασμοί των n ανά k».

## Παραδείγματα

Για ένα σύνολο A = \{ \alpha, \beta, \gamma \} με τρία στοιχεία:
* Οι συνδυασμοί 3 ανά 1 είναι \tbinom{3}{1} = \tfrac{3!}{1! \cdot 2!} = 3: \{ {\color{red}\alpha} \}, \{ {\color{green} \beta} \}, \{ {\color{blue} \gamma} \}.
* Οι συνδυασμοί 3 ανά 2 είναι \tbinom{3}{2} = \tfrac{3!}{2! \cdot 1!} = 3: \{ {\color{red}\alpha}, {\color{green}\beta} \}, \{ {\color{green}\beta}, {\color{blue}\gamma} \}, \{ {\color{red}\alpha}, {\color{blue}\gamma} \}.
* Οι συνδυασμοί 3 ανά 3 είναι \tbinom{3}{3} = \tfrac{3!}{3! \cdot 0!} = 1: \{ {\color{red}\alpha}, {\color{green}\beta}, {\color{blue}\gamma} \}.

Για ένα σύνολο A = \{ \alpha, \beta, \gamma, \delta \} με τέσσερα στοιχεία:
* Οι συνδυασμοί 4 ανά 1 είναι \tbinom{4}{1} = \tfrac{4!}{1! \cdot 3!} = 4: \{ {\color{red}\alpha} \}, \{ {\color{green}\beta} \}, \{ {\color{blue}\gamma} \}, \{ {\color{orange}\delta} \}.
* Οι συνδυασμοί 4 ανά 2 είναι \tbinom{4}{2} = \tfrac{4!}{2! \cdot 2!} = 6: \{ {\color{red}\alpha}, {\color{green}\beta} \}, \{ {\color{green}\beta}, {\color{blue}\gamma} \}, \{ {\color{red}\alpha}, {\color{blue}\gamma} \}, \{ {\color{red}\alpha}, {\color{orange}\delta} \}, \{ {\color{red}\beta}. {\color{orange}\delta} \}, \{ {\color{orange}\delta}, {\color{blue}\gamma} \}.
* Οι συνδυασμοί 4 ανά 3 είναι \tbinom{4}{3} = \tfrac{4!}{3! \cdot 1!} = 4: \{ {\color{green}\beta}, {\color{blue}\gamma}, {\color{orange}\delta} \}, \{ {\color{red}\alpha}, {\color{blue}\gamma}, {\color{orange}\delta} \}, \{ {\color{red}\alpha}, {\color{green}\beta}, {\color{orange}\delta} \}, \{ {\color{red}\alpha}, {\color{green}\beta}, {\color{blue}\gamma} \}.
* Οι συνδυασμοί 4 ανά 4 είναι \tbinom{4}{4} = \tfrac{4!}{4! \cdot 0!} = 1: \{ {\color{red}\alpha}, {\color{green}\beta}, {\color{blue}\gamma}, {\color{orange}\delta} \}.

## Πλήθος των συνδυασμών

Το πλήθος των συνδυασμών n στοιχείων ανά k (για n \geq k) είναι: 
:\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!},
όπου n! = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 είναι το παραγοντικό του n.

Για παράδειγμα, για κάθε έναν από τους τέσσερις συνδυασμούς 4 ανά 3, αντιστοιχούν οι παρακάτω 3! = 6 διατάξεις:




### Παραδείγματα

#### Παράδειγμα 1ο
Στις γραπτές εξετάσεις οι μαθητές πρέπει από το σύνολο των 9 ερωτήσεων που τους δίνονται να απαντήσουν στις 6. Με πόσους τρόπους μπορεί ένας μαθητής να επιλέξει τις ερωτήσεις στις οποίες θα απαντήσει;

*Απάντηση*
:{9\choose 6} = \frac{9!}{6! (9-6)!} = \frac{9!}{6!\cdot3!} = \frac{7\cdot8\cdot9}{1\cdot2\cdot3}=84

#### Παράδειγμα 2ο
Με πόσους τρόπους μπορεί ένας παίχτης από μια τράπουλα με 52 χαρτιά να επιλέξει 5;

*Απάντηση*
:{52\choose 5} = \frac{52!}{5!(52-5)!} = \frac{52!}{5!\cdot47!} = \frac{48\cdot49\cdot50\cdot51\cdot52}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5} = 2.598.960

#### Παράδειγμα 3ο
Ένα σχολείο έχει 27 μαθήτριες και 18 μαθητές. Με πόσους τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε ένα 15μελές με 9 μαθήτριες και 6 μαθητές;

*Απάντηση*
:\binom{27}{9} \cdot \binom{18}{6} = 87.006.219.300

## Δείτε επίσης
* Διωνυμικός συντελεστής
* Διάταξη
* Διάταξη με επανάληψη
* Μετάθεση (μαθηματικά)

## Παραπομπές


Κατηγορία:Συνδυαστική