Γκαουσιανή επιφάνεια

Μια **γκαουσιανή επιφάνεια** είναι μια κλειστή επιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο μέσω της οποίας υπολογίζεται η ροή ενός διανυσματικού πεδίου, συνήθως του βαρυτικού, του ηλεκτρικού ή του μαγνητικού πεδίου. Είναι μια αυθαίρετη κλειστή επιφάνεια  (το όριο μιας τρισδιάστατης περιοχής )) που χρησιμοποιείται σε συνδυασμό με το νόμο του Γκάους για το αντίστοιχο πεδίο (νόμος του Γκάους, νόμος του Γκάους για το μαγνητισμό ή νόμος του Γκάους για τη βαρύτητα) εκτελώντας ένα επιφανειακό ολοκλήρωμα, προκειμένου να υπολογιστεί η συνολική ποσότητα της πηγής που περικλείεται- π.χ., ποσότητα της βαρυτικής μάζας ως πηγή του βαρυτικού πεδίου ή ποσότητα του ηλεκτρικού φορτίου ως πηγή του ηλεκτροστατικού πεδίου, ή αντίστροφα: υπολογίστε τα πεδία για την κατανομή της πηγής.

Για λόγους συγκεκριμενοποίησης, στο παρόν λήμμα εξετάζεται το ηλεκτρικό πεδίο, καθώς αυτό είναι το πιο συχνό είδος πεδίου για το οποίο χρησιμοποιείται η έννοια της επιφάνειας.

Οι γκαουσιανές επιφάνειες επιλέγονται συνήθως προσεκτικά για να εκμεταλλευτούν τις συμμετρίες μιας κατάστασης ώστε να απλοποιηθεί ο υπολογισμός του επιφανειακού ολοκληρώματος. Εάν η γκαουσιανή επιφάνεια επιλεγεί έτσι ώστε για κάθε σημείο της επιφάνειας η συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου κατά μήκος του κάθετου διανύσματος να είναι σταθερή, τότε ο υπολογισμός δεν θα απαιτεί δύσκολη ολοκλήρωση, καθώς οι σταθερές που προκύπτουν μπορούν να αφαιρεθούν από το ολοκλήρωμα. Ορίζεται ως η κλειστή επιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο μέσω της οποίας υπολογίζεται η ροή του διανυσματικού πεδίου.

## Κοινές Γκαουσιανές επιφάνειες

Οι περισσότεροι υπολογισμοί που χρησιμοποιούν γκαουσιανές επιφάνειες ξεκινούν με την εφαρμογή του νόμου του Γκάους (για τον ηλεκτρισμό):

 \Phi _E = \int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_S 
\mathbf E\;\cdot\mathrm{d}\mathbf A =  \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.

Ως εκ τούτου  είναι το ηλεκτρικό φορτίο που περικλείεται από την γκαουσιανή επιφάνεια.

Αυτός είναι ο νόμος του Γκάους, που συνδυάζει το θεώρημα της απόκλισης και το νόμο του Κουλόμπ.

### Σφαιρική επιφάνεια

Μια σφαιρική γκαουσιανή επιφάνεια χρησιμοποιείται κατά την εύρεση του ηλεκτρικού πεδίου ή της ροής που παράγεται από οποιοδήποτε από τα ακόλουθα::

* ένα σημειακό φορτίο
* ένα ομοιόμορφα κατανεμημένο σφαιρικό κέλυφος φορτίου
* οποιαδήποτε άλλη κατανομή φορτίου με σφαιρική συμμετρία
Η σφαιρική γκαουσιανή επιφάνεια επιλέγεται έτσι ώστε να είναι ομόκεντρη με την κατανομή φορτίου.

Ως παράδειγμα, ας θεωρήσουμε ένα φορτισμένο σφαιρικό κέλυφος  αμελητέου πάχους, με ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο  και ακτίνα . Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το νόμο του Γκάους για να βρούμε το μέγεθος του προκύπτοντος ηλεκτρικού πεδίου  σε απόσταση  από το κέντρο του φορτισμένου κελύφους. Είναι αμέσως προφανές ότι για μια σφαιρική επιφάνεια Γκάους ακτίνας  το περιβαλλόμενο φορτίο είναι μηδέν: επομένως η καθαρή ροή είναι μηδέν και το μέγεθος του ηλεκτρικού πεδίου στην επιφάνεια Γκάους είναι επίσης 0 (αφήνοντας  στο νόμο του Γκάους, όπου  είναι το φορτίο που περικλείεται από την επιφάνεια Γκάους).

Με το ίδιο παράδειγμα, χρησιμοποιώντας μια μεγαλύτερη γκαουσιανή επιφάνεια έξω από το κέλυφος, όπου  ο νόμος του Γκάους θα παράγει ένα μη μηδενικό ηλεκτρικό πεδίο. Αυτό προσδιορίζεται ως εξής.

Η ροή έξω από τη σφαιρική επιφάνεια  είναι:

 \Phi _E = \int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_{\partial S} 
 \mathbf{E}\cdot d \mathbf{A} = \iint_c E dA\cos 0^\circ = E \iint_S dA

Η επιφάνεια της σφαίρας ακτίνας  είναι

 \iint_S dA = 4 \pi r^2 

που συνεπάγεται

\Phi_E = E 4\pi r^2 

Σύμφωνα με το νόμο του Γκάους η ροή είναι επίσης

\Phi_E =\frac{Q_A}{\varepsilon_0}

τέλος, εξισώνοντας την έκφραση για το  προκύπτει το μέγεθος του πεδίου  στη θέση :

E 4\pi r^2 = \frac{Q_A}{\varepsilon_0} \quad \Rightarrow \quad E=\frac{Q_A}{4\pi\varepsilon_0r^2}.

Αυτό το μη τετριμμένο αποτέλεσμα δείχνει ότι οποιαδήποτε σφαιρική κατανομή φορτίου «συμπεριφέρεται ως σημειακό φορτίο» όταν παρατηρείται από το εξωτερικό της κατανομής φορτίου- αυτό είναι στην πραγματικότητα μια επαλήθευση του νόμου του Κουλόμπ. Και, όπως αναφέρθηκε, τυχόν εξωτερικά φορτία δεν μετράνε.

### Κυλινδρική επιφάνεια
Μια κυλινδρική επιφάνεια Γκαουσιανής χρησιμοποιείται όταν βρίσκουμε το ηλεκτρικό πεδίο ή τη ροή που παράγεται από κάποιο από τα ακόλουθα:

* μια απείρως μακριά γραμμή ομοιόμορφου φορτίου
* ένα άπειρο επίπεδο ομοιόμορφου φορτίου
* ένας απείρως μακρύς κύλινδρος ομοιόμορφου φορτίου

Ως παράδειγμα «πεδίο κοντά σε άπειρη γραμμή φορτίου» δίνεται παρακάτω,

Ας θεωρήσουμε ένα σημείο *P* σε απόσταση  από ένα άπειρο γραμμικό φορτίο με πυκνότητα φορτίου (φορτίο ανά μονάδα μήκους) λ. Φανταστείτε μια κλειστή επιφάνεια με τη μορφή κυλίνδρου, του οποίου ο άξονας περιστροφής είναι το γραμμικό φορτίο. Αν  είναι το μήκος του κυλίνδρου, τότε το φορτίο που περικλείεται στον κύλινδρο είναι

 q = \lambda h ,

όπου  είναι το φορτίο που περικλείεται στην επιφάνεια Γκάους. Υπάρχουν τρεις επιφάνειες *a*, *b* και *c* όπως φαίνεται στο σχήμα. Η περιοχή του διαφορικού διανύσματος είναι , σε κάθε επιφάνεια *a*, *b* και *c*.

Το πέρασμα της ροής αποτελείται από τις τρεις συνεισφορές:

 \Phi _E = \int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_A 
\mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \iint_a \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} + \iint_b\mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} + \iint_c\mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} 

Για τις επιφάνειες a και b, οι  και  θα είναι κάθετες.
Για την επιφάνεια c,  και  θα είναι παράλληλες, όπως φαίνεται στο σχήμα.

 \begin{align} 
\Phi_E & = \iint_a E dA\cos 90^\circ + \iint_b E d A \cos 90^\circ + \iint_c E d A\cos 0^\circ \\
& = E \iint_c dA
\end{align} 

Η επιφάνεια του κυλίνδρου είναι

 \iint_c dA = 2 \pi r h 

που συνεπάγεται

 \Phi_E = E 2 \pi r h.

Σύμφωνα με το νόμο του Γκάους

 \Phi_E = \frac{q}{\varepsilon_0}

Εξισώνοντας για  προκύπτει

 E 2 \pi rh = \frac{\lambda h}{\varepsilon_0} \quad \Rightarrow \quad E = \frac{\lambda}{2 \pi\varepsilon_0 r} 

## Γκαουσιανό κουτί (pillbox)
Η επιφάνεια αυτή χρησιμοποιείται συχνότερα για τον προσδιορισμό του ηλεκτρικού πεδίου που οφείλεται σε ένα άπειρο φύλλο φορτίου με ομοιόμορφη πυκνότητα φορτίου ή σε μια πλάκα φορτίου με κάποιο πεπερασμένο πάχος. Το κουτί με τα χάπια (pillbox) έχει κυλινδρικό σχήμα και μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελείται από τρία στοιχεία: τον δίσκο στο ένα άκρο του κυλίνδρου με εμβαδόν  ο δίσκος στο άλλο άκρο με ίσο εμβαδόν και η πλευρά του κυλίνδρου. Το άθροισμα της ηλεκτρικής ροής μέσω κάθε συνιστώσας της επιφάνειας είναι ανάλογο του κλειστού φορτίου του pillbox, όπως υπαγορεύει ο νόμος του Γκάους. Επειδή το πεδίο κοντά στο φύλλο μπορεί να προσεγγιστεί ως σταθερό, το pillbox προσανατολίζεται με τέτοιο τρόπο ώστε οι γραμμές του πεδίου να διαπερνούν τους δίσκους στα άκρα του πεδίου υπό κάθετη γωνία και η πλευρά του κυλίνδρου να είναι παράλληλη με τις γραμμές του πεδίου.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Τριγωνομετρική συνάρτηση
* Συνάρτηση γάμμα
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Ρητή συνάρτηση
* Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Κατάλογος ολοκληρωμάτων των Γκαουσιανών συναρτήσεων
* Κατάλογος ολοκληρωμάτων των υπερβολικών συναρτήσεων
* Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Μιγαδικός αριθμός
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Ακέραιος αριθμός

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
*
* . In particular chapters III and IV.
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
Κατηγορία:Ολοκληρώματα
Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις
Κατηγορία:Επιφάνειες
Κατηγορία:Ηλεκτροστατική
Κατηγορία:Ηλεκτρομαγνητισμός