Τοπολογικός συναρτητής

Στη θεωρία κατηγοριών και τη γενική τοπολογία, ένας **τοπολογικός συναρτητής** είναι αυτός που έχει παρόμοιες ιδιότητες με τον επιλήσμων συναρτητή που προέρχεται από την κατηγορία των τοπολογικών χώρων. Το πεδίο ενός τοπολογικού συναρτητή επιδέχεται κατασκευή παρόμοια με την αρχική τοπολογία (και ισοδύναμα την τελική τοπολογία) μιας οικογένειας συναρτήσεων. Η έννοια των τοπολογικών συναρτητών γενικεύει (και ενισχύει) εκείνη των νηματικών κατηγοριών, για τις οποίες εξετάζεται ένας μόνο μορφισμός αντί μιας οικογένειας

## Ορισμός
### Πηγή και καταβόθρα
::**''Κύριο άρθρο** **:** Πηγές και καταβόθρες*

Μια *'καταβόθρα** <math>(X,(Y_i)_{i\in I},(f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I})</math> σε μια κατηγορία <math>\mathcal E</math> αποτελείται από τα ακόλουθα δεδομένα:
* ένα αντικείμενο <math>X\in\mathcal E</math>,
* μια (ενδεχομένως κατάλληλη) κλάση αντικειμένων <math>(Y_i)_{i\in I}\subseteq\mathcal E</math>
* και μια κλάση μορφισμών <math>(f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}</math>.

Αντίστοιχα, μια **καταβόθρα** <math>(X,(Y_i)_{i\in I},(f_i\colon Y_i\to X)_{i\in I})</math> στην <math>\mathcal E</math> αποτελείται από 
* ένα αντικείμενο <math>X\in\mathcal E</math>,
* μια κλάση αντικειμένων <math>(Y_i)_{i\in I}\subseteq\mathcal E</math>
* και μια κλάση μορφισμών <math>(f_i\colon Y_i\to X)_{i\in I}</math>.

Ειδικότερα, μια πηγή <math>(f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}</math> είναι ένα αντικείμενο <math>X</math> εάν το <math>I</math> είναι κενό, ένας [[μορφισμός]] <math>X\to Y</math> εάν το <math>I</math> είναι ένα [[σύνολο]] ενός μόνο στοιχείου. Ομοίως για την καταβόθρα.

=== Αρχική πηγή και τελική καταβόθρα===
Έστω  <math>(f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}</math> μια πηγή σε μια κατηγορία <math>\mathcal E</math> και έστω  <math>\Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B</math> ένας [[συναρτητής]]. Η πηγή  <math>(f_i)_{i\in I}</math>  λέγεται ότι είναι **\Pi-iαρχική πηγή**  αν ικανοποιεί την ακόλουθη καθολική ιδιότητα.
* Για κάθε αντικείμενο <math>X'\in\mathcal E</math>, έναν [[Μορφισμός|μορφισμό]] <math>\hat g\colon \Pi(X')\to\Pi(X)</math> και μια οικογένεια μορφισμών <math>(f'_i\colon X'\to Y_i)_{i\in I}</math> τέτοια ώστε <math>\Pi(f_i)\circ\hat g=\Pi(f'_i)</math> για κάθε <math>i\in I</math>, υπάρχει ένας μοναδικός <math>\mathcal E</math>-μορφισμός <math>g\colon X'\to X</math> τέτοιος ώστε  <math>\hat g=\Pi(g)</math> και <math>\forall i\in I\colon f_i\circ g=f'_i</math>.
*:<math>
\begin{matrix}
\mathcal E&\qquad\overset\Pi\to\qquad&\mathcal B\\
\hline
\begin{matrix}
X'\\
{\scriptstyle\exists!g}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\exists!g}&\searrow\!\!^{f'_i}\!\!\!\!\!\!\\
X&\underset{f_i}\to&Y_i
\end{matrix}&\qquad\overset\Pi\mapsto\qquad&\begin{matrix}
\Pi X'\\
{\scriptstyle\hat g}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\hat g}&\searrow\!\!^{\Pi f'_i}\!\!\!\!\!\!\\
\Pi X&\underset{\Pi f_i}\to&\Pi Y_i
\end{matrix}
\end{matrix}
</math>

Ομοίως, ορίζεται η διπλή έννοια του **\Pi-τελική καταβόθρα.**

Όταν <math>I</math>  είναι ένα [[σύνολο]] με ένα μόνο στοιχείο, η αρχική πηγή ονομάζεται **καρτεσιανός μορφισμός**.

=== Άνωση ===
Έστω <math>\mathcal E</math>, <math>\mathcal B</math> δύο κατηγορίες. Έστω <math>\Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B</math> είναι ένας [[Συναρτητής|συναρτηστής]]. Μια πηγή <math>(\hat f_i\colon\hat X\to\hat Y_i)_{i\in I}</math> στο <math>\mathcal B</math> είναι μια **\Pi-δομημένη πηγή** αν για κάθε <math>i</math> έχουμε <math>\hat Y_i=\Pi(Y_i)</math> για κάποιο <math>Y_i\in\mathcal E</math>. Με παρόμοιο τρόπο ορίζεται μια **\Pi-δομημένη καταβόθρα** 

Η **άνωση** μιας  <math>\Pi</math>-δομημένης πηγής <math>(\hat f_i\colon\hat X\to \Pi(Y_i))_{i\in I}</math> είναι μια πηγή <math>(f_i\colon X\to Y_i)_{i\in I}</math> στο  <math>\mathcal E</math> τέτοια ώστε <math>\Pi(X)=\hat X</math> και <math>\Pi(f_i)=\hat f_i</math> για κάθε  <math>i\in I</math>
:<math>
\begin{matrix}
\mathcal E&\qquad\overset\Pi\to\qquad&\mathcal B\\
\hline
\begin{matrix}
\exists X\\
{\scriptstyle\exists f_i}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\exists f_i}\\
Y_i
\end{matrix}&\qquad\overset\Pi\mapsto\qquad&\begin{matrix}
\hat X\\
{\scriptstyle\hat f_i}\downarrow{\color{White}\scriptstyle\hat f_i}\\
\Pi Y_i
\end{matrix}
\end{matrix}
</math>
Η **άνωση** <math>\Pi</math>-δομημένη καταβόθρα ορίζεται με παρόμοιο τρόπο. Εφόσον οι αρχικές και οι τελικές ανυψώσεις ορίζονται μέσω καθολικών ιδιοτήτων, είναι μοναδικές μέχρι ενός μοναδικού [[Ισομορφισμός|ισομορφισμού]], αν υπάρχουν.

Εάν μια <math>\Pi</math>-δομημένη πηγή <math>(\hat X\to\Pi(Y_i))_{i\in I}</math> έχει μια αρχική άνωση <math>(X\to Y_i)_{i\in I}</math>, λέμε ότι το <math>X</math> είναι μια **αρχική** **\mathcal E-δομή** στο <math>\hat X</math> ως προς<math>(\hat X\to\Pi(Y_i))_{i\in I}</math>. Παρομοίως για μια τελική **\mathcal E- δομή** σε σχέση με μια <math>\Pi</math>-**δομημένη καταβόθρα** 

=== Τοπολογικός συναρτητής ===

Έστω <math>\Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B</math> είναι ένας [[Συναρτητής|συναρτηστής]]. Τότε οι ακόλουθες δύο συνθήκες είναι ισοδύναμες.
* Κάθε <math>\Pi</math>-δομημένη πηγή έχει μια αρχική άνωση. Δηλαδή, υπάρχει πάντα μια αρχική δομή.
* Κάθε <math>\Pi</math>-δομημένη καταβόθρα έχει μια τελική άνωση. Δηλαδή, υπάρχει πάντα μια τελική δομή.

Ένας [[συναρτητής]] που ικανοποιεί αυτή την προϋπόθεση ονομάζεται **τοπολογικός συναρτητής**.

Μπορεί κανείς να ορίσει τους τοπολογικούς συναρτητές με διαφορετικό τρόπο, χρησιμοποιώντας τη θεωρία των εμπλουτισμένων κατηγοριών.

Μια συμπαγής κατηγορία <math>(\mathcal E,F)</math>  ονομάζεται  **τοπολογική (συμπαγής) κατηγορία*' αν ο επιλήσμων συναρτητής r <math>F\colon\mathcal E\to\operatorname{Set}</math> είναι τοπολογικός. (Μια τοπολογική κατηγορία μπορεί επίσης να σημαίνει μια εμπλουτισμένη κατηγορία εμπλουτισμένη πάνω στην κατηγορία <math>\operatorname{Top}</math>των τοπολογικών χώρων.) Ορισμένοι απαιτούν μια τοπολογική κατηγορία να ικανοποιεί δύο επιπρόσθετες συνθήκες.
* Σταθερές συναρτήσεις στο <math>\mathbf{Set}</math> άνωση  σε  <math>\mathcal E</math>-[[Μορφισμός|μορφισμούς]].
* Τα νημάτα <math>\Pi^{-1}(\hat X)</math> (<math>\hat X\in \mathbf{Set}</math>) είναι μικρά (είναι [[Σύνολο|σύνολα]] και όχι κατάλληλες κλάσεις).

== Ιδιότητες ==
Κάθε τοπολογικός συναρτητής είναι πιστός. 

Έστω <math>\mathsf P</math> μία από τις ακόλουθες τέσσερις ιδιότητες των κατηγοριών:
* πλήρης κατηγορία
* συν-πλήρης κατηγορία
* καλά τροφοδοτημένη κατηγορία
* συν-καλά τροφοδοτημένη κατηγορία
Εάν <math>\Pi\colon\mathcal E\to\mathcal B</math> είναι τοπολογικό και το <math>\mathcal B</math>  έχει την ιδιότητα <math>\mathsf P</math>, τότε το <math>\mathcal E</math> έχει επίσης την ιδιότητα <math>\mathsf P</math>.

Έστω <math>\mathcal E</math>  μια κατηγορία. Τότε οι τοπολογικοί συναρτητές <math>\mathcal E\to\operatorname{Set}</math> είναι μοναδικοί μέχρι φυσικού [[Ισομορφισμός|ισομορφισμού]].

==Παραδείγματα ==

Ένα παράδειγμα τοπολογικής κατηγορίας είναι η κατηγορία όλων των [[Τοπολογικός χώρος|τοπολογικών χώρων]] με συνεχείς απεικονίσεις, όπου χρησιμοποιείται ο τυπικός επιλήσμων συναρτητής.

== Εξωτερικοί σύνδεσμοι ==
*[https://www.itia.ntua.gr/en/docinfo/1318/ English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics] Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*[https://www.mas.ucy.ac.cy/georgios/bookfiles/dict1.pdf Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου]
*[https://mathbooksgr.wordpress.com/wp-content/uploads/2012/02/mlexiko2012.pdf ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ] Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*[https://www.nisidis.gr/nisidisn_categorial.pdf Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών]  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* [http://thales.math.uoc.gr:1080/Members/ddais/group_theory_XE_15_16/Theoria_Omadwn_Marmaridis.pdf Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης]
* [https://olympias.lib.uoi.gr/jspui/bitstream/123456789/28962/1/%CE%9C.%CE%95.%20%CE%A0%CE%95%CE%A4%CE%A1%CE%A9%CE%A4%CE%9F%CE%A5%20%CE%92%CE%91%CE%A3%CE%99%CE%9B%CE%99%CE%9A%CE%97%202016.pdf Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων]
* [https://mtzoumas.mysch.gr/mtz/docs_and_apps/Didaskalia/bibl_kath_geom.pdf Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο]
* [https://www.didaktorika.gr/eadd/handle/10442/20405 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών]
* [https://repository.kallipos.gr/bitstream/11419/107/5/NumberTheory30Sep.pdf Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές]
* [https://repository.kallipos.gr/handle/11419/1045 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών]
* [http://users.uoi.gr/abeligia/RingTheory2020/RingTheory_NM.pdf Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων]
* [https://thesis.ekt.gr/thesisBookReader/id/15362?lang=el#page/1/mode/2up Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες] Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* [https://www.didaktorika.gr/eadd/handle/10442/58427 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας] Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* [http://users.uoi.gr/brapt/stat/notes_chap_1.pdf  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή]
* [http://www.wolframalpha.com/calculators/integral-calculator/ Wolfram Mathematica Online Integrator]
* [https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/jres/73B/jresv73Bn1p1_A1b.pdf  A Table of Integrals of the Error Functions]

== Δείτε επίσης ==

* [[Προσεταιριστική ιδιότητα]]
* [[Αντιμεταθετική ιδιότητα]]
* [[Μορφοκλασματική διάσταση]]
* [[Ομοπαραλληλική γεωμετρία]]
* [[Αλγεβρική θεωρία αριθμών]]
* [[Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον]]
* [[Μοναδιαία βηματική συνάρτηση]]
* [[Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ]]
* [[Ευκλείδειος χώρος]]
* [[Αρχιμήδεια ιδιότητα]]
* [[Τοπολογικός χώρος]]
* [[Κατηγορία αβελιανών ομάδων]]
* [[Εφαρμοσμένα μαθηματικά]]
* [[Υπολογιστική ρευστοδυναμική]]
* [[Αβελιανή ομάδα]]
* [[Σύνθεση συνάρτησης]]
* [[Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων]]
* [[Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής]]
* [[Αλγεβρική γεωμετρία]]
* [[Ένα προς ένα]]
* [[Συναρτητής Hom]]
* [[Συνήθης διαφορική εξίσωση]]
* [[Γραμμική απεικόνιση]]
* [[Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)]]


== Βιβλιογραφία==
* 
*
*
* 
*
* 
* 
* 
* 
*

==Παραπομπές==
<references/>

*
*[[:en:Serge Lang|Lang, Serge]] (2002), Algebra, [https://en.wikipedia.org/wiki/Graduate%20Texts%20in%20Mathematics Graduate Texts in Mathematics], vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, [https://mathscinet.ams.org/mathscinet/relay-station?mr=1878556 MR 1878556]
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
* [https://ncatlab.org/nlab/show/star-autonomous+category star-autonomous category] at the [https://en.wikipedia.org/wiki/NLab nLab]
* 
* *This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects.*
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. [https://mathscinet.ams.org/mathscinet/relay-station?mr=0202787 MR 0202787].
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

== Πηγές ==
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* [[:en:Hans Freudenthal|Hans Freudenthal]]: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.'' Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Γενική τοπολογία
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα