Συναρτητής Μακέι

Στα μαθηματικά, ιδιαίτερα στη θεωρία αναπαραστάσεων και στην αλγεβρική τοπολογία, ο **συναρτητής Μακέι** είναι ένας τύπος συναρτητή που γενικεύει διάφορες κατασκευές στη θεωρία ομάδων και στην ισαλλοίωτη θεωρία ομοτοπίας. Ο εν λόγω συναρτητής, που πήρε το όνομά του από τον Αμερικανό μαθηματικό Τζορτζ Μακέι, παρουσιάστηκε για πρώτη φορά από τον Γερμανό μαθηματικό Αντρέας Ντρες το 1971.

## Ορισμός
### Κλασικός ορισμός

Έστω G μια πεπερασμένη ομάδα. Ένας **[[συναρτητής]] Μακέι** M για την G αποτελείται από: 
* Για κάθε υποομάδα  H \leq G, μια αβελιανή ομάδα p M(H),
* Για κάθε ζεύγος υποομάδων  H, K \leq G με H \subseteq K:
** Ένας ομομορφισμός περιορισμού  R^K_H: M(K) \to M(H),
** Ένας ομομορφισμός μεταφοράς I^K_H: M(H) \to M(K).
Οι απεικονίσεις αυτές πρέπει να ικανοποιούν τα ακόλουθα αξιώματα:
:**Συναρτησιακότητα**: Για φωλευμένες υποομάδες H \subseteq K \subseteq L, R^L_H = R^K_H \circ R^L_K and I^L_H = I^L_K \circ I^K_H.
:**Συζυγία**: Για κάθε g \in G και  H \leq G, είναι ισομορφισμοί c_g: M(H) \to M(gHg^{-1}) συμβατοί με τον περιορισμό και τη μεταφορά.
:**Τύπος διπλού συσσύνολο (coset)**: Για τις υποομάδες  H, K \leq G,  ισχύει η ακόλουθη ταυτότητα:
::R^G_H I^G_K = \sum_{x \in [H\backslash G/K]} I^H_{H \cap xKx^{-1}} \circ c_x \circ R^K_{x^{-1}Hx \cap K}.

### Σύγχρονος ορισμός

Στη σύγχρονη θεωρία κατηγοριών, ένας **[[συναρτητής]] Μακέι** μπορεί να οριστεί πιο κομψά χρησιμοποιώντας τη γλώσσα των spans. Έστω \mathcal{C} μια διαζευκτική οιονεί κατηγορία και \mathcal{A} μια προσθετική οιονεί κατηγορία. Ένας **[[Συναρτητής|συναρτήτης]] Μακέι** είναι ένας συναρτήτης που διατηρεί το γινόμενο  M: \text{Span}(\mathcal{C}) \to \mathcal{A} όπου  \text{Span}(\mathcal{C}) είναι η οιονεί κατηγορία των αντιστοιχιών στο \mathcal{C}.

## Εφαρμογές
### Στην ισοδύναμη θεωρία ομοτοπίας

Οι **συναρτητές Μακέι** παίζουν σημαντικό ρόλο στην ισαλλοίωτη θεωρία σταθερής ομοτοπίας. Για ένα γνήσιο G-spectrum E, οι ισαλλοίωτες  ομάδες ομοτοπίας του σχηματίζουν έναν **συναρτητή Μακέι** που δίνεται από:
:\pi_n(E): G/H \mapsto [G/H_+ \wedge S^n, X]^G
όπου [-,-]^G συμβολίζει μορφισμούς στην ισαλλοίωτη κατηγορία σταθερής ομοτοπίας.

### Συνομολογία με τους συντελεστές του συναρτητή Μακέι

Για ένα σημειακό G-CW μιγαδικό X και έναν συναρτητή Μακέι A, μπορεί κανείς να ορίσει την ισαλλοίωτη συνομολογία με συντελεστές στο:
:H^n_G(X,A) := H^n(\text{Hom}(C_\bullet(X), A))
όπου C_\bullet(X) μιγαδική αλυσίδα των **συναρτητών Μακέι** που δίνονται από σταθερές ισαλλοίωτες ομάδες ομοτοπίας των πηλίκων χώρων.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή κατηγορία
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
*
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
* 

*The standard reference is the fourth volume of the Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie.
*Francis, J.  Derived Algebraic Geometry Over <math>\mathcal{E}_n</math>-Rings
*Grothendieck Duality for Derived Stacks
*
*
* 
*

*
*Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
*
*
*
* 
* 
* Categorical programming with inductive and coinductive types () by Varmo Vene
* Philip Wadler: Recursive types for free! () University of Glasgow, June 1990. Draft.
* Algebra and coalgebra () from CLiki
* B. Jacobs, J. Rutten: A Tutorial on (Co) Algebras and (Co) Induction. Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, vol. 62, 1997, 
* Understanding F-Algebras () by Bartosz Milewski
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Γενική τοπολογία
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Συναρτητές
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα