Θεώρημα πεταλούδας

Στην γεωμετρία, το **θεώρημα της πεταλούδας**  αφορά τρεις τεμνόμενες χορδές σε έναν κύκλο.

:Έστω \rm M το μέσο μιας χορδής \rm K\Lambda ενός κύκλου, από το οποίο διέρχονται δύο άλλες χορδές \rm AB και \rm \Gamma\Delta, και έστω \rm X και \rm Y τα σημεία τομής των \rm A\Delta και \rm B\Gamma με τη χορδή \rm K\Lambda αντίστοιχα. Τότε, \rm M είναι επίσης το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος \rm XY.

## Απόδειξη
Η πιο κοινή απόδειξη του θεωρήματος είναι η εξής:

Θεωρούμε τις κάθετες \rm XX' και \rm XX*</math> από το <math>\rm X</math> στις ευθείες <math>\rm AB</math> και <math>\rm \Gamma\Delta</math> αντίστοιχα. Επίσης, θεωρούμε τις κάθετες <math>\rm YY'</math> και <math>\rm YY* από το \rm Y στις \rm AB και \rm \Gamma\Delta.

Τα ορθογώνια τρίγωνα \rm MXX' και \rm MYY', είναι όμοια καθώς έχουν δύο οξείες γωνίες ίσες \widehat{\rm XMX'} = \widehat{\rm YMY'} ως κατακορυφήν.  Επομένως,
:
Αντίστοιχα, από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα \rm MXX*</math> και <math>\rm MYY* έχουμε ότι 
:
Επίσης, τα ορθογώνια τρίγωνα \rm AXX' και \rm \Gamma YY*</math> είναι όμοια καθώς έχουν δύο οξείες γωνίες ίσες <math>\widehat{\rm \Delta AB} = \widehat{\rm B\Gamma\Delta}</math> ως [[Εγγεγραμμένη γωνία|εγγεγραμμένες]] που βαίνουν στο ίδιο τόξο. Επομένως, 
:
Αντίστοιχα, τα τρίγωνα <math>\rm \Delta XX* και \rm BYY' είναι όμοια, επομένως
:

Συνδυάζοντας τις προηγούμενες σχέσεις και το θεώρημα τεμνόμενων χορδών έχουμε
: \rm \left({MX \over MY}\right)^2 = {XX' \over YY' } \cdot {XX* \over YY*}  (πολλαπλασιάζοντας την () με την ())
: \rm\phantom{\left({MX \over MY}\right)^2} = {AX \cdot \Delta X \over \Gamma Y \cdot BY} (χρησιμοποιώντας την () και την ())
:\rm\phantom{\left({MX \over MY}\right)^2} = {KX \cdot \Lambda X \over KY \cdot \Lambda Y}  (χρησιμοποιώντας το θεώρημα τεμνόμενων χορδών στα σημεία \rm X και \rm Y)
: \rm\phantom{\left({MX \over MY}\right)^2} = {(KM-XM) \cdot (\Lambda M+XM) \over (KM+MY) \cdot (\Lambda M-MY)}
: \rm\phantom{\left({MX \over MY}\right)^2} = {(KM-XM) \cdot (KM+XM) \over (\Lambda M+MY) \cdot (\Lambda M-MY)} (καθώς \rm KM = \Lambda M)
:\rm\phantom{\left({MX \over MY}\right)^2} = { (KM)^2 - (MX)^2 \over (KM)^2 - (MY)^2}. (από την διαφορά τετραγώνων)

Οπότε,
:\rm { (MX)^2 \over (MY)^2} = {(KM)^2 - (MX)^2 \over (KM)^2 - (MY)^2}. 

Πολλαπλασιάζοντας χιαστί,
:\rm  {(MX)^2 \cdot (KM)^2 - \cancel{(MX)^2 \cdot (MY)^2}} = {(MY)^2 \cdot (KM)^2 - \cancel{(MX)^2 \cdot (MY)^2}} . 
και απαλοίφοντας τον κοινό όρο από τα δύο μέλη της εξίσωσης
:\rm {(MX)^2 \cdot (KM)^2} = {(MY)^2 \cdot (KM)^2}.
Αφού \rm MX, \rm MY, \rm KM είναι θετικοί αριθμοί, λαμβάνουμε ότι \rm MX = MY και καταλήγουμε ότι \rm M είναι το μέσο του \rm XY.

Υπάρχουν και πολλές άλλες αποδείξεις χρησιμοποιώντας διάφορες τεχνικές, συμπεριλαμβανομένων του θεωρήματος Τσεβά. Μία σύνοψη αυτών μπορούν να βρεθούν στην δημοσίευση του Bankoff (1987).

## Ιστορία

Η απόδειξη του θεωρήματος της πεταλούδας τέθηκε ως πρόβλημα από τον Γουίλιαμ Γουάλας στο *The Gentleman's Mathematical Companion* (Ο μαθηματικός σύντροφος του τζέντλεμαν) (1803). Τρεις λύσεις δημοσιεύθηκαν το 1804 και το 1805 ο Σερ Γουίλιαμ Χέρσελ έθεσε ξανά το ερώτημα σε επιστολή του προς τον Γουάλας. Ο αιδεσιμότατος Τόμας Σκερ έθεσε ξανά το ίδιο ερώτημα το 1814 στο *Gentleman's Diary or Mathematical Repository* (Ημερολόγιο τζέντλεμαν ή Μαθηματικό Αποθετήριο).

## Γενικεύσεις
Διάφορες γενικεύσεις του θεωρήματος έχουν προταθεί καθώς και επεκτάσεις στις ελλείψεις. και σε τετράπλευρα.

## Δείτε επίσης
* Λήμμα Χαρούκι
* Θεώρημα τεμνόμενων χορδών

## Περαιτέρω ανάγνωση

### Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* Θεώρημα πεταλούδας στο MathWorld
* Θεώρημα πεταλούδας στο Cut The Knot.
* Θεώρημα πεταλούσας στο Γεωμετρικόν.

### Ξενόγλωσσα άρθρα
*
* 
* 

## Παραπομπές

 

Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία
Κατηγορία:Κλασική γεωμετρία
Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία
Κατηγορία:Διαφορική γεωμετρία
Κατηγορία:Γεωμετρία
Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία