Πίνακας Συλβέστερ

Στα μαθηματικά, ένας **πίνακας Συλβέστερ** είναι ένας πίνακας που σχετίζεται με δύο μονομεταβλητά πολυώνυμα με συντελεστές σε ένα σώμα ή έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο. Οι καταχωρήσεις του πίνακα Συλβέστερ δύο πολυωνύμων είναι οι συντελεστές των πολυωνύμων. Η ορίζουσα του πίνακα Συλβέστερ δύο πολυωνύμων είναι η συνισταμένη τους, η οποία είναι μηδέν όταν τα δύο πολυώνυμα έχουν κοινή ρίζα (στην περίπτωση συντελεστών σε σώμα) ή μη σταθερό κοινό διαιρέτη (στην περίπτωση συντελεστών σε ένα σώμα).

Οι πίνακες Συλβέστερ πήραν το όνομά τους από τον Τζέιμς Τζόζεφ Συλβέστερ.

## Ορισμός
Έστω *p* και *q* δύο μη μηδενικά πολυώνυμα, αντίστοιχα βαθμού *m* και *n*.  Συνεπώς:
:p(z)=p_0+p_1 z+p_2 z^2+\cdots+p_m z^m,\;q(z)=q_0+q_1 z+q_2 z^2+\cdots+q_n z^n.

Ο **πίνακας Συλβέστερ** που σχετίζεται με τα *p* και *q* είναι τότε ο (n+m)\times(n+m) πίνακας που κατασκευάζεται ως εξής:
* αν *n* > 0, η πρώτη σειρά είναι:
:\begin{pmatrix} p_m & p_{m-1} & \cdots & p_1 & p_0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.

* η δεύτερη σειρά είναι η πρώτη σειρά, μετατοπισμένη κατά μία στήλη προς τα δεξιά- το πρώτο στοιχείο της σειράς είναι μηδέν.
* οι επόμενες *n*&nbsp;&minus;&nbsp;2 σειρές προκύπτουν με τον ίδιο τρόπο, μετατοπίζοντας τους συντελεστές κατά μία στήλη προς τα δεξιά κάθε φορά και θέτοντας τα υπόλοιπα στοιχεία της σειράς ως 0.
* αν *m* > 0 η (*n*&nbsp;+&nbsp;1)η γραμμή είναι:
:\begin{pmatrix} q_n & q_{n-1} & \cdots & q_1 & q_0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.

* οι ακόλουθες σειρές προκύπτουν με τον ίδιο τρόπο όπως προηγουμένως.

Έτσι, αν *m*&nbsp;=&nbsp;4 και *n*&nbsp;=&nbsp;3, ο πίνακας είναι:

:S_{p,q}=\begin{pmatrix} 
p_4 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0 & 0 & 0 \\
0 & p_4 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0 & 0 \\
0 & 0 & p_4 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0 \\
q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & q_3 & q_2 & q_1 & q_0
\end{pmatrix}.

Αν ένας από τους βαθμούς είναι μηδέν (δηλαδή το αντίστοιχο πολυώνυμο είναι ένα μη μηδενικό σταθερό πολυώνυμο), τότε υπάρχουν μηδενικές γραμμές που αποτελούνται από συντελεστές του άλλου πολυωνύμου και ο πίνακας Συλβέστερ είναι ένας διαγώνιος πίνακας διάστασης του βαθμού του μη σταθερού πολυωνύμου, με όλους τους διαγώνιους συντελεστές ίσους με το σταθερό πολυώνυμο. Αν *m* = *n* = 0, τότε ο πίνακας Συλβέστερ είναι ο άδειος πίνακας με μηδέν γραμμές και μηδέν στήλες.

## Μία παραλλαγή
Ο παραπάνω πίνακας Συλβέστερ εμφανίζεται σε ένα δημοσίευμα του Συλβέστερ του 1840. Σε μια εργασία του 1853, ο Συλβέστερ εισήγαγε τον ακόλουθο πίνακα, ο οποίος είναι, μέχρι μια μετάθεση των γραμμών, ο πίνακας Συλβέστερ των *p* και *q*, οι οποίοι θεωρούνται ότι έχουν και οι δύο βαθμό max(*m*, *n*).
Πρόκειται επομένως για έναν 2\max(n, m)\times 2\max(n, m)-πίνακα που περιέχει \max(n, m) ζεύγη γραμμών. Υποθέτοντας  m > n, προκύπτει ως εξής:
* το πρώτο ζεύγος είναι:
:
\begin{pmatrix} 
        p_m & p_{m-1} &\cdots & p_n  & \cdots   & p_1 & p_0 & 0 & \cdots & 0 \\
        0      & \cdots    & 0        & q_n  &  \cdots & q_1 & q_0 & 0 & \cdots & 0 
\end{pmatrix}.

* το δεύτερο ζεύγος είναι το πρώτο ζεύγος, μετατοπισμένο κατά μία στήλη προς τα δεξιά- τα πρώτα στοιχεία στις δύο σειρές είναι μηδενικά.
* τα υπόλοιπα max(n, m)-2 ζεύγη γραμμών προκύπτουν με τον ίδιο τρόπο όπως παραπάνω.

Έτσι, αν *m*&nbsp;=&nbsp;4 και *n*&nbsp;=&nbsp;3, ο πίνακας είναι:
:\begin{pmatrix} 
p_4 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0 & 0 & 0 & 0\\
0    & q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & 0  & 0 & 0\\
0    & p_4 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0 & 0 & 0\\
0    & 0    & q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & 0  & 0\\
0    & 0    & p_4 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0 & 0\\
0    & 0    & 0    & q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & 0\\
0    & 0    & 0    & p_4 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0\\
0    & 0    & 0    & 0     & q_3 & q_2 & q_1 & q_0\\
\end{pmatrix}.

Η ορίζουσα του πίνακα 1853 είναι, μέχρι το πρόσημο, το γινόμενο της ορίζουσας του πίνακα Συλβέστερ (η οποία ονομάζεται συνισταμένη των *p* και *q*) επί p_m^{m-n} (υποθέτοντας ότι m\ge n).

## Εφαρμογές
Αυτοί οι πίνακες χρησιμοποιούνται στην αντιμεταθετική άλγεβρα, π.χ. για να ελεγχθεί αν δύο πολυώνυμα έχουν έναν (μη σταθερό) κοινό παράγοντα.  Σε μια τέτοια περίπτωση, η ορίζουσα του σχετικού **πίνακα Συλβέστερ** (ο οποίος ονομάζεται συνισταμένη των δύο πολυωνύμων) ισούται με μηδέν. Το αντίστροφο ισχύει επίσης.) ισούται με μηδέν. Το αντίστροφο ισχύει επίσης.

Οι λύσεις των ταυτόχρονων γραμμικών εξισώσεων
:{S_{p,q}}^\mathrm{T}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}

όπου x είναι ένα διάνυσμα μεγέθους n και y έχει μέγεθος m, περιλαμβάνουν τα διανύσματα συντελεστών εκείνων και μόνο εκείνων των ζευγών x, y πολυωνύμων (βαθμού n-1 και m-1, αντίστοιχα) που ικανοποιούν
:x(z) \cdot p(z) + y(z) \cdot q(z) = 0,

όπου χρησιμοποιείται πολυωνυμικός πολλαπλασιασμός και πρόσθεση.
Αυτό σημαίνει ότι ο πυρήνας του μετατοπισμένου πίνακα Συλβέστερ δίνει όλες τις λύσεις της εξίσωσης Μπεζού όπου \deg x  και \deg y .

Συνεπώς, ο βαθμός του πίνακα Συλβέστερ καθορίζει τον βαθμό του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη των *p* και *q*:
:\deg(\gcd(p,q)) = m+n-\operatorname{rank} S_{p,q}. 

Επιπλέον, οι συντελεστές αυτού του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη μπορούν να εκφραστούν ως Ορίζουσες υποπινάκων του πίνακα Συλβέστερ.

## Δημοσιεύσεις

* 
* 
* 
* 
* Bressoud, David M., *Proofs and Confirmations: The Story of the Alternating Sign Matrix Conjecture*, MAA Spectrum, Mathematical Associations of America, Washington, D.C., 1999.
* Bressoud, David M. and Propp, James, How the alternating sign matrix conjecture was solved, *Notices of the American Mathematical Society*, 46 (1999), 637–646.
* Mills, William H., Robbins, David P., and Rumsey, Howard Jr., Proof of the Macdonald conjecture, *Inventiones Mathematicae*, 66 (1982), 73–87.
* 
*
* 
* 
* 

## Δείτε επίσης

* Field Arithmetic
* Πραγματικό προβολικό επίπεδο
* Πραγματικός αριθμός 
* Αντιερμιτιανός πίνακας
* Δέλτα του Κρόνεκερ
* Ταυτοτικός πίνακας
* Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
* Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
* Πεπερασμένο σώμα
* Αντιμεταθέσιμοι πίνακες
* Πολλαπλασιασμός πινάκων
* Τζέιμς Τζόσεφ Συλβέστερ
* High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*Matrix calculator
* Matrix Analysis
* Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
* Mathematical Methods For Physicists
* Basic Matrix Algebra with Algorithms and Applications
* Information Security and Privacy: 13th Australasian Conference, ACISP 2008 ...
* Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
* Representation of Rings Over Skew Fields
* James Joseph Sylvester: Life and Work in Letters
* Generalized Sylvester Equations: Unified Parametric Solutions

## Παραπομπές


* 
* 
* 

 

Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων
Κατηγορία:Πολυώνυμα