Γωνία

thumb|200px|right|Η γωνία <math>\widehat{x{\rm O}y}</math> ορισμένη από τις ημιευθείες <math>{\rm O}x</math> και <math>{\rm O}y</math>.
Στην γεωμετρία, **επίπεδη γωνία** ή απλά **γωνία** είναι το γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από δύο ημιευθείες με κοινή αρχή.

Ισοδύναμα, είναι το σύνολο των κοινών σημείων δύο ημιεπιπέδων, δηλαδή της τομής τους. Αν οι ευθείες που ορίζουν τα ημιεπίπεδα τέμνονται σε κάποιο σημείο, τότε αυτό ονομάζεται **κορυφή** της γωνίας. Σε κάθε μία από τις δύο ευθείες ανήκει μόνο ένα μέρος της στη γωνία, το μέρος που ανήκει είναι μία ημιευθεία με αρχή την κορυφή της γωνίας. Οι ημιευθείες λέγονται **πλευρές** της γωνίας. 

Στο σχήμα, \rm O είναι η κορυφή της γωνίας και {\rm O}x, {\rm O}y οι δύο πλευρές της. Το σύνολο των σημείων της γωνίας που δεν ανήκουν στις πλευρές λέγεται **εσωτερικό** της γωνίας και είναι το γραμμοσκιασμένο τμήμα του σχήματος.

## Είδη γωνιών

***[[Ευθεία γωνία]]** είναι η γωνία της οποίας οι πλευρές είναι αντικείμενες ημιευθείες.
**Κάθε γωνία μικρότερη από την ευθεία γωνία λέγεται **[[κυρτή γωνία]]**.
**Κάθε γωνία μεγαλύτερη από την ευθεία γωνία λέγεται **μη κυρτή γωνία** ή **γωνία ανάκλασης**.

***[[Ορθή γωνία]]** είναι η γωνία που προκύπτει από τη διχοτόμηση μίας ευθείας γωνίας. Προφανώς, όλες οι ορθές είναι ίσες μεταξύ τους.
**Κάθε γωνία μικρότερη από την ορθή λέγεται **[[οξεία γωνία]]**.
**Κάθε κυρτή γωνία μεγαλύτερη από την ορθή λέγεται **[[αμβλεία γωνία]]**.

***[[Μηδενική γωνία]]** είναι μία γωνία της οποίας το εσωτερικό δεν περιέχει κανένα σημείο.
***[[Πλήρης γωνία]]** είναι μια γωνία της οποίας το εσωτερικό περιέχει όλο το επίπεδο εκτός των πλευρών της.
Κάθε ημιευθεία μπορεί να ιδωθεί ως μηδενική ή πλήρης γωνία, ανάλογα με το πώς εκλαμβάνουμε το εσωτερικό της.

## Σύγκριση γωνιών

Έστω \varphi = \widehat{x{\rm O}y} και \vartheta = \widehat{x'{\rm O}'y'} δύο γωνίες. Ταυτίζουμε την {\rm O}x με την {\rm O}'x', ώστε η {\rm O}'y' να βρίσκεται προς το μέρος της {\rm O}y.
*Αν οι {\rm O}y και {\rm O}'y' συμπίπτουν τότε λέμε ότι η γωνία \varphi είναι *ίση* με την \vartheta και γράφουμε \varphi = \vartheta.
*Αν η {\rm O}'y' βρίσκεται στο εσωτερικό της \widehat{x{\rm O}y} τότε λέμε ότι η \varphi είναι *μεγαλύτερη* από την \vartheta και γράφουμε \varphi > \vartheta.
*Αν η {\rm O}'y' βρίσκεται στο εξωτερικό της \widehat{x{\rm O}y} τότε λέμε ότι η \varphi είναι *μικρότερη* από την \vartheta και γράφουμε \varphi .

## Πράξεις γωνιών
Έστω \varphi = \widehat{x{\rm O}y} και \vartheta = \widehat{x'{\rm O}'y'} δύο γωνίες. Ταυτίζουμε την {\rm O}y με την {\rm O}'x', έτσι ώστε οι δύο γωνίες να είναι διαδοχικές. 
* **Άθροισμα** των γωνιών \varphi και \vartheta ορίζουμε τη γωνία \widehat{x{\rm O}y'} και γράφουμε \widehat{x{\rm O}y'} = \varphi + \vartheta.
*Έστω n ένας φυσικός αριθμός. Αν ισχύει ότι
::\vartheta =\underbrace{\varphi + \ldots + \varphi}_{n\text{ φορές}}, 
:τότε λέμε ότι η \vartheta είναι το n**-πλάσιο γινόμενο** της \varphi και γράφουμε \vartheta = n \cdot \varphi. Γράφουμε επίσης \vartheta = \tfrac{1}{n} \cdot \varphi και λέμε ότι η \widehat{x{\rm O}y} είναι το **υπο-<math>n</math>-πλάσιο γινόμενο** της \widehat{x'{\rm O}'y'}.
* Έστω m ένας φυσικός αριθμός και \psi είναι μια γωνία για την οποία \psi = m \cdot \varphi, τότε γράφουμε \psi = \tfrac{m}{n}\cdot\vartheta, και λέμε ότι η \psi είναι το **γινόμενο [[ρητός αριθμός|ρητού αριθμού]] με γωνία**.

Αν \varphi > \vartheta, ταυτίζουμε την {\rm O}x με την {\rm O}'x' έτσι ώστε η {\rm O}'y' να βρίσκεται στο εσωτερικό της \widehat{x{\rm O}y}.
* **Διαφορά** της \vartheta από την \varphi τη γωνία \widehat{y{\rm O}y'} και γράφουμε \widehat{y{\rm O}y'} = \varphi - \vartheta.

## Μέτρηση γωνίας

Ως μέτρηση μιας γωνίας \widehat{x{\rm O}y} εννοούμε την σύγκρισή της με μια άλλη γωνία, έστω \widehat{x'{\rm O}'y'}, την οποία θεωρούμε αυθαίρετα *μοναδιαία*. Αν ισχύει \widehat{x{\rm O}y} = \tfrac{\mu}{\nu}\cdot \widehat{x'{\rm O}'y'}, λέμε ότι το **μέτρο** ή το **άνοιγμα** της \widehat{x{\rm O}y} ως προς την \widehat{x'{\rm O}'y'} είναι \tfrac{\mu}{\nu}. Το μέτρο μιας γωνίας συνδέεται και με το μέτρο τόξου σε κύκλο.

Για παράδειγμα, η γωνία ίση με το \tfrac{1}{360} της πλήρους γωνίας είναι η γωνία 1^\circ. Αντίστοιχα, ένα ακτίνιο είναι το \tfrac{1}{2\pi} της πλήρους γωνίας.

### Συνοπτικά




## Είδη από ζεύγη γωνιών
* **[[Εφεξής γωνίες]]** ονομάζονται δύο γωνίες με κοινή κορυφή, μία κοινή πλευρά και τις μη-κοινές πλευρές τους εκατέρωθεν της κοινής.

* **[[Κατακορυφήν γωνίες]]** λέγονται δύο γωνίες στις οποίες οι πλευρές της μιας είναι οι αντικείμενες ημιευθείες των πλευρών της άλλης.

* **[[Παραπληρωματικές γωνίες]]** λέγονται δύο γωνίες που το άθροισμα τους ισούται με μια ευθεία γωνία.**[[Συμπληρωματικές γωνίες]]** λέγονται δυο γωνίες που το άθροισμα τους ισούται με μια ορθή γωνία.

right|μικρογραφία|181x181εσ|Γωνίες εντός, εκτός, εναλλάξ και επί τα αυτά ευθειών.
* Έστω \delta και \varepsilon δύο ευθείες οι οποίες τέμνονται από τρίτη ευθεία \zeta στα σημεία αντίστοιχα \rm A και \rm B. Σχηματίζονται οχτώ γωνίες, όπως φαίνεται στο σχήμα δεξιά.
** Οι γωνίες \hat{\rm A}_1, \hat{\rm A}_2, \hat{\rm B}_3 και \hat{\rm B}_4 λέγονται **εκτός** των \delta και \varepsilon αντίστοιχα. 
** Οι \hat{\rm A}_3, \hat{\rm A}_4, \hat{\rm B}_1 και \hat{\rm B}_2 λέγονται **εντός** των \delta και \varepsilon αντίστοιχα. 
** Δύο γωνίες οι οποίες βρίσκονται εκατέρωθεν της \zeta λέγονται γωνίες **εναλλάξ** (της \zeta). Για παράδειγμα, οι \hat{\rm A}_3 και \hat{\rm B}_1 είναι γωνίες εναλλάξ της \zeta, όπως επίσης και οι γωνίες \hat{\rm A}_4 και \hat{\rm B}_2. 
** Δύο γωνίες που βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της  \zeta λέγονται **επί τα αυτά** μέρη της \zeta. Για παράδειγμα, οι \hat{\rm A}_2 και \hat{\rm B}_2 είναι επί τα αυτά μέρη της \zeta.
:Υπάρχουν και συνδυασμοί των πιο πάνω, για παράδειγμα, οι γωνίες \hat{\rm A}_1 και \hat{\rm B}_1 είναι εντός, εκτός και επί τα αυτά μέρη της \zeta και οι γωνίες \hat{\rm A}_4 και \hat{\rm B}_1 εντός και επί τα αυτά μέρη της \zeta.

## Ιδιότητες

*Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, τότε:
**σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες,
**σχηματίζουν τις εντός-εκτός και επί τα αυτά γωνίες ίσες,
**σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά γωνίες παραπληρωματικές.
* Δύο γωνίες που έχουν πλευρές παράλληλες μία προς μία είναι ίσες ή παραπληρωματικές.

* Δύο γωνίες που έχουν πλευρές κάθετες μία προς μία είναι ίσες ή παραπληρωματικές.

* Δύο κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες.
* Αν δύο διαδοχικές γωνίες είναι παραπληρωματικές, τότε έχουν τις μη κοινές πλευρές τους αντικείμενες ημιευθείες, και αντίστροφα.

## Αναλυτική γεωμετρία
Έστω δύο ευθείες στην μορφή 
::y=x+,
::y=x+,
που δεν είναι κάθετες μεταξύ τους και που δεν είναι παράλληλες προς τον άξονα \rm y'y. Τότε, για την γωνία τους \varphi, έχουμε 
:\tan \varphi =\frac-}{1+},
ενώ γενικότερα για την οξεία γωνία \varphi των ευθειών έχουμε
:\tan \varphi =\left| \frac-}{1+} \right|.

## Σχετικές έννοιες

**[[Διχοτόμος γωνίας|Διχοτόμος]]** μιας γωνίας λέγεται η ημιευθεία η οποία έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και χωρίζει την γωνία σε δύο ίσες γωνίες.

Για τις διχοτόμους, ισχύουν οι δύο εξής βασικές ιδιότητες:
*Οι διχοτόμοι δυο κατακορυφήν γωνιών είναι αντικείμενες ημιευθείες.
*Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών παραπληρωματικών γωνιών είναι κάθετες μεταξύ τους.

## Γενικεύσεις
Οι γωνίες ορίζονται επίσης με την τομή δυο επιπέδων, τόσο στον Ευκλείδειο, όσο και σε άλλους χώρους. Αυτές οι γωνίες μεταξύ επιπέδων ονομάζονται *[[Δίεδρη γωνία|δίεδρες γωνίες]]*. Ως γωνίες που σχηματίζονται με τη τομή δύο καμπυλών ορίζονται οι γωνίες που σχηματίζουν οι εφαπτόμενες ημιευθείες που συναντιώνται στο σημείο τομής των δύο αυτών καμπυλών. Όμοιοι ορισμοί χρησιμοποιούνται και για τον τρισδιάστατο χώρο. Για παράδειγμα, μια «*σφαιρική γωνία*» σχηματίζεται από δυο μεγάλους κύκλους σε μια σφαίρα και είναι η δίεδρη γωνία ανάμεσα στα επίπεδα που ορίζονται από τους δυο μεγάλους κύκλους.

## Δείτε επίσης
* Διχοτόμος γωνίας
* Ωρική γωνία
* Δίεδρη γωνία
* Στερεά γωνία

## Σημειώσεις


## Παραπομπές



Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία