Δωδεκάγωνο

Στη γεωμετρία, το **δωδεκάγωνο** είναι ένα πολύγωνο με δώδεκα κορυφές και δώδεκα πλευρές.

Ένα δωδεκάγωνο είναι **[[κανονικό πολύγωνο|κανονικό]]** αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

## Ιδιότητες
* Σε κάθε απλό δωδεκάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα 1800^\circ (ή 10\pi ακτίνια).
* Κάθε δωδεκάγωνο έχει 54 διαγωνίους.

## Κυρτό κανονικό δωδεκάγωνο

### Ιδιότητες
Για το κανονικό δωδεκάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
* Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με 150^\circ (ή 10\pi/12 ακτίνια).
* Έχει δώδεκα άξονες συμμετρίας.
* Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
* Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
* Έχει περιστροφική συμμετρία δωδέκατης τάξεως.
* Το σύμβολο Schläfli του δωδεκαγώνου είναι \{ 12 \}.

### Κεντρική γωνία
Η **κεντρική του γωνία**, δηλαδή η γωνία που βλέπει το κέντρο του, την κάθε πλευρά είναι ίση με \varphi = 30^\circ (ή \pi/6 ακτίνια). 

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της \varphi / 2 είναι πολύ χρήσιμοι στις μετρικές σχέσεις του κανονικού πενταγώνου, καθώς και στους τύπους για το εμβαδόν του. Αυτοί δίνονται από τους τύπους
:\sin \frac{\pi}{12} = \frac{1}{4} \left( \sqrt{6} - \sqrt{2} \right), \qquad \csc \frac{\pi}{12} = \sqrt{6} + \sqrt{2},
:\cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{4} \left( \sqrt{6} + \sqrt{2} \right), \qquad \sec \frac{\pi}{12} = \sqrt{6} - \sqrt{2},
:\tan \frac{\pi}{12} = 2 - \sqrt{3}, \qquad \cot \frac{\pi}{12} = 2 + \sqrt{3}.
{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\
 & = \frac{1}{4} \left( \sqrt{6} - \sqrt{2} \right),
\end{align}

και
:
\begin{align}
\cos\frac{\pi}{12} 
 & = \cos\left( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \right)
= \cos \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4} \\
 & = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\
 & = \frac{1}{4} \left( \sqrt{6} + \sqrt{2} \right).
\end{align}

Χρησιμοποιώντας τους τύπους για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις καθώς και ρητοποίηση ριζών, λαμβάνουμε τους υπόλοιπους τύπους.
:\csc \frac{\pi}{12} = \frac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{4(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{\sqrt{6}^2 - \sqrt{2}^2} = \sqrt{6} + \sqrt{2},
:\sec \frac{\pi}{12} = \frac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{4(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{\sqrt{6}^2 - \sqrt{2}^2} = \sqrt{6} - \sqrt{2},
:\tan \frac{\pi}{12} = \frac{\sin \frac{\pi}{12}}{\cos \frac{\pi}{12}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2}{\sqrt{6}^2 - \sqrt{2}^2} = \frac{1}{4} \left( 8 - 2 \sqrt{12}\right) = 2 - \sqrt{3},
:\cot \frac{\pi}{12} = \frac{1}{\tan \frac{\pi}{12}} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2^2 - \sqrt{3}^2} = 2 + \sqrt{3}.
}}

### Μετρικές σχέσεις

* Η ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού δωδεκαγώνου είναι ίση με
::\begin{align}R 
& = \frac{1}{2} \csc \frac{\pi}{12} \cdot \lambda \\
& = \frac{1}{2} \left( \sqrt{6} + \sqrt{2} \right) \cdot \lambda \\
& \approx 1{,}931852 \cdot \lambda.
\end{align}
*Η ακτίνα r του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού δωδεκαγώνου είναι ίση με
::\begin{align}
r 
& = \frac{1}{2} \cot \frac{\pi}{12} \cdot \lambda \\
& = \frac{1}{2} \left(2 + \sqrt{3}\right) \cdot \lambda \\
& \approx 1{,}866025 \cdot \lambda.
\end{align}
right|thumb|200px|Τα πέντε είδη διαγωνίων σε ένα κανονικό δωδεκάγωνο.
* Τα μήκη των διαγωνίων ενός κανονικού δωδεκαγώνου δίνονται από τις σχέσεις
::\begin{align}
d_1
 & = 2 \sin \frac{\pi}{12} \cdot R = \frac{1}{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot R, \\
d_2
 & = 2 \sin \frac{2\pi}{12} \cdot R = R, \\
 d_3
 & = 2 \sin \frac{3\pi}{12} \cdot R = \sqrt{2} \cdot R, \\
d_4
 & = 2 \sin \frac{4\pi}{12} \cdot R = \sqrt{3} \cdot R, \\
d_5
 & = 2 \sin \frac{5\pi}{12} \cdot R = \frac{1}{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot R.
\end{align}
*Το πλάτος του είναι ίσο με το μήκος της μεγάλης διαγωνίου 
::w = 2 \cdot R.
*Το ύψος του είναι 
::h = 2 \cdot r.

### Εμβαδόν
Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού δωδεκαγώνου πλευράς \lambda και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου r είναι 
:{\rm E} = 6 \cdot  \lambda \cdot  r.
Το εμβαδό \rm E ενός κανονικού δωδεκαγώνου πλευράς \lambda δίνεται από τη σχέση:
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = 3 \cot \frac{\pi}{12} \cdot \lambda^2 \\ 
 & = 3 \left(2 + \sqrt{3}\right) \cdot \lambda^2 \\
 & \approx 11{,}196152 \cdot \lambda^2.
\end{align}

Αν R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδόν του δωδεκαγώνου είναι
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = 6 \sin \frac{\pi}{6} \cdot R^2 \\
 & = 3 \cdot R^2.
\end{align}
Aν r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = 12 \tan \frac{\pi}{12} \cdot r^2 \\
 & = 12 \left( 2 - \sqrt{3} \right) \cdot r^2 \\
 & \approx 3{,}215390 \cdot r^2.
\end{align}
Αν h το ύψος του κανονικού δωδεκαγώνου, τότε
:{\rm E} = 3 \cdot \lambda \cdot h.

### Περίμετρος
Η περίμετρος \Pi του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με
:\Pi = 12\cdot\lambda.

### Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη
Το κανονικό δωδεκάγωνο είναι δυνατό να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη:

thumb|center|350px|Η κατασκευή ενός κανονικού δωδεκαγώνου.

### Ιδιότητες
* Οι διαγώνιοι \rm P_3P_7, \rm P_5P_8, \rm P_3P_7 διέρχονται από το ίδιο σημείο.
* Οι διαγώνιοι \rm P_4P_8, \rm P_5 P_9, \rm P_6P_{11}, \rm P_7P_2 διέρχονται από το ίδιο σημείο.
* Έστω \rm X το σημείο τομής των διαγωνίων \rm P_3P_6, \rm P_7P_{10}. Το τρίγωνο \rm P_3P_{10} X είναι ισόπλευρο.

## Αστεροειδές κανονικό δωδεκάγωνο
Υπάρχει ένα κανονικό αστεροειδές δωδεκάγωνο, το \{ 12/5 \}, που κατασκευάζεται από τις ίδιες 12 κορυφές ενός κανονικού δωδεκαγώνου, ενώνοντας μεταξύ τους κάθε πέμπτη κορυφή, αντιστοίχως.

## Σχετικά σχήματα
### Πλακόστρωση
Παρακάτω δίνονται τρία παραδείγματα περιοδικής πλακόστρωσης του επιπέδου που χρησιμοποιεί κανονικά δωδεκάγωνα:

### Πολύγωνα Πέτρι
Το κανονικό δωδεκάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι για πολλά πολύτοπα περισσότερων διαστάσεων, που παρατίθενται σε ορθογώνιες προβολές σε διάφορα επίπεδα Coxeter, όπως τα:

## Γράμματα και κέρματα

Τα «παχιά» κεφαλαία γράμματα E, Η και X (και το I σε γραμματοσειρά slab serif) έχουν δωδεκαγωνικές περιμέτρους.

Αλλά και αρκετά κέρματα έχουν δωδεκαγωνικές περιμέτρους, όπως:

* Το βρετανικό κέρμα των τριών πεννών από το 1937 ως το 1971
* Το αυστραλιανό κέρμα του μισού δολαρίου
* Τα κέρματα των 50 σεντς των Νησιών Φίτζι
* Το κέρμα των 50 σενίτι της Τόγκα (Tongan paʻanga), από το 1974
* Το κέρμα των 50 σεντς των Νησιών Σολομώντα
* Το κροατικό κέρμα των 25 κούνα
* Το Ρουμανικό κέρμα των 5000 λέι από το 2001 ως το 2005
* Το κέρμα της μιας καναδικής πέννας από το 1982 ως το 1996
* Το κέρμα των 25 đồng του Νότιου Βιετνάμ από το 1968 ως το 1975
* Το κέρμα των 50 ngwee της Ζάμπια από το 1969 ως το 1992
* Το κέρμα των 50 τάμπαλα του Μαλάουι από το 1986 ως το 1995
* Το κέρμα των 20 σεντάβος του Μεξικού από το 1992

## Περαιτέρω ανάγνωση

### Εξωτερικοί σύνδεσμοι

* Το θεώρημα Kürschak
* Ορισμός και ιδιότητες του δωδεκαγώνου (με διαδραστική animation)
* Διαδραστικές εφαρμογές για τον διαμερισμό κανονικού δωδεκαγώνου στο Geogebra: πλακόστρωση Kürschák, απόδειξη για εμβαδόν, σε ρόμβους και ισόπλευρα τρίγωνα, απόδειξη για ισοδύναμα σχήματα

### Ξενόγλωσσα άρθρα
* 
* 
* 
* 
* 
## Δείτε επίσης
* Δωδεκαγωνικός αριθμός
* Δωδεκάεδρο – ένα κανονικό πολύεδρο με 12 πενταγωνικές έδρες.
* Δωδεκάγραμμα

## Σημειώσεις


## Παραπομπές


Κατηγορία:Πολύγωνα