Σημείο συσσώρευσης

Στη μαθηματική ανάλυση η έννοια του **σημείου συσσώρευσης** είναι αναγκαία όταν θέλουμε να ορίσουμε το όριο συνάρτησης. Συγκεκριμένα το όριο μιας συνάρτησης έχει νόημα μόνο στα σημεία συσσώρευσης του πεδίου ορισμού της συνάρτησης.

## Ορισμός
Ένας άτυπος ορισμός του σημείου συσσώρευσης είναι ο εξής: ένας πραγματικός αριθμός είναι σημείο συσσώρευσης ενός συνόλου Α αν υπάρχει στοιχείο του Α (που να είναι διαφορετικό του x0) οσοδήποτε κοντά θέλουμε στο x0.

Ο αυστηρός ορισμός είναι ο εξής:

Έστω Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών και έστω x0 ένας πραγματικός αριθμός. Λέμε ότι **το x<sub>0</sub> είναι σημείο συσσώρευσης** του συνόλου Α αν :
:για κάθε  \delta> 0 , \exists x \in A με x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) και x \neq x_0

Σημεία συσσώρευσης μπορεί να είναι και τα \pm\infty. Οι αντίστοιχοι ορισμοί είναι οι εξής:

Έστω Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών. Λέμε ότι το +\infty είναι σημείο συσσώρευσης του συνόλου Α αν για κάθε δ > 0:
:\exists x \in A με x \in \cap(\delta, +\infty)

και ότι το -\infty είναι σημείο συσσώρευσης του συνόλου Α αν για κάθε δ \exists x \in A με x \in \cap(-\infty, \delta)

### Μεμονωμένα σημεία
Έστω Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών και έστω x0 ένα στοιχείο του Α. Λέμε ότι το x0 είναι **μεμονωμένο σημείο** του συνόλου Α αν δεν είναι σημείο συσσώρευσής του, δηλαδή :
:αν υπάρχει \delta > 0 τέτοιο ώστε,(\forall x \in A) με x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) να ισχύει x = x_0

Επομένως τα στοιχεία ενός συνόλου χωρίζονται σε δύο κατηγορίες, στα σημεία συσσώρευσης και στα μεμονωμένα σημεία. Φυσικά είναι δυνατόν ένα σύνολο να έχει μόνο σημεία συσσώρευσης ή μόνο μεμονωμένα σημεία. Σημειώνουμε ότι ενώ ενδέχεται τα σημεία συσσώρευσης ενός συνόλου να ανήκουν σε αυτό ή και να μην ανήκουν, τα μεμονωμένα σημεία είναι πάντοτε εξ'ορισμού στοιχεία του συνόλου.

### Παραδείγματα
*Έστω [a, b] ένα διάστημα. Τα σημεία συσσώρευσής του είναι όλα τα σημεία x του [a, b].
*Έστω (a, b) ένα διάστημα. Τα σημεία συσσώρευσής του είναι όλα τα σημεία x του [a, b].
*Έστω I ένα μη κενό διάστημα. Τα σημεία συσσώρευσής του είναι ακριβώς τα σημεία x του Ι και επίσης τα άκρα του (συμπεριλαμβανομένων των \pm \infty αν είναι άκρα του Ι).
*Το σύνολο \mathbb{N} έχει ως σημείο συσσώρευσης μόνο το +\infty.
*Τα σύνολα \mathbb{Q} και \mathbb{R} έχουν ως σημεία συσσώρευσης κάθε x στο \mathbb{R}, καθώς επίσης και τα \pm \infty.

## Σημεία συσσώρευσης από δεξιά και από αριστερά
Έστω Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών και έστω x0 ένας πραγματικός αριθμός. Λέμε ότι το x0 είναι **σημείο συσσώρευσης του συνόλου Α από δεξιά**, αν για κάθε δ > 0:
:\exists x \in A με x \in (x_0, x_0 + \delta)

και ότι το x0 είναι **σημείο συσσώρευσης του συνόλου Α από αριστερά**, αν για κάθε δ > 0:
:\exists x \in A με x \in (x_0 - \delta, x_0)

Αν ένα σημείο x0 είναι σημείο συσσώρευσης ενός συνόλου Α από δεξία ή από αριστερά, τότε είναι σημείο συσσώρευσης του Α. Αν όμως ένα σημείο x0 είναι σημείο συσσώρευσης του Α τότε δεν είναι πάντα σωστό ότι το x0 είναι σημείο συσσώρευσης από δεξιά και από αριστερά. Μπορεί να είναι σημείο συσσώρευσης μόνο από δεξιά ή μόνο από αριστερά.

## Βασικές Προτάσεις
*Αν ένα σύνολο είναι πεπερασμένο τότε δεν έχει σημείο συσσώρευσης και επομένως κάθε στοιχείο του είναι μεμονωμένο σημείο.
*Έστω Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών και έστω x0 ένας πραγματικός αριθμός. Το x0 είναι σημείο συσσώρευσης του Α αν και μόνο αν υπάρχουν άπειρα το πλήθος στοιχεία του Α στο διάστημα (x_0 - \delta, x_0 + \delta) για κάθε δ > 0.
*Έστω Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών και έστω x0 ένας πραγματικός αριθμός. Το x0 είναι σημείο συσσώρευσης του Α αν και μόνο αν υπάρχει ακολουθία xn στο Α τέτοια ώστε: x_n \rightarrow x_0 και x_n \neq x_0 για κάθε n στο \mathbb{N}.
*Το +\infty είναι σημείο συσσώρευσης ενός συνόλου Α αν το Α δεν είναι άνω φραγμένο και το -\infty είναι σημείο συσσώρευσης του αν δεν είναι κάτω φραγμένο.

Κατηγορία:Δυναμικά συστήματα
Κατηγορία:Γενική τοπολογία
Κατηγορία:Τοπολογία