Επέκταση σώματος

Στα μαθηματικά, ιδιαίτερα στην άλγεβρα, μια **επέκταση σώματος** είναι ένα ζεύγος σωμάτων K \subseteq L έτσι ώστε οι πράξεις του *K* να είναι εκείνες του *L* περιορισμένες στο *K*. Στην περίπτωση αυτή, το L είναι ένα σώμα επέκτασης του K και το K είναι ένα υποσώμα του *L*. Επί παραδείγματι, σύμφωνα με τις συνήθεις έννοιες της προσθήκης και του πολλαπλασιασμού, οι μιγαδικοί αριθμοί είναι ένα σώμα επέκτασης των πραγματικών αριθμών- οι πραγματικοί αριθμοί είναι ένα υποσώμα των μιγαδικών αριθμών.

Οι επεκτάσεις σωμάτων είναι θεμελιώδεις στην αλγεβρική θεωρία αριθμών και στη μελέτη των πολυωνυμικών ριζών μέσω της θεωρίας Γκαλουά και χρησιμοποιούνται ευρέως στην αλγεβρική γεωμετρία.

## Υποσώμα

Ένα **υποσώμα** K ενός σώματος L είναι ένα υποσύνολο K\subseteq L που είναι σώμα σε σχέση με τις πράξεις του σώματος που κληρονομούνται από το L. Ισοδύναμα, ένα υποσώμα είναι ένα υποσύνολο που περιέχει την πολλαπλασιαστική ταυτότητα 1 και είναι κλειστό κάτω από τις πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και της λήψης του αντίστροφου ενός μη μηδενικού στοιχείου του K.

Καθώς , ο τελευταίος ορισμός συνεπάγεται ότι οι K και L έχουν το ίδιο μηδενικό στοιχείο.

Παραδείγματος χάριν, το σώμα των ρητών αριθμών είναι ένα υποσώμα των πραγματικών αριθμών, το οποίο είναι το ίδιο ένα υποσώμα των μιγαδικών αριθμών. Γενικότερα, το σώμα των ρητών αριθμών  είναι (ή είναι ισομορφικό με) ένα υποσώμα οποιουδήποτε σώματος χαρακτηριστικής 0.

Η χαρακτηριστική ενός υποσώματος είναι η ίδια με τη χαρακτηριστική του μεγαλύτερου σώματος.

## Επέκταση σώματος

Αν το K είναι ένα υποσώμα του L, τότε το L είναι μία **επέκτασης σώματος** ή απλά **επέκταση** του K, και αυτό το ζεύγος σωμάτων είναι μία **επέκταση σώματος**. Μια τέτοια επέκταση σώματος συμβολίζεται ως L/K (διαβάζεται ως **<math>L</math> πάνω από <math>K</math>**).

Αν το L είναι επέκταση του F, το οποίο με τη σειρά του είναι επέκταση του K, τότε το F λέγεται **ενδιάμεσο σώμα** (ή **ενδιάμεση επέκταση** ή **υποέκταση**) του L/K.

Δεδομένης μιας επέκτασης σώματος L/K, το μεγαλύτερο σώμα L είναι ένας διανυσματικός χώρος K. Η διάσταση αυτού του διανυσματικού χώρου ονομάζεται **βαθμός** της επέκτασης και συμβολίζεται με [L:K].

Ο βαθμός μιας επέκτασης είναι 1 αν και μόνο αν τα δύο σώματα είναι ίσα. Σε αυτή την περίπτωση, η επέκταση είναι μια ***'. Οι επεκτάσεις βαθμού 2 και 3 ονομάζονται '''τετραγωνικές επεκτάσεις''' και '''κυβικές επεκτάσεις''', αντίστοιχα. Μια '''πεπερασμένη επέκταση''' είναι μια επέκταση που έχει πεπερασμένο βαθμό.

Δεδομένων δύο επεκτάσεων <math>L/K</math> και <math>M/L</math>, η επέκταση <math>M/K</math> είναι πεπερασμένη αν και μόνο αν τόσο η <math>L/K</math> όσο και η <math>M/L</math> είναι πεπερασμένες. Σε αυτή την περίπτωση, έχουμε

:<math>[M : K]=[M : L]\cdot[L : K].</math>

Δεδομένης μιας επέκτασης σώματος <math>L/K</math> και ενός [[Υποσύνολο|υποσυνόλου]] <math>S</math> του <math>L</math>, υπάρχει ένα μικρότερο υποσώμα του <math>L</math> που περιέχει το <math>K</math> και το <math>S</math>. Είναι η τομή όλων των υποσωμάτων του <math>L</math> που περιέχουν τα <math>K</math> και <math>S</math>, και συμβολίζεται με <math>K(S)</math> (διαβάζεται ως «<math>K</math> '''adjoin''' <math>S</math>»). Λέμε ότι το <math>K(S)</math> είναι το σώμα που ''παράγεται'' από το <math>S</math> πάνω στο <math>K</math>, και ότι το <math>S</math> είναι ένα γεννήτορας του <math>K(S)</math> πάνω στο <math>K</math>. Όταν το <math>S=\{x_1, \ldots, x_n\}</math> είναι πεπερασμένο, γράφουμε <math>K(x_1, \ldots, x_n)</math> αντί για <math>K(\{x_1, \ldots, x_n\}),</math> και λέμε ότι το <math>K(S)</math> παράγεται πεπερασμένα πάνω στο <math>K</math>. Αν το <math>S</math> αποτελείται από ένα μόνο στοιχείο <math>s</math>, η επέκταση <math>K(s)/K</math> ονομάζεται απλή επέκταση και το <math>s</math> ονομάζεται πρωταρχικό στοιχείο της επέκτασης.

Μια επέκταση σώματος της μορφής <math>K(S)</math> συχνά λέγεται ότι προκύπτει από την '''' του <math>S</math> στο <math>K</math>.

Στο χαρακτηριστικό 0, κάθε πεπερασμένη επέκταση είναι μια απλή επέκταση. Αυτό είναι το θεώρημα των πρωταρχικών στοιχείων, το οποίο δεν ισχύει για σώματα μη μηδενικών χαρακτηριστικών.

Αν μια απλή επέκταση <math>K(s)/K</math> δεν είναι πεπερασμένη, το σώμα <math>K(s)</math> είναι ισόμορφο με το σώμα των ρητών κλασμάτων στο <math>s</math> πάνω στο <math>K</math>.

==Προφυλάξεις==

Ο συμβολισμός ''L'' / ''K'' είναι καθαρά τυπικός και δεν υπονοεί το σχηματισμό ενός πηλίκο δακτυλίου ή μιας πηλίκο ομάδας ή οποιουδήποτε άλλου είδους διαίρεσης. Αντίθετα, η κάθετος εκφράζει τη λέξη «πάνω». Σε κάποια βιβλιογραφία χρησιμοποιείται ο συμβολισμός ''L'':''K''.

Συχνά είναι επιθυμητό να μιλάμε για επεκτάσεις σωμάτων σε περιπτώσεις όπου το μικρό σώμα δεν περιέχεται στην πραγματικότητα στο μεγαλύτερο, αλλά είναι φυσικά ενσωματωμένο. Για το σκοπό αυτό, ορίζεται αφηρημένα μια επέκταση σώματος ως ένας [[Ένα προς ένα|ερριπτικός]] ομομορφισμός δακτυλίου μεταξύ δύο σωμάτων. Κάθε μη μηδενικός ομομορφισμός δακτυλίου μεταξύ σωμάτων είναι [[Ένα προς ένα|ερριπτικός]] επειδή τα σώματα δεν διαθέτουν μη τετριμμένα [[Ιδεώδες (μαθηματικά)|ιδεώδη]], οπότε οι επεκτάσεις σωμάτων είναι ακριβώς οι μορφισμοί στην κατηγορία των σωμάτων.

Στο εξής, θα αποσιωπούμε τον [[Ένα προς ένα|ερριπτικό]] [[Ομομορφισμός|ομομορφισμό]] και θα υποθέτουμε ότι έχουμε να κάνουμε με πραγματικά υποσώματα.

== Παραδείγματα ==

Το [[Σώμα (άλγεβρα)|σώμα]] των [[Μιγαδικός αριθμός|μιγαδικών αριθμών]] <math>\Complex</math> είναι ένα σώμα επέκτασης του σώματος των [[Πραγματικός αριθμός|πραγματικών αριθμών]] <math>\R</math>, και το <math>\R</math> με τη σειρά του είναι ένα σώμα επέκτασης του σώματος των [[Ρητός αριθμός|ρητών αριθμών]] <math>\Q</math>. Προφανώς, λοιπόν, το <math>\Complex/\Q</math> είναι επίσης ένα σώμα επέκτασης. Έχουμε <math>[\Complex:\R] =2</math> επειδή το <math>\{1, i\}</math> είναι μια βάση, οπότε η επέκταση <math>\Complex/\R</math> είναι πεπερασμένη. Αυτή είναι μια απλή επέκταση επειδή <math>\Complex = \R(i).</math> <math>[\R:\Q] =\mathfrak c</math> (η [[πληθικότητα του συνεχούς]]), οπότε αυτή η επέκταση είναι άπειρη.

Το σώμα

:<math>\Q(\sqrt{2}) =  \left \{ a + b\sqrt{2} \mid a,b \in \Q \right \},</math>

είναι ένα [[Σώμα (άλγεβρα)|σώμα]] επέκτασης του <math>\Q,</math> επίσης σαφώς μια απλή επέκταση.  Ο βαθμός είναι 2 επειδή  <math>\left\{1, \sqrt{2}\right\}</math> μπορεί να χρησιμεύσει ως βάση.

Το σώμα

:<math>\begin{align}
\Q\left(\sqrt{2}, \sqrt{3}\right) &= \Q \left(\sqrt{2}\right) \left(\sqrt{3}\right) \\
&= \left\{ a+b\sqrt{3} \mid a,b \in \Q\left(\sqrt{2}\right) \right\} \\
&= \left\{ a + b \sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6} \mid a,b,c, d \in \Q \right\},
\end{align}</math>

είναι ένα σώμα επέκτασης τόσο του <math>\Q(\sqrt{2})</math> όσο και του <math>\Q,</math> βαθμού 2 και 4 αντίστοιχα. 

:<math>\begin{align}
\Q(\sqrt{2}, \sqrt{3}) &= \Q (\sqrt{2} + \sqrt{3}) \\
&= \left \{ a + b (\sqrt{2} + \sqrt{3}) + c (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 + d(\sqrt{2} + \sqrt{3})^3 \mid a,b,c, d \in \Q\right\}.
\end{align}</math>

Οι πεπερασμένες επεκτάσεις του <math>\Q</math> ονομάζονται επίσης αλγεβρικά αριθμητικά σώματα και είναι σημαντικές στη θεωρία αριθμών. Ένα άλλο σώμα επέκτασης των ρητών αριθμών, το οποίο είναι επίσης σημαντικό στη [[θεωρία αριθμών]], αν και δεν είναι πεπερασμένη επέκταση, είναι το σώμα των p-adic αριθμών <math>\Q_p</math> για έναν [[Πρώτος αριθμός|πρώτο αριθμό]] ''p''.

Είναι σύνηθες να κατασκευάζεται ένα σώμα επέκτασης ενός δεδομένου σώματος ''K'' ως πηλίκο του πολυωνυμικού δακτυλίου ''K''[''X''] προκειμένου να «δημιουργηθεί» μια ρίζα για ένα δεδομένο πολυώνυμο ''f''(''X''). Ας υποθέσουμε επί παραδείγματι ότι το ''K'' δεν περιέχει κανένα στοιχείο ''x'' with ''x''<sup>2</sup> = −1. Τότε το πολυώνυμο <math>X^2+1</math> είναι μη αναγώγιμο στο  ''K''[''X''], συνεπώς το ιδεώδες που παράγεται από αυτό το πολυώνυμο είναι μέγιστο και το <math>L = K[X]/(X^2+1)</math> είναι ένα σώμα επέκτασης του K που περιέχει ένα στοιχείο του οποίου το τετράγωνο είναι −1 (δηλαδή η κλάση υπολοίπων του ''X'').

Με την επανάληψη της παραπάνω κατασκευής, μπορεί κανείς να κατασκευάσει ένα σώμα διασπάσεων οποιουδήποτε πολυωνύμου από το ''K''[''X''].  Αυτό είναι ένα σώμα επέκτασης ''L'' του ''K'' στο οποίο το δεδομένο [[πολυώνυμο]] διασπάται σε ένα γινόμενο γραμμικών παραγόντων.

Αν ''p'' είναι ένας οποιοσδήποτε [[πρώτος αριθμός]] και ''n'' είναι ένας θετικός ακέραιος, υπάρχει ένα μοναδικό (μέχρι ισομορφισμού) πεπερασμένο σώμα <math>GF(p^n) = \mathbb{F}_{p^n}</math> με ''p<sup>n</sup>'' στοιχεία- αυτό είναι ένα σώμα επέκτασης του πρωτεύοντος σώματος <math>\operatorname{GF}(p) = \mathbb{F}_p = \Z/p\Z</math> με ''p'' στοιχεία.

Δεδομένου ενός σώματος ''K'', μπορούμε να θεωρήσουμε το σώμα ''K''(''X'') όλων των [[Ρητή συνάρτηση|ρητών συναρτήσεων]] στη μεταβλητή ''X'' με συντελεστές στο ''K''; τα στοιχεία του ''K''(''X'') είναι κλάσματα δύο πολυωνύμων πάνω από το ''K'', και πράγματι το ''K''(''X'')  είναι το σώμα των κλασμάτων του [[Πολυώνυμο|πολυωνυμικού]] δακτυλίου ''K''[''X'']. TΑυτό το σώμα των ρητών συναρτήσεων είναι ένα σώμα επέκτασης του ''K''. Αυτή η επέκταση είναι άπειρη.

Δεδομένης μιας [[Επιφάνεια Ρίμαν|επιφάνειας Ρίμαν]] ''M'', το σύνολο όλων των μερομορφικών συναρτήσεων που ορίζονται στην ''M'' είναι ένα σώμα, που συμβολίζεται με <math>\Complex(M).</math> Είναι ένα υπερβατικό σώμα επέκτασης του <math>\Complex</math> αν ταυτίσουμε κάθε [[Μιγαδικός αριθμός|μιγαδικό αριθμό]] με την αντίστοιχη [[σταθερή συνάρτηση]] που ορίζεται στην ''M''. Γενικότερα, δεδομένης μιας [[Αλγεβρική ποικιλία|αλγεβρικής ποικιλίας]] ''V'' πάνω σε κάποιο σώμα ''K'',το σώμα συναρτήσεων  ''K''(''V''), που αποτελείται από τις ρητές συναρτήσεις που ορίζονται στο ''V'', είναι ένα σώμα επέκτασης του ''K''.

== Αλγεβρική επέκταση ==
Κύρια άρθρα: Αλγεβρική επέκταση και [[Αλγεβρικό στοιχείο]]

Ένα στοιχείο ''x'' μιας επέκτασης σώματος <math>L/K</math> είναι αλγεβρικό πάνω στο ''K'' αν είναι ρίζα ενός μη μηδενικού πολυωνύμου με συντελεστές στο ''K''. Επί παραδείγματι, το  <math>\sqrt 2</math> είναι αλγεβρικό πάνω στους ρητούς αριθμούς, επειδή είναι ρίζα του <math>x^2-2.</math> Αν ένα στοιχείο ''x'' του  ''L'' είναι αλγεβρικό πάνω από το ''K'', το μονοωνυμικό πολυώνυμο μικρότερου βαθμού που έχει το ''x'' ως ρίζα ονομάζεται ελάχιστο πολυώνυμο του ''x''. Αυτό το ελάχιστο πολυώνυμο είναι μη αναγώγιμο πάνω από το ''K''.

Ένα στοιχείο ''s'' του ''L'' είναι αλγεβρικό πάνω στο ''K'' αν και μόνο αν η απλή επέκταση   είναι πεπερασμένη επέκταση. Στην περίπτωση αυτή ο βαθμός της επέκτασης ισούται με τον βαθμό του ελάχιστου πολυωνύμου και μια βάση του ) αποτελείται από τα <math>1, s, s^2, \ldots, s^{d-1},</math> όπου ''d'' είναι ο βαθμός του ελάχιστου πολυωνύμου.

Το σύνολο των στοιχείων του ''L'' που είναι αλγεβρικά πάνω στο ''K'' σχηματίζουν μια υποεπέκταση, η οποία ονομάζεται αλγεβρική κλειστότητα του ''K'' στο ''L''. Αυτό προκύπτει από τον προηγούμενο χαρακτηρισμό: αν τα ''s'' και ''t'' είναι αλγεβρικά, οι επεκτάσεις  και  είναι πεπερασμένες. Συνεπώς, το  είναι επίσης πεπερασμένο, όπως και οι επεκτάσεις ,  και  (αν ). Προκύπτει ότι τα , ''st'' και 1/''s'' είναι όλα αλγεβρικά.

Μια ''αλγεβρική επέκταση'' <math>L/K</math> είναι μια επέκταση τέτοια ώστε κάθε στοιχείο του ''L'' να είναι αλγεβρικό πάνω στο ''K''. Ισοδύναμα, μια αλγεβρική επέκταση είναι μια επέκταση που παράγεται από αλγεβρικά στοιχεία. Επί παραδείγματι, το <math>\Q(\sqrt 2, \sqrt 3)</math> είναι μια αλγεβρική επέκταση του <math>\Q</math>, επειδή τα <math>\sqrt 2</math> και <math>\sqrt 3</math> είναι αλγεβρικά πάνω στο <math>\Q.</math>

Μια απλή επέκταση είναι αλγεβρική αν και μόνο αν είναι πεπερασμένη. Αυτό συνεπάγεται ότι μια επέκταση είναι αλγεβρική αν και μόνο αν είναι η ένωση των πεπερασμένων υποεπεκτάσεών της και ότι κάθε πεπερασμένη επέκταση είναι αλγεβρική. 

Κάθε σώμα ''K'' έχει μια αλγεβρική [[κλειστότητα]], η οποία είναι μέχρι ισομορφισμού το μεγαλύτερο σώμα επέκτασης του ''K'' που είναι αλγεβρικό πάνω στο ''K'', και επίσης το μικρότερο σώμα επέκτασης τέτοιο ώστε κάθε πολυώνυμο με συντελεστές στο ''K'' να έχει μια ρίζα σε αυτό. Παραδείγματος χάριν, το  <math>\Complex</math> είναι μια αλγεβρική κλειστότητα του <math>\R</math>, είναι μια αλγεβρική κλειστότητα του <math>\Q</math>, καθώς δεν είναι αλγεβρικό πάνω στο  <math>\Q</math> (για παράδειγμα το  δεν είναι αλγεβρικό πάνω στο <math>\Q</math>).

==Υπερβατική επέκταση==

Δεδομένης μιας επέκτασης σώματος <math>L/K</math>, ένα [[υποσύνολο]] ''S'' του ''L'' ονομάζεται αλγεβρικά ανεξάρτητο πάνω στο ''K''  αν δεν υπάρχει μη τετριμμένη πολυωνυμική σχέση με συντελεστές στο ''K''  μεταξύ των στοιχείων του ''S''. Η μεγαλύτερη πληθικότητα ενός αλγεβρικά ανεξάρτητου συνόλου ονομάζεται βαθμός υπερβατικότητας του ''L''/''K''. Είναι πάντα δυνατό να βρεθεί ένα σύνολο ''S'' αλγεβρικά ανεξάρτητο πάνω στο ''K'' τέτοιο ώστε το ''L''/''K''(''S'') να είναι αλγεβρικό. Ένα τέτοιο σύνολο ''S'' ονομάζεται βάση υπερβατικότητας του ''L''/''K''. Όλες οι βάσεις υπερβατικότητας έχουν την ίδια [[πληθικότητα]], ίση με το βαθμό υπερβατικότητας της επέκτασης. Μια επέκταση <math>L/K</math> λέγεται ότι είναι ***'  αν και μόνο αν υπάρχει μια βάση υπερβατικότητας *S* του L/K τέτοια ώστε  *L* = *K*(*S*. Μια τέτοια επέκταση έχει την ιδιότητα ότι όλα τα στοιχεία του *L* εκτός από εκείνα του *K*  είναι υπερβατικά πάνω στο *K* , αλλά, ωστόσο, υπάρχουν επεκτάσεις με αυτή την ιδιότητα που δεν είναι αμιγώς υπερβατικές - μια κατηγορία τέτοιων επεκτάσεων παίρνει τη μορφή *L*/*K* όπου τόσο το *L*   όσο και το *K*  είναι αλγεβρική κλειστότητα.

Αν το *L*/*K* είναι καθαρά υπερβατικό και το *S* είναι μια βάση υπερβατικότητας της επέκτασης, δεν προκύπτει απαραίτητα ότι *L* = *K*(*S*).. Αντίθετα, ακόμη και όταν γνωρίζουμε μια βάση υπερβατικότητας, μπορεί να είναι δύσκολο να αποφασίσουμε αν η επέκταση είναι αμιγώς διαχωρίσιμη, και αν είναι, μπορεί να είναι δύσκολο να βρούμε μια βάση υπερβατικότητας *S* τέτοια ώστε *L* = *K*(*S*).

Επί παραδείγματι, ας θεωρήσουμε την επέκταση \Q(x, y)/\Q, όπου το x είναι υπερβατικό πάνω στο \Q, και το y είναι μια ρίζα της εξίσωσης y^2-x^3=0.  Μια τέτοια επέκταση μπορεί να οριστεί ως \Q(X)[Y]/\langle Y^2-X^3\rangle, στην οποία x και y είναι οι κλάσεις ισοδυναμίας των X και Y.  Προφανώς, το μονοσύνολο \{x\} είναι υπερβατικό πάνω από το \Q και η επέκταση \Q(x, y)/\Q(x) είναι αλγεβρική- συνεπώς το \{x\} είναι μια βάση υπερβατικότητας που δεν παράγει την επέκταση \Q(x, y)/\Q(x). Ομοίως, η \{y\} είναι μια βάση υπερβατικότητας που δεν παράγει ολόκληρη την επέκταση. Ωστόσο, η επέκταση είναι καθαρά υπερβατική αφού, αν θέσουμε t=y/x, έχουμε x=t^2 και y=t^3, και έτσι η t παράγει ολόκληρη την επέκταση.

Οι καθαρά υπερβατικές επεκτάσεις μιας αλγεβρικής κλειστότητας εμφανίζονται ως συναρτησιακά σώματα ρητών ποικιλιών. Το πρόβλημα της εύρεσης μιας ρητής παραμετροποίησης μιας ρητής ποικιλίας είναι ισοδύναμο με το πρόβλημα της εύρεσης μιας βάσης υπερβατικότητας που παράγει ολόκληρη την επέκταση.

## Κανονικές, διαχωρίσιμες και επεκτάσεις Γκαλουά

Μια αλγεβρική επέκταση L/K ονομάζεται κανονική αν κάθε μη αναγώγιμο πολυώνυμο στο *K*[*X*] που έχει ρίζα στο *L* αναλύεται πλήρως σε γραμμικούς παράγοντες πάνω από το *L*. Κάθε αλγεβρική επέκταση F/K δέχεται μια κανονική κλειστότητα *L* η οποία είναι ένα σώμα επέκτασης του *F* τέτοιο ώστε το L/K να είναι κανονικό και το οποίο είναι ελάχιστο με αυτή την ιδιότητα.

Μια αλγεβρική επέκταση L/K ονομάζεται διαχωρίσιμη αν το ελάχιστο πολυώνυμο κάθε στοιχείου του *L* πάνω στο *K* είναι διαχωρίσιμο, δηλαδή δεν έχει επαναλαμβανόμενες ρίζες σε μια αλγεβρική κλειστότητα πάνω στο *K*. Μια επέκταση Γκαλουά είναι μια επέκταση σώματος που είναι και κανονική και διαχωρίσιμη.

Μια συνέπεια του θεωρήματος του πρωταρχικού στοιχείου δηλώνει ότι κάθε πεπερασμένη διαχωρίσιμη επέκταση έχει ένα πρωταρχικό στοιχείο (δηλαδή είναι απλή).

Δεδομένης οποιασδήποτε επέκτασης σώματος L/K, μπορούμε να θεωρήσουμε την **ομάδα αυτομορφισμού** του. \text{Aut}(L/K), που αποτελείται από όλους τους αυτομορφισμούς του σώματος *α*: *L* → *L* με *α*(*x*) = *x* για όλα τα *x* στο *K*. Όταν η επέκταση είναι Γκαλουά αυτή η ομάδα αυτομορφισμού ονομάζεται ομάδα Γκαλουά της επέκτασης. Οι επεκτάσεις των οποίων η ομάδα Γκαλουά είναι αβελιανή ονομάζονται αβελιανές επεκτάσεις.

Για μια δεδομένη επέκταση σώματος L/K, συχνά ενδιαφέρεται κανείς για τα ενδιάμεσα σώματα *F* (υποσώμα του *L* που περιέχουν το *K*). Η σημασία των επεκτάσεων Γκαλουά και των ομάδων Γκαλουά είναι ότι επιτρέπουν μια πλήρη περιγραφή των ενδιάμεσων σωμάτων: υπάρχει μια ερριπτική μεταξύ των ενδιάμεσων σωμάτων και των υποομάδων της ομάδας Γκαλουά, που περιγράφεται από το θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας Γκαλουά.

## Γενικεύσεις
Οι επεκτάσεις σωμάτων μπορούν να γενικευτούν σε επεκτάσεις δακτυλίων που αποτελούνται από ένα δακτύλιο και έναν από τους υποδακτυλίους του. Ένα πιο κοντινό μη αντιμεταθετικό ανάλογο είναι οι κεντρικές απλές άλγεβρες (CSAs) - επεκτάσεις δακτυλίων πάνω από ένα σώμα, οι οποίες είναι απλές άλγεβρες (δεν υπάρχουν μη τετριμμένα 2πλευρα ιδεώδη, όπως ακριβώς και για ένα σώμα) και όπου το κέντρο του δακτυλίου είναι ακριβώς το σώμα. Επί παραδείγματι, η μόνη πεπερασμένη επέκταση σώματος των πραγματικών αριθμών είναι οι μιγαδικοί αριθμοί, ενώ τα τετράγωνα είναι μια κεντρική απλή άλγεβρα πάνω στους πραγματικούς αριθμούς, και όλες οι CSA πάνω στους πραγματικούς αριθμούς είναι ισοδύναμες κατά Μπράουερ με τους πραγματικούς αριθμούς ή τις τετράδες. Οι CSA μπορούν να γενικευθούν περαιτέρω σε άλγεβρες Αζουμάγια, όπου το σώμα βάσης αντικαθίσταται από έναν αντιμεταθετικό τοπικό δακτύλιο.

## Επέκταση των βαθμωτών
Δεδομένης μιας επέκτασης σώματος, μπορεί κανείς να «επεκτείνει τα βαθμωτά » σε συσχετιζόμενα αλγεβρικά αντικείμενα. Επί παραδείγματι, δεδομένου ενός πραγματικού διανυσματικού χώρου, μπορεί να παραχθεί ένας μιγαδικός διανυσματικός χώρος μέσω της μιγαδοποίησης. Εκτός από τους διανυσματικούς χώρους, μπορεί κανείς να εκτελέσει επέκταση βαθμωτών για συσχετιστικές άλγεβρες που ορίζονται πάνω στο σώμα, όπως πολυώνυμα ή άλγεβρες ομάδων και τις σχετικές αναπαραστάσεις ομάδων. Η επέκταση βαθμωτών πολυωνύμων χρησιμοποιείται συχνά σιωπηρά, θεωρώντας απλώς ότι οι συντελεστές είναι στοιχεία ενός μεγαλύτερου σώματος, αλλά μπορεί επίσης να εξεταστεί πιο ουσιαστικά. Η επέκταση των βαθμωτών έχει πολυάριθμες εφαρμογές, όπως συζητείται στην ενότητα Επέκταση των βαθμωτών: εφαρμογές.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Διδιάστατος χώρος
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Υπερβολική γεωμετρία
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Σώμα διασπάσεως
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
*
*Lang, Serge (2004), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Corrected fourth printing, revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4
*

*
*
* *(Galois' original paper, with extensive background and commentary.)*
*
*
*  *(Chapter 4 gives an introduction to the field-theoretic approach to Galois theory.)*
* (This book introduces the reader to the Galois theory  of Grothendieck, and some generalisations, leading to Galois groupoids.)
*
*
*
*
*
*.   **English translation** (of 2nd revised edition):  *(Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)*
*

## Πηγές
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα