Εμβαδόν

**Εμβαδόν** ή *έκταση* είναι το μέγεθος μέτρησης των επιφανειών. Συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα \rm E ή το γράμμα \rm A (το τελευταίο χρησιμοποιείται συνήθως στην επιφάνεια διατομής). Η μονάδα μέτρησης στο διεθνές σύστημα είναι το 1m². Το εμβαδόν θεωρείται ένα βασικό μέγεθος των δισδιάστατων σχημάτων, όπως τα τετράγωνα και οι κύκλοι, τα οποία δεν έχουν όγκο. Όταν αναφέρεται σε τρισδιάστατα σχήματα συνήθως εννοείται το εμβαδόν της εξωτερικής επιφάνειας του σώματος.

## Λίστα τύπων υπολογισμού εμβαδού διαφόρων σχημάτων

Παρακάτω δίνονται οι τύποι για τον υπολογισμό των πιο κοινών γεωμετρικών σχημάτων.

right|thumb|300px|Ένα τρίγωνο <math>\rm AB\Gamma</math>.
### Τρίγωνο
Σε ένα τρίγωνο \rm AB\Gamma ισχύουν οι εξής τύποι για το εμβαδόν του
* Αν \upsilon_{\rm A}, \upsilon_{\rm B}, \upsilon_{\rm \Gamma} είναι τα ύψη του τριγώνου, τότε
::{\rm E} 
  = \tfrac{1}{2} \cdot \alpha \cdot \upsilon_{\rm A} 
  = \tfrac{1}{2} \cdot \beta \cdot \upsilon_{\rm B}
  = \tfrac{1}{2} \cdot \gamma \cdot \upsilon_{\rm \Gamma}.
* (**[[Τύπος του Ήρωνα]]**) Σε ένα τρίγωνο με μήκη πλευρών \alpha, \beta, \gamma, έχουμε ότι
::{\rm E} = \sqrt{\tau \cdot (\tau - \alpha) \cdot (\tau - \beta) \cdot (\tau - \gamma)},
:όπου \tau είναι η ημιπερίμετρος.
* Σε ένα τρίγωνο \rm AB\Gamma, ισχύει ότι
::{\rm E} 
  = \tfrac12 \beta\gamma \sin \rm A 
  = \tfrac12 \alpha\gamma \sin \rm B
  = \tfrac12 \alpha\beta \sin \rm \Gamma,
:όπου \rm \sin A, \sin B, \sin \Gamma τα ημίτονα των τριών γωνιών του.
* Αν \tau είναι η ημιπερίμετρος και \rho η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, τότε
::{\rm E} = \tau \cdot \rho.
* Αν \tau είναι η ημιπερίμετρος και \rho_{\rm A}, \rho_{\rm B}, \rho_{\rm \Gamma} οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων του τριγώνου, τότε
::{\rm E} 
  = (\tau - \alpha) \cdot \rho_{\rm A} 
  = (\tau - \beta) \cdot \rho_{\rm B}
  = (\tau - \gamma) \cdot \rho_{\rm \Gamma}.
* Αν \tau είναι η ημιπερίμετρος, \rho η ακτίνα του εγγεγραμμένος κύκλος και \rho_{\rm A}, \rho_{\rm B}, \rho_{\rm \Gamma} οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων του τριγώνου, τότε
::{\rm E} = \sqrt{\rho \cdot \rho_{\rm A} \cdot \rho_{\rm B} \cdot \rho_{\rm \Gamma}}.
* Αν R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, τότε
::{\rm E} = \frac{\alpha \beta \gamma}{4R}.
* Αν οι συντεταγμένες των κορυφών του είναι {\rm A} = (x_{\rm A}, y_{\rm A}), {\rm B} = (x_{\rm B}, y_{\rm B}) και {\rm \Gamma} = (x_{\rm \Gamma}, y_{\rm \Gamma}), τότε 
::{\rm E} = \frac{1}{2} \begin{vmatrix}
x_{\rm A} & y_{\rm A} & 1 \\
x_{\rm B} & y_{\rm B} & 1 \\
x_{\rm \Gamma} & y_{\rm \Gamma} & 1
\end{vmatrix}.

#### Ειδικά τρίγωνα

* (**[[Ισόπλευρο τρίγωνο]]**) Το εμβαδόν ενός ισοπλεύρου τριγώνου με  μήκος πλευράς \alpha είναι
::{\rm E} = \frac{1}{4} \sqrt{3} \cdot \alpha^2.
* (**[[Ορθογώνιο τρίγωνο]]**) Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου με \hat{\rm A} = 90^\circ είναι
::{\rm E} = \tfrac{1}{2} \beta \cdot \gamma.

### Τετράπλευρο
right|thumb|300px|Ένα τετράπλευρο <math>\rm AB\Gamma\Delta</math>.
* (**[[Τύπος Μπρετσνάιντερ]]**) Το εμβαδόν ενός τετραπλεύρου \rm AB\Gamma\Delta με μήκη πλευρών \alpha, \beta, \gamma, \delta και ημιπερίμετρο \rm \tau είναι
:{\rm E} = \sqrt{(\tau - \alpha) \cdot (\tau - \beta) \cdot (\tau - \gamma) \cdot (\tau - \delta) - \alpha\beta\gamma\delta \cdot \cos^2 \left( \tfrac{\rm {A} + {\Gamma}}{2}\right)}.
* Αν οι συντεταγμένες των κορυφών του είναι {\rm A} = (x_{\rm A}, y_{\rm A}), {\rm B} = (x_{\rm B}, y_{\rm B}), {\rm \Gamma} = (x_{\rm \Gamma}, y_{\rm \Gamma}) και {\rm \Delta} = (x_{\rm \Delta}, y_{\rm \Delta}), τότε 
::{\rm E} = \frac{1}{2} \begin{vmatrix}
x_{\rm A} & y_{\rm A} & 1 \\
x_{\rm B} & y_{\rm B} & 1 \\
x_{\rm \Gamma} & y_{\rm \Gamma} & 1
\end{vmatrix} + \frac{1}{2} \begin{vmatrix}
x_{\rm B} & y_{\rm B} & 1 \\
x_{\rm \Gamma} & y_{\rm \Gamma} & 1\\
x_{\rm \Delta} & y_{\rm \Delta} & 1
\end{vmatrix}.

#### Ειδικά τετράπλευρα

 
* (**[[Τετράγωνο]]**) Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς \alpha είναι 
::{\rm E} = \alpha^2.
* (**[[Ρόμβος]]**) Το εμβαδόν ενός ρόμβου είναι
::{\rm E} = \tfrac{1}{2} \cdot \delta_1 \cdot \delta_2
:όπου \delta_1 και \delta_2 είναι τα μήκη των διαγωνίων του.
* (**[[Παραλληλόγραμμο]]**) Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι
::{\rm E} = \beta \cdot \upsilon
:όπου \beta είναι το μήκος της μίας πλευράς (αποκαλούμενης *βάσης*) και \upsilon το μήκος της απόστασης μεταξή των δύο παράλληλων βάσεων (αποκαλούμενου ύψους).
* (**[[Τραπέζιο]]**) Το εμβαδόν ενός τραπεζίου είναι
::{\rm E} = \tfrac{1}{2} \cdot (B + \beta) \cdot \upsilon,
:όπου B και \beta είναι τα μήκη των δύο παράλληλων πλευρών του (αποκαλούμενες ως *βάση* και *μικρή βάση* αντίστοιχα) και \upsilon το ύψος του, δηλαδή η απόσταση ανάμεσα στις δύο παράλληλες.
* Το εμβαδόν ενός τραπεζίου με πλευρές \alpha, \beta, \gamma, \delta και ημιπερίμετρο \tau είναι
::{\rm E} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha - \beta} \cdot \sqrt{(\tau - \alpha) (\tau - \beta) (\tau - \beta - \gamma) (\tau - \beta - \delta)}.
* (**[[Τύπος Βραχμαγκούπτα]]**) Το εμβαδόν ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου δίνεται από
::{\rm E} = \sqrt{(\tau - \alpha) \cdot (\tau - \beta) \cdot (\tau - \gamma) \cdot (\tau - \delta)}
:όπου \alpha, \beta, \gamma και \delta είναι τα μήκη των πλευρών του και \tau = \tfrac{1}{2} \cdot (\alpha + \beta + \gamma + \delta) η ημιπερίμετρός του.

right|thumb|200px|Ένα περιγεγραμμένο πολύγωνο.
### Περιγεγραμμένο πολύγωνο
*Το εμβαδόν ενός περιγεγραμμένου n-γώνου είναι
::{\rm E} = \tau \cdot \rho,
:όπου \rho είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, και \tau η ημιπερίμετρος του.

### Κανονικό πολύγωνο
right|thumb|200px|Κανονικό πολύγωνο με <math>n</math> πλευρές.
*Το εμβαδόν ενός κανονικού πολυγώνου με n πλευρές και πλευρά μήκους \lambda είναι
::{\rm E} = \frac{1}{4}n\lambda^2\cdot \cot(\pi/n).
*Το εμβαδόν ενός κανονικού πολυγώνου με n πλευρές με ημιπερίμετρο \tau είναι
::{\rm E} = \frac{1}{n} \cdot \tau \cdot \cot(\pi/n)
*Το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου με n πλευρές είναι
::{\rm E} = \frac{1}{2}nR^2\cdot \sin(2\pi/n) = n\rho^2 \tan(\pi/n),
:όπου R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, και \rho είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου.
*Το εμβαδόν ενός κανονικού πολυγώνου με n πλευρές είναι
::{\rm E} = \tau \cdot \rho,
:όπου r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, και \tau η ημιπερίμετρος του.

#### Ειδικές περιπτώσεις
* (**[[Κανονικό εξάγωνο]]**) Το εμβαδόν ενός κανονικού εξαγώνου πλευράς \lambda δίνεται από
::{\rm E} = \frac{3}{2} \sqrt{3}\lambda^2.
* (**[[Κανονικό οκτάγωνο]]**) Το εμβαδόν ενός κανονικού οκταγώνου πλευράς \lambda δίνεται από
::{\rm E} = 2(1+\sqrt{2})\lambda^2

### Κύκλος και κυκλικός τομέας
* Το εμβαδόν ενός κύκλου είναι ίσο με
::{\rm E} = \pi \rho^2 = \frac{\pi d^2}{4},
:όπου \rho είναι η ακτίνα του, d = 2\rho είναι η διάμετρος του και \pi \approx 3.14\ldots είναι η μαθηματική σταθερά.
* Το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα είναι
::{\rm E} = \frac{1}{2}\rho^2 \cdot \theta = \frac{\Pi \cdot \rho}{2}
:όπου \rho είναι η ακτίνα του κύκλου, \theta είναι η γωνία του (σε ακτίνια), και \Pi η περίμετρός του.

## Επιφάνεια γεωμετρικών στερεών

### Κύλινδρος

Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας ενός κυλίνδρου δίνεται από
:{\rm E}_{\text{π}} = 2\pi r \cdot \upsilon,
και το εμβαδόν της συνολικής επιφάνειας του από
:{\rm E}_{\text{ολ}} = 2\pi r (r + \upsilon),
όπου r είναι η ακτίνα και \upsilon το ύψος του.

### Σφαίρα
Το εμβαδόν της συνολικής επιφάνειας μίας σφαίρας δίνεται από
:{\rm E}_{\text{σφ}} = 4\pi r^2 = \pi d^2,
όπου r είναι η ακτίνα της και d = 2r η διάμετρός της.

### Πυραμίδα
Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας μίας πυραμίδας δίνεται από
:{\rm E}_\text{π} = \tfrac{1}{2} \Pi \cdot \upsilon
και το εμβαδόν της συνολικής της επιφάνειας από 
:{\rm E}_\text{ολ} = {\rm E}_B,
όπου {\rm E}_B είναι το εμβαδόν της επιφάνειας της βάσης, \Pi είναι η περίμετρος της βάσης και \upsilon το παράπλευρο ύψος. 

### Κώνος
Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας ενός κώνου είναι
:{\rm E}_{\text{π}} = \pi r \ell = \pi r \sqrt{r^2+\upsilon^2}
και της συνολικής του επιφάνειας είναι
:{\rm E}_{\text{ολ}} = \pi r(r+\ell) = \pi r(r+\sqrt{r^2+\upsilon^2}),
όπου r είναι η ακτίνα της βάσης, \upsilon το ύψος του κώνου, και \ell η ακμή του.

## Μεταξύ όμοιων σχημάτων

{{μαθηματικό θεώρημα|Έστω δύο όμοια πολύγωνα \Sigma_1 και \Sigma_2 με λόγο ομοιότητας \lambda. Τότε ο λόγος των εμβαδών τους ικανοποιεί
:\frac{{\rm E}_1}

## Δείτε επίσης
* Περίμετρος
* Όγκος

## Περαιτέρω ανάγνωση

### Ελληνικά άρθρα
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

### Ξενόγλωσσα άρθρα
* 
* 
* 

## Σημειώσεις


## Παραπομπές



Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία