Πολυώνυμο Μπέρνσταϊν

Στο τομέα της αριθμητικής ανάλυσης των μαθηματικών, ένα **πολυώνυμο Μπέρνσταϊν** (*Bernstein polynomial*), που παίρνει το όνομά του από τον ρωσοεβραίο μαθηματικό Σεργκέι Νατάνοβιτς Μπέρνσταϊν (ή Μπέρνστεϊν) είναι ένα πολυώνυμο, το οποίο αποτελεί γραμμικό συνδυασμό των **πολυωνύμων βάσεων Μπέρνσταϊν**.

Η βασική μέθοδος εκτίμησης των πολυωνύμων μορφής Μπέρνσταϊν είναι ο αλγόριθμος του ντε Καστελζώ. Τα πολυώνυμα Μπέρνσταϊν χρησιμοποιήθηκαν αρχικά σε μία κατασκευαστική απόδειξη για το θεώρημα Στόουν–Βάιερστρας (Stone-Weierstrass Theorem). Με την ανάπτυξη του τομέα των γραφικών υπολογιστών (computer graphics) και του **υπολογιστικά βοηθούμενου σχεδιασμού** (computer-aided design), τα πολυώνυμα Μπέρνσταιν, περιορισμένα στο διάστημα *x*&nbsp;∈&nbsp;[0,&nbsp;1], αποτέλεσαν τη βάση στο σχηματισμό των καμπυλών Μπεζιέ (Bézier Curves).

## Ορισμός

Η *n*&nbsp;+&nbsp;1 **βάση πολυωνύμων Μπέρνσταϊν** βαθμού  *n* ορίζεται ως

: b_{\nu,n}(x) = {n \choose \nu} x^{\nu} \left( 1 - x \right)^{n - \nu}, \quad \nu = 0, \ldots, n.

όπου {n \choose \nu} είναι  διωνυμικός συντελεστής.

Τα βασικά πολυώνυμα Μπέρνσταϊν βαθμού *n* σχηματίζουν μία βάση του διανυσματικού χώρου Π*n* των πολυωνύμων βαθμού&nbsp;*n*.

Ένας γραμμικός συνδυασμός των βασικών πολυωνύμων Μπέρνσταϊν

:B(x) = \sum_{\nu=0}^{n} \beta_{\nu} b_{\nu,n}(x)

καλείται **πολυώνυμο Μπέρνσταϊν** ή **πολυώνυμο μορφής Μπέρνσταϊν** βαθμού&nbsp;*n*. Οι συντελεστές \beta_\nu ονομάζονται ** συντελεστές Μπέρνσταϊν** ή ** συντελεστές Μπεζιέ **.

*Με έναν άλλο συμβολισμό έχουμε:

Ένα πολυώνυμο Μπέρνσταϊν P(x) βαθμού *n* δίνεται από τον τύπο:

: P(x) = \sum_{k=0}^n {c_k B^n_k (x)}

Όπου τα B^n_k(\cdot) είναι στοιχεία της  βάσης των πολυωνύμων Μπέρνσταϊν, που ορίζονται από:

: B^n_i (x) = {n \choose i} x^i (1 - x)^{n - i}   αν    x \in [0,1];

ή γενικότερα:

: B^n_i (x) = {n \choose i} {(b-x)^{n-i}(x-a)^i \over (b-a)^n}    αν   x \in [a,b];

(εδώ {n \choose i} είναι ο διωνυμικός συντελεστής.

## Ιδιότητες
Τα βασικά πολυώνυμα Μπέρνσταϊν έχουν τις εξής ιδιότητες:

* b_{\nu, n}(x) = 0, αν \nu  ή  \nu > n.
* b_{\nu, n}(0) = \delta_{\nu, 0} και b_{\nu, n}(1) = \delta_{\nu, n} όπου \delta είναι το δέλτα του Κρόνεκερ της αντίστοιχης συνάρτησης.
* b_{\nu, n}(x) έχει ρίζα πολλαπλότητας \nu στο σημείο x = 0 (προσοχή: αν \nu = 0, δεν υπάρχει ρίζα στο 0).
* b_{\nu, n}(x) έχει ρίζα πολλαπλότητας \left( n - \nu \right) στο σημείο x = 1 (προσοχή: αν \nu = n, δεν υπάρχει ρίζα στο 1).
* b_{\nu, n}(x) \ge 0 για x \in [0,\ 1].
* b_{\nu, n}\left( 1 - x \right) = b_{n - \nu, n}(x). Συμμετρία ως προς τα x και 1 - x .

* Η παράγωγος μπορεί να γραφεί ως συνδυασμός δύο πολυωνύμων μικρότερου βαθμού:
*: b'_{\nu, n}(x) = n \left( b_{\nu - 1, n - 1}(x) - b_{\nu, n - 1}(x) \right).

* Το ολοκλήρωμα είναι σταθερό για συγκεκριμένο n
*: \int_{0}^{1}b_{\nu, n}(x)dx = \frac{1}{n+1}  \forall \nu = 0,1 \dots n

* Αν n \ne 0, τότε b_{\nu, n}(x) έχει μοναδικό τοπικό μέγιστο στο διάστημα [0,\ 1] στο x = \frac{\nu}{n}. Το μέγιστο αυτό έχει τιμή:
*: \nu^\nu n^{-n} \left( n - \nu \right)^{n - \nu} {n \choose \nu}.

* Η βάση πολυωνύμων Μπέρνσταϊν βαθμού n σχηματίζουν μία κατάτμηση της μονάδας:
*: \sum_{\nu = 0}^n b_{\nu, n}(x) = \sum_{\nu = 0}^n {n \choose \nu} x^\nu \left( 1 - x \right)^{n - \nu} = \left(x + \left( 1 - x \right) \right)^n = 1.

* Παίρνοντας την πρώτη παράγωγο της (x+y)^n όπου y = 1-x, μπορεί να δειχθεί ότι:
*: \sum_{\nu=0}^{n}\nu b_{\nu, n}(x) = nx

* Η δεύτερη παράγωγος της (x+y)^n όπου y = 1-x μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δείξει ότι:
*: \sum_{\nu=1}^{n}\nu(\nu-1) b_{\nu, n}(x) = n(n-1)x^2

* Ένα πολυώνυμο Μπέρνσταϊν μπορεί να γραφεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός πολυωνύμων μεγαλύτερου βαθμού:
*: b_{\nu, n - 1}(x) = \frac{n - \nu}{n} b_{\nu, n}(x) + \frac{\nu + 1}{n} b_{\nu + 1, n}(x).

## Παραδείγματα

### Παράδειγμα 1

Τα πρώτα λίγα βασικά πολυώνυμα Μπέρνσταϊν είναι:

: 
\begin{align}
b_{0,0}(x) & = 1, \\
b_{0,1}(x) & = 1 - x, & b_{1,1}(x) & = x \\
b_{0,2}(x) & = (1 - x)^2, & b_{1,2}(x) & = 2x(1 - x), & b_{2,2}(x) & = x^2 \\
b_{0,3}(x) & = (1 - x)^3, & b_{1,3}(x) & = 3x(1 - x)^2, & b_{2,3}(x) & = 3x^2(1 - x), & b_{3,3}(x) & = x^3  \\
b_{0,4}(x) & = (1 - x)^4, & b_{1,4}(x) & = 4x(1 - x)^3, & b_{2,4}(x) & = 6x^2(1 - x)^2, & b_{3,4}(x) & = 4x^3(1 - x), & b_{4,4}(x) & = x^4
\end{align}


### Παράδειγμα 2
Στην περίπτωση ενός πολυωνύμου βαθμού  2 η βάση στο διάστημα [0,1] συνίσταται από:
* B^2_0 (x) = {2 \choose 0 } x^0 (1 - x)^{2 - 0} = (1 - x)^2
* B^2_1 (x) = {2 \choose 1} x^1 (1 - x)^{2 - 1} = 2 x (1 - x)
* B^2_2 (x) = {2 \choose 2} x^2 (1 - x)^{2 - 2} = x^2

Ένα πολυώνυμο που εκφράζεται με αυτή τη βάση θα πρέπει να ακολουθεί τη μορφή:

:P(x) = c_0 B^2_0(x) + c_1 B^2_1(x) + c_2 B^2_2(x)

## Δείτε επίσης
*Καμπύλη Μπεζιέ
*Καμπύλη B-Spline
*Πολυωνυμική Παρεμβολή
*Πολυώνυμο Νιούτον
*Πολυώνυμο Λαγκράνζ

## Αναφορές
* 
* 
* H. Caglar and A.N. Akansu, "A Generalized Parametric PR-QMF Design Technique Based on Bernstein Polynomial Approximation," IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 41, no. 7, pp.&nbsp;2314–2321, July 1993.
* 
*From Bézier to Bernstein
*BERNSTEIN POLYNOMIALS by Kenneth I. Joy 

Κατηγορία:Αριθμητική ανάλυση
Κατηγορία:Πολυώνυμα