Τοπολογία Étale

Στην αλγεβρική γεωμετρία, η **τοπολογία Étale** είναι μια τοπολογία Γκρότεντικ στην κατηγορία των σχημάτων, η οποία έχει ιδιότητες παρόμοιες με την ευκλείδεια τοπολογία, αλλά σε αντίθεση με την ευκλείδεια τοπολογία, ορίζεται επίσης σε θετική χαρακτηριστική. Η étale τοπολογία εισήχθη αρχικά από τον Αλεξάντερ Γκρότεντικ για να ορίσει την étale συνομολογία, και αυτή εξακολουθεί να είναι η πιο γνωστή χρήση της étale τοπολογίας.

## Ορισμός
Για κάθε σχήμα *X*, έστω Ét(*X*') η κατηγορία όλων των étale μορφισμών από ένα σχήμα στο *X*.  Πρόκειται για το ανάλογο της κατηγορίας των ανοικτών υποσυνόλων του *X* (δηλαδή της κατηγορίας της οποίας τα αντικείμενα είναι ποικιλίες και οι μορφισμοί της είναι ανοικτές εμβαπτίσεις).  Τα αντικείμενά της μπορούν άτυπα να θεωρηθούν ως étale ανοικτά υποσύνολα της *X*.  Η τομή δύο αντικειμένων αντιστοιχεί στο γινόμενο των ινών τους επί της *X*.  Η Ét(*X*) είναι μια μεγάλη κατηγορία, που σημαίνει ότι τα αντικείμενά της δεν αποτελούν σύνολο.

Ένα **étale presheaf** στο X είναι ένας αντεστραμμένος συναρτησιακός συναρτητής από το Ét(*X*) στην κατηγορία των συνόλων. Ένα presheaf *F* καλείται **étale δεμάτιο** (**sheaf)** αν ικανοποιεί την ανάλογη της συνήθους συνθήκης συγκόλλησης για δεμάτια σε τοπολογικούς χώρους. Δηλαδή, η *F* είναι étale δεμάτιο αν και μόνο αν ισχύει η ακόλουθη συνθήκη. Ας υποθέσουμε ότι το  είναι ένα αντικείμενο του Ét(*X*) και ότι το  είναι μια από κοινού υποχωρητική οικογένεια étale μορφισμών πάνω στο *X*. Για κάθε *i*, επιλέξτε ένα τμήμα *x**i* της *F* πάνω στο *U**i*. Ο χάρτης προβολής , ο οποίος είναι χαλαρά μιλώντας η συμπερίληψη της τομής των *U**i* και *U**j* στο *U**i*, επάγει έναν χάρτη περιορισμού . Αν για όλα τα *i* και *j* οι περιορισμοί των *x**i* και *x**j* στο  είναι ίσοι, τότε πρέπει να υπάρχει ένα μοναδικό τμήμα *x* της *F* πάνω στο *U* που να περιορίζεται στο *x**i*  για όλα τα *i*.

Ας υποθέσουμε ότι το *X* είναι ένα Ναιτεριανό σχήμα.  Μια αβελιανή étale sheaf *F* στο *X* ονομάζεται **πεπερασμένη τοπικά σταθερή** αν είναι ένας αναπαραστάσιμος συναρτητής που μπορεί να αναπαρασταθεί από ένα étale κάλυμμα του *X*. Ονομάζεται **κατασκευάσιμος** αν το *X* μπορεί να καλυφθεί από μια πεπερασμένη οικογένεια υποσχημάτων σε καθένα από τα οποία ο περιορισμός του *F* είναι πεπερασμένα τοπικά σταθερός. Ονομάζεται **στρεπτική** αν η *F*(*U*) είναι ομάδα στρέψης για όλα τα étale καλύμματα *U* της *X*. Τα πεπερασμένα τοπικά σταθερά δεμάτια είναι κατασκευάσιμα και τα κατασκευάσιμα δεμάτια είναι στρέψη. Κάθε στρεπτικό δεμάτιο είναι ένα φιλτραρισμένο επαγωγικό όριο κατασκευάσιμων δεματίων.

Ο Γκρότεντικ εισήγαγε αρχικά τον μηχανισμό των τοπολογιών και των τόπων του Γκρότεντιεκ για να ορίσει την τοπολογία étale. Σε αυτή τη γλώσσα, ο ορισμός της étale τοπολογίας είναι συνοπτικός αλλά αφηρημένος: Είναι η τοπολογία που παράγεται από την προ-τοπολογία, της οποίας οι οικογένειες κάλυψης είναι από κοινού επιρριπτικές οικογένειες étale μορφισμών. Ο **μικρός étale τόπος του** *X* είναι η κατηγορία *O*(*X*ét) της οποίας τα αντικείμενα είναι σχήματα U με σταθερό étale μορφισμό U → X. Οι μορφισμοί είναι μορφισμοί σχημάτων συμβατών με τους σταθερούς χάρτες προς τον *U*. Ο **μεγάλος étale τόπος του** *X* είναι η κατηγορία Ét/*X*, δηλαδή η κατηγορία των σχημάτων με σταθερό χάρτη προς τον *X*, εξεταζόμενη με την étale τοπολογία.

Η τοπολογία étale μπορεί να οριστεί χρησιμοποιώντας ελαφρώς λιγότερα δεδομένα. Πρώτον, ας σημειωθεί ότι η τοπολογία étale είναι λεπτότερη από την τοπολογία Ζαρίσκι. Κατά συνέπεια, για να ορίσουμε ένα étale κάλυμμα ενός σχήματος *X*, αρκεί πρώτα να καλύψουμε το *X* με ανοικτά αφινικά υποσχήματα, δηλαδή να πάρουμε ένα κάλυμμα Ζαρίσκι, και στη συνέχεια να ορίσουμε ένα étale κάλυμμα ενός αφινικού σχήματος. Μια étale κάλυψη ενός αφινικού σχήματος *X* μπορεί να οριστεί ως μια από κοινού υποτακτική οικογένεια {*u**α* : *X**α* → *X*} τέτοια ώστε το σύνολο όλων των *α* να είναι πεπερασμένο, κάθε *X**α* να είναι αφινικό και κάθε *u**α* να είναι étale. Τότε ένα étale κάλυμμα του *X* είναι μια οικογένεια {*u**α* : *X**α* → *X*} η οποία γίνεται ένα étale κάλυμμα μετά από αλλαγή βάσης σε οποιοδήποτε ανοικτό αφινικό υποσύστημα του *X*.

## Τοπικοί δακτύλιοι
Έστω *X* ένα σχήμα με την étale τοπολογία του, και ορίζουμε ένα σημείο *x* του *X*. Στην τοπολογία Ζαρίσκι, ο στέλεχος του *X* στο *x* υπολογίζεται παίρνοντας ένα άμεσο όριο των τμημάτων της δομής sheaf πάνω σε όλες τις ανοικτές γειτονιές Ζαρίσκι του *x*. Στην étale τοπολογία, υπάρχουν αυστηρά περισσότερες ανοικτές γειτονιές του *x*, οπότε το σωστό ανάλογο του τοπικού δακτυλίου στο *x* σχηματίζεται παίρνοντας το όριο πάνω σε μια αυστηρά μεγαλύτερη οικογένεια. Το σωστό ανάλογο του τοπικού δακτυλίου στο *x* για την étale τοπολογία αποδεικνύεται ότι είναι η αυστηρή χενσελοποίηση του τοπικού δακτυλίου \mathcal{O}_{X, x}. Συνήθως συμβολίζεται ως \mathcal{O}_{X, x}^\text{sh}.

## Δείτε επίσης

* Field Arithmetic
* Θεώρημα δείκτη Ατίγια-Σίνγκερ
*Τοπολογία
* Γένος (μαθηματικά)
* Ελλειπτική συνάρτηση Βάιερστρας
* Τοπολογία Ζαρίσκι
* Θεμελιώδης ομάδα Étale

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Andreas Gathmann - Algebraic Geometry (SS 2014)
* Algebraic Geometry II: Cohomology of Schemes: With Examples and Exercises
* An Introduction to Intersection Homology Theory, Second Edition
* Etale Cohomology (PMS-33)
*  Real and Etale Cohomology
* p-Adic Automorphic Forms on Shimura Varieties

## Δημοσιεύσεις
*Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 20. doi:10.1007/bf02684747. MR 0173675.
*Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 32. doi:10.1007/bf02732123. MR 0238860.
*
*
*
*
*J. S. Milne (2008). *[http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/LEC.pdf Lectures on Étale Cohomology]*

## Παραπομπές

 

Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα