Σώμα Λέβι-Τσίβιτα

Στα μαθηματικά, το **σώμα Λεβί-Τσιβίτα**, που πήρε το όνομά του από τον Τούλιο Λεβί-Τσιβίτα, είναι ένα μη-αρχιμήδειο διατεταγμένο σώμα, δηλαδή ένα σύστημα αριθμών που περιέχει άπειρες και απειροελάχιστες ποσότητες. Συνήθως συμβολίζεται ως \mathcal{R}.

Κάθε μέλος a  μπορεί να κατασκευαστεί ως μια τυπική σειρά της μορφής 

: 
 a = \sum_{q\in\mathbb{Q}} a_q\varepsilon^q ,


όπου \mathbb{Q} είναι το σύνολο των ρητών αριθμών, οι συντελεστές a_q είναι πραγματικοί αριθμοί και το \varepsilon πρέπει να ερμηνευθεί ως ένα σταθερό θετικό απειροστό. Απαιτείται ότι για κάθε ρητό αριθμό r, υπάρχουν μόνο πεπερασμένα πολλά q\in\mathbb{Q} μικρότερα του r με a_q\neq 0- αυτός ο περιορισμός είναι απαραίτητος για να είναι καλά ορισμένος και μοναδικός ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση. Δύο τέτοιες σειρές θεωρούνται ίσες μόνο αν όλοι οι συντελεστές τους είναι ίσοι. Η διάταξη ορίζεται σύμφωνα με τη λεξικογραφική διάταξη του καταλόγου των συντελεστών, η οποία είναι ισοδύναμη με την υπόθεση ότι το \varepsilon είναι απειροστό.

Οι πραγματικοί αριθμοί ενσωματώνονται σε αυτό το σώμα ως σειρές στις οποίες όλοι οι συντελεστές εξαλείφονται εκτός από τον a_0.

## Παραδείγματα
* Το 7\varepsilon είναι ένα απειροστό που είναι μεγαλύτερο από το \varepsilon, αλλά μικρότερο από κάθε θετικό πραγματικό αριθμό.
* Το \varepsilon^2 είναι μικρότερο από το \varepsilon, και είναι επίσης μικρότερο από το r\varepsilon για κάθε θετικό πραγματικό r.
* 1+\varepsilon διαφέρει απειροελάχιστα από το 1.
* Το \varepsilon^{1/2} είναι μεγαλύτερο από το \varepsilon και ακόμη μεγαλύτερο από το r\varepsilon για κάθε θετικό πραγματικό r, αλλά το \varepsilon^{1/2} εξακολουθεί να είναι μικρότερο από κάθε θετικό πραγματικό αριθμό.
* Το 1/\varepsilon είναι μεγαλύτερο από οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό.
* 1+\varepsilon+\frac{1}{2}\varepsilon^2+\cdots+\frac{1}{n!}\varepsilon^n+\cdots ερμηνεύεται ως e^\varepsilon, το οποίο διαφέρει απειροελάχιστα από το 1.
* To 1+\varepsilon + 2\varepsilon^2 + \cdots + n!\varepsilon^n + \cdots είναι έγκυρο μέλος του σώματος, επειδή η σειρά πρέπει να κατασκευαστεί τυπικά, χωρίς να λαμβάνεται υπόψιν η σύγκλιση.

## Ορισμός των πράξεων σώματος και θετικού κώνου

Αν a=\sum \limits_{q \in \mathbb{Q}}a_q \varepsilon^q και b=\sum \limits_{q \in \mathbb{Q}}b_q \varepsilon^q είναι δύο σειρές Λέβι-Τσίβιτα, τότε
* το άθροισμά τους a+b είναι το σημειακό άθροισμα a+b:=\sum \limits_{q \in \mathbb{Q}}(a_q+b_q) \varepsilon^q.
* Το γινόμενό τους ab είναι το γινόμενο του Κωσύ ab:=\sum \limits_{q \in \mathbb{Q}}\left(\sum \limits_{r+s=q} a_r b_s \right)\varepsilon^q.
(Μπορεί κανείς να ελέγξει ότι για κάθε q\in\mathbb{Q} το σύνολο \{(r,s) \in \mathbb{Q}\times\mathbb{Q}: \ r+s=q,\ a_r \neq 0,\ b_s \neq 0\} είναι πεπερασμένο, έτσι ώστε όλα τα γινόμενα να είναι καλά καθορισμένα και η σειρά που προκύπτει να ορίζει μια έγκυρη σειρά Λέβι-Τσίβιτα).
* Το πηλίκο τους ορίζεται από πολυωνυμική διαίρεση.  Η διαίρεση δύο πεπερασμένων σειρών μπορεί να οδηγήσει σε μια άπειρη σειρά, ανάλογα με τα άπειρα δεκαδικά αναπτύγματα.
* η σχέση 0 ισχύει αν a\neq 0 (δηλαδή τουλάχιστον ένας συντελεστής του a είναι μη μηδενικός) και ο μικρότερος μη μηδενικός συντελεστής του a είναι αυστηρά θετικός. 

Εφοδιασμένο με αυτές τις πράξεις και την τάξη, το σώμα Λέβι-Τσίβιτα είναι πράγματι μια διατεταγμένη επέκταση του \mathbb{R} όπου η σειρά \varepsilon είναι ένα θετικό απειροστό.

## Ιδιότητες και εφαρμογές

Το σώμα Λέβι-Τσίβιτα είναι πραγματικά κλειστό, που σημαίνει ότι μπορεί να είναι αλγεβρικά κλειστό με την προσθήκη μιας φανταστικής μονάδας (i) ή με το να αφήσουμε τους συντελεστές να είναι μιγαδικοί. Είναι αρκετά πλούσιο ώστε να επιτρέπει την πραγματοποίηση ενός σημαντικού όγκου ανάλυσης, αλλά τα στοιχεία του μπορούν ακόμα να αναπαρασταθούν σε έναν υπολογιστή με την ίδια έννοια που οι πραγματικοί αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν με τη χρήση κινητής υποδιαστολής. 
Αποτελεί τη βάση της αυτόματης διαφοροποίησης, ενός τρόπου εκτέλεσης της διαφοροποίησης σε περιπτώσεις που είναι δυσεπίλυτες με τη συμβολική διαφοροποίηση ή τις μεθόδους πεπερασμένων διαφορών.

Το σώμα Λέβι-Τσίβιτα είναι επίσης πλήρες κατά Κωσύ, που σημαίνει ότι σχετικοποιώντας τους ορισμούς \forall \exists\forall της ακολουθίας Κωσύ και της συγκλίνουσας ακολουθίας σε ακολουθίες σειρών Λέβι-Τσίβιτα, κάθε ακολουθία Κωσύ στο σώμα συγκλίνει. Ισοδύναμα, δεν έχει κατάλληλη πυκνή διατεταγμένη επέκταση σώματος.

Ως διατεταγμένο σώμα, έχει μια φυσική αποτίμηση που δίνεται από τον ρητό εκθέτη που αντιστοιχεί στον πρώτο μη μηδενικό συντελεστή μιας σειράς Λέβι-Τσίβιτα. Ο δακτύλιος αποτίμησης είναι αυτός των σειρών που περιορίζονται από πραγματικούς αριθμούς, το σώμα καταλοίπων είναι \mathbb{R} και η ομάδα τιμών είναι (\mathbb{Q},+). Το προκύπτον σώμα τιμών είναι χανσελιανό (είναι πραγματικά κλειστό με κυρτό δακτύλιο αποτίμησης) αλλά όχι σφαιρικά πλήρες. Πράγματι, το σώμα των σειρών Χαν με πραγματικούς συντελεστές και ομάδα τιμών (\mathbb{Q},+) είναι μια κατάλληλη άμεση επέκταση, που περιέχει σειρές όπως 1+\varepsilon^{1/2}+\varepsilon^{2/3}+\varepsilon^{3/4}+\varepsilon^{4/5}+\cdots οι οποίες δεν βρίσκονται στο σώμα Λέβι-Τσίβιτα.

## Σχέσεις με άλλα διατεταγμένα σώματα

Το σώμα Λέβι-Τσίβιτα είναι η συμπλήρωση Κωσύ (Cauchy-completion) του σώματος \mathbb{P} των σειρών Πουιζέ (Puiseux) πάνω στο σώμα των πραγματικών αριθμών, δηλαδή είναι μια πυκνή επέκταση του \mathbb{P} χωρίς κατάλληλη πυκνή επέκταση. Ακολουθεί ένας κατάλογος μερικών από τα αξιοσημείωτα κατάλληλα υποσώματα της και τις κατάλληλες διατεταγμένες επεκτάσεις της:

### Σημαντικά υποσώματα
* Το σώμα \mathbb{R} των πραγματικών αριθμών.
* Το σώμα \mathbb{R}(\varepsilon) των κλασμάτων πραγματικών πολυωνύμων (ρητών συναρτήσεων) με απειροελάχιστο θετικό απροσδιόριστο \varepsilon.
* Το σώμα \mathbb{R}((\varepsilon)) των τυπικών σειρών Λοράν πάνω στο \mathbb{R}.
* Το σώμα \mathbb{P} των σειρών Πουιζέ πάνω από το \mathbb{R}.

### Σημαντικές επεκτάσεις
* Το σώμα \mathbb{R}\varepsilon^{\mathbb{Q}} των σειρών Χαν με πραγματικούς συντελεστές και ρητούς εκθέτες.
* Το σώμα \mathbb{T}^{LE} των λογαριθμικών-εκθετικών μετασειρών.
* Το σώμα \mathbf{No}(\varepsilon_0) των εξωπραγματικών αριθμών (surreal numbers) με ημερομηνία γέννησης κάτω από τους πρώτους \varepsilon-αριθμό \varepsilon_0.
* Τα σώματα των υπερπραγματικών αριθμών (hyperreal )  που κατασκευάζονται ως υπερδυνάμεις του \mathbb{R} modulo ένα ελεύθερο υπερφίλτρο στο \mathbb{N} (αν και εδώ οι ενσωματώσεις δεν είναι κανονικές).

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Διδιάστατος χώρος
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Υπερβολική γεωμετρία
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Διάσταση Κρουλ
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.
* Theodor Schneider: *Einführung in die transzendenten Zahlen* (= *Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen.* Bd. 81, ). Springer, Berlin u. a. 1957.
* Bartel Leendert van der Waerden: *Algebra* (= *Heidelberger Taschenbücher.* Bd. 12) Band 1. 8. Auflage. Springer, Berlin u. a. 1971, ISBN 3-540-03561-3.
*
* 

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα