Κατηγορική λογική

Η **κατηγορική λογική** είναι ο κλάδος των μαθηματικών στον οποίο εργαλεία και έννοιες από τη θεωρία κατηγοριών εφαρμόζονται στη μελέτη της μαθηματικής λογικής. Είναι επίσης αξιοσημείωτη για τις συνδέσεις της με τη θεωρητική επιστήμη των υπολογιστών.  Σε γενικές γραμμές, η  **κατηγορική λογική** αναπαριστά τόσο τη σύνταξη όσο και τη σημασιολογία μέσω μιας κατηγορίας, και μια ερμηνεία μέσω ενός συναρτητή. Το κατηγορικό πλαίσιο παρέχει ένα πλούσιο εννοιολογικό υπόβαθρο για λογικές κατασκευές και τη θεωρία των τύπων. Το συγκεκριμένο θέμα είναι αναγνωρίσιμο με αυτούς τους όρους από το 1970 περίπου.

## Επισκόπηση

Υπάρχουν τρία σημαντικά θέματα στην κατηγορική προσέγγιση της λογικής: 
;Κατηγορική σημασιολογία: Η κατηγορική λογική εισάγει την έννοια της δομής που αποτιμάται σε μια κατηγορία **C** με την κλασική θεωρητική του μοντέλου έννοια της δομής να εμφανίζεται στην ειδική περίπτωση όπου **C** είναι η κατηγορία των συνόλων και των συναρτήσεων. Αυτή η έννοια αποδείχθηκε χρήσιμη όταν η έννοια του μοντέλου της θεωρίας συνόλων στερείται γενικότητας και/ή είναι άβολη. Η μοντελοποίηση από τον R.A.G. Seely διαφόρων απροσδιοριστικών θεωριών, όπως το Σύστημα F, είναι ένα παράδειγμα της χρησιμότητας της κατηγορικής σημασιολογίας.

:Διαπιστώθηκε ότι τα συνδετικά της προ-κατηγορικής λογικής γίνονταν σαφέστερα κατανοητά με τη χρήση της έννοιας του συζυγούς συναρτητή και ότι οι ποσοδείκτες γίνονταν επίσης καλύτερα κατανοητοί με τη χρήση συζυγών συναρτητών.

;Εσωτερικές γλώσσες: Αυτό μπορεί να θεωρηθεί ως μια τυποποίηση και γενίκευση της απόδειξης μέσω της διαγραμματικής αναζήτησης. Ορίζεται μια κατάλληλη εσωτερική γλώσσα που ονομάζει τα σχετικά συστατικά μιας κατηγορίας και, στη συνέχεια, εφαρμόζεται η κατηγορική σημασιολογία για να μετατρέψει τις προτάσεις μιας λογικής στην εσωτερική γλώσσα σε αντίστοιχες κατηγορικές δηλώσεις. Αυτή η προσέγγιση γνώρισε τη μεγαλύτερη επιτυχία στη θεωρία των τόπων : η εσωτερική γλώσσα ενός τόπου, σε συνδυασμό με τη σημασιολογία της ανώτερης διαισθητικής λογικής σε έναν τόπο, επιτρέπει τη συλλογιστική πάνω στα αντικείμενα και τις μορφές ενός τόπου σαν να επρόκειτο για σύνολα και συναρτήσεις. γεγονός που επέτρεψε την επιτυχή επεξεργασία τόπων που διαθέτουν «σύνολα» με ιδιότητες ασυμβίβαστες με την κλασική λογική. Ένα εξαιρετικό παράδειγμα είναι το μοντέλο της Ντέινα Σκοτ (Dana Scott) για τον μη τυποποιημένο λογισμό λάμδα με όρους αντικειμένων που ανασύρονται στο δικό τους χώρο συναρτήσεων. Ένα άλλο είναι το μοντέλο των Μόγκι-Χάιλαντ για το σύστημα F μέσω μιας εσωτερικής πλήρους υποκατηγορίας του αποτελεσματικού τόπου του Μάρτιν Χάιλαντ (Martin Hyland).

;Κατασκευές μοντέλων όρων: Σε πολλές περιπτώσεις, η κατηγορική σημασιολογία μιας λογικής παρέχει μια βάση για την καθιέρωση μιας αντιστοιχίας μεταξύ των θεωριών της λογικής και των περιπτώσεων ενός κατάλληλου είδους κατηγορίας. Ένα κλασικό παράδειγμα είναι η αντιστοιχία μεταξύ των θεωριών της βη-εξισωτικής λογικής πάνω σε απλά τυποποιημένο λογισμό λάμδα και καρτεσιανών κλειστών κατηγοριών. Οι κατηγορίες που προκύπτουν από τις θεωρίες μέσω της κατασκευής μοντέλων όρων μπορούν συνήθως να χαρακτηριστούν ως ισοδύναμες με μια κατάλληλη καθολική ιδιότητα. Αυτό επέτρεψε την απόδειξη των μεταθεωρητικών ιδιοτήτων ορισμένων λογικών μέσω μιας κατάλληλης κατηγοριακής άλγεβρας. Παραδείγματος χάριν, ο Φρέιντ απέδειξε με αυτόν τον τρόπο τις ιδιότητες της διάζευξης και της ύπαρξης της διαισθητικής λογικής

Τα τρία αυτά θέματα συνδέονται μεταξύ τους. Η κατηγορική σημασιολογία μιας λογικής συνίσταται στην περιγραφή μιας κατηγορίας δομημένων κατηγοριών που σχετίζεται με την κατηγορία των θεωριών αυτής της λογικής μέσω μιας σύζευξης, όπου οι δύο τελεστές της προσάρτησης δίνουν αφενός την εσωτερική γλώσσα μιας δομημένης κατηγορίας και αφετέρου το μοντέλο όρων μιας θεωρίας.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
*
*
* 
*
* 
* 
* 
* 
*

## Παραπομπές


*
*Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
* star-autonomous category at the nLab
* 
* *This article is based in part on [http://www.planetmath.org PlanetMath]'s [http://planetmath.org/encyclopedia/TerminalObjectsAndZeroObjectsExamplesOfInitialObjects.html article on examples of initial and terminal objects].*
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Γενική τοπολογία 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα