Ισομορφισμός ομάδας

Στην αφηρημένη άλγεβρα, ένας **ισομορφισμός ομάδας** είναι μια συνάρτηση μεταξύ δύο ομάδων η οποία δημιουργεί μια αμφίρριψη μεταξύ των στοιχείων των ομάδων με τρόπο που σέβεται τις δεδομένες πράξεις της ομάδας. Αν υπάρχει ισομορφισμός μεταξύ δύο ομάδων, τότε οι ομάδες ονομάζονται ισομορφικές. Από τη σκοπιά της θεωρίας ομάδων, οι ισομορφικές ομάδες έχουν τις ίδιες ιδιότητες και δεν χρειάζεται να διακρίνονται.

## Ορισμός και συμβολισμός

Έστω δύο ομάδες (G, *) και (H, \odot), ένας *ισομορφισμός ομάδας* από την (G, *) στην (H, \odot) είναι ένας αμφιρριπτικός ομομορφισμός ομάδας από την G στην H.  Συγκεκριμένα, αυτό σημαίνει ότι ένας ισομορφισμός ομάδας είναι μια αμφιρριπτική συνάρτηση f : G \to H τέτοια ώστε για όλα τα u και v στο G να ισχύει ότι
f(u * v) = f(u) \odot f(v).

Οι δύο ομάδες (G, *) και (H, \odot) είναι ισόμορφες αν υπάρχει ισομορφισμός από τη μία στην άλλη. Αυτό γράφεται

(G, *) \cong (H, \odot).

Συχνά μπορούν να χρησιμοποιηθούν συντομότεροι και απλούστεροι συμβολισμοί. Όταν οι σχετικές πράξεις ομάδας είναι κατανοητές, παραλείπονται και γράφουμε

G \cong H.

Μερικές φορές μπορεί κανείς να γράψει απλά G = H. Το κατά πόσον μια τέτοια γραφή είναι δυνατή χωρίς σύγχυση ή ασάφεια εξαρτάται από τα συμφραζόμενα. Παραδείγματος χάριν, το σύμβολο της ισότητας δεν είναι πολύ κατάλληλο όταν οι ομάδες είναι και οι δύο υποομάδες της ίδιας ομάδας. Δείτε επίσης τα ακόλουθα παραδείγματα.

Αντιστρόφως, δεδομένης μιας ομάδας (G, *), ενός συνόλου H, και μιας αμφίρριψης f : G \to H, μπορούμε να κάνουμε το H μια ομάδα (H, \odot) με τον ακόλουθο ορισμό
f(u) \odot f(v) = f(u * v).

Αν H = G και \odot = * τότε η αμφίρριψη είναι αυτομορφισμός (*q.v.*).

Διαισθητικά, οι θεωρητικοί των ομάδων θεωρούν δύο ισομορφικές ομάδες ως εξής: Για κάθε στοιχείο  g  μιας ομάδας G, υπάρχει ένα στοιχείο h της H τέτοιο ώστε h "συμπεριφέρεται με τον ίδιο τρόπο" όπως το " g (λειτουργεί με άλλα στοιχεία της ομάδας με τον ίδιο τρόπο όπως το g). Παραδείγματος χάριν, εάν η g παράγει την G, τότε το ίδιο κάνει και η h. Αυτό συνεπάγεται, ειδικότερα, ότι τα G και H βρίσκονται σε αμφιρριπτική αντιστοιχία. Έτσι, ο ορισμός του ισομορφισμού είναι αρκετά φυσικός.

Ένας ισομορφισμός ομάδων μπορεί ισοδύναμα να οριστεί ως ένας αντιστρέψιμος ομομορφισμός ομάδων (η αντίστροφη συνάρτηση ενός αμφιρριπτικού ομομορφισμού ομάδων είναι επίσης ένας ομομορφισμός ομάδων).

## Παραδείγματα

Σε αυτή την ενότητα παρατίθενται ορισμένα αξιοσημείωτα παραδείγματα ισομορφικών ομάδων.
* Η ομάδα όλων των πραγματικών αριθμών υπό πρόσθεση, (\R, +), είναι ισόμορφη με την ομάδα των θετικών πραγματικών αριθμών υπό πολλαπλασιασμό (\R^+, \times):
*:(\R, +) \cong (\R^+, \times) μέσω του ισομορφισμού f(x) = e^x.
* Η ομάδα \Z των ακεραίων αριθμών (με πρόσθεση) είναι υποομάδα της \R, και η ομάδα παραγόντων \R/\Z είναι ισόμορφη με την ομάδα S^1 των μιγαδικών αριθμών με απόλυτη τιμή 1 (υπό πολλαπλασιασμό):
*:\R/\Z \cong S^1
* Η τετραδική Ομάδα Κλάιν είναι ισόμορφη με το άμεσο γινόμενο δύο αντιγράφων της \Z_2 = \Z/2\Z, και επομένως μπορεί να γραφτεί \Z_2 \times \Z_2. Ένας άλλος συμβολισμός είναι \operatorname{Dih}_2, επειδή είναι μια δίεδρη ομάδα.
* Γενικεύοντας αυτό, για όλα τα περιττά n, το \operatorname{Dih}_{2 n} είναι ισόμορφο με το άμεσο γινόμενο του \operatorname{Dih}_n και του \Z_2.
* Αν η (G, *) είναι μια άπειρη κυκλική ομάδα, τότε η (G, *) είναι ισόμορφη με τους ακέραιους αριθμούς (με την πράξη πρόσθεσης). Από αλγεβρική άποψη, αυτό σημαίνει ότι το σύνολο όλων των ακεραίων (με την πράξη της πρόσθεσης) είναι η "μόνη" άπειρη κυκλική ομάδα.

Ορισμένες ομάδες μπορούν να αποδειχθούν ισομορφικές, βασιζόμενες στο αξίωμα της επιλογής, αλλά η απόδειξη δεν υποδεικνύει πώς να κατασκευάσουμε έναν συγκεκριμένο ισομορφισμό. Παραδείγματα:
* Η ομάδα (\R, +) είναι ισόμορφη με την ομάδα (\Complex, +) όλων των μιγαδικών αριθμών υπό πρόσθεση.
* Η ομάδα (\Complex^*, \cdot) των μη μηδενικών μιγαδικών αριθμών με πολλαπλασιασμό ως πράξη είναι ισόμορφη με την ομάδα S^1 που αναφέρθηκε παραπάνω.

## Ιδιότητες

Ο πυρήνας ενός ισομορφισμού από την (G, *) στην (H, \odot) είναι πάντα {eG}, όπου eG είναι η ταυτότητα της ομάδας (G, *)

Αν (G, *) και (H, \odot) είναι ισόμορφα, τότε το G είναι αβελιανό αν και μόνο αν το H είναι αβελιανό.

Αν f είναι ένας ισομορφισμός από (G, *) σε (H, \odot), τότε για κάθε a \in G, η τάξη του a ισούται με την τάξη του f(a).

Αν (G, *) και (H, \odot) είναι ισόμορφες, τότε (G, *) είναι τοπικά πεπερασμένη ομάδα αν και μόνο αν (H, \odot) είναι τοπικά πεπερασμένη.

Ο αριθμός των διακριτών ομάδων (μέχρι ισομορφισμού) τάξης n δίνεται από την ακολουθία A000001 στο OEIS. Οι πρώτοι αριθμοί είναι 0, 1, 1, 1, 1 και 2 που σημαίνει ότι το 4 είναι η χαμηλότερη τάξη με περισσότερες από μία ομάδες.

## Κυκλικές ομάδες

Όλες οι κυκλικές ομάδες μιας δεδομένης τάξης είναι ισομορφικές με (\Z_n, +_n), όπου +_n δηλώνει την πρόσθεση modulo n.

Έστω  G μια κυκλική ομάδα και n η τάξη της G. Έστω x  μια γεννήτρια της  G, τότε η G είναι ίση με \langle x \rangle = \left\{e, x, \ldots, x^{n-1}\right\}. 
Θα δείξουμε ότι
G \cong (\Z_n, +_n).

ορίζει 

\varphi : G \to \Z_n = \{0, 1, \ldots, n - 1\},

έτσι ώστε  \varphi(x^a) = a. 
Προφανώς, το , \varphi  είναι αμφιρριπτικό. Τότε

\varphi(x^a \cdot x^b) = \varphi(x^{a+b}) = a + b = \varphi(x^a) +_n \varphi(x^b), 

που αποδεικνύει ότι G \cong (\Z_n, +_n).

## Συνέπειες

Από τον ορισμό προκύπτει ότι κάθε ισομορφισμός f : G \to H θα αντιστοιχίζει το στοιχείο ταυτότητας του G στο στοιχείο ταυτότητας του H,
f(e_G) = e_H,
ότι θα αντιστοιχίσει αντιστρόφους σε αντιστρόφους,
f(u^{-1}) = f(u)^{-1} \quad \text{ for all } u \in G,
και γενικότερα, nth δύναμη σε nth δύναμη,
f(u^n)= f(u)^n \quad \text{ for all } u \in G, 
και ότι η αντίστροφη απεικόνιση f^{-1} : H \to G είναι επίσης ισομορφισμός ομάδας.

Η σχέση "είναι ισομορφική" είναι μια σχέση ισοδυναμίας. Αν η f είναι ένας ισομορφισμός μεταξύ δύο ομάδων G και H,, τότε όλα όσα είναι αληθή για την G και σχετίζονται μόνο με τη δομή της ομάδας μπορούν να μετατραπούν μέσω της f σε μια αληθή δήλωση για την H, και αντίστροφα.

## Αυτομορφισμοί

Ένας ισομορφισμός από μια ομάδα (G, *) στον εαυτό της ονομάζεται αυτομορφισμός της ομάδας. Έτσι είναι μια αμφίρριψη f : G \to G τέτοια ώστε
f(u) * f(v) = f(u * v).

Η εικόνα κάτω από έναν αυτομορφισμό μιας κλάσης συζυγίας είναι πάντα μια κλάση συζυγίας (η ίδια ή μια άλλη).

Η σύνθεση δύο αυτομορφισμών είναι και πάλι ένας αυτομορφισμός, και με αυτή την πράξη το σύνολο όλων των αυτομορφισμών μιας ομάδας G, που συμβολίζεται με \operatorname{Aut}(G), σχηματίζει μια ομάδα, την *ομάδα αυτομορφισμών* της G.

Για όλες τις αβελιανές ομάδες υπάρχει τουλάχιστον ο αυτομορφισμός που αντικαθιστά τα στοιχεία της ομάδας με τα αντίστροφά τους. Ωστόσο, σε ομάδες όπου όλα τα στοιχεία είναι ίσα με τα αντίστροφά τους, αυτός είναι ο τετριμμένος αυτομορφισμός, π.χ. στην τετραδική Κλάιν. Για την ομάδα αυτή όλες οι μεταθέσεις των τριών μη ταυτόσημων στοιχείων είναι αυτομορφισμοί, οπότε η ομάδα αυτομορφισμού είναι ισομορφική με την S_3 (η οποία από μόνη της είναι ισομορφική με την \operatorname{Dih}_3).

Στο \Z_p για έναν πρώτο αριθμό p, ένα μη ταυτόσημο στοιχείο μπορεί να αντικατασταθεί από οποιοδήποτε άλλο, με αντίστοιχες αλλαγές στα υπόλοιπα στοιχεία. Η ομάδα αυτομορφισμού είναι ισόμορφη με την \Z_{p-1} Επί παραδείγματι, για n = 7, ο πολλαπλασιασμός όλων των στοιχείων της \Z_7 επί 3, modulo 7, είναι αυτομορφισμός τάξης 6 στην ομάδα αυτομορφισμού, επειδή 3^6 \equiv 1 \pmod 7,  ενώ μικρότερες δυνάμεις δεν δίνουν 1. Έτσι, αυτός ο αυτομορφισμός παράγει το \Z_6. Υπάρχει ένας ακόμη αυτομορφισμός με αυτή την ιδιότητα: ο πολλαπλασιασμός όλων των στοιχείων του \Z_7 με το 5, modulo 7. Επομένως, αυτά τα δύο αντιστοιχούν στα στοιχεία 1 και 5 του \Z_6, με αυτή τη σειρά ή αντίστροφα.

Η ομάδα αυτομορφισμού της \Z_6 είναι ισόμορφη με την \Z_2, επειδή μόνο καθένα από τα δύο στοιχεία 1 και 5 παράγει την \Z_6,, οπότε εκτός από την ταυτότητα μπορούμε να ανταλλάξουμε μόνο αυτά.

Η ομάδα αυτομορφισμού της \Z_2 \oplus \Z_2 \oplus \Z_2 = \operatorname{Dih}_2 \oplus \Z_2 έχει τάξη 168, όπως μπορεί να βρεθεί ως ακολούθως. Και τα 7 μη ταυτότητα στοιχεία παίζουν τον ίδιο ρόλο, οπότε μπορούμε να επιλέξουμε ποιο παίζει το ρόλο του (1,0,0). Οποιοδήποτε από τα υπόλοιπα 6 μπορεί να επιλεγεί για να παίξει το ρόλο του (0,1,0). Αυτό καθορίζει ποιο στοιχείο αντιστοιχεί στο (1,1,0). Για το (0,0,1) μπορούμε να επιλέξουμε από τα 4, γεγονός που καθορίζει τα υπόλοιπα. Έτσι έχουμε  7 \times 6 \times 4 = 168 αυτομορφισμούς. Αντιστοιχούν σε αυτούς του επιπέδου Φανό, του οποίου τα 7 σημεία αντιστοιχούν στα 7 στοιχεία .  Οι γραμμές που συνδέουν τρία σημεία αντιστοιχούν στην πράξη της ομάδας: a, b, και c σε μια γραμμή σημαίνει a + b = c, a + c = b, και b + c = a. Βλέπε επίσης γενική γραμμική ομάδα πάνω σε πεπερασμένα σώματα.

Για τις αβελιανές ομάδες, όλοι οι μη τετριμμένοι αυτομορφισμοί είναι εξωτερικοί αυτομορφισμοί.

Οι μη αβελιανές ομάδες έχουν μια μη τετριμμένη ομάδα εσωτερικών αυτομορφισμών και ενδεχομένως και εξωτερικούς αυτομορφισμούς.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Επιμορφισμός
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Αβελιανή ομάδα

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
* 
* 
*
*
* 
*
* Max Koecher & Reinhold Remmert (1990) "Composition Algebras. Hurwitz's Theorem — Vector-Product Algebras", chapter 10 of *Numbers* by Heinz-Dieter Ebbinghau et al., Springer, 
*
* (English translation of a Russian original)
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Μορφισμοί 
Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα