F-άλγεβρα

Στα μαθηματικά, και συγκεκριμένα στην θεωρία κατηγοριών, οι, *F*-**άλγεβρες** γενικεύουν την έννοια της αλγεβρικής δομής. Η αναδιατύπωση των αλγεβρικών νόμων σε όρους μορφισμών εξαλείφει όλες τις αναφορές σε ποσοτικοποιημένα στοιχεία από τα αξιώματα, και αυτοί οι αλγεβρικοί νόμοι μπορούν στη συνέχεια να συνδεθούν μεταξύ τους με όρους ενός ενιαίου συναρτητή *F*, της υπογραφής. 

*Οι  F*-άλγεβρες μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για την αναπαράσταση δομών δεδομένων που χρησιμοποιούνται στον προγραμματισμό, όπως λίστες και δέντρα(δομή δεδομένων). 

Οι κύριες σχετικές έννοιες είναι οι αρχικές *F*-άλγεβρες, οι οποίες μπορούν να χρησιμεύσουν για την ενσωμάτωση της αρχής της επαγωγής, και η δυϊκή κατασκευή *F*-συνάλγεβρα.

## Ορισμός

Εάν  C είναι μια κατηγορία και F : C \rightarrow C είναι ένας ενδοσυναρτητής του C, τότε μια F-**άλγεβρα** είναι μια πλειάδα (A, \alpha), όπου A είναι ένα αντικείμενο της C και \alpha είναι ένας C-μορφισμός  F(A) \rightarrow A. Το αντικείμενο A ονομάζεται φορέας της άλγεβρας. Όταν επιτρέπεται από το πλαίσιο, οι άλγεβρες συχνά αναφέρονται μόνο με τον φορέα τους αντί για την πλειάδα. 

Ένας ομομορφισμός από μια F-άλγεβρα (A, \alpha)  σε μια  F-άλγεβρα (B, \beta)  είναι ένας  C-μορφισμός  f : A \rightarrow B έτσι ώστε  f \circ \alpha = \beta \circ F(f),  σύμφωνα με το ακόλουθο αντιμεταθετικό διάγραμμα:

Εξοπλισμένες με αυτούς τους μορφισμούς, οι  F-άλγεβρες αποτελούν μια κατηγορία.

Η δυϊκή δομή είναι F-άλγεβρες, οι οποίες είναι αντικείμενα A^* μαζί με έναν μορφισμό   \alpha^* : A^* \rightarrow F(A^*).

## Παραδείγματα

### Ομάδες
Τυπικά, μια ομάδα είναι ένα σύνολο  G με έναν *νόμο* ομάδας m : G \times G \rightarrow G, με m(x,y)=x\cdot y, **που ικανοποιεί τρία αξιώματα**: την ύπαρξη ενός στοιχείου ταυτότητας, την ύπαρξη ενός αντίστροφου για κάθε στοιχείο της ομάδας και την προσεταιριστικότητα. 

Για να το θέσουμε σε ένα κατηγορικό πλαίσιο, πρώτα ορίζουμε την ταυτότητα και το αντίστροφο ως συναρτήσεις (μορφισμοί του συνόλου G) μεe :1 \rightarrow G με e(*)=1, και i  : G \rightarrow G με i(x)=x^{-1}. Εδώ 1 δηλώνει το σύνολο με ένα στοιχείο  1=\left\{*\right\}, το οποίο επιτρέπει την ταυτοποίηση των στοιχείων x\in G  με μορφισμούς 1 \rightarrow G.

Επομένως, είναι δυνατόν να γραφούν τα αξιώματα μιας ομάδας με όρους συναρτήσεων (σημειώστε ότι ο υπαρξιακός ποσοδείκτης απουσιάζει):

:* \forall x\in G, \forall y\in G, \forall z\in G, m(m(x, y), z) = m(x, m(y, z)),
:* \forall x\in G, m(e(*), x) = m(x, e(*)) = x,
:* \forall x\in G, m(i(x), x) = m(x, i(x)) = e(*).

Τότε αυτό μπορεί να εκφραστεί με αντιμεταθετικά διαγράμματα:

Τώρα χρησιμοποιούμε το συνγινόμενο (την ασύνδετη ένωση συνόλων) για να ενώσουμε τα τρία μορφίσματα σε ένα: \alpha = e + i + m  σύμφωνα με

::\begin{matrix}
\alpha: {1}+G+G \times G & \to & G,\\
              * & \mapsto & 1,\\
              x & \mapsto & x^{-1},\\
              (x,y) & \mapsto & x \cdot y.
\end{matrix}

Έτσι, μια ομάδα είναι μια F-άλγεβρα όπου  F είναι ο συναρτητής F(G) = 1 + G + G \times G.  Ωστόσο, το αντίστροφο δεν ισχύει απαραίτητα. Ορισμένες F-άλγεβρες όπου F  είναι ο συναρτητής  F(G) = 1 + G + G \times G δεν είναι ομάδες.

Η παραπάνω κατασκευή χρησιμοποιείται για τον ορισμό αντικειμένων ομάδας πάνω σε μια αυθαίρετη κατηγορία με πεπερασμένα γινόμενα και ένα τελικό αντικείμενο 1. Όταν η κατηγορία επιτρέπει πεπερασμένα συμπαγή γινόμενα, τα αντικείμενα ομάδας είναι F--άλγεβρες. Λόγου χάριν, οι πεπερασμένες ομάδες είναι F-άλγεβρες στην κατηγορία των πεπερασμένων συνόλων και οι ομάδες Λι είναι F-άλγεβρες στην κατηγορία των λείων πολλαπλοτήτων με λείες απεικονίσεις.

### Αλγεβρικές δομές

Προχωρώντας ένα βήμα μπροστά από την καθολική άλγεβρα, οι περισσότερες αλγεβρικές δομές είναι *F*-άλγεβρες. Παραδείγματος χάριν, οι αβελιανές ομάδες είναι *F*-άλγεβρες για τον ίδιο συναρτητή *F*(*G*) = 1 + *G* + *G*×*G* όπως και για τις ομάδες, με ένα επιπλέον αξίωμα για την αντιμεταθετικότητα: m \circ t = m *m*∘*t* = *m*, όπου *t*(*x*,*y*) = (*y*,*x*) είναι η μετατόπιση στο *G*x*G*.

Τα μονοειδή είναι *F*-άλγεβρες με υπογραφή *F*(*M*) = 1 + *M*×*M*. Ομοίως, οι ημιομάδες είναι *F*-άλγεβρες με υπογραφή*F*(*S*) = *S*×*S*

Οι δακτύλιοι, οι περιοχές και τα σώματα είναι επίσης *F*-άλγεβρες με μια υπογραφή που περιλαμβάνει δύο νόμους +,•: *R*×*R* &rarr; R, μια προσθετική ταυτότητα 0: 1 &rarr; *R*, μια πολλαπλασιαστική ταυτότητα 1: 1 &rarr; *R*, και ένα προσθετικό αντίστροφο για κάθε στοιχείο -: *R* &rarr; *R*.Καθώς όλες αυτές οι συναρτήσεις μοιράζονται την ίδια συμπεριοχή *R* μπορούν να ενωθούν σε μια ενιαία συνάρτηση υπογραφής 1 + 1 + *R* + *R*×*R* + *R*×*R*  &rarr; *R*, με αξιώματα που εκφράζουν την προσθετικότητα, τη διανεμητικότητα κ.λπ. Αυτό καθιστά τους δακτυλίους  *F*-άλγεβρες στην κατηγορία των συνόλων με υπογραφή  1 + 1 + *R* + *R*×*R* + *R*×*R*.

Εναλλακτικά, μπορούμε να εξετάσουμε τον συναρτητή *F*(*R*) = 1 + *R*×*R* στην κατηγορία των αβελιανών ομάδων. Σε αυτό το πλαίσιο, ο πολλαπλασιασμός είναι ομομορφισμός, που σημαίνει ότι *m*(*x*&thinsp;+&thinsp;*y*, *z*) = *m*(*x*,*z*)&thinsp;+&thinsp;*m*(*y*,*z*) και *m*(*x*,*y*&thinsp;+&thinsp;*z*) = *m*(*x*,*y*)&thinsp;+&thinsp;*m*(*x*,*z*), που είναι ακριβώς οι συνθήκες επιμεριστικότητας. Επομένως, ένας δακτύλιος είναι μια *F*-άλγεβρα υπογραφής 1 + *R*×*R* πάνω στην κατηγορία των αβελιανών ομάδων που ικανοποιεί δύο αξιώματα (Προσεταιριστικότητα και ταυτότητα για τον πολλαπλασιασμό). 

Όταν φτάνουμε στους διανυσματικούς χώρους και τα υποσύνολα, ο συναρτητής υπογραφής περιλαμβάνει ένα βαθμωτό πολλαπλασιασμό *k*×*E* &rarr; *E*, και η υπογραφή  *F*(*E*) = 1 + *E* + *k*×*E* παραμετροποιείται από το *k* πάνω στην κατηγορία των σωμάτων ή των δακτυλίων.

Οι άλγεβρες πάνω σε σώμα μπορούν να θεωρηθούν ως *F*-άλγεβρες υπογραφής 1 + 1 + *A* + *A*×*A* + *A*×*A* + *k*×*A* πάνω στην κατηγορία των συνόλων, υπογραφής 1 + *A*×*A* oπάνω στην κατηγορία των προτύπων (ένα module με εσωτερική πολλαπλασιασμό) και υπογραφής *k*×*A* πάνω στην κατηγορία των δακτυλίων (ένας δακτύλιος με βαθμωτό πολλαπλασιασμό), όταν είναι προσεταιριστικές και μοναδιαίες.

### Πλέγμα
Δεν είναι όλες οι μαθηματικές δομές *F*-άλγεβρες. Επί παράδειγμα, ένα poset(Μερικώς διατεταγμένο σύνολο) *P* μπορεί να οριστεί με κατηγορικούς όρους με έναν μορφισμό *s*:*P* × *P* &rarr; Ω, σε ένα υποαντικείμενο σε έναν ταξινομητή υποαντικειμένων (Ω = {0,1} την κατηγορία των συνόλων και *s*(*x*,*y*)=1 ακριβώς όταν *x*≤*y*). Τα αξιώματα που περιορίζουν τον μορφισμό *s*  για να ορίσουν ένα poset(Μερικώς διατεταγμένο σύνολο) μπορούν να ξαναγραφούν με όρους μορφισμών. Ωστόσο, καθώς η συμπεριοχή του *s* είναι Ω και όχι *P*, δεν είναι *F*-άλγεβρα

Ωστόσο, τα πλέγματα, τα οποία είναι μερικές διατάξεις στις οποίες κάθε δύο στοιχεία έχουν ένα ανώτατο και ένα κατώτατο όριο, και ιδίως οι ολικές διατάξεις, είναι *F*-άλγεβρες. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι μπορούν να οριστούν ισοδύναμα με βάση τις αλγεβρικές πράξεις: *x*∨*y* = inf(*x*,*y*) και *x*∧*y* = sup(*x*,*y*), υπό την προϋπόθεση ορισμένων αξιωμάτων ( αντιμεταθετικότητα,  προσεταιριστικότητα, απορρόφηση και ταυτοδυναμία). Έτσι, είναι  *F*-άλγεβρες υπογραφής *P* x *P* + *P* x *P*.  Συχνά λέγεται ότι η θεωρία πλέγματος βασίζεται τόσο στη θεωρία διατάξης όσο και στην καθολική άλγεβρα.

### Αναδρομή
Ας θεωρήσουμε τον συναρτητή F: \mathrm{\bf{Set}} \to \mathrm{\bf{Set}} που στέλνει ένα σύνολο X to 1+X. Εδώ, \mathrm{\bf{Set}} δηλώνει την κατηγορία των συνόλων, + δηλώνει το σύνηθες συνγινόμενο που δίνεται από την ασύνδετη ή ξένη ένωση, και 1 είναι ένα τελικό αντικείμενο (δηλ. οποιοδήποτε μονόπλευρο σύνολο). Τότε, το σύνολο \mathbb{N} των φυσικών αριθμών μαζί με τη συνάρτηση [\mathrm{zero},\mathrm{succ}] : 1+\mathbb{N} \to \mathbb{N}—η οποία είναι το συνγινόμενο των συναρτήσεων \mathrm{zero} : 1 \mapsto 0 και \mathrm{succ} : n \mapsto n+1—είναι μια *F*-άλγεβρα

## Αρχική ''F''-άλγεβρα

Εάν η κατηγορία των *F*-άλγεβρων για έναν δεδομένο ενδοσυναρτητή *F* έχει ένα αρχικό αντικείμενο, ονομάζεται **αρχική άλγεβρα**. Η άλγεβρα (\mathbb{N}, [\mathrm{zero},\mathrm{succ}]) στο παραπάνω παράδειγμα είναι μια αρχική άλγεβρα. Διάφορες πεπερασμένες δομές δεδομένων που χρησιμοποιούνται στον προγραμματισμό, όπως λίστες και δέντρα, μπορούν να ληφθούν ως αρχικές άλγεβρες συγκεκριμένων ενδοσυναρτητών. 

Οι τύποι που ορίζονται χρησιμοποιώντας την κατασκευή ελάχιστου σταθερού σημείου με τον συναρτητή  *F* μπορούν να θεωρηθούν ως αρχική *F*-άλγεβρα, υπό την προϋπόθεση ότι η παραμετροποίηση ισχύει για τον τύπο.

Δείτε επίσης: Καθολική άλγεβρα.

## Τελική ''F''-συνάλγεβρα

Με δυϊκό τρόπο, μια παρόμοια σχέση υπάρχει μεταξύ των εννοιών του μεγαλύτερου σταθερού σημείου και της τελικής *F*-συνάλγεβρας. Αυτές μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να επιτρέψουν ενδεχομένως άπειρα αντικείμενα, διατηρώντας παράλληλα την ισχυρή ιδιότητα της κανονικοποίησης. Στη γλώσσα προγραμματισμού Charity με ισχυρή κανονικοποίηση (δηλ. κάθε πρόγραμμα τερματίζεται σε αυτήν), οι συν-επαγωγικοί τύποι δεδομένων μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να επιτύχουν εκπληκτικά αποτελέσματα, επιτρέποντας τον ορισμό δομών αναζήτησης για την υλοποίηση «ισχυρών» συναρτήσεων όπως η συνάρτηση Άκερμαν.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007/bf02684778. MR 0217083.
*
* Perspective. Information and Computation, 204 (2006) 637-678].

*
*Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
*
*
*
* 
* 
* Categorical programming with inductive and coinductive types () by Varmo Vene
* Philip Wadler: Recursive types for free! () University of Glasgow, June 1990. Draft.
* Algebra and coalgebra () from CLiki
* B. Jacobs, J. Rutten: A Tutorial on (Co) Algebras and (Co) Induction. Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, vol. 62, 1997, 
* Understanding F-Algebras () by Bartosz Milewski
* star-autonomous category at the nLab
* 
* *This article is based in part on [http://www.planetmath.org PlanetMath]'s [http://planetmath.org/encyclopedia/TerminalObjectsAndZeroObjectsExamplesOfInitialObjects.html article on examples of initial and terminal objects].*
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Γενική τοπολογία
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα