Εξίσωση Συλβέστερ

Στα μαθηματικά, στον τομέα της θεωρίας ελέγχου, η **εξίσωση Συλβέστερ** είναι μια εξίσωση πίνακα της μορφής:
:A X + X B = C.

Πήρε το όνομά του από τον Άγγλο μαθηματικό Τζέιμς Τζόσεφ Συλβέστερ. Στη συνέχεια, δεδομένων των πινάκων *A*, *B* και *C*, το πρόβλημα είναι να βρεθούν οι πιθανοί πίνακες *X* που συμμορφώνονται με αυτή την εξίσωση. Υποθέτουμε ότι όλοι οι πίνακες έχουν συντελεστές στους μιγαδικούς αριθμούς. Για να έχει νόημα η εξίσωση, οι πίνακες πρέπει να έχουν κατάλληλα μεγέθη, για παράδειγμα θα μπορούσαν να είναι όλοι τετραγωνικοί πίνακες του ίδιου μεγέθους. Αλλά γενικότερα, οι *A* και *B* πρέπει να είναι τετραγωνικοί πίνακες μεγέθους *n* και *m* αντίστοιχα, και τότε οι *X* και *C* έχουν και οι δύο *n* γραμμές και *m* στήλες.

Μια εξίσωση Συλβέστερ έχει μοναδική λύση για το *Χ* ακριβώς όταν δεν υπάρχουν κοινές ιδιοτιμές των *Α* και *Β*.
Γενικότερα, η εξίσωση *AX*&nbsp;+&nbsp;*XB*&nbsp;=&nbsp;*C* έχει θεωρηθεί ως εξίσωση περιορισμένων τελεστών σε έναν (ενδεχομένως απειροδιάστατο) χώρο Μπάναχ. Στην περίπτωση αυτή, η συνθήκη για τη μοναδικότητα μιας λύσης *X* είναι σχεδόν η ίδια: Υπάρχει μια μοναδική λύση *X* ακριβώς όταν τα φάσματα των *A* και -*B* είναι ξένα μεταξύ τους.

## Ύπαρξη και μοναδικότητα των λύσεων

Χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό του γινομένου Κρόνεκερ και τον τελεστή διανυσματοποίησης \operatorname{vec}, μπορούμε να ξαναγράψουμε την εξίσωση του Συλβέστερ στη μορφή 
: (I_m \otimes A +  B^T \otimes I_n) \operatorname{vec}X = \operatorname{vec}C,

όπου A είναι διάστασης n\! \times\! n, B είναι διάστασης m\!\times\!m, X διάστασης n\!\times\!m και I_k είναι ο k \times k Ταυτοτικός πίνακας. Σε αυτή τη μορφή, η εξίσωση μπορεί να θεωρηθεί ως ένα γραμμικό σύστημα διάστασης mn \times mn.

**Θεώρημα.** 
Δίνονται οι πίνακες A\in \mathbb{C}^{n\times n} και B\in \mathbb{C}^{m\times m}, η εξίσωση Συλβέστερ AX+XB=C έχει μοναδική λύση X\in \mathbb{C}^{n\times m} για κάθε C\in\mathbb{C}^{n\times m} αν και μόνο αν A και -B δεν έχουν καμία κοινή ιδιοτιμή.

**Απόδειξη.** 
Η εξίσωση AX+XB=C είναι ένα γραμμικό σύστημα με mn αγνώστους και τον ίδιο αριθμό εξισώσεων. Επομένως είναι μοναδικά επιλύσιμη για κάθε δεδομένο C αν και μόνο αν η ομογενής εξίσωση 

AX+XB=0

δέχεται μόνο την τετριμμένη λύση 0.

(i) Ας υποθέσουμε ότι οι A και -B δεν έχουν καμία κοινή ιδιοτιμή. Έστω X μια λύση της προαναφερθείσας ομογενούς εξίσωσης. Τότε AX=X(-B), η οποία μπορεί να ανυψωθεί σε 

A^kX = X(-B)^k

f για κάθε k \ge 0
με μαθηματική επαγωγή. Κατά συνέπεια,

p(A) X = X p(-B)

για οποιοδήποτε πολυώνυμο p. Ειδικότερα, έστω p το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A. Τότε 
p(A)=0 
λόγω του θεωρήματος Κέιλι-Χάμιλτον- εν τω μεταξύ, το θεώρημα φασματικής απεικόνισης μας λέει ότι

\sigma(p(-B)) = p(\sigma(-B)),

όπου \sigma(\cdot) δηλώνει το φάσμα ενός πίνακα. Εφόσον οι A και -B δεν έχουν καμία κοινή ιδιοτιμή, το p(\sigma(-B)) δεν περιέχει μηδέν, και επομένως το p(-B) είναι μη-ιδιάζον. Συνεπώς, X= 0 όπως είναι επιθυμητό. Αυτό αποδεικνύει το μέρος «αν» του θεωρήματος.

(ii) Υποθέστε τώρα ότι οι A και -B έχουν κοινή ιδιοτιμή \lambda. Έστω u ένα αντίστοιχο δεξιό ιδιοδιάνυσμα για το A, v ένα αντίστοιχο αριστερό ιδιοδιάνυσμα για το -B, και X=u{v}^*. Τότε X\neq 0, και 

AX+XB = A(uv^*)-(uv^*)(-B) = \lambda uv^*-\lambda uv^* = 0.

Επομένως, το X είναι μια μη τετριμμένη λύση της προαναφερθείσας ομογενούς εξίσωσης, δικαιολογώντας το μέρος «μόνο αν» του θεωρήματος. **Q.E.D.**

Ως εναλλακτική λύση στο θεώρημα φασματικής απεικόνισης, η μη ιδιάζουσα του p(-B) στο μέρος (i) της απόδειξης μπορεί επίσης να αποδειχθεί από την ταυτότητα του Μπεζού για τα συντριπτικά πολυώνυμα. 
Έστω q το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του -B. Εφόσον τα A και -B δεν έχουν καμία κοινή ιδιοτιμή, τα p και q είναι συντριπτά. Επομένως υπάρχουν πολυώνυμα f και g τέτοια ώστε p(z)f(z)+q(z)g(z)\equiv 1. Σύμφωνα με το θεώρημα Κέιλι-Χάμιλτον-, q(-B)=0. Επομένως p(-B)f(-B)=I, που σημαίνει ότι p(-B) είναι μη-ιδιάζον.

Το θεώρημα παραμένει αληθές για πραγματικούς πίνακες με την επιφύλαξη ότι εξετάζονται οι μιγαδικές ιδιοτιμές τους. Η απόδειξη για το μέρος «αν» εξακολουθεί να ισχύει- για το μέρος «μόνο αν», σημειώστε ότι τόσο το \mathrm{Re}(uv^*) όσο και το \mathrm{Im}(uv^*) ικανοποιούν την ομογενή εξίσωση AX+XB=0, και δεν μπορούν να είναι ταυτόχρονα μηδέν.

## Ο κανόνας αφαίρεσης του Ροθ

Δίνονται δύο τετραγωνικοί σύνθετοι πίνακες *A* και *B*, μεγέθους *n* και *m*, και ένας πίνακας *C* μεγέθους *n* επί *m*, τότε μπορεί κανείς να ρωτήσει πότε οι ακόλουθοι δύο τετραγωνικοί πίνακες μεγέθους *n*&nbsp;+&nbsp;*m* είναι παρόμοιοι μεταξύ τους:  \begin{bmatrix} A & C \\ 0 & B \end{bmatrix} και \begin{bmatrix} A & 0 \\0&B \end{bmatrix}. Η απάντηση είναι ότι αυτοί οι δύο πίνακες είναι παρόμοιοι ακριβώς όταν υπάρχει ένας πίνακας *X* τέτοιος ώστε *AX*&nbsp;-&nbsp;*XB*&nbsp;=&nbsp;*C*. Με άλλα λόγια, ο *X* είναι λύση μιας εξίσωσης του Συλβέστερ. Αυτό είναι γνωστό ως **κανόνας αφαίρεσης του Ροθ**.

Ελέγχεται εύκολα η μία κατεύθυνση: Εάν *AX*&nbsp;-&nbsp;*XB*&nbsp;=&nbsp;*C* τότε 

:\begin{bmatrix}I_n & X \\ 0 & I_m \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A&C\\0&B \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_n & -X \\ 0& I_m \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A&0\\0&B \end{bmatrix}.

Ο κανόνας αφαίρεσης του Ροθ δεν γενικεύεται σε απειροδιάστατους δεσμευμένους τελεστές σε ένα χώρο Μπάναχ. Παρόλα αυτά, ο κανόνας αφαίρεσης του Ροθ γενικεύεται στα συστήματα εξισώσεων Συλβέστερ.

## Αριθμητικές λύσεις

Ένας κλασικός αλγόριθμος για την αριθμητική επίλυση της εξίσωσης Συλβέστερ είναι ο αλγόριθμος Μπάρτελς-Στιούαρτ, ο οποίος συνίσταται στη μετατροπή των A και B σε μορφή Schur μέσω ενός αλγορίθμου QR και στη συνέχεια στην επίλυση του τριγωνικού συστήματος που προκύπτει μέσω αντίστροφης αντικατάστασης. Αυτός ο αλγόριθμος, του οποίου το υπολογιστικό κόστος είναι \mathcal{O}(n^3) αριθμητικές πράξεις, χρησιμοποιείται, μεταξύ άλλων, από το LAPACK και τη συνάρτηση lyap στο GNU Octave Δείτε επίσης τη συνάρτηση Συλβέστερ στην εν λόγω γλώσσα.. Σε ορισμένες συγκεκριμένες εφαρμογές επεξεργασίας εικόνας, η παραγόμενη εξίσωση Συλβέστερ έχει λύση κλειστής μορφής.

## Δείτε επίσης

* Field Arithmetic
* Πραγματικό προβολικό επίπεδο
* Εσωτερικό γινόμενο 
* Φυσικός αριθμός
* Πίνακας (μαθηματικά)
* Τριγωνικός πίνακας
* Διάνυσμα
* Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
* Ταυτοτικός πίνακας

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Matrix Analysis
* Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
* Symmetries, Lie Algebras and Representations: A Graduate Course for Physicists
* Introduction to Numerical Analysis
* Lyapunov Matrix Equation in System Stability and Control
* Matrix and Operator Equations and Applications
* Solving Applied Mathematical Problems with MATLAB

## Δημοσιεύσεις

* 
* 
* 
* 
* 
* 
*
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* Janko Bračič, *Kolobar aritmetičnih funkcij* (*[[:en:Ring (algebra)|Ring]] of arithmetical functions*), (Obzornik mat, fiz. **49** (2002) 4, pp.&nbsp;97–108)  (MSC (2000) 11A25) 
* Iwaniec and Kowalski, *Analytic number theory*, AMS (2004). 

 

Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων
Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Θεωρία ελέγχου