Τοπολογική πολλαπλότητα

Ένας τοπολογικός χώρος V λέγεται **τοπολογική πολλαπλότητα** διάστασης n αν: (α) ο V είναι χώρος Hausdorff,
(β) ο V είναι συναφής, (γ) σε κάθε σημείο P του V υπάρχει ένα ανοιχτό σύνολο που περιέχει το σημείο αυτό που είναι ομοιόμορφο προς ένα ανοικτό σύνολο του \mathbb{R}^n. Ιστορικά μια από τις αιτίες για την μελέτη των πολλαπλοτήτων στάθηκε η γενική θεωρία της σχετικότητας του Άλμπερτ Αϊνστάιν, όπου ο τετραδιάστατος χωροχρόνος, λόγω της αρχής της ισοδυναμίας, αποτελεί πολλαπλότητα διάστασης 4, αλλά και η μελέτη δυναμικών συστημάτων και η αναλυτική μηχανική.

## Διάσταση
Η διάσταση της πολλαπλότητας είναι μια τοπολογική ιδιότητα, που σημαίνει ότι οποιαδήποτε πολλαπλότητα που είναι ομοιόμορφη με μια  n-πολλαπλότητα έχει επίσης διάσταση n. Όπως προκύπτει από την αναλλοίωτη μια n-πολλαπλότητα δεν μπορεί να είναι ομοιόμορφη με μια m-πολλαπλότητα για *n* ≠ *m*.

Μια πολλαπλότητα διάστασης 1 συχνά καλείται καμπύλη, ενώ μια πολλαπλότητα διάστασης 2 ονομάζεται επιφάνεια. Πολλαπλότητες μεγαλύτερης διάστασης συνήθως ονομάζονται n-πολλαπλότητες. 

## Χώρος Hausdorff
Ένας τοπολογικός χώρος λέγεται χώρος Hausdorff αν για κάθε x,y που ανηκουν στο Α με x \neq y υπάρχει ε>0 τέτοιο ώστε
: 

## Παραδείγματα

* Ο χώρος \mathbb{R}^n είναι τοπολογική πολλαπλότητα διάστασης n, διότι σε κάθε σημείο του P υπάρχει ανοιχτό σύνολο που περιέχει το P και είναι ομοιόμορφο προς τον εαυτό του.
* Οποιοδήποτε διακριτός χώρος είναι μια 0-πολλαπλότητα.
* Ο κύκλος είναι μια 1-πολλαπλότητα.
* Ο τόρος είναι μια 2-πολλαπλότητα.
* Η *n*-διάστατη σφαίρα *S**n* είναι μια συμπαγή *n*-πολλαπλότητα.
* Ο *n*-διάστατος τόρος **T***n* (το γινόμενο *n* κύκλων) είναι μια συμπαγή  *n*-πολλαπλότητα.
* Οι χώροι Lens είναι μια κατηγορία πολλαπλοτήτων που είναι πηλίκα σφαιρών που έχουν μονές διαστάσεις.
* Οι ομάδες Lie είναι πολλαπλότητες προικισμένες με μια δομή ομάδας.
* Κάθε ανοιχτό υποσύνολο μιας *n*-πολλαπλότητας είναι μια n-πολλαπλότητα.
* Αν  *M* είναι μια *m*-πολλαπλότητα και *N* είναι μια *n*-πολλαπλότητα, το γινόμενο *M* &times; *N* είναι μια (*m*+*n*)-πολλαπλότητα.
* Η ένωση μιας οικογένειας *n*-πολλαπλοτήτων είναι μια *n*-πολλαπλότητα (τα κομμάτια πρέπει να έχουν όλα την ίδια διάσταση).

## Ταξινόμηση των πολλαπλοτήτων

Μια 0-πολλαπλότητα είναι απλώς ένας διακριτό χώρο. Οι χώροι αυτοί κατατάσσονται ανάλογα με την πληθικότητα τους. 

Κάθε συνδετική 1-πολλαπλότητα είναι ομοιόμορφη είτε με το R ή με τον κύκλο.

Κάθε συμπαγής, 2-πολλαπλότητα είναι ομοιόμορφη με τη σφαίρα, ένα συνδεδεμένο σύνολο τόρων.

Η 3-διάστατη περίπτωση μπορεί να λυθεί. Η εικασία του Thurston, εάν είναι αλήθεια, μαζί με τις σημερινές γνώσεις, θα συνεπαγόταν την κατάταξη των 3-πολλαπλοτήτων. Ο Γκριγκόρι Πέρελμαν σκιαγράφησε μια απόδειξη αυτής της εικασίας το 2003, η οποία (από το 2011) φαίνεται να είναι ουσιαστικά σωστή.

Η πλήρης κατάταξη των n-πολλαπλοτήτων για n μεγαλύτερο από τρία είναι γνωστό ότι είναι αδύνατο.Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει αλγόριθμος για να διαπιστωθεί εάν μια δοσμένη πολλαπλότητα είναι απλά συνδετική. Υπάρχει, ωστόσο, μια ταξινόμηση απλά συνδετικών πολλαπλοτήτων διάστασης ≥ 5

## Διαφορίσιμη πολλαπλότητα

Η σχέση των ισοδύναμων ατλάντων είναι μια σχέση ισοδυναμίας και χωρίζει τον τοπολογικό χώρο σε κλάσεις ισοδυναμίας.Κάθε τέτοια κλάση ονομάζεται διαφορίσιμη πολλαπλότητα.
Πιο συγκεκριμένα, διαφορίσιμη πολλαπλότητα διάστασης n κλάσης C^k Ονομάζεται κάθε n-διάστατη τοπολογική πολλαπλότητα V με μια k-κλάση ισοδυναμίας από το σύνολο όλων των ατλάντων κλάσης C^k που ορίζονται πάνω στην πολλαπλότητα V.

Παράδειγμα: Ο χώρος \mathbb{R}^n είναι διαφορίσιμη πολλαπλότητα της κλάσης C^\infty διότι στον χώρο αυτό ορίζεται ο άτλαντας που έχει ένα μόνο στοιχείο (το χάρτη (\mathbb{R}^n,I)) όπου I είναι ο ταυτοτικός ομοιομορφισμός επί του \mathbb{R}^n που είναι της κλάσης C^\infty

## Θεωρήματα

* Θεώρημα Milnor: Υπάρχει τοπολογική πολλαπλότητα ώστε να ορίσουμε δύο διαφορετικούς άτλαντες που να μην είναι ισοδύναμοι μεταξύ τους.
* Θεώρημα Whitney: Αν σε μια τοπολογική πολλαπλότητα έχουμε έναν άτλαντα κλάσης C^1 τότε μπορούμε αφαιρώντας κάποιους χάρτες,να προκύψει υποάτλαντας κλάσης C^\infty
* Θεώρημα Kervaire: Μια τοπολογική πολλαπλότητα δεν επιδέχεται πάντα διαφορίσιμη δομή.

## Αναφορές (στα Αγγλικά)

*Gauld, D. B. (1974). "Topological Properties of Manifolds". The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 81 (6): 633–636. doi:10.2307/2319220. JSTOR 2319220.
*Kirby, Robion C.; Siebenmann, Laurence C. (1977). Foundational Essays on Topological Manifolds. Smoothings, and Triangulations. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-08191-3.
*Lee, John M. (2000). Introduction to Topological Manifolds. Graduate Texts in Mathematics 202. New York: Springer. ISBN 0-387-98759-2.

## Βιβλιογραφία
* **Ηλιοπούλου, Ε. - Α., Ταμία - Δημοπούλου, Π.**, *	Διαφορίσιμες πολλαπλότητες* (1996)
* **Spivak, Michael**, *Calculus On Manifolds: A Modern Approach To Classical Theorems Of Advanced Calculus* (1971)
* **Ζώης Ι.Π**, *Εισαγωγή στης διαφορίσιμες πολλαπλότητες* , Pdf

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

* *Η λύση της Εικασίας του Πουανκαρέ, από τον Πέρελεμαν  :* , 

## Δείτε ακόμα
* Τοπολογία
* Τοπολογικός χώρος
* Άτλας

Κατηγορία:Τοπολογικοί χώροι
Κατηγορία:Πολλαπλότητες