Έλλειψη (γεωμετρία)

μικρογραφία|δεξιά|250px|Μια έλλειψη ως τομή ενός κώνου με ένα επίπεδο.
μικρογραφία|δεξιά|250px|Σχήμα έλλειψης με τα βασικά της στοιχεία:
<ul>
 <li><math>\rm E_1</math>, <math>\rm E_2</math>: εστίες έλλειψης
 <li><math>\rm B\Delta</math>: μεγάλος άξονας
 <li><math>\rm A\Gamma</math>: μικρός άξονας
 <li><math>\alpha</math>: μεγάλος ημιάξονας
 <li><math>\beta</math>: μικρός ημιάξονας
 <li><math>\gamma</math>: εστιακή απόσταση
 <li><math>\rm O</math>: το κέντρο έλλειψης (η τομή των δύο αξόνων ή το μέσον <math>\rm E_1E_2</math>).
</ul>

Η **έλλειψη** είναι η κωνική τομή που προκύπτει από την τομή ενός κώνου με ένα επίπεδο που τον τέμνει πλαγίως ως προς τον άξονά του.

Ισοδύναμα μία έλλειψη μπορεί να οριστεί ως ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που έχουν σταθερό άθροισμα αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία \rm E_1 και \rm E_2, τα οποία απκαλούνται οι **εστίες** της έλλειψης.

Ο κύκλος είναι η ειδική περίπτωση όπου το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονά του κώνου, ή αντίστοιχα οι εστίες \rm E_1 και \rm E_2 συμπίπτουν.

## Αυστηρός ορισμός

Έστω \rm E_1, \rm E_2 δύο σημεία σε ένα ευκλείδειο επίπεδο με απόσταση {\rm E_1 E_2} = 2\gamma μεταξύ τους και \alpha>\gamma ένας θετικός αριθμός. Έλλειψη ονομάζεται το σύνολο των σημείων \Sigma επιπέδου για τα οποία
:{\rm \Sigma E_1} + {\rm \Sigma E_2} = 2\alpha.

## Βασικές έννοιες
* Τα σημεία \rm E_1, E_2 ονομάζονται **εστίες** της έλλειψης.
* Το μέσο \rm O. του ευθύγραμμου τμήματος \rm E_1 E_2 ονομάζεται **κέντρο** της έλλειψης, και αποτελεί κέντρο συμμετρίας αυτής.
* Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που έχει ως άκρα δύο διαφορετικά σημεία της έλλειψης και διέρχεται από το κέντρο αυτής ονομάζεται **[[διάμετρος]]** της έλλειψης.
* Μία έλλειψη (που δεν είναι κύκλος) έχει δύο άξονες συμμετρίας, οι οποίοι είναι η μικρότερη και η μεγαλύτερη διάμετρός της. Αυτές ονομάζονται **μικρός** και **μεγάλος άξονας** αντίστοιχα. 
* Έστω \gamma = {\rm E_1O} = {\rm E_2 O} και \alpha = {\rm \Delta O} = {\rm BO}. Ο λόγος \varepsilon = \tfrac{\gamma}{\alpha} είναι η **εκκεντρότητα** ή εκκεντρότης της έλλειψης.
**Η εκκεντρότητα της έλλειψης, δηλώνει πόσο *στενή* 'η *πλατιά* είναι η έλλειψη. 
**Για \varepsilon=0 έχουμε κύκλο, ενώ για \varepsilon κοντά στο 1 μία *μακρόστενη* έλλειψη.

## Ιδιότητες
* Ο μεγάλος άξονας της έλλειψης έχει μήκος 2\alpha.

* Ο μικρός άξονας έχει μήκος 2\beta, όπου \beta^2=\alpha^2-\gamma^2. 

* H εκκεντρότητα \varepsilon ικανοποιεί την ανισότητα 0 \leq \varepsilon \leq 1.
## Εξισώσεις της έλλειψης

### Κανονική μορφή
Μία έλλειψη θεωρείται στην κανονική της μορφή, όταν το κέντρο της είναι στο (0,0) του συστήματος συντεταγμένων και οι άξονές της συμπίπτουν με τους άξονες \rm xx' και \rm yy'.

Σε καρτεσιανές συντεταγμένες η έλλειψη είναι το σύνολο των σημείων (x, y) που ικανοποιούν την εξίσωση
:\frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{\beta^2}=1
όπου \,\beta^2=\alpha^2-\gamma^2.

Οι παραμετρικές εξισώσεις της έλλειψης είανι
:x=\alpha\cos t,\quad y=\beta\sin t,
με παράμετρο το t,\;0\leq t.

Η εξίσωση της έλλειψης σε πολικές συντεταγμένες είναι:
:\rho=\frac{\alpha^2-\gamma^2}{\alpha-\gamma\cos\phi}.

### Γενική μορφή

Έστω μία κωνική τομή
:ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0.

Η καμπύλη αυτή είναι έλλειψη, αν 4ac-b^2>0.
Για b=0 έχουμε παράλληλη μετατόπιση, ενώ για b\neq0 έχουμε και στροφή.

## Πολικές ευθείες της έλλειψης

Έστω μία έλλειψη (στην κανονική της μορφή) και ένα σημείο {\rm P} =(p_1,p_2)\neq(0,0) του επιπέδου. Η ευθεία με εξίσωση
:\frac{p_1x}{\alpha^2} + \frac{p_2y}{\beta^2}=1
ονομάζεται **πολική ευθεία** του \rm P. Το \rm P ονομάζεται **πόλος** της ευθείας.

* Αν το \rm P είναι ένα σημείο της έλλειψης, τότε η πολική του είναι η εφαπτομένη της έλλειψης στο \rm P.

* Έστω \rm P ένα εξωτερικό σημείο της έλλειψης. Τότε από αυτό διέρχονται δύο εφαπτομένες της έλλειψης. Η πολική ευθεία του \rm P είναι η ευθεία που συνδέει τα δυο σημεία επαφής της έλλειψης με τις εφαπτομένες αυτές.

* Έστω \rm P ένα εσωτερικό σημείο της έλλειψης διάφορο του κέντρου της. Τότε η πολική του ευθεία δεν τέμνει την έλλειψη.

Αντιστρόφως σε κάθε ευθεία του επιπέδου που δεν διέρχεται από το κέντρο της έλλειψης αντιστοιχεί ένας πόλος.

## Ιδιότητες

### Ανακλαστική ιδιότητα εστιών

Έστω ένα σημείο της έλλειψης \rm P. Φέρουμε την εφαπτόμενη σε αυτό το σημείο και την κάθετη αυτής. 
Η κάθετη διχοτομεί την γωνία \rm E_1PE_2.
Αυτό έχει την εξής συνέπεια: 
Αν θεωρήσουμε την εστία E_1 ως πηγή φωτεινής ακτινοβολίας, τότε η φωτεινή ακτίνα που εκπέμπεται από την \rm E_1 και αντανακλάται στην έλλειψη διέρχεται από την \rm E_2.

### Ορθή προβολή κύκλου

Έστω ένας κύκλος με ακτίνα \alpha σε ένα επίπεδο στον τρισδιάστατο χώρο.
Θεωρούμε ένα δεύτερο επίπεδο που τέμνει το πρώτο με μία γωνία \phi\in(0,2\pi) και διέρχεται από το κέντρο του κύκλου.
Η ορθή προβολή του κύκλου στο δεύτερο επίπεδο αποτελεί έλλειψη με άξονες μήκους 2\alpha και 2\alpha\cos\phi.

Κάθε έλλειψη μπορεί να εκφραστεί ως ορθή προβολή κύκλου.

### Συζυγείς διάμετροι

Έστω μία έλλειψη και ένας κύκλος του οποίου η ορθή προβολή είναι η έλλειψη αυτή.
Δύο διάμετροι της έλλειψης ονομάζονται συζυγείς, όταν αποτελούν ορθή προβολή δύο κάθετων διαμέτρων του κύκλου.

Μία διάμετρος έλλειψης διέρχεται από τα μέσα όλων των χορδών που είναι παράλληλες με τη συζυγή της.

## Χαρακτηριστικά μεγέθη

Το εμβαδό της έλλειψης ισούται με 
:{\rm E} = \pi\alpha\beta.
Η περίμετρος της έλλειψης ισούται με 
:{\rm \Pi} = 4\alpha\int_0^{\frac{\pi}{2}} {\sqrt {1 - \varepsilon^2 (\cos t)^2}} \ dt.
Το ολοκλήρωμα που εμφανίζεται είναι ένα ελλειπτικό ολοκλήρωμα και δεν μπορεί να εκφραστεί με τη βοήθεια αρχικής συνάρτησης.

## Δείτε επίσης
* Κύκλος
* Παραβολή
* Υπερβολή

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* 
* 

Κατηγορία:Κωνικές τομές
Κατηγορία:Καμπύλες
Κατηγορία:Αλγεβρικές καμπύλες
Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία