Εικασία του Αρτέν για αρχικές ρίζες

Στη θεωρία των αριθμών, η **εικασία του Αρτέν για τις αρχικές ρίζες** δηλώνει ότι ένας δεδομένος ακέραιος *α* που δεν είναι ούτε τετραγωνικός αριθμός ούτε -1 είναι μια αρχική ρίζα σε άπειρους πρώτους αριθμούς *p*. Η εικασία αποδίδει επίσης μια ασυμπτωτική πυκνότητα σε αυτούς τους πρώτους αριθμούς. Αυτή η εικαστική πυκνότητα ισούται με τη σταθερά του Αρτέν ή ένα ρητό πολλαπλάσιο αυτής.

Η εικασία διατυπώθηκε από τον Εμίλ Αρτέν στον Χέλμουτ Χάσε στις 27 Σεπτεμβρίου 1927, σύμφωνα με το σημειωματάριο του τελευταίου. Η εικασία παραμένει άλυτη μέχρι το 2024. Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει καμία μοναδική τιμή του *a* για την οποία να αποδεικνύεται η εικασία του Αρτέν.

## Σχηματισμός

Έστω *α* ένας ακέραιος αριθμός που δεν είναι τετραγωνικός και δεν είναι &minus;1. Ας γράψουμε *a*&nbsp;=&nbsp;*a*0*b*2 με *a*0 χωρίς τετράγωνο. Συμβολίζουμε με *S*(*a*)) το σύνολο των πρώτων αριθμών *p* που είναι τέτοιοι ώστε ο *a* να είναι μια αρχική ρίζα modulo *p*. Τότε η εικασία δηλώνει 

# Η *S*(*a*) έχει θετική ασυμπτωτική πυκνότητα μέσα στο σύνολο των πρώτων αριθμών. Ειδικότερα, το *S*(*a*) είναι άπειρο.
# Υπό τις προϋποθέσεις ότι το *a* δεν είναι τέλεια δύναμη και ότι το *a*0 δεν είναι συμβατό με το 1 modulo 4 , η πυκνότητα αυτή είναι ανεξάρτητη από το *a* και ισούται με τη **σταθερά του Αρτέν**,  η οποία μπορεί να εκφραστεί ως άπειρο γινόμενο

#: C_{\mathrm{Artin}}=\prod_{p\ \mathrm{prime}} \left(1-\frac{1}{p(p-1)}\right) = 0.3739558136\ldots .

Παρόμοιοι εικαστικοί τύποι γινομένων υπάρχουν για την πυκνότητα όταν το *a* δεν ικανοποιεί τις παραπάνω συνθήκες. Σε αυτές τις περιπτώσεις, η εικαστική πυκνότητα είναι πάντα ένα ρητό πολλαπλάσιο του *C*Artin.

## Παράδειγμα

Παραδείγματος χάριν, ας πάρουμε *a* = 2. Η εικασία ισχυρίζεται ότι το σύνολο των πρώτων *p* για το οποίο το 2 είναι μία αρχική ρίζα έχει την παραπάνω πυκνότητα *C*Artin. Το σύνολο αυτών των πρώτων αριθμών είναι  ) 
: *S*(2) = {3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, ...}.

Διαθέτει 38 στοιχεία μικρότερα από 500 και υπάρχουν 95 πρώτοι αριθμοί μικρότεροι από 500. Η αναλογία (η οποία υποθετικά τείνει προς  *C*Artin)) είναι 38/95&nbsp;=&nbsp;2/5&nbsp;=&nbsp;0.4.

## Μερικά αποτελέσματα

Το 1967, ο Κρίστοφερ Χούλεϊ δημοσίευσε μια υπό όρους απόδειξη της εικασίας, υποθέτοντας ορισμένες περιπτώσεις της γενικευμένης υπόθεσης Ρίμαν.

Χωρίς τη γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν, δεν υπάρχει μία μόνο τιμή του *a* για την οποία να αποδεικνύεται η εικασία του Αρτέν. Ο ΝΤ. Ρ. Χιθ-Μπράουν απέδειξε το 1986 (Πόρισμα 1) ότι τουλάχιστον μία από τις τιμές 2, 3 ή 5 είναι αρχική ρίζα modulo απείρως πολλούς πρώτους *p*. Απέδειξε επίσης (Πόρισμα 2) ότι υπάρχουν το πολύ δύο πρώτοι για τους οποίους η εικασία του Αρτέν αποτυγχάνει.

## Μερικές παραλλαγές του προβλήματος του Αρτέν

### Ελλειπτική καμπύλη
Μια ελλειπτική καμπύλη E που δίνεται από τη σχέση y^2 = x^3+ax+b, οι Λανγκ και Τρότερ έδωσαν μια εικασία για ρητά σημεία στην E(\mathbb{Q})  ανάλογη με την εικασία της αρχικής ρίζας του Αρτέν.

Συγκεκριμένα, είπαν ότι υπάρχει μια σταθερά C_E για ένα δεδομένο σημείο άπειρης τάξης P στο σύνολο των ρητών σημείων E(\mathbb{Q}) τέτοια ώστε ο αριθμός N(P) των πρώτων αριθμών (p\leq x) για τους οποίους η αναγωγή του σημείου P\pmod p που συμβολίζεται με \bar{P} παράγει το σύνολο των σημείων του \mathbb{F_p} στο \bar{E}(\mathbb{F_p}), δίνεται από τη σχέση N(P)\sim C_E\left ( \frac{x}{\log x} \right )., Εδώ αποκλείουμε τους πρώτους αριθμούς που διαιρούν τους παρονομαστές των συντεταγμένων του P.

 Οι Γκούπτα και Μέρτι απέδειξαν την εικασία των Λανγκ και Τρότερ για το E/\mathbb{Q} με μιγαδικό πολλαπλασιασμό υπό τη Γενικευμένη Υπόθεση Ρίμαν, για πρώτους που χωρίζονται στο σχετικό φανταστικό τετραγωνικό σώμα.

### Ακριβής διάταξη
Ο Κρισναμούρτι πρότεινε το ερώτημα πόσο συχνά η περίοδος του δεκαδικού αναπτύγματος 1/p ενός πρώτου αριθμού p είναι άρτια.

Ο ισχυρισμός είναι ότι η περίοδος του δεκαδικού αναπτύγματος ενός πρώτου στη βάση g είναι άρτια αν και μόνο αν g^\left ( \frac{p-1}{2^j} \right )\not\equiv1\bmod p όπου j\geq1 and j είναι μοναδικό και p είναι τέτοιο ώστε p\equiv 1+2^j\mod{2^j}.

Το αποτέλεσμα αποδείχθηκε από τον Χάσε το 1966.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

## Δείτε επίσης
* Θεωρία αριθμών
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Φυσικός λογάριθμος
* Πρώτος αριθμός Μερσέν
* e (μαθηματική σταθερά)
* Πρώτος αριθμός
* Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
* Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
* Φυσικός αριθμός
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Αριθμητική πρόοδος
* Συνάρτηση Όιλερ
* Ευκλείδειος χώρος

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
* Reprinted by Chelsea Publishing, New York, 1971, ISBN 0-8284-0086-5.
* 
* 

## Πηγές
*Alphonse de Polignac, Recherches nouvelles sur les nombres premiers. *Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences* (1849)
*
*
* 
* 
* 
* 

Κατηγορία:Αναλυτική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Εικασίες για πρώτους αριθμούς
Κατηγορία:Πρώτοι αριθμοί
Κατηγορία:Ακέραιοι αριθμοί
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά