Ανισότητα Σάμιουελσον

Στην θεωρία πιθανοτήτων και στην στατιστική, η **ανισότητα Σάμιουελσον** (αναφέρεται και ως **ανισότητα Samuelson**) λέει ότι για κάθε x_1, \ldots, x_n, ισχύει ότι
:\overline{x} - s \sqrt{n - 1} \leq x_i \leq \overline{x} + s \sqrt{n-1},
όπου \overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n x_i είναι η δειγματική μέση τιμή και s = \sqrt{\frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^n (x_i - \overline{x})^2} είναι η δειγµατική διακύμανση.

Δηλαδή σε μία δειγματοληψία, κάθε ένα από τα δείγματα είναι στο διάστημα \big[\overline{x} - s \sqrt{n - 1},  \overline{x} + s \sqrt{n-1}\big].

Ανισότητα παίρνει το όνομά της από τον Πολ Σάμιουελσον.

## Απόδειξη

Η απόδειξη που θα δούμε βασίζεται στην ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς και ακολουθεί αυτή στην εργασία του Άρνολντ.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας θα αποδείξουμε την ανισότητα για i = n. Θεωρούμε τα διανύσματα \mathbf{a} = (x_1, \ldots, x_{n-1}) και \mathbf{b} = (1, \ldots , 1). Από την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς, έχουμε ότι
:
  |\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq \lVert \mathbf{a} \rVert \cdot \lVert \mathbf{b} \rVert.

Το εσωτερικό τους γινόμενο δίνεται από
:
|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}|
 = \left| \sum_{j = 1}^{n-1} (\overline{x} - x_j) \right|
 = \left| (n-1) \overline{x} - (n \cdot \overline{x} - x_n) \right|
 = \left| x_n - \overline{x} \right|.

Το δεξί μέλος της ανισότητας δίνεται από
:
\lVert \mathbf{a} \rVert \cdot \lVert \mathbf{b} \rVert
 = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n-1} 1^2} \cdot \sqrt{\sum_{i = 1}^{n-1} (\overline{x} - x_i)^2}
 = \sqrt{(n-1) \cdot \sum_{i = 1}^{n-1} (\overline{x} - x_i)^2}

Συνδυάζοντας τα δύο μέλη, λαμβάνουμε
:\left| x_n - \overline{x} \right| \leq \sqrt{(n-1) \cdot \sum_{i = 1}^{n-1} (\overline{x} - x_i)^2}.
Υψώνοντας στο τετράγωνο και τα δύο μέλη,
:\left| x_n - \overline{x} \right|^2 \leq (n-1) \cdot \sum_{i = 1}^{n-1} (\overline{x} - x_i)^2,
και προσθέτοντας τον όρο (n-1) \cdot \sum_{i = 1}^{n-1} (\overline{x} - x_n)^2 και στα δύο μέλη,
:n \cdot \left| x_n - \overline{x} \right|^2 \leq (n-1) \cdot \sum_{i = 1}^{n} (\overline{x} - x_i)^2.
Αναδιατάσσοντας, έχουμε ότι
:\left| x_n - \overline{x} \right| \leq \sqrt{\frac{n-1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} (\overline{x} - x_i)^2}
Από τον ορισμό της δειγµατικής διακύµανσης έχουμε ότι
:\left| x_n - \overline{x} \right| \leq s\sqrt{n-1}.

## Σχέση με ανισότητα Τσεμπισιόφ

Η ανισότητα Τσεμπισιόφ μπορεί να χρησιμοποιηθεί ώστε να δώσει ένα λιγότερο ισχυρό φράγμα για την απόκλιση |\overline{x} - x_i|. Για κάθε τυχαία μεταβλητή X η ανισότητα Τσεμπισιόφ λέει ότι για κάθε \alpha > 0,
:\Pr\left( \left| X - E[X] \right| \leq \alpha \right) \leq \frac{\mathrm{Var}(X)}{\alpha^2}.
Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή X για την οποία \Pr(X = x_i) = \tfrac{1}{n} για κάθε 1 \leq i \leq n. Τότε ισχύει ότι E[X] = \overline{x} και \sigma^2 = \operatorname{Var}(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (\overline{x} - x_i)^2 = s. Για \alpha = \sigma^2 η ανισότητα Τσεμπισιόφ δίνει ότι
:
\Pr\left( |X- \overline{x}| \leq s \sqrt{n} \right) > 1 - \frac{1}{n}.

Επομένως, με πιθανότητα 1 - 1/n (δηλαδή πάντοτε αφού κάθε τιμή έχει πιθανότητα να επιλεγεί 1/n) ισχύει ότι,
:
|X- \overline{x}| \leq s \sqrt{n},

που είναι ισοδύναμο ότι για κάθε 1 \leq i \leq n,
:
|x_i - \overline{x}| \leq s \sqrt{n}.

Σε σχέση με την ανισότητα Σάμιουελσον είναι λιγότερο ισχυρό αφού \sqrt{n} \geq \sqrt{n-1}, αλλά η ανισότητα μπορεί να δώσει φράγματα για κάποιο δοθέν ποσοστό των δειγμάτων.

## Γενικεύσεις

Διάφορες γενικεύσεις της ανισότητας Σάμιουελσον έχουν μελετηθεί.

## Δείτε επίσης
* Ανισότητα Τσεμπισιόφ

## Παραπομπές


Κατηγορία:Ανισότητες