Συναρτητής Hom

Στα μαθηματικά, και συγκεκριμένα στην θεωρία κατηγοριών, τα hom-σύνολα (δηλαδή σύνολα μορφισμών μεταξύ αντικειμένων) δημιουργούν σημαντικούς συναρτήτές στην κατηγορία των συνόλων. Αυτοί οι συναρτήτες ονομάζονται **hom-συναρτήτες** και έχουν πολυάριθμες εφαρμογές στην θεωρία κατηγοριών και σε άλλους κλάδους των μαθηματικών.

## Τυπικός ορισμός

Έστω η *C* μια τοπικά μικρή κατηγορία (δηλ. μια κατηγορία για την οποία οι hom-κλάσεις είναι στην πραγματικότητα σύνολα και όχι γνήσιες κλάσεις). 

Για όλα τα αντικείμενα *A* και *B* στην *C* ορίζουμε δύο συναρτήτες στην κατηγορία των συνόλων ως εξής:

:

Ο συναρτήτης Hom(&ndash;, *B*) ονομάζεται επίσης *συναρτήτης σημείων* του αντικειμένου *B*.    

Ας σημειωθεί ότι η σταθεροποίηση του πρώτου ορίσματος του Hom οδηγεί φυσικά σε έναν συναλλοίωτο συνάρτητη  και η σταθεροποίηση του δεύτερου ορίσματος οδηγεί φυσικά σε έναν ανταλλοίωτο συνάρτητη. Αυτό είναι ένα τεχνούργημα του τρόπου με τον οποίο πρέπει να συνθέτουμε τους μορφισμούς.

Το ζεύγος συναρτητών Hom(*A*, &ndash;) και Hom(&ndash;, *B*) σχετίζεται με φυσικό τρόπο. Για οποιοδήποτε ζεύγος μορφισμών *f* : *B* → *B*&prime; και *h* : *A*&prime; → *A* το ακόλουθο διάγραμμα είναι αντιμεταθετικό:

Και οι δύο διαδρομές στέλνουν *g* : *A* → *B* to *f*∘*g*∘*h* : *A*′ → *B*′.

Η αντιμεταθετικότητα του παραπάνω διαγράμματος υποδηλώνει ότι το Hom(&ndash;, &ndash;) είναι ένας δισυναρτητής από το *C* × *C* στο **Σύνολο** που είναι ανταλλοίωτο στο πρώτο όρισμα και συναλλοίωτο στο δεύτερο. Αντίστοιχα, μπορούμε να πούμε ότι το Hom(&ndash;, &ndash;) είναι ένα δισυναρτητή
: Hom(&ndash;, &ndash;) : *C*op &times; *C* &rarr; **Set**
όπου *C*op είναι η αντίθετη κατηγορία της*C*.   Η σημειογραφία Hom*C*(&ndash;, &ndash;) χρησιμοποιείται μερικές φορές για το Hom(&ndash;, &ndash;) προκειμένου να τονιστεί η κατηγορία που σχηματίζει την περιοχή.

## Λήμμα του Γιονέντα

Αναφερόμενοι στο παραπάνω αντιμεταθετικό διάγραμμα, παρατηρούμε ότι κάθε μορφισμός
: *h* : *A*&prime; &rarr; *A*

προκαλεί ένα φυσικό μετασχηματισμό
: Hom(*h*, &ndash;) : Hom(*A*, &ndash;) &rarr; Hom(*A*&prime;, &ndash;)

και κάθε μορφισμός
: *f* : *B* &rarr; *B*&prime;

δημιουργεί έναν φυσικό μετασχηματισμό
: Hom(&ndash;, *f*) : Hom(&ndash;, *B*) &rarr; Hom(&ndash;, *B*&prime;)

Το **λήμμα του Γιονέντα** υποδηλώνει ότι «κάθε» φυσικό μετασχηματισμό μεταξύ συναρτητών Hom έχει αυτή τη μορφή. Με άλλα λόγια, οι συναρτητές Hom οδηγούν σε μια πλήρη και πιστή ενσωμάτωση της κατηγορίας *C* στην κατηγορία συναρτητών.**Set***C**op* (συναλλοίωτος ή ανταλλοίωτος ανάλογα με το ποιος συναρτήτης Hom χρησιμοποιείται).

## Εσωτερικός συναρτήτης Hom

Ορισμένες κατηγορίες μπορεί να διαθέτουν έναν συναρτήτη που συμπεριφέρεται όπως ένας συναρτήτης Hom, αλλά λαμβάνει τιμές στην ίδια την κατηγορία *C* και όχι στην **Set**. Ένας τέτοιος συναρτήτης αναφέρεται ως **εσωτερικός συναρτήτης Hom** και συχνά γράφεται ως
: \left[-\ -\right] : C^\text{op} \times C \to C
για να τονίσει τον παρόμοιο χαρακτήρα του  ως γινόμενο , ή ως
: \mathop\Rightarrow : C^\text{op} \times C \to C
για να τονιστεί ο συναρτησιακός του χαρακτήρας, ή μερικές φορές απλά με πεζά: 
: \operatorname{hom}(-, -) : C^\text{op} \times C \to C . Για παραδείγματα, βλ. Κατηγορία σχέσεων.
Οι κατηγορίες που διαθέτουν **εσωτερικό συναρτητή Hom** αναφέρονται ως κλειστές κατηγορίες. Έχουμε 
: \operatorname{Hom}(I, \operatorname{hom}(-, -)) \simeq \operatorname{Hom}(-, -),
όπου *I*  είναι το αντικείμενο μονάδας της κλειστής κατηγορίας. Στην περίπτωση μιας κλειστής μονοειδούς κατηγορίας, αυτό επεκτείνεται στην έννοια του currying, δηλαδή ότι
: \operatorname{Hom}(X, Y \Rightarrow Z) \simeq \operatorname{Hom}(X\otimes Y, Z)
όπου \otimes είναι ένας διπλός συναρτήτης, ο **εσωτερικός συναρτήτης γινόμενου** που ορίζει μια μονοειδή κατηγορία.  Ο ισομορφισμός είναι φυσικός τόσο στο *X* όσο και στο *Z* Με άλλα λόγια, σε μια κλειστή μονοειδή κατηγορία, ο εσωτερικός συναρτήτης Hom είναι ένας συναρτήτης που συνοδεύει τον εσωτερικό συναρτήτη γινόμενου.  Το αντικείμενο Y \Rightarrow Z Το αντικείμενο ονομάζεται **εσωτερικό Hom**.  Όταν \otimes είναι το καρτεσιανό γινόμενο \times, το αντικείμενο Y \Rightarrow Z ονομάζεται εκθετικό αντικείμενο και συχνά γράφεται ως Z^Y.

Τα εσωτερικά Homs, όταν είναι αλυσοδεμένα, σχηματίζουν μια γλώσσα που ονομάζεται εσωτερική γλώσσα της κατηγορίας. Τα πιο γνωστά από αυτά είναι ο απλός τύπος λογισμού Λάμδα, που είναι η εσωτερική γλώσσα των κλειστών καρτεσιανών κατηγοριών, και το σύστημα γραμμικών τύπων, που είναι η εσωτερική γλώσσα των κλειστών συμμετρικών μονοειδών κατηγοριών.

## Ιδιότητες

Ας σημειωθεί ότι ένας συναρτήτης της μορφής
: Hom(&ndash;, *A*) : *C*op &rarr; **Set**

είναι ένα προ-δεμάτιο· ομοίως, το Hom(“'A”', &ndash;) είναι ένα συν-δεμάτιο.

Ένας συναρτήτης *F* : *C* &rarr; **Set** που είναι φυσικά ισομορφικός με Hom(*A*, &ndash;) για κάποιο *A*  στο *C* ονομάζεται αναπαραστάσιμος συναρτήτης (ή αναπαραστάσιμος copresheaf). Ομοίως, ένας αντίστροφος συναρτήτης ισοδύναμος με Hom(&ndash;, *A*)  μπορεί να ονομαστεί συν-αναπαραστάσιμος (corepresentable).

Ας σημειώσουμε ότι Hom(&ndash;, &ndash;) : *C*op &times; *C* &rarr; **Set** είναι ένας προσυναρτητής και, συγκεκριμένα, είναι ο ταυτοτικός προσυναρτητής  \operatorname{id}_C \colon C \nrightarrow C.

Ο εσωτερικός συναρτήτης hom διατηρεί τα όρια, δηλαδή \operatorname{hom}(X, -) \colon C \to C στέλνει τα όρια στα όρια, ενώ \operatorname{hom}(-, X) \colon C^\text{op} \to C στέλνει τα όρια στο C^\text{op}, δηλαδή τα όρια στο C, στα συν-όρια (colimits). Κατά μία έννοια, αυτό μπορεί να θεωρηθεί ως ο ορισμός ενός ορίου ή ενός συν-ορίου.

Ο ενδοσυνάρτησης Hom(*E*, &ndash;) : **Set** &rarr; **Set** μπορεί να λάβει τη δομή ενός μοναδικού στοιχείου. Αυτό το μοναδικό στοιχείο ονομάζεται μοναδικό στοιχείο περιβάλλοντος (ή αναγνώστη).

## Άλλες ιδιότητες

Εάν η  **A** είναι μια αβελιανή κατηγορία και η *A*  είναι ένα αντικείμενο της  **A**, τότε η Hom**A**(*A*, &ndash;) είναι ένας συναλλοίωτος αριστερά ακριβής συναρτήτης από την **A** στην κατηγορία **Ab** των αβελιανών ομάδων. Είναι ακριβής αν και μόνο αν η *A* είναι προβολική.

Ας είναι *R*  ένας δακτύλιος και *M* ένα αριστερό *R*-Πρότυπο (module). Ο συναρτήτης Hom**R**(*M*, &ndash;): **Mod**-*R* → **Ab** είναι συζηγής του συναρτήτη του τανυστικού γινομένου &ndash; \otimes*R* *M*: **Ab** → **Mod**-*R*.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Αβελιανή ομάδα

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


* Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E. (1990). ''Abstract and Concrete Categories''. Originally published by John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free on-line edition)
* Robert Goldblatt (1984). *Topoi, the Categorial Analysis of Logic* (Studies in logic and the foundations of mathematics, 98). North-Holland. Reprinted 2006 by Dover Publications.
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research

*
* Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα
Κατηγορία:Συναρτητές