Θεωρία Ιγουασάβα

Στη θεωρία αριθμών, η **θεωρία Ιγουασάβα** είναι η μελέτη των αντικειμένων αριθμητικού ενδιαφέροντος πάνω σε άπειρους πύργους αριθμητικών σωμάτων. Αρχικά, πρόκειται για μια θεωρία  module Γκαλουά των ομάδων κλάσεων ιδεωδών, που ξεκίνησε από τον Κενκίτσι Ιγουασάβα (1959) (ιαπωνικά: 岩澤 健吉), ως μέρος της θεωρίας των Κυκλοτομικών σωμάτων. Στις αρχές της δεκαετίας του 1970, ο Μπάρι Μαζούρ εξέτασε γενικεύσεις της θεωρίας Ιγουασάβα  σε αβελιανές ποικιλίες. Πιο πρόσφατα (αρχές της δεκαετίας του 1990), ο Ραλφ Γκρίνμπεργκ πρότεινε μια θεωρία Ιγουασάβα  για μοτίβα.

## Διατύπωση

Ο Ιγουασάβα εργάστηκε με τις λεγόμενες \Z_p-επεκτάσεις: άπειρες επεκτάσεις ενός αριθμητικού σώματος F με ομάδα Γκαλουά \Gamma ισομορφική με την προσθετική ομάδα των p-adic ακεραίων για κάποιο πρώτο *p*. (Αυτά ονομάζονταν \Gamma-επεκτάσεις σε πρώιμες εργασίες.) Κάθε κλειστή υποομάδα της \Gamma είναι της μορφής  \Gamma^{p^n}, οπότε σύμφωνα με τη θεωρία Γκαλουά, μια \Z_p-επέκταση F_\infty/F είναι το ίδιο πράγμα με έναν πύργο σωμάτων

:F=F_0 \subset F_1 \subset F_2 \subset \cdots \subset F_\infty

τέτοιο ώστε \operatorname{Gal}(F_n/F)\cong \Z/p^n\Z. Ο Ιγουασάβα μελέτησε τις κλασικές μονάδες Γκαλουά πάνω από το  F_n  θέτοντας ερωτήματα σχετικά με τη δομή των μονάδων πάνω από το F_\infty.

Γενικότερα, η θεωρία του Ιγουασάβα θέτει ερωτήματα σχετικά με τη δομή των μονάδων Γκαλουά πάνω από επεκτάσεις με ομάδα Γκαλουά μια p-adic ομάδα Λι.

## Παράδειγμα

Έστω p ένας πρώτος αριθμός και έστω K=\Q(\mu_p) το σώμα που παράγεται πάνω από το \Q από τις p-ες ρίζες της ενότητας. Ο Ιγουασάβα εξέτασε τον ακόλουθο πύργο αριθμητικών σωμάτων:

: K = K_{0} \subset K_{1} \subset \cdots \subset K_{\infty}, 

όπου K_n είναι το σώμα που παράγεται από την πρόσθεση στο K των *p**n*+1-στ ριζών της μονάδας και

:K_\infty = \bigcup K_n.

Το γεγονός ότι \operatorname{Gal}(K_n/K)\simeq \Z/p^n\Z συνεπάγεται, από την άπειρη θεωρία Γκαλουά, ότι \operatorname{Gal}(K_{\infty}/K) \simeq \varprojlim_n \Z/p^n\Z = \Z_p. Προκειμένου να πάρει μια ενδιαφέρουσα ενότητα Γκαλουά, ο Ιγουασάβα πήρε την ομάδα της κλάσης των ιδεωδών του K_n και έθεσε I_n το *p*-στρέψη τμήμα του. Υπάρχουν κανονικες απεικονίσεις I_m\to I_n όποτε m>n, και αυτό μας δίνει τα δεδομένα ενός αντίστροφου συστήματος. Αν θέσουμε

:I = \varprojlim I_n,

τότε δεν είναι δύσκολο να δούμε από την κατασκευή του αντίστροφου ορίου ότι η  I  είναι ένα module πάνω από την \Z_p. Στην πραγματικότητα, η I είναι ένα module πάνω από την άλγεβρα Ιγουασάβα \Lambda=\Z_p\Gamma. Αυτός είναι ένας 2-διάστατος, κανονικός τοπικός δακτύλιος, και αυτό καθιστά δυνατή την περιγραφή ενοτήτων πάνω από αυτόν. Από αυτή την περιγραφή είναι δυνατόν να ανακτήσουμε πληροφορίες για το *p*-μέρος της ομάδας τάξης του K.

Το κίνητρο εδώ είναι ότι η *p*-στρέψη στην ιδεώδη ομάδα της K είχε ήδη εντοπιστεί από τον Κούμερ ως το κύριο εμπόδιο στην άμεση απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά.

## Συνδέσεις με την ''p''-adic ανάλυση

Από αυτή την αρχή στη δεκαετία του 1950, οικοδομήθηκε μια ουσιαστική θεωρία. Μια θεμελιώδης σύνδεση παρατηρήθηκε μεταξύ της θεωρίας module και των p-adic συναρτήσεων L που ορίστηκαν τη δεκαετία του 1960 από τους Κούμποτα και Λεοπόλντ. Οι τελευταίοι ξεκινούν από τους αριθμούς Μπερνoύλι και χρησιμοποιούν παρεμβολή για να ορίσουν *p*-adic αναλογίες των συναρτήσεων Ντίριχλετ L. Έγινε σαφές ότι η θεωρία είχε προοπτικές να προχωρήσει οριστικά από τα αιωνόβια αποτελέσματα του Κούμερ για τους κανονικούς πρώτους αριθμούς.

Ο  Ιγουασάβα διατύπωσε την κύρια εικασία της θεωρίας του Ιγουασάβα ως ισχυρισμό ότι δύο μέθοδοι ορισμού *p*-adic L-συναρτήσεων (με τη θεωρία module, με παρεμβολή) θα πρέπει να συμπίπτουν, υπό την προϋπόθεση ότι αυτή είναι καλά ορισμένη. Αυτό αποδείχθηκε από τους Μαζούρ & Γουάιλς (1984) για το \Q και για όλα τα εντελώς πραγματικά αριθμητικά σώματα από τον Γουάιλς (1990). Αυτές οι αποδείξεις βασίστηκαν στην απόδειξη του Κεν Ριμπέτ για το αντίστροφο του θεωρήματος του Χέρμπραντ (το λεγόμενο θεώρημα Χέρμπραντ-Ριμπέτ).

Ο Καρλ Ρούμπιν βρήκε μια πιο στοιχειώδη απόδειξη του θεωρήματος Μαζούρ & Γουάιλς χρησιμοποιώντας τα συστήματα Όιλερ του Κολυβάγκιν, η οποία περιγράφεται στα  και ), και αργότερα απέδειξε άλλες γενικεύσεις της κύριας εικασίας για φανταστικά τετραγωνικά σώματα.

## Γενικεύσεις

Η ομάδα Γκαλουά του άπειρου πύργου, το σώμα εκκίνησης και το είδος της αριθμητικής ενότητας που μελετάται μπορούν να μεταβληθούν. Σε κάθε περίπτωση, υπάρχει μια κύρια εικασία που συνδέει τον πύργο με μια *p*-adic συνάρτηση L.

Το 2002, οι Κρίστοφερ Σκίνερ και Έρικ Ούρμπαν ισχυρίστηκαν ότι απέδειξαν μια κύρια εικασία για την GL(2). Το 2010, δημοσίευσαν ένα προτυπωμένο κείμενο ().

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Διδιάστατος χώρος
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Υπερβολική γεωμετρία
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Σώμα διασπάσεως
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
*
*
*
* 
*
*
*
*
*
*
*
*
*.   **English translation** (of 2nd revised edition):  *(Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)*
*

## Πηγές
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα