Κατηγορία Κρουλ-Σμιντ

Στη θεωρία κατηγοριών, ένας κλάδος των μαθηματικών, ο όρος **κατηγορία Κρουλ-Σμιντ** αναφέρεται σε μια γενίκευση των κατηγοριών στις οποίες ισχύει το θεώρημα Κρουλ-Σμιντ. Εμφανίζονται, λόγου χάριν, στη μελέτη των προτύπων πεπερασμένων διαστάσεων σε μια άλγεβρα.

## Ορισμός

Ας υποθέσουμε ότι *C* είναι μια πρόσθετη κατηγορία, ή πιο γενικά μια πρόσθετη -γραμμική κατηγορία για ένα αντιμεταθετικό δακτύλιο&nbsp;. Ονομάζουμε *C* **κατηγορία Κρουλ-Σμιντ** υπό την προϋπόθεση ότι κάθε αντικείμενο αναλύεται σε ένα πεπερασμένο άμεσο άθροισμα αντικειμένων που έχουν τοπικούς δακτυλίους ενδομορφισμού. Ισοδύναμα, το *C*  έχει διαχωρισμένα ταυτοδυναμία και ο δακτύλιος ενδομορφισμού κάθε αντικειμένου είναι ημιτέλειος. 

## Ιδιότητες
Υπάρχει ένα ανάλογο του θεωρήματος Κρουλ-Σμιντ στις κατηγορίες Κρουλ-Σμιντ:

Ένα αντικείμενο ονομάζεται *αδιάσπαστο* αν δεν είναι ισομορφικό με ένα άμεσο άθροισμα δύο μη μηδενικών αντικειμένων. Σε μια κατηγορία Κρουλ-Σμιντ ισχύει ότι
*ένα αντικείμενο είναι αδιάσπαστο αν και μόνο αν ο δακτύλιος ενδομορφισμού του είναι τοπικός.
*κάθε αντικείμενο είναι ισομορφικό με ένα πεπερασμένο άθροισμα μη αναλύσιμων αντικειμένων.
*iαν  X_1 \oplus X_2 \oplus \cdots \oplus X_r \cong Y_1 \oplus Y_2 \oplus \cdots \oplus Y_s όπου τα  X_i και Y_j  είναι όλα αδιάσπαστα, τότε  r=s,  και υπάρχει μια μετάθεση  \pi  τέτοια ώστε  X_{\pi(i)} \cong Y_i  για όλα τα .

Μπορεί κανείς να ορίσει το βέλος Αουσλάντερ-Ράιτεν μιας κατηγορίας Κρουλ-Σμιντ.

## Παραδείγματα

* Μια αβελιανή κατηγορία στην οποία κάθε αντικείμενο έχει πεπερασμένο μήκος. Αυτό περιλαμβάνει ως ειδική περίπτωση την κατηγορία των προτύπων πεπερασμένων διαστάσεων πάνω σε μια άλγεβρα.
* Η κατηγορία των πεπερασμένα παραγόμενων προτύπων πάνω σε μια πεπερασμένη -άλγεβρα, όπου  είναι ένας αντιμεταθετικός Ναιτεριανός πλήρης τοπικός δακτύλιος.
* Η κατηγορία των συνεκτικών δεματίων σε μια πλήρη ποικιλία πάνω σε ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα.

### Ένα μη παράδειγμα

Η κατηγορία των πεπερασμένα παραγόμενων προβολικών προτύπων πάνω στους ακέραιους αριθμούς έχει διαχωρισμένα αυτοδυναμία  και κάθε προτύπο είναι ισομορφικό με ένα πεπερασμένο άμεσο άθροισμα αντιγράφων του κανονικού πρότυπου, ο αριθμός καθορίζεται από τον βαθμό. Έτσι, η κατηγορία έχει μοναδική ανάλυση σε αδιάσπαστα, αλλά δεν είναι Κρουλ-Σμιντ, καθώς το κανονικό πρότυπο δεν έχει τοπικό δακτύλιο ενδομορφισμού. 

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* Michael Atiyah (1956) *On the Krull-Schmidt theorem with application to sheaves*. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 84 (1956), pp. 307-317. doi:10.24033/bsmf.1475. https://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.1475/
* Henning Krause, Krull-Remak-Schmidt categories and projective covers, May 2012.
* Irving Reiner (2003) *Maximal orders. Corrected reprint of the 1975 original. With a foreword by M. J. Taylor.* London Mathematical Society Monographs. New Series, 28. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford. .
* Claus Michael Ringel (1984) *Tame Algebras and Integral Quadratic Forms*, Lecture Notes in Mathematics **1099**, Springer-Verlag, 1984.
* 
*
*
*
*
*

*
*Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
*
*
*
* 
* 
* Categorical programming with inductive and coinductive types () by Varmo Vene
* Philip Wadler: Recursive types for free! () University of Glasgow, June 1990. Draft.
* Algebra and coalgebra () from CLiki
* B. Jacobs, J. Rutten: A Tutorial on (Co) Algebras and (Co) Induction. Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, vol. 62, 1997, 
* Understanding F-Algebras () by Bartosz Milewski
* star-autonomous category at the nLab
* 
* *This article is based in part on [http://www.planetmath.org PlanetMath]'s [http://planetmath.org/encyclopedia/TerminalObjectsAndZeroObjectsExamplesOfInitialObjects.html article on examples of initial and terminal objects].*
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Θεωρία αναπαραστάσεων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα