Προσεταιριστική ιδιότητα

Στα μαθηματικά, η **προσεταιριστική ιδιότητα** είναι μία ιδιότητα που ικανοποιεί μία δυαδική πράξη, που λέει ότι η σειρά με την οποία εφαρμόζεται η πράξη δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα. Η πιο γνωστή τέτοια πράξη είναι η πρόσθεση στους φυσικούς αριθμούς, όπου για κάθε x, y, z \in \N, ισχύει ότι
:(x + y) + z = x + (y + z).

Για παράδειγμα, οι παρενθέσεις στις παρακάτω πράξεις δεν επηρεάζουν το τελικό αποτέλεσμα:
: (5+2)+1 = 7 + 1 = 8
: 5+(2+1) = 5 + 3 = 8

Η ισότητα αυτή δεν εξαρτάται από τις συγκεκριμένες τιμές 5, 2 και 1 του παραδείγματος, αλλά ισχύει για όλους τους φυσικούς αριθμούς (και πιο γενικά για όλους τους πραγματικούς αριθμούς). Επομένως, λέμε ότι "η πρόσθεση πραγματικών αριθμών έχει την προσεταιριστική ιδιότητα". Αντίστοιχα, και ο πολλαπλασιασμός ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα, αλλά όχι η διαίρεση και η ύψωση σε δύναμη.

Πιο γενικά, για ένα σύνολο S μία δυαδική πράξη \oplus : S \times S \to S ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα αν για κάθε στοιχεία x, y, z \in S ισχύει ότι 
:(x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z).

## Παραδείγματα
* Στους φυσικούς, τους ρητούς και τους πραγματικούς αριθμούς, οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού ικανοποιούν την ιδιότητα αυτή. 
* Στην θεωρία αριθμών, ο μέγιστος κοινός διαιρέτης καθώς και το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο αριθμών ικανοποιούν την προσεταιρτική ιδιότητα.
* Στην γραμμική άλγεβρα, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός πινάκων ικανοποιούν την προσεταιριστική ιδιότητα.
* Σε κάθε ομάδα (G, \cdot), η δυαδική της πράξη \cdot ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα.
* H συνέλιξη f * g δύο συναρτήσεων f και g ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα.
* Σε κάθε διατεταγμένο σύνολο S, η πράξη του μέγιστου \max και του ελάχιστου \min ικανοποιούν την προσεταιριστική ιδιότητα.
* Στην λογική, η σύζευξη και η διάζευξη ικανοποιούν την προσεταιριστική ιδιότητα.
* Στην θεωρία συνόλων, η 

## Αντιπαραδείγματα
* Η διαίρεση δεν ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα. Για παράδειγμα,
::(1000/20)/5 = 10, ενώ 1000/(20/5) = 250.
* Η ύψωση σε δύναμη δεν ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα. Για παράδειγμα,
::(2^3)^4 = 2^{12}, ενώ 2^{(3^4)} = 2^{81}.

## Αποδοτικότητα
Πρακτικά αυτό εξυπηρετεί μερικές φορές π.χ. για να προσθέσουμε νοητά τους αριθμούς 5 + 4 + 5 + 10 + 2 με μεγαλύτερη ευκολία. Μπορούμε να σκεφτούμε «*5 συν 5 συν 10 ίσον είκοσι*» και «*4 συν 2 ίσον έξι*» επομένως το σύνολο είναι είκοσι έξι, αντί να μπλεχτούμε με πράξεις όπως 5 συν 4 ίσον 9 συν 5 ίσον 14 κλπ. 

Στην πληροφορική, κάποιοι αλγόριθμοι εκμεταλλεύονται την προσεταιριστική ιδιότητα και αλλάζουν την σειρά των πράξεων ώστε να γίνει πιο αποτελεσματικά η εκτέλεσή τους. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι ο αλγόριθμος για τον πολλαπλασιασμό αλληλουχίας πινάκων. 

Πιο συγκεκριμένα, αν έχουμε τρεις πίνακες με μεγέθη A : \mathbb{R}^{10 \times 30}, B : \mathbb{R}^{30 \times 15}, \mathit{\Gamma} : \mathbb{R}^{15 \times 5}, τότε με τον απλό αλγόριθμο πολλαπλασιασμού πινάκων 
* Πολλαπλασιάζοντας (A \cdot B) \cdot \mathit{\Gamma} χρειάζεται 10 \cdot 30 \cdot 15 + 10 \cdot 15 \cdot 5 = 5250 πολλαπλασιασμούς, ενώ
* Πολλαπλασιάζοντας A \cdot (B \cdot \mathit{\Gamma}) χρειάζεται 30 \cdot 15 \cdot 5 + 10 \cdot 30 \cdot 5 = 3750 πράξεις.
Επομένως, ο δεύτερος τρόπος είναι πιο αποδοτικός.

## Δείτε επίσης
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Επιμεριστική ιδιότητα

## Παραπομπές


Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα
Κατηγορία:Στοιχειώδης άλγεβρα