Βάθος (θεωρία δακτυλίων)

Στην αντιμεταθετική και ομολογική άλγεβρα, το **βάθος** είναι ένα σημαντικό αναλλοίωτο των δακτυλίων και των προτύπων. Αν και το βάθος μπορεί να οριστεί γενικότερα, η πιο συνηθισμένη περίπτωση που εξετάζεται είναι η περίπτωση των ενοτήτων πάνω από έναν αντιμεταθετικό Ναιτεριανό τοπικό δακτύλιο. Σε αυτή την περίπτωση, το βάθος μιας ενότητας σχετίζεται με την προβολική της διάσταση μέσω του τύπου Αουσλάντερ - Μπούξμπαουμ. Μια πιο στοιχειώδης ιδιότητα του βάθους είναι η ανισότητα.

:  \mathrm{depth}(M) \leq \dim(M), 

όπου \dim M δηλώνει τη διάσταση Κρουλ του προτύπου M. Το βάθος χρησιμοποιείται για τον ορισμό κλάσεων δακτυλίων και ενοτήτων με καλές ιδιότητες, παραδείγματος χάριν, δακτυλίων και ενοτήτων Κοέν-Μακαουλέι, για τις οποίες ισχύει η ισότητα.

## Ορισμός
Έστω R ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος, I ένα ιδεώδες του R και M ένα πεπερασμένης παραγωγής R-σύνολο με την ιδιότητα ότι I M περιέχεται σωστά στο M. (Δηλαδή, κάποια στοιχεία του M δεν βρίσκονται στο I M.) Τότε το I-**βάθος** του M, που συνήθως ονομάζεται και **βαθμός** του M, ορίζεται ως εξής

:  \mathrm{depth}_I(M) = \min \{i: \operatorname{Ext}^i(R/I,M)\ne 0\}. 

Σύμφωνα με τον ορισμό, το βάθος ενός τοπικού δακτυλίου R με ένα μέγιστο ιδανικό \mathfrak{m} είναι το βάθος του \mathfrak{m} ως ενότητα πάνω στον εαυτό του. R είναι ένας τοπικός δακτύλιος Κοέν-Μακαουλέι, τότε το βάθος του R είναι ίσο με τη διάσταση του R. 

Με βάση ένα θεώρημα του Ντέιβιντ Ρις, το βάθος μπορεί επίσης να χαρακτηριστεί χρησιμοποιώντας την έννοια της κανονικής ακολουθίας.

### Θεώρημα (Ρις)

Ας υποθέσουμε ότι ο R είναι ένας αντιμεταθετικός Ναιτεριανός τοπικός δακτύλιος με το μέγιστο ιδεώδες \mathfrak{m} και ο M είναι ένα πεπερασμένης παραγωγής R-σύνολο. Τότε όλες οι μέγιστες κανονικές ακολουθίες x_1, \ldots, x_n για το M, όπου κάθε x_i ανήκει στο \mathfrak{m}, έχουν το ίδιο μήκος n ίσο με το \mathfrak{m} βάθος του M.

## Βάθος και προβολική διάσταση
Η προβολική διάσταση και το βάθος μιας ενότητας πάνω σε έναν αντιμεταθετικό τοπικό δακτύλιο Ναιτεριανού είναι συμπληρωματικά μεταξύ τους. Αυτό είναι το περιεχόμενο του τύπου Αουσλάντερ - Μπούξμπαουμ, ο οποίος όχι μόνο έχει θεμελιώδη θεωρητική σημασία, αλλά παρέχει επίσης έναν αποτελεσματικό τρόπο υπολογισμού του βάθους μιας ενότητας. Ας υποθέσουμε ότι ο R είναι ένας αντιμεταθετικός τοπικός Ναιτεριανος δακτύλιος  με το μέγιστο ιδεώδες \mathfrak{m} και ο M είναι ένα πεπερασμένα παραγόμενο R-πρότυπο. Αν η προβολική διάσταση του M είναι πεπερασμένη, τότε ο τύπος Αουσλάντερ - Μπούξμπαουμ δηλώνει 

:  \mathrm{pd}_R(M) + \mathrm{depth}(M) = \mathrm{depth}(R).

## Δακτύλιοι μηδενικού βάθους
Ένας αντιμεταθετικός Ναιτεριανός τοπικός δακτύλιος R έχει βάθος μηδέν αν και μόνο αν το μέγιστο ιδεώδες του \mathfrak{m} είναι ένας συσχετιζόμενος πρώτος, ή, ισοδύναμα, όταν υπάρχει ένα μη μηδενικό στοιχείο x του R τέτοιο ώστε x\mathfrak{m}=0 (δηλαδή, το x  εκμηδενίζει το \mathfrak{m}). Αυτό σημαίνει, ουσιαστικά, ότι το κλειστό σημείο είναι ενα εμφυτευμένο στοιχείο.

Παραδείγματος χάριν, ο δακτύλιος k[x,y]/(x^2,xy) (όπου k είναι ένα πεδίο), ο οποίος αναπαριστά μια ευθεία (x=0) με ενσωματωμένο διπλό σημείο στην αρχή, έχει βάθος μηδέν στην αρχή, αλλά διάσταση ένα: αυτό δίνει ένα παράδειγμα δακτυλίου που δεν είναι Κοέν-Μακαλεϊ.

## Δημοσιεύσεις

* Michael F. Atiyah, Ian G. MacDonald: *Introduction to Commutative Algebra.* Addison-Wesley, Reading MA 1969, ISBN 0-201-00361-9.
* Rainer Brüske, Friedrich Ischebeck, Ferdinand Vogel: *Kommutative Algebra.* BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim u. a. 1989, ISBN 3-411-14041-0.
* Robin Hartshorne: *Algebraic Geometry* (= *Graduate Texts in Mathematics.* 52). Springer, New York u. a. 1977, ISBN 3-540-90244-9.
* Ernst Kunz: *Introduction to commutative algebra and algebraic geometry* (= *Vieweg-Studium.* 46 *Aufbaukurs Mathematik.*). Vieweg, Braunschweig u. a. 1980, ISBN 3-528-07246-6.
*Winfried Bruns, Jürgen Herzog: Cohen-Macaulay rings (= Cambridge studies in advanced mathematics. Band 39). Cambridge University Press, 1993.

## Δείτε επίσης

* Depth-graded motivic multiple zeta values

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* [Commutative Ring Theory](https://books.google.gr/books?id=yJwNrABugDEC&pg=PR10&dq=Depth+(ring+theory)&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjZuY2C5YOGAxUbcvEDHTvBCa4Q6AF6BAgLEAI#v=onepage&q=Depth%20(ring%20theory)&f=false)
* [ commutative ring theory: Proceedings of the Ii International Conference](https://books.google.gr/books?id=gGYiqRFLqosC&pg=PA332&dq=Depth+(ring+theory)&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwis96qv5YOGAxUsBNsEHc8wDdo4ChDoAXoECAsQAg#v=onepage&q=Depth%20(ring%20theory)&f=false) 
*[Ring Theory - Proceedings Of The Biennial Ohio State-denison Conference 1992](https://books.google.gr/books?id=9YNIDwAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=Depth+(ring+theory)&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=Depth%20(ring%20theory)&f=false)

## Παραπομπές


 

Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αντιμεταθετική άλγεβρα