Υποαντικείμενο

Στην θεωρία κατηγοριών, έναν κλάδο των μαθηματικών, ένα **υποαντικείμενο** είναι, σε γενικές γραμμές, ένα αντικείμενο που βρίσκεται μέσα σε ένα άλλο αντικείμενο της ίδιας κατηγορίας. Η έννοια αυτή είναι μια γενίκευση εννοιών όπως τα υποσύνολα της θεωρίας συνόλων, οι υποομάδες της θεωρίας ομάδων και οι υποχώροι της τοπολογίας. Δεδομένου ότι η λεπτομερής δομή των αντικειμένων είναι άσχετη στην θεωρία κατηγοριών, ο ορισμός του υποαντικειμένου βασίζεται σε έναν μορφισμό που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο ένα αντικείμενο βρίσκεται μέσα σε ένα άλλο, αντί να βασίζεται στη χρήση στοιχείων.

Η διπλή έννοια ενός υποαντικειμένου είναι ένα αντικείμενο πηλίκου. Έτσι γενικεύονται έννοιες όπως σύνολα πηλίκου, ομάδες πηλίκου, χώροι πηλίκου, γραφήματα πηλίκου κ.λπ.

## Ορισμός

Ένας κατάλληλος κατηγορικός ορισμός του "υποαντικειμένου" μπορεί να διαφέρει ανάλογα με το πλαίσιο, ανάλογα με τον στόχο. Ένας κοινός ορισμός είναι ο ακόλουθος.

Συγκεκριμένα, έστω *<math>A</math>* ένα αντικείμενο κάποιας κατηγορίας.  Δεδομένων δύο μονομορφισμών

:u: S \to A \ \text{and} \ v: T\to A

με ομοπεριοχή   *<math>A</math>*, ορίζουμε μια σχέση ισοδυναμίας με u \equiv v  εάν υπάρχει ένας ισομορφισμός \phi: S \to T με u = v \circ \phi.

Αντίστοιχα, γράφουμε u \leq v αν u παραγοντοποιείται μέσω του *<math>v</math>*—δηλαδή, αν υπάρχει \phi: S \to T έτσι ώστε u = v \circ \phi.  Η δυαδική σχέση \equiv που ορίζεται από

:u \equiv v \iff u \leq v \ \text{and} \ v\leq u 

είναι μια σχέση ισοδυναμίας στους μονομορφισμούς με ομοπεριοχή *<math>A</math>*, και οι αντίστοιχες κλάσεις ισοδυναμίας αυτών των μονομορφισμών είναι τα **υποαντικείμενα** του *<math>A</math>*.

Η σχέση ≤ επάγει μια μερική τάξη στη συλλογή των υποαντικειμένων του A.

Η συλλογή υποαντικειμένων ενός αντικειμένου μπορεί στην πραγματικότητα να είναι μια κανονική κλάση. Αυτό σημαίνει ότι η συζήτηση που γίνεται είναι κάπως αόριστη. Εάν η συλλογή υποαντικειμένων κάθε αντικειμένου είναι ένα σύνολο, η κατηγορία ονομάζεται "καλή ισχύς" *(well-powered)* ή, σπανιότερα, *τοπικά μικρή* (αυτό έρχεται σε αντίθεση με μια διαφορετική χρήση του όρου *τοπικά μικρή*, δηλαδή ότι υπάρχει ένα σύνολο μορφισμών μεταξύ οποιωνδήποτε δύο αντικειμένων).

Για να λάβουμε τη δυϊκή έννοια του **αντικειμένου πηλίκου**, αλλάζουμε  "μονομορφισμός" με "επιμορφισμός" παραπάνω και αντιστρέφουμε τα βέλη. Ένα αντικείμενο πηλίκου του *A* είναι τότε μια κλάση ισοδυναμίας επιμορφισμών με περιοχή *A.*

Ωστόσο, σε ορισμένα πλαίσια, οι ορισμοί αυτοί είναι ανεπαρκείς, καθώς δεν ταιριάζουν με τις καθιερωμένες έννοιες του υποαντικειμένου ή του αντικειμένου πηλίκου. Στην κατηγορία των τοπολογικών χώρων, οι μονομορφισμοί είναι ακριβώς οι ερριπτικές συνεχείς συναρτήσεις, αλλά δεν είναι όλες οι ερριπτικές συνεχείς συναρτήσεις εγκλεισμού υποχώρων. Στην κατηγορία των δακτυλίων, η ένταξη \mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q} είναι επιμορφισμός, αλλά δεν είναι το πηλίκο του \mathbb{Z} από ένα αμφίπλευρο ιδεώδες. Για να πάρουμε απεικονίσεις που συμπεριφέρονται πραγματικά σαν εμφυτεύσεις υποαντικειμένων ή πηλίκα, και όχι σαν αυθαίρετες ερριπτικές συναρτήσεις ή απεικονίσεις με πυκνή εικόνα, πρέπει να περιοριστούμε σε μονομορφισμούς και επιμορφισμούς που ικανοποιούν πρόσθετες υποθέσεις. Επομένως, θα μπορούσε κανείς να ορίσει ένα "υποαντικείμενο" ως μια κλάση ισοδυναμίας των λεγόμενων "κανονικών μονομορφισμών" (μονομορφισμοί που μπορούν να εκφραστούν ως εξισωτής δύο μορφισμών) και ένα "αντικείμενο πηλίκου" ως οποιαδήποτε κλάση ισοδυναμίας "κανονικών επιμορφισμών" (μορφισμοί που μπορούν να εκφραστούν ως συν-εξισωτής δύο μορφισμών).

## Ερμηνεία

Αυτός ο ορισμός αντιστοιχεί στην συνήθη αντίληψη ενός υποαντικειμένου εκτός της θεωρίας κατηγοριών.   Όταν τα αντικείμενα της κατηγορίας είναι σύνολα (ενδεχομένως με πρόσθετη δομή, όπως μια δομή ομάδας) και οι μορφισμοί είναι συναρτήσεις συνόλων (που διατηρούν την πρόσθετη δομή), ο μονομορφισμός θεωρείται από την άποψη της εικόνας του.  Μια τάξη ισοδυναμίας μονομορφισμών καθορίζεται από την εικόνα κάθε μονομορφισμού στην κλάση - δηλαδή, δύο μονομορφισμοί *f* και *g* σε ένα αντικείμενο *T* είναι ισοδύναμοι αν και μόνο αν οι εικόνες τους είναι το ίδιο υποσύνολο (επομένως, υποαντικείμενο) του *T*. Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει ο ισομορφισμός g^{-1} \circ f των περιοχών τους, υπό τον οποίο τα αντίστοιχα στοιχεία των περιοχών αντιστοιχίζονται από τις συναρτήσεις *f* και *g*, αντίστοιχα, στο ίδιο στοιχείο του *T*.  Αυτό εξηγεί τον ορισμό της ισοδυναμίας.

## Παραδείγματα

Στο **Set**, την κατηγορία των συνόλων, ένα υποαντικείμενο του  *A*  αντιστοιχεί σε ένα υποσύνολο *B* του  *A*  ή μάλλον στη συλλογή όλων των απεικονίσεων από σύνολα ισοδύναμα με το *B* με εικόνα ακριβώς το *B*. Η μερική τάξη υποαντικειμένων ενός συνόλου στο **Set** είναι απλώς το πλέγμα υποσυνόλων του.

Στην κατηγορία των ομάδων **Grp**, τα υποαντικείμενα του *A* αντιστοιχούν στις υποομάδες του *A*.

Δεδομένης μιας μερικώς διατεταγμένης κλάσης **P** = (*P*, ≤), μπορούμε να σχηματίσουμε μια κατηγορία με τα στοιχεία της *P* ως αντικείμενα και ένα μόνο βέλος από το *p* στο *q* αν και μόνο αν *p* ≤ *q*. Εάν η **P** έχει ένα μέγιστο στοιχείο, η μερική διάταξη υποαντικειμένων αυτού του μέγιστου στοιχείου θα είναι η ίδια η **P**. Αυτό οφείλεται εν μέρει στο γεγονός ότι όλα τα βέλη σε μια τέτοια κατηγορία θα είναι μονομορφισμοί.

Ένα υποαντικείμενο ενός τελικού αντικειμένου ονομάζεται υποτελικό αντικείμενο.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


*
*
* 
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
*
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα