Εγγράψιμο τετράπλευρο

right|thumb|Ένα εγγράψιμο τετράπλευρο <math>\rm AB\Gamma\Delta</math>.
Στην γεωμετρία, ένα κυρτό τετράπλευρο \rm AB\Gamma\Delta λέγεται **εγγράψιμο** σε κύκλο ή **κυκλικό** αν υπάρχει κύκλος που διέρχεται και από τις τέσσερις κορυφές του \rm A, \rm B, \rm \Gamma και \rm \Delta. Ο κύκλος αυτός ονομάζεται **περιγεγραμμένος κύκλος** του \rm AB\Gamma\Delta και λέγεται ότι το τετράπλευρο είναι **εγγεγραμμένο** σε αυτόν.

## Ιδιότητες

* Ένα κυρτό τετράπλευρο \rm AB\Gamma\Delta είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν και μόνο αν οι μεσοκάθετοι των πλευρών του διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου και λέγεται **περίκεντρο**.

* Ένα κυρτό τετράπλευρο \rm AB\Gamma\Delta είναι εγγράψιμο αν και μόνο αν δύο απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές, δηλαδή \hat{\rm A} + \hat{\rm \Gamma} = 180^\circή \hat{\rm B} + \hat{\rm \Delta} = 180^\circ.
* Ένα κυρτό τετράπλευρο είναι εγγράψιμο αν και μόνο αν μία γωνία είναι ίση με την εξωτερική της απέναντί της.

* Ένα κυρτό τετράπλευρο \rm AB\Gamma\Delta είναι εγγράψιμο αν και μόνο αν μία από τις πλευρές *φαίνεται* από τις άλλες δύο κορυφές από ίσες γωνίες, π.χ. \widehat {\rm A\Gamma B} = \widehat{\rm A\Delta B}.

* Σε ένα εγγράψιμο τετράπλευρο \rm AB\Gamma\Delta, θεωρούμε τους εγγεγραμμένους κύκλους ({\rm I}_1, \rho_1), ({\rm I}_2, \rho_2), ({\rm I}_3, \rho_3) και ({\rm I}_4, \rho_4) των τριγώνων   \rm AB\Gamma, \rm B\Gamma\Delta, \rm \Gamma\Delta A και \rm \Delta AB. Τότε ισχύει ότι
** Το τετράπλευρο \rm I_1I_2I_3I_4 είναι ορθογώνιο, και
** (**[[Ιαπωνικό θεώρημα]]**) \rho_1 + \rho_3 = \rho_2 + \rho_4.

### Αντίκεντρο
Το **αντίκεντρο** (ή **σημείο Mathot**) ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου είναι το συμμετρικό του βαρυκέντρου του τετραπλεύρου ως προς το περίκεντρό του.
 Το σημείο αυτό έχει τις εξής ιδιότητες:
* Οι κάθετες ευθείες από τα μέσα των πλευρών προς τις απέναντι πλευρές διέρχονται από αντίκεντρο.
* Το αντίκεντρο είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου που ορίζεται από τα μέσα των διαγωνίων και το σημείο τομής τους.
* Τα ορθόκεντρα των τεσσάρων τριγώνων που ορίζουν οι κορυφές του τετραπλεύρου ανά τρεις σχηματίζουν ένα τετράπλευρο συμμετρικό ως προς το αρχικό με κέντρο συμμετρίας το αντίκεντρο. 
* Οι κύκλοι Όιλερ των τριγώνων που ορίζουν οι κορυφές του ανά τρεις τετραπλεύρου
** διέρχονται από το αντίκεντρο του τετραπλεύρου.
** Τα κέντρα τους είναι ομοκύκλια σημεία. 
** Ο περιγεγραμμένος τους κύκλος των κεντρών ίσος με τους άλλους τέσσερις, το κέντρο του είναι το αντίκεντρο του τετραπλεύρου και η ακτίνα του είναι ίση με το μισό της ακτίνας του αρχικού τετραπλεύρου.
* Το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων των κορυφών από το αντίκεντρο ισούται με το τετράγωνο της διαμέτρου του περιγεγραμμένου του κύκλου. Δηλαδή,
::\rm MA^2 + MB^2 + M\Gamma^2 + M\Delta^2 = (2R)^2.

## Εμβαδόν
Το εμβαδόν ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου \rm AB\Gamma\Delta με μήκη πλευρών \alpha, \beta, \gamma, \delta δίνεται από τον τύπο του Βραγχμαγκούπτα (ο οποίος γενικεύει τον τύπο του Ήρωνα για τα τρίγωνα)
:{\rm E} = \sqrt{(\tau - \alpha) \cdot (\tau - \beta) \cdot (\tau - \gamma) \cdot (\tau - \delta)}, 
όπου \tau = \tfrac{1}{2} \cdot (\alpha + \beta + \gamma + \delta) η ημιπερίμετρος του τετραπλεύρου.

Για δοσμένα τα μήκη των πλευρών \alpha, \beta, \gamma, \delta, το εγγράψιμο τετράπλευρο είναι αυτό με το μέγιστο εμβαδόν.

## Μετρικές σχέσεις
* (**[[Θεώρημα Πτολεμαίου|1o Θεώρημα του Πτολεμαίου]]**) Σε ένα εγγράψιμο τετράπλευρο \rm AB\Gamma\Delta ισχύει ότι
::{\rm A\Gamma} \cdot {\rm B\Delta} = \alpha \gamma + \beta\delta.
* (**[[Δεύτερο θεώρημα του Πτολεμαίου|2o Θεώρημα του Πτολεμαίου]]**) Σε ένα εγγράψιμο τετράπλευρο \rm AB\Gamma\Delta ισχύει ότι
::\frac{\rm A\Gamma}{\rm B\Delta} = \frac{\alpha\delta + \beta\gamma}{\alpha \beta + \gamma\delta}.
* Σε ένα εγγράψιμο τετράπλευρο \rm AB\Gamma\Delta τα μήκη των διαγωνίων δίνονται από τις σχέσεις
::{\rm A\Gamma} = \sqrt{\frac{(\alpha \gamma + \beta \delta) \cdot (\alpha \delta + \beta\gamma)}{\alpha \beta + \gamma\delta}}\quad και \quad {\rm B\Delta} = \sqrt{\frac{(\alpha \gamma + \beta\delta) \cdot (\alpha \beta + \gamma\delta)}{\alpha \delta + \beta \gamma}}.

* (**[[Θεώρημα τεμνόμενων χορδών]]**) Σε ένα τετράπλευρο τετράπλευρο \rm AB\Gamma\Delta όπου \rm I το σημείο τομής των διαγωνίων του \rm A\Gamma και \rm B\Delta, ισχύει ότι 
::{\rm AI} \cdot {\rm I \Gamma} = {\rm BI} \cdot {\rm I \Delta}.
* Η ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου συναρτήσει των πλευρών του δίνεται από τον τύπο 
::R = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{(\alpha \beta + \gamma\delta)\cdot (\alpha\gamma + \beta\delta)\cdot (\alpha \delta + \beta\gamma)}{(\tau - \alpha)(\tau - \beta)(\tau - \gamma) (\tau - \delta)}}.
{4R} + \frac{\gamma\delta {\rm A\Gamma}}{4R} 
 = \frac{\rm A\Gamma}{4R} \cdot ( \alpha\beta + \gamma\delta).
Λύνοντας προς R λαμβάνουμε
:R
 = \frac{\rm A\Gamma}{4{\rm E}_{\rm AB\Gamma\Delta} } \cdot ( \alpha\beta + \gamma\delta ).
Τέλος, χρησιμοποιώντας τον τύπο του Βραχμαγκούπτα για το εμβαδόν του \rm AB\Gamma\Delta και τον τύπο για το μήκος της διαγωνίου λαμβάνουμε το ζητούμενο.
}}
* Για την γωνία \hat{\rm A} ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου \rm AB\Gamma\Delta ισχύει ότι
::\sin \hat{\rm A} = \frac{2\sqrt{(\tau-\alpha)(\tau-\beta)(\tau-\gamma)(\tau-\delta)}}{(\alpha\delta+\beta\gamma)},
::\cos \hat{\rm A} = \frac{\alpha^2-\beta^2-\gamma^2+\delta^2}{2(\alpha\delta+\beta\gamma)},
::\tan \frac{\hat{\rm A}}{2} = \sqrt{\frac{(\tau-\alpha)(\tau-\delta)}{(\tau-\beta)(\tau-\gamma)}},
:όπου \tau = \tfrac{1}{2} \cdot (\alpha + \beta + \gamma + \delta) η ημιπερίμετρος του τετραπλεύρου.

## Ειδικές περιπτώσεις
* Το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο είναι εγγράψιμο και είναι το μόνο εγγράψιμο παραλληλόγραμμο.
* Το ισοσκελές τραπέζιο είναι εγγράψιμο και είναι το μόνο εγγράψιμο τραπέζιο.

* Οι διχοτόμοι των γωνιών ενός τετράπλευρου δημιουργούν ένα εγγράψιμο τετράπλευρο ή συντρέχουν (όταν το τετράπλευρο είναι περιγεγράψιμο). 

## Εφαρμογές
Τα εγγράψιμα τετράπλευρα και οι ιδιότητες αυτών, χρησιμοποιούνται στις αποδείξεις των εξής θεωρημάτων:
* Στην απόδειξη ύπαρξης του ορθόκεντρου τριγώνου
* Στον απόδειξη του κύκλου Όιλερ ενός τριγώνου
* Στην απόδειξη της ευθείας Σίμσον 
* Στην απόδειξη του θεωρήματος Νάγκελ
* Στην απόδειξη του σημείου Στάινερ
* Στην απόδειξη του σημείου ΜακΛώριν

## Δείτε επίσης
* Περιγεγραμμένος κύκλος
* Εγγράψιμο πολύγωνο
* Περιγράψιμο τετράπλευρο
* Παρεγγεγραμμένο τετράπλευρο

## Σημειώσεις


## Παραπομπές


Κατηγορία:Τετράπλευρα