Κάθετες ευθείες

Στην γεωμετρία, δύο ευθείες που τέμνονται λέγονται **κάθετες** αν στο σημείο τομής σχηματίζουν τέσσερις ορθές γωνίες. 

Ισοδύναμα, οι ευθείες xx' και yy' με σημείο τομής \rm O είναι κάθετες αν \widehat{x{\rm O}y} = 90^\circ. Η xx' λέγεται **κάθετος της <math>yy'</math> στο <math>\rm O</math>** και συμβολίζεται ως xx' \perp yy'.

## Ιδιότητες
* Αν \varepsilon_1 \perp \varepsilon_2, τότε \varepsilon_2 \perp \varepsilon_1 (συμμετρική ιδιότητα). 
* Από ένα σημείο \rm P υπάρχει μοναδική κάθετος σε μία ευθεία \rm \varepsilon.

* Αν \varepsilon_1 \perp \varepsilon_2 και \varepsilon_3 \perp \varepsilon_2 και επιπλέον είναι \varepsilon_1 \neq \varepsilon_3 τότε \varepsilon_1 \parallel \varepsilon_3.

*  Αν \varepsilon_1 \perp \varepsilon_2 και \varepsilon_2 \parallel \varepsilon_3, τότε \varepsilon_1 \perp \varepsilon_3.

* Δύο γωνίες που έχουν τις πλευρές κάθετες είναι είτε ίσες είτε παραπληρωματικές.

## Κάθετος από σημείο προς ευθεία

Έστω μία ευθεία \varepsilon και ένα σημείο \rm A εξωτερικό αυτής. Το σημείο τομής της καθέτου από το \rm A στην \varepsilon λέγεται **ίχνος της καθέτου** ή **ορθή προβολή** (ή απλώς **προβολή**) του \rm A στην \varepsilon.

**Ορθή προβολή** (ή απλώς **προβολή**) ενός ευθυγράμμου τμήματος \rm AB στην ευθεία \varepsilon λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα της \varepsilon το οποίο ορίζεται από τις προβολές των άκρων του \rm AB πάνω στην \varepsilon.

### Ιδιότητα
* Αν από ένα σημείο εκτός ευθείας, φέρουμε κάθετη και πλάγιες προς την ευθεία, τότε η κάθετη είναι μικρότερη από κάθε πλάγια.
:Δηλαδή, έστω η ευθεία \varepsilon και το σημείο \rm A εκτός της \varepsilon. Από το \rm A φέρνουμε την κάθετο προς την \varepsilon η οποία την τέμνει στο σημείο \rm B. Τότε για οποιοδήποτε σημείο \rm \Gamma \neq B της \varepsilon, ισχύει ότι \rm AB .

### Κατασκευή

Έστω μία ευθεία \varepsilon και ένα σημείο \rm A εκτός αυτής. Η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη της ευθείας που διέρχεται από το σημείο \rm A και είναι κάθετη στην \varepsilon είναι η ακόλουθη:
# Χαράζουμε έναν κύκλο με κέντρο το \rm A και ακτίνα μεγαλύτερη από την απόσταση του \rm A από το \varepsilon.
# Έστω \rm B, \Gamma τα σημεία τομής του \rm B με την \varepsilon.
# Με την ίδια ακτίνα χαράζουμε δύο κύκλους με κέντρα τα \rm B και \rm \Gamma. 
# Οι κύκλοι αυτοί τέμνονται στο \rm A και σε ένα άλλο σημείο έστω \rm \Delta.
# Η ευθεία που διέρχεται από το \rm A και το \rm \Delta είναι η (μοναδική) κάθετος από το \rm A στην \varepsilon.

**Σημείωση:** Το κοινό σημείο της \rm A\Delta με την \varepsilon, έστω \rm A', είναι η προβολή του \rm A στην \varepsilon.

## Αναλυτική γεωμετρία

### Κλίσεις κάθετων ευθειών
Δύο ευθείες με εξισώσεις 
:y = \lambda_1 x + \beta_1 \quad (\varepsilon_1),
και
:y = \lambda_2 x + \beta_2 \quad (\varepsilon_2),
είναι κάθετες ανν \lambda_1 \cdot \lambda_2 = -1.

### Εξίσωση κάθετης διερχόμενης από σημείο
Έστω ένα σημείο {\rm P} = (x_0, y_0) και μία ευθεία (\varepsilon) με εξίσωση
:y = \lambda x + \beta \qquad (\varepsilon). 
Η κάθετη από το \rm P στην (\varepsilon) είναι η ευθεία (\zeta) με εξίσωση
:y = - \frac{1}{\lambda} \cdot (x - x_0) + y_0 \qquad (\zeta).

## Ειδικές περιπτώσεις

### Μεσοκάθετος
right|thumb|170px|Η μεσοκάθετος <math>\varepsilon</math> του ευθυγράμμου τμήματος <math>\rm AB</math>.
Η μεοσκάθετος ενός ευθυγράμμου τμήματος \rm AB είναι η κάθετη ευθεία που διέρχεται από το μέσο του \rm AB. Έχει την ιδιότητα ότι όλα τα σημεία της ισαπέχουν από τα \rm A και \rm B. 

### Σε ένα τρίγωνο

* Σε ένα τρίγωνο, το τμήμα της κάθετης από μία κορυφή του τριγώνου προς την απέναντι πλευρά, ονομάζεται ύψος του τριγώνου.

[right|thumb|170px|Οι ευθείες συντρέχουν ανν το [εμβαδόν των πράσινων τετραγώνων ισούται με το εμβαδόν των μπλε.]]
* Το θεώρημα Καρνό δίνει μία αναγκαία και ικανή συνθήκη για να συντρέχουν τρεις ευθείες κάθετες στις πλευρές ενός τριγώνου.

## Γενικεύσεις
Το εσωτερικό γινόμενο γενικεύει την έννοια της καθετότητας. Σε τρεις διαστάσεις χώρο, το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων \vec{u}, \vec{v} \in \R^3, ορίζεται ως εξής 
:\vec{u} \cdot \vec{v} = | \vec{u} | \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \vartheta, 
όπου \vartheta η γωνία μεταξύ των \vec{u} και \vec{v}. Επομένως, δύο διανύσματα είναι κάθετα ανν \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 (καθώς \cos 90^\circ = 0).

Πιο γενικά, σε έναν διανυσματικό χώρο V με εσωτερικό γινόμενο \langle \cdot, \cdot \rangle, δύο διανύσματα \vec{u}, \vec{v} είναι κάθετα αν \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = 0.

## Δείτε επίσης
* Ευθεία
* Παράλληλες ευθείες
* Ύψος τριγώνου

## Σημειώσεις


## Παραπομπές


Κατηγορία:Ευθείες