Διαφορικός λογισμός

Στα μαθηματικά, ο **διαφορικός λογισμός** είναι μία υποκατηγορία του λογισμού με αντικείμενο τη μελέτη των ρυθμών μεταβολής των ποσοτήτων. Είναι μία από τις δύο παραδοσιακές υποδιαιρέσεις του λογισμού. Η άλλη είναι ο ολοκληρωτικός λογισμός.

Τα πρωτογενή αντικείμενα μελέτης  του διαφορικού λογισμού είναι η παράγωγος μιας συνάρτησης, που σχετίζεται με έννοιες όπως το διαφορικό και οι εφαρμογές του.Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε μια επιλεγμένη τιμή εισόδου περιγράφει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης κοντά σε αυτή την τιμή εισόδου.  Η διαδικασία εύρεσης της  παραγώγου ονομάζεται **διαφόριση** (παραγώγιση). Γεωμετρικά, η παράγωγος σε ένα σημείο είναι η κλίση της  εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης σε εκείνο το σημείο, με την προϋπόθεση ότι η παράγωγος υπάρχει  και ορίζεται στο σημείο αυτό. Για μια συνάρτηση πραγματικών αριθμών  μιας μόνο πραγματικής μεταβλητής, η παράγωγος της συνάρτησης σε ένα σημείο καθορίζει γενικά την καλύτερη γραμμική προσέγγιση στη συνάρτηση σε αυτό το σημείο.

Ο διαφορικός λογισμός και ο ολοκληρωτικός λογισμός συνδέονται με το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού, το οποίο αναφέρει ότι η διαφόριση είναι η αντίστροφη διαδικασία της ολοκλήρωσης.

Η διαφόριση  έχει εφαρμογές σε όλες σχεδόν τις ποσοτικές επιστήμες. Για παράδειγμα, στη φυσική η παράγωγος της μετατόπισης ενός κινούμενου σώματος σε σχέση με το χρόνο είναι η ταχύτητα του σώματος, και η παράγωγος της ταχύτητας ως προς το χρόνο είναι η επιτάχυνση του. Η παράγωγος της ορμής ενός σώματος ισούται με τη δύναμη που ασκείται στο σώμα, αναδιατάσσοντας  αυτή την παράγωγο  οδηγεί στην περίφημη εξίσωση **F = ma**  που σχετίζεται  με το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα. Ο βαθμός αντίδρασης μιας χημικής αντίδρασης είναι μια παράγωγος. Στην επιχειρησιακή έρευνα, οι παράγωγοι καθορίζουν τους πιο αποτελεσματικούς τρόπους για την μεταφορά υλικών και για την σχεδίαση εργοστασίων.

Οι παράγωγοι χρησιμοποιούνται συχνά για να υπολογισθούν  το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης . Οι εξισώσεις που περιέχουν παραγώγους ονομάζoνται διαφορικές εξισώσεις και είναι θεμελιώδεις για την περιγραφή των φυσικών φαινομένων . Οι παράγωγοι και οι γενικεύσεις τους εμφανίζονται σε πολλούς τομείς των μαθηματικών , όπως η μιγαδική ανάλυση , η συναρτησιακή ανάλυση , η διαφορική γεωμετρία , η θεωρία μέτρου  και η αφηρημένη άλγεβρα.

## Παράγωγος

Ας υποθέσουμε ότι τα  και   είναι πραγματικοί αριθμοί και ότι το   είναι μια συνάρτηση του ,δηλαδή,ότι για κάθε τιμή του  υπάρχει μια αντίστοιχη τιμή του . Αυτή η σχέση μπορεί να γραφεί ως . Αν η   είναι η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής (που ονομάζεται γραμμική εξίσωση), τότε υπάρχουν δύο πραγματικοί αριθμοί  και  τέτοιοι ώστε . Σε αυτή τη μορφή, ο όρος  ονομάζεται κλίση και μπορεί να προσδιοριστεί από τον τύπο

 m = \frac{{\mu\epsilon\tau\alpha\beta\text{o}\lambda\eta\ }  y}

Η εξίσωση της θερμότητας στη μονοδιάστατη περίπτωση, η οποία περιγράφει το πως διαχέεται η θερμότητα κατά το μήκος μιας ράβδου, είναι η παρακάτω μερική διαφορική εξίσωση

{\partial u\over\partial t}=a{\partial^2 u\over\partial x^2}

όπου  u(x,t)  είναι η θερμοκρασία της ράβδου στη θέση x τη χρονική στιγμή  t  και το  a  είναι πραγματική σταθερά που εξαρτάται από το υλικό της ράβδου.

### Θεώρημα Μέσης τιμής

Το θεώρημα μέσης τιμής δίνει μια σχέση μεταξύ των τιμών της παραγώγου και των τιμών της αρχικής συνάρτησης. Αν   είναι συνάρτηση πραγματικών αριθμών και τα  και  είναι αριθμοί με   ,το θεώρημα μέσης τιμής λέει ότι κάτω από συγκεκριμένες υποθέσεις ,η κλίση μεταξύ 2 σημείων  και  είναι ίση με την κλίση της εφαπτομένης της  σε κάποιο σημείο  μεταξυ των     και .Με άλλα λόγια:

f'(c)={f(b)-f(a) \over b-a}

Στην πράξη , αυτό που κάνει το  θεώρημα μέσης τιμής  είναι να ελέγχει μια συνάρτηση  βάση της παραγώγου της. Για παράδειγμα , ας υποθέσουμε ότι η  έχει παράγωγο που ισούται με μηδέν σε κάθε σημείο. Αυτό σημαίνει ότι η εφαπτόμενη της είναι οριζόντια σε κάθε σημείο , οπότε και η συνάρτηση  θα πρέπει επίσης να είναι οριζόντια.Το θεώρημα μέσης τιμής αποδεικνύει ότι αυτό πρέπει να ισχύει : Η κλίση μεταξύ δύο οποιωνδήποτε σημείων στη γραφική παράσταση της  πρέπει να είναι ίση με κλίση μιας από τις εφαπτομένες της .Όλες αυτές οι κλίσεις είναι μηδέν ,οπότε κάθε γραμμή από ένα σημείο της γραφικής παράστασης σε ένα άλλο ,θα έχει μηδενική κλίση.Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση δεν κινείται πάνω ή κάτω,άρα πρέπει να είναι οριζόντια γραμμή. Πιο περίπλοκες συνθήκες  της παραγώγου μπορεί  να οδηγήσουν σε λιγότερη ακρίβεια, αλλά εξακολουθούν να είναι ιδιαίτερα χρήσιμες πληροφορίες σχετικά με την αρχική συνάρτηση.

### Πολυώνυμα Taylor και σειρές Taylor
	 
Η παράγωγος δίνει την καλύτερη δυνατή γραμμική προσέγγιση μιας συνάρτησης σε ένα δοσμένο σημείο, αλλα αυτή μπορεί να είναι πολύ διαφορετική από την αρχική συνάρτηση.Ένας τρόπος για την βελτίωση της προσέγγισης είναι η τετραγωνική προσέγγιση, δηλαδή η γραμμικοποίηση μιας συνάρτησης πραγματικών αριθμών   στο σημείο  είναι ένα γραμμικό πολυώνυμο  και είναι δυνατόν να πάρουμε μια καλύτερη προσέγγιση εξετάζοντας ένα τετραγωνικό πολυώνυμο . Ακόμη καλύτερα θα μπορούσε να είναι ένα κυβικό πολυώνυμο  και αυτή η ιδέα μπορεί να επεκταθεί σε αυθαίρετα υψηλού βαθμού πολυώνυμα. Για κάθε ενα από αυτά τα πολυώνυμα πρέπει να υπάρχει η καλύτερη δυνατή επιλογή των συντελεστών , , , και   που κάνει την προσέγγιση όσο το δυνατόν καλύτερη.

Σε μία περιοχή του  για το  η καλύτερη επιλογή είναι πάντα η  και για το  η καλύτερη δυνατή επιλογή είναι πάντα η  .Για το  ,  και για τους συντελεστές των μεγαλύτερων βαθμών ,αυτοί οι καθορίζονται από τις υψηλότερες παραγώγους της  .Ο συντελεστής  είναι πάντα ίσος με  και ο    ίσος με . Χρησιμοποιώντας αυτούς τους συντελεστές παίρνουμε το πολυώνυμο Taylor της . Το πολυώνυμο Taylor βαθμού  είναι το πολυώνυμο βαθμού   που προσεγγίζει καλύτερα την , και οι συντελεστές του μπορούν να βρεθούν από την γενίκευση των παραπάνω τύπων.Το θεώρημα Taylor δίνει ένα ακριβές  όριο για το πόσο καλή είναι η προσέγγιση. Αν η  είναι ένα πολυώνυμο βαθμού μικρότερου ή ίσου από το  ,τότε το πολυώνυμο Taylor βαθμού  ισούται με την .

Το όριο των πολυωνύμων Taylor είναι μια άπειρη σειρά που ονομάζεται **σειρά Taylor**.Η σειρά Taylor είναι συχνά μια πολύ καλή προσέγγιση για την αρχική συνάρτηση.Οι συναρτήσεις που είναι ίσες με την δική τους σειρά Taylor ονομάζονται αναλυτικές συναρτήσεις. Είναι αδύνατο για συναρτήσεις με ασυνέχειες  να είναι αναλυτικές ,αλλά υπάρχουν και ομαλές συναρτήσεις που δεν είναι αναλυτικές.

### Θεώρημα πεπλεγμένης συνάρτησης
Μερικά φυσικά γεωμετρικά σχήματα,όπως ο κύκλος,δεν μπορούν να εξαχθούν σαν γραφική παράσταση μιας συνάρτησης.Για παράδειγμα   , τότε ο κύκλος είναι το σύνολο όλων των ζευγών  ,έτσι ώστε . Αυτό το σύνολο ονομάζεται το μηδενικό σύνολο της  . Δεν είναι το ίδιο με τη γραφική παράσταση της , η οποία είναι ένας κώνος.Το θεώρημα πεπλεγμένης συνάρτησης μετατρέπει σχέσεις όπως η   σε συναρτήσεις.Ουσιαστικά δείχνει ότι αν η  είναι συνεχώς διαφορίσιμη,τότε κοντά στα περισσότερα σημεία ,το μηδενικό σύνολο της  μοιάζει με γραφική παράσταση συναρτήσεων.Τα σημεία για τα οποία δεν ισχύει το παραπάνω καθορίζονται από έναν όρο της παραγώγου της . Ο κύκλος, για παράδειγμα, μπορεί να σχεδιαστεί από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων . Στην  περιοχή όλων των σημείων του κύκλου εκτός από το  και το  , μία από αυτές τις συναρτήσεις έχει γραφική παράσταση που μοιάζει με κύκλο.(Αυτές οι συναρτήσεις ,επίσης,τυχαίνει να τέμνουν το  και το    αλλά αυτό δεν συνεπάγεται από το θεώρημα πεπλεγμένης συνάρτησης).

Η πεπλεγμένη συνάρηση είναι στενά συνδεδεμένη με το θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης,το οποίο λέει ότι αν η f είναι συνεχως παραγωγισιμη με μη μηδενικη παραγωγο σε ενα σημειο a ,τοτε η f ειναι αντιστρεψιμη σε μια περιοχη του a και η αντιστροφη ειναι συνεχως διαφορισιμη.

## Δείτε επίσης
* Διαφορική γεωμετρία
* Αριθμητική παραγώγιση
* Κριτήρια παραγώγισηςς
* Λογισμός

## Παραπομπές


## Βιβλιογραφία

*