Τύπος του Ήρωνα

μικρογραφία|290px|Έστω <math>\alpha, \beta, \gamma</math> τα μήκη των πλευρών του τριγώνου. Από το ημιάθροισμά τους υπολογίζετε η ημιπερίμετρος <math>\tau = \tfrac{1}{2} \cdot (\alpha + \beta + \gamma)</math>, που χρησιμοποιείται στον τύπο του Ήρωνα.
Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, ο **τύπος του Ήρωνα** δίνει το εμβαδόν ενός τριγώνου συναρτήσει του μήκους των πλευρών του. Σύμφωνα με τον τύπο ένα τρίγωνο με μήκη πλευρών \alpha, \beta και \gamma έχει εμβαδό 
:\mathrm{E} = \sqrt{\tau\left(\tau-\alpha\right)\left(\tau-\beta\right)\left(\tau-\gamma\right)},
όπου \tau είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου, δηλαδή:
:\tau=\frac{\alpha+\beta+\gamma}{2}.

Ο τύπος του Ήρωνα μπορεί να γραφτεί και ως εξής:
:\mathrm{E}=\frac{1}{4}\sqrt{(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha+\beta-\gamma)(\beta+\gamma-\alpha)(\gamma+\alpha-\beta)}.
Ο τύπος παίρνει το όνομά του από τον Ήρων. Ο τύπος του Ήρωνα γενικεύεται για όλα τα πολύγωνα που είναι εγγεγραμμένα σε κύκλο.

## Παραδείγματα
Ένα τρίγωνο με πλευρές 
:\alpha= 
:\beta= 
:\gamma= 
έχει εμβαδόν
:

## Αποδείξεις


και άρα 
.|}}

Η σχέση () λόγω της () γράφεται
:\rm AH_A ^2=\gamma^2-\frac{(\alpha^2+\gamma^2-\beta^2)^2}{4 \alpha^2} ή

Ο αριθμητής του κλάσματος της σχέσης () είναι μία διαφορά τετραγώνων και θα την παραγοντοποιήσουμε.

Θέτουμε \alpha+\beta+\gamma=2\tau και έχουμε 

\alpha+\beta-\gamma=2(\tau-\gamma),

\alpha+\gamma-\beta=2(\tau-\beta), 

\beta+\gamma-\alpha=2(\tau-\alpha).

Τώρα η σχέση () γράφεται,
:\rm  4\alpha^2 \gamma^2-(\alpha^2+\gamma^2-\beta^2)^2=2\tau\cdot2(\tau-\gamma)\cdot2(\tau-\beta)\cdot2(\tau-\alpha)=16\cdot\tau\cdot(\tau-\gamma)\cdot(\tau-\beta)\cdot(\tau-\alpha).

Και βάσει αυτής η σχέση () γράφεται,

Δηλαδή 
:\rm AH_A=\frac{2\cdot\sqrt {\tau\cdot(\tau-\gamma)\cdot(\tau-\beta)\cdot(\tau-\alpha)}}{\alpha}.

Ώστε το εμβαδόν είναι,

:
\begin{align}
\rm  {\rm E}
 & = \rm \frac{1}{2} \cdot \rm{B\Gamma} \cdot \rm AH_A\cdot \\
 & = \rm \frac{1}{2} \cdot\alpha \cdot \frac{2\cdot\sqrt {\tau\cdot(\tau-\gamma)\cdot(\tau-\beta)\cdot(\tau-\alpha)}}{\alpha}\\
 & = \rm \sqrt {\tau\cdot(\tau-\gamma)\cdot(\tau-\beta)\cdot(\tau-\alpha)}.
\end{align}.

}}
Μια σύγχρονη απόδειξη η οποία χρησιμοποιεί άλγεβρα και γεωμετρία είναι η εξής: 
 = \frac{\sqrt{4\alpha^2 \beta^2 -(\alpha^2 +\beta^2 -\gamma^2)^2 }}{2\alpha\beta}.
Χρησιμοποιώντας τη διαφορά τετραγώνων x^2 - y^2 = (x - y) \cdot (x + y) έχουμε ότι:
:
\sin {\rm\Gamma}
 = \frac{1}{2\alpha\beta} \sqrt{(2\alpha \beta -(\alpha^2 +\beta^2 -\gamma^2)) \cdot (2\alpha \beta +(\alpha^2 +\beta^2 -\gamma^2))}.

Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2, προκύπτει ότι:
:
\sin {\rm \Gamma}
 = \frac{1}{2\alpha\beta} \sqrt{(\gamma^2 - (\alpha - \beta)^2) \cdot ( (\alpha + \beta)^2 -\gamma^2))}.

Χρησιμοποιώντας πάλι τη διαφορά τετραγώνων έχουμε ότι 
:
\begin{align}
\sin {\rm \Gamma}
 & = \frac{1}{2\alpha\beta} \sqrt{(\gamma - \alpha + \beta) \cdot (\gamma + \alpha - \beta) \cdot (\alpha + \beta - \gamma) \cdot (\alpha + \beta + \gamma)} \\
 & = \frac{2}{\alpha\beta} \cdot \sqrt{(\tau - \alpha) \cdot (\tau - \beta) \cdot (\tau - \gamma) \cdot \tau}.
\end{align}


Το ύψος \upsilon_{\rm A} του τριγώνου που αντιστοιχεί στην πλευρά \alpha έχει μήκος
:\upsilon_{\rm A} = \beta \cdot \sin {\rm\Gamma},
και έτσι έχουμε ότι 
:
\begin{align}
\mathrm{E} 
 & = \frac{1}{2}({\beta\acute{\alpha}\sigma\eta})({\acute{\upsilon}\psi\mathrm{o}\varsigma}) 
 = \frac{1}{2} \cdot \alpha \cdot \upsilon_{\rm A} 
 = \frac{1}{2} \cdot \alpha \beta \cdot \sin {\rm\Gamma} \\
 & = \sqrt{(\tau - \alpha) \cdot (\tau - \beta) \cdot (\tau - \gamma) \cdot \tau},
\end{align}

}}

## Γενικεύσεις

### Τύπος Βραχμαγκούπτα

Ο τύπος Βραχμαγκούπτα γενικεύει αυτόν τον τύπο για τον εμβαδόν οποιουδήποτε εγγράψιμου τετραπλεύρου. Πιο συγκεκριμένα, για ένα εγγράψιμο τετράπλευρο με πλευρές \alpha, \beta, \gamma, \delta και ημιπερίμετρο \tau, το εμβαδόν του είναι ίσο με 
:
  \mathrm{E} = \sqrt{(\tau - \alpha) \cdot (\tau - \beta) \cdot (\tau - \gamma) \cdot (\tau - \delta)}.


### Τύπος Bretschneider

Ο τύπος Bretschneider δίνει το εμβαδόν για κάθε τετράπλευρο σχήμα με πλευρές \alpha, \beta, \gamma, \delta και γωνίες \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{\Gamma}, \mathrm{\Delta} ως
:
  \mathrm{E} = \sqrt{(\tau - \alpha) \cdot (\tau - \beta) \cdot (\tau - \gamma) \cdot (\tau - \delta) - \frac{1}{2} \alpha \beta \gamma \delta \cdot (1 + \cos({\rm A} + {\rm \Gamma}))}
.

## Δείτε επίσης
* Τρίγωνο του Ήρωνα
* Τύπος Βραχμαγκούπτα
* Τύπος Bretschneider

## Περαιτέρω ανάγνωση

### Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* Αποδείξεις για τον τύπο του Ήρωνα

### Ελληνικά άρθρα
* 
* 

### Ξενόγλωσσα άρθρα
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


Κατηγορία:Εμβαδόν
Κατηγορία:Γεωμετρία του τριγώνου
Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία