Θεώρημα του Γκριν

Στον διανυσματικό λογισμό, το **θεώρημα του Γκριν** συνδέει ένα ευθύγραμμο ολοκλήρωμα γύρω από μια απλή κλειστή καμπύλη  με ένα διπλό ολοκλήρωμα πάνω από την επίπεδη περιοχή  (επιφάνεια στο \R^2) που οριοθετείται από το . Πρόκειται για τη δισδιάστατη ειδική περίπτωση του θεωρήματος του Στόκες (επιφάνεια στο \R^3). Σε μία διάσταση, είναι ισοδύναμο με το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού. Σε τρεις διαστάσεις, είναι ισοδύναμο με το θεώρημα της απόκλισης.

## Θεώρημα

Έστω  μια θετικά προσανατολισμένη, τεμαχισμένη λεία, απλή κλειστή καμπύλη σε ένα επίπεδο, και έστω  η περιοχή που οριοθετείται από την . Αν  και  είναι συναρτήσεις της  που ορίζονται σε μια ανοικτή περιοχή που περιέχει  και έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους εκεί, τότε

\oint_C (L\, dx + M\, dy) = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right) dA

όπου η πορεία ολοκλήρωσης κατά μήκος του C είναι αριστερόστροφη

## Εφαρμογή

Στη φυσική, το **θεώρημα του Γκριν** βρίσκει πολλές εφαρμογές. Μία από αυτές είναι η επίλυση ολοκληρωμάτων ροής δύο διαστάσεων, που δηλώνει ότι το άθροισμα των ρευστών που εκρέουν από έναν όγκο είναι ίσο με τη συνολική εκροή που αθροίζεται γύρω από μια περιβάλλουσα περιοχή. Στην επίπεδη γεωμετρία, και ειδικότερα στην τοπογράφηση περιοχών, το θεώρημα του Γκριν  μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό του εμβαδού και του κεντροειδούς επίπεδων σχημάτων αποκλειστικά με ολοκλήρωση επί της περιμέτρου.

## Απόδειξη όταν η ''D'' είναι μια απλή περιοχή

Ακολουθεί η απόδειξη του μισού θεωρήματος για την απλουστευμένη περιοχή  *D*, μια περιοχή τύπου Ι όπου οι *C*1 και *C*3 είναι καμπύλες που συνδέονται με κάθετες γραμμές (ενδεχομένως μηδενικού μήκους). Παρόμοια απόδειξη υπάρχει και για το άλλο μισό του θεωρήματος όταν η  *D* είναι περιοχή τύπου ΙΙ όπου οι *C*2  και *C*4  είναι καμπύλες που συνδέονται με οριζόντιες γραμμές (και πάλι, ενδεχομένως μηδενικού μήκους). Συνδυάζοντας αυτά τα δύο μέρη, το θεώρημα αποδεικνύεται έτσι για περιοχές τύπου ΙΙΙ (που ορίζονται ως περιοχές που είναι και τύπου Ι και τύπου ΙΙ). Η γενική περίπτωση μπορεί στη συνέχεια να συναχθεί από αυτή την ειδική περίπτωση με τη διάσπαση του  *D* σε ένα σύνολο περιοχών τύπου ΙΙΙ.

Εάν μπορεί να αποδειχθεί ότι

και

είναι αληθείς, τότε το θεώρημα του Γκριν προκύπτει αμέσως για την περιοχή D. Μπορούμε να αποδείξουμε εύκολα την () για περιοχές τύπου I, και την () για περιοχές τύπου II. Το θεώρημα του Γκριν προκύπτει στη συνέχεια για τις περιοχές του τύπου ΙΙΙ.

Ας υποθέσουμε ότι η περιοχή *D* είναι μια περιοχή τύπου Ι και μπορεί συνεπώς να χαρακτηριστεί, όπως απεικονίζεται στα δεξιά, ως εξής

D = \{(x,y)\mid a\le x\le b, g_1(x) \le y \le g_2(x)\}

όπου  *g*1 και *g*2 είναι συνεχείς συναρτήσεις επί [*a*, *b*]. υπολογίζουμε το διπλό ολοκλήρωμα στο ():

Υπολογίζουμε τώρα το ευθύγραμμο ολοκλήρωμα στο (). Η *C* μπορεί να ξαναγραφεί ως ένωση τεσσάρων καμπυλών: *C*1, *C*2, *C*3, *C*4.

Με τη *C*1, χρησιμοποιήστε τις παραμετρικές εξισώσεις: *x* = *x*, *y* = *g*1(*x*), *a* ≤ *x* ≤ *b*. Τότε

\int_{C_1} L(x,y)\, dx = \int_a^b L(x,g_1(x))\, dx.

Με *C*3 χρησιμοποιούμε τις παραμετρικές εξισώσεις: *x* = *x*, *y* = *g*2(*x*), *a* ≤ *x* ≤ *b*. Τότε 

 \int_{C_3} L(x,y)\, dx = -\int_{-C_3} L(x,y)\, dx = - \int_a^b L(x,g_2(x))\, dx.

Το ολοκλήρωμα πάνω στο *C*3 είναι αρνητικό, επειδή πηγαίνει προς την αρνητική κατεύθυνση από το *b* προς το *a*, καθώς το *C*  είναι προσανατολισμένο θετικά (αριστερόστροφα). Στα  *C*2 και *C*4, το  *x* παραμένει σταθερό, 

δηλαδή

Συνδυάζοντας την  () με την (), προκύπτει η () για τις περιοχές τύπου Ι. Μια παρόμοια επεξεργασία δίνει την () για τις περιοχές τύπου ΙΙ. Συνδυάζοντας τα δύο μαζί, παίρνουμε το αποτέλεσμα για τις περιοχές του τύπου ΙΙΙ.

## Απόδειξη για ευθυγραμμίσιμες καμπύλες Ζορντάν
Σκοπός μας είναι να αποδειχθεί το εξής

 **Θεώρημα**-Έστω \Gamma  μια ευθυγραμμίσιμη, θετικά προσανατολισμένη καμπύλη Ζορντάν στο \R^2 και έστω R που συμβολίζει την εσωτερική της περιοχή. Έστω ότι A, B:\overline{R} \to \R είναι συνεχείς συναρτήσεις με την ιδιότητα ότι η A έχει δεύτερη μερική παράγωγο σε κάθε σημείο της R, B έχει πρώτη μερική παράγωγο σε κάθε σημείο της R και ότι οι συναρτήσειςD_1 B, D_2 A : R \to \R είναι ολοκληρώσιμες κατά Ρίμαν πάνω στο R. Τότε
 \int_{\Gamma}(A\,dx + B\,dy) = \int_R \left(D_1 B(x,y)-D_2 A(x,y)\right)\,d(x,y).

Χρειάζονται τα ακόλουθα λήμματα των οποίων οι αποδείξεις μπορούν να βρεθούν στο:

**Λήμμα 1 (Λήμμα αποσύνθεσης)**. Έστω ότι η \Gamma είναι μια ευθυγραμμίσιμη, θετικά προσανατολισμένη καμπύλη Ζορντάν στο επίπεδο και έστω R η εσωτερική της περιοχή. Για κάθε θετικό πραγματικό \delta, έστω \mathcal{F}(\delta) η συλλογή των τετραγώνων στο επίπεδο που οριοθετείται από τις ευθείες x=m\delta, y=m\delta, όπου m διατρέχει το σύνολο των ακεραίων. Τότε, για αυτό το \delta, υπάρχει μια διάσπαση της \overline{R} σε έναν πεπερασμένο αριθμό μη επικαλυπτόμενων υποπεριοχών κατά τέτοιο τρόπο ώστε 
 Κάθε μία από τις υπόλοιπες υποπεριοχές, ας πούμε R, ας πούμε R_1, R_2,\ldots, R_k, είναι ένα τετράγωνο από\mathcal{F}(\delta). 
 Κάθε μία από τις υπόλοιπες υποπεριοχές, ας πούμε R_{k+1},\ldots,R_s, έχει ως όριο μια ευθυγραμμίσιμη καμπύλη Ζορντάν που σχηματίζεται από πεπερασμένο αριθμό τόξων του \Gamma και τμήματα των πλευρών κάποιου τετραγώνου από το \mathcal{F}(\delta) . 
 Κάθε μία από τις συνοριακές περιοχές R_{k+1},\ldots,R_s μπορεί να περικλείεται σε ένα τετράγωνο μήκους ακμής 2\delta. 
 Εάν \Gamma_i είναι η θετικά προσανατολισμένη συνοριακή καμπύλη της R_i, τότε \Gamma=\Gamma_1+\Gamma_2+\cdots+\Gamma_s. 
 Ο αριθμός s-k των συνοριακών περιοχών δεν είναι μεγαλύτερος από 4\!\left(\frac{\Lambda}{\delta} + 1\right), όπου \Lambda είναι το μήκος της \Gamma.
 

**Λήμμα 2**-Έστω  \Gamma μια ευθυγραμμίσιμη καμπύλη στο επίπεδο και έστω \Delta_\Gamma(h) το σύνολο των σημείων στο επίπεδο των οποίων η απόσταση από (το εύρος της) \Gamma  είναι το πολύ h. Το εξωτερικό περιεχόμενο Ζορντάν αυτού του συνόλου ικανοποιεί \overline{c}\,\,\Delta_\Gamma(h)\le2h\Lambda +\pi h^2.

**Lemma 3**. Έστω \Gammaμια ευθυγραμμίσιμη καμπύλη στο \R^2 και έστω f:\text{range of }\Gamma \to \R είναι μια συνεχής συνάρτηση. Τότε
\left\vert\int_\Gamma f(x,y)\,dy\right\vert \le\frac{1}{2} \Lambda\Omega_f, και
\left\vert\int_\Gamma f(x,y)\,dx\right\vert \le\frac{1}{2} \Lambda\Omega_f,

όπου \Omega_f είναι η ταλάντωση του f στην περιοχή του \Gamma.

Τώρα είμαστε σε θέση να αποδείξουμε το θεώρημα:

**Απόδειξη του θεωρήματος.** Έστω \varepsilon ένας αυθαίρετος θετικός πραγματικός αριθμός. Λόγω της συνέχειας των A, B και της συμπαγούς μορφής της \overline{R}, δίνεται \varepsilon>0, υπάρχει 0 τέτοιο ώστε κάθε φορά που δύο σημεία της \overline{R} απέχουν μεταξύ τους λιγότερο από 2\sqrt{2}\,\delta, οι εικόνες τους κάτω από A, B απέχουν μεταξύ τους λιγότερο από \varepsilon. Για αυτό το \delta, ας θεωρήσουμε την αποσύνθεση που δίνεται από το προηγούμενο Λήμμα. Έχουμε
\int_\Gamma A\,dx+B\,dy=\sum_{i=1}^k \int_{\Gamma_i} A\,dx+B\,dy\quad +\sum_{i=k+1}^s \int_{\Gamma_i}A\,dx+B\,dy.

Βάλτε  \varphi := D_1 B - D_2 A.

Για κάθε i\in\{1,\ldots,k\}, η καμπύλη \Gamma_i είναι ένα θετικά προσανατολισμένο τετράγωνο, για το οποίο ισχύει ο τύπος του Γκριν. Συνεπώς
\sum_{i=1}^k \int_{\Gamma_i}A\,dx + B\,dy =\sum_{i=1}^k \int_{R_i} \varphi = \int_{\bigcup_{i=1}^k R_i}\,\varphi.

Κάθε σημείο μιας συνοριακής περιοχής βρίσκεται σε απόσταση όχι μεγαλύτερη από 2\sqrt{2}\,\delta από \Gamma. Έτσι, αν K είναι η ένωση όλων των συνοριακών περιοχών, τότε 

K\subset \Delta_{\Gamma}(2\sqrt{2}\,\delta), συνεπώς c(K)\le\overline{c}\,\Delta_{\Gamma}(2\sqrt{2}\,\delta)\le 4\sqrt{2}\,\delta+8\pi\delta^2, από το Λήμμα 2. 
Ας σημειωθεί ότι

\int_R \varphi\,\,-\int_{\bigcup_{i=1}^k R_i} \varphi=\int_K \varphi.

Έτσι προκύπτει

\left\vert\sum_{i=1}^k \int_{\Gamma_i} A\,dx+B\,dy\quad-\int_R\varphi \right\vert \le M \delta(1+\pi\sqrt{2}\,\delta) \text{ for some } M > 0.

Μπορούμε επίσης να επιλέξουμε \delta έτσι ώστε το RHS της τελευταίας ανισότητας να είναι 

Η παρατήρηση στην αρχή αυτής της απόδειξης συνεπάγεται ότι οι ταλαντώσεις των A and B σε κάθε συνοριακή περιοχή είναι το πολύ \varepsilon. Έχουμε

\left\vert\sum_{i=k+1}^s \int_{\Gamma_i}A\,dx+B\,dy\right\vert\le\frac{1}{2} \varepsilon\sum_{i=k+1}^s \Lambda_i.

Σύμφωνα με το Λήμμα 1(iii),

\sum_{i=k+1}^s \Lambda_i \le\Lambda + (4\delta)\,4\!\left(\frac{\Lambda}{\delta}+1\right)\le17\Lambda+16.

Συνδυάζοντας αυτά, έχουμε τελικά

\left\vert\int_\Gamma A\,dx+B\,dy\quad-\int_R \varphi\right\vert

για κάποιο C > 0. Εφόσον αυτό ισχύει για κάθε \varepsilon > 0, τελειώσαμε.

## Ισχύς υπό διαφορετικές υποθέσεις

Οι υποθέσεις του τελευταίου θεωρήματος δεν είναι οι μόνες υπό τις οποίες ο τύπος του Γκριν είναι αληθής. Ένα άλλο κοινό σύνολο προϋποθέσεων είναι το ακόλουθο:

Οι συναρτήσεις A, B:\overline{R} \to \R εξακολουθούν να θεωρούνται συνεχείς. Ωστόσο, τώρα απαιτούμε να είναι διαφορίσιμες κατά Φρεσέ σε κάθε σημείο του R. Αυτό συνεπάγεται την ύπαρξη όλων των παραγώγων κατεύθυνσης, συγκεκριμένα D_{e_i}A=:D_i A, D_{e_i}B=:D_i B, \,i=1,2, όπου, ως συνήθως, (e_1,e_2) είναι η κανονική διατεταγμένη βάση του \R^2. Επιπλέον, απαιτούμε η συνάρτηση D_1 B-D_2 A να είναι Ρίμαν-ολοκληρώσιμη πάνω στο R.

Ως επακόλουθο αυτού, έχουμε το Ολοκληρωματικό Θεώρημα Κωσύ για ευθυγραμμίσιμες καμπύλες Ζορντάν::

**Θεώρημα (Κωσύ)**- Εάν \Gamma είναι μια ευθυγραμμίσιμη καμπύλη Ζορντάν στο \Complex και αν f : \text{closure of inner region of } \Gamma \to \Complex  είναι μια συνεχής απεικόνιση ολομορφική σε όλη την εσωτερική περιοχή το\Gamma, τότε 

\int_\Gamma f=0, 

το ολοκλήρωμα είναι ένα σύνθετο ολοκλήρωμα περιγράμματος. 

**Απόδειξη**. Ας θεωρήσουμε το μιγαδικό επίπεδο ως \R^2. Τώρα, ορίζουμε u,v:\overline{R} \to \R να είναι τέτοιες ώστε f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). Αυτές οι συναρτήσεις είναι σαφώς συνεχείς. Είναι γνωστό ότι οι u και v είναι διαφορίσιμες κατά Φρεσέ και ότι ικανοποιούν τις εξισώσεις Κωσύ-Ρίμαν: D_1 v + D_2 u = D_1 u - D_2 v = \text{zero function}.

Τώρα, αναλύοντας τα αθροίσματα που χρησιμοποιούνται για τον ορισμό του εν λόγω μιγαδικού ολοκληρώματος περιγράμματος, είναι εύκολο να συνειδητοποιήσουμε ότι

\int_\Gamma f=\int_\Gamma u\,dx-v\,dy\quad+i\int_\Gamma v\,dx+u\,dy,

τα ολοκληρώματα στο RHS είναι συνήθη γραμμικά ολοκληρώματα. Αυτές οι παρατηρήσεις μας επιτρέπουν να εφαρμόσουμε το θεώρημα του Γκριν σε κάθε ένα από αυτά τα γραμμικά ολοκληρώματα, ολοκληρώνοντας την απόδειξη.

## Περιοχές πολλαπλά συνδεδεμένες

**Θεώρημα**. Έστω \Gamma_0,\Gamma_1,\ldots,\Gamma_n θετικά προσανατολισμένες ευθυγραμμίσιμές καμπύλες Ζορντάν στον \R^{2} που ικανοποιούν

\begin{aligned}
\Gamma_i \subset R_0,&&\text{if } 1\le i\le n\\
\Gamma_i \subset \R^2 \setminus \overline{R}_j,&&\text{if }1\le i,j \le n\text{ and }i\ne j,
\end{aligned}

όπου R_i είναι η εσωτερική περιοχή του \Gamma_i. Έστω

D = R_0 \setminus (\overline{R}_1 \cup \overline{R}_2 \cup \cdots \cup \overline{R}_n).

Ας υποθέσουμε p: \overline{D} \to \R and q: \overline{D} \to \R είναι συνεχείς συναρτήσεις των οποίων ο περιορισμός στο D είναι διαφορίσιμος κατά Φρεσέ. Αν η συνάρτηση

(x,y)\longmapsto\frac{\partial q}{\partial e_1}(x,y)-\frac{\partial p}{\partial e_2}(x,y)
είναι ολοκληρώσιμη κατά Ρίμαν πάνω από D, 

τότε

\begin{align}
& \int_{\Gamma_0} p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy-\sum_{i=1}^n \int_{\Gamma_i} p(x,y)\,dx + q(x,y)\,dy \\[5pt]
= {} & \int_D\left\{\frac{\partial q}{\partial e_1}(x,y)-\frac{\partial p}{\partial e_2}(x,y)\right\} \, d(x,y).
\end{align}

## Σχέση με το θεώρημα του Στόκες

Το θεώρημα του Γκριν είναι μια ειδική περίπτωση του θεωρήματος Κελβίν-Στόκες, όταν εφαρμόζεται σε μια περιοχή στο επίπεδο xy.

Μπορούμε να αυξήσουμε το δισδιάστατο πεδίο σε ένα τρισδιάστατο πεδίο με μια συνιστώσα *z* που είναι πάντα *0*. Σημειώστε **F**  για τη διανυσματική συνάρτηση \mathbf{F}=(L,M,0). Ξεκινήστε με την αριστερή πλευρά του θεωρήματος του Γκριν:

\oint_C (L\, dx + M\, dy) = \oint_C (L, M, 0) \cdot (dx, dy, dz) = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}. 

θεώρημα Κελβίν-Στόκες:

\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, dS. 

Η επιφάνεια S είναι απλώς η περιοχή στο επίπεδο D, με τη μοναδιαία κανονική \mathbf{\hat n} να ορίζεται (κατά σύμβαση) να έχει θετική συνιστώσα z, ώστε να ταιριάζει με τους ορισμούς του "θετικού προσανατολισμού" και για τα δύο θεωρήματα.

Η έκφραση μέσα στο ολοκλήρωμα γίνεται

\nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} = \left[ \left(\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{\partial M}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial L}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right) \mathbf{k} \right] \cdot \mathbf{k} = \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right). 

Έτσι έχουμε τη δεξιά πλευρά του θεωρήματος του Γκριν

\iint_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, dS = \iint_D \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right) \, dA. 

Το θεώρημα του Γκριν είναι επίσης ένα απλό αποτέλεσμα του γενικού θεωρήματος του Στόκες που χρησιμοποιεί διαφορικές μορφές και εξωτερικές παραγώγους:

\oint_C L \,dx + M \,dy
= \oint_{\partial D} \! \omega
= \int_D d\omega
= \int_D \frac{\partial L}{\partial y} \,dy \wedge \,dx + \frac{\partial M}{\partial x} \,dx \wedge \,dy
= \iint_D \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} \right) \,dx \,dy.

## Σχέση με το θεώρημα της απόκλισης

Λαμβάνοντας υπόψη μόνο δισδιάστατα διανυσματικά πεδία, το θεώρημα του Γκριν είναι ισοδύναμο με τη δισδιάστατη εκδοχή του θεωρήματος της απόκλισης:

:\iint_D\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dA=\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, ds,

όπου \nabla\cdot\mathbf{F} είναι η απόκλιση στο δισδιάστατο διανυσματικό πεδίο \mathbf{F}, και \mathbf{\hat n} είναι το μοναδιαίο κανονικό διάνυσμα που δείχνει προς τα έξω στο σύνορο.

Για να το δείτε αυτό, ας θεωρήσουμε τη μοναδιαία κανονική \mathbf{\hat n} στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης. Δεδομένου ότι στο θεώρημα του Γκριν d\mathbf{r} = (dx, dy) είναι ένα διάνυσμα που δείχνει εφαπτομενικά κατά μήκος της καμπύλης και η καμπύλη “'C”' είναι η θετικά προσανατολισμένη (δηλαδή αριστερόστροφα) καμπύλη κατά μήκος του ορίου, μια προς τα έξω κανονική θα ήταν ένα διάνυσμα που δείχνει 90° δεξιά από αυτό- μια επιλογή θα ήταν (dy, -dx). Το μήκος αυτού του διανύσματος είναι \sqrt{dx^2 + dy^2} = ds. Έτσι (dy, -dx) = \mathbf{\hat n}\,ds.

Ας ξεκινήσουμε με την αριστερή πλευρά του θεωρήματος του Γκριν:

\oint_C (L\, dx + M\, dy) = \oint_C (M, -L) \cdot (dy, -dx) = \oint_C (M, -L) \cdot \mathbf{\hat n}\,ds.

Εφαρμόζοντας το θεώρημα της δισδιάστατης απόκλισης με \mathbf{F} = (M, -L), παίρνουμε τη δεξιά πλευρά του θεωρήματος του Γκριν:

\oint_C (M, -L) \cdot \mathbf{\hat n}\,ds = \iint_D\left(\nabla \cdot (M, -L) \right) \, dA = \iint_D \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right) \, dA.

## Υπολογισμός εμβαδού
Το θεώρημα του Γκριν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του εμβαδού μέσω του γραμμικού ολοκληρώματος  Το εμβαδόν μιας επίπεδης περιοχής D δίνεται από τη σχέση 
A = \iint_D dA.

Επιλέγουµε L και M έτσι ώστε \frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} = 1, το εµβαδόν δίνεται από τη σχέση

A = \oint_{C} (L\, dx + M\, dy).

Οι πιθανοί τύποι για το εμβαδόν του D περιλαμβάνουν 

A=\oint_C x\, dy = -\oint_C y\, dx = \tfrac 12 \oint_C (-y\, dx + x\, dy).

## Ιστορία

Πήρε το όνομά του από τον Τζορτζ Γκριν, ο οποίος ανέφερε ένα παρόμοιο αποτέλεσμα σε μια εργασία του 1828 με τίτλο An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism (Δοκίμιο για την εφαρμογή της μαθηματικής ανάλυσης στις θεωρίες του ηλεκτρισμού και του μαγνητισμού). Το 1846, ο Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ δημοσίευσε ένα άρθρο στο οποίο η προτελευταία πρόταση ανέφερε το θεώρημα του Γκριν. Αυτή ήταν στην πραγματικότητα η πρώτη τυπωμένη εκδοχή του θεωρήματος του Γκριν στη μορφή που εμφανίζεται στα σύγχρονα εγχειρίδια. Τζορτζ Γκριν, Ένα δοκίμιο για την εφαρμογή της μαθηματικής ανάλυσης στις θεωρίες του ηλεκτρισμού και του μαγνητισμού (Νότιγχαμ, Αγγλία: T. Wheelhouse, 1828). Ο Γκριν δεν εξήγαγε στην πραγματικότητα τη μορφή του «θεωρήματος του Γκριν» που εμφανίζεται σε αυτό το άρθρο- μάλλον, εξήγαγε μια μορφή του «θεωρήματος της απόκλισης», η οποία εμφανίζεται στις σελίδες 10 έως 12 του δοκιμίου του.
Το 1846, η μορφή του «θεωρήματος του Γκριν» που εμφανίζεται σε αυτό το άρθρο δημοσιεύθηκε για πρώτη φορά, χωρίς απόδειξη, σε μια εργασία του Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ: Α. Κωσύ (1846) «Sur les intégrales qui s'étend à tous les points d'une courbe fermée», Comptes rendus,(«Σχετικά με τα ολοκληρώματα που επεκτείνονται σε όλα τα σημεία μιας κλειστής καμπύλης», Πρακτικά) 23: 251-255. (Η εξίσωση εμφανίζεται στο κάτω μέρος της σελίδας 254, όπου (S) δηλώνει το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης k κατά μήκος της καμπύλης s που περιβάλλει το πεδίο S).
Μια απόδειξη του θεωρήματος δόθηκε τελικά το 1851 από τον Μπέρναρντ Ρίμαν στην εναρκτήρια διατριβή του: Μπέρναρντ Ρίμαν (1851) Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse (Βάσεις για μια γενική θεωρία των συναρτήσεων μιας μεταβλητής σύνθετης ποσότητας), (Göttingen, (Γερμανία): Rente, 1867)- βλέπε σελίδες 8-9.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Διδιάστατος χώρος
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Υπερβολική γεωμετρία
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Διάσταση Κρουλ
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
*
* 
* 
* 
*
*
*
* 
* 
* . Review: Séquin, Carlo H. (2009), *Journal of Mathematics and the Arts* 3: 229–230, 
* 
*Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:Θεωρήματα στην ανάλυση
Κατηγορία:Μαθηματική ανάλυση
Κατηγορία:Επιφάνειες
Κατηγορία:Διαφορική τοπολογία
Κατηγορία:Διανύσματα
Κατηγορία:Διανυσματικός λογισμός
Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις