Οιονεί μορφισμός

Στην θεωρία ομάδων, δεδομένης μιας ομάδας G, ένας **οιονεί μορφισμός** (ή **οιονεί-μορφισμός**) είναι μια συνάρτηση f:G\to\mathbb{R} η οποία είναι προσθετική έως ένα φραγμένο σφάλμα, δηλαδή υπάρχει μια σταθερά D\geq 0 έτσι ώστε |f(gh)-f(g)-f(h)|\leq D για όλα τα g, h\in G.  Η ελάχιστη θετική τιμή του  D για την οποία ικανοποιείται αυτή η ανισότητα ονομάζεται **ελάττωμα** του  f,και γράφεται ως D(f). Για μια ομάδα G, οι οιονει μορφισμοί σχηματίζουν έναν υποχώρο του χώρου συναρτήσεων \mathbb{R}^G.

## Παραδείγματα

*Οι ομομορφισμοί ομάδων και οι φραγμένες συναρτήσεις από το G στο \mathbb{R} είναι οιονεί μορφισμοί. Το άθροισμα ενός ομομορφισμού ομάδας και μιας φραγμένης συνάρτησης είναι επίσης ένας οιονεί μορφισμος  και οι συναρτήσεις αυτής της μορφής αναφέρονται μερικές φορές ως "τετριμμένοι" οιονεί μορφισμοί. 
* Έστω G=F_S μια ελεύθερη ομάδα πάνω σε ένα σύνολο S. Για μια μειωμένη λέξη w στο S, ορίζουμε πρώτα τη μεγάλη συνάρτηση μέτρησης C_w:F_S\to \mathbb{Z}_{\geq 0}, η οποία επιστρέφει για g\in G τον αριθμό των αντιγράφων του w στο μειωμένο αντιπροσωπευτικό του g. Ομοίως, ορίζουμε τη μικρή συνάρτηση μέτρησης c_w:F_S\to\mathbb{Z}_{\geq 0}, που επιστρέφει τον μέγιστο αριθμό μη επικαλυπτόμενων αντιγράφων στον μειωμένο αντιπρόσωπο του g. Λόγου χάριν , C_{aa}(aaaa)=3 και c_{aa}(aaaa)=2. Τότε, ένας **μεγάλος οιονεί μορφισμος μέτρησης** (αντίστοιχα **μικρός οιονεί μορφισμος μέτρησης**) είναι μια συνάρτηση της μορφήςH_w(g)=C_w(g)-C_{w^{-1}}(g) (resp. h_w(g)=c_w(g)-c_{w^{-1}}(g)).
* Ο αριθμός περιστροφής \text{rot}:\text{Homeo}^+(S^1)\to\mathbb{R} είναι ένας **οιονεί μορφισμος**, όπου \text{Homeo}^+(S^1) δηλώνει τους ομοιομορφισμούς του κύκλου που διατηρούν τον προσανατολισμό.

## Ομογενής

Ένας οιονεί μορφισμος  είναι **ομογενής** αν f(g^n)=nf(g) για όλα τα g\in G, n\in \mathbb{Z}. Αποδεικνύεται ότι η μελέτη των οιονεί μορφισμών  μπορεί να περιοριστεί στη μελέτη των ομογενών οιονεί μορφισμών, καθώς κάθε οιονεί μορφισμος f:G\to\mathbb{R} απέχει μια φραγμένη απόσταση από έναν μοναδικό ομογενή οιονεί μορφισμο \overline{f}:G\to\mathbb{R}, που δίνεται από:
:\overline{f}(g)=\lim_{n\to\infty}\frac{f(g^n)}{n}.
Ένας ομογενής οιονεί μορφισμος  f:G\to\mathbb{R}  έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
* Είναι σταθερά στις κλάσεις συζυγίας, δηλαδή f(g^{-1}hg)=f(h) για όλα τα g, h\in G,
* Εάν G είναι αβελιανό, τότε f είναι ομομορφισμός ομάδων. Η παραπάνω παρατήρηση υποδηλώνει ότι σε αυτή την περίπτωση όλοι οι οιονεί μορφισμοί  είναι "τετριμμένοι ".

## Ακέραιες τιμές

Μπορεί επίσης να οριστεί ο όρος οιονεί μορφισμος  με παρόμοιο τρόπο στην περίπτωση μιας συνάρτησης f:G\to\mathbb{Z}. Σε αυτή την περίπτωση, η παραπάνω συζήτηση σχετικά με τους ομογενείς οιονεί μορφισμούς δεν ισχύει πλέον, καθώς το όριο \lim_{n\to\infty}f(g^n)/n δεν υπάρχει γενικά στο \mathbb{Z}.

Παραδείγματος χάριν, για \alpha\in\mathbb{R}, η απεικόνιση \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}:n\mapsto\lfloor\alpha n\rfloor είναι ένας οιονεί μορφισμος . Υπάρχει μια κατασκευή των πραγματικών αριθμών ως πηλίκο των οιονεί μορφισμών \mathbb{Z}\to\mathbb{Z} με μια κατάλληλη σχέση ισοδυναμίας, βλ. Κατασκευή των πραγματικών αριθμών από ακέραιους (πραγματικοί αριθμοί του Ευδόξου).

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Αβελιανή ομάδα

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
*
* 
*
* 
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Μορφισμοί 
Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα