Μονομορφισμός

Στο πλαίσιο της αφηρημένης άλγεβρας ή της καθολικής άλγεβρας, ένας **μονομορφισμός** είναι ένας ερριπτικός ομομορφισμός. Ένας μονομορφισμός από  σε  συχνά συμβολίζεται με τον συμβολισμό X\hookrightarrow Y.

Στο γενικότερο πλαίσιο της θεωρίας κατηγοριών, ένας **μονομορφισμός** (που ονομάζεται επίσης **μονικός μορφισμός** ή **μονο**') είναι ένας αριστερά ακυρώσιμος μορφισμός. Δηλαδή, ένα βέλος  τέτοιο ώστε για όλα τα αντικείμενα  και όλους τους μορφισμούς ,
: f \circ g_1 = f \circ g_2 \implies g_1 = g_2.

Οι μονομορφισμοί είναι μια κατηγορική γενίκευση των ερριπτικών συναρτήσεων (που ονομάζονται επίσης "συναρτήσεις ένα προς ένα")- σε ορισμένες κατηγορίες οι έννοιες συμπίπτουν, αλλά οι μονομορφισμοί είναι πιο γενικοί, όπως στα παραδείγματα που ακολουθούν.

Στο περιβάλλον των posets οι τομές είναι ταυτοδύναμες: η τομή οποιουδήποτε πράγματος με τον εαυτό του είναι ο ίδιος ο εαυτός του. Οι μονομορφισμοί γενικεύουν αυτή την ιδιότητα σε αυθαίρετες κατηγορίες. Ένας μορφισμός είναι μονομορφισμός αν είναι ιδιοσυστατικός ως προς την ανακρούση (pullback) .

Ο κατηγορηματικός δυϊκός ενός μονομορφισμού είναι ένας επιμορφισμός, δηλαδή ένας μονομορφισμός σε μια κατηγορία *C* είναι ένας επιμορφισμός στη δυϊκή κατηγορία *C*op. Κάθε τμήμα είναι μονομορφισμός και κάθε ανάκληση είναι επιμορφισμός.

## Σχέση με την αντιστρεψιμότητα

Οι αριστερά αντιστρέψιμοι μορφισμοί είναι αναγκαστικά μονικοί: αν το *l*  είναι αριστερά αντίστροφο για το *f* (δηλαδή το *l*  είναι μορφισμός και l \circ f = \operatorname{id}_{X}), τότε το *f* είναι μονικό, καθώς
: f \circ g_1 = f \circ g_2 \Rightarrow l\circ f\circ g_1 = l\circ f\circ g_2 \Rightarrow g_1 = g_2.

Ένας αριστερά αναστρέψιμος μορφισμός ονομάζεται **split mono**  ή **τµήµα**.

Ωστόσο, ένας μονομορφισμός δεν χρειάζεται να είναι αριστερά αντιστρέψιμος. Επί παραδείγματι, στην κατηγορία **Ομάδα** όλων των ομάδων και των ομοιομορφισμών ομάδων μεταξύ τους, αν η *H* είναι υποομάδα της *G* τότε ο εγκλεισμός  είναι πάντα μονομορφισμός- αλλά η *f* έχει αριστερό αντίστροφο στην κατηγορία αν και μόνο αν η *H* έχει κανονικό συμπλήρωμα στην *G*. 

Ένας μορφισμός  είναι μονικός αν και μόνο αν η επαγόμενη απεικόνιση  , που ορίζεται από τη σχέση  για όλους τους μορφισμούς , είναι ερριπτική για όλα τα αντικείμενα *Z*.

## Παραδείγματα

Κάθε μορφισμός σε μια συγκεκριμένη κατηγορία της οποίας η ερριπτική συνάρτηση είναι ερριπτική είναι μονομορφισμός- με άλλα λόγια, αν οι μορφισμοί είναι στην πραγματικότητα συναρτήσεις μεταξύ συνόλων, τότε κάθε μορφισμός που είναι συνάρτηση ένα προς ένα θα είναι αναγκαστικά μονομορφισμός με την κατηγορηματική έννοια.  Στην κατηγορία των συνόλων ισχύει και το αντίστροφο, οπότε οι μονομορφισμοί είναι ακριβώς οι ερριπτικοί μορφισμοί.  Το αντίστροφο ισχύει επίσης στις περισσότερες φυσικά εμφανιζόμενες κατηγορίες αλγεβρών λόγω της ύπαρξης ενός ελεύθερου αντικειμένου σε μια γεννήτρια.  Συγκεκριμένα, ισχύει στις κατηγορίες όλων των ομάδων, όλων των δακτυλίων και σε κάθε αβελιανή κατηγορία.

Ωστόσο, δεν ισχύει γενικά ότι όλοι οι μονομορφισμοί πρέπει να είναι ερριπτικοί σε άλλες κατηγορίες- δηλαδή, υπάρχουν ρυθμίσεις στις οποίες οι μορφισμοί είναι συναρτήσεις μεταξύ συνόλων, αλλά μπορεί να έχουμε μια συνάρτηση που δεν είναι ερριπτική και παρόλα αυτά είναι μονομορφισμός με την κατηγορηματική έννοια. Επί παραδείγματι, στην κατηγορία **Div** των διαιρετών (αβελιανών) ομάδων και των ομομορφισμών ομάδων μεταξύ τους υπάρχουν μονομορφισμοί που δεν είναι ερριπτικοί: ας θεωρήσουμε, για παράδειγμα, το πηλίκο , όπου **Q** είναι οι ρητοί υπό πρόσθεση, **Z** οι ακέραιοι (που θεωρούνται επίσης ομάδα υπό πρόσθεση), και **Q**/**Z** είναι η αντίστοιχη πηλίκο ομάδα.  Δεν πρόκειται για μια ερριπτική απεικόνιση, καθώς λόγου χάριν κάθε ακέραιος αριθμός απεικονίζεται στο 0. Παρά ταύτα, είναι ένας μονομορφισμός σε αυτή την κατηγορία. Αυτό προκύπτει από τον υπαινιγμό , τον οποίο θα αποδείξουμε τώρα. Αν , όπου *G* είναι κάποια διαιρετή ομάδα, και , τότε .   Τώρα ορίζουμε κάποιο .  Χωρίς την απώλεια της γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι  (αλλιώς, επιλέγουμε −*x* αντί.  Τότε, αφήνοντας ,  αφού η  *G* είναι διαιρετή ομάδα, υπάρχει κάποιο  τέτοιο ώστε , οπότε  .  Από αυτό, και , προκύπτει ότι

:0 \leq \frac{h(x)}{h(x) + 1} = h(y) 

Αφού , προκύπτει ότι , και επομένως . Αυτό λέει ότι , όπως είναι επιθυμητό.  

Για να μεταβούμε από αυτή την υπόθεση στο γεγονός ότι το q είναι μονομορφισμός, υποθέτουμε ότι   για κάποιους μορφισμούς , όπου *G* is είναι κάποια διαιρετή ομάδα. Τότε  , όπου .   (Εφόσον , and , προκύπτει ότι ).  Από τον υπαινιγμό που μόλις αποδείχθηκε, .  Επομένως, το *q* είναι μονομορφισμός, όπως υποστηρίζεται.

## Ιδιότητες

*Σε έναν τόπο, κάθε μονός είναι ισομορφιστής και κάθε απεικόνιση που είναι και μονική και επική είναι ισομορφισμός.
*Κάθε ισομορφισμός είναι μονικός.

## Σχετικές έννοιες

Υπάρχουν επίσης χρήσιμες έννοιες του *κανονικού μονομορφισμού*, του *ακραίου μονομορφισμού*, του *άμεσου μονομορφισμού*, του *ισχυρού* μονομορφισμού* και του *διαχωρισμένου μονομορφισμού*.

* Ένας μονομορφισμός λέγεται *κανονικός* αν είναι εξισωτής κάποιου ζεύγους παράλληλων μορφισμών.
* Ένας μονομορφισμός <math>\mu</math> λέγεται *ακραίος* αν σε κάθε αναπαράσταση <math>\mu=\varphi\circ\varepsilon</math>, όπου <math>\varepsilon</math> είναι ένας [[επιμορφισμός]], ο μορφισμός <math>\varepsilon</math> είναι αυτόματα ένας [[ισομορφισμός]].
* Ένας μονομορφισμός <math>\mu</math> λέγεται *'άμεσος** αν σε κάθε αναπαράσταση <math>\mu=\mu'\circ\varepsilon</math>, όπου <math>\mu'</math> είναι ένας μονομορφισμός και <math>\varepsilon</math> είναι ένας επιμορφισμός, ο μορφισμός <math>\varepsilon</math> είναι αυτόματα ένας ισομορφισμός.
*  Ένας μονομορφισμός <math>\mu:C\to D</math> λέγεται **ισχυρός**  αν για κάθε επιμορφισμό <math>\varepsilon:A\to B</math> και κάθε μορφισμό <math>\alpha:A\to C</math> και <math>\beta: B\to D</math> έτσι ώστε <math>\beta\circ\varepsilon=\mu\circ\alpha</math>, υπάρχει ένας μορφισμός <math>\delta:B\to C</math> έτσι ώστε <math>\delta\circ\varepsilon=\alpha</math> και <math>\mu\circ\delta=\beta</math>.
* Ένας μονομορφισμός <math>\mu</math> λέγεται **διασπασμένος** αν υπάρχει ένας μορφισμός <math>\varepsilon</math> τέτοιος ώστε <math>\varepsilon\circ\mu=1</math> (σε αυτή την περίπτωση το <math>\varepsilon</math> ονομάζεται αριστερόστροφο για το <math>\mu</math>).

==Ορολογία==

Οι συνοδευτικοί όροι ***μονομορφισμός**' και *επιμορφισμός* εισήχθησαν αρχικά από τον Νικολά Μπουρμπακί- ο Μπουρμπακί χρησιμοποιεί τον *μονομορφισμό* ως συντομογραφία για μια ερριπτική [[συνάρτηση]]. Οι πρώτοι θεωρητικοί των κατηγοριών πίστευαν ότι η σωστή γενίκευση της ερριπτικής ικανότητας στο πλαίσιο των κατηγοριών ήταν η ιδιότητα ακύρωσης που δόθηκε παραπάνω.  Αν και αυτό δεν είναι ακριβώς αληθές για τις μονικές απεικονίσεις, είναι πολύ κοντά, οπότε αυτό έχει προκαλέσει ελάχιστα προβλήματα, σε αντίθεση με την περίπτωση των επιμορφισμών. Ο Σόντερς Μακ Λέιν προσπάθησε να κάνει μια διάκριση μεταξύ αυτού που ονόμασε *μονομορφισμούς*, που ήταν απεικονίσεις σε μια συγκεκριμένη κατηγορία των οποίων οι υποκείμενες απεικονίσεις συνόλων ήταν ερριπτικές, και των *μονικών απεικονίσεων*, που είναι μονομορφισμοί με την κατηγορική έννοια της λέξης.  Αυτή η διάκριση δεν έγινε ποτέ αντικείμενο γενικής χρήσης.

Ένα άλλο όνομα για τον μονομορφισμό είναι *επέκταση* αν και αυτό έχει και άλλες χρήσεις.

== Εξωτερικοί σύνδεσμοι ==
*[https://www.itia.ntua.gr/en/docinfo/1318/ English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics] Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*[https://www.mas.ucy.ac.cy/georgios/bookfiles/dict1.pdf Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου]
*[https://mathbooksgr.wordpress.com/wp-content/uploads/2012/02/mlexiko2012.pdf ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ] Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* [http://thales.math.uoc.gr:1080/Members/ddais/group_theory_XE_15_16/Theoria_Omadwn_Marmaridis.pdf Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης]
* [https://mtzoumas.mysch.gr/mtz/docs_and_apps/Didaskalia/bibl_kath_geom.pdf Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο]
* [https://www.didaktorika.gr/eadd/handle/10442/20405 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών]
* [https://repository.kallipos.gr/bitstream/11419/107/5/NumberTheory30Sep.pdf Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές]
* [https://repository.kallipos.gr/handle/11419/1045 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών]
* [https://thesis.ekt.gr/thesisBookReader/id/15362?lang=el#page/1/mode/2up Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες] Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* [https://www.didaktorika.gr/eadd/handle/10442/58427 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας] Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* [http://users.uoi.gr/brapt/stat/notes_chap_1.pdf  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή]
* [http://www.wolframalpha.com/calculators/integral-calculator/ Wolfram Mathematica Online Integrator]
* [https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/jres/73B/jresv73Bn1p1_A1b.pdf  A Table of Integrals of the Error Functions]

== Δείτε επίσης ==

* [[Απαγορευτική αρχή του Πάουλι]]
* [[Μορφοκλασματική διάσταση]]
* [[Ομοπαραλληλική γεωμετρία]]
* [[Αλγεβρική θεωρία αριθμών]]
* [[Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον]]
* [[Μοναδιαία βηματική συνάρτηση]]
* [[Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ]]
* [[Ευκλείδειος χώρος]]
* [[Αρχιμήδεια ιδιότητα]]
* [[Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)]]
* [[Εφαρμοσμένα μαθηματικά]]
* [[Υπολογιστική ρευστοδυναμική]]
* [[Αβελιανή ομάδα]]
* [[Σύνθεση συνάρτησης]]
* [[Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων]]
* [[Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής]]
* [[Αλγεβρική γεωμετρία]]
* [[Ένα προς ένα]]
* [[Συνήθης διαφορική εξίσωση]]
* [[Γραμμική απεικόνιση]]
* [[Αβελιανή ομάδα]]


== Βιβλιογραφία==
* 
* 
* 
* 
* <
* 
* 
* 
* 
* 

==Παραπομπές==

* 
* [http://www-news.uchicago.edu/releases/05/050421.maclane.shtml Obituary press release] from the [[:en:University of Chicago|University of Chicago]].
* [http://www.iti.cs.tu-bs.de/~koslowj/cgi-bin/p0454?MacLane-0/idx&256 Photographs of Mac Lane] , 1984–1999.
* [[:en:Semen Samsonovich Kutateladze|Kutateladze S.S.]], [http://www.math.nsc.ru/LBRT/g2/english/ssk/knight_e.html Saunders Mac Lane, the Knight of Mathematics]
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*

== Πηγές ==
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* [[:en:Hans Freudenthal|Hans Freudenthal]]: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.'' Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Μορφισμοί 
Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων 
Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα