Τριγωνομετρικό ολοκλήρωμα

Στα μαθηματικά, τα **τριγωνομετρικά ολοκληρώματα** είναι μια οικογένεια μη στοιχειωδών ολοκληρωμάτων που περιλαμβάνουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

## Hμιτονικό ολοκλήρωμα

Οι διαφορετικοί ορισμοί του ημιτονικού ολοκληρώματος είναι

:\operatorname{Si}(x) = \int_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt
:\operatorname{si}(x) = -\int_x^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt~.

Ας σημειωθεί ότι το ολοκλήρωμα \frac{\sin(t)}{t}  είναι η συνάρτηση sinc, καθώς και η μηδενική σφαιρική συνάρτηση Μπέσελ. Δεδομένου ότι η  είναι μια άρτια ολόκληρη συνάρτηση (ολομορφική σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο), η  είναι ολόκληρη, περιττή και το ολοκλήρωμα στον ορισμό της μπορεί να ληφθεί κατά μήκος οποιασδήποτε διαδρομής που συνδέει τα ακραία σημεία.

Εξ ορισμού,  είναι η αντιπαράγωγος της  της οποίας η τιμή είναι μηδέν στο  και  είναι η αντιπαράγωγος της οποίας η τιμή είναι μηδέν στο . Η διαφορά τους δίνεται από το ολοκλήρωμα του Ντίριχλετ, 

:\operatorname{Si}(x) - \operatorname{si}(x) = \int_0^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt = \frac{\pi}{2} \quad \text{ or } \quad \operatorname{Si}(x) = \frac{\pi}{2} + \operatorname{si}(x) ~.

Στην επεξεργασία σήματος, οι ταλαντώσεις του ημιτονικού ολοκληρώματος προκαλούν υπερύψωση και τετελεσμένα δακτυλίωσης όταν χρησιμοποιείται το φίλτρο sinc και δακτυλίωση στο πεδίο της συχνότητας εάν χρησιμοποιείται ένα αποκομμένο φίλτρο sinc ως χαμηλοπερατό φίλτρο.

Σχετικό είναι το φαινόμενο Γκιμπς: Εάν το ημιτονοειδές ολοκλήρωμα θεωρηθεί ως συνέλιξη της συνάρτησης sinc με τη βηματική συνάρτηση Χέβισαϊντ (Heaviside), αυτό αντιστοιχεί στην αποκοπή της σειράς Φουριέ, η οποία είναι η αιτία του φαινομένου Γκιμπς.

## Συνημιτονικό ολοκλήρωμα

Οι διαφορετικοί ορισμοί του συνημιτονικού ολοκληρώματος είναι οι εξής  

:\operatorname{Cin}(x) ~\equiv~ \int_0^x \frac{\ 1 - \cos t\ }{ t }\ \operatorname{d} t ~.

H  είναι μια άρτια, ακέραιη συνάρτηση. Για το λόγο αυτό, ορισμένα κείμενα ορίζουν την  ως την πρωταρχική συνάρτηση και εξάγουν την  ως προς την . 

:\operatorname{Ci}(x) ~~\equiv~ -\int_x^\infty \frac{\ \cos t\ }{ t }\ \operatorname{d} t ~
:~~ \qquad ~=~~ \gamma ~+~ \ln x ~-~ \int_0^x \frac{\ 1 - \cos t\ }{ t }\ \operatorname{d} t ~

:~~ \qquad ~=~~ \gamma ~+~ \ln x ~-~ \operatorname{Cin} x ~

για ~\Bigl|\ \operatorname{Arg}(x)\ \Bigr|  όπου  είναι η σταθερά Όιλερ-Μασκερόνι. Ορισμένα κείμενα χρησιμοποιούν το  αντί του . Ο περιορισμός στην  αποσκοπεί στην αποφυγή μιας ασυνέχειας (που φαίνεται ως η πορτοκαλί έναντι της μπλε περιοχής στο αριστερό μισό του παραπάνω διαγράμματος) που προκύπτει λόγω μιας αποκοπής κλάδου στην τυπική συνάρτηση λογαρίθμου (). 

 είναι η αντιπαράγωγος  από  (που εξαφανίζεται καθώς \ x \to \infty\ ). Οι δύο ορισμοί συνδέονται με

:\operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln x - \operatorname{Cin}(x) ~.

## Υπερβολικό ημιτονικό ολοκλήρωμα

Το υπερβολικό ημιτονικό ολοκλήρωμα  ορίζεται ως εξής

\operatorname{Chi}(x) = \gamma+\ln x + \int_0^x\frac{\cosh t-1}{t}\,dt \qquad ~ \text{ for } ~ \left| \operatorname{Arg}(x) \right| 

όπου \gamma είναι η σταθερά Όιλερ-Μαστσερόνι.
Έχει τη σειρά επέκτασης

:\operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln(x) + \frac {x^2}{4} + \frac {x^4}{96} + \frac {x^6}{4320} + \frac {x^8}{322560} + \frac{x^{10}}{36288000} + O(x^{12}).

## Βοηθητικές συναρτήσεις
Τα τριγωνομετρικά ολοκληρώματα μπορούν να κατανοηθούν με βάση τη λεγόμενη βοηθητική συνάρτηση


\begin{array}{rcl}
f(x) &\equiv& \int_0^\infty \frac{\sin(t)}{t+x} \,dt &=& \int_0^\infty \frac{e^{-x t}}{t^2 + 1} \,dt 
 &=& \operatorname{Ci}(x) \sin(x) + \left[\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) \right] \cos(x)~,  \\
g(x) &\equiv& \int_0^\infty \frac{\cos(t)}{t+x} \,dt &=& \int_0^\infty \frac{t e^{-x t}}{t^2 + 1} \,dt 
 &=& -\operatorname{Ci}(x) \cos(x) + \left[\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) \right] \sin(x)~.
\end{array}


Χρησιμοποιώντας αυτές τις συναρτήσεις, τα τριγωνομετρικά ολοκληρώματα μπορούν να επανεκφραστούν ως εξής 

(cf. Abramowitz & Stegun, p. 232)
\begin{array}{rcl}
\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) = -\operatorname{si}(x)  &=& f(x) \cos(x) + g(x) \sin(x)~, \qquad \text{ and } \\
\operatorname{Ci}(x) &=& f(x) \sin(x) - g(x) \cos(x)~. \\
\end{array}

## Σπείρα του Νίλσεν

Η σπείρα που σχηματίζεται από το παραμετρικό διάγραμμα των  είναι γνωστή ως σπείρα του Νίλσεν.

:x(t) = a \times \operatorname{ci}(t)

:y(t) = a \times \operatorname{si}(t)

Η σπείρα συνδέεται στενά με τα ολοκληρώματα Φρέσνελ και τη σπείρα του Όιλερ. Η σπείρα του Νίλσεν έχει εφαρμογές στην επεξεργασία όρασης, στην κατασκευή δρόμων και τροχιών και σε άλλους τομείς.

## Επέκταση
Διάφορα αναπτύγματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αξιολόγηση τριγωνομετρικών ολοκληρωμάτων, ανάλογα με το εύρος του επιχειρήματος. 

### Ασυμπτωτική σειρά (για μεγάλο επιχείρημα)

\operatorname{Si}(x) \sim \frac{\pi}{2} 
 - \frac{\cos x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^2}+\frac{4!}{x^4}-\frac{6!}{x^6}\cdots\right)
 - \frac{\sin x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^3}+\frac{5!}{x^5}-\frac{7!}{x^7}\cdots\right)
\operatorname{Ci}(x) \sim \frac{\sin x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^2}+\frac{4!}{x^4}-\frac{6!}{x^6}\cdots\right)
 - \frac{\cos x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+\frac{5!}{x^5}-\frac{7!}{x^7}\cdots\right) ~.

Οι σειρές αυτές είναι ασυμπτωτικές και αποκλίνουσες, αν και μπορούν να χρησιμοποιηθούν για εκτιμήσεις και ακόμη και για ακριβή αξιολόγηση στο .

## Ιδιομορφίες
### Συγκλίνουσες σειρές

:\operatorname{Si}(x)= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}-\frac{x^7}{7! \cdot7}\pm\cdots
:\operatorname{Ci}(x)= \gamma+\ln x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}=\gamma+\ln x-\frac{x^2}{2!\cdot2} + \frac{x^4}{4! \cdot4}\mp\cdots

Αυτές οι σειρές συγκλίνουν σε οποιοδήποτε μιγαδικό , αν και για , οι σειρές συγκλίνουν αργά αρχικά, απαιτώντας πολλούς όρους για υψηλή ακρίβεια.

## Παραγωγή της επέκτασης σειράς

Από το ανάπτυγμα σειράς Μακλάουριν του ημιτόνικού:

:\sin\,x = x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}- \frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\frac{x^{11}}{11!} + \cdots
:\frac{\sin\,x}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}- \frac{x^6}{7!}+\frac{x^8}{9!}-\frac{x^{10}}{11!}+\cdots
:\therefore\int \frac{\sin\,x}{x}dx = x - \frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}- \frac{x^7}{7!\cdot7}+\frac{x^9}{9!\cdot9}-\frac{x^{11}}{11!\cdot11}+\cdots 

## Σχέση με το εκθετικό ολοκλήρωμα του φανταστικού επιχειρήματος

Η συνάρτηση 
:\operatorname{E}_1(z) = \int_1^\infty \frac{\exp(-zt)}{t}\,dt \qquad~\text{ for }~ \Re(z) \ge 0 

ονομάζεται εκθετικό ολοκλήρωμα. Είναι στενά συνδεδεμένο με το  και το ,

:
\operatorname{E}_1(i x) = i\left(-\frac{\pi}{2} + \operatorname{Si}(x)\right)-\operatorname{Ci}(x) = i \operatorname{si}(x) - \operatorname{ci}(x) \qquad ~\text{ for }~ x > 0 ~.


Καθώς κάθε αντίστοιχη συνάρτηση είναι αναλυτική εκτός από την αποκοπή σε αρνητικές τιμές του όρου, η περιοχή ισχύος της σχέσης θα πρέπει να επεκταθεί σε (Εκτός αυτής της περιοχής, στην έκφραση εμφανίζονται πρόσθετοι όροι που είναι ακέραιοι παράγοντες του ).

Οι περιπτώσεις φανταστικού ορίσματος της γενικευμένης ολοκληρο-εκθετικής συνάρτησης είναι

:
\int_1^\infty \cos(ax)\frac{\ln x}{x} \, dx =
-\frac{\pi^2}{24}+\gamma\left(\frac{\gamma}{2}+\ln a\right)+\frac{\ln^2a}{2}
+\sum_{n\ge 1} \frac{(-a^2)^n}{(2n)!(2n)^2} ~,


το οποίο είναι το πραγματικό μέρος της

:
\int_1^\infty e^{iax}\frac{\ln x}{x}\,dx = 
-\frac{\pi^2}{24} + \gamma\left(\frac{\gamma}{2}+\ln a\right)+\frac{\ln^2 a}{2} 
-\frac{\pi}{2}i\left(\gamma+\ln a\right) + \sum_{n\ge 1}\frac{(ia)^n}{n!n^2}  ~.


Παρομοίως


\int_1^\infty e^{iax}\frac{\ln x}{x^2}\,dx = 
 1 + ia\left[ -\frac{\pi^2}{24} + \gamma \left( \frac{\gamma}{2} + \ln a - 1 \right) + \frac{\ln^2 a}{2} - \ln a + 1 \right]
 + \frac{\pi a}{2} \Bigl( \gamma+\ln a - 1 \Bigr) 
 + \sum_{n\ge 1}\frac{(ia)^{n+1}}{(n+1)!n^2}~.


## Αποτελεσματική αξιολόγηση
Οι προσεγγίσεις Padé των συγκλίνουσων σειρών Τέιλορ παρέχουν έναν αποτελεσματικό τρόπο για την αξιολόγηση των συναρτήσεων για μικρά ορίσματα.  Οι ακόλουθοι τύποι, που δίνονται από τους Ρόου κ.ά. (2015), είναι ακριβέστερες από  για ,

\begin{array}{rcl}
\operatorname{Si}(x) &\approx & x \cdot \left( 
\frac{
\begin{array}{l}
1 -4.54393409816329991\cdot 10^{-2} \cdot x^2 + 1.15457225751016682\cdot 10^{-3} \cdot x^4 - 1.41018536821330254\cdot 10^{-5} \cdot x^6 \\
~~~ + 9.43280809438713025 \cdot 10^{-8} \cdot x^8 - 3.53201978997168357 \cdot 10^{-10} \cdot x^{10} + 7.08240282274875911 \cdot 10^{-13} \cdot x^{12} \\
~~~ - 6.05338212010422477 \cdot 10^{-16} \cdot x^{14}
\end{array}
}
{
\begin{array}{l}
1 + 1.01162145739225565 \cdot 10^{-2} \cdot x^2 + 4.99175116169755106 \cdot 10^{-5} \cdot x^4 + 1.55654986308745614 \cdot 10^{-7} \cdot x^6 \\
~~~ + 3.28067571055789734 \cdot 10^{-10} \cdot x^8 + 4.5049097575386581 \cdot 10^{-13} \cdot x^{10} + 3.21107051193712168 \cdot 10^{-16} \cdot x^{12}
\end{array}
}
\right)\\
&~&\\
\operatorname{Ci}(x) &\approx & \gamma + \ln(x) +\\
&& x^2 \cdot \left(
\frac{
\begin{array}{l}
-0.25 + 7.51851524438898291 \cdot 10^{-3} \cdot x^2 - 1.27528342240267686 \cdot 10^{-4} \cdot x^4 + 1.05297363846239184 \cdot 10^{-6} \cdot x^6 \\
~~~ -4.68889508144848019 \cdot 10^{-9} \cdot x^8 + 1.06480802891189243 \cdot  10^{-11} \cdot x^{10} - 9.93728488857585407 \cdot 10^{-15} \cdot x^{12} \\
\end{array}
}
{
\begin{array}{l}
1 + 1.1592605689110735 \cdot 10^{-2} \cdot x^2 + 6.72126800814254432 \cdot 10^{-5} \cdot x^4 + 2.55533277086129636 \cdot 10^{-7} \cdot x^6 \\
~~~ + 6.97071295760958946 \cdot 10^{-10} \cdot x^8 + 1.38536352772778619 \cdot 10^{-12} \cdot x^{10} + 1.89106054713059759 \cdot 10^{-15} \cdot x^{12} \\
~~~ + 1.39759616731376855 \cdot 10^{-18} \cdot x^{14} \\
\end{array}
}
\right)
\end{array}

Τα ολοκληρώματα μπορούν να εκτιμηθούν έμμεσα μέσω των βοηθητικών συναρτήσεων f(x) και g(x), οι οποίες ορίζονται ως εξής

Για x \ge 4 οι ρητές συναρτήσεις Padé που δίνονται παρακάτω προσεγγίζουν τις f(x) και g(x) με σφάλμα μικρότερο από 10-16:

\begin{array}{rcl}
f(x) &\approx & \dfrac{1}{x} \cdot \left(\frac{
\begin{array}{l}
1 + 7.44437068161936700618 \cdot 10^2 \cdot x^{-2} + 1.96396372895146869801 \cdot 10^5 \cdot x^{-4} + 2.37750310125431834034 \cdot 10^7 \cdot x^{-6} \\
~~~ + 1.43073403821274636888 \cdot 10^9 \cdot x^{-8} + 4.33736238870432522765 \cdot 10^{10} \cdot x^{-10} + 6.40533830574022022911 \cdot 10^{11} \cdot x^{-12} \\
~~~ + 4.20968180571076940208 \cdot 10^{12} \cdot x^{-14} + 1.00795182980368574617 \cdot 10^{13} \cdot x^{-16} + 4.94816688199951963482 \cdot 10^{12} \cdot x^{-18} \\
~~~ - 4.94701168645415959931 \cdot 10^{11} \cdot x^{-20}
\end{array}
}{
\begin{array}{l}
1 + 7.46437068161927678031 \cdot 10^2 \cdot x^{-2} + 1.97865247031583951450 \cdot 10^5 \cdot x^{-4} + 2.41535670165126845144 \cdot 10^7 \cdot x^{-6} \\
~~~ + 1.47478952192985464958 \cdot 10^9 \cdot x^{-8} + 4.58595115847765779830 \cdot 10^{10} \cdot x^{-10} + 7.08501308149515401563 \cdot 10^{11} \cdot x^{-12} \\
~~~ + 5.06084464593475076774 \cdot 10^{12} \cdot x^{-14} + 1.43468549171581016479 \cdot 10^{13} \cdot x^{-16} + 1.11535493509914254097 \cdot 10^{13} \cdot x^{-18}
\end{array}
}
\right) \\
& &\\
g(x) &\approx & \dfrac{1}{x^2} \cdot \left(\frac{
\begin{array}{l}
1 + 8.1359520115168615 \cdot 10^2 \cdot x^{-2} + 2.35239181626478200 \cdot 10^5 \cdot x^{-4} +3.12557570795778731 \cdot 10^7 \cdot x^{-6} \\
~~~ + 2.06297595146763354 \cdot 10^9 \cdot x^{-8} + 6.83052205423625007 \cdot 10^{10} \cdot x^{-10} + 1.09049528450362786 \cdot 10^{12} \cdot x^{-12} \\
~~~ + 7.57664583257834349 \cdot 10^{12} \cdot x^{-14} + 1.81004487464664575 \cdot 10^{13} \cdot x^{-16} + 6.43291613143049485 \cdot 10^{12} \cdot x^{-18} \\
~~~ - 1.36517137670871689 \cdot 10^{12} \cdot x^{-20}
\end{array}
}{
\begin{array}{l}
1 + 8.19595201151451564 \cdot 10^2 \cdot x^{-2} + 2.40036752835578777 \cdot 10^5 \cdot x^{-4} + 3.26026661647090822 \cdot 10^7 \cdot x^{-6} \\
~~~ + 2.23355543278099360 \cdot 10^9 \cdot x^{-8} + 7.87465017341829930 \cdot 10^{10} \cdot x^{-10} + 1.39866710696414565 \cdot 10^{12} \cdot x^{-12} \\
~~~ + 1.17164723371736605 \cdot 10^{13} \cdot x^{-14} + 4.01839087307656620 \cdot 10^{13} \cdot x^{-16} + 3.99653257887490811 \cdot 10^{13} \cdot x^{-18}
\end{array}
}
\right) \\
\end{array}

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Τριγωνομετρική συνάρτηση
* Κανονική κατανομή
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Διαφορική γεωμετρία
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Ανρί Λεόν Λεμπέσγκ
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Προβολικός χώρος
* Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Μιγαδικός αριθμός
* Τυχαία μεταβλητή
* Ακέραιος αριθμός

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* <
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*.

*.

*.

*.

*.

*.

*.

*.

*.

*.

*.

*.

*.
* .
* .
*
* .
*
*
*
* Ch. 1–6 of 2013 edition

Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Μιγαδική ανάλυση 
Κατηγορία:Ολοκληρώματα 
Κατηγορία:Μέθοδοι επιστημονικής έρευνας 
Κατηγορία:Εφαρμοσμένα μαθηματικά 
Κατηγορία:Ειδικές συναρτήσεις
Κατηγορία:Ολοκληρωτικός λογισμός 
Κατηγορία:Τριγωνομετρία 
Κατηγορία:Θεωρία αριθμών