Παράλληλες ευθείες

Στην γεωμετρία, **παράλληλες ευθείες** είναι δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου που δεν έχουν κοινά σημεία.

Δύο ευθείες \varepsilon_1 και \varepsilon_2 που είναι παράλληλες συμβολίζονται ως \varepsilon_1 \parallel \varepsilon_2. 

## Ιδιότητες
* Έστω \varepsilon μία ευθεία και \rm P ένα σημείο εξωτερικό αυτής. Υπάρχει μοναδική ευθεία που διέρχεται από το \rm P και είναι παράλληλη στην \varepsilon. (Αξίωμα παραλληλίας)
* Αν \varepsilon_1 \parallel \varepsilon_2, τότε και \varepsilon_2 \parallel \varepsilon_1 (συμμετρική ιδιότητα). 
* Για καμία ευθεία \varepsilon δεν ισχύει ότι \varepsilon \parallel \varepsilon (μη-ανακλαστική ιδιότητα).
* Αν \varepsilon_1 \perp \varepsilon_2 και \varepsilon_3 \perp \varepsilon_2 και επιπλέον \varepsilon_1 \neq \varepsilon_3 τότε \varepsilon_1 \parallel \varepsilon_3.
* Αν \varepsilon_1 \parallel \varepsilon_2 και η \varepsilon_3 τέμνει την \varepsilon_1, τότε τέμνει και την \varepsilon_2.

*Αν \varepsilon_1 \parallel \varepsilon_2 και \varepsilon_2 \parallel \varepsilon_3, και επιπλέον \varepsilon_1 \neq \varepsilon_3, τότε \varepsilon_1 \parallel \varepsilon_3.
* Αν \varepsilon_1 \perp \varepsilon_2 και \varepsilon_2 \parallel \varepsilon_3, τότε \varepsilon_1 \perp \varepsilon_3.
* Αν δύο γωνίες έχουν τις πλευρές τους παράλληλες, τότε είναι ίσες ή παραπληρωματικές.
* Αν δύο παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα έχουν τα άκρα τους σε δύο παράλληλες ευθείες, τότε είναι ίσα.

## Δύο παράλληλες ευθείες και μία τέμνουσα

Έστω δύο παράλληλες ευθείες \delta και \varepsilon που τέμνονται από την ευθεία \zeta στα σημεία \rm A και \rm B. Τότε,
* οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες (\hat{\rm A}_3 = \hat{\rm B}_1 και \hat{\rm A}_4 = \hat{\rm B}_2).
* οι εντός εκτός και επί τα αυτά είναι ίσες (\hat{\rm A}_1 = \hat{\rm B}_1, \hat{\rm A}_2 = \hat{\rm B}_2, \hat{\rm A}_3 = \hat{\rm B}_3 και \hat{\rm A}_4 = \hat{\rm B}_4)
* οι εντός και επί τα αυτά είναι παραπληρωματικές (\hat{\rm A}_3 = 180^\circ - \hat{\rm B}_2 και \hat{\rm A}_4 = 180^\circ - \hat{\rm B}_1). 

## Αναλυτική γεωμετρία
### Συνθήκη παραλληλίας
* Δύο ευθείες με εξισώσεις 
::y = \lambda_1x + \beta_1 \quad (\varepsilon_1),
::y = \lambda_2x + \beta_2 \quad (\varepsilon_2),
:είναι παράλληλες αν και μόνο αν
::\lambda_1 = \lambda_2 και \beta_1 \neq \beta_2.

* Δύο ευθείες με εξισώσεις 
::A_1 x + B_1 y + \mathit{\Gamma}_1 = 0 \quad (\varepsilon_1),
::A_2 x + B_2 y + \mathit{\Gamma}_2 = 0 \quad (\varepsilon_2),
:είναι παράλληλες αν και μόνο αν ισχύει μία από τις παρακάτω
::B_1 = B_2 = 0, \quad A_1\cdot A_2 \neq 0 \quad  και \quad \mathit{\Gamma}_1 \cdot A_2 \neq \mathit{\Gamma}_2 \cdot A_1,
:ή
::A_1 \cdot B_2 = A_2 \cdot B_1\quad  και \quad B_1 \cdot B_2 \neq 0.

### Απόσταση δύο παράλληλων ευθειών
thumb|right|150px|Η απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών <math>\varepsilon_1</math> και <math>\varepsilon_2</math> είναι το μήκος του κόκκινου ευθυγράμμου τμήματος.

Δύο παράλληλες ευθείες με εξισώσεις 
:A x + B y + \mathit{\Gamma}_1 = 0 \quad (\varepsilon_1),
:A x + B y + \mathit{\Gamma}_2 = 0 \quad (\varepsilon_2),
έχουν απόσταση 
:d = \frac{\sqrt{A^2 + B^2}}.

## Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη της ευθείας που διέρχεται από το σημείο \rm A και είναι παράλληλη στην \varepsilon είναι η ακόλουθη:
# Έστω \rm B τυχόν σημείο της \varepsilon.
# Χαράζουμε τον κύκλο με κέντρο το \rm B και ακτίνα \rm AB και έστω \rm \Gamma ένα κοινό του σημείο του κύκλου με την \varepsilon.
# Με την ίδια ακτίνα, χαράζουμε τους κύκλους με κέντρα \rm \Gamma και \rm A, οι οποίοι τέμνονται στο \rm B και σε ένα άλλο σημείο, έστω \Delta.
# Η ευθεία που διέρχεται από τα \rm A\Delta είναι η παράλληλη στην \varepsilon (καθώς το \rm AB\Gamma\Delta είναι ρόμβος).

## Θεωρήματα και σχετικές έννοιες

* (**[[Θεώρημα τομής του Θαλή|Θεωρημα Θαλή]]**) Έστω \varepsilon_1 και \varepsilon_2 δύο παράλληλες ευθείες, και \Sigma ένα τυχόν σημείο του επιπέδου. Τότε, για οποιεσδήποτε δύο ευθείες που διέρχονται από το \Sigma και τέμνουν την \varepsilon_1 στα σημεία \rm A και \rm \Gamma, και την \varepsilon_2 στα \rm B και \rm \Delta, ισχύει ότι
::\rm \frac{\Sigma A}{AB} = \frac{\Sigma \Gamma}{\Gamma\Delta}.
:Αντίστροφα, ισχύει ότι αν 
::\rm \frac{\Sigma A}{AB} = \frac{\Sigma \Gamma}{\Gamma\Delta},
:τότε οι ευθείες \varepsilon_1 και \varepsilon_2 είναι παράλληλες.

thumb|right|220px|Ένα παραλληλόγραμμο <math>\rm AB\Gamma\Delta</math>.
* (**[[Παραλληλόγραμμο]]**) Ένα τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες λέγεται παραλληλόγραμμο.

thumb|right|220px|Η μεσοπαράλληλη <math>\mu</math> δύο παράλληλων ευθειών <math>\varepsilon_1</math> και <math>\varepsilon_2</math> αποτελείται από όλα τα σημεία που ισαπέχουν από τις δύο ευθείες.
* (**[[Μεσοπαράλληλη ευθεία]]**) Η μεσοπαράλληλη δύο παράλληλων ευθειών είναι η ευθεία που είναι παράλληλη και ισαπέχει από αυτές.

## Δείτε επίσης
* Κάθετες ευθείες
* Ασύμβατες ευθείες
* Αξίωμα παραλληλίας
## Σημειώσεις


## Παραπομπές


Κατηγορία:Ευθείες