Προσθετική συνάρτηση

Στη θεωρία των αριθμών, μια **προσθετική συνάρτηση** είναι μια αριθμητική συνάρτηση *f*(*n*) της θετικής ακέραιης μεταβλητής *n*, τέτοια ώστε κάθε φορά που τα *a* και *b* είναι πρώτοι προς αλλήλους, η συνάρτηση που εφαρμόζεται στο γινόμενο *ab* είναι το άθροισμα των τιμών της συνάρτησης που εφαρμόζεται στα *a* και *b*:
f(a b) = f(a) + f(b).

## Πλήρως προσθετική
Μια προσθετική συνάρτηση *f*(*n*) λέγεται *πλήρως προσθετική* αν f(a b) = f(a) + f(b) ισχύει *για όλους* τους θετικούς ακέραιους *a* και *b*, ακόμα και όταν δεν είναι σχετικά πρώτοι.  Η **ολικά προσθετική** χρησιμοποιείται επίσης με αυτή την έννοια κατ' αναλογία με τις ολικά πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις. Αν η *f* είναι μια πλήρως προσθετική συνάρτηση τότε *f*(1) = 0.

Κάθε πλήρως προσθετική συνάρτηση είναι προσθετική, αλλά όχι το αντίστροφο.

## Παραδείγματα

Παραδείγματα αριθμητικών συναρτήσεων που είναι πλήρως προσθετικές είναι:
* Ο περιορισμός της λογαριθμικής συνάρτησης στο \N.
* Η **πολλαπλότητα** ενός πρώτου παράγοντα *p* στο *n*, δηλαδή ο μεγαλύτερος εκθέτης *m* για τον οποίο *p<sup>m</sup>* διαιρεί το *n*.
* *a*0(*n*) - το άθροισμα των πρώτων αριθμών που διαιρούν το *n* μετρώντας την πολλαπλότητα, μερικές φορές ονομάζεται sopfr(*n*), η ισχύς του *n* ή ο ακέραιος λογάριθμος του *n* . Παραδείγματος χάριν:

::*a*0(4) = 2 + 2 = 4
::*a*0(20) =  *a*0(22 · 5) = 2 + 2 + 5 = 9
::*a*0(27) = 3 + 3 + 3 = 9
::*a*0(144) = *a*0(24 · 32) = *a*0(24) + *a*0(32) = 8 + 6 = 14
::*a*0(2000) = *a*0(24 · 53) = *a*0(24) + *a*0(53) = 8 + 15 = 23
::*a*0(2003) = 2003
::*a*0(54,032,858,972,279) = 1240658
::*a*0(54,032,858,972,302) = 1780417
::*a*0(20,802,650,704,327,415) = 1240681

* Η συνάρτηση Ω(*n*'), που ορίζεται ως ο συνολικός αριθμός των πρώτων παραγόντων του *n*, μετρώντας πολλαπλούς παράγοντες πολλές φορές, μερικές φορές ονομάζεται «συνάρτηση του Μεγάλου Ωμέγα» . Παραδείγματος χάριν,

::Ω(1) = 0, δεδομένου ότι το 1 δεν έχει πρώτους παράγοντες
::Ω(4) = 2
::Ω(16) = Ω(2·2·2·2) = 4
::Ω(20) = Ω(2·2·5) = 3
::Ω(27) = Ω(3·3·3) = 3
::Ω(144) = Ω(24 · 32) = Ω(24) + Ω(32) = 4 + 2 = 6
::Ω(2000) = Ω(24 · 53) = Ω(24) + Ω(53) = 4 + 3 = 7
::Ω(2001) = 3
::Ω(2002) = 4
::Ω(2003) = 1
::Ω(54,032,858,972,279) = Ω(11 ⋅ 19932 ⋅ 1236661) = 4  ;
::Ω(54,032,858,972,302) = Ω(2 ⋅ 72 ⋅ 149 ⋅ 2081 ⋅ 1778171) = 6 
::Ω(20,802,650,704,327,415) = Ω(5 ⋅ 7 ⋅ 112 ⋅ 19932 ⋅ 1236661) = 7.

Παραδείγματα αριθμητικών συναρτήσεων που είναι προσθετικές αλλά όχι πλήρως προσθετικές είναι:

* ω(*n*'), που ορίζεται ως ο συνολικός αριθμός των διακριτών πρώτων παραγόντων του *n* . Παραδείγματος χάριν:

::ω(4) = 1
::ω(16) = ω(24) = 1
::ω(20) = ω(22 · 5) = 2
::ω(27) = ω(33) = 1
::ω(144) = ω(24 · 32) = ω(24) + ω(32) = 1 + 1 = 2
::ω(2000) = ω(24 · 53) = ω(24) + ω(53) = 1 + 1 = 2
::ω(2001) = 3
::ω(2002) = 4
::ω(2003) = 1
::ω(54,032,858,972,279) = 3
::ω(54,032,858,972,302) = 5
::ω(20,802,650,704,327,415) = 5

* *a*1(*n*) - το άθροισμα των διακριτών πρώτων αριθμών που διαιρούν το *n*, μερικές φορές ονομάζεται sopf(*n*') . Παραδείγματος χάριν:

::*a*1(1) = 0
::*a*1(4) = 2
::*a*1(20) = 2 + 5 = 7
::*a*1(27) = 3
::*a*1(144) = *a*1(24 · 32) = *a*1(24) + *a*1(32) = 2 + 3 = 5
::*a*1(2000) = *a*1(24 · 53) = *a*1(24) + *a*1(53) = 2 + 5 = 7
::*a*1(2001) = 55
::*a*1(2002) = 33
::*a*1(2003) = 2003
::*a*1(54,032,858,972,279) = 1238665
::*a*1(54,032,858,972,302) = 1780410
::*a*1(20,802,650,704,327,415) = 1238677

## Πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις

Από οποιαδήποτε προσθετική συνάρτηση f(n) είναι δυνατόν να δημιουργηθεί μια σχετική πολλαπλασιαστική συνάρτηση g(n), η οποία είναι μια συνάρτηση με την ιδιότητα ότι όποτε a και b είναι συνομήλικοι τότε:

g(a b) = g(a) \times g(b).

Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι g(n) = 2^{f(n)}.

## Αθροιστικές συναρτήσεις

Δοθείσας μιας προσθετικής συνάρτησης f, έστω ότι η αθροιστική της συνάρτηση ορίζεται από τη σχέση \mathcal{M}_f(x) := \sum_{n \leq x} f(n). Ο μέσος όρος της f δίνεται ακριβώς ως εξής

\mathcal{M}_f(x) = \sum_{p^{\alpha} \leq x} f(p^{\alpha}) \left(\left\lfloor \frac{x}{p^{\alpha}} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{x}{p^{\alpha+1}} \right\rfloor\right).

Οι αθροιστικές συναρτήσεις επί του f μπορούν να αναπτυχθούν ως \mathcal{M}_f(x) = x E(x) + O(\sqrt{x} \cdot D(x)) όπου

\begin{align} 
E(x) & = \sum_{p^{\alpha} \leq x} f(p^{\alpha}) p^{-\alpha} (1-p^{-1}) \\ 
D^2(x) & = \sum_{p^{\alpha} \leq x} |f(p^{\alpha})|^2 p^{-\alpha}. 
\end{align}

Ο μέσος όρος της συνάρτησης f^2 εκφράζεται επίσης από αυτές τις συναρτήσεις ως εξής

\mathcal{M}_{f^2}(x) = x E^2(x) + O(x D^2(x)).

Υπάρχει πάντα μια απόλυτη σταθερά C_f > 0 τέτοια ώστε για όλους τους φυσικούς αριθμούς x \geq 1,

\sum_{n \leq x} |f(n) - E(x)|^2 \leq C_f \cdot x D^2(x).

Έστω

\nu(x; z) := \frac{1}{x} \#\!\left\{n \leq x: \frac{f(n)-A(x)}{B(x)} \leq z\right\}\!.

Ας υποθέσουμε ότι f είναι μια προσθετική συνάρτηση με -1 \leq f(p^{\alpha}) = f(p) \leq 1 
έτσι ώστε ως x \rightarrow \infty,

B(x) = \sum_{p \leq x} f^2(p) / p \rightarrow \infty.

Τότε \nu(x; z) \sim G(z) όπου G(z) είναι η γκαουσιανή συνάρτηση κατανομής

G(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2} dt.

Παραδείγματα αυτού του αποτελέσματος που σχετίζονται με τη συνάρτηση πρώτων ωμέγα και τους αριθμούς των πρώτων διαιρετών των μετατοπισμένων πρώτων αριθμών περιλαμβάνουν τα ακόλουθα για σταθερό z \in \R όπου οι σχέσεις ισχύουν για x \gg 1:

\#\{n \leq x: \omega(n) - \log\log x \leq z (\log\log x)^{1/2}\} \sim x G(z), 

\#\{p \leq x: \omega(p+1) - \log\log x \leq z (\log\log x)^{1/2}\} \sim \pi(x) G(z).

## Δείτε επίσης

* Field Arithmetic
* Πραγματικό προβολικό επίπεδο
* Εσωτερικό γινόμενο 
* Φυσικός αριθμός
* Πίνακας (μαθηματικά)
* Τετραγωνικός πίνακας
* Ορίζουσα
* Αντιστρέψιμος πίνακας
* Σχετικά πρώτοι

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Matrix Analysis
* Functional Equations on Groups
* Number Theory Arising From Finite Fields: Analytic And Probabilistic Theory
* Additive Number Theory The Classical Bases
* Arithmetic Functions and Integer Products
* Stability of Functional Equations in Several Variables

## Δημοσιεύσεις

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


* Janko Bračič, *Kolobar aritmetičnih funkcij* (*[[:en:Ring (algebra)|Ring]] of arithmetical functions*), (Obzornik mat, fiz. **49** (2002) 4, pp.&nbsp;97–108)  (MSC (2000) 11A25) 
* Iwaniec and Kowalski, *Analytic number theory*, AMS (2004). 

 

Κατηγορία:Ανάλυση 
Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα 
Κατηγορία:Αριθμητικές συναρτήσεις 
Κατηγορία:Θεωρία αριθμών 
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών