Ύψος τριγώνου

Στην γεωμετρία, **ύψος** ενός τριγώνου είναι το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα από μία κορυφή προς την απέναντι πλευρά (ή την προέκτασή της). 

Σε κάθε τρίγωνο τα τρία ύψη (ή οι προεκτάσεις τους) διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο ονομάζεται **ορθόκεντρο**.

Στο τρίγωνο \rm AB\Gamma, τα ύψη \mathrm{AH_A}, \mathrm{BH_B}, \mathrm{\Gamma H_\Gamma} συνήθως συμβολίζονται ως \upsilon_{\rm A}, \upsilon_{\rm B}, \upsilon_{\rm \Gamma} ή \upsilon_\alpha, \upsilon_\beta, \upsilon_\gamma αντίστοιχα.

## Ορθόκεντρο τριγώνου

## Ιδιότητες
* (**[[Ευθεία του Όιλερ]]**) Το βαρύκεντρο \mathrm{G}, το ορθόκεντρο \mathrm{H} και το περίκεντρο \mathrm{O} είναι συγγραμμικά και \mathrm{HG} = 2 \cdot \mathrm{GO}.
* (**[[Κύκλος του Όιλερ]]**) Το σημεία \mathrm{H_\mathrm{A}}, \mathrm{H_\mathrm{B}}, \mathrm{H_\mathrm{\Gamma}}, τα μέσα των \mathrm{AH}, \mathrm{BH}, \mathrm{\Gamma H} και τα μέσα των πλευρών ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
* (**[[Θεώρημα Νάγκελ]]**) Αν \mathrm{O} είναι το περίκεντρο του τριγώνου, τότε 
::\mathrm{H_A}\mathrm{H_B} \perp \mathrm{O\Gamma}, \quad \mathrm{H_B}\mathrm{H_\Gamma} \perp \mathrm{OA} \quad και \quad \mathrm{H_A}\mathrm{H_\Gamma} \perp \mathrm{OB}.

* (**[[Κύκλος Τέιλορ (γεωμετρία)|Κύκλος Taylor]]**) Τα έξη ίχνη των υψών στις πλευρές των τριγώνων ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
* Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς κάθε μία από τις πλευρές είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.
* Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς το μέσο κάθε μίας από τις πλευρές του είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.
* Το ορθόκεντρο είναι το σημείο \mathrm{P} που ελαχιστοποιεί την ακόλουθη συνάρτηση:
::f(\mathrm{P}) = \mathrm{PA} + \mathrm{PB} + \mathrm{P\Gamma} + \mathrm{PH_A} + \mathrm{PH_B} + \mathrm{PH_\Gamma}.
* Σε ένα τρίγωνο δύο ύψη είναι ίσα αν και μόνο αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

## Μετρικές σχέσεις
* Σε κάθε τρίγωνο \rm AB\Gamma το γινόμενο δύο πλευρών του ισούται με το γινόμενο της διαμέτρου του περιγεγραμμένου του κύκλου επί το ύψος που αντιστοιχεί στην τρίτη πλευρά. Δηλαδή,
:{\rm AB}\cdot {\rm A\Gamma} = 2R \cdot \upsilon_{\rm A}.

* Από τον τύπο του Ήρωνα προκύπτει ότι 
::\upsilon_\mathrm{A} = \frac{2}{\alpha} \cdot \sqrt{\tau \cdot (\tau - \alpha) \cdot (\tau - \beta) \cdot (\tau - \gamma)},
:όπου \tau = \tfrac{1}{2} \cdot (\alpha + \beta + \gamma) είναι η ημιπερίμετρος.
* Επίσης, ισχύουν οι παρακάτω τριγωνομετρικές σχέσεις:
::\upsilon_{\rm A} = \alpha \cdot \frac{\sin {\rm B} \cdot \sin {\rm \Gamma}}{\sin {\rm A}}, \quad \upsilon_{\rm B} = \beta \cdot \frac{\sin {\rm \Gamma} \cdot \sin {\rm A}}{\sin {\rm B}} και \quad \upsilon_{\rm \Gamma} = \gamma \cdot \frac{\sin {\rm A} \cdot \sin {\rm B}}{\sin {\rm \Gamma}}.
* Έστω \mathrm{E} το εμβαδό του τριγώνου και \hat{\mathrm{A}} > 90^o, τότε
::\mathrm{AH}^2 = \frac{\alpha \cdot (\beta^2 + \gamma^2 - \alpha^2)}{4 \mathrm{E}},
:και αν \mathrm{A} , τότε
::\mathrm{AH}^2 = \frac{\alpha \cdot (\alpha^2 - \beta^2 - \gamma^2)}{4 \mathrm{E}}.
* Αν R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, τότε
::\mathrm{AH}^2 + \mathrm{BH}^2 + \mathrm{\Gamma H}^2 = 12R^2 - (\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2)
* Αν \mathrm{H} το ορθόκεντρο, \mathrm{G} το βαρύκεντρο, (\mathrm{O}, R) ο περιγεγραμμένος, (\mathrm{I}, \rho) o εγγεγραμμένος και (\mathrm{I_A}, \rho_\mathrm{A}) ο παρεγγεγραμμένος κύκλος, τότε
::\mathrm{OH}^2 = 9R^2 - (\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2),
::\mathrm{HG}^2 = 4R^2 - 4 \cdot (\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2),
::\mathrm{HI}^2 = 2\rho^2 -4 R^2 \cos \hat{\rm A} \cos \hat{\rm B} \cos \hat{\rm \Gamma} ,
::\mathrm{HI_A}^2 = 2\rho_\mathrm{A}^2 -4 R^2 \cos \hat{\rm A} \cos \hat{\rm B} \cos \hat{\rm \Gamma} .
* Για τα ύψη \mathrm{AH_A}, \mathrm{BH_B}, \mathrm{\Gamma H_\Gamma}, ισχύει ότι
**\mathrm{AH} \cdot \mathrm{HH_A} = \mathrm{BH} \cdot \mathrm{HH_B} = \mathrm{\Gamma H} \cdot \mathrm{HH_\Gamma},
**\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{HH_A}} + \frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{HH_B}} + \frac{\mathrm{\Gamma H}}{ \mathrm{HH_\Gamma}} = 1.
**(\upsilon_\mathrm{A} + \upsilon_\mathrm{B} + \upsilon_\mathrm{\Gamma}) \cdot \left( \frac{1}{\upsilon_\mathrm{A}} + \frac{1}{\upsilon_\mathrm{B}} + \frac{1}{\upsilon_\mathrm{\Gamma}} \right) = (\alpha + \beta + \gamma) \cdot \left( \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} \right).
* Αν \mu_{\mathrm{A}} η διάμεσος τριγώνου \mathrm{AB\Gamma} με \beta > \gamma, τότε 
::\upsilon_\mathrm{A} \cdot \mu_\mathrm{A} = \frac{\beta^2 - \gamma^2}{2\alpha}.
* Αν \rho η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και \rho_\mathrm{A}, \rho_\mathrm{B}, \rho_\mathrm{\Gamma} οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων, τότε
::\frac{1}{\rho_\mathrm{A}} = \frac{1}{\upsilon_\mathrm{B}} + \frac{1}{\upsilon_\mathrm{\Gamma}} - \frac{1}{\upsilon_\mathrm{A}},
::\frac{1}{\rho_\mathrm{A}} + \frac{1}{\rho_\mathrm{B}} + \frac{1}{\rho_\mathrm{\Gamma}} = \frac{1}{\rho} = \frac{1}{\upsilon_\mathrm{A}} + \frac{1}{\upsilon_\mathrm{B}} + \frac{1}{\upsilon_\mathrm{\Gamma}},
::\frac{1}{\rho^2} + \frac{1}{\rho_\mathrm{A}^2} + \frac{1}{\rho_\mathrm{B}^2} + \frac{1}{\rho_\mathrm{\Gamma}^2} = 4 \cdot \left( \frac{1}{{\upsilon}_\mathrm{A}^2} + \frac{1}{{\upsilon}_\mathrm{B}^2} + \frac{1}{{\upsilon}_\mathrm{\Gamma}^2}\right).

## Ανισοτικές σχέσεις
* Σε κάθε τρίγωνο \rm AB\Gamma με \alpha > \beta > \gamma έχουμε ότι:
::
  \upsilon_\mathrm{A} 
* Σε κάθε τρίγωνο, το ύψος που αντιστοιχεί σε μία πλευρά του είναι μικρότερο από το ημιάθροισμα των άλλων δύο πλευρών του τριγώνου. Δηλαδή, ισχύει
::\upsilon_{\rm A} ,
::\upsilon_{\rm B} , και
::\upsilon_{\rm \Gamma} .

## Ορθικό τρίγωνο

right|thumb|Το ορθικό τρίγωνο <math>\mathrm{H_AH_BH_\Gamma}</math> του <math>\mathrm{AB\Gamma}</math>.

Το τρίγωνο \mathrm{H_AH_BH_\Gamma} λέγεται **ορθικό** (ή αλλιώς **ποδικό**) **τρίγωνο** του τριγώνου \mathrm{AB\Gamma}.

## Δείτε επίσης
* Διάμεσος
* Διχοτόμος γωνίας
* Μεσοκάθετη ευθύγραμμου τμήματος
* Ορθικό τρίγωνο
* Ορθοκεντρική τετράδα

## Σημειώσεις


## Παραπομπές


Κατηγορία:Τρίγωνα
Κατηγορία:Σεβιανές