Αλγόριθμος του Ευκλείδη

Στα μαθηματικά, ο **αλγόριθμος του Ευκλείδη** ή **Ευκλείδειος αλγόριθμος** είναι ένας αλγόριθμος για τον υπολογισμό του μέγιστου κοινού διαιρέτη (ΜΚΔ) δύο ακέραιων αριθμών. Φέρει το όνομα του Έλληνα μαθηματικού Ευκλείδη, ο οποίος περιγράφει τον αλγόριθμο στα 7ο και 10ο βιβλίο στο έργο του *[[Στοιχεία]]*.

Στην απλούστερη μορφή του, ο αλγόριθμος του Ευκλείδη ξεκινά με ένα ζεύγος θετικών ακεραίων και σχηματίζει ένα νέο ζεύγος που αποτελείται από το μικρότερο αριθμό και τη διαφορά μεταξύ του μεγαλύτερου και του μικρότερου αριθμού. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται έως ότου οι αριθμοί είναι ίσοι. Αυτός ο αριθμός αποδεικνύεται ότι είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης του αρχικού ζεύγους.

Η παλαιότερη περιγραφή που υπάρχει για τον Ευκλείδειο αλγόριθμο είναι στα *Στοιχεία* του Ευκλείδη (περ. 300 π.Χ.), καθιστώντας τον ένα από τους παλαιότερους αριθμητικούς αλγορίθμους ακόμα σε κοινή χρήση. Ο αρχικός αλγόριθμος αφορούσε μόνο φυσικούς αριθμούς και γεωμετρικά μήκη (πραγματικοί αριθμοί), αλλά ο αλγόριθμος γενικεύτηκε τον 19ο αιώνα και σε άλλους τύπους αριθμών, όπως οι Γκαουσιανοί ακέραιοι και πολυώνυμα μιας μεταβλητής. Αυτό οδήγησε στις σύγχρονες αφηρημένες αλγεβρικές έννοιες, όπως οι Ευκλείδειες δομές.

Ο αλγόριθμος έχει πολλές θεωρητικές και πρακτικές εφαρμογές. Χρησιμοποιείται  στην εύρεση πολλαπλασιαστικών αντιστρόφων στην αριθμητική υπολοίπων. Με τη σειρά τους αυτοί χρησιμποποιούνται σε διάφορα κρυπτογραφικά πρωτόκολλα για την ασφάλεια των επικοινωνιών στο διαδίκτυο. Χρησιμοποιείται για την επίλυση Διοφαντικών εξισώσεων, όπως η εύρεση αριθμών που ικανοποιούν πολλαπλές σχέσεις ισοτιμίας (Κινέζικο θεώρημα υπολοίπων), για την κατασκευή συνεχών κλασμάτων ή την εύρεση ρητών προσεγγίσεων σε πραγματικούς αριθμούς. Τέλος, είναι ένα βασικό εργαλείο για την απόδειξη θεωρημάτων στη σύγχρονη θεωρία αριθμών, όπως το θεώρημα των τεσσάρων τετραγώνων του Λαγκράνζ και την μοναδικότητα παραγοντοποίησης στο θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής.

Εάν υλοποιηθεί με τη χρήση υπολοίπων της Ευκλείδειας διαίρεσης και όχι με αφαιρέσεις, ο αλγόριθμος του Ευκλείδη υπολογίζει το ΜΚΔ μεγάλων αριθμών πολύ αποδοτικά: Ποτέ δεν απαιτεί περισσότερα βήματα διαίρεσης από πέντε φορές τον αριθμό των ψηφίων (με βάση το 10) του μικρότερου ακεραίου. Αυτό αποδείχθηκε από τον  Gabriel Lamé το 1844 και σηματοδοτεί την έναρξη της θεωρίας της πολυπλοκότητας. Μέθοδοι για τη  βελτίωση της απόδοσης του αλγορίθμου αναπτύχθηκαν τον 20ο αιώνα.

Ο ΜΚΔ των δύο αριθμών είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που διαιρεί τέλεια τους δύο, δηλαδή χωρίς να αφήνει υπόλοιπο. Ο Ευκλείδειος αλγόριθμος βασίζεται στην αρχή ότι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των δύο αριθμών δεν αλλάζει εάν ο μικρότερος αριθμός αφαιρείται από το μεγαλύτερο αριθμό. Αν k, m και n είναι ακέραιοι, και το k είναι ένας κοινός παράγοντας των δύο ακεραίων  αριθμών A και B, τότε A = nk και B = mk συνεπάγεται A - B = (n-m) \cdot k, συνεπώς, το k είναι επίσης ένας κοινός παράγοντας της διαφοράς. Αυτό το k μπορεί επίσης να αντιπροσωπεύει τον μέγιστο κοινό διαιρέτη όπως αποδεικνύεται παρακάτω. Για παράδειγμα, το 21 είναι ο ΜΚΔ των 105 και 252 (252&nbsp;=&nbsp;12&nbsp;×&nbsp;21; 105&nbsp;=&nbsp;5&nbsp;×&nbsp;21). Από το 252&nbsp;−&nbsp;105&nbsp;=&nbsp;(12&nbsp;&minus;&nbsp;5)&nbsp;×&nbsp;21&nbsp;=&nbsp;147, ο ΜΚΔ των 147 και 105 είναι επίσης 21.

Δεδομένου ότι ο μεγαλύτερος από τους δύο αριθμούς μειώνεται, επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία, αυτή θα δίνει διαδοχικά μικρότερους αριθμούς μέχρι ένας από αυτούς  να γίνει μηδέν. Όταν αυτό συμβεί, ο ΜΚΔ είναι ο μη μηδενικός αριθμός που απομένει. Αντιστρέφοντας τα βήματα του αλγόριθμου του Ευκλείδη , ο ΜΚΔ μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα/γραμμικός συνδιασμός των δύο αρχικών αριθμών καθώς  πολλαπλασιάζεται με ένα θετικό ή αρνητικό ακέραιο, π.χ.  Αυτή η σημαντική ιδιότητα είναι γνωστή ως ταυτότητα του Μπεζού.

## Ιστορικό - Μέγιστος κοινός διαιρέτης

Ο Ευκλείδειος αλγόριθμος υπολογίζει το μέγιστο κοινό διαιρέτη (ΜΚΔ) δύο φυσικών αριθμών a και b. Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης *g* είναι ο μεγαλύτερος φυσικός αριθμός που διαιρεί] τον a και τον b χωρίς να αφήνει υπόλοιπο. Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης συχνά γράφεται ως \operatorname{MK\Delta}(a, b) ή, πιο απλά (a, b).

Αν \operatorname{MK\Delta}(a, b) = 1, τότε λέγεται ότι a και b είναι σχετικά πρώτοι μεταξύ τους. Αυτή η ιδιότητα δεν σημαίνει ότι το a ή b είναι οι ίδιοι πρώτοι αριθμοί. Για παράδειγμα, ούτε το 6 ούτε το 35 είναι πρώτοι αριθμοί, δεδομένου ότι και οι δύο έχουν δύο πρώτους παράγοντες: 6 = 2 \cdot 3 και 35 = 5 \cdot 7. Παρ 'όλα αυτά, το 6 και το 35 είναι σχετικά πρώτοι μεταξύ τους, καθώς δεν υπάρχει φυσικός αριθμός εκτός από το 1 που διαιρεί τους 6 και 35, αφού δεν έχουν κοινούς πρώτους παράγοντες.

Έστω g = \operatorname{MK\Delta}(a, b). Δεδομένου ότι τα a και b είναι και τα δύο πολλαπλάσια του g, μπορούν να γραφτούν ως a = mg και b = ng (όπου m,n ακέραιοι), και δεν υπάρχει μεγαλύτερος αριθμός G > g  για τον οποίο αυτό να ισχύει. Οι φυσικοί αριθμοί m και n πρέπει να είναι πρώτοι μεταξύ τους, δεδομένου ότι κάθε κοινός παράγοντας θα μπορούσε να παραγοντοποιηθεί από το m και το n ώστε να κάνει το g μεγαλύτερο. Έτσι, οποιοσδήποτε άλλος αριθμός c που διαιρεί και το a και b πρέπει να διαιρεί επίσης και το g. Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης g των a και b είναι ο μοναδικός (θετικός) κοινός διαιρέτης του a και b που διαιρείται από οποιοδήποτε άλλο κοινό τους διαιρέτη c.

Ο ΜΚΔ μπορεί να απεικονιστεί ως εξής. Θεωρήστε ένα ορθογώνιο  διαστάσεων a επι b. Για κάθε κοινό διαιρέτη c, δηλαδή που διαιρεί ταυτόχρονα τα a και b ακριβώς, οι πλευρές του ορθογωνίου μπορούν να διαιρεθούν σε τμήματα μήκους c, με τέτοιο τρόπο ώστε το ορθογώνιο να διαιρεθεί σε ένα πλέγμα από τετράγωνα c \times c. Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης g είναι η μεγαλύτερη τιμή του c για τις οποίες αυτό είναι δυνατό. Για παράδειγμα, ένα οθοργώνιο 24 \times 60 μπορεί να διαιρεθεί σε ένα πλέγμα από: τετράγωνα 1 \times 1, τετράγωνα 2 \times 2, τετράγωνα 3 \times 3, τετράγωνα 4 \times 4, από τετράγωνα 6 \times 6 ή τετράγωνα 12 \times 12. Συνεπώς, το 12 είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης του 24 και 60. Ένα ορθογώνιο 24 \times 60 μπορεί να διαιρεθεί σε ένα πλέγμα τετραγώνων 12 \times 12, με δύο τετράγωνα κατά μήκος ενός άκρου (24/12 = 2) και πέντε τετράγωνα κατά μήκος του άλλου (60/12 = 5) .

Ο ΜΚΔ δύο αριθμών a και b είναι το γινόμενο των πρώτων παραγόντων που είναι κοινοί των δύο αριθμών, όπου ένας κοινός πρώτος παράγοντας  μπορεί να χρησιμοποιηθεί πολλές φορές, αλλά μόνο για όσο το γινόμενο αυτών των παραγόντων διαιρεί και το a και το b. Για παράδειγμα, καθώς το 1386 μπορεί να αναλυθεί σε πρώτους παράγοντες ως 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 και το 3213 ως  3 \times 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 17, ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των 1386 και 3213 ισούται με 63 = 3 \cdot 3 \cdot 7, δηλαδή το γινόμενο των κοινών τους πρώτων παραγόντων. Αν δύο αριθμοί δεν έχουν κοινούς πρώτους παράγοντες, ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους είναι το 1 (που λαμβάνεται εδώ ως παράδειγμα για το κενό), με άλλα λόγια, είναι πρώτοι μεταξύ τους. Ένα βασικό πλεονέκτημα του Ευκλείδειου αλγόριθμου είναι ότι μπορεί να βρει το ΜΚΔ αποδοτικά χωρίς να χρειάζεται να υπολογίσει την ανάλυση σε πρώτους παράγοντες. Η ανάλυση μεγάλων ακεραίων σε πρώτους παράγοντες πιστεύεται ότι είναι υπολογιστικά πολύ δύσκολο πρόβλημα, και η ασφάλεια πολλών σύγχρονων συστημάτων κρυπτογραφίας βασίζεται στο γεγονός ότι αυτό δεν μπορεί να γίνει αποδοτικά.

Ένας άλλος ορισμός του ΜΚΔ είναι χρήσιμος σε άλλους τομείς των μαθηματικών, κυρίως στη θεωρία δακτυλίων. Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης g δύο μη μηδενικών αριθμών a και b είναι επίσης ο μικρότερος θετικός ακέραιος που γράφεται ως γραμμικός τους συνδυασμός, δηλαδή, ο μικρότερος θετικός αριθμός της μορφής ua + vb, όπου u και v είναι ακέραιοι. Το σύνολο όλων των ακέραιων γραμμικών συνδυασμών των a και b είναι στην πραγματικότητα το ίδιο με το σύνολο όλων των πολλαπλάσιων του g (όλα τα mg, με m να είναι ένας ακέραιος αριθμός). Στη σύγχρονη μαθηματική γλώσσα, το ιδεώδες που παράγεται από το a και το b είναι το ιδεώδες που δημιουργείται από το  g μόνο (ένα ιδεώδες που παράγεται από ένα μόνο στοιχείο ονομάζεται κύριο ιδεώδες, και όλα τα ιδεώδη των ακεραίων είναι τα κύρια ιδεώδη). Μερικές ιδιότητες του ΜΚΔ είναι στην πραγματικότητα πιο εύκολο να γίνουν αντιληπτές με αυτή την περιγραφή, για παράδειγμα, το γεγονός ότι κάθε κοινός διαιρέτης του a και b διαιρεί επίσης τον ΜΚΔ τους (ο οποίος διαιρεί και τους δύο όρους του ua + vb. Η ισοδυναμία αυτού του ορισμού του ΜΚΔ με τους άλλους ορισμούς περιγράφεται κατωτέρω.

Ο ΜΚΔ τριών ή περισσότερων αριθμών ισούται με το γινόμενο των πρώτων κοινών παραγόντων όλων των αριθμών, αλλά μπορεί επίσης να υπολογιστεί παίρνοντας διαδοχικά τον μέγιστο κοινό διαιρέτη ζευγών των αριθμών. Για παράδειγμα,

:\operatorname{MK\Delta}(a, b, c) = \operatorname{MK\Delta}(a, \operatorname{MK\Delta}(b, c)) = \operatorname{MK\Delta}(\operatorname{MK\Delta}(a, b), c) = \operatorname{MK\Delta}(\operatorname{MK\Delta}(a,c),b).

Έτσι, ο αλγόριθμος του Ευκλείδη, ο οποίος υπολογίζει το ΜΚΔ δύο ακεραίων χρησιμοποιείται επίσης για τον υπολογισμό του ΜΚΔ πολλών ακεραίων.

## Περιγραφή

Η απλούστερη μορφή του αλγορίθμου του Ευκλείδη ξεκινά με ένα ζεύγος θετικών ακεραίων και σχηματίζει ένα νέο ζεύγος που αποτελείται από το μικρότερο αριθμό και τη διαφορά μεταξύ του μεγαλύτερου και του μικρότερου αριθμού. Ο αλγόριθμος επαναλαμβάνεται μέχρι οι αριθμοί να είναι ίσοι. Ο τελικός αυτός αριθμός αυτός είναι και ο μέγιστος κοινός διαιρέτης του αρχικού ζεύγους. 

Για παράδειγμα,
:
\begin{align}
\operatorname{MK\Delta}(108, 84)
 & = \operatorname{MK\Delta}(84, 108 - 84) = \operatorname{MK\Delta}(84, 24) \\
 & = \operatorname{MK\Delta}(24, 84 - 24) = \operatorname{MK\Delta}(24, 60) \\
 & = \operatorname{MK\Delta}(24, 60 - 24) = \operatorname{MK\Delta}(24, 36) \\
 & = \operatorname{MK\Delta}(24, 36 - 24) = \operatorname{MK\Delta}(24, 12) \\
 & = \operatorname{MK\Delta}(12, 24 - 12) = \operatorname{MK\Delta}(12, 12) \\
 & = 12.
\end{align}


Αν ένας αριθμός είναι πολύ μικρότερος από τον άλλο, χρειάζονται πολλά βήματα αφαίρεσης πριν ο μεγαλύτερος αριθμός μειωθεί σε μία τιμή μικρότερη ή ίση από τον άλλον αριθμό στο ζεύγος.
Αφαιρώντας ένα μικρό θετικό αριθμό από ένα μεγάλο αριθμό αρκετές φορές μέχρι αυτό που  απομένει  είναι μικρότερο από τον αρχικό ελάχιστο αριθμό, μπορεί να αντικατασταθεί με την εύρεση του υπολοίπου της διαίρεσής τους.

Έτσι, ο αλγόριθμος του Ευκλείδη με την χρήση διαίρεσης ξεκινά με ένα ζεύγος θετικών ακεραίων και σχηματίζει ένα νέο ζεύγος που αποτελείται από το μικρότερο αριθμό και το υπόλοιπο της διαίρεσης του μεγαλύτερου αριθμού από τον μικρότερο. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται έως ότου ένας αριθμός είναι μηδέν. Ο άλλος αριθμός είναι τότε ο μέγιστος κοινός διαιρέτης του αρχικού ζεύγους.

Για το παραπάνω παράδειγμα έχουμε δύο βήματα λιγότερα,
:
\begin{align}
\operatorname{MK\Delta}(108, 84)
 & = \operatorname{MK\Delta}(84, 108 \bmod 84) = \operatorname{MK\Delta}(84, 24) \\
 & = \operatorname{MK\Delta}(24, 84 \bmod 24) = \operatorname{MK\Delta}(24, 12) \\
 & = \operatorname{MK\Delta}(12, 24 \bmod 12) = \operatorname{MK\Delta}(12, 0).
\end{align}


### Αλγόριθμος

Ο Ευκλείδειος αλγόριθμος προχωρεί σε μια σειρά από βήματα έτσι ώστε το αποτέλεσμα από κάθε  βήμα να χρησιμοποιείται ως είσοδο για το επόμενο βήμα. Έστω k ένας ακέραιος που μετράει τα βήματα του αλγορίθμου, ξεκινώντας από το μηδέν. Ετσι, το αρχικό στάδιο αντιστοιχεί σε k = 0, το επόμενο βήμα αντιστοιχεί στο k = 1, και ούτω καθεξής.

Κάθε βήμα ξεκινά με δύο μη αρνητικά  υπόλοιπα  r_{k-1} και r_{k-2}. Δεδομένου ότι ο αλγόριθμος εξασφαλίζει ότι τα υπόλοιπα  μειώνονται σταδιακά σε κάθε βήμα, το r_{k-1}  είναι μικρότερο από το προηγούμενο  του r_{k-2}. Ο στόχος είναι στο βήμα k  να βρούμετο πηλίκο q_k και το υπόλοιπο r_k έτσι ώστε
:r_{k-2} = q_k \cdot r_{k-1} + r_k.
όπου 0 \leq r_k . Με άλλα λόγια, τα πολλαπλάσια του μικρότερου αριθμού r_{k-1} αφαιρούνται από το μεγαλύτερο αριθμό  r_{k-2} μέχρι το υπόλοιπο να είναι μικρότερο από το r_{k-1}.
Στο αρχικό στάδιο (k = 0), τα υπόλοιπα r_{-2} και r_{-1} αντιστοιχούν στα a και b, οι αριθμοί για τους οποίους  ζητείται ο ΜΚΔ. Στο επόμενο βήμα (k = 1), τα υπόλοιπα αντιστοιχούν στο b και το υπόλοιπο r_0 του αρχικού βήματος, και ούτω καθεξής. Έτσι, ο αλγόριθμος μπορεί να γραφτεί ως μια ακολουθία των εξισώσεων:
:a = q_0 b + r_0
:b = q_1 r_0 + r_1
:r_0 = q_2 r_1 + r_2
:r_1 = q_3 r_2 + r_3
:\vdots

Εάν το a είναι μικρότερο από το b, στο πρώτο βήμα του αλγορίθμου οι αριθμοί εναλάσσονται. Πιο συγκεκριμένα, εάν a , το αρχικό πηλίκο  q_0 ισούται με μηδέν, και το υπόλοιπο r_0 είναι a. Έτσι, το  r_k είναι μικρότερο από το προηγούμενο  του r_{k-1} για όλα τα k \geq 0.

Δεδομένου ότι τα υπόλοιπα μειώνονται σε κάθε βήμα, αλλά ποτέ δεν μπορούν να γίνουν αρνητικά, ένα υπόλοιπο r_N, τελικά θα γίνει ίσο με μηδέν, όπου και  ο αλγόριθμος σταματά.  Το τελευταίο μη μηδενικό υπόλοιπο r_{N-1} είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των a και b. Ο αριθμός N δεν μπορεί να είναι άπειρο, επειδή υπάρχουν μόνο  πεπερασμένοι το πλήθος  αριθμοί των μη αρνητικών ακέραιων ανάμεσα στο αρχικό υπόλοιπο r_0 και το μηδέν.

### Απόδειξη ορθότητας
Η απόδειξη ορθότητας του αλγορίθμου μπορεί να γίνει σε δύο στάδια. Στο πρώτο στάδιο, θα δείξουμε ότι το τελευταίο μη-μηδενικό υπόλοιπο r_{N-1} διαιρεί το a και το b. Δεδομένου ότι είναι ένας κοινός διαιρέτης, πρέπει να είναι μικρότερος ή ίσος με τον μέγιστο κοινό διαιρέτη g. Στο δεύτερο στάδιο, θα δείξουμε ότι κάθε κοινός διαιρέτης των a και b , συμπεριλαμβανομένου του g, πρέπει να διαιρεί το r_{N-1}. Συνεπώς, το g πρέπει να είναι μικρότερο ή ίσο του  r_{N-1}. Συνδυάζοντας αυτά τα δύο συμπεράσματα θα καταλήξουμε ότι r_{N-1} = g.

Για να δείξουμε ότι r_{N-1} διαιρεί τους a και b (στο πρώτο βήμα), ξεκινάμε παρατηρώντας ότι το  r_{N-1}  διαιρεί το *r**N*−2, καθώς
:r_{N-2} = q_N r_{N-1} + r_N = q_N r_{N-1}
Το  r_{N-1} διαιρεί επίσης και το  r_{N-3}, καθώς
:r_{N-3} = q_{N-1} r_{N-2} + r_{N-1}
γιατί r_{N-1} διαιρεί και τους δύο όρους από τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης. 

Επαναλαμβάνοντας  το ίδιο επιχείρημα, το r_{N-1} διαιρεί όλα τα προηγούμενα υπόλοιπα, συμπεριλαμβανομένων του a και του b. Επιπλέον, κανένα από τα προηγούμενα υπόλοιπα   r_{N-2}, r_{N-3}, κλπ. δε διαιρεί το  a και b, εφόσον αφήνουν  μη-μηδενικό υπόλοιπο. Εφόσον το r_{N-1} είναι κοινός διαιρέτης των a και b, r_{N-1} \leq g.

Στο δεύτερο στάδιο, κάθε φυσικός αριθμός c, που διαιρεί το a και το b (με άλλα λόγια, κάθε κοινός τους διαιρέτης) διαιρεί και τα υπόλοιπα  r_k. Εξ ορισμού, τα a και b μπορούν να γραφούν  ως πολλαπλάσια του c: a = mc και b = nc, όπου m και n είναι φυσικοί αριθμοί. Ως εκ τούτου, c διαιρεί το αρχικό υπόλοιπο r_0, δεδομένου ότι 
:r_0 = a - q_0 b = mc - q_0 nc = (m - q_0n) c.
Ένα ανάλογο επιχείρημα δείχνει ότι c διαιρεί επίσης, τα ακόλουθα υπόλοιπα r_1, r_2 κλπ. Ως εκ τούτου, ο μέγιστος κοινός διαιρέτης g πρέπει να διαιρεί το r_{N-1}, πράγμα που σημαίνει ότι g \leq r_{N-1}. Δεδομένου ότι στο πρώτο μέρος του επιχειρήματος δείξαμε ότι r_{N-1} \leq g, προκύπτει ότι g = r_{N-1}.

### Παράδειγμα εκτέλεσης

Για παράδειγμα, ο Ευκλείδειος αλγόριθμος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρεθεί ο μέγιστος κοινός διαιρέτης a = 1071 και b = 462.  Αρχικά, πολλαπλάσια του 462 αφαιρούνται από το 1071 μέχρι το υπόλοιπο να γίνει μικρότερο από 462. Δύο τέτοια πολλαπλάσια μπορούν να αφαιρεθούν (q_0 = 2), αφήνοντας ως υπόλοιπο το 147, δηλαδή
:1071 = 2 \cdot 462 + 147.

Στη συνέχεια, πολλαπλάσια του 147 αφαιρούνται από το 462 μέχρι το υπόλοιπο είναι μικρότερο από 147. Τρία πολλαπλάσια μπορούν να αφαιρεθούν (q_1 = 3), αφήνοντας ένα υπόλοιπο του 21.
:462 = 3 \cdot 147 + 21.

Στη συνέχεια, πολλαπλάσια του 21 αφαιρούνται από το 147 έως το υπόλοιπο είναι μικρότερο από 21. Επτά πολλαπλάσια μπορούν να αφαιρεθούν (q_2 = 7), χωρίς να αφήσουν κανένα υπόλοιπο
:147 = 7 \cdot 21 + 0.

Δεδομένου ότι το τελευταίο υπόλοιπο είναι μηδέν, ο αλγόριθμος τερματίζει με το 21 ως το μέγιστο κοινό διαιρέτη των 1071 και 462. Αυτό συμφωνεί με τον \operatorname{MK\Delta}(1071, 462) που βρέθηκε από την παραπάνω παραγοντοποίηση. Σε μορφή πίνακα, είναι τα βήματα

### Αναλογία με κάλυψη ορθογωνίων

Η εκτέλεση του Ευκλείδειου αλγορίθμου μπορεί να ερμηνευθεί με την αναλογία με την κάλυψη ενός ορθογωνίου, που περιγράφεται παραπάνω για τον μέγιστο κοινό διαιρέτη. Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να καλύψουμε ένα ορθογώνιο a \times b με τετράγωνα πλακάκια ακριβώς, όπου a είναι ο μεγαλύτερος από τους δύο αριθμούς. 
* Αρχικά προσπαθούμε να καλύψουμε το ορθογώνιο με τετράγωνα b \times b. Ωστόσο, αυτό αφήνει ένα ορθογώνιο r_0 \times b ακάλυπτο, όπου r_0 . 
* Στη συνέχεια προσπαθούμε να καλύψουμε το υπόλοιπο ορθογώνιο με τετράγωνα r_0 \times r_0. Αυτό αφήνει ένα δεύτερο ακάλυπτο ορθογώνιο r_1 \times r_0, το οποίο προσπαθούμε να το καλύψουμε χρησιμοποιώντας τετράγωνα r_1 \times r_1 και ούτω καθεξής. 
* Η διαδικασία τελειώνει όταν δεν υπάρχει ακάλυπτο ορθογώνιο, δηλαδή, όταν τα τετράγωνα πλακίδια καλύψουν ακριβώς το ορθογώνιο που απέμεινε από το προηγούμενο βήμα. 
* Το μήκος των πλευρών του μικρότερου τετράγωνου πλακιδίου είναι ο ΜΚΔ των διαστάσεων του αρχικού ορθογωνίου. 
Για παράδειγμα, το μικρότερο τετραγωνικό πλακίδιο στο πλαϊνό σχήμα είναι 21 \times 21 (φαίνεται σε κόκκινο), και το 21 είναι ο ΜΚΔ των 1071 και 462, οι διαστάσεις του αρχικού ορθογωνίου (που φαίνεται στο πράσινο).

### Ευκλείδεια διαίρεση

Στο k-οστό βήμα, ο Ευκλείδειος αλγόριθμος υπολογίζει το πηλίκο q_k και το υπόλοιπο r_k της διαίρεσης των δύο αριθμών  r_{k-1} and r_{k-2}
:r_{k-2} = q_k r_{k-1} + r_k,
όπου 0 \leq r_k . Το θεώρημα που διέπει τον ορισμό της Ευκλείδειας διαίρεσης εξασφαλίζει ότι ένα τέτοιο πηλίκο και υπόλοιπο πάντα υπάρχουν και είναι μοναδικά.

Στην αρχική έκδοση του αλγορίθμου του Ευκλείδη, το πηλίκο και το υπόλοιπο βρίσκονται από επανειλημμένη αφαίρεση, Δηλαδή, r_{k-1} αφαιρείται από r_{k-2} επανειλημμένα έως ότου το υπόλοιπο r_k είναι μικρότερο από r_{k-1}. Μετά από αυτό r_k και r_{k-1} ανταλλάσσονται και η διαδικασία επαναλαμβάνεται.

Η ευκλείδεια διαίρεση μειώνει όλα τα βήματα μεταξύ δύο ανταλλαγών σε ένα ενιαίο βήμα, το οποίο είναι κατά συνέπεια πιο αποτελεσματικό. Επιπλέον, δεν είναι το πηλίκο που απαιτείται, έτσι μπορεί κανείς να αντικαταστήσει την Ευκλείδεια διαίρεση με τη αριθμητική υπολοίπων, η οποία δίνει μόνο το υπόλοιπο. Έτσι, η επανάληψη του Ευκλείδειου αλγορίθμου γίνεται απλά

:*r**k* = *r**k*−2 mod *r**k*−1.

### Υλοποιήσεις

Παρακάτω δίνονται υλοποιήσεις του αλγορίθμου του Ευκλείδη σε ψευδοκώδικα. 

#### Αλγόριθμος με χρήση υπολοίπων (γραμμική)

Παρακάτω δίνεται η μέθοδος που χρησιμοποιεί διαιρέσεις

 **function** ΜΚΔ_γραμμική(a, b)
     **while** b ≠ 0
        t := b
        b := a **mod** t
        a := t
     **return** a

Στην αρχή της k-οστής επανάληψης, η μεταβλητή b έχει το τελευταίο υπόλοιπο r_{k-1}, ενώ η μεταβλητή a έχει το προηγούμενό του, r_{k-2}. Το στάδιο b := a \bmod b είναι ισοδύναμο με τον παραπάνω τύπο r_k = r_{k-2} \bmod r_{k-1}. Η προσωρινή μεταβλητή t κρατά την τιμή της r_{k-1}, ενώ το επόμενο υπόλοιπο r_k υπολογίζεται συγχρόνως. Στο τέλος του βρόχου επανάληψης, η μεταβλητή b έχει το υπόλοιπο r_k, ενώ η μεταβλητή a έχει το προηγούμενό του, r_{k-1}.

#### Αλγόριθμος με χρήση υπολοίπων (αναδρομική)

Η αναδρομική έκδοση βασίζεται στην ισότητα των  ΜΚΔ των διαδοχικών υπολοίπων και τη συνθήκη τερματισμού \operatorname{MK\Delta}(r_{N-1}, 0) = r_{N-1}.

 **function** ΜΚΔ_αναδρομική(a, b)
     **if** b = 0
        **return** a
     **else**
        **return** ΜΚΔ_αναδρομική(b, a **mod** b)

Για παράδειγμα, ο \operatorname{MK\Delta}(1071,462) υπολογίζεται 
:\begin{align}
\operatorname{MK\Delta}(1071,462)
 & = \operatorname{MK\Delta}(462,1071 \bmod 462) = \operatorname{MK\Delta}(462,147) \\
 & = \operatorname{MK\Delta}(147,462 \bmod 147) = \operatorname{MK\Delta}(147,21) \\
 & = \operatorname{MK\Delta}(21,147 \bmod 21) = \operatorname{MK\Delta}(21,0) \\
 & = 21
\end{align}


#### Αλγόριθμος με χρήση αφαιρέσεων

Στην εκδοχή του αλγορίθμου που χρησιμοποιεί αφαίρεση, που ήταν και η αρχική έκδοση του αλγορίθμου του Ευκλείδη, ο υπολογισμός του υπόλοιπου (b := a \bmod b) αντικαθίσταται από την επανειλημμένη αφαίρεση. Εδώ υποθέτουμε ότι a, b>0.

 **function** ΜΚΔ(a, b)
     **while** a ≠ b
         **if** a > b
            a := a − b
         **else**
            b := b − a
     **return** a

Οι μεταβλητές a και b εναλλάσονται διατηρώντας τα προηγούμενα υπόλοιπα r_{k-1} και r_{k-2}. Υποθέτοντας ότι το a είναι μεγαλύτερο από το b στην αρχή μιας επανάληψης, τότε a = r_{k-2}, εφόσον r_{k-2} > r_{k-1}. Κατά τη διάρκεια της επανάληψης του βρόχου, το a μειώνεται κατά πολλαπλάσια του προηγούμενου υπολοίπου b έως ότου το a είναι μικρότερο από το b. Τότε το a είναι το επόμενο υπόλοιπο r_k. Τότε το b μειώνεται κατά πολλαπλάσια του a έως ότου είναι πάλι μικρότερο από a, δίνοντας το επόμενο υπόλοιπο r_{k+1}, και ούτω καθεξής.

### Μέθοδος των μικρότερων απόλυτων υπολοίπων

Σε μια άλλη εκδοχή του αλγορίθμου του Ευκλείδη, σε κάθε βήμα το πηλίκο αυξάνεται κατά ένα, αν το προκύπτον αρνητικό υπόλοιπο είναι μικρότερο σε μέγεθος από το τυπικό θετικό υπόλοιπο. Προηγουμένως, υπολογίζαμε την σχέση
:r_{k-1} = q_k r_{k-1} + r_k,
με την συνθήκη ότι 0 \leq r_k . Ωστόσο, θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε το αρνητικό υπόλοιπο e_k που δίνεται από την σχέση
:r_{k-1} = \begin{cases}
(q_k + 1) r_{k-1} + e_k & \text{αν } r_{k-1} > 0\\
(q_k - 1) r_{k-1} + e_k & \text{αν } r_{k-1} ,

Όταν |e_k| , τότε συμφέρει να αντικαταστήσουμε το r_k με το e_k. Καθώς |r_{k-1}| = r_k - e_k, αυτό το νέο r_k  ικανοποιεί
:|r_k| .

Ο Λέοπολντ Κρόνεκερ έχει δείξει ότι αυτή η εκδοχή απαιτεί το μικρότερο αριθμό των βημάτων από τις άλλες εκδοχές του αλγορίθμου του Ευκλείδη.

## Ιστορική εξέλιξη

Ο Ευκλείδειος αλγόριθμος είναι ένας από τους παλαιότερους αλγορίθμους ακόμα σε κοινή χρήση.  Εμφανίζεται στα *[[Στοιχεία]]* του Ευκλείδη (περ. 300 π.Χ.), και συγκεκριμένα στο 7ο βιβλίο (Προτάσεις 1-2) και 10ο βιβλίο (Προτάσεις 2-3). Στο βιβλίο 7ο, ο αλγόριθμος είναι σχεδιασμένος για ακέραιους, ενώ στο βιβλίο 10, έχει διατυπωθεί για μήκη ευθυγράμμων τμημάτων. (Στη σύγχρονη ορολογία, θα έλεγε κανείς ότι διατυπώθηκε εκεί για πραγματικούς αριθμούς. Όμως, μήκη, εμδαδά, και όγκοι, που αντιμετωπίστηκαν ως πραγματικοί αριθμοί στα σύγχρονα μαθηματικά, δεν μετρούνται στις ίδιες μονάδες και δεν υπάρχει καμία φυσική μονάδα μήκους, εμβαδού, ή ο όγκου, ενώ η έννοια των πραγματικών αριθμών ήταν άγνωστη εκείνη την εποχή.) Ο τελευταίος αλγόριθμος είναι γεωμετρικός. Ο ΜΚΔ των δύο μηκών *α* και *β* ορίζεται ως το μέγιστο μήκος *γ* που μετρά το *α* και *β* ομοιόμορφα, με άλλα λόγια, τα μήκη *α* και *β* είναι και τα δύο ακέραια πολλαπλάσια του μήκους &nbsp;*g*.

Ο αλγόριθμος μάλλον δεν ανακαλύφθηκε από τον Ευκλείδη, που συγκέντρωσε τα αποτελέσματα από προηγούμενους μαθηματικούς στο έργο του *Στοιχεία*. Ο μαθηματικός και ιστορικός BL van der Waerden ισχυρίζεται ότι το Βιβλίο 7 προέρχεται από ένα βιβλίο σχετικά με τη θεωρία αριθμών που γράφτηκε από μαθηματικούς στη σχολή του Πυθαγόρα. Ο αλγόριθμος ήταν πιθανώς γνωστός από τον Εύδοξο της Κνίδου (περίπου 375 π.Χ.).  Ο αλγόριθμος μπορεί ακόμη και να είναι προγενέστερος από τον Εύδοξο, αν κρίνουμε από τη χρήση του τεχνικού όρου ἀνθυφαίρεσις (αμοιβαία αφαίρεση) στα έργα του Ευκλείδη και του Αριστοτέλη.

Αιώνες αργότερα, ο αλγόριθμος του Ευκλείδη ανακαλύφθηκε ανεξάρτητα τόσο στην Ινδία όσο και στην Κίνα, κυρίως για την επίλυση διοφαντικών εξισώσεων που προκύπτουν στην αστρονομία και την δημιουργία ημερολογίων ακριβίας. Στα τέλη του 5ου αιώνα, ο Ινδός μαθηματικός και αστρονόμος Αριαμπάτα περιέγραψε τον αλγόριθμο ως «κονιοποιητή», ίσως λόγω της αποτελεσματικότητάς του στην επίλυση διοφαντικών εξισώσεων . Παρά το γεγονός ότι μια ειδική περίπτωση του κινέζικου θεωρήματος των υπολοίπων είχε ήδη περιγραφεί από τον Κινέζο μαθηματικό και αστρονόμο Σουν Τσου,  η γενική λύση δόθηκε στη δημοσιότητα από τον Qin Jiushao το 1247 στο βιβλίο του *Shushu Jiuzhang* (數書九章 Μαθηματική πραγματεία σε εννέα μέρη). Ο Ευκλείδειος αλγόριθμος περιγράφηκε για πρώτη φορά στην Ευρώπη στη δεύτερη έκδοση του έργου του Bachet *Problèmes plaisants et délectables* (*Ευχάριστα και απολαυστικά προβλήματα*, 1624)  Στην Ευρώπη, επίσης χρησιμοποιήθηκε για την επίλυση διοφαντικών εξισώσεων  και στην ανάπτυξη συνεχών κλασμάτων. Ο γενικευμένος Ευκλείδειος αλγόριθμος, δόθηκε στη δημοσιότητα από τον Άγγλο μαθηματικό Νίκολας Σόντερσον, ο οποίος τον απέδωσε στον Roger Cotes ως αποτελεσματική μέθοδο για τον υπολογισμό συνεχών κλασμάτων.

Τον 19ο αιώνα, ο Ευκλείδειος αλγόριθμος οδήγησε στην ανάπτυξη των νέων συστημάτων αριθμών, όπως οι Γκαουσιανοί ακέραιοι και οι ακέραιοι του Eisenstein. Το 1815, ο Καρλ Γκάους χρησιμοποίησε τον Ευκλείδειο αλγόριθμο για να αποδείξει τη μοναδική παραγοντοποίηση των Γκαουσιανών ακεραίων, μολονότι το έργο του εκδόθηκε για πρώτη φορά το 1832. Ο Γκάους ανάφερε τον αλγόριθμο του στο *[[Disquisitiones Arithmeticae]]* (δημοσιεύθηκε το 1801), αλλά μόνο ως μια μέθοδο για συνεχή κλάσματα. Ο Πέτερ Γκούσταβ Λεζέν Ντίριχλετ φαίνεται να ήταν ο πρώτος που περιέγραψε την Ευκλείδειο αλγόριθμο ως βάση για ένα μεγάλο μέρος της θεωρίας αριθμών. Ο Ντίριχλε τόνισε ότι πολλά αποτελέσματα της θεωρίας αριθμών, όπως η μοναδική παραγοντοποίηση, θα ίσχυαν και για οποιοδήποτε άλλο σύστημα των αριθμών στους οποίους ο Ευκλείδειος αλγόριθμος θα μπορούσε να εφαρμοστεί.Οι διαλέξεις του Ντίριχλε για τη θεωρία αριθμών τροποποιήθηκαν και επεκτάθηκαν από τον Ρίχαρντ Ντέντεκιντ, ο οποίος χρησιμοποίησε τον αλγόριθμο του Ευκλείδη για τη μελέτη των αλγεβρικών ακέραιων, ένα νέο γενικό τύπο αριθμών. Για παράδειγμα, ο Ντέντεκιντ ήταν ο πρώτος που απέδειξε το θεώρημα του fermat για το άθροισμα των τετραγώνων δύο αριθμών χρησιμοποιώντας τη μοναδική παραγοντοποίηση των Gaussian ακέραιων. Ο Ντέντεκιντ επίσης όρισε την έννοια της Ευκλείδειας δομής, ένα σύστημα αριθμών στο οποίο μια γενικευμένη εκδοχή του Ευκλείδειου αλγόριθμου μπορεί να οριστεί (δείτε παρακάτω την ενότητα για τις ευκλείδεις δομές). Στις τελευταίες δεκαετίες του 19ου αιώνα, ωστόσο, ο Ευκλείδειος αλγόριθμος σταδιακά υποκαταστάθηκε από την πιο γενική θεωρία του Ντέντεκιντ των ιδεωδών (θεωρία δακτυλίων).

Άλλες εφαρμογές του αλγορίθμου του Ευκλείδη αναπτύχθηκαν τον 19ο αιώνα. Το 1829,ο Charles Sturm έδειξε ότι ο αλγόριθμος ήταν χρήσιμος στη μέθοδο Sturm chain για την εύρεση των πραγματικών ριζών των πολυωνύμων σε οποιοδήποτε διάστημα.

Ο Ευκλείδιος αλγόριθμος ήταν ο πρώτος ακέραιος αλγόριθμος, ο οποίος είναι μια μέθοδος για την εύρεση ακέραιων σχέσεων μεταξύ ανάλογων πραγματικών αριθμών. Αρκετοί νέοι ακέραιοι αλγόριθμοι έχουν αναπτυχθεί τα τελευταία χρόνια, όπως ο αλγόριθμος Ferguson–Forcade  (1979) του Helaman Ferguson και RW Forcade, και οι παρεμφερείς του,ο δια βίου μάθησης αλγόριθμος,ο αλγόριθμος HJLS, και ο αλγόριθμος PSLQ.

Το 1969, οι Cole και Davie ανέπτυξαν ένα παιχνίδι δύο παικτών που  βασίζεται στον Ευκλείδειο αλγόριθμο, που ονομάζεται *The Game of Euclid* [*Το παιχνίδι του Ευκλείδη*] το οποίο έχει μια βέλτιστη στρατηγική. Οι παίκτες ξεκινούν με δύο σωρούς από *α* και *β* πέτρες. Οι παίκτες αναλαμβάνουν εκ περιτροπής την αφαίρεση *m* πολλαπλασίων του μικρότερου σωρού από το μεγαλύτερο. Ετσι, αν οι δύο σωροί αποτελούνται από *χ* και *y* πέτρες, όπου το *x* είναι μεγαλύτερο από το *y* , ο επόμενος παίκτης μπορεί να ελαττώσει το μεγαλύτερο  σωρό από *x* πέτρες σε *x* − *my* πέτρες, εφ' όσον ο τελευταίος είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος αριθμός. Ο νικητής είναι ο πρώτος παίκτης που θα έχει ένα σωρό από μηδέν πέτρες.

## Μαθηματικές εφαρμογές

### Ταυτότητα Μπεζού

Η ταυτότητα Μπεζού  δηλώνει ότι ο μεγιστος κοινός διαιρέτης *g* δύο ακεραίων *a* και *b* μπορεί να παρασταθεί ως ένα γραμμικό άθροισμα των δύο αρχικών αριθμών *a* και *b* .Με άλλα λόγια, είναι πάντα δυνατό να βρεθούν ακέραιοι *s* και *t* τέτοιοι ώστε . *g*&nbsp;=&nbsp;*sa*&nbsp;+&nbsp;*tb*.

Οι ακέραιοι *s* και *t* μπορούν να υπολογιστούν από τα πηλίκα *q*0, *q*1, κλπ. αντιστρέφοντας τη σειρά των εξισώσεων στον αλγόριθμο του Ευκλείδη. Αρχίζοντας με την "επόμενη προς τα τελευταία εξίσωση",το *g* μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει του πηλίκου  *q**N*−1 και των δύο προηγούμενων υπολοίπων, *r**N*−2 and *r**N*−3. .

: *g* = *r**N*−1 = *r**N*−3 − *q**N*−1 *r**N*−2

Τα δύο αυτά υπόλοιπα μπορούν  ομοίως να εκφράζονται συναρτήσει των πηλίκων τους και των προηγούμενων υπολοίπων τους

: *r**N*−2 = *r**N*−4 − *q**N*−2 *r**N*−3
: *r**N*−3 = *r**N*−5 − *q**N*−3 *r**N*−4.

Αντικαθιστώντας αυτές τις φόρμουλες για *r**N*−2 και *r**N*−3 στην πρώτη εξίσωση εκφράζουν το *g* ως γραμμικό άθροισμα των υπολοίπων *r**N*−4 and *r**N*−5 . Η διαδικασία της αντικατάστασης υπολοίπων από τους τύπους που περιλαμβάνουν τα προηγούμενα τους υπόλοιπα μπορεί να συνεχίζεται έως ότου οι αρχικοί αριθμοί *α* και *β* καταλήγουν να είναι:
: *r*2 = *r*0 − *q*2 *r*1
: *r*1 = *b* − *q*1 *r*0
: *r*0 = *a* − *q*0 *b*.

Αφού όλα τα υπολοιπα έχουν *r*0, *r*1,, κλπ. έχουν υποκατασταθεί, η τελική εξίσωση εκφράζει το *g* ως ένα γραμμικό άθροισμα των *Α* και *Β* :*g*&nbsp;=&nbsp;*sa*&nbsp;+&nbsp;*tb*.Η ταυτότητα του bezout , και ως εκ τούτου  προηγούμενος αλγόριθμος, μπορεί να γενιεκυτεί και στις ευκλείδειες δομές.

### Πρωταρχικά ιδανικά και συναφή προβλήματα

Η ταυτότητα Bézout παρέχει ακόμη  τον ορισμό του μέγιστου κοινού διαιρέτη *g* δύο αριθμών *a* και *b* . Ας εξετάσουμε το σύνολο όλων των αριθμών  *ua*&nbsp;+&nbsp;*vb*, όπου *u* και *v* είναι δύο οποιοιδήποτε ακέραιοι. Δεδομένου ότι και ο *a* και ο *b* διαιρούνται  από  τον *g*, κάθε αριθμός του  συνόλου  είναι διαιρετός από τον  *g*. Με άλλα λόγια, κάθε αριθμός του συνόλου είναι ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του *g*. Αυτό ισχύει για κάθε κοινό διαιρέτη του *a* και *b*. Ωστόσο, σε αντίθεση με άλλους κοινούς διαιρέτες, ο μέγιστος κοινός διαιρέτης είναι ένα μέλος του συνόλου. Με την ταυτότητα του Bézout, επιλέγοντας*u*&nbsp;=&nbsp;*s* και*v*&nbsp;=&nbsp;*t* παίρονουμε τον  *g*. Ένας μικρότερος κοινός διαιρέτης δεν μπορεί να είναι μέλος του συνόλου, αφού κάθε μέλος του συνόλου πρέπει να διαιρείται από τον  *g*. Αντιστρόφως, οποιοδήποτε πολλαπλάσιο 'm* του *g* μπορεί να ληφθεί με την επιλογή *u*&nbsp;=&nbsp;*ms*  και *v*&nbsp;=&nbsp;*mt*, όπου *s* και *t* είναι οι ακέραιοι της ταυτότητας Bézout. Αυτό μπορεί να φανεί από τον πολλαπλασιασμό της ταυτότητας Bézout επί *m*,

: *mg* = *msa* + *mtb*.

Ως εκ τούτου, το σύνολο όλων των αριθμών*ua*&nbsp;+&nbsp;*vb* είναι ισοδύναμο με το σύνολο των πολλαπλασίων *m* του *g*. Με άλλα λόγια, το σύνολο όλων των πιθανών αθροισμάτων των  ακεραίων  πολλαπλασίων  των δύο αριθμών(*a* και *b*)  είναι ισοδύναμο με το σύνολο των πολλαπλασίων του ΜΚΔ(*a*, *b*). Ο ΜΚΔ λέγεται ότι είναι η γεννήτρια του [[Ιδανικό|ιδανικού]] του *a* και *b*. Ο ορισμός αυτός του ΜΚΔ οδήγησε στις σύγχρονες αφηρημένες [[αλγεβρικές έννοιες]] του κύριου ιδεώδους (ένα ιδεώδες που παράγεται από ένα μόνο στοιχείο) και των ακέραιου πεδίου κυριών ιδεωδών (ένα ακέραιο πεδίο στο οποίο κάθε ιδεώδες είναι ένα κύριο ιδεώδες).

Ορισμένα προβλήματα μπορούν να επιλυθούν με αυτό το αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, σκεφτείτε δύο κούπες μέτρησης του όγκου *a* και *b*. Με την προσθήκη / αφαίρεση πολλαπλάσιων του πρώτου κυπέλλου και πολλαπλάσιων του δεύτερου κυπέλλου, κάθε όγκος *ua*&nbsp;+&nbsp;*vb* μπορεί να μετρηθεί. Οι όγκοι αυτοί είναι όλοι πολλαπλάσιοι του*g*&nbsp;=&nbsp;ΜΚΔ(*a*,&nbsp;*b*).

===Διευρυμένος Ευκλείδειος αλγόριθμος ===

Οι ακέραιοι s και t της ταυτότητας Bézout μπορούν να υπολογιστούν αποδοτικά χρησιμοποιώντας τον διευρυμένο Ευκλείδειο αλγόριθμο . Αυτή η επέκταση προσθέτει δύο αναδρομικές εξισώσεις στον αλγόριθμο του Ευκλείδη [ 58 ]
: *s*<sub>*k*</sub> = *s*<sub>*k*−2</sub> − *q*<sub>*k*</sub>*s*<sub>*k*−1</sub>
: *t*<sub>*k*</sub> = *t*<sub>*k*−2</sub> − *q*<sub>*k*</sub>*t*<sub>*k*−1</sub>

με τις τιμές έναρξης
: *s*<sub>−2</sub> = 1, *t*<sub>−2</sub> = 0
: *s*<sub>−1</sub> = 0, *t*<sub>−1</sub> = 1.

Χρησιμοποιώντας αυτή την αναδρομή,οι ακέραιοι Bézout *s* και *t*  δίνονται από τις *s*&nbsp;=&nbsp;*s*<sub>*N*</sub> και  *t*&nbsp;=&nbsp;*t*<sub>*N*</sub> , όπου *Ν* είναι το βήμα στο οποίο ο αλγόριθμος τερματίζει με *r*<sub>*N*</sub>&nbsp;=&nbsp;0.

Η ισχύς αυτής της προσέγγισης μπορεί να αποδειχθεί με επαγωγή. Ας υποθέσουμε ότι ο αναδρομικός τύπος  είανι σωστός μέχρι και το βήμα *k*&nbsp;−&nbsp;1 του αλγορίθμου.Με άλλα λόγια, ας υποθέσουμε ότι
: *r*<sub>*j*</sub> = *s*<sub>*j*</sub> *a* + *t*<sub>*j*</sub> *b*

για όλα τα *j* μικρότερα του *k* . Το *k* στάδιο του αλγορίθμου δίνει την εξίσωση
: *r*<sub>*k*</sub> = *r*<sub>*k*−2</sub> − *q*<sub>*k*</sub>*r*<sub>*k*−1</sub>.

Δεδομένου ότι υποθέσαμε ότι  ο αναδρομικός τύπος  είναι σωστός για *r*<sub>*k*−2</sub> και  *r*<sub>*k*−1</sub> , μπορούν να εκφραστούν ως προς τις μεταβλητές *s* και *t* , 
: *r*<sub>*k*</sub> = (*s*<sub>*k*−2</sub> *a* + *t*<sub>*k*−2</sub> *b*) − *q*<sub>*k*</sub>(*s*<sub>*k*−1</sub> *a* + *t*<sub>*k*−1</sub> *b*).

Αναδιατάσσοντας  αυτήν την εξίσωση παίρνουμε  τον αναδρομικό τύπο για το βήμα *k* , όπως απαιτείται
: *r*<sub>*k*</sub> = *s*<sub>*k*</sub> *a* + *t*<sub>*k*</sub> *b* = (*s*<sub>*k*−2</sub> − *q*<sub>*k*</sub>*s*<sub>*k*−1</sub>) *a* + (*t*<sub>*k*−2</sub> − *q*<sub>*k*</sub>*t*<sub>*k*−1</sub>) *b*.

===Μέθοδος πίνακα ===

Οι ακέραιοι s και t μπορεί επίσης να βρεθεί χρησιμοποιώντας μία ισοδύναμη [[Μέθοδος πίνακα|μέθοδο πίνακα]]. [ 59 ] Η σειρά των εξισώσεων του αλγορίθμου του Ευκλείδη

: *a* = *q*<sub>0</sub> *b* + *r*<sub>0</sub>
: *b* = *q*<sub>1</sub> *r*<sub>0</sub> + *r*<sub>1</sub>
: …
: *r*<sub>*N*−2</sub> = *q*<sub>*N*</sub> *r*<sub>*N*−1</sub> + 0

μπορεί να γραφτεί ως προϊόν 2-επί-2 πινάκων  πολλαπλασιάζοντας ένα δισδιάστατο  υπόλοιπο διανύσματος

:<math alt="A series of equations consisting of two-dimensional vectors multiplied by an ever-increasing number of 2-by-2 matrices. The vector a b equals the matrix q sub zero 1 1 0 times the vector b r sub zero. It also equals the matrix q sub zero 1 1 0 times the matrix q sub one 1 1 0 times the vector r sub zero r sub one. Continuing to the last step N of the algorithm, it equals the product of all 2-by-2 matrices of the form q sub i 1 1 0 times the vector r sub N minus one r sub N. The index i ranges from 0 to N and the last remainder r sub N is zero.">
\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} q_0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b \\ r_{0} \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} q_0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} q_1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_0 \\ r_1 \end{pmatrix} =
\cdots =
\prod_{i=0}^N \begin{pmatrix} q_i & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_{N-1} \\ 0 \end{pmatrix}
</math>

Έστω ότι  *M*  αντιπροσωπεύει το γινόμενο του συνόλου των πινάκων

:<math alt="The 2-by-2 matrix M has four components, m sub 1 1, m sub 1 2, m sub 2 1, and m sub 2 2. It is defined as the product of all 2-by-2 matrices of the form q sub i 1 1 0, where the index i ranges from 0 to N.">
\mathbf{M} = \begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{pmatrix} =
\prod_{i=0}^N \begin{pmatrix} q_i & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} q_0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} q_1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdots \begin{pmatrix} q_{N} & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
</math>

Αυτό απλοποιεί την Ευκλείδειο αλγόριθμο  στη μορφή

:<math alt="The two-dimensional vector a b equals the matrix M times the final vector, r sub N minus one zero. The final non-zero remainder is the greatest common divisor g. Therefore, the vector a b equals the matrix M times the vector g zero.">
\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} =
\mathbf{M} \begin{pmatrix} r_{N-1} \\ 0 \end{pmatrix} =
\mathbf{M} \begin{pmatrix} g \\ 0 \end{pmatrix}
</math>

Για να εκφράσουμε το  *g* ως ένα γραμμικό συνδυασμό του  *a* και του *b* ,και οι δύο πλευρές της εξίσωσης αυτής μπορούν να πολλαπλασιαστούν με τον αντίστροφο του πίνακα  *Μ* . [ 59 ] [ 60 ] Η [[ορίζουσα]] του Μ ισούται με −1)<sup>*N*+1</sup> , αφού ισούται  με το γινόμενο των καθοριστικών παραγόντων των πινάκων, καθένα από τα οποία είναι αρνητικά. Δεδομένου ότι ο καθοριστικός παράγοντας του *Μ* δεν είναι ποτέ μηδέν, το διάνυσμα των τελευταίων  υπολοίπων μπορεί να επιλυθεί χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο του *Μ*

:<math alt="The two-dimensional vector g 0 equals the inverse of matrix M times the vector a b. This equals minus one to the Nth plus one power, times the matrix with components m sub 2 2, minus m sub 1 2, minus m sub 2 1, and m sub 1 1, times the vector a b.">
\begin{pmatrix} g \\ 0 \end{pmatrix} =
\mathbf{M}^{-1} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} =
(-1)^{N+1} \begin{pmatrix} m_{22} & -m_{12} \\ -m_{21} & m_{11} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}
</math>

Δεδομένου ότι η πρώτη εξίσωση δίνει

:*g* = (−1)<sup>*N*+1</sup> ( *m*<sub>22</sub> *a* − *m*<sub>12</sub> *b*)

οι δύο ακέραιοι αριθμοί της ταυτότητας του Bézout είναι *s*&nbsp;=&nbsp;(−1)<sup>*N*+1</sup>*m*<sub>22</sub> και *t*&nbsp;=&nbsp;(−1)<sup>*N*</sup>*m*<sub>12</sub> . Η μέθοδος των πινάκων είναι τόσο αποτελεσματική όσο η χρήση του αναδρομικού τύπου, με δύο πολλαπλασιασμούς και δύο προσθέσεις ανά βήμα του Ευκλείδειου αλγορίθμου.

===Λήμμα του Ευκλείδη και μοναδική παραγοντοποίηση===

Η ταυτότητα Bézout είναι απαραίτητη για πολλές εφαρμογές του αλγορίθμου του Ευκλείδη, όπως αποδεικνύουν οι [[μοναδικές παραγοντοποιήσεις]] αριθμών σε πρώτους παράγοντες.  Για να φανεί αυτό, ας υποθέσουμε ότι ένας αριθμός *L* μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο δύο παραγόντων *u* και *v* , δηλαδή , *L*&nbsp;=&nbsp;*uv* . Αν κάποιος άλλος αριθμός *w* διαιρεί επίσης τον *L* , αλλά είναι πρώτοι μεταξύ τους με τον *u* , τότεο *w* πρέπει να διαιρέσει τον *ν* ,σύμφωνα με την επόμενη πρόταση: Εάν ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των *u* και *w* είναι 1, τότε οι ακέραιοι *s* και *t* μπορεί να βρεθούν, έτσι ώστε

: 1 = *su* + *tw*

από την ταυτότητα του Bézout . Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές με *v* παίρνουμε τη σχέση

: *v* = *suv* + *twv* = *sL* + *twv*

Αφού το *w* διαιρεί τους δύο όρους στη δεξιά πλευρά, θα πρέπει επίσης να διαιρεί και την αριστερή πλευρά, *v* . Το αποτέλεσμα είναι γνωστό ως [[λήμμα του Ευκλείδη]].   Συγκεκριμένα, αν ένας πρώτος αριθμός διαιρεί το *L* , τότε θα πρέπει να διαιρεί τουλάχιστον έναν παράγοντα του *L* . Αντιστρόφως, εάν ένας αριθμός *w* είναι πρώτος με κάθε ένα από μια σειρά αριθμών *a*<sub>1</sub>, *a*<sub>2</sub>, …, *a*<sub>*n*</sub>, τότε ο *w* είναι επίσης πρώτος με το γινόμενό τους, *a*<sub>1</sub>&nbsp;×&nbsp;*a*<sub>2</sub>&nbsp;×&nbsp;…&nbsp;×&nbsp;*a*<sub>*n*</sub>.   Το λήμμα του Ευκλείδη θέλει να αποδείξει ότι κάθε αριθμός παραγοντοποιήται σε πρώτους αριθμούς.  Για να το δούμε αυτό, ας υποθέσουμε το αντίθετο, ότι υπάρχουν δηλαδή δύο ανεξάρτητες παραγοντοποιήσεις της *L* σε *m* και *n* πρώτους όρους, αντίστοιχα,

: *L* = *p*<sub>1</sub>*p*<sub>2</sub>…*p*<sub>*m*</sub> = *q*<sub>1</sub>*q*<sub>2</sub>…*q*<sub>*n*</sub> .

Δεδομένου ότι κάθε πρώτος αριθμός *p* διαιρεί τον *L* σύμφωνα με την υπόθεση, θα πρέπει ακόμα να διαιρεί έναν από τους όρους *q*. Δεδομένου ότι κάθε q είναι πρώτος αριθμός , πρέπει να ισχύει ότι *p*&nbsp;=&nbsp;*q* . Διαιρούμενοι διαρκώς με p όρους προκύπτει ότι κάθε *p* έχει έναν ίσο ομόλογο *q* .Οι δύο βασικές παραγοντοποιήσεις είναι πανομοιότυπες, με εξαίρεση τη σειρά τους. Η μοναδική παραγοντοποίηση των αριθμών σε πρώτους αριθμούς έχει πολλές εφαρμογές σε μαθηματικές αποδείξεις, όπως φαίνεται παρακάτω.

===Γραμμικές  Διοφαντικές εξισώσεις===

[[Διοφαντική εξίσωση|Διοφαντικές εξισώσεις]] είναι εξισώσεις στις οποίες οι λύσεις περιορίζονται σε ακέραιους αριθμούς.Πήραν το όνομά τους από τον μαθηματικό του 3ου αιώνα Αλέξανδρο [[Διόφαντος]]. Μια τυπική γραμμική Διοφαντική εξίσωση αναζήτησης ακεραίων *x* και *y* είναι η  
: *ax* + *by* = *c*
 
όπου *a* , *b* και *c* είναι ακέραιοι αριθμοί . Αυτό μπορεί να γραφεί ως εξίσωση για *x* στην [[Μοδιακή αριθμητική|μοδιακη αριθμητική]] 
: *ax* &equiv; *c* mod *b*. 
Έστω *g* είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των *a* και* b* . Και οι δύο όροι στη σχέση *ax*&nbsp;+&nbsp;*by*  διαιρούνται με το *g*.Ως εκ τούτου, ο *c* πρέπει επίσης να διαιρείται με το *g* , διαφορετικά η εξίσωση δεν έχει λύσεις. Διαιρώντας και τις δύο πλευρές με *c* /* g* , η εξίσωση μπορεί να μικρύνει με την ταυτότητα του Bezout
: *sa* + *tb* = *g* ,

όπου *s* και *t* μπορεί να βρεθούν από τον διευρυμένο Ευκλείδειο αλγόριθμο. Αυτό παρέχει μία λύση για το Διοφαντική εξίσωση, *x*<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;*s* (*c*/*g*) και *y*<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;*t* (*c*/*g*). . Σε γενικές γραμμές, μια γραμμική Διοφαντική εξίσωση δεν έχει καμία λύση ή έχει άπειρο αριθμό λύσεων. Για να βρούμε το τελευταίο, εξετάζουμε δύο λύσεις, (*x*<sub>1</sub>,&nbsp;*y*<sub>1</sub>) και (*x*<sub>2</sub>,&nbsp;*y*<sub>2</sub>)

: *ax*<sub>1</sub> + *by*<sub>1</sub> = *c* = *ax*<sub>2</sub> + *by*<sub>2</sub>

ή ισοδύναμα

: *a*(*x*<sub>1</sub> − *x*<sub>2</sub>) = *b*(*y*<sub>2</sub> − *y*<sub>1</sub>). 
 
Ως εκ τούτου, η μικρότερη διαφορά μεταξύ δύο *x* λύσεων είναι *b* / *g* , ενώ η μικρότερη διαφορά μεταξύ δύο *y* λύσεων είναι *a* / *g* . Ετσι, οι λύσεις μπορούν να εκφραστούν ως 
:*x* = *x*<sub>1</sub> − *bt*/*g*
 
:*y* = *y*<sub>1</sub> + *at*/*g*.
 
Επιτρέποντας την τιμή του *t* να ποικίλλει σε όλους τους πιθανούς ακέραιους, μια άπειρη οικογένεια λύσεων μπορεί να παράγεται από ένα μόνο διάλυμα (*x*<sub>1</sub>,&nbsp;*y*<sub>1</sub>) . Εάν οι λύσεις απαιτούνται να είναι θετικοί ακέραιοι (*x*&nbsp;>&nbsp;0,&nbsp;*y*&nbsp;>&nbsp;0), μόνο ένας πεπερασμένος αριθμός λύσεων μπορεί να είναι δυνατός. Αυτός ο περιορισμός των αποδεκτών λύσεων επιτρέπει συστήματα Διοφαντικών εξισώσεων να επιλύονται με περισσότερους αγνώστους .Αυτό είναι αδύνατο για ένα [[σύστημα γραμμικών εξισώσεων]] , όταν οι λύσεις μπορεί να είναι ένας οποιοσδήποτε [[πραγματικός αριθμός]].

=== Πολλαπλασιαστικά αντίστροφα και ο αλγόριθμος RSA ===

Ένα [[πεπερασμένο σώμα]] είναι ένα σύνολο αριθμών με τέσσερις γενικευμένες πράξεις. Οι πράξεις ονομάζονται πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση και έχουν τις συνήθεις ιδιότητές τους, όπως [[commutativity]], [[συσχέτιση]] και [[distributivity]]. Ένα παράδειγμα ενός πεπερασμένου σώματος είναι το σύνολο από 13 αριθμούς  {0,&nbsp;1,&nbsp;2,&nbsp;…,&nbsp;12} με [[modular αριθμητική]] . Στον τομέα αυτό, τα αποτελέσματα από κάθε μαθηματική πράξη (πρόσθεση / αφαίρεση / πολλαπλασιασμός / διαίρεση) μειώνονται στο [[modulo]] 13. Έτσι, πολλαπλάσια του 13, προστίθενται ή αφαιρούνται έως ότου το αποτέλεσμα γίνει μέσα στο εύρος 0-12. Για παράδειγμα, αποτέλεσμα του 5&nbsp;×&nbsp;7&nbsp;=&nbsp;35&nbsp;mod&nbsp;13&nbsp;=&nbsp;9 . Τέτοια πεπερασμένα σώματα μπορούν να εφαρμοστούν για κάθε πρώτο αριθμό p.Χρησιμοποιώντας πιο εξελιγμένε ερμηνείες, μπορούν επίσης να εφαρμοστούν για δύναμη m ενός πρώτου αριθμού *p* . Τα πεπερασμένα σώματα συχνά αποκαλούνται τομείς [[Εβαρίστ Γκαλουά|Γκαλουά]] και σε συντομογραφία γράφονται ως GF(*p*) ή GF(*p*<sup>&nbsp;*m*</sup>). Σε ένα τέτοιο σώμα με m αριθμούς, κάθε μη μηδενικό στοιχείο a έχει ένα μοναδικό [[αντίστροφο πολλαπλασιαστικό modular]],*a*<sup>−1</sup> τέτοιο ώστε *aa*<sup>−1</sup>&nbsp;=&nbsp;*a*<sup>−1</sup>*a*&nbsp;≡&nbsp;1&nbsp;mod&nbsp;*m*  . Αυτό το αντίστροφο μπορεί να βρεθεί λύνοντας αντίστοιχα την εξίσωση *ax*&nbsp;≡&nbsp;1&nbsp;mod&nbsp;*m* ,   ή την ισοδύναμη Διοφαντική εξίσωση 

: *ax* + *my* = 1.

Αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί από τον Ευκλείδειο αλγόριθμο, όπως περιγράφηκε παραπάνω.Βρίσκοντας πολλαπλασιαστικά αντίστροφα είναι ένα ουσιαστικό βήμα στον [[RSA αλγόριθμο]] , ο οποίος χρησιμοποιείται ευρέως στο [[ηλεκτρονικό εμπόριο]] .Συγκεκριμένα, η εξίσωση που καθορίζει τον ακέραιο χρησιμοποιείται για να αποκρυπτογραφήσει το μήνυμα. Σημειώστε ότι αν και ο αλγόριθμος RSA χρησιμοποιεί [[δακτύλιους]] αντί για σώματα, ο Ευκλείδειος αλγόριθμος μπορεί ακόμη να χρησιμοποιηθεί για να βρει ένα πολλαπλασιαστικό αντίστροφο, αν υπάρχει. Ο Ευκλείδειος αλγόριθμος έχει και άλλες εφαρμογές σε [[κώδικες διόρθωτές λαθών]]. Για παράδειγμα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως εναλλακτική λύση για τον [[αλγόριθμο Berlekamp-Massey]] για την αποκωδικοποίηση κωδίκων [[BCH]] και [[Reed-Solomon]] ,οι οποίοι βασίζονται στους Galois τομείς.

===Κινέζικο θεώρημα υπολοίπων ===

Ο Ευκλείδιος αλγόριθμος μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση πολλαπλών γραμμικών Διοφαντικών εξισώσεων. Τέτοιες εξισώσεις προκύπτουν στο [[Κινεζικό Θεώρημα Υπολοίπων|Κινεζικό Θεώρημα Υπολοιπων]], το οποίο περιγράφει μία νέα μέθοδο για την αντιπροσώπευση ενός ακεραίου *x* . Αντί να εκπροσωπείται ένας ακέραιος από τα ψηφία του, μπορεί να εκπροσωπείται από το υπόλοιπο του *x*<sub>*i*</sub>  modulo, ένα σύνολο *N* σχετικά πρώτων αριθμών *m*<sub>*i*</sub> .

: *x*<sub>1</sub> &equiv; *x* mod *m*<sub>1</sub>
: *x*<sub>2</sub> &equiv; *x* mod *m*<sub>2</sub>
:…
: *x*<sub>*N*</sub> &equiv; *x* mod *m*<sub>*N*</sub>

Ο στόχος είναι να προσδιοριστεί το *x* από το υπόλοιπο του *N* με το  *x*<sub>*i*</sub>. Η λύση είναι να συνδυάσει τις πολλαπλές εξισώσεις σε μια ενιαία γραμμική Διοφαντική εξίσωση με ένα πολύ μεγαλύτερο συντελεστή *M* , που είναι το γινόμενο όλων των επιμέρων moduli *m*<sub>*i*</sub>, και να καθορίσει το  *M*<sub>*i*</sub> ,

: *M*<sub>*i*</sub> = *M* / *m*<sub>*i*</sub>

Ετσι, κάθε *M*<sub>*i*</sub>  είναι το γινόμενο όλων των moduli εκτός του *m*<sub>*i*</sub> . Η λύση εξαρτάται από την εύρεση *N* νέων αριθμών *h*<sub>*i*</sub> έτσι ώστε να ισχύει

:*M*<sub>*i*</sub>*h*<sub>*i*</sub> &equiv; 1 mod *m*<sub>*i*</sub>

Με αυτούς τους αριθμούς  *h*<sub>*i*</sub> , οποιοσδήποτε ακέραιος *x* μπορεί να ανακατασκευαστεί από τα υπόλοιπα *x*<sub>*i*</sub> από την εξίσωση

: x &equiv; (*x*<sub>1</sub>*M*<sub>1</sub>*h*<sub>1</sub> + *x*<sub>2</sub>*M*<sub>2</sub>*h*<sub>2</sub> + … + *x*<sub>*N*</sub>*M*<sub>*N*</sub>*h*<sub>*N*</sub> ) mod *M*

Δεδομένου ότι αυτοί οι αριθμοί  *h*<sub>*i*</sub> είναι τα πολλαπλασιαστικά αντίστροφα του *M*<sub>*i*</sub>  , μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο του Ευκλείδη, όπως περιγράφηκε στην προηγούμενη ενότητα.

===Δέντρο Stern-Brocot===

Η αλληλουχία των αφαιρέσεων που χρησιμοποιείται από τον Ευκλείδειο αλγόριθμο δίνει μια διαδρομή από τη ρίζα του [[Δέντρου Stern-Brocot]] σε οποιαδήποτε δεδομένο ρητό αριθμό. Το γεγονός αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποδειχθεί ότι υπάρχει μια 1-1 αντιστοιχία μεταξύ των κορυφών των δέντρων και των θετικών ρητών αριθμών. Για παράδειγμα, το 3/4 μπορεί να βρεθεί ξεκινώντας από την ρίζα, προχωρώντας προς τα αριστερά μια φορά, και στη συνέχεια, προς τα δεξιά δύο φορές.



:<math> 
\begin{align}
 & \gcd(3,4) & \leftarrow \\
= & \gcd(3,1) & \rightarrow \\
= & \gcd(2,1) & \rightarrow \\
= & \gcd(1,1)
\end{align}
</math>

Ο Ευκλείδειος αλγόριθμος είναι σχεδόν το ίδιο με το [[Calkin-Wilf δέντρο]] . Η διαφορά είναι ότι η διαδρομή αντιστρέφεται: αντί να παράγει μια διαδρομή από τη ρίζα του δέντρου σε ένα στόχο, παράγει μια διαδρομή από το στόχο προς τη ρίζα.

===Συνεχή κλάσματα ===

Ο Ευκλείδειος αλγόριθμος έχει μια στενή σχέση με τα [[συνεχή κλάσματα]] .  Η σειρά των εξισώσεων μπορεί να γραφεί στη μορφή

:<math>
\begin{align}
\frac{a}{b} &= q_0 + \frac{r_0}{b} \\
\frac{b}{r_0} &= q_1 + \frac{r_1}{r_0} \\
\frac{r_0}{r_1} &= q_2 + \frac{r_2}{r_1} \\
& {}\  \vdots \\
\frac{r_{k-2}}{r_{k-1}} &= q_k + \frac{r_k}{r_{k-1}} \\
& {}\  \vdots \\
\frac{r_{N-2}}{r_{N-1}} &= q_N
\end{align}
</math>

Ο τελευταίος όρος στη δεξιά πλευρά είναι πάντα ίσος με τον αντίστροφο της αριστερής πλευράς της επόμενης εξίσωσης. Έτσι, οι δύο πρώτες εξισώσεις μπορούν να συνδυαστούν για να σχηματίσουν

:<math>\frac{a}{b} = q_0 + \cfrac{1}{q_1 + \cfrac{r_1}{r_0}} </math>

Η τρίτη εξίσωση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αντικαταστήσει τον όρο *r*<sub>1</sub>/*r*<sub>0</sub> , αποδίδοντας

:<math>\frac{a}{b} = q_0 + \cfrac{1}{q_1 + \cfrac{1}{q_2 + \cfrac{r_2}{r_1}}} </math>

Η τελική αναλογία από το υπόλοιπο του *r*<sub>*k*</sub>/*r*<sub>*k*−1</sub> μπορεί πάντα να αντικατασταθεί χρησιμοποιώντας την επόμενη εξίσωση στη σειρά, μέχρι την τελική εξίσωση. Το αποτέλεσμα είναι ένα συνεχές κλάσμα

:<math>\frac{a}{b} = q_0 + \cfrac{1}{q_1 + \cfrac{1}{q_2 + \cfrac{1}{\ddots + \cfrac{1}{q_N}}}} = [ q_0; q_1, q_2, \ldots , q_N ] </math>

Στο αριθμητικό παραπάνω παράδειγμα , ο ΜΚΔ (1071, 462) υπολογίστηκε και το πηλίκο *q*<sub>*k*</sub> ήταν 2, 3 και 7, αντίστοιχα. Ως εκ τούτου, το κλάσμα 1071/462 μπορεί να γραφεί

:<math>\frac{1071}{462} = 2 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{7}} = [2; 3, 7]</math>

όπως μπορεί να επιβεβαιωθεί από τον υπολογισμό.

=== Αλγόριθμοι Παραγοντοποίησης ===

Ο υπολογισμός ενός μέγιστου κοινού διαιρέτη είναι ένα ουσιαστικό βήμα σε πολλές [[παραγοντοποιήσεις ακεραίων]] αλγορίθμων,   όπως [[αλγόριθμος r του Pollard]] ,  ο [[αλγόριθμος του Shor]], η [[μέθοδος παραγοντοποίησης Ντίξον]], και η ελλειπτική παραγοντοποίηση καμπύλης Lenstra .  Ο Ευκλείδειος αλγόριθμος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρεθεί το ΜΚΔ αποτελεσματικά. Συνεχή παραγοντοποιημένα κλάσματα χρησιμοποιούν συνεχή κλάσματα, τα οποία καθορίζονται χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο του Ευκλείδη.

== Αλγοριθμική αποδοτικότητα ==


Η υπολογιστική αποδοτικότητα του αλγορίθμου του Ευκλείδη έχει μελετηθεί διεξοδικά.  Αυτή η αποτελεσματικότητα μπορεί να περιγραφεί από τον αριθμό των βημάτων της διαίρεσης που απαιτεί ο αλγόριθμος, πολλαπλασιαζόμενο με το υπολογιστικό κόστος κάθε βήματος. Η πρώτη γνωστή ανάλυση του αλγορίθμου του Ευκλείδη έγινε από τον A.-A.-L. Reynaud το 1811,  ο οποίος έδειξε ότι ο αριθμός των βημάτων διαίρεσης στην είσοδο των ( *u* , *v* ) οριοθετείται από το *v*.Αργότερα το βελτίωσε αυτό σε *ν* / 2 + 2. Μετέπειτα , το 1841,ο P.-J.-E. Finck έδειξε   ότι ο αριθμός των βημάτων διαίρεσης είναι το πολύ 2 log<sub>2</sub> *v* + 1 , και ως εκ τούτου ο αλγόριθμος του Ευκλείδη τρέχει σε πολυωνυμικό χρόνο στο μέγεθος της εισόδου. βλέπε επίσης   Η ανάλυση του τελειοποιήθηκε από τον Gabriel Lamé σε 1844,  ο οποίος έδειξε ότι ο αριθμός των βημάτων που απαιτούνται για την λύση δεν είναι ποτέ περισσότερα από πέντε φορές τον αριθμό h της βάσης-10 ψηφίων του μικρότερου αριθμού *b* .  Αφού το υπολογιστικό βάρος κάθε βήματος είναι συνήθως της τάξης *h* , η συνολική δαπάνη μεγαλώνει κατά  *h*<sup>2</sup>.

===Αριθμός βημάτων===

Ο αριθμός των βημάτων για τον υπολογισμό του ΜΚΔ δύο φυσικών αριθμών, *a* και *b* , μπορεί να συμβολίζεται με *T*(*a*,&nbsp;*b*) .  Αν *g* είναι ο ΜΚΔ του *a* και *b* , τότε *a*&nbsp;=&nbsp;*mg* και *b*&nbsp;=&nbsp;*ng* για δύο πρώτους μεταξύ τους αριθμούς *m* και *n* . Τότε

: *T*(*a*, *b*) = *T*(*m*, *n*)

όπως μπορεί να φανεί διαιρώντας όλα τα βήματα στην Ευκλείδειο αλγόριθμο *g* .  Με το ίδιο επιχείρημα, ο αριθμός των βημάτων παραμένει ο ίδιος, αν *a* και *b* πολλαπλασιάζονται με έναν κοινό συντελεστή *w*: *T*(*a*, *b*) = *T*(*wa*, *wb*). Ως εκ τούτου, ο αριθμός των βημάτων *Τ* μπορεί να ποικίλλει δραματικά μεταξύ γειτονικών ζευγών αριθμών, όπως T(*a*, *b*) και T(*a*,&nbsp;*b*&nbsp;+&nbsp;1) , ανάλογα με το μέγεθος των δύο ΜΚΔ.

Η αναδρομική φύση του αλγορίθμου του Ευκλείδη δίνει μια άλλη εξίσωση

: *T*(*a*, *b*) = 1 + *T*(*b*, *r*<sub>0</sub>) = 2 + *T*(*r*<sub>0</sub>, *r*<sub>1</sub>) = … = *N* + *T*(*r*<sub>*N*−2</sub>, *r*<sub>*N*−1</sub>) = *N* + 1

όπου *T*(*x*, 0)&nbsp;=&nbsp;0  σύμφωνα με την υπόθεση.

==== Η χειρότερη περίπτωση αριθμού βημάτων ====

Αν ο Ευκλείδειος αλγόριθμος απαιτεί *N* βήματα για ένα ζευγάρι φυσικών αριθμών *a*&nbsp;>&nbsp;*b*&nbsp;>&nbsp;0 , οι μικρότερες τιμές των *a* και *b* για την οποία αυτός αληθεύει, είναι οι [[Αριθμοί Φιμπονάτσι|αριθμοί Φιμπονάτσ]]<nowiki/>ι *F*<sub>*N*+2</sub> και *F*<sub>*N*+1</sub>  , αντίστοιχα.  Αυτό μπορεί να αποδειχθεί με [[Μαθηματική επαγωγή|επαγωγή]] .  Εάν *N*&nbsp;=&nbsp;1, ο *b* διαιρεί τον  *a* ακριβώς.Οι μικρότεροι φυσικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει είναι *b*&nbsp;=&nbsp;1 και *a*&nbsp;=&nbsp;2, τα οποία είναι τα *F*<sub>2</sub> και *F*<sub>3</sub> , αντιστοίχως. Ας υποθέσουμε τώρα ότι το αποτέλεσμα ισχύει για όλες τις τιμές του *Ν* έως *M*&nbsp;−&nbsp;1 . Το πρώτο βήμα ενός αλγορίθμου με Μ-βήματα είναι *a*&nbsp;=&nbsp;*q*<sub>0</sub>*b*&nbsp;+&nbsp;*r*<sub>0</sub> , και το δεύτερο βήμα είναι *b*&nbsp;=&nbsp;*q*<sub>1</sub>*r*<sub>0</sub>&nbsp;+&nbsp;*r*<sub>1</sub> . Δεδομένου ότι ο αλγόριθμος είναι αναδρομικός,απαιτούνται *M*&nbsp;−&nbsp;1 βήματα για να βρεθεί ο ΜΚΔ (*b*,&nbsp;*r*<sub>0</sub>) και οι μικρότερες τιμές τους είναι *F*<sub>*M*+1</sub> και *F*<sub>*M*</sub> . Έχουμε συνεπώς την μικρότερη τιμή του *a* , όταν *q*<sub>0</sub>&nbsp;=&nbsp;1 , το οποίο δίνει *a*&nbsp;=&nbsp;*b*&nbsp;+&nbsp;*r*<sub>0</sub>&nbsp;=&nbsp;*F*<sub>*M*+1</sub>&nbsp;+&nbsp;*F*<sub>*M*</sub>&nbsp;=&nbsp;*F*<sub>*M*+2</sub> . Η απόδειξη αυτή, η οποία δημοσιεύθηκε από τον [[Gabriel Lamé]] το 1844, αντιπροσωπεύει την αρχή της[[υπολογιστική θεωρία πολυπλοκότητας|υπολογιστικής θεωρίας πολυπλοκότητας]] ,   καθώς επίσης και την πρώτη πρακτική εφαρμογή των αριθμών Fibonacci.  Το αποτέλεσμα αυτό αρκεί για να δείξει ότι ο αριθμός των βημάτων στον αλγόριθμο του Ευκλείδη δεν μπορεί ποτέ να είναι μεγαλύτερος από πέντε φορές τον αριθμό των ψηφίων του (βάση 10).  Για το αν ο αλγόριθμος απαιτεί *Ν* βήματα, τότε ο *b* είναι μεγαλύτερος ή ίσος με το *F*<sub>*N*+1</sub> το οποίο με τη σειρά του είναι μεγαλύτερο ή ίσο με  *φ*<sup>*N*&minus;1</sup> , όπου *φ* είναι η [[χρυσή τομή]].Αφού *b*&nbsp;≥&nbsp;*φ*<sup>*N*&minus;1</sup>, τότε  *N*&nbsp;&minus;&nbsp;1&nbsp;≤&nbsp;log<sub>*φ*</sub>*b*. Αφού log<sub>10</sub>*φ*&nbsp;>&nbsp;1/5, (*N*&nbsp;&minus;&nbsp;1)/5&nbsp;<&nbsp;log<sub>10</sub>*φ*&nbsp;log<sub>*φ*</sub>*b*&nbsp;=&nbsp;log<sub>10</sub>*b* . Έτσι, *N*&nbsp;≤&nbsp;5&nbsp;log<sub>10</sub>*b* . Επομένως, ο Ευκλείδειος αλγόριθμος χρειάζεται πάντα λιγότερες από [[Ο ( h )]] διαιρέσεις, όπου *h* είναι ο αριθμός των ψηφίων του μικρότερου αριθμού *b* .

===Υπολογιστική δαπάνη ανά βήμα===

Σε κάθε βήμα k τoy Ευκλείδειoυ αλγορίθμου, το πηλίκο *q*<sub>*k*</sub> και υπόλοιπο *r*<sub>*k*</sub> υπολογίζονται για ένα δεδομένο ζεύγος ακεραίων *r*<sub>*k*−2</sub> και *r*<sub>*k*−1</sub>
: *r*<sub>*k*−2</sub> = *q*<sub>*k*</sub> *r*<sub>*k*−1</sub> + *r*<sub>*k*</sub>.

Η υπολογιστική δαπάνη ανά βήμα σχετίζεται κυρίως με την εύρεση του *q*<sub>*k*</sub> , δεδομένου ότι το υπόλοιπο  *r*<sub>*k*</sub>  μπορεί να υπολογιστεί γρήγορα από *r*<sub>*k*−2</sub>, *r*<sub>*k*−1</sub>, και *q*<sub>*k*</sub>
: *r*<sub>*k*</sub> = *r*<sub>*k*−2</sub> − *q*<sub>*k*</sub> *r*<sub>*k*−1</sub>.

Η υπολογιστική δαπάνη διαίρεσης h -bit αριθμούς ως κλίμακες *O*(*h*(*ℓ*+1)), όπου ℓ είναι το μήκος του πηλίκου.

Για λόγους σύγκρισης,ο αρχικός αλγόριθμος του Ευκλείδη που χρησιμοποιεί τη μέθοδο της αφαίρεσης,μπορεί να είναι πολύ πιο αργός. Μια ακέραια διαίρεση  είναι ισοδύναμη με το πηλίκο Q προς τον αριθμό των αφαιρέσεων. Εάν η αναλογία του a και του Β είναι πολύ μεγάλη, το πηλίκο είναι μεγάλο και θα απαιτηθούν πολλές αφαιρέσεις. Από την άλλη πλευρά, έχει δειχθεί ότι τα πηλίκα είναι πολύ πιθανό να είναι μικροί ακέραιοι. Η πιθανότητα ενός δεδομένου πηλίκου q είναι περίπου ln|*u*/(*u*&nbsp;−&nbsp;1)| όπου *u*&nbsp;=&nbsp;(*q*&nbsp;+&nbsp;1)<sup>2</sup>.  Για παράδειγμα, η πιθανότητα ενός πηλίκου 1, 2, 3 ή 4 είναι περίπου 41,5%, 17,0%, 9,3% και 5,9%, αντίστοιχα. Δεδομένου ότι η λειτουργία της αφαίρεσης είναι πιο γρήγορη από ό, τι της διαίρεσης, ιδιαίτερα για μεγάλους αριθμούς,η μέθοδος του Ευκλείδη που βασίζεται στην αφαίρεση είναι "ανταγωνιστική" με τη μέθοδο της διαίρεσης. Αυτό αξιοποιείται στην [[δυαδική]] έκδοση του αλγορίθμου του Ευκλείδη.

Συνδυάζοντας τον εκτιμώμενο αριθμό των βημάτων με την εκτιμώμενη υπολογιστική δαπάνη ανά βήμα φαίνεται ότι ο αλγόριθμος του Ευκλείδη μεγαλώνει συγγραμικά (*h*<sup>2</sup>) , με τον μέσο αριθμό των ψηφίων "h" των δύο πρώτων αριθμών a και b . Έστω *h*<sub>0</sub>, *h*<sub>1</sub>, …, *h*<sub>*N*−1</sub>  -1 αντιπροσωπεύουν τον αριθμό των ψηφίων στο πλαίσιο των διαδοχικών υπολοίπων *r*<sub>0</sub>,&nbsp;*r*<sub>1</sub>,&nbsp;…,&nbsp;*r*<sub>*N*−1</sub> . Δεδομένου ότι ο αριθμός των βημάτων "N" αναπτύσσεται γραμμικά με "h" , ο χρόνος είναι που οριοθετείται από

:<math>
O\Big(\sum_{i<N}h_i(h_i-h_{i+1}+2)\Big)\subseteq O\Big(h\sum_{i<N}(h_i-h_{i+1}+2)\Big)\subseteq O(h(h_0+2N))\subseteq O(h^2).</math>

===Αποδοτικότητα των εναλλακτικών μεθόδων===

Ο Αλγόριθμος του Ευκλείδη χρησιμοποιείται ευρέως στην πράξη, ιδίως για τους μικρούς αριθμούς, λόγω της απλότητάς του. Για λόγους σύγκρισης, η αποτελεσματικότητα των εναλλακτικών αλγόριθμων του Ευκλείδη μπορεί να προσδιοριστεί.

Μια αναποτελεσματική προσέγγιση για την εύρεση του ΜΚΔ δύο φυσικών αριθμών a και  Β είναι να υπολογιστούν όλοι οι κοινοί διαιρέτες τους.ο ΜΚΔ είναι τότε ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης. Οι κοινοί διαιρέτες μπορούν να βρεθούν διαιρώντας τους δύο αριθμούς με διαδοχικούς ακέραιους από 2 έως τον μικρότερο αριθμό b . Ο αριθμός των βημάτων της προσέγγισης αυτής αυξάνει γραμμικά με το b , ή εκθετικά με τον αριθμό των ψηφίων. Μια άλλη προσέγγιση είναι αναποτελεσματική για να βρει τους πρωταρχικούς παράγοντες του ενός ή και των δύο αριθμών. Όπως σημειώνεται [[ανωτέρω]] , ο ΜΚΔ ισούται με το γινόμενο από των πρώτων κοινών παραγόντων των α και b.    Οι παρούσες μέθοδοι για την [[παραγοντοποίηση]] είναι επίσης αναποτελεσματικές. πολλά σύγχρονα συστήματα κρυπτογράφησης, ακόμη στηρίζονται στην εν λόγω αναποτελεσματικότητα.

Ο [[δυαδικός αλγόριθμος του ΜΚΔ]] είναι μια αποτελεσματική εναλλακτική λύση που περιλαμβάνει διαίρεση με πιο γρήγορες διαδικασίες, αξιοποιώντας τη [[δυαδική αναπαράσταση]] που χρησιμοποιείται από τους υπολογιστές. . Ωστόσο, αυτή η εναλλακτική επίσης εκτιμάται της τάξης του *O*(*h*²). Είναι γενικά πιο γρήγορη από τον Ευκλείδειο αλγόριθμο για πραγματικούς υπολογιστές, μολονότι εξελίσεται με τον ίδιο τρόπο. επιπλέον η αποτελεσματικότητά του μπορεί να φανεί εξετάζοντας μόνο τα μεγαλύτερα ψηφία των δύο αριθμών α και b . ο δυαδικός αλγόριθμος μπορεί να επεκταθεί και σε άλλες βάσεις ( k -ary αλγόριθμοι), ),  με έως και πενταπλάσια αύξηση στην ταχύτητα..

Μια αναδρομική προσέγγιση για όλους τους μεγάλους ακεραίους (με περισσότερα από 25.000 ψηφία) οδηγεί σε subquadratic  αλγορίθμων  ακεραίων για τον ΜΚΔ ,   όπως αυτές της Schönhage, και Stehle και Zimmermann. Αυτοί οι αλγόριθμοι εκμεταλλεύονται τον 2 × 2 μορφής πίνακα του Ευκλείδιου αλγόριθμου που δίνεται [[παραπάνω]] . Αυτές οι μέθοδοι γενικά της τάξης του .

==Άλλα συστήματα αριθμών==

Όπως περιγράφεται παραπάνω, ο Ευκλείδειος αλγόριθμος χρησιμοποιείται για να βρούμε τον μέγιστο κοινό διαιρέτη δύο φυσικών αριθμών (θετικοί ακέραιοι). Ωστόσο, μπορεί να γενικευτεί στους πραγματικούς αριθμούς, και σε πιο εξωτικά συστήματα αριθμών, όπως [[πολυώνυμα]] , [[τετραγωνικοί ακέραιοι]] και [[Hurwitz quaternions]] . Στις τελευταίες περιπτώσεις, ο Ευκλείδειος αλγόριθμος χρησιμοποιείται για να καταδείξει την κρίσιμη ιδιότητα της μοναδικής παραγοντοποίησης, δηλαδή, ότι οι αριθμοί μπορούν να αναλυθούν κατά μοναδικό τρόπο σε ανάγωγα στοιχεία , οι αντίστιχοι των πρώτων αριθμών. Αυτής της μορφής η παραγοντοποίηση είναι ιδιαιτέρως χρήσιμη για πολλές αποδείξεις της θεωρίας αριθμών.

===Ρητοί και πραγματικοί αριθμοί===

Ο αλγόριθμος του Ευκλείδη μπορεί να εφαρμοστεί σε [[πραγματικούς αριθμούς]] , όπως περιγράφεται από τον Ευκλείδη στο δέκατο βιβλίο των *Στοιχείων*. ο  στόχος του αλγορίθμου είναι να προσδιορίσει έναν πραγματικό αριθμό g τέτοιον ώστε δύο δοσμένοι πραγματικοί αριθμοί, α και β ,να είναι ακέραια πολλαπλάσια του: α = mg και b = ng , όπου m και n είναι [[ακέραιοι]]. Αυτή η ταυτοποίηση είναι ισοδύναμη με την εύρεση [[μια ακέραια σχέση]] μεταξύ των πραγματικών αριθμών α και β.δηλαδή, προσδιορίζει ακέραιους s και t , έτσι ώστε sa + tb = 0.Ευκλείδιος αλγόριθμος χρησιμοποιείται για την αντιμετώπιση του ζητήματος των [[ασύμμετρων μηκών]] .

Ο αλγόριθμος του ευκλείδη για τους πραγματικούς αριθμούς διαφέρει από τον αντίστοιχο για ακεραίους σε δύο σημεία. Πρώτον,τα υπόλοιπα *r*<sub>*k*</sub> είναι πραγματικοί αριθμοί, αν και τα πηλίκα *q*<sub>*k*</sub> είναι ακέραιοι, όπως και πριν. Δεύτερον, ο αλγόριθμος δεν είναι εγγυημένο πως θα ολοκληρωθεί σε πεπερασμένο αριθμό Ν των βημάτων. Αν συμβεί αυτό, το κλάσμα α / b είναι ένας ρητός αριθμός, δηλαδή, ο λόγος δύο ακεραίων
: *a*/*b* = *mg*/*ng* = *m*/*n*

και μπορεί να γραφτεί ως ένα πεπερασμένο συνεχές κλάσμα [*q*<sub>0</sub>; *q*<sub>1</sub>, *q*<sub>2</sub>, …, *q*<sub>*N*</sub>[*q*<sub>0</sub>; *q*<sub>1</sub>, *q*<sub>2</sub>, …, *q*<sub>*N*</sub>. Αν ο αλγόριθμος δεν σταματά, το κλάσμα α / b είναι ένας [[άρρητος αριθμός]] και μπορεί να περιγραφεί σαν ένα άπειρο συνεχές κλάσμα  [*q*<sub>0</sub>; *q*<sub>1</sub>, *q*<sub>2</sub>, …].  Παραδείγματα από άπειρα συνεχή κλάσματα είναι η [[χρυσή τομή]] φ = [1? 1, 1, ...] και η [[τετραγωνική ρίζα του δύο]],√2 = [1; 2, 2, …]. Σε γενικές γραμμές, ο αλγόριθμος είναι απίθανο να σταματήσει, δεδομένου ότι [[Σχεδόν όλα|σχεδόν όλες]] οι αναλογίες α / β των δύο πραγματικών αριθμών είναι άρρητες.

Ένα άπειρο συνεχές κλάσμα μπορεί να *σπάσει* σε κάποιο στάδιο *k* [*q*<sub>0</sub>; *q*<sub>1</sub>, *q*<sub>2</sub>, …, *q*<sub>*k*</sub>]  για να δώσει μια προσέγγιση του α / Β που γίνεται ολοένα καλύτερη καθώς το k αυξάνεται. Η προσέγγιση αυτή περιγράφεται από συκλίνοντες, ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι πρώτοι μεταξύ τους και συνδέονται με τη σχέση
:*m*<sub>*k*</sub> = *q*<sub>*k*</sub> *m*<sub>*k*−1</sub> + *m*<sub>*k*−2</sub>
:*n*<sub>*k*</sub> = *q*<sub>*k*</sub> *n*<sub>*k*−1</sub> + *n*<sub>*k*−2</sub>

όπου *m*<sub>−1</sub> = *n*<sub>−2</sub> = 1 and *m*<sub>−2</sub> = *n*<sub>−1</sub> = 0 είναι οι αρχικές τιμές της αναδρομικής σχέσης. Η συγκλίνουσα *m*<sub>*k*</sub>/*n*<sub>*k*</sub> είναι η καλύτερη [[ρητή προσέγγιση]] στο a/b με παρονομαστή *n*<sub>*k*</sub>::
:<math alt="The absolute value of the difference of two ratios (a over b minus m sub k over n sub k) is less than one over n sub k squared."> 
\left|\frac{a}{b} - \frac{m_k}{n_k}\right| < \frac{1}{n_k^2}.
</math>

===Πολυώνυμα===
Πολυώνυμα σε μια μόνο μεταβλητή x μπορεί να προστεθούν, πολλαπλασιάστούν και να αναλυθούν σε [[ανάγωγα πολυώνυμα]] , τα οποία είναι τα ανάλογα των πρώτων αριθμών για τους ακέραιους αριθμούς. Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης πολυώνυμο *g*(*x*) δύο πολυωνύμων *a*(*x*) and *b*(*x*) ορίζεται ως το γινόμενο των κοινών ανάγωγων πολυωνυμων τους, τα οποία μπορούν να προσδιοριστούν χρησιμοποιώντας τον Ευκλείδειο αλγόριθμο. Η βασική διαδικασία είναι παρόμοια με τους ακέραιους. Σε κάθε βήμα "k" , ένα πηλίκο πολυώνυμο  *q*<sub>*k*</sub>(*x*) και ένα υπόλοιπο πολυώνυμο *r*<sub>*k*</sub>(*x*) προσσδιορίζονται για να ικανοποιήσει την επαναληπτική εξίσωση
: *r*<sub>*k*−2</sub>(*x*) = *q*<sub>*k*</sub>(*x*) *r*<sub>*k*−1</sub>(*x*) + *r*<sub>*k*</sub>(*x*)

όπου *r*<sub>−2</sub>(*x*)&nbsp;=&nbsp;*a*(*x*) και *r*<sub>−1</sub>(*x*)&nbsp;=&nbsp;*b*(*x*). Το πολυώνυμο-πηλίκον επιλέγεται έτσι ώστε ο μεγαλύτερος όρος  *q*<sub>*k*</sub>(*x*) *r*<sub>*k*−1</sub>(*x*) να ισούται με τον μεγαλύτερο όρο του *r*<sub>*k*−2</sub>(*x*);. αυτό εξασφαλίζει ότι ο βαθμός  κάθε υπόλοιπου είναι μικρότερος από το βαθμό του προηγουμένου του deg[*r*<sub>*k*</sub>(*x*)] < deg[*r*<sub>*k*−1</sub>(*x*)]. Δεδομένου ότι ο βαθμός είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος αριθμός, και δεδομένου ότι μειώνεται με κάθε βήμα, ο αλγόριθμος του Ευκλείδη ολοκληρώνεται σε έναν πεπερασμένο αριθμό βημάτων. Το τελικό μη μηδενικό υπόλοιπο είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των αρχικών δύο πολυώνυμα,*a*(*x*) και *b*(*x*).

Για παράδειγμα, σκεφτείτε τα εξής δύο τετραγωνικά πολυώνυμα, στα οποίο κάθε παράγοντας αναλύεται σε δύο τετραγωνικά πολυώνυμα
: *a*(*x*) = *x*<sup>4</sup> − 4*x*<sup>3</sup> + 4 *x*<sup>2</sup> − 3*x* + 14 = (*x*<sup>2</sup> − 5*x* + 7)(*x*<sup>2</sup> + *x* + 2)

και
: *b*(*x*) = *x*<sup>4</sup> + 8*x*<sup>3</sup> + 12*x*<sup>2</sup> + 17*x* + 6 = (*x*<sup>2</sup> + 7*x* + 3)(*x*<sup>2</sup> + *x* + 2).

[[Διαίρεση|Διαιρώντας]] το *a*(*x*) με το *b*(*x*) προκύπτει ένα υπόλοιπο *r*<sub>0</sub>(*x*) = *x*<sup>3</sup> + (2/3) *x*<sup>2</sup> + (5/3) *x* − (2/3). Στο επόμενο βήμα,  *b*(*x*) διαιρείται δια *r*<sub>0</sub>(*x*) δίνοντας ένα υπόλοιπο ,*r*<sub>1</sub>(*x*) = *x*<sup>2</sup> + *x* + 2 . Τέλος, διαιρώντας  *r*<sub>0</sub>(*x*) με *r*<sub>1</sub>(*x*) προκύπτει ένα μηδενικό υπόλοιπο, που δείχνει ότι το *r*<sub>1</sub>(*x*)  είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των πολυώνυμων  *a*(*x*) και *b*(*x*).
Πολλές από τις εφαρμογές που περιγράφονται παραπάνω για τους ακέραιους αριθμούς μεταφέρονται στο πολυώνυμα. Ο Ευκλείδειος αλγόριθμος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση γραμμικών διοφαντικών εξισώσεων και κινεζικων προβληματων  για τα υπόλοιπα των πολυωνύμων. συνεχή κλάσματα πολυωνύμων μπορούν επίσης να οριστούν.

Ο πολυωνυμικός Ευκλείδειος αλγόριθμος έχει και άλλες εφαρμογές, καθώς, όπως [[Sturm chains]] , μια μέθοδος για την μέτρηση του αριθμού των πραγματικών ριζών ενός πολυωνύμου εντός ενός δεδομένου διαστήματος στον πραγματικό άξονα. Αυτό έχει εφαρμογές σε πολλούς τομείς, όπως στο [[κριτήριο της σταθερότητας Routh-Hurwitz]] στη [[θεωρία ελέγχου]] .

Τέλος, δεν χρειάζεται οι συντελεστές των πολυωνύμων να ειναι ακέραιοι αριθμοί, πραγματικοί αριθμοί ή ακόμη και οι μιγαδικοί. Για παράδειγμα, οι συντελεστές μπορούν να εξαχθούν από ένα γενικό σώμα, όπως είναι τα πεπερασμένα σώματα  GF(*p*)  που περιγράφτηκαν ανωτέρω. Τα αντίστοιχα συμπεράσματα σχετικά με την Ευκλείδειο αλγόριθμο και τις εφαρμογές τους γενικεύονται και στον πολυωνυμικό αλγόριθμο.

=== Ακέραιοι Gaussian ===


Οι ακέραιοι Gaussian είναι [[μιγαδικοί αριθμοί]] της μορφής α&nbsp;=&nbsp;*u*&nbsp;+&nbsp;*vi* , όπου "u" και "v" είναι απλοί [[ακέραιοι]] και i είναι η τετραγωνική ρίζα του -1 . Με τον καθορισμό ενός αναλόγου Ευκλείδειου αλγόριθμο,οι Gaussian ακέραιοι ,μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι μοναδικά κατασκευάσιμοι,σύμφωνα με το επιχείρημα [[#Bézout's identity|above]] . Αυτή η μοναδική παραγοντοποίηση είναι χρήσιμη σε πολλές εφαρμογές, όπως στις [[πυθαγόρειες τριάδες]] ή στην απόδειξη του [[Θεώρημα του Φερμά|θεώρηματος του Φερμά]] για τα άθροισμα των τετραγώνων δύο αριθμών . Σε γενικές γραμμές, ο Ευκλείδειος αλγόριθμος είναι βολικός σε τέτοιες εφαρμογές, αλλά δεν είναι απαραίτητος, για παράδειγμα, τα θεωρήματα μπορούν συχνά να αποδειχθεί ,με άλλους τρόπους.

Ο Ευκλείδειος αλγόριθμος που αναπτύχθηκε για δύο Gaussian ακέραιους α και β είναι σχεδόν ίδιος με εκείνον για τους απλούς ακέραιους, αλλά διαφέρει σε δύο σημεία. Όπως και πριν, το έργο σε κάθε βήμα "k" είναι να προσδιορίσει ένα πηλίκο  *q*<sub>*k*</sub> και ένα υπόλοιπο *r*<sub>*k*</sub> τέτοια ώστε
: *r*<sub>*k*</sub> = *r*<sub>*k*−2</sub> − *q*<sub>*k*</sub> *r*<sub>*k*−1</sub>

όπου *r*<sub>*k*−2</sub>&nbsp;=&nbsp;α, *r*<sub>*k*−1</sub>&nbsp;=&nbsp;β, και κάθε υπόλοιπο είναι αυστηρά μικρότερο από το προηγούμενο του, |*r*<sub>*k*</sub>|&nbsp;<&nbsp;|*r*<sub>*k*−1</sub>|. Η πρώτη διαφορά είναι ότι τα πηλίκα και τα υπόλοιπα είναι ακέραιοι Gaussian, και έτσι είναι [[μιγαδικοί αριθμοί]] . Τα πηλίκα  *q*<sub>*k*</sub> γενικά βρίσκονται στρογγυλοποιώντας τα πραγματικά και μιγαδικά μέρη της ακριβούς αναλογίας (όπως το μιγαδικό αριθμό α / β) στους πλησιέστερους ακέραιους. Η δεύτερη διαφορά έγκειται στην αναγκαιότητα του καθορισμού πώς ένα μιγαδικό υπόλοιπο μπορεί να είναι "μικρότερο" από ένα άλλο. Για να γίνει αυτό, ορίζουμε μια [[συνάρτηση]] *f*(*u* + *v*i) = *u*<sup>2</sup> + *v*<sup>2</sup> , η οποία μετατρέπει κάθε Gaussian ακέραιο *u* + *vi* σε έναν κανονικό ακέραιο. Μετά από κάθε βήμα "k" του Ευκλείδειου αλγόριθμου, η τιμή του υπολοίπου *f*(*r*<sub>*k*</sub>) είναι μικρότερη από την τιμή του προηγούμενου υπολοίπου, *f*(*r*<sub>*k*−1</sub>). Δεδομένου ότι η τιμή είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος αριθμός και μειώνεται σε κάθε βήμα, ο Ευκλείδειος αλγόριθμος για Gaussian ακέραιους ολοκληρώνεται σε ένα πεπερασμένο αριθμό βημάτων. Το τελικό μη μηδενικό υπόλοιπο αποτελεί το  ΜΚΔ(α, β), ο Gaussian ακέραιος με τη μεγαλύτερη τιμή που διαιρεί και το α και το β. Είναι μοναδικός με πολλαπλασιασμό με τη μονάδα, ± 1, ± ή i .

Πολλές από τις άλλες εφαρμογές του Ευκλείδειου αλγόριθμου μεταφέρονται στους Gaussian ακέραιους. Για παράδειγμα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση γραμμικών διοφαντικών εξισώσεων και Κινέζικα προβλήματα για τα υπολοιπα των Gaussian ακεραίων  Συνεχή κλάσματα Gaussian ακεραίων μπορούν επίσης να οριστούν.

===Ευκλείδειες δομές===

Μια σειρά από στοιχεία μεταξύ των οποίων γίνονται [[δυαδικές πράξεις]] ,+ και ·, ονομάζονται Euclidean domains όταν σχηματίζουν [[αντιμεταθετικό δακτύλιο R]] και, σε γενικές γραμμές, αν ο γενικός Ευκλείδειος αλγόριθμος μπορεί να εφαρμοστεί σε αυτούς . Οι δύο πράξεις ενός τέτοιου δακτυλίου δεν χρειάζεται να είναι η πρόσθεση και πολλαπλασιασμός της συνήθους αριθμητικής.αντίθετα, μπορούν να είναι πιο γενικά, όπως οι πράξεις σε μια [[Ομάδα (μαθηματικά)|ομάδα]] ή σε ένα [[μονοειδές]] . Παρ 'όλα αυτά, αυτές οι γενικές πράξεις θα πρέπει να υπακούν τους κανόνες που διέπουν τις συνήθεις αριθμητικές πράξεις, όπως [[προσεταιριστικότητα]], [[αντιμεταθετικότητα]] και [[επιμεριστικότητα]] .

ο γενικευμένος Ευκλείδειος αλγόριθμος απαιτεί μια "Ευκλείδεια συνάρτηση" , δηλαδή, μια απεικόνιση *f* από το "R" στο σύνολο των θετικών ακέραιων τέτοια ώστε, για κάθε δύο μη μηδενικά στοιχεία a και b του "R" ,να υπάρχουν "q" και "r" στο "R" τέτοια ώστε *a* =*qb* + *r* και *f*(*r*) < *f*(*b*). Ένα παράδειγμα αυτής της απεικόνισης είναι συνάρτηση που χρησιμοποιείται για να διατάξουμε του Gaussian ακέραιους . Η συνάρτηση f μπορεί να είναι η δύναμη ενός αριθμού, ή ο [[βαθμός ενός πολυωνύμου]] . Η βασική αρχή είναι ότι σε κάθε βήμα του αλγορίθμου η "f" μειώνεται συνεχώς. Ως εκ τούτου, εάν η "f" μπορεί να μειωθεί μόνο έναν πεπερασμένο αριθμό φορών, ο αλγόριθμος πρέπει να σταματήσει σε έναν πεπερασμένο αριθμό βημάτων. Η αρχή αυτή στηρίζεται σε μεγάλο βαθμό στην [[αρχή της καλής διάταξης]] των μη-αρνητικών ακεραίων.σε γενικές γραμμές, αυτό προϋποθέτει ότι κάθε σύνολο των μη-αρνητικών ακεραίων έχει ελάχιστο στοιχείο.

Το [[θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής]] ισχύει για κάθε Ευκλείδεια δομή: Οποιοσδήποτε αριθμός από μία Ευκλείδεια δομη μπορεί να αναλυθεί κατά μοναδικό τρόπο σε [[ανάγωγα στοιχεία]]. Κάθε Ευκλείδεια δομή είναι [[πολλαπλασιαστικός δακτύλιος]], αν και το αντίστροφο δεν ισχύει. Η Ευκλείδεια δομή και το UFD είναι υποομάδες της ομάδας των ακεραίων που ανα δύο έχουν μέγιστο κοινό διαρέτη , ομάδες στις οποίες ο μέγιστος κοινός διαιρέτης δύο αριθμών υπάρχει πάντα. Με άλλα λόγια, ένας μέγιστος κοινός διαιρέτης μπορεί να υπάρχει (για όλα τα ζεύγη των στοιχείων μιας ομάδας), αν και μπορεί να μην είναι δυνατόν να βρεθεί χρησιμοποιώντας ένα Ευκλείδειο αλγόριθμο. Μια Ευκλείδεια δομή είναι πάντα μια ομάδα [[principal ideal domain]]  (PID), μια ακεραία περιοχή στην οποία το μοναδιαίο στοιχείο του δακτυλίου είναι μοναδικό  . Και πάλι, το αντίστροφο δεν ισχύει: δεν είναι κάθε PID είναι μια Ευκλείδεια δομή.

Η μοναδική παραγοντοποίηση της Ευκλείδειας δομής είναι χρήσιμη σε πολλές εφαρμογές. Για παράδειγμα, η μοναδική παραγοντοποίηση των ακεραίων Gaussian είναι χρήσιμη στο να προκύπτουν τύποι για όλες τις πυθαγόρειες τριάδες και οδηγεί στην απόδειξη του [[θεώρηματος του Φερμά]] για το άθροισμα των τετραγώνων δύο αριθμών . . Η μοναδική παραγοντοποίηση ήταν επίσης ένα βασικό στοιχείο σε μια απόπειρα απόδειξης του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά [[Fermat's Last Theorem]] που δημοσιεύθηκε το 1847 από τον Gabriel Lamé, ο ίδιος μαθηματικός ο οποίος ανέλυσε την αποτελεσματικότητα του αλγορίθμου του Ευκλείδη, που βασίζεται σε πρόταση του [[Joseph Liouville]]. η προσέγγιση Lamé απαιτούσε τη μοναδική παραγοντοποίηση των αριθμών της μορφής "x" + ω"y" , όπου "x" και "y" είναι ακέραιοι, και ω = *e*<sup>2*i*π/*n*</sup> είναι "n" ρίζα της μονάδας, δηλαδή, ω<sup>*n*</sup> = 1.  Αν και αυτή η προσέγγιση ισχύει για ορισμένες τιμές των "n" (όπως το "n" = 3, τους [[ακέραιους Eisenstein]]), σε γενικές γραμμές τέτοιοι αριθμοί δεν παραγοντοποιούνται μοναδικά. Αυτή η αποτυχία της μοναδικής παραγοντοποίησης στους τομείς [[cyclotomic field]] οδήγησε τον [[Ernst Kummer]] στην σύλληψη των [[ideal numbers]] και, αργότερα,τον [[Richard Dedekind]] στην [[θεωρία των ιδανικών]].

===Μοναδική παραγοντοποίηση των τετραγωνικών ακεραίων===



Οι [[τετραγωνικοί ακέραιοι δακτυλίοι]]  είναι χρήσιμοι στις Ευκλείδειες δομές.Οι τετραγωνικοί ακέραιοι αποτελούν γενικευση των Gaussian ακεραίων στις οποίες το [[φανταστικό]] *i* αντικαθίσταται από ένα ω αριθμό. Έτσι, έχουν τη μορφή "u" + "v" ω, όπου "υ" και "ν" είναι ακέραιοι και ω έχει μία από τις δύο μορφές, ανάλογα με την παράμετρο "D" . Εάν "D" δεν ισούται με ένα πολλαπλάσιο του τέσσερα συν ένα, τότε
: ω = √*D*.

Εάν, ωστόσο, D είναι ίσο με ένα πολλαπλάσιο του τέσσερα συν ένα, τότε
: ω = (1 + √*D*)/2.

Αν η συνάρτηση f αντιστοιχεί σε μια [[field norm|norm]] συνάρτηση, όπως αυτή που χρησιμοποιείται για να διατάξει τους Gaussian ακέραιους [[#Gaussian integers|above]], τότε η δομή είναι γνωστή ως [[κανόνας-Ευκλείδη]]( *norm-Euclidean*). Οι norm-euclidean τετραγωνικοί ακέραιοι δακτύλιοι είναι ακριβώς εκείνοι όπου *D*&nbsp;=&nbsp;  -11, -7, -3, -2, -1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29 , 33, 37, 41, 57 ή 73 . Οι τετραγωνικοί ακέραιοι με *D*&nbsp;=&nbsp; -1 και -3  είναι γνωστοί ως [[Gaussian ακέραιοι]] και [[Eisenstein ακέραιοι]] αντίστοιχα.

Αν *f* επιτρέπεται να είναι οποιαδήποτε Ευκλείδεια συνάρτηση, τότε οι πιθανές τιμές του D  για τις οποίες η δομή είναι Ευκλείδεια δεν είναι ακόμη γνωστοί.   Το πρώτο παράδειγμα μιας Ευκλείδειας δομής που δεν ήταν κανόνας-Ευκλείδη (με *D*  = 69) δημοσιεύθηκε το 1994. Το 1973,ο Weinberger απέδειξε ότι ένας τετραγωνικός ακέραιος δακτύλιος με *D*&nbsp;>&nbsp;0 είναι Ευκλείδειος αν, και μόνο αν, είναι κύριος ιδεώδης τομέας, υπό την προϋπόθεση ότι η γενικευμένη υπόθεση Riemann κατέχει..

===Μη αντιμεταθετικοί δακύλιοι===

Είναι επίσης δυνατό να εφαρμοστεί ο Ευκλείδειος αλγόριθμος για μη αντιμεταθετικούς δακτυλίους όπως το σύνολο των Hurwitz quaternions . Έστω α και β αντιπροσωπεύουν δύο στοιχεία από ένα τέτοιο δακτύλιο. Έχουν ένα κοινό δεξί διαιρέτη δ, αν α = ξδ και β = ηδ για κάποια επιλογή του ξ και η στο δακτυλίο. Ομοίως, έχουν ένα κοινό αριστερό διαιρέτη εάν α = δξ και β = δη για κάποια επιλογή του ξ και η στον δακτύλιο. μιας και ο πολλαπλασιασμός δεν είναι αντιμεταθετικός, υπάρχουν δύο εκδοχές του ευκλείδειου αλγόριθμου, μία για τους δεξιούς διαιρέτες και μία για τους αριστερούς διαιρέτες. Η επιλογή των σωστών διαιρέτων, πρώτο βήμα στην εύρεση του ΜΚΔ (α, β) από τον Ευκλείδειο αλγόριθμο, μπορεί να γραφτεί
: ρ<sub>0</sub> = α − ψ<sub>0</sub>β = (ξ − ψ<sub>0</sub>η)δ

όπου ψ<sub>0</sub> αντιπροσωπεύει το πηλίκο και το  ρ<sub>0</sub>  το υπόλοιπο. Αυτή η εξίσωση δείχνει ότι κάθε κοινός δεξιός διαιρέτης των α και β είναι επίσης κοινός διαιρέτης του υπολοίπου ρ<sub>0</sub> . Η ανάλογη εξίσωση για τους αριστερούς διαιρέτες θα ήταν
: ρ<sub>0</sub> = α − βψ<sub>0</sub> = δ(ξ − ηψ<sub>0</sub>)

Με οποιαδήποτε επιλογή, η διαδικασία επαναλαμβάνεται όπως παραπάνω έως ότου ο μεγαλύτερος κοινός δεξιός ή αριστερός διαιρέτης έχει βρεθεί. Όπως και στην Ευκλείδεια δομή, το "μέγεθος" του ρ<sub>0</sub> πρέπει να είναι αυστηρά μικρότερο από β, και πρέπει να υπάρχει μόνο ένας πεπερασμένος αριθμός πιθανών μεγεθών για  ρ<sub>0</sub> , έτσι ώστε ο αλγόριθμος να τερματίσει σίγουρα.

Τα περισσότερα από τα αποτελέσματα για το ΜΚΔ μεταφέρονται στους μη αντιμεταθετικούς αριθμούς. Για παράδειγμα, η [[Ταυτότητα του Μπεζού|ταυτότητα του Bézout]] δηλώνει ότι ο δεξιός ΜΚΔ(α, β) μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός των α και β.Με άλλα λόγια, υπάρχουν σ και τ τέτοια ώστε
: Γ<sub>right</sub> = σα + τβ

Η ανάλογη ταυτότητα για τον αριστερό ΜΚΔ είναι σχεδόν η ίδια
: Γ<sub>left</sub> = ασ + βτ

Η ταυτότητα του Bézout μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση διοφαντικών εξισώσεων.

===Γενίκευση σε άλλες μαθηματικές δομές===


Ο Ευκλείδειος αλγόριθμος έχει τρία γενικά χαρακτηριστικά που εξασφαλίζουν από κοινού ότι δεν θα συνεχιστεί επ 'αόριστον. Πρώτον, αυτό μπορεί να γραφτεί ως μια ακολουθία των αναδρομικών εξισώσεων
: *r*<sub>*k*</sub> = *r*<sub>*k*−2</sub> − *q*<sub>*k*</sub> *r*<sub>*k*−1</sub>

όπου κάθε υπόλοιπο είναι αυστηρά μικρότερο από το προηγούμενο του, |*r*<sub>*k*</sub>|&nbsp;<&nbsp;|*r*<sub>*k*−1</sub>|. Δεύτερον, το μέγεθος του κάθε υπολοίπου έχει ένα ελάχιστο κατώτερο όριο, όπως στα |*r*<sub>*k*</sub>|&nbsp;≥&nbsp;0. . Τρίτον, υπάρχει μόνο ένας πεπερασμένος αριθμός μεγεθών μικρότερων από ένα συγκεκριμένο υπόλοιπο |*r*<sub>*k*</sub>|. Οι γενικεύσεις του αλγορίθμου του Ευκλείδη με αυτά τα βασικά χαρακτηριστικά έχουν εφαρμοστεί σε άλλες μαθηματικές δομές, όπως [[tangle (mathematics)|tangles]] και στα [[transfinite number|transfinite]] [[τακτικοί αριθμοί]].

Μια σημαντική γενίκευση του ευκλείδειου αλγόριθμου είναι η έννοια της [[Gröbner basis]] στην [[αλγεβρική γεωμετρία]] . Όπως φαίνεται από τα παραπάνω, ο ΜΚΔ g δύο ακεραίων a και b δημιουργεί τον [[ιδανικό]] τους . Με άλλα λόγια, για κάθε επιλογή των ακεραίων s και t , υπάρχει ένα άλλος ακέραιος m τέτοιος ώστε
: *sa* + *tb* = *mg*.

Αν και αυτό εξακολουθεί να ισχύει όταν *s* , *t* , *m* , *α* και *b* αντιπροσωπεύουν πολυώνυμα μιας μεταβλητής, δεν ισχύει για τους δακτυλίους με περισσότερες από μία μεταβλητές. Στην περίπτωση αυτή, ένα πεπερασμένο σύνολο των πολυωνύμων *g*<sub>1</sub>, *g*<sub>2</sub> , κλπ. μπορεί να οριστεί έτσι ώστε κάθε γραμμικός συνδυασμός των δύο πολυωνύμων πολλών μεταβλητών α και β μπορεί να εκφράζεται ως πολλαπλάσια των γεννητριών
: *sa* + *tb* = Σ<sub>*k*</sub> *m*<sub>*k*</sub>*g*<sub>*k*</sub>

όπου *s*, *t* και *m*<sub>*k*</sub> είναι πολυώνυμα πολλών μεταβλητών. Κάθε τέτοιο πολυώνυμο πολυμεταβλητών η *f* μπορεί να εκφραστεί ως ένα τέτοιο άθροισμα των γενεσιουργών πολυωνύμων συν ένα μοναδικό πολυώνυμο-υπόλοιπο *R* ,που μερικές φορές ονομάζεται η κανονική μορφή του πολυωνύμου *f*
: *f* = *r* + Σ<sub>*k*</sub> *q*<sub>*k*</sub>*g*<sub>*k*</sub>

παρόλο που το πολυώνυμο πηλίκο *q*<sub>*k''  μπορεί να μην είναι μοναδικό. The set of these generator polynomials is known as a Gröbner basis.
Το σύνολο αυτών των γενεσιουργών πολυωνύμων  είναι γνωστό ως βάση.

## Σημειώσεις


## Παραπομπές


## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*
* 
* 

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

* Demonstrations of Euclid's algorithm
* 
* Euclid's Algorithm at cut-the-knot
* The Euclidean Algorithm at MathPages
* Euclid's Game at cut-the-knot
* Music and Euclid's algorithm

Κατηγορία:Αλγόριθμοι