Πηγές και καταβόθρες

Στις φυσικές επιστήμες, τη μηχανική και τα μαθηματικά, οι **πηγές και οι καταβόθρες** είναι μια αναλογία που χρησιμοποιείται για την περιγραφή των ιδιοτήτων των διανυσματικών πεδίων. Γενικεύει την ιδέα των πηγών και των καταβόθρων ρευστών (όπως η βρύση και η αποστράγγιση μιας μπανιέρας) σε διάφορους επιστημονικούς κλάδους. Οι όροι αυτοί περιγράφουν σημεία, περιοχές ή οντότητες όπου ένα διανυσματικό πεδίο ξεκινά ή τερματίζει. Η αναλογία αυτή συνήθως επικαλείται όταν συζητείται η εξίσωση συνέχειας, η απόκλιση του πεδίου και το θεώρημα απόκλισης. Η αναλογία περιλαμβάνει μερικές φορές στροβίλους και σέλες για σημεία που δεν είναι κανένα από τα δύο.

Στην περίπτωση των ηλεκτρικών πεδίων η ιδέα της ροής αντικαθίσταται από γραμμές πεδίου και οι **πηγές και οι καταβόθρες** είναι ηλεκτρικά φορτία.

## Περιγραφή και αναλογία ρευστοδυναμικής

Στη φυσική, ένα διανυσματικό πεδίο  \mathbf b(x,y,z) είναι μια συνάρτηση που επιστρέφει ένα διάνυσμα και ορίζεται για κάθε σημείο (με συντεταγμένες x,y,z) σε μια περιοχή του χώρου. Η ιδέα των πηγών και των καταβόθρων εφαρμόζεται στο \mathbf b αν ακολουθεί μια εξίσωση συνέχειας της μορφής

:\frac{\partial a}{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf b = s ,

όπου t  is time, a  είναι κάποια πυκνότητα ποσότητας που σχετίζεται με \mathbf b, και s   είναι ο όρος πηγής-απορροής. Τα σημεία στο χώρο όπου s>0  ονομάζονται πηγές a και όταν s ονομάζονται καταβόθρες. Η ολοκληρωτική εκδοχή της εξίσωσης συνέχειας δίνεται από το θεώρημα της απόκλισης.

Οι έννοιες αυτές προέρχονται από τις πηγές και τις καταβόθρες στη δυναμική των ρευστών, όπου η ροή διατηρείται σύμφωνα με την εξίσωση συνέχειας που σχετίζεται με τη διατήρηση της μάζας, η οποία δίνεται από τη σχέση
:\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf v = Q 

όπου \rho  είναι το διάνυσμα της ταχύτητας ροής και \mathbf v είναι το διάνυσμα ταχύτητας ροής και Q  είναι η ροή πηγής-απορροής (μάζα ρευστού ανά μονάδα όγκου ανά μονάδα χρόνου). Η εξίσωση αυτή συνεπάγεται ότι κάθε αναδυόμενη ή εξαφανιζόμενη ποσότητα ροής σε δεδομένο όγκο πρέπει να έχει πηγή ή απορροφητήρα, αντίστοιχα. Οι πηγές αντιπροσωπεύουν θέσεις όπου προστίθεται ρευστό στην περιοχή του χώρου και οι καταβόθρες αντιπροσωπεύουν σημεία απομάκρυνσης του ρευστού. Ο όρος Q  είναι θετικός για μια πηγή και αρνητικός για μια καταβόθρα. Ας σημειωθεί ότι για ασυμπίεστη ροή ή συστήματα που δεν εξαρτώνται από το χρόνο, το Q  σχετίζεται άμεσα με την απόκλιση ως εξής

:\nabla\cdot \mathbf v=Q .
Για αυτό το είδος ροής, τα σωληνοειδή διανυσματικά πεδία (χωρίς απόκλιση) δεν έχουν πηγές ή καταβόθρες. Όταν σε ένα δεδομένο σημείο Q=0  αλλά η καμπύλη  \nabla\times \mathbf v \neq  0 , το σημείο μερικές φορές ονομάζεται στροβιλισμός. και όταν τόσο η απόκλιση όσο και η καμπύλη είναι μηδέν, το σημείο μερικές φορές ονομάζεται σέλα.

## Άλλα παραδείγματα στη φυσική

### Ηλεκτρομαγνητισμός

Στην ηλεκτροδυναμική, η πυκνότητα ρεύματος συμπεριφέρεται παρόμοια με την υδροδυναμική, καθώς ακολουθεί επίσης μια εξίσωση συνέχειας λόγω της διατήρησης του φορτίου:

:\frac{\partial \rho_e}{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf j = \sigma  ,

όπου αυτή τη φορά \rho_e  είναι η πυκνότητα φορτίου \mathbf j είναι το διάνυσμα της πυκνότητας ρεύματος και \sigma  είναι ο όρος πηγής-απορροής ρεύματος. Η πηγή ρεύματος και η καταβόθρα ρεύματος είναι εκεί όπου η πυκνότητα ρεύματος προκύπτει \sigma>0  ή εξαφανίζεται \sigma, αντίστοιχα ( παραδείγματος χάριν, η πηγή και η καταβόθρα μπορούν να αντιπροσωπεύουν τους δύο πόλους μιας ηλεκτρικής μπαταρίας σε ένα κλειστό κύκλωμα).

Η έννοια χρησιμοποιείται επίσης για τα ηλεκτρομαγνητικά πεδία, όπου η ροή του ρευστού αντικαθίσταται από γραμμές πεδίου. Για ένα ηλεκτρικό πεδίο \mathbf  E, πηγή είναι ένα σημείο όπου εκπέμπονται οι γραμμές του ηλεκτρικού πεδίου, όπως για παράδειγμα ένα θετικό φορτίο (\nabla \cdot \mathbf  E>0), ενώ καταβόθρα είναι το σημείο όπου συγκλίνουν οι γραμμές του πεδίου (\nabla \cdot \mathbf  E), όπως συμβαίνει με ένα αρνητικό φορτίο.  Αυτό συμβαίνει επειδή τα ηλεκτρικά πεδία ακολουθούν το νόμο του Γκάους που δίνεται από τη σχέση
:\nabla \cdot \mathbf  E=\rho_e/\epsilon_0,
όπου \epsilon_0 είναι η διαπερατότητα του κενού. Υπό αυτή την έννοια, για ένα μαγνητικό πεδίο \mathbf  B δεν υπάρχουν πηγές ή καταβόθρες επειδή δεν υπάρχουν μαγνητικά μονόπολα, όπως περιγράφεται από το νόμο του Γκάους για το μαγνητισμό που λέει ότι
:\nabla \cdot \mathbf  B=0. 
Τα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία μεταφέρουν επίσης ενέργεια, όπως περιγράφεται από το θεώρημα Πούντινγκ, που δίνεται από τη σχέση

:\frac{\partial u}{\partial t} +\nabla\cdot\mathbf{S}= -\mathbf{J}\cdot\mathbf{E} 

όπου u  είναι η ηλεκτρομαγνητική πυκνότητα ενέργειας \mathbf S  είναι το διάνυσμα Πούντινγκ και - \mathbf J\cdot \mathbf E  μπορεί να θεωρηθεί ως όρος πηγής-καταβόθρας ενέργειας.

### Βαρύτητα του Νεύτωνα

Παρόμοια με τα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία, μπορούμε να συζητήσουμε την περίπτωση ενός Νευτώνιου βαρυτικού πεδίου \mathbf  g που περιγράφεται από το νόμο του Γκάους για τη βαρύτητα,
:\nabla \cdot \mathbf  g=-4\pi G  \rho,
όπου G iείναι η βαρυτική σταθερά. Καθώς η βαρύτητα είναι μόνο ελκτική (\rho\geq0) υπάρχουν μόνο βαρυτικές καταβόθρες αλλά όχι πηγές. Οι καταβόθρες αντιπροσωπεύονται από σημειακές μάζες.

### Θερμοδυναμική και μεταφορά

Στη θερμοδυναμική, η πηγή και οι καταβόθρες αντιστοιχούν σε δύο τύπους θερμικών δεξαμενών, όπου παρέχεται ή αφαιρείται ενέργεια, όπως οι πηγές ροής θερμότητας ή οι καταβόθρες θερμότητας. Στη θερμική αγωγιμότητα αυτό περιγράφεται από την εξίσωση θερμότητας. Οι όροι χρησιμοποιούνται επίσης στη θερμοδυναμική μη ισορροπίας εισάγοντας την ιδέα των πηγών και των καταβόθρων της ροής εντροπίας.

### Θεωρία του χάους

Στη θεωρία του χάους και στα πολύπλοκα συστήματα, η ιδέα των πηγών και των καταβόθρων χρησιμοποιείται για να περιγράψει τους απωθητές και τους ελκυστές, αντίστοιχα.

## Μαθηματικά

### Μιγαδικές συναρτήσεις

Αυτή η ορολογία χρησιμοποιείται επίσης στην μιγαδική ανάλυση, καθώς ο μιγαδικός αριθμός μπορεί να περιγραφεί ως διανύσματα στο μιγαδικό επίπεδο.Οι πηγές και οι καταβόθρες συνδέονται με τα μηδενικά και τους πόλους της μερομορφικής συνάρτησης, που αντιπροσωπεύουν τις εισροές και τις εκροές σε μια αρμονική συνάρτηση. Μια μιγαδική συνάρτηση ορίζεται ως πηγή ή καταβόθρα αν έχει πόλο τάξης 1

### Τοπολογία

Στην τοπολογία, η ορολογία των πηγών και των καταβόθρων χρησιμοποιείται όταν συζητείται ένα διανυσματικό πεδίο πάνω σε μια συμπαγή διαφορίσιμη πολλαπλότητα. Σε αυτό το πλαίσιο ο δείκτης ενός διανυσματικού πεδίου είναι +1 iαν είναι πηγή ή καταβόθρα, ενώ αν η τιμή είναι -1 ονομάζεται σημείο σέλλας. Αυτή η έννοια είναι χρήσιμη για την εισαγωγή του θεωρήματος Πουανκαρέ-Χοφ και του θεωρήματος της τριχωτής σφαίρας. 

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Διδιάστατος χώρος
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Υπερβολική γεωμετρία
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Διάσταση Κρουλ
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
*
* 
* 
* 
*
*
*
* 
* 
* . Review: Séquin, Carlo H. (2009), *Journal of Mathematics and the Arts* 3: 229–230, 
* 
*Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

## Πηγές
* Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
* NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
* Relational data set repository 
* Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
* StatLib–JASA Data Archive
* UCI – a machine learning repository
* UK Government Public Data
* World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
* 
* 
* 

Κατηγορία:Θεωρήματα στην ανάλυση
Κατηγορία:Μαθηματική ανάλυση
Κατηγορία:Επιφάνειες
Κατηγορία:Διαφορική τοπολογία
Κατηγορία:Διανύσματα
Κατηγορία:Διανυσματικός λογισμός