Κυματική εξίσωση

Η **κυματική εξίσωση** είναι μια σημαντική γραμμική δεύτερης τάξης μερική διαφορική εξίσωση η οποία χρησιμοποιείται για να περιγραφούν κύματα – όπως παρουσιάζονται στη φυσική – όπως ηχητικά κύματα, κύματα φωτός και κύματα στο νερό. Προκύπτει σε τομείς όπως η ακουστική, ο ηλεκτρομαγνητισμός και η ρευστοδυναμική.

Ιστορικά, το πρόβλημα της παλλόμενης χορδής, όπως αυτή ενός μουσικού οργάνου, μελετήθηκε από τους Ζαν λε Ροντ ντ' Αλαμπέρ, Λέοναρντ Όιλερ, Ντάνιελ Μπερνούλι και Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ. Το 1746, ο ντ'Αλαμπέρ ανακάλυψε τη μονοδιάστατη κυματική εξίσωση, και μέσα σε δέκα χρόνια ο Όιλερ ανακάλυψε την τρισδιάστατη κυματική εξίσωση.

## Εισαγωγή
Η κυματική εξίσωση είναι μια υπερβολική μερική διαφορική εξίσωση. Αφορά συνήθως μια μεταβλητή χρόνου , μία ή περισσότερες χωρικές μεταβλητές , και μία βαθμωτή συνάρτηση *u*  *u* (*x*1, *x*2, …, *x<sub>n</sub>*; *t*), τιμές της οποίας θα μπορούσαν να διαμορφώσουν την μετατόπιση ενός κύματος. Η κυματική εξίσωση για το  είναι
:{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \nabla^2 u 

όπου ∇2 είναι ο (χωρικός) τελεστής Λαπλάς και c μια σταθερά.

Οι λύσεις αυτής της εξίσωσης, που είναι αρχικά μηδέν έξω από κάποια περιορισμένη περιοχή, διαδίδονται έξω από την περιοχή με σταθερή ταχύτητα σε όλες τις χωρικές κατευθύνσεις, όπως κάνουν τα φυσικά κύματα που προκαλούνται από μια τοπική διαταραχή. Η σταθερά *c* ταυτίζεται με την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. Η εξίσωση αυτή είναι γραμμική, καθώς το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο λύσεων αποτελεί και αυτό λύση: στη φυσική αυτή η ιδιότητα ονομάζεται αρχή της επαλληλίας.

Η εξίσωση μόνη της δεν καθορίζει μια λύση. Μια μοναδική λύση επιτυγχάνεται συνήθως με τον καθορισμό ενός προβλήματος με περαιτέρω συνθήκες, όπως οι αρχικές συνθήκες, που καθορίζουν το μέτρο και την ταχύτητα του κύματος. Μια άλλη σημαντική κατηγορία προβλημάτων καθορίζει τις συνοριακές συνθήκες, για τις οποίες οι λύσεις αντιπροσωπεύουν στάσιμα κύματα, ή αρμονικές, ανάλογες με τις αρμονικές των μουσικών οργάνων.

Η κυματική εξίσωση, καθώς και οι τροποποιήσεις της, βρίσκουν εφαρμογή, μεταξύ άλλων, στην ελαστική φυσική, την κβαντική μηχανική, τη φυσική πλάσματος και τη γενική σχετικότητα.

## Κλιμακωτή κυματική εξίσωση σε μία διάσταση του χώρου
[μικρογραφία|δεξιά|Γάλλος επιστήμονας [Ζαν λε Ροντ ντ' Αλαμπέρ (γεν. 1717) ανακάλυψε την εξίσωση κυμάτων σε μία διάσταση χώρου]]
Η κυματική εξίσωση σε μία διάσταση χώρου μπορεί να γραφτεί ως εξής:
:{ \partial^2 y \over \partial t^2 } = c^2 { \partial^2 y \over \partial  x^2 }.

Αυτή η εξίσωση περιγράφεται τυπικά να έχει μόνο μία διάσταση χώρου "x", επειδή η μόνη άλλη ανεξάρτητη μεταβλητή είναι ο χρόνος "t". Παρ'όλα αυτά, η εξαρτημένη μεταβλητή "y" ίσως αντιπροσωπεύει μία δεύτερη διάσταση χώρου, όπως στην περίπτωση της χορδής που βρίσκεται στο x-y επίπεδο.
 
### Παράγωγος της κυματικής εξίσωσης
Η κυματική εξίσωση σε μία διάσταση του χώρου μπορεί να παραχθεί σε μια ποικιλία από φυσικά περιβάλλοντα. Πιο γνωστά, μπορεί να παραχθεί στην περίπτωση της χορδής που πάλλεται σε ένα επίπεδο δύο διαστάσεων, με κάθε ένα από τα στοιχεία του να έλκεται σε αντίθετες κατευθύνσεις από τη δύναμη της έντασης.

Ένα άλλο φυσικό περιβάλλον για παραγωγή κυματικής εξίσωσης σε μια διάσταση χώρου χρησιμοποιεί ο Νόμος του Χουκ. Στην Θεωρία ελαστικότητας, Ο νόμος του Hooke είναι μια προσέγγιση συγκεκριμένων υλικών, δηλώνοντας ότι η ποσότητα από την οποία ένα υλικό σώμα παραμορφώνεται(η ένταση) γραμμικά σχετίζεται με τη δύναμη που προκαλεί την παραμόρφωση.

#### Από τον Νόμο του Χουκ
Η κυματική εξίσωση σε μία διάσταση χώρου μπορεί να παραχθεί από τον Νόμο του Χουκ με τον ακόλουθο τρόπο: Φανταστείτε μια σειρά από μικρά βάρη μάζας *m* που αλληλοσυνδέονται με χορδές χωρίς μάζα του μάκρους *h* . Οι χορδές έχουν σταθερά ελατηρίου *k*:
:300px

Εδώ η εξαρτημένη μεταβλητή *u(x)* μετράει την απόσταση από την ισορροπία της μάζας που τοποθετήθηκε στο *x*, γι'αυτό το *u(x)* ουσιαστικά μετράει το μέγεθος της διαταραχής (δηλαδή της έντασης) που ταξιδεύει σ'ένα ελαστικό υλικό. Οι δυνάμεις που ασκούνται στη μάζα *m* στην θέση *x*+*h* είναι:

:F_{\mathit{Newton}}=m \cdot a(t)=m \cdot  d\xi\,d\eta. \,

Είναι προφανές ότι η λύση στο (t, x, y) δεν εξαρτάται μόνο από τα δεδομένα επί του κώνου φωτός, όπου

: (x -\xi)^2 + (y - \eta)^2 = c^2 t^2, \,

αλλά επίσης και σε δεδομένα που είναι εσωτερικό του εν λόγω κώνου.

## Κλιμακωτή κυματική εξίσωση στη γενική διάσταση και τύποι του Κιρκόφ

Θέλουμε να βρούμε λύσεις για να utt-Δυ =

### Μονοδιάστατες
Υποθέσουμε n ≥ 3 είναι ένας περιττός ακέραιος και ζ ∈ Cm 1 (Rn), ω ∈ Cm (Rn) για m = (n +1) / 2. Έστω

:u(x,t) = \frac{1}{\gamma_n}\left [\partial_t \left (\frac{1}{t} \partial_t \right )^{\frac{n-3}{2}} \left (t^{n-2} \int^{\text{average}}_{\partial B_t(x)} g dS \right ) + \left (\frac{1}{t}\partial_t \right )^{\frac{n-3}{2}} \left (t^{n-2} \int^{\text{average}}_{\partial B_t(x)} h dS \right ) \right]

τότε

:*u* ∈ *C*2(**R***n* × [0, ∞))
:*u<sub>tt</sub>*−Δ*u* = 0 in **R***n* × (0, ∞)
:\begin{align}
\lim_{(x,t)\to (x^0,0)} u(x,t) &= g(x^0) \\
\lim_{(x,t)\to (x^0,0)} u_t(x,t) &= h(x^0)
\end{align}

### Άρτιες διαστάσεις
Ας υποθέσουμε ότι n ≥ 2 είναι ένας ακέραιος και ακόμη ζ ∈ Cm 1 (Rn), h ∈ Cm (Rn), για m = (n 2) / 2. Έστω

:u(x,t) = \frac{1}{\gamma_n}  \left [\partial_t \left (\frac{1}{t} \partial_t \right )^{\frac{n-2}{2}} \left (t^n \int^{\text{average}}_{B_t(x)} \frac{g}{(t^2 - |y - x|^2)^{\frac{1}{2}}} dy \right ) + \left (\frac{1}{t} \partial_t \right )^{\frac{n-2}{2}} \left (t^n \int^{\text{average}}_{B_t(x)} \frac{h}{(t^2 - |y-x|^2)^{\frac{1}{2}}} dy \right ) \right ]  

τότε

:*u* ∈ *C*2(**R***n* × [0, ∞))
:*u<sub>tt</sub>*−Δ*u* = 0 in **R***n* × (0, ∞)
:\begin{align} 
\lim_{(x,t)\to (x^0,0)} u(x,t) &= g(x^0)\\
\lim_{(x,t)\to (x^0,0)} u_t(x,t) &= h(x^0)
\end{align}

## Προβλήματα με τα όρια

### Μια διαστημική διάσταση
#### Η σύνθεση Στέρμ-Λιουβίλ
Μία εύκαμπτη χορδή που τεντώνεται μεταξύ δύο σημείων *x*&nbsp;=&nbsp;0 και *x*&nbsp;=&nbsp;*L *ικανοποιεί την κυματική εξίσωση για *t*&nbsp;>&nbsp;0 και 0&nbsp; -u_x(t,0) + a u(t,0) = 0, \,
: u_x(t,L) + b u(t,L) = 0,\,

όπου *a* και *b *είναι μη αρνητικά.Η περίπτωση όπου το u απαιτείται να εξαφανίζεται σε ένα τελικό σημείο είναι το όριο αυτής της κατάστασης, όταν το αντίστοιχο *a* ή *b *τείνει στο άπειρο. Η μέθοδος χωριζομένων μεταβλητών συνίσταται στο να ψάχνει για λύσεις του προβλήματος αυτού στην ειδική μορφή

: u(t,x) = T(t) v(x).\,

Μια συνέπεια είναι ότι

: \frac{T*}{c^2T} = \frac{v*}{v} = -\lambda. \,

Η ιδιοτιμή λ πρέπει να προσδιορίζεται έτσι ώστε να υπάρχει μια μη τετριμμένη λύση του προβλήματος αρχικών τιμών

: v* + \lambda v=0, \,</math>
:<math> -v'(0) + a v(0) = 0, \quad v'(L) + b v(L)=0.\,</math>

Αυτή είναι μια ειδική περίπτωση του γενικού προβλήματος της [[Θεωρία Στέρμ-Λιουβίλ|θεωρίας Στέρμ-Λιουβίλ]]. Αν a και b είναι θετικά, οι ιδιοτιμές είναι όλες θετικές, και οι λύσεις είναι τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Μια λύση που ικανοποιεί τετραγωνικά ολοκληρώσιμες αρχικές συνθήκες για τα u και ut μπορεί να ληφθεί από την επέκταση αυτών των συναρτήσεων στην κατάλληλη τριγωνομετρική σειρά.

==== Διερεύνηση με αριθμητικές μεθόδους ====

Προσεγγίζει την συνεχή σειρά με έναν πεπερασμένο αριθμό ισαπεχόντων σημειακών μαζών απ' όπου προκύπτει το ακόλουθο φυσικό μοντέλο:

Εάν κάθε σημειακή μάζα έχει τη μάζα *m*, η τάση της χορδής είναι *f*, ο διαχωρισμός μεταξύ των σημειακών μαζών είναι Δ*x* και *ui*, *i* = 1, ..., *n* είναι η μετατόπιση από αυτά τα *n* σημεία από τα σημεία ισορροπίας τους (δηλαδή τη θέση τους σε μια ευθεία γραμμή μεταξύ των δύο σημείων συνδέσεως της χορδής) η κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης προς το σημείο *i*+1 είναι
 <math>\frac{u_{i+1}-u_i}{\Delta x}\ f</math>                                         ()

και η κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης προς το σημείο *i*−1 είναι
 <math>\frac{u_{i-1}-u_i}{\Delta x}\ f</math>                                         ()

Λαμβάνοντας το άθροισμα των δύο αυτών δυνάμεων και διαιρώντας με τη μάζα m προκύπτει για την κατακόρυφη κίνηση:
 <math>\ddot u_i=\left(\frac{f}{m\ \Delta x} \right) \left(u_{i+1} + u_{i-1}\ -\ 2u_i\right)</math>                 ()

Καθώς η πυκνότητα μάζας είναι
:<math>\rho = \frac{m}{\Delta x}</math>

αυτό μπορεί να γραφτεί
 <math>\ddot u_i=\left(\frac{f}{\rho\ {\Delta x}^2} \right) \left(u_{i+1} + u_{i-1}\ -\ 2u_i\right)</math>           ()

Η κυματική εξίσωση ικανοποιείται αφήνοντας Δ*x* → 0 περίπτωση κατά την οποία *ui*(*t*) λαμβάνει τη μορφή *u*(*x*, *t*) όπου *u*(*x*, *t*) είναι [[Συνέχεια συνάρτησης|συνεχής συνάρτηση]] δύο μεταβλητών, <math>\ddot u_i</math> παίρνει τη μορφή <math>\partial^2 u \over \partial t^2</math> και

:<math>\frac{u_{i+1} + u_{i-1}\ -\ 2u_i} </math>

Αν η χορδή προσεγγίζεται με 100 διακριτές σημειακές μάζες έχει κανείς το 100 σε συνδυασμό με τις [[Διαφορική εξίσωση|διαφορικές εξισώσεις]] δεύτερης τάξης (), () και () ή ισοδύναμα 200 σε συνδυασμό με τις διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης.

Πολλαπλασιάζοντας αυτά μέχρι τις φορές
:<math>\frac{L}{c}\ k\ 0.05\ \ k=0,\cdots ,5 </math>

χρησιμοποιώντας μια 8-ης τάξης [[Μέθοδοι πολλαπλού βήματος|μέθοδο πολλαπλού βήματος]] οι 6 καταστάσεις που εμφανίζεται στο σχήμα 2 είναι αυτές που βρέθηκαν:

Η κόκκινη καμπύλη είναι η αρχική κατάσταση σε χρόνο μηδέν κατά την οποία η χορδή είναι "ελεύθερη" σε ένα προκαθορισμένο σχήμα  με όλα τα <math>\dot u_i=0</math>. Η μπλε καμπύλη είναι η κατάσταση την στιγμή <math>\frac{L}{c}\ 0.25</math>,δηλαδή μετά από ένα διάστημα που αντιστοιχεί στον χρόνο ένα κύμα που κινείται με το ονομαστικό κύμα ταχύτητα <math> c=\sqrt{\frac{f}{\rho}} </math> θα χρειαστεί για το ένα τέταρτο του μήκους της χορδής.

Το Σχήμα 3 εμφανίζει το σχήμα της χορδής στους χρόνους που<math>\frac{L}{c}\ k\ 0.05\ \ k=6,\cdots ,11</math>.Το κύμα ταξιδεύει με κατεύθυνση δεξιά με τη ταχύτητα <math> c=\sqrt{\frac{f}{\rho}} </math>χωρίς να είναι ενεργά περιορισμένο από τις συνοριακές συνθήκες στα δύο άκρα της χορδής. Το σχήμα του κύματος είναι σταθερό, δηλαδή η καμπύλη είναι πράγματι της μορφής *f*(*x*−*ct*).

Το Σχήμα 4 εμφανίζει το σχήμα της χορδής στους χρόνους που<math>\frac{L}{c}\ k\ 0.05\ \ k=12,\cdots ,17</math>. Ο περιορισμός στο δεξι άκρο αρχίζει να παρεμβαίνει στην κίνηση εμποδίζοντας το κύμα να αυξήσει το τέλος της χορδής.

Το Σχήμα 5 εμφανίζει το σχήμα της χορδής στους χρόνους που <math>\frac{L}{c}\ k\ 0.05\ \ k=18,\cdots ,23</math> όταν η κατεύθυνση της κίνησης αντιστρέφεται.Η κόκκινη,η πράσινη και η μπλε καμπύλη είναι οι καταστάσεις στους χρόνους που <math>\frac{L}{c}\ k\ 0.05\ \ k=18,\cdots ,20</math> ενώ οι 3 μαύρες καμπύλες αντιστοιχούν προς τις καταστάσεις στους χρόνους που<math>\frac{L}{c}\ k\ 0.05\ \ k=21,\cdots ,23</math> με το κύμα αρχίζουν να κινούνται πίσω προς τα αριστερά.

Το σχήμα 6 και το σχήμα 7 εμφανίζουν τελικά το σχήμα της χορδής στους χρόνους που <math>\frac{L}{c}\ k\ 0.05\ \ k=24,\cdots ,29</math> και <math>\frac{L}{c}\ k\ 0.05\ \ k=30,\cdots ,35</math>. Το κύμα ταξιδεύει τώρα προς τα αριστερά και οι περιορισμοί στα τελικά σημεία δεν είναι ενεργοι πια. Όταν τελικά η άλλη άκρη της χορδής η κατεύθυνση θα έχει και πάλι αναστραφεί με τρόπο παρόμοιο με αυτό που εμφανίζεται στο σχήμα 6.

=== Πολυδιάστατοι χώροι ===
[[Αρχείο:Drum vibration mode12.gif|μικρογραφία|220px|Μία λύση της εξίσωσης κύματος σε δύο διαστάσεις με οριακή συνθήκη μηδενικής μετατόπισης κατά μήκος ολόκληρης της εξωτερικής ακμής.]]
Η μονοδιάστατη θεωρία της αξίας αρχική-όριο μπορεί να επεκταθεί σε έναν αυθαίρετο αριθμό διαστάσεων του χώρου. Σκεφτείτε μια περιοχή D σε έναν m-διαστάσεων χ του χώρου, με σύνορο Β. Στη συνέχεια, η κυματική εξίσωση ικανοποιείται αν το  x βρίσκεται μέσα  στο D και t> 0. Στο σύνορο του D, η λύση u ικανοποιεί την

:<math> \frac{\partial u}{\partial n} + a u =0, \,</math>

όπου n είναι η μονάδα προς τα έξω κάθετα προς Β και α είναι μία μη αρνητική συνάρτηση που ορίζεται στο Β. Η περίπτωση όπου u εξαφανίζεται στο Β είναι μια οριακή περίπτωση για ένα πλησιάζει το άπειρο. Οι αρχικές συνθήκες είναι

:<math> u(0,x) = f(x), \quad u_t(0,x)=g(x), \,</math>

όπου *f* και *g ορίζονται στο * *D*. Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με την επέκταση των f και g στις ιδιοσυναρτήσεις του Λαπλάσιαν στο D, οι οποίες πληρούν τις οριακές συνθήκες. Έτσι, η ιδιοσυνάρτηση v ικανοποιεί

:<math> \nabla \cdot \nabla v + \lambda v = 0, \,</math>

στο *D*, και

:<math>  \frac{\partial v}{\partial n} + a v =0, \,</math>

στο *B*.

Στην περίπτωση των δύο διαστάσεων του χώρου, οι ιδιοσυναρτήσεις μπορούν να ερμηνευθούν από τους τρόπους δόνησης ενός ταλαντευόμενου (drumhead) τεντωμένου νήμματος πάνω από το όριο Β. Εάν το Β είναι ένας κύκλος, τότε αυτές οι ιδιοσυναρτήσεις έχουν μία γωνιακή συνιστώσα που είναι [[τριγωνομετρική συνάρτηση]] της πολικής γωνίας θ, πολλαπλασιασμένη με μία [[συνάρτηση Μπέσελ]] (από ακέραιος σειρά) της ακτινικής συνιστώσας.Περισσότερες λεπτομέρειες υπάρχουν στο [[Εξίσωση Χέλμχολτζ]].

Εάν το όριο είναι μια σφαίρα σε τρεις διαστάσεις χώρου, οι γωνιακές συνιστώσες των ιδιοσυναρτήσεων είναι [[σφαιρικές αρμονικές]], και οι ακτινικές συνιστώσες είναι συναρτήσεις Μπέσελ ημιακέραιας τάξης.

== Ανομοιογενής κυματική εξίσωση σε μία διάσταση ==

Η ανομοιογενής εξίσωση κυμάτων σε μία διάσταση είναι η ακόλουθη:

:<math>c^2 u_{x x}(x,t) - u_{t t}(x,t) = s(x,t) \,</math>
με αρχικές συνθήκες που δίνονται από

:<math>u(x,0)=f(x) \,</math>
:<math>u_t(x,0)=g(x) \,</math>

Η συνάρτηση s (x, t) συχνά αποκαλείται συνάρτηση προέλευσης, διότι, στην πράξη, περιγράφει τις επιπτώσεις των πηγών των κυμάτων στο μέσο που τους μεταφέρει. Φυσικά παραδείγματα των συναρτήσεων προέλευσης περιλαμβάνουν την κινητήρια δύναμη που οδηγεί ένα κύμα σε μια σειρά, είτε το φορτίο ή την πυκνότητα ρεύματος στον [[μετρητή Λόρενζ]] του [[Ηλεκτρομαγνητισμός|ηλεκτρομαγνητισμού]].

Μία μέθοδος για την επίλυση του προβλήματος αρχικών τιμών (με τις αρχικές τιμές, που τίθενται παραπάνω) είναι να επωφεληθούν από μια ειδική ιδιότητα της εξίσωσης κύματος σε ένα μονό αριθμό διαστάσεων χώρο, δηλαδή ότι οι λύσεις της σέβονται την αιτιότητα. Δηλαδή, για κάθε σημείο (xi, ti), η τιμή του u (xi, ti) εξαρτάται μόνο από τις τιμές της f (xi + CTI) και f (xi-CTI) και τις τιμές της συνάρτησης g (x) μεταξύ (*xi*−*cti*) and (*xi*+*cti*). Αυτό φαίνεται στην [[τύπος του Ντ' Αλαμπέρ]], που προαναφέρθηκε, όπου οι ποσότητες αυτές είναι οι μόνες που εμφανίζονται σε αυτή. Φυσικά, εάν η μέγιστη ταχύτητα διάδοσης είναι C, τότε κανένα μέρος του κύματος που δεν μπορεί να διαδοθεί σε ένα δεδομένο σημείο από ένα δεδομένο χρονικό διάστημα μπορεί να επηρεάσει το πλάτος στο ίδιο σημείο και χρόνο.

Όσον αφορά την εξεύρεση λύσης, αυτή η ιδιότητα αιτιότητας σημαίνει ότι για κάθε συγκεκριμένο σημείο επί της γραμμής εξετάζεται, η μόνη περιοχή που πρέπει να εξεταστεί είναι η περιοχή που καλύπτει όλα τα σημεία που θα μπορούσαν να επηρεάσουν το αιτιώδες σημείο που εξετάζεται. Δείξτε την περιοχή που επηρεάζει ανέμελα το σημείο (xi, ti) ως RC. Έστω ότι  έχουμε ενσωματώσει την ανομοιογενή κυματική εξίσωση πάνω από αυτή την περιοχή.

:<math>\iint \limits_{R_C} \left ( c^2 u_{x x}(x,t) - u_{t t}(x,t) \right ) dx dt = \iint \limits_{R_C} s(x,t) dx dt. </math>

Για να απλοποιηθεί σε μεγάλο βαθμό αυτό, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το [[θεώρημα του Γκριν]] για την απλοποίηση της αριστερή πλευρά για να εμφανίζεται το παρακάτω:

:<math>\int_{ L_0 + L_1 + L_2 } \left ( - c^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right ) = \iint \limits_{R_C} s(x,t) dx dt. </math>

Η αριστερή πλευρά είναι τώρα το άθροισμα των τριών γραμμικών ολοκληρωμάτων κατά μήκος των ορίων της περιοχής αιτιότητας. Αυτά αποδεικνύεται πως είναι αρκετά εύκολο να υπολογιστούν

:<math>\int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} - u_t(x,0) dx = - \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx.</math>

Στα παραπάνω, ο όρος που ενσωματώνεται σε σχέση με το χρόνο εξαφανίζεται επειδή το χρονικό διάστημα που εμπλέκεται είναι μηδέν, έτσι *dt* = 0.

Για τις άλλες δύο πλευρές της περιοχής, αξίζει να σημειωθεί ότι *x*±*ct *είναι μία σταθερά, ορίζοντας *xi*±*cti*, όπου το πρόσημο επιλέγεται κατάλληλα. Χρησιμοποιώντας αυτό, μπορούμε να πάρουμε τη σχέση *dx*±*cdt* = 0, και πάλι η επιλογή του σωστού σημείου:

:<math>\begin{align}
\int_{L_1} \left ( - c^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right ) &= \int_{L_1} \left ( c u_x(x,t) dx + c u_t(x,t) dt \right)\\
&= c \int_{L_1} d u(x,t) \\
&= c u(x_i,t_i) - c f(x_i + c t_i).
\end{align}</math>

Και ομοίως για το τελικό τμήμα του ορίου :

:<math>\begin{align}
\int_{L_2} \left ( - c^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right ) &= - \int_{L_2} \left ( c u_x(x,t) dx + c u_t(x,t) dt \right )\\
&= - c \int_{L_2} d u(x,t) \\
&= c u(x_i,t_i) - c f(x_i - c t_i).
\end{align}</math>

Προσθέτοντας τα τρία αποτελέσματα μαζί και τοποθετώντας τα πίσω στο αρχικό ολοκλήρωμα:

:<math>\begin{align}
\iint_{R_C} s(x,t) dx dt &= - \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx + c u(x_i,t_i) - c f(x_i + c t_i) + c u(x_i,t_i) - c f(x_i - c t_i) \\
&= 2 c u(x_i,t_i)  - c f(x_i + c t_i) - c f(x_i - c t_i) - \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx
\end{align}</math>

Λύνοντας ως προς *u*(*xi*, *ti*) φτάνουμε στο

:<math>u(x_i,t_i) = \frac{f(x_i + c t_i) + f(x_i - c t_i)}{2} + \frac{1}{2 c}\int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx + \frac{1}{2 c}\int^{t_i}_0 \int^{x_i + c \left ( t_i - t \right )}_{x_i - c \left ( t_i - t \right )} s(x,t) dx dt.</math>

Στην τελευταία εξίσωση της αλληλουχίας, τα όρια του ολοκληρώματος επί της συνάρτησης απ' όπου προέρχονται έχουν γίνει σαφή. Κοιτάζοντας αυτή τη λύση, η οποία ισχύει για όλες τις επιλογές (*xi*, *ti*) συμβατές με την εξίσωση κύματος, είναι σαφές ότι οι δύο πρώτοι όροι είναι απλά του τύπου του Ντ' Αλεμπέρ, όπως αναφέρθηκε παραπάνω ως η επίλυση της ομοιογενούς εξίσωσης κύματος σε μία διάσταση. Η διαφορά είναι στον τρίτο όρο, το ολοκλήρωμα επί της αρχικής συνάρτησης.

== Άλλα συστήματα συντεταγμένων ==
Στις τρεις διαστάσεις, η κυματική εξίσωση, όταν είναι γραμμένη σε [[ελλειπτικές κυλινδρικές συντεταγμένες]], μπορεί να επιλυθεί με διαχωρισμό των μεταβλητών, που οδηγεί στην [[Διαφορική εξίσωση Μάθιου]].

== Περαιτέρω γενικεύσεις ==

Για να μοντελοποιήσουμε [[Σκέδαση|διασκεδαζόμενα]] κυματικά φαινόμενα,εκείνα στα οποία η ταχύτητα της διάδοσης κυμάτων ποικίλλει ανάλογα με τη συχνότητα του κύματος, η σταθερά c αντικαθίσταται από την [[ταχύτητα φάσης]]:

:<math>v_\mathrm{p} = \frac{\omega}{k}.</math>

Η ελαστική εξίσωση κύματος σε τρεις διαστάσεις περιγράφει τη διάδοση των κυμάτων σε ένα [[Ισοτροπία|ισοτροπικά]] ομοιογενές [[Ελαστικότητα|ελαστικό]] μέσο. Τα περισσότερα στερεά υλικά είναι ελαστικά, έτσι ώστε αυτή η εξίσωση περιγράφει φαινόμενα όπως [[σεισμικά κύματα]] στη [[Γη]] και [[Υπέρηχος|υπερηχητικά]] κύματα που χρησιμοποιούνται για την ανίχνευση ελαττωμάτων σε υλικά. Παρότι γραμμική, αυτή η εξίσωση έχει μια πιο σύνθετη μορφή από τις εξισώσεις που δίδονται παραπάνω, καθώς πρέπει να αντιπροσωπεύει τόσο την διαμήκη όσο και την εγκάρσια κίνηση:

:<math>\rho{ \ddot{\mathbf{u}}} = \mathbf{f} + ( \lambda + 2\mu )\nabla(\nabla \cdot \mathbf{u}) - \mu\nabla \times (\nabla \times \mathbf{u})</math>

όπου:

* λ και μ είναι οι λεγόμενες [[παράμετροι Λαμέ]], που περιγράφουν τις ελαστικές ιδιότητες του μέσου,
* ρ είναι η πυκνότητα,
* *'f **είναι η συνάρτηση προέλευσης (κινητήρια δύναμη),
* και **u** είναι το διάνυσμα μετατόπισης.
Σημειώστε ότι σε αυτήν την εξίσωση, τόσο η δύναμη όσο και η μετατόπιση είναι [[Ευκλείδιο διάνυσμα|διανυσματικές]] ποσότητες. Έτσι, αυτή η εξίσωση είναι μερικές φορές γνωστή ως η διανυσματική εξίσωση κύματος.

== Δείτε επίσης ==
* [[Ακουστική εξασθένηση]]
* [[Ακουστική κυματική εξίσωση]]
* [[Μετασχηματισμός Μπέιτμαν]]
* [[Ηλεκτρομαγνητική κυματική εξίσωση]]
* [[Εξίσωση Χέλμχολτζ]]
* [[Ανομοιογενής ηλεκτρομαγνητική κυματική εξίσωση]]
* [[Ανάδελτα#Τελεστής Λαπλάς|Τελεστής Λαπλάς]]
* [[Εξισώσεις Μάξγουελ]]
* [[Εξίσωση Σρέντινγκερ]]
* [[Στάσιμο κύμα]]
* [[Δονήσεις μιας κυκλικής μεμβράνης]]
* [[Απορροφητική θεωρία Γουίλερ–Φάινμαν]]

== Σημειώσεις ==
<references />

== Αναφορές ==
* M. F. Atiyah, R. Bott, L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients I", ''Acta Math.'', **124** (1970), 109–189.
* M.F. Atiyah, R. Bott, and L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients II", ''Acta Math.'', **131*' (1973), 145–206.
* R. Courant, D. Hilbert, *Methods of Mathematical Physics, vol II*. Interscience (Wiley) New York, 1962.
* L. Evans, "Partial Differential Equations". American Mathematical Society Providence, 1998.
* "[http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/wave-toc.pdf Linear Wave Equations]", *EqWorld: The World of Mathematical Equations.*
* "[http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/npde/npde-toc2.pdf Nonlinear Wave Equations]", *EqWorld: The World of Mathematical Equations.*
* William C. Lane, "[http://www.physnet.org/modules/pdf_modules/m201.pdf <small>MISN-0-201</small> The Wave Equation and Its Solutions]", *Project PHYSNET''.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*  —μία εισαγωγική προσέγγιση βήμα-βήμα στο θέμα.
* Nonlinear Wave Equations by Stephen Wolfram και Rob Knapp, Nonlinear Wave Equation Explorer by Stephen Wolfram, και Wolfram Demonstrations Project.
* Η μαθηματική πλευρά της κυματικής εξίσωσης βρίσκεται στον παρακάτω σύνδεσμο Dispersive PDE Wiki.
* Graham W Griffiths και William E. Schiesser (2009). Linear and nonlinear waves. Scholarpedia, 4(7):4308. doi:10.4249/scholarpedia.4308

Κατηγορία:Κυματική
Κατηγορία:Διαφορικές εξισώσεις