Προδεμάτιο (θεωρία κατηγοριών)

Στην θεωρία κατηγοριών, έναν κλάδο των μαθηματικών, ένα **προδεμάτιο** (αγγλικά:presheaf) σε μια κατηγορία C είναι ένας συναρτητής F\colon C^\mathrm{op}\to\mathbf{Set}. Εάν C είναι poset (Μερικώς διατεταγμένο σύνολο) των ανοιχτών συνόλων σε έναν τοπολογικό χώρο, που ερμηνεύεται ως κατηγορία, τότε ανακτάται η συνήθης έννοια του **προδεματίου** σε έναν τοπολογικό χώρο. 

Ένας μορφισμός των προδεματίων ορίζεται ως φυσικός μετασχηματισμός των συναρτητών. Αυτό μετατρέπει την συλλογή όλων των προδεματίων στο  C  σε μια κατηγορία και αποτελεί παράδειγμα μιας κατηγορίας συναρτητών. Συχνά γράφεται ως \widehat{C} = \mathbf{Set}^{C^\mathrm{op}} και ονομάζεται **κατηγορία των προδεματίων** στο C.  Ένας συναρτητής στο  \widehat{C} ονομάζεται μερικές φορές προσυναρτητής.

Ένα προδεμάτιο που είναι φυσικό ισομορφικό με τον αντίστροφο hom-συναρτητή Hom(–, *A*) για κάποιο αντικείμενο *A* του **C** ονομάζεται αναπαραστάσιμο **προδεμάτιο**. 

Ορισμένοι συγγραφείς αναφέρονται σε έναν συναρτητή  F\colon C^\mathrm{op}\to\mathbf{V} ως **<math>\mathbf{V}</math>-valued προδεμάτιο**.

## Παραδείγματα

* Ένα απλό σύνολο είναι **Set**-valued (Σύνολο τιμών) προδεματίου στην κατηγορία simplex C=\Delta.
* Ένας κατευθυνόμενος πολυγράφος είναι ένα προδεμάτιο στην κατηγορία με δύο στοιχεία και δύο παράλληλους μορφισμούς μεταξύ τους, δηλαδή C = (E \overset{s}{\underset{t}{\longrightarrow}} V).
* Μια κατηγορία βέλους είναι ένα προδεμάτιο στην κατηγορία με δύο στοιχεία και ένα μορφισμό μεταξύ τους. Δηλαδή C = (E \overset{f}{\longrightarrow} V).
* Μια δεξιά ομάδα δράσης είναι ένα **προδεμάτιο** στην κατηγορία που δημιουργείται από μια ομάδα  G,  δηλαδή μια κατηγορία με ένα στοιχείο και αντιστρέψιμους μορφισμούς.

## Ιδιότητες

* Όταν  C είναι μια μικρή κατηγορία, η κατηγορία των συναρτητών \widehat{C}=\mathbf{Set}^{C^\mathrm{op}}είναι καρτεσιανή κλειστή..
* To poset (Μερικώς διατεταγμένο σύνολο) των υποαντικειμένων του P σχηματίζει μια άλγεβρα Heyting, όποτε το P είναι ένα αντικείμενο του  \widehat{C}=\mathbf{Set}^{C^\mathrm{op}} για μικρή  C.
* Για κάθε μορφισμό f:X\to Y του  \widehat{C}, ο συναρτητής pullback των υποαντικειμένων  f^*:\mathrm{Sub}_{\widehat{C}}(Y)\to\mathrm{Sub}_{\widehat{C}}(X) χει έναν δεξιό συζυγή, που συμβολίζεται \forall_f, και έναν αριστερό συζυγή, \exists_f. Αυτοί είναι οι καθολικοί και υπαρξιακοί ποσοδείκτες.
* Μια τοπικά μικρή κατηγορία C ενσωματώνεται πλήρως και πιστά στην κατηγορία \widehat{C} των set-valued (Συνόλων τιμών) προδεματίων μέσω της εμφύτευσης Γιονέντα, η οποία σε κάθε αντικείμενο A της C συσχετίζει τον συναρτητή hom C(-,A).
*Η κατηγορία \widehat{C}  δέχεται μικρά όρια και μικρά συνόρια. Βλ. όριο και συνόριο των προδεματίων για περαιτέρω συζήτηση.
* Το θεώρημα της πυκνότητας δηλώνει ότι κάθε προδεμάτιο είναι ένα συνόριο αναπαραστάσιμων προδεματίων - στην πραγματικότητα, το  \widehat{C}  είναι η συνόριο πλήρωση του C (Βλ.. #καθολική ιδιότητα που ακλουθεί)

## Καθολική ιδιότητα

Η κατασκευή C \mapsto \widehat{C} = \mathbf{Fct}(C^{\text{op}}, \mathbf{Set}) ονομάζεται **πλήρωση συνορίου**(colimit) 

. του  *C* λόγω της ακόλουθης καθολικής ιδιότητας: 

 **Πρόταση**—Έστω *C*, *D* κατηγορίες και ας υποθέσουμε ότι η *D* δέχεται μικρά συνόρια (colimits). Τότε κάθε συναρτητής  \eta: C \to D  παραγοντοποιείται ως εξής
 :C \overset{y}\longrightarrow \widehat{C} \overset{\widetilde{\eta}}\longrightarrow D
 όπου *y* είναι η εμφύτευση Γιονέντα και \widetilde{\eta}: \widehat{C} \to D είναι ένας μοναδικός, μέχρι ισομορφισμού, συνοριακός συναρτηστής που διατηρεί το συνόριο, ο οποίος ονομάζεται **επέκταση Γιονέντα** του \eta.

*Απόδειξη*: Δεδομένου ενός προδεματίου *F*, σύμφωνα με το θεώρημα πυκνότητας, μπορούμε να γράψουμε F =\varinjlim y U_i όπου U_i  είναι αντικείμενα στο *C*. Τότε ας θέσουμε  το οποίο υπάρχει βάσει της παραδοχής. Δεδομένου ότι  \varinjlim -  είναι συναρματικο, αυτό καθορίζει τον συναρτητή \widetilde{\eta}: \widehat{C} \to D. Συνοπτικά, το \widetilde{\eta} είναι η αριστερή επέκταση Καν του \eta κατά μήκος του *y*; Εξ ου και η ονομασία "επέκταση Γιονέντα". Για να δούμε ότι \widetilde{\eta} αντιμετατίθεται με μικρά συνόρια, φαίνεται ότι \widetilde{\eta} είναι έναν αριστερό-συζυγή (σε κάποιο συναρτητή). Ορίζουμε  \mathcal{H}om(\eta, -): D \to \widehat{C} ως τον συναρτητή που δίνεται από: για κάθε αντικείμενο *M* στο *D* και κάθε αντικείμενο *U* στο *C*,
:\mathcal{H}om(\eta, M)(U) = \operatorname{Hom}_D(\eta U, M).
Στη συνέχεια, για κάθε αντικείμενο *M* στο *D*, δεδομένου ότι \mathcal{H}om(\eta, M)(U_i) = \operatorname{Hom}(y U_i, \mathcal{H}om(\eta, M))  σύμφωνα με το **λήμμα** **Γιονέντα** έχουμε:
:\begin{align}
\operatorname{Hom}_D(\widetilde{\eta} F, M) &= \operatorname{Hom}_D(\varinjlim \eta U_i, M) = \varprojlim \operatorname{Hom}_D(\eta U_i, M) = \varprojlim \mathcal{H}om(\eta, M)(U_i) \\
&= \operatorname{Hom}_{\widehat{C}}(F, \mathcal{H}om(\eta, M)),
\end{align}
που σημαίνει ότι \widetilde{\eta} είναι έναν αριστερό-συζυγή προς \mathcal{H}om(\eta, -). \square

Η πρόταση έχει διάφορα συμπεράσματα. Επί παραδείγματι, η πρόταση υποδηλώνει ότι η κατασκευή C \mapsto \widehat{C} είναι συναρματική: δηλαδή, κάθε συναρματική C \to D καθορίζει τον συναρματική \widehat{C} \to \widehat{D}.

## Παραλλαγές

Ένα **προδεμάτιο** χώρων σε μια ∞-κατηγορία *C* είναι ένας ανταλλοίωτος συναρτητής από την *C* προς την ∞-κατηγορία χώρων ( παραδείγματος χάριν, το νεύρο της κατηγορίας των **CW**-**συμπλεγμάτων**) Είναι μια ∞-cκατηγορία εκδοχή ενός προδεματίου συνόλων, καθώς ένα «σύνολο» αντικαθίσταται από ένα "χώρο". Η εν λόγω έννοια χρησιμοποιείται, μεταξύ άλλων, στη διατύπωση της ∞-κατηγορίας του λήμματος του Γιονέντα που λέει: C \to \widehat{C}  είναι πλήρως πιστή (εδώ το *C* μπορεί να είναι απλά ένα απλοϊκό σύνολο.)

Ένα συν-προδεμάτιο (**copresheaf** ) μιας κατηγορίας *C* είναι ένα προδεμάτιο της *C<sup>op</sup>*. Με άλλα λόγια, είναι ένας συναλλοίωτος συναρτητής από την *C* στο *Set*.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
*
*
* 
*
* 
*
* 
* 
* 

## Παραπομπές


*
*
*
*

*
*Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
* star-autonomous category at the nLab
* 
* *This article is based in part on [http://www.planetmath.org PlanetMath]'s [http://planetmath.org/encyclopedia/TerminalObjectsAndZeroObjectsExamplesOfInitialObjects.html article on examples of initial and terminal objects] .*
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Γενική τοπολογία
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα
Κατηγορία:Συναρτητές