Πρώτη θεμελιώδης μορφή

Στη διαφορική γεωμετρία, η **πρώτη θεμελιώδης μορφή** είναι το εσωτερικό γινόμενο στον εφαπτόμενο χώρο μιας επιφάνειας στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο, το οποίο επάγεται κανονικά από το εσωτερικό γινόμενο του . Επιτρέπει τον υπολογισμό της καμπυλότητας και των μετρικών ιδιοτήτων μιας επιφάνειας, όπως το μήκος και το εμβαδόν, με τρόπο που να συνάδει με τον περιβάλλοντα χώρο. Η πρώτη θεμελιώδης μορφή συμβολίζεται με τον λατινικό αριθμό ,

\mathrm{I}(x,y)= \langle x,y \rangle.

## Ιστορία

Το 1860, η Γαλλική Ακαδημία Επιστημών απένειμε βραβείο για την εξεύρεση μεθόδων δημιουργίας, από μια δεδομένη επιφάνεια, άλλων επιφανειών που θα μπορούσαν να αναπτυχθούν σε αυτήν. Το δεύτερο βραβείο απονεμήθηκε στον Ντελφίνο Κοντάτσι για τον καθορισμό των συνθηκών που πρέπει να πληρούν δύο δοσμένα τετραγωνικά σχήματα για να είναι η πρώτη και η δεύτερη θεμελιώδης μορφή μιας επιφάνειας. Ο Γκάσπαρ Μαϊνάρντι επεσήμανε στη συνέχεια ότι είχε ήδη δημοσιεύσει αυτές τις εξισώσεις σε ένα ιταλικό περιοδικό το 1857. Σήμερα, οι εξισώσεις αυτές είναι γνωστές ως εξισώσεις Μαϊνάρντι-Κοντάτσι. Αργότερα μαθεύτηκε ότι είχαν ήδη δημοσιευτεί το 1825 σε ένα ημιτελές χειρόγραφο της κληρονομιάς του Γκάους. Επιπλέον, οι εξισώσεις αυτές είχαν επίσης ήδη δημοσιευτεί  από το 1853 από τον Καρλ Πέτερσον στη διδακτορική του διατριβή στο Ντόρπατ.

## Ορισμός

Έστω  μια παραμετρική επιφάνεια.  Τότε το εσωτερικό γινόμενο δύο εφαπτόμενων διανυσμάτων είναι


\begin{align}
& \mathrm{I}(aX_u+bX_v,cX_u+dX_v) \\[5pt]
= {} & ac \langle X_u,X_u \rangle + (ad+bc) \langle X_u,X_v \rangle + bd \langle X_v,X_v \rangle \\[5pt]
= {} & Eac + F(ad+bc) + Gbd,
\end{align}


όπου , , και  είναι οι **συντελεστές της πρώτης θεμελιώδους μορφής**.

Η πρώτη θεμελιώδης μορφή μπορεί να αναπαρασταθεί ως συμμετρικός πίνακας.

\mathrm{I}(x,y) = x^\mathsf{T}
\begin{bmatrix}
E & F \\
F & G
\end{bmatrix}y


## Περαιτέρω συμβολισμοί

Όταν η πρώτη θεμελιώδης μορφή γράφεται με ένα μόνο όρισμα, δηλώνει το εσωτερικό γινόμενο αυτού του διανύσματος με τον εαυτό του.

\mathrm{I}(v)= \langle v,v \rangle = |v|^2

Η πρώτη θεμελιώδης μορφή γράφεται συχνά με τον σύγχρονο συμβολισμό του μετρικού τανυστή.  Οι συντελεστές μπορούν τότε να γραφούν ως εξής : 

 \left(g_{ij}\right) = \begin{pmatrix}
g_{11} & g_{12} \\
g_{21} & g_{22}
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
E & F \\
F & G
\end{pmatrix}

Οι συνιστώσες αυτού του τανυστή υπολογίζονται ως το κλιμακωτό γινόμενο των εφαπτόμενων διανυσμάτων  και :

g_{ij} = \langle X_i, X_j \rangle  

για . Βλ. παράδειγμα παρακάτω.

## Γενίκευση σε αυθαίρετη συνδιάσταση

Η πρώτη θεμελιώδης μορφή περιγράφει πλήρως τις μετρικές ιδιότητες μιας επιφάνειας.  Έτσι, επιτρέπει τον υπολογισμό των μηκών των καμπυλών της επιφάνειας και των εμβαδών των περιοχών της επιφάνειας.  Το στοιχείο της γραμμής  μπορεί να εκφραστεί ως προς τους συντελεστές της πρώτης θεμελιώδους μορφής ως εξής

ds^2 = E\,du^2+2F\,du\,dv+G\,dv^2 \,. 

Το κλασικό στοιχείο εμβαδού που δίνεται από τη σχέση  μπορεί να εκφραστεί σε όρους της πρώτης θεμελιώδους μορφής με τη βοήθεια της ταυτότητας Λαγκράνζ,

dA = |X_u \times X_v| \ du\, dv= \sqrt{ \langle X_u,X_u \rangle \langle X_v,X_v \rangle - \left\langle X_u,X_v \right\rangle^2 } \, du\, dv = \sqrt{EG-F^2} \, du\, dv.

### Παράδειγμα: καμπύλη σε σφαίρα
Μια σφαιρική καμπύλη στη μοναδιαία σφαίρα στο  μπορεί να παραμετροποιηθεί ως εξής

X(u,v) = \begin{bmatrix} \cos u \sin v \\ \sin u \sin v \\ \cos v \end{bmatrix},\ (u,v) \in [0,2\pi) \times [0,\pi].

Η διαφοροποίηση  ως προς  και  δίνει

\begin{align}
X_u &= \begin{bmatrix} -\sin u \sin v \\ \cos u \sin v \\ 0 \end{bmatrix},\\[5pt]
X_v &= \begin{bmatrix} \cos u \cos v \\ \sin u \cos v \\ -\sin v \end{bmatrix}.
\end{align}

Οι συντελεστές της πρώτης θεμελιώδους μορφής μπορούν να βρεθούν με τη λήψη του τετραγωνικού γινομένου των μερικών παραγώγων.

\begin{align}
E &= X_u \cdot X_u = \sin^2 v \\
F &= X_u \cdot X_v = 0 \\
G &= X_v \cdot X_v = 1
\end{align}

έτσι:

 \begin{bmatrix}E & F \\F & G\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \sin^2 v & 0 \\0 & 1\end{bmatrix}.

#### Μήκος μιας καμπύλης στη σφαίρα

Ο ισημερινός της μοναδιαίας σφαίρας είναι μια παραμετροποιημένη καμπύλη που δίνεται από τη σχέση

(u(t),v(t))=(t,\tfrac{\pi}{2})

με  να κυμαίνεται από 0 έως 2.  Το στοιχείο γραμμής μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του μήκους αυτής της καμπύλης.

\int_0^{2\pi} \sqrt{ E\left(\frac{du}{dt}\right)^2 + 2F \frac{du}{dt} \frac{dv}{dt} + G\left(\frac{dv}{dt}\right)^2 } \,dt = \int_0^{2\pi} \left|\sin v\right| \, dt = 2\pi \sin \tfrac{\pi}{2} = 2\pi

#### Εμβαδόν μιας περιοχής στη σφαίρα

Το στοιχείο area μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του εμβαδού της μοναδιαίας σφαίρας.

\int_0^\pi \int_0^{2\pi} \sqrt{ EG-F^2 } \ du\, dv = \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \sin v \, du\, dv = 2\pi \Big[ {-\cos v} \Big]_0^{\pi} = 4\pi

## Καμπυλότητα Γκάους

Η καμπυλότητα Γκάους μιας επιφάνειας δίνεται από τη σχέση

 K = \frac{\det \mathrm{I\!I}_p}{\det \mathrm{I}_p} = \frac{ LN-M^2}{EG-F^2 }, 

όπου ,  και  είναι οι συντελεστές της δεύτερης θεμελιώδους μορφής.

Το Θαυμαστό θεώρημα του Καρλ Φρίντριχ Γκάους αναφέρει ότι η καμπυλότητα Γκάους μιας επιφάνειας μπορεί να εκφραστεί αποκλειστικά με όρους της πρώτης θεμελιώδους μορφής και των παραγώγων της, έτσι ώστε  να είναι στην πραγματικότητα ένα εγγενές αναλλοίωτο της επιφάνειας. Μια ρητή έκφραση για την καμπυλότητα Γκάους ως προς την πρώτη θεμελιώδη μορφή παρέχεται από τον τύπο του Μπριόσι.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Τριγωνομετρική συνάρτηση
* Βαθμωτό πεδίο
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Υπερβολική γεωμετρία
* Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Μιγαδικός αριθμός
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* Manfredo Perdigão do Carmo: *Differential Geometry of Curves and Surfaces*, Prentice-Hall, Inc., New Jersey, 1976, ISBN 0-13-212589-7
* Manfredo Perdigão do Carmo: *Riemannian Geometry*, Birkhäuser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8
* John M. Lee: *Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature.* Springer, New York 1997, ISBN 0-387-98322-8.
* Albrecht, Gudrun (2002). «The Veronese surface revisited». Journal of Geometry. Vol. 73 (Num. 1-2): 22-38. ISSN 0047-2468. doi:10.1007/s00022-002-8583-7.
*
*
*
* .
* 
* . Review: Séquin, Carlo H. (2009), *Journal of Mathematics and the Arts* 3: 229–230, 
* 
*Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:Θεωρήματα στην ανάλυση 
Κατηγορία:Εμβαδόν 
Κατηγορία:Επιφάνειες 
Κατηγορία:Υπερβολική γεωμετρία