Αριθμός του Φορτυνἐ

Στη θεωρία αριθμών, ένας **αριθμός του Φορτυνέ**, που οφείλει το όνομά του στον Ρέο Φορτυνέ, είναι ο μικρότερος ακέραιος *m* > 1 τέτοιος ώστε, για δεδομένο θετικό ακέραιο *n*, *p**n*# + *m* να είναι πρώτος αριθμός, όπου ο πρώτος *p**n*# είναι το γινόμενο των πρώτων *n* πρώτων αριθμών.

Παραδείγματος χάριν, για να βρούμε τον έβδομο αριθμό Φορτυνέ, θα πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε το γινόμενο των επτά πρώτων πρώτων αριθμών (2, 3, 5, 7, 11, 13 και 17), το οποίο είναι 510510. Προσθέτοντας το 2 σε αυτό δίνει έναν άλλο άρτιο αριθμό, ενώ προσθέτοντας το 3 θα έδινε ένα άλλο πολλαπλάσιο του 3. Ομοίως θα απέκλειε κανείς τους ακέραιους αριθμούς μέχρι το 18. Η πρόσθεση του 19, ωστόσο, δίνει 510529, ο οποίος είναι πρώτος. Επομένως, το 19 είναι ένας αριθμός Φορτυνέ. Ο αριθμός Φορτυνέ για
*p**n*# είναι πάντα πάνω από το *p**n* και όλοι οι διαιρέτες του είναι μεγαλύτεροι από το *p**n*. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι *p**n*#, και ως εκ τούτου *p**n*# + *m*, διαιρείται με τους πρώτους παράγοντες του *m* που δεν είναι μεγαλύτεροι από το *p**n*. Αν υπάρχει σύνθετος αριθμός Φορτυνέ, πρέπει να είναι μεγαλύτερος ή ίσος με *p**n+1*2.

:f_n = \min \Bigl\{ m > 1 \; \Big| \, \prod_{i=1}^n p_i + m \in \mathbb P \Bigr\}.

Οι αριθμοί Φορτυνέ για τους πρώτους πρωταρχικούς έχουν ως εξής: 
:3, 5, 7, 13, 23, 17, 19, 23, 37, 61, 67, 61, 71, 47, 107, 59, 61, 109, κτλ. .

Οι Αριθμοί Φορτυνέ ταξινομημένοι σε αριθμητική σειρά με αφαίρεση των αντιγράφων:

:3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 37, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 89, 101, 103, 107, 109, 127, 151, 157, 163, 167, 191, 197, 199, ... .

Ο Φορτυνέ υπέθεσε ότι κανένας αριθμός Φορτυνέ δεν είναι σύνθετος (η εικασία του Φορτυνέ). Ένας πρώτος αριθμός Φορτυνέ είναι ένας αριθμός Φορτυνέ που είναι επίσης πρώτος αριθμός. Από το 2017, όλοι οι γνωστοί αριθμοί Φορτυνέ είναι πρώτοι, ελεγχόμενοι μέχρι n=3000.

## Παράδειγμα

Υπολογισμός του 8. Αριθμός Φορτυνέ f_8:
Το γινόμενο των πρώτων 8 πρώτων αριθμών είναι P_8=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 = 9699690. Ο επόμενος πρώτος αριθμός μεγαλύτερος κατά τουλάχιστον 2 είναι p=9699713. Αυτός ο πρώτος αριθμός είναι p-P_8=9699713-9699690=23 μεγαλύτερος από το γινόμενο των πρώτων αριθμών P_8. Επομένως είναιf_8=23.

## Μικρότεροι αριθμοί Φορτυνέ
Με τον ίδιο τρόπο, ο Πολ Κάρπεντερ ορίζει επίσης τους μικρότερους αριθμούς Φορτυνέ (ή τους λιγότερους μικρούς αριθμούς) ως εξής 

:l_n = \min \Bigl\{ m > 1 \; \Big| \, \prod_{i=1}^n p_i - m \in \mathbb P \Bigr\}.

Επομένως, ορίζονται ως η διαφορά μεταξύ του P_n (= γινόμενο των πρώτων n πρώτων αριθμών) και του μεγαλύτερου πρώτου αριθμού που είναι τουλάχιστον 2 μικρότερος από τον P_n. Δεν είναι επίσης γνωστό για τους αριθμούς αυτούς αν είναι όλοι πρώτοι.

### Παραδείγματα
* Ο μικρότερος αριθμός Φορτυνέ l_1 δεν ορίζεται επειδή P_1=2 και επομένως δεν υπάρχει πρώτος αριθμός που να είναι τουλάχιστον κατά 2 μικρότερος από τον P_1.
:: Το γινόμενο των πρώτων 9 πρώτων αριθμών είναι P_9=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 = 223092870. Ο επόμενος μικρότερος πρώτος αριθμός είναι ο p=223092827. Το γινόμενο του πρώτου αριθμού είναι P_9-p=223092870-223092827=43 μεγαλύτερο από τον πρώτο αριθμό p. Επομένως, l_9=43.
* Οι πρώτοι 50 είναι *μικρότεροι αριθμοί Φορτυνέ* (όπου πρέπει να ξεκινήσετε με l_2=3, l_3=7, \ldots):
: 3, 7, 11, 13, 17, 29, 23, 43, 41, 73, 59, 47, 89, 67, 73, 107, 89, 101, 127, 97, 83, 89, 97, 251, 131, 113, 151, 263, 251, 223, 179, 389, 281, 151, 197, 173, 239, 233, 191, 223, 223, 293, 593, 293, 457, 227, 311, 373, 257, ... ())
* Η ακολουθία των *μικρότερων αριθμών Φορτυνέ* είναι ταξινομημένη και χωρίς επαναλήψεις:
: 3, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 41, 43, 47, 59, 67, 73, 83, 89, 97, 101, 107, 113, 127, 131, 151, 173, 179, 191, 197, 223, 227, 233, 239, 251, 257, 263, 281, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 347, 367, 373, 379, 389, 431, 433, 439, 443, 449, …

### Ιδιότητα
* Οι πρώτοι 1000 μικρότεροι αριθμοί Φορτυνέ είναι πρώτοι αριθμοί.

### Εικασία

*Θεωρείται ότι όλοι οι μικρότεροι αριθμοί Φορτυνέ είναι πρώτοι αριθμοί.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

## Δείτε επίσης
* Θεωρία αριθμών
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Φυσικός λογάριθμος
* Δεύτερη Εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ
* Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
* e (μαθηματική σταθερά)
* Πρώτος αριθμός
* Άρτιοι και περιττοί αριθμοί
* Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
* Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
* Προβλήματα του Λαντάου
* Εικασία του Λεζάντρ
* Εικασία του Γκόλντμπαχ
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Υπόθεση H του Σίνζελ
* Συνάρτηση Όιλερ
* Ευκλείδειος χώρος

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


*Leonard Eugene Dickson: History of the Theory of Numbers. Vol. I: Divisibility and Primality. Chelsea Publishing Company, New York 1966 (MR0245499 – Reprint des Originals der Carnegie Institution of Washington, Washington, D.C., 1919).
*Gábor Farkas, Zsófia Juhász: A generalization of Goldbach's conjecture. In: Annales Universitatis Scientiarum Budapestinensis de Rolando Eötvös Nominatae. Sectio Computatorica. Band 46, 2017, S. 39–53 (MR3722662).
*Richard Kenneth Guy: Unsolved Problems in Number Theory (= Problem Books in Mathematics). 3. Auflage. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-1928-1, doi:10.1007/978-0-387-26677-0 (MR2076335).
*Brian H. Mayoh: On the second Goldbach conjecture. In: Nordisk Tidskrift for Informationsbehandling. Band 6, 1966, S. 48–50 (MR0194405).
*John O. Kiltinen, Peter B. Young: Goldbach, Lemoine, and a know/don’t know problem. In: Mathematics Magazine. Band 58, 1985, S. 195–203 (MR0801144).
* 

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

Κατηγορία:Αναλυτική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Εικασίες για πρώτους αριθμούς
Κατηγορία:Πρώτοι αριθμοί
Κατηγορία:Ακέραιοι αριθμοί
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά