Απόλυτη ομάδα Γκαλουά

Στα μαθηματικά, η **απόλυτη [[ομάδα Γκαλουά]]** *G<sub>K</sub>* ενός σώματος  *K* είναι η ομάδα Γκαλουά του *K*sep πάνω από το *K*, όπου*K*sep είναι μια διαχωρίσιμη κλειστότητα του *K*. Εναλλακτικά, είναι η ομάδα όλων των αυτομορφισμών της αλγεβρικής κλειστότητας του *K* που καθορίζουν το *K*. Η **απόλυτη ομάδα Γκαλουά** είναι καλά ορισμένη μέχρι τον εσωτερικό αυτομορφισμό. Είναι μια προπεπερασμένη ομάδα.

(Όταν το K είναι τέλειο σώμα, το *K*sep είναι το ίδιο με μια αλγεβρική κλειστότητα *K*alg του *K*. Αυτό ισχύει π.χ. για το *K* χαρακτηριστική μηδέν, ή για το *K*  ένα πεπερασμένο σώμα.)

## Παραδείγματα
* Η απόλυτη ομάδα Γκαλουά μιας αλγεβρικά κλειστής περιοχής είναι τετριμμένη.
* Η απόλυτη ομάδα Γκαλουά των πραγματικών αριθμών είναι μια κυκλική ομάδα με δύο στοιχεία την μιγαδική συζυγία και την ταυτοτική απεικόνιση), αφού το **C** είναι το διαχωρίσιμο κλείσιμο του **R**, και ο βαθμός της πάνω στο **R** είναι [**C**:**R**]&nbsp;=&nbsp;2.
* Η απόλυτη ομάδα Γκαλουά ενός πεπερασμένου σώματος *K* είναι ισόμορφη με την ομάδα των ακέραιων προπεπερασμένων αριθμών.
:: \hat{\mathbf{Z}} = \varprojlim \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}. 
: (Για τον συμβολισμό, δείτε το αντίστροφο όριο.)
:Ο αυτομορφισμός Φρομπένιους Fr είναι μια κανονική (τοπολογική) γεννήτρια του *G<sub>K</sub>*. (Εάν το *K* έχει *q* στοιχεία, το  Fr δίνεται από Fr(*x*) = *x<sup>q</sup>* για όλα τα *x* στο *K*alg.)
* Η **απόλυτη ομάδα Γκαλουά** του σώματος των ρητών συναρτήσεων με μιγαδικούς συντελεστές είναι ελεύθερη (ως προπεπερασμένη ομάδα). Το αποτέλεσμα αυτό οφείλεται στον Αντριέν Ντουαντί και έχει τις ρίζες του στο θεώρημα ύπαρξης του Ρίμαν..
* Γενικότερα, έστω *C* ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα και *x* ένα απροσδιόριστο.  Τότε η απόλυτη ομάδα Γκαλουά του *K*&nbsp;=&nbsp;*C*(*x*) είναι ελεύθερη με βαθμό ίσο με την πληθικότητα του *C*. Το αποτέλεσμα αυτό οφείλεται στους Ντέιβιντ Χαρμπάτερ και Φλόριαν Ποπ, ενώ αποδείχθηκε αργότερα και από τους Νταν Χάραν και Μοσέ Τζάρντεν με αλγεβρικές μεθόδους.
* Έστω *K* μια πεπερασμένη επέκταση των  p-adic αριθμών **Q***p*. Για *p*&nbsp;≠&nbsp;2, η απόλυτη ομάδα Γκαλουά παράγεται από  [*K*:**Q***p*]&nbsp;+&nbsp;3 στοιχεία και έχει ρητή περιγραφή με γεννήτριες και σχέσεις. Αυτό είναι ένα αποτέλεσμα των Ούβε Γιάνσεν και Κέι Γουίνγκμπεργκ.  Μερικά αποτελέσματα είναι γνωστά για την περίπτωση  *p* = 2, αλλά η δομή για **Q**2 δεν είναι γνωστή.
*Μια άλλη περίπτωση στην οποία έχει προσδιοριστεί η **απόλυτη ομάδα Γκαλουά** είναι για το μεγαλύτερο εντελώς πραγματικό υποσώμα του σώματος των αλγεβρικών αριθμών.

## Προβλήματα

* Δεν είναι γνωστή καμία άμεση περιγραφή για την **απόλυτη ομάδα Γκαλουά** των ρητών αριθμών. Στην περίπτωση αυτή, προκύπτει από το θεώρημα του Μπέλι ότι η **απόλυτη ομάδα Γκαλουά** έχει μια πιστή δράση στα *"dessins d'enfants*" του Γκρότεντικ (χάρτες σε επιφάνειες), επιτρέποντάς μας να *δούμε* τη θεωρία Γκαλουά των αλγεβρικών αριθμητικών σωμάτων.
* Έστω *Κ* η μέγιστη αβελιανή επέκταση των ρητών αριθμών. Τότε η **εικασία του Σαφαρέβιτς** ισχυρίζεται ότι η **απόλυτη ομάδα Γκαλουά** του *Κ* είναι μια ελεύθερη προπεπερασμένη ομάδα. 
*Ένα ενδιαφέρον πρόβλημα είναι η διευθέτηση της εικασίας των Γιάν Μίνατς και Νγκουγιέν Ντουι Ταν σχετικά με την εξαφάνιση των παραγώγων n- Μάσεϊ για  n \geq 3 .

## Μερικά γενικά αποτελέσματα

* Το θεώρημα Νόικιρχ-Ουτσίντα (Neukirch-Uchida) υποστηρίζει ότι κάθε ισομορφισμός των απόλυτων ομάδων Γκαλουά αλγεβρικών αριθμητικών σωμάτων προκύπτει από έναν αυτομορφισμό σώματος. Συγκεκριμένα, δύο **απόλυτες ομάδες Γκαλουά** αριθμητικών σωμάτων είναι ισόμορφες αν και μόνο αν τα σώματα βάσης είναι ισόμορφα.
* Κάθε προπεπερασμέμη ομάδα εμφανίζεται ως ομάδα Γκαλουά κάποιας επέκτασης Γκαλουά, * Κάθε προπεπερασμένη ομάδα εμφανίζεται ως ομάδα Γκαλουά κάποιας επέκτασης Γκαλουά- ωστόσο, δεν εμφανίζεται κάθε προπεπερασμένη ομάδα ως απόλυτη ομάδα Γκαλουά Επί παραδείγματι, το θεώρημα Αρτίν-Σράιερ ισχυρίζεται ότι οι μόνες πεπερασμένες απόλυτες ομάδες Γκαλουά είναι είτε τετριμμένες είτε τάξης 2, δηλαδή μόνο δύο τάξεις ισομορφισμού.
* Κάθε προβολική προπεπερασμένη ομάδα μπορεί να υλοποιηθεί ως απόλυτη ομάδα Γκαλουά ενός ψευδοαλγεβρικά κλειστού σώματος. Το αποτέλεσμα αυτό οφείλεται στους Αλεξάντερ Λουμπότσκι και Λου βαν ντεν Ντρις.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Σώμα διασπάσεως
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νοεροί υπολογισμοί

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
* 
*
*
*
*Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 323, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196, Zbl 0948.11001
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα