F-συνάλγεβρα

Στα μαθηματικά, συγκεκριμένα στην θεωρία κατηγοριών, μια **<math>F</math>-συνάλγεβρα** είναι μια δομή που ορίζεται σύμφωνα με έναν συναρτητή F, με συγκεκριμένες ιδιότητες όπως ορίζονται παρακάτω. Τόσο για τις άλγεβρες όσο και για τις συνάλγεβρες, ένας συναρτητής είναι ένας βολικός και γενικός τρόπος οργάνωσης μιας υπογραφής. Αυτό έχει εφαρμογές στην επιστήμη των υπολογιστών: παραδείγματα συνάλγεβρων περιλαμβάνουν την οκνηρή αποτίμηση, τις άπειρες δομές δεδομένων, όπως τα ρεύματα, και επίσης τα συστήματα μετάβασης. 

Οι F-συνάλγεβρες είναι δυϊκές προς τις F-άλγεβρες. Ακριβώς όπως η κλάση όλων των αλγεβρών για μια δεδομένη υπογραφή και θεωρία εξισώσεων σχηματίζει μια ποικιλία, έτσι και η κλάση όλων των F-συνάλγεβρων που ικανοποιούν μια δεδομένη θεωρία εξισώσεων σχηματίζει μια συνποικιλία, όπου η υπογραφή δίνεται από το F.

## Ορισμός
Έστω 

:F : \mathcal{C}\longrightarrow \mathcal{C} 

έναν ενδοσυναρτητη σε μια κατηγορία  \mathcal{C}.
Μια **<math>F</math>-συνάλγεβρα** είναι ένα αντικείμενο A της \mathcal{C} μαζί με έναν μορφισμό 

:\alpha : A \longrightarrow FA

της \mathcal{C}, που συνήθως γράφεται ως  (A, \alpha).

Ένας ομομορφισμός F-συνάλγεβρας από (A, \alpha) σε μια άλλη F-συνάλγεβρα
(B, \beta) είναι ένας μορφισμός 

:f:A\longrightarrow B 

στην \mathcal{C} έτσι ώστε 

: Ff\circ \alpha = \beta \circ f. 

Επομένως, οι F-συνάλγεβρες για ένα δεδομένο συναρτητή *F* αποτελούν μια κατηγορία. 

## Παραδείγματα

Ας θεωρήσουμε τον ενδοσυναρτητη  X \mapsto X \sqcup \{*\} : \mathbf{Set} \to \mathbf{Set} που στέλνει ένα σύνολο στην ασύνδετη ένωσή του με το μονοσύνολο  \{ \ast \} . Μια συναλγεβρα αυτού του ενδοσυναρτητη δίνεται από (\overline{\mathbb{N}},\alpha), όπου \overline{\mathbb{N}}= \{0, 1, 2, \ldots \} \sqcup \{\infty\}  είναι οι λεγόμενοι φυσικοί αριθμοί, που αποτελούνται από τους μη αρνητικούς ακέραιους αριθμούς και επίσης το άπειρο, και η συνάρτηση  \alpha  δίνεται από   \alpha(0) = \ast ,  \alpha(n) = n - 1 f για  n = 1, 2,\ldots  και \alpha(\infty) = \infty .  Στην πραγματικότητα,  (\overline{\mathbb{N}}, \alpha)  είναι η τελική συνάλγεβρα αυτού του ενδοσυναρτητή.

Γενικότερα, ορίζουμε ένα σύνολο A, και εξετάζουμε τον συναρτητή F: \mathbf{Set} \longrightarrow \mathbf{Set} που στέλνει το X στο (X\times A)\cup\{1\}. Τότε μια F-συνάλγεβρα\alpha : X \longrightarrow (X\times A)\cup\{1\} = FX είναι ένα πεπερασμένο ή άπειρο ρεύμα πάνω στο αλφάβητο  όπου X είναι το σύνολο των καταστάσεων και \alpha είναι η συνάρτηση μετάβασης κατάστασης. Η εφαρμογή της συνάρτησης μετάβασης κατάστασης σε μια κατάσταση μπορεί να οδηγήσει σε δύο πιθανά αποτελέσματα: είτε ένα στοιχείο του A μαζί με την επόμενη κατάσταση του ρεύματος, είτε το στοιχείο του μονοσυνόλου (singleton) set \{1\} ως διαχωριστή "τελική κατάσταση" που υποδηλώνει ότι δεν υπάρχουν άλλες τιμές στο ρεύμα.

Σε πολλές πρακτικές εφαρμογές, η συνάρτηση μετάβασης κατάστασης ενός τέτοιου αντικειμένου συναλγεβρικής δομής μπορεί να έχει τη μορφή X \rarr f_1 \times f_2 \times \ldots \times f_n, η οποία παραγοντοποιείται εύκολα σε μια συλλογή "επιλογέων", "παρατηρητών", "μεθόδων" X \rarr f_1, \, X \rarr f_2 \, \ldots \, X \rarr f_n.   Ειδικές περιπτώσεις πρακτικού ενδιαφέροντος περιλαμβάνουν παρατηρητές που παράγουν τιμές χαρακτηριστικών και μεθόδους μετατροπής της μορφής X \rarr X^{A_1 \times \ldots \times A_n} που λαμβάνουν επιπλέον παραμέτρους και παράγουν καταστάσεις. Αυτή η αποσύνθεση είναι διπλή σε σχέση με την αποσύνθεση των αρχικών F-άλγεβρων σε αθροίσματα "κατασκευαστών". 

Έστω *P* η κατασκευή του συνόλου των δυνάμεων στην κατηγορία των συνόλων, που θεωρείται ως συναναλλοίωτος συναρτητής. Οι *P*-συνάλγεβρες βρίσκονται σε αμφιρριπτική αντιστοιχία με σύνολα με δυαδική σχέση. Τώρα, ας ορίσουμε ένα άλλο σύνολο, *A*. Τότε, οι συνάλγεβρες για τον ενδοσυναρτητή *P*(*A*×(-)) βρίσκονται σε αμφιρριπτική αντιστοιχία με τα επισημασμένα συστήματα μετάβασης, και οι ομομορφισμοί μεταξύ των συνάλγεβρων αντιστοιχούν σε συναρτησιακούς διπροσομοιώσεων μεταξύ των επισημασμένων συστημάτων μετάβασης.

## Εφαρμογές

Στην επιστήμη των υπολογιστών, η συναλγεβρική λογική έχει αναδειχθεί ως ένας βολικός και κατάλληλα γενικός τρόπος προσδιορισμού της συμπεριφοράς συστημάτων και δομών δεδομένων που είναι εν δυνάμει άπειρα, όπως, λόγου χάριν, οι κλάσεις στον αντικειμενοστρεφή προγραμματισμό, τα ρεύματα και τα συστήματα μετάβασης. Ενώ η αλγεβρική προδιαγραφή ασχολείται με τη λειτουργική συμπεριφορά, χρησιμοποιώντας συνήθως επαγωγικούς τύπους δεδομένων που παράγονται από κατασκευαστές, η συναλγεβρική προδιαγραφή ασχολείται με τη συμπεριφορά που μοντελοποιείται από συν-επαγωγικούς τύπους διαδικασιών που είναι παρατηρήσιμοι από επιλογείς, σε μεγάλο βαθμό στο πνεύμα της θεωρίας των αυτομάτων. Σημαντικό ρόλο παίζουν εδώ οι τελικές συνάλγεβρες, οι οποίες είναι πλήρεις συνόλα πιθανώς άπειρων συμπεριφορών, όπως οι ροές. Η φυσική λογική για την έκφραση των ιδιοτήτων τέτοιων συστημάτων είναι η συναλγεβρική τροπική λογική.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
*
*
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


* B. Jacobs and J. Rutten,  A Tutorial on (Co)Algebras and (Co)Induction.  EATCS Bulletin 62, 1997, p.222-259. 
* Jan J. M. M. Rutten: Universal coalgebra: a theory of systems. Theor. Comput. Sci. 249(1): 3-80 (2000).
* J. Adámek, Introduction to coalgebra. Theory and Applications of Categories 14 (2005), 157-199
* B. Jacobs, Introduction to Coalgebra. Towards Mathematics of States and Observations (book draft)
* Yde Venema: Automata and Fixed Point Logics: a Coalgebraic Perspective. Information and Computation, 204 (2006) 637-678.

*
*Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
* star-autonomous category at the nLab
* 
* *This article is based in part on [http://www.planetmath.org PlanetMath]'s [http://planetmath.org/encyclopedia/TerminalObjectsAndZeroObjectsExamplesOfInitialObjects.html article on examples of initial and terminal objects].*
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Γενική τοπολογία 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα