Διαγώνιος πίνακας

Στην γραμμική άλγεβρα, **διαγώνιος πίνακας** είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας που έχει μη-μηδενικά στοιχεία μόνο στην κύρια διαγώνιο. Πιο συγκεκριμένα, διαγώνιος είναι κάθε n \times n πίνακας D, ο οποίος ικανοποιεί D_{ij} = 0 για κάθε i \neq j και 1 \leq i, j \leq n.

Για n = 2, 3, 4, κάθε διαγώνιος πίνακας διαστάσεων n \times n έχει αντίστοιχα την μορφή:
:
\underbrace{\begin{bmatrix}
d_1 & 0 \\
0 & d_2
\end{bmatrix}}_{2 \times 2}
\qquad
\underbrace{\begin{bmatrix}
d_1 & 0 & 0 \\
0 & d_2 & 0 \\
0 & 0 & d_3
\end{bmatrix}}_{3 \times 3}
\qquad
\underbrace{\begin{bmatrix}
d_1 & 0 & 0 & 0\\
0 & d_2 & 0 & 0\\
0 & 0 & d_3 & 0\\
0 & 0 & 0 & d_4
\end{bmatrix}}_{4 \times 4}

για κάποια στοιχεία d_1, d_2, d_3, d_4. Στην γενική περίπτωση, ο διαγώνιος πίνακας με στοιχεία d_1, d_2, \ldots, d_n στην κυρία διαγώνιό του, γράφεται και ως εξής:
:\operatorname{diag}(d_1, d_2, \ldots, d_n) =
\begin{bmatrix}
d_1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & d_2 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & d_n
\end{bmatrix}.


## Παραδείγματα

* Παρακάτω δίνονται παραδείγματα διαγωνίων πινάκων με διαστάσεις n \times n για n = 2, 3, 4 αντίστοιχα:
::
\begin{bmatrix}
5 & 0 \\
0 & 2
\end{bmatrix}
\qquad
\begin{bmatrix}
7 & 0 & 0 \\
0 & -3 & 0 \\
0 & 0 & 2.2
\end{bmatrix}
\qquad
\begin{bmatrix}
21 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & -8.3 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

* Ο τετραγωνικός μηδενικός πίνακας \mathbf{0}_{n,n} = \operatorname{diag}(0, \ldots, 0) είναι διαγώνιος.
* Ο μοναδιαίος πίνακας I_n = \operatorname{diag}(1, \ldots, 1) είναι διαγώνιος.

## Ιδιότητες

* Το άθροισμα δύο διαγωνίων πινάκων A = \operatorname{diag}(a_1, \ldots , a_n) και B = \operatorname{diag}(b_1, \ldots , b_n) είναι διαγώνιος και ίσoς με
::A+B = \operatorname{diag}(a_1 + b_1, \ldots , a_n + b_n).
* Το γινόμενο δύο διαγωνίων πινάκων A = \operatorname{diag}(a_1, \ldots , a_n) και B = \operatorname{diag}(b_1, \ldots , b_n) είναι διαγώνιος και ίσος με
::AB = \operatorname{diag}(a_1 \cdot b_1, \ldots , a_n \cdot  b_n).
:Επομένως με την χρήση μαθηματικής επαγωγής έχουμε ότι για κάθε φυσικό αριθμό m \in \N
::A^m = \operatorname{diag}(a_1^m, \ldots , a_n^m).
* Ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός ενός διαγώνιου πίνακα D = \operatorname{diag}(d_1, \ldots, d_n) με ένα στοιχείο c είναι ένας διαγώνιος πίνακας ίσος με
::cD = \operatorname{diag}(c \cdot d_1, \ldots, c \cdot d_n).
* Το ίχνος ενός διαγωνίου πίνακα D = \operatorname{diag}(d_1, \ldots, d_n) είναι το άθροισμα των στοιχείων στην κύρια διαγώνιο, δηλαδή
::\operatorname{tr}(D) = d_1 + d_2 + \ldots + d_n.
* Η ορίζουσα ενός διαγωνίου πίνακα D = \operatorname{diag}(d_1, \ldots, d_n) είναι το γινόμενο των στοιχείων στην κύρια διαγώνιο, δηλαδή
::\operatorname{det}(D) = d_1 \cdot d_2 \cdot \ldots \cdot d_n.
:Από αυτό προκύπτει ότι ένας διαγώνιος πίνακας είναι αντιστρέψιμος, αν και μόνο αν όλα τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου είναι διάφορα του μηδέν.
* Αν D = \operatorname{diag}(d_1, \ldots , d_n) με d_1 \neq 0, \ldots, d_n \neq 0, τότε
::D^{-1} = \operatorname{diag}(d_1^{-1}, \ldots , d_n^{-1}),
:που επιβεβαιώνεται από την ιδιότητα του γινομένου, καθώς
::D^{-1}D = DD^{-1} = \operatorname{diag}(d_1d_1^{-1}, \ldots , d_nd_n^{-1}) = \operatorname{diag}(1, \ldots , 1) = I.

## Παραπομπές


 

Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων