Φανταστικός αριθμός

Στα μαθηματικά, ένας **φανταστικός αριθμός** (ή **καθαροφανταστικός αριθμός**) είναι ένας μιγαδικός αριθμός, το τετράγωνο του οποίου είναι αρνητικός πραγματικός αριθμός. Ο όρος πλάστηκε από τον Ρενέ Ντεκάρτ το 1637 στο έργο του "Η Γεωμετρία" *(La Géométrie)* και είχε κάπως υποτιμητική σημασία. Το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού, είναι πάντα ένας μη αρνητικός αριθμός. Συνεπώς, αριθμοί με τις ιδιότητες των φανταστικών αριθμών θεωρούνταν εκείνη την εποχή ότι δεν μπορεί να "υπάρχουν" πραγματικά, όπως άλλωστε και το μηδέν και οι αρνητικοί αριθμοί θεωρήθηκαν κατά καιρούς από κάποιους ως πλασματικοί ή άχρηστοι.

Μπορεί κανείς να θεωρήσει τους φανταστικούς αριθμούς ως μια επέκταση του συνόλου των πραγματικών αριθμών.

## Ιστορία
Αν και ο Έλληνας μαθηματικός και μηχανικός ο Ήρως ο Αλεξανδρεύς θεωρείται ο πρώτος που παρουσίασε έναν υπολογισμό που αφορούσε την τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού, ο Ραφαέλ Μπομπέλι έθεσε για πρώτη φορά τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των μιγαδικών αριθμών το 1572. Η έννοια είχε εμφανιστεί σε έντυπη μορφή νωρίτερα, όπως στο έργο του Τζερόλαμο Καρντάνο. Εκείνη την εποχή, οι φανταστικοί αριθμοί και οι αρνητικοί αριθμοί ήταν ελάχιστα κατανοητοί και θεωρούνταν από ορισμένους φανταστικοί ή άχρηστοι, όπως κάποτε το μηδέν. Πολλοί άλλοι μαθηματικοί άργησαν να υιοθετήσουν τη χρήση των φανταστικών αριθμών, συμπεριλαμβανομένου του Ρενέ Ντεκάρτ, ο οποίος έγραψε γι' αυτούς στο έργο του La Géométrie, στο οποίο επινόησε τον όρο φανταστικός και τον εννοούσε υποτιμητικά Η χρήση των φανταστικών αριθμών δεν έγινε ευρέως αποδεκτή μέχρι το έργο του Λέοναρντ Όιλερ (1707-1783) και του Καρλ Φρίντριχ Γκάους (1777-1855). Η γεωμετρική σημασία των μιγαδικών αριθμών ως σημεία σε ένα επίπεδο περιγράφηκε για πρώτη φορά από τον Κάσπαρ Βέσελ (1745-1818).
μικρογραφία|330x330εσ|Μια απεικόνιση του μιγαδικού επιπέδου. Οι φανταστικοί αριθμοί βρίσκονται στον κατακόρυφο άξονα συντεταγμένων.
Το 1843, ο Γουίλιαμ Ρόουαν Χάμιλτον επέκτεινε την ιδέα ενός άξονα φανταστικών αριθμών στο επίπεδο σε έναν τετραδιάστατο χώρο φανταστικών τεταρτοβάθμιων, στον οποίο τρεις από τις διαστάσεις είναι ανάλογες με τους φανταστικούς αριθμούς στο μιγαδικό πεδίο.

## Ορισμός

Κάθε μιγαδικός αριθμός μπορεί να γραφτεί στη μορφή a+bi, όπου 

a\in \mathbb{R} και b \in \mathbb{R}^* 

και i είναι η φανταστική μονάδα με την ιδιότητα:

:i^2 = -1\ 

δηλαδή, η φανταστική μονάδα εις το τετράγωνο ισούται με -1.

Μερικές φορές χρησιμοποιείται και ο συμβολισμός i = \sqrt{-1}, δηλαδή η φανταστική μονάδα σημειώνεται ως τετραγωνική ρίζα του αριθμού (-1). Αυτός όμως ο συμβολισμός καλό είναι να αποφεύγεται, διότι μπορεί να οδηγήσει σε λανθασμένα αποτελέσματα (π.χ. -1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1). 

Ο αριθμός a είναι το *πραγματικό μέρος* του μιγαδικού αριθμού, ενώ ο b είναι το *φανταστικό μέρος*. Μολονότι ο Ντεκάρτ χρησιμοποίησε αρχικά τον όρο "φανταστικός αριθμός" για να υποδηλώσει αυτό που ονομάζουμε σήμερα "μιγαδικό αριθμό", ο όρος "φανταστικός αριθμός" σήμερα σημαίνει συνήθως τον μιγαδικό αριθμό με πραγματικό μέρος ίσο με το 0 και φανταστικό μή μηδενικό, δηλαδή έναν αριθμό της μορφής bi: b \in \mathbb{R}^*. (Μερικές φορές λέμε ότι οι φανταστικοί αριθμοί είναι "τα πολλαπλάσια της φανταστικής μονάδας").

## Οι φανταστικοί αριθμοί στην πράξη
Παρά το παραπλανητικό τους όνομα, οι φανταστικοί αριθμοί είναι όχι μόνο υπαρκτοί αλλά και πολύ χρήσιμοι, με εφαρμογή στον ηλεκτρισμό, στην επεξεργασία σημάτων και σε πολλές άλλες εφαρμογές. Η πολική μορφή των μιγαδικών αριθμών τους καθιστά ιδανικούς για την αναπαράσταση περιστρεφόμενων διανυσμάτων και φάσεων και συνεπώς χρησιμοποιούνται ευρύτατα στην ηλεκτρονική (για την αναπαράσταση εναλλασσόμενων ρευμάτων), στην κυματική και γενικά στη μελέτη των περιοδικών φαινομένων.

## Γεωμετρική ερμηνεία (μιγαδικό επίπεδο)

Αν ερμηνεύσουμε τον πολλαπλασιασμό ic (όπου c πραγματικός) ως στροφή του τμήματος Οc γύρω από το Ο κατά ορθή γωνία, το Οc στρέφεται και συμπίπτει με τον άξονα Οy, ένας επόμενος πολλαπλασιασμός με i, δηλαδή i²c, στρέφει το Οc κατά μια ακόμη ορθή γωνία και τελικά το +Οc γίνεται -Οc.
Ως πράξη ο πολλαπλασιασμός με i² εχει το ίδιο αποτέλεσμα με τον πολλαπλασιασμό με -1, ο πολλαπλασιασμός με i έχει το ίδιο αποτέλεσμα με τη στροφή κατά ορθή γωνία.

## Βιβλιογραφία
* , explains many applications of imaginary expressions.

## Παραπομπές


 

Κατηγορία:Μιγαδικοί αριθμοί