Ελλειπτική συνάρτηση

μικρογραφία|263x263εσ|Οι ελλειπτικές συναρτήσεις Lemniscate (''Λημνίσκος'') και μια έλλειψη
Στο μαθηματικό πεδίο της μιγαδικής ανάλυσης, οι **ελλειπτικές συναρτήσεις** είναι ειδικά είδη μερομορφικών συναρτήσεων που ικανοποιούν δύο συνθήκες περιοδικότητας. Ονομάζονται ελλειπτικές συναρτήσεις επειδή προέρχονται από ελλειπτικά ολοκληρώματα. Αυτά τα ολοκληρώματα ονομάζονται με τη σειρά τους ελλειπτικά επειδή πρωτοεμφανίστηκαν για τον υπολογισμό του μήκους τόξου μιας έλλειψης.

Σημαντικές ελλειπτικές συναρτήσεις είναι οι ελλειπτικές συναρτήσεις Ιακόμπι και Βάιερστρας.

Η περαιτέρω ανάπτυξη αυτής της θεωρίας οδήγησε στις υπερελλειπτικές συναρτήσεις και στη modular μορφή.

## Ορισμός
Μια μερομορφική συνάρτηση ονομάζεται ελλειπτική συνάρτηση, αν υπάρχουν δύο \mathbb{R}-γραμμικοί ανεξάρτητοι μιγαδικοί αριθμοί \omega_1,\omega_2\in\mathbb{C} έτσι ώστε

: f(z + \omega_1) = f(z) and f(z + \omega_2) = f(z), \quad \forall z\in\mathbb{C}.

Έτσι, οι ελλειπτικές συναρτήσεις έχουν δύο περιόδους και επομένως είναι διπλά περιοδικές συναρτήσεις.

## Περιοδικό πλέγμα και θεμελιώδης τομέας

Αν f είναι ελλειπτική συνάρτηση με περιόδους \omega_1,\omega_2 ισχύει επίσης ότι

: f(z+\gamma)=f(z)

για κάθε γραμμικό συνδυασμό \gamma=m\omega_1+n\omega_2 με m,n\in\mathbb{Z} .

Η αβελιανή ομάδα

: \Lambda:=\langle \omega_1,\omega_2\rangle_{\mathbb Z}:=\mathbb Z\omega_1+\mathbb Z\omega_2:=\{m\omega_1+n\omega_2\mid m,n\in\mathbb Z\}

ονομάζεται περιοδικό πλέγμα.

Το παραλληλόγραμμο που δημιουργείται από \omega_1and \omega_2

: \{\mu\omega_1+\nu\omega_2\mid 0\leq\mu,\nu\leq 1\}

είναι ένας θεμελιώδης τομέας του \Lambda που ενεργεί στο \C.

Γεωμετρικά, το μιγαδικό επίπεδο είναι καλυμμένο με παραλληλόγραμμα. Ό,τι συμβαίνει σε ένα θεμελιώδες πεδίο επαναλαμβάνεται σε όλα τα άλλα. Για το λόγο αυτό μπορούμε να θεωρήσουμε τις ελλειπτικές συναρτήσεις ως συναρτήσεις με την ομάδα πηλίκο \mathbb{C}/\Lambda ως πεδίο ορισμού τους. Αυτή η πηλίκο ομάδα, που ονομάζεται ελλειπτική καμπύλη, μπορεί να απεικονιστεί ως ένα παραλληλόγραμμο όπου οι αντίθετες πλευρές ταυτίζονται, το οποίο τοπολογικά είναι ένας τόρος.

## Τα θεωρήματα του Λιούβιλ

Τα ακόλουθα τρία θεωρήματα είναι γνωστά ως θεωρήματα του Λιουβίλ (1847).

### 1ο θεώρημα
Μια ολόμορφη ελλειπτική συνάρτηση είναι σταθερή.

Αυτή είναι η αρχική μορφή του θεωρήματος του Λιουβίλ και μπορεί να προκύψει από αυτόv. Μια ολόμορφη ελλειπτική συνάρτηση είναι φραγμένη αφού παίρνει όλες τις τιμές της στο θεμελιώδες πεδίο που είναι συμπαγές. Άρα είναι σταθερή σύμφωνα με το θεώρημα του Λιουβίλ.

### 2ο θεώρημα

Κάθε ελλειπτική συνάρτηση έχει πεπερασμένους πόλους στο \mathbb{C}/\Lambda και το άθροισμα των καταλοίπων της είναι μηδέν.

Αυτό το θεώρημα συνεπάγεται ότι δεν υπάρχει ελλειπτική συνάρτηση μη ίση με το μηδέν με ακριβώς έναν πόλο τάξης ένα ή ακριβώς ένα μηδέν τάξης ένα στο θεμελιώδες πεδίο.

### 3ο θεώρημα
Μια μη σταθερή ελλειπτική συνάρτηση παίρνει κάθε τιμή τον ίδιο αριθμό φορών στο \mathbb{C}/\Lambda μετρημένο με την πολλαπλότητα.

## Ελλειπτική ℘-συνάρτηση
Κύριο άρθρο: Ελλειπτική συνάρτηση Βάιερστρας

Μια από τις πιο σημαντικές ελλειπτικές συναρτήσεις είναι η Βάιερστρας \wp-συνάρτηση . Για ένα δεδομένο πλέγμα περιόδου \Lambda ορίζεται ως εξής

: \wp(z)=\frac1{z^2}+\sum_{\lambda\in\Lambda\setminus\{0\}}\left(\frac1{(z-\lambda)^2}-\frac1{\lambda^2}\right).

Κατασκευάζεται με τέτοιο τρόπο ώστε να έχει έναν πόλο τάξης δύο σε κάθε σημείο του πλέγματος. Ο όρος -\frac1{\lambda^2} υπάρχει για να κάνει τη σειρά συγκλίνουσα.

\wp είναι μια άρτια ελλειπτική συνάρτηση, δηλαδή, \wp(-z)=\wp(z).

Το παράγωγό της

: \wp'(z)=-2\sum_{\lambda\in\Lambda}\frac1{(z-\lambda)^3}

είναι μια περιττή συνάρτηση, δηλαδή. \wp'(-z)=-\wp'(z).

Ένα από τα κύρια αποτελέσματα της θεωρίας των ελλειπτικών συναρτήσεων είναι το ακόλουθο: Κάθε ελλειπτική συνάρτηση ως προς ένα δεδομένο πλέγμα περιόδου \Lambda μπορεί να εκφραστεί ως ρητή συνάρτηση σε όρους των \wp και \wp'.

Η συνάρτηση \wp ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση

: \wp'^2(z)=4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3,

όπου g_2 και g_3 είναι σταθερές που εξαρτώνται από το \Lambda. 
Πιο συγκεκριμένα, g_2(\omega_1,\omega_2)=60G_4(\omega_1,\omega_2) και g_3(\omega_1, \omega_2)=140G_6(\omega_1,\omega_2), όπου G_4 και G_6 είναι οι λεγόμενες σειρές Άιζενστάιν.

Στην αλγεβρική γλώσσα, το πεδίο των ελλειπτικών συναρτήσεων είναι ισόμορφο με το πεδίο

: \mathbb C(X)[Y]/(Y^2-4X^3+g_2X+g_3),

όπου ο ισόμορφος συσχετισμός χαρτών \wp to X και \wp' to Y. 
File:Weierstrass-p-1.jpg|Συνάρτηση Βάιερστρας \wp με πλέγμα περιόδου \Lambda=\mathbb{Z}+e^{2\pi i/6}\mathbb{Z}  
File:Weierstrass-dp-1.jpg|Παράγωγος της συνάρτησης \wp


## Σχέση με ελλειπτικά ολοκληρώματα
Η σχέση με τα ελλειπτικά ολοκληρώματα έχει κυρίως ιστορικό υπόβαθρο. Έλλειψη ολοκλήρωσης είχε μελετηθεί από τον Λεζάντρ, του οποίου το έργο είχε ληφθεί σε από τον Νιλς Χένρικ Άμπελ και τον Καρλ Γκούσταβ Τζακόμπι.

Ο Άμπελ ανακάλυψε τις ελλειπτικές συναρτήσεις παίρνοντας την αντίστροφη συνάρτηση \varphi της ελλειπτικής ολοκληρωτικής συνάρτησης

: \alpha(x)=\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-c^2t^2)(1+e^2t^2)}}

με x=\varphi(\alpha).

Επιπλέον ορίζονται οι συναρτήσεις 

: f(\alpha)=\sqrt{1-c^2\varphi^2(\alpha)}

και

: F(\alpha)=\sqrt{1+e^2\varphi^2(\alpha)}.

Μετά τη συνέχιση στο μιγαδικό επίπεδο αποδείχθηκαν διπλά περιοδικές και είναι γνωστές ως ελλειπτικές συναρτήσεις Άμπελ.

Οι ελλειπτικές συναρτήσεις του Ιακόμπι προκύπτουν αντίστοιχα ως αντίστροφες συναρτήσεις ελλειπτικών ολοκληρωμάτων.

Ο Ιακόμπι θεώρησε την ολοκληρωτική συνάρτηση

: \xi(x)=\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}

και το αντέστρεψε: x=\operatorname{sn}(\xi). \operatorname{sn} σημαίνει *sinus amplitudinis* (πλάτος ημιτόνου) και είναι το όνομα της νέας συνάρτησης. Στη συνέχεια εισήγαγε τις συναρτήσεις *cosinus amplitudinis* (πλάτος συνημιτόνου) και *delta amplitudinis*, οι οποίες ορίζονται ως εξής:

: \operatorname{cn}(\xi):=\sqrt{1-x^2} 
  

: \operatorname{dn}(\xi):=\sqrt{1-k^2x^2}
 
  .

Μόνο κάνοντας αυτό το βήμα, ο Ιακόμπι μπόρεσε να αποδείξει τον γενικό τύπο μετασχηματισμού των ελλειπτικών ολοκληρωμάτων το 1827.

## Ιστορία
Λίγο μετά την ανάπτυξη του απειροστικού λογισμού, η θεωρία των ελλειπτικών συναρτήσεων ξεκίνησε από τον Ιταλό μαθηματικό Τζούλιο ντι Φανιάνο και τον Ελβετό μαθηματικό Λέοναρντ Όιλερ. Όταν προσπάθησαν να υπολογίσουν το μήκος του τόξου μιας λεμνισκάτης αντιμετώπισαν προβλήματα που αφορούσαν ολοκληρώματα που περιείχαν την τετραγωνική ρίζα πολυωνύμων 3ου και 4ου βαθμού. ήταν σαφές ότι αυτά τα λεγόμενα ελλειπτικά ολοκληρώματα δεν μπορούσαν να επιλυθούν με τη χρήση στοιχειωδών συναρτήσεων. Ο Φανιάνο παρατήρησε μια αλγεβρική σχέση μεταξύ των ελλειπτικών ολοκληρωμάτων, κάτι που δημοσίευσε το 1750. Ο Όιλερ αμέσως γενίκευσε τα αποτελέσματα του Φανιάνο και έθεσε το αλγεβρικό θεώρημα πρόσθεσης για τα ελλειπτικά ολοκληρώματα.

Εκτός από ένα σχόλιο του Λάντεν, οι ιδέες του δεν συνεχίστηκαν μέχρι το 1786, όταν ο Λεζάντρ δημοσίευσε την εργασία του Απομνημονεύματα για τις ολοκληρώσεις μέσω ελλειπτικών τόξων. Ο Λεζάντρ στη συνέχεια μελέτησε τα ελλειπτικά ολοκληρώματα και τα ονόμασε ελλειπτικές συναρτήσεις. Ο Λεζάντρ εισήγαγε μια τρεις-πολλαπλάσια ταξινόμηση -three είδη- που ήταν μια κρίσιμη απλοποίηση της μάλλον περίπλοκη θεωρία σε ότι χρόνο. Άλλα σημαντικά έργα του Λεζάντρ είναι τα εξής: (1792),  Ασκήσεις ολοκληρωτικού υπολογισμού (1811-1817),  Πραγματεία ελλειπτικών συναρτήσεων (1825-1832). Το έργο του Λεζάντρ έμεινε ως επί το πλείστον ανέγγιχτο από τους μαθηματικούς μέχρι το 1826.

Στη συνέχεια, οι Νιλς Χένρικ Άμπελ και Καρλ Γκούσταβ Τζακόμπι συνέχισαν τις έρευνες και ανακάλυψαν σύντομα νέα αποτελέσματα. Αρχικά αντέστρεψαν την ελλειπτική ολοκληρωτική συνάρτηση. Μετά από μια πρόταση του Ιακόμπι το 1829 οι αντίστροφες αυτές συναρτήσεις ονομάζονται πλέον ελλειπτικές συναρτήσεις. Ένα από τα σημαντικότερα έργα του Ιακόμπι είναι το Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (θεμελίωση της νέας θεωρίας των ελλειπτικών συναρτήσεων) το οποίο δημοσιεύτηκε το 1829. Το θεώρημα πρόσθεσης που βρήκε ο Όιλερ τέθηκε και αποδείχθηκε στη γενική του μορφή από τον Άμπελ το 1829. Να σημειωθεί ότι εκείνη την εποχή η θεωρία των ελλειπτικών συναρτήσεων και η θεωρία των διπλά περιοδικών συναρτήσεων θεωρούνταν διαφορετικές θεωρίες. Συγκεντρώθηκαν από τους Μπριότ και Μπουκέ το 1856.  Ο Γκάους ανακάλυψε πολλές από τις ιδιότητες των ελλειπτικών συναρτήσεων 30 χρόνια νωρίτερα, αλλά ποτέ δεν δημοσίευσε κάτι σχετικά με το θέμα.

## Δημοσιεύσεις

* N. I. Akhiezer, *Elements of the Theory of Elliptic Functions*, (1970) Moscow, translated into English as *AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79* (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
* Tom M. Apostol, *Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory*, Springer-Verlag, New York, 1976. ISBN 0-387-97127-0 *(See Chapter 1.)*
* E. T. Whittaker and G. N. Watson. *[[:en:Whittaker and Watson|A course of modern analysis]]*, Cambridge University Press, 1952

## Δείτε επίσης
* Fanography - A tool to visually study the classification of threedimensional Fano varieties.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* MAA,  Translation of Abel's paper on elliptic functions. 
* , lecture by William A. Schwalm (4 hours)
* 

## Παραπομπές


 

Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Ειδικές συναρτήσεις
Κατηγορία:Μιγαδική ανάλυση