Εικασία 3^d του Καλάι

Στη γεωμετρία, και πιο συγκεκριμένα στη θεωρία των πολυτόπων, η **εικασία** **3<sup>''d''</sup> του Καλάι** είναι μια εικασία σχετικά με την πολυεδρική συνδυαστική των κεντρικά συμμετρικών πολυτόπων, που διατυπώθηκε από τον Ζιλ Καλάι το 1989. Δηλώνει ότι κάθε d-διάστατο κεντρικά συμμετρικό πολύτοπο έχει τουλάχιστον 3d μη κενές όψεις (συμπεριλαμβανομένου του ίδιου του πολυτόπου ως όψη, αλλά όχι του κενού συνόλου).

## Παραδείγματα

Στις δύο διαστάσεις, τα απλούστερα κεντρικά συμμετρικά κυρτά πολύγωνα είναι τα παραλληλόγραμμα, τα οποία έχουν τέσσερις κορυφές, τέσσερις ακμές και ένα πολύγωνο: . Ένας κύβος είναι κεντρικά συμμετρικός και έχει 8 κορυφές, 12 ακμές, 6 τετράγωνες πλευρές και 1 στερεό: .. Ένα άλλο τρισδιάστατο κυρτό πολύεδρο, το κανονικό οκτάεδρο, είναι επίσης κεντρικά συμμετρικό και έχει 6 κορυφές, 12 ακμές, 8 τριγωνικές πλευρές και 1 στερεό: .

Σε μεγαλύτερες διαστάσεις, ο υπερκύβος [0,&thinsp;1]*d* έχει ακριβώς  3*d* τρισδιάστατες όψεις, καθεμία από τις οποίες μπορεί να προσδιοριστεί καθορίζοντας, για κάθε έναν από τους *d* άξονες συντεταγμένων, αν η όψη προβάλλει στον άξονα αυτό στο σημείο 0, στο σημείο 1 ή στο διάστημα [0,&thinsp;1]. Γενικότερα, κάθε πολύτοπο Χάνερ έχει ακριβώς  3*d* όψεις. Αν η εικασία του Καλάι είναι αληθής, αυτά τα πολύτοπα θα είναι μεταξύ των κεντρικά συμμετρικών πολυτόπων με τις λιγότερες δυνατές όψεις.

## Κατάσταση

Η εικασία είναι γνωστό ότι ισχύει για d\le 4.. Είναι επίσης γνωστό ότι ισχύει για τα απλοποιημένα πολύτοπα: στην περίπτωση αυτή προκύπτει από μια εικασία των Ιμρε Μπαράνι και Λάζλο Λοβάς () ότι κάθε κεντρικά συμμετρικό απλοποιημένο πολύτοπο έχει τουλάχιστον τόσες επιφάνειες κάθε διάστασης όσες και το σταυρωτό πολύτοπο, η οποία αποδείχθηκε από τον Ρίτσαρντ Στάνλεϊ (). Πράγματι, αυτές οι δύο προηγούμενες εργασίες αναφέρθηκαν από τον Καλάι ως μέρος της βάσης για την πραγματοποίηση της εικασίας του. Μια άλλη ειδική κατηγορία πολυτόπων για την οποία έχει αποδειχθεί η εικασία είναι τα πολυτόπια Χάνσεν των διαιρεμένων γραφημάτων, τα οποία είχαν χρησιμοποιηθεί από τους Ράγκναρ Φρέι, Ματίας Χένζε και Μόριτζ Σμιτ κ.ά. () για να διαψεύσουν τις ισχυρότερες εικασίες του Καλάι.

## Ειδικές περιπτώσεις

Η εικασία του Άλμπερτσον είναι  αληθής με κενό τρόπο  για n\le 4. Σε αυτές τις περιπτώσεις, το K_n έχει αριθμό διασταυρώσεων μηδέν, οπότε η εικασία δηλώνει μόνο ότι τα n-χρωματικά γραφήματα έχουν αριθμό διασταυρώσεων μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός, κάτι που ισχύει για όλα τα γραφήματα. Η περίπτωση n=5 της εικασίας του Άλμπερτσον είναι ισοδύναμη με το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων, ότι δηλαδή κάθε επίπεδο γράφημα μπορεί να χρωματιστεί με τέσσερα ή λιγότερα χρώματα, διότι τα μόνα γραφήματα που απαιτούν λιγότερες διασταυρώσεις από τη μία διασταύρωση του K_5 είναι τα επίπεδα γραφήματα, και η εικασία συνεπάγεται ότι όλα αυτά θα πρέπει να είναι το πολύ 4-χρωματικά. Μέσω των προσπαθειών διαφόρων ομάδων συγγραφέων είναι πλέον γνωστό ότι η εικασία ισχύει για όλα τα n\le 18  Για κάθε ακέραιο αριθμό c\ge 6, οι Λουίζ και Ρίχτερ παρουσίασαν μια οικογένεια (c+1)-χρωματικά κρίσιμων γραφημάτων που δεν περιέχουν υποδιαίρεση του πλήρους γράφου K_{c+1} αλλά έχουν αριθμό διασταύρωσης τουλάχιστον ίσο με αυτόν του K_{c+1}.

Η εικασία 3*d* παραμένει ανοιχτή για αυθαίρετα πολύτοπα σε υψηλότερες διαστάσεις.

## Σχετικές εικασίες

Στο ίδιο έργο με αυτό στο οποίο εμφανίζεται η εικασία 3*d*, ο Καλάι  εικάζει με πιο ισχυρό τρόπο ότι το διάνυσμα *f* κάθε κυρτού κεντρικά συμμετρικού πολυτόπου *P* κυριαρχεί στο διάνυσμα *f* τουλάχιστον ενός πολυτόπου Χάνερ H της ίδιας διάστασης. Αυτό σημαίνει ότι, για κάθε αριθμό *i* από το 0 έως τη διάσταση του *P*, ο αριθμός των i-διάστατων όψεων του *P* είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον αριθμό των i-διάστατων όψεων του H. Αν ήταν αληθές, αυτό θα συνεπαγόταν την αλήθεια της 3*d* εικασίας- ωστόσο, η ισχυρότερη εικασία διαψεύστηκε αργότερα.

Μια σχετική εικασία που επίσης αποδίδεται στον Καλάι είναι γνωστή ως εικασία της πλήρους σημαίας και υποστηρίζει ότι ο κύβος (καθώς και κάθε ένα από τα πολύτοπα Χάνερ) έχει τον μέγιστο αριθμό (πλήρων) σημαιών, δηλαδή *d*!2*d*, μεταξύ όλων των κεντρικά συμμετρικών πολυτόπων.

Τέλος, τόσο η εικασία του 3*d* όσο και η εικασία της πλήρους σημαίας μερικές φορές λέγεται ότι είναι συνδυαστικά ανάλογα της εικασίας του Μαχλέρ. Και οι τρεις εικασίες ισχυρίζονται ότι τα πολύτοπα Χάνερ ελαχιστοποιούν ορισμένα συνδυαστικά ή γεωμετρικά μεγέθη, έχουν επιλυθεί σε παρόμοιες ειδικές περιπτώσεις, αλλά είναι ευρέως ανοικτές γενικά. Ειδικότερα, η εικασία της πλήρους σημαίας έχει επιλυθεί σε ορισμένες ειδικές περιπτώσεις με τη χρήση γεωμετρικών τεχνικών.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

## Δείτε επίσης
* Θεωρία αριθμών
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Συζυγής μιγαδικός αριθμός
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Ελλειπτική καμπύλη
* e (μαθηματική σταθερά)
* Πυθαγόρεια τετράδα
* Άρτιοι και περιττοί αριθμοί
* Τετραγωνικός αριθμός
* Κρυπτογραφία ελλειπτικών καμπυλών
* Προβλήματα του Λαντάου
* Εικασία του Κράμερ
* Εικασία του Γκόλντμπαχ
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Υπόθεση H του Σίνζελ
* Θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων
* Ευκλείδειος χώρος

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*.
*.
*.

*.
*.
*.
*. As cited by .
*.
*.

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

Κατηγορία:Διοφαντικές εξισώσεις
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών
Κατηγορία:Θεωρία γράφων
Κατηγορία:Θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Εικασίες
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά