Θεωρία δυναμικών συστημάτων

Η **θεωρία δυναμικών συστημάτων** είναι ένας τομέας των μαθηματικών που χρησιμοποιείται για την περιγραφή της συμπεριφοράς πολύπλοκων δυναμικών συστημάτων, συνήθως με τη χρήση διαφορικών εξισώσεων ή εξισώσεων διαφορών. Όταν χρησιμοποιούνται διαφορικές εξισώσεις, η θεωρία ονομάζεται συνεχή δυναμικά συστήματα. Από φυσική άποψη, τα συνεχή δυναμικά συστήματα είναι μια γενίκευση της κλασικής μηχανικής, μια γενίκευση όπου οι εξισώσεις κίνησης διατυπώνονται απευθείας και δεν περιορίζονται να είναι εξισώσεις Όιλερ-Λαγράνζ  μιας αρχής ελαχίστης δράσης. Όταν χρησιμοποιούνται εξισώσεις διαφορών, η θεωρία ονομάζεται διακριτά δυναμικά συστήματα. Όταν η χρονική μεταβλητή εκτείνεται σε ένα σύνολο που είναι διακριτό σε ορισμένα διαστήματα και συνεχές σε άλλα διαστήματα ή είναι οποιοδήποτε αυθαίρετο χρονικό σύνολο, όπως ένα σύνολο Κάντορ, έχουμε δυναμικές εξισώσεις σε χρονική κλίμακα. Ορισμένες καταστάσεις μπορούν επίσης να μοντελοποιηθούν με μικτούς τελεστές, όπως οι υστεροδιαφορικές εξισώσεις.

Η θεωρία αυτή ασχολείται με τη μακροχρόνια ποιοτική συμπεριφορά των δυναμικών συστημάτων και μελετά τη φύση και, όταν είναι δυνατόν, τις λύσεις των εξισώσεων κίνησης των συστημάτων που συχνά είναι κυρίως μηχανικής ή άλλης φυσικής φύσης, όπως οι πλανητικές τροχιές και η συμπεριφορά των ηλεκτρονικών κυκλωμάτων, καθώς και των συστημάτων που εμφανίζονται στη βιολογία, την οικονομία και αλλού. Μεγάλο μέρος της σύγχρονης έρευνας επικεντρώνεται στη μελέτη των χαοτικών συστημάτων και των παράξενων συστημάτων.

Αυτός ο τομέας μελέτης ονομάζεται επίσης απλώς δυναμικά συστήματα, μαθηματική θεωρία δυναμικών συστημάτων ή μαθηματική θεωρία δυναμικών συστημάτων.

## Επισκόπηση

Η θεωρία δυναμικών συστημάτων και η θεωρία του χάους ασχολούνται με τη μακροπρόθεσμη ποιοτική συμπεριφορά των δυναμικών συστημάτων. Εδώ, το ενδιαφέρον δεν επικεντρώνεται στην εύρεση ακριβών λύσεων στις εξισώσεις που ορίζουν το δυναμικό σύστημα (κάτι που συχνά είναι μάταιο), αλλά μάλλον στην απάντηση ερωτημάτων όπως "Θα κατασταλάξει το σύστημα σε μια σταθερή κατάσταση μακροπρόθεσμα, και αν ναι, ποιες είναι οι πιθανές σταθερές καταστάσεις;", ή "Εξαρτάται η μακροπρόθεσμη συμπεριφορά του συστήματος από την αρχική του κατάσταση;".

Ένας σημαντικός στόχος είναι η περιγραφή των σταθερών σημείων ή των σταθερών καταστάσεων ενός συγκεκριμένου δυναμικού συστήματος- πρόκειται για τιμές της μεταβλητής που δεν μεταβάλλονται με την πάροδο του χρόνου. Ορισμένα από αυτά τα σταθερά σημεία είναι ελκυστικά, πράγμα που σημαίνει ότι αν το σύστημα ξεκινήσει σε μια κοντινή κατάσταση, συγκλίνει προς το σταθερό σημείο.

Ομοίως, υπάρχει ενδιαφέρον για περιοδικά σημεία, καταστάσεις του συστήματος που επαναλαμβάνονται μετά από αρκετά χρονικά βήματα. Τα περιοδικά σημεία μπορεί επίσης να είναι ελκυστικά. Το θεώρημα του Σαρκόφσκι αποτελεί μια ενδιαφέρουσα δήλωση σχετικά με τον αριθμό των περιοδικών σημείων ενός μονοδιάστατου διακριτού δυναμικού συστήματος.

Ακόμα και απλά μη γραμμικά δυναμικά συστήματα παρουσιάζουν συχνά φαινομενικά τυχαία συμπεριφορά που έχει ονομαστεί χάος. Ο κλάδος των δυναμικών συστημάτων που ασχολείται με τον καθαρό ορισμό και τη διερεύνηση του χάους ονομάζεται θεωρία του χάους.

## Ιστορία

Η έννοια της θεωρίας δυναμικών συστημάτων έχει τις ρίζες της στη Νευτώνεια μηχανική. Εκεί, όπως και σε άλλες φυσικές επιστήμες και κλάδους της μηχανικής, ο κανόνας εξέλιξης των δυναμικών συστημάτων δίνεται σιωπηρά από μια σχέση που δίνει την κατάσταση του συστήματος μόνο για μικρό χρονικό διάστημα στο μέλλον.

Πριν από την έλευση των γρήγορων ηλεκτρονικών υπολογιστικών, η επίλυση ενός δυναμικού συστήματος απαιτούσε περίπλοκες μαθηματικές τεχνικές και μπορούσε να επιτευχθεί μόνο για μια μικρή κατηγορία δυναμικών συστημάτων.

Ορισμένες εξαιρετικές παρουσιάσεις της μαθηματικής θεωρίας δυναμικών συστημάτων περιλαμβάνουν τους Μπελτράμι (), Λουενμπέργκερ (), Παντούλο & Αρμπίμπ () και Στρογκάτζ ().

## Έννοιες
### Δυναμικά συστήματα
Κύριο άρθρο: Δυναμικό σύστημα 

Η έννοια του δυναμικού συστήματος είναι μια μαθηματική τυποποίηση για οποιονδήποτε σταθερό «κανόνα» που περιγράφει τη χρονική εξάρτηση της θέσης ενός σημείου στον περιβάλλοντα χώρο του. Ενδεικτικά αναφέρονται τα μαθηματικά μοντέλα που περιγράφουν την ταλάντωση ενός εκκρεμούς ρολογιού, τη ροή του νερού σε έναν σωλήνα και τον αριθμό των ψαριών κάθε άνοιξη σε μια λίμνη.

Ένα δυναμικό σύστημα διαθέτει μια κατάσταση που καθορίζεται από μια συλλογή πραγματικών αριθμών, ή γενικότερα από ένα σύνολο σημείων σε έναν κατάλληλο χώρο καταστάσεων. Μικρές αλλαγές στην κατάσταση του συστήματος αντιστοιχούν σε μικρές αλλαγές στους αριθμούς. Οι αριθμοί είναι επίσης οι συντεταγμένες ενός γεωμετρικού χώρου - μιας πολλαπλότητας. Ο κανόνας εξέλιξης του δυναμικού συστήματος είναι ένας σταθερός κανόνας που περιγράφει ποιες μελλοντικές καταστάσεις προκύπτουν από την τρέχουσα κατάσταση. Ο κανόνας μπορεί να είναι ντετερμινιστικός (για ένα δεδομένο χρονικό διάστημα μπορεί να προβλεφθεί με ακρίβεια μια μελλοντική κατάσταση δεδομένης της τρέχουσας κατάστασης) ή στοχαστικός (η εξέλιξη της κατάστασης μπορεί να προβλεφθεί μόνο με ορισμένη πιθανότητα).

#### Δυναμισμός

Ο δυναμισμός, ο οποίος ονομάζεται επίσης δυναμική υπόθεση ή δυναμική υπόθεση στη γνωστική επιστήμη ή δυναμική νόηση, είναι μια νέα προσέγγιση στη γνωστική επιστήμη, με παράδειγμα το έργο του φιλοσόφου Τιμ βαν Γκέλντερ. Υποστηρίζει ότι οι διαφορικές εξισώσεις είναι πιο κατάλληλες για τη μοντελοποίηση της νόησης από τα πιο παραδοσιακά μοντέλα υπολογιστών.

#### Μη γραμμικό σύστημα

Στα μαθηματικά, ένα μη γραμμικό σύστημα είναι ένα σύστημα που δεν είναι γραμμικό - δηλαδή ένα σύστημα που δεν ικανοποιεί την αρχή της υπέρθεσης. Λιγότερο τεχνικά, ένα μη γραμμικό σύστημα είναι οποιοδήποτε πρόβλημα όπου η μεταβλητή (οι μεταβλητές) για την οποία (τις οποίες) πρέπει να επιλυθεί δεν μπορεί να γραφτεί ως γραμμικό άθροισμα ανεξάρτητων συνιστωσών. Ένα μη ομογενές σύστημα, το οποίο είναι γραμμικό εκτός από την παρουσία μιας συνάρτησης των ανεξάρτητων μεταβλητών, είναι μη γραμμικό σύμφωνα με έναν αυστηρό ορισμό, αλλά τέτοια συστήματα μελετώνται συνήθως παράλληλα με τα γραμμικά συστήματα, επειδή μπορούν να μετασχηματιστούν σε γραμμικό σύστημα εφόσον είναι γνωστή μια συγκεκριμένη λύση.

## Σχετικά με τους τομείς

### Αριθμητική δυναμική

Η αριθμητική δυναμική είναι ένας τομέας που εμφανίστηκε τη δεκαετία του 1990 και συγχωνεύει δύο περιοχές των μαθηματικών, τα δυναμικά συστήματα και τη θεωρία αριθμών. Κλασικά, η διακριτή δυναμική αναφέρεται στη μελέτη της επανάληψης των αυτοχαρτογραφήσεων του μιγαδικού επιπέδου ή της πραγματικής γραμμής. Η αριθμητική δυναμική είναι η μελέτη των αριθμοθεωρητικών ιδιοτήτων ακέραιων, ρητών, *p*-adic ή/και αλγεβρικών σημείων υπό την επαναλαμβανόμενη εφαρμογή ενός πολυωνύμου ή μιας ρητής συνάρτησης.

#### Θεωρία του χάους

Η θεωρία του χάους περιγράφει τη συμπεριφορά ορισμένων δυναμικών συστημάτων -δηλαδή συστημάτων των οποίων η κατάσταση εξελίσσεται με το χρόνο- τα οποία μπορεί να παρουσιάζουν δυναμική που είναι ιδιαίτερα ευαίσθητη στις αρχικές συνθήκες (ευρέως αναφέρεται ως φαινόμενο της πεταλούδας). Ως αποτέλεσμα αυτής της ευαισθησίας, η οποία εκδηλώνεται ως εκθετική αύξηση των διαταραχών των αρχικών συνθηκών, η συμπεριφορά των χαοτικών συστημάτων εμφανίζεται τυχαία. Αυτό συμβαίνει παρόλο που τα συστήματα αυτά είναι προσδιορισμένα, πράγμα που σημαίνει ότι η μελλοντική δυναμική τους καθορίζεται πλήρως από τις αρχικές τους συνθήκες, χωρίς να εμπλέκονται τυχαία στοιχεία. Η συμπεριφορά αυτή είναι γνωστή ως ντετερμινιστικό χάος ή απλώς χάος.

#### Πολύπλοκα συστήματα

Τα πολύπλοκα συστήματα είναι ένας επιστημονικός τομέας που μελετά τις κοινές ιδιότητες των συστημάτων που θεωρούνται πολύπλοκα στη φύση, την κοινωνία και την επιστήμη. Ονομάζεται επίσης θεωρία πολύπλοκων συστημάτων, επιστήμη της πολυπλοκότητας, μελέτη των πολύπλοκων συστημάτων ή/και επιστήμες της πολυπλοκότητας. Τα βασικά προβλήματα αυτών των συστημάτων είναι οι δυσκολίες με την επίσημη μοντελοποίηση και προσομοίωσή τους. Από την άποψη αυτή, σε διάφορα ερευνητικά πλαίσια τα πολύπλοκα συστήματα ορίζονται με βάση τα διάφορα χαρακτηριστικά τους.

Η µελέτη των πολύπλοκων συστηµάτων προσδίδει νέα ζωτικότητα σε πολλούς τοµείς της επιστήµης, όπου µια πιο τυπική αναγωγιστική στρατηγική έχει αποτύχει. Συνεπώς, τα πολύπλοκα συστήματα χρησιμοποιούνται συχνά ως ένας ευρύς όρος που περιλαμβάνει μια ερευνητική προσέγγιση προβλημάτων σε πολλούς διαφορετικούς κλάδους, όπως οι νευροεπιστήμες, οι κοινωνικές επιστήμες, η μετεωρολογία, η χημεία, η φυσική, η επιστήμη των υπολογιστών, η ψυχολογία, η τεχνητή ζωή, ο εξελικτικός υπολογισμός, τα οικονομικά, η πρόβλεψη σεισμών, η μοριακή βιολογία και οι έρευνες για τη φύση των ίδιων των ζωντανών κυττάρων.

#### Θεωρία ελέγχου

Η θεωρία ελέγχου είναι ένας διεπιστημονικός κλάδος της μηχανικής και των μαθηματικών, ο οποίος εν μέρει ασχολείται με τον επηρεασμό της συμπεριφοράς δυναμικών συστημάτων.

#### Εργοδική θεωρία

Η εργοδική θεωρία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που μελετά δυναμικά συστήματα με αναλλοίωτο μέτρο και συναφή προβλήματα. Η αρχική της ανάπτυξη είχε ως κίνητρο προβλήματα της στατιστικής φυσικής.

#### Συναρτησιακή ανάλυση

Η συναρτησιακή ανάλυση είναι ο κλάδος των μαθηματικών, και συγκεκριμένα της ανάλυσης, που ασχολείται με τη μελέτη διανυσματικών χώρων και τελεστών που δρουν σε αυτούς. Έχει τις ιστορικές της ρίζες στη μελέτη των συναρτησιακών χώρων, ιδίως των μετασχηματισμών των συναρτήσεων, όπως ο μετασχηματισμός Φουριέ, καθώς και στη μελέτη των διαφορικών και ολοκληρωτικών εξισώσεων. Αυτή η χρήση της λέξης συναρτησιακή ανάγεται στον λογισμό των μεταβολών, υπονοώντας μια συνάρτηση της οποίας το όρισμα είναι μια συνάρτηση. Η χρήση της γενικά έχει αποδοθεί στον μαθηματικό και φυσικό Βίτο Βολτέρα και η θεμελίωσή της αποδίδεται σε μεγάλο βαθμό στον μαθηματικό Στέφαν Μπάναχ.

#### Δυναμικά συστήματα γράφων

Η έννοια των δυναμικών συστημάτων γράφων (GDS) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την αποτύπωση ενός ευρέος φάσματος διαδικασιών που λαμβάνουν χώρα σε γράφους ή δίκτυα. Ένα σημαντικό θέμα στη μαθηματική και υπολογιστική ανάλυση των δυναμικών συστημάτων γράφων είναι η συσχέτιση των δομικών ιδιοτήτων τους (π.χ. της συνδεσιμότητας του δικτύου) και της συνολικής δυναμικής που προκύπτει.

#### Προβαλλόμενα δυναμικά συστήματα

Τα προβαλλόμενα δυναμικά συστήματα είναι μια μαθηματική θεωρία που διερευνά τη συμπεριφορά δυναμικών συστημάτων όπου οι λύσεις περιορίζονται σε ένα σύνολο περιορισμών. Ο κλάδος μοιράζεται συνδέσεις και εφαρμογές τόσο με τον στατικό κόσμο των προβλημάτων βελτιστοποίησης και ισορροπίας όσο και με τον δυναμικό κόσμο των συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Ένα προβαλλόμενο δυναμικό σύστημα δίνεται από τη ροή στην προβαλλόμενη διαφορική εξίσωση.

#### Συμβολική δυναμική

Η συμβολική δυναμική είναι η πρακτική της μοντελοποίησης ενός τοπολογικού ή ομαλού δυναμικού συστήματος μέσω ενός διακριτού χώρου που αποτελείται από άπειρες ακολουθίες αφηρημένων συμβόλων, καθένα από τα οποία αντιστοιχεί σε μια κατάσταση του συστήματος, με τη δυναμική (εξέλιξη) να δίνεται από τον τελεστή μετατόπισης.

#### Δυναμική συστημάτων

Η δυναμική συστημάτων είναι μια προσέγγιση για την κατανόηση της συμπεριφοράς των συστημάτων με την πάροδο του χρόνου. Ασχολείται με τους εσωτερικούς βρόχους ανατροφοδότησης και τις χρονικές καθυστερήσεις που επηρεάζουν τη συμπεριφορά και την κατάσταση ολόκληρου του συστήματος. Αυτό που κάνει τη χρήση της δυναμικής συστημάτων να διαφέρει από άλλες προσεγγίσεις για τη μελέτη των συστημάτων είναι η γλώσσα που χρησιμοποιείται για την περιγραφή των βρόχων ανατροφοδότησης με αποθέματα και ροές. Τα στοιχεία αυτά βοηθούν στην περιγραφή του τρόπου με τον οποίο ακόμη και φαινομενικά απλά συστήματα εμφανίζουν αινιγματική μη γραμμικότητα.

#### Τοπολογική δυναμική

Η τοπολογική δυναμική είναι ένας κλάδος της θεωρίας των δυναμικών συστημάτων στον οποίο μελετώνται ποιοτικές, ασυμπτωτικές ιδιότητες δυναμικών συστημάτων από την άποψη της γενικής τοπολογίας.

## Εφαρμογές

### Στη βιομηχανική

Στην αθλητική βιομηχανική, η θεωρία των δυναμικών συστημάτων έχει αναδειχθεί στις επιστήμες της κίνησης ως ένα βιώσιμο πλαίσιο για τη μοντελοποίηση της αθλητικής απόδοσης και αποτελεσματικότητας. Αυτό δεν αποτελεί έκπληξη, δεδομένου ότι η θεωρία δυναμικών συστημάτων έχει τις ρίζες της στην Αναλυτική Μηχανική. Από ψυχοφυσιολογική άποψη, το ανθρώπινο σύστημα κίνησης είναι ένα εξαιρετικά περίπλοκο δίκτυο συν-εξαρτώμενων υποσυστημάτων (π.χ. αναπνευστικό, κυκλοφορικό, νευρικό, σκελετομυϊκό, αντιληπτικό) που αποτελείται από μεγάλο αριθμό αλληλεπιδρώντων συστατικών (π.χ. κύτταρα αίματος, μόρια οξυγόνου, μυϊκός ιστός, μεταβολικά ένζυμα, συνδετικός ιστός και οστά). Στη θεωρία των δυναμικών συστημάτων, τα πρότυπα κίνησης προκύπτουν μέσω γενικών διαδικασιών αυτοοργάνωσης που απαντώνται στα φυσικά και βιολογικά συστήματα. Δεν υπάρχει ερευνητική επικύρωση οποιουδήποτε από τους ισχυρισμούς που σχετίζονται με την εννοιολογική εφαρμογή αυτού του πλαισίου.

#### Στη γνωστική επιστήμη

Η θεωρία των δυναμικών συστημάτων έχει εφαρμοστεί στον τομέα των νευροεπιστημών και της γνωστικής ανάπτυξης, ιδίως στις νεο-πιαζετιανές θεωρίες της γνωστικής ανάπτυξης. Πρόκειται για την πεποίθηση ότι η γνωστική ανάπτυξη αναπαρίσταται καλύτερα με φυσικές θεωρίες παρά με θεωρίες που βασίζονται στη σύνταξη και την ΤΝ. Πιστεύεται επίσης ότι οι διαφορικές εξισώσεις είναι το καταλληλότερο εργαλείο για τη μοντελοποίηση της ανθρώπινης συμπεριφοράς. Οι εξισώσεις αυτές ερμηνεύονται για να αναπαραστήσουν τη γνωστική πορεία ενός πράκτορα μέσα στο χώρο καταστάσεων. Με άλλα λόγια, οι δυναμικιστές υποστηρίζουν ότι η ψυχολογία θα πρέπει να είναι (ή είναι) η περιγραφή (μέσω διαφορικών εξισώσεων) των γνωστικών καταστάσεων και των συμπεριφορών ενός πράκτορα υπό ορισμένες περιβαλλοντικές και εσωτερικές πιέσεις. Η γλώσσα της θεωρίας του χάους υιοθετείται επίσης συχνά.

Σε αυτήν, ο νους του μαθητή φτάνει σε μια κατάσταση ανισορροπίας όπου τα παλιά πρότυπα έχουν καταρρεύσει. Αυτή είναι η μετάβαση φάσης της γνωστικής ανάπτυξης. Η αυτοοργάνωση (η αυθόρμητη δημιουργία συνεκτικών μορφών) αρχίζει καθώς τα επίπεδα δραστηριότητας συνδέονται μεταξύ τους. Οι νεοδημιουργημένες μακροσκοπικές και μικροσκοπικές δομές υποστηρίζουν η μία την άλλη, επιταχύνοντας τη διαδικασία. Αυτές οι συνδέσεις διαμορφώνουν τη δομή μιας νέας κατάστασης τάξης στο μυαλό μέσω μιας διαδικασίας που ονομάζεται scalloping (η επαναλαμβανόμενη δημιουργία και κατάρρευση σύνθετων επιδόσεων.) Αυτή η νέα, καινοφανής κατάσταση είναι προοδευτική, διακριτή, ιδιοσυγκρασιακή και απρόβλεπτη.

Η θεωρία των δυναμικών συστημάτων χρησιμοποιήθηκε πρόσφατα για να εξηγήσει ένα μακροχρόνιο αναπάντητο πρόβλημα στην ανάπτυξη του παιδιού που αναφέρεται ως το σφάλμα Α-όχι-Β .

Περαιτέρω, από τα μέσα της δεκαετίας του 1990 η γνωστική επιστήμη, προσανατολισμένη προς έναν συστημικό θεωρητικό συνδετισμό, υιοθετεί όλο και περισσότερο τις μεθόδους από τη (μη γραμμική) "Θεωρία Δυναμικών Συστημάτων (DST)" Μια ποικιλία νευροσυμβολικών γνωστικών νευροαρχιτεκτονικών στο σύγχρονο συνδετισμό, λαμβάνοντας υπόψη τον μαθηματικό δομικό τους πυρήνα, μπορούν να κατηγοριοποιηθούν ως (μη γραμμικά) δυναμικά συστήματα. Αυτές οι προσπάθειες στη νευρογνωσία να συγχωνευθούν οι συνδετιστικές γνωστικές νευροαρχιτεκτονικές με τη DST προέρχονται όχι μόνο από τη νευροπληροφορική και τον συνδετισμό, αλλά και πρόσφατα από την αναπτυξιακή ψυχολογία (" Δυναμική Θεωρία Πεδίου (DFT)") και από την "εξελικτική ρομποτική" και την "αναπτυξιακή ρομποτική"  σε συνδυασμό με τη μαθηματική μέθοδο του "εξελικτικού υπολογισμού (EC)". Για μια επισκόπηση βλέπε Maurer.

## Στην ανάπτυξη της δεύτερης γλώσσας

Η εφαρμογή της Θεωρίας των Δυναμικών Συστημάτων για τη μελέτη της κατάκτησης της δεύτερης γλώσσας αποδίδεται στην Ντάιαν Λάρσεν-Φρίμαν, η οποία δημοσίευσε ένα άρθρο το 1997 στο οποίο υποστήριξε ότι η κατάκτηση της δεύτερης γλώσσας θα πρέπει να θεωρηθεί ως μια αναπτυξιακή διαδικασία που περιλαμβάνει τόσο τη γλωσσική φθορά όσο και την κατάκτηση της γλώσσας. Στο άρθρο της υποστήριξε ότι η γλώσσα θα πρέπει να θεωρηθεί ως ένα δυναμικό σύστημα το οποίο είναι δυναμικό, πολύπλοκο, μη γραμμικό, χαοτικό, απρόβλεπτο, ευαίσθητο στις αρχικές συνθήκες, ανοιχτό, αυτοοργανωμένο, ευαίσθητο στην ανατροφοδότηση και προσαρμοστικό.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

## Δείτε επίσης
* Θεωρία αριθμών
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Αντίστροφη συνάρτηση
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Μοδιακή αριθμητική
* Θεωρία αναπαραστάσεων
* Μη ευκλείδειες γεωμετρίες
* 2-διάνυσμα (bivector)
* Ευκλείδειος χώρος
* Γκαουσιανή απαλοιφή
* Θεώρημα ρητής ρίζας
* Συνάρτηση μάζας πιθανότητας
* Πολλαπλασιασμός πινάκων
* Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Μιγαδικός αριθμός
* Δισδιάστατος χώρος

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
*
*
*
*
*
* 

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

Κατηγορία:Μιγαδικοί αριθμοί
Κατηγορία:Δυναμικά συστήματα
Κατηγορία:Πληροφορική
Κατηγορία:Λογική για Υπολογιστές
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών
Κατηγορία:Θεωρία αριθμών