Ακολουθία Όιλερ

Στα μαθηματικά, η **ακολουθία Όιλερ** είναι μια συγκεκριμένη ακριβής ακολουθία δεμτιών στον *n*-διάστατο προβολικό χώρο πάνω σε έναν δακτύλιο. Δείχνει ότι η δέσμη των σχετικών διαφορικών είναι σταθερά ισόμορφη με ένα (n+1)}-πολλαπλό άθροισμα του διπλού της δέσμης συστροφής Σερ.

Η ακολουθία Όιλερ γενικεύεται σε εκείνη μιας προβολικής δέσμης καθώς και μιας δέσμης Γκράσμαν (δείτε το τελευταίο άρθρο για αυτή τη γενίκευση).

## Ιδιότητες
Έστω \mathbb{P}^n_A είναι ο *n*-διάστατος προβολικός χώρος πάνω από έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο *A*. Έστω \Omega^1 = \Omega^1_{\mathbb P^n_A/A} είναι η δέσμη των 1-διαφορικών σε αυτόν τον χώρο, και ούτω καθεξής. Η ακολουθία του Όιλερ είναι η ακόλουθη ακριβής ακολουθία των δεσμών στον \mathbb{P}^n_A:

 0 \longrightarrow \Omega^1 \longrightarrow \mathcal{O}(-1)^{\oplus (n+1)} \longrightarrow \mathcal{O} \longrightarrow 0.

Η ακολουθία μπορεί να κατασκευαστεί ορίζοντας έναν ομομορφισμό S(-1)^{\oplus n+1} \to S, e_i \mapsto x_i με S = A[x_0, \ldots, x_n] and e_i = 1 και e_i = 1 σε βαθμό 1, επιρριπτική σε βαθμούς \geq 1, και ελέγχοντας ότι τοπικά στα n+1 πρότυπα διαγράμματα, ο πυρήνας είναι ισομορφικός με σχετικό διαφορικό πρότυπο .

## Γεωμετρική ερμηνεία
Υποθέτουμε ότι το A είναι ένα σώμα k.

Η παραπάνω ακριβής ακολουθία είναι διπλή της ακολουθίας

: 0 \longrightarrow \mathcal O \longrightarrow \mathcal O (1)^{\oplus (n+1)} \longrightarrow \mathcal T \longrightarrow 0 ,

όπου \mathcal T είναι η εφαπτομένη του \mathbb{P}^n.

Ας αναλύσουμε την ελεύθερη από συντεταγμένες εκδοχή αυτής της ακολουθίας, στο\mathbb{P} V για έναν (n+1)-διάστατο διανυσματικό χώρο *V* πάνω από *k*: 

:0\longrightarrow  \mathcal O_{\mathbb{P} V} \longrightarrow \mathcal O_{\mathbb{P} V}(1)\otimes V \longrightarrow \mathcal T_{\mathbb{P} V} \longrightarrow 0. 

Αυτή η ακολουθία γίνεται πιο εύκολα κατανοητή ερμηνεύοντας τμήματα του κεντρικού όρου ως 1-ομογενή διανυσματικά πεδία στο *V*.  Ένα τέτοιο τμήμα, το διανυσματικό πεδίο Όιλερ, συνδέει σε κάθε σημείο v της ποικιλίας Vεφαπτόμενου διανύσματος v.  Αυτό το διανυσματικό σώμα είναι ακτινικό με την έννοια ότι εξαφανίζεται ομοιόμορφα σε 0-ομοιογενείς συναρτήσεις, δηλαδή στις συναρτήσεις που είναι αναλλοίωτες με ομοθετική αναδιαβάθμιση ή "*ανεξάρτητες από την ακτινική συντεταγμένη*".

Μια συνάρτηση (που ορίζεται σε κάποιο ανοικτό σύνολο) στο \mathbb P V οδηγεί μέσω επαναφοράς σε μια 0-ομογενή συνάρτηση στο *V* (και πάλι μερικώς καθορισμένη). Λαμβάνουμε 1-ομογενή διανυσματικά πεδία πολλαπλασιάζοντας το διανυσματικό πεδίο Όιλερ με τέτοιες συναρτήσεις. Αυτός είναι ο ορισμός του πρώτου χάρτη, και η εγχυσιμότητά του είναι άμεση.

Ο δεύτερος χάρτης σχετίζεται με την έννοια της παραγώγισης, ισοδύναμη με εκείνη του διανυσματικού πεδίου. Υπενθυμίζουμε ότι ένα διανυσματικό πεδίο σε ένα ανοικτό σύνολο *U* του προβολικού χώρου \mathbb{P} V μπορεί να οριστεί ως παραγώγιση των συναρτήσεων που ορίζονται σε αυτό το ανοικτό σύνολο. Ανασυρόμενο στο *V*, αυτό είναι ισοδύναμο με μια παραγώγιση στην προεικόνιση του *U* που διατηρεί τις 0-ομογενείς συναρτήσεις. Κάθε διανυσματικό πεδίο στο \mathbb{P} V μπορεί έτσι να προκύψει, και το ελάττωμα της injectivity αυτής της απεικόνισης αποτελείται ακριβώς από τα ακτινικά διανυσματικά πεδία.

Επομένως, ο πυρήνας του δεύτερου μορφισμού ισούται με την εικόνα του πρώτου.

## Η κανονική δέσμη γραμμών των προβολικών χώρων
Παίρνοντας την υψηλότερη εξωτερική δύναμη, βλέπουμε ότι η κανονική δέσμη ενός προβολικού χώρου δίνεται από τη σχέση \omega_{\mathbb{P}^n_A/A} = \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n_A}(-(n+1)).

Ειδικότερα, οι προβολικοί χώροι είναι ποικιλίες Fano, επειδή η κανονική δέσμη είναι αντι-δειγματική και αυτή η δέσμη γραμμών δεν έχει μη μηδενικά παγκόσμια τμήματα, οπότε το γεωμετρικό γένος είναι 0. Αυτό μπορεί να διαπιστωθεί εξετάζοντας την ακολουθία Όιλερ και βάζοντάς την στον τύπο του προσδιοριστή 

\det(\mathcal{E}) = \det(\mathcal{E}') \otimes \det(\mathcal{E}*)</math>

για κάθε σύντομη ακριβή ακολουθία της μορφής 
<math>0 \to \mathcal{E}' \to \mathcal{E} \to \mathcal{E}*\to 0.

## Κλάσεις Τσερν
Η ακολουθία Όιλερ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των κλάσεων Τσερν του προβολικού χώρου. Υπενθυμίζεται ότι δεδομένης μιας σύντομης ακριβούς ακολουθίας συνεκτικών δεσμών, 

0 \to \mathcal{E}' \to \mathcal{E} \to \mathcal{E}*\to 0,</math>

μπορούμε να υπολογίσουμε την συνολική τάξη Τσερν του <math>\mathcal{E}</math> με τον τύπο <math>c(\mathcal{E}) = c(\mathcal{E}')\cdot c(\mathcal{E}*). Παραδείγματος χάριν, στο \mathbb{P}^2 βρίσκουμε 
\begin{align} c(\Omega^1_{\mathbb{P}^2}) &= \frac{c(\mathcal{O}(-1)^{\oplus (2+1)})}{c(\mathcal{O})} \\
&= (1 - [H])^3 \\
&= 1 - 3[H] + 3[H]^2 - [H]^3 \\
&= 1 - 3[H] + 3[H]^2,
\end{align}

όπου [H] αντιπροσωπεύει την κλάση υπερεπιπέδου στον δακτύλιο Tσόου A^\bullet(\mathbb{P}^2). 

Χρησιμοποιώντας την ακριβή ακολουθία  

0 \to \Omega^2 \to \mathcal{O}(-2)^{\oplus 3} \to \Omega^1 \to 0, 

και πάλι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο της συνολικής κλάσης Τσερν για να βρούμε 

\begin{align}
c(\Omega^2) &= \frac{c(\mathcal{O}(-2)^{\oplus 3})}{c(\Omega^1)} \\
&= \frac{(1 - 2[H])^3}{1 - 3[H] + 3[H]^2}.
\end{align}

Δεδομένου ότι πρέπει να αντιστρέψουμε το πολυώνυμο στον παρονομαστή, αυτό είναι ισοδύναμο με την εύρεση μιας δυναμοσειράς a([H]) = a_0 + a_1[H] + a_2[H]^2 +a_3[H]^3 + \cdots such that a([H])c(\Omega^1) = 1.

## Δημοσιεύσεις

*Euler Sequence and Koszul complex of a module
*Euler sequences in joint angles & Gimbal lock 
*On the Euler sequence spaces which include the spaces ℓp and ℓ∞ I
* Euler sequences, Quats, and DCMs #19600 
* 

## Δείτε επίσης
*Commutative algebra

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Euler sequence for complete smooth k*-surfaces
*Euler Sequence and Koszul complex of a module

## Παραπομπές


 

Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Προβολική γεωμετρία
Κατηγορία:Κλασική γεωμετρία