Επέκταση Γκαλουά

Στα μαθηματικά, μια **επέκταση Γκαλουά** είναι μια επέκταση αλγεβρικού σώματος *E*/*F* που είναι κανονική και διαχωρίσιμη ή ισοδύναμα, το *E*/*F* είναι αλγεβρικό και το σώμα που καθορίζεται από την ομάδα αυτομορφισμού Aut(*E*/*F*) είναι ακριβώς το βασικό σώμα F. Η σημασία του να είναι μια επέκταση Γκαλουά είναι ότι η επέκταση έχει μια ομάδα Γκαλουά και υπακούει στο θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας Γκαλουά

Ένα αποτέλεσμα του Εμίλ Αρτίν επιτρέπει την κατασκευή επεκτάσεων Γκαλουά ως εξής: Αν E είναι ένα δεδομένο σώμα και *G* είναι μια πεπερασμένη ομάδα αυτομορφισμών του *E* με σταθερό σώμα *F*, τότε το *E*/*F* είναι μια επέκταση Γκαλουά

Η ιδιότητα μιας επέκτασης να είναι Γκαλουά συμπεριφέρεται καλά σε σχέση με τη σύνθεση και την τομή του σώματος.

## Χαρακτηρισμός των επεκτάσεων Γκαλουά

Ένα σημαντικό θεώρημα του Εμίλ Αρτίν δηλώνει ότι για μια πεπερασμένη επέκταση E/F, κάθε μία από τις ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμη με την πρόταση ότι η E/F είναι Γκαλουά:

*E/F είναι μια κανονική επέκταση και μια διαχωρίσιμη επέκταση.
*E είναι σώμα διασπάσεως ενός διαχωρίσιμου πολυωνύμου με συντελεστές στο F.
*|\!\operatorname{Aut}(E/F)| = [E:F], δηλαδή ο αριθμός των αυτομορφισμών ισούται με τον βαθμό της επέκτασης.

Άλλες ισοδύναμες δηλώσεις είναι:

*Κάθε μη αναγώγιμο πολυώνυμο στο F[x] με τουλάχιστον μία ρίζα στο E χωρίζεται πάνω στο E και είναι διαχωρίσιμο.
*|\!\!\operatorname{Aut}(E/F)| \geq [E:F], δηλαδή, ο αριθμός των αυτομορφισμών είναι τουλάχιστον ο βαθμός της επέκτασης.
*F είναι το σταθερό σώμα μιας υποομάδας της \operatorname{Aut}(E).
*F είναι το σταθερό σώμα της \operatorname{Aut}(E/F).
*Υπάρχει μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ των υποσωμάτων τουE/F και των υποομάδων του \operatorname{Aut}(E/F).

Μια άπειρη επέκταση σώματος E/F είναι Γκαλουά αν και μόνο αν E είναι η ένωση πεπερασμένων υποεπεκτάσεων Γκαλουά E_i/F που δεικτοδοτούνται από ένα (άπειρο) σύνολο δεικτών I, δηλ. E=\bigcup_{i\in I}E_i και η ομάδα Γκαλουά είναι ένα αντίστροφο όριο \operatorname{Aut}(E/F)=\varprojlim_{i\in I}{\operatorname{Aut}(E_i/F)}  όπου το αντίστροφο σύστημα διατάσσεται από την ένταξη του σώματος E_i\subset E_j.

## Παραδείγματα
Υπάρχουν δύο βασικοί τρόποι για την κατασκευή παραδειγμάτων επεκτάσεων Γκαλουά.

* Ας πάρουμε οποιοδήποτε σώμα E, οποιαδήποτε πεπερασμένη υποομάδα του \operatorname{Aut}(E), και έστω F το σταθερό σώμα.
* Ας πάρουμε οποιοδήποτε σώμα F, οποιοδήποτε διαχωρίσιμο πολυώνυμο στο F[x], και έστω E το διαχωριστικό του σώμα.

Η πρόσθεση στο σώμα ρητών αριθμών της τετραγωνικής ρίζας του 2 δίνει μια επέκταση Γκαλουά, ενώ η πρόσθεση της κυβικής ρίζας του 2 δίνει μια μη Γκαλουά επέκταση. Και οι δύο αυτές επεκτάσεις είναι διαχωρίσιμες, επειδή έχουν χαρακτηριστικό μηδέν. Η πρώτη από αυτές είναι το σώμα διασπάσεως του x^2 -2- η δεύτερη έχει κανονική κλειστότητα που περιλαμβάνει τις μιγαδικές κυβικές ρίζες της μονάδας και έτσι δεν είναι σώμα διασπάσεως. Στην πραγματικότητα, δεν έχει κανέναν αυτομορφισμό εκτός από την ταυτότητα, επειδή περιέχεται στους πραγματικούς αριθμούς και το x^3 -2 έχει μόνο μία πραγματική ρίζα. Για πιο λεπτομερή παραδείγματα, δείτε τη σελίδα για το θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας Γκαλουά.

Μία αλγεβρική κλειστότητα \bar K ενός αυθαίρετου σώματος K είναι Γκαλουά πάνω στο K αν και μόνο αν το K είναι τέλειο σώμα.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Διδιάστατος χώρος
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Υπερβολική γεωμετρία
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Σώμα διασπάσεως
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές



•	Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556

*
*
* *(Galois' original paper, with extensive background and commentary.)*
*
*
*  *(Chapter 4 gives an introduction to the field-theoretic approach to Galois theory.)*
* (This book introduces the reader to the Galois theory  of Grothendieck, and some generalisations, leading to Galois groupoids.)
*
*
*
*
*
*.   **English translation** (of 2nd revised edition):  *(Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)*
*

## Πηγές
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα