Λογική

[μικρογραφία|338x338εσ|Γκρέγκορ Ράις, «Η λογική παρουσιάζει τα κεντρικά της θέματα» Τα δύο σκυλιά ''veritas'' (ο Αληθινός) και ''falsitas'' (ο Ψεύτικος) τρέχουν πίσω από τον λαγό ''problema'' (το Πρόβλημα), και η λογική ορμά μπροστά οπλισμένη με το σπαθί της ''syllogismus'' (Συλλογισμός). Κάτω αριστερά εικονίζεται ο [Παρμενίδης σε μια σπηλιά, ο οποίος εικάζεται ότι εισήγαγε τη λογική επιχειρηματολογία στη φιλοσοφία.]]
Η **λογική** έχει δύο έννοιες. Είναι η μελέτη των τρόπων συλλογισμού (εκείνων που ισχύουν, καθώς και των εσφαλμένων), όπως και η χρήση έγκυρων συλλογισμών. Στην τελευταία αυτή έννοια, η λογική χρησιμοποιείται στις περισσότερες πνευματικές δραστηριότητες, συμπεριλαμβανομένης της φιλοσοφίας της επιστήμης,και της λακωνικότητας, αλλά στην πρώτη έννοια κατά κύριο λόγο μελετήθηκε στους κλάδους της φιλοσοφίας, των μαθηματικών, της σημασιολογίας και της πληροφορικής. Εξετάζει γενικές μορφές οι οποίες μπορούν να επιχειρηματολογηθούν. Στα μαθηματικά είναι η μελέτη των έγκυρων συμπερασμάτων μέσα σε μια τυπική γλώσσα. Η λογική επιπλέον μελετήθηκε στη θεωρία επιχειρηματολογίας.

Η λογική μελετήθηκε σε πολλούς αρχαίους πολιτισμούς, όπως Ινδία, Κίνα, Περσία και Ελλάδα. Στη Δύση, η λογική καθιερώθηκε ως επίσημος κλάδος από τον Αριστοτέλη, ο οποίος της έδωσε θεμελιώδη θέση στη φιλοσοφία. Η μελέτης της λογικής ήταν μέρος της κλασικής trivium, η οποία περιελάμβανε, επίσης, τη γραμματική και τη ρητορική. Στην Ανατολή, η λογική αναπτύχθηκε από τους Βουδιστές και τους Τζαϊνιστές.

Η λογική συχνά χωρίζεται σε τρία μέρη, τον επαγωγικό συλλογισμό, τον υποθετικό-παραγωγικό συλλογισμό και τον παραγωγικό συλλογισμό.

## Αυτόνομος κλάδος ή κλάδος της φιλοσοφίας;
Η λογική, ή καλύτερα επιστήμη της λογικής, είναι η μελέτη των τρόπων συλλογισμού. Με απλά λόγια, είναι η μελέτη του τρόπου με τον οποίο κάνουμε συλλογισμούς, με τον οποίο σκεφτόμαστε, ώστε να συνδέεται άρρηκτα με τη φιλοσοφική δραστηριότητα. Ο σκοπός της είναι να βρει τους συλλογισμούς εκείνους με τους οποίους θα σκεπτόμαστε σωστά (λογικά). Θα μπορούσε να θεωρηθεί ανεξάρτητος κλάδος, όπως η Φυσική και τα Μαθηματικά, για τους περισσότερους όμως φιλοσόφους αποτελεί κυρίως το όργανο της ορθής νόησης, που είναι απαραίτητο όχι μόνο για κάθε μορφή φιλοσοφικής δραστηριότητας, αλλά και για όλες τις επιστήμες.

## Μελέτη της λογικής

Η έννοια της λογικής μορφής είναι κεντρικής σημασίας για τη λογική, αποφαίνεται ότι η εγκυρότητα ενός επιχειρήματος καθορίζεται από τη λογική μορφή του, όχι από το περιεχόμενο του.

* **[[Άτυπη λογική]]** είναι η μελέτη των επιχειρημάτων της φυσικής γλώσσας. Η μελέτη των λογικών πλανών είναι ένας ιδιαίτερα σημαντικός κλάδος της άτυπης λογικής. Οι διάλογοι του Πλάτωνα αποτελούν καλά παραδείγματα άτυπης λογικής.
* **[[Τυπική λογική]]** είναι η μελέτη της συμπερασματολογίας με καθαρά τυπικό περιεχόμενο. Ένα συμπέρασμα διαθέτει ένα καθαρά τυπικό περιεχόμενο εάν αυτό μπορεί να εκφραστεί ως ιδιαίτερη εφαρμογή ενός εντελώς αφηρημένου κανόνα, ενός κανόνα δηλαδή που δεν είναι για κάποιο συγκεκριμένο πράγμα ή υπάρχον αντικείμενο. Τα έργα του Αριστοτέλη περιέχουν την αρχαιότερη γνωστή τυπική μελέτη της λογικής. Η σύγχρονη τυπική λογική ακολουθεί και επεκτείνεται του Αριστοτέλη. Σε πολλούς ορισμούς της λογικής, το λογικό συμπέρασμα και το συμπέρασμα με καθαρά τυπικό περιεχόμενο είναι το ίδιο. Αυτό δεν καθιστά την έννοια της άτυπης λογικής κενή, διότι καμία τυπική λογική δεν μπορεί να αποτυπώσει όλες τις διαβαθμίσεις της φυσικής γλώσσας.
* **[[Μαθηματική λογική|Συμβολική λογική]]** είναι η μελέτη των συμβολικών αφαιρέσεων που λαμβάνουν υπόψη τους τα τυπικά γνωρίσματα του λογικού συμπεράσματος.
* **[[Μαθηματική λογική]]** είναι μια επέκταση της συμβολικής λογικής σε άλλα πεδία, ιδίως στη μελέτη της θεωρίας μοντέλων, της θεωρίας αποδείξεων, της θεωρίας συνόλων και της θεωρίας αναδρομής.

### Λογική μορφή

Η λογική είναι γενικά αποδεκτό να είναι **τυπική** όταν έχει ως στόχο να αναλύσει και να παρουσιάσει τη μορφή οποιουδήποτε έγκυρου τύπου επιχειρήματος. Η μορφή ενός επιχειρήματος εμφανίζεται παρουσιάζοντας τις προτάσεις του στην τυπική γραμματική και τον συμβολισμό μιας λογικής γλώσσας για να κάνουν το περιεχόμενο του να μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε τυπικό συμπέρασμα. Εάν κάποιος θεωρεί ότι η έννοια της μορφής είναι πολύ φορτωμένη φιλοσοφικά, θα μπορούσε να πει κανείς ότι αυτή η μορφοποίηση δεν είναι τίποτε άλλο από μετάφραση ελληνικών προτάσεων στη γλώσσα της λογικής.

Αυτό είναι γνωστό για το ότι δείχνει τη λογική μορφή του επιχειρήματος. Είναι απαραίτητη, διότι ενδεικτικές προτάσεις συνηθισμένων γλωσσών (ordinary languages) εμφανίζουν μια σημαντική ποικιλία στη μορφή και πολυπλοκότητα που καθιστά τη χρήση τους στην συμπερασματολογία μη πρακτικές. Απαιτεί, πρώτα, αγνοώντας τα γραμματικά χαρακτηριστικά, τα οποία είναι άσχετα με τη λογική (όπως το gender (γένος) ή το declension (πτώση), αν το επιχείρημα είναι στα λατινικά), αντικαθιστώντας συνδέσμους που δεν έχουν σχέση με τη λογική (όπως το "αλλά") με λογικούς συνδέσμους όπως and και αντικαθιστώντας διφορούμενες, ή εναλλακτικές λογικές εκφράσεις (any,every, κ.ο.κ.) με εκφράσεις ενός καθιερωμένου τύπου (όπως το all, ή ο καθολικός ποσοδείκτης ∀).

Δεύτερον, ορισμένα τμήματα της πρότασης θα πρέπει να αντικαθίστανται με σχηματικά γράμματα. Έτσι, για παράδειγμα, η έκφραση *όλα τα Α είναι Β* δείχνει τη λογική μορφή που είναι κοινή με τις προτάσεις *όλοι οι άνθρωποι είναι θνητοί*, *όλες οι γάτες είναι σαρκοφάγες*, *όλοι οι Έλληνες είναι φιλόσοφοι* και ούτω καθεξής.

Η έννοια της μορφής (concept of forms), θεμελιώδης στη λογική, ήταν ήδη αναγνωρισμένη στην αρχαιότητα. Ο Αριστοτέλης χρησιμοποιούσε μεταβλητά γράμματα να παριστάνουν έγκυρα συμπεράσματα στα *Αναλυτικά Πρότερα* έτσι ώστε ο Τζαν Λουκάσιεβιτς να πει ότι η εισαγωγή των μεταβλητών ήταν «μία από τις μεγαλύτερες εφευρέσεις του Αριστοτέλη». Σύμφωνα με τους ακόλουθους του Αριστοτέλη (όπως ο Αμμώνιος), μόνο οι αρχές της λογικής που αναφέρονται σε σχηματικούς όρους (schematic terms) ανήκουν στη λογική και όχι εκείνες που δίδονται με συγκεκριμένους όρους. Όροι όπως «άνθρωπος»,«θνητός» κτλ είναι ανάλογοι με αντικαταστάσιμες τιμές στους σχηματικούς όρους 'Α','Β','Γ', οι οποίοι αποκαλούνται η "ύλη" του συμπεράσματος.

Η ουσιαστική διαφορά μεταξύ της μοντέρνας τυπικής λογικής και της παραδοσιακής, ή αλλιώς αριστοτελικής λογικής, βρίσκεται στη διαφορετική ανάλυση της λογικής μορφής των προτάσεων που εξετάζουν.
* Κατά την παραδοσιακή αντίληψη, η μορφή της πρότασης αποτελείται από (1) ένα θέμα (π.χ. «άνθρωπος») με επιπλέον μια ένδειξη ποσότητας («όλα» ή «μερικά» ή «κανένα») (2) το συνδετικό ρήμα, το οποίο είναι της μορφής «είναι» ή «δεν είναι», και (3) ένα κατηγόρημα (π.χ. «θνητός»). Επομένως: Όλοι οι άνθρωποι είναι θνητοί. Οι λογικές σταθερές, όπως «όλα», «όχι» και ούτω καθεξής, καθώς και οι (προτασιακοί-συντακτικοί) σύνδεσμοι «και» και «ή» ονομάστηκαν συγκατηγορηματικοί όροι. Αυτό είναι ένα σταθερό σύστημα, όπου κάθε κρίση έχει μια προσδιορισμένη ποσότητα και συνδετικό ρήμα, καθορίζοντας τη λογική μορφή της πρότασης.
* Σύμφωνα με τη σύγχρονη αντίληψη, η βασική μορφή μιας απλής πρότασης δίνεται από ένα επαναληπτικό σχήμα, με τη συμμετοχή λογικών συνδέσμων, όπως ένα ποσοδείκτη με δεσμευμένη τη μεταβλητή του, τα οποία ενώνονται με την παράθεση σε άλλες προτάσεις, οι οποίες με τη σειρά τους μπορεί να έχουν λογική δομή. 
* Η σύγχρονη θεώρηση είναι ακόμα πιο περίπλοκη, δεδομένου ότι μια ενιαία κρίση του αριστοτελικού συστήματος θα περιλαμβάνει δύο ή περισσότερους λογικούς συνδέσμους. Για παράδειγμα, η πρόταση «Όλοι οι άνθρωποι είναι θνητοί» περιλαμβάνει δύο μη-λογικούς όρους «είναι άνθρωπος» (H) και «είναι θνητός» (M): η πρόταση δίνεται με την κρίση A(H,M). Στην κατηγορηματική λογική, η πρόταση περιλαμβάνει τις δυο ίδιες μη-λογικές έννοιες, εδώ αναλύονται ως H(x) και M(x)), και η πρόταση δίνεται από \forall x. (H(x) \rightarrow M(x)), που αφορούν τους λογικούς συνδέσμους για την καθολική ποσόδειξη και τη συνεπαγωγή. 
* Αλλά εξίσου, η σύγχρονη θεώρηση είναι πιο ισχυρή. Οι επιστήμονες της λογικής στον Μεσαίωνα αναγνώρισαν το πρόβλημα των πολλαπλών μεταβλητών, όπου η αριστοτελική λογική δεν είναι σε θέση να καταστήσει ικανοποιητικά τέτοιες προτάσεις όπως «Μερικοί άνθρωποι έχουν όλη την τύχη», επειδή και οι δύο ποσότητες «όλη» και «μερικοί» μπορεί να έχουν σημασία σε ένα συμπέρασμα, αλλά το σταθερό σύστημα που χρησιμοποιούσε ο Αριστοτέλης επιτρέπει μόνο μία να διέπει το συμπέρασμα. Ακριβώς όπως οι γλωσσολόγοι αναγνωρίζουν την αναδρομική δομή στις φυσικές γλώσσες, φαίνεται ότι η λογική έχει την ανάγκη της αναδρομικής δομής.

### Παραγωγικός και επαγωγικός συλλογισμός

Ο παραγωγικός συλλογισμός αφορά αυτό που έπεται αναγκαστικά από δοθείσες, **προκείμενες**, προτάσεις (αν Α, τότε Β). Ωστόσο, ο επαγωγικός συλλογισμός - η διαδικασία κατά την οποία απορρέει μια αξιόπιστη γενίκευση από παρατηρήσεις - μερικές φορές έχει συμπεριληφθεί στη μελέτη της λογικής. Παρομοίως, είναι σημαντικό να γίνει διάκριση της παραγωγικής εγκυρότητας και της επαγωγικής εγκυρότητας (που ονομάζεται «cogency», ελληνιστί «πειστικότητα»). Η εξαγωγή συμπεράσματος είναι παραγωγικά έγκυρη αν δεν υπάρχει πιθανή κατάσταση στην οποία όλες οι προτάσεις είναι αληθινές αλλά το συμπέρασμα ψευδές. Ένα επαγωγικό επιχείρημα μπορεί να μην είναι ούτε έγκυρο ούτε άκυρο, διότι οι προτάσεις του δίνουν σε κάποιο βαθμό πιθανότητας, αλλά όχι με βεβαιότητα, τη σύναψή του.

Η έννοια της παραγωγικής εγκυρότητας μπορεί να αναφέρεται με αυστηρότητα για τα συστήματα της τυπικής λογικής όσο αφορά τις καλώς εννοούμενες έννοιες της σημασιολογίας. Από την άλλη πλευρά η επαγωγική εγκυρότητα απαιτεί από εμάς να καθορίσουμε μια αξιόπιστη γενίκευση κάποιου συνόλου γενικεύσεων. Το έργο του να παρέχουμε τον ορισμό μπορεί να προσεγγιστεί με διάφορους τρόπους, λιγότερο ή περισσότερο τυπικούς. Μερικοί από αυτούς τους ορισμούς μπορούν να χρησιμοποιούν μαθηματικά μοντέλα πιθανοτήτων. Ως επί το πλείστον αυτή η συζήτηση της λογικής αφορά μόνο την παραγωγική λογική.

### Υποθετικός-παραγωγικός συλλογισμός

Ο υποθετικός-παραγωγικός συλλογισμός («από την καλύτερη διαθέσιμη πληροφορία προς τη βέλτιστη εξήγηση») είναι ένας τρόπος της συλλογιστικής όπου ο Τσαρλς Περς πρότεινε τον 19ο αιώνα να λειτουργεί πέρα και πάνω από την επαγωγή και την παραγωγή για να «ανοίξει νέους ορίζοντες» σε διαδικασίες θεωρητικοποίησης. Αυτός καθορίζει υποθετική-παραγωγική ως τη λογική συλλογιστική η οποία μας επιτρέπει να "καταστήσουμε κατανοητές" ορισμένες παρατηρήσεις ή, γεγονότα που αντιλαμβανόμαστε, «συσχετίζοντας αυτά πίσω σε μία προϋποτιθέμενη κατάσταση πραγμάτων που θα βοηθήσει να ρίξουμε φως επί των παρατηρήσεων». Ο ίδιος παρατηρεί ότι η "χαρακτηριστική φόρμουλα" της συλλογιστικής, που αποκαλεί υποθετική-παραγωγική (retroduction), περιλαμβάνει μια συλλογιστική από το επακόλουθο (τυχόν παρατηρήσεις ή φαινόμενα που αντιλαμβανόμαστε εμπειρικά) σε ένα πρότερο (δηλαδή, μια προϋποτιθέμενη κατάσταση των πραγμάτων που μας βοηθά να καταστήσουμε κατανοητό το παρατηρούμενο φαινόμενο). Ή, όπως αυτός θέτει διαφορετικά, μπορεί να θεωρηθεί ως «παλινδρόμηση από ένα επακόλουθο σε ένα υποθετικό πρότερο». 

Τυπικά (φορμαλιστικά) ο «υποθετικός-παραγωγικός συλλογισμός» του Περς αντιστοιχεί στο λογικό σφάλμα της επιβεβαίωσης του επομένου. Παράδειγμα τέτοιου συλλογισμού είναι:
δοθείσες προτάσεις
«Όταν έχει βρέξει *τότε* το χώμα είναι βρεγμένο»
«το χώμα είναι βρεγμένο»
και συμπέρασμα
«(άρα) έβρεξε». Συμπέρασμα που γενικά μοιάζει έγκυρο, αυστηρά όμως όχι, αφού είναι σαφές ότι υπάρχουν κι άλλα ενδεχόμενα και το συμπέρασμα δεν προκύπτει αναγκαστικά (μπορεί το χώμα να είναι βρεγμένο επειδή κάποιος πότισε τα λουλούδια). Παρατηρήστε επίσης το συμπέρασμα αντιστρέφει τη «φορά» της αρχικά δοθείσας πρότασης (επιβεβαίωση του επομένου).

Αντίθετα ένας αυστηρά έγκυρος παραγωγικός συλλογισμός πάει ως εξής:
οι προκείμενες (δοθείσες προτάσεις που θεωρείται ή είναι γνωστό ότι είναι αληθείς)
«Όταν έχει βρέξει *τότε* το χώμα είναι βρεγμένο».
και
«Έχει βρέξει»
μας δίνουν το συμπέρασμα ότι *άρα*
«Το χώμα είναι βρεγμένο».

Η σύγχρονη χρήση του όρου «επαγωγική λογική» μερικές φορές περικλείει όλους τους μη-παραγωγικούς συλλογισμούς, συμπεριλαμβανομένων κι εκείνων που ο Περς αποκάλεσε «υποθετικούς-παραγωγικούς». 

Σε κάθε περίπτωση αυτό που εξετάζεται συνήθως στη φιλοσοφία είναι η *εγκυρότητα* αυτών των συλλογισμών ως προς τη *μορφή* τους, το αν δηλαδή το συμπέρασμα του συλλογισμού δικαιολογείται από τις δοθείσες προτάσεις, ασχέτως του αν οι προτάσεις αυτές πράγματι αληθεύουν.

Ορισμένοι συγγραφείς πιστεύουν ότι αυτός ο τρόπος της συμπερασματικής δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη κοινωνική θεωρητικοποίηση για να αξιώσει κοινωνικές δομές/μηχανισμούς που να εξηγούν τον τρόπο με τον οποίο τα κοινωνικά αποτελέσματα προκύπτουν στην κοινωνική ζωή και ότι, επίσης, με τη σειρά τους δείχνουν ότι αυτές οι δομές/μηχανισμοί μεταβάλλονται με επαρκή κοινωνική βούληση (και οραματισμού εναλλακτικών λύσεων). Με άλλα λόγια, αυτή η λογική είναι ιδιαίτερα φιλελευθερογενής υπό την έννοια ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να επισημάνει δυνατότητες μετασχηματισμού με τον τρόπο της οργάνωσης της κοινωνικής μας ύπαρξης από την επανεξέταση/εξερεύνηση των βαθιών δομών που δημιουργούν τα αποτελέσματα (και τις πιθανότητες επιβίωσης για τους ανθρώπους. Στο βιβλίο της 'New Racism'(2010), η Norma Romm ερμηνεύει με διάφορους τρόπους για το τι μπορεί να ειπωθεί έτσι ώστε να συμμετέχει στη retroduction ως μια μορφή συμπεράσματος και πώς αυτό μπορεί ακόμα να θεωρηθεί ότι συνδέεται με ένα ύφος θεωρητικοποίησης, όπου οι διαδικασίες της γνώσης (οι οποίες είναι διαλογικά ριζωμένες) είναι συνδεμένες σε κοινωνικά έργα δικαιοσύνης.

### Συνέπεια. Εγκυρότητα. Αξιοπιστία. Πληρότητα.
Μεταξύ των σημαντικών ιδιοτήτων που τα συστήματα λογικής μπορούν να έχουν είναι:
* **[[Λογική συνέπεια|Συνέπεια]]**, που σημαίνει ότι κανένα θεώρημα του συστήματος έρχεται σε αντίθεση με ένα άλλο.
* **[[Εγκυρότητα (λογική)|Εγκυρότητα]]**, που σημαίνει ότι οι αποδεικτικοί κανόνες του συστήματος δεν θα επιτρέψουν ποτέ ένα ψευδές συμπέρασμα από αληθινές προκείμενες. Ένα σύστημα λογικής έχει την ιδιότητα της αξιοπιστίας όταν το σύστημα αυτό έχει την ιδιότητα της εγκυρότητας και χρησιμοποιεί μόνο προκείμενες προτάσεις που αποδεικνύουν αληθινά συμπεράσματα (ή, στην περίπτωση των αξιωμάτων, είναι αλήθεια εξ ορισμού).
* **[[Πληρότητα (λογική)|Πληρότητα]]** (του συστήματος λογικής), που σημαίνει ότι αν ένας τύπος είναι ορθός, τότε θα μπορεί να αποδειχθεί (αν είναι αλήθεια, αποτελεί θεώρημα του εν λόγω συστήματος).
* **[[Αξιοπιστία (λογική)|Αξιοπιστία]]**, ο όρος αυτός έχει πολλές ξεχωριστές σημασίες, πράγμα το οποίο δημιουργεί κάποια σύγχυση στη βιβλιογραφία. Πιο συχνά, η αξιοπιστία αναφέρεται σε λογικά συστήματα, που σημαίνει ότι αν ένας τύπος μπορεί να αποδειχθεί σε ένα σύστημα λογικής, τότε είναι αλήθεια στο αντίστοιχο μοντέλο/δομή (αν Α είναι ένα θεώρημα, τότε το Α είναι αλήθεια). Αυτό είναι το αντίστροφο της πληρότητας. Μια ξεχωριστή, περιφερική χρήση της αξιοπιστίας αναφέρεται στα επιχειρήματα, που σημαίνει ότι οι προκείμενες προτάσεις ενός έγκυρου επιχειρήματος είναι αληθινές και στον πραγματικό κόσμο.

Κάποια λογικά συστήματα δεν έχουν και τις τέσσερις αυτές ιδιότητες. Ως παράδειγμα, τα θεωρήματα μη πληρότητας Kurt Gödel δείχνουν ότι αρκετά σύνθετα τυπικά συστήματα της αριθμητικής δεν μπορούν να είναι συνεπή και πλήρη. Ωστόσο, πρώτης-τάξης κατηγορηματικές λογικές δεν διευρύνονται από συγκεκριμένα αξιώματα με σκοπό να γίνουν αριθμητικά τυπικά συστήματα συνεπή και πλήρη.

#### Προκείμενες

Μια προκείμενη είναι μια δήλωση την οποία ένα επιχείρημα θα ισχυριστεί για να επάγει ή αιτιολογήσει το συμπέρασμα του. Με άλλα λόγια: η προκείμενη είναι η παραδοχή πως κάτι είναι αλήθεια. Στη λογική, ένα επιχείρημα απαιτεί μια σειρά από (τουλάχιστον) δύο δηλωτικές φράσεις (ή "προτάσεις") γνωστές και ως προκείμενες μαζί με μια άλλη δηλωτική φράση (ή "πρόταση") γνωστή ως συμπέρασμα. Αυτή η δομή των δύο προκείμενων και του ενός συμπεράσματος αποτελεί τη βασική επιχειρηματολογική δομή. Τα πιο πολύπλοκα επιχειρήματα μπορεί να χρησιμοποιήσουν μια σειρά από κανόνες για να συνδέσουν διάφορες προκείμενες σε ένα συμπέρασμα, ή να αντλήσουν ορισμένα συμπεράσματα από τις αρχικές προκείμενες που θα λειτουργήσουν στη συνέχεια ως προκείμενες για πρόσθετα συμπεράσματα. Ένα παράδειγμα αυτού είναι η χρήση των κανόνων του συμπερασμού που βρίσκονται μέσα στη συμβολική λογική. 

##### Αξίωμα

Τα αξιώματα συνιστούν προκείμενες στην κυριολεξία. Ένα αξίωμα, είναι μια παραδοχή ή αφετηρία του συλλογισμού. Όπως είναι κλασικά αντιληπτό, ένα αξίωμα είναι μια υπόθεση τόσο εμφανής ώστε να γίνει αποδεκτή ως αληθινή άνευ αμφισβήτησης. Όπως χρησιμοποιείται στη σύγχρονη λογική, ένα αξίωμα είναι, επίσης, απλώς μια παραδοχή ή αφετηρία για ένα συλλογισμό. Τα αξιώματα καθορίζουν και οριοθετούν το χώρο της ανάλυσης. Η σχετική αλήθεια ενός αξιώματος θεωρείται δεδομένη στο συγκεκριμένο τομέα της ανάλυσης, και χρησιμεύει ως ένα σημείο εκκίνησης για τη συναγωγή συμπερασμάτων και άλλων σχετικών αληθειών. Δεν υπάρχει ρητή άποψη όσον αφορά την απόλυτη αλήθεια των αξιωμάτων, που έχουν ληφθεί ποτέ, στο πλαίσιο των σύγχρονων μαθηματικών, καθώς κάτι τέτοιο θεωρείται ότι είναι μια επουσιώδης και αδύνατη αντίφαση.

Στα μαθηματικά, ένα σύστημα αξιωμάτων, που χρησιμοποιείται για τη θεμελίωση ενός κλάδου, πρέπει να πληροί τρεις συνθήκες, τα αξιώματα του συστήματος: (1) να στερούνται αντιφάσεων (δεν είναι δυνατόν, με χρήση των αξιωμάτων, να αποδειχθούν δύο προτάσεις που αντιφάσκουν), (2) να πληρούν το σύστημα (δηλαδή, κάθε θεώρημα του κλάδου, που θέλουμε να θεμελιώσουμε αξιωματικά, να μπορεί να προκύψει ως συνέπεια των αξιωμάτων του συστήματος, και (3) πρέπει να είναι ανεξάρτητα (δηλαδή, κανένα από αυτά δεν πρέπει να είναι συνέπεια των υπολοίπων και συνεπώς να αποδεικνύεται ως θεώρημα). 

#### Συμπέρασμα

Συμπέρασμα είναι η πρόταση η οποία συνδέεται με ένα σύνολο προτάσεων (προκείμενων) ή αιτημάτων με **λογική συνέπεια**. Για παράδειγμα, αν οι προκείμενες είναι "οι άνθρωποι είναι θνητοί" και "ο Σωκράτης είναι ανθρωπος", τότε η πρόταση "ο Σωκράτης είναι θνητός" θα είναι το συμπέρασμα, διότι συνδέεται με τις προηγούμενες με λογική συνέπεια. Αυτή η σχέση της λογικής συνέπειας είναι ίσως η πλέον θεμελιώδης έννοια στη Λογική. Το συμπέρασμα προκύπτει από άλλες προτάσεις, οπότε δεν μπορεί να συνιστά αξίωμα, όμως μπορεί να είναι προκείμενη και, μαζί και με άλλες προκείμενες, να συνδέεται με λογική συνέπεια με μια άλλη πρόταση, ή αλλιώς (εξ ορισμού) συμπέρασμα.

### Άλλες αντιλήψεις για τη λογική

Η λογική προέκυψε από την ανησυχία σχετικά με την ορθότητα της επιχειρηματολογίας. Οι σύγχρονοι επιστήμονες της λογικής συνήθως επιθυμούν να διασφαλίσουν ότι η λογική μελετά ακριβώς αυτά τα επιχειρήματα που προκύπτουν από κατάλληλα γενικές μορφές συναγωγής. Για παράδειγμα, ο Τόμας Χόφβεμπερ γράφει στην Εγκυκλοπαίδεια της Φιλοσοφίας του Στάνφορντ ότι η λογική "δεν υλοποιεί, ωστόσο, καλή συλλογιστική στο σύνολο της. Αυτή είναι η δουλειά της θεωρίας του ορθολογισμού. Αντίθετα, ασχολείται με τα συμπεράσματα των οποίων η ισχύς μπορεί να αναχθεί στα τυπικά γνωρίσματα των αναπαραστάσεων που συμμετέχουν σε αυτή τη συμπερασματική, είτε πρόκειται για γλωσσικές, είτε διανοητικές, είτε άλλες αναπαραστάσεις".
Σε αντίθεση, ο Ιμμάνουελ Καντ υποστήριξε ότι η λογική πρέπει να νοηθεί ως η επιστήμη της κρίσης, μια ιδέα παρμένη από το έργο στη λογική και τη φιλοσοφία του Γκότλομπ Φρέγκε. Ωστόσο το έργο του Φρέγκε είναι διφορούμενο, υπό την έννοια ότι ασχολήθηκε με τους «νόμους της σκέψης» όσο και με τους «νόμους της αλήθειας», δηλαδή αντιμετωπίζει «τη λογική στο πλαίσιο μιας θεωρίας του νου» και «ως μελέτη των αφηρημένων τυπικών δομών».

### Πλάνη

Μια λογική πλάνη είναι ένα επιχείρημα που χρησιμοποιεί ανεπαρκή συλλογιστική στις προκείμενες ή/και το συμπέρασμα. Ένα επιχείρημα μπορεί να είναι εσφαλμένο (παραπλανητικό) είτε το συμπέρασμα του είναι ψευδές είτε όχι. Μια πλάνη μπορεί να είναι τυπική ή άτυπη. Ένα σφάλμα που προέρχεται από μια φτωχή λογική μορφή ονομάζεται μερικές φορές τυπική πλάνη ή απλά άκυρο επιχείρημα. Μια άτυπη πλάνη είναι ένα σφάλμα στη συλλογιστική το οποίο δεν προέρχεται από μια αντικανονική (εσφαλμένη) λογική μορφή. Επιχειρήματα που διαπράττουν άτυπες πλάνες μπορεί να είναι "τυπικά" έγκυρα, αλλά εξακολουθούν να είναι πλάνες (να παραπλανούν).

Οι λογικές πλάνες της **ισχύος του [[τεκμήριο|τεκμηρίου]]** αποτυγχάνουν να αποδείξουν το συμπέρασμα από τη παραδοχή του συμπεράσματος στην απόδειξη. Οι πλάνες των **αδύναμων συμπερασμών** αποτυγχάνουν να αποδείξουν το συμπέρασμα με ανεπαρκή στοιχεία. Οι πλάνες του **περισπασμού** (που στοχεύουν στην απόσπαση της προσοχής) αδυνατούν να αποδείξουν το συμπέρασμα με άσχετα, ασύνδετα, στοιχεία, όπως το συναίσθημα. Οι πλάνες της **[[αμφισημία|αμφισημίας]]** (που στοχεύουν στην ασάφεια, στο να μας μπερδέψουν) αδυνατούν να αποδείξουν να αποδείξουν το συμπέρασμα λόγω της αοριστίας, ασάφειας, στις λέξεις, τις φράσεις ή στη γραμματική.

Οι πλάνες διαπράττονται είτε εκ προθέσεως (για να χειραγωγήσουν ή να πείσουν με δόλο) είτε ακουσίως, άθελα, λόγω απροσεξίας ή άγνοιας. 
 
#### ''Περί των Σοφιστικών ελέγχων''

Ο Αριστοτέλης ήταν ο πρώτος που θα συστηματοποιήσει τα λογικά σφάλματα σε μια λίστα. Στο έργο του *Περί των Σοφιστικών ελέγχων* (το οποίο συμπεριλαμβάνεται στο *Όργανον*) ο Αριστοτέλης προσδιορίζει δεκατρείς πλάνες, Τις χωρίζει σε δύο μεγάλες κατηγορίες, αυτές που εξαρτώνται από τη γλώσσα και αυτές που δεν εξαρτώνται από τη γλώσσα. Θα τις αποκαλούμε **λεκτικές πλάνες** και **αιτιατές πλάνες**, αντιστοίχως. Μια αιτιατή πλάνη είναι ένα σφάλμα πάνω σε αυτό που ο επιχειρηματολόγος συζητά (περί τίνος μιλάει), ενώ μια λεκτική πλάνη είναι ένα σφάλμα πάνω στον τρόπο με τον οποίο ο επιχειρηματολόγος συζητά (πώς μιλάει). Οι λεκτικές πλάνες είναι αυτές στις οποίες το συμπέρασμα προκύπτει από άτοπη (ακατάλληλη, αταίριαστη) και διφορούμενη χρήση των λέξεων.

## Ιστορία

Στην Ευρώπη, ο Αριστοτέλης πρώτος ανέπτυξε την επιστήμη της λογικής. Η αριστοτελική λογική έγινε ευρέως αποδεκτή στην επιστήμη και τα μαθηματικά, ενώ παρέμεινε σε ευρεία χρήση στη Δύση μέχρι τις αρχές του 19ου αιώνα. Το αριστοτελικό σύστημα της λογικής ήταν αυτό που εισήγαγε τον υποθετικό συλλογισμό, τη χρονική τυπική λογική και την επαγωγική λογική, καθώς και σημαντικούς όρους όπως κατηγορία, συλλογισμός και πρόταση. Στην Ευρώπη, κατά την ύστερη μεσαιωνική περίοδο, έγιναν σημαντικές προσπάθειες να δείξουν ότι οι ιδέες του Αριστοτέλη ήταν συμβατές με τη χριστιανική πίστη. Κατά τον πρώιμο Μεσαίωνα, η λογική έγινε το επίκεντρο των φιλοσόφων, οι οποίοι θα συμμετάσχουν σε κρίσιμες λογικές αναλύσεις των φιλοσοφικών επιχειρημάτων, συχνά χρησιμοποιώντας παραλλαγές της μεθοδολογίας του σχολαστικισμού. Το 1323 κυκλοφόρησε το *Summa Logicae* του Ουίλιαμ του Όκχαμ. Μέχρι το 18ο αιώνα, η δομημένη προσέγγιση στην επιχειρηματολογία είχε εκφυλιστεί και έπεσε έπεσε σε δυσμένεια, όπως απεικονίστηκε στο σατυρικό έργο του Λούντβιχ Χόλμπεργκ *Erasmus Montanus*.

Ο Κινέζος φιλόσοφος της λογικής Γκονγκσούν Λονγκ (περ. 325-250 π.Χ.) πρότεινε το παράδοξο "ένα και ένα δεν μπορούν να γίνουν δύο, αφού κανένα δεν γίνεται δύο". Στην Κίνα, η παράδοση της επιστημονικής έρευνας σχετικά με τη λογική, όμως, παρουσιάστηκε στη δυναστεία Κιν μετά από τη νομικιστική φιλοσοφία του Χαν Φέιτζι.

Στην Ινδία, οι καινοτομίες στο σχολαστικό σχολείο, που ονομαζόταν Nyaya, συνεχίστηκε από την αρχαιότητα ως τις αρχές του 18ου αιώνα με το Navya-Navya σχολείο. Μέχρι το 16ο αιώνα, ανέπτυξε θεωρίες που μοιάζουν με τη σύγχρονη λογική, όπως του Γκότλομπ Φρέγκε "διάκριση μεταξύ της έννοιας και της αναφοράς των κύριων ονομάτων" και "ορισμός του αριθμού", καθώς και τη θεωρία των «περιορισμένων όρων καθολικά» προβλέποντας μερικές από τις εξελίξεις στη σύγχρονη θεωρία συνόλων. Από το 1824, η ινδική λογική προσέλκυσε την προσοχή πολλών Δυτικών μελετητών και επηρέασε σημαντικούς επιστήμονες της λογικής του 19ου αιώνα, όπως Τσαρλς Μπάμπατζ, Αουγκούστους ντε Μόργκαν και Τζορτζ Μπουλ. Τον 20ο αιώνα, δυτικοί φιλόσοφοι όπως οι Στάνισλαβ Σάγιερ και Κλάους Γκλάσοφ διερεύνησαν εκτενέστερα την ινδική λογική.

Η συλλογιστική λογική, που αναπτύχθηκε από τον Αριστοτέλη, κυριάρχησε στη Δύση μέχρι τα μέσα του 19ου αιώνα, όταν το ενδιαφέρον στα θεμέλια των μαθηματικών ώθησε στην ανάπτυξη της συμβολικής λογικής (που σήμερα ονομάζεται μαθηματική λογική). Το 1854, ο Τζορτζ Μπουλ δημοσίευσε *Μια έρευνα των νόμων της σκέψης επί των οποίων θεμελιώθηκαν οι μαθηματικές θεωρίες της λογικής και των πιθανοτήτων* (*An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities*), εισάγοντας τη συμβολική λογική και τις αρχές της λογικής του Μπουλ. Το 1879, ο Γκόντλομπ Φρέγκε δημοσίευσε το βιβλίο 'Begriffsschrift', το οποίο εγκαινίασε τη σύγχρονη λογική με την εφεύρεση της σημειογραφίας των ποσοδεικτών. Από το 1910 εώς το 1913, οι Άλφρεντ Νορθ Ουάιτχεντ και Μπέρτραντ Ράσελ δημοσίευσαν το *Principia Mathematica* σχετικά με τα θεμέλια των μαθηματικών, προσπαθώντας να αντλήσει μαθηματικές αλήθειες από αξιώματα και κανόνες συμπερασμού στη συμβολική λογική. Το 1931, ο Γκέντελ έθεσε σοβαρά προβλήματα με το πρόγραμμα της αναζήτησης των θεμελίων και η λογική έπαψε να επικεντρώνεται σε τέτοια ζητήματα. 

Η ανάπτυξη της λογικής από τους Φρέγκε, Ράσελ και Βιτγκεστάιν είχε βαθιά επίδραση στην πρακτική της φιλοσοφίας και στην αντίληψη της φύσης των φιλοσοφικών προβλημάτων (βλέπε αναλυτική φιλοσοφία), και φιλοσοφία των μαθηματικών. Η λογική, ειδικά η προτασιακή λογική, υλοποιείται σε κυκλώματα λογικής του υπολογιστή και είναι θεμελιώδους σημασίας για την επιστήμη των υπολογιστών. Η λογική συνήθως διδάσκεται από πανεπιστημιακά τμήματα φιλοσοφίας, συχνά ως υποχρεωτικό μάθημα. 

### Προϊστορία της λογικής

Ο έγκυρος συλλογισμός έχει χρησιμοποιηθεί σε όλες τις περιόδους της ανθρώπινης ιστορίας. Ωστόσο, η λογική μελετά τις αρχές του έγκυρου συλλογισμού, της συναγωγής και της αποδεικτικής δομής. Είναι πιθανό ότι η ιδέα της απόδειξης ενός αποτελέσματος-συμπεράσματος προέκυψε για πρώτη φορά σε σχέση με τη γεωμετρία. Συγκεκριμένα, οι αρχαίοι Αιγύπτιοι είχαν ανακάλυψαν εμπειρικά κάποιες από τις αλήθειες της γεωμετρίας, όπως είναι ο τύπος για τον όγκο μιας κόλουρης πυραμίδας.

Μια άλλη προέλευση μπορεί να δει κανείς στη Βαβυλωνία. Το εγχειρίδιο ιατρικής διάγνωσης του Esagil-kin-apli στον 11ο αιώνα π.Χ. βασίστηκε σε μια λογική σειρά από αξιώματα και παραδοχές, ενώ οι Βαβυλώνιοι αστρονόμοι στο 8ο και 7ο αιώνα χρησιμοποίησαν μια εσωτερική λογική στα πλαίσια των προβλέψεων των πλανητικών συστημάτων τους, μια σημαντική συμβολή στη φιλοσοφία της επιστήμης.

### Η λογική στην αρχαία ελληνική φιλοσοφία

#### Πριν τον Πλάτωνα

Αν και οι αρχαίοι Αιγύπτιοι ανακάλυψαν εμπειρικά μερικές αλήθειες της γεωμετρίας, το μεγάλο επίτευγμα των αρχαίων Ελλήνων ήταν να αντικαταστήσει τις εμπειρικές μεθόδους με επιστημονικές. Η συστηματική μελέτη αυτή φαίνεται να ξεκίνησε με τη σχολή του Πυθαγόρα στα τέλη του έκτου αιώνα π.Χ. Οι τρεις βασικές αρχές της γεωμετρίας είναι (1) ότι ορισμένες προτάσεις πρέπει να γίνονται δεκτές ως αληθινές χωρίς απόδειξη, (2) ότι όλες οι υπόλοιπες προτάσεις του συστήματος να προκύπτουν από τις προηγούμενες και (3) ότι η εξαγωγή πρέπει να είναι τυπική (φόρμαλ), δηλαδή, ανεξάρτητη από το συγκεκριμένο υπό εξέταση θέμα. Τα σπέρματα των πρώιμων αποδείξεων φυλάσσονται στα έργα του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη, και η ιδέα ενός παραγωγικού τέτοιου συστήματος ήταν πιθανώς γνωστό στη Πυθαγόρεια σχολή και στην Πλατωνική Ακαδημία.

Ξεχωριστά από τη γεωμετρία, η ιδέα για ένα πρότυπο μοτίβο επιχειρήματος βρίσκεται στη *reductio ad absurdum* (**εις άτοπον απαγωγή**) χρησιμοποιήθηκε από τον Ζήνωνα της Ελέας, ένα προσωκρατικό φιλόσοφο του 5ου αιώνα π.Χ. Αυτή είναι η τεχνική της κατάρτισης ενός προφανώς ψευδούς, παράλογου ή αδύνατου συμπεράσματος από την υπόθεση, αποδεικνύοντας έτσι ότι η υπόθεση είναι ψευδής. Ο πλατωνικός διάλογος *[[Παρμενίδης (διάλογος)|Παρμενίδης]]* παρουσιάζει το Ζήνωνα να ισχυρίζεται ότι έχει γράψει ένα βιβλίο όπου υπερασπίζεται το μονισμό του Παρμενίδη καταδεικνύοντας το παράλογο συμπέρασμα να υποτεθεί ότι είναι δυϊσμός. Άλλοι φιλόσοφοι που άσκησαν τέτοια διαλεκτική αιτιολογία ήταν οι λεγόμενοι μικροί σωκρατικοί, συμπεριλαμβανομένων ο Ευκλείδης ο Μεγαρεύς, που ήταν πιθανότατα οπαδός του Παρμενίδη και του Ζήνωνα. Τα μέλη αυτής της σχολής ονομάστηκαν *διαλεκτικοί*. 

Περαιτέρω στοιχεία ότι προαριστοτελικοί διανοητές ασχολήθηκαν με τις αρχές του συλλογισμού βρέθηκαν σε ένα θραύσμα που ονομάζεται *Δίσσοι λόγοι*, το οποίο πιθανώς γράφτηκε στις αρχές του 4ου αιώνα π.Χ. Αυτό είναι μέρος μιας παρατεταμένης συζήτησης για την αλήθεια και την αναλήθεια.

#### Η λογική του Πλάτωνα

Κανένα από τα σωζόμενα έργα του μεγάλου φιλόσοφου Πλάτωνα (428-347 π.Χ.) του 4ου αιώνα δεν περιλαμβάνει οποιαδήποτε τυπική λογική, αλλά περιλαμβάνουν σημαντικές συνεισφορές στον τομέα της φιλοσοφικής λογικής. Ο Πλάτωνας θέτει τρία ερωτήματα:
* Τι είναι αυτό που μπορεί ορθά να καλείται αληθές ή ψευδές;
* Ποια είναι η φύση της σύνδεσης μεταξύ των παραδοχών ενός έγκυρου επιχειρήματος και της σύναψής του;
* Ποια είναι η φύση του ορισμού;
Το πρώτο ερώτημα τίθεται στο διάλογο *Θεαίτητος* ο Πλάτωνας προσδιορίζει τη σκέψη ή την άποψη με τη συζήτηση ή το διάλογο (λόγος). Το δεύτερο ερώτημα είναι αποτέλεσμα της θεωρίας των ιδεών (ή μορφών). Οι "Ιδέες" (μορφές) δεν είναι πράγματα με τη συνήθη έννοια, ούτε αυστηρές έννοιες στο μυαλό, αλλά αντιστοιχούν σε αυτό που οι φιλόσοφοι αργότερα ονόμασαν *universals* (καθολικά), δηλαδή μια αφηρημένη οντότητα κοινή με το ίδιο όνομα σε κάθε σύνολο πραγμάτων. Και στους δύο πλατωνικούς διαλόγους *Πολιτεία* και *Σοφιστής*, ο Πλάτωνας υποστηρίζει ότι η αναγκαία σχέση μεταξύ των προκείμενων και του συμπεράσματος ενός επιχειρήματος αντιστοιχεί σε μια αναγκαία σύνδεση μεταξύ των "Ιδεών" (φορμών). Το τρίτο ερώτημα είναι σχετικό με τον ορισμό. Πολλοί από τους διαλόγους του Πλάτωνα αφορούν την αναζήτηση για τον ορισμό κάποιας σημαντικής έννοιας (δικαιοσύνη, αλήθεια, το καλό), και ενδέχεται ο Πλάτωνας να εντυπωσιάστηκε από τη σημαντικότητα του ορισμού στα μαθηματικά. Οτιδήποτε κρύβεται πίσω από έναν ορισμό είναι μια Πλατωνική "Ιδέα" (φόρμα), ο κοινός χαρακτήρας παρουσιάζεται σε διάφορα συγκεκριμένα πράγματα. Έτσι, ο ορισμός αντικατοπτρίζει το απόλυτο αντικείμενο της κατανόησής μας και είναι θεμέλιο κάθε έγκυρου συμπερασμού. Αυτό είχε μεγάλη επιρροή στον Αριστοτέλη, και ιδίως στην αντίληψη του Αριστοτέλη για την ουσία ενός πράγματος.

#### Η λογική του Αριστοτέλη

Η λογική του Αριστοτέλη, και ιδιαίτερα η θεωρία του για το συλλογισμό, είχε τεράστια επιρροή στη δυτική σκέψη. Τα έργα λογικής, που ονομάζονται ως σύνολο *Το Όργανον*, είναι η πρώτη τυπική μελέτη της λογικής που έχει βρεθεί. Αν και είναι δύσκολο να προσδιορίσουμε τις ημερομηνίες, η πιθανή σειρά της γραφής των λογικών έργων του Αριστοτέλη είναι:
* **Κατηγορίες**, μια μελέτη για τις δέκα κατηγορίες που χαρακτηρίζουν τα όντα του αισθητού κόσμου
* **Τοπικά** (με ένα παράρτημα του που ονομάζεται *Περί των Σοφιστικών ελέγχων*), μια συζήτηση της διαλεκτικής
* **Περί ερμηνείας**, μια ανάλυση απλών κατηγορηματικών προτάσεων, σε απλούς όρους, άρνηση, και ενδείξεις ποσότητας, καθώς και μια ολοκληρωμένη αντιμετώπιση των εννοιών της αντίθεσης και μετατροπής. Το 7ο κεφάλαιο είναι η προέλευση του "τετραγώνου αντίθεσης" (ή λογικού τετραγώνου). Το 9ο κεφάλαιο περιέχει τις απαρχές της τροπικής λογικής.
* **Αναλυτικά Πρότερα**, μια τυπική ανάλυση του έγκυρου επιχειρήματος ή "συλλογισμού"
* **Αναλυτικά Ύστερα**, μια μελέτη της επιστημονικής απόδειξης, που περιέχει τις ώριμες απόψεις του Αριστοτέλη στη λογική.

Τα έργα αυτά είναι εξαιρετικής σημασίας για την ιστορία της λογικής. Ο Αριστοτέλης ήταν ο πρώτος επιστήμονας της λογικής που επιχείρησε μια συστηματική ανάλυση της λογικής σύνταξης, σε ουσιαστικό και ρήμα. Στις *Κατηγορίες* αποπειράθηκε σε όλα τα πράγματα που ένα ουσιαστικό μπορεί να αναφέρεται. Αυτή η ιδέα αποτελεί τη βάση του φιλοσοφικού του έργου, τα *Μεταφυσικά*, τα οποία είχαν επίσης βαθιά επίδραση στη Δυτική σκέψη. Ήταν ο πρώτος που ασχολήθηκε με τις αρχές της αντίφασης και αποκλεισμένης μέσης με συστηματικό τρόπο. Υπήρξε ο πρώτος επιστήμονας της τυπικής λογικής (δηλαδή έδωσε τις αρχές της συλλογιστικής που χρησιμοποιεί μεταβλητές για να δείξει την υποκείμενη λογική μορφή των επιχειρημάτων). Ερευνούσε για τις σχέσεις εξάρτησης που χαρακτηρίζουν αναγκαστικά το συμπέρασμα, και διέκρινε την εγκυρότητα αυτών των σχέσεων, από την αλήθεια των προκείμενων (η αξιοπιστία του επιχειρήματος). Τα *Αναλυτικά Πρότερα* αποτελούν το εγχειρίδιο της συλλογιστικής, όπου τρεις σημαντικές αρχές εφαρμόστηκαν για πρώτη φορά στην ιστορία: η χρήση των μεταβλητών, μια καθαρά τυπική αντιμετώπιση και τη χρήση ενός αξιωματικού συστήματος. Στα *Τοπικά* και *Περί των Σοφιστικών ελέγχων* ανέπτυξε επίσης μια θεωρία μη-τυπικής λογικής (π.χ. θεωρία των πλανών).

#### Στωική λογική

Το άλλο μεγάλο σχολείο της ελληνικής λογικής είναι αυτό των Στωικών. Η στωική λογική έχει τις ρίζες της πίσω στα τέλη του 5ου αιώνα π.Χ., στον φιλόσοφο Ευκλείδη από τα Μέγαρα, μαθητή του Σωκράτη και λίγο μεγαλύτερη ηλικίας σύγχρονος του Πλάτωνα. Οι μαθητές και οι διάδοχοί του ονομάστηκαν "Μεγαρείς", ή "Εριστικοί", ενώ αργότερα "οι Διαλεκτικοί". Οι δύο πιο σημαντικοί διαλεκτικοί της σχολής των Μεγάρων ήταν ο Διόδωρος Κρόνος και ο Φίλων που έδρασαν στα τέλη του 4ου αιώνα π.Χ. Οι Στωικοί υιοθέτησαν τη Μεγαρική λογική και τη συστηματοποίησαν. Το πιο σημαντικό μέλος της σχολής ήταν ο Χρύσιππος, ο οποίος ήταν ο τρίτος κατά σειρά επικεφαλής της σχολής, και ο οποίος τυποποίησε μεγάλο μέρος της στωικής θεωρίας. Υπάρχει η υπόθεση ότι έχει γράψει πάνω από 700 έργα, συμπεριλαμβανομένων τουλάχιστον 300 στη λογική, ενώ σχεδόν κανένα δε σώζεται. Σε αντίθεση με τον Αριστοτέλη, δεν έχουμε ολοκληρωμένα έργα από του Μεγαρείς ή του πρώιμους Στωικούς, και πρέπει να βασιζόμαστε σε αναφορές (μερικές φορές εχθρικές) από μεταγενέστερες πηγές, όπως είναι εμφανώς ο Διογένης ο Λαέρτιος, ο Σέξτος ο Εμπειρικός, ο Γαληνός, ο Αύλος Γέλλιος, ο Αλέξανδρος ο Αφροδισιεύς και ο Κικέρων. 

Τρεις σημαντικές συνεισφορές της στωικής σχολής ήταν (1) η αναφορά στην τροπικότητα, (2) η θεωρία της συνεπαγωγής, και (3) η αναφορά στο νόημα και την αλήθεια.
* **Τροπικότητα**. Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη, οι Μεγαρείς της εποχής του ισχυρίστηκαν ότι δεν υπήρχε διάκριση μεταξύ δυνατότητα και πραγματικότητα. Ο Διόδωρος Κρόνος ορίζει το *δυνατόν* ως αυτό που είτε είναι είτε θα είναι, το *αδύνατο* ως αυτό που δεν είναι αλήθεια και το *απρόοπτο* ως αυτό που είτε είναι ήδη, είτε θα είναι ψευδές. Ο Διόδωρος είναι επίσης γνωστός για το λεγόμενο *master argument*, όπου οι τρεις προτάσεις "ότι είναι παρελθόν, είναι αλήθεια και αναγκαίο", "το αδύνατο δεν απορρέει από το δυνατό" και "Ότι ούτε είναι ούτε θα γίνει είναι πιθανό" είναι ασυνεπείς. Ο Διόδωρος χρησιμοποίησε την αληθοφάνεια των πρώτων δύο προτάσεων για να αποδείξει ότι τίποτα δεν είναι δυνατό αν δεν είναι ή δεν θα γίνει αληθινό. Ο Χρύσιππος, αντιθέτως, αρνήθηκε τη δεύτερη υπόθεση και είπε ότι το αδύνατο μπορεί να προκύψει από το δυνατό. 
* **Συνεπαγωγή**. Οι πρώτοι επιστήμονες της λογικής που ασχολήθηκαν τη συνεπαγωγή ήταν ο Διόδωρος ο Μεγαρεύς και ο μαθητής του, Φίλωνας των Μεγάρων. Ο Φίλωνας υποστήριξε ότι μια πραγματική υπόθεση (*conditional*) είναι αυτή που δεν ξεκινά με την αλήθεια και τελειώνει με ένα ψέμα, όπως "αν αυτή είναι μέρα, τότε μιλάω". Αλλά ο Διόδωρος υποστήριξε ότι μια πραγματική υπόθεση είναι αυτό που δεν θα μπορούσε ενδεχομένως να ξεκινήσει με μια αλήθεια και να τελειώσει με ένα ψέμα - έτσι η υπόθεση που αναφέρεται παραπάνω θα μπορούσε να είναι ψευδή αν ήταν μέρα και γινόμουν σιωπηλός. Το κριτήριο του Φίλωνα για την αλήθεια είναι αυτό που αποκαλείται *truth-functional* (αληθο-συνάρτηση, ορίζεται σε αληθινές προτάσεις) ορισμός του "αν ... τότε" *(if...then). Σε μια δεύτερη αναφορά, ο Σέξτος λέει "Σύμφωνα με τον ίδιο, υπάρχουν τρεις τρόποι με τους οποίους μια υπόθεση μπορεί να είναι αλήθεια, και ένας με τον οποίο μια υπόθεση μπορεί να είναι ψευδής".
* *'Νόημα και αλήθεια**. Η πιο σημαντική και χαρακτηριστική διαφορά της Μεγαρικής-Στωικής λογικής με την αριστοτελική λογική είναι ότι αφορά προτάσεις, όχι ουσιαστικά, και είναι πιο κοντά στη σύγχρονη [[προτασιακή λογική]]. Οι Στωικοί διέκριναν τη φωνή, τη λέξη (το οποίο είναι ευκρινές αλλά μπορεί να υπάρχει χωρίς νόημα) και τον διάλογο (η μεστή νοήματος εκστόμιση). Το πιο πρωτότυπο μέρος της θεωρίας τους είναι η ιδέα ότι κάθε τι που εκφράζεται από μια φράση, το λεκτόν, είναι κάτι πραγματικό. Αυτό αντιστοιχεί σε αυτό που καλείται τώρα πρόταση. Ο Σέξτος λέει ότι σύμφωνα με τους Στωικούς, τρία πράγματα συνδέονται μεταξύ τους, αυτό που σημαίνεται (''signified''), αυτό που σημαίνει (''signifies'') και το αντικείμενο. Για παράδειγμα, αυτό που σημαίνει είναι η λέξη Δίον, αυτό που σημαίνεται (αυτό που υποδηλώνει) είναι αυτό που κατανοούν οι Έλληνες αλλά όχι οι βάρβαροι, και το αντικείμενο είναι το Δίον το ίδιο.

=== Μεσαιωνική λογική ===

==== Η λογική στη Μέση Ανατολή ====



Τα έργα των [[Αλ-Κίντι]], [[Αλ-Φαράμπι]], [[Αλ-Γκαζαλί]], [[Αβερρόης|Αβερρόη]] και άλλων μουσουλμάνων επιστημόνων της λογικής βασίστηκαν στην αριστοτελική λογική και ήταν σημαντικά για τη διάδοση των ιδεών του αρχαίου κόσμου στη μεσαιωνική Δύση. Ο Αλ-Φαράμπι (873-950) ήταν ένας επιστήμονας της αριστοτελικής λογικής ο οποίος συζήτησε τα θέματα των μελλοντικών ενδεχόμενων (future contingents), τον αριθμό και τη σχέση των κατηγοριών, τη σχέση μεταξύ λογικής και γραμματικής και μη αριστοτελικές τύποι (forms) συμπερασμού. Ο Αλ-Φαραμπί ακομα θεώρησε επίσης τις θεωρίες των υποθετικών συλλογισμών και του αναλογικού συμπερασμού, το οποίο ήταν μέρος της στωικής παράδοσης της λογικής και όχι της αριστοτελικής. 

Ο Ιμπν Σίνα ([[Αβικέννας]]) (980-1037) ήταν ιδρυτής της αβικεννικής λογικής, η οποία αντικατέστησε την αριστοτελική λογική ως το κυρίαρχο σύστημα λογικής στον ισλαμικό κόσμο, και είχε επίσης μια σημαντική επιρροή στους δυτικούς μεσαιωνικούς συγγραφείς, όπως ο [[Αλμπέρτους Μάγκνους]]. Ο Αβικέννας έγραψε στον υποθετικό συλλογισμό και στο προτασιακό λογισμό, που ήταν και οι δύο τμήματα της στωικής παράδοσης στη λογική. Ανέπτυξε μια πρωτότυπη θεωρία, της "χρονικώς τροπικής" συλλογιστικής και έκανε χρήση της επαγωγικής λογικής, όπως οι [[μέθοδοι του Μιλλ]] οι οποίοι ήταν καίριας σημασίας για την επιστημονική μέθοδο. Μια από τις ιδέες του Αβικέννα είχε ιδιαίτερα σημαντική επίδραση στους δυτικούς επιστήμονες της λογικής όπως είναι ο [[Ουίλιαμ του Όκαμ]]. Η λέξη του Αβικέννα για τη σημασία ή έννοια (ma'na), μεταφράστηκε από τους σχολαστικούς λογικιστές στα λατινικά ως intentio. Στη μεσαιωνική λογική και επιστημολογία, αυτό είναι ένα σημάδι στο μυαλό που αποτελεί με φυσικό τρόπο ένα πράγμα. Ήταν ζωτικής σημασίας για την ανάπτυξη του [[κονσεπτουαλισμός|κονσεπτουαλισμού]] του Όκαμ. Ένας καθολικός όρος (π.χ. "άνθρωπος") δεν σημαίνει ένα πράγμα που υπάρχει στην πραγματικότητα, αλλά μάλλον ένα σημάδι στο μυαλό (intentio in intellectu) που αντιπροσωπεύει πολλά πράγματα στην πραγματικότητα.
Ο Όκαμ επικαλείται τον σχολιασμό του Αβικέννα στο έργο του ''Metaphysics V'' υπέρ της δικής του άποψης.

Ο [[Αλ-Ράζι|Φαχρουντίν Ραζί]] επέκρινε την "[[αριστοτελική λογική|πρώτη εικόνα]]" του Αριστοτέλη και διατύπωσε ένα από τα πρώτα συστήματα επαγωγικής λογικής, προαναγγέλλοντας το σύστημα που αναπτύχθηκε από τον [[Τζον Στιούαρτ Μιλλ]] (1806-1873). Το έργο του Αλ-Ράζι θεωρήθηκε από τους μεταγενέστερους μελετητές του Ισλάμ ως μια νέα κατεύθυνση για την ισλαμική λογική, προς μια μετα-αβικεννική λογική. Αυτό το σύστημα αναπτύχθηκε περαιτέρω από τον μαθητή του Afdaladdîn al-Khûnajî (πέθ. 1249), ο οποίος ανέπτυξε μια μορφή της λογικής που περιτρέφεται γύρω από το αντικείμενο της αιτίας των conceptions (στη μεταφυσική φιλοσοφία) και assents. Σε απάντηση σε αυτή την παράδοση, ο [[Αλ-Τούσι]] (1201-1274) ξεκίνησε μια παράδοση της νεο-αβικεννικής λογικής που παρέμεινε πιστή στο έργο του Αβικέννα και υπήρξε ως εναλλακτική λύση για την πιο κυρίαρχη μετα-αβικεννική σχολή κατά τη διάρκεια των επόμενων αιώνων.

Η [[πεφωτισμένη σχολή]] (illuminationist), που ιδρύθηκε από τον Shahab al-Din Suhrawardi (1151-1191), ο οποίος ανέπτυξε την ιδέα της "καθοριστικής αναγκαιότητας", η οποία αναφέρεται στη μείωση των λειτουργιών (αναγκαιότητα, δυνατότητα, συγκυρία και ανέφικτο) σε μία ενιαία λειτουργία της αναγκαιότητας. Ο [[Ιμπν Αλ - Ναφίς|Αλ-Ναφίς]] έγραψε ένα βιβλίο στη αβικεννική λογική, το οποίο ήταν σχολιασμός του έργου ''Al-Isharat'' (Τα σημάδια) και έργου ''Al-Hidayah'' (Η καθοδήγηση) του [[Αβικέννας|Αβικέννα]]. Ο Ibn Taymiyyah (1263-1328) έγραψε το '' Ar-Radd 'ala al-Mantiqiyyin'', όπου αντιτάχθηκε της χρησιμότητας, αλλά όχι του κύρους, του συλλογισμού και τάχθηκε υπέρ του επαγωγικού συλλογισμού. Ο Ibn Taymiyyah επίσης αντιτάχθηκε της βεβαιότητας των συλλογιστικών επιχειρημάτων και τάχθηκε υπέρ της [[αναλογία (λογική)|αναλογίας]]. Το επιχείρημα του είναι ότι οι έννοιες που στηρίχθηκαν στην επαγωγή είναι οι ίδιες όχι βέβαιες αλλά μόνο πιθανές, και, συνεπώς, ένας συλλογισμός που βασίζεται σε τέτοιες έννοιες δεν είναι πιο βέβαιος από ένα επιχείρημα που βασίζεται στην αναλογία. Ισχυρίστηκε επίσης ότι η επαγωγή εδράζεται η ίδια στη διαδικασία της αναλογίας. Το πρότυπο του αναλογικού συλλογισμού βασίστηκε σε αυτό των νομικών επιχειρημάτων. Αυτό το μοντέλο έχει χρησιμοποιηθεί στο πρόσφατο έργο του [[Τζον Σόβα]].

Το ''Sharh al-takmil fi'l-mantiq'', που γράφτηκε από τον Muhammad ibn Fayd Allah ibn Muhammad Amin al-Sharwani τον 15ο αιώνα, είναι το τελευταίο μεγάλο Αραβικό έργο στη λογική που μελετήθηκε. Ωστόσο, "χιλιάδες πάνω σε χιλιάδες σελίδες" στη λογική γράφτηκαν μεταξύ του 14ου και 19ου αιώνα, αν και μόνο ένα μικρό ποσοστό των κειμένων που γράφτηκαν κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου έχουν μελετηθεί από τους ιστορικούς και, ως εκ τούτου, πολύ λίγα είναι γνωστά σχετικά με το πρωτότυπο έργο για την ισλαμική λογική που παράχθηκε αυτή την ύστερη περίοδο.

==== Η λογική στη μεσαιωνική Ευρώπη ====


Η "μεσαιωνική λογική" (επίσης γνωστή ως "σχολαστική λογική") σημαίνει γενικά τη μορφή της αριστοτελικής λογικής που αναπτύχθηκε στη μεσαιωνική Ευρώπη καθ' όλη τη διάρκεια της περιόδου 1200-1600. Για αιώνες μετά τη διατύπωση της στωικής λογικής, αυτό ήταν το κυρίαρχο σύστημα λογικής στον κλασσικό κόσμο. Όταν η μελέτη της λογικής συνεχίστηκε μετά το Μεσαίωνα, η κύρια πηγή ήταν το έργο του χριστιανικού φιλόσοφου [[Βοήθιος]], ο οποίος ήταν εξοικειωμένος με μερικά στοιχεία της αριστοτελικής λογικής, αλλά με κανένα έργο των [[Στωικισμός|Στωικών]]. Μέχρι το δωδέκατο αιώνα, τα μόνα έργα του Αριστοτέλη που ήταν διαθέσιμα στη Δύση ήταν τα ''Κατηγορίαι'', ''Περί ερμηνείας'' και η μετάφραση του Βοήθιου της ''Εισαγωγή του Πορφυρίου'' (ένα σχολιασμός στο έργο ''Κατηγορίαι''). Τα έργα αυτά ήταν γνωστά ως η "Παλαιά Λογική" (''Logica Vetus'' ή ''Ars Vetus''). Ένα σημαντικό έργο σε αυτήν την παράδοση ήταν το ''Logica Ingredientibus'' του [[Πέτρος Αβελάρδος|Πέτρου Αβελάρδου]] (1079-1142). Η άμεση επιρροή που άσκησε ήταν μικρή, αλλά η επιρροή μέσα από τους μαθητές όπως ήταν ο [[Τζον του Σαλίσμπουρι]] (John of Salusbury) ήταν μεγάλη, και η μέθοδος εφαρμογής αυστηρής λογικής ανάλυσης στη θεολογία άνοιξε τον δρόμο να αναπτυχθεί η θεολογική κριτική κατά την περίοδο που ακολούθησε. 

Μέχρι τις αρχές του 13ου αιώνα τα υπόλοιπα έργα του ''Όργανον'' του Αριστοτέλη (συμπεριλαμβανομένων των ''Αναλυτικά Πρότερα'', ''Αναλυτικά Ύστερα'' και ''Περί των Σοφιστικών ελέγχων'') είχαν ανακτηθεί στη Δύση και αναβιώσει από τον [[Θωμάς Ακινάτης|Θωμά Ακινάτη]]. Η εργασία στη Λογική μέχρι τότε ήταν ως επί το πλείστον παράφραση ή σχολιασμός σχετικά με το έργο του Αριστοτέλη. Τη περίοδο από τα μέσα του 13ου αιώνα έως τα μέσα του 14ου αιώνα υπήρξε σημαντική ανάπτυξη της λογικής, ιδίως σε τρεις τομείς που ήταν πρωτότυποι, με μικρή περαιτέρω ανάπτυξη της αριστοτελικής παράδοσης που ήρθε πριν. Αυτοί οι τομείς ήταν:
* Η **θεωρία της υπόθεσης**. Η θεωρία της υπόθεσης ασχολείται με τον τρόπο που τα κατηγορήματα (π.χ. "άνθρωπος") εκτείνονται σε ένα πεδίο από μεμονωμένα άτομα (individuals) (π.χ. όλοι οι άνθρωποι). Στη πρόταση «κάθε άνθρωπος είναι ένα ζώο», ο όρος "άνθρωπος" εκτείνεται ή τα άτομα - φιλοσοφικά ως ουσία ή αντικείμενα ([[supposit]]) - άνθρωποι υφίστανται στο παρόν; Ή μήπως το φάσμα περιλαμβάνει τους ανθρώπους του παρελθόντος και του μέλλοντος; Μπορεί ένας όρος να είναι supposit για μη υπαρκτά άτομα (individuals); Μερικοί μεσαιωνιστές έχουν υποστηρίξει ότι η ιδέα αυτή ήταν ο πρόδρομος της [[λογική πρώτης τάξεως|λογικής πρώτης τάξης]]. "Η θεωρία της υπόθεσης με τις σχετικές θεωρίες του ''copulatio'' ( συμβολισμός-χωρητικότητα των επιθετικών προσδιορισμών), του ''ampliation'' (διεύρυνση του αναφορικού τομέα), και ''distributio constitute'' ένα από τα πιο πρωτότυπα επιτεύγματα της Δυτικής μεσαιωνικής λογικής".
* Η **θεωρία των συγκατηγορημάτων**. Τα συγκατηγορήματα είναι όροι απαραίτητοι για τη λογική, τα οποία όμως, σε αντίθεση με του κατηγορηματικούς όρους, δεν σημαίνουν ονόματί τους, αλλά "συν-σημαίνουν" με άλλες λέξεις. Παραδείγματα συγκατηγορημάτων είναι τα "και", "δεν", "κάθε", "εάν" και ούτω καθεξής.
* Η **θεωρία των λογικών συνεπειών** ή **των συνεπαγωγών**. Μια συνεπαγωγή είναι μια υποθετική, δυνητική πρόταση: δύο προτάσεις συνδέονται από τη διάταξη "αν...τότε". Για παράδειγμα, «αν ένας άνθρωπος τρέχει, τότε ο θεός υπάρχει» (Si homo currit, Deus est). Μια πλήρως ανεπτυγμένη θεωρία των λογικών συνεπειών δίνεται στο τρίτο βιβλίο του έργου ''Summa Logicae'' του [[Ουίλιαμ του Όκαμ]]. Εκεί ο Όκαμ διακρίνει μεταξύ των "αιτιατών" και "τυπικών" λογικών συνεπειών, που είναι περίπου ισοδύναμες με την αιτιατή συνεπαγωγή και τη λογική συνεπαγωγή αντίστοιχα. Παρόμοιες αναφορές δίνονται από τους [[Ζαν Μπουριντάν]] και [[Αλβέρτος της Σαξωνίας|Αλβέρτο της Σαξωνίας]]. 

Τα τελευταία μεγάλα έργα αυτής της παράδοσης είναι τα ''Logic'' του Τζον Πόινσοτ (1589-1644, γνωστός ως Τζον του Αγίου Θωμά), ''Metaphysical Disputations'' του [[Φρανθίσκο Σουάρεθ|Φρανσίσκο Σουάρες]] (1548-1617), και ''Logica Demonstrativa'' του [[Τζοβάνι Τζιρόλαμο Σακέρι]] (1667-1733).

=== Η άνοδος της σύγχρονης λογικής ===

Το χρονικό διάστημα μεταξύ 14ου αιώνα μ.Χ. - αρχές 19ου αιώνα μ.Χ. ήταν σε μεγάλο βαθμό παρακμής και παραμέλησης της λογικής, και θεωρείται γενικά ως άγονο από τους ιστορικούς της λογικής. Η αναβίωση της λογικής συνέβη στα μέσα του 19ου αιώνα, κατά την αρχή μιας επαναστατικής περιόδου όπου το θέμα εξελίχθηκε σε έναν αυστηρό και τυπολατρικό επιστημονικό τομέα του οποίου υπόδειγμα ήταν η ακριβής μέθοδος που χρησιμοποιείται στα μαθηματικά. Η ανάπτυξη της σύγχρονης "συμβολικής" ή "μαθηματικής" λογικής κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου είναι η πιο σημαντική στα 2000 έτη της λογικής, και είναι αναμφισβήτητα ένα από τα πιο σημαντικά και αξιοσημείωτα γεγονότα στην ανθρώπινη ιστορία της διανόησης.

=== Περίοδοι της σύγχρονης λογικής ===

Η ανάπτυξη της σύγχρονης λογικής εμπίπτει σε (περίπου) πέντε περιόδους:
* Η **εμβρυϊκή περίοδος** από τον [[Λάιμπνιτς]] το 1847, όταν η έννοια του λογικού λογισμού συζητήθηκε και αναπτύχθηκε, κυρίως από τον ίδιο, χωρίς να σχηματίσει σχολές, και περιοδικά μεμονομένες προσπάθειες εγκαταλείφθηκαν ή πέρασαν απαρατήρητες.
* Η **αλγεβρική περίοδος** από την ανάλυση του [[Τζορτζ Μπουλ|Μπουλ]] στις διαλέξεις (''Vorlesungen'') του [[Ερνστ Σρέντερ]]. Αυτή την περίοδο υπήρχαν περισσότεροι ασκούμενοι, καθώ και μια μεγαλύτερη συνέχεια της ανάπτυξης της λογικής.
* Η **λογικιστική περίοδος** από το έργο ''Begriffsschrift'' του [[Φρέγκε]] στο ''Principia Mathematica'' των [[Ράσελ]] και [[Άλφρεντ Νορθ Ουάιτχεντ]]. Αυτή τη περίοδο κυριαρχούσε η "λογικιστική σχολή", στόχος της οποίας ήταν να ενσωματώσει τη λογική όλου του μαθηματικού και επιστημονικού λόγου σε ένα ενιαίο σύστημα, και το οποίο, έχοντας ως βασική αρχή ότι όλες οι μαθηματικές αλήθειες είναι λογικές, δεν θα δεχόταν οποιαδήποτε μη-λογική ορολογία. Οι μεγάλοι λογικιστικοί ήταν ο Φρέγκε, ο Ράσελ και, στις αρχές του, ο [[Λούντβιχ Βίτγκενσταϊν|Βίτγκενσταϊν]]. Το αποκορύφωμα αυτής της εποχής ήταν το Principia, ένα σημαντικό έργο που περιλαμβάνει μια διεξοδική εξέταση και λύση των αντινομιών που είχαν αποτελέσει εμπόδιο στην προηγούμενη περίοδο.
* Η **μεταμαθηματική περίοδος** (ή αλλιώς **φορμαλιστική περίοδος**) από το 1910 έως τη δεκαετία του 1930, η οποία είδε την ανάπτυξη της μεταλογική, στο πεπερασμένο σύστημα του [[Ντάβιντ Χίλμπερτ|Χίλμπερτ]], και του μη-πεπερασμένου συστήματος του Löwenheim και Skolem, και το συνδυασμό της λογικής με τη μεταλογική στο έργο του [[Γκέντελ]] και του [[Τάρσκι]]. Το θεώρημα μη πληρότητας του Γκέντελ του 1931 ήταν ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα στην ιστορία της λογική. Αργότερα, στη δεκαετία του 1930, ο Γκέντελ ανέπτυξε την έννοια της συνολο-θεωρητικής κατασκευασιμότητας.
* Η **περίοδος μετά τον Δεύτερο Παγκόσμιο Πόλεμο**, όταν η μαθηματική λογική χωρίστηκε σε τέσσερις αλληλένδετες αλλά ξεχωριστές περιοχές της έρευνας: [[θεωρία μοντέλων]], [[θεωρία αποδείξεων]], [[θεωρία υπολογισμού]] και [[θεωρία συνόλων]], και οι ιδέες και μέθοδοι της άρχισαν να επηρεάζουν τη φιλοσοφία.

== Θέματα στη λογική ==

=== Συλλογιστική λογική ===

Το ''Όργανον'' ήταν ο κορμός του έργου του Αριστοτέλη σχετικά με τη λογική, μαζί με τα ''Αναλυτικά πρότερα'' που αποτελεί την πρώτη εργασία στην τυπική λογική, εισάγοντας τη συλλογιστική λογική. Τα μέρη της συλλογιστικής λογικής, γνωστή και από το όνομα όρος λογική, είναι η ανάλυση των κρίσεων σε προτάσεις που αποτελούνται από δύο όρους που συνδέονται με μία από έναν σταθερό αριθμό σχέσεων, καθώς και την έκφραση των συμπερασμάτων μέσω των συλλογισμών που αποτελούνται από δύο προτάσεις που μοιράζονται έναν κοινό όρο ως αρχή, και ένα συμπέρασμα το οποίο είναι μια πρόταση με τη συμμετοχή των δύο μη συνδεδεμένων όρων από τις προκείμενες.

Το έργο του Αριστοτέλη θεωρήθηκε κατά την κλασσική αρχαιότητα και από τον μεσαίωνα στην Ευρώπη και τη Μέση Ανατολή ως την ίδια την εικόνα ενός πλήρως εκπονημένου συστήματος. Ωστόσο, δεν ήταν μόνο του: οι [[Στωικός|Στωικοί]] πρότειναν ένα σύστημα προτασιακής λογικής το οποίο μελετήθηκε από μεσαιωνικούς επιστήμονες της λογικής. Επίσης, το πρόβλημα των πολλαπλών μεταβλητών αναγνωρίστηκε στη μεσαιωνική εποχή. Παρ' όλα αυτά, τα προβλήματα της συλλογιστικής λογικής δεν θεωρείται ότι χρήζουν επαναστατικών λύσεων.

Σήμερα, ορισμένοι ακαδημαϊκοί υποστηρίζουν ότι το σύστημα του Αριστοτέλη γενικά θεωρείται ότι έχει λίγο περισσότερο από ιστορική αξία (αν υπάρχει κάποιο σημερινό ενδιαφέρον για την επέκταση των όρων της λογικής), και ότι θα καταστεί παρωχημένη από την έλευση της προτασιακής λογικής και του κατηγορηματικού λογισμού. Άλλοι χρησιμοποιούν τον Αριστοτέλη στη θεωρία επιχειρηματολογίας για να βοηθήσουν στην ανάπτυξη και κριτική αμφισβήτηση επιχειρηματολογικών συστημάτων που χρησιμοποιούνται στην τεχνητή νοημοσύνη και στα νομικά επιχειρήματα.

=== Προτασιακή λογική === 


Ένας προτασιακός λογισμός ή λογική είναι ένα τυπικό σύστημα στο οποίο οι τύποι που αναπαριστάνουν προτάσεις μπορούν να σχηματίζονται με το συνδυασμό ατομικών προτάσεων χρησιμοποιώντας λογικούς συνδέσμους, και στον οποίο ένα σύστημα τυπικών κανόνων αποδείξεως επιτρέπει σε ορισμένους τύπους να καθιερώνονται ως «θεωρήματα».

=== Κατηγορηματική λογική ===


Κατηγορηματική λογική είναι ο γενικός όρος για τα συμβολικά τυπικά συστήματα, όπως η [[πρώτης τάξης λογική]], η [[δεύτερης τάξης λογική]], η [[πολυτυπική λογική]] και η [[λογική infinitary]] (ή άπειρη λογική, έσχατη λογική).

Η κατηγορηματική λογική παρέχει έναν απολογισμό από ποσοδείκτες αρκετά γενικούς ώστε να εκφράσουν ένα ευρύ σύνολο από επιχειρήματα που εμφανίζονται στη φυσική γλώσσα. Η αριστοτελική συλλογιστική λογική καθορίζει ένα μικρό αριθμό από τους τύπους των οποίων το αντίστοιχο τμήμα των εμπλεκόμενων κρίσεων μπορεί να λάβει. Η κατηγορηματική λογική επιτρέπει φράσεις να αναλυθούν στο θέμα και στο επιχείρημα με διάφορους εναλλακτικούς τρόπους, και έτσι επιτρέπει να λύσει το πρόβλημα των πολλαπλών γενικοτήτων που είχε φέρει σε αμηχανία του μεσαιωνικούς επιστήμονες της λογικής.

Η ανάπτυξη της κατηγορηματικής λογικής συνήθως αποδίδεται στον [[Γκότλομπ Φρέγκε|Φρέγκε]], ο οποίος επίσης καταλογίζεται ως ένας από τους θεμελιωτές της [[αναλυτική φιλοσοφία|αναλυτικής φιλοσοφίας]], αλλά η κατηγορηματική λογική που χρησιμοποιείται πιο συχνά σήμερα είναι η πρώτης τάξεως λογική που παρουσιάστηκε στο ''Αρχές της μαθηματικής λογικής'' (''Principles of mathematical logic'') από τους [[Ντάβιντ Χίλμπερτ]] και [[Βίλχεμ Άκερμαν]] το 1928. Η αναλυτική γενικότητα της κατηγορηματικής λογικής επέτρεψε την τυποποίηση των μαθηματικών, οδηγώντας στην έρευνα της θεωρία των συνόλων, και την ανάπτυξη της [[θεωρία μοντέλων|θεωρίας μοντέλων]] του [[Άλφρεντ Τάρσκι]]. Παρέχει τα θεμέλια της σύγχρονης μαθηματικής λογικής.

Το αρχικό σύστημα της κατηγορηματικής λογικής του Φρέγκε ήταν δεύτερης τάξης, και όχι πρώτης τάξης. Τη δεύτερης τάξης λογική εμφανώς υπερασπίστηκαν, έναντι της κριτικής του [[Ουίλαρντ Φαν Όρμαν Κουίν]] και άλλων, οι [[Τζορτζ Μπόολος]] και [[Στιούαρτ Σαπίρο]].

=== Τροπική λογική ===


Στις γλώσσες, η τροπικότητα ασχολείται με το φαινόμενο όπου τα επιμέρους τμήματα μιας πρότασης μπορούν να έχουν δική τους σημασιολογία διαμορφωμένες από ειδικά ρήματα ή τροπικά υποτμήματα. Για παράδειγμα, η πρόταση «Πάμε στους αγώνες» μπορεί να τροποποιηθεί «Πρέπει να πάμε στους αγώνες», «Μπορούμε να πάμε στους αγώνες» και ίσως «Θα πάμε στους αγώνες». Πιο αφηρημένα, θα μπορούσαμε να πούμε ότι η τροπικότητα επηρεάζει τις συνθήκες υπό τις οποίες παίρνουμε έναν ισχυρισμό που πρέπει πληρούται. 

Η λογική του Αριστοτέλη, κατά ένα μεγάλο μέρος, ασχολείται με τη θεωρία της μη τροποποιημένης λογική. Παρ' όλα αυτά, υπάρχουν αποσπάσματα στο έργο του, όπως το περίφημο επιχείρημα στο ''Περί ερμηνείας'' § 9, που σήμερα θεωρούνται προφητικά της τροπικής λογικής και η σύνδεσή της με τη δυναμικότητα και το χρόνο, το παλαιότερο τυπικό σύστημα της τροπικής λογικής αναπτύχθηκε από τον [[Αβικέννας|Αβικέννα]], τον οποίο ανέπτυξε τελικώς μια θεωρία «χρονικώς τροποποιημένης» συλλογιστικής.

Αν και η μελέτη της της ανάγκης και πιθανότητας παρέμεινα σημαντική για τους φιλόσοφους, μικρή ανάπτυξη γνώρισε οι καινοτομίες στη λογική μέχρι τις έρευνες-ορόσημο του [[Κλάρενς Ίρβινγκ Λιούις]] το έτος 1918, ο οποίος διατύπωσε μια οικογένεια από αντίπαλους αξιωματισμούς των alethic τρόπων. Το έργο εξαπέλυσε έναν χείμαρρο από εργασίες σχετικά με το θέμα, επεκτείνοντας τα είδη των τροπικοτήτων έτσι ώστε να συμπεριλαμβάνουν τη δεοντική λογική και την επιστημολογική λογική. Η δημιουργική εργασία του [[Άρθουρ Πριόρ]] εφήρμοσε την ίδια τυπική γλώσσα για την αντιμετώπιση της χρονικής λογικής και άνοιξε το δρόμο για το "γάμο" των δύο θεμάτων. Ο [[Σάουλ Κρίπκε]] ανακάλυψε (ταυτόχρονα με τους αντιπάλους) τη θεωρία της πλαίσιο-σημασιολογίας, η οποία διέθεσε την τυπική τεχνολογία στους επιστήμονες της τροπικής λογικής και έδωσε έναν νέο γραφο-θεωρητικό τρόπο θεώρησης στην τροπικότητα που έχει οδηγήσει σε πολλές εφαρμογές στην υπολογιστική γλωσσολογία και την επιστήμη των υπολογιστών, όπως η [[δυναμική λογική]] (ή αλλιώς χρονομετρημένη λογική).

=== Άτυπη λογική ===

 
Το κίνητρο για τη μελέτη της λογικής στην αρχαιότητα ήταν σαφές: ότι είναι έτσι ώστε να μπορείς κανείς να μάθει να διακρίνει τα καλά από τα κακά επιχειρήματα, και έτσι να γίνει πιο αποτελεσματικός στην επιχειρηματολογία και στη ρητορική, ίσως και να γίνει καλύτερος άνθρωπος. Τα μισά από τα έργα του ''[[Όργανον]]'' του Αριστοτέλη αντιμετωπίζει το συμπερασμό όπως εμφανίζεται σε ένα άτυπο πλαίσιο, πλάι-πλάι με την ανάπτυξη της συλλογιστικής, και στο αριστοτελικό σχολείο, οι εργασίες πάνω στην άτυπη λογική θεωρούνταν ως συμπληρωματικές στη ρητορική διδασκαλία του Αριστοτέλη. 

Αυτό το αρχαίο κίνητρο παραμένει ζωντανό, αν και πλέον δεν είναι στο επίκεντρο της λογικής. Τυπικώς η διαλεκτική λογική θα σχηματίσει τον πυρήνα ενός μαθήματος στην κριτική σκέψη, ένα υποχρεωτικό μάθημα σε πολλά πανεπιστήμια.

Η [[θεωρία επιχειρηματολογίας|θεωρία της επιχειρηματολογίας]] είναι η μελέτη και η έρευνα της άτυπης λογικής, των λογικών πλανών και των κρίσιμων ερωτημάτων που σχετίζονται με την καθημερινότητα και πρακτικές καταστάσεις. Συγκεκριμένοι τύποι του διαλόγου μπορούν αναλυθούν και να αμφισβητηθούν για να αποκαλύψουν προκείμενες, συμπεράσματα και πλάνες. Η θεωρία της επιχειρηματολογίας εφαρμόζεται στην [[τεχνητή νοημοσύνη]] και το [[δίκαιο]].

==== Επιχείρημα ====

Στη λογική και τη [[φιλοσοφία]], το [[επιχείρημα]] είναι μια προσπάθεια να πείσει κάποιον για κάτι, δίνοντας τους λόγους για να αποδεχθεί ένα συγκεκριμένο συμπέρασμα όπως προκύπτει. Η γενική δομή ενός επιχειρήματος σε μια [[φυσική γλώσσα]] είναι εκείνη των **προκείμενων*' (συνήθως σε μορφή θεωρημάτων, δηλώσεων ή προτάσεων) υπέρ του ισχυρισμού: του συμπεράσματος. Η δομή ορισμένων επιχειρημάτων μπορεί επίσης να καθοριστεί σε μια τυπική γλώσσα, και τα [[τυπική γλώσσα|τυπικώς ορισμένα]] "επιχειρήματα" μπορούν να γίνουν ανεξάρτητα από τα επιχειρήματα των [[φυσική γλώσσα|φυσικών γλωσσών]], όπως στη λογική, τα [[μαθηματικά]] και την [[επιστήμη των υπολογιστών]].

Σε ένα τυπικό παραγωγικό (ή απαγωγικό) επιχείρημα, οι προκείμενες χρησιμοποιούνται για να δώσουν εγγύηση από την αλήθεια του συμπεράσματος, ενώ σε ένα επαγωγικό επιχείρημα, θεωρούνται ότι δίνουν τους λόγους που αιτιολογούν (συνηγορούν) τη πιθανή αλήθεια του συμπεράσματος. Τα πρότυπα για την αξιολόγηση των μη παραγωγικών επιχειρημάτων μπορούν να σε διαφορετικά ή πρόσθετα κριτήρια από την αλήθεια, για παράδειγμα, η πειστικότητα των λεγόμενων "αναγκαίων ισχυρισμών" σε υπερβατικά επιχειρήματα, η ποιότητα των υποθέσεων στον υποθετικό-παραγωγικό συλλογισμό (retroduction), ή ακόμη και η γνωστοποίηση νέων δυνατοτήτων στη σκέψη και δράση. 

Τα πρότυπα και τα κριτήρια που χρησιμοποιούνται στην αξιολόγηση των επιχειρημάτων και των μορφών του συλλογισμού τους μελετήθηκαν στη λογική. Ακόμη, έχουν μελετηθεί αποτελεσματικοί τρόποι διατύπωσης επιχειρημάτων ([[θεωρία επιχειρηματολογίας|θεωρία επιχειρημάτων]]). Ένα επιχείρημα σε μια [[τυπική γλώσσα]] δείχνει τη λογική μορφή του [[συμβολική γλώσσα|συμβολικά αναπαριστανόμενου]] ή [[φυσική γλώσσα|φυσικής γλώσσας]] επιχειρήματος που λαμβάνεται βάση τις ερμηνείες του.

=== Μαθηματική λογική ===
 

Η μαθηματική λογική αναφέρεται στην πραγματικότητα σε δύο διαφορετικούς τομείς της έρευνας, ο πρώτος είναι η εφαρμογή των τεχνικών της τυπικής λογικής στα μαθηματικά και τη μαθηματική συλλογιστική, και ο δεύτερος, προς την άλλη κατεύθυνση, η εφαρμογή των μαθηματικών τεχνικών για την αναπαράσταση και ανάλυση της τυπικής λογικής.

Η παλαιότερη χρήση των μαθηματικών και της [[γεωμετρία]]ς σε σχέση με τη λογική και τη φιλοσοφία χρονολογείται από τους αρχαίους Έλληνες, όπως ο [[Ευκλείδης]], ο [[Πλάτωνας]] και ο [[Αριστοτέλης]]. Πολλοί άλλοι αρχαίοι και μεσαιωνικοί φιλόσοφοι εφήρμοσαν μαθηματικές ιδέες και μεθόδους για τους δικούς τους φιλοσοφικούς ισχυρισμούς.


Μια από τις πιο τολμηρές προσπάθειες για την εφαρμογή της λογικής στα μαθηματικά ήταν αναμφισβήτητα ο λογικισμός των φιλοσόφων-επιστημών της λογικής όπως [[Γκότλομπ Φρέγκε]] και [[Μπέρτραντ Ράσελ]]: η ιδέα ήταν ότι οι μαθηματικές θεωρίες ήταν λογικές ταυτολογίες, και το πρόγραμμα ήταν να δείξει αυτό με τη μείωση των μαθηματικών στη λογική. Οι διάφορες προσπάθειες να το υλοποιήσουν συνάντησαν μια σειρά από αποτυχίες, από την αποδυνάμωση του προγράμματος του Φρέγκε στο έργο του *Grundgesetze* από το παράδοξο του Ράσελ, μέχρι την ήττα του προγράμματος του [[Ντέιβιντ Χίλμπερτ|Χίλμπερτ]] από τα θεωρήματα μη πληρότητας του [[Κουρτ Γκέντελ|Γκέντελ]].


Η έκθεση του προγράμματος του [[Ντέιβιντ Χίλμπερτ|Χίλμπερτ]] όσο και η διάψευσή του από τον [[Γκέντελ]] εξαρτήθηκαν από την εργασία τους για τη θέσπιση του δεύτερου τομέα της μαθηματικής λογικής, την εφαρμογή των μαθηματικών στη λογική με τη μορφή της [[θεωρία απόδειξης|θεωρίας απόδειξης]]. Παρά την αρνητική φύση των θεωρημάτων μη πληρότητας, το θεώρημα πληρότητας του Γκέντελ, ένα αποτέλεσμα στη [[θεωρία μοντέλων]] και μια άλλη εφαρμογή των μαθηματικών στη λογική, μπορούν να θεωρηθεί ότι δείχνουν πόσο κοντά ο λογικισμός πλησίασε την αλήθεια: κάθε αυστηρά καθορισμένη μαθηματική θεωρία μπορεί να είναι επακριβώς καταγεγραμμένη από μια [[πρώτης τάξεως λογική]] θεωρία. Ο αποδεικτικός λογισμός του Φρέγκε είναι αρκετός για να περιγράψει το σύνολο των μαθηματικών, αν και δεν ισοδυναμεί με αυτό. Έτσι, βλέπουμε πώς οι δύο αυτές συμπληρωματικές περιοχές της μαθηματικής λογικής υπήρξαν και συνδέθηκαν.

Η θεωρία απόδειξης και η θεωρία μοντέλων ήταν τα θεμέλια της μαθηματικής λογικής, αλλά δύο από τους τέσσερις πυλώνες του θέματος. Η [[θεωρία συνόλων]] προέρχεται από τη μελέτη του άπειρου από τον [[Γκέοργκ Κάντορ]] και αποτέλεσε πηγή πολλών από τα πιο δύσκολα και σημαντικά ζητήματα στη μαθηματική λογική, από το [[Θεώρημα του Καντόρ|θεώρημα του Κάντορ]], στο καθεστώς του [[αξίωμα της επιλογής|αξιώματος της επιλογής]] και το ζήτημα της ανεξαρτησίας της [[υπόθεση του συνεχούς|υποθέσεως του συνεχούς]], μέχρι τη σύγχρονη συζήτηση γύρω από τα [[μεγάλο βασικό αξίωμα|μεγάλα βασικά αξιώματα]].

Η [[θεωρία αναδρομής]] συλλαμβάνει την ιδέα του υπολογισμού σε λογικούς και αριθμητικούς όρους. Τα πιο κλασικά επιτεύγματά της είναι η αναποφασιστικότητα του *Entscheidungsproblem* (decision problem ή [[πρόβλημα αποφάσεων]]) από τον [[Άλαν Τούρινγκ]] και η παρουσίαση της [[θέση Church-Turing|θέσης Church-Turing]]. Σήμερα η θεωρία αναδρομής ως επί το πλείστον ασχολείται με το πιο εκλεπτυσμένο πρόβλημα των [[κλάση πολυπλοκότητας|κλάσεων πολυπλοκότητας]] - πότε ένα πρόβλημα είναι αποτελεσματικά επιλύσιμο; - και την ταξινόμηση των [[βαθμός Τούρινγκ|βαθμών αναποκρισιμότητας]].

=== Φιλοσοφική λογική ===


Η φιλοσοφική λογική ασχολείται με τυπικές περιγραφές της φυσικής γλώσσας. Οι περισσότεροι φιλόσοφοι υποθέτουν ότι το κύριο μέρος της "κανονικής" ορθής συλλογιστικής μπορεί να αποτυπωθεί από τη λογική, αν μπορεί κάποιος να βρει τη σωστή μέθοδο για τη μετάφραση από καθημερινή γλώσσα (ordinary language) σε αυτή τη λογική. Η φιλοσοφική λογική είναι ουσιαστικά μια συνέχεια της παραδοσιακού τομέα που αποκαλούταν "Λογική" πριν από την εφεύρεση της μαθηματικής λογικής. Το ενδιαφέρον της είναι στραμμένο στη σύνδεση μεταξύ φυσικής γλώσσας και λογικής. Ως αποτέλεσμα, οι επιστήμονες της φιλοσοφικής λογικής έχουν συμβάλει σε μεγάλο βαθμό στην ανάπτυξη των non-stardard λογικών (π.χ. ελεύθερες λογικές, χρονικές λογικές), καθώς και διάφορες επεκτάσεις της κλασικής λογικής (π.χ. τροπικές λογικές) και non-standard σημασιολογίες για τις εν λόγω λογικές (π.χ. τεχνική του Kripke των supervaluations στη σημασιολογία της λογικής).

Η λογική και η [[φιλοσοφία της γλώσσας]] είναι στενά συνδεδεμένες. Η φιλοσοφία της γλώσσας έχει να κάνει με τη μελέτη του πώς η γλώσσα μας δεσμεύει και αλληλεπιδρά με τη σκέψη μας. Η λογική έχει άμεσο αντίκτυπο σε άλλους τομείς της μελέτης. Η μελέτη της λογική και της σχέσης μεταξύ λογικής και των καθημερινών ομιλιών μπορεί να βοηθήσει ένα άτομο να δομεί καλύτερα τα επιχειρήματά του και την κρίνει τα επιχειρημάτων των άλλων. Πολλά δημοφιλή επιχειρήματα είναι γεμάτα με λάθη εξαιτίας του μεγάλου αριθμού ανθρώπων που είναι ανεκπαίδευτοι στη λογική και αγνοούν για το πώς να διαμορφώσουν ένα επιχείρημα με το σωστό τρόπο.

=== Υπολογιστική λογική ===


Η λογική έκοψε στην καρδιά της [[επιστήμη των υπολογιστών|επιστήμης των υπολογιστών]] καθώς αναδείχθηκε ως τομέας της: το εργασία του [[Άλαν Τούρινγκ]] στο *Entscheidungsproblem* (πρόβλημα αποφάσεων) ακολουθούμενο από την εργασία του [[Κουρτ Γκέντελ]] πάνω στα θεωρήματα μη πληρότητας, και η ιδέα των υπολογιστών γενικής χρήσης που προήλθε από την τελευταία ήταν θεμελιώδους σημασίας για τους σχεδιαστές του μηχανισμού των ηλεκτρονικών υπολογιστών στη δεκαετία του 1940.

Στις δεκαετίες του 1950 και του 1960, οι ερευνητές πρόβλεψαν ότι όταν η ανθρώπινη γνώση θα μπορούσε να εκφράζεται χρησιμοποιώντας τη λογική με μαθηματική σημειογραφία, θα ήταν πιθανό να δημιουργήσουμε ένα μηχάνημα το οποίο θα συλλογίζεται, ή αλλιώς, τεχνητή νοημοσύνη. Αποδείχθηκε ότι είναι πιο δύσκολο από ό,τι αναμενόταν, λόγω της πολυπλοκότητας της ανθρώπινης σκέψης. Στο λογικό προγραμματισμό, ένα πρόγραμμα αποτελείται από ένα σύνολο αξιωμάτων και κανόνων. Τα συστήματα του λογικού προγραμματισμού, όπως η [[Prolog]], υπολογίζουν τις συνέπειες των αξιωμάτων και των κανόνων, προκειμένου να απαντήσουν σε ένα ερώτημα.

Σήμερα η λογική έχει εφαρμοστεί ευρέως στους τομείς της τεχνητής νοημοσύνης και της επιστήμης των υπολογιστών, ενώ αυτοί οι τομείς αποτελούν πλούσια πηγή προβλημάτων στην τυπική και άτυπη λογική. Η θεωρία επιχειρηματολογίας είναι ένα καλό παράδειγμα του πώς η λογική εφαρμόζεται στην τεχνητή νοημοσύνη. Η ACM Computing Classification System διακρίνει:
* Section F.3 στις λογικές με τις έννοιες των προγραμμάτων και F.4 στη μαθηματική λογική με τις τυπικές γλώσσες ως τμήμα της θεωρίας της επιστήμης των υπολογιστών: αυτά καλύπτουν την τυπική σημασιολογία των γλωσσών προγραμματισμού, καθώς και το έργο τυπικών μεθόδων όπως είναι η [[λογική του Χόαρ]]
* Τη [[λογική Μπουλ|λογική του Μπουλ]] ως θεμελιώδη για το υλικό του υπολογιστή: section B.2 του συστήματος στις αριθμητικές και λογικές δομές, που αφορούν τις λειτουργίες AND(ΚΑΙ), ΝΟΤ(ΌΧΙ) και OR(Ή)
* Πολλοί θεμελιώδης λογικοί φορμαλισμοί είναι απαραίτητοι στο section I.2 στην τεχνητή νοημοσύνη, όπως για παράδειγμα η [[τροπική λογική]] και η [[προεπιλεγμένη λογική]] στην αναπαράσταση γνώσης φορμαλισμών και μεθόδων, οι διατάξεις του Χορν στο λογικό προγραμματισμό, και η [[περιγραφική λογική]] (description logic).

Ακόμη περισσότερο, οι υπολογιστές μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως εργαλεία για τους επιστήμονες της λογικής. Για παράδειγμα, στη συμβολική και μαθηματική λογική, οι αποδείξεις από ανθρώπους μπορούν να γίνουν με τη βοήθεια υπολογιστή. Χρησιμοποιώντας αυτοματοποιημένη απόδειξη θεωρημάτων οι υπολογιστές μπορούν να βρουν και να ελέγξουν αποδείξεις, καθώς και να εργαστούν με αποδείξεις οι οποίες είναι υπερβολικά χρονοβόρες για να γραφτούν με το χέρι.

=== Κβαντική λογική ===

Ένα έγγραφο, το 1936, από τον [[Γκάρετ Μπίρκοφ]] και τον [[Τζον φον Νόιμαν]] ήταν αρκετό για να θεμελιώσει την κβαντική λογική. Η προσπάθειά τους εντείνονταν στον συμβιβασμό της ανακολουθίας της κλασικής λογικής στις αξιώσεις της κβαντικής μηχανικής με τα πραγματικά περιστατικά σχετικά με τη μέτρηση των συμπληρωματικών μεταβλητών στην κβαντική μηχανική, όπως η θέση και η ορμή.

Η κβαντική λογική μπορεί να διαμορφωθεί είτε ως μια τροποποιημένη έκδοση της [[προτασιακή λογική|προτασιακής λογικής]] είτε ως μια μη-μεταθετική και μη-συνειρμική λογική πολλών τιμών (multi-valued logic). Ωστόσο, έχει κάποιες ιδιότητες που τη διακρίνουν σαφώς από την κλασική λογική, με κυριότερη την αδυναμία του επιμεριστικού νόμου της προτασιακής λογικής.

=== Δισθενές και ο νόμος της αποκλεισμένης μέσης === 

Οι λογικές που διατυπώθηκαν παραπάνω είναι όλες «δισθενείς» ή «δύο-τιμών». Για αυτό γίνονται περισσότερα φυσικά αντιληπτές ως διαίρεση προτάσεων σε αληθινές και ψευδείς. Οι μη κλασσικές λογικές είναι αυτά τα συστήματα που απορρίπτουν το δισθενές. 

Ο [[Χέγκελ]] ανέπτυξε τη δική του διαλεκτική λογική η οποία επέκτεινε την υπερβατική λογική του [[Καντ]] αλλά η οποία την "προσγείωσε" διαβεβαιώνοντάς μας ότι «ούτε στον ουρό ούτε στη γη, ούτε στον κόσμο του μυαλού ούτε της φύσης, δεν υπάρχει "είτε Α, είτε Β" όσο η κατανόηση συντηρείται. Ότι υπάρχει είναι απτό, διαφορετικό και σε αντίθεση από μόνο του».

Το 1910, ο [[Νικολάι Βασίλιεφ]] επέκτεινε τον νόμο της αποκλεισμένης μέσης και το νόμο των αντιθέτων και πρότεινε το νόμο του αποκλεισμένου τέταρτου και λογική ανθεκτική στην αντίφαση. Στις αρχές του 20ου αιώνα ο [[Γιαν Λουκάσιεβιτς]] διερεύνησε την επέκταση των παραδοσιακών τιμών αληθές/ψευδές για να συμπεριλάβει μια τρίτη τιμή, "πιθανό", εφευρίσκοντας την [[τριαδική λογική]], την πρώτη λογική πολλαπλών τιμών.

Λογικές όπως η λογική fuzzy ([[ασαφής λογική]]), δεδομένου ότι έχουν επινοηθεί με έναν άπειρο αριθμό από "βαθμίδες αλήθειας", αναπαραστάθηκαν από ένα πραγματικό αριθμό μεταξύ 0 και 1.

Η [[ενορατική λογική]] προτάθηκε από τον L. E. J. Brouwer ως η σωστή λογική για τη συλλογιστική στα μαθηματικά, με βάση την απόρριψη του νόμου της αποκλεισμένης μέσης, ως τμήμα του ενορατισμού. Ο Brouwer απέρριψε την τυποποίηση των μαθηματικών, ο μαθητής του Arend Heyting όμως μελέτησε την ενορατική λογική ως τυπική, όπως έκανε και ο Gerhard Gentzen. Η ενορατική λογική προσελκύει μεγάλο ενδιαφέρον στους επιστήμονες πληροφορικής, καθώς είναι μια εποικοδομητική λογική και μπορεί να εφαρμοστεί για την εξαγωγή προγραμμάτων που επαληθεύονται από αποδείξεις.

Η τροπική λογική δεν είναι αληθινή υποθετική (conditional), και για αυτό έχει συχνά προταθεί ως μη κλασική λογική. Ωστόσο η τροπική λογική είναι συνήθως τυποποιημένη με την αρχή της αποκλεισμένης μέσης και η σχεσιακή της σημασιολογία είναι δισθενής, οπότε η ένταξη της είναι αμφισβητήσιμη.

=== "Είναι η λογική εμπειρική;" ===
 

Ποιο είναι το επιστημονολογικό καθεστώς των νόμων της λογικής; Τι είδους επιχείρημα είναι κατάλληλο για την κριτική δήθεν αρχών της λογικής; Σε μια σημαντική εργασία με τίτλο *Is logic empirical?* (Είναι η λογική εμπειρική;) του [[Χίλαρι Πούτναμ]], βασισμένος σε μια πρόταση του Κουίν, υποστήριξε ότι σε γενικές γραμμές τα στοιχεία της προτασιακής λογικής έχουν ένα παρόμοιο επιστημολογικό καθεστώς ως στοιχεία σχετικά με το φυσικό σύμπαν, όπως για παράδειγμα τους νόμους της μηχανικής και της γενικής σχετικότητας, και ιδίως ότι αυτό που οι φυσικοί έχουν μάθει για την κβαντική μηχανική δείχνει την επιτακτική ανάγκη για εγκατάλειψη ορισμένων εκ των γνωστών αρχών της κλασικής λογικής: αν θέλουμε να είμαστε ρεαλιστές σχετικά με τα φυσικά φαινόμενα που περιγράφονται από την κβαντική θεωρία, τότε θα πρέπει να εγκαταλείψουμε την αρχή της επιμεριστικότητας, αντικαθιστώντας την κλασική λογική με την κβαντική λογική που προτάθηκε από τους [[Γκάρετ Μπίρκοφ]] και [[Τζον φον Νόιμαν]].

Μία άλλη ομώνυμη εργασία από τον Sir Michael Dummett υποστηρίζει ότι η επιθυμία του Πούτναμ για το ρεαλισμό επιτάσσει το νόμο της επιμεριστικότητας. Η επιμεριστικότητα της λογικής είναι απαραίτητη για την κατανόηση των ρεαλιστών για το πώς οι προτάσεις είναι αλήθεια του κόσμου κατά τον ίδιο ακριβώς τρόπο
όπως ο Dummett έχει ισχυριστεί ότι η αρχή του δισθενούς είναι. Με τον τρόπο αυτό, η ερώτηση "Είναι η λογική εμπειρική;" μπορεί να θεωρηθεί ότι οδηγεί φυσικά στη θεμελιώδη αντιπαράθεση στη μεταφυσική στο ρεαλισμό έναντι του αντι-ρεαλισμού.

=== Συνεπαγωγή: Αυστηρή ή αιτιατή; ===


Είναι προφανές ότι η έννοια της συνεπαγωγής που τυποποιήθηκε στην κλασική λογική δεν μεταφράζεται άνετα σε φυσική γλώσσα με τη βοήθεια της δομής "αν...τότε", και αυτό οφείλεται σε μια σειρά από προβλήματα που ονομάζονται τα παράδοξα της αιτιατής συνεπαγωγής.

Η πρώτη κλάση των παραδόξων περιλαμβάνει αντιπαραδείγματα, όπως «Αν το φεγγάρι είναι φτιαγμένο από πράσινο τυρί, τότε 2+2=5», που είναι αινιγματικό γιατί η φυσική γλώσσα δεν υποστηρίζει την [[αρχή της έκρηξης]]. Η εξάλειψη αυτής της κλάσης παραδόξων ήταν ο λόγος για τη διατύπωση από τον [[Κλάρενς Ίρβινγκ Λιούις]] της αυστηρής (τροπικής) συνεπαγωγής, η οποία τελικά οδήγησε σε πιο ριζικές ρεβιζιονιστικές (αναθεωρητικές) λογικές όπως είναι η [[σχετική λογική]] (relevant ή relevance logic).

Η δεύτερη κλάση των παραδόξων περιλαμβάνει περιττές προκείμενες, ψευδώς υποδηλώνοντας ότι γνωρίζοντας το μεταγενέστερο λόγω του προγενέστερου: έτσι, η πρόταση «εάν αυτός ο άνθρωπος εκλεγεί, η γιαγιά θα πεθάνει» είναι στην ουσία αληθής, δεδομένου ότι η γιαγιά είναι θνητή, ανεξάρτητα από τις εκλογικές προοπτικές του ανθρώπου. Τέτοιες φράσεις παραβιάζουν την [[συνεταιριστική αρχή|απόφθεγμα του Πολ Γκράις]] της σχέσης, και μπορούν να μοντελοποιηθούν από λογικές που απορρίπτουν την [[μονοτονία της συνεπαγωγής|αρχή της μονοτονίας]], όπως η σχετική λογική.

=== Ανεχόμενοι το αδύνατο ===
 

Ο [[Χέγκελ]] είχε εξαιρετικά επικριτική στάση σε οποιαδήποτε απλουστευμένη έννοια του νόμου της μη αντίφασης. Ήταν βασισμένος στην ιδέα του [[Λάιμπνιτς]] ότι αυτός ο νόμος της λογικής απαιτεί επίσης επαρκή αιτιολογία για να διευκρινίζει από ποια οπτική γωνία (ή χρόνο) κάποιος λέει ότι κάτι δεν μπορεί να αντιφάσκει. Ένα κτήριο, για παράδειγμα, κινείται αλλά και δεν κινείται μαζί, το έδαφος κατά μία έννοια είναι το ηλιακό μας σύστημα ενώ κατ' άλλη είναι η γη. Στην εγελιανή διαλεκτική, ο νόμος της μη αντίφασης, της ταυτότητας, ο ίδιος στηρίζεται στη διαφορά και έτσι δεν είναι ανεξάρτητα διεκδικήσιμος.

Στενά συνδεδεμένη με ζητήματα που προκύπτουν από τα παράδοξα της implication έρχεται η πρόταση ότι η λογική θα έπρεπε να ανεχτεί την ασυνέπεια. Η [[σχετική λογική]] (relative logic) και η [[παρασυνεπής λογική]] (paraconsistent logic) είναι οι σημαντικότερες προσεγγίσεις εδώ, αν και οι ανησυχίες διαφέρουν: μια βασική συνέπεια της κλασικής λογικής και ορισμένων από τις αντίπαλές της, όπως είναι η [[ενορατική λογική]], είναι ότι τηρούν την [[αρχή της έκρηξης]] (principle of explosion, ή αλλιώς principle of Pseudo-Scotus), το οποίο σημαίνει ότι η λογική καταρρέει αν από αυτή δύναται να προκύψει μια αντίφαση. Ο [[Γκράχαμ Πριστ]], ο κύριος υποστηρικτής του [[διαληθισμός|διαληθισμού]], έχει ταχθεί υπέρ της [[παρασυνεπής λογική|παρασυνέπειας]] με την αιτιολογία ότι υπάρχουν στην πραγματικότητα αληθινές αντιφάσεις.

=== Απόρριψη της λογικής αλήθειας ===

Η φιλοσοφική φλέβα των διαφόρων ειδών του σκεπτικισμού περιέχει πολλά είδη της αμφισβήτησης και απόρριψης των διαφόρων βάσεων στις οποίες στηρίζεται η λογική, όπως η ιδέα της λογικής μορφής, ο σωστός συμπερασμός, ή έννοια, συνήθως οδηγεί στο συμπέρασμα ότι δεν υπάρχουν λογικές αλήθειες. Παρατηρήστε ότι αυτό είναι το αντίθετο στις συνήθεις απόψεις στο φιλοσοφικό σκεπτικισμό, όπου η λογική κατευθύνει την σκεπτικιστική έρευνα να αμφιβάλλει για τις θεόσταλτες σοφίες και ξεπερασμένες απόψεις, όπως στο έργο του [[Σέξτος ο Εμπειρικός|Σέξτου του Εμπειρικού]].


Ο [[Φρίντριχ Νίτσε]] προβάλλει ένα ισχυρό παράδειγμα της απόρριψης της συνήθους βάσης της λογική: η ριζική απόρριψη της εξιδανίκευσης τον οδήγησε να απορρίψει την αλήθεια ως «...ένας κινητός στρατός από μεταφορές, μετώνυμα και ανθρωπομορφισμούς - με λίγα λόγια... μεταφορές οι οποίες έχουν φθαρεί και χωρίς αισθητηριακή δύναμη. Κέρματα που έχουν χάσει το νόημά τους και πλέον έχουν σημασία ως μέταλλο, και όχι ως κέρματα». Η απόρριψη της αλήθειας δεν τον οδήγησε να απορρίψει την ιδέα του συμπερασμού ή λογικής εντελώς, αλλά πρότεινε ότι «η λογική άρχισε να λειτουργεί στο ανθρώπινο κεφάλι έξω από το παράλογο, του οποίου το πεδίο κανονικά θα έπρεπε να ήταν απέραντο. Αναρίθμητα όντα που συμπέραναν κατά τρόπο διαφορετικό από το δικό μας έχασαν τη ζωή τους». Έτσι, υπάρχει η ιδέα ότι η λογική συναγωγή έχει την χρησιμότητα της στην ανθρώπινη επιβίωση, αλλά και ότι η ύπαρξή του δεν υποστηρίζει την ύπαρξη της αλήθειας, ούτε έχει μια πραγματικότητα πέρα από την καθορισμένη: «Επίσης, η λογική, ακόμη, βασίζεται σε υποθέσεις που δεν αντιστοιχούν σε τίποτα στον πραγματικό κόσμο».

Ωστόσο, η θέση που κατέχει ο Νίτσε υπέστη σε ακραία εξέταση για διάφορους λόγους. Ο ίδιος αδυνατεί να αποδείξει το βάσιμο των ισχυρισμών του και απλώς τους ισχυρίζεται ρητορικά. Παρά το γεγονός, δεδομένου
ότι επικρίνει τα καθορισμένα κριτήρια ισχύος, αυτό δεν υπονομεύει τη θέση του, θα μπορούσε κανείς να υποστηρίξει ότι η απόδειξη της ισχύος που προβλέπεται στο όνομα της λογικής είναι εξίσου βασισμένη στη ρητορική. Η θέση του έχει υποστηριχθεί ότι είναι αυτο-διαψεύσιμη από φιλόσοφους, όπως ο [[Γιούργκεν Χάμπερμας]], ο οποίος κατηγόρησε το Νίτσε για το ότι δεν έχει μια συνεκτική οπτική γωνία πόσο μάλλον για μια θεωρία της γνώσης. Και πάλι, δεν είναι σαφές αν αυτή είναι μια καθοριστική κριτική για τα κριτήρια μιας συνεκτικής και συνεπής θεωρίας τα οποία είναι ακριβώς αυτά που είναι υπό αμφισβήτηση. Ο [[Γκέοργκ Λούκατς]] στο βιβλίο του *The Destruction of Reason* (Η καταστροφή του Λόγου) ισχυρίστηκε ότι «δεν μπορούμε να μελετήσουμε τις δηλώσεις του Νίτσε σε αυτόν τον τομέα από μια λογικο-φιλοσοφική οπτική γωνία, θα είμαστε αντιμέτωποι με το χάος των πιο μακάβριων ισχυρισμών, αυθαίρετα και βίαια ασυμβίβαστων». Παρ' όλα αυτά, από την άποψη αυτή η θεωρία του θα ήταν μια πολύ καλύτερη απεικόνιση μιας συγκεχυμένης και χαοτικής πραγματικότητας παρά μια συνεπή και συμβατή θεωρία. Ο [[Μπέρτραντ Ράσελ]] αναφέρει τις αξιώσεις του Νίτσε ως «κούφια λόγια» στο βιβλίο του *A History of Western Philosophy*.

== Δείτε επίσης ==



* [[Ψηφιακά ηλεκτρονικά]] (γνωστά και ως *ψηφιακή λογική* ή *λογικές πύλες'')
* Πιθανοτική αιτιότητα
* Κβαντική συλλογιστική
* Λογική πλάνη
* Μαθηματικά
* Φιλοσοφία

* Φιλοσοφία της γλώσσας
* Αλήθεια
* Λογική πρώτου βαθμού
* Argumentum ad logicam

### Βιβλιογραφία

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

* Reasoning Exercises  a Mediawiki project
* 

Κατηγορία:Αφαίρεση (φιλοσοφία)
Κατηγορία:Θετικές επιστήμες