Συζυγές στοιχείο

Στα μαθηματικά, ιδίως στη θεωρία σωμάτων, το **συζυγές στοιχείο** ή  **συζυγές ενός αλγεβρικού στοιχείου**  α, πάνω σε μια επέκταση σώματοςt&nbsp;, πάνω σε μια επέκταση σώματος ,  είναι οι ρίζες του ελάχιστου πολυωνύμου  του  πάνω στο . Το συζυγές στοιχείο συνήθως ονομάζεται **συζυγές** σε περιβάλλοντα όπου αυτό δεν είναι διφορούμενο. Συνήθως το ίδιο το  περιλαμβάνεται στο σύνολο των συζυγών του&nbsp;.

Ισοδύναμα, τα συζυγή του  είναι οι εικόνες του  κάτω από τους αυτομορφισμούς του σώματος  που αφήνουν σταθερά τα στοιχεία του . Η ισοδυναμία των δύο ορισμών είναι ένα από τα σημεία εκκίνησης της θεωρίας Γκαλουά.

Η έννοια γενικεύει την μιγαδική συζυγία, καθώς οι αλγεβρικές συζυγίες ενός μιγαδικού αριθμού πάνω από το \R είναι ο ίδιος ο αριθμός και η *μιγαδική συζυγία* του.

## Ιδιότητες

Αν το *Κ* δίνεται μέσα σε ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα *C*, τότε οι συζυγείς μπορούν να ληφθούν μέσα στο *C*. Εάν δεν έχει καθοριστεί ένα τέτοιο *C* μπορεί κανείς να πάρει τις συζυγίες σε κάποιο σχετικά μικρό σώμα *L*. Η μικρότερη δυνατή επιλογή για το *L* είναι να πάρουμε ένα σώμα διασπάσεως πάνω από το *K* του *p**K*,*α*, που περιέχει&nbsp;*α*. Αν το *L* είναι οποιαδήποτε κανονική επέκταση του *K* που περιέχει το *α*, τότε εξ ορισμού περιέχει ήδη ένα τέτοιο σώμα διασπάσεως.

Δίνεται λοιπόν μια κανονική επέκταση *L* της *K*, με ομάδα αυτομορφισμού Aut(*L*/*K*) = *G*, και που περιέχει *α*, κάθε στοιχείο *g*(*α*) για το *g* στην *G* θα είναι συζυγές του *α*, αφού ο αυτομορφισμός *g* στέλνει τις ρίζες του *p* στις ρίζες του *p*. Αντίστροφα, κάθε συζυγές *β* του *α* είναι αυτής της μορφής: με άλλα λόγια, η *G* δρα μεταβατικά στα συζυγή. Αυτό προκύπτει καθώς το *K*(*α*) είναι *K*-ισομορφικό με το *K*(*β*) από την αναγωγιμότητα του ελάχιστου πολυωνύμου, και κάθε ισομορφισμός των σωμάτων *F* και *F* που απεικονίζει το πολυώνυμο *p* στο *p* μπορεί να επεκταθεί σε ισομορφισμό των σωμάτων διάσπασεως του *p* πάνω στο *F* και του *p* πάνω στο *F*, αντίστοιχα.

Συνοπτικά, τα συζυγή στοιχεία του *α* βρίσκονται, σε οποιαδήποτε κανονική επέκταση *L* του *K* που περιέχει το *K*(*α*), ως το σύνολο των στοιχείων *g*(*α*) για *g* στο Aut(*L*/*K*). Ο αριθμός των επαναλήψεων σε αυτόν τον κατάλογο κάθε στοιχείου είναι ο διαχωρίσιμος βαθμός [*L*:*K*(*α*)]sep.

Ένα θεώρημα του Κρόνεκερ δηλώνει ότι αν *α* είναι ένας μη μηδενικός αλγεβρικός ακέραιος αριθμός τέτοιος ώστε *α* και όλα τα συζυγή του στους μιγαδικούς αριθμούς έχουν απόλυτη τιμή το πολύ 1, τότε *α* είναι ρίζα της μονάδας. Υπάρχουν ποσοτικές μορφές αυτού, που δηλώνουν με μεγαλύτερη ακρίβεια όρια (ανάλογα με το βαθμό) για τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή ενός συζυγούς που συνεπάγεται ότι ένας αλγεβρικός ακέραιος είναι ρίζα της μονάδας.

## Παράδειγμα

* Οι μιγαδικοί αριθμοί i και -i έχουν πάνω στον \R και οι δύο έχουν το ελάχιστο πολυώνυμο \textstyle x^2+1 και επομένως είναι αλγεβρικά συζυγή πάνω στον \R. Μέσω του \Complex έχουν φυσικά τα ελάχιστα πολυώνυμα x-i bzw. x+i και δεν είναι συζυγή.
*Γενικότερα, δύο μιγαδικοί αριθμοί a+bi και c+di με b,d\neq 0 είναι αλγεβρικά συζυγή μέσω \R, αν διαχωρίζονται με μιγαδική συζυγία, δηλαδή ισχύει a=c, b=-d.  Στην περίπτωση αυτή, το κοινό ελάχιστο πολυώνυμο είναι x^2-2ax+a^2+b^2.
* Ο χρυσός αριθμός \Phi και ο αρνητικός του αντίστροφος είναι συζυγή στο σώμα \mathbb Q. Είναι λύσεις του ελάχιστου πολυωνύμου \textstyle x^2 - x -1.
* Τα αλγεβρικά συζυγή του x_1 = \sqrt{2} + \sqrt{3} προκύπτουν ως εξής: Από το
:: x_1^2 = 5 + 2\sqrt{6}, \quad x_1^3 = 11\sqrt{2} + 9\sqrt{3} \quad και  \quad x_1^4 = 49 + 20\sqrt{6}
: καταλήγει στο ελάχιστο πολυώνυμο
:: x^4 - 10 x^2 + 1 = \left(x^2 - 5\right)^2 - 24.
: Παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα δύο φορές, σε συνδυασμό με τη σχέση 5 \pm 2\sqrt{6} = (\sqrt{2} \pm \sqrt{3})^2, προκύπτουν τα άλλα μηδενικά::
:: x_2 = \sqrt{2} - \sqrt{3},\quad x_3 = -\sqrt{2} + \sqrt{3},\quad x_4 = -\sqrt{2} - \sqrt{3}.

**Ἄλλο παράδειγμα:**

Οι κυβικές ρίζες του αριθμού ένα είναι: 

: \sqrt[3]{1} = \begin{cases}1 \\[3pt] -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \\[5pt] -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \end{cases} 

Οι δύο τελευταίες ρίζες είναι συζυγή στοιχεία στο  με ελάχιστο πολυώνυμο 

:  \left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=x^2+x+1.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Σώμα διασπάσεως
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νοεροί υπολογισμοί

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 

* 
* 
* 

* Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
*
*
*
*
*
*
*
*.   **English translation** (of 2nd revised edition):  *(Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)*
*

## Πηγές
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία 
Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα