Απλή επέκταση

Στη θεωρία σώματος, μια **απλή επέκταση** είναι μια επέκταση σώματος που παράγεται από την πρόσθεση ενός μόνο στοιχείου, το οποίο ονομάζεται *πρωταρχικό στοιχείο*. Οι απλές επεκτάσεις είναι καλά κατανοητές και μπορούν να ταξινομηθούν πλήρως.

Το θεώρημα του πρωταρχικού στοιχείου παρέχει έναν χαρακτηρισμό των πεπερασμένων απλών επεκτάσεων.

## Ορισμός

Μια επέκταση σώματος  ονομάζεται ***απλή επέκταση*** αν υπάρχει ένα στοιχείο  στο *L* με

:L = K(\theta).

Αυτό σημαίνει ότι κάθε στοιχείο του  μπορεί να εκφραστεί ως ρητό κλάσμα στο , με συντελεστές στο , δηλαδή παράγεται από το  και τα στοιχεία του  με τις πράξεις πεδίου +, −, •, / . Ισοδύναμα, το  είναι το μικρότερο σώμα που περιέχει τόσο το **' όσο και το .

Υπάρχουν δύο διαφορετικά είδη απλών επεκτάσεων (Βλ.§ ''Δομή των απλών επεκτάσεων'' παρακάτω)):

# Το στοιχείο  μπορεί να είναι υπερβατικό πάνω από , πράγμα που σημαίνει ότι δεν είναι ρίζα οποιουδήποτε [[Πολυώνυμο|πολυωνύμου]] με συντελεστές στο . Στην περίπτωση αυτή το <math>K(\theta)</math> είναι ισόμορφο με το σώμα των [[Ρητή συνάρτηση|ρητών συναρτήσεων]] <math>K(X).</math>
# Διαφορετικά, η  είναι αλγεβρική επί - δηλαδή, η  είναι ρίζα πολυωνύμου επί . Το [[μονικό πολυώνυμο]] <math>p(X)</math> ελάχιστου βαθμού , με ρίζα το , ονομάζεται [[ελάχιστο πολυώνυμο]] του . Ο βαθμός του ισούται με τον βαθμό της [[Επέκταση σώματος|επέκτασης του σώματος]], δηλαδή με τη διάσταση του  που αντιμετωπίζεται ως [[διανυσματικός χώρος]] . Σε αυτή την περίπτωση, κάθε στοιχείο του <math>K(\theta)</math> μπορεί να εκφραστεί μοναδικά ως [[πολυώνυμο]] στο  βαθμού μικρότερου από , και το <math>K(\theta)</math> είναι ισόμορφο με το [[πηλίκο]] <math>K[X]/(p(X)).</math>

Και στις δύο περιπτώσεις, το στοιχείο  ονομάζεται **γεννήτορας** ή **πρωταρχικό στοιχείο** για την [[Επέκταση σώματος|επέκταση]]- λέμε επίσης ότι το  **παράγεται πάνω** από το  από το .

Επί παραδείγματι, κάθε [[πεπερασμένο σώμα]] είναι μια **απλή επέκταση** του [[Πρώτο σώμα|πρώτου σώματος]] της ίδιας [[Χαρακτηριστική (Άλγεβρα)|χαρακτηριστικής]]. Πιο συγκεκριμένα, αν  είναι ένας [[πρώτος αριθμός]] και <math>q=p^n,</math> το σώμα  <math>L=\mathbb{F}_{q} </math> των στοιχείων   είναι μια απλή επέκταση βαθμού ''n'' του <math>K=\mathbb{F}_{p}.</math> Στην πραγματικότητα, το ''L'' παράγεται ως [[Σώμα (άλγεβρα)|σώμα]] από κάθε στοιχείο  που είναι ρίζα ενός μη αναγώγιμου πολυωνύμου βαθμού ''n''  στο <math>K[X]</math>.

Ωστόσο, στην περίπτωση των [[Πεπερασμένο σώμα|πεπερασμένων σωμάτων]], ο όρος ''πρωταρχικό στοιχείο'' συνήθως προορίζεται για μια ισχυρότερη έννοια, ένα στοιχείο ''γ'' που παράγει <math>L^\times = L-\{0\}</math> ως πολλαπλασιαστική ομάδα, έτσι ώστε κάθε μη μηδενικό στοιχείο του ''L'' να είναι δύναμη του ''γ'', δηλαδή να παράγεται από το ''γ'' χρησιμοποιώντας μόνο την πράξη της ομάδας • ''.'' Για να διακρίνει κανείς αυτές τις έννοιες, χρησιμοποιεί τον όρο "γεννήτρια" ή **αρχέγονο στοιχείο σώματος** για την ασθενέστερη έννοια, διατηρώντας τον όρο "αρχέγονο στοιχείο" ή **αρχέγονο στοιχείο ομάδας** για την ισχυρότερη έννοια. (Βλ.[[Πεπερασμένο σώμα]] § Πολλαπλασιαστική δομή και Πρωτεύον στοιχείο ([[πεπερασμένο σώμα]])).

== Δομή των απλών επεκτάσεων ==

Έστω ''L'' μια **απλή επέκταση** του ''K'' που παράγεται από το ''θ''. Για τον πολυωνυμικό δακτύλιο ''K''[''X''], μια από τις κύριες ιδιότητές του είναι ο μοναδικός ομομορφισμός δακτυλίου

:<math>
\begin{align}
\varphi: K[X] &\rightarrow L\\
f(X) &\mapsto f(\theta)\,.
\end{align}
</math>
Δύο περιπτώσεις μπορεί να προκύψουν:

# Αν το <math>\varphi</math> είναι αμφιρριπτικό, μπορεί να επεκταθεί αμφιρριπτικά στο σώμα των κλασμάτων ''K''(''X'') του ''K''[''X'']. Δεδομένου ότι το ''L'' παράγεται από το ''θ'' αυτό συνεπάγεται ότι η <math>\varphi</math> είναι ένας ισομορφισμός από το ''K''(''X'') στο ''L''. Αυτό σημαίνει ότι κάθε στοιχείο του  ''L'' είναι ίσο με ένα μη αναγώγιμο κλάσμα [[Πολυώνυμο|πολυωνύμων]] στο ''θ'' και ότι δύο τέτοια μη αναγώγιμα κλάσματα είναι ίσα αν και μόνο αν μπορεί κανείς να περάσει από το ένα στο άλλο πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το ίδιο μη μηδενικό στοιχείο του ''K''.
# Αν το <math>\varphi</math> δεν είναι ερριπτικό, έστω ''p''(''X'')  μια γεννήτρια του πυρήνα της, η οποία είναι επομένως το ελάχιστο [[πολυώνυμο]] του ''θ''. Η εικόνα του <math>\varphi</math> είναι ένας υποδακτύλιος του ''L'', και επομένως μια [[ακέραια περιοχή]]. Αυτό συνεπάγεται ότι το ''p''  είναι ένα μη αναγώγιμο πολυώνυμο, και επομένως ότι ο δακτύλιος-πηλίκο <math>K[X]/\langle p(X) \rangle</math>  είναι ένα [[Σώμα (άλγεβρα)|σώμα]]. Καθώς το ''L'' παράγεται από το ''θ'', η <math>\varphi</math> είναι επιρριπτικό και το <math>\varphi</math> επάγει έναν ισομορφισμό από το <math>K[X]/\langle p(X) \rangle</math> στο ''L''. Αυτό συνεπάγεται ότι κάθε στοιχείο του  ''L'' είναι ίσο με ένα μοναδικό πολυώνυμο στο ''θ'' βαθμού μικρότερου από τον βαθμό <math>n = \operatorname{deg}p(X)</math>. Δηλαδή, έχουμε μια ''K-''βάση του  ''L'' που δίνεται από την <math>1,\theta,\theta^2,\ldots,\theta^{n-1}</math>.

== Παραδείγματα ==
* Το **C** / **R** που παράγεται από <math>\theta = i =\sqrt{-1}</math>.
* Το **Q**(<math>\sqrt{2}</math>) / **Q** που παράγεται από <math>\theta=\sqrt{2}</math>.
* Κάθε [[αριθμητικό σώμα]] (δηλαδή, μια πεπερασμένη επέκταση του **Q**) είναι μια απλή επέκταση **Q*'(*θ*) για κάποιο *θ*. Επί παραδείγματι, το <math>\mathbf{Q}(\sqrt{3}, \sqrt{7})</math> παράγεται από το <math>\theta=\sqrt{3} + \sqrt{7}</math>.
* *F*(*X*) / *F,* ένα [[Σώμα (άλγεβρα)|σώμα]] [[Ρητή συνάρτηση|ρητών συναρτήσεων]], παράγεται από την τυπική μεταβλητή *X*.

== Εξωτερικοί σύνδεσμοι ==
*[https://www.itia.ntua.gr/en/docinfo/1318/ English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics] Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*[https://www.mas.ucy.ac.cy/georgios/bookfiles/dict1.pdf Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου]
*[https://mathbooksgr.wordpress.com/wp-content/uploads/2012/02/mlexiko2012.pdf ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ] Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* [https://mtzoumas.mysch.gr/mtz/docs_and_apps/Didaskalia/bibl_kath_geom.pdf Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο]
* [https://www.didaktorika.gr/eadd/handle/10442/20405 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών]
* [https://repository.kallipos.gr/bitstream/11419/107/5/NumberTheory30Sep.pdf Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές]
* [https://repository.kallipos.gr/handle/11419/1045 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών]
* [https://thesis.ekt.gr/thesisBookReader/id/15362?lang=el#page/1/mode/2up Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες] Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* [https://www.didaktorika.gr/eadd/handle/10442/58427 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας] Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* [http://users.uoi.gr/brapt/stat/notes_chap_1.pdf  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή]
* [http://www.wolframalpha.com/calculators/integral-calculator/ Wolfram Mathematica Online Integrator]
* [https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/jres/73B/jresv73Bn1p1_A1b.pdf  A Table of Integrals of the Error Functions]

== Δείτε επίσης ==
* [[Απαγορευτική αρχή του Πάουλι]]
* [[Μορφοκλασματική διάσταση]]
* [[Ομοπαραλληλική γεωμετρία]]
* [[Αλγεβρική θεωρία αριθμών]]
* [[Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον]]
* [[Μοναδιαία βηματική συνάρτηση]]
* [[Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ]]
* [[Ευκλείδειος χώρος]]
* [[Αρχιμήδεια ιδιότητα]]
* [[Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)]]
* [[Εφαρμοσμένα μαθηματικά]]
* [[Υπολογιστική ρευστοδυναμική]]
* [[Καμπυλότητα Γκάους]]
* [[Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων]]
* [[Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής]]
* [[Αλγεβρική γεωμετρία]]
* [[Σώμα διασπάσεως]]
* [[Συνήθης διαφορική εξίσωση]]
* [[Γραμμική απεικόνιση]]
* [[Νοεροί υπολογισμοί]]

== Βιβλιογραφία==
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

== Παραπομπές ==


*
* 
*
*
*
*Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 323, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, [https://mathscinet.ams.org/mathscinet/relay-station?mr=1737196 MR 1737196], [https://zbmath.org/?format=complete&q=an:0948.11001 Zbl 0948.11001]
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*

== Πηγές ==
* 
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* [[:en:Hans Freudenthal|Hans Freudenthal]]: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.'' Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα