Tor συναρτητής

Στα μαθηματικά, οι **Tor συναρτητές** είναι οι παράγωγοι συναρτητές του τανυστικού γινομένου των προτύπων πάνω σε ένα δακτύλιο. Μαζί με τον  συναρτητή **Ext** , ο **Tor** είναι μία από τις κεντρικές ιδέες της ομολογικής άλγεβρας, στην οποία χρησιμοποιούνται έννοιες από την αλγεβρική τοπολογία για την κατασκευή αναλλοίωτων αλγεβρικών δομών. Η ομολογία των ομάδων, των αλγεβρών Λι και των προσεταιριστικών αλγεβρών μπορεί να οριστεί με βάση το **Tor**. Το όνομα προέρχεται από μια σχέση μεταξύ της πρώτης ομάδας Tor1 και της υποομάδας στρέψης μιας αβελιανής ομάδας. 

Στην ειδική περίπτωση των αβελιανών ομάδων, ο **Tor** εισήχθη από τον Έντουαρντ Τσεχ (1935) και πήρε το όνομά του από τον Σάμουελ Άιλενμπεργκ γύρω στο 1950. Εφαρμόστηκε για πρώτη φορά στο θεώρημα του Κούνετ και στο θεώρημα του καθολικού συντελεστή στην τοπολογία. Για τις ενότητες πάνω σε οποιονδήποτε δακτύλιο, ο **Tor** ορίστηκε από τον Ανρί Καρτάν και τον Άιλενμπεργκ στο βιβλίο τους Ομολογική Άλγεβρα του 1956.

## Ορισμός

Έστω *R* ένας δακτύλιος. Γράφουμε *R*-Mod για την κατηγορία των αριστερών *R*-προτύπων και Mod-*R* για την κατηγορία των δεξιών *R*-προτύπων. (Εάν *R* είναι αντιμεταθετικός, οι δύο κατηγορίες μπορούν να ταυτίζονται.) Για ένα σταθερό αριστερό *R*-πρότυπο *B*, έστω T(A) = A\otimes_R B για *A* στο Mod-*R*. Αυτό είναι ένας ακριβής δεξιός συναρτητής από το Mod-*R* στην κατηγορία των αβελιανών ομάδων Ab, και έτσι έχει αριστερούς παράγωγους συναρτητές  L_i T.  Οι ομάδες Tor είναι οι αβελιανές ομάδες που ορίζονται από
\operatorname{Tor}_i^R(A,B) = (L_iT)(A),
για έναν ακέραιο αριθμό *i*. Κατ' ορισμό, αυτό σημαίνει: επιλέξτε οποιαδήποτε προβολική ανάλυση
\cdots\to P_2 \to P_1 \to P_0 \to A\to 0,
και αφαιρούμε το *A*, και σχηματίζουμε την μιγαδική αλυσίδα :
\cdots \to P_2\otimes_R B \to P_1\otimes_R B \to P_0\otimes_R B \to 0

Για κάθε ακέραιο *i*, η ομάδα \operatorname{Tor}_i^R(A,B) είναι η ομολογία αυτού του μιγαδικού στη θέση *i*. Είναι μηδέν για *i* αρνητικό. Επιπλέον, \operatorname{Tor}_0^R(A,B) είναι ο συμπυρήνας της απεικόνισης P_1\otimes_R B \to P_0\otimes_R B, η οποία είναι ισομορφική με την A \otimes_R B.

Εναλλακτικά, μπορεί κανείς να ορίσει τον Tor καθορίζοντας το *A* και λαμβάνοντας τα αριστερά παράγωγα συναρτητών του δεξιού ακριβούς συναρτητή G(B)=A\otimes_RB. Δηλαδή, ο τανυστής *A* με μια προβολική ανάλυση του *B* και να λάβει την ομολογία. Οι Καρτάν και Άιλενμπεργκ έδειξαν ότι αυτές οι κατασκευές είναι ανεξάρτητες από την επιλογή της προβολικής ανάλυσης και ότι και οι δύο κατασκευές παράγουν τις ίδιες ομάδες Tor. Επιπλέον, για έναν σταθερό δακτύλιο *R*, το Tor είναι ένας συναρτητής σε κάθε μεταβλητή (από *R*-πρότυπα σε αβελιανές ομάδες).

Για έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο *R* και *R*-πρότυπα *A* και *B*, \operatorname{Tor}^R_i(A,B) είναι *R*-πρότυπα (χρησιμοποιώντας το ότι A\otimes_RB είναι *R*-πρότυπα σε αυτή την περίπτωση). Για έναν μη- αντιμεταθετικό δακτύλιο *R*, το \operatorname{Tor}^R_i(A,B) είναι μόνο μια αβελιανή ομάδα, γενικά. Εάν το *R* είναι μια άλγεβρα πάνω σε ένα δακτύλιο *S* (που σημαίνει συγκεκριμένα ότι το *S* είναι αντιμεταθετικό), τότε το \operatorname{Tor}^R_i(A,B) είναι τουλάχιστον ένα *S*-πρότυπο.

## Ιδιότητες

Ακολουθούν μερικές από τις βασικές ιδιότητες και υπολογισμοί των ομάδων Tor.

*Tor(*A*, *B*) ≅ *A* ⊗*R* *B* για κάθε δεξί *R*-πρότυπο *A* και αριστερό *R*-πρότυπο *B.*.
*Tor(*A*, *B*) = 0 για όλα τα *i* > 0 εάν είτε το *A* είτε το *B* είναι επίπεδο ( π.χ. ελεύθερο) ως *R*-πρότυπο. Στην πραγματικότητα, μπορεί κανείς να υπολογίσει τον Tor χρησιμοποιώντας μια επίπεδη ανάλυση είτε του *A* είτε του *B*; Αυτό είναι πιο γενικό από μια προβολική (ή ελεύθερη) ανάλυση.
*Υπάρχουν αντίθετες απόψεις στην προηγούμενη δήλωση:
**Εάν Tor(*A*, *B*) = 0 για όλα τα *B*, τότε το *A* είναι επίπεδο (και επομένως Tor(*A*, *B*) = 0 για όλα τα *i* > 0).
**Εάν Tor(*A*, *B*) = 0 για όλα τα *A*, τότε το *B*  είναι επίπεδο (και επομένως Tor(*A*, *B*) = 0 για όλα τα *i* > 0).
*Σύμφωνα με τις γενικές ιδιότητες των παράγωγων συναρτητών, κάθε σύντομη ακριβής ακολουθία 0 → *K* → *L* → *M* → 0 των δεξιών *R*-προτύπων προκαλεί μια μακρά ακριβή ακολουθία της μορφής \cdots \to \operatorname{Tor}_2^R(M,B) \to \operatorname{Tor}_1^R(K,B) \to \operatorname{Tor}_1^R(L,B) \to \operatorname{Tor}_1^R (M,B) \to K\otimes_R B\to L\otimes_R B\to M\otimes_R B\to 0, για κάθε αριστερό *R*-πρότυπο *B*. Η ανάλογη ακριβής ακολουθία ισχύει επίσης για το Tor σε σχέση με τη δεύτερη μεταβλητή.
*Συμμετρία: για έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο *R*, υπάρχει ένας φυσικός ισομορφισμός Tor(*A*, *B*) ≅ Tor(*B*, *A*). (Για *R*  αντιμεταθετικό, δεν υπάρχει ανάγκη να γίνει διάκριση μεταξύ αριστερών και δεξιών *R*-προτύπων.)
*Εάν *R* είναι ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος και *u* στο *R* δεν είναι διαιρέτης του μηδενός, τότε για κάθε *R*-πρότυπο *B*, \operatorname{Tor}^R_i(R/(u),B)\cong\begin{cases} B/uB & i=0\\ B[u] & i=1\\ 0 &\text{otherwise}\end{cases} όπου B[u] = \{x \in B : ux =0 \}είναι η *u*-στρέψη υποομάδα του *B*. Αυτή είναι η εξήγηση για το όνομα Tor.  Αν θεωρήσουμε το *R* ως τον δακτύλιο \Z των ακεραίων, αυτός ο υπολογισμός μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του \operatorname{Tor}^{\Z}_1(A,B) για κάθε πεπερασμένα παραγόμενη αβελιανή ομάδα *A*.
*Γενικεύοντας το προηγούμενο παράδειγμα, μπορεί κανείς να υπολογίσει τις ομάδες Tor που περιλαμβάνουν το πηλίκο ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου από οποιαδήποτε κανονική ακολουθία, χρησιμοποιώντας το complex Κοσζούλ. Λόγου χάριν, αν *R*  είναι ο πολυωνυμικός δακτύλιος *k*[*x*1, ..., *x**n*] πάνω σε ένα σώμα *k*, τότε \operatorname{Tor}_*^R(k,k) είναι η εξωτερική άλγεβρα πάνω στο *k* σε *n* γεννήτορες στο Tor1.
* \operatorname{Tor}^{\Z}_i(A,B)=0  για όλα τα *i* ≥ 2. Ο λόγος: κάθε αβελιανή ομάδα *A* έχει μια ελεύθερη ανάλυση μήκους 1, αφού κάθε υποομάδα μιας ελεύθερης αβελιανής ομάδας είναι ελεύθερη αβελιανή.
* Γενικεύοντας το προηγούμενο παράδειγμα, \operatorname{Tor}^{R}_i(A,B)=0  για όλα τα *i* ≥ 2 if R είναι ένας κύριος ιδανικός τομέας (PID).  Ο λόγος: κάθε πρότυπο *A* πάνω σε ένα PID έχει μια ελεύθερη ανάλυση μήκους 1, αφού κάθε υποπρότυπο ενός ελεύθερου προτύπου πάνω σε ένα PID είναι ελεύθερη.
*Για κάθε δακτύλιο *R*, ο Tor διατηρεί άμεσες αθροίσεις (ενδεχομένως άπειρες) και φιλτραρισμένα οριακά όρια σε κάθε μεταβλητή. Επί παραδείγματι, στην πρώτη μεταβλητή, αυτό σημαίνει ότι\begin{align}
\operatorname{Tor}_i^R \left (\bigoplus_{\alpha} M_{\alpha}, N \right ) &\cong \bigoplus_{\alpha} \operatorname{Tor}_i^R(M_{\alpha},N) \\
\operatorname{Tor}_i^R \left (\varinjlim_{\alpha} M_{\alpha}, N \right ) &\cong \varinjlim_{\alpha} \operatorname{Tor}_i^R(M_{\alpha},N)
\end{align}
*Αλλαγή επίπεδης βάσης: για μια αντιμεταθετική επίπεδη *R*-άλγεβρα *T*, *R*-πρότυπα *A* και *B*, και έναν ακέραιο αριθμό *i*, \mathrm{Tor}_i^R(A,B)\otimes_R T \cong \mathrm{Tor}_i^T(A\otimes_R T,B\otimes_R T). Από αυτό προκύπτει ότι το Tor είναι αντιμεταθετικό με την εντόπιση. Δηλαδή, για ένα πολλαπλασιαστικά κλειστό σύνολο *S* in *R*, S^{-1} \operatorname{Tor}_i^R(A, B) \cong \operatorname{Tor}_i^{S^{-1} R} \left (S^{-1} A, S^{-1} B \right ).
*Για έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο *R* και αντιμεταθετικές *R*-άλγεβρες *A* και *B*, το Tor(*A*,*B*) έχει τη δομή μιας βαθμωτής αντιμεταθετικής άλγεβρας πάνω στο *R*. Επιπλέον, τα στοιχεία του Tor άλγεβρας με μονό βαθμό έχουν τετράγωνο μηδέν, και υπάρχουν διαιρεμένες πράξεις δύναμης στα στοιχεία του θετικού ζυγού βαθμού.

## Σημαντικές ειδικές περιπτώσεις

*Η ομολογιακή ομάδα ορίζεται από  H_*(G,M)=\operatorname{Tor}^{\Z[G]}_*(\Z, M), όπου *G* είναι μια ομάδα *M* είναι μια αναπαράσταση του *G* πάνω στους ακέραιους αριθμούς και \Z[G]  είναι ο δακτύλιος της ομάδας *G*.
*Για μια άλγεβρα *A* πάνω σε ένα σώμα *k* και ένα *A*-διπρότυπο *M*, η ομολογία Χόχτσιλντ ορίζεται ως εξής:HH_*(A,M)=\operatorname{Tor}_*^{A\otimes_k A^{\text{op}}}(A, M).
*Η ομολογία της άλγεβρας Λι ορίζεται από  H_*(\mathfrak g,M)=\operatorname{Tor}_*^{U\mathfrak g}(R,M), όπου \mathfrak g  είναι μια άλγεβρα Λι πάνω σε ένα αντιμεταθετικό δακτύλιο *R*, *M* είναι ένα \mathfrak g-πρότυπο, και U\mathfrak g είναι η καθολική περιβάλλουσα άλγεβρα.
*Για έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο *R* με ομομορφισμό σε ένα σώμα *k*, \operatorname{Tor}_*^R(k,k)είναι μια βαθμωτή-αντιμεταθετική άλγεβρα Χοπφ πάνω στο *k*. (Αν *R* είναι ένας τοπικός Ναιτεριανός δακτύλιος με σώμα υπολοίπων *k*, τότε η δυϊκή άλγεβρα Χοπφ προς \operatorname{Tor}_*^R(k,k) είναι Ext(*k*,*k*).) Ως άλγεβρα, \operatorname{Tor}_*^R(k,k) είναι η ελεύθερη βαθμωτή-αντιμεταθετική άλγεβρα διαιρεμένης δύναμης σε έναν βαθμωτό διανυσματικό χώρο π*(*R*). Όταν το *k* έχει χαρακτηριστικό μηδέν, το π*(*R*) μπορεί να ταυτιστεί με την ομολογία Αντρέ-Κουίλεν *D**(*k*/*R*,*k*).

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή κατηγορία
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
*
*
*
*
* 
*

*
*Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
*
*
*
* 
* 
* Categorical programming with inductive and coinductive types () by Varmo Vene
* Philip Wadler: Recursive types for free! () University of Glasgow, June 1990. Draft.
* Algebra and coalgebra () from CLiki
* B. Jacobs, J. Rutten: A Tutorial on (Co) Algebras and (Co) Induction. Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, vol. 62, 1997, 
* Understanding F-Algebras () by Bartosz Milewski
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Γενική τοπολογία
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Συναρτητές
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα