Συνεξισωτής

Στην θεωρία κατηγοριών, ένας **συνεξισωτής** (αγγλικά: coequaliser) είναι μια γενίκευση ενός πηλίκου με μια σχέση ισοδυναμίας σε αντικείμενα σε μια αυθαίρετη κατηγορία. Είναι η κατηγοριακή κατασκευή που είναι δυϊκή προς τον εξισωτή.

## Ορισμός

Ένας **συνεξισωτής** είναι το όριο ενός διαγράμματος που αποτελείται από δύο αντικείμενα *X* και *Y* και δύο παράλληλους μορφισμούς .

Πιο συγκεκριμένα, ένας συνεξισωτής των παράλληλων μορφισμών *f* και *g* μπορεί να οριστεί ως ένα αντικείμενο *Q* μαζί με έναν μορφισμό  έτσι ώστε . Επιπλέον, το ζεύγος  πρέπει να είναι καθολικό, με την έννοια ότι για κάθε άλλο τέτοιο ζεύγος (*Q*&prime;, *q*&prime;) υπάρχει ένας μοναδικός μορφισμός  έτσι ώστε . Αυτή η πληροφορία μπορεί να αποτυπωθεί με το ακόλουθο αντιμεταθετικό διάγραμμα:


Όπως συμβαίνει με όλες τις καθολικές κατασκευές, ένας **συνεξισωτής**, αν υπάρχει είναι μοναδικός μέχρι ενός μοναδικού ισομορφισμού (γι' αυτό, λόγο κακής χρήσης της γλώσσας, μερικές φορές αναφέρεται ως "ο" συνεξισωτής δύο παράλληλων βελών). 

Μπορεί να αποδειχθεί ότι ένα βέλος συνεξισωτή *q* αποτελεί επιμορφισμό σε οποιαδήποτε κατηγορία.

## Παραδείγματα

* Στην κατηγορία των συνόλων, ο συνεξισωτής δύο συναρτήσεων   είναι το πηλίκο του *Y*  από τη μικρότερη σχέση ισοδυναμίας ~ έτσι ώστε για κάθε , έχουμε .  Συγκεκριμένα, αν *R* είναι μια σχέση ισοδυναμίας σε ένα σύνολο *Y*, και *r*1, *r*2 είναι οι φυσικές προβολές  τότε ο **συνεξισωτής** των *r*1 και *r*2 είναι το πηλίκο σύνολο . (Βλ. επίσης: πηλίκο με σχέση ισοδυναμίας.)
* Ο συνεξισωτής στην κατηγορία των ομάδων είναι πολύ παρόμοιος. Εδώ, αν  είναι ομομορφισμοί ομάδων, ο συνεξισωτής τους είναι το πηλίκο του *Y* από την κανονική κλειστότητα του συνόλου. 
*: S=\{f(x)g(x)^{-1}\mid x\in X\}
* Για τις αβελιανές ομάδες, ο συνεξισωτής είναι ιδιαίτερα απλός. Είναι απλώς η πηλικιακή Ομάδα .  (Αυτή είναι η συμπυρήνα του μορφισμού ; βλ. την επόμενη ενότητα).
* Στην κατηγορία των τοπολογικών χώρων, το αντικείμενο κύκλου *S*1 μπορεί να θεωρηθεί ως ο συνεξισωτής των δύο απεικονίσεων εγκλεισμού από το τυπικό 0-simplex στο τυπικό 1-simplex (μονόπλεγμα).
* Οι συνεξισωτές μπορούν να είναι μεγάλοι: Υπάρχουν ακριβώς δύο συναρτητές από την κατηγορία **1** που έχει ένα αντικείμενο και ένα ταυτοτικό βέλος, στην κατηγορία **2** με δύο αντικείμενα και ένα μη ταυτοτικό βέλος που συνδέει τα δύο. Ο συνεξισωτής αυτών των δύο συναρτητών είναι το μονοειδές των φυσικών αριθμών υπό πρόσθεση, που θεωρείται ως κατηγορία ενός αντικειμένου. Συγκεκριμένα, αυτό δείχνει ότι ενώ κάθε συνεξισωτικό βέλος είναι επί, δεν είναι απαραίτητα  επιρριπτικό.

## Ιδιοτήτες

* Κάθε **συνεξισωτής** είναι επιμορφισμός.
* Σε ένα τόπο, κάθε επιμορφισμός είναι ο συνεξισωτής του ζεύγους πυρήνων του.

## Ειδικές περιπτώσεις

Σε κατηγορίες με μηδενικούς μορφισμούς, μπορεί κανείς να ορίσει τον συμπυρήνα ενός μορφισμού *f* ως τον συνεξισωτή του *f* και του παράλληλου μηδενικού μορφισμού. 

Στις προ-προσθετικές κατηγορίες είναι λογικό να προσθέτουμε και να αφαιρούμε μορφισμούς (τα σύνολα hom σχηματίζουν στην πραγματικότητα αβελιανές ομάδες). Σε τέτοιες κατηγορίες, μπορούμε να ορίσουμε τον συνεξισωτή δύο μορφισμών *f* και *g* ως τον συμπυρήνα της διαφοράς τους:
: coeq(*f*, *g*) = coker(*g* – *f*).

Μια ισχυρότερη έννοια είναι αυτή του απόλυτου συνεξισωτή, ο οποίος είναι ένας συνεξισωτής που διατηρείται σε όλους τους συναρτήτες. Τυπικά, ένας απόλυτος συνεξισωτής ενός ζεύγους παράλληλων βελών  σε μια κατηγορία *C* είναι ένας συνεξισωτής όπως ορίζεται παραπάνω, αλλά με την πρόσθετη ιδιότητα ότι για κάθε συναρτητής , *F*(*Q*) μαζί με το  *F*(*q*) είναι ο συνεξισωτής του *F*(*f*) και του *F*(*g*) στην κατηγορία *D*. Οι διαχωρισμένοι συνεξισωτές είναι παραδείγματα απόλυτων συνεξισωτών.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
*
*
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
*
* Perspective. Information and Computation, 204 (2006) 637-678].

*
*Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
* star-autonomous category at the nLab
* 
* *This article is based in part on [http://www.planetmath.org PlanetMath]'s [http://planetmath.org/encyclopedia/TerminalObjectsAndZeroObjectsExamplesOfInitialObjects.html article on examples of initial and terminal objects].*
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Γενική τοπολογία
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα