Ομοτοπική κατηγορία μιγαδικών αλυσίδων

Στην ομολογική άλγεβρα στον τομέα των μαθηματικών, η **oμοτοπική κατηγορία** *K(A)* **μιγαδικών αλυσίδων** σε μια *πρόσθετη κατηγορία* *A* αποτελεί ένα πλαίσιο για την εργασία με αλυσίδες ομοτοπίας και ισοδυναμίες ομοτοπίας. Βρίσκεται ενδιάμεσα μεταξύ της κατηγορίας των αλυσίδων  *Kom(A)* της *A* και της παραγόμενης κατηγορίας(derived category) *D(A)* της *A* όταν η *A* είναι αβελιανή. Σε αντίθεση με την πρώτη, είναι μια *τριγωνοποιημένη κατηγορία*, και σε αντίθεση με τη δεύτερη, η δημιουργία της δεν απαιτεί η *A* να είναι αβελιανή.  Από φιλοσοφική άποψη, ενώ η *D(A)* μετατρέπει σε ισομορφισμούς κάθε απεικόνιση μιγαδικών που είναι οιονεί ισομορφισμοί στην *Kom(A)*, *K(A)* το κάνει μόνο για εκείνες που είναι ομοιομορφισμοί για έναν "καλό λόγο", δηλαδή που έχουν πράγματι ένα αντίστροφο μέχρι ομοτοπική ισοδυναμία. Έτσι, η *K(A)* είναι πιο κατανοητή από την *D(A)*.

## Ορισμός

Έστω *A* μια πρόσθετη κατηγορία. Η κατηγορία ομοτοπίας *K(A)* βασίζεται στον ακόλουθο ορισμό: αν έχουμε μιγαδικές αλυσίδες *A*, *B* και τις απεικονίσεις *f*, *g* από το *A* στο *B*, μια **αλυσίδα ομοτοπίας** από το *f* στο *g* είναι μια συλλογή απεικονίσεων h^n \colon A^n \to B^{n - 1} (*όχι μια απεικόνιση μιγαδικών αλυσίδων*) έτσι ώστε 
:f^n - g^n = d_B^{n - 1} h^n + h^{n + 1} d_A^n, ή απλά  f - g = d_B h + h d_A.
Αυτό μπορεί να απεικονιστεί ως εξής:
:
Λέμε επίσης ότι *f* και *g* είναι **αλυσωτά ομοτοπικά**, ή ότι f - g  είναι **μηδενικά ομοτοπικά** ή **ομοτοπικά** προς το **0**.  Από τον ορισμό είναι σαφές ότι οι απεικονίσεις των μιγαδικών που είναι μηδενικά ομοτοπικές σχηματίζουν μια προσθετική ομάδα.

Η **κατηγορία ομοτοπίας των μιγαδικών αλυσίδων** *K(A)* iορίζεται ως εξής: τα αντικείμενά της είναι τα ίδια με τα αντικείμενα της *Kom(A)*, δηλαδή μιγαδικές αλυσίδες. Οι μορφισμοί της είναι "απεικόνισεις μιγαδικών modulo ομοτοπία": δηλαδή, ορίζουμε μια σχέση ισοδυναμίας
:f \sim g\  αν *f* είναι ομοτοπικό *g*
και ορίζει
:\operatorname{Hom}_{K(A)}(A, B) = \operatorname{Hom}_{Kom(A)}(A,B)/\sim
να είναι το πηλίκο αυτής της σχέσης. Είναι σαφές ότι αυτό έχει ως αποτέλεσμα μια πρόσθετη κατηγορία, αν λάβουμε υπόψιν ότι αυτό είναι το ίδιο με το πηλίκο της υποομάδας των μηδενικών ομοτοπικών απεικονίσεων..

Οι ακόλουθες παραλλαγές του ορισμού χρησιμοποιούνται επίσης ευρέως: αν λάβουμε υπόψιν μόνο τις κάτω φραγμένες (*A<sup>n</sup>=0 για n<<0*), τις άνω φραγμένες(*A<sup>n</sup>=0 για n>>0*), ή τις φραγμένες (*A<sup>n</sup>=0 για |n|>>0*) μιγαδικές αντί για τις μη φραγμένες, μιλάμε για την κάτω φραγμένη ομοτοπική κατηγορία κ.λπ. Συμβολίζονται με *K<sup>+</sup>(A)*, *K<sup>−</sup>(A)* και *K<sup>b</sup>(A)*, αντίστοιχα.

Ένας μορφισμός f : A \rightarrow B  που είναι ισομορφισμός στο  *K(A)* ονομάζεται **(αλυσίδα) ομοτοπική ισοδυναμία**. Συγκεκριμένα, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει μια άλλη απεικόνιση g : B \rightarrow A,  έτσι ώστε οι δύο συνθέσεις να είναι ομοτοπικές με τις ταυτότητες: f \circ g \sim Id_B and
g \circ f \sim Id_A.

Η ονομασία "ομοτοπία" προέρχεται από το γεγονός ότι οι ομοτοπικές απεικονίσεις των τοπολογικών χώρων προκαλούν ομοτοπικές (με την παραπάνω έννοια) απεικονίσεις των ιδιαζουσών αλυσίδων.

## Παρατηρήσεις
Δύο αλυσίδες ομοτοπικών απεικονίσεων *f* και *g* προκαλούν τις ίδιες απεικονίσεις στην ομολογία, επειδή *(f − g)* στέλνει κύκλους στα όρια, τα οποία είναι μηδενικά στην ομολογία. Συγκεκριμένα, μια ομοτοπική ισοδυναμία είναι ένας οιονεί ισομορφισμός. (Το αντίστροφο είναι γενικά ψευδές.) Αυτό δείχνει ότι υπάρχει ένας κανονικός συναρτητής K(A) \rightarrow D(A) στην παραγόμενη κατηγορία (αν *A* είναι αβελιανός).

## Τριγωνοποιημένη δομή

Η μετατόπιση *A[1]* of ενός μιγαδικού *A* είναι το ακόλουθο μιγαδικό  
:A[1]: ... \to A^{n+1} \xrightarrow{d_{A[1]}^n} A^{n+2} \to ... (Να σημειωθεί ότι (A[1])^n = A^{n + 1}),
όπου ο διαφορικός είναι d_{A[1]}^n := - d_A^{n+1}. 

Για τον κώνο ενός μορφισμού *f* παίρνουμε την απεικόνιση κώνου. Υπάρχουν φυσικές απεικονίσεις 
:A \xrightarrow{f} B \to C(f) \to A[1]
Αυτό το διάγραμμα ονομάζεται τρίγωνο. Η κατηγορία ομοτοπίας *K(A)* είναι μια τριγωνοποιημένη κατηγορία, αν ορίσουμε τα διακριτά τρίγωνα ως ισομορφικά (στο *K(A)*, δηλαδή ομοτοπικά ισοδύναμα) με τα παραπάνω τρίγωνα, για αυθαίρετα *A*, *B* και *f*. Το ίδιο ισχύει και για τις περιορισμένες παραλλαγές *K<sup>+</sup>(A)*, *K<sup>−</sup>(A)* και *K<sup>b</sup>(A)*. Αν και τα τρίγωνα έχουν νόημα και στο *Kom(A)* η κατηγορία αυτή δεν είναι τριγωνοποιημένη σε σχέση με αυτά τα διακριτά τρίγωνα. ενδεικτικά,
:X \xrightarrow{id} X \to 0 \to
δεν διακρίνεται, καθώς ο κώνος της ταυτοτικής απεικόνισης δεν είναι ισομορφικός με τό μιγαδικό 0 (ωστόσο, η μηδενική απεικόνιση C(id) \to 0 είναι ομοτοπική ισοδυναμία, οπότε αυτό το τρίγωνο διακρίνεται στο *K(A)*). Επιπλέον, η περιστροφή ενός διακριτού τριγώνου προφανώς δεν διακρίνεται στο *Kom(A)*, αλλά (λιγότερο προφανώς) διακρίνεται στο *K(A)*. Για λεπτομέρειες, ανατρέξτε στις αναφορές.

## Γενίκευση

Γενικότερα, η ομοτοπική κατηγορία *Ho(C)* μιας διαφορικής βαθμολογημένης κατηγορίας *C* ορίζεται ως έχουσα τα ίδια αντικείμενα με την *C*, αλλά οι μορφισμοί ορίζονται από 
\operatorname{Hom}_{Ho(C)}(X, Y) = H^0 \operatorname{Hom}_C (X, Y). (Αυτό ισοδυναμεί με την ομοτοπία των μιγαδικών αλυσίδων αν η *C* είναι η κατηγορία των μιγαδικών που οι μορφισμοί τους δεν χρειάζεται να σέβονται τους διαφορικούς). Εάν η *C* έχει κώνους και μετατοπίσεις με την κατάλληλη έννοια, τότε η *Ho(C)* είναι επίσης μια τριγωνοποιημένη κατηγορία.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή κατηγορία
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
* Weibel, Charles A. (1994). An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. MR 1269324. OCLC 36131259.
* 
* 
* 
* 
*
*
*

*
*Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
*
*
*
* 
* 
* Categorical programming with inductive and coinductive types () by Varmo Vene
* Philip Wadler: Recursive types for free! () University of Glasgow, June 1990. Draft.
* Algebra and coalgebra () from CLiki
* B. Jacobs, J. Rutten: A Tutorial on (Co) Algebras and (Co) Induction. Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, vol. 62, 1997, 
* Understanding F-Algebras () by Bartosz Milewski
* star-autonomous category at the nLab
* 
* *This article is based in part on [http://www.planetmath.org PlanetMath]'s [http://planetmath.org/encyclopedia/TerminalObjectsAndZeroObjectsExamplesOfInitialObjects.html article on examples of initial and terminal objects] .*
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Γενική τοπολογία 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα 
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών