Υποκατηγορία

Στα μαθηματικά, συγκεκριμένα στη θεωρία κατηγοριών, μια **υποκατηγορία** μιας κατηγορίας *C* είναι μια κατηγορία *S* της οποίας τα αντικείμενα είναι αντικείμενα της *C* και της οποίας οι μορφισμοί είναι μορφισμοί της *C* με τις ίδιες ταυτότητες και σύνθεση μορφισμών. Διαισθητικά, μια **υποκατηγορία τ**ης *C* είναι μια κατηγορία που λαμβάνεται από την *C* "αφαιρώντας" μερικά από τα αντικείμενα και τα βέλη της. 

## Επίσημος ορισμός
Έστω *C* μια κατηγορία. Μια **υποκατηγορία** *S* της *C* δίνεται από τη σχέση 
*μια υποσυλλογή αντικειμένων του *C*, που συμβολίζεται ob(*S*),
*μια υποσυλλογή μορφισμών του *C*, που συμβολίζεται hom(*S*).
έτσι ώστε
*για κάθε *X* στο ob(*S*), ο ταυτοτικός μορφισμός id*X* είναι στο hom(*S*),
*για κάθε μορφισμό *f* : *X* → *Y* στο hom(*S*), τόσο η πηγή *X* όσο και ο στόχος *Y* βρίσκονται στο ob(*S*),
*για κάθε ζεύγος μορφισμών *f* και *g* στο hom(*S*) το σύνθετο *f* o *g* είναι στο hom(*S*) όποτε ορίζεται.

Αυτές οι συνθήκες εξασφαλίζουν ότι η *S* είναι μια κατηγορία από μόνη της: η συλλογή των αντικειμένων της είναι ob(*S*), iη συλλογή των μορφισμών της είναι hom(*S*),  και οι ταυτότητες και η σύνθεσή της είναι όπως στην *C*. Υπάρχει ένας προφανής πιστός συναρτητής *I* : *S* → *C*, οποίος ονομάζεται **συναρτητής εγκλεισμού** και μετατρέπει τα αντικείμενα και τους μορφισμούς στους εαυτούς τους..

Έστω *S* μια υποκατηγορία μιας κατηγορίας *C*. Λέμε ότι η *S* είναι **πλήρης υποκατηγορία της** *C* αν για κάθε ζεύγος αντικειμένων *X* και *Y* της *S*,
:\mathrm{Hom}_\mathcal{S}(X,Y)=\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(X,Y).
Μια πλήρης υποκατηγορία είναι αυτή που περιλαμβάνει όλους τους μορφισμούς της *C*  μεταξύ των αντικειμένων του *S*. Για κάθε συλλογή αντικειμένων *A* της *C*, υπάρχει μια μοναδική πλήρης υποκατηγορία της *C* της οποίας τα αντικείμενα είναι αυτά της *A*.

## Παραδείγμα

* Η κατηγορία των πεπερασμένων συνόλων αποτελεί πλήρη **υποκατηγορία** της κατηγορίας των συνόλων.
* Η κατηγορία της οποίας τα αντικείμενα είναι σύνολα και της οποίας οι μορφισμοί είναι αμφίρριψεις αποτελεί μια μη πλήρη υποκατηγορία της κατηγορίας των συνόλων.
* Η κατηγορία των αβελιανών ομάδων αποτελεί πλήρη **υποκατηγορία** της κατηγορίας των ομάδων.
* Η κατηγορία των δακτυλίων (των οποίων οι μορφισμοί είναι ομομορφισμοί δακτυλίων που διατηρούν τη μονάδα) αποτελεί μια μη πλήρη υποκατηγορία της κατηγορίας των rngs.
* Για ένα σώμα *K*, η κατηγορία των *K*-διανυσματικών χώρων αποτελεί πλήρη υποκατηγορία της κατηγορίας των (αριστερών ή δεξιών) *K*-modules.

## Εμφύτευση

Δεδομένης μιας υποκατηγορίας *S* της *C*, ο εγκλειστικός συναρτητής  είναι και πιστός συναρτηστής και ερριπτικός σε αντικείμενα. Είναι πλήρης αν και μόνο αν η *S* είναι πλήρης υποκατηγορία.

Ορισμένοι συγγραφείς ορίζουν μια **εμφύτευση** ως έναν πλήρη και πιστό συναρτητή. Ένας τέτοιος τελεστής είναι αναγκαστικά ερριπτικός σε αντικείμενα μέχρι ισομορφισμού. Παραδείγματος χάριν, η εμφύτευση Γιονέντα είναι μια εμφύτευση με αυτή την έννοια.

Ορισμένοι συγγραφείς ορίζουν μια **εμφύτευση** ως έναν πλήρη και πιστό συναρτητή που είναι ερριπτικός στα αντικείμενα.

Άλλοι συγγραφείς ορίζουν έναν συναρτητή ως **εμφύτευση** αν είναι πιστός και ερριπτικός σε αντικείμενα. Ισοδύναμα, ο *F* είναι μια **εμφύτευση** αν είναι ερριπτικός σε μορφισμούς. Ένας συναρτητής *F* ονομάζεται τότε **πλήρης εμφύτευση** αν είναι πλήρης συναρτητής και εμφύτευση..

Με τους ορισμούς της προηγούμενης παραγράφου, για κάθε (πλήρη) **εμφύτευση**  *F* : *B* → *C* η εικόνα της *F*  είναι μια (πλήρης) υποκατηγορία *S* της *C*, και η *F* επάγει έναν ισομορφισμό κατηγοριών μεταξύ των *B* και *S*. Αν η *F*  δεν είναι ερριπτική σε αντικείμενα τότε η εικόνα της *F* είναι ισοδύναμη με την *B*.

Σε ορισμένες κατηγορίες, μπορούμε επίσης να μιλήσουμε για μορφισμούς της κατηγορίας που είναι εμφυτεύσεις.

## Είδη υποκατηγοριών

Μια υποκατηγορία *S* *της C*  λέγεται **ισομορφιστικά κλειστή** ή **πλήρης** αν κάθε ισομορφισμός *k* : *X* → *Y* στην *C* έτσι ώστε το *Y* να είναι στην *S* ανήκει επίσης στην *S*. Μια ισομορφιστικά κλειστή πλήρης υποκατηγορία λέγεται **αυστηρά πλήρης**.

Μια υποκατηγορία της *C* είναι ευρεία ή **lluf** (ένας όρος που τέθηκε για πρώτη φορά από τον Πίτερ Φρέιντ) αν περιέχει όλα τα αντικείμενα της *C*. Μια ευρεία υποκατηγορία δεν είναι συνήθως πλήρης: η μόνη ευρεία πλήρης υποκατηγορία μιας κατηγορίας είναι η ίδια η κατηγορία.

Μια **υποκατηγορία Σερ** είναι μια μη κενή πλήρης υποκατηγορία *S* μιας αβελιανής κατηγορίας *C* τέτοια ώστε για όλες τις σύντομες ακριβείς ακολουθίες

:0\to M'\to M\to M*\to 0</math>

στο *C*, *το M* ανήκει στο *S* αν και μόνο αν και οι δύο <math>M'</math> και <math>M* κάνουν. Η έννοια αυτή προκύπτει από τη θεωρία C-του Σερ.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
*
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


* 
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* star-autonomous category at the nLab
* 
* *This article is based in part on [http://www.planetmath.org PlanetMath]'s [http://planetmath.org/encyclopedia/TerminalObjectsAndZeroObjectsExamplesOfInitialObjects.html article on examples of initial and terminal objects].*
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
*
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα