Πίνακας Κωσύ

Στα μαθηματικά, ένας **πίνακας Κωσύ**, που πήρε το όνομά του από τον Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ, είναι ένας *m*×*n* πίνακας με στοιχεία *a**ij* της μορφής

:
a_{ij}={\frac{1}{x_i-y_j}};\quad x_i-y_j\neq 0,\quad 1 \le i \le m,\quad 1 \le j \le n


όπου x_i και y_j είναι στοιχεία ενός σώματος \mathcal{F}, και (x_i) και (y_j) είναι ερριπτικές ακολουθίες (περιέχουν *διακριτά* στοιχεία).

Ο πίνακας Χίλμπερτ είναι μια ειδική περίπτωση του πίνακα Κωσύ, όπου

:x_i-y_j = i+j-1. \;

Κάθε Υποπίνακας ενός πίνακα Κωσύ είναι ο ίδιος ένας πίνακας Κωσύ.

## Ορίζουσα Κωσύ
Ο ορίζουσα ενός πίνακα Κωσύ είναι σαφώς ένα ρητό κλάσμα στις παραμέτρους (x_i) και (y_j). Αν οι ακολουθίες δεν ήταν ερριπτικές, η ορίζουσα θα μηδενιζόταν και θα έτεινε στο άπειρο αν κάποιο x_i έτεινε στο y_j. Ένα υποσύνολο των μηδενικών και των πόλων της είναι επομένως γνωστό. Γεγονός είναι ότι δεν υπάρχουν πλέον μηδενικά και πόλοι:

Η ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα Κωσύ **Α**' είναι γνωστή ως **ορίζουσα Κωσύ** και μπορεί να δοθεί ρητά ως εξής

: \det \mathbf{A}= &emsp;&emsp;&emsp;&emsp;(Schechter 1959, eqn 4; Cauchy 1841, p. 154, eqn. 10).

Είναι πάντοτε μη μηδενικός, και επομένως όλοι οι τετραγωνικοί πίνακες Κωσύ είναι αντιστρέψιμοι. Ο αντίστροφος **A**−1 = **B** = [bij] δίνεται από τη σχέση 

:b_{ij} = (x_j - y_i) A_j(y_i) B_i(x_j) \, &emsp;&emsp;&emsp;&emsp;(Schechter 1959, Theorem 1)

όπου *A*i(x) και *B*i(x) είναι τα πολυώνυμα Λαγκράνζ για (x_i) και (y_j), αντίστοιχα. Δηλαδή,

:A_i(x) = \frac{A(x)}{A^\prime(x_i)(x-x_i)} \quad\text{και}\quad B_i(x) = \frac{B(x)}{B^\prime(y_i)(x-y_i)}, 
με
:A(x) = \prod_{i=1}^n (x-x_i) \quad\text{και}\quad B(x) = \prod_{i=1}^n (x-y_i). 

## Γενίκευση
Ένας πίνακας **C** ονομάζεται **Κωσύ-Λαικ** αν είναι της μορφής

:C_{ij}=\frac{r_i s_j}{x_i-y_j}.

Ορίζοντας **X**=diag(xi), **Y**=diag(yi), βλέπουμε ότι τόσο οι πίνακες Κωσύ όσο και οι πίνακες τύπου Κωσύ ικανοποιούν την εξίσωση μετατόπισης

:\mathbf{XC}-\mathbf{CY}=rs^\mathrm{T}

(με r=s=(1,1,\ldots,1) για το Κωσύ). Συνεπώς, οι πίνακες τύπου Κωσύ έχουν μια κοινή δομή μετατόπισης, η οποία μπορεί να αξιοποιηθεί κατά την εργασία με τον πίνακα. Παραδείγματος χάριν, υπάρχουν γνωστοί αλγόριθμοι στη βιβλιογραφία για
* προσεγγιστικός πολλαπλασιασμός πινάκων-διανυσμάτων του Κωσύ με O(n \log n) ops (π.χ. η μέθοδος γρήγορης πολυπολικής μέθοδος),
* (περιστρεφόμενη) παραγοντοποίηση LU με O(n^2) ops (αλγόριθμος GKO), και συνεπώς επίλυση γραμμικών συστημάτων,
* προσεγγιστικοί ή ασταθείς αλγόριθμοι για την επίλυση γραμμικών συστημάτων σε O(n \log^2 n).
Εδώ n δηλώνει το μέγεθος του πίνακα (συνήθως έχουμε να κάνουμε με τετραγωνικούς πίνακες, αν και όλοι οι αλγόριθμοι μπορούν εύκολα να γενικευτούν σε ορθογώνιους πίνακες).

## Δείτε επίσης

* Field Arithmetic
* Πραγματικό προβολικό επίπεδο
* Εσωτερικό γινόμενο 
* Αντιερμιτιανός πίνακας
* Πίνακας (μαθηματικά)
* Τριγωνικός πίνακας
* Πραγματικός αριθμός
* Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
* Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
* Ντάβιντ Χίλμπερτ
* Διωνυμικός συντελεστής
* High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
* Algorithm overview

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*Matrix calculator
* Matrix Analysis
* Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
* Integral Matrices
* An Introduction to Computational Physics
* Elements of Hilbert Spaces and Operator Theory
* Matrix Computations
* A Hilbert Space Problem Book
* Iterated Function Systems, Moments, and Transformations of Infinite Matrices

## Δημοσιεύσεις

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* TiIo Finck, Georg Heinig, and Karla Rost: "An Inversion Formula and Fast Algorithms for Cauchy-Vandermonde Matrices", Linear Algebra and its Applications, vol.183 (1993), pp.179-191.
* Dario Fasino: "Orthogonal Cauchy-like matrices", Numerical Algorithms, vol.92 (2023), pp.619-637. url=https://doi.org/10.1007/s11075-022-01391-y .

## Παραπομπές


*Jean van Heijenoort, 1967. *From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931*. Harvard Univ. Press.
*  - an accessible set of lectures originally for the citizens of Göttingen.
*

 

Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα 
Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα 
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά) 
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων 
Κατηγορία:Πολυώνυμα
Κατηγορία:Ορίζουσες