Παράγοντας Λόρεντζ

Ο **παράγοντας Λόρεντζ** (Lorentz factor) είναι μια έκφραση που εμφανίζεται σε αρκετές εξισώσεις της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας και προκύπτει από τους μετασχηματισμούς του Λόρεντζ. Συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα γάμα *γ* και παίρνει το όνομά του από τους μετασχηματισμούς που κατασκεύασε ο Ολλανδός φυσικός Χέντρικ Λόρεντς.

## Ορισμός
Ο παράγοντας Λόρεντζ ορίζεται ως:

:\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} 

όπου:
* *υ* η σχετική ταχύτητα μεταξύ αδρανειακών συστημάτων,
* β είναι ο λόγος της ταχύτητας *v* προς τη ταχύτητα του φωτός *c*.
* *c* είναι η *[[ταχύτητα του φωτός]] στο κενό*.

Αυτή είναι και η ποιο κοινή μορφή του παράγοντα.

## Εμφανίσεις του παράγοντα
Ακολουθούν διάφοροι τύποι που προκύπτουν από την ειδική θεωρία της σχετικότητας και χρησιμοποιούν τον παράγοντα *γ*:

* Ο **[[μετασχηματισμός Λόρεντζ]]:** Στην απλή περίπτωση της κίνησης μόνο κατά τον άξονα *x*, που περιγράφεται την αλλαγή από τις χωροχρονικές συντεταγμένες στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς (*x*, *y*, *z*, *t*) σε κάποιο που κινείται με σχετική ταχύτητα *v* (*x' *, *y' *, *z' *, *t' *):
::t' = \gamma \left( t - \frac{vx}{c^2} \right ) 
::x' = \gamma \left( x - vt \right ) 

Λόγω των παραπάνω μετασχηματισμών προκύπτουν τα ακόλουθα αποτελέσματα:
* **[[Χρονική διαστολή]]:** Ο χρόνος (∆*t' *) μεταξύ δύο κτύπων όπως μετράται σε ένα ρολόι που κινείται, είναι μεγαλύτερος από τον χρόνο (∆*t*) μεταξύ των δύο κτύπων όπως μετράται σε ένα ρολόι στο ακίνητο σύστημα αναφοράς:
::\Delta t' = \gamma \Delta t. \,
* **[[Συστολή του χώρου]]:** Το μήκος (∆*x' *) ενός αντικειμένου όπως μετράται στο κινούμενο σύστημα αναφοράς στο οποίο το ίδιο κινείται, είναι μικρότερο από το μήκος (∆*x*) στο δικό του ακίνητο σύστημα αναφοράς:
::\Delta x' = \Delta x/\gamma. \,\!

Με χρήση της διατήρησης της ορμής και της ενέργειας οδηγούμαστε στα εξής αποτελέσματα:
* **[[Μάζα#.CE.A3.CF.87.CE.B5.CF.84.CE.B9.CE.BA.CE.B9.CF.83.CF.84.CE.B9.CE.BA.CE.AE_.CE.BC.CE.AC.CE.B6.CE.B1|Σχετικιστική μάζα]]:** Η μάζα ενός σώματος *m* που βρίσκεται σε κίνηση, εξαρτάται από τον παράγοντα \gamma και τη μάζα ηρεμίας *m*0:
::m = \gamma m_0. \,
* **[[Ορμή#.CE.97_.CE.BF.CF.81.CE.BC.CE.AE_.CF.83.CF.84.CE.B7_.CF.83.CF.87.CE.B5.CF.84.CE.B9.CE.BA.CE.B9.CF.83.CF.84.CE.B9.CE.BA.CE.AE_.CE.BC.CE.B7.CF.87.CE.B1.CE.BD.CE.B9.CE.BA.CE.AE|Σχετικιστική ορμή]]:** Η σχετικιστική ορμή είναι ίδια με την κλασική ορμή, χρησιμοποιώντας την παραπάνω σχετικιστική μάζα:
::\vec p = m \vec v = \gamma m_0 \vec v. \,
* **[[Κινητική_ενέργεια#.CE.A3.CF.87.CE.B5.CF.84.CE.B9.CE.BA.CF.8C.CF.84.CE.B7.CF.84.CE.B1|Σχετικιστική κινητική ενέργεια]]:** Η σχετικιστική κινητική ενέργεια παίρνει την εξής μορφή:
::E_k = E - E_0 = (\gamma - 1) m_0 c^2

## Εναλλακτικές αναπαραστάσεις
Υπάρχουν και διαφορετικές παραστάσεις του παράγοντα, εκτός από τον αρχικό ορισμό με την ταχύτητα *v*. Όπως με την ορμή και με τον παράγοντα ταχύτητας φ (rapidity).

### Ορμή

Λύνοντας τη σχετικιστική ορμή προς τον *γ* οδηγούμαστε στην:

:\gamma = \sqrt{1+\left ( \frac{p}{m_0 c} \right )^2 } 

Αυτή η μορφή, αν και χρησιμοποιείται σπάνια, εμφανίζεται στην κατανομή Μάξγουελ–Juttner.

### Παράγοντας ταχύτητας φ (rapidity)
Εφαρμόζοντας το ορισμό του παράγοντας ταχύτητας φ (rapidity) στην υπερβολική γωνία *φ*:  \tanh \varphi = \beta  \,\! 

προκύπτει ο παράγοντας *γ*:

: \gamma = \cosh \varphi = \frac{1}{\sqrt{1 - \tanh^2 \varphi}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \,\!

### Ανάπτυξη σειρών (ταχύτητα)
Η σειρά Μακλόριν του παράγοντα Λόρεντζ είναι:
:\begin{align}
\gamma & = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \\
& = \sum_{n=0}^{\infty} \beta^{2n}\prod_{k=1}^n \left(\dfrac{2k - 1}{2k}\right) \\
& = 1 + \tfrac12 \beta^2 + \tfrac38 \beta^4 + \tfrac{5}{16} \beta^6 + \tfrac{35}{128} \beta^8 + \cdots \\
\end{align}

Η προσέγγιση *γ* ≈ 1 + 1/2 *β*2 χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό σχετικιστικών φαινομένων σε μικρές ταχύτητες. Έχει σφάλμα 1% για ταχύτητες *v* &lt; 0.4 c (*v* &lt; 120,000&nbsp;km/s), και σφάλμα 0.1% για ταχύτητες *v* \vec p = \gamma m \vec v 
:E = \gamma m c^2 \,

Για *γ* ≈ 1 μετατρέπονται στις κλασικές σχέσεις της Νευτώνιας μηχανικής:

:\vec p = m \vec v 
: E = m c^2 + \tfrac12 m v^2 

για *γ* ≈ 1 + 1/2 *β*2.

Ο παράγοντας Λόρεντζ επίσης μπορεί να εκφραστεί με ανεστραμμένη μορφή ως:

: \beta = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} 

με ασυμπτωτική μορφή:

: \beta = 1 - \tfrac12 \gamma^{-2} - \tfrac18 \gamma^{-4} - \tfrac{1}{16} \gamma^{-6} - \tfrac{5}{128} \gamma^{-8} + \cdots

## Αριθμητικές τιμές

Στον παρακάτω πίνακα, η αριστερή στήλη δείχνει τις ταχύτητες ως λόγους της ταχύτητας του φωτός (με μονάδες μέτρησης *c*), η μεσαία την αντίστοιχη τιμή του παράγοντα Λόρεντζ και η τελευταία τον αντίστροφο του παράγοντα Λόρεντζ.

## Παραπομπές


Κατηγορία:Ειδική σχετικότητα
Κατηγορία:Εξισώσεις