Σώμα κλασμάτων

Στην αφηρημένη άλγεβρα, το **σώμα των κλασμάτων** μίας ακέραιας περιοχής είναι το μικρότερο σώμα στο οποίο μπορεί να ενσωματωθεί. Η κατασκευή του σώματος των κλασμάτων διαμορφώνεται με βάση τη σχέση μεταξύ του ακέραιου σώματος των ακεραίων αριθμών και του σώματος των ρητών αριθμών. Διαισθητικά, αποτελείται από αναλογίες μεταξύ των στοιχείων της ακέραιας περιοχής.

Το σώμα των κλασμάτων μιας ακέραιας περιοχής R συμβολίζεται μερικές φορές με \operatorname{Frac}(R) ή \operatorname{Quot}(R), και η κατασκευή ονομάζεται μερικές φορές επίσης **σώμα κλασμάτων**, **σώμα πηλίκων**, ή **σώμα πηλίκων** του R.  Αυτές οι τέσσερις έννοιες είναι κοινώς χρησιμοποιούμενες, αλλά δεν πρέπει να συγχέονται με το πηλίκο ενός δακτυλίου από ένα ιδανικό, το οποίο είναι μια εντελώς διαφορετική έννοια. Για έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο που δεν είναι ακέραια περιοχή  η ανάλογη κατασκευή ονομάζεται εντοπισμός ή δακτύλιος των πηλίκων.

## Ορισμός

Δεδομένου μιας ακέραιας περιοχής R και αφήνοντας R^* = R \setminus \{0\}, ορίζουμε μια σχέση ισοδυναμίας στο R \times R^* αφήνοντας (n,d) \sim (m,b) όποτε nb = md. Συμβολίζουμε την κλάση ισοδυναμίας της (n,d) με \frac{n}{d}. Αυτή η έννοια της ισοδυναμίας έχει ως κίνητρο τους ρητούς αριθμούς \Q, οι οποίοι έχουν την ίδια ιδιότητα ως προς τον υποκείμενο δακτύλιο \Z των ακεραίων.

Τότε το **σώμα κλασμάτων** είναι το σύνολο \text{Frac}(R) = (R \times R^*)/\sim με την πρόσθεση να δίνεται από τη σχέση
:\frac{n}{d} + \frac{m}{b} = \frac{nb+md}{db}  
και ο πολλαπλασιασμός δίνεται από
:\frac{n}{d} \cdot \frac{m}{b} = \frac{nm}{db}.
Μπορεί κανείς να ελέγξει ότι αυτές οι πράξεις είναι καλά καθορισμένες και ότι, για οποιαδήποτε ακέραια περιοχή R, το \text{Frac}(R) είναι πράγματι ένα σώμα. Συγκεκριμένα, για n,d \neq 0, το πολλαπλασιαστικό αντίστροφο του \frac{n}{d} είναι το αναμενόμενο: \frac{d}{n} \cdot \frac{n}{d} = 1.

Η ενσωμάτωση του R στο \operatorname{Frac}(R) απεικονίζει κάθε  n στο R στο κλάσμα  \frac{en}{e} για κάθε μη μηδενικό e\in R (η κλάση ισοδυναμίας είναι ανεξάρτητη από την επιλογή e).  Αυτό διαμορφώνεται με βάση την ταυτότητα \frac{n}{1}=n.

Το σώμα των κλασμάτων του R χαρακτηρίζεται από την ακόλουθη καθολική ιδιότητα:

:Αν h: R \to F είναι ένας ερριπτικός ομομορφισμός δακτύλιος από το R σε ένα σώμα F, τότε υπάρχει ένας μοναδικός ομομορφισμός δακτυλίος g: \operatorname{Frac}(R) \to F που επεκτείνει τον h.

Υπάρχει μια κατηγορηματική ερμηνεία αυτής της κατασκευής.  Έστω \mathbf{C} η κατηγορία των ακέραιων περιοχών και των ερριπτικών απεικονίσεων δακτυλίου. Ο συναρτητής από την \mathbf{C} στην κατηγορία των σωμάτων που παίρνει κάθε ακέραια περιοχή στο κλασματικό της σώμα και κάθε ομομορφισμό στην επαγόμενη απεικόνιση σε σώματα (που υπάρχει από την καθολική ιδιότητα) είναι ο αριστερός συζυγής της συνάρτησης εγκλεισμού  από την κατηγορία των σωμάτων στην \mathbf{C}. Έτσι η κατηγορία των σωμάτων (η οποία είναι μια πλήρης υποκατηγορία) είναι μια ανακλαστική υποκατηγορία της \mathbf{C}.

Μια πολλαπλασιαστική ταυτότητα δεν απαιτείται για το ρόλο της ακέραιας περιοχής- αυτή η κατασκευή μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιοδήποτε μη μηδενικό αντιμεταθετικό rng R χωρίς μη μηδενικούς μηδενικούς διαιρέτες. Η ενσωμάτωση δίνεται από τη σχέση  r\mapsto\frac{rs}{s}  για κάθε μη μηδενικό  s\in R.

## Παραδείγματα

* Το σώμα των κλασμάτων του δακτυλίου των ακεραίων είναι το σώμα των ρητών: \Q = \operatorname{Frac}(\Z).
* Έστω R:=\{a+b\mathrm{i} \mid a,b \in \Z\} να είναι ο δακτύλιος των ακέραιων αριθμών Γκάους. Τότε \operatorname{Frac}(R)=\{c+d\mathrm{i}\mid c,d\in\Q\}, το σώμα των Γκαουσιανών ρητών.
* Το σώμα των κλασμάτων ενός σώματος είναι κανονικά ισόμορφο με το ίδιο το σώμα.
* Δεδομένου ενός σώματος K, το σώμα των κλασμάτων του πολυωνυμικού δακτυλίου σε ένα απροσδιόριστο K[X] (το οποίο είναι μια ακέραια περιοχή ), ονομάζεται *σώμα των [[Ρητή συνάρτηση|ρητών συναρτήσεων]]*, *σώμα ρητών κλασμάτων*, ή *σώμα ρητών εκφράσεων*  και συμβολίζεται ως K(X).
* Το σώμα των κλασμάτων του δακτυλίου συνέλιξης των συναρτήσεων ημιευθείας δίνει έναν χώρο τελεστών, συμπεριλαμβανομένων της συνάρτησης δέλτα του Ντιράκ, του διαφορικού τελεστή και του τελεστή ολοκληρώματος.  Αυτή η κατασκευή δίνει μια εναλλακτική αναπαράσταση του μετασχηματισμού Λαπλάς που δεν εξαρτάται ρητά από έναν μετασχηματισμό ολοκλήρωσης.

## Γενικεύσεις

### Εντοπισμός

Για κάθε αντιμεταθετικό δακτύλιο R και κάθε πολλαπλασιαστικό σύνολο S στον R, ο εντοπισμός S^{-1}R είναι ο αντιμεταθετικός δακτύλιος που αποτελείται από κλάσματα
:\frac{r}{s}
με r\in R και s\in S, όπου τώρα το (r,s) είναι ισοδύναμο με το (r',s') αν και μόνο αν υπάρχει t\in S τέτοιο ώστε t(rs'-r's)=0.

Δύο ειδικές περιπτώσεις είναι αξιοσημείωτες:
* Αν S είναι το συμπλήρωμα ενός πρωτεύοντος ιδανικού P, τότε το S^{-1}R συμβολίζεται επίσης R_P.Όταν R είναι μία ακέραια περιοχή και P είναι το μηδενικό ιδεώδες, R_P είναι το σώμα των κλασμάτων του R.
* Αν S είναι το σύνολο των μη μηδενικών διαιρετών στο R, τότε το S^{-1}R ονομάζεται δακτύλιος ολικού πηλίκου.Ο δακτύλιος ολικού πηλίκου μιας ακέραιας περιοχής είναι το σώμα των κλασμάτων της, αλλά ο δακτύλιος ολικού πηλίκου ορίζεται για κάθε αντιμεταθετικό δακτύλιο.

Ας σημειωθεί ότι επιτρέπεται ο S να περιέχει το 0, αλλά στην περίπτωση αυτή ο S^{-1}R θα είναι ο τετριμμένος δακτύλιος.

### Ημισώμα κλασμάτων

Το **ημισώμα κλασμάτων** ενός αντιμεταθετικού ημιδακτύλιος στο οποίο κάθε μη μηδενικό στοιχείο είναι (πολλαπλασιαστικά) αναιρετικό είναι το μικρότερο ημισώμα στο οποίο μπορεί να ενσωματωθεί. ( Ας σημειωθεί ότι, σε αντίθεση με την περίπτωση των δακτυλίων, ένα ημιπερίβλημα χωρίς μηδενικούς διαιρέτες μπορεί να έχει μη μηδενικά στοιχεία που δεν είναι ακυρωτικά.  Παραδείγματος χάριν, έστω \mathbb{T} να συμβολίζει το τροπικό ημίρρευμα και έστω R=\mathbb{T}[X] να είναι το πολυωνυμικό ημιδακτύλιο πάνω στο \mathbb{T}. Τότε το R δεν έχει μηδενικούς διαιρέτες, αλλά το στοιχείο 1+X δεν είναι ακυρωτικό επειδή
(1+X)(1+X+X^2)=1+X+X^2+X^3=(1+X)(1+X^2)).

Τα στοιχεία του ημισώματος των κλασμάτων του αντιμεταθετικού ημιδακτύλιου R είναι κλάσεις ισοδυναμίας που γράφονται ως
:\frac{a}{b}
με a και b στο R και b\neq 0.

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Διδιάστατος χώρος
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Υπερβολική γεωμετρία
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Διάσταση Κρουλ
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* Beweisarchiv: Zahlentheorie: Algebraische Zahlentheorie: Pythagoraszahl nicht-reeller 
* 
* 
* 
*
*
*
*
*
* 
*
* 

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα
Κατηγορία:Αντιμεταθετική άλγεβρα