Υπερτέλειος αριθμός

μικρογραφία|275x275εσ| Επίδειξη, με ράβδους Cuisenaire, της αφθονίας του αριθμού 12
Στη Θεωρία αριθμών, **υπερτέλειος αριθμός**  () είναι ένας αριθμός που είναι μικρότερος από το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του. Ο ακέραιος αριθμός 12 είναι ο πρώτος υπερτέλειος αριθμός. Οι διαιρέτες του (πλην τον ίδιο) είναι 1, 2, 3, 4 και 6 με άθροισμα 16. Το ποσό κατά το οποίο το άθροισμα υπερβαίνει τον αριθμό είναι η **αφθονία**. Ο αριθμός 12 έχει αφθονία 4 (16 - 12).

## Ορισμός
Ένας αριθμός ν για τον οποίο το άθροισμα των διαιρετών *σ*(ν) > 2ν, ή, ισοδύναμα, το άθροισμα των κατάλληλων διαιρετών (ή άθροισμα ομαλών διαιρετών) *s*(ν) > ν.

Η αφθονία είναι η τιμή *σ*(ν) − 2ν (ή *s*(ν) − ν).

## Παραδείγματα
Οι πρώτοι 28 υπερτέλειοι αριθμοί είναι:

: 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, ... .

Για παράδειγμα, οι διαιρέτες του 24 (χωρίς το 24) είναι 1, 2, 3, 4, 6, 8 και 12, των οποίων το άθροισμα είναι 36. Επειδή το 36 είναι μεγαλύτερο από το 24, ο αριθμός 24 είναι υπερτέλειος. Η αφθονία του είναι 36 − 24 = 12.

## Ιδιότητες

* Ο μικρότερος περιττός υπερτέλειος αριθμός είναι το 945.
* Ο μικρότερος υπερτέλειος αριθμός που δε διαιρείται με το 2 ή το 3 είναι ο 5.391.411.025 του οποίου οι ξεχωριστοί πρώτοι παράγοντες είναι 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 και 29 . Ένας αλγόριθμος που δόθηκε από τον Ιανούτσι το 2005 δείχνει πώς να βρούμε τον μικρότερο υπερτέλειο αριθμό που δε διαιρείται με τους κ πρώτους αριθμούς. Αν **<math>\Alpha(\kappa)</math>** αντιπροσωπεύει τον μικρότερο υπερτέλειο αριθμό που δε διαιρείται με τους πρώτους κ πρώτους, τότε για όλα \gamma>0 έχουμε

::  (1-\epsilon)(k\ln k)^{2-\epsilon}
: για αρκετά μεγάλο κ.

* Κάθε πολλαπλάσιο ενός τέλειου αριθμού είναι υπερτέλειος αριθμός. Για παράδειγμα, κάθε πολλαπλάσιο του 6 είναι υπερτέλειο γιατί 1 + \tfrac{\nu}{2} + \tfrac{\nu}{3} + \tfrac{\nu}{6} = \nu+1.
* Κάθε πολλαπλάσιο ενός υπερτέλειου αριθμού  είναι υπερτέλειο. Για παράδειγμα, κάθε πολλαπλάσιο του 20 (συμπεριλαμβανομένου του ίδιου του 20) είναι υπερτέλειο επειδή \tfrac{\nu}{2} + \tfrac{\nu}{4} + \tfrac{\nu}{5} + \tfrac{\nu}{10} + \tfrac{\nu}{20}= \nu + \tfrac{\nu}{10}.
* Κατά συνέπεια, υπάρχουν απείρως πολλοί άρτιοι και περιττοί υπερτέλειοι αριθμοί.
* Επιπλέον, το σύνολο των υπερτέλειων αριθμών έχει μη μηδενική φυσική πυκνότητα. Ο Μαρκ Ντελεγκλίζ έδειξε το 1998 ότι η φυσική πυκνότητα του συνόλου των υπερτέλειων αριθμών και των τέλειων αριθμών είναι μεταξύ 0,2474 και 0,2480. 
* Ένας υπερτέλειος αριθμός που δεν είναι το πολλαπλάσιο ενός υπερτέλειου αριθμού ή τέλειου αριθμού (δηλαδή όλοι οι κατάλληλοι διαιρέτες του είναι ελλειμματικοί) ονομάζεται αρχικός υπερτέλειος αριθμός
* Ένας υπερτέλειος αριθμός του οποίου η αφθονία είναι μεγαλύτερη από οποιονδήποτε μικρότερο αριθμό ονομάζεται πολύ υπερτέλειος αριθμός και ένας του οποίου η σχετική αφθονία (δηλ. s(ν)/ν) είναι μεγαλύτερη από οποιοδήποτε μικρότερο αριθμό ονομάζεται υπεράφθονος αριθμός
* Κάθε ακέραιος μεγαλύτερος του 20.161 μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα δύο υπερτέλειος αριθμών.
* Ένας υπερτέλειος αριθμός που δεν είναι ημιτέλειος ονομάζεται περίεργος αριθμός. Ένας υπερτέλειος αριθμός με αφθονία 1 ονομάζεται οιονεί τέλειος αριθμός, αν και κανένας δεν έχει βρεθεί ακόμη.

## Σχετικές έννοιες
Οι αριθμοί των οποίων το άθροισμα των κατάλληλων παραγόντων τους ισούται με τον ίδιο τον αριθμό (όπως 6 και 28) ονομάζονται τέλειοι αριθμοί, ενώ οι αριθμοί των οποίων το άθροισμα των κατάλληλων παραγόντων τους είναι μικρότερος από τον ίδιο τον αριθμό ονομάζονται ελλιπείς αριθμοί. Η πρώτη γνωστή ταξινόμηση των αριθμών ως ανεπαρκών, τέλειων ή υπερτέλειων έγινε από τον Νικόμαχο στο *Ἀριθμητικὴ εἰσαγωγή* (περίπου το 100 μ.Χ.), το οποίο περιέγραφε τους άφθονους αριθμούς σαν παραμορφωμένα ζώα με πάρα πολλά άκρα.

Ο **δείκτης αφθονίας** του ν είναι ο λόγος *σ*(ν)/ν. Οι διακριτοί αριθμοί ν1, ν2, ... (είτε υπερτέλειοι είτε όχι) με τον ίδιο δείκτη αφθονίας ονομάζονται φιλικοί αριθμοί.

Η ακολουθία (ακ) τουλάχιστον ν αριθμών έτσι ώστε *σ*(ν) > κν, στην οποία το α2 = 12 αντιστοιχεί στον πρώτο υπερτέλειο αριθμό, αναπτύσσεται πολύ γρήγορα 

Ο μικρότερος περιττός ακέραιος με δείκτη αφθονίας που υπερβαίνει το 3 είναι ο 1.018.976.683.725 = 33 × 52 × 72 × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29.

Εάν το **p** = (*p*1, ..., *p<sub>ν</sub>*) είναι μια λίστα πρώτων, τότε το **p** ονομάζεται *υπερτέλειο* εάν κάποιος ακέραιος αριθμός που αποτελείται μόνο από πρώτους στο **p** είναι υπερτέλειος. Απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για αυτό είναι το γινόμενο του *p<sub>i</sub>*/(*p<sub>i</sub>* − 1) να είναι > 2.

## Παραπομπές


* 

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

* The Prime Glossary: Άφθονος αριθμός
*  
Κατηγορία:Ακολουθίες ακεραίων