Εικασία του Μπουνιακόφσκι

Η **εικασία Μπουνιακόφσκι** (ή **εικασία του Μπουνιακόφσκι**) δίνει ένα κριτήριο για ένα πολυώνυμο f(x) σε μία μεταβλητή με ακέραιους συντελεστές να δίνει άπειρες πρώτες τιμές στην ακολουθίαf(1), f(2), f(3),\ldots. Διατυπώθηκε το 1857 από τον Ρώσο μαθηματικό Βίκτορ Μπουνιακόφσκι.  Οι ακόλουθες τρεις συνθήκες είναι απαραίτητες για να έχει η f(x) την επιθυμητή ιδιότητα παραγωγής πρώτων αριθμών:

# Ο πρώτος συντελεστής είναι θετικός ακέραιος
# Το πολυώνυμο είναι μη αναγώγιμο στους ρητούς (και ακέραιους), και
# Δεν υπάρχει κοινός παράγοντας για όλες τις απείρως πολλές τιμές f(1), f(2), f(3),\ldots. (Συγκεκριμένα, οι συντελεστές της f(x) θα πρέπει να είναι σχετικά πρώτοι. Δεν είναι απαραίτητο οι τιμές f(n) να είναι κατά ζεύγη σχετικά πρώτοι).

Η εικασία του Μπουνιακόφσκι υποστηρίζει ότι αυτές οι συνθήκες είναι επαρκείς: αν το f(x) ικανοποιεί τις (1)-(3), τότε το f(n) είναι πρώτος αριθμός για άπειρους θετικούς ακέραιους n.

Μια φαινομενικά ασθενέστερη αλλά ισοδύναμη δήλωση με την εικασία του Μπουνιακόφσκι είναι ότι για κάθε ακέραιο πολυώνυμο f(x) που ικανοποιεί τις (1)-(3), το f(n) είναι πρώτος για *τουλάχιστον έναν* θετικό ακέραιο n: αλλά τότε, αφού το μεταφρασμένο πολυώνυμο f(x+n) εξακολουθεί να ικανοποιεί τις (1)-(3), ενόψει της ασθενέστερης δήλωσης το f(m) είναι πρώτος για τουλάχιστον έναν θετικό ακέραιο m>n, οπότε το f(n) είναι πράγματι πρώτος για απείρως πολλούς θετικούς ακέραιους n. Η εικασία του Μπουνιακόφσκι είναι μια ειδική περίπτωση της υπόθεσης H του Σίνζελ, ένα από τα πιο διάσημα ανοιχτά προβλήματα στη θεωρία των αριθμών.

## Συζήτηση των τριών συνθηκών

Η πρώτη συνθήκη είναι απαραίτητη, διότι αν ο πρώτος συντελεστής είναι αρνητικός, τότε f(x)  για όλα τα μεγάλα x, και επομένως ο f(n) δεν είναι (θετικός) πρώτος αριθμός για μεγάλους θετικούς ακέραιους n. (Αυτό απλώς ικανοποιεί τη σύμβαση του προσήμου ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι θετικοί).

Η δεύτερη συνθήκη είναι απαραίτητη διότι αν f(x) = g(x)h(x) όπου τα πολυώνυμα g(x) και h(x) έχουν ακέραιους συντελεστές, τότε έχουμε f(n) = g(n)h(n) για όλους τους ακέραιους n, αλλά οι g(x) και h(x) παίρνουν τις τιμές 0 και \pm 1 μόνο πεπερασμένες φορές, οπότε η f(n) είναι σύνθετη για όλα τα μεγάλα n.

Η δεύτερη συνθήκη αποτυγχάνει επίσης για τα αναγώγιμα πολυώνυμα πάνω στους ρητούς.

Παραδείγματος χάριν, το ακέραιο πολυώνυμο P(x)=(1/12)\cdot x^4+(11/12)\cdot x^2+2 δεν ικανοποιεί τη συνθήκη (2), αφού P(x)=(1/12)\cdot (x^4+11x^2+24)=(1/12)\cdot(x^2+3)\cdot(x^2+8), οπότε τουλάχιστον ένας από τους δύο τελευταίους παράγοντες πρέπει να είναι διαιρέτης του 12 για να έχουμε P(x) πρώτος, πράγμα που ισχύει μόνο αν |x| \le 3. Οι αντίστοιχες τιμές είναι 2, 3, 7, 17, οπότε αυτοί είναι οι μόνοι τέτοιοι πρώτοι αριθμοί για  ολοκληρώματα x, αφού όλοι αυτοί οι αριθμοί είναι πρώτοι. Αυτό δεν αποτελεί αντιπαράδειγμα της εικασίας Μπουνιακόφσκι, αφού η συνθήκη (2) αποτυγχάνει.

Η τρίτη συνθήκη, ότι οι αριθμοί f(n) έχουν gcd 1, είναι προφανώς απαραίτητη, αλλά είναι κάπως λεπτή και γίνεται καλύτερα κατανοητή με ένα αντιπαράδειγμα. Ας θεωρήσουμε τον f(x) = x^2 + x + 2, ο οποίος έχει θετικό κύριο συντελεστή και είναι μη αναγώγιμος, και οι συντελεστές είναι σχετικά πρώτοι- ωστόσο ο f(n) είναι *αρτιός* για όλους τους ακέραιους n, και έτσι είναι πρώτος μόνο πεπερασμένες φορές (δηλαδή στο n =0,-1, όταν f(n)=2).

Στην πράξη, ο ευκολότερος τρόπος για να επαληθεύσουμε την τρίτη συνθήκη είναι να βρούμε ένα ζεύγος θετικών ακεραίων m και n τέτοιων ώστε f(m) και f(n) να είναι σχετικά πρώτοι. Γενικά, για κάθε πολυώνυμο ακέραιων τιμών f(x) = c_0 + c_1x + \cdots + c_dx^d μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε \gcd \{f(n)\}_{n\geq 1} = \gcd(f(m),f(m+1), \dots,f(m+d)) για κάθε ακέραιο m, οπότε το gcd δίνεται από τις τιμές του f(x) σε κάθε διαδοχικό d+1 ακέραιο. Στο παραπάνω παράδειγμα, έχουμε f(-1)=2, f(0)=2, f(1)=4 και έτσι το gcd είναι 2, το οποίο συνεπάγεται ότι το x^2 + x + 2 έχει αρτιές τιμές στους ακεραίους.

Εναλλακτικά, όταν ένα ακέραιο πολυώνυμο f(x) γράφεται στη βάση πολυωνύμων με διωνυμικό συντελεστή:

f(x) = a_0 + a_1\binom{x}{1} + \cdots + a_d\binom{x}{d},


κάθε συντελεστής a_i είναι ακέραιος και \gcd\{f(n)\}_{n \geq 1} = \gcd(a_0,a_1,\dots,a_d). Στο παραπάνω παράδειγμα, αυτό είναι:

x^2 + x + 2 = 2\binom{x}{2} + 2\binom{x}{1}  + 2,

και οι συντελεστές στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης έχουν gcd 2. 

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο gcd, μπορεί να αποδειχθεί ότι \gcd\{f(n)\}_{n \geq 1} =1 αν και μόνο αν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι m και n τέτοιοι ώστε f(m) και f(n) να είναι σχετικά πρώτοι.

## Παραδείγματα

### Ένα απλό τετραγωνικό πολυώνυμο
Μερικές πρώτες τιμές του πολυωνύμου f(x) = x^2 + 1 παρατίθενται στον ακόλουθο πίνακα. (Οι τιμές του x σχηματίζουν την OEIS ακολουθία - εκείνες του x^2 + 1 σχηματίζουν την }).

Το ότι το n^2+1 πρέπει να είναι πρώτος αριθμός απείρως συχνά είναι ένα πρόβλημα που τέθηκε για πρώτη φορά από τον Όιλερ, και είναι επίσης η πέμπτη εικασία των Χάρντι-Λίτλγουντ και το τέταρτο πρόβλημα του Λαντάου. Παρά τις εκτεταμένες αριθμητικές αποδείξεις    
δεν είναι γνωστό αν η ακολουθία αυτή εκτείνεται επ' άπειρον.

### Κυκλοτομικά πολυώνυμα
Τα κυκλοτομικά πολυώνυμα \Phi_k(x) για k=1,2,3,\ldots ικανοποιούν τις τρεις συνθήκες της εικασίας του Μπουνιακόφσκι, οπότε για όλα τα *k*, θα πρέπει να υπάρχουν άπειροι πολλοί φυσικοί αριθμοί *n* τέτοιοι ώστε το \Phi_k(n) να είναι πρώτος. Μπορεί να αποδειχθεί ότι αν για όλα τα *k*, υπάρχει ένας ακέραιος *n* > 1 με \Phi_k(n) πρώτος, τότε για όλα τα *k*, υπάρχουν άπειροι πολλοί φυσικοί αριθμοί *n* με \Phi_k(n) πρώτος. 

H παρακάτω ακολουθία δίνει τον μικρότερο φυσικό αριθμό *n* > 1 τέτοιο ώστε ο \Phi_k(n) να είναι πρώτος, για k=1,2,3,\ldots:

:3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 6, 2, 4, 3, 2, 10, 2, 22, 2, 2, 4, 6, 2, 2, 2, 2, 2, 14, 3, 61, 2, 10, 2, 14, 2, 15, 25, 11, 2, 5, 5, 2, 6, 30, 11, 24, 7, 7, 2, 5, 7, 19, 3, 2, 2, 3, 30, 2, 9, 46, 85, 2, 3, 3, 3, 11, 16, 59, 7, 2, 2, 22, 2, 21, 61, 41, 7, 2, 2, 8, 5, 2, 2, ... .

Η ακολουθία αυτή είναι γνωστό ότι περιέχει μερικούς μεγάλους όρους: ο 545ος όρος είναι 2706, ο 601ος είναι 2061 και ο 943ος είναι 2042. Αυτή η περίπτωση της εικασίας του Μπουνιακόφσκι πιστεύεται ευρέως, αλλά και πάλι δεν είναι γνωστό αν η ακολουθία εκτείνεται επ' άπειρον.

Συνήθως, υπάρχει ένας ακέραιος αριθμός n μεταξύ 2 και \phi(k) (όπου \phi είναι η συνάρτηση του Ὀιλερ, οπότε \phi(k) είναι ο βαθμός ενός πολυωνύμου της \Phi_k(n)), ώστε \Phi_k(n) να είναι πρώτος, αλλά υπάρχουν εξαιρέσεις, οι πρώτες είναι:

: 1, 2, 25, 37, 44, 68, 75, 82, 99, 115, 119, 125, 128, 159, 162, 179, 183, 188, 203, 213, 216, 229, 233, 243, 277, 289, 292, ....

## Μερικά αποτελέσματα: μόνο το θεώρημα του Ντίριχλετ

Μέχρι σήμερα, η μόνη περίπτωση της εικασίας του Μπουνιακόφσκι που έχει αποδειχθεί είναι αυτή των πολυωνύμων βαθμού 1. Πρόκειται για το θεώρημα του Ντίριχλετ, το οποίο δηλώνει ότι όταν a και m είναι σχετικά πρώτοι ακέραιοι αριθμοί υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί p \equiv a \pmod m. Αυτή είναι η εικασία του Μπουνιακόφσκι για την f(x) = a + mx (ή a - mx αν m ).
Η τρίτη συνθήκη στην εικασία του Μπουνιακόφσκι για ένα γραμμικό πολυώνυμο mx + a είναι ισοδύναμη με το να είναι a και m σχετικά πρώτοι. 

Καμία μεμονωμένη περίπτωση της εικασίας του Μπουνιακόφσκι για βαθμό μεγαλύτερο του 1 δεν αποδεικνύεται, αν και αριθμητικές ενδείξεις σε υψηλότερους βαθμούς είναι συνεπείς με την εικασία.

## Γενικευμένη εικασία Μπουνιακόφσκι
Βλ.:Υπόθεση H του Σίνζελ

Με δεδομένο k \geq 1 πολυώνυμα με θετικούς βαθμούς και ακέραιους συντελεστές, καθένα από τα οποία ικανοποιεί τις τρεις συνθήκες, ας υποθέσουμε ότι για κάθε πρώτο p υπάρχει ένα n τέτοιο ώστε καμία από τις τιμές των k πολυωνύμων στο n να μην διαιρείται με το p. Δεδομένων αυτών των υποθέσεων, εικάζεται ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι n τέτοιοι ώστε όλες οι τιμές αυτών των k πολυωνύμων στο x = n να είναι πρώτοι. Αυτή η εικασία είναι ισοδύναμη με τη γενικευμένη εικασία Ντίκσον και την υπόθεση H του Σίνζελ.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

## Δείτε επίσης
* Θεωρία αριθμών
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Φυσικός λογάριθμος
* Πρώτος αριθμός Μερσέν
* Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
* e (μαθηματική σταθερά)
* Πρώτος αριθμός
* Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
* Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
* Φυσικός αριθμός
* Εικασία του Λεζάντρ
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Υπόθεση H του Σίνζελ
* Συνάρτηση Όιλερ
* Ευκλείδειος χώρος

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
* Rupert, Wolfgang M. (1998-08-05). «Reducibility of polynomials f(x, y) modulo p». arXiv:math/9808021
*
* 
* 
* *Sorini, Laerte (2001). "Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga". Quaderni di Economia, Matematica e Statistica, DESP, Università di Urbino Carlo Bo (in Italian). *'68*'. .*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

Κατηγορία:Αναλυτική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Εικασίες για πρώτους αριθμούς
Κατηγορία:Πρώτοι αριθμοί
Κατηγορία:Ακέραιοι αριθμοί
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά