Υποομάδα

Στη θεωρία ομάδων, έναν κλάδο των μαθηματικών, ένα υποσύνολο μιας ομάδας G είναι **υποομάδα** της G, αν τα μέλη αυτού του υποσυνόλου σχηματίζουν ομάδα σε σχέση με την πράξη ομάδας στην G. 

Τυπικά, δεδομένης μιας ομάδας  υπό μια δυαδική πράξη&nbsp;∗, ένα υποσύνολο  της  ονομάζεται **υποομάδα** της  αν η  σχηματίζει επίσης μια ομάδα υπό την πράξη&nbsp;∗. Πιο συγκεκριμένα, το  είναι υποομάδα της  αν ο περιορισμός του ∗ στο   είναι μια πράξη ομάδας στο . Αυτό συχνά συμβολίζεται ως , που διαβάζεται ως " είναι υποομάδα της ".

Η **τετριμμένη υποομάδα** οποιασδήποτε ομάδας είναι η **υποομάδα** {“'e”'} που αποτελείται μόνο από το στοιχείο ταυτότητας.

Μια **κατάλληλη υποομάδα** μιας ομάδας  είναι μια υποομάδα  η οποία είναι κατάλληλο υποσύνολο της  (δηλαδή, ). Αυτό συχνά αναπαρίσταται συμβολικά με , που διαβάζεται ως " είναι κατάλληλη υποομάδα της }". Ορισμένοι συγγραφείς αποκλείουν επίσης την τετριμμένη ομάδα από το να είναι κατάλληλη (δηλαδή, *H* ≠ {*e*}).

Εάν το  είναι υποομάδα της , τότε η  ονομάζεται μερικές φορές "υπερομάδα" του .

Οι ίδιοι ορισμοί ισχύουν γενικότερα όταν η  είναι μια αυθαίρετη ημι-ομάδα, αλλά αυτό το άρθρο θα ασχοληθεί μόνο με υποομάδες ομάδων.

## Δοκιμές υποομάδων

Ας υποθέσουμε ότι  είναι μια ομάδα και  είναι ένα υποσύνολο της .  Προς το παρόν, υποθέτουμε ότι η πράξη της ομάδας  γράφεται πολλαπλασιαστικά, και συμβολίζεται με παράθεση.

*Τότε το  είναι μια υποομάδα της  αν και μόνο αν το   είναι μη κενό και κλειστό υπό γινόμενα και αντίστροφα. Κλειστό υπό γινόμενο σημαίνει ότι για κάθε  και  στο , το γινόμενο  είναι στο .  Κλειστό υπό αντίστροφο σημαίνει ότι για κάθε  στο , το αντίστροφο  είναι στο . Αυτές οι δύο συνθήκες μπορούν να συνδυαστούν σε μία, ότι για κάθε  και  στο , το στοιχείο  είναι στο ,αλλά είναι πιο φυσικό και συνήθως εξίσου εύκολο να ελέγξουμε τις δύο συνθήκες κλειστότητας ξεχωριστά.
*Όταν το  είναι πεπερασμένο, η δοκιμή μπορεί να απλοποιηθεί:   είναι υποομάδα αν και μόνο αν είναι μη κενή και κλειστή υπό γινόμενο. Αυτές οι συνθήκες από μόνες τους συνεπάγονται ότι κάθε στοιχείο  του   παράγει μια πεπερασμένη κυκλική υποομάδα του  ,  ας πούμε τάξης ,  και τότε το αντίστροφο του   είναι .

Εάν η πράξη της ομάδας συμβολίζεται με πρόσθεση, τότε το *κλειστό υπό γινόμενο*θα πρέπει να αντικατασταθεί από το *κλειστό υπό πρόσθεση*, το οποίο είναι η συνθήκη ότι για κάθε  και  στο , το άθροισμα   είναι στο , και το *κλειστό υπό αντίστροφα* θα πρέπει να τροποποιηθεί ώστε να λέει ότι για κάθε  στο , ο αντίστροφο  είναι στο .

## Βασικές ιδιότητες των υποομάδων

*Η ταυτότητα μιας υποομάδας είναι η ταυτότητα της ομάδας: αν  είναι μια ομάδα με ταυτότητα , και  είναι μια υποομάδα της } με ταυτότητα , τότε .
*Tο αντίστροφο ενός στοιχείου μιας υποομάδας είναι το αντίστροφο του στοιχείου της ομάδας: αν   είναι υποομάδα μιας ομάδας , και  και  είναι στοιχεία του  τέτοια ώστε , τότε .
*Αν το  είναι υποομάδα της , τότε η απεικόνιση εγκλεισμού  που στέλνει κάθε στοιχείο  του  στον εαυτό του είναι ομομορφισμός.
*Η τομή των υποομάδων  και  της  είναι και πάλι μια υποομάδα της .Παραδείγματος χάριν, η τομή του -άξονα και του -άξονα στο  υπό πρόσθεση είναι η τετριμμένη υποομάδα.  Γενικότερα, η τομή μιας αυθαίρετης συλλογής υποομάδων της  είναι μια υποομάδα της .
*Η ένωση των υποομάδων  και  είναι υποομάδα εάν και μόνο εάν  ή  .  Ένα μη-παράδειγμα:  δεν είναι υποομάδα της  επειδή τα 2 και 3 είναι στοιχεία αυτού του υποσυνόλου των οποίων το άθροισμα, 5, δεν είναι στο υποσύνολο.   Ομοίως, η ένωση του -άξονα και του -άξονα στο  δεν είναι υποομάδα του 
*Αν το  είναι ένα υποσύνολο της , τότε υπάρχει μια μικρότερη υποομάδα που περιέχει το , δηλαδή η τομή όλων των υποομάδων που περιέχουν το ; συμβολίζεται με  και ονομάζεται υποομάδα που παράγεται από το . Ένα στοιχείο της  βρίσκεται στο  αν και μόνο αν είναι ένα πεπερασμένο γινόμενο στοιχείων του  και των αντιστρόφων τους, ενδεχομένως επαναλαμβανόμενων.
*Κάθε στοιχείο  μιας ομάδας  παράγει μια κυκλική υποομάδα . Αν το  είναι ισόμορφο με το   (οι ακέραιοι ) για κάποιο θετικό ακέραιο , τότε  είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος για τον οποίο  , και το  is ονομάζεται τάξη του . Αν   είναι ισομορφικό με το  τότε το   λέγεται ότι έχει *άπειρη τάξη*.
*Οι υποομάδες κάθε δεδομένης ομάδας σχηματίζουν ένα πλήρες πλέγμα υπό εγκλεισμό, το οποίο ονομάζεται πλέγμα υποομάδων. (Ενώ το Μέγιστο κάτω φράγμα εδώ είναι η συνήθης συνθετική τομή, το σουπρέμουμ  ενός συνόλου υποομάδων είναι η υποομάδα που παράγεται από τη συνθετική ένωση των υποομάδων, όχι η ίδια η συνθετική ένωση) Αν  είναι η ταυτότητα της , τότε η τετριμμένη ομάδα είναι η ελάχιστη υποομάδα της ,  ενώ η μέγιστη υποομάδα είναι η ίδια η ομάδα .

## Συσσύνολα και θεώρημα Λαγκράνζ

Δεδομένης μιας υποομάδας  και κάποιου  στη , ορίζουμε το **αριστερό συσσύνολο**  Επειδή το  είναι αντιστρέψιμο, η απεικόνιση  που δίνεται από  είναι μια αμφίρριψη. Επιπλέον, κάθε στοιχείο της  περιέχεται ακριβώς σε ένα αριστερό συσσύνολο της ;  τα αριστερά συσσύνολα είναι οι κλάσεις ισοδυναμίας που αντιστοιχούν στη σχέση ισοδυναμίας  αν και μόνο αν  βρίσκεται στο .  Ο αριθμός των αριστερών συνόλων του   ονομάζεται δείκτης του  στο  και συμβολίζεται με .

Το θεώρημα του Λαγκράνζ ορίζει ότι για μια πεπερασμένη ομάδα  και μια υποομάδα ,
:  [ G : H ] = { |G| \over |H| }
όπου  και   συμβολίζουν τις τάξεις των  και , αντίστοιχα. Ειδικότερα, η τάξη κάθε υποομάδας της  (και η τάξη κάθε στοιχείου της ) πρέπει να είναι διαιρέτης της .

Τα **Δεξιά Συσσύνολα** ορίζονται αναλογικά:   Είναι επίσης οι κλάσεις ισοδυναμίας για μια κατάλληλη σχέση ισοδυναμίας και ο αριθμός τους είναι ίσος με .

Αν  για κάθε  στην , τότε το  λέγεται ότι είναι κανονική υποομάδα. Κάθε υποομάδα με δείκτη 2 είναι κανονική: τα αριστερά συσσύνολα, αλλά και τα δεξιά συσσύνολα, είναι απλά η υποομάδα και το συμπλήρωμά της. Γενικότερα, αν  είναι ο μικρότερος πρώτος αριθμός που διαιρεί την τάξη μιας πεπερασμένης ομάδας , τότε κάθε υποομάδα με δείκτη  (αν υπάρχει) είναι κανονική.

## Example: Υποομάδες της Z<sub>8</sub>

Έστω  η κυκλική ομάδα  της οποίας τα στοιχεία είναι
:G = \left\{0, 4, 2, 6, 1, 5, 3, 7\right\}
και της οποίας η πράξη της ομάδας είναι η πρόσθεση modulo 8. Ο πίνακας Κέιλυ του είναι

Η ομάδα αυτή έχει δύο μη τετριμμένες υποομάδες:  *J* = {0, 4}  και  *H* = {0, 4, 2, 6} ,  όπου η   είναι επίσης υποομάδα του .  Ο πίνακας Κέιλυ για το  είναι το πάνω αριστερό τεταρτημόριο του πίνακα Κέιλυ για τη ; πίνακας Κέιλυ για τη   είναι το πάνω αριστερό τεταρτημόριο του πίνακα Κέιλυ για το .  Η ομάδα  είναι κυκλική, το ίδιο και οι υποομάδες της. Γενικά, οι υποομάδες των κυκλικών ομάδων είναι επίσης κυκλικές.

## Παράδειγμα: Υποομάδες S<sub>4</sub>

 είναι η συμμετρική ομάδα της οποίας τα στοιχεία αντιστοιχούν στις μεταθέσεις των 4 στοιχείων.
Παρακάτω παρατίθενται όλες οι υποομάδες της, ταξινομημένες κατά καρδαιότητα.
Κάθε ομάδα (εκτός από εκείνες με πληθικότητα 1 και 2) αναπαρίσταται από τον πίνακα Κέιλυ της.

### 24 στοιχεία
Όπως κάθε ομάδα, η  είναι υποομάδα του εαυτού της.

### 12 στοιχεία
Η εναλλασσόμενη ομάδα περιέχει μόνο τις ζυγές μεταθέσεις.
Είναι μία από τις δύο μη τετριμμένες ορθές κανονικές υποομάδες της . (Η άλλη είναι η υποομάδα Κλάιν.)

### 8 στοιχεία

### 4 στοιχεία

### 3 στοιχεία

### 2 στοιχία

Κάθε μετάθεση  τάξης 2 παράγει μια υποομάδα }.
Αυτές είναι οι μεταθέσεις που έχουν μόνο 2 κύκλους::
* Υπάρχουν οι 6 μεταθέσεις με έναν 2-κύκλο. &nbsp; (πράσινο φόντο)
* Και 3 μεταθέσεις με δύο 2 κύκλους. &nbsp; (λευκό φόντο, έντονοι αριθμοί)

### 1 στοιχίο
Η τετριμμένη υποομάδα είναι η μοναδική υποομάδα τάξης 1.

## Άλλα παραδείγματα
*Οι άρτιοι ακέραιοι σχηματίζουν μια υποομάδα  του δακτυλίου ακεραίων  το άθροισμα δύο άρτιων ακεραίων είναι άρτιο, και το αρνητικό ενός άρτιου ακεραίου είναι άρτιο.
*Ένα ιδεώδες σε έναν δακτύλιο  είναι μια υποομάδα της προσθετικής ομάδας του .
*Ένας γραμμικός υποχώρος ενός διανυσματικού χώρου είναι μια υποομάδα της προσθετικής ομάδας των διανυσμάτων.
*Σε μια αβελιανή ομάδα, τα στοιχεία πεπερασμένης τάξης σχηματίζουν μια υποομάδα που ονομάζεται υποομάδα στρέψης.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Επιμορφισμός
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Αβελιανή ομάδα

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* .
* .
* .
* 
* 
* 
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Μορφισμοί
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα