Ολοκλήρωμα Φρέσνελ

Τα **ολοκληρώματα Φρέσνελ**  και  είναι δύο υπερβατικές συναρτήσεις που πήραν το όνομά τους από τον Αουγκουστέν-Ζαν Φρέσνελ και χρησιμοποιούνται στην οπτική ενώ σχετίζονται στενά με τη συνάρτηση σφάλματος (erf). Προκύπτουν κατά την περιγραφή των φαινομένων περίθλασης Φρέσνελ  κοντινού πεδίου και ορίζονται μέσω των ακόλουθων ολοκληρωτικών παραστάσεων:

S(x) = \int_0^x \sin\left(t^2\right)\,dt, \quad C(x) = \int_0^x \cos\left(t^2\right)\,dt.

Η παραμετρική καμπύλη \bigl(S(t), C(t)\bigr) είναι η σπείρα του Όιλερ ή το κλωθοειδές, μια καμπύλη της οποίας η καμπυλότητα μεταβάλλεται γραμμικά με το μήκος του τόξου.

Ο όρος ολοκλήρωμα Φρέσνελ μπορεί επίσης να αναφέρεται στο μιγαδικό ορισμένο ολοκλήρωμα

\int_{-\infty}^\infty e^{\pm iax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\pm i\pi/4}


όπου  είναι πραγματικό και θετικό- αυτό μπορεί να εκτιμηθεί κλείνοντας ένα περίγραμμα στο μιγαδικό επίπεδο και εφαρμόζοντας το θεώρημα ολοκληρωμάτων του Κωσύ.

## Ορισμός

Τα ολοκληρώματα Φρέσνελ δέχονται τα ακόλουθα αναπτύγματα δυναμοσειρών που συγκλίνουν για όλα τα :

\begin{align}
 S(x) &= \int_0^x \sin\left(t^2\right)\,dt = \sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n \frac{x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}, \\
 C(x) &= \int_0^x \cos\left(t^2\right)\,dt = \sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n \frac{x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}.
\end{align}

Ορισμένοι ευρέως χρησιμοποιούμενοι πίνακες χρησιμοποιούν  αντί για  για το επιχείρημα των ολοκληρωμάτων που ορίζουν τα   και . Αυτό αλλάζει τα όριά τους στο άπειρο από 1/2-√π/2 σε  και το μήκος τόξου για την πρώτη σπειροειδή στροφή από  σε 2 (at ). Αυτές οι εναλλακτικές συναρτήσεις είναι συνήθως γνωστές ως κανονικοποιημένα ολοκληρώματα Φρέσνελ.

## Σπείρα Όιλερ
Κύριο άρθρο: σπείρα Όιλερ

Η σπείρα Όιλερ, επίσης γνωστή ως σπείρα Κορνού ή κλωθοειδής, είναι η καμπύλη που δημιουργείται από την παραμετρική γραφική παράσταση του  έναντι του . Η σπείρα Όιλερ μελετήθηκε για πρώτη φορά στα μέσα του 18ου αιώνα από τον Λέοναρντ Όιλερ στο πλαίσιο της θεωρίας δοκού Όιλερ-Μπερνούλι. Έναν αιώνα αργότερα, η Μαρί Άλφρεντ Κορνού κατασκεύασε την ίδια σπείρα ως νομόγραμμα για υπολογισμούς περίθλασης.

Από τους ορισμούς των ολοκληρωμάτων Φρέσνελ, τα απειροστά  και  είναι έτσι:

\begin{align}
dx &= C'(t)\,dt = \cos\left(t^2\right)\,dt, \\
dy &= S'(t)\,dt = \sin\left(t^2\right)\,dt.
\end{align}

Έτσι, το μήκος της σπείρας που μετράται από την αρχή μπορεί να εκφραστεί ως εξής

L = \int_0^{t_0} \sqrt {dx^2 + dy^2} = \int_0^{t_0} dt = t_0. 

Δηλαδή, η παράμετρος  είναι το μήκος της καμπύλης μετρούμενο από την αρχή  και η σπείρα Όιλερ έχει άπειρο μήκος. Το διάνυσμα  όπου  εκφράζει επίσης το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα κατά μήκος της σπείρας. Εφόσον το  είναι το μήκος της καμπύλης, η καμπυλότητα   μπορεί να εκφραστεί ως εξής 

 \kappa = \frac{1}{R} = \frac{d\theta}{dt} = 2t. 

Έτσι, ο ρυθμός μεταβολής της καμπυλότητας σε σχέση με το μήκος της καμπύλης είναι

\frac{d\kappa}{dt} = \frac {d^2\theta}{dt^2} = 2. 

Μια σπείρα Όιλερ έχει την ιδιότητα ότι η καμπυλότητά της σε οποιοδήποτε σημείο είναι ανάλογη της απόστασης κατά μήκος της σπείρας, που μετριέται από την αρχή. Αυτή η ιδιότητα την καθιστά χρήσιμη ως καμπύλη μετάβασης στη μηχανική αυτοκινητοδρόμων και σιδηροδρόμων: αν ένα όχημα ακολουθεί τη σπείρα με μοναδιαία ταχύτητα, η παράμετρος  στις παραπάνω παραγώγους αντιπροσωπεύει επίσης τον χρόνο. Κατά συνέπεια, ένα όχημα που ακολουθεί τη σπείρα με σταθερή ταχύτητα θα έχει σταθερό ρυθμό γωνιακής επιτάχυνσης.

Τα τμήματα από τις σπείρες του Όιλερ ενσωματώνονται συνήθως στο σχήμα των βρόχων του οδοστρωτήρα για να δημιουργηθούν οι λεγόμενοι βρόχοι κλωθοειδούς μορφής.

## Ιδιότητες

 και  είναι περιττές συναρτήσεις της ,

C(-x) = -C(x), \quad S(-x) = -S(x).

γεγονός που γίνεται εύκολα αντιληπτό από το ότι τα αναπτύγματα των δυναμοσειρών τους έχουν μόνο όρους περιττού βαθμού, ή εναλλακτικά επειδή είναι αντιπαράγωγα ζυγών συναρτήσεων που είναι επίσης μηδενικές στην αρχή.

Η ασυμπτωτική των ολοκληρωμάτων Φρέσνελ ως  δίνεται από τους τύπους:

\begin{align}
S(x) & =\sqrt{\tfrac18\pi} \sgn x - \left[ 1 + O\left(x^{-4}\right) \right] \left( \frac{\cos\left(x^2\right)}{2x} + \frac{\sin\left(x^2\right)}{ 4x^3 } \right), \\[6px]
C(x) & =\sqrt{\tfrac18\pi} \sgn x + \left[ 1 + O\left(x^{-4}\right) \right] \left( \frac{\sin\left(x^2\right)}{2x} - \frac{\cos\left(x^2\right)}{ 4x^3 } \right) .
\end{align}

Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω αναπτύγματα δυναμοσειρών, τα ολοκληρώματα Φρέσνελ μπορούν να επεκταθούν στο πεδίο των μιγαδικών αριθμών, όπου γίνονται πλήρεις συναρτήσεις της μιγαδικής μεταβλητής .

Τα ολοκληρώματα Φρέσνελ μπορούν να εκφραστούν χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση σφάλματος ως εξής:

\begin{align}
S(z) & =\sqrt{\frac{\pi}{2}} \cdot\frac{1+i}{4} \left[ \operatorname{erf}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}z\right) -i \operatorname{erf}\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}z\right) \right], \\[6px]
C(z) & =\sqrt{\frac{\pi}{2}} \cdot\frac{1-i}{4} \left[ \operatorname{erf}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}z\right) + i \operatorname{erf}\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}z\right) \right].
\end{align}

ή

\begin{align}
C(z) + i S(z) & = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot\frac{1+i}{2} \operatorname{erf}\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}z\right), \\[6px]
S(z) + i C(z) & = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot\frac{1+i}{2} \operatorname{erf}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}z\right).
\end{align}

### Όρια καθώς το  πλησιάζει στο άπειρο
Τα ολοκληρώματα που ορίζουν τα  και  δεν μπορούν να αξιολογηθούν σε κλειστή μορφή ως προς τις στοιχειώδεις συναρτήσεις, εκτός από ειδικές περιπτώσεις. Τα όρια αυτών των συναρτήσεων καθώς η  πηγαίνει στο άπειρο είναι γνωστά:

\int_0^\infty \cos \left(t^2\right)\,dt = \int_0^\infty \sin \left(t^2\right) \, dt = \frac{\sqrt{2\pi}}{4} = \sqrt{\frac{\pi}{8}} \approx 0.6267.

Αυτό μπορεί να προκύψει με οποιαδήποτε από τις διάφορες μεθόδους. Μία από αυτές  χρησιμοποιεί ένα ολοκλήρωμα της συνάρτησης  e^{-z^2} γύρω από το όριο της τομεακής περιοχής στο μιγαδικό επίπεδο που σχηματίζεται από τον θετικό άξονα , τη διχοτόμο του πρώτου τεταρτημορίου  με , και ένα κυκλικό τόξο ακτίνας  με κέντρο την αρχή.

Καθώς το  πηγαίνει στο άπειρο, το ολοκλήρωμα κατά μήκος του κυκλικού τόξου  τείνει στο 

\left|\int_{\gamma_2}e^{-z^2}\,dz\right|
= \left|\int_0^\frac{\pi}{4}e^{-R^2(\cos t + i \sin t)^2}\,Re^{it}dt\right|
\leq R\int_0^\frac{\pi}{4}e^{-R^2\cos2t}\,dt
\leq R\int_0^\frac{\pi}{4}e^{-R^2\left(1-\frac{4}{\pi}t\right)}\,dt
= \frac{\pi}{4R}\left(1-e^{-R^2}\right),

όπου χρησιμοποιήθηκαν πολικές συντεταγμένες  και χρησιμοποιήθηκε η ανισότητα του Ζορντάν για τη δεύτερη ανισότητα. Το ολοκλήρωμα κατά μήκος του πραγματικού άξονα  τείνει στο μισό γκαουσιανό ολοκλήρωμα

\int_{\gamma_1} e^{-z^2} \, dz = \int_0^\infty e^{-t^2} \, dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}.

Ας σημειωθεί επίσης ότι επειδή το ολοκλήρωμα είναι μια ολόκληρη συνάρτηση στο μιγαδικό επίπεδο, το ολοκλήρωμά του κατά μήκος ολόκληρου του περιγράμματος είναι μηδέν. Συνολικά, πρέπει να έχουμε

\int_{\gamma_3} e^{-z^2} \, dz = \int_{\gamma_1} e^{-z^2} \, dz = \int_0^\infty e^{-t^2} \, dt,

όπου  δηλώνει τη διχοτόμο του πρώτου τεταρτημορίου, όπως στο διάγραμμα. Για να αξιολογήσουμε το αριστερό μέρος, παραμετροποιήστε τη διχοτόμο ως εξής

z = te^{i\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i)t

όπου το  κυμαίνεται από 0 έως . Ας σημειωθεί ότι το τετράγωνο αυτής της έκφρασης είναι απλά .  Επομένως, η αντικατάσταση δίνει την αριστερή πλευρά ως εξής 

\int_0^\infty e^{-it^2}\frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i) \, dt.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Όιλερ για να πάρουμε το πραγματικό και το φανταστικό μέρος του  το δίνει ως εξής

\begin{align}
& \int_0^\infty \left(\cos\left(t^2\right) - i\sin\left(t^2\right)\right)\frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i) \, dt \\[6px]
&\quad = \frac{\sqrt{2}}{2} \int_0^\infty \left[\cos\left(t^2\right) + \sin\left(t^2\right) + i \left(\cos\left(t^2\right) - \sin\left(t^2\right)\right) \right] \, dt \\[6px]
&\quad = \frac{\sqrt{\pi}}{2} + 0i,
\end{align}

όπου έχουμε γράψει  για να τονίσουμε ότι η τιμή του αρχικού ολοκληρώματος Γκάους είναι πλήρως πραγματική με μηδενικό φανταστικό μέρος. Αφήνοντας

I_C = \int_0^\infty \cos\left(t^2\right) \, dt, \quad I_S = \int_0^\infty \sin\left(t^2\right) \, dt

και στη συνέχεια εξισώνοντας το πραγματικό και το φανταστικό μέρος προκύπτει το ακόλουθο σύστημα δύο εξισώσεων στους δύο αγνώστους  και :

\begin{align}
I_C + I_S & = \sqrt{\frac{\pi}{2}}, \\
I_C - I_S & = 0.
\end{align}

Η επίλυση για τα  και  δίνει το επιθυμητό αποτέλεσμα. 

## Γενίκευση
Το ολοκλήρωμα

\int x^m e^{ix^n}\,dx = \int\sum_{l=0}^\infty\frac{i^lx^{m+nl}}{l!}\,dx
 = \sum_{l=0}^\infty \frac{i^l}{(m+nl+1)}\frac{x^{m+nl+1}}{l!}

είναι μια συγκλίνουσα υπεργεωμετρική συνάρτηση και επίσης μια ατελής συνάρτηση γάμμα 

\begin{align}
\int x^m e^{ix^n}\,dx & =\frac{x^{m+1}}{m+1}\,_1F_1\left(\begin{array}{c} \frac{m+1}{n}\\1+\frac{m+1}{n}\end{array}\mid ix^n\right) \\[6px]
& =\frac{1}{n} i^\frac{m+1}{n}\gamma\left(\frac{m+1}{n},-ix^n\right),
\end{align}

το οποίο ανάγεται σε ολοκληρώματα Φρέσνελ αν ληφθούν πραγματικά ή φανταστικά μέρη:

\int x^m\sin(x^n)\,dx = \frac{x^{m+n+1}}{m+n+1}
\,_1F_2\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}+\frac{m+1}{2n}\\
\frac{3}{2}+\frac{m+1}{2n},\frac{3}{2}\end{array}\mid -\frac{x^{2n}}{4}\right).

Ο πρώτος όρος στο ασυμπτωτικό ανάπτυγμα είναι

 _1F_1 \left(\begin{array}{c}\frac{m+1}{n}\\1+\frac{m+1}{n} \end{array}\mid ix^n\right)\sim \frac{m+1}{n}\,\Gamma\left(\frac{m+1}{n}\right) e^{i\pi\frac{m+1}{2n}} x^{-m-1},

και ως εκ τούτου

\int_0^\infty x^m e^{ix^n}\,dx = \frac{1}{n} \,\Gamma\left(\frac{m+1}{n}\right)e^{i\pi\frac{m+1}{2n}}.

Για , το φανταστικό μέρος αυτής της εξίσωσης ειδικότερα είναι

\int_0^\infty\sin\left(x^a\right)\,dx = \Gamma\left(1+\frac{1}{a} \right) \sin\left(\frac{\pi}{2a}\right),

με την αριστερή πλευρά να συγκλίνει για  και τη δεξιά πλευρά να είναι η αναλυτική της επέκταση σε όλο το επίπεδο λιγότερο όπου βρίσκονται οι πόλοι της .

Ο μετασχηματισμός Κούμερ της συγκλίνουσας υπεργεωμετρικής συνάρτησης είναι

 \int x^m e^{ix^n}\,dx = V_{n,m}(x)e^{ix^n},

με

V_{n,m} := \frac{x^{m+1}}{m+1}\,_1F_1\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 + \frac{m+1}{n} \end{array}\mid -ix^n\right).

## Αριθμητική προσέγγιση

Για υπολογισμό με αυθαίρετη ακρίβεια, η δυναμοσειρά είναι κατάλληλη για μικρό επιχείρημα. Για μεγάλο επιχείρημα, τα ασυμπτωτικά αναπτύγματα συγκλίνουν γρηγορότερα. Μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν μέθοδοι συνεχιζόμενων κλασμάτων.

Για τον υπολογισμό με συγκεκριμένη ακρίβεια στόχου, έχουν αναπτυχθεί άλλες προσεγγίσεις. Ο Cody ανέπτυξε ένα σύνολο αποτελεσματικών προσεγγίσεων που βασίζονται σε ορθολογικές συναρτήσεις και δίνουν σχετικά σφάλματα μέχρι . Μια FORTRAN υλοποίηση της προσέγγισης Cody που περιλαμβάνει τις τιμές των συντελεστών που απαιτούνται για την υλοποίηση σε άλλες γλώσσες δημοσιεύθηκε από τον van Snyder. Ο Μπόερσμα ανέπτυξε μια προσέγγιση με σφάλμα μικρότερο από .

## Εφαρμογές
Τα ολοκληρώματα Φρέσνελ χρησιμοποιήθηκαν αρχικά για τον υπολογισμό της έντασης του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου σε ένα περιβάλλον όπου το φως κάμπτεται γύρω από αδιαφανή αντικείμενα. Πιο πρόσφατα, έχουν χρησιμοποιηθεί στο σχεδιασμό αυτοκινητοδρόμων και σιδηροδρόμων, συγκεκριμένα στις ζώνες μετάβασης της καμπυλότητας τους, βλ. καμπύλη μετάβασης τροχιάς. Άλλες εφαρμογές είναι το τρενάκι του λούνα παρκ ή ο υπολογισμός των μεταβάσεων σε μια πίστα ποδηλατοδρομίου ώστε να επιτρέπεται η γρήγορη είσοδος στις στροφές και η σταδιακή έξοδος.

## Φωτοθήκη

File:Plot of the Fresnel integral function S(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D.svg|Διάγραμμα της ολοκληρωτικής συνάρτησης Φρέσνελ S(z) στο μιγαδικό επίπεδο από -2-2i έως 2+2i με χρώματα που δημιουργήθηκε με τη συνάρτηση ComplexPlot3D του Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D
File:Plot of the Fresnel integral function C(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D.svg|Διάγραμμα της ολοκληρωτικής συνάρτησης C(z) του Φρέσνελ στο μιγαδικό επίπεδο από -2-2i έως 2+2i με χρώματα που δημιουργήθηκε με τη συνάρτηση ComplexPlot3D του Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D
File:Plot of the Fresnel auxillary function G(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D.svg|Διάγραμμα της βοηθητικής συνάρτησης Φρέσνελ G(z) στο μιγαδικό επίπεδο από -2-2i έως 2+2i με χρώματα που δημιουργήθηκε με τη συνάρτηση ComplexPlot3D του Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D
File:Plot of the Fresnel auxillary function F(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D.svg|Διάγραμμα της βοηθητικής συνάρτησης Φρέσνελ F(z) στο μιγαδικό επίπεδο από -2-2i έως 2+2i με χρώματα που δημιουργήθηκε με τη συνάρτηση ComplexPlot3D του Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D


## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Τριγωνομετρική συνάρτηση
* Συνάρτηση γάμμα
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Ρητή συνάρτηση
* Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Κατάλογος ολοκληρωμάτων των Γκαουσιανών συναρτήσεων
* Κατάλογος ολοκληρωμάτων των υπερβολικών συναρτήσεων
* Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Μιγαδικός αριθμός
* Πολυώνυμο
* Ακέραιος αριθμός

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 7". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
*
*Beatty, Thomas (2013). "How to evaluate Fresnel Integrals" (PDF). FGCU Math - Summer 2013. Retrieved 27 July 2013.
*
*
*Mathar, R. J. (2012). "Series Expansion of Generalized Fresnel Integrals". arXiv:1211.3963 [math.CA].
* (Uses  instead of .)
*
*
*
*Temme, N. M. (2010), "Error Functions, Dawson's and Fresnel Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.
*

Κατηγορία:Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
Κατηγορία:Ολοκληρώματα
Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις
Κατηγορία:Θεωρήματα στην ανάλυση
Κατηγορία:Καμπύλες
Κατηγορία:Ειδικές συναρτήσεις