Πεντάγωνο

Στη γεωμετρία, το **πεντάγωνο** είναι ένα πολύγωνο με πέντε κορυφές και πέντε πλευρές.

Ένα πεντάγωνο είναι **[[κανονικό πολύγωνο|κανονικό]]** αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

## Ιδιότητες
* Σε κάθε απλό πεντάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα 540^\circ (ή 3\pi ακτίνια).
* Κάθε πεντάγωνο έχει 5 διαγωνίους.

## Κυρτό κανονικό πεντάγωνο

 \cdot \lambda^2
|περίμετρος={\rm \Pi} = 5 \cdot \lambda
|ακτίνα εγγεγραμμένου=r = \frac{1}{10}\sqrt{25 + 10\sqrt{5}} \cdot \lambda
|ακτίνα περιγεγραμμένου=R = \frac{1}{10}\sqrt{50 + 10\sqrt{5}} \cdot \lambda
|σχετικά επίπεδα σχήματα=πεντάγραμμα, δεκάγωνο
|σχετικά στερεά σχήματα=δωδεκάεδρο
}}
### Ιδιότητες
Για το κανονικό πεντάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
* Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με 108^\circ (ή 3\pi/5 ακτίνια).
* Έχει πέντε άξονες συμμετρίας.
* Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
* Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
* Έχει περιστροφική συμμετρία πέμπτης τάξεως.
* Το σύμβολο Schläfli του πενταγώνου είναι \{5\}.

### Κεντρική γωνία
Η **κεντρική του γωνία**, δηλαδή η γωνία που βλέπει το κέντρο του, την κάθε πλευρά είναι ίση με \varphi = 72^\circ (ή 2\pi/5 ακτίνια). 

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της \varphi / 2 είναι πολύ χρήσιμοι στις μετρικές σχέσεις του κανονικού πενταγώνου, καθώς και στους τύπους για το εμβαδόν του. Αυτοί δίνονται από τους τύπους
:\sin \frac{\pi}{5} = \frac{1}{4} \sqrt{10 - 2\sqrt{5}}, \qquad \csc \frac{\pi}{5} = \frac{1}{5} \sqrt{50 + 10\sqrt{5}},
:\cos \frac{\pi}{5} = \frac{1}{4} (1 + \sqrt{5}), \qquad \sec \frac{\pi}{5} = \sqrt{5} - 1,
:\tan \frac{\pi}{5} = \sqrt{5 - 2 \sqrt{5}}, \qquad \cot \frac{\pi}{5} = \frac{1}{5} \sqrt{25 + 10\sqrt{5}}.

  = \frac{4(\sqrt{5} - 1)}{(1 + \sqrt{5})(\sqrt{5} -1)}
  = \frac{4(\sqrt{5} - 1)}{\sqrt{5}^2 - 1^2} = \sqrt{5} - 1
,
:
\sin \frac{\pi}{5}
  = \sqrt{1 - \cos^2 \frac{\pi}{5}}
  = \frac{1}{4} \sqrt{16 - (1 + \sqrt{5})^2}
  = \frac{1}{4} \sqrt{16 - (1 + 2\sqrt{5} + 5)}
  = \frac{1}{4} \sqrt{10 - 2\sqrt{5}}
,
:
\csc \frac{\pi}{5}
  = \frac{4}{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}
  = \frac{4\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{\sqrt{10^2 - (2\sqrt{5})^2}}
  = \frac{4\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4\sqrt{5}}
  = \frac{1}{5}\sqrt{50 + 10\sqrt{5}}
,
:
\tan \frac{\pi}{5}
  = \frac{\sin \frac{\pi}{5}}{\cos \frac{\pi}{5}}
  = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{\sqrt{5} + 1}
  = \sqrt{\frac{10 - 2\sqrt{5}}{6 + 2\sqrt{5}}}
  = \sqrt{\frac{(10 - 2\sqrt{5}) \cdot (6 - 2\sqrt{5})}{6^2 - (2\sqrt{5})^2}}
  = \sqrt{5 - 2\sqrt{5}}
,
:
\cot \frac{\pi}{5}
  = \frac{1}{\tan \frac{\pi}{5}}
  = \frac{1}{\sqrt{5 - 2\sqrt{5}}}
  = \sqrt{\frac{5 + 2\sqrt{5}}{5^2 - (2\sqrt{5})^2}}
  = \sqrt{\frac{5 + 2\sqrt{5}}{5}}
  = \frac{1}{5} \sqrt{25 + 10\sqrt{5}}
.
}}
 \\ 
 & = 1 - \frac{3 - \sqrt{5}}{(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})} \\
 & = \frac{1}{4} (1 + \sqrt{5}).
\end{align}
Όπως και στην προηγούμενη απόδειξη, προκύπτουν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί. 
}}

### Μετρικές σχέσεις

* Η ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού πενταγώνου είναι ίση με
::\begin{align}R 
& = \frac{1}{2} \csc \frac{\pi}{5} \cdot \lambda \\
& = \frac{1}{10} \sqrt{50 + 10\sqrt{5}} \cdot \lambda \\
& \approx 0{,}850651 \cdot \lambda.
\end{align}.
*Η ακτίνα r του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού πενταγώνου είναι ίση με
::\begin{align}
r 
& = \frac{1}{2} \cot \frac{\pi}{5} \cdot \lambda \\
& = \frac{1}{10} \sqrt{25 + 10\sqrt{5}} \cdot \lambda\\
& \approx0{,}688191 \cdot \lambda.
\end{align}.
right|thumb|200px|Οι πέντε διαγώνιοι σε ένα κανονικό πεντάγωνο.
* Το κανονικό πεντάγωνο έχει πεντε διαγωνίους με μήκος
::\begin{align}
d
 & = \frac{1}{2} (1 + \sqrt{5}) \cdot \lambda \\
 & \approx 1.618034 \cdot \lambda,
\end{align}
:όπου \varphi = \frac{1}{2} (1 + \sqrt{5}) είναι η χρυσή τομή.

*Το πλάτος του είναι ίσο με την διαγώνιο 
::w = d.
*Το ύψος του είναι 
::h = \frac{1}{2} \sqrt{5 + 2\sqrt{5}}.

* Έστω \rm I το σημείο τομής των διαγωνίων του \rm A\Delta και \rm BE. Τότε 
::{\rm AI}^2 = {\rm A\Delta} \cdot {\rm I\Delta}.

* (**[[Θεώρημα Βιβιάνι]]**) Για κάθε εσωτερικό σημείο \rm P ενός κανονικού πενταγώνου ισχύει ότι το άθροισμα των αποστάσεων του d_1, d_2, \ldots, d_5 από τις πλευρές του πενταγώνου είναι σταθερό, δηλαδή
::d_1 + d_2 + \ldots + d_5 = 5 \cdot r, 
:όπου r η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου.

* Έστω \rm M το μέσο του ελάσσονος τόξου \overset{\frown}{\rm B\Gamma} του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού πενταγώνου, τότε
** {\rm MA} - {\rm MB} = R,
** {\rm MA} \cdot {\rm MB} = R^2.

### Εμβαδόν
Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού πενταγώνου πλευράς \lambda και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου r είναι 
:{\rm E} = \frac{5}{2} \cdot  \lambda \cdot  r.

Το εμβαδό \rm E ενός κανονικού πενταγώνου πλευράς \lambda δίνεται από τη σχέση:
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = \frac{5}{4} \cot \frac{\pi}{5} \cdot \lambda^2 \\
 & = \frac{1}{4} \sqrt{25 + 10\sqrt{5}} \cdot \lambda^2 \\
 & \approx 1{,}720477 \cdot \lambda^2.
\end{align}
Αν R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδό του πενταγώνου είναι
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = \frac{5}{2} \sin \frac{2\pi}{5} \cdot R^2 \\
 & = \frac{5}{4} \sqrt{10 + 2\sqrt{5}} \cdot R^2 \\
 & \approx 2{,}377641 \cdot R^2.
\end{align}
Aν r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = 5 \tan \frac{\pi}{5} \cdot r^2 \\
 & = 5\sqrt{5 - 2\sqrt{5}} \cdot r^2 \\
 & \approx 3{,}632713 r^2
\end{align}.
, έχουμε ότι
:{\rm E} = \frac{5}{2}\cdot \lambda\cdot  r =5\cdot  \sqrt{5 - 2\sqrt{5}}\cdot r^2 .
}}

### Περίμετρος
Η περίμετρος \Pi του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με
:\Pi = 5\cdot\lambda.

### Κατασκευή κανονικού πενταγώνου
μικρογραφία|δεξιά|Μια μέθοδος κατασκευής κανονικού πενταγώνου
Το κανονικό πεντάγωνο είναι πολύγωνο που μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας κανόνα και διαβήτη ως εγγεγραμμένο σε κύκλο, είτε κατασκευάζοντας το από μια δοσμένη γωνία. Μία τέτοια κατασκευή περιγράφεται στην 11η Πρόταση στο 4ο Βιβλίο στα *[[Στοιχεία]]* του Ευκλείδη, περίπου το 300 π.Χ.

Αφού κατασκευάσεις ένα κυρτό πεντάγωνο, όταν φέρεις τις διαγώνιές του κατασκευάζεις ένα Πεντάγραμμα, με ένα μικρότερο κανονικό πεντάγωνο στο κέντρο του. Εφόσον επεκτείνεις τις πλευρές ώστε να ενωθούν, κατασκευάζεις ένα μεγαλύτερο κανονικό πεντάγωνο.

### Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη
Μια μέθοδος κατασκευής με κανόνα και διαβήτη, είναι η ακόλουθη:
:400px|Κατασκευή ενός κανονικού πενταγώνου
# Σχεδίασε ένα κύκλο μέσα στον οποίο θα εγγράψουμε το πεντάγωνο και σημείωσε το κέντρο του *O*. (Ο πράσινος κύκλος στο διάγραμμα).
# Διάλεξε ένα σημείο *A* του κύκλου που θα γίνει κορυφή του πενταγώνου. Φέρε μια ευθεία από το *O* και το *A*.
# Φέρε μια κάθετη ευθεία στην *OA* που να περνά από το *O*. Σημείωσε ένα σημείο τομής της με τον κύκλο *B*.
# Σημείωσε το σημείο *C* σαν το μέσο της *O* και *B*.
# Σχεδίασε κύκλο με κέντρο το *C* που να περνά από το *A*. Σημείωσε το σημείο τομής του με την *OB* (εμπεριεχόμενο στον κύκλο) σαν *D*.
# Σχεδίασε κύκλο με κέντρο το *A* που να περνά από το *D*. Σημείωσε τα σημεία τομής του με τον αρχικό (πράσινο) κύκλο *E* και *F*.
# Σχεδίασε κύκλο με κέντρο το *E* που να περνά από το *A*. Σημείωσε το σημείο τομής του με τον αρχικό (πράσινο) κύκλο *G*.
# Σχεδίασε κύκλο με κέντρο το *F* που να περνά από το *A*. Σημείωσε το σημείο τομής του με τον αρχικό (πράσινο) κύκλο *H*.
# Σχεδίασε το κανονικό πεντάγωνο *AEGHF*.

Υπάρχουν αρκετοί άλλοι τρόποι για να κατασκευαστεί ένα κανονικό πεντάγωνο.

### Κατασκευή πενταγώνου με δίπλωμα χαρτιού
μικρογραφία|δεξιά|Κατασκευή πενταγώνου με δίπλωμα χαρτιού
Μια απλή μέθοδος κατασκευής κανονικού πενταγώνου είναι από μια λωρίδα χαρτί την οποία πρέπει να δέσουμε κόμπο με τέτοιο τρόπο, ώστε το τελικό σχήμα να είναι συμμετρικό ως προς άξονα.

## Θεωρήματα

(**[[Θεώρημα Μικέλ]]**) Σε ένα κυρτό πεντάγωνο \rm AB\Gamma\Delta E έστω \rm A',B',\Gamma',\Delta',E' τα σημεία τομής των επεκτάσεων των πλευρών του. Θεωρούμε τους περιγεγραμμένους κύκλους των τριγώνων \rm AB\Delta', \rm B\Gamma E', \rm \Gamma\Delta A', \rm \Delta E B' και \rm EA \Gamma' οι οποίοι ανά δύο τέμνονται στα σημεία \rm A,B,\Gamma, \Delta, E καθώς και σε πέντε ακόμα σημεία. Τα πέντε αυτά σημεία ανήκουν στον ίδιο κύκλο, δηλαδή το πεντάγωνο είναι εγγράψιμο.

## Κανονικό αστεροειδές πεντάγωνο

Υπάρχει και ένα κανονικό αστεροειδές πεντάγωνο το οποίο προκύπτει από τις κορυφές ενός κυρτού κανονικού πενταγώνου και πλευρές μεταξύ κορυφών που απέχουν δύο κορυφές στο αρχικό. 

Πιο συγκεκριμένα, το αστεροειδές πεντάγωνο που προκύπτει από το κυρτό κανονικό πεντάγωνο \rm AB\Gamma\Delta E είναι το \rm A\Gamma EB\Delta και συμβολίζεται ως \{ 8/3 \}

## Σχετικά σχήματα

### Επιπεδομετρία

Regular pentagon in regular decagon el.svg|Ένα κανονικό πεντάγωνο μέσα σε ένα κανονικό δεκάγωνο.
Regular pentagon central isosceles dissection el.svg|Χωρισμός κανονικού πενταγώνου σε 5 ισοσκελή τρίγωνα.
Regular pentagon isosceles dissection el.svg|Χωρισμός κανονικού πενταγώνου τρία ισοσκελή τρίγωνα.
Regular pentagon isosceles trapezoid dissection el.svg|Χωρισμός κανονικού πενταγώνου σε ένα ισοσκελές τραπέζιο και ένα ισοσκελές τρίγωνο.
Euclid Elements Book 13 Proposition 10.svg|Σχέση πλευρών ενός κανονικού πενταγώνου, εξαγώνου και δεκαγώνου που εγγράφονται σε κύκλο ίσης ακτίνας.


### Στερεομετρία

Image:Dodecahedron.svg|Το δωδεκάεδρο έχει 12 κανονικά πεντάγωνα ως έδρες.


## Πεντάγωνα στην φύση

Image:BhindiCutUp.jpg|Πεντάγωνα σε μπάμιες
Image:Two okra flowers.JPG|Πενταγωνικά άνθη με πέντε πέταλα το καθένα
Image:Sterappel dwarsdrsn.jpg|Το μήλο περιέχει πεντάγωνο
Image:Carambola cut.jpg|Καραμπόλα
Image:Belimbing.jpg|Τα αστρόφρουτα της Μαλαισίας
Image:5pointed-pear.jpg|Πεντάκτινο αστέρι σε αχλάδι


## Δείτε επίσης
* Πεντάγραμμα
* Δεκάγωνο
* Δωδεκάεδρο

## Περαιτέρω ανάγνωση
### Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* Ορισμός και ιδιότητες πενταγώνου, με διαδραστικές εφαρμογές
* Εννιά κατασκευές κανονικών πενταγώνων από τον Robin Hu

### Ξενόγλωσσα άρθρα
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Σημειώσεις


## Παραπομπές


Κατηγορία:Πολύγωνα