Ανάλυση αποκλιμακωμένης διακύμανσης

Στις στοχαστικές διεργασίες, τη θεωρία του χάους και την ανάλυση χρονοσειρών, η **ανάλυση αποκλιμακωμένης διακύμανσης (DFA)** είναι μια μέθοδος για τον προσδιορισμό της στατιστικής αυτοσυσχέτισης ενός σήματος. Είναι χρήσιμη για την ανάλυση χρονοσειρών που φαίνεται να είναι διεργασίες μακράς μνήμης (αποκλίνων χρόνος συσχέτισης, π.χ. συνάρτηση αυτοσυσχέτισης με φθίνουσα συνάρτηση νόμου ισχύος) ή θόρυβος 1/f.

Ο εκθέτης που προκύπτει είναι παρόμοιος με τον εκθέτη Χερστ, με τη διαφορά ότι η DFA μπορεί επίσης να εφαρμοστεί σε σήματα των οποίων τα υποκείμενα στατιστικά στοιχεία (όπως ο μέσος όρος και η διακύμανση) ή η δυναμική είναι μη στάσιμα (μεταβάλλονται με το χρόνο). Σχετίζεται με μέτρα που βασίζονται σε φασματικές τεχνικές, όπως η αυτοσυσχέτιση και ο μετασχηματισμός Φουριέ.

Οι Πενγκ κ.ά. εισήγαγαν την DFA το 1994 σε μια εργασία που έχει αναφερθεί πάνω από 3.000 φορές έως το 2022 και αποτελεί μια επέκταση της (συνηθισμένης) ανάλυσης διακύμανσης (FA), η οποία επηρεάζεται από μη σταθερότητες.

## Ορισμός

### Αλγόριθμος
Έστω: μια χρονοσειρά x_1, x_2, ..., x_N.

Υπολογίζουμε τη μέση τιμή του \langle x\rangle = \frac 1N \sum_{t=1}^N x_t.

Αθροίστε το σε μια διαδικασία X_t=\sum_{i=1}^t (x_i-\langle x\rangle). Πρόκειται για το **αθροιστικό άθροισμα**, ή **προφίλ**, της αρχικής χρονοσειράς. Για παράδειγμα, το προφίλ μιας i.i.d. λευκός θόρυβος είναι ένας τυπικός τυχαίος περίπατος.

Επιλέξτε ένα σύνολο T = \{n_1, ..., n_k\} ακεραίων αριθμών, έτσι ώστε n_1 , το μικρότερο n_1 \approx 4, το μεγαλύτερο n_k \approx N, και η ακολουθία να είναι περίπου ομοιόμορφα κατανεμημένη στην κλίμακα log: \log(n_2) - \log(n_1) \approx \log(n_3) - \log(n_2) \approx \cdots. Με άλλα λόγια, είναι κατά προσέγγιση μια γεωμετρική πρόοδος.

Για κάθε n \in T, διαιρέστε την ακολουθία X_t σε διαδοχικά τμήματα μήκους n. Μέσα σε κάθε τμήμα, υπολογίστε την ευθεία προσαρμογή των ελαχίστων τετραγώνων (την **τοπική τάση**). Έστω Y_{1,n}, Y_{2,n}, ..., Y_{N,n} η προκύπτουσα τμηματικά γραμμική προσαρμογή.

Υπολογίστε τη μέση τετραγωνική απόκλιση από την τοπική τάση (**τοπική** **διακύμανση**)
:F( n, i) = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{t = in+1}^{in+n} \left( X_t - Y_{t, n} \right)^2}.
Και η ρίζα μέσου τετραγώνου τους είναι η συνολική διακύμανση:

:F( n ) = \sqrt{\frac{1}{N/n}\sum_{i = 1}^{N/n} F(n, i)^2}.

(Εάν το N δεν διαιρείται με το n, τότε μπορεί κανείς είτε να απορρίψει το υπόλοιπο της ακολουθίας, είτε να επαναλάβει τη διαδικασία στην αντίστροφη ακολουθία, και στη συνέχεια να πάρει τη ρίζα του μέσου τετραγώνου τους.)

Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση log-log \log n - \log F(n).

### Ερμηνεία
Μια ευθεία γραμμή με κλίση \alpha στο γράφημα log-log υποδηλώνει μια στατιστική αυτοσυγγένειατης μορφής F(n) \propto n^{\alpha}. Δεδομένου ότι η F(n) αυξάνεται μονοτονικά με το n, έχουμε πάντα \alpha > 0.

Ο εκθέτης κλιμάκωσης \alpha είναι μια γενίκευση του εκθέτης Χερστ, με την ακριβή τιμή του να δίνει πληροφορίες σχετικά με τις αυτοσυσχετίσεις της σειράς:

* \alpha: αντι-συσχέτιση
* \alpha \simeq 1/2: ασυσχέτιστος, λευκός θόρυβος
* \alpha\simeq 1: 1/f-noise, ροζ θόρυβος
* \alpha>1: μη στάσιμος, απεριόριστος
* \alpha\simeq 3/2: καφέ θόρυβος
Επειδή η αναμενόμενη μετατόπιση σε έναν ασυσχέτιστο τυχαίο περίπατο μήκους N αυξάνεται όπως \sqrt{N}, ένας εκθέτης \tfrac{1}{2} θα αντιστοιχούσε σε ασυσχέτιστο λευκό θόρυβο. Όταν ο εκθέτης είναι μεταξύ 0 και 1, το αποτέλεσμα είναι κλασματικός θόρυβος Γκάους.

### Παγίδες κατά την ερμηνεία
Παρότι ο αλγόριθμος DFA παράγει πάντα έναν θετικό αριθμό \alpha για οποιαδήποτε χρονοσειρά, αυτό δεν συνεπάγεται απαραίτητα ότι η χρονοσειρά είναι αυτοομοιόμορφη. Η αυτοομοιότητα απαιτεί το γράφημα log-log να είναι επαρκώς γραμμικό σε ένα ευρύ φάσμα του n. Επιπλέον, αποδείχθηκε ότι ένας συνδυασμός τεχνικών που περιλαμβάνει την MLE, αντί των ελαχίστων τετραγώνων, προσεγγίζει καλύτερα τον εκθέτη κλιμάκωσης ή τον εκθέτη power-law.

Επιπλέον, υπάρχουν πολλά μεγέθη που μοιάζουν με εκθέτη κλιμάκωσης και μπορούν να μετρηθούν για μια αυτοομοιογενή χρονοσειρά, συμπεριλαμβανομένης της διάστασης του διαιρέτη και του εκθέτη Χερστ. Ως εκ τούτου, ο εκθέτης κλιμάκωσης \alpha δεν είναι μια μορφοκλασματική διάσταση και δεν έχει ορισμένες επιθυμητές ιδιότητες που έχει η διάσταση Χάουσντορφ, αν και σε ορισμένες ειδικές περιπτώσεις σχετίζεται με τη διάσταση καταμέτρησης κουτιών για το γράφημα μιας χρονοσειράς.

## Γενικεύσεις
### Γενίκευση σε πολυωνυμικές τάσεις (DFA υψηλότερης τάξης)
Ο τυπικός αλγόριθμος DFA που παρατίθεται παραπάνω αφαιρεί μια γραμμική τάση σε κάθε τμήμα. Εάν αφαιρέσουμε μια πολυωνυμική τάση βαθμού-n σε κάθε τμήμα, ονομάζεται DFAn ή DFA ανώτερης τάξης.

Δεδομένου ότι το X_t είναι ένα αθροιστικό άθροισμα του x_t-\langle x\rangle , μια γραμμική τάση στο X_t είναι μια σταθερή τάση στο x_t-\langle x\rangle , η οποία είναι μια σταθερή τάση στο x_t  (ορατή ως μικρά τμήματα "επίπεδων οροπεδίων"). Από αυτή την άποψη, το DFA1 αφαιρεί τον μέσο όρο από τα τμήματα της χρονοσειράς x_t  πριν από την ποσοτικοποίηση της διακύμανσης.

Παρομοίως, μια τάση βαθμού n στο X_t είναι μια τάση βαθμού (n-1) στο x_t . Παραδείγματος χάριν, το DFA1 αφαιρεί τις γραμμικές τάσεις από τα τμήματα της χρονοσειράς x_t  πριν από την ποσοτικοποίηση της διακύμανσης, το DFA1 αφαιρεί τις παραβολικές τάσεις από το x_t , και ούτω καθεξής.

Η ανάλυση Χερστ R/S αφαιρεί τις σταθερές τάσεις της αρχικής ακολουθίας και, επομένως, ως προς την αποσύνδεσή της είναι ισοδύναμη με την DFA1.

### Γενίκευση σε διαφορετικές χρονικές στιγμές ("πολυκμορφολασματικό DFA")
Το DFA μπορεί να γενικευτεί υπολογίζοντας

F_q( n ) = \left(\frac{1}{N/n}\sum_{i = 1}^{N/n} F(n, i)^q\right)^{1/q}.

και στη συνέχεια κατασκευάζουμε τη γραφική παράσταση log-log του \log n - \log F_q(n), Αν υπάρχει ισχυρή γραμμικότητα στη γραφική παράσταση του \log n - \log F_q(n), τότε η κλίση αυτή είναι \alpha(q). Η DFA είναι η ειδική περίπτωση όπου q=2.

Τα πολυμορφοκλασματικά συστήματα κλιμακώνονται ως συνάρτηση F_q(n) \propto n^{\alpha(q)}. Στην ουσία, οι εκθέτες κλιμάκωσης δεν χρειάζεται να είναι ανεξάρτητοι από την κλίμακα του συστήματος. Συγκεκριμένα, η DFA μετρά την κλιμάκωση-συμπεριφορά των διακυμάνσεων της δεύτερης στιγμής.

Οι Καντελχάρντ κ.ά. προόριζαν αυτόν τον εκθέτη κλιμάκωσης ως γενίκευση του κλασικού εκθέτη Χερστ. Ο κλασικός εκθέτης Χερστ αντιστοιχεί σε H=\alpha(2) για σταθερές περιπτώσεις και H=\alpha(2)-1 για μη σταθερές περιπτώσεις.

## Εφαρμογές
Η μέθοδος DFA έχει εφαρμοστεί σε πολλά συστήματα, π.χ. ακολουθίες DNA, νευρωνικές ταλαντώσεις, ανίχνευση παθολογίας ομιλίας,  διακύμανση καρδιακών παλμών σε διάφορα στάδια ύπνου, και ανάλυση προτύπων συμπεριφοράς ζώων.

Μελετήθηκε η επίδραση των τάσεων στην DFA.

## Σχέσεις με άλλες μεθόδους, για συγκεκριμένους τύπους σημάτων

### Για σήματα με αυτοσυσχέτιση με νόμο ισχύος
Στην περίπτωση των αυτοσυσχετίσεων με νόμο δύναμης, η συνάρτηση συσχέτισης διασπάται με εκθέτη \gamma:
C(L)\sim L^{-\gamma}\!\ .
Επιπλέον, το φάσμα ισχύος διασπάται ως P(f)\sim f^{-\beta}\!\ .
Οι τρεις εκθέτες σχετίζονται με:
* \gamma=2-2\alpha
* \beta=2\alpha-1 και
* \gamma=1-\beta.
Οι σχέσεις μπορούν να προκύψουν χρησιμοποιώντας το θεώρημα Βίνερ-Κίντσιν. Η σχέση της DFA με τη μέθοδο του φάσματος ισχύος έχει μελετηθεί καλά.

Έτσι, το \alpha συνδέεται με την κλίση του φάσματος ισχύος \beta και χρησιμοποιείται για την περιγραφή του χρώματος του θορύβου μέσω αυτής της σχέσης: \alpha = (\beta+1)/2.

### Για κλασματικό θόρυβο του Γκάους
Για κλασματικό θόρυβο Γκάους (FGN), έχουμε  \beta \in [-1,1] , και επομένως \alpha \in [0,1], και \beta = 2H-1, όπου H είναι ο εκθέτης Χερστ.  Το \alpha για το FGN είναι ίσο με H.

### Για κλασματική κίνηση Μπράουν
Για κλασματική κίνηση Brown (FBM), έχουμε  \beta \in [1,3] , και επομένως \alpha \in [1,2], και \beta = 2H+1, όπου H είναι ο εκθέτης Χερστ.  Το \alpha για FBM είναι ίσο με H+1. Σε αυτό το πλαίσιο, η FBM είναι το αθροιστικό άθροισμα ή το ολοκλήρωμα της FGN, επομένως, οι εκθέτες των
φασμάτων ισχύος διαφέρουν κατά 2.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*  Tutorial on how to calculate detrended fluctuation analysis  in Matlab using the Neurophysiological Biomarker Toolbox.
* FastDFA MATLAB code for rapidly calculating the DFA scaling exponent on very large datasets.
* Physionet A good overview of DFA and C code to calculate it.
* MFDFA Python implementation of (Multifractal) Detrended Fluctuation Analysis.

## Δείτε επίσης
*Αλγόριθμος διαμαντιού τετραγώνου
*Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
*Νιφάδα του Κοχ 
*Καμπύλη Χίλμπερτ
*Καμπύλη του δράκου
*Σπόγγος του Μένγκερ

*Σύνολο Μάντελμπροτ
*Σύνολο Julia
*Σύνολο Κάντορ
*Οικοδομήσιμο Σύμπαν

## Παραπομπές

 
 
Κατηγορία:Φράκταλ