Αριθμός του Πυθαγόρα

Στα μαθηματικά, ο **αριθμός του Πυθαγόρα** ή το μειωμένο ύψος ενός σώματος περιγράφει τη δομή του συνόλου των τετραγώνων του σώματος. Ο αριθμός Πυθαγόρα *p*(*K*) ενός σώματος *K* είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος αριθμός *p*  ώστε κάθε άθροισμα τετραγώνων στο *K* να είναι άθροισμα *p* τετραγώνων.

Ένα **[[Πυθαγόρειο σώμα]]** είναι ένα σώμα με αριθμό του Πυθαγόρα 1: δηλαδή κάθε άθροισμα τετραγώνων είναι ήδη ένα τετράγωνο.

## Ορισμός

Για ένα σώμα F έστω

:\sum F^2 := \left\{ \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \;\Big|\; n\in\mathbb{N}, a_1, \ldots, a_n \in F \text{ and } \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \neq 0 \right\}

είναι το σύνολο των πεπερασμένων αθροισμάτων τετραγώνων που δεν είναι ίσα με το μηδέν.

Με

:\sum^k F^2 := \left\{ \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \;\Big|\; n\leq k , a_1, \ldots, a_n \in F \text{ and } \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \neq 0 \right\}

συμβολίζουμε το σύνολο των αθροισμάτων των τετραγώνων στο F, που έχουν το πολύ μήκος k.
Προφανώς, \textstyle \sum^k F^2 \subseteq \sum F^2 για όλα τα k\in\mathbb N.
Ωστόσο, δεν είναι σαφές αν υπάρχει πάντα ένα k\in\mathbb N υπάρχει, ώστε \textstyle \sum^k F^2 = \sum F^2.
Ονομάζουμε Πυθαγόρειο αριθμό του F την ακόλουθη μεταβλητή:

:p(F) := \min\left\{ k\in \mathbb N \cup \{\infty\} \;\Big|\; \sum^k F^2 = \sum F^2 \right\} 

σύμφωνα με την οποία p(F) = \infty ακριβώς τότε, αν \textstyle \sum^k F^2 \varsubsetneq \sum F^2για όλα τα k\in\mathbb N ισχύει.  Είναι πάντα p(F) \geq 1.

## Πυθαγόρειος αριθμός ορισμένων αριθμητικών σωμάτων

#  Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, για  a_1, \ldots, a_n \in \mathbb R ein b\in\mathbb R, έτσι ώστε a_1^2 + \ldots + a_n^2 = b^2. Αυτό σημαίνει ότι ο Πυθαγόρειος αριθμός των πραγματικών αριθμών p(\mathbb R) = 1. Με άλλα λόγια, μπορούμε να πάρουμε την τετραγωνική ρίζα οποιουδήποτε αθροίσματος τετραγώνων στο \mathbb R μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εξαγωγή της ρίζας. Είναι πιθανό ότι ο Πυθαγόρειος αριθμός πήρε το όνομά του από αυτή τη θεώρηση.
# Ο Πυθαγόρειος αριθμός των μιγαδικών αριθμών p(\mathbb C) = 1.
# Σύμφωνα με το θεώρημα του Όιλερ-Λαγκράνζ, ο Πυθαγόρειος αριθμός των ρητών αριθμών είναι p(\mathbb Q) = 4, d.&nbsp;h. δηλαδή κάθε άθροισμα τετραγώνων ρητών αριθμών μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα τεσσάρων το πολύ τετραγώνων.

## Περαιτέρω παραδείγματα και αποδείξεις

**Θεώρημα:**  Εάν το F είναι ένα μη ρητό σώμα, (δηλαδή -1 \in \sum F^2,) ο Πυθαγόρειος αριθμός του F  μπορεί να εκτιμηθεί από το επίπεδο s(F) του F:

:s(F) \leq p(F) \leq s(F)+1

*Απόδειξη:* Βλ.. θεώρημα  (Πυθαγόρειος αριθμός μη ρητών σωμάτων)  Από Wikibooks στα 

----

Falls F είναι ένα μη ρητό σώμα με θετικά χαρακτηριστικά, ισχύει ένα λήμμα από το βιβλίο Squares του A. R. Rajwade, σύμφωνα με το οποίο για κάθε σώμα F με  \text{char}(F) > 0 ισχύει ότι s(F) \leq 2 (για την απόδειξη βλέπε. Stufe).

Αυτό σημαίνει ότι p(F) \leq 3 ισχύει για όλα τα μη πραγματικά σώματα με θετικά χαρακτηριστικά

-----

Μπορούμε να είμαστε αρκετά ακριβείς στην περίπτωση F = \mathbb F_q  όπου q είναι μια περιττή πρώτη δύναμη. Ισχύουν τα ακόλουθα:

**Θεώρημα ** p(\mathbb F_q) = 2 για όλα τα q = p^n όπου p >2 είναι πρώτος αριθμός και n > 0.

*Απόδειξη:* Βλ Θεώρημα (Πυθαγόρειος αριθμός σωμάτων με χαρακτηριστικό μια πρώτη δύναμη) Από Wikibooks στα 

## Πυθαγόρειος αριθμός για αναπτύγματα ρητών αριθμών

Έστω F/\mathbb Q μια επέκταση ενός πεπερασμένου σώματος πάνω στους ρητούς αριθμούς, δηλ d = \text{trdeg}(F) ο βαθμός υπερβατικότητας της F πάνω στο \mathbb Q.

Χρησιμοποιώντας την εικασία του Μίλνορ (βλ. K-theory: Milnor conjecture), η οποία αποδείχθηκε από τον Βλαντιμίρ Βοϊεβόντσκι, μπορεί να αποδειχθεί ότι p(F) \leq 2^{d+2} ισχύει για όλα τα d.

Επειδή p(\mathbb Q) = 4 η εκτίμηση αυτή είναι ξεκάθαρη για d=0.

Για d=1 έχει αποδειχθεί μέχρι σήμερα p(F) \leq 6 . Πιθανώς, ωστόσο, ισχύει ακόμη και p(F) \leq 5, που θα ήταν τότε μια ισχυρή εκτίμηση λόγω του ότι p(\mathbb Q(t)) = 5 .

Μια λεπτομερής περιγραφή της απόδειξης του p(F) \leq 2^{d+2} μπορεί να βρεθεί στην εργασία *Über die Pythagoraszahl von Funktionenkörpern*, βλέπε παρακάτω.

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* Beweisarchiv: Zahlentheorie: Algebraische Zahlentheorie: Pythagoraszahl nicht-reeller 
* 
* 
* 
*
*
*
*
*
* 
*
* 

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα