Εσωτερικό γινόμενο

Στα μαθηματικά, **εσωτερικό γινόμενο** ή **βαθμωτό γινόμενο** ή **γινόμενο τελείας** ονομάζεται μία συνάρτηση που παίρνει δύο στοιχεία του διανυσματικού χώρου και δίνει ως αποτέλεσμα έναν πραγματικό αριθμό, και ικανοποιεί ορισμένες συνθήκες (δείτε τον αυστηρό ορισμό παρακάτω). 

Όταν σε ένα διανυσματικό χώρο ορίζεται το εσωτερικό γινόμενο, τότε μπορεί να οριστεί και το μέτρο του διανύσματος \vec \alpha  το οποίο είναι
:|\vec\alpha|=\sqrt{\vec\alpha^{2}}, 
όπου το \vec\alpha^{2} είναι το εσωτερικό γινόμενο του \vec \alpha με τον εαυτό του.

## Ορισμός για το Ευκλείδειο επίπεδο
Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα \vec \alpha, \vec \beta  του Ευκλείδειου επιπέδου. Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των  \vec \alpha \cdot \vec \beta  τον πραγματικό αριθμό :

: \vec \alpha \cdot \vec \beta = |\vec \alpha||\vec \beta|\cos \varphi ,

όπου \varphi η γωνία μεταξύ \vec \alpha, \vec \beta  και αν \vec\alpha\ne \vec 0 και \vec\beta \ne \vec 0.

Αν  \vec\alpha=\vec 0 ή \vec\beta = \vec0, τότε  \vec \alpha \cdot \vec \beta =0.

Παρατηρήσεις: 
# \vec\alpha \upuparrows \vec\beta αν και μόνο αν  \vec \alpha \cdot \vec \beta=|\vec\alpha||\vec\beta|
#  \vec\alpha \uparrow\downarrow \vec\beta αν και μόνο αν  \vec \alpha \cdot \vec \beta=-|\vec\alpha||\vec\beta|
# \vec \alpha \bot \vec \beta αν και μόνο αν  \vec \alpha \cdot \vec \beta =0

### Ιδιότητες

Αν \vec{\alpha} = (\alpha_x, \alpha_y) και \vec{\beta} = (\beta_x, \beta_y), τότε 
:\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = \alpha_x \beta_x + \alpha_y \beta_y.

## Ορισμός για Ευκλείδειο χώρο

Στον n διαστάσεων Ευκλείδειο χώρο \R^n, το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων \vec{\alpha} = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n) και \vec{\beta} = (\beta_1, \ldots, \beta_n), δίνεται από τον τύπο 
:\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = \alpha_1 \cdot \beta_1 + \alpha_2 \cdot \beta_2 + \ldots + \alpha_n \cdot \beta_n.

### Ιδιότητες

* (**[[Αντιμεταθετική ιδιότητα]]**) Για κάθε διανύσματα \vec{\alpha}, \vec{\beta} \in \R^n, ισχύει ότι
::\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = \vec{\beta} \cdot \vec{\alpha}.

* (**[[Επιμεριστική ιδιότητα]]**) Για κάθε \vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma} \in V, ισχύει ότι 
::\vec{\alpha} \cdot (\vec{\beta} + \vec{\gamma} ) = \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}  + \vec{\alpha} \cdot \vec{\gamma}.

* Για κάθε \vec{\alpha}, \vec{\beta} \in V και \lambda \in \R,
::\vec{\alpha} \cdot (\lambda \vec{\beta}) = \lambda \cdot (\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}).

* Για κάθε \vec{\alpha} \in V,
::\vec{\alpha} \cdot \vec{\alpha} \geq 0.

* \vec{\alpha} \cdot \vec{\alpha} = 0 αν και μόνο αν \vec{\alpha} = \vec{0}.

## Ορισμός για γενικό διανυσματικό χώρο

Σε έναν διανυσματικό χώρο V, η συνάρτηση \langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \to \R είναι εσωτερικός πολλαπλασιασμός αν ικανοποιεί τις εξής ιδιότητες
# \langle \vec{\alpha}, \vec{\beta} \rangle = \langle \vec{\beta}, \vec{\alpha} \rangle για κάθε \vec{\alpha}, \vec{\beta} \in V.
# \langle \vec{\alpha}, \vec{\beta} + \vec{\gamma} \rangle = \langle \vec{\alpha}, \vec{\beta} \rangle + \langle \vec{\alpha}, \vec{\gamma} \rangle για κάθε \vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma} \in V.
# \langle \vec{\alpha}, \lambda \vec{\beta} \rangle = \lambda \langle \vec{\alpha}, \vec{\beta} \rangle για κάθε \vec{\alpha}, \vec{\beta} \in V και \lambda \in \R.
# \langle \vec{\alpha}, \vec{\alpha} \rangle \geq 0 για κάθε \vec{\alpha} \in V.
# \langle \vec{\alpha}, \vec{\alpha} \rangle = 0 αν και μόνο αν \vec{\alpha} = \vec{0}.

## Περαιτέρω ανάγνωση

### Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*  - Εσωτερικό γινόμενο, μάθημα μαθηματικών στο MIT (καθηγητής Denis Auroux).
* Διαδραστική εφαρμογή για το εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων
* Διαδραστική εφαρμογή για το εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων
* Διανυσματικοί χώροι και χώροι με εσωτερικό γινόμενο

### Ελληνικά άρθρα
* 
* 
* 

### Ξενόγλωσσα άρθρα
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία
Κατηγορία:Τανυστές
Κατηγορία:Διανυσματικός λογισμός