Φακός (γεωμετρία)

Στη δισδιάστατη γεωμετρία, ένας **φακός** είναι μια κυρτή περιοχή που οριοθετείται από δύο κυκλικά τόξα που ενώνονται μεταξύ τους στα άκρα τους. Για να είναι αυτό το σχήμα κυρτό, και τα δύο τόξα πρέπει να κάμπτονται προς τα έξω (κυρτό-κυρτό). Το σχήμα αυτό μπορεί να σχηματιστεί ως τομή δύο κυκλικών δίσκων. Μπορεί επίσης να σχηματιστεί ως ένωση δύο κυκλικών τμημάτων (περιοχές μεταξύ της χορδής ενός κύκλου και του ίδιου του κύκλου), που ενώνονται κατά μήκος μιας κοινής χορδής.

## Τύποι

Εάν τα δύο τόξα ενός φακού έχουν ίση ακτίνα, ονομάζεται **συμμετρικός φακός**, διαφορετικά **ασύμμετρος φακός**.

Η vesica piscis (Κύστη Ιχθύος) είναι μια μορφή συμμετρικού φακού, που σχηματίζεται από τόξα δύο κύκλων των οποίων τα κέντρα βρίσκονται το καθένα στο αντίθετο τόξο. Τα τόξα συναντώνται σε γωνίες 120° στα άκρα τους.

## Εμβαδόν
;Συμμετρικός
Το εμβαδόν ενός συμμετρικού φακού μπορεί να εκφραστεί ως προς την ακτίνα *R* και τα μήκη τόξου *&theta;* σε ακτίνια:

:A =  R^2\left(\theta - \sin \theta \right).

;Ασύμμετρος
Το εμβαδόν ενός ασύμμετρου φακού που σχηματίζεται από κύκλους ακτίνων *R* και *r* με απόσταση *d* μεταξύ των κέντρων τους είναι 

:A=r^2 \cos^{-1} \left(\frac{d^2+r^2-R^2}{2dr}\right) +R^2\cos^{-1}\left( \frac{d^2+R^2-r^2}{2dR}\right) -2\Delta

όπου

:\Delta = \frac{1}{4} \sqrt{(-d+r+R)(d-r+R)(d+r-R)(d+r+R)}

είναι το εμβαδόν ενός τριγώνου με πλευρές *d*, *r*, και *R*.

Οι δύο κύκλοι επικαλύπτονται αν d.. Για αρκετά μεγάλο d, η συντεταγμένη x του κέντρου του φακού βρίσκεται μεταξύ των συντεταγμένων των κέντρων των δύο κύκλων:

Για μικρά d η συντεταγμένη x του κέντρου του φακού βρίσκεται έξω από την ευθεία που συνδέει τα κέντρα των κύκλων:

Εξαλείφοντας το *y* από τις εξισώσεις του κύκλου x^2+y^2=r^2 και (x-d)^2+y^2=R^2 η απόκλιση των διασταυρούμενων άκρων είναι

:x=(d^2+r^2-R^2)/(2d).

Το πρόσημο του *x*, δηλαδή το ότι το d^2 είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από το R^2-r^2, διακρίνει τις δύο περιπτώσεις που φαίνονται στις εικόνες.

Η διατεταγμένη της τομής είναι

:y=\sqrt{r^2-x^2} = \frac{\sqrt{[(R-d)^2-r^2][r^2-(R+d)^2]}}{2d}.

Οι αρνητικές τιμές κάτω από την τετραγωνική ρίζα υποδηλώνουν ότι τα άκρα των δύο κύκλων δεν εφάπτονται
επειδή οι κύκλοι απέχουν πολύ μεταξύ τους ή επειδή ο ένας κύκλος βρίσκεται εξ ολοκλήρου μέσα στον άλλο.

Η τιμή κάτω από την τετραγωνική ρίζα είναι ένα δικυκλικό πολυώνυμο του *d*. Οι τέσσερις ρίζες αυτού του πολυωνύμου συνδέονται με το *y=0* και με τις τέσσερις τιμές του *d* όπου οι δύο κύκλοι έχουν μόνο ένα κοινό σημείο.

Οι γωνίες στο μπλε τρίγωνο με πλευρές *d*, *r* και *R* είναι

: \sin a_r  = y/r;\quad \sin a_R = y/R

όπου *y* είναι η διατεταγμένη της τομής. Ο κλάδος της τοξοειδούς με a_r>\pi/2 πρέπει να λαμβάνεται αν d^2.

Το εμβαδόν του τριγώνου είναι \Delta = \frac12 yd.

Το εμβαδόν του ασύμμετρου φακού είναι A=a_r r^2+a_R R^2-yd όπου οι δύο γωνίες μετρώνται σε ακτίνια. [Πρόκειται για μια εφαρμογή της αρχής του εγκλεισμού-αποκλεισμού: οι δύο κυκλικοί τομείς με κέντρο το (0,0) και το (d,0) και κεντρικές γωνίες 2a_r και 2a_R έχουν εμβαδά 2a_r r^2 και 2a_R R^2. Η ένωσή τους καλύπτει το τρίγωνο, το ανεστραμμένο τρίγωνο με γωνία στο (x,-y) και το διπλάσιο της περιοχής του φακού].

## Εφαρμογές

Ένας φακός με διαφορετικό σχήμα αποτελεί την απάντηση στο πρόβλημα της Κυρίας Μίνιβερ, για την εύρεση ενός φακού με το μισό εμβαδόν της ένωσης των δύο κύκλων.

Οι φακοί χρησιμοποιούνται για τον ορισμό β-σκελετών, γεωμετρικών γραφημάτων που ορίζονται σε ένα σύνολο σημείων συνδέοντας ζεύγη σημείων με μια ακμή κάθε φορά που ένας φακός που καθορίζεται από τα δύο σημεία είναι κενός.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Τριγωνομετρική συνάρτηση
* Διδιάστατος χώρος
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Υπερβολική γεωμετρία
* Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Μιγαδικός αριθμός
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
* 
* 
* 
*
*
*
* .
* 
* . Review: Séquin, Carlo H. (2009), *Journal of Mathematics and the Arts* 3: 229–230, 
* 
*Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία
Κατηγορία:Θεωρήματα στην ανάλυση
Κατηγορία:Εμβαδόν
Κατηγορία:Επιφάνειες
Κατηγορία:Γεωμετρικά σχήματα
Κατηγορία:Γεωμετρία
Κατηγορία:Υπερβολική γεωμετρία