Ισοσκελές τρίγωνο

= \hat{\mathrm{\Gamma}}.
 | image2 = Isosceles triangle with axis of symmetry.svg
 | caption2 = Η διάμεσος, το ύψος και η διχοτόμος της \rm A ταυτίζονται.
}}
Στην γεωμετρία, ένα **ισοσκελές τρίγωνο** είναι ένα τρίγωνο του οποίου δύο πλευρές (και δύο γωνίες) είναι ίσες μεταξύ τους.

Για παράδειγμα, στο σχήμα το τρίγωνο \mathrm{AB\Gamma} έχει τις πλευρές \mathrm{AB} = \mathrm{A\Gamma}, τις γωνίες \hat{\mathrm{B}} = \hat{\mathrm{\Gamma}} και επομένως είναι ισοσκελές. Χαρακτηριστική ιδιότητα των ισοσκελών τριγώνων είναι ότι η διάμεσος, το ύψος και η διχοτόμος της κορυφής \mathrm{A} ταυτίζονται. 

Ειδική περίπτωση ισοσκελούς τριγώνου είναι το ισόπλευρο τρίγωνο που έχει όλες τις πλευρές ίσες και όλες τις γωνίες ίσες.

## Ιδιότητες
Στα ισοσκελή τρίγωνα ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
* Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν οι προσκείμενες στη βάση γωνίες του είναι ίσες.
. Τα τρίγωνα \mathrm{AB\Delta} και \mathrm{A\Gamma\Delta} έχουν  \mathrm{AB} = \mathrm{A\Gamma}, την πλευρά \mathrm{A\Delta} κοινή και τις γωνίες \widehat{\mathrm{BA\Delta}} και \widehat{\mathrm{\Gamma A\Delta}} ίσες. Σύμφωνα με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς, τα δύο τρίγωνα είναι ίσα και επομένως θα είναι \hat{\mathrm{B}} = \hat{\mathrm{\Gamma}} (ισότητα γωνιών).

(\Leftarrow) Έστω το τρίγωνο \mathrm{AB\Gamma} με \hat{\mathrm{B}} = \hat{\mathrm{\Gamma}} και \mathrm{AH} το ύψος  του τριγώνου από την κορυφή \mathrm{A}. Τα ορθογώνια τρίγωνα \mathrm{AHB} και \mathrm{AH\Gamma} έχουν δύο οξείες γωνίες ίσες και μία αντίστοιχη πλευρά κοινή (την \rm AH). Σύμφωνα με το κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων, τα τρίγωνα είναι ίσα και επομένως είναι \mathrm{AB} = \mathrm{A\Gamma}, δηλαδή το τρίγωνο \mathrm{AB\Gamma} είναι ισοσκελές.
}}
* Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο \rm AB\Gamma με \rm AB = A\Gamma η διάμεσος, η διχοτόμος και το ύψος που αντιστοιχούν στην κορυφή \rm A ταυτίζονται.
 = \hat{\mathrm{\Gamma}}. Έστω \mathrm{AH} το ύψος του τριγώνου από την κορυφή \mathrm{A}. Θα αποδείξουμε ότι είναι επίσης διάμεσος και διχοτόμος του. 

Τα ορθογώνια τρίγωνα \mathrm{AHB} και \mathrm{AH\Gamma} έχουν 
* δύο οξείες γωνίες ίσες (τις \hat{\mathrm{B}} = \hat{\mathrm{\Gamma}}) και 
* μία αντίστοιχη πλευρά κοινή (την \rm AH). 
Σύμφωνα με το κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων, τα τρίγωνα είναι ίσα και επομένως είναι 
* \mathrm{AH} = \mathrm{HB}, δηλαδή \rm AH διάμεσος, και 
* \widehat{\rm BAH} = \widehat{\rm HA\Gamma}, δηλαδή \rm AH διχοτόμος.
}}
* Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι οξείες.
 = \hat{\mathrm{\Gamma}}. Το άθροισμα των γωνιών είναι 180^\circ επομένως, 
:\widehat{\rm A} + \widehat{\rm B} + \widehat{\rm \Gamma} = \widehat{\rm A} + 2 \cdot \widehat{\rm B} = 180^\circ. 
Επίσης κάθε γωνία είναι μη-μηδενική, επομένως 
:0 , 
δηλαδή 
:2 \cdot \widehat{\rm B} 
:\widehat{\rm B} .
Επομένως, οι \widehat{\rm B} και \widehat{\rm \Gamma} είναι οξείες.
}}
* Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν μία διχοτόμος του είναι και ύψος.
 είναι και ύψος του τριγώνου. Τα ορθογώνια τρίγωνα \mathrm{AB \Delta} και \mathrm{A \Gamma \Delta} έχουν:
* μία κάθετη πλευρά κοινή (την \mathrm{A\Delta}), 
* δύο οξείες γωνίες ίσες (τις \widehat{\rm BA\Delta} = \widehat{\rm \Gamma A\Delta}0. 
Συνεπώς είναι ίσα έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία ίσα. Άρα είναι  \mathrm{AB} = \mathrm{A\Gamma}. Δηλαδή το τρίγωνο \mathrm{AB\Gamma} είναι ισοσκελές. \square

}}
* Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν  μία διχοτόμος του είναι και διάμεσος.
 είναι και διάμεσος του τριγώνου. Από το μέσο \mathrm{\Delta} της πλευράς \mathrm{B\Gamma} φέρνουμε τις κάθετες \mathrm{\Delta E} και \mathrm{\Delta Z} προς τις πλευρές \mathrm{AB} και \mathrm{A\Gamma} αντίστοιχα. Τα ορθογώνια τρίγωνα \mathrm{B\Delta E} και \mathrm{\Gamma \Delta Z} έχουν 
* τις υποτείνουσές τους ίσες (\mathrm{B \Delta} = \mathrm{\Delta \Gamma}), διότι το σημείο  \mathrm{\Delta} είναι μέσο της \mathrm{B \Gamma}, και 
* δύο κάθετες πλευρές ίσες (\mathrm{\Delta E} = \mathrm{\Delta Z}),  διότι το σημείο \mathrm{\Delta} είναι σημείο της διχοτόμου της γωνίας \widehat{\rm A} άρα ισαπέχει από τις πλευρές της. 
Συνεπώς τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα και έχουν \widehat{\rm A}=\widehat{\rm B}. Δηλαδή το τρίγωνο \mathrm{AB\Gamma} είναι ισοσκελές. \square
}}
* Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν μία διάμεσός του είναι και ύψος.

* Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν δύο ύψη του είναι ίσα.

* Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν δύο διάμεσοι είναι ίσες.

* Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν μία εξωτερική διχοτόμος μίας γωνίας του είναι παράλληλη προς την απέναντι πλευρά.
=\frac{\widehat{2}=\varphi .

Οι {\rm {A} }\delta και \rm B\Gamma τεμνόμενες από την \rm A\Gamma σχηματίζουν τις εντός και εναλλάξ γωνίες ίσες, άρα είναι παράλληλες. 

(\Leftarrow) Θεωρούμε το τρίγωνο \rm AB\Gamma και την διχοτόμο {\rm {A} }\delta της εξωτερικής γωνίας \rm \widehat{A} του τριγώνου η οποία είναι παράλληλη προς την πλευρά \rm B\Gamma του τριγώνου. 

Θα αποδείξουμε ότι το τρίγωνο \rm AB\Gamma είναι ισοσκελές.

Από τις (), () και () προκύπτει ότι είναι  \widehat{\rm  B\Gamma A}=\widehat
*Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο \mathrm{AB\Gamma} η ευθεία Όιλερ του τριγώνου, ταυτίζεται με την ευθεία του ύψους \mathrm{A \Delta} προς την βάση \mathrm{B \Gamma} και εκτός του περίκεντρου, ορθόκεντρου και βαρυκέντρου περιλαμβάνει και το έγκεντρο του τριγώνου.

* (**[[Θεώρημα Steiner–Lehmus]]**) Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές ανν δύο διχοτόμοι είναι ίσες.

## Μετρικές σχέσεις
Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο \rm AB\Gamma με  \mathrm{AB} = \mathrm{A\Gamma}=\mathrm{\beta} και \mathrm{B\Gamma} = \mathrm{\alpha}, ισχύουν οι εξής μετρικές σχέσεις:
* Το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή \mathrm{A} δίνεται από 
::\upsilon_\alpha = \sqrt{\beta^2 - \left(\tfrac{\alpha}{2}\right)^2},

* Το εμβαδόν του τριγώνου δίνεται από τον τύπο
::\mathrm{E} = \tfrac{\alpha}{2} \cdot \upsilon_\alpha = \tfrac{\alpha}{2} \cdot \sqrt{\beta^2 - \left(\tfrac{\alpha}{2}\right)^2} και \mathrm{E} = \tfrac{1}{2} \cdot \alpha^2 \cdot \sin \varphi,
:όπου \varphi η γωνία προσκείμενη στη βάση \alpha.
* Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου δίνεται από τον τύπο
::R = \frac{\beta^2}{2 \sqrt{\beta^2 - \left(\tfrac{\alpha}{2}\right)^2}}.
}.

Έστω \rm AH το ύψος του τριγώνου. Από το ορθογώνιο τρίγωνο \rm AHB, έχουμε ότι 
:
  \sin \hat{\mathrm{B}} = \frac{\sqrt{\beta^2 - \left(\tfrac{\alpha}{2}\right)^2}}{2\beta}.

Συνδυάζοντας τις παραπάνω δύο σχέσεις λαμβάνουμε το ζητούμενο.
}}

* Η πλευρά του εγγεγραμμένου τετραγώνου με μία πλευρά πάνω στην βάση του τριγώνου είναι 
::S = \frac{\alpha \cdot\upsilon_\alpha}{\alpha + \upsilon_\alpha}.

. Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα \mathrm{AKZ} και \mathrm{A \Lambda \Gamma} έχουμε:
:\frac{\rm AK}{\rm A \Lambda}=\frac{\rm KZ}{\rm\Lambda \Gamma}, δηλαδή \frac{\upsilon_\alpha-S}{\upsilon_\alpha}=\frac{S/2}{\alpha/2} 
και με χιαστή γινόμενα παίρνουμε
:\alpha \cdot\upsilon_\alpha -\alpha \cdot S=S \cdot\upsilon_\alpha 
: 
}}

right|125px|thumb|Το θεώρημα Βιβιάνι για ισοσκελή τρίγωνα λέει ότι <math>d_1 + d_2 = \upsilon</math>.
* (**[[Θεώρημα_Βιβιάνι#Για_ισοσκελές_τρίγωνο|Θεώρημα Βιβιάνι για ισοσκελή τρίγωνα]]**) Έστω ένα ισοσκελές τρίγωνο \mathrm{AB\Gamma} με \mathrm{AB} = \mathrm{A\Gamma} και ένα σημείο \mathrm{P} της \mathrm{B\Gamma}. Αν d_1 και d_2 είναι οι αποστάσεις του \mathrm{P} από τις \mathrm{AB} και \mathrm{A\Gamma}, και \upsilon το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή \mathrm{A}, τότε
:d_1 + d_2 = \upsilon.

## Ειδικά ισοσκελή τρίγωνα

thumb|right|150px|Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο <math>\mathrm{AB\Gamma}</math>.
### Ορθογώνιο και ισοσκελές
Το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο έχει τις εξής ιδιότητες:
* Οι προσκείμενες στην υποτείνουσα γωνίες είναι 45°.
* Αν x το μήκος των δύο κάθετων πλευρών τότε η  υποτείνουσα έχει μήκος x \sqrt{2} .
* Το εμβαδόν του είναι \mathrm{E}=\tfrac{1}{2} x^2.
* Προκύπτει ως το μισό ενός τετραγώνου (το \mathrm{AB\Delta\Gamma} στο σχήμα).

### Ισόπλευρο τρίγωνο
thumb|right|150px|Ισόπλευρο τρίγωνο <math>\mathrm{AB\Gamma}</math>.
Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει τις εξής ιδιότητες:
* Όλες οι πλευρές του είναι ίσες.
* Όλες οι γωνίες είναι 60^\circ. 
* Το εμβαδόν του τριγώνου είναι \mathrm{E}=\tfrac{x \sqrt{3}}{4}, όπου x το μήκος των πλευρών.

### Τρίγωνο με γωνίες 30-30-120
thumb|right|300px|Ισοσκελές τρίγωνο <math>\mathrm{AB\Gamma}</math> με γωνία <math>\hat{\mathrm{A}} = 120^\circ</math> και <math>\hat{\mathrm{B}} = \hat{\mathrm{\Gamma}} = 30^\circ</math>.
To ισοσκελές τρίγωνο \mathrm{AB\Gamma} με γωνίες \hat{\mathrm{A}} = 120^\circ και \hat{\mathrm{B}} = \hat{\mathrm{\Gamma}} = 30^\circ έχει ενδιαφέρουσες ιδιότητες αρκετές από τις οποίες προκύπτουν από το γεγονός ότι μπορεί να χωριστεί σε τρία τρίγωνα εκ των οποίων το ένα είναι ισόπλευρο και τα άλλα δύο είναι ισοσκελή και όμοια με το αρχικό. 

### Χρυσό τρίγωνο
 = 36^\circ και \hat{\mathrm{B}} = \hat{\mathrm{\Gamma}} = 72^\circ.
 | image2 = Triangle_72_72_36_with_decomposition.svg
 | caption2 = Η ιδιότητα του τριγώνου να υποδιαιρείται σε δύο ισοσκελή τρίγωνα.
}}
Το χρυσό τρίγωνο είναι το ισοσκελές τρίγωνο με πλευρές \varphi, \varphi^2 και \varphi^2, όπου \varphi η χρυσή τομή. Το τρίγωνο αυτό είναι το ένα δέκατο ενός δεκαγώνου. Έχει διάφορες ιδιότητες, όπως το ότι μπορεί να διαιρεθεί σε δύο ισοσκελή τρίγωνα όπως φαίνεται στο δεύτερο σχήμα.

### Τρίγωνο με γωνίες 80-80-20
 = \hat{\mathrm{\Gamma}} = 80^\circ.
 | image2 = Triangle_80_80_20_with_decomposition.svg
 | caption2 = Η ιδιότητα του τριγώνου να υποδιαιρείται σε τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα.
}}

Το ισοσκελές τρίγωνο \mathrm{AB\Gamma} με γωνίες \hat{\mathrm{A}} = 20^\circ και \hat{\mathrm{B}} = \hat{\mathrm{\Gamma}} = 80^\circ έχει αρκετές ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Μία από αυτές είναι η ιδιότητα ότι υποδιαιρείται σε τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα με πλευρά ίση με την βάση του. 

Ισοσκελή τρίγωνα τα οποία μπορούν να διαιρεθούν σε περαιτέρω ισοσκελή τρίγωνα έχουν μελετηθεί γενικότερα στην βιβλιογραφία.

## Περαιτέρω θέματα

thumb|125px|right|Χορδή <math>\mathrm{AB}</math> του κύκλου με κέντρο το <math>\mathrm{O}</math>.
### Χορδή κύκλου
Οι μετρικές σχέσεις μίας χορδής \mathrm{AB} (για παράδειγμα η απόστασή της από το κέντρο του κύκλου) προκύπτουν θεωρώντας το ισοσκελές τρίγωνο \mathrm{OAB}, όπου \mathrm{OA} = \mathrm{OB} ως ακτίνες του κύκλου.

### Διαίρεση τριγώνου σε ισοσκελή τρίγωνα
thumb|125px|right|Διαίρεση οξυγώνιου τριγώνου σε ισοσκελή τρίγωνα.
Ένα οξυγώνιο τρίγωνο \mathrm{AB\Gamma} μπορεί να χωριστεί σε τρία ισοσκελή τρίγωνα, χρησιμοποιώντας το κέντρο \mathrm{O} του περιγεγραμμένου του κύκλου.

### Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και ρόμβος

Οι διαγώνιοι ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι ίσες και διχοτομούνται, επομένως δημιουργούν τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα, τα \mathrm{ABO}, \mathrm{B\Gamma O}, \mathrm{\Gamma\Delta O} και \mathrm{\Delta AO}.

Αντίστοιχα, σε έναν ρόμβο κάθε μία από τις διαγώνιους του τον χωρίζει σε δύο ίσα ισοσκελή τρίγωνα.

### Πλακοστρώσεις

Ορισμένα ισοσκελή τρίγωνα χρησιμοποιούνται για να πλακοστρώσουν το επίπεδο, όπως η πλακόστρωση tetrakis που χρησιμοποιεί ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα ή η πλακόστρωση triakis που χρησιμοποιεί τα ισοσκελή τρίγωνα με γωνίες 30-30-120. 

## Εφαρμογές

### Γραφιστική
Οι σημαίες κάποιων χωρών, καθώς και τα σήματα διαφόρων εταιρειών και οργανισμών έχουν ισοσκελή τρίγωνα για αισθητικούς λόγους.

### Αρχιτεκτονική/Μηχανική

Στην αρχιτεκτονική και την μηχανική το ισοσκελές τρίγωνο χρησιμοποιείται σε αρκετές κατασκευές. Για παράδειγμα, το σχήμα των στεγών, στις διατάξεις των δοκών στις γέφυρες και σε τμήματα εκκλησιών.

## Δείτε επίσης
* Θεώρημα της γέφυρας των γαϊδουριών
* Ισόπλευρο τρίγωνο
* Ισοσκελές τραπέζιο

## Περαιτέρω ανάγνωση
### Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* Διαδραστική εφαρμογή για την κατασκευή ενός ισοσκελούς τριγώνου με δοσμένες πλευρές στο Φωτόδεντρο.
* Διαδραστική εφαρμογή για το ύψος, την διάμεσο και την διχοτόμο ενός ισοσκελούς τριγώνου στο Φωτόδεντρο.
* Διαδραστική εφαρμογή για το ισοσκελές τρίγωνο στο Geogebra.

### Ελληνικά άρθρα
* 

## Σημειώσεις

## Παραπομπές


Ισοσκελες