Θεώρημα διχοτόμου

right|thumb|200px|Η εσωτερική διχοτόμος <math>\rm A\Delta</math> της γωνίας <math>\rm A</math> στο τρίγωνο <math>\rm AB\Gamma</math> χωρίζει την <math>\rm B\Gamma</math> με λόγο <math>\tfrac{\rm B\Delta}{\rm \Gamma\Delta} = \tfrac{\rm AB}{\rm A\Gamma}</math>.
Στην γεωμετρία, το **θεώρημα διχοτόμου** (ή αλλιώς **θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου** ή **πρώτο θεώρημα διχοτόμου**) λέει ότι σε ένα τρίγωνο η διχοτόμος μίας γωνίας του χωρίζει την απέναντι πλευρά σε δύο τμήματα με λόγο ανάλογο των δύο άλλων πλευρών. 

Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο \rm AB\Gamma αν \rm A\Delta διχοτόμος, τότε 
:
  \frac{\rm B\Delta}{\rm \Gamma\Delta} = \frac{\rm AB}{\rm A\Gamma}. 


left|thumb|Η εξωτερική διχοτόμος <math>\mathrm{A\Delta'}</math> της κορυφής <math>\mathrm{A}</math> στο τρίγωνο <math>\mathrm{AB\Gamma}</math>, ικανοποιεί <math>\tfrac{\mathrm{B\Delta'}}{\mathrm{\Gamma\Delta'}} = \tfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A\Gamma}}</math>.

Το **δεύτερο θεώρημα διχοτόμου** (ή **θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου**) λέει ότι σε ένα τρίγωνο \mathrm{AB\Gamma} με \rm AB \neq \rm A\Gamma αν \rm A\Delta' η εξωτερική διχοτόμος, τότε 
:
    \frac{\rm B\Delta'}{\rm \Gamma\Delta'} = \frac{\rm AB}{\rm A\Gamma}.


## Αποδείξεις
{\mathrm{\Gamma\Delta}} = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A\Gamma}}. 

Από το σημείο \rm{B} φέρνουμε παράλληλη προς την \mathrm{A\Delta} η οποία τέμνει την προέκταση της \mathrm{A\Gamma} στο σημείο έστω \rm E. 
{\mathrm{\Gamma\Delta}} = \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{A\Gamma}}.|}}

Από τις (), () και () προκύπτει ότι \widehat{\rm ABE}=\widehat{\rm BE\Gamma} συνεπώς το τρίγωνο \mathrm{ABE} είναι ισοσκελές δηλαδή είναι \rm{AB=AE}.
Τότε, η () γράφεται 
{\mathrm{\Gamma\Delta}} = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A\Gamma}}.}}
}}
{2} = \frac{1}{2} \cdot {\rm B\Delta} \cdot {\rm AH}
,
και 
:
  {\rm E}_{\rm A\Delta \Gamma} = \frac{1}{2} \cdot {\rm A\Delta} \cdot {\rm A\Gamma} \cdot \sin \tfrac{\hat{\rm A}}{2} = \frac{1}{2} \cdot {\rm \Gamma\Delta} \cdot {\rm AH}
.
Διαιρώντας κατά μέλη αυτές τις δύο ισότητες λαμβάνουμε την ζητούμενη σχέση:

}}
## Πορίσματα

Το θεώρημα της διχοτόμου χρησιμοποιείται στις αποδείξεις πολλών άλλων θεωρημάτων και μετρικών σχέσεων στην γεωμετρία. Παρακάτω παραθέτουμε μερικές από αυτές.

### Διχοτόμοι τριγώνου συντρέχουν

Σε ένα τρίγωνο \rm AB\Gamma οι διχοτόμοι \rm A\Delta_A, \rm B\Delta_B και \rm \Gamma\Delta_{\Gamma} διέρχονται από το ίδιο σημείο (το ονομαζόμενο έγκεντρο του τριγώνου). 

    \cdot \frac{\mathrm{\Gamma\Delta_B}}{\mathrm{A\Delta_B}}
    \cdot \frac{\mathrm{A\Delta_\Gamma}}{\mathrm{B\Delta_\Gamma}}
  =
  \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A\Gamma}}
    \cdot \frac{\mathrm{B\Gamma}}{\mathrm{AB}}
    \cdot \frac{\mathrm{A\Gamma}}{\mathrm{B\Gamma}}
  = 1
.}}
}}
### Υπολογισμός ΒΔ και ΓΔ
 Έστω \alpha = \mathrm{B\Gamma}, \beta = \mathrm{\Gamma A} και \gamma = \mathrm{AB}, τότε 
:\mathrm{B\Delta} =  \frac{\alpha \gamma}{\beta + \gamma} και \mathrm{\Gamma\Delta} = \frac{\alpha \beta}{\beta + \gamma}.

### Συντεταγμένες για το έγκεντρο
Σε ένα τρίγωνο \rm AB\Gamma το διάνυσμα του έγκεντρου δίνεται από 
:
\vec{\mathrm{I}} = \frac{1}{\alpha + \beta + \gamma} \cdot \left( \alpha \cdot \vec{\mathrm{A}} + \beta \cdot \vec{\mathrm{B}} + \gamma \cdot \vec{\mathrm{\Gamma}}\right)
,
όπου \vec{\rm A}, \vec{\rm B}, \vec{\rm \Gamma} τα διανύσματα των τριών κορυφών του τριγώνου. 

 + (1 - t) \cdot \frac{1}{\beta + \gamma} \cdot \left( \beta \cdot \vec{\rm B}+ \gamma \cdot \vec{\Gamma} \right) : t \in [0, 1] \right\}. 
Αντίστοιχα, και για τις άλλες διχοτόμους 
:\delta_{\rm B} = \left\{ t \cdot \vec{\rm B} + (1 - t) \cdot \frac{1}{\gamma + \alpha} \cdot \left( \gamma \cdot \vec{\rm \Gamma}+ \alpha \cdot \vec{\rm A} \right) : t \in [0, 1] \right\},
:\delta_{\rm \Gamma} = \left\{ t \cdot \vec{\rm \Gamma} + (1 - t) \cdot \frac{1}{\alpha + \beta} \cdot \left( \alpha \cdot \vec{\rm A}+ \beta \cdot \vec{\rm B} \right) : t \in [0, 1] \right\}.
Το μοναδικό σημείο που ικανοποιεί και τις τρεις εξισώσεις (για t_{\rm A} = \frac{\alpha}{\alpha + \beta + \gamma}, t_{\rm B} = \frac{\beta}{\alpha + \beta + \gamma} και t_{\rm \Gamma} = \frac{\gamma}{\alpha + \beta + \gamma} αντίστοιχα) είναι το σημείο
:
\vec{\mathrm{I}} = \frac{1}{\alpha + \beta + \gamma} \cdot \left( \alpha \cdot \vec{\mathrm{A}} + \beta \cdot \vec{\mathrm{B}} + \gamma \cdot \vec{\mathrm{\Gamma}}\right)
.

}}

## Θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου

### Απόδειξη

Η απόδειξη είναι παρόμοια με αυτή της εσωτερικής διχοτόμου που χρησιμοποιεί το θεώρημα τομής του Θαλή, αλλά το σχήμα είναι διαφορετικό. Για πληρότητα, παραθέτουμε την απόδειξη παρακάτω:

{\mathrm{\Gamma\Delta'}} = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A\Gamma}}. 

Από το σημείο \rm{B} φέρνουμε παράλληλη προς την \mathrm{A\Delta'} η οποία τέμνει την  \mathrm{A\Gamma} στο σημείο έστω \rm E.
{\mathrm{\Gamma\Delta'}} = \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{A\Gamma}}.|}}
 = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A\Gamma}}.}}
}}
### Υπολογισμός των ΒΔ' και ΓΔ'
Έστω \alpha = \mathrm{B\Gamma}, \beta = \mathrm{\Gamma A} και \gamma = \mathrm{AB}, τότε 
:\mathrm{B\Delta'} = \frac{\alpha\gamma}{\beta - \gamma} και \mathrm{\Gamma\Delta'} = \frac{\alpha\beta}{\beta - \gamma}.

## Απολλώνιος κύκλος

Το θεώρημα της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου χρησιμοποιούνται για την απόδειξη ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων \rm P των οποίων οι αποστάσεις από δοσμένα σημεία \rm A και \rm B, έχουν σταθερό λόγο k \neq 1 (δηλαδή  k = \frac{\rm PA}{\rm PB}), είναι ένας κύκλος. Αυτός ο κύκλος λέγεται Απολλώνιος κύκλος.

## Αρμονική τετράδα

Από το θεώρημα της της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου προκύπτει ότι τα σημεία \rm \Delta, \Delta' είναι αρμονικά συζυγή των \rm A, B, καθώς
:\frac{\rm A\Delta}{\rm B\Delta} = \frac{\rm A\Delta'}{\rm B\Delta'}.

### Υπολογισμός του ΔΔ'
Έστω \alpha = \mathrm{B\Gamma}, \beta = \mathrm{\Gamma A} και \gamma = \mathrm{AB}. Αν \beta > \gamma τότε
:\mathrm{\Delta\Delta'} = \frac{2\alpha\beta\gamma}{\beta^2 - \gamma^2}.

## Δείτε επίσης
* Εσωτερική διχοτόμος τριγώνου
* Εξωτερική διχοτόμος τριγώνου
* Έγκεντρο τριγώνου
* Απολλώνιος κύκλος

## Παραπομπές


Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία
Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία