Πίνακας Καρτάν

Στα μαθηματικά, ο όρος **πίνακας Καρτάν** έχει τρεις έννοιες. Όλες αυτές πήραν το όνομά τους από τον Γάλλο μαθηματικό Ελί Καρτάν. Είναι αξιοσημείωτο ότι οι πίνακες Καρτάν στο πλαίσιο των αλγεβρών Λι ερευνήθηκαν για πρώτη φορά από τον Βίλχελμ Κίλινγκ, ενώ η μορφή Κίλινγκ οφείλεται στον Καρτάν.

## Άλγεβρες Λι

Ένας («συμμετρικός») **γενικευμένος πίνακας Καρτάν** είναι ένας τετραγωνικός πίνακας A = (a_{ij}) με ακέραιες εγγραφές τέτοιες ώστε
# Για τις διαγώνιες εγγραφές, a_{ii} = 2 .
# Για μη διαγώνιες εγγραφές, a_{ij} \leq 0 .
# a_{ij} = 0 αν και μόνο αν a_{ji} = 0
# A μπορεί να γραφεί ως DS, όπου D είναι ένας διαγώνιος πίνακας και S είναι ένας συμμετρικός πίνακας.

Παραδείγματος χάριν, ο πίνακας Καρτάν για το *G*2 μπορεί να αναλυθεί ως εξής:
:
  \begin{bmatrix}
     2 & -3 \\
    -1 &  2
  \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}
    3&0\\
    0&1
  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}
     \frac{2}{3} & -1 \\
    -1           &  2
  \end{bmatrix}.


Η τρίτη προϋπόθεση δεν είναι ανεξάρτητη, αλλά αποτελεί στην πραγματικότητα συνέπεια της πρώτης και της τέταρτης προϋπόθεσης.

Μπορούμε πάντα να επιλέξουμε ένα *D* με θετικές διαγώνιες εισόδους. Σε αυτή την περίπτωση, αν ο *S* στην παραπάνω ανάλυση είναι θετικά ορισμένος, τότε ο *A* λέγεται ότι είναι ένας *πίνακας Καρτάν*.

Ο πίνακας Καρτάν μιας απλής άλγεβρας Λί είναι ο πίνακας του οποίου τα στοιχεία είναι τα βαθμωτά γινόμενα

:a_{ji}=2 {(r_i,r_j)\over (r_j,r_j)}

(μερικές φορές αποκαλούνται ακέραιοι αριθμοί Καρτάν) όπου *r<sub>i</sub>* είναι οι απλές ρίζες της άλγεβρας. Οι καταχωρήσεις είναι ολοκληρωμένες από μία από τις ιδιότητες των ριζών. Η πρώτη συνθήκη προκύπτει από τον ορισμό, η δεύτερη από το γεγονός ότι για i\neq j, r_j-{2(r_i,r_j)\over (r_i,r_i)}r_i είναι μια ρίζα που αποτελεί γραμμικό συνδυασμό των απλών ριζών *r<sub>i</sub>* και *r<sub>j</sub>* με θετικό συντελεστή για το *r<sub>j</sub>* και, επομένως, ο συντελεστής για το *r<sub>i</sub>* πρέπει να είναι μη αρνητικός. Το τρίτο ισχύει επειδή η ορθογωνιότητα είναι μια συμμετρική σχέση. Και τέλος, έστω D_{ij}={\delta_{ij}\over (r_i,r_i)} και S_{ij}=2(r_i,r_j). Επειδή οι απλές ρίζες καλύπτουν έναν ευκλείδειο χώρο, το S είναι θετικά ορισμένο.

Αντίστροφα, δεδομένου ενός γενικευμένου πίνακα Καρτάν, μπορεί κανείς να ανακτήσει την αντίστοιχη άλγεβρα Λι. (Βλέπε άλγεβρα Κακ-Μούντυ για περισσότερες λεπτομέρειες).

### Ταξινόμηση
Ένας n \times n πίνακας *A* είναι **αποσυνθέσιμος** εάν υπάρχει ένα μη κενό κατάλληλο υποσύνολο I \subset \{1,\dots,n\} τέτοιο ώστε a_{ij} = 0 όποτε i \in I και j \notin I. Το *A* είναι **μη αποσυνθέσιμο** αν δεν είναι αποσυνθέσιμο. 

Έστω *A* ένας μη διασπώμενος γενικευμένος πίνακας Καρτάν. Λέμε ότι ο *A* είναι *πεπερασμένου τύπου* αν όλα τα κύρια ελάχιστά του είναι θετικά, ότι ο *A* είναι *αφινικού τύπου* αν τα κατάλληλα κύρια ελάχιστά του είναι θετικά και ο *A* έχει ορίζουσα 0, και ότι ο *A* είναι **απροσδιόριστου τύπου** αλλιώς.

Οι πεπερασμένου τύπου αδιάσπαστοι πίνακες ταξινομούν τις απλές άλγεβρες Λι πεπερασμένης διάστασης (των τύπων A_n, B_n, C_n, D_n, E_6, E_7, E_8, F_4, G_2 ), ενώ οι αφινικού τύπου αδιάσπαστοι πίνακες ταξινομούν τις αφινικές άλγεβρες Λι (π.χ. πάνω σε κάποιο αλγεβρικά κλειστό σώμα χαρακτηριστικού 0).

#### Ορίζουσες των πινάκων Καρτάν των απλών αλγεβρών Λι
Οι ορίζουσες των πινάκων Καρτάν των απλών αλγεβρών Λι δίνονται στον ακόλουθο πίνακα (μαζί με 
A1=B1=C1, B2=C2, D3=A3, D2=A1A1, E5=D5, E4=A4, and E3=A2A1).

Μια άλλη ιδιότητα αυτής της ορίζουσας είναι ότι είναι ίση με το δείκτη του σχετικού συστήματος ριζών, δηλαδή είναι ίση με |P/Q|  όπου  συμβολίζουν το πλέγμα βαρών και το πλέγμα ριζών, αντίστοιχα.

## Αναπαραστάσεις πεπερασμένης διάστασης αλγεβρών

Στη θεωρία των modular απεικονίσεων, και γενικότερα στη θεωρία των απεικονίσεων των πεπερασμένων διαστάσεων συσχετιστικών αλγεβρών A που δεν είναι ημιμονοσήμαντες, ένας πίνακας Καρτάν ορίζεται θεωρώντας ένα (πεπερασμένο) σύνολο κύριων μη διασπώμενων ενοτήτων και γράφοντας σειρές σύνθεσης γι' αυτές ως προς τις μη αναγώγιμες ενότητες, δίνοντας έναν πίνακα ακεραίων αριθμών που μετρά τον αριθμό των εμφανίσεων ενός μη αναγώγιμου πρότυπου.

## Ταξινόμηση μη ανασυνθέσιμων πινάκων Καρτάν

Ορίζουμε όλους τους μη ανασυνθέσιμους πίνακες Καρτάν (εκτός από την ισοδυναμία). Η ονομασία στην ακόλουθη απαρίθμηση ακολουθεί τη συνήθη ταξινόμηση των πεπερασμένων διαστάσεων απλών αλγεβρών Λι  

:A_n = \begin{pmatrix} 
2 & -1 & & & & & & & \\
-1 & 2 & -1 & & & & & & \\
  & -1 & 2 & -1 & & & & & \\
  & & -1 & \cdot & \cdot & & & & \\
  & & & \cdot & \cdot & \cdot & & & \\
  & & & & \cdot & \cdot & -1 & & \\ 
  & & & & & -1 & 2 & -1 & \\
  & & & & & & -1 & 2 & -1 \\
  & & & & & & & -1 & 2
\end{pmatrix} \quad\quad n\ge 1

:B_n = \begin{pmatrix} 
2 & -1 & & & & & & & \\
-1 & 2 & -1 & & & & & & \\
  & -1 & 2 & -1 & & & & & \\
  & & -1 & \cdot & \cdot & & & & \\
  & & & \cdot & \cdot & \cdot & & & \\
  & & & & \cdot & \cdot & -1 & & \\ 
  & & & & & -1 & 2 & -1 & \\
  & & & & & & -1 & 2 & -1 \\
  & & & & & & & -2 & 2
\end{pmatrix} \quad\quad n\ge 2

:C_n = \begin{pmatrix} 
2 & -1 & & & & & & & \\
-1 & 2 & -1 & & & & & & \\
  & -1 & 2 & -1 & & & & & \\
  & & -1 & \cdot & \cdot & & & & \\
  & & & \cdot & \cdot & \cdot & & & \\
  & & & & \cdot & \cdot & -1 & & \\ 
  & & & & & -1 & 2 & -1 & \\
  & & & & & & -1 & 2 & -2 \\
  & & & & & & & -1 & 2
\end{pmatrix} \quad\quad n\ge 3

:D_n = \begin{pmatrix} 
2 & -1 & & & & & & & & \\
-1 & 2 & -1 & & & & & & & \\
  & -1 & 2 & -1 & & & & & & \\
  & & -1 & \cdot & \cdot & & & & & \\
  & & & \cdot & \cdot & \cdot & & & & \\
  & & & & \cdot & \cdot & -1 & & & \\ 
  & & & & & -1 & 2 & -1 & & \\
  & & & & & & -1 & 2 & -1 & -1 \\
  & & & & & & & -1 & 2 & \\
  & & & & & & & -1 & & 2
\end{pmatrix} \quad\quad n\ge 4

:E_6 = \begin{pmatrix}
2 & -1 & & & & \\
-1 & 2 & -1 & & & \\
 & -1& 2& -1 & -1 & \\
 & & -1 & 2& & \\
 & & -1 & & 2 & -1\\
 & & & & -1 & 2
\end{pmatrix}

:E_7 = \begin{pmatrix}
2 & -1 & & & & & \\
-1 & 2 & -1 & & & &\\
 & -1& 2& -1 & & & \\
 & & -1& 2 & -1 & -1 & \\
 & & & -1 & 2& & \\
 & & & -1 & & 2 & -1\\
 & & & & & -1 & 2
\end{pmatrix}

:E_8 = \begin{pmatrix}
2 & -1 & & & & & & \\
-1 & 2 & -1 & & & & & \\
 & -1& 2& -1 & & & & \\
 & & -1& 2 & -1 & & & \\
 & & & -1& 2 & -1 & -1 & \\
 & & & & -1 & 2& & \\
 & & & & -1 & & 2 & -1\\
 & & & & & & -1 & 2
\end{pmatrix}

:F_4 = \begin{pmatrix}
2 & -1 & & \\
-1  & 2 & -1 & \\
  & -2 & 2& -1\\
  & & -1 & 2
\end{pmatrix}

:G_2 = \begin{pmatrix}
2 & -3 \\
-1 & 2
\end{pmatrix}

## Πίνακες Καρτάν στη Μ-θεωρία

Στη Μ-θεωρία, μπορεί κανείς να θεωρήσει μια γεωμετρία με δύο κύκλους που τέμνονται μεταξύ τους σε πεπερασμένο αριθμό σημείων, στο όριο όπου το εμβαδόν των δύο κύκλων μηδενίζεται. Σε αυτό το όριο, εμφανίζεται μια τοπική ομάδα συμμετρίας. Ο πίνακας των αριθμών τομής μιας βάσης των δύο κύκλων εικάζεται ότι είναι ο πίνακας Καρτάν της άλγεβρας Λί της τοπικής αυτής ομάδας συμμετρίας.

Αυτό μπορεί να εξηγηθεί ως εξής. Στη Μ-θεωρία έχουμε σολιτόνια τα οποία είναι δισδιάστατες επιφάνειες που ονομάζονται μεμβράνες ή 2-μεμβράνες. Μια 2-μεμβράνη έχει μια τάση και έτσι τείνει να συρρικνώνεται, αλλά μπορεί να τυλίγεται γύρω από ένα δίκυκλο που την εμποδίζει να συρρικνωθεί στο μηδέν.

Επομένως, μπορεί κανείς να συμπυκνώσει μια διάσταση που μοιράζονται όλοι οι δύο κύκλοι και τα σημεία τομής τους και στη συνέχεια να πάρει το όριο όπου αυτή η διάσταση συρρικνώνεται στο μηδέν, επιτυγχάνοντας έτσι μια μείωση των διαστάσεων πάνω σε αυτή τη διάσταση. Κατόπιν προκύπτει η θεωρία χορδών τύπου ΙΙΑ ως όριο της Μ-θεωρίας, με τις 2-βράνες που τυλίγουν έναν δίκυκλο και περιγράφονται τώρα από μια ανοιχτή χορδή που τεντώνεται μεταξύ των D-βρανών. Υπάρχει μια τοπική ομάδα συμμετρίας U(1) για κάθε D-μεμβράνη, που μοιάζει με τον βαθμό ελευθερίας της μετακίνησής της χωρίς να αλλάζει ο προσανατολισμός της. Το όριο όπου οι δύο κύκλοι έχουν μηδενικό εμβαδόν είναι το όριο όπου αυτές οι D-βράνες είναι η μία πάνω στην άλλη, έτσι ώστε να έχουμε μια ενισχυμένη τοπική ομάδα συμμετρίας.

Τώρα, μια ανοιχτή χορδή που τεντώνεται μεταξύ δύο D-βρανών αντιπροσωπεύει μια γεννήτρια άλγεβρας Λι, και ο αντιμεταθέτης δύο τέτοιων γεννητριών είναι μια τρίτη, που αντιπροσωπεύεται από μια ανοιχτή χορδή, την οποία παίρνουμε κολλώντας τις άκρες δύο ανοιχτών χορδών. Η τελευταία σχέση μεταξύ διαφορετικών ανοιχτών χορδών εξαρτάται από τον τρόπο με τον οποίο μπορούν να τέμνονται οι 2-βράνες στην αρχική M-θεωρία, δηλαδή στους αριθμούς τομής των δύο κύκλων. Έτσι, η άλγεβρα Λι εξαρτάται εξ ολοκλήρου από αυτούς τους αριθμούς τομής. Η ακριβής σχέση με τον πίνακα Καρτάν οφείλεται στο γεγονός ότι ο τελευταίος περιγράφει τους αντιμεταθέτες των απλών ριζών, οι οποίοι σχετίζονται με τους δικύκλους στη βάση που έχει επιλεγεί.

Οι γεννήτορες στην υποάλγεβρα Καρτάν αναπαρίστανται από ανοικτές χορδές που τεντώνονται μεταξύ μιας D-βράνης και του εαυτού της.

## Δείτε επίσης

* Field Arithmetic
* Πραγματικό προβολικό επίπεδο
* Εσωτερικό γινόμενο 
* Φυσικός αριθμός
* Πίνακας (μαθηματικά)
* Τριγωνικός πίνακας
* Διάνυσμα
* Ισομορφισμός
* Ταυτοτικός πίνακας

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*Matrix calculator
* Matrix Analysis
* Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
* Symmetries, Lie Algebras and Representations: A Graduate Course for Physicists
* [The Statistics and Calculus with Python Workshop: A comprehensive ..](https://books.google.gr/books?id=Llj4DwAAQBAJ&pg=PA66&dq=Vectorization+(mathematics)&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwiAlLvAo72HAxVjB9sEHSolOH8Q6AF6BAgNEAI#v=onepage&q=Vectorization%20(mathematics)&f=false)
* Generalized Vectorization, Cross-Products, and Matrix Calculus
* Matrix Variate Distributions
* Affine Lie Algebras and Quantum Groups: An Introduction, with Applications.

## Δημοσιεύσεις

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* .

## Παραπομπές

* Janko Bračič, *Kolobar aritmetičnih funkcij* (*[[:en:Ring (algebra)|Ring]] of arithmetical functions*), (Obzornik mat, fiz. **49** (2002) 4, pp.&nbsp;97–108)  (MSC (2000) 11A25) 
* Iwaniec and Kowalski, *Analytic number theory*, AMS (2004). 

 

Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά) 
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων 
Κατηγορία:Ομάδες Λι