Απλή αρμονική ταλάντωση

**Απλή** (γραμμική) **αρμονική ταλάντωση** ονομάζεται η ταλάντωση κατά την οποία η τροχιά είναι ευθύγραμμη (απλή) και η απομάκρυνση του κινητού από τη θέση ισορροπίας του είναι ημιτονοειδής (αρμονική) συνάρτηση του χρόνου.

Παραδείγματα απλού αρμονικού ταλαντωτή είναι το σύστημα ιδανικού ελατηρίου - μάζας και το απλό εκκρεμές για μικρές γωνίες εκτροπής, και με την προϋπόθεση και για τα δύο παραδείγματα ότι δεν υπάρχουν απώλειες μηχανικής ενέργειες, όπως λόγω τριβών.

## Χαρακτηριστικά μεγέθη της ταλάντωσης
Έστω ένα υλικό σημείο το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση στον άξονα xOx' με θέση ισορροπίας (x=0) την αρχή του άξονα. Τα χαρακτηριστικά μεγέθη αυτής της κίνησης είναι η απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας, το πλάτος της ταλάντωσης A, η στιγμιαία φάση, η αρχική φάση  \phi_0  της ταλάντωσης,η κυκλική συχνότητα \omega, η περίοδος T και η συχνότητα f της ταλάντωσης.
:Απομάκρυνση x: Είναι η αλγεβρική τιμή του διανύσματος \vec{x} από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης. Μονάδα στο S.I. είναι το μέτρο (m).
:Πλάτος A: Είναι η απόλυτη τιμή της μέγιστης απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας.
:Στιγμιαία φάση: Είναι η γωνία η οποία καθορίζει κάθε στιγμή μέσω του ημιτόνου τη στιγμιαία τιμή της απομάκρυνσης. Μετράται σε rad.
:Αρχική φάση \phi_0: Είναι η τιμή της στιγμιαίας φάσης την αρχή της μέτρησης του χρόνου, και συνεπώς καθορίζει την απομάκρυνση του κινητού εκείνη τη στιγμή. Έχει εύρος τιμών 0 \le \phi_0  .
:Κυκλική συχνότητα \omega: Εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της στιγμιαίας φάσης ως προς τον  χρόνο, \omega = \frac{d\phi}{dt}. Συνδέεται με την περίοδο με τη σχέση \omega = \frac{2\pi}{T} και με τη συχνότητα με την σχέση \omega=2\pi f. 
:Περίοδος T: Είναι το χρονικό διάστημα στο οποίο εκτελείται μια πλήρη ταλάντωση, δηλαδή είναι ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών μεταβάσεων του κινητού από την ίδια θέση και με την ίδια φορά. Μετράται σε δευτερόλεπτα (s) στο S.I. 
:Συχνότητα f: Είναι το πλήθος των επαναλήψεων που εκτελεί το κινητό στη μονάδα του χρόνου, δηλαδή f=\frac{N}{T}, όπου N είναι το πλήθος των επαναλήψεων και T είναι ο χρόνος μιας περιόδου. Είναι μέγεθος αντίστροφο της περιόδου και έχει μονάδα μέτρησης στο S.I. το Hz ή s^{-1}.

## Κινηματική της απλής αρμονικής ταλάντωσης
Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα για τον απλό αρμονικό ταλαντωτή γράφεται:
: m\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = -kx, (όπου x η απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας και k η σταθερά επαναφοράς). 
Η απομάκρυνση του σώματος από την θέση ισορροπίας, προκύπτει ως λύση της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης και δίνεται από τον γενικό τύπο: 
:x =\mathbf{A} \sin{(\omega t + \phi_0)}. 
(όπου ω ή κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης που στην περίπτωση του απλού αρμονικού ταλαντωτή ισούται με : \omega^2 = \frac{k}{m}.)
Στην περίπτωση που το κινητό βρίσκεται στην θέση ισορροπίας του κινούμενο προς την θετική φορά την χρονική στιγμή t=0 τότε η αρχική φάση \phi_0 είναι μηδέν και η παραπάνω εξίσωση γίνεται x=A\sin{(\omega t)}

Η ταχύτητα είναι ο ρυθμός μεταβολής της απομάκρυνσης \upsilon = \frac{dx}{dt} = \frac{d(A \sin{(\omega t + \phi_0)})}{dt} = \omega A \cos{(\omega t + \phi_0)}. Ο παράγοντας \omega A συμβολίζεται με \upsilon_{max} και αποτελεί τη μέγιστη τιμή της ταχύτητας (πλάτος ταχύτητας) στην ταλάντωση, που αποκτάται στη θέση ισορροπίας.

Η επιτάχυνση είναι ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας \alpha = \frac{d \upsilon}{dt} = \frac{d(\omega A \cos{(\omega t + \phi_0)})}{dt} = - \omega^2 A \sin{(\omega t + \phi_0)}. Ο παράγοντας \omega^2 A συμβολίζεται με \alpha_{max} και αποτελεί τη μέγιστη τιμή της επιτάχυνσης (πλάτος επιτάχυνσης) στην ταλάντωση, που αποκτάται στις ακραίες θέσεις ταλάντωσης. Η επιτάχυνση χρησιμοποιώντας την εξίσωση απομάκρυνσης μπορεί να γραφεί  \alpha = - \omega^2 x. 

Αποδεικνύονται επίσης οι εξής σχέσεις:  \upsilon = \pm \omega \sqrt{A^2 - x^2} και  \alpha = \pm \omega \sqrt{\upsilon_{max}^2 - \upsilon^2}.

## Αρμονικά κύματα
Αρμονικά λέγονται τα κύματα στα οποία η πηγή διέγερσης προκαλεί απλή αρμονική ταλάντωση στο πρώτο σωματίδιο του ελαστικού μέσου διάδοσης του κύματος.
Η εξίσωση ενός αρμονικού κύματος όταν αυτό **απομακρύνεται** από τη πηγή είναι 
\psi= A\sin2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}\right) ενώ όταν **πλησιάζει** την πηγή είναι \psi= A\sin2\pi \left(\frac{t}{T}+\frac{x}{\lambda}\right) 

όπου **ψ** η κάθετη απομάκρυνση, **Α** το μέγιστο πλάτος ταλάντωσης, **t** ο χρόνος, **Τ** η περίοδος, **<math>x</math>** η οριζόντια απομάκρυνση και **λ** το μήκος κύματος.

Κατηγορία:Κλασική μηχανική