Ομαδοειδές αντικείμενο

Στην θεωρία κατηγοριών, έναν κλάδο των μαθηματικών, ένα **ομαδοειδές αντικείμενο** είναι τόσο μια γενίκευση ενός ομαδοειδούς που βασίζεται σε πλουσιότερες δομές από τα σύνολα, όσο και μια γενίκευση των ομαδικών αντικειμένων όταν ο πολλαπλασιασμός είναι μόνο μερικώς καθορισμένος.

## Ορισμός

Ένα **ομαδοειδές αντικείμενο** σε μια κατηγορία  **C** που δέχεται πεπερασμένo νηµατικό γινόµενο αποτελείται από ένα ζεύγος αντικειμένων R, U μαζί με πέντε μορφισμούς 
:s, t: R \to U, \ e: U \to R, \ m: R \times_{U, t, s} R \to R, \ i: R \to R
που ικανοποιούν τα ακόλουθα αξιώματα ομαδοειδών
# s \circ e = t \circ e = 1_U, \, s \circ m = s \circ p_1, t \circ m = t \circ p_2 όπου τα  p_i: R \times_{U, t, s} R \to R  αποτελούν τις δύο προβολές,
# (προσεταιριστικότητα) m \circ (1_R \times m) = m \circ (m \times 1_R),
# (μονάδα) m \circ (e \circ s, 1_R) = m \circ (1_R, e \circ t) = 1_R,
# (αντίστροφο) i \circ i = 1_R, s \circ i = t, \, t \circ i = s, m \circ (1_R, i) = e \circ s, \, m \circ (i, 1_R) = e \circ t.

## Παραδείγματα

### Αντικείμενα ομάδας
Ένα αντικείμενο ομάδας είναι μια ειδική περίπτωση ομαδοειδούς αντικειμένου, όπου R = U και s = t. Επομένως, ανακτά κανείς τις τοπολογικές ομάδες λαμβάνοντας την κατηγορία των τοπολογικών χώρων, ή τις ομάδες Λι από την κατηγορία των πολλαπλοτήτων κ.λπ. 

### Ομαδοειδή
Ένα ομαδοειδές αντικείμενο στην κατηγορία των συνόλων είναι ακριβώς ένα ομαδοειδές με την συνήθη έννοια: μια κατηγορία στην οποία κάθε μορφισμός είναι ένας ισομορφισμός. Πράγματι, δεδομένης μιας τέτοιας κατηγορίας **C**, ας θεωρήσουμε *U* το σύνολο όλων των αντικειμένων σε **C**, *R* το σύνολο όλων των μορφισμών σε **C**, τους πέντε μορφισμούς που δίνονται από s(x \to y) = x, \, t(x \to y) = y, m(f, g) = g \circ f, e(x) = 1_x καιi(f) = f^{-1}. Όταν ο όρος "ομάδα" μπορεί φυσικά να αναφέρεται σε ένα αντικείμενο ομάδας σε κάποια συγκεκριμένη κατηγορία, ο όρος "ομαδοειδές" χρησιμοποιείται για να αναφέρεται σε ένα **ομαδοειδές αντικείμενο** στην κατηγορία των συνόλων.

Ωστόσο, σε αντίθεση με το προηγούμενο παράδειγμα με τις ομάδες Λι, ένα ομαδοειδές αντικείμενο στην κατηγορία των πολλαπλοτήτων δεν είναι απαραίτητα ένα ομαδοειδές  Λι, καθώς οι απεικονίσεις *s* και *t* δεν πληρούν άλλες απαιτήσεις (δεν είναι απαραίτητα καταδύσεις).

### Ομαδοειδή σχήματα

Ένα **ομαδοειδές S-σχήμα** είναι ένα ομαδοειδές αντικείμενο στην κατηγορία των σχημάτων πάνω σε κάποιο σταθερό βασικό σχήμα S. Αν U = S, τότε ένα ομαδοειδές σχήμα (όπου s = t είναι απαραίτητα η δομή απεικόνισης) είναι το ίδιο με ένα ομαδοειδές σχήμα. Ένα ομαδοειδές σχήμα ονομάζεται επίσης **αλγεβρικό ομαδοειδές**, για να μεταδώσει την ιδέα ότι είναι μια γενίκευση των αλγεβρικών ομάδων και των ενεργειών τους. 

Παραδείγματος χάριν, ας υποθέσουμε ότι μια αλγεβρική ομάδα *G* δρα από τα δεξιά σε ένα σχήμα *U*. Τότε, ας πάρουμε R = U \times G, *s* την προβολή, *t* τη δεδομένη δράση. Αυτό καθορίζει ένα ομαδοειδές σχήμα.

## Κατασκευές

Δεδομένου ενός ομαδοειδούς αντικειμένου (*R*, *U*), ο εξισωτής του R \,\overset{s}\underset{t}\rightrightarrows\, U,  αν υπάρχει, είναι ένα ομαδοειδές αντικείμενο που ονομάζεται **ομάδα αδράνειας** του ομαδοειδούς. Ο συν-εξισωτής του ίδιου διαγράμματος, αν υπάρχει, είναι το πηλίκο του ομαδοειδούς.  

Κάθε **ομαδοειδές αντικείμενο** σε μια κατηγορία **C** (εάν υπάρχει) μπορεί να θεωρηθεί ως ένας ανταλλοίωτος  συναρτητής από το **C** στην κατηγορία των ομαδοειδών. Με αυτόν τον τρόπο, κάθε ομαδοειδές αντικείμενο καθορίζει μια προ-στοίβα (prestack) στα ομαδοειδή. Αυτη την προ-στοίβα δεν είναι μία στοίβα, αλλά μπορεί να μετατραπεί σε στοίβα για να αποδώσει μία στοίβα (stack).

Η κύρια χρήση της έννοιας είναι ότι παρέχει τον Άτλαντα για μια στοίβα. Πιο συγκεκριμένα, έστω [R \rightrightarrows U] η κατηγορία των (R \rightrightarrows U)-torsors (κύριες δέσμες).Τότε είναι μια κατηγορία που διαχωρίζεται σε ομαδοειδή- στην πραγματικότητα (σε μια καλή περίπτωση), μια στοίβα Ντελίν–Μάμφορντ. Αντίστροφα, κάθε στοίβα DM έχει αυτή τη μορφή.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
*
*
* 
*
* 
*
* 
* 
* 

## Παραπομπές


*
* 

*
*Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
* star-autonomous category at the nLab
* 
* *This article is based in part on [http://www.planetmath.org PlanetMath]'s [http://planetmath.org/encyclopedia/TerminalObjectsAndZeroObjectsExamplesOfInitialObjects.html article on examples of initial and terminal objects] .*
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων  
Κατηγορία:Γενική τοπολογία 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα