Ενδεκάγωνο

Στη γεωμετρία, το **ενδεκάγωνο** (ή **εντεκάγωνο**) είναι ένα πολύγωνο με έντεκα κορυφές και έντεκα πλευρές.

Ένα εντεκάγωνο είναι **[[κανονικό πολύγωνο|κανονικό]]** αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

## Ιδιότητες
* Σε κάθε απλό ενδεκάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα 1620^\circ (ή 9\pi ακτίνια).
* Κάθε ενδεκάγωνο έχει 44 διαγωνίους.

## Κυρτό κανονικό ενδεκάγωνο

### Ιδιότητες
Για το κανονικό ενδεκάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
* Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με 147\frac{3}{11}^\circ (ή 9\pi/11 ακτίνια).
* Έχει ένδεκα άξονες συμμετρίας.
* Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
* Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
* Έχει περιστροφική συμμετρία ενδέκατης τάξεως.
* Το σύμβολο Schläfli του ενδεκαγώνου είναι \{ 11 \}.

### Μετρικές σχέσεις

* Η ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού ενδεκάγωνου είναι ίση με
::\begin{align}R 
& = \frac{1}{2} \csc \frac{\pi}{11} \cdot \lambda \approx 1{,}774733 \cdot \lambda.
\end{align}
*Η ακτίνα r του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού ενδεκάγωνου είναι ίση με
::\begin{align}
r 
& = \frac{1}{2} \cot \frac{\pi}{11} \cdot \lambda \approx1.702847 \cdot \lambda.
\end{align}
right|thumb|200px|Τα τρία είδη διαγωνίων σε ένα κανονικό ενδεκάγωνο.
* Το κανονικό ενδεκάγωνο έχει τεσσάρων ειδών διαγωνίους με μήκη
::\begin{align}
d_k
 & = 2 \sin \frac{k\pi}{11} \cdot R
\end{align}.
*Το πλάτος του είναι ίσο με το μήκος της μεγάλης διαγωνίου 
::w = d_4 \approx 1{,}819264 \cdot R.
*Το ύψος του είναι 
::h = R + r.

### Εμβαδόν
Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού ενδεκάγωνου πλευράς \lambda και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου r είναι 
:{\rm E} = \frac{11}{2} \cdot  \lambda \cdot  r.
Το εμβαδό \rm E ενός κανονικού ενδεκαγώνου πλευράς \lambda δίνεται από τη σχέση:
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = \frac{11}{4} \cot \frac{\pi}{11} \cdot \lambda^2 \approx 9{,}365640 \cdot \lambda^2.
\end{align}
Αν R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδό του ενδεκαγώνου είναι
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = \frac{11}{2} \sin \frac{2\pi}{11} \cdot R^2 \approx 2{,}973524 \cdot R^2.
\end{align}
Aν r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = 11 \tan \frac{\pi}{11} \cdot r^2 \approx 3{,}229891 \cdot r^2
\end{align}.

### Περίμετρος
Η περίμετρος \Pi του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με
:\Pi = 11\cdot\lambda.

### Κατασκευή

Το κανονικό ενδεκάγωνο δεν είναι δυνατό να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη, αλλά υπάρχουν μέθοδοι κατασκευής που δίνουν πολύ καλές προσεγγίσεις, όπως η παρακάτω:

Επειδή το 11 δεν είναι πρώτος αριθμός Pierpont, το κανονικό ενδεκάγωνο δεν είναι δυνατό να κατασκευασθεί ούτε με βαθμονομημένο χάρακα και διαβήτη ή *τριχοτομητή γωνίας* (αυτό το είδος κατασκευής αποκλήθηκε από τους αρχαίους `Ελληνες *νεύσις*). Αλλά υπάρχουν άλλα εργαλεία που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την κατασκευή ενός κανονικού ενδεκαγώνου καθώς μπορεί να κατασκευαστεί και με δίπλωμα χαρτιού.

## Εφαρμογές
Το κέρμα του δολαρίου Καναδά ("loonie") έχει προσεγγιστικά το σχήμα ενός κανονικού ενδεκαγωνικού πρίσματος. Το ίδιο και το κέρμα των δύο ρουπιών της Ινδίας.

## Ενδεκαγράμματα
Το κανονικό ενδεκάγωνο αποτελεί την περίμετρο τεσσάρων κανονικών ενδεκαγραμμάτων, των {11/2}, {11/3}, {11/4} και {11/5}.

### Πολύγωνα Petrie
Το κανονικό ενδεκάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι για δεκαδιάστατα ομοιομορφικά πολύτοπα της οικογένειας των simplex, που  παρατίθενται εδώ σε ορθογώνια προβολή:

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

* Ορισμός και ιδιότητες του ενδεκαγώνου (με διαδραστική animation)

## Σημειώσεις


## Δείτε επίσης
* Ενδεκάγραμμα

## Παραπομπές


Κατηγορία:Πολύγωνα
Κατηγορία:Κατασκευές με κανόνα και διαβήτη