Δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ

Στα μαθηματικά, ένας **δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ** είναι ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος με ορισμένες από τις αλγεβρο-γεωμετρικές ιδιότητες μιας ομαλής ποικιλίας, όπως η τοπική ισοδιάσταση. Κάτω από ήπιες υποθέσεις, ένας τοπικός δακτύλιος είναι Κοέν-Μακόλεϊ ακριβώς όταν είναι ένα πεπερασμένα παραγόμενο ελεύθερο module πάνω σε έναν κανονικό τοπικό υποδακτύλιο. Οι δακτύλιοι Κοέν-Μακόλεϊ παίζουν κεντρικό ρόλο στην αντιμεταθετική άλγεβρα: αποτελούν μια πολύ ευρεία κατηγορία, και παρόλα αυτά είναι καλά κατανοητοί με πολλούς τρόπους.

Πήραν το όνομά τους από τον Φράνσις Σάουερμπι Μακόλεϊ (1916), ο οποίος απέδειξε το θεώρημα της μη-συνδυαστικότητας για πολυωνυμικούς δακτυλίους, και από τον Ίρβιν Κοέν (1946), ο οποίος απέδειξε το θεώρημα της μη-συνδυαστικότητας για τυπικούς δακτυλίους δυναμοσειρών. Όλοι οι δακτύλιοι Κοέν-Μακόλεϊ έχουν την ιδιότητα της μη ανάμειξης.

Για τους Ναιτεριανούς τοπικούς δακτυλίους, υπάρχει η ακόλουθη αλυσίδα εγκλεισμάτων:

    **[[Αλυσοειδής δακτύλιος|Καθολικά Αλυσοειδής δακτύλιος]] ⊃ **δακτύλιοι Κοέν-Μακολέι** ⊃ [[Δακτύλιος Γκόρενσταϊν|δακτύλιοι Γκόρενσταϊν]] ⊃ [[Πλήρης δακτύλιος διατομής|πλήρεις δακτύλιοι διατομής]] ⊃ [[Κανονικός τοπικός δακτύλιος|κανονικοί τοπικοί δακτύλιοι]]**

## Ορισμός
Για έναν αντιμεταθετικό Ναιτεριανό τοπικό δακτύλιο *R*, ένα πεπερασμένο (δηλ. πεπερασμένα παραγόμενο) *R*-module M\neq 0 είναι ένα *Κοέν-Μακόλεϊ module* αν \mathrm{depth}(M) = \mathrm{dim}(M) (γενικά έχουμε: \mathrm{depth}(M) \leq \mathrm{dim}(M), βλέπε τύπο Αουσλάντερ-Μπούχσμπαουμ για τη σχέση μεταξύ depth και dim ενός συγκεκριμένου είδους ενοτήτων). Από την άλλη πλευρά, ο R είναι ένα module στον εαυτό του, οπότε ονομάζουμε τον R *δακτύλιο Κοέν-Μακόλεϊ* αν είναι ένα module Κοέν-Μακόλεϊ ως R-module. Ένα *μέγιστο* module  Κοέν-Μακόλεϊ είναι ένα module Κοέν-Μακόλεϊ *M* τέτοιο ώστε \mathrm{dim}(M)=\mathrm{dim}(R).

Ο παραπάνω ορισμός αφορούσε τους Ναιτεριανούς τοπικούς δακτυλίους. Μπορούμε όμως να επεκτείνουμε τον ορισμό για έναν πιο γενικό Ναιτεριανό δακτύλιο: Αν R είναι ένας αντιμεταθετικός Ναιτεριανός δακτύλιος, τότε ένα *R*-module *M* ονομάζεται **Κοέν-Μακόλεϊ module** αν M_\mathrm{m} είναι ένα Κοέν-Μακόλεϊ module για όλα τα μέγιστα ιδεώδη \mathrm{m}\in \mathrm{Supp}(M). (Αυτό είναι ένα είδος κυκλικού ορισμού, εκτός αν ορίσουμε τις μηδενικές ενότητες ως Κοέν-Μακόλεϊ. Οπότε ορίζουμε τις μηδενικές ενότητες ως ενότητες Κοέν-Μακόλεϊ σε αυτόν τον ορισμό). Τώρα, για να ορίσουμε τις *μέγιστες* ενότητες Κοέν-Μακόλεϊ για αυτούς τους δακτυλίους, απαιτούμε ο M_\mathrm{m} να είναι μια τέτοια R_\mathrm{m}-ενότητα για κάθε μέγιστο ιδεώδες \mathrm{m} του *R*. Όπως και στην τοπική περίπτωση, το *R* είναι ένας *δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ* αν είναι ένα module Κοέν-Μακόλεϊ (ως ένα R-module στον εαυτό του).

## Παραδείγματα

Οι Ναιτεριανοί δακτύλιοι των ακόλουθων τύπων είναι Κοέν-Μακόλεϊ.

*Κάθε κανονικός τοπικός δακτύλιος. Αυτό οδηγεί σε διάφορα παραδείγματα δακτυλίων Κοέν-Μακόλεϊ, όπως οι ακέραιοι \Z, ή ένας πολυωνυμικός δακτύλιος K[x_1,\ldots ,x_n] πάνω από ένα πεδίο *K*, ή ένας δακτύλιος δυναμοσειρών Kx_1,\ldots ,x_n. Με γεωμετρικούς όρους, κάθε κανονικό σχήμα, παραδείγματος χάριν μια ομαλή ποικιλία πάνω σε ένα πεδίο, είναι Κοέν-Μακόλεϊ.
*Κάθε δακτύλιος 0 διαστάσεων (ή ισοδύναμα, κάθε δακτύλιος Artinian).
*Κάθε 1-διάστατος μειωμένος δακτύλιος, παραδείγματος χάριν κάθε 1-διάστατη περιοχή.
*Κάθε 2-διάστατος κανονικός δακτύλιος.
*Κάθε δακτύλιος Γκορένσταϊν. Ειδικότερα, οποιοσδήποτε πλήρης δακτύλιος τομής.
*Ο δακτύλιος των αναλλοίωτων R^G όταν *R* είναι μια άλγεβρα Κοέν-Μακόλεϊ πάνω σε ένα πεδίο χαρακτηριστικού μηδέν και *G* είναι μια πεπερασμένη ομάδα (ή γενικότερα, μια γραμμική αλγεβρική ομάδα της οποίας η συνιστώσα ταυτότητας είναι αναγωγική). Αυτό είναι το θεώρημα Χόχστερ - Ρόμπερτς.
*Οποιοσδήποτε ντετερμινάνταλ δακτύλιος. Δηλαδή, έστω *R* το πηλίκο ενός κανονικού τοπικού δακτυλίου *S* προς το ιδεώδες *I* που παράγεται από τα *r* × *r* ελάσσονες κάποιου *p* × *q* πίνακα στοιχείων του S. Αν η κωδικομέτρηση (ή το ύψος) του *I* είναι ίση με την "αναμενόμενη" κωδικομέτρηση  (*p*−*r*+1)(*q*−*r*+1), *R*, ο *R* ονομάζεται προσδιοριστικός δακτύλιος. Σε αυτή την περίπτωση, ο R είναι Κοέν-Μακόλεϊ . Ομοίως, οι δακτύλιοι συντεταγμένων των ντετερμινάντων ποικιλιών είναι Κοέν-Μακόλεϊ.

Μερικά επιπλέον παραδείγματα: 
#Ο δακτύλιος *K*[*x*]/(*x*²) έχει διάσταση 0 και επομένως είναι Κοέν-Μακόλεϊ, αλλά δεν είναι αναγωγικός και επομένως δεν είναι κανονικός.
#Ο υποδακτύλιος *K*[*t*2, *t*3]  του πολυωνυμικού δακτυλίου *K*[*t*], ή ο εντοπισμός του ή η συμπλήρωσή του στο *t*=0, είναι μια περιοχή 1 διάστασης η οποία είναι Γκόρενσταϊν και επομένως Κοέν-Μακόλεϊ, αλλά όχι κανονική. Ο δακτύλιος αυτός μπορεί επίσης να περιγραφεί ως ο δακτύλιος συντεταγμένων της κυβικής καμπύλης *y*2 = *x*3 πάνω από το *K*.
#Ο υποδακτύλιος *K*[*t*3, *t*4, *t*5] του πολυωνυμικού δακτυλίου *K*[*t*], ή ο εντοπισμός ή η ολοκλήρωσή του στο *t*=0, είναι ένα μονοδιάστατο πεδίο που είναι Κοέν-Μακόλεϊ αλλά όχι Γκόρενσταϊν.

Οι ρητές ιδιομορφίες πάνω σε ένα πεδίο χαρακτηριστικού μηδέν είναι Κοέν-Μακόλεϊ. Οι τορικές ποικιλίες πάνω από οποιοδήποτε πεδίο είναι Κοέν-Μακόλεϊ. Το πρόγραμμα του ελάχιστου μοντέλου κάνει εμφανή χρήση των ποικιλιών με klt (Kawamata log terminal) ιδιομορφίες- σε χαρακτηριστικό μηδέν, αυτές είναι ρητές ιδιομορφίες και επομένως είναι Κοέν-Μακόλεϊ, Ένα επιτυχημένο ανάλογο των ορθολογικών ιδιομορφιών σε θετική χαρακτηριστική είναι η έννοια των **F-ρητών ιδιομορφιών**, και πάλι, τέτοιες ιδιομορφίες είναι Κοέν-Μακόλεϊ.

Έστω *X* μια προβολική ποικιλία διάστασης *n* ≥ 1 πάνω από ένα πεδίο, και έστω *L* μια ευρεία δέσμη γραμμών πάνω στο *X*. Τότε ο δακτύλιος τομής της *L*

:R=\bigoplus_{j\geq 0}H^0(X,L^j)

είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν η ομάδα συνομολογίας  *H**i*(*X*, *L**j*) είναι μηδέν για όλα τα  1 ≤ *i* ≤ *n*−1 και όλους τους ακέραιους *j*. Επομένως, προκύπτει, ότι ο αφινικός κώνος Spec *R* πάνω από μια αβελιανή ποικιλία *X' *είναι Κοέν-Μακόλεϊ όταν *η X *έχει διάσταση *1, *αλλά όχι όταν η *X *έχει διάσταση τουλάχιστον *2 (επειδή η *H*<sup>1</sup>(*X*, *O*)* δεν είναι μηδέν). Βλέπε επίσης Γενικευμένος δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ.

## Σχήματα Κοέν-Μακόλεϊ
Λέμε ότι ένα τοπικά Ναιτεριανό σχήμα X είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν σε κάθε σημείο x\in X ο τοπικός δακτύλιος \mathcal{O}_{X,x} είναι Κοέν-Μακόλεϊ.

### Καμπύλες Κοέν-Μακόλεϊ
Οι καμπύλες Κοέν-Μακόλεϊ είναι μια ιδιαίτερη περίπτωση των σχημάτων Κοέν-Μακόλεϊ, είναι όμως χρήσιμες για τη συμπύκνωση των χώρων moduli των καμπυλών  όπου το όριο του ομαλού χώρου \mathcal{M}_g αποτελείται από καμπύλες Κοέν-Μακόλεϊ. Υπάρχει ένα χρήσιμο κριτήριο για να αποφασίσουμε αν οι καμπύλες είναι Κοέν-Μακόλεϊ ή όχι. Τα σχήματα διάστασης \leq 1 είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν  δεν έχουν ενσωματωμένους πρώτους αριθμούς.. Οι ιδιομορφίες που υπάρχουν στις καμπύλες Κοέν-Μακόλεϊ μπορούν να ταξινομηθούν πλήρως εξετάζοντας την περίπτωση ττων επίπεδων καμπυλών.

#### Μη παραδείγματα
Χρησιμοποιώντας το κριτήριο, υπάρχουν εύκολα παραδείγματα καμπυλών μη Κοέν-Μακόλεϊ από την κατασκευή καμπυλών με ενσωματωμένα σημεία. Παραδείγματος χάριν, το σχήμα

:X = \text{Spec}\left( \frac{\Complex[x,y]}{(x^2,xy)} \right)

έχει τη διάσπαση σε πρωταρχικά ιδεώδη (x)\cdot(x,y). Γεωμετρικά είναι ο άξονας y με ένα ενσωματωμένο σημείο στην αρχή, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ως *παχύ σημείο*. Δεδομένης μιας ομαλής προβολικής επίπεδης καμπύλης C \subset \mathbb{P}^2, μια καμπύλη με ενσωματωμένο σημείο μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας την ίδια τεχνική: βρείτε το ιδεώδες I_x ενός σημείου στο x \in C και πολλαπλασιάστε το με το ιδεώδες I_C του C. Τότε
:X = \text{Proj}\left( \frac{\Complex[x,y,z]}{I_C \cdot I_x} \right)
είναι μια καμπύλη με ενσωματωμένο σημείο στο x.

### Θεωρία της διατομής

Τα σχήματα Κοέν-Μακόλεϊ έχουν μια ιδιαίτερη σχέση με τη θεωρία τομών. Έστω X μια ομαλή ποικιλία και *V*, *W*  κλειστά υποσχήματα καθαρής διάστασης. Έστω Z μια κατάλληλη συνιστώσα της θεωρίας σχημάτων της τομής V \times_X W, δηλαδή μια μη αναγώγιμη συνιστώσα αναμενόμενης διάστασης. Αν ο τοπικός δακτύλιος *A* του  V \times_X W στο γενικό σημείο του Z είναι Κοέν - Μακόλεϊ, τότε η πολλαπλότητα της τομής των *V* και *W* κατά μήκος του *Z*  δίνεται ως το μήκος του *A*:

:i(Z, V \cdot W, X) = \operatorname{length}(A).

Γενικά, η πολλαπλότητα αυτή δίνεται ως μήκος και ουσιαστικά χαρακτηρίζει τον δακτύλιο Κοέν-Μακόλεϊ, βλέπε #Ιδιότητες. Το κριτήριο πολλαπλότητας ένα, από την άλλη πλευρά, χαρακτηρίζει κατά προσέγγιση έναν κανονικό τοπικό δακτύλιο ως τοπικό δακτύλιο πολλαπλότητας ένα.

### Παράδειγμα
Για ένα απλό παράδειγμα, αν πάρουμε την τομή μιας παραβολής με μια ευθεία που εφάπτεται σε αυτήν, ο τοπικός δακτύλιος στο σημείο τομής είναι ισομορφικός με

: \frac{\Complex[x,y]}{(y - x^2)} \otimes_{\Complex[x,y]}\frac{\Complex[x,y]}{(y)} \cong \frac{\Complex[x]}{(x^2)} 

το οποίο είναι Κοέν-Μακόλεϊ μήκους δύο, άρα η πολλαπλότητα της τομής είναι δύο, όπως αναμενόταν.

## Θαύμα επιπεδότητας ή το κριτήριο του Χιρονάκα

Υπάρχει ένας αξιοσημείωτος χαρακτηρισμός των δακτυλίων Κοέν-Μακόλεϊ, ο οποίος μερικές φορές ονομάζεται θαυματουργή επιπεδότητα ή κριτήριο Χιρονάκα. Έστω *R* ένας τοπικός δακτύλιος που παράγεται πεπερασμένα ως ενότητα πάνω σε κάποιον κανονικό τοπικό δακτύλιο A που περιέχεται στον *R*. Ένας τέτοιος υποδακτύλιος υπάρχει για κάθε τοπικοποίηση R σε ένα πρώτο ιδεώδες μιας πεπερασμένα παραγόμενης άλγεβρας πάνω σε ένα πεδίο, σύμφωνα με το λήμμα κανονικοποίησης της Νέτερ- υπάρχει επίσης όταν ο *R* είναι πλήρης και περιέχει ένα πεδίο, ή όταν ο *R* είναι ένας πλήρης τομέας. Τότε ο *R* είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν είναι επίπεδος ως module *A*- είναι επίσης ισοδύναμο να πούμε ότι ο R είναι ελεύθερος ως module*A*.

Μια γεωμετρική αναδιατύπωση έχει ως εξής. Έστω *X* ένα συνδεδεμένο αφινικό σχήμα πεπερασμένου τύπου πάνω από ένα πεδίο *K* (παραδείγματος χάριν, μια αφινική ποικιλία). Έστω n η διάσταση του *X*. Με την κανονικοποίηση της Νέτερ, υπάρχει ένας πεπερασμένος μορφισμός *f* από το *X* στον αφινικό χώρο *A**n* πάνω από το *K*. Τότε το *X* είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν όλες οι ίνες του *f* έχουν τον ίδιο βαθμό . Είναι αξιοσημείωτο ότι αυτή η ιδιότητα είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του *f*.

Τέλος, υπάρχει μια εκδοχή της Θαυματουργής Επιπεδότητας (Miracle Flatness) για βαθμωτούς δακτυλίους. Έστω *R* μια πεπερασμένης παραγωγής αντιμεταθετική βαθμωτή άλγεβρα πάνω από ένα πεδίο *K*,

:R=K\oplus R_1 \oplus R_2 \oplus \cdots.

Υπάρχει πάντα ένας βαθμωτός πολυωνυμικός υποδακτύλιος *A* ⊂ *R* (με γεννήτορες σε διάφορους βαθμούς), έτσι ώστε ο *R* να παράγεται πεπερασμένα ως *A*-module. Τότε το *R* είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν το *R* είναι ελεύθερο ως διαβαθμισμένο *A*-μόριο. Και πάλι, προκύπτει ότι αυτή η ελευθερία είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του πολυωνυμικού υποδακτυλίου *A*.

## Ιδιότητες
*Ένας Ναιτεριανός τοπικός δακτύλιος είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν η ολοκλήρωσή του είναι Κοέν-Μακόλεϊ.
*Αν ο *R* είναι δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ, τότε ο πολυωνυμικός δακτύλιος *R*[*x*] και ο δακτύλιος δυναμοσειρών *R**x* είναι Κοέν-Μακόλεϊ
*Για έναν μη μηδενικό διαιρέτη *u* στο μέγιστο ιδεώδες ενός Ναιτεριανού τοπικού δακτυλίου *R*, ο *R* είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν ο *R*/(*u*) είναι Κοέν-Μακόλεϊ.
*Το πηλίκο ενός δακτυλίου Κοέν-Μακόλεϊ με οποιοδήποτε ιδανικό είναι καθολικά κατιόν.
*Αν ο *R* είναι πηλίκο ενός δακτυλίου Κοέν-Μακόλεϊ, τότε ο τόπος { *p* ∈ Spec *R* | *R**p* είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του Spec *R*.
*Έστω (*R*, *m*, *k*) ένας Ναιτεριανός τοπικός δακτύλιος με συνδιάσταση ενσωμάτωσης *c*, που σημαίνει ότι *c* = dim*k*(*m*/*m*2) − dim(*R*). Με γεωμετρικούς όρους, αυτό ισχύει για έναν τοπικό δακτύλιο ενός υποσχήματος συνδιαστάσεων *c* σε ένα κανονικό σχήμα. Για *c*=1, το *R* είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν είναι δακτύλιος υπερεπιφάνειας. Υπάρχει επίσης ένα θεώρημα δομής για τους δακτυλίους Κοέν-Μακόλεϊ συνδιάστασης 2, το θεώρημα Χίλμπερτ-Burch: είναι όλοι προσδιοριστικοί δακτύλιοι, που ορίζονται από τα  *r* × *r* ελάσσονες ενός (*r*+1) × *r*r πίνακα για κάποιο *r*.
*Για έναν Ναιτεριανό τοπικό δακτύλιο (*R*, *m*), τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:
*#Ο *R* είναι Κοέν-Μακόλεϊ.
*#Για κάθε παραμετρικό ιδεώδες *Q* (ένα ιδανικό που παράγεται από ένα σύστημα παραμέτρων),
*#:\operatorname{length}(R/Q) = e(Q) := η πολλαπλότητα Χίλμπερτ-Σαμουέλ του *Q*.
*#Για κάποιο παραμετρικό ιδεώδες *Q*, length *Q*, \operatorname{length}(R/Q) = e(Q).

:(Βλέπε Γενικευμένος δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ καθώς και δακτύλιος Μπούχσμπαουμ για δακτυλίους που γενικεύουν αυτόν τον χαρακτηρισμό).

## Το θεώρημα της μη ανάμειξης

Ένα ιδεώδες *I* ενός Ναιτεριανού δακτυλίου *A* ονομάζεται άμικτος σε ύψος αν το ύψος του *I* είναι ίσο με το ύψος κάθε σχετιζόμενου πρώτου *P* του *A*/*I*. (Αυτό είναι ισχυρότερο από το να λέμε ότι ο *A*/*I*είναι ισοδιάστατος- βλ. παρακάτω).

Το θεώρημα του άμικτου λέγεται ότι ισχύει για τον δακτύλιο *A* αν κάθε ιδανικό *I* που παράγεται από αριθμό στοιχείων ίσο με το ύψος του είναι αμιγές. Ένας Ναιτεριανός δακτύλιος είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν το θεώρημα μη ανάμειξης  ισχύει γι' αυτόν.

Το θεώρημα της μη-αναμείξεως ισχύει ιδίως για το μηδενικό ιδεώδες (ένα ιδεώδες που παράγεται από μηδενικά στοιχεία) και επομένως καθιστά δυνατό να πούμε ότι ένας δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ είναι ένας ισοδιάστατος δακτύλιος- στην πραγματικότητα, με την ισχυρή έννοια: δεν υπάρχει ολοκληρωμένη συνιστώσα και κάθε συνιστώσα έχει την ίδια συνδιάσταση.

Βλέπε επίσης: οιονεί μικτός δακτύλιος (ένας δακτύλιος στον οποίο το θεώρημα της μη μικτότητας ισχύει για το ολοκληρωτικό κλείσιμο ενός ιδεώδους).

## Αντιπαραδείγματα
#Αν το *K* είναι πεδίο, τότε ο δακτύλιος *R* = *K*[*x*,*y*]/(*x*2,*xy*) (ο δακτύλιος συντεταγμένων μιας ευθείας με ενσωματωμένο σημείο) δεν είναι Κοέν-Μακόλεϊ. Αυτό προκύπτει, για παράδειγμα, από το (θαύμα επίπεδοτητα) Miracle Flatness: Ο *R* είναι πεπερασμένος πάνω στον πολυωνυμικό δακτύλιο *A* = *K*[*y*], με βαθμό 1 πάνω στα σημεία της αφινικής γραμμής Spec *A* με *y* ≠ 0, αλλά με βαθμό 2 πάνω στο σημείο *y* = 0 (επειδή ο *K*-διανυσματικός χώρος *K*[*x*]/(*x*2) έχει διάσταση 2).
# Αν το *K* είναι ένα πεδίο, τότε ο δακτύλιος *K*[*x*,*y*,*z*]/(*xy*,*xz*) (ο δακτύλιος συντεταγμένων της ένωσης μιας γραμμής και ενός επιπέδου) είναι μειωμένος, αλλά όχι ισοδιάστατος, και συνεπώς όχι Κοέν-Μακόλεϊ. Παίρνοντας το πηλίκο από τον μη μηδενικό διαιρέτη *x*-*z* δίνει το προηγούμενο παράδειγμα.
# Αν το *K* είναι πεδίο, τότε ο δακτύλιος *R* = *K*[*w*,*x*,*y*,*z*]/(*wy*,*wz*,*xy*,*xz*) (ο δακτύλιος συντεταγμένων της ένωσης δύο επιπέδων που συναντώνται σε ένα σημείο) είναι μειωμένος και ισοδιάστατος, αλλά όχι Κοέν-Μακόλεϊ. Για να το αποδείξουμε αυτό, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το **θεώρημα συνδεσιμότητας** του Χάρτσχορν: αν ο *R* είναι ένας τοπικός δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ με διάσταση τουλάχιστον 2, τότε ο Spec *R* μείον το κλειστό του σημείο είναι συνδεδεμένος.

## Δυαδικότητα Γκόρενσταϊν
Μια από τις έννοιες της συνθήκης Κοέν-Μακόλεϊ εμφανίζεται στη θεωρία της συνεκτικής δυαδικότητας. Μια ποικιλία ή ένα σχήμα X είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν το "σύμπλεγμα δυϊσμού", το οποίο βρίσκεται προφανώς στην παράγωγη κατηγορία των δεσμών πάνω στο X, αντιπροσωπεύεται από μια απλή στήλη. Η ισχυρότερη ιδιότητα του να είναι Γκόρενσταϊν σημαίνει ότι αυτή η δέσμη είναι μια δέσμη γραμμών. Ειδικότερα, κάθε κανονικό σχήμα είναι Γκόρενσταϊν. Έτσι, οι δηλώσεις των θεωρημάτων δυαδικότητας όπως η δυαδικότητα Σερ ή η τοπική δυαδικότητα Γκρόθεντιεκ για σχήματα Γκόρενσταϊν ή Κοέν-Μακόλεϊ διατηρούν κάποια από την απλότητα όσων συμβαίνουν για κανονικά σχήματα ή λείες ποικιλίες.

## Δημοσιεύσεις

*
* Cohen's paper was written when "local ring" meant what is now called a "Noetherian local ring". 
*
* 
* 
*  
*
*
*
*
*

## Δείτε επίσης

* [Regular ring (in commutative algebra)](https://encyclopediaofmath.org/wiki/Regular_ring_(in_commutative_algebra))

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Commutative Ring Theory
* Rings Close to Regular 
*Modules over Commutative Regular Rings

## Παραπομπές


## Σημειώσεις

*H. Matsumura, *Commutative algebra* 1980 .
*
*; reprinted by R. E. Krieger Pub. Co (1975) 

 

Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αντιμεταθετική άλγεβρα