Κατάλογος ολοκληρωμάτων αντίστροφων υπερβολικών συναρτήσεων

Ακολουθεί o **κατάλογος ολοκληρωμάτων (αντιπαράγωγων ολοκληρωμάτων) των  αντίστροφων  [[Υπερβολικές συναρτήσεις|υπερβολικών συναρτήσεων]]**.. Για έναν πλήρη κατάλογο των ολοκληρωτικών τύπων, ανατρέξτε στην ενότητα Κατάλογοι ολοκληρωμάτων. 

* Σε όλους τους τύπους η σταθερά  θεωρείται μη μηδενική και  δηλώνει τη σταθερά ολοκλήρωσης.
* Για κάθε τύπο αντίστροφης υπερβολικής ολοκλήρωσης που ακολουθεί υπάρχει ένας αντίστοιχος τύπος στον κατάλογο ολοκληρωμάτων αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
* Το πρότυπο ISO 80000-2 χρησιμοποιεί το πρόθεμα «ar-» αντί για «arc-» για τις αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις- το ίδιο κάνουμε και εδώ.

## Τύποι ολοκλήρωσης του αντίστροφου υπερβολικού ημιτόνου

\int\operatorname{arsinh}(ax)\,dx=
  x\operatorname{arsinh}(ax)-\frac{\sqrt{a^2x^2+1}}{a}+C

\int x\operatorname{arsinh}(ax)\,dx=
  \frac{x^2\operatorname{arsinh}(ax)}{2}+
  \frac{\operatorname{arsinh}(ax)}{4a^2}-
  \frac{x \sqrt{a^2x^2+1}}{4a}+C

\int x^2\operatorname{arsinh}(ax)\,dx=
  \frac{x^3\operatorname{arsinh}(ax)}{3}-
  \frac{\left(a^2x^2-2\right)\sqrt{a^2x^2+1}}{9a^3}+C

\int x^m\operatorname{arsinh}(ax)\,dx=
  \frac{x^{m+1}\operatorname{arsinh}(ax)}{m+1}-
  \frac{a}{m+1}\int\frac{x^{m+1}}{\sqrt{a^2x^2+1}}\,dx\quad(m\ne-1)

\int\operatorname{arsinh}(ax)^2\,dx=
  2x+x\operatorname{arsinh}(ax)^2-
  \frac{2\sqrt{a^2x^2+1}\operatorname{arsinh}(ax)}{a}+C

\int\operatorname{arsinh}(ax)^n\,dx=
  x\operatorname{arsinh}(ax)^n-
  \frac{n\sqrt{a^2x^2+1}\operatorname{arsinh}(ax)^{n-1}}{a}+
  n(n-1)\int\operatorname{arsinh}(ax)^{n-2}\,dx

\int\operatorname{arsinh}(ax)^n\,dx=
  -\frac{x\operatorname{arsinh}(ax)^{n+2}}{(n+1)(n+2)}+
  \frac{\sqrt{a^2x^2+1}\operatorname{arsinh}(ax)^{n+1}}{a(n+1)}+
  \frac{1}{(n+1)(n+2)}\int\operatorname{arsinh}(ax)^{n+2}\,dx\quad(n\ne-1,-2)

## Τύποι ολοκλήρωσης του αντίστροφου υπερβολικού συνημιτόνου

**<math>\int\operatorname{arcosh}(ax)\,dx=
  x\operatorname{arcosh}(ax)-
  \frac{\sqrt{ax+1}\sqrt{ax-1}}{a}+C</math>

<math>\int x\operatorname{arcosh}(ax)\,dx=
  \frac{x^2\operatorname{arcosh}(ax)}{2}-
  \frac{\operatorname{arcosh}(ax)}{4a^2}-
  \frac{x\sqrt{ax+1}\sqrt{ax-1}}{4a}+C</math>

<math >\int x^2\operatorname{arcosh}(ax)\,dx=
  \frac{x^3\operatorname{arcosh}(ax)}{3}-\frac{\left(a^2x^2+2\right)\sqrt{ax+1}\sqrt{ax-1}}{9a^3}+C</math>

<math>\int x^m\operatorname{arcosh}(ax)\,dx=
  \frac{x^{m+1}\operatorname{arcosh}(ax)}{m+1}-
  \frac{a}{m+1}\int\frac{x^{m+1}}{\sqrt{ax+1}\sqrt{ax-1}}\,dx\quad(m\ne-1)</math>

<math>\int\operatorname{arcosh}(ax)^2\,dx=
  2x+x\operatorname{arcosh}(ax)^2-
  \frac{2\sqrt{ax+1}\sqrt{ax-1}\operatorname{arcosh}(ax)}{a}+C</math>

<math>\int\operatorname{arcosh}(ax)^n\,dx=
  x\operatorname{arcosh}(ax)^n-
  \frac{n\sqrt{ax+1}\sqrt{ax-1}\operatorname{arcosh}(ax)^{n-1}}{a}+
  n(n-1)\int\operatorname{arcosh}(ax)^{n-2}\,dx</math>

<math>\int\operatorname{arcosh}(ax)^n\,dx=
  -\frac{x\operatorname{arcosh}(ax)^{n+2}}{(n+1)(n+2)}+
  \frac{\sqrt{ax+1}\sqrt{ax-1}\operatorname{arcosh}(ax)^{n+1}}{a(n+1)}+
  \frac{1}{(n+1)(n+2)}\int\operatorname{arcosh}(ax)^{n+2}\,dx\quad(n\ne-1,-2)</math>**

## Τύποι ολοκλήρωσης της αντίστροφης υπερβολικής εφαπτομένης

\int\operatorname{artanh}(ax)\,dx=
  x\operatorname{artanh}(ax)+
  \frac{\ln\left(1-a^2x^2\right)}{2a}+C

\int x\operatorname{artanh}(ax)\,dx=
  \frac{x^2\operatorname{artanh}(ax)}{2}-
  \frac{\operatorname{artanh}(ax)}{2a^2}+\frac{x}{2a}+C

\int x^2\operatorname{artanh}(ax)\,dx=
  \frac{x^3\operatorname{artanh}(ax)}{3}+
  \frac{\ln\left(1-a^2x^2\right)}{6a^3}+\frac{x^2}{6a}+C

\int x^m\operatorname{artanh}(ax)\,dx=
  \frac{x^{m+1}\operatorname{artanh}(ax)}{m+1}-
  \frac{a}{m+1}\int\frac{x^{m+1}}{1-a^2x^2}\,dx\quad(m\ne-1)

## Τύποι ολοκλήρωσης της αντίστροφης υπερβολικής συνεφαπτομένης

\int\operatorname{arcoth}(ax)\,dx=
  x\operatorname{arcoth}(ax)+
  \frac{\ln\left(a^2x^2-1\right)}{2a}+C

\int x\operatorname{arcoth}(ax)\,dx=
  \frac{x^2\operatorname{arcoth}(ax)}{2}-
  \frac{\operatorname{arcoth}(ax)}{2a^2}+\frac{x}{2a}+C

\int x^2\operatorname{arcoth}(ax)\,dx=
  \frac{x^3\operatorname{arcoth}(ax)}{3}+
  \frac{\ln\left(a^2x^2-1\right)}{6a^3}+\frac{x^2}{6a}+C

\int x^m\operatorname{arcoth}(ax)\,dx=
  \frac{x^{m+1}\operatorname{arcoth}(ax)}{m+1}+
  \frac{a}{m+1}\int\frac{x^{m+1}}{a^2x^2-1}\,dx\quad(m\ne-1)

## Τύποι ολοκλήρωσης της αντίστροφης υπερβολικής τέμνουσας

\int\operatorname{arsech}(ax)\,dx=
  x\operatorname{arsech}(ax)-
  \frac{2}{a}\operatorname{arctan}\sqrt{\frac{1-ax}{1+ax}}+C

\int x\operatorname{arsech}(ax)\,dx=
  \frac{x^2\operatorname{arsech}(ax)}{2}-
  \frac{(1+ax)}{2a^2}\sqrt{\frac{1-ax}{1+ax}}+C

\int x^2\operatorname{arsech}(ax)\,dx=
  \frac{x^3\operatorname{arsech}(ax)}{3}-
  \frac{1}{3a^3}\operatorname{arctan}\sqrt{\frac{1-ax}{1+ax}}-
  \frac{x(1+ax)}{6a^2}\sqrt{\frac{1-ax}{1+ax}}+C

\int x^m\operatorname{arsech}(ax)\,dx=
  \frac{x^{m+1}\operatorname{arsech}(ax)}{m+1}+
  \frac{1}{m+1}\int\frac{x^m}{(1+ax)\sqrt{\frac{1-ax}{1+ax}}}\,dx\quad(m\ne-1)

## Τύποι ολοκλήρωσης της αντίστροφης υπερβολικής συντέμνουσας

\int\operatorname{arcsch}(ax)\,dx=
  x\operatorname{arcsch}(ax)+
  \frac{1}{a}\operatorname{arcoth}\sqrt{\frac{1}{a^2x^2}+1}+C

\int x\operatorname{arcsch}(ax)\,dx=
  \frac{x^2\operatorname{arcsch}(ax)}{2}+
  \frac{x}{2a}\sqrt{\frac{1}{a^2x^2}+1}+C

\int x^2\operatorname{arcsch}(ax)\,dx=
  \frac{x^3\operatorname{arcsch}(ax)}{3}-
  \frac{1}{6a^3}\operatorname{arcoth}\sqrt{\frac{1}{a^2x^2}+1}+
  \frac{x^2}{6a}\sqrt{\frac{1}{a^2x^2}+1}+C

\int x^m\operatorname{arcsch}(ax)\,dx=
  \frac{x^{m+1}\operatorname{arcsch}(ax)}{m+1}+
  \frac{1}{a(m+1)}\int\frac{x^{m-1}}{\sqrt{\frac{1}{a^2x^2}+1}}\,dx\quad(m\ne-1)

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Τριγωνομετρική συνάρτηση
* Συνάρτηση γάμμα
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Ρητή συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπερβολικές συναρτήσεις
* Κατάλογος ολοκληρωμάτων των υπερβολικών συναρτήσεων
* Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Μιγαδικός αριθμός
* Πολυώνυμο
* Ακέραιος αριθμός

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
* 
* 
* 
* 

Κατηγορία:Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
Κατηγορία:Ολοκληρώματα