Βαρυκεντρικές συντεταγμένες

Στην γεωμετρία, οι **βαρυκεντρικές συντεταγμένες** είναι τριάδες πραγματικών αριθμών που ορίζουν ένα σύστημα συντεταγμένων για τα σημεία του επιπέδου με αναφορά ένα αρχικό τρίγωνο.

Πιο συγκεκριμένα, με αναφορά στο τρίγωνο \rm AB\Gamma κάθε τριάδα (t_{\rm A}, t_{\rm B}, t_{\rm \Gamma}) αντιστοιχεί σε ένα σημείο του επιπέδου, που είναι το κέντρο βάρους τριών σημειακών αντικειμένων τοποθετημένων στις κορυφές του τριγώνου με βάρη t_{\rm A}, t_{\rm B}, t_{\rm \Gamma} αντίστοιχα. Καθώς οι συντεταγμένες είναι ομογενείς (δείτε παρακάτω), οι συνεταγμένες συνήθως γράφονται ως t_{\rm A} : t_{\rm B} : t_{\rm \Gamma}, και υπάρχουν άπειρες τριάδες που ανιστοιχούν στο ίδιο σημείο.

## Γεωμετρική ερμηνεία

Ένα σημείο \rm P έχει τις εξής βαρυκεντρικές συντεταγμένες ως προς ένα τρίγωνο \rm AB\Gamma,
:{\rm E}_{\rm PB\Gamma} : {\rm E}_{\rm PA\Gamma} : {\rm E}_{\rm PAB},
όπου \rm E είναι το προσημασμένο εμβαδόν του αντίστοιχου τριγώνου.

{t_{\rm B} + t_{\rm \Gamma}} και {\rm E}_{\rm AN\Gamma} = \frac{t_{\rm B}}{t_{\rm B} + t_{\rm \Gamma}}.

Αντίστοιχα, το \rm P είναι το κέντρο βάρους των \rm N (με βάρος t_{\rm B} + t_{\rm \Gamma}) και του \rm A (με βάρος t_{\rm A}). Επομένως, {\rm AP} : {\rm PN} = (t_{\rm B} + t_{\rm \Gamma}) : t_{\rm A}. Επειδή τα τρίγωνα {\rm E}_{\rm AP\Gamma} και {\rm E}_{\rm PN\Gamma} έχουν κοινό ύψος
:{\rm E}_{\rm ABP} = (t_{\rm B} + t_{\rm \Gamma}) \cdot {\rm E}_{\rm ABN} = t_{\rm \Gamma}.
}}

## Παραδείγματα

### Κορυφές τριγώνου
*Η κορυφή \rm A έχει βαρυκεντρικές συντεταγμένες 1:0:0,
*Η κορυφή \rm B έχει βαρυκεντρικές συντεταγμένες 0:1:0,
*Η κορυφή \rm \Gamma έχει βαρυκεντρικές συντεταγμένες 0:0:1.

### Μέσα πλευρών
*Το μέσο \rm AB έχει βαρυκεντρικές συντεταγμένες 1:1:0,
*Το μέσο \rm B\Gamma έχει βαρυκεντρικές συντεταγμένες 0:1:1,
*Το μέσο \rm \Gamma A έχει βαρυκεντρικές συντεταγμένες 1:0:1.

### Σημείο στην ευθεία ΑΒ
Το σημείο  \rm P της ευθείας \rm AB έχει βαρυκεντρικές συντεταγμένες 
:0: {\rm \overline{\Gamma P}} : \overline{\rm P B}.

### Βαρύκεντρο
Το βαρύκεντρο είναι το κέντρο βάρους για τρία ισοβαρή αντικείμενα. Επομένως οι βαρυκεντρικές του συντεταγμένες είναι 1:1:1. 

## Ιδιότητες
* Ένα σημείο με βαρυκεντρικές συντεταγμένες (t_{\rm A}, t_{\rm B}, t_{\rm \Gamma}) έχει Καρτεσιανές συντεταγμένες
::\left( \frac{t_{\rm A} \cdot {\rm A}_x + t_{\rm B} \cdot {\rm B}_x + t_{\rm \Gamma} \cdot {\rm \Gamma}_x}{t_{\rm A} + t_{\rm B} + t_{\rm \Gamma}}, \frac{t_{\rm A} \cdot {\rm A}_y + t_{\rm B} \cdot {\rm B}_y + t_{\rm \Gamma} \cdot {\rm \Gamma}_y}{t_{\rm A} + t_{\rm B} + t_{\rm \Gamma}} \right).
*  Οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες είναι ομογενείς, δηλαδή για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό \lambda \in \R+ οι τριάδες (t_{\rm A}, t_{\rm B}, t_{\rm \Gamma}) και (\lambda \cdot t_{\rm A}, \lambda \cdot  t_{\rm B}, \lambda \cdot  t_{\rm \Gamma}) αντιστοιχούν στο ίδιο σημείο.
* Ένα σημείο με βαρυκεντρικές συντεταγμένες x : y : z έχει τριγραμμικές συντεταγμένες 
::x/\alpha : y/\beta : z/\gamma, 
:όπου \alpha, \beta, \gamma οι πλευρές του τριγώνου.

## Κέντρα τριγώνου
### Έγκεντρο
Το έγκεντρο του τριγώνου έχει βαρυκεντρικές συντεταγμένες
:\alpha : \beta : \gamma, 
όπου \alpha, \beta, \gamma είναι τα μήκη των πλευρών του.

### Παράκεντρα
Τα παράκεντρα του τριγώνου έχουν βαρυκεντρικές συντεταγμένες
:-\alpha : \beta : \gamma,
:\alpha : -\beta : \gamma,
:\alpha : \beta : -\gamma.

### Περίκεντρο
Το περίκεντρο του τριγώνου έχει βαρυκεντρικές συντεταγμένες
:
  \alpha^2\left(\beta^2 + \gamma^2 - \alpha^2\right):\;
  \beta^2\left(\gamma^2 + \alpha^2 - \beta^2\right):\;
  \gamma^2\left(\alpha^2 + \beta^2 - \gamma^2\right).


### Ορθόκεντρο
Το ορθόκεντρο έχει βαρυκεντρικές συντεταγμένες
:\tan {\rm A}:\tan {\rm B}:\tan {\rm \Gamma} = (\alpha^2+\beta^2-\gamma^2)(\alpha^2-\beta^2+\gamma^2) : (\alpha^2+\beta^2-\gamma^2)(-\alpha^2+\beta^2+\gamma^2) : (\alpha^2-\beta^2+\gamma^2)(-\alpha^2+\beta^2+\gamma^2) .

## Δείτε επίσης
* Καρτεσιανές συντεταγμένες
* Τριγραμμικές συντεταγμένες

## Περαιτέρω ανάγνωση

### Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* Βαρυκεντρικές συντεταγμένες στο MathWorld.

### Ξενόγλωσσα άρθρα
* 
* 

## Παραπομπές


Κατηγορία:Συστήματα συντεταγμένων
Κατηγορία:Τρίγωνα