Διανυσματικός λογισμός

Ο **διανυσματικός λογισμός** ή διανυσματική ανάλυση είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη διαφοροποίηση και την ολοκλήρωση διανυσματικών πεδίων, κυρίως στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο, \mathbb{R}^3..  Ο όρος διανυσματικός λογισμός χρησιμοποιείται μερικές φορές ως συνώνυμο του ευρύτερου αντικειμένου του πολυμεταβλητού λογισμού, ο οποίος περιλαμβάνει τον διανυσματικό λογισμό καθώς και τη μερική διαφοροποίηση και την πολλαπλή ολοκλήρωση. Ο διανυσματικός λογισμός παίζει σημαντικό ρόλο στη διαφορική γεωμετρία και στη μελέτη των μερικών διαφορικών εξισώσεων. Χρησιμοποιείται εκτενώς στη φυσική και τη μηχανική, ιδίως στην περιγραφή ηλεκτρομαγνητικών πεδίων, βαρυτικών πεδίων και ροής ρευστών.

Ο διανυσματικός λογισμός αναπτύχθηκε από τη θεωρία των τετραδόνιων από τον Τζ. Γουίλαρντ Γκιμπς και τον Όλιβερ Χεαβισάιντ κοντά στα τέλη του 19ου αιώνα, και οι περισσότεροι συμβολισμοί και η ορολογία καθιερώθηκαν από τον Γκιμπς και τον Έντουιν Μπίντγουελ Γουίλσον στο βιβλίο τους «Διανυσματική Ανάλυση» του 1901. Στην τυπική του μορφή που χρησιμοποιεί το διανυσματικό γινόμενο, ο διανυσματικός λογισμός δεν γενικεύεται σε υψηλότερες διαστάσεις, αλλά η εναλλακτική προσέγγιση της γεωμετρικής άλγεβρας, η οποία χρησιμοποιεί το εξωτερικό γινόμενο, το κάνει (βλ. § Γενικεύσεις παρακάτω για περισσότερα).

## Βασικά αντικείμενα

### Βαθμωτό πεδίο
Κύριο άρθρο: Βαθμωτό πεδίο

Ένα βαθμωτό πεδίο συσχετίζει μια βαθμωτή τιμή με κάθε σημείο ενός χώρου. Ο βαθμωτός αριθμός είναι ένας μαθηματικός αριθμός που αντιπροσωπεύει ένα φυσικό μέγεθος. Παραδείγματα βαθμωτών πεδίων σε εφαρμογές περιλαμβάνουν την κατανομή της θερμοκρασίας στο χώρο, την κατανομή της πίεσης σε ένα ρευστό και τα κβαντικά πεδία με μηδενικό σπιν (γνωστά ως βαθμωτά μποζόνια), όπως το πεδίο Χιγκς. Τα πεδία αυτά αποτελούν αντικείμενο της θεωρίας των βαθμωτών πεδίων.

#### Διανυσματικά πεδία
Κύριο άρθρο: Διανυσματικό πεδίο

Ένα διανυσματικό πεδίο είναι η ανάθεση ενός διανύσματος σε κάθε σημείο ενός χώρου. Ένα διανυσματικό πεδίο στο επίπεδο, για παράδειγμα, μπορεί να απεικονιστεί ως μια συλλογή από βέλη με δεδομένο μέγεθος και κατεύθυνση, καθένα από τα οποία συνδέεται με ένα σημείο του επιπέδου. Τα διανυσματικά πεδία χρησιμοποιούνται συχνά για τη μοντελοποίηση, επί παραδείγματι, της ταχύτητας και της κατεύθυνσης ενός κινούμενου ρευστού στο χώρο ή της ισχύος και της κατεύθυνσης κάποιας δύναμης, όπως η μαγνητική ή η βαρυτική δύναμη, καθώς μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο. Αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί, παραδείγματος χάριν, για τον υπολογισμό του έργου που γίνεται σε μια γραμμή.

#### Διανύσματα και ψευδοδιανύσματα

Σε πιο προχωρημένες επεξεργασίες, διακρίνει κανείς περαιτέρω τα ψευδοδιανυσματικά πεδία και τα ψευδοβαθμωτά πεδία, τα οποία είναι πανομοιότυπα με τα διανυσματικά πεδία και τα βαθμωτά πεδία, με τη διαφορά ότι αλλάζουν πρόσημο κάτω από έναν χάρτη που αντιστρέφει τον προσανατολισμό: για παράδειγμα, η κύρτωση ενός διανυσματικού πεδίου είναι ένα ψευδοδιανυσματικό πεδίο, και αν κάποιος αντανακλά ένα διανυσματικό πεδίο, η κύρτωση δείχνει προς την αντίθετη κατεύθυνση. Αυτή η διάκριση αποσαφηνίζεται και αναπτύσσεται στη γεωμετρική άλγεβρα, όπως περιγράφεται παρακάτω.

## Διανυσματική άλγεβρα
Κύριο άρθρο: Ευκλείδειο διάνυσμα § Βασικές ιδιότητες

Οι αλγεβρικές (μη διαφορικές) πράξεις στο διανυσματικό λογισμό αναφέρονται ως διανυσματική άλγεβρα, καθώς ορίζονται για ένα διανυσματικό χώρο και στη συνέχεια εφαρμόζονται σημειακά σε ένα διανυσματικό πεδίο. Οι βασικές αλγεβρικές πράξεις αποτελούνται από:

Συνήθως χρησιμοποιούνται επίσης τα δύο τριπλά γινόμενα:

## Τελεστές και θεωρήματα

### Διαφορικοί τελεστές

Ο διανυσματικός λογισμός μελετά διάφορους διαφορικούς τελεστές που ορίζονται σε βαθμωτά ή διανυσματικά πεδία, οι οποίοι τυπικά εκφράζονται με βάση τον τελεστή del (\nabla), επίσης γνωστό ως « νάμπλα ». Οι τρεις βασικοί διανυσματικοί τελεστές είναι:

Επίσης, χρησιμοποιούνται συνήθως οι δύο τελεστές Λαπλάς:

Μια ποσότητα που ονομάζεται Ιακωβιανός πίνακας είναι χρήσιμη για τη μελέτη συναρτήσεων όταν τόσο το πεδίο όσο και το εύρος της συνάρτησης είναι πολυμεταβλητά, όπως η αλλαγή των μεταβλητών κατά την ολοκλήρωση.

#### Ολοκληρωτικά θεωρήματα

Οι τρεις βασικοί διανυσματικοί τελεστές έχουν αντίστοιχα θεωρήματα που γενικεύουν το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού σε υψηλότερες διαστάσεις:

Σε δύο διαστάσεις, τα θεωρήματα απόκλισης και στροβιλισμού ανάγονται στο θεώρημα του Γκριν:

#### Γραμμικές προσεγγίσεις

Οι γραμμικές προσεγγίσεις χρησιμοποιούνται για την αντικατάσταση πολύπλοκων συναρτήσεων με γραμμικές συναρτήσεις που είναι σχεδόν ίδιες. Δεδομένης μιας διαφορίσιμης συνάρτησης  με πραγματικές τιμές, μπορεί κανείς να προσεγγίσει την  για  κοντά στην  με τον τύπο

: f(x,y)\ \approx\ f(a,b)+\tfrac{\partial f}{\partial x} (a,b)\,(x-a)+\tfrac{\partial f}{\partial y}(a,b)\,(y-b).

Η δεξιά πλευρά είναι η εξίσωση του επιπέδου που εφάπτεται στη γραφική παράσταση της  στο 

## Βελτιστοποίηση
Κύριο άρθρο: Βελτιστοποίηση

Για μια συνεχώς διαφορίσιμη συνάρτηση πολλών πραγματικών μεταβλητών, ένα σημείο  (δηλαδή, ένα σύνολο τιμών για τις μεταβλητές εισόδου, το οποίο θεωρείται ως ένα σημείο στο ) είναι κρίσιμο εάν όλες οι μερικές παράγωγοι της συνάρτησης είναι μηδέν στο , ή, ισοδύναμα, εάν η κλίση της είναι μηδέν. Οι κρίσιμες τιμές είναι οι τιμές της συνάρτησης στα κρίσιμα σημεία.

Εάν η συνάρτηση είναι ομαλή ή, τουλάχιστον δύο φορές συνεχώς διαφορίσιμη, ένα κρίσιμο σημείο μπορεί να είναι είτε ένα τοπικό μέγιστο, είτε ένα τοπικό ελάχιστο είτε ένα σημείο σέλας. Οι διάφορες περιπτώσεις μπορούν να διακριθούν εξετάζοντας τις ιδιοτιμές του πίνακα των δεύτερων παραγώγων του Χέσιαν.

Σύµφωνα µε το θεώρηµα του Φερµά, όλα τα τοπικά µέγιστα και ελάχιστα µιας διαφορίσιµης συνάρτησης εµφανίζονται σε κρίσιµα σηµεία. Επομένως, για να βρεθούν τα τοπικά μέγιστα και ελάχιστα, αρκεί, θεωρητικά, να υπολογιστούν τα μηδενικά της κλίσης και οι ιδιοτιμές του πίνακα Χέσιαν σε αυτά τα μηδενικά.

## Γενικεύσεις

### Διαφορετικές 3-πολλαπλότητες

Ο διανυσματικός λογισμός ορίζεται αρχικά για τον Ευκλείδειο 3-χώρο,  \mathbb{R}^3, ο οποίος έχει πρόσθετη δομή πέρα από το να είναι απλώς ένας 3-διάστατος πραγματικός διανυσματικός χώρος, και συγκεκριμένα: μια νόρμα (που δίνει μια έννοια του μήκους) που ορίζεται μέσω ενός εσωτερικού γινομένου (το τετραγωνικό γινόμενο), το οποίο με τη σειρά του δίνει μια έννοια της γωνίας, και έναν προσανατολισμό, ο οποίος δίνει μια έννοια του αριστερόχειρα και του δεξιόχειρα. Αυτές οι δομές δίνουν μια μορφή όγκου, καθώς και το διανυσματικό γινόμενο, το οποίο χρησιμοποιείται διάχυτα στο διανυσματικό λογισμό.

Η κλίση και η απόκλιση απαιτούν μόνο το εσωτερικό γινόμενο, ενώ η κύρτωση και το διανυσματικό γινόμενο απαιτούν επίσης να λαμβάνεται υπόψη ο χειρισμός του συστήματος συντεταγμένων (βλέπε διανυσματικό  γινόμενο § Χειρισμός για περισσότερες λεπτομέρειες).

Ο διανυσματικός λογισμός μπορεί να οριστεί σε άλλους τρισδιάστατους πραγματικούς διανυσματικούς χώρους, αν αυτοί έχουν ένα εσωτερικό γινόμενο (ή γενικότερα μια συμμετρική μη εκφυλισμένη μορφή) και έναν προσανατολισμό- αυτό είναι λιγότερο δεδομένο από έναν ισομορφισμό με τον Ευκλείδειο χώρο, καθώς δεν απαιτεί ένα σύνολο συντεταγμένων (ένα σύστημα αναφοράς), γεγονός που αντανακλά το γεγονός ότι ο διανυσματικός λογισμός είναι αναλλοίωτος κάτω από περιστροφές (η ειδική ορθογωνική ομάδα ).

Γενικότερα, ο διανυσματικός λογισμός μπορεί να οριστεί σε οποιαδήποτε τρισδιάστατη προσανατολισμένη πολλαπλότητα του Ριμάν ή γενικότερα ψευδο-Ριμάνια πολλαπλότητα. Αυτή η δομή σημαίνει απλώς ότι ο εφαπτόμενος χώρος σε κάθε σημείο έχει ένα εσωτερικό γινόμενο (γενικότερα, μια συμμετρική μη εκφυλισμένη μορφή) και έναν προσανατολισμό, ή γενικότερα ότι υπάρχει ένας συμμετρικός μη εκφυλισμένος μετρικός τανυστής και ένας προσανατολισμός, και λειτουργεί επειδή ο διανυσματικός λογισμός ορίζεται σε όρους εφαπτόμενων διανυσμάτων σε κάθε σημείο.

#### Άλλες διαστάσεις
Τα περισσότερα από τα αναλυτικά αποτελέσματα γίνονται εύκολα κατανοητά, σε μια πιο γενική μορφή, χρησιμοποιώντας τα μηχανήματα της διαφορικής γεωμετρίας, των οποίων ο διανυσματικός λογισμός αποτελεί υποσύνολο. Τα grad και div γενικεύονται άμεσα σε άλλες διαστάσεις, όπως και το θεώρημα της κλίσης, το θεώρημα της απόκλισης και η Λαπλασιανή (που δίνει την αρμονική ανάλυση), ενώ το curl και το διανυσματικό γινόμενο δεν γενικεύονται τόσο άμεσα.

Από μια γενική άποψη, τα διάφορα πεδία στον (τρισδιάστατο) διανυσματικό λογισμό θεωρούνται ομοιόμορφα ως -διανυσματικά πεδία: τα βαθμωτά πεδία είναι 0-διανυσματικά πεδία, τα διανυσματικά πεδία είναι 1-διανυσματικά πεδία, τα ψευδοδιανυσματικά πεδία είναι 2-διανυσματικά πεδία και τα ψευδοσκαλικά πεδία είναι 3-διανυσματικά πεδία. Σε μεγαλύτερες διαστάσεις υπάρχουν επιπλέον τύποι πεδίων (βαθμωτά, διανυσματικά, ψευδοδιανυσματικά ή ψευδοδιανυσματικά που αντιστοιχούν στις διαστάσεις , ,  ή , οι οποίες είναι εξαντλητικές στη διάσταση 3), οπότε δεν μπορεί κανείς να εργαστεί μόνο με (ψευδο)βαθμωτά και (ψευδο)διανυσματικά.

Σε οποιαδήποτε διάσταση, υποθέτοντας μια μη εκφυλισμένη μορφή, η grad μιας βαθμωτής συνάρτησης είναι διανυσματικό πεδίο και η div ενός διανυσματικού πεδίου είναι βαθμωτή συνάρτηση, αλλά μόνο στη διάσταση 3 ή 7  (και, τετριμμένα, στη διάσταση 0 ή 1) η κύρτωση ενός διανυσματικού πεδίου είναι διανυσματικό πεδίο, και μόνο στις 3 ή 7 διαστάσεις μπορεί να οριστεί ένα διανυσματικό γινόμενο (οι γενικεύσεις σε άλλες διαστάσεις είτε απαιτούν  n-1 διανύσματα για να δώσουν 1 διάνυσμα, είτε είναι εναλλακτικές άλγεβρες Λι, οι οποίες είναι γενικότερα αντισυμμετρικά διγραμμικά γινόμενα). Η γενίκευση των grad και div, καθώς και ο τρόπος με τον οποίο μπορεί να γενικευτεί το curl αναλύεται στο Curl § Γενικεύσεις- εν συντομία, το curl ενός διανυσματικού πεδίου είναι ένα διμερές πεδίο, το οποίο μπορεί να ερμηνευτεί ως η ειδική ορθογώνια άλγεβρα Λι των απειροστικών περιστροφών, ωστόσο, αυτό δεν μπορεί να ταυτιστεί με ένα διανυσματικό πεδίο επειδή οι διαστάσεις διαφέρουν - υπάρχουν 3 διαστάσεις περιστροφών σε 3 διαστάσεις, αλλά 6 διαστάσεις περιστροφών σε 4 διαστάσεις (και γενικότερα  \textstyle{\binom{n}{2}=\frac{1}{2}n(n-1)}  διαστάσεις περιστροφών σε   διαστάσεις).

Υπάρχουν δύο σημαντικές εναλλακτικές γενικεύσεις του διανυσματικού λογισμού. Η πρώτη, η γεωμετρική άλγεβρα, χρησιμοποιεί - πεδία αντί για διανυσματικά πεδία (σε 3 ή λιγότερες διαστάσεις, κάθε -διανυσματικό πεδίο μπορεί να ταυτιστεί με μια βαθμωτή συνάρτηση ή ένα διανυσματικό πεδίο, αλλά αυτό δεν ισχύει σε μεγαλύτερες διαστάσεις). Αυτό αντικαθιστά το διανυσματικό γινόμενο, το οποίο είναι συγκεκριμένο για 3 διαστάσεις, λαμβάνοντας δύο διανυσματικά πεδία και δίνοντας ως έξοδο ένα διανυσματικό πεδίο, με το εξωτερικό γινόμενο, το οποίο υπάρχει σε όλες τις διαστάσεις και λαμβάνει δύο διανυσματικά πεδία, δίνοντας ως έξοδο ένα δι-διανυσματικό (2-διανυσματικό) πεδίο. Αυτό το γινόμενο δίνει άλγεβρες Κλίφορντ ως αλγεβρική δομή σε διανυσματικά πεδία (με προσανατολισμό και μη εκφυλισμένη μορφή). Η γεωμετρική άλγεβρα χρησιμοποιείται κυρίως σε γενικεύσεις της φυσικής και άλλων εφαρμοσμένων πεδίων σε υψηλότερες διαστάσεις.

Η δεύτερη γενίκευση χρησιμοποιεί διαφορικές μορφές (-διανυσματικά πεδία) αντί για διανυσματικά πεδία ή -διανυσματικά πεδία, και χρησιμοποιείται ευρέως στα μαθηματικά, ιδίως στη διαφορική γεωμετρία, τη γεωμετρική τοπολογία και την αρμονική ανάλυση, και ειδικότερα στη θεωρία Χοτζ σε προσανατολισμένες ψευδο-Ριμανιανές πολλαπλότητες. Από αυτή την άποψη, οι grad, curl και div αντιστοιχούν στην εξωτερική παράγωγο των 0-μορφών, 1-μορφών και 2-μορφών, αντίστοιχα, και τα βασικά θεωρήματα του διανυσματικού λογισμού είναι όλα ειδικές περιπτώσεις της γενικής μορφής του θεωρήματος του Στόκες.

Από την άποψη και των δύο αυτών γενικεύσεων, ο διανυσματικός λογισμός προσδιορίζει έμμεσα μαθηματικά διακριτά αντικείμενα, γεγονός που καθιστά την παρουσίαση απλούστερη αλλά την υποκείμενη μαθηματική δομή και τις γενικεύσεις λιγότερο σαφείς.
Από την άποψη της γεωμετρικής άλγεβρας, ο διανυσματικός λογισμός ταυτίζει έμμεσα -διανυσματικά πεδία με διανυσματικά πεδία ή βαθμωτές συναρτήσεις: 0-διανύσματα και 3-διανύσματα με βαθμωτά, 1-διανύσματα και 2-διανύσματα με διανύσματα. Από την άποψη των διαφορικών μορφών, ο διανυσματικός λογισμός ταυτίζει σιωπηρά τις -μορφές με βαθμωτά πεδία ή διανυσματικά πεδία: 0-μορφές και 3-μορφές με πεδία βαθμωτά, 1-μορφές και 2-μορφές με διανυσματικά πεδία. Έτσι, για παράδειγμα, η κύρτωση παίρνει φυσικά ως είσοδο ένα διανυσματικό πεδίο ή 1-μορφή, αλλά φυσικά έχει ως έξοδο ένα 2-διανυσματικό πεδίο ή 2-μορφή (άρα ψευδοδιανυσματικό πεδίο), το οποίο στη συνέχεια ερμηνεύεται ως διανυσματικό πεδίο, αντί να παίρνει απευθείας ένα διανυσματικό πεδίο σε ένα διανυσματικό πεδίο- αυτό αντικατοπτρίζεται στην κύρτωση ενός διανυσματικού πεδίου σε υψηλότερες διαστάσεις που δεν έχει ως έξοδο ένα διανυσματικό πεδίο.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

## Δείτε επίσης
* Θεωρία αριθμών
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Αντίστροφη συνάρτηση
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Διαφορική γεωμετρία
* Γεωμετρική τοπολογία
* Μη ευκλείδειες γεωμετρίες
* 2-διάνυσμα (bivector)
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρμονική ανάλυση
* Θεώρημα ρητής ρίζας
* Συνάρτηση μάζας πιθανότητας
* Διανυσματικό γινόμενο
* Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Μιγαδικός αριθμός
* Δισδιάστατος χώρος

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* Sandro Caparrini (2002) "The discovery of the vector representation of moments and angular velocity", Archive for History of Exact Sciences 56:151–81.
* 
* 
* 
* Barry Spain (1965) Vector Analysis, 2nd edition, link from Internet Archive.
* Chen-To Tai (1995). *[http://deepblue.lib.umich.edu/handle/2027.42/7868 A historical study of vector analysis]*. Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.

*
* 

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 


Κατηγορία:Δυναμικά συστήματα 
Κατηγορία:Μαθηματική φυσική 
Κατηγορία:Εφαρμοσμένα μαθηματικά 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών 
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών 
Κατηγορία:Θεωρία αριθμών