Χώρος πιθανότητας

Στην Θεωρία πιθανοτήτων, ένας **χώρος πιθανότητας** είναι μια τριάδα (\Omega,\mathcal{F},P) η οποία μας παρέχει ένα αυστηρό μοντέλο για μια τυχαία διαδικασία ή για ένα πείραμα. Για παράδειγμα, μπορεί κανείς να καθορίσει ένα χώρο πιθανότητας ο οποίος μοντελοποιεί την ρίψη ενός ζαριού. 

Ένας χώρος πιθανότητας αποτελείται από τρία στοιχεία:

# Έναν δειγματικό χώρο, δηλαδή ένα σύνολο \Omega, το οποίο περιέχει όλα τα πιθανά αποτελέσματα του πειράματος που προσπαθούμε να μοντελοποιήσουμε.
# Έναν χώρο γεγονότων, δηλαδή ένα σύνολο \mathcal{F}, που αποτελείται από υποσύνολα του δειγματικού χώρου \Omega. 
# Ένα μέτρο πιθανότητας, δηλαδή μια συνάρτηση P:\mathcal{F}\to[0,1] η οποία απονέμει σε κάθε γεγονός έναν αριθμό μεταξύ του 0 και του 1, δηλαδή την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί αυτό το γεγονός. 

Πιο αυστηρά, το \mathcal{F} είναι μια σ-άλγεβρα πάνω στο \Omega, και η συνάρτηση P:\mathcal{F}\to[0,1] είναι ένα μέτρο πιθανότητας.

Στο παράδειγμα της ρίψης ενός ζαριού:

# Ο δειγματικός χώρος \Omega μπορεί να θεωρηθεί ως το σύνολο \{1,2,3,4,5,6\}, όπου κάθε στοιχείο του συνόλου εκπροσωπεί ένα πιθανό αποτέλεσμα της ρίψης. Για παράδειγμα, το 1 εκπροσωπεί το αποτέλεσμα το ζάρι να φέρει 1. 
# Ο χώρος γεγονότων \mathcal{F} θα μπορούσε να είναι το σύνολο όλων των υποσυνόλων του \Omega. Έτσι, το \mathcal{F} θα περιέχει το μονοσύνολο {5} που εκφράζει το γεγονός "το ζάρι έφερε 5", όπως επίσης θα περιέχει και το σύνολο {2,4,6} που εκφράζει το γεγονός "το ζάρι έφερε άρτιο αριθμό".
# Το μέτρο πιθανότητας P, τότε, θα απονέμει σε κάθε ένα από τα γεγονότα \{1\},\{2\},\ldots \{6\} τον αριθμό 1/6 (αν το ζάρι είναι "δίκαιο"), στο γεγονός \{2,4,6\} θα απονέμει τον αριθμό 1/2, ενώ στο γεγονός \{1,2,3,4,5,6\} τον αριθμό 1 (το οποίο εκφράζει το γεγονός ότι σίγουρα το ζάρι θα φέρει κάποιον αριθμό από το 1 μέχρι το 6).

Όταν διεξάγουμε ένα πείραμα, θα πρέπει να λαμβάνουμε ακριβώς ένα αποτέλεσμα \omega το οποίο ανήκει στον δειγματικό χώρο \Omega. Για κάθε γεγονός A\in\mathcal{F}, λέμε ότι "το γεγονός A έχει **πραγματοποιηθεί**", αν το αποτέλεσμα του πειράματος \omega ανήκει στο A. Η συνάρτηση πιθανότητας P θα πρέπει να αντικατοπτρίζει τη διαισθητική ιδιότητα ότι για κάθε γεγονός A\in\mathcal{F}, το πηλίκο του πλήθους των πειραμάτων στα οποία πραγματοποιείται το A προς τον συνολικό αριθμό των πειραμάτων που διεξαγάγαμε, θα πρέπει να τείνει στον αριθμό P(A) καθώς ο αριθμός των πειραμάτων αυξάνεται. 

Ο σοβιετικός μαθηματικός Αντρέι Κολμογκόροφ (Andrey Kolmogorov) εισήγαγε την έννοια του χώρου πιθανότητας και τα αξιώματα πιθανοτήτων στη δεκαετία του 1930. Στην σύγχρονη θεωρία πιθανοτήτων, υπάρχουν εναλλακτικές προσεγγίσεις για την αξιωματοποίηση, όπως η άλγεβρα των τυχαίων μεταβλητών.

## Εισαγωγή
[μικρογραφία|400x400εσ|Ο χώρος πιθανότητας για την ρίψη ενός ζαριού δύο φορές διαδοχικά: Ο δειγματικός χώρος <math>\Omega</math> αποτελείται από όλα τα 36 πιθανά αποτελέσματα· παρουσιάζονται τρία διαφορετικά γεγονότα (χρωματιστά πολύγωνα), με τις πιθανότητες που τους αντιστοιχούν (υποθέτουμε [διακριτή ομοιόμορφη κατανομή).]]
Ένας χώρος πιθανότητας είναι μια τριάδα (\Omega,\mathcal{F},P) με την οποία μπορούμε να μοντελοποιήσουμε μια ομάδα προβλημάτων ή καταστάσεων της καθημερινής ζωής. Όπως γίνεται με πολλά μοντέλα, μπορούμε ελεύθερα να καθορίσουμε τα μαθηματικά αντικείμενα \Omega, \mathcal{F} και P, ανάλογα με τις ανάγκες μας στην κάθε περίσταση.

# Ο δειγματικός χώρος \Omega είναι το σύνολο όλων των πιθανών αποτελεσμάτων του πειράματος. Κάθε στοιχείο του \Omega θα πρέπει να αντιστοιχεί σε ένα μόνο πιθανό αποτέλεσμα που θα μπορούσαμε να λάβουμε εκτελώντας το πείραμα μία μόνο φορά. Τα αποτελέσματα μπορεί να είναι αριθμοί, διανύσματα, φυσικές καταστάσεις κλπ. Σε κάθε εκτέλεση του πειράματος θα πρέπει να λαμβάνουμε ακριβώς ένα αποτέλεσμα. Αν τα αποτελέσματα δύο διαφορετικών πειραμάτων διαφέρουν με οποιονδήποτε "σημαντικό" τρόπο, τότε θεωρούνται ως ξεχωριστά αποτελέσματα. Το ποιες διαφορές θα θεωρούνται ως "σημαντικές" εξαρτάται από το είδος της ανάλυσης που θέλουμε να κάνουμε. Αυτό οδηγεί σε διαφορετικές επιλογές δειγματικού χώρου.
# Ο χώρος γεγονότων \mathcal{F} είναι μια σ-άλγεβρα πάνω στο \Omega και αποτελείται από όλα τα γεγονότα (υποσύνολα του \Omega) που θα θέλαμε να εξετάσουμε. Ένα γεγονός είναι ένα σύνολο (ενδεχομένως κενό) από πειραματικά αποτελέσματα τα οποία θέλουμε να ομαδοποιήσουμε. Αν ένα γεγονός αποτελείται από ένα μόνο στοιχείο (είναι μονοσύνολο) τότε λέμε πως είναι **απλό γεγονός**, ενώ αν περιέχει δύο ή περισσότερα λέμε πως είναι **σύνθετο γεγονός**. To \mathcal{F} μπορεί να περιέχει ή να μην περιέχει όλα τα απλά γεγονότα. Ένα γεγονός A θεωρείται ότι έχει "**πραγματοποιηθεί**" κατά την εκτέλεση ενός πειράματος, αν το αποτέλεσμα του πειράματος είναι στοιχείο του γεγονότος A.  Δεδομένου ότι ένα αποτέλεσμα μπορεί να ανήκει σε πολλά διαφορετικά γεγονότα, είναι απολύτως φυσιολογικό να πραγματοποιούνται πολλά γεγονότα με την εκτέλεση ενός μόνο πειράματος (για παράδειγμα αν στην ρίψη ενός ζαριού φέρουμε 2 τότε πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα γεγονότα "το ζάρι δείχνει 2" και "το ζάρι δείχνει άρτιο αριθμό"). 
# Το μέτρο πιθανότητας P είναι μια συνάρτηση που απεικονίζει σύνολα σε αριθμούς. Συγκεκριμένα, είναι μια συνάρτηση P:\mathcal{F}\to[0,1], που αντιστοιχίζει σε κάθε γεγονός έναν αριθμό μεταξύ του 0 και 1, ο οποίος εκφράζει την **πιθανότητα** να πραγματοποιηθεί αυτό το γεγονός. Η συνάρτηση P θα πρέπει να είναι μέτρο, και μάλιστα μέτρο πιθανότητας.

* Δεν είναι απαραίτητο να θεωρήσουμε κάθε υποσύνολο του \Omega ως γεγονός: 
** μερικά υποσύνολα μπορεί απλά να μην μας ενδιαφέρουν. Για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε το πείραμα "πόσο μακριά έριξε ο αθλητής το ακόντιο", μας ενδιαφέρουν υποσύνολα του \mathbb{R} όπως το διάστημα [60,65] (δηλαδή το γεγονός "η ρίψη είναι μεταξύ 60 και 65 μέτρα"), αλλά όχι υποσύνολα του \mathbb{R} όπως το [60,65]\setminus\mathbb{Q} (άρρητοι αριθμοί μεταξύ του 60 και 65).
** μερικά υποσύνολα μπορεί να μην είναι μετρήσιμα (αν για παράδειγμα \Omega=\mathbb{R}, τότε δεν υπάρχει τρόπος να ορίσουμε κατάλληλα μια συνάρτηση P η οποία να ορίζεται στο σύνολο όλων των υποσυνόλων του \mathbb{R} και ταυτόχρονα να "συμπεριφέρεται" όπως θα θέλαμε μια συνάρτηση πιθανότητας να συμπεριφέρεται). Αυτός είναι και ο λόγος που απαιτούμε το πεδίο ορισμού της P, δηλαδή το \mathcal{F}, να είναι σ-άλγεβρα.

* Ένα γεγονός με πιθανότητα 0 λέγεται **απίθανο**, ενώ ένα γεγονός με πιθανότητα 1 λέγεται **σχεδόν-σίγουρο**. Βέβαια, δεν ισχύει ότι κάθε απίθανο γεγονός είναι **αδύνατο** (για παράδειγμα η πιθανότητα μιας ηλεκτρικής συσκευής να χαλάσει σε *ακριβώς* 10 ώρες είναι  0, όμως δεν είναι αδύνατο να συμβεί κάτι τέτοιο). Αντίστοιχα, δεν ισχύει ότι κάθε σχεδόν-σίγουρο γεγονός θα πραγματοποιείται σε κάθε πείραμα χωρίς εξαίρεση (για παράδειγμα το γεγονός "η ηλεκτρική συσκευή *δεν* θα χαλάσει σε ακριβώς 10 ώρες" είναι σχεδόν-σίγουρο, αλλά μπορεί να μην πραγματοποιηθεί σε κάποιο πείραμα).

## Ορισμός
Συνοπτικά, ένας χώρος πιθανότητας είναι ένας μετρήσιμος χώρος (\Omega,\mathcal{F}) εφοδιασμένος με ένα μέτρο πιθανότητας P.

Μια τριάδα (\Omega,\mathcal{F},P) λέγεται **χώρος πιθανότητας** όταν αποτελείται από:

* Ο **δειγματικός χώρος** \Omega – ένα οποιοδήποτε μη-κενό σύνολο.
* Ο **χώρος γεγονότων** \mathcal{F}\subseteq\mathcal{P}(\Omega) – μια σ-άλγεβρα πάνω στο \Omega, δηλαδή τα στοιχεία του \mathcal{F} (γεγονότα) είναι υποσύνολα του \Omega και η \mathcal{F} ικανοποιεί: 
** \mathcal{F} περιέχει τον δειγματικό χώρο: \Omega\in\mathcal{F}
** \mathcal{F} κλειστή στα συμπληρώματα: αν A\in\mathcal{F} τότε A^c\in\mathcal{F}
** \mathcal{F} κλειστή στις αριθμήσιμες ενώσεις: αν A_i\in\mathcal{F} για i=1,2,\ldots, τότε (\bigcup_{i=1}^\infty A_i)\in\mathcal{F}
*** Από τις δύο πρώτες ιδιότητες έπεται ότι \emptyset\in\mathcal{F}
*** Από τις δύο τελευταίες ιδιότητες και τον κανόνα του De Morgan έπεται ότι η \mathcal{F} είναι επίσης κλειστή στις αριθμήσιμες τομές: αν A_i\in\mathcal{F} για i=1,2,\ldots, τότε (\bigcap_{i=1}^\infty A_i)\in\mathcal{F}
* Το **μέτρο πιθανότητας** P:\mathcal{F}\to[0,1] – μια συνάρτηση ορισμένη στο \mathcal{F} ώστε:
** η P είναι μέτρο: P(\emptyset)=0 και αν \{A_i\}_{i=1}^\infty\subseteq\mathcal{F}  είναι μια αριθμήσιμη ακολουθία από ξένα ανά-δύο στοιχεία του \mathcal{F}, τότε P(\bigcup_{i=1}^\infty A_i)=\sum_{i=1}^\infty P(A_i)
** η  P είναι μέτρο πιθανότητας: P(\Omega)=1

## Διακριτή περίπτωση
Η διακριτή θεωρία πιθανοτήτων ασχολείται με πειράματα τα οποία μπορούν να έχουν το πολύ αριθμήσιμο πλήθος αποτελεσμάτων (όπως για παράδειγμα το πείραμα "μετράω πόσες φορές ρίχνω ένα νόμισμα μέχρι να τύχει κορώνα" μπορεί να έχει ως αποτέλεσμα οποιονδήποτε φυσικό αριθμό). Για την μοντελοποίηση ενός τέτοιου πειράματος, ο δειγματικός χώρος \Omega είναι αριθμήσιμο σύνολο. Τότε το δυναμοσύνολο \mathcal{P}(\Omega) (συμβολίζεται και 2^{\Omega}) είναι μια σ-άλγεβρα πάνω στο \Omega οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε ως χώρο γεγονότων το \mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega)=2^\Omega. Έπειτα, από τη συνάρτηση μάζας πιθανότητας του πειράματος p:\Omega\to[0,1], που αντιστοιχίζει σε κάθε αποτέλεσμα \omega\in\Omega μία πιθανότητα και ικανοποιεί \sum_{\omega\in\Omega}p(\omega)=1, μπορούμε να ορίσουμε ένα μέτρο πιθανότητας P:\mathcal{F}\to[0,1] ως:

P(A)=\sum_{\omega\in A}p(\omega)\quad,\forall A\in\mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega)

Ο ορισμός δεν αποκλείει την περίπτωση p(\omega)=0, για κάποιο \omega\in\Omega, αλλά σπάνια θεωρούμε τέτοιες περιπτώσεις.

## Γενική περίπτωση
Αν σε κάποιο πείραμα ο δειγματικός χώρος \Omega είναι υπεραριθμήσιμος, και πάλι μπορεί να ισχύει ότι p(\omega)\not=0 για κάποιο \omega\in\Omega· τέτοια στοιχεία λέγονται **άτομα**. Το σύνολο A των ατόμων μπορεί να είναι το πολύ αριθμήσιμο (ενδεχομένως κενό), και για οποιαδήποτε επιλογή μέτρου πιθανότητας P, η πιθανότητα P(A) αυτού του συνόλου\γεγονότος ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων p(\omega) όλων των \omega\in A . 

## Μη-ατομική περίπτωση
Αν ο δειγματικός χώρος δεν περιέχει άτομα (δηλαδή p(\omega)=0,\,\forall\omega\in\Omega ), τότε το \Omega είναι αναγκαστικά υπεραριθμήσιμο (διαφορετικά, σύμφωνα με τα σχόλια για την διακριτή περίπτωση, για οποιαδήποτε επιλογή \mathcal{F} και P θα έχουμε P(\Omega)=0 , άτοπο). Σε αυτή την περίπτωση δεν μπορούμε να μιμηθούμε την τακτική που χρησιμοποιήσαμε στη διακριτή περίπτωση για να ορίσουμε κάποιο μέτρο πιθανότητας P. Η θεωρία μέτρου διευκολύνει στον ορισμό ενός μέτρου πιθανότητας για τέτοιες περιπτώσεις. Η μεθοδολογία, με απλά λόγια, έχει ως εξής:

* Καθορίζουμε μια κλάση \mathcal{K}\subset\mathcal{F} από "απλά" υποσύνολα του \Omega, ώστε κάθε στοιχείο της σ-άλγεβρας \mathcal{F} να "γεννιέται" (μέσω αριθμήσιμων τομών, ενώσεων και συμπληρωμάτων, αριθμήσιμο πλήθος φορών) από αυτή την κλάση.
* Απονέμουμε σε κάθε τέτοιο "απλό" σύνολο την πιθανότητα που θα θέλαμε να έχει, με μια συνάρτηση P^*:\mathcal{K}\to[0,1].
* Επεκτείνουμε κατάλληλα την P^* σε μια P ορισμένη σε ολόκληρο το \mathcal{F}.

Για τις τεχνικές λεπτομέρειες, μπορείτε να δείτε το Θεώρημα επέκτασης του Καραθεοδωρή.

## Πλήρης χώρος πιθανότητας
Ένας χώρος πιθανότητας https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7998d88d53b50a8bcfc418a9d3d0e454e4464eb λέγεται **πλήρης**, αν για κάθε B \in \mathcal{F} με  P(B) = 0  και για κάθε  A\; \subset \;B  ισχύει A \in \mathcal{F}. Συνήθως, οι χώροι πιθανότητας που μελετώνται είναι πλήρεις. Αυτό μας επιτρέπει, σε συνδυασμό με τις ιδιότητες της σ-άλγεβρας \mathcal{F}, να ανάγουμε τη μελέτη κάποιου "περίεργου" συνόλου A στη μελέτη ενός πολύ πιο "εύχρηστου" συνόλου B, το οποίο βρίσκεται "πολύ κοντά" με το A (δηλαδή P(A\setminus B)=P(B\setminus A)=0 ).

## Παραδείγματα

### Διακριτά παραδείγματα

#### Παράδειγμα 1
Αν το πείραμα αποτελείται από τη ρίψη ενός δίκαιου νομίσματος (μία φορά), τότε το αποτέλεσμα είναι είτε "κορώνα" (heads: \text{H}), είτε "γράμματα" (tails: \text{T}). Οπότε έχουμε τον δειγματικό χώρο: \Omega = \{\text{H}, \text{T}\}. Η σ-άλγεβρα \mathcal{F} = 2^{\Omega} αποτελείται από 2^2 = 4 γεγονότα, δηλαδή: \{\text{H}\} ("κορώνα"), \{\text{T}\} ("γράμματα"), \{\} («ούτε κορώνα ούτε γράμματα»), και \{\text{H}, \text{T}\} («είτε κορώνα είτε γράμματα»)· με άλλα λόγια, \mathcal{F} = \{\{\}, \{\text{H}\}, \{\text{T}\}, \{\text{H}, \text{T}\}\} Υπάρχει πενήντα τοις εκατό πιθανότητα να φέρουμε "κορώνα" και πενήντα τοις εκατό να φέρουμε "γράμματα", επομένως το μέτρο πιθανότητας σε αυτό το παράδειγμα ορίζεται από τις σχέσεις: P(\{\}) = 0, P(\{\text{H}\}) = 0.5, P(\{\text{T}\}) = 0.5 και P(\{\text{H}, \text{T}\}) = 1 .

#### Παράδειγμα 2
Γίνεται ρίψη ενός δίκαιου νομίσματος τρεις φορές. Υπάρχουν 8 πιθανά αποτελέσματα: \Omega=\{\text{HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}\}(εδώ, για παράδειγμα, το "\text{HTH}" σημαίνει ότι στην πρώτη ρίψη φέραμε "κορώνα" στην δεύτερη "γράμματα" και στην τρίτη πάλι "κορώνα"). Ολόκληρη η πληροφορία του πειράματος περιέχεται στην σ-άλγεβρα \mathcal{F} = 2^\Omega που αποτελείται  γεγονότα,  κάθε ένα από τα οποία είναι ένα υποσύνολο του \Omega.

Ας πούμε ότι η Αλίκη θα πληροφορηθεί μόνο για το αποτέλεσμα της δεύτερης ρίψης. Έτσι, η ελλιπής γνώση που μπορεί να έχει η Αλίκη περιγράφεται από τη διαμέριση:

\Omega=A_\text{H}\cup A_\text{T}=\{\text{HHH,HHT,THH,THT}\}\cup\{\text{HTH,HTT,TTH,TTT}\} 

και η αντίστοιχη σ-άλγεβρα είναι η \mathcal{F}_\text{A}=\{\{\},A_\text{H},A_\text{B},\Omega\}.

Ας πούμε επίσης ότι ο Βασίλης θα πληροφορηθεί μόνο για τον συνολικό αριθμό από "γράμματα" που φέραμε. Τότε η αντίστοιχη διαμέριση αποτελείται από τέσσερα σύνολα: \Omega=B_0\cup B_1\cup B_2\cup B_3

με B_0=\{\text{HHH}\}, B_1=\{\text{HHT,HTH,THH}\}, B_2=\{\text{HTT,THT,TTH}\} και B_3=\{\text{TTT}\}

ενώ η σ-άλγεβρα \mathcal{F}_\text{B} που αντιστοιχεί περιέχει 2^4=16 γεγονότα.

Και οι δύο σ-άλγεβρες είναι υπο-σ-άλγεβρες της \mathcal{P}(\Omega) αλλά \mathcal{F}_\text{A}\not\subseteq\mathcal{F}_\text{B}\,,\,\mathcal{F}_\text{B}\not\subseteq\mathcal{F}_\text{A}.

#### Παράδειγμα 3
Αν επιλέξουμε τυχαία 100 ψηφοφόρους από το σύνολο όλων των ψηφοφόρων στην πολιτεία της Καλιφόρνια και τους ρωτήσουμε ποιον υποψήφιο πρόκειται να ψηφίσουν, τότε μπορούμε να θεωρήσουμε ως δειγματικό χώρο \Omega το σύνολο όλων των ακολουθιών που αποτελούνται από 100 (διαφορετικούς μεταξύ τους) ψηφοφόρους. Εδώ πέρα θεωρούμε ότι δύο ακολουθίες που αποτελούνται από τους ίδιους ψηφοφόρους, αλλά με διαφορετική σειρά, αποτελούν δύο ξεχωριστά δείγματα. Επίσης υποθέτουμε ότι κάθε ψηφοφόρος έχει ήδη αποφασίσει τι θα ψηφίσει.

Η Αλίκη γνωρίζει μόνο αν ο Άρνολντ Σβαρτσενέγκερ έχει λάβει τουλάχιστον 60 ψήφους ή όχι. Η ελλιπής γνώση της περιγράφεται από την σ-άλγεβρα \mathcal{F}_\text{A} που περιέχει: (1) το σύνολο όλων των ακολουθιών με τουλάχιστον 60 ψηφοφόρους του Σβαρτσενέγκερ, (2) το σύνολο όλων των ακολουθιών με λιγότερους από 60 ψηφοφόρους του Σβαρτσενέγκερ, (3) το σύνολο \Omega και (4) το κενό σύνολο \emptyset. Δηλαδή \mathcal{F}_\text{A}=\{\emptyset,A,A^c,\Omega\}.

Ο Βασίλης γνωρίζει μόνο το πλήθος (από τους 100 ψηφοφόρους) που πρόκειται να ψηφίσουν τον Σβαρτσενέγκερ. Η ελλιπής του γνώση αντίστοιχα περιγράφεται από μια διαμέριση \{B_0,B_1,\ldots,B_{100}\} του \Omega και η σ-άλγεβρα \mathcal{F}_\text{B}αποτελείται από 2^{101} γεγονότα.

Σε αυτή την περίπτωση \mathcal{F}_\text{A}\subset\mathcal{F}_\text{B}\subset 2^\Omega όπου η σ-άλγεβρα 2^\Omega είναι η μεγαλύτερη δυνατή σ-άλγεβρα, περιέχει όλη την πληροφορία και αποτελείται από 2^{N\cdot(N-1)\cdot\ldots\cdot(N-99)} γεγονότα, όπου N είναι το πλήθος όλων των ψηφοφόρων της Καλιφόρνια.

### Μη-ατομικά παραδείγματα

#### Παράδειγμα 4
Ένας αριθμός μεταξύ του 0 και 1 επιλέγεται τυχαία και ομοιόμορφα. Εδώ \Omega=[0,1], \mathcal{F} είναι η σ-άλγεβρα των Borel συνόλων του \Omega και P είναι το μέτρο Lebesgue στο [0,1].

Σε αυτή την περίπτωση, η Borel σ-άλγεβρα του [0,1] παράγεται από την κλάση όλων των ανοιχτών διαστημάτων (a,b) ,με 0, ενώ το μέτρο Lebesgue P προκύπτει επεκτείνοντας την συνάρτηση P^*:\{(a,b)\subseteq\Omega\}\to[0,1] με P^*\big((a,b)\big)=b-a ώστε να ορίζεται σε ολόκληρο το \mathcal{F}.

#### Παράδειγμα 5
Ένα δίκαιο νόμισμα ρίχνεται επανειλημμένα χωρίς τέλος. Εδώ μπορεί να θεωρήσει κανείς \Omega=\{0,1\}^\infty, το σύνολο όλων των άπειρων ακολουθιών που αποτελούνται από τους αριθμούς 0 και 1. Τα σύνολα \{(x_1,x_2,\ldots)\in\Omega:x_1=a_1,x_2=a_2,\ldots\}  μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως τα σύνολα που γεννάνε την σ-άλγεβρα \mathcal{F}. Κάθε τέτοιο σύνολο περιγράφει το γεγονός στο οποίο οι οι n πρώτες ρίψεις έχουν ως αποτέλεσμα τη δεδομένη πεπερασμένη ακολουθία (a_1,a_2,\ldots,a_n), ενώ οι υπόλοιπες δεν έχουν σημασία. Είναι προφανές ότι σε κάθε τέτοιο γεγονός αντιστοιχεί πιθανότητα 2^{-n}.  

## Σχετικές έννοιες

### Τυχαίες μεταβλητές

Τυχαία μεταβλητή ονομάζεται μια μετρήσιμη συνάρτηση X:\Omega\to S από τον δειγματικό χώρο \Omega σε έναν άλλο μετρήσιμο χώρο S.

Αν A\subset S ο συμβολισμός P(X\in A) χρησιμοποιείται ως συντομογραφία του P(\{\omega\in\Omega:X(\omega)\in A\}).

### Καθορισμός των γεγονότων με βάση τον δειγματικό χώρο
Αν το \Omega είναι αριθμήσιμο, σχεδόν πάντα ο δειγματικός χώρος \mathcal{F} ορίζεται ως το δυναμοσύνολο του \Omega, δηλαδή \mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega) το οποίο τετριμμένα είναι σ-άλγεβρα και μάλιστα η μεγαλύτερη πιθανή σ-άλγεβρα πάνω στο \Omega. Έτσι, μπορούμε να παραλείψουμε το  \mathcal{F} και να γράψουμε απλά (\Omega,P) για να αναφερθούμε σε έναν δειγματικό χώρο.

Από την άλλη, αν το \Omega είναι υπεραριθμήσιμο και ορίσουμε \mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega) τότε θα αντιμετωπίσουμε δυσκολίες στο να ορίσουμε το μέτρο πιθανότητας P, καθώς το  \mathcal{F} είναι υπερβολικά "μεγάλο", δηλαδή συχνά θα υπάρχουν σύνολα στα οποία θα είναι αδύνατο να τους αναθέσουμε μια πιθανότητα. Τέτοια προβλήματα παρακάμπτονται θεωρώντας κάποια μικρότερη σ-άλγεβρα \mathcal{F}, όπως για παράδειγμα την Borel σ-άλγεβρα του \Omega, η οποία είναι η μικρότερη δυνατή σ-άλγεβρα που περιέχει όλα τα ανοιχτά υποσύνολα του \Omega.

### Δεσμευμένη πιθανότητα

Από τον ορισμό του Kolmogorov για τους χώρους πιθανότητας έπεται με φυσικό τρόπο η έννοια της δεσμευμένης πιθανότητας. Κάθε σύνολο A με μη μηδενική πιθανότητα (δηλαδή A\in\mathcal{F} και P(A)>0) ορίζει μέσω του μέτρου πιθανότητας P ένα δεύτερο μέτρο πιθανότητας P^* με P^*(B)=P(B|A), όπου:

P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}

Αυτό συνήθως διαβάζεται ως "η πιθανότητα του B δοθέντος του A" ή  "η πιθανότητα του B δεδομένου ότι A".

### Ανεξαρτησία

Δύο γεγονότα A και B λέγονται ανεξάρτητα αν P(A\cap B)=P(A)P(B).

Δύο τυχαίες μεταβλητές, **' και **', ονομάζονται ανεξάρτητες αν κάθε γεγονός της μορφής X\in A (δηλαδή κάθε σύνολο \{\omega\in\Omega:X(\omega)\in A\}) είναι ανεξάρτητο από κάθε γεγονός της μορφής Y\in B. Πιο αυστηρά, οι **' και **' παράγουν ανεξάρτητες σ-άλγεβρες.

### Αμοιβαία αποκλειστικότητα (Mutual exclusivity)

Δύο γεγονότα A και B λέγονται ξένα (mutualy exclusive) αν η πραγματοποίηση του ενός συνεπάγεται την μη πραγματοποίηση του άλλου. Με άλλα λόγια, η τομή τους είναι κενή. Αυτή είναι ισχυρότερη από την συνθήκη να έχουν τομή με μηδενική πιθανότητα.

Αν A και B είναι ξένα γεγονότα, τότε P(A\cup B)=P(A)+P(B). Αντίστοιχες σχέσεις ισχύουν για αριθμήσιμες (πεπερασμένες ή άπειρες) ακολουθίες ξένων γεγονότων. Το ίδιο όμως δεν ισχύει για υπεραριθμήσιμες οικογένειες ξένων γεγονότων. Για παράδειγμα, αν Z είναι μια τυχαία μεταβλητή με κανονική κατανομή πιθανότητας, τότεP(Z=x)=0 για κάθε x, ενώ P(Z\in\mathbb{R})=1.