Πίνακας Πασκάλ

Στα μαθηματικά, ιδίως στη θεωρία πινάκων και στη συνδυαστική, ένας **πίνακας Πασκάλ**είναι ένας πίνακας (ενδεχομένως άπειρος) που περιέχει τους διωνυμικούς συντελεστές ως στοιχεία του. Είναι επομένως μια κωδικοποίηση του τριγώνου του Πασκάλ σε μορφή πίνακα. Υπάρχουν τρεις φυσικοί τρόποι για να επιτευχθεί αυτό: ως κάτω τριγωνικός πίνακας, ως άνω τριγωνικός πίνακας ή ως συμμετρικός πίνακας. Παραδείγματος χάριν, οι πίνακες  5&thinsp;×&thinsp;5 είναι οι εξής:

L_5 = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 3 & 3 & 1 & 0 \\
1 & 4 & 6 & 4 & 1
\end{pmatrix}\,\,\,

U_5 = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 0 & 1 & 3 & 6 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\,\,\,

S_5 = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
1 & 3 & 6 & 10 & 15 \\
1 & 4 & 10 & 20 & 35 \\
1 & 5 & 15 & 35 & 70
\end{pmatrix}=L_5 \times U_5

Υπάρχουν και άλλοι τρόποι με τους οποίους το τρίγωνο του Πασκάλ μπορεί να τεθεί σε μορφή πίνακα, αλλά αυτοί δεν επεκτείνονται εύκολα στο άπειρο.

## Ορισμός

Τα μη μηδενικά στοιχεία ενός πίνακα Πασκάλ δίνονται από τους διωνυμικούς συντελεστές:

L_{ij} = {i \choose j} = \frac{i!}{j!(i-j)!}, j \le i

U_{ij} = {j \choose i} = \frac{j!}{i!(j-i)!}, i \le j

S_{ij} = {i+j \choose i} = {i+j \choose j} = \frac{(i+j)!}{i!j!}

έτσι ώστε οι δείκτες *i*, *j* να ξεκινούν από το 0, και το ! συμβολίζει το παραγοντικό.

## Ιδιότητες

Οι πίνακες έχουν την ενδιαφέρουσα σχέση *S**n* = *L**n**U**n*. Από αυτό γίνεται εύκολα αντιληπτό ότι και οι τρεις πίνακες έχουν ορίζουσα 1, καθώς η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα είναι απλώς το γινόμενο των διαγώνιων στοιχείων του, τα οποία είναι όλα 1 και για τους *L<sub>n</sub>* και για τους *U**n*. Με άλλα λόγια, οι πίνακες *S**n*, *L**n* και *U**n* είναι ορίζουσα μονάδα, με τους *L**n* και *U**n* να έχουν ίχνος n.

Το ίχνος του *S<sub>n</sub>* δίνεται από τη σχέση 

:\text{tr}(S_n) = \sum^n_{i=1} \frac{ [ 2(i-1) ] !}{[(i-1)!]^2} = \sum^{n-1}_{k=0} \frac{ (2k) !}{(k!)^2}

με τους πρώτους όρους να δίνονται από την ακολουθία 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275, ... .

## Κατασκευή

Ένας πίνακας Πασκάλ μπορεί στην πραγματικότητα να κατασκευαστεί με τη λήψη του εκθετικού πίνακα ενός ειδικού υποδιαγώνιου ή υπερδιαγώνιου πίνακα. Το παρακάτω παράδειγμα κατασκευάζει έναν πίνακα Πασκάλ 7&thinsp;×&thinsp;7 αλλά η μέθοδος λειτουργεί για οποιουσδήποτε επιθυμητούς πίνακες Πασκάλ *n*&thinsp;×&thinsp;*n*. Οι τελείες στους ακόλουθους πίνακες αντιπροσωπεύουν μηδενικά στοιχεία.

:
\begin{array}{lll}
& L_7=\exp
\left (
\left [
\begin{smallmatrix}
. & . & . & . & . & . & . \\
1 & . & . & . & . & . & . \\
. & 2 & . & . & . & . & . \\
. & . & 3 & . & . & . & . \\
. & . & . & 4 & . & . & . \\
. & . & . & . & 5 & . & . \\
. & . & . & . & . & 6 & .

\end{smallmatrix}
\right ]
\right )
=
\left [
\begin{smallmatrix}
1   & .   & .   & .   & .   & .   & .   \\
1   & 1   & .   & .   & .   & .   & .   \\
1   & 2   & 1   & .   & .   & .   & .   \\
1   & 3   & 3   & 1   & .   & .   & .   \\
1   & 4   & 6   & 4   & 1   & .   & .   \\
1   & 5   & 10  & 10  & 5   & 1   & .   \\
1   & 6   & 15  & 20  & 15  & 6   & 1  
\end{smallmatrix}
\right ]
;\quad
\\
\\
& U_7=\exp
\left (
\left [
\begin{smallmatrix}
{\color{white}1}. & 1 & . & . & . & . & . \\
{\color{white}1}. & . & 2 & . & . & . & . \\
{\color{white}1}. & . & . & 3 & . & . & . \\
{\color{white}1}. & . & . & . & 4 & . & . \\
{\color{white}1}. & . & . & . & . & 5 & . \\
{\color{white}1}. & . & . & . & . & . & 6 \\
{\color{white}1}. & . & . & . & . & . & .  
\end{smallmatrix}
\right ]
\right )
=
\left [
\begin{smallmatrix}
1   & 1   & 1   & 1   & 1   & 1   & 1   \\
.   & 1   & 2   & 3   & 4   & 5   & 6   \\
.   & .   & 1   & 3   & 6   & 10  & 15  \\
.   & .   & .   & 1   & 4   & 10  & 20  \\
.   & .   & .   & .   & 1   & 5   & 15  \\
.   & .   & .   & .   & .   & 1   & 6   \\
.   & .   & .   & .   & .   & .   & 1  
\end{smallmatrix}
\right ]
;
\\
\\

\therefore & S_7
=\exp
\left (
\left [
\begin{smallmatrix}
. & . & . & . & . & . & . \\
1 & . & . & . & . & . & . \\
. & 2 & . & . & . & . & . \\
. & . & 3 & . & . & . & . \\
. & . & . & 4 & . & . & . \\
. & . & . & . & 5 & . & . \\
. & . & . & . & . & 6 & .

\end{smallmatrix}
\right ]
\right )
\exp
\left (
\left [
\begin{smallmatrix}
{\color{white}i}. & 1 & . & . & . & . & . \\
{\color{white}i}. & . & 2 & . & . & . & . \\
{\color{white}i}. & . & . & 3 & . & . & . \\
{\color{white}i}. & . & . & . & 4 & . & . \\
{\color{white}i}. & . & . & . & . & 5 & . \\
{\color{white}i}. & . & . & . & . & . & 6 \\
{\color{white}i}. & . & . & . & . & . & . 
\end{smallmatrix}
\right ]
\right )
=
\left [
\begin{smallmatrix}
1   & 1   & 1   & 1   & 1   & 1   & 1   \\
1   & 2   & 3   & 4   & 5   & 6   & 7   \\
1   & 3   & 6   & 10  & 15  & 21  & 28  \\
1   & 4   & 10  & 20  & 35  & 56  & 84  \\
1   & 5   & 15  & 35  & 70  & 126 & 210 \\
1   & 6   & 21  & 56  & 126 & 252 & 462 \\
1   & 7   & 28  & 84  & 210 & 462 & 924
\end{smallmatrix}
\right ].
\end{array}


Δεν μπορεί να θεωρηθεί απλώς ότι exp(*A*)&thinsp;exp(*B*) = exp(*A*&nbsp;+&nbsp;*B*), για *n*&thinsp;×&thinsp;*n* πίνακες *A* και *B*- αυτή η ισότητα ισχύει μόνο όταν *AB* = *BA* (δηλαδή όταν οι πίνακες *A* και *B* αντιμετατίθενται). Στην κατασκευή συμμετρικών πινάκων Πασκάλ όπως ο παραπάνω, οι υποδιαγώνιοι και υπερδιαγώνιοι πίνακες δεν αντιμετατίθενται, οπότε η (ίσως) δελεαστική απλούστευση που περιλαμβάνει την πρόσθεση των πινάκων δεν μπορεί να γίνει.

Μια χρήσιμη ιδιότητα των υποδιαγώνιων και υπερδιαγώνιων πινάκων που χρησιμοποιούνται για την κατασκευή είναι ότι και οι δύο είναι μηδενικοί, δηλαδή, όταν ανυψώνονται σε μια αρκετά μεγάλη ακέραια δύναμη, εκφυλίζονται στον μηδενικό πίνακα. (Βλέπε πίνακα μετατόπισης για περισσότερες λεπτομέρειες.) Καθώς οι *n*&thinsp;×&thinsp;*n* γενικευμένοι πίνακες μετατόπισης που χρησιμοποιούμε γίνονται μηδενικοί όταν ανυψώνονται σε δύναμη *n*, κατά τον υπολογισμό του εκθετικού πίνακα χρειάζεται να εξετάσουμε μόνο τους πρώτους *n*&nbsp;+&thinsp;1 όρους της άπειρης σειράς για να λάβουμε ένα ακριβές αποτέλεσμα.

## Παραλλαγές

Ενδιαφέρουσες παραλλαγές μπορούν να προκύψουν με προφανή τροποποίηση του πίνακα-λογάριθμου PL7 και στη συνέχεια εφαρμογή του εκθετικού πίνακα.

Το πρώτο παράδειγμα που ακολουθεί χρησιμοποιεί τα τετράγωνα των τιμών του λογαριθμικού πίνακα και κατασκευάζει έναν 7&thinsp;×&thinsp;7 « Λαγκέρ»- πίνακα (ή πίνακα των συντελεστών των πολυωνύμων Λαγκέρ 

:
\begin{array}{lll}
& LAG_7=\exp
\left (
\left [
\begin{smallmatrix}
. & . & . & . & . & . & . \\
1 & . & . & . & . & . & . \\
. & 4 & . & . & . & . & . \\
. & . & 9 & . & . & . & . \\
. & . & . & 16 & . & . & . \\
. & . & . & . & 25 & . & . \\
. & . & . & . & . & 36 & .
\end{smallmatrix}
\right ]
\right )
=
\left [
\begin{smallmatrix}
    1 &      . &      . &      . &     . &    . &   .   \\
    1 &      1 &      . &      . &     . &    . &   .   \\
    2 &      4 &      1 &      . &     . &    . &   .   \\ 
    6 &     18 &      9 &      1 &     . &    . &   .   \\ 
   24 &     96 &     72 &     16 &     1 &    . &   .   \\ 
  120 &    600 &    600 &    200 &    25 &    1 &   .   \\ 
  720 &   4320 &   5400 &   2400 &   450 &   36 &   1 
\end{smallmatrix}
\right ]
;\quad
\end{array}


Ο πίνακας Λαγκέρ χρησιμοποιείται στην πραγματικότητα με κάποια άλλη κλιμάκωση και/ή με το σύστημα των εναλλασσόμενων προσήμων.  
(Βιβλιογραφία σχετικά με γενικεύσεις σε υψηλότερες δυνάμεις δεν έχει βρεθεί ακόμα)

Το δεύτερο παράδειγμα παρακάτω χρησιμοποιεί τα γινόμενα *v*(*v*&nbsp;+&thinsp;1) των τιμών του log-matrix και κατασκευάζει έναν 7&thinsp;×&thinsp;7 «Λαχ»- πίνακα (ή πίνακα συντελεστών των αριθμών Λαχ)

:\begin{array}{lll}
& LAH_7 = \exp
\left (
\left [
\begin{smallmatrix}
. & . & . & . & . & . & . \\
2 & . & . & . & . & . & . \\
. & 6 & . & . & . & . & . \\
. & . &12 & . & . & . & . \\
. & . & . & 20 & . & . & . \\
. & . & . & . & 30 & . & . \\
. & . & . & . & . & 42 & .
\end{smallmatrix}
\right ]
\right )
=
\left [
\begin{smallmatrix}
 1 & . & . & . & . & . & . & . \\
 2 & 1 & . & . & . & . & . & . \\
 6 & 6 & 1 & . & . & . & . & . \\
 24 & 36 & 12 & 1 & . & . & . & . \\
 120 & 240 & 120 & 20 & 1 & . & . & . \\
 720 & 1800 & 1200 & 300 & 30 & 1 & . & . \\
 5040 & 15120 & 12600 & 4200 & 630 & 42 & 1 & . \\
 40320 & 141120 & 141120 & 58800 & 11760 & 1176 & 56 & 1
\end{smallmatrix}
\right ]
;\quad
\end{array}


Η χρήση του *v*(*v*&nbsp;&minus;&nbsp;1) παρέχει μια διαγώνια μετατόπιση προς τα κάτω δεξιά.

Το τρίτο παράδειγμα παρακάτω χρησιμοποιεί το τετράγωνο του αρχικού *PL*7-πίνακα, διαιρεμένο με το 2, με άλλα λόγια: τα διωνυμικά πρώτης τάξης (binomial(*k*,&nbsp;2)) στη δεύτερη υποδιαγώνιο και κατασκευάζει έναν πίνακα, ο οποίος εμφανίζεται στο πλαίσιο των παραγώγων και των ολοκληρωμάτων της συνάρτησης σφάλματος Γκάους:

:
\begin{array}{lll}
& GS_7 = \exp
\left (
\left [
\begin{smallmatrix}
. & . & . & . & . & . & . \\
. & . & . & . & . & . & . \\
1 & . & . & . & . & . & . \\
. & 3 & . & . & . & . & . \\
. & . & 6 & . & . & . & . \\
. & . & . & 10 & . & . & . \\
. & . & . & . & 15 & . & .
\end{smallmatrix}
\right ]
\right )
=
\left [
\begin{smallmatrix}
   1 &    . &    . &    . &    . &   . &   .   \\ 
   . &    1 &    . &    . &    . &   . &   .   \\ 
   1 &    . &    1 &    . &    . &   . &   .   \\ 
   . &    3 &    . &    1 &    . &   . &   .   \\ 
   3 &    . &    6 &    . &    1 &   . &   .   \\ 
   . &   15 &    . &   10 &    . &   1 &   .   \\ 
  15 &    . &   45 &    . &   15 &   . &   1 
\end{smallmatrix}
\right ]
;\quad
\end{array}


Εάν ο πίνακας αυτός αντιστραφεί (χρησιμοποιώντας, για παράδειγμα, τον αρνητικό λογάριθμο του πίνακα), τότε ο πίνακας αυτός έχει εναλλασσόμενα πρόσημα και δίνει τους συντελεστές των παραγώγων (και κατ' επέκταση των ολοκληρωμάτων) της συνάρτησης σφάλματος του Γκάους.  (Βιβλιογραφία για γενικεύσεις σε μεγαλύτερες δυνάμεις δεν έχει βρεθεί ακόμη).

Μια άλλη παραλλαγή μπορεί να προκύψει επεκτείνοντας τον αρχικό πίνακα σε αρνητικές τιμές:  

:
\begin{array}{lll}
& \exp
\left (
\left [
\begin{smallmatrix}
. & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\
-5& . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\
. &-4 & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\
. & . &-3 & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\
. & . & . &-2 & . & . & . & . & . & . & . & . \\
. & . & . & . &-1 & . & . & . & . & . & . & . \\
. & . & . & . & . & 0 & . & . & . & . & . & . \\
. & . & . & . & . & . & 1 & . & . & . & . & . \\
. & . & . & . & . & . & . & 2 & . & . & . & . \\
. & . & . & . & . & . & . & . & 3 & . & . & . \\
. & . & . & . & . & . & . & . & . & 4 & . & . \\
. & . & . & . & . & . & . & . & . & . & 5 & .

\end{smallmatrix}
\right ]
\right )
=
\left [
\begin{smallmatrix}
1   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   \\
-5  & 1   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   \\
10  & -4  & 1   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   \\
-10 & 6   & -3  & 1   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   \\
5   & -4  & 3   & -2  & 1   & .   & .   & .   & .   & .   & .   & .   \\
-1  & 1   & -1  & 1   & -1  & 1   & .   & .   & .   & .   & .   & .   \\
.   & .   & .   & .   & .   & 0   & 1   & .   & .   & .   & .   & .   \\
.   & .   & .   & .   & .   & .   & 1   & 1   & .   & .   & .   & .   \\
.   & .   & .   & .   & .   & .   & 1   & 2   & 1   & .   & .   & .   \\
.   & .   & .   & .   & .   & .   & 1   & 3   & 3   & 1   & .   & .   \\
.   & .   & .   & .   & .   & .   & 1   & 4   & 6   & 4   & 1   & .   \\
.   & .   & .   & .   & .   & .   & 1   & 5   & 10  & 10  & 5   & 1   
\end{smallmatrix}
\right ]
.
\end{array}


## Δείτε επίσης

* Field Arithmetic
* Πραγματικό προβολικό επίπεδο
* Εσωτερικό γινόμενο 
* Φυσικός αριθμός
* Πίνακας (μαθηματικά)
* Τριγωνικός πίνακας
* Διάνυσμα
* Τρίγωνο του Πασκάλ
* Ταυτοτικός πίνακας

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*Matrix calculator
* Matrix Analysis
* Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
* Symmetries, Lie Algebras and Representations: A Graduate Course for Physicists
* [The Statistics and Calculus with Python Workshop: A comprehensive ..](https://books.google.gr/books?id=Llj4DwAAQBAJ&pg=PA66&dq=Vectorization+(mathematics)&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwiAlLvAo72HAxVjB9sEHSolOH8Q6AF6BAgNEAI#v=onepage&q=Vectorization%20(mathematics)&f=false)
* Difference Equations, Special Functions and Orthogonal Polynomials ...
* Claudio Moraga: A Passion for Multi-Valued Logic and Soft Computing
* Hands-on Matrix Algebra Using R: Active and Motivated Learning with Applications

## Δημοσιεύσεις

* 
* 
* 
* 
* G. Helms Pascalmatrix in a project of compilation of facts about Numbertheoretical matrices
* G. Helms Gauss-matrix
* Weisstein, Eric W. Gaussian-function  
* Weisstein, Eric W. Erf-function 
* Weisstein, Eric W. "Hermite Polynomial". Hermite-polynomials 
* Endl, Kurt "Über eine ausgezeichnete Eigenschaft der Koeffizientenmatrizen des Laguerreschen und des Hermiteschen Polynomsystems". In: PERIODICAL VOLUME 65 Mathematische Zeitschrift Kurt Endl 
* OEIS sequence A066325 (Coefficients of unitary Hermite polynomials Hen(x)) (Related to Gauss-matrix). (Related to Gauss-matrix).

## Παραπομπές

* Janko Bračič, *Kolobar aritmetičnih funkcij* (*[[:en:Ring (algebra)|Ring]] of arithmetical functions*), (Obzornik mat, fiz. **49** (2002) 4, pp.&nbsp;97–108)  (MSC (2000) 11A25) 
* Iwaniec and Kowalski, *Analytic number theory*, AMS (2004). 

 

Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα 
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά) 
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων 
Κατηγορία:Τρίγωνα