Σύστημα παραγοντοποίησης

Στα μαθηματικά, μπορεί να αποδειχθεί ότι κάθε συνάρτηση μπορεί να γραφτεί ως σύνθεση μιας επιρριπτικής συνάρτησης που ακολουθείται από μια ερριπτική συνάρτηση. Τα **συστήματα παραγοντοποίησης** είναι μια γενίκευση αυτής της κατάστασης στη θεωρία των κατηγοριών.

## Ορισμός

Ένα **σύστημα παραγοντοποίησης** (*E*, *M*) για μια κατηγορία **C** αποτελείται από δύο κλάσεις μορφισμών *E* και *M* της **C** έτσι ώστε: 
#Τα *E* και *M* περιέχουν και τα δύο όλους τους ισομορφισμούς της **C** και είναι κλειστά ως προς τη σύνθεση.
#Κάθε μορφισμός *f* της **C** μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως f=m\circ e για ορισμένους μορφισμούς  e\in E και m\in M.
#Η παραγοντοποίηση είναι *συναρματική*: αν  u και v είναι δύο μορφισμοί έτσι ώστε vme=m'e'u  για ορισμένους μορφισμούς  e, e'\in E καιm, m'\in M, τότε υπάρχει ένας μοναδικός μορφισμός w  που κάνει το ακόλουθο διάγραμμα να είναι αντιμεταθετικό:

*Παρατήρηση:* (u,v) είναι ένας μορφισμός από me σε m'e' στην κατηγορία βέλους. 

## Ορθογωνιότητα

Δύο μορφισμοί  e και m λέγονται ορθογώνιοι, συμβολίζονται με e\downarrow m, αν για κάθε ζεύγος μορφισμών u και v έτσι ώστε ve=mu υπάρχει ένας μοναδικός μορφισμός w έτσι ώστε το διάγραμμα 

να είναι αντιμεταθετικό. Αυτή η έννοια μπορεί να επεκταθεί για να ορίσει τις ορθογώνιες συνόλου μορφισμών με

:H^\uparrow=\{e\quad|\quad\forall h\in H, e\downarrow h\} και H^\downarrow=\{m\quad|\quad\forall h\in H, h\downarrow m\}.

Δεδομένου ότι σε ένα **σύστημα παραγοντοποίησης**  E\cap M  περιέχει όλους τους ισομορφισμούς, η συνθήκη (3) του ορισμού είναι ισοδύναμη με
:(3') E\subseteq M^\uparrow και M\subseteq E^\downarrow.

*Απόδειξη:* Στο προηγούμενο διάγραμμα (3), ας πάρουμε  m:= id ,\  e' := id   (ταυτότητα στο κατάλληλο αντικείμενο) και   m' := m .

## Ισοδύναμος ορισμός

Το ζεύγος (E,M) των κλάσεων των μορφισμών του **C** είναι ένα **σύστημα παραγοντοποίησης** αν και μόνο αν ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες:

#Κάθε μορφισμός *f* της **C** μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως f=m\circ e με e\in E και m\in M.
#E=M^\uparrow και M=E^\downarrow.

## Ασθενή συστήματα παραγοντοποίησης
Ας υποθέσουμε ότι *e* και *m* είναι δύο μορφισμοί σε μια κατηγορία **C**. Τότε το *e*  έχει την ιδιότητα αριστερής ανύψωσης σε σχέση με το *m* (αντίστοιχα το *m* έχει την ιδιότητα δεξιάς ανύψωσης σε σχέση με το *e*) όταν για κάθε ζεύγος μορφισμών  *u* και *v* έτσι ώστε *ve*&nbsp;=&nbsp;*mu* υπάρχει ένας μορφισμός w έτσι ώστε το ακόλουθο διάγραμμα να είναι αντιμεταθετικό. Η διαφορά με την ορθογώνια είναι ότι το *w* δεν είναι απαραίτητα μοναδικό.

Ένα σύστημα Ασθεν**ές παραγοντοποίησης** (*E*, *M*) για μια κατηγορία **C** αποτελείται από δύο κλάσεις μορφισμών *E* και *M* της **C** έτσι ώστε:
#Η κλάση *E* είναι ακριβώς η κλάση των μορφισμών που έχουν την ιδιότητα της αριστερής ανύψωσης σε σχέση με κάθε μορφισμό στο *M*.
#Η κλάση *M* είναι ακριβώς η κλάση των μορφισμών που έχουν τη σωστή ιδιότητα ανύψωσης σε σχέση με κάθε μορφισμό στο *E*.
#Κάθε μορφισμός *f* της **C** μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως f=m\circ e  για ορισμένους μορφισμούς e\in E και m\in M.
Αυτή η έννοια οδηγεί σε έναν συνοπτικό ορισμό των πρότυπων κατηγοριών: μια πρότυπη κατηγορία είναι ένα ζεύγος που αποτελείται από μια κατηγορία **C** και τάξεις (λεγόμενων) ασθενών ισοδυναμιών *W*, νηματώσεις *F* και συννηματώσεις *C* έτσι ώστε

* **C**  έχει όλα τα όρια και τα συνόρια,

* (C \cap W, F) είναι ένα ασθενές σύστημα παραγοντοποίησης,

* (C, F \cap W) είναι ένα ασθενές σύστημα παραγοντοποίησης, και

* W ικανοποιεί την ιδιότητα δύο από τα τρία: αν  f και g  είναι συνθέσιμα μορφίσματα και δύο από τα f,g,g\circ f βρίσκονται στο  W, τότε το ίδιο ισχύει και για το τρίτο.

Μια κατηγορία μοντέλου είναι μια πλήρης και συνπλήρης κατηγορία εξοπλισμένη με μια δομή μοντέλου. Μια απεικόνιση ονομάζεται τετριμμένη νημάτωση αν ανήκει στο F\cap W, και ονομάζεται τετριμμένη συνημάτωση αν ανήκει στο C\cap W. Ένα αντικείμενο X ονομάζεται ινώδης αν ο μορφισμός X\rightarrow 1 προς το τελικό αντικείμενο είναι νημάτωση, και ονομάζεται συννημάτωση αν ο μορφισμός  0\rightarrow X από το αρχικό αντικείμενο είναι συννημάτωση.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή κατηγορία
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
* 

*
*
*
*
* 
*

*
*Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
*
*
*
* 
* 
* Categorical programming with inductive and coinductive types () by Varmo Vene
* Philip Wadler: Recursive types for free! () University of Glasgow, June 1990. Draft.
* Algebra and coalgebra () from CLiki
* B. Jacobs, J. Rutten: A Tutorial on (Co) Algebras and (Co) Induction. Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, vol. 62, 1997, 
* Understanding F-Algebras () by Bartosz Milewski
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Γενική τοπολογία
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα