Εικασία Φερμά-Καταλάν

Στη θεωρία των αριθμών, η **εικασία Φερμά-Καταλάν** είναι μια γενίκευση του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά και της εικασίας του Καταλάν. Η εικασία δηλώνει ότι η εξίσωση

έχει μόνο πεπερασμένα πολλές λύσεις (*a*,*b*,*c*,*m*,*n*,*k*)  με διακριτές τριάδες τιμών (*a**m*, *b**n*, *c**k*)  όπου *a*, *b*, *c* είναι θετικοί σχετικά πρώτη ακέραιοι και *m*, *n*, *k* που ικανοποιούν τις ακόλουθες προϋποθέσεις 

Η ανισότητα για τα *m*, *n*, και *k* είναι απαραίτητο μέρος της εικασίας. Χωρίς την ανισότητα θα υπήρχαν άπειρες λύσεις, παραδείγματος χάριν με *k* = 1 (για οποιοδήποτε *a*, *b*, *m* και *n* και με*c* = *a**m* + *b**n*) ή με *m*, *n* και *k* όλα ίσα με δύο (για τις άπειρες γνωστές πυθαγόρειες τριάδες).

## Γνωστές λύσεις
Από το 2015 είναι γνωστές οι ακόλουθες δέκα λύσεις της εξίσωσης (1) που πληρούν τα κριτήρια της εξίσωσης (2): 

:1^m+2^3=3^2\; (για m>6 ώστε να ικανοποιείται η Εξ.2)
:2^5+7^2=3^4\;
:7^3+13^2=2^9\;
:2^7+17^3=71^2\;
:3^5+11^4=122^2\;
:33^8+1549034^2=15613^3\;
:1414^3+2213459^2=65^7\;
:9262^3+15312283^2=113^7\;
:17^7+76271^3=21063928^2\;
:43^8+96222^3=30042907^2\;

Η πρώτη από αυτές (1*m* + 23 = 32) είναι η μόνη λύση όπου ένα από τα *a*, *b* ή *c* είναι 1, σύμφωνα με την εικασία του Καταλάν, που αποδείχθηκε το 2002 από τον Πρέντα Μιχαηλέσκου. Ενώ η περίπτωση αυτή οδηγεί σε άπειρες λύσεις της (1) (αφού μπορεί κανείς να επιλέξει οποιοδήποτε *m* για *m* > 6), οι λύσεις αυτές δίνουν μόνο μια τριάδα τιμών (*a**m*, *b**n*, *c**k*).

## Μερικά αποτελέσματα
Είναι γνωστό από το θεώρημα Ντάρμον-Γκράνβιλ, το οποίο χρησιμοποιεί το θεώρημα του Φάλτινγκς, ότι για οποιαδήποτε σταθερή επιλογή θετικών ακεραίων *m*, *n* και *k* που ικανοποιούν την (2), υπάρχει μόνο ένας πεπερασμένος αριθμός από τριάδες (*a*,&nbsp;*b*,&nbsp;*c*) που λύνουν την (1).    Ωστόσο, η ολοκληρωμένη εικασία Φερμά-Καταλάν είναι ισχυρότερη, καθώς επιτρέπει τη μεταβολή των εκθετών *m*, *n* και *k*.

Η εικασία abc συνεπάγεται την εικασία Φερμά-Καταλάν.

Για έναν κατάλογο αποτελεσμάτων για αδύνατους συνδυασμούς εκθετών, δείτε Εικασία του Beal#Μερικά αποτελέσματα. Η εικασία του Μπιλ είναι αληθής αν και μόνο αν όλες οι λύσεις Φερμά-Καταλαν έχουν *m* = 2, *n* = 2, ή *k* = 2.

## Ειδικές τιμές των εκθετών

Το πεπερασμένο των λύσεων διερευνήθηκε για ειδικούς συνδυασμούς εκθετών ( m, n, k) της εικασίας, συμπεριλαμβανομένων των εξής

*(2, 3, 7) από τους Μπιορν Πούνεν u.&nbsp;a.(2005).
* Η εικασία Φερμά που αποδείχθηκε από τον Άντριου Γουάιλς αφορά την περίπτωση (k, k, k) χωρίς λύση για k \geq 3
*Οι Ανρί Νταρμόν και Λοϊκ Μερέλ αντιμετώπισαν τις περιπτώσεις (k, k, 2) και (k, k, 3) και έδειξαν ότι δεν υπάρχουν λύσεις για (k, k, 3),  k \geq 3 και για (k, k, 2) για  k \geq 4.
*(2n, 2n, 5) από τον Μάικλ Μπένετ
*(2,4,n) από τους Τζόρνταν Σ. Έλενμπεργκ, Έλενμπεργκ/Μπένετ/Νγκ και Μπρούιν και (2, n, 4) από Μπένετ και Μπένετ/Σκίνερ.
*(2,6,n) από Μπένετ/Τσεν και  Μπρούιν
*(2, n, 6), (3,3,2n), (3,6,n), (2, 2n, k) για k= 9, 10 ή 15, (4, 2n, 3) από τους Μπένετ, Ι. Τσεν, Σ. Ντάμεν, Σ. Γιαζντάνι
*(2,4,7) του Γκιόκα
*(2,3,8), (2,3,9), (2,4,5), (2,4,6), (3,3,4), (3,3,5) από τον Μπρούιν (2004).
*(5,5,7), (7,7,5) από τον Νταχμεν/Σίκσεκ
*(3,4,5) Σίκσεκ/Στολ

Ο Ανρί Νταρμόν (2012) ακολούθησε ένα πρόγραμμα γενίκευσης της καμπύλης Φρέι του προβλήματος Φερμά (σε ποικιλίες Φρέι-Αμπέλ) προκειμένου να μελετήσει τις γενικευμένες εξισώσεις Φερμά (p, p, r) (με  r >3).

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

## Δείτε επίσης
* Θεωρία αριθμών
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Συζυγής μιγαδικός αριθμός
* Δεύτερη Εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ
* Ελλειπτική καμπύλη
* e (μαθηματική σταθερά)
* Πυθαγόρεια τετράδα
* Άρτιοι και περιττοί αριθμοί
* Τετραγωνικός αριθμός
* Κρυπτογραφία ελλειπτικών καμπυλών
* Προβλήματα του Λαντάου
* Κύβος (άλγεβρα)
* Εικασία του Γκόλντμπαχ
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Υπόθεση H του Σίνζελ
* Κλάση συζυγίας
* Ευκλείδειος χώρος

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά στο Wolfram Mathworld
* 
*  Scientific article by Andrew Wiles
* 
*
*
*Gebel, J., Pethö, A., and Zimmer, H.G.: "On Mordell's equation", 'Compositio Math.' *110*(1998), 335-367.
*I. Jiménez Calvo, J. Herranz and G. Sáez Moreno, "A new algorithm to search for small nonzero |'x3&nbsp;-&nbsp;y2'| values", 'Math. Comp.' *78* (2009), pp. 2435-2444.
*S. Aanderaa, L. Kristiansen and H. K. Ruud, "Search for good examples of Hall's conjecture", 'Math. Comp.' *87* (2018), 2903-2914.

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

Κατηγορία:Διοφαντικές εξισώσεις
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών
Κατηγορία:Θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Εικασίες
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά