Αντισυμμετρικός πίνακας

Στην γραμμική άλγεβρα, **αντισυμμετρικός πίνακας** είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας A που είναι ίσος με τον αντίθετο του ανάστροφού του -A^T, A = -A^T. Δηλαδή, ένας πίνακας διαστάσεων n \times n είναι αντισυμμετρικός αν και μόνο αν A_{ij} = -A_{ji} για κάθε 1 \leq i, j \leq n. Λόγω αυτής της συνθήκης τα στοιχεία της κύριας διαγώνιας του πίνακα είναι όλα μηδέν.

Η γενική μορφή ενός αντισυμμετρικού πίνακα διαστάσεων n \times n για n = 2, 3, 4, είναι:
:
\underbrace{
\begin{bmatrix}
0 & \color{red}{A_{12}} \\
\color{red}{-A_{12}} & 0
\end{bmatrix}}_{2 \times 2}
\qquad
\underbrace{
\begin{bmatrix}
0 & \color{red}{A_{12}} & \color{blue}{A_{13}} \\
\color{red}{-A_{12}} & 0 & \color{green}{A_{23}} \\
\color{blue}{-A_{13}} & \color{green}{-A_{23}} & 0
\end{bmatrix}}_{3 \times 3}
\qquad
\underbrace{
\begin{bmatrix}
0 & \color{red}{A_{12}} & \color{blue}{A_{13}} & \color{orange}{A_{14}} \\
\color{red}{-A_{12}} & 0 & \color{green}{A_{23}} & \color{purple}{A_{24}} \\
\color{blue}{-A_{13}} & \color{green}{-A_{23}} & 0 & \color{magenta}{A_{34}} \\
\color{orange}{-A_{14}} & \color{purple}{-A_{24}} & \color{magenta}{-A_{34}} & 0
\end{bmatrix}}_{4 \times 4},

όπου με ίδιο χρώμα (εκτός του μαύρου) είναι τα στοιχεία που πρέπει να είναι αντίθετα μεταξύ τους σε έναν αντισυμμετρικό πίνακα. Τα στοιχεία αυτά είναι *συμμετρικά* ως προς την κύρια διαγώνιο, εξού και το όνομα *αντισυμμετρικός πίνακας*. 

## Παραδείγματα

* Παρακάτω δίνονται μερικοί συγκεκριμένοι αντισυμμετρικοί πίνακες
::
\begin{bmatrix}
0 & \color{red}{7} \\
\color{red}{-7} & 0
\end{bmatrix}
\qquad
\begin{bmatrix}
0 & \color{red}{4.8} & \color{blue}{-6} \\
\color{red}{-4.8} & 0 & \color{green}{-3.4} \\
\color{blue}{6} & \color{green}{3.4} & 0
\end{bmatrix}
\qquad
\begin{bmatrix}
0 & \color{red}{2.1} & \color{blue}{0} & \color{orange}{4.7} \\
\color{red}{-2.1} & 0 & \color{green}{-0.7} & \color{purple}{2.2} \\
\color{blue}{0} & \color{green}{0.7} & 0 & \color{magenta}{3.5} \\
\color{orange}{-4.7} & \color{purple}{-2.2} & \color{magenta}{-3.5} & 0
\end{bmatrix}.

* Ο μηδενικός πίνακας \mathbf{0}_{n \times n} είναι αντισυμμετρικός, καθώς -\mathbf{0}_{n \times n}^T = \mathbf{0}_{n \times n}.

## Ιδιότητες

* Εξ'ορισμού, ο ανάστροφος πίνακας A^T ενός αντισυμμετρικού πίνακα A είναι αντισυμμετρικός, καθώς είναι ίσος με τον -A. 
* Το άθροισμα δύο αντισυμμετρικών πινάκων A, B είναι αντισυμμετρικός πίνακας, καθώς (A+B)^T = A^T + B^T = (-A) + (-B) = -(A + B).
* Το βαθμωτός πολλαπλασιασμός ενός αντισυμμετρικού πίνακα A και ενός στοιχείου c είναι αντισυμμετρικός πίνακας, καθώς (cA)^T = cA^T = c(-A) = -cA.
* Τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου ενός αντισυμμετρικού πίνακα είναι 0, καθώς A_{ii} = -A_{ii} \Rightarrow A_{ii} = 0 για κάθε 1 \leq i \leq n. Συνεπώς, το ίχνος του A είναι \operatorname{tr}(A) = \textstyle \sum_{i = 1}^n A_{ii} = 0. 
* Η ορίζουσα ενός αντισυμμετρικού πίνακα A με διαστάσεις n \times n με n μονό αριθμό, είναι \operatorname{det}(A) = 0. Αυτό σημαίνει ότι ο πίνακας είναι μη-αντιστρέψιμος πίνακας.
* Για κάθε πίνακα A, ο πίνακας A - A^T είναι αντισυμμετρικός, καθώς (A - A^T)^T = A^T - (A^T)^T = A^T - A = -(A - A^T). Προκύπτει ότι κάθε πίνακας A μπορεί να γραφτεί ως A = B + C για συμμετρικό πίνακα B = \tfrac{1}{2} \cdot (A + A^T) και αντισυμμετρικό πίνακα C = \tfrac{1}{2} \cdot (A - A^T).
* Για κάθε διάνυσμα \mathbf{x} \in \R^n και για αντισυμμετρικό πίνακα A διαστάσεων n \times n, η τετραγωνική μορφή \mathbf{x}^T A \mathbf{x} = 0.

## Δείτε επίσης

* Συμμετρικός πίνακας
* Αυτοπροσαρτηµένος πίνακας

## Παραπομπές


 

Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα