Πρόσθεση

thumb|Εκτός από τους αριθμούς 0-10. Γραμμή ετικέτες = προσθετέος. Άξονας Χ = προσθετέος. Άξονα Y = άθροισμα.

Η **πρόσθεση** είναι μία μαθηματική πράξη που αντιπροσωπεύει το συνολικό ποσό των αντικειμένων μαζί σε μια συλλογή. Καθορίζεται από το σύμβολο *συν* (+). Για παράδειγμα, στην εικόνα στα δεξιά, υπάρχουν 3 + 2 μήλα, δηλαδή, τρία μήλα και δύο μήλα μαζί, το οποίο είναι ένα σύνολο από 5 μήλα. Ως εκ τούτου, 3 + 2 = 5. Εκτός από την καταμέτρηση των φρούτων, η πρόσθεση μπορεί επίσης να αντιπροσωπεύει το συνδυασμό άλλων φυσικών και αφηρημένων ποσοτήτων χρησιμοποιώντας διαφορετικά είδη αντικειμένων: αρνητικούς αριθμούς , κλάσματα, άρρητους αριθμούς , Ευκλείδειο διάνυσμα , δεκαδικά ψηφία, λειτουργίες, πίνακες και πολλά άλλα.

Η πρόσθεση ακολουθεί αρκετά σημαντικά σχέδια. Είναι μετατρέψιμη, πράγμα που σημαίνει ότι η σειρά δεν έχει σημασία, και είναι συνειρμική, πράγμα που σημαίνει ότι όταν κάποιος προσθέτει περισσότερους από δύο αριθμούς, η σειρά με την οποία γίνεται η πρόσθεση , δεν έχει σημασία (βλ. * [[Άθροιση]]*). Η επαναλαμβανόμενη πρόσθεση του 1 είναι το ίδιο όπως η μέτρηση : η πρόσθεση του 0 δεν αλλάζει έναν αριθμό.Η πρόσθεση υπακούει προβλέψιμους κανόνες που αφορούν συναφείς πράξεις , όπως η αφαίρεση και ο πολλαπλασιασμός. Όλοι αυτοί οι κανόνες μπορούν να αποδειχθούν, ξεκινώντας με την πρόσθεση φυσικών αριθμών και γενικεύονται μέσω των πραγματικών αριθμών και πέρα. Οι γενικές δυαδικές πράξεις που συνεχίζουν αυτά τα πρότυπα μελετώνται στην αφηρημένη άλγεβρα.

Η εκτέλεση της πρόσθεσης είναι μία από τις πιο απλές αριθμητικές εργασίες. Η πρόσθεση είναι  προσβάσιμη σε πολύ μικρά παιδιά : η πιο βασική πράξη, 1 + 1, μπορεί να πραγματοποιηθεί από βρέφη ηλικίας μόλις πέντε μηνών και ακόμη και από μερικά ζώα. Στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση, οι μαθητές διδάσκονται να προσθέτουν αριθμούς στο δεκαδικό σύστημα, ξεκινώντας με μονά ψήφια και σταδιακά στην αντιμετώπιση πιο δύσκολων προβλημάτων. Τα μηχανικά βοηθήματα κυμαίνονται από την αρχαία άβακα μέχρι τον σύγχρονο υπολογιστή, όπου η έρευνα στις πιο αποτελεσματικές υλοποιήσεις της πρόσθεσης συνεχίζεται μέχρι σήμερα.

## Συμβολισμός και Ορολογία
right|120px|thumb|Το σύμβολο της πρόσθεσης
Η πρόσθεση γράφεται χρησιμοποιώντας το σύμβολο συν "+" ανάμεσα στους όρους, δηλαδή σε εν θεματικούς συμβολισμούς. Το αποτέλεσμα εκφράζεται με το σύμβολο ισότητας "=". Για παράδειγμα
:1 + 1 = 2 (προφορικά, "ένα συν ένα ισούται με δύο")
:2 + 2 = 4
:5 + 4 + 2 = 11 ( "προσεταιριστική ιδιότητα")
:3 + 3 + 3 + 3 = 12 ( "πολλαπλασιασμός")

right

Υπάρχουν επίσης περιπτώσεις όπου η προσθήκη είναι "κατανοητή", ακόμη κι αν δεν εμφανίζεται το σύμβολο:

* Μία στήλη των αριθμών, με τον τελευταίο αριθμό στη στήλη υπογραμμίζουν , συνήθως δείχνει ότι οι αριθμοί στη στήλη πρόκειται να προστεθούν, με το ποσό γραμμένο κάτω από τον υπογραμμισμένο αριθμό.
* Ένα ολόκληρο αριθμό που ακολουθείται αμέσως από ένα κλάσμα δηλώνει το άθροισμα των δύο, που ονομάζεται *[[μικτός αριθμός]]*.

 Για παράδειγμα, &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
3½ = 3 + ½ = 3.5.  
Αυτή η σημειογραφία μπορεί να προκαλέσει σύγχυση δεδομένου ότι στις περισσότερες άλλες περιπτώσεις  υποδηλώνει πολλαπλασιασμό αντί αυτού.

Το άθροισμα της Σειράς των σχετικών αριθμών μπορεί να εκφραστεί μέσω της σημειογραφίας "Σ", η οποία υποδηλώνει συμπαγώς επανάληψη. Για παράδειγμα,

:\sum_{k=1}^5 k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55.

Οι αριθμοί ή τα αντικείμενα που προστίθενται στη γενική πρόσθεση  συλλογικά  αναφέρονται ως "όροι" ή "προσθετέοι": αυτή η ορολογία προκύπτει από το άθροισμα πολλών όρων.
Αυτό διακρίνεται από τους συντελεστές οι οποίοι πολλαπλασιάζονται.
Μερικοί συγγραφείς ονομάζουν  τον πρώτο προσθετέο, “προσθέτης* (=ένας αριθμός στον οποίο, ο προσθετέος, προστίθεται)  . Στην πραγματικότητα, κατά τη διάρκεια της [[Αναγέννηση]]ς, πολλοί συγγραφείς δεν θεώρησαν τον πρώτο προσθετέο  ως "προσθετέο" καθόλου. Σήμερα, λόγω της [[Αντιμεταθετική ιδιότητα|αντιμεταθετικής ιδιότητας]] της πρόσθεσης, ο όρος "προσθέτης" χρησιμοποιείται σπάνια, και οι δύο όροι γενικά ονομάζονται προσθετέοι.

Όλη αυτή η ορολογία προέρχεται από τα [[Λατινικά]]. Η πρόσθεση και προσθέτω είναι [[Αγγλική γλώσσα|αγγλικές]] λέξεις που προέρχονται από το λατινικό [[ρήμα]] * addere*, το οποίo είναι με τη σειρά του μία γλωσσολογική ένωση του ad *να", και dare *να δίνεις",  από την  [[Ινδοευρωπαϊκές γλώσσες|Πρωτο-Ινδο-ευρωπαϊκή ρίζα]] * deh,  "να δίνεις" , έτσι το να * προσθέτει * είναι να * δίνεις*..  Χρησιμοποιώντας την  γερουνδιακή κατάληξη *-nd* καταλήγει κανείς στην λέξη "addend",, που σημαίνει "πράγμα το οποίο προστίθεται"  
Ομοίως, από την λέξη "augere" που σημαίνει "αυξάνομαι", καταλήγει κανείς στην λέξη "augend", δηλαδή "κάτι που αυξάνεται".
  
[[Αρχείο:AdditionNombryng.svg|left|thumb|Πρόσοψη της εικόνας από την * Η Τέχνη του Nombryng*, ένα από τα πρώτα αγγλικά αριθμητικά κείμενα, τον 15ο αιώνα ]]
Οι λέξεις "άθροισμα (sum) " και "προσθετέος (summand) " προέρχoνται από το λατινικό [[ουσιαστικό]]  "summa ", δηλαδή "το υψηλότερο, το κορυφαίο" και του  συνώνυμου  ρήματος "summare". Αυτό είναι κατάλληλο όχι μόνο επειδή το άθροισμα δύο θετικών αριθμών είναι μεγαλύτερο από αυτούς τους δύο, αλλά επειδή κάποτε ήταν γνωστό το να προσθέτεις προς τα πάνω, σε αντίθεση με τη σύγχρονη πρακτική της πρόσθεσης προς τα κάτω, έτσι ώστε ένα άθροισμα να είναι κυριολεκτικά υψηλότερο από τους προσθετέους.
Οι λέξεις  "Addere" και "summare" χρονολογούνται τουλάχιστον από την εποχή του [[Βοήθιος|Βοήθιου]] , αν όχι από την εποχή των πρώτων Ρωμαίων συγγραφέων, όπως  ο [[Βιτρούβιος]] και  ο  Φροντίνος . Ο Βιτρούβιος χρησιμοποίησε επίσης αρκετούς άλλους όρους για την πράξη της πρόσθεσης.  Οι λεξεις "Addere" και "summare"  που αποτελούσαν όρους  της Αγγλικής γλώσσας από τα τέλη του 12ου μέχρι και 15ου αιώνα διαδόθηκαν από τον  Chaucer.


== Ερμηνείες ==
Η πρόσθεση χρησιμοποιείται για να διαμορφώσει αμέτρητες φυσικές μεθόδους. Ακόμη και για την απλή περίπτωση της πρόσθεσης [[Φυσικός αριθμός|φυσικών αριθμών]] , υπάρχουν πολλές πιθανές ερμηνείες και ακόμη περισσότερες ορατές αναπαραστάσεις.

=== Συνδυάζοντας σύνολα ===
[[Αρχείο:AdditionShapes.svg|right|200px]]
Ενδεχομένως η πιο θεμελιώδης ερμηνεία της πρόσθεσης έγκειται στο συνδυασμό συνόλων:
* Όταν δύο ή περισσότερα ασύνδετα σύνολα συνδυάζονται σε ένα ενιαίο σύνολο, ο αριθμός των αντικειμένων στο ενιαίο σύνολο είναι το άθροισμα του αριθμού των αντικειμένων των αρχικών συνόλων.

Η ερμηνεία αυτή είναι εύκολο να απεικονιστεί, με ένα μικρό κίνδυνο ασάφειας. Είναι επίσης χρήσιμη στα ανώτερα μαθηματικά : για τον ακριβή ορισμό, αυτό δίνει έμπνευση.  Δες * Φυσικούς αριθμούς* . Ωστόσο, δεν είναι προφανές το πώς κάποιος μπορεί να επεκτείνει αυτή την εκδοχή της πρόσθεσης των κλασματικών ή αρνητικών αριθμών.

Μια πιθανή λύση είναι να μελετήσει κανείς συλλογές αντικειμένων που μπορούν εύκολα να διαχωριστούν , όπως η "πίτα"[[στατιστική]]ς ή, ακόμα καλύτερα, ράβδους σε διαστήματα. Αντί απλά να συνδυάζονται συλλογές τμημάτων,οι ράβδοι μπορούν να ενωθούν από άκρο σε άκρο, το οποίο απεικονίζει μια άλλη αντίληψη της πρόσθεσης: δεν προσθέτονται οι ράβδοι, αλλά τα μήκη των ράβδων.

=== Επέκταση μήκους ===
[[Αρχείο:AdditionLineAlgebraic.svg|right|frame| Mία γραμμική αναπαράσταση της αλγεβρικής πρόσθεσης 2+4=6. Mία παράλληλη μεταφορά κατά 2 ακολουθούμενη από μία κατά 4,θα είναι το ίδιο με μία παράλληλη μεταφορά κατά 6]]

[[Αρχείο:AdditionLineUnary.svg|right|frame|Μια γραμμική αναπαράσταση της αλγεβρικής πρόσθεσης 2+4=6. Mία παράλληλη μεταφορά κατά 4 ισοδυναμεί με τέσσερις παράλληλες μεταφορές του]]

Μια δεύτερη ερμηνεία της πρόσθεσης προέρχεται από την επέκταση ενός αρχικού μήκους από ένα δεδομένο μήκος:
* Όταν ένα αρχικό μήκος εκτείνεται από μία δεδομένη ποσότητα, το τελικό μήκος είναι το άθροισμα του αρχικού μήκους και του μήκους της επέκτασης.

Το άθροισμα* α* +* β* μπορεί να ερμηνευθεί ως μια [[δυαδική πράξη]] η οποία συνδυάζει το "α" και "β", σε μια αλγεβρική έννοια, ή μπορεί να ερμηνευθεί ως η πρόσθεση του "β" περισσότερες μονάδες σε "α". Σύμφωνα με την τελευταία αυτή ερμηνεία, τα μέρη του συνόλου α+β παίζουν ασύμμετρο ρόλο, και η λειτουργία α+β θεωρείται ως η εφαρμογή της μονομελής πράξης  "β" στο "α". Αντί να ονομάζονται τα "α" και "β" προσθετέοι, είναι πιο σωστό σε αυτή την περίπτωση να ονομάζεται το  "α" ως 'προσθετέος', δεδομένου ότι το "α" παίζει παθητικό ρόλο . Η μονομελής θεωρία είναι επίσης χρήσιμη όσον αφορά την [[αφαίρεση]] καθώς κάθε μονομελής πρόσθεση έχει μια αντίστροφη μονομελή αφαιρετική πράξη, και αντίστροφα.

== Ιδιότητες ==

=== Αντιμεταθετική Ιδιότητα ===
[[Αρχείο:AdditionComm01.svg|right|113px|thumb|4 + 2 = 2 + 4 με τετράγωνα]]
Η πρόσθεση είναι [[αντιμεταθετική ιδιότητα]], το οποίο σημαίνει πως οι όροι μπορούν να αντιστρέφονται και το αποτέλεσμα να παραμένει το ίδιο. Συμβολικά, εάν το "α" και το "β" αποτελούν δύο οποιουσδήποτε αριθμούς, τότε : α + β = β + α.
Το γεγονός ότι η πρόσθεση είναι αντιμεταθετική, είναι γνωστό ως "ο αντιμεταθετικός νόμος της πρόσθεσης". Αυτή η φράση υποδεικνύει πως υπάρχουν και άλλοι αντιμεταθετικοί νόμοι: για παράδειγμα, υπάρχει ο αντιμεταθετικός νόμος του πολλαπλασιασμού Παρόλα αυτά, πολλές  [[Δυαδική πράξη|δυαδικές πράξεις]] δεν είναι αντιμεταθετικές, όπως η αφαίρεση και η διαίρεση, οπότε είναι παραπλανητικό να μιλάμε για ένα απόλυτο "αντιμεταθετικό νόμο".

=== Προσεταιριστική ιδιότητα ===
[[Αρχείο:AdditionAsc.svg|left|100px|thumb|2+(1+3) = (2+1)+3 με κυκλικούς ράβδους]]
Μία κάπως πιο πολύπλοκη πραξη της πρόσθεσης είναι η  [[προσεταιριστική ιδιότητα]], η οποία εφαρμόζεται στην πρόσθεση πολλών αριθμών. Η πράξη:"'α* + 'β* + *γ*"
μπορεί  να γίνει και (*α* + *β*) + *γ* ή *α* + (*β* + *γ*).  Η πρόσθεση αυτή είναι προσεταιριστική  όπου φαίνεται ότι η αλλαγή των παρενθέσεων δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα. Για τρεις τυχαίους αριθμούς,  *α*, *β*, και *γ*, ισχύει ότι: (*α* + *β*) + *γ* = *α* + (*β* + *γ*).
Για παράδειγμα, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3).
Δεν είναι όλες οι πράξεις προσεταιριστικές, οπότε σε άλλες πράξεις όπως η αφαίρεση, είναι σημαντικό να διευκρινίζεται η  [[προτεραιότητα πράξεων]].

=== Ουδέτερο στοιχείο ===
[[Αρχείο:AdditionZero.svg|right|70px|thumb|5 + 0 = 5 με σύνολα από βούλες]]
Όταν προσθέτεις το [[0|μηδέν]] με οποιοδήποτε άλλον αριθμό, το αποτέλεσμα δεν αλλάζει. Το μηδέν είναι [[ουδέτερο στοιχείο]] για την πρόσθεση. Συμβολικά για κάθε "α" : α+ 0 = 0 + α = α.
Ο νόμος αυτός εντοπίστηκε για πρώτη φορά από τον [[Brahmagupta]] στο έργο του  [[Brahmasphutasiddhanta]] το 628 μ.Χ. , παρόλο που τον διατύπωσε σαν τρεις διαφορετικούς νόμους, βασιζόμενος στον εάν το *α* είναι αρνητικό, θετικό ή μηδενικό χρησιμοποιώντας λόγια και όχι αλγεβρικά σύμβολα.  Αργότερα οι [[Ινδικά μαθηματικά|Ινδοί Μαθηματικοί]] εξέλιξαν την έννοια περίπου το 830, ο [[Μαθηματικός]] [[Mahavira]] έγραψε, "το μηδέν γίνεται το ίδιο με ότι προστίθεται σε αυτό,  καταλήγωντας στην αντιστοιχία 0 + *α* = *α*. Τον 21ο αιώνα, ο  [[Bhaskara]] έγραψε, "Στην πρόσθεση ή την αφαίρεση του 
κώδικα [[cipher]], η ποσότητα είτε θετική είτε αρνητική , παραμένει η ίδια, καταλήγωντας στην αντιστοιχία *α* + 0 = *α*.

=== Διαδοχικός ===
Στο πλαίσιο των [[Ακέραιος αριθμός|ακεραίων]], η πρόσθεση  παίζει επίσης έναν ειδικό ρόλο: για κάθε ακέραιο α, ο ακέραιος (α + 1) είναι κατά ένα μεγαλύτερος, επίσης γνωστό και ως διαδοχικός. Λόγω αυτής της διαδοχής, η πράξη κάποιων a + b μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως το <math>b^{th}</math> διαδοχικός του a, κάνοντας πρόσθεση επαναλαμβάνεται η διαδοχή.

=== Μονάδες === 
Για να προσθέσετε αριθμητικές φυσικές ποσότητες με [[Μέτρηση|μονάδες]], πρέπει πρώτα να εκφράζονται με ίδιες μονάδες. Για παράδειγμα, εάν ένα μέτρο 5 ποδιών παρατείνεται κατά 2 ίντσες, το άθροισμα είναι 62 ίντσες, δεδομένου ότι 60 ίντσες αντιστοιχούν με 5 πόδια. Από την άλλη πλευρά, δεν είναι δυνατόν  να προσθέσετε  3 μέτρα και 4 τετραγωνικά μέτρα, για το λόγο ότι οι μονάδες αυτές είναι ασύγκριτες. Αυτό το είδος της εξέτασης χρησιμοποιείται  για την [[διαστατική ανάλυση]].

== Εκτέλεση πρόσθεσης ==

=== Έμφυτη Ικανότητα ===
Μελέτες που έγιναν σχετικά με την μαθηματική ανάπτυξη και ξεκίνησαν περίπου το 1980, ανακάλυψαν το φαινόμενο της εξοικείωσης: Τα πολύ μικρά παιδιά ανταποκρίνονται άμεσα σε απροσδόκητες καταστάσεις. Ένα σπουδαίο πείραμα  από την  το οποίο πραγματοποιήθηκε το 1992 με κουκλοθέατρο από χαρακτήρες του [[Μίκυ Μάους|Mickey Mouse]], έδειξε ότι τα 5-χρόνα παιδιά "θεωρούν" πως 1+1=2, και όταν δημιουργείται υπόνοια μέσω μιας φυσικής κατάστασης πως 1+1 κάνει 1 ή ακόμη και 3, τα παιδιά μένουν έκπληκτα. Από τότε, αυτή η ανακάλυψη έχει επιβεβαιωθεί και από μελέτες πολλών εργαστηρίων με διαφορετικές μεθοδολογίες. Το 1992, ένα άλλο πείραμα με λίγο μεγαλύτερα παιδιά, ηλικίας από 18 έως 35 μηνών, αξιοποίησε την κινητική τους ανάπτυξη επιτρέποντάς τους να συλλέγουν μπάλες [[Επιτραπέζια αντισφαίριση|ping-pong]] από ένα κουτί; Τα μικρότερα παιδιά ανταποκρίθηκαν καλά στους μικρότερους αριθμούς, ενώ τα μεγαλύτερα παιδιά ήταν σε θέση να υπολογίσουν ποσά μέχρι και το 5.
 
Ακόμη και κάποια ζώα δείχνουν μια περιορισμένη ικανότητα στην πρόσθεση, ειδικά οι [[Πίθηκος|πίθηκοι]]. Σε ένα πείραμα το οποίο πραγματοποιήθηκε το 1995 και μιμήθηκε το αποτέλεσμα του πειράματος της Wynn το 1992 (στο οποίο χρησιμοποιήθηκαν [[Μελιτζάνα|μελιτζάνες]] αντί για κούκλες), 2 είδη πιθήκων, οι rhesus macaque και οι cottontop tamarin, παρουσίασαν παρόμοιες αντιδράσεις με τα μικρά παιδιά. Το εντυπωσιακό αποτέλεσμα του πειράματος αποτέλεσε το γεγονός ότι, αφού διδάχθηκαν τις έννοιες των [[Αραβικών αριθμών]]  από το 0 έως το 4, αποδείχθηκε πως ακόμη και ένας [[Χιμπαντζής|χιμπατζής]] ήταν σε θέση να υπολογίσει το άθροισμα δύο αριθμών χωρίς επιπλέον εκπαίδευση 

=== Ανακαλύπτοντας την πρόσθεση σαν παιδιά ===

Τυπικά, τα παιδιά πρώτα μαθαίνουν την [[μέτρηση]]. Σε ένα πρόβλημα το οποίο απαιτεί συνδυασμό δύο ή τριών αντικειμένων, τα μικρά παιδιά κάνουν αναπαράσταση του προβλήματος με την χρήση αντικειμένων, με ζωγραφιές ακόμα και με τα δάχτυλά τους, για να μετρήσουν το σύνολο . Αποκτώντας εμπειρία, μαθαίνουν να ανακαλύπτουν την στρατηγική της "μέτρησης": για να βρουν την πράξη του δύο και τρία , τα παιδιά μετρούν από το δύο μετρώντας ακόμη τρεις αριθμούς, λέγοντας *τρία*, *τέσσερα*, *πέντε* (συνήθως χρησιμοποιώντας τα δάχτυλά τους), φτάνοντας στο πέντε. Αυτή η στρατηγική χρησιμοποιείται σχεδόν παγκοσμίως. Τα παιδιά το μαθαίνουν από τους δασκάλους τους. Άλλα το ανακαλύπτουν μόνα τους. Με περισσότερη εξάσκηση, τα παιδιά μαθαίνουν να προσθέτουν πολύ πιο γρήγορα εξερευνώντας την αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης μετρώντας από τον μεγαλύτερο αριθμό, δηλαδή ξεκινώντας από το τρία και μετρώντας *τέσσερα*, *πέντε*.Τελικά τα παιδιά θυμούνται συγκεκριμένους κανόνες της πρόσθεσης, είτε μέσω της εμπειρίας τους, είτε με την απομνημόνευση. Όταν κάποιοι κανόνες αποτυπωθούν στην μνήμη, τα παιδιά βρίσκουν την λύση αγνώστων κανόνων από τους ήδη γνωστούς.  Για παράδειγμα, εάν ένα παιδί κληθεί να προσθέσει τους αριθμούς έξι και εφτά, τότε αφού ξέρει ότι 6+6=12 τότε καταλαβαίνει ότι το άθροισμα του 6+7 είναι ένας αριθμός παραπάνω από το 12, δηλαδή 13. Τέτοιες πράξεις μπορούν να λυθούν πολύ εύκολα, και τα παιδιά του δημοτικού τελικά απομνημονεύουν τους κανόνες ώστε να κάνουν τις πράξεις της πρόσθεσης γρήγορα και χωρίς δυσκολία.

==== Πίνακας πρόσθεσης ====
Τα παιδιά συχνά καλούνται να απομνημονεύσουν τους δέκα πρώτους αριθμούς με την βοήθεια του πίνακα της πρόσθεσης. Με την γνώση αυτού, μπορούν να κάνουν την πράξη της πρόσθεσης.


=== Δεκαδικό σύστημα ===

Προϋπόθεση για την  πρόσθεση στο [[δεκαδικό σύστημα]] είναι η άπταιστη ανάκληση ή η δημιουργία  των  100 μονοψήφιων "προσθετικών πράξεων". Κάποιος θα μπορούσε να απομνημονεύσει όλες τις πράξεις  αυτές  με [[μηχανική μάθηση|παπαγαλία]], αλλά στρατηγικές βασισμένες στο πρότυπο είναι πιο διαφωτιστικές και, για τους περισσότερους , πιο αποδοτικές:
**Αντιμεταθετική ιδιότητα*: Αναφέρθηκε παραπάνω, χρησιμοποιώντας το πρότυπο *α + β = β + α* μειώνει τον αριθμό των "προσθετικών πράξεων" από  100 σε 55.
**Ένα ή δύο ακόμα*: Προσθέτοντας  το 1 ή το 2 είναι ένα βασικό έργο, αυτό μπορεί να επιτευχθεί μετρώντας προς τα μπροστά ή, βασικά με τη,  διαίσθηση.
**Μηδενικό*: Αφού το μηδέν είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης, το να προσθέτεις το μηδέν είναι ασήμαντο. Παρ' όλα αυτά στη διδασκαλία της αριθμητικής, κάποιοι μαθητές μαθαίνουν την πρόσθεση σαν μια διαδικασία που πάντα αυξάνει τους προσθετέους: λεξικά προβλήματα μπορεί να βοηθήσουν να αιτιολογηθεί η  "εξαίρεση" του μηδενικού.
**Διπλάσια*: Το να προσθέτεις έναν αριθμό στον εαυτό του σχετίζεται με τη διπλή μέτρηση και τον  [[Πολλαπλασιασμός|πολλαπλασιασμό]]. Ο διπλασιασμός σχηματίζει ένα κορμό από σχετιζόμενες πράξεις, και οι μαθητές το βρίσκουν σχετικά εύκολο να το καταλάβουν.
**Σχεδόν-διπλάσια*: Αθροίσματα όπως  6+7=13 μπορούν να υπολογιστούν  από τον διπλασιασμό  6+6=12 προσθέτοντας ένα ακόμη, ή από  7+7=14 όμως αφαιρώντας ένα.
**Πέντε και δέκα*: Αθροίσματα του τύπου 5+x και 10+x συνήθως μαθαίνονται από νωρίς  και μπορούν να χρησιμοποιηθούν  για τον υπολογισμό άλλων πράξεων. Για παράδειγμα, 6+7=13 μπορεί να  υπολογιστεί ως 5+7=12 προσθέτοντας ένα ακόμη.
**Κάνοντας το δέκα*: Μια προηγμένη στρατηγική χρησιμοποιεί το 10 ως ενδιάμεσο για προσθέσεις που περιέχουν το  8 ή το 9 για παράδειγμα, 8&nbsp;+&nbsp;6 = 8&nbsp;+&nbsp;2&nbsp;+&nbsp;4 = 10&nbsp;+&nbsp;4 = 14.
Όσο οι μαθητές μεγαλώνουν, βάζουν πιο πολλές πράξεις στη μνήμη τους, και μαθαίνουν να υπολογίζουν άλλες πράξεις γρήγορα και άπταιστα. Πολλοί μαθητές ποτέ δε βάζουν όλες τις πράξεις στη μνήμη τους, αλλά ακόμα μπορούν να υπολογίσουν τις βασικές γρήγορα.

Ο βασικός αλγόριθμος για να προσθέτεις πολυψήφιους αριθμούς είναι να στοιχίσεις τους προσθετέους κάθετα και να προσθέσεις τις στήλες, ξεκινώντας από αυτή που είναι στα δεξιά. Αν μια στήλη υπερβεί το 10, το έξτρα ψηφίο "μεταφέρεται" στην επόμενη στήλη. Μια εναλλακτική στρατηγική ξεκινά να προσθέτει από το πιο σημαντικό ψηφίο στα αριστερά; αυτός ο τρόπος κάνει τη μεταφορά λίγο πιο αδέξια, αλλά είναι γρηγορότερος  στο να παίρνεις έναν πρόχειρο υπολογισμό  του αθροίσματος. Υπάρχουν πολλές άλλες εναλλακτικές μέθοδοι.
*[[Κλάσμα| Κλάσμα: Πρόσθεση]]
*[[Δεκαδικό σύστημα|Επιστημονική σημείωση: Λειτουργίες]]

=== Υπολογιστές ===

[[Αρχείο:Opampsumming2.svg|right|frame|Πρόσθεση με έναν λειτουργικό ενισχυτή. Βλέπε [[Ενισχυτής|Αθροιστικό ενισχυτή]] για λεπτομέρειες.]]
Οι [[Αναλογικός υπολογιστής|Αναλογικοί υπολογιστές]] δουλεύουν απευθείας με φυσικές ποσότητες, έτσι οι προσθετικοί μηχανισμοί εξαρτώνται από τη μορφή των προσθετέων. Ένας μηχανικός αθροιστής μπορεί να αντιπροσωπεύει δύο προσθετέους όπως τις θέσεις των μπλοκ ολισθήσεως, στην οποία περίπτωση μπορούν να προστεθούν με ένα συνηθισμένο μοχλό. Αν οι προσθετέοι είναι οι ταχύτητες περιστροφής δυο [[Άξονας περιστροφής|άξονες]], μπορούν να προστεθούν με ένα [[Διαφορικό οχημάτων|διαφορικό]]. Ένας υδραυλικός αθροιστής  μπορεί να προσθέσει [[Πίεση|πιέσεις]] σε δύο θαλάμους με την αξιοποίηση του [[Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα|Δεύτερου νόμου του Νεύτωνα]] για να εξισορροπήσουν τις δυνάμεις σε μια συνδεσμολογία  πιστονιών. Η πιο συνηθισμένη περίπτωση για έναν γενικού σκοπού αναλογικό υπολογιστή είναι να προσθέτεις δύο [[Τάση (μηχανική)|τάσεις]] (που πηγάζουν στο [[έδαφος]]); αυτό μπορεί να επιτευχθεί πρόχειρα με μία [[Ηλεκτρική αντίσταση|αντίσταση]] [[Ηλεκτρικό κύκλωμα|δίκτυο]], αλλά ένα καλύτερο σχέδιο  χρησιμοποιεί έναν [[Ενισχυτής|λειτουργικό ενισχυτή]].

Η πρόσθεση είναι επίσης ζωτικής σημασίας για τη λειτουργία των [[Υπολογιστής|ψηφιακών υπολογιστών]], όπου η αποδοτικότητα της πρόσθεσης, συγκεκριμένα ο μηχανισμός μεταφοράς , είναι ένας σημαντικός περιορισμός για την συνολική απόδοση.

[[Αρχείο:BabbageDifferenceEngine.jpg|left|thumb|Μέρος της [[Διαφορική μηχανή|Διαφορικής μηχανής]] του Charles Babbage συμπεριλαμβανομένων των μηχανισμών πρόσθεσης και μεταφοράς]]

Ο [[Μπλεζ Πασκάλ]] εφηύρε την μηχανική αριθμομηχανή το 1642, ήταν η πρώτη επιχειρησιακή [[αριθμομηχανή]]. Έκανε χρήση ενός ιδιοφυούς υποβοηθούμενου της βαρύτητας μεταφορικού μηχανισμού. Ήταν η μοναδική επιχειρησιακή μηχανική αριθμομηχανή τον 17ο αιώνα και οι πρώτοι αυτόματοι, ψηφιακοί υπολογιστές. Η [[Μπλεζ Πασκάλ|αριθμομηχανή του Pascal]] ήταν περιορισμένη από το μεταφορικό της μηχανισμό που ανάγκαζε τους τροχούς της να γυρνάνε μόνο από τη μία μεριά , έτσι μπορούσε να προσθέσει αλλά, για να αφαιρέσει, ο χειριστής έπρεπε να χρησιμοποιήσει τη [[μέθοδο του συμπληρώματος]] που απαιτεί τόσα βήματα όσα και η πρόσθεση. Τον Pascal ακολούθησε ο  [[Giovanni Poleni]] ο οποίος έφτιαξε τη δεύτερη λειτουργική μηχανική αριθμομηχανή το 1709, ένα υπολογιστικό ρολόι, το οποίο ήταν ξύλινο και μπορούσε, μόλις, να πολλαπλασιάσει δύο αριθμούς αυτόματα.

[[Αρχείο:Full-adder.svg|thumb|"[[Αθροιστής (ηλεκτρονική)|Πλήρης αθροιστής]]" λογικό κύκλωμα που προσθέτει δύο δυαδικά ψηφία, *A* και *B*, μαζί με μια είσοδο μεταφοράς *Γin*, για να παράγει το δυαδικό ψηφίο, *Σ*, και μια έξοδο μεταφοράς, *Γout*.]]
Οι [[Αθροιστές (ηλεκτρονικά κυκλώματα)|Αθροιστές]] εκτελούν πρόσθεση ακεραίων στους ηλεκτρονικούς ψηφιακούς υπολογιστές, συνήθως χρησιμοποιώντας [[Δυαδική πράξη|δυαδική αριθμητική]]. Η απλούστερη αρχιτεκτονική  είναι ο αθροιστής ριπής, που ακολουθεί τον βασικό πολυψήφιο αλγόριθμο. Μια μικρή βελτίωση είναι το σχέδιο παράκαμψης μεταφοράς , ξανά ακολουθούμενο από την ανθρώπινη διαίσθηση; κανείς δε θα εκτελέσει όλες τις μεταφορές στην πληροφορική 999 + 1, αλλά ένας  παρακάμπτει την ομάδα των 9αριών και προχωράει στην απάντηση.

Από τη στιγμή που υπολογίζουν ένα ψηφίο τη φορά, οι παραπάνω μέθοδοι είναι πολύ αργές για τους περισσότερους σύγχρονους σκοπούς.

Στους σύγχρονους ψηφιακούς υπολογιστές, η πρόσθεση ακεραίων είναι τυπικά η γρηγορότερη  αριθμητική καθοδήγηση, ακόμα έχει τη μεγαλύτερη επίπτωση στην επίδοση, αφού υποστηρίζει όλες τις λειτουργίες κινητής υποδιαστολής  καθώς και τις βασικές εργασίες όπως η παραγωγή [[διεύθυνση μνήμης|διεύθυνσης]] κατά τη διάρκεια πρόσβασης [[μνήμη (υπολογιστές)|μνήμης]] και φέρει [[Εντολή (υπολογιστές)|εντολές]] μέσω διακλάδωσης. Για την αύξηση της ταχύτητας, τα σύγχρονα μοντέλα υπολογίζουν ψηφία  παράλληλα και τα συστήματα αυτά παίρνουν τα ονόματα της μεταφοράς που επιλέγουν, μπροστινή μεταφορά, και η ψευδομεταφορά  του [[Αθροιστές (ηλεκτρονικά κυκλώματα)|Ling]] . Σχεδόν όλες οι σύγχρονες υλοποιήσεις είναι, στην πραγματικότητα, υβρίδια των τριών αυτών μοντέλων.

Σε αντίθεση με την πρόσθεση στο χαρτί, η πρόσθεση σε έναν υπολογιστή συχνά αλλάζει τους προσθετέους. Στον αρχαίο [[Άβακας|άβακα]] και στο χαρτί ,οι δύο προσθετέοι καταστρέφονται , αφήνοντας μόνο το άθροισμα. Η επιρροή του άβακα στη μαθηματική σκέψη ήταν αρκετά ισχυρή που πρώιμα [[Λατινικά]] κείμενα συχνά ισχυριζόντουσαν ότι στη διαδικασία πρόσθεσης "ενός αριθμού σε έναν άλλο", και οι δύο αριθμοί εξαφανίζονται. Στη σύγχρονη εποχή, η εντολή ΠΡΟΣΘΕΣΗ ενός μικροεπεξεργαστή αντικαθιστά το στοιχείο στο οποίο προσθέτουμε με το άθροισμα αλλά διατηρεί αυτό που προσθέσαμε. Σε μια υψηλού επιπέδου γλώσσα προγραμματισμού, η εκτίμηση *α* + *β* δεν αλλάζει ούτε το *α* ούτε το *β*; αν ο στόχος είναι να αντικατασταθεί το *α* με το άθροισμα  αυτό πρέπει να ζητηθεί ρητά, τυπικά με τη δήλωση *α* = *α* + *β*.  Κάποιες γλώσσες όπως η [[C (γλώσσα προγραμματισμού)|C]] ή η [[C++]] επιτρέπουν αυτό να είναι  σύντομα γραμμένο ως  *a* += *b*.

== Πρόσθεση φυσικών και πραγματικών αριθμών ==
Για να αποδείξει τις συνήθεις ιδιότητες της πρόσθεσης, κάποιος πρέπει πρώτα να *ορίσει* την πρόσθεση στο ευρύτερο πλαίσιο του προβλήματος. Η πρόσθεση αρχικά ορίζεται στους [[Φυσικοί αριθμοί|φυσικούς αριθμούς]]. Στη [[θεωρία συνόλων]], η πρόσθεση επεκτείνεται στη συνέχεια σε προοδευτικά μεγαλύτερα σύνολα που περιλαμβάνουν τους φυσικούς αριθμούς: τους [[ακέραιοι αριθμοί|ακέραιους]], τους [[ρητοί αριθμοί|ρητούς αριθμούς]], και τους [[πραγματικοί αριθμοί|πραγματικούς αριθμούς]]. (Στη [[μαθηματική διδασκαλία]], θετικά κλάσματα προστίθενται πριν ακόμη θεωρηθούν οι αρνητικοί αριθμοί; αυτή είναι και η ιστορική διαδρομή)

=== Φυσικοί αριθμοί ===


Υπάρχουν δύο γνωστοί τρόποι να ορίσεις το άθροισμα δύο φυσικών αριθμών  *α* και *β*. Αν κάποιος ορίσει τους φυσικούς αριθμούς να είναι οι [[πληθάριθμος|πληθάριθμοι]] των πεπερασμένων συνόλων, (ο πληθάριθμος ενός συνόλου είναι ο αριθμός των στοιχείων του συνόλου), τότε είναι κατάλληλο να ορίσουμε το άθροισμα ως εξής:
*Έστω Ν(*Σ*)να είναι ο πληθάριθμος ενός συνόλου *Σ*. Πάρε δύο ξένα σύνολα *Α* and *Β*, με Ν(*Α*) = *α* και Ν(*Β*) = *β*. Τότε *α* + *β* ορίζεται ως <math> N(A \cup B)</math>.
Εδώ, *A*&nbsp;U&nbsp;*B* είναι η [[ένωση συνόλων|ένωση]] των *Α* και *Β*. Μία διαφορετική εκδοχή αυτού του ορισμού επιτρέπει τα *Α* και *Β* πιθανώς να επικαλύπτονται και παίρνει την  [[ξένη ένωση]], ένας μηχανισμός που επιτρέπει κοινά στοιχεία να διαχωριστούν και ως εκ τούτου να υπολογίζονται δύο φορές.

Ο άλλος γνωστός ορισμός είναι αναδρομικός:

*Έστω *ν*<sup>+</sup> να είναι ο [[Αξιώματα Πεάνο|διαδοχικός]] του *ν*, που είναι ο επόμενος αριθμός του *ν* στους φυσικούς αριθμούς, έτσι  0<sup>+</sup>=1, 1<sup>+</sup>=2.Ορίστε *α* + 0 = *α*. Ορίστε το συνολικό άθροισμα αναδρομικά ως *α* + (*β*<sup>+</sup>) = (*α* + *β*)<sup>+</sup>. Ως εκ τούτου 1+1=1+0<sup>+</sup>=(1+0)<sup>+</sup>=1<sup>+</sup>=2.
Και πάλι, υπάρχουν μικρές παραλλαγές κατά τον ορισμό αυτό στη βιβλιογραφία. Κυριολεκτικά, ο παραπάνω ορισμός είναι μια εφαρμογή του [[Αναδρομικού θεωρήματος]] στο [[μερικώς διατεταγμένο σύνολο]] *'N**<sup>2</sup>. Από την άλλη, κάποιες πηγές προτιμούν  να χρησιμοποιούν ένα περιορισμένο αναδρομικό θεώρημα που εφαρμόζεται μόνο στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Κάποιος τότε θεωρεί το ''α'' να είναι προσωρινά  "σταθερό", εφαρμόζει αναδρομή στο ''β'' για να ορίσει μια συνάρτηση "α'' + ", και κολλάει αυτές τις μοναδιαίες πράξεις για όλα τα ''α'' μαζί για να σχηματίσει την πλήρη δυαδική λειτουργία.

Αυτή η αναδρομική διατύπωση της πρόσθεσης αναπτύχθηκε από τον Dedekind ήδη από το 1854, και την επέκτεινε τις επόμενες δεκαετίες. Απόδειξε τις προσεταιριστικές και τις μεταθετικές ιδιότητες, μεταξύ άλλων, μέσω της [[επαγωγή|μαθηματικής επαγωγής]]; για παραδείγματα τέτοιων επαγωγικών αποδείξεων, δες ''[[Πρόσθεση φυσικών αριθμών]]''.

=== Ακέραιοι αριθμοί ===
[[Αρχείο:Addition of integers using Grothendieck construction.svg|right|thumb| Ορίζοντας  (−2) + 1 χρησιμοποιώντας μόνο την πρόσθεση θετικών αριθμών: (2 − 4) + (3 − 2) = 5 − 6.]]

Η απλούστερη σύλληψη ενός ακεραίου είναι ότι αποτελείται από μια [[απόλυτη τιμή]] (που είναι [[φυσικός αριθμός]]) και ένα [[πρόσημα|πρόσημο]] (γενικά είτε [[θετικός αριθμός|θετικό]] είτε [[Αρνητικός αριθμός|αρνητικό]]). Ο ακέραιος αριθμός μηδέν είναι μια ειδική τρίτη περίπτωση, που είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός. Ο αντίστοιχος ορισμός της πρόσθεσης πρέπει να διαχωριστεί σε περιπτώσεις:

*Για έναν ακέραιο ''ν'', έστω |''ν''| να είναι η απόλυτη τιμή του. Έστω ''α'' και ''β'' ακέραιοι. Αν  το ''α'' ή το  ''β'' είναι μηδέν, το αντιμετωπίζουμε σαν μια ταυτότητα. Αν ''α'' και ''β'' είναι και οι δύο θετικοί, ορίζουμε ''α'' + ''β'' = |''α''| + |''β''|. Αν ''α'' και ''β'' είναι και οι δύο αρνητικοί, ορίζουμε ''α'' + ''β'' = −(|''α''|+ |''β''|). Αν ''α'' και ''β'' έχουν διαφορετικά πρόσημα, ορίζουμε ''α'' + ''β'' να είναι η διαφορά μεταξύ |''α''| και |''β''|, με το πρόσημο του όρου του οποίου η απόλυτη τιμή είναι μεγαλύτερη.
Παρά το γεγονός ότι ο ορισμός αυτός μπορεί να είναι χρήσιμος για συγκεκριμένα προβλήματα, είναι πάρα πολύ περίπλοκος για να παράγει κομψές γενικές αποδείξεις;  υπάρχουν πάρα πολλές περιπτώσεις για να εξεταστούν.

Μια πολύ πιο βολική σύλληψη των ακεραίων είναι η κατασκευή της [[ομάδας του Grothendieck]]. Η βασική παρατήρηση είναι ότι κάθε ακέραιος μπορεί να εκφραστεί (όχι μοναδικά) ως η διαφορά δύο φυσικών αριθμών, έτσι ώστε να μπορούμε επίσης να ''ορίσουμε'' έναν ακέραιο ως τη διαφορά δύο φυσικών αριθμώνan.Η πρόσθεση ορίζεται τότε να είναι συμβατή με την αφαίρεση:
*Δοθέντων δύο ακεραίων ''α'' − ''β'' και ''γ'' − ''δ'', όπου ''α'', ''β'', ''γ'', και ''δ'' είναι φυσικοί αριθμοί, ορίζουμε (''α'' − ''β'') + (''γ'' − ''δ'') = (''α'' + ''γ'') − (''β'' + ''δ'').

=== Ρητοί αριθμοί (κλάσματα) ===
Η πρόσθεση [[ρητοί αριθμοί|ρητών αριθμών]] μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον [[ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο]],αλλά ένας απλούστερος εννοιολογικά ορισμός περιέχει πρόσθεση μόνο ακεραίων και πολλαπλασιασμό:
*Ορίζουμε &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\frac ab + \frac cd = \frac{ad+bc}{bd}.</math>
Η μεταθετικότητα και η προσεταιριστικότητα  της πρόσθεσης ρητών είναι μια προφανής συνέπεια των νόμων της ακεραίας αριθμητικής . Για μια πιο αυστηρή και γενική διαπραγμάτευση, δείτε τον ''[[κλάσμα|τομέα των κλασμάτων]]''.

=== Πραγματικοί αριθμοί ===
[[Αρχείο:AdditionRealDedekind.svg|right|250px|thumb|Προσθέτοντας π<sup>2</sup>/6 και ''e'' χρησιμοποιώντας τις διαμερίσεις ρητών του Dedekind]]
Μια συνήθης κατασκευή του συνόλου των πραγματικών αριθμών είναι η συμπλήρωση του  συνόλου των ρητών αριθμών του Dedekind. Ένας πραγματικός αριθμός ορίζεται να είναι η [[τομή Ντέντεκιντ]] ρητών αριθμών: ένα [[Σύνολο|μη- κενό σύνολο]] ρητών αριθμών που είναι κλειστό προς τα κάτω και δεν έχει [[μέγιστο στοιχείο]]. Το άθροισμα πραγματικών αριθμών ''α'' και ''β'' ορίζεται στοιχείο προς στοιχείο:

*Ορίζουμε <math>a+b = \{q+r \mid q\in a, r\in b\}.</math>
Αυτός ο ορισμός δημοσιεύτηκε για πρώτη φορά, σε μια ελαφρώς τροποποιημένη μορφή, από τον [[Richard Dedekind]] το 1872.
Η μεταθετικότητα και η προσεταιριστικότητα της πρόσθεσης πραγματικών αριθμών είναι άμεση; ορίζοντας τον πραγματικό αριθμό 0 να είναι το σύνολο των αρνητικών ρητών, φαίνεται εύκολα ότι είναι η προσθετική ταυτότητα. Πιθανώς το πιο λεπτό σημείο αυτής της κατασκευής που αφορούν την πρόσθεση είναι ο ορισμός των προσθετικών αντιστρόφων.

[[Αρχείο:AdditionRealCauchy.svg|right|250px|thumb|Προσθέτοντας  π<sup>2</sup>/6 και ''e'' χρησιμοποιώντας τις ακολουθίες  Cauchy των ρητών αριθμών]]
Δυστυχώς, η ενασχόληση με τον πολλαπλασιασμό των διαμερίσεων του Dedekind είναι ένας κατά περίπτωση εφιάλτης παρόμοιος με την πρόσθεση ακεραίων με πρόσημο. Μια άλλη προσέγγιση είναι η μετρική συμπλήρωση των ρητών αριθμών. Ένας πραγματικός αριθμός ορίζεται ουσιαστικά να είναι το όριο μιας [[ακολουθίες του Cauchy|ακολουθίας Cauchy]] ρητών αριθμών, lim ''a''<sub>''n''</sub>. Η πρόσθεση ορίζεται λέξη προς λέξη:
*Ορίζουμε <math>\lim_na_n+\lim_nb_n = \lim_n(a_n+b_n).</math>
Αυτός ο ορισμός δημοσιεύτηκε πρώτα από τον [[Georg Cantor]], επίσης το 1872, παρόλο που ο φορμαλισμός του ήταν ελαφρώς διαφορετικός.
Κάποιος πρέπει να αποδείξει ότι αυτό το εγχείρημα είναι σαφώς καλά ορισμένο, έχοντας να κάνει με συν-ακολουθίες Cauchy.Μόλις γίνει αυτό το έργο, όλες οι ιδιότητες της πρόσθεσης πραγματικών αριθμών ακολουθούν αμέσως μετά τις ιδιότητες των ρητών αριθμών. Επιπλέον, οι άλλες αριθμητικές ιδιότητες, συμπεριλαμβανομένου του πολλαπλασιασμού, έχουν ξεκάθαρα, ανάλογους ορισμούς.

== Γενικεύσεις ==

:''Υπάρχουν πολλά πράγματα που μπορούν να προστεθούν: αριθμοί, διανύσματα, πίνακες, διαστήματα, σχήματα, σύνολα, συναρτήσεις, εξισώσεις, ακολουθίες, αλυσίδες...'' —[http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/addition.shtml Alexander Bogomolny]

Υπάρχουν πολλές δυαδικές λειτουργίες που μπορούν να θεωρηθούν ως γενικεύσεις της πράξης της πρόσθεσης των πραγματικών αριθμών. Ο τομέας της [[Αφηρημένη Άλγεβρα|αφηρημένης άλγεβρας]]  ασχολείται κυρίως με τέτοιες γενικευμένες πράξεις, και κυρίως εμφανίζεται στη [[θεωρία συνόλων]] και τη [[θεωρία κατηγοριών]].

=== Πρόσθεση στην αφηρημένη άλγεβρα ===

Στη [[γραμμική άλγεβρα]], ένας [[διανυσματικός χώρος]] είναι μια αλγεβρική δομή που επιτρέπει την πρόσθεση δύο οποιονδήποτε [[διάνυσμα|διανυσμάτων]] και τη σύγκριση διανυσμάτων. Ένας οικείος διανυσματικός χώρος είναι το σύνολο όλων των διατεταγμένων ζευγών των πραγματικών αριθμών; το διατεταγμένο ζεύγος (''α'', ''β'') ερμηνεύεται ως ένα διάνυσμα με αρχή στο Ευκλείδειο επίπεδο στο σημείο (''α'' ,''β'') του επιπέδου. Το άθροισμα δύο διανυσμάτων βρίσκεται προσθέτοντας τις ατομικές τους συντεταγμένες:
:(''α'',''β'') + (''γ'',''δ'') = (''α''+''γ'',''β''+''δ'').
Αυτή η προσθετική ιδιότητα είναι κεντρικής σημασίας στην [[κλασική μηχανική]], στην οποία τα διανύσματα ερμηνεύονται ως [[δύναμη|δυνάμεις]].

Στην [[αριθμητική υπολοίπων]], το σύνολο των ακεραίων modulo 12 έχει δώδεκα στοιχεία; κληρονομεί μια λειτουργία της πρόσθεσης των ακεραίων που είναι κεντρικής σημασίας στην [[θεωρία συνόλων]]. Το σύνολο των ακεραίων  modulo 2 έχει δύο στοιχεία; η προσθετική λειτουργία που κληρονομεί είναι γνωστή ως [[Άλγεβρα Μπουλ|Άλγεβρα του Μπουλ]] ως η συνάρτηση της "[[αποκλειστικής διάζευξης]]" . Στη [[γεωμετρία]], το άθροισμα δύο [[γωνία|μέτρων γωνιών]] λαμβάνεται συχνά να είναι το άθροισμα τους ως πραγματικοί αριθμοί modulo 2π. Αυτό ισοδυναμεί με μια λειτουργία πρόσθεσης στον [[κύκλος|κύκλο]], το οποίο με τη σειρά του γενικεύεται σε προσθετικές λειτουργίες σε πολυδιάστατους [[Δακτύλιος (άλγεβρα)|δακτυλίους]].

Η γενική θεωρία της αφηρημένης άλγεβρας επιτρέπει μια "προσθετική" λειτουργία να είναι  και [[προσεταιριστική ιδιότητα|προσεταιριστική]] και [[αντιμεταθετική ιδιότητα|αντιμεταθετική]] λειτουργία σε ένα σύνολο. Βασικές  [[Θεωρία ομάδων|αλγεβρικές δομές]] με μια τέτοια προσθετική λειτουργία περιλαμβάνουν [[μεταθετικά μονοειδή]] και [[αβελιανή ομάδα|αβελιανές ομάδες]].

=== Πρόσθεση στη θεωρία συνόλων και θεωρία κατηγοριών ===
Μια εκτεταμένη γενίκευση της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι η πρόσθεση  [[τακτικών αριθμών]] και [[απόλυτων αριθμών]] στη θεωρία συνόλων. Αυτοί δίνουν δύο διαφορετικές γενικεύσεις της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών στους [[υπερπεπερασμένος αριθμός|υπερπεπερασμένους]].
Σε αντίθεση με τις περισσότερες προσθετικές ιδιότητες, η πρόσθεση των τακτικών αριθμών δεν είναι μεταθετική.
Η πρόσθεση των απόλυτων αριθμών, όμως, είναι μια μεταθετική πράξη στενά συνδεδεμένη με το εγχείρημα της [[ξένης ένωσης]].

Στη [[θεωρία κατηγοριών]], η ξένη ένωση θεωρείται σαν μια ειδική περίπτωση της λειτουργίας του [[κατηγορηματικού αθροίσματος]] , και γενικά τα κατηγορηματικά αθροίσματα είναι ίσως τα πιο αφηρημένα από όλες τις γενικεύσεις της πρόσθεσης. Κάποια κατηγορηματικά αθροίσματα, όπως το  ''[[Ευθύ άθροισμα]]'' και το ''[[Wedge sum]]'', ονομάστηκαν επικαλούμενα τη σύνδεσή τους με την πρόσθεση.

== Σχετικές πράξεις ==

=== Αριθμητική ===
Η **αφαίρεση** μπορεί να θεωρηθεί σαν ένα είδος πρόσθεσης —αυτό είναι, η πρόσθεση ενός  [[Αντίστροφος|προσθετικού αντιστρόφου]]. Η αφαίρεση είναι από μόνη της ένα είδος  αντιστρόφου της πρόσθεσης, όπου το να προσθέτεις ''χ'' και να αφαιρείς ''χ'' είναι [[Αντίστροφη συνάρτηση|αντίστροφες συναρτήσεις]].

Δοθέντος ενός συνόλου με μια προσθετική πράξη, κάποιος δε μπορεί πάντα να ορίσει μια αντίστοιχη αφαιρετική πράξη σε αυτό το σύνολο; το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι ένα απλό παράδειγμα. Από την άλλη, μια αφαιρετική πράξη προσδιορίζει μοναδικά μια προσθετική πράξη, μια προσθετική αντίστροφη πράξη, και μια προσθετική ταυτότητα; για αυτό το λόγο, μια προσθετική ομάδα μπορεί να περιγραφτεί σαν ένα σύνολο κλειστό ως προς την αφαίρεση.

Ο **πολλαπλασιασμός** στους φυσικούς αριθμούς μπορεί να θεωρηθεί σαν μια επαναλαμβανόμενη πρόσθεση. Αν ένας όρος ''χ'' εμφανίζεται σε ένα άθροισμα ''ν'' φορές, τότε το άθροισμα είναι το γινόμενο των ''ν'' και ''χ''. Αν το ''ν'' δεν είναι [[φυσικός αριθμός]], το γινόμενο μπορεί ακόμα και έχει νόημα; για παράδειγμα, ο πολλαπλασιασμός με [[−1 (αριθμός)|−1]] παράγει τον [[Αντίστροφος|προσθετικό αντίστροφο]] ενός αριθμού.

[[Αρχείο:Csl.JPG|left|thumb|Ένας κυκλικός λογαριθμικός κανόνας]]

Στους πραγματικούς και μιγαδικούς αριθμούς, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός μπορούν να εναλλάσσονται με την [[εκθετική συνάρτηση]]:
:''e''<sup>''α'' + ''β''</sup> = ''e''<sup>''α''</sup> ''e''<sup>''β''</sup>.
Αυτή η ταυτότητα επιτρέπει στον πολλαπλασιασμό να πραγματοποιείται με τη διαβούλευση ενός [[πίνακας (μαθηματικά)|πίνακα]] από [[λογάριθμος|λογαρίθμους]] και υπολογίζει την πρόσθεση με το χέρι; επίσης επιτρέπει τον πολλαπλασιασμό σε έναν [[Λογάριθμος|λογαριθμικό κανόνα]]. Ο τύπος εξακολουθεί να είναι μια καλή προσέγγιση πρώτης τάξης στο ευρύτερο πλαίσιο των [[Ομάδες Lie|ομάδων Lie]], όπου σχετίζει τον πολλαπλασιασμό των απειροελάχιστων στοιχείων της ομάδας με την πρόσθεση των διανυσμάτων στη σχετική [[άλγεβρα Lie]].

Υπάρχουν ακόμα περισσότερες γενικεύσεις του πολλαπλασιασμού από αυτές τις πρόσθεσης. Γενικότερα, οι πολλαπλασιαστικές πράξεις πάντα [[επιμεριστική ιδιότητα|επιμερίζονται]] ως προς την πρόσθεση; αυτό το αξίωμα επισημοποιείται στον ορισμό του [[δακτύλιος (άλγεβρα)|δακτυλίου]]. Σε κάποια σύνολα, όπως είναι οι ακέραιοι αριθμοί, η επιμεριστικότητα της πρόσθεσης και η ύπαρξη μιας πολλαπλασιαστικής ταυτότητας είναι αρκετά για να ορίσουν μοναδικά μια πολλαπλασιαστική πράξη. Η επιμεριστική ιδιότητα παρέχει επίσης πληροφορίες σχετικά με την πρόσθεση; επεκτείνοντας το γινόμενο (1&nbsp;+&nbsp;1)(''α''&nbsp;+&nbsp;''β'') με δύο τρόπους, κάποιος καταλήγει στο ότι η πρόσθεση αναγκάζεται να είναι επιμεριστική. Γι' αυτό το λόγο, η πρόσθεση δακτυλίων είναι επιμεριστική γενικά.

Η **διαίρεση** είναι μια αριθμητική πράξη μακρόθεν σχετιζόμενη με την πρόσθεση. Αφού ''α''/''β'' = ''α''(''β''<sup>−1</sup>), η διαίρεση είναι δεξιά επιμεριστική ως προς την πρόσθεση: (''α'' + ''β'') / ''γ'' = ''α'' / ''γ'' + ''β'' / ''γ''. Όμως, η πρόσθεση δεν είναι αριστερά επιμεριστική ως προς την πρόσθεση; 1/ (2 + 2) δεν είναι το ίδιο με 1/2 + 1/2.

=== Διάταξη ===
Η **πράξη του μεγίστου** "max (''α'', ''β'')" είναι μια δυαδική πράξη όμοια της πρόσθεσης. Στην πραγματικότητα, αν δύο μη-αρνητικοί αριθμοί ''α'' και ''β'' είναι από διαφορετικές [[τάξεις μεγέθους]], τότε το άθροισμα τους είναι περίπου ίσο με τον μέγιστό τους. Αυτή η προσέγγιση είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στις εφαρμογές των μαθηματικών , για παράδειγμα στην περικοπή των [[σειρά Τέιλορ|σειρών Taylor]].Παρ' όλα αυτά, παρουσιάζει μια αιώνια δυσκολία στη [[θεωρία αριθμών]], αφού ουσιαστικά το "max" δεν είναι αντιστρέψιμο. Αν το ''β'' είναι πολύ μεγαλύτερο του ''α'', τότε ένας ευθύς υπολογισμός του  (''α'' + ''β'') − ''β'' μπορεί να προκαλέσει ένα μη-αποδεκτό [[σφάλμα στρογγύλευσης]], που ίσως ακόμη να τείνει  στο μηδέν. Δείτε επίσης ''[[Απώλεια σημαντικότητας]]''.

Η προσέγγιση γίνεται ακριβώς ένα είδος άπειρου ορίου; Αν ή το  ''α'' ή το ''β'' είναι ένας άπειρος [[απόλυτος αριθμός]], το απόλυτο άθροισμα τους είναι ακριβώς ίσο με τον μεγαλύτερο απ' τους δύο. Κατά συνέπεια, δεν υπάρχει καμία αφαιρετική πράξει για τους άπειρους απόλυτους αριθμούς.

Η μεγιστοποίηση είναι μεταθετική και προσεταιριστική, όπως η πρόσθεση. Ακόμα, αφού η πρόσθεση διατηρεί τη διάταξη των πραγματικών αριθμών, η πρόσθεση επιμερίζεται ως προς το "max" με τον ίδιο τρόπο που επιμερίζεται ο πολλαπλασιασμός ως προς την πρόσθεση:

:''α'' + max (''β'', ''γ'') = max (''α'' + ''β'', ''α'' + ''γ'').
Για τους λόγους αυτούς, στην [[τροπική γεωμετρία]] κάποιος αντικαθιστά τον πολλαπλασιασμό με την πρόσθεση και την πρόσθεση με τη μεγιστοποίηση. Σε αυτό το πλαίσιο, η πρόσθεση λέγεται "τροπικός πολλαπλασιασμός", η μεγιστοποίηση λέγεται "τροπική πρόσθεση", και η τροπική "προσθετική ταυτότητα" είναι [[Άπειρο|αρνητικό άπειρο]]. Κάποιοι συγγραφείς προτιμούν να αντικαθιστούν την πρόσθεση με την ελαχιστοποίηση; τότε η προσθετική ταυτότητα είναι θετικό άπειρο.

Συνδυάζοντας αυτές τις παρατηρήσεις μαζί,  η τροπική πρόσθεση είναι περίπου σχετιζόμενη με τη συνηθισμένη πρόσθεση μέσω [[λογάριθμος|λογαρίθμου]]:
:log (''α'' + ''β'') ≈ max (log ''α'', log ''β''),
που γίνεται περισσότερο ακριβής όσο η βάση του λογαρίθμου αυξάνει. Η προσέγγιση μπορεί να γίνει ακριβής θεωρώντας μια σταθερά  ''η'', που ονομάστηκε κα' αναλογία με τη [[σταθερά του Πλανκ]] από την [[κβαντομηχανική]], και παίρνοντας το "[[όριο (μαθηματικά)|κλασικό όριο]]" όταν το ''h'' τείνει στο μηδέν:
:<math>\max(a,b) = \lim_{h\to 0}h\log(e^{a/h}+e^{b/h}).</math>
Υπό την έννοια αυτή, η πράξη του μεγίστου είναι μια ''παραλλαγμένη'' εκδοχή της πρόσθεσης.

=== Άλλοι τρόποι να προσθέτεις ===
Η **σταδιακή αύξηση**, επίσης γνωστή ως η [[διαδοχική]] πράξη, είναι η πρόσθεση του [[1 (αριθμός)|1]] σε έναν αριθμό.

Η **άθροιση** περιγράφει την πρόσθεση αυθαιρέτως πολλών αριθμών, συνήθως περισσότερων από δύο. Περιλαμβάνει την ιδέα του αθροίσματος ενός μόνο αριθμού, που είναι ο ίδιος ο αριθμός, και το [[κενό άθροισμα]], που είναι [[0 (αριθμός)|μηδέν]]. Ένα άπειρο άθροισμα είναι μια λεπτή διαδικασία γνωστή ως [[σειρά (μαθηματικά)|σειρά]].

**Μετρώντας**ένα πεπερασμένο σύνολο είναι ισοδύναμο με το να προσθέτεις  1 στο σύνολο.

Η **ολοκλήρωση** είναι ένα είδος «άθροισης» πάνω σε ένα [[Συνεχές (θεωρία συνόλων)|συνεχές]], η πιο σωστά και γενικά, πάνω σε μια [[Τοπολογική πολλαπλότητα|διαφορίσιμη πολλαπλότητα]]. Ολοκλήρωση πάνω από μια πολλαπλότητα διάστασης μηδέν οδηγεί στην άθροιση.

Οι **γραμμικοί συνδυασμοί** συνδυάζουν  πολλαπλασιασμό και πρόσθεση; είναι αθροίσματα στα οποία κάθε όρος έχει ένα πολλαπλασιαστή, συνήθως έναν [[πραγματικοί αριθμοί|πραγματικό]] ή ένα [[μιγαδικοί αριθμοί|μιγαδικό]] αριθμό. Οι γραμμικοί συνδυασμοί είναι ιδιαίτερα χρήσιμοι σε πλαίσια όπου η απλή πρόσθεση θα παραβίαζε κάποιους κανόνες ομαλοποίησης, όπως η [[μικτή στρατηγική|μίξη]] των [[στρατηγική|στρατηγικών]] στη [[θεωρία παιχνιδιών]] ή η [[κβαντική υπέρθεση|υπέρθεση]] των [[κβαντική κατάσταση|καταστάσεων]] στη [[κβαντομηχανική]].

Η **συνέλιξη*' χρησιμοποιείται για να προσθέτει δυο [[Ανεξαρτησία (Θεωρία πιθανοτήτων)|ανεξάρτητες]]  [[τυχαία μεταβλητή|τυχαίες μεταβλητές]] ορισμένες από [[συνάρτηση κατανομής|συναρτήσεις κατανομής]]. Ο ορισμός της συνδυάζει ολοκλήρωση, αφαίρεση, και πολλαπλασιασμό. Γενικότερα, η συνέλιξη είναι χρήσιμη ως ένα είδος πλευρικού πεδίου της πρόσθεσης; σε αντίθεση, η πρόσθεση διανυσμάτων είναι ένα είδος πλευρικού εύρους της πρόσθεσης.

== Στη λογοτεχνία ==
*Στο κεφάλαιο 9 του [[Λιούις Κάρολ]] *Μες στον καθρέφτη και τι βρήκε η Αλίκη εκεί*, η Λευκή Βασίλισσα ρωτάει την Αλίκη, "Και κάνεις πρόσθεση?&nbsp;... Πόσο κάνει ένα και ένα και ένα και ένα και ένα και ένα και ένα και ένα και ένα και ένα?" Η Αλίκη παραδέχτηκε ότι έχασε το μέτρημα, και η Κόκκινη Βασίλισσα δήλωσε, "Αυτή δε ξέρει να κάνει πρόσθεση".
*Στο *Χίλια εννιακόσια ογδόντα τέσσερα* του [[Τζωρτζ Όργουελ]]  , ζητείται η τιμή του 2 + 2 ; Η πολιτεία υποστηρίζει ότι αν δηλωθεί 2 + 2 = 5, τότε έτσι θα 'ναι. Δες  *Δύο και δύο κάνει πέντε* για την ιστορία αυτής της ιδέας.

== Υποσημειώσεις ==
<references />

== Πηγές ==
<div class="references-small">
;Ιστορία
*
*
*
*
*
*

;Στοιχειώδη μαθηματικά
*
*

;Εκπαίδευση
*
*[https://web.archive.org/web/20051228115904/http://www.cde.ca.gov/be/st/ss/mthmain.asp California State Board of Education mathematics content standards] Adopted December 1997, accessed December 2005.
*
*
*

;Γνωστική επιστήμη
*
*
*
*

;Mathematical exposition
*
*
*
*
*
*
*

;Advanced mathematics
*
*
*
*
*
*
*
*

;Mathematical research
*
*
*Litvinov, Maslov, and Sobolevskii (1999). [http://arxiv.org/abs/math.SC/9911126 Idempotent mathematics and interval analysis]. *Reliable Computing'', Kluwer.
*
*
*

;Computing
*
*
*
*
*
*


## Περαιτέρω ανάγνωση
* 
* 
* 
* 
* 

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Κατηγορία:Δυαδικές πράξεις
Κατηγορία:Στοιχειώδης αριθμητική
Κατηγορία:Μαθηματικός συμβολισμός