Ανισότητα (μαθηματικά)

Στα μαθηματικά, μία **ανισότητα** είναι μία σχέση μεταξύ δύο τιμών οι οποίες είναι διαφορετικές μεταξύ τους.
*Ο συμβολισμός *α* ≠ *β* σημαίνει ότι το *α* δεν είναι ίσο με το *β*.
Δεν δηλώνει ότι το ένα είναι μεγαλύτερο από το άλλο, ή ότι μπορούν να συγκριθούν ως προς το μέγεθος.

Αν οι τιμές στο ερώτημα είναι στοιχεία ενός διατεταγμένου συνόλου, όπως οι ακέραιοι ή οι πραγματικοί αριθμοί, τότε μπορούν να συγκριθούν ως προς το μέγεθος.
*Ο συμβολισμός *α*  *β* σημαίνει ότι το *α* είναι μεγαλύτερο από το *β*.
Διαφορετικά, το *α* δεν είναι ίσο με το *β*. Αυτές οι σχέσεις είναι γνωστές ως αυστηρές ανισότητες. Ο συμβολισμός *α* ) και αν (στην περίπτωση εφαρμογής συνάρτησης) μονότονες συναρτήσεις αντικατασταθούν από τις αντίστοιχες αυστηρά μονότονες συναρτήσεις.

### Μεταβατικότητα

Η μεταβατική ιδιότητα μιας ανισότητας δηλώνει ότι:
* Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς *α*, *β*, *γ*:
** Αν *α* ≥ *β* και *β* ≥ *γ*, τότε *α* ≥ *γ*.
** Αν *α* ≤ *β* και *β* ≤ *γ*, τότε *α* ≤ *γ*.
* Αν *μία από τις υποθέσεις* είναι αυστηρή ανισότητα, τότε το συμπέρασμα είναι μία αυστηρή ανισότητα.
** Π.χ. αν *α* ≥ *β* και *β* > *γ*, τότε *α* > *γ.*
* Μία ισότητα είναι, προφανώς, μία ειδική περίπτωση μιας μη αυστηρής ανισότητας.
** Π.χ. αν *α* = *β* και *β* > *γ*, τότε *α* > *γ.*

### Αντιστροφή
Οι σχέσεις ≤ και ≥ είναι η μία αντίστροφη της άλλης :
* Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς *α* και *β*:
**Αν *α* ≤ *β*, τότε *β* ≥ *α*.
**Αν *α* ≥ *β*, τότε *β* ≤ *α*.

### Πρόσθεση και αφαίρεση

Μία συνήθης σταθερά *γ* μπορεί να προστεθεί ή να αφαιρεθεί και στα δύο μέλη μιας ανισότητας:
* Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς *α*, *β*, *γ*
**Αν *α* ≤ *β*, τότε *α* + *γ* ≤ *β* + *γ* και *α* − *γ* ≤ *β* − *γ*.
**Αν *α* ≥ *β*, τότε *α* + *γ* ≥ *β* + *γ* και *α* − *γ* ≥ *β* − *γ*.
δηλαδή, οι πραγματικοί αριθμοί είναι μία διατεταγμένη ομάδα με πράξη την πρόσθεση.

### Πολλαπλασιασμός και διαίρεση

Οι ιδιότητες που αφορούν τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση δηλώνουν ότι:
* Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς *α*, *β* και μη μηδενικό αριθμό *γ*:
** Αν το *γ* είναι θετικό, τότε πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας με το *γ,* η φορά της ανισότητας δεν αλλάζει:
*** Αν *α* ≥ *β* και *γ* > 0, τότε *αγ* ≥ *βγ* και *α/γ* ≥ *β/γ*.
*** Αν *α* ≤ *β* και *γ* > 0, τότε *αγ* ≤ *βγ* και *α/γ* ≤ *β/γ*.
** Αν το *c* είναι αρνητικό, τότε πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας με το *c,* η φορά της ανισότητας αλλάζει:
*** Αν *α* ≥ *β* και *γ*  *β*, τότε 1/*α* > 1/*β*.

Αυτό μπορεί επίσης να γραφτεί και με τον αλυσιδωτό συμβολισμό ως εξής:
* Για οποιουσδήποτε μη μηδενικούς πραγματικούς αριθμούς *α* και *β*:
** Αν 0  0.
** Αν *α* ≤ *β*  1/*α* ≥ 1/*β*.
** Αν *α*  *α* ≥ *β*, τότε 1/*α* ≤ 1/*β*  0, τότε 0  0 > *β*, τότε 1/*α* > 0 > 1/*β*.

### Μέγιστο και ελάχιστο

Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς \alpha, \beta, \gamma
* Αν \alpha > \beta και \alpha > \gamma, τότε \alpha > \max(\beta, \gamma), όπου \max η συνάρτηση για το μέγιστο. 
* Αν \alpha  και \alpha , τότε \alpha , όπου \min η συνάρτηση για το ελάχιστο.

### Εφαρμόζοντας συνάρτηση και στα δύο μέλη

Κάθε αύξουσα συνάρτηση μπορεί να εφαρμοστεί και στα δύο μέλη μιας ανισότητας (με την προϋπόθεση ότι ανήκουν στο πεδίο ορισμού της) διατηρώντας την φορά της. Εφαρμόζοντας όμως μία φθίνουσα συνάρτηση και στα δύο μέλη μιας ανισότητας, η φορά της ανισότητας αλλάζει. Ουσιαστικά, οι κανόνες του αντιθέτου και του αντιστρόφου για τους θετικούς αριθμούς, αποτελούν παραδείγματα εφαρμογής μιας φθίνουσας συνάρτησης.

Αν η ανισότητα είναι αυστηρή (*α*  *β*) *και* η συνάρτηση γνησίως μονότονη, τότε η ανισότητα παραμένει αυστηρή. Αν μόνο μία από αυτές τις συνθήκες είναι αυστηρή, τότε η ανισότητα που προκύπτει δεν είναι αυστηρή. Ουσιαστικά, οι κανόνες του αντιθέτου και του αντιστρόφου αποτελούν παραδείγματα εφαρμογής μιας *γνησίως* φθίνουσας συνάρτησης.

Για παράδειγμα, θεωρώντας την εφαρμογή του φυσικού λογαρίθμου και στα δύο μέλη μιας ανισότητας όταν *α* και *β* είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, προκύπτει:
:*α* ≤ *β* ⇔ ln(*α*) ≤ ln(*β*).
:*α*  στους πραγματικούς αριθμούς είναι αυστηρές ολικές διατάξεις.

## Αλυσιδωτός συμβολισμός

Ο συμβολισμός ***α'' < ''β'' < ''γ*** σημαίνει ότι "*α* 1 ≤ *α*2 ≤ ... ≤ *α**n*** σημαίνει ότι ''α''<sub>''i''</sub> ≤ ''α<sub>i</sub>''<sub>+1</sub> για ''i'' = 1, 2, ..., ''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1. Με την μεταβατικότητα η προϋπόθεση αυτή είναι ισοδύναμη με ''α''<sub>''i''</sub> ≤ ''α''<sub>''j''</sub>  για οποιαδήποτε 1 ≤ ''i'' ≤ ''j'' ≤ ''n''.

Όταν λύνουμε ανισότητες χρησιμοποιώντας αλυσιδωτό συμβολισμό, είναι δυνατό και κάποιες φορές απαραίτητο να αξιολογούμε τους όρους ανεξάρτητα. Για παράδειγμα, για να λύσουμε την ανισότητα 4''x'' < 2''x'' + 1 ≤ 3''x'' + 2, δεν είναι δυνατό να απομονώσουμε το ''x'' σε οποιοδήποτε μέλος της ανισότητας μέσω προσθήκης ή αφαίρεσης. Θα πρέπει οι ανισότητες να λύνονται ανεξάρτητα, αποδίδοντας ''x'' < 1/2 και ''x'' ≥ &minus;1 αντίστοιχα, τα οποία μπορούν να συνδυαστούν στην τελική λύση &minus;1 ≤ ''x'' < 1/2.

Περιστασιακά, αλυσιδωτός συμβολισμός χρησιμοποιείται με ανισότητες σε διαφορετικές κατευθύνσεις ,στην οποία περίπτωση η έννοια είναι [[Λογικός συνδυασμός]] των ανισοτήτων ανάμεσα στους διπλανούς όρους.  Για παράδειγμα, ''α'' < ''β'' = ''γ'' ≤ ''δ'' σημαίνει ότι ''α'' < ''β'', ''β'' = ''γ'', και ''γ'' ≤ ''δ''. Αυτός ο συμβολισμός υπάρχει σε λίγες [[Γλώσσα προγραμματισμού|Γλώσσες προγραμματισμού]] όπως [[Python]].

==Ανισότητες μεταξύ των μέσων==
''Δείτε επίσης: [[Ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού-αρμονικού μέσου]]''

Υπάρχουν πολλές ανισότητες μεταξύ των μέσων. Για παράδειγμα, για κάθε θετικό αριθμό ''α''<sub>1</sub>, ''α''<sub>2</sub>, …, ''α''<sub>''n''</sub> θα έχουμε  όπου

:

==Ανισότητες ισχύος==
Η "**ανισότητα ισχύος*'" είναι μια ανισότητα που περιέχει όρους της μορφής  α<sup>*β*</sup>, όπου *α* και *β* είναι πραγματικοί θετικοί αριθμοί ή αλγεβρικές εκφράσεις. Συχνά εμφανίζονται σε ασκήσεις στις [[Μαθηματική ολυμπιάδα|Μαθηματικές ολυμπιάδες]].

===Παραδείγματα===

* Για κάθε πραγματικό *x*,
:: <math>e^x \ge 1+x.\,</math>
* Αν *x* > 0, τότε
:: <math>x^x \ge \left( \frac{1}{e}\right)^{1/e}.\,</math>
* Αν *x* ≥ 1, τότε
:: <math>x^{x^x} \ge x.\,</math>
* Αν *x*, *y*, *z* > 0, τότε
:: <math>(x+y)^z + (x+z)^y + (y+z)^x > 2.\,</math>
* Για κάθε *α* και *β που δίνονται και είναι πραγματικοί αριθμοί*,
:: <math>\frac{e^b-e^a}{b-a} > e^{(a+b)/2}.</math>
* Αν *x*, *y* > 0 και 0 < *p* < 1, τότε
:: <math>(x+y)^p < x^p+y^p.\,</math>
* Αν *x*, *y*, *z* > 0, τότε
:: <math>x^x y^y z^z \ge (xyz)^{(x+y+z)/3}.\,</math>
* Αν *a*, *b* > 0, τότε
:: <math>a^a + b^b \ge a^b + b^a.\,</math>
* Αν *a*, *b* > 0, τότε
:: <math>a^{ea} + b^{eb} \ge a^{eb} + b^{ea}.\,</math>
:
* Αν *a*, *b*, *c* > 0, τότε
:: <math>a^{2a} + b^{2b} + c^{2c} \ge a^{2b} + b^{2c} + c^{2a}.\,</math>
* Αν *a*, *b* > 0, τότε
:: <math>a^b + b^a > 1.\,</math>
: Αυτό το αποτέλεσμα γενικεύτηκε από τον Ρ. Όζολς το 2002 ο οποίος απέδειξε ότι αν *a*<sub>1</sub>,&nbsp;...,&nbsp;*a*<sub>*n*</sub> > 0, τότε
:: <math>a_1^{a_2}+a_2^{a_3}+\cdots+a_n^{a_1}>1</math>
: (το αποτέλεσμα δημοσιεύτηκε στην διάσημη- επιστημονική τριμηνιαία της Λετονίας *The Starry Sky*).

== Γνωστές ανισότητες ==


[[Μαθηματικοί]] συχνά χρησιμοποιούν ανισότητες για να υπολογίσουν ποσότητες για τις οποίες δεν υπάρχουν ακριβώς τύποι και δεν μπορούν να υπολογιστούν εύκολα.  Μερικές ανισότητες που χρησιμοποιούνται πολύ συχνά και έχουν ονομασίες είναι οι εξής:

* [[ανισότητα του Azuma]]
* [[ανισότητα Μπερνούλι]]
* [[ανισότητα Μπουλ]]
* [[ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς]]
* [[ανισότητα Τσεμπισιόφ]]
* [[ανισότητα του Chernoff]]
* [[ανισότητα των Cramér&ndash;Rao]]
* [[ανισότητα του Hoeffding]]
* [[ανισότητα Χέλντερ]]
* [[Ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου]]
* [[ανισότητα Γένσεν]]
* [[ανισότητα του Kolmogorov]]
* [[ανισότητα Μαρκόφ]]
* [[ανισότητα Μινκόβσκι]]
* [[ανισότητα Νέσμπιττ]]
* [[ανισότητα του Pedoe]]
* [[ανισότητα του Poincaré]]
* [[ανισότητα του Samuelson]]
* [[Τριγωνική ανισότητα]]


==Μιγαδικοί αριθμοί και ανισότητες==
Το σύνολο των [[Μιγαδικός αριθμός|μιγαδικών αριθμών]] <math>\Complex</math> με τις πράξεις της [[πρόσθεση]]ς και του [[Πολλαπλασιασμός|πολλαπλασιασμού]] είναι μία [[αλγεβρική δομή]] αλλά είναι αδύνατο να ορίσουμε κάποια σχέση διάταξης ≤ έτσι ώστε η δομή <math>(\Complex,+,\times,\le)</math> να είναι [[διατεταγμένη αλγεβρική δομή]]. Για να κάνουμε τη <math>(\mathbb{C},+,\times,\le)</math> μία [[διατεταγμένη αλγεβρική δομή]], θα πρέπει να πληρούνται οι ακόλουθες δύο ιδιότητες:

* αν *a* ≤ *b* τότε *a* + *c* ≤ *b* + *c*
* αν 0 ≤ *a* και 0 ≤ *b* τότε 0 ≤ *a b*

Επειδή ≤ είναι ένα [[σύνολο διάταξης]], για κάθε αριθμό *a*, είτε 0 ≤ *a ή* *a* ≤ 0 (όπου η πρώτη περίπτωση παραπάνω είναι ισοδύναμη με 0 ≤ <math>-a</math>). Σε κάθε περίπτωση  0 ≤ *a*<sup>2</sup>; αυτό σημαίνει ότι <math>i^2>0</math> και <math>1^2>0</math>; οπότε <math>-1>0</math> και <math>1>0</math>,το οποίο σημαίνει <math>(-1+1)>0</math>; αντίφαση.

Ωστόσο μια πράξη ≤ μπορεί να οριστεί έτσι ώστε να ικανοποιεί την πρώτη ιδιότητα (δηλαδή, "αν *a* ≤ *b* τότε *a* + *c* ≤ *b* + *c*"). Μερικές φορές [[Λεξικοφραφική διάταξη|λεξικογραφική διάταξη]] ορίζεται ως:
*  a ≤ b αν <math> Re(a)</math> < <math>Re(b)</math> ή (<math>Re(a) = Re(b)</math> και <math>Im(a)</math> ≤ <math>Im(b)</math>)
Μπορεί εύκολα να αποδειχθεί ότι γι' αυτόν τον ορισμό *a* ≤ *b* συνεπάγεται *a* + *c* ≤ *b* + *c*.

==Διανύσματα και ανισότητες==

Σχέσεις με ανισώσεις παρόμοιες με εκείνες που ορίζονται παραπάνω μπορεί επίσης να ορίζονται και για  [[Διάνυσμα στήλη|Διανύσματα στήλες]].  Αν έχουμε τα διανύσματα στήλες <math>x,y\in\mathbb{R}^n</math> (σημαίνει ότι <math>x = \left(x_1,x_2,\ldots,x_n\right)^\mathsf{T}</math> και <math>y = \left(y_1,y_2,\ldots,y_n\right)^\mathsf{T}</math> όπου <math>x_i</math> και <math>y_i</math> είναι πραγματικοί αριθμοί για  <math>i=1,\ldots,n</math>), μπορούμε να ορίσουμε τις ακόλουθες σχέσεις.

* <math>x = y \ </math> αν <math>x_i = y_i\ </math> για <math>i=1,\ldots,n</math>
* <math>x < y \ </math> αν <math>x_i < y_i\ </math> για <math>i=1,\ldots,n</math>
* <math>x \leq y </math> αν <math>x_i \leq y_i </math> για <math>i=1,\ldots,n</math> και <math>x \neq y</math>
* <math>x \leqq y </math> αν <math>x_i \leq y_i </math> για <math>i=1,\ldots,n</math>

Όμοια μπορούμε να ορίσουμε σχέσεις για <math> x > y </math>, <math> x \geq y </math>, και <math> x \geqq y </math>. Σημειώνουμε ότι αυτός ο συμβολισμός είναι συνεπής με αυτόν που χρησιμοποιείται από τον Matthias Ehrgott στο *Multicriteria Optimization* (δείτε αναφορές).

Η ιδιότητα της τριχοτόμησης (όπως προαναφέρθηκε) δεν ισχύει για διανυσματικές σχέσεις.  Για παράδειγμα, όταν <math>x = \left[ 2, 5 \right]^\mathsf{T} </math> και <math>y = \left[ 3, 4 \right]^\mathsf{T} </math>,  δεν υπάρχει έγκυρη ανισοτική σχέση ανάμεσα σε αυτά τα δύο διανύσματα.  Επίσης, η σχέση του [[Αντίστροφο του πολλαπλασιασμού|αντίστροφου του πολλαπλασιασμού]] μπορεί να οριστεί σε διανύσματα  αφού πρώτα καθοριστούν σε έναν  φορέα.   Ωστόσο για το υπόλοιπο των προαναφερθεισών ιδιοτήτων υπάρχουν παράλληλες ιδιότητες για διανυσματικές ανισότητες.

== Γενικά θεωρήματα ύπαρξης ==
Για ένα γενικό σύστημα από ανισότητες πολυωνύμων, μπορεί κανείς να βρει μια προϋπόθεση για να υπάρξει μια λύση. Αρχικά, κάθε σύστημα από πολυωνιμικές ανισότητες μπορεί να αναχθεί σε ένα σύστημα με τριγωνικές ανισότητες, αυξάνοντας τον αριθμό των μεταβλητών και των εξισώσεων (για παράδειγμα θέτοντας ένα τετράγωνο μιας μεταβλητής με νέα μεταβλητή). Μια ενιαία τετραγωνική πολυωνυμική ανισότητα με *n*-1 μεταβλητές μπορεί να γραφτεί ως εξής:

:<math>X^T A X \geq 0</math>

όπου *X* είναι ένα [[διάνυσμα]] με μεταβλητές <math>X=(x_1,x_2,\ldots, x_{n-1}, 1)^T</math> και <math>A</math> είναι ένας [[Πίνακας (μαθηματικά)|πίνακας]]. Αυτότ το σύστημα έχει μια λύση, για παράδειγμα, όταν υπάρχει ένα τουλάχιστον θετικό στοιχείο στην [[Κύρια διαγώνιος πινάκων|κύρια διαγώνιο]] του *A*.

Συστήματα με ανισότητες μπορούν να γραφτούν σε όρους μήτρες A, B, C, κ. τ. λ. και οι συνθήκες για την ύπαρξη των λύσεων μπορούν να γραφτούν ως πολύπλοκες εκφράσεις σε όρους αυτών των μητρών. Η λύση για δύο πολυωνυμικές ανισότητες με δύο μεταβλητές μας λένε ότι αν δύο [[Κωνικές τομές]] σε κάποιες περιοχές αλληλεπικαλύπτονται ή  η μια βρίσκεται μέσα στην άλλη. Η γενική λύση δεν είναι γνωστή αλλά μια τέτοια λύση θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί  για την επίλυση θεωρητικά  άλυτων προβλημάτων όπως [[kissing number problem]]. Ωστόσο, οι συνθήκες θα ήταν περίπλοκες ώστε να απαιτεί αλγορίθμους με μεγάλη [[Θεωρία πολυπλοκότητας|χρονική πολυπλοκότητα]].

==Δείτε επίσης==
*[[Ανισότητα Μάρκοφ]]
*[[Ανισότητα Μπερνούλι]]
*[[Ανισότητα Πουανκαρέ]]

== Παραπομπές ==
<references />

==Αναφορές==  
*
*
*
*
*
*Harold Shapiro (2005, 1972–1985). «[http://www.math.kth.se/math/TOPS/index.html Mathematical Problem Solving]». *The Old Problem Seminar''. Kungliga Tekniska högskolan.
*
*
*
*

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

* 
* Graph of Inequalities by Ed Pegg, Jr., Wolfram Demonstrations Project.
* AoPS Wiki entry about Inequalities


Κατηγορία:Στοιχειώδης άλγεβρα