Σώμα υπολοίπων

Στα μαθηματικά, το **σώμα υπολοίπων** είναι μια βασική κατασκευή στην αντιμεταθετική άλγεβρα. Αν R είναι ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος και \mathfrak{m} είναι ένα μεγιστικό ιδεώδες, τότε το **σώμα υπολοίπων** είναι το πηλίκο του δακτυλίου k=R/\mathfrak{m}, το οποίο είναι ένα σώμα   Συχνά, ο R είναι ένας τοπικός δακτύλιος και ο \mathfrak{m} είναι τότε το μοναδικό μεγιστικό ιδεώδες του.

Στην αφηρημένη άλγεβρα, το σώμα διασπάσεως ενός πολυωνύμου κατασκευάζεται με τη χρήση **σώματα υπολοίπων**. Τα σώματα υπολοίπων εφαρμόζονται επίσης στην αλγεβρική γεωμετρία, όπου σε κάθε σημείο x ενός σχήματος X συσχετίζεται το σώμα υπολοίπων του k(x). Μπορούμε να υποστηρίξουμε κατά κάποιο τρόπο  ότι το **σώμα υπολοίπων** ενός σημείου μιας αφηρημένης αλγεβρικής ποικιλίας είναι το **φυσική περιοχή** για τις συντεταγμένες του σημείου.

## Ορισμός

Έστω ότι ο R είναι ένας αντιμεταθετικός τοπικός δακτύλιος, με μεγιστικό ιδεώδες \mathfrak{m}. Τότε το **σώμα υπολοίπου** είναι το πηλίκο του δακτυλίου R/\mathfrak{m}.

Ας υποθέσουμε τώρα ότι το X είναι ένα σχήμα και το x είναι ένα σημείο του X. Σύμφωνα με τον ορισμό του σχήματος, μπορούμε να βρούμε μια αφινική γειτονιά \mathcal{U} = \text{Spec}(A) του x,  με κάποιο αντιμεταθετικό δακτύλιο A. Αν θεωρηθεί στη γειτονιά \mathcal{U}, το σημείο x  αντιστοιχεί σε ένα πρώτο ιδεώδες \mathfrak{p} \subseteq A (βλέπε τοπολογία Ζαρίσκι). Ο *τοπικός δακτύλιος* του X στο x είναι εξ ορισμού ο εντοπισμός A_{\mathfrak{p}} του A με A\setminus \mathfrak{p} και A_{\mathfrak{p}} έχει μεγιστικό  ιδεώδες \mathfrak{m}=\mathfrak{p}  A_{\mathfrak{p}}. Εφαρμόζοντας την παραπάνω κατασκευή, λαμβάνουμε το **σώμα υπολοίπων του σημείου <math>x</math>**:

:k(x) := A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p} A_{\mathfrak{p}} .

Εφόσον ο εντοπισμός είναι ακριβής, το k(x) είναι το σώμα των κλασμάτων του A/\mathfrak p (το οποίο είναι ένα ολοκληρωτικό σώμα καθώς το \mathfrak p είναι ένα πρώτο ιδεώδες) Μπορεί κανείς να αποδείξει ότι αυτός ο ορισμός δεν εξαρτάται από την επιλογή της αφινικής γειτονιάς \mathcal{U}.

Το σημείο ονομάζεται ρητό σημείο \color{blue}k-ρητό για ένα ορισμένο σώμα k, if k(x)=k.

## Παράδειγμα

Θεωρήστε την αφινική γραμμή \mathbb{A}^1(k)=\operatorname{Spec}(k[t]) πάνω από ένα σώμα k. An k είναι αλγεβρικά κλειστό, υπάρχουν ακριβώς δύο τύποι πρώτων ιδεωδών, δηλαδή

*(t-a),\,a \in k  
*(0), το μηδενικό ιδεώδες.

Τα **σώματα υπολοίπων** είναι

*k[t]_{(t-a)}/(t-a)k[t]_{(t-a)} \cong k
*k[t]_{(0)} \cong k(t), το σώμα συναρτήσεων πάνω από το *k* σε μία μεταβλητή.

Αν το k δεν είναι αλγεβρικά κλειστό, τότε περισσότεροι τύποι προκύπτουν από τα μη αναγώγιμα πολυώνυμα βαθμού μεγαλύτερου του 1. Παραδείγματος χάριν, αν k=\mathbb{R}, τότε τα πρώτα ιδεώδη που παράγονται από τετραγωνικά μη αναγώγιμα πολυώνυμα (όπως το x^2+1) έχουν όλα ισόμορφο σώμα καταλοίπων με το \mathbb{C}.

## Ιδιότητες

* Για ένα σχήμα τοπικά πεπερασμένου τύπου πάνω από ένα σώμα k, ένα σημείο x είναι κλειστό αν και μόνο αν k(x) είναι μια πεπερασμένη επέκταση του βασικού σώματος k. Αυτή είναι μια γεωμετρική διατύπωση των μηδενικών του Χίλμπερτ. Στο παραπάνω παράδειγμα, τα σημεία του πρώτου είδους είναι κλειστά, έχοντας  σώμα υπολοίπων  k, ενώ το δεύτερο σημείο είναι το γενικό σημείο, έχοντας βαθμό υπερβατικότητας 1 πάνω στο k.
* Ένας μορφισμός \operatorname{Spec}(K) \rightarrow X, K κάποιο σώμα, είναι ισοδύναμος με το να δίνει ένα σημείο x \in X και μια επέκταση K/k(x).
* Η διάσταση ενός σχήματος πεπερασμένου τύπου πάνω σε ένα σώμα είναι ίση με τον βαθμό υπερβατικότητας του σώματος υπολοίπων του γενικού σημείου.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Σώμα διασπάσεως
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νοεροί υπολογισμοί

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
* 
*
*
*
*Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 323, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196, Zbl 0948.11001
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα