Σχέση (μαθηματικά)

Στα μαθηματικά, **σχέση**  είναι μια *συσχέτιση* των στοιχείων ενός συνόλου με τα στοιχεία κάποιου άλλου. Η έννοια της σχέσης χρησιμοποιείται στα μαθηματικά για να μοντελοποιήσουμε έννοιες όπως *μεγαλύτερο από*, *είναι ίσο με*, *είναι ισοδύναμο με* κλπ. Η ίδια η έννοια της συνάρτησης ορίζεται ως μια σχέση ειδικού τύπου.

## Αυστηρός ορισμός
Έστω X και Y δύο τυχαία σύνολα. Σχέση από το X στο Y ονομάζουμε κάθε υποσύνολο R του καρτεσιανού γινομένου X \times Y:
:R \subseteq X \times Y = \lbrace (x, y) \mid x \in X, y \in Y \rbrace.

Δηλαδή μια σχέση από ένα σύνολο X σε ένα σύνολο Y δεν είναι τίποτε άλλο από ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών. Το σύνολο X ονομάζεται πεδίο ορισμού και το σύνολο Y ονομάζεται σύνολο τιμών. Ειδικότερα αν R είναι μια σχέση από το σύνολο X στο σύνολο X, τότε λέμε ότι η R είναι μια σχέση στο X. Η έκφραση (x, y) \in R γράφεται διαφορετικά και ως εξής: xRy ή R(x, y) και λέμε ότι το y *σχετίζεται* με το x *μέσω* της σχέσης R ή ακόμα ότι η σχέση R ισχύει *ανάμεσα* στα στοιχεία x και y. Το γράμμα R μπορεί να αντικατασταθεί με οποιοδήποτε άλλο γράμμα, συχνά ακόμα και με σύμβολα όπως , >, +, = κ.α.

### Παραδείγματα
Για παράδειγμα αν για τα σύνολα X και Y έχουμε X = \lbrace 1, 2 \rbrace και Y = \lbrace 3, 4, 5 \rbrace, R είναι μια σχέση στα σύνολα X και Y και S είναι μια σχέση στο σύνολο X, τότε για την R έχουμε:
:R \subseteq \lbrace (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5) \rbrace
και για την S:
:S \subseteq \lbrace (1, 2), (2, 1), (1, 1), (2, 2) \rbrace

## Είδη σχέσεων
Μερικά είδη σχέσεων R, από ένα σύνολο X σε ένα σύνολο Y είναι τα παρακάτω
***αριστερά ολική**: για κάθε x στο X υπάρχει y στο Y τέτοιο ώστε xRy,
***επί ή δεξιά ολική**: για κάθε y στο Y υπάρχει x στο X τέτοιο ώστε xRy,
***συναρτησιακή**: για κάθε x στο X και y, z στο Y ισχύει ότι, αν xRy και xRz τότε y = z,
***ένα προς ένα**: για κάθε x και z στο X και για κάθε y στο Y ισχύει ότι αν xRy και zRy τότε x = z
***αμφιμονοσήμαντη**: συναρτησιακή και αριστερά και δεξιά ολική

### Σχέσεις σε ένα σύνολο
Ορισμένα σημαντικά είδη διμελών σχέσεων σε ένα σύνολο X είναι οι εξής:
***[[ανακλαστική σχέση|ανακλαστική]]**: για κάθε x στο X ισχύει xRx.
***[[συμμετρική σχέση|συμμετρική]]**: για κάθε x, y στο X, αν ισχύει xRy τότε ισχύει και yRx.
***[[αντισυμμετρική σχέση|αντισυμμετρική]]**: για κάθε x, y στο X, αν ισχύει xRy και yRx τότε x = y.
***[[ασυμετρική σχέση|ασυμετρική]]**: για κάθε x, y στο X, αν ισχύει xRy τότε δεν ισχύει yRx.
***[[μεταβατική σχέση|μεταβατική]]**: για κάθε x, y, z στο X, αν ισχύει xRy και yRz τότε xRz.
***[[ολική σχέση|ολική]]**: για κάθε x, y στο X, ισχύει xRy ή yRx ή και τα δύο.
***τριχοτομική**: για κάθε x, y στο X, ισχύει ακριβώς ένα από τα xRy, yRx ή x = y.
***Ευκλείδεια**: για κάθε x, y, z στο X, αν ισχύει xRy και xRz τότε yRz (και zRy).
Και κάποια πιο σύνθετα είδη:
* **[[Σχέση ισοδυναμίας]]**: μια σχέση που είναι ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική ονομάζεται . 
* **[[Σχέση μερικής διάταξης]]**: μια σχέση που είναι ανακλαστική, αντισυμμετρική και μεταβατική. 
* **[[σχέση ολικής διάταξης]]**: Μια σχέση μερικής διάταξης που είναι και ολική.

## Η συνάρτηση ως σχέση

Έστω X και Y δύο μη κενά σύνολα. Μια σχέση f από το σύνολο X στο σύνολο Y ονομάζεται **συνάρτηση από το <math>X</math> στο <math>Y</math>** αν:
*για κάθε x στο X υπάρχει y στο Y ώστε xfy
*αν x ανήκει στο X, y, z ανήκουν στο Y και ισχύει xfy και xfz τότε y = z.

Επομένως, μια σχέση f από το σύνολο X στο σύνολο Y ονομάζεται **συνάρτηση από το <math>X</math> στο <math>Y</math>** αν **για κάθε <math>x</math> στο <math>X</math> υπάρχει μοναδικό <math>y</math> στο <math>Y</math> ώστε <math>xfy</math>**. Με άλλα λόγια μια σχέση που είναι αριστερά ολική και συναρτησιακή, ονομάζεται συνάρτηση. Αν είναι μόνο συναρτησιακή τότε ονομάζεται μερική συνάρτηση.

## Σύνθεση σχέσεων

Η σύνθεση σχέσεων είναι ένας τρόπος με τον οποίο σχηματίζουμε μια νέα σχέση από δύο δεδομένες σχέσεις R και S και την οποία συμβολίζουμε με S \circ R. Ειδική κατηγορία σύνθεσης σχέσεων είναι η σύνθεση συναρτήσεων.

### Ορισμός
Αν R \subseteq X \times Y και S \subseteq Y \times Z είναι δύο διμελείς σχέσεις, τότε η σύνθεση τους S \circ R είναι η σχέση:
:S \circ R = \{(x,z) \in X \times Z \mid \exists y \in Y: (x,y) \in R, (y,z)\in S \} \subseteq X \times Z.

Με άλλα λόγια η σχέση S \circ R είναι η σχέση στην οποία ανήκουν όλα τα διατεταγμένα ζεύγη (x, z) για τα οποία ισχύει το εξής: υπάρχει y στο Y τέτοιο ώστε το (x, y) να ανήκει στη R και το (y, z) να ανήκει στη S. 

### Ιδιότητες

*Η σύνθεση σχέσεων είναι προσεταιριστική,
*Η αντίστροφη σχέση της S \circ R είναι η σχέση (S \circ R)^{-1} = R^{-1} \circ S^{-1},
*Η σύνθεση μερικών συναρτήσεων είναι μερική συνάρτηση,
*Η σύνθεση επί σχέσεων, είναι επί σχέση,
*Η σύνθεση ένα προς ένα σχέσεων, είναι ένα προς ένα.

## Παραπομπές


Κατηγορία:Θεωρία συνόλων
Κατηγορία:Δυαδικές σχέσεις