Επέκταση Καν

Οι **επεκτάσεις Kαν** είναι καθολικές κατασκευές στην θεωρία κατηγοριών, ένας κλάδος των μαθηματικών. Σχετίζονται στενά με συζηγή συναρτητή αλλά και με τα όρια και τα άκρα. Πήραν το όνομά τους από τον Ντάνιελ Μ. Καν, ο οποίος κατασκεύασε ορισμένες επεκτάσεις (Καν) χρησιμοποιώντας όρια το 1960.

Μια πρώιμη χρήση της (όπως είναι γνωστή σήμερα) **επέκτασης Kαν** από το 1956 ήταν στην ομολογική άλγεβρα για τον υπολογισμό των παράγωγων συναρτητών.    

Στο βιβλίο Κατηγορίες για τον εργαζόμενο μαθηματικό, ο  Σόντερς Μακ Λέιν ονόμασε ένα κεφάλαιο "Όλες οι έννοιες είναι επεκτάσεις Kαν" και στη συνέχεια έγραψε ότι

Η έννοια των επεκτάσεων Kαν περιλαμβάνει όλες τις άλλες θεμελιώδεις έννοιες της θεωρίας κατηγοριών.

Οι **επεκτάσεις Kαν** γενικεύουν την έννοια της επέκτασης μιας συνάρτησης που ορίζεται σε ένα υποσύνολο σε μια συνάρτηση που ορίζεται σε ολόκληρο το σύνολο.  Ο ορισμός, όπως είναι φυσικό, βρίσκεται σε υψηλό επίπεδο αφαίρεσης. Όταν εξειδικεύεται σε μερικώς διατεταγμένα σύνολα (posets), γίνεται ένα σχετικά γνωστό είδος ερώτησης σχετικά με την περιορισμένη βελτιστοποίηση.

## Ορισμός

Μια επέκταση Καν προκύπτει από τα δεδομένα τριών κατηγοριών

:\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}

και δύο συναρτητές

:X : \mathbf{A} \to \mathbf{C}, F : \mathbf{A} \to \mathbf{B},

και διατίθεται σε δύο ποικιλίες: την "αριστερή" επέκταση Καν και τη "δεξιά" επέκταση Καν του X κατά μήκος του F.

Αφηρημένα, ο συναρτητής  F δίνει μία απεικόνιση pullback  F^* : [B,C] \to [A,C] . Όταν υπάρχουν, τα αριστερά και δεξιά συζυγείς του  F^* που εφαρμόζονται στο X δίνουν τις αριστερές και δεξιές επεκτάσεις Καν. Αναλύοντας τον ορισμό των συζυγών, έχουμε τους ακόλουθους ορισμούς:

Η σωστή επέκτασηKαν ισοδυναμεί με την εύρεση του διακεκομμένου βέλους και του φυσικού μετασχηματισμού \epsilon στο ακόλουθο διάγραμμα:

:

Τυπικά, η **δεξιά επέκταση Καν του <math>X</math> κατά μήκος του <math>F</math>** αποτελείται από έναν συναρτητή R: \mathbf{B} \to \mathbf{C} και έναν φυσικό μετασχηματισμό \epsilon: RF \to X που είναι τερματικό σε σχέση με αυτή την προδιαγραφή, με την έννοια ότι για κάθε  συναρτητή M: \mathbf{B} \to \mathbf{C}  και φυσικό μετασχηματισμό \mu: MF \to X, ορίζεται ένας μοναδικός φυσικός μετασχηματισμός \delta: M \to R που ταιριάζει σε ένα μεταθετικό διάγραμμα:

: 

όπου \delta_F είναι ο φυσικός μετασχηματισμός με \delta_F(a) = \delta(Fa): MF(a) \to RF(a) για οποιοδήποτε αντικείμενο a του \mathbf{A}.

Ο συναρτητής *R* συχνά γράφεται \operatorname{Ran}_FX.

Όπως και με τις άλλες καθολικές κατασκευές στην θεωρία κατηγοριών, η "αριστερή" έκδοση της **επέκτασης Καν** είναι δυϊκή με την "δεξιά" και προκύπτει αντικαθιστώντας όλες τις κατηγορίες με τις αντίθετές τους. 

Το αποτέλεσμα αυτού στην παραπάνω περιγραφή είναι απλώς η αντιστροφή της κατεύθυνσης των φυσικών μετασχηματισμών. 

: (Υπενθυμίζουμε ότι ο φυσικός μετασχηματισμός \tau μεταξύ των συναρτήσεων F,G: \mathbf{C} \to \mathbf{D} συνίσταται στο να υπάρχει ένα βέλος \tau(a): F(a) \to G(a) για κάθε αντικείμενο a του \mathbf{C}, που ικανοποιεί μια ιδιότητα "φυσικότητας". Όταν περνάμε στις αντίθετες κατηγορίες, η πηγή και ο προορισμός του \tau(a) ανταλλάσσονται, με αποτέλεσμα το \tau να ενεργεί στην αντίθετη κατεύθυνση).

Αυτό οδηγεί στην εναλλακτική περιγραφή: η "αριστερή επέκταση Καν του X κατά μήκος του F" αποτελείται από ένα συναρτητή L: \mathbf{B} \to \mathbf{C} και ένα φυσικό μετασχηματισμό \eta: X \to L F που είναι αρχικό σε σχέση με αυτή την προδιαγραφή, με την έννοια ότι για οποιονδήποτε άλλον συναρτητή M: \mathbf{B} \to \mathbf{C} και φυσικό μετασχηματισμό \alpha: X \to M F, υπάρχει ένας μοναδικός φυσικός μετασχηματισμός \sigma: L \to M που ταιριάζει σε ένα αντιμεταθετικό διάγραμμα:

: 

όπου \sigma_F είναι ο φυσικός μετασχηματισμός με \sigma_F(a) = \sigma(Fa): LF(a) \to MF(a) για οποιοδήποτε αντικείμενο a του \mathbf{A}.

Ο συναρτητής *L* συχνά γράφεται \operatorname{Lan}_FX.

Η χρήση της λέξης "η" (όπως στην "αριστερή επέκταση Καν") δικαιολογείται από το γεγονός ότι, όπως συμβαίνει με όλες τις καθολικές κατασκευές, εάν το αντικείμενο που ορίζεται υπάρχει, τότε είναι μοναδικό μέχρι τον μοναδικό ισομορφισμό. Σε αυτή την περίπτωση, αυτό σημαίνει ότι (για αριστερές επεκτάσεις Καν) εάν L, M είναι δύο αριστερές επεκτάσεις Καν του X κατά μήκος του F, και \eta, \alpha είναι οι αντίστοιχοι μετασχηματισμοί, τότε υπάρχει ένας μοναδικός "ισομορφισμός" των συναρτήσεων \sigma: L \to M έτσι ώστε το δεύτερο διάγραμμα παραπάνω να είναι μεταθετικό. Το ίδιο ισχύει και για τις δεξιές επεκτάσεις Καν.

## Ιδιότητες
### Επεκτάσεις Καν ως (συν)όρια

Ας υποθέσουμε ότι X:\mathbf{A}\to\mathbf{C} και F:\mathbf{A}\to\mathbf{B} είναι δύο συναρτητές. Εάν το **A** είναι μικρό και το **C** είναι συν-πλήρες, τότε υπάρχει μια αριστερή επέκταση Καν \operatorname{Lan}_FX του X κατά μήκος του F, που ορίζεται σε κάθε αντικείμενο *b* του **B** από

:(\operatorname{Lan}_F X)(b) = \varinjlim_{f:Fa \to b} X(a)

όπου το συν όριο λαμβάνεται πάνω από την κατηγορία κόμμα (F \downarrow \operatorname{const}_b), όπου \operatorname{const}_b\colon \ast\to \mathbf{B}, \ast\mapsto b είναι ο σταθερός συναρτητής. Αντίστοιχα, αν το  **A** είναι μικρό και το **C** είναι πλήρες, τότε υπάρχουν δεξιές επεκτάσεις Καν κατά μήκος του F και μπορούν να υπολογιστούν ως το όριο

:(\operatorname{Ran}_F X)(b) = \varprojlim_{Fa \leftarrow b} X(a)

πάνω από την κατηγορία κόμμα (\operatorname{const}_b \downarrow F).

### Επεκτάσεις Καν ως (συν)άκρα

Ας υποθέσουμε ότι X:\mathbf{A}\to\mathbf{C} και F:\mathbf{A}\to\mathbf{B} είναι δύο συναρτήσεις έτσι ώστε για όλα τα αντικείμενα *a* και *a′* του **A**  και όλα τα αντικείμενα *b* του **B**, οι συντελεστές \mathbf{B}(Fa',b)\cdot Xa υπάρχουν στο **C**. Τότε ο συναρτητής  *X* έχει μια αριστερή επέκταση Καν \operatorname{Lan}_FX κατά μήκος του *F*, η οποία είναι τέτοια ώστε, για κάθε αντικείμενο *b* του **B**,

:(\operatorname{Lan}_FX)b=\int^a \mathbf{B}(Fa,b)\cdot Xa

όταν το παραπάνω (συν)άκρο υπάρχει για κάθε αντικείμενο *b*   του **B**.

Αντίστοιχα, οι δεξιές επεκτάσεις Καν μπορούν να υπολογιστούν με τον τελικό τύπο

:(\operatorname{Ran}_FX)b=\int_a Xa^{\mathbf{B}(b,Fa)}.

### Όρια ως επεκτάσεις Καν

Το όριο ενός συναρτητή F: \mathbf{C} \to \mathbf{D} μπορεί να εκφραστεί ως επέκταση Καν 

:\lim F = \operatorname{Ran}_E F

όπου E είναι ο μοναδικός συναρτητής από \mathbf{C} σε \mathbf{1} (η κατηγορία με ένα αντικείμενο και ένα βέλος, ένα τελικό αντικείμενο στο \mathbf{Cat}). Το συν-όριο (colimit) του F μπορεί να εκφραστεί παρόμοια με

:\operatorname{colim} F = \operatorname{Lan}_E F.

### Συζυγής ως επέκταση Καν

Ένας συναρτητής F : \mathbf{C} \to \mathbf{D} έχει αριστερό συζυγή αν και μόνο αν η δεξιά επέκταση Καν του \operatorname{Id} : \mathbf{C} \to \mathbf{C} κατά μήκος του F υπάρχει και διατηρείται από το F. Σε αυτή την περίπτωση, ένα αριστερό συζυγή  δίνεται από το \operatorname{Ran}_F \operatorname{Id} και αυτή η επέκταση Καν διατηρείται ακόμη και από οποιοδήποτε συναρτητή \mathbf{C} \to \mathbf{E}, δηλαδή είναι μια *απόλυτη* επέκταση Καν.

Αντίστοιχα, ένα δεξί συμπληρωματικό υπάρχει αν και μόνο αν η αριστερή επέκταση Καν της ταυτότητας κατά μήκος του F υπάρχει και διατηρείται από το F.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Αβελιανή ομάδα

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*  
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*  
* 
*.
* .
*.
*.
*
* Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα
Κατηγορία:Συναρτητές