Διανυσματικό δυναμικό

Στον διανυσματικό λογισμό, ένα **διανυσματικό δυναμικό** είναι ένα διανυσματικό πεδίο του οποίου η κύρτωση είναι ένα δεδομένο διανυσματικό πεδίο. Αυτό είναι ανάλογο με ένα "βαθμωτό δυναμικό", το οποίο είναι ένα βαθμωτό πεδίο που η κλίση είναι ένα δεδομένο διανυσματικό πεδίο.

Τυπικά, δεδομένου ενός διανυσματικού πεδίου \mathbf{v}, ένα *διανυσματικό δυναμικό* είναι ένα C^2 διανυσματικό πεδίο \mathbf{A} τέτοιο ώστε

 \mathbf{v} = \nabla \times \mathbf{A}.  

Ιστορικά, το μαγνητικό διανυσματικό δυναμικό ήταν ο λόγος για την περιγραφή του διανυσματικού δυναμικού. Εισήχθη για να απλοποιήσει τους υπολογισμούς με την πυκνότητα της μαγνητικής ροής και την ηλεκτρομαγνητική επαγωγή στην κλασική ηλεκτροδυναμική.

## Συνέπεια
Αν ένα διανυσματικό πεδίο \mathbf{v} δέχεται ένα διανυσματικό δυναμικό \mathbf{A}, τότε από την ισότητα

\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0

(η απόκλιση της κύρτωσης είναι μηδέν) προκύπτει

\nabla \cdot \mathbf{v} = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0,

το οποίο συνεπάγεται ότι \mathbf{v} πρέπει να είναι ένα σωληνοειδές διανυσματικό πεδίο.

## Θεώρημα
Έστω
\mathbf{v} : \R^3 \to \R^3 

να είναι ένα σωληνοειδές διανυσματικό πεδίο το οποίο είναι δύο φορές συνεχώς διαφορίσιμο. Υποθέτουμε ότι  \mathbf{v}(\mathbf{x})  μειώνεται τουλάχιστον τόσο γρήγορα όσο   1/\|\mathbf{x}\|  for  \| \mathbf{x}\| \to \infty . Ορίζουμε

 \mathbf{A} (\mathbf{x}) = \frac{1}{4 \pi}  \int_{\mathbb R^3} \frac{ \nabla_y \times \mathbf{v} (\mathbf{y})}{\left\|\mathbf{x} -\mathbf{y} \right\|} \, d^3\mathbf{y} 

όπου \nabla_y \times δηλώνει την κύρτωση ως προς τη μεταβλητή \mathbf{y}. Τότε \mathbf{A} είναι ένα διανυσματικό δυναμικό για \mathbf{v}. Δηλαδή,

\nabla \times \mathbf{A} =\mathbf{v}. 

Το πεδίο ολοκλήρωσης μπορεί να περιοριστεί σε οποιαδήποτε απλά συνδεδεμένη περιοχή \mathbf{\Omega}. Δηλαδή, το \mathbf{A'} είναι επίσης ένα διανυσματικό δυναμικό \mathbf{v}, όπου

 \mathbf{A'} (\mathbf{x}) = \frac{1}{4 \pi}  \int_{\Omega} \frac{ \nabla_y \times \mathbf{v} (\mathbf{y})}{\left\|\mathbf{x} -\mathbf{y} \right\|} \, d^3\mathbf{y}. 

Μια γενίκευση αυτού του θεωρήματος είναι το θεώρημα του Χέλμχολτς, το οποίο δηλώνει ότι κάθε διανυσματικό πεδίο μπορεί να αναλυθεί ως άθροισμα ενός σωληνοειδούς διανυσματικού πεδίου και ενός μη περιστροφικού διανυσματικού πεδίου.

Κατ' αναλογία με το νόμο Μπιότ - Σάβαρτ, το \mathbf{A*}(\mathbf{x})</math> χαρακτηρίζεται επίσης ως διανυσματικό δυναμικό για το <math>\mathbf{v}</math>, όπου

:<math>\mathbf{A*}(\mathbf{x}) =\int_\Omega \frac{\mathbf{v}(\mathbf{y}) \times (\mathbf{x} - \mathbf{y})}{4 \pi |\mathbf{x} - \mathbf{y}|^3} d^3 \mathbf{y}.

Αντικαθιστώντας \mathbf{j} (πυκνότητα ρεύματος) για \mathbf{v} και \mathbf{H} (πεδίο H) για \mathbf{A}, προκύπτει ο νόμος Βιοτ-Σάβαρτ.

Έστω \mathbf{\Omega} ένας αστρικός τομέας με κέντρο το σημείο \mathbf{p}, όπου \mathbf{p}\in \R^3. Εφαρμόζοντας το λήμμα του Πουανκαρέ για διαφορικές μορφές σε διανυσματικά πεδία, τότε το \mathbf{A**}(\mathbf{x})</math> είναι επίσης ένα διανυσματικό δυναμικό για το <math>\mathbf{v}</math>, όπου

<math>\mathbf{A**}(\mathbf{x})
=\int_0^1 s ((\mathbf{x}-\mathbf{p})\times ( \mathbf{v}( s \mathbf{x} + (1-s) \mathbf{p} ))\ ds


## Μη μοναδικότητα
Το διανυσματικό δυναμικό που δέχεται ένα σωληνοειδές πεδίο δεν είναι μοναδικό.  Αν το \mathbf{A} είναι ένα διανυσματικό δυναμικό για το \mathbf{v}, τότε το ίδιο ισχύει και για το \mathbf{v}.

 \mathbf{A} + \nabla f, 

όπου f είναι οποιαδήποτε συνεχώς διαφορίσιμη βαθμωτή συνάρτηση. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι η κύρτωση της κλίσης είναι μηδέν.

Αυτή η μη μοναδικότητα οδηγεί σε έναν βαθμό ελευθερίας στη διατύπωση της ηλεκτροδυναμικής, ή ελευθερία του μέτρου, και απαιτεί την επιλογή ενός μέτρου.

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Διδιάστατος χώρος
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Υπερβολική γεωμετρία
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Διάσταση Κρουλ
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* 
* 
* . Review: Séquin, Carlo H. (2009), *Journal of Mathematics and the Arts* 3: 229–230, 
* 
*Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:Θεωρήματα στην ανάλυση 
Κατηγορία:Μαθηματική ανάλυση 
Κατηγορία:Επιφάνειες 
Κατηγορία:Διαφορική τοπολογία 
Κατηγορία:Διανύσματα 
Κατηγορία:Διανυσματικός λογισμός
Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις