Προσυναρτητής

Στη θεωρία κατηγοριών, έναν κλάδο των μαθηματικών, οι **προσυναρτητές** είναι μια γενίκευση των σχέσεων και των διπροτύπων (bimodules).

## Ορισμός

Ένας **προσυναρτητής** (αγγλικά: **profunctor**) (που ονομάζεται επίσης **διανομέας** (Distributeur) από τη γαλλική σχολή και ('''πρότυπο''') **module** από τη σχολή του Σίδνεϊ) \,\phi από μια κατηγορία C σε μια κατηγορία D, που γράφεται 
: \phi : C\nrightarrow D,
ορίζεται ως ένας συναρτητής
: \phi : D^{\mathrm{op}}\times C\to\mathbf{Set}
όπου D^\mathrm{op} δηλώνει την αντίθετη κατηγορία του D και \mathbf{Set} δηλώνει την κατηγορία των συνόλων. Δεδομένων των μορφισμών  f : d\to d', g : c\to c' αντίστοιχα στο  D, C  και ενός στοιχείου  x\in\phi(d',c), γράφουμε xf\in \phi(d,c), gx\in\phi(d',c') για να δηλώσουμε τις δράσεις.

Αν θεωρήσουμε ότι η κατηγορία των μικρών κατηγοριών \mathbf{Cat}  είναι καρτεσιανά κλειστή, ο προσυναρτητής \phi  μπορεί να θεωρηθεί ως ένας συναρτηστής
: \hat{\phi} : C\to\hat{D}
όπου \hat{D}  δηλώνει την κατηγορία \mathrm{Set}^{D^\mathrm{op}}των προδεματίων πάνω από  D.

Μια **αντιστοιχία** από το   C  στο  D  είναι ένας **προσυναρτητής**  D\nrightarrow C.

### Προσυναρτητές ως κατηγορίες

Ένας ισοδύναμος ορισμός ενός προσυναρτητή \phi : C\nrightarrow D είναι μια κατηγορία της οποίας τα αντικείμενα είναι η ασύνδετη ένωση των αντικειμένων της C και των αντικειμένων της D, και της οποίας οι μορφισμοί είναι οι μορφισμοί της  C και οι μορφισμοί της D, συν μηδέν ή περισσότεροι πρόσθετοι μορφισμοί από αντικείμενα της D σε αντικείμενα της C. Τα σύνολα στον παραπάνω τυπικό ορισμό είναι τα ομο-σύνολα μεταξύ των αντικειμένων τουD και των αντικειμένων του  C. (Τα σύνολα αυτά είναι επίσης γνωστά ως het-sets, αφού οι αντίστοιχοι μορφισμοί θα μπορούσαν να ονομαστούν ετερομορφισμοί.) Ο προηγούμενος ορισμός μπορεί να ανακτηθεί από τον περιορισμό του συναρτητή Hom \phi^\text{op}\times \phi \to \mathbf{Set} to D^\text{op}\times C.

Αυτό καθιστά επίσης σαφές ότι ένας προσυναρτητής μπορεί να θεωρηθεί ως μια σχέση μεταξύ των αντικειμένων του C και των αντικειμένων του D, όπου κάθε μέλος της σχέσης σχετίζεται με ένα σύνολο μορφισμών. Ένας συναρτητής είναι μια ειδική περίπτωση ενός προσυναρτητή με τον ίδιο τρόπο που μια συνάρτηση είναι μια ειδική περίπτωση μιας σχέσης.

### Σύνθεση των προσυναρτητών

Το σύνθετο \psi\phi δύο προσυναρτητών 
: \phi : C\nrightarrow D and \psi : D\nrightarrow E
δίνεται από τη σχέση
: \psi\phi=\mathrm{Lan}_{Y_D}(\hat{\psi})\circ\hat\phi
όπου \mathrm{Lan}_{Y_D}(\hat{\psi}) είναι η αριστερή επέκταση Καν του συναρτητή  \hat{\psi} κατά μήκος του συναρτητή Γιονέντα  Y_D : D\to\hat D του D (ο οποίος σε κάθε αντικείμενο d του D συνδέει τον συναρτητή D(-,d) : D^{\mathrm{op}}\to\mathrm{Set}).

Μπορεί να αποδειχθεί ότι 
: (\psi\phi)(e,c)=\left(\coprod_{d\in D}\psi(e,d)\times\phi(d,c)\right)\Bigg/\sim
όπου  \sim είναι η ελάχιστη σχέση ισοδυναμίας τέτοια ώστε (y',x')\sim(y,x)  κάθε φορά που υπάρχει ένας μορφισμός v στο D τέτοιος ώστε
: y'=vy \in\psi(e,d')  and  x'v=x \in\phi(d,c).
Ισοδύναμα, η σύνθεση προσυναρτητή μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας ένα coend
: (\psi\phi)(e,c)=\int^{d\colon D}\psi(e,d)\times\phi(d,c)

### Δικατηγορία των προσυναρτητών

Η σύνθεση των προσυναρτητών είναι προσεταιριστική μέχρι το ισομορφισμό (επειδή το γινόμενο δεν είναι αυστηρά προσεταιριστικό στο **Set**). Το καλύτερο που μπορεί να ελπίζει κανείς είναι επομένως να κατασκευάσει μια δικατηγορία **Prof** της οποίας 
* 0-κύτταρα είναι μικρές κατηγορίες
* 1-κύτταρα μεταξύ δύο μικρών κατηγοριών είναι οι προσυναρτητές μεταξύ αυτών των κατηγοριών,
* 2-κύτταρα μεταξύ δύο προσυναρτητών είναι οι φυσικοί μετασχηματισμοί μεταξύ αυτών των προσυναρτητών.

## Ιδιότητες
### Μετατροπή συναρτητών σε προσυναρτητών
Ένας συναρτητής F : C\to D μπορεί να θεωρηθεί ως ένας προσυναρτητής \phi_F : C\nrightarrow D με μετασύνθεση με τον συναρτητή Γιονέντα: 
: \phi_F=Y_D\circ F.

Μπορεί να αποδειχθεί ότι ένας τέτοιος προσυναρτητής \phi_F έχει ένα δεξιό συζυγή. Επιπλέον, αυτό είναι ένα χαρακτηριστικό: ένας προσυναρτητής \phi : C\nrightarrow D έχει ένα δεξιό συζυγή αν και μόνο αν \hat\phi : C\to\hat D παράγοντα μέσω της ολοκλήρωσης Κωσύ του D, δηλαδή υπάρχει ένας προσυναρτητής F : C\to D  έτσι ώστε  \hat\phi=Y_D\circ F.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή κατηγορία
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
*
*
*
*
* 
*

*
*Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
*
*
*
* 
* 
* Categorical programming with inductive and coinductive types () by Varmo Vene
* Philip Wadler: Recursive types for free! () University of Glasgow, June 1990. Draft.
* Algebra and coalgebra () from CLiki
* B. Jacobs, J. Rutten: A Tutorial on (Co) Algebras and (Co) Induction. Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, vol. 62, 1997, 
* Understanding F-Algebras () by Bartosz Milewski
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Γενική τοπολογία 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα 
Κατηγορία:Συναρτητές