Συνομολογία Γκαλουά

Στα μαθηματικά, η **συνομολογία Γκαλουά** είναι η μελέτη της συνομολογίας ομάδων των modules Γκαλουά, δηλαδή η εφαρμογή της ομολογικής άλγεβρας σε modules για ομάδες Γκαλουά. Μια ομάδα Γκαλουά *G* που σχετίζεται με μια επέκταση σώματος *L*/*K* δρα με φυσικό τρόπο σε ορισμένες αβελιανές ομάδες, όπως για παράδειγμα εκείνες που κατασκευάζονται απευθείας από το *L*, αλλά και μέσω άλλων απεικονίσεων Γκαλουά  που μπορούν να προκύψουν με πιο αφηρημένα μέσα. Η συνομολογία Γκαλουά εξηγεί τον τρόπο με τον οποίο η λήψη αναλλοίωτων στοιχείων Γκαλουά  αποτυγχάνει να είναι ένας ακριβής συναρτητής.

## Ιστορία

Η τρέχουσα θεωρία της συνομολογίας Γκαλουά διαμορφώθηκε γύρω στο 1950, όταν συνειδητοποιήθηκε ότι η συνομολογία Γκαλουά των κλάσεων ομάδων  στην αλγεβρική αριθμητική θεωρία ήταν ένας τρόπος για να διατυπωθεί η θεωρία κλάσεων σωμάτων, η οποία εκείνη την εποχή βρισκόταν σε διαδικασία απομάκρυνσης από τις συνδέσεις με τις L-συναρτήσεις. Η συνομολογία Γκαλουά δεν προϋποθέτει ότι οι ομάδες Γκαλουά είναι αβελιανές ομάδες, επομένως ήταν μια μη αβελιανή θεωρία. Διατυπώθηκε αφηρημένα ως θεωρία σχηματισμού κλάσεων. Δύο εξελίξεις της δεκαετίας του 1960 ανέτρεψαν την κατάσταση. Πρώτον, η **συνομολογία Γκαλουά** εμφανίστηκε ως το θεμελιώδες στρώμα της θεωρίας της συνομολογίας étale (σε γενικές γραμμές, η θεωρία όπως εφαρμόζεται σε σχήματα μηδενικής διάστασης). Δεύτερον, η μη αβελιανή θεωρία κλάσεων σωμάτων ξεκίνησε ως μέρος της φιλοσοφίας του Λάνγκλαντς.

Τα πρώτα αποτελέσματα που μπορούν να αναγνωριστούν ως συνομολογία Γκαλουά ήταν γνωστά πολύ νωρίτερα, στην αλγεβρική αριθμητική θεωρία και στην αριθμητική των ελλειπτικών καμπυλών. Το θεώρημα της κανονικής βάσης υποδηλώνει ότι η πρώτη ομάδα συνομολογίας της πρόσθετης ομάδας του *L* θα μηδενιστεί. Αυτό είναι ένα αποτέλεσμα που αφορά γενικές επεκτάσεις σωμάτων, αλλά ήταν γνωστό σε κάποια μορφή στον Ρίχαρντ Ντέντεκιντ. Το αντίστοιχο αποτέλεσμα για την πολλαπλασιαστική ομάδα είναι γνωστό ως θεώρημα 90 του Χίλμπερτ και ήταν γνωστό πριν από το 1900. Η θεωρία του Κούμερ ήταν ένα άλλο τέτοιο πρώιμο μέρος της θεωρίας, που έδινε μια περιγραφή του συνδετικού ομομορφισμού που προέρχεται από την απεικόνιση  της *m*-th δύναμης.

Στην πραγματικότητα, για κάποιο διάστημα η πολλαπλασιαστική περίπτωση ενός 1-οµοκύκλου για ομάδες που δεν είναι απαραίτητα κυκλικές διατυπώθηκε ως λύσιμότητα των εξισώσεων Νέτερ, που πήραν το όνομά τους από την Έμι Νέτερ. Εμφανίζονται με αυτό το όνομα στην επεξεργασία της θεωρίας Γκαλουά από τον Εμίλ Άρτιν και μπορεί να ήταν λαϊκή παράδοση στη δεκαετία του 1920. Η περίπτωση των 2-οµοκύκλων για την πολλαπλασιαστική ομάδα είναι αυτή της ομάδας Μπράουερ, και οι επιπτώσεις φαίνεται να ήταν γνωστές στους αλγεβριστές της δεκαετίας του 1930.

Σε μια άλλη κατεύθυνση, αυτή των torsors, αυτά ήταν ήδη αυτονόητα στα επιχειρήματα άπειρης καθόδου του Φερμά για ελλειπτικές καμπύλες. Έγιναν πολυάριθμοι άμεσοι υπολογισμοί και η απόδειξη του θεωρήματος Μορντέλ-Βέιλ έπρεπε να προχωρήσει με κάποιο υποκατάστατο μιας απόδειξης πεπερασμένου για μια συγκεκριμένη ομάδα *H*1. Η «διεστραμμένη» φύση των αντικειμένων πάνω σε σώματα που δεν είναι αλγεβρικά κλειστά, τα οποία δεν είναι ισόμορφα αλλά γίνονται έτσι πάνω στην αλγεβρική κλειστότητα, ήταν επίσης γνωστή σε πολλές περιπτώσεις που συνδέονται με άλλες αλγεβρικές ομάδες (όπως τετραγωνικές μορφές, απλές άλγεβρες, ποικιλίες Σεβέρι-Μπράουερ), στη δεκαετία του 1930, πριν φτάσει η γενική θεωρία.

Οι ανάγκες της θεωρίας των αριθμών εκφράστηκαν ειδικότερα με την απαίτηση να υπάρχει έλεγχος μιας τοπικής-παγκόσμιας αρχής για τη **συνομολογία Γκαλουά**. Αυτό διατυπώθηκε μέσω αποτελεσμάτων στη θεωρία κλασέων σωμάτων, όπως το θεώρημα νόρμας του Χας. Στην περίπτωση των ελλειπτικών καμπυλών, οδήγησε στον βασικό ορισμό της ομάδας Τέιτ-Σαφάρεβιτς στην ομάδα Σέλμερ, η οποία αποτελεί το εμπόδιο για την επιτυχία μιας τοπικής-παγκόσμιας αρχής. Παρά τη μεγάλη σημασία της, όπως για παράδειγμα στην εικασία των Μπιρτς και Σουίνερτον-Ντάιερ, αποδείχθηκε πολύ δύσκολο να αποκτήσει κανείς οποιονδήποτε έλεγχο, μέχρι που τα αποτελέσματα του Καρλ Ρούμπιν έδωσαν έναν τρόπο να δείξουν ότι σε ορισμένες περιπτώσεις ήταν πεπερασμένη (ένα αποτέλεσμα που γενικά πιστευόταν, δεδομένου ότι η εικαστική του τάξη  είχε προβλεφθεί από έναν τύπο της συνάρτησης *L*).

Η άλλη σημαντική εξέλιξη της θεωρίας, στην οποία επίσης συμμετείχε ο Τζον Τέιτ, ήταν το αποτέλεσμα της δυϊκότητας Τέιτ-Πουατού.

Από τεχνική άποψη, η G μπορεί να είναι μια προπεπερασμένη ομάδα, οπότε οι ορισμοί πρέπει να προσαρμοστούν ώστε να επιτρέπουν μόνο συνεχείς συν-αλυσίδες.

## Τυπικές λεπτομέρειες
Η συνομολογία Γκαλουά είναι η μελέτη της συνομολογίας των ομάδων Γκαλουά. Έστω L|K μια επέκταση σώματος με ομάδα Γκαλουά G(L|K) και M μια αβελιανή ομάδα στην οποία δρα η G(L|K).  Η ομάδα συνομολογίας:

H^n(L|K, M) := H^n(G(L|K),M),\quad n\ge 0

είναι η ομάδα **συνομολογίας Γκαλουά** που συνδέεται με την αναπαράσταση της ομάδας Γκαλουά στο M.  Είναι δυνατόν, επιπλέον, να επεκταθεί αυτός ο ορισμός στην περίπτωση που η M είναι μη-αβελιανή ομάδα και n=0,1, και αυτή η επέκταση απαιτείται για μερικές από τις πιο σημαντικές εφαρμογές της θεωρίας.  Συγκεκριμένα, η H^0(L|K,M) είναι το σύνολο των σταθερών σημείων της ομάδας Γκαλουά στην M, και η H^1(L|K,M) σχετίζεται με τους 1-κύκλους (οι οποίοι παραμετροποιούν τις άλγεβρες τετραδίων για παράδειγμα).

Όταν η επέκταση σώματος L=K^s είναι η διαχωρίσιμη κλειστότητα του σώματος K, συχνά γράφουμε G_K = G(K^s|K) και
H^n(K,M) := H^n(G_K,M).

Το θεώρημα 90 του Χίλμπερτ στη γλώσσα της συνομολογίας είναι η δήλωση ότι η πρώτη ομάδα συνομολογίας με τιμές στην πολλαπλασιαστική ομάδα της L είναι τετριμμένη για μια επέκταση Γκαλουά L|K:
H^1(L|K,L^*)=1.
Αυτό το θεώρημα vanishing  μπορεί να γενικευτεί σε μια μεγάλη κατηγορία αλγεβρικών ομάδων, επίσης διατυπωμένο στη γλώσσα της **συνομολογίας Γκαλουά**.  Η πιο απλή γενίκευση είναι ότι για οποιονδήποτε τεταρτοταγή K-τόρο T,

H^1(K,T) = 1.
Συμβολίζουμε με GL_n(L) τη γενική γραμμική ομάδα σε n διαστάσεις.  Τότε το Χίλμπερτ 90 είναι η n=1 ειδική περίπτωση της
H^1(L|K,GL_n(L))=1.
Ομοίως, το θεώρημα vanishing ισχύει για την ειδική γραμμική ομάδα SL_n(L) και για τη συμπλεκτική ομάδα Sp(\omega)_L όπου \omega είναι μια μη εκφυλισμένη εναλλασσόμενη διγραμμική μορφή που ορίζεται πάνω στο K.

Η δεύτερη ομάδα συνομολογίας περιγράφει τα συστήματα παραγόντων που συνδέονται με την ομάδα Γκαλουά. Έτσι, για κάθε κανονική επέκταση L|K, η σχετική ομάδα Μπράουερ μπορεί να ταυτιστεί με την ομάδα
Br(L|K) = H^2(L|K, L^*).
Ως ειδική περίπτωση, με τη διαχωρίσιμη κλειστότητα,
Br(K) = H^2(K,(K^s)^*).

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Σώμα διασπάσεως
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νοεροί υπολογισμοί

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
* , translation of  *Cohomologie Galoisienne*, Springer-Verlag Lecture Notes 5 (1964).
* 
* Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 323, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196, Zbl 0948.11001
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα