Πίνακας Γκραμ

Στη γραμμική άλγεβρα, ο **πίνακας Γκραμ** (ή **Γκραμιανός πίνακας**, **Γκραμιανός**) ενός συνόλου διανυσμάτων v_1,\dots, v_n σε ένα χώρο εσωτερικών γινομένων είναι ο ερμιτιανός πίνακας εσωτερικών γινομένων, του οποίου οι εγγραφές δίνονται από το εσωτερικό γινόμενο G_{ij} = \left\langle v_i, v_j \right\rangle.. Αν τα διανύσματα v_1,\dots, v_n είναι οι στήλες του πίνακα X τότε ο πίνακας Γκραμ είναι X^\dagger X στη γενική περίπτωση που οι διανυσματικές συντεταγμένες είναι μιγαδικοί αριθμοί, ο οποίος απλοποιείται σε X^\top X για την περίπτωση που οι διανυσματικές συντεταγμένες είναι πραγματικοί αριθμοί.

Μια σημαντική εφαρμογή είναι ο υπολογισμός της γραμμικής ανεξαρτησίας: ένα σύνολο διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητα εάν και μόνο εάν η ορίζουσα Γκραμ (η ορίζουσα του πίνακα Γκραμ) είναι είναι διάφορη του μηδενός.

## Παραδείγματα
Για πεπερασμένων διαστάσεων πραγματικά διανύσματα στο \mathbb{R}^n με το συνηθισμένο ευκλείδειο τετραγωνικό γινόμενο, ο πίνακας Γκραμ είναι G = V^\top V, όπου V είναι ένας πίνακας του οποίου οι στήλες είναι τα διανύσματα v_k και V^\top είναι η αντιστροφή του, της οποίας οι γραμμές είναι τα διανύσματα v_k^\top. Για μιγαδικά διανύσματα στο \mathbb{C}^n, G = V^\dagger V, όπου V^\dagger είναι η συζυγής μεταφορά του V.

Με δεδομένες τετραγωνικά ολοκληρώσιμες συναρτήσεις \{\ell_i(\cdot),\, i = 1,\dots,n\} στο διάστημα \left[t_0, t_f\right], ο πίνακας Γκραμ G = \left[G_{ij}\right] είναι:

: G_{ij} = \int_{t_0}^{t_f} \ell_i^*(\tau)\ell_j(\tau)\, d\tau. 
όπου \ell_i^*(\tau) είναι η μιγαδικός συζυγής του \ell_i(\tau).

Για οποιαδήποτε διγραμμική μορφή B σε έναν πεπερασμένης διάστασης διανυσματικό χώρο πάνω από οποιοδήποτε σώμα μπορούμε να ορίσουμε έναν πίνακα Γκραμ G που συνδέεται με ένα σύνολο διανυσμάτων v_1, \dots, v_n με τη σχέση G_{ij} = B\left(v_i, v_j\right). Ο πίνακας θα είναι συμμετρικός αν η διγραμμική μορφή B είναι συμμετρική.

### Εφαρμογές
* Στη γεωμετρία του Ρίμαν, δεδομένης μιας ενσωματωμένης k-διάστατης πολλαπλότητας του Ρίμαν M\subset \mathbb{R}^n και μιας παραμετροποίησης \phi: U\to M για  η μορφή όγκου \omega στην M που επάγεται από την ενσωμάτωση μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας την Γκραμιανή των εφαπτομενικών διανυσμάτων των συντεταγμένων:

: \omega = \sqrt{\det G}\ dx_1 \cdots dx_k,\quad G = \left[\left\langle \frac{\partial\phi}{\partial x_i},\frac{\partial\phi}{\partial x_j}\right\rangle\right].

Αυτό γενικεύει το κλασικό επιφανειακό ολοκλήρωμα μιας παραμετροποιημένης επιφάνειας \phi:U\to S\subset \mathbb{R}^3 for (x, y)\in U\subset\mathbb{R}^2
: \int_S f\ dA = \iint_U f(\phi(x, y))\, \left|\frac{\partial\phi}{\partial x}\,{\times}\,\frac{\partial\phi}{\partial y}\right|\, dx\, dy.
* Αν τα διανύσματα είναι κεντραρισμένες τυχαίες μεταβλητές, η Γκραμιανή είναι περίπου ανάλογη του πίνακα συνδιακύμανσης, με την κλιμάκωση να καθορίζεται από τον αριθμό των στοιχείων του διανύσματος.
* Στην κβαντική χημεία, ο πίνακας Γκραμ ενός συνόλου διανυσμάτων βάσης είναι ο πίνακας επικάλυψης.
* Στη θεωρία ελέγχου (ή γενικότερα στη θεωρία συστημάτων), η Γκράμιαν της δυνατότητας ελέγχου και η Γκράμιαν της δυνατότητας παρατήρησης καθορίζουν τις ιδιότητες ενός γραμμικού συστήματος.
* Οι πίνακες Γκραμ προκύπτουν στην προσαρμογή μοντέλων δομής συνδιακύμανσης (βλέπε π.χ. Τζαμσίντιαν και Μπέντλερ, 1993, Εφαρμοσμένη Ψυχολογική Μέτρηση, τόμος 18, σελ. 79-94).
* Στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων, ο πίνακας Γκραμ προκύπτει από την προσέγγιση μιας συνάρτησης από έναν πεπερασμένης διάστασης χώρο- οι καταχωρήσεις του πίνακα Γκραμ είναι τότε τα εσωτερικά γινόμενα των συναρτήσεων βάσης του πεπερασμένης διάστασης υποχώρου.
* Στη μηχανική μάθηση, οι συναρτήσεις πυρήνα συχνά αναπαρίστανται ως πίνακες Γκραμ (βλέπε επίσης Κερνέλ PCA).
* Επειδή ο πίνακας Γκραμ πάνω στους πραγματικούς είναι συμμετρικός πίνακας, είναι διαγωνοποιήσιμος και οι ιδιοτιμές του είναι μη αρνητικές. Η διαγωνοποίηση του πίνακα Γκραμ είναι η Ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές.

### Θετικός-θετικός ημιτελής
Ο πίνακας Γκραμ είναι συμμετρικός στην περίπτωση που το πραγματικό γινόμενο είναι πραγματικής αξίας- είναι ερμιτιανός στη γενική, μιγαδική περίπτωση λόγω του ορισμού του εσωτερικού γινομένου.

Ο πίνακας Γκραμ είναι θετικός ημιτελής και κάθε θετικός ημιτελής πίνακας είναι ο πίνακας Γκραμ για κάποιο σύνολο διανυσμάτων. Το γεγονός ότι ο πίνακας Γκραμ είναι θετικός ημιτελής μπορεί να φανεί από την ακόλουθη απλή παραγώγιση:

: 
  x^\dagger \mathbf{G} x =
  \sum_{i,j}x_i^* x_j\left\langle v_i, v_j \right\rangle =
  \sum_{i,j}\left\langle x_i v_i, x_j v_j \right\rangle =
  \biggl\langle \sum_i x_i v_i, \sum_j x_j v_j \biggr\rangle =
  \biggl\| \sum_i x_i v_i \biggr\|^2 \geq 0 .


Η πρώτη ισότητα προκύπτει από τον ορισμό του πολλαπλασιασμού πινάκων, η δεύτερη και η τρίτη από τη διγραμμικότητα του εσωτερικού γινομένου και η τελευταία από τη θετική οριστικότητα του εσωτερικού γινομένου.
Ας σημειωθεί ότι αυτό δείχνει επίσης ότι ο πίνακας Γκραμ είναι θετικά ορισμένος αν και μόνο αν τα διανύσματα  v_i  είναι γραμμικά ανεξάρτητα (δηλαδή, \sum_i x_i v_i \neq 0 για όλα τα x).

### Εύρεση μιας διανυσματικής υλοποίησης
Δεδομένου οποιουδήποτε θετικού ημιπεριορισμένου πίνακα M, μπορεί κανείς να τον αναλύσει ως εξής:
: M = B^\dagger B,

όπου B^\dagger είναι η συζυγής μεταφορά του B (ή M = B^\textsf{T} B στην πραγματική περίπτωση).

Εδώ ο B είναι ένας k \times n πίνακας, όπου k είναι η τάξη του M. Διάφοροι τρόποι για να ληφθεί μια τέτοια ανάλυση περιλαμβάνουν τον υπολογισμό της αποσύνθεσης Τσολέσκι ή τη λήψη της μη αρνητικής τετραγωνικής ρίζας του M.

Οι στήλες b^{(1)}, \dots, b^{(n)} του B μπορούν να θεωρηθούν ως *n* διανύσματα στο \mathbb{C}^k (ή στον *k* -διάστατο Ευκλείδειο χώρο \mathbb{R}^k, στην πραγματική περίπτωση). Τότε

: M_{ij} = b^{(i)} \cdot b^{(j)}

όπου το εσωτερικό γινόμενο a \cdot b = \sum_{\ell=1}^k a_\ell^* b_\ell είναι το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο στο \mathbb{C}^k.

Έτσι, ένας ερμιτιανός πίνακας M είναι θετικός ημιτελής αν και μόνο αν είναι ο πίνακας Γκραμ κάποιων διανυσμάτων b^{(1)}, \dots, b^{(n)}. Τέτοια διανύσματα ονομάζονται **διανυσματική υλοποίηση** του  Το απειροδιάστατο ανάλογο αυτής της δήλωσης είναι το θεώρημα του Μερσέρ.

### Μοναδικότητα των διανυσματικών υλοποιήσεων
Αν M είναι ο πίνακας Γκραμ των διανυσμάτων v_1,\dots,v_n στο \mathbb{R}^k τότε η εφαρμογή οποιασδήποτε περιστροφής ή ανάκλασης του \mathbb{R}^k (οποιοσδήποτε ορθογώνιος μετασχηματισμός, δηλαδή οποιαδήποτε ευκλείδεια ισομετρία που διατηρεί το 0) στην ακολουθία των διανυσμάτων οδηγεί στον ίδιο πίνακα Γκραμ. Δηλαδή, για κάθε k \times k ορθογώνιο πίνακα Q, ο πίνακας Γκραμ του Q v_1,\dots, Q v_n είναι επίσης }

Αυτός είναι ο μόνος τρόπος με τον οποίο δύο πραγματικές διανυσματικές υλοποιήσεις του M μπορούν να διαφέρουν: τα διανύσματα v_1,\dots,v_n είναι μοναδικά μέχρι ορθογώνιους μετασχηματισμούς. Με άλλα λόγια, τα τετραγωνικά γινόμενα v_i \cdot v_j και w_i \cdot w_j είναι ίσα αν και μόνο αν κάποιος άκαμπτος μετασχηματισμός του \mathbb{R}^k μετασχηματίζει τα διανύσματα v_1,\dots,v_n σε w_1, \dots, w_n και 0 σε 0.

Το ίδιο ισχύει και στην περίπτωση των μιγαδικών, με μοναδιαίους μετασχηματισμούς στη θέση των ορθογώνιων.
Δηλαδή, αν ο πίνακας Γκραμ των διανυσμάτων v_1, \dots, v_n είναι ίσος με τον πίνακα Γκραμ των διανυσμάτων w_1, \dots, w_n στο \mathbb{C}^k τότε υπάρχει ένας μοναδιαίος k \times k πίνακας U (δηλαδή U^\dagger U = I) τέτοιος ώστε v_i = U w_i για i = 1, \dots, n.

### Άλλες ιδιότητες
* Επειδή G = G^\dagger, είναι απαραίτητο να ισχύει ότι G και G^\dagger αντιμετατίθενται. Δηλαδή, ένας πραγματικός ή μιγαδικός πίνακας Γκραμ G είναι επίσης ένας κανονικός πίνακας.
* Ο πίνακας Γκραμ οποιασδήποτε ορθοκανονικής βάσης είναι ο πίνακας ταυτότητας. Ισοδύναμα, ο πίνακας Gram των γραμμών ή των στηλών ενός πραγματικού πίνακα περιστροφής είναι ο πίνακας ταυτότητας. Ομοίως, ο πίνακας Γκραμ των γραμμών ή των στηλών ενός μοναδιαίου πίνακα είναι ο πίνακας ταυτότητας.
* Ο βαθμός του πίνακα Γκραμ των διανυσμάτων στο \mathbb{R}^k ή \mathbb{C}^k ισούται με τη διάσταση του χώρου που καλύπτουν τα διανύσματα αυτά.

## Ορίζουσα Γκραμ
H **Ορίζουσα Γκραμ** ή **Γκραμιανή** είναι η ορίζουσα του πίνακα Γκραμ:

\bigl|G(v_1, \dots, v_n)\bigr| = \begin{vmatrix}
  \langle v_1,v_1\rangle & \langle v_1,v_2\rangle &\dots & \langle v_1,v_n\rangle \\
  \langle v_2,v_1\rangle & \langle v_2,v_2\rangle &\dots & \langle v_2,v_n\rangle \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  \langle v_n,v_1\rangle & \langle v_n,v_2\rangle &\dots & \langle v_n,v_n\rangle
\end{vmatrix}.

Αν v_1, \dots, v_n είναι διανύσματα στο \mathbb{R}^m τότε είναι το τετράγωνο του *n*-διάστατου όγκου του παραλληλότοπου που σχηματίζεται από τα διανύσματα. Ειδικότερα, τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα αν και μόνο αν ο παραλληλότοπος έχει μη μηδενικό *n*-διάστατο όγκο, αν και μόνο αν η ορίζουσα Γκραμ είναι μη μηδενική, αν και μόνο αν ο πίνακας Γκραμ είναι μη-σημαδιακός. Όταν  η ορίζουσα και ο όγκος είναι μηδέν. Όταν , αυτό ανάγεται στο τυπικό θεώρημα ότι η απόλυτη τιμή της ορίζουσας *n* *n* διαστάσεων διανυσμάτων είναι ο *n* διαστάσεων όγκος. Η ορίζουσα Γκραμ είναι επίσης χρήσιμος για τον υπολογισμό του όγκου του simplex (απλού) σχήματος που σχηματίζεται από τα διανύσματα- ο όγκος του είναι }.

Η ορίζουσα Γκραμ μπορεί επίσης να εκφραστεί ως προς το εξωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων ως εξής
:\bigl|G(v_1, \dots, v_n)\bigr| = \| v_1 \wedge \cdots \wedge v_n\|^2.

Όταν τα διανύσματα v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{R}^m ορίζονται από τις θέσεις των σημείων p_1, \ldots, p_n σε σχέση με κάποιο σημείο αναφοράς p_{n+1},
:(v_1, v_2, \ldots, v_n) = (p_1 - p_{n+1}, p_2 - p_{n+1}, \ldots, p_n - p_{n+1})\,,

τότε η ορίζουσα Γκραμ μπορεί να γραφεί ως η διαφορά δύο ορίζουσες Γκραμ,
:
\bigl|G(v_1, \dots, v_n)\bigr| = \bigl|G((p_1, 1), \dots, (p_{n+1}, 1))\bigr| - \bigl|G(p_1, \dots, p_{n+1})\bigr|\,,


όπου κάθε (p_j, 1) είναι το αντίστοιχο σημείο p_j συμπληρωμένο με την τιμή της συντεταγμένης 1 για μια διάσταση (m+1)-st. Ας σημειωθεί ότι στην κοινή περίπτωση που , ο δεύτερος όρος στη δεξιά πλευρά θα είναι μηδέν.

## Κατασκευή ορθοκανονικής βάσης

Δεδομένου ενός συνόλου γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων \{v_i\} με τον πίνακα Γκραμ G που ορίζεται από τη σχέση G_{ij}:= \langle v_i,v_j\rangle, μπορεί κανείς να κατασκευάσει μια ορθοκανονική βάση

:u_i := \sum_j \bigl(G^{-1/2}\bigr)_{ji} v_j.

Σε συμβολισμό πινάκων, U = V G^{-1/2} , όπου το U έχει ορθοκανονικά διανύσματα βάσης \{u_i\} και ο πίνακας V αποτελείται από τα συγκεκριμένα διανύσματα στήλης \{v_i\}.

Ο πίνακας G^{-1/2} είναι εγγυημένα υπαρκτός. Πράγματι, ο G είναι Ερμιτιανός και έτσι μπορεί να αναλυθεί ως G=UDU^\dagger με U έναν μοναδιαίο πίνακα και D έναν πραγματικό διαγώνιο πίνακα. Επιπλέον, οι v_i είναι γραμμικά ανεξάρτητοι αν και μόνο αν ο G είναι θετικά ορισμένος, πράγμα που σημαίνει ότι οι διαγώνιες εγγραφές του D είναι θετικές. Επομένως, η G^{-1/2} ορίζεται μοναδικά από τη σχέση G^{-1/2}:=UD^{-1/2}U^\dagger. Μπορεί κανείς να ελέγξει ότι αυτά τα νέα διανύσματα είναι ορθοκανονικά:

:\begin{align}
\langle u_i,u_j \rangle
&= \sum_{i'} \sum_{j'} \Bigl\langle \bigl(G^{-1/2}\bigr)_{i'i} v_{i'},\bigl(G^{-1/2}\bigr)_{j'j} v_{j'} \Bigr\rangle \\[10mu]
&= \sum_{i'} \sum_{j'} \bigl(G^{-1/2}\bigr)_{ii'} G_{i'j'} \bigl(G^{-1/2}\bigr)_{j'j} \\[8mu]
&=  \bigl(G^{-1/2} G G^{-1/2}\bigr)_{ij} = \delta_{ij}
\end{align}

όπου χρησιμοποιείται \bigl(G^{-1/2}\bigr)^\dagger=G^{-1/2} .

## Δείτε επίσης

* Field Arithmetic
* Θεώρημα δείκτη Ατίγια-Σίνγκερ
* Ερμιτιανός πίνακας
* Ακέραια περιοχή
* Ορίζουσα
* Αλεξάντερ Γκρότεντικ

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

* English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Matrix Analysis
* Elementary Matrix Theory
* Applied Linear Algebra
* Discrete Subgroups of Semisimple Lie Groups, Τόμος 17
* Advanced Mathematical And Computational Tools In Metrology And Testing Ix
* Linear Algebra and Geometry
* Geophysical Inverse Theory
* Introduction to Applied Linear Algebra: Vectors, Matrices, and Least Squares

## Δημοσιεύσεις
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία
Κατηγορία:Συστημική θεωρία
Κατηγορία:Ορίζουσες