Επιφάνεια Μπεζιέ

Οι επιφάνειες Μπεζιέ είναι ένα είδος μαθηματικής spline που χρησιμοποιείται στα γραφικά υπολογιστών, στον σχεδιασμό με τη βοήθεια υπολογιστή και στη μοντελοποίηση πεπερασμένων στοιχείων. Όπως και με τις καμπύλες Μπεζιέ, μια **επιφάνεια Μπεζιέ** ορίζεται από ένα σύνολο σημείων ελέγχου. Παρόμοια με την παρεμβολή από πολλές απόψεις, μια βασική διαφορά είναι ότι η επιφάνεια δεν διέρχεται, γενικά, από τα κεντρικά σημεία ελέγχου- αντίθετα, "τεντώνεται" προς αυτά, σαν να ήταν το καθένα από αυτά μια ελκτική δύναμη. Είναι οπτικά διαισθητικές και, για πολλές εφαρμογές, μαθηματικά βολικές.

## Ιστορία
Οι επιφάνειες Μπεζιέ περιγράφηκαν για πρώτη φορά το 1962 από τον Γάλλο μηχανικό Πιερ Μπεζιέ, ο οποίος τις χρησιμοποίησε για τον σχεδιασμό αμαξωμάτων αυτοκινήτων. Οι επιφάνειες Μπεζιέ μπορούν να είναι οποιουδήποτε βαθμού, αλλά οι δικυβικές επιφάνειες Μπεζιέ παρέχουν γενικά αρκετούς βαθμούς ελευθερίας για τις περισσότερες εφαρμογές. 

## Εξίσωση
Μια δεδομένη επιφάνεια Μπεζιέ βαθμού (*n*,&nbsp;*m*) ορίζεται από ένα σύνολο (*n*&nbsp;+&nbsp;1)(*m*&nbsp;+&nbsp;1) σημείων ελέγχου **k***i*,*j* όπου *i* = 0, . .., *n* and *j* = 0, ..., *m*.

Χαρτογραφεί το μοναδιαίο τετράγωνο σε μια ομαλή-συνεχή επιφάνεια ενσωματωμένη μέσα στο χώρο που περιέχει τα  **k***i*,*j*&thinsp;s - παραδείγματος χάριν, αν τα **k***i*,*j*&thinsp;s  είναι όλα τα σημεία σε έναν τετραδιάστατο χώρο, τότε η επιφάνεια θα βρίσκεται μέσα σε έναν τετραδιάστατο χώρο.

Μια δισδιάστατη επιφάνεια Μπεζιέ μπορεί να οριστεί ως μια παραμετρική επιφάνεια όπου η θέση ενός σημείου **p** ως συνάρτηση των παραμετρικών συντεταγμένων *u*,&thinsp;*v* δίνεται από τη σχέση 

:\mathbf{p}(u, v) = 
     \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m 
     B_i^n(u) \, B_j^m(v) \, \mathbf{k}_{i,j}

αξιολογείται στο μοναδιαίο τετράγωνο, όπου
:B_i^n(u) = {n \choose i} u^i (1-u)^{n-i}

είναι ένα βασικό πολυώνυμο του Μπερνστάιν, και 
:{n \choose i} = \frac{n!}{i! (n-i)!}

είναι ένας διωνυμικός συντελεστής.

Ορισμένες ιδιότητες των επιφανειών Μπεζιέ:
* Μια επιφάνεια Μπεζιέ μετασχηματίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως τα σημεία ελέγχου της κάτω από όλους τους γραμμικούς μετασχηματισμούς και τις μετατοπίσεις.
* Όλες οι *u*&thinsp;=&thinsp;σταθερές και *v*&thinsp;=&thinsp;σταθερές γραμμές στο χώρο (*u*,&thinsp;*v*), και - ειδικότερα - όλες οι τέσσερις ακμές του παραμορφωμένου (*u*,&thinsp;*v*) μοναδιαίου τετραγώνου είναι καμπύλες Μπεζιέ.
* Μια επιφάνεια Μπεζιέ θα βρίσκεται πλήρως εντός του κυρτού περιβλήματος των σημείων ελέγχου της, και επομένως επίσης πλήρως εντός του οριοθετημένου πλαισίου των σημείων ελέγχου της σε οποιοδήποτε δεδομένο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.
* Τα σημεία των τμημάτων που αντιστοιχούν στις γωνίες του παραμορφωμένου μοναδιαίου τετραγώνου συμπίπτουν με τέσσερα από τα σημεία ελέγχου.
* Ωστόσο, μια επιφάνεια Μπεζιέ δεν περνάει συνήθως μέσα από τα υπόλοιπα σημεία ελέγχου της.

Γενικά, η πιο συνηθισμένη χρήση των επιφανειών Μπεζιέ είναι ως δίχτυα **δικυβικών τμημάτων** (όπου *m* = *n* = 3). Η γεωμετρία ενός μεμονωμένου δικυβικού τμήμα (patch) ορίζεται έτσι πλήρως από ένα σύνολο 16 σημείων ελέγχου. Αυτά συνήθως συνδέονται μεταξύ τους για να σχηματίσουν μια επιφάνεια B-spline με παρόμοιο τρόπο όπως οι καμπύλες Μπεζιέ συνδέονται μεταξύ τους για να σχηματίσουν μια καμπύλη B-spline.

Οι απλούστερες επιφάνειες Μπεζιέ  σχηματίζονται από **διτετραγωνικά τμήματα** (*m* = *n* = 2), ή τρίγωνα Mπεζιέ.

## Επιφάνειες Μπεζιέ στα γραφικά υπολογιστών

Τα τμήματα πλέγματα Μπεζιέ είναι προτιμώτερα από τα τριγωνικά πλέγματα για την αναπαράσταση λείων επιφανειών. Απαιτούν λιγότερα σημεία (και επομένως λιγότερη μνήμη) για την αναπαράσταση καμπύλων επιφανειών, είναι ευκολότερα στη διαχείριση και έχουν πολύ καλύτερες ιδιότητες συνέχειας. Επιπλέον, άλλες κοινές παραμετρικές επιφάνειες, όπως οι σφαίρες και οι κύλινδροι, μπορούν να προσεγγιστούν καλά από έναν σχετικά μικρό αριθμό κυβικών τμημάτων Μπεζιέ.

Ωστόσο, τμήματα (patches) πλέγματα Μπεζιέ είναι δύσκολο να αποδοθούν άμεσα. Ένα πρόβλημα με τα τμήματα Μπεζιέ είναι ότι ο υπολογισμός των τομών τους με τις γραμμές είναι δύσκολος, γεγονός που τα καθιστά άβολα για καθαρή ανίχνευση ακτίνων ή άλλες άμεσες γεωμετρικές τεχνικές που δεν χρησιμοποιούν τεχνικές υποδιαίρεσης ή διαδοχικής προσέγγισης. Είναι επίσης δύσκολο να συνδυαστούν άμεσα με αλγορίθμους προοπτικής προβολής.

Για το λόγο αυτό, τα τμήματα πλέγματα Μπεζιέ γενικά αναλύονται τελικά σε τμήματα επίπεδων τριγώνων από τις σωληνώσεις τρισδιάστατης απόδοσης. Στην απόδοση υψηλής ποιότητας, η υποδιαίρεση ρυθμίζεται ώστε να είναι τόσο λεπτή ώστε να μην είναι ορατά τα όρια των επιμέρους τριγώνων. Για να αποφευχθεί η εμφάνιση "blobby", η λεπτή λεπτομέρεια εφαρμόζεται συνήθως στις επιφάνειες Μπεζιέ σε αυτό το στάδιο χρησιμοποιώντας χάρτες υφής, χάρτες πρόσκρουσης και άλλες τεχνικές σκίασης εικονοστοιχείων.

Ένα τμήμα Μπεζιέ βαθμού (*m*, *n*) μπορεί να κατασκευαστεί από δύο τρίγωνα Μπεζιέ βαθμού *m*&nbsp;+&nbsp;*n* ή από ένα μόνο τρίγωνο Μπεζιέ βαθμού *m*&nbsp;+&nbsp;*n* με το πεδίο εισόδου να είναι τετράγωνο αντί για τρίγωνο.

Ένα τρίγωνο Μπεζιέ βαθμού *m* μπορεί επίσης να κατασκευαστεί από μια επιφάνεια Μπεζιέ βαθμού (*m*, *m*) με τα σημεία ελέγχου έτσι ώστε μια ακμή να συμπιέζεται σε ένα σημείο, ή με το πεδίο εισόδου ως τρίγωνο αντί για τετράγωνο.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Τριγωνομετρική συνάρτηση
* Βαθμωτό πεδίο
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Καμπύλη Μπεζιέ
* Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Τρισδιάστατος χώρος
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Μιγαδικός αριθμός
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
*  
* 
* . Review: *[[:en:Bulletin of the American Mathematical Society|Bulletin of the American Mathematical Society]]* 37 (1931), 791-793, 
* .
* .
* .
* 
* . Review: Séquin, Carlo H. (2009), *Journal of Mathematics and the Arts* 3: 229–230, 
* 
*Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:3D γραφικά υπολογιστή 
Κατηγορία:Εμβαδόν 
Κατηγορία:Επιφάνειες 
Κατηγορία:Γεωμετρικά σχήματα 
Κατηγορία:Γεωμετρία