Μετασχηματισμός Clarke

Στην ηλεκτρική  μηχανική, ο μετασχηματισμός  **άλφα-βήτα** (\alpha-\beta)  (γνωστός επίσης και ως  **μετασχηματισμός Clarke**) είναι ένα μαθηματικός μετασχηματισμός που χρησιμοποιείται για να απλοποιηθεί η ανάλυση των τριφασικών κυκλώματων. Εννοιολογικά είναι παρόμοιος με τον μετασχηματισμό dq0. Μια πολύ χρήσιμη εφαρμογή του μετασχηματισμού \alpha\beta\gamma  είναι η δημιουργία του  σήματος αναφοράς, που χρησιμοποιείται για τον έλεγχο της διαμόρφωσης των διανυσμάτων χώρου (space vector modulation control) των  τριφασικών  inverter.

## Ορισμός
O μετασχηματισμός \alpha\beta\gamma που εφαρμόζεται σε τριφασικά ρεύματα, όπως χρησιμοποιήθηκε από την Edith Clarke, είναι:
:i_{\alpha\beta\gamma}(t) = Ti_{abc}(t) = \frac{2}{3}\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 
0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ 
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a(t)\\i_b(t)\\i_c(t)\end{bmatrix}
όπου i_{abc}(t) είναι μία  γενική ακολουθία  τριφασικών ρευμάτων και i_{\alpha\beta\gamma}(t)  είναι η αντίστοιχη  ακολουθία ρευμάτων, που προκύπτει από το μετασχηματισμό T. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός είναι:
:i_{abc}(t) = T^{-1}i_{\alpha\beta\gamma}(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\
-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1\\
-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}i_\alpha(t)\\i_\beta(t)\\i_\gamma(t)\end{bmatrix}.
Ο παραπάνω μετασχηματισμός του Clarke διατηρεί τα πλάτη των ηλεκτρικών μεταβλητών πάνω στις οποίες εφαρμόζεται. Πράγματι, θεωρήστε τη συμμετρική τριφασική, ακολουθία ρευμάτων:
: 
\begin{align}
i_a(t)=&\sqrt{2}I\cos\theta(t),\\
i_b(t)=&\sqrt{2}I\cos\left(\theta(t)-\frac23\pi\right),\\
i_c(t)=&\sqrt{2}I\cos\left(\theta(t)+\frac23\pi\right),
\end{align}

πού I είναι η Ενεργός τιμή (RMS) των i_a(t), i_b(t), i_c(t) και \theta(t) είναι μία γενική χρονικά μεταβαλλόμενη γωνία, που μπορεί επίσης να τεθεί και σαν \omega t,  χωρίς απώλεια της γενικότητας. Στη συνέχεια, με την εφαρμογή του T στην ακολουθία ρευμάτων, προκύπτει:
:
\begin{align}
i_{\alpha}=&\sqrt2 I\cos\theta(t),\\
i_{\beta}=&\sqrt2 I\sin\theta(t),\\
i_{\gamma}=&0,
\end{align}

όπου η τελευταία εξίσωση ισχύει εφ' όσον θεωρούμε ισοσταθμισμένα ρεύματα. Όπως φαίνεται από τις παραπάνω σχέσεις, τα πλάτη των ρευμάτων στο σύστημα αναφοράς  \alpha\beta\gamma  είναι τα ίδια, όπως και στο φυσικό σύστημα αναφοράς.

### Μετασχηματισμός αμετάβλητης ισχύος
Η πραγματική και η άεργος ισχύς που υπολογίζονται στο πεδίο του Clarke  με τον  παραπάνω μετασχηματισμό, δεν είναι τα ίδιες με αυτές που υπολογίζονται στο φυσικό σύστημα αναφοράς. Αυτό συμβαίνει επειδή ο T δεν είναι μοναδιαίος. Προκειμένου να διατηρηθεί η πραγματική και άεργος ισχύς πρέπει αντ' αυτού, να χρησιμοποιηθεί ο μετασχηματισμός:
:i_{\alpha\beta\gamma}(t) = Ti_{abc}(t) = \sqrt{\frac{2}{3}}\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 
0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ 
\frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} \\ 
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a(t)\\i_b(t)\\i_c(t)\end{bmatrix},
Σε αυτή την περίπτωση τα πλάτη των μετασχηματισμένων ρευμάτων δεν είναι τα ίδια με εκείνα του φυσικού συστήματος αναφοράς, δηλ.:
:
\begin{align}
i_{\alpha}=&\sqrt3 I\cos\theta(t),\\
i_{\beta}=&\sqrt3 I\sin\theta(t),\\
i_{\gamma}=&0.
\end{align}

Τελικά, ο αντίστροφος μετασχηματισμός σε αυτή την περίπτωση είναι
:
i_{abc}(t) = \sqrt{\frac{2}{3}}\begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 
-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 
-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_\alpha(t)\\i_\beta(t)\\i_\gamma(t)\end{bmatrix}.


### Απλοποιημένος μετασχηματισμός
Δεδομένου ότι σε ένα ισορροπημένο σύστημα  i_a(t)+i_b(t)+i_c(t)=0 και έτσι i_\gamma(t)=0, μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε τον απλοποιημένο μετασχηματισμό:
:i_{\alpha\beta}(t) = \frac23 \begin{bmatrix} 1 & -\frac12 & -\frac12\\ 
0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a(t)\\i_b(t)\\i_c(t)\end{bmatrix}
ο οποίος είναι απλά ο αρχικός μετασχηματισμός του Clarke,  μετά  την αφαίρεση της 3ης εξίσωσης. Στην περίπτωση του απλοποιημένου μετασχηματισμού ο αντίστροφος μετασχηματισμός είναι:
:i_{abc}(t) = \frac32\begin{bmatrix} \frac23 & 0 \\
-\frac{1}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \\
-\frac{1}{3} & -\frac{\sqrt{3}}{3} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}i_\alpha(t)\\i_\beta(t)\end{bmatrix}.

## Γεωμετρική Αναπαράσταση
Ο μετασχηματισμός \alpha\beta\gamma μπορεί να θεωρηθεί σαν η προβολή των τριφασικών ποσοτήτων (τάσεων ή ρευμάτων) σε δύο στατικούς άξονες, τον  άξονα-\alpha και τον άξονα-\beta.
κέντρο|με-πλαίσιο|Παραπάνω φαίνεται ο μετασχηματισμός <math>\alpha\beta\gamma</math> , όπως εφαρμόζεται σε τρία συμμετρικά ρεύματα που ρέουν μέσα από  τρεις περιελίξεις που διαφέρουν κατά 120 μοίρες. Τα τριφασικά ρεύματα έπονται των αντίστοιχων τάσεων φάσης κατά <math>\delta</math>. Το σύστημα αναφοράς <math>\alpha</math>-<math>\beta</math>, εμφανίζεται με τον άξονα <math>\alpha</math>  να ευθυγραμμίζεται με την φάση"Α". Το διάνυσμα ρεύματος <math>I_{\alpha\beta\gamma}</math>περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα <math>\omega</math>. Η συνιστώσα <math>\gamma</math>  δεν υπάρχει, δεδομένου ότι τα ρεύματα είναι ισορροπημένα.

### Μετασχηματισμός <math>dq0</math>
Ο μετασχηματισμός dq0  είναι εννοιολογικά παρόμοιος με το μετασχηματισό \alpha\beta\gamma. Ενώ ο μετασχηματισμός dq0 είναι η προβολή των φασικών ποσότητων επάνω σε ένα περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς δύο-αξόνων, ο μετασχηματισμός \alpha\beta\gamma  μπορεί να θεωρηθεί ως η προβολή των φασικών ποσοτήτων σε ένα στατικό σύστημα αναφοράς δύο αξόνων.

## Δείτε επίσης
* Symmetrical components
* Y-Δ transform
* Field-oriented control

## Παραπομπές


Κατηγορία:Ηλεκτρολογία