Παράγωγος φράκταλ

Στα εφαρμοσμένα μαθηματικά και τη μαθηματική ανάλυση, η **παράγωγος φράκταλ** ή **παράγωγος Χάουσντορφ** είναι μια μη-Νευτώνεια γενίκευση της παραγώγου που αφορά το μέτρο των φράκταλ, η οποία ορίζεται στη μορφοκλασματική γεωμετρία. Οι φράκταλ παράγωγοι δημιουργήθηκαν για τη μελέτη της ανώμαλης διάχυσης, όπου οι παραδοσιακές προσεγγίσεις δεν λαμβάνουν υπόψη τη μορφοκλασματική φύση του μέσου. Ένα μέτρο φράκταλ *t* κλιμακώνεται ως συνάρτηση του *t<sup>α</sup>*. Μια τέτοια παράγωγος είναι τοπική, σε αντίθεση με την ομοίως εφαρμοζόμενη μορφοκλασματική παράγωγο. Ο μορφοκλασματικός λογισμός διατυπώνεται ως γενίκευση του καθιερωμένου λογισμού .

## Φυσικό πλαίσιο
Τα πορώδη μέσα, οι υδροφόροι ορίζοντες, οι αναταράξεις και άλλα πεδία παρουσιάζουν συνήθως μορφοκλασματικές ιδιότητες. Οι κλασικοί νόμοι διάχυσης ή διασποράς που βασίζονται σε τυχαίους περιπάτους στον ελεύθερο χώρο (στην ουσία το ίδιο αποτέλεσμα γνωστό ως νόμοι διάχυσης του Φικ, ο νόμος του Ντάρσι και ο νόμος του Φουριέ) δεν είναι εφαρμόσιμοι στα μορφοκλασματικά μέσα. Για να ξεπεραστεί αυτό, έννοιες όπως η απόσταση και η ταχύτητα πρέπει να επαναπροσδιοριστούν για τα μορφοκλασματικά μέσα- ειδικότερα, οι κλίμακες χώρου και χρόνου πρέπει να μετασχηματιστούν ως συναρτήσεις του (*x<sup>β</sup>*, *t<sup>α</sup>*). Οι στοιχειώδεις φυσικές έννοιες όπως η ταχύτητα επαναπροσδιορίζονται ως εξής για τον μορφοκλασματικό χωροχρόνο (*x<sup>β</sup>*, *t<sup>α</sup>*):

:  v' = \frac{dx'}{dt'}=\frac{dx^\beta}{dt^\alpha}\,,\quad \alpha,\beta>0,

όπου το *S<sup>α,β</sup>* αντιπροσωπεύει τον μορφοκλασματικό χωροχρόνο με δείκτες κλιμάκωσης *α* και *β*. Ο παραδοσιακός ορισμός της ταχύτητας δεν έχει νόημα στον μη διαφοροποιήσιμο φράκταλ χωροχρόνο.

## Ορισμός
Με βάση τον παραπάνω προβληματισμό, η έννοια της φράκταλ παραγώγου μιας συνάρτησης *u*(*t*) ως προς ένα φράκταλ μέτρο *t* εισάγεται ως εξής:

:
\frac{\partial f(t)}{\partial t^\alpha}=\lim_{t_1 \rightarrow t}\frac{f(t_1)-f(t)}{t_1^\alpha-t^\alpha}\,, \quad \alpha>0,

Ένας πιο γενικός ορισμός δίνεται από τον ακόλουθο ορισμό
:
\frac{\partial^\beta f(t)}{\partial t^\alpha}=\lim_{t_1 \rightarrow t}\frac{f^\beta (t_1)-f^\beta (t)}{t_1^\alpha-t^\alpha}\,, \quad\alpha>0, \beta>0.
Για μια συνάρτηση y(t) στο F^{\alpha}-τέλειο μορφοκλασματικό σύνολο F η φράκταλ παράγωγος ή F^{\alpha}-παράγωγος της στο t, ορίζεται ως εξής
:
D_{F}^{\alpha}y(t)=\left\{
                       \begin{array}{ll}
                         \underset{ x\rightarrow t}{F_{-}lim}~\frac{y(x)-y(t)}
                         {S_{F}^{\alpha}(x)-S_{F}^{\alpha}(t)}, & if~ t\in F; \\
                         0, & otherwise.
                       \end{array}
                     \right.
.

### Κίνητρο
Οι παράγωγοι μιας συνάρτησης f μπορούν να οριστούν ως προς τους συντελεστές ak στο ανάπτυγμα της σειράς Τέιλορ:

f(x)=\sum_{k=1}^\infin a_k\cdot(x-x_0)^k=\sum_{k=1}^\infin {1 \over k!}{d^kf \over dx^k}(x_0)\cdot(x-x_0)^k=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)+o(x-x_0)   

Από αυτή την προσέγγιση μπορεί κανείς να λάβει άμεσα:

f'(x_0)={f(x)-f(x_0)-o(x-x_0) \over x-x_0}=\lim_{x \to x_0}{f(x)-f(x_0) \over x-x_0}   

Αυτό μπορεί να γενικευτεί προσεγγίζοντας την f με συναρτήσεις (xα-(x0)α)k:

f(x)=\sum_{k=1}^\infin b_k\cdot(x^\alpha-x_0^\alpha)^k=f(x_0)+b_1\cdot(x^\alpha-x_0^\alpha)+o(x^\alpha-x_0^\alpha)     

Σημείωση: ο συντελεστής χαμηλότερης τάξης πρέπει να εξακολουθεί να είναι  b0=f(x0) αφού εξακολουθεί να είναι η σταθερή προσέγγιση της συνάρτησης f στο x0.

Και πάλι μπορεί κανείς να λάβει άμεσα:

b_1=\lim_{x \to x_0}{f(x)-f(x_0) \over x^\alpha-x_0^\alpha} \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} {df \over dx^\alpha}(x_0)   
*Το φράκταλ της σειράς Μακλάουριν της f(t) με φράκταλ υποστήριξη F έχει ως εξής:

f(t)=\sum_{m=0}^{\infty}
  \frac{(D_{F}^{\alpha})^{m}f(t)|_{t=0}}{m!}
  (S_{F}^{\alpha}(t))^{m}


## Ιδιότητες
### Συντελεστές διαστολής
Όπως συμβαίνει και στο ανάπτυγμα της σειράς Τέιλορ, οι συντελεστές bk μπορούν να εκφραστούν ως προς τις κλασματικές παραγώγους τάξης k της f:

b_k={1 \over k!} \biggl({d \over dx^\alpha}\biggr)^kf(x=x_0)   

*Ιδέα απόδειξης: υποθέτοντας ότι <math display="inline">({d \over dx^\alpha})^kf(x=x_0)   </math> υπάρχει,  b<sub>k</sub> μπορεί να γραφτεί ως εξής <math display="inline">b_k=a_k \cdot({d \over dx^\alpha})^kf(x=x_0)   </math>*

*μπορεί κανείς πλέον να χρησιμοποιήσει <math display="inline">f(x) = (x^\alpha-x_0^\alpha)^n \Rightarrow ({d \over dx^\alpha})^kf(x=x_0)=n!\delta_n^k   </math>  και αφού <math display="inline">b_n\overset{\underset{\mathrm{!}}{}}{=}1 \Rightarrow a_n ={1 \over n!}   </math>*

### Σύνδεση με παράγωγο
Αν για μια δεδομένη συνάρτηση f υπάρχουν τόσο η παράγωγος Df όσο και η φράκταλ παράγωγος Dαf, μπορεί κανείς να βρει ένα ανάλογο του κανόνα της αλυσίδας:

{df \over dx^\alpha} = {df \over dx}{dx \over dx^\alpha}={1 \over \alpha}x^{1-\alpha}{df \over dx}

Το τελευταίο βήμα αιτιολογείται από το θεώρημα της εμπρόθετης συνάρτησης το οποίο, υπό κατάλληλες συνθήκες, μας δίνει  dx/dxα = (dxα/dx)−1

Ομοίως για τον γενικότερο ορισμό:

{d^\beta f \over d^\alpha x} = {d(f^\beta) \over d^\alpha x} = {1 \over \alpha} x^{1-\alpha}\beta f^{\beta - 1}(x)f'(x)

## Εφαρμογή σε ανώμαλη διάχυση
Ως εναλλακτική προσέγγιση μοντελοποίησης του κλασικού δεύτερου νόμου του Φικ, η φράκταλ παράγωγος χρησιμοποιείται για την εξαγωγή μιας γραμμικής εξίσωσης ανώμαλης μεταφοράς-διάχυσης που διέπει τη διαδικασία ανώμαλης διάχυσης,

:\frac{d u (x,t)}{d t^\alpha}= D \frac{\partial }{\partial x^\beta} \left(\frac{\partial u(x,t)}{\partial x^\beta}\right), -\infty

:u(x, 0)=\delta(x).

όπου 0 t'=t^\alpha\,,\quad x'=x^\beta. 

τότε η εξίσωση (1) γίνεται η εξίσωση κανονικής μορφής διάχυσης, η λύση της (1) έχει την τεντωμένη Γκαουσιανή μορφή:

:u(x,t)=\frac{1}{2\sqrt{\pi t^\alpha}} e^{-\frac{x^{2 \beta}}{4t^\alpha}}

Η μέση τετραγωνική μετατόπιση της παραπάνω εξίσωσης διάχυσης με παράγωγο φράκταλ έχει την ασύμπτωτη:

:\left\langle x^2 (t) \right\rangle\propto t^{(3 \alpha-\alpha \beta)/2 \beta}.

## Φράκταλ-κλασματικός λογισμός
Η φράκταλ παράγωγος συνδέεται με την κλασική παράγωγο αν υπάρχει η πρώτη παράγωγος της υπό εξέταση συνάρτησης. Στην περίπτωση αυτή,
:
\frac{\partial f(t)}{\partial t^\alpha}=\lim_{t_1 \rightarrow t}\frac{f(t_1)-f(t)}{t_1^\alpha-t^\alpha}\ =\frac{d f(t)}{d t}\frac{1}{\alpha t^{\alpha-1}}, \quad \alpha>0.
Ωστόσο, λόγω της ιδιότητας διαφοροποιησιμότητας ενός ολοκληρώματος, οι κλασματικές παράγωγοι είναι διαφοροποιήσιμες. Ως εκ τούτου, η ακόλουθη νέα έννοια εισήχθη από τον καθηγητή Αμπντον Ατανγκάνα από τη Νότια Αφρική.

Οι ακόλουθοι διαφορικοί τελεστές εισήχθησαν και εφαρμόστηκαν πολύ πρόσφατα. Υποθέτοντας ότι η y(t) είναι συνεχής και κλασματική διαφορίσιμη στο (α, β) με τάξη *β*, ισχύουν διάφοροι ορισμοί μιας κλασματικής-κλασματικής παραγώγου της y(t) με τάξη α κατά Ρίμαν-Λιουβίλ:
*Να διαθέτουν πυρήνα τύπου νόμου ισχύος:
 ^{FFP}D_{0,t}^{\alpha, \beta} \Big(y(t)\Big)=\dfrac{1}{\Gamma(m-\alpha)} \dfrac{d}{dt^{\beta}} \int_0^t (t-s)^{m-\alpha-1} y(s) ds
*Να διαθέτουν πυρήνα εκθετικά φθίνοντος τύπου:
 ^{FFE}D_{0,t}^{\alpha, \beta} \Big(y(t)\Big)=\dfrac{M(\alpha)}{1-\alpha} \dfrac{d}{dt^{\beta}} \int_0^t \exp \Big(- \dfrac{\alpha}{1-\alpha} (t-s) \Big) y(s) ds ,
*Να διαθέτουν γενικευμένο πυρήνα τύπου Mittag-Λέφλερ:
 {}_a^{FFM} D_t^\alpha f(t)=\frac{AB(\alpha)}{1-\alpha}\frac {d} {dt^\beta} \int_a^t f(\tau) E_\alpha \left(-\alpha\frac{\left(t-\tau\right)^\alpha}{1-\alpha}\right)\,d\tau\,.

Οι παραπάνω διαφορικοί τελεστές έχουν ο καθένας από έναν σχετικό τελεστή φράκταλ-κλασματικού ολοκληρώματος, ως εξής:
*Πυρήνας τύπου δυναμικού νόμου:
 ^{FFP}J_{0,t}^{\alpha, \beta} \Big(y(t)\Big)=\dfrac{\beta}{\Gamma(\alpha)} \int_0^t (t-s)^{\alpha-1} s^{\beta-1} y(s) ds 
*Τύπος πυρήνα εκθετικά φθίνοντος :
 ^{FFE}J_{0,t}^{\alpha, \beta} \Big(y(t)\Big)=\dfrac{\alpha \beta}{M(\alpha)} \int_0^t s^{\beta-1} y(s) ds+\dfrac{\beta (1-\alpha)t^{\beta -1} y(t)}{M(\alpha)} .
*Γενικός πυρήνας Μιταγκ-Λεφλέρ:
 ^{FFM}J_{0,t}^{\alpha, \beta} \Big(y(t)\Big)=\dfrac{\alpha \beta}{AB(\alpha)} \int_0^t s^{\beta-1} y(s) (t-s)^{\alpha-1} ds+\dfrac{\beta (1-\alpha)t^{\beta -1} y(t)}{AB(\alpha)} .
Το FFM αναφέρεται ως φράκταλ-κλασματικό με τον γενικευμένο πυρήνα Μιταγκ-Λεφλέρ.

## Μορφολασματικός μη-τοπικός λογισμός
*Το μορφοκλασματικό ανάλογο του δεξιόστροφου κλασματικού ολοκληρώματος Ρίμαν-Λιουβίλ τάξης \beta\in \mathbb{R} της f ορίζεται από:
{x}\mathcal{I}_{b}^{\beta}f(x)=\frac{1}{\Gamma(\beta)}\int_{x}^{b}
\frac{f(t)}{(S_{F}^{\alpha}(t)-S_{F}^{\alpha}(x))^{1-\beta}}d_{F}^{\alpha}t.
*Το μορφοκλασματικό ανάλογο του αριστερόπλευρου κλασματικού ολοκληρώματος Ρίμαν-Λιουβίλ τάξης \beta\in \mathbb{R} της f ορίζεται από:

{a}\mathcal{I}_{x}^{\beta}f(x)=\frac{1}{\Gamma(\beta)}\int_{a}^{x}
\frac{f(t)}{(S_{F}^{\alpha}(x)-S_{F}^{\alpha}(t))^{1-\beta}}d_{F}^{\alpha}t.

*Το μορφοκλασματικό ανάλογο της δεξιόστροφης κλασματικής παραγώγου Ρίμαν-Λιουβίλ τάξης \beta\in \mathbb{R} της f ορίζεται από:

{x}\mathcal{D}_{b}^{\beta}f(x)=\frac{1}{\Gamma(n-\beta)}
(-D_{F}^{\alpha})^{n}\int_{x}^{b}
\frac{f(t)}{(S_{F}^{\alpha}(t)-S_{F}^{\alpha}(x))^{-n+\beta+1}}d_{F}^{\alpha}t

*Το μορφοκλασματικό ανάλογο της αριστερόπλευρης κλασματικής παραγώγου Ρίμαν-Λιουβίλ τάξης \beta\in \mathbb{R} της f ορίζεται από:

{a}\mathcal{D}_{x}^{\beta}f(x)=\frac{1}{\Gamma(n-\beta)}
(D_{F}^{\alpha})^{n}\int_{a}^{x}
\frac{f(t)}{(S_{F}^{\alpha}(x)-S_{F}^{\alpha}(t))^{-n+\beta+1}}d_{F}^{\alpha}t

*Το μορφοκλασματικό ανάλογο της δεξιόστροφης κλασματικής παραγώγου Καπούτο τάξης \beta\in \mathbb{R} της f ορίζεται από:

{x}^{C}\mathcal{D}_{b}^{\beta}f(x)=\frac{1}{\Gamma(n-\beta)}
 \int_{x}^{b}
(S_{F}^{\alpha}(t)-S_{F}^{\alpha}(x))^{n-\beta-1}
(-D_{F}^{\alpha})^{n}f(t)d_{F}^{\alpha}t

*Το μορφοκλασματικό ανάλογο της αριστερόπλευρης κλασματικής παραγώγου Καπούτο τάξης \beta\in \mathbb{R} της f ορίζεται από:

{a}^{C}\mathcal{D}_{x}^{\beta}f(x)=\frac{1}{\Gamma(n-\beta)}
\int_{a}^{x}
(S_{F}^{\alpha}(x)-S_{F}^{\alpha}(t))^{n-\beta-1}
(D_{F}^{\alpha})^{n}f(t)d_{F}^{\alpha}t


## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* An online guide to lacunarity theory and analysis using free, open source biological imaging software.

## Βιβλιογραφία
*
*
*
*
*
*

## Δείτε επίσης
*Αλγόριθμος διαμαντιού τετραγώνου
*Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
*Νιφάδα του Κοχ 
*Καμπύλη Χίλμπερτ
*Καμπύλη του δράκου
*Σπόγγος του Μένγκερ

*Σύνολο Μάντελμπροτ
*Σύνολο Julia
*Σύνολο Κάντορ
*Οικοδομήσιμο Σύμπαν

## Παραπομπές

 
 
Κατηγορία:Φράκταλ
Κατηγορία:Εφαρμοσμένα μαθηματικά
Κατηγορία:Μαθηματική ανάλυση