Τύποι Μολβάιντε

μικρογραφία|290px|Τρίγωνο με πλευρές <math>\alpha, \beta, \gamma</math> και κορυφές <math>\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{\Gamma}</math>.

Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, οι **τύποι Μολβάιντε** σε ένα τρίγωνο \mathrm{AB\Gamma} με πλευρές \alpha, \beta, \gamma και κορυφές \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{\Gamma}, είναι οι εξής σχέσεις
:
\frac{\alpha + \beta}{\gamma} \cdot \sin \frac{\mathrm{\Gamma}}{2} = \cos \left( \tfrac{1}{2} \cdot (\mathrm{A} - \mathrm{B}) \right)
,
και
:
\frac{\alpha - \beta}{\gamma} \cdot \cos \frac{\mathrm{\Gamma}}{2} = \sin \left( \tfrac{1}{2} \cdot (\mathrm{A} - \mathrm{B}) \right)
.

Οι τύποι παίρνουν το όνομά τους από τον μαθηματικό Καρλ Μολβάιντε.

## Απόδειξη

Θα χρησιμοποιήσουμε τον νόμο των ημιτόνων που λέει ότι 
:
\frac{\alpha}{\sin \mathrm{A}} = \frac{\beta}{\sin \mathrm{B}} = \frac{\gamma}{\sin \mathrm{\Gamma}} = d, 

όπου d η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Από εδώ προκύπτει ότι 
:
Επίσης θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων 
:
και 
:
Ακόμα, θα χρησιμοποιήσουμε ότι 
:{2} \cdot \cos \frac{\mathrm{\Gamma}}{2}.|}}
**Απόδειξη 1ης σχέσης:** Χρησιμοποιώντας τις ισότητες () έχουμε ότι 
:
\frac{\alpha + \beta}{\gamma} \cdot \sin \frac{\mathrm{\Gamma}}{2}
 = \frac{d \sin \mathrm{A} + d \sin \mathrm{B}}{d \sin \mathrm{\Gamma}} \cdot \sin \frac{\mathrm{\Gamma}}{2}
 = \frac{\sin \mathrm{A} + \sin \mathrm{B}}{\sin \mathrm{\Gamma}} \cdot \sin \frac{\mathrm{\Gamma}}{2}
.
Έπειτα η () και η () δίνουν ότι
:
\frac{\alpha + \beta}{\gamma} \cdot \sin \frac{\mathrm{\Gamma}}{2}
 = \frac{2 \sin\left( \tfrac{1}{2} (\mathrm{A} + \mathrm{B}) \right) \cos\left( \tfrac{1}{2} (\mathrm{A} - \mathrm{B}) \right)}{2 \sin \frac{\mathrm{\Gamma}}{2} \cos \frac{\mathrm{\Gamma}}{2}} \cdot \sin \frac{\mathrm{\Gamma}}{2}
 = \frac{\sin\left( \tfrac{1}{2} (\mathrm{A} + \mathrm{B}) \right) \cos\left( \tfrac{1}{2} (\mathrm{A} - \mathrm{B}) \right)}{\cos \frac{\mathrm{\Gamma}}{2}}
.
Αφού οι \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{\Gamma} είναι γωνίες ενός τριγώνου ισχύει ότι \mathrm{\Gamma} = \pi - (\mathrm{A} + \mathrm{B}). Χρησιμοποιώντας ότι \cos(\tfrac{\pi}{2} - \phi) = \sin \phi, καταλήγουμε ότι 
:
\frac{\alpha + \beta}{\gamma} \cdot \sin \frac{\mathrm{\Gamma}}{2}
 = \sin\left( \tfrac{1}{2} (\mathrm{A} - \mathrm{B}) \right)
.

**Απόδειξη 2ης σχέσης:** Χρησιμοποιώντας τις ισότητες () έχουμε ότι 
:
\frac{\alpha - \beta}{\gamma} \cdot \cos \frac{\mathrm{\Gamma}}{2}
 = \frac{d \sin \mathrm{A} - d \sin \mathrm{B}}{d \sin \mathrm{\Gamma}} \cdot \cos \frac{\mathrm{\Gamma}}{2}
 = \frac{\sin \mathrm{A} - \sin \mathrm{B}}{\sin \mathrm{\Gamma}} \cdot \cos \frac{\mathrm{\Gamma}}{2}
.
Έπειτα η () και η () δίνουν ότι
:
\frac{\alpha - \beta}{\gamma} \cdot \cos \frac{\mathrm{\Gamma}}{2}
 = \frac{2 \sin\left( \tfrac{1}{2} (\mathrm{A} - \mathrm{B}) \right) \cos\left( \tfrac{1}{2} (\mathrm{A} + \mathrm{B}) \right)}{2 \sin \frac{\mathrm{\Gamma}}{2} \cos \frac{\mathrm{\Gamma}}{2}} \cdot \cos \frac{\mathrm{\Gamma}}{2}
 = \frac{\sin\left( \tfrac{1}{2} (\mathrm{A} - \mathrm{B}) \right) \cos\left( \tfrac{1}{2} (\mathrm{A} + \mathrm{B}) \right)}{\sin \frac{\mathrm{\Gamma}}{2}}
.
Αφού οι \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{\Gamma} είναι γωνίες ενός τριγώνου ισχύει ότι \mathrm{\Gamma} = \pi - (\mathrm{A} + \mathrm{B}). Χρησιμοποιώντας ότι \sin(\tfrac{\pi}{2} - \phi) = \cos \phi, καταλήγουμε ότι 
:
\frac{\alpha - \beta}{\gamma} \cdot \cos \frac{\mathrm{\Gamma}}{2}
 = \cos\left( \tfrac{1}{2} (\mathrm{A} - \mathrm{B}) \right)
.

### Απόδειξη χωρίς λόγια
Μία απόδειξη χωρίς λόγια είχε δοθεί από τον Ρεξ Χ. Γου.

## Εφαρμογές

### Νόμος των εφαπτομένων

Διαιρώντας τις δύο εξισώσεις κατά μέλη, λαμβάνουμε τον νόμο των εφαπτομένων
:
\frac{\alpha - \beta}{\alpha + \beta} = \frac{\tan\left(\tfrac{1}{2}(\mathrm{A} - \mathrm{B})\right)}{\tan\left(\tfrac{1}{2}(\mathrm{A} + \mathrm{B})\right)}
.

## Παραπομπές


Κατηγορία:Γωνία
Κατηγορία:Γεωμετρία του τριγώνου
Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία
Κατηγορία:Τριγωνομετρία
Κατηγορία:Όρος με ελλιπή ελληνική μετάφραση