Θεώρημα μέσης τιμής

thumb|300px|Γεωμετρική απεικόνιση του Θεωρήματος Μέσης Τιμής: για την τέμνουσα που ορίζουν τα σημεία (α, f(α)) και (β, f(β)) της καμπύλης της συνάρτησης f(x) (δεξιά κάτω μπλε ευθεία γραμμή στο γράφημα), υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο στο οποίο η εφαπτομένη της f(x) (αριστερή πάνω μπλε ευθεία γραμμή στο γράφημα) είναι παράλληλη προς την τέμνουσα αυτή.

Στα μαθηματικά, το **θεώρημα μέσης τιμής** (**Θ.Μ.Τ.** στο εξής) γεωμετρικά διατυπώνεται ως εξής: δοσμένης μιας επίπεδης καμπύλης και δυο σημείων της, υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο στο οποίο η εφαπτομένη της καμπύλης να  είναι παράλληλη προς την ευθεία (τέμνουσα) που ορίζουν τα παραπάνω σημεία.

Το Θ.Μ.Τ. στη σύγχρονη μορφή διατυπώθηκε από τον Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ. Είναι ένα από τα πιο σημαντικά αποτελέσματα του διαφορικού λογισμού, καθώς και ένα από τα πιο σημαντικά θεωρήματα στη μαθηματική ανάλυση αφού με τη βοήθειά του αποδεικνύονται πολλά άλλα θεωρήματα.

Το Θ.Μ.Τ. είναι συνέπεια του  θεωρήματος Ρολ.

## Θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού

Αυτή η σχέση είναι γνωστή κι ως μορφή Λαγκράνζ και δηλώνει ότι για κάθε ευθεία από δύο σημεία γραφικής παράστασης σε μια παραγωγίσιμη συνάρτηση υπάρχει εφαπτομένη στην καμπύλη της συνάρτησης που να της είναι παράλληλη.

Η ποσότητα \lambda = \frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha} παριστά την κλίση της ευθείας που ορίζουν τα σημεία A(\alpha,f(\alpha)) και B(\beta,f(\beta)).

Το Θ.Μ.Τ. είναι μια γενίκευση του θεωρήματος Ρολ, το οποίο υποθέτει f(\alpha)=f(\beta), έτσι ώστε το δεξί μέλος της παραπάνω σχέσης να  είναι μηδέν.

## Εφαρμογές του Θ.Μ.Τ.

### Απόδειξη ανισοτήτων

Το Θ.Μ.Τ. μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη πολλών ανισοτήτων.

Για παράδειγμα θα αποδείξουμε ότι η ανισότητα e^{x}\geq x+1 ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό x. Παρατηρήστε ότι η ανισότητα ισχύει ως ισότητα για x=0, ενώ για x>0 η συνάρτηση f(t)=e^t ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ.  στο διάστημα [0,x] με πρώτη παράγωγο
:f'(t)=e^t \geq e^0=1, για κάθε t \in [0,x].
Άρα σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. θα υπάρχει \xi \in [0,x] ώστε
:f'(\xi)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{e^x-1}{x} \geq 1 \Rightarrow e^{x}\geq x+1

Ομοίως για την περίπτωση όπου x .

### Σταθερές συναρτήσεις

 . (1)
:Επειδή το \xi είναι εσωτερικό σημείο του \Delta, ισχύει f'(\xi)=0, οπότε, λόγω της (1), είναι  f(x_{1})=f(x_{2}).

* Αν x_{1} > x_{1} τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι f(x_{1})=f(x_{2}). 

Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι  f(x_{1})=f(x_{2}).
}}

#### Παράδειγμα
Με την χρήση του Θ.Μ.Τ. θα αποδείξουμε ότι (\eta\mu x)^2+( \sigma\upsilon\nu x)^2=1. 

Ορίζουμε την συνάρτηση 
:f(x)= (\eta\mu x)^2+( \sigma\upsilon\nu x)^2 ,
η οποία είναι παραγωγίσιμη και ισχύει  f'(x)=2 \cdot (\eta\mu x) \cdot  ( \sigma\upsilon\nu x)-2( \sigma\upsilon\nu x) \cdot (\eta\mu x)=0 άρα η ***<math>f
</math>''' είναι σταθερή'''.*** 

Δηλαδή f(x)=c για κάθε x\in \mathbb{R}. Η τιμή της σταθερά βρίκεται θέτοντας x=0 οπότε c = f (0) = 1  δηλαδή  
:f(x)=1 \Rightarrow (\eta\mu x)^2+( \sigma\upsilon\nu x)^2=1 για κάθε x\in \mathbb{R}.  

## Θεώρημα μέσης τιμής του Κωσύ

Το Θεώρημα μέσης τιμής του Κωσύ, γνωστό και ως επεκτεταμένο θεώρημα μέσης αποτελεί μια γενίκευση του Θ.Μ.Τ. και αναφέρει το  εξής:            

Σε περίπτωση που g(a) = g(b), τότε εφαρμόζοντας το θεώρημα Ρολ στην g, προκύπτει ότι υπάρχει c
 στο διάστημα (a,b) για το οποίο ισχύει g(c)=0 . Για αυτή την επιλογή του c το θεώρημα μέσης τιμής του Κωσύ (προφανώς) ισχύει.

## Θεωρήματα μέσης τιμής του ολοκληρωτικού λογισμού

### Πρώτο θεώρημα μέσης τιμής για ολοκληρώματα (Θ.Μ.Τ.Ο.Λ.)

Σημειώσεις:
* Ειδικότερα, αν \varphi (t) = 1  για όλα τα t στο  [\alpha,\beta], τότε υπάρχει  x_{0} στο (\alpha,\beta) τέτοιo ώστε
::\int_{\alpha}^{\beta}  f(t) \, dt=\ f( x_{0})(\beta - \alpha). (2)
* Η σχεσή αυτή συναντάται κυρίως με την μορφή
::\frac{1}{\beta - \alpha} \int_{\alpha}^{\beta} f(t) \, dt=\ f( x_{0}).
* Ο αριθμός  \frac{1}{\beta - \alpha}\int_{\alpha}^{\beta} f(t)  dt ονομάζεται μέση τιμή της συνάρτησης *<math>f</math> στο *[\alpha,\beta] και συμβολίζεται ως  \bar{f}.

**Σχόλιο :  **Γεωμετρικά, η μέση τιμή  \bar{f}  *μιας μη αρνητικής* συνάρτησης  *<math>f</math> *στο διάστημα  [\alpha,\beta] παριστάνει το ύψος του ορθογωνίου που έχει βάση το  [\alpha,\beta] και εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα xʹx και τις ευθείες x=\alpha και  x=\beta

### Δεύτερο θεώρημα μέσης τιμής για ολοκληρώματα
Υπάρχει ένα ελαφρώς διαφορετικό θεώρημα που ονομάζεται *δεύτερο θεώρημα μέσης τιμής για ολοκληρώματα*. Μια πιο διαδεδομένη μορφή του θεωρήματος είναι η παρακάτω:

Το  G(a+0) αναπαριστά το {\underset{a_+}{\lim}G} η ύπαρξη του οποίου απορρέει από τις συνθήκες. Είναι απαραίτητο το διάστημα (a, b] να περιέχει το b.

Μία παραλλαγή στην οποία δεν απαιτείται ο συγκεκριμένος περιορισμός είναι η εξής:

Αυτή η παραλλαγή αποδείχθηκε από τον Hiroshi Okamura το 1947.
## Γενίκευση για ορίζουσες
Θεωρούμε τρεις συναρτήσεις f, g και h οι οποίες ειναι παραγγωγίσιμες στο διάστημα  *<math>(a,b)</math>*   και συνεχείς στο  [a,b].

Ορίζουμε την συνάρτηση 
:D(x)=\left|\begin{array}{ccc}
f(x) &  g(x) &  h(x)\\
f(a) &  g(a) &   h(a)\\
f(b) & g(b) & h(b) \\

\end{array} \right|,
τότε υπάρχει c \in (a,b) ώστε D'(c)=0 όπου 
:D(x)=\left|\begin{array}{lll}
f'(x) &  g'(x) & h'(x)\\
f(a) &  g(a) &  h(a)\\
f(b) & g(b) & h(b) \\

\end{array} \right|.

Η απόδειξη προκύπτει με την χρήση του θεωρήματος Ρολ αρκεί να παρατηρήσουμε ότι D(a)=D(b)=0 καθώς σε κάθε περίπτωση η ορίζουσα έχει δυο γραμμές ίσες.

**Παρατήρηση :** Αν θέσουμε h(x)=1 προκύπτει το Θ.Μ.Τ. με την μορφή Κωσύ ενώ αν θέσουμε επιπλέον και g(x)=x προκύπτει η μορφή Λαγκράνζ.

## Πιθανολογικό ανάλογο
Έστω X και Y είναι μη-αρνητικές τυχαίες μεταβλητές τέτοιες ώστε E [X] E [Y] *<math>\leq \infty</math>* και X \leq_ {st} Y (δηλαδή η Χ είναι μικρότερη από τη Υ με τη συνηθισμένη στοχαστική σειρά). Τότε υπάρχει μια συνεχής μη-αρνητική τυχαία μεταβλητή Z με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας
:f_{Z}(x)=\frac{P(Y \geq x)-P(X\geq x)}{E[Y]-E[X]}, \qquad x\geq 0.

Έστω *g* μια μετρήσιμη και παραγωγίσιμη συνάρτηση ώστε E[g(X)], E[g(Y)] \leq \infty , με πρώτη παράγωγο μετρήσιμη και  Riemann ολοκληρώσιμη στο διάστημα [x,y] για  y \geq x  \geq 0. Τότε η ποσότητα E[g'(Z)]  είναι πεπερασμένη και ισχύει {\rm E}[g(Y)]-{\rm E}[g(X)]={\rm E}[g'(Z)]\,[{\rm E}(Y)-{\rm E}(X)]

## Γενίκευση στη μιγαδική ανάλυση
Όπως αναφέρθηκε και παραπάνω το Θ.Μ.Τ. δεν ισχύει στην περίπτωση συνάρτησης με μιγαδικές τιμές. Ισχύει όμως η εξής πρόταση :

Έστω *f* :  \Omega → \mathbb{C}  μια ολόμορφη συνάρτηση στο ανοικτό και κυρτό σύνολο  Ω, και έστω L  η ευθεία που διέρχεται απο δυο διακεκριμένα σημεία  a και  b του \Omega. Τότε υπάρχουνε σημεία *u*, *v* στην ευθεία ώστε

:\Re(f'(u)) = \mathrm{Re}\left( \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \right),
:\Im (f'(v)) = \mathrm{Im}\left( \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \right),

όπου \Re  είναι το πραγματικό μέρος της συνάρτησης και \Im το φανταστικό της μέρος.

## Δείτε επίσης
* Θεώρημα Ρολ
* Μαθηματική Ανάλυση
* Ολοκλήρωμα

## Περαιτέρω ανάγνωση

### Αναφορές
*  
* 
* 

### Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* 

### Ελληνικά άρθρα
* 

## Σημειώσεις


## Παραπομπές


Κατηγορία:Θεωρήματα στην ανάλυση