Δεκάγωνο

Στη γεωμετρία, το **δεκάγωνο** είναι ένα πολύγωνο με δέκα κορυφές και δέκα πλευρές.

Ένα δεκάγωνο είναι **[[κανονικό πολύγωνο|κανονικό]]** αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

## Ιδιότητες
* Σε κάθε απλό δωδεκάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα 1440^\circ (ή 8\pi ακτίνια).
* Κάθε δεκάγωνο έχει 35 διαγωνίους.

## Κυρτό κανονικό δεκάγωνο

### Ιδιότητες
Για το κανονικό δεκάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
* Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με 144^\circ (ή 8\pi/10 ακτίνια).
* Έχει δέκα άξονες συμμετρίας.
* Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
* Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
* Έχει περιστροφική συμμετρία δεκάτης τάξεως.
* Το σύμβολο Schläfli του δεκαγώνου είναι \{ 10 \}.

### Κεντρική γωνία
Η **κεντρική του γωνία**, δηλαδή η γωνία που βλέπει το κέντρο του, την κάθε πλευρά είναι ίση με \varphi = 36^\circ (ή \pi/5 ακτίνια). 

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της \varphi / 2 είναι πολύ χρήσιμοι στις μετρικές σχέσεις του κανονικού πενταγώνου, καθώς και στους τύπους για το εμβαδόν του. Αυτοί δίνονται από τους τύπους
:\sin \frac{\pi}{10} = \frac{1}{4} \left( \sqrt{5} - 1\right), \qquad \csc \frac{\pi}{10} = \frac{1}{5} \sqrt{50 + 10\sqrt{5}},
:\cos \frac{\pi}{10} = \frac{1}{4} \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}, \qquad \sec \frac{\pi}{10} = \frac{1}{5} \sqrt{50 - 10 \sqrt{5}},
:\tan \frac{\pi}{10} = \frac{1}{5} \sqrt{25 - 10\sqrt{5}}, \qquad \cot \frac{\pi}{10} = \frac{1}{5} \sqrt{5 + 2\sqrt{5}}.
{4}.
Η αρνητική τιμή απορρίπτεται καθώς \frac{\pi}{10} \in (0, \pi/2). Επομένως,, 
:\sin \frac{\pi}{10} = \frac{1}{4} (\sqrt{5} - 1).

Από αυτή την σχέση, χρησιμοποιώντας βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες και ρητοποίηση παρονομαστή, προκύπτουν και όλες οι υπόλοιπες
:\csc \frac{\pi}{10} 
  = \frac{4}{\sqrt{5} - 1}
  = \frac{4(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)}
  = \frac{4(\sqrt{5} + 1)}{\sqrt{5}^2 - 1^2} = \sqrt{5} + 1
,
:
\cos \frac{\pi}{10}
  = \sqrt{1 - \sin^2 \frac{\pi}{10}}
  = \frac{1}{4} \sqrt{16 - (\sqrt{5} - 1)^2}
  = \frac{1}{4} \sqrt{16 - (1 - 2\sqrt{5} + 5)}
  = \frac{1}{4} \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}
,
:
\sec \frac{\pi}{10}
  = \frac{4}{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}
  = \frac{4\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{\sqrt{10^2 + (2\sqrt{5})^2}}
  = \frac{4\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4\sqrt{5}}
  = \frac{1}{5}\sqrt{50 - 10\sqrt{5}}
,
:
\begin{align}
\tan \frac{\pi}{10}
  & = \sin \frac{\pi}{10} \cdot \sec \frac{\pi}{10}
  = \frac{1}{20} (\sqrt{5} - 1) \cdot \sqrt{50 - 10\sqrt{5}}
  = \frac{1}{20} \sqrt{(\sqrt{5} - 1) \cdot (50 - 10\sqrt{5})} \\
  & = \frac{1}{20} \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2 \cdot (50 - 10\sqrt{5})}
  = \frac{1}{5} \sqrt{25 - 10\sqrt{5}},
\end{align}

:
\cot \frac{\pi}{5}
  = \frac{1}{\tan \frac{\pi}{5}}
  = \frac{5}{\sqrt{25 - 10\sqrt{5}}}
  = \frac{5\sqrt{25 + 10\sqrt{5}}}{\sqrt{25^2 - (10\sqrt{5})^2}}
  = \sqrt{5 - 2\sqrt{5}}
.
}}

### Μετρικές σχέσεις

* Η ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού δεκαγώνου είναι ίση με
::\begin{align}R 
& = \frac{1}{2} \csc \frac{\pi}{10} \cdot \lambda \\
& = \frac{1}{2} \left( 1 + \sqrt{5} \right) \cdot \lambda \\
& = \phi \cdot \lambda \\
& \approx 1{,}618034 \cdot \lambda.
\end{align},
:όπου \phi ο χρυσός λόγος.
*Η ακτίνα r του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού δεκαγώνου είναι ίση με
::\begin{align}
r 
& = \frac{1}{2} \cot \frac{\pi}{10} \cdot \lambda \\
& = \frac{1}{2} \sqrt{5 + 2\sqrt{5}} \cdot \lambda \\
& \approx 1{,}538842 \cdot \lambda.
\end{align}
right|thumb|200px|Τα τέσσερα είδη διαγωνίων σε ένα κανονικό δεκάγωνο.
* Τα μήκη των διαγωνίων ενός κανονικού δεκαγώνου δίνονται από τις σχέσεις
::\begin{align}
d_1
 & = 2 \sin \frac{\pi}{10} \cdot R = \frac{1}{2} (\sqrt{5} - 1) \cdot R, \\
d_2
 & = 2 \sin \frac{2\pi}{10} \cdot R = \frac{1}{2} \sqrt{10 - 2\sqrt{5}} \cdot R, \\
 d_3
 & = 2 \sin \frac{3\pi}{10} \cdot R = \frac{1}{2}(\sqrt{5} + 1) \cdot R, \\
d_4
 & = 2 \sin \frac{4\pi}{10} \cdot R = \frac{1}{2} \sqrt{10 - 2\sqrt{5}} \cdot R.
\end{align}
*Το πλάτος του είναι ίσο με το μήκος της μεγάλης διαγωνίου 
::w = 2 \cdot R.
*Το ύψος του είναι 
::h = 2 \cdot r.

### Εμβαδόν
Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού δεκαγώνου πλευράς \lambda και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου r είναι 
:{\rm E} = 5 \cdot  \lambda \cdot  r.
Το εμβαδό \rm E ενός κανονικού δωδεκαγώνου πλευράς \lambda δίνεται από τη σχέση:
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = \frac{5}{2} \cot \frac{\pi}{10} \cdot \lambda^2 \\ 
 & = \frac{5}{2} \sqrt{5 + 2\sqrt{5}} \cdot \lambda^2 \\
 & \approx 7{,}694209 \cdot \lambda^2.
\end{align}
Αν R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδόν του δεκαγώνου είναι
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = 5 \sin \frac{\pi}{5} \cdot R^2 \\
 & = \frac{5}{4} \sqrt{10 - 2\sqrt{5}} \cdot R^2 \\
 & \approx 2{,}938926 \cdot R^2.
\end{align}
Aν r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = 10 \tan \frac{\pi}{10} \cdot r^2 \\
 & = 2 \sqrt{25 - 10\sqrt{5}} \cdot r^2 \\
 & \approx 3{,}249197 \cdot r^2.
\end{align}
Αν h το ύψος του κανονικού δεκαγώνου, τότε
:{\rm E} = \frac{5}{2} \cdot h \cdot \lambda,

### Περίμετρος
Η περίμετρος \Pi του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με
:\Pi = 10\cdot\lambda.

### Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη
Το κανονικό δεκάγωνο είναι δυνατό να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη.

Η κατασκευή ενός κανονικού δεκαγώνου με κανόνα και διαβήτη.|thumb|center|350px

Μια εναλλακτική (αλλά παρόμοια) μέθοδος είναι η εξής:
# Κατασκευάστε ένα κανονικό πεντάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο με μία από τις μεθόδους που δίνονται στο αντίστοιχο λήμμα.
# Εκτείνετε μία ευθεία από κάθε κορυφή του πενταγώνου διερχόμενη από το κέντρο του κύκλου προς την αντίθετη πλευρά. Το σημείο όπου η κάθε γραμμή τέμνει τον κύκλο απέναντι είναι μία κορυφή του δεκαγώνου.
# Οι πέντε κορυφές του πενταγώνου είναι οι άλλες 5 κορυφές του δεκαγώνου. Ενώστε αυτά τα σημεία με τα νέα για να σχηματίσετε το (κανονικό) δεκάγωνο.

### Ιδιότητες

* Σε ένα κανονικό δεκάγωνο, αν \rm M το σημείο τομής του φορέα της \rm AB και του φορέα της ακτίνας\rm O\Gamma, τότε
::\rm AM = A\Delta.

## Αστεροειδές κανονικό δεκάγωνο
Υπάρχει ένα κανονικό αστεροειδές δεκάγωνο, το \{ 10/3 \}, που κατασκευάζεται από τις ίδιες 10 κορυφές ενός κανονικού δεκαγώνου, ενώνοντας μεταξύ τους κάθε πέμπτη κορυφή, αντιστοίχως.

## Σχετικά σχήματα

### Σχέση με άλλα πολύγωνα

Regular pentagon in regular decagon el.svg|Ένα κανονικό πεντάγωνο μέσα σε ένα κανονικό δεκάγωνο.
Regular decagon pentadecagon triangle el.svg|Σχέση ενός ισοπλεύρου τριγώνου, ενός κανονικού δεκαγώνου και ενός κανονικού δεκαπενταγώνου με ίσες πλευρές.
Euclid Elements Book 13 Proposition 10.svg|Σχέση πλευρών ενός κανονικού πενταγώνου, εξαγώνου και δεκαγώνου που εγγράφονται σε κύκλο ίσης ακτίνας.


* (**Πρόταση 10η, Βιβλίο 13ο, ''Στοιχεία Ευλείδη'' **) Αν ένα κανονικό πεντάγωνο πλευράς \lambda_5, ένα κανονικό εξάγωνο πλευράς \lambda_6 και ένα κανονικό δεκάγωνο πλευράς \lambda_{10} είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο, τότε \lambda_5^2 = \lambda_6^2 + \lambda_{10}^2.

### Πολύγωνα Πέτρι
Το κανονικό δεκάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι για πολλά πολύτοπα περισσότερων διαστάσεων, που παρατίθενται σε ορθογώνιες προβολές σε διάφορα επίπεδα Coxeter:

## Εφαρμογές
thumb|Το Γκονμπάντ-ε Καμπούς, ο υψηλότερος πύργος εξ ολοκλήρου από τούβλα στον κόσμο, έχει σχήμα δεκαγώνου.

## Δείτε επίσης
* Δεκαγωνικός αριθμός
* Χρυσή τομή
* Πεντάγωνο

## Περαιτέρω ανάγνωση
### Εξωτερικοί σύνδεσμοι

* Ορισμός και ιδιότητες του δεκαγώνου (με διαδραστική animation)
* Εγγραφή κανονικού δεκαγώνου (διαδραστική εφαρμογή)
* Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας π/10 στο MathWorld.
* Διαδραστικές εφαρμογές για την κατασκευή κανονικού δεκαγώνου 1 2 και τις γωνίες δεκαγώνου 3 στο Geogebra.

### Ξενόγλωσσα άρθρα
* 
* 
* 
* 

## Σημειώσεις


## Παραπομπές


Κατηγορία:Πολύγωνα
Κατηγορία:Κατασκευές με κανόνα και διαβήτη