Βαθμός επέκτασης σώματος

Στα μαθηματικά, και πιο συγκεκριμένα στη θεωρία σωμάτων, ο **βαθμός επέκτασης σώματος** είναι ένα πρόχειρο μέτρο του "μεγέθους" της επέκτασης σώματος. Η έννοια παίζει σημαντικό ρόλο σε πολλά μέρη των μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένης της άλγεβρας και της θεωρίας αριθμών - δηλαδή σε κάθε τομέα όπου τα σώματα εμφανίζονται σε περίοπτη θέση.

## Ορισμός και συμβολισμός

Ας υποθέσουμε ότι το *E*/*F* είναι μια επέκταση σώματος. Τότε το *E* μπορεί να θεωρηθεί ως διανυσματικός χώρος πάνω από το *F* (το σώμα των βαθμωτών). Η διάσταση αυτού του διανυσματικού χώρου ονομάζεται **βαθμός επέκτασης σώματος** και συμβολίζεται με [*E*:*F*].

Ο βαθμός μπορεί να είναι πεπερασμένος ή άπειρος, και το σώμα ονομάζεται **πεπερασμένη επέκταση** ή **άπειρη επέκταση** αναλόγως. Μια επέκταση E/F λέγεται επίσης μερικές φορές ότι είναι απλά πεπερασμένη αν είναι πεπερασμένη επέκταση- αυτό δεν πρέπει να συγχέεται με το ότι τα ίδια τα σώματα είναι πεπερασμένα σώματα (σώματα με πεπερασμένα πολλά στοιχεία).

Ο βαθμός δεν πρέπει να συγχέεται με τον βαθμό υπερβατικότητας ενός σώματος- λόγου χάριν, το σώμα  **Q**(*X*) των ρητών συναρτήσεων έχει άπειρο βαθμό πάνω στο **Q**, αλλά βαθμό υπερβατικότητας μόνο ίσο με  1.

## Τύπος πολλαπλασιαστικότητας για τους βαθμούς

Δεδομένων τριών σωμάτων τοποθετημένων σε πύργο, ας πούμε ότι το *K* είναι υποσώμα του *L*, το οποίο με τη σειρά του είναι υποσώμα του *M*, υπάρχει μια απλή σχέση μεταξύ των βαθμών των τριών επεκτάσεων *L*/*K*, *M*/*L* και *M*/*K*:
: [M:K] = [M:L] \cdot [L:K].
Με άλλα λόγια, ο βαθμός που πηγαίνει από το "κάτω" στο "πάνω" σώμα είναι απλώς το γινόμενο των βαθμών που πηγαίνουν από το "κάτω" στο "μεσαίο" και στη συνέχεια από το "μεσαίο" στο "πάνω". Είναι αρκετά ανάλογο με το θεώρημα του Λαγκράνζ στη θεωρία ομάδων, το οποίο συσχετίζει την τάξη μιας ομάδας με την τάξη και τον δείκτη μιας υποομάδας - μάλιστα η θεωρία Γκαλουά δείχνει ότι αυτή η αναλογία είναι κάτι περισσότερο από απλή σύμπτωση.

Ο τύπος ισχύει τόσο για πεπερασμένου όσο και για άπειρου βαθμού επεκτάσεις. Στην άπειρη περίπτωση, το γινόμενο ερμηνεύεται με την έννοια των γινομένων των πληθικών αριθμών. Ειδικότερα, αυτό σημαίνει ότι αν το *M*/*K* είναι πεπερασμένο, τότε τόσο το *M*/*L* και *L*/*K* είναι πεπερασμένα.

Αν το *M*/*K* είναι πεπερασμένο, τότε ο τύπος επιβάλλει ισχυρούς περιορισμούς στα είδη των σωμάτων που μπορούν να εμφανιστούν μεταξύ του *M* και *K*, μέσω απλών αριθμητικών θεωρήσεων. Επί παραδείγματι, αν ο βαθμός [*M*:*K*] είναι ένας πρώτος αριθμός *p*, τότε για οποιοδήποτε ενδιάμεσο σώμα *L*, ένα από τα δύο πράγματα μπορεί να συμβεί: είτε [*M*:*L*] = *p* και [*L*:*K*] = 1,  οπότε το *L* είναι ίσο με το *K*, είτε  [*M*:*L*] = 1 και [*L*:*K*] = *p*, οπότε το *L* είναι ίσο με το *M*. Επομένως, δεν υπάρχουν ενδιάμεσα σώματα (εκτός από τα ίδια τα *M* και *K*).

### Απόδειξη του τύπου πολλαπλασιαστικότητας στην πεπερασμένη περίπτωση

Ας υποθέσουμε ότι τα *K*, *L* και *M* σχηματίζουν έναν πύργο σωμάτων όπως στον τύπο βαθμού παραπάνω, και ότι τόσο το *d* = [*L*:*K*] όσο και το *e* = [*M*:*L*] είναι πεπερασμένα. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να επιλέξουμε μια βάση {*u*1, ..., *u**d*} για το *L* πάνω στο *K*, και μια βάση {*w*1, ..., *w**e*} για το  *M* πάνω στο *L*. Θα δείξουμε ότι τα στοιχεία *u**m**w**n*, για *m* που κυμαίνεται μεταξύ  1, 2, ..., *d* και *n*  που κυμαίνεται μεταξύ 1, 2, ..., *e*, σχηματίζουν μια βάση για το  *M*/*K*; Επειδή υπάρχουν ακριβώς *de* από αυτά, αυτό αποδεικνύει ότι η διάσταση του *M*/*K* είναι *de*, το οποίο είναι το επιθυμητό αποτέλεσμα.

Πρώτα ελέγχουμε ότι καλύπτουν το  *M*/*K*. Αν το *x* είναι οποιοδήποτε στοιχείο του *M*, τότε αφού τα *w**n* σχηματίζουν μια βάση για το *M* πάνω στο  *L*, μπορούμε να βρούμε στοιχεία *a**n* στο *L* τέτοια ώστε
:  x = \sum_{n=1}^e a_n w_n = a_1 w_1 + \cdots + a_e w_e.
Τότε, αφού τα *u**m* σχηματίζουν μια βάση για το  *L* πάνω στο *K*, μπορούμε να βρούμε στοιχεία  *b**m*,*n* στο *K* τέτοια ώστε για κάθε  *n*,
:  a_n = \sum_{m=1}^d b_{m,n} u_m = b_{1,n} u_1 + \cdots + b_{d,n} u_d.
Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας την προσεταιριστική ιδιότητα και την αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού στο *M* έχουμε
:  x = \sum_{n=1}^e \left(\sum_{m=1}^d b_{m,n} u_m\right) w_n = \sum_{n=1}^e \sum_{m=1}^d b_{m,n} (u_m w_n),
το οποίο δείχνει ότι το *x* είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των *u**m**w**n* με συντελεστές από το *K*; με άλλα λόγια καλύπτουν το *M* πάνω από το *K*.

Δεύτερον, πρέπει να ελέγξουμε ότι είναι γραμμικά ανεξάρτητες επί του *K*. Έτσι, υποθέτουμε ότι
:  0 = \sum_{n=1}^e \sum_{m=1}^d b_{m,n} (u_m w_n)
για κάποιους συντελεστές *b**m*,*n* στο *K*. Χρησιμοποιώντας και πάλι την επιμεριστική ιδιότητα και την προσεταιριστική ιδιότητα, μπορούμε να ομαδοποιήσουμε τους όρους ως εξής
:  0 = \sum_{n=1}^e \left(\sum_{m=1}^d b_{m,n} u_m\right) w_n,
και βλέπουμε ότι οι όροι στις παρενθέσεις πρέπει να είναι μηδενικοί, επειδή είναι στοιχεία του *L*, και τα  *w**n* είναι γραμμικά ανεξάρτητα πάνω στο *L*. Δηλαδή,
:  0 = \sum_{m=1}^d b_{m,n} u_m 
για κάθε *n*. Τότε, δεδομένου ότι οι συντελεστές  *b**m*,*n* βρίσκονται στο *K*, και τα *u**m* είναι γραμμικά ανεξάρτητα πάνω στο *K*, πρέπει να έχουμε ότι *b**m*,*n* = 0 για όλα τα m και όλα τα *n*. Αυτό δείχνει ότι τα στοιχεία *u**m**w**n* είναι γραμμικά ανεξάρτητα πάνω στο *K*. Έτσι ολοκληρώνεται η απόδειξη.

### Απόδειξη του τύπου στην άπειρη περίπτωση

Σε αυτή την περίπτωση, ξεκινάμε με τις βάσεις *u*&alpha; και *w*&beta; των *L*/*K* και *M*/*L* αντίστοιχα, όπου το &alpha; λαμβάνεται από ένα σύνολο δεικτών *A*, και το &beta; από ένα σύνολο δεικτών *B*. Χρησιμοποιώντας ένα εντελώς παρόμοιο επιχείρημα με το παραπάνω, βρίσκουμε ότι τα γινόμενα *u*&alpha;*w*&beta; σχηματίζουν μια βάση για το *M*/*K*. Αυτά δεικτοδοτούνται από το καρτεσιανό γινόμενο *A* &times; *B*, το οποίο εξ ορισμού έχει πληθικότητα ίση με το γινόμενο των πληθικοτήτων των  *A* και *B*.

## Παραδείγματα

* Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση σώματος πάνω στους πραγματικούς αριθμούς με βαθμό [**C**:**R**] = 2, και επομένως δεν υπάρχουν μη τετριμμένα σώματα μεταξύ τους.
* Η επέκταση σώματος  **Q**(, ), που προκύπτει από την πρόσθεση των  και  στο σώμα **Q** των ρητών αριθμών, έχει βαθμό 4, δηλαδή, [**Q**(, ):**Q**] = 4. Το ενδιάμεσο σώμα **Q**() έχει βαθμό  2 πάνω από το **Q**; συμπεραίνουμε από τον τύπο της πολλαπλασιαστικότητας ότι [**Q**(, ):**Q**()] = 4/2 = 2.
* Το πεπερασμένο σώμα (ή σώμα Γκαλουά) **GF**(125) = **GF**(53) έχει βαθμό 3 στο υποσώμα **GF**(5). Γενικότερα, αν *p* είναι πρώτος και *n*, *m* θετικοί ακέραιοι αριθμοί με το *n* να διαιρεί το *m*, τότε [**GF**(*p**m*):**GF**(*p**n*)] = *m*/*n*.
* Η επέκταση σώματος  **C**(*T*)/**C**, όπου **C**(*T*) είναι το σώμα των ρητών συναρτήσεων πάνω στο **C**, έχει άπειρο βαθμό (είναι πράγματι μια καθαρά υπερβατική επέκταση). Αυτό μπορεί να γίνει αντιληπτό παρατηρώντας ότι τα στοιχεία 1, *T*, *T*2, κ.λπ. είναι γραμμικά ανεξάρτητα πάνω στο **C**.
* Η επέκταση σώματος **C**(*T*2) έχει επίσης άπειρο βαθμό πάνω από το **C**. Ωστόσο, αν θεωρήσουμε το **C**(*T*2) ως υποσώμα του **C**(*T*), τότε στην πραγματικότητα [**C**(*T*):**C**(*T*2)] = 2. Γενικότερα, αν οι *X* και *Y* είναι αλγεβρικές καμπύλες πάνω από ένα σώμα *K*, και *F* : *X* &rarr; *Y* είναι ένας επιρριπτικός μορφισμός μεταξύ τους βαθμού *d*, τότε τα συναρτησιακά σώματα *K*(*X*) και *K*(*Y*) είναι και τα δύο άπειρου βαθμού πάνω από το *K*, αλλά ο βαθμός [*K*(*X*):*K*(*Y*)] αποδεικνύεται ίσος με *d*.

## Γενικεύσεις

Δεδομένων δύο δακτυλίων διαίρεσης *E* και *F* με το *F* να περιέχεται στο *E* και ο πολλαπλασιασμός και η πρόσθεση του *F* να είναι ο περιορισμός των πράξεων στο *E*, μπορούμε να θεωρήσουμε το *E* ως διανυσματικό χώρο πάνω στο  *F* με δύο τρόπους: έχοντας τα βαθμωτά μεγέθη να μεταβάλλοντα στα αριστερά, δίνοντας μια διάσταση [*E*:*F*]l, και έχοντας τα βαθμωτά μεγέθη να  μεταβάλλονται στα δεξιά, δίνοντας μια διάσταση [*E*:*F*]r. Οι δύο διαστάσεις δεν χρειάζεται να συμφωνούν. Και οι δύο διαστάσεις όμως ικανοποιούν έναν τύπο πολλαπλασιασμού για πύργους δακτυλίων διαίρεσης- η παραπάνω απόδειξη ισχύει για τα βαθμωτά που δρουν αριστερά χωρίς αλλαγή.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Σώμα διασπάσεως
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νοεροί υπολογισμοί

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
* 
*
*
*
*
*
* Max Koecher & Reinhold Remmert (1990) "Composition Algebras. Hurwitz's Theorem — Vector-Product Algebras", chapter 10 of *Numbers* by Heinz-Dieter Ebbinghau et al., Springer, 
*
* (English translation of a Russian original)
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα