Μονοειδής συναρτητής

Στην θεωρία κατηγοριών, οι **μονοειδείς συναρτητές** είναι συναρτητές μεταξύ μονοειδών κατηγοριών που διατηρούν τη μονοειδή δομή. Πιο συγκεκριμένα, ένας **μονοειδής συναρτητή**ς μεταξύ δύο μονοειδών κατηγοριών αποτελείται από έναν συναρτητή μεταξύ των κατηγοριών, μαζί με δύο απεικόνισεις συνοχής — ένας φυσικός μετασχηματισμός και ένας μορφισμός που διατηρούν τον μονοειδή πολλαπλασιασμό και τη μονάδα, αντίστοιχα. Οι μαθηματικοί απαιτούν από αυτές τις απεικόνισεις συνοχής να πληρούν πρόσθετες ιδιότητες ανάλογα με το βαθμό αυστηρότητας με τον οποίο επιθυμούν να διατηρήσουν τη μονοειδή δομή. Κάθε μία από αυτές τις ιδιότητες οδηγεί σε έναν ελαφρώς διαφορετικό ορισμό των μονοειδών συναρτήσεων.

* Οι απεικόνισεις συνοχής των **χαλαρών μονοειδών συναρτητών** δεν ικανοποιούν πρόσθετες ιδιότητες· δεν είναι απαραίτητα αντιστρέψιμες.
* Οι απεικόνισεις συνοχής των **ισχυρών μονοειδών συναρτητών** είναι αντιστρέψιμες.
* Οι απεικόνισεις συνοχής των **αυστηρών μονοειδών συναρτητών** είναι ταυτοτικές απεικόνισεις.

Αν και εδώ κάνουμε διάκριση μεταξύ αυτών των διαφορετικών ορισμών, οι συγγραφείς μπορούν να αναφέρονται σε οποιονδήποτε από αυτούς τους ορισμούς απλά με τον όρο **μονοειδείς συναρτητές**.

## Ορισμός

Έστω (\mathcal C,\otimes,I_{\mathcal C}) και (\mathcal D,\bullet,I_{\mathcal D}) μονοειδείς κατηγορίες. Ένας **χαλαρός μονοειδής συναρτητής** από \mathcal C στο \mathcal D (ο οποίος μπορεί επίσης να ονομαστεί απλά μονοειδής συναρτητής) αποτελείται από έναν συναρτητή F:\mathcal C\to\mathcal D μαζί με έναν φυσικό μετασχηματισμό
:\phi_{A,B}:FA\bullet FB\to F(A\otimes B)
μεταξύ των συναρτητών \mathcal{C}\times\mathcal{C}\to\mathcal{D}  και ενός μορφισμού
:\phi:I_{\mathcal D}\to FI_{\mathcal C},
που ονομάζονται απεικόνιση συνοχής ή μορφισμός δομής, που είναι τέτοια ώστε για κάθε τρία αντικείμενα A, B  και  C των \mathcal C  διαγραμμάτων
:,

: &nbsp;&nbsp; και &nbsp;&nbsp; 

αντιμετατίθενται στην κατηγορία \mathcal D. Πιο πάνω, οι διάφοροι φυσικοί μετασχηματισμοί που συμβολίζονται με \alpha, \rho, \lambda είναι μέρη της μονοειδούς δομής στις  \mathcal C και \mathcal D.

### Παραλλαγές

* Ο **δυϊκός ενός μονοειδούς συναρτητή** είναι ένας συνμονοειδής συναρτητής. Είναι ένας μονοειδής συναρτητής του οποίου οι απεικονίσεις συνοχής είναι αντίστροφες. Οι συνμονοειδείς συναρτητές μπορούν επίσης να ονομαστούν οπμονοειδείς, κολάξ μονοειδείς ή οπλάξ μονοειδείς συναρτητές.
* Ένας **ισχυρός μονοειδής συναρτητής** είναι ένας μονοειδής συναρτητής του οποίου οι απεικονίσεις συνοχής \phi_{A,B}, \phi είναι αντιστρέψιμες.
* Ένας **αυστηρός μονοειδής συναρτητής** είναι ένας μονοειδής συναρτητής του οποίου οι απεικονίσεις συνοχής είναι ταυτοτικές.
* Ένας **πλεγμένος μονοειδής συναρτητής** είναι ένας μονοειδής συναρτητής μεταξύ πλεγμένων μονοειδών κατηγοριών (με πλεξίματα που συμβολίζονται με \gamma) έτσι ώστε το ακόλουθο διάγραμμα να είναι αντιμεταθετικό για κάθε ζεύγος αντικειμένων *A*, *B* στο \mathcal C :

:

* Ένας **συμμετρικός μονοειδής συναρτητής** είναι ένας πλεγμένος μονοειδής συναρτητής του οποίου ο χώρος ορισμού και η ομοπεριοχή  είναι συμμετρικές μονοειδείς κατηγορίες.

## Παραδείγματα

* Ο υποκείμενος συναρτητής U\colon(\mathbf{Ab},\otimes_\mathbf{Z},\mathbf{Z}) \rightarrow (\mathbf{Set},\times,\{\ast\})  από την κατηγορία των αβελιανών ομάδων στην κατηγορία των συνόλων. Σε αυτή την περίπτωση, η απεικόνιση \phi_{A,B}\colon U(A)\times U(B)\to U(A\otimes B) στέλνει (a, b) στο a\otimes b; η απεικόνιση \phi\colon \{*\}\to\mathbb Z στέλνει το \ast στο 1.
* Εάν R είναι ένας (αντιμεταθετικός) δακτύλιος, τότε ο ελεύθερος συναρτητής \mathsf{Set},\to R\mathsf{-mod} επεκτείνεται σε έναν ισχυρά μονοειδή συναρτητή  (\mathsf{Set},\sqcup,\emptyset)\to (R\mathsf{-mod},\oplus,0) (και επίσης  (\mathsf{Set},\times,\{\ast\})\to (R\mathsf{-mod},\otimes,R) εάν R είναι αντιμεταθετικός).
* Εάν R\to S είναι ομομορφισμός των αντιμεταθετικών δακτυλίων, τότε ο περιοριστικός συναρτητής (S\mathsf{-mod},\otimes_S,S)\to(R\mathsf{-mod},\otimes_R,R) is είναι μονοειδής και ο επαγωγικός συναρτητής(R\mathsf{-mod},\otimes_R,R)\to(S\mathsf{-mod},\otimes_S,S)είναι ισχυρά μονοειδής.
* Ένα σημαντικό παράδειγμα συμμετρικού μονοειδούς συναρτητή είναι το μαθηματικό πρότυπο της τοπολογικής κβαντικής θεωρίας πεδίου. Έστω \mathbf{Bord}_{\langle n-1,n\rangle} η κατηγορία συνομορισμων των *n-1,n*-διαστάσεων πολλαπλοτήτων με το τανυστικό γινόμενο που δίνεται από την ένωση διαχωρισμένων συνόλων και μονάδα την κενή πολλαπλότητα. Μια τοπολογική κβαντική θεωρία πεδίου στη διάσταση n είναι ένας συμμετρικός μονοειδής συναρτητής F\colon(\mathbf{Bord}_{\langle n-1,n\rangle},\sqcup,\emptyset)\rightarrow(\mathbf{kVect},\otimes_k,k).
* Ο συναρτητής ομολογίας είναι μονοειδής ως (Ch(R\mathsf{-mod}),\otimes,R[0]) \to (grR\mathsf{-mod},\otimes,R[0]) μέσω της απεικόνισηςH_\ast(C_1)\otimes H_\ast(C_2) \to H_\ast(C_1\otimes C_2), [x_1]\otimes[x_2] \mapsto [x_1\otimes x_2].

## Εναλλακτικές έννοιες

Εάν (\mathcal C,\otimes,I_{\mathcal C}) και (\mathcal D,\bullet,I_{\mathcal D}) είναι κλειστές μονοειδείς κατηγορίες με εσωτερικούς hom-συναρτήτες \Rightarrow_{\mathcal C},\Rightarrow_{\mathcal D} (παραλείπουμε τους δείκτες για λόγους ευκολίας ανάγνωσης), υπάρχει μια εναλλακτική διατύπωση 
: *ψ**AB* : *F*(*A* ⇒ *B*) → *FA* ⇒ *FB*
του *φ**AB* που χρησιμοποιείται συνήθως στον συναρτησιακό προγραμματισμό. Η σχέση μεταξύ  *ψ**AB* και *φ**AB* iαπεικονίζεται στα ακόλουθα αντιμεταθετικά διαγράμματα:
: 
:

## Ιδιότητες

* Εάν (M,\mu,\epsilon) είναι ένα μονοειδές αντικείμενο στο C, τότε (FM,F\mu\circ\phi_{M,M},F\epsilon\circ\phi) είναι ένα μονοειδές αντικείμενο στο D.

## Μονοειδείς συναρτητές και συζεύξεις

Ας υποθέσουμε ότι ένας συναρτητής F:\mathcal C\to\mathcal D είναι αριστερός συζυγής ενός μονοειδούς (G,n):(\mathcal D,\bullet,I_{\mathcal D})\to(\mathcal C,\otimes,I_{\mathcal C}). Τότε το F έχει μια συν-μονοειδή δομή (F,m) που επάγεται από το (G,n), και ορίζεται ως εξής

:m_{A,B}=\varepsilon_{FA\bullet FB}\circ Fn_{FA,FB}\circ F(\eta_A\otimes \eta_B):F(A\otimes B)\to FA\bullet FB
και
:m=\varepsilon_{I_{\mathcal D}}\circ Fn:FI_{\mathcal C}\to I_{\mathcal D}.

Εάν η επαγόμενη δομή στο F είναι ισχυρή, τότε η μονάδα και η συν-μονάδα της σύζευξης είναι μονοειδείς φυσικοί μετασχηματισμοί, και η σύζευξη ονομάζεται μονοειδής σύζευξη. Αντίστροφα, το αριστερό συζυγές μιας μονοειδούς σύζευξης είναι πάντα ένας ισχυρός μονοειδής συναρτητής.

Ομοίως, ένα δεξί συζυγές ενός συν-μονοειδούς συναρτητή είναι μονοειδές, και το δεξί συζυγές μιας συν-μονοειδούς σύζευξης αποτελεί έναν ισχυρό μονοειδή συναρτητή.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


*
* 
* 
* 
* 
* 
* star-autonomous category at the nLab
* 
* *This article is based in part on [http://www.planetmath.org PlanetMath]'s [http://planetmath.org/encyclopedia/TerminalObjectsAndZeroObjectsExamplesOfInitialObjects.html article on examples of initial and terminal objects] .*
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
*
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα
Κατηγορία:Συναρτητές