Ορθόκεντρο τριγώνου

Στην γεωμετρία, το **ορθόκεντρο** ενός τριγώνου είναι το σημείο που τέμνονται τα ύψη του τριγώνου (ή οι προεκτάσεις τους).

Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο, το ορθόκεντρο είναι εσωτερικό σημείο του τριγώνου, σε ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο είναι εξωτερικό και σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ταυτίζεται με την κορυφή που αντιστοιχεί στην ορθή γωνία.

## Αποδείξεις

 ίση. Επομένως,
:\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A\Gamma}} = \frac{\mathrm{AH_B}}{\mathrm{AH_\Gamma}}.
Αντίστοιχα,
:\frac{\mathrm{BA}}{\mathrm{B\Gamma}} = \frac{\mathrm{BH_A}}{\mathrm{BH_\Gamma}} \quad και \quad \frac{\mathrm{\Gamma B}}{\mathrm{\Gamma A}} = \frac{\mathrm{\Gamma H_B}}{\mathrm{\Gamma H_A}}.
Επομένως, 
:\frac{\mathrm{AH_B}}{\mathrm{H_B\Gamma}} \cdot \frac{\mathrm{BH_\Gamma}}{\mathrm{H_\Gamma A}} \cdot \frac{\mathrm{\Gamma H_A}}{\mathrm{H_A B}} = \frac{\mathrm{A\Gamma}}{\mathrm{AB}} \cdot \frac{\mathrm{BA}}{\mathrm{B\Gamma}} \cdot \frac{\mathrm{\Gamma B}}{\mathrm{\Gamma A}} = 1,
και από το αντίστροφο θεώρημα του Τσέβα, προκύπτει ότι τα τρία ύψη συντρέχουν.\quad \square
}}

## Ιδιότητες
Σε ένα τρίγωνο \rm AB\Gamma με ύψη \rm AH_{\rm A}, \rm BH_{\rm B} και \rm \Gamma H_{\rm \Gamma} και ορθόκεντρο \rm H, ισχύουν οι εξής ιδιότητες:
* (**[[Ευθεία του Όιλερ]]**) Το βαρύκεντρο \mathrm{G}, το ορθόκεντρο \mathrm{H} και το περίκεντρο \mathrm{O} είναι συγγραμμικά και \mathrm{HG} = 2 \cdot \mathrm{GO}.
* (**[[Κύκλος του Όιλερ]]**) Το σημεία \mathrm{H_\mathrm{A}}, \mathrm{H_\mathrm{B}}, \mathrm{H_\mathrm{\Gamma}}, τα μέσα των \mathrm{AH}, \mathrm{BH}, \mathrm{\Gamma H} και τα μέσα των πλευρών ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
* (**[[Θεώρημα Νάγκελ]]**) Αν \mathrm{O} είναι το περίκεντρο του τριγώνου, τότε 
::\mathrm{H_A}\mathrm{H_B} \perp \mathrm{O\Gamma}, \quad \mathrm{H_B}\mathrm{H_\Gamma} \perp \mathrm{OA} \quad και \quad \mathrm{H_A}\mathrm{H_\Gamma} \perp \mathrm{OB}.

* (**[[Κύκλος Τέιλορ (γεωμετρία)|Κύκλος Taylor]]**) Τα έξη ίχνη των υψών στις πλευρές των τριγώνων ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
* Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς κάθε μία από τις πλευρές είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.
* Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς το μέσο κάθε μίας από τις πλευρές του είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.
* Το ορθόκεντρο είναι το σημείο \mathrm{P} που ελαχιστοποιεί την ακόλουθη συνάρτηση:
::f(\mathrm{P}) = \mathrm{PA} + \mathrm{PB} + \mathrm{P\Gamma} + \mathrm{PH_A} + \mathrm{PH_B} + \mathrm{PH_\Gamma}.
* (**[[Θεώρημα Ντροζ-Φάρνι]]**) Έστω δύο ευθείες \varepsilon_1, \varepsilon_2 που διέρχονται από το ορθόκεντρο \rm H και τέμνουν τους φορείς των πλευρών του τριγώνου στα σημεία \rm A_1, B_1, \Gamma_1 και \rm A_2, B_2, \Gamma_2 αντίστοιχα. Τότε τα μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων \rm A_1A_2, \rm B_1B_2 και \rm \Gamma_1\Gamma_2 είναι συνευθειακά.

## Μετρικές σχέσεις
* Έστω \mathrm{E} το εμβαδό του τριγώνου και \hat{\mathrm{A}} > 90^o, τότε
::\mathrm{AH}^2 = \frac{\alpha \cdot (\beta^2 + \gamma^2 - \alpha^2)}{4 \mathrm{E}},
:και αν \mathrm{A} , τότε
::\mathrm{AH}^2 = \frac{\alpha \cdot (\alpha^2 - \beta^2 - \gamma^2)}{4 \mathrm{E}}.
* Αν R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, τότε
::\mathrm{AH}^2 + \mathrm{BH}^2 + \mathrm{\Gamma H}^2 = 12R^2 - (\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2)
* Αν \mathrm{H} το ορθόκεντρο, \mathrm{G} το βαρύκεντρο, (\mathrm{O}, R) ο περιγεγραμμένος, (\mathrm{I}, \rho) o εγγεγραμμένος και (\mathrm{I_A}, \rho_\mathrm{A}) ο παρεγγεγραμμένος κύκλος, τότε
::\mathrm{OH}^2 = 9R^2 - (\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2),
::\mathrm{HG}^2 = 4R^2 - 4 \cdot (\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2),
::\mathrm{HI}^2 = 2\rho^2 -4 R^2 \cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{\Gamma} ,
::\mathrm{HI_A}^2 = 2\rho_\mathrm{A}^2 -4 R^2 \cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B} \cos \mathrm{\Gamma} .
* Οι τριγραμμικές συντεταγμένες του ορθόκεντρου είναι
::\sec {\rm A}:\sec {\rm B}:\sec {\rm \Gamma} = \cos {\rm A}-\sin {\rm B} \sin {\rm \Gamma}:\cos {\rm B} -\sin {\rm \Gamma} \sin {\rm A}:\cos {\rm \Gamma}-\sin {\rm A}\sin {\rm B},
:και οι βαρυκεντρικές του συντεταγμένες είναι
::\tan {\rm A}:\tan {\rm B}:\tan {\rm \Gamma} = (\alpha^2+\beta^2-\gamma^2)(\alpha^2-\beta^2+\gamma^2) : (\alpha^2+\beta^2-\gamma^2)(-\alpha^2+\beta^2+\gamma^2) : (\alpha^2-\beta^2+\gamma^2)(-\alpha^2+\beta^2+\gamma^2) .
* Για τα ύψη \mathrm{AH_A}, \mathrm{BH_B}, \mathrm{\Gamma H_\Gamma}, ισχύει ότι
**\mathrm{AH} \cdot \mathrm{HH_A} = \mathrm{BH} \cdot \mathrm{HH_B} = \mathrm{\Gamma H} \cdot \mathrm{HH_\Gamma},
**\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{HH_A}} + \frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{HH_B}} + \frac{\mathrm{\Gamma H}}{ \mathrm{HH_\Gamma}} = 1.
**(\upsilon_\mathrm{A} + \upsilon_\mathrm{B} + \upsilon_\mathrm{\Gamma}) \cdot \left( \frac{1}{\upsilon_\mathrm{A}} + \frac{1}{\upsilon_\mathrm{B}} + \frac{1}{\upsilon_\mathrm{\Gamma}} \right) = (\alpha + \beta + \gamma) \cdot \left( \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} \right).

## Δείτε επίσης
* Ύψος τριγώνου
* Βαρύκεντρο τριγώνου, το σημείο τομής των διαμέσων του τριγώνου
* Έγκεντρο τριγώνου, το σημείο τομής των διχοτόμων του τριγώνου
* Περίκεντρο τριγώνου, το σημείο τομής των μεσοκαθέτων του τριγώνου

## Σημειώσεις


## Παραπομπές


Κατηγορία:Τρίγωνα
Κατηγορία:Κέντρα τριγώνου