Πεντάγραμμα

Στην γεωμετρία, το **πεντάγραμμα** (γνωστό και ως η **πεντάλφα**) είναι ένα κανονικό αστεροειδές πεντάγωνο.

Η λέξη πεντάγραμμα συνδυάζει το αριθμητικό πρόθεμα *πέντε-* με το επίθεμα *-γραμμή*. Προέρχεται από την αρχαία ελληνική λέξη *πεντάγραμμον* που είναι το ουδέτερο του επιθέτου *πεντάγραμμος*. Η λέξη *πεντάλφα* αναβιώθηκε τον 17ο αιώνα από την μετα-κλασσική ελληνική ονομασία του σχήματος, που κατασκευάζεται επίσης από πέντε *-άλφα*.

## Γεωμετρία
Το πεντάγραμμα είναι το απλούστερο κανονικό αστεροειδές πολύγωνο. Το πεντάγραμμα περιέχει δέκα σημεία (τα πέντε σημεία του αστεριού και οι πέντε κορυφές του εσωτερικού πενταγώνου) και δεκαπέντε ευθύγραμμα τμήματα. Εκπροσωπείται από το σύμβολο Schläfli {5/2}. Όπως ένα κανονικό πεντάγωνο ή ένα κανονικό πεντάγωνο με ένα πεντάγραμμα κατασκευασμένο μέσα σε αυτό, έτσι και το κανονικό πεντάγραμμα έχει διεδρική συμμετρία (D5) τάξης 10.

### Χρυσή τομή
[μικρογραφία|δεξιά|Ένα κανονικό πεντάγραμμα χρωματισμένο ώστε να γίνει διάκριση των ευθυγράμμων τμημάτων του που έχουν διαφορετικά μήκη. Τα τέσσερα μήκη είναι σε [χρυσή τομή|χρυσή αναλογία μεταξύ τους]]
[μικρογραφία|δεξιά|[Φράκταλ πενταγράμμου που κατασκευάζεται με έναν βρόχο επανάληψης διανυσμάτων]]
Η χρυσή τομή, *φ* = (1 + √5) / 2 ≈ 1.618, ικανοποιεί:
:\varphi=1+2\sin(\pi/10)=1+2\sin 18^\circ\,
:\varphi=1/(2\sin(\pi/10))=1/(2\sin 18^\circ)\,
:\varphi=2\cos(\pi/5)=2\cos 36^\circ\,
Διαδραματίζει έτσι σημαντικό ρόλο στα κανονικά πεντάγωνα και τα πενταγράμματα. Ο λόγος κάθε ευθύγραμμου τμήματος που εμφανίζεται σε αυτή ως προς το αμέσως βραχύτερό του σε μήκος ισούται με τη χρυσή τομή, *φ*. Επίσης, ο λόγος του μήκους του βραχύτερου τμήματος προς το τμήμα που οριοθετείται από τις δύο τεμνόμενες ακμές (μια πλευρά του πενταγώνου στο κέντρο του πενταγράμμου) είναι *φ* (βλ. την τετράχρωμη εικόνα δεξιά):
:\frac{\mathrm{red}}{\mathrm{green}} = \frac{\mathrm{green}}{\mathrm{blue}} = \frac{\mathrm{blue}}{\mathrm{magenta}} = \varphi.

Το πεντάγραμμα περιλαμβάνει δέκα ισοσκελή τρίγωνα: πέντε οξυγώνια και πέντε αμβλυγώνια ισοσκελή τρίγωνα. Σε όλα αυτά, η αναλογία της μεγαλύτερης πλευράς προς την μικρότερη πλευρά είναι *φ*. Τα οξυγώνια ισοσκελή τρίγωνα είναι χρυσά τρίγωνα. Το αμβλυγώνιο ισοσκελές τρίγωνο που επισημαίνεται μέσω των χρωματιστών γραμμών στην εικόνα είναι ένας χρυσός γνώμονας.

### Τριγωνομετρικές τιμές
:\sin \frac{\pi}{10} = \sin 18^\circ = \frac{\sqrt 5 - 1}{4}=\frac{\varphi-1}{2}=\frac{1}{2\varphi}
:
:\cos \frac{\pi}{10} = \cos 18^\circ = \frac{\sqrt{2(5 + \sqrt 5)}}{4} 
:
:\tan \frac{\pi}{10} = \tan 18^\circ = \frac{\sqrt{5(5 - 2 \sqrt 5)}}{5} 
:
:\cot \frac{\pi}{10} = \cot 18^\circ = \sqrt{5 + 2 \sqrt 5} 
:
:\sin \frac{\pi}{5} = \sin 36^\circ = \frac{\sqrt{2(5 - \sqrt 5)} }{4}
:
:\cos \frac{\pi}{5} = \cos 36^\circ = \frac{\sqrt 5+1}{4} = \frac{\varphi}{2}
:
:\tan \frac{\pi}{5} = \tan 36^\circ =  \sqrt{5 - 2\sqrt 5} 
:
:\cot \frac{\pi}{5} = \cot 36^\circ = \frac{ \sqrt{5(5 + 2\sqrt 5)}}{5} 

Ως αποτέλεσμα, σε ένα ισοσκελές τρίγωνο με μία ή δύο γωνίες 36°, το μεγαλύτερο από τα δύο μήκη πλευράς είναι *φ* φορές μεγαλύτερο από εκείνο του βραχύτερου των δύο, τόσο στην περίπτωση του οξυγώνιου τριγώνου, όσο και στην περίπτωση του αμβλυγώνιου τριγώνου.

### Τρισδιάστατα σχήματα
Αρκετα πολύεδρα έχουν ενσωματωμένα πενταγράμματα:

Image:Pentagrammic prism.png|Πενταγραμμικό πρίσμα
Image:Pentagrammic antiprism.png|Πενταγραμμικό αντιπρίσμα
Image:Pentagrammic crossed antiprism.png|Πενταγραμμικό σταυρωτό-αντιπρίσμα
Image:Small_stellated_dodecahedron.png|Μικρό αστρώδες δωδεκάεδρο
Image:Great_stellated_dodecahedron.png|Μεγάλο αστρώδες δωδεκάεδρο
Image:Great icosidodecahedron.png|Μεγάλο εικοσιδωδεκάεδρο
Image:Small ditrigonal icosidodecahedron.png|Μικρό διτρίγωνο εικοσιδωδεκάεδρο
Image:Dodecadodecahedron.png|Δωδεκαδωδεκάεδρο
Image:Snub dodecadodecahedron.png|Κολοβό δωδεκαδωδεκάεδρο
Image:Small snub icosicosidodecahedron.png|Μικρό κολοβό εικοσεικοσιδωδεκάεδρο
Image:Small retrosnub icosicosidodecahedron.png|Μικρό ρετροκολοβό εικοσεικοσιδωδεκάεδρο
Image:Great retrosnub icosidodecahedron.png|Μεγάλο ρετροκολοβό εικοσιδωδεκάεδρο
Image:Great dirhombicosidodecahedron.png|Μεγάλο διρομβεικοσιδωδεκάεδρο
Image:Sixteenth stellation of icosidodecahedron.png|16ο αστρώδες του εικοσιδωδεκάεδρου


### Υψηλότερες διαστάσεις
Οι ορθογώνιες προβολές πολυτόπων υψηλότερων διαστάσεων μπορούν επίσης να δημιουργήσουν πανταγραμμικά σχήματα:

Και τα δέκα Schläfli–Hess τετραδιάστατα πολύτοπα είτε έχουν πανταγραμμικές έδρες ή αποτελούνται από στοιχεία σε σχήμα κορυφής.

## Περαιτέρω ανάγνωση
### Εξωτερικοί σύνδεσμοι

* 
* Διαδραστική εφαρμογή για το πεντάγραμμα στο Geogebra.
*http://opsopaus.com/OM/BA/PP/index.html στο Biblioteca Arcana.
*In-depth analysis of the Golden Ratio 
* Πεντάγραμμα στο PolytopeWiki.

### Ξενόγλωσσα άρθρα
* 
* 
* 

## Παραπομπές


## Βιβλιογραφία
* 
* 

Κατηγορία:Πολύγωνα
Κατηγορία:Σύμβολα
Κατηγορία:Χρυσή τομή