Πλήρης και πιστός συναρτητής

Στην θεωρία κατηγοριών, ένας πιστός συναρτητής είναι ένας συναρτητής που είναι ερριπτικός σε σύνολα hom (hom-sets), και ένας πλήρης συναρτητής είναι επιρριπτικός σε σύνολα hom (hom-sets). Ένας συναρτητής που διαθέτει και τις δύο ιδιότητες ονομάζεται π**λήρης και πιστός συναρτητής**.

## Τυπικοί ορισμοί
μικρογραφία|Απεικόνιση του ορισμού ενός '''πιστού συναρτητή'''
Συγκεκριμένα, ας υποθέσουμε ότι *C* και *D* είναι (τοπικά μικρές) κατηγορίες και ότι *F* : *C* → *D* είναι ένας συναρτητής από το *C* στο *D*. Ο συναρτητής *F* επάγει έναν συναρτητή
:F_{X,Y}\colon\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)\rightarrow\mathrm{Hom}_{\mathcal D}(F(X),F(Y))
για κάθε ζεύγος αντικειμένων *X* και *Y* στο *C*. Ο συναρτητής *F*  λέγεται ότι είναι
***πιστός** αν *F**X*,*Y* είναι ερριπτικός 
***πλήρης** αν *F**X*,*Y* είναι επιρριπτικός 
***πλήρως πιστός** (= **πλήρως και πιστός**) αν *F**X*,*Y* είναι αμφιρριπτικός
για κάθε *X* και *Y* στο *C*.

## Ιδιότητες
Ένας πιστός συναρτητής δεν χρειάζεται να είναι ερριπτικός σε αντικείμενα ή μορφισμούς. Δηλαδή, δύο αντικείμενα *X* και *X*&prime; μπορεί να αντιστοιχούν στο ίδιο αντικείμενο στο *D* (γι' αυτό το εύρος ενός πλήρους και πιστού συναρτητή δεν είναι απαραίτητα ισομορφικό με το *C*), και δύο μορφισμοί  *f* : *X* → *Y* και *f*&prime; : *X*&prime; → *Y*&prime; (με διαφορετικές περιοχές/συν-περιοχές) μπορεί να αντιστοιχούν στον ίδιο μορφισμό στο *D*. Ομοίως, ένας πλήρης συναρτητής δεν χρειάζεται να είναι επιρριπτικός σε αντικείμενα ή μορφισμούς. Μπορεί να υπάρχουν αντικείμενα στο *D* που δεν έχουν τη μορφή *FX* για κάποιο *X* στο *C*. Οι μορφισμοί μεταξύ τέτοιων αντικειμένων σαφώς δεν μπορούν να προέρχονται από μορφισμούς στο *C*.

Ένας πλήρης και πιστός συναρτητής είναι αναγκαστικά ενιαίος σε αντικείμενα μέχρι ισομορφισμού. Δηλαδή, αν *F* : *C* → *D* είναι ένας πλήρης και πιστός συναρτητής και F(X)\cong F(Y) τότε X \cong Y.

## Παραδείγματα
* Ο επιλήσμων συναρτητής *U* : **Grp** → **Set** αντιστοιχεί ομάδες στο υποκείμενο σύνολο τους, "λησμονώντας" την πράξη της ομάδας. Το *U* είναι πιστός επειδή δύο ομομορφισμοί ομάδων με τους ίδιους τομείς και τομείς τιμών είναι ίσοι αν δίνονται από τις ίδιες συναρτήσεις στα υποκείμενα σύνολα. Αυτός ο συναρτητής δεν είναι πλήρης, καθώς υπάρχουν συναρτήσεις μεταξύ των υποκείμενων συνόλων ομάδων που δεν είναι ομομορφισμοί ομάδων. Μια κατηγορία με έναν πιστό συναρτητή προς το **Set** είναι (εξ ορισμού) μια συγκεκριμένη κατηγορία. Γενικά, αυτός ο συναρτητής που λησμονεί δεν είναι πλήρης.
* Ο συναρτητής εγκλίσεως **Ab** → **Grp** είναι πλήρης πιστός, δεδομένου ότι το **Ab** (η κατηγορία των αβελιανών ομάδων) είναι εξ ορισμού η πλήρης υποκατηγορία του **Grp** που προκαλείται από τις αβελιανές ομάδες.

## Γενίκευση σε (∞, 1)-κατηγορίες

Η έννοια ενός συναρτητή που είναι "πλήρης" ή "πιστός" δεν μεταφράζεται στην έννοια μιας (∞, 1)-κατηγορίας.  Σε μια (∞, 1)-κατηγορία, οι απεικονίσεις μεταξύ δύο οποιωνδήποτε αντικειμένων δίνονται από ένα χώρο μόνο μέχρι ομοτοπία. Δεδομένου ότι οι έννοιες της  έρριψης και της επικάλυψης δεν είναι έννοιες αμετάβλητες ως προς την ομοτοπία ( ας σκεφτούμε μια εμβύθιση διαστήματος στους πραγματικούς αριθμούς έναντι μιας απεικόνισης διαστήματος σε ένα σημείο), δεν έχουμε την έννοια ενός συναρτητή που είναι "πλήρης" ή "πιστός". Ωστόσο, μπορούμε να ορίσουμε έναν συναρτητή των οιονεί κατηγοριών ως  "πλήρης πιστός " αν για κάθε *X* και *Y* στο *C,* η απεικόνιση F_{X,Y} είναι ασθενής ισοδυναμία.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) 
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα