Δεκατριάγωνο

Στη γεωμετρία, το **δεκατριάγωνο** είναι ένα πολύγωνο με δεκατρείς κορυφές και δεκατρείς πλευρές.

Ένα δεκατριάγωνο είναι **[[κανονικό πολύγωνο|κανονικό]]** αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

## Ιδιότητες
* Σε κάθε απλό δεκατριάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα 1980^\circ (ή 11\pi ακτίνια).
* Κάθε δεκατριάγωνο έχει 65 διαγωνίους.

## Κυρτό κανονικό δεκατριάγωνο

### Ιδιότητες
Για το κανονικό δεκατριάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
* Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με 152\frac{4}{13}^\circ (ή 11\pi/13 ακτίνια).
* Έχει δεκατρεις άξονες συμμετρίας.
* Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
* Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
* Έχει περιστροφική συμμετρία δεκατης τρίτης τάξεως.
* Το σύμβολο Schläfli του δεκατριάγωνο είναι \{ 13 \}.

### Μετρικές σχέσεις

* Η ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού δεκατριαγώνου είναι ίση με
::\begin{align}R 
& = \frac{1}{2} \csc \frac{\pi}{13} \cdot \lambda \approx 2{,}089291 \cdot \lambda.
\end{align}
*Η ακτίνα r του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού δεκατριαγώνου είναι ίση με
::\begin{align}
r 
& = \frac{1}{2} \cot \frac{\pi}{13} \cdot \lambda \approx2{,}028580 \cdot \lambda.
\end{align}
right|thumb|200px|Τα πέντε είδη διαγωνίων σε ένα κανονικό δεκατριάγωνο.
* Τα μήκη των διαγωνίων ενός κανονικού δεκατριαγώνου δίνονται από τις σχέσεις
::\begin{align}
d_k
 & = 2 \sin \frac{k\pi}{13} \cdot R .
\end{align}
*Το πλάτος του είναι ίσο με το μήκος της μεγάλης διαγωνίου 
::w = d_5.
*Το ύψος του είναι 
::h = R + r.

### Εμβαδόν
Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού δεκατριαγώνου πλευράς \lambda και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου r είναι 
:{\rm E} = \frac{13}{2} \cdot  \lambda \cdot  r.
Το εμβαδό \rm E ενός κανονικού δεκατριαγώνου πλευράς \lambda δίνεται από τη σχέση:
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = \frac{13}{4} \cot \frac{\pi}{13} \cdot \lambda^2 \approx 13{,}185768 \cdot \lambda^2.
\end{align}
Αν R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδόν του δεκατριαγώνου είναι
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = \frac{13}{2} \sin \frac{2\pi}{13} \cdot R^2 \approx 3{,}020701 \cdot R^2.
\end{align}
Aν r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = 13 \tan \frac{\pi}{13} \cdot r^2 \approx 3{,}204212 \cdot r^2
\end{align}.

### Περίμετρος
Η περίμετρος \Pi του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με
:\Pi = 13\cdot\lambda.

### Κατασκευή
Το κανονικό δεκατριάγωνο **δεν** είναι δυνατό να κατασκευαστεί μόνο με κανόνα και διαβήτη, καθώς το 13 δεν είναι πρώτος αριθμός Φερμά. Μπορεί ωστόσο να κατασκευασθεί με νεύση ή με έναν τριχοτομητή γωνίας.

Το επόμενο σχήμα δείχνει τα στάδια κατασκευής με νεύση ενός κανονικού δεκατριαγώνου με ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου \overline{OA} = 12, σύμφωνα με τον Άντριου Μ. Γκλήζον, με βάση την τριχοτόμηση γωνίας με μάχαιρα υποδηματοποιού (γαλάζιο).
center|450px|thumb|Κανονικό δεκατριάγωνο με ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου <math>\overline{OA} = 12</math>, με τριχοτόμηση γωνίας με χρήση μάχαιρας υποδηματοποιού (γαλάζιο)

Το παρακάτω σχήμα δίνει μία προσεγγιστική κατασκευή με κανόνα και διαβήτη για το κανονικό δεκατριάγωνο.
center|thumb|300px|Προσεγγιστική κατασκευή κανονικού δεκατριαγώνου.

Μία πιο πολύπλοκη κατασκευή με κανόνα και διαβήτη δίνει ακόμα καλύτερη προσέγγιση:

thumb|450px|center|Προσεγγιστική κατασκευή κανονικού δεκατριαγώνου με καλύτερη προσέγγιση.

Σύμφωνα με το GeoGebra, \scriptstyle\angle{}BME1 = 27,692307692307764° , ενώ 360° ÷ 13 = 27,69230769230769°, δηλαδή η διαφορά είναι λιγότερο από ένα μέρος στα 10 τρισεκατομμύρια.

## Συμμετρία
thumb|225px|Συμμετρίες ενός κανονικού δεκατριαγώνου. Οι κορυφές είναι χρωματισμένες ανάλογα με τις θέσεις συμμετρίας τους.
Το *κανονικό* δεκατριάγωνο έχει διεδρική συμμετρία Dih13 , με τάξη 26. Επειδή ο 13 είναι πρώτος αριθμός, υπάρχουν επίσης μία υποομάδα με διεδρική συμμετρία, η Dih1, και δύο συμμετρίες κυκλικής ομάδας,τις Z13 και Z1.

Αυτές οι 4 ομάδες συμμετρίας μπορούν να παρατηρηθούν σε 4 διαφορετικές συμμετρίες στο δεκατριάγωνο. Ο Τζων Κόνγουεϊ τις συμβολίζει με ένα γράμμα και την τάξη της ομάδας. Η πλήρης συμμετρία του κανονικού δεκατριαγώνου είναι η **r26**, ενώ καμιά συμμετρία δεν είναι **a1**. Οι διεδρικές συμμετρίες διακρίνονται σε αυτές που περνούν από κορυφές (συμβολίζονται με **d** από τη λέξη *diagonal* = διαγώνιος), σε αυτές που περνούν από πλευρές (**p** από τη λέξη *perpendiculars* = κάθετοι) και σε αυτές των οποίων οι γραμμές ανακλάσεως περνούν από αμφότερες (συμβολίζονται με **i**).

Η κάθε υποομάδα συμμετρίας επιτρέπει έναν ή περισσότερους βαθμούς ελευθερίας για μη κανονικές μορφές. Μόνο η κυκλική υποομάδα **g13** δεν έχει βαθμούς ελευθερίας.

## Αστεροειδές κανονικό δεκατριάγωνο
Το αστεροειδές πολύγωνο με δεκατρείς πλευρές ονομάζεται **δεκατριάγραμμα**. Υπάρχουν 5 κανονικές μορφές του, που συμβολίζονται με τα σύμβολο Schläfli \{13/2\}, \{13/3\}, \{13/4\}, \{13/5\} και \{13/6\}.


   

  


## Πολύγωνα Πέτρι
Το κανονικό δεκατριάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι 12-simplex:

## Εφαρμογές

### Νομίσματα
Το κανονικό δεκατριάγωνο χρησιμοποιείται ως σχήμα για το κέρμα των 20 κορονών Τσεχίας.
:Αρχείο:20 CZK.png

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* Διαδραστική κατασκευή δεκατριαγώνου στο Geogebra.

## Σημειώσεις


## Παραπομπές


Δεκατριαγωνο
Κατηγορία:Κατασκευές με κανόνα και διαβήτη