Χρυσό σώμα

Στα μαθηματικά, το , που μερικές φορές ονομάζεται **χρυσό σώμα**, είναι ένα πραγματικό τετραγωνικό αριθμητικό σώμαπου προκύπτει από την επέκταση των ρητών αριθμών με την τετραγωνική ρίζα του 5. Τα στοιχεία αυτού του σώματος είναι όλοι οι αριθμοί , όπου  και  είναι και οι δύο ρητοί αριθμοί. Ως σώμα, το  είναι κλειστό ως προς τις βασικές αριθμητικές πράξεις με τους ρητούς αριθμούς. Το όνομα προέρχεται από τη χρυσή τομή , η οποία είναι η θεμελιώδης μονάδα του , και η οποία ικανοποιεί την εξίσωση .

Οι υπολογισμοί στο **χρυσό σώμα** μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη μελέτη της ακολουθίας Φιμπονάτσι και άλλων θεμάτων που σχετίζονται με τη χρυσή τομή, ιδίως της γεωμετρίας του κανονικού πενταγώνου και των υψηλότερων διαστάσεων σχημάτων με πενταπλή συμμετρία.

## Βασική αριθμητική

Τα στοιχεία του χρυσού σώματος μπορούν να γραφούν με τη μορφή  όπου  και  είναι μοναδικά προσδιορισμένοι ρητοί αριθμοί, ή με τη μορφή  όπου , , και } είναι ακέραιοι αριθμοί, οι οποίοι μπορούν να αναχθούν μοναδικά στους χαμηλότερους όρους. Μερικές φορές είναι πιο βολικό να χρησιμοποιείται η μορφή  όπου  και  είναι ρητοί και  είναι η χρυσή τομή, ή η μορφή } όπου ,  και  είναι ακέραιοι.

Η μετατροπή μεταξύ αυτών των εναλλακτικών μορφών είναι απλή: , ή προς την άλλη κατεύθυνση .

Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε δύο αριθμούς, απλά προσθέτουμε ή αφαιρούμε τα στοιχεία ξεχωριστά:

\begin{align}
\bigl(a_1 + b_1\sqrt5~\!\bigr) + \bigl(a_2 + b_2\sqrt5~\!\bigr) &= (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)\sqrt5, \\[3mu]
(a_1 + b_1\varphi) + (a_2 + b_2\varphi) &= (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)\varphi.
\end{align}

Για να πολλαπλασιάσουμε δύο αριθμούς, κατανέμουμε:

\begin{align}
\bigl(a_1 + b_1\sqrt5~\!\bigr) \bigl(a_2 + b_2\sqrt5~\!\bigr) &= (a_1a_2 + 5b_1b_2) + (a_1b_2 + b_1a_2)\sqrt5, \\[3mu]
(a_1 + b_1\varphi)(a_2 + b_2\varphi) &= (a_1a_2 + b_1b_2) + (a_1b_2 + b_1a_2 + b_1b_2)\varphi.
\end{align}

Για να βρεθεί το αντίστροφο ενός αριθμού, κάνουμε μετατροπή των άρρητων παρονομαστών σε ρητούς αριθμούς (Ρητοποίηση):
\begin{align}
\frac{1}{a + b\sqrt5} &= \frac{a}{a^2 - 5b^2} - \frac{b}{a^2 - 5b^2}\sqrt5, \\[3mu]
\frac{1}{a + b\varphi} &= \frac{a + b}{a^2 + ab - b^2 } - \frac{b}{a^2 + ab - b^2 }\varphi.
\end{align}

Για να διαιρέσουμε δύο αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τον πρώτο με το αντίστροφο του δεύτερου:
\begin{align}
\frac{a_1 + b_1\sqrt5}{a_2 + b_2\sqrt5} &= \frac{a_1a_2 - 5b_1b_2}{a_2^2 - 5b_2^2} + \frac{-a_1b_2 + b_1a_2}{a_2^2 - 5b_2^2}\sqrt5, \\[6mu]
\frac{a_1 + b_1\varphi}{a_2 + b_2\varphi} &=  \frac{a_1a_2 + a_1b_2 - b_1b_2}{a_2^2 + a_2b_2 - b_2^2 } + \frac{-a_1b_2 + b_1a_2}{a_2^2 + a_2b_2 - b_2^2 }\varphi.
\end{align}

## Συζυγία και κανόνας

Οι αριθμοί  και  λύνουν και οι δύο την εξίσωση x^2 = 5. Κάθε χρυσός ρητός αριθμός  έχει έναν συζυγή αριθμό Γκαλουά που βρίσκεται με την ανταλλαγή αυτών των δύο τετραγωνικών ριζών του 5, δηλαδή με την αλλαγή του προσήμου του . Το συζυγές  του  είναι . Επειδή το συζυγές του  είναι \textstyle \tfrac12\bigl(1 - \sqrt5~\! \bigr) = {}-\varphi^{-1} = {}, το συζυγές του  είναι .

Ο πολλαπλασιασμός ενός αριθμού στο  με τον συζυγές του Γκαλουά δίνει ένα μέτρο του «μεγέθους» ή του «μεγέθους» αυτού του αριθμού, που ονομάζεται νόρμα σώματος ή απλά νόρμα. Η νόρμα σώματος του  είναι:

\begin{align}
N\bigl(a + b\sqrt5~\!\bigr) &= a^2 - 5b^2, \\[3mu]
N(a + b\varphi) &= a^2 + ab - b^2.
\end{align}

Πρόκειται πάντα για έναν (συνηθισμένο) ρητό αριθμό.

Ο κανόνας έχει ορισμένες ιδιότητες που αναμένονται για τα μεγέθη. Ενδεικτικά, ένας αριθμός και το συζυγές του έχουν την ίδια νόρμα, η νόρμα ενός γινομένου είναι το γινόμενο των νορμών, , και η νόρμα του αντίστροφου ενός αριθμού είναι το αντίστροφο της νόρμας, .

Στη θεωρία Γκαλουά, το χρυσό σώμα μπορεί να θεωρηθεί πιο αφηρημένα ως το σύνολο όλων των αριθμών a + bu, όπου a και b είναι και οι δύο ρητοί, και το μόνο που είναι γνωστό για το u είναι ότι ικανοποιεί την εξίσωση u^2 = 5. Υπάρχουν δύο τρόποι για να ενσωματώσουμε αυτό το σύνολο στους πραγματικούς αριθμούς: αντιστοιχίζοντας το u στη θετική τετραγωνική ρίζα \sqrt{5} ή εναλλακτικά αντιστοιχίζοντας το u στην αρνητική τετραγωνική ρίζα -\sqrt{5}. Η συζυγία Γκαλουά ανταλλάσσει αυτές τις δύο ενσωματώσεις. Η ομάδα Γκαλουά του χρυσού σώματος είναι έτσι η ομάδα με δύο στοιχεία, δηλαδή την ταυτότητα και ένα στοιχείο που είναι το αντίστροφό της.

## Χρυσοί ακέραιοι

Ο δακτύλιος των ακεραίων αριθμών του χρυσού σώματος, , που μερικές φορές αποκαλείται  **χρυσοί ακέραιοι **, είναι το σύνολο των αριθμών της μορφής a + b\varphi όπου a και b είναι και οι δύο συνηθισμένοι ακέραιοι.  Αυτό είναι το σύνολο των χρυσών ρητών αριθμών των οποίων η νόρμα είναι ακέραιος αριθμός. Μια “'μονάδα”' είναι ένας αλγεβρικός ακέραιος του οποίου ο πολλαπλασιαστικός αντίστροφος είναι επίσης ένας αλγεβρικός ακέραιος, πράγμα που συμβαίνει όταν η νόρμα του είναι . Οι μονάδες του } δίνονται από ακέραιες δυνάμεις του χρυσού λόγου και τα αρνητικά τους, , για κάθε ακέραιο . Ορισμένες δυνάμεις του  είναι ... , , }, , , , . .. και γενικά , όπου  είναι ο th αριθμός Φιμπονάτσι.}

Τα πρώτα στοιχεία του δακτυλίου, ανάλογα με τους πρώτους αριθμούς μεταξύ των ακεραίων αριθμών, είναι τριών τύπων: , οι ακέραιοι πρώτοι αριθμοί της μορφής  όπου  είναι ένας ακέραιος αριθμός, και οι παράγοντες των ακέραιων πρώτων αριθμών της μορφής } (ένα ζεύγος συζυγών). Παραδείγματος χάριν, , , και  είναι πρώτοι αριθμοί, αλλά  είναι σύνθετος. Οποιοσδήποτε από αυτούς είναι σύνθετος από πρόσθετους πρώτους που βρίσκονται πολλαπλασιάζοντάς τον με μια μονάδα- λόγου χάριν, ο  είναι επίσης πρώτος, επειδή ο  είναι μια μονάδα.

## Άλλες ιδιότητες

Το **χρυσό σώμα** είναι το πραγματικό τετραγωνικό σώμα με τη μικρότερη διακριτική ικανότητα. Έχει αριθμό τάξης 1 και είναι ένα μοναδικό σώμα παραγοντοποίησης.

Το χρυσό σώμα είναι ευκλείδειο: κάθε μη αρνητικό στοιχείο του  είναι το τετράγωνο κάποιου στοιχείου στο .

Κάθε θετικό στοιχείο του χρυσού σώματος μπορεί να γραφεί ως ένα γενικευμένο είδος συνεχιζόμενου κλάσματος, στο οποίο τα μερικά πηλίκα είναι αθροίσματα μη αρνητικών δυνάμεων του \varphi.

## Εφαρμογές

Οι κορυφές του τετραδιάστατου πολυτόπου γνωστού ως 600-cellή εξακοσίχωρο μπορούν να επιλεγούν έτσι ώστε οι συντεταγμένες τους να βρίσκονται μέσα στους χρυσούς ακέραιους.

Τα ικοσιάνια είναι ένα ειδικό σύνολο τετραδίων που χρησιμοποιούνται σε μια κατασκευή του πλέγματος E8. Κάθε συνιστώσα ενός ικοσιανού ανήκει πάντα στο χρυσό σώμα. Τα εικοσιτετράγωνα μοναδιαίας νόρμας είναι οι κορυφές ενός 600-cell.

Στην απαριθμητική γεωμετρία, αποδεικνύεται ότι κάθε μη-συνεκτική κυβική επιφάνεια περιέχει ακριβώς 27 γραμμές. Η επιφάνεια Κλεμπς είναι ασυνήθιστη στο ότι και οι 27 γραμμές μπορούν να οριστούν στους πραγματικούς αριθμούς. Μπορούν, στην πραγματικότητα, να οριστούν πάνω από το χρυσό σώμα.

Οι χρυσοί ακέραιοι χρησιμοποιούνται στη μελέτη των οιονεί κρυστάλλων. Μια αβελιανή επέκταση του χρυσού σώματος χρησιμοποιείται σε μια κατασκευή ενός SIC-POVM σε τετραδιάστατο μιγαδικό διανυσματικό χώρο.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Σώμα διασπάσεως
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νοεροί υπολογισμοί

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα