Διαιρέτης

Ένας  ακέραιος αριθμός \delta  ονομάζεται **διαιρέτης** ενός *ακέραιου αριθμού* \alpha , αν και μόνο αν υπάρχει *ακέραιος αριθμός* \pi , ο οποίος πολλαπλασιαζόμενος με τον \delta  δίνει αποτέλεσμα \alpha , δηλαδή \, a = \pi\times\delta . Συμβολίζεται \, \delta | a  και διαβάζεται: *ο <math>\delta </math> διαιρεί τον <math>\alpha </math>*. Άλλες εκφράσεις που μπορούν να χρησιμοποιηθούν είναι: ο *<math>\alpha </math>* *διαιρείται ακριβώς* με τον *<math>\delta </math>*, ή ότι το *<math>\alpha </math>* είναι *πολλαπλάσιο* του *<math>\delta </math>*. 

Για παράδειγμα λέγεται: ο 2 διαιρεί τον 6 (με πηλίκο 3) ή ο 6 διαιρείται ακριβώς από τον 2 ή ο 6 είναι πολλαπλάσιο του 2, διότι υπάρχει ο ακέραιος 3 έτσι ώστε: 6 = 3 Χ 2. Ακόμη και ο -2 διαιρεί τον 6, διότι υπάρχει ο ακέραιος -3 έτσι ώστε 6 = (-3) Χ (-2).

Η *διαιρετότητα* είναι μια από της βασικές έννοιες της θεωρίας αριθμών και αναφέρεται στην διαίρεση ακεραίων.

## Ορισμός
Για τον ορισμό του διαιρέτη μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την πράξη του πολλαπλασιασμού ή την πράξη της διαίρεσης. Ο δεύτερος ορισμός πρέπει να αποφεύγεται γιατί δημιουργεί ασάφειες σε θέματα που αφορούν το 0 και αυτό γιατί δεν μπορεί να υπάρξει διαίρεση με 0. *Η διαιρετότητα είναι μια σχέση μεταξύ των ακεραίων και όχι μια πράξη.* Είναι μια σχέση όπως η ανισότητα, όπου λέμε  a > \beta (διότι από τον ορισμό της ανισότητας a - \beta > 0), αλλά δεν «ταυτίζεται» με το αποτέλεσμα της πράξης της αφαίρεσης, που είναι ο αριθμός \mu=a - \beta.

### Ορισμός με την πράξη του πολλαπλασιασμού
Ένας ακέραιος αριθμός \delta  ονομάζεται *διαιρέτης* ενός *ακέραιου αριθμού* \alpha , αν και μόνο αν υπάρχει *ακέραιος αριθμός* \pi , ο οποίος πολλαπλασιαζόμενος με τον \delta  δίνει αποτέλεσμα \alpha , δηλαδή \, a = \pi\times\delta , όπου (\times ) το σύμβολο της πράξης του πολλαπλασιασμού. Συμβολίζεται \, \delta | a , δηλαδή με μια κάθετο ανάμεσα στο *<math>\delta </math>* και το \alpha , 

Το σύμβολο της διαιρετότητας \, \delta | a  δεν πρέπει να συγχέεται με το σύμβολο της διαίρεσης (a / \delta  ή \frac{a}{\delta}).

Στην περίπτωση που ο *<math>\delta </math>* δεν είναι *διαιρέτης* του *<math>\alpha </math>* συμβολίζεται \, \delta \nmid a  και διαβάζεται: ο *<math>\delta </math>* δεν διαιρεί τον *<math>\alpha </math>*.

Διατύπωση του ορισμού με μαθηματική σημειογραφία: a,\delta\in\mathbb{Z}, \, \delta | a  \Longleftrightarrow \exists \ \pi \in \mathbb{Z}: a=d\times\pi και  a,\delta\in\mathbb{Z}, \, \delta \nmid a  \Longleftrightarrow \nexists \ \pi \in \mathbb{Z}: a=d\times\pi

Ο \pi , γενικά στην πράξη της διαίρεσης λέγεται πηλίκο. Στην περίπτωση που *<math>\delta\not\in\{1, a, -1, -a\} </math>, το <math>\delta </math>* λέγεται και *παράγοντας* του *<math>\alpha </math>*.

### Ορισμός με την πράξη της διαίρεσης
Ένας άλλος ορισμός είναι με την χρήση της διαίρεσης: «Ένας ακέραιος αριθμός \delta\neq0  ονομάζεται *διαιρέτης* ενός ακέραιου αριθμού \alpha , αν και μόνο αν η διαίρεση \frac{a}{\delta} είναι *τέλεια*. Δηλαδή το αποτέλεσμα είναι ακέραιος (\delta\neq0, a,\delta\in\mathbb{Z}, \delta| a\Longleftrightarrow\frac{a}{\delta}\in\mathbb{Z})», θέτοντας έτσι τον σημαντικό περιορισμό του \delta\neq0 .

Ο ορισμός αυτός μας οδηγεί στα ίδια αποτελέσματα με τον προηγούμενο απορρίπτοντας όμως την ιδιότητα: «αν  0|a, τότε  a=0», που λέει ότι το 0 είναι διαιρέτης του εαυτού του και αυτό διότι η διαίρεση \frac{a}{0} δεν ορίζεται.

Στην βιβλιογραφία συναντάμε ορισμό της διαιρετότητας με την πράξη της διαίρεσης και επιπλέον μπορεί να δέχεται ότι κάθε ακέραιος είναι διαιρέτης του μηδενός (« a|0  για κάθε  a\in\mathbb{Z} »), θέση που είναι λάθος.

## Γενικά

* Συνήθως αναφερόμαστε μόνο στους *θετικούς* διαιρέτες ενός ακεραίου αριθμού, ενώ στην πραγματικότητα διαιρέτες είναι και οι αντίστοιχοι *αρνητικοί*. Για παράδειγμα, οι διαιρέτες του 4 δεν είναι μόνο οι 1, 2, και 4, αλλά και οι  -1, -2 και -4. Δηλαδή το 4 έχει 6 διαιρέτες. Επειδή ότι ισχύει για τους θετικούς διαιρέτες ισχύει και για τους αρνητικούς, συνήθως για λόγους απλοποίησης αναφερόμαστε μόνο στους θετικούς.
* Ένας ακέραιος και ο αντίθετος του έχουν τους ίδιους διαιρέτες. Για παράδειγμα αντίθετος του 4, δηλαδή ο -4 έχει τους ίδιους διαιρέτες με τον 4.
* Οι ακέραιοι που διαιρούνται με το 2 ονομάζονται άρτιοι ή ζυγοί, ενώ αυτοί που *δεν* διαιρούνται με το 2 ονομάζονται περιττοί ή μονοί. Επειδή κάθε ακέραιος είναι διαιρέτης του 0 (μηδέν), το 0 διαιρείται με το 2, οπότε το 0 συγκαταλέγεται στους άρτιους αριθμούς.
* Κάθε ακέραιος *<math>\alpha </math>* διαιρείται με τον εαυτό του, με τον αντίθετό του (*<math>-\alpha </math>*) , το 1 και το -1. Αυτοί οι διαιρέτες ενός ακεραίου ονομάζονται *τετριμμένοι διαιρέτες*. Δηλαδή, οι τετριμμένοι διαιρέτες του ακεραίου \alpha είναι οι \alpha, -\alpha, -1και -1.
*Οι *μή τεριμμένοι διαιρέτες* ενός ακεραίου ονομάζονται *παράγοντες* του ακεραίου.
*Το σύνολο των διαιρετών ενός αριθμού μπορεί να βρεθεί με την ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων (βλ. και θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής).

## Ιδιότητες
Λόγω του ορισμού για  a, b, c\in\mathbb{Z} ισχύουν τα ακόλουθα: 

*  a|0  για κάθε a\neq0 (διότι: \exists 0 \in \mathbb{Z}: 0=a\times0). Από αυτή την ιδιότητα προκύπτει ότι το 0 είναι άρτιος, διότι  2\in\mathbb{Z} και άρα  2|0 .
* Αν  0|a, τότε  a=0. Είναι μια «ξεχωριστή» ιδιότητα που μας λέει ότι  0|0(το μηδέν είναι διαιρέτης του μηδέν). Δεν ισχύει αν στον ορισμό του *διαιρέτη* κάνουμε χρήση της έννοιας της *διαίρεσης* (βλ. ορισμός με την πράξη της διαίρεσης, παραπάνω). Άλλο  0|0 και άλλο το μη οριζόμενο \frac{0}{0}.
*a|b\Leftrightarrow-a|b\Leftrightarrow a|-b\Leftrightarrow\left\vert a \right\vert|\left\vert b \right\vert
* 1|a ,  -1|a ,  a|a  και  -a|a  για κάθε α (τετριμμένοι διαιρέτες).
*Αν a | b, τότε ac| bc για κάθε c.

Για  a, b, c, d\in\mathbb{Z} εύκολα αποδεικνύονται τα ακόλουθα:

* Αν a | b και b | a, τότε a = b ή a = -b(δηλαδή |a| = |b|.

* Αν a | b και c | d, τότε  ac | bd
*Αν a | b τότε  a | bc (βλ. θεώρημα 1 παρακάτω)
* Αν a | b και a | c, τότε  a | (b + c). Γενικότερα a | (mb + nc) για κάθε   m, n\in\mathbb{Z} (βλ. θεώρημα 3 παρακάτω). Ο a λέγεται *κοινός διαιρέτης* των b και c. Ο ακέραιος mb + nc, λέγεται \mathbb{Z}-*γραμμικός συνδυασμός* (linear combination) των b και c.
::*Ειδική περίπτωση* της προηγούμενης ιδιότητας είναι ότι: αν a | b και a | c, τότε  a | (b - c).
* Αν a | b και b | c, τότε a | c (μεταβατικότητα) (βλ. θεώρημα 2 παρακάτω)
* Αν a | b και  b\neq 0, τότε |a| \leq |b|
*Αν a > 0και a | b τότε |a| \leq b

## Παραδείγματα
Στο παράδειγμα θα χρησιμοποιήσουμε τον θετικό ακέραιο 42 επειδή είναι εύκολος στους υπολογισμούς.

* 7 είναι διαιρέτης του 42 γιατί υπάρχει ο ακέραιος 6 έτσι ώστε 7 \times 6 = 42και γράφεται συμβολικά: 7 \mid 42. Μπορεί να λεχθεί ότι ο 42 *διαιρείται ακριβώς* ή απλά *διαιρείται* με τον 7, ή ότι ο 42 είναι *πολλαπλάσιος* του 7, ή ότι ο 7 *διαιρεί* τον 42.
*Οι διαιρέτες του 42 είναι οι 1, 2, 3, 6, 7, 21, 42, -1, -2, -3, -6, -7, -21 και -42. Οι ίδιοι ακέραιοι είναι και διαιρέτες του -42.
*Οι *τετριμμένοι διαιρέτες* του 42 είναι οι 42, -42, 1 και -1.
*Οι *μη τετριμμένοι διαιρέτες* του 42 είναι οι 2, 3, 6, 7, 21, 42, -1, -2, -3, -6, -7 και -21.
* Επειδή ο 7 δεν είναι *τετριμμένος διαιρέτης* του 42, ο 7 είναι *παράγοντας* του 42.

## Θεωρήματα
Εύκολα αποδεικνύονται τα θεωρήματα:

* Θεώρημα 1: «*Ο διαιρέτης ενός ακεραίου είναι και διαιρέτης κάθε πολλαπλασίου του*». Δηλαδή, αν  a, b\in\mathbb{Z} και a | b   \Longrightarrow  a | bc,   \forall c\in\mathbb{Z}.
:: Απόδειξη:  a | b \xrightarrow{o\rho.} \exists \ \kappa \in \mathbb{Z}: b=a\kappa \xrightarrow[]{\forall c \in\mathbb{Z},\ bc=(a\kappa)c=a(\kappa c)} \exists \ \mu=\kappa c \in \mathbb{Z}: bc=a\mu \xrightarrow{o\rho .}  a | bc.
*Θεώρημα 2: «*Μεταβατικότητα*». Δηλαδή, αν  a, b, c\in\mathbb{Z} όταν a | b και b | c  \Longrightarrow a | c.
::Απόδειξη:  a | b και b | c \xrightarrow{o\rho.}  \exists \ \kappa, \lambda \in \mathbb{Z}: b=a\kappa,\ c=b\lambda\longrightarrow c=b\lambda=(a\kappa)\lambda=a(\kappa\lambda) \longrightarrow \exists \ \mu=\kappa \lambda \in \mathbb{Z}: c=a\mu \xrightarrow{o\rho.} a | c.
*Θεώρημα 3: «*Ο κοινός διαιρέτης δύο ακεραίων είναι και διαιρέτης κάθε* \mathbb{Z}-*γραμμικού συνδυασμού τους*». Δηλαδή, αν a | b και a | c  \Longrightarrow a | (mb + nc),    \forall \ m, n\in\mathbb{Z}.
::Απόδειξη: a | b, a | c \xrightarrow{o\rho.}\exists \ \kappa, \lambda \in \mathbb{Z}: b=a\kappa,\ c=a\lambda \longrightarrow   \forall \ m, n\in\mathbb{Z}, mb + nc=m(a\kappa)+n(a\lambda)=a(m\kappa)+a(n\lambda)=a(m\kappa+n\lambda)\xrightarrow{o\rho.}a | (mb + nc).

## Δείτε επίσης

* Αριθμητική
*Διαίρεση
*Μέγιστος κοινός διαιρέτης
*Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο

## Σημειώσεις


## Παραπομπές


## Πηγές

* Κάτος, Β., Στεφανίδης, Γ., (2003). «Τεχνικές Κρυπτογραφίας και Κρυπτανάλυσης. 3.Θεωρία αριθμών - αλγεβρικές δομές», σελ. 1, Εκδόσεις: ΖΥΓΟΣ, . Αρχειοθετήθηκε 26/01/2019. Ανακτήθηκε 26/01/2019.

* Δρ. Κίτσος Παρασκευάς, Επίκουρος Καθηγητής, (Αντίρριο 2017). «Κρυπτογραφία και ασφάλεια υπολογιστών» από openeclass.teimes.gr. Αρχειοθετήθηκε 26/01/2019. Ανακτήθηκε 26/01/2019.
*Συγκελάκης Γ. Αλέξανδρος, (Νοέμβριος 2012) «Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθμών για το Λύκειο» από emekorinthias.files.wordpress.com. Αρχειοθετήθηκε 26/01/2019. Ανακτήθηκε 26/01/2019.
* Conrad Keith. Divisibility and greatest common divisor από kconrad.math.uconn.edu. Αρχειοθετήθηκε 26/01/2019. Ανακτήθηκε 26/01/2019.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Κατηγορία:Στοιχειώδη μαθηματικά
Κατηγορία:Θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Αριθμητική