Διανυσματικό πεδίο Λαπλάς

Στον διανυσματικό λογισμό, ένα  **διανυσματικό πεδίο Λαπλάς** είναι ένα διανυσματικό πεδίο το οποίο είναι και μη περιστροφικό και ασυμπίεστο. Αν το πεδίο συμβολίζεται ως v, τότε περιγράφεται από τις ακόλουθες διαφορικές εξισώσεις:

:\begin{align}
  \nabla \times \mathbf{v} &= \mathbf{0}, \\
   \nabla \cdot \mathbf{v} &= 0.
\end{align}

## Εξίσωση Λαπλάς

Από την ταυτότητα του διανυσματικού λογισμού \nabla^2 \mathbf{v} \equiv \nabla (\nabla\cdot \mathbf{v}) - \nabla\times (\nabla\times \mathbf{v}) προκύπτει ότι

:\nabla^2 \mathbf{v} = \mathbf{0}

δηλαδή ότι το πεδίο **v**  ικανοποιεί την εξίσωση Λαπλάς.

Ωστόσο, το αντίστροφο δεν ισχύει- δεν είναι κάθε διανυσματικό πεδίο που ικανοποιεί την εξίσωση Λαπλάς ένα διανυσματικό πεδίο Λαπλάς, γεγονός που μπορεί να προκαλέσει σύγχυση. Επί παραδείγματι, το διανυσματικό πεδίο {\bf v} = (xy, yz, zx) ικανοποιεί την εξίσωση Λαπλάς, αλλά έχει μη μηδενική απόκλιση και μη μηδενική κύρτωση και δεν είναι διανυσματικό πεδίο Λαπλάς.

## Εξισώσεις Κωσύ-Ρίμαν

Ένα λαπλασιανό διανυσματικό πεδίο στο επίπεδο ικανοποιεί τις εξισώσεις Κωσύ-Ρίμαν: είναι ολόμορφο.

## Δυναμικό του λαπλασιανού πεδίου

Αν υποθέσουμε ότι η κύρτωση του \mathbf{u} είναι μηδέν, προκύπτει ότι (όταν το πεδίο ορισμού είναι απλά συνδεδεμένο) το \mathbf{u} μπορεί να εκφραστεί ως η κλίση ενός κλιμακωτού δυναμικού (βλ.αστρόβιλο πεδίο ) το οποίο ορίζουμε ως εξής \phi:
: \mathbf{u} = \nabla \phi \qquad \qquad (1) 

αφού είναι πάντα αληθές ότι  \nabla \times \nabla \phi = 0 .

Άλλες μορφές του  \mathbf{u} = \nabla \phi  μπορούν να εκφραστούν ως εξής

 u_{i} = \frac{\partial \phi}{\partial x _{1}} \quad ; \quad u = \frac{\partial \phi}{\partial x}, v = \frac{\partial \phi}{\partial y}, w = \frac{\partial \phi}{\partial z} .

Όταν το πεδίο είναι ασυμπίεστο, τότε

\nabla \cdot u = 0 \quad \textrm{or} \quad \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{j}} = 0 \quad \textrm{or} \quad \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} +\frac{\partial w}{\partial z} = 0.

Και αντικαθιστώντας την εξίσωση 1 στην παραπάνω εξίσωση προκύπτει

: \nabla^2 \phi = 0.

Επομένως, το δυναμικό ενός λαπλασιανού πεδίου ικανοποιεί την εξίσωση Λαπλάς.

## Θεωρία δυνητικής ροής
Το διανυσματικό πεδίο Λαπλάς έχει σημαντική εφαρμογή στη δυναμική των ρευστών. Ας θεωρήσουμε ότι το διανυσματικό πεδίο Λαπλάς είναι το δυναμικό ταχύτητας * <math>\phi</math> * το οποίο είναι και μη περιστροφικό και ασυμπίεστο.

Η μη περιστροφική ροή είναι μια ροή όπου η στροβιλότητα, \omega είναι μηδέν, και αφού \omega = \nabla \times u  προκύπτει ότι η συνθήκη \omega = 0 ικανοποιείται με τον ορισμό μιας ποσότητας που ονομάζεται δυναμικό ταχύτητας\phi ώστε u = \nabla \phi αφού \nabla \times \nabla \phi = 0 ισχύει πάντα.

Η μη περιστροφική ροή ονομάζεται επίσης  δυναμική ροή.

Εάν το ρευστό είναι ασυμπίεστο, τότε η διατήρηση της μάζας απαιτεί ότι

\nabla \cdot u = 0 \quad \textrm{or} \quad \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{j}} = 0 \quad \textrm{or} \quad \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0.

Και αντικαθιστώντας την προηγούμενη εξίσωση στην παραπάνω εξίσωση προκύπτει \nabla ^2 \phi = 0 που ικανοποιεί την εξίσωση Λαπλάς.

Στην επίπεδη ροή, η συνάρτηση ροής \psi μπορεί να οριστεί με τις ακόλουθες εξισώσεις για ασυμπίεστη επίπεδη ροή στο επίπεδο xy:

u = \frac{\partial \psi}{\partial y} \quad \textrm{and} \quad v = -\frac{\partial \psi}{\partial x}.

Οι εξισώσεις αυτές συνεπάγονται διάφορα χαρακτηριστικά μιας ασυμπίεστης επίπεδης δυναμικής ροής. Οι γραμμές δυναμικού σταθερής ταχύτητας είναι κάθετες στις γραμμές ροής (γραμμές σταθερής \psi) παντού.

## Περαιτέρω ανάγνωση

Η θεωρία του διανυσματικού πεδίου Λαπλάς χρησιμοποιείται στην έρευνα στα μαθηματικά και την ιατρική. Οι ερευνητές των μαθηματικών μελετούν τις οριακές τιμές για τα διανυσματικά πεδία Λαπλάς και διερευνούν μια καινοτόμο προσέγγιση όπου υποθέτουν ότι η επιφάνεια είναι κλασματική και στη συνέχεια πρέπει να χρησιμοποιήσουν μεθόδους για τον υπολογισμό μιας καλά καθορισμένης ολοκλήρωσης πάνω στο όριο. Οι ερευνητές της ιατρικής πρότειναν μια μέθοδο για την απόκτηση υψηλής ανάλυσης in vivo μετρήσεων των διατάξεων των δεσμίδων στους σκελετικούς μύες, όπου η συμπεριφορά του διανυσματικού πεδίου Λαπλάς αντικατοπτρίζει τα παρατηρούμενα χαρακτηριστικά των τροχιών των δεσμίδων.

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Διδιάστατος χώρος
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Υπερβολική γεωμετρία
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Διάσταση Κρουλ
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
*
* 
* 
* 
*
*
*
* 
* 
* . Review: Séquin, Carlo H. (2009), *Journal of Mathematics and the Arts* 3: 229–230, 
* 
*Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:Θεωρήματα στην ανάλυση
Κατηγορία:Μαθηματική ανάλυση
Κατηγορία:Επιφάνειες
Κατηγορία:Διαφορική τοπολογία
Κατηγορία:Διανύσματα
Κατηγορία:Διανυσματικός λογισμός
Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις