Στοιχείο (θεωρία κατηγοριών)

Στην θεωρία κατηγοριών, η έννοια του **στοιχείου** ή του σημείου γενικεύει την πιο συνηθισμένη έννοια της θεωρίας συνόλων ενός στοιχείου ενός συνόλου σε ένα αντικείμενο οποιασδήποτε κατηγορίας. Αυτή η ιδέα επιτρέπει συχνά την επαναδιατύπωση των ορισμών ή των ιδιοτήτων των μορφισμών (όπως ο μονομορφισμός ή το γινόμενο) που δίνονται από μια καθολική ιδιότητα με πιο οικείους όρους, δηλώνοντας τη σχέση τους με τα στοιχεία. Ορισμένα πολύ γενικά θεωρήματα, όπως το λήμμα του Γιονέντα και το θεώρημα εμφύτευσης του Μίτσελ, είναι πολύ χρήσιμα για αυτό, καθώς επιτρέπουν να εργαστεί κανείς σε ένα πλαίσιο όπου αυτές οι μεταφορές είναι έγκυρες. Αυτή η προσέγγιση της θεωρίας κατηγοριών – και συγκεκριμένα η χρήση του λήμματος του Γιονέντα με αυτόν τον τρόπο – οφείλεται στον Γκρότεντικ και συχνά ονομάζεται μέθοδος του συναρτητή των σημείων.

## Ορισμός

Ας υποθέσουμε ότι η  **C** είναι οποιαδήποτε κατηγορία και τα *A*, *T*  είναι δύο αντικείμενα της **C**.  Ένα *T*-valued σημείο του “'A”' είναι απλά ένας μορφισμός p \colon T \to A.Το σύνολο όλων των  *T*-valued σημείων του *A* μεταβάλλεται συναρτησιακά με το *T*, δίνοντας τον "συναρτητη των σημείων" του *A*, σύμφωνα με το λήμμα του Γιονέντα, αυτό καθορίζει πλήρως το *A*  ως αντικείμενο του **C**.

## Ιδιότητες των μορφισμών

Πολλές ιδιότητες των μορφισμών μπορούν να επαναδιατυπωθούν σε όρους σημείων.  Επί παραδείγματι, μια απεικόνιση f λέγεται μονομορφισμός αν
: Για όλες τις απεικονίσεις g, h, αν f \circ g = f \circ h τότε g = h.
Ας υποθέσουμε ότι f \colon B \to C και g, h \colon A \to B στο *C*.  Τότε τα *g* και *h* είναι *A*-valued σημεία του *B*, και επομένως ο μονομορφισμός είναι ισοδύναμος με την πιο γνωστή δήλωση
: Η *f* είναι μονομορφισμός αν είναι ερριπτική συνάρτηση σε σημεία του *B*.
Χρειάζεται κάποια προσοχή.  Η *f* είναι ένας επιμορφισμός αν ισχύει η διπλή προϋπόθεση:
: Για όλες τις απεικονίσεις  *g*, *h* (κάποιου κατάλληλου τύπου), g \circ f = h \circ f συνεπάγεται g = h.
Στη θεωρία συνόλων, ο όρος "επιµορφισµός" είναι συνώνυµος της "επίρριψη", δηλ.
: Κάθε σημείο του *C* είναι η εικόνα, υπό *f* κάποιου σημείου του *B*.
Αυτό σαφώς δεν είναι η μεταφορά της πρώτης δήλωσης στη γλώσσα των σημείων, και στην πραγματικότητα οι δηλώσεις αυτές δεν είναι *μη* ισοδύναμες γενικά.  Ωστόσο, σε ορισμένα πλαίσια, όπως στις αβελιανές κατηγορίες, ο *[[μονομορφισμός]]* και ο *[[επιμορφισμός]]* υποστηρίζονται από αρκετά ισχυρές συνθήκες που στην πραγματικότητα επιτρέπουν μια τέτοια επανερμηνεία στα σημεία.

Ομοίως, κατηγορικές κατασκευές όπως το γινόμενο έχουν σημειακά ανάλογα.  Ας θυμηθούμε ότι αν τα *A*, *B* είναι δύο αντικείμενα της **C**, το γινόμενό τους *A*&thinsp;×&thinsp;*B* είναι ένα αντικείμενο τέτοιο ώστε
: Υπάρχουν απεικονίσεις p \colon A \times B \to A, q \colon A \times B \to B, και για κάθε *T* και απεικονίσεις f \colon T \to A, g \colon T \to B, υπάρχει μια μοναδική απεικόνιση h \colon T \to A \times B τέτοια ώστε f = p \circ h και g = q \circ h.
Σε αυτόν τον ορισμό, τα *f* και *g* είναι *T*-valued σημεία των *A* και *B*, αντίστοιχα, ενώ το “'h”' είναι ένα *T*-valued σημείο του *A*&thinsp;×&thinsp;*B*.  Ένας εναλλακτικός ορισμός του γινομένου είναι επομένως:
: *A*&thinsp;×&thinsp;*B* είναι ένα αντικείμενο του **C**, μαζί με τους χάρτες προβολής p \colon A \times B \to A και q \colon A \times B \to B, έτσι ώστε τα *p* και *q*  να παρέχουν μια bijection μεταξύ σημείων του  *A*&thinsp;×&thinsp;*B* και *ζεύγη σημείων* των *A* και *B*.
Αυτός είναι ο πιο γνωστός ορισμός του καρτεσιανού γινομένου δύο συνόλων.

## Γεωμετρική προέλευση

Η ορολογία έχει γεωμετρική προέλευση- στην αλγεβρική γεωμετρία, ο Γκρότεντικ εισήγαγε την έννοια του σχήματος προκειμένου να ενοποιήσει το θέμα με την αριθμητική γεωμετρία, η οποία ασχολείται με την ίδια ιδέα της μελέτης λύσεων πολυωνυμικών εξισώσεων (δηλαδή αλγεβρικές ποικιλίες) αλλά όπου οι λύσεις δεν είναι μιγαδικοί αριθμοί αλλά ρητοί αριθμοί, ακέραιοι αριθμοί ή ακόμη και στοιχεία κάποιου πεπερασμένου σώματος.  Ένα σχήμα είναι τότε ακριβώς αυτό: ένα σχήμα για τη συγκέντρωση όλων των εκδηλώσεων μιας ποικιλίας που ορίζεται από τις ίδιες εξισώσεις αλλά με λύσεις που λαμβάνονται σε διαφορετικά σύνολα αριθμών. Ένα σχήμα δίνει μια σύνθετη ποικιλία, τα σημεία της οποίας είναι τα (\operatorname{Spec}\mathbb{C})-τιμημένα σημεία της, καθώς και το σύνολο των σημείων (\operatorname{Spec}\mathbb{Q})-τιμημένων (ρητές λύσεις των εξισώσεων), και ακόμη  (\operatorname{Spec}\mathbb{F}_p)-valued (λύσεις modulo *p*).

Ένα χαρακτηριστικό της γλώσσας των σημείων είναι εμφανές από αυτό το παράδειγμα: δεν αρκεί, γενικά, να εξετάζουμε μόνο σημεία με τιμές σε ένα μόνο αντικείμενο.  Επί παραδείγματι, η εξίσωση x^2 + 1 = 0 (η οποία ορίζει ένα σχήμα) δεν έχει πραγματικές λύσεις, αλλά έχει μιγαδικές λύσεις, δηλαδή \pm i.  Έχει επίσης μία λύση modulo 2 και δύο λύσεις modulo 5, 13, 29 κ.λπ. (όλοι οι πρώτοι αριθμοί που είναι 1 modulo 4).  Η απλή λήψη των πραγματικών λύσεων δεν θα έδινε καμία απολύτως πληροφορία.

## Σχέση με τη θεωρία συνόλων

Η κατάσταση είναι ανάλογη με την περίπτωση όπου **C** είναι η κατηγορία **Set**, των συνόλων πραγματικών στοιχείων.  Στην περίπτωση αυτή, έχουμε το « μονοσημειακό» σύνολο {1}, και τα στοιχεία οποιουδήποτε συνόλου *S* είναι τα ίδια με τα  σημεία του  *S*.  Επιπλέον, όμως, υπάρχουν και τα  σημεία, τα οποία είναι ζεύγη στοιχείων του  *S*, ή στοιχεία του *S*&thinsp;×&thinsp;*S*.  Στο πλαίσιο των συνόλων, αυτά τα ανώτερα σημεία είναι ξένα: το “'S”' καθορίζεται πλήρως από τα  του.  Ωστόσο, όπως φάνηκε παραπάνω, αυτό είναι ειδικό (σε αυτή την περίπτωση, είναι επειδή όλα τα σύνολα είναι επαναληπτικά συνγινόμενά του {1}).

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


* 
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
*
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) 
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα