Θεωρία Αρακέλοφ

Στα μαθηματικά, η **θεωρία Αρακέλοφ** (ή **γεωμετρία Αρακέλοφ**) είναι μια προσέγγιση της διοφαντικής γεωμετρίας, που πήρε το όνομά της από τον Σούρεν Αρακέλοφ. Χρησιμοποιείται για τη μελέτη διοφαντικών εξισώσεων σε υψηλότερες διαστάσεις.

## Ιστορικό

Το κύριο κίνητρο πίσω από τη γεωμετρία Αρακέλοφ είναι το γεγονός ότι υπάρχει μια αντιστοιχία μεταξύ πρώτων ιδεωδών \mathfrak{p} \in \text{Spec}(\mathbb{Z}) και πεπερασμένων τόπων v_p : \mathbb{Q}^* \to \mathbb{R}, αλλά υπάρχει επίσης ένας τόπος στο άπειρο v_\infty, που δίνεται από την Αρχιμήδεια αποτίμηση, ο οποίος δεν έχει αντίστοιχο πρώτο ιδεώδες. Η γεωμετρία Αράκελοφ δίνει μια τεχνική για τη συμπύκνωση του \text{Spec}(\mathbb{Z}) σε έναν πλήρη χώρο 
:\overline{\text{Spec}(\mathbb{Z})}

ο οποίος έχει ένα πρώτο που βρίσκεται στο άπειρο. Η αρχική κατασκευή του Αρακέλοφ μελετά μια τέτοια θεωρία, όπου ένας ορισμός των διαιρετών είναι κατασκευαστής για ένα σχήμα \mathfrak{X} σχετικής διάστασης 1 πάνω από το \text{Spec}(\mathcal{O}_K) έτσι ώστε να επεκτείνεται σε μια επιφάνεια Ρίμαν X_\infty = \mathfrak{X}(\mathbb{C}) για κάθε αποτίμηση στο άπειρο. Επιπλέον, εξοπλίζει αυτές τις επιφάνειες Ρίμαν με Ερμιτιανές μετρικές σε ολόμορφες διανυσματικές δέσμες πάνω από το *X*(**C**), τα μιγαδικά σημεία του X. Αυτή η επιπλέον Ερμιτιανή δομή εφαρμόζεται ως υποκατάστατο για την αστοχία του σχήματος Spec(**Z**) να είναι μια πλήρης ποικιλία.

Να σημειωθεί ότι υπάρχουν και άλλες τεχνικές για την κατασκευή ενός πλήρους χώρου που επεκτείνει τον \text{Spec}(\mathbb{Z}), ο οποίος αποτελεί τη βάση της γεωμετρίας F1.

### Αρχικός ορισμός των διαιρετών
Έστω K ένα πεδίο, \mathcal{O}_K ο δακτύλιος των ακεραίων αριθμών του, και X μια καμπύλη γένους g πάνω από το K με ένα μη ιδιαζον μοντέλο \mathfrak{X} \to \text{Spec}(\mathcal{O}_K), που ονομάζεται αριθμητική επιφάνεια. Επίσης, έχουμε 
:\infty: K \to \mathbb{C}

να είναι μια περιεκτικότητα πεδίων (η οποία υποτίθεται ότι αντιπροσωπεύει ένα μέρος του απείρου). Επίσης, θα αφήσουμε \infty: K \to \mathbb{C} να είναι η σχετική επιφάνεια Ρίμαν από την αλλαγή βάσης στο \mathbb{C}. Χρησιμοποιώντας αυτά τα δεδομένα, μπορούμε να ορίσουμε έναν **c-διαιρέτη** ως έναν τυπικό γραμμικό συνδυασμό
:D = \sum_i k_i C_i + \sum_\infty \lambda_\infty X_\infty

όπου C_i είναι ένα μη αναγώγιμο κλειστό υποσύνολο του \mathfrak{X} συνδιαστάσεων 1, k_i \in \mathbb{Z}, και \lambda_\infty \in \mathbb{R}, και το άθροισμα 
:\sum_{\infty} 
αντιπροσωπεύει το άθροισμα πάνω σε κάθε πραγματική εμφύτευση του K \to \mathbb{C} και πάνω σε μία εμφύτευση για κάθε ζεύγος μιγαδικών εμφυτεύσεων K \to \mathbb{C}. Το σύνολο των c-διαχωριστών σχηματίζει μια ομάδα \text{Div}_c(\mathfrak{X}).

## Αποτελέσματα

Ο Αρακέλοφ (1974, 1975) όρισε μια θεωρία τομής στις αριθμητικές επιφάνειες που συνδέονται με ομαλές προβολικές καμπύλες πάνω από αριθμητικά σώματα, με σκοπό να αποδείξει ορισμένα αποτελέσματα, γνωστά στην περίπτωση των συναρτησιακών πεδίων, στην περίπτωση των αριθμητικών σωμάτων. Ο Γερντ Φάλτινγκς (1984) επέκτεινε το έργο του Αρακέλοφ, καθιερώνοντας αποτελέσματα όπως ένα θεώρημα Ρίμαν-Ροχ, έναν τύπο της Νέτερ, ένα θεώρημα δείκτη Χοτζ και τη μη αρνητικότητα της αυτοτομής της διπλασιαστικής σφαίρας σε αυτό το πλαίσιο.

Η θεωρία Αρακέλοφ χρησιμοποιήθηκε από τον Πολ Βόιτα (1991) για να δώσει μια νέα απόδειξη της εικασίας Μόρντελ και από τον Γκερντ Φάλτινγκς (1991) στην απόδειξη της γενίκευσης της εικασίας Μόρντελ από τον Σερζ Λανγκ.

Ο Πιερ Ντελίν () ανέπτυξε ένα πιο γενικό πλαίσιο για τον ορισμό του ζεύγους τομής που ορίζεται σε μια αριθμητική επιφάνεια πάνω στο φάσμα ενός δακτυλίου ακεραίων αριθμών από τον Αρακέλοφ. Ο Σού-Γου Ζανγκ () ανέπτυξε μια θεωρία θετικών δεσμών γραμμών και απέδειξε ένα θεώρημα τύπου Νακάι-Μοϊσεζόν για αριθμητικές επιφάνειες. Περαιτέρω εξελίξεις στη θεωρία των θετικών γραμμοδεσμών από τον Ζανγκ () και τους Λουσιέν Σπιρό, Εμμανουέλ Ούλμο και Ζανγκ () κατέληξαν στην απόδειξη της εικασίας Μπογκομόλοφ από τους Ούλμο () και Ζανγκ ().

Η θεωρία του Αρακέλοφ γενικεύτηκε από τους Ανρί Ζιλέ και Κριστόφ Σουλέ σε υψηλότερες διαστάσεις. Δηλαδή, οι Ζιλέ και Σουλέ όρισαν ένα ζεύγος τομής σε μια αριθμητική ποικιλία. Ένα από τα κύρια αποτελέσματα των Ζιλέ και Σουλέ είναι το αριθμητικό θεώρημα Ρίμαν-Ροχ των Ζιλέ & Σουλέ (), μια επέκταση του θεωρήματος των Γκρότεντικ-Ρίμαν-Ροχ σε αριθμητικές ποικιλίες. 
Για αυτό ορίζεται η αριθμητική ομάδα Τσάου(Chow) CH*p*(*X*) μιας αριθμητικής ποικιλίας *X* και ορίζονται οι κλάσεις Τσερν για ερματικές διανυσματικές δέσμες πάνω από την *X* που παίρνουν τιμές στις αριθμητικές ομάδες Τσάου(Chow) 9. Το αριθμητικό θεώρημα Ρίμαν-Ροχ περιγράφει στη συνέχεια πώς συμπεριφέρεται η κλάση Τσερν κατά την προώθηση διανυσματικών δεσμίδων κάτω από έναν κατάλληλο χάρτη αριθμητικών ποικιλιών. Μια πλήρης απόδειξη αυτού του θεωρήματος δημοσιεύθηκε μόλις πρόσφατα από τους Ζιλέ , Ρέσλερ και Σουλέ.

Η θεωρία τομής του Αρακέλοφ για αριθμητικές επιφάνειες αναπτύχθηκε περαιτέρω από τον Ζαν-Μπενουά Μποστ (). Η θεωρία του Μποστ βασίζεται στη χρήση συναρτήσεων Γκριν οι οποίες, μέχρι λογαριθμικές ιδιομορφίες, ανήκουν στο χώρο Σόμπολεβ L^2_1. Σε αυτό το πλαίσιο, ο Μποστ λαμβάνει ένα θεώρημα αριθμητικού δείκτη Χοτζ και το χρησιμοποιεί για να λάβει θεωρήματα Λέφσετζ για αριθμητικές επιφάνειες.

## Αριθμητικές ομάδες Τσάου
Ο **αριθμητικός κύκλος** συνδιάστασης *p* είναι ένα ζεύγος (*Z*,&nbsp;*g*) όπου *Z*&nbsp;&isin;&nbsp;*Z**p*(*X*) είναι ένας *p*-κύκλος στο *X* και *g* είναι ένα ρεύμα Γκριν για το *Z*, μια υψηλότερης διάστασης γενίκευση μιας συνάρτησης Γκριν. Η **αριθμητική ομάδα Τσάου** \widehat{\mathrm{CH}}_p(X) συνδιάστασης *p* είναι το πηλίκο αυτής της ομάδας προς την υποομάδα που παράγεται από ορισμένους "τετριμμένους" κύκλους.

## Το αριθμητικό θεώρημα Ρίμαν-Ροχ
Το σύνηθες θεώρημα των Γκρότεντικ, Ρίμαν και Ροχ περιγράφει πώς συμπεριφέρεται ο χαρακτήρας Τσερν υπό την προώθηση των κυψελών και δηλώνει ότι ch(*f**(*E*))= *f**(ch(E)Td*X*/*Y*), όπου *f* είναι ένας κατάλληλος μορφισμός από το *X* στο *Y* και *E* είναι μια διανυσματική δέσμη πάνω από το *f*. Το αριθμητικό θεώρημα των Ρίμαν και Ροχ είναι παρόμοιο, εκτός από το ότι η κλάση Τοντ πολλαπλασιάζεται με μια συγκεκριμένη δυναμοσειρά. 
Το αριθμητικό θεώρημα Ρίμαν-Ροχ δηλώνει

\hat{\mathrm{ch}}(f_*([E]))=f_*(\hat{\mathrm{ch}}(E)\widehat{\mathrm{Td}}^R(T_{X/Y}))

όπου
*Τα *X* και *Y* είναι κανονικά προβολικά αριθμητικά σχήματα.
*Το *f* είναι ένας ομαλός κατάλληλος χάρτης από το *X* στο *Y*.
*Το *E* είναι μια αριθμητική διανυσματική δέσμη πάνω στο *X*.
*\hat{\mathrm{ch}} είναι ο αριθμητικός χαρακτήρας Τσερν.
*TX/Yείναι η σχετική εφαπτομενική δέσμη
*\hat{\mathrm{Td}} είναι η αριθμητική κλάση Τοντ.
*\hat{\mathrm{Td}}^R(E) είναι \hat{\mathrm{Td}}(E)(1-\epsilon(R(E)))
**R*(*X*) είναι η προσθετική χαρακτηριστική κλάση που συνδέεται με την τυπική δυναμοσειρά \sum_} \frac{X^m}{m!}\left[2\zeta'(-m) + \zeta(-m) \left({1\over 1} + {1\over 2} + \cdots + {1\over m}\right)\right].

## Δημοσιεύσεις
*
*
*
*
* 
* 
*
*
*
*
* 
*Soulé, Christophe (2001) [1994], "Arakelov theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
*
*.
*
*
*.
*.
*.
*.
*.
*.

## Δείτε επίσης

* p-adic Hodge Theory
* Αλγεβρική ποικιλία
*Τοπολογία
* Διόφαντος

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Regular scheme - Encyclopedia of Math
* Crystalline Cohomology of Superschemes
* Arakelov Geometry 
*The Ubiquitous Heat Kernel: AMS Special Session, the Ubiquitous Heat Kernel
*Arakelov Geometry and Diophantine Applications

## Παραπομπές

 

Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Διοφαντικές εξισώσεις
Κατηγορία:Αντιμεταθετική άλγεβρα