Τυχαίος ευκλείδειος πίνακας

Στα μαθηματικά, ένας *N*×*N* **τυχαίος ευκλείδειος πίνακας** Â ορίζεται με τη βοήθεια μιας αυθαίρετης ντετερμινιστικής συνάρτησης *f*(**r**, **r**′)  και *Ν* σημείων {**r**i} τυχαία κατανεμημένων σε μια περιοχή *V* του *d*-διάστατου ευκλείδειου χώρου. Το στοιχείο Aij του πίνακα είναι ίσο με *f*(**r**i, **r**j): Aij = *f*(**r**i, **r**j).

## Ιστορία

Οι τυχαίοι ευκλείδειοι πίνακες παρουσιάστηκαν για πρώτη φορά το 1999Μελετήθηκε μια ειδική περίπτωση συναρτήσεων f που εξαρτώνται μόνο από τις αποστάσεις μεταξύ των ζευγών σημείων: *f*(**r**, **r**′) = *f*(**r** - **r**′) και επιβλήθηκε μια πρόσθετη συνθήκη για τα διαγώνια στοιχεία Aii,

:Aij = *f*(**r**i - **r**j) - u δijΣk*f*(**r**i - **r**k),

με κίνητρο το φυσικό πλαίσιο στο οποίο μελετούσαν τον πίνακα. Ένας πίνακας ευκλείδειας απόστασης είναι ένα ιδιαίτερο παράδειγμα ευκλείδειου τυχαίου πίνακα με είτε *f*(**r**i - **r**j) = |**r**i - **r**j|2 or *f*(**r**i - **r**j) = |**r**i - **r**j|.

Παραδείγματος χάριν, σε πολλά βιολογικά δίκτυα, η ισχύς της αλληλεπίδρασης μεταξύ δύο κόμβων εξαρτάται από τη φυσική εγγύτητα αυτών των κόμβων. Οι χωρικές αλληλεπιδράσεις μεταξύ των κόμβων μπορούν να διαμορφωθούν ως ένας τυχαίος ευκλείδειος πίνακας, εάν οι κόμβοι τοποθετούνται τυχαία στο χώρο.

## Ιδιότητες

Επειδή οι θέσεις των σημείων {**r**i} είναι τυχαίες, τα στοιχεία του πίνακα Aij είναι επίσης τυχαία. Επιπλέον, επειδή τα *N*×*N*στοιχεία καθορίζονται πλήρως από *Ν* μόνο σημεία και, συνήθως, κάποιος ενδιαφέρεται για *N*≫*d*, υπάρχουν ισχυρές συσχετίσεις μεταξύ διαφορετικών στοιχείων. 

### Ερμιτιανοί τυχαίοι ευκλείδειοι πίνακες
Ερμιτιανοί τυχαίοι ευκλείδειοι  πίνακες εμφανίζονται σε διάφορα φυσικά πλαίσια, συμπεριλαμβανομένων των υπόψυκτων υγρών, των φωνονίων σε άτακτα συστήματα και των κυμάτων σε τυχαία μέσα.

Παράδειγμα 1: Ας θεωρήσουμε τον πίνακα Â που παράγεται από τη συνάρτηση *f*(**r**, **r**′) = sin(*k*0|**r**-**r**′|)/(*k*0|**r**-**r**′|), με *k*0 = 2π/λ0. Ο πίνακας αυτός είναι ερμιτιανός και οι ιδιοτιμές του Λ είναι πραγματικές. Για *Ν* σημεία τυχαία κατανεμημένα σε κύβο πλευράς *L* και όγκου *V* = *L*3, μπορεί κανείς να δείξει ότι η κατανομή πιθανότητας του Λ δίνεται κατά προσέγγιση από τον νόμο του Μαρτσένκο-Παστούρ, αν η πυκνότητα των σημείων ρ = *N*/*V*  υπακούει ρλ03 ≤ 1 και 2.8*N*/(*k*0 *L*)2 0|**r**-**r**′|)/(*k*0|**r**-**r**′|), με *k*0 = 2π/λ0 και *f*(**r**= **r**′) = 0. Ο πίνακας αυτός δεν είναι ερμητικός και οι ιδιοτιμές του Λ είναι μιγαδικές. Η κατανομή πιθανότητας του Λ μπορεί να βρεθεί αναλυτικά αν η πυκνότητα του σημείου ρ = *N*/*V* υπακούει ρλ03 ≤ 1 και 9*N*/(8*k*0 *R*)2 < 1 (βλέπε σχήμα).

## Δημοσιεύσεις

* 
* 
* 
*
*
*Golub G. H., van Loan C. F. (1996), *Matrix Computations* (Johns Hopkins University Press) §4.7&mdash;Toeplitz and Related Systems
*Gray R. M., *[http://ee.stanford.edu/~gray/toeplitz.pdf Toeplitz and Circulant Matrices: A Review]* (Now Publishers) 
*
*
*

## Δείτε επίσης

* Field Arithmetic
* Πραγματικό προβολικό επίπεδο
* Πραγματικός αριθμός 
* Αντιερμιτιανός πίνακας
* Μέγιστος κοινός διαιρέτης
* Ταυτοτικός πίνακας
* Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
* Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
* Διανυσματικός χώρος
* Αντιμεταθέσιμοι πίνακες
* Πολλαπλασιασμός πινάκων
* Τριγωνικός πίνακας
* Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
* Αντιστρέψιμος πίνακας
* High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*Matrix calculator
* Matrix Analysis
* Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
* Exercises of Matrices and Linear Algebra
* Fourier Transforms: Approach to Scientific Principles
* Large Random Matrices: Lectures on Macroscopic Asymptotics: École d'Été de .....
* Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
* Random Matrices, Random Processes and Integrable Systems
* Random Matrices
* Toeplitz and Circulant Matrices: A Review

## Παραπομπές

 

Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων
Κατηγορία:Μαθηματική φυσική