Τριαδικός κώδικας Γκολέ

Στη θεωρία κωδικοποίησης, οι **τριαδικοί κώδικες Γκολέ** είναι δύο στενά συνδεδεμένοι κώδικες διόρθωσης σφαλμάτων.
Ο κώδικας που είναι γενικά γνωστός απλά ως **τριαδικός κώδικας Γκολέ** είναι ένας [11, 6, 5]_3-κώδικας, δηλαδή είναι ένας γραμμικός κώδικας πάνω σε ένα τριαδικό σύστημα - η σχετική απόσταση του κώδικα είναι τόσο μεγάλη όσο είναι δυνατόν να είναι για έναν τριμερή κώδικα, και ως εκ τούτου, ο τριαδικός κώδικας Γκολέ είναι ένας τέλειος κώδικας.
Ο **εκτεταμένος τριαδικός κώδικας Γκολέ** είναι ένας [12, 6, 6, 6] γραμμικός κώδικας που λαμβάνεται με την προσθήκη ενός ψηφίου ελέγχου μηδενικού αθροίσματος στον κώδικα [11, 6, 5].
Στη θεωρία πεπερασμένων ομάδων, ο εκτεταμένος τριαδικός κώδικας Γκολέ αναφέρεται μερικές φορές ως τριαδικός κώδικας Γκολέ.

## Ιδιότητες

**Τριαδικός κώδικας Γκολέ**

Ο τριαδικός κώδικας Γκολέ αποτελείται από 36&nbsp;=&nbsp;729 κωδικές λέξεις.

Ο πίνακας ελέγχου ισοτιμίας του είναι 

:

\left[
\begin{array}{cccccc|ccccc}
2 & 2 & 2 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
2 & 2 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
2 & 1 & 2 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
2 & 1 & 0 & 2 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
2 & 0 & 1 & 1 & 2 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right].

Κάθε δύο διαφορετικές κωδικοποιημένες λέξεις διαφέρουν σε τουλάχιστον 5 θέσεις.

Κάθε τριαδική λέξη μήκους 11 έχει απόσταση Χάμινγκ το πολύ 2 από μία ακριβώς κωδικοποιημένη λέξη.
Ο κώδικας μπορεί επίσης να κατασκευαστεί ως ο τετραγωνικός κώδικας καταλοίπων μήκους 11 πάνω στο πεπερασμένο σώμα **F**3 (*δηλαδή,* το σώμα Γκαλουά  GF(3) ).

Χρησιμοποιημένος σε ένα ομάδα ποδοσφαίρου με 11 παιχνίδια, ο τριαδικός κώδικας Γκολέ αντιστοιχεί σε 729 στοιχήματα και εγγυάται ακριβώς ένα στοίχημα με το πολύ 2 λανθασμένα αποτελέσματα.

Το σύνολο των κωδικών λέξεων με βάρος Χάμινγκ 5 είναι ένα σχέδιο 3-(11,5,4).

Ο γεννήτορας πίνακας που δίνεται από τον Γκολέ (1949, πίνακας 1.) είναι

:
\left[
\begin{array}{cccccc|ccccc}
  1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 
  0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 2 & 0\\ 
  0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & 2\\ 
  0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2\\ 
  0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 2 & 1\\ 
  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 & 1 & 1\\ 
\end{array}
\right].

Η ομάδα αυτομορφισμού του (αρχικού) τριαδικού κώδικα Γκολέ είναι η ομάδα Ματιέ *M*11, η οποία είναι η μικρότερη από τις σποραδικές απλές ομάδες.

### Εκτεταμένος τριαδικός κώδικας Γκολέ
Ο πλήρης απαριθμητής βαρών του εκτεταμένου τριαδικού κώδικα Γκολέ είναι

:x^{12}+y^{12}+z^{12}+22\left(x^6y^6+y^6z^6+z^6x^6\right)+220\left(x^6y^3z^3+y^6z^3x^3+z^6x^3y^3\right).

Η ομάδα αυτομορφισμού του εκτεταμένου τριαδικού κώδικα Γκολέ είναι *M*12, όπου *M*12 είναι η ομάδα Ματιέ *M*12.

Ο διευρυμένος τριαδικός κώδικας Γκολέ μπορεί να κατασκευαστεί ως η έκταση των γραμμών ενός πίνακα Χανταμάρ τάξης 12 πάνω στο σώμα 

**F**3.

Ας θεωρήσουμε όλες τις κωδικοποιημένες λέξεις του εκτεταμένου κώδικα που έχουν μόνο έξι μη μηδενικά ψηφία.  Τα σύνολα των θέσεων στις οποίες εμφανίζονται αυτά τα μη μηδενικά ψηφία σχηματίζουν το σύστημα Στάινερ S(5, 6, 12).

Ένας γεννήτορας πίνακας για τον εκτεταμένο τριαδικό κώδικα Γκολέ είναι ο εξής

:\left[ 
\begin{array}{cccccc|cccccc} 
  1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0  &  0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 
  0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0  &  1 & 0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 
  0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0  &  1 & 1 & 0 & 1 & 2 & 2 \\ 
  0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0  &  1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 
  0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0  &  1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 1 \\ 
  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1  &  1 & 1 & 2 & 2 & 1 & 0 \\ 
\end{array} 
\right] = [I_6|B].

Ο αντίστοιχος πίνακας ελέγχου ισοτιμίας για αυτόν τον γεννήτορα πίνακα είναι [-B|I_6]^T, όπου T δηλώνει την *ανάστροφή* του πίνακα.

Ένας εναλλακτικός γεννήτορας πίνακας για αυτόν τον κώδικα είναι

:\left[ 
\begin{array}{rrrrrr|rrrrrr} 
  1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0  &  0 &  1 &  1 &  1 &  1 &  1 \\ 
  0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0  &  1 &  0 &  1 & -1 & -1 &  1 \\ 
  0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0  &  1 &  1 &  0 &  1 & -1 & -1 \\ 
  0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0  &  1 & -1 &  1 &  0 &  1 & -1 \\ 
  0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0  &  1 & -1 & -1 &  1 &  0 &  1 \\ 
  0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1  &  1 &  1 & -1 & -1 &  1 &  0 \\ 
\end{array} 
\right] = [I_6|B_{\mathrm{alt}}].

Και ο πίνακας ελέγχου ισοτιμίας του είναι [-B_{\mathrm{alt}}|I_6]^T.

Τα τρία στοιχεία του υποκείμενου πεπερασμένου σώματος αναπαρίστανται εδώ με \{0,1,-1\}, αντί με \{0,1,2\}.  
Είναι επίσης κατανοητό ότι 2=1+1=-1 (*δηλαδή,* το προσθετικό αντίστροφο του 1) και -2=(-1)+(-1)=1. Τα γινόμενα αυτών των πεπερασμένων στοιχείων σώματος είναι πανομοιότυπα με εκείνα των ακεραίων. Τα αθροίσματα γραμμών και στηλών αξιολογούνται modulo 3.

Γραμμικοί συνδυασμοί, ή *διανυσματική πρόσθεση*, των γραμμών του πίνακα  
παράγει όλες τις πιθανές *λέξεις* που περιέχονται στον κώδικα. Αυτό αναφέρεται ως *έκταση* των γραμμών. Το εσωτερικό γινόμενο δύο οποιωνδήποτε γραμμών του γεννήτορα πίνακα θα είναι πάντα μηδέν. Αυτές οι γραμμές ή τα διανύσματα λέγεται ότι είναι *ορθογώνια*. 

Το γινόμενο του γεννήτορα πίνακα και του πίνακα ελέγχου ισοτιμίας,  

[I_6|B_{\mathrm{alt}}]\,[-B_{\mathrm{alt}}|I_6]^T, είναι ο 6\times6 πίνακας όλων των μηδενικών, και εκ προθέσεως.  
Πράγματι, αυτό είναι ένα παράδειγμα του ίδιου του ορισμού οποιουδήποτε πίνακα ελέγχου ισοτιμίας σε σχέση με τον γεννήτορα πίνακακά του.

## Ιστορία και εφαρμογές

Ο τριαδικός κώδικας Γκολέ δημοσιεύθηκε από τον Γκολέ .  Ανακαλύφθηκε ανεξάρτητα δύο χρόνια νωρίτερα από τον Φινλανδό λάτρη των ποδοσφαιρικών στοιχημάτων Γιουχάνι Βιρτακάλιο, ο οποίος τον δημοσίευσε το 1947 στα τεύχη 27, 28 και 33 του ποδοσφαιρικού περιοδικού *Veikkaaja*. 

Ο τριαδικός κώδικας Γκολέ έχει αποδειχθεί χρήσιμος για μια προσέγγιση στην κβαντική υπολογιστική με ανοχή σε σφάλματα, γνωστή ως απόσταξη μαγικών καταστάσεων. 

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Σώμα διασπάσεως
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νοεροί υπολογισμοί

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
* 
* Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
*
*
*
*
*
*
*
*.   **English translation** (of 2nd revised edition):  *(Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)*
*

## Πηγές
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία κωδικοποίησης
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα