Τραπέζιο

Στην ευκλείδεια γεωμετρία, **τραπέζιο** είναι το κυρτό τετράπλευρο που έχει δύο μόνο πλευρές παράλληλες. Οι παράλληλες αυτές πλευρές λέγονται **βάσεις** και η απόστασή τους **ύψος** του τραπεζίου. Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών του λέγεται **διάμεσος** του τραπεζίου.

Ειδικές περιπτώσεις τραπεζίου είναι το ισοσκελές τραπέζιο και το ορθογώνιο τραπέζιο.

## Ιδιότητες

* Η διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους.

{2}.

Θα δημιουργήσουμε τρίγωνο στο οποίο η \rm M_1M_2 να συνδέει τα μέσα δύο πλευρών του. Γνωρίζουμε ότι το \rm M_1 είναι μέσο της πλευράς \mathrm{A\Delta}, αρκεί λοιπόν το \rm M_2 να είναι το μέσο μιάς άλλης πλευράς. Πράγματι, ενώνουμε τα σημεία \mathrm{\Delta}, \rm M_2 και προεκτείνουμε την \rm \Delta M_2, η οποία τέμνει την προέκταση της πλευράς \mathrm{AB} έστω στο σημείο \rm K.

Τα τρίγωνα \mathrm{\Delta \Gamma M_2} και \mathrm{KBM_2} έχουν
* \mathrm{\Gamma M_2=BM_2},
* \widehat{\mathrm{\Delta \Gamma M_2}} =\widehat{\mathrm{KBM_2}} ως εντός και εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων  \mathrm{AB||\Gamma \Delta} που τέμνονται από την \mathrm{\Delta K},
* \widehat{\mathrm{\Delta M_2 \Gamma }} =\widehat{\mathrm{BM_2K}} ως κατακορυφήν.
Άρα σύμφωνα με το κριτήριο ΓΠΓ τα τρίγωνα είναι ίσα και έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα. Δηλαδή, \mathrm{\Delta M_2=M_2K} και \mathrm{\Delta \Gamma= BK}.

Επομένως στο τρίγωνο \mathrm{A\Delta K} το ευθύγραμμο τμήμα \rm M_1M_2 συνδέει τα μέσα των πλευρών \mathrm{A\Delta} και \mathrm{\Delta K} άρα είναι \rm M_1M_2||=\frac{\mathrm{AK}}{2}. Άρα \rm M_1M_2||{AB}||{\Gamma\Delta}.

Είναι επίσης 
:\mathrm{AK=AB+BK=AB+\Gamma \Delta},
Συνεπώς
:\mathrm{M_1M_2} =\frac{\mathrm{AK}}{2} = \frac{\mathrm{\Gamma\Delta}+\mathrm{AB}}{2}.
Αποδείξαμε λοιπόν ότι
{2}.}}
}}

}}

*Το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα μέσα των διαγωνίων ενός τραπεζίου είναι παράλληλο προς τις βάσεις του και ίσο με την ημιδιαφορά των βάσεων.

{2}.

Θα δημιουργήσουμε τρίγωνο στο οποίο η \rm N_1N_2 να συνδέει τα μέσα δύο πλευρών του. Γνωρίζουμε ότι το \rm N_1 είναι μέσο της διαγωνίου \mathrm{A\Gamma}, αρκεί λοιπόν το \rm N_2 να είναι το μέσο μιάς άλλης πλευράς. Πράγματι, ενώνουμε τα σημεία \mathrm{\Gamma}, \rm N_2 και προεκτείνουμε την \rm \Gamma N_2, η οποία τέμνει την πλευρά \mathrm{AB} έστω στο σημείο \rm E.

Τα τρίγωνα \mathrm{\Delta \Gamma N_2} και \mathrm{EBN_2} έχουν
* την \mathrm{\Delta N_2=BN_2},
* \widehat{\mathrm{\Gamma \Delta N_2}} =\widehat{\mathrm{EBN_2}} ως εντός και εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων  \mathrm{AB||\Gamma \Delta} που τέμνονται από την \mathrm{B \Delta},
* \widehat{\mathrm{\Delta N_2 \Gamma }} =\widehat{\mathrm{BN_2E}} ως κατακορυφήν.
Άρα σύμφωνα με το κριτήριο ΓΠΓ τα τρίγωνα είναι ίσα και έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα. Δηλαδή, \mathrm{\Gamma N_2=N_2E} και \mathrm{\Delta \Gamma= BE}.

Επομένως στο τρίγωνο \mathrm{A\Gamma E} το ευθύγραμμο τμήμα \rm N_1N_2 συνδέει τα μέσα των πλευρών \mathrm{A\Gamma} και \mathrm{\Gamma E} άρα είναι \rm N_1N_2||=\frac{\mathrm{AE}}{2}. Άρα \rm N_1N_2||{AB}||{\Gamma\Delta}.

Είναι επίσης
:\mathrm{AE=AB-BE=AB-\Gamma \Delta},
συνεπώς
:\mathrm{N_1N_2} =\frac{\mathrm{AE}}{2} = \frac{\mathrm{\mathrm{AB}-\Gamma\Delta}}{2}.
Αποδείξαμε λοιπόν ότι
{2}.}}
}}
{2}.

Η \mathrm{EZ} είναι παράλληλη προς τις δύο βάσεις του τραπεζίου διότι αποτελεί τμήμα της διαμέσου \rm M_1M_2.

Στο τρίγωνο \mathrm{B\Gamma \Delta} το σημείο \rm M_2 είναι το μέσο της πλευράς \rm B \Gamma και η \rm M_2Z είναι παράλληλη προς την πλευρά \rm \Gamma \Delta άρα το σημείο \mathrm{Z} είναι το μέσον της \mathrm{B\Delta} και είναι \rm M_2Z= \frac{\mathrm{\Gamma\Delta}}{2}.

Ομοίως στο τρίγωνο \mathrm{A\Delta \Gamma} το σημείο \rm M_1 είναι το μέσο της πλευράς \rm A \Delta και η \rm M_1E είναι παράλληλη προς την πλευρά \rm \Gamma \Delta άρα το σημείο \mathrm{E} είναι το μέσον της \mathrm{A\Gamma} και είναι \rm M_1E= \frac{\mathrm{\Gamma\Delta}}{2}.

Επομένως
:\mathrm{EZ} =\mathrm{M_1M_2}- \mathrm{M_1E} - \mathrm{M_2Z} = \frac{\mathrm{\Alpha\Beta} + \mathrm{\Gamma\Delta}}{2}-\frac{\mathrm{\Gamma\Delta}}{2}-\frac{\mathrm{\Gamma\Delta}}{2}=\frac{\mathrm{\Alpha\Beta} - \mathrm{\Gamma\Delta}}{2}.
Αποδείξαμε λοιπόν ότι 
{2}}}
}}

## Εμβαδόν
* Το εμβαδόν τραπεζίου ισούται με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των βάσεών του επί το ύψος του.

* Το εμβαδόν τραπεζίου ισούται με το γινόμενο μίας μη-παράλληλης πλευράς του επί την απόσταση του μέσου της άλλης από αυτήν.

 =\widehat{\mathrm{M_1AK}} ως εντός και εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων  \mathrm{AB||\Gamma \Delta} που τέμνονται από την \mathrm{A\Delta},
* \widehat{\mathrm{\Delta M_1Z }} =\widehat{\mathrm{AM_1K}} ως κατακορυφήν.
Άρα σύμφωνα με το κριτήριο ΓΠΓ τα τρίγωνα είναι ίσα άρα και ισεμβαδικά.

}}
### Τύποι για το εμβαδόν

Σε κάθε τραπέζιο \mathrm{AB\Gamma\Delta}  με βάσεις \mathrm{AB}||\mathrm{\Gamma\Delta} και ύψος το \mathrm{AA'} το εμβαδόν του δίνεται από τον τύπο:
:
  \mathrm{E} = \frac{1}{2} \cdot (\mathrm{AB} + \mathrm{\Gamma\Delta}) \cdot \mathrm{AA'}.

Επίσης γράφεται ως
:\mathrm{E} = \frac{(B+\beta) \cdot \upsilon}{2},
όπου το κεφαλαίο B σηματοδοτεί την μεγάλη βάση, το μικρό \beta την μικρή βάση και το \upsilon το ύψος του τραπεζίου.

Από τον παρακάτω τύπο για το ύψος του τραπεζίου προκύπτει ο εξής τύπος για το εμβαδόν συναρτήσει των πλευρών:
:
{\rm E}=\frac{1}{2} \cdot (\alpha + \gamma) \cdot \sqrt{\beta^2 - \frac{1}{4} \cdot \left( (\gamma - \alpha) - \frac{\beta^2 - \delta^2}{\gamma - \alpha} \right)}.


## Μετρικές σχέσεις

* Το ύψος ενός τραπεζίου με \alpha  δίνεται από τους τύπους
::
\begin{align}
  \upsilon & = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\gamma - \alpha} \cdot \sqrt{(-\alpha + \beta + \gamma + \delta) \cdot (\alpha + \beta - \gamma + \delta) \cdot (-\alpha-\beta+\gamma+\delta) \cdot (-\alpha+\beta+\gamma - \delta)} \\
  & = \sqrt{\beta^2 - \frac{1}{4} \cdot \left( (\gamma - \alpha) - \frac{\beta^2 - \delta^2}{\gamma - \alpha} \right)}.
\end{align}


, όπου \tau = \tfrac{1}{2} \cdot (\beta + \delta + (\gamma - \alpha)), η ημιπερίμετρος του τριγώνου \mathrm{EB\Gamma}.
Επιλύουμε το σύστημα ως προς \upsilon και έχουμε,
:
  \upsilon = \frac{2}{\gamma - \alpha} \cdot \sqrt{\tau \cdot (\tau - (\gamma - \alpha)) \cdot (\tau - \beta) \cdot (\tau - \delta)}.


}}
* Τα μήκη των διαγωνίων ενός τραπεζίου δίνονται από τους τύπους
::\mathrm{B\Delta}=\sqrt{\tfrac{\gamma\cdot \alpha^2-\gamma\cdot  \delta^2 -\alpha \cdot \gamma^2 +\alpha \cdot \beta^2}{\alpha-\gamma}}  και \quad \mathrm{A\Gamma} = \sqrt{\tfrac{\gamma\cdot \beta^2-\gamma\cdot  \alpha^2 -\alpha \cdot \delta^2 +\alpha \cdot \gamma^2}{\alpha-\gamma}}.

 =\widehat{\mathrm{B\Delta \Gamma}}.
Από τον νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα \mathrm{AB\Delta} και \mathrm{B\Gamma\Delta} έχουμε
:
  \left.
  \begin{align}
    \delta^2 & = \mathrm{B\Delta}^2 + \alpha^2 - 2\alpha \cdot \mathrm{B\Delta} \cdot \cos \varphi \\
    \beta^2 & = \mathrm{B\Delta}^2 + \gamma^2 - 2\gamma \cdot \mathrm{B\Delta} \cdot \cos \varphi
  \end{align}
  \right\} 
  \Rightarrow 
  \left.
  \begin{align}
    2 \cdot \mathrm{B\Delta} \cdot \cos \varphi & = \tfrac{1}{\alpha} \cdot (\mathrm{B\Delta}^2 + \alpha^2 - \delta^2) \\
    2 \cdot \mathrm{B\Delta} \cdot \cos \varphi & = \tfrac{1}{\gamma} \cdot (\mathrm{B\Delta}^2 + \gamma^2 - \beta^2)
  \end{align}
  \right\}.

Τα πρώτα μέλη των δύο ισοτήτων είναι ίσα άρα και τα δεύτερα είναι ίσα. Έτσι έχουμε την ισότητα,
:\tfrac{1}{\gamma} \cdot (\mathrm{B\Delta}^2 + \gamma^2 - \beta^2)= \tfrac{1}{\alpha} \cdot (\mathrm{B\Delta}^2 + \alpha^2 - \delta^2)

:\alpha \cdot (\mathrm{B\Delta}^2 + \gamma^2 - \beta^2)=\gamma\cdot (\mathrm{B\Delta}^2 + \alpha^2 - \delta^2)

:\alpha \cdot \mathrm{B\Delta}^2 +\alpha \cdot \gamma^2 -\alpha \cdot \beta^2 =\gamma\cdot \mathrm{B\Delta}^2 + \gamma\cdot \alpha^2 -\gamma\cdot  \delta^2

:(\alpha-\gamma\cdot) \mathrm{B\Delta}^2=\gamma\cdot \alpha^2-\gamma\cdot  \delta^2 -\alpha \cdot \gamma^2 +\alpha \cdot \beta^2
:\mathrm{B\Delta}^2=\tfrac{\gamma\cdot \alpha^2-\gamma\cdot  \delta^2 -\alpha \cdot \gamma^2 +\alpha \cdot \beta^2}{\alpha-\gamma} 
:\mathrm{B\Delta}=\sqrt{\tfrac{\gamma\cdot \alpha^2-\gamma\cdot  \delta^2 -\alpha \cdot \gamma^2 +\alpha \cdot \beta^2}{\alpha-\gamma}} .
Ομοίως, εργαζόμαστε και για την \rm A\Gamma.
}}

## Ανισοτικές σχέσεις

Σε κάθε τραπέζιο \mathrm{AB\Gamma\Delta} με βάσεις τις \mathrm{AB}||\mathrm{\Gamma\Delta} (\mathrm{AB}>\mathrm{\Gamma\Delta}), ισχύουν τα εξής:
*:
  |\mathrm{B\Delta} - \mathrm{A\Gamma}| 

*:
 |\mathrm{A \Delta} - \mathrm{B\Gamma}| 

## Ειδικές περιπτώσεις

### Ισοσκελές τραπέζιο
Ένα τραπέζιο που έχει τις μη-παράλληλες πλευρές του ίσες λέγεται ισοσκελές τραπέζιο. Το ισοσκελές τραπέζιο είναι το μόνο τραπέζιο εγγράψιμο σε κύκλο.

Ειδική περίπτωσή του είναι το τραπέζιο με τρεις πλευρές ίσες.

### Ορθογώνιο τραπέζιο
right|thumb|Ορθογώνιο τραπέζιο με <math>\hat{\mathrm{A}} = \hat{\mathrm{B}} = 90^\circ</math>.
Ένα τραπέζιο που έχει τις δύο του γωνίες ορθές λέγεται ορθογώνιο τραπέζιο. 

### Περιγράψιμο τραπέζιο
Ένα τραπέζιο λέγεται περιγράψιμο σε κύκλο, αν υπάρχει κύκλος στον οποίο και οι τέσσερις πλευρές του τραπεζίου εφάπτονται σε αυτόν. Δεν είναι όλα τα τραπέζια περιγράψιμα.

## Εφαρμογές

### Τραπεζοειδής αποσύνθεση
Στην υπολογιστική γεωμετρία, η τραπεζοειδής αποσύνθεση χωρίζει έναν χώρο με n αντικείμενα (που αναπαριστούνται από πολύγωνα), σε τραπέζια παίρνοντας τις προβολές των σημείων στον άξονα xx'. Ενώνοντας τα γειτονικά τραπέζια, λαμβάνουμε έναν γράφο που μας επιτρέπει π.χ. να βρίσκουμε μονοπάτια μεταξύ δύο τοποθεσιών στον αρχικό χώρο.

## Δείτε ακόμη
* Ισοσκελές τραπέζιο
* Ορθογώνιο τραπέζιο
* Περιγράψιμο τραπέζιο
* Τετράπλευρο
* Παραλληλόγραμμο

## Περαιτέρω ανάγνωση
### Ξενόγλωσσα άρθρα
* 

## Σημειώσεις


## Παραπομπές


## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* 
* 

Τραπεζιο