Κατηγορία σχέσεων

Στα μαθηματικά, η **κατηγορία** **σχέσεων** **Rel** έχει ως αντικείμενα την κατηγορία των συνόλων και ως μορφισμούς τις δυαδικές σχέσεις.

Ένας μορφισμός (ή βέλος) *R* : *A* → *B* σε αυτή την κατηγορία είναι μια σχέση μεταξύ των συνόλων *A* και *B*, οπότε .

Η σύνθεση των δύο σχέσεων *R*: *A* → *B* και *S*: *B* → *C* δίνεται από τη σχέση 
:(*a*, *c*) ∈ *S* o *R* ⇔ για κάποιο *b* ∈ *B*, (*a*, *b*) ∈ *R* και (*b*, *c*) ∈ *S*.

Η **Rel** έχει επίσης ονομαστεί η "κατηγορία των αντιστοιχιών συνόλων".

## Ιδιότητες

Η κατηγορία **Rel** έχει την κατηγορία των συνόλων **Set** ως (ευρεία) υποκατηγορία, όπου το βέλος  στο '''Set''' (σύνολο) αντιστοιχεί στη σχέση  που ορίζεται από τη σχέση .

Ένας μορφισμός στην **Rel** είναι μια σχέση, και ο αντίστοιχος μορφισμός στην αντίθετη κατηγορία από την **Rel** έχει τα βέλη αντίστροφα, οπότε είναι η αντίστροφη σχέση. Έτσι, η **Rel** περιέχει το αντίθετό της και είναι αυτοδυϊκή.

Η ενέλιξη που αναπαρίσταται με τη λήψη της αντίστροφης σχέσης παρέχει την ενέλιξη που κάνει την **Rel** μια κατηγορία ενέλιξης. . 

Η κατηγορία έχει δύο συναρτητές στον εαυτό της που δίνονται από τον συναρτητή hom: Μια δυαδική σχέση *R* ⊆ *A* × *B* και η αντιστροφή της *R*T ⊆ *B* × *A* μπορούν να συντεθούν είτε ως *R R*T είτε ως *R*T *R*. Η πρώτη σύνθεση οδηγεί σε μια ομογενή σχέση επί του *A* και η δεύτερη επί του *B*. Δεδομένου ότι οι εικόνες αυτών των συναρτητών hom είναι στο ίδιο το **Rel** σε αυτή την περίπτωση το hom είναι έναν εσωτερικό συναρτητή hom, η **Rel** είναι μια κλειστή κατηγορία, και επιπλέον μια συμπαγή ενέλιξη κατηγορία.

Η κατηγορία **Rel** μπορεί να προκύψει από την κατηγορία '''Set''' ως η κατηγορία Κλέισλι για τη μονάδα της οποίας ο συναρτητής αντιστοιχεί στο δυναμοσύνολο, ερμηνευόμενος ως συναλλοίωτος συναρτητής.

Ίσως εκπλήσσει λίγο με την πρώτη ματιά το γεγονός ότι το γινόμενο στο **Rel** δίνεται από την ασύνδετη ή ξένη ένωση (αντί για το καρτεσιανό γινόμενο όπως είναι στο Set), και το ίδιο ισχύει και για το συνγινόμενο.

Το **Rel** είναι μονοειδώς κλειστό, αν ορίσουμε τόσο το μονοειδές γινόμενο  *A* ⊗ *B* όσο και το εσωτερικό hom *A* ⇒ *B* με το καρτεσιανό γινόμενο συνόλων. Είναι επίσης μια μονοειδής κατηγορία, αν ορίσουμε το μονοειδές γινόμενο με την ασύνδετη ή ξένη ένωση συνόλων.

Η κατηγορία **Rel** ήταν το πρωτότυπο για την αλγεβρική δομή που ονομάζεται αλληγορία από τους Πίτερ Τζ. Φρέιντ και Αντρέ Σκεντρόφ το 1990. Ξεκινώντας με μια κανονική κατηγορία και έναν συναρτητή *F*: *A* → *B*, σημειώνουν ιδιότητες του επαγόμενου συναρτητή Rel(*A,B*) → Rel(*FA, FB*). Επί παραδείγματι, διατηρεί τη σύνθεση, τη μετατροπή και την τομή. Τέτοιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται στη συνέχεια για την παροχή αξιωμάτων για μια αλληγορία.

## Σχέσεις ως αντικείμενα

Οι Ντάβιντ Ράιντχαρντ και Ροντ Μπέρσταλ θεωρούν ότι η **Rel** έχει αντικείμενα που είναι ομογενείς σχέσεις. Επί παραδείγματι, το  *A* είναι ένα σύνολο και το *R* ⊆ *A* × *A* είναι μια δυαδική σχέση στο *A*. Οι μορφισμοί αυτής της κατηγορίας είναι συναρτήσεις μεταξύ συνόλων που διατηρούν μια σχέση: Έστω ότι  *S* ⊆ *B* × *B*  είναι μια δεύτερη σχέση και *f*: *A* → *B* είναι μια συνάρτηση τέτοια ώστε  xRy \implies f(x)Sf(y),  τότε η *f* είναι ένας μορφισμός.

Η ίδια ιδέα αναπτύχθηκε από τους Άνταμεκ, Χέρλιχ και Στρέκερ, όπου ονομάζουν τα αντικείμενα (*A, R*) και (*B, S*), σύνολο και σχέση.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


*
*Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
* star-autonomous category at the nLab
* 
* *This article is based in part on [http://www.planetmath.org PlanetMath]'s [http://planetmath.org/encyclopedia/TerminalObjectsAndZeroObjectsExamplesOfInitialObjects.html article on examples of initial and terminal objects].*
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα