Κριτήρια διαιρετότητας

Στα μαθηματικά, τα **κριτήρια διαιρετότητας** είναι διάφοροι γρήγοροι κανόνες που μας επιτρέπουν να ελέγξουμε αν ένας αριθμός διαιρεί έναν άλλον, χωρίς να πρέπει να κάνουμε την διαίρεση μεταξύ των δύο αριθμών (και να ελέγουμε το υπόλοιπο).

Για παράδειγμα, αν θέλουμε να ελέγξουμε αν το 122113344 διαιρείται από το 3, μπορούμε είτε να κάνουμε την κάθετη διαίρεση και να δούμε ότι το υπόλοιπο είναι όντως μηδέν, ή να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα που θα δούμε παρακάτω, που λέει ότι ένας αριθμός διαιρείται από το 3 ανν το 3 διαιρεί το άθροισμα των ψηφίων του, δηλαδή το 1 + 2 + 2 + 1 + 1 + 3 + 3 + 4 + 4 = 21 (το οποίο είναι πιο γρήγορο να ελεγχθεί). 

Οι κανόνες διαιρετότητας εξαρτώνται από το σύστημα αρίθμησης που χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση των αριθμών.

## Στο δεκαδικό σύστημα

Τα παρακάτω κριτήρια αφορούν την διαιρετότητα φυσικών αριθμών n γραμμένων στο δεκαδικό σύστημα όπου n_kn_{k-1} \ldots n_1 n_0 είναι τα ψηφία τους.

### Διαιρετότητα με το 2

**Θετικό παράδειγμα (✔):** Το 2 διαιρεί το 264 καθώς ο αριθμός τελειώνει σε 4 (και όντως 264 = 2 \cdot 132).

**Αρνητικό παράδειγμα (✗):** Το 2 δεν διαιρεί το 15 καθώς ο αριθμός τελειώνει σε 5 (και όντως 15 = 2 \cdot 7 + 1).

### Διαιρετότητα με το 3

**Θετικό παράδειγμα (✔):** Το 3 διαιρεί το 264 καθώς το 3 διαιρεί το 2 + 6 + 4 = 12 (και όντως 264 = 3 \cdot 88).

**Αρνητικό παράδειγμα (✗):** Το 3 δεν διαιρεί το 104 γιατί το 3 δεν διαιρεί το 1 + 0 + 4 = 5 (και όντως 104 = 3 \cdot 34 + 2).

### Διαιρετότητα με το 4

**Θετικό παράδειγμα (✔):** Το 4 διαιρεί το 1568 καθώς ο αριθμός τελειώνει σε 68 που διαιρείται από το 4 (και όντως 1575 = 4 \cdot 392).

**Αρνητικό παράδειγμα (✗):** Το 4 δεν διαιρεί το 127 καθώς το 4 δεν διαιρεί το 27 (και όντως 127 = 4 \cdot 31 + 1).

### Διαιρετότητα με το 5

**Θετικό παράδειγμα (✔):** Το 5 διαιρεί το 145 καθώς ο αριθμός τελειώνει σε 5 (και όντως 145 = 5 \cdot 29).

**Αρνητικό παράδειγμα (✗):** Το 5 δεν διαιρεί το 17 καθώς ο αριθμός τελειώνει σε 5 (και όντως 17 = 3 \cdot 5 + 1).

### Διαιρετότητα με το 6

**Θετικό παράδειγμα (✔):** Το 6 διαιρεί το 264 καθώς ο αριθμός τελειώνει σε 4 και το 3 διαιρεί το 2 + 6 + 4 = 12 (και όντως 264 = 6 \cdot 44).

**Αρνητικό παράδειγμα (✗):** Το 6 δεν διαιρεί το 104 γιατί το 3 δεν διαιρεί το 1 + 0 + 4 = 5 (και όντως 104 = 6 \cdot 17 + 2).
### Διαιρετότητα με το 7

**Θετικό παράδειγμα (✔):** Το 7 διαιρεί το 512568 καθώς το 7 διαιρεί το 512-568 = -56 (και όντως 512568 = 7 \cdot 73224).

**Αρνητικό παράδειγμα (✗):** Το 7 δεν διαιρεί το 12062 καθώς το 7 δεν διαιρεί το 12 - 62 = -50 (και όντως 12062 = 1723 \cdot 7 + 1).

### Διαιρετότητα με το 8

**Θετικό παράδειγμα (✔):** Το 8 διαιρεί το 12568 καθώς ο αριθμός τελειώνει σε 568 που διαιρείται από το 8 (και όντως 12568 = 8 \cdot 1571).

**Αρνητικό παράδειγμα (✗):** Το 8 δεν διαιρεί το 12062 καθώς το 8 δεν διαιρεί το 062 (και όντως 12062 = 1507 \cdot 31 + 6).

### Διαιρετότητα με το 9

**Θετικό παράδειγμα (✔):** Το 9 διαιρεί το 657 καθώς το 9 διαιρεί το 6 + 5 + 7 = 18 (και όντως 657 = 9 \cdot 73).

**Αρνητικό παράδειγμα (✗):** Το 9 δεν διαιρεί το 453 γιατί το 9 δεν διαιρεί το 4 + 5 + 3 = 12 (και όντως 453 = 9 \cdot 50 + 3).

### Διαιρετότητα με το 10

**Θετικό παράδειγμα (✔):** Το 10 διαιρεί το 1450 καθώς ο αριθμός τελειώνει σε 0 (και όντως 1450 = 10 \cdot 145).

**Αρνητικό παράδειγμα (✗):** Το 10 δεν διαιρεί το 17 καθώς ο αριθμός τελειώνει σε 7 \neq 0 (και όντως 17 = 10 \cdot 1 + 7).

### Διαιρετότητα με το 11

**Θετικό παράδειγμα (✔):** Το 11 διαιρεί το 968 καθώς το 11 διαιρεί το 9 - 6 + 8 = 11 (και όντως 968 = 11 \cdot 88).

**Αρνητικό παράδειγμα (✗):** Το 11 δεν διαιρεί το 453 γιατί το 11 δεν διαιρεί το 4 - 5 + 3 = 2 (και όντως 453 = 11 \cdot 41 + 2).

### Διαιρετότητα με το 12

**Θετικό παράδειγμα (✔):** Το 12 διαιρεί το 264 καθώς ο αριθμός τελειώνει σε 64 (που διαιρείται από το 4) και το 3 διαιρεί το 2 + 6 + 4 = 12 (και όντως 264 = 12 \cdot 22).

**Αρνητικό παράδειγμα (✗):** Το 12 δεν διαιρεί το 104 γιατί το 3 δεν διαιρεί το 1 + 0 + 4 = 5 (και όντως 104 = 12 \cdot 8 + 8).
### Διαιρετότητα με το 13

**Θετικό παράδειγμα (✔):** Το 13 διαιρεί το 512564 καθώς το 13 διαιρεί το 512-564 = -52 (και όντως 512564 = 13 \cdot 39428).

**Αρνητικό παράδειγμα (✗):** Το 13 δεν διαιρεί το 12062 καθώς το 13 δεν διαιρεί το 12 - 62 = -50 (και όντως 12062 = 13 \cdot 927 + 11).

### Διαιρετότητα με το 25

**Θετικό παράδειγμα (✔):** Το 25 διαιρεί το 1575 καθώς ο αριθμός τελειώνει σε 1575 (και όντως 1575 = 25 \cdot 63).

**Αρνητικό παράδειγμα (✗):** Το 25 δεν διαιρεί το 1214 καθώς ο αριθμός τελειώνει σε 14 \notin \{ 00, 25, 50, 75\} (και όντως 1214 = 25 \cdot 48 + 14).

### Διαιρετότητα με το 100

**Θετικό παράδειγμα (✔):** Το 100 διαιρεί το 1500 καθώς ο αριθμός τελειώνει σε 1500 (και όντως 1500 = 15 \cdot 100).

**Αρνητικό παράδειγμα (✗):** Το 100 δεν διαιρεί το 1214 καθώς ο αριθμός τελειώνει σε 14 \neq 00 (και όντως 1214 = 12 \cdot 100 + 14).

## Σε άλλα συστήματα αρίθμησης
Το παρακάτω κριτήριο γενικεύει το κριτήριο για την διαιρετότητα με το 10 και το 100.

**Θετικό παράδειγμα (✔):** Το 4 = 2^2 διαιρεί το 20 = 10100_2 καθώς ο αριθμός τελειώνει σε 00 στην δυαδική του αναπαράσταση.

**Αρνητικό παράδειγμα (✗):** Το 4 = 2^2 δεν διαιρεί το 21 = 10101_2 καθώς ο αριθμός τελειώνει σε 01 \neq 00.

Το παρακάτω κριτήριο γενικεύει το κριτήριο για την διαιρετότητα με το 9.

Το παρακάτω κριτήριο γενικεύει το κριτήριο για την διαιρετότητα με το 11.

## Περαιτέρω ανάγνωση

### Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* Κριτήρια διαιρετότητας στο art of problem solving.
* Κριτήρια διαιρετότητας στο Cut The Knot.

### Ξενόγλωσσα άρθρα
* 

## Δείτε επίσης
* Διαιρετότητα
* Αριθμητική υπολοίπων

## Παραπομπές


Κατηγορία:Θεωρία αριθμών