Στροφοειδές

Στη γεωμετρία, ένα **στροφοειδές** είναι μια καμπύλη που δημιουργείται από μια δεδομένη καμπύλη  και τα σημεία  (το σταθερό σημείο) και  (ο πόλος) ως εξής: Έστω  μια μεταβλητή ευθεία που διέρχεται από το  και τέμνει τη  στο . Έστω τώρα *P*1  και *P*2 τα δύο σημεία της  των οποίων η απόσταση από το  είναι ίδια με την απόσταση από το  στο  (δηλαδή  1 =  2 = ). Ο τόπος αυτών των σημείων *P*1 και *P*2 είναι τότε το στροφοειδές του  ως προς τον πόλο O και το σταθερό σημείο . Σημειώστε ότι τα  1 και  2  είναι σε ορθή γωνία σε αυτή την κατασκευή.

Στην ειδική περίπτωση όπου η  είναι ευθεία, το  βρίσκεται πάνω στη  και το  δεν βρίσκεται πάνω στη , τότε η καμπύλη ονομάζεται πλάγιο στροφοειδές. Εάν, επιπλέον, η   είναι κάθετη στη  , τότε η καμπύλη ονομάζεται ορθή στροφοειδής ή απλώς στροφοειδής από ορισμένους συγγραφείς. Το δεξιό στροφοειδές ονομάζεται επίσης λογοκυκλική καμπύλη ή φυλλόμορφη καμπύλη.

## Εξισώσεις

### Πολικές συντεταγμένες
Έστω ότι η καμπύλη  δίνεται από τη σχέση r = f(\theta), όπου η αρχή λαμβάνεται ως . Έστω  το σημείο . Αν K = (r \cos\theta,\ r \sin\theta) είναι ένα σημείο της καμπύλης η απόσταση από το  στο  είναι 

:d = \sqrt{(r \cos\theta - a)^2 + (r \sin\theta - b)^2} = \sqrt{(f(\theta) \cos\theta - a)^2 + (f(\theta) \sin\theta - b)^2}.

Τα σημεία στην ευθεία  έχουν πολική γωνία , και τα σημεία σε απόσταση  από  στην ευθεία αυτή έχουν απόσταση f(\theta) \pm d από την αρχή. Επομένως, η εξίσωση του στροφοειδούς δίνεται από τη σχέση

:r = f(\theta) \pm \sqrt{(f(\theta) \cos\theta - a)^2 + (f(\theta) \sin\theta - b)^2}

### Καρτεσιανές συντεταγμένες
Έστω  που δίνεται παραμετρικά από . Έστω  το σημείο  και έστω  το σημείο . Τότε, με μια απλή εφαρμογή του πολικού τύπου, το στροφοειδές δίνεται παραμετρικά από:

:u(t) = p + (x(t)-p)(1 \pm n(t)),\ v(t) = q + (y(t)-q)(1 \pm n(t)),
όπου
:n(t) = \sqrt{\frac{(x(t)-a)^2+(y(t)-b)^2}{(x(t)-p)^2+(y(t)-q)^2}}.

### Ένας εναλλακτικός πολικός τύπος
Η μιγαδική φύση των παραπάνω τύπων περιορίζει τη χρησιμότητά τους σε συγκεκριμένες περιπτώσεις. Υπάρχει ένας εναλλακτικός τύπος που είναι μερικές φορές απλούστερος στην εφαρμογή. Αυτή είναι ιδιαίτερα χρήσιμη όταν η  είναι μια τομή Μακλάουριν με πόλους  και .

Έστω  η αρχή και  το σημείο . Έστω  ένα σημείο της καμπύλης,  η γωνία μεταξύ *OK* και του άξονα  και   η γωνία μεταξύ *AK* και του άξονα }. Ας υποθέσουμε ότι  μπορεί να δοθεί ως συνάρτηση , ας πούμε \vartheta = l(\theta).  Έστω  η γωνία στο , οπότε \psi = \vartheta - \theta. Μπορούμε να προσδιορίσουμε το  ως προς το  χρησιμοποιώντας το νόμο των ημιτόνων. Δεδομένου ότι

:{r \over \sin \vartheta} = {a \over \sin \psi},\ r = a \frac {\sin \vartheta}{\sin \psi} = a \frac {\sin l(\theta)}{\sin (l(\theta) - \theta)}.

Έστω *P*1 και *P*2 τα σημεία του  που απέχουν απόσταση  από το , με αρίθμηση έτσι ώστε \psi = \angle P_1KA και \pi-\psi = \angle AKP_2.   είναι ισοσκελής με γωνία κορυφής , οπότε οι υπόλοιπες γωνίες,  \angle AP_1K και  \angle KAP_1 είναι \tfrac{\pi-\psi}{2}.  Η γωνία μεταξύ 1 και του -άξονα είναι τότε

:l_1(\theta) = \vartheta + \angle KAP_1 = \vartheta + (\pi-\psi)/2 = \vartheta + (\pi - \vartheta + \theta)/2 = (\vartheta+\theta+\pi)/2.

Με ένα παρόμοιο επιχείρημα, ή απλά χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι οι 1 και 2 βρίσκονται σε ορθή γωνία, η γωνία μεταξύ 2 και του άξονα  είναι τότε 

:l_2(\theta) = (\vartheta+\theta)/2.

Η πολική εξίσωση για το στροφοειδές μπορεί τώρα να προκύψει από *l*1 και *l*2  από τον παραπάνω τύπο:

:\begin{align}
& r_1=a \frac {\sin l_1(\theta)}{\sin (l_1(\theta) - \theta)} = a \frac {\sin ((l(\theta)+\theta+\pi)/2)}{\sin ((l(\theta)+\theta+\pi)/2 - \theta)} = a \frac{\cos ((l(\theta)+\theta)/2)}{\cos ((l(\theta)-\theta)/2)} \\

& r_2=a \frac {\sin l_2(\theta)}{\sin (l_2(\theta) - \theta)} = a \frac {\sin ((l(\theta)+\theta)/2)}{\sin ((l(\theta)+\theta)/2 - \theta)} = a \frac{\sin((l(\theta)+\theta)/2)}{\sin((l(\theta)-\theta)/2)}
\end{align}

 είναι μια σέκτα Μακλάουριν με πόλους  και  όταν  είναι της μορφής q \theta + \theta_0,  στην περίπτωση αυτή οι *l*1 και *l*2 θα έχουν την ίδια μορφή οπότε το στροφοειδές είναι είτε μια άλλη τομή του Μακλάουριν είτε ένα ζεύγος τέτοιων καμπυλών. Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει επίσης μια απλή πολική εξίσωση για την πολική εξίσωση αν η αρχή μετατοπιστεί προς τα δεξιά κατά .

## Ειδικές περιπτώσεις

### Πλάγια στροφοειδή
Έστω  μια ευθεία που διέρχεται από την . Τότε, στον συμβολισμό που χρησιμοποιήθηκε παραπάνω, l(\theta) = \alpha όπου  είναι μια σταθερά. Τότε l_1(\theta) = (\theta + \alpha + \pi)/2 και l_2(\theta) = (\theta + \alpha)/2. Οι πολικές εξισώσεις του προκύπτοντος στροφοειδούς, που ονομάζεται πλάγιο στροφοειδές, με αρχή στο  είναι τότε

:r = a \frac{\cos ((\alpha+\theta)/2)}{\cos ((\alpha-\theta)/2)}
και
:r = a \frac{\sin ((\alpha+\theta)/2)}{\sin ((\alpha-\theta)/2)}.
Είναι εύκολο να ελέγξουμε ότι αυτές οι εξισώσεις περιγράφουν την ίδια καμπύλη. 

Μετακίνηση της αρχής στην  (και πάλι, βλέπε Τομή Μακλάουριν) και αντικαθιστώντας  με  προκύπτει
:r=a\frac{\sin(2\theta-\alpha)}{\sin(\theta-\alpha)},

και η περιστροφή κατά \alpha με τη σειρά της παράγει
:r=a\frac{\sin(2\theta+\alpha)}{\sin(\theta)}.

Σε ορθογώνιες συντεταγμένες, με αλλαγή σταθερών παραμέτρων, αυτό είναι
:y(x^2+y^2)=b(x^2-y^2)+2cxy.

Πρόκειται για κυβική καμπύλη και, από την έκφραση σε πολικές συντεταγμένες, είναι ρητή. Έχει κόμβο στο  και την ευθεία 
 είναι ασυμπτωτική.

### Δεξί στροφοειδές

Θέτοντας \alpha = \pi/2 στο
:r=a\frac{\sin(2\theta-\alpha)}{\sin(\theta-\alpha)}

δίνει
:r=a\frac{\cos 2\theta}{\cos \theta} = a(2\cos\theta-\sec\theta).

Αυτό ονομάζεται *δεξί στροφοειδές* και αντιστοιχεί στην περίπτωση όπου  είναι ο -άξονας,  είναι η αρχή και  είναι το σημείο .

Η καρτεσιανή εξίσωση είναι η εξής
:y^2 = x^2(a-x)/(a+x).

Η καμπύλη μοιάζει με το Folium του Ντεκάρτ και η ευθεία x = -a είναι μια ασύμπτωτη σε δύο κλάδους. Η καμπύλη έχει δύο ακόμη ασύμπτωτες, στο επίπεδο με μιγαδικές συντεταγμένες, που δίνονται από 
:x\pm iy = -a.

### Κύκλοι
Έστω  ένας κύκλος που διέρχεται από  και , όπου  είναι η αρχή και  είναι το σημείο . Τότε, στον συμβολισμό που χρησιμοποιήθηκε παραπάνω, l(\theta) = \alpha+\theta όπου \alpha είναι μια σταθερά. Τότε l_1(\theta) = \theta + (\alpha + \pi)/2 και l_2(\theta) = \theta + \alpha/2. Οι πολικές εξισώσεις του προκύπτοντος στροφοειδούς, το οποίο ονομάζεται λοξό στροφοειδές, με αρχή στο  είναι τότε

:r = a \frac{\cos (\theta+\alpha/2)}{\cos (\alpha/2)}
και
:r = a \frac{\sin (\theta+\alpha/2)}{\sin (\alpha/2)}.

Αυτές είναι οι εξισώσεις των δύο κύκλων που επίσης διέρχονται από  και  και σχηματίζουν γωνίες \pi/4 με  στα σημεία αυτά.

## Δείτε επίσης

* Field Arithmetic
* Θεώρημα δείκτη Ατίγια-Σίνγκερ
*Τοπολογία
* Γένος (μαθηματικά)
* Ελλειπτική συνάρτηση Βάιερστρας

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Andreas Gathmann - Algebraic Geometry (SS 2014)
* Math 252: Modular Abelian Varieties
* Handbook of Conformal Mapping with Computer-Aided Visualization
* A Catalog of Special Plane Curves
* CRC Concise Encyclopedia of Mathematics
* A Book of Curves

## Δημοσιεύσεις
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*Hilbert Modular Forms
*David Hilbert's Lectures on the Foundations of Arithmetic and Logic 1917-1933
*Geometry and the Imagination

## Παραπομπές

 

Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία 
Κατηγορία:Καμπύλες 
Κατηγορία:Γεωμετρικά σχήματα 
Κατηγορία:Διαφορική γεωμετρία