Παραλληλόγραμμο

Στην γεωμετρία, το **παραλληλόγραμμο** είναι ένα τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες.

Το σημείο τομής των διαγωνίων του λέγεται **κέντρο** του παραλληλογράμμου.

Η απόσταση δύο απέναντι πλευρών παραλληλογράμμου λέγεται **ύψος** του ενώ οι απέναντι πλευρές λέγονται **βάσεις** ως προς το ύψος αυτό (κάθε παραλληλόγραμμο έχει δύο ύψη). 

Κάποιες φορές ύψη λέγονται και τα κάθετα ευθύγραμμα τμήματα από τις κορυφές του παραλληλογράμμου προς τις πλευρές του. Με αυτόν τον ορισμό ένα παραλληλόγραμμο έχει οκτώ ύψη που είναι ανά τέσσερα ίσα. 

Ειδικές περιπτώσεις παραλληλογράμμου είναι το ορθογώνιο, ο ρόμβος και το τετράγωνο.

## Ιδιότητες
* Σε κάθε παραλληλόγραμμο οι διαδοχικές γωνίες του είναι παραπληρωματικές.
 και \hat{\mathrm{\Delta}} είναι παραπληρωματικές ως εντός και επί τα αυτά των παραλλήλων \mathrm{AB||\Gamma\Delta} που τέμνονται από την \mathrm{A \Delta}, 
* οι γωνίες \hat{\mathrm{\Delta}} και \hat{\mathrm{\Gamma}} είναι παραπληρωματικές ως εντός και επί τα αυτά των παραλλήλων  \mathrm{B\Gamma||\Delta A} που τέμνονται από την \mathrm{\Gamma \Delta}. 

Ομοίως αποδεικνύεται και για τα υπόλοιπα ζεύγη διαδοχικών γωνιών του παραλληλογράμμου.
}}
* Σε κάθε παραλληλόγραμμο οι απέναντι γωνίες είναι ίσες και οι απέναντι πλευρές είναι ίσες.
 και \hat{\mathrm{\Delta}} παραπληρωματικές ως εντός και επί τα αυτά των παραλλήλων \mathrm{AB||\Gamma\Delta} που τέμνονται από την \mathrm{A \Delta}, 
* οι γωνίες \hat{\mathrm{\Delta}} και \hat{\mathrm{\Gamma}} παραπληρωματικές ως εντός και επί τα αυτά των παραλλήλων  \mathrm{B\Gamma||\Delta A} που τέμνονται από την \mathrm{\Gamma \Delta}. 

Άρα \hat{\mathrm{A}} = \hat{\mathrm{\Gamma}} ως παραπληρωματικές ίσων γωνιών. 

Ομοίως αποδεικνύεται ότι \hat{\mathrm{B}} = \hat{\mathrm{\Delta}}.

right|thumb|Τα τρίγωνα <math>\mathrm{AB\Delta}</math> και <math>\mathrm{B\Gamma\Delta}</math> είναι ίσα.
**2**) Θα αποδείξουμε ότι οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες. 

Φέρνουμε την διαγώνιο \mathrm{B\Delta}. 

Τα τρίγωνα \mathrm{AB\Delta} και \mathrm{\Gamma B\Delta} έχουν
* την \mathrm{B\Delta} κοινή,
* \widehat{\mathrm{AB\Delta}} =\widehat{\mathrm{B \Delta \Gamma}} ως εντός και εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων  \mathrm{AB||\Delta \Gamma} που τέμνονται από την \mathrm{B\Delta},
* \widehat{\mathrm{A\Delta B}} =\widehat{\mathrm{\Delta B \Gamma}} ως εντός και εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων  \mathrm{B\Gamma||\Delta A} που τέμνονται από την \mathrm{B\Delta}.
Άρα σύμφωνα με το κριτήριο ΓΠΓ είναι τρίγωνα ίσα και έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα. Δηλαδή, \mathrm{AB} = \mathrm{\Gamma\Delta} και \mathrm{B\Gamma} = \mathrm{A\Delta}. 
}}
* Σε κάθε παραλληλόγραμμο οι διαγώνιοι διχοτομούνται.
 =\widehat{\mathrm{O \Gamma\Delta }} ως εντός και εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων  \mathrm{AB||\Delta \Gamma} που τέμνονται από την \mathrm{A \Gamma},
* \widehat{\mathrm{ABO}} =\widehat{\mathrm{O \Delta \Gamma }} ως εντός και εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων  \mathrm{AB||\Delta \Gamma} που τέμνονται από την \mathrm{B \Delta}.
Άρα σύμφωνα με το κριτήριο ΓΠΓ είναι ίσα και έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα. Δηλαδή \mathrm{OB} = \mathrm{O\Delta} και \mathrm{OA} = \mathrm{O\Gamma}. 

}}
* Οι διχοτόμοι δύο απέναντι γωνιών είναι παράλληλες.
, \hat{\mathrm{\Gamma}} αντίστοιχα.

Είναι
* \widehat{\mathrm{\Delta_AAB}} =\widehat{ \mathrm{\Delta_AA\Delta}}=\frac{\hat{\mathrm{A}}}{2}  ως  εντός και εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων \mathrm{B\Gamma}|| \mathrm{A\Delta} που τέμνονται από την \mathrm{A\Delta_A},
* \widehat{\mathrm{\Delta_\Gamma \Gamma \Delta_A}} =\frac{\hat{\mathrm{\Gamma}}}{2}=\frac{\hat{\mathrm{A}}}{2}.
Άρα  \widehat{\mathrm{A\Delta_AB}} =\widehat{\mathrm{\Delta_\Gamma \Gamma \Delta_A}} συνεπώς οι \mathrm{A\Delta_A}, \mathrm{\Gamma \Delta_\Gamma} τεμνόμενες από την \mathrm{B\Gamma} σχηματίζουν τις εντός και εναλλάξ γωνίες ίσες. Άρα είναι παράλληλες.
, \hat{\mathrm{\Delta}} είναι παράληλλες.}}

}}
* Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών γωνιών είναι κάθετες.
, \hat{\mathrm{B}}.Έστω \mathrm{E} το σημείο τομής των δύο διχοτόμων.

Στο τρίγωνο \mathrm{AEB} είναι 
:
\widehat{\mathrm{EAB}} +\widehat{ \mathrm{EBA}}
 =\frac{\hat{\mathrm{A}}}{2}+\frac{\hat{\mathrm{\Gamma}}}{2}
 =\frac{\hat{\mathrm{A}}+\hat{\mathrm{\Gamma}}}{2}=\frac{180^\circ}{2}=90^\circ, 
διότι \hat{\mathrm{A}}+\hat{\mathrm{\Gamma}}=180^\circ ως διαδοχικές γωνίες παραλληλογράμμου.

Άρα είναι \widehat{\mathrm{AEB}}=180^\circ - (\widehat{\mathrm{EAB}} +\widehat{ \mathrm{EBA}}) = 90^\circ, συνεπώς οι διχοτόμοι των διαδοχικών γωνιών του \hat{\mathrm{A}}, \hat{\mathrm{B}} είναι κάθετες.

}}
* Το κέντρο ενός παραλληλογράμμου είναι και κέντρο συμμετρίας του.
 =\widehat{ \mathrm{\Gamma OZ}} ως κατακορυφήν, και
* τις γωνίες \widehat{\mathrm{EAO}} =\widehat{ \mathrm{O\Gamma Z}}  ως  εντός και εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων \mathrm{B\Gamma}|| \mathrm{A\Delta} που τέμνονται από την \mathrm{EZ}.
Άρα σύμφωνα με το  κριτήριο ΓΠΓ είναι ίσα και έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα, δηλαδή \mathrm{OE} = \mathrm{OZ}. 

Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι το συμμετρικό του σημείου \mathrm{Z} του παραλληλογράμμου ως προς το \mathrm{O} είναι 
το σημείο \mathrm{E} το οποίο είναι και αυτό σημείο του παραλληλογράμου.

}}

## Κριτήρια παραλληλογράμμου
: Ένα κυρτό τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αν και μόνο αν ισχύει μία από τις παρακάτω προτάσεις:
* Οι απέναντι πλευρές είναι ίσες ανά δύο.
 =\widehat{ \mathrm{B\Delta\Gamma}} και \widehat{\mathrm{A\Delta B}} =\widehat{\mathrm{\Delta B \Gamma}}. Συνεπώς είναι \mathrm{AB}|| \mathrm{\Gamma\Delta} και \mathrm{B\Gamma}|| \mathrm{A\Delta} διότι τεμνόμενες από την διαγώνιο \mathrm{B\Delta} σχηματίζουν τις εντός και εναλλάξ γωνίες ίσες.
:
}}
* Δύο απέναντι πλευρές είναι ίσες και παράλληλες.
 =\widehat{\mathrm{\Delta B \Gamma}}. 

Άρα σύμφωνα με το  κριτήριο ΠΓΠ είναι ίσα και συνεπώς έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα. Δηλαδή, είναι \mathrm{AB}= \mathrm{\Gamma\Delta}.  

}}
* Οι απέναντι γωνίες είναι ανά δύο ίσες.
 =\widehat{ \mathrm{B\Delta\Gamma}} ως εντός και εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων \mathrm{AB}|| \mathrm{\Gamma\Delta} που τέμνονται από την \mathrm{B\Delta} και 
* \widehat{\mathrm{A\Delta B}} =\widehat{\mathrm{\Delta B \Gamma}} ως εντός και εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων \mathrm{B\Gamma}|| \mathrm{A\Delta} που τέμνονται από την \mathrm{B\Delta}. 
Άρα οι απέναντι γωνίες \widehat{\mathrm{AB \Gamma}} και \widehat{\mathrm{A \Delta \Gamma}}  του παραλληλογράμμου \mathrm{AB\Gamma\Delta} είναι ίσες διότι είναι αθροίσματα ίσων γωνιών.

Ομοίως αποδεικνύεται ότι \widehat{\mathrm{BA\Delta}} =\widehat{ \mathrm{B\Gamma\Delta}}.

(\Leftarrow) Έστω το τετράπλευρο \mathrm{AB\Gamma\Delta} του οποίου οι απέναντι γωνίες είναι ίσες ανά δύο. Σε κάθε τετράπλευρο ισχύει ότι το άθροισμα των γωνιών του ισούται με 360^\circ. Δηλαδή, 
::\widehat{\mathrm{AB \Gamma}}+\widehat{ \mathrm{B\Gamma\Delta}}+\widehat{ \mathrm{\Gamma\Delta A}}+\widehat{\mathrm{\Delta AB}}=360^\circ
::2 \cdot\widehat{\mathrm{AB \Gamma}}+2 \cdot\widehat{ \mathrm{B\Gamma\Delta}}=360^o διότι είναι \widehat{ \mathrm{B\Gamma\Delta}} =\widehat{\mathrm{\Delta AB}} και \widehat{ \mathrm{AB\Gamma}} =\widehat{\mathrm{\Gamma \Delta A}}
::\widehat{\mathrm{AB \Gamma}}+\widehat{ \mathrm{B\Gamma\Delta}}=180^\circ
Αυτό δηλώνει ότι οι πλευές \mathrm{AB} και \mathrm{\Gamma\Delta} που τέμνονται από την \mathrm{B\Gamma} σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά γωνίες  παραπληρωματικές άρα είναι παράλληλες. Ομοίως αποδεικνύεται ότι \mathrm{B\Gamma}|| \mathrm{A\Delta}. 
: 

}}
* Οι διαγώνιοί του διχοτομούνται.
 =\widehat{ \mathrm{\Delta O\Gamma}} ως κατακορυφήν,
* τις πλευρές \mathrm{OB} = \mathrm{O\Delta}, και
* τις πλευρές \mathrm{OA} = \mathrm{O\Gamma}.
Άρα σύμφωνα με το  κριτήριο ΠΓΠ είναι ίσα και συνεπώς έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα.
Δηλαδή, \mathrm{AB} = \mathrm{\Delta\Gamma}.

Ομοίως αποδεικνύεται ότι Τα τρίγωνα \mathrm{AO\Delta} και \mathrm{BO\Gamma } είναι ίσα δηλαδή, \mathrm{A\Delta} = \mathrm{B\Gamma}.

: 

}}

## Κριτήρια ισότητας παραλληλογράμμων
Ισχύουν τα εξής κριτήρια ισότητας παραλληλογράμμων:
* Δύο παραλληλόγραμμα \mathrm{AB\Gamma\Delta} και \mathrm{A'B'\Gamma'\Delta'} με \mathrm{AB} = \mathrm{A'B'}, \mathrm{A\Delta} = \mathrm{A'\Delta'} και \hat{\mathrm{A}} = \hat{\mathrm{A}} ' είναι ίσα.
* Δύο παραλληλόγραμμα \mathrm{AB\Gamma\Delta} και \mathrm{A'B'\Gamma'\Delta'} με \mathrm{AB} = \mathrm{A'B'}, \mathrm{A\Delta} = \mathrm{A'\Delta'} και \mathrm{A\Gamma} = \mathrm{A'\Gamma'} είναι ίσα.

## Μετρικές σχέσεις
* (**[[Νόμος του παραλληλογράμμου]]**) Σε κάθε παραλληλόγραμμο \mathrm{AB\Gamma\Delta} το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών του είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων του,
::
  \mathrm{AB}^2 + \mathrm{B\Gamma}^2 + \mathrm{\Gamma\Delta}^2 + \mathrm{\Delta A}^2 = 2 \cdot \mathrm{A\Gamma}^2 + 2 \cdot \mathrm{B\Delta}^2
.

## Ανισοτικές σχέσεις

## Εμβαδόν

Υπάρχουν αρκετοί τύποι για το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου \rm AB\Gamma\Delta:
* Το εμβαδόν ισούται με το γινόμενο της βάσης και του αντίστοιχου ύψους:
::
  \mathrm{E} = (\text{βάση}) \cdot (\text{ύψος}).

* Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου είναι διπλάσιο του εμβαδού του τριγώνου \rm AB\Gamma
::\mathrm{E} = 2 \cdot \mathrm{E}_{\rm AB\Gamma}.
:* Από τον τύπο του Ήρωνα στο τρίγωνο \mathrm{AB\Gamma}, ισχύει ότι
:::
  \mathrm{E} = 2\sqrt{\tau \cdot (\tau - \alpha) \cdot (\tau - \beta) \cdot (\tau - \delta)}
,
::όπου \tau = \tfrac{1}{2} \cdot (\alpha + \beta + \delta) και \mathrm{AB} = \alpha, \mathrm{B\Gamma} = \beta και \mathrm{A\Gamma} = \delta.
:* Από τον τύπο του εμβαδού τριγώνου με χρήση ημιτόνου, 
:::\mathrm{E} = \alpha \cdot \beta \cdot \sin \hat{\rm B}.
:* Αν το σημείο \mathrm{A} = (0,0), το \mathrm{B} = (x_1, y_1) και το \mathrm{\Gamma} = (x_2, y_2), τότε 
:::
  \mathrm{E} = \left| \mathrm{det}\begin{bmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{bmatrix} \right| = \left| x_1 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1 \right|
.
* Το εμβαδόν ισούται με το μέτρο του εξωτερικού γινομένου διανυσμάτων των δύο γειτονικών πλευρών
::{\rm E} = |\vec{\rm AB} \times \vec{\rm A\Delta} |.

## Σχετικά σχήματα

### Ειδικές περιπτώσεις
* Ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις γωνίες του ορθές λέγεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. 
* Ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες του τις πλευρές ίσες λέγεται ρόμβος. 
* Ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες του τις γωνίες ορθές και όλες του τις πλευρές ίσες, λέγεται τετράγωνο.

### Συναφή σχήματα

* Το τραπέζιο έχει τις δύο απέναντι πλευρές του ίσες. 
* Το ισοσκελές τραπέζιο έχει τις δύο απέναντι πλευρές του ίσες 
* Το αντιπαραλληλόγραμμο είναι ένα μη-κυρτό τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του ανά δύο ίσες αλλά όχι παράλληλες.

* Ο γνώμονας είναι το σχήμα που προκύπτει από ένα παραλληλόγραμμο του οποίου έχει αφαιρεθεί ένα άλλο παραλληλόγραμμο που έχει μία κοινή κορυφή με το αρχικό και την απέναντί της στην διαγώνιό του.

### Στερεομετρία
right|thumb|250px|Ένα παραλληλεπίπεδο.
Ένα παραλληλεπίπεδο είναι το στερεό σχήμα που αποτελείται από τρία ζεύγη παράλληλων εδρών. Ειδική περίπτωσή του είναι ο κύβος.

## Εφαρμογές

### Κανόνας παραλληλογράμμου

Στο επίπεδο, το άθροισμα δύο διανυσμάτων \vec{a}(a_x, a_y) και \vec{b}(b_x, b_y) είναι το διάνυσμα \vec{c}(c_x, c_y) για το οποίο τα σημεία (0, 0), (a_x, a_y), (c_x, c_y) και (b_x, b_y) σχηματίζουν ένα παραλληλόγραμμο. Το σημείο \vec{c} έχει c_x = a_x + b_x και c_y = a_y + b_y. 

Με όρους φυσικής, η συνισταμένη δύο δυνάμεων \vec{F}_1 και \vec{F}_2 που δρουν στο ίδιο σώμα δίνεται από την τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου που δημιουργούν την θέση του σώματος, όπως το παρακάτω σχήμα.

### Θεώρημα Βαρινιόν

Το θεώρημα Βαρινιόν λέει ότι τα μέσα \mathrm{M}_1, \mathrm{M}_2, \mathrm{M}_3, \mathrm{M}_4 των πλευρών ενός τετραπλεύρου \mathrm{AB\Gamma\Delta}, δημιουργούν ένα παραλληλόγραμμο. Το παραλληλόγραμμο αυτό ονομάζεται το παραλληλόγραμμο Βαρινιόν.

center|thumb|Τα μέσα <math>\mathrm{M}_1, \mathrm{M}_2, \mathrm{M}_3, \mathrm{M}_4</math> των πλευρών ενός τετραπλεύρου δημιουργούν ένα παραλληλόγραμμο.

### Θεώρημα του Πάππου
Το θεώρημα Πάππου για το εμβαδόν είναι ένα θεώρημα που συσχετίζεται τα εμβαδά τριών παραλληλογράμμων στις πλευρές ενός τριγώνου.

center|thumb|200px|Το θεώρημα Πάππου λέει ότι το εμβαδόν των πράσινων παραλληλογράμμων ισούται με το εμβαδόν του μπλε.

### Θεώρημα του γνώμονα

Το θεώρημα του γνώμονα λέει το εξής:

:Έστω ένα παραλληλόγραμμο \rm AB\Gamma\Delta και \rm P ένα σημείο της διαγωνίου \rm A\Gamma. H παράλληλη από το \rm P προς την πλευρά \rm AB τέμνει την \rm B\Gamma στο \rm E και την \rm A\Delta στο \Theta. Ομοίως, η παράλληλη από το \rm P προς το \rm A\Delta τέμνει την \rm \Gamma\Delta στο \rm Z και την \rm AB στο \rm H. Τότε, τα παραλληλόγραμμα \rm HBEP και \rm PZ\Delta\Theta έχουν ίσα εμβαδά.

### Σε αποδείξεις θεωρημάτων

Σε αρκετές αποδείξεις θεωρημάτων βοηθάει η δημιουργία παραλληλογράμμων. Για παράδειγμα, στις αποδείξεις
* της ύπαρξης του βαρυκέντρου
* του θεωρήματος van Schooten 
* του θεωρήματος Vecten.

### Πλακοστρώσεις
Τα παραλληλόγραμμα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να πλακοστρώσουν το επίπεδο. 

## Περαιτέρω ανάγνωση

### Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* Εφαρμογή για τα μήκη των πλευρών ενός παραλληλογράμμου
* Εφαρμογή με τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου

### Ελληνικά άρθρα
* 
* 
* 

### Ξενόγλωσσα άρθρα
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


Παραλληλογραμμο
Παραλληλογραμμο