Εικασία Έλιοτ-Χάλμπερσταμ

Στη θεωρία των αριθμών, η **εικασία Έλιοτ-Χάλμπερσταμ** είναι μια εικασία σχετικά με την κατανομή των πρώτων αριθμών στις αριθμητικές ακολουθίες. Έχει πολλές εφαρμογές στη θεωρία κόσκινων. Πήρε το όνομά της από τους Πίτερ Ντ. Τ. Α. Έλιοτ (Peter D. T. A. Elliott) και Χάινι Χάλμπερσταμ (Heini Halberstam), οι οποίοι διατύπωσαν μια συγκεκριμένη εκδοχή της εικασίας το 1968.

Μία εκδοχή της εικασίας έχει ως εξής και η διατύπωσή της απαιτεί ορισμένους συμβολισμούς. Έστω \pi(x), η συνάρτηση καταμέτρησης πρώτων αριθμών, που δηλώνει τον αριθμό των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι ή ίσοι με x. Αν q είναι ένας θετικός ακέραιος και a είναι σχετικά πρώτος του q, τότε \pi(x;q,a) συμβολίζει τον αριθμό των πρώτων αριθμών μικρότερων ή ίσων του x που είναι ίσοι με a modulo q. Το θεώρημα του Ντίριχλετ για τους πρώτους αριθμούς στην αριθμητική πρόοδο μας λέει τότε ότι 

: \pi(x;q,a) \sim  \frac{\pi(x)}{\varphi(q)}\ \ (x\rightarrow\infty)

όπου \varphi είναι η συνάρτηση του Όιλερ. Εάν στη συνέχεια ορίσουμε τη συνάρτηση σφάλματος 

: E(x;q) = \max_{\text{gcd}(a,q) = 1} \left|\pi(x;q,a) - \frac{\pi(x)}{\varphi(q)}\right|

όπου το μέγιστο λαμβάνεται σε όλα τα a που είναι σχετικά πρώτο με το q, τότε η εικασία Έλιοτ-Χάλμπερσταμ είναι ο ισχυρισμός ότι για κάθε \theta  και A > 0 υπάρχει μια σταθερά C > 0 τέτοια ώστε 

: \sum_{1 \leq q \leq x^\theta} E(x;q) \leq \frac{C x}{\log^A x}

για όλα τα x > 2.

Αυτή η εικασία αποδείχθηκε για όλα τα \theta  από τους Ενρίκο Μπομπιέρι και Α. Ι. Βινόγκραντοφ (το θεώρημα Μπομπιέρι-Βινόγκραντοφ, μερικές φορές γνωστό απλώς ως «θεώρημα Μπομπιέρι»)- το αποτέλεσμα αυτό είναι ήδη αρκετά χρήσιμο, καθώς αποτελεί μια μέση μορφή της γενικευμένης υπόθεσης Ρίμαν. Είναι γνωστό ότι η εικασία αποτυγχάνει στο τελικό σημείο \theta = 1. Το 1986, οι Μπομπιέρι, Φρίντλαντερ και Ιβάνιεκ γενίκευσαν την εικασία Έλιοτ-Χάλμπερσταμ, χρησιμοποιώντας τη συνέλιξη Ντίριχλετ αριθμητικών συναρτήσεων που σχετίζονται με τη συνάρτηση φον Μάγκολντ.

Η εικασία Έλιοτ-Χάλμπερσταμ έχει διάφορες προεκτάσεις. Μία από αυτές είναι το αποτέλεσμα που ανακοίνωσαν οι Νταν Γκόλντστον, Γιάννος Πιντζ και Τζεμ Γιλντιρίμ, το οποίο δείχνει ( αν υποθέσουμε αυτή την εικασία) ότι υπάρχουν άπειρα πολλά ζεύγη πρώτων αριθμών που διαφέρουν το πολύ κατά 16. Τον Νοέμβριο του 2013, ο Τζέιμς Μέιναρντ έδειξε ότι με την προϋπόθεση της εικασίας Έλιοτ-Χάλμπερσταμ, μπορεί κανείς αποδείξει την ύπαρξη απείρως πολλών ζευγών διαδοχικών πρώτων αριθμών που διαφέρουν το πολύ κατά 12. Τον Αύγουστο του 2014, η ομάδα Polymath έδειξε ότι με την επιφύλαξη της γενικευμένης εικασίας Έλιοτ-Χάλμπερσταμ, μπορούμε να αποδείξουμε την ύπαρξη άπειρου αριθμού ζευγών διαδοχικών πρώτων αριθμών που διαφέρουν το πολύ κατά 6. Χωρίς να υποθέσουμε οποιαδήποτε μορφή της εικασίας, το μικρότερο όριο που αποδείχθηκε είναι 246.

## Αρχική εικασία
Η αρχική εικασία των Έλιοτ-Χάλμπερσταμ δεν αναφέρεται σαφώς στην έρευνά τους, αλλά προκύπτει από την (1) σελίδα 59 και το σχόλιο πάνω από το Θεώρημα στη σελίδα 62. Λέει ότι

:\sum_{q\le x}\varphi(q)\max_{(h,q)=1} \left(\pi(x,q,h)-\frac{\operatorname{li}x}{\varphi(q)}\right)^2\ll\frac{x^2}{\log^Ax}

εφόσον X,
όπου \operatorname{li} x δηλώνει το λογαριθμικό ολοκλήρωμα και \varphi τη συνάρτηση Ὀιλερ.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

## Δείτε επίσης
* Θεωρία αριθμών
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Φυσικός λογάριθμος
* Πρώτος αριθμός Μερσέν
* e (μαθηματική σταθερά)
* Πρώτος αριθμός
* Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
* Φυσικός αριθμός
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Αριθμητική πρόοδος
* Συνάρτηση Όιλερ
* Ευκλείδειος χώρος

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
* Reprinted by Chelsea Publishing, New York, 1971, ISBN 0-8284-0086-5.
* 

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
* 

Κατηγορία:Αναλυτική θεωρία αριθμών 
Κατηγορία:Εικασίες για πρώτους αριθμούς 
Κατηγορία:Πρώτοι αριθμοί 
Κατηγορία:Ακέραιοι αριθμοί 
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά