Θεωρία ανώτερων κατηγοριών

Στα μαθηματικά, η **θεωρία ανώτερων κατηγοριών** είναι το τμήμα της θεωρίας κατηγοριών ανώτερης τάξης, το οποίο σημαίνει ότι ορισμένες ισότητες αντικαθίστανται από ρητά βέλη προκειμένου να είναι δυνατή η ρητή μελέτη της δομής πίσω από αυτές τις ισότητες. Η **θεωρία ανώτερων κατηγοριών** εφαρμόζεται συχνά στην αλγεβρική τοπολογία (ιδίως στη θεωρία ομοτοπίας), όπου μελετώνται αλγεβρικές αναλλοίωτες των χώρων, όπως το θεμελιώδες ασθενές ∞-ομαδοειδές. 

Στη θεωρία ανώτερων κατηγοριών, η έννοια των ανώτερων κατηγορικών δομών, όπως οι (∞-κατηγορίες), επιτρέπει μια πιο ανθεκτική αντιμετώπιση της θεωρίας ομοτοπίας, επιτρέποντας την αποτύπωση λεπτότερων ομοτοπικών διακρίσεων, όπως η διαφοροποίηση δύο τοπολογικών χώρων που έχουν την ίδια θεμελιώδη ομάδα αλλά διαφέρουν στις ανώτερες ομάδες ομοτοπίας τους. Αυτή η προσέγγιση είναι ιδιαίτερα πολύτιμη όταν πρόκειται για χώρους με περίπλοκα τοπολογικά χαρακτηριστικά, όπως ο χώρος των Άιλενμπεργκ-ΜακΛέιν.

## Αυστηρές ανώτερες κατηγορίες

Μια συνηθισμένη κατηγορία έχει αντικείμενα και μορφισμούς, οι οποίοι ονομάζονται 1-μορφισμοί στο πλαίσιο της **θεωρίας ανώτερων κατηγοριών**. Μια  γενικεύει αυτό το γεγονός περιλαμβάνοντας επίσης μορφισμούς μεταξύ των μορφισμών. Η συνέχιση αυτής της διαδικασίας μέχρι n-μορφισμούς μεταξύ  (*n*&nbsp;−&thinsp;1)-μορφισμών δίνει μια κατηγορία. 

Ακριβώς όπως η κατηγορία που είναι γνωστή ως **Cat**, η οποία είναι η κατηγορία των μικρών κατηγοριών και συναρτητών είναι στην πραγματικότητα μια   με φυσικούς μετασχηματισμούς ως , η κατηγορία  των (μικρών) *n*-κατηγοριών είναι στην πραγματικότητα μια (*n*&nbsp;+&thinsp;1)-κατηγορία. 

Μια  ορίζεται με επαγωγή στο *n* ως εξής:
* Μια   είναι ένα σύνολο,
* Μια (*n*&nbsp;+&thinsp;1)-κατηγορία είναι μια κατηγορία εμπλουτισμένη με την κατηγορία .

Έτσι, μια  είναι απλώς μια (τοπικά μικρή) κατηγορία. 

Η μονοειδής δομή του **Set** (**Συνόλου**) είναι αυτή που δίνεται από το καρτεσιανό γινόμενο ως τανυστή και ένα μονοσύνολο ως μονάδα. Στην πραγματικότητα, σε κάθε κατηγορία με πεπερασμένα γινόμενα μπορεί να δοθεί μια μονοειδής δομή. Η αναδρομική κατασκευή της   λειτουργεί ικανοποιητικά διότι αν μια κατηγορία  έχει πεπερασμένα γινόμενα, η κατηγορία των -εμπλουτισμένων κατηγοριών έχει επίσης πεπερασμένα γινόμενα.

Ενώ αυτή η έννοια είναι πολύ αυστηρή για ορισμένους σκοπούς, όπως για παράδειγμα στη θεωρία ομοτοπίας, όπου οι "αδύναμες" δομές προκύπτουν με τη μορφή ανώτερων κατηγοριών, έχουν επίσης προκύψει αυστηρά κυβικά ομαδοειδή ανώτερης ομοτοπίας που δίνουν μια νέα βάση για την αλγεβρική τοπολογία στα όρια μεταξύ της ομολογίας και της θεωρίας ομοτοπίας- βλ. το άρθρο Nonabelian algebraic topology, που αναφέρεται στο βιβλίο παρακάτω.

## Οιονεί-κατηγορίες

Τα αδύναμα συμπλέγματα Καν, ή οιονεί κατηγορίες, είναι απλοποιημένα σύνολα που ικανοποιούν μια αδύναμη εκδοχή της συνθήκης Καν. Ο Αντρέ Ζογιάλ έδειξε ότι αποτελούν ένα καλό θεμέλιο για τη θεωρία ανώτερων κατηγοριών, κατασκευάζοντας τη δομή μοντέλου Ζογιάλ στην κατηγορία των απλοποιημένων συνόλων, της οποίας τα ινώδη αντικείμενα είναι ακριβώς οιονεί κατηγορίες. Το 2009, η θεωρία συστηματοποιήθηκε περαιτέρω από τον Ιακόμπ Λούρι, ο οποίος τις αποκαλεί απλώς κατηγορίες απείρου, αν και ο τελευταίος όρος είναι επίσης ένας γενικός όρος για όλα τα μοντέλα των (άπειρων, *k*) κατηγοριών για οποιοδήποτε *k*.

## Απλά εμπλουτισμένη κατηγορία

Οι εμπλουτισμένες απλές κατηγορίες, ή απλές κατηγορίες, είναι εμπλουτισμένες κατηγορίες σε απλά σύνολα. Ωστόσο, όταν τις θεωρούμε ως μοντέλο για τις κατηγορίες (άπειρο, 1), πολλές κατηγορικές έννοιες ( όπως τα όρια) δεν αντιστοιχούν στις αντίστοιχες έννοιες με την έννοια των εμπλουτισμένων κατηγοριών. Το ίδιο ισχύει και για άλλα εμπλουτισμένα μοντέλα, όπως τις τοπολογικά εμπλουτισμένες κατηγορίες.

## Κατηγορίες του Σεγκάλ

Πρόκειται για μοντέλα ανώτερων κατηγοριών που εισήγαγαν οι Χίρσοβιτς και Σίμπσον το 1998, εν μέρει εμπνευσμένα από τα αποτελέσματα του Γκράεμ Σεγκάλ το 1974.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
*
* 
*
*
* 
*
*
*
* 
* 
* 

## Παραπομπές


*
*Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
* star-autonomous category at the nLab
* 
* *This article is based in part on [http://www.planetmath.org PlanetMath]'s [http://planetmath.org/encyclopedia/TerminalObjectsAndZeroObjectsExamplesOfInitialObjects.html article on examples of initial and terminal objects] .*
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Γενική τοπολογία 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα