Δακτύλιος ενδομορφισμού

Στα μαθηματικά, οι ενδομορφισμοί μιας αβελιανής ομάδας *X* σχηματίζουν ένα δακτύλιο. Αυτός ο δακτύλιος ονομάζεται **δακτύλιος [[Ενδομορφισμός|ενδομορφισμού]]** του *X* και συμβολίζεται με End(*X*). Είναι το σύνολο όλων των ομομορφισμών του *X* στον εαυτό του. Η πρόσθεση των ενδομορφισμών προκύπτει φυσικά με σημειακό τρόπο και ο πολλαπλασιασμός μέσω σύνθεσης ενδομορφισμών. Χρησιμοποιώντας αυτές τις πράξεις, το σύνολο των ενδομορφισμών μιας αβελιανής ομάδας σχηματίζει ένα (μονάδα) δακτύλιο, με την μηδενική απεικόνιση 0: x \mapsto 0 ως προσθετική ταυτότητα και την ταυτότητα 1: x \mapsto x ως πολλαπλασιαστική ταυτότητα. 

Οι σχετικές συναρτήσεις περιορίζονται σε αυτό που ορίζεται ως ομομορφισμός στο πλαίσιο, το οποίο εξαρτάται από την κατηγορία του υπό εξέταση αντικειμένου. Συνεπώς, ο **δακτύλιος ενδομορφισμού** κωδικοποιεί διάφορες εσωτερικές ιδιότητες του αντικειμένου. Καθώς ο δακτύλιος ενδομορφισμού είναι συχνά μια άλγεβρα πάνω σε κάποιο δακτύλιο *R*, αυτό μπορεί επίσης να ονομαστεί **άλγεβρα ενδομορφισμού**.

Μια αβελιανή ομάδα είναι το ίδιο με ένα module πάνω στον δακτύλιο των ακεραίων, ο οποίος είναι το αρχικό αντικείμενο στην κατηγορία των δακτυλίων. Με παρόμοιο τρόπο, αν *R* είναι οποιοσδήποτε αντιμεταθετικός δακτύλιος, οι ενδομορφισμοί ενός  *R*-module  σχηματίζουν μια άλγεβρα πάνω στο *R* με τα ίδια αξιώματα και παράγωγα. Ειδικότερα, αν *R* είναι ένα σώμα, τα υποδείγματά του *M* είναι διανυσματικοί χώροι και ο **δακτύλιος ενδομορφισμού** του καθενός είναι μια άλγεβρα πάνω στο σώμα *R*.

## Περιγραφή

Έστω  μια αβελιανή ομάδα και ας εξετάσουμε τους ομομορφισμούς ομάδων από τοv *A*  στο  *A*. Τότε, η πρόσθεση δύο τέτοιων ομομορφισμών μπορεί να οριστεί σημειακά για να παράγει έναν άλλο ομομορφισμό ομάδας. Συγκεκριμένα, με δεδομένους δύο τέτοιους ομομορφισμούς *f* και *g*, το άθροισμα των *f* και g είναι ο ομομορφισμός . Υπό αυτή τη λειτουργία, το End(*A*) είναι μια αβελιανή ομάδα. Με την πρόσθετη λειτουργία της σύνθεσης ομομορφισμών, το End(*A*) είναι ένας δακτύλιος με πολλαπλασιαστική ταυτότητα. Αυτή η σύνθεση είναι ρητά . Η πολλαπλασιαστική ταυτότητα είναι ο ομομορφισμός ταυτότητας στο A. Τα πρόσθετα αντίστροφα είναι τα αντίστροφα κατά σημείο.

Εάν το σύνολο *A* δεν σχηματίζει μια ''αβελιανή'' ομάδα, τότε η παραπάνω κατασκευή δεν είναι απαραίτητα καλά καθορισμένη, καθώς τότε το άθροισμα δύο ομομορφισμών δεν χρειάζεται να είναι ομομορφισμός. Ωστόσο, η κλειστότητα του συνόλου των ενδομορφισμών υπό τις παραπάνω πράξεις είναι ένα τυπικό παράδειγμα ενός οιονεί δακτυλίου που δεν είναι δακτύλιος.

## Ιδιότητες

* Οι **δακτύλιοι ενδομορφισμού** έχουν πάντα προσθετικές και πολλαπλασιαστικές ταυτότητες, αντίστοιχα τη μηδενική απεικόνιση και την ταυτότητα.
* Οι δακτύλιοι ενδομορφισμού είναι προσεταιριστικοί, αλλά συνήθως μη αντιμεταθετικοί.
* Εάν ένα πρότυπο είναι απλό, τότε ο δακτύλιος ενδομορφισμού του είναι ένας δακτύλιος διαίρεσης (αυτό μερικές φορές ονομάζεται λήμμα του Σουρ) 
* Ένα πρότυπο είναι αδιάσπαστο αν και μόνο αν ο δακτύλιος του ενδομορφισμού του δεν περιέχει κανένα μη τετριμμένο αδύναμο στοιχείο. Εάν το πρότυπο  είναι ένα ερριπτικό πρότυπο , τότε η μη αναλυσιμότητα είναι ισοδύναμη με το ενδομορφισμό δακτυλίου να είναι ένας τοπικός δακτύλιος.
* Για ένα ημισαπλό module, ο δακτύλιος ενδομορφισμού είναι ένας κανονικός δακτύλιος φον Νόιμαν.
* Ο δακτύλιος **ενδομορφισμού**  ενός μη μηδενικού δεξιού μονοσειριακού module  έχει είτε ένα είτε δύο μέγιστα δεξιά ιδεώδη. Εάν το υποσύνολο είναι Αρτινιάν, Ναιτεριανό προβολικό ή ερριπτικό, τότε ο δακτύλιος ενδομορφισμού έχει ένα μοναδικό μέγιστο ιδεώδες, έτσι ώστε να είναι ένας τοπικός δακτύλιος.
* Ο **δακτύλιος ενδομορφισμού** ενός ομοιόμορφου προτύπου Αρτινιάν είναι ένας τοπικός δακτύλιος.
* Ο **δακτύλιος ενδομορφισμού** ενός υποσυνόλου με πεπερασμένο μήκος σύνθεσης είναι ένας ημιπρωταρχικός δακτύλιος.
* Ο **δακτύλιος ενδομορφισμού** ενός συνεχούς ή διακριτού υποσυνόλου είναι ένας καθαρός δακτύλιος 
* Εάν ένα module *R* είναι πεπερασμένο παραγόμενο και προβολικό (δηλαδή, ένας προγεννήτορας), τότε ο δακτύλιος ενδομορφισμού του προτύπου (module) και του *R* μοιράζονται όλες τις ιδιότητες του Μορίτα. Ένα θεμελιώδες αποτέλεσμα της θεωρίας του Μορίτα είναι ότι όλοι οι δακτύλιοι ισοδύναμοι με το *R* προκύπτουν ως δακτύλιοι ενδομορφισμού προγεννητόρων.

## Παραδείγματα

* Στην κατηγορία των  *R*-modules, ο **δακτύλιος ενδομορφισμού** του *R*-module  *M*  θα χρησιμοποιεί μόνο τους ομομορφισμούς του  *R*-module, οι οποίοι είναι συνήθως ένα κατάλληλο υποσύνολο ομομορφισμού της αβελιανής ομάδας. Όταν το *M* είναι ένα πεπερασμένα παραγόμενο προβολικό module, ο δακτύλιος ενδομορφισμών είναι κεντρικός για την ισοδυναμία Μορίτα των κατηγοριών module.
* Για οποιαδήποτε αβελιανή ομάδα A, \mathrm{M}_n(\operatorname{End}(A))\cong \operatorname{End}(A^n), δεδομένου ότι κάθε πίνακας στο \mathrm{M}_n(\operatorname{End}(A)) φέρει μια φυσική ομομορφική δομήA^n ως εξής:
*: \begin{pmatrix}\varphi_{11}&\cdots &\varphi_{1n}\\ \vdots& &\vdots \\ \varphi_{n1}&\cdots& \varphi_{nn}  \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sum_{i=1}^n\varphi_{1i}(a_i)\\\vdots\\\sum_{i=1}^n\varphi_{ni}(a_i) \end{pmatrix}. 

: Μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει αυτόν τον ισομορφισμό για να κατασκευάσει πολλούς μη-αντιμεταθετικούς δακτυλίους ενδομορφισμού. Παραδείγματος χάριν : \operatorname{End}(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z})\cong \mathrm{M}_2(\mathbb{Z}), δεδομένου ότι \operatorname{End}(\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}.  
: Επίσης, όταν R=K είναι ένα σώμα, υπάρχει ένας κανονικός ισομορφισμός \operatorname{End}(K)\cong K, οπότε \operatorname{End}(K^n)\cong \mathrm{M}_n(K), δηλαδή ο δακτύλιος ενδομορφισμών ενός K -διανυσματικού χώρου ταυτίζεται με το δακτύλιο των *n*-by-*n* πινάκων με στοιχεία στο K. Γενικότερα, η άλγεβρα ενδομορφισμού του ελεύθερου υποσυνόλου M = R^n είναι από τη φύση της n-by-n πίνακες με στοιχεία στο δακτύλιο R.
* Χαρακτηριστικό παράδειγμα του τελευταίου σημείου είναι ότι, για κάθε δακτύλιο *R* με μονάδα, ,  Ως συγκεκριμένο παράδειγμα του τελευταίου σημείου, για κάθε δακτύλιο *R* με ενότητα, όπου τα στοιχεία του *R* δρουν στο *R* με "αριστερό" πολλαπλασιασμό.
* Σε γενικές γραμμές, οι δακτύλιοι ενδομορφισμού μπορούν να οριστούν για τα αντικείμενα οποιασδήποτε προαθροιστικής κατηγορίας.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Αβελιανή ομάδα

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research

*
* Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα