Πολλαπλασιαστική ομάδα

Στα μαθηματικά και τη θεωρία ομάδων, ο όρος **πολλαπλασιαστική ομάδα** αναφέρεται σε μία από τις ακόλουθες έννοιες:

*η **ομάδα υπό πολλαπλασιασμό** των αντίστροφων στοιχείων ενός σώματος, δακτυλίου ή άλλης δομής για την οποία μία από τις πράξεις της αναφέρεται ως πολλαπλασιασμός. Στην περίπτωση ενός σώματος *F*, η ομάδα είναι  , όπου το 0 αναφέρεται στο μηδενικό στοιχείο του *F* και η δυαδική πράξη • είναι ο πολλαπλασιασμός του σώματος,
*ο αλγεβρικός τόρος GL(1).

## Παραδείγματα

*Η **πολλαπλασιαστική ομάδα** των ακεραίων υπολοίπων *n* είναι η ομάδα υπό πολλαπλασιασμό των αντίστροφων στοιχείων της \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.  Όταν το *n* δεν είναι πρώτος αριθμός, υπάρχουν στοιχεία εκτός από το μηδέν που δεν είναι αντίστροφα.
* Η πολλαπλασιαστική ομάδα των θετικών πραγματικών αριθμών \mathbb{R}^+ είναι μια αβελιανή ομάδα με 1 το ταυτοτικό στοιχείο. Ο λογάριθμος είναι ένας ομαδικός ισομορφισμός αυτής της ομάδας προς την προσθετική ομάδα των πραγματικών αριθμών, \mathbb{R}.
* Η πολλαπλασιαστική ομάδα ενός σώματος F είναι το σύνολο όλων των μη μηδενικών στοιχείων: F^\times = F -\{0\}, υπό την πράξη του πολλαπλασιασμού. Αν η F είναι πεπερασμένη τάξης *q* (για παράδειγμα *q* = *p* ένας πρώτος, και F = \mathbb F_p=\mathbb Z/p\mathbb Z) τότε η πολλαπλασιαστική ομάδα είναι κυκλική: F^\times \cong C_{q-1}.

## Ομαδικό σχήμα ριζών της ενότητας

Το **ομαδικό σχήμα των ''n''-th ριζών της ενότητας** είναι εξ ορισμού ο πυρήνας της *n*-δύναμης απεικόνισης  στην πολλαπλασιαστική ομάδα GL(1), θεωρούμενη ως ομαδικό σχήμα. Δηλαδή, για κάθε ακέραιο *n* > 1 μπορούμε να θεωρήσουμε τον μορφισμό στην πολλαπλασιαστική ομάδα που παίρνει *n*-th δυνάμεις, και να πάρουμε ένα κατάλληλο γινόμενο ινών των σχημάτων, με τον μορφισμό *e* που χρησιμεύει ως ταυτότητα.

Το προκύπτον ομαδικό σχήμα γράφεται μ*n* (or \mu\!\!\mu_n). Προκύπτει ένα μειωμένο σχήμα, όταν το παίρνουμε πάνω από ένα σώμα *K*, αν και μόνο αν η χαρακτηριστική του *K* δεν διαιρεί το *n*. Αυτό το καθιστά πηγή ορισμένων βασικών παραδειγμάτων μη αναγωγικών σχημάτων (συστήματα με μηδενικά στοιχεία στις δέσμες δομών τους), για παράδειγμα το μ*p* πάνω από ένα πεπερασμένο σώμα με *p* στοιχεία για οποιονδήποτε πρώτο αριθμό *p*.

Το φαινόμενο αυτό δεν εκφράζεται εύκολα στην επίσημη γλώσσα της αλγεβρικής γεωμετρίας. Παραδείγματος χάριν, αποδεικνύεται μείζονος σημασίας για την έκφραση της θεωρίας της δυαδικότητας των αβελιανών ποικιλιών σε χαρακτηριστική *p*  (θεωρία του Πιερ Καρτιέ). Η συνομολογία Γκαλουά αυτού του ομαδικού σχήματος είναι ένας τρόπος έκφρασης της θεωρίας Κούμερ.

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Σώμα διασπάσεως
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νοεροί υπολογισμοί

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
*
*
*
*
*.
*.
*
*
*

*
*
*
*

*
*
*
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία
Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα
Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών