Χώρος Ζαρίσκι-Ρίμαν

Στην αλγεβρική γεωμετρία, ένας **χώρος Ζαρίσκι-Ρίμαν** ή **χώρος Ζαρίσκι** ενός υποδακτυλίου *k* ενός σώματος *K* είναι ένας τοπικά δακτυλιωτος χώρος του οποίου τα σημεία είναι δακτύλιοι αποτίμησης που περιέχουν *k* και περιέχονται στο *K*. Γενικεύουν την επιφάνεια Ρίμαν σε μια μιγαδική καμπύλη.

Οι χώροι Ζαρίσκι-Ρίμαν εισήχθησαν από τον Ζαρίσκι (1940, 1944), ο οποίος (μάλλον συγκεχυμένα) τους ονόμασε πολλαπλότητες Ρίμαν ή επιφάνειες του Ρίμαν. Ονομάστηκαν χώροι Ζαρίσκι-Ρίμαν από τους Όσκαρ Ζαρίσκι και Μπέρναρντ Ρίμαν από τον Ναγκάτα (), ο οποίος τους χρησιμοποίησε για να δείξει ότι οι αλγεβρικές ποικιλίες μπορούν να ενσωματωθούν σε πλήρεις ποικιλίες.

Η τοπική ομοιομορφία (που αποδείχθηκε σε χαρακτηριστική 0 από τον Ζαρίσκι) μπορεί να ερμηνευθεί ως το ότι ο χώρος Ζαρίσκι-Ρίμαν μιας ποικιλίας είναι μη-ιδιάζων με κάποια έννοια, άρα είναι ένα είδος μάλλον αδύναμης ανάλυσης των ιδιομορφιών. Αυτό δεν λύνει το πρόβλημα της επίλυσης των ιδιομορφιών επειδή σε διαστάσεις μεγαλύτερες από 1 ο χώρος Ζαρίσκι-Ρίμαν δεν είναι τοπικά συγγενής και ειδικότερα δεν είναι σχήμα.

## Ορισμός

Ο χώρος Ζαρίσκι-Ρίμαν ενός σώματος *Κ* πάνω από ένα σώμα βάσης *k* είναι ένας τοπικά Δακτυλιωτός χώρος του οποίου τα σημεία είναι οι δακτύλιοι αποτίμησης που περιέχουν το *k* και περιέχονται στο *K*. Μερικές φορές εξαιρείται ο ίδιος ο δακτύλιος αποτίμησης *K* και μερικές φορές τα σημεία περιορίζονται στους δακτυλίους αποτίμησης μηδενικής διάστασης (εκείνοι των οποίων το πεδίο υπολοίπων έχει βαθμό υπερβατικότητας μηδέν πάνω στο *k*).

Αν ο *S* είναι ο χώρος Ζαρίσκι-Ρίμαν ενός υποδακτυλίου k ενός πεδίου *K*, έχει μια τοπολογία που ορίζεται θεωρώντας μια βάση ανοικτών συνόλων ως τους δακτυλίους αποτίμησης που περιέχουν ένα δεδομένο πεπερασμένο υποσύνολο του *K*. Ο χώρος *S* είναι οιονεί συμπαγής. Μετατρέπεται σε τοπικά δακτυλιωτό χώρο αναθέτοντας σε κάθε ανοικτό υποσύνολο την τομή των δακτυλίων αποτίμησης των σημείων του υποσυνόλου. Ο τοπικός δακτύλιος σε κάθε σημείο είναι ο αντίστοιχος δακτύλιος αποτίμησης.

Ο χώρος Ζαρίσκι-Ρίμαν ενός συναρτησιακού σώματος μπορεί επίσης να κατασκευαστεί ως το αντίστροφο όριο όλων των πλήρων (ή προβολικών) μοντέλων του συναρτησιακού σώματος.

## Παραδείγματα

### Ο χώρος Ζαρίσκι-Ρίμαν μιας καμπύλης

Ο χώρος Ζαρίσκι-Ρίμαν μιας καμπύλης πάνω από ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα *k* με σώμα συναρτήσεων *K* είναι ο ίδιος με το μη-ιδιάζον προβολικό υπόδειγμα της. Διαθέτει ένα γενικό μη κλειστό σημείο που αντιστοιχεί στην τετριμμένη αποτίμηση με δακτύλιο αποτίμησης *K*, και τα άλλα σημεία του είναι οι δακτύλιοι αποτίμησης 1ης τάξης στο *K* που περιέχουν το *k*. Σε αντίθεση με τις περιπτώσεις υψηλότερων διαστάσεων, ο χώρος Ζαρίσκι-Ρίμαν μιας καμπύλης είναι ένα σχήμα.

### Ο χώρος Ζαρίσκι-Ρίμαν μιας επιφάνειας

Οι δακτύλιοι αποτίμησης μιας επιφάνειας *S* πάνω από *k* με συναρτησιακό σώμα *K* μπορούν να ταξινομηθούν με βάση τη διάσταση (τον βαθμό υπερβατικότητας του υπολειμματικού σώματος) και τον βαθμό (τον αριθμό των μη μηδενικών κυρτών υποομάδων της ομάδας αποτίμησης). Ο Ζαρίσκι {() έδωσε την ακόλουθη ταξινόμηση:

* Διάσταση 2. Η μόνη δυνατότητα είναι η τετριμμένη αποτίμηση με βαθμό 0, ομάδα αποτίμησης 0 και δακτύλιο αποτίμησης *K*.
* Διάσταση 1, βαθμός 1. Αυτά αντιστοιχούν σε διαιρέτες σε κάποια μεγέθυνση του *S*, ή με άλλα λόγια σε διαιρέτες και απείρως κοντινά σημεία του *S*. Είναι όλα διακριτά. Το κέντρο στο *S* μπορεί να είναι είτε σημείο είτε καμπύλη. Η ομάδα αποτίμησης είναι η **Z**.
* Διάσταση 0, τάξη 2. Αυτές αντιστοιχούν σε σπέρματα (germs) αλγεβρικών καμπυλών μέσω ενός σημείου σε ένα κανονικό μοντέλο του *S*. Η ομάδα αποτίμησης είναι ισόμορφη με την **Z**+**Z** με τη λεξικογραφική σειρά.
* Διάσταση 0, τάξη 1, διακριτή. Αυτές αντιστοιχούν σε σπέρματα μη αλγεβρικών καμπυλών (που δίνονται για παράδειγμα από *y*= μια μη αλγεβρική τυπική δυναμοσειρά στο *x*) μέσω ενός σημείου ενός κανονικού μοντέλου. Η ομάδα αποτίμησης είναι η **Z**.
* Διάσταση 0, τάξη 1, μη διακριτή, η ομάδα αξιών διαθέτει ασύμμετρα στοιχεία.. Αυτά αντιστοιχούν σε σπέρματα υπερβατικών καμπυλών όπως *y*=*x*π μέσω ενός σημείου ενός κανονικού μοντέλου. Η ομάδα τιμών είναι ισομορφική με μια διατεταγμένη ομάδα που παράγεται από 2 ασυμμετρικούς πραγματικούς αριθμούς.
* Διάσταση 0, τάξη 1, μη διακριτά, τα στοιχεία της ομάδας αξιών είναι συγκρίσιμα. Η ομάδα αξιών μπορεί να είναι ισομορφική με οποιαδήποτε πυκνή υποομάδα των ρητών αριθμών. Αυτές αντιστοιχούν σε σπέρματα καμπυλών της μορφής *y*=Σ*a**n**x**b**n* όπου οι αριθμοί *b**n* είναι ρητοί με απεριόριστους παρονομαστές.s.

## Δημοσιεύσεις
* 
* 
* 
* 
* 

## Δείτε επίσης

* Field Arithmetic
* Αλγεβρική ποικιλία
* Τοπολογία
* Αντιμεταθετικός δακτύλιος

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

* English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* A. Bondal, D. Orlov, Semi-orthogonal decomposition for algebraic varieties_, PreprintMPI/95–15, alg-geom/9506006
* Commutative Algebra: Expository Papers Dedicated to David Eisenbud on the ..
* Multiplicative Ideal Theory in Commutative Algebra: A Tribute to the Work of ...
* Recent Advances in Hodge Theory: Period Domains, Algebraic Cycles, and ...
* Lectures On Riemann Surfaces - Proceedings Of The College On Riemann Surfaces

## Παραπομπές


Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Αντιμεταθετική άλγεβρα
Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία