Γ-τάξης Γενικευμένη Κανονική κατανομή

**γ-τάξης Γενικευμένη Κανονική κατανομή**

Η πολυδιάστατη Κανονική κατανομή, [1], επεκτείνεται λόγω των Λογαριθμικών Ανισοτήτων Σομπόλεφ, [2], και μπορεί να εμφανιστεί ως μία οικογένεια κανονικών κατανομών βασιζόμενη σε μία παράμετρο «σχήματος». Αυτή η παράμετρος σχήματος \gamma \in \mathbb{R} - [0,1] μαζί με τις παραμέτρους θέσης, \mu \in \mathbb{R}^p και διασποράς, \Sigma \in \mathbb{R}^{p \times p}, δημιουργεί την N_\gamma(\mu, \Sigma) οικογένεια κατανομών με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σππ), [3].

(1) \varphi_\gamma(x) = C \exp \left\{ -\frac{\gamma - 1}{\gamma} \left[ Q(x) \right]^{\frac{\gamma}{2(\gamma - 1)}} \right\},

όπου η σταθερά κανονικοποίησης C είναι ίση με

(2) C = C_p(\mu, \Sigma; \gamma) = \frac{1}{\pi^{p/2} |\Sigma|^{1/2}} \cdot \frac{\Gamma\left(\frac{p}{2} + 1\right)}{\Gamma\left( \frac{p(\gamma - 1)}{\gamma} + 1 \right)} \left( \frac{\gamma - 1}{\gamma} \right)^{p(\gamma - 1)/\gamma}, \quad \gamma_0 = \frac{\gamma - 1}{\gamma}, \quad \gamma_0 \gamma_1 = 1,
και

(3) Q(x) = \langle x - \mu, \Sigma^{-1}(x - \mu) \rangle, \quad \mu \in \mathbb{R}^p, \quad \Sigma \in \mathbb{R}^{p \times p},

Θεωρούμε την N_\gamma(\mu, \sigma^2), με p = 1, δείτε [4], με παράμετρο θέσης (μέση τιμή) \mu, θετική παράμετρο διασποράς \sigma, επιπλέον παράμετρο σχήματος \gamma \in \mathbb{R} - [0,1] και σππ \varphi_\gamma(x; \mu, \sigma^2) η οποία δίνεται από τις (1)–(3) και είναι ίση με, δείτε Σχήμα 1,

(4) \varphi_\gamma(x; \mu, \sigma^2) = \frac{\lambda_\gamma}{\sigma \sqrt{\pi}} \exp \left\{ -\gamma_0 \left( \frac{\sigma} \right)^{\gamma_1} \right\},

με

(5) \lambda_\gamma = \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2} + 1\right)}{\Gamma\left(\frac{\gamma - 1}{\gamma} + 1\right)} \left( \frac{\gamma - 1}{\gamma} \right)^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}} = \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2} + 1\right)}{\Gamma(\gamma_0 + 1)} \cdot \gamma_0^{\gamma_0}.

*Σχήμα 1: Η σππ της τυποποιημένης φ₍γ₎(x) για γ = 2 (Κανονική), γ = −0.1 (κοντά στη Ντιράκ), γ = 1.05 (κοντά στην Ομοιόμορφη) και γ = 30 (κοντά στην Λαπλάς) με p = 1.*

Για p = 2 ένα τυπικό γράφημα αποτελεί το Σχήμα 2.
́Εστω ότι Y \sim N_\gamma(\mu, \sigma^2) τότε οι κεντρικές ροπές υπολογίζονται, [4] ως
(6) \beta_n = \mathbb{E}(Y^n) = \sum_{\text{even } r = 0}^n \binom{n}{r} \mu^r \sigma^{n - r} \cdot \gamma_0^{-n} \cdot \gamma_0^{n - r} \cdot \frac{\Gamma((n - r + 1)\gamma_0)}{\Gamma(\gamma_0)^{n - r}}.

Όταν \gamma = 2, τότε  
\beta_1 = \mu,\quad \beta_2 = \mu^2 + \sigma^2,\quad \beta_3 = \mu^3 + 3\mu\sigma^2,\quad \beta_4 = \mu^4 + 6\mu^2\sigma^2 + 3\sigma^4.

Επιπλέον, έχουν υπολογιστεί η διακύμανση και η κύρτωση, [4] ως

(7) \operatorname{Var}(Y) = \gamma_0^{-2} \cdot \frac{\Gamma(3\gamma_0)}{\Gamma(\gamma_0)} \cdot \sigma^2

Σχήμα 2. Η σππ της τυποποιημένης ϕγ(x) για γ = 2 (Κανονική), γ = 3
("ενισχυμένης"-ουράς) με p = 2.

and

(8) \operatorname{Kurt}(Y) = \frac{\Gamma(\gamma_0)\Gamma(5\gamma_0)}{\Gamma^2(3\gamma_0)} - 3.

Ο μετασχηματισμός Λαπλάς μπορεί να προκύψει ως, [5],

(9) \mathcal{L}_{\varphi_\gamma}(\xi) = \frac{e^{\xi \mu}}{\Gamma(\gamma_0)} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{(2j)!} \left( \xi \sigma (\gamma_1)^{\gamma_0} \right)^{2j} \Gamma\left( (2j + 1)\gamma_0 \right).

Όταν \gamma = 2 η (9) ανάγεται στην γνωστή μορφή του μετασχηματισμού Λαπλάς της Κανονικής κατανομής N(\mu, \sigma^2), δηλαδή

(10) \mathcal{L}_{\varphi_2}(\xi) = \exp \left\{ \xi \mu + \frac{\xi^2 \sigma^2}{2} \right\}.

Θεωρούμε X \sim N_\gamma(\mu, \sigma^2 I). Η περιεχόμενη στα δεξιά γ-τάξης γενικευμένη Κανονική στο σημείο x = \tau, δείτε [6], ορίζεται ως


f_{\gamma,\tau^+}(x) = \begin{cases}
0 & \text{αν } x > \tau \\
\dfrac{C}{\Phi_\gamma\left( \frac{\tau - \mu}{\sigma} \right)} \exp\left\{ -\frac{\gamma - 1}{\gamma} \left| \frac{x - \mu}{\sigma} \right|^{\frac{\gamma}{\gamma - 1}} \right\} & \text{αν } x \le \tau
\end{cases}


και η περιεχόμενη στα αριστερά γ-τάξης γενικευμένη Κανονική στο σημείο x = \tau_0 είναι


f_{\gamma,\tau_0^-}(x) = \begin{cases}
0 & \text{αν } x 

με C όπως στην (2) με p = 1.

Θεωρούμε το λογάριθμο μίας τυχαίας μεταβλητής (τμ) X η οποία ακολουθεί την γ-τάξης γενικευμένη Κανονική κατανομή, δηλαδή, \ln X \sim N_\gamma(\mu, \sigma^2). Τότε λέμε ότι η X ακολουθεί την γ-τάξης «Λογαριθμοκανονική» κατανομή, η οποία συμβολίζεται ως LN_\gamma(\mu, \sigma), με σππ, [7]

(11) 
f_{LN_\gamma}(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{2x\sigma \Gamma\left( \frac{\gamma - 1}{\gamma} \right) \left( \frac{\gamma - 1}{\gamma} \right)^{\frac{1}{\gamma}}}
\exp\left\{ -\frac{\gamma - 1}{\gamma} \left( \frac{\sigma} \right)^{\frac{\gamma}{\gamma - 1}} \right\}.


Για μία εφαρμογή της γ-τάξης γενικευμένης Κανονικής κατανομής στη γενίκευση της Εξίσωσης Θερμότητας, [8], δείτε [9].

## Παραπομπές

[1] Theodore W. Anderson. *An Introduction to Multivariate Statistical Analysis*. Wiley-Interscience, 3rd edition, July 2003.

[2] Leonard Gross. Logarithmic Sobolev inequalities. *Amer. J. Math.*, 97(4):1061–1083, 1975.

[3] Christos P. Kitsos and Nikolaos K. Tavoularis. Logarithmic Sobolev Inequalities for Information measures. *IEEE Trans. Inform. Theory*, 55(6):2554–2561, June 2009.

[4] Christos P. Kitsos and Thomas L. Toulias. On the family of the γ-ordered normal distributions. *Far East Journal of Theoretical Statistics*, 35(2):95–114, January 2011.

[5] Christos P. Kitsos and Ioannis S. Stamatiou. Laplace transformation for the γ-order generalized Normal N_\gamma(\mu, \sigma^2). *Far East Journal of Theoretical Statistics*, 68(1):1–21, 2024.

[6] Christos P. Kitsos, Vassilios G. Vassiliadis, and Thomas L. Toulias. MLE for the γ-order generalized normal distribution. *Discussiones Mathematicae - Probability and Statistics*, 34(1–2):143–158, 2014.

[7] Thomas L. Toulias and Christos P. Kitsos. On the generalized lognormal distribution. *Journal of Probability and Statistics*, 2013(1/432642):15 pages, July 2013.

[8] Samuel Karlin and Howard M. Taylor. *A First Course in Stochastic Processes*. Academic Press, New York, 2nd edition, 1975.

[9] Christos P. Kitsos. Generalizing the Heat Equation. *Revstat - Statistical Journal*, 23(2):207–221, April 2025.

## Παραπομπές