Κεντροσυμμετρικός πίνακας

::*Αυτό το άρθρο αναφέρεται σε έναν πίνακα συμμετρικό ως προς το κέντρο του. Για έναν πίνακα συμμετρικό ως προς τη διαγώνιο του, δείτε [[Συμμετρικός πίνακας]].*

Στα μαθηματικά, ειδικά στη γραμμική άλγεβρα και τη θεωρία πινάκων, ένας **κεντροσυμμετρικός πίνακας** είναι ένας πίνακας που είναι συμμετρικός ως προς το κέντρο του.

## Τυπικός ορισμός
Ένας  πίνακας  είναι κεντροσυμμετρικός όταν οι καταχωρήσεις του ικανοποιούν

A_{i,\,j} = A_{n-i+1,\,n-j+1} \quad \text{for all }i,j \in \{1,\, \ldots,\, n\}.

Εναλλακτικά, αν o  συμβολίζει τον πίνακα ανταλλαγής  με 1 στην αντιδιαγώνιο και 0 αλλού:

J_{i,\,j} = \begin{cases} 
1, & i + j = n + 1 \\
0, & i + j \ne n + 1\\
\end{cases}

τότε ένας πίνακας  είναι κεντροσυμμετρικός αν και μόνο αν }.

## Παραδείγματα

* Όλοι οι 2&thinsp;×&thinsp;2 κεντροσυμμετρικοί πίνακες έχουν τη μορφή 

\begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}.

* Όλοι οι 3&thinsp;×&thinsp;3 κεντροσυμμετρικοί πίνακες έχουν τη μορφή 

\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & d \\ c & b & a \end{bmatrix}.

* Οι συμμετρικοί πίνακες Τόεπλιτς είναι κεντροσυμμετρικοί.

## Αλγεβρική δομή και ιδιότητες
*Αν οι  και  είναι  κεντροσυμμετρικοί πίνακες πάνω από ένα σώμα , τότε το ίδιο ισχύει και για τους  και  για κάθε  στο . Επιπλέον, το γινόμενο πίνακα  είναι κεντροσυμμετρικό, αφού . Δεδομένου ότι ο Ταυτοτικός πίνακας είναι επίσης κεντροσυμμετρικός, προκύπτει ότι το σύνολο του  κεντροσυμμετρικών πινάκων πάνω στο  αποτελεί υποάλγεβρα της αντιμεταθετικής άλγεβρας όλων των  πινάκων.
*Αν  είναι ένας κεντροσυμμετρικός πίνακας με -διάστατη ιδιοβάση, τότε τα } ιδιοδιανύσματά του μπορούν να επιλεγούν έτσι ώστε να ικανοποιούν είτε  ή  όπου  είναι ο πίνακας ανταλλαγής.
*Αν  είναι ένας κεντροσυμμετρικός πίνακας με διακριτές ιδιοτιμές, τότε οι πίνακες που αντιμετατίθενται με  πρέπει να είναι κεντροσυμμετρικοί.
*Ο μέγιστος αριθμός μοναδικών στοιχείων σε έναν  κεντροσυμμετρικό πίνακα είναι
::\frac{m^2 + m \bmod 2}{2}.

## Σχετικές δομές
Ένας  πίνακας  λέγεται *λοξά-κεντροσυμμετρικός* αν οι καταχωρήσεις του ικανοποιούν 
A_{i,\,j} = -A_{n-i+1,\,n-j+1} \quad \text{for all }i,j \in \{1,\, \ldots,\, n\}.

Αντίστοιχα, η  είναι λοξοκεντροσυμμετρική αν , όπου  είναι ο πίνακας ανταλλαγής που ορίστηκε προηγουμένως.

Η κεντροσυμμετρική σχέση } προσφέρεται για μια φυσική γενίκευση, όπου  αντικαθίσταται με έναν Ενελικτικό πίνακα  (i.e., ) ή, γενικότερα, ένας πίνακας  που ικανοποιεί  για έναν ακέραιο . Έχει επίσης μελετηθεί το αντίστροφο πρόβλημα για τη σχέση αντιμετάθεσης  του προσδιορισμού όλων των αναπόσπαστων  που αντιμετατίθενται με έναν σταθερό πίνακα .

Οι συμμετρικοί κεντροσυμμετρικοί πίνακες καλούνται μερικές φορές δισυμμετρικοί πίνακες. Όταν το βασικό σώμα είναι οι πραγματικοί αριθμοί, έχει αποδειχθεί ότι οι δισυμμετρικοί πίνακες είναι ακριβώς εκείνοι οι συμμετρικοί πίνακες των οποίων οι ιδιοτιμές παραμένουν οι ίδιες, εκτός από τις πιθανές αλλαγές προσήμου μετά τον προ- ή μεταπολλαπλασιασμό με τον πίνακα ανταλλαγής. Ένα παρόμοιο αποτέλεσμα ισχύει για τους Ερμιτιανούς κεντροσυμμετρικούς και τους λοξούς κεντροσυμμετρικούς πίνακες.

## Δείτε επίσης

* Field Arithmetic
* Πραγματικό προβολικό επίπεδο
* Πραγματικός αριθμός 
* Αντιερμιτιανός πίνακας
* Ενελικτικός πίνακας
* Τριγωνικός πίνακας
* Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
* Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
* Ταυτοτικός πίνακας
* Αντιμεταθέσιμοι πίνακες
* Πολλαπλασιασμός πινάκων
* High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
* Algorithm overview

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*Matrix calculator
* Matrix Analysis
* Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
* Integral Matrices
* Basic Matrix Algebra with Algorithms and Applications
* An Introduction to Optimization: With Applications to Machine Learning
* Wavelets: Theory, Algorithms, and Applications
* Linear Algebra in Signals, Systems, and Control
* Linear Algebra and Matrix Theory
* Matrix Analysis and Applied Linear Algebra: Second Edition

## Δημοσιεύσεις

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*
* 

## Παραπομπές


* 
* 
* 

 

Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων
Κατηγορία:Συνδυαστική