Εικόνα (μαθηματικά)

Στα μαθηματικά, **εικόνα** ενός υποσυνόλου του πεδίου ορισμού μίας συνάρτησης ονομάζεται το σύνολο των τιμών που μπορεί να λάβει μέσω αυτής της συνάρτησης.

Πιο συγκεκριμένα, έστω μία συνάρτηση f : A \to B και X \subseteq A. Η εικόνα του X μέσω της f είναι το σύνολο 
:\{ f(a) : a \in X \},
και συνήθως συμβολίζεται με f[X] ή απλά f(X).

## Ορισμοί

### Εικόνα ενός στοιχείου
right|300px|thumb|Η συνάρτηση <math>h</math>.

Εικόνα ενός στοιχείου x του πεδίου ορισμού μίας συνάρτησης f : A \to B ονομάζεται το στοιχείο y = f(x) δηλαδή το μοναδικό στοιχείο y για το οποίο (x, y) \in f.

#### Παραδείγματα
* Για την συνάρτηση f : \R \to \R με f(x) = x + 10, η εικόνα του 2 είναι το 2 + 10 = 12. 
* Για την συνάρτηση g : \R \to \R με g(x) = x^2, η εικόνα του -2 είναι το (-2)^2 = 4. 
* Για την συνάρτηση h = \{ (a_1, b_1), (a_2, b_2), (a_3, b_3), (a_4, b_3) \}, η εικόνα του a_2 είναι το b_2 και του a_4 είναι το b_3. 

### Εικόνα ενός συνόλου
Εικόνα ενός υποσυνόλου X του πεδίου ορισμού A είναι το σύνολο 
:\{ f(a) : a \in X \}.
Το σύνολο αυτό συμβολίζεται ως f[X] ή f^{\to}(X) (ή απλά f(X)), και ορίζει μία συνάρτηση από το δυναμοσύνολο του A στο δυναμοσύνολο του B, δηλαδή f[\cdot] : \mathcal{P}(A) \to \mathcal{P}(B).

Από αυτόν τον ορισμό προκύπτει ότι f(\{ a \}) = \{ f(a) \} για κάθε στοιχείο a \in A.

#### Παραδείγματα
* Για την συνάρτηση f : \R \to \R με g(x) = x + 10, η εικόνα του
** \{ 4, 8, 9 \} είναι το σύνολο \{ 14, 18, 19 \},
** \{ a \in \R : 2 \leq a \} είναι το σύνολο \{ b \in \R : 12 \leq b \},
** \{ a \in \R : 2 \leq a \leq 4 \} είναι το σύνολο \{ b \in \R : 12 \leq b \leq 14 \}.
* Για την συνάρτηση g : \R \to \R με g(x) = x^2, η εικόνα του
** \{ 3, 4, 5 \} είναι το σύνολο \{9, 16, 25 \}, 
** \{ -2, +2 \} είναι το σύνολο \{ 4 \}, 
** \{ a \in \R : -2 \leq a \} είναι το σύνολο \{ y \in \R : 0 \leq y \}. 
* Για την συνάρτηση h = \{ (a_1, b_1), (a_2, b_2), (a_3, b_3), (a_4, b_4) \}, η εικόνα του 
** \{ a_2, a_3 \} είναι το \{ b_2, b_3 \},
** \{ a_1, a_4 \} είναι το \{ b_1, b_3 \}. 

### Εικόνα της συνάρτησης
Εικόνα της συνάρτησης είναι η εικόνα του πεδίου ορισμού A, ή ισοδύναμα
:\{ f(a) : a \in A\}.

#### Παραδείγματα
* Η εικόνα της συνάρτησης f : \R \to \R με g(x) = x + 10 είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών \R. 
* Η εικόνα της συνάρτησης g : \R \to \R με g(x) = x^2, είναι το σύνολο των μη-αρνητικών πραγματικών αριθμών \R_{\geq 0} = \{ x : x \geq 0 \}. 
* Η εικόνα της συνάρτησης h = \{ (a_1, b_1), (a_2, b_2), (a_3, b_3), (a_4, b_4) \}, είναι το σύνολο \{ b_1, b_2, b_3 \}.

## Αντίστροφη εικόνα

Η **αντίστροφη εικόνα** ενός υποσυνόλου X του πεδίου τιμών B της συνάρτησης είναι το σύνολο 
:\{ a \in A : f(a) \in X \}.
Το σύνολο αυτό συμβολίζεται ως f^{-1}[X], f^{\gets}(X) (ή απλά f^{-1}(X)) και ορίζει μία συνάρτηση από το δυναμοσύνολο του B στο δυναμοσύνολο του A, δηλαδή f^{-1}[\cdot ] : \mathcal{P}(B) \to \mathcal{P}(A).  
### Παραδείγματα

* Για την συνάρτηση f : \R \to \R με g(x) = x + 10, η αντίστροφη εικόνα του
** \{ 14, 17, 21 \} είναι το σύνολο \{ 4, 7, 11 \},
** \{ a \in \R : 22 \leq a \} είναι το σύνολο \{ b \in \R : 12 \leq b \},
** \{ a \in \R : 2 \leq a \leq 4 \} είναι το σύνολο \{ b \in \R : 12 \leq b \leq 14 \}.
* Για την συνάρτηση g : \R \to \R με g(x) = x^2, η αντίστροφη εικόνα του
** \{ 9, 16, 25 \} είναι το σύνολο \{ -5, -4, -3, +3, +4, +5 \}, 
** \{ 4 \} είναι το σύνολο \{ -2, +2 \}, 
** \{ b \in \R : 4 \leq b \} είναι το σύνολο \{ a \in \R : a \leq -2 \vee 2 \leq a \}. 
* Για την συνάρτηση h = \{ (a_1, b_1), (a_2, b_2), (a_3, b_3), (a_4, b_4) \}, η αντίστροφη εικόνα του 
** \{ b_2, b_3  \} είναι το \{ a_2, a_3, a_4 \},
** \{ b_1, b_3 \} είναι το \{ a_1, a_3, a_4 \}. 

## Ιδιότητες

### Εικόνα
Για κάθε συνάρτηση f : A \to B και κάθε X, Y \subseteq A 
* f[X] = \emptyset αν και μόνο αν X = \emptyset.
* Αν X \subseteq Y τότε f[X] \subseteq f[Y].

* f[X \cup Y] = f[X] \cup f[Y].

* f[X \cap Y] \subseteq f[X] \cap f[Y].
:**Σημείωση:** Αν η f είναι ένα προς ένα, τότε ισχύει η ισότητα. 

* Για κάθε f : A \to B και g : B \to C, ισχύει ότι για X \subseteq A,
::(g \circ f)[X] = g[f[X]].

* Για ένα πεπερασμένο σύνολο X, ισχύει ότι |f[X]| \leq |X|.

### Αντίστροφη εικόνα
Για κάθε συνάρτηση f : A \to B και κάθε X, Y \subseteq B 
* f^{-1}[\emptyset] = \emptyset.
:**Σημείωση:** Για μία επί συνάρτηση ισχύει ότι f^{-1}[X] = \emptyset αν και μόνο αν X = \emptyset.

* f^{-1}[B] = A.

* f^{-1}[X \cup Y] = f^{-1}[X] \cup f^{-1}[Y].

* f^{-1}[X \cap Y] = f^{-1}[X] \cap f^{-1}[Y].

* f^{-1}[X^c] = (f^{-1}[X])^c.

* f^{-1}[f[X]] = X.

* Αν Y = f(X) για κάποιο X, τότε f[f^{-1}[Y]] = Y. 
:**Σημείωση:** Η προϋπόθεση χρειάζεται, καθώς στην συνάρτηση h παραπάνω αν Y = \{ b_1, b_4 \}, τότε f^{-1}[Y] = \{ a_1 \} και f[f^{-1}[Y]] = \{ b_1 \} (και τα δύο σύνολα δεν είναι ίσα).

## Δείτε επίσης
* Συνάρτηση

## Παραπομπές


Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις
Κατηγορία:Θεμελιώδεις έννοιες θεωρίας συνόλων