Θεώρημα μοναδικότητας για την εξίσωση Πουασόν

Το **θεώρημα μοναδικότητας για την εξίσωση του Πουασόν** δηλώνει ότι, για μια μεγάλη κατηγορία συνοριακών συνθηκών, η εξίσωση μπορεί να έχει πολλές λύσεις, αλλά η κλίση κάθε λύσης είναι η ίδια. Στην περίπτωση της ηλεκτροστατικής, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα μοναδικό ηλεκτρικό πεδίο που προκύπτει από μια συνάρτηση δυναμικού που ικανοποιεί την εξίσωση Πουασόν υπό τις συνοριακές συνθήκες.

## Απόδειξη
Η γενική έκφραση για την εξίσωση Πουασόν στην ηλεκτροστατική είναι η εξής

:\mathbf{\nabla}^2 \varphi = -\frac{\rho_f}{\epsilon_0},

όπου \varphi είναι το ηλεκτρικό δυναμικό και \rho_f είναι η κατανομή του φορτίου σε κάποια περιοχή V με οριακή επιφάνεια S .

Η μοναδικότητα της λύσης μπορεί να αποδειχθεί για μια μεγάλη κατηγορία συνοριακών συνθηκών ως ακολούθως.

Ας υποθέσουμε ότι ισχυριζόμαστε ότι έχουμε δύο λύσεις της εξίσωσης Πουασόν. Ας ονομάσουμε αυτές τις δύο λύσεις \varphi_1 και \varphi_2. Τότε

:\mathbf{\nabla}^2 \varphi_1 = - \frac{\rho_f}{\epsilon_0}, 

και

:\mathbf{\nabla}^2 \varphi_2 = - \frac{\rho_f}{\epsilon_0}.

Προκύπτει ότι \varphi=\varphi_2-\varphi_1  είναι λύση της εξίσωσης Λαπλάς, η οποία αποτελεί ειδική περίπτωση της εξίσωσης Πουασόν που ισούται με 0. Η αφαίρεση των δύο παραπάνω λύσεων δίνει

Με την εφαρμογή της διανυσματικής διαφορικής ταυτότητας γνωρίζουμε ότι

:\nabla \cdot (\varphi \, \nabla \varphi )= \, (\nabla \varphi )^2 + \varphi \, \nabla^2 \varphi.

Ωστόσο, από την () γνωρίζουμε επίσης ότι σε όλη την περιοχή \nabla^2 \varphi = 0. Συνεπώς, ο δεύτερος όρος μηδενίζεται και βρίσκουμε ότι

:\nabla \cdot (\varphi \, \nabla \varphi )= \, (\nabla \varphi )^2.

Παίρνοντας το ολοκλήρωμα όγκου στην περιοχή V, βρίσκουμε ότι

:\int_V \mathbf{\nabla}\cdot(\varphi \, \mathbf{\nabla}\varphi) \, \mathrm{d}V = \int_V (\mathbf{\nabla}\varphi)^2 \, \mathrm{d}V.

Εφαρμόζοντας το θεώρημα απόκλισης, ξαναγράφουμε την παραπάνω έκφραση ως εξής

Τώρα εξετάζουμε διαδοχικά τρεις διαφορετικές οριακές συνθήκες: μια οριακή συνθήκη Ντίριχλετ, μια οριακή συνθήκη Νόιμαν και μια μικτή οριακή συνθήκη.

Πρώτον, εξετάζουμε την περίπτωση όπου οι οριακές συνθήκες Ντίριχλετ καθορίζονται ως \varphi = 0 στο όριο της περιοχής. Αν η οριακή συνθήκη Dirichlet ικανοποιείται στο S και από τις δύο λύσεις (δηλαδή, αν \varphi = 0 στο σύνορο), τότε η αριστερή πλευρά της () είναι μηδέν. Κατά συνέπεια, βρίσκουμε ότι

:\int_V (\mathbf{\nabla}\varphi)^2 \, \mathrm{d}V = 0.

Δεδομένου ότι πρόκειται για το ολοκλήρωμα όγκου μιας θετικής ποσότητας (λόγω του τετραγωνικού όρου), πρέπει να έχουμε \nabla \varphi = 0 σε όλα τα σημεία. Επιπλέον, επειδή η κλίση του \varphi είναι παντού μηδέν και το \varphi είναι μηδέν στο όριο, το \varphi πρέπει να είναι μηδέν σε όλη την περιοχή. Τέλος, αφού \varphi = 0 σε όλη την περιοχή και αφού \varphi = \varphi_2 - \varphi_1 σε όλη την περιοχή, επομένως \varphi_1 = \varphi_2 σε όλη την περιοχή. Έτσι ολοκληρώνεται η απόδειξη ότι υπάρχει η μοναδική λύση της εξίσωσης του Πουασόν με συνοριακή συνθήκη Ντίριχλετ.

Δεύτερον, εξετάζουμε την περίπτωση όπου οι συνοριακές συνθήκες Νόιμαν ορίζονται ως \nabla\varphi = 0 στο όριο της περιοχής.  Αν η συνοριακή συνθήκη Νόιμαν ικανοποιείται στην S και από τις δύο λύσεις, τότε η αριστερή πλευρά της () είναι πάλι μηδέν. Κατά συνέπεια, όπως και προηγουμένως, βρίσκουμε ότι

:\int_V (\mathbf{\nabla}\varphi)^2 \, \mathrm{d}V = 0.

Όπως και προηγουμένως, δεδομένου ότι πρόκειται για το ολοκλήρωμα όγκου μιας θετικής ποσότητας, πρέπει να έχουμε \nabla \varphi = 0 σε όλα τα σημεία. Επιπλέον, επειδή η κλίση του \varphi είναι παντού μηδέν μέσα στον όγκο V, και επειδή η κλίση του \varphi είναι παντού μηδέν στο όριο S, επομένως το \varphi πρέπει να είναι σταθερό--αλλά όχι απαραίτητα μηδέν--σε όλη την περιοχή. Τέλος, αφού \varphi = k σε όλη την περιοχή και αφού \varphi = \varphi_2 - \varphi_1 σε όλη την περιοχή, επομένως \varphi_1 = \varphi_2 - k σε όλη την περιοχή. Έτσι ολοκληρώνεται η απόδειξη ότι υπάρχει η μοναδική λύση μέχρι μια προσθετική σταθερά της εξίσωσης του Πουασόν με συνοριακή συνθήκη Νόιμαν.

Θα μπορούσε να δοθεί μικτή συνοριακή συνθήκη s εφόσον «είτε» η κλίση «είτε» το δυναμικό καθορίζεται σε κάθε σημείο του συνόρου. Ισχύουν επίσης οι συνοριακές συνθήκες στο άπειρο. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι το επιφανειακό ολοκλήρωμα στην () εξακολουθεί να εξαλείφεται σε μεγάλες αποστάσεις επειδή το ολοκλήρωμα φθίνει ταχύτερα από ό,τι αυξάνεται η επιφάνεια.

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Διδιάστατος χώρος
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Υπερβολική γεωμετρία
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Διάσταση Κρουλ
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
*
* 
* 
* 
*
*
*
* 
* 
* . Review: Séquin, Carlo H. (2009), *Journal of Mathematics and the Arts* 3: 229–230, 
* 
*Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:Θεωρήματα στην ανάλυση
Κατηγορία:Μαθηματική ανάλυση
Κατηγορία:Επιφάνειες
Κατηγορία:Διαφορική τοπολογία
Κατηγορία:Διανύσματα
Κατηγορία:Διανυσματικός λογισμός
Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις