Μηδενοριζικό

Στην άλγεβρα, το **µηδενοριζικό** ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου είναι το ιδεώδες που αποτελείται από τα μηδενοδύναμα στοιχεία:

:\mathfrak{N}_R = \lbrace f \in R \mid f^m=0 \text{ for some } m\in\mathbb{Z}_{>0}\rbrace.

Είναι επομένως η ρίζα του μηδενικού ιδεώδες. Εάν το µηδενοριζικό είναι το μηδενικό ιδεώδες, ο δακτύλιος καλείται µειωµένος δακτύλιος. Το µηδενοριζικό ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου είναι η τομή όλων των πρώτων ιδεωδών.

Στην περίπτωση των μη αντιμεταθετικών δακτυλίων ο ίδιος ορισμός δεν ισχύει πάντα. Αυτό είχε ως αποτέλεσμα αρκετές ρίζες να γενικεύουν την αντιμεταθετική περίπτωση με διαφορετικούς τρόπους- δείτε το άρθρο Ρίζα ενός δακτυλίου για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με αυτό. :

Το µηδενοριζικό μιας άλγεβρας Λι ορίζεται ομοίως για τις άλγεβρες Λι.

## Αντιμεταθετικοί δακτύλιοι

Το µηδενοριζικό ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου είναι το σύνολο όλων των μηδενοδύναμων στοιχείων του δακτυλίου, ή ισοδύναμα η ρίζα του μηδενικού ιδεώδους. Αυτό είναι ένα ιδεώδες επειδή το άθροισμα δύο μηδενικών στοιχείων είναι μηδενικό (από τον διωνυμικό τύπο) και το γινόμενο οποιουδήποτε στοιχείου με ένα μηδενοδύναμο στοιχείο είναι μηδενικό (από την αντιμεταθετικότητα). Μπορεί επίσης να χαρακτηριστεί ως η τομή όλων των πρώτων ιδεωδών του δακτυλίου (στην πραγματικότητα, είναι η τομή όλων των ελάχιστων πρώτων ιδεωδών). 

  **Πρόταση:** *Έστω <math>R</math> ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος. Τότε το μηδενικό <math>\mathfrak{N}_R</math> του <math>R</math> ισούται με την τομή όλων των πρώτων ιδεωδών του <math>R.</math>*

 **Μαθηματική απόδειξη:**
 Πρώτον, το µηδενοριζικό  περιέχεται σε κάθε πρωταρχικό ιδεώδες. Πράγματι, αν r \in \mathfrak{N}_R, έχουμε r^n=0 για κάποιο θετικό ακέραιο n. Αφού κάθε ιδεώδες περιέχει το 0 και κάθε πρωταρχικό ιδεώδες που περιέχει ένα γινόμενο, εδώ r^n=0, περιέχει έναν από τους παράγοντες του, συμπεραίνουμε ότι κάθε πρωταρχικό ιδεώδες περιέχει το r.
 
 Αντίστροφα, έστω f\notin\mathfrak{N}_R; πρέπει να αποδείξουμε ότι υπάρχει ένα πρώτο ιδεώδες που δεν περιέχει το f. Θεωρούμε το σύνολο \Sigma όλων των ιδεωδών που δεν περιέχουν καμία δύναμη του f. Έχουμε (0) \in \Sigma, από τον ορισμό του μηδενικού. Για κάθε αλυσίδα J_1\subseteq J_2 \subseteq \dots ιδανικών στο \Sigma, η ένωση J=\bigcup_{i\geq1} J_i είναι ένα ιδεώδες που ανήκει στο \Sigma, αφού αλλιώς θα περιείχε μια δύναμη του f, που πρέπει να ανήκει σε κάποιο J_i, αντιφάσκοντας με τον ορισμό του J_i.
 
 Έτσι, το \Sigma είναι ένα μερικώς διατεταγμένο με εγκλεισμό συνόλου, έτσι ώστε κάθε αλυσίδα να έχει ένα ελάχιστο άνω όριο. Συνεπώς, ισχύει το Λήμμα του Τσορν και υπάρχει ένα μέγιστο στοιχείο \mathfrak{m} \in \Sigma. Τώρα πρέπει να αποδείξουμε ότι το \mathfrak{m} είναι ένα πρώτο ιδεώδες. Αν δεν ήταν πρώτος αριθμός θα υπήρχαν δύο στοιχεία g\in R και h\in R τέτοια ώστε g\notin\mathfrak{m}, h\notin\mathfrak{m}, και gh\in\mathfrak{m}. Από τη μεγιστοποίηση του \mathfrak{m}, έχουμε \mathfrak{m}+(g)\notin\Sigma και \mathfrak{m}+(h)\notin\Sigma.  Άρα υπάρχουν θετικοί ακέραιοι r και s τέτοιοι ώστε f^r \in \mathfrak{m}+(g) και f^s \in \mathfrak{m}+(h). Προκύπτει ότι f^rf^s=f^{r+s} \in \mathfrak{m}+(gh)=\mathfrak{m}, που αντιφάσκει με το γεγονός ότι \mathfrak{m} είναι στο \Sigma. Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη, αφού έχουμε αποδείξει την ύπαρξη ενός πρώτου ιδεώδους που δεν περιέχει το f.

Ένας δακτύλιος ονομάζεται ελαττωμένος αν δεν έχει μη μηδενικό μηδενοδύναμο. Έτσι, ένας δακτύλιος είναι ανηγμένος αν και μόνο αν το µηδενοριζικό  του είναι μηδέν. Αν ο *R* είναι ένας αυθαίρετος αντιμεταθετικός δακτύλιος, τότε το πηλίκο του με το µηδενοριζικό  είναι ένας µειωµένος δακτύλιος και συμβολίζεται με R_{\text{red}}.

Δεδομένου ότι κάθε μέγιστο ιδεώδες είναι ένα πρώτο ιδεώδες, η ρίζα Τζέικομπσον - η οποία είναι η τομή των μέγιστων ιδεωδών - πρέπει να περιέχει το μηδενικό ιδεώδες. Ένας δακτύλιος *R* ονομάζεται δακτύλιος Τζέικομπσον αν το µηδενοριζικό και η ρίζα Τζέικομπσον του *R*/*P* συμπίπτουν για όλα τα πρώτα ιδεώδη *P* του *R*. Ένας δακτύλιος Αρτινιάν είναι Τζέικομπσον και το  µηδενοριζικό  του είναι το μέγιστο μηδενικό ιδεώδες του δακτυλίου. Γενικά, αν το µηδενοριζικό  είναι πεπερασμένης παραγωγής (π.χ. ο δακτύλιος είναι Ναιτεριανός), τότε είναι μηδενικό.

## Μη αντιμεταθετικοί δακτύλιοι

Για τους μη- αντιμεταθετικούς δακτυλίους, υπάρχουν διάφορα ανάλογα του µηδενοριζικού. Το κατώτερο µηδενοριζικό (ή ρίζα Μπέερ-Μακ Κόι, ή πρωταρχικό ριζικό) είναι το ανάλογο της ρίζας του µηδενικού ιδεώδους και ορίζεται ως η τοµή των πρώτων ιδεωδών του δακτυλίου. Το ανάλογο του συνόλου όλων των μηδενοδύναμων στοιχείων είναι το άνω µηδενοριζικο και ορίζεται ως το ιδεώδες που παράγεται από όλα τα µηδενοριζικά ιδεώδη του δακτυλίου, το οποίο είναι το ίδιο μηδενικό ιδεώδες. Το ίδιο το σύνολο όλων των μηδενοδύναμων στοιχείων δεν χρειάζεται να είναι ιδεώδες (ή ακόμη και υποομάδα), οπότε το άνω µηδενοριζικό  μπορεί να είναι πολύ μικρότερο από αυτό το σύνολο. Η ρίζα Λεβίτσκι βρίσκεται στο ενδιάμεσο και ορίζεται ως το μεγαλύτερο τοπικά μη μηδενοδύναμο ιδεώδες. Όπως και στην αντιμεταθετική περίπτωση, όταν ο δακτύλιος είναι αρτινικός, η ρίζα Λεβίτσκι είναι μηδενική και έτσι είναι το μοναδικό μεγαλύτερο μηδενοδύναμο ιδεώδες. Πράγματι, αν ο δακτύλιος είναι απλώς Ναιτεριανός, τότε η κάτω, η άνω και η ρίζα Λεβίτσκι είναι μηδενοδύναμες και συμπίπτουν, επιτρέποντας στο µηδενοριζικό οποιουδήποτε Ναιτεριανού δακτυλίου να οριστεί ως το μοναδιαίο μεγαλύτερο (αριστερό, δεξιό ή αμφίπλευρο) µηδενοδύναμο ιδεώδες του δακτυλίου.

## Δημοσιεύσεις

* 

* 

*

*

* 

*

*
* 
* 
* 
* Paul C. Shields (1980) *Elementary Linear Algebra* 3rd edition, p 274, Worth Publishers ISBN 0-87901-121-1
* 
* 

## Δείτε επίσης

* Field Arithmetic
* Πραγματικό προβολικό επίπεδο
* Μιγαδικός αριθμός 
* Αντιερμιτιανός πίνακας
* Μέγιστος κοινός διαιρέτης
* Υπολογιστική βιολογία
* Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
* Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
* Συμμετρικός πίνακας
* Άλγεβρα Μπουλ
* Πολλαπλασιασμός πινάκων
* Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση
* Χώρος Γραμμών και Χώρος Στηλών
* Αντιστρέψιμος πίνακας
* Μηδενοδύναμο στοιχείο
* Μονοδύναμο στοιχείο
* High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*Matrix calculator
* Matrix Analysis
* Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
* Foundation Mathematics for Computer Science: A Visual Approach
* Quantum Probability and Spectral Analysis of Graphs.
* Symplectic Methods in Harmonic Analysis and in Mathematical Physics...
* Faith and Philosophy: Discourses and Essays ...
* High Performance Algorithms for Structured Matrix Problems ..
* Ratner's Theorems on Unipotent Flows ......
* Representations of Nilpotent Lie Groups and Their Applications: Volume 1 .. ...
* Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

## Παραπομπές

*A. Borel, *Linear algebraic groups*, 
*
* Eisenbud, David, "Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry", Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, .
* 

 

Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα 
Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα 
Κατηγορία:Θεωρήματα της γραμμικής άλγεβρας 
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά) 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα 
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων