Διανυσματικά πεδία σε κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες

Σημείωση: Αυτή η σελίδα χρησιμοποιεί τον κοινό συμβολισμό της φυσικής για τις σφαιρικές συντεταγμένες, όπου \theta είναι η γωνία μεταξύ του άξονα *z*  και του διανύσματος ακτίνας που συνδέει την αρχή με το εν λόγω σημείο, ενώ \phi είναι η γωνία μεταξύ της προβολής του διανύσματος ακτίνας στο επίπεδο *x-y* και του άξονα *x*. Χρησιμοποιούνται αρκετοί άλλοι ορισμοί, γι' αυτό και πρέπει να δίνεται προσοχή κατά τη σύγκριση διαφορετικών πηγών.

## Κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων

### Διανυσματικά πεδία

Τα διανύσματα ορίζονται στις κυλινδρικές συντεταγμένες ως εξής (*ρ*, *φ*, *z*), όπου

* *ρ* είναι το μήκος του διανύσματος που προβάλλεται στο επίπεδο
* *φ* είναι η γωνία μεταξύ της προβολής του διανύσματος στο επίπεδο *xy*-plane (i.e. *ρ*) και του θετικού άξονα *x*-axis (0 ≤ *φ* \begin{bmatrix} \rho \\ \phi \\ z \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
\sqrt{x^2 + y^2} \\ \operatorname{arctan}(y / x) \\ z
\end{bmatrix},\ \ \ 0 \le \phi 
ή αντιστρόφως ανά:

\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} \rho\cos\phi \\ \rho\sin\phi \\ z \end{bmatrix}.

Κάθε διανυσματικό πεδίο μπορεί να γραφεί ως προς τα μοναδιαία διανύσματα ως εξής:

\mathbf A
= A_x \mathbf{\hat x} + A_y \mathbf{\hat y} + A_z \mathbf{\hat z} 
= A_\rho \mathbf{\hat \rho} + A_\phi \boldsymbol{\hat \phi} + A_z \mathbf{\hat z}

Τα κυλινδρικά μοναδιαία διανύσματα σχετίζονται με τα καρτεσιανά μοναδιαία διανύσματα ως εξής:

\begin{bmatrix}\boldsymbol{\hat \rho} \\ \boldsymbol{\hat\phi} \\ \mathbf{\hat z}\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
  \cos\phi & \sin\phi & 0 \\
  -\sin\phi & \cos\phi & 0 \\
  0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \mathbf{\hat x} \\ \mathbf{\hat y} \\ \mathbf{\hat z} \end{bmatrix}

Σημείωση: ο πίνακας είναι ένας ορθογώνιος πίνακας, δηλαδή ο αντιστρέψιμος είναι απλώς η αντιστροφή του.

### Χρονική παράγωγος ενός διανυσματικού πεδίου

Για να διαπιστωθεί πώς μεταβάλλεται το διανυσματικό πεδίο **Α** με το χρόνο, πρέπει να υπολογιστούν οι χρονικές παράγωγοι.
Για το σκοπό αυτό θα χρησιμοποιηθεί ο συμβολισμός του Νεύτωνα για τη χρονική παράγωγο (\dot{\mathbf{A}}).
Σε καρτεσιανές συντεταγμένες αυτό είναι απλά:

\dot{\mathbf{A}} = \dot{A}_x \hat{\mathbf{x}} + \dot{A}_y \hat{\mathbf{y}} + \dot{A}_z \hat{\mathbf{z}}

Ωστόσο, σε κυλινδρικές συντεταγμένες αυτό γίνεται:

\dot{\mathbf{A}} = \dot{A}_\rho \hat{\boldsymbol{\rho}} + A_\rho \dot{\hat{\boldsymbol{\rho}}} 
  + \dot{A}_\phi \hat{\boldsymbol{\phi}} + A_\phi \dot{\hat{\boldsymbol{\phi}}}
  + \dot{A}_z \hat{\boldsymbol{z}} + A_z \dot{\hat{\boldsymbol{z}}}

Χρειάζονται οι χρονικές παράγωγοι των μοναδιαίων διανυσμάτων. 
Δίνονται από:

\begin{align}
  \dot{\hat{\boldsymbol{\rho}}} & = \dot{\phi} \hat{\boldsymbol{\phi}} \\
  \dot{\hat{\boldsymbol{\phi}}} & = - \dot\phi \hat{\boldsymbol{\rho}} \\
  \dot{\hat{\mathbf{z}}} & = 0
\end{align}

Έτσι, η χρονική παράγωγος απλοποιείται σε:

\dot{\mathbf{A}}
= \hat{\boldsymbol{\rho}} \left(\dot{A}_\rho - A_\phi \dot{\phi}\right)
  + \hat{\boldsymbol{\phi}} \left(\dot{A}_\phi + A_\rho \dot{\phi}\right)
  + \hat{\mathbf{z}} \dot{A}_z

### Δεύτερη χρονική παράγωγος ενός διανυσματικού πεδίου

Η δεύτερη χρονική παράγωγος παρουσιάζει ενδιαφέρον στη φυσική, καθώς συναντάται στις εξισώσεις κίνησης για κλασικά μηχανικά συστήματα.
Η δεύτερη χρονική παράγωγος ενός διανυσματικού πεδίου σε κυλινδρικές συντεταγμένες δίνεται από:

\ddot{\mathbf{A}}
= \mathbf{\hat \rho} \left(\ddot A_\rho - A_\phi \ddot\phi - 2 \dot A_\phi \dot\phi - A_\rho \dot\phi^2\right)
  + \boldsymbol{\hat\phi} \left(\ddot A_\phi + A_\rho \ddot\phi + 2 \dot A_\rho \dot\phi - A_\phi \dot\phi^2\right)
  + \mathbf{\hat z} \ddot A_z

Για να γίνει κατανοητή αυτή η έκφραση, το **A** αντικαθίσταται από το **P** όπου **P** είναι το διάνυσμα (*ρ*, *φ*, *z*).

Αυτό σημαίνει ότι  \mathbf{A} = \mathbf{P} = \rho \mathbf{\hat \rho} + z \mathbf{\hat z}.

Μετά την αντικατάσταση, το αποτέλεσμα δίνεται:

\ddot\mathbf{P}
= \mathbf{\hat \rho} \left(\ddot \rho - \rho \dot\phi^2\right)
  + \boldsymbol{\hat\phi} \left(\rho \ddot\phi + 2 \dot \rho \dot\phi\right)
  + \mathbf{\hat z} \ddot z

Στη μηχανική, οι όροι αυτής της έκφρασης ονομάζονται:

Δείτε επίσης: Γωνιακή επιτάχυνση και Δύναμη Κοριόλις.

## Σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων

### Διανυσματικά πεδία

Τα διανύσματα ορίζονται στις σφαιρικές συντεταγμένες ως (*r*, *θ*, *φ*), όπου
* *r* είναι το μήκος του διανύσματος,
* *θ* είναι η γωνία μεταξύ του θετικού άξονα Ζ και του εν λόγω διανύσματος (0 ≤ *θ* ≤ *π*), και
* *φ* είναι η γωνία μεταξύ της προβολής του διανύσματος στο επίπεδο *xy* και του θετικού άξονα Χ (0 ≤ *φ* \begin{bmatrix}r \\ \theta \\ \phi \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\ \arccos(z / \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}) \\ \arctan(y / x)
\end{bmatrix},\ \ \ 0 \le \theta \le \pi,\ \ \ 0 \le \phi 

ή αντιστρόφως ανά:

\begin{bmatrix}r \\ \theta \\ \phi \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\ \arccos(z / \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}) \\ \arctan(y / x)
\end{bmatrix},\ \ \ 0 \le \theta \le \pi,\ \ \ 0 \le \phi 

Κάθε διανυσματικό πεδίο μπορεί να γραφεί ως προς τα μοναδιαία διανύσματα ως εξής:

\mathbf A
 = A_x\mathbf{\hat x} + A_y\mathbf{\hat y} + A_z\mathbf{\hat z} 
 = A_r\boldsymbol{\hat r} + A_\theta\boldsymbol{\hat \theta} + A_\phi\boldsymbol{\hat \phi}

Τα διανύσματα σφαιρικής βάσης σχετίζονται με τα διανύσματα καρτεσιανής βάσης μέσω του Ιακωβιανού πίνακα:

\begin{bmatrix}\boldsymbol{\hat{r}} \\ \boldsymbol{\hat\theta}  \\ \boldsymbol{\hat\phi} \end{bmatrix}
  = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial r} \\
                    \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \theta} \\
                    \frac{\partial x}{\partial \phi} & \frac{\partial y}{\partial \phi}  & \frac{\partial z}{\partial \phi} \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix} \mathbf{\hat x} \\ \mathbf{\hat y} \\ \mathbf{\hat z} \end{bmatrix}

Σημείωση: ο πίνακας είναι ένας ορθογώνιος πίνακας, δηλαδή ο αντιστρέψιμος του είναι απλώς o ανάστοφός του.

Τα καρτεσιανά μοναδιαία διανύσματα σχετίζονται έτσι με τα σφαιρικά μοναδιαία διανύσματα ως εξής:

\begin{bmatrix}\mathbf{\hat x} \\ \mathbf{\hat y}  \\ \mathbf{\hat z} \end{bmatrix}
  = \begin{bmatrix} \sin\theta\cos\phi & \cos\theta\cos\phi & -\sin\phi \\
                    \sin\theta\sin\phi & \cos\theta\sin\phi &  \cos\phi \\
                    \cos\theta         & -\sin\theta        & 0 \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix} \boldsymbol{\hat{r}} \\ \boldsymbol{\hat\theta} \\ \boldsymbol{\hat\phi} \end{bmatrix}

### Χρονική παράγωγος ενός διανυσματικού πεδίου

Για να διαπιστωθεί πώς μεταβάλλεται το διανυσματικό πεδίο Α με το χρόνο, πρέπει να υπολογιστούν οι χρονικές παράγωγοι.
Σε καρτεσιανές συντεταγμένες αυτό είναι απλά:

\mathbf{\dot A} = \dot A_x \mathbf{\hat x} + \dot A_y \mathbf{\hat y} + \dot A_z \mathbf{\hat z}

Ωστόσο, σε σφαιρικές συντεταγμένες αυτό γίνεται:

\mathbf{\dot A} = \dot A_r \boldsymbol{\hat r} + A_r \boldsymbol{\dot{\hat r}}
  + \dot A_\theta \boldsymbol{\hat\theta} + A_\theta \boldsymbol{\dot{\hat\theta}}
  + \dot A_\phi \boldsymbol{\hat\phi} + A_\phi \boldsymbol{\dot{\hat\phi}}

Χρειάζονται οι χρονικές παράγωγοι των μοναδιαίων διανυσμάτων.  Δίνονται από:

\begin{align}
  \boldsymbol{\dot{\hat r}} &= \dot\theta \boldsymbol{\hat\theta} + \dot\phi\sin\theta \boldsymbol{\hat\phi} \\
  \boldsymbol{\dot{\hat\theta}} &= - \dot\theta \boldsymbol{\hat r} + \dot\phi\cos\theta \boldsymbol{\hat\phi} \\
  \boldsymbol{\dot{\hat\phi}} &= - \dot\phi\sin\theta \boldsymbol{\hat{r}} - \dot\phi\cos\theta \boldsymbol{\hat\theta}
\end{align}

Έτσι, η χρονική παράγωγος γίνεται:

\mathbf{\dot A}
= \boldsymbol{\hat r} \left(\dot A_r - A_\theta \dot\theta - A_\phi \dot\phi \sin\theta \right)
  + \boldsymbol{\hat\theta} \left(\dot A_\theta + A_r \dot\theta - A_\phi \dot\phi \cos\theta\right)
  + \boldsymbol{\hat\phi} \left(\dot A_\phi + A_r \dot\phi \sin\theta + A_\theta \dot\phi \cos\theta\right)

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Διδιάστατος χώρος
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Υπερβολική γεωμετρία
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Διάσταση Κρουλ
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
*
* 
* 
* 
*
*
*
* 
* 
* . Review: Séquin, Carlo H. (2009), *Journal of Mathematics and the Arts* 3: 229–230, 
* 
*Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:Θεωρήματα στην ανάλυση
Κατηγορία:Μαθηματική ανάλυση
Κατηγορία:Επιφάνειες
Κατηγορία:Διαφορική τοπολογία
Κατηγορία:Διανύσματα
Κατηγορία:Διανυσματικός λογισμός
Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις