Επιχείρημα Έκμαν-Χίλτον

Στα μαθηματικά, το **επιχείρημα Έκμαν-Χίλτον** (ή **αρχή Έκμαν-Χίλτον** ή **θεώρημα Έκμαν-Χίλτον**) είναι ένα επιχείρημα σχετικά με δύο δομές μαγμάτος σε ένα σύνολο, όπου η μία είναι ομομορφισμός για την άλλη. Δεδομένου αυτού, οι δομές είναι ίδιες και το μαγμά που προκύπτει είναι ένα αντιμεταθετικό μονοειδές. Αυτό μπορεί στη συνέχεια να χρησιμοποιηθεί για να αποδειχθεί η αντιμεταθετικότητα των ανώτερων ομοτοπικών ομάδων. Η αρχή πήρε το όνομά της από τους Μπένο Έκμαν και Πίτερ Χίλτον, οι οποίοι την χρησιμοποίησαν σε μια εργασία του 1962.

## Το αποτέλεσμα Έκμαν-Χίλτον

Έστω  X ένα σύνολο εξοπλισμένο με δύο δυαδικές πράξεις, τις οποίες θα γράψουμε \circ και \otimes, και ας υποθέσουμε:

# \circ και \otimes είναι και τα δύο μοναδιαία, που σημαίνει ότι υπάρχουν ταυτοτικά στοιχεία 1_\circ  και 1_\otimes του X έτσι ώστε 1_\circ \circ a= a =a \circ 1_\circ και 1_\otimes \otimes a= a =a \otimes 1_\otimes, για όλα τα a\in X.
# (a \otimes b) \circ (c \otimes d) = (a \circ c) \otimes (b \circ d) για όλα τα  a,b,c,d \in X .

Τότε \circ και \otimes είναι τα ίδια και στην πραγματικότητα είναι αντιμεταθετικά και προσεταιριστικά.

### Παρατηρήσεις

Οι πράξεις \otimes και \circ αναφέρονται συχνά ως μονοειδείς δομές ή πολλαπλασιασμοί, αλλά αυτό υποδηλώνει ότι θεωρούνται προσεταιριστικές, μια ιδιότητα που δεν απαιτείται για την απόδειξη. Στην πραγματικότητα, η προσεταιριστικότητα  προκύπτει. Ομοίως, δεν χρειάζεται να απαιτούμε οι δύο πράξεις να έχουν το ίδιο ουδέτερο στοιχείο· αυτό είναι συνέπεια.

## Απόδειξη

Πρώτον, σημειώστε ότι οι μονάδες των δύο πράξεων συμπίπτουν:
 1_\circ = 1_\circ \circ 1_\circ
               = (1_\otimes \otimes 1_\circ) \circ (1_\circ \otimes 1_\otimes)
               = (1_\otimes \circ 1_\circ) \otimes (1_\circ \circ 1_\otimes)
               = 1_\otimes \otimes 1_\otimes
               = 1_\otimes.

Now, let a,b \in X.
Τότε a \circ b = (1 \otimes a) \circ (b \otimes 1)
                     = (1 \circ b) \otimes (a \circ 1)
                     = b \otimes a
                     = (b \circ 1) \otimes (1 \circ a)
                     = (b \otimes 1) \circ (1 \otimes a)
                     = b \circ a. Αυτό αποδεικνύει ότι οι δύο πράξεις συμπίπτουν και είναι αντιμεταθετικές.

Για την προσεταιριστικότητα (a \otimes b) \otimes c = (a \otimes b) \otimes (1 \otimes c) = (a \otimes 1) \otimes (b \otimes c) = a \otimes (b \otimes c).

## Δισδιάστατη απόδειξη

Η παραπάνω απόδειξη έχει επίσης μια "δισδιάστατη" παρουσίαση που απεικονίζει καλύτερα την εφαρμογή σε ανώτερες ομοτοπικές ομάδες.
Για αυτήν την έκδοση της απόδειξης,σημειώνουμε τις δύο πράξεις ως κάθετη και οριζόντια παράθεση, δηλαδή \begin{matrix}a\\[-60pt]b\end{matrix} και a \ b. Η ιδιότητα της εναλλαγής μπορεί τότε να εκφραστεί ως εξής:

Για όλα τα a,b,c,d\in X, \begin{matrix}(a \ b)\\[-60pt](c \ d)\end{matrix} = \begin{pmatrix}a\\[-60pt]c\end{pmatrix} \begin{pmatrix}b\\[-60pt]d\end{pmatrix},οπότε μπορούμε να γράψουμε 

\begin{matrix}
a \ b \\[-60pt]
c \ d
\end{matrix}
 χωρίς αμφιβολία.

Έστω \bullet και \circ οι μονάδες για την κάθετη και οριζόντια σύνθεση αντίστοιχα. Τότε \bullet =
\begin{matrix}\bullet \\[-60pt]
\bullet
\end{matrix}
=
\begin{matrix}
\bullet \ \ \circ \\[-60pt]
\circ \ \ \bullet
\end{matrix}
= \circ \ \circ = \circ
, οπότε και οι δύο μονάδες είναι ίσες.

Τώρα, για όλα τα a,b\in X, a \ b =
\begin{matrix}
a \ \ \bullet\\[-60pt]
\bullet \ \ b
\end{matrix}
= \begin{matrix}a \\[-60pt] b\end{matrix}
=
\begin{matrix}
\bullet \ \ a \\[-60pt]
b \ \ \bullet
\end{matrix}
= b \ a =
\begin{matrix}
b \ \ \bullet \\[-60pt]
\bullet \ \ a
\end{matrix}
= \begin{matrix}b \\[-60pt] a\end{matrix}
, οπότε η οριζόντια σύνθεση είναι ίδια με την κάθετη σύνθεση και οι δύο πράξεις είναι αντιμεταθετικές.

Τέλος, για όλα τα a,b,c\in X,
a \ (b \ c) = a\ \begin{pmatrix}b\\[-60pt]c\end{pmatrix} =
\begin{matrix}
a \ \ b\\[-60pt]
\bullet \ \ c
\end{matrix}
=
\begin{matrix}
(a \ b) \\[-60pt]
c
\end{matrix}
= (a \ b) \ c
, οπότε η σύνθεση είναι προσεταιριστική.

## Παρατηρήσεις

Εάν οι πράξεις είναι προσεταιριστικές, κάθε μία ορίζει τη δομή ενός μονοειδούς στο X, και οι παραπάνω συνθήκες είναι ισοδύναμες με την πιο αφηρημένη συνθήκη ότι το \otimes είναι ένας ομομορφισμός μονοειδούς (X,\circ)\times(X,\circ)\to(X,\circ) (ή το αντίστροφο).  Ένας ακόμη πιο αφηρημένος τρόπος για να διατυπώσουμε το θεώρημα είναι: Αν X είναι ένα μονοειδές αντικείμενο στην κατηγορία των μονοειδών, τότε X είναι στην πραγματικότητα ένα αντιμεταθετικό μονοειδές.

Είναι σημαντικό ότι ένα παρόμοιο επιχείρημα δεν δίνει ένα τόσο ασήμαντο αποτέλεσμα στην περίπτωση των μονοειδών αντικειμένων στις κατηγορίες των μικρών κατηγοριών ή των ομαδοειδών. Αντίθετα, η έννοια της ομάδας αντικειμένου στην κατηγορία των ομαδοειδών αποδεικνύεται ισοδύναμη με την έννοια του σταυρωτού module. Αυτό οδηγεί στην ιδέα της χρήσης πολλαπλών ομαδοειδών αντικειμένων στην ομοτοπική θεωρία.

Γενικότερα, το **επιχείρημα Έκμαν-Χίλτον** είναι μια ειδική περίπτωση της χρήσης του νόμουεναλλαγής στη θεωρία των (αυστηρών) διπλών και πολλαπλών κατηγοριών. Μια (αυστηρή) διπλή κατηγορία είναι ένα σύνολο ή μια κλάση, εξοπλισμένη με δύο δομές κατηγοριών, καθεμία από τις οποίες είναι μορφισμός για την άλλη δομή. Αν οι συνθέσεις στις δύο δομές κατηγοριών γράφονται \circ, \otimes, τότε ο νόμος εναλλαγής έχει ως εξής:
: (a \circ b) \otimes (c \circ d) = (a \otimes c) \circ (b \otimes d)
όποτε και οι δύο πλευρές είναι καθορισμένες. Για ένα παράδειγμα χρήσης και κάποια συζήτηση, βλ. το άρθρο του Χίγκινς που αναφέρεται παρακάτω. Ο νόμος της ανταλλαγής υποδηλώνει ότι μια διπλή κατηγορία περιέχει μια οικογένεια αβελιανών μονοειδών.

Η ιστορία σε σχέση με τις ομοτοπικές ομάδες είναι ενδιαφέρουσα. Οι ερευνητές της τοπολογίας στις αρχές του 20ού αιώνα γνώριζαν ότι η μη αβελιανή θεμελιώδης ομάδα ήταν χρήσιμη στη γεωμετρία και την ανάλυση, ότι οι αβελιανές ομολογικές ομάδες μπορούσαν να οριστούν σε όλες τις διαστάσεις και ότι για έναν συνδεδεμένο χώρο, η πρώτη ομολογική ομάδα ήταν η θεμελιώδης ομάδα που έγινε αβελιανή. Έτσι, υπήρχε η επιθυμία να γενικευτεί η μη αβελιανή θεμελιώδης ομάδα σε όλες τις διαστάσεις.

Το 1932, ο Έντουαρντ Τσεχ υπέβαλε μια εργασία σχετικά με τις ανώτερες ομοτοπικές ομάδες στο Διεθνές Συνέδριο Μαθηματικών στη Ζυρίχη. Ωστόσο, ο Πάβελ Αλεξάντροφ και ο Χάιντς Χοφ αποδείξανε γρήγορα ότι αυτές οι ομάδες ήταν αβελιανές για n > 1, και με αυτό το επιχείρημα έπεισαν τον Τσεχ να αποσύρει την εργασία του, με αποτέλεσμα να δημοσιευτεί μόνο μια μικρή παράγραφος στα “'Πρακτικά”'. Λέγεται ότι ο Βίτολντ Χουρέβιτς παρευρέθηκε σε αυτό το συνέδριο και η πρώτη του εργασία σχετικά με τις ανώτερες ομοτοπικές ομάδες εμφανίστηκε το 1935. Έτσι, τα όνειρα των πρώτων τοπολόγων θεωρούνταν από καιρό ως μια ψευδαίσθηση.

Οι κυβικές ανώτερες ομοτοπικές ομάδες κατασκευάζονται για φιλτραρισμένους χώρους στο βιβλίο (Μη αβελιανή αλγεβρική τοπολογία) *[http://pages.bangor.ac.uk/~mas010/nonab-a-t.html Nonabelian algebraic topology]*  που αναφέρεται παρακάτω, το οποίο αναπτύσσει τη βασική αλγεβρική τοπολογία, συμπεριλαμβανομένων ανώτερων αναλόγων του θεωρήματος Σέιφερτ-Βαν Κάμπεν, χωρίς τη χρήση *ιδιάζουσας ομολογίας*  ή απλοϊκής προσέγγισης.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Αβελιανή ομάδα

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*John Baez: Eckmann–Hilton principle (week 89)
*John Baez: Eckmann–Hilton principle (week 100)
*.
* .
*.
*.
*
* Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα