Λήμμα των πέντε

Στα μαθηματικά, ειδικά στην ομολογική άλγεβρα και σε άλλες εφαρμογές της θεωρίας των αβελιανών κατηγοριών, το **λήμμα των πέντε** είναι ένα σημαντικό και ευρέως χρησιμοποιούμενο λήμμα σχετικά με τα αντιμεταθετικά διαγράμματα.   Το λήμμα των πέντε δεν ισχύει μόνο για τις αβελιανές κατηγορίες, αλλά λειτουργεί και στην κατηγορία των ομάδων, παραδείγματος χάριν.

Το **λήμμα των πέντε** μπορεί να θεωρηθεί ως συνδυασμός δύο άλλων θεωρημάτων, των τεσσάρων λημμάτων, τα οποία είναι δυϊκά  το ένα προς το άλλο..

## Δηλώσεις

Ας εξετάσουμε το ακόλουθο αντιμεταθετικό διάγραμμα σε οποιαδήποτε αβελιανή κατηγορία (όπως η κατηγορία των αβελιανών ομάδων ή η κατηγορία των διανυσματικών χώρων πάνω σε ένα δεδομένο σώμα) ή στην κατηγορία των ομάδων.

: 

Το **λήμμα των πέντε** αναφέρει ότι, εάν οι σειρές είναι ακριβείς ακολουθίες, τα *m*  και *p* είναι ισομορφισμοί, το *l* είναι επιμορφισμός και το *q* είναι μονομορφισμός, τότε το *n* είναι επίσης ισομορφισμός.

Τα δύο τέσσερα λήμματα αναφέρουν:

## Απόδειξη

Η μέθοδος απόδειξης που θα χρησιμοποιήσουμε είναι γνωστή ως "διάγραμμα κυνηγιού".   Θα αποδείξουμε τα πέντε λήμματα αποδεικνύοντας ξεχωριστά καθένα από τα δύο τέσσερα λήμματα.

Για να προβούμε στο διάγραμμα κυνηγιού, ας υποθέσουμε ότι βρισκόμαστε σε μια κατηγορία προτύπων πάνω σε κάποιο δακτύλιο, έτσι ώστε να να μιλάμε για "στοιχεία" των αντικειμένων στο διάγραμμα και να θεωρούμε τους μορφισμούς του διαγράμματος ως "συναρτήσεις" (στην πραγματικότητα, ομομορφισμούς) που δρουν πάνω σε αυτά τα στοιχεία.
Τότε, ένας μορφισμός είναι μονομορφισμός αν και μόνο αν είναι ερριπτικός, και είναι επιμορφισμός αν και μόνο αν είναι επιρριπτικός.
Ομοίως, για να ασχοληθούμε με την ακρίβεια, μπορούμε να σκεφτούμε τους πυρήνες και τις εικόνες με τη θεωρητική έννοια της συνάρτησης.

Η απόδειξη θα εξακολουθεί να ισχύει για οποιαδήποτε (μικρή) αβελιανή κατηγορία λόγω του θεωρήματος εγκλεισμού του Μίτσελ, το οποίο ορίζει ότι οποιαδήποτε μικρή αβελιανή κατηγορία μπορεί να αναπαρασταθεί ως κατηγορία προτύπων πάνω σε κάποιο δακτύλιο.
Για την κατηγορία των ομάδων, απλώς μετατρέπουμε όλες τις πρόσθετες σημειώσεις παρακάτω σε πολλαπλασιαστικές σημειώσεις και σημειώνουμε ότι η αντιμεταθετικότητα της αβελιανής ομάδας δεν χρησιμοποιείται ποτέ.

Έτσι, για να αποδείξουμε το (1), ας υποθέσουμε ότι τα *m* και *p* είναι επιρριπτικά και το *q* είναι ερριπτικό.

: 

* Έστω *c&prime;* ένα στοιχείο του *C&prime;*.
* Δεδομένου ότι *p* είναι επιρριπτικό, υπάρχει ένα στοιχείο *d* στο *D* με *p*(*d*) =  *t*(*c&prime;*).
* Λόγω της αντιμεταθετικότητας του διαγράμματος, *u*(*p*(*d*)) = *q*(*j*(*d*)).
* Δεδομένου ότι *t* = ker *u* με ακρίβεια, 0 = *u*(*t*(*c&prime;*)) = *u*(*p*(*d*)) = *q*(*j*(*d*)).
* Δεδομένου ότι *q*  είναι ερριπτικό *j*(*d*) = 0, οπότε  *d* είναι στο *j* = im *h*.
* Επομένως, υπάρχει το *c* στο *C* με *h*(*c*) = *d*.
* Τότε  *t*(*n*(*c*)) = *p*(*h*(*c*)) = *t*(*c&prime;*).  Δεδομένου ότι το *t* είναι ομομορφισμός, προκύπτει ότι *t*(*c&prime;* − *n*(*c*)) = 0.
* Με ακρίβεια, το *c&prime;* − *n*(*c*) βρίσκεται στην εικόνα του *s*, οπότε υπάρχει το *b&prime;* στο *B&prime;* με *s*(*b&prime;*) = *c&prime;* − *n*(*c*).
* Δεδομένου ότι η *m* είναι επιρριπτική, μπορούμε να βρούμε το *b* στο *B* έτσι ώστε *b&prime;* = *m*(*b*).
* Με την αντιμεταθετικότητα, *n*(*g*(*b*)) = *s*(*m*(*b*)) = *c&prime;* − *n*(*c*).
* Δεδομένου ότι το *n* είναι ομομορφισμός, *n*(*g*(*b*) + *c*) = *n*(*g*(*b*)) + *n*(*c*) = *c&prime;* − *n*(*c*) + *n*(*c*) = *c&prime;*.
* Επομένως, το *n* είναι επιρριπτικό.

Στη συνέχεια, για να αποδείξουμε το (2), ας υποθέσουμε ότι τα *m* και *p* είναι ερριπτικά και το "l" είναι επιρριπτικό.

: 
* Εστω το *c* στο *C* τέτοιο ώστε *n*(*c*) = 0.
* Το *t*(*n*(*c*)) είναι τότε 0.
* Λόγω της αντιμεταθετικότητας, , *p*(*h*(*c*)) = 0.
* Δεδομένου ότι το *p* είναι ερριπτικό, *h*(*c*) = 0.
* Με ακρίβεια, υπάρχει ένα στοιχείο *b* του *B* τέτοιο ώστε *g*(*b*) = *c*.
* Λόγω της αντιμεταθετικότητας, *s*(*m*(*b*)) = *n*(*g*(*b*)) = *n*(*c*) = 0.
* Με ακρίβεια, υπάρχει τότε ένα στοιχείο *a&prime;* του *A&prime;* τέτοιο ώστε *r*(*a&prime;*) = *m*(*b*).
* Δεδομένου ότι *l* είναι επιρριπτική, υπάρχει ένα *a* στο *A* τέτοιο ώστε .
* Με βάση την αντιμεταθετικότητα, .
* Δεδομένου ότι *m* είναι  ερριπτικό *f*(*a*) = *b*.
* So *c* = *g*(*f*(*a*)).
* Δεδομένου ότι η σύνθεση των *g* και *f*  είναι τετριμμένη *c* = 0.
* Επομένως, το *n* είναι  ερριπτικό.

Συνδυάζοντας τα δύο τέσσερα λήμματα αποδεικνύεται τώρα ολόκληρο το λήμμα των πέντε.

## Εφαρμογές

Το **Λήμμα των πέντε** εφαρμόζεται συχνά σε μακρές ακριβείς ακολουθίες: κατά τον υπολογισμό της ομολογίας ή της συνομολογίας ενός δεδομένου αντικειμένου, συνήθως χρησιμοποιείται ένα απλούστερο υποαντικείμενο του οποίου η ομολογία/συνομολογία είναι γνωστή, και καταλήγει σε μια μακρά ακριβή ακολουθία που περιλαμβάνει τις άγνωστες ομολογικές ομάδες του αρχικού αντικειμένου. Αυτό από μόνο του συχνά δεν αρκεί για τον προσδιορισμό των άγνωστων ομολογικών ομάδων, αλλά αν μπορεί κανείς να συγκρίνει το αρχικό αντικείμενο και το υποαντικείμενο με καλά κατανοητά αντικείμενα μέσω μορφισμών, τότε προκαλείται ένας μορφισμός μεταξύ των αντίστοιχων μακρών ακριβών ακολουθιών και το λήμμα των πέντε μπορεί τότε να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό των άγνωστων ομολογικών ομάδων.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


*
* 
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
*
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα