Αριθμητική πρόοδος

Στα μαθηματικά, **αριθμητική πρόοδος** είναι η ακολουθία \alpha_1, \alpha_2, \ldots, στην οποία για οποιοσδήποτε δύο διαδοχικούς όρους της \alpha_{\nu}, \alpha_{\nu + 1} ισχύει ότι \alpha_{\nu + 1} = \alpha_{\nu} + \omega, για μία σταθερή τιμή \omega. Η ποσότητα \omega ονομάζεται **διαφορά** της αριθμητικής προόδου.

Ισοδύναμα, οι όροι μίας αριθμητικής προόδου μπορούν να οριστούν με τον γενικό και τον αναδρομικό τύπο:
*Γενικός τύπος: \alpha_{\nu} = \alpha_1 + (\nu-1) \cdot \omega, όπου ορίζεται ο \nu-οστός όρος συναρτήσει του πρώτου όρου και της διαφοράς.
*Αναδρομικός τύπος: \alpha_{\nu + 1} = \alpha_{\nu} + \omega για \nu \geq 1, όπου ορίζεται ο \nu-οστός όρος συναρτήσει του προηγούμενου όρου και της διαφοράς.

Για παράδειγμα, για \alpha_1 = 4 και \omega = 5, οι όροι της αριθμητικής προόδου είναι 
:\alpha_1 = 4, \alpha_2 = 9, \alpha_3 = 14, \alpha_4 = 19, \ldots 
και για \alpha_1 = 3 και \omega = -7
:\alpha_1 = 3, \alpha_2 = -4, \alpha_3 = -11, \alpha_4 = -18, \ldots 

Η αριθμητική πρόοδος είναι ειδική περίπτωση γραμμικής αναδρομικής ακολουθίας πρώτης τάξης και ειδική περίπτωση μικτής προόδου.

## Παραδείγματα

* Αν \omega = 1 και \alpha_1 = 1 τότε η αριθμητική πρόοδος είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών: \alpha_1 = 1, \alpha_2 = 2, \alpha_3 = 3, \ldots.
* Αν \omega = 2 και \alpha_1 = 2 τότε η αριθμητική πρόοδος είναι το σύνολο των άρτιων φυσικών αριθμών: \alpha_1 = 2, \alpha_2 = 4, \alpha_3 = 6, \ldots. Αντίστοιχα, για \omega = -2 και \alpha_1 = -2, είναι το σύνολο των αρνητικών άρτιων αριθμών: \alpha_1 = -2, \alpha_2 = -4, \alpha_3 = -6, \ldots.
* Αν \omega = 2 και \alpha_1 = 1 τότε η αριθμητική πρόοδος είναι το σύνολο των περιττών φυσικών αριθμών: \alpha_1 = 1, \alpha_2 = 3, \alpha_3 = 5, \ldots. Αντίστοιχα, για \omega = -2 και \alpha_1 = -1, είναι το σύνολο των αρνητικών περιττών αριθμών: \alpha_1 = -1, \alpha_2 = -3, \alpha_3 = -5, \ldots.

## Σχέση με άλλες ακολουθίες

* Η αρμονική πρόοδος μπορεί να οριστεί ως κάθε ακολουθία αριθμών \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_{\nu}, \ldots  με \alpha_{\nu} \neq 0 ώστε η ακολουθία: \tfrac{1}{a_1}, \tfrac{1}{a_2}, \ldots , \tfrac{1}{a_\nu},  αποτελεί μία αριθμητική πρόοδο.
* Αν (\alpha_{\nu})_{\nu = 1}^{\infty} είναι μία γεωμετρική πρόοδος με \alpha_{\nu} > 0 και λόγο \lambda, τότε η ακολουθία \beta_{\nu} = \log \alpha_{\nu} είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά \omega = \log \lambda, καθώς \beta_{\nu} = \log \alpha_{\nu} = \log (\alpha_1 \lambda^{\nu - 1}) = \log \alpha_1 + (\nu -1) \cdot \log \lambda.
* (**[[Τρίγωνος αριθμός|Τρίγωνοι αριθμοί]]**) Οι τρίγωνοι αριθμοί είναι ίσοι με το άθροισμα της αριθμητικής προόδου με αρχικό όρο \alpha_1 = 1 και διαφορά \omega = 1.

## Ισοδυναμία ορισμών

### Γενικός σε αναδρομικό τύπο

### Αναδρομικός σε γενικό τύπο

## Ιδιότητες

### Μονοτονία

Καθώς \omega = \alpha_{\nu + 1} - \alpha_{\nu}, προκύπτει άμεσα ότι:
* Αν \omega > 0, η αριθμητική πρόοδος είναι γνησίως αύξουσα.
* Αν \omega , η αριθμητική πρόοδος είναι γνησίως φθίνουσα.
* Αν \omega = 0, η αριθμητική πρόοδος είναι σταθερή.

### Γραφική παράσταση

Η γραφική παράσταση της αριθμητικής προόδου είναι ισαπέχοντα διαδοχικά σημεία μιας ευθείας με κλίση ίση με \omega.

### Άθροισμα πρώτων όρων
Το άθροισμα των \nu πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου \alpha_{\nu} (με πρώτο όρο τον \alpha_1) ισούται με
:\Sigma_{\nu} := \sum_{\kappa = 1}^{\nu} \alpha_{\kappa} = \frac{\nu(\alpha_1+\alpha_\nu)}{2} = \alpha_1 \cdot \nu + \omega \cdot \frac{\nu \cdot (\nu-1)}{2}.
Σύμφωνα με κάποιες πηγές, ο τύπος είχε υπολογιστεί από τον Γκάους σε ηλικία μόλις έντεκα χρονών, όντας ο μοναδικός μαθητής στην τάξη του που υπολόγισε σωστά το άθροισμα 1+2+3+ \ldots +99+100 και αποδεικνύοντας ότι το αποτέλεσμα ήταν σωστό ξεπερνώντας ακόμη και τον δάσκαλό του. Ο συμβατικός τρόπος (διαδοχική πρόσθεση των αριθμών) περιλάμβανε πάρα πολλές πράξεις και ήταν σχεδόν βέβαιο ότι θα γινόταν λάθος.

### Μέσος όρος
Ο *αριθμητικός [[Μέσος όρος αριθμών|μέσος όρος]]* δύο αριθμών \alpha και \gamma είναι ο \beta, αν και μόνο αν οι όροι \alpha, \beta, \gamma είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

## Υπολογισμός

Ο παρακάτω κώδικας στην γλώσσα προγραμματισμού C++ χρησιμοποιεί τον αναδρομικό τύπο ώστε να τυπώσει τους πρώτους πέντε όρους της προόδου


```c++
#include <iostream>

int main() {
   double a_1 = 4.0;
   double omega = 1.5;
   
   double a_n = a_1;
   for (int n = 1; n <= 5; ++n) {
     std::cout << "a_" << n << " = " << a_n << ", ";
     a_n = a_n + omega; // Υπολογισμός επόμενου όρου.
   }
   return 0;
}
/* Τυπώνει: a_1 = 4, a_2 = 5.5, a_3 = 7, a_4 = 8.5, a_5 = 10, */
```


Ο παρακάτω κώδικας χρησιμοποιεί τον γενικό τύπο ώστε να υπολογίσει έναν όρο της ακολουθίας. Χρησιμοποιεί σταθερό αριθμό πράξεων. 

```c++
double arithmetic_nth(double a1, double omega, int n) {
   return a1 + (n - 1) * omega;
}
```

Ο αναδρομικός τύπος είναι πιο αργός καθώς χρειάζεται γραμμικό αριθμό πράξεων, δηλαδή \Theta(n) πράξεις.

```c++
double arithmetic_nth_recursive(double a1, double omega, int n) {
   if (n == 1) return a1;
   return omega + arithmetic_nth_recursive(a1, omega, n-1);
}
```


## Περαιτέρω ανάγνωση

### Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* Διαδραστικές εφαρμογές στις αριθμητικές προόδους
* Αριθμητική πρόοδος: Θεωρία και προβλήματα

### Ελληνικά άρθρα
* 

### Ξενόγλωσσα άρθρα
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Δείτε επίσης
* Γενικευμένη αριθμητική πρόοδος
* Γεωμετρική πρόοδος
* Αρμονική πρόοδος
* Μικτή πρόοδος

## Παραπομπές


Κατηγορία:Ακολουθίες