Σώμα κλάσεων Χίλμπερτ

Στην αλγεβρική θεωρία αριθμών, το **σώμα κλάσεων Χίλμπερτ** *E* ενός αριθμητικού σώματος *K* είναι η μέγιστη αβελιανή μη διακλαδισμένη επέκταση του *K*. Ο βαθμός του πάνω στο *K* ισούται με τον αριθμό τάξης του *K* και η ομάδα Γκαλουά του *E* πάνω στο *K* είναι κανονικά ισόμορφη με την ομάδα τάξης ιδεωδών του *K* χρησιμοποιώντας στοιχεία Φρομπένιους για τα πρώτα ιδεώδη του *K*.

Σε αυτό το πλαίσιο, το **σώμα κλάσεων Χίλμπερτ** του *K* δεν είναι μόνο μη ενοποιημένο στις πεπερασμένες θέσεις (κλασική ιδεατή θεωρητική ερμηνεία) αλλά και στις άπειρες θέσεις του *K*. Δηλαδή, κάθε πραγματική ενσωμάτωση του *K* επεκτείνεται σε μια πραγματική ενσωμάτωση του *E* (και όχι σε μια μιγαδική ενσωμάτωση του *E*).

## Παραδείγματα

*Αν ο δακτύλιος των ακεραίων του *K* είναι ένας μοναδικός τομέας παραγοντοποίησης, ειδικότερα αν  K = \mathbb{Q} , τότε το *K* είναι το δικό του **σώμα κλάσεων Χίλμπερτ**.
*Έστω  K = \mathbb{Q}(\sqrt{-15})  της διακρίνουσας -15. Το σώμα  L =  \mathbb{Q}(\sqrt{-3}, \sqrt{5})  έχει διακρίνουσα 225=(-15)^2 και άρα είναι παντού διακλαδισμένη επέκταση του *K*, και είναι αβελιανό. Χρησιμοποιώντας το φράγμα Μινκόφσκι, μπορεί κανείς να δείξει ότι το *K*  έχει αριθμό κλάσης 2. Επομένως, το σώμα κλάσης Χίλμπερτ του είναι  L . Ένα μη κύριο ιδεώδες του *K*  είναι το (2,(1+)/2), και στο *L* αυτό γίνεται το κύριο ιδεώδες ((1+)/2).
*Το σώμα  \mathbb{Q}(\sqrt{-23}) έχει αριθμό κλάσης 3. Το σώμα κλάσης Χίλμπερτ του μπορεί να σχηματιστεί με την πρόσθεση μιας ρίζας του x3 - x - 1, η οποία έχει διακρίνουσα t -23.
*Για να δείτε γιατί πρέπει να ληφθεί υπόψιν η διακλάδωση στους αρχιμήδειους πρώτους, ας θεωρήσουμε το πραγματικό τετραγωνικό σώμα *K* που προκύπτει από την πρόσθεση της τετραγωνικής ρίζας του 3 στο **Q**. Το σώμα αυτό έχει αριθμό κλάσης 1 και διακρίνουσα 12, αλλά η επέκταση *K*(*i*)/*K*  της διακρίνουσας 9=32 είναι μη διακλαδισμένη σε όλα τα πρώτα ιδεώδη του *K* οπότε το *K* δέχεται πεπερασμένες αβελιανές επεκτάσεις βαθμού μεγαλύτερου του 1 στις οποίες όλοι οι πεπερασμένοι πρώτοι του *K* είναι μη διακλαδισμένοι.  Αυτό δεν έρχεται σε αντίθεση με το **σώμα κλάσεων Χίλμπερτ** του *K* που είναι το ίδιο το *K*: κάθε σωστή πεπερασμένη αβελιανή επέκταση του *K* πρέπει να διακλαδίζεται σε κάποιο μέρος, και στην επέκταση *K*(*i*)/*K* υπάρχει διακλάδωση στα αρχιμήδεια μέρη: οι πραγματικές ενσωματώσεις του *K* επεκτείνονται σε μιγαδικές (και όχι πραγματικές) ενσωματώσεις του *K*(*i*).
*Βάσει της θεωρίας του μιγαδικού πολλαπλασιασμού, το **σώμα κλάσεων Χίλμπερτ** ενός φανταστικού τετραγωνικού σώματος παράγεται από την τιμή της ελλειπτικής modular συνάρτησης σε έναν γεννήτορα για τον δακτύλιο των ακεραίων (ως **Z**--μονάδα).

## Ιστορία

Η ύπαρξη ενός (στενού) σώματος κλάσεων Χίλμπερτ για ένα δεδομένο αριθμητικό σώμα *K* εικάστηκε από τον Νταβίντ Χίλμπερτ  και αποδείχθηκε από τον Φίλιππ Φουρτβένγκλερ.

## Πρόσθετες ιδιότητες

Το σώμα κλάσεων Χίλμπερτ *E* ικανοποιεί επίσης τα ακόλουθα:
*Το *E* είναι μια πεπερασμένη επέκταση Γκαλουά του *K* και [*E* :* K*] = *h**K*, όπου *h**K* είναι ο αριθμός κλάσης του *K*.
*Η ομάδα των ιδεωδών κλάσεων της *K* είναι ισομορφική με την ομάδα Γκαλουά της *E* πάνω από την *K*.
*Κάθε ιδεώδες του *O**K* επεκτείνεται σε ένα κύριο ιδεώδες της επέκτασης του δακτυλίου *O**E* (θεώρημα κύριου ιδεώδους).
*Κάθε πρώτο ιδεώδες *P* του *O**K* αναλύεται στο γινόμενο των *h**K* / *f* πρώτων ιδεωδών του *O**E*, όπου*f* είναι η τάξη του  [*P*] στην ομάδα ιδεωδών κλάσεων του  *O**K*.

Στην πραγματικότητα, το *E* είναι το μοναδικό σώμα που ικανοποιεί την πρώτη, τη δεύτερη και την τέταρτη ιδιότητα.

## Εμφανείς κατασκευές

Αν η *K* είναι φανταστική τετραγωνική και η *A* είναι μια ελλειπτική καμπύλη με μιγαδικό πολλαπλασιασμό με τον δακτύλιο των ακεραίων της *K*, τότε η πρόσθεση της j-αναλλοίωτης της *A* στην *K* δίνει το σώμα κλάσης Χίλμπερτ.

## Γενικεύσεις

Στη θεωρία σώμα κλάσεων, μελετά κανείς το σώμα κλάσεων ακτίνας σε σχέση με ένα δεδομένο modulus, το οποίο είναι ένα τυπικό γινόμενο πρώτων ιδεωδών (συμπεριλαμβανομένων, ενδεχομένως, των αρχιμήδειων). Το σώμα κλάσης ακτίνας είναι η μέγιστη αβελιανή επέκταση που δεν είναι διακλαδισμένη έξω από τους πρώτους αριθμούς που διαιρούν το modulus και ικανοποιεί μια συγκεκριμένη συνθήκη διακλάδωσης στους πρώτους αριθμούς που διαιρούν το modulus. Το σώμα κλάσεων Χίλμπερτ είναι τότε το σώμα κλάσεων ακτίνας ως προς το τετριμμένο modulus *1*.

Το *στενό σώμα κλάσεων*  είναι το σώμα κλάσεων ακτίνων ως προς το modulus που αποτελείται από όλους τους άπειρους πρώτους αριθμούς. Επί παραδείγματι, το παραπάνω επιχείρημα δείχνει ότι  \mathbb{Q}(\sqrt{3}, i)  είναι το στενό σώμα κλάσης του  \mathbb{Q}(\sqrt{3}) .

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Σώμα διασπάσεως
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νοεροί υπολογισμοί

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
* 
*
* J. S. Milne, Class Field Theory (Course notes available at http://www.jmilne.org/math/).  See the Introduction chapter of the notes, especially p.&nbsp;4.
*
* 
* Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 323, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196, Zbl 0948.11001
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα