Μυριάγωνο

Στη γεωμετρία, το **μυριάγωνο** είναι ένα πολύγωνο με δέκα χιλιάδες κορυφές και δέκα χιλιάδες πλευρές. Αρκετοί φιλόσοφοι το έχουν χρησιμοποιήσει για να τονίσουν θέματα που αφορούν την σκέψη. Η λέξη μυριάγωνο συνδυάζει το αριθμητικό πρόθεμα *μύριο-* (που δηλώνει πλήθος 10000) με το επίθεμα *-γωνία*.

Ένα μυριάγωνο είναι **[[κανονικό πολύγωνο|κανονικό]]** αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

## Ιδιότητες
* Σε κάθε απλό μυριάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα 1.799.640^\circ (ή 9998\pi ακτίνια).
* Κάθε μυριάγωνο έχει 49.985.000 διαγωνίους.

## Κυρτό κανονικό μυριάγωνο

### Ιδιότητες
Για το κανονικό μυριάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
* Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με 179{,}964^\circ (ή 9998\pi/10000 ακτίνια).
* Έχει δέκα χιλιάδες άξονες συμμετρίας.
* Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
* Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
* Έχει περιστροφική συμμετρία δεκάτης χιλίας τάξεως.
* Το σύμβολο Schläfli του μυριαγώνου είναι \{ 10.000 \}.

### Μετρικές σχέσεις

* Η ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού μυριαγώνου είναι ίση με
::\begin{align}R 
& = \frac{1}{2} \csc \frac{\pi}{10000} \cdot \lambda \approx 1591{,}549457 \cdot \lambda.
\end{align}
*Η ακτίνα r του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού μυριάγωνο είναι ίση με
::\begin{align}
r 
& = \frac{1}{2} \cot \frac{\pi}{10000} \cdot \lambda \approx 1591{,}549379 \cdot \lambda.
\end{align}
* Τα μήκη των διαγωνίων ενός κανονικού μυριαγώνου δίνονται από τις σχέσεις
::\begin{align}
d_k
 & = 2 \sin \frac{k\pi}{10000} \cdot R .
\end{align}
*Το πλάτος του είναι ίσο με το μήκος της μεγάλης διαγωνίου 
::w = 2 \cdot R.
*Το ύψος του είναι 
::h = 2 \cdot r.

### Εμβαδόν
Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού μυριαγώνου πλευράς \lambda και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου r είναι 
:{\rm E} = 5000 \cdot  \lambda \cdot  r.
Το εμβαδό \rm E ενός κανονικού μυριαγώνου πλευράς \lambda δίνεται από τη σχέση:
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = 2500 \cot \frac{\pi}{10000} \cdot \lambda^2
 \approx 795772{,}097464 \cdot \lambda^2.
\end{align}
Αν R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδόν του μυριαγώνου είναι
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = 5000 \sin \frac{2\pi}{10000} \cdot R^2
   \approx 3{,}141592 \cdot R^2.
\end{align}
Aν r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = 10000 \tan \frac{\pi}{10000} \cdot r^2 \approx 3{,}141592 \cdot r^2
\end{align}.

### Περίμετρος
Η περίμετρος \Pi του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με
:\Pi = 10000\cdot\lambda.

### Κατασκευή κανονικού μυριαγώνου
Το κανονικό μυριάγωνο δεν είναι κατασκευάσιμο, διότι ο αριθμός των πλευρών του, 10.000 = 2^4 \cdot 5^4, δεν είναι ούτε δύναμη του δύο, ούτε γινόμενο διακριτών πρώτων αριθμών Φερμά (δείτε το θεώρημα Γκάους-Βαντσέλ).

## Μυριάγραμμα
Το μυριάγραμμα είναι ένα αστεροειδές πολύγωνο 10000 πλευρών. Υπάρχουν 1999 κανονικές μορφές του:
:*5000 περιπτώσεις -1 (το κυρτό) -1000 (τα πολλαπλάσια του 5) -2500 (τα πολλαπλάσια του 2) +500 (τα πολλαπλάσια των 2 και 5) = 1999 περιπτώσεις*

Οι περιπτώσεις αυτές δίνονται από σύμβολα Schläfli της μορφής {10000/*ν*}, όπου *ν* είναι ένας φυσικός αριθμός μεταξύ του 2 και του 5000 που είναι πρωταρχικός έως το 10000. Υπάρχουν επίσης 3000 κανονικά αστεροειδή σχήματα στις υπόλοιπες περιπτώσεις.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*
* Μυριάγωνο στο PolytopeWiki.

## Δείτε επίσης
* Χιλιάγωνο
* Μεγάγωνο

## Σημειώσεις


## Παραπομπές


Κατηγορία:Πολύγωνα