Ανισότητα Γένσεν

Στα μαθηματικά, η **ανισότητα Γένσεν** (αναφέρεται και ως **ανισότητα Jensen**) λέει ότι για κάθε κυρτή συνάρτηση f : \R \to \R και πραγματικούς αριθμούς x_1, \ldots , x_n, ισχύει ότι
:
f\left( \frac{x_1 + \ldots + x_n}{n} \right) \leq \frac{f(x_1) + \ldots + f(x_n)}{n}.

Πιο γενικά, για κάθε \lambda_1, \ldots, \lambda_n \geq 0 με \lambda_1 + \ldots + \lambda_n = 1, ισχύει ότι
:f\left( \lambda_1 x_1 + \ldots + \lambda_n x_n\right) \leq \lambda_1 f(x_1) + \ldots + \lambda_n f(x_n).
Για κοίλες συναρτήσεις, οι ανισότητες ισχύουν με την αντίθετη φορά.

## Απόδειξη

Μία συνάρτηση f : \R \to \R είναι κυρτή αν για κάθε a, b \in \R και \lambda \in [0, 1], ισχύει ότι
:
Αυτός ο ορισμός μας δίνει κατευθείαν την ανισότητα Γένσεν για n = 2, θέτοντας a = x_1 και b = x_2. Τώρα θα αποδείξουμε την ανισότητα για κάθε n \geq 2 με την χρήση της μαθηματικής επαγωγής. Ας υποθέσουμε ότι ισχύει για n και κάθε x_1, \ldots, x_n και κάθε \lambda_1', \ldots, \lambda_n' \geq 0 με \lambda_1' + \ldots + \lambda_n' = 1, δηλαδή
:f\left( \lambda_1' x_1 + \ldots + \lambda_n' x_n\right) \leq \lambda_1' f(x_1) + \ldots + \ldots \lambda_n' f(x_n).
Θα αποδείξουμε ότι ισχύει και για κάθε x_1, \ldots, x_{n+1} και \lambda_1, \ldots, \lambda_{n+1} \geq 0 με \lambda_1 + \ldots + \lambda_{n+1} = 1. Ξεκινάμε γράφοντας το αριστερό μέλος με την εξής ισοδύναμη μορφή,
:
\begin{align}
f\left( \lambda_1 x_1 + \ldots + \lambda_{n+1} x_{n+1}\right)
 & = f\left( (\lambda_1 + \ldots + \lambda_n) \cdot \frac{\lambda_1 x_1 + \ldots + \lambda_n x_n}{\lambda_1 + \ldots + \lambda_n} + \lambda_{n+1} x_{n+1} \right)\\
 & = f\left( (\lambda_1 + \ldots + \lambda_n) \cdot \frac{\lambda_1 x_1 + \ldots + \lambda_n x_n}{\lambda_1 + \ldots + \lambda_n} + (1 - (\lambda_1 + \ldots + \lambda_n)) \cdot x_{n+1} \right),
\end{align}

χρησιμοποιώντας ότι \lambda_1 + \ldots + \lambda_{n+1} = 1.

Από την () για \lambda = \lambda_1 + \ldots + \lambda_n, a = \tfrac{\lambda_1 x_1 + \ldots + \lambda_n x_n}{\lambda_1 + \ldots + \lambda_n} και b = x_{n+1}, έχουμε ότι
:f\left( \lambda_1 x_1 + \ldots + \lambda_{n+1} x_{n+1}\right) \leq (\lambda_1 + \ldots + \lambda_n) \cdot f\left( \frac{\lambda_1 x_1 + \ldots + \lambda_n x_n}{\lambda_1 + \ldots + \lambda_n} \right)+ \lambda_{n+1} \cdot f(x_{n+1}).
Από την επαγωγική υπόθεση, για \lambda_i' = \tfrac{\lambda_i}{\lambda_1 + \ldots + \lambda_n} (καθώς \lambda_1' + \ldots + \lambda_n' = 1) έχουμε ότι 
:f\left( \lambda_1 x_1 + \ldots + \lambda_{n+1} x_{n+1}\right) \leq (\lambda_1 + \ldots + \lambda_n) \cdot \frac{\lambda_1 f(x_1) + \ldots + \lambda_n f(x_n)}{\lambda_1 + \ldots + \lambda_n} + \lambda_{n+1} f(x_{n+1}) = \lambda_1 f(x_1) + \ldots + \lambda_{n+1} f(x_{n+1}),
που ολοκληρώνει την απόδειξη για n + 1 μεταβλητές. 

## Εφαρμογές

Η ανισότητα Γένσεν βρίσκει εφαρμογές σε διάφορους τομείς των θεωρητικών και εφαρμοσμένων μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένων:
* της θεωρίας πληροφορίας (π.χ. η ανισότητα Γκιμπς)
* της θεωρίας πολυπλοκότητας (π.χ. για την ανάλυση πιθανοτικών και προσεγγιστικών αλγορίθμων)
* της θεωρίας πιθανοτήτων (συνήθως με την μορφή f(\operatorname{E}(X)) \leq \operatorname{E}(f(X)) για την αναμενόμενη τιμή \operatorname{E})

### Αποδείξεις άλλων ανισοτήτων
Η ανισότητα Γένσεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη αρκετών κλασσικών ανισοτήτων στα μαθηματικά, συμπεριλαμβανομένων των εξής:
* της ανισότητας αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου
* της ανισότητας Γιανγκ για το γινόμενο
* της ανισότητας Κωσύ-Σβαρτς
* της ανισότητας Νέσμπιττ

## Ιστορία
Η ανισότητα παίρνει το όνομά της από τον Γιόχαν Γένσεν που την δημοσίευσε στην εργασία του το 1906. Η ανισότητα είχε δημοσιευτεί προγενέστερα το 1889 από τον Όττο Χέλντερ.

## Παραπομπές


Κατηγορία:Ανισότητες