Ισοσκελές τραπέζιο

right|thumb|Ισοσκελές τραπέζιο με <math>\mathrm{A\Delta} = \mathrm{B\Gamma}</math>, <math>\hat{\rm A} = \hat{\rm B}</math> και <math>\hat{\rm \Gamma} = \hat{\rm \Delta}</math>.
Στην ευκλείδεια γεωμετρία, **ισοσκελές τραπέζιο** είναι ένα τραπέζιο στο οποίο οι μη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.

Από αυτή την ιδιότητα έπεται ότι και οι προσκείμενες στις βάσεις του γωνίες είναι ανά δύο ίσες.

Ένα ισοσκελές τραπέζιο που είναι και ορθογώνιο είναι ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

## Ιδιότητες
* Σε κάθε ισοσκελές τραπέζιο \mathrm{AB\Gamma\Delta} με {\rm A\Delta} = {\rm B\Gamma}, {\rm AB} \geq {\rm \Gamma\Delta}, και ύψη του τα \rm \Gamma\Gamma' και \rm \Delta\Delta', ισχύει ότι 
::\mathrm{A\Delta'} = \mathrm{B\Gamma'} = \frac{\mathrm{AB}-\mathrm{\Delta\Gamma}}{2}.

}}
* Ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν οι προσκείμενες σε μία βάση γωνίες του είναι ίσες.

* Ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν οι διαγώνιοί του είναι ίσες.
 = \hat{\mathrm{\Gamma}} και
*\mathrm{\Gamma\Delta} = \mathrm{\Delta\Gamma}.
Άρα σύμφωνα με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς είναι ίσα και έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα. Δηλαδή \mathrm{A\Gamma} = \mathrm{B\Delta}.
Αποδείξαμε λοιπόν ότι σε ένα ισοσκελές τραπέζιο οι διαγώνιοί του είναι ίσες.

(\Leftarrow) Έστω \mathrm{AB\Gamma\Delta} ένα τραπέζιο με ίσες διαγωνίους, \mathrm{A\Gamma} = \mathrm{B\Delta} και έστω \mathrm{O} το σημείο τομής τους. Θεωρούμε επίσης τα δύο ύψη \mathrm{AA'} και \Delta \Delta'.Τα ορθογώνια τρίγωνα \mathrm{AA'\Gamma} και \mathrm{\Delta\Delta'B} έχουν 
*\mathrm{AA'} = \Delta \Delta' είναι η απόσταση των παραλλήλων \mathrm{AB} και \mathrm{\Delta\Gamma} και
*\mathrm{A\Gamma} = \mathrm{B\Delta}
Άρα σύμφωνα με το  κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων είναι ίσα και έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα. Δηλαδή, \widehat{\rm A\Gamma A'} = \widehat{\rm \Delta B\Delta'}.

Λόγω της παραλληλίας των \mathrm{AB} και \mathrm{\Gamma\Delta}, προκύπτει ότι 
:\widehat{\rm A\Gamma\Delta} = \widehat{\rm \Gamma A B} και \widehat{\rm AB\Delta} = \widehat{\rm B \Delta \Gamma}, (ως εντός εναλλάξ).
Επομένως, τα τρίγωνα \mathrm{\Gamma O \Delta} και \mathrm{A O B} είναι ισοσκελή, άρα \mathrm{AO} = \mathrm{BO} και \mathrm{O\Gamma} = \mathrm{O\Delta}.Τα τρίγωνα \mathrm{AO\Delta} και \mathrm{BO\Gamma} έχουν
*\mathrm{AO} = \mathrm{BO},
*\mathrm{O\Gamma} = \mathrm{O\Delta},
*\widehat{\rm AO\Delta} = \widehat{\rm BO\Gamma }
Άρα σύμφωνα με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς είναι ίσα και έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα. Δηλαδή είναι  \mathrm{A\Delta} = \mathrm{B\Gamma}.

}}
*  Ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν είναι εγγράψιμο.
 = \hat{\mathrm{B}} και  \hat{\mathrm{\Delta}} = \hat{\mathrm{\Gamma}}, σύμφωνα με την δεύτερη ιδιότητα του ισοσκελούς τραπεζίου,
* \hat{\mathrm{A}}+\hat{\mathrm{\Delta}}=180^o, ως εντός και επί ταυτά των παραλλήλων \mathrm{AB} και \mathrm{\Delta \Gamma} που τέμνονται από την \mathrm{A \Delta}.
Άρα είναι \hat{\mathrm{A}}+\hat{\mathrm{\Gamma}}=180^o.
Συνεπώς το τραπέζιο είναι εγγράψιμο σε κύκλο διότι έχει δύο απέναντι γωνίες παραπληρωματικές.

(\Leftarrow) Έστω το εγγράψιμο τραπέζιο \mathrm{AB\Gamma\Delta}  με \mathrm{AB ||\Gamma\Delta}.

Τότε είναι
*\hat{\mathrm{A}}+\hat{\mathrm{\Gamma}}=180^o ως απέναντι γωνίες γωνίες εγγράψιμου τραπεζίου \hat{\mathrm{A}},
* \hat{\mathrm{A}}+\hat{\mathrm{\Delta}}=180^o, ως εντός και επί ταυτά των παραλλήλων \mathrm{AB} και \mathrm{\Delta \Gamma} που τέμνονται από την \mathrm{A \Delta}.
Άρα είναι \hat{\mathrm{\Gamma}} = \hat{\mathrm{\Delta}}.
}}

* Σε κάθε ισοσκελές τραπέζιο το σημείο τομής των διαγωνίων του και το σημείο τομής των μη-παράλληλων πλευρών του ανήκουν στην κοινή μεσοκάθετο των βάσεών του.
 και \hat{\mathrm{B}} του τραπεζίου είναι ίσες. Άρα είναι \mathrm{O'A} = \mathrm{O'B}.

Kαι το τρίγωνο \mathrm{O'\Delta \Gamma} είναι ισοσκελές διότι οι γωνίες \widehat{\mathrm{O'\Delta \Gamma}} και \widehat{\mathrm{O'\Gamma \Delta}} είναι ίσες ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών \hat{\mathrm{\Delta}} , \hat{\mathrm{\Gamma}} του ισοσκελούς τραπεζίου άρα, είναι \mathrm{O'\Gamma} = \mathrm{O'\Delta}.

Δηλαδή το σημείο \mathrm{O'} ανήκει στην μεσοκάθετο των δύο βάσεων \mathrm{AB ,  \Gamma\Delta} του τραπεζίου.

}}

## Μετρικές σχέσεις
Σε κάθε ισοσκελές τραπέζιο \mathrm{AB\Gamma\Delta} με {\rm AB} \geq {\rm \Delta\Gamma}, \mathrm{AB ||\Delta\Gamma} και {\rm A\Delta} = {\rm B\Gamma} ισχύουν οι παρακάτω μετρικές σχέσεις:
* Το μήκος των διαγωνίων του δίνεται από τον τύπο
::
  \mathrm{B\Delta} = \mathrm{A\Gamma} = \sqrt{\mathrm{A\Delta}^2 + \mathrm{AB} \cdot \mathrm{\Delta\Gamma}}.


}}
* Το μήκος του ύψους του ισοσκελούς τραπεζίου δίνεται από τον τύπο
::
  \upsilon = \sqrt{\mathrm{A\Delta}^2 -\left(\tfrac{\mathrm{AB}-\mathrm{\Delta\Gamma}}{2} \right)^2}.

{2}.


Στο ορθογώνιο τρίγωνο \rm A\Delta\Delta' εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα και έχουμε,
:
  \mathrm{A\Delta^2} =\mathrm{A\Delta'^2}+\mathrm{\Delta\Delta'^2}

:\mathrm{\Delta\Delta'^2}=\mathrm{A\Delta^2}-\mathrm{A\Delta'^2}
:\upsilon^2 =\mathrm{A\Delta}^2 - \left(\tfrac{\mathrm{AB}-\mathrm{\Delta\Gamma}}{2} \right)^2  άρα,
{2} \right)^2 }.}}
}}
* Η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου δίνεται από τον τύπο
::R = \frac{\mathrm{A\Delta\cdot \sqrt{\mathrm{A\Delta}^2 + \mathrm{AB} \cdot \mathrm{\Delta\Gamma}}}}{\sqrt{4\cdot \mathrm{A\Delta}^2 -\left({\mathrm{AB}-\mathrm{\Delta\Gamma}} \right)^2}}.
}.|}}

Από το ορθογώνιο τρίγωνο \mathrm{A\Delta \Delta'} βρίσκουμε ότι, 
:\sin {\mathrm{A}} = \frac{\rm \Delta\Delta'}{\mathrm{A\Delta}}.
Από το Πυθαγόρειο θεώρημα, χρησιμοποιώντας ότι {\rm A\Delta'} = \frac{1}{2} \cdot \left( \mathrm{AB}-\mathrm{\Delta\Gamma} \right), έχουμε ότι 
:
{\rm \Delta\Delta'} = \sqrt{\mathrm{A\Delta}^2 -\left(\tfrac{\mathrm{AB}-\mathrm{\Delta\Gamma}}{2} \right)^2}
,
και συνεπώς
:\sin {\mathrm{A}} = \frac{1}{\mathrm{A\Delta}} \cdot \sqrt{\mathrm{A\Delta}^2 -\left(\tfrac{\mathrm{AB}-\mathrm{\Delta\Gamma}}{2} \right)^2}.

Αντικαθιστούμε το \sin {\mathrm{A}} και τον τύπο για την διαγώνιο 
  \mathrm{B\Delta} στην () και έχουμε,
:
\begin{align}
R 
 & = \frac{1}{2} \cdot \frac{\mathrm{B\Delta}}{\sin {\mathrm{A}}} \\
 & = \frac{\mathrm{A\Delta\cdot B\Delta}}{2\cdot \sqrt{\mathrm{A\Delta}^2 -\left(\tfrac{\mathrm{AB}-\mathrm{\Delta\Gamma}}{2} \right)^2}} \\
\end{align}
}}{\sqrt{4\cdot \mathrm{A\Delta}^2 -\left({\mathrm{AB}-\mathrm{\Delta\Gamma}} \right)^2}}.
\end{align}.}}
}}

## Εμβαδόν
Έστω ένα ισοσκελές τραπέζιο \mathrm{AB\Gamma\Delta} με \mathrm{AB ||\Delta\Gamma} και \rm B\Gamma = \Delta A. Ονομάζουμε \alpha = \rm AB, \beta = \rm B\Gamma, \gamma = \rm \Gamma\Delta και \delta = \rm \Delta A.
Το εμβαδόν του ισοσκελούς τραπεζίου δίνεται από τους εξής τύπους:
* (**[[Τύπος Βραχμαγκούπτα]]**) Αφού το ισοσκελές τραπέζιο είναι εγγράψιμο, εφαρμόζοντας τον τύπο Βραχμαγκούπτα, το εμβαδόν του τραπεζίου δίνεται από:
::
  \mathrm{E} 
    = \sqrt{(\tau - \alpha) \cdot (\tau - \beta) \cdot (\tau - \gamma) \cdot (\tau - \delta) }
    = \sqrt{(\tau - \alpha) \cdot (\tau - \beta)^2 \cdot (\tau - \gamma) }
,
:όπου \tau = \tfrac{1}{4} \cdot (\alpha + \beta + \gamma + \delta) είναι η ημιπερίμετρος του τραπεζίου.
* Από τον τύπο για το εμβαδόν του τραπεζίου και την παραπάνω έκφραση για το ύψος έχουμε ότι
::
\begin{align}
  \mathrm{E}
    & = \frac{\alpha + \gamma}{2} \cdot \upsilon \\
    & = \frac{\alpha + \gamma}{2} \cdot \sqrt{\beta^2 - \left(\tfrac{\alpha - \gamma}{2} \right)^2 }
  \end{align}


## Ειδικές περιπτώσεις

### Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο
right|thumb|120px|Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.
Ένα ισοσκελές τραπέζιο που είναι και ορθογώνιο, δηλαδή έχει μία από τις γωνίες του ορθές είναι ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

### Τρεις πλευρές ίσες
right|thumb|120px|Ισοσκελές τραπέζιο με τρεις πλευρές ίσες.
Μία ειδική περίπτωση του ισοσκελούς τραπεζίου είναι αυτό που έχει τις δύο μη-παράλληλες πλευρές και μία από τις βάσεις ίσες.

## Δείτε επίσης
* Τραπέζιο
* Ορθογώνιο τρίγωνο
* Ισοσκελές τρίγωνο

## Περαιτέρω ανάγνωση

### Ξενόγλωσσα άρθρα
* 

## Παραπομπές


Κατηγορία:Γεωμετρία
Κατηγορία:Τετράπλευρα
Κατηγορία:Πολύγωνα