Δικυκλική ομάδα

Στη θεωρία των ομάδων, μια **δικυκλική ομάδα** (συμβολισμός **Dic***n* or **Q**4*n*, ) είναι ένα συγκεκριμένο είδος μη-αβελιανής ομάδας τάξης 4*n* (*n* > 1).  Αποτελεί  επέκταση της κυκλικής ομάδας τάξης 2  με μια κυκλική ομάδα τάξης 2*n*, δίνοντας το όνομα *δι-κυκλική*. Στον συμβολισμό των ακριβών ακολουθιών ομάδων, η επέκταση αυτή μπορεί να εκφραστεί ως εξής:

:1 \to C_{2n} \to \mbox{Dic}_n \to C_2 \to 1. \, 

Γενικότερα, δεδομένης οποιασδήποτε πεπερασμένης αβελιανής ομάδας με στοιχείο τάξης-2, μπορεί κανείς να ορίσει μια **δικυκλική ομάδα**.

## Ορισμός

Για κάθε ακέραιο *n* > 1, η δικυκλική ομάδα Dic*n* μπορεί να οριστεί ως η υποομάδα των μοναδιαίων τετραδόνιων που παράγεται από την

:\begin{align}
  a & = e^\frac{i\pi}{n} = \cos\frac{\pi}{n} + i\sin\frac{\pi}{n} \\
  x & = j
\end{align}

Πιο αφηρημένα, μπορούμε να ορίσουμε τη δικυκλική ομάδα Dic*n* ως την ομάδα με την ακόλουθη παρουσίαση 

:\operatorname{Dic}_n = \left\langle a, x \mid a^{2n} = 1,\ x^2 = a^n,\ x^{-1}ax = a^{-1}\right\rangle.\,\!

Ορισμένα πράγματα που πρέπει να σημειωθούν και απορρέουν από αυτόν τον ορισμό:
* x^4 = 1 
* x^2 a^m = a^{m+n} = a^m x^2 
*if  l = \pm 1 , then  x^l a^m = a^{-m} x^l 
* a^m x^{-1}= a^{m-n} a^n x^{-1}= a^{m-n} x^2 x^{-1}= a^{m-n} x 

Έτσι, κάθε στοιχείο του Dic*n* μπορεί να γραφεί μοναδικά ως , όπου 0 ≤ *m* a^k a^m = a^{k+m}
*a^k a^m x = a^{k+m}x
*a^k x a^m = a^{k-m}x
*a^k x a^m x = a^{k-m+n}
Προκύπτει ότι το  Dic*n* έχει τάξη 4*n*.

Όταν *n* = 2, η δικυκλική ομάδα είναι ισόμορφη με την τετραγωνική ομάδα *Q*. Γενικότερα, όταν το *n* είναι δύναμη του 2, η δικυκλική ομάδα είναι ισομορφική με τη γενικευμένη ομάδα τετραδόνιων.

## Ιδιότητες

Για κάθε *n* > 1, η δικυκλική ομάδα Dic*n* είναι μια μη αβελιανή ομάδα τάξης 4*n*.  (Για την εκφυλισμένη περίπτωση *n* = 1, η ομάδα Dic1 είναι η κυκλική ομάδα*C*4, η οποία δεν θεωρείται δικυκλική.)

Έστω *A* =  η υποομάδα της Dic*n* που παράγεται από το *a*. Τότε η *A* είναι κυκλική ομάδα τάξης  2*n*, οπότε [Dic*n*:*A*] = 2. Ως υποομάδα με δείκτη 2 είναι αυτόματα κανονική υποομάδα. Η πηλίκο ομάδα  Dic*n*/*A* είναι κυκλική ομάδα τάξης 2.

Το Dic*n* είναι επιλύσιμο- ας σημειωθεί ότι το *A* είναι κανονικό και, όντας αβελιανό, είναι το ίδιο επιλύσιμο.

## Δυαδική διεδρική ομάδα

Η δικυκλική ομάδα είναι μια δυαδική πολυεδρική ομάδα - είναι μία από τις κλάσεις των υποομάδων της ομάδας Pin, Pin−(2), η οποία είναι υποομάδα της ομάδας Spin, Spin(3) — και σε αυτό το πλαίσιο είναι γνωστή ως **δυαδική διεδρική ομάδα**.

Η σύνδεση με τη δυαδική κυκλική ομάδα *C*2*n*, την κυκλική ομάδα *C**n*, και τη διεδρική ομάδα Dih*n* τάξεως 2*n* απεικονίζεται στο διάγραμμα στα δεξιά και είναι παράλληλη με το αντίστοιχο διάγραμμα για την ομάδα Pin. Ο Κόξετερ γράφει τη δυαδική διεδρική ομάδα ως ⟨2,2,*n*⟩  και τη δυαδική κυκλική ομάδα με γωνιακές αγκύλες, ⟨*n*⟩.

Υπάρχει μια επιφανειακή ομοιότητα μεταξύ των **δικυκλικών ομάδων** και των διεδρικών ομάδων- και οι δύο είναι ένα είδος "καθρέφτη" μιας υποκείμενης κυκλικής ομάδας. Αλλά η παρουσίαση μιας δίεδρης ομάδας θα είχε *x*2 = 1, αντί για  *x*2 = *a**n*; και αυτό δίνει μια διαφορετική δομή. Ειδικότερα, η Dic*n* δεν είναι ένα ημιάμεσο γινόμενο της *A* και της  , αφού η *A*&nbsp;∩&nbsp; δεν είναι τετριμμένη.

Η **δικυκλική ομάδα** έχει μια μοναδική ανέλιξη (δηλαδή ένα στοιχείο τάξης 2), δηλαδή *x*2 = *a**n*. Ας σημειωθεί ότι το στοιχείο αυτό βρίσκεται στο κέντρο της Dic*n*. Πράγματι, το κέντρο αποτελείται αποκλειστικά από το στοιχείο ταυτότητας και το *x*2. Αν προσθέσουμε τη σχέση *x*2 = 1 στην παρουσίαση της Dic*n* παίρνουμε μια παρουσίαση της διεδρικής ομάδας Dih*n*, οπότε η πηλίκο ομάδα Dic*n*/2> είναι ισόμορφη με την Dih*n*.

Υπάρχει ένας φυσικός ομομορφισμός 2 προς 1 από την ομάδα των μοναδιαίων Τετραδονίων στην τρισδιάστατη ομάδα περιστροφής που περιγράφεται στα Τετραδόνια και διαστημικές περιστροφές. Εφόσον η δικυκλική ομάδα μπορεί να ενσωματωθεί μέσα στα μοναδιαία Τετραδόνια, μπορεί κανείς να αναρωτηθεί ποια είναι η εικόνα της κάτω από αυτόν τον ομομορφισμό. Η απάντηση είναι ακριβώς η διεδρική ομάδα συμμετρίας Dih*n*.Για το λόγο αυτό η δικυκλική ομάδα είναι επίσης γνωστή ως **δυαδική διεδρική ομάδα**. Ας σημειωθεί ότι η δικυκλική ομάδα δεν περιέχει καμία υποομάδα ισομορφική προς την Dih*n*.

Η ανάλογη κατασκευή προ-εικόνας, χρησιμοποιώντας Pin+(2) αντί για Pin−(2), δίνει μια άλλη διεδρική ομάδα, Dih2*n*,  αντί για δικυκλική ομάδα.

## Γενικεύσεις

Έστω *η A* μία αβελιανή ομάδα, η οποία έχει ένα συγκεκριμένο στοιχείο *y* στην *A* με τάξη 2. Μια ομάδα *G* ονομάζεται **γενικευμένη δικυκλική ομάδα**, που γράφεται ως **Dic(''A'', ''y'')**, αν παράγεται από την *A* και ένα επιπλέον στοιχείο *x*, και επιπρόσθετα έχουμε ότι [*G*:*A*] = 2, *x*2 = *y*, και για όλα τα *a* στην *A*, *x*−1*ax* = *a*−1.

Δεδομένου ότι για μια κυκλική ομάδα άρτιας τάξης, υπάρχει πάντα ένα μοναδικό στοιχείο τάξης 2, μπορούμε να δούμε ότι οι δικυκλικές ομάδες είναι απλώς ένας συγκεκριμένος τύπος γενικευμένης δικυκλικής ομάδας.

Η δικυκλική ομάδα είναι η περίπτωση (p,q,r)=(2,2,n)  της οικογένειας των δυαδικών τριγωνικών ομάδων \Gamma(p,q,r) που ορίζεται από την παρουσίαση:https://groupprops.subwiki.org/wiki/Binary_von_Dyck_group\langle a,b,c \mid a^p = b^q = c^r = abc \rangle.Παίρνοντας το πηλίκο με την πρόσθετη σχέση  abc = e προκύπτει μια συνηθισμένη τριγωνική ομάδα, η οποία σε αυτή την περίπτωση είναι το διεδρικό πηλίκο  \mathrm{Dic}_n\rightarrow  \mathrm{Dih}_n.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Αβελιανή ομάδα

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* .
* .
* .
* 
* 
* 
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα