Πρώτη εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ

μικρογραφία|251x251εσ|Διάγραμμα που δείχνει τον αριθμό των δίδυμων πρώτων αριθμών μικρότερων από ένα δεδομένο ''n''. Η πρώτη εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ προβλέπει ότι υπάρχουν άπειρα πολλά από αυτά.
Στη θεωρία αριθμών, η **πρώτη εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ** δηλώνει τον ασυμπτωτικό τύπο για τον αριθμό των πρώτων k-tuples που είναι μικρότερες από ένα δεδομένο μέγεθος, γενικεύοντας το θεώρημα των πρώτων αριθμών. Προτάθηκε για πρώτη φορά από τους Γ. Χ. Χάρντι και Τζον Έντενσορ Λίτλγουντ το 1923

## Δήλωση

Έστω m_1, m_2, \ldots, m_k  θετικοί αρτιοί ακέραιοι αριθμοί έτσι ώστε οι αριθμοί της ακολουθίας P = (p, p + m_1, p + m_2, \ldots , p + m_k) δεν σχηματίζουν πλήρη κλάση υπολοίπων ως προς οποιονδήποτε πρώτο αριθμό και έστω \pi_{P}(n) συμβολίζει τον αριθμό των πρώτων αριθμών p μικρότερων από n st. p + m_1, p + m_2, \ldots , p + m_k είναι όλα πρώτοι. Τότε 
:\pi_P(n)\sim C_P\int_2^n \frac{dt}{\log^{k+1}t},
όπου
:C_P=2^k \prod_{q \text{ prime,} \atop q \ge 3}\frac{1-\frac{w(q; m_1, m_2, \ldots , m_k)}q}{\left(1-\frac{1}{q}\right)^{k+1}}

είναι ένα γινόμενο επί περιττών πρώτων αριθμών και w(q; m_1, m_2, \ldots , m_k) δηλώνει τον αριθμό των διακριτών υπολοίπων των 0, m_1, m_2, \ldots , m_k modulo q.

Η περίπτωση k=1 και m_1=2 σχετίζεται με την εικασία των δίδυμων πρώτων. Συγκεκριμένα αν \pi_2(n) δηλώνει τον αριθμό των δίδυμων πρώτων αριθμών μικρότερων από *n* τότε

:\pi_2(n)\sim C_2 \int_2^n \frac{dt}{\log^2 t},

όπου
:C_2 = 2\prod_{\textstyle{q \text{ prime,}\atop q \ge 3}} \left(1 - \frac{1}{(q-1)^2} \right) \approx  1.320323632\ldots

είναι η σταθερά των δίδυμων πρώτων.

## Αριθμός Σκιουζ

Οι αριθμοί Σκιουζ για πρώτους *k*-tuples είναι μια επέκταση του ορισμού του αριθμού Σκιουζ σε πρώτους k-tuples που βασίζεται στην πρώτη εικασία των Χάρντι-Λίτλγουντ. Ο αρχικός πρώτος αριθμός p που παραβιάζει την ανισότητα Χάρντι-Λίτλγουντ για το *k*-tuple *P*, δηλαδή, τέτοιος ώστε

: \pi_P(p)>C_P \operatorname {li}_P(p), 

(αν υπάρχει τέτοιος πρώτος) είναι ο αριθμός Σκιουζ (Skewes) για το *P*.

## Συνέπειες
Η εικασία έχει αποδειχθεί ότι δεν συμβιβάζεται με τη ''δεύτερη'' εικασία Χάρντι - Λίτλγουντ.

## Γενικεύσεις
Η εικασία των Μπέιτμαν-Χορν είναι μια σημαντική γενίκευση στη θεωρία αριθμών, που επεκτείνει την πρώτη εικασία των Χάρντι-Λίτλγουντ σε πολυώνυμα βαθμού μεγαλύτερου του 1.

## Πρόσφατη πρόοδος

Το 2013, ο  Γιτάνγκ Ζανγκ απέδειξε την ύπαρξη απείρως πολλών ζευγών πρώτων αριθμών που χωρίζονται με διαφορά μικρότερη από 70 εκατομμύρια. Αν και αυτό δεν αποδεικνύει την εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ στο σύνολό της, η ανακάλυψη αποτελεί σημαντική πρόοδο στην κατανόηση της κατανομής των πρώτων αριθμών.

Η ανακάλυψη του Ζανγκ  άνοιξε το δρόμο για μια σειρά περαιτέρω ερευνών, που οδήγησαν στη σταδιακή μείωση αυτής της διαφοράς σε πολύ χαμηλότερα επίπεδα χάρη στη συλλογική εργασία πολλών μαθηματικών στο πρόγραμμα Polymath. Στο τέλος, η διαφορά μειώθηκε στο 246, μια θεαματική ανακάλυψη στον τομέα αυτό.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

## Δείτε επίσης
* Θεωρία αριθμών
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Φυσικός λογάριθμος
* Δεύτερη Εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ
* Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
* e (μαθηματική σταθερά)
* Πρώτος αριθμός
* Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
* Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
* Προβλήματα του Λαντάου
* Εικασία του Λεζάντρ
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Υπόθεση H του Σίνζελ
* Συνάρτηση Όιλερ
* Ευκλείδειος χώρος

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


* .
.
*. Here the author explains in what sense the problem of Hilbert–Polya is related with the problem of the Gutzwiller trace formula and what would be the value of the sum  \exp(i\gamma)  taken over the imaginary parts of the zeros.
* 

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

Κατηγορία:Αναλυτική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Εικασίες για πρώτους αριθμούς
Κατηγορία:Πρώτοι αριθμοί
Κατηγορία:Ακέραιοι αριθμοί
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά