Εφαπτόμενος κώνος

Στη γεωμετρία ο **εφαπτόμενος κώνος**  ή **κανονικός** **κώνος** ενός υποσυνόλου του ευκλείδειου χώρου είναι μια γενίκευση της έννοιας του εφαπτόμενου χώρου ή του κανονικού διανύσματος ενός συνόλου και επιτρέπει έτσι την εφαρμογή αλγεβρικών μεθόδων σε μη διαφοροποιήσιμα γεωμετρικά αντικείμενα. Τόσο ο εφαπτόμενος κώνος όσο και ο κανονικός κώνος είναι κώνοι με την έννοια της γραμμικής άλγεβρας, γεγονός που δικαιολογεί την ονομασία τους. Ο κανονικός κώνος είναι επίσης γνωστός ως πολικός κώνος. Η πρώτη ενοποιημένη εκδοχή του όρου εφαπτόμενος κώνος προέρχεται από τον Αμερικανό τοπολόγο Χάσλερ Γουίτνεϊ το 1965, αν και αυτή περιέγραφε την άκρη του κώνου με τη σύγχρονη έννοια. οι σύγχρονοι ορισμοί αναπτύχθηκαν στο πλαίσιο της θεωρίας των συνόλων θετικού εύρους και συμπλήρωσαν το πρόγραμμά της, προκειμένου να είναι σε θέση να μεταφέρουν τα ευρήματα της διαφορικής γεωμετρίας σε μια μεγαλύτερη κατηγορία συνόλων - εκτός από τις διαφορίσιμες πολλαπλότητες.

## Ορισμοί στη μη γραμμική ανάλυση
Στη μη γραμμική ανάλυση υπάρχουν πολλοί ορισμοί για έναν εφαπτόμενο κώνο, όπως ο παρακείμενος κώνος, ο ενδεχόμενος κώνος του Μπουλιγκάν και ο εφαπτόμενος κώνος του Κλαρκ. Αυτοί οι τρεις κώνοι συμπίπτουν για ένα κυρτό σύνολο, αλλά μπορεί να διαφέρουν σε πιο γενικά σύνολα.

### Ο εφαπτόμενος κώνος Κλαρκ
Έστω A ένα μη κενό κλειστό υποσύνολο του χώρου Μπάναχ X. Ο εφαπτόμενος κώνος Κλαρκ στον A στο x_0\in A, που συμβολίζεται με \widehat{T}_A(x_0) αποτελείται από όλα τα διανύσματα v\in X, έτσι ώστε για κάθε ακολουθία \{t_n\}_{n\ge 1}\subset\mathbb{R} να τείνει στο μηδέν, και κάθε ακολουθία \{x_n\}_{n\ge 1}\subset A που τείνει στο x_0, υπάρχει μια ακολουθία \{v_n\}_{n\ge 1}\subset X που τείνει στο v, έτσι ώστε για όλα τα n\ge 1 ισχύει x_n+t_nv_n\in A

Ο εφαπτόμενος κώνος του Κλαρκ είναι πάντα υποσύνολο του αντίστοιχου ενδεχομένου κώνου (και συμπίπτει με αυτόν, όταν το εν λόγω σύνολο είναι κυρτό). Έχει τη σημαντική ιδιότητα να είναι ένας κλειστός κυρτός κώνος.

## Ορισμός στην κυρτή γεωμετρία
Έστω *Κ* ένα κλειστό κυρτό υποσύνολο ενός πραγματικού διανυσματικού χώρου *V* και ∂*K* το όριο του *Κ*. Ο στερεός εφαπτόμενος κώνος του *Κ* σε ένα σημείο  x* ∈ ∂*Kείναι το κλείσιμο του κώνου που σχηματίζεται από όλες τις ημιευθείες (ή ακτίνες) που ξεκινούν από τοx* και τέμνουν τον Κ *σε ένα τουλάχιστον σημείο y διαφορετικό από το* x. *Είναι ένας κυρτός κώνος στο* V *και μπορεί επίσης να οριστεί ως η τομή των κλειστών ημιχώρων του* V που περιέχουν το K *και οριοθετούνται από τα υπερεπίπεδα στήριξης του* K στο *x*. Το όριο T<sub>K</sub> του στερεού εφαπτόμενου κώνου είναι ο εφαπτόμενος κώνος στο *K* και το ∂*K* στο *x*. *Αν αυτός είναι ένας αφινικός υποχώρος του V τότε το σημείο x ονομάζεται λείο σημείο του* ∂*K* και το ∂*K λέγεται διαφορίσιμο στοx* και ο T<sub>K</sub>* είναι ο συνήθης εφαπτόμενος χώρος του* ∂*K στο x*.


==Ορισμός στην αλγεβρική γεωμετρία==

Έστω *X* μια αφινική [[αλγεβρική ποικιλία]] ενσωματωμένη στον αφινικό χώρο <math>k^n</math>, με καθοριστικό [[Ιδεώδες (μαθηματικά)|ιδεώδες]] <math>I\subset  k[x_1,\ldots ,x_n]</math>. Για οποιοδήποτε πολυώνυμο *f*, έστω in <math>\operatorname{in}(f)</math> η ομογενής συνιστώσα του *f* με τον μικρότερο βαθμό, ο αρχικός όρος του *f*, και έστω

: <math>\operatorname{in}(I)\subset  k[x_1,\ldots ,x_n]</math>

να είναι το ομογενές ιδεώδες που σχηματίζεται από τους αρχικούς όρους στο <math>\operatorname{in}(f)</math> για όλα τα <math>f \in I</math>, το αρχικό ιδεώδες του *I*. Ο *'εφαπτόμενος κώνος** στο ''X'' στην αρχή είναι το κλειστό υποσύνολο Ζαρίσκι του <math>k^n</math> που ορίζεται από το ιδεώδες στο <math>\operatorname{in}(I)</math>. Μετατοπίζοντας το σύστημα συντεταγμένων, ο ορισμός αυτός επεκτείνεται σε ένα αυθαίρετο σημείο του <math>k^n</math> στη θέση της αρχής. Ο εφαπτόμενος κώνος χρησιμεύει ως επέκταση της έννοιας του εφαπτόμενου χώρου στο X σε ένα κανονικό σημείο, όπου το ''X'' μοιάζει περισσότερο με μια διαφορίσιμη πολλαπλότητα, σε όλο το ''X''. (Ο εφαπτόμενος κώνος σε ένα σημείο του <math>k^n</math> που δεν περιέχεται στο ''X'' είναι κενός).

Παραδείγματος χάριν, η κομβική καμπύλη

: <math>C: y^2=x^3+x^2 </math>

είναι ιδιάζουσα στην αρχή, επειδή και οι δύο επιμέρους παράγωγοι της ''f''(''x'', ''y'') = ''y''<sup>2</sup> &minus; ''x''<sup>3</sup> &minus; ''x''<sup>2</sup> εκλείπουν στο (0, 0). Έτσι, ο εφαπτόμενος χώρος Ζαρίσκι στην ''C'' στην αρχή είναι ολόκληρο το επίπεδο και έχει μεγαλύτερη διάσταση από την ίδια την καμπύλη (δύο έναντι μίας). Από την άλλη πλευρά, ο εφαπτόμενος κώνος είναι η ένωση των εφαπτόμενων γραμμών στους δύο κλάδους της ''C'' στην αρχή,

: <math> x=y,\quad x=-y. </math>

Το καθοριστικό ιδεώδες του είναι το κύριο ιδεώδες του ''k''[''x''] που δημιουργείται από τον αρχικό όρο της ''f'', δηλαδή ''y''<sup>2</sup> &minus; ''x''<sup>2</sup> = 0.

Ο ορισμός του εφαπτόμενου κώνου μπορεί να επεκταθεί σε αφηρημένες αλγεβρικές ποικιλίες, ακόμη και σε γενικά [[Έμι Νέτερ#Δημιουργική εργασία στην αφηρημένη άλγεβρα|Ναιτεριανά]] σχήματα. Έστω ''X'' μια [[αλγεβρική ποικιλία]], x ένα σημείο του ''X'' και (OX,x, m) ο τοπικός δακτύλιος του ''X'' στο ''x''. Τότε ο **εφαπτόμενος κώνος*' του *X* στο *x* είναι το φάσμα του σχετικού βαθμωτού δακτυλίου του *O*<sub>*X*,*x*</sub> ως προς το *m''-adic φίλτρο:

:\operatorname{gr}_m O_{X,x}=\bigoplus_{i\geq 0} m^i / m^{i+1}.

Αν κοιτάξουμε το προηγούμενο παράδειγμά μας, τότε μπορούμε να δούμε ότι τα διαβαθμισμένα τεμάχια περιέχουν τις ίδιες πληροφορίες. Άρα έστω

:
(\mathcal{O}_{X,x},\mathfrak{m}) = \left(\left(\frac{k[x,y]}{(y^2 - x^3 - x^2)}\right)_{(x,y)}, (x,y)\right)


τότε αν επεκτείνουμε τον σχετικό βαθμωτό δακτύλιο

:
\begin{align}
\operatorname{gr}_m O_{X,x} &= \frac{\mathcal{O}_{X,x}}{(x,y)} \oplus \frac{(x,y)}{(x,y)^2} \oplus \frac{(x,y)^2}{(x,y)^3} \oplus \cdots \\
&= k \oplus \frac{(x,y)}{(x,y)^2} \oplus \frac{(x,y)^2}{(x,y)^3} \oplus \cdots
\end{align}


μπορούμε να δούμε ότι το πολυώνυμο που ορίζει την ποικιλία μας

:
y^2 - x^3 - x^2 \equiv y^2 - x^2
 in \frac{(x,y)^2}{(x,y)^3}

## Ιδιότητες

* Τόσο ο εφαπτόμενος όσο και ο κανονικός κώνος είναι κλειστοί κώνοι.
* Επιπλέον, ο κανονικός κώνος είναι πάντα κυρτός.
* Μεταξύ των κώνων ισχύει η σχέση \operatorname{pol}\ \operatorname{Nor}(A;a) \supseteq \operatorname{Tan}(A;a).
* Αν A έχει θετικό εύρος, τότε ακόμη και \operatorname{pol}\ \operatorname{Nor}(A;a) = \operatorname{Tan}(A;a).
** Ειδικότερα, το \operatorname{Tan}(A;a) πρέπει επίσης να είναι κυρτή.
** Μπορεί επίσης να αποδειχθεί ότι το \operatorname{nor} A είναι κλειστό στο \R^{2n} σε αυτή την περίπτωση.
* Αν a \in A^\circ είναι ένα εσωτερικό σημείο, οι δύο κώνοι εκφυλίζονται σε \operatorname{Tan}(A;a) = \R^n και \operatorname{Nor}(A;a) = \{ \{ \underline{0} \}
* Αντίστροφα, αν a \in \R^n \setminus \overline{A} von A διαχωρίζεται από A, τότε ισχύει το αντίστροφο: \operatorname{Tan}(A;a) = \{ \underline{0} \}  και \operatorname{Nor}(A;a) = \R^n
* Στον τομέα της βελτιστοποίησης, οι εφαπτόμενοι κώνοι χρησιμοποιούνται για την εξαγωγή κριτηρίων βελτιστότητας. Ωστόσο, συνήθως 
χρησιμοποιείται ο γραμμικοποιημένος εφαπτόμενος κώνος, καθώς είναι ευκολότερος στο χειρισμό του.

Σημείωση: Επομένως, ορισμένοι συγγραφείς περιορίζουν τον ορισμό εξαρχής στα σημεία του κλεισίματος a \in \overline{A}.

* Αν το όριο του εφαπτόμενου κώνου σχηματίζει έναν υποδιανυσματικό χώρο στον \R^n&nbsp;–στην περίπτωση αυτή το a βρίσκεται αναγκαστικά στο όριο Rand\partial A&nbsp;– τότε το A είναι διαφορίσιμο στο σημείο  a και το \partial \operatorname{Tan}(A;a) συμπίπτει με τον κλασικό εφαπτόμενο χώρο

::*Εάν το \partial \operatorname{Tan}(A;a) είναι ζυγό υπερεπίπεδο, δηλαδή συνδιάστασης 1, τότε το \operatorname{Nor}(A;a) παράγεται από το αντίστοιχο κανονικό διάνυσμα.

## Δημοσιεύσεις
* J. F. Bonnans et A. Shapiro, Perturbation Analysis of Optimization Problems, New York, Springer, 2000 (On line archive)
*J.-B. Hiriart-Urruty, Optimisation et analyse convexe, EDP Sciences, 2009 (1re éd. 1998, PUF) (On line archive)
*J.-B. Hiriart-Urruty et C. Lemaréchal, Convex Analysis and Minimization Algorithms, vol. 1, Springer, coll. « Grund. math. Wiss. » (no 305), 1993 (On line archive), p.&nbsp;133-142
*J.-B. Hiriart-Urruty et C. Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis, Springer, 2004 (1re éd. 2001 [archive]) (On line archive)
*Johannes Jahn, Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization, Springer, 2007, 3e éd. (1re éd. 1994), chap. 4 (« Tangent Cones »), p.&nbsp;79-104
*Akhtar A. Khan, Christiane Tammer et Constantin Zălinescu, Set-valued Optimization: An Introduction with Applications, Springer, 2015 (On line archive)
*R. T. Rockafellar, « Lagrange Multipliers and Optimality », SIAM Review, vol. 35, 1993, p.&nbsp;183-238 (On line archive)

## Δείτε επίσης

* Algebraic Geometry
* Αλγεβρική ποικιλία
*Τοπολογία

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Revisiting derived crystalline cohomology
* Crystalline Cohomology of Superschemes
*Onishchik, A.L. (2001) [1994], "Tangent cone", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
*Algebraic Geometry: A First Course
*Fundamentals of Convex Analysis

## Παραπομπές

 

Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Άλγεβρα
Κατηγορία:Κυρτή γεωμετρία
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών
Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Συναρτησιακή ανάλυση