Τριπλό γινόμενο

Στη γεωμετρία και την άλγεβρα, το **τριπλό γινόμενο** είναι ένα γινόμενο τριών τρισδιάστατων διανυσμάτων, συνήθως ευκλείδειων διανυσμάτων. Η ονομασία «τριπλό γινόμενο» χρησιμοποιείται για δύο διαφορετικά γινόμενα, βαθμωτή τιμή του βαθμωτού τριπλού γινομένου και, σπανιότερα, διανυσματική τιμή του διανυσματικού τριπλού γινομένου.

## βαθμωτό Τριπλό γινόμενο

Το βαθμωτό τριπλό γινόμενο (που ονομάζεται επίσης μικτό γινόμενο, γινόμενο κουτιού ή τριπλό βαθμωτό γινόμενο) ορίζεται ως το γινόμενο τελείας ενός από τα διανύσματα με το διασταυρούμενο γινόμενο των άλλων δύο.

### Γεωμετρική ερμηνεία

Γεωμετρικά, το βαθμωτό τριπλό γινόμενο

: \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) 

είναι ο (προσημασμένος) όγκος του παραλληλεπιπέδου που ορίζεται από τα τρία διανύσματα που δίνονται.

### Ιδιότητες
* Το βαθμωτό τριπλό γινόμενο παραμένει αμετάβλητο κάτω από μια κυκλική μετατόπιση των τριών τελεστών του (**a**, **b**, **c**):

*:
  \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})=
  \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})=
  \mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})


* Η εναλλαγή των θέσεων των τελεστών χωρίς αναδιάταξη των τελεστών αφήνει το τριπλό γινόμενο αμετάβλητο. Αυτό προκύπτει από την προηγούμενη ιδιότητα και την αντιμεταθετική ιδιότητα του γινομένου τελείας:

*:
   \mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) =
  (\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}


* Η εναλλαγή οποιωνδήποτε δύο από τους τρεις τελεστές αναιρεί το τριπλό γινόμενο. Αυτό προκύπτει από την ιδιότητα της κυκλικής μετατόπισης και την αντιμεταθετικότητα του διασταυρούμενου γινομένου:

*:\begin{align}
 \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) 
    &= -\mathbf{a}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{b}) \\
    &= -\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{c}) \\
    &= -\mathbf{c}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{a})
\end{align}

* Το βαθμωτό τριπλό γινόμενο μπορεί επίσης να νοηθεί ως η ορίζουσα του  πίνακα που έχει τα τρία διανύσματα είτε ως γραμμές είτε ως στήλες (ένας πίνακας έχει τον ίδιο προσδιοριστή με τον αναστροφό του):

*:\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})
= \det \begin{bmatrix}
  a_1 & a_2 & a_3 \\
  b_1 & b_2 & b_3 \\
  c_1 & c_2 & c_3 \\
\end{bmatrix}
= \det \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}
= \det \begin{bmatrix} \mathbf{a} & \mathbf{b} & \mathbf{c} \end{bmatrix} .

* Αν το βαθμωτό τριπλό γινόμενο είναι ίσο με μηδέν, τότε τα τρία διανύσματα  **a**, **b**, και **c**  είναι συνεπίπεδα, αφού το παραλληλεπίπεδο που ορίζεται από αυτά θα είναι επίπεδο και δεν θα έχει όγκο.
* Αν οποιαδήποτε δύο διανύσματα στο βαθμωτό τριπλό γινόμενο είναι ίσα, τότε η τιμή του είναι μηδέν:

*:
  \mathbf{a} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) =
  \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{a}) =
  \mathbf{b} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{a}) = 0


* Επίσης:

*:
  (\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}))\, \mathbf{a} =
  (\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times (\mathbf{a}\times \mathbf{c})


* Το απλό γινόμενο δύο τριπλών γινομένων (ή το τετράγωνο ενός τριπλού γινομένου), μπορεί να αναπτυχθεί ως γινόμενο τελείας:

((\mathbf{a}\times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c})\;((\mathbf{d} \times \mathbf{e}) \cdot \mathbf{f})
 = \det \begin{bmatrix}
    \mathbf{a}\cdot \mathbf{d} & \mathbf{a}\cdot \mathbf{e} & \mathbf{a}\cdot \mathbf{f} \\
    \mathbf{b}\cdot \mathbf{d} & \mathbf{b}\cdot \mathbf{e} & \mathbf{b}\cdot \mathbf{f} \\
    \mathbf{c}\cdot \mathbf{d} & \mathbf{c}\cdot \mathbf{e} & \mathbf{c}\cdot \mathbf{f}
  \end{bmatrix}
 

Αυτό δηλώνει σε διανυσματικό συμβολισμό ότι το γινόμενο των ορίζουσων δύο  πινάκων ισούται με τον ορίζοντα του γινομένου των πινάκων τους. Ως ειδική περίπτωση, το τετράγωνο ενός τριπλού γινομένου είναι μία ορίζουσα παράμετρος Γκραμ.  Ας σημειωθεί ότι αυτός η ορίζουσα είναι καλά ορισμένη για διανύσματα στον  (-διάστατος Ευκλείδειος χώρος) ακόμη και όταν , συγκεκριμένα, η απόλυτη τιμή ενός τριπλού γινομένου για τρία διανύσματα στο  μπορεί να υπολογιστεί από αυτόν τον τύπο για το τετράγωνο ενός τριπλού γινομένου παίρνοντας την τετραγωνική του ρίζα: 

|(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c}|
 = \sqrt{\det \begin{bmatrix}
    \mathbf{a}\cdot \mathbf{a} & \mathbf{a}\cdot \mathbf{b} & \mathbf{a}\cdot \mathbf{c} \\
    \mathbf{b}\cdot \mathbf{a} & \mathbf{b}\cdot \mathbf{b} & \mathbf{b}\cdot \mathbf{c} \\
    \mathbf{c}\cdot \mathbf{a} & \mathbf{c}\cdot \mathbf{b} & \mathbf{c}\cdot \mathbf{c}
  \end{bmatrix}}

*Ο λόγος του τριπλού γινομένου και του γινομένου των τριών διανυσματικών κανόνων είναι γνωστός ως πολικό ημίτονο:


\frac{\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})}{\|{\mathbf{a}}\| \|{\mathbf{b}}\| \|{\mathbf{c}}\|} = \operatorname{psin}(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}) 

που κυμαίνεται μεταξύ -1 και 1.

### Το τριπλό γινόμενο είναι μια βαθμωτή πυκνότητα
Για την ακρίβεια, μια βαθμωτή πυκνότητα δεν αλλάζει καθόλου κάτω από έναν μετασχηματισμό συντεταγμένων. ( Παραδείγματος χάριν, ο παράγοντας 2 που χρησιμοποιείται για τον διπλασιασμό ενός διανύσματος δεν αλλάζει αν το διάνυσμα είναι σε σφαιρικές έναντι ορθογώνιων συντεταγμένων).  Ωστόσο, εάν κάθε διάνυσμα μετασχηματίζεται από έναν πίνακα, τότε το τριπλό γινόμενο καταλήγει να πολλαπλασιάζεται με τον προσδιοριστή του πίνακα μετασχηματισμού.  Δηλαδή, το τριπλό γινόμενο των συνδιακυματιζόμενων διανυσμάτων περιγράφεται ορθότερα ως βαθμωτή πυκνότητα.

\begin{align}
T\mathbf{a} \cdot (T\mathbf{b} \times T\mathbf{c})
& = \det\left(\begin{matrix} T\mathbf{a} & T\mathbf{b} & T\mathbf{c} \end{matrix} \right) \\
& = \det\left(T \left(\begin{matrix} \mathbf{a} & \mathbf{b} & \mathbf{c} \end{matrix} \right) \right) \\
& = \det(T) \det\left(\begin{matrix} \mathbf{a} & \mathbf{b} & \mathbf{c} \end{matrix} \right) \\
& = \det(T) (\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}))
\end{align}


Ορισμένοι συγγραφείς χρησιμοποιούν τον όρο « pseudoscalar » για να περιγράψουν ένα αντικείμενο που μοιάζει με scalar αλλά δεν μετασχηματίζεται σαν scalar.  Επειδή το τριπλό γινόμενο μετασχηματίζεται ως βαθμωτή πυκνότητα και όχι ως βαθμωτό, θα μπορούσε να ονομαστεί «ψευδοβαθμωτό» με αυτόν τον ευρύτερο ορισμό.  Ωστόσο, το τριπλό γινόμενο δεν είναι μια "ψευδο-βαθμωτή πυκνότητα".

Όταν ένας μετασχηματισμός είναι μια περιστροφή που διατηρεί τον προσανατολισμό, ο προσδιοριστής του είναι  και το τριπλό γινόμενο παραμένει αμετάβλητο.  Όταν ένας μετασχηματισμός είναι μια περιστροφή που αντιστρέφει τον προσανατολισμό, τότε ο προσδιοριστής του είναι  και το τριπλό γινόμενο αναιρείται.  Ένας αυθαίρετος μετασχηματισμός θα μπορούσε να έχει προσδιοριστή που δεν είναι ούτε  ούτε .

## Ως εξωτερικό γινόμενο

Στην εξωτερική άλγεβρα και τη γεωμετρική άλγεβρα το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι διάνυσμα, ενώ το εξωτερικό γινόμενο τριών διανυσμάτων είναι τριδιάνυσμα (trivector). Ένα διάνυσμα είναι ένα προσανατολισμένο στοιχείο επιπέδου και ένα τριδιάνυσμα είναι ένα προσανατολισμένο στοιχείο όγκου, με τον ίδιο τρόπο που ένα διάνυσμα είναι ένα προσανατολισμένο στοιχείο γραμμής.

Δεδομένων των διανυσμάτων **a**, **b** και **c**, το γινόμενο

:\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \mathbf{c}

είναι τριδιάνυσμα με μέγεθος ίσο με το τριπλό βαθμτό γινόμενο, δηλ.

:|\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \mathbf{c}| = |\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b} \times\mathbf{c})|,

και είναι το δυϊκό του Χοτζ του τριπλού βαθμωτού γινομένου. Καθώς το εξωτερικό γινόμενο είναι συνειρμικό, δεν χρειάζονται παρενθέσεις, καθώς δεν έχει σημασία ποιο από τα  ή  υπολογίζεται πρώτο, αν και η σειρά των διανυσμάτων στο γινόμενο έχει σημασία. Γεωμετρικά το τριδιάνυσμα **a** ∧ **b** ∧ **c** αντιστοιχεί στο παραλληλεπίπεδο που καλύπτεται από τα **a**, **b** και **c**, με τους διαιρέτες ,  και  να αντιστοιχούν στις παραλληλόγραμμες επιφάνειες του παραλληλεπιπέδου.

### Ως τριγραμμική συνάρτηση

Το τριπλό γινόμενο ταυτίζεται με τη μορφή όγκου του ευκλείδειου 3-χώρου που εφαρμόζεται στα διανύσματα μέσω του εσωτερικού γινομένου. Μπορεί επίσης να εκφραστεί ως συστολή των διανυσμάτων με έναν τανυστή 3ης τάξης ισοδύναμο με τη μορφή (ή έναν ψευδοτανυστή ισοδύναμο με την ψευδομορφή όγκου)- βλέπε παρακάτω.

## Διανυσματικό τριπλό γινόμενο
Το **διανυσματικό τριπλό γινόμενο** ορίζεται ως το σταυρωτό γινόμενο ενός διανύσματος με το διασταυρούμενο γινόμενο των άλλων δύο. Ισχύει η ακόλουθη σχέση:

:\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b} -(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}) \mathbf{c}.

Αυτό είναι γνωστό ως ανάπτυγμα τριπλού γινομένου ή τύπος του Λαγκράνζ, αν και το τελευταίο όνομα χρησιμοποιείται επίσης για διάφορους άλλους τύπους. Η δεξιά πλευρά του μπορεί να απομνημονεύεται με τη χρήση του μνημονικού "ACB&nbsp;&minus;&nbsp;ABC", αρκεί κανείς να έχει κατά νου ποια διανύσματα είναι διακεκομμένα μεταξύ τους. Μια απόδειξη παρέχεται παρακάτω
\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = \mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})-\mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})
έτσι ώστε να προκύψει ένα πιο οικείο μνημονικό "BAC&nbsp;&minus;&nbsp;CAB" , όπως "πίσω από την καμπίνα".

Δεδομένου ότι το σταυρωτό γινόμενο είναι αντιμεταθετικό, ο τύπος αυτός μπορεί επίσης να γραφεί (μέχρι την αντιμετάθεση των γραμμάτων) ως εξής:

:(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times \mathbf{c} = -\mathbf{c}\times(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = -(\mathbf{c}\cdot\mathbf{b})\mathbf{a} + (\mathbf{c}\cdot\mathbf{a})\mathbf{b}

Από τον τύπο του Λαγκράνζ προκύπτει ότι το διανυσματικό τριπλό γινόμενο ικανοποιεί:

:\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) + \mathbf{b}\times (\mathbf{c}\times \mathbf{a}) + \mathbf{c} \times (\mathbf{a}\times \mathbf{b}) =  \mathbf{0}

που είναι η ταυτότητα Ιακόμπι για το διασταυρούμενο γινόμενο.  Ακολουθεί ένας άλλος χρήσιμος τύπος:

:(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) \times \mathbf{c} = \mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) - \mathbf{b} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{c})

Αυτοί οι τύποι είναι πολύ χρήσιμοι για την απλοποίηση των διανυσματικών υπολογισμών στη φυσική. Μια συναφής ταυτότητα που αφορά τις κλίσεις και είναι χρήσιμη στο διανυσματικό λογισμό είναι ο τύπος του Λαγκράνζ της διανυσματική ταυτότητα σταυρωτό γινόμενο:
:\boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}) = \boldsymbol{\nabla} (\boldsymbol{\nabla} \cdot  \mathbf{A}) - (\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{A}

Αυτός μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως ειδική περίπτωση του τελεστή Λαπλάς-Ντε Ραμ \Delta = d \delta + \delta d.

### Απόδειξη

Η συνιστώσα x του \mathbf{u} \times (\mathbf{v}\times \mathbf{w}) δίνεται από:

:\begin{align}
(\mathbf{u} \times (\mathbf{v} \times \mathbf{w}))_x
    &= \mathbf{u}_y(\mathbf{v}_x\mathbf{w}_y - \mathbf{v}_y\mathbf{w}_x) - \mathbf{u}_z(\mathbf{v}_z\mathbf{w}_x - \mathbf{v}_x\mathbf{w}_z) \\
    &= \mathbf{v}_x(\mathbf{u}_y\mathbf{w}_y + \mathbf{u}_z\mathbf{w}_z) - \mathbf{w}_x(\mathbf{u}_y\mathbf{v}_y + \mathbf{u}_z\mathbf{v}_z) \\
    &= \mathbf{v}_x(\mathbf{u}_y\mathbf{w}_y + \mathbf{u}_z\mathbf{w}_z) - \mathbf{w}_x(\mathbf{u}_y\mathbf{v}_y + \mathbf{u}_z\mathbf{v}_z) + (\mathbf{u}_x\mathbf{v}_x\mathbf{w}_x - \mathbf{u}_x\mathbf{v}_x\mathbf{w}_x) \\
  &= \mathbf{v}_x(\mathbf{u}_x\mathbf{w}_x + \mathbf{u}_y\mathbf{w}_y + \mathbf{u}_z\mathbf{w}_z) - \mathbf{w}_x(\mathbf{u}_x\mathbf{v}_x + \mathbf{u}_y\mathbf{v}_y + \mathbf{u}_z\mathbf{v}_z) \\
  &= (\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})\mathbf{v}_x - (\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\mathbf{w}_x
\end{align}

Ομοίως, οι συνιστώσες y και z του \mathbf{u}\times (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) δίνονται από:

:\begin{align}
  (\mathbf{u} \times (\mathbf{v} \times \mathbf{w}))_y &= (\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})\mathbf{v}_y - (\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\mathbf{w}_y \\
  (\mathbf{u} \times (\mathbf{v} \times \mathbf{w}))_z &= (\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})\mathbf{v}_z - (\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\mathbf{w}_z
\end{align}

Συνδυάζοντας αυτές τις τρεις συνιστώσες λαμβάνουμε:

:\mathbf{u}\times (\mathbf{v}\times \mathbf{w}) = (\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})\ \mathbf{v} - (\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\ \mathbf{w}

### Χρησιμοποιώντας τη γεωμετρική άλγεβρα
Εάν χρησιμοποιείται η γεωμετρική άλγεβρα, το σταυρωτό γινόμενο **b** × **c**  διανυσμάτων εκφράζεται ως το εξωτερικό τους γινόμενο  **b**∧**c**, ένα διάνυσμα. Το δεύτερο σταυρωτό γινόμενο δεν μπορεί να εκφραστεί ως εξωτερικό γινόμενο, αλλιώς θα προέκυπτε το τριπλό γινόμενο του βαθμωτού. Αντ' αυτού μια αριστερή συστολή  μπορεί να χρησιμοποιηθεί, ώστε ο τύπος να γίνει

:\begin{align}
  -\mathbf{a} \;\big\lrcorner\; (\mathbf{b} \wedge \mathbf{c}) &=  \mathbf{b}  \wedge (\mathbf{a} \;\big\lrcorner\; \mathbf{c}) - (\mathbf{a} \;\big\lrcorner\; \mathbf{b}) \wedge \mathbf{c} \\
                                                               &=  (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}
\end{align}

Η απόδειξη προκύπτει από τις ιδιότητες της συστολής. Το αποτέλεσμα είναι το ίδιο διάνυσμα που υπολογίζεται με τη χρήση **a** × (**b** × **c**).

## Τριπλό δυοδιανυσµατικό γινόμενο
Στη γεωμετρική άλγεβρα, τρία δυοδιανύσματα μπορούν επίσης να έχουν τριπλό γινόμενο. Αυτό το γινόμενο μιμείται το τυπικό τριπλό διανυσματικό γινόμενο. Το αντισυμμετρικό γινόμενο τριών δυοδιανυσμάτων είναι.

:\overset\Rightarrow{a}\times (\overset\Rightarrow{b}\times\overset\Rightarrow{c})=-(\overset\Rightarrow{a}\cdot \overset\Rightarrow{c})\overset\Rightarrow{b}+(\overset\Rightarrow{a}\cdot \overset\Rightarrow{b})\overset\Rightarrow{c}

### Απόδειξη

Η απόδειξη αυτή γίνεται με τη διπλή εκδοχή της γεωμετρικής άλγεβρας του τριπλού διανυσματικού γινομένου μέχρις ότου όλα τα διανύσματα γίνουν δυοδιανύσματα.

:\begin{align}
(-\mathbf{a} \;\big\lrcorner\; (\mathbf{b} \wedge \mathbf{c}))\star &= 
-\frac{1}{2}(\overset\Rightarrow{a}(\mathbf{b} \wedge \mathbf{c}) - (\mathbf{b} \wedge \mathbf{c}) \overset\Rightarrow{a} ) = -\overset\Rightarrow{a} \times (\mathbf{b} \wedge \mathbf{c}) \\

(-\overset\Rightarrow{a} \times (\mathbf{b} \wedge \mathbf{c}))\star &= 
-\frac{1}{2}(\overset\Rightarrow{a}
\frac{1}{2}(\overset\Rightarrow{b}\mathbf{c} -\mathbf{c}\overset\Rightarrow{b}) 
-\frac{1}{2}(\overset\Rightarrow{b}\mathbf{c}-\mathbf{c}\overset\Rightarrow{b}) 
\overset\Rightarrow{a} ) = -\overset\Rightarrow{a} \times (\overset\Rightarrow{b} \cdot \mathbf{c}) \\

(-\overset\Rightarrow{a} \times (\overset\Rightarrow{b} \cdot \mathbf{c}))\star &=
-\frac{1}{2}(\overset\Rightarrow{a}
\frac{1}{2}(\overset\Rightarrow{b}\overset\Rightarrow{c}-\overset\Rightarrow{c}\overset\Rightarrow{b}) 
-\frac{1}{2}(\overset\Rightarrow{b}\overset\Rightarrow{c}-\overset\Rightarrow{c}\overset\Rightarrow{b}) 
\overset\Rightarrow{a} ) =
\overset\Rightarrow{a}\times (\overset\Rightarrow{b}\times\overset\Rightarrow{c})
 
\end{align}

Πρόκειται για τρεις δυϊκές. Αυτό πρέπει να γίνει και στην αριστερή πλευρά.

:\begin{align}
&((((\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c})\star) \star) \star = \\ 
&(\frac{1}{2}(\overset\Rightarrow{a}\overset\Rightarrow{c} +
\overset\Rightarrow{c}\overset\Rightarrow{a}))\overset\Rightarrow{b} -
(\frac{1}{2}(\overset\Rightarrow{a}\overset\Rightarrow{b} +
\overset\Rightarrow{b}\overset\Rightarrow{a}))\overset\Rightarrow{c} = \\
& (\overset\Rightarrow{a}\cdot \overset\Rightarrow{c})\overset\Rightarrow{b}+(\overset\Rightarrow{a}\cdot \overset\Rightarrow{b})\overset\Rightarrow{c}
\end{align}

Αναιρώντας και τις δύο πλευρές λαμβάνουμε:

:\overset\Rightarrow{a}\times (\overset\Rightarrow{b}\times\overset\Rightarrow{c})=-(\overset\Rightarrow{a}\cdot \overset\Rightarrow{c})\overset\Rightarrow{b}+(\overset\Rightarrow{a}\cdot \overset\Rightarrow{b})\overset\Rightarrow{c}

## Ερμηνείες
### Τανυστικός λογισμός

Στο συμβολισμό των τανυστών, το τριπλό γινόμενο εκφράζεται με το σύμβολο Λεβί-Σιβίτα::

\mathbf{a} \cdot [\mathbf{b}\times \mathbf{c}] = \varepsilon_{ijk} a^i b^j c^k

και

(\mathbf{a} \times [\mathbf{b}\times \mathbf{c}])_i = \varepsilon_{ijk} a^j \varepsilon^{k\ell m} b_\ell c_m = \varepsilon_{ijk}\varepsilon^{k\ell m} a^j  b_\ell c_m,

που αναφέρεται στην i-th συνιστώσα του διανύσματος που προκύπτει. Αυτό μπορεί να απλοποιηθεί εκτελώντας μια συστολή στα σύμβολα Λεβί-Σιβίτα, \varepsilon_{ijk} \varepsilon^{k\ell m} = \delta^{\ell m}_{ij} = \delta^{\ell}_{i} \delta^{m}_{j} - \delta^{m}_{i} \delta^{\ell}_{j}\,,  όπου \delta^{i}_{j} είναι η συνάρτηση δέλτα Κρόνεκερ (\delta^{i}_{j} = 0 όταν i \neq j και \delta^{i}_{j} = 1 όταν i = j) και \delta^{\ell m}_{ij} είναι η γενικευμένη συνάρτηση δέλτα του Κρόνεκερ. Μπορούμε να αιτιολογήσουμε αυτή την ταυτότητα αναγνωρίζοντας ότι ο δείκτης k θα αθροιστεί αφήνοντας μόνο i και j. Στον πρώτο όρο, καθορίζουμε i=l και συνεπώς j=m. Ομοίως, στον δεύτερο όρο, καθορίζουμε i=m και συνεπώς l=j.

Επιστρέφοντας στο τριπλό σταυρωτό γινόμενο,

(\mathbf{a} \times [\mathbf{b}\times \mathbf{c}])_i = (\delta^{\ell}_{i}\delta^{m}_{j} - \delta^{m}_{i}\delta^{\ell}_{j}) a^j  b_\ell c_m = a^j b_i c_j - a^j  b_j c_i = b_i(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}) - c_i(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\,.

### Διανυσματικός λογισμός

Ας θεωρήσουμε το ολοκλήρωμα ροής του διανυσματικού πεδίου \mathbf{F} κατά μήκος της παραμετρικά ορισμένης επιφάνειας S = \mathbf{r}(u,v): \iint_S \mathbf{F} \cdot \hat\mathbf{n} \, dS. Το μοναδιαίο κανονικό διάνυσμα \hat\mathbf{n} στην επιφάνεια δίνεται από τη σχέση \frac{\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v }, οπότε το ολοκλήρωμα \mathbf{F}\cdot \frac{(\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v )} είναι ένα βαθμωτό τριπλό γινόμενο.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Διδιάστατος χώρος
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Υπερβολική γεωμετρία
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Διάσταση Κρουλ
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
*
* 
* 
* 
*
*
*
* 
* 
* . Review: Séquin, Carlo H. (2009), *Journal of Mathematics and the Arts* 3: 229–230, 
* 
*Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:Θεωρήματα στην ανάλυση
Κατηγορία:Μαθηματική ανάλυση
Κατηγορία:Επιφάνειες
Κατηγορία:Διαφορική τοπολογία
Κατηγορία:Διανύσματα
Κατηγορία:Διανυσματικός λογισμός
Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις
Κατηγορία:Μαθηματικές ταυτότητες