Εκτίμηση (άλγεβρα)

Στην άλγεβρα (ιδίως στην αλγεβρική γεωμετρία ή στην αλγεβρική θεωρία αριθμών), η **εκτίμηση** **ε**ίναι μια συνάρτηση σε ένα σώμα που παρέχει ένα μέτρο του μεγέθους ή της πολλαπλότητας των στοιχείων του σώματος. Γενικεύει στην αντιμεταθετική άλγεβρα την έννοια του μεγέθους που ενυπάρχει στην εξέταση του βαθμού ενός πόλου ή της πολλαπλότητας ενός μηδενός στην μιγαδική ανάλυση, του βαθμού διαιρετότητας ενός αριθμού με έναν πρώτο αριθμό στη θεωρία αριθμών και της γεωμετρικής έννοιας της επαφής μεταξύ δύο αλγεβρικών ή αναλυτικών ποικιλιών στην αλγεβρική γεωμετρία. Ένα σώμα με μια αποτίμηση σε αυτό καλείται **εκτιμημένο σώμα**.

## Ορισμός

Ξεκινάμε με τα ακόλουθα αντικείμενα:
*ένα σώμα  και την πολλαπλασιαστική του ομάδα *K*×,
* μια αβελιανή πλήρως διατεταγμένη ομάδα .
Η διάταξη και ο νόμος της ομάδας στο  επεκτείνονται στο σύνολο } με τους κανόνες
*  για όλα τα  &isin; ,
*  για όλα τα  &isin;  .

Τότε μια **εκτίμηση** του ** είναι μια απεικόνιση

:

που ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες για όλα τα ''a'', ''b'' in ''K'':

* εάν και μόνο εάν ,
*,
*, με ισότητα εάν ''v''(''a'') ≠ ''v''(''b'').

Μια εκτίμηση ''v'' είναι ''[[Τετριμμένη ομάδα|τετριμμένη]]'' αν ''v''(''a**)&nbsp;=&nbsp;0 για όλα τα *a* στο *K*×, αλλιώς είναι **μη τετριμμένη**.

Η δεύτερη ιδιότητα ισχυρίζεται ότι κάθε εκτίμηση είναι ένας ομομορφισμός ομάδας στο *K*×. Η τρίτη ιδιότητα είναι μια εκδοχή της τριγωνικής ανισότητας σε μετρικούς χώρους προσαρμοσμένη σε ένα αυθαίρετο &Gamma; (βλέπε *Πολλαπλασιαστικός συμβολισμός* παρακάτω). Για εκτιμήσεις που χρησιμοποιούνται σε γεωμετρικές εφαρμογές, η πρώτη ιδιότητα συνεπάγεται ότι κάθε μη κενό σπόρο (germ (μαθηματικά) μιας αναλυτικής ποικιλίας κοντά σε ένα σημείο περιέχει το σημείο αυτό.

Η εκτίμηση μπορεί να ερμηνευτεί ως η τάξη του όρου της πρωτης τάξεως. Η τρίτη ιδιότητα αντιστοιχεί τότε στην τάξη ενός αθροίσματος που είναι η τάξη του μεγαλύτερου όρου, εκτός αν οι δύο όροι έχουν την ίδια τάξη, οπότε μπορεί να ακυρωθούν και το άθροισμα να έχει μεγαλύτερη τάξη.

Για πολλές εφαρμογές, η  είναι μια προσθετική υποομάδα των πραγματικών αριθμών \R οπότε η ∞ μπορεί να ερμηνευθεί ως +∞ στους εκτεταμένους πραγματικούς αριθμούς, σημειώστε ότι \min(a, +\infty) = \min(+\infty, a) = a για κάθε πραγματικό αριθμό *a*,  και επομένως το +∞ είναι η μονάδα κάτω από τη δυϊκή πράξη του ελαχίστου. Οι πραγματικοί αριθμοί (που επεκτείνονται με το +∞)  με τις πράξεις του ελαχίστου και της πρόσθεσης σχηματίζουν ένα ημιδακτύλιο που ονομάζεται τροπικό ημιδακτύλιο, και μια αποτίμηση *v* είναι σχεδόν ένας ομομορφισμός ημιδακτυλίου από τον *K* στο τροπικό ημιδακτύλιο, εκτός από το ότι η ιδιότητα του ομομορφισμού μπορεί να αποτύχει όταν δύο στοιχεία με την ίδια αποτίμηση προστίθενται μαζί.

### Πολλαπλασιαστικός συμβολισμός και απόλυτες τιμές

Η έννοια αναπτύχθηκε από τον Εμίλ Αρτίν στο βιβλίο του Γεωμετρική Άλγεβρα (βιβλίο)|*Geometric Algebra* αναγράφοντας την ομάδα σε πολλαπλασιαστικό συμβολισμό ως :

Αντί του ∞, προσαρτούμε ένα τυπικό σύμβολο *O* στο Γ, με το νόμο διάταξης και ομάδας να επεκτείνεται με τους κανόνες
* for all  &isin;  ,
* for all  &isin; .

Τότε μια *εκτίμηση* του  είναι οποιαδήποτε απεικόνιση

:

που ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες για όλα τα *a*, *b* &isin; *K*:

* if and only if ,
*,
*, με ισότητα εάν .

(Σημειώστε ότι οι κατευθύνσεις των ανισοτήτων είναι αντίστροφες από εκείνες του προσθετικού συμβολισμού).

Αν  είναι μια υποομάδα των θετικών πραγματικών αριθμών υπό πολλαπλασιασμό, η τελευταία συνθήκη είναι η υπερμετρική ανισότητα, μια ισχυρότερη μορφή της τριγωνικής ανισότητας , and  είναι μια απόλυτη τιμή.  Σε αυτή την περίπτωση, μπορούμε να περάσουμε στον προσθετικό συμβολισμό με ομάδα τιμών \Gamma_+ \subseteq (\R, +) παίρνοντας .

Κάθε εκτίμηση στο  ορίζει μια αντίστοιχη γραμμική προδιάταξη:  .   Αντίστροφα, δεδομένου ενός  "" που ικανοποιεί τις απαιτούμενες ιδιότητες, μπορούμε να ορίσουμε την εκτίμηση  }, με πολλαπλασιασμό και ταξινόμηση με βάση  και .

### Ορολογία

Σε αυτό το άρθρο, χρησιμοποιούμε τους όρους που ορίζονται παραπάνω, με τον προσθετικό συμβολισμό. Ωστόσο, ορισμένοι συγγραφείς χρησιμοποιούν εναλλακτικούς όρους: 
* Η " εκτίμηση " μας (που ικανοποιεί την υπερμετρική ανισότητα) ονομάζεται " εκθετική εκτίμηση " ή " μη-αρχιμήδεια απόλυτη τιμή " ή " υπερμετρική απόλυτη τιμή ",
* η "απόλυτη τιμή" μας (που ικανοποιεί την τριγωνική ανισότητα) ονομάζεται " εκτίμηση" ή "Αρχιμήδεια απόλυτη τιμή".

### Συνδεδεμένα αντικείμενα
Υπάρχουν διάφορα αντικείμενα που ορίζονται από μια δεδομένη εκτίμηση ;
*η **ομάδα τιμών** ή **ομάδα εκτίμησης**  = *v*(*K*×), μια υποομάδα της  (αν και η *v* είναι συνήθως υποκειμενική έτσι ώστε  =  );
*ο δακτύλιος **εκτίμησης** *R<sub>v</sub>* είναι το σύνολο των *α* &isin;  με *v*(*a*)&nbsp;≥&nbsp;0,
*ο ** πρώτος ιδεώδης** *m<sub>v</sub>* είναι το σύνολο των *α* &isin; *K* με*v*(*a*)&nbsp;>&nbsp;0 (στην πραγματικότητα είναι ένα μέγιστο ιδεώδες του *R<sub>v</sub>*),
*το **σώμα καταλοίπων** *k<sub>v</sub>* = *R<sub>v</sub>*/*m<sub>v</sub>*,
*η **θέση** του  που συνδέεται με το *v*, η κλάση του *v* σύμφωνα με την ισοδυναμία που ορίζεται παρακάτω.

## Βασικές ιδιότητες

### Ισοδυναμία των εκτιμήσεων

Δύο εκτιμήσεις *v*1 και*v*2 of  με ομάδα εκτίμησης Γ1 και Γ2, αντίστοιχα, λέγεται ότι είναι **ισοδύναμες** εάν υπάρχει ένας ισομορφισμός ομάδας που διατηρεί την τάξη  τέτοιος ώστε *v*2(*a*)&nbsp;=&nbsp;φ(*v*1(*a*)) για όλα τα *a* στο *K*×. Αυτή είναι μια σχέση ισοδυναμίας.

Δύο αποτιμήσεις του *Κ* είναι ισοδύναμες αν και μόνο αν έχουν τον ίδιο δακτύλιο αποτίμησης.

Μια κλάση ισοδυναμίας των εκτιμήσεων ενός σώματος ονομάζεται **τόπος**'. Το θεώρημα του * Οστρόφσκι* δίνει μια πλήρη ταξινόμηση των τόπων του σώματος των ρητών αριθμών \Q: αυτές είναι ακριβώς οι κλάσεις ισοδυναμίας των αποτιμήσεων για τις *p*-adic  συμπληρώσεις του \Q.

### Επέκταση των εκτιμήσεων

Έστω *v* μια εκτίμηση του  και έστω *L* μια επέκταση σώματος του .  Μια **επέκταση του ''v*** (στο *L*)  είναι μια εκτίμηση *w* του *L* τέτοια ώστε ο περιορισμός του *w* στο  να είναι *v*. Το σύνολο όλων αυτών των επεκτάσεων μελετάται στη θεωρία διακλαδώσεων των εκτιμήσεων.

Έστω *L*/*K* μια πεπερασμένη επέκταση και έστω *w* μια επέκταση του *v* στο *L*. Ο δείκτης του Γ<sub>*v*</sub> στο Γ<sub>*w*</sub>, e(*w*/*v*)&nbsp;=&nbsp;[Γ<sub>*w*</sub>&nbsp;:&nbsp;Γ<sub>*v*</sub>], καλείται *'μειωμένος δείκτης διακλάδωσης** του ''w'' πάνω στο ''v''. Ικανοποιεί e(''w''/''v'')&nbsp;≤&nbsp;[''L''&nbsp;:&nbsp;''K''] (ο βαθμός της επέκτασης ''L''/''K''). Ο **σχετικός βαθμός** του  ''w'' πάνω στο ''v'' ορίζεται ως ''f''(''w''/''v'')&nbsp;=&nbsp;''R<sub>w</sub>''/''m<sub>w</sub>''&nbsp;:&nbsp;''R<sub>v</sub>''/''m<sub>v</sub>''(ο βαθμός της επέκτασης των καταλοίπων σωμάτων). Είναι επίσης μικρότερος ή ίσος με τον βαθμό του ''L''/''K''. Όταν το ''L''/''K'' είναι διαχωρίσιμο, ο **δείκτης διακλάδωσης** του ''w'' πάνω στο ''v''  ορίζεται ως e(''w''/''v'')''p<sup>i</sup>'', όπου ''p<sup>i</sup>'' είναι ο βαθμός αδιαχώριστου της επέκτασης ''R<sub>w</sub>''/''m<sub>w</sub>'' over ''R<sub>v</sub>''/''m<sub>v</sub>''.

=== Συμπλήρωση σωμάτων με τιμές ===

Όταν η διατεταγμένη [[αβελιανή ομάδα]]  είναι η προσθετική ομάδα των [[Ακέραιος αριθμός|ακεραίων αριθμών]], η σχετική αποτίμηση είναι ισοδύναμη με μια [[απόλυτη τιμή]], και ως εκ τούτου επάγει μια μετρική στο σώμα . Αν το  είναι πλήρες ως προς αυτή τη μετρική, τότε ονομάζεται ''σώμα με πλήρη τιμή''. Αν το ''K'' δεν είναι πλήρες, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει την αποτίμηση για να κατασκευάσει την ολοκλήρωσή του, όπως στα παρακάτω παραδείγματα, και διαφορετικές αποτιμήσεις μπορούν να ορίσουν διαφορετικά πεδία ολοκλήρωσης.

Γενικά, μια εκτίμηση επάγει μια ομοιόμορφη δομή στο , και το  ονομάζεται πλήρες σώμα τιμών αν είναι πλήρες ως ομοιόμορφος χώρος. Υπάρχει μια σχετική ιδιότητα γνωστή ως σφαιρική πληρότητα: είναι ισοδύναμη με την πληρότητα αν <math>\Gamma = \Z,</math> αλλά ισχυρότερη γενικά.

==Παραδείγματα==

===p-adic εκτίμηση===

Το πιο βασικό παράδειγμα είναι η -adic  εκτίμηση ν<sub>''p''</sub> aπου σχετίζεται με έναν πρώτο [[Ακέραιος αριθμός|ακέραιο αριθμό]] ''p'', στους [[Ρητός αριθμός|ρητούς αριθμούς]] <math>K=\Q,</math> με δακτύλιο εκτίμησης  <math>R=\Z_{(p)}, </math> όπου <math>\Z_{(p)} </math> είναι ο εντοπισμός του <math>\Z </math> στο πρωταρχικό ιδεώδες <math>(p) </math>.  Η ομάδα αποτίμησης είναι οι προσθετικοί ακέραιοι <math>\Gamma = \Z.</math> Για έναν ακέραιο <math>a \in R= \Z,</math> η αποτίμηση ν<sub>''p''</sub>(''a'') m μετρά τη [[Διαιρετότητα αριθμών|διαιρετότητα]] του  ''a'' με δυνάμεις του ''p'':

:<math> \nu_p(a) = \max\{e \in \Z \mid p^e \text{ divides } a\};</math>

και για ένα κλάσμα, ν<sub>''p''</sub>(''a''/''b'') = ν<sub>''p''</sub>(''a'') &minus; ν<sub>''p''</sub>(''b'').

Γράφοντας αυτό πολλαπλασιαστικά προκύπτει το -adic η απόλυτη τιμή, η οποία συμβατικά έχει ως βάση <math>1/p = p^{-1}</math>, έτσι <math>|a|_p := p^{-\nu_p(a)}</math>.

Η ολοκλήρωση του  <math>\Q</math>  ως προς ν<sub>''p''</sub> είναι το [[Σώμα (άλγεβρα)|σώμα]] <math>\Q_p</math> των p-adic αριθμών.

===Τάξη φυγής===
Έστω K = **F**(x), οι ρητές συναρτήσεις στην αφινική ευθεία **X** = **F**<sup>1</sup>, και παίρνουμε ένα σημείο ''a'' &isin; X. Για ένα πολυώνυμο <math>f(x) = a_k (x{-}a)^k + a_{k+1}(x{-}a)^{k+1}+\cdots+ a_n(x{-}a)^n</math> με <math>a_k\neq 0</math>, ορίζουμε ''v''<sub>''a''</sub>(''f'') = k, την τάξη φυγής στο ''x'' = ''a''; και ''v''<sub>''a''</sub>(''f'' /''g'') = ''v''<sub>''a''</sub>(''f'') &minus; ''v''<sub>''a''</sub>(''g''). Τότε ο δακτύλιος εκτίμησης ''R'' αποτελείται από ρητές συναρτήσεις χωρίς πόλο στο ''x'' = ''a'', και η ολοκλήρωση είναι ο τυπικός δακτύλιος σειράς Λοράν **F**((''x''&minus;''a'')).  Αυτό μπορεί να γενικευτεί στο σώμα των σειρών Πουιζέ ''K**'t* (κλασματικές δυνάμεις), το σώμα Λεβί-Κιβίτα (η συμπλήρωσή του Κωσύ) και το σώμα των σειρών Χαν, με την αποτίμηση σε όλες τις περιπτώσεις να επιστρέφει τον μικρότερο εκθέτη του *t* που εμφανίζεται στη σειρά.

=== -adic εκτίμηση ===

Γενικεύοντας τα προηγούμενα παραδείγματα, έστω   ένα κύριο ιδεώδες πεδίο,  το [[σώμα κλασμάτων]] του και  ένα μη αναγώγιμο στοιχείο του .Αφού κάθε κύριο [[Ιδεώδες (μαθηματικά)|ιδεώδες]] πεδίο είναι ένα μοναδικό πεδίο παραγοντοποίησης, κάθε μη μηδενικό στοιχείο *α* του  μπορεί να γραφεί (ουσιαστικά) μοναδικά ως

:<math>a=\pi^{e_a}p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_n^{e_n}</math>

όπου τα *e* είναι μη αρνητικοί ακέραιοι και τα *pi*  είναι μη αναγώγιμα στοιχεία του  που δεν είναι προσεταιριστικοί του  . Ειδικότερα, ο [[Ακέραιος αριθμός|ακέραιος]] *ea* καθορίζεται μόνο από το *a*.

Η *'π-adic εκτίμηση του *K*** δίνεται τότε από τη σχέση 
*<math>v_\pi(0)=\infty</math>
*<math>v_\pi(a/b)=e_a-e_b,\text{ for }a,b\in R, a, b\neq0.</math>
Εάν π' είναι ένα άλλο μη αναγώγιμο στοιχείο του  τέτοιο ώστε (π')&nbsp;=&nbsp;(π) (δηλαδή, παράγουν το ίδιο ιδανικό στο ''R''), τότε η π-adic αποτίμηση και η π'-adic αποτίμηση είναι ίσες. Έτσι, η π-adic  αποτίμηση μπορεί να ονομαστεί ''P''-adic εκτίμηση, όπου ''P''&nbsp;=&nbsp;(π).

===P-adic εκτίμηση σε έναν χώρο Ντέντεκιντ===

Το προηγούμενο παράδειγμα μπορεί να γενικευτεί σε τομείς Ντέντεκιντ. Έστω  μια περιοχή Ντέντεκιντ  το [[σώμα κλασμάτων]] της και έστω ''P'' ένα μη μηδενικό πρώτο ιδεώδες του . Τότε, ο εντοπισμός του  στο P, που συμβολίζεται ''R<sub>P</sub>'' είναι μια περιοχή κύριων ιδεωδών της οποίας το σώμα κλασμάτων είναι το . Η κατασκευή της προηγούμενης ενότητας εφαρμοσμένη στο πρώτο ιδεώδες ''PR<sub>P</sub>'' του ''R<sub>P</sub>'' δίνει την **-adic  εκτίμηση του **.

==Διανυσματικοί χώροι πάνω από σώματα αποτίμησης==

Ας υποθέσουμε ότι  &cup; {0} είναι το [[σύνολο]] των μη αρνητικών [[Πραγματικός αριθμός|πραγματικών αριθμών]] υπό πολλαπλασιασμό. Τότε λέμε ότι η αποτίμηση είναι **μη διακριτή** αν το εύρος της (η ομάδα αποτίμησης) είναι άπειρο (και άρα έχει σημείο συσσώρευσης στο 0).

Ας υποθέσουμε ότι το ''X'' είναι ένας [[διανυσματικός χώρος]] πάνω από το ''K'' και ότι τα ''A'' και ''B'' είναι [[Υποσύνολο|υποσύνολα]] του ''X''. Τότε λέμε ότι ***Α* απορροφά το *Β***'' αν υπάρχει ένα ''α'' &isin; ''Κ'' τέτοιο ώστε ''λ'' &isin; ''Κ'' και ''|λ| ≥ |α|'' συνεπάγεται ότι ''Β ⊆ λ Α''. Το ''Α'' ονομάζεται ''ακτινωτό'' ή ''απορροφητικό'' αν το ''Α'' απορροφά κάθε πεπερασμένο υποσύνολο του ''Χ''. Τα ακτινικά υποσύνολα του ''X'' είναι αναλλοίωτα υπό πεπερασμένη τομή.  Επίσης, το ''A'' ονομάζεται ''κυκλικό'' αν ''λ'' στο ''K'' και ''|λ| ≥ |α|'' συνεπάγεται ''λ A ⊆ A''. Το σύνολο των κυκλωμένων υποσυνόλων του ''Λ'' είναι αναλλοίωτο κάτω από αυθαίρετες τομές. Το **κυκλικό περίβλημα** του ''Α'' είναι η τομή όλων των κυκλικών υποσυνόλων του ''Χ'' που περιέχουν το ''Α''.

Έστω ότι ''X'' και ''Y'' είναι [[Διανυσματικός χώρος|διανυσματικοί χώροι]] πάνω από ένα μη διακριτό σώμα αποτίμησης ''K'', έστω ''A ⊆ X'', ''B ⊆ Y'', και έστω ''f : X → Y'' είναι μια γραμμική απεικόνιση.  Αν το ''B'' είναι κυκλικό ή ακτινωτό τότε το ίδιο ισχύει και για το <math>f^{-1}(B)</math>. Αν το ''A'' είναι κυκλικό τότε και το ''f(A)'' αλλά αν το ''A'' είναι ακτινωτό τότε το ''f(A)'' θα είναι ακτινωτό υπό την πρόσθετη συνθήκη ότι το ''f'' είναι επιρριπτικό.

== Εξωτερικοί σύνδεσμοι ==
*[https://www.itia.ntua.gr/en/docinfo/1318/ English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics] Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*[https://www.mas.ucy.ac.cy/georgios/bookfiles/dict1.pdf Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου]
*[https://mathbooksgr.wordpress.com/wp-content/uploads/2012/02/mlexiko2012.pdf ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ] Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* [https://mtzoumas.mysch.gr/mtz/docs_and_apps/Didaskalia/bibl_kath_geom.pdf Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο]
* [https://www.didaktorika.gr/eadd/handle/10442/20405 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών]
* [https://repository.kallipos.gr/bitstream/11419/107/5/NumberTheory30Sep.pdf Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές]
* [https://repository.kallipos.gr/handle/11419/1045 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών]
* [https://thesis.ekt.gr/thesisBookReader/id/15362?lang=el#page/1/mode/2up Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες] Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* [https://www.didaktorika.gr/eadd/handle/10442/58427 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας] Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* [http://users.uoi.gr/brapt/stat/notes_chap_1.pdf  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή]
* [http://www.wolframalpha.com/calculators/integral-calculator/ Wolfram Mathematica Online Integrator]
* [https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/jres/73B/jresv73Bn1p1_A1b.pdf  A Table of Integrals of the Error Functions]

== Δείτε επίσης ==
* [[Απαγορευτική αρχή του Πάουλι]]
* [[Μορφοκλασματική διάσταση]]
* [[Ομοπαραλληλική γεωμετρία]]
* [[Αλγεβρική θεωρία αριθμών]]
* [[Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον]]
* [[Μοναδιαία βηματική συνάρτηση]]
* [[Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ]]
* [[Ευκλείδειος χώρος]]
* [[Υπερβολική γεωμετρία]]
* [[Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)]]
* [[Εφαρμοσμένα μαθηματικά]]
* [[Υπολογιστική ρευστοδυναμική]]
* [[Καμπυλότητα Γκάους]]
* [[Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων]]
* [[Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής]]
* [[Αλγεβρική γεωμετρία]]
* [[Σώμα διασπάσεως]]
* [[Συνήθης διαφορική εξίσωση]]
* [[Γραμμική απεικόνιση]]
* [[Νοεροί υπολογισμοί]]

== Βιβλιογραφία==
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

== Παραπομπές ==



*
*. A masterpiece on [[:en:algebra|algebra]] written by one of the leading contributors.
*Chapter VI of 
* 

*
*
*
*
*
*

*
*
*
*
*
*
*
*.   **English translation*' (of 2nd revised edition):  *(Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)*
*


== Πηγές ==
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* [[:en:Hans Freudenthal|Hans Freudenthal]]: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.'' Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα