Ατομικό τροχιακό

Στην κβαντική μηχανική, ένα ατομικό τροχιακό (Atomic orbital) είναι μια συνάρτηση που περιγράφει τη θέση και την κυματική συμπεριφορά της ύλης ενός ηλεκτρονίου σε ένα άτομο. Αυτή η συνάρτηση περιγράφει την κατανομή φορτίου ενός ηλεκτρονίου γύρω από τον πυρήνα του ατόμου και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της πιθανότητας εύρεσης ενός ηλεκτρονίου σε μια συγκεκριμένη περιοχή γύρω από τον πυρήνα.

Κάθε τροχιακό σε ένα άτομο χαρακτηρίζεται από ένα σύνολο τιμών τριών κβαντικών αριθμώνs ,  και , οι οποίες αντιστοιχούν αντίστοιχα στην ενέργεια ενός ηλεκτρονίου, στην τροχιακή στροφορμή και στην τροχιακή στροφορμή του που προβάλλεται κατά μήκος ενός επιλεγμένου άξονα (μαγνητικός κβαντικός αριθμός) Τα τροχιακά με έναν σαφώς καθορισμένο μαγνητικό κβαντικό αριθμό είναι γενικά μιγαδικά. Τα τροχιακά πραγματικών τιμών μπορούν να σχηματιστούν ως γραμμικοί συνδυασμοί τροχιακών  και  και επισημαίνονται συχνά χρησιμοποιώντας τα σχετικά αρμονικά πολυώνυμα (π.χ., *xy*, ) που περιγράφουν τη γωνιακή τους δομή.

Ένα τροχιακό μπορεί να καταλαμβάνεται από το πολύ δύο ηλεκτρόνια, το καθένα με την δική του προβολή σπιν m_s. Τα απλά ονόματα **s τροχιακό**, **p τροχιακό**, **d τροχιακό** και **f τροχιακό** αναφέρονται σε τροχιακά με κβαντικό αριθμό στροφορμής  και  αντίστοιχα. Αυτά τα ονόματα, μαζί με τις τιμές τους n, χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν ηλεκτρονική διαμόρφωση των ατόμων. Προέρχονται από την περιγραφή από πρώιμους φασματοσκοπιστές ορισμένων σειρών φασματοσκοπικών γραμμών αλκαλίων ως οξείων, κύριων, διάχυτων και θεμελιωδών. Τα τροχιακά για  συνεχίζονται αλφαβητικά (g, h, i, k, ...),, παραλείποντας&nbsp;το j επειδή ορισμένες γλώσσες δεν κάνουν διάκριση μεταξύ των γραμμάτων "i" και "j".

Τα ατομικά τροχιακά είναι βασικά δομικά στοιχεία του **ατομικού τροχιακού προτύπου** (ή προτύπου ηλεκτρονικού νέφους ή κυματικής μηχανικής), ενός σύγχρονου πλαισίου για την οπτικοποίηση της υπομικροσκοπικής συμπεριφοράς των ηλεκτρονίων στην ύλη. Σε αυτό το πρότυπο, το ηλεκτρονιακό νέφος ενός ατόμου μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελείται (κατά προσέγγιση) από μια ηλεκτρονική διαμόρφωση που είναι προϊόν απλούστερων ατομικών τροχιακών όμοιων με υδρογόνο. Η επαναλαμβανόμενη *περιοδικότητα* των μπλοκ των 2, 6, 10 και 14 στοιχείων εντός τμημάτων του περιοδικού πίνακα προκύπτει φυσικά από τον συνολικό αριθμό ηλεκτρονίων που καταλαμβάνουν ένα πλήρες σύνολο s, p, d και f τροχιακών, αντίστοιχα, αν και για υψηλότερες τιμές του κβαντικού αριθμού , ιδιαίτερα όταν το άτομο φέρει θετικό φορτίο, οι ενέργειες ορισμένων υποστοιβάδων γίνονται πολύ παρόμοιες και επομένως, η τάξη στην οποία λέγεται ότι κατοικούνται από ηλεκτρόνια (π.χ., Cr = [Ar]4s13d5 και Cr2+ = [Ar]3d4) μπορεί να αιτιολογηθεί μόνο κάπως αυθαίρετα.

## Ιδιότητες ηλεκτρονίων
Με την ανάπτυξη της κβαντομηχανικής και πειραματικών ευρημάτων (όπως η περίθλαση ηλεκτρονίων σε δύο σχισμές), διαπιστώθηκε ότι τα ηλεκτρόνια που περιστρέφονται γύρω από έναν πυρήνα δεν μπορούσαν να περιγραφούν πλήρως ως σωματίδια, αλλά έπρεπε να εξηγηθούν από τον κυματοσωμαδιακό δυϊσμό. Υπό αυτή την έννοια, τα ηλεκτρόνια έχουν τις ακόλουθες ιδιότητες:

**Κυματοειδείς ιδιότητες:**
# Τα ηλεκτρόνια δεν περιστρέφονται γύρω από έναν πυρήνα με τον τρόπο που ένας πλανήτης περιστρέφεται γύρω από ένα αστέρι, αλλά υπάρχουν ως στάσιμα κύματα. Έτσι, η χαμηλότερη δυνατή ενέργεια που μπορεί να πάρει ένα ηλεκτρόνιο είναι παρόμοια με τη θεμελιώδη συχνότητα ενός κύματος σε μια χορδή. Οι υψηλότερες ενεργειακές καταστάσεις είναι παρόμοιες με τις αρμονικές αυτής της θεμελιώδους συχνότητας.
# Τα ηλεκτρόνια δεν βρίσκονται ποτέ σε ένα μόνο σημείο, αν και η πιθανότητα αλληλεπίδρασης με το ηλεκτρόνιο σε ένα μόνο σημείο μπορεί να βρεθεί από την κυματοσυνάρτηση του ηλεκτρονίου. Το φορτίο του ηλεκτρονίου συμπεριφέρεται σαν να είναι διασκορπισμένο στο χώρο σε μια συνεχή κατανομή, ανάλογη σε οποιοδήποτε σημείο προς το τετράγωνο του μεγέθους της κυματοσυνάρτησης του ηλεκτρονίου.

**Σωματοειδείς ιδιότητες**
# Ο αριθμός των ηλεκτρονίων που περιστρέφονται γύρω από έναν πυρήνα μπορεί να είναι μόνο ακέραιος.
# Τα ηλεκτρόνια μεταπηδούν μεταξύ τροχιακών όπως τα σωματίδια. Για παράδειγμα, εάν ένα φωτόνιο χτυπήσει τα ηλεκτρόνια, μόνο ένα ηλεκτρόνιο αλλάζει κατάσταση ως αποτέλεσμα.
# Τα ηλεκτρόνια διατηρούν σωματοειδείς ιδιότητες όπως: κάθε κυματική κατάσταση έχει το ίδιο ηλεκτρικό φορτίο με το ηλεκτρόνιο σωματίδιό του. Κάθε κυματική κατάσταση έχει ένα μόνο διακριτό σπιν (σπιν προς τα πάνω ή σπιν προς τα κάτω) ανάλογα με την υπέρθεση της.

Έτσι, τα ηλεκτρόνια δεν μπορούν να περιγραφούν απλώς ως στερεά σωματίδια. Μια αναλογία θα μπορούσε να είναι αυτή μιας μεγάλης και συχνά περίεργου σχήματος *ατμόσφαιρας* (το ηλεκτρόνιο), κατανεμημένης γύρω από έναν σχετικά μικροσκοπικό πλανήτη (τον πυρήνα). Τα ατομικά τροχιακά περιγράφουν με ακρίβεια το σχήμα αυτής της *ατμόσφαιρας* μόνο όταν υπάρχει ένα ηλεκτρόνιο. Όταν προστίθενται περισσότερα ηλεκτρόνια, τα επιπλέον ηλεκτρόνια τείνουν να γεμίζουν πιο ομοιόμορφα έναν όγκο χώρου γύρω από τον πυρήνα, έτσι ώστε η προκύπτουσα συλλογή (*νέφος ηλεκτρονίων*) τείνει προς μια γενικά σφαιρική ζώνη πιθανότητας που περιγράφει τη θέση του ηλεκτρονίου, λόγω της αρχής της αβεβαιότητας.

Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι αυτές οι τροχιακές 'καταστάσεις', όπως περιγράφονται εδώ, είναι απλώς ιδιοκαταστάσεις (eigenstates) ενός ηλεκτρονίου στην τροχιά του. Ένα πραγματικό ηλεκτρόνιο υπάρχει σε μια υπέρθεση καταστάσεων, η οποία είναι σαν ένας σταθμισμένος μέσος όρος, αλλά με βάρη μιγαδικού αριθμού. Παραδείγματος χάρη, ένα ηλεκτρόνιο θα μπορούσε να βρίσκεται σε μια καθαρή ιδιοκατάσταση (2, 1, 0) ή σε μια μεικτή κατάσταση (2, 1, 0) +  i (2, 1, 1) ή ακόμα και στην μικτή κατάσταση (2, 1, 0) +  i (2, 1, 1). για κάθε ιδιοκατάσταση, μια ιδιότητα έχει μια ιδιοτιμή. Επομένως, για τις τρεις καταστάσεις που μόλις αναφέρθηκαν, η τιμή του n είναι 2 και η τιμή του l είναι 1. Για τη δεύτερη και την τρίτη κατάσταση, η τιμή για το m_l είναι μια υπέρθεση των 0 και 1. Ως υπέρθεση καταστάσεων, είναι ασαφής—είτε ακριβώς 0 είτε ακριβώς 1—όχι μια ενδιάμεση ή μέση τιμή όπως το κλάσμα . Μια υπέρθεση των ιδιοκαταστάσεων (2, 1, 1) και (3, 2, 1) θα είχε ένα ασαφές n και l, αλλά το m_l σίγουρα θα ήταν 1. Οι ιδιοκαταστάσεις διευκολύνουν την αντιμετώπιση των μαθηματικών. Μπορείτε να επιλέξετε μια διαφορετική βάση ιδιοκαταστάσεων, υπερθέτοντας ιδιοκαταστάσεις από οποιαδήποτε άλλη βάση (βλ. Πραγματικά τροχιακά παρακάτω).

### Τυπικός ορισμός της κβαντομηχανικής
Τα ατομικά τροχιακά μπορούν να οριστούν με μεγαλύτερη ακρίβεια στην επίσημη κβαντομηχανική γλώσσα. Είναι κατά προσέγγιση λύσεις της εξίσωσης Σρέντινγκερ για τα ηλεκτρόνια που συνδέονται με το άτομο από το ηλεκτρικό πεδίο του πυρήνα του ατόμου. (υγκεκριμένα, στην κβαντομηχανική, η κατάσταση ενός ατόμου, δηλαδή, μια ιδιοκατάσταση της ατομικής Χαμιλτονιανής, προσεγγίζεται από μια επέκταση (βλ. επέκταση αλληλεπίδραση διαμόρφωσης και σύνολο βάσεων) σε γραμμικούς συνδυασμούς αντισυμμετρικών γινομένων (ορίζουσες Slater) μονοηλεκτρονιακών συναρτήσεων. Τα χωρικά στοιχεία αυτών των μονοηλεκτρονιακών συναρτήσεων ονομάζονται ατομικά τροχιακά. (Όταν κάποιος λαμβάνει υπόψη και το στοιχείο σπιν τους, μιλάμε για **ατομικά τροχιακά σπιν**.) Μια κατάσταση είναι στην πραγματικότητα μια συνάρτηση των συντεταγμένων όλων των ηλεκτρονίων, έτσι ώστε η κίνησή τους να συσχετίζεται, αλλά αυτό συχνά προσεγγίζεται από αυτό το πρότυπο ανεξάρτητου σωματιδίου των γινομένων των κυματοσυναρτήσεων ενός ηλεκτρονίου. (Η δύναμη διασποράς London, παραδείγματος χάρη, εξαρτάται από τις συσχετίσεις της κίνησης των ηλεκτρονίων.) 
Στην ατομική φυσική, οι ατομικές φασματικές γραμμές αντιστοιχούν σε μεταβάσεις (κβαντικά άλματα) μεταξύ κβαντικών καταστάσεων ενός ατόμου. Αυτές οι καταστάσεις επισημαίνονται με ένα σύνολο κβαντικών αριθμών που συνοψίζονται στο σύμβολο όρου και σχετίζονται συνήθως με συγκεκριμένες ηλεκτρονικές διαμορφώσεις, δηλαδή, με σχήματα κατάληψης ατομικών τροχιακών (παραδείγματος χάρη, 1s22s2&nbsp;2p6 για τη θεμελιώδη κατάσταση του σύμβολου όρου νέον: 1S0).

Αυτή η σημειογραφία σημαίνει ότι οι αντίστοιχοι καθοριστικοί παράγοντες Slater έχουν σαφώς υψηλότερο βάρος στην επέκταση αλληλεπίδραση διαμόρφωσης. Η έννοια του ατομικού τροχιακού είναι επομένως μια βασική έννοια για την οπτικοποίηση της διαδικασίας διέγερσης που σχετίζεται με μια δεδομένη μετάπτωση. Για παράδειγμα, μπορεί κανείς να πει για μια δεδομένη μετάπτωση ότι αντιστοιχεί στη διέγερση ενός ηλεκτρονίου από ένα κατειλημμένο τροχιακό σε ένα δεδομένο μη κατειλημμένο τροχιακό. Παρ' όλα αυτά, πρέπει να έχουμε κατά νου ότι τα ηλεκτρόνια είναι φερμιόνια που διέπονται από την Απαγορευτική αρχή του Πάουλι και δεν μπορούν να διακριθούν μεταξύ τους. Επιπλέον, μερικές φορές συμβαίνει η επέκταση της αλληλεπίδρασης διαμόρφωσης να συγκλίνει πολύ αργά και να μην μπορεί κανείς να μιλήσει καθόλου για απλή κυματοσυνάρτηση με μία μόνο ορίζουσα. Αυτό συμβαίνει όταν η ηλεκτρονική συσχέτιση είναι μεγάλη.

Ουσιαστικά, ένα ατομικό τροχιακό είναι μια κυματοσυνάρτηση ενός ηλεκτρονίου, παρόλο που πολλά ηλεκτρόνια δεν βρίσκονται σε άτομα ενός ηλεκτρονίου, και έτσι η οπτική του ενός ηλεκτρονίου είναι μια προσέγγιση. Όταν σκεφτόμαστε τα τροχιακά, μας δίνεται συχνά μια τροχιακή απεικόνιση που επηρεάζεται σε μεγάλο βαθμό από την προσέγγιση Hartree-Fock, η οποία είναι ένας τρόπος για να μειωθούν οι πολυπλοκότητες της θεωρίας των μοριακών τροχιακών.

### Τύποι τροχιακών

Τα ατομικά τροχιακά μπορούν να είναι τα υδρογονοειδή "τροχιακά", τα οποία είναι ακριβείς λύσεις της εξίσωσης Schrödinger για ένα υδρογονοειδές άτομο (δηλαδή, άτομο με ένα ηλεκτρόνιο). Εναλλακτικά, τα ατομικά τροχιακά αναφέρονται σε συναρτήσεις που εξαρτώνται από τις συντεταγμένες ενός ηλεκτρονίου (δηλαδή, τροχιακά) αλλά χρησιμοποιούνται ως σημεία εκκίνησης για την προσέγγιση κυματοσυναρτήσεων που εξαρτώνται από τις ταυτόχρονες συντεταγμένες όλων των ηλεκτρονίων σε ένα άτομο ή μόριο. Τα συστήματα συντεταγμένων που επιλέγονται για τα τροχιακά είναι συνήθως σφαιρικές συντεταγμένες  στα άτομα και Καρτεσιανό  στα πολυατομικά μόρια. Το πλεονέκτημα των σφαιρικών συντεταγμένων εδώ είναι ότι μια τροχιακή κυματοσυνάρτηση είναι γινόμενο τριών παραγόντων, καθένας από τους οποίους εξαρτάται από μία μόνο συντεταγμένη: . Οι γωνιακοί παράγοντες των ατομικών τροχιακών  παράγουν συναρτήσεις s, p, d, κ.λπ. ως πραγματικούς συνδυασμούς των σφαιρικών αρμονικών  (όπου  και  είναι κβαντικοί αριθμοί). Υπάρχουν συνήθως τρεις μαθηματικές μορφές για τις ακτινικές συναρτήσεις&nbsp; οι οποίες μπορούν να επιλεγούν ως σημεία εκκίνησης για τον υπολογισμό των ιδιοτήτων των ατόμων και μορίων με πολλά ηλεκτρόνια:

# Τα *υδρογονοειδή τροχιακά* προέρχονται από τις ακριβείς λύσεις της εξίσωσης Schrödinger για ένα ηλεκτρόνιο και έναν πυρήνα, για ένα υδρογονοειδές άτομο. Το μέρος της συνάρτησης που εξαρτάται από την απόσταση *r* από τον πυρήνα έχει ακτινικούς κόμβους και διασπάται ως  e^{-\alpha r} .
# Το τροχιακό τύπου Slater (Slater-type orbital, STO) είναι μια μορφή χωρίς ακτινικούς κόμβους αλλά διασπάται από τον πυρήνα όπως κάνει ένα υδρογονοειδές τροχιακό.
# Η μορφή του τροχιακού τύπου Γκάους δεν έχει ακτινικούς κόμβους και διασπάται ως  e^{-\alpha r^2} .

Αν και τα υδρογονοειδή τροχιακά εξακολουθούν να χρησιμοποιούνται ως παιδαγωγικά εργαλεία, η έλευση των υπολογιστών έχει καταστήσει τα STO προτιμότερα για άτομα και διατομικά μόρια, καθώς συνδυασμοί STO μπορούν να αντικαταστήσουν τους κόμβους σε υδρογονοειδή τροχιακά. Οι μέθοδοι Γκάους χρησιμοποιούνται συνήθως σε μόρια με τρία ή περισσότερα άτομα. Αν και δεν είναι τόσο ακριβείς από μόνες τους όσο οι STO, οι συνδυασμοί πολλών Γκαουσιανών μπορούν να επιτύχουν την ακρίβεια των υδρογονοειδών τροχιακών.

## Ιστορικό

Ο όρος *τροχιακός* εισήχθη από τον Ρόμπερτ Μιούλικεν το 1932 ως συντομογραφία του *τροχιακή κυματοσυνάρτηση ενός ηλεκτρονίου*.  Ο Νιλς Μπορ εξήγησε γύρω στο 1913 ότι τα ηλεκτρόνια μπορεί να περιστρέφονται γύρω από έναν συμπαγή πυρήνα με καθορισμένη στροφορμή. Το πρότυπο του Μπορ ήταν μια βελτίωση των εξηγήσεων του Έρνεστ Ράδερφορντ του 1911, εκείνης του ηλεκτρονίου που κινείται γύρω από έναν πυρήνα. Ο Ιάπωνας φυσικός Χαντάρο Ναγκαόκα δημοσίευσε μια υπόθεση βασισμένη σε τροχιά για τη συμπεριφορά των ηλεκτρονίων ήδη από το 1904. Αυτές οι θεωρίες βασίστηκαν σε νέες παρατηρήσεις, ξεκινώντας με απλή κατανόηση και καθιστώντας τες πιο σωστές και σύνθετες. Η εξήγηση της συμπεριφοράς αυτών των *τροχιών* των ηλεκτρονίων ήταν μια από τις κινητήριες δυνάμεις πίσω από την ανάπτυξη της κβαντομηχανικής.

### Πρώιμα πρότυπα
Με την ανακάλυψη του ηλεκτρονίου από τον Τζόζεφ Τζον Τόμσον το 1897, έγινε σαφές ότι τα άτομα δεν ήταν τα οι μικρότερες δομικές μονάδες της φύσης, αλλά μάλλον σύνθετα σωματίδια. Η πρόσφατα ανακαλυφθείσα δομή μέσα στα άτομα έβαλε σε πειρασμό πολλούς να φανταστούν πώς τα συστατικά μέρη του ατόμου θα μπορούσαν να αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Ο Thomson διατύπωσε τη θεωρία ότι πολλά ηλεκτρόνια περιστρέφονται σε τροχιοσιδείς δακτυλίους μέσα σε μια θετικά φορτισμένη γελοειδή ουσία, και μεταξύ της ανακάλυψης του ηλεκτρονίου και του 1909, αυτό το "ατομικό μοντέλο του σταφιδόψωμου" ήταν η πιο ευρέως αποδεκτή εξήγηση της ατομικής δομής.

Λίγο μετά την ανακάλυψη του Thomson, ο Χαντάρο Ναγκαόκα προέβλεψε ένα διαφορετικό μοντέλο για την ηλεκτρονική δομή.. Σε αντίθεση με το πρότυπο του σταφιδόψωμου, το θετικό φορτίο στο *Κρόνιο πρότυπο* του Nagaoka συγκεντρώθηκε σε έναν κεντρικό πυρήνα, τραβώντας τα ηλεκτρόνια σε κυκλικές τροχιές που θυμίζουν τους δακτυλίους του Κρόνου. Λίγοι άνθρωποι έδωσαν προσοχή στο έργο του Nagaoka εκείνη την εποχή, και ο ίδιος ο Ναγκαόκα αναγνώρισε ένα θεμελιώδες ελάττωμα στη θεωρία ήδη από τη σύλληψή της, δηλαδή ότι ένα κλασικό φορτισμένο αντικείμενο δεν μπορεί να διατηρήσει τροχιακή κίνηση επειδή επιταχύνεται και επομένως χάνει ενέργεια λόγω ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας. Παρ 'όλα αυτά, το Χαντάρο Ναγκαόκα#Κρόνιο μοντέλο του ατόμου αποδείχθηκε ότι είχε περισσότερα κοινά με τη σύγχρονη θεωρία από οποιοδήποτε άλλο από τα σύγχρονά του. 
### Άτομο Μπορ
Το 1909, ο Έρνεστ Ράδερφορντ ανακάλυψε ότι το μεγαλύτερο μέρος της ατομικής μάζας ήταν σφιχτά συμπυκνωμένο σε έναν πυρήνα, ο οποίος βρέθηκε επίσης θετικά φορτισμένος. Από την ανάλυσή του το 1911 κατέστη σαφές ότι το πρότυπο του σταφιδόψωμου δεν μπορούσε να εξηγήσει την ατομική δομή. Το 1913, ο μεταδιδακτορικός φοιτητής του Ράδερφορντ, Νιλς Μπορ, πρότεινε ένα νέο πρότυπο του ατόμου, όπου τα ηλεκτρόνια περιστρέφονταν γύρω από τον πυρήνα με κλασικές περιόδους, αλλά επιτρεπόταν να έχουν μόνο διακριτές τιμές στροφορμής, κβαντισμένες σε μονάδες ħ. Αυτός ο περιορισμός επέτρεπε αυτόματα μόνο ορισμένες ενέργειες ηλεκτρονίων. Το ατομικό πρότυπο του Μπορ έλυσε το πρόβλημα της απώλειας ενέργειας από ακτινοβολία από μια θεμελιώδη κατάσταση (δηλώνοντας ότι δεν υπήρχε κατάσταση κάτω από αυτήν) και, το πιο σημαντικό, εξήγησε την προέλευση των φασματικών γραμμών.

Μετά την εξήγηση του φωτοηλεκτρικού φαινομένου από τον Μπορ για να συσχετίσει τα επίπεδα ενέργειας στα άτομα με το μήκος κύματος του εκπεμπόμενου φωτός, η σύνδεση μεταξύ της δομής των ηλεκτρονίων στα άτομα και των φασμάτων εκπομπής και απορρόφησης των ατόμων έγινε ένα ολοένα και πιο χρήσιμο εργαλείο στην κατανόηση των ηλεκτρονίων στα άτομα. Το πιο σημαντικό χαρακτηριστικό των φασμάτων εκπομπής και απορρόφησης (γνωστά πειραματικά από τα μέσα του 19ου αιώνα) ήταν ότι αυτά τα ατομικά φάσματα περιείχαν διακριτές γραμμές. Η σημασία του προτύπου Μπορ ήταν ότι συσχέτιζε τις γραμμές στα φάσματα εκπομπής και απορρόφησης με τις ενεργειακές διαφορές μεταξύ των τροχιών που μπορούσαν να πάρουν τα ηλεκτρόνια γύρω από ένα άτομο. Αυτό, ωστόσο, *δεν* επιτεύχθηκε από τον Μπορ δίνοντας στα ηλεκτρόνια κάποιο είδος κυματοειδών ιδιοτήτων, καθώς η ιδέα ότι τα ηλεκτρόνια μπορούσαν να συμπεριφέρονται ως κύματα ύλης δεν προτάθηκε παρά έντεκα χρόνια αργότερα. Παρόλα αυτά, η χρήση κβαντισμένων στροφορμών και, επομένως, κβαντισμένων ενεργειακών επιπέδων από το πρότυπο Μπορ ήταν ένα σημαντικό βήμα προς την κατανόηση των ηλεκτρονίων στα άτομα, και επίσης ένα σημαντικό βήμα προς την ανάπτυξη της κβαντομηχανικής, υποδεικνύοντας ότι οι κβαντισμένοι περιορισμοί πρέπει να λαμβάνουν υπόψη όλα τα ασυνεχή ενεργειακά επίπεδα και φάσματα στα άτομα.

Με την πρόταση του Λουί ντε Μπρέιγ για την ύπαρξη ηλεκτρονικών κυμάτων ύλης το 1924, και για ένα μικρό χρονικό διάστημα πριν από την πλήρη επεξεργασία των υδρογονοειδών ατόμων στην εξίσωση Σρέντιγκερ το 1926, ένα *μήκος κύματος* ηλεκτρονίου Μπορ μπορούσε να θεωρηθεί ως συνάρτηση της ορμής του. Έτσι, ένα ηλεκτρόνιο Μπορ σε τροχιά θεωρήθηκε ότι περιστρέφεται σε κύκλο σε πολλαπλάσιο του μισού μήκους κύματος του. Το πρότυπο του Μπορ για ένα μικρό χρονικό διάστημα μπορούσε να θεωρηθεί ως ένα κλασικό μοντέλο με έναν πρόσθετο περιορισμό που παρέχεται από το όρισμα του 'μήκους κύματος'. Ωστόσο, αυτή η περίοδος αντικαταστάθηκε αμέσως από την πλήρη τρισδιάστατη κυματομηχανική του 1926. Στην τρέχουσα κατανόηση της φυσικής μας, το πρότυπο Μπορ ονομάζεται ημικλασικό πρότυπο λόγω της κβάντισης της στροφορμής του, όχι κυρίως λόγω της σχέσης του με το μήκος κύματος του ηλεκτρονίου, η οποία εμφανίστηκε εκ των υστέρων δώδεκα χρόνια μετά την πρόταση του προτύπου Μπορ.

Το πρότυπο Μπορ ήταν σε θέση να εξηγήσει τα φάσματα εκπομπής και απορρόφησης του υδρογόνου. Οι ενέργειες των ηλεκτρονίων στις καταστάσεις *n*&nbsp;= &nbsp;1, 2, 3, κ.λπ. στο πρότυπο Μπορ ταιριάζουν με εκείνες της σύγχρονης φυσικής. Ωστόσο, αυτό δεν εξήγησε τις ομοιότητες μεταξύ διαφορετικών ατόμων, όπως εκφράζονται από τον περιοδικό πίνακα, όπως το γεγονός ότι το ήλιο (δύο ηλεκτρόνια), το νέον (10 ηλεκτρόνια) και το αργό (18 ηλεκτρόνια) παρουσιάζουν παρόμοια χημική αδράνεια. Η σύγχρονη κβαντική μηχανική το εξηγεί αυτό με βάση τις ηλεκτρονικές στοιβάδες και τις υποστοιβάδες, οι οποίες μπορούν να περιέχουν η καθεμία έναν αριθμό ηλεκτρονίων που καθορίζεται από την απαγορευτική αρχή του Πάουλι. Έτσι, η κατάσταση *n*&nbsp;= &nbsp;1 μπορεί να περιέχει ένα ή δύο ηλεκτρόνια, ενώ η κατάσταση *n*&nbsp;= 2 μπορεί να περιέχει έως και οκτώ ηλεκτρόνια σε υποστοιβάδες 2s και 2p. Στο ήλιο, όλες οι καταστάσεις *n*&nbsp;=&nbsp;1 είναι πλήρως κατειλημμένες. Το ίδιο ισχύει και για τις υποστοιβάδες *n* &nbsp;=&nbsp;1 και *n* = 2 στο νέον. Στο αργό, οι υποστοιβάδες 3s και 3p είναι ομοίως πλήρως κατειλημμένες από οκτώ ηλεκτρόνια. Η κβαντομηχανική επιτρέπει επίσης μια τρισδιάστατη υποστοιβάδα, αλλά αυτή έχει υψηλότερη ενέργεια από τις 3s και 3p στο αργό (σε αντίθεση με την κατάσταση για το υδρογόνο) και παραμένει κενή.

### Σύγχρονες αντιλήψεις και συνδέσεις με την αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg
Αμέσως μετά την ανακάλυψη της αρχής της αβεβαιότητας από τον Βέρνερ Χάιζενμπεργκ, ο Νιλς Μπορ σημείωσε ότι η ύπαρξη οποιουδήποτε είδους κυματοπακέτου υποδηλώνει αβεβαιότητα στη συχνότητα του κύματος και το μήκος κύματος, καθώς απαιτείται μια διασπορά συχνοτήτων για τη δημιουργία του ίδιου του πακέτου. Στην κβαντομηχανική, όπου όλες οι ορμές των σωματιδίων σχετίζονται με κύματα, ο σχηματισμός ενός τέτοιου κυματοπακέτου είναι αυτός που εντοπίζει το κύμα, και επομένως το σωματίδιο, στο χώρο. Σε καταστάσεις όπου ένα κβαντομηχανικό σωματίδιο είναι δεσμευμένο, πρέπει να εντοπιστεί ως κυματοπακέτο, και η ύπαρξη του πακέτου και του ελάχιστου μεγέθους του υποδηλώνει μια εξάπλωση και μια ελάχιστη τιμή στο μήκος κύματος του σωματιδίου, και επομένως και στην ορμή και την ενέργεια. Στην κβαντομηχανική, καθώς ένα σωματίδιο εντοπίζεται σε μια μικρότερη περιοχή στο χώρο, το σχετικό συμπιεσμένο πακέτο κύματος απαιτεί ένα όλο και μεγαλύτερο εύρος ορμής, και επομένως μεγαλύτερη κινητική ενέργεια. Έτσι, η ενέργεια σύνδεσης για να συγκρατήσει ή να παγιδεύσει ένα σωματίδιο σε μια μικρότερη περιοχή του χώρου αυξάνεται χωρίς περιορισμό καθώς η περιοχή του χώρου μικραίνει. Τα σωματίδια δεν μπορούν να περιοριστούν σε ένα γεωμετρικό σημείο στο χώρο, καθώς αυτό θα απαιτούσε άπειρη ορμή σωματιδίου.

Στη χημεία, οι Έρβιν Σρέντινγκερ, Λάινους Πόλινγκ, Ρόμπερτ Μιούλικεν και άλλοι σημείωσαν ότι η συνέπεια της σχέσης του Heisenberg ήταν ότι το ηλεκτρόνιο, ως πακέτο κύματος, δεν μπορούσε να θεωρηθεί ότι έχει μια ακριβή θέση στο τροχιακό του. Ο Μαξ Μπορν πρότεινε ότι η θέση του ηλεκτρονίου έπρεπε να περιγραφεί από μια κατανομή πιθανότητας η οποία συνδεόταν με την εύρεση του ηλεκτρονίου σε κάποιο σημείο της κυματοσυνάρτησης που περιέγραφε το σχετικό πακέτο κύματος. Η νέα κβαντομηχανική δεν έδωσε ακριβή αποτελέσματα, αλλά μόνο τις πιθανότητες για την εμφάνιση μιας ποικιλίας πιθανών τέτοιων αποτελεσμάτων. Ο Χάιζενμπεργκ υποστήριξε ότι η τροχιά ενός κινούμενου σωματιδίου δεν έχει νόημα εάν δεν μπορούμε να την παρατηρήσουμε, όπως δεν μπορούμε με τα ηλεκτρόνια σε ένα άτομο.

Στην κβαντική εικόνα των Heisenberg, Schrödinger και άλλων, ο αριθμός ατόμου Μπορ *n* για κάθε τροχιακό έγινε γνωστός ως *n-σφαίρα* σε ένα τρισδιάστατο άτομο και απεικονίστηκε ως η πιο πιθανή ενέργεια του νέφους πιθανοτήτων του κυματοπακέτου του ηλεκτρονίου που περιέβαλλε το άτομο.

## Τροχιακά ονόματα
### Τροχιακή σημειογραφία και υποστοιβάδες
Στα τροχιακά έχουν δοθεί ονόματα, τα οποία συνήθως δίνονται με τη μορφή:
:X \, \mathrm{type} \ 
όπου *X* είναι το ενεργειακό επίπεδο που αντιστοιχεί στον κύριο κβαντικό αριθμό ,•ο **τύπος** είναι ένα πεζό γράμμα (στα αγγλικά) που υποδηλώνει το σχήμα ή την υποστοιβάδα του τροχιακού, που αντιστοιχεί στον αζιμουθιακό κβαντικό αριθμό .

Παραδείγματος χάρη, το τροχιακό 1s (προφέρεται ως οι μεμονωμένοι αριθμοί και γράμματα) είναι το χαμηλότερο ενεργειακό επίπεδο () και έχει γωνιακό κβαντικό αριθμό , που συμβολίζεται ως s. Τα τροχιακά με  συμβολίζονται ως p, d και f αντίστοιχα.

Το σύνολο των τροχιακών για ένα δεδομένο n και  ονομάζεται *υποστοιβάδα*, και συμβολίζεται με
:X \, \mathrm{type}^y \ .
Ο εκθέτης y δείχνει τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην υποστοιβάδα. Για παράδειγμα, η ημειογραφία 2p4 υποδεικνύει ότι η υποστοιβάδα 2p ενός ατόμου περιέχει 4 ηλεκτρόνια. Αυτή η υποστοιβάδα έχει 3 τροχιακά, καθένα με n = 2 και  = 1.

### Σημειογραφία ακτίνων Χ
Υπάρχει επίσης ένα άλλο, λιγότερο συνηθισμένο σύστημα που χρησιμοποιείται ακόμα στην επιστήμη των ακτίνων Χ, γνωστό ως Σημειογραφία ακτίνων Χ, το οποίο αποτελεί συνέχεια των σημειώσεων που χρησιμοποιούνταν πριν γίνει πλήρως κατανοητή η τροχιακή θεωρία. Σε αυτό το σύστημα, στον κύριο κβαντικό αριθμό δίνεται ένα γράμμα που σχετίζεται με αυτόν. Για , τα γράμματα που σχετίζονται με αυτούς τους αριθμούς είναι K, L, M, N, O, ... αντίστοιχα.

## Υδρογονοειδή τροχιακά

Τα απλούστερα ατομικά τροχιακά είναι αυτά που υπολογίζονται για συστήματα με ένα μόνο ηλεκτρόνιο, όπως το άτομο του υδρογόνου. Ένα άτομο οποιουδήποτε άλλου ιονισμένου στοιχείου  που έχει περιοριστεί σε ένα μόνο ηλεκτρόνιο (He+, Li2+, κ.λπ.) είναι πολύ παρόμοιο με το υδρογόνο και τα τροχιακά έχουν την ίδια μορφή. Στην εξίσωση Σρέντιγκερ για αυτό το σύστημα ενός αρνητικού και ενός θετικού σωματιδίου, τα ατομικά τροχιακά είναι οι ιδιοκαταστάσεις του Χαμιλτονιανού τελεστή για την ενέργεια. Μπορούν να ληφθούν αναλυτικά, που σημαίνει ότι τα προκύπτοντα τροχιακά είναι γινόμενα μιας πολυωνυμικής σειράς, και εκθετικής και τριγωνομετρικών συναρτήσεων).

Για άτομα με δύο ή περισσότερα ηλεκτρόνια, οι κυρίαρχες εξισώσεις μπορούν να λυθούν μόνο με τη χρήση μεθόδων επαναληπτικής προσέγγισης. Τα τροχιακά των ατόμων με πολλά ηλεκτρόνια είναι *ποιοτικά* παρόμοια με αυτά του υδρογόνου και, στα απλούστερα πρότυπα, θεωρείται ότι έχουν την ίδια μορφή. Για πιο αυστηρή και ακριβή ανάλυση, πρέπει να χρησιμοποιηθούν αριθμητικές προσεγγίσεις.

Ένα δεδομένο υδρογονοειδές ατομικό τροχιακό αναγνωρίζεται από μοναδικές τιμές τριών κβαντικών αριθμών: ,  και . Οι κανόνες που περιορίζουν τις τιμές των κβαντικών αριθμών και τις ενέργειές τους (βλ. παρακάτω), εξηγούν τη διαμόρφωση ηλεκτρονίων των ατόμων και τον περιοδικό πίνακα.

Οι στάσιμες καταστάσεις (κβαντικές καταστάσεις) ενός υδρογονοειδούς ατόμου είναι τα ατομικά του τροχιακά. Ωστόσο, γενικά, η συμπεριφορά ενός ηλεκτρονίου δεν περιγράφεται πλήρως από ένα μόνο τροχιακό. Οι ηλεκτρονιακές καταστάσεις αναπαρίστανται καλύτερα από χρονικά εξαρτώμενα "μείγματα" (γραμμικοί συνδυασμοί) πολλών τροχιακών.

Ο κβαντικός αριθμός  εμφανίστηκε για πρώτη φορά στο πρότυπο Μπορ όπου καθορίζει την ακτίνα κάθε κυκλικής τροχιάς ηλεκτρονίων. Στη σύγχρονη κβαντομηχανική, ωστόσο, το  καθορίζει τη μέση απόσταση του ηλεκτρονίου από τον πυρήνα. Όλα τα ηλεκτρόνια με την ίδια τιμή *n* βρίσκονται στην ίδια μέση απόσταση. Για αυτόν τον λόγο, τα τροχιακά με την ίδια τιμή *n* λέγεται ότι αποτελούν μια "στοιβάδα". Τα τροχιακά με την ίδια τιμή *n* και επίσης την ίδια τιμή&nbsp; είναι ακόμη πιο στενά συνδεδεμένα και λέγεται ότι αποτελούν μια "υποστοιβάδα".

## Κβαντικοί αριθμοί

Λόγω της κβαντομηχανικής φύσης των ηλεκτρονίων γύρω από έναν πυρήνα, τα ατομικά τροχιακά μπορούν να οριστούν μοναδικά από ένα σύνολο ακεραίων αριθμών γνωστών ως κβαντικοί αριθμοί. Αυτοί οι κβαντικοί αριθμοί εμφανίζονται μόνο σε ορισμένους συνδυασμούς τιμών και η φυσική τους ερμηνεία αλλάζει ανάλογα με το εάν χρησιμοποιούνται πραγματικές ή μιγαδικές εκδοχές των ατομικών τροχιακών.

### Σύνθετα τροχιακά

Στη φυσική, οι πιο συνηθισμένες περιγραφές τροχιακών βασίζονται στις λύσεις του ατόμου του υδρογόνου, όπου τα τροχιακά δίνονται από το γινόμενο μεταξύ μιας ακτινικής συνάρτησης και μιας καθαρής σφαιρικής αρμονικής. Οι κβαντικοί αριθμοί, μαζί με τους κανόνες που διέπουν τις πιθανές τιμές τους, έχουν ως εξής:

Ο κύριος κβαντικός αριθμός  περιγράφει την ενέργεια του ηλεκτρονίου και είναι πάντα ένας θετικός ακέραιος. Στην πραγματικότητα, μπορεί να είναι οποιοσδήποτε θετικός ακέραιος, αλλά για λόγους που συζητούνται παρακάτω, σπάνια συναντώνται μεγάλοι αριθμοί. Κάθε άτομο έχει, γενικά, πολλά τροχιακά που σχετίζονται με κάθε τιμή του *n*. Αυτά τα τροχιακά μαζί ονομάζονται μερικές φορές *[[ηλεκτρονιακή στιβάδα|ηλεκτρονικοί φλοιοί]]*.
Ο αζιμουθιακός κβαντικός αριθμός  περιγράφει την τροχιακή στροφορμή κάθε ηλεκτρονίου και είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος. Μέσα σε μια στοιβάδα όπου  υπάρχει κάποιος ακέραιος , το  που κυμαίνεται σε όλες τις (ακέραιες) τιμές που ικανοποιούν τη σχέση 0 \le \ell \le n_0-1. Παραδείγματος χάρη, η  έχει μόνο τροχιακά με \ell=0, και η &nbsp;φλοιός έχει μόνο τροχιακά με \ell=0, και \ell=1. Το σύνολο των τροχιακών που σχετίζονται με μια συγκεκριμένη τιμή του  μερικές φορές ονομάζεται συλλογικά *υποφλοιός ή υποστοιβάδα*.

Ο μαγνητικός κβαντικός αριθμός, m_\ell, περιγράφει την προβολή της τροχιακής στροφορμής κατά μήκος ενός επιλεγμένου άξονα. Καθορίζει το μέγεθος του ρεύματος που κυκλοφορεί γύρω από αυτόν τον άξονα και την τροχιακή συμβολή στη μαγνητική ροπή ενός ηλεκτρονίουμέσω του προτύπου Αμπεριανού βρόχου. Μέσα σε ένα υποφλοιό \ell, το m_\ell λαμβάνει τις ακέραιες τιμές στην περιοχή -\ell \le m_\ell \le \ell .

Τα παραπάνω αποτελέσματα μπορούν να συνοψιστούν στον ακόλουθο πίνακα. Κάθε κελί αντιπροσωπεύει ένα υποφλοιό και παραθέτει τις τιμές του m_\ell που είναι διαθέσιμες σε αυτό το υποφλοιό. Τα κενά κελιά αντιπροσωπεύουν υποφλοιούς που δεν υπάρχουν.

Οι υποφλοιοί αναγνωρίζονται συνήθως από τις τιμές n- και \ell. Το n αντιπροσωπεύεται από την αριθμητική του τιμή, αλλά το \ell αντιπροσωπεύεται από ένα γράμμα ως εξής: Το 0 αντιπροσωπεύεται από 's', το 1 από 'p', το 2 από 'd', το 3 από 'f' και το 4 από 'g'. Παραδείγματος χάρη, κάποιος μπορεί να περιγράψει τον υποφλοιό με n=2 και \ell=0 ως 'υποφλοιό 2s'.

Κάθε ηλεκτρόνιο έχει επίσης στροφορμή με τη μορφή κβαντομηχανικό σπιν που δίνεται από το σπιν *s* = . Η προβολή του κατά μήκος ενός καθορισμένου άξονα δίνεται από τον μαγνητικό κβαντικό αριθμό σπιν, *m<sub>s</sub>*, ο οποίος μπορεί να είναι + ή −. Αυτές οι τιμές ονομάζονται επίσης πάνω ιδιοστροφορμή (spin up) ή κάτω ιδιοστροφορμή (spin down) αντίστοιχα.

Η απαγορευτική αρχή του Πάουλι δηλώνει ότι δύο ηλεκτρόνια σε ένα άτομο δεν μπορούν να έχουν τις ίδιες τιμές και για τους τέσσερις κβαντικούς αριθμούς. Εάν υπάρχουν δύο ηλεκτρόνια σε ένα τροχιακό με δεδομένες τιμές για τρεις κβαντικούς αριθμούς, (, , ), αυτά τα δύο ηλεκτρόνια πρέπει να διαφέρουν στην προβολή των σπιν τους *m<sub>s</sub>*.

Οι παραπάνω συμβάσεις υποδηλώνουν έναν προτιμώμενο άξονα (για παράδειγμα, την κατεύθυνση *z* σε καρτεσιανές συντεταγμένες) και υποδηλώνουν επίσης μια προτιμώμενη κατεύθυνση κατά μήκος αυτού του προτιμώμενου άξονα. Διαφορετικά, δεν θα είχε νόημα να διακρίνουμε το  από το . Ως εκ τούτου, το πρότυπο είναι πιο χρήσιμο όταν εφαρμόζεται σε φυσικά συστήματα που μοιράζονται αυτές τις συμμετρίες. Το πείραμα Stern-Gerlachόπου ένα άτομο εκτίθεται σε ένα μαγνητικό πεδίοπαρέχει ένα τέτοιο παράδειγμα.

### Πραγματικά τροχιακά

Αντί για τα σύνθετα τροχιακά που περιγράφονται παραπάνω, είναι σύνηθες, ειδικά στη χημική βιβλιογραφία, να χρησιμοποιούνται τα *πραγματικά* ατομικά τροχιακά. Αυτά τα πραγματικά τροχιακά προκύπτουν από απλούς γραμμικούς συνδυασμούς σύνθετων τροχιακών. Χρησιμοποιώντας τη Σύμβαση φάσης Condon–Shortley, τα πραγματικά τροχιακά σχετίζονται με τα σύνθετα τροχιακά με τον ίδιο τρόπο που οι πραγματικές σφαιρικές αρμονικές σχετίζονται με τις σύνθετες σφαιρικές αρμονικές. Έχοντας ως \psi_{n,\ell, m} ένα μιγαδικό τροχιακό με κβαντικούς αριθμούς , , και , τα πραγματικά τροχιακά \psi_{n, \ell, m}^{\text{πραγματικό}} μπορούν να οριστούν από

\begin{align}
  \psi_{n,\ell, m}^{\text{real}} &= \begin{cases}
    \sqrt{2} (-1)^m \text{Im}\left\{\psi_{n,\ell,|m|}\right\} &\text{ για } m0
  \end{cases} \\[4pt]
  &= \begin{cases}
    \frac{i}{\sqrt{2}}\left(\psi_{n,\ell, -|m|} - (-1)^m \psi_{n,\ell, |m|}\right) & \text{ για } m0
  \end{cases}
\end{align}

If \psi_{n,\ell, m}(r, \theta, \phi) = R_{nl}(r) Y_{\ell}^m(\theta, \phi), με R_{nl}(r) το ακτινικό μέρος του τροχιακού, αυτός ο ορισμός είναι ισοδύναμος με \psi_{n,\ell, m}^{\text{real}}(r, \theta, \phi) = R_{nl}(r) Y_{\ell m}(\theta, \phi) όπου Y_{\ell m} είναι η πραγματική σφαιρική αρμονική που σχετίζεται είτε με το πραγματικό είτε με το φανταστικό μέρος της μιγαδικής σφαιρικής αρμονικής; Y_{\ell}^m.

Οι πραγματικές σφαιρικές αρμονικές είναι φυσικά σημαντικές όταν ένα άτομο είναι ενσωματωμένο σε ένα κρυσταλλικό στερεό, οπότε υπάρχουν πολλοί προτιμώμενοι άξονες συμμετρίας, αλλά καμία μία προτιμώμενη κατεύθυνση. Τα πραγματικά ατομικά τροχιακά συναντώνται επίσης συχνότερα σε εισαγωγικά εγχειρίδια χημείας και εμφανίζονται σε κοινές απεικονίσεις τροχιακών. Σε πραγματικά υδρογονοειδή τροχιακά, οι κβαντικοί αριθμοί  και  έχουν την ίδια ερμηνεία και σημασία με τους μιγαδικούς αντίστοιχους αριθμούς τους, αλλά ο  δεν είναι πλέον ένας καλός κβαντικός αριθμός (αλλά η απόλυτη τιμή του είναι).

Σε ορισμένα πραγματικά τροχιακά δίνονται συγκεκριμένα ονόματα πέρα από τον απλό χαρακτηρισμό \psi_{n, \ell, m}. Τα τροχιακά με κβαντικό αριθμό  ονομάζονται τροχιακά . Με αυτό μπορεί κανείς ήδη να εκχωρήσει ονόματα σε μιγαδικά τροχιακά όπως 2\text{p}_{\pm 1} = \psi_{2, 1, \pm 1}. το πρώτο σύμβολο είναι ο κβαντικός αριθμός , ο δεύτερος χαρακτήρας είναι το σύμβολο για αυτόν τον συγκεκριμένο κβαντικό αριθμό  και ο δείκτης είναι ο κβαντικός αριθμός .

Ως παράδειγμα του πώς παράγονται τα πλήρη ονόματα των τροχιακών για πραγματικά τροχιακά, μπορεί κανείς να υπολογίσει \psi_{n, 1, \pm 1}^{\text{πραγματικό}}. Από τον πίνακας σφαιρικών αρμονικών, \psi_{n, 1, \pm1} = R_{n, 1}Y_1^{\pm 1} = \mp R_{n, 1} \sqrt{3/8\pi} \cdot (x\pm i y)/r με r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}. Τότε

\begin{align}
  \psi_{n, 1, +1}^\text{real} &= R_{n, 1} \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \cdot \frac{x}{r}\\
  \psi_{n, 1, -1}^\text{real} &= R_{n, 1} \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \cdot \frac{y}{r}
\end{align}

Παρόμοια \psi_{n, 1, 0} = R_{n, 1} \sqrt{3/4\pi} \cdot z/r. Ως ένα πιο περίπλοκο παράδειγμα:


\psi_{n, 3, +1}^\text{πραγματικό} = R_{n, 3} \frac{1}{4} \sqrt{\frac{21}{2\pi}} \cdot \frac{x\cdot (5z^2 - r^2)}{r^3}


Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις, δημιουργούμε μια καρτεσιανή ετικέτα για το τροχιακό εξετάζοντας και συντομεύοντας το πολυώνυμο στο  που εμφανίζεται στον αριθμητή. Αγνοούμε τυχόν όρους στο πολυώνυμο  εκτός από τον όρο με τον υψηλότερο εκθέτη στο .
Στη συνέχεια, χρησιμοποιούμε το συντομευμένο πολυώνυμο ως ετικέτα δείκτη για την ατομική κατάσταση, χρησιμοποιώντας την ίδια ονοματολογία όπως παραπάνω για να υποδείξουμε τους κβαντικούς αριθμούς n και \ell.


\begin{align}
  \psi_{n, 1, -1}^\text{πραγματικό} &= n\text{p}_y = \frac{i}{\sqrt{2}} \left(n\text{p}_{-1} + n\text{p}_{+1}\right)\\
  \psi_{n, 1, 0}^\text{πραγματικό} &= n\text{p}_z = 2\text{p}_0\\
  \psi_{n, 1, +1}^\text{πραγματικό} &= n\text{p}_x = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(n\text{p}_{-1} - n\text{p}_{+1}\right)\\
  \psi_{n, 3, +1}^\text{πραγματικό} &= nf_{xz^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(nf_{-1} - nf_{+1}\right)
\end{align}


Η παραπάνω έκφραση χρησιμοποιεί τη σύμβαση φάσης Condon–Shortley, η οποία προτιμάται από τους κβαντικούς φυσικούς. Υπάρχουν και άλλες συμβάσεις για τη φάση των σφαιρικών αρμονικών. Σύμφωνα με αυτές τις διαφορετικές συμβάσεις, τα τροχιακά \text{p}_x και \text{p}_y μπορούν να εμφανιστούν, για παράδειγμα, ως το άθροισμα και η διαφορά των \text{p}_{+1} και \text{p}_{-1}, αντίθετα με ό,τι φαίνεται παραπάνω.

Παρακάτω είναι ένας κατάλογος με αυτά τα καρτεσιανά πολυωνυμικά ονόματα για τα ατομικά τροχιακά. Δεν φαίνεται να υπάρχει αναφορά στη βιβλιογραφία σχετικά με τον τρόπο συντομογραφίας των μακρών καρτεσιανών σφαιρικών αρμονικών πολυωνύμων για το \ell>3, επομένως δεν φαίνεται να υπάρχει συναίνεση για την ονομασία των τροχιακών g ή υψηλότερων σύμφωνα με αυτήν την ονοματολογία.

## Σχήματα τροχιακών

Οι απλές εικόνες που δείχνουν σχήματα τροχιακών στοχεύουν στην περιγραφή των γωνιακών μορφών των περιοχών στο χώρο όπου είναι πιθανό να βρεθούν τα ηλεκτρόνια που καταλαμβάνουν το τροχιακό. Τα διαγράμματα δεν μπορούν να δείξουν ολόκληρη την περιοχή όπου μπορεί να βρεθεί ένα ηλεκτρόνιο, καθώς σύμφωνα με την κβαντομηχανική υπάρχει μη μηδενική πιθανότητα να βρεθεί το ηλεκτρόνιο (σχεδόν) οπουδήποτε στο χώρο. Αντίθετα, τα διαγράμματα είναι κατά προσέγγιση αναπαραστάσεις οριακών ή επιφανειών περιγράμματος όπου η πυκνότητα πιθανότητας  έχει μια σταθερή τιμή, που επιλέγεται έτσι ώστε να υπάρχει μια ορισμένη πιθανότητα (για παράδειγμα 90%) εύρεσης του ηλεκτρονίου εντός του περιγράμματος. Αν και το  ως το τετράγωνο μιας απόλυτης τιμής είναι παντού μη αρνητικό, το πρόσημο της κυματοσυνάρτησης  υποδεικνύεται συχνά σε κάθε υποπεριοχή της τροχιακής εικόνας.
Μερικές φορές η συνάρτηση  απεικονίζεται γραφικά για να δείξει τις φάσεις της, αντί για την  η οποία δείχνει πυκνότητα πιθανότητας αλλά δεν έχει φάση (η οποία χάνεται όταν λαμβάνεται απόλυτη τιμή, αφού η  είναι ένας μιγαδικός αριθμός). Τα τροχιακά γραφήματα  τείνουν να έχουν λιγότερο σφαιρικούς, λεπτότερους λοβούς από τα γραφήματα , αλλά έχουν τον ίδιο αριθμό λοβών στις ίδιες θέσεις και κατά τα άλλα είναι αναγνωρίσιμα. Αυτό το άρθρο, για να δείξει τη φάση της κυματοσυνάρτησης, δείχνει κυρίως γραφήματα .

Οι λοβοί μπορούν να θεωρηθούν ως μοτίβα συμβολής στάσιμου κύματος μεταξύ των δύο αντίθετα περιστρεφόμενων συντονισμένων δακτυλίων οδεύοντος κύματος καταστάσεων Η προβολή του τροχιακού στο επίπεδο xy έχει ένα συντονισμένο μήκος κύματος  γύρω από την περιφέρεια. Αν και σπάνια εμφανίζονται, οι λύσεις των οδευόντων κυμάτων μπορούν να θεωρηθούν ως περιστρεφόμενοι ζωνωτοί δακτύλιοι. Οι ζώνες αντιπροσωπεύουν πληροφορίες φάσης. Για κάθε  υπάρχουν δύο λύσεις στάσιμων κυμάτων  και . Εάν , το τροχιακό είναι κατακόρυφο, οι πληροφορίες αντίστροφης περιστροφής είναι άγνωστες και το τροχιακό είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα z. Εάν  δεν υπάρχουν τρόποι αντίστροφης περιστροφής. Υπάρχουν μόνο ακτινικοί τρόποι και το σχήμα είναι σφαιρικά συμμετρικό.

Τα *κομβικά επίπεδα* και οι *κομβικές σφαίρες* είναι επιφάνειες στις οποίες η πυκνότητα πιθανότητας μηδενίζεται. Ο αριθμός των κομβικών επιφανειών ελέγχεται από τους κβαντικούς αριθμούς  και . Ένα τροχιακό με αζιμουθιακό κβαντικό αριθμό  έχει  ακτινικά κομβικά επίπεδα που διέρχονται από την αρχή των αξόνων. Παραδείγματος χάρη, τα s τροχιακά () είναι σφαιρικά συμμετρικά και δεν έχουν κομβικά επίπεδα, ενώ τα p τροχιακά () έχουν ένα μόνο κομβικό επίπεδο μεταξύ των λοβών. Ο αριθμός των κομβικών σφαιρών ισούται με , σύμφωνα με τον περιορισμό  στους κβαντικούς αριθμούς. Ο κύριος κβαντικός αριθμός ελέγχει τον συνολικό αριθμό των κομβικών επιφανειών, ο οποίος είναι . Μιλώντας χαλαρά,  είναι η ενέργεια,  είναι ανάλογο με την εκκεντρότητα και  είναι ο προσανατολισμός.

Γενικά, το  καθορίζει το μέγεθος και την ενέργεια του τροχιακού για έναν δεδομένο πυρήνα. Καθώς το  αυξάνεται, το μέγεθος του τροχιακού αυξάνεται. Το υψηλότερο πυρηνικό φορτίο  των βαρύτερων στοιχείων προκαλεί τη συρρίκνωση των τροχιακών τους σε σύγκριση με τα ελαφρύτερα, έτσι ώστε το μέγεθος του ατόμου να παραμένει σχεδόν σταθερό, ακόμη και καθώς αυξάνεται ο αριθμός των ηλεκτρονίων.

Επίσης, σε γενικές γραμμές, το  καθορίζει το σχήμα ενός τροχιακού και το  τον προσανατολισμό του. Ωστόσο, επειδή ορισμένα τροχιακά περιγράφονται από εξισώσεις με μιγαδικούς αριθμούς, το σχήμα μερικές φορές εξαρτάται και από το . Μαζί, ολόκληρο το σύνολο των τροχιακών για ένα δεδομένο  και  γεμίζει τον χώρο όσο το δυνατόν πιο συμμετρικά, αν και με ολοένα και πιο πολύπλοκα σύνολα λοβών και κόμβων.

Τα μεμονωμένα s τροχιακά (\ell=0) έχουν σφαιροειδές σχήμα. Για  είναι περίπου μια συμπαγής μπάλα (πυκνότερη στο κέντρο και εξασθένιση προς τα έξω εκθετικά), αλλά για , κάθε μεμονωμένο s τροχιακό αποτελείται από σφαιρικά συμμετρικές επιφάνειες που είναι ένθετοι φλοιοί (δηλαδή, η "κυματοδομή" είναι ακτινική, ακολουθώντας επίσης μια ημιτονοειδή ακτινική συνιστώσα Δείτε την απεικόνιση μιας διατομής αυτών των ένθετων φλοιών, στα δεξιά. Τα τροχιακά s για όλους τους αριθμούς  είναι τα μόνα τροχιακά με έναν αντικόμβο (μια περιοχή υψηλής πυκνότητας κυματοσυνάρτησης) στο κέντρο του πυρήνα. Όλα τα άλλα τροχιακά (p, d, f, κ.λπ.) έχουν στροφορμή και έτσι αποφεύγουν τον πυρήνα (έχοντας έναν κόμβο κύματος *στον* πυρήνα). Πρόσφατα, έχει γίνει μια προσπάθεια πειραματικής απεικόνισης των τροχιακών 1s και 2p σε έναν κρύσταλλο SrTiO33 χρησιμοποιώντας μικροσκοπία ηλεκτρονικής μετάδοσης σάρωσης με διασπορά ενέργειας φασματοσκοπίας ακτίνων Χ. Επειδή η απεικόνιση πραγματοποιήθηκε χρησιμοποιώντας δέσμη ηλεκτρονίων, η αλληλεπίδραση δέσμης Κουλόμπ-τροχιάς, η οποία συχνά ονομάζεται φαινόμενο παραμέτρου πρόσκρουσης, περιλαμβάνεται στο αποτέλεσμα (δείτε το σχήμα στα δεξιά).

Τα σχήματα των τροχιακών p, d και f περιγράφονται λεκτικά εδώ και παρουσιάζονται γραφικά στον "πίνακα τροχιακών" παρακάτω. Τα τρία p τροχιακά για  έχουν τη μορφή δύο ελλειψοειδών με ένα σημείο επαφής στον πυρήνα (το σχήμα των δύο λοβών αναφέρεται μερικές φορές ως "αλτήρας"—υπάρχουν δύο λοβοί που δείχνουν σε αντίθετες κατευθύνσεις ο ένας από τον άλλον). Τα τρία p τροχιακά σε κάθε στοιβάδα είναι προσανατολισμένα σε ορθή γωνία μεταξύ τους, όπως καθορίζεται από τον αντίστοιχο γραμμικό συνδυασμό τιμών των&nbsp;. Το συνολικό αποτέλεσμα είναι ένας λοβός που δείχνει κατά μήκος κάθε κατεύθυνσης των πρωτευόντων αξόνων.

Τέσσερα από τα πέντε d τροχιακά για το  μοιάζουν, το καθένα με τέσσερις λοβούς σε σχήμα αχλαδιού, με κάθε λοβό να εφάπτεται σε ορθή γωνία με δύο άλλους, και τα κέντρα και των τεσσάρων να βρίσκονται σε ένα επίπεδο. Τρία από αυτά τα επίπεδα είναι τα xy-, xz- και yz- επίπεδα—οι λοβοί βρίσκονται μεταξύ των ζευγών των πρωτευόντων αξόνων—και το τέταρτο έχει το κέντρο κατά μήκος των ίδιων των αξόνων x και y. Το πέμπτο και τελευταίο d τροχιακό αποτελείται από τρεις περιοχές υψηλής πυκνότητας πιθανότητας: έναν τόρο ανάμεσα σε δύο περιοχές σε σχήμα αχλαδιού τοποθετημένες συμμετρικά στον άξονά του z. Το ολικό σύνολο των 18 κατευθυντικών λοβών δείχνει προς κάθε κατεύθυνση του πρωτεύοντος άξονα και μεταξύ κάθε ζεύγους.

Υπάρχουν επτά f τροχιακά, το καθένα με σχήματα πιο σύνθετα από αυτά των d τροχιακών.

Επιπλέον, όπως συμβαίνει με τα s τροχιακά, τα μεμονωμένα τροχιακά p, d, f και g με τιμές  υψηλότερες από τη χαμηλότερη δυνατή τιμή, εμφανίζουν μια πρόσθετη ακτινική δομή κόμβου που θυμίζει αρμονικά κύματα του ίδιου τύπου, σε σύγκριση με την κατώτερη (ή θεμελιώδη) κατάσταση του κύματος. Όπως και με τα s τροχιακά, αυτό το φαινόμενο παρέχει τροχιακά p, d, f και g στην επόμενη υψηλότερη δυνατή τιμή του  (για παράδειγμα, τροχιακά 3p έναντι του θεμελιώδους 2p), έναν επιπλέον κόμβο σε κάθε λοβό. Ακόμα υψηλότερες τιμές του  αυξάνουν περαιτέρω τον αριθμό των ακτινικών κόμβων, για κάθε τύπο τροχιακού.

Τα σχήματα των ατομικών τροχιακών σε ένα άτομο ενός ηλεκτρονίου σχετίζονται με τρισδιάστατες σφαιρικές αρμονικές. Αυτά τα σχήματα δεν είναι μοναδικά και οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός είναι έγκυρος, όπως ένας μετασχηματισμός σε κυβικές αρμονικές. Στην πραγματικότητα, είναι δυνατό να δημιουργηθούν σύνολα όπου όλα τα d έχουν το ίδιο σχήμα, όπως ακριβώς τα  και  έχουν το ίδιο σχήμα.

Αν και τα μεμονωμένα τροχιακά εμφανίζονται συχνότερα ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, τα τροχιακά συνυπάρχουν γύρω από τον πυρήνα ταυτόχρονα. Επίσης, το 1927, ο Albrecht Unsöld απέδειξε ότι αν αθροίσουμε την πυκνότητα ηλεκτρονίων όλων των τροχιακών ενός συγκεκριμένου αζιμουθιακού κβαντικού αριθμού  της ίδιας στoιβάδας  (π.χ., και τα τρία 2p τροχιακά ή και τα πέντε τρισδιάστατα τροχιακά) όπου κάθε τροχιακό καταλαμβάνεται από ένα ηλεκτρόνιο, ή το καθένα καταλαμβάνεται από ένα ζεύγος ηλεκτρονίων, τότε κάθε γωνιακή εξάρτηση εξαφανίζεται. Δηλαδή, η συνολική πυκνότητα όλων των ατομικών τροχιακών σε αυτήν την υποστoιβάδα (αυτά με το ίδιο ) που προκύπτει είναι σφαιρική. Αυτό είναι γνωστό ως Θεώρημα Unsöld.

### Πίνακας τροχιακών
Αυτός ο πίνακας δείχνει τις πραγματικές υδρογονοειδείς κυματοσυναρτήσεις για όλα τα ατομικά τροχιακά έως και 7s, και επομένως καλύπτει τα κατειλημμένα τροχιακά στην θεμελιώδη κατάσταση όλων των στοιχείων του περιοδικού πίνακα έως το ράδιο και ορισμένα πέραν αυτού. Τα γραφήματα "ψ" εμφανίζονται με τις φάσεις **−**' και **+**' κυματοσυνάρτησης να εμφανίζονται σε δύο διαφορετικά χρώματα (αυθαίρετα κόκκινο και μπλε). Το τροχιακό  είναι το ίδιο με το τροχιακό , αλλά τα  και  σχηματίζονται λαμβάνοντας γραμμικούς συνδυασμούς των τροχιακών  και  (γι' αυτό και παρατίθενται κάτω από την ετικέτα ). Επίσης, τα  και  δεν έχουν το ίδιο σχήμα με το , καθώς είναι καθαρές σφαιρικές αρμονικές.

 *Δεν έχουν ανακαλυφθεί ακόμη στοιχεία με ηλεκτρόνια 6f, 7d ή 7f*.

† *Έχουν ανακαλυφθεί στοιχεία με 7p ηλεκτρόνια, αλλά οι [[ηλεκτρονική δομή|ηλεκτρονικές δομές]] τους μόνο προβλέπεται – εκτός από το εξαιρετικό [[λωρένσιο|Lr]], το οποίο γεμίζει 7p<sup>1</sup> αντί για 6d<sup>1</sup>.*

‡ Για τα στοιχεία των οποίων το υψηλότερο κατειλημμένο τροχιακό είναι ένα 6d τροχιακό, έχουν επιβεβαιωθεί μόνο ορισμένες ηλεκτρονικές δομές*.(Τα [[Μαϊτνέριο|Mt]], [[Νταρμστάντιο|Ds]], [[Ρεντγκένιο|Rg]] και [[Κοπερνίκιο|Cn]] εξακολουθούν να λείπουν).

Αυτά είναι τα τροχιακά πραγματικών τιμών που χρησιμοποιούνται συνήθως στη χημεία. Μόνο τα τροχιακά <math>m = 0</math> είναι οι ιδιοκαταστάσεις του τελεστή τροχιακής στροφορμής, <math>\hat L_z</math>. Οι στήλες με <math>m = \pm 1, \pm 2,\cdots</math> είναι συνδυασμοί δύο ιδιοκαταστάσεων.Δείτε [[:File:Atomic orbitals spdf m-eigenstates and superpositions.png|σύγκριση στην παρακάτω εικόνα]]: 

=== Ποιοτική κατανόηση των σχημάτων ===
Τα σχήματα των ατομικών τροχιακών μπορούν να γίνουν ποιοτικά κατανοητά εξετάζοντας την ανάλογη περίπτωση των στάσιμων κυμάτων σε ένα κυκλικό τύμπανο. Για να γίνει κατανοητή η αναλογία, η μέση δονητική μετατόπιση κάθε τμήματος της μεμβράνης του τυμπάνου από το σημείο ισορροπίας σε πολλούς κύκλους (ένα μέτρο της μέσης ταχύτητας και της ορμής της μεμβράνης του τυμπάνου σε αυτό το σημείο) πρέπει να ληφθεί υπόψη σε σχέση με την απόσταση αυτού του σημείου από το κέντρο της κεφαλής του τυμπάνου. Εάν αυτή η μετατόπιση θεωρηθεί ανάλογη με την πιθανότητα εύρεσης ενός ηλεκτρονίου σε δεδομένη απόσταση από τον πυρήνα, τότε θα φανεί ότι οι πολλές καταστάσεις του δονούμενου δίσκου σχηματίζουν μοτίβα που εντοπίζουν τα διάφορα σχήματα των ατομικών τροχιακών. Ο βασικός λόγος για αυτήν την αντιστοιχία έγκειται στο γεγονός ότι η κατανομή της κινητικής ενέργειας και της ορμής σε ένα υλικό κύμα είναι προβλέψιμη για το πού θα βρίσκεται το σωματίδιο που σχετίζεται με το κύμα. Δηλαδή, η πιθανότητα εύρεσης ενός ηλεκτρονίου σε μια δεδομένη θέση είναι επίσης συνάρτηση της μέσης ορμής του ηλεκτρονίου σε αυτό το σημείο, καθώς η υψηλή ορμή ηλεκτρονίου σε μια δεδομένη θέση τείνει να "εντοπίζει" το ηλεκτρόνιο σε αυτήν τη θέση, μέσω των ιδιοτήτων των πακέτων κύματος ηλεκτρονίων (βλ. [[Αρχή της απροσδιοριστίας]] για λεπτομέρειες του μηχανισμού).

Αυτή η σχέση σημαίνει ότι ορισμένα βασικά χαρακτηριστικά μπορούν να παρατηρηθούν τόσο στις καταστάσεις της μεμβράνης του τυμπάνου όσο και στα ατομικά τροχιακά. Για παράδειγμα, σε όλες τις καταστάσεις ανάλογες με τα τροχιακά *'s** (η πάνω σειρά στην παρακάτω κινούμενη εικόνα), μπορεί να φανεί ότι το ίδιο το κέντρο της μεμβράνης του τυμπάνου δονείται πιο έντονα, αντιστοιχώντας στον αντικόμβο σε όλα τα τροχιακά **s** σε ένα άτομο. Αυτός ο αντικόμβος σημαίνει ότι το ηλεκτρόνιο είναι πιο πιθανό να βρίσκεται στη φυσική θέση του πυρήνα (από τον οποίο διέρχεται κατευθείαν χωρίς να τον σκεδάζει ή να τον χτυπά), καθώς κινείται (κατά μέσο όρο) πιο γρήγορα σε αυτό το σημείο, δίνοντάς του μέγιστη ορμή.

Μια νοητική εικόνα ''πλανητικής τροχιάς'' που πλησιάζει περισσότερο στη συμπεριφορά των ηλεκτρονίων σε τροχιακά, τα οποία όλα δεν έχουν στροφορμή, θα μπορούσε ίσως να είναι αυτή μιας [[Η τροχιά του Κέπλερ|Κεπλεριανής τροχιάς]] με τροχιακή εκκεντρότητα 1, αλλά με πεπερασμένο κύριο άξονα, κάτι που δεν είναι φυσικά εφικτό (επειδή τα [[σωματίδιο|σωματίδια]] θα συγκρούονταν), αλλά μπορεί να φανταστεί κανείς ως ένα [[όριο (μαθηματικά)|όριο]] τροχιών με ίσους κύριους άξονες αλλά αυξανόμενη εκκεντρότητα.

Παρακάτω, παρουσιάζονται διάφοροι τρόποι ταλάντωσης της μεμβράνης του τυμπάνου και οι αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις του ατόμου υδρογόνου. Μπορεί να θεωρηθεί μια αντιστοιχία όπου οι κυματοσυναρτήσεις μιας δονούμενης κεφαλής τυμπάνου είναι για ένα σύστημα δύο συντεταγμένων  και οι κυματοσυναρτήσεις για μια δονούμενη σφαίρα είναι τριών συντεταγμένων .

<gallery mode="nolines" perrow="3" widths="200px" caption="Καταστάσεις τυμπάνων τύπου S και κυματοσυναρτήσεις">
File:Drum vibration mode01.gif|Κατάσταση τυμπάνου <math>u_{01}</math>
File:Drum vibration mode02.gif| Κατάσταση τυμπάνου <math>u_{02}</math>
File:Drum vibration mode03.gif| Κατάσταση τυμπάνου <math>u_{03}</math>
File:Phi 1s.gif|Κυματοσυνάρτηση τροχιακού 1s (πραγματικό μέρος, δισδιάστατη τομή, <math>r_\mathrm{max}=2 a_0</math>)
File:Phi 2s.gif| Κυματοσυνάρτηση τροχιακού 2s (πραγματικό μέρος, δισδιάστατη τομή, <math>r_\mathrm{max}=10 a_0</math>)
File:Phi 3s.gif| Κυματοσυνάρτηση τροχιακού 3s (πραγματικό μέρος, δισδιάστατη τομή, <math>r_\mathrm{max}=20 a_0</math>)
</gallery>

Κανένα από τα άλλα σύνολα καταστάσεων σε μια μεμβράνη τυμπάνου δεν έχει κεντρικό αντικόμβο, και σε όλα αυτά το κέντρο του τυμπάνου δεν κινείται. Αυτά αντιστοιχούν σε έναν κόμβο στον πυρήνα για όλα τα τροχιακά που δεν είναι **s** σε ένα άτομο. Αυτά τα τροχιακά έχουν όλα κάποια στροφορμή, και στο πλανητικό πρότυπο, αντιστοιχούν σε σωματίδια σε τροχιά με εκκεντρότητα μικρότερη από 1,0, έτσι ώστε να μην περνούν κατευθείαν από το κέντρο του πρωτεύοντος σώματος, αλλά να παραμένουν κάπως μακριά από αυτό.

Επιπλέον, οι τρόποι λειτουργίας τυμπάνου ανάλογοι με τους τρόπους **p** και **d** σε ένα άτομο εμφανίζουν χωρική ανωμαλία κατά μήκος των διαφορετικών ακτινικών κατευθύνσεων από το κέντρο του τυμπάνου, ενώ όλοι οι τρόποι λειτουργίας ανάλογοι με τους τρόπους **s** είναι τέλεια συμμετρικοί στην ακτινική κατεύθυνση. Οι ιδιότητες μη ακτινικής συμμετρίας των μη **s** τροχιακών είναι απαραίτητες για τον εντοπισμό ενός σωματιδίου με στροφορμή και κυματοειδή φύση σε ένα τροχιακό όπου πρέπει να τείνει να παραμένει μακριά από την κεντρική ελκτική δύναμη, καθώς οποιοδήποτε σωματίδιο εντοπισμένο στο σημείο κεντρικής έλξης θα μπορούσε να μην έχει στροφορμή. Για αυτούς τους τρόπους, τα κύματα στην κεφαλή του τυμπάνου τείνουν να αποφεύγουν το κεντρικό σημείο. Τέτοια χαρακτηριστικά τονίζουν για άλλη μια φορά ότι τα σχήματα των ατομικών τροχιακών είναι άμεση συνέπεια της κυματικής φύσης των ηλεκτρονίων.

<gallery mode="nolines" perrow="3" widths="200px" caption="καταστάσεις τυμπάνων τύπου p και κυματοσυναρτήσεις">
File:Drum vibration mode11.gif|Κατάσταση τυμπάνου <math>u_{11}</math>
File:Drum vibration mode12.gif|Κατάσταση τυμπάνου <math>u_{12}</math>
File:Drum vibration mode13.gif|Κατάσταση τυμπάνου <math>u_{13}</math>
File:Phi 2p.gif| Κυματοσυνάρτηση τροχιακού 2p (πραγματικό μέρος, δισδιάστατη τομή, <math>r_\mathrm{max}=10 a_0</math>)
File:Phi 3p.gif| Κυματοσυνάρτηση τροχιακού 3p (πραγματικό μέρος, δισδιάστατη τομή, <math>r_\mathrm{max}=20 a_0</math>)
File:Phi 4p.gif| Κυματοσυνάρτηση τροχιακού 4p (πραγματικό μέρος, δισδιάστατη τομή, <math>r_\mathrm{max}=25 a_0</math>)
</gallery>

<gallery mode="nolines" perrow="3" widths="200px" caption="καταστάσεις τυμπάνου τύπου d">
File:Drum vibration mode21.gif|Κατάσταση τυμπάνου <math>u_{21}</math> 
File:Drum vibration mode22.gif|Κατάσταση τυμπάνου <math>u_{22}</math>
File:Drum vibration mode23.gif|Κατάσταση τυμπάνου <math>u_{23}</math>
</gallery>

== Τροχιακή ενέργεια ==
Σε άτομα με ένα ηλεκτρόνιο άτομο υδρογονοειδούς ατόμου, η ενέργεια ενός τροχιακού (και, κατά συνέπεια, οποιουδήποτε ηλεκτρονίου στο τροχιακό) καθορίζεται κυρίως από το <math>n</math>. Το τροχιακό <math>n=1</math> έχει τη χαμηλότερη δυνατή ενέργεια στο άτομο. Κάθε διαδοχικά υψηλότερη τιμή του <math>n</math> έχει υψηλότερη ενέργεια, αλλά η διαφορά μειώνεται καθώς το <math>n</math> αυξάνεται. Για υψηλό <math>n</math>, η ενέργεια γίνεται τόσο υψηλή που το ηλεκτρόνιο μπορεί εύκολα να διαφύγει από το άτομο. Σε άτομα ενός ηλεκτρονίου, όλα τα επίπεδα με διαφορετικό <math>\ell</math> εντός ενός δεδομένου <math>n</math> εκφυλίζονται στην προσέγγιση Σρέντιγκερ και έχουν την ίδια ενέργεια. Αυτή η προσέγγιση διαταράσσεται ελαφρώς στη λύση της εξίσωσης Dirac (όπου η ενέργεια εξαρτάται από το  και έναν άλλο κβαντικό αριθμό ), και από την επίδραση του μαγνητικού πεδίου του πυρήνα και των φαινομένων [[κβαντική ηλεκτροδυναμική|κβαντικής ηλεκτροδυναμικής]]. Τα τελευταία προκαλούν μικροσκοπικές διαφορές στην ενέργεια σύνδεσης, ειδικά για ηλεκτρόνια **s** που πλησιάζουν τον πυρήνα, καθώς αυτά αισθάνονται ένα πολύ ελαφρώς διαφορετικό πυρηνικό φορτίο, ακόμη και σε άτομα ενός ηλεκτρονίου.

Σε άτομα με πολλά ηλεκτρόνια, η ενέργεια ενός ηλεκτρονίου εξαρτάται όχι μόνο από το τροχιακό του, αλλά και από τις αλληλεπιδράσεις του με άλλα ηλεκτρόνια. Αυτές οι αλληλεπιδράσεις εξαρτώνται από τη λεπτομέρεια της χωρικής κατανομής πιθανοτήτων του, και έτσι τα ενεργειακά επίπεδα των τροχιακών εξαρτώνται όχι μόνο από το <math>n</math> αλλά και από το <math>\ell</math>. Υψηλότερες τιμές του <math>\ell</math> σχετίζονται με υψηλότερες τιμές ενέργειας. Για παράδειγμα, η κατάσταση 2p είναι υψηλότερη από την κατάσταση 2s. Όταν <math>\ell = 2</math>, η αύξηση της ενέργειας του τροχιακού γίνεται τόσο μεγάλη που ωθεί την ενέργεια του τροχιακού πάνω από την ενέργεια του τροχιακού s στην επόμενη υψηλότερη στοιβάδα. Όταν <math>\ell = 3</math> η ενέργεια ωθείται στη στοιβάδα δύο βήματα υψηλότερα. Η πλήρωση των 3d τροχιακών δεν συμβαίνει μέχρι να συμπληρωθούν τα 4s τροχιακά, και η πλήρωση των 4f τροχιακών δεν συμβαίνει πλήρως μέχρι να συμπληρωθούν τα 6s τροχιακά.

Η αύξηση της ενέργειας για υποστοιβάδες αυξανόμενης στροφορμής σε μεγαλύτερα άτομα οφείλεται σε φαινόμενα αλληλεπίδρασης ηλεκτρονίου-ηλεκτρονίου και σχετίζεται συγκεκριμένα με την ικανότητα των ηλεκτρονίων χαμηλής στροφορμής να διεισδύουν πιο αποτελεσματικά προς τον πυρήνα, όπου υπόκεινται σε μικρότερη θωράκιση από το φορτίο των παρεμβαλλόμενων ηλεκτρονίων. Έτσι, σε άτομα με υψηλότερο ατομικό αριθμό, το <math>\ell</math> των ηλεκτρονίων καθίσταται ολοένα και περισσότερο καθοριστικός παράγοντας στην ενέργειά τους, και οι κύριοι κβαντικοί αριθμοί <math>n</math> των ηλεκτρονίων καθίστανται ολοένα και λιγότερο σημαντικοί στην ενεργειακή τους τοποθέτηση.

The number in the cell is the subshell's position in the sequence. Η ενεργειακή ακολουθία των πρώτων 35 υποστοιβάδα (π.χ., 1s, 2p, 3d, κ.λπ.) δίνεται στον ακόλουθο πίνακα. Κάθε κελί αντιπροσωπεύει μια υποστοιβάδα με τα <math>n</math> και <math>\ell</math> να δίνονται από τους δείκτες γραμμών και στηλών της, αντίστοιχα. Ο αριθμός στο κελί είναι η θέση της υποστοιβάδας στην ακολουθία. Για μια γραμμική καταγραφή των υποστοιβάδων με βάση τις αυξανόμενες ενέργειες σε άτομα πολλαπλών ηλεκτρονίων, ανατρέξτε στην παρακάτω ενότητα.



''Σημείωση'': τα κενά κελιά υποδεικνύουν ανύπαρκτα υποεπίπεδα, ενώ οι αριθμοί με πλάγια γραφή υποδεικνύουν υποεπίπεδα που θα μπορούσαν (ενδεχομένως) να υπάρχουν, αλλά τα οποία δεν περιέχουν ηλεκτρόνια σε κανένα στοιχείο που είναι γνωστό αυτήν τη στιγμή.''

== Τοποθέτηση ηλεκτρονίων και ο περιοδικός πίνακας ==




Αρκετοί κανόνες διέπουν την τοποθέτηση των ηλεκτρονίων σε τροχιακά (''[[ηλεκτρονική δομή]]''). Ο πρώτος υπαγορεύει ότι δύο ηλεκτρόνια σε ένα άτομο δεν μπορούν να έχουν το ίδιο σύνολο τιμών κβαντικών αριθμών (αυτή είναι η [[Απαγορευτική αρχή του Πάουλι]]). Αυτοί οι κβαντικοί αριθμοί περιλαμβάνουν τους τρεις που ορίζουν τα τροχιακά, καθώς και τον μαγνητικό κβαντικό αριθμό του σπιν . Έτσι, δύο ηλεκτρόνια μπορούν να καταλαμβάνουν ένα μόνο τροχιακό, εφόσον έχουν διαφορετικές τιμές του . Επειδή το  λαμβάνει μία από τις δύο μόνο τιμές ( ή −), το πολύ δύο ηλεκτρόνια μπορούν να καταλαμβάνουν κάθε τροχιακό.

Επιπλέον, ένα ηλεκτρόνιο τείνει πάντα να πέφτει στην χαμηλότερη δυνατή ενεργειακή κατάσταση. Είναι δυνατό να καταλάβει οποιοδήποτε τροχιακό, εφόσον δεν παραβιάζει την απαγορευτική αρχή του Pauli, αλλά εάν υπάρχουν διαθέσιμα τροχιακά χαμηλότερης ενέργειας, αυτή η συνθήκη είναι ασταθής. Το ηλεκτρόνιο τελικά θα χάσει ενέργεια (απελευθερώνοντας ένα [[φωτόνιο]]) και θα πέσει στο χαμηλότερο τροχιακό. Έτσι, τα ηλεκτρόνια γεμίζουν τα τροχιακά με τη σειρά που καθορίζεται από την ενεργειακή ακολουθία που δίνεται παραπάνω.

Αυτή η συμπεριφορά είναι υπεύθυνη για τη δομή του [[Περιοδικός πίνακας των χημικών στοιχείων|περιοδικού πίνακα]]. Ο πίνακας μπορεί να χωριστεί σε αρκετές σειρές (που ονομάζονται 'περίοδοι'), αριθμημένες ξεκινώντας από το 1 στην κορυφή. Τα μέχρι στιγμής γνωστά στοιχεία καταλαμβάνουν επτά περιόδους. Εάν μια συγκεκριμένη περίοδος έχει τον αριθμό ''i'', αποτελείται από στοιχεία των οποίων τα εξωτερικά ηλεκτρόνια εμπίπτουν στην ''i''-οστή στοιβάδα. Ο [[Νιλς Μπορ]] ήταν ο πρώτος που πρότεινε (1923) ότι η [[Περιοδικός πίνακας των χημικών στοιχείων|περιοδικότητα]] στις ιδιότητες των στοιχείων θα μπορούσε να εξηγηθεί από την περιοδική πλήρωση των ενεργειακών επιπέδων των ηλεκτρονίων, με αποτέλεσμα την ηλεκτρονική δομή του ατόμου.

Ο περιοδικός πίνακας μπορεί επίσης να χωριστεί σε αρκετά αριθμημένα ορθογώνια '[[τομέας περιοδικού πίνακα|τομείς]]'. Τα στοιχεία που ανήκουν σε έναν δεδομένο τομέα έχουν αυτό το κοινό χαρακτηριστικό: τα ηλεκτρόνια υψηλότερης ενέργειας ανήκουν όλα στην ίδια -κατάσταση (αλλά το  που σχετίζεται με αυτήν την -κατάσταση εξαρτάται από την περίοδο). Παραδείγματος χάρη, οι δύο αριστερές στήλες αποτελούν τον 'τομέα s'. Τα εξώτατα ηλεκτρόνια του [[λίθιο|Li]] και του [[Βηρύλλιο|Be]] ανήκουν αντίστοιχα στην υποστοιβάδα 2s, και αυτά του [[νάτριο|Na]] και του [[μαγνήσιο|Mg]] στην υποστοιβάδα 3s.

Η ακόλουθη είναι η σειρά συμπλήρωσης των τροχιακών "υποστοιβάδας", η οποία δίνει επίσης τη σειρά των "τομέων" στον περιοδικό πίνακα:

:**1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p, 5s, 4d, 5p, 6s, 4f, 5d, 6p, 7s, 5f, 6d, 7p**

Η ''περιοδική'' φύση της πλήρωσης των τροχιακών, καθώς και η εμφάνιση των ''τομέων'' με τα σύμβολα **s**, **p**, **d** και **f*', είναι πιο προφανής εάν αυτή η σειρά πλήρωσης δοθεί σε μορφή πίνακα, με τους αυξανόμενους κύριους κβαντικούς αριθμούς να ξεκινούν τις νέες σειρές (*περίοδοι*) στον πίνακα. Στη συνέχεια, κάθε υποστοιβάδα (που αποτελείται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθμούς) επαναλαμβάνεται όσες φορές απαιτείται για κάθε ζεύγος ηλεκτρονίων που μπορεί να περιέχει. Το αποτέλεσμα είναι ένας συμπιεσμένος περιοδικός πίνακας, με κάθε καταχώρηση να αντιπροσωπεύει δύο διαδοχικά στοιχεία:



Αν και αυτή είναι η γενική σειρά πλήρωσης των τροχιακών σύμφωνα με τον κανόνα Madelung, υπάρχουν εξαιρέσεις και οι πραγματικές ηλεκτρονικές ενέργειες κάθε στοιχείου εξαρτώνται επίσης από πρόσθετες λεπτομέρειες των ατόμων.

Ο αριθμός των ηλεκτρονίων σε ένα ηλεκτρικά ουδέτερο άτομο αυξάνεται με τον [[ατομικός αριθμός|ατομικό αριθμό]]. Τα ηλεκτρόνια στην εξωτερική στιβάδα, ή *ηλεκτρόνια σθένους'', τείνουν να είναι υπεύθυνα για τη χημική συμπεριφορά ενός στοιχείου. Στοιχεία που περιέχουν τον ίδιο αριθμό ηλεκτρονίων σθένους μπορούν να ομαδοποιηθούν και να εμφανίσουν παρόμοιες χημικές ιδιότητες.

### Σχετικιστικά φαινόμενα

Για στοιχεία με υψηλό ατομικό αριθμό , τα αποτελέσματα της σχετικότητας γίνονται πιο έντονα, και ιδιαίτερα για τα s&nbsp;ηλεκτρόνια, τα οποία κινούνται με σχετικιστικές ταχύτητες καθώς διεισδύουν στα ηλεκτρόνια σάρωσης κοντά στον πυρήνα ατόμων με υψηλό ατομικό αριθμό . Αυτή η σχετικιστική αύξηση της ορμής για ηλεκτρόνια υψηλής ταχύτητας προκαλεί αντίστοιχη μείωση στο μήκος κύματος και συστολή των 6s τροχιακών σε σχέση με τα 5d τροχιακά (σε σύγκριση με τα αντίστοιχα s και d ηλεκτρόνια σε ελαφρύτερα στοιχεία στην ίδια στήλη του περιοδικού πίνακα). Αυτό έχει ως αποτέλεσμα τη μείωση της ενέργειας των 6s ηλεκτρονίων σθένους.

Παραδείγματα σημαντικών φυσικών αποτελεσμάτων αυτού του φαινομένου περιλαμβάνουν τη μειωμένη θερμοκρασία τήξης του υδραργύρου (η οποία προκύπτει από το γεγονός ότι τα ηλεκτρόνια 6s δεν είναι διαθέσιμα για μεταλλικούς δεσμούς) και το χρυσαφί χρώμα του χρυσού και του καισίου.

Στο Πρότυπο Μπορ, ένα  ηλεκτρόνιο έχει ταχύτητα που δίνεται από , όπου  είναι ο ατομικός αριθμός,  είναι η σταθερά λεπτής υφής και  είναι η ταχύτητα του φωτός. Στη μη σχετικιστική κβαντομηχανική, επομένως, οποιοδήποτε άτομο με ατομικό αριθμό μεγαλύτερο από 137 θα απαιτούσε τα 1s ηλεκτρόνια του να ταξιδεύουν ταχύτερα από την ταχύτητα του φωτός. Ακόμη και στην εξίσωση Ντιράκ, η οποία λαμβάνει υπόψη τα σχετικιστικά φαινόμενα, η κυματοσυνάρτηση του ηλεκτρονίου για άτομα με &nbsp;>&nbsp;137 είναι ταλαντωτική και μη φραγμένη. Η σημασία του στοιχείου 137, επίσης γνωστού ως ουντρισέπτιο (untriseptium), επισημάνθηκε για πρώτη φορά από τον φυσικό Ρίτσαρντ Φίλιπς Φάινμαν. Το στοιχείο 137 μερικές φορές ονομάζεται ανεπίσημα φεϊνμάνιο (feynmanium) (σύμβολο Fy). Ωστόσο, η προσέγγιση του Feynman δεν καταφέρνει να προβλέψει την ακριβή κρίσιμη τιμή του  λόγω της φύσης του μη σημειακού φορτίου του πυρήνα και της πολύ μικρής τροχιακής ακτίνας των εσωτερικών ηλεκτρονίων, με αποτέλεσμα ένα δυναμικό που παρατηρείται από τα εσωτερικά ηλεκτρόνια το οποίο είναι ουσιαστικά μικρότερο από το . Η κρίσιμη τιμή , η οποία καθιστά το άτομο ασταθές όσον αφορά την διάσπαση υψηλού πεδίου του κενού και την παραγωγή ζευγών ηλεκτρονίων-ποζιτρονίων, δεν εμφανίζεται μέχρι το  να είναι περίπου 173. Αυτές οι συνθήκες δεν παρατηρούνται παρά μόνο παροδικά σε συγκρούσεις πολύ βαρέων πυρήνων όπως ο μόλυβδος ή το ουράνιο σε επιταχυντές, όπου έχει υποστηριχθεί ότι παρατηρείται τέτοια παραγωγή ηλεκτρονίων-ποζιτρονίων από αυτά τα φαινόμενα.
	
Δεν υπάρχουν κόμβοι στις σχετικιστικές τροχιακές πυκνότητες, αν και τα μεμονωμένα στοιχεία της κυματοσυνάρτησης θα έχουν κόμβους.

### υβριδισμός pp (υποτιθέμενος)
Στα τελευταία στοιχεία της 8ης περιόδου του εκτεταμένου περιοδικού πίνακα, αναμένεται να υπάρχει ένα τροχιακό υβρίδιο 8p3/2 και 9p1/2, όπου τα "3/2" και "1/2" αναφέρονται στον κβαντικό αριθμό ολικής στροφορμής. Αυτό το υβρίδιο "pp" μπορεί να ευθύνεται για τον τομέα p της περιόδου λόγω ιδιοτήτων παρόμοιων με τις p υποστοιβάδες σε συνηθισμένες στοιβάδες σθένους. Τα επίπεδα ενέργειας των 8p3/2 και 9p1/2 πλησιάζουν λόγω σχετικιστικών φαινομένων σπιν-τροχιάς. Η υποστοιβάδα 9s θα πρέπει επίσης να συμμετέχει, καθώς αυτά τα στοιχεία αναμένεται να είναι ανάλογα με τα αντίστοιχα 5p στοιχεία ίνδιο έως ξένο.

## Μεταπτώσεις μεταξύ τροχιακών
Οι δεσμευμένες κβαντικές καταστάσεις έχουν διακριτά επίπεδα ενέργειας. Όταν εφαρμόζονται σε ατομικά τροχιακά, αυτό σημαίνει ότι οι ενεργειακές διαφορές μεταξύ των καταστάσεων είναι επίσης διακριτές. Μια μετάπτωση μεταξύ αυτών των καταστάσεων (δηλαδή, ένα ηλεκτρόνιο που απορροφά ή εκπέμπει ένα φωτόνιο) μπορεί επομένως να συμβεί μόνο εάν το φωτόνιο έχει ενέργεια που αντιστοιχεί στην ακριβή ενεργειακή διαφορά μεταξύ των εν λόγω καταστάσεων.

Θεωρήστε δύο καταστάσεις του ατόμου υδρογόνου:
# Κατάσταση , ,  και 
# Κατάσταση , ,  και 
Σύμφωνα με την κβαντική θεωρία, η κατάσταση 1 έχει σταθερή ενέργεια  και η κατάσταση 2 έχει σταθερή ενέργεια . Τώρα, τι θα συνέβαινε εάν ένα ηλεκτρόνιο στην κατάσταση 1 μετακινούνταν στην κατάσταση 2; Για να συμβεί αυτό, το ηλεκτρόνιο θα έπρεπε να αποκτήσει ενέργεια ακριβώς . Εάν το ηλεκτρόνιο λάβει ενέργεια μικρότερη ή μεγαλύτερη από αυτήν την τιμή, δεν μπορεί να μεταβεί από την κατάσταση 1 στην κατάσταση 2. Τώρα, ας υποθέσουμε ότι ακτινοβολούμε το άτομο με ένα ευρύ φάσμα φωτός. Τα φωτόνια που φτάνουν στο άτομο και έχουν ενέργεια ακριβώς  θα απορροφηθούν από το ηλεκτρόνιο στην κατάσταση 1 και αυτό το ηλεκτρόνιο θα μεταβεί στην κατάσταση 2. Ωστόσο, φωτόνια που έχουν μεγαλύτερη ή χαμηλότερη ενέργεια δεν μπορούν να απορροφηθούν από το ηλεκτρόνιο, επειδή το ηλεκτρόνιο μπορεί να μεταπηδήσει μόνο σε ένα από τα τροχιακά, δεν μπορεί να μεταπηδήσει σε μια κατάσταση μεταξύ τροχιακών. Το αποτέλεσμα είναι ότι μόνο φωτόνια συγκεκριμένης συχνότητας θα απορροφηθούν από το άτομο. Αυτό δημιουργεί μια γραμμή στο φάσμα, γνωστή ως γραμμή απορρόφησης, η οποία αντιστοιχεί στη διαφορά ενέργειας μεταξύ των καταστάσεων 1 και 2.

Το ατομικό τροχιακό πρότυπο προβλέπει επομένως γραμμικά φάσματα, τα οποία παρατηρούνται πειραματικά. Αυτή είναι μία από τις κύριες επικυρώσεις του προτύπου του ατομικού τροχιακού.

Το ατομικό τροχιακό πρότυπο αποτελεί, ωστόσο, μια προσέγγιση της πλήρους κβαντικής θεωρίας, η οποία αναγνωρίζει μόνο πολλές ηλεκτρονιακές καταστάσεις. Οι προβλέψεις των γραμμικών φασμάτων είναι ποιοτικά χρήσιμες, αλλά δεν είναι ποσοτικά ακριβείς για άτομα και ιόντα εκτός από εκείνα που περιέχουν μόνο ένα ηλεκτρόνιο.

## Παραπομπές

* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

* 3D representation of hydrogenic orbitals
* The Orbitron, a visualization of all common and uncommon atomic orbitals, from 1s to 7g
* Grand table Still images of many orbitals

Κατηγορία:Ατομική φυσική
Κατηγορία:Χημικός δεσμός
Κατηγορία:Κβαντική χημεία
Κατηγορία:Λήμματα που περιέχουν βιντεοκλίπ