Πολυωνυμική κατανομή

Στην θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική, η **πολυωνυμική κατανομή** είναι η γενίκευση της διωνυμικής κατανομής, όπου υπάρχουν n επαναλήψεις ενός πειράματος με k πιθανά αποτελέσματα. Πιο συγκεκριμένα, δίνει την πιθανότητα για κάθε δυνατό πλήθος αποτελεσμάτων (x_1, \ldots, x_k) \in \N^n.

## Ανάλυση παραμέτρων
Η πολυωνυμική κατανομή εξετάζει τη συνδυαστική πιθανότητα να συμβούν ταυτόχρονα μια σειρά από *k* ενδεχόμενα *Ε<sub>1</sub>*, *Ε<sub>2</sub>*, …, *Ε<sub>k</sub>*, σε *n* επαναλήψεις μιας τυχαίας διαδικασίας, το καθένα εκ των οποίων έχει τη δική του πιθανότητα *p<sub>1</sub>*, *p<sub>2</sub>*, …, *p<sub>k</sub>* να πραγματοποιηθεί σε μία εκτέλεση της διαδικασίας.
Συμβολίζουμε με  *x<sub>1</sub>*, *x<sub>2</sub>*, …, *x<sub>k</sub>*, τον ακριβή αριθμό των φορών που ζητάμε να εμφανισθεί το κάθε ενδεχόμενο.

Ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις:

\sum_{i=1}^k p_i = 1  και  \sum_{i=1}^k x_i = n

Η πιθανότητα να εμφανισθεί το κάθε ενδεχόμενο όσες φορές ακριβώς ορίσαμε, δίνεται από τον τύπο:
:\operatorname{P}(X_1 = x_1, \ldots, X_n = x_n) = \frac {n!}{x_1! x_2! \dots x_k!} \cdot p_1^{x_1} p_2^{x_2} \dots p_k^{x_k}.

## Παραδείγματα
Έστω ότι έχουμε ένα δοχείο με n = 22 μπάλες, 9 κόκκινες, 7 μαύρες και 6 μπλε. Τότε αν διαλέξουμε k = 3 μπάλες (με αντικατάσταση), τότε η κατανομή είναι πολυωνυμική με παραμέτρους
:(p_1, p_2, p_3) = \left( \frac{9}{22}, \frac{7}{22}, \frac{6}{22}\right),
και λαμβάνουμε τις εξής πιθανότητες για τα ενδεχόμενα:

:

right|thumb|200px|Δοχείο με <math>22</math> μπάλες εκ των οποίων οι <math>9</math> είναι κόκκινες, <math>7</math> μαύρες και <math>6</math> μπλε.

Η πολυωνυμική κατανομή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να μοντελοποιήσει τα εξής:

* Οι ταξιδιωτικοί προορισμοί των n κατοίκων της χώρας μας στο εσωτερικό με την κατηγοριοποίησή τους στους εξής k προορισμούς: Κυκλάδες, Σποράδες, Δωδεκάνησα, Επτάνησα, Ζαγοροχώρια, Ορεινή Ναυπακτία, Πήλιο, Αράχωβα και Καλάβρυτα.

* Η εξέταση ανάπτυξης του κλάδου επιχειρήσεων ανάλογα με την γεωγραφική περιοχή και την μορφολογία του εδάφους, που μπορεί να είναι καλλιέργεια εσπεριδοειδών ή οσπρίων, δημιουργία φάρμας, εξόρυξη μετάλλων.

## Μέση τιμή
Η περιθωριακή κατανομή του X_i είναι διωνυμική με παραμέτρους n \in \N και p_i \in [0, 1]. Επομένως, η μέση τιμή του X_i, δίνεται από τον τύπο
:\operatorname{E}[X_i] = n \cdot p_i.

## Διακύμανση
Αντίστοιχα, η διακύμανση του X_i δίνεται από τον τύπο
:\operatorname{V}[X_i] = n \cdot p_i \cdot (1-p_i).

## Συνδιακύμανση
Από τον ορισμό της συνδιακύμανσης για X_i και X_j με i\neq j, έχουμε ότι
:
\operatorname{Cov}(X_i, X_j) = \operatorname{E}[X_iX_j] - \operatorname{E}[X_i] \cdot \operatorname{E}[X_j].

Από τον νόμο της ολικής πιθανότητας, και αφού η τυχαία μεταβλητή Y = (X_i \mid X_j = k) είναι \mathsf{Bin}(n-k, p_i/(1-p_j)), έχουμε ότι
:
\begin{align}
\operatorname{E}[X_i X_j]
 & = \sum_{k = 0}^n \operatorname{E}[X_i \mid X_j = k] \cdot \operatorname{P}(X_j = k) \\
 & = \sum_{k = 0}^n (n-k) \cdot \frac{p_i}{1-p_j} \cdot k \cdot \binom{n}{k} p_j^k \cdot (1-p_j)^{n-k} \\
 & = \sum_{k = 0}^n (n-k) \cdot \frac{p_i}{1-p_j} \cdot k \cdot \binom{n}{k} p_j^k \cdot (1-p_j)^{n-k} \\
 & = n \cdot \frac{p_i}{1-p_j} \cdot \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} p_j^k \cdot (1-p_j)^{n-k}
     - \frac{p_i}{1-p_j} \cdot \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} p_j^k \cdot (1-p_j)^{n-k} \cdot k \\
 & = n \cdot \frac{p_i}{1-p_j} \cdot \sum_{k = 0}^n \operatorname{P}(X_j = k) \cdot k - p_i \cdot \sum_{k = 0}^n \operatorname{P}(X_j = k) \cdot k^2 \\
 & = n \cdot \frac{p_i}{1-p_j} \cdot \left( n \cdot p_j + n \cdot (n-1) \cdot p_j^2 + n \cdot p_j\right) \\
 & = n^2 \cdot p_i \cdot p_j - n \cdot p_i \cdot p_j.
\end{align}

Επομένως,
:
\operatorname{Cov}(X_i, X_j) = n^2 \cdot p_i \cdot p_j - n \cdot p_i \cdot p_j - n^2 \cdot p_i \cdot p_j = - n \cdot p_i \cdot p_j.


## Δείτε επίσης
* Διωνυμική κατανομή
* Υπεργεωμετρική κατανομή

## Παραπομπές


Κατηγορία:Κατανομές
Κατηγορία:Θεωρία πιθανοτήτων