*-αυτόνομη κατηγορία

Στα μαθηματικά, μια *-**αυτόνομη** (διαβάζεται "αστρο-αυτόνομη") **κατηγορία** **C** είναι μια συμμετρική μονοειδής κλειστή κατηγορία εξοπλισμένη με ένα δυϊκό αντικείμενο. Η έννοια αναφέρεται επίσης ως **κατηγορία Γκρότεντικ-Βερντιέ**, λόγω της σχέσης της με την έννοια της δυαδικότητας Βερντιέ.

## Ορισμός

Ας υποθέσουμε ότι **C** είναι μια συμμετρική μονοειδής κλειστή κατηγορία. Για κάθε αντικείμενο *A* και \bot, υπάρχει ένας μορφισμός
:\partial_{A,\bot}:A\to(A\Rightarrow\bot)\Rightarrow\bot
ορίζεται ως η εικόνα από την αμφίρριψη που προσδιορίζει τη μονοειδή κλειστότητα
:\mathrm{Hom}((A\Rightarrow\bot)\otimes A,\bot)\cong\mathrm{Hom}(A,(A\Rightarrow\bot)\Rightarrow\bot)
του μορφισμού
:\mathrm{eval}_{A,A\Rightarrow\bot}\circ\gamma_{A\Rightarrow\bot,A} : (A\Rightarrow\bot)\otimes A\to\bot
όπου \gamma είναι η *συμμετρία* του τανυστικού γινομένου. Ένα αντικείμενο  \bot της κατηγορίας **C** ονομάζεται **δυϊκό** όταν ο σχετικός μορφισμός \partial_{A,\bot} είναι ισομορφισμός για κάθε αντικείμενο *A* της κατηγορίας **C**. 

Ισοδύναμα, μια ***-αυτόνομη κατηγορία** είναι μια συμμετρική μονοειδής κατηγορία *C* μαζί με έναν συναρτητή (-)^*:C^{\mathrm{op}}\to C έτσι ώστε για κάθε αντικείμενο *A* να υπάρχει ένας φυσικός ισομορφισμός A\cong{A^{**}}, και για κάθε τρία αντικείμενα *A*, *B* και *C* να υπάρχει μια φυσική αμφίρριψη
:\mathrm{Hom}(A\otimes B,C^*)\cong\mathrm{Hom}(A,(B\otimes C)^*).
Το δυϊκό αντικείμενο του *C* ορίζεται τότε από \bot=I^*. Η ισοδυναμία των δύο ορισμών αποδεικνύεται με την ταυτοποίηση A^*=A\Rightarrow\bot.

## Ιδιοτήτες

Οι συμπαγείς κλειστές κατηγορίες είναι *-αυτόνομες, με τη μονοειδή μονάδα ως το δυϊκό αντικείμενο. Αντίστροφα, αν η μονάδα μιας *-αυτόνομης κατηγορίας είναι ένα δυϊκό  αντικείμενο, τότε υπάρχει μια κανονική οικογένεια απεικόνισεων

:A^*\otimes B^* \to (B\otimes A)^* .

Αυτά είναι όλα ισομορφισμοί αν και μόνο αν η *-αυτόνομη κατηγορία είναι συμπαγής κλειστή.

## Παραδείγματα

Ένα γνωστό παράδειγμα είναι η κατηγορία των πεπερασμένων διαστάσεων διανυσματικών χώρων πάνω σε οποιοδήποτε σώμα *k* που γίνεται μονοειδές με το συνηθισμένο τανυστικό γινόμενο των διανυσματικών χώρων. Το αντικείμενο της δυαδικότητας είναι το *k*, ο μονοδιάστατος διανυσματικός χώρος, και η δυαδικότητα αντιστοιχεί στη μεταφορά. Αν και η κατηγορία όλων των διανυσματικών χώρων πάνω στο *k* δεν είναι *-αυτόνομη, κατάλληλες επεκτάσεις σε κατηγορίες τοπολογικών διανυσματικών χώρων μπορούν να γίνουν *-αυτόνομες. 

Από την άλλη πλευρά, η κατηγορία των τοπολογικών διανυσματικών χώρων περιέχει μια εξαιρετικά ευρεία πλήρη υποκατηγορία, την κατηγορία **Ste** των στερεοτυπικών χώρων, η οποία είναι μια *-αυτόνομη κατηγορία με το δυϊκό  αντικείμενο {\mathbb C} και το τανυστικό γινόμενο \circledast. 

Διάφορα πρότυπα γραμμικής λογικής σχηματίζουν *-αυτόνομες κατηγορίες, η παλαιότερη από τις οποίες ήταν η κατηγορία των χώρων συνοχής του Ζαν-Ιβ Ζιράρ.

Η κατηγορία των πλήρων ημιπλεγμάτων με μορφισμούς που διατηρούν όλες τις ενώσεις αλλά όχι απαραίτητα τις τομές είναι *-αυτόνομη με δυαδικότητα την αλυσίδα των δύο στοιχείων. Ένα εκφυλισμένο παράδειγμα (όλα τα σύνολα ομοιοτήτων με πληθικότητα το πολύ ένα) δίνεται από οποιαδήποτε άλγεβρα μπουλ(ως μερικώς διατεταγμένο σύνολο) που γίνεται μονοειδής χρησιμοποιώντας τη σύζευξη για το τανυστικό γινόμενο και λαμβάνοντας το 0 ως δυϊκό  αντικείμενο..

Ο φορμαλισμός της δυαδικότητας Βερντιέ παρέχει περαιτέρω παραδείγματα *-αυτόνομων κατηγοριών. Επί παραδείγματι, οι Μπογιαρτσένκο & Ντρινφελντ () αναφέρουν ότι η φραγμένη παράγωγη κατηγορία των κατασκευάσιμων l-adic δεματίων σε μια αλγεβρική ποικιλία έχει αυτή την ιδιότητα. Περαιτέρω παραδείγματα περιλαμβάνουν παράγωγες κατηγορίες κατασκευάσιμων δεματίων σε διάφορα είδη τοπολογικών χώρων.

Ένα παράδειγμα αυτο-δυϊκής κατηγορίας που δεν είναι *-αυτόνομη είναι οι πεπερασμένες γραμμικές τάξεις και οι συνεχείς συναρτήσεις, οι οποίες έχουν * αλλά δεν είναι αυτόνομες: το δυϊκό  τους αντικείμενο είναι η αλυσίδα δύο στοιχείων, αλλά δεν υπάρχει τανυστικό γινόμενο.

Η κατηγορία των συνόλων και των μερικών έρριψεων τους είναι αυτο-δυϊκή, επειδή το αντίστροφο της τελευταίας είναι και πάλι μια μερική έρριψη.

Η έννοια της *-αυτόνομης κατηγορίας εισήχθη από τον Μάικλ Μπαρ το 1979 σε μια μονογραφία με τον ίδιο τίτλο. Ο Μπαρ όρισε την έννοια για την πιο γενική περίπτωση των *V*-κατηγοριών, κατηγοριών εμπλουτισμένων σε μια συμμετρική μονοειδή ή αυτόνομη κατηγορία *V*.  Ο παραπάνω ορισμός εξειδικεύει τον ορισμό του Μπαρ στην περίπτωση *V* = **Set** των συνηθισμένων κατηγοριών, εκείνων των οποίων τα ομοαντικείμενα σχηματίζουν σύνολα (μορφισμών).  Η μονογραφία του Μπαρ περιλαμβάνει ένα παράρτημα του φοιτητή του Πο-Σιάνγκ Τσου, το οποίο αναπτύσσει τις λεπτομέρειες μιας κατασκευής του Μπαρ που δείχνει την ύπαρξη μη-τετριμμένων *-αυτόνομων  *V*-κατηγοριών για όλες τις συμμετρικές μονοειδείς κατηγορίες *V* με pullbacks, των οποίων τα αντικείμενα έγιναν γνωστά μια δεκαετία αργότερα ως χώροι Τσου.

## Μη συμμετρική περίπτωση

Σε μια διπλά κλειστή μονοειδή κατηγορία *C*, που δεν είναι απαραίτητα συμμετρική, είναι ακόμα δυνατό να οριστεί ένα δυϊκό αντικείμενο και στη συνέχεια να οριστεί μια *-αυτόνομη κατηγορία ως μια διπλά κλειστή μονοειδή κατηγορία με ένα δυϊκό αντικείμενο. Πρόκειται για ισοδύναμους ορισμούς, όπως και στην περίπτωση της συμμετρικής κατηγορίας.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


* 
* 
* 
* 
* star-autonomous category at the nLab
* 
* *This article is based in part on [http://www.planetmath.org PlanetMath]'s [http://planetmath.org/encyclopedia/TerminalObjectsAndZeroObjectsExamplesOfInitialObjects.html article on examples of initial and terminal objects].*
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
*
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα