Ισοεπιφάνεια

Μια **ισοεπιφάνεια** είναι ένα τρισδιάστατο ανάλογο μιας ισογραμμής. Είναι μια επιφάνεια που αντιπροσωπεύει σημεία σταθερής τιμής (π.χ. πίεση, θερμοκρασία, ταχύτητα, πυκνότητα) μέσα σε έναν όγκο χώρου- με άλλα λόγια, είναι ένα σύνολο επιπέδων μιας συνεχούς συνάρτησης της οποίας το πεδίο είναι ο τρισδιάστατος χώρος.

Ο όρος ισόγραμμη χρησιμοποιείται επίσης μερικές φορές για πεδία με περισσότερες από 3 διαστάσεις .

## Ορισμος
Η **ισοεπιφάνεια** S_c για ένα Βαθμωτό πεδίο \varphi:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R} στην *ισοεπιφάνεια* c \in \mathbb{R} είναι η ποσότητα S_c:=\{\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n|\varphi(\mathbf{v})=c\}.

Οι τρισδιάστατες *ισοεπιφάνειες* προσεγγίζονται συνήθως από ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων δεδομένων \mathcal{P}\subset\mathbb{R}^3\times\mathbb{R} (πλέγμα), επί παραδείγματι με τη χρήση τριγωνικών πλεγμάτων.

## Εφαρμογές

Οι ισοεπιφάνειες απεικονίζονται συνήθως με τη χρήση γραφικά υπολογιστών και χρησιμοποιούνται ως μέθοδοι απεικόνισης δεδομένων στην υπολογιστική ρευστοδυναμική (CFD), επιτρέποντας στους μηχανικούς να μελετήσουν τα χαρακτηριστικά μιας ροής ρευστού (αερίου ή υγρού) γύρω από αντικείμενα, όπως π.χ. τα φτερά αεροσκαφών. Μια ισοεπιφάνεια μπορεί να αναπαριστά ένα μεμονωμένο κρουστικό κύμα σε υπερηχητική πτήση, ή να δημιουργηθούν πολλές ισοεπιφάνειες που δείχνουν μια ακολουθία τιμών πίεσης στον αέρα που ρέει γύρω από ένα φτερό. Οι ισοεπιφάνειες τείνουν να είναι μια δημοφιλής μορφή απεικόνισης για σύνολα δεδομένων όγκου, δεδομένου ότι μπορούν να αποδοθούν από ένα απλό πολυγωνικό μοντέλο, το οποίο μπορεί να σχεδιαστεί στην οθόνη πολύ γρήγορα. 

Στην ιατρική απεικόνιση, οι ισοεπιφάνειες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναπαράσταση περιοχών συγκεκριμένης πυκνότητας σε μια τρισδιάστατη αξονική τομογραφία, επιτρέποντας την απεικόνιση εσωτερικών οργάνων, οστών ή άλλων δομών.

Πολυάριθμοι άλλοι κλάδοι που ενδιαφέρονται για τρισδιάστατα δεδομένα χρησιμοποιούν συχνά ισοεπιφάνειες για να λάβουν πληροφορίες σχετικά με τη φαρμακολογία, τη χημεία, τη γεωφυσική και τη μετεωρολογία.

## Αλγόριθμοι υλοποίησης

### Marching cubes
Ο αλγόριθμος marching cubes  δημοσιεύτηκε για πρώτη φορά στα πρακτικά του SIGGRAPH το 1987 από τους Λόρενσεν και Κλάιν, και δημιουργεί μια επιφάνεια τέμνοντας τις ακμές ενός πλέγματος όγκου δεδομένων με το περίγραμμα του όγκου. Όπου η επιφάνεια τέμνει την ακμή, ο αλγόριθμος δημιουργεί μια κορυφή. Χρησιμοποιώντας έναν πίνακα διαφορετικών τριγώνων ανάλογα με διαφορετικά μοτίβα τομής ακμών ο αλγόριθμος μπορεί να δημιουργήσει μια επιφάνεια. Αυτός ο αλγόριθμος έχει λύσεις για υλοποίηση τόσο στην CPU όσο και στην GPU.

### Ασυμπτωτικός αποφασιστής
Ο ασυμπτωτικός αλγόριθμος decider αναπτύχθηκε ως επέκταση του αλγορίθμου marching cubes, προκειμένου να επιλυθεί η πιθανότητα ασάφειας σε αυτόν.

### Βαδίζοντας τετράεδρα
ΟΟ αλγόριθμος marching tetrahedra (πορεία τετραέδρων) αναπτύχθηκε ως επέκταση του αλγορίθμου marching cubes προκειμένου να επιλυθεί μια ασάφεια στον εν λόγω αλγόριθμο και να δημιουργηθεί επιφάνεια εξόδου υψηλότερης ποιότητας.

### Δίκτυα επιφάνειας
Ο αλγόριθμος Surface Nets τοποθετεί μια τέμνουσα κορυφή στη μέση ενός voxel όγκου αντί στις άκρες, οδηγώντας σε μια πιο ομαλή επιφάνεια εξόδου.

### Δυϊκό περίγραμμα
Ο αλγόριθμος dual contouring δημοσιεύθηκε για πρώτη φορά στα πρακτικά του SIGGRAPH το 2002 από τους Τζου και Λοσάσο, και αναπτύχθηκε ως επέκταση τόσο των επιφανειακών δικτύων όσο και των κύβων βάδισης. Διατηρεί μια διπλή κορυφή εντός του voxel αλλά όχι πλέον στο κέντρο. Το δυϊκό περίγραμμα αξιοποιεί τη θέση και την κανονική του σημείου όπου η επιφάνεια διασχίζει τις ακμές ενός voxel για να παρεμβάλει τη θέση της δυϊκής κορυφής εντός του voxel. Αυτό έχει το πλεονέκτημα της διατήρησης αιχμηρών ή λείων επιφανειών, όπου τα επιφανειακά δίκτυα συχνά φαίνονται μπλοκαρισμένα ή λανθασμένα λοξά. Η διπλή διαμόρφωση περιγράμματος χρησιμοποιεί συχνά τη δημιουργία επιφανειών που αξιοποιεί τα οκτάρια ως βελτιστοποίηση για να προσαρμόσει τον αριθμό των τριγώνων στην έξοδο στην πολυπλοκότητα της επιφάνειας.

## Παραδείγματα

Παραδείγματα ισοεπιφανειών είναι οι «μεταμπάλες» ή τα « αντικείμενα blobby» που χρησιμοποιούνται στην τρισδιάστατη απεικόνιση. Ένας πιο γενικός τρόπος κατασκευής μιας ισοεπιφάνειας είναι η χρήση της αναπαράστασης συναρτήσεων.

## Φωτοθήκη


File:NREL 10secs.png|Επιφάνεια με σταθερή πίεση.
File:Katrina 28aug05 isosurface.gif|Επιφάνεια με πληροφορίες σκίασης που μεταβάλλονται σε αυτήν για να μεταφέρουν το ύψος της στήλης βροχής.
File:Heat rose.jpg|Πολλαπλές επιφάνειες σταθερής θερμοκρασίας, με προσθήκη κανονικών διανυσμάτων σε κάθε επιφάνεια.
File:Gauss Laguerre TEM Mode P2L8.png|Επιφάνειες σταθερής έντασης, με χρωματική σκίαση που συνδέεται με την ένταση για να επιτρέπει τη μετάδοση πληροφοριών σχετικά με τα περιγράμματα των πεδίων μεταβαλλόμενης έντασης.


## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Τριγωνομετρική συνάρτηση
* Βαθμωτό πεδίο
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Ρητή συνάρτηση
* Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Τρισδιάστατος χώρος
* Κοχλίας του Αρχιμήδη
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Μιγαδικός αριθμός
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραφικά υπολογιστών

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
*  
* 
* . Review: *[[:en:Bulletin of the American Mathematical Society|Bulletin of the American Mathematical Society]]* 37 (1931), 791-793, 
* .
* .
* .
* 
* . Review: Séquin, Carlo H. (2009), *Journal of Mathematics and the Arts* 3: 229–230, 
* 
*Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:3D γραφικά υπολογιστή 
Κατηγορία:Εμβαδόν 
Κατηγορία:Επιφάνειες 
Κατηγορία:Γεωμετρικά σχήματα 
Κατηγορία:Γεωμετρία