Κατάλογος τύπων που περιλαμβάνουν το π

Ακολουθεί ένας κατάλογος σημαντικών τύπων που περιλαμβάνουν τη μαθηματική σταθερά . Πολλοί από αυτούς τους τύπους μπορούν να βρεθούν εδώ → *[[Π (μαθηματική σταθερά)|Π]].*

## Ευκλείδεια γεωμετρία

: \pi = \frac Cd = \frac C{2r}

όπου  είναι η περιφέρεια ενός κύκλου,  είναι η διάμετρος και  είναι η ακτίνα. Γενικότερα,

: A = \pi r^2

όπου  είναι το εμβαδόν ενός κύκλου. Γενικότερα,

: A = \pi ab

όπου  είναι το εμβαδόν που περικλείεται από μια έλλειψη με μεγάλο άξονα τον  και μικρό άξονα τον .

: C=\frac{2\pi}{\operatorname{agm}(a,b)}\left(a_1^2-\sum_{n=2}^\infty 2^{n-1}(a_n^2-b_n^2)\right)

όπου  είναι η περιφέρεια μιας έλλειψης με μεγάλο άξονα τον  και μικρό άξονα τον  και a_n,b_n είναι οι αριθμητικές και γεωμετρικές επαναλήψεις του \operatorname{agm}(a,b), δηλαδή του αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου (όρου) των  και  με αρχικές τιμές a_0=a και b_0=b.

: A=4\pi r^2

όπου  είναι το εμβαδόν μεταξύ της μάγισσας της Ανιέσι και της ασυμπτωτικής γραμμής της. Το  είναι η ακτίνα του κύκλου που ορίζουμε.

: A=(k+1)(k+2)\pi r^2

όπου  είναι το εμβαδόν μιας επικυκλοειδούς καμπύλης με τον μικρότερο κύκλο να έχει ακτίνα  και τον μεγαλύτερο κύκλο να έχει ακτίνα  (k\in\mathbb{N}), υποθέτοντας ότι το αρχικό σημείο βρίσκεται στον μεγαλύτερο κύκλο.

: V = {4 \over 3}\pi r^3

όπου  είναι ο όγκος μιας σφαίρας και  είναι η ακτίνα.

: SA = 4\pi r^2

όπου  είναι το εμβαδόν της επιφάνειας μιας σφαίρας και  είναι η ακτίνα.

: H = {1 \over 2}\pi^2 r^4

όπου  είναι ο υπερόγκος μιας 3-σφαίρας και  είναι η ακτίνα.

: SV = 2\pi^2 r^3

όπου  είναι ο όγκος της επιφάνειας μιας 3-σφαίρας και  είναι η ακτίνα.

### Κανονικά κυρτά πολύγωνα
Άθροισμα  εσωτερικών γωνιών ενός κανονικού κυρτού πολυγώνου με  πλευρές:

: S=(n-2)\pi

Εμβαδόν  ενός κανονικού κυρτού πολυγώνου με  πλευρές και μήκος πλευράς :

: A=\frac{ns^2}{4}\cot\frac{\pi}{n}

## Φυσική

* Η κοσμολογική σταθερά:
*: \Lambda =  \rho

* Η αρχή της απροσδιοριστίας του Χάιζενμπεργκ:
*:  \Delta x\, \Delta p \ge \frac h {4\pi} 

* Ο νόμος του Κουλόμπ για την ηλεκτρική δύναμη στο κενό:
*:  F = \frac{4 \pi \varepsilon_0 r^2}

* Μαγνητική διαπερατότητα του ελεύθερου χώρου:
*:  \mu_0 \approx 4 \pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{N}/\mathrm{A}^2

* Περίοδος απλού εκκρεμούς με μικρό πλάτος ταλάντωσης:
*: T \approx 2\pi \sqrt\frac L g 

* Περίοδος απλού εκκρεμούς με πλάτος \theta_0 (\operatorname{agm} είναι ο αριθμητικός-γεωμετρικός μέσος (όρος)):
*: T=\frac{2\pi}{\operatorname{agm}(1,\cos (\theta_0/2))}\sqrt{\frac{L}{g}}

* Περίοδος συστήματος ελατηρίου-μάζας με σταθερά ελατηρίου k και μάζα m:
*: T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}

* Ο τρίτος νόμος του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών:
*: \frac{R^3}{T^2} = \frac{GM}{4\pi^2}

* Ο τύπος λυγισμού:
*: F =\frac{\pi^2EI}{L^2}

## Τύποι που υπολογίζουν το ''π''

### Ολοκληρώματα

: 2 \int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \pi  (ολοκληρώνουμε δύο φορές την συνάρτηση y(x)=\sqrt{1-x^2} για να πάρουμε το εμβαδόν του μοναδιαίου κύκλου)

: \int_{-\infty}^\infty \operatorname{sech}x \, dx = \pi 

: \int_{-\infty}^\infty \int_t^\infty e^{-1/2t^2-x^2+xt} \, dx \, dt = \int_{-\infty}^\infty \int_t^\infty e^{-t^2-1/2x^2+xt} \, dx \, dt = \pi

: \int_{-1}^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \pi

: \int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{1+x^2} = \pi (κατανομή Κωσύ)

: \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x}{x} \,dx = \pi (ολοκλήρωμα Ντίριχλετ)

: \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi} (ολοκλήρωμα Γκάους).

: \oint\frac{dz} z = 2\pi i (όταν η διαδρομή της ολοκλήρωσης "τυλίγεται" μια φορά αριστερόστροφα γύρω από το 0. Δείτε επίσης Ολοκληρωτικός τύπος του Κωσύ).

: \int_0^\infty \ln\left(1+\frac{1}{x^2}\right)\, dx=\pi

: \int_0^1 {x^4(1-x)^4 \over 1+x^2}\,dx = {22 \over 7} - \pi

: \int_0^1 {x^2(1+x)^4 \over 1+x^2}\,dx = \pi- {17 \over 15} 

: \int_0^\infty \frac{x^{\alpha-1}}{x+1}\, dx=\frac{\pi}{\sin \pi\alpha},\quad 0

: \int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt{x(x+a)(x+b)}}=\frac{\pi}{\operatorname{agm}(\sqrt{a},\sqrt{b})} (όπου \operatorname{agm} είναι ο αριθμητικός-γεωμετρικός μέσος (όρος). Δείτε επίσης Ελλειπτικό ολοκλήρωμα)

Παρατηρήστε ότι στις άρτιες συναρτήσεις, f(-x)=f(x), οι τύποι της μορφής \int_{-a}^af(x)\,dx μπορούν επίσης να γραφτούν ως 2\int_{0}^af(x)\,dx.

### Αποτελεσματικές άπειρες σειρές

: \sum_{k=0}^\infty \frac{k!}{(2k+1)!!} = \sum_{k=0}^\infty\frac{2^k k!^2}{(2k+1)!} = \frac \pi 2  (δείτε επίσης Διπλό παραγοντικό)

: \sum_{k=0}^\infty \frac{k!}{2^k(2k+1)!!}=\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}

: \sum_{k=0}^\infty \frac{k!\,(2k)!\,(25k-3)}{(3k)!\,2^{k}}=\frac{\pi}{2}

:  \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k}}=\frac{4270934400}{\sqrt{10005}\pi}  (αλγόριθμος Chudnovsky)

: \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}=\frac{9801}{2\sqrt{2}\pi}  (βλέπε σειρά του Σρινιβάσα Ραμανούτζαν)

Τα ακόλουθα είναι αποτελεσματικά για τον υπολογισμό αυθαίρετων δυαδικών ψηφίων του :

: \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{4^k}\left(\frac{2}{4k+1}+\frac{2}{4k+2}+\frac{1}{4k+3}\right)=\pi

: \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)=\pi (τύπος των Bailey–Borwein–Plouffe)

: \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k}\left(\frac{8}{8k+2}+\frac{4}{8k+3}+\frac{4}{8k+4}-\frac{1}{8k+7}\right)=2\pi

: \sum_{k=0}^{\infty} \frac \left( - \frac{2^5}{4k+1} - \frac{1}{4k+3} + \frac{2^8}{10k+1} - \frac{2^6}{10k+3} - \frac{2^2}{10k+5} - \frac{2^2}{10k+7} + \frac{1}{10k+9} \right)=2^6\pi

Σειρά Plouffe για τον υπολογισμό αυθαίρετων δεκαδικών ψηφίων του :

: \sum_{k=1}^\infty k\frac{2^kk!^2}{(2k)!}=\pi +3

### Άλλες άπειρες σειρές

: \zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} (δείτε επίσης Πρόβλημα της Βασιλείας και Συνάρτηση ζήτα Ρίμαν)

: \zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}

: \zeta(2n) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2n}}\, = \frac{1}{1^{2n}} + \frac{1}{2^{2n}} + \frac{1}{3^{2n}} + \frac{1}{4^{2n}} + \cdots = (-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, όπου *B*2*n* είναι ένας αριθμός Μπερνούλι.

: \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n - 1}{4^n}\, \zeta(n+1) = \pi

: \sum_{n=1}^\infty \frac{7^n - 1}{8^n}\, \zeta(n+1) = (1+\sqrt{2})\pi

: \sum_{n=2}^\infty \frac{2(3/2)^n-3}{n}(\zeta (n)-1)=\ln \pi

: \sum_{n=1}^\infty \zeta (2n)\frac{x^{2n}}{n}=\ln\frac{\pi x}{\sin \pi x},\quad 0

: \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \arctan{1} = \frac{\pi}{4} (τύπος του Λάιμπνιτς)

: \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{(n^2-n)/2}}{2n+1}=1+\frac13-\frac15-\frac17+\frac19+\frac{1}{11}-\cdots=\frac{\pi}{2\sqrt{2}} (Νεύτων, *Second Letter to Oldenburg*, 1676)

: \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{3^n(2n+1)}=1-\frac{1}{3^1\cdot 3}+\frac{1}{3^2\cdot 5}-\frac{1}{3^3\cdot 7}+\frac{1}{3^4\cdot 9}-\cdots =\sqrt{3}\arctan\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{2\sqrt{3}} (σειρά Madhava)

: \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}=\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + \cdots=\frac{\pi^2}{12}

: \sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n)^2} = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{6^2} + \frac{1}{8^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{24}

: \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{1}{2n+1} \right)^2 = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{8}

: \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \right)^3 = \frac{1}{1^3} - \frac{1}{3^3} + \frac{1}{5^3} - \frac{1}{7^3} + \cdots = \frac{\pi^3}{32}

: \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{1}{2n+1} \right)^4 = \frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + \frac{1}{7^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{96}

: \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \right)^5 = \frac{1}{1^5} - \frac{1}{3^5} + \frac{1}{5^5} - \frac{1}{7^5} + \cdots = \frac{5\pi^5}{1536}

: \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{1}{2n+1} \right)^6 = \frac{1}{1^6} + \frac{1}{3^6} + \frac{1}{5^6} + \frac{1}{7^6} + \cdots = \frac{\pi^6}{960}

Γενικότερα,

: \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^{2k+1}}=(-1)^{k}\frac{E_{2k}}{2(2k)!}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2k+1},\quad k\in\mathbb{N}_0

όπου E_{2k} είναι ο 2k-οστός αριθμός Όιλερ.

: \sum_{n=0}^\infty \binom{\frac{1}{2}}{n}\frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - \frac{1}{6} - \frac{1}{40}-\cdots = \frac{\pi}{4}

: \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(4n+1)(4n+3)} = \frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{5\cdot 7} +\frac{1}{9\cdot 11} +\cdots=\frac{\pi}{8}

:  \sum_{n=1}^\infty (-1)^{(n^2+n)/2+1}\left|G_{\left((-1)^{n+1}+6n-3\right)/4}\right|=|G_1|+|G_2|-|G_4|-|G_5|+|G_7|+|G_8|-|G_{10}|-|G_{11}|+\cdots =\frac{\sqrt{3}}{\pi} 

: \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)(2n+1)}=\pi -3 (σειρά Nilakantha)

: \sum_{n=1}^\infty \frac{F_{2n}}{n^2 \binom{2n}{n}}=\frac{4\pi^2}{25\sqrt5} (όπου F_n είναι ο n-οστός αριθμός Φιμπονάτσι)

: \sum_{n=1}^\infty \sigma(n)e^{-2\pi n}=\frac{1}{24}-\frac{1}{8\pi} (όπου \sigma είναι η συνάρτηση αθροίσματος διαιρετών)

:  \pi = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{\epsilon (n)}}{n}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} - \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} - \frac{1}{13} + \cdots (όπου \epsilon (n) είναι ο αριθμός των πρώτων παραγόντων της μορφής p\equiv 1\,(\mathrm{mod}\,4) του n)

: \frac{\pi}{2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{\varepsilon (n)}}{n}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\cdots(όπου \varepsilon (n) είναι ο αριθμός των πρώτων παραγόντων της μορφής p\equiv 3\, (\mathrm{mod}\, 4) του n)

: \pi=\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1/2}

: \pi^2=\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{(n+1/2)^2}

Οι δύο τελευταίοι τύποι

: \begin{align}\frac{\pi}{\sin\pi x}&=\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{(-1)^n}{n+x}\\
\left(\frac{\pi}{\sin \pi x}\right)^2&=\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{(n+x)^2}\end{align}

είναι ειδικές περιπτώσεις που παράγουν άπειρους ανάλογους τύπους για το \pi, όταν το x\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z}.
### Τύποι του Τζον Μασίν

: \frac{\pi}{4} = \arctan 1

: \frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3}

: \frac{\pi}{4} = 2 \arctan\frac{1}{2} - \arctan\frac{1}{7}

: \frac{\pi}{4} = 2 \arctan\frac{1}{3} + \arctan\frac{1}{7}

: \frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}  (ο αρχικός τύπος του Μασίν)

: \frac{\pi}{4} = 5 \arctan\frac{1}{7} + 2 \arctan\frac{3}{79}

: \frac{\pi}{4} = 6 \arctan\frac{1}{8} + 2 \arctan\frac{1}{57} + \arctan\frac{1}{239}

: \frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}

: \frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}

### Άπειρα γινόμενα

: \frac{\pi}{4} = \left(\prod_{p\equiv 1\pmod 4}\frac{p}{p-1}\right)\cdot\left( \prod_{p\equiv 3\pmod 4}\frac{p}{p+1}\right)=\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{13}{12} \cdots (Όιλερ)

όπου οι αριθμητές είναι οι περιττοί πρώτοι αριθμοί. Κάθε παρονομαστής είναι το πολλαπλάσιο του 4 που είναι πιο κοντά στον αριθμητή.

: \frac{\sqrt{3}\pi}{6}=\left(\displaystyle\prod_{p \equiv 1 \pmod{6} \atop p \in \mathbb{P} } \frac{p}{p-1}\right) \cdot \left(\displaystyle\prod_{p \equiv 5 \pmod{6} \atop p \in \mathbb{P} } \frac{p}{p+1}\right)=\frac{5}{6} \cdot \frac{7}{6} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{13}{12} \cdot \frac{17}{18} \cdots 

: \frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots (βλέπε επίσης γινόμενο Γουάλις)

: \frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{1}{n}\right)^{(-1)^{n+1}}=\left(1+\frac{1}{1}\right)^{+1}\left(1+\frac{1}{2}\right)^{-1}\left(1+\frac{1}{3}\right)^{+1}\cdots (άλλη μορφή του γινομένου του Γουάλις)

Ο τύπος του Viète:

: \frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \cdots

Ένας τύπος διπλού άπειρου γινομένου που περιλαμβάνει την ακολουθία Θουέ-Μορς:

: \frac{\pi}{2}=\prod_{m\geq1} \prod_{n\geq1} \left( \frac{(4 m^2 + n - 2) (4 m^2 + 2 n - 1)^2}{4 (2 m^2 + n - 1) (4 m^2 + n - 1) (2 m^2 + n)} \right) ^{\epsilon_n},

όπου \epsilon_n = (-1)^{t_n} και t_n είναι η ακολουθία Θουέ-Μορς .

### Τύποι με τόξο εφαπτομένης

:  \frac{\pi}{2^{k+1}}=\arctan \frac{\sqrt{2-a_{k-1}}}{a_k}, \qquad\qquad k\geq 2 
:  \frac{\pi}{4}=\sum_{k\geq 2}\arctan \frac{\sqrt{2-a_{k-1}}}{a_k}, 

όπου  a_k=\sqrt{2+a_{k-1}}  τέτοιο ώστε  a_1=\sqrt{2} .

: \frac{\pi}{2} = \sum_{k=0}^\infty \arctan\frac{1}{F_{2k+1}} = \arctan\frac{1}{1} + \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{5} + \arctan\frac{1}{13} + \cdots 

όπου F_k είναι ο *κ*-οστός αριθμός Φιμπονάτσι.

:  \pi =\arctan a+\arctan b+\arctan c

όταν ισχύει ότι a+b+c=abc και a, b, c είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Μια ειδική περίπτωση είναι:

: \pi =\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3.

### Μιγαδικές συναρτήσεις

: e^{i \pi} +1 = 0 (ταυτότητα του Όιλερ)

Οι παρακάτω ισοδυναμίες ισχύουν για οποιονδήποτε μιγαδικό αριθμό z:

: e^z\in\mathbb{R}\leftrightarrow\Im z\in\pi\mathbb{Z}
: e^z=1\leftrightarrow z\in 2\pi i\mathbb{Z}

Επίσης,

: \frac{1}{e^z-1}=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^N \frac{1}{z-2\pi i n}-\frac{1}{2},\quad z\in\mathbb{C}.

### Συνεχή κλάσματα

: 
\frac{4}{\pi} = 1 + \cfrac{1^2}{2 + \cfrac{3^2}{2 + \cfrac{5^2}{2 + \cfrac{7^2}{2 + \ddots}}}}

:

: 
\pi= {3 + \cfrac{1^2}{6 + \cfrac{3^2}{6 + \cfrac{5^2}{6 + \cfrac{7^2}{6 + \ddots\,}}}}}


: 
\pi = \cfrac{4}{1 + \cfrac{1^2}{3 + \cfrac{2^2}{5 + \cfrac{3^2}{7 + \cfrac{4^2}{9 + \ddots}}}}}


: 
2\pi = {6 + \cfrac{2^2}{12 + \cfrac{6^2}{12 + \cfrac{10^2}{12+ \cfrac{14^2}{12 + \cfrac{18^2}{12 + \ddots}}}}}}


: 
\pi=4-\cfrac{2}{1+ \cfrac{1}{1- \cfrac{1}{1+\cfrac{2}{ 1-\cfrac{2 }{ 1+\cfrac{3}{ 1-\cfrac{3 }{\ddots}}}}}}}


### Επαναληπτικοί αλγόριθμοι

:  a_0=1,\, a_{n+1}=\left(1+\frac{1}{2n+1}\right)a_n,\, \pi=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n^2}{n}

: a_1=0,\, a_{n+1}=\sqrt{2+a_n},\, \pi =\lim_{n\to\infty} 2^n\sqrt{2-a_n} (Στενά συνδεδεμένο με τον τύπο του Viète)
: 

:  \forall k \in \mathbb{N}, \, a_1 = 2^{ - k}, \, a_{n + 1} = a_n + 2^{ - k}(1 - \tan (2^{k - 1} a_n)), \, \pi = 2^{k + 1} \lim _{n \to \infty} a_n (τετραγωνική σύγκλιση)

: a_1=1,\, a_{n+1}=a_n+\sin a_n,\, \pi =\lim_{n\to\infty}a_n (κυβική σύγκλιση)

: a_0=2\sqrt{3},\, b_0=3,\, a_{n+1}=\operatorname{hm}(a_n,b_n),\, b_{n+1}=\operatorname{gm}(a_{n+1},b_n),\, \pi =\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n (αλγόριθμος του Αρχιμήδη, βλέπε επίσης αρμονικός μέσος και γεωμετρικός μέσος)

### Ασυμπτωτικοί τύποι

: \binom{2n}{n}\sim \frac{4^{n}}{\sqrt{\pi n}} (ασυμπτωτικός ρυθμός αύξησης των κεντρικών διωνυμικών συντελεστών)

: C_n\sim \frac{4^{n}}{\sqrt{\pi n^3}} (ασυμπτωτικός ρυθμός αύξησης των Καταλανικών αριθμών)

: n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n (Τύπος Στίρλινγκ)

: \log n!\simeq \left(n+\frac12\right)\log n-n+\frac{\log 2\pi}{2}

: \sum_{k=1}^{n} \varphi (k) \sim \frac{3n^2}{\pi^2} (όπου \varphi είναι η συνάρτηση Όιλερ)

: \sum_{k=1}^{n} \frac {\varphi (k)} {k} \sim \frac{6n}{\pi^2}

Το σύμβολο \sim σημαίνει ότι η *αναλογία* της αριστερής πλευράς και της δεξιάς πλευράς τείνει στο 1 όσο το n\to\infty.

Το σύμβολο \simeq σημαίνει ότι η *διαφορά* μεταξύ της αριστερής και της δεξιάς πλευράς τείνει στο 0 όσο το n\to\infty.

:

### Ανάμικτοι τύποι

: \Gamma (s)\Gamma (1-s)=\frac{\pi}{\sin \pi s} (τύπος ανάκλασης του Όιλερ, βλέπε Συνάρτηση γάμμα)

: \pi^{-s/2}\Gamma \left(\frac{s}{2}\right)\zeta (s)=\pi^{-(1-s)/2}\Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\zeta (1-s) (η συναρτησιακή εξίσωση της συνάρτησης ζήτα του Ρίμαν)

: e^{-\zeta'(0)}=\sqrt{2\pi}

: e^{\zeta'(0,1/2)-\zeta'(0,1)}=\sqrt{\pi} (όπου \zeta (s,a) είναι η συνάρτηση ζήτα του Hurwitz και η παράγωγος λαμβάνεται ως προς την πρώτη μεταβλητή)

: \pi =\Beta (1/2,1/2)=\Gamma (1/2)^2 (δείτε επίσης Συνάρτηση βήτα)

: \pi = \frac{\Gamma (3/4)^4}{\operatorname{agm}(1,1/\sqrt{2})^2}=\frac{\Gamma\left({1/4}\right)^{4/3} \operatorname{agm}(1, \sqrt{2})^{2/3}}{2}

: i\pi=\operatorname{Log}(-1)=\lim_{n\to\infty}n\left((-1)^{1/n}-1\right) (όπου \operatorname{Log} είναι η κύρια τιμή του μιγαδικού λογάριθμου)

: 1-\frac{\pi^2}{12}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n (n\bmod k) (όπου  n\bmod k  είναι το υπόλοιπο κατά τη διαίρεση του *n* με το *k*)

: \pi = \lim_{r \to \infty} \frac{1}{r^2} \sum_{x=-r}^{r} \; \sum_{y=-r}^{r} \begin{cases}
1 & \text{if } \sqrt{x^2+y^2} \le r \\
0 & \text{if } \sqrt{x^2+y^2} > r \end{cases}
 (αθροίζοντας το εμβαδόν ενός κύκλου)

:  \pi = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{4}{n^2} \sum_{k=1}^n \sqrt{n^2 - k^2}  (άθροισμα Ρίμαν για τον υπολογισμό του εμβαδού του μοναδιαίου κύκλου)

:  \pi = \lim_{n\to\infty}\frac{2^{4n}n!^4}{n(2n)!^2}=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2^{4n}}{n {2n\choose n}^2} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2 (συνδυάζοντας τον τύπο του Στίρλινγκ με το γινόμενο Γουάλις)

## Σημειώσεις


## Παραπομπές

* .

## Περαιτέρω ανάγνωση
* 
* Kazuya Kato, Nobushige Kurokawa, Saito Takeshi: *Number Theory 1: Fermat's Dream*. American Mathematical Society, Providence 1993, .

Κατηγορία:Πι
Κατηγορία:Σελίδες με μη επιθεωρημένες μεταφράσεις