Ορθομοναδιαίος πίνακας

*Για πίνακες με ορθογωνιότητα στο πεδίο των πραγματικών αριθμών, δείτε [[ορθογώνιος πίνακας]]. Για τον περιορισμό στην επιτρεπόμενη εξέλιξη των κβαντικών συστημάτων που εξασφαλίζει ότι το άθροισμα των πιθανοτήτων όλων των πιθανών αποτελεσμάτων κάθε γεγονότος είναι πάντα ίσο με 1, βλέπε Ορθομοναδιαίος**.*

Στη γραμμική άλγεβρα, ένας αντιστρέψιμος μιγαδικός τετραγωνικός πίνακας  είναι **Ορθομοναδιαίος** αν ο αντίστροφος πίνακας  ισούται με τη συζυγή αντιστροφή του , δηλαδή αν

U^* U = UU^* = I,

όπου I είναι ο ταυτοτικός πίνακας.

Στη φυσική, ιδίως στην κβαντομηχανική, η συζυγής μεταφορά αναφέρεται ως Ερμιτιανή συγγενής ενός πίνακα και συμβολίζεται με σταυρο (†), οπότε η παραπάνω εξίσωση γράφεται

U^\dagger U = UU^\dagger = I.

Ένας μιγαδικός πίνακας  είναι **ειδικός μοναδιαίος** αν είναι ορθομοναδιαίος και η ορίζουσα του πίνακα ισούται με .

Για τους πραγματικούς αριθμούς, το ανάλογο ενός ορθομοναδιαίου πίνακα είναι ένας ορθογώνιος πίνακας. Οι **ορθομοναδιαίοι πίνακες** έχουν σημαντική σημασία στην κβαντομηχανική επειδή διατηρούν τις νόρμες και, συνεπώς, τα πλάτη πιθανοτήτων.

## Ιδιότητες

Για κάθε μοναδιαίο πίνακα  πεπερασμένου μεγέθους, ισχύουν τα ακόλουθα:
* Δεδομένων δύο μιγαδικών διανυσμάτων  και , ο πολλαπλασιασμός με  διατηρεί το εσωτερικό γινόμενο τους, δηλαδή, .
*  είναι κανονικός (U^* U = UU^*).
*  είναι διαγωνοποιήσιμος- δηλαδή,  είναι μοναδιαία παρόμοιος με έναν διαγώνιο πίνακα, ως συνέπεια του φασματικού θεωρήματος. Έτσι, ο  έχει μια αποσύνθεση της μορφής U = VDV^*, όπου  είναι ορθομοναδιαίος, και  είναι διαγώνιος και ορθομοναδιαίος.
* \left|\det(U)\right| = 1. Δηλαδή, το \det(U) θα βρίσκεται στον μοναδιαίο κύκλο του μιγαδικού επιπέδου.
* Οι ιδιοχώροι του είναι ορθογώνιοι.
*  μπορεί να γραφεί ως }, όπου  υποδηλώνει τον εκθετικό πίνακα,  είναι η φανταστική μονάδα και  είναι ένας Ερμιτιανός πίνακας.

Για κάθε μη αρνητικό ακέραιος αριθμός , το σύνολο όλων των  μοναδιαίων πινάκων με πολλαπλασιασμό
πινάκων σχηματίζει μια ομάδα, που ονομάζεται ορθομοναδιαία ομάδα .

Κάθε τετραγωνικός πίνακας με μοναδιαία ευκλείδεια νόρμα είναι ο μέσος όρος δύο ορθομοναδιαίων πινάκων.

## Ισοδύναμες συνθήκες
Αν *U* είναι ένας τετραγωνικός, μιγαδικός πίνακας, τότε οι ακόλουθες συνθήκες είναι ισοδύναμες:
# U είναι ορθομοναδιαίο.
# U^* είναι ορθομοναδιαίο
# U είναι αντιστρέψιμος με U^{-1} = U^*.
# Οι στήλες του U σχηματίζουν μια ορθοκανονική βάση του \Complex^n σε σχέση με το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο. Με άλλα λόγια, U^*U = I.
# Οι γραμμές του U σχηματίζουν μια ορθοκανονική βάση του \Complex^n ως προς το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο. Με άλλα λόγια, UU^* = I.
# U είναι μια ισομετρία ως προς τη συνήθη νόρμα. Δηλαδή, \|Ux\|_2 = \|x\|_2 για όλα τα x \in \Complex^n, όπου \|x\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2}.
# Ο U είναι ένας κανονικός πίνακας (ισοδύναμα, υπάρχει μια ορθοκανονική βάση που σχηματίζεται από τα ιδιοδιανύσματα του U) με ιδιοτιμές που βρίσκονται στον μοναδιαίο κύκλο.

## Στοιχειώδεις κατασκευές

### Ορθομοναδιαίος πίνακας 2 × 2
Μια γενική έκφραση ενός  ορθομοναδιαίου πίνακα είναι

U = \begin{bmatrix}
 a & b \\
 -e^{i\varphi} b^* & e^{i\varphi} a^* \\
\end{bmatrix},
\qquad
\left| a \right|^2 + \left| b \right|^2 = 1\ ,

ο οποίος εξαρτάται από 4&nbsp;πραγματικές παραμέτρους (τη φάση του , τη φάση του , το σχετικό μέγεθος μεταξύ  και , και τη γωνία ). Η μορφή διαμορφώνεται έτσι ώστε η ορίζουσα ενός τέτοιου πίνακα να είναι

 \det(U) = e^{i \varphi} ~. 

Η υποομάδα αυτών των στοιχείων \ U\  with \ \det(U) = 1\  ονομάζεται ειδική μοναδιαία ομάδα SU(2).

Μεταξύ πολλών εναλλακτικών μορφών, ο πίνακας  μπορεί να γραφτεί με αυτή τη μορφή:

\ U = e^{i\varphi / 2} \begin{bmatrix}
 e^{i\alpha} \cos \theta & e^{i\beta} \sin \theta \\
 -e^{-i\beta} \sin \theta & e^{-i\alpha} \cos \theta \\
\end{bmatrix}\ ,

όπου \ e^{i\alpha} \cos \theta = a\  και \ e^{i\beta} \sin \theta = b\ , παραπάνω, και οι γωνίες \ \varphi, \alpha, \beta, \theta\  μπορούν να πάρουν οποιεσδήποτε τιμές.

Εισάγοντας \ \alpha = \psi + \delta\  και \ \beta = \psi - \delta\ , έχει την ακόλουθη παραγοντοποίηση:

 U = e^{i\varphi /2} \begin{bmatrix}
 e^{i\psi} & 0 \\
 0 & e^{-i\psi}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
 \cos \theta  & \sin \theta \\
 -\sin \theta & \cos \theta \\
\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}
 e^{i\delta} & 0 \\
 0 & e^{-i\delta}
\end{bmatrix} ~.


Η έκφραση αυτή αναδεικνύει τη σχέση μεταξύ των ορθομοναδιαίων πινάκων  και των ορθογώνιων πινάκων  γωνίας .

Μια άλλη παραγοντοποίηση είναι 

U = \begin{bmatrix}
 \cos \rho  &   -\sin \rho \\
 \sin \rho  &   \;\cos \rho \\
\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}
 e^{i\xi} & 0 \\
 0 & e^{i\zeta}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
 \;\cos \sigma  &   \sin \sigma \\
 -\sin \sigma   &   \cos \sigma \\
\end{bmatrix} ~.


Πολλές άλλες παραγοντοποιήσεις ενός ορθομοναδιαίου πίνακα σε βασικούς πίνακες είναι δυνατές.

## Δείτε επίσης

* Field Arithmetic
* Πραγματικό προβολικό επίπεδο
* Εσωτερικό γινόμενο
* Αντιερμιτιανός πίνακας
* Πίνακας (μαθηματικά)
* Τριγωνικός πίνακας
* Ερμιτιανός πίνακας
* Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
* Συζυγής ανάστροφος πίνακας
* Hessenberg matrix at MathWorld.
* High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
* Algorithm overview

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

* English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Matrix Analysis
* Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
* Symmetries, Lie Algebras and Representations: A Graduate Course for Physicists
* An Introduction to Computational Physics
* Applications of Unitary Symmetry and Combinatorics
* Unitary Representations and Harmonic Analysis: An Introduction
* Random Matrices

## Δημοσιεύσεις

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


* Janko Bračič, *Kolobar aritmetičnih funkcij* (*[[:en:Ring (algebra)|Ring]] of arithmetical functions*), (Obzornik mat, fiz. **49** (2002) 4, pp.&nbsp;97–108)  (MSC (2000) 11A25) 
* Iwaniec and Kowalski, *Analytic number theory*, AMS (2004).

Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων
Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Θεωρία τελεστών