Εικασία του Σινγκμάστερ

Η **εικασία του Σινγκμάστερ** είναι μια εικασία στη συνδυαστική θεωρία αριθμών, που πήρε το όνομά της από τον Βρετανό μαθηματικό Ντέιβιντ Σινγκμάστερ, ο οποίος την πρότεινε το 1971. Δηλώνει ότι υπάρχει ένα πεπερασμένο άνω όριο για τις πολλαπλότητες των καταχωρήσεων στο τρίγωνο του Πασκάλ (εκτός από τον αριθμό 1, ο οποίος εμφανίζεται άπειρες φορές). Είναι σαφές ότι ο μόνος αριθμός που εμφανίζεται άπειρες φορές στο τρίγωνο του Πασκάλ είναι το 1, επειδή οποιοσδήποτε άλλος αριθμός *x* μπορεί να εμφανιστεί μόνο μέσα στις πρώτες *x*&nbsp;+&nbsp;1  σειρές του τριγώνου.

## Δήλωση

Έστω *N*(*a*) ο αριθμός των φορών που εμφανίζεται ο αριθμός *a* > 1 στο τρίγωνο του Πασκάλ.  Σε συμβολισμό Μεγάλο Ο (big O), η εικασία είναι:

:N(a) = O(1).

## Γνωστό όριο

Ο Σιγκμάστερ (1971) έδειξε ότι

:N(a) = O(\log a).

Οι Άμποτ, Έρντος και Χάνσον (1974) (βλ. Βιβλιογραφικές αναφορές) βελτίωσαν την εκτίμηση σε:

:N(a) = O\left(\frac{\log a}{\log \log a}\right).

Το καλύτερο γνωστό προς το παρόν (άνευ όρων) όριο είναι

:N(a) = O\left(\frac{(\log a)(\log \log \log a)}{(\log \log a)^3}\right),

και οφείλεται στον Κέιν (2007). Οι Άμποτ, Έρντος και Χάνσον σημειώνουν ότι, υπό την προϋπόθεση της εικασίας του Κράμερ για τα κενά μεταξύ διαδοχικών πρώτων αριθμών,

: N(a) = O\left( (\log a)^{2/3+\varepsilon}\right) 

ισχύει για κάθε \varepsilon > 0 .

Ο Σινγκμάστερ (1975) έδειξε ότι η Διοφαντική εξίσωση

:{n+1 \choose k+1} = {n \choose k+2}

έχει απείρως πολλές λύσεις για τις δύο μεταβλητές *n*, *k*.  Προκύπτει ότι υπάρχουν άπειρες καταχωρήσεις τριγώνου πολλαπλότητας τουλάχιστον&nbsp;6: Για κάθε μη αρνητικό *i*, ένας αριθμός *a* με έξι εμφανίσεις στο τρίγωνο του Πασκάλ δίνεται από μία από τις δύο παραπάνω εκφράσεις με

:n = F_{2i+2} F_{2i+3} - 1,

:k = F_{2i} F_{2i+3} - 1,

όπου *F**j* είναι ο *j*th αριθμός Φιμπονάτσι (δεικτοδοτημένος σύμφωνα με τη σύμβαση ότι *F*0&nbsp;=&nbsp;0  και *F*1&nbsp;=&nbsp;1). Οι δύο παραπάνω εκφράσεις εντοπίζουν δύο από τις εμφανίσεις- δύο άλλες εμφανίζονται συμμετρικά στο τρίγωνο σε σχέση με αυτές τις δύο- και οι άλλες δύο εμφανίσεις είναι στο {a \choose 1} και {a \choose a-1}.

## Στοιχειώδη παραδείγματα

*Το 2 εμφανίζεται μόνο μία φορά- όλοι οι μεγαλύτεροι θετικοί ακέραιοι εμφανίζονται περισσότερες από μία φορές,
*3, 4, 5 ο καθένας εμφανίζεται δύο φορές- άπειροι αριθμοί εμφανίζονται ακριβώς δύο φορές,
*όλοι οι περιττοί πρώτοι αριθμοί εμφανίζονται δύο φορές,
*Το 6 εμφανίζεται τρεις φορές, όπως και όλοι οι κεντρικοί διωνυμικοί συντελεστές εκτός από το 1 και το 2,
(δεν αποκλείεται κατ' αρχήν ένας τέτοιος συντελεστής να εμφανιστεί πέντε, επτά ή περισσότερες φορές, αλλά δεν είναι γνωστό τέτοιο παράδειγμα)
* όλοι οι αριθμοί της μορφής {p \choose 2} για τον πρώτο αριθμό p>3 εμφανίζονται τέσσερις φορές,
* Άπειροι πολλοί εμφανίζονται ακριβώς έξι φορές, συμπεριλαμβανομένου καθενός από τους ακόλουθους:
:: 120 = {120 \choose 1} ={120 \choose 119} = {16 \choose 2} ={16 \choose 14} = {10 \choose 3} ={10 \choose 7}

:: 210 = {210 \choose 1} ={210 \choose 209} = {21 \choose 2} ={21 \choose 19} = {10 \choose 4}={10 \choose 6}

:: 1540 = {1540 \choose 1} ={1540 \choose 1539} = {56 \choose 2} ={56 \choose 54} = {22 \choose 3} = {22 \choose 19}

:: 7140 = {7140 \choose 1} ={7140 \choose 7139} = {120 \choose 2} ={120 \choose 118} = {36 \choose 3} = {36 \choose 33}

:: 11628 = {11628 \choose 1} = {11628 \choose 11627} = {153 \choose 2} = {153 \choose 151} = {19 \choose 5} = {19 \choose 14}

:: 24310 = {24310 \choose 1} = {24310 \choose 24309} = {221 \choose 2} = {221 \choose 219} = {17 \choose 8} = {17 \choose 9}

: Ο επόμενος αριθμός στην άπειρη οικογένεια του Σινγκμάστερ (που δίνεται με βάση τους αριθμούς Φιμπονάτσι), και ο επόμενος μικρότερος αριθμός που εμφανίζεται έξι ή περισσότερες φορές, είναι a = 61218182743304701891431482520:

:: a = {a \choose 1} = {a \choose a-1} = {104 \choose 39} = {104 \choose 65} = {103 \choose 40} = {103 \choose 63}

* Ο μικρότερος αριθμός που εμφανίζεται οκτώ φορές - και μάλιστα ο μόνος γνωστός αριθμός που εμφανίζεται οκτώ φορές - είναι ο 3003, ο οποίος είναι επίσης μέλος της άπειρης οικογένειας αριθμών του Singmaster με πολλαπλότητα τουλάχιστον 6:

:: 3003 = {3003 \choose 1} = {78 \choose 2} = {15 \choose 5} = {14 \choose 6} = {14 \choose 8} = {15 \choose 10} = {78 \choose 76} = {3003 \choose 3002} 

: Δεν είναι γνωστό αν άπειροι αριθμοί εμφανίζονται οκτώ φορές, ούτε καν αν οποιοσδήποτε άλλος αριθμός εκτός από τον 3003 εμφανίζεται οκτώ φορές.

Ο αριθμός των φορών που εμφανίζεται το *n* στο τρίγωνο του Πασκάλ είναι
:∞, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 6, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 2, ... 

Σύμφωνα με τους Άμποτ, Έρντος και Χάνσον (1974), ο αριθμός των ακεραίων αριθμών όχι μεγαλύτερων από το *x* που εμφανίζονται πάνω από δύο φορές στο τρίγωνο του Πασκάλ είναι O(x^{\frac{1}{2}}).

Ο μικρότερος φυσικός αριθμός μεγαλύτερος από το&nbsp;1 που εμφανίζεται (τουλάχιστον) *n* φορές στο τρίγωνο του Πασκάλ είναι
:2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ... 

Οι αριθμοί που εμφανίζονται τουλάχιστον πέντε φορές στο τρίγωνο του Πασκάλ είναι οι εξής
:1, 120, 210, 1540, 3003, 7140, 11628, 24310, 61218182743304701891431482520, ... 

Από αυτά, εκείνα που ανήκουν στην άπειρη οικογένεια του Σινγκμάστερ είναι τα εξής
:1, 3003, 61218182743304701891431482520, ... 

## Ανοικτά ερωτήματα

Δεν είναι γνωστό αν κάποιος αριθμός εμφανίζεται περισσότερες από οκτώ φορές, ούτε αν κάποιος άλλος αριθμός εκτός από το 3003 εμφανίζεται τόσες φορές.  Το εικαζόμενο πεπερασμένο άνω όριο θα μπορούσε να είναι τόσο μικρό όσο το 8, αλλά ο Σινγκμάστερ πίστευε ότι θα μπορούσε να είναι 10 ή&nbsp;12. Είναι επίσης άγνωστο αν κάποιος αριθμός εμφανίζεται ακριβώς πέντε ή επτά φορές.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

## Δείτε επίσης
* Θεωρία αριθμών
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Συζυγής μιγαδικός αριθμός
* Δεύτερη Εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ
* Ελλειπτική καμπύλη
* e (μαθηματική σταθερά)
* Πυθαγόρεια τετράδα
* Άρτιοι και περιττοί αριθμοί
* Τετραγωνικός αριθμός
* Κρυπτογραφία ελλειπτικών καμπυλών
* Προβλήματα του Λαντάου
* Εικασία του Κράμερ
* Εικασία του Γκόλντμπαχ
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Υπόθεση H του Σίνζελ
* Κλάση συζυγίας
* Ευκλείδειος χώρος

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*  
* 
* 

## Παραπομπές

* .
* .
* 
* 
* 
*I. Jiménez Calvo, J. Herranz and G. Sáez Moreno, "A new algorithm to search for small nonzero |'x3&nbsp;-&nbsp;y2'| values", 'Math. Comp.' *78* (2009), pp.&nbsp;2435-2444.
*S. Aanderaa, L. Kristiansen and H. K. Ruud, "Search for good examples of Hall's conjecture", 'Math. Comp.' *87* (2018), 2903-2914.

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

Κατηγορία:Διοφαντικές εξισώσεις
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών
Κατηγορία:Θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Εικασίες
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά