Τύπος περιστροφής του Ροντρίγκες

Στη θεωρία της τρισδιάστατης περιστροφής, ο **τύπος περιστροφής του Ροντρίγκες**, που πήρε το όνομά του από τον Ολίντε Ροντρίγκες, είναι ένας αποτελεσματικός αλγόριθμος για την περιστροφή ενός διανύσματος στο χώρο, δεδομένου ενός άξονα και μιας γωνίας περιστροφής. Κατ' επέκτασιν, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον μετασχηματισμό και των τριών διανυσμάτων βάσης για τον υπολογισμό ενός πίνακα περιστροφής στο SO(3), την ομάδα όλων των πινάκων περιστροφής, από μια αναπαράσταση άξονα-γωνίας. Όσον αφορά τη θεωρία Λι, ο τύπος του Ροντρίγκες παρέχει έναν αλγόριθμο για τον υπολογισμό του εκθετικού χάρτη από την άλγεβρα Λι so(3) στην ομάδα Λι SO(3).

Ο τύπος αυτός αποδίδεται ποικιλοτρόπως στον Λεονάρντ Όιλερ, στον Όλιντε Ροντρίγκες ή σε συνδυασμό των δύο. Μια λεπτομερής ιστορική ανάλυση το 1989 κατέληξε στο συμπέρασμα ότι ο τύπος θα πρέπει να αποδοθεί στον Όιλερ, και συνέστησε να τον ονομάσει «τύπος πεπερασμένης περιστροφής του Όιλερ». Η πρόταση αυτή έλαβε αξιοσημείωτη υποστήριξη, αλλά κάποιοι άλλοι θεώρησαν τον τύπο ως μία από τις πολλές παραλλαγές του τύπου Όιλερ-Ροντρίγκες, πιστώνοντας έτσι και τους δύο.

## Δήλωση

Αν v είναι ένα διάνυσμα στο  και   είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα που περιγράφει έναν άξονα περιστροφής γύρω από τον οποίο το v περιστρέφεται κατά γωνία θ σύμφωνα με τον κανόνα του δεξιού χεριού, ο τύπος του Ροντρίγκες για το περιστρεφόμενο διάνυσμα   είναι

 \mathbf{v}_\mathrm{rot} = \mathbf{v} \cos\theta + (\mathbf{k} \times \mathbf{v})\sin\theta + \mathbf{k} ~(\mathbf{k} \cdot \mathbf{v}) (1 - \cos\theta)\,.

Η διαίσθηση του παραπάνω τύπου είναι ότι ο πρώτος όρος κλιμακώνει το διάνυσμα προς τα κάτω, ενώ ο δεύτερος το γέρνει  (μέσω της πρόσθεσης διανυσμάτων) προς τη νέα θέση περιστροφής. Ο τρίτος όρος προσθέτει ξανά το ύψος (σε σχέση με το \textbf{k}) που χάθηκε από τον πρώτο όρο.

Μια εναλλακτική δήλωση είναι να γραφεί το διάνυσμα του άξονα ως διασταυρούμενο γινόμενο  οποιωνδήποτε δύο μη μηδενικών διανυσμάτων  και  που ορίζουν το επίπεδο περιστροφής, και η έννοια της γωνίας  μετριέται μακριά από το  και προς το . Αφήνοντας το  να υποδηλώνει τη γωνία μεταξύ αυτών των διανυσμάτων, οι δύο γωνίες  και  δεν είναι απαραίτητα ίσες, αλλά μετριούνται με την ίδια έννοια. Τότε το διάνυσμα του μοναδιαίου άξονα μπορεί να γραφεί

:\mathbf{k} = \frac{\mathbf{a}\times\mathbf{b}} = \frac{\mathbf{a}\times\mathbf{b}}  ή \mathbf{v}_{\| } = \mathbf{v} - \mathbf{v}_{\perp} στην τελευταία έκφραση δίνει αντιστοίχως: \mathbf{v}_{\text{rot}}
   = \cos(\theta) \, \mathbf{v} + (1 - \cos\theta)(\mathbf{k} \cdot \mathbf{v})\mathbf{k} 
+ \sin(\theta) \mathbf{k}\times\mathbf{v},

\mathbf{v}_{\text{rot}}
 = \mathbf{v} 
+ (1-\cos\theta)\mathbf{k}\times(\mathbf{k}\times\mathbf{v})
+ \sin(\theta) \mathbf{k}\times\mathbf{v}.

## Συμβολισμός πινάκων

Ο γραμμικός μετασχηματισμός στο \mathbf{v}\isin\mathbb{R}^3  που ορίζεται από το διασταυρούμενο γινόμενο \mathbf{v} \mapsto \mathbf{k} \times \mathbf{v}  δίνεται σε συντεταγμένες αναπαριστώντας  και  ως πίνακες στήλης:

:\begin{bmatrix} (\mathbf{k}\times\mathbf{v})_x \\ (\mathbf{k}\times\mathbf{v})_y 
\\ (\mathbf{k}\times\mathbf{v})_z \end{bmatrix} 
= \begin{bmatrix} k_y v_z - k_z v_y \\ k_z v_x - k_x v_z \\ k_x v_y - k_y v_x \end{bmatrix} 
= \left[\begin{array}{rrr}
0\ \,  & -k_z & k_y \\
k_z & 0\ \, & -k_x \\
-k_y & k_x & 0\ \,  
\end{array}\right]
\begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{bmatrix} \,. 

Δηλαδή, ο πίνακας αυτού του γραμμικού μετασχηματισμού (ως προς τις τυπικές συντεταγμένες) είναι το διανυσματικό γινόμενο πινάκων:

: \mathbf{K}= 
\left[\begin{array}{rrr}
0\ \,  & -k_z & k_y \\
k_z & 0\ \, & -k_x \\
-k_y & k_x & 0\ \,  
\end{array}\right]\,.


Δηλαδή,

: \mathbf{k}\times\mathbf{v}=\mathbf{K}\mathbf{v}, 
\qquad\qquad
\mathbf{k}\times(\mathbf{k}\times\mathbf{v})=\mathbf{K}(\mathbf{K}\mathbf{v}) = \mathbf{K}^2\mathbf{v} \,. 

Ο τελευταίος τύπος της προηγούμενης ενότητας μπορεί επομένως να γραφτεί ως εξής:

:\mathbf{v}_{\mathrm{rot}} = \mathbf{v} + (\sin\theta) \mathbf{K}\mathbf{v} + (1 - \cos\theta)\mathbf{K}^2\mathbf{v}\,.

Η συγκέντρωση των όρων επιτρέπει τη συμπαγή έκφραση
:\mathbf{v}_\mathrm{rot} = \mathbf{R}\mathbf{v}

όπου

 \mathbf{R} = \mathbf{I} + (\sin\theta) \mathbf{K} + (1-\cos\theta)\mathbf{K}^2

είναι ο πίνακας περιστροφής κατά γωνία  αριστερόστροφα γύρω από τον άξονα , και  ο  ταυτοτικός πίνακας. Αυτός ο πίνακας  είναι ένα στοιχείο της ομάδας περιστροφής  της , και  είναι ένα στοιχείο της άλγεβρας Λι \mathfrak{so}(3) που παράγει αυτή την ομάδα Λι (σημειώστε ότι η  είναι λοξά συμμετρική, κάτι που χαρακτηρίζει την \mathfrak{so}(3)).

Όσον αφορά τον εκθετικό πίνακα,
:\mathbf{R} = \exp (\theta\mathbf{K})\,.

Για να διαπιστώσουμε ότι η τελευταία ταυτότητα ισχύει, σημειώνουμε ότι

:\mathbf{R}(\theta) \mathbf{R}(\phi) = \mathbf{R} (\theta+\phi), \quad \mathbf{R}(0) = \mathbf{I}\,, 

χαρακτηριστική μιας μονοπαραμετρικής υποομάδας, δηλαδή εκθετική, και ότι οι τύποι ταιριάζουν για απειροελάχιστες .

χαρακτηριστικό μιας υποομάδας μιας παραμέτρου, δηλ. Για μια εναλλακτική παραγώγιση που βασίζεται σε αυτή την εκθετική σχέση, (βλέπε εκθετικός χάρτης από \mathfrak{so}(3) σε ). (Για την αντίστροφη αντιστοίχιση, βλέπε log map από  σε \mathfrak{so}(3))

Ο δυϊκός Χοτζ της περιστροφής  \mathbf{R} is just \mathbf{R}^* = -\sin(\theta)\mathbf{k} που επιτρέπει την εξαγωγή τόσο του άξονα περιστροφής όσο και του ημιτόνου της γωνίας περιστροφής από τον ίδιο τον πίνακα περιστροφής, με τη συνήθη ασάφεια,

:\begin{align}
  \sin(\theta) &=  \sigma \left|\mathbf{R}^*\right| \\[3pt]
    \mathbf{k} &= -\frac{\sigma\mathbf{R}^*}{\left|\mathbf{R}^*\right|}
\end{align}

όπου \sigma = \pm 1. Η παραπάνω απλή έκφραση προκύπτει από το γεγονός ότι τα δυϊκά Χοτζ  των \mathbf{I} και \mathbf{K}^2 είναι μηδενικά και \mathbf{K}^* = -\mathbf{k}.

## Δημοσιεύσεις

* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* Johan E. Mebius, Derivation of the Euler-Rodrigues formula for three-dimensional rotations from the general formula for four-dimensional rotations., *arXiv General Mathematics* 2007.
* For another descriptive example see: http://chrishecker.com/Rigid_Body_Dynamics#Physics_Articles, Chris Hecker, physics section, part 4. "The Third Dimension" – on page 3, section ``Axis and Angle*, http://chrishecker.com/images/b/bb/Gdmphys4.pdf
* 

== Δείτε επίσης ==

* [https://books.google.gr/books?id=UBVH2Vpf6LYC&printsec=frontcover&dq=Algebraic+function+field&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=Algebraic%20function%20field&f=false Field Arithmetic]
* [[Βικιπαίδεια:Εγχειρίδιο μορφής/Μαθηματικά]] (Περιέχει και τα αγγλοελληνικά Λεξικά Μαθηματικής Ορολογίας)
* [[Πραγματικό προβολικό επίπεδο]]
* [[Στοιχεία|Στοιχεία του Ευκλείδη]]
* [[Ευκλείδειος χώρος]]
* [[Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων]]
* [[Ομογενές πολυώνυμο]]
* [[Παραμετρικές εξισώσεις]]
* [[Παραβολή (γεωμετρία)]]
* [[Προβολή (γραμμική άλγεβρα)]]
* [[Πυθαγόρειο θεώρημα]]
* [[Διανυσματική προβολή]]
* [[Διαβήτης (όργανο)]]
* [[Ορθόκεντρο τριγώνου]]
* [[Λέοναρντ Όιλερ]]
* [[Ευθεία του Όιλερ]]
* [[Εσωτερικό γινόμενο]]
* [[Πίνακας περιστροφής]]
* [[Διανυσματική προβολή]]
* [http://www.cs.utexas.edu/users/flame/pubs/flawn53.pdf High performance algorithms] for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

== Εξωτερικοί σύνδεσμοι ==

* [https://mtzoumas.mysch.gr/mtz/docs_and_apps/Didaskalia/bibl_kath_geom.pdf Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο]
* [https://farside.ph.utexas.edu/Books/Euclid/Elements.pdf Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885)] Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
* [https://thesis.ekt.gr/thesisBookReader/id/22833?lang=el#page/1/mode/2up  Τα οπτικά του Ευκλείδη] Διδακτορική Διατριβή - ΕΑΔΔ
* [https://books.google.gr/books?id=bifEAgAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=A+History+of+Greek+Mathematics,+%CE%A4%CF%8C%CE%BC%CE%BF%CF%82+1&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false A History of Greek Mathematics, Τόμος 1]
* [https://books.google.gr/books?id=sl0bUVtZbpEC&printsec=frontcover&dq=A+History+of+Greek+Mathematics,+Sir+Thomas+Heath&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=A%20History%20of%20Greek%20Mathematics%2C%20Sir%20Thomas%20Heath&f=false A History of Greek Mathematics: Τόμος 2]
* [https://books.google.gr/books?id=559e2AVvrvYC&printsec=frontcover&dq=Euclidean+geometry&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=Euclidean%20geometry&f=false Advanced Euclidean Geometry]
* [https://books.google.gr/books?id=PfH3DwAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=Euclidean+geometry&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=Euclidean%20geometry&f=false Methods for Euclidean Geometry.]
* [https://books.google.gr/books?id=sib4DwAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=Euclidean+geometry&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=Euclidean%20geometry&f=false Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra.]
* [https://books.google.gr/books?id=rEpjDwAAQBAJ&pg=PA342&dq=Rodrigues%27+rotation+formula&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjQvI-Z1IeJAxUkSfEDHQheJWAQ6AF6BAgHEAI#v=onepage&q=Rodrigues'%20rotation%20formula&f=falseICGG 2018 - Proceedings of the 18th International Conference on Geometry and .., page 342]
* [https://books.google.gr/books?id=qrj93PDUyIcC&pg=PA139&dq=Rodrigues%27+rotation+formula&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjQvI-Z1IeJAxUkSfEDHQheJWAQ6AF6BAgGEAI#v=onepage&q=Rodrigues'%20rotation%20formula&f=false Rotation Transforms for Computer Graphics, page 139]
* [https://books.google.gr/books?id=0NyU9k8zcwoC&pg=PA14&dq=Rodrigues%27+rotation+formula&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjQvI-Z1IeJAxUkSfEDHQheJWAQ6AF6BAgFEAI#v=onepage&q=Rodrigues'%20rotation%20formula&f=false Reconstruction of Specular Reflective Surfaces Using Auto-Calibrating ... page 14...]
* [https://books.google.gr/books?id=K3eqCAAAQBAJ&pg=PA30&dq=Rodrigues%27+rotation+formula&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjQvI-Z1IeJAxUkSfEDHQheJWAQ6AF6BAgKEAI#v=onepage&q=Rodrigues'%20rotation%20formula&f=falseCognitive Vision: 4th International Workshop, ICVW 2008, Santorini, Greece ..., page 30]
* [https://books.google.gr/books?id=Pn94Czlg7VUC&pg=PA191&dq=Rodrigues%27+rotation+formula&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjQvI-Z1IeJAxUkSfEDHQheJWAQ6AF6BAgMEAI#v=onepage&q=Rodrigues'%20rotation%20formula&f=false  Flexible Multibody Dynamics -Rodrigues' rotation formula,  page 191..]
* [https://books.google.gr/books?id=Th-CAwAAQBAJ&pg=PA44&dq=unipotent&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjYgauQsNmIAxWzSfEDHSLtNnQQ6AF6BAgHEAI#v=onepage&q=unipotent&f=false Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..]

== Παραπομπές ==


*[[Leonhard Euler]], "Problema algebraicum ob affectiones prorsus singulares memorabile", *Commentatio 407 Indicis Enestoemiani, Novi Comm. Acad. Sci. Petropolitanae*  *'15** (1770), 75–106.
*[[:en:Olinde Rodrigues|Olinde Rodrigues]], "Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un système solide dans l'espace, et de la variation des coordonnées provenant de ces déplacements considérés indépendants des causes qui peuvent les produire", ''Journal de Mathématiques Pures et Appliquées'' **5*' (1840), 380–440. [http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1840_1_5_A39_0.pdf  online].
*Friedberg, Richard (2022). "". *arXiv:2211.07787*.
*Don Koks, (2006) *Explorations in Mathematical Physics*, Springer Science+Business Media, LLC. ISBN 0-387-30943-8. Ch.4, pps 147 et seq. *A Roundabout Route to Geometric Algebra''

Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία 
Κατηγορία:Κλασική γεωμετρία 
Κατηγορία:Παραστατική γεωμετρία 
Κατηγορία:Μαθηματικά θεωρήματα 
Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία 
Κατηγορία:Περιστροφή 
Κατηγορία:Ομάδες Λι 
Κατηγορία:Διαφορική γεωμετρία
Κατηγορία:Διανυσματικός λογισμός