Συμμετρικός πίνακας

Στην γραμμική άλγεβρα, ένας **συμμετρικός πίνακας** είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας A που είναι ίσος με τον ανάστροφό του A^T, A = A^T. Δηλαδή, ένας πίνακας διαστάσεων n \times n είναι συμμετρικός αν και μόνο αν A_{ij} = A_{ji} για κάθε 1 \leq i, j \leq n.

Η γενική μορφή ενός συμμετρικού πίνακα διαστάσεων n \times n για n = 2, 3, 4, είναι:
:
\underbrace{
\begin{bmatrix}
A_{11} & \color{red}{A_{12}} \\
\color{red}{A_{12}} & A_{22}
\end{bmatrix}}_{2 \times 2}
\qquad
\underbrace{
\begin{bmatrix}
A_{11} & \color{red}{A_{12}} & \color{blue}{A_{13}} \\
\color{red}{A_{12}} & A_{22} & \color{green}{A_{23}} \\
\color{blue}{A_{13}} & \color{green}{A_{23}} & A_{33}
\end{bmatrix}}_{3 \times 3}
\qquad
\underbrace{
\begin{bmatrix}
A_{11} & \color{red}{A_{12}} & \color{blue}{A_{13}} & \color{orange}{A_{14}} \\
\color{red}{A_{12}} & A_{22} & \color{green}{A_{23}} & \color{purple}{A_{24}} \\
\color{blue}{A_{13}} & \color{green}{A_{23}} & A_{33} & \color{magenta}{A_{34}} \\
\color{orange}{A_{14}} & \color{purple}{A_{24}} & \color{magenta}{A_{34}} & A_{44} 
\end{bmatrix}}_{4 \times 4},

όπου με ίδιο χρώμα (εκτός του μαύρου) είναι τα στοιχεία που πρέπει να είναι ίσα μεταξύ τους σε έναν συμμετρικό πίνακα. Τα στοιχεία αυτά είναι *συμμετρικά* ως προς την κύρια διαγώνιο, εξού και το όνομα του *συμμετρικός πίνακας*. 

## Παραδείγματα

* Παρακάτω δίνονται μερικοί συγκεκριμένοι συμμετρικοί πίνακες
::
\begin{bmatrix}
5 & \color{red}{7} \\
\color{red}{7} & -3
\end{bmatrix}
\qquad
\begin{bmatrix}
2 & \color{red}{4.8} & \color{blue}{-6} \\
\color{red}{4.8} & -5.1 & \color{green}{-3.4} \\
\color{blue}{-6} & \color{green}{-3.4} & 2.2
\end{bmatrix}
\qquad
\begin{bmatrix}
-10 & \color{red}{2.1} & \color{blue}{0} & \color{orange}{4.7} \\
\color{red}{2.1} & 0 & \color{green}{-0.7} & \color{purple}{2.2} \\
\color{blue}{0} & \color{green}{-0.7} & 2 & \color{magenta}{3.5} \\
\color{orange}{4.7} & \color{purple}{2.2} & \color{magenta}{3.5} & -5
\end{bmatrix}.

* Κάθε διαγώνιος πίνακας είναι συμμετρικός. Ως διαγώνιοι ο ταυτοτικός πίνακας I_n και ο μηδενικός πίνακας \mathbf{0}_{n \times n} είναι συμμετρικός.
* Ένας μη-κατευθυνόμενος γράφος έχει συμμετρικό πίνακα γειτνίασης υπάρχει ακμή μεταξύ των κορυφών i και j αν και μόνο αν υπάρχει ακμή μεταξύ των κορυφών j και i.
* Ο Εσσιανός πίνακας μίας συνάρτησης f με συνεχείς δεύτερες μερικούς παραγώγους, είναι συμμετρικός.

## Ιδιότητες

* Εξ'ορισμού, ο ανάστροφος πίνακας A^T ενός συμμετρικού πίνακα A είναι συμμετρικός, καθώς είναι ίσος με τον A. 
* Το άθροισμα δύο συμμετρικών πινάκων A, B είναι συμμετρικός πίνακας, καθώς (A+B)^T = A^T + B^T = A + B.
* Το βαθμωτός πολλαπλασιασμός ενός συμμετρικού πίνακα A και ενός στοιχείου c είναι συμμετρικός πίνακας, καθώς (cA)^T = cA^T = cA.
* Το φασματικό θεώρημα λέει ότι ένας πίνακας είναι ορθογώνια διαγωνοποιήσιμος αν και μόνο αν είναι συμμετρικός.
* Για κάθε πίνακα A, οι πίνακες A^T A και A A^T είναι συμμετρικοί.
* Για κάθε πίνακα A, ο πίνακας A + A^T είναι συμμετρικός, καθώς (A + A^T)^T = A^T + (A^T)^T = A^T + A = A + A^T. Προκύπτει ότι κάθε πίνακας A μπορεί να γραφτεί ως A = B + C για συμμετρικό πίνακα B = \tfrac{1}{2} \cdot (A + A^T) και αντισυμμετρικό πίνακα C = \tfrac{1}{2} \cdot (A - A^T).
* Για κάθε πραγματικό συμμετρικό πίνακα A, οι ιδιοτιμές του είναι πραγματικοί αριθμοί.

## Δείτε επίσης

* Αντισυμμετρικός πίνακας
* Αυτοπροσαρτηµένος πίνακας

## Παραπομπές


 

Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα