Μονοειδές (Θεωρία κατηγοριών)

Στη θεωρία κατηγοριών, έναν κλάδο των μαθηματικών, ένα **μονοειδές** (ή **αντικείμενο μονοειδούς**, ή **εσωτερικό μονοειδές**, ή **άλγεβρα**)  σε μια μονοειδική κατηγορία  είναι ένα αντικείμενο “'M”' μαζί με δύο μορφισμούς
* *μ*: *M* ⊗ *M* → *M*  που ονομάζεται *πολλαπλασιασμός*,
* *η*: *Ι* → *Μ* που ονομάζεται *μονάδα*,
τέτοια ώστε το πενταγωνικό διάγραμμα
: 
και το διάγραμμα unitor
: 
αντιμεταθετικό. Στον παραπάνω συμβολισμό, το 1 είναι ο ταυτοτικός μορφισμός του *M*, *I* είναι το μοναδιαίο στοιχείο και τα *α*, *λ* και *ρ* είναι αντίστοιχα η προσεταιριστικότητα , η αριστερή ταυτότητα και η δεξιά ταυτότητα της μονοειδούς κατηγορίας  **C**.

Αντίστοιχα, ένα κομονοειδές σε μια μονοειδική κατηγορία **C** είναι ένα μονοειδές στη δυϊκή κατηγορία  **C**op.

Ας υποθέσουμε ότι η μονοειδής κατηγορία **C** έχει μια πλεξίδα *γ*. Ένα μονοειδές *M* στην **C** είναι **[[Αντιμεταθετική ιδιότητα|αντιμεταθετικό]]** όταν .

## Παραδείγματα
* Ένα μονοειδές αντικείμενο στο **Set**, την κατηγορία των συνόλων (με τη μονοειδική δομή που επάγεται από το καρτεσιανό γινόμενο), είναι μονοειδές με τη συνήθη έννοια.
* Ένα μονοειδές αντικείμενο στο **Top**, την κατηγορία των τοπολογικών χώρων (με τη μονοειδική δομή που επάγεται από την τοπολογία του γινομένου), είναι ένα τοπολογικό μονοειδές.
* Ένα μονοειδές αντικείμενο στην κατηγορία των μονοειδών (με το άμεσο γινόμενο των μονοειδών) είναι απλά ένα αντιμεταθετικό μονοειδές. Αυτό προκύπτει εύκολα από το επιχείρημα Έκμαν-Χίλτον.
* Ένα μονοειδές αντικείμενο στην κατηγορία των πλήρων join-ημιπλεγμάτων **[[Ολοκληρωμένο πλέγμα#Μορφισμοί ολοκληρωμένων πλεγμάτων|Sup]]** (με τη μονοειδική δομή που επάγεται από το καρτεσιανό γινόμενο) είναι ένα μοναδιαίο quantale.
* Ένα μονοειδές αντικείμενο στην  την κατηγορία των αβελιανών ομάδων, είναι ένας δακτύλιος.
* Για έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο “'R”', ένα μονοειδές αντικείμενο στο
** , η κατηγορία των προτύπων πάνω από το “'R”', είναι μια *R*-άλγεβρα.
** η κατηγορία των βαθμωτών ενοτήτων είναι μια βαθμωτή *R*-άλγεβρα.
** η κατηγορία των μιγαδικών αλυσίδων των “'R”'-μονάδων είναι μια διαφορική βαθμωτή άλγεβρα.
* Ένα μονοειδές αντικείμενο στην *K*-**Vect**, την κατηγορία των "K"-διανυσματικών χώρων (και πάλι με το τανυστικό γινόμενο), είναι μια μοναδιαία προσεταιριστική "K"-άλγεβρα, και ένα κομονοειδές αντικείμενο είναι μια "K"-άλγεβρα.
* Για κάθε κατηγορία "C", η κατηγορία  των ενδοσυναρτητών της έχει μια μονοειδής δομή που επάγεται από τη σύνθεση και τον ταυτοτικό συναρτητή *I**C*. Ένα μονοειδές αντικείμενο στο  είναι μια μονάδα στο *C*.

* Για κάθε κατηγορία με τελικό αντικείμενο και πεπερασμένα γινόμενα, κάθε αντικείμενο γίνεται αντικείμενο συνμονοειδές μέσω του διαγώνιου μορφισμού . Αντίστροφα σε μια κατηγορία με αρχικό αντικείμενο και πεπερασμένα συνγινόμενα, κάθε αντικείμενο γίνεται αντικείμενο μονοειδές μέσω του .

## Κατηγορίες μονοειδών

Δεδομένων δύο μονοειδών  και  σε μια μονοειδική κατηγορία **C**,ένας μορφισμός  είναι ένας  **'μορφισμός μονοειδών** όταν
* *f* ∘ *μ* = *μ*′ ∘ (*f* ⊗ *f*),
* *f* ∘ *η* = *η*′.
Με άλλα λόγια, τα ακόλουθα διαγράμματα

, 

αντιμεταθετικά.

Η κατηγορία των μονοειδών στο **C** και των μονοειδών μορφισμών τους γράφεται **Mon****C**.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


* 
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
*
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) 
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα