Κανονικό πολύγωνο

Στην γεωμετρία, το **κανονικό πολύγωνο** είναι ένα πολύγωνο το οποίο είναι ισογώνιο (όλες οι γωνίες του είναι ιδίων μοιρών) και ισόπλευρο (όλες οι πλευρές του είναι ιδίου μήκους).

Το κανονικό τρίγωνο είναι το ισόπλευρο τρίγωνο. Το κανονικό τετράπλευρο με τέσσερις πλευρές είναι το τετράγωνο. 

Τα κανονικά πολύγωνα μπορούν να είναι κυρτά ή αστεροειδή. 

## Κανονικά κυρτά πολύγωνα

### Ιδιότητες
*Η κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου είναι ίση με
::\omega_n = \frac{360^\circ}{n}.
* Οι γωνίες ενός κανονικού πολυγώνου είναι ίσες με
::\varphi_n = 180^\circ\cdot (n-2)/n.
 = 180^\circ \cdot (n-2), 
και επομένως
:\varphi_n = 180^\circ \cdot (n-2) /n.
}}
* Δύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια.

* Κάθε κανονικό πολύγωνο είναι περιγράψιμο σε κύκλο. Η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου λέγεται **απόστημα του πολυγώνου** και συμβολίζεται με \alpha_n.
* Κάθε κανονικό πολύγωνο είναι εγγράψιμο σε κύκλο. Η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου λέγεται **ακτίνα του πολυγώνου**. 
* Οι δύο αυτοί κύκλοι είναι ομόκεντροι, και το κέντρο τους λέγεται **κέντρο του πολυγώνου**. 
* Το κέντρο του πολυγώνου είναι και κέντρο βάρους του, καθώς και κέντρο συμμετρίας του πολυγώνου όταν n είναι ζυγός.

* Έχει n άξονες συμμετρίας.
** Αν n, είναι ζυγός, τότε οι άξονες ενώνουν αντιδιαμετρικές κορυφές ή μέσα απέναντι πλευρών.
** Αν n είναι μονός, τότε οι άξονες ενώνουν κορυφές με τα μέσα απέναντι πλευρών.
* Έχει περιστροφική συμμετρία τάξης n.

### Μετρικές σχέσεις

Οι παρακάτω σχέσεις μεταξύ της πλευράς ενός κανονικού πολυγώνου, της ακτίνας του περιγεγραμμένου του κύκλου και της ακτίνας του εγγεγραμμένου του κύκλου προκύπτουν αν θεωρήσουμε το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται από το απόστημα μίας πλευράς του κανονικού πολυγώνου. 

Πιο συγκεκριμένα, το Πυθαγόρειο θεώρημα δίνει την εξής σχέση
:R^2 = \alpha_n^2+\frac{\lambda_n^2}{4},
και οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας \varphi / 2 δίνουν τις παρακάτω σχέσεις. 

#### Ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου
* Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου ενός κανονικού πολυγώνου είναι ίση με 
::
\begin{align}
R &= \frac{1}{2} \csc \frac{\pi}{n} \cdot \lambda_n,
\end{align}


#### Ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου
* Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου ενός κανονικού πολυγώνου είναι ίση με το απόστημα του πολυγώνου
::\begin{align}
\alpha_n 
 & = \cos \frac{\pi}{n} \cdot R \\
 & = \frac{1}{2} \cot \frac{\pi}{n} \cdot \lambda_n.
\end{align}

* Η πλευρά του πολυγώνου συναρτήσει της ακτίνας και της κεντρικής γωνίας δίνεται ως 
::
\begin{align}
\lambda_n 
 & = 2\sin \frac{\pi}{n} \cdot R \\
 & = 2\tan \frac{\pi}{n} \cdot \alpha_n.
\end{align}
#### Διαγώνιοι
* Το κανονικό πολύγωνο έχει \frac{1}{2} n \cdot (n-3) διαγωνίους. 
* Η διαγώνιος d_k (για k = 2, \ldots n-2) που συνδέει την κορυφή \rm P_1 με την {\rm P}_{k+1} έχει μήκος
::d_k = 2R \cdot \sin \frac{\pi k}{n}.
{2}} \\
 & = 2R \sin \frac{\pi k}{n},
\end{align}

όπου στην τελευταία γραμμή χρησιμοποιήσαμε τον τύπο για το ημίτονο της μισής γωνίας.
}}

= \frac{(d_k - \lambda) \cdot (d_k + \lambda)}{d_{k-1}}.
Χρησιμοποιώντας τον τύπο για το άθροισμα ημιτόνων 
:\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cdot \cos \frac{x -y}{2},
καθώς και την επαγωγική σχέση, έχουμε ότι
:
\begin{align}
d_{k+1} 
 & = \frac{16R^2 \cdot \sin \frac{\pi (k+1)}{2n} \cos \frac{\pi (k-1)}{2n} \cdot \sin \frac{\pi (k+1)}{2n} \cos \frac{\pi (k-1)}{2n} }{2R \sin \frac{\pi (k-1)}{n} } \\
 & = \frac{2R \cdot \sin \frac{\pi (k+1)}{n} \cdot \sin \frac{\pi (k+1)}{n}}{\sin \frac{\pi (k-1)}{n} } \\
 & = 2R \cdot \sin \frac{\pi (k+1)}{n}.
\end{align}
}}
* Ισχύει ότι 
::d_k^2 + d_{n-k}^2 = 4R^2.

#### Άλλοι τύποι

* (**[[Τύπος του Αρχιμήδη]]**) Έστω ένας κύκλος ακτίνας R στον οποίο είναι εγγεγραμμένα ένα κανονικό πολύγωνο με 2n πλευρές μήκους \lambda_{2n} και ένα κανονικό πολύγωνο με n πλευρές και ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου \alpha_n. Τότε,
::\lambda_{2n}^2 = 2R \cdot (R - \alpha_n). 
:**Σημείωση:** Ο τύπος του Αρχιμήδη χρησιμοποιείται στην απόδειξη του θεωρήματος του Ιπποκράτη.
* Σε δύο όμοια κανονικά πολύγωνα, ο λόγος των ακτίνων και των αποστημάτων τους είναι ίσος με τον λόγο ομοιότητάς τους.
* (**[[Θεώρημα Βιβιάνι]]**) Το αλγεβρικό άθροισμα των αποστάσεων ενός σημείο από τις πλευρές ενός κανονικού πολυγώνου με κορυφές είναι ίσο με n \cdot \alpha_n.

 || 2.938926 || 0.935489 || 60px || \scriptstyle 2 \sqrt{25 - 10\sqrt{5}} || 3.249197 || 1.034252 || 60px
|-
| 11 || Κανονικό ενδεκάγωνο|| || 2.973524 || 0.946502 || 60px ||  || 3.229891 || 1.028106 || 60px
|-
| 12 || Κανονικό δωδεκάγωνο||\scriptstyle 3 || 3.000000 || 0.954930 || 60px || \scriptstyle 12 \left( 2 - \sqrt{3} \right) || 3.215390 || 1.023491 || 60px
|-
| 13 || Κανονικό δεκατριάγωνο|| || 3.020701 || 0.961519 || 60px ||  || 3.204212 || 1.019932 || 60px
|-
| 14 || Κανονικό δεκατετράγωνο|| || 3.037186 || 0.966766 || 60px ||  || 3.195409 || 1.017130 || 60px
|-
| 15 || Κανονικό δεκαπεντάγωνο||\scriptstyle \frac{15}{8} \sqrt{7 + \sqrt{5} - \sqrt{30 + 6\sqrt{5}}} || 3.050525 || 0.971012 || 60px || \scriptstyle 15 \sqrt{23 - 10 \sqrt{5} - 2 \sqrt{255-114\sqrt{5}}} || 3.188348 || 1.014883 || 60px
|-
| 16 || Κανονικό δεκαεξάγωνο ||\scriptstyle 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} || 3.061467 || 0.974495 || 60px || \scriptstyle 16 \left( \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} - \sqrt{2} - 1 \right) || 3.182598 || 1.013052 || 60px
|-
| 17 || Κανονικό δεκαεπτάγωνο|| || 3.070554 || 0.977388 || 60px ||  || 3.177851 || 1.011541 || 60px
|-
| 18 || Κανονικό δεκαοκτάγωνο|| || 3.078181 || 0.979816 || 60px ||  || 3.173886 || 1.010279 || 60px
|-
| 19 || Κανονικό δεκαεννεάγωνο|| || 3.084645 || 0.981873 || 60px ||  || 3.170539 || 1.009214 || 60px
|-
| 20 || Κανονικό εικοσάγωνο||\scriptstyle \frac{5}{2}(\sqrt{5} - 1) || 3.090170 || 0.983632 || 60px || \scriptstyle 20 \left( 1 + \sqrt{5} - \sqrt{5 + 2\sqrt{5}} \right) || 3.167689 || 1.008307 || 60px
|- 
| colspan=8 | \vdots
|-
| 103 || Κανονικό χιλιάγωνο|| || 3.141572 || 0.999993 || ||  || 3.141603 || 1.000003 || 
|-
| 104 || Κανονικό μυριάγωνο|| || 3.141592 || 0.999999 || ||  || 3.141592 || 1.000000+ || 
|}

### Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

(**Θεώρημα Γκάους-Βαντσέλ**) Ένα κανονικό πολύγωνο με n πλευρές είναι κατασκευάσιμο με κανόνα και διαβήτη αν και μόνο αν n = 2^k \cdot p_1 \cdot \ldots \cdot p_\ell, όπου k ένας φυσικός αριθμός και p_1, \ldots , p_\ell είναι διακριτοί πρώτοι αριθμοί Φερμά.

:* Το ισόπλευρο τρίγωνο, το τετράγωνο, το κανονικό πεντάγωνον, το κανονικό εξάγωνο, το κανονικό οκτάγωνο, το κανονικό δεκάγωνο, το κανονικό δωδεκάγωνο, το κανονικό δεκαπεντάγωνο, το κανονικό δεκαεξάγωνο, το κανονικό δεκαεπτάγωνο, ... είναι κατασκευάσιμα.

### Κατασκευή με οριγκάμι
Ένα κανονικό πολύγωνο με n πλευρές μπορεί να κατασκευαστεί με οριγκάμι αν και μόνο αν n = 2^{a} \cdot 3^{b} \cdot p_1 \cdot \ldots \cdot p_\ell όπου a, b φυσικοί αριθμοί και p_1, \ldots , p_\ell είναι διακριτοί πρώτοι αριθμοί Pierpont.

### Σχηματισμός κανονικών πολυγώνων

* Αν n σημεία διαιρούν έναν κύκλο σε n ίσα μέρη, τότε σχηματίζουν κανονικό πολύγωνο.
* Έστω ένα κανονικό πολύγωνο και ο περιγεγραμμένος του κύκλος. Τα σημεία τομής των εφαπτομένων στις κορυφές του πολυγώνου, ορίζουν ένα κανονικό πολύγωνο.
* Τα μέσα των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου, ορίζουν ένα κανονικό πολύγωνο.

## Κανονικά πολύγωνα ως έδρες πολυέδρων
* Ένα ομοιόμορφο πολύεδρο έχει ως έδρες κανονικά πολύγωνα, έτσι ώστε για κάθε δύο κορυφές να υπάρχει μια ισομετρία χαρτογραφώντας το ένα μέσα στο άλλο (ομοίως με τα κανονικά πολύγωνα).
* Ένα σχεδόν-κανονικό πολύεδρο είναι ένα ομοιόμορφο πολύεδρο που έχει μόνο δύο είδη εδρών που εναλλάσσονται γύρω από κάθε κορυφή του.
* Ένα κανονικό πολύεδρο είναι ένα ομοιόμορφο πολύεδρο που έχει μόνο ένα είδος έδρας.
* Τα υπόλοιπα (ανομοιόμορφα) κυρτά πολύεδρα με κανονικές έδρες είναι γνωστά ως στερεά του Τζόνσον.
* Ένα πολύεδρο που έχει κανονικά τρίγωνα ως έδρες ονομάζεται δελτάεδρο.

## Περαιτέρω ανάγνωση

### Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*
* Διαδραστικές εφαρμογές στο Φωτόδεντρο: στοιχεία κανονικού πολυγώνου
*Διαδραστικές εφαρμογές στο mathopenref: περιγραφή κανονικού πολυγώνου, Εγγεγραμμένος κύκλος κανονικού πολυγώνου, τρεις τύποι για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου
*Κατασκευές κανονικών πολυγώνων από αναγεννησιακούς καλλιτέχνες

### Ελληνικά άρθρα
* 
* 
* 

### Ξενόγλωσσα άρθρα
* 
* 
* 
* 
* 
* 

### Βιβλιογραφία
* 
* 
* 

## Σημειώσεις


## Παραπομπές


Κατηγορία:Πολύγωνα