Ολοκλήρωμα του Ντουχάμελ

Στη θεωρία της ταλάντωσης, το **ολοκλήρωμα του Ντουχάμελ** είναι ένας τρόπος υπολογισμού της απόκρισης γραμμικών συστημάτων και δομών σε αυθαίρετες χρονικά μεταβαλλόμενες εξωτερικές διαταραχές.

## Εισαγωγή

### Ιστορικό

Η απόκριση ενός γραμμικού, ιξωδώς αποσβεσμένου συστήματος ενός βαθμού ελευθερίας (SDOF) σε μια χρονικά μεταβαλλόμενη μηχανική διέγερση *p*(*t*) δίνεται από την ακόλουθη συνήθη διαφορική εξίσωση δεύτερης βαθμού 

:m\frac + c\frac + kx(t) = p(t)

όπου *m* είναι η (ισοδύναμη) μάζα, *x* συμβολίζει το πλάτος της ταλάντωσης, *t* τον χρόνο, *c* τον συντελεστή ιξώδους απόσβεσης και *k* τη δυσκαμψία του συστήματος ή της δομής.

Αν ένα σύστημα αρχικά βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του, από όπου ασκείται πάνω του μια μοναδιαία ώθηση τη στιγμή *t*=0, δηλαδή *p*(*t*) στην παραπάνω εξίσωση είναι μια συνάρτηση δέλτα Ντιράκ *δ*(*t*), x(0) = \left. \frac{dx}{dt} \right|_{t = 0} = 0, τότε επιλύοντας τη διαφορική εξίσωση μπορούμε να πάρουμε μια θεμελιώδη λύση (γνωστή ως **συνάρτηση μοναδιαίας παλμικής απόκρισης**)

:h(t)=
\begin{cases}
\frac{1}e^{ - \varsigma \omega _n t} \sin \omega _d t, & t > 0 \\
0, & t 

όπου \varsigma  = \frac{c}{2\sqrt{k m}} ονομάζεται λόγος απόσβεσης του συστήματος, \omega _n=\sqrt{\frac{k}{m}} είναι η φυσική γωνιακή συχνότητα του συστήματος χωρίς απόσβεση (όταν *c*=0) και \omega _d  = \omega _n \sqrt {1 - \varsigma ^2 }  είναι η γωνιακή συχνότητα όταν λαμβάνεται υπόψη το φαινόμενο της απόσβεσης (όταν c \ne 0). Εάν ο παλμός συμβαίνει στο *t*=*τ* αντί για *t*=0, δηλαδήp(t)=\delta (t - \tau ), η κρουστική απόκριση είναι 

:h(t - \tau ) = \frac{1}e^{ - \varsigma \omega _n (t - \tau )} \sin [\omega _d (t - \tau )]，t \ge \tau 

### Συμπεράσματα
Θεωρώντας την αυθαίρετα μεταβαλλόμενη διέγερση *p*(*t*) ως υπέρθεση μιας σειράς παλμών:

:p(t) \approx \sum_{\tau 

τότε είναι γνωστό από τη γραμμικότητα του συστήματος ότι η συνολική απόκριση μπορεί επίσης να αναλυθεί στην υπέρθεση μιας σειράς παλμικών αποκρίσεων:

:x(t) \approx \sum_{\tau 

Αφήνοντας \Delta \tau \to 0, και αντικαθιστώντας την άθροιση με ολοκλήρωμα, η παραπάνω εξίσωση είναι αυστηρά έγκυρη

:x(t) = \int_0^t {p(\tau )h(t - \tau )d\tau } 

Η αντικατάσταση της έκφρασης του *h*(*t*-*τ*) στην παραπάνω εξίσωση οδηγεί στη γενική έκφραση του ολοκληρώματος του Ντουχάμελ

:x(t) = \frac{1}\int_0^t {p(\tau )e^{ - \varsigma \omega _n (t - \tau )} \sin [\omega _d (t - \tau )]d\tau }

### Μαθηματική απόδειξη
Η παραπάνω δυναμική εξίσωση ισορροπίας SDOF στην περίπτωση *p*(*t*)=0 είναι η ομογενής εξίσωση:

:\frac + \bar{c}\frac + \bar{k}x(t) = 0, όπου \bar{c}=\frac{c}{m},\bar{k}=\frac{k}{m} 

Η λύση αυτής της εξίσωσης είναι:

:x_h(t) = C_1\cdot e^{ -\frac{1}{2} \left(\bar{c}+\sqrt{\bar{c}^2-4\cdot \bar{k}} \right)t}+C_2\cdot e^{ \frac{1}{2} \left(-\bar{c}+\sqrt{\bar{c}^2-4\cdot \bar{k}}\right)t}

Η αντικατάσταση: A = \frac{1}{2}\left(\bar{c}-\sqrt{\bar{c}^2-4\bar{k}}\right), \; B=\frac{1}{2}\left(\bar{c}+\sqrt{\bar{c}^2-4\bar{k}}\right), \; P=\sqrt{\bar{c}^2-4\bar{k}}, \; P=B-A οδηγεί στο:
:x_h(t) = C_1 e^{ -B\cdot t} \; + \; C_2 e^{ -A\cdot t}

Μία μερική λύση της μη ομοιογενούς εξίσωσης:  \frac{d^2 x(t)}{dt^2} + \bar{c}\frac{dx(t)}{dt} + \bar{k}x(t) = \bar p(t), όπου \bar p(t) = \frac{p(t)}{m} θα μπορούσε να προκύψει με τη μέθοδο Λαγκράντζιαν για την εξαγωγή μερικής λύσης μη ομοιογενών συνήθων διαφορικών εξισώσεων.

Η λύση αυτή έχει τη μορφή: 

:x_p(t) = \frac{\int{\bar{p(t)}\cdot e^{At}dt}\cdot e^{-At}-\int{\bar{p(t)}\cdot e^{Bt}dt}\cdot e^{-Bt}}{P}

Τώρα αντικαθιστώντας:\left. \int {\bar{p(t)} \cdot e^{At}dt} \right|_{t=z}=Q_z, \left. \int {\bar{p(t)} \cdot e^{Bt}dt}\right|_{t=z}=R_z ,όπου  \left.\int x(t)dt\right|_{t=z}  είναι η παράγουσα του *x*(*t*) που υπολογίζεται στο *t*=*z*, στην περίπτωση *z*=*t* αυτό το ολοκλήρωμα είναι η ίδια η παράγουσα, δίνει :

:x_p(t) = \frac{Q_t\cdot e^{-At}-R_t\cdot e^{-Bt}}{P}

Τέλος, η γενική λύση της παραπάνω μη ομοιογενούς εξίσωσης παριστάνεται ως εξής:

:x(t)=x_h(t)+x_p(t)=C_1\cdot e^{ -B t}+C_2\cdot e^{ -A t} +\frac{Q_t\cdot e^{-At}-R_t\cdot e^{-Bt}}{P}

με χρονική παράγωγο:

: \frac{dx}{dt} = -A e^{-At} \cdot C_2-B e^{-Bt} \cdot C_1 + \frac{1}{P} \left[\dot{Q_t}\cdot e^{-At}-A Q_t\cdot e^{-At}-\dot{R_t}\cdot e^{-Bt}+B R_t\cdot e^{-Bt}\right], where \dot{Q_t}=p(t)\cdot e^{At},\dot{R_t}=p(t)\cdot e^{Bt}

Για να βρεθούν οι άγνωστες σταθερές C_1, C_2, θα εφαρμοστούν μηδενικές αρχικές συνθήκες:

:x(t)|_{t=0} = 0: C_1+C_2+\frac{Q_0\cdot 1-R_0\cdot 1}{P}=0 ⇒ C_1+C_2=\frac{R_0-Q_0}{P}
:\left. \frac{dx}{dt} \right|_{t=0} = 0: -A\cdot C_2-B\cdot C_1 + \frac{1}{P}\cdot [-A\cdot Q_0+B\cdot R_0]=0 ⇒ A\cdot C_2+B\cdot C_1=\frac{1}{P}\cdot [B\cdot R_0-A\cdot Q_0]

Τώρα συνδυάζοντας και τις δύο αρχικές συνθήκες μαζί, παρατηρείται το επόμενο σύστημα εξισώσεων:

:\left.{\begin{alignat}{5}
C_1 &&\; + &&\; C_2 &&\; = &&\; \frac{R_0-Q_0}{P} & \\
B\cdot C_1 &&\; + &&\; A\cdot C_2 &&\; = &&\; \frac{1}{P}\cdot [B\cdot R_0-A\cdot Q_0]\end{alignat}} \right|{\begin{alignat}{5}
C_1 &&\; = &&\; \frac{R_0}{P} & \\
C_2 &&\; = &&\; -\frac{Q_0}{P}\end{alignat}}

Η αντίστροφη αντικατάσταση των σταθερών  C_1  και  C_2  στην παραπάνω έκφραση για *x*(*t*) δίνει:

:x(t)=\frac{Q_t-Q_0}{P}\cdot e^{ -A\cdot t}-\frac{R_t-R_0}{P}\cdot e^{ -B\cdot t}

Αντικαθιστώντας τα Q_t-Q_0 και R_t-R_0 (η διαφορά μεταξύ των αρχικών τιμών σε *t*=*t* και *t*=0) με ορισμένα ολοκληρώματα (με μια άλλη μεταβλητή *τ*) θα αποκαλύψουμε τη γενική λύση με μηδενικές αρχικές συνθήκες, δηλαδή:

:x(t) = \frac{1}{P}\cdot \left[ \int_0^t{\bar{p}(\tau) \cdot e^{A\tau}d\tau}\cdot e^{-At}-\int_0^t{\bar p(\tau) \cdot e^{B\tau}d\tau}\cdot e^{-Bt} \right]

Τέλος, αντικαθιστώντας  c=2\xi\omega m, \; k=\omega^2m, Κατά συνέπεια  \bar{c}=2\xi\omega, \bar{k}=\omega^2, όπου *ξ<1* αποδίδει:

:P=2\omega_D i, \; A=\xi\omega-\omega_D i, \; B=\xi\omega+\omega_D i, όπου \omega_D=\omega\cdot \sqrt{1-\xi^2} και ***i*** είναι η φανταστική μονάδα.

Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στην παραπάνω γενική λύση με μηδενικές αρχικές συνθήκες και χρησιμοποιώντας τον εκθετικό τύπο του Όιλερ, θα ακυρώσουμε τους φανταστικούς όρους και θα αποκαλύψουμε τη λύση του Ντουχάμελ:

:x(t)=\frac{1}{\omega_D}\int_0^t {\bar{p}(\tau) e^{-\xi\omega(t-\tau)} \sin(\omega_D(t-\tau))d\tau}

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Τριγωνομετρική συνάρτηση
* Συνάρτηση γάμμα
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Ρητή συνάρτηση
* Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Κατάλογος ολοκληρωμάτων των Γκαουσιανών συναρτήσεων
* Κατάλογος ολοκληρωμάτων των υπερβολικών συναρτήσεων
* Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Μιγαδικός αριθμός
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Ακέραιος αριθμός

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*  
* 
* . In particular chapters III and IV.
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
Κατηγορία:Ολοκληρώματα
Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις
Κατηγορία:Θεωρήματα στην ανάλυση
Κατηγορία:Μηχανική
Κατηγορία:Ειδικές συναρτήσεις