Πίνακας Χάνκελ

Στη γραμμική άλγεβρα, ένας **πίνακας Χάνκελ** (ή **καταλυτικός πίνακας**), που πήρε το όνομά του από τον Χέρμαν Χάνκελ, είναι ένας τετραγωνικός πίνακας στον οποίο κάθε ανιούσα λοξή διαγώνιος από αριστερά προς τα δεξιά είναι σταθερή. Παραδείγματος χάριν, 

\qquad\begin{bmatrix}
a & b & c & d & e \\
b & c & d & e & f \\
c & d & e & f & g \\
d & e & f & g & h \\
e & f & g & h & i \\
\end{bmatrix}.

Γενικότερα, ένας **πίνακας Χάνκελ** είναι κάθε n \times n πίνακας A της μορφής

A = \begin{bmatrix}
  a_0 & a_1 & a_2 & \ldots & a_{n-1}  \\
  a_1 & a_2 &  &  &\vdots \\
  a_2 &  &  & & a_{2n-4} \\ 
 \vdots & &  & a_{2n-4} & a_{2n-3} \\
a_{n-1} &  \ldots & a_{2n-4} & a_{2n-3} & a_{2n-2}
\end{bmatrix}.

Όσον αφορά τις συνιστώσες, αν το i,j στοιχείο του A συμβολίζεται με A_{ij}, και υποθέτοντας i \ j, τότε έχουμε A_{i,j} = A_{i+k,j-k} για όλα τα k = 0,...,j-i.

## Ιδιότητες
* Κάθε πίνακας Χάνκελ είναι συμμετρικός.
* Έστω J_n ο n \times n πίνακας ανταλλαγής.  Αν H είναι ένας m \times n πίνακας Χανκελ, τότε H = T J_n όπου T είναι ένας m \times n πίνακας Τόεπλιτς.
** Αν ο T είναι πραγματικός συμμετρικός, τότε ο H = T J_n θα έχει τις ίδιες ιδιοτιμές με τον T μέχρι το πρόσημο.
* Ο πίνακας Χίλμπερτ είναι ένα παράδειγμα πίνακα Χάνκελ.
* Η ορίζουσα ενός πίνακα Χάνκελ ονομάζεται καταλεκτική.

## Τελεστής Χάνκελ
Δεδομένης μιας τυπικής σειράς Λοράν


 f(z) = \sum_{n=-\infty}^N a_n z^n,

ο αντίστοιχος **τελεστής Χάνκελ** ορίζεται ως 


 H_f : \mathbf C[z] \to \mathbf z^{-1} \mathbf Cz^{-1}.


Αυτό παίρνει ένα πολυώνυμο g \in \mathbf C[z] και το στέλνει στο γινόμενο fg, αλλά απορρίπτει όλες τις δυνάμεις του z με μη αρνητικό εκθέτη, έτσι ώστε να δώσει ένα στοιχείο στο z^{-1} \mathbf Cz^{-1}, την τυπική σειρά δυνάμεων με αυστηρά αρνητικούς εκθέτες. Ο χάρτης H_f είναι με φυσικό τρόπο \mathbf C[z]-γραμμικός, και ο πίνακας του ως προς τα στοιχεία 1, z, z^2, \dots \in \mathbf C[z] και z^{-1}, z^{-2}, \dots \in z^{-1}\mathbf Cz^{-1} είναι ο πίνακας Χάνκελ

\begin{bmatrix}
  a_1 & a_2 & \ldots \\
  a_2 & a_3 & \ldots \\
  a_3 & a_4 & \ldots \\ 
 \vdots & \vdots & \ddots
\end{bmatrix}.

Με αυτόν τον τρόπο προκύπτει οποιοσδήποτε πίνακας Χάνκελ. Ένα θεώρημα που οφείλεται στον Κρόνεκερ λέει ότι ο βαθμός αυτού του πίνακα είναι πεπερασμένος ακριβώς αν f είναι μια ρητή συνάρτηση, δηλαδή ένα κλάσμα δύο πολυωνύμων


 f(z) = \frac{p(z)}{q(z)}.


## Προσεγγίσεις
Συχνά ενδιαφερόμαστε για προσεγγίσεις των τελεστών Χάνκελ, ενδεχομένως με τελεστές χαμηλής τάξης. Προκειμένου να προσεγγίσουμε την έξοδο του τελεστή, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη φασματική νόρμα (operator 2-norm) για να μετρήσουμε το σφάλμα της προσέγγισής μας. Αυτό υποδηλώνει την αποσύνθεση ιδιάζουσας τιμής ως μια πιθανή τεχνική για την προσέγγιση της δράσης του τελεστή.

Ας σημειωθεί ότι ο πίνακας A δεν χρειάζεται να είναι πεπερασμένος. Αν είναι άπειρος, οι παραδοσιακές μέθοδοι υπολογισμού μεμονωμένων ιδιάζουσων διανυσμάτων δεν θα λειτουργήσουν άμεσα. Απαιτούμε επίσης ότι η προσέγγιση είναι ένας πίνακας Χάνκελ, κάτι που μπορεί να αποδειχθεί με τη θεωρία AAK.

## Μετασχηματισμός πίνακα Χάνκελ

Ο **Μετασχηματισμός πίνακα Χάνκελ**, ή απλά **μετασχηματισμός Χάνκελ**, μιας ακολουθία b_k είναι η ακολουθία των προσδιοριστών των πινάκων Χάνκελ που σχηματίζονται από τον b_k. Δεδομένου ενός ακέραιου αριθμού n > 0, ορίζουμε τον αντίστοιχο (n \times n)-διάστατο πίνακα Χάνκελ B_n ως έχοντα τα στοιχεία του πίνακα [B_n]_{i,j} = b_{i+j}. Τότε η ακολουθία h_n που δίνεται από τη σχέση

h_n που δίνεται από

 h_n = \det B_n


είναι ο μετασχηματισμός Χάνκελ της ακολουθίας b_k. Ο μετασχηματισμός Χάνκελ είναι αναλλοίωτος υπό τον διωνυμικό μετασχηματισμό μιας ακολουθίας.


 c_n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} b_k


ως διωνυμικό μετασχηματισμό της ακολουθίας b_n, τότε έχουμε \det B_n = \det C_n.

## Εφαρμογές των πινάκων Χάνκελ

Οι πίνακες Χάνκελ σχηματίζονται όταν, δεδομένης μιας ακολουθίας δεδομένων εξόδου, επιθυμείται η υλοποίηση ενός υποκείμενου μοντέλου χώρου καταστάσεων ή κρυμμένου μοντέλου Μαρκόφ    Η ιδιάζουσα της μοναδιαίας τιμής του πίνακα Χάνκελ παρέχει ένα μέσο για τον υπολογισμό των πινάκων *Α*, *Β* και *C* που καθορίζουν την υλοποίηση του χώρου καταστάσεων. Ο πίνακας Χάνκελ που σχηματίζεται από το σήμα έχει βρεθεί χρήσιμος για την αποσύνθεση μη στάσιμων σημάτων και την αναπαράσταση χρόνου-συχνότητας.

### Μέθοδος των ροπών για πολυωνυμικές κατανομές
Η μέθοδος των ροπών που εφαρμόζεται σε πολυωνυμικές κατανομές οδηγεί σε έναν πίνακα Χάνκελ που πρέπει να αντιστραφεί προκειμένου να ληφθούν οι παράμετροι βάρους της προσέγγισης της πολυωνυμικής κατανομής.

### Θετικοί πίνακες Χάνκελ και τα προβλήματα ροπής του Χάμπουργκερ
Περαιτέρω πληροφορίες: Πρόβλημα ροπής Χάμπουργκερ

## Δείτε επίσης

* Field Arithmetic
* Πραγματικό προβολικό επίπεδο
* Εσωτερικό γινόμενο 
* Αντιερμιτιανός πίνακας
* Πίνακας (μαθηματικά)
* Τριγωνικός πίνακας
* Πραγματικός αριθμός
* Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
* Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
* Ντάβιντ Χίλμπερτ
* Διωνυμικός συντελεστής
* High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
* Algorithm overview

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*Matrix calculator
* Matrix Analysis
* Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
* Integral Matrices
* An Introduction to Computational Physics
* Elements of Hilbert Spaces and Operator Theory
* Matrix Computations
* A Hilbert Space Problem Book
* Iterated Function Systems, Moments, and Transformations of Infinite Matrices

## Δημοσιεύσεις

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* Applications of Computational Algebraic Geometry
* A Hilbert Space Problem Book
*

* 
* 

## Παραπομπές


*Jean van Heijenoort, 1967. *From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931*. Harvard Univ. Press.
*  - an accessible set of lectures originally for the citizens of Göttingen.
*

 

Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων
Κατηγορία:Πολυώνυμα