Επίπεδο σώματος (Άλγεβρα)

Στη θεωρία σώματων, έναν κλάδο των μαθηματικών, το **επίπεδο σώματος** (γερμανικά:Stufe δηλαδή  **επίπεδο) ''s''(''F'') ενός σώματος ''F*** είναι ο ελάχιστος αριθμός τετραγώνων που έχουν άθροισμα -1. Εάν το -1 δεν μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα τετραγώνων,*s*(*F*) = <math>\infty</math>. Στην περίπτωση αυτή, το *F* είναι τυπικά πραγματικό σώμα. Ο Άλμπρεχτ Πφίστερ απέδειξε ότι το επίπεδο, αν είναι πεπερασμένο, είναι πάντα μια δύναμη του 2 και ότι αντίστροφα κάθε δύναμη του 2 εμφανίζεται.

==Δυνάμεις του 2==

Αν <math>s(F)\ne\infty</math> τότε <math>s(F)=2^k</math> για κάποιο [[φυσικός αριθμός|φυσικό αριθμό]] <math>k</math>.

*Απόδειξη:* Έστω ότι <math>k \in \mathbb N</math> επιλέγεται έτσι ώστε <math>2^k \leq s(F) < 2^{k+1}</math>. Έστω  <math>n = 2^k</math>.  Τότε υπάρχουν <math>s = s(F)</math> στοιχεία <math>e_1, \ldots, e_s \in F\setminus\{0\}</math> τέτοια ώστε

:<math>0 = \underbrace{1 + e_1^2 + \cdots + e_{n-1}^2 }_{=:\,a} + \underbrace{e_n^2 + \cdots + e_s^2}_{=:\,b}\;.</math>

Τόσο το <math>a</math> όσο και το <math>b</math> είναι αθροίσματα τετραγώνων <math>n</math> και <math>a \ne 0</math>, αφού διαφορετικά <math>s(F)< 2^k</math>, σε αντίθεση με την παραδοχή για το <math>k</math>.

Σύμφωνα με τη θεωρία των μορφών Πφίστερ, το [[γινόμενο]] <math>ab</math> είναι το ίδιο ένα άθροισμα <math>n</math> τετραγώνων, δηλαδή <math>ab = c_1^2 + \cdots + c_n^2</math> για κάποια <math>c_i \in F</math>. Αλλά αφού <math>a+b=0</math>, έχουμε επίσης <math>-a^2 = ab</math>, και επομένως

:<math>-1 = \frac{ab}{a^2} = \left(\frac{c_1}{a} \right)^2 + \cdots + \left(\frac{c_n}{a} \right)^2,</math>

και συνεπώς <math>s(F) = n = 2^k</math>.

==Θετική χαρακτηριστική==

Κάθε [[Σώμα (άλγεβρα)|σώμα]] <math>F</math> με θετική [[Χαρακτηριστική (Άλγεβρα)|χαρακτηριστική]] έχει <math>s(F) \le 2</math>.

*Απόδειξη:* Έστω <math>p = \operatorname{char}(F)</math>. Αρκεί να αποδειχθεί ο ισχυρισμός για το <math>\mathbb F_p</math>.

Αν <math>p = 2</math> τότε <math>-1 = 1 = 1^2</math>, οπότε <math>s(F)=1</math>.

Αν <math>p>2</math> θεωρούμε το [[σύνολο]] <math>S=\{x^2 : x \in \mathbb F_p\}</math> των τετραγώνων. Το <math>S\setminus\{0\}</math> είναι μια [[υποομάδα]] δείκτη <math>2</math> στην κυκλική ομάδα <math>\mathbb F_p^\times</math> με <math>p-1</math> στοιχεία. Έτσι η <math>S</math> περιέχει ακριβώς <math>\tfrac{p+1}2</math> στοιχεία, και το ίδιο ισχύει και για την <math>-1-S</math>.
Εφόσον η <math>\mathbb F_p</math> έχει συνολικά μόνο <math>p</math> στοιχεία, οι <math>S</math> και <math>-1-S</math> δεν μπορούν να είναι ξένα (disjoint), δηλαδή υπάρχουν <math>x,y\in\mathbb F_p</math> με <math>S\ni x^2=-1-y^2\in-1-S</math> και επομένως <math>-1=x^2+y^2</math>.

==Ιδιότητες==

Το επίπεδο  *s*(*F*) σχετίζεται με τον [[Αριθμός του Πυθαγόρα|αριθμό του Πυθαγόρα]] *p*(*F*)  ως εξής:  *p*(*F*) ≤  *s*(*F*) + 1. Αν η *F*  δεν είναι τυπικά πραγματική τότε  *s*(*F*) ≤ *p*(*F*) ≤ *s*(*F*) + 1. Η προσθετική τάξη της μορφής (1) και συνεπώς ο εκθέτης της ομάδας Βιτ της *F* είναι ίσος με 2*s*(*F*).

==Παραδείγματα==

* To επίπεδο ενός τετραγωνικά κλειστού σώματος είναι 1.
* Το επίπεδο ενός αλγεβρικού [[Σώμα Αριθμών|αριθμητικού σώματος]] είναι ∞, 1, 2 ή 4 (θεώρημα του Ζίγκελ). Παραδείγματα είναι τα *'Q**, **Q**(√−1), **Q**(√−2) και **Q**(√−7).
* Το επίπεδο ενός [[Πεπερασμένο σώμα|πεπερασμένου σώματος]] GF(''q'') είναι 1 αν ''q'' ≡ 1 mod 4 και 2 αν  ''q'' ≡ 3 mod 4.
* Το επίπεδο ενός [[Τοπικό σώμα|τοπικού σώματος]] με [[Τοπικό σώμα#Βασικά χαρακτηριστικά των μη-αρχιμήδειων τοπικών σωμάτων|περιττή υπολειμματική χαρακτηριστική]] είναι ίσο με αυτό του υπολειμματικού του σώματος.  To επίπεδο του 2-adic σώματος **Q*'<sub>2</sub> is 4.

== Εξωτερικοί σύνδεσμοι ==
*[https://www.itia.ntua.gr/en/docinfo/1318/ English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics] Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*[https://www.mas.ucy.ac.cy/georgios/bookfiles/dict1.pdf Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου]
*[https://mathbooksgr.wordpress.com/wp-content/uploads/2012/02/mlexiko2012.pdf ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ] Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* [https://mtzoumas.mysch.gr/mtz/docs_and_apps/Didaskalia/bibl_kath_geom.pdf Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο]
* [https://www.didaktorika.gr/eadd/handle/10442/20405 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών]
* [https://repository.kallipos.gr/bitstream/11419/107/5/NumberTheory30Sep.pdf Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές]
* [https://repository.kallipos.gr/handle/11419/1045 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών]
* [https://thesis.ekt.gr/thesisBookReader/id/15362?lang=el#page/1/mode/2up Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες] Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* [https://www.didaktorika.gr/eadd/handle/10442/58427 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας] Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* [http://users.uoi.gr/brapt/stat/notes_chap_1.pdf  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή]
* [http://www.wolframalpha.com/calculators/integral-calculator/ Wolfram Mathematica Online Integrator]
* [https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/jres/73B/jresv73Bn1p1_A1b.pdf  A Table of Integrals of the Error Functions]

== Δείτε επίσης ==
* [[Απαγορευτική αρχή του Πάουλι]]
* [[Μορφοκλασματική διάσταση]]
* [[Ομοπαραλληλική γεωμετρία]]
* [[Αλγεβρική θεωρία αριθμών]]
* [[Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον]]
* [[Μοναδιαία βηματική συνάρτηση]]
* [[Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ]]
* [[Ευκλείδειος χώρος]]
* [[Αρχιμήδεια ιδιότητα]]
* [[Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)]]
* [[Εφαρμοσμένα μαθηματικά]]
* [[Υπολογιστική ρευστοδυναμική]]
* [[Καμπυλότητα Γκάους]]
* [[Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων]]
* [[Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής]]
* [[Αλγεβρική γεωμετρία]]
* [[Σώμα διασπάσεως]]
* [[Συνήθης διαφορική εξίσωση]]
* [[Γραμμική απεικόνιση]]
* [[Νοεροί υπολογισμοί]]

== Βιβλιογραφία==
* 
* 
* 
*  
* 
* 
* 
* 
* 
* 

==Παραπομπές==


* 
* 
* 
*
* [[:en:Max Koecher|Max Koecher]] & [[:en:Reinhold Remmert|Reinhold Remmert]] (1990) "Composition Algebras. Hurwitz's Theorem — Vector-Product Algebras", chapter 10 of *Numbers* by [[:en:Heinz-Dieter Ebbinghaus|Heinz-Dieter Ebbinghau]] et al., Springer, 
*
* (English translation of a Russian original)
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*

== Πηγές ==
* 
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* [[:en:Hans Freudenthal|Hans Freudenthal]]: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.'' Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα