Τέλειος αριθμός

**Τέλειος** λέγεται ένας φυσικός αριθμός τού οποίου το άθροισμα τών πηλίκων, είναι ίσο με τον αριθμό δηλ. ο *n* είναι τέλειoς αν και μόνο αν σ(*n*) = 2*n*.

Ο μικρότερος τέλειος αριθμός είναι ο 6. Τα πηλίκα τού 6 είναι: 6:6=1, 6:3=2, 6:2=3, δηλ. 1, 2, 3 και το άθροισμα αυτών είναι ίσο με 6 (1+2+3=6).
Άλλοι τέλειοι αριθμοί είναι οι 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 και ο 8128. Αυτοί είναι και οι μόνοι γνωστοί τέλειοι κατά την αρχαιότητα.

Ο επόμενος τέλειος αριθμός είναι ο 33.550.336 και ακολουθούν οι 8.589.869.056, 137.438.691.328,
2.305.843.008.139.952.128, 2.658.455.991.569.831.744.654.692.615.953.842.176, 191.561.942.608.236.107.294.793.378.084.303.638.130.997.321.548.169.216. 

## Άρτιοι τέλειοι αριθμοί

Ο Ευκλείδης ανακάλυψε ότι οι τέσσερις πρώτοι τέλειοι αριθμοί παράγονται από τον τύπο 2*n*−1(2*n*&nbsp;−&nbsp;1):

:Για *n* = 2: &nbsp; 21(22 − 1) = 2 × 3 = 6
:Για *n* = 3: &nbsp; 22(23 − 1) = 4 × 7 = 28
:Για *n* = 5: &nbsp; 24(25 − 1) = 16 × 31 = 496
:Για *n* = 7: &nbsp; 26(27 − 1) = 64 × 127 = 8128

Παρατηρώντας ότι τα *n* στον παραπάνω τύπο είναι πρώτοι αριθμοί, ο Ευκλείδης απέδειξε ότι ο τύπος 2*n*−1(2*n*&nbsp;−&nbsp;1) δίνει έναν άρτιο τέλειο αριθμό όταν το 2*n*&nbsp;−&nbsp;1 είναι πρώτος.

Οι Αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί έκαναν και άλλες εικασίες για τους τέλειους αριθμούς από τις οποίες όμως οι περισσότερες αποδείχθηκαν λανθασμένες.

Είναι εύκολο να δειχθεί ότι αν ο 2^n-1 είναι πρώτος, τότε ο n είναι πρώτος, χωρίς όμως να ισχύει και το αντίστροφο. Οι πρώτοι αριθμοί της μορφής 2*n*&nbsp;−&nbsp;1 είναι γνωστοί ως πρώτοι του Μερσέν (*Mersenne*), από το όνομα του Μαρίν Μερσέν που έζησε τον 17ο αιώνα και τους μελέτησε πρώτος.

Δύο χιλιάδες χρόνια μετά τον Ευκλείδη, ο Όιλερ (Euler) απέδειξε ότι ο τύπος 2*n*−1(2*n*&nbsp;−&nbsp;1) μας δίνει όλους τους άρτιους τέλειους αριθμούς. Το αποτέλεσμα αυτό είναι γνωστό σαν Θεώρημα Ευκλείδη-Όιλερ.

Μέχρι σήμερα, με τη βοήθεια ηλεκτρονικών υπολογιστών, είναι γνωστοί 50 πρώτοι του Μερσέν και άρα και 50 άρτιοι τέλειοι αριθμοί. Ο μεγαλύτερος από αυτούς - ο 50ος - αποτελείται από 23,249,425 ψηφία. Δεν είναι γνωστό αν υπάρχουν άπειροι πρώτοι του Μερσέν. Το σύστημα GIMPS ασχολείται με την εύρεση πρώτων του Μερσέν.

## Περιττοί τέλειοι αριθμοί

Είναι άγνωστο αν υπάρχουν περιττοί τέλειοι αριθμοί. Υπάρχουν ωστόσο μια σειρά αποτελέσματα χωρίς όμως οι μαθηματικοί να έχουν φτάσει στην απάντηση της ερώτησης αν υπάρχουν ή όχι.

Τα μέχρι σήμερα γνωστά αποτελέσματα μας λένε ότι κάθε περιττός τέλειος αριθμός *N* πρέπει να είναι της μορφής 12*m* + 1 ή 36*m* + 9 και να ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες:
* *N* είναι της μορφής
::N=q^{\alpha} p_1^{2e_1} \ldots p_k^{2e_k}, 
:όπου *q*, *p*1, …, *p**k* είναι διαφορετικοί πρώτοι και *q* ≡ α ≡ 1 (mod 4) (Όιλερ).
* Στην παραπάνω παραγοντοποίηση, ο *k* είναι τουλάχιστον 8, και ο *k* είναι τουλάχιστον 11 αν το 3 δεν διαιρεί το *N* (Nielsen 2006).
* Στην παραπάνω παραγοντοποίηση, ένας τουλάχιστον από τους e_1, e_2, \ldots e_k  είναι μεγαλύτερος από 1. (Steuerwald 1937)
* Ο μεγαλύτερος πρώτος που διαιρεί το *N* είναι μεγαλύτερος από 108 (Takeshi Goto and Yasuo Ohno, 2006).
* Ο δεύτερος μεγαλύτερος πρώτος που διαιρεί το *N* είναι μεγαλύτερος από 104 , και ο τρίτος μεγαλύτερος πρώτος είναι μεγαλύτερος από 100 (Iannucci 1999, 2000).
* Ο *N* έχει τουλάχιστον 75 πρώτους στην παραγοντοποίησή του, υπολογίζοντας κάθε μια από τις 2*e<sub>k</sub>* επαναλήψεις του *p<sub>k</sub>* χωριστά (Kevin Hare 2005).
* Ο *N* είναι μικρότερος από 2^{4^{n}} όπου *n* είναι ο αριθμός των διακεκριμένων πρώτων που τον διαιρούν (οπότε *n* = *k* + 1 όπου *k* όπως πριν) (Nielsen 2003).

Αν ο *N* υπάρχει, τότε είναι μεγαλύτερος από 10500 σύμφωνα με τους υπoλογισμούς του https://web.archive.org/web/20181106015226/http://oddperfect.org/.

## Κατάλογος
Έως το 2016 υπήρχαν συνολικά 49 γνωστοί τέλειοι αριθμοί. Ο εκθέτης *p* του πρώτου αριθμού Μερσέν χρησιμοποιείται για την επαλήθευση τους με τον τύπο 2*p*−1× (2*p* − 1) όπου 2*p* − 1 αποτελεί πρώτο αριθμό Μερσέν. Όλοι οι άρτιοι τέλειοι αριθμοί ακολουθούν αυτή την μορφή, και είναι άγνωστο εάν υπάρχουν περιττοί τέλειοι αριθμοί. Η αναλογία *p* / *σύνολο ψηφίων*  προσεγγίζει το log(10) / log(4) = 1.6609640474...

## Παραπομπές


## Πηγές
* Takeshi Goto and Yasuo Ohno, *Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 10<sup>8</sup>.* Preprint, 2006. Διαθέσιμο εδώ: "Largest prime factor of an odd perfect number ".
* Kevin Hare, *New techniques for bounds on the total number of prime factors of an odd perfect number.* Preprint, 2005. Διαθέσιμο εδώ: http://www.math.uwaterloo.ca/~kghare/Preprints/ .
* Douglas E. Iannucci, "The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand," *Mathematics of Computation*, volume 68, issue 228, pages 1749–1760, 1999.
* Douglas E. Iannucci, "The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred," *Mathematics of Computation*, volume 69, issue 230, pages 867–879, 2000.
* Pace P. Nielsen, "An upper bound for odd perfect numbers," *Integers*, vol. 3, A14, 9 pp. (electronic), 2003.
* Pace P. Nielsen, *Odd perfect numbers have at least nine different prime factors*, , 2006.
* R. Steuerwald, Verscharfung einen notwendigen Bedingung fur die Existenz einen ungeraden vollkommenen Zahl, S.-B. Bayer. Akad. Wiss. 1937, 69–72.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers
* Perfect numbers - History and Theory
* Perfect Number - from MathWorld
* List of Perfect Numbers at the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
* List of known Perfect Numbers All known perfect numbers are here.
* OddPerfect.org A projected distributed computing project to search for odd perfect numbers.

Κατηγορία:Σύνθετοι αριθμοί
Κατηγορία:Θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά