Εκθετικό ολοκλήρωμα

Στα μαθηματικά, το **εκθετικό ολοκλήρωμα** Ei είναι μια ειδική συνάρτηση στο μιγαδικό επίπεδο.

Ορίζεται ως ένα συγκεκριμένο ορισμένο ολοκλήρωμα του λόγου μεταξύ μιας εκθετικής συνάρτησης και του ορίσματός της.

## Ορισμός
Για πραγματικές μη μηδενικές τιμές του&nbsp;*x*, το εκθετικό ολοκλήρωμα&nbsp;Ei(*x*) ορίζεται ως εξής

: \operatorname{Ei}(x) = -\int_{-x}^\infty \frac{e^{-t}}t\,dt = \int_{-\infty}^x \frac{e^t}t\,dt.

Ο αλγόριθμος Ρις δείχνει ότι η Ei δεν είναι στοιχειώδης συνάρτηση.  Ο παραπάνω ορισμός μπορεί να χρησιμοποιηθεί για θετικές τιμές του&nbsp;*x*, αλλά το ολοκλήρωμα πρέπει να γίνει κατανοητό ως προς την κύρια τιμή Κωσύ λόγω της ιδιομορφίας του ολοκληρώματος στο μηδέν.

Για μιγαδικές τιμές του ορίσματος, ο καθορισμός γίνεται ασαφής λόγω των σημείων διακλάδωσης στο 0 και   Αντί του Ei, χρησιμοποιείται ο ακόλουθος συμβολισμός,

:E_1(z) = \int_z^\infty \frac{e^{-t}}{t}\,  dt,\qquad|{\rm Arg}(z)|

Για θετικές τιμές του&nbsp;*x*, έχουμε 

Γενικά, η αποκοπή του κλάδου γίνεται στον αρνητικό πραγματικό άξονα και το *E*1 μπορεί να οριστεί με αναλυτική συνέχεια σε άλλο σημείο του μιγαδικού επιπέδου.

Για θετικές τιμές του πραγματικού μέρους του z, αυτό μπορεί να γραφεί

:E_1(z) = \int_1^\infty \frac{e^{-tz}}{t}\, dt = \int_0^1 \frac{e^{-z/u}}{u}\, du ,\qquad \Re(z) \ge 0.

Η συμπεριφορά του *E*1 κοντά στην αποκοπή της διακλάδωσης μπορεί να φανεί από την ακόλουθη σχέση:

:\lim_{\delta\to0+} E_1(-x \pm i\delta) = -\operatorname{Ei}(x) \mp i\pi,\qquad x>0.

## Ιδιότητες
Διάφορες ιδιότητες του εκθετικού ολοκληρώματος που ακολουθεί, σε ορισμένες περιπτώσεις, επιτρέπουν να αποφύγουμε τη ρητή αξιολόγησή του μέσω του παραπάνω ορισμού.

### Συγκλίνουσα σειρά

Για πραγματικά ή μιγαδικά ορίσματα εκτός του αρνητικού πραγματικού άξονα, το E_1(z) μπορεί να εκφραστεί ως εξής 

:E_1(z) = -\gamma - \ln z - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-z)^k}{k\; k!} \qquad (\left| \operatorname{Arg}(z) \right| 

όπου \gamma είναι η σταθερά Όιλερ-Μαστσερόνι. Το άθροισμα συγκλίνει για όλα τα μιγαδικά z, και παίρνουμε τη συνήθη τιμή του μιγαδικού λογαρίθμου που έχει μια αποκοπή κλάδου κατά μήκος του αρνητικού πραγματικού άξονα.

Αυτός ο τύπος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του E_1(x) με πράξεις κινητής υποδιαστολής για πραγματικό x μεταξύ 0 και 2,5. Για x > 2,5, το αποτέλεσμα είναι ανακριβές λόγω ακύρωσης.

Μια σειρά με ταχύτερη σύγκλιση βρέθηκε από τον Ραμανουτζάν:

:{\rm Ei} (x) = \gamma + \ln x + \exp{(x/2)} \sum_{n=1}^\infty \frac{ (-1)^{n-1} x^n} {n! \, 2^{n-1}} \sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} \frac{1}{2k+1}

### Ασυμπτωτικές (αποκλίνουσες) σειρές

Δυστυχώς, η σύγκλιση της παραπάνω σειράς είναι αργή για ορίσματα μεγαλύτερου συντελεστή. Επί παραδείγματι, απαιτούνται περισσότεροι από 40 όροι για να πάρουμε μια σωστή απάντηση με τρία σημαντικά ψηφία για το E_1(10). Ωστόσο, για θετικές τιμές του x, υπάρχει μια προσέγγιση αποκλίνουσας σειράς που μπορεί να ληφθεί με ολοκλήρωση x e^x E_1(x) κατά μέρη:

: E_1(x)=\frac{\exp(-x)} x \left(\sum_{n=0}^{N-1} \frac{n!}{(-x)^n} +O(N!x^{-N}) \right)

Το σχετικό σφάλμα της παραπάνω προσέγγισης απεικονίζεται στο σχήμα στα δεξιά για διάφορες τιμές του N, του αριθμού των όρων στο αποκομμένο άθροισμα (N=1 με κόκκινο χρώμα, N=5 με ροζ χρώμα).

#### Ασυμπτωτική πέραν όλων των τάξεων
Χρησιμοποιώντας ολοκλήρωση κατά μέρη, μπορούμε να λάβουμε έναν ρητό τύπο a

\operatorname{Ei}(z) = \frac{e^{z}} {z} \left (\sum _{k=0}^{n} \frac{k!} {z^{k}} + e_{n}(z)\right), \quad e_{n}(z) \equiv (n + 1)!\ ze^{-z}\int _{ -\infty }^{z} \frac{e^{t}} {t^{n+2}}\,dt Για οποιοδήποτε σταθερό z, 

η απόλυτη τιμή του όρου σφάλματος |e_n(z)| μειώνεται και στη συνέχεια αυξάνεται. Το ελάχιστο εμφανίζεται στο n\sim |z|,σε αυτό το σημείο 

\vert e_{n}(z)\vert \leq \sqrt{\frac{2\pi } {\vert z\vert }}e^{-\vert z\vert }. Αυτό το όριο λέγεται ότι είναι «ασυμπτωτικό πέραν όλων των τάξεων».

### Εκθετική και λογαριθμική συμπεριφορά: παρένθεση

Από τις δύο σειρές που προτάθηκαν στις προηγούμενες υποενότητες, προκύπτει ότι η E_1 συμπεριφέρεται σαν αρνητικός εκθετικός για μεγάλες τιμές του ορίσματος και σαν λογάριθμος για μικρές τιμές. Για θετικές πραγματικές τιμές του ορίσματος, η E_1 μπορεί να τεθεί σε παρένθεση με στοιχειώδεις συναρτήσεις ως εξής:

:
\frac 1 2 e^{-x}\,\ln\!\left( 1+\frac 2 x \right)
0


Η αριστερή πλευρά αυτής της ανισότητας παρουσιάζεται στο γράφημα στα αριστερά με μπλε χρώμα- το κεντρικό τμήμα E_1(x) παρουσιάζεται με μαύρο χρώμα και η δεξιά πλευρά παρουσιάζεται με κόκκινο χρώμα.

### Ορισμός από τον Έιν

Τόσο η \operatorname{Ei} όσο και η E_1 μπορούν να γραφούν πιο απλά χρησιμοποιώντας την ακέραια συνάρτηση \operatorname{Ein}  defined as

:
\operatorname{Ein}(z)
= \int_0^z (1-e^{-t})\frac{dt}{t}
= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}z^k}{k\; k!}


(να σημειωθεί ότι πρόκειται απλώς για την εναλλασσόμενη σειρά στον παραπάνω ορισμό του E_1). Τότε έχουμε

:
E_1(z) \,=\, -\gamma-\ln z + {\rm Ein}(z)
\qquad \left| \operatorname{Arg}(z) \right| 
:\operatorname{Ei}(x) \,=\, \gamma+\ln{x} - \operatorname{Ein}(-x)
\qquad x \neq 0


Η συνάρτηση \operatorname{Ein} σχετίζεται με την εκθετική συνάρτηση παραγωγής των αρμονικών αριθμών:

:
\operatorname{Ein}(z) = e^{-z} \, \sum_{n=1}^\infty \frac {z^n}{n!} H_n


### Σχέση με άλλες συναρτήσεις
Εξίσωση του Κούμερ

:z\frac{d^2w}{dz^2} + (b-z)\frac{dw}{dz} - aw = 0

επιλύεται συνήθως με τις συγκλίνουσες υπεργεωμετρικές συναρτήσεις M(a,b,z) και U(a,b,z). Αλλά όταν a=0 και b=1, δηλαδή,

:z\frac{d^2w}{dz^2} + (1-z)\frac{dw}{dz} = 0

έχουμε

:M(0,1,z)=U(0,1,z)=1

για όλα τα *z*. Μια δεύτερη λύση δίνεται τότε από την  E1(−*z*). Πράγματι, 

:E_1(-z)=-\gamma-i\pi+\frac{\partial[U(a,1,z)-M(a,1,z)]}{\partial a},\qquad 0

με την παράγωγο να εκτιμάται στο a=0. Μια άλλη σύνδεση με τις συρροές των υπεργεωμετρικών συναρτήσεων είναι ότι η *E<sub>1</sub>* είναι εκθετική επί τη συνάρτηση *U*(1,1,*z*):

:E_1(z)=e^{-z}U(1,1,z)

Το εκθετικό ολοκλήρωμα συνδέεται στενά με τη λογαριθμική ολοκληρωτική συνάρτηση li(*x*) με τον τύπο

:\operatorname{li}(e^x) = \operatorname{Ei}(x)

για μη μηδενικές πραγματικές τιμές του x .

### Γενίκευση
Το εκθετικό ολοκλήρωμα μπορεί επίσης να γενικευτεί ως εξής

:E_n(x) = \int_1^\infty \frac{e^{-xt}}{t^n}\, dt,

η οποία μπορεί να γραφεί ως ειδική περίπτωση της ανώτερης ατελούς συνάρτησης γάμμα:

: E_n(x) =x^{n-1}\Gamma(1-n,x).

Η γενικευμένη μορφή ονομάζεται μερικές φορές συνάρτηση Μίσρα  \varphi_m(x), που ορίζεται ως

:\varphi_m(x)=E_{-m}(x).

Πολλές ιδιότητες αυτής της γενικευμένης μορφής μπορούν να βρεθούν στη  Ψηφιακή Βιβλιοθήκη Μαθηματικών Συναρτήσεων NIST

Συμπεριλαμβάνοντας έναν λογάριθμο ορίζεται η γενικευμένη ολοκληρο-εκθετική συνάρτηση

:E_s^j(z)= \frac{1}{\Gamma(j+1)}\int_1^\infty \left(\log t\right)^j \frac{e^{-zt}}{t^s}\,dt.

### Παράγωγα

Οι παράγωγοι των γενικευμένων συναρτήσεων E_n μπορούν να υπολογιστούν μέσω του τύπου 

:
E_n '(z) = - E_{n-1}(z)
\qquad (n=1,2,3,\ldots)


Ας σημειωθεί ότι η συνάρτηση E_0 είναι εύκολο να εκτιμηθεί (καθιστώντας αυτή την αναδρομή χρήσιμη), αφού είναι απλώς e^{-z}/z. 

### Εκθετικό ολοκλήρωμα φανταστικού επιχειρήματος

Αν το z είναι φανταστικό, έχει μη αρνητικό πραγματικό μέρος, οπότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο

:
E_1(z) = \int_1^\infty
\frac{e^{-tz}} t \, dt


για να προκύψει μια σχέση με τα τριγωνομετρικά ολοκληρώματα 

\operatorname{Si} and \operatorname{Ci}:
:
E_1(ix) = i\left[ -\tfrac{1}{2}\pi + \operatorname{Si}(x)\right] - \operatorname{Ci}(x)
\qquad (x > 0)


Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος του \mathrm{E}_1(ix) απεικονίζονται στο σχήμα στα δεξιά με μαύρες και κόκκινες καμπύλες.

### Προσεγγίσεις
Υπήρξαν πολλές προσεγγίσεις για την εκθετική ολοκληρωτική συνάρτηση. Σε αυτές περιλαμβάνονται οι εξής: 1:

* Η προσέγγιση των Σουάμι και Οχίγια. E_1(x) = \left (A^{-7.7}+B \right )^{-0.13}, 

όπου

\begin{align}
A &= \ln\left [\left (\frac{0.56146}{x}+0.65\right)(1+x)\right] \\
B &= x^4e^{7.7x}(2+x)^{3.7}
\end{align}

* Η προσέγγιση Άλεν και Χέιστινγκς  

E_1(x) = \begin{cases} - \ln x +\textbf{a}^T\textbf{x}_5,&x\leq1 \\ \frac{e^{-x}} x \frac{\textbf{b}^T \textbf{x}_3}{\textbf{c}^T\textbf{x}_3},&x\geq1 \end{cases} 

όπου

\begin{align}
\textbf{a} & \triangleq [-0.57722, 0.99999, -0.24991, 0.05519, -0.00976, 0.00108]^T \\
\textbf{b} & \triangleq[0.26777,8.63476, 18.05902, 8.57333]^T \\
\textbf{c} & \triangleq[3.95850, 21.09965, 25.63296, 9.57332]^T \\
\textbf{x}_k &\triangleq[x^0,x^1,\dots, x^k]^T
\end{align}
* Η συνεχής επέκταση του κλάσματος  

E_1(x) = \cfrac{e^{-x}}{x+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{x+\cfrac{2}{1+\cfrac{2}{x+\cfrac{3}{\ddots}}}}}}.

* Η προσέγγιση του Μπάρι * και λοιποί*

E_1(x) = \frac{e^{-x}}{G+(1-G)e^{-\frac{x}{1-G}}}\ln\left[1+\frac G x -\frac{1-G}{(h+bx)^2}\right], 

όπου 

\begin{align}
h &= \frac{1}{1+x\sqrt{x}}+\frac{h_{\infty}q}{1+q} \\
q &=\frac{20}{47}x^{\sqrt{\frac{31}{26}}} \\
h_{\infty} &= \frac{(1-G)(G^2-6G+12)}{3G(2-G)^2b} \\
b &=\sqrt{\frac{2(1-G)}{G(2-G)}} \\
G &= e^{-\gamma}
\end{align} 

με \gamma τη σταθερά Όιλερ-Μαστσερόνι.

## Αντίστροφη συνάρτηση του εκθετικού ολοκληρώματος
Η αντίστροφη συνάρτηση του εκθετικού ολοκληρώματος μπορεί να εκφραστεί σε μορφή δυναμοσειράς:

: \forall |x| 

όπου \mu είναι η σταθερά Ραμανουτζάν-Σόλντνερ και (P_n) είναι πολυωνυμική ακολουθία που ορίζεται από την ακόλουθη σχέση αναδρομής:

: P_0(x) = x,\ P_{n+1}(x) = x(P_n'(x) - nP_n(x)).

Για n > 0, \deg P_n = n και έχουμε τον εξής τύπο :

: P_n(x) = \left.\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\right)^{n-1} \left(\frac{te^x}{\mathrm{Ei}(t+x)-\mathrm{Ei}(x)}\right)^n\right|_{t=0}.

## Εφαρμογές

*Χρονοεξαρτώμενη μεταφορά θερμότητας
*Ροή εδαφικών υδάτων χωρίς ισορροπία στη λύση Θέις (γνωστή ως συνάρτηση πηγής)
*Μεταφορά ακτινοβολίας σε αστρικές και πλανητικές ατμόσφαιρες
*Εξίσωση ακτινικής διαχυτότητας για ροή σε μεταβατική ή ασταθή κατάσταση με πηγές και καταβόθρες γραμμής
*Λύσεις της εξίσωσης μεταφοράς νετρονίων σε απλουστευμένες μονοδιάστατες γεωμετρίες 
*Λύσεις της μη γραμμικής διαφορικής εξίσωσης Τραχένκο-Ζακόνε για την τεντωμένη εκθετική συνάρτηση στη χαλάρωση των άμορφων στερεών και τη υαλώδη μετάβαση.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Τριγωνομετρική συνάρτηση
* Συνάρτηση γάμμα
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Ρητή συνάρτηση
* Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Κατάλογος ολοκληρωμάτων των Γκαουσιανών συναρτήσεων
* Κατάλογος ολοκληρωμάτων των υπερβολικών συναρτήσεων
* Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Μιγαδικός αριθμός
* Πολυώνυμο
* Ακέραιος αριθμός

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* , Chapter 5.
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:Κατάλογοι ολοκληρωμάτων 
Κατηγορία:Ολοκληρώματα 
Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις 
Κατηγορία:Θεωρήματα στην ανάλυση 
Κατηγορία:Καμπύλες 
Κατηγορία:Ειδικές συναρτήσεις