Δέσμη ευθειών

Στην γεωμετρία, **συντρέχουσες** ονομάζονται δύο ή περισσότερες ευθείες που τέμνονται σε (ακριβώς) ένα σημείο.

Ένα σύνολο των ευθειών που συντρέχουν λέγονται **δέσμη ευθειών** και το σημείο τομής τους λέγεται το κέντρο της.

## Ιδιότητες

Έστω δύο παράλληλες ευθείες \delta_1, \delta_2 και τρεις ευθείες \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3 που τέμνουν αυτές τις ευθείες στα σημεία \rm A_1, B_1, A_2, B_2, A_3, B_3  αντίστοιχα. Οι \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3 αποτελούν δέσμη, αν και μόνο αν 
:\rm \frac{A_1A_2}{B_1B_2} = \frac{A_2A_3}{B_2B_3} = \frac{A_3A_1}{B_3B_1},
δηλαδή τα τμήματα που αποκόπτουν από τις παράλληλες είναι ανάλογα μεταξύ τους.

## Παραδείγματα

### Τρίγωνα

* Οι ευθείες των υψών ενός τριγώνου συντρέχουν στο σημείο που λέγεται ορθόκεντρο του τριγώνου.
* Οι ευθείες των διχοτόμων ενός τριγώνου συντρέχουν στο σημείο που λέγεται έγκεντρο του τριγώνου.
* Οι ευθείες των διαμέσων ενός τριγώνου συντρέχουν στο σημείο που λέγεται βαρύκεντρο του τριγώνου.
* Οι ευθείες των συμμετροδιαμέσων του τριγώνου συντρέχουν στο συμμετροδιάμεσο σημείο του τριγώνου.

### Κανονικά πολύγωνα
* Οι μεσοκάθετοι των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου διέρχονται από το κέντρο του.

## Αναλυτική γεωμετρία

Η εξίσωση της δέσμης ευθειών είναι η

\kappa \left( x+y+ \right)+\lambda \left( x+y+ \right)=0         :(1)

Οι συντεταγμένες του **κέντρου** βρίσκονται από την επίλυση του συστήματος
 
\left( \Sigma  \right):\left\{ \begin{matrix}
   x+y+=0  \\
   x+y+=0  \\
\end{matrix} \right.

Αν \kappa =1 τότε έχουμε \left( x+y+ \right)+\lambda \left( x+y+ \right)=0 :(2) μια μονοπαραμετρική οικογένεια ευθειών. Η μονοπαραμετρική οικογένεια ευθειών (2) μαζί με την ευθεία  x+y+ =0 αποτελούν την δέσμη ευθειών (1). Η ίδια δέσμη ορίζεται και για \lambda =1 μαζί με την ευθεία  x+y+ =0

Αν \Rho \left( , \right)  το κέντρο της δέσμης \left( 1 \right), τότε είναι και το κέντρο της μονοπαραμετρικής οικογένειας ευθειών \left( 2 \right). Η δέσμη ευθειών που διέρχονται από το \Rho \left( , \right)  καλύπτει όλο το επίπεδο, δηλαδή η δέσμη ευθειών με κέντρο το \Rho \left( , \right)    **περιέχει όλες τις ευθείες του επιπέδου που διέρχονται από αυτό ενώ δεν ισχύει το ίδιο για την μονοπαραμετρική οικογένεια ευθειών**. 
Για παράδειγμα το σύνολο των ευθειών της δέσμης \kappa \left( x+2y+1 \right)+\lambda \left( x+y \right)=0,\left| \kappa  \right|+\left| \lambda  \right|\ne 0 είναι το σύνολο των ευθειών της μονοπαραμετρικής οικογένειας ευθειών \left( x+2y+1 \right)+\lambda \left( x+y \right)=0 μαζί με την ευθεία x+y=0.
Στο παραπάνω παράδειγμα η δέσμη ευθειών \kappa \left( x+2y+1 \right)+\lambda \left( x+y \right)=0 έχει κέντρο το \Rho \left( 1,-1 \right). Παρατηρούμε ότι η ευθεία με εξίσωση x+y=0 διέρχεται από το \Rho \left( 1,-1 \right) και ανήκει στην δέσμη ευθειών αφού παράγεται από αυτήν για \kappa =0 και \lambda =1 ενώ η μονοπαραμετρική οικογένεια ευθειών \left( x+2y+1 \right)+\lambda \left( x+y \right)=0 δεν μπορεί να την παράγει αφού δεν υπάρχει τιμή του πραγματικού αριθμού \lambda   ώστε \frac{1+\lambda }{2+\lambda }=1 και \frac{1}{2+\lambda }=0.

Αν είναι γνωστό το κέντρο \Rho \left( , \right) της δέσμης ευθειών τότε οι  εξισώσεις των ευθειών της είναι η οικογένεια y-=\lambda \left( x- \right) μαζί με την ευθεία x=
## Δείτε επίσης
* Δέσμημα
* Συνευθειακά σημεία
* Ομοκύκλια σημεία

## Παραπομπές


Κατηγορία:Γεωμετρία
Κατηγορία:Ευθείες