Σπείρα του Θεοδώρου

Στη γεωμετρία, η **σπείρα του Θεοδώρου** (που ονομάζεται επίσης **σπείρα της τετραγωνικής ρίζας**, **πυθαγόρεια σπείρα** ή **σαλιγκάρι του Πυθαγόρα**) είναι μια σπείρα που αποτελείται από ορθογώνια τρίγωνα, όπου το επόμενο τρίγωνο έχει ως κάθετη την υποτείνουσα του προηγουμένου.

Πήρε το όνομά της από τον Θεόδωρο της Κυρήνης.

## Κατασκευή
Η σπείρα ξεκινά με ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο, με κάθε κάθετη πλευρά να έχει μοναδιαίο μήκος. Ένα άλλο ορθογώνιο τρίγωνο (το οποίο είναι το *μόνο* διάμεσο ορθογώνιο τρίγωνο) σχηματίζεται, με τη μία κάθετη να είναι η υποτείνουσα του προηγούμενου ορθογωνίου τριγώνου (με μήκος την τετραγωνική ρίζα του 2) και την άλλη κάθετη να έχει μήκος 1. Το μήκος της υποτείνουσας αυτού του δεύτερου ορθογωνίου τριγώνου είναι η τετραγωνική ρίζα του 3. Η διαδικασία στη συνεχίζεται ώστε το n-οστό τρίγωνο στην ακολουθία είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο με μήκη πλευρών \sqrt{n} και 1, και με υποτείνουσα \sqrt{n+1}. Παραδείγματος χάριν, το 16ο τρίγωνο έχει πλευρές μήκους 4=\sqrt{16}, 1 και υποτείνουσα \sqrt{17}.

## Ιστορία και χρήσεις

Παρόλο που όλο το έργο του Θεόδωρου χάθηκε, ο Πλάτων έβαλε τον Θεόδωρο στον διάλογό του «Θεαίτητος», ο οποίος μιλάει για το έργο του. Θεωρείται ότι ο Θεόδωρος είχε αποδείξει ότι όλες οι τετραγωνικές ρίζες των μη τετραγωνικών ακεραίων αριθμών από το 3 έως το 17 είναι άρρητες μέσω της Σπείρας του Θεόδωρου.

Ο Πλάτων δεν αποδίδει στον Θεόδωρο την αρρητότητα της τετραγωνικής ρίζας του 2, διότι ήταν γνωστή και πριν από αυτόν. Ο Θεόδωρος και ο Θεαίτητος χώρισαν τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς σε διαφορετικές κατηγορίες.

## Υποτείνουσα

Κάθε μια από τις υποτείνουσες των τριγώνων h_n δίνει την τετραγωνική ρίζα του αντίστοιχου φυσικού αριθμού, με 
h_1=\sqrt{2}.

Ο Πλάτων, που διδάχθηκε από τον Θεόδωρο, διερωτήθηκε γιατί ο Θεόδωρος σταμάτησε στο \sqrt{17}. Ο λόγος πιστεύεται συνήθως ότι είναι ότι η \sqrt{17} υποτείνουσα ανήκει στο τελευταίο τρίγωνο που δεν επικαλύπτει το σχήμα.

### Επικάλυψη

Το 1958, ο Κέιλεμπ Γουίλιαμς απέδειξε ότι καμία από τις δύο υποτείνουσες δεν θα συμπέσει ποτέ, ανεξάρτητα από το πόσο μακριά συνεχίζεται η σπείρα. Επίσης, αν οι πλευρές μοναδιαίου μήκους επεκταθούν σε μια γραμμή, δεν θα περάσουν ποτέ από κάποια από τις άλλες κορυφές του συνολικού σχήματος. 

## Επέκταση

Ο Θεόδωρος σταμάτησε τη σπείρα του στο τρίγωνο με υποτείνουσα \sqrt{17}. Αν η σπείρα συνεχιστεί σε άπειρα πολλά τρίγωνα, διαπιστώνονται πολλά ακόμη ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά.

### Ρυθμός ανάπτυξης

#### Γωνία
Αν \varphi_n είναι η γωνία του n-οστού τριγώνου (ή σπειροειδούς τμήματος), τότε:

:\tan\left(\varphi_n\right)=\frac{1}{\sqrt{n}}.

Επομένως, η αύξηση της γωνίας \varphi_n του επόμενου τριγώνου n είναι:

:\varphi_n=\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right).

Το άθροισμα των γωνιών των πρώτων k τριγώνων ονομάζεται συνολική γωνία \varphi(k) για το k-οστό τρίγωνο. Αυξάνεται αναλογικά με την τετραγωνική ρίζα του k, με έναν μικρό σταθερό όρο c_2:

:\varphi\left (k\right)=\sum_{n=1}^k\varphi_n = 2\sqrt{k}+c_2(k),

όπου

:\lim_{k \to \infty} c_2(k)= - 2.157782996659\ldots
().

#### Ακτίνα
Η αύξηση της ακτίνας της σπείρας στο n-οστό τρίγωνο είναι

:\Delta r=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}.

## Σπείρα του Αρχιμήδη

Καθώς ο αριθμός των σπειρών τείνει στο άπειρο, η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών στροφών τείνει γρήγορα στη μαθηματική σταθερά. Η απόσταση μεταξύ δύο στροφών της σπείρας του Αρχιμήδη ισούται με τη μαθηματική σταθερά \pi. Επομένως, λέμε ότι η σπείρα του Θεοδώρου προσεγγίζει την σπείρα του Αρχιμήδη, καθώς το n τείνει στο άπειρο.

Ο ακόλουθος πίνακας δείχνει τις αποστάσεις μεταξύ διαδοχικών στροφών της σπείρας που τείνει στο :

:

Όπως φαίνεται, μετά την πέμπτη μόνο στροφή, η απόσταση προσεγγίζει με ακρίβεια 99,97% το \pi.

## Συνεχής καμπύλη

Το ερώτημα του τρόπου παρεμβολής των διακριτών σημείων της σπείρας του Θεόδωρου με μια ομαλή καμπύλη προτάθηκε και απαντήθηκε από τον Φίλιπ Τ. Ντέιβις το 2001 με την αναλογία του τύπου του Όιλερ για τη συνάρτηση γάμμα ως παρεμβολής για την παραγοντική συνάρτηση. Ο Ντέιβις βρήκε τη συνάρτηση.

:T(x) = \prod_{k=1}^\infty \frac{1 + i/\sqrt{k}}{1 + i/\sqrt{x+k}} \qquad ( -1 

η οποία μελετήθηκε περαιτέρω από τον μαθητή του Λίντερ και τον Ιζερλές.  Η συνάρτηση αυτή μπορεί να χαρακτηριστεί αξιωματικά ως η μοναδική συνάρτηση που ικανοποιεί τη συναρτησιακή εξίσωση

:f(x+1) = \left( 1 + \frac{i}{\sqrt{x+1} }\right) \cdot f(x),

την αρχική συνθήκη f(0) = 1, και μονοτονία τόσο στο στο x όσο και σε απόλυτη τιμή.

Μια παραλλαγή της συνεχούς μορφής της σπείρας του Θεοδώρου του Ντέιβις ορίζεται με αντίθετη φορά από την αρχή των αξόνων.

Στο σχήμα τα σημεία της αρχικής (διακριτής) σπείρας του Θεοδώρου φαίνονται ως μικροί πράσινοι κύκλοι. Οι μπλε κύκλοι είναι εκείνοι που προστίθενται στην αντίθετη φορά της σπείρας (μόνο αυτοί που αντιστοιχούν σε ακέραιες τιμές δίνονται στο σχήμα). 

Ο διακεκομμένος κύκλος στην αρχή των αξόνων O είναι ο κύκλος καμπυλότητας στο O.

## Δημοσιεύσεις

* 
* 
* 
* 

## Δείτε επίσης
* Σπείρα του Αρχιμήδη
* Θεόδωρος ο Κυρηναίος

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* Διαδραστική εφαρμογή για την σπείρα του Θεοδώρου στο Geogebra.
* Διαδραστική εφαρμογή για την σπείρα του Θεοδώρου στο Desmos.

## Παραπομπές

Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία
Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία
Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία
Κατηγορία:Πυθαγόρας
Κατηγορία:Πι
Κατηγορία:Ιστορία των Μαθηματικών
Κατηγορία:Στοιχειώδης γεωμετρία