Θεωρία αναπαραστάσεων

## Ορισμοί και έννοιες
Ας είναι *V* ένας διανυσματικός χώρος πάνω σε ένα σώμα **F**. Για παράδειγμα, έστω ότι ο *V* είναι ο **R***n* ή ο **C***n*, ο καθιερωμένος *n-*διάστατος χώρος από στήλες διανύσματα πάνω από τους πραγματικούς ή τους μιγαδικούς αριθμούς αντίστοιχα. Στην περίπτωση αυτή, η ιδέα της θεωρίας αναπαραστάσεων είναι να κάνει κανείς αφηρημένη άλγεβρα συγκεκριμένα χρησιμοποιώντας  *n* × *n* πίνακες πραγματικών ή μιγαδικών αριθμών.

Υπάρχουν τρία κύρια είδη αλγεβρικών αντικειμένων για τα οποία μπορεί να γίνει: ομάδες, προσεταιριστικές άλγεβρες και άλγεβρες Λι.
* Το σύνολο όλων των αντιστρέψιμων *n* × *n* πινάκων είναι μια ομάδα εφοδιασμένη με τον πολλαπλασιασμό πινάκων και η θεωρία αναπαραστάσεων των ομάδων αναλύει μία ομάδα περιγράφοντας ("αναπαριστώντας") τα στοιχεία της σε όρους αντιστρέψιμων πινάκων.
* Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός πίνακα μετατρέπει το σύνολο όλων των *n* × *n* πινάκων σε προσεταιριστική άλγεβρα και ως εκ τούτου, υπάρχει μία αντίστοιχη θεωρία αναπαραστάσεων των προσεταιριστικών αλγεβρών.
* Αν αντικαταστήσουμε τον πολλαπλασιασμό πινάκων *MN* με τον αντιμεταθέτη πινάκων *MN* − *NM*, τότε οι *n* × *n* πίνακες μετατρέπονται αντ' αυτού σε μία Λι άλγεβρα, που μας οδηγεί σε μία θεωρία αναπαραστάσεων αλγεβρών Λι.
Αυτό γενικεύεται σε οποιοδήποτε σώμα **F** και οποιονδήποτε διανυσματικό χώρο *V* πάνω στο **F**, με τις γραμμικές απεικονίσεις να αντικαθιστούν τους πίνακες και τη σύνθεση να αντικαθιστά τον πολλαπλασιασμό πινάκων: υπάρχει μια ομάδα GL(*V*,**F**) αυτομορφισμών του *V*, μια προσεταιριστική άλγεβρα End**F**(*V*) όλων των ενδομορφισμών του *V*, και μια αντίστοιχη Lie άλγεβρα **gl**(*V*,**F**).

### Ορισμός
Υπάρχουν δύο τρόποι για να πει κανείς τι είναι μια αναπαράσταση. Ο πρώτος χρησιμοποιεί την ιδέα μιας δράσης, γενικεύοντας τον τρόπο που οι πίνακες δρουν σε στήλη διανυσμάτων στον πολλαπλασιασμό πινάκων. Μια αναπαράσταση μιας ομάδας G ή μιας άλγεβρας A (προσεταιριστικής ή lie) σε ένα διανυσματικό χώρο V είναι μία απεικόνιση

 \Phi\colon G\times V \to V \quad\acute{\eta}\quad \Phi\colon A\times V \to V

με δύο ιδιότητες. Η πρώτη, για κάθε *g* που ανήκει στην *G* (ή *a* που ανήκει στην *A*), η απεικόνιση

 \begin{align}\varphi(g)\colon V& \to V\\
v & \mapsto \Phi(g, v)\end{align}

είναι γραμμική (πάνω στην F). Η δεύτερη, αν εισάγουμε το συμβολισμό g·v αντί για Φ(g, v) τότε για κάθε *g*1, *g*2 που ανήκουν στην *G* και *v* που ανήκει στον *V* ισχύει:

 (1)\quad e \cdot v = v

 (2)\quad g_1\cdot (g_2 \cdot v) = (g_1g_2) \cdot v

όπου *e* είναι το ταυτοτικό στοιχείο της *G* και *g*1*g*2 είναι το γινόμενο στη *G*. Οι απαιτήσεις για προσεταιριστικές άλγεβρες είναι ανάλογες, εκτός από το γεγονός ότι οι προσεταιριστικές άλγεβρες δεν έχουν πάντοτε ένα ταυτοτικό στοιχείο,  οπότε στην περίπτωση αυτή η εξίσωση (1) αγνοείται. Η εξίσωση (2) είναι μια αφηρημένη έκφραση συσχέτισης του πολλαπλασιασμού πινάκων. Για τους αντιμεταθέτες πινάκων αυτό δεν ισχύει καθώς επίσης, δεν υπάρχει ταυτοτικό στοιχείο. Ως εκ τούτου, για την άλγεβρα Lie η μόνη απαίτηση είναι ότι για κάθε *x*1, *x*2 που ανήκουν στην *A* και *v* που ανήκει στον *V* πρέπει να ισχύει η εξίσωση:

 (2')\quad x_1\cdot (x_2 \cdot v) - x_2\cdot (x_1 \cdot v) = [x_1,x_2] \cdot v

όπου [*x*1, *x*2] είναι η αγκύλη Lie, η οποία γενικεύει τον αντιμεταθετικό πίνακα *MN* − *NM*.

Ο δεύτερος τρόπος για να ορίσει κανείς μια αναπαράσταση εστιάζει στην απεικόνιση *φ* στέλνοντας την *g* που ανήκει στην *G* σε μία γραμμική απεικόνιση *φ*(*g*): *V* → *V*, η οποία ικανοποιεί τη σχέση:

 \varphi(g_1 g_2) = \varphi(g_1)\circ \varphi(g_2),\ \gamma\iota\alpha\ \acute{o} \lambda\alpha\ \tau\alpha\ \ g_1,g_2 \in G \,\!

και παρόμοια σε άλλες περιπτώσεις. Αυτή η προσέγγιση είναι και πιο συνοπτική και πιο αφηρημένη. Από αυτήν την οπτική γωνία:
* μια αναπαράσταση μιας ομάδας *G* σε ένα διανυσματικό χώρο *V* είναι μια ομάδα ομομορφισμών *φ*: *G* → GL(*V*,**F**)
* μια αναπαράσταση μιας αντιμεταθετικής άλγεβρας *A* σε ένα διανυσματικό χώρο *V* είναι ένας ομομορφισμός άλγεβρας *φ*: *A* → End**F**(*V*)
* μια αναπαράσταση μιας Lie άλγεβρας **a** σε ένα διανυσματικό χώρο *V* είναι ένας ομομορφισμός Lie άλγεβρας *φ*: **a** → **gl**(*V*,**F**).

### Ορολογία
Ο διανυσματικός χώρος *V* ονομάζεται **χώρος αναπαράστασης** της *φ* και η διάστασή του (αν είναι πεπερασμένη) ονομάζεται **διάσταση** της αναπαράστασης (κάποιες φορές ονομάζεται και βαθμός). Επίσης, συνήθως αναφερόμαστε στον *V* μόνο του σαν αναπαράσταση όταν ο ομομορφισμός *φ* είναι ξεκάθαρος από τα συμφραζόμενα, διαφορετικά ο συμβολισμός (*V*,*φ*) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δηλώσουμε μια αναπαράσταση.

Όταν ο *V* είναι πεπερασμένης διάστασης *n*, μπορούμε να διαλέξουμε μια βάση για τον *V* για να ταυτοποιήσουμε τον *V* με τον **F***n* και ως εκ τούτου, να ανακτήσουμε μια αναπαράσταση πινάκων με στοιχεία από το σώμα **F**.
Μια αποτελεσματική και πιστή αναπαράσταση είναι μια αναπαράσταση (*V*,*φ*) για την οποία ο ομομορφισμός *φ* είναι αμφιμονότιμος.

### Ισαλλοίωτη Απεικόνιση και Ισομορφισμοί
Αν *V* και *W* είναι διανυσματικοί χώροι πάνω στο **F**, εφοδιασμένοι με τις αναπαραστάσεις *φ* και *ψ* μιας ομάδας *G*, τότε μια ισαλλοίωτη απεικόνιση από τον *V* στον *W* είναι μία γραμμική απεικόνιση *α*: *V* → *W* τέτοια ώστε να ισχύει:

\alpha( g\cdot v ) = g \cdot \alpha(v)

για όλα τα *g* που ανήκουν στην *G* και τα *v* που ανήκουν στο *V*. Σε ό,τι αφορά στην *φ*: *G* → GL(*V*) και την *ψ*: *G* → GL(*W*), αυτό σημαίνει ότι:

\alpha\circ \phi(g) = \psi(g)\circ \alpha

για όλα τα *g* που ανήκουν στην *G*.

Οι Ισαλλοίωτες απεικονίσεις για αναπαραστάσεις μιας προσεταιριστικής ή Lie άλγεβρας ορίζονται παρόμοια. Αν η *α* είναι αντιστρέψιμη, τότε λέγεται ότι είναι ένας ισομορφισμός και στην περίπτωση αυτή ο *V* και ο *W* (ή, για μεγαλύτρη ακρίβεια, οι *φ* και *ψ*) είναι ισομορφικές αναπαραστάσεις.

Οι ισομορφικές αναπαραστάσεις είναι, για όλους τους πρακτικούς σκοπούς, "οι ίδιες": παρέχουν τις ίδιες πληροφορίες για την ομάδα ή την άλγεβρα όταν αναπαριστώνται. Η θεωρία Αναπαραστάσεων, επομένως, ψάχνει να ταξινομήσει τις αναπαραστάσεις "ανάλογα με τον ισομορφισμό".

### Υποαναπαραστάσεις, πηλίκα, και ανάγωγες αναπαραστάσεις
Αν (*W*,*ψ*) είναι μια αναπαράσταση (έστω) μιας ομάδας *G,* και *V* είναι ένας γραμμικός υπόχωρος του *W* ο οποίος διατηρείται με τη δράση της *G* με την έννοια ότι *g* · *v* ∈ *V* για όλα τα *v* ∈ *V* (Ο  Serre καλεί αυτούς τους *V* σταθερούς *κάτω από την G*), τότε ο *V* ονομάζεται υ*ποαναπαράσταση*: ορίζοντας *φ*(*g*) να είναι το υπόλοιπο της *ψ*(*g*) από τον *V*, (*V*, *φ*) είναι η αναπαράσταση της *G* και η συμπερίληψη του *V* στον *W* είναι μια ισαλλοίωτη απεικόνιση. Ο χώρος πηλίκο *W*/*V* μπορεί επίσης να μετατραπεί σε μια αναπαράσταση της *G*.

Αν ο *W* έχει ακριβώς δύο υποαναπαραστάσεις, δηλαδή τον τετριμμένο υπόχωρο {0} και τον εαυτό του *W*, τότε η αναπαράσταση λέγεται ότι είναι ανάγωγη, ενώ εάν ο *W έχει* μια κανονική, μη τετριμμένη υποαναπαράσταση, η αναπαράσταση λέγεται ότι είναι *αναγώγιμη.* Ο ορισμός μιας ανάγωγης αναπαράστασης συνεπάγεται το Λήμμα του Schur: μια ισαλλοίωτη απεικόνιση *α*: *V* → *W* μεταξύ ανάγωγων αναπαραστάσεων είναι είτε μηδενική απεικόνιση είτε ένας ισομορφισμός, αφού ο πυρήνας και η εικόνα της είναι υποαναπαραστάσεις. Συγκεκριμένα, όταν *V* = *W*, αυτό δείχνει ότι ισαλλοίωτοι ενδομορφισμοί του *V* σχηματίζουν μια προσεταιριστική, ακέραια άλγεβρα κάτω από το υποκείμενο σώμα **F**. Αν το **F** είναι αλγεβρικά κλειστό, οι μόνοι ισαλλοίωτοι ενδομορφισμοί μιας ανάγωγης αναπαράστασης είναι βαθμωτά πολλαπλάσια του ταυτοτικού στοιχείου.

Οι ανάγωγες αναπαραστάσεις είναι τα δομικά στοιχεία της θεωρίας αναπαραστάσεων: αν μία αναπαράσταση *W* δεν είναι ανάγωγη τότε φτιάχνεται από μία υποαναπαράσταση και ένα πηλίκο που είναι "απλούστερα" κατά κάποιον τρόπο, για παράδειγμα, εάν ο *W* είναι πεπερασμένης διάστασης, τότε και η υποαναπαράσταση και το πηλίκο έχουν μικρότερη διάσταση.

### Ευθύ άθροισμα και αδιάσπαστες αναπαραστάσεις
Εάν (*V*,*φ*) και (*W*,*ψ*) είναι αναπαραστάσεις (έστω) μιας ομάδας *G*, τότε το ευθύ άθροισμα των *V* και *W* είναι μια αναπαράσταση, με έναν κανονικό τρόπο, μέσω της εξίσωσης

g\cdot (v,w) = (g\cdot v, g\cdot w).

Το ευθύ άθροισμα των δύο αναπαραστάσεων δε φέρει περισσότερες πληροφορίες σχετικά με την ομάδα *G* απ’ ότι οι δύο αναπαραστάσεις ξεχωριστά. Αν μία αναπαράσταση είναι το ευθύ άθροισμα δύο γνήσιων μη τετριμμένων υποαναπαραστάσεων, λέγεται ότι είναι διασπάσιμες. Διαφορετικά, λέγεται ότι είναι αδιάσπαστες.

Σε ευνοϊκές συνθήκες, κάθε αναπαράσταση είναι ένα ευθύ άθροισμα ανάγωγων αναπαραστάσεων: τέτοιες αναπαραστάσεις λέγεται ότι είναι ημιαπλές. Σε αυτήν την περίπτωση, αρκεί να καταλάβει κανείς μόνο τις ανάγωγες αναπαραστάσεις. Σε άλλες περιπτώσεις, πρώτα πρέπει να καταλάβει πώς οι διασπάσιμες αναπαραστάσεις μπορούν να δημιουργηθούν από ανάγωγες αναπαραστάσεις ως προεκτάσεις ενός πηλίκου από υποαναπαράσταση.

## Κλάδοι και Θέματα
Η θεωρία αναπαραστάσεων είναι αξιοσημείωτη για τον αριθμό των κλάδων που διαθέτει, καθώς και την ποικιλομορφία των προσεγγίσεων για τη μελέτη αναπαραστάσεων αλγεβρικών ομάδων. Παρά το γεγονός ότι, όλες οι θεωρίες έχουν από κοινού τις βασικές έννοιες που συζητήθηκαν ήδη, διαφέρουν σημαντικά στην λεπτομέρεια. Οι διαφορές είναι τουλάχιστον 3-πτυχες:

# Η θεωρία αναπαράστασης εξαρτάται από το είδος του αλγεβρικού αντικειμένου που αναπαραστάται. Υπάρχουν πολλές διαφορετικές τάξεις ομάδων, συνειρμικές άλγεβρες και άλγεβρες "Lie" και οι θεωρίες αναπαράστασής τους,οι οποίες είναι, όλες, ξεχωριστές.
# Η θεωρία αναπαράστασης εξαρτάται από τη φύση του διανυσματικού χώρου κατά την οποία το αλγεβρικό αντικείμενο αναπαραστάται. Η πιο σημαντική διάκριση είναι μεταξύ των πεπερασμένης-διάστασης αναπαραστάσεων και των άπειρης-διάστασης αναπαραστάσεων. Στην περίπτωση των άπειρης-διάστασης αναπαραστάσεων,οι πρόσθετες δομές είναι σημαντικές (π.χ. κατά πόσον ή όχι ο χώρος είναι ένας χώρος Hilbert,χώρος Banach, κλπ). Πρόσθετες αλγεβρικές δομές μπορούν επίσης να επιβληθούν στην περίπτωση της πεπερασμένης διάστασης.
# Η θεωρία αναπαράστασης εξαρτάται από τον τύπο του σώματος πάνω στο οποίο ο διανυσματικός χώρος ορίζεται. Η πιο σημαντική περίπτωση είναι το σώμα των μυγαδικών αριθμών. Οι άλλες σημαντικές υποθέσεις είναι το σώμα των πραγματικών αριθμών, πεπερασμένα σώματα και το σώμα των p-adic αριθμών. Πρόσθετες δυσκολίες προκύπτουν για τα σώματα των θετικών χαρακτηριστικων και για τα σώματα που δεν είναι αλγεβρικά κλειστά.
### Πεπερασμένες Ομάδες
Οι αναπαραστάσεις ομάδων είναι ένα πολύ σημαντικό εργαλείο για τη μελέτη των πεπερασμένων ομάδων. Μπορούν επίσης να προκύψουν κατά την εφαρμογή της θεωρίας πεπερασμένων ομάδων στην γεωμετρία και κρυσταλλογραφία. Οι αναπαραστάσεις των πεπερασμένων ομάδων παρουσιάζουν πολλά από τα χαρακτηριστικά της γενικής θεωρίας και δείχνουν το δρόμο σε άλλους κλάδους και θέματα στη θεωρία αναπαραστάσεων.

Πάνω από ένα πεδίο του χαρακτηριστικού μηδενός, η θεωρία αναπαράστασης μιας πεπερασμένης ομάδα *G* έχει μια σειρά από βολικές ιδιότητες. Πρώτον, οι αναπαραστάσεις του *G* είναι ημι-απλές (εντελώς αναγώγιμες). Αυτό είναι συνέπεια του θεωρήματος του Maschke, η οποία ορίζει ότι κάθε υπο-αναπαράσταση *V* μιας G-αναπαράστασης *W* έχει ενα *G*-αναλλοίωτο συμπλήρωμα. Μία από τις αποδείξεις είναι να επιλέξουμε οποιοδήποτε προβολή *π* από το *W* στο *V* και να αντικατασταθεί με το μέσο όρο *π**G* του που ορίζονται από:

 \pi_G(x) = \frac1\sum_{g\in G} g\cdot \pi(g^{-1}\cdot x)..

Ο πυρήνας του *π**G*  είναι το απαιτούμενο συμπλήρωμα.

Οι πεπερασμένης διάστασης G-αναπαραστάσεις μπορούν να γίνουν κατανοητοί με τη χρήση της θεωρίας χαρακτήρα: ο χαρακτήρας μιας φ αναπαράστασης: *G* → *GL* (*V*) είναι η συνάρτηση *χ**φ*: *G* → **F** που ορίζεται από:

\chi_{\varphi}(g) = \mathrm{Tr}(\varphi(g))\,

όπου \mathrm{Tr} είναι το ίχνος. Μια αμείωτη εκπροσώπηση του G είναι εντελώς καθορίσμένη από το χαρακτήρα της.

Το θεώρημα Maschke είναι γενικότερα για τα σώματα των θετικών χαρακτηριστικών *ρ*, όπως τα πεπερασμένα σώματα, εφ 'όσον ο πρώτος *p* είναι σχετικά πρώτος με τη σειρά του *G*. Όταν *p* και | *G* | έχoυν ένα κοινό παράγοντα, υπάρχουν G-αναπαραστάσεις που δεν είναι ημι-απλές, οι οποίες μελετώνται σε υπο-κλάδο που ονομάζεται "modular" θεωρία αναπαραστάσεων.

Τεχνικές κατά μέσο όρο δείχνουν επίσης ότι αν *F* είναι οι πραγματικοί ή οι μιγαδικοί αριθμοί, τότε κάθε *G*-αναπαράσταση διατηρεί ένα εσωτερικό γινόμενο \langle\cdot,\cdot\rangle στον *V*, με την έννοια ότι:

\langle g\cdot v,g\cdot w\rangle = \langle v,w\rangle
για όλα τα *g* \in  *G* και *v*, *w* \in  *W*. Έτσι, κάθε *G*-αναπαράσταση είναι ενιαία.

Οι ενιαίες αναπαραστάσεις είναι αυτόματα ημι-απλές, δεδομένου ότι το αποτέλεσμα του Maschke μπορεί να αποδειχθεί με τη λήψη ορθογωνίου συμπληρώματος μιας υπο-αναπαράστασης. Κατά τη μελέτη αναπαραστάσεων ομάδων που δεν είναι πεπερασμένες, οι ενιαίες αναπαραστάσεις παρέχουν μια καλή γενίκευση των πραγματικών και των αναπαραστάσεων μιας πεπερασμένης ομάδας.

Αποτελέσματα, όπως το Θεώρημα Maschke που βασίζονται σε μέσους όρους μπορούν να γενικευτούν σε πιο γενικές ομάδες, αντικαθιστώντας το μέσο όρο με ενιαίο, υπό την προϋπόθεση ότι η κατάλληλη έννοια του ολοκληρώματος μπορεί να οριστεί. Αυτό μπορεί να γίνει για συμπαγείς ομάδες ή τοπικά συμπαγείς ομάδες, χρησιμοποιώντας το μέτρο "Haar"  και η προκύπτουσα θεωρία είναι γνωστή ως αφηρημένη αρμονική ανάλυση.

Πάνω από αυθαίρετα σώματα, μια άλλη κατηγορία των πεπερασμένων ομάδων που έχουν μια καλή θεωρία αναπαράστασης είναι οι πεπερασμένες ομάδες του τύπου "Lie". Σημαντικά παραδείγματα είναι γραμμικές αλγεβρικές ομάδες πάνω από πεπερασμένα σώματα. Η θεωρία αναπαράστασης των γραμμικών αλγεβρικών ομάδων και ομάδων "Lie" επεκτείνει αυτά τα παραδείγματα σε απείρων διαστάσεων ομάδες,με την τελευταία να συνδέεται στενά με αναπαραστάσεις άλγεβρας Lie. Η σημασία της θεωρίας χαρακτήρα για πεπερασμένες ομάδες έχει μια αναλογία στη θεωρία των βαρών για αναπαραστάσεις ομάδων "Lie" και αλγεβρών Lie.

Αναπαραστάσεις μιας πεπερασμένης ομάδας *G* επίσης συνδέονται άμεσα με αναπαραστάσεις άλγεβρας μέσω της αλγεβρικής ομάδας *F* [*G*], η οποία είναι ένας διανυσματικός χώρος πάνω από το *F* με τα στοιχεία της *G* ως βάση, εξοπλισμένη με την πράξη του πολλαπλασιασμού που ορίζεται από την πράξη της ομάδας, τη γραμμικότητα , και την απαίτηση ότι η πράξη της ομάδας και ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός  εναλλάσσονται.

### Αναπαραστάσεις μέτρου
Αναπαραστάσεις μέτρου μιας πεπερασμένης ομάδας *G* είναι αναπαραστάσεις σε ένα σώμα του οποίου η χαρακτηριστική δεν σχετικά πρώτη με το | *G* |, έτσι ώστε το θεώρημα του Maschke δεν ισχύει πλέον (γιατί το | *G* | δεν είναι αντιστρέψιμο στο *F* και έτσι δεν μπορεί κάποιος αριθμός να διαιρεθεί από αυτό). Παρ 'όλα αυτά, ο Richard Brauer επέκτεινε μεγάλο μέρος της θεωρίας χαρακτήρων σε αναπαραστάσεις μέτρου, και η θεωρία αυτή έπαιξε σημαντικό ρόλο στην ταχεία πρόοδο προς την κατάταξη των πεπερασμένων απλών ομάδων, ιδίως για τις απλές ομάδες των οποίων ο χαρακτηρισμός δεν ήταν δεκτικός σε αμιγώς ομάδο-θεωρητικές μεθόδους επειδή οι "Sylow 2" -υποομάδες τους ήταν "πολύ μικρές".

Καθώς και με εφαρμογές στη θεωρία των ομάδων, οι αναπαραστάσεις μέτρου προκύπτουν φυσικά σε άλλους κλάδους των μαθηματικών, όπως αλγεβρική γεωμετρία, θεωρία κωδικοποίησης, συνδυαστική και θεωρία αριθμών.
### Μοναδιαίες αναπαραστάσεις
Μια μοναδιαία αναπαράσταση μιας ομάδας *G* είναι μια γραμμική απεικόνιση *φ* του *G* σε ένα πραγματικό ή (συνήθως) μιγαδικό χώρο Hilbert *V* τέτοια ώστε *φ*(*g*) είναι ένας ενιαίος τελεστής για κάθε *g* \in  *G*. Τέτοιες αναπαραστάσεις έχουν εφαρμοστεί ευρέως στην κβαντομηχανική από το 1920, χάρη κυρίως στην επιρροή του Hermann Weyl, και αυτό έχει εμπνεύσει την ανάπτυξη της θεωρίας, κυρίως μέσα από την ανάλυση των αναπαραστάσεων της ομάδας Poincaré από τον Eugene Wigner. Ένας από τους πρωτοπόρους στην κατασκευή μιας γενικής θεωρίας των μοναδιαίων αναπαραστάσεων (για οποιαδήποτε ομάδα *G* και όχι μόνο για τις συγκεκριμένες ομάδες που είναι χρήσιμες σε εφαρμογές) ήταν ο George Mackey, και μια μεγάλη θεωρία αναπτύχθηκε από τους Harish-Chandra και άλλους στη δεκαετία του 1950 και του 1960.

Ένας σημαντικός στόχος είναι να περιγράψει η "μοναδιαία δυϊκή", τo χώρο των ανάγωγων μοναδιαίων αναπαραστάσεων της G. Η θεωρία είναι πιο ανεπτυγμένη στην περίπτωση κατά την οποία το *G* είναι μια τοπολογική ομάδα τοπικά συμπαγής (Hausdorff) και οι αναπαραστάσεις είναι έντονα συνεχής. Για τη *G* αβελιανή, η μοναδιαία δυϊκή είναι μόνο ο χώρος των χαρακτήρων, ενώ για τη *G* συμπαγής, το θεώρημα Peter-Weyl δείχνει ότι οι ανάγωγες μοναδιαίες αναπαραστάσεις είναι πεπερασμένης διάστασης και η μοναδιαία δυϊκή είναι διακριτή. Για παράδειγμα, αν η *G* είναι η κυκλική ομάδα *S*1, τότε οι χαρακτήρες δίδονται από ακεραίους, και η μοναδιαία δυϊκή είναι η **Ζ.**

Για G μη συμπαγή, το ερώτημα ποιες παραστάσεις είναι μοναδιαίες είναι λεπτό. Αν και οι ανάγωγες μοναδιαίες αναπαραστάσεις πρέπει να είναι «παραδεκτές» (όπως το πρότυπο των Harish-Chandra) και είναι εύκολο να ανιχνευθεί ποια παραδεκτή αναπαράσταση έχει μη εκφυλισμένη αναλλοίωτη γραμμικο-ημιγραμμική μορφή, είναι δύσκολο να καθοριστεί πότε αυτή η μορφή είναι θετικά ορισμένη. Μια αποτελεσματική περιγραφή της μοναδιαίας δυϊκής, ακόμη και για τους σχετικά καλά ορισμένες ομάδες, όπως οι πραγματικές αναγωγικές ομάδες "Lie", παραμένει ένα σημαντικό ανοικτό πρόβλημα στην θεωρία αναπαραστάσεων. Έχει λυθεί για πολλές συγκεκριμένες ομάδες, όπως η SL2(R)|SL(2,**R**) και η ομάδα Lorentz.
### Αρμονική Ανάλυση
Η δυαδικότητα μεταξύ της κυκλικής ομάδας *S*1 και των ακεραίων **Z**, ή πιο γενικά, μεταξύ μιας σπείρας *T<sup>n</sup>* και μιας **Z***n* είναι γνωστή στην ανάλυση ως η θεωρία των σειρών Fourier, και ο μετασχηματισμός Fourier παρόμοια εκφράζει το γεγονός ότι ο χώρος των χαρακτήρων σε έναν πραγματικό διανυσματικό χώρο είναι ο δυϊκός διανυσματικός χώρος. Έτσι, η ενιαία θεωρία αναπαραστάσεων και η αρμονική ανάλυση είναι στενά συσχετισμένες, και η αφηρημένη αρμονική ανάλυση εκμεταλλεύεται αυτή τη σχέση, αναπτύσσοντας τη συναρτησιακή ανάλυση σε τοπικά συμπαγείς τοπολογικές ομάδες και σχετικούς χώρους.

Ένας κύριος στόχος είναι να παρέχει μια γενική μορφή από το μετασχηματισμό Fourier και το θεώρημα Plancherel. Αυτό γίνεται κατασκευάζοντας μία απεικόνιση σε μοναδιαία δυϊκή και έναν ισομορφισμό μεταξύ της κανονικής παράστασης της *G* στο χώρο L2(*G*) από τετραγωνικές, ολοκληρώσιμες συναρτήσεις της *G* και της αναπαράστασή του στο χώρο των L2 συναρτήσεων στη μοναδιαία δυϊκή. Η δυϊκότητα του Pontrjagin και το θεώρημα του Peter–Weyl το κατάφεραν για αβελιανή και συμπαγή *G* αντίστοιχα. Μία άλλη προσέγγιση περιλαμβάνει όλες τις δυϊκές αναπαραστάσεις, και όχι μόνο τις ανάγωγες. Αυτές σχηματίζουν μια κατηγορία, και η δυϊκότητα των Tannaka–Krein παρέχει έναν τρόπο για να ανακτηθεί μια συμπαγής ομάδα από την κατηγορία από δυϊκές αναπαραστάσεις.

Αν η ομάδα δεν είναι ούτε αβελιανή ούτε συμπαγής, δεν είναι γνωστή κάποια γενική θεωρία ανάλογη αυτής του θεωρήματος Plancherel ή του μετασχηματισμού Fourier, παρ' όλο που ο Alexander Grothendieck προέκτεινε τη δυϊκότητα των Tannaka–Krein σε μία σχέση μεταξύ γραμμικών αλγεβρικών ομάδων και κατηγοριών του Tannaka.

Η αρμονική ανάλυση έχει επίσης επεκταθεί από τη συναρτησιακή ανάλυση σε μια ομάδα *G* σε συναρτήσεις σε ομογενείς χώρους για τη *G*. Η θεωρία είναι ιδιαίτερα καλά ανεπτυγμένη για συμμετρικούς χώρους και παρέχει μια θεωρία αυτομορφικών μορφών (αναφέρεται παρακάτω).
ανάγωγες
### Ομάδες "Λι"

Μια ομάδα "Lie" είναι μια ομάδα η οποία είναι επίσης μια ομαλή πολλαπλότητα. Πολλές κλασικές ομάδες πινάκων στους πραγματικούς ή μιγαδικούς αριθμούς είναι ομάδες "Λι". Πολλές από τις ομάδες  που είναι σημαντικές στη φυσική και τη χημεία είναι ομάδες "Λι", και η θεωρία αναπαράστασής τους είναι ζωτικής σημασίας για την εφαρμογή της θεωρίας της ομάδας σε αυτούς τους τομείς.

Η θεωρία αναπαραστάσεων των ομάδων Lie μπορούν να αναπτυχθούν αρχικά από την εξέταση των συμπαγώ ομάδων, στο οποίο εφαρμόζονται τα αποτελέσματα της συμπαγούς θεωρίας αναπαραστάσεων. Αυτή η θεωρία μπορεί να επεκταθεί και σε πεπερασμένης διάστασης αναπαραστάσεις των ημι-απλών ομάδων "Λι" χρησιμοποιόντας το μοναδιαίο τέχνασμα του Weyl : κάθε ημι-απλή πραγματική ομάδα Λι *G* έχει μια μιγαδοποίηση, η οποία είναι μια μιγαδική ομάδα "Λι" *G*c, και αυτή η μιγαδική ομάδα "Λι" έχει μέγιστη συμπαγή υποομάδα *K*. Οι πεπερασμένων διαστάσεων αναπαραστάσεις του *G* αντιστοιχούν σε εκείνες του *Κ*

Μια γενική ομάδα "Lie" είναι ένα ημιευθύ προϊόν μιας επιλύσιμης ομάδας "Lie" και μιας ημι-απλής ομάδας "Λι". Η ταξινόμηση των αναπαραστάσεων των επιλύσιμων ομάδων "Λι" είναι δυσεπίλυτη σε γενικές γραμμές, αλλά συχνά εύκολη σε συγκεκριμένες περιπτώσεις. Αναπαραστάσεις ημιευθέων προϊόντων μπορούν στη συνέχεια να αναλυθούν με τη βοήθεια των γενικών αποτελεσμάτων που ονομάζονται θεωρία Mackey,  η οποία είναι μια γενίκευση των μεθόδων που χρησιμοποιούνται στην ταξινόμηση των αναπαραστάσεων της ομάδας του Poincaré Wigner.
### Άλγεβρες "Λι"
Μια "Λι" άλγεβρα πάνω σε ένα σώμα *F* είναι διανυσματικός χώρος πάνω από το F εξοπλισμένο με πράξη διγραμμική, αντιμετρική και συμμετρική ονομάζεται βραχίονας "Λι", και ικανοποιεί την ταυτότητα Jacobi. Άλγεβρες "Λι" προκύπτουν ως χώροι εφαπτόμενοι στις ομάδες "Λι" στο ουδέτερο στοιχείο, που οδηγεί στην ερμηνεία τους ως «απειροελάχιστες συμμετρίες». Μια σημαντική προσέγγιση για την θεωρία αναπαράστασης των ομάδων "Λι" είναι να μελετηθεί η αντίστοιχη θεωρία αναπαράστασης των αλγεβρών "Λι", αλλά οι αναπαραστάσεις των αλγεβρών "Λι" έχουν επίσης ένα εγγενές ενδιαφέρον.
Οι άλγεβρες "Λι, όπως και οι ομάδες "Λι", έχουν μια αποσύνθεση "Levi" σε ημιαπλά και επιλύσιμα μέρη, με την θεωρία αναπαράστασης, από τις επιλύσιμες άλγεβρες "Λι", να είναι δυσεπίλυτη σε γενικές γραμμές. Αντιθέτως, οι πεπερασμένων διαστάσεων αναπαραστάσεις των ημιαπλών αλγεβρών "Λι" είναι πλήρως κατανοητές, μετά από την εργασία του Elie Cartan. Μια αναπαράσταση μιας ημιαπλής άλγεβρας "Λι" *g* αναλύεται επιλέγοντας μια υποάλγεβρα Cartan, το οποίο είναι ουσιαστικά μια γενική μέγιστη υποάλγεβρα *h* της *g* κατά την οποία ο βραχίονας Λιείναι μηδέν. Η αναπαράσταση του *g* μπορεί να αποσυντεθεί σε χώρους βάρους που είναι ο ιδιοχώρος για τη δράση της *h* και το απειροελάχιστο ανάλογο χαρακτήρων. Η δομή των ημιαπλών αλγεβρών "Λι" στη συνέχεια μειώνει την ανάλυση των αναπαραστάσεων για να αντιληφθεί εύκολα τη συνδυαστική από τα πιθανά βάρη που μπορούν να συμβούν.

#### Άλγεβρες "Λι" άπειρης διάστασης
Υπάρχουν πολλές κατηγορίες άπειρων διαστάσεων αλγεβρών "Λι" των οποίων οι αναπαραστάσεις έχουν μελετηθεί. Μεταξύ αυτών, μια σημαντική κατηγορία είναι οι άλγεβρες Kac-Moody. Πήραν το όνομά τους από τους Victor Kac και Robert Moody, που τις ανακάλυψαν ανεξάρτητα. Αυτές οι άλγεβρες αποτελούν μια γενίκευση της πεπερασμένης διάστασης ημιαπλής άλγεβρας "Λι", και μοιράζονται πολλές από τις συνδυαστικές ιδιότητες τους. Αυτό σημαίνει ότι έχουν μια κατηγορία αναπαραστάσεων που μπορεί να γίνει κατανοητή με τον ίδιο τρόπο όπως και οι αναπαραστάσεις των ημιαπλών αλγεβρών "Λι". 
Οι ομοπαραλληλικές άλγεβρες "Λι" είναι μια ειδική περίπτωση των KAC-Moody άλγεβρών, οι οποίες έχουν ιδιαίτερη σημασία στα μαθηματικά και στη θεωρητική φυσική, ειδικά στη σύμμορφη θεωρία πεδίου και τη θεωρία των ακριβώς επιλύσιμων μοντέλων. Ο Kac ανακάλυψε μια κομψή απόδειξη ορισμένων συνδυαστικών ταυτοτήτων, ταυτότητες Macdonald , η οποία βασίζεται στην θεωρία αναπαραστάσεων των ομοπαραλληλικών αλγεβρών Kac-Moody.

#### Υπερ-άλγεβρες "Λι"
Οι υπεράλγεβρες "Λι" είναι γενικεύσεις των αλγεβρών "Λι" στις οποίες ο διανυσματικός χώρος  έχει μια **Z**2-ταξινόμηση, και συμμετρία και οι ταυτοτικές ιδιότητες Jacobi του βραχίονα "Λι" έχουν τροποποιηθεί από τα σήματα.Η θεωρία αναπαραστάσεων τους είναι παρόμοια με την θεωρία αναπαραστάσεων των αλγεβρών Λι.

### Γραμμικές αλγεβρικές ομάδες
Οι γραμμικές αλγεβρικές ομάδες (ή γενικότερα, ομοπαραλληλικά συστήματα ομάδων) είναι ανάλογα στην Αλγεβρική γεωμετρία των ομάδων Lie, αλλά σε πιο γενικούς τομείς από ό, τι απλά το **R** ή το **C**. Πιο συγκεκριμένα, πάνω από πεπερασμένα πεδία, δίνουν αφορμή για πεπερασμένες ομάδες τύπου "Lie". Αν και οι γραμμικές αλγεβρικές ομάδες έχουν μια ταξινόμηση η οποία είναι πολύ παρόμοια με εκείνη των ομάδων Λι, η θεωρία αναπαραστάσεων τους είναι μάλλον διαφορετική (και πολύ λιγότερο καλά κατανοητές) και απαιτεί διαφορετικές τεχνικές, δεδομένου ότι η τοπολογία Zariski είναι σχετικά ασθενής, και τεχνικές από την ανάλυση δεν είναι πλέον διαθέσιμες.

### Αναλλοίωτη Θεωρία
### Αυτομορφικές μορφές και Θεωρία Αριθμών
Οι Αυτομορφικές  μορφές είναι μια γενίκευση των σπονδυλωτών μορφών σε πιο γενικές αναλυτικές συναρτήσεις, ίσως πολλές σύνθετες μεταβλητές, με παρόμοιες ιδιότητες μετασχηματισμού.  Η γενίκευση περιλαμβάνει την αντικατάσταση της σπονδυλωτής ομάδας PSL2 (R) και μια επιλεγμένη υποομάδα σε αντιστοιχία με μια semisimple Λι group *G* και με μία διακριτή υποομάδα Γ. Ακριβώς όπως οι modular μορφές μπορούν να θεωρηθούν ως διαφορικές μορφές σε ένα πηλίκο του άνω μισού χώρου Η = PSL2 (R) / SO (2), έτσι και οι αυτομορφικές μορφές μπορεί να θεωρηθούν ως διαφορικές μορφές (ή παρόμοια αντικείμενα) στην Γ \ G / K, όπου Κ είναι (συνήθως) μία μέγιστη συμπαγής υποομάδα G. Κάποια προσοχή απαιτείται, αφού το πηλίκο τυπικά έχει ιδιομορφίες. Το πηλίκο του semisimple Lie group με συμπαγή υποομάδα είναι ένας συμμετρικός χώρος και έτσι η θεωρία των αυτομορφικών μορφών  είναι στενά  συνδεδεμένα με την  αρμονική ανάλυση σχετικά με συμμετρικούς χώρους.

Πριν από την ανάπτυξη της γενικής θεωρίας, πολλές σημαντικές ειδικές περιπτώσεις εκπονήθηκαν λεπτομερώς, συμπεριλαμβανομένων των Hilbert σπονδυλωτών μορφών και Siegel σπονδυλωτών μορφών. Σημαντικά αποτελέσματα στη θεωρία περιλαμβάνουν τον τύπο  Selberg και την αντίληψη του Robert Langlands ότι το θεώρημα Riemann-Roch θα μπορούσε να εφαρμοστεί για τον υπολογισμό της διάστασης του χώρου των αυτομορφικών μορφών  . Η επακόλουθη έννοια της "αυτομορφικής εκπροσώπησης» αποδείχθηκε μεγάλης τεχνικής αξίας για την εξέταση της υπόθεσης ότι το G είναι μία αλγεβρική ομάδα, αντιμετωπίζεται ως adelic αλγεβρική ομάδα. Ως αποτέλεσμα μια ολόκληρη φιλοσοφία, το πρόγραμμα Langlands έχει αναπτυχθεί γύρω από τη σχέση μεταξύ της εκπροσώπησης και τον αριθμό των  θεωρητικών ιδιότητων  των αυτομορφικών  μορφών.

### Συνειρμικές άλγεβρες

#### Θεωρία Προτύπου
#### Άλγεβρες "Hopf" και Κβαντικές Ομάδες

## Γενικεύσεις
### Συνολοθεωρητικές Αναπαραστάσεις
### Αναπαραστάσεις σε άλλες Κατηγορίες
### Αναπαραστάσεις Κατηγορίών

## Παραπομπές
* Alperin, J. L. (1986), *Local Representation Theory: Modular Representations as an Introduction to the Local Representation Theory of Finite Groups*, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44926-7.
* Bargmann, V. (1947), "Irreducible unitary representations of the Lorenz group", *Annals of Mathematics* (Annals of Mathematics) **48** (3): 568–640, doi:10.2307/1969129, JSTOR 1969129.
* Borel, Armand (2001), *Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups*, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0288-5.
* Borel, Armand; Casselman, W. (1979), *Automorphic Forms, Representations, and L-functions*, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1435-2.
* Curtis, Charles W.; Reiner, Irving (1962), *Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras*, John Wiley & Sons (Reedition 2006 by AMS Bookstore), ISBN 978-0-470-18975-7.
* Gelbart, Stephen (1984), "An Elementary Introduction to the Langlands Program", *Bulletin of the American Mathematical Society* **10** (2): 177–219, doi:10.1090/S0273-0979-1984-15237-6.
* Folland, Gerald B. (1995), *A Course in Abstract Harmonic Analysis*, CRC Press, ISBN 978-0-8493-8490-5.
* Fulton, William; Harris, Joe (1991), *Representation theory. A first course*, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics **129**, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8, MR 1153249, ISBN 978-0-387-97527-6.
* Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. (1998), *Representations and Invariants of the Classical Groups*, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66348-9.
* Gordon, James; Liebeck, Martin (1993), *Representations and Characters of Finite Groups*, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44590-0.
* Helgason, Sigurdur (1978), *Differential Geometry, Lie groups and Symmetric Spaces*, Academic Press, ISBN 978-0-12-338460-7
* Humphreys, James E. (1972a), *Introduction to Lie Algebras and Representation Theory*, Birkhäuser, ISBN 978-0-387-90053-7.
* Humphreys, James E. (1972b), *Linear Algebraic Groups*, Graduate Texts in Mathematics **21**, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90108-4, MR 0396773
* Jantzen, Jens Carsten (2003), *Representations of Algebraic Groups*, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3527-2.
* Kac, Victor G. (1977), "Lie superalgebras", *Advances in Mathematics* **26** (1): 8–96, doi:10.1016/0001-8708(77)90017-2.
* Kac, Victor G. (1990), *Infinite Dimensional Lie Algebras* (3rd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46693-6.
* Knapp, Anthony W. (2001), *Representation Theory of Semisimple Groups: An Overview Based on Examples*, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09089-4.
* Kim, Shoon Kyung (1999), *Group Theoretical Methods and Applications to Molecules and Crystals: And Applications to Molecules and Crystals*, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-64062-6.
* Kostrikin, A. I.; Manin, Yuri I. (1997), *Linear Algebra and Geometry*, Taylor & Francis, ISBN 978-90-5699-049-7.
* Lam, T. Y. (1998), "Representations of finite groups: a hundred years", *Notices of the AMS* (American Mathematical Society) **45** (3,4): 361–372 (Part I), 465–474 (Part II).
* Yurii I. Lyubich. *Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups*. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
* Mumford, David; Fogarty, J.; Kirwan, F. (1994), *Geometric invariant theory*, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Results in Mathematics and Related Areas (2)] **34** (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56963-3, MR 0214602(1st ed. 1965) (3rd ed.)
* Olver, Peter J. (1999), *Classical invariant theory*, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-55821-2.
* Peter, F.; Weyl, Hermann (1927), "Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe", *Mathematische Annalen* **97** (1): 737–755, doi:10.1007/BF01447892.
* Pontrjagin, Lev S. (1934), "The theory of topological commutative groups", *Annals of Mathematics* (Annals of Mathematics) **35** (2): 361–388, doi:10.2307/1968438, JSTOR 1968438.
* Sally, Paul; Vogan, David A. (1989), *Representation Theory and Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups*, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1526-7.
* Serre, Jean-Pierre (1977), *Linear Representations of Finite Groups*, Springer-Verlag, ISBN 978-0387901909.
* Sharpe, Richard W. (1997), *Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program*, Springer, ISBN 978-0-387-94732-7.
* Simson, Daniel; Skowronski, Andrzej; Assem, Ibrahim (2007), *Elements of the Representation Theory of Associative Algebras*, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88218-7.
* Sternberg, Shlomo (1994), *Group Theory and Physics*, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55885-3.
* Weyl, Hermann (1928), *Gruppentheorie und Quantenmechanik* (The Theory of Groups and Quantum Mechanics, translated H.P. Robertson, 1931 ed.), S. Hirzel, Leipzig (reprinted 1950, Dover), ISBN 978-0-486-60269-1.
* Weyl, Hermann (1946), *The Classical Groups: Their Invariants and Representations* (2nd ed.), Princeton University Press (reprinted 1997), ISBN 978-0-691-05756-9.
* Wigner, Eugene P. (1939), "On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group", *Annals of Mathematics* (Annals of Mathematics) **40** (1): 149–204, doi:10.2307/1968551, JSTOR 1968551.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Representation theory", *[[Encyclopedia of Mathematics]]*, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4