Étale μορφισμός

Στην αλγεβρική γεωμετρία, ένας **étale μορφισμός** (γαλλικά: étale) είναι ένας μορφισμός σχημάτων που είναι τυπικά étale και τοπικά πεπερασμένης παρουσίασης. Πρόκειται για το αλγεβρικό ανάλογο της έννοιας του τοπικού ισομορφισμού στην μιγαδική αναλυτική τοπολογία. Ικανοποιούν τις υποθέσεις του θεωρήματος της πεπλεγμένης συνάρτησης, αλλά επειδή τα ανοικτά σύνολα στην τοπολογία Ζαρίσκι είναι τόσο μεγάλα, δεν είναι απαραίτητα τοπικοί ισομορφισμοί. Παρά το γεγονός αυτό, οι étale απεικονίσεις διατηρούν πολλές από τις ιδιότητες των τοπικών αναλυτικών ισομορφισμών και είναι χρήσιμοι στον ορισμό της αλγεβρικής θεμελιώδους ομάδας και της étale τοπολογίας.

Η λέξη étale είναι ένα γαλλικό επίθετο, το οποίο σημαίνει "χαλαρή", όπως η "χαλαρή παλίρροια"  ή, μεταφορικά, ήρεμη, ακίνητη, κάτι που αφήνεται να κατασταλάξει.

## Ορισμός

Έστω \phi : R \to S ένας ομομορφισμός δακτυλίου. Αυτό καθιστά το S μια R-άλγεβρα.  Ας επιλέξουμε ένα μονικό πολυώνυμο f στο R[x] και ένα πολυώνυμο g in R[x] έτσι ώστε η παράγωγος f' του f να είναι μονάδα στο (R[x]/fR[x])_g.  Λέμε ότι το \phi είναι *τυπικό étale* αν f και g μπορούν να επιλεγούν έτσι ώστε S να είναι ισόμορφο ως ένα R-άλγεβρα με την (R[x]/fR[x])_g και \phi είναι η κανονική απεικόνιση.

Έστω f : X \to Y ένας μορφισμός σχημάτων. Λέμε ότι η f είναι *étale* αν έχει οποιαδήποτε από τις ακόλουθες ισοδύναμες ιδιότητες:
# f είναι επίπεδο και χωρίς διακλαδώσεις .
# f είναι λείος μορφισμός και χωρίς διακλαδώσεις.
# f είναι επίπεδο, τοπικά πεπερασμένης παρουσίασης και για κάθε y στο Y, η ίνα f^{-1}(y) είναι η διαχωριστική ένωση σημείων, καθένα από τα οποία είναι το φάσμα μιας πεπερασμένης διαχωρίσιμης επέκτασης σώματος του υπολειμματικού σώματος \kappa(y).
# f είναι επίπεδο, τοπικά πεπερασμένης παρουσίασης, και για κάθε y στο Y και κάθε αλγεβρική κλειστότητα k' του υπολειμματικού σώματος \kappa(y), η γεωμετρική ίνα f^{-1}(y) \otimes_{\kappa(y)} k' είναι η ασύνδετη ένωση σημείων, καθένα από τα οποία είναι ισομορφικό με το \mbox{Spec } k'.
# f είναι ένας ομαλός μορφισμός σχετικής διάστασης μηδέν.
# f iείναι ένας ομαλός μορφισμός και ένας τοπικά οιονεί πεπερασμένος μορφισμός.
# f είναι τοπικά πεπερασμένης παρουσίασης και είναι τοπικά ένας τυπικός étale μορφισμός, δηλαδή,
#:Για κάθε x στο X, έστω y = f(x). Τότε υπάρχει μια ανοικτή αφινική γειτονιά  \operatorname{Spec} R του y και μια ανοικτή αφινική γειτονιά \operatorname{Spec} S του x τέτοια ώστε η f(\operatorname{Spec} S) να περιέχεται στο \operatorname{Spec} R και έτσι ώστε ο ομομορφισμός δακτυλίου R \rightarrow S που επάγεται από το f να είναι τυπικά étale.
# f  είναι τοπικά πεπερασμένης παρουσίασης και είναι τυπικά étale μορφισμός.
# f  είναι τοπικά πεπερασμένης παρουσίασης και είναι τυπικά étale για απεικονίσεις από τοπικούς δακτυλίους, δηλαδή:
#:Έστω A ένας τοπικός δακτύλιος και J ένα ιδεώδες του A τέτοιο ώστε  J^2=0. Ορίζουμε Z=\operatorname{Spec}A και Z_0 = \operatorname{Spec} A/J, και έστωi \colon Z_0 \rightarrow Z είναι η κανονική κλειστή βύθιση. Έστω z το κλειστό σημείο του Z_0.  Έστω h \colon Z \rightarrow Y και g_0 \colon Z_0 \rightarrow X είναι μορφισμοί τέτοιοι ώστεf(g_0(z)) = h(i(z)).  Τότε υπάρχει ένας μοναδικός Y-μορφισμός g \colon Z \rightarrow X τέτοιος ώστε  gi = g_0.

Ας υποθέσουμε ότι η Y είναι τοπικά Ναιτερική και η *f*  είναι τοπικά πεπερασμένου τύπου.  Για x στο X, έστω y = f(x) και έστω \hat{\mathcal O}_{Y,y} \to \hat{\mathcal O}_{X,x} είναι η επαγόμενη απεικόνιση σε ολοκληρωμένους τοπικούς δακτυλίους.  Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:
# f είναι étale.
# Για κάθε x στο X, η επαγόμενη απεικόνιση σε ολοκληρωμένους τοπικούς δακτυλίους είναι τυπικά étale για την adic τοπολογία.
# Για κάθε x το X, \hat{\mathcal O}_{X,x} είναι ένα ελεύθερο \hat{\mathcal O}_{Y,y}-module και η ίνα \hat{\mathcal O}_{X,x}/m_y\hat{\mathcal O}_{X,x} είναι ένα σώμα το οποίο είναι μια πεπερασμένη διαχωρίσιμη επέκταση σώματος του υπολειμματικού σώματος \kappa(y).  (Εδώ  m_y είναι το μέγιστο ιδεώδες του \hat{\mathcal O}_{Y,y}.)
# f είναι τυπικά étale για απεικονίσεις τοπικών δακτυλίων με τις ακόλουθες πρόσθετες ιδιότητες.  Ο τοπικός δακτύλιος  A μπορεί να θεωρηθεί Artinian. Αν m είναι το μέγιστο ιδεώδες του A, τότε το Jμπορεί να θεωρηθεί ότι ικανοποιεί mJ = 0. Τέλος, ο μορφισμός στα σώματα καταλοίπων s \kappa(y) \rightarrow A/m μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι ισομορφισμός.
Αν επιπλέον όλες οι απεικονίσεις στα υπολειμματικά σώματα \kappa(y) \to \kappa(x) είναι ισομορφισμοί, ή αν το \kappa(y) είναι διαχωρίσιμα κλειστό, τότε το f είναι étale αν και μόνο αν για κάθε x στο X, η επαγόμενη απεικόνιση στους ολοκληρωμένους τοπικούς δακτυλίους είναι ισομορφισμός.

## Παραδείγματα

Κάθε ανοικτή εμβύθιση είναι étale επειδή είναι τοπικά ισομορφισμός.

Οι χώροι κάλυψης αποτελούν παραδείγματα étale μορφισμών. Παραδείγµατος χάριν, αν  d \geq 1  είναι ένας ακέραιος αντιστρέψιµος στον δακτύλιο R τότε
: \text{Spec}(R[t,t^{-1},y]/(y^d - t)) \to \text{Spec}(R[t,t^{-1}]) 
είναι ένας etale μορφισμός βαθμού d.

Κάθε διακλαδισμένη κάλυψη \pi:X \to Y έχει έναν μη διακλαδισμένο τόπο
: \pi: X_{un} \to Y_{un}
που είναι étale.

Οι μορφισμοί

:\text{Spec}(L) \to \text{Spec}(K)
που επάγονται από πεπερασμένες διαχωρίσιμες επεκτάσεις σωμάτων είναι étale - σχηματίζουν *αριθμητικούς χώρους κάλυψης* με ομάδα μετασχηματισμών καταστρώματος που δίνεται από την \text{Gal}(L/K).

Κάθε ομομορφισμός δακτυλίου της μορφή R \to S=R[x_1,\ldots,x_n]_g/(f_1,\ldots, f_n), όπου όλα τα f_i είναι πολυώνυμα, και όπου η Ιακωβιανή ορίζουσα \det(\partial f_i/\partial x_j) είναι μονάδα στο S, είναι étale. Επί παραδείγματι ο μορφισμός \mathbb{C}[t,t^{-1}] \to \mathbb{C}[x,t,t^{-1}]/(x^n - t) είναι etale και αντιστοιχεί σε ένα χώρο κάλυψης βαθμού n του \mathbb{G}_m \in Sch/\mathbb{C} με την ομάδα \mathbb{Z}/n των μετασχηματισμών κάλυψης.

Αναπτύσσοντας το προηγούμενο παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι έχουμε έναν μορφισμό f λείων σύνθετων αλγεβρικών ποικιλιών.  Εφόσον η f δίδεται από εξισώσεις, μπορούμε να την ερμηνεύσουμε ως μία απεικόνιση μιγαδικών πολλαπλοτήτων.  Κάθε φορά που η Ιακωβιανή του f είναι μη μηδενική, ο f είναι ένας τοπικός ισομορφισμός μιγαδικών πολλαπλοτήτων σύμφωνα με το θεώρημα της πεπλεγμένης συνάρτησης.  Σύμφωνα με το προηγούμενο παράδειγμα, το να έχεις μη μηδενική Ιακωβιανή είναι το ίδιο με το να είναι étale.

Έστω f : X\to Y να είναι ένας κυρίαρχος μορφισμός πεπερασμένου τύπου με *X*, *Y* τοπικά  Ναιτεριανό, μη αναγώγιμο και *Y* κανονικό. Αν η *f* είναι αδιαμόρφωτη, τότε είναι étale.

Για ένα σώμα *K*, κάθε *K*-άλγεβρα *A* είναι αναγκαστικά επίπεδη. Επομένως, η *A* είναι μια etale άλγεβρα αν και μόνο αν είναι χωρίς διακλαδώσεις , το οποίο είναι επίσης ισοδύναμο με
:A \otimes_{K}\bar{K}\cong\bar{K}\oplus ...\oplus\bar{K}, 
όπου \bar K είναι η διαχωρίσιμη κλειστότητα του σώματος *K* και η δεξιά πλευρά είναι ένα πεπερασμένο άμεσο άθροισμα, του οποίου όλα τα αθροίσματα είναι \bar K. Αυτός ο χαρακτηρισμός των etale *K*-άλγεβρων αποτελεί εφαλτήριο για την επανερμηνεία της κλασικής θεωρίας Γκαλουά (βλ. Θεωρία Γκαλουά του Γκρότεντικ).

## Ιδιότητες

* Οι μορφισμοί Étale διατηρούνται κάτω από σύνθεση και αλλαγή βάσης.
* Οι μορφισμοί Étale είναι τοπικοί στην πηγή και στη βάση. Με άλλα λόγια, f: X\to Y είναι étale αν και μόνο αν για κάθε κάλυψη του X από ανοικτά υποσχήματα ο περιορισμός του f σε κάθε ένα από τα ανοικτά υποσχήματα της κάλυψης είναι étale, και επίσης αν και μόνο αν για κάθε κάλυψη του Y από ανοικτά υποσχήματα οι επαγόμενοι μορφισμοί f_{(U)} : X \times_Y U \to U είναι étale για κάθε υποσύστημα U της κάλυψης. Ειδικότερα, είναι δυνατό να ελέγξουμε την ιδιότητα να είναι étale σε ανοικτές αφινικές γραμμές V=\operatorname{Spec}(B)\to U=\operatorname{Spec}(A).
* Το γινόμενο μιας πεπερασμένης οικογένειας étale μορφισμών είναι étale.
* Δεδομένης μιας πεπερασμένης οικογένειας μορφισμών \{f_\alpha : X_\alpha \to Y\}, η ασύνδετη ένωση \coprod f_\alpha : \coprod X_\alpha \to Y είναι étale αν και μόνο αν κάθε f_\alpha είναι étale.
* Έστω f : X \to Y και g : Y \to Z, και ας υποθέσουμε ότι g είναι χωρίς διακλαδώσεις και gf είναι étale.  Τότε η f είναι étale. Ειδικότερα, αν τα X και X' είναι étale επί Y, τότε κάθε Y-μορφισμός μεταξύ των X και X' είναι étale.
* Οι οιονεί συμπαγείς étale μορφισμοί είναι οιονεί πεπερασμένοι.
* Ένας μορφισμός f : X \to Y είναι μια ανοιχτή εμβύθιση αν και μόνο αν είναι étale και radicial. 
* Αν f : X \to Y είναι étale και επιρριπτική, τότε \dim X = \dim Y  (πεπερασμένο ή όχι).

## Θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης

Μορφισμοί Étale
:*f*: *X*&nbsp;&rarr;&nbsp;*Y*
είναι το αλγεβρικό αντίστοιχο των τοπικών διαφορικομορφισμών. Πιο συγκεκριμένα, ένας μορφισμός μεταξύ λείων ποικιλιών είναι étale σε ένα σημείο, αν το διαφορικό μεταξύ των αντίστοιχων εφαπτόμενων χώρων είναι ισομορφισμός. Αυτή με τη σειρά της είναι ακριβώς η συνθήκη που απαιτείται για να εξασφαλιστεί ότι μία απεικόνιση μεταξύ πολλαπλοτήτων είναι ένας τοπικός διαφορμορφισμός, δηλαδή για κάθε σημείο *y* ∈ *Y*, υπάρχει μία ανοικτή γειτονιά *U* του *x*  τέτοια ώστε ο περιορισμός του *f* στο *U* να είναι ένας διαφορμορφισμός. Αυτό το συμπέρασμα δεν ισχύει στην αλγεβρική γεωμετρία, επειδή η τοπολογία είναι πολύ χονδροειδής. Παραδείγματος χάριν, ας θεωρήσουμε την προβολή *f* της παραβολής
:*y*&nbsp;=&nbsp;*x*2
στον άξονα *y*. Αυτός ο μορφισμός είναι étale σε κάθε σημείο εκτός από την αρχή (0, 0), επειδή το διαφορικό δίνεται από το 2*x*, που δεν μηδενίζεται σε αυτά τα σημεία.

Ωστόσο, δεν υπάρχει (Ζαρίσκι) τοπικό αντίστροφο της *f*, ακριβώς επειδή η τετραγωνική ρίζα δεν είναι αλγεβρική απεικόνιση, αφού δεν προκύπτει από πολυώνυμα. Ωστόσο, υπάρχει μια λύση για την κατάσταση αυτή, χρησιμοποιώντας την τοπολογία étale. Η ακριβής δήλωση έχει ως εξής: Αν f : X\to Y  είναι étale και πεπερασμένη, τότε για κάθε σημείο y που βρίσκεται στο*Y*,  υπάρχει ένας étale μορφισμός *V* → *Y* που περιέχει το y στην εικόνα του (*το V* μπορεί να θεωρηθεί ως μια étale ανοικτή γειτονιά του *y*), έτσι ώστε όταν αλλάζουμε την *f* to *V*, τότε  X\times_Y V\to V (το πρώτο μέλος θα ήταν η προ-εικόνα του *V* από την *f* if *V* ήταν μια ανοικτή γειτονιά Ζαρίσκι) είναι μια πεπερασμένη ασύνδετη  ένωση ανοικτών υποσυνόλων ισομορφικών με το *V*. Με άλλα λόγια, τοπικά-étale στο  *Y*, ο μορφισμός *f* είναι ένα τοπολογικό πεπερασμένο κάλυμμα.

Για έναν ομαλό μορφισμό  f : X\to Y σχετικής διάστασης *n*, *étale-locally* στο *X* και στο *Y*, ο *f* είναι μια ανοικτή εμβύθιση σε έναν αφινικό χώρο \mathbb A^n_Y. Αυτή είναι η étale ανάλογη εκδοχή του θεωρήματος δομής για τις καταδύσεις.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Αβελιανή ομάδα

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
*
* 
* 
* 
*
*J. S. Milne (2008). *[http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/LEC.pdf Lectures on Etale Cohomology]*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Μορφισμοί
Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα