Εικασία του Χολ

Στα μαθηματικά, η **εικασία του Χολ** είναι ένα ανοιχτό ερώτημα σχετικά με τις διαφορές μεταξύ τέλειων τετραγώνων και τέλειων κύβων. Ισχυρίζεται ότι ένα τέλειο τετράγωνο *y*2 και ένας τέλειος κύβος *x*3 που δεν είναι ίσα πρέπει να απέχουν μεταξύ τους μια σημαντική απόσταση. Το ερώτημα αυτό προέκυψε από την εξέταση της εξίσωσης Μορντέλ στη θεωρία των ακέραιων σημείων σε ελλειπτικές καμπύλες.

Η αρχική εκδοχή της εικασίας του Χολ, που διατυπώθηκε από τον Μάρσαλ Χολ Τζούνιορ το 1970, λέει ότι υπάρχει μια θετική σταθερά *C* τέτοια ώστε για κάθε ακέραιο *x* και *y* για τον οποίο *y*2 ≠ *x*3,

:|y^2 - x^3| > C\sqrt.

Ο Χολ πρότεινε ότι ίσως το *C* θα μπορούσε να ληφθεί ως 1/5, το οποίο ήταν σύμφωνο με όλα τα δεδομένα που ήταν γνωστά κατά τη στιγμή που προτάθηκε η εικασία. Ο Ντανίλοφ έδειξε το 1982 ότι ο εκθέτης 1/2 στη δεξιά πλευρά (δηλαδή η χρήση του |*x*|1/2) δεν μπορεί να αντικατασταθεί από οποιαδήποτε μεγαλύτερη δύναμη: για κανένα δ > 0 δεν υπάρχει μια σταθερά *C* τέτοια ώστε |*y*2 − *x*3| > C|*x*|1/2 + δ όποτε *y*2 ≠ *x*3.

Το 1965, ο Ντέιβενπορτ απέδειξε ένα ανάλογο της παραπάνω εικασίας στην περίπτωση των πολυωνύμων: 
αν *f*(*t*) και *g*(*t*) είναι μη μηδενικά πολυώνυμα στους μιγαδικούς αριθμούς **C**' έτσι ώστε 
*g*(*t*)3 ≠ *f*(*t*)2 στο **C**[*t*], τότε

:\deg(g(t)^2 - f(t)^3) \geq \frac{1}{2}\deg f(t) + 1.

Η ασθενής μορφή της εικασίας του Χολ, που διατυπώθηκε από τους Σταρκ και Τρότερ γύρω στο 1980, αντικαθιστά την τετραγωνική ρίζα στη δεξιά πλευρά της ανισότητας με οποιονδήποτε εκθέτη μικρότερο από 1/2: για οποιοδήποτε *ε* > 0, υπάρχει κάποια σταθερά *c*(ε) που εξαρτάται από το *ε*, έτσι ώστε για οποιουσδήποτε ακέραιους *x* και *y* για τους οποίους *y*2 ≠ *x*3,

:|y^2 - x^3| > c(\varepsilon) x^{1/2 - \varepsilon}.

Η αρχική, *ισχυρή*, μορφή της εικασίας με εκθέτη 1/2 δεν διαψεύστηκε ποτέ, αν και δεν πιστεύεται πλέον ότι είναι αληθής και ο όρος *εικασία του Χολ* σημαίνει τώρα γενικά την εκδοχή με το *ε*.  Παραδείγματος χάριν, το 1998, ο Νόαμ Έλκις βρήκε το παράδειγμα

4478849284284020423079182 − 58538865167812233 = -1641843,

για την οποία η συμβατότητα με την εικασία του Χολ θα απαιτούσε το *C* να είναι μικρότερο από 0,0214 &asymp; 1/50, δηλαδή περίπου 10 φορές μικρότερο από την αρχική επιλογή του 1/5 που πρότεινε ο Χολ.

Η ασθενής μορφή της εικασίας του Χολ μπορεί να προκύψει από την εικασία ABC. Μια γενίκευση σε άλλες τέλειες δυνάμεις είναι η εικασία του Πιλάι, αν και είναι επίσης γνωστό ότι η εικασία του Πιλάι θα ήταν αληθής αν η εικασία του Χολ ίσχυε για οποιοδήποτε συγκεκριμένο 0 r = \sqrt{x}/|y^2-x^3| > 1. Ας σημειωθεί ότι το *y* μπορεί να υπολογιστεί ως ο πλησιέστερος ακέραιος αριθμός στο *x*3/2. Αυτή η λίστα είναι γνωστό ότι περιέχει όλα τα παραδείγματα με x \le 10^{29} (οι πρώτες 44 καταχωρήσεις του πίνακα), αλλά μπορεί να είναι ελλιπής μετά από αυτό το σημείο.

**Σημειώσεις του Πίνακα**  
* (a) GPZ.J. Gebel, A. Pethö and H.G. Zimmer.
* (b) Noam D. Elkies (συμπεριλαμβανομένης της καταχώρησης 16 που ο Έλκις βρήκε αλλά παρέλειψε από τον πίνακα που δημοσίευσε).
* (c) JHS I. Jiménez Calvo, J. Herranz and G. Sáez (με διόρθωση της σειράς των καταχωρίσεων 29 και 30)
* (d) JBJohan Bosman (με τη χρήση του λογισμικού της JHS).
* (e) AKR S. Aanderaa, L. Kristiansen and H.K. Ruud.
* (f) DL.V. Danilov. Το στοιχείο 50 ανήκει στην άπειρη ακολουθία που βρήκε ο Ντανίλοφ.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

## Δείτε επίσης
* Θεωρία αριθμών
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Φυσικός λογάριθμος
* Δεύτερη Εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ
* Ελλειπτική καμπύλη
* e (μαθηματική σταθερά)
* Πυθαγόρεια τετράδα
* Άρτιοι και περιττοί αριθμοί
* Τετραγωνικός αριθμός
* Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
* Προβλήματα του Λαντάου
* Κύβος (άλγεβρα)
* Εικασία του Γκόλντμπαχ
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Υπόθεση H του Σίνζελ
* Συνάρτηση Όιλερ
* Ευκλείδειος χώρος

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
* 
*Elkies, N.D. "Rational points near curves and small nonzero | 'x3 - y2'| via lattice reduction", http://arxiv.org/abs/math/0005139
*Danilov, L.V., "The Diophantine equation&nbsp;&nbsp; 'x3 &nbsp; - &nbsp;y2&nbsp;'&nbsp; ' = &nbsp;k&nbsp; ' and Hall's conjecture", 'Math.  Notes Acad. Sci. USSR' *32*(1982), 617-618.
*Gebel, J., Pethö, A., and Zimmer, H.G.: "On Mordell's equation", 'Compositio Math.' *110*(1998), 335-367.
*I. Jiménez Calvo, J. Herranz and G. Sáez Moreno, "A new algorithm to search for small nonzero |'x3&nbsp;-&nbsp;y2'| values", 'Math. Comp.' *78* (2009), pp.&nbsp;2435-2444.
*S. Aanderaa, L. Kristiansen and H. K. Ruud, "Search for good examples of Hall's conjecture", 'Math. Comp.' *87* (2018), 2903-2914.

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

Κατηγορία:Διοφαντικές εξισώσεις
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών
Κατηγορία:Θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Εικασίες
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά