Σταθερό δεμάτιο

Στα μαθηματικά, το **σταθερό δεμάτιο** σε έναν τοπολογικό χώρο X που σχετίζεται με ένα σύνολο A είναι ένα δεμάτιο συνόλων στο X του οποίου τα στάχυα είναι όλα ίσα με το A.  Σημειώνεται με \underline{A} ή A_X. Το **σταθερό [[Προδεμάτιο (θεωρία κατηγοριών)|προδεμάτιο]]** με τιμή A είναι το προδεμάτιο που αποδίδει σε κάθε ανοιχτό υποσύνολο του X την τιμή  A, και όλες οι περιοριστικές ταυτοτικές απεικονίσεις A\to A. Το σταθερό δεμάτιο που σχετίζεται με το A είναι το δεμάτιο του σταθερού προδεματίου που σχετίζεται με το A. Αυτό το δεμάτιο μπορεί να ταυτιστεί με το δεμάτιο των τοπικά σταθερών συναρτήσεων με τιμή A-valued στοX.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, το σύνολο A μπορεί να αντικατασταθεί με ένα αντικείμενο A σε κάποια κατηγορία \textbf{C} (e.g. όταν \textbf{C} είναι η κατηγορία των αβελιανών ομάδων ή των αντιμεταθετικών δακτυλίων).

Τα **σταθερά δεμάτια** αβελιανών ομάδων εμφανίζονται ειδικότερα ως συντελεστές στην συνομολογία δεματίων.

## Βασικές έννοιες

Έστω X ένας τοπολογικός χώρος και A ένα σύνολο. Οι τομές του σταθερού δεματίου \underline{A} πάνω σε ένα ανοιχτό σύνολο U μπορούν να ερμηνευθούν ως οι συνεχείς συναρτήσεις U\to A, όπου στο A iδίνεται η διακριτή τοπολογία. Εάν U είναι συνεκτικό {connected), τότε αυτές οι τοπικά σταθερές συναρτήσεις είναι σταθερές. Εάνf:X\to\{\text{pt}\} είναι η μοναδική απεικόνιση στον χώρο ενός σημείου και A θεωρείται ως δεμάτιο στο \{\text{pt}\}, τότε η αντίστροφη εικόνα f^{-1}A είναι το σταθερό δεμάτιο \underline{A} στο X.  Ο χώρος étale δεματίου του \underline{A} είναι η απεικόνιση προβολής A (όπου X\times A\to X  έχει τη διακριτή τοπολογία).

## Λεπτομερές παράδειγμα

Έστω X ο τοπολογικός χώρος που αποτελείται από δύο σημεία p και q με τη διακριτή τοπολογία. Το X έχει τέσσερα ανοιχτά σύνολα: \varnothing, \{p\}, \{q\}, \{p,q\}. Οι πέντε μη-τετριμμένες εγκλείσεις των ανοιχτών συνόλων του X φαίνονται στον χάρτη.

Ένα προδεμάτιο στο X επιλέγει ένα σύνολο για κάθε ένα από τα τέσσερα ανοιχτά σύνολα του X και μια περιοριστική απεικόνιση για κάθε μία από τις εγκλείσεις (με ταυτόσημη απεικόνιση για U\subset U). To **σταθερό προδεμάτιο** με τιμή \textbf{Z}, που συμβολίζεται με F, είναι το προδεμάτιο όπου και τα τέσσερα σύνολα είναι \textbf{Z}, οι ακέραιοι αριθμοί, και όλοι οι περιοριστικές ταυτοτικές απεικονίσεις. Το F είναι ένας συναρτητής στο διάγραμμα εγκλείσεων (ένα προδεμάτιο), επειδή είναι σταθερό. Ικανοποιεί το αξίωμα συγκόλλησης (gluing axiom), αλλά δεν είναι ένα δεμάτιο επειδή δεν ικανοποιεί το αξίωμα τοπικής ταυτότητας στο κενό σύνολο. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι το κενό σύνολο καλύπτεται από την κενή οικογένεια συνόλων, \varnothing  = \bigcup\nolimits_{U\in\{\}} U  , και, επομένως, κάθε δύο τμήματα στο F(\varnothing)    είναι ίσα όταν περιορίζονται σε οποιοδήποτε σύνολο της κενής οικογένειας \{\}  . Το αξίωμα της τοπικής ταυτότητας θα συνεπαγόταν επομένως ότι τα δύο τμήματα στο F(\varnothing)    είναι ίσα, κάτι που είναι λάθος.

Για να το τροποποιήσουμε σε ένα προδεμάτιο G που ικανοποιεί το αξίωμα της τοπικής ταυτότητας, ας θέσουμε G(\varnothing)=0, ένα σύνολο ενός στοιχείου, και ας δώσουμε στο G την τιμή \textbf{Z} σε όλα τα μη κενά σύνολα. Για κάθε έγκλιση ανοιχτών συνόλων, ας είναι ο περιορισμός η μοναδική απεικόνιση στο 0 αν το μικρότερο σύνολο είναι κενό, ή η ταυτοτική απεικόνιση σε αντίθεση περίπτωση. Ας σημειωθεί ότι το G(\varnothing)=0 επιβάλλεται από το αξίωμα της τοπικής ταυτότητας.

Τώρα, το G είναι ένα διαχωρισμένο προδεμάτιο (ικανοποιεί την τοπική ταυτότητα), αλλά σε αντίθεση με το F δεν ικανοποιεί το αξίωμα της συγκόλλησης (gluing axiom). Πράγματι, το \{p,q\} είναι μη συνεκτικό καλυμμένο από μη τεμνόμενα ανοιχτά σύνολα \{p\} και \{q\}. Επιλέγουμε διακριτές τομές m\neq n  στο \mathbf Z   πάνω από το \{p\} και το \{q\} αντίστοιχα. Επειδή m και n περιορίζονται στο ίδιο στοιχείο 0 πάνω από \varnothing, το αξίωμα συγκόλλησης (gluing axiom) θα εγγυόταν την ύπαρξη ενός μοναδικού τμήματος s στο G(\{p,q\}) που περιορίζεται στο m στο \{p\}  και n στο \{q\}· αλλά οι περιοριστικές απεικονίσεις είναι η ταυτότητα, δίνοντας m = s = n   , το οποίο είναι λάθος. Διαισθητικά, το G(\{p,q\}) είναι πολύ μικρό για να μεταφέρει πληροφορίες και για τα δύο συνεκτικα συστατικά \{p\} και \{q\}. 

Τροποποιώντας περαιτέρω για να ικανοποιήσουμε το αξίωμα συγκόλλησης(gluing axiom), έστω  H(\{p,q\}) = \mathrm{Fun}(\{p,q\},\mathbf{Z})\cong \Z\times\Z ,the \mathbf Z  -valued συναρτήσεις στο \{p,q\}, και ορίζουμε τους περιορισμούς του H ως φυσικούς περιορισμούς των συναρτήσεων στο \{p\} και \{q\}, με τον περιορισμό μηδέν να περιορίζεται στο \varnothing . Τότε το H είναι ένα δεμάτιο, που ονομάζεται **σταθερό δεμάτιο** στο X με τιμή \textbf{Z}.  Δεδομένου ότι όλες οι απεικονίσεις περιορισμού είναι ομομορφισμοί δακτυλίων, το H είναι ένα δεμάτιο αντιμεταθετικών δακτυλίων.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή κατηγορία
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
*
*
*
*
* 
*

*
*Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
*
*
*
* 
* 
* Categorical programming with inductive and coinductive types () by Varmo Vene
* Philip Wadler: Recursive types for free! () University of Glasgow, June 1990. Draft.
* Algebra and coalgebra () from CLiki
* B. Jacobs, J. Rutten: A Tutorial on (Co) Algebras and (Co) Induction. Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, vol. 62, 1997, 
* Understanding F-Algebras () by Bartosz Milewski
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Γενική τοπολογία
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα