Συνάρτηση διάστασης

Στα μαθηματικά, η **συνάρτηση διάστασης** αποτελεί εργαλείο στη μελέτη των φράκταλ και άλλων υποσυνόλων των μετρικών χώρων. Οι συναρτήσεις διάστασης είναι μια γενίκευση του απλού νόμου δύναμης " διάμετρος προς διάσταση " που χρησιμοποιείται στην κατασκευή του s-διάστατου μέτρου Χάουσντορφ.

## Κίνητρο: s-διάστατο μέτρο Χάουστορφ
Κύριο άρθρο: Διάσταση Χάουσντορφ

Ας υποθέσουμε έναν μετρικό χώρο (*X*,&nbsp;*d*) και ένα υποσύνολο *E* του *X*. Δεδομένου ενός αριθμού *s*&nbsp;≥&nbsp;0, το *s*-διάστατο μέτρο Χάουστορφ του *E*, που συμβολίζεται*s*&nbsp;≥&nbsp;0 ορίζεται ως εξής

:\mu^{s} (E) = \lim_{\delta \to  0} \mu_{\delta}^{s} (E),

όπου

:\mu_{\delta}^{s} (E) = \inf \left\{ \left. \sum_{i = 1}^{\infty} \mathrm{diam} (C_{i})^{s} \right| \mathrm{diam} (C_{i}) \leq \delta, \bigcup_{i = 1}^{\infty} C_{i} \supseteq E \right\}.

Το *μ**δ**s*(*E*) μπορεί να θεωρηθεί ως μια προσέγγιση του "πραγματικού" *s*-διάστατου εμβαδού/όγκου του E που δίνεται από τον υπολογισμό του ελάχιστου s-διάστατου εμβαδού/όγκου μιας κάλυψης του *E* από σύνολα με διάμετρο το πολύ *δ*.

Ως αύξουσα συνάρτηση του *s*, *μ**s*(*E*) είναι μη αύξουσα. Στην πραγματικότητα, για όλες τις τιμές του *s* εκτός ίσως από μία, *H**s*(*E*) είναι είτε 0 είτε +∞- αυτή η εξαιρετική τιμή ονομάζεται διάσταση Χάουσντορφ της *E*, που σημειώνεται εδώ dimH(*E*). Ενδεχομένως, *μ**s*(*E*)&nbsp;=&nbsp;+∞ για *s*&nbsp;&lt;&nbsp;dimH(*E*) για τον ίδιο λόγο που το μονοδιάστατο γραμμικό μήκος ενός δισδιάστατου δίσκου στο ευκλείδειο επίπεδο είναι +∞- ομοίως, *μ**s*(*E*)&nbsp;=&nbsp;0 για *s*&nbsp;&gt;&nbsp;dimH(*E*) για τον ίδιο λόγο που ο τρισδιάστατος όγκος ενός δίσκου στο ευκλείδειο επίπεδο είναι μηδέν.

Η ιδέα μιας συνάρτησης διάστασης είναι να χρησιμοποιηθεί διαφορετική συνάρτηση της διαμέτρου από την απλή diam(*C*)*s* για κάποιο *s*, και να αναζητηθεί η ίδια ιδιότητα το μέτρο Χάουσντορφ να είναι πεπερασμένο και μη μηδενικό.

## Ορισμός
Ας υποθέσουμε ότι (*X*,&nbsp;*d*) είναι ένας μετρικός χώρος και *E*&nbsp;⊆&nbsp;*X*. Έστω *h*&nbsp;:&nbsp;[0,&nbsp;+∞)&nbsp;→&nbsp;[0,&nbsp;+∞] μια συνάρτηση. Ορίζουμε την *μ**h*(*E* ως εξής

:\mu^{h} (E) = \lim_{\delta \to  0} \mu_{\delta}^{h} (E),

ὀπου

:\mu_{\delta}^{h} (E) = \inf \left\{ \left. \sum_{i = 1}^{\infty} h \left( \mathrm{diam} (C_{i}) \right) \right| \mathrm{diam} (C_{i}) \leq \delta, \bigcup_{i = 1}^{\infty} C_{i} \supseteq E \right\}.

Τότε η h καλείται **συνάρτηση** (**ακριβούς**) **διάστασης** (ή **συνάρτηση μετρητή**) για την *E* αν *μ**h*(*E*) είναι πεπερασμένη και αυστηρά θετική. Υπάρχουν πολλές συμβάσεις ως προς τις ιδιότητες που πρέπει να έχει η *h*: Ο Rogers (1998), για παράδειγμα, προϋποθέτει ότι η h πρέπει να είναι μονότονα αυξανόμενη για *t*&nbsp;≥&nbsp;0, απολύτως θετική για *t*&nbsp;&gt;&nbsp;0, και συνεχής προς τα δεξιά για όλα τα *t*&nbsp;≥&nbsp;0.

### Διάσταση συσκευασίας
Η διάσταση συσκευασίας κατασκευάζεται με έναν πολύ παρόμοιο τρόπο με τη διάσταση Χάουσντορφ, με τη διαφορά ότι "πακετάρουμε" την *Ε* από μέσα με διαχωρισμένες κατά ζεύγη σφαίρες διαμέτρου το πολύ *δ*. Όπως και πριν, μπορεί κανείς να θεωρήσει συναρτήσεις *h*&nbsp;: &nbsp;[0,&nbsp;+∞)&nbsp;→&nbsp;[0,&nbsp;+∞] γενικότερα από το *h*(*δ*)&nbsp;=&nbsp;*δ**s* και ονομάζουμε την *h* ακριβή συνάρτηση διάστασης για την *E* αν το μέτρο συσκευασίας *h* της *E* είναι πεπερασμένο και αυστηρά θετικό.

## Παράδειγμα
Είναι σχεδόν βέβαιο ότι μια δειγματική διαδρομή *X* της κίνησης Μπράουν στο ευκλείδειο επίπεδο έχει διάσταση Χάουσντορφ ίση με 2, αλλά το δισδιάστατο μέτρο Χάουσντορφ *μ*2(*X*) είναι μηδέν. Η ακριβής συνάρτηση διάστασης *h* δίνεται από τη λογαριθμική διόρθωση

:h(r) = r^{2} \cdot \log \frac1{r} \cdot \log \log \log \frac1{r}.

Δηλαδή, με πιθανότητα ένα, 0&nbsp;&lt;&nbsp;*μ**h*(*X*)&nbsp;&lt;&nbsp;+∞ για ένα μονοπάτι Μπράουν *X* στο **R**2. Για την κίνηση Μπράουν στον ευκλείδειο *n*-χώρο **R***n* με *n*&nbsp;≥&nbsp;3, η ακριβής συνάρτηση διάστασης είναι

:h(r) = r^{2} \cdot \log \log \frac1r.

## Δημοσιεύσεις

* 
* 

## Βιβλιογραφία
* Dendrimers III: Design, Dimension, Function
* Geometric Function Theory in Higher Dimension
* Dimension and Extensions
* Geometric Function Theory in One and Higher Dimensions

## Δείτε επίσης
* Αλγόριθμος διαμαντιού τετραγώνου
* Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
* Νιφάδα του Κοχ
* Καμπύλη Χίλμπερτ
* Καμπύλη του δράκου
* Σπόγγος του Μένγκερ

* Σύνολο Μάντελμπροτ
* Σύνολο Julia
* Σύνολο Κάντορ
* Οικοδομήσιμο Σύμπαν
* Σύστημα-L

## Παραπομπές


Κατηγορία:Φράκταλ
Κατηγορία:Μετρική γεωμετρία