Φανταστική μονάδα

Η **φανταστική μονάδα** ή **μοναδιαίος φανταστικός αριθμός** (****) είναι μια μαθηματική σταθερά που αποτελεί λύση της τετραγωνικής εξίσωσης *x* 2 + 1 = 0. Αν και δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός με αυτή την ιδιότητα, ο  μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να επεκτείνει τους πραγματικούς αριθμούς στους λεγόμενους μιγαδικούς αριθμούς, χρησιμοποιώντας την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Ένα απλό παράδειγμα χρήσης του  σε έναν μιγαδικό αριθμό είναι ο 

Οι φανταστικοί αριθμοί είναι μια σημαντική μαθηματική έννοια- επεκτείνουν το σύστημα πραγματικών αριθμών \mathbb{R} στο σύστημα μιγαδικών αριθμών\mathbb{C}, στο οποίο υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα για κάθε μη σταθερό πολυώνυμο (βλέπε Αλγεβρικό κλείσιμο και Θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας). Εδώ χρησιμοποιείται ο όρος «φανταστικός» επειδή δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που να έχει αρνητικό τετράγωνο.

Υπάρχουν δύο μιγαδικές τετραγωνικές ρίζες του    και ,, όπως ακριβώς υπάρχουν δύο μιγαδικές τετραγωνικές ρίζες κάθε πραγματικού αριθμού εκτός από το μηδέν (που έχει μία διπλή τετραγωνική ρίζα).

Σε περιβάλλοντα στα οποία η χρήση του γράμματος  είναι διφορούμενη ή προβληματική, χρησιμοποιείται μερικές φορές το γράμμα . Παραδείγματος χάριν, στην ηλεκτρολογική μηχανική και τη μηχανική συστημάτων ελέγχου, η φανταστική μονάδα συμβολίζεται συνήθως με  αντί για , επειδή το  χρησιμοποιείται συνήθως για να δηλώσει το ηλεκτρικό ρεύμα.

## Ορολογία
Περαιτέρω πληροφορίες: Ιστορία μιγαδικών αριθμών

Οι τετραγωνικές ρίζες των αρνητικών αριθμών ονομάζονται φανταστικοί, επειδή στα πρώιμα-νεωτερικά μαθηματικά, μόνο αυτοί που σήμερα ονομάζονται πραγματικοί αριθμοί, οι οποίοι μπορούσαν να ληφθούν με φυσικές μετρήσεις ή με βασική αριθμητική, θεωρούνταν καθόλου αριθμοί - ακόμη και οι αρνητικοί αριθμοί αντιμετωπίζονταν με σκεπτικισμό - έτσι η τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού θεωρούνταν προηγουμένως απροσδιόριστη ή μη λογική. Το όνομα φανταστικό αποδίδεται γενικά στον Ρενέ Ντεκάρτ, ενώ ο Ισαάκ Νεύτων χρησιμοποίησε τον όρο ήδη από το 1670 Ο συμβολισμός i εισήχθη από τον Λέοναρντ Όιλερ.

Η μονάδα είναι ένα αδιαίρετο σύνολο και η μονάδα ή ο μοναδιαίος αριθμός είναι ο αριθμός ένα ένα ()..

## Ορισμός

Η φανταστική μονάδα  ορίζεται αποκλειστικά από την ιδιότητα ότι το τετράγωνό της είναι -1:
i^2 = -1.

Με το  ορισμένο με αυτόν τον τρόπο, προκύπτει άμεσα από την άλγεβρα ότι  και  είναι και οι δύο τετραγωνικές ρίζες του -1.

Παρόλο που η κατασκευή ονομάζεται «φανταστική» και παρόλο που η έννοια του φανταστικού αριθμού μπορεί να είναι διαισθητικά πιο δύσκολη να κατανοηθεί από εκείνη του πραγματικού αριθμού, η κατασκευή είναι έγκυρη από μαθηματική άποψη. Οι πράξεις πραγματικών αριθμών μπορούν να επεκταθούν σε φανταστικούς και μιγαδικούς αριθμούς, αντιμετωπίζοντας το  ως άγνωστη ποσότητα κατά τον χειρισμό μιας έκφρασης (και χρησιμοποιώντας τον ορισμό για την αντικατάσταση κάθε εμφάνισης του *i*2 με ). Οι υψηλότερες ολοκληρωτικές δυνάμεις του  είναι επομένως

\begin{alignat}{3}
i^3 &= i^2 i &&= (-1) i &&= -i, \\[3mu]
i^4 &= i^3 i &&= \;\!(-i) i &&= \ \,1, \\[3mu]
i^5 &= i^4 i &&= \ \, (1) i &&= \ \ i,
\end{alignat}

κ.ο.κ., διατρέχοντας κυκλικά τις τέσσερις τιμές , ,  και . Όπως με κάθε μη μηδενικό πραγματικό αριθμό, *i* 0 = 1.

Ως μιγαδικός αριθμός, το *i* μπορεί να παρασταθεί σε ορθογώνια μορφή ως 0 + 1*i*,  με μηδενική πραγματική συνιστώσα και μοναδιαία φανταστική συνιστώσα. Σε πολική μορφή, το i μπορεί να αναπαρασταθεί ως 1 × *e<sup>πi</sup>* /2 (ή απλά e*πi* /2),  με απόλυτη τιμή (ή μέγεθος) 1 και όρισμα (ή γωνία) \tfrac\pi2 ακτίνια. (Η προσθήκη οποιουδήποτε ακέραιου πολλαπλάσιου του  2*π*  σε αυτή τη γωνία λειτουργεί επίσης.) Στο μιγαδικό επίπεδο, το οποίο είναι μια ειδική ερμηνεία του καρτεσιανού επιπέδου, το i είναι το σημείο που βρίσκεται μία μονάδα από την αρχή κατά μήκος του φανταστικού άξονα (ο οποίος είναι κάθετος στον πραγματικό άξονα).

### vs.

Ως τετραγωνικό πολυώνυμο χωρίς πολλαπλές ρίζες, η εξίσωση  *x*2 = −1 έχει δύο διαφορετικές λύσεις, οι οποίες είναι εξίσου έγκυρες και οι οποίες τυχαίνει να είναι προσθετικές και πολλαπλασιαστικές αντιστροφές η μία της άλλης. Παρόλο που οι δύο λύσεις είναι διαφορετικοί αριθμοί, οι ιδιότητές τους είναι δυσδιάκριτες- δεν υπάρχει καμία ιδιότητα που να έχει η μία που να μην έχει η άλλη. Η μία από αυτές τις δύο λύσεις χαρακτηρίζεται ως  (ή απλά ) και η άλλη ως , αν και είναι εγγενώς διφορούμενο ποιο είναι ποιο.

Οι μόνες διαφορές μεταξύ  και  προκύπτουν από αυτή την επισήμανση. Επί παραδείγματι, κατά σύμβαση το  λέγεται ότι έχει όρισμα +\tfrac\pi2 και το -i λέγεται ότι έχει όρισμα -\tfrac\pi2, που σχετίζεται με τη σύμβαση της επισήμανσης των προσανατολισμών στο καρτεσιανό επίπεδο σε σχέση με τον θετικό άξονα  με θετικές γωνίες που στρέφονται αριστερόστροφα προς την κατεύθυνση του θετικού άξονα y. Επίσης, παρά τα σύμβολα που γράφονται με αυτά, ούτε το  ούτε το  είναι εγγενώς θετικά ή αρνητικά με την έννοια που είναι οι πραγματικοί αριθμοί.

Μια πιο τυπική έκφραση αυτής της μη διακριτότητας των  και  είναι ότι, παρόλο που το μιγαδικό σώμα είναι μοναδικό (ως επέκταση των πραγματικών αριθμών) μέχρι τον ισομορφισμό, είναι  μοναδικό μέχρι έναν  ισομορφισμό. Δηλαδή, υπάρχουν δύο αυτομορφισμοί του σώματος των μιγαδικών αριθμών \C που διατηρούν κάθε πραγματικό αριθμό σταθερό, δηλαδή η ταυτότητα και η μιγαδική σύζευξη. Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με αυτό το γενικό φαινόμενο, δείτε ομάδα Γκαλουά.

## Πίνακες

Χρησιμοποιώντας τις έννοιες των πινάκων και του πολλαπλασιασμού πινάκων, οι σύνθετοι αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν στη γραμμική άλγεβρα. Η πραγματική μονάδα 1 και η φανταστική μονάδα i μπορούν να αναπαρασταθούν από οποιοδήποτε ζεύγος πινάκων  και  που ικανοποιούν τις σχέσεις *I*2 = *I*, *IJ* = *JI* = *J*, και  *J*2 = −*I*. Τότε ένας μιγαδικός αριθμός  μπορεί να αναπαρασταθεί από τον πίνακα  και όλοι οι συνήθεις κανόνες της μιγαδικής αριθμητικής μπορούν να προκύψουν από τους κανόνες της αριθμητικής των πινάκων.

Η πιο συνηθισμένη επιλογή είναι να αναπαραστήσουμε το  και το  με τον πίνακα ταυτότητας   και τον πίνακα ,


I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad
J = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Τότε ένας αυθαίρετος μιγαδικός αριθμός  μπορεί να αναπαρασταθεί από:

aI + bJ = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}.

Γενικότερα, οποιοσδήποτε πίνακας πραγματικών τιμών  με ίχνος μηδέν και ορίζουσα ένα τετράγωνο , οπότε θα μπορούσε να επιλεγεί για . Θα μπορούσαν επίσης να χρησιμοποιηθούν μεγαλύτεροι πίνακες- για παράδειγμα, ο  θα μπορούσε να αναπαρασταθεί από τον  πίνακα ταυτότητας και ο  θα μπορούσε να αναπαρασταθεί από οποιονδήποτε από τους πίνακες Ντιράκ για τις χωρικές διαστάσεις.

### Ρίζα του

Τα πολυώνυμα (σταθμισμένα αθροίσματα των δυνάμεων μιας μεταβλητής) είναι ένα βασικό εργαλείο της άλγεβρας. Τα πολυώνυμα των οποίων οι συντελεστές είναι πραγματικοί αριθμοί σχηματίζουν έναν δακτύλιο, που συμβολίζεται \R[x], μια αλγεβρική δομή με πρόσθεση και πολλαπλασιασμό και μοιράζεται πολλές ιδιότητες με τον δακτύλιο των ακεραίων.

Το πολυώνυμο x^2 + 1 δεν έχει ρίζες πραγματικού αριθμού, αλλά το σύνολο όλων των πολυωνύμων με πραγματικό συντελεστή που διαιρείται με το x^2 + 1 αποτελεί ένα ιδεώδες, και έτσι υπάρχει ένας πηλίκο δακτύλιος \reals[x] / \langle x^2 + 1\rangle. Αυτός ο πηλίκος δακτύλιος είναι ισομορφικός με τους μιγαδικούς αριθμούς, και η μεταβλητή x εκφράζει τη φανταστική μονάδα.

## Γραφική αναπαράσταση
Κύριο άρθρο: Μιγαδικό επίπεδο

Οι μιγαδικοί αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν γραφικά σχεδιάζοντας τη γραμμή των πραγματικών αριθμών ως οριζόντιο άξονα και τους φανταστικούς αριθμούς ως κατακόρυφο άξονα ενός καρτεσιανού επιπέδου που ονομάζεται μιγαδικό επίπεδο. Σε αυτή την αναπαράσταση, οι αριθμοί  και  βρίσκονται στην ίδια απόσταση από το , με ορθή γωνία μεταξύ τους. Η πρόσθεση με έναν μιγαδικό αριθμό αντιστοιχεί σε μετατόπιση στο επίπεδο, ενώ ο πολλαπλασιασμός με έναν μιγαδικό αριθμό μοναδιαίου μεγέθους αντιστοιχεί σε περιστροφή γύρω από την αρχή. Κάθε μετασχηματισμός ομοιότητας του επιπέδου μπορεί να αναπαρασταθεί από μια μιγαδική γραμμική συνάρτηση z \mapsto az + b.

## Γεωμετρική άλγεβρα

Στη γεωμετρική άλγεβρα του ευκλείδειου επιπέδου, το γεωμετρικό γινόμενο ή πηλίκο δύο αυθαίρετων διανυσμάτων είναι άθροισμα ενός κλιμακωτού (πραγματικός αριθμός) μέρους και ενός 2-διανύσματος μέρους. (Ένα κλιμάκιο είναι μια ποσότητα χωρίς προσανατολισμό, ένα διάνυσμα είναι μια ποσότητα προσανατολισμένη όπως μια γραμμή και ένα διάνυσμα είναι μια ποσότητα προσανατολισμένη όπως ένα επίπεδο). Το τετράγωνο οποιουδήποτε διανύσματος είναι ένα θετικό κλιμάκιο, που αντιπροσωπεύει το μήκος του στο τετράγωνο, ενώ το τετράγωνο οποιουδήποτε διάνυσματός του είναι ένα αρνητικό κλιμάκιο.

Το πηλίκο ενός διανύσματος με τον εαυτό του είναι το κλιμάκιο , και όταν πολλαπλασιάζεται με οποιοδήποτε διάνυσμα το αφήνει αμετάβλητο (ο μετασχηματισμός ταυτότητας). Το πηλίκο δύο οποιωνδήποτε κάθετων διανυσμάτων του ίδιου μεγέθους, , το οποίο όταν πολλαπλασιάζεται στρέφει το διαιρέτη κατά ένα τέταρτο προς το μέρισμα, , είναι ένα μοναδιαίο 2-διάνυσμα που τετραγωνίζεται με , και μπορεί έτσι να θεωρηθεί ως εκπρόσωπος της φανταστικής μονάδας. Οποιοδήποτε άθροισμα ενός κλιμακωτού και ενός 2-διάνυσματός του μπορεί να πολλαπλασιαστεί με ένα διάνυσμα για να κλιμακωθεί και να περιστραφεί, και η άλγεβρα τέτοιων αθροισμάτων είναι ισομορφική με την άλγεβρα των μιγαδικών αριθμών. Σε αυτή την ερμηνεία τα σημεία, τα διανύσματα και τα αθροίσματα κλιμάκων και 2-διανυσμάτων είναι όλοι ξεχωριστοί τύποι γεωμετρικών αντικειμένων.

Γενικότερα, στη γεωμετρική άλγεβρα οποιουδήποτε Ευκλείδειος χώρος ανώτερης διάστασης, ένας μοναδιαίος διάνυσμα οποιουδήποτε αυθαίρετου επίπεδου προσανατολισμού τετραγωνίζεται σε , οπότε μπορεί να θεωρηθεί ότι αντιπροσωπεύει τη φανταστική μονάδα .

## Κανονική χρήση
Η φανταστική μονάδα γράφτηκε ιστορικά \sqrt{-1}, και εξακολουθεί να γράφεται σε ορισμένα σύγχρονα έργα. Ωστόσο, πρέπει να δίνεται μεγάλη προσοχή όταν γίνεται χειρισμός τύπων που περιλαμβάνουν ρίζες. Ο συμβολισμός με το σύμβολο της ρίζας \sqrt{x} προορίζεται είτε για την κύρια συνάρτηση τετραγωνικής ρίζας, η οποία ορίζεται για *μόνο* πραγματικό  είτε για τον κύριο κλάδο της μιγαδικής συνάρτησης τετραγωνικής ρίζας. Η προσπάθεια εφαρμογής των κανόνων υπολογισμού της κύριας (πραγματικής) συνάρτησης τετραγωνικής ρίζας για τον χειρισμό του κύριου κλάδου της μιγαδικής συνάρτησης τετραγωνικής ρίζας μπορεί να παράγει λανθασμένα αποτελέσματα:

-1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} \mathrel{\stackrel{\mathrm{fallacy}}{=}} {\textstyle \sqrt{(-1) \cdot (-1)}} = \sqrt{1} = 1 \qquad \text{(incorrect).}

Σε γενικές γραμμές, οι κανόνες υπολογισμού

\sqrt{x\vphantom{ty}} \cdot\! \sqrt{y\vphantom{ty}} = \sqrt{x \cdot y\vphantom{ty}}
και
\sqrt{x\vphantom{ty}}\big/\!\sqrt{y\vphantom{ty}} = \sqrt{x/y}
είναι εγγυημένα έγκυρες μόνο για πραγματικές, θετικές τιμές του  και .

Όταν  ή  είναι πραγματικό αλλά αρνητικό, τα προβλήματα αυτά μπορούν να αποφευχθούν με τη συγγραφή και τον χειρισμό εκφράσεων όπως i \sqrt{7}, αντί για \sqrt{-7}. Για μια πιο διεξοδική μελέτη, ανατρέξτε στα άρθρα Τετραγωνική ρίζα και Σημείο διακλάδωσης.

## Ιδιότητες

Ως μιγαδικός αριθμός, η φανταστική μονάδα ακολουθεί όλους τους κανόνες της μιγαδικής αριθμητικής.

### Φανταστικοί ακέραιοι και φανταστικοί αριθμοί

Όταν η φανταστική μονάδα προστίθεται ή αφαιρείται επανειλημμένα, το αποτέλεσμα είναι κάποιος ακέραιος επί τη φανταστική μονάδα, ένας *φανταστικός ακέραιος*- οποιοιδήποτε τέτοιοι αριθμοί μπορούν να προστεθούν και το αποτέλεσμα είναι επίσης ένας φανταστικός ακέραιος:

ai + bi = (a + b)i.

Έτσι, η φανταστική μονάδα είναι η γεννήτρια μιας ομάδας υπό πρόσθεση, συγκεκριμένα μιας άπειρης κυκλικής ομάδας.

Η φανταστική μονάδα μπορεί επίσης να πολλαπλασιαστεί με οποιονδήποτε αυθαίρετο πραγματικό αριθμό για να σχηματιστεί ένας φανταστικός αριθμός. Αυτοί οι αριθμοί μπορούν να απεικονιστούν σε μια αριθμογραμμή, τον *φανταστικό άξονα*, ο οποίος ως μέρος του μιγαδικού επιπέδου σχεδιάζεται συνήθως με κατακόρυφο προσανατολισμό, κάθετα στον πραγματικό άξονα που σχεδιάζεται οριζόντια.

### Ακέραιοι αριθμοί του Γκάους

Τα αθροίσματα των ακεραίων της πραγματικής μονάδας  και της φανταστικής μονάδας  σχηματίζουν ένα τετραγωνικό πλέγμα στο μιγαδικό επίπεδο που ονομάζεται Γκαουσιανοί ακέραιοι. Το άθροισμα, η διαφορά ή το γινόμενο των ακέραιων αριθμών Γκάους είναι επίσης ακέραιος αριθμός Γκάους:

\begin{align}
(a + bi) + (c + di) &= (a + c) + (b + d)i, \\[5mu]
(a + bi)(c + di) &= (ac - bd) + (ad + bc)i.
\end{align}

### Ακέραιες δυνάμεις
Οι δυνάμεις του  επαναλαμβάνονται σε έναν κύκλο που εκφράζεται με το ακόλουθο μοτίβο, όπου  είναι οποιοσδήποτε ακέραιος:


i^{4n} = 1, \quad
i^{4n+1} = i, \quad
i^{4n+2} = -1, \quad
i^{4n+3} = -i.

Έτσι, υπό πολλαπλασιασμό, η  είναι γεννήτρια μιας κυκλικής ομάδας τάξης 4, μιας διακριτής υποομάδας της συνεχούς κυκλικής ομάδας των μοναδιαίων μιγαδικών αριθμών υπό πολλαπλασιασμό.

Γράφεται ως ειδική περίπτωση του τύπου του Όιλερ για έναν ακέραιο ,


i^n = {\exp}\bigl(\tfrac12\pi i\bigr)^n
    = {\exp}\bigl(\tfrac12 n \pi i\bigr)
    = {\cos}\bigl(\tfrac12 n\pi \bigr) + {i \sin}\bigl(\tfrac12 n\pi \bigr).


Με μια προσεκτική επιλογή των περικοπών των κλάδων και των κύριων τιμών, η τελευταία εξίσωση μπορεί επίσης να εφαρμοστεί σε αυθαίρετες σύνθετες τιμές του , συμπεριλαμβανομένων περιπτώσεων όπως .

### Περιστροφή κατά ένα τέταρτο

Όταν πολλαπλασιάζεται με τη φανταστική μονάδα , οποιοσδήποτε αυθαίρετος μιγαδικός αριθμός στο μιγαδικό επίπεδο περιστρέφεται κατά ένα τέταρτο της στροφής } ή }) αριστερόστροφα. Όταν πολλαπλασιάζεται με το , οποιοσδήποτε αυθαίρετος μιγαδικός αριθμός περιστρέφεται κατά ένα τέταρτο της φορά των δεικτών του ρολογιού. Σε πολική μορφή:

i \, re^{\varphi i} = re^{(\varphi + \pi/2)i}, \quad
        -i \, re^{\varphi i} = re^{(\varphi - \pi/2)i}.

Σε ορθογώνια μορφή,

 i(a + bi) = -b + ai, \quad -i(a + bi) = b - ai.

### Ρίζες

Όπως όλοι οι μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί, ο i = e^{\pi i/ 2} έχει δύο διαφορετικές τετραγωνικές ρίζες που είναι προσθετικά αντίστροφα. Σε πολική μορφή, είναι

\begin{alignat}{3}
\sqrt{i} &= {\exp}\bigl(\tfrac12{\pi i}\bigr)^{1/2} &&{}= {\exp}\bigl(\tfrac14\pi i\bigr), \\
-\sqrt{i} &= {\exp}\bigl(\tfrac14{\pi i}-\pi i\bigr) &&{}= {\exp}\bigl({-\tfrac34\pi i}\bigr).
\end{alignat}

Σε ορθογώνια μορφή, είναι

\begin{align}
x^{2} - y^{2} &= 0 \\[3mu]
2xy &= 1.
\end{align}

Ο τετραγωνισμός οποιασδήποτε έκφρασης δίνει


\left( \pm \frac{1 + i}{\sqrt2} \right)^2
= \frac{1 + 2i - 1}{2} = \frac{2i}{2} = i.


Οι τρεις κυβικές ρίζες του  είναι 


\sqrt[3]i = {\exp}\bigl(\tfrac16 \pi i\bigr) = \tfrac{\sqrt{3}}{2} + \tfrac12i, \quad
            {\exp}\bigl(\tfrac56 \pi i\bigr) = -\tfrac{\sqrt{3}}{2} + \tfrac12i, \quad
            {\exp}\bigl({-\tfrac12 \pi i}\bigr) = -i.


Για έναν γενικό θετικό ακέραιο , οι -th ρίζες του  είναι, για 


\exp \left(2 \pi i \frac{k+\frac14}{n} \right)
= \cos \left(\frac{4k+1}{2n}\pi \right) +
  i \sin \left(\frac{4k+1}{2n}\pi \right).


Η τιμή που σχετίζεται με  είναι η κύρια -οστή ρίζα της .  Το σύνολο των ριζών ισούται με το αντίστοιχο σύνολο των ριζών της μονάδας περιστρεφόμενο κατά την κύρια -οστή ρίζα του . Αυτές είναι οι κορυφές ενός κανονικού πολυγώνου εγγεγραμμένου εντός του μιγαδικού μοναδιαίου κύκλου.

### Εκθετικός και λογάριθμος

Η μιγαδική εκθετική συνάρτηση συσχετίζει την μιγαδική πρόσθεση στον τομέα με τον μιγαδικό πολλαπλασιασμό στον συν-περιορισμό. Οι πραγματικές τιμές στο πεδίο αντιπροσωπεύουν την κλιμάκωση στο codomain (πολλαπλασιασμός με ένα πραγματικό κλιμάκιο) με  να αντιπροσωπεύει τον πολλαπλασιασμό με , ενώ οι φανταστικές τιμές στο πεδίο αντιπροσωπεύουν την περιστροφή στο πεδίο τιμών (πολλαπλασιασμός με έναν μοναδιαίο μιγαδικό αριθμό) με  να αντιπροσωπεύει μια περιστροφή κατά  ακτίνα. Ο μιγαδικός εκθετικός είναι επομένως μια περιοδική συνάρτηση στη φανταστική κατεύθυνση, με περίοδο } και εικόνα  στα σημεία  για όλους τους ακέραιους , ένα πραγματικό πολλαπλάσιο του πλέγματος των φανταστικών ακεραίων.

Ο μιγαδικός εκθετικός μπορεί να χωριστεί σε ζυγές και περιττές συνιστώσες, τις υπερβολικές συναρτήσεις  και  ή τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις  και :

\exp z = \cosh z + \sinh z = \cos(-iz) + i\sin(-iz)

Ο τύπος του Όιλερ αναλύει το εκθετικό ενός φανταστικού αριθμού που αντιπροσωπεύει μια περιστροφή:

\exp i\varphi = \cos \varphi + i\sin \varphi.

Το γεγονός αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποδείξει, μεταξύ άλλων, το φαινομενικά αντιφατικό αποτέλεσμα ότι το i^i είναι πραγματικός αριθμός.

Το πηλίκο  με κατάλληλη κλιμάκωση, μπορεί να αναπαρασταθεί ως άπειρη αποσύνθεση μερικών κλασμάτων ως άθροισμα συναρτήσεων μεταφρασμένων με φανταστικούς ακέραιους:


\pi \coth \pi z = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=-n}^n \frac{1}{z + ki}.


Άλλες συναρτήσεις που βασίζονται στο μιγαδικό εκθετικό είναι καλά καθορισμένες με φανταστικές εισόδους. Παραδείγματος χάριν, ένας αριθμός ανυψωμένος στη δύναμη  είναι

x^{n i} = \cos(n\ln x) + i \sin(n\ln x ).

Επειδή ο εκθετικός είναι περιοδικός, ο αντίστροφός του, ο μιγαδικός λογάριθμος, είναι μια συνάρτηση πολλαπλών τιμών, με κάθε μιγαδικό αριθμό στο πεδίο που αντιστοιχεί σε πολλαπλές τιμές στο κωδικοπεδίο, που χωρίζονται μεταξύ τους με οποιοδήποτε ακέραιο πολλαπλάσιο του  Ένας τρόπος για να λάβουμε μια συνάρτηση με μία τιμή είναι να θεωρήσουμε το κωδικοπεδίο ως κύλινδρο, με τις μιγαδικές τιμές που χωρίζονται από οποιοδήποτε ακέραιο πολλαπλάσιο του  να αντιμετωπίζονται ως η ίδια τιμή- ένας άλλος τρόπος είναι να θεωρήσουμε το πεδίο ως μια επιφάνεια Ρίμαν που αποτελείται από πολλαπλά αντίγραφα του μιγαδικού επιπέδου συρραμμένα μεταξύ τους κατά μήκος του αρνητικού πραγματικού άξονα ως διακλάδωση, με κάθε διακλάδωση στο πεδίο να αντιστοιχεί σε μία άπειρη λωρίδα στο πεδίο τιμών. Οι συναρτήσεις που εξαρτώνται από τον μιγαδικό λογάριθμο εξαρτώνται επομένως από την προσεκτική επιλογή του κλάδου για να οριστούν και να αξιολογηθούν με σαφήνεια.

Παραδείγματος χάριν, αν επιλέξουμε έναν κλάδο όπου \ln i = \tfrac12 \pi i τότε όταν  είναι ένας θετικός πραγματικός αριθμός,

 \log_i x = -\frac{2i \ln x }{\pi}.

### Παραγοντικό
Το παραγοντικό της φανταστικής μονάδας  δίνεται συχνότερα με όρους της συνάρτησης γάμμα που αξιολογείται στο :

i! = \Gamma(1+i) = i\Gamma(i) \approx 0.4980 - 0.1549\,i.

Το μέγεθος και το επιχείρημα αυτού του αριθμού είναι:


|\Gamma(1+i)| = \sqrt{\frac{\pi}{ \sinh \pi}} \approx 0.5216, \quad
\arg{\Gamma(1+i)} \approx -0.3016.


## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

## Δείτε επίσης
* Θεωρία αριθμών
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Τύπος του Όιλερ
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Μοδιακή αριθμητική
* Θεωρία αναπαραστάσεων
* Μη ευκλείδειες γεωμετρίες
* 2-διάνυσμα (bivector)
* Ευκλείδειος χώρος
* Μιγαδικός αριθμός
* Πολλαπλάσιο (μαθηματικά)
* Συνάρτηση μάζας πιθανότητας
* Πολλαπλασιασμός πινάκων
* Διακριτός μετασχηματισμός Φουριέ
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Στατιστικός πληθυσμός
* Δισδιάστατος χώρος

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
* 
* 
* 
* Definitions and examples of quadrilaterals and Definition and properties of tetragons from Mathopenref
* A (dynamic) Hierarchical Quadrilateral Tree at Dynamic Geometry Sketches
* An extended classification of quadrilaterals  at Dynamic Math Learning Homepage 
*.

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

Κατηγορία:Μιγαδικοί αριθμοί
Κατηγορία:Μαθηματικές σταθερές
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών
Κατηγορία:Θεωρία αριθμών