Πυθαγόρεια τετράδα

μικρογραφία|Και οι τέσσερις πρωτόγονες πυθαγόρειες τετράδες με μόνο μονοψήφιες τιμές|449x449εσ

Μια **πυθαγόρεια τετράδα** είναι μια πλειάδα ακεραίων αριθμών , ,  και , τέτοια ώστε . Αποτελούν λύσεις σε μια διοφαντική εξίσωση και συχνά λαμβάνονται υπόψη μόνο θετικές ακέραιες τιμές. Ωστόσο, για να δοθεί μια πιο πλήρης γεωμετρική ερμηνεία, οι ακέραιες τιμές μπορούν να είναι αρνητικές και μηδενικές (επιτρέποντας έτσι να συμπεριληφθούν πυθαγόρειες τριάδες) με μόνη προϋπόθεση ότι . Σε αυτό το πλαίσιο, μια πυθαγόρεια τετράδα  ορίζει ένα κυβοειδές με ακέραια μήκη πλευρών , , και , του οποίου η διαγώνιος του χώρου έχει ακέραιο μήκος d. Με αυτή την ερμηνεία, οι πυθαγόρειες τετράδες ονομάζονται επίσης πυθαγόρεια κουτιά. Σε αυτό το λήμμα θα υποθέσουμε, εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά, ότι οι τιμές μιας πυθαγόρειας τετράδας αποτελούνται από θετικούς ακέραιους αριθμούς.

## Παραμετροποίηση πρωτόγονων τετράδων
Μια πυθαγόρεια τετράδα ονομάζεται **πρωταρχική** αν ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των καταχωρίσεών της είναι 1. Κάθε πυθαγόρεια τετράδα είναι ακέραιο πολλαπλάσιο μιας πρωταρχικής τετράδας. Το σύνολο των πρωταρχικών πυθαγόρειων τετράδων για τις οποίες το  είναι περιττό μπορεί να παραχθεί από τους τύπους

\begin{align} a &= m^2+n^2-p^2-q^2, \\ b &= 2(mq+np), \\ c &= 2(nq-mp), \\  d &= m^2+n^2+p^2+q^2, \end{align}

όπου , , ,  είναι μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί με μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη 1 τέτοιο ώστε  να είναι περιττός. Έτσι, όλες οι πρωταρχικές πυθαγόρειες τετράδες χαρακτηρίζονται από την ταυτότητα
(m^2 + n^2 + p^2 + q^2)^2 = (2mq + 2np)^2 + (2nq - 2mp)^2 + (m^2 + n^2 - p^2 - q^2)^2.

## Εναλλακτική παραμετροποίηση
Όλες οι πυθαγόρειες τετράδες ( μαζί με τις μη πρωταρχικές και με επανάληψη, αν και τα ,  και  δεν εμφανίζονται σε όλες τις δυνατές σειρές) μπορούν να παραχθούν από δύο θετικούς ακέραιους  και  ως εξής:

Αν  και  έχουν διαφορετική ισοτιμία, έστω  οποιοσδήποτε παράγοντας του  τέτοιος ώστε . Τότε  και .  Ας σημειωθεί ότι  (η μέθοδος αυτή βασίζεται σε αποτελέσματα που προέκυψαν για τις πυθαγόρειες τριάδες ).

Η ίδια μέθοδος ισχύει για την παραγωγή όλων των πυθαγόρειων τετράδων για τις οποίες  και  είναι και οι δύο ζυγοί. Έστω  και  και έστω  ένας παράγοντας του  τέτοιος ώστε . Τότε  και . Αυτή η μέθοδος παράγει όλες τις πυθαγόρειες τετράδες ακριβώς μία φορά για κάθε μία, όταν τα  και  διατρέχουν όλα τα ζεύγη φυσικών αριθμών και η  διατρέχει όλες τις επιτρεπτές τιμές για κάθε ζεύγος.

Δεν υπάρχει τέτοια μέθοδος αν και οι δύο  και  είναι μονές, οπότε δεν υπάρχουν λύσεις, όπως φαίνεται από την παραμετροποίηση στην προηγούμενη ενότητα.

## Ιδιότητες
Ο μεγαλύτερος αριθμός που διαιρεί πάντα το γινόμενο  είναι το 12. Η τετράδα με το ελάχιστο γινόμενο είναι η (1, 2, 2, 2, 3).

Δεδομένου μιας πυθαγόρειας τετράδας (a,b,c,d) όπου d^2=a^2+b^2+c^2 τότε το d μπορεί να οριστεί ως η νόρμα της τετράδας με την έννοια ότι d = \sqrt{a^2+b^2+c^2} και είναι ανάλογο με την υποτείνουσα μιας πυθαγόρειας τριάδας.

Κάθε περιττός θετικός αριθμός εκτός από το 1 και το 5 μπορεί να είναι η νόρμα μιας πρωταρχικής πυθαγόρειας τετράδας d^2=a^2+b^2+c^2 έτσι ώστε a, b, c να είναι μεγαλύτεροι από το μηδέν και να είναι πρώτοι προς αλλήλους . Όλες οι πρωτόγονες πυθαγόρειες τετράδες με τους περιττούς αριθμούς ως νόρμες μέχρι το 29 εκτός από το 1 και το 5 δίνονται στον παρακάτω πίνακα.

Παρόμοια με μια πυθαγόρεια τριάδα που δημιουργεί ένα ξεχωριστό ορθογώνιο τρίγωνο, μια πυθαγόρεια τετράδα θα δημιουργήσει ένα ξεχωριστό τρίγωνο του Ήρωνα   Αν τα a, b, c, d είναι μια πυθαγόρεια τετράδα με a^2 + b^2 + c^2 = d^2 θα δημιουργήσει ένα τρίγωνο του Ήρωνα με πλευρές x, y, z ως εξής:-

:x = d^2 - a^2
:y = d^2 - b^2
:z = d^2 - c^2.

Θα έχει ημιπερίμετρο s = d^2, εμβαδόν A = abcd και ακτίνα r = abc/d.

Το exradii θα είναι:-
:r_x = bcd/a
:r_y = acd/b
:r_z = abd/c.

Η ακτίνα περιφέρειας θα είναι

:R=(d^2 - a^2)(d^2 - b^2)(d^2 - c^2)/(4abcd) = abcd(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 -1/d^2)/4.

Η διατεταγμένη ακολουθία των εμβαδών αυτής της κατηγορίας τριγώνων του Ήρωνα μπορεί να βρεθεί στη διεύθυνση .

## Σχέση με τα τετραδόνια και τους ορθολογικούς ορθογώνιους πίνακες
Μία πρωταρχική πυθαγόρεια τετράδα  παραμετροποιείται από  αντιστοιχεί στην πρώτη στήλη της αναπαράστασης του πίνακα  της σύζευξης  με το  τετραδόνιο Χούρβιτς  που περιορίζεται στον υποχώρο των τετραδονίων που καλύπτεται από τα , ,
, που προκύπτει από τη σχέση 
E(\alpha) = \begin{pmatrix}
m^2+n^2-p^2-q^2&2np-2mq        &2mp+2nq        \\
2mq+2np        &m^2-n^2+p^2-q^2&2pq-2mn        \\
2nq-2mp        &2mn+2pq        &m^2-n^2-p^2+q^2\\
\end{pmatrix},

όπου οι στήλες είναι κατά ζεύγη ορθογώνιες και κάθε μία έχει νόρμα . Επιπλέον, ισχύει ότι το  ανήκει στην ορθογώνια ομάδα SO(3,\mathbb{Q}), και, στην πραγματικότητα, *όλοι* οι 3 × 3 ορθογώνιοι πίνακες με ρητούς συντελεστές προκύπτουν με αυτόν τον τρόπο.

## Πρωτογενή πυθαγόρεια τετράδα με μικρή νόρμα
Υπάρχουν 31 πρωταρχικές πυθαγόρειες τετράδες στις οποίες όλες οι καταχωρήσεις είναι μικρότερες από 30.

## Δημοσιεύσεις
*Section 0.4 of Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007/bf02684778. MR 0217083.
*Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157

## Δείτε επίσης

* Πυθαγόρεια τριάδα

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* A. Bondal, D. Orlov, Semi-orthogonal decomposition for algebraic varieties_, PreprintMPI/95–15, alg-geom/9506006
* CRC Concise Encyclopedia of Mathematics
* Nuggets of Number Theory: A Visual Approach
* Elements of the Theory of Numbers
* Number Treasury 3: Investigations, Facts And Conjectures About More Than 100...

## Παραπομπές


 

Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Αναλυτική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία
Κατηγορία:Διοφαντικές εξισώσεις
Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία
Κατηγορία:Πυθαγόρας