Κανονική ακολουθία

Για την κανονική ακολουθία Κωσύ, δείτε Ακολουθία Κωσύ § Στα εποικοδομητικά μαθηματικά.

Στην αντιμεταθετική άλγεβρα, μια **κανονική ακολουθία** είναι μια ακολουθία στοιχείων ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου τα οποία είναι όσο το δυνατόν πιο ανεξάρτητα, με μια ακριβή έννοια. Πρόκειται για το αλγεβρικό ανάλογο της γεωμετρικής έννοιας της πλήρους τομής.

## Ορισμοί
Για έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο *R* και ένα  *R*-module *M*,  ένα στοιχείο *r* στον *R* χαρακτηρίζεται ως **μη μηδενικός διαιρέτης στον ''M'' ** αν *r m* = 0 συνεπάγεται *m* = 0 για *m* στον *M*. Μία ** ''M''-κανονική ακολουθία** είναι μια ακολουθία

:*r*1, ..., *r**d* in *R*

έτσι ώστε το *r**i*  να μην είναι μηδενικός διαιρέτης στο *M*/(*r*1, ..., *r**i*-1)*M* για *i* = 1, ..., *d*. Ορισμένοι συγγραφείς απαιτούν επίσης το *M*/(*r*1, ..., *r**d*)*M* να μην είναι μηδενικό. Διαισθητικά, το να λέμε ότι τα *r*1, ..., *r**d* είναι μια *M*-κανονική ακολουθία σημαίνει ότι αυτά τα στοιχεία «κόβουν» το *M* όσο το δυνατόν περισσότερο, όταν περνάμε διαδοχικά από το *M* στο *M*/(*r*1)*M*, στο *M*/(*r*1, *r*2)*M*, και ούτω καθεξής.

Μια *R*-κανονική ακολουθία ονομάζεται απλά **κανονική ακολουθία**. Δηλαδή, *r*1, ..., *r**d*  είναι μια κανονική ακολουθία αν *r*1 είναι ένας μη μηδενικός διαιρέτης στον *R*, *r*2 είναι ένας μη μηδενικός διαιρέτης στον δακτύλιο *R*/(*r*1), και ούτω καθεξής. Σε γεωμετρική γλώσσα, αν το *X* είναι ένα αφινικό σχήμα και τα r1, ..., rd είναι μια κανονική ακολουθία στον δακτύλιο των κανονικών συναρτήσεων στο *X*, τότε λέμε ότι το κλειστό υποσύστημα {*r*1=0, ..., *r**d*=0} ⊂ *X* είναι ένα πλήρες υποσύστημα τομής του *X*.

Η ύπαρξη κανονικής ακολουθίας μπορεί να εξαρτάται από τη σειρά των στοιχείων. Παραδείγματος χάριν,*x*, *y*(1-*x*), *z*(1-*x*) είναι μια κανονική ακολουθία στον πολυωνυμικό δακτύλιο **C**[*x*, *y*, *z*], ενώ *y*(1-*x*), *z*(1-*x*), *x* δεν είναι μια κανονική ακολουθία. Αλλά αν ο *R* είναι ένας τοπικός Ναιτεριανός δακτύλιος  και τα στοιχεία *r**i* βρίσκονται στο μέγιστο ιδεώδες, ή αν ο *R* είναι ένας βαθμωτός δακτύλιος και τα *r**i* είναι ομογενή θετικού βαθμού, τότε κάθε μετάθεση μιας κανονικής ακολουθίας είναι μια κανονική ακολουθία.

Έστω *R* ένας Ναιτεριανός δακτύλιος, *I* ένα ιδεώδες στον *R*, και *M* ένα πεπερασμένο R-σύνολο. Το '''βάθος''' του *I* στο *M*, που γράφεται depth*R*(*I*, *M*) ή απλά depth(*I*, *M*), είναι το άθροισμα των μηκών όλων των *M*-κανονικών ακολουθιών των στοιχείων του I. Όταν ο *R* είναι ένας τοπικός Ναιτεριανός δακτύλιος και ο M είναι ένα πεπερασμένο *R*-module, το **βάθος** του *M*, που γράφεται depth*R*(*M*) ή απλά depth(*M*), σημαίνει depth*R*(*m*, *M*), δηλαδή είναι το υπέρτατο των μηκών όλων των *M*-κανονικών ακολουθιών στο μέγιστο ιδεώδες *m* του *R*. Ειδικότερα, το βάθος ενός Ναιτεριανού τοπικού δακτυλίου *R* σημαίνει το **βάθος** του *R* ως *R*-σύνολο. Δηλαδή, το βάθος του *R* είναι το μέγιστο μήκος μιας κανονικής ακολουθίας στο μέγιστο ιδεώδες.

Για ένα Ναιτεριανό τοπικό δακτύλιο *R*, το βάθος της μηδενικής ενότητας είναι ∞, ενώ το βάθος μιας μη μηδενικής πεπερασμένης *R*-ενότητας *M* είναι το πολύ η διάσταση Κρουλ του *M* (που ονομάζεται επίσης διάσταση της υποστήριξης του *M*).

## Παραδείγματα
*Έχοντας ένα ολοκληρωτικό πεδίο R κάθε μη μηδενικό f \in R δίνει μια κανονική ακολουθία.
*Για έναν πρώτο αριθμό *p*, ο τοπικός δακτύλιος **Z**(*p*) είναι ο υποδακτύλιος των ρητών αριθμών που αποτελείται από κλάσματα των οποίων ο παρονομαστής δεν είναι πολλαπλάσιο του *p*. Το στοιχείο p είναι ένας μη μηδενικός διαιρέτης στον **Z**(*p*), και ο πηλίκο του **Z**(*p*) με το ιδανικό που παράγεται από το *p* είναι το σώμα **Z**/(*p*). Επομένως, το *p* δεν μπορεί να επεκταθεί σε μια μεγαλύτερη κανονική ακολουθία στο μέγιστο ιδεώδες (*p*), και στην πραγματικότητα ο τοπικός δακτύλιος **Z**(*p*) έχει βάθος 1.
*Για οποιοδήποτε σώμα *k*, τα στοιχεία *x*1, ..., *x**n* στον πολυωνυμικό δακτύλιο *A* = *k*[*x*1, ..., *x**n*] σχηματίζουν μια κανονική ακολουθία. Προκύπτει ότι ο εντοπισμός *R* του *A* στο μέγιστο ιδεώδες *m* =  (*x*1, ..., *x**n*) έχει βάθος τουλάχιστον *n*. Στην πραγματικότητα, το *R* έχει βάθος ίσο με *n*, δηλαδή δεν υπάρχει κανονική ακολουθία στο μέγιστο ιδεώδες με μήκος μεγαλύτερο από *n*.
*Γενικότερα, έστω *R* ένας κανονικός τοπικός δακτύλιος με μέγιστο ιδεώδες *m*. Τότε όλα τα στοιχεία *r*1, ..., *r**d* του *m* που αντιστοιχούν σε μια βάση για το *m*/*m*2 ως *R*/*m*-διανυσματικό χώρο σχηματίζουν μια κανονική ακολουθία.

Μια σημαντική περίπτωση είναι όταν το βάθος ενός τοπικού δακτυλίου *R* είναι ίσο με τη διάσταση  Κρουλ: Τότε ο *R* λέγεται ότι είναι **[[Δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ|Κοέν-Μακόλεϊ]]**. Τα τρία παραδείγματα που παρουσιάζονται είναι όλοι δακτύλιοι **Κοέν-Μακόλεϊ**. Παρομοίως, ένα πεπερασμένα παραγόμενο *R*-module *M* λέγεται ότι είναι **Κοέν-Μακόλεϊ** αν το βάθος του ισούται με τη διάστασή του.

### Μη παραδείγματα
Ένα απλό μη-παράδειγμα κανονικής ακολουθίας δίνεται από την ακολουθία (xy,x^2) των στοιχείων της \mathbb{C}[x,y] since
:
\cdot x^2 : \frac{\mathbb{C}[x,y]}{(xy)} \to \frac{\mathbb{C}[x,y]}{(xy)}

έχει έναν μη τετριμμένο πυρήνα που δίνεται από το ιδεώδες (y) \subset \mathbb{C}[x,y]/(xy). Παρόμοια παραδείγματα μπορούν να βρεθούν εξετάζοντας τους ελάχιστους γεννήτορες για τα ιδεώδη που παράγονται από αναγώγιμα σχήματα με πολλαπλές συνιστώσες και παίρνοντας το υποσύστημα μιας συνιστώσας, αλλά παχυνόμενο.

## Εφαρμογές

*Αν *r*1, ..., *r**d* είναι μια κανονική ακολουθία σε έναν δακτύλιο *R*, τότε το σύμπλοκο Κοσζύλ (Koszul) είναι μια ρητή ελεύθερη ανάλυση του *R*/(*r*1, ..., *r**d*) ως *R*-module, της μορφής:

:0\rightarrow R^{\binom{d}{d}} \rightarrow\cdots \rightarrow
R^{\binom{d}{1}} \rightarrow R \rightarrow R/(r_1,\ldots,r_d)
\rightarrow 0

Στην ειδική περίπτωση όπου ο *R* είναι ο πολυωνυμικός δακτύλιος *k*[*r*1, ..., *r**d*], αυτό δίνει μια ανάλυση του *k* ως *R*- module (Πρότυπο).

*Αν το *I* είναι ένα ιδεώδες που παράγεται από μια κανονική ακολουθία σε έναν δακτύλιο *R*, τότε ο σχετικός βαθμωτός δακτύλιος

:\oplus_{j\geq 0} I^j/I^{j+1}

είναι ισόμορφος με τον πολυωνυμικό δακτύλιο (*R*/*I*)[*x*1, ..., *x**d*]. Με γεωμετρικούς όρους, προκύπτει ότι ένας τοπικός δακτύλιος διατομής Y οποιουδήποτε σχήματος *X* έχει μια κανονική δέσμη που είναι διανυσματική δέσμη, ακόμη και αν το *Y* ενδέχεται να είναι ιδιάζον.

## Δημοσιεύσεις
* 
* 
* Winfried Bruns; Jürgen Herzog, *Cohen-Macaulay rings*. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1
* David Eisenbud, *Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry*. Springer Graduate Texts in Mathematics, no. 150.  ISBN 0-387-94268-8
*

## Δείτε επίσης

* Field Arithmetic
* Αλγεβρική ποικιλία
*Τοπολογία
* Αντιμεταθετικός δακτύλιος

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* A. Bondal, D. Orlov, Semi-orthogonal decomposition for algebraic varieties_, PreprintMPI/95–15, alg-geom/9506006
* Regular Sequences and Resultants
* Commutative Algebra: With a View Toward Algebraic Geometry
* Gröbner Bases and the Computation of Group Cohomology, Τεύχος 1828
* Computer Algebra in Scientific Computing: 23rd International Workshop, CASC...

## Παραπομπές

 

Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Αντιμεταθετική άλγεβρα
Κατηγορία:Διάσταση
Κατηγορία:Διοφαντικές εξισώσεις
Κατηγορία:Άλγεβρα
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών