Βαρύκεντρο τριγώνου

Στην γεωμετρία, το **βαρύκεντρο** (ή **κέντρο βάρους**) ενός τριγώνου είναι το σημείο του τριγώνου όπου διέρχονται οι τρεις διάμεσοί του. Πιο συγκεκριμένα:

Σε ένα τρίγωνο \mathrm{AB\Gamma}, οι τρεις διάμεσοι \rm AM_A, BM_B, \Gamma M_\Gamma διέρχονται από το ίδιο σημείο \mathrm{G}. Επιπλέον ισχύει ότι 
:\rm AG = \tfrac{2}{3} AM_A \quad, \rm BG = \tfrac{2}{3} BM_B \quad και \quad \rm \Gamma G = \tfrac{2}{3} \Gamma M_\Gamma.

Με όρους φυσικής, το κέντρο βάρους μίας τριγωνικής λαμαρίνας (ομοιόμορφου βάρους) ταυτίζεται με το βαρύκεντρο του τριγωνικού της σχήματος. Επίσης το κέντρο βάρους τριών σημειακών αντικειμένων (ίσου βάρους) στις κορυφές του τριγώνου, ταυτίζεται με το βαρύκεντρο τους. Όμως, γενικά το κέντρο βάρους της τριγωνικής περιμέτρου του *δεν* ταυτίζεται με το βαρύκεντρο.

## Αποδείξεις

 = \tfrac{1}{3} \cdot (\overrightarrow{\mathrm{OA}} + \overrightarrow{\mathrm{OB}} + \overrightarrow{\mathrm{O\Gamma}}).
Θα δείξουμε ότι η προέκταση της \vec{\mathrm{AG}} κατά \tfrac{1}{2}\vec{\mathrm{AG}} είναι διάμεσος. Δηλαδή, θα δείξουμε ότι το διάνυσμα \vec{\mathrm{OA}} + \tfrac{3}{2} \vec{\mathrm{AG}} αντιστοιχεί στο μέσο της \rm B\Gamma,
:
\begin{align}
\overrightarrow{\mathrm{OA}} + \tfrac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{AG}}
 & = \overrightarrow{\mathrm{OA}} + \tfrac{3}{2} \cdot (\overrightarrow{\mathrm{AO}} + \overrightarrow{\mathrm{OG}}) \\
 & = \overrightarrow{\mathrm{OA}} - \tfrac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{OA}} + \tfrac{3}{2}  \overrightarrow{\mathrm{OG}} \\
  & = - \tfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OA}} + \tfrac{1}{2}  \cdot 3\overrightarrow{\mathrm{OG}} \\
 & = - \tfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OA}} + \tfrac{1}{2} \cdot (\overrightarrow{\mathrm{OA}} + \overrightarrow{\mathrm{OB}} + \overrightarrow{\mathrm{O\Gamma}}) \\
 & = \frac{1}{2} ( \overrightarrow{\mathrm{OB}} + \overrightarrow{\mathrm{O\Gamma}}),
\end{align}

που είναι το διάνυσμα του μέσου του \mathrm{B\Gamma}.\quad \square
}}

## Ιδιότητες
Κάποιες από τις κυριότερες ιδιότητες του βαρύκεντρου είναι οι εξής:
* Το βαρύκεντρο χωρίζει τις διαμέσους σε δύο ευθύγραμμα τμήματα με λόγο 2 : 1, δηλαδή \rm AG = 2 \cdot GM_A..
* Οι συντεταγμένες του βαρύκεντρου \rm G δίνονται από τον μέσο όρο των συντεταγμένων των τριών κορυφών του τριγώνου: 
::
  ({\rm G}_x, {\rm G}_y) = \left( \tfrac{1}{3} \cdot (\mathrm{A}_x + \mathrm{B}_x + \mathrm{\Gamma}_x), \tfrac{1}{3} \cdot (\mathrm{A}_y + \mathrm{B}_y + \mathrm{\Gamma}_y)\right).

* (**[[Θεώρημα Πάππου]]**) Έστω \varepsilon μία ευθεία στο επίπεδο που δεν έχει κοινά σημεία με το \mathrm{AB\Gamma}. Τότε η απόσταση του βαρύκεντρου από την \varepsilon είναι ο αριθμητικός μέσος των αποστάσεων των τριών κορυφών από την \varepsilon.
* (**[[Ευθεία του Όιλερ]]**) Έστω \mathrm{O} το περίκεντρο, \mathrm{H} το ορθόκεντρο του τριγώνου \mathrm{AB\Gamma}. Τότε τα \mathrm{G}, \mathrm{H}, \mathrm{O} είναι συνευθειακά και \mathrm{HG} = 2 \cdot \mathrm{OG}.
* (**[[Σχέση του Λάιμπνιτς]]**) Έστω \mathrm{M} ένα τυχόν σημείο του επιπέδου. Τότε,
::
  \mathrm{MA}^2 + \mathrm{MB}^2 + \mathrm{M\Gamma}^2 = 3 \cdot \mathrm{MG}^2 + \frac{1}{3} \cdot (\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2).

* Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι το βαρύκεντρο είναι το σημείο \rm M του επιπέδου που ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων από τις τρεις κορυφές του, δηλαδή την τιμή της συνάρτησης:
::f({\rm M}) = \mathrm{MA}^2 + \mathrm{MB}^2 + \mathrm{M\Gamma}^2.
* Το συμπληρωματικό τρίγωνο \rm M_A M_B M_\Gamma έχει τις ίδιες διαμέσους και το ίδιο βαρύκεντρο με το τρίγωνο \mathrm{AB\Gamma}.
* Έστω {\rm G}_\alpha, {\rm G}_\beta, {\rm G}_\gamma οι αποστάσεις του βαρυκέντρου από τις πλευρές του τριγώνου, τότε.
::{\rm G}_\alpha \cdot \alpha = {\rm G}_\beta \cdot \beta = {\rm G}_\gamma \cdot \gamma = \frac{2}{3} \mathrm{E}_{\rm AB\Gamma}.
* Το ισογώνιο συζυγές του βαρυκέντρου είναι το σημείο Λεμουάν.

## Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Η κατασκευή του βαρυκέντρου ενός τριγώνου βασικά ακολουθεί την κατασκευή των δύο διαμέσων \rm BM_B και \rm \Gamma M_\Gamma, η τομή των οποίων είναι το βαρύκεντρο. Αναλυτικότερα:
# Με τον διαβήτη χαράζουμε τρεις κύκλους με κέντρα τα \mathrm{A}, \mathrm{B} και \mathrm{\Gamma} και ακτίνα το μέγιστο από τα \mathrm{AB} και \mathrm{A\Gamma}.
# Βρίσκουμε τα σημεία τομής \mathrm{T}_1 και \mathrm{T}_2 των κύκλων με κέντρο το \mathrm{A} και το \mathrm{B}.
# Βρίσκουμε τα σημεία τομής \mathrm{T}_3 και \mathrm{T}_4 των κύκλων με κέντρο το \mathrm{A} και το \mathrm{\Gamma}.
# Χαράζουμε τις ευθείες που διέρχονται από τα \mathrm{T}_1 και \mathrm{T}_2, και τα \mathrm{T}_3 και \mathrm{T}_4 αντίστοιχα.
# Το σημείο τομής των \rm T_3T_4 και \rm AB είναι το μέσο \rm M_B της \rm A\Gamma. Αντίστοιχα, το σημείο τομής των \rm T_1T_2 και \rm A\Gamma είναι το μέσο \rm M_\Gamma της \rm AB.
# Το σημείο τομής των \rm BM_B και \rm \Gamma M_\Gamma είναι το βαρύκεντρο \rm G του τριγώνου.

## Δείτε επίσης
* Διάμεσος (γεωμετρία)
* Βαρυκεντρικές συντεταγμένες
* Ορθόκεντρο τριγώνου
* Περίκεντρο τριγώνου
* Έγκεντρο τριγώνου
* Κέντρο Spieker

## Σημειώσεις


## Παραπομπές


Κατηγορία:Τρίγωνα
Κατηγορία:Κέντρα τριγώνου