U-αμετάβλητη

Στα μαθηματικά, η καθολική αμετάβλητη ή **u-αμετάβλητη** ενός σώματος περιγράφει τη δομή των τετραγωνικών μορφών πάνω στο σώμα.

Η **καθολική αμετάβλητη ''u''(''F'') ** ενός σώματος *F* είναι η μεγαλύτερη διάσταση ενός ανισότροπου τετραγωνικού χώρου πάνω από το *F*, ή ∞ αν αυτός δεν υπάρχει. Δεδομένου ότι τα τυπικά πραγματικά σώματα έχουν ανισότροπες τετραγωνικές μορφές (αθροίσματα τετραγώνων) σε κάθε διάσταση, η αμετάβλητη παρουσιάζει ενδιαφέρον μόνο για άλλα σώματα. Μια ισοδύναμη διατύπωση είναι ότι το *u* είναι ο μικρότερος αριθμός τέτοιος ώστε κάθε μορφή διάστασης μεγαλύτερης του *u*  να είναι ισότροπη, ή ότι κάθε μορφή διάστασης τουλάχιστον *u* είναι καθολική.

## Παραδείγματα

* Στους μιγαδικούς αριθμούς, *u*(**C**) = 1.
* Αν το *F* είναι τετραγωνικά κλειστός τότε *u*(*F*) = 1.
* Το σώμα συναρτήσεων μιας αλγεβρικής καμπύλης πάνω από ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα έχει *u* ≤ 2. Αυτό προκύπτει από το θεώρημα του Τσεν ότι ένα τέτοιο σώμα είναι οιονεί αλγεβρικά κλειστό.
* Αν το  *F* είναι ένα μη πραγματικό καθολικό ή τοπικό σώμα, ή γενικότερα ένα συνδεδεμένο σώμα, τότε *u*(*F*) = 1, 2, 4 or 8.

## Ιδιότητες

* Αν το *F* δεν είναι τυπικά πραγματική και η χαρακτηριστική του  *F* δεν είναι *2* τότε το *u*(*F*) είναι το πολύ q(F) = \left|{F^\star / F^{\star2}}\right|, ο δείκτης των τετραγώνων στην πολλαπλασιαστική ομάδα του *F*.
* Το *u*(*F*)  δεν μπορεί να πάρει τις τιμές 3, 5 ή 7.  Σώματα υπάρχουν με *u*&nbsp;=&nbsp;6 και *u*&nbsp;=&nbsp;9.
* Ο Μερκούριεφ έδειξε ότι κάθε ζυγός ακέραιος αριθμός εμφανίζεται ως η τιμή του *u*(*F*) για κάποιο *F*.
* Ο Αλέξαντερ Βίσικ απέδειξε ότι υπάρχουν σώματα με *u*-αμετάβλητα 2^r+1 για όλα τα r > 3.
* Το αμετάβλητο *u* είναι περιορισμένο κάτω από επεκτάσεις σώματος πεπερασμένου βαθμού.  Αν *E*/*F* είναι μια επέκταση σώματος βαθμού *n* τότε
::u(E) \le \frac{n+1}{2} u(F) \ . 
Στην περίπτωση των τετραγωνικών επεκτάσεων, το *u* αναλλοίωτο περιορίζεται από
:u(F) - 2 \le u(E) \le \frac{3}{2} u(F) \ 
και επιτυγχάνονται όλες οι τιμές σε αυτό το εύρος.

## Το γενικό ''u''-αμετάβλητο
Δεδομένου ότι το *u*-αμετάβλητο έχει μικρό ενδιαφέρον στην περίπτωση των τυπικά πραγματικών σωμάτων, ορίζουμε ως **γενικό** **''u''-αμετάβλητο** τη μέγιστη διάσταση μιας ανισότροπης μορφής στην υποομάδα στρέψης του δακτυλίου Βιτ (Witt) του **F**, ή το ∞ αν αυτό δεν υπάρχει.   Για μη τυπικά-πραγματικά σώματα, ο δακτύλιος Βιτ (Witt) είναι στρεπτός, οπότε αυτό συμφωνεί με τον προηγούμενο ορισμό.  Για μη τυπικά-πραγματικά πεδία, ο δακτύλιος Βιτ (Witt) είναι στρεπτός, οπότε αυτό συμφωνεί με τον προηγούμενο ορισμό.   Για ένα τυπικά πραγματικό σώμα, το γενικό *u*-αμετάβλητο είναι είτε άρτιο είτε ∞.

### Ιδιότητες
* *u*(*F*) ≤&thinsp;1 εάν και μόνο εάν το *F* είναι πυθαγόρειο σώμα.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Σώμα διασπάσεως
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νοεροί υπολογισμοί

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
* 
* 
*
*
*
*
* , reprinted in volume I of his collected papers, 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα