Κατανομή Μπερνούλλι

thumb|right|400px|Συνάρτηση μάζας πιθανότητας Μπερνούλλι για <math>p=0.2, 0.5, 0.7</math>. 

Η **κατανομή Μπερνούλλι** είναι μια διακριτή συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής.
Περιγράφει ένα τυχαίο πείραμα με δύο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία - αποτυχία) και πιθανότητα επιτυχίας p.

Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή X που παίρνει τιμές 0 ή 1, δηλαδή X \in\{0,1\}. Για X=1 έχουμε επιτυχία και για X=0 αποτυχία.
Λέμε ότι η X ακολουθεί την κατανομή Μπερνούλλι \mathsf{Ber}(p) για p \in [0, 1] αν:
:\operatorname{P}(X=1)=p και
:\operatorname{P}(X=0)=q=1-p.

Το κλασσικό παράδειγμα τυχαίας μεταβλητής που ακολουθεί την κατανομή Μπερνούλλι με p = 1/2 είναι το στρίψιμο ενός νομίσματος, όπου X = 1 αντιστοιχεί σε *κορώνα* και X = 0 σε *γράμματα*.

Η κατανομή Μπερνούλλι είναι ειδική περίπτωση της διωνυμικής κατανομής με n = 1.

## Αναμενόμενη τιμή

Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής, έχουμε ότι
:
\operatorname{E}[X] = p \cdot 1 + (1-p) \cdot 0 = p.


## Διακύμανση

Από τον ορισμό της διακύμανσης, έχουμε ότι
:
\begin{align}
\operatorname{V}[X] = \operatorname{E}[(X - \operatorname{E}[X])^2] 
  & = p \cdot (1 - p)^2 + (1-p) \cdot p^2 \\
  & = p \cdot (1 - p) \cdot ((1-p) + p) \\
  & = p \cdot (1 - p).
\end{align}


## Λοξότητα

Η λοξότητα μίας τυχαίας μεταβλητής ορίζεται ως:
:
  \gamma_1 = \operatorname{E}\left[ \left( \frac{X - \operatorname{E}[X]}{\sigma} \right)^3 \right].

Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής έχουμε ότι
:
\begin{align}
\gamma_1 
 & = p \cdot \left( \frac{1 - p}{\sigma} \right)^3 + (1-p) \cdot \left( \frac{0 - p}{\sigma} \right)^3 \\
 & = p \cdot \left( \frac{1 - p}{\sqrt{p \cdot (1 - p)}} \right)^3 - (1-p) \cdot \left( \frac{0 - p}{\sqrt{p \cdot (1 - p)}} \right)^3 \\
 & = \frac{(1-p)^{3/2}}{p^{1/2}} - \frac{p^{3/2}}{(1-p)^{1/2}} \\
 & = \frac{1 - 2p}{\sqrt{p \cdot (1 - p)}},
\end{align}

χρησιμοποιώντας ότι \sigma = \sqrt{p \cdot ( 1- p )}.

## Κύρτωση

Από τον ορισμό της κύρτωσης, έχουμε ότι:
:
\begin{align}
\operatorname{E}\left[ \left( \frac{X - \operatorname{E}[X]}{\sigma} \right)^4 \right]
 & = p \cdot \left( \frac{1 - p}{\sigma} \right)^4 + (1-p) \cdot \left( \frac{0 - p}{\sigma} \right)^4 \\
 & = p \cdot \left( \frac{1 - p}{\sqrt{p \cdot (1 - p)}} \right)^4 + (1-p) \cdot \left( \frac{0 - p}{\sqrt{p \cdot (1 - p)}} \right)^4 \\
 & = \frac{(1-p)^2}{p} + \frac{p^{2}}{1-p} \\
 & = \frac{(1-p)^3 + p^3}{p \cdot (1 - p)} \\
 & = \frac{1 - 3p \cdot (1 - p)}{p \cdot (1 - p)} \\
 & = \frac{1}{p \cdot (1 - p)} - 3.
\end{align}


## Ροπές
Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής, έχουμε ότι για κάθε k \in \N:
:
\operatorname{E}[X^k] = p \cdot 1^k + (1-p) \cdot 0^k = p.


## Εντροπία

Από τον ορισμό της εντροπίας, έχουμε ότι:
:
\operatorname{E}[-\log_2 X]
  = - p \cdot \log_2 p - (1-p) \log_2 (1-p).

Η εντροπία μεγιστοποιείται όταν τα δύο ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα, δηλαδή όταν p = 1/2.

## Πιθανογεννήτρια συνάρτηση

Η πιθανογεννήτρια συνάρτηση δίνεται από τον τύπο:
:G_X(t) = \operatorname{E}[t^X] = p \cdot t^1 + (1-p) \cdot t^0 = p \cdot t + q.

## Χαρακτηριστική συνάρτηση

Η χαρακτηριστική συνάρτηση δίνεται από τον τύπο:
:\operatorname{E}[e^{tX}] = p \cdot e^{t} + (1 - p) \cdot e^0 = p \cdot e^t + q.

## Δείτε επίσης
* Δείκτρια τυχαία μεταβλητή
* Διωνυμική κατανομή

## Παραπομπές


Κατηγορία:Θεωρία πιθανοτήτων
Κατηγορία:Κατανομές
Κατηγορία:Στατιστική