Αρχικά και τελικά αντικείμενα

::*Για το μηδενικό αντικείμενο σε μια αλγεβρική δομή, δείτε [[μηδενικό αντικείμενο (άλγεβρα)]].*

Στην θεωρία κατηγοριών, έναν κλάδο των μαθηματικών, ένα **αρχικό αντικείμενο** μιας κατηγορία *C* είναι ένα αντικείμενο *I* στο *C* έτσι ώστε για κάθε αντικείμενο *X* στο *C*, να υπάρχει ακριβώς ένας μορφισμός *I* → *X*.

Η διπλή έννοια είναι αυτή του **τελικού αντικειμένου** (ονομάζεται επίσης **τελικό στοιχείο**): Το *T* είναι τελικό αν για κάθε αντικείμενο *X* στο *C* υπάρχει ακριβώς ένας μορφισμός *X* → *T*. Τα αρχικά αντικείμενα ονομάζονται επίσης **συντερματικά** ή **καθολικά**, ενώ τα τελικά αντικείμενα ονομάζονται επίσης **τελικά**.

Εάν ένα αντικείμενο είναι τόσο αρχικό όσο και τελικό, ονομάζεται **αντικείμενο μηδέν** ή **[[Μηδενικό αντικείμενο (άλγεβρα)|μηδενικό αντικείμενο]]**. Μια **σημειακή κατηγορία** είναι μια κατηγορία με αντικείμενο μηδέν.

Ένα αυστηρό αρχικό αντικείμενο *I* είναι ένα αντικείμενο για το οποίο κάθε μορφισμός στο *I* είναι ένας ισομορφισμός.

## Παραδείγματα

* Το κενό σύνολο είναι το μοναδικό αρχικό αντικείμενο στο **Set**, της κατηγορίας των συνόλων. Κάθε σύνολο ενός στοιχείου (μονοσύνολο) είναι ένα τελικό αντικείμενο σε αυτή την κατηγορία. Δεν υπάρχουν μηδενικά αντικείμενα.  Ομοίως, ο κενός χώρος είναι το μοναδικό αρχικό αντικείμενο στο **Top**, της κατηγορίας των τοπολογικών χώρων και κάθε χώρος ενός σημείου είναι ένα τελικό αντικείμενο σε αυτή την κατηγορία.
* Στην κατηγορία **Rel** των συνόλων και των σχέσεων, το κενό σύνολο είναι το μοναδικό αρχικό αντικείμενο, το μοναδικό τελικό και, ως εκ τούτου, το μοναδικό μηδενικό αντικείμενο.

* Στην κατηγορία των σημειακών συνόλων (τα αντικείμενα των οποίων είναι μη κενά σύνολα μαζί με ένα διακριτό στοιχείο, όπου ένας μορφισμός από (*A*, *a*) σε (*B*, *b*) είναι μια συνάρτηση *f* : *A* → *B* με *f*(*a*) = *b*), κάθε μονoσύνολο είναι ένα μηδενικό αντικείμενο. Ομοίως, στην κατηγορία των σημειακών τοπολογικών χώρων, κάθε μονoσύνολο είναι ένα μηδενικό αντικείμενο.
* Στην **Grp**, την κατηγορία των ομάδων, κάθε τετριμμένη ομάδα είναι ένα μηδενικό αντικείμενο. Το τετριμμένο αντικείμενο είναι επίσης ένα μηδενικό αντικείμενο στην **Ab**, την κατηγορία των αβελιανών ομάδων, στην **Rng** την κατηγορία των ψευδοδακτυλίων, στην ***R''-Mod''', την κατηγορία των [[Πρότυπο (άλγεβρα)|προτύπων]] πάνω σε ένα δακτύλιο, και στην ***K*-Vect*', την κατηγορία των διανυσματικών χώρων πάνω σε ένα σώμα. *Βλ..Μηδενικό αντικείμενο (άλγεβρα) για λεπτομέρειες*. Αυτή είναι η προέλευση του όρου "μηδενικό αντικείμενο".
* Στον **Ring**, την κατηγορία των δακτυλίων με ενότητα και μορφισμούς που διατηρούν την ενότητα, ο δακτύλιος των ακεραίων **Z** είναι ένα αρχικό αντικείμενο. Ο δακτύλιος μηδέν που αποτελείται μόνο από ένα στοιχείο 0 = 1  είναι ένα τελικό αντικείμενο.
* Στον **Rig**, την κατηγορία των rigs (ημιδακτυλίων) με μορφισμούς ενότητας και διατήρησης ενότητας, το rig των φυσικών αριθμών **N** είναι ένα αρχικό αντικείμενο. Το μηδενικό rig, που είναι ο μηδενικός ημιδακτύλιος, αποτελούμενο μόνο από ένα στοιχείο 0 = 1 είναι ένα τελικό αντικείμενο.
* Στο **Field**, την κατηγορία των σωμάτων, δεν υπάρχουν αρχικά ή τελικά αντικείμενα. Ωστόσο, στην υποκατηγορία των σωμάτων σταθερού χαρακτηριστικού, το πρωταρχικό σώμα είναι ένα αρχικό αντικείμενο.
* Κάθε μερικώς διαταγμένο σύνολο (*P*, ≤) μπορεί να ερμηνευθεί ως κατηγορία: τα αντικείμενα είναι τα στοιχεία του *P*, και υπάρχει ένας μοναδικός μορφισμός από το *x* στο *y* αν και μόνο αν *x* ≤ *y*. Αυτή η κατηγορία έχει ένα αρχικό αντικείμενο αν και μόνο αν το *P* έχει ένα ελάχιστο στοιχείο. Έχει ένα τελικό αντικείμενο αν και μόνο αν το *P* έχει ένα μέγιστο στοιχείο.
* Η **Cat**, η κατηγορία των μικρών κατηγοριών με συναρτήσεις ως μορφισμούς, έχει ως αρχικό αντικείμενο την κενή κατηγορία **0** (χωρίς αντικείμενα και χωρίς μορφισμούς) και ως τελικό αντικείμενο την τελική κατηγορία **1** (με ένα μόνο αντικείμενο με έναν μόνο ταυτοτικό μορφισμό) ως τελικό αντικείμενο.
* Στην κατηγορία των σχημάτων, το Spec(**Z**), το πρωτεύον φάσμα του δακτυλίου των ακεραίων, είναι ένα τελικό αντικείμενο. Το κενό σχήμα (ίσο με το πρωτεύον φάσμα του δακτυλίου του μηδενός) είναι ένα αρχικό αντικείμενο.
* Ένα όριο ενός διαγράμματος *F* μπορεί να χαρακτηριστεί ως τελικό αντικείμενο στην κατηγορία των κώνων προς το *F*. Ομοίως, ένα συν-όριο του *F* μπορεί να χαρακτηριστεί ως αρχικό αντικείμενο στην κατηγορία των συν-κώνων από το  *F*.
* Στην κατηγορία **Ch<sub>''R''</sub>** των μιγαδικών αλυσίδων  πάνω σε ένα αντιμεταθετικό δακτύλιο *R*, το μιγαδικό μηδέν είναι ένα μηδενικό αντικείμενο.
* Σε μια σύντομη ακριβή ακολουθία της μορφής 0 → *a* → *b* → *c* → 0, τα αρχικά και τελικά αντικείμενα είναι το ανώνυμο μηδενικό αντικείμενο. Αυτό χρησιμοποιείται συχνά στις συνομολογικές θεωρίες.

## Ιδιότητες

### Ύπαρξη και μοναδικότητα
Τα **αρχικά και τελικά αντικείμενα** δεν είναι υποχρεωτικό να υπάρχουν σε μια δεδομένη κατηγορία. Ωστόσο, αν υπάρχουν, είναι ουσιαστικά μοναδικά. Συγκεκριμένα, αν *I*1 και *I*2 είναι δύο διαφορετικά αρχικά αντικείμενα, τότε υπάρχει ένας μοναδικός ισομορφισμός μεταξύ τους. Επιπλέον, αν *I* είναι ένα αρχικό αντικείμενο, τότε οποιοδήποτε αντικείμενο ισομορφικό με *I* είναι επίσης ένα αρχικό αντικείμενο. Το ίδιο ισχύει και για τα τελικά αντικείμενα.

Για τις πλήρεις κατηγορίες υπάρχει ένα θεώρημα ύπαρξης για τα αρχικά αντικείμενα. Συγκεκριμένα, μια (τοπικά μικρή) πλήρης κατηγορία *C* έχει ένα αρχικό αντικείμενο αν και μόνο αν υπάρχει ένα σύνολο *I* (όχι μια γνήσια κλάση) και μια οικογένεια με δείκτη*I* (*K<sub>i</sub>*)  των αντικειμένων του *C* έτσι ώστε για κάθε αντικείμενο *X* της *C*, να υπάρχει τουλάχιστον ένας μορφισμός *K<sub>i</sub>* → *X* για κάποιο *i* ∈ *I*.

### Ισοδύναμες διατυπώσεις
Τα τελικά αντικείμενα σε μια κατηγορία *C* μπορούν επίσης να οριστούν ως όρια του μοναδικού κενού διαγράμματος **0** → *C*. Δεδομένου ότι η κενή κατηγορία είναι μια διακριτή κατηγορία, ένα τελικό αντικείμενο μπορεί να θεωρηθεί ως ένα κενό γινόμενο (ένα γινόμενο είναι πράγματι το όριο του διακριτού διαγράμματος {*X<sub>i</sub>*}, γενικά). Αντίστοιχα, ένα αρχικό αντικείμενο είναι ένα οριακό του κενού διαγράμματος **0** → *C* και μπορεί να θεωρηθεί ως ένα κενό συμπαράγωγο ή κατηγορηματικό άθροισμα.

Από αυτό προκύπτει ότι κάθε συναρτητής που διατηρεί όρια θα μεταφέρει τελικά αντικείμενα σε τελικά αντικείμενα, και κάθε συναρτητής που διατηρεί οριακά όρια θα μεταφέρει αρχικά αντικείμενα σε αρχικά αντικείμενα. Παραδείγματος χάριν, το αρχικό αντικείμενο σε οποιαδήποτε συγκεκριμένη κατηγορία με ελεύθερα αντικείμενα θα είναι το ελεύθερο αντικείμενο που δημιουργείται από το κενό σύνολο (δεδομένου ότι ο ελεύθερος συναρτητής, ως αριστερός συναρτητής του συναρτητή που ξεχνάει το **Set**, διατηρεί τα συν-όρια (colimits).

Τα αρχικά και τελικά αντικείμενα μπορούν επίσης να χαρακτηριστούν από την άποψη των καθολικών ιδιοτήτων και των συζυγών συναρτητών. Έστω **1** η διακριτή κατηγορία με ένα μόνο αντικείμενο (που συμβολίζεται με •), και έστω *U* : *C* → **1** ο μοναδικός (σταθερός) συναρτητής προς το **1**. Τότε

* Ένα αρχικό αντικείμενοt *I* στη *C* είναι ένας καθολικός μορφισμός από το • στο *U*. Ο συναρτητής που στέλνει το • στο *I* είναι αριστερός συζυγής του *U*.
* Ένα τελικό αντικείμενο *T* στη *C* είναι ένας καθολικός μορφισμός από το *U* στο •.  Ο συναρτητής που στέλνει το  • στο *T* είναι δεξιός συζυγής του *U*.

### Σχέση με άλλες κατηγορικές κατασκευές
Πολλές φυσικές κατασκευές στην θεωρία κατηγοριών μπορούν να διατυπωθούν με όρους εύρεσης ενός αρχικού ή τελικού αντικειμένου σε μια κατάλληλη κατηγορία.

* Ένας καθολικός μορφισμός από ένα αντικείμενο *X* σε ένα συναρτητή *U* μπορεί να οριστεί ως ένα αρχικό αντικείμενο στην κατηγορία κόμμα (*X* ↓ *U*). Αντίστοιχα, ένας καθολικός μορφισμός από *U* σε *X* είναι ένα τελικό αντικείμενο στο (*U* ↓ *X*).
* Το όριο ενός διαγράμματος *F* είναι ένα τελικό αντικείμενο στο Cone(*F*), την κατηγορία των κώνων προς το *F*. Αντίστοιχα, ένα συν-όριο του *F* είναι ένα αρχικό αντικείμενο στην κατηγορία των κώνων από το *F*.
* Ένας αναπαραστάσιμος συναρτητής *F* στο **Set** είναι ένα αρχικό αντικείμενο στην κατηγορία των στοιχείων του *F*.
* Η έννοια του τελικού συναρτητή (αντίστοιχα, αρχικού συναρτητή) είναι μια γενίκευση της έννοιας του τελικού αντικειμένου (αντίστοιχα, αρχικού αντικειμένου).

### Άλλες ιδιότητες

* Το μονοειδές ενδομορφισμό ενός αρχικού ή τελικού αντικειμένου *I* είναι τετριμμένο: End(*I*) = Hom(*I*, *I*) = { id*I* }.
* Εάν μια κατηγορία *C* έχει ένα μηδενικό αντικείμενο 0, τότε για κάθε ζεύγος αντικειμένων *X* και *Y* στην *C*, η μοναδική σύνθεση *X* → 0 → *Y* είναι ένας μηδενικός μορφισμός από το *X* στο *Y*

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


* 
* 
* 
* *This article is based in part on [http://www.planetmath.org PlanetMath]'s [http://planetmath.org/encyclopedia/TerminalObjectsAndZeroObjectsExamplesOfInitialObjects.html article on examples of initial and terminal objects].*
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
*
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα