Κρυστάλλινη βάση

Δεν πρέπει να συγχέεται με το άλλο θέμα: Κρύσταλλος (μαθηματικά)

Μια **κρυσταλλική βάση** για μια απεικόνιση μιας κβαντικής ομάδας σε ένα διανυσματικό χώρο \Q(v) δεν είναι μια βάση αυτού του διανυσματικού χώρου αλλά μάλλον μια \Q-βάση του L/vL όπου L είναι ένα \Q(v)-πλέγμα σε αυτόν τον διανυσματικό χώρο. Οι κρυσταλλικές βάσεις εμφανίστηκαν στην εργασία του Κασιβάρα () και επίσης στην εργασία του Λούστιγκ (. Μπορούν να θεωρηθούν ως εξειδικεύσεις ως v \to 0 της κανονικής βάσης που ορίζεται από τον Λούστιγκ ().

## Ορισμός

Ως συνέπεια των σχέσεων ορισμού της, η κβαντική ομάδα U_q(G) μπορεί να θεωρηθεί ως μια άλγεβρα Χοπφ πάνω στο σώμα όλων των ρητών συναρτήσεων ενός απροσδιόριστου *q* πάνω στο \Q, που συμβολίζεται \Q(q).

Για απλή ρίζα \alpha_i και μη αρνητικό ακέραιο n, ορίζουμε

:\begin{align}
e_i^{(0)} = f_i^{(0)} &= 1 \\
e_i^{(n)} &= \frac{e_i^n}{[n]_{q_i}!} \\[6pt]
f_i^{(n)} &= \frac{f_i^n}{[n]_{q_i}!}
\end{align}

Σε μια ολοκληρώσιμη  module  M, και για βάρος \lambda, ένα διάνυσμα u \in M_{\lambda} (δηλαδή ένα διάνυσμα u στο M με βάρος \lambda) μπορεί να αναλυθεί μοναδικά στα αθροίσματα

:u = \sum_{n=0}^\infty f_i^{(n)} u_n = \sum_{n=0}^\infty e_i^{(n)} v_n,

όπου u_n \in \ker(e_i) \cap M_{\lambda + n \alpha_i}, v_n \in \ker(f_i) \cap M_{\lambda - n \alpha_i}, u_n \ne 0 μόνο αν n + \frac{2 (\lambda,\alpha_i)}{(\alpha_i,\alpha_i)} \ge 0, και v_n \ne 0 μόνο αν n - \frac{2 (\lambda,\alpha_i)}{(\alpha_i,\alpha_i)} \ge 0.

Γραμμικές απεικονίσεις \tilde{e}_i, \tilde{f}_i : M \to M μπορούν να οριστούν στο M_\lambda ως εξής

:\tilde{e}_i u = \sum_{n=1}^\infty f_i^{(n-1)} u_n = \sum_{n=0}^\infty e_i^{(n+1)} v_n,
:\tilde{f}_i u = \sum_{n=0}^\infty f_i^{(n+1)} u_n = \sum_{n=1}^\infty e_i^{(n-1)} v_n.

Έστω A η ακέραια περιοχή όλων των ρητών συναρτήσεων στο \Q(q) που είναι κανονικές στο q = 0 (*δηλ. * μια ρητή συνάρτηση f(q) είναι στοιχείο του A αν και μόνο αν υπάρχουν πολυώνυμα g(q) και h(q) στον πολυωνυμικό δακτύλιο \Q[q] τέτοια ώστε h(0) \ne 0, και f(q) = g(q)/h(q)).  

Μια **κρυσταλλική βάση** για το M είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος (L,B), τέτοιο ώστε

*L είναι ένα ελεύθερο A-υπο module  του M τέτοιο ώστε M = \Q(q) \otimes_A L;
*B είναι μια \Q-βάση του διανυσματικού χώρου L/qL πάνω από \Q,
*L = \oplus_\lambda L_\lambda και B = \sqcup_\lambda B_\lambda, όπου L_\lambda = L \cap M_\lambda και B_\lambda = B \cap (L_\lambda/qL_\lambda),
*\tilde{e}_i L \subset L και \tilde{f}_i L \subset L \text{ για όλα τα } i ,
*\tilde{e}_i B \subset B \cup \{0\} και \tilde{f}_i B \subset B \cup \{0\}\text{ για όλα τα } i, 
*\text{για όλα τα }b \in B\text{ και }b' \in B,\text{ και για όλα τα }i,\quad\tilde{e}_i b = b'\text{ εάν και μόνο εάν }\tilde{f}_i b' = b.

Για να το θέσουμε αυτό σε ένα πιο ανεπίσημο πλαίσιο, οι δράσεις των e_i f_i και f_i e_i είναι γενικά μοναδικές στο q = 0 σε ένα ολοκληρώσιμο module M.  Οι γραμμικές απεικονίσεις \tilde{e}_i και \tilde{f}_i στo module εισάγονται έτσι ώστε οι δράσεις των \tilde{e}_i \tilde{f}_i και \tilde{f}_i \tilde{e}_i να είναι κανονικές σε q = 0 στo module.  Υπάρχει μια \Q(q)-βάση διανυσμάτων βάρους \tilde{B} για το M, ως προς την οποία οι δράσεις των \tilde{e}_i και \tilde{f}_i είναι κανονικές στο q = 0 για όλα τα *i*.  To module τότε περιορίζεται στο ελεύθερο A-σύνολο που παράγεται από τη βάση και τα διανύσματα της βάσης, το A-υπο module και οι δράσεις των \tilde{e}_i και \tilde{f}_i αξιολογούνται στο q = 0.  Επιπλέον, η βάση μπορεί να επιλεγεί έτσι ώστε στο q = 0, για όλα τα i, τα \tilde{e}_i και \tilde{f}_i αναπαρίστανται με αμοιβαίες μεταθέσεις και αντιστοιχούν διανύσματα βάσης σε διανύσματα βάσης ή 0.

Μια κρυσταλλική βάση μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα κατευθυνόμενο γράφημα με επισημασμένες ακμές.  Κάθε κορυφή του γραφήματος αντιπροσωπεύει ένα στοιχείο της \mathbb Q-βάσης B της L/qL, και μια κατευθυνόμενη ακμή, που επισημαίνεται με *i* και κατευθύνεται από την κορυφή v_1 στην κορυφή v_2, αντιπροσωπεύει ότι b_2 = \tilde{f}_i b_1 (και, ισοδύναμα, ότι b_1 = \tilde{e}_i b_2), όπου b_1 είναι το στοιχείο βάσης που αντιπροσωπεύεται από την v_1, και b_2 είναι το στοιχείο βάσης που αντιπροσωπεύεται από την v_2.  Το γράφημα καθορίζει πλήρως τις δράσεις των \tilde{e}_i και \tilde{f}_i στο q = 0.  Αν ένα ολοκληρώσιμο module έχει μια κρυσταλλική βάση, τότε το module είναι μη αναγώγιμο αν και μόνο αν το γράφημα που αναπαριστά την κρυσταλλική βάση είναι συνδεδεμένο (ένα γράφημα ονομάζεται "συνδεδεμένο" αν το σύνολο των κορυφών δεν μπορεί να χωριστεί στην ένωση μη τετριμμένων διαχωρισμένων υποσυνόλων V_1 και V_2 έτσι ώστε να μην υπάρχουν ακμές που να συνδέουν οποιαδήποτε κορυφή στο V_1 με οποιαδήποτε κορυφή στο V_2).

Για κάθε ολοκληρώσιμο module (πρότυπο) με κρυσταλλική βάση, το φάσμα βάρους για την κρυσταλλική βάση είναι το ίδιο με το φάσμα βάρους για το module, και επομένως το φάσμα βάρους για την κρυσταλλική βάση είναι το ίδιο με το φάσμα βάρους για το αντίστοιχο module της κατάλληλης άλγεβρας Κακ-Μούντι.  Οι πολλαπλότητες των βαρών στην κρυσταλλική βάση είναι επίσης ίδιες με τις πολλαπλότητές τους στον αντίστοιχο module της κατάλληλης άλγεβρας Κακ-Μούντι.

Είναι ένα θεώρημα του Κασιβάρα ότι κάθε ολοκληρώσιμο module υψηλότερων βαρών έχει μια κρυσταλλική βάση.  Ομοίως, κάθε ολοκληρώσιμη μονάδα μικρότερου βάρους έχει κρυσταλλική βάση.

### Τανυστικά παράγωγα κρυστάλλινων βάσεων

Έστω M ένα ολοκληρώσιμο module με κρυσταλλική βάση (L,B) και M' ένα ολοκληρώσιμο module με κρυσταλλική βάση (L',B').  Για κρυσταλλικές βάσεις, το συμπαράγωγο \Delta, που δίνεται από τη σχέση 

:\begin{align}
\Delta(k_{\lambda}) &= k_\lambda \otimes k_\lambda \\
\Delta(e_i) &= e_i \otimes k_i^{-1} + 1 \otimes e_i \\ 
\Delta(f_i) &= f_i \otimes 1 + k_i \otimes f_i
\end{align}

υιοθετείται.  To ολοκληρώσιμo module M \otimes_{\Q(q)} M' έχει κρυσταλλική βάση (L \otimes_A L',B \otimes B'), όπου B \otimes B' = \left \{ b \otimes_{\Q} b' : b \in B,\ b' \in B' \right \}.  Για ένα διάνυσμα βάσης b \in B, ορίζουμε 

:\varepsilon_i(b) = \max \left \{ n \ge 0 : \tilde{e}_i^n b \ne 0 \right \}
:\varphi_i(b) = \max \left \{ n \ge 0 : \tilde{f}_i^n b \ne 0 \right \}

Οι δράσεις των \tilde{e}_i και \tilde{f}_i στο b \otimes b' δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις

:\begin{align}
\tilde{e}_i (b \otimes b') &= \begin{cases} \tilde{e}_i b \otimes b' & \varphi_i(b) \ge \varepsilon_i(b') \\ b \otimes \tilde{e}_i b' & \varphi_i(b)  \varepsilon_i(b') \\ b \otimes \tilde{f}_i b' & \varphi_i(b) \le \varepsilon_i(b') \end{cases} 
\end{align}

Η ανάλυση του γινομένου δύο ολοκληρώσιμων modules (προτύπων) υψηλότερου βάρους σε μη αναγώγιμοι υπο modules προσδιορίζεται από την διάσπαση του γραφήματος της κρυσταλλικής βάσης στις συνδεδεμένες συνιστώσες του (δηλαδή προσδιορίζονται τα υψηλότερα βάρη των υπο modules και η πολλαπλότητα κάθε υψηλότερου βάρους).

## Δείτε επίσης

* Field Arithmetic
* Θεώρημα δείκτη Ατίγια-Σίνγκερ
*Τοπολογία
* Ακέραια περιοχή
* Γράφος
* Αλεξάντερ Γκρότεντικ

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Andreas Gathmann - Algebraic Geometry (SS 2014)
* Galois Groups and Fundamental Groups
* [Cohomological Theory of Crystals Over Function Fields](https://books.google.gr/books?id=EqGqJcFhqbIC&printsec=frontcover&dq=Crystal+(mathematics)&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false)
* Crystal Bases: Representations And Combinatorics
* Recent Developments in Quantum Affine Algebras and Related Topics
* Introduction to Quantum Groups and Crystal Bases
* Abelian Varieties and Number Theory 
* p-Adic Automorphic Forms on Shimura Varieties

## Δημοσιεύσεις
*Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 20. doi:10.1007/bf02684747. MR 0173675.
*Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 32. doi:10.1007/bf02732123. MR 0238860.
* 
* 
* 
*
*
* 
*
*  (letter to Atiyah, Oct. 14 1963)
*
*
*
*

## Παραπομπές

 

Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία 
Κατηγορία:Θεωρία αναπαραστάσεων