Αμοιβάδα (μαθηματικά)

Στην μιγαδική ανάλυση, έναν κλάδο των μαθηματικών, η **αμοιβάδα** είναι ένα σύνολο που σχετίζεται με ένα πολυώνυμο σε μία ή περισσότερες μιγαδικές μεταβλητές. Οι αμοιβάδες έχουν εφαρμογές στην αλγεβρική γεωμετρία, ιδίως στην τροπική γεωμετρία.

## Ορισμός

Έστω η συνάρτηση

: \operatorname{Log}: \big({\mathbb C} \setminus \{0\}\big)^n \to \mathbb R^n

που ορίζεται στο σύνολο όλων των *n*-tuples z = (z_1, z_2, \dots, z_n)  μη μηδενικών μιγαδικών αριθμών με τιμές στον Ευκλείδειο χώρο \mathbb R^n,  που δίνεται από τον τύπο

: \operatorname{Log}(z_1, z_2, \dots, z_n) = \big(\log|z_1|, \log|z_2|, \dots, \log|z_n|\big).

Εδώ, το log δηλώνει τον φυσικό λογάριθμο. Αν p(z) είναι ένα πολυώνυμο σε n μιγαδικές μεταβλητές, η αμοιβάδα του \mathcal A_p ορίζεται ως η εικόνα του συνόλου των μηδενικών του *p* υπό Log, οπότε

: \mathcal A_p = \left\{\operatorname{Log}(z) : z \in \big(\mathbb C \setminus \{0\}\big)^n, p(z) = 0\right\}.

Οι αμοιβάδες παρουσιάστηκαν το 1994 σε ένα βιβλίο των Γκελφάντ, Καπράνοφ και Ζελεβίνσκι.

## Ιδιότητες
Έστω  V \subset (\mathbb{C}^{*})^{n}  ο μηδενικός τόπος ενός πολυωνύμου

:  f(z) = \sum_{j \in A}a_{j}z^{j} 

όπου  A \subset \mathbb{Z}^{n}  είναι πεπερασμένο,  a_{j} \in \mathbb{C}  και   z^{j} = z_{1}^{j_{1}}\cdots z_{n}^{j_{n}}  αν  z = (z_{1},\dots,z_{n})  και  j = (j_{1},\dots,j_{n}) . Έστω  \Delta_{f}  το πολύεδρο του Νεύτων της f , i.e., δηλ,

:  \Delta_{f} = \text{Convex Hull}\{j \in A \mid a_{j} \ne 0\}. 

Τότε

* Κάθε αμοιβάδα είναι ένα κλειστό σύνολο.
* Κάθε συνδεδεμένη συνιστώσα του συμπληρώματος \mathbb R^n \setminus \mathcal A_p είναι κυρτό.
* Το εμβαδόν μιας αμοιβάδας ενός μη πανομοιότυπα μηδενικού πολυωνύμου σε δύο μιγαδικές μεταβλητές είναι πεπερασμένο.
* Μια δισδιάστατη αμοιβάδα διαθέτει έναν αριθμό "πλοκαμιών", που είναι απείρως μακριά και εκθετικά στενότερα προς το άπειρο.
* Ο αριθμός των συνδεδεμένων συνιστωσών του συμπληρώματος  \mathbb{R}^{n} \setminus \mathcal{A}_{p}  δεν είναι μεγαλύτερος από  \#(\Delta_{f} \cap \mathbb{Z}^{n})  και όχι μικρότερος από τον αριθμό των κορυφών του  \Delta_{f} .
* Υπάρχει μια έγχυση από το σύνολο των συνδεδεμένων συνιστωσών του συμπληρώματος  \mathbb{R}^{n} \setminus \mathcal{A}_{p} στο \Delta_{f} \cap \mathbb{Z}^{n}. Οι κορυφές του  \Delta_{f}  βρίσκονται στην εικόνα κάτω από αυτή την έγχυση. Μια συνδεδεμένη συνιστώσα του συμπληρώματος  \mathbb{R}^{n} \setminus \mathcal{A}_{p}  είναι περιορισμένη αν και μόνο αν η εικόνα της βρίσκεται στο εσωτερικό του  \Delta_{f}.

## Συνάρτηση Ρόνκιν

Ένα χρήσιμο εργαλείο για τη μελέτη των αμοιβάδων είναι η **συνάρτηση Ρόνκιν**. Για *p*(*z*), ένα πολυώνυμο σε *n* μιγαδικές μεταβλητές, ορίζεται η συνάρτηση Ρόνκιν

: N_p : \mathbb R^n \to \mathbb R

σύμφωνα με τον τύπο

: N_p(x) = \frac{1}{(2\pi i)^n} \int_{\operatorname{Log}^{-1}(x)} \log|p(z)| \,\frac{dz_1}{z_1} \wedge \frac{dz_2}{z_2} \wedge \cdots \wedge \frac{dz_n}{z_n},

όπου x denotes x = (x_1, x_2, \dots, x_n). Ισοδύναμα, το N_p δίνεται από το ολοκλήρωμα

: N_p(x) = \frac{1}{(2\pi)^n} \int_{[0, 2\pi]^n} \log|p(z)| \,d\theta_1 \,d\theta_2 \cdots d\theta_n,

όπου

: z = \left(e^{x_1+i\theta_1}, e^{x_2+i\theta_2}, \dots, e^{x_n+i\theta_n}\right).

Η συνάρτηση Ronkin είναι κυρτή και συγγενής σε κάθε συνδεδεμένη συνιστώσα του συμπληρώματος της αμοιβάδας του p(z).

Ενδεικτικά, η συνάρτηση Ρόνκιν ενός μονοωνύμου

: p(z) = a z_1^{k_1} z_2^{k_2} \dots z_n^{k_n}

με a \ne 0 είναι

: N_p(x) = \log|a| + k_1 x_1 + k_2 x_2 + \cdots + k_n x_n.

## Βιβλιογραφία
* 
* .
*Thorsten Theobald, « Computing amoebas », Exp. Math., vol. 11, 2002, p.&nbsp;513–526 (DOI 10.1080/10586458.2002.10504703, (on line).
*Antoine Chambert-Loir, « Quand la géométrie devient tropicale », Pour la science, no 492, octobre 2018, p.&nbsp;26-33

## Δημοσιεύσεις
*''texts Approximating amoebas and coamoebas by sums of squares "
*''texts Amoebas, Nonnegative Polynomials and Sums of Squares Supported on Circuits ''
*" texts Amoebas and coamoebas of linear spaces "
* 

## Παραπομπές


 

Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Μιγαδική ανάλυση
Κατηγορία:Ολοκληρωτικός λογισμός