Ίσα τρίγωνα

Στην γεωμετρία, δύο τρίγωνα λέγονται **ίσα** αν οι πλευρές τους έχουν ίσα μήκη και οι αντίστοιχες γωνίες τους ίσο μέτρο.

Πολλά θεωρήματα στην γεωμετρία αποδεικνύονται εντοπίζοντας ίσα τρίγωνα σε σχήματα. Για να αποδειχθούν ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα, χρησιμοποιούνται τα λεγόμενα **κριτήρια ισότητας τριγώνων**, θεωρήματα που μας δίνουν συνθήκες για πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα. Αυτά συντομεύουν τις αποδείξεις και δεν χρειάζεται να αποδείξουμε κάθε φορά ότι όλες οι πλευρές και όλες οι γωνίες τους είναι ίσες.

Ισχύει ότι όλα τα ζευγάρια ίσων τριγώνων είναι όμοια, καθώς έχουν τις γωνίες τους ίσες, αλλά δεν είναι όλα τα ζευγάρια όμοιων τριγώνων ίσα.

## Ορισμός
Τα τρίγωνα \rm AB\Gamma και \rm \Delta EZ είναι ίσα με αντιστοιχία κορυφών \rm (A, \Delta), \rm (B, E) και \rm (\Gamma, Z), αν τα μήκη των πλευρών τους είναι ίσα
:\rm AB = \Delta E, \rm B\Gamma = EZ και \rm \Gamma A = Z\Delta,
και τα μέτρα των γωνιών τους είναι ίσα
:\hat{\rm A} = \hat{\rm \Delta}, \hat{\rm B} = \hat{\rm E} και \hat{\rm \Gamma} = \hat{\rm Z}.

**Σημείωση 1:** Συνήθως η αντιστοιχία των κορυφών παραλείπεται και όταν λέμε τα \rm AB\Gamma και \rm \Delta EZ είναι ίσα, εννοούμε με την σειρά με την οποία αναγράφονται οι κορυφές. 

**Σημείωση 2:** Από τον ορισμό προκύπτει ότι σε ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες και αντιστρόφως απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται ίσες πλευρές.

**Σημείωση 3:** Όπως αποδεικνύεται και στο κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς παρακάτω, η συνθήκη για τα μέτρα των γωνιών μπορεί να παραληφθεί.

## Κριτήρια ισότητας τριγώνων
Τα παρακάτω θεωρήματα χρησιμοποιούνται για να αποδείξουν ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα και συχνά αποκαλούνται ως τα **κριτήρια ισότητας τριγώνων**. Τα δύο πρώτα κριτήρια εμφανίζονται ως Προτάσεις 4 και 8 στο 1ο Βιβλίο στα Στοιχεία του Ευκλείδη.

### Κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς (ΠΓΠ)

### Κριτήριο γωνίας-πλευράς-γωνίας (ΓΠΓ)

**Σημείωση:** Οι δύο γωνίες δεν χρειάζεται να είναι και οι δύο προσκείμενες στην πλευρά, καθώς αν π.χ. \rm \hat{A} = \hat{\Delta} και \rm \hat{B} = \hat{E} τότε ισχύει επίσης ότι \rm \hat{\Gamma} = 180^\circ - \hat{A} - \hat{B} = 180^\circ - \hat{\Delta} - \hat{E} = \hat{Z}. Άρα από το κριτήριο γωνίας-πλευράς-γωνίας, προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι ίσα.

### Κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς (ΠΠΠ)

### Σχετικά με το κριτήριο πλευράς-πλευράς-γωνίας

Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες και μία γωνία ίση που δεν είναι η περιεχόμενη τους γωνία, τότε τα τρίγωνα δεν είναι κατά ανάγκη ίσα. 

Για παράδειγμα, θεωρούμε ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο \rm AB\Gamma με αμβλεία γωνία την \hat{\rm \Gamma}, και το σημείο \rm \Delta στην προέκταση της \rm B\Gamma ώστε το \rm A\Gamma = A\Delta. Τότε τα τρίγωνα \rm AB\Gamma και \rm AB\Delta έχουν δύο ίσες πλευρές (την \rm AB κοινή και \rm A\Gamma = A\Delta) και μία μη-περιεχόμενη γωνία κοινή (την \hat{\rm B}), αλλά ισχύει ότι \rm B\Gamma , άρα τα τρίγωνα δεν είναι ίσα.

Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι:

{\rm A\Gamma},|}} 
και από το τρίγωνο \rm \Delta EZ, έχουμε 
:\frac{\sin {\rm Z}}{\rm \Delta E} = \frac{\sin {\rm E}}{\rm \Delta Z}.
Από την υπόθεση έχουμε ότι \rm AB = \Delta E, \rm A\Gamma = \Delta Z και \hat{\rm B} = \hat{\rm E}, άρα η τελευταία σχέση γίνεται
:{\rm AB} = \frac{\sin {\rm B}}{\rm A\Gamma}.|}}
Συνδυάζοντας την () και την () λαμβάνουμε ότι 
:\sin {\rm \Gamma} = \sin {\rm Z}, 
άρα καταλήγουμε ότι \hat{\rm \Gamma} = \hat{\rm Z} ή \hat{\rm \Gamma} = 180^\circ - \hat{\rm Z}, που είναι το ζητούμενο.
}}
**Σημείωση 1:** Από το θεώρημα έπεται ότι αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι η ίση γωνία είναι ορθή ή αμβλεία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα.

**Σημείωση 2:** Το θεώρημα αναφέρεται και ως *τέταρτο θεώρημα ισότητας τριγώνων* ή *αμφίβολη περίπτωση ισότητας τριγώνων*.
### Σχετικά με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς
Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την περιεχόμενη γωνία άνιση, τότε έχουν τις άλλες πλευρές τους ομοίως άνισες. Ισχύει δηλαδή η πρόταση:

**Αντίστρφο του προηγουμένου**

## Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων
Για την ειδική περίπτωση των ορθογωνίων τριγώνων, τα κριτήρια απλοποιούνται στα εξής δύο:
* πλευράς-οξείας γωνίας: αν έχουν μία αντίστοιχη πλευρά ίση και μία αντίστοιχη οξεία γωνία ίση
* πλευράς-πλευράς: αν έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές ίσες μία προς μία

## Δείτε επίσης
* Όμοια τρίγωνα
* Ίσα πολύγωνα

## Περαιτέρω ανάγνωση

### Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* Διαδραστική εφαρμογή για το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς.
* Διαδραστική εφαρμογή για το κριτήριο γωνίας-πλευράς-γωνίας.
* Διαδραστική εφαρμογή για το κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς.
* Διαδραστική εφαρμογή για τρίγωνα με δύο πλευρές ίσες και μία γωνία ίση.

### Ελληνικά άρθρα
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


Κατηγορία:Τρίγωνα