Κατηγορία πολλαπλοτήτων

Στα μαθηματικά, η **κατηγορία των [[Πολλαπλότητα|πολλαπλοτήτων]]**, που συχνά συμβολίζεται ως **Man***p*, iείναι η κατηγορία της οποίας τα αντικείμενα είναι πολλαπλότητες της τάξεως λειότητας *C**p* και της οποίας οι μορφισμοί είναι *p*-times συνεχώς διαφορίσιμων απεικονίσεων. Η κατηγορία αυτή σχηματίζεται επειδή η σύνθεση δύο απεικονίσεων *C**p* είναι και πάλι συνεχής και της κλάσεως *C**p*.

Συνήθως μας ενδιαφέρουν μόνο οι πολλαπλότητες *C**p*-που μοντελοποιούνται σε χώρους μιας σταθερής κατηγορίας *A*, και η κατηγορία τέτοιων πολλαπλοτήτων συμβολίζεται **Man***p*(*A*). Ομοίως, η κατηγορία των *C**p*-πολλαπλοτήτων που μοντελοποιούνται σε ένα σταθερό χώρο *E* συμβολίζεται **Man***p*(*E*).

Μπορούμε επίσης να μιλήσουμε για την κατηγορία των λείων πολλαπλοτήτων, **Man**∞, ή για την κατηγορία των αναλυτικών πολλαπλοτήτων  **Man***ω*.

## '''Man'''<sup>''p''</sup> είναι μια συμπαγής κατηγορία

Όπως πολλές κατηγορίες, η κατηγορία **Man***p* είναι μια συγκεκριμένη κατηγορία, που σημαίνει ότι τα αντικείμενά της είναι σύνολα με πρόσθετη δομή (δηλαδή μια τοπολογία και μια κλάση ισοδυναμίας των άτλαντων των διαγραμμάτων που ορίζουν μια *C**p*-διαφοροποιήσιμη δομή) και οι μορφισμοί της είναι συναρτήσεις που διατηρούν αυτή τη δομή. Υπάρχει ένας φυσικός επιλήσμων  συναρτητής
:*U* : **Man***p* &rarr; **Top**
στην κατηγορία των τοπολογικών χώρων, η οποία αποδίδει σε κάθε πολλαπλότητα τον υποκείμενο τοπολογικό χώρο και σε κάθε *p*-times συνεχώς διαφορίσιμη συνάρτηση την υποκείμενη συνεχή συνάρτηση των τοπολογικών χώρων. Ομοίως, υπάρχει ένας φυσικός επιλήσμων  συναρτητής
:*U*&prime; : **Man***p* &rarr; **Set**

στην κατηγορία των συνόλων που αποδίδει σε κάθε πολλαπλότητα το υποκείμενο σύνολο και σε κάθε *p*-times συνεχώς διαφορίσιμη συνάρτηση την υποκείμενη συνάρτηση. Τέλος, για όλα τα* 0 < p < q < ∞* υπάρχουν φυσικοί συναρτητές εγκλεισμού.
:**Man***ω* &rarr; **Man***∞* &rarr; **Man***q* &rarr; **Man***p* &rarr; **Man***0*
Με άλλα λόγια, μπορεί κανείς πάντα να δει την κατηγορία των λείων πολλαπλοτήτων ως υποκατηγορία των λιγότερο λείων πολλαπλοτήτων μέχρι την **Man***0*, την κατηγορία των τοπολογικών πολλαπλοτήτων με συνεχείς απεικονίσεις μεταξύ τους.

Προφανώς αυτοί οι εγκλεισμοί δεν είναι πλήρεις (οι συνεχείς απεικονίσεις μπορεί να μην είναι *q*-διαφοροποιήσιμες, οι *q*-διαφοροποιήσιμες απεικονίσεις μπορεί να μην είναι *p*-διαφοροποιήσιμες, οι *p*-διαφοροποιήσιμες απεικονίσεις μπορεί να μην είναι λείες και οι λείες απεικονίσεις μπορεί να μην είναι αναλυτικές), ούτε πλήρες (ομοίως όπως είπαμε για τις απεικονίσεις, οι ομοιομορφισμοί δεν είναι γενικά διαφορμορφισμοί κ.ο.κ.), ούτε ευρύ (δεν είναι όλες οι τοπολογικές πολλαπλότητες διαφοροποιήσιμες κ.ο.κ.), οπότε μπορούν να θεωρηθούν ως "αυστηρές" υποκατηγορίες.

## Σημειακές πολλαπλότητες και ο συναρτητής του εφαπτόμενου χώρου

Συχνά είναι βολικό ή απαραίτητο να δουλεύουμε με την κατηγορία των πολλαπλοτήτων μαζί με ένα διακεκριμένο σημείο: **Man<sub>•</sub><sup>p</sup>** ανάλογη με την **Top<sub>•</sub>** - την κατηγορία των σημειακών χώρων. Τα αντικείμενα της **Man<sub>•</sub><sup>p</sup>** είναι ζεύγη (M, p_0), όπου M είναι μια πολλαπλότητα μαζί με ένα σημείο βάσης p_0 \in M , και οι μορφισμοί είναι απεικονίσεις  *p*-times συνεχώς διαφορίσιμες που διατηρούν το σημείο βάσης: π.χ. F: (M,p_0) \to (N,q_0), έτσι ώστεF(p_0) = q_0. Η κατηγορία των σημειακών πολλαπλοτήτων είναι ένα παράδειγμα μιας κατηγορίας κόμμα (Comma) - **Man<sub>•</sub><sup>p</sup>**  είναι ακριβώς \scriptstyle {( \{ \bull \} \downarrow \mathbf{Man^p})}, όπου \{ \bull \} αναπαριστά ένα αυθαίρετο μονοσύνολο, και το \downarrowαναπαριστά μια απεικόνιση από αυτό το μονοσύνολο σε ένα στοιχείο της  **Man<sup>p</sup>,** επιλέγοντας ένα σημείο βάσης. 

Η κατασκευή του εφαπτόμενου χώρου μπορεί να θεωρηθεί ως ένας συναρτητής από την **Man<sub>•</sub><sup>p</sup>** στο **Vect<sub>R</sub>**  ως εξής: δεδομένες σημειακές πολλαπλότητες (M, p_0)και (N, F(p_0)), με  C^pαπεικόνιση F: (M,p_0) \to (N,F(p_0)) μεταξύ τους, μπορούμε να ορίσουμε τους διανυσματικούς χώρους T_{p_0}Mκαι T_{F(p_0)}N, με μια γραμμική απεικόνιση μεταξύ τους που δίνεται από το pushforward (διαφορικό): F_{*,p}:T_{p_0}M \to T_{F(p_0)}N. Αυτή η κατασκευή είναι ένας γνήσιος συναρτητής επειδή το pushforward της ταυτοτικής απεικόνισης  \mathbb{1}_M:M \to M i είναι ο ισομορφισμός διανυσματικού χώρου  (\mathbb{1}_M)_{*,p_0}:T_{p_0}M \to T_{p_0}M, και ο κανόνας της αλυσίδας εξασφαλίζει ότι  (f\circ g)_{*,p_0} = f_{*,g(p_0)} \circ g_{*,p_0}.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή κατηγορία
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
*
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
* 

*
*
*
*
* 
*

*
*Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
*
*
*
* 
* 
* Categorical programming with inductive and coinductive types () by Varmo Vene
* Philip Wadler: Recursive types for free! () University of Glasgow, June 1990. Draft.
* Algebra and coalgebra () from CLiki
* B. Jacobs, J. Rutten: A Tutorial on (Co) Algebras and (Co) Induction. Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, vol. 62, 1997, 
* Understanding F-Algebras () by Bartosz Milewski
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Γενική τοπολογία
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα
Κατηγορία:Πολλαπλότητες