Ευθύγραμμο τμήμα

right|200px|thumb|Ευθύγραμμο τμήμα <math>\rm AB</math> με φορέα την ευθεία <math>\varepsilon</math>.
Στην γεωμετρία, **ευθύγραμμο τμήμα** \rm AB είναι το γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία μεταξύ δύο σημείων \rm A και \rm B μίας ευθείας \varepsilon, καθώς και τα σημεία \rm A και \rm B.

Η ευθεία \varepsilon καλείται **φορέας** του ευθύγραμμου τμήματος και τα σημεία \rm A και \rm B λέγονται **άκρα** του. Η ύπαρξη του ευθυγράμμου τμήματος μεταξύ οποιονδήποτε σημείων \rm A και \rm B προκύπτει από τα αξιώματα της γεωμετρίας.

## Είδη ευθυγράμμου τμήματος
* Όταν τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος δεν ανήκουν σ΄ αυτό, τότε το ευθύγραμμο τμήμα ονομάζεται **ανοιχτό**.
* Όταν αντίθετα, τα άκρα ανήκουν σε αυτό ονομάζεται **κλειστό**.
* Τέλος όταν τα άκρα \rm A και \rm B συμπίπτουν, δηλαδή {\rm A} = {\rm B}, τότε ονομάζεται **μηδενικό**.

## Άλλες έννοιες
Το **[[μήκος]]** ενός ευθυγράμμου σχήματος ορίζεται ως η απόσταση μεταξύ των δύο άκρων.

Το **[[Μέσο (σημείο)|μέσο]]** \rm M ενός ευθυγράμμου τμήματος \rm AB, ονομάζεται το σημείο του εκείνο που ισαπέχει από τα άκρα του, έτσι ώστε {\rm MA} ={\rm MB}. Από τα αξιώματα προκύπτει ότι κάθε ευθύγραμμο τμήμα έχει ένα μόνο μέσο.

Δύο ευθύγραμμα τμήματα λέγονται **διαδοχικά** όταν έχουν ένα κοινό άκρο αλλά κανένα κοινό εσωτερικό σημείο.

## Σύγκριση ευθυγράμμων τμημάτων

Ας είναι \rm AB και \rm \Gamma\Delta ευθύγραμμα τμήματα με φορείς \varepsilon και \delta αντίστοιχα. Ταυτίζουμε τις \varepsilon και \delta έτσι ώστε το \rm A να συμπίπτει με το \rm \Gamma.
* Αν το \rm \Delta συμπίπτει με το \rm B λέμε ότι το \rm AB είναι *ίσο* με το \rm \Gamma\Delta και συμβολίζουμε {\rm AB} = {\rm \Gamma\Delta}.
* Αν το \rm \Delta βρίσκεται στο εσωτερικό του τμήματος \rm AB τότε λέμε ότι το \rm AB είναι *μεγαλύτερο* από το \rm \Gamma\Delta και συμβολίζουμε {\rm AB} > {\rm \Gamma\Delta}.
* Τέλος, αν το \rm \Delta βρίσκεται στην ημιευθεία \rm AB, αλλά όχι ανάμεσα στα \rm A και \rm B, τότε λέμε ότι το \rm AB είναι *μικρότερο* από το \rm \Gamma\Delta και συμβολίζουμε {\rm AB} .

### Ιδιότητες ισότητας
Στην ισότητα των ευθυγράμμων τμημάτων είναι σχέση ισοδυναμίας, δηλαδή ισχύουν οι εξής ιδιότητες:
:**[[Ανακλαστική σχέση|Ανακλαστική]]**, δηλαδή {\rm AB} = {\rm AB}
:**[[Συμμετρική σχέση|Συμμετρική]]**, δηλαδή αν {\rm AB} = {\rm \Gamma\Delta} τότε ισχύει και {\rm \Gamma\Delta} = {\rm AB}
:**[[Μεταβατική σχέση|Μεταβατική]]**: αν {\rm AB} = {\rm \Gamma\Delta} και {\rm \Gamma\Delta} = {\rm EZ} τότε ισχύει και {\rm AB} = {\rm EZ}.

### Ιδιότητες ανισότητας
Επίσης η σχέση {\rm AB} > {\rm \Gamma\Delta} ή {\rm AB}  λέγεται **σχέση ανισότητας**. Στη σχέση αυτή ισχύει η μεταβατική ιδιότητα, δηλαδή αν {\rm AB} > {\rm \Gamma\Delta} και {\rm \Gamma\Delta} > {\rm EZ} τότε και {\rm AB} > {\rm EZ}.

Η σχέση ανισότητας είναι αντισυμμετρική (καθώς δεν μπορεί να ισχύει και {\rm AB}  αλλά και {\rm AB} > {\rm \Gamma\Delta}) και μη-ανακλαστική (καθώς δεν ισχύει {\rm AB} ) και επομένως είναι μία σχέση γνήσιας διάταξης.

## Πράξεις επί ευθυγράμμων τμημάτων
### Πρόσθεση
:Έστω {\rm AB}, {\rm \Gamma\Delta} ευθύγραμμα τμήματα. Σε ευθεία \varepsilon παίρνουμε τα διαδοχικά τμήματα {\rm K\Lambda}, {\rm \Lambda M} τέτοια ώστε {\rm K\Lambda} = {\rm AB} και {\rm \Lambda M} = {\rm \Gamma\Delta}. Τότε *άθροισμα* των {\rm AB} και {\rm \Gamma\Delta} θα καλούμε το ευθύγραμμο τμήμα {\rm KM} και θα γράφουμε {\rm KM} = {\rm AB} + {\rm \Gamma\Delta}.

Το άθροισμα περισσοτέρων από δύο ευθυγράμμων τμημάτων, ορίζεται επαγωγικά μετά το άθροισμα των δύο πρώτων προστίθεται το τρίτο και συνεχίζεται η πρόσθεση όλων των τμημάτων. Στη πρόσθεση αυτή ισχύουν οι εξής ιδιότητες:
* **[[Αντιμεταθετική ιδιότητα|Αντιμεταθετική]]**: για κάθε δύο ευθύγραμμα τμήματα \alpha,\beta, ισχύει ότι \alpha + \beta = \beta + \alpha.
* **[[Προσεταιριστική ιδιότητα|Προσεταιριστική]]**: για κάθε τρία ευθύγραμμα τμήματα \alpha, \beta, \gamma ισχύει ότι (\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma).
* **[[Ουδέτερο στοιχείο]]**: Υπάρχει ένα ουδέτερο στοιχείο που είναι το *μηδενικό ευθύγραμμο τμήμα* 0 για το οποίο ισχύει \alpha + 0 = 0 + \alpha = \alpha.
Η πρόσθεση ευθυγράμμων τμημάτων ως προς την σχέση της ανισότητας παρουσιάζει τις δύο ακόλουθες ιδιότητες:
* Αν για παράδειγμα {\rm AB} > {\rm B\Gamma} και {\rm \Gamma\Delta} > {\rm \Delta E} τότε {\rm AB} + {\rm \Gamma\Delta}> {\rm B\Gamma} + {\rm \Delta E} (πρόσθεση κατά μέλη ομοιόστροφων ανισοτήτων).
* Αν επίσης {\rm AB} > {\rm B\Gamma} τότε συνεπάγεται ότι {\rm AB} + {\rm \Gamma\Delta} > {\rm B\Gamma} + {\rm \Gamma\Delta} (πρόσθεση ίδιου τμήματος στα μέλη μιας ανισότητας).

### Αφαίρεση
:Έστω {\rm AB} > {\rm \Gamma\Delta} ευθύγραμμα τμήματα. Σε ευθεία \varepsilon παίρνουμε τα {\rm K\Delta} = {\rm AB} και {\rm KM} = {\rm \Gamma\Delta} με το σημείο {\rm M} να κείται στο εσωτερικό του {\rm K\Lambda }. Τότε *διαφορά* του {\rm \Gamma\Delta} από το {\rm AB} θα λέμε το ευθύγραμμο τμήμα {\rm M\Lambda} και θα γράφουμε {\rm M\Lambda} = {\rm AB} - {\rm \Gamma\Delta}.
### Πολλαπλασιασμός
Γινόμενο ενός ευθυγράμμου τμήματος {\rm AB} επί ένα φυσικό αριθμό, έστω 3, λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα {\rm A\Gamma} που γίνεται από το {\rm AB} αν ληφθεί τρεις φορές. Δηλαδή {\rm A\Gamma} = 3{\rm AB}
* Έστω {\rm AB} ευθύγραμμο τμήμα και \nu ένας φυσικός αριθμός. Αν {\rm K\Lambda} είναι ευθύγραμμο τμήμα για το οποίο 
::\Kappa\Lambda=\underbrace{\mathrm{A}\Beta+\cdots+\mathrm{A}\Beta}_\nu, 
:τότε λέμε ότι το {\rm K\Lambda} είναι το \nu-*πλάσιο γινόμενο* του {\rm AB} και γράφουμε \Kappa\Lambda=\nu\cdot\mathrm{A}\Beta, καθώς και ότι το \rm AB είναι το *υπο*-*ν*-*πλάσιο γινόμενο* του \rm K\Lambda, και γράφουμε \mathrm{A}\Beta=\tfrac{1}{\nu}\Kappa\Lambda. Τέλος αν για *μ* φυσικό αριθμό είναι \Gamma\Delta=\mu\cdot\mathrm{A}\Beta τότε μπορούμε να γράψουμε \Gamma\Delta=\tfrac{\mu}{\nu}\Kappa\Lambda και το τμήμα {\rm \Gamma\Delta} ονομάζεται *γινόμενο του ρητού αριθμού* \mu / \nu *με το ευθύγραμμο τμήμα* {\rm K\Lambda}.

Με τη *μέτρηση* ενός ευθύγραμμου τμήματος \rm AB εννοούμε τη σύγκρισή του με ένα άλλο αυθαίρετα μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα \rm K\Lambda. Αν ισχύει {\rm AB} = \tfrac{\mu}{\nu} {\rm K\Lambda}, τότε λέμε ότι το *μήκος* του {\rm AB} ως προς το {\rm K\Lambda} είναι \mu / \nu, ή ότι η *απόσταση* του \rm A από το \rm B είναι \mu / \nu.

### Διαίρεση με φυσικό αριθμό
Το πηλίκο ενός ευθυγράμμου τμήματος {\rm AB } δια ενός φυσικού αριθμού, έστω 3, ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα {\rm A\Gamma } που είναι ίσο με το ένα από τα τρία ίσα μέρη στα οποία χωρίζεται το {\rm AB }, όπου και θα ισχύει η σχέση {\rm A\Gamma} = {\rm AB }/3.

### Δίαρεση με δοσμένο λόγο
Για ένα ευθύγραμμο τμήμα \rm AB λέμε ότι το σημείο του \rm M διαιρεί **εσωτερικά** το τμήμα σε λόγο \tfrac{\mu}{\nu} αν
:\frac{\rm AM}{\rm BM} = \frac{\mu}{\nu}.

Για ένα ευθύγραμμο τμήμα \rm AB λέμε ότι το σημείο \rm N που ανήκει στον φορέα του αλλά όχι στο τμήμα, διαιρεί **εξωτερικά** το τμήμα σε λόγο \tfrac{\mu}{\nu} αν 
:\frac{\rm AN}{\rm BN} = \frac{\mu}{\nu}.

Για ένα δεδομένο τμήμα \rm AB και έναν δεδομένο λόγο \tfrac{\mu}{\nu}, τα σημεία \rm M, N είναι μοναδικά.

## Σε έναν διανυσματικό χώρο
Σε έναν πραγματικό (ή μιγαδικό) διανυσματικό χώρο V, το (κλειστό) ευθύγραμμο τμήμα μεταξύ δύο σημείων \mathbf{a} και \mathbf{b} είναι το εξής σύνολο των σημείων
:\ell = \left\{ \mathbf{a} + t \cdot \mathbf{b} : t \in [0, 1] \right\}.
Το ανοικτό ευθύγραμμο τμήμα, δεν περιέχει τα σημεία \mathbf{a} και \mathbf{b}, και ορίζεται ως
:\ell = \left\{ \mathbf{a} + t \cdot \mathbf{b} : t \in (0, 1) \right\}.
Και στις δύο περιπτώσεις, το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ορίζεται ως η απόσταση μεταξύ των σημείων \mathbf{a} και \mathbf{b}, δηλαδή 
:|\ell| = |\mathbf{a} - \mathbf{b}| = \sqrt{\sum_{i = 1}^n (\mathbf{a}_i - \mathbf{b}_i)^2},
όπου n είναι η διάσταση του διανυσματικού χώρου.

## Δείτε ακόμη
* Ευθεία
* Διάνυσμα

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* 

## Παραπομπές


Κατηγορία:Στοιχειώδης γεωμετρία