Πίνακας Κάρλεμαν

Στα μαθηματικά, ο **πίνακας Κάρλεμαν** είναι ένας πίνακας που χρησιμοποιείται για τη μετατροπή της σύνθεσης συναρτήσεων σε πολλαπλασιασμό πινάκων. Χρησιμοποιείται συχνά στην Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση για την εύρεση της συνεχούς επαναλαμβανόμενης συνάρτησης η οποία δεν μπορεί να επαναληφθεί μόνο με αναγνώριση προτύπων. Άλλες χρήσεις των πινάκων Κάρλεμαν εμφανίζονται στη θεωρία των συναρτήσεων παραγωγής πιθανοτήτων και των αλυσίδων Μάρκοφ.

## Ορισμός
Ο **πίνακας Κάρλεμαν** μιας απείρως διαφορίσιμης συνάρτησης f(x) ορίζεται ως:

:M[f]_{jk} = \frac{1}{k!}\left[\frac{d^k}{dx^k} (f(x))^j \right]_{x=0} ~,

ώστε να ικανοποιείται η εξίσωση (σειρά Τέιλορ):
:(f(x))^j = \sum_{k=0}^{\infty} M[f]_{jk} x^k.

Παραδείγματος χάριν, ο υπολογισμός του f(x) από το
:f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} M[f]_{1,k} x^k. ~

ισοδυναμεί απλώς με το τετραγωνικό γινόμενο της γραμμής 1 του  M[f]  με ένα διάνυσμα στήλης \left[1,x,x^2,x^3,...\right]^\tau.

Οι καταχωρήσεις του M[f] στην επόμενη σειρά δίνουν τη 2η δύναμη του f(x):
:f(x)^2 = \sum_{k=0}^{\infty} M[f]_{2,k} x^k ~,

και επίσης, προκειμένου να έχουμε τη μηδενική δύναμη του f(x) στο M[f], υιοθετούμε τη σειρά 0 που περιέχει μηδενικά παντού εκτός από την πρώτη θέση, έτσι ώστε
:f(x)^0 = 1 = \sum_{k=0}^{\infty} M[f]_{0,k} x^k = 1+ \sum_{k=1}^{\infty} 0\cdot x^k ~.

Έτσι, το εσωτερικό γινόμενο του M[f] με το διάνυσμα στήλης \begin{bmatrix}1,x,x^2,...\end{bmatrix}^T δίνει το διάνυσμα στήλης \left[1,f(x),f(x)^2,...\right]^T, δηλαδή,

: M[f] \begin{bmatrix}1\\x\\x^2\\ x^3\\\vdots\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\f(x)\\(f(x))^2\\(f(x))^3\\\vdots\end{bmatrix}. 

## Γενίκευση
Μια γενίκευση του πίνακα Κάρλεμαν μιας συνάρτησης μπορεί να οριστεί γύρω από οποιοδήποτε σημείο, όπως:

:M[f]_{x_0} = M_x[x - x_0]M[f]M_x[x + x_0] 

ή M[f]_{x_0} = M[g] όπου g(x) = f(x + x_0) - x_0. Αυτό επιτρέπει τη συσχέτιση της ισχύος του πίνακα ως εξής:
:(M[f]_{x_0})^n = M_x[x - x_0]M[f]^nM_x[x + x_0]

### Γενική σειρά
:Ένας άλλος τρόπος για να το γενικεύσουμε ακόμη περισσότερο είναι να σκεφτούμε μια γενική σειρά με τον ακόλουθο τρόπο:

:Έστω h(x) = \sum_n c_n (h) \cdot \psi_n(x) μια σειρά προσέγγισης της h(x), όπου \{\psi_n(x)\}_n είναι μια βάση του χώρου που περιέχει την h(x).

: Υποθέτοντας ότι η \{\psi_n(x)\}_n είναι επίσης μια βάση για την f(x), μπορούμε να ορίσουμε G[f]_{mn} = c_n(\psi_m \circ f), επομένως έχουμε \psi_m \circ f = \sum_n c_n (\psi_m \circ f) \cdot \psi_n = \sum_n G[f]_{mn} \cdot \psi_n, τώρα μπορούμε να αποδείξουμε ότι G[g \circ f] = G[g] \cdot G[f], αν υποθέσουμε ότι \{\psi_n(x)\}_n είναι επίσης βάση για g(x) και g(f(x)).

:Έστω g(x) τέτοια ώστε \psi_l \circ g = \sum_m G[g]_{lm} \cdot \psi_m όπου G[g]_{lm} = c_m (\psi_l \circ g).
:τώρα

  \begin{aligned}   \sum_n G[g \circ f]_{ln} \psi_n 
=   \psi_l \circ (g \circ f)
&=   (\psi_l \circ g) \circ f\\
&=   \sum_m G[g]_{lm} (\psi_m \circ f)\\
&=   \sum_m G[g]_{lm} \sum_n G[f]_{mn} \psi_n\\
&=   \sum_{n,m} G[g]_{lm} G[f]_{mn} \psi_n\\
&=   \sum_{n} (\sum_m G[g]_{lm} G[f]_{mn}) \psi_n\end{aligned}
:Συγκρίνοντας τον πρώτο και τον τελευταίο όρο, και από το ότι \{\psi_n(x)\}_n είναι μια βάση για f(x), g(x) και g(f(x)) προκύπτει ότι G[g \circ f] =\sum_m G[g]_{lm} G[f]_{mn}= G[g] \cdot G[f]

#### Παραδείγματα
##### Παραγωγή («Τέιλορ») πίνακας Κάρλεμαν

Αν θέσουμε \psi_n(x) = x^n έχουμε τον **πίνακα Κάρλεμαν**'.  διότι
h(x) = \sum_n c_n (h) \cdot \psi_n(x) = \sum_n c_n (h) \cdot x^n

τότε γνωρίζουμε ότι ο n-th συντελεστής c_n(h) πρέπει να είναι ο n-th συντελεστής της σειρά Τέιλορ του h.

Επομένως c_n(h)=\frac{1}{n!} h^{(n)}(0)  άρα  G[f]_{mn}=c_n(\psi_m \circ f)=c_n(f(x)^m)=\frac{1}{n!}\left[\frac{d^n}{dx^n} (f(x))^m \right]_{x=0}

Ο οποίος είναι ο **πίνακας Κάρλεμαν** που δόθηκε παραπάνω.  *(Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι αυτή δεν είναι μια ορθοκανονική βάση)*

##### Πίνακας Κάρλεμαν για ορθοκανονική βάση
Αν \{e_n(x)\}_n είναι μια ορθοκανονική βάση για ένα χώρο Χίλμπερτ με καθορισμένο εσωτερικό γινόμενο \langle f,g \rangle, μπορούμε να ορίσουμε \psi_n = e_n και c_n (h) θα είναι {\displaystyle \langle h, e_n \rangle } .  Τότε 

G[f]_{mn}=c_n(e_m \circ f)=\langle e_m \circ f,e_n\rangle .

##### Πίνακας Κάρλεμαν για σειρές Φουριέ

Αν e_n(x) = e^{i n x} έχουμε το ανάλογο για τις Σειρές Φουριέ.

Έστω \hat{c}_n και \hat{G}  αντιπροσωπεύουν τον συντελεστή Κάρλεμαν και τον πίνακα στη βάση Φουριέ. Επειδή η βάση είναι ορθογώνια, έχουμε.

: \hat{c}_n (h) = \langle h,e_n \rangle = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \displaystyle h(x) \cdot e^{-inx}dx.
 Τότε, λοιπόν, \hat{G}[f]_{mn}=\hat{c_n}(e_m \circ f)=\langle e_m \circ f,e_n\rangle  που είναι
: \hat{G}[f]_{mn}=\cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \displaystyle e^{i m f(x)} \cdot e^{-inx}dx 

## Ιδιότητες
Οι πίνακες Κάρλεμαν ικανοποιούν τη θεμελιώδη σχέση
*M[f \circ g] = M[f]M[g] ~,

γεγονός που καθιστά τον πίνακα Κάρλεμαν *Μ* μια (άμεση) αναπαράσταση του f(x). Εδώ ο όρος f \circ g  δηλώνει τη σύνθεση των συναρτήσεων f(g(x)).

Άλλες ιδιότητες περιλαμβάνουν:
*\,M[f^n] = M[f]^n, όπου \,f^n είναι μια επαναλαμβανόμενη συνάρτηση και

*\,M[f^{-1}] = M[f]^{-1}, όπου \,f^{-1} είναι η αντίστροφη συνάρτηση (εάν ο πίνακας Κάρλεμαν είναι αντιστρέψιμος).

## Παραδείγματα
Ο πίνακας Κάρλεμαν μιας σταθεράς είναι:
:M[a] = \left(\begin{array}{cccc}
1&0&0& \cdots \\
a&0&0& \cdots \\
a^2&0&0& \cdots \\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{array}\right)

Ο πίνακας Κάρλεμαν της συνάρτησης ταυτότητας είναι:
:M_x[x] = \left(\begin{array}{cccc}
1&0&0& \cdots \\
0&1&0& \cdots \\
0&0&1& \cdots \\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{array}\right)

Ο πίνακας Κάρλεμαν μιας σταθερής πρόσθεσης είναι:
:M_x[a + x] = \left(\begin{array}{cccc}
1&0&0& \cdots \\
a&1&0& \cdots \\
a^2&2a&1& \cdots \\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{array}\right)

Ο πίνακας Κάρλεμαν της συνάρτησης διαδόχου είναι ισοδύναμος με τον διωνυμικό συντελεστή:
:M_x[1 + x] = \left(\begin{array}{ccccc}
1&0&0&0& \cdots \\
1&1&0&0& \cdots \\
1&2&1&0& \cdots \\
1&3&3&1& \cdots \\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{array}\right)
:M_x[1 + x]_{jk} = \binom{j}{k}

Ο πίνακας Κάρλεμαν του λογαρίθμου σχετίζεται με τους (προσημασμένους) αριθμούς Στίρλινγκ του πρώτου είδους που κλιμακώνονται με παραγοντικά:
:M_x[\log(1 + x)] = \left(\begin{array}{cccccc}
1&0&0&0&0& \cdots \\
0&1&-\frac{1}{2}&\frac{1}{3}&-\frac{1}{4}& \cdots \\
0&0&1&-1&\frac{11}{12}& \cdots \\
0&0&0&1&-\frac{3}{2}& \cdots \\
0&0&0&0&1& \cdots \\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{array}\right)
:M_x[\log(1 + x)]_{jk} = s(k, j) \frac{j!}{k!}

Ο πίνακας Κάρλεμαν του λογαρίθμου σχετίζεται με τους (μη προσημασμένους) αριθμούς Στίρλινγκ του πρώτου είδους που κλιμακώνονται με παραγοντικά:
:M_x[-\log(1 - x)] = \left(\begin{array}{cccccc}
1&0&0&0&0& \cdots \\
0&1&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}&\frac{1}{4}& \cdots \\
0&0&1&1&\frac{11}{12}& \cdots \\
0&0&0&1&\frac{3}{2}& \cdots \\
0&0&0&0&1& \cdots \\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{array}\right)
:M_x[-\log(1 - x)]_{jk} = |s(k, j)| \frac{j!}{k!}

Ο πίνακας Κάρλμαν της εκθετικής συνάρτησης σχετίζεται με τους αριθμούς Στίρλινγκ του δεύτερου είδους που κλιμακώνονται με παραγοντικά:
:M_x[\exp(x) - 1] = \left(\begin{array}{cccccc}
1&0&0&0&0& \cdots \\
0&1&\frac{1}{2}&\frac{1}{6}&\frac{1}{24}& \cdots \\
0&0&1&1&\frac{7}{12}& \cdots \\
0&0&0&1&\frac{3}{2}& \cdots \\
0&0&0&0&1& \cdots \\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{array}\right)
:M_x[\exp(x) - 1]_{jk} = S(k, j) \frac{j!}{k!}

Ο πίνακας Κάρλεμαν των εκθετικών συναρτήσεων είναι:
:M_x[\exp(a x)] = \left(\begin{array}{ccccc}
1&0&0&0& \cdots \\
1&a&\frac{a^2}{2}&\frac{a^3}{6}& \cdots \\
1&2a&2a^2&\frac{4a^3}{3}& \cdots \\
1&3a&\frac{9a^2}{2}&\frac{9a^3}{2}& \cdots \\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{array}\right)
:M_x[\exp(a x)]_{jk} = \frac{(j a)^k}{k!}

Ο πίνακας Κάρλεμαν ενός σταθερού πολλαπλάσιου είναι:
:M_x[cx] = \left(\begin{array}{cccc}
1&0&0& \cdots \\
0&c&0& \cdots \\
0&0&c^2& \cdots \\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{array}\right)

Ο πίνακας Κάρλεμαν μιας γραμμικής συνάρτησης είναι:
:M_x[a + cx] = \left(\begin{array}{cccc}
1&0&0& \cdots \\
a&c&0& \cdots \\
a^2&2ac&c^2& \cdots \\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{array}\right)

Ο πίνακας Κάρλμαν μιας συνάρτησης f(x) = \sum_{k=1}^{\infty}f_k x^k είναι:
:M[f] = \left(\begin{array}{cccc}
1&0&0& \cdots \\
0&f_1&f_2& \cdots \\
0&0&f_1^2& \cdots \\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{array}\right)

Ο πίνακας Κάρλεμαν μιας συνάρτησης f(x) = \sum_{k=0}^{\infty}f_k x^k είναι:
:M[f] = \left(\begin{array}{cccc}
1&0&0& \cdots \\
f_0&f_1&f_2& \cdots \\
f_0^2&2f_0f_1&f_1^2+2f_0f_2& \cdots \\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{array}\right)

## Σχετικοί πίνακες
Ο **πίνακας Μπελ** ή ο **πίνακας Ζαμποτίνσκι** μιας συνάρτησης f(x) ορίζεται ως εξής 
:B[f]_{jk} = \frac{1}{j!}\left[\frac{d^j}{dx^j} (f(x))^k \right]_{x=0} ~,
ώστε να ικανοποιείται η εξίσωση
:(f(x))^k = \sum_{j=0}^{\infty} B[f]_{jk} x^j ~,
Αυτοί οι πίνακες αναπτύχθηκαν το 1947 από τον Έρι Ζαμποτίνσκι για να αναπαραστήσουν τις στροφές πολυωνύμων. Είναι ο ανάστροφος του πίνακα Κάρλεμαν και ικανοποιεί

B[f \circ g] = B[g]B[f] ~, γεγονός που καθιστά τον πίνακα Μπελ *Β* μια *αντι-αντιπροσώπευση* του f(x).

## Δημοσιεύσεις

* 
* 
* 
*
*
* Diodorus Siculus, *Bibliotheca Historica. Vol. 1–2*. Immanel Bekker. Ludwig Dindorf. Friedrich Vogel. in aedibus B. G. Teubneri. Leipzig. 1888–1890. Greek text available at the Perseus Digital Library.
* Gaius Julius Hyginus, *Fabulae from The Myths of Hyginus* translated and edited by Mary Grant. University of Kansas Publications in Humanistic Studies. Online version at the Topos Text Project.
* Olav Kallenberg; *Probabilistic Symmetries and Invariance Principles*. Springer -Verlag, New York (2005). 510&nbsp;pp. ISBN 0-387-25115-4
* 

## Δείτε επίσης

* Field Arithmetic
* Πραγματικό προβολικό επίπεδο
* Πραγματικός αριθμός 
* Αντιερμιτιανός πίνακας
* Μέγιστος κοινός διαιρέτης
* Υπολογιστική βιολογία
* Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
* Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
* Διανυσματικός χώρος
* Παραμετρικές εξισώσεις
* Πολλαπλασιασμός πινάκων
* Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση
* Ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές
* Αντιστρέψιμος πίνακας
* High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*Matrix calculator
* Matrix Analysis
* Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
* Exercises of Matrices and Linear Algebra
* Fourier Transforms: Approach to Scientific Principles
* Euclidean Distance Matrices and Their Applications in Rigidity Theory.
* Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
* Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences.
* More Progresses in Analysis: Proceedings of the 5th International ISAAC ...
* Algebra, Complex Analysis, and Pluripotential Theory: 2 USUZCAMP, Urgench ...
* Lectures on the Combinatorics of Free Probability, Τόμος 13

## Παραπομπές

*  Online
* R Aldrovandi, Special Matrices of Mathematical Physics: Stochastic, Circulant and Bell Matrices, World Scientific, 2001. (preview)
* R. Aldrovandi, L. P. Freitas, , online preprint, 1997.
* P. Gralewicz, K. Kowalski, , online preprint, 2000.
* K Kowalski and W-H Steeb, Nonlinear Dynamical Systems and Carleman Linearization, World Scientific, 1991. (preview)

 

Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα 
Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα 
Κατηγορία:Θεωρήματα της γραμμικής άλγεβρας 
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά) 
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων 
Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις