Κατάλογος ολοκληρωμάτων των Γκαουσιανών συναρτήσεων

Ακολουθεί ο **Κατάλογος ολοκληρωμάτων των Γκαουσιανών συναρτήσεων**.

\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} x^2}

είναι η Κανονική κατανομή πυκνότητας, 

\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \varphi(t) \, dt = \frac{1}{2} \left[1 + \operatorname{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right]

και η αντίστοιχη αθροιστική συνάρτηση κατανομής (όπου **erf** είναι η συνάρτηση σφάλματος) και    

 T(h,a) = \varphi(h)\int_0^a \frac{\varphi(hx)}{1+x^2} \, dx

είναι η συνάρτηση T του  Όουεν. 

Ο Όουεν  διαθέτει έναν εκτενή **κατάλογο ολοκληρωμάτων  Γκαουσιανών** **συναρτήσεων** - παρακάτω παρατίθεται μόνο ένα μέρος του.

## Αόριστα ολοκληρώματα

* \int          \varphi(x) \, dx = \Phi(x) + C
* \int x        \varphi(x) \, dx = -\varphi(x) + C
* \int x^2      \varphi(x) \, dx = \Phi(x) - x\varphi(x) + C
* \int x^{2k+1} \varphi(x) \, dx = -\varphi(x) \sum_{j=0}^k \frac{(2k)!!}{(2j)!!}x^{2j} + C
* \int x^{2k+2} \varphi(x) \, dx = -\varphi(x)\sum_{j=0}^k\frac{(2k+1)!!}{(2j+1)!!}x^{2j+1} + (2k+1)!! \, \Phi(x) + C

τα δύο προηγούμενα ολοκληρώματα,  είναι το διπλό παραγοντικό: για ζυγό  είναι ίσο με το γινόμενο όλων των ζυγών αριθμών από το 2 έως το , και για μονό  είναι το γινόμενο όλων των περιττών αριθμών από το 1 έως το - επιπλέον θεωρείται ότι .

*  \int \varphi(x)^2 \, dx           = \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \Phi{\left(x\sqrt{2}\right)} + C 
*  \int \varphi(x)\varphi(a + bx) \, dx = \frac{1}{t} \varphi{\left(\frac{a}{t}\right)} \Phi{\left(tx + \frac{ab}{t}\right)} + C, \qquad t = \sqrt{1+b^2}
*  \int x   \varphi(a+bx) \, dx      = -\frac{1}{b^2} \left[\varphi(a+bx) + a\Phi(a+bx)\right] + C 
*  \int x^2 \varphi(a+bx) \, dx      =  \frac{1}{b^3} \left[\left(a^2 + 1\right) \Phi(a+bx) + \left(a - bx\right) \varphi(a+bx) \right] + C 
*  \int \varphi(a+bx)^n \, dx        = \frac{1}{b\sqrt{n{\left(2\pi\right)}^{n-1}}} \Phi{\left(\sqrt{n}(a+bx)\right)} + C 
*  \int     \Phi(a+bx) \, dx         = \frac{1}{b   } \left[\left(a + bx\right)             \Phi(a+bx) +                                      \varphi(a+bx)\right] + C 
*  \int x   \Phi(a+bx) \, dx         = \frac{1}{2b^2} \left[\left(b^2 x^2 - a^2 - 1\right)  \Phi(a+bx) + \left(bx - a\right)                  \varphi(a+bx)\right] + C 
*  \int x^2 \Phi(a+bx) \, dx         = \frac{1}{3b^3} \left[\left(b^3 x^3 + a^3 + 3a\right) \Phi(a+bx) + \left(b^2 x^2 - abx + a^2 + 2\right) \varphi(a+bx)\right] + C 
*  \int x^n \Phi(x) \, dx            = \frac{1}{n+1}  \left[\left(x^{n+1} - nx^{n-1} \right)\Phi(x) + x^n\varphi(x) + n(n-1)\int x^{n-2}\Phi(x)\,dx \right] + C 
*  \int x\varphi(x)\Phi(a+bx) \, dx  = \frac{b}{t} \varphi{\left(\frac{a}{t}\right)} \Phi{\left(xt + \frac{ab}{t}\right)} - \varphi(x) \Phi(a+bx) + C, \qquad t = \sqrt{1+b^2} 
*  \int \Phi(x)^2 \, dx              = x \Phi(x)^2 + 2\Phi(x) \varphi(x) - \frac{1}{\sqrt{\pi}} \Phi{\left(x\sqrt{2}\right)} + C 
*  \int e^{cx}\varphi(bx)^n \, dx    = \frac{e^{\frac{c^2}{2nb^2}}}{b\sqrt{n{\left(2\pi\right)}^{n-1}}} \Phi{\left(\frac{b^2xn-c }{b\sqrt{n}}\right)} + C, \qquad b\ne 0, n>0 

## Οριστικά ολοκληρώματα
*  \int_{-\infty}^\infty x^2 \varphi(x)^n \, dx = \frac{1}{\sqrt{n^3{\left(2\pi\right)}^{n-1}}} 
*  \int_{-\infty}^\infty \varphi(x) \varphi(a+bx) \, dx = \frac{1}{\sqrt{1+b^2}} \varphi{\left(\frac{a}{\sqrt{1+b^2}}\right)} 
*  \int_{-\infty}^0  \varphi(ax) \Phi(bx) \, dx = \frac{1}{2\pi |a|} \left(\frac{\pi}{2} - \arctan\left(\frac{b}\right)\right)  
*  \int_0^{\infty}   \varphi(ax) \Phi(bx) \, dx = \frac{1}{2\pi |a|} \left(\frac{\pi}{2} + \arctan\left(\frac{b}\right)\right)  
*  \int_0^\infty x   \varphi(x)  \Phi(bx) \, dx = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}} \left( 1 + \frac{b}{\sqrt{1+b^2}} \right)  
*  \int_0^\infty x^2 \varphi(x)  \Phi(bx) \, dx = \frac{1}{4} + \frac{1}{2\pi} \left(\frac{b}{1+b^2} + \arctan(b) \right)  
*  \int_{-\infty}^\infty x \varphi(x)^2 \Phi(x) \, dx = \frac{1}{4\pi\sqrt{3}} 
*  \int_0^\infty \Phi(bx)^2 \varphi(x) \, dx = \frac{1}{2\pi} \left( \arctan(b) + \arctan \sqrt{1+2b^2} \right)  
*  \int_{-\infty}^\infty \Phi(a+bx)^2 \varphi(x) \,dx = \Phi{\left( \frac{a}{\sqrt{1+b^2}} \right)} - 2 T{\left( \frac{a}{\sqrt{1+b^2}}, \frac{1}{\sqrt{1+2b^2}} \right)} 
*  \int_{-\infty}^{\infty} x \Phi(a+bx)^2 \varphi(x) \,dx = \frac{2b}{\sqrt{1+b^2}} \varphi{\left(\frac{a}{t}\right)} \Phi{\left(\frac{a}{\sqrt{1 + b^2} \sqrt{1 + 2b^2}}\right)}
*  \int_{-\infty}^\infty \Phi(bx)^2 \varphi(x) \, dx = \frac{1}{\pi} \arctan \sqrt{1+2b^2}  
*  \int_{-\infty}^\infty x \varphi(x) \Phi(bx) \, dx = \int_{-\infty}^\infty x \varphi(x)\Phi(bx)^2 \, dx = \frac{b}{\sqrt{2\pi(1+b^2)}}  
*  \int_{-\infty}^\infty   \Phi(a+bx) \varphi(x) \, dx = \Phi{\left(\frac{a}{\sqrt{1+b^2}}\right)}  
*  \int_{-\infty}^\infty x \Phi(a+bx) \varphi(x) \, dx = \frac{b}{\sqrt{1+b^2}} \varphi{\left(\frac{a}{\sqrt{1+b^2}}\right)}, 
*  \int_0^\infty         x \Phi(a+bx) \varphi(x) \, dx = \frac{b}{t} \varphi{\left(\frac{a}{t}\right)} \Phi{\left(-\frac{ab}{t}\right)} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\Phi(a), \qquad t = \sqrt{1+b^2}   
*  \int_{-\infty}^\infty \ln(x^2) \frac{1}{\sigma} \varphi{\left(\frac{x}{\sigma}\right)} \, dx = \ln(\sigma^2) - \gamma - \ln 2 \approx \ln(\sigma^2) - 1.27036 

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Τριγωνομετρική συνάρτηση
* Συνάρτηση γάμμα
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Ρητή συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπερβολικές συναρτήσεις
* Κατάλογος ολοκληρωμάτων των υπερβολικών συναρτήσεων
* Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Μιγαδικός αριθμός
* Πολυώνυμο
* Ακέραιος αριθμός

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
* 

*
*
*Toyesh Prakash Sharma, https://www.isroset.org/pdf_paper_view.php?paper_id=2214&7-ISROSET-IJSRMSS-05130.pdf
* 
* 

Κατηγορία:Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
Κατηγορία:Ολοκληρώματα