Λήμμα του Κεν Μπράουν

Στα μαθηματικά, και συγκεκριμένα στη θεωρία κατηγοριών, το **λήμμα του Κεν Μπράουν** δίνει μια ικανή συνθήκη για να διατηρήσει ένας συναρτητής σε μια κατηγορία ινωδών αντικειμένων τις ασθενείς ισοδυναμίες- η ικανή συνθήκη είναι ότι οι ακυκλικές συννηματώσεις μετατρέπονται σε ασθενείς ισοδυναμίες. Μεταβαίνοντας στο δυϊκό, ισχύει επίσης η εκδοχή co του λήμματος. Το λήμμα ή, πιο συγκεκριμένα, ένα αποτέλεσμα του οποίου το λήμμα είναι ένα επακόλουθο, εισήχθη από τον Κένεθ Μπράουν.

## Απόδειξη

Το λήμμα προκύπτει από τα ακόλουθα:

 **Παραγοντοποίηση του λήμματος**— Έστω f ένας μορφισμός σε μια δεδομένη κατηγορία ινωδών αντικειμένων. Τότε η f  παραγοντοποιείται ως  f = g \circ j όπου
 *g είναι μια νημάτωση
 *j δέχεται μια αναίρεση που είναι μια άκυκλη νημάτωση.

Για να διαπιστώσετε ότι το λήμμα προκύπτει από τα παραπάνω, έστω  w μια ασθενής ισοδυναμία και F ο συγκεκριμένος συναρτητής. Με την παραγοντοποίηση του λήμματος, μπορούμε να γράψουμε 
:w = g \circ j
με μια ακυκλική νημάτωση r τέτοια ώστε r \circ j = \operatorname{id}. Ας σημειωθεί ότι η j είναι ασθενής ισοδυναμία αφού η r είναι. Συνεπώς, το g είναι ασθενής ισοδυναμία (άρα άκυκλη νημάτωση) αφού το w είναι. Άρα, η F(g) είναι ασθενής ισοδυναμία από την παραδοχή. Ομοίως, η F(j) i είναι μια ασθενής ισοδυναμία. Επομένως, η F(w) = F(g) \circ F(j) είναι ασθενής ισοδυναμία. \square

*Απόδειξη της [[Παραγοντοποίηση|παραγοντοποίησης]] του λήμματος*:  Έστω f : X \to Y να είναι ο δεδομένος μορφισμός. Έστω
:e : Y^I \to Y \times Y
να είναι η νημάτωση αντικειμένου διαδρομής- δηλαδή, προκύπτει από την παραγοντοποίηση της διαγώνιας απεικόνισης \Delta ως \Delta = e \circ c όπου c είναι μια ασθενής ισοδυναμία.

Τότε έστω  \pi : Z \to X \times Y το νηματικό γινόμενο του e κατά μήκος του f \times \operatorname{id}, που επίσης αποτελεί μια νημάτωση. Τότε, μέσω της καθολικής ιδιότητας ενός νηματικού γινομένου, παίρνουμε μια απεικόνιση 

j : X \to Z έτσι ώστε το προκύπτον διάγραμμα με  X \overset{f}\to Y \overset{c}\to Y^I και (\operatorname{id}_X, f)αντιμετατίθεται. Παίρνουμε g για να είναι Z \overset{\pi}\to X \times Y \overset{p_2}\to Y, το οποίο είναι μια νημάτωση αφού η προβολή  p_2 είναι το νηματικό γινόμενο της νημάτωσης Y \to  τελικό αντικείμενο. 

Όσον αφορά το j, έστω το r be Z \overset{\pi}\to X \times Y \overset{p_1}\to X, το οποίο είναι και πάλι μια νημάτωση. Ας σημειωθεί ότι το r είναι το νηματικό γινόμενο του q \circ e : Y^I \to Y, q μια προβολή. Αφού e \circ c = \Delta, έχουμε q \circ e \circ c = \operatorname{id}.  Προκύπτει ότι q \circ e είναι ασθενής ισοδυναμία (αφού c  είναι) και επομένως r  είναι ασθενής ισοδυναμία. \square

## Εφαρμογή

Το **λήμμα του Μπράουν** είναι ιδιαίτερα απλοποιημένο για δομές μοντέλων στις οποίες κάθε αντικείμενο είναι **συνινώδες** (cofibrant). (Σε αυτές περιλαμβάνονται, ειδικότερα, οι δομές μοντέλων Σισίνσκι με μονομορφισμούς ως **συννηματώσεις** (cofibrations), όπως οι δομές μοντέλων Τζόγιαλ ή Καν-Κουίλεν). Σε αυτή την περίπτωση, δηλώνει ότι όλες οι ασθενείς ισοδυναμίες διατηρούνται αν όλες οι τετριμμένες **συννηματώσεις** έχουν ήδη απεικονιστεί σε ασθενείς ισοδυναμίες. Επομένως, οι αποδείξεις αυτής της σημαντικής ιδιότητας μπορούν να περιοριστούν σε τετριμμένες συνινώσεις χωρίς απώλεια της γενικότητας, πράγμα που συχνά αποτελεί σημαντική απλοποίηση. Παραδείγματα περιλαμβάνουν, μεταξύ άλλων, τη γεωμετρική υλοποίηση.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


*
*Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
* star-autonomous category at the nLab
* 
* *This article is based in part on [http://www.planetmath.org PlanetMath]'s [http://planetmath.org/encyclopedia/TerminalObjectsAndZeroObjectsExamplesOfInitialObjects.html article on examples of initial and terminal objects].*
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα