Πεπερασμένος μορφισμός

Στην αλγεβρική γεωμετρία, ένας **πεπερασμένος μορφισμός** μεταξύ δύο αφινικών ποικιλιών X, Y είναι μια πυκνή κανονική απεικόνιση η οποία επάγει ισομορφικό εγκλεισμό k\left[Y\right]\hookrightarrow k\left[X\right]  μεταξύ των δακτυλίων συντεταγμένων τους, έτσι ώστε το k\left[X\right] να είναι ολοκλήρωμα  επί  του  k\left[Y\right]. T Αυτός ο ορισμός μπορεί να επεκταθεί στις οιονεί προβολικές ποικιλίες, έτσι ώστε μια κανονική απεικόνιση f\colon X\to Y μεταξύ οιονεί προβολικών ποικιλιών να είναι πεπερασμένη αν κάθε σημείο y\in Y έχει μια αφινική γειτονιά  V τέτοια ώστε  U=f^{-1}(V) να είναι αφινική και f\colon U\to V είναι μια πεπερασμένη απεικόνιση (με βάση τον προηγούμενο ορισμό, επειδή είναι μεταξύ αφινικών ποικιλιών).

## Ορισμός μέσω σχημάτων

Ένας μορφισμός *f*: *X* → *Y* σχημάτων είναι πεπερασμένος μορφισμός αν το *Y* έχει ανοικτό κάλυμμα από αφινικά σχήματα
:V_i = \mbox{Spec} \; B_i

έτσι ώστε για κάθε *i*,

:f^{-1}(V_i) = U_i

είναι ένα ανοικτό αφινικό υποσύστημα Spec *A**i*, και ο περιορισμός του *f* στο *U**i* ο οποίος επάγει έναν ομομορφισμό δακτυλίου

:B_i \rightarrow A_i,

κάνει το *A* *i*μια πεπερασμένης παραγωγής module επί του *B**i* (με άλλα λόγια, μια πεπερασμένη  *B**i*-άλγεβρα)). Λέμε επίσης ότι το *X* είναι **πεπερασμένο** επί του *Y*.

Στην πραγματικότητα, η *f*  είναι πεπερασμένη αν και μόνο αν για κάθε ανοικτό αφινικό υπόσχημα *V* = Spec *B* στο *Y*, η αντίστροφη εικόνα του *V* στο *X* iείναι αφινική, της μορφής Spec *A*, με το *A* ένα πεπερασμένα παραγόμενο *B*-module.

Επί παραδείγματι, για οποιοδήποτε σώμα *k*, \text{Spec}(k[t,x]/(x^n-t)) \to \text{Spec}(k[t]) είναι ένας πεπερασμένος μορφισμός αφού το k[t,x]/(x^n-t) \cong k[t]\oplus k[t]\cdot x \oplus\cdots \oplus k[t]\cdot x^{n-1} as k[t]-modules. Γεωμετρικά, αυτό είναι προφανώς πεπερασμένο, αφού πρόκειται για ένα διακλαδισμένο n-φυλλοειδές κάλυμμα της αφινικής γραμμής που εκφυλίζεται στην αρχή. Αντίθετα, ο εγκλεισμός του *A*1 − 0 στο *A*1 δεν είναι πεπερασμένος. (Πράγματι, ο πολυωνυμικός δακτύλιος Λοράν *k*[*y*, *y*−1] δεν παράγεται πεπερασμένα ως ενότητα πάνω από το *k*[*y*].) Αυτό περιορίζει τη γεωμετρική μας διαίσθηση σε επιφανειακές οικογένειες με πεπερασμένες ίνες.

## Ιδιότητες των πεπερασμένων μορφισμών

* Η σύνθεση δύο πεπερασμένων μορφισμών είναι πεπερασμένη.
* Κάθε αλλαγή βάσης ενός πεπερασμένου μορφισμού *f*: *X* → *Y* είναι πεπερασμένη. Δηλαδή, αν *g*: Z → *Y* είναι οποιοσδήποτε μορφισμός σχημάτων, τότε ο μορφισμός *X* ×*Y* *Z* → *Z* iπου προκύπτει είναι πεπερασμένος. Αυτό αντιστοιχεί στην ακόλουθη αλγεβρική δήλωση: αν οι  *A* και *C*  είναι (αντιμεταθετικές) *B*-άλγεβρες, και η  *A* παράγεται πεπερασμένα ως *B*-module, τότε το τανυστικό γινόμενο *A* ⊗*B* *C* παράγεται πεπερασμένα ως *C*-module.  Πράγματι, οι γεννήτορες μπορούν να θεωρηθούν ότι είναι τα στοιχεία *a**i* ⊗ 1, όπου *a**i* είναι οι δεδομένες γεννήτορες της *A*  ως *B*-module.
* Οι κλειστές βυθίσεις είναι πεπερασμένες, καθώς δίνονται τοπικά από την *A* → *A*/*I*, όπου *I* είναι το ιδεώδες (τμήμα της ιδεατής σφαίρας) που αντιστοιχεί στο κλειστό υποσχήμα.
* Οι πεπερασμένοι μορφισμοί είναι κλειστοί, άρα (λόγω της σταθερότητάς τους σε αλλαγή βάσης) κατάλληλοι. Αυτό προκύπτει από το θεώρημα των Κοέν-Σέιντενμπεργκ στην αντιμεταθετική άλγεβρα.
* Οι πεπερασμένοι μορφισμοί έχουν πεπερασμένες ίνες (δηλαδή είναι σχεδόν πεπερασμένοι). Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι για ένα σώμα *k* κάθε πεπερασμένη *k*-άλγεβρα είναι ένας δακτύλιος Αρτινιάν. Μια συναφής δήλωση είναι ότι για έναν πεπερασμένο υπερθετικό μορφισμό *f*: *X* → *Y*, οι *X* και *Y* έχουν την ίδια διάσταση.
* Κατά τον Ντελίν, ένας μορφισμός σχημάτων είναι πεπερασμένος αν και μόνο αν είναι κατάλληλος και οιονεί πεπερασμένος. Αυτό είχε αποδειχθεί από τον Γκροτέντικ αν ο μορφισμός *f*: *X* → *Y' είναι τοπικά πεπερασμένης παρουσίασης, πράγμα που προκύπτει από τις άλλες υποθέσεις αν το *Y* είναι [[Έμι Νέτερ#Δημιουργική εργασία στην αφηρημένη άλγεβρα|Ναιτεριανό]].*
* Οι πεπερασμένοι μορφισμοί είναι τόσο προβολικοί όσο και αφινικοί.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Αβελιανή ομάδα

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1966). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 28: 5–255. doi:10.1007/bf02684343. MR 0217086. 
*Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 32: 5–361. doi:10.1007/bf02732123. MR 0238860. 
*Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 
*Shafarevich, Igor R. (2013). Basic Algebraic Geometry 1. Springer Science. doi:10.1007/978-3-642-37956-7. ISBN 978-0-387-97716-4.
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Μορφισμοί
Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα