Πραγματική αλγεβρική γεωμετρία

Στα μαθηματικά, η **πραγματική αλγεβρική γεωμετρία** είναι ο υποκλάδος της αλγεβρικής γεωμετρίας που μελετά τα πραγματικά αλγεβρικά σύνολα, δηλαδή τις λύσεις σε πραγματικούς αριθμούς αλγεβρικών εξισώσεων με συντελεστές σε πραγματικούς αριθμούς, και τις αντιστοιχίες μεταξύ αυτών των συνόλων (ιδίως τις αντιστοιχίες πραγματικών πολυωνύμων).

Η ημι-αλγεβρική γεωμετρία είναι η μελέτη των ημι-αλγεβρικών συνόλων, δηλαδή των λύσεων σε πραγματικούς αριθμούς αλγεβρικών ανισοτήτων με συντελεστές σε πραγματικούς αριθμούς, και των αντιστοιχιών μεταξύ αυτών των συνόλων. Οι πιο φυσικές απεικονίσεις μεταξύ ημι-αλγεβρικών συνόλων είναι οι ημι-αλγεβρικές απεικονίσεις, δηλαδή απεικονίσεις των οποίων τα γραφήματα είναι ημι-αλγεβρικά σύνολα.

## Ορολογία
Σήμερα, οι λέξεις "ημι-αλγεβρική γεωμετρία" και "πραγματική αλγεβρική γεωμετρία" χρησιμοποιούνται συνώνυμα, επειδή τα πραγματικά αλγεβρικά σύνολα δεν μπορούν να μελετηθούν σοβαρά δίχως τη χρήση των ημι-αλγεβρικών συνόλων. Παραδείγματος χάριν, η προβολή ενός πραγματικού αλγεβρικού συνόλου κατά μήκος ενός άξονα συντεταγμένων δεν είναι απαραίτητα ένα πραγματικό αλγεβρικό σύνολο, αλλά είναι πάντοτε ένα ημι-αλγεβρικό σύνολο: αυτό είναι το θεώρημα των Τάρσκι-Σέιντενμπεργκ. Συναφή πεδία είναι η θεωρία των ο-ελάχιστων και η πραγματική αναλυτική γεωμετρία.

Παραδείγματα: Οι πραγματικές επίπεδες καμπύλες αποτελούν παραδείγματα πραγματικών αλγεβρικών συνόλων και τα πολύεδρα αποτελούν παραδείγματα ημι-αλγεβρικών συνόλων. Οι πραγματικές αλγεβρικές συναρτήσεις και οι συναρτήσεις Νας είναι παραδείγματα ημιαλγεβρικών απεικονίσεων. Οι τμηματικά πολυωνυμικές απεικονίσεις (βλέπε την εικασία Πιρς-Μπίρκοφ) είναι επίσης ημι-αλγεβρικές απεικονίσεις.

Η **υπολογιστική πραγματική αλγεβρική γεωμετρία** ασχολείται με τις αλγοριθμικές πτυχές της πραγματικής αλγεβρικής (και ημιαλγεβρικής) γεωμετρίας. Ο κύριος αλγόριθμος είναι η κυλινδρική αλγεβρική αποσύνθεση. Χρησιμοποιείται για την κοπή ημιαλγεβρικών συνόλων σε ωραία κομμάτια και για τον υπολογισμό των προβολών τους.

Η **πραγματική άλγεβρα** είναι το μέρος της άλγεβρας που είναι σχετικό με την πραγματική αλγεβρική (και ημι-αλγεβρική) γεωμετρία. Ασχολείται κυρίως με τη μελέτη διατεταγμένων πεδίων και διατεταγμένων δακτυλίων (ιδίως πραγματικών κλειστών πεδίων) και τις εφαρμογές τους στη μελέτη θετικών πολυωνύμων και αθροισμάτων τετραγώνων πολυωνύμων. (Βλέπε το 17ο πρόβλημα του Χίλμπερτ και το Positivestellensatz του Κριβίν.) Η σχέση της πραγματικής άλγεβρας με την πραγματική αλγεβρική γεωμετρία είναι παρόμοια με τη σχέση της αντιμεταθετικής άλγεβρας με την μιγαδική αλγεβρική γεωμετρία. Συναφή πεδία είναι η θεωρία των προβλημάτων στιγμής, η κυρτή βελτιστοποίηση, η θεωρία των τετραγωνικών μορφών, η θεωρία αποτίμησης και η θεωρία μοντέλων.

## Χρονοδιάγραμμα της πραγματικής άλγεβρας και της πραγματικής αλγεβρικής γεωμετρίας
*1826 Αλγόριθμος του Φουριέ για συστήματα γραμμικών ανισοτήτων Ανακαλύφθηκε εκ νέου από τον Λόιντ Ντάινς το 1919 και τον Θεόδωρο Μότζκιν το 1936.
*1835 Θεώρημα του Στουρμ για την καταμέτρηση πραγματικών ριζών
*1856 Θεώρημα του Ερμίτ για την καταμέτρηση πραγματικών ριζών.
*1876 Θεώρημα καμπυλών του Χάρνακ (Αυτό το όριο για τον αριθμό των συνιστωσών επεκτάθηκε αργότερα σε όλους τους αριθμούς Μπέτι όλων των πραγματικών αλγεβρικών συνόλων και όλων των ημιαλγεβρικών συνόλων).
*1888 Το θεώρημα του Χίλμπερτ για τα τριμερή τεταρτημόρια.
*1900 Τα προβλήματα του Χίλμπερτ (ιδίως το 16ο και το 17ο πρόβλημα)
*1902 Λήμμα του Φάρκας  (Μπορεί να επαναδιατυπωθεί ως γραμμική θετική πρόταση.)
*1914 Ο Ανιμπάλ Κομεσάτι έδειξε ότι δεν είναι κάθε πραγματική αλγεβρική επιφάνεια διαιρετική με την **RP***2*.
*1916 Η εικασία του Φεγιέρ για τα μη αρνητικά τριγωνομετρικά πολυώνυμα (Λύθηκε από τον Φρίγκιες Ρης)).
*1927 Η λύση του 17ου προβλήματος του Χίλμπερτ από τον Εμίλ Άρτιν.
*1927 Θεώρημα Κρουλ-Μπέερ (σύνδεση μεταξύ ταξινομήσεων και αποτιμήσεων)
*1928 Θεώρημα του Πόλια για τα θετικά πολυώνυμα σε ένα απλό
*1929 Ο B.Λ. βαν ντερ Βέρντεν σκιαγραφεί μια απόδειξη ότι τα πραγματικά αλγεβρικά και ημιαλγεβρικά σύνολα είναι τριγωνοποιήσιμα, αλλά δεν αναπτύχθηκαν τα απαραίτητα εργαλεία για να γίνει το επιχείρημα αυστηρό.
*1931 Η απαλοιφή πραγματικών ποσοδεικτών του Άλφρεντ Τάρσκ Βελτιωμένη και διαδεδομένη από τον Αβραάμ Σέιντενμπεργκ το *1954(Και οι δύο χρησιμοποιούν το θεώρημα του Στουρμ).
*Το 1936 ο Χέρμπερτ Σέιφερτ απέδειξε ότι κάθε κλειστή ομαλή υποπολλαπλότητα του \R^n με τετριμμένη κανονική δέσμη, μπορεί να ισοτοπίζεται σε μια συνιστώσα ενός μη ιδιάζοντος πραγματικού αλγεβρικού υποσυνόλου του \R^n που είναι μια πλήρης τομή (από το συμπέρασμα αυτού του θεωρήματος δεν μπορεί να αφαιρεθεί η λέξη "συνιστώσα").
*1940 Θεώρημα αναπαράστασης του Μάρσαλ Στόουν για μερικώς διατεταγμένους δακτυλίους. Βελτιώθηκε από τον Ρίτσαρντ Κάντισον το 1951 και τον Ντόναλντ Ντιμπουά το 1967 (θεώρημα αναπαράστασης Κάντισον-Ντιμπουά). Περαιτέρω βελτίωση από τον Μιχάι Πουτινάρ το 1993 και τον Ιακόμπι το 2001 (θεώρημα αναπαράστασης Πουτινάρ-Τζακόμπι).
*1964 Τριγωνικά ημι-αναλυτικά σύνολα του Λογιάσεβιτς
*1964 Ο Χάισουκε Χιρονάκα απέδειξε το θεώρημα της επίλυσης της ιδιομορφίας
*1964 Η Χάσλερ Χουίτνεϋ απέδειξε ότι κάθε αναλυτική ποικιλία δέχεται μια διαστρωμάτωση που ικανοποιεί τις συνθήκες Γουίτνεϊ.
*1967 Ο Τεοντόρ Μότζκιν βρίσκει ένα θετικό πολυώνυμο που δεν είναι άθροισμα τετραγώνων πολυωνύμων.
*1972 Ο Βλαντίμιρ Ρόχλιν απέδειξε την εικασία του Γκούντκοφ.
*1972 Ο Βλαντίμιρ Ρόχλιν απέδειξε την εικασία του Γκούντκοφ.
*1973 Ο Αλμπέρτο Τογκνόλι απέδειξε ότι κάθε κλειστή ομαλή πολλαπλότητα είναι διαφορικό προς ένα μη-συνιστώμενο πραγματικό αλγεβρικό σύνολο.
*1975 Ο Τζορτζ Ε. Κόλινς ανακαλύπτει τον αλγόριθμο κυλινδρικής αλγεβρικής αποσύνθεσης, ο οποίος βελτιώνει την απαλοιφή πραγματικών ποσοδεικτών του Τάρσκι και επιτρέπει την εφαρμογή του σε υπολογιστή.
*1973 Ο Ζαν-Λουί Βερντιέ αποδεικνύει ότι κάθε υποαναλυτικό σύνολο δέχεται μια διαστρωμάτωση με τη συνθήκη (w).
*1979 Ο Μισέλ Κοστ και η Μαρί-Φρανσουάζ Ρουά ανακαλύπτουν το πραγματικό φάσμα ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου.
*Το 1980 ο Όλεγκ Βάιρο εισήγαγε την τεχνική "patch working" και τη χρησιμοποίησε για να ταξινομήσει πραγματικές αλγεβρικές καμπύλες χαμηλού βαθμού. Αργότερα ο Ίλια Ίτενμπεργκ και ο Βάιρο τη χρησιμοποίησαν για να παράγουν αντιπαραδείγματα στην εικασία του Ράγκσντεϊλ και ο Γκριγκόρι Μιχάλκιν την εφάρμοσε στην τροπική γεωμετρία για την καταμέτρηση καμπυλών.
*1980 Ο Σέλμαν Ακμπουλούτ και ο Χένρι Κ. Κινγκ έδωσαν έναν τοπολογικό χαρακτηρισμό των πραγματικών αλγεβρικών συνόλων με απομονωμένες ιδιομορφίες και χαρακτήρισαν τοπολογικά μη-σημαδιακά πραγματικά αλγεβρικά σύνολα (όχι απαραίτητα συμπαγή).
*1980 Οι Ακμπουλούτ και Κινγκ απέδειξαν ότι κάθε κόμβος στο S^n είναι ο σύνδεσμος ενός πραγματικού αλγεβρικού συνόλου με απομονωμένη ιδιομορφία στο\R^{n+1}
*1981 Οι Ακμπουλούτ και Κινγκ απέδειξαν ότι κάθε συμπαγής PL πολλαπλότητα είναι PL ομοιομορφική με ένα πραγματικό αλγεβρικό σύνολο.
*1983 Οι Ακμπουλούτ και Κινγκ εισήγαγαν τους "Πύργους Τοπολογικής Ανάλυσης" ως τοπολογικά μοντέλα πραγματικών αλγεβρικών συνόλων, από τα οποία προέκυψαν νέες τοπολογικές αναλλοίωτες των πραγματικών αλγεβρικών συνόλων, και χαρακτήρισαν τοπολογικά όλα τα τρισδιάστατα αλγεβρικά σύνολα. Αυτές οι αναλλοίωτες γενικεύτηκαν αργότερα από τους Μισέλ Κοστ και Κρζυστόφ Κουρντίκα καθώς και από τους Κλιντ ΜακΚρόρι και Άνταμ Παρουσινσκι.
*1984 Το θεώρημα του Λούντβιχ Μπρέκερ για την ελάχιστη παραγωγή βασικών ανοικτών ημιαλγεβρικών συνόλων (βελτιώθηκε και επεκτάθηκε σε βασικά κλειστά ημιαλγεβρικά σύνολα από τον Σέιντερερ).
*1984 Οι Μπενεντέτι και Ντέντο απέδειξαν ότι δεν είναι κάθε κλειστή ομαλή πολλαπλότητα διαφιομορφική προς ένα εντελώς αλγεβρικό μη-συγκεντρωτικό πραγματικό αλγεβρικό σύνολο (εντελώς αλγεβρικό σημαίνει ότι όλοι οι κύκλοι Z/2Z-ομολογίας της αντιπροσωπεύονται από πραγματικά αλγεβρικά υποσύνολα).
*1991 Οι Ακμπουλούτ και Κινγκ απέδειξαν ότι κάθε κλειστή ομαλή πολλαπλότητα είναι ομοιομορφική με ένα ολικά αλγεβρικό πραγματικό αλγεβρικό σύνολο.
*1991 Λύση του προβλήματος της πολυδιάστατης ροπής από τον Σμύντγκεν για συμπαγή ημιαλγεβρικά σύνολα και σχετική αυστηρή θετική πρόταση  Αλγεβρική απόδειξη που βρέθηκε από τον Βέρμαν Προϋποθέτει την εκδοχή του θεωρήματος του Άρτιν από τον Ρέζνικ με ομοιόμορφους παρονομαστές.
*1992 Οι Ακμπουλούτ  και Κινγκ απέδειξαν περιβαλλοντικές εκδοχές του θεωρήματος Νας-Τογκνόλι: Κάθε κλειστή ομαλή υποπολλαπλότητα του **R***n* είναι ισοτοπική με τα μη-σιγμοειδή σημεία (συνιστώσα) ενός πραγματικού αλγεβρικού υποσυνόλου του **R***n*, και επέκτειναν αυτό το αποτέλεσμα σε βυθισμένες υποπολλαπλότητες του **R***n*.
*1992 Οι Μπενεντέτι και Μαρίν απέδειξαν ότι κάθε συμπαγής κλειστή ομαλή 3-πολλαπλότητα **Μ**' μπορεί να προκύψει από την S^3 με μια ακολουθία ανατινάξεων και κατεβάσεων κατά μήκος ομαλών κέντρων, και ότι η **Μ**' είναι ομοιομορφική σε μια πιθανώς ιδιόμορφη affine πραγματική αλγεβρική ορθολογική τριπλότητα.
*1997 Οι Μπιέρστοουν και Μίλμαν απέδειξαν ένα κανονικό θεώρημα επίλυσης ιδιομορφιών.
*1997 Ο Μιχάλκιν απέδειξε ότι κάθε κλειστή ομαλή n-πολλαπλότητα μπορεί να προκύψει από την S^n με μια ακολουθία τοπολογικών ανατινάξεων και υποτινάξεων.
*1998 Ο Ιανός Κολλάρ (János Kollár) έδειξε ότι δεν είναι κάθε κλειστή 3-πολλαπλότητα μια προβολική πραγματική 3-πολλαπλότητα που είναι διμερής με την **RP**'*3*
*2000 Η αρχή local-global του Σέιντερερ και η σχετική μη αυστηρή επέκταση της θετικής πρότασης του Σμύντγκεν σε διαστάσεις ≤ 2.
*2000 Ο Ιανός Κολλάρ απέδειξε ότι κάθε κλειστή ομαλή 3-πολλαπλότητα είναι το πραγματικό μέρος μιας συμπαγούς μιγαδικής πολλαπλότητας η οποία μπορεί να προκύψει από την \mathbb{CP}^3  με μια ακολουθία πραγματικών ανατινάξεων και ανατινάξεων.
*2003 Ο Ουέλσινγκερ εισάγει ένα αναλλοίωτο για την καταμέτρηση πραγματικών ορθολογικών καμπυλών.
*Το 2005 οι Ακμπουλούτ και Κινγκ έδειξαν ότι δεν είναι κάθε μη συνημιτόνιο πραγματικό αλγεβρικό υποσύνολο του **RP***n* ομαλά ισοτοπικό με το πραγματικό μέρος ενός μη συνημιτόνιου μιγαδικού αλγεβρικού υποσυνόλου του **CP***n*

## Δημοσιεύσεις
*S. Akbulut and H.C. King, Topology of real algebraic sets, MSRI Pub, 25. Springer-Verlag, New York (1992) 
*Bochnak, Jacek; Coste, Michel; Roy, Marie-Françoise. *Real Algebraic Geometry.* Translated from the 1987 French original. Revised by the authors. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], 36. Springer-Verlag, Berlin, 1998. x+430 pp. 
*Basu, Saugata; Pollack, Richard; Roy, Marie-Françoise Algorithms in real algebraic geometry. Second edition. Algorithms and Computation in Mathematics, 10. Springer-Verlag, Berlin, 2006. x+662 pp. ; 3-540-33098-4
*Marshall, Murray Positive polynomials and sums of squares. Mathematical Surveys and Monographs, 146. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. xii+187 pp. ; 0-8218-4402-4

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*''The Role of Hilbert Problems in Real Algebraic Geometry'' (PostScript)
*''Real Algebraic and Analytic Geometry Preprint Server''

## Παραπομπές


 

Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Άλγεβρα
Κατηγορία:Μαθηματικά