Όμοια τρίγωνα

Στην γεωμετρία, δύο τρίγωνα λέγονται **όμοια** όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία και τις πλευρές που κείνται απέναντι από τις ίσες γωνίες ανάλογες.

Πιο συγκεκριμένα, δύο τρίγωνα \rm AB\Gamma και \rm A'B'\Gamma' είναι όμοια, αν \rm \hat{A} = \!\hat{\phantom{'}A'}, \rm \hat{B} = \!\hat{\phantom{'}B'} και \rm \hat{\Gamma} = \!\hat{\phantom{'}\Gamma'},  και 
:\rm \frac{AB}{A'B'} = \frac{B\Gamma}{B'\Gamma'} = \frac{A\Gamma}{A'\Gamma'} = \lambda,
όπου \lambda καλείται ο **λόγος ομοιότητάς** τους. Όταν \lambda = 1, λέμε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα. Συνήθως τα όμοια τρίγωνα συμβολίζονται ως \rm AB\Gamma \sim \rm A'B'\Gamma' ή \rm AB\Gamma \approx \rm A'B'\Gamma'.

**Ομόλογες πλευρές** λέγονται οι πλευρές οι οποίες βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες, **ομόλογα ύψη** λέγονται τα ύψη που άγονται σε ομόλογες πλευρές. **Ομόλογες διχοτόμοι** και **ομόλογες διάμεσοι** λέγονται οι διχοτόμοι και οι διάμεσοι οι οποίες άγονται από τις κορυφές των ίσων γωνιών.

Τα όμοια τρίγωνα χρησιμοποιούνται για την απόδειξη αρκετών μετρικών σχέσεων στην γεωμετρία. Για να αποδειχθεί ότι δύο τρίγωνα είναι όμοια, χρησιμοποιούνται τα λεγόμενα **κριτήρια ομοιότητας τριγώνων**.

Η ομοιότητα τριγώνων είναι ειδική περίπτωση της ομοιότητας πολυγώνων.

## Κριτήρια ομοιότητας τριγώνων

Στις παρακάτω αποδείξεις θα χρησιμοποιήσουμε την εξής βασική πρόταση, που είναι η 2η Πρόταση στο 6ο Βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη.

### 1<sup>o</sup> Κριτήριο ομοιότητας

### 2<sup>o</sup> Κριτήριο ομοιότητας

### 3<sup>o</sup> Κριτήριο ομοιότητας

## Κριτήρια ομοιότητας για ειδικά τρίγωνα
Για ειδικές περιπτώσεις τριγώνων, ισχύουν και τα εξής κριτήρια:
* Όλα τα ισόπλευρα τρίγωνα είναι όμοια.
* Δύο ισοσκελή τρίγωνα με τις γωνίες των κορυφών τους ίσες είναι όμοια.
*Δύο ισοσκελή τρίγωνα με τις γωνίες της βάσης τους ίσες είναι όμοια .
* Δύο ορθογώνια τρίγωνα με μία οξεία γωνία ίση είναι όμοια.
* Δύο ορθογώνια τρίγωνα με δύο πλευρές τους ανάλογες μία προς μία είναι όμοια.
* Δύο τρίγωνα που έχουν όλες τους τις πλευρές τους κάθετες ή παράλληλες και κατά τα τρία ζεύγη, είναι όμοια.

## Ιδιότητες
* Έστω δύο όμοια τρίγωνα \rm AB\Gamma \approx A'B'\Gamma' με λόγο ομοιότητας \lambda. Επίσης έστω \rm M σημείο της \rm AB και σημείο \rm M' της \rm A'B' τέτοια ώστε
::\rm \frac{AM}{BM} = \frac{A'M'}{B'M'}.
:Τότε, ισχύει ότι 
::\rm \frac{AM}{A'M'} = \frac{BM}{B'M'} = \frac{\Gamma M}{\Gamma'M'} = \lambda.

* Από την προηγούμενη ιδιότητα προκύπτει σε δύο όμοια τρίγωνα \rm AB\Gamma \approx A'B'\Gamma' με λόγο ομοιότητας \lambda οι διάμεσοι \mu_\alpha, \mu_\beta, \mu_\gamma, ικανοποιούν
::\frac{\mu_\alpha}{\mu_{\alpha'}} = \frac{\mu_\beta}{\mu_{\beta'}} = \frac{\mu_\gamma}{\mu_{\gamma'}} = \lambda,
:τα ύψη \upsilon_\alpha, \upsilon_\beta, \upsilon_\gamma ικανοποιούν 
::\frac{\upsilon_\alpha}{\upsilon_{\alpha'}} = \frac{\upsilon_\beta}{\upsilon_{\beta'}} = \frac{\upsilon_\gamma}{\upsilon_{\gamma'}}= \lambda,
:και οι διχοτόμοι \delta_\alpha, \delta_\beta, \delta_\gamma ικανοποιούν
::\frac{\delta_\alpha}{\delta_{\alpha'}} = \frac{\delta_\beta}{\delta_{\beta'}} = \frac{\delta_\gamma}{\delta_{\gamma'}} = \lambda.
* Ο λόγος των περιμέτρων δύο ομοίων τριγώνων ισούται με τον λόγο ομοιότητάς τους.
{\Pi_{A'B'\Gamma'}},

}}
* Ο λόγος των εμβαδών δύο ομοίων τριγώνων ισούται με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητάς τους.
 = \frac{AB \cdot A\Gamma}{A'B' \cdot A'\Gamma'} = \lambda \cdot \lambda = \lambda^2.}}
}}
{E_{A'B'\Gamma'}} =\lambda^2.

Φέρνουμε τα ομόλογα ύψη \rm A\Delta και \rm A'\Delta' για τα οποία σύμφωνα με την προηγούμενη ιδιότητα,ισχύει \rm \frac{A\Delta}{A'\Delta'} = \lambda. 

Τότε είναι,
:\rm E_{AB\Gamma} = \frac{1}{2} B\Gamma \cdot A\Delta.
:\rm E_{A'B'\Gamma'} = \frac{1}{2} B'\Gamma' \cdot A'\Delta'.

Διαιρώντας τους δύο τύπους κατα μέλη, έχουμε ότι 
{E_{A'B'\Gamma'}} = \frac{B\Gamma \cdot A\Delta}{B'\Gamma' \cdot A'\Delta'} = \lambda \cdot \lambda = \lambda^2.}}
}}
## Ψευδοόμοια τρίγωνα

Αν μεταξύ των στοιχείων δύο τριγώνων \rm AB\Gamma και \rm A'B'\Gamma' ισχύει μία αποτις παρακάτω προτάσεις τότε αυτά λέγονται **ψευδοόμοια**.

Ομοίως αποδεικνύονται και οι παρακάτω προτάσεις.

## Ως σχέση ισοδυναμίας
Η σχέση ομοιότητας τριγώνων \approx είναι σχέση ισοδυναμίας:
* Ένα τρίγωνο είναι όμοιο με τον εαυτό του, \rm AB\Gamma \approx AB\Gamma (ανακλαστική ιδιότητα).
* Αν \rm AB\Gamma \approx A'B'\Gamma' τότε και \rm A'B'\Gamma' \approx AB\Gamma (συμμετρική ιδιότητα).
* Αν \rm AB\Gamma \approx A'B'\Gamma' και \rm A'B'\Gamma' \approx A*B*\Gamma*</math>, τότε <math>\rm AB\Gamma \approx A*B*\Gamma* (μεταβατική ιδιότητα).

## Εφαρμογές
Τα όμοια τρίγωνα χρησιμοποιούνται για την απόδειξη αρκετών μετρικών σχέσεων στην γεωμετρία. Για παράδειγμα,
* στο Πυθαγόρειο θεώρημα,
* στο θεώρημα τέμνουσας και εφαπτόμενης, και στο θεώρημα τεμνουσών,
* στο θεώρημα του Πτολεμαίου
* στο θεώρημα του Όιλερ
* στο θεώρημα πεταλούδας

## Δείτε επίσης
* Όμοια πολύγωνα
* Ίσα τρίγωνα

## Παραπομπές


Κατηγορία:τρίγωνα