Τέλειο σώμα

Στην άλγεβρα, ένα σώμα **k** είναι **τέλειο** αν ισχύει οποιαδήποτε από τις ακόλουθες ισοδύναμες συνθήκες: 
* Κάθε ανάγωγο πολυώνυμο πάνω από το *k* δεν έχει πολλαπλές ρίζες σε οποιαδήποτε επέκταση του σώματος *F/k*.
* Κάθε ανάγωγο πολυώνυμο πάνω από το *k* έχει μη μηδενική τυπική παράγωγο.
* Κάθε ανάγωγο πολυώνυμο πάνω από το *k* είναι διαχωρίσιμο.
* Κάθε πεπερασμένη επέκταση του *k* είναι διαχωρίσιμη.
* Κάθε αλγεβρική επέκταση του *k* είναι διαχωρίσιμη.
* Είτε το *k* έχει χαρακτηριστική 0, είτε, όταν το *k* έχει χαρακτηριστική  κάθε στοιχείο του *k* είναι η pth δύναμη.
* Είτε το *k* έχει χαρακτηριστική 0, είτε, όταν το *k* έχει χαρακτηριστική  ο ενδομορφισμός Φρομπένιους *x* ↦ *x<sup>p</sup>* είναι αυτομορφισμός του *k*.
* Η διαχωρίσιμη κλειστότητα του *k* είναι αλγεβρικά κλειστή.
* Κάθε ανηγμένη αντιμεταθετική *k*-άλγεβρα *A* είναι διαχωρίσιμη άλγεβρα, δηλαδή A \otimes_k F  είναι ανηγμένη για κάθε επέκταση του σώματος *F*/*k*. (βλ. παρακάτω)
Διαφορετικά, η *k* ονομάζεται ατελής.

Ειδικότερα, όλα τα σώματα χαρακτηριστικού μηδέν και όλα τα πεπερασμένα σώματα είναι τέλεια.

Τα τέλεια σώματα είναι σημαντικά επειδή η Θεωρία Γκαλουά πάνω σε αυτά τα σώματα γίνεται απλούστερη, αφού η γενική υπόθεση Γκαλουά ότι οι επεκτάσεις των σωμάτων είναι διαχωρίσιμες ικανοποιείται αυτόματα πάνω σε αυτά τα σώματα (βλέπε τρίτη συνθήκη παραπάνω).

Μια άλλη σημαντική ιδιότητα των τέλειων σωμάτων είναι ότι δέχονται διανύσματα Γουίτ.

Γενικότερα, ένας δακτύλιος χαρακτηριστικής *p* (*p* ένας πρώτος) ονομάζεται τέλειος αν ο ενδομορφισμός Φρομπένιους είναι αυτομορφισμός   (Όταν περιορίζεται σε ολοκληρωτικά σώματα, αυτό είναι ισοδύναμο με την παραπάνω συνθήκη «κάθε στοιχείο του *k* είναι η *p*th  δύναμη»).

## Παραδείγματα

Παραδείγματα τέλειων σωμάτων είναι: 
* κάθε σώμα χαρακτηριστικού μηδέν, οπότε \mathbb{Q} και κάθε πεπερασμένη επέκταση, και \mathbb{C} 
* κάθε πεπερασμένο σώμα \mathbb{F}_q, 
* κάθε αλγεβρικά κλειστό σώμα,
* η ένωση ενός συνόλου τέλειων σωμάτων πλήρως διατεταγμένων κατά επέκταση,
* αλγεβρικά σώματα πάνω σε ένα τέλειο σώμα.

Τα περισσότερα σώματα που συναντάμε στην πράξη είναι τέλεια. Η ατελής περίπτωση εμφανίζεται κυρίως στην αλγεβρική γεωμετρία σε χαρακτηριστική . Κάθε ατελές σώμα είναι αναγκαστικά υπερβατικό πάνω στο πρώτο υποσώμα του (το ελάχιστο υποσώμα), επειδή το τελευταίο είναι τέλειο.

Ένα παράδειγμα ατελούς σώματος είναι το σώμα \mathbf{F}_p(x) των ρητών πολυωνύμων σε ένα άγνωστο στοιχείο x. Αυτό μπορεί να φανεί από το γεγονός ότι ο ενδομορφισμός Φρομπένιους στέλνει το x \mapsto x^p και επομένως δεν είναι επιρριπτικός. Ισοδύναμα, μπορεί κανείς να δείξει ότι το πολυώνυμο f(X)=X^p-x, το οποίο είναι στοιχείο του (\mathbf{F}_p(x))[X] , είναι μη αναγώγιμο αλλά αδιαίρετο.

Αυτό το σώμα ενσωματώνεται στο **τέλειο σώμα**
:\mathbf{F}_q(x,x^{1/p},x^{1/p^2},\ldots)

ονομάζεται *τελειότητα*. Τα ατελή σώματα προκαλούν τεχνικές δυσκολίες επειδή τα ανάγωγα πολυώνυμα μπορούν να γίνουν αναγώγιμα στην αλγεβρική κλειστότητα του σώματος βάσης. Επί παραδείγματι  ας θεωρήσουμε f(x,y) = x^p + ay^p \in k[x,y] για k ένα ατελές σώμα χαρακτηριστικού p και *a* όχι *p*-η δύναμη στο *k*. Τότε στην αλγεβρική κλειστότητά του k^{\operatorname{alg}}[x,y], ισχύει η ακόλουθη ισότητα:

:
f(x,y) = (x + b y)^p ,


όπου *b <sup>p</sup>* = *a* και ένα τέτοιο *b* υπάρχει σε αυτό την αλγεβρική κλειστότητα. Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι η f δεν ορίζει μια αφινική επίπεδη καμπύλη στο k[x,y].

## Επέκταση σώματος σε τέλειο σώμα

Κάθε πεπερασμένα παραγόμενη επέκταση σώματος *K* πάνω σε ένα **τέλειο σώμα** k είναι διαχωρίσιμα παραγόμενη, δηλαδή δέχεται μια διαχωριστική βάση υπερβατικότητας, δηλαδή μια βάση υπερβατικότητας Γ τέτοια ώστε το *K* να είναι διαχωρίσιμα αλγεβρικό πάνω στο  *k*(Γ).

## Τέλεια κλειστότητα και τελειότητα

Μία από τις ισοδύναμες συνθήκες αναφέρει ότι, σε χαρακτηριστική *p*, ένα σώμα που συνδέεται με όλες τις *p**r*-ες ρίζες () είναι τέλειο- ονομάζεται ** τέλεια κλειστότητα** του *k* και συνήθως συμβολίζεται με k^{p^{-\infty}}.

Η τέλεια κλειστότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε ένα τεστ διαχωρισιμότητας. Πιο συγκεκριμένα, μια αντιμεταθετική *k*-άλγεβρα *A* είναι διαχωρίσιμη αν και μόνο αν A \otimes_k k^{p^{-\infty}} είναι μειωμένη.

Από την άποψη των καθολικών ιδιοτήτων, η **τέλεια κλειστότητα** ενός δακτυλίου *A* χαρακτηριστικού *p* είναι ένας τέλειος δακτύλιος *A<sub>p</sub>* χαρακτηριστικού *p*  μαζί με έναν ομομορφισμό δακτυλίου  έτσι ώστε για κάθε άλλο τέλειο δακτύλιο *B* χαρακτηριστικού *p* με έναν ομομορφισμό  να υπάρχει ένας μοναδικός ομομορφισμός  έτσι ώστε ο *v* να αποτελεί παράγοντα μέσω του *u* (i.e. ). Η τέλεια κλειστότητα υπάρχει πάντα- η απόδειξη περιλαμβάνει την «πρόσθεση *p*-th ριζών στοιχείων του *A*", παρόμοια με την περίπτωση των σωμάτων.

Η **τελειότητα** ενός δακτυλίου *A* χαρακτηριστικού *p* είναι η διπλή έννοια (αν και αυτός ο όρος χρησιμοποιείται μερικές φορές για την τέλεια κλειστότητα). Με άλλα λόγια, η τελειότητα *R*(*A*) του *A* είναι ένας τέλειος δακτύλιος χαρακτηριστικού *p* μαζί μια μοναδική απεικόνιση   έτσι ώστε για κάθε τέλειο δακτύλιο *B* χαρακτηριστικής *p* εξοπλισμένο με μια απεικόνιση , υπάρχει μια μοναδική απεικόνιση  τέτοια ώστε η *φ* να είναι συντελεστής μέσω της *θ* (δηλ. δηλ. ). Η τελειότητα του *Α* μπορεί να κατασκευαστεί ως εξής. Ας θεωρήσουμε το προβολικό σύστημα 

:\cdots\rightarrow A\rightarrow A\rightarrow A\rightarrow\cdots

όπου οι μεταβατικές απεικονίσεις είναι ο ενδομορφισμός Φρομπένιους. Το αντίστροφο όριο αυτού του συστήματος είναι το *R*(*A*) και αποτελείται από ακολουθίες (*x*0, *x*1, ... ) στοιχείων του *A* τέτοιες ώστε x_{i+1}^p=x_i για όλα τα *i*. Η απεικόνιση  στέλνει το (*x<sub>i</sub>*) στο *x*0.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Σώμα διασπάσεως
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νοεροί υπολογισμοί

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
*
*
*Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001
*
*

* Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
*
*
*
*
*
*
*
*.   **English translation** (of 2nd revised edition):  *(Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)*
*

## Πηγές
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα