Εσωτερική διχοτόμος τριγώνου

right|thumb|200px|Εσωτερική διχοτόμος <math>\mathrm{A\Delta}</math> της κορυφής <math>\mathrm{A}</math> στο τρίγωνο <math>\mathrm{AB\Gamma}</math>.
Στη γεωμετρία, διχοτόμος γωνίας ενός τριγώνου ή **εσωτερική διχοτόμος** λέγεται το τμήμα της διχοτόμου της γωνίας, που περιέχεται μεταξύ της κορυφής της γωνίας και της πλευράς του τριγώνου.

Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο \mathrm{AB\Gamma} η εσωτερική διχοτόμος της γωνίας \widehat{ \mathrm{BA\Gamma}} είναι το ευθύγραμμο τμήμα \mathrm{A\Delta} που διχοτομεί την \widehat{\mathrm{BA\Gamma}} και \mathrm{\Delta} είναι σημείο της \mathrm{B\Gamma}. Αντίστοιχα ορίζονται οι διχοτόμοι των γωνιών \hat{\mathrm{B}} και \hat{\mathrm{\Gamma}} του τριγώνου. Οι διχοτόμοι συνήθως συμβολίζονται με \delta_{\rm A}, \delta_{\rm B}, \delta_{\rm \Gamma} ή \delta_\alpha, \delta_\beta, \delta_\gamma ή \delta_1, \delta_2, \delta_3 αντίστοιχα.

## Θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου
Το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου λέει ότι σε ένα τρίγωνο \mathrm{AB\Gamma} η διχοτόμος \mathrm{A\Delta} ενός τριγώνου χωρίζει την απέναντι πλευρά \mathrm{B\Gamma} σε δύο τμήματα με λόγο ανάλογο των δύο άλλων πλευρών, δηλαδή,
:\frac{\mathrm{B\Delta}}{\mathrm{\Gamma\Delta}} = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A\Gamma}}. 


## Έγκεντρο τριγώνου

Οι εσωτερικές διχοτόμοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό ονομάζεται **έγκεντρο** του τριγώνου και είναι το κέντρο του **εγγεγραμμένου κύκλου**.

## Μήκος εσωτερικής διχοτόμου
* Τα μήκη \rm \delta_A, \rm \delta_B, \rm \delta_\Gamma, των εσωτερικών διχοτόμων ενός τριγώνου, συναρτήσει των πλευρών του, δίνονται από τους τύπους:
::\delta_{\rm A} = \sqrt{\beta \gamma \cdot \left( 1 - \frac{\alpha^2}{(\beta + \gamma)^2} \right)}, \quad \delta_{\rm B} = \sqrt{\gamma \alpha \cdot \left( 1 - \frac{\beta^2}{(\gamma + \alpha)^2} \right)\quad} και \quad \delta_{\rm \Gamma} = \sqrt{ \alpha \beta \cdot \left( 1 - \frac{\gamma^2}{(\alpha + \beta)^2} \right)
}.

**Σημείωση**. Οι παραπάνω τύποι αποδεικνύονται και με τη χρήση του  θεωρήματος Στιούαρτ .
* Οι παραπάνω τύποι μπορούν να γραφτούν συναρτήσει της ημιπεριμέτρου ως 
::\rm  {\rm \delta_A}= \rm \frac{2 }{\beta +\gamma}\cdot \sqrt {\beta \gamma\cdot \tau\cdot(\tau-\alpha)}, \rm  {\rm \delta_B}= \rm \frac{2 }{\gamma + \alpha}\cdot \sqrt {\gamma\alpha\cdot \tau\cdot(\tau-\beta)}, \rm  {\rm \delta_\Gamma}= \rm \frac{2 }{\alpha+\beta}\cdot \sqrt {\alpha\beta \cdot \tau\cdot(\tau-\gamma)}.

Άλλες τριγωνομετρικές μορφές για το μήκος των διχοτόμων είναι οι εξής:
:\delta_{\rm A} = \frac{2\beta\gamma}{\beta + \gamma} \cdot \cos \frac{2}, \quad \delta_{\rm B} = \frac{2\gamma\alpha}{\gamma + \alpha} \cdot \cos \frac{2} \quad  και \quad \delta_{\rm \Gamma} = \frac{2\alpha\beta}{\alpha + \beta} \cdot \cos \frac{2},
και επίσης
:\delta_{\rm A} = \frac{\alpha \cdot \sin {\rm B} \cdot \sin {\rm \Gamma}}{\sin {\rm A} \cdot \cos \frac{2}}, \quad \delta_{\rm B} = \frac{\beta \cdot \sin {\rm \Gamma} \cdot \sin {\rm A}}{\sin {\rm B} \cdot \cos \frac{2}} \quad  και \quad \delta_{\rm \Gamma} = \frac{\gamma \cdot \sin {\rm A} \cdot \sin {\rm B}}{\sin {\rm \Gamma} \cdot \cos \frac{2}}.

## Ανισοτική σχέση
**Θεώρημα:** Σε κάθε τρίγωνο \mathrm{AB\Gamma} με \mathrm{AB} > \mathrm{A\Gamma} ισχύει ότι \delta_{\rm \Gamma} , και αντίστροφα.

## Δείτε επίσης
* Διχοτόμος γωνίας
* Εξωτερική διχοτόμος τριγώνου

## Παραπομπές


Κατηγορία:Τρίγωνα
Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία
Κατηγορία:Σεβιανές