Τελεστής Ντ' Αλαμπέρ

Στην ειδική σχετικότητα, στον ηλεκτρομαγνητισμό και στην κυματική θεωρία, ο **τελεστής Ντ' Αλαμπέρ** (συμβολίζεται με ένα κουτί: \Box), που ονομάζεται επίσης **τελεστής Ντ' Αλαμπέρ**, **κυματικός τελεστής**, **τελεστής κουτιού** ή μερικές φορές **τελεστής quabla** (βλ. σύμβολο Ανάδελτα) είναι ο τελεστής Λαπλάς του χώρου Μινκόβσκι. Ο τελεστής πήρε το όνομά του από τον Γάλλο μαθηματικό και φυσικό Ζαν λε Ρον Ντ' Αλεμπέρ.

Στο χώρο Μινκόφσκι, σε τυπικές συντεταγμένες  , έχει τη μορφή

: 
\begin{align}
\Box & = \partial^\mu \partial_\mu = \eta^{\mu\nu} \partial_\nu \partial_\mu = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2} \\
& = \frac{1}{c^2} {\partial^2 \over \partial t^2} - \nabla^2 = \frac{1}{c^2}{\partial^2 \over \partial t^2} - \Delta ~~.
\end{align}


Εδώ  \nabla^2 := \Delta  είναι ο τρισδιάστατος τελεστής Λαπλάς και   είναι η αντίστροφη μετρική Μινκόβσκι με

:\eta_{00} = 1, \eta_{11} = \eta_{22} = \eta_{33} = -1, \eta_{\mu\nu} = 0 for \mu \neq \nu.

Ας σημειωθεί ότι οι δείκτες άθροισης  και  κυμαίνονται από 0 έως 3: Βλ. συμβολισμός Αϊνστάιν.

(Ορισμένοι συγγραφείς χρησιμοποιούν εναλλακτικά την αρνητική μετρική υπογραφή , με \eta_{00} = -1,\; \eta_{11} = \eta_{22} = \eta_{33} = 1.)

Οι μετασχηματισμοί Λορέντζ αφήνουν αναλλοίωτη τη μετρική Μινκόβσκι, οπότε ο Ντ' Αλαμπέρ δίνει ένα βαθμωτό Λόρεντζ. Οι παραπάνω εκφράσεις των συντεταγμένων παραμένουν έγκυρες για τις τυπικές συντεταγμένες σε κάθε αδρανειακό σύστημα.

## Το σύμβολο του κουτιού και εναλλακτικές σημειώσεις

Υπάρχουν διάφορες σημειώσεις για το Ντ' Αλαμπέρ. Οι πιο συνηθισμένες είναι το σύμβολο «“κουτί»” \Box (Unicode: U+2610) του οποίου οι τέσσερις πλευρές αντιπροσωπεύουν τις τέσσερις διαστάσεις του χωροχρόνου και το σύμβολο τετράγωνο κουτί «“box-squared»” \Box^2 το οποίο τονίζει την βαθμωτή ιδιότητα μέσω του τετραγωνικού όρου (όπως και ο τελεστής Λαπλάς). Σύμφωνα με τον τριγωνικό συμβολισμό τoυ Λαπλάς, μερικές φορές χρησιμοποιείται το \Delta_M.

Ένας άλλος τρόπος για να γράψουμε το Ντ' Αλαμπέρ σε επίπεδες τυπικές συντεταγμένες είναι \partial^2. Αυτός ο συμβολισμός χρησιμοποιείται εκτενώς στην κβαντική θεωρία πεδίου, όπου οι μερικές παράγωγοι συνήθως δεικτοδοτούνται, οπότε η έλλειψη δείκτη με την τετραγωνική μερική παράγωγο σηματοδοτεί την παρουσία του Ντ' Αλαμπέρ.

Μερικές φορές το σύμβολο του κουτιού χρησιμοποιείται για να αναπαραστήσει την τετραδιάστατη συναλλοίωτη παράγωγο Λεβί-Κιβίτα. Το σύμβολο \nabla χρησιμοποιείται στη συνέχεια για να αναπαραστήσει τις χωρικές παραγώγους, αλλά αυτό εξαρτάται από το διάγραμμα συντεταγμένων.

## Εφαρμογές
Η κυματική εξίσωση για μικρές δονήσεις είναι της μορφής

: \Box_{c} u\left(x,t\right) \equiv u_{tt} - c^2u_{xx} = 0~,

όπου  είναι η μετατόπιση.

Η κυματική εξίσωση για το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο στο κενό είναι

: \Box A^{\mu} = 0 

όπου   είναι το ηλεκτρομαγνητικό τετραδυναμικό στο μέτρο Λόρεντζ.

Η εξίσωση Κλάιν-Γκόρντον έχει τη μορφή

:\left(\Box + \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right) \psi = 0~.

## Συνάρτηση του Γκριν
Η συνάρτηση του Γκριν, G\left(\tilde{x} - \tilde{x}'\right), για το Ντ' Αλαμπέρ ορίζεται από την εξίσωση

: \Box G\left(\tilde{x} - \tilde{x}'\right) = \delta\left(\tilde{x} - \tilde{x}'\right)

όπου \delta\left(\tilde{x} - \tilde{x}'\right) είναι η πολυδιάστατη συνάρτηση δέλτα Ντιράκ και \tilde{x} και  \tilde{x}' είναι δύο σημεία στο χώρο Μινκόβσκι.

Μια ειδική λύση δίνεται από την καθυστερημένη συνάρτηση του Γκριν, η οποία αντιστοιχεί στη διάδοση του σήματος μόνο προς τα εμπρός στο χρόνο

:G\left(\vec{r}, t\right) = \frac{1}{4\pi r} \Theta(t) \delta\left(t - \frac{r}{c}\right)

όπου\Theta είναι η Μοναδιαία βηματική συνάρτηση.

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Διδιάστατος χώρος
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Υπερβολική γεωμετρία
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Διάσταση Κρουλ
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
*
* 
* 
* 
*
*
*
* 
* 
* . Review: Séquin, Carlo H. (2009), *Journal of Mathematics and the Arts* 3: 229–230, 
* 
*Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:Θεωρήματα στην ανάλυση
Κατηγορία:Μαθηματική ανάλυση
Κατηγορία:Επιφάνειες
Κατηγορία:Διαφορική τοπολογία
Κατηγορία:Διανύσματα
Κατηγορία:Διανυσματικός λογισμός
Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις