Θεώρημα αναδιάταξης του Ρίμαν

Στα μαθηματικά, το **θεώρημα αναδιάταξης του Ρίμαν**, που πήρε το όνομά του από τον Γερμανό μαθηματικό Μπέρναρντ Ρίμαν τον 19ο αιώνα, λέει ότι αν μια άπειρη σειρά πραγματικών αριθμών είναι υπό συνθήκη συγκλίνουσα, τότε οι όροι της μπορούν να ταξινομηθούν σε μια μετάθεση ώστε η νέα σειρά να συγκλίνει σε οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό ή να αποκλίνει.

Για παράδειγμα, η σειρά

:  1-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\dots 

συγκλίνει στο 0 (για έναν αρκετά μεγάλο αριθμό όρων, το μερικό άθροισμα πλησιάζει αυθαίρετα κοντά στο 0). Αλλά αν αντικαταστήσουμε όλους τους όρους με τις απόλυτες τιμές τους έχουμε:

:  1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \dots 

το οποίο τείνει στο άπειρο. Έτσι, η αρχική σειρά είναι υπό συνθήκη συγκλίνουσα και μπορεί να αναδιαταχθεί (π.χ. παίρνοντας τους δύο πρώτους θετικούς όρους ακολουθούμενους από τον πρώτο αρνητικό όρο, μετά τους επόμενους δύο θετικούς όρους ακολουθούμενους από τον επόμενο αρνητικό όρο κ.λπ.) για να δώσει μια σειρά που συγκλίνει σε έναν διαφορετικό αριθμό, όπως π.χ.

:  1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\dots 

που ισούται με ln2. Γενικότερα, χρησιμοποιώντας αυτή τη διαδικασία με *p* θετικούς όρους ακολουθούμενους από *q* αρνητικούς όρους παίρνουμε την τιμή ln(*p*/*q*). Άλλες αναδιατάξεις δίνουν διαφορετικά πεπερασμένα αθροίσματα ή δεν συγκλίνουν σε κανέναν πραγματικό αριθμό.

## Ιστορία
Είναι προφανές ότι το άθροισμα πεπερασμένου πλήθους αριθμών δεν εξαρτάται από τη σειρά με την οποία τους προσθέτουμε. Για παράδειγμα, . Η παρατήρηση ότι το άθροισμα μιας *άπειρης* ακολουθίας αριθμών μπορεί να εξαρτάται από τη σειρά των προσθετέων αποδίδεται στον Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ το 1833. Ανέλυσε την εναλλασσόμενη αρμονική σειρά, δείχνοντας ότι ορισμένες αναδιατάξεις των προσθετέων της οδηγούν σε διαφορετικές τιμές. Περίπου την ίδια εποχή, ο Πέτερ Γκούσταφ Λεζέν Ντίριχλετ τόνισε ότι τέτοια φαινόμενα αποκλείονται στο πλαίσιο της απόλυτης σύγκλισης και έδωσε περαιτέρω παραδείγματα του φαινομένου του Κωσύ για κάποιες άλλες σειρές που δεν είναι απολύτως συγκλίνουσες.

Κατά τη διάρκεια της ανάλυσής του για τις σειρές Φουριέ και τη θεωρία ολοκλήρωσης, ο Ρίμαν έδωσε έναν πλήρη χαρακτηρισμό των φαινομένων αναδιάταξης. Απέδειξε ότι στην περίπτωση μιας συγκλίνουσας σειράς που δεν συγκλίνει απολύτως (γνωστή ως υπό συνθήκη σύγκλιση), μπορούν να βρεθούν αναδιατάξεις έτσι ώστε η νέα σειρά να συγκλίνει σε *οποιονδήποτε* πραγματικό αριθμό. Το θεώρημα του Ρίμαν θεωρείται πλέον ως βασικό μέρος του πεδίου της μαθηματικής ανάλυσης.

Για οποιαδήποτε σειρά, μπορούμε να εξετάσουμε το σύνολο όλων των πιθανών αθροισμάτων  που αντιστοιχούν σε όλες τις πιθανές αναδιατάξεις των προσθετέων. Το θεώρημα του Ρίμαν μπορεί να διατυπωθεί λέγοντας ότι, για μια σειρά πραγματικών αριθμών, αυτό το σύνολο είτε είναι κενό, είτε είναι ένα μόνο σημείο (στην περίπτωση της απόλυτης σύγκλισης), είτε είναι ολόκληρη η ευθεία των πραγματικών αριθμών (στην περίπτωση της σύγκλισης υπό συνθήκη). Σε αυτή τη διατύπωση, το θεώρημα του Ρίμαν επεκτάθηκε από τους Πολ Λέβι και Ερνστ Στάινιτς σε σειρές των οποίων τα αθροίσματα είναι μιγαδικοί αριθμοί ή, ακόμη πιο γενικά, σε στοιχεία πραγματικού διανυσματικού χώρου. Απέδειξαν ότι το σύνολο των πιθανών αθροισμάτων σχηματίζει έναν πραγματικό αφινικό υποχώρο. Επεκτάσεις του θεωρήματος Λέβι–Στάινιτς σε σειρές που βρίσκονται σε χώρους απείρων διαστάσεων έχουν εξεταστεί από αρκετούς συγγραφείς.

## Ορισμοί
Μια σειρά \sum_{n=1}^\infty a_n συγκλίνει αν υπάρχει τιμή \ell έτσι ώστε η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων

: (S_1, S_2, S_3, \ldots), \quad S_n = \sum_{k=1}^n a_k,

να συγκλίνει στην τιμή \ell. Δηλαδή, για κάθε *ε*>0, υπάρχει ένας ακέραιος *N* τέτοιος ώστε αν *n*≥*Ν*, να ισχύει:

: \left\vert S_n - \ell \right\vert \le \varepsilon.

Μια σειρά συγκλίνει υπό συνθήκη αν η σειρά \sum_{n=1}^\infty a_n συγκλίνει, αλλά η σειρά \sum_{n=1}^\infty \left\vert a_n \right\vert αποκλίνει.

Μια μετάθεση είναι απλώς μια αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση (δηλαδή μια συνάρτηση ένα προς ένα και επί) από το σύνολο των φυσικών αριθμών στον εαυτό της. Αυτό σημαίνει ότι εάν \sigma είναι μια μετάθεση, τότε για κάθε θετικό ακέραιο b, υπάρχει ακριβώς ένας θετικός ακέραιος αριθμός a τέτοιος ώστε \sigma (a) = b. Ειδικότερα, εάν x \ne y, τότε \sigma (x) \ne \sigma (y).

## Δήλωση του θεωρήματος
Ας υποθέσουμε ότι (a_1, a_2, a_3, \ldots) είναι μια ακολουθία πραγματικών αριθμών και ότι η σειρά  \sum_{n=1}^\infty a_n συγκλίνει υπό συνθήκη. Έστω M ένας πραγματικός αριθμός. Τότε, υπάρχει μια μετάθεση \sigma τέτοια ώστε

: \sum_{n=1}^\infty a_{\sigma (n)} = M.

Υπάρχει επίσης μια μετάθεση \sigma τέτοια ώστε

: \sum_{n=1}^\infty a_{\sigma (n)} = \infty.

Το άθροισμα μπορεί επίσης να αναδιαταχθεί με τέτοιο τρόπο ώστε να αποκλίνει στο -\infty ή να μην τείνει σε κανένα όριο, ούτε πεπερασμένο ούτε άπειρο.

## Εναλλασσόμενη αρμονική σειρά

### Αλλάζοντας το άθροισμα
Η εναλλασσόμενη αρμονική σειρά είναι ένα κλασικό παράδειγμα μιας υπό συνθήκης συγκλίνουσας σειράς: \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}Αντίθετα, η σειρά \sum_{n=1}^\infty \left| \frac{(-1)^{n+1}}{n} \right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}είναι η συνηθισμένη αρμονική σειρά, η οποία αποκλίνει. Αν και στην τυπική παρουσίαση η εναλλασσόμενη αρμονική σειρά συγκλίνει στο , οι όροι της μπορούν να αναδιαταχθούν με τέτοιο τρόπο ώστε να συγκλίνουν σε οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό ή ακόμα και να αποκλίνουν.

Ένα παράδειγμα είναι το εξής: Ξεκινάμε με τη σειρά όπου οι όροι της είναι στη συνηθισμένη σειρά

:
: \ln(2) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \frac{1}{9}\cdots
:

και τους αναδιατάσσουμε ως εξής:

: \begin{align}
& 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \frac{1}{5} - \frac{1}{10} - \frac{1}{12} + \cdots\\
=&{} \left( 1 - \frac{1}{2} \right) - \frac{1}{4} + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{6}\right) - \frac{1}{8} + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{10}\right) - \frac{1}{12} + \cdots
\end{align}
:

όπου το μοτίβο είναι: οι δύο πρώτοι όροι είναι 1 και −1/2, των οποίων το άθροισμα είναι 1/2. Ο επόμενος όρος είναι −1/4. Οι επόμενοι δύο όροι είναι 1/3 και −1/6, των οποίων το άθροισμα είναι 1/6. Ο επόμενος όρος είναι −1/8. Οι επόμενοι δύο όροι είναι 1/5 και −1/10, των οποίων το άθροισμα είναι 1/10. Γενικότερα, δεδομένου ότι κάθε περιττός ακέραιος εμφανίζεται μία φορά ως θετικός και κάθε άρτιος ακέραιος εμφανίζεται μία φορά ως αρνητικός (οι μισοί από αυτούς ως πολλαπλάσια του 4, οι άλλοι μισοί ως διπλάσιοι περιττοί ακέραιοι), το άθροισμα αποτελείται από τρεις αριθμούς στη σειρά που κάθε φορά μπορούν να απλοποιηθούν ως εξής:

: \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2(2k - 1)} \right)- \frac{1}{4k} = \left(\frac{1}{2(2k - 1)}\right)- \frac{1}{4k},\quad k = 1, 2, \dots.

Επομένως, η παραπάνω σειρά μπορεί να γραφτεί ως εξής:

: \begin{align}
&\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \frac{1}{10} + \cdots + \frac{1}{2(2k - 1)} - \frac{1}{2(2k)} + \cdots \\
={}& \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \cdots\right) = \frac{1}{2} \ln(2)
\end{align}
:

που είναι το μισό του αρχικού αθροίσματος. Αυτή η σειρά μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι μεγαλύτερη από το μηδέν με την απόδειξη του θεωρήματος του Λάιμπνιτς χρησιμοποιώντας ότι το δεύτερο μερικό άθροισμα είναι το μισό του αρχικού. Εναλλακτικά, η τιμή του \ln(2) στο οποίο συγκλίνει δεν μπορεί να είναι μηδέν. Ως εκ τούτου, η τιμή της ακολουθίας φαίνεται να εξαρτάται από τη σειρά με την οποία αναδιατάσσουμε τους όρους.

Είναι αλήθεια ότι η ακολουθία:

: \{b_n\}=1, -\frac{1}{2},-\frac{1}{4},\frac{1}{3}, -\frac{1}{6}, -\frac{1}{8},\frac{1}{5}, -\frac{1}{10}, -\frac{1}{12},\frac{1}{7}, -\frac{1}{14},-\frac{1}{16},\cdots

περιέχει όλα τα στοιχεία της ακολουθίας:

: \{a_n\}=1, -\frac{1}{2},\frac{1}{3}, -\frac{1}{4},\frac{1}{5}, -\frac{1}{6},\frac{1}{7}, -\frac{1}{8},\frac{1}{9}, -\frac{1}{10},\frac{1}{11}, -\frac{1}{12},\frac{1}{13}, -\frac{1}{14},\frac{1}{15},\cdots

Ωστόσο, δεδομένου ότι το άθροισμα ορίζεται ως \sum^{\infty}_{n=1}a_n:=\lim_{n\to \infty} \left(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\right) και \sum^{\infty}_{n=1}b_n:=\lim_{n\to \infty} \left(b_1 + b_2 + \cdots + b_n\right), η σειρά των όρων μπορεί να επηρεάσει το όριο.

### Παίρνοντας ένα αυθαίρετο άθροισμα
Ένας αποτελεσματικός τρόπος για να γενικεύσουμε το αποτέλεσμα της προηγούμενης ενότητας είναι να χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι:

: 1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + \cdots + {1 \over n} = \gamma + \ln n + o(1),

όπου το *γ* είναι η σταθερά Όιλερ-Μασκερόνι και ο συμβολισμός *o*(1) δηλώνει μια ποσότητα που εξαρτάται από την τρέχουσα μεταβλητή (εδώ, η μεταβλητή είναι το *n*) με τέτοιο τρόπο, ώστε αυτή η ποσότητα να τείνει στο 0 όσο η μεταβλητή τείνει στο άπειρο.

Από αυτό προκύπτει ότι το άθροισμα των πρώτων *q* άρτιων όρων ικανοποιεί:

: {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 6} + \cdots + {1 \over 2 q} = {1 \over 2} \, \gamma + {1 \over 2} \ln q + o(1),

και παίρνοντας τη διαφορά, βλέπoυμε ότι το άθροισμα των πρώτων *p* περιττών όρων ικανοποιεί:

: {1} + {1 \over 3} + {1 \over 5} + \cdots + {1 \over 2 p - 1} = {1 \over 2} \, \gamma + {1 \over 2} \ln p + \ln 2 + o(1).

Ας υποθέσουμε ότι δίνονται δύο θετικοί ακέραιοι αριθμοί *a* και *b* και ότι σχηματίζεται μια αναδιάταξη της εναλλασσόμενης αρμονικής σειράς παίρνοντας, κατά σειρά, *a* θετικούς όρους από την εναλλασσόμενη αρμονική σειρά, ακολουθούμενους από *b* αρνητικούς όρους και επαναλαμβάνουμε αυτό το μοτίβο μέχρι το άπειρο (η ίδια η εναλλασσόμενη σειρά αντιστοιχεί σε , ενώ το παράδειγμα στην προηγούμενη ενότητα αντιστοιχεί σε *a* = 1, *b* = 2):

: {1} + {1 \over 3} + \cdots + {1 \over 2 a - 1} - {1 \over 2} - {1 \over 4} - \cdots - {1 \over 2 b} + {1 \over 2 a + 1} + \cdots + {1 \over 4 a - 1} - {1 \over 2b + 2} - \cdots

Τότε, το μερικό άθροισμα τάξης (*a*+*b*)*n* αυτής της αναδιαταγμένης σειράς περιέχει  θετικούς περιττούς όρους και  αρνητικούς άρτιους όρους, επομένως:

: S_{(a+b)n} = {1 \over 2} \ln p + \ln 2 - {1 \over 2} \ln q + o(1) = {1 \over 2} \ln\left(\frac ab\right) + \ln 2 + o(1).

Από αυτό προκύπτει ότι το άθροισμα αυτής της αναδιαταγμένης σειράς είναι:

: {1 \over 2} \ln\left(\frac ab\right) + \ln 2 = \ln\left( 2 \sqrt{\frac ab} \right).

Ας υποθέσουμε τώρα ότι, γενικότερα, μια αναδιαταγμένη σειρά της εναλλασσόμενης αρμονικής σειράς γράφεται με τέτοιο τρόπο ώστε η αναλογία  μεταξύ του αριθμού των θετικών και αρνητικών όρων στο μερικό άθροισμα τάξης *n* να τείνει σε έναν θετικό αριθμό *r*. Τότε, το άθροισμα μιας τέτοιας αναδιάταξης θα είναι

: \ln\left( 2 \sqrt{r} \right)

και αυτό εξηγεί ότι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός *x* μπορεί να ληφθεί ως το άθροισμα μιας αναδιαταγμένης σειράς της εναλλασσόμενης αρμονικής σειράς: αρκεί να σχηματιστεί μια αναδιάταξη για την οποία το όριο *r* είναι ίσο με .

## Απόδειξη

### Ύπαρξη αναδιάταξης που έχει άθροισμα οποιονδήποτε θετικό πραγματικό αριθμό ''M''
Η περιγραφή του θεωρήματος από τον Ρίμαν και η απόδειξή του είναι ως εξής:

Αυτό μπορεί να δοθεί με περισσότερες λεπτομέρειες ως εξής: Θυμηθείτε ότι μια υπό συνθήκη συγκλίνουσα σειρά πραγματικών όρων έχει άπειρους αρνητικούς όρους και άπειρους θετικούς όρους. Πρώτα, ορίζουμε δύο ποσότητες, a_{n}^{+} και a_{n}^{-}, με:

: a_{n}^{+} = \begin{cases}a_n&\text{αν }a_n\geq 0\\ 0&\text{αν }a_n

Δηλαδή, η σειρά \sum_{n=1}^\infty a_n^{+} περιλαμβάνει όλα τα θετικά *a<sub>n</sub>*, με όλους τους αρνητικούς όρους να είναι μηδέν, και η σειρά \sum_{n=1}^\infty a_n^{-} περιλαμβάνει όλα τα αρνητικά *a<sub>n</sub>*, με όλους τους θετικούς όρους να είναι μηδέν. Αφού η σειρά \sum_{n=1}^\infty a_n είναι υπό συνθήκη συγκλίνουσα, τόσο η "θετική" όσο και η "αρνητική" σειρά αποκλίνουν. Έστω  ένας πραγματικός αριθμός. Παίρνουμε τόσους θετικούς όρους του a_{n}^{+} ώστε το άθροισμά τους να υπερβαίνει το . Δηλαδή, έστω  ο μικρότερος θετικός ακέραιος έτσι ώστε

: M 

Αυτό είναι δυνατό επειδή τα επιμέρους αθροίσματα της σειράς a_{n}^{+} τείνουν στο +\infty. Τώρα, έστω  ο μικρότερος θετικός ακέραιος έτσι ώστε

: M>\sum_{n=1}^{p_1} a_n^++\sum_{n=1}^{q_1} a_n^-.

Αυτός ο αριθμός υπάρχει επειδή τα επιμέρους αθροίσματα της σειράς a_{n}^{-} τείνουν στο -\infty. Συνεχίζοντας επαγωγικά, ορίζουμε ως  τον μικρότερο ακέραιο που είναι μεγαλύτερος από το  έτσι ώστε

: M

και ούτω καθεξής. Το αποτέλεσμα μπορεί να θεωρηθεί ως μια νέα ακολουθία:

: a_1^+,\ldots,a_{p_1}^+,a_1^-,\ldots,a_{q_1}^-,a_{p_1+1}^+,\ldots,a_{p_2}^+,a_{q_1+1}^-,\ldots,a_{q_2}^-,a_{p_2+1}^+,\ldots.

Επιπλέον, τα μερικά αθροίσματα αυτής της νέας ακολουθίας συγκλίνουν στο . Αυτό φαίνεται από το γεγονός ότι για κάθε ,

: \sum_{n=1}^{p_{i+1}-1} a_n^+ +\sum_{n=1}^{q_i}a_n^-\leq M

με την πρώτη ανισότητα να ισχύει λόγω του γεγονότος ότι το  έχει οριστεί ως ο *μικρότερος* αριθμός που είναι μεγαλύτερος από το , κάνοντας και τη δεύτερη ανισότητα να ισχύει. Κατά συνέπεια, ισχύει ότι:

: 0

Εφόσον η δεξιά μεριά συγκλίνει στο μηδέν λόγω της υπόθεσης της σύγκλισης υπό συνθήκη, αυτό δείχνει ότι το -οστό μερικό άθροισμα της νέας ακολουθίας συγκλίνει στο  καθώς αυξάνεται το . Ομοίως, το -οστό μερικό άθροισμα συγκλίνει επίσης στο . Δεδομένου ότι τα , , ..., -οστά επιμέρους αθροίσματα έχουν τιμές μεταξύ των  και -οστών μερικών αθροισμάτων, αυτό σημαίνει ότι ολόκληρη η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων συγκλίνει στο .

Κάθε όρος της αρχικής ακολουθίας  εμφανίζεται σε αυτή τη νέα ακολουθία, της οποίας τα μερικά αθροίσματα συγκλίνουν στο . Οι όροι της αρχικής ακολουθίας που είναι μηδέν θα εμφανίζονται δύο φορές στη νέα ακολουθία (μία φορά στη "θετική" ακολουθία και μία στην "αρνητική") και κάθε δεύτερη τέτοια εμφάνιση μπορεί να αφαιρεθεί, κάτι το οποίο δεν επηρεάζει το άθροισμα με οποιοδήποτε τρόπο. Η νέα ακολουθία είναι, επομένως, μία μετάθεση της αρχικής ακολουθίας.

### Ύπαρξη αναδιάταξης που αποκλίνει
Έστω  \sum_{i=1}^\infty a_i μια υπό συνθήκη συγκλίνουσα σειρά. Το παρακάτω είναι μια απόδειξη ότι υπάρχει μια αναδιάταξη αυτής της σειράς που τείνει στο \infty (ένα παρόμοιο επιχείρημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δειχθεί ότι υπάρχει μια αναδιάταξη που τείνει στο -\infty).

Η παραπάνω απόδειξη της αρχικής διατύπωσης του Ρίμαν χρειάζεται μόνο να τροποποιηθεί με τέτοιο τρόπο, ώστε το  να επιλέγεται ως ο μικρότερος ακέραιος που είναι μεγαλύτερος από το  έτσι ώστε

: i+1

και το  να επιλέγεται ως ο μικρότερος ακέραιος που είναι μεγαλύτερος από το  έτσι ώστε

: i+1>\sum_{n=1}^{p_{i+1}}a_n^+ +\sum_{n=1}^{q_{i+1}}a_n^-.

Η επιλογή του  στην αριστερή μεριά δεν έχει σημασία, καθώς θα μπορούσε να αντικατασταθεί από οποιαδήποτε ακολουθία που τείνει στο άπειρο. Αφού το a_n^- τείνει στο μηδέν καθώς το  αυξάνεται, για αρκετά μεγάλο  έχουμε:

: \sum_{n=1}^{p_{i+1}}a_n^+ +\sum_{n=1}^{q_{i+1}}a_n^- > i

και αυτό αποδεικνύει (όπως ακριβώς και με την ανάλυση της σύγκλισης παραπάνω) ότι η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων της νέας ακολουθίας αποκλίνει.

### Ύπαρξη αναδιάταξης που δεν έχει όριο
Η παραπάνω απόδειξη χρειάζεται μόνο να τροποποιηθεί με τέτοιο τρόπο, ώστε το  να επιλέγεται ως ο μικρότερος ακέραιος που είναι μεγαλύτερος από το  έτσι ώστε

: 1

και το  να επιλέγεται ως ο μικρότερος ακέραιος που είναι μεγαλύτερος από το  έτσι ώστε

: -1>\sum_{n=1}^{p_{i+1}}a_n^+ +\sum_{n=1}^{q_{i+1}}a_n^-.

Αυτό δείχνει άμεσα ότι η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων περιέχει άπειρους όρους που είναι μεγαλύτεροι από 1 και επίσης άπειρους όρους που είναι μικρότεροι από , έτσι ώστε η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων να μην μπορεί να συγκλίνει.

## Αναφορές

## Βιβλιογραφία

*
* 
*
* 
*

* 
* 
*

* 
* 

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

* Weisstein, Eric W. "Θεώρημα αναδιάταξης του Ρίμαν". *MathWorld*. Ανακτήθηκε 1 Φεβρουαρίου 2023.

Κατηγορία:Σειρές (μαθηματικά)
Κατηγορία:Σελίδες με μη επιθεωρημένες μεταφράσεις