Αρχή του Χάμιλτον

Η αρχή του Χάμιλτον (Hamilton) είναι μία αρχή της φυσικής βάσει της οποίας τα φυσικά συστήματα συμπεριφέρονται έτσι ώστε το φυσικό μέγεθος που ονομάζεται δράση να στασιμοποιείται. Αυτή είναι μία αρχή η οποία φαίνεται να έχει γενική ισχύ στη φυσική και εφαρμόζεται σε διάφορα φυσικά συστήματα. Αρχικά, όμως, η αρχή αυτή εφαρμόστηκε σε κλασικά μηχανικά συστήματα.

## Το φυσικό μέγεθος της δράσης

Η δράση (S) ενός συστήματος το οποίο βρισκόταν αρχικά στην κατάσταση Α και περιήλθε στην κατάσταση Β, είναι ένα φυσικό μέγεθος το οποίο ορίζεται ως εξής:
:S \equiv \int_A^B L\left(a_i,\dot{a_i}, \ddot{a_i},...,t\right) dt, όπου L είναι η Λαγκρανζιανή συνάρτηση του συστήματος και αi μέγεθος που περιγράφει το σύστημα, ενώ ο δείκτης i δείχνει τον αριθμό της συνιστώσας του διανύσματος.
Το μέγεθος της δράσης έχει γενικά μονάδες: (Ενέργεια)•(Χρόνος).

## Αρχή του Hamilton

Όπως εξηγήθηκε και προηγουμένως η αρχή του Hamilton λέει ότι η φύση προτιμά να ακολουθεί μία ακολουθία καταστάσεων για ένα σύστημα τέτοια ώστε η δράση S να στασιμοποιείται.
Η στασιμοποίηση έγκειται στην μεταβολή της δράσης κατά τάξη ε2 ή μεγαλύτερης (δηλαδή ε3, ε4 κ.λ.π., κάτι που μαθηματικά συμβολίζεται ως Ο[ε2]), όταν το μέγεθος \vec{a} αλλάζει κατά τάξη ε ως:
:\tilde{a_i}=a_i + \epsilon \cdot n_i
Το ni είναι μία συνεχής συνάρτηση που δείχνει τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλεται το μέγεθος ai και το ε δείχνει το μέγεθος της μεταβολής αυτής (το πόσο μεγάλη είναι η μεταβολή) και για την οποία πρέπει να ισχύει n_i(A)=n_i(B)=0, απαιτείται δηλαδή από το μέγεθος \tilde{a_i} να έχει ακριβώς την ίδια τιμή με το a_i στις καταστάσεις Α και Β της αρχής και του τέλους αντιστοίχως.

## Εξισώσεις Euler - Lagrange

Η εφαρμογή της αρχής του Hamilton σε ένα κλασικό μηχανικό σύστημα, μας οδηγεί στις εξισώσεις Euler - Lagrange που είναι οι εξισώσεις που πρέπει να ικανοποιούνται για να ελαχιστοποιείται η δράση και είναι ισοδύναμες με τον 2ο νόμο του Newton.
Η Λαγκρανζιανή σε αυτήν την περίπτωση είναι της μορφής: L=L\left(q(t),\dot{q(t)},t\right), όπου τα q είναι οι θέσεις του συστήματος (βλ. το άρθρο Λαγκρανζιανή συνάρτηση για το λόγο για τον οποίο απορρίφθηκε η υπόθεση η Λαγκρανζιανή στην περίπτωσή μας να είναι συνάρτηση και ανωτέρων παραγώγων της θέσης) και η δράση είναι εξ ορισμού ίση με: S(q)=\int_{t_A}^{t_B}L\left(q(t),\dot{q}(t),t\right) dt.
Υποθέτουμε ότι η q(t) είναι η τροχιά αυτή που ελαχιστοποιεί την δράση και \tilde{q(t)}=q(t)+\epsilon\cdot n(t) μία παρέκκλιση αυτής της τροχιάς. Η μεταβολή στη δράση θα είναι:
:\Delta S = S\left(\tilde{q}\right)-S(q) = \int_{t_A}^{t_B}L\left(\tilde{q}(t),\dot{\tilde{q}}(t),t\right) dt - \int_{t_A}^{t_B}L\left(q(t),\dot{q}(t),t\right) dt = \int_{t_A}^{t_B}\left(L\left(\tilde{q}(t),\dot{\tilde{q}}(t),t\right) - L\left(q(t),\dot{q}(t),t\right)\right) dt.
Το ανάπτυγμα της L\left(\tilde{q}(t),\dot{\tilde{q}}(t),t\right) κατά Taylor δίνει:
:L\left(\tilde{q}(t),\dot{\tilde{q}}(t),t\right) = L\left(q(t),\dot{q}(t),t\right) + \epsilon\left(\frac{\partial L}{\partial q}n + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{n}\right) + O\left[\epsilon^2\right]
Συνεπώς, έχουμε:
:\Delta S =\epsilon\int_{t_A}^{t_B} \left(\frac{\partial L}{\partial q}n + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{n}\right) dt + O\left[\epsilon^2\right] = \epsilon\int_{t_A}^{t_B} \left(\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{d t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)n dt + O\left[\epsilon^2\right]
Βάσει της αρχής του Hamilton πρέπει να μηδενιστεί ο όρος τάξης ε, δηλαδή πρέπει να ισχύει πάντοτε:
:\int_{t_A}^{t_B} \left(\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{d t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)n dt = 0
Και επειδή η n είναι μία τυχαία συνάρτηση, οδηγούμαστε στην εξίσωση:
:\frac{d}{d t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0
η οποία είναι γνωστή ως εξίσωση Euler - Lagrange.

## Εσωτερικοί σύνδεσμοι

*Λαγκρανζιανή συνάρτηση
*Λαγκρανζιανή μηχανική
*Χαμιλτονιανή μηχανική

## Βιβλιογραφία

* Ιωάννου Πέτρος, Αποστολάτος Θ., ***Θεωρητική Μηχανική***, Πανεπιστήμιο Αθηνών 2007 (έκδοση Β')

Κατηγορία:Κλασική μηχανική
Κατηγορία:Αρχές