Αντιστρέψιμo δεμάτιο

Στα μαθηματικά, ένα  **αντιστρέψιμo δεμάτιο** είναι ένα δεμάτιο σε ένα δακτυλιωτό χώρο που έχει αντιστροφή σε σχέση με το τανυστικό γινόμενο  δεματίων των προτύπων. Είναι το ισοδύναμο στην αλγεβρική γεωμετρία της τοπολογικής έννοιας μιας δέσμης γραμμών. Λόγω των αλληλεπιδράσεών τους με τους διαιρέτες Καρτιέ, παίζουν κεντρικό ρόλο στη μελέτη των αλγεβρικών ποικιλιών.

## Ορισμός

Έστω (*X*, *O**X*) ένας  δακτυλιωτός χώρος. Οι ισομορφικές κλάσεις των δεματίων των *O**X*-προτύπων σχηματίζουν ένα μονοειδές υπό τη δράση του τανυστικού γινομένου των *O**X*-προτύπων.  Το ταυτοτικό στοιχείο για αυτή τη δράση είναι το ίδιο το *O**X* .  Τα αντιστρέψιμα δεμάτια είναι τα αντιστρέψιμα στοιχεία αυτού του μονοειδούς. Συγκεκριμένα, αν *L* είναι ένα δεμάτιο *O**X*-προτύπων, τότε το *L* ονομάζεται **αντιστρέψιμο** αν ικανοποιεί οποιαδήποτε από τις ακόλουθες ισοδύναμες συνθήκες:
* Υπάρχει ένα δεμάτιο *M* τέτοιο ώστε L \otimes_{\mathcal{O}_X} M \cong \mathcal{O}_X.
* Ο φυσικός ομομορφισμός  L \otimes_{\mathcal{O}_X} L^\vee \to \mathcal{O}_X είναι ένας ισομορφισμός, όπου L^\vee δηλώνει το δυϊκό δεμάτιο  \underline{\operatorname{Hom}}(L, \mathcal{O}_X).
* Ο συναρτητής από  *O**X*-πρότυπα σε *O**X*-πρότυπα ορίζεται από  F \mapsto F \otimes_{\mathcal{O}_X} L  είναι μια ισοδυναμία κατηγοριών.

Κάθε τοπικό ελεύθερό δεμάτιο με βαθμό ένα είναι αντιστρέψιμο. Εάν το *X* είναι ένας τοπικός δακτυλιωτός χώρος, τότε το *L* είναι **αντιστρέψιμο** αν και μόνο αν είναι τοπικά ελεύθερο με βαθμό ένα. Λόγω αυτού του γεγονότος, τα **αντιστρέψιμα δεμάτια** σχετίζονται στενά με τις δέσμες γραμμών, σε σημείο που οι δύο μερικές φορές συγχωνεύονται.

## Παραδείγματα

Έστω *X* ένα αφινικό σχήμα .  Τότε, ένα **αντιστρέψιμο δεμάτιο** στο *X* είναι ένα δεμάτιο που σχετίζεται με ένα προβολικό πρότυπο με βαθμό ένα στο *R*.  Επίσης, περιλαμβάνει κλασματικά ιδεώδη των αλγεβρικών σωμάτων αριθμών, καθώς αυτά είναι προβολικά πρότυπα με βαθμό ένα στους δακτυλίους των ακεραίων του σώματος Αριθμών.

## Ομάδα Πικάρ
::Κύριο άρθρο:  Ομάδα Πικάρ  

Γενικά, οι ισομορφικές τάξεις των αντιστρέψιμων δεματίων στο *X* σχηματίζουν μια αβελιανή ομάδα υπό το τανυστικό γινόμενο. Αυτή η ομάδα γενικεύει την ομάδα των ιδεωδών τάξεων. Γενικά γράφεται 

:\mathrm{Pic}(X)\ 

με τον *Pic* ο συναρτητής Πικάρ. Δεδομένου ότι περιλαμβάνει επίσης τη θεωρία της ιακωβιανής ποικιλίας μιας αλγεβρικής καμπύλης, η μελέτη αυτού του συναρτητή αποτελεί σημαντικό θέμα στην αλγεβρική γεωμετρία.

Η άμεση κατασκευή αντιστρέψιμων δεματίων με τη βοήθεια δεδομένων στο *X* οδηγεί στην έννοια του διαιρέτη Καρτιέ.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
*
*
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007/bf02684778. MR 0217083.
*
* Perspective. Information and Computation, 204 (2006) 637-678].

*
*Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
* star-autonomous category at the nLab
* 
* *This article is based in part on [http://www.planetmath.org PlanetMath]'s [http://planetmath.org/encyclopedia/TerminalObjectsAndZeroObjectsExamplesOfInitialObjects.html article on examples of initial and terminal objects].*
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Γενική τοπολογία
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα