Ορθογώνιο συμπλήρωμα

Στα μαθηματικά ειδικότερα στη γραμμική άλγεβρα και τη συναρτησιακή ανάλυση, το **ορθογώνιο συμπλήρωμα** ενός υποχώρου W ενός διανυσματικού χώρου V εξοπλισμένου με μια διγραμμική μορφή B είναι το σύνολο W^\perpόλων των διανυσμάτων στο V που είναι ορθογώνια σε κάθε διάνυσμα στο W.  Ανεπίσημα, ονομάζεται **perp**, συντομογραφία του **κάθετου συμπληρώματος**. Είναι ένας υποχώρος του V.

## Παράδειγμα

Έστω V = (\R^5, \langle \cdot, \cdot \rangle) ο διανυσματικός χώρος εφοδιασμένος με το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο \langle \cdot, \cdot \rangle (καθιστώντας τον έτσι χώρο εσωτερικού γινομένου), και έστω

W = \{\mathbf{u} \in V: \mathbf{A}x = \mathbf{u},\ x\in \R^2\},

με
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1\\
2 & 6\\
3 & 9\\
5 & 3\\
\end{pmatrix}.

τότε το ορθογώνιο συμπλήρωμα του

W^\perp = \{\mathbf{v}\in V:\langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = 0 \ \ \forall \ \mathbf{u} \in W\}

μπορεί επίσης να οριστεί ως

W^\perp = \{\mathbf{v} \in V: \mathbf{\tilde{A}}y = \mathbf{v},\ y \in \R^3\},

είναι
\mathbf{\tilde{A}} =
\begin{pmatrix}
-2 & -3 & -5 \\
-6 & -9 & -3 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 
\end{pmatrix}.

Το γεγονός ότι κάθε διάνυσμα στήλης στο \mathbf{A} είναι ορθογώνιο προς κάθε διάνυσμα στήλης στο \mathbf{\tilde{A}} μπορεί να ελεγχθεί με άμεσο υπολογισμό. Το γεγονός ότι τα διαστήματα αυτών των διανυσμάτων είναι ορθογώνια προκύπτει τότε από τη διγραμμικότητα του εσωτερικού γινομένου. Τέλος, το γεγονός ότι οι χώροι αυτοί είναι ορθογώνια συμπληρώματα προκύπτει από τις σχέσεις διαστάσεων που δίνονται παρακάτω.

## Γενικές διγραμμικές μορφές
Έστω V ένας διανυσματικός χώρος πάνω από ένα πεδίο \mathbb{F} εφοδιασμένος με μια διγραμμική μορφή B.  Ορίζουμε ότι η \mathbf{u} είναι αριστερά ορθογώνια στην \mathbf{v} και η \mathbf{v} είναι δεξιά ορθογώνια στην \mathbf{u}, όταν B(\mathbf{u},\mathbf{v}) = 0.  Για ένα υποσύνολο W του V, ορίστε το αριστερό-ορθογώνιο συμπλήρωμα W^\perp να είναι

W^\perp = \left\{ \mathbf{x} \in V : B(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = 0 \ \ \forall \ \mathbf{y} \in W \right\}.

Υπάρχει ένας αντίστοιχος ορισμός του δεξιού ορθογώνιου συμπληρώματος. Για μια αντανακλαστική διγραμμική μορφή, όπου B(\mathbf{u},\mathbf{v}) = 0 \implies B(\mathbf{v},\mathbf{u}) = 0 \ \ \forall \ \mathbf{u} , \mathbf{v} \in V, το αριστερό και το δεξιό συμπλήρωμα συμπίπτουν. Αυτό θα συμβαίνει αν η B είναι μια συμμετρική ή μια είναι μια συμμετρική ή μια εναλλασσόμενη μορφή.

Ο ορισμός επεκτείνεται σε μια διγραμμική μορφή σε μια ελεύθερη ενότητα πάνω σε έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο, και σε μια γραμμικο-ημιγραμμική μορφή που επεκτείνεται ώστε να περιλαμβάνει οποιαδήποτε ελεύθερο πρότυπο πάνω σε έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο με συζυγία.

### Ιδιότητες
* Ένα ορθογώνιο συμπλήρωμα είναι ένας υποχώρος του V,
* Αν X \subseteq Y τότε X^\perp \supseteq Y^\perp,
* Η ρίζα V^\perp του V είναι ένας υποχώρος κάθε ορθογώνιου συμπληρώματος,
* W \subseteq (W^\perp)^\perp;
* Αν το B είναι μη εκφυλισμένο και το V είναι πεπερασμένης διάστασης, τότε \dim(W)+\dim (W^\perp)=\dim (V).
* Αν L_1, \ldots, L_r είναι υποχώροι ενός πεπερασμένης διάστασης χώρου V και L_* = L_1 \cap \cdots \cap L_r, τότε L_*^\perp = L_1^\perp + \cdots + L_r^\perp

## Χώροι εσωτερικού γινομένου
Δείτε επίσης: Προβολή (γραμμική άλγεβρα)

Αυτή η ενότητα εξετάζει τα ορθογωνικά συμπληρώματα σε ένα χώρο εσωτερικού γινομένου H.

Δύο διανύσματα \mathbf{x} και \mathbf{y} ονομάζονται ορθογώνια αν ⟨\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = 0, το οποίο συμβαίνει αν και μόνο αν \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = 0, το οποίο συμβαίνει αν και μόνο αν \| \mathbf{x} \| \le \| \mathbf{x} + s\mathbf{y} \| \ \forall scalars s.

Αν C είναι οποιοδήποτε υποσύνολο ενός χώρου εσωτερικού γινομένουH τότε το ορθογώνιο συμπλήρωμα του στον H είναι ο διανυσματικός υποχώρος

\begin{align}
C^\perp
:&= \{\mathbf{x} \in H : \langle \mathbf{x}, \mathbf{c} \rangle = 0 \ \ \forall \ \mathbf{c} \in C\} \\
&= \{\mathbf{x} \in H : \langle \mathbf{c}, \mathbf{x} \rangle = 0 \ \ \forall \ \mathbf{c} \in C\} 
\end{align}

το οποίο είναι πάντα ένα κλειστό υποσύνολο (άρα, ένας κλειστός διανυσματικός υποχώρος) του H 
που ικανοποιεί:
* C^{\bot} = \left(\operatorname{cl}_H \left(\operatorname{span} C\right)\right)^{\bot};
* C^{\bot} \cap \operatorname{cl}_H \left(\operatorname{span} C\right) = \{ 0 \};
* C^{\bot} \cap  \left(\operatorname{span} C\right) = \{ 0 \};
* C \subseteq \left(C^{\bot}\right)^{\bot};
* \operatorname{cl}_H \left(\operatorname{span} C\right) = \left(C^{\bot}\right)^{\bot}.

Αν C είναι ένας διανυσματικός υποχώρος ενός χώρου εσωτερικού γινομένου H τότε

C^{\bot} = \left\{\mathbf{x} \in H : \|\mathbf{x}\| \leq \|\mathbf{x} + \mathbf{c}\| \ \ \forall \ \mathbf{c} \in C \right\}.

Αν C είναι ένας κλειστός διανυσματικός υποχώρος ενός χώρου Χίλμπερτ H τότε 

H = C \oplus C^{\bot} \qquad \text{ και } \qquad \left(C^{\bot}\right)^{\bot} = C

όπου

H = C \oplus C^{\bot} ονομάζεται ορθογώνια αποσύνθεση του H σε C και C^{\bot} και δείχνει ότι C είναι ένας συμπληρωμένος υποχώρος του H με συμπλήρωμα C^{\bot}.

### Ιδιότητες

Το ορθογώνιο συμπλήρωμα είναι πάντα κλειστό στη μετρική τοπολογία. Σε χώρους πεπερασμένων διαστάσεων, αυτό είναι απλώς μια περίπτωση του γεγονότος ότι όλοι οι υποχώροι ενός διανυσματικού χώρου είναι κλειστοί. Στους άπειρης διάστασης χώρους Χίλμπερτ, ορισμένοι υποχώροι δεν είναι κλειστοί, αλλά όλα τα ορθογώνια συμπληρώματα είναι κλειστά. Αν ο  W είναι ένας διανυσματικός υποχώρος ενός χώρου εσωτερικού γινομένου, το ορθογώνιο συμπλήρωμα του ορθογώνιου συμπληρώματος του W είναι η κλειστότητα του W, δηλαδή,

\left(W^\bot\right)^\bot = \overline W.

Ορισμένες άλλες χρήσιμες ιδιότητες που ισχύουν πάντα είναι οι ακόλουθες. Έστω H ένας χώρος Χίλμπερτ και έστω X και Y γραμμικοί υποχώροι. Τότε:

* X^\bot = \overline{X}^{\bot};
* αν Y \subseteq X then X^\bot \subseteq Y^\bot;
* X \cap X^\bot = \{ 0 \};
* X \subseteq (X^\bot)^\bot;
* αν X είναι ένας κλειστός γραμμικός υποχώρος του H τότε (X^\bot)^\bot = X;
* αν X είναι ένας κλειστός γραμμικός υποχώρος του H τότε H = X \oplus X^\bot, το εσωτερικό άμεσο άθροισμα.

Το ορθογώνιο συμπλήρωμα γενικεύεται στον εκμηδενιστή και δίνει μια σύνδεση Γκαλουά σε υποσύνολα του χώρου του εσωτερικού γινομένου,  με σχετικό τελεστή κλεισότητας την τοπολογική κλειστότητα της έκτασης.

### Πεπερασμένες διαστάσεις

Για έναν πεπερασμένης διάστασης χώρο εσωτερικού γινομένου διάστασης n, το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός k-διάστατου υποχώρου είναι ένας (n-k)-διάστατος υποχώρος και το διπλό ορθογώνιο συμπλήρωμα είναι ο αρχικός υποχώρος:
\left(W^{\bot}\right)^{\bot} = W.

Αν \mathbf{A} \in \mathbb{M}_{mn}, όπου \mathcal{R}(\mathbf{A}), \mathcal{C} (\mathbf{A}), και \mathcal{N} (\mathbf{A})  αναφέρονται στο χώρο των γραμμών και χώρο στηλών, και του μηδενικού χώρου των  \mathbf{A} (αντιστοίχως), τότε
\left(\mathcal{R} (\mathbf{A}) \right)^{\bot} = \mathcal{N} (\mathbf{A}) \qquad \text{ και } \qquad \left(\mathcal{C} (\mathbf{A}) \right)^{\bot} = \mathcal{N} (\mathbf{A}^{\operatorname{T}}).

## Χώροι Μπάναχ
Υπάρχει ένα φυσικό ανάλογο αυτής της έννοιας στους γενικούς χώρους Μπάναχ. Σε αυτή την περίπτωση ορίζει κανείς το ορθογώνιο συμπλήρωμα του W ως έναν υποχώρο του δυϊκού του V που ορίζεται παρόμοια με τον εκμηδενιστή.

W^\bot = \left\{ x\in V^* : \forall y\in W, x(y) = 0 \right\}. 

Είναι πάντα ένας κλειστός υποχώρος του V^*. Υπάρχει επίσης ένα ανάλογο της ιδιότητας του διπλού συμπληρώματος. Ο W^{\perp \perp}είναι τώρα ένας υποχώρος του V^{**}(ο οποίος δεν ταυτίζεται με τον V). Ωστόσο, οι αντανακλαστικοί χώροι έχουν έναν φυσικό ισομορφισμό i μεταξύ των V και V^{**}. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε

i\overline{W} = W^{\perp\perp}.

Αυτό είναι μια μάλλον απλή συνέπεια του θεωρήματος Χαν-Μπάναχ.

## Εφαρμογές

Στην ειδική σχετικότητα το ορθογώνιο συμπλήρωμα χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του ταυτόχρονου υπερεπιπέδου σε ένα σημείο μιας γενικής γραμμής. Η διγραμμική μορφή \eta που χρησιμοποιείται στο Χωροχρόνος Μινκόβσκι καθορίζει έναν ψευδοευκλείδειο χώρο γεγονότων. Όταν ένα χρονικό γεγονός και ένα χωρικό γεγονός αποτιμώνται στο μηδέν σύμφωνα με τη διγραμμική μορφή, τότε είναι υπερβολικά ορθογώνια. Αυτή η ορολογία προέρχεται από τη χρήση συζυγών υπερβολών στο ψευδοευκλείδειο επίπεδο: οι συζυγείς διάμετροι αυτών των υπερβολών είναι υπερβολικά ορθογώνιες.

## Δείτε επίσης

* Field Arithmetic
* Πραγματικό προβολικό επίπεδο
* Εσωτερικό γινόμενο 
* Φυσικός αριθμός
* Πίνακας (μαθηματικά)
* Χώρος Χίλμπερτ
* Χωροχρόνος Μινκόβσκι
* Ειδική σχετικότητα
* Σχετικά πρώτοι

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Matrix Analysis
* Functional Equations on Groups
* Linear Algebra for the 21st Century
* Foundations of Mathematical and Computational Economics
* Arithmetic Functions and Integer Products
* Stability of Functional Equations in Several Variables
* Orthogonal complement; Minute 9.00 in the Youtube Video
* Instructional video describing orthogonal complements (Khan Academy)

## Δημοσιεύσεις

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* Rudin, Walter (1991). . International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.

## Παραπομπές


* Janko Bračič, *Kolobar aritmetičnih funkcij* (*[[:en:Ring (algebra)|Ring]] of arithmetical functions*), (Obzornik mat, fiz. **49** (2002) 4, pp.&nbsp;97–108)  (MSC (2000) 11A25) 
* Iwaniec and Kowalski, *Analytic number theory*, AMS (2004).

 

Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Συναρτησιακή ανάλυση
Κατηγορία:Μαθηματική ανάλυση
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών