Δεκαπεντάγωνο

Στη γεωμετρία, το **δεκαπεντάγωνο** είναι ένα πολύγωνο με δεκαπέντε κορυφές και δεκαπέντε πλευρές.

Ένα δεκαπεντάγωνο είναι **[[κανονικό πολύγωνο|κανονικό]]** αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

## Ιδιότητες
* Σε κάθε απλό δεκαπεντάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα 2340^\circ (ή 11\pi ακτίνια).
* Κάθε δεκαπεντάγωνο έχει 90 διαγωνίους.

## Κυρτό κανονικό δεκαπεντάγωνο

### Ιδιότητες
Για το κανονικό δεκαπεντάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
* Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με 156^\circ (ή 13\pi/15 ακτίνια).
* Έχει δεκαπέντε άξονες συμμετρίας.
* Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
* Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
* Έχει περιστροφική συμμετρία δέκατης πέμπτης τάξεως.
* Το σύμβολο Schläfli του δεκαπενταγώνου είναι \{ 15 \}.

### Κεντρική γωνία
Η **κεντρική του γωνία**, δηλαδή η γωνία που βλέπει το κέντρο του, την κάθε πλευρά είναι ίση με \varphi = 24^\circ (ή 2\pi/15 ακτίνια). 

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της \varphi / 2 είναι πολύ χρήσιμοι στις μετρικές σχέσεις του κανονικού πενταγώνου, καθώς και στους τύπους για το εμβαδόν του. Αυτοί δίνονται από τους τύπους
:\sin \frac{\pi}{15} = \frac{1}{16} \left(2 \sqrt{3} - 2\sqrt{15} + \sqrt{40 + 8 \sqrt{5}} \right), \qquad \csc \frac{\pi}{15} = \frac{1}{2} \sqrt{8 + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{15 + 6\sqrt{5}} } ,
:\cos \frac{\pi}{15} = \frac{1}{8} \left( -1 + \sqrt{5} + \sqrt{30 + 6\sqrt{5}} \right), \qquad \sec \frac{\pi}{15} = 2 - \sqrt{5} + \sqrt{15-6\sqrt{5}} ,
:\tan \frac{\pi}{15} = 15 \sqrt{23 - 10 \sqrt{5} - 2 \sqrt{255-114\sqrt{5}}}, \qquad \cot \frac{\pi}{15} = \frac{1}{16} \left(2 \sqrt{3} - 2\sqrt{15} + \sqrt{40 + 8 \sqrt{5}} \right).
 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{4} \left( \sqrt{5} - 1 \right) \\
 & = \frac{1}{16} \left(2 \sqrt{3} - 2\sqrt{15} + \sqrt{40 + 8 \sqrt{5}} \right),
\end{align}

και
:
\begin{align}
\cos\frac{\pi}{15} 
 & = \cos\left( \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{10} \right)
= \cos \frac{\pi}{6} \cos \frac{\pi}{10} + \sin \frac{\pi}{6} \sin \frac{\pi}{10} \\
 & = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{4} \sqrt{10 + 2\sqrt{5}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \left( \sqrt{5} - 1 \right) \\
 & = \frac{1}{8} \left( -1 + \sqrt{5} + \sqrt{30 + 6\sqrt{5}} \right).
\end{align}

Χρησιμοποιώντας τους τύπους για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις καθώς και ρητοποίηση ριζών, λαμβάνουμε τους υπόλοιπους τύπους.
}}

### Μετρικές σχέσεις

* Η ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού δεκαπενταγώνου είναι ίση με
::\begin{align}R 
& = \frac{1}{2} \csc \frac{\pi}{15} \cdot \lambda \\
& = \frac{1}{2} \sqrt{8 + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{15 + 6\sqrt{5}} } \cdot \lambda \\
& \approx 2{,}404867 \cdot \lambda.
\end{align}
*Η ακτίνα r του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού δεκαπενταγώνου είναι ίση με
::\begin{align}
r 
& = \frac{1}{2} \cot \frac{\pi}{15} \cdot \lambda \\
& = \frac{1}{2}\sqrt{7 + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{15 + 6\sqrt{5}}}\cdot \lambda \\
& = \frac{1}{2} \left( \sqrt{3}+\sqrt{15}+ \sqrt{2}\sqrt{5+\sqrt{5}}\right) \cdot \lambda \\
& \approx2{,}352315 \cdot \lambda.
\end{align}
right|thumb|200px|Τα έξη είδη διαγωνίων σε ένα κανονικό δεκαπεντάγωνο.
* Τα μήκη των διαγωνίων ενός κανονικού δεκαπενταγώνου δίνονται από τις σχέσεις
::\begin{align}
d_k
 & = 2 \sin \frac{k\pi}{15} \cdot R .
\end{align}
*Το πλάτος του είναι ίσο με το μήκος της μεγάλης διαγωνίου 
::w = d_6.
*Το ύψος του είναι 
::h = R + r.

### Εμβαδόν
Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού δεκαπενταγώνου πλευράς \lambda και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου r είναι 
:{\rm E} = \frac{15}{2} \cdot  \lambda \cdot  r.
Το εμβαδό \rm E ενός κανονικού δεκαπενταγώνου πλευράς \lambda δίνεται από τη σχέση:
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = \frac{15}{4} \cot \frac{\pi}{15} \cdot \lambda^2 \\
 & = \frac{15}{8} \left( \sqrt{3}+\sqrt{15}+ \sqrt{2}\sqrt{5+\sqrt{5}}\right) \cdot \lambda^2 \\
 & \approx 13{,}185768 \cdot \lambda^2.
\end{align}
Αν R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδόν του δεκαπενταγώνου είναι
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = \frac{15}{2} \sin \frac{2\pi}{15} \cdot R^2 \\
 & = \frac{15}{8} \sqrt{7 + \sqrt{5} - \sqrt{30 + 6\sqrt{5}}} \cdot R^2 \\
 & \approx 3.050525 \cdot R^2.
\end{align}
Aν r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = 15 \tan \frac{\pi}{15} \cdot r^2 \\
 & = 15 \sqrt{23 - 10 \sqrt{5} - 2 \sqrt{255-114\sqrt{5}}} \cdot r^2 \\
 & \approx 3{,}188348 \cdot r^2
\end{align}.

### Περίμετρος
Η περίμετρος \Pi του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με
:\Pi = 15\cdot\lambda.

### Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη
Το κανονικό δεκαπεντάγωνο είναι δυνατό να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη. Η κατασκευή παρακάτω κατασκευή ακολουθεί σε γενικές γραμμές την Πρόταση 16 του 4ου βιβλίου στα *[[Στοιχεία]]* του Ευκλείδη.

thumb|center|400px|Κατασκευή ενός κανονικού δεκαπενταγώνου.

## Αστεροειδές κανονικό δεκαπεντάγωνο
Υπάρχουν τρία κανονικά αστεροειδή δεκαπεντάγωνα, τα \{ 15/2 \}, \{ 15/4 \},\{ 15/7 \}, που κατασκευάζονται από τις ίδιες 15 κορυφές ενός κανονικού δεκαπενταγώνου, ενώνοντας μεταξύ τους κάθε δεύτερη, τέταρτη ή έβδομη κορυφή, αντιστοίχως.


   

### Πολύγωνα Πέτρι
Το κανονικό δεκαπεντάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι για ένα πολύτοπο περισσότερων διαστάσεων, που παρατίθεται παρακάτω σε ορθογώνια προβολή:

## Περαιτέρω ανάγνωση

### Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας π/15 στο MathWorld.

### Ξενόγλωσσα άρθρα
* 
* 

## Σημειώσεις


## Παραπομπές


Δεκαπενταγωνο