Αντιμεταθετικός πίνακας

Στα μαθηματικά, ιδίως στη γραμμική άλγεβρα και στη θεωρία πινάκων, ο **αντιμεταθετικός πίνακας** χρησιμοποιείται για τη μετατροπή της διανυσματικής μορφής ενός πίνακα στη διανυσματική μορφή της αναστροφής του. Συγκεκριμένα, ο αντιμεταθετικός πίνακας **K**(*m*,*n*) είναι ο πίνακας *nm* × *mn* ο οποίος, για οποιονδήποτε πίνακα *m* × *n* **A**, μετασχηματίζει τον vec(**A**) σε vec(**A**T):

:**K**(*m*,*n*) vec(**A**) = vec(**A**T).

Εδώ vec(**'A**) είναι το *mn* × 1 διάνυσμα στηλών που προκύπτει από τη στοίβαξη των στηλών του **A**' η μία πάνω στην άλλη:

:\operatorname{vec}(\mathbf{A}) = [\mathbf{A}_{1,1}, \ldots, \mathbf{A}_{m,1}, \mathbf{A}_{1,2}, \ldots, \mathbf{A}_{m,2}, \ldots, \mathbf{A}_{1,n}, \ldots, \mathbf{A}_{m,n}]^{\mathrm{T}}

όπου **A** = [**A***i*,*j*]. Με άλλα λόγια, το vec(**A**) είναι το διάνυσμα που προκύπτει από τη διανυσματοποίηση του **A** σε σειρά στήλης-μεγάλης κλίμακας. Ομοίως, vec(**A**T) είναι το διάνυσμα που προκύπτει από τη διανυσματοποίηση του **A** σε σειρά γραμμής-πλειοψηφίας.

Στο πλαίσιο της κβαντικής θεωρίας πληροφοριών, ο αντιμεταθετικός πίνακας αναφέρεται μερικές φορές ως πίνακας ανταλλαγής ή τελεστής ανταλλαγής.

## Ιδιότητες

* Ο αντιμεταθετικός πίνακας είναι ένας ειδικός τύπος του αντιμεταθετικού πίνακα και επομένως είναι ορθογώνιος. Ειδικότερα, ο **K**(*m*,*n*) είναι ίσος με \mathbf P_\pi, όπου \pi είναι η αντιμετάθεση πάνω στο \{1,\dots,mn\} για την οποία
::
\pi(i + m(j-1)) = j + n(i-1), \quad i = 1,\dots,m, \quad j = 1,\dots,n.


* Η αντικατάσταση του **A** με το **A**T στον ορισμό του αντιμεταθετικού πίνακα δείχνει ότι  Επομένως, στην ειδική περίπτωση *m* = *n* ο αντιμεταθετικός πίνακας είναι μια ενέλιξη και είναι συμμετρικός.

* Η κύρια χρήση του αντιμεταθετικού πίνακα, και η πηγή του ονόματός του, είναι η αντιμετάθεση του γινομένου Κρόνεκερ: για κάθε *m* × *n* πίνακα **A** και κάθε *r* × *q* πίνακα **B**,
::\mathbf{K}^{(r, m)} (\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}) \mathbf{K}^{(n, q)} = \mathbf{B} \otimes \mathbf{A}.
:Αυτή η ιδιότητα χρησιμοποιείται συχνά στην ανάπτυξη των στατιστικών ανώτερης τάξης των πινάκων συνδιακύμανσης Wishart.

* Η περίπτωση *n=q=1* για την παραπάνω εξίσωση δηλώνει ότι για οποιαδήποτε διανύσματα στήλης **v,w** μεγεθών *m,r* αντίστοιχα,
:: \mathbf{K}^{(r,m)}(\mathbf v \otimes \mathbf w) = \mathbf w \otimes \mathbf v.
:Αυτή η ιδιότητα είναι ο λόγος που ο πίνακας αυτός αναφέρεται ως «τελεστής ανταλλαγής» στο πλαίσιο της κβαντικής θεωρίας της πληροφορίας.

* Δύο ρητές μορφές για τον αντιμεταθετικό πίνακα είναι οι εξής: αν **e***r*,*j* δηλώνει το *j*-οστό κανονικό διάνυσμα διάστασης *r* (δηλαδή το διάνυσμα με 1 στην *j*-th συντεταγμένη και 0 αλλού) τότε
::\mathbf{K}^{(r, m)} = \sum_{i=1}^r \sum_{j=1}^m \left(\mathbf{e}_{r,i} {\mathbf{e}_{m,j}}^{\mathrm{T}}\right) \otimes \left(\mathbf{e}_{m,j} {\mathbf{e}_{r,i}}^{\mathrm{T}}\right)
= 
\sum_{i=1}^r \sum_{j=1}^m 
\left(\mathbf{e}_{r,i} \otimes \mathbf{e}_{m,j}\right) 
\left( \mathbf{e}_{m,j} \otimes \mathbf{e}_{r,i}\right)^{\mathrm{T}}
.

* Ο αντιμεταθετικός πίνακας μπορεί να εκφραστεί ως ο ακόλουθος σύνθετος πινάκας :
:: 
\mathbf{K}^{(m,n)} = \begin{bmatrix}
\mathbf{K}_{1,1} & \cdots & \mathbf{K}_{1,n}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\mathbf{K}_{m,1} & \cdots & \mathbf{K}_{m,n},
\end{bmatrix},

:Όπου η εγγραφή *p,q* του *n x m* σύνθετος πινάκας **K***i,j* δίνεται από τη σχέση
::
\mathbf K_{ij}(p,q) = \begin{cases}
1 & i=q \text{ και } j = p,\\
0 & \text{otherwise}.
\end{cases}


:Παραδείγματος χάριν,

::
\mathbf K^{(3,4)} = 
\left[\begin{array}{ccc|ccc|ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
\hline
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
\hline
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right].


## Κωδικός

Τόσο για τετραγωνικούς όσο και για ορθογώνιους πίνακες m γραμμών και n στηλών, ο αντιμεταθετικός πίνακας μπορεί να παραχθεί με τον παρακάτω κώδικα.

### Python

```python
import numpy as np


def comm_mat(m, n):
    # determine permutation applied by K
    w = np.arange(m * n).reshape((m, n), order="F").T.ravel(order="F")

    # apply this permutation to the rows (i.e. to each column) of identity matrix and return result
    return np.eye(m * n)[w, :]
```


Εναλλακτικά, μια έκδοση χωρίς εισαγωγές:


```python
# Kronecker delta
def delta(i, j):
    return int(i == j)


def comm_mat(m, n):
    # determine permutation applied by K
    v = [m * j + i for i in range(m) for j in range(n)]

    # apply this permutation to the rows (i.e. to each column) of identity matrix
    I = [[delta(i, j) for j in range(m * n)] for i in range(m * n)]
    return [I[i] for i in v]
```


## MATLAB


```matlab
function P = com_mat(m, n)

% determine permutation applied by K
A = reshape(1:m*n, m, n);
v = reshape(A', 1, []);

% apply this permutation to the rows (i.e. to each column) of identity matrix
P = eye(m*n);
P = P(v,:);
```


### R

```r
# Sparse matrix version
comm_mat = function(m, n){
  i = 1:(m * n)
  j = NULL
  for (k in 1:m) {
    j = c(j, m * 0:(n-1) + k)
  }
  Matrix::sparseMatrix(
    i = i, j = j, x = 1
  )
}
```


## Παράδειγμα

Έστω A ο ακόλουθος πίνακας 3 \times 2:

:
A = 
\begin{bmatrix} 
    1 & 4  \\ 
    2 & 5  \\
    3 & 6  \\
\end{bmatrix}.

A έχει τις ακόλουθες διανυσματοδοτήσεις μείζονος στήλης και μείζονος γραμμής (αντίστοιχα):

:
\mathbf v_{\text{col}} = \operatorname{vec}(A) = 
\begin{bmatrix} 
    1  \\ 
    2  \\
    3  \\
    4  \\ 
    5  \\ 
    6  \\ 
\end{bmatrix} 
, \quad  \mathbf v_{\text{row}} = \operatorname{vec}(A^{\mathrm T}) =
\begin{bmatrix} 
    1  \\ 
    4  \\
    2  \\
    5  \\ 
    3  \\ 
    6  \\ 
\end{bmatrix}. 

Ο σχετικός σύνθετος πινάκας είναι

: K = \mathbf K^{(3,2)} = \begin{bmatrix}
     1   & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot  \\
 \cdot   & \cdot & \cdot &     1 & \cdot & \cdot  \\
 \cdot   &     1 & \cdot & \cdot & \cdot  & \cdot  \\
 \cdot   & \cdot & \cdot & \cdot &     1 & \cdot  \\
 \cdot   & \cdot &     1 & \cdot & \cdot & \cdot  \\
 \cdot   & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &     1  \\
 \end{bmatrix},


(όπου κάθε \cdot δηλώνει ένα μηδέν). Όπως αναμενόταν, ισχύουν τα ακόλουθα:

: K^\mathrm{T}  K = KK^\mathrm{T} =\mathbf I_6  
: K \mathbf v_{\text{col}} = \mathbf v_{\text{row}} 

## Δείτε επίσης

* Field Arithmetic
* Πραγματικό προβολικό επίπεδο
* Εσωτερικό γινόμενο
* Φυσικός αριθμός
* Πίνακας (μαθηματικά)
* Τριγωνικός πίνακας
* Διάνυσμα
* Ισομορφισμός
* Ταυτοτικός πίνακας

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

* English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Matrix calculator
* Matrix Analysis
* Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
* The Concise Oxford Dictionary of Mathematics
* [The Statistics and Calculus with Python Workshop: A comprehensive ..](https://books.google.gr/books?id=Llj4DwAAQBAJ&pg=PA66&dq=Vectorization+(mathematics)&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwiAlLvAo72HAxVjB9sEHSolOH8Q6AF6BAgNEAI#v=onepage&q=Vectorization%20(mathematics)&f=false)
* Generalized Vectorization, Cross-Products, and Matrix Calculus
* Matrix Variate Distributions

## Δημοσιεύσεις

* 
* 
* 
* 
* 
*  
* 
* 

## Παραπομπές


* Janko Bračič, *Kolobar aritmetičnih funkcij* (*[[:en:Ring (algebra)|Ring]] of arithmetical functions*), (Obzornik mat, fiz. **49** (2002) 4, pp.&nbsp;97–108)  (MSC (2000) 11A25) 
* Iwaniec and Kowalski, *Analytic number theory*, AMS (2004).

Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών