2-Λήμμα Γιονέντα

Στα μαθηματικά, ειδικά στην θεωρία κατηγοριών, το **2-λήμμα Γιονέντα** είναι μια γενίκευση του λήμματος Γιονέντα σε 2-κατηγορίες. Πιο συγκεκριμένα, δεδομένου ενός ανταλλοίωτου ψευδοσυνάρτηση F σε μια κατηγορία *C*, ισχυρίζεται ότι: για κάθε αντικείμενο x στο *C*, ο φυσικός συναρτητής (αξιολόγηση της ταυτότητας) 
:\underline{\operatorname{Hom}}(h_x, F) \to F(x)
είναι μια ισοδυναμία κατηγοριών, όπου   \underline{\operatorname{Hom}}(-, -) δηλώνει (περίπου) την κατηγορία των φυσικών μετασχηματισμών μεταξύ ψευδοσυναρτητών στο *C* και  h_x = \operatorname{Hom}(-, x).

Σύμφωνα με την κατασκευή του Γκρότεντικ, h_x  αντιστοιχεί στην κατηγορία κόμμα  C \downarrow x.  Έτσι, το λήμμα συχνά διατυπώνεται ως εξής:
:F(x) \simeq \underline{\operatorname{Hom}}(C \downarrow x, F),
όπου  F  ταυτίζεται με την νηματική κατηγορία που σχετίζεται με το  F.

Με την εφαρμογή αυτού του λήμματος, το θεώρημα της συνοχής για τις δικατηγορίες ισχύει.

## Σχεδιάγραμμα απόδειξης
Πρώτα ορίζουμε τον συναρτητή στην αντίθετη κατεύθυνση
:\mu : F(x) \to \underline{\operatorname{Hom}}(h_x, F)
ως εξής. Δεδομένου ενός αντικειμένου \overline{x} in F(x), ορίζουμε τον φυσικό μετασχηματισμό
:\mu(\overline{x}) : h_x \to F,
δηλαδή, \mu(\overline{x})_y : \operatorname{Hom}(y, x) \to F(y), με
:\mu(\overline{x})_y(f) = (Ff) \overline{x}.
(Στη συνέχεια, θα παραλείπουμε συχνά τον δείκτη για έναν φυσικό μετασχηματισμό.) Στη συνέχεια, δεδομένου ενός μορφισμού  \varphi : \overline{x} \to x' στο  F(x), για f : y \to x, ορίζουμε  \mu(\varphi)(f)  ως
:(Ff)\varphi : (Ff)\overline{x} \to (Ff)x'.
Τότε  \mu(\varphi) :\mu(\overline{x}) \to \mu(x')  είναι ένας μορφισμός (για την ακρίβεια ένας 2-μορφισμός ή μια τροποποίηση στην ορολογία του Μπενάμπου). Το υπόλοιπο της απόδειξης είναι να δείξουμε ότι
# Το παραπάνω \mu είναι ένας συναρτητής,
# e \circ \mu \simeq \operatorname{id},  όπου  e  είναι η αξιολόγηση στην ταυτότητα, δηλαδή, e(\lambda) = \lambda(\operatorname{id}_x), e(\alpha : \lambda \to \rho) = \alpha(\operatorname{id}_x) : \lambda(\operatorname{id}_x) \to \rho(\operatorname{id}_x),
# \mu \circ e \simeq \operatorname{id}.
Ο ισχυρισμός 1 ίναι σαφής. Όσον αφορά τον ισχυρισμό 2, 
:e(\mu(\overline{x})) = \mu(\overline{x})(\operatorname{id}_x) = F(\operatorname{id}_x) \overline{x} \simeq \operatorname{id}_{F(x)} \overline{x} = \overline{x}
όπου ο ισομορφισμός εδώ προέρχεται από το γεγονός ότι F  είναι ψευδοσυναρτητής. Ομοίως,,e(\mu(\varphi)) \simeq \varphi.
Για την Ισχυρισμό 3, έχούμε:
:\mu(e(\lambda))(f) = (Ff \circ \lambda)(\operatorname{id}_x) \simeq (\lambda \circ h_x f)(\operatorname{id}_x) = \lambda(f).
Ομοίως για έναν μορφισμό  \alpha : \lambda \to \rho. \square

## ∞-Γιονέντα

Δεδομένης μιας ∞-κατηγορίας *C*, ας υποθέσουμε ότι  \widehat{C} = \underline{\operatorname{Hom}}(C^{op}, \textbf{Kan}) είναι η ∞-κατηγορία των προδεματίων πάνω σε αυτήν με τιμές στο  **Kan** = η ∞-κατηγορία νημάτωσης Καν. Τότε η  ∞-έκδοση της εμφύτευσης Γιονέντα C \hookrightarrow \widehat{C} περιλαμβάνει κάποια (αβλαβή) επιλογή με τον ακόλουθο τρόπο.

Πρώτον, έχουμε τον συναρτητή hom
:\operatorname{Hom} : C^{op} \times C  \to \textbf{Kan}
που χαρακτηρίζεται από μια συγκεκριμένη καθολική ιδιότητα (π.χ. καθολική αριστερή νημάτωση) και είναι μοναδική έως έναν μοναδικό ισομορφισμό στην κατηγορία ομοτοπίας \operatorname{ho}\underline{\operatorname{Hom}}(C \times C^{op}, \textbf{Kan}). ορίζουμε έναν τέτοιο συναρτητή. Τότε λαμβάνουμε τον συναρτητή εμφύτευσης Γιονέντα με τον συνήθη τρόπο:
:y : C \to \widehat{C}, \, a \mapsto \operatorname{Hom}(-, a),
η οποία αποδεικνύεται πλήρως πιστή (δηλ. ισοδυναμία σε επίπεδο Hom). Επιπλέον, και πιο έντονα, για κάθε αντικείμενο F στο \widehat{C} και αντικείμενο a στο C, η αξιολόγηση e στην ταυτότητα (βλ. παρακάτω) 
:\operatorname{Hom}(y(a), F) \to F(a)
είναι αντιστρέψιμη στην ∞-κατηγορία της μεγάλης νημάτωσης Καν (δηλαδή,  η νημάτωση Καν που βρίσκεται σε ένα σύμπαν μεγαλύτερο από το συγκεκριμένο). Εδώ, η απεικόνιση αξιολόγησης  e  αναφέρεται στη σύνθεση
:\operatorname{Hom}(y(a), F) \overset{-(a)}\to \operatorname{Hom}(y(a)(a), F(a)) = \operatorname{Hom}(\operatorname{Hom}(a, a), F(a)) \to F(a)
όπου η τελευταία απεικόνιση είναι ο περιορισμός στην ταυτότητα \operatorname{id}_a.

Το λήμμα∞-Γιονέντα σχετίζεται στενά με το ζήτημα της ευθυγράμμισης και της παραμόρφωσης.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
*
*
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
*
* Perspective. Information and Computation, 204 (2006) 637-678].

*
*Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
* star-autonomous category at the nLab
* 
* *This article is based in part on [http://www.planetmath.org PlanetMath]'s [http://planetmath.org/encyclopedia/TerminalObjectsAndZeroObjectsExamplesOfInitialObjects.html article on examples of initial and terminal objects].*
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Γενική τοπολογία 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα