Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)

Στη γραμμική άλγεβρα, ο **ελάσσων** ενός πίνακα **Α** είναι η Ορίζουσα ενός μικρότερου τετραγωνικού πίνακα, ο οποίος κόβεται από τον **Α** αφαιρώντας μία ή περισσότερες από τις γραμμές και τις στήλες του. Οι ελάσσονες που προκύπτουν με την αφαίρεση μόνο μιας γραμμής και μιας στήλης από τους τετραγωνικούς πίνακες (**πρώτοι ελάσσονες**) χρειάζονται για τον υπολογισμό των συμπαράγοντων των πινάκων, οι οποίοι με τη σειρά τους είναι χρήσιμοι για τον υπολογισμό του προσδιοριστή και του αντιστρόφου των τετραγωνικών πινάκων. Η συνθήκη ότι ο τετραγωνικός πίνακας πρέπει να είναι μικρότερος από τον αρχικό πίνακα συχνά παραλείπεται από τον ορισμό.

## Ορισμός και απεικόνιση
### Πρώτοι ελάσσονες
Αν ο **Α** είναι τετραγωνικός πίνακας, τότε το ελάσσον της εγγραφής στην i th γραμμή και j th στήλη (που ονομάζεται επίσης (i, j) ελάσσον ή πρώτο ελάσσον) είναι η ορίζουσα του υποπίνακα που σχηματίζεται με τη διαγραφή της i th γραμμής και της j th στήλης. Ο αριθμός αυτός συμβολίζεται συχνά ως *M**i,j*. Ο (*i*, *j*) *συντελεστής* προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό του δευτερεύοντος επί (-1)^{i+j}.

Για να παρουσιάσουμε αυτούς τους ορισμούς, ας θεωρήσουμε τον ακόλουθο πίνακα 3 επί 3,

:\begin{bmatrix}
1 & 4 & 7 \\
3 & 0 & 5 \\
-1 & 9 & 11 \\
\end{bmatrix}

Για τον υπολογισμό του δευτερεύοντος *M*2,3  και του συμπαράγοντα *C*2,3, βρίσκουμε την ορίζουσα του παραπάνω πίνακα με την αφαίρεση της γραμμής 2 και της στήλης 3.

: M_{2,3} = \det \begin{bmatrix}
1    & 4    & \Box \\
\Box & \Box & \Box \\
-1   & 9    & \Box \\
\end{bmatrix}= \det \begin{bmatrix}
1 & 4 \\
-1 & 9 \\
\end{bmatrix} = 9-(-4) = 13

Έτσι, ο συμπαράγοντας της εισόδου (2,3) είναι

:\ C_{2,3} = (-1)^{2+3}(M_{2,3}) = -13.

## Γενικός ορισμός

Έστω **A** ένας *m*&thinsp;×&thinsp;*n* πίνακας και *k* ένας ακέραιος αριθμός με 0 {m \choose k} \cdot {n \choose k} *ελάσσονες μεγέθους k*&thinsp;×&thinsp;*k*.* Ο ελάσσων μηδενικής τάξης ορίζεται συχνά ως *1.* Για έναν τετραγωνικό πίνακα, ο μηδενικός δευτερεύων είναι απλώς η ορίζουσα του πίνακα*.*

Έστω <math>1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le m</math> και <math>1 \le j_1 < j_2 < \cdots < j_k \le n</math> να είναι διατεταγμένες ακολουθίες (σε φυσική σειρά, όπως υποτίθεται πάντα όταν μιλάμε για ελάσσονες, εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά) δεικτών, ονομάστε τις *I* και *J*, αντίστοιχα. Το ελάσσον <math display="inline">\det \left( (A_{i_p, j_q})_{p,q = 1, \ldots, k} \right)</math> που αντιστοιχεί σε αυτές τις επιλογές δεικτών συμβολίζεται <math>\det_{I,J} A</math> ή <math>\det A_{I, J}</math> ή <math>[A]_{I,J}</math> or <math>M_{I,J}</math> ή <math>M_{i_1, i_2, \ldots, i_k, j_1, j_2, \ldots, j_k}</math> or <math>M_{(i),(j)}</math> (όπου το <math>(i)</math> δηλώνει την ακολουθία των δεικτών *I*, κ.λπ.), ανάλογα με την πηγή. Επίσης, υπάρχουν δύο τύποι ονομασιών που χρησιμοποιούνται στη βιβλιογραφία: με το δευτερεύον που σχετίζεται με διατεταγμένες ακολουθίες δεικτών *I* και *J*, ορισμένοι συγγραφείς  
εννοούν την ορίζουσα του πίνακα που σχηματίζεται όπως παραπάνω, παίρνοντας τα στοιχεία του αρχικού πίνακα από τις γραμμές των οποίων οι δείκτες βρίσκονται στο *I* και τις στήλες των οποίων οι δείκτες βρίσκονται στο *J*, ενώ κάποιοι άλλοι συγγραφείς εννοούν με τον μικρό που συνδέεται με τα *I* και *J* την ορίζουσα του πίνακα που σχηματίζεται από τον αρχικό πίνακα διαγράφοντας τις γραμμές στο *I* και τις στήλες στο *J*. Ποιος συμβολισμός χρησιμοποιείται θα πρέπει πάντα να ελέγχεται από την εκάστοτε πηγή. Σε αυτό το άρθρο, χρησιμοποιούμε τον περιεκτικό ορισμό της επιλογής των στοιχείων από τις γραμμές του *I* και τις στήλες του *J*. Η εξαιρετική περίπτωση είναι η περίπτωση της πρώτης ελάσσονος ή της (*i*, *j*)-ελάσσονος που περιγράφηκε παραπάνω- στην περίπτωση αυτή, η αποκλειστική έννοια <math display="inline">M_{i,j} = \det \left( \left( A_{p,q} \right)_{p \neq i, q \neq j} \right)</math> είναι συνηθισμένη παντού στη βιβλιογραφία και χρησιμοποιείται και σε αυτό το άρθρο.

===Συμπλήρωμα===

Το συμπλήρωμα, *Bijk...,pqr...*, ενός ελάσσονος, *Mijk...,pqr...*, από έναν τετραγωνικό πίνακα, A, σχηματίζεται από τον προσδιοριστή του πίνακα A από τον οποίο έχουν αφαιρεθεί όλες οι γραμμές (*ijk...*) και οι στήλες (*pqr...*) που σχετίζονται με τον *Mijk...,pqr...* Το συμπλήρωμα της πρώτης ελάσσονος ενός στοιχείου aij είναι απλώς το στοιχείο αυτό.

==Εφαρμογές των μειζόνων και των συμπαράγοντων==

===Συντελεστής επέκτασης της ορίζουσας===
Οι συντελεστές έχουν εξέχουσα θέση στον τύπο του [[Πιερ-Σιμόν ντε Λαπλάς|Λαπλάς]] για το ανάπτυγμα των οριζουσών, που είναι μια μέθοδος υπολογισμού μεγαλύτερων οριζουσών ως προς τις μικρότερες. Δεδομένου ενός  πίνακα <math>A = (a_{ij})</math>, ο προσδιοριστής του *A*, που συμβολίζεται με det(*A*), μπορεί να γραφεί ως το άθροισμα των συντελεστών κάθε γραμμής ή στήλης του πίνακα πολλαπλασιασμένο με τις εγγραφές που τις δημιούργησαν. Με άλλα λόγια, ορίζοντας <math>C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}</math> τότε το ανάπτυγμα του συμπαράγοντα κατά μήκος της *j*-th στήλης δίνει:

:<math>\ \det(\mathbf A) = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + a_{3j}C_{3j} + \cdots + a_{nj}C_{nj} = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij} = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}(-1)^{i+j} M_{ij}  </math>

Το ανάπτυγμα του συντελεστή κατά μήκος της *i*th  γραμμής δίνει:

:<math>\ \det(\mathbf A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + a_{i3}C_{i3} + \cdots + a_{in}C_{in} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij} =\sum_{j=1}^{n} a_{ij} (-1)^{i+j} M_{ij} </math>

==Αντιστρέψιμος πίνακας== 
Κύριο άρθρο : [[Αντιστρέψιμος πίνακας]]

Μπορεί κανείς να γράψει τον αντίστροφο ενός αντιστρέψιμου πίνακα υπολογίζοντας τους συντελεστές του χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Κραμέρ, ως εξής. Ο πίνακας που σχηματίζεται από όλους τους συντελεστές ενός τετραγωνικού πίνακα *'A** ονομάζεται πίνακας συντελεστών (επίσης ονομάζεται πίνακας συντελεστών ή, μερικές φορές, πίνακας comatrix):

:<math>\mathbf C=\begin{bmatrix}
    C_{11}  & C_{12} & \cdots &   C_{1n}   \\
    C_{21}  & C_{22} & \cdots &   C_{2n}   \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    C_{n1}  & C_{n2} & \cdots &  C_{nn}
\end{bmatrix} </math>

Τότε ο αντίστροφος του **Α**' είναι ο μεταθετικός πίνακας του συμπαράγοντα επί το αντίστροφο του προσδιοριστή του **Α**:

:<math>\mathbf A^{-1} = \frac{1}{\operatorname{det}(\mathbf A)} \mathbf C^\mathsf{T}.</math>

Ο αντιμεταθετικός πίνακας του συμπαράγοντα ονομάζεται συγγενής πίνακας (επίσης ονομάζεται ''κλασικός συγγενής'') του **A**.

Ο παραπάνω τύπος μπορεί να γενικευτεί ως εξής: Έστω <math>1 \le i_1 < i_2 < \ldots < i_k \le n</math> και <math>1 \le j_1 < j_2 < \ldots < j_k \le n</math> διατεταγμένες ακολουθίες (με φυσική σειρά) δεικτών (εδώ **A** είναι ένας ''n''&thinsp;×&thinsp;''n'' πίνακας). Τότε 

:<math>[\mathbf A^{-1}]_{I,J} = \pm\frac{[\mathbf A]_{J',I'}}{\det \mathbf A},</math>

όπου ''I′'', ''J′'' συμβολίζουν τις διατεταγμένες ακολουθίες δεικτών (οι δείκτες είναι σε φυσική σειρά μεγέθους, όπως παραπάνω) συμπληρωματικές των ''I'', ''J'', έτσι ώστε κάθε δείκτης 1, ... , ''n'' εμφανίζεται ακριβώς μία φορά είτε στο ''I'' είτε στο ''I′'', αλλά όχι και στα δύο (ομοίως για τα ''J'' και ''J′'') και <math>[\mathbf A]_{I,J}</math> συμβολίζει τον προσδιοριστή του υποπίνακα του **A**' που σχηματίζεται επιλέγοντας τις γραμμές του συνόλου δεικτών ''I'' και τις στήλες του συνόλου δεικτών ''J''. Επίσης, <math>[\mathbf A]_{I,J} = \det \left( (A_{i_p, j_q})_{p,q = 1, \ldots, k} \right)</math>. Μια απλή απόδειξη μπορεί να δοθεί χρησιμοποιώντας το σφηνοειδές γινόμενο. Πράγματι,

:<math>[\mathbf A^{-1}]_{I,J}(e_1\wedge\ldots \wedge e_n) = \pm(\mathbf A^{-1}e_{j_1})\wedge \ldots \wedge(\mathbf A^{-1}e_{j_k})\wedge e_{i'_1}\wedge\ldots \wedge e_{i'_{n-k}}, </math>

όπου <math>e_1, \ldots, e_n</math> είναι τα διανύσματα βάσης. Ενεργώντας με το **A** και στις δύο πλευρές, έχουμε

:<math>[\mathbf A^{-1}]_{I,J}\det \mathbf A (e_1\wedge\ldots \wedge e_n) = \pm (e_{j_1})\wedge \ldots \wedge(e_{j_k})\wedge (\mathbf A e_{i'_1})\wedge\ldots \wedge (\mathbf A e_{i'_{n-k}})=\pm [\mathbf A]_{J',I'}(e_1\wedge\ldots \wedge e_n). </math>

Το πρόσημο μπορεί να υπολογιστεί ως εξής: <math>(-1)^{ \sum_{s=1}^{k} i_s - \sum_{s=1}^{k} j_s}</math>, οπότε το πρόσημο καθορίζεται από τα αθροίσματα των στοιχείων στα ''I'' και ''J''.

===Άλλες εφαρμογές===
Δεδομένου ενός ''m''&thinsp;×&thinsp;''n'' πίνακα με καταχωρήσεις [[πραγματικός αριθμός]] (ή καταχωρήσεις από οποιοδήποτε άλλο πεδίο (μαθηματικά) και βαθμό (θεωρία πινάκων) ''r'', τότε υπάρχει τουλάχιστον ένας μη μηδενικός ''r''&thinsp;×&thinsp;''r'' δευτερεύων, ενώ όλοι οι μεγαλύτεροι δευτερεύοντες είναι μηδενικοί.

Θα χρησιμοποιούμε τον ακόλουθο συμβολισμό για τις ελάσσονες: αν ο **Α** είναι ένας πίνακας ''m''&thinsp;×&thinsp;''n'', το ''Ι'' είναι ένα υποσύνολο του {1,...,''m''} με ''k'' στοιχεία, και το ''J'' είναι ένα υποσύνολο του {1,...,''n''} με ''k'' στοιχεία, τότε γράφουμε [**A**]<sub>''I'',''J''</sub> για την ''k''&thinsp;×&thinsp;''k'' ελάσσονη του **Α** που αντιστοιχεί στις γραμμές με δείκτη στο ''Ι'' και στις στήλες με δείκτη στο J.

* Αν ''I'' = ''J'', τότε [**A**]<sub>''I'',''J''</sub> ονομάζεται ''κύρια ελάσσονα''.
* Εάν ο πίνακας που αντιστοιχεί σε ένα κύριο δευτερεύον είναι ένας τετραγωνικός άνω αριστερός [[Πίνακας (μαθηματικά)#Υποπίνακας|υποπίνακας]] του μεγαλύτερου πίνακα (δηλαδή, αποτελείται από στοιχεία του πίνακα σε γραμμές και στήλες από το 1 έως το ''k'', επίσης γνωστός ως κορυφαίος κύριος υποπίνακας), τότε ο κύριος δευτερεύων ονομάζεται ''κορυφαίος κύριος δευτερεύων (τάξης k)'' ή ''γωνιακός (κύριος) δευτερεύων (τάξης k)''. Για έναν ''n''&thinsp;×&thinsp;''n'' τετραγωνικό πίνακα, υπάρχουν ''n'' κορυφαία κύρια ελάσσονες. 
* Ένα ''βασικό ελάσσων'' ενός πίνακα είναι ο προσδιοριστής ενός τετραγωνικού υποπίνακα μέγιστου μεγέθους με μη μηδενικό προσδιοριστή.
* Για τους Ερμιτιανούς πίνακες, τα κορυφαία κύρια ελάχιστα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον έλεγχο της θετικής οριστικότητας και τα κύρια ελάχιστα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον έλεγχο της θετικής ημι-οριστικότητας. Δείτε το κριτήριο του Σιλβέστερ για περισσότερες λεπτομέρειες.

Τόσο ο τύπος για τον συνηθισμένο πολλαπλασιασμό πινάκων όσο και ο τύπος των Κωσύ-Μπινέ για τον προσδιοριστή του γινομένου δύο πινάκων είναι ειδικές περιπτώσεις της ακόλουθης γενικής δήλωσης για τα ελάσσονες ενός γινομένου δύο πινάκων.
Ας υποθέσουμε ότι **A** είναι ένας ''m''&thinsp;×&thinsp;''n'' πίνακας, **B** είναι ένας ''n''&thinsp;×&thinsp;''p'' πίνακας, ''I'' είναι ένα [[υποσύνολο]] του {1,. ..,''m''} με ''k'' στοιχεία και ''J'' είναι ένα υποσύνολο του {1,...,''p''} με ''k'' στοιχεία. Τότε
:<math>[\mathbf{AB}]_{I,J} = \sum_{K} [\mathbf{A}]_{I,K} [\mathbf{B}]_{K,J}\,</math>
όπου το άθροισμα επεκτείνεται σε όλα τα υποσύνολα ''K'' του {1,...,''n''} με ''k'' στοιχεία. Ο τύπος αυτός είναι μια απλή επέκταση του τύπου Κωσύ-Μπινέ.

==Προσέγγιση πολυγραμμικής άλγεβρας==

Μια πιο συστηματική, αλγεβρική αντιμετώπιση των ελάσσονων δίνεται στην [[πολυγραμμική άλγεβρα]], χρησιμοποιώντας το προϊόν της σφήνας: οι ''k''-ελάσσονες ενός πίνακα είναι οι καταχωρήσεις στον ''k''-οστό εξωτερικό χάρτη δύναμης.

Αν οι στήλες ενός πίνακα σφηνωθούν ''k'' κάθε φορά, τα ''k''&thinsp;×&thinsp;''k''-μείοντα εμφανίζονται ως οι συνιστώσες των ''k''-διανυσμάτων που προκύπτουν. Παραδείγματος χάριν, τα 2&thinsp;×&thinsp;2 minors του πίνακα

:<math>\begin{pmatrix}
1 & 4 \\
3 & \!\!-1 \\
2 & 1 \\
\end{pmatrix}</math>
είναι -13 (από τις δύο πρώτες σειρές), -7 (από την πρώτη και την τελευταία σειρά) και 5 (από τις δύο τελευταίες σειρές). Τώρα εξετάστε το σφηνοειδές γινόμενο
:<math>(\mathbf{e}_1 + 3\mathbf{e}_2 +2\mathbf{e}_3)\wedge(4\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_2+\mathbf{e}_3)</math>
όπου οι δύο εκφράσεις αντιστοιχούν στις δύο στήλες του πίνακα μας. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του σφηνοειδούς γινομένου, δηλαδή ότι είναι διγραμμικός και αλλακτικός,
:<math>\mathbf{e}_i\wedge \mathbf{e}_i = 0,</math>
και αντισυμμετρικότητα, 
:<math>\mathbf{e}_i\wedge \mathbf{e}_j = - \mathbf{e}_j\wedge \mathbf{e}_i,</math>
μπορούμε να απλοποιήσουμε αυτή την έκφραση ως εξής
:<math> -13 \mathbf{e}_1\wedge \mathbf{e}_2 -7 \mathbf{e}_1\wedge \mathbf{e}_3 +5 \mathbf{e}_2\wedge \mathbf{e}_3</math>
όπου οι συντελεστές συμφωνούν με τους ελάσσονες που υπολογίστηκαν προηγουμένως.

==Μια παρατήρηση σχετικά με τη διαφορετική σημειογραφία==
Σε ορισμένα βιβλία, αντί του όρου ''συμπαράγοντας'' χρησιμοποιείται ο όρος ''συμπλήρωμα''.  Επιπλέον, συμβολίζεται ως **A***ij* και ορίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως ο συμπαράγοντας:
::\mathbf{A}_{ij} = (-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ij}

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον συμβολισμό ο αντίστροφος πίνακας γράφεται ως εξής:
:\mathbf{M}^{-1} = \frac{1}{\det(M)}\begin{bmatrix}
    A_{11}  & A_{21} & \cdots &   A_{n1}   \\
    A_{12}  & A_{22} & \cdots &   A_{n2}   \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    A_{1n}  & A_{2n} & \cdots &  A_{nn}
\end{bmatrix} 

Λάβετε υπόψιν ότι το συζυγής δεν είναι ρυθμίσιμος ή προσαρμόσιμος. Στη σύγχρονη ορολογία, το "προσκείμενο" ενός πίνακα αναφέρεται συχνότερα στον αντίστοιχο προσκείμενο τελεστή.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors at Google Video, from MIT OpenCourseWare
* PlanetMath entry of ''Cofactors'' 
* Springer Encyclopedia of Mathematics entry for ''Minor''

## Δείτε επίσης
*Ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές
*Πίνακας (μαθηματικά)
*Ταυτοτικός πίνακας

## Παραπομπές

 

 
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων
Κατηγορία:Ορίζουσες