Σύνολο Multibrot

μικρογραφία|358x358εσ|Μίνι multibrot σύνολο
μικρογραφία|Βίντεο που παρουσιάζει το φράκταλ Multibrot
Στα μαθηματικά, το **σύνολο Multibrot** είναι το σύνολο των τιμών του μιγαδικού επιπέδου, του οποίου η απόλυτη τιμή παραμένει μικρότερη από μια πεπερασμένη τιμή καθ' όλη τη διάρκεια των επαναλήψεων ενός μέλους της γενικής μονικής μονοσήμαντης πολυωνυμικής οικογένειας αναδρομών. Το όνομα προκύπτει από τις λέξεις multiple (πολλαπλό) και Mandelbrot set (σύνολο Μάντελμπροτ). Το ίδιο μπορεί να εφαρμοστεί και στο σύνολο Julia, το οποίο στην περίπτωση αυτή ονομάζεται σύνολο **Multijulia**.

: z \mapsto z^d + c . \, 

όπου *d*&nbsp;≥&nbsp;2.  Ο εκθέτης *d* μπορεί να γενικευτεί σε αρνητικές και κλασματικές τιμές .

## Παραδείγματα

Η περίπτωση της

:  d = 2\,

είναι το κλασικό σύνολο Μάντελμπροτ, από το οποίο προέρχεται και το όνομά του.

Τα σύνολα για άλλες τιμές του d παρουσιάζουν επίσης εικόνες φράκταλ όταν απεικονίζονται στο μιγαδικό επίπεδο.

Καθένα από τα παραδείγματα διαφόρων δυνάμεων *d* που παρουσιάζονται παρακάτω απεικονίζεται στην ίδια κλίμακα. Οι τιμές του *c* που ανήκουν στο σύνολο είναι μαύρες. Οι τιμές του *c* που έχουν απεριόριστη τιμή υπό αναδρομή, και επομένως δεν ανήκουν στο σύνολο, απεικονίζονται με διαφορετικά χρώματα, τα οποία εμφανίζονται ως περιγράμματα, ανάλογα με τον αριθμό των αναδρομών που προκάλεσαν την υπέρβαση μιας τιμής σε ένα σταθερό μέγεθος στον αλγόριθμο χρόνου διαφυγής (Escape Time).

### Θετικές δυνάμεις
Το παράδειγμα   είναι το αρχικό Σύνολο Μάντελμπροτ. Τα παραδείγματα για  συχνά ονομάζονται *σύνολα multibrot*. Αυτά τα σύνολα περιλαμβάνουν την αρχή και έχουν περιμετρικά φράκταλ, με  πλάσια περιστροφική συμμετρία.

### Αρνητικές δυνάμεις
Αρνητικές δυνάμεις
Όταν το *d* είναι αρνητικό, το σύνολο φαίνεται να περιβάλλει την αρχή, αλλά δεν την περιλαμβάνει. Ωστόσο, αυτό είναι απλώς ένα αποτέλεσμα της σταθερής μέγιστης ακτίνας που επιτρέπεται από τον αλγόριθμο του χρόνου διαφυγής και δεν αποτελεί όριο των συνόλων που στην πραγματικότητα έχουν σχήμα στη μέση χωρίς κενό (μπορείτε να το δείτε αυτό χρησιμοποιώντας τον εκθέτη Λιαπούνωφ [Δεν υπάρχει κενό επειδή η αρχή αποκλίνει στο άπειρο και όχι στο άπειρο επειδή η αρχή {0 ή 0+0i} που λαμβάνεται σε αρνητική δύναμη γίνεται απροσδιόριστη]). Τα περιγράμματα μεταξύ του συνόλου και της αρχής παρουσιάζουν μια ενδιαφέρουσα σύνθετη συμπεριφορά, σε μια περιοχή σε σχήμα αστεριού με  περιστροφική συμμετρία. Τα σύνολα φαίνεται να έχουν κυκλική περίμετρο, αλλά αυτό είναι απλώς ένα τεχνούργημα της σταθερής μέγιστης ακτίνας που επιτρέπει ο αλγόριθμος χρόνου διαφυγής (Escape Time), και όχι ένα όριο των συνόλων, τα οποία στην πραγματικότητα εκτείνονται προς όλες τις κατευθύνσεις στο άπειρο.

### Κλασματικές δυνάμεις
Η ενσωμάτωση των κλασματικών δυνάμεων δεν δείχνει κάτι ιδιαίτερο, εκτός από την εμφάνιση των αξόνων συμμετρίας που παρατηρούνται με τις ακέραιες δυνάμεις. Η μετάβαση φαίνεται κανονική, με τον νέο άξονα να "εμφανίζεται" χωρίς να προκαλεί ανωμαλίες σε σχέση με τα σχήματα που είχαν ληφθεί προηγουμένως.

### Απεικόνιση κατά μήκος του εκθέτη
Μια εναλλακτική μέθοδος είναι η απόδοση του εκθέτη κατά μήκος του κατακόρυφου άξονα. Αυτό απαιτεί είτε τον καθορισμό της πραγματικής είτε της φανταστικής τιμής και την απόδοση της υπόλοιπης τιμής κατά μήκος του οριζόντιου άξονα. Το σύνολο που προκύπτει ανεβαίνει κατακόρυφα από την αρχή σε μια στενή στήλη μέχρι το άπειρο. Η μεγέθυνση αποκαλύπτει την αυξανόμενη πολυπλοκότητα. Το πρώτο εμφανές εξόγκωμα ή αιχμή παρατηρείται σε εκθέτη 2, τη θέση του παραδοσιακού συνόλου Μάντελμπροτ στη διατομή του. Η τρίτη εικόνα εδώ αποδίδεται σε ένα επίπεδο που έχει οριστεί σε γωνία 45 μοιρών μεταξύ του πραγματικού και του φανταστικού άξονα.

## Επεξεργασία εικόνων
μικρογραφία|Διευρυμένο πρώτο τεταρτημόριο του συνόλου multibrot για την επανάληψη z ↦ z-2 + c που αποδίδεται με τον αλγόριθμο του Χρόνου διαφυγής.
Όλες οι παραπάνω εικόνες απεικονίζονται με τη χρήση ενός αλγορίθμου Χρόνου Διαφυγής (Escape Time), ο οποίος αναγνωρίζει με απλό τρόπο τα σημεία εκτός του συνόλου. Πολύ μεγαλύτερη λεπτομέρεια του φράκταλ αποκαλύπτεται με την απεικόνιση του εκθέτη Λιαπούνωφ, όπως φαίνεται στο παρακάτω παράδειγμα. Ο εκθέτης Λιαπούνωφ είναι ο ρυθμός αύξησης του σφάλματος μιας δεδομένης ακολουθίας. Υπολογίστε πρώτα την ακολουθία επανάληψης με Ν επαναλήψεις, και στη συνέχεια υπολογίστε τον εκθέτη ως εξής

:  \lambda = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \ln | \mathbf{z}| 

και αν ο εκθέτης είναι αρνητικός, η ακολουθία είναι σταθερή. Τα λευκά εικονοστοιχεία στην εικόνα είναι οι παράμετροι *c* για τις οποίες ο εκθέτης είναι θετικός ή αλλιώς ασταθής. Τα χρώματα δείχνουν τις περιόδους των κύκλων στις οποίες έλκονται οι τροχιές. Όλα τα σημεία με σκούρο μπλε χρώμα (εξωτερικά) έλκονται από ένα σταθερό σημείο, όλα τα σημεία στη μέση (ανοιχτότερο μπλε) έλκονται από έναν κύκλο περιόδου 2 και ούτω καθεξής.

### Ψευδοκώδικας
μικρογραφία|Διευρυμένο πρώτο τεταρτημόριο του συνόλου multibrot για την επανάληψη z ↦ z-2 + c που αποδίδεται χρησιμοποιώντας τον εκθέτη Λιαπούνωφ της ακολουθίας ως κριτήριο ευστάθειας και όχι τον αλγόριθμο χρόνου διαφυγής. Ο έλεγχος περιοδικότητας χρησιμοποιήθηκε για το χρωματισμό του συνόλου σύμφωνα με την περίοδο των κύκλων των τροχιών.
 ESCAPE TIME ALGORITHM
 
 
 **for each** pixel on the screen **do**
     x = x0 = x co-ordinate of pixel
     y = y0 = y co-ordinate of pixel
   
     iteration := 0
     max_iteration := 1000
   
     **while** (x*x + y*y ≤ (2*2) **and** iteration 

 
 
Κατηγορία:Φράκταλ