Κατηγορία πινάκων

Στα μαθηματικά, η **κατηγορία των πινάκων**,  είναι η κατηγορία της οποίας τα αντικείμενα είναι φυσικοί αριθμοί και οι μορφισμοί είναι πίνακες, με σύνθεση που δίνεται από τον πολλαπλασιασμό πινάκων.

## Κατασκευή

Ας υποθέσουμε ότι A είναι ένας πραγματικός πίνακας n\times m, δηλαδή ένας πίνακας με n γραμμές και m στήλες. 
Δεδομένου ενός πίνακα p\times q B, μπορούμε να σχηματίσουμε τον πίνακα πολλαπλασιασμού BA ή B\circ A μόνο όταν q=n, και σε αυτή την περίπτωση ο πίνακας που προκύπτει έχει διάσταση p\times m. 

Με άλλα λόγια, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τους πίνακες A και B μόνο όταν ο αριθμός των γραμμών του A ταιριάζει με τον αριθμό των στηλών του B. 
Μπορεί κανείς να θυμάται αυτό το γεγονός δηλώνοντας ότι ένας πίνακας n\times m είναι τύπου m\to n και, ομοίως, ότι ένας πίνακας  p\times q είναι τύπου q\to p. Με αυτόν τον τρόπο, όταν q=n, τα δύο βέλη έχουν την ίδια πηγή και τον ίδιο προορισμό, m\to n\to p, και μπορούν επομένως να συντεθούν σε ένα βέλος τύπου m\to p.

Αυτό αποτυπώνεται με ακρίβεια στη μαθηματική έννοια της κατηγορίας, όπου τα βέλη, ή μορφισμοί, είναι οι πίνακες, και μπορούν να συντεθούν μόνο όταν η περιοχή και η συμπεριοχή τους είναι συμβατές (όπως ακριβώς συμβαίνει με τις συναρτήσεις). Αναλυτικά, η κατηγορία \mathbf{Mat}_\mathbb{R} κατασκευάζεται ως εξής:

* Έχει ως αντικείμενα τους φυσικούς αριθμούς.

* Δεδομένων των αριθμών m και n,  ένας μορφισμός m\to n  είναι ένας πίνακας n\times m δηλαδή ένας πίνακας με n γραμμές και  m  στήλες.

* Ο ταυτοτικός μορφισμός σε κάθε αντικείμενο  n  δίνεται από τον  n\times n  ταυτοτικό πίνακα.

* Η σύνθεση των μορφισμών A:m\to n και B:n\to p (δηλαδή των πινάκων n\times m και p\times n) δίνεται από τον πολλαπλασιασμό πινάκων.

Γενικότερα, μπορεί κανείς να ορίσει την κατηγορία \mathbf{Mat}_\mathbb{F} των πινάκων πάνω σε ένα σταθερό σώμα  \mathbb{F}, όπως αυτό των μιγαδικών αριθμών.

## Ιδιότητες

* Η κατηγορία των πινάκων \mathbf{Mat}_\mathbb{R} είναι ισοδύναμη με την κατηγορία των πεπερασμένων διαστάσεων πραγματικών διανυσματικών χώρων και γραμμικών απεικονίσεων. Αυτό αποδεικνύεται από τον συναρτητή που αντιστοιχεί τον αριθμό n στον διανυσματικό χώρο \mathbb{R}^n και έναν πίνακα n\times m στην αντίστοιχη γραμμική απεικόνιση \mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n.  Μια πιθανή ερμηνεία αυτού του γεγονότος είναι ότι, ως μαθηματικές θεωρίες, οι αφηρημένοι πεπερασμένοι διανυσματικοί χώροι και οι συγκεκριμένοι πίνακες έχουν την ίδια εκφραστική δύναμη.

* Γενικότερα, η κατηγορία των πινάκων \mathbf{Mat}_\mathbb{F} είναι ισοδύναμη με την κατηγορία των πεπερασμένων διαστάσεων διανυσματικών χώρων πάνω στο σώμα \mathbb{F} και των \mathbb{F}-γραμμικών απεικονίσεων.

* Μια γραμμική πράξη γραμμής σε έναν πίνακα n\times m A μπορεί να επιτευχθεί εξίσου εφαρμόζοντας την ίδια πράξη στον ταυτοτικό πίνακα n\times n και στη συνέχεια πολλαπλασιάζοντας τον πίνακα n\times n που προκύπτει με τον πίνακα A. Συγκεκριμένα, οι στοιχειώδεις πράξεις γραμμής αντιστοιχούν σε στοιχειώδεις πίνακες. Αυτό το γεγονός μπορεί να θεωρηθεί ως ένα παράδειγμα του λήμματος Γιονέντα για την κατηγορία των πινάκων. 

* Η πράξη της μετάθεσης καθιστά την κατηγορία των πινάκων μια κατηγορία dagger. Το ίδιο ισχύει και για τη συζυγή μετάθεση στην περίπτωση των μιγαδικών αριθμών.

## Ειδικές υποκατηγορίες

* Για κάθε σταθερό n, οι μορφισμοί n\to n του \mathbf{Mat}_\mathbb{R} είναι οι πίνακες n\times n και σχηματίζουν ένα μονοειδές, κανονικά ισομορφικό με το μονοειδές των γραμμικών ενδομορφισμών του \mathbb{R}^n. Συγκεκριμένα, οι αντιστρέψιμοι πίνακες n\times n σχηματίζουν μια ομάδα. Το ίδιο ισχύει και για ένα γενικό σώμα \mathbb{F}.

* Ένας στοχαστικός πίνακας είναι ένας πραγματικός πίνακας με μη αρνητικές τιμές, έτσι ώστε το άθροισμα κάθε στήλης να είναι ένα. Οι στοχαστικοί πίνακες περιλαμβάνουν την ταυτότητα και είναι κλειστοί υπό σύνθεση, και έτσι αποτελούν μια υποκατηγορία του \mathbf{Mat}_\mathbb{R}.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή κατηγορία
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
*
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
* 

*
*
*
*
* 
*

*
*Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
*
*
*
* 
* 
* Categorical programming with inductive and coinductive types () by Varmo Vene
* Philip Wadler: Recursive types for free! () University of Glasgow, June 1990. Draft.
* Algebra and coalgebra () from CLiki
* B. Jacobs, J. Rutten: A Tutorial on (Co) Algebras and (Co) Induction. Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, vol. 62, 1997, 
* Understanding F-Algebras () by Bartosz Milewski
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Γενική τοπολογία 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα