Πίνακας Μπεζού

Στα μαθηματικά, ένας **πίνακας Μπεζού** είναι ένας ειδικός τετραγωνικός πίνακας που σχετίζεται με δύο πολυώνυμα, ο οποίος εισήχθη από τον Τζέιμς Τζόζεφ Συλβέστερ το 1853 και τον Άρθουρ Κέιλι το 1857 και πήρε το όνομά του από τον Ετιέν Μπεζού.  
Ο πίνακας Μπεζού μπορεί επίσης να αναφέρεται στην ορίζουσα αυτού του πίνακα, η οποία είναι ίση με την απαλείφουσα των δύο πολυωνύμων. Οι πίνακες Μπεζού χρησιμοποιούνται μερικές φορές για τον έλεγχο της σταθερότητας ενός συγκεκριμένου πολυωνύμου.

## Ορισμός
Έστω f(z) και g(z) δύο μιγαδικά πολυώνυμα βαθμού το πολύ *n*,

:f(z) = \sum_{i=0}^n u_i z^i,\qquad g(z) = \sum_{i=0}^n v_i z^i.

(Να σημειωθεί ότι οποιοσδήποτε συντελεστής u_i ή v_i θα μπορούσε να είναι μηδέν). Ο **πίνακας Μπεζού** τάξης *n* που σχετίζεται με τα πολυώνυμα *f* και *g* είναι 

:B_n(f,g)=\left(b_{ij}\right)_{i,j=0,\dots,n-1}

όπου οι καταχωρήσεις b_{ij} προκύπτουν από την ταυτότητα

:
  \frac{f(x)g(y)-f(y)g(x)}{x-y}
     =\sum_{i,j=0}^{n-1} b_{ij}\,x^{i}\,y^{j}.


Είναι ένας *n*&thinsp;×&thinsp;*n* μιγαδικός πίνακας και οι καταχωρήσεις του είναι τέτοιες ώστε αν αφήσουμε m_{ij} = \min\{i,n-1-j\} για κάθε i, j = 0, \dots, n-1, τότε:

:b_{ij}=\sum_{k=0}^{m_{ij}}(u_{j+k+1}v_{i-k}-u_{i-k}v_{j+k+1}).

Σε κάθε πίνακα Μπεζού, μπορεί κανείς να συσχετίσει την ακόλουθη διγραμμική μορφή, που ονομάζεται Μπεζουτιανή:

:\operatorname{Bez}: \mathbb{C}^n\times\mathbb{C}^n \to \mathbb{C}: (x,y)\mapsto \operatorname{Bez}(x,y) = x^{*}B_n(f,g)\,y.

## Παραδείγματα
* Για *n*&nbsp;=&nbsp;3, έχουμε για κάθε πολυώνυμο *f* και *g* βαθμού (το πολύ) 3:

::B_3(f,g)=\left[\begin{matrix}u_1v_0-u_0 v_1 & u_2 v_0-u_0 v_2 & u_3 v_0-u_0 v_3\\u_2 v_0-u_0 v_2 & u_2v_1-u_1v_2+u_3v_0-u_0v_3 & u_3 v_1-u_1v_3\\u_3v_0-u_0v_3 & u_3v_1-u_1v_3 & u_3v_2-u_2v_3\end{matrix}\right]\!.

* Έστω f(x) = 3x^3-x και g(x) = 5x^2+1 τα δύο πολυώνυμα.  Τότε:

::B_4(f,g)=\left[\begin{matrix}-1 & 0 & 3 & 0\\0 &8 &0 &0 \\3 & 0 & 15 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]\!.

Η τελευταία γραμμή και στήλη είναι όλες μηδενικές καθώς οι *f* και *g* έχουν βαθμό αυστηρά μικρότερο από το *n* (που είναι 4).  Οι άλλες μηδενικές καταχωρήσεις είναι επειδή για κάθε i = 0, \dots, n, είτε u_i or v_i είναι μηδέν.

## Ιδιότητες
* B_n(f,g) είναι συμμετρικός (ως πίνακας),
* B_n(f,g) = -B_n(g,f),
* B_n(f,f) = 0,
* (f, g) \mapsto B_n(f,g) είναι μια διγραμμική συνάρτηση,
* B_n(f,g) είναι ένας πραγματικός πίνακας αν οι *f* και *g* έχουν πραγματικούς συντελεστές,
* Ο B_n(f,g) είναι μη γωνιακός με n=\max(\deg(f),\deg(g)) αν και μόνο αν οι *f* και *g* δεν έχουν κοινές ρίζες.
* Η B_n(f,g) με n = \max(\deg(f),\deg(g)) έχει ορίζουσα που είναι η απαλείφουσα των *f* και *g*.

## Εφαρμογές
Μια σημαντική εφαρμογή των πινάκων Μπεζού μπορεί να βρεθεί στη θεωρία ελέγχου.  Για να το δούμε αυτό, έστω *f*(*z*) ένα μιγαδικό πολυώνυμο βαθμού *n* και συμβολίζουμε με *q* και *p* τα πραγματικά πολυώνυμα έτσι ώστε *f*(i*y*)&nbsp;=&nbsp;*q*(*y*)&nbsp;+&nbsp;i*p*(*y*) (όπου *y* είναι πραγματικό).  Συμβολίζουμε επίσης *r* για το rank και *&sigma;* για την υπογραφή του B_n(p,q).  Τότε, έχουμε τις ακόλουθες προτάσεις:

* Η *f*(*z*) έχει *n*&nbsp;-&nbsp;*r* ρίζες κοινές με τη συζυγή της,
* οι αριστερές *r* ρίζες της *f*(*z*) βρίσκονται με τέτοιο τρόπο ώστε:
** (*r*&nbsp;+&nbsp;*&sigma;*)/2 από αυτές βρίσκονται στο ανοικτό αριστερό ημιεπίπεδο, και
** (*r*&nbsp;-&nbsp;*&sigma;*)/2 βρίσκονται στο ανοικτό δεξιό ημιεπίπεδο,
* Η *f* είναι σταθερή κατά Χούρβιτς αν και μόνο αν η B_n(p,q) είναι θετικά ορισμένη.

Η τρίτη δήλωση παρέχει μια αναγκαία και επαρκή συνθήκη σχετικά με τη σταθερότητα. Εξάλλου, η πρώτη δήλωση παρουσιάζει κάποιες ομοιότητες με ένα αποτέλεσμα που αφορά τους πίνακες του Συλβέστερ, ενώ η δεύτερη μπορεί να συσχετιστεί με το θεώρημα των Ρουθ-Χούρβιτς.

## Δείτε επίσης

* Field Arithmetic
* Πραγματικό προβολικό επίπεδο
* Εσωτερικό γινόμενο 
* Αντιερμιτιανός πίνακας
* Πίνακας (μαθηματικά)
* Τριγωνικός πίνακας
* Πραγματικός αριθμός
* Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
* Θεωρία ελέγχου
* Τζέιμς Τζόσεφ Συλβέστερ
* Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα
* High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
* Algorithm overview

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*Matrix calculator
* Matrix Analysis
* Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
* Integral Matrices
* An Introduction to Computational Physics
* Computer Algebra in Scientific Computing: 25th International Workshop, CASC ...
* Applications of Computational Algebraic Geometry
* Numerical Methods for Structured Matrices and Applications: The Georg Heinig ...
* Handbook of Computer Aided Geometric Design

## Δημοσιεύσεις

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


*
*
* 
* 
*

 

Κατηγορία:Αριθμητική ανάλυση
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων
Κατηγορία:Πολυώνυμα