Δακτυλιωτός τόπος

Στα μαθηματικά, ένας **δακτυλιωτός τόπος** είναι μια γενίκευση ενός δακτυλιωτού χώρου- δηλαδή, η έννοια προκύπτει αντικαθιστώντας έναν "τοπολογικό χώρο"με έναν "τόπο". Η έννοια του δακτυλιωτού τόπου έχει εφαρμογές στη θεωρία παραμόρφωσης στην αλγεβρική γεωμετρία (βλ. συνεφαπτόμενο σύμπλεγμα ) και στη μαθηματική θεμελίωση της κβαντομηχανικής. Στο τελευταίο θέμα, ένας τόπος Μπορ είναι ένας δακτυλιωτός τόπος που παίζει το ρόλο ενός κβαντικού χώρου φάσεων

Ο ορισμός του τόπου-έκδοχης ενός "τοπικά δακτυλιωτού χώρου" δεν είναι απλός, καθώς η έννοια του "τοπικού" σε αυτό το πλαίσιο δεν είναι αυτονόητη. Κάποιος μπορεί να εισαγάγει την έννοια ενός τοπικά δακτυλιωτού τόπου εισάγοντας ένα είδος γεωμετρικών συνθηκών τοπικών δακτυλίων (βλ. SGA4, Έκθεση IV, Άσκηση 13.9), το οποίο είναι ισοδύναμο με τη διατύπωση ότι όλα τα στελέχη του αντικειμένου δακτυλίου δομής είναι τοπικοί δακτύλιοι όταν υπάρχουν αρκετά σημεία.

## Μορφισμοί
Ένας μορφισμός (T, \mathcal{O}_T) \to (T', \mathcal{O}_{T'}) των δακτυλιωτών τόπων είναι ένα ζεύγος που αποτελείται από ένα μορφισμό τόπων f: T \to T' και έναν ομομορφισμό δακτυλίου \mathcal{O}_{T'} \to f_*\mathcal{O}_T.

Αν αντικαταστήσουμε έναν "τόπο" ∞-topos, τότε παίρνουμε την έννοια του **δακτυλιωτού ∞-topos**.

## Παραδείγματα

### Δακτυλιωτός τόπος ενός τοπολογικού χώρου
Ένα από τα βασικά παραδείγματα που παρακινούν για έναν δακτυλιωτό τόπο προέρχεται από την τοπολογία. Ας θεωρήσουμε την τοποθεσία \text{Open}(X) ενός τοπολογικού χώρου X, και το δεμάτιο συνεχών συναρτήσεωνC^0_X: \text{Open}(X)^{op} \to \text{CRing}στέλνοντας ένα αντικείμενο U \in \text{Open}(X), έναν ανοικτό (open) υποσύνολο του X,στον δακτύλιο των συνεχών συναρτήσεων  C^0_X(U) on U. Τότε, το ζεύγος (\text{Sh}(\text{Open}(X)),C^0_X) σχηματίζει έναν δακτυλιωτό τόπο. Ας σημειωθεί ότι αυτό μπορεί να γενικευτεί σε οποιονδήποτε δακτυλιωτό χώρο (X,\mathcal{O}_X) όπου\mathcal{O}_X : \text{Open}(X)^{op} \to \text{Rings}οπότε το ζεύγος (\text{Sh}(\text{Open}(X)),\mathcal{O}_X) είναι **ένας δακτυλιωτός τόπος**..

### Δακτυλιωτός τόπος ενός σχήματος
Ένα άλλο βασικό παράδειγμα είναι ο δακτυλιωτός τόπος που σχετίζεται με ένα σχήμα (X,\mathcal{O}_X), ο οποίος είναι και πάλι ο **δακτυλιωτός τόπος** που σχετίζεται με τον υποκείμενο τοπικά δακτυλιωτό χώρο. 

#### Σχέση με συναρτητή σημείων
Υπενθυμίζεται ότι ο συναρτητής των σημείων από την άποψη της θεωρίας σχημάτων ορίζει ένα σχήμα X ως έναν συναρτητή X:\text{CAlg} \to \text{Sets} ο οποίος ικανοποιεί μια συνθήκη δεματίου και μια συνθήκη συγκόλλησης(gluing condition). TΔηλαδή, για κάθε ανοικτό κάλυμμα \text{Spec}(R_{f_i}) \to \text{Spec}(R) των αφινικών σχημάτων, υπάρχει η ακόλουθη ακριβής ακολουθίαX(R) \to \prod X(R_{f_i}) \rightrightarrows \prod X(R_{f_if_j})Επίσης, πρέπει να υπάρχουν *ανοικτοί αφινικοί συνσυναρτητές*U_i = \text{Spec}(A_i) = \text{Hom}_{\text{CAlg}}(A_i,-)που καλύπτουν το X, δηλαδή για κάθε  \xi \in X(R), υπάρχει ένα  \xi|_{U_i} \in U_i(R). Τότε, υπάρχει ένας τόπος που σχετίζεται με το X  του οποίου ο υποκείμενος τόπος είναι ο τόπος των *ανοικτών υποσυναρτητών*. Αυτός ο τόπος είναι ισόμορφος με τον τόπο που σχετίζεται με τον υποκείμενο τοπολογικό χώρο του δακτυλιωτού χώρου που αντιστοιχεί στο σχήμα. Στη συνέχεια, η θεωρία των τόπων δίνει έναν τρόπο να κατασκευάσουμε τη θεωρία των σχημάτων χωρίς να χρειάζεται να χρησιμοποιήσουμε τοπικά δακτυλιωτούς χώρους χρησιμοποιώντας τον σχετιζόμενο τοπικά δακτυλιωτο τόπο..

### Δακτυλιωτός τόπος συνόλων
Η κατηγορία των συνόλων είναι ισοδύναμη με την κατηγορία των δεματίων στην κατηγορία με ένα αντικείμενο και μόνο τον ταυτοτικό μορφισμό, οπότε \text{Sh}(*) \cong \text{Sets}. Τότε, δεδομένου οποιουδήποτε δακτυλίου A, υπάρχει ένα σχετικό δεμάτιο \text{Hom}_{Sets}(-, A): \text{Sets}^{op} \to \text{Rings}. Αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση παραδειγμάτων παιχνιδιών μορφισμών των δακτυλιωτών τόπων. 

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή κατηγορία
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
*
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
* 

*The standard reference is the fourth volume of the Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie.
*Francis, J.  Derived Algebraic Geometry Over <math>\mathcal{E}_n</math>-Rings
*Grothendieck Duality for Derived Stacks
*
*
* 
*

*
*Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
*
*
*
* 
* 
* Categorical programming with inductive and coinductive types () by Varmo Vene
* Philip Wadler: Recursive types for free! () University of Glasgow, June 1990. Draft.
* Algebra and coalgebra () from CLiki
* B. Jacobs, J. Rutten: A Tutorial on (Co) Algebras and (Co) Induction. Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, vol. 62, 1997, 
* Understanding F-Algebras () by Bartosz Milewski
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Γενική τοπολογία
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών