Πυθαγόρειο θεώρημα

μικρογραφία|300x300εσ|Πυθαγόρειο θεώρημα: το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών ισούται με το τετράγωνο της υποτείνουσας.
Στην Ευκλείδεια γεωμετρία, το **Πυθαγόρειο θεώρημα** (ή **θεώρημα του Πυθαγόρα**) είναι το θεώρημα που συσχετίζει τα τετράγωνα των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου. Πιο συγκεκριμένα, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο \mathrm{AB\Gamma} με την \mathrm{A} ορθή, ισχύει ότι
: \gamma^2+\beta^2=\alpha^2 ,
όπου \beta = \mathrm{A\Gamma} και \gamma = \mathrm{AB} τα μήκη των δύο κάθετων πλευρών και \alpha = \mathrm{B\Gamma} το μήκος της υποτείνουσας.

O Ευκλείδης στο πρώτο βιβλίο των *[[Στοιχεία|Στοιχείων]]* Γεωμετρίας του (47η πρόταση) δίνει την εξής διατύπωση:
:«*ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις.*». 
Δηλαδή: 
:«*το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών*».

Στο ίδιο βιβλίο, ο Ευκλείδης παραθέτει τη σχετική απόδειξη που κατά παράδοση οφείλεται στον Πυθαγόρα, ο οποίος κατ' άλλη, επίσης αρχαία, παράδοση, μετά την ανακάλυψή του αυτή θυσίασε προς τους θεούς εκατόμβη, γι' αυτό και το θεώρημα αυτό ονομάσθηκε «Εκατόμβη» ή «Θεώρημα εκατόμβης».

Αν και το θεώρημα σήμερα φέρει το όνομα του Έλληνα μαθηματικού Πυθαγόρα (570 π.Χ.- 495 π.Χ.), από ιστορικές έρευνες φαίνεται ότι είχε διατυπωθεί και νωρίτερα (ως εμπειρική παρατήρηση). Υπάρχουν αποδείξεις ότι Βαβυλώνιοι μαθηματικοί είχαν κατανοήσει τον τρόπο λειτουργίας του θεωρήματος, αν και δεν υπάρχει σχεδόν καμία απόδειξη ότι το χρησιμοποίησαν σε μαθηματικά πλαίσια. Μαθηματικοί από τη Μεσοποταμία, την Ινδία και την Κίνα είναι επίσης γνωστοί για το ότι είχαν ανακαλύψει το αποτέλεσμα του θεωρήματος αποδεικνύοντας το επιπλέον, σε συγκεκριμένες περιπτώσεις.

Το θεώρημα έχει μεγάλο αριθμό αποδείξεων, πιθανότατα μεγαλύτερο από κάθε άλλο μαθηματικό θεώρημα. Οι αποδείξεις είναι ευθείες και το σύνολο τους συμπεριλαμβάνει τόσο γεωμετρικές όσο και αλγεβρικές αποδείξεις, κάποιες από της οποίες χρονολογούνται αρκετές χιλιετίες πριν. Το θεώρημα μπορεί να γενικευτεί με πολλούς τρόπους, σε χώρους μεγαλύτερης διάστασης, σε μη ευκλείδειους χώρους, σε μη ορθογώνια τρίγωνα ή ακόμα και σε ν-διάστατα στερεά.

Ισχύει και το **αντίστροφο Πυθαγόρειο Θεώρημα:** ότι δηλαδή, αν ισχύει η παραπάνω σχέση μεταξύ των πλευρών ενός τριγώνου, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

## Ιστορικά
thumb|απόσπασμα από τα Στοιχεία του Ευκλείδη
Υπάρχει μία διαφωνία για το κατά πόσο το πυθαγόρειο θεώρημα ανακαλύφθηκε μία φορά ή πολλές φορές σε διαφορετικά μέρη.

Η ιστορία του πυθαγορείου θεωρήματος μπορεί να διαιρεθεί σε τέσσερα μέρη: ανακάλυψη των πυθαγόρειων τριάδων, ανακάλυψη της σχέσης μεταξύ των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου, ανακάλυψη των σχέσεων μεταξύ ομοίων τριγώνων και αποδείξεις του θεωρήματος στα πλαίσια κάποιου επαγωγικού συστήματος. 

Ο Bartel Leendert van der Waerden (1903–1996) υπέθεσε ότι πυθαγόρειες τριάδες ανακαλύφθηκαν αλγεβρικά από τους Βαβυλώνιους. Γραμμένος μεταξύ του 200 και του 1786 π.Χ., την περίοδο του Μέσου Βασιλείου της Αιγύπτου, ο αιγυπτιακός πάπυρος του Βερολίνου 6619 συμπεριλαμβάνει ένα πρόβλημα του οποίου η λύση είναι η πυθαγόρεια τριάδα 6,8,10, στο οποίο όμως δεν γίνεται αναφορά σε ορθογώνιο τρίγωνο. Ο πίνακας *Plimpton 322, *γραμμένος στη Μεσοποταμία μεταξύ του 1790 και του 1750 π.Χ. κατά τη διάρκεια της βασιλείας του Χαμουραμπί, περιέχει πολλές αναφορές σχετικές με πυθαγόρειες τριάδες. Από αιγυπτιακά μεγαλιθικά μνημεία των οποίων οι πλευρές είναι ακέραια πολλαπλάσια, φαίνεται ότι οι ιδιότητες των ορθογωνίων τριγώνων και οι σχέσεις των πλευρών τους, ήταν γνωστές από πολύ παλιά.

Στην Ινδία, το βιβλίο *Baudhayana Sulba Sutra* (οδηγίες για κατασκευή ναών), το οποίο χρονολογείται μεταξύ του 8ου και του 2ου αιώνα π.Χ., περιέχει μία λίστα από πυθαγόρειες τριάδες που ανακαλύφθηκαν αλγεβρικά, μία διατύπωση του πυθαγορείου θεωρήματος και μία γεωμετρική απόδειξη του θεωρήματος για ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο (*Το σχοινί που εκτείνεται κατά μήκος της διαγωνίου ενός ορθογωνίου, παράγει επιφάνεια ίδια με αυτή της κάθετης και της οριζόντιας πλευράς*). Το *Apastamba Sulba Sutra *(600 π.Χ.) περιέχει μία γενική αριθμητική απόδειξη του θεωρήματος, χρησιμοποιώντας τον υπολογισμό ενός εμβαδού. Ο Van der Waerden πίστευε ότι σίγουρα βασιζόταν σε παλαιότερες παραδόσεις. Ο Boyer (1991) υποστηρίζει ότι στοιχεία που βρέθηκαν στο Sulba Sutra προέρχονται από λαούς της Μεσοποταμίας. 

Με περιεχόμενο γνωστό πολύ νωρίτερα αλλά διασωθέν σε κείμενα που χρονολογούνται τον 1ο αιώνα π.Χ., το κινέζικο κείμενο *Zhou Bi Suan Jing *δίνει μία αιτιολόγηση του πυθαγορείου θεωρήματος για την τριάδα 3,4,5- στην Ινδία είναι γνωστό και ως "θεώρημα Gougu". Κατά τη διάρκεια της δυναστείας Χαν (202 π.Χ.-220 μ.Χ.), οι πυθαγόρειες τριάδες εμφανίζονται στο "Εννέα κεφάλαια της μαθηματικής τέχνης" μαζί με μία αναφορά σε ορθογώνια τρίγωνα. Πολλοί πιστεύουν ότι το θεώρημα πρώτα ανακαλύφθηκε στην Κίνα, όπου ονομάζεται και Θεώρημα Shang Gao, από το όνομα του αστρονόμου και μαθηματικού δούκα του Zhou, του οποίου το έργο συνιστά το μεγαλύτερο μέρος του *Zhou Bi Suan Jing.*

Ο Πυθαγόρας χρησιμοποίησε αλγεβρικές μεθόδους για να κατασκευάσει πυθαγόρειες τριάδες, σύμφωνα με το σχολιασμό του Πρόκλου στον Ευκλείδη. Ο Πρόκλος όμως, έγραψε μεταξύ του 410 και 485 μ.Χ. Σύμφωνα με τον Thomas L. Heath (1861–1940), δεν επιβιώνει καμία συγκεκριμένη απόδοση του θεωρήματος στον Πυθαγόρα στην ελληνική λογοτεχνία τους 5 αιώνες αφότου εκείνος έζησε. Παρ'όλα αυτά, όταν συγγραφείς όπως ο Ευκλείδης και Κικέρων, το έκαναν με τρόπο που υποδήλωνε ότι το γεγονός ήταν ευρέως γνωστό και αναμφισβήτητο. Είτε το η ανακάλυψη του θεωρήματος αποδίδεται προσωπικά στον Πυθαγόρα είτε όχι, το σίγουρο είναι ότι σε κάθε περίπτωση, η ανακάλυψη του θεωρήματος χρονολογείται την εποχή των πυθαγόρειων μαθηματικών.

Γύρω στο 400 π.Χ., σύμφωνα με τον Πρόκλο, ο Πλάτωνας έδωσε μία μέθοδο για την εύρεση πυθαγόρειων τριάδων που συνδυάζει άλγεβρα και γεωμετρία. Γύρω στα 300 π.Χ., στα Στοιχεία του Ευκλείδη παρουσιάζεται η πρώτη εκτενής αξιωματική απόδειξη του θεωρήματος.  

## Πυθαγόρεια απόδειξη

Το πυθαγόρειο θεώρημα ήταν γνωστό πολύ πριν τον Πυθαγόρα, αλλά φαίνεται να είναι αυτός ο πρώτος που κατάφερε να το αποδείξει. Σε κάθε περίπτωση, η απόδειξη που του αποδίδεται είναι πολύ απλή και ονομάζεται απόδειξη με ανακατανομή.

Καθένα από τα δύο μεγάλα τετράγωνα της εικόνας περιέχει τέσσερα ίσα τρίγωνα και η μόνη διαφορά τους είναι ότι τα τρίγωνα κατανέμονται διαφορετικά. Για αυτό το λόγο, η λευκή περιοχή των δύο τετραγώνων πρέπει να έχει ίσο εμβαδόν. Ο υπολογισμός των εμβαδών των λευκών περιοχών, οδηγεί στο πυθαγόρεια θεώρημα και αποδεικνύει το ζητούμενο. 

Το γεγονός ότι αυτή η πολύ απλή απόδειξη αποδίδεται στον Πυθαγόρα, συχνά αναφέρεται σε συγγράμματα του μεταγενέστερου Έλληνα φιλόσοφου και μαθηματικού, Πρόκλου. Αρκετές ακόμα αποδείξεις του θεωρήματος περιγράφοντα παρακάτω, αλλά αυτή είναι γνωστή σαν πυθαγόρεια απόδειξη.

## Άλλες μορφές του θεωρήματος
Όπως ειπώθηκε και στην εισαγωγή, αν το *γ* αντιπροσωπεύει το μήκος της υποτείνουσας και τα *α*, *β* τα μήκη των δύο κάθετων πλευρών, το πυθαγόρειο θεώρημα μπορεί να εκφραστεί με τη μορφή της πυθαγόρειας εξίσωσης:
: {\alpha}^2+{\beta}^2={\gamma}^2 
Αν τα μήκη α και β είναι γνωστά, τότε το γ μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:
: {\gamma}=\sqrt{{\alpha}^2+{\beta}^2} 
Αν το μήκος της υποτείνουσας (γ) και της μίας κάθετης πλευράς (α ή β) είναι γνωστά, τότε το μήκος της άλλης κάθετης πλευρά υπολογίζεται με τις ακόλουθες εξισώσεις:
: {\alpha}=\sqrt{{\gamma}^2-{\beta}^2} 
ή
: {\beta}=\sqrt ,
 {\Rightarrow \ A+B=\frac{a^2}{c^2}C+\frac{b^2}{c^2}C} .

Αλλά, σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, *<math> {a^2+b^2=c^2} </math>*,έτσι *A + B = C*.

Αντίστροφα, αν αποδείξουμε ότι Α + Β = C για τρία παρόμοια στοιχεία χωρίς να χρησιμοποιήσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα, τότε μπορούμε να δουλέψουμε ανάποδα για να κατασκευάσουμε μία απόδειξη του θεωρήματος. Για παράδειγμα, το αρχικό τρίγωνο μπορεί να αντιγραφεί και να χρησιμοποιηθεί ως ένα τρίγωνο C στην υποτείνουσά του, και δύο όμοια ορθογώνια τρίγωνα (*Α* και *Β*) κατασκευασμένα στις άλλες δύο πλευρές, σχεδιασμένα από το διαχωρισμό του αρχικού τριγώνου με βάση τα ύψη του. Ως εκ τούτου, το άθροισμα των εμβαδών των δύο μικρότερων τριγώνων είναι αυτό του τρίτου, έτσι *Α + Β = C* και αντιστρέφοντας την παραπάνω λογική οδηγούμαστε στο Πυθαγόρειο θεώρημα a^2+b^2=c^2 .

### Νόμος των συνημιτόνων

μικρογραφία|Η απόσταση <math>s</math> δύο σημείων <math>(r_1, \theta_1)</math> και <math>(r_2,\theta_2)</math> σε πολικές συντεταγμένες δίνεται από το νόμο των συνημιτόνων. Η εσωτερική γωνία <math>\Delta\theta = \theta_1 - \theta_2</math>.

Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι μία ειδική περίπτωση ενός γενικευμένου θεωρήματος το οποίο σχετίζεται με τα μήκη των πλευρών οποιουδήποτε τριγώνου, και που είναι γνωστό ως ο νόμος των συνημιτόνων. Σε έναν τρίγωνο με πλευρές a, b και c, ισχύει ότι
:c^2 = a^2 + b^2 -2ab \cos \theta,
όπου \theta είναι η γωνία μεταξύ των πλευρών a και b.

Όταν η γωνία \theta είναι 90 μοίρες, τότε \cos \theta = 0 και ο τύπος δίνει το Πυθαγόρειο θεώρημα.

### Διανυσματικός χώρος με εσωτερικό γινόμενο
Σε οποιονδήποτε διανυσματικό χώρο V με εσωτερικό γινόμενο \langle \cdot, \cdot \rangle, το πυθαγόρειο θεώρημα γενικεύεται ως εξής. Για κάθε δύο διανύσματα \mathbf{x}, \mathbf{y} \in V που είναι κάθετα μεταξύ τους, δηλαδή \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = 0, ισχύει ότι
:\lVert \mathbf{x} + \mathbf{y} \rVert^2 = \lVert \mathbf{x} \rVert^2 + \lVert \mathbf{y} \rVert^2,
όπου \textstyle \lVert \mathbf{x} \rVert = \sqrt{\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle} και \textstyle \lVert \mathbf{y} \rVert = \sqrt{\langle \mathbf{y}, \mathbf{y} \rangle}.

Η απόδειξη έπεται από τις ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου:
:
\lVert \mathbf{x} + \mathbf{y} \rVert^2 
 = \langle \mathbf{x} + \mathbf{y}, \mathbf{x} + \mathbf{y} \rangle 
 = \langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle + \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle + \langle \mathbf{y}, \mathbf{x} \rangle + \langle \mathbf{y}, \mathbf{y} \rangle 
 = \langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle + \langle \mathbf{y}, \mathbf{y} \rangle
= \lVert \mathbf{x} \rVert^2 + \lVert \mathbf{y} \rVert^2.


## Στη λαϊκή κουλτούρα
μικρογραφία|Έκθεμα του Πυθαγορείου θεωρήματος στο Universum μουσείο της Πόλης του Μεξικού.
Το Πυθαγόρειο θεώρημα έχει επικρατήσει στον δημοφιλή πολιτισμό με διάφορους τρόπους.
* Ο Hans Christian Andersen έγραψε το 1831 ένα ποίημα σχετικό με το Πυθαγόρειο θεώρημα: *Formens Evige Magie (Et poetisk Spilfægteri)*.
* Μία εκδοχή του Major-General's Song στην κωμική όπερα *The Pirates of Penzance* των Gilbert και Sullivan, "Σχετικά με το διωνυμικό θεώρημα είμαι γεμάτος με πολλές ειδήσεις, με πολλά χαρούμενα γεγονότα σχετικά με το τετράγωνο της υποτείνουσας", κάνει μία πλάγια αναφορά στο θεώρημα.
* Ο Scarecrow στην ταινία Ο μάγος του Οζ κάνει μία πιο συγκεκριμένη αναφορά στο θεώρημα. Μετά τη λήψη του διπλώματός του από τον *Μάγο*, επιδεικνύει τις "γνώσεις" του απαγγέλοντας μία εσφαλμένη και παραμορφωμένη εκδοχή του θεωρήματος: "Το άθροισμα των τετραγωνικών ριζών οποιωνδήποτε πλευρών ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα της εναπομείνασας πλευράς. Ω,χαρά!Ω,έκσταση! Έχω μυαλό!".
* Το 2000, στην Ουγκάντα κυκλοφόρησε ένα νόμισμα με τη μορφή ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου. Η μία πλαυρά του νομίσματος έχει την εικόνα του Πυθαγόρα και την εξίσωση  {a^2+b^2=c^2} , συνοδευόμενα από την αναφορά "ΧΙΛΙΕΤΙΑ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΑ".
* Στην Ελλάδα, την Ιαπωνία, το Σαν Μαρίνο, τη Σιέρα Λεόνε και το Σουρινάμ έχουν κυκλοφορήσει γραμματόσημα που απεικονίζουν τον Πυθαγόρα και το Πυθαγόρειο θεώρημα.
* Στου Neal Stephenson τη θεωρητική μυθιστοριματική *Anathem*, το Πυθαγόρειο θεώρημα αναφέρεται ως 'the Adrakhonic theorem'. Μία γεωμετρική απόδειξη του θεωρήματος εκτίθεται στην πλευρά ενός εξωγήινου σκάφους για να προβάλει την κατανόηση των μαθηματικών από τους εξωγήινους.

## Όλο το θεώρημα
ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις. 
ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν· λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνοις. 

ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ μὲν τῆς ΒΓ τετράγωνον τὸ ΒΔΕΓ, ἀπὸ δὲ τῶν ΒΑ, ΑΓ τὰ ΗΒ, ΘΓ, καὶ διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΒΔ, ΓΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΛ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΖΓ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΒΑΗ γωνιῶν, πρὸς δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΒΑ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΑΗ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν· ἐπ᾽ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΑΗ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΑ τῇ ΑΘ ἐστιν ἐπ᾽ εὐθείας. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΒΑ —ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα— κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΒΑ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΖΒ τῇ ΒΑ, δύο δὴ αἱ ΔΒ, ΒΑ δύο ταῖς ΖΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΒΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΖΓ {ἐστιν} ἴση, καὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΖΒΓ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον· καὶ {ἐστι} τοῦ μὲν ΑΒΔ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον· βάσιν τε γὰρ τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΒΔ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΒΔ, ΑΛ· τοῦ δὲ ΖΒΓ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΗΒ τετράγωνον· βάσιν τε γὰρ πάλιν τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΖΒ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΖΒ, ΗΓ. {τὰ δὲ τῶν ἴσων διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·} ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον τῷ ΗΒ τετραγώνῳ. ὁμοίως δὴ ἐπιζευγνυμένων τῶν ΑΕ, ΒΚ δειχθήσεται καὶ τὸ ΓΛ παραλληλόγραμμον ἴσον τῷ ΘΓ τετραγώνῳ· ὅλον ἄρα τὸ ΒΔΕΓ τετράγωνον δυσὶ τοῖς ΗΒ, ΘΓ τετραγώνοις ἴσον ἐστίν. καί ἐστι τὸ μὲν ΒΔΕΓ τετράγωνον ἀπὸ τῆς ΒΓ ἀναγραφέν, τὰ δὲ ΗΒ, ΘΓ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ πλευρῶν τετραγώνοις. 
ἐν ἄρα τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν {γωνίαν} περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
## Παραπομπές


## Βιβλιογραφία
* 
::*265 αποδείξεις κατηγοριοποιημένες αποδείξεις για το Πυθαγόρειο θεώρημα με βιβλιογραφικές αναφορές.*
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

* Απόδειξη του θεωρήματος (γερμανικά)
* Απόδειξη του θεωρήματος (αγγλικά)
* Java-Applets (αγγλικά)
* Διαδραστικό διδακτικό λογισμικό με απόδειξη, ασκήσεις και άλλους εξωτερικούς συνδέσμους

Πυθαγορειο
Πυθαγορειο θεωρημα
Κατηγορία:Γωνία
Κατηγορία:Εξισώσεις
Κατηγορία:Ιστορία των Μαθηματικών
Κατηγορία:Γεωμετρία του τριγώνου
Κατηγορία:Πυθαγόρας
Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία
Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία