Αρμονική πρόοδος

Στα μαθηματικά, **αρμονική πρόοδος** είναι η ακολουθία με μη-μηδενικούς όρους \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \ldots, στην οποία η διαφορά των αντιστρόφων δύο οποιοιδήποτε διαδοχικών της όρων \alpha_\nu, \alpha_{\nu + 1} είναι σταθερή, δηλαδή 
:\frac{1}{\alpha_{\nu+1}} - \frac{1}{\alpha_\nu} = \omega,
για μία τιμή \omega που δεν εξαρτάται από τον δείκτη \nu.

Ισοδύναμα, οι όροι της αρμονικής προόδου μπορούν να οριστούν με τους εξής τύπους (δείτε παρκάτω για απόδειξη της ισοδυναμίας):
* **Γενικός τύπος:** \alpha_\nu=\frac{1}{\frac{1}{\alpha_1}+(\nu-1) \cdot \omega}. 
* **Αναδρομικός τύπος:** \alpha_{\nu+1}=\frac{1}{\omega+\frac{1}{\alpha_{\nu}}}.

## Παραδείγματα
* (**[[Αρμονικός αριθμός|Αρμονικοί αριθμοί]]**) Για \alpha_1 = 1 και \omega = 1, λαμβάνουμε τους αρμονικούς αριθμούς, δηλαδή
::\alpha_1 = 1, \alpha_2 = \frac{1}{2}, \alpha_3 = \frac{1}{3}, \ldots 
* Για \alpha_1 = 1 και \omega = 2, λαμβάνουμε τους
::\alpha_1 = 1, \alpha_2 = \frac{1}{3}, \alpha_3 = \frac{1}{5}, \ldots ,
:δηλαδή τους αντίστροφους των περιττών αριθμών.
* Για \alpha_1 = -1/5, \omega = 2, η πρόοδος έχει αρχικά αρνητικού όρους (που μειώνονται) και μετά θετικούς (που επίσης μειώνονται),
::\alpha_1 = -\frac{1}{5}, \alpha_2 = -\frac{1}{3}, \alpha_3 = -1, \alpha_4 = \frac{1}{3}, \alpha_5 = -\frac{1}{5} \ldots .
* (**Σταθερή ακολουθία**) Όταν \omega = 0, έχουμε την σταθερή ακολουθία, \alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = \ldots. 

## Ισοδυναμία ορισμών

### Γενικός σε αναδρομικό τύπο
 + \omega},
\end{align}

που μας δίνει τον αναδρομικό τύπο. 
}}
### Αναδρομικός σε σταθερή διαφορά
}.
Επομένως, η διαφορά των αντιστρόφων δύο διαδοχικών όρων είναι ίση με 
:\frac{1}{\alpha_{\nu}} - \frac{1}{\alpha_{\nu - 1}} = \omega+\frac{1}{\alpha_{\nu-1}} - \alpha_{\nu - 1} = \omega, 
που είναι μία σταθερή τιμή.
}}

### Σταθερή διαφορά σε γενικό τύπο
 + \omega} = \alpha_1 + (\kappa - 1) \cdot \omega + \omega = \alpha_1 + \kappa \cdot \omega.
Επομένως ισχύει και για \nu = \kappa + 1 και έτσι για όλους τους φυσικούς αριθμούς \nu.
}}
## Ιδιότητες

### Γραφική παράσταση

* Η γραφική παράσταση της αρμονικής προόδου είναι διαδοχικά σημεία ενός κλάδου δίκλαδης υπερβολής με κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων, η οποία όμως έχει μετατοπιστεί οριζόντια κατά 1-\frac{1}{\omega a_1}.

### Αρμονικός μέσος
Ο ''αρμονικός μέσος όρος'' δύο αριθμών \alpha, \gamma είναι ο \beta, αν και μόνο αν οι όροι \alpha, \beta, \gamma είναι διαδοχικοί όροι αρμονικής προόδου.
,
\end{align}
που ισχύει ανν το \beta είναι ο αρμονικός μέσος των \alpha, \gamma.
}}
### Σχέση με αριθμητική πρόοδο
Οι αντίστροφοι των όρων μίας αρμονικής προόδου ορίζουν μία αριθμητική πρόοδο. 

### Απόκλιση σειράς
Για οποιεσδήποτε τιμές των \alpha_1 και \omega το άθροισμα των όρων της αρμονικής προόδου αποκλίνει, δηλαδή τείνει στο +\infty (αν \omega > 0_ ή στο -\infty (αν \omega ).

## Υπολογισμός

Ο παρακάτω κώδικας στην γλώσσα προγραμματισμού C++ χρησιμοποιεί τον αναδρομικό τύπο ώστε να τυπώσει τους πρώτους πέντε όρους της προόδου


```c++
#include <iostream>

int main() {
   double a_1 = 4.0;
   double omega = 1.5;
   
   double a_n = a_1;
   for (int n = 1; n <= 5; ++n) {
     std::cout << "a_" << n << " = " << a_n << ", ";
     a_n = 1.0/(omega + a_n); // Υπολογισμός επόμενου όρου.
   }
   return 0;
}
/* Τυπώνει: a_1 = 4, a_2 = 5.5, a_3 = 7, a_4 = 8.5, a_5 = 10, */
```


Ο παρακάτω κώδικας χρησιμοποιεί τον γενικό τύπο ώστε να υπολογίσει έναν όρο της ακολουθίας. Χρησιμοποιεί σταθερό αριθμό πράξεων. 

```c++
double harmonic_nth(double a1, double omega, int n) {
   return 1.0 / (a1 + (n - 1) * omega);
}
```

Ο αναδρομικός τύπος είναι πιο αργός καθώς χρειάζεται γραμμικό αριθμό πράξεων, δηλαδή \Theta(n) πράξεις.

```c++
double harmonic_nth_recursive(double a1, double omega, int n) {
   if (n == 1) return a1;
   return omega + harmonic_nth_recursive(a1, omega, n-1);
}
```


## Εφαρμογές

Η αρμονική πρόοδος εμφανίζεται σε αρκετά προβλήματα των μαθηματικών, της θεωρητικής πληροφορικής και της φυσικής. 

### Πλήθος μεγίστων προθέματος
Σε μία τυχαία μετάθεση των στοιχείων \{ 1, 2, \ldots, \nu \}, η αναμενόμενη τιμή του πλήθους M των στοιχείων που είναι μεγαλύτερα από όλα τα προηγούμενά τους είναι 
:\operatorname{E}[M] = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{\nu}.
Αυτή η ιδιότητα χρησιμοποιείται για τον σχεδιασμό και την ανάλυση αποδοτικών αλγορίθμων για ροές δεδομένων. 

### Πρόβλημα του συλλέκτη κουπονιών
Στο πρόβλημα του συλλέκτη κουπονιών, ένας συλλέκτης μαζεύει κουπόνια (γραμματόσημα ή αυτοκόλλητα ποδοσφαίρου) και υπάρχουν \nu διαθέσιμοι τύποι κουπονιών. Κάθε φορά που αγοράζει έναν φάκελο παίρνει ένα από τα κουπόνια, του οποίου ο τύπος καθορίζεται τυχαία, ο κάθε ένας με πιθανότητα 1/\nu. Η αναμενόμενη τιμή τιμή του χρόνου T που χρειάζεται μέχρι να μαζέψει όλα τα \nu κουπόνια δίνεται από το άθροισμα των πρώτων όρων μίας αρμονικής προόδου (πολλαπλασιασμένο με \nu), 
:\operatorname{E}[T] = \nu \cdot \sum_{i = 1}^n \frac{1}{i}.

### Μεγιστοποίηση κρεμάσματος

Μας δίνονται N πανομοιότυπα τραπουλόχτα και μας ζητείται να ατα τοποθετήσουμε στην άκρη ενός τραπεζιού ώστε να μεγιστοποιηθεί το μήκος εκτός τραπεζιού και τα τραπουλόχαρτα να μην πέσουν. Η μέγιστη απόσταση δίνεται απο το άθροισμα των όρων μία αρμονικής προόδου, δηλαδή είναι ίση με
:\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2\nu} = \sum_{i = 1}^{\nu} \frac{1}{2i}.

## Περαιτέρω ανάγνωση

### Ελληνικά άρθρα
* 

## Δείτε επίσης
* Αρμονικός αριθμός
* Αρμονικός μέσος
* Αρμονική τετράδα
* Αριθμητική πρόοδος
* Γεωμετρική πρόοδος

## Παραπομπές


Κατηγορία:Ακολουθίες