Σώμα (άλγεβρα)

μικρογραφία|273x273εσ|Το κανονικό επτάγωνο δεν μπορεί να κατασκευαστεί μόνο με χάρακα και διαβήτη, κάτι που μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας το σώμα των κατασκευάσιμων αριθμών.
Στα μαθηματικά, ένα **Σώμα** (από το γαλλικό *Corps*) (το αγγλικό *Field*) είναι ένα σύνολο στο οποίο η πρόσθεση, η αφαίρεση, ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση ορίζονται και συμπεριφέρονται ως οι αντίστοιχες πράξεις σε ρητούς και πραγματικούς αριθμούς. Ένα σώμα είναι επομένως μια θεμελιώδης αλγεβρική δομή που χρησιμοποιείται ευρέως στην άλγεβρα, τη θεωρία αριθμών και σε πολλούς άλλους τομείς των μαθηματικών.

Τα πιο γνωστά σώματα είναι το σώμα των ρητών αριθμών, το σώμα των πραγματικών αριθμών και το σώμα των μιγαδικών αριθμών. Πολλά άλλα σώματα, όπως τα σώματα ρητών συναρτήσεων, τα σώματα αλγεβρικών συναρτήσεων, τα σώματα αλγεβρικών αριθμών και τα p-adic σώματα χρησιμοποιούνται και μελετώνται συνήθως στα μαθηματικά, ιδίως στη θεωρία αριθμών και την αλγεβρική γεωμετρία. Τα περισσότερα κρυπτογραφικά πρωτόκολλα βασίζονται σε πεπερασμένα σώματα, δηλαδή σώματα με πεπερασμένα πολλά στοιχεία.

Η θεωρία των σωμάτων αποδεικνύει ότι η τριχοτόμηση της γωνίας και ο τετραγωνισμός του κύκλου δεν μπορούν να γίνουν με πυξίδα και διαβήτη. Η Θεωρία Γκαλουά, η οποία είναι αφιερωμένη στην κατανόηση των συμμετριών των επεκτάσεων των πεδίων, παρέχει μια κομψή απόδειξη του θεωρήματος Άμπελ-Ράφινι ότι οι γενικές πενταγωνικές εξισώσεις δεν μπορούν να επιλυθούν με ρίζες.

Τα σώματα χρησιμεύουν ως θεμελιώδεις έννοιες σε διάφορους μαθηματικούς τομείς. Αυτό περιλαμβάνει διάφορους κλάδους της μαθηματικής ανάλυσης, οι οποίοι βασίζονται σε σώματα με πρόσθετη δομή. Βασικά θεωρήματα στην ανάλυση εξαρτώνται από τις δομικές ιδιότητες του σώματος των πραγματικών αριθμών. Το πιο σημαντικό για αλγεβρικούς σκοπούς, οποιοδήποτε σώμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως τα κλιμάκια για έναν διανυσματικό χώρο, ο οποίος αποτελεί το τυπικό γενικό πλαίσιο για τη γραμμική άλγεβρα. Τα σώµατα αριθµών, τα αδέρφια του σώµατος των ρητών αριθµών, µελετώνται σε βάθος στη θεωρία αριθµών. Τα σώματα συναρτήσεων μπορούν να βοηθήσουν στην περιγραφή ιδιοτήτων γεωμετρικών αντικειμένων.

## Ιδιότητες
Ένα σύνολο \mathbb{F} αντικειμένων οποιουδήποτε είδους, μαζί με δύο δυαδικές πράξεις + και * ορισμένες στο \mathbb{F}, οι οποίες απεικονίζουν 2 στοιχεία a και b που ανήκουν στο F στα a+b και a*b, επίσης στοιχεία του F.
Και ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

# (a+b)+c=a+(b+c)
# \exists 0\in\mathbb{F} (υπάρχει στοιχείο 0 που ανήκει στο F), τέτοιο ώστε
* a+0=a, \forall a\in\mathbb{F} για κάθε a που ανήκει στο \mathbb{F}, και
* \forall a\in\mathbb{F}, \exists b\in\mathbb{F}\  s.t.\  a+b=0 (για κάθε a που ανήκει στο F υπάρχει b που ανήκει στο F τέτοιο ώστε a+b=0).
# a+b=b+a Δηλαδή να ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα στο F
# (a*b)*c=a*(b*c)
# Υπάρχει αριθμός 1 που ανήκει στο F τέτοιος ώστε (i).a*1=a (ii). Και να υπάρχει, για κάθε a διάφορο του μηδενός, ένα b, τέτοιο ώστε a*b=1.
# a*b=b*a
# a*(b+c)=a*b+a*c

Τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων όπως είναι προφανές από τα θεωρήματα του Σώματος είναι το <math>\mathbb{Q}</math> και το <math>\mathbb{R}</math> και το σώμα των μιγαδικών αριθμών \mathbb{C}.
Βεβαίως τα + και το * είναι τα γνωστά σύμβολα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού άρα δεν χρειάζονται περαιτέρω διερεύνηση.
Το στοιχείο 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού.
Το αντίθετο της πρόσθεσης το συμβολίζουμε με -a έτσι ώστε για κάθε a να υπάρχει -a, τέτοιο ώστε a+(-a)=0, και το αντίστροφο του πολλαπλασιασμού συμβολίζεται με a^{-1}, τέτοιο ώστε, για κάθε a που ανήκει στο F, να υπάρχει a^{-1} τέτοιο ώστε a*a^{-1} =1.

Εκτός από τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων υπάρχουν και τα παραδείγματα των σωμάτων που είναι της μορφής a+b*\sqrt{2} και γενικά της μορφής αυτής που το υπόρριζο μπορεί να πάρει τις τιμές 2,3,...,ν.

Ένας δακτύλιος (R,\circ,+) καλείται σώμα αν ισχύουν τα εξής :
* Ο δακτύλιος είναι μεταθετικός.
* Υπάρχει Μοναδιαίο Στοιχείο1_R \in R ώστε r\circ 1_R=1_R \circ r=r  για κάθε r \in R
* Για κάθε r \in R υπάρχει στοιχείο του  R  το οποίο συμβολίζουμε με r^{-1} τέτοιο ώστε r \circ r^{-1}=r^{-1} \circ r =1_R

Τυπικό παράδειγμα σώματος είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών \mathbb{R}, καθώς είναι μοναδιαίος αντιμεταθετικός δακτύλιος και κάθε μη μηδενικό στοιχείο του έχει αντίστροφο.

## Παραδείγματα

### Ρητοί αριθμοί
Οι ρητοί αριθμοί χρησιμοποιούνταν ευρέως πολύ καιρό πριν από την επεξεργασία της έννοιας του σώματος. Είναι αριθμοί που μπορούν να γραφούν ως κλάσματα , όπου  και  είναι ακέραιοι αριθμοί και . Το προσθετικό αντίστροφο ενός τέτοιου κλάσματος είναι και το πολλαπλασιαστικό αντίστροφο (υπό την προϋπόθεση ότι ) είναι , το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ως εξής:

:  \frac b a \cdot \frac a b = \frac{ba}{ab} = 1.

Τα αφηρημένα απαιτούμενα αξιώματα πεδίου ανάγονται σε τυπικές ιδιότητες των ρητών αριθμών. Παραδείγματος χάριν, ο νόμος της διανεμητικότητας μπορεί να αποδειχθεί ως εξής:
: 
\begin{align}
& \frac a b \cdot \left(\frac c d + \frac e f \right) \\[6pt]
= {} & \frac a b  \cdot \left(\frac c d  \cdot \frac f f + \frac e f \cdot \frac d d \right) \\[6pt]
= {} & \frac{a}{b} \cdot \left(\frac{cf}{df} + \frac{ed}{fd}\right) = \frac{a}{b} \cdot \frac{cf + ed}{df} \\[6pt]
= {} & \frac{a(cf + ed)}{bdf} = \frac{acf}{bdf} +  \frac{aed}{bdf} = \frac{ac}{bd} +  \frac{ae}{bf} \\[6pt]
= {} & \frac a b \cdot \frac c d + \frac a b \cdot \frac e f.
\end{align}


### Πραγματικοί και μιγαδικοί αριθμοί
μικρογραφία|255px|Ο πολλαπλασιασμός των μιγαδικών αριθμών μπορεί να απεικονιστεί γεωμετρικά με περιστροφές και κλιμάκωση.
Οι πραγματικοί αριθμοί , με τις συνήθεις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, αποτελούν επίσης ένα σώμα. Οι μιγαδικοί αριθμοί  αποτελούνται από εκφράσεις
:  με  πραγματικό,

όπου  είναι η φανταστική μονάδα, δηλαδή ένας (μη πραγματικός) αριθμός που ικανοποιεί . Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός των πραγματικών αριθμών ορίζονται με τέτοιο τρόπο ώστε οι εκφράσεις αυτού του τύπου να ικανοποιούν όλα τα αξιώματα του πεδίου και συνεπώς να ισχύουν για το . Παραδείγματος χάριν, ο διανεμητικός νόμος επιβάλλει

: 

Είναι άμεσο ότι πρόκειται και πάλι για μια έκφραση του παραπάνω τύπου και έτσι οι μιγαδικοί αριθμοί αποτελούν ένα σώμα. Οι μιγαδικοί αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν γεωμετρικά ως σημεία στο επίπεδο, με καρτεσιανές συντεταγμένες που δίνονται από τους πραγματικούς αριθμούς της έκφρασης που τους περιγράφει, ή ως τα βέλη από την αρχή προς αυτά τα σημεία, που καθορίζονται από το μήκος τους και μια γωνία που περικλείεται από κάποια διακριτή κατεύθυνση. Η πρόσθεση αντιστοιχεί τότε στο συνδυασμό των βελών στο διαισθητικό παραλληλόγραμμο (πρόσθεση των καρτεσιανών συντεταγμένων), ενώ ο πολλαπλασιασμός είναι - λιγότερο διαισθητικά - ο συνδυασμός της περιστροφής και της κλιμάκωσης των βελών (πρόσθεση των γωνιών και πολλαπλασιασμός των μηκών). Τα σώματα των πραγματικών και των μιγαδικών αριθμών χρησιμοποιούνται σε όλα τα μαθηματικά, τη φυσική, τη μηχανική, τη στατιστική και σε πολλούς άλλους επιστημονικούς κλάδους.

### Κατασκευάσιμοι αριθμοί
μικρογραφία|255px|Το θεώρημα του γεωμετρικού μέσου ισχυρίζεται ότι . Η επιλογή  επιτρέπει την κατασκευή της τετραγωνικής ρίζας ενός συγκεκριμένου κατασκευάσιμου αριθμού .
Κύριο άρθρο:Κατασκευάσιμος αριθμός

Στην αρχαιότητα, διάφορα γεωμετρικά προβλήματα αφορούσαν την (μη) δυνατότητα κατασκευής ορισμένων αριθμών με διαβήτη και χάρακα. Παραδείγματος χάριν, ήταν άγνωστο στους Έλληνες ότι είναι, γενικά, αδύνατο να τριχοτομήσουμε μια δεδομένη γωνία με αυτόν τον τρόπο. Τα προβλήματα αυτά μπορούν να επιλυθούν με τη χρήση του σώματος των κατασκευάσιμων αριθμών. Οι πραγματικοί κατασκευάσιμοι αριθμοί είναι, εξ ορισμού, τα μήκη των τμημάτων ευθείας που μπορούν να κατασκευαστούν από τα σημεία 0 και 1 σε πεπερασμένα βήματα χρησιμοποιώντας μόνο διαβήτη και χάρακα. Αυτοί οι αριθμοί, εφοδιασμένοι με τις πράξεις σώματος των πραγματικών αριθμών, που περιορίζονται στους κατασκευάσιμους αριθμούς, σχηματίζουν ένα σώμα, το οποίο περιλαμβάνει κατάλληλα το σώμα  των ρητών αριθμών. Η εικόνα δείχνει την κατασκευή των τετραγωνικών ριζών των κατασκευάσιμων αριθμών, που δεν περιέχονται απαραίτητα στο . Χρησιμοποιώντας την επισήμανση της εικόνας, σχεδιάστε τα τμήματα ,  και ένα ημικύκλιο πάνω από το  (κέντρο στο μέσο σημείο ), το οποίο τέμνει την κάθετη ευθεία που διέρχεται από το  σε ένα σημείο , σε απόσταση ακριβώς h=\sqrt p από το  όταν το  έχει μήκος ένα.

Δεν είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί κατασκευάσιμοι. Μπορεί να αποδειχθεί ότι ο \sqrt[3] 2 δεν είναι κατασκευάσιμος αριθμός, πράγμα που σημαίνει ότι είναι αδύνατο να κατασκευάσουμε με διαβήτη και χάρακα το μήκος της πλευράς ενός κύβου με όγκο 2, ένα άλλο πρόβλημα που έθεσαν οι αρχαίοι Έλληνες.

### Σώμα με τέσσερα στοιχεία

Εκτός από τα γνωστά αριθμητικά συστήματα, όπως οι ρητοί αριθμοί, υπάρχουν και άλλα, λιγότερο άμεσα παραδείγματα. Το ακόλουθο παράδειγμα αποτελείται από τέσσερα στοιχεία που ονομάζονται , , , και . Ο συμβολισμός έχει επιλεγεί έτσι ώστε το  να παίζει το ρόλο του προσθετικού στοιχείου ταυτότητας (συμβολίζεται με 0 στα παραπάνω αξιώματα), και το  είναι η πολλαπλασιαστική ταυτότητα (συμβολίζεται με  στα παραπάνω αξιώματα). Τα αξιώματα σώματος μπορούν να επαληθευτούν με τη χρήση κάποιας άλλης θεωρίας σώματος ή με άμεσο υπολογισμό. Παραδείγματος χάριν,
: , που ισούται με , όπως απαιτεί η κατανεμητικότητα.

Το πεδίο αυτό ονομάζεται πεπερασμένο σώμα ή **σώμα Γκαλουά** με τέσσερα στοιχεία και συμβολίζεται  ή . Το υποσύνολο που αποτελείται από  και  (επισημαίνεται με κόκκινο χρώμα στους πίνακες στα δεξιά) είναι επίσης ένα πεδίο, γνωστό ως *δυαδικό σώμα*  ή .

## Υπόσωμα
Έστω F σώμα. Ένα υποσύνολο του F, έστω Κ, ονομάζεται υπόσωμα του F αν ισχύουν τα εξης:
α) το Κ είναι υποδακτύλιος του F
β) για κάθε κ που ανήκει στο Κ\(0) υπάρχει κ^(-1) που ανήκει στο Κ

## Πρώτο σώμα

Έστω (F,+,\circ) ένα σώμα. Αυτό θα καλείται πρώτο **(''prime'')** αν δεν περιέχει γνήσια υποσώματα.

Εφόσον η τομή υποσωμάτων είναι υπόσωμα, προκύπτει άμεσα ότι κάθε σώμα περιέχει ένα μοναδικό πρώτο υπόσωμα και συγκεκριμένα το 

\bigcap K, όπου K υπόσωμα του F.

Ακόμα αποδυκνείεται ότι ουσιαστικά τα μόνα πρώτα σώματα είναι το \mathbb{Q} και τα \mathbb Z_p , όπου p πρώτος εφόσον κάθε πρώτο σώμα ταυτίζεται ισομορφικά με κάποιο από αυτά. Πιο συγκεκριμένα αν το F είναι πρώτο σώμα με χαρακτηριστική 0, τότε αυτό είναι ισόμορφο με το \mathbb{Q} ενώ αν η χαρακτηριστική του F είναι p, όπου p πρώτος τότε το  F είναι ισόμορφο με το \mathbb Z_p.

## Δημοσιεύσεις

* 
* 
* , especially Chapter 13
* 
* 
* 
* 
* 
* . See especially Book 3 () and Book 6 ().
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Αλγεβρικές δομές