Κυρτότητα (αλγεβρική γεωμετρία)

Στην αλγεβρική γεωμετρία, η **κυρτότητα** είναι μια περιοριστική τεχνική συνθήκη για τις αλγεβρικές ποικιλίες που εισήχθη αρχικά για την ανάλυση των χώρων του Κοντσέβιτς  \overline{M}_{0,n}(X,\beta) στην κβαντική συνομολογία. Αυτοί οι χώροι moduli είναι λείες τροχιές (orbifolds) όποτε ο χώρος-στόχος είναι κυρτός. Μια ποικιλία X καλείται κυρτή αν η επαναφορά της εφαπτόμενης δέσμης σε μια σταθερή ρητή καμπύλη  f:C \to X έχει σφαιρικά παραγόμενα τμήματα. Γεωμετρικά αυτό σημαίνει ότι η καμπύλη είναι ελεύθερη να κινηθεί γύρω από την X απειροελάχιστα χωρίς κανένα εμπόδιο. Η κυρτότητα γενικά διατυπώνεται ως η τεχνική συνθήκη

: H^1(C, f^*T_X) = 0

αφού το θεώρημα εξάλειψης του Σερ εγγυάται ότι αυτή η σφαίρα έχει καθολικά παραγόμενα τμήματα. Διαισθητικά αυτό σημαίνει ότι σε μια γειτονιά ενός σημείου, με ένα διανυσματικό σώμα σε αυτή τη γειτονιά, η τοπική παράλληλη μεταφορά μπορεί να επεκταθεί πλήρως. Αυτό γενικεύει την ιδέα της κυρτότητας στην Ευκλείδεια γεωμετρία, όπου δοθέντων δύο σημείων p,q σε ένα κυρτό σύνολο C \subset \mathbb{R}^n, όλα τα σημεία tp + (1-t)q περιέχονται σε αυτό το σύνολο. Υπάρχει ένα διανυσματικό πεδίο \mathcal{X}_{U_p} σε μια γειτονιά U_p του p που μεταφέρει το p σε κάθε σημείο p' \in \{ tp + (1-t)q : t \in [0,1] \} \cap U_p. Δεδομένου ότι η διανυσματική δέσμη του \mathbb{R}^n είναι τετριμμένη, άρα σφαιρικά παραγόμενη, υπάρχει ένα διανυσματικό σώμα \mathcal{X} στο \mathbb{R}^n τέτοιο ώστε η ισότητα \mathcal{X}|_{U_p} = \mathcal{X}_{U_{p}} να ισχύει στον περιορισμό.

## Παραδείγματα
Υπάρχουν πολλά παραδείγματα κυρτών χώρων, όπως τα ακόλουθα.

### Χώροι με τετριμμένες ρητές καμπύλες
Αν οι μόνοι χάρτες από μια ρητή καμπύλη προς τον X είναι χάρτες σταθερών, τότε η επαναφορά του εφαπτόμενου δεματίου είναι το ελέυθερο δεμάτιο  \mathcal{O}_C^{\oplus n} όπου n = \dim(X). Αυτά τα δεμάτια έχουν τετριμμένη μη μηδενική συνομολογία και επομένως είναι πάντα κυρτά. Ειδικότερα, οι Αβελιανές ποικιλίες έχουν αυτή την ιδιότητα, αφού η ποικιλία Αλμπανέζ μιας ρητής καμπύλης C είναι τετριμμένη, και κάθε χάρτης από μια ποικιλία σε μια Αβελιανή ποικιλία παραγοντοποιεί την Αλμπανέζ.

### Προβολικοί χώροι
Οι προβολικοί χώροι είναι παραδείγματα ομογενών χώρων, αλλά η κυρτότητα τους μπορεί επίσης να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας έναν υπολογισμό συνομολογίας του δεματίου. Υπενθυμίζουμε ότι η ακολουθία Όιλερ συσχετίζει τον εφαπτόμενο χώρο μέσω μιας σύντομης ακριβούς ακολουθίας

: 0 \to \mathcal{O} \to \mathcal{O}(1)^{\oplus (n+1)} \to \mathcal{T}_{\mathbb{P}^n} \to 0

Εάν χρειαστεί να εξετάσουμε μόνο ενσωματώσεις βαθμού d, υπάρχει μια σύντομη ακριβής ακολουθία

: 0 \to \mathcal{O}_C \to \mathcal{O}_C(d)^{\oplus (n+1)} \to f^*\mathcal{T}_{\mathbb{P}^n} \to 0

με αποτέλεσμα μια μακρά ακριβή ακολουθία

:\begin{align}
0 & \to H^0(C,\mathcal{O}) \to  H^0(C,\mathcal{O}(d)^{\oplus(n+1)}) \to H^0(C,f^*\mathcal{T}_{\mathbb{P}^n}) \\
& \to  H^1(C,\mathcal{O}) \to  H^1(C,\mathcal{O}(d)^{\oplus(n+1)}) \to  H^1(C,f^*\mathcal{T}_{\mathbb{P}^n}) \to  0
\end{align}

δεδομένου ότι οι δύο πρώτοι H^1-όροι είναι μηδενικοί, πράγμα που προκύπτει από το ότι το C είναι γένους 0, και ο δεύτερος υπολογισμός προκύπτει από το θεώρημα Ρίμαν-Ροχ, έχουμε κυρτότητα του \mathbb{P}^n. Τότε, οποιοσδήποτε κομβικός χάρτης μπορεί να αναχθεί σε αυτή την περίπτωση θεωρώντας μία από τις συνιστώσες C_i του C.

### Ομογενείς χώροι
Μια άλλη μεγάλη κατηγορία παραδειγμάτων είναι οι ομογενείς χώροι G/P όπου P είναι μια παραβολική υποομάδα του G. Αυτοί έχουν σφαιρικά παραγόμενα τμήματα αφού η G δρα μεταβατικά στο X, δηλαδή μπορεί να μεταφέρει μια βάση στο T_xX σε μια βάση σε οποιοδήποτε άλλο σημείο T_yX, άρα έχει σφαιρικά παραγόμενα τμήματα. Τότε, η επαναφορά παράγεται πάντα σε συνολικό επίπεδο. Αυτή η κατηγορία παραδειγμάτων περιλαμβάνει τα Γκρασμανικά, τους προβολικούς χώρους και τις ποικιλίες σημαίας.

### Χώροι παραγωγής
Επίσης, τα γινόμενα κυρτών χώρων εξακολουθούν να είναι κυρτά. Αυτό προκύπτει από το θεώρημα του Κανέθ στη συνεκτική συνολολογία των δεματίων.

### Προβολικές δέσμες πάνω σε καμπύλες
Μια ακόμη μη τετριμμένη κατηγορία παραδειγμάτων κυρτών ποικιλιών είναι οι προβολικές δέσμες \mathbb{P}(\mathcal{E}) για μια αλγεβρική διανυσματική δέσμη \mathcal{E} \to C πάνω από μια ομαλή αλγεβρική καμπύλη pg 6.

## Εφαρμογές
Υπάρχουν πολλά χρήσιμα τεχνικά πλεονεκτήματα από την εξέταση των χώρων moduli των σταθερών καμπυλών που αντιστοιχούν σε κυρτούς χώρους. Δηλαδή, οι χώροι moduli του Κοντσέβιτς \overline{M}_{0,n}(X,\beta) έχουν ωραίες γεωμετρικές και παραμορφο-θεωρητικές ιδιότητες.

### Θεωρία παραμόρφωσης
Οι παραμορφώσεις του f:C \to X στο σχήμα Χίλμπερτ των γραφημάτων \operatorname{Hom}(C,X) \subset \operatorname{Hilb}_{C\times X/\operatorname{Spec}(\mathbb{C})} έχει εφαπτόμενο χώρο

: T_{\operatorname{Hom}(C,X)}([f]) \cong H^0(C, f^*T_X)&nbsp;&nbsp;

όπου [f] \in \operatorname{Hom}(C,X) είναι το σημείο του σχήματος που αναπαριστά τον χάρτη. Η κυρτότητα του X δίνει τον παρακάτω τύπο διάστασης. Επιπλέον, η κυρτότητα συνεπάγεται ότι όλες οι απειροελάχιστες παραμορφώσεις είναι ανεμπόδιστες.

### Δομή
Οι χώροι αυτοί είναι κανονικές προβολικές ποικιλίες καθαρής διάστασης

: \dim(\overline{M}_{0,n}(X,\beta)) = \dim(X) + \int_\beta c_1(T_X) + n - 3&nbsp;&nbsp;

οι οποίες είναι τοπικά το πηλίκο μιας ομαλής ποικιλίας από μια πεπερασμένη ομάδα. Επίσης, η ανοικτή υποποικιλία \overline{M}_{0,n}^*(X,\beta) που παραμετροποιεί τους μη-ιδιάζοντες χάρτες είναι ένας λείος λεπτός χώρος moduli. Συγκεκριμένα, αυτό συνεπάγεται ότι οι στοίβες \overline{\mathcal{M}}_{0,n}(X,\beta) είναι orbifolds (*orbit "τροχιά"  -manifold "πολλαπλότητα*").

### Οριακοί διαιρέτες
Οι χώροι moduli \overline{M}_{0,n}(X,\beta) έχουν ωραίους συνοριακούς διαιρέτες για κυρτές ποικιλίες X που δίνονται από

: D(A,B;\beta_1,\beta_2) = \overline{M}_{0,A\cup \{\bullet \}}(X,\beta_1) \times_X \overline{M}_{0,B\cup \{\bullet \}}(X,\beta_2) &nbsp;&nbsp;

για μια διαμέριση A\cup B του [n] και \{ \bullet \} το σημείο που βρίσκεται κατά μήκος της τομής δύο ορθολογικών καμπυλών C = C_1 \cup C_2.

## Δείτε επίσης

* Field Arithmetic
* Θεώρημα δείκτη Ατίγια-Σίνγκερ
*Τοπολογία
* Έμι Νέτερ
* Ελλειπτική συνάρτηση Βάιερστρας
* Τοπολογία Ζαρίσκι

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Andreas Gathmann - Algebraic Geometry (SS 2014)
* Algebraic Geometry II: Cohomology of Schemes: With Examples and Exercises
* [Κυρτότητα περιορισμένου προσανατολισμού](https://books-google-com.translate.goog/books?id=88CoCAAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=Convexity+(algebraic+geometry)&_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=el&_x_tr_hl=el&_x_tr_pto=sc#v=onepage&q&f=false)
* [Αναλυτικές όψεις της κυρτότητας](https://books-google-com.translate.goog/books?id=SxrEEAAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=Convexity+(algebraic+geometry)&_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=el&_x_tr_hl=el&_x_tr_pto=sc#v=onepage&q=Convexity%20(algebraic%20geometry)&f=false)
* Topics in Cohomological Studies of Algebraic Varieties: Impanga Lecture Notes
* p-Adic Automorphic Forms on Shimura Varieties

## Δημοσιεύσεις
*Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 20. doi:10.1007/bf02684747. MR 0173675.
*Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 32. doi:10.1007/bf02732123. MR 0238860.
*
* .
* .
* .

## Παραπομπές

 

Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα