Μηδενοδύναμο στοιχείο

Στα μαθηματικά, ένα **στοιχείο** x ενός δακτυλίου R ονομάζεται **Μηδενοδύναμο** αν υπάρχει κάποιος θετικός ακέραιος n, που ονομάζεται **δείκτης** (ή μερικές φορές **βαθμός**), τέτοιος ώστε x^n=0.

Ο όρος, μαζί με την συναφή του ταυτοδυναμία εισήχθη από τον Μπέντζαμιν Πιρς στο πλαίσιο της εργασίας του για την ταξινόμηση της άλγεβρας.

## Παραδείγματα

* Ο ορισμός αυτός μπορεί να εφαρμοστεί ιδίως σε τετραγωνικούς πίνακες. Ο πίνακας

:: A = \begin{pmatrix}
    0 & 1 & 0\\
    0 & 0 & 1\\
    0 & 0 & 0
  \end{pmatrix}


:είναι μηδενοδύναμο επειδή A^3=0. Δείτε τον μηδενοδύναμο πίνακα για περισσότερες πληροφορίες.

* Στον δακτύλιο παραγόντων \Z/9\Z, η κλάση ισοδυναμίας του 3 είναι μηδενοδύναμο επειδή το 32 είναι ισότιμο με το 0 modulo 9.
* Ας υποθέσουμε ότι δύο στοιχεία a και b σε έναν δακτύλιο R ικανοποιούν την τιμή ab=0. Τότε το στοιχείο c=ba είναι μηδενοδύναμο καθώς 
\begin{align}c^2&=(ba)^2\\
&=b(ab)a\\
&=0.\\
\end{align}


Ένα παράδειγμα με πίνακες (για *a*,&nbsp;*b*)

:A = \begin{pmatrix}
    0 & 1\\
    0 & 1
  \end{pmatrix}, \;\;
  B =\begin{pmatrix}
    0 & 1\\
    0 & 0
  \end{pmatrix}.


Εδώ AB=0 και BA=B.

* Κατ' ορισμό, κάθε στοιχείο από μία μηδενοδύναμή ημιομάδα είναι μηδενοδύναμο.

## Ιδιότητες
Κανένα μηδενοδύναμο στοιχείο δεν μπορεί να είναι μονάδα (εκτός από τον τετριμμένο δακτύλιο, ο οποίος έχει μόνο ένα στοιχείο ). Όλα τα μηδενοδύμαμα στοιχεία είναι μηδενικοί διαιρέτες.

Ένας n\times n πίνακας A με καταχωρήσεις από ένα σώμα είναι μηδενοδύναμο αν και μόνο αν το χαρακτηριστικό του πολυώνυμο είναι t^n.

Εάν το x είναι μηδενοδύναμο, τότε το 1-x είναι μονάδα, διότι το x^n=0 συνεπάγεται

(1 - x) (1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1}) = 1 - x^n = 1.

Γενικότερα, το άθροισμα ενός μοναδιαίου στοιχείου και ενός μηδενοδύναμου στοιχείου είναι μοναδιαίο όταν αντιμετατίθενται.

## Αντιμεταθετικοί δακτύλιοι
Τα μηδενοδύναμα στοιχεία ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου R σχηματίζουν ένα ιδεώδες \mathfrak{N}- αυτό είναι συνέπεια του διωνυμικού θεωρήματος. Αυτό το ιδεώδες είναι η μηδενοδύμαμη ρίζα του δακτυλίου. Κάθε μηδενοδύναμο στοιχείο x σε έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο περιέχεται σε κάθε πρωταρχικό ιδεώδες \mathfrak{p} αυτού του δακτυλίου, αφού x^n = 0\in \mathfrak{p}. Έτσι, το \mathfrak{N} περιέχεται στην τομή όλων των πρώτων ιδεωδών.

Αν το x δεν είναι μηδενοδύναμο, μπορούμε να εντοπίσουμε σε σχέση με τις δυνάμεις του x: S=\{1,x,x^2,...\} για να πάρουμε έναν μη μηδενικό δακτύλιο S^{-1}R. Τα πρωταρχικά ιδεώδη του εντοπισμένου δακτυλίου αντιστοιχούν ακριβώς σε εκείνα τα πρωταρχικά ιδεώδη \mathfrak{p} of R του R με \mathfrak{p}\cap S=\empty. Καθώς κάθε μη μηδενικός αντιμεταθετικός δακτύλιος έχει ένα μέγιστο ιδεώδες, το οποίο είναι πρωταρχικό, κάθε μη μηδενοδύναμο x δεν περιέχεται σε κάποιο πρωταρχικό ιδεώδες. Έτσι, το \mathfrak{N} είναι ακριβώς η τομή όλων των πρώτων ιδεωδών.

Ένα χαρακτηριστικό παρόμοιο με εκείνο της ρίζας Τζέικομπσον και της εκμηδένισης απλών ενοτήτων είναι διαθέσιμο για το µηδενοριζικό: μηδενικά στοιχεία του δακτυλίου R είναι ακριβώς εκείνα που εκμηδενίζουν όλες τις ολοκληρωτικές περιοχές εσωτερικά του δακτυλίου R (δηλαδή, της μορφής R/I για τα πρώτα ιδεώδη I). Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι το µηδενοριζικό (nilradical) είναι η τομή όλων των πρώτων ιδεωδών.

## Μηδενοδύναμα στοιχεία στην άλγεβρα Λι
Έστω \mathfrak{g} μια άλγεβρα Λι. Τότε ένα στοιχείο x\in\mathfrak{g} ονομάζεται μηδενοδύναμο αν βρίσκεται στο [\mathfrak{g}, \mathfrak{g}] και το \operatorname{ad} x είναι ένας μηδενοδύναμος μετασχηματισμός. Βλ. επίσης: Παραγοντοποίηση Ζορντάν σε μια άλγεβρα Λι.

## Μηδενοδύναμο στη φυσική
Κάθε τελεστής σκάλας σε έναν πεπερασμένης διάστασης χώρο είναι μηδενοδύναμος. Αντιπροσωπεύουν τελεστές δημιουργίας και εκμηδένισης, οι οποίοι μετασχηματίζουν από τη μία κατάσταση στην άλλη, λόγου χάριν οι πίνακες ανύψωσης και μείωσης Πάουλι \sigma_\pm=(\sigma_x\pm i \sigma_y)/2.

Ένας τελεστής Q που ικανοποιεί Q^2=0 είναι μηδενοδύναμος. Οι αριθμοί Γκράσμαν που επιτρέπουν μια αναπαράσταση μονοπατιού για φερμιονικά πεδία είναι μηδενικά, αφού τα τετράγωνα τους εξαφανίζονται. Το φορτίο BRST είναι ένα σημαντικό παράδειγμα στη φυσική.

Καθώς οι γραμμικοί τελεστές σχηματίζουν μια συνειρμική άλγεβρα και συνεπώς έναν δακτύλιο, πρόκειται για μια ειδική περίπτωση του αρχικού ορισμού. Γενικότερα, με βάση τους παραπάνω ορισμούς, ένας τελεστής Q είναι μηδενοδύναμος αν υπάρχει n\in\N τέτοια ώστε Q^n=0 (η συνάρτηση μηδέν). Επομένως, ένας γραμμικός χάρτης είναι μηδενοδύναμος αν έχει μηδενοδύναμο πίνακα σε κάποια βάση. Ένα άλλο παράδειγμα είναι η εξωτερική παράγωγος (και πάλι με n=2). Και τα δύο συνδέονται, επίσης μέσω της υπερσυμμετρίας και της θεωρίας Μορς, όπως έδειξε ο Έντουαρτ Γουίτεν σε ένα διάσημο άρθρο .

Το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο ενός επίπεδου κύματος χωρίς πηγές είναι μηδενοδύναμο όταν εκφράζεται σε όρους της άλγεβρας του φυσικού χώρου. Γενικότερα, η τεχνική της μικροπροσθετικότητας (η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εξαγωγή θεωρημάτων στη φυσική) χρησιμοποιεί μηδενοδύναμα ή nilsquare απειροσθενή και αποτελεί μέρος της ομαλής απειροσθενούς ανάλυσης.

## Αλγεβρικά μηδενοδύναμα
Οι δισδιάστατοι δυϊκοί αριθμοί περιέχουν έναν μηδενοδύναμο χώρο. Άλλες άλγεβρες και αριθμοί που περιέχουν μηδενοδύναμους χώρους περιλαμβάνουν τις διαιρεμένες τετράδες (coquaternions), τις διαιρεμένες οκτάδες (split-octonions), τις διπλές τετράδες (biquaternions) \mathbb C\otimes\mathbb H, και μιγαδικά οκτάδια \mathbb C\otimes\mathbb O. Αν ένα μηδενοδύναμο απειροστό είναι μια μεταβλητή που τείνει προς το μηδέν, μπορεί να αποδειχθεί ότι οποιοδήποτε άθροισμα όρων για το οποίο είναι το υποκείμενο είναι ένα απροσδιόριστα μικρό ποσοστό του όρου πρώτης τάξης.

## Δημοσιεύσεις

* 

* 

* 

* 

* 

* 

* 
* 
* 
* 
* Paul C. Shields (1980) *Elementary Linear Algebra* 3rd edition, p 274, Worth Publishers ISBN 0-87901-121-1
* 
* 

## Δείτε επίσης

* Field Arithmetic
* Πραγματικό προβολικό επίπεδο
* Μιγαδικός αριθμός
* Αντιερμιτιανός πίνακας
* Μέγιστος κοινός διαιρέτης
* Υπολογιστική βιολογία
* Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
* Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
* Συμμετρικός πίνακας
* Άλγεβρα Μπουλ
* Πολλαπλασιασμός πινάκων
* Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση
* Χώρος Γραμμών και Χώρος Στηλών
* Αντιστρέψιμος πίνακας
* Σχέση ισοδυναμίας
* Μηδενοριζικό
* High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

* English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Matrix calculator
* Matrix Analysis
* Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
* Foundation Mathematics for Computer Science: A Visual Approach
* Quantum Probability and Spectral Analysis of Graphs.
* Symplectic Methods in Harmonic Analysis and in Mathematical Physics...
* Faith and Philosophy: Discourses and Essays ...
* High Performance Algorithms for Structured Matrix Problems ..
* Ratner's Theorems on Unipotent Flows ......
* Representations of Nilpotent Lie Groups and Their Applications: Volume 1 .. ...
* Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

## Παραπομπές


* A. Borel, *Linear algebraic groups*, 
* 
* 
* 
* 

Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Θεωρήματα της γραμμικής άλγεβρας
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων