Θεώρημα πυκνότητας (θεωρία κατηγοριών)

Στην θεωρία κατηγοριών, έναν κλάδο των μαθηματικών, το **θεώρημα πυκνότητας** δηλώνει ότι κάθε προδεμάτιο (presheaf) συνόλων είναι ένα συνόριο των αναπαραστάσιμων προδεματίων με έναν κανονικό τρόπο.

Λόγου χάριν, βάσει ορισμού, ένα *απλό σύνολο* είναι ένα προδεμάτιο στην κατηγορία simplex Δ και ένα αναπαραστάσιμο απλό σύνολο έχει ακριβώς τη μορφή \Delta^n = \operatorname{Hom}(-, [n]) (που ονομάζεται τυπικό n-simplex), οπότε το θεώρημα λέει: για κάθε απλό σύνολο *X*,
:X \simeq \varinjlim \Delta^n
όπου το συνόριο εκτείνεται σε μια κατηγορία δεικτών που καθορίζεται από το *X*.

## Δήλωση

Έστω *F* ένα προδεμάτιο σε μια κατηγορία *C*; δηλαδή ένα αντικείμενο της κατηγορίας συναρτητών \widehat{C} = \mathbf{Fct}(C^\text{op}, \mathbf{Set}).Για μια κατηγορία δεικτών πάνω στην οποία θα εκτελεστεί ένα συνόριο, ας είναι *I* η κατηγορία των στοιχείων του *F*: είναι η κατηγορία όπου 
# ένα αντικείμενο είναι ένα ζεύγος (U, x) που αποτελείται από ένα αντικείμενο *U* στο *C* και ένα στοιχείο x \in F(U),
# ένας μορφισμός  (U, x) \to (V, y)  αποτελείται από έναν μορφισμό  u: U \to V στο *C* έτσι ώστε (Fu)(y) = x.
Συνοδεύεται από τον επιλήσμων συναρτητή p: I \to C.

Τότε το *F* είναι το συνόριο του διαγράμματος (δηλαδή, ένας συναρτητής).
:I \overset{p}\to C \to \widehat{C}
όπου το δεύτερο βέλος είναι η εμφύτευση του Γιονέντα: U \mapsto h_U = \operatorname{Hom}(-, U).

## Απόδειξη

Ας υποδηλώσουμε με *f* το παραπάνω διάγραμμα. Για να δείξουμε ότι το συνόριο του *f* είναι *F*, πρέπει να δείξουμε ότι: για κάθε προδεμάτιο *G* στο *C*,υπάρχει μια φυσική αμφίρριψη: 

:\operatorname{Hom}_{\widehat{C}} (F, G) \simeq \operatorname{Hom} (f, \Delta_G)
όπου  \Delta_G είναι ο σταθερός συναρτητής με τιμή *G* και Hom στα δεξιά σημαίνει το σύνολο των φυσικών μετασχηματισμών. Αυτό συμβαίνει διότι η καθολική ιδιότητα ενός συνορίου ισοδυναμεί με την έκφραση  \varinjlim - είναι ο αριστερός συζυγής του διαγώνιου συναρτητή \Delta_{-}.

Για το σκοπό αυτό, θεωρούμε ότι \alpha: f \to \Delta_G είναι ένας φυσικός μετασχηματισμός. Πρόκειται για μια οικογένεια μορφισμών που ευρετηριάζονται από τα αντικείμενα του *I*:
:\alpha_{U, x}: f(U, x) = h_U \to \Delta_G(U, x) = G
που ικανοποιεί την ιδιότητα: για κάθε μορφισμό  (U, x) \to (V, y), u: U \to V in *I*, \alpha_{V, y} \circ h_u = \alpha_{U, x}
(δεδομένου ότι  f((U, x) \to (V, y)) = h_u.)

Το λήμμα του Γιονέντα λέει ότι υπάρχει μια φυσική αμφίρριψη αντιστοίχιση G(U) \simeq \operatorname{Hom}(h_U, G). Κάτω από αυτή την αμφίρριψη αντιστοίχιση, το  \alpha_{U, x}  αντιστοιχεί σε ένα μοναδικό στοιχείο  g_{U, x} \in G(U).  Έχουμε:
:(Gu)(g_{V, y}) = g_{U, x}
επειδή, σύμφωνα με το λήμμα του Γιονέντα, Gu: G(V) \to G(U)  αντιστοιχεί σε - \circ h_u: \operatorname{Hom}(h_V, G) \to \operatorname{Hom}(h_U, G).

Τώρα, για κάθε αντικείμενο *U* στο *C*, έστω \theta_U: F(U) \to G(U) η συνάρτηση που δίνεται από \theta_U(x) = g_{U, x}. Αυτό καθορίζει τον φυσικό μετασχηματισμό \theta: F \to G; Πράγματι, για κάθε μορφισμό (U, x) \to (V, y), u: U \to V στο *I*, έχουμε:
:(G u \circ \theta_V)(y) = (Gu)(g_{V, y}) = g_{U, x} = (\theta_U \circ Fu)(y),
δεδομένου ότι (Fu)(y) = x.  Είναι σαφές ότι η κατασκευή \alpha \mapsto \theta είναι αναστρέψιμη. Επομένως, \alpha \mapsto \theta  είναι η απαιτούμενη φυσική αμφίρριψη.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
*
*
* 
*
* 
*
* 
* 
* 

## Παραπομπές


*
*
*
*

*
*Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
* star-autonomous category at the nLab
* 
* *This article is based in part on [http://www.planetmath.org PlanetMath]'s [http://planetmath.org/encyclopedia/TerminalObjectsAndZeroObjectsExamplesOfInitialObjects.html article on examples of initial and terminal objects] .*
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Γενική τοπολογία 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα