Ευθειογενής επιφάνεια

Στη γεωμετρία, μια επιφάνεια S στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο είναι ευθειογενής (ονομάζεται επίσης ρόλλος) εάν μέσω κάθε σημείου της  υπάρχει μια ευθεία που βρίσκεται πάνω στην . Ενδεικτικά αναφέρονται το επίπεδο, η πλευρική επιφάνεια ενός κυλίνδρου ή κώνου, μια κωνική επιφάνεια με ελλειπτική διευθετούσα, το δεξιό κωνοειδές, το ελικοειδές και η αναπτυκτή εφαπτομένη μιας ομαλής καμπύλης στο χώρο.

Μια **ευθειογενής επιφάνεια** μπορεί να περιγραφεί ως το σύνολο των σημείων που σαρώνει μια κινούμενη ευθεία γραμμή. Επί παραδείγματι, ένας κώνος σχηματίζεται διατηρώντας ένα σημείο μιας ευθείας σταθερό, ενώ ένα άλλο σημείο κινείται κατά μήκος ενός κύκλου. Μια επιφάνεια είναι διπλά ευθειογενής αν από κάθε σημείο της περνούν δύο διαφορετικές ευθείες που βρίσκονται πάνω στην επιφάνεια. Το υπερβολικό παραβολοειδές και το υπερβολοειδές ενός φύλλου είναι διπλά ευθειογενείς επιφάνειες. Το επίπεδο είναι η μόνη επιφάνεια που περιέχει τουλάχιστον τρεις διακριτές ευθείες μέσω κάθε σημείου της ().

Οι ιδιότητες της ευθειογενούς ή της διπλά ευθειογενούς διατηρούνται από τις προβολικές απεικονίσεις και επομένως αποτελούν έννοιες της προβολικής γεωμετρίας. Στην αλγεβρική γεωμετρία, οι ευθειογενείς επιφάνειες θεωρούνται μερικές φορές επιφάνειες στον αφινικό ή προβολικό χώρο πάνω από ένα πεδίο, αλλά μερικές φορές θεωρούνται επίσης ως αφηρημένες αλγεβρικές επιφάνειες χωρίς ενσωμάτωση στον αφινικό ή προβολικό χώρο, οπότε η λέξη "ευθεία" νοείται ως αφινική ή προβολική ευθεία.

## Ορισμός και παραμετρική αναπαράσταση

Μια επιφάνεια στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο ονομάζεται «ευθειογενής επιφάνεια » αν είναι η ένωση μιας διαφορίσιμης μονοπαραμετρικής οικογένειας γραμμών.
Τυπικά, μια ευθειογενής επιφάνεια  είναι μια επιφάνεια στον \mathbb R^3 που περιγράφεται από μια παραμετρική αναπαράσταση της μορφής

: \quad \mathbf x(u,v) = \mathbf c(u) + v \mathbf r(u)

για u που μεταβάλλεται σε ένα διάστημα και v που κυμαίνεται στους πραγματικούς. Απαιτείται ότι \mathbf r(u) \neq (0,0,0), και τόσο η \mathbf c όσο και η \mathbf r πρέπει να είναι διαφορίσιμες.

Κάθε ευθεία γραμμή v \mapsto \mathbf x(u_0,v) με σταθερή παράμετρο u=u_0 ονομάζεται *γεννήτρια*. Τα διανύσματα \mathbf r(u) περιγράφουν τις κατευθύνσεις των γεννητριών. Η καμπύλη u\mapsto \mathbf c(u) ονομάζεται *διευθετούσα* της απεικόνισης. Η διευθετούσα  μπορεί να καταρρεύσει σε ένα σημείο (στην περίπτωση ενός κώνου, βλέπε παράδειγμα παρακάτω).

Η ευθειογενής επιφάνεια  μπορεί εναλλακτικά να περιγραφεί ως εξής

: \quad \mathbf x(u,v) = (1-v) \mathbf c(u) + v \mathbf d(u)

με τη δεύτερη ευθεία \mathbf d(u)= \mathbf c(u) + \mathbf r(u). Για να επιστρέψουμε στην πρώτη περιγραφή ξεκινώντας με δύο μη τέμνουσες καμπύλες \mathbf c(u), \mathbf d(u) ως διευθετούσες, θέτουμε \mathbf r(u)= \mathbf d(u) - \mathbf c(u).

Το γεωμετρικό σχήμα των διευθετούσων και των γεννητριών είναι φυσικά ουσιώδες για το σχήμα της γραμμικής επιφάνειας που παράγουν. Ωστόσο, οι συγκεκριμένες παραμετρικές αναπαραστάσεις τους επηρεάζουν επίσης το σχήμα της ευθειογενούς επιφάνειας.

## Παραδείγματα

### Ορθός κυκλικός κύλινδρος

Ένας ορθός κυκλικός κύλινδρος δίνεται από την εξίσωση

:x^2+y^2=a^2.

Μπορεί να παραμετροποιηθεί ως ακολούθως

:\mathbf x(u,v)=(a\cos u,a\sin u,v)
:::= (a\cos u,a\sin u,0) + v (0,0,1)
:::= (1-v) (a\cos u,a\sin u,0) + v (a\cos u,a\sin u,1).

με 

:\mathbf c(u) = (a\cos u,a\sin u,0),
:\mathbf r(u) = (0,0,1),
:\mathbf d(u) = (a\cos u,a\sin u,1).

## Ορθός κυκλικός κώνος

Ένας ορθός κυκλικός κύλινδρος δίνεται από την εξίσωση

:x^2+y^2=z^2.

Η παράμετρος μπορεί να οριστεί ως εξής

:\mathbf x(u,v) = (\cos u,\sin u,1) + v (\cos u,\sin u,1)
:::= (1-v) (\cos u,\sin u,1) + v (2\cos u,2\sin u,2).

με

:\mathbf c(u) = (\cos u,\sin u,1),
:\mathbf r(u) = (\cos u,\sin u,1),
:\mathbf d(u) = (2\cos u,2\sin u,2).

Στην περίπτωση αυτή θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί η κορυφή ως διευθετούσα, δηλ.

:\mathbf c(u) = (0,0,0)

και

: \mathbf r(u) = (\cos u,\sin u,1)
ως  διευθετούσες .

Για οποιονδήποτε κώνο μπορεί κανείς να επιλέξει την κορυφή ως κατευθυντήρια γραμμή. Αυτό δείχνει ότι *η διευθετούσα μιας ευθειογενούς επιφάνειας μπορεί να εκφυλιστεί σε σημείο*.

### Ελικοειδές
Βλ..Ελικοειδές

Ένα ελικοειδές μπορεί να παραμετροποιηθεί ως εξής

:\mathbf x(u,v) = (v\cos u,v\sin u, ku)
:::= (0,0,ku) + v (\cos u, \sin u, 0)
:::= (1-v) (0,0,ku) + v (\cos u,\sin u, ku).

Η διευθετούσα 

:\mathbf c(u) = (0,0,ku)
είναι ο άξονας z, οι κατευθύνσεις των γραμμών είναι
:\mathbf r(u) = (\cos u, \sin u, 0),
και η δεύτερη διευθετούσα
:\mathbf d(u) = (\cos u,\sin u, ku)
είναι μια έλικα.

### Κύλινδρος, κώνος και υπερβολοειδές

Η παραμετρική αναπαράσταση 

:\mathbf x(u,v) = (1-v) (\cos (u-\varphi), \sin(u-\varphi),-1) + v (\cos(u+\varphi), \sin(u+\varphi), 1)

έχει δύο οριζόντιους κύκλους ως διευθετούσες. Η πρόσθετη παράμετρος \varphi επιτρέπει τη μεταβολή των παραμετρικών παραστάσεων των κύκλων. Για το

:\varphi=0 προκύπτει ο κύλινδρος  x^2+y^2=1,
:\varphi=\pi/2 προκύπτει ο κώνος x^2+y^2=z^2,
:0 παίρνουμε ένα υπερβολοειδές ενός φύλλου με εξίσωση \frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 και τους ημιάξονες a=\cos\varphi, c=\cot\varphi.

Ένα υπερβολοειδές ενός φύλλου είναι μια διπλά ευθειογενής επιφάνεια.

### Υπερβολικό παραβολοειδές

Εάν οι δύο διευθετούσες στο **(CD)** είναι οι γραμμές 

:\mathbf c(u) =(1-u)\mathbf a_1 + u\mathbf a_2, \quad \mathbf d(u)=(1-u)\mathbf b_1 + u\mathbf b_2

παίρνει κανείς 

:\mathbf x(u,v)=(1-v)\big((1-u)\mathbf a_1 + u\mathbf a_2\big) + v\big((1-u)\mathbf b_1 + u\mathbf b_2\big),

το οποίο είναι το υπερβολικό παραβολοειδές που παρεμβάλλει διγραμμικά τα 4 σημεία  \mathbf a_1, \mathbf a_2, \mathbf b_1, \mathbf b_2.

Η επιφάνεια είναι διπλά ευθειογενής, επειδή κάθε σημείο βρίσκεται σε δύο γραμμές της επιφάνειας.

Για το παράδειγμα που φαίνεται στο διάγραμμα: 

:\mathbf a_1=(0,0,0),\; \mathbf a_2=(1,0,0),\; \mathbf b_1=(0,1,0),\; \mathbf b_2=(1,1,1).

Το υπερβολικό παραβολοειδές έχει την εξίσωση z=xy.

### Λωρίδα Μέμπιους
Κύριο άρθρο: Λωρίδα του Μέμπιους

Η ευθειογενής επιφάνεια

:\mathbf x(u,v) = \mathbf c(u) + v \mathbf r(u) 
με

:\mathbf c(u) = (\cos2u,\sin2u,0) (κύκλος ως διευθετούσα),
:\mathbf r(u) = ( \cos u \cos 2 u , \cos u \sin 2 u, \sin u ) \quad 0\le u
περιέχει μια λωρίδα Μέμπιους.

Το διάγραμμα δείχνει τη λωρίδα του Μἐμπιους για -0.3\le v \le 0.3.

Ένας απλός υπολογισμός δείχνει \det(\mathbf \dot c(0), \mathbf \dot r(0), \mathbf r(0)) \ne 0 (βλέπε επόμενη ενότητα). Συνεπώς, η δεδομένη υλοποίηση μιας λωρίδας Μέμπιους είναι *μη αναπτύξιμη*. Αλλά υπάρχουν αναπτύξιμες λωρίδες Μέμπιους.

## Αναπτυσσόμενες επιφάνειες

Για τον προσδιορισμό του κανονικού διανύσματος σε ένα σημείο χρειάζονται οι μερικές παράγωγοι της παράστασης  \mathbf x(u,v) = \mathbf c(u) + v \mathbf r(u):
:\mathbf x_u = \mathbf \dot c(u)+ v \mathbf \dot r(u),
:\mathbf x_v= \mathbf r(u).

Επομένως, το κανονικό διάνυσμα είναι

:\mathbf n = \mathbf x_u \times \mathbf x_v = \mathbf \dot c\times \mathbf r + v( \mathbf \dot r \times \mathbf r).

Δεδομένου ότι \mathbf n \cdot \mathbf r = 0 (Ένα μικτό γινόμενο με δύο ίσα διανύσματα είναι πάντα 0), το \mathbf r (u_0) είναι ένα εφαπτόμενο διάνυσμα σε οποιοδήποτε σημείο \mathbf x(u_0,v). Τα εφαπτόμενα επίπεδα κατά μήκος αυτής της ευθείας είναι όλα τα ίδια, αν \mathbf \dot r \times \mathbf r είναι πολλαπλάσιο του \mathbf \dot c\times \mathbf r. Αυτό είναι δυνατό μόνο αν τα τρία διανύσματα \mathbf \dot c, \mathbf \dot r, \mathbf r βρίσκονται σε ένα επίπεδο, δηλαδή αν είναι γραμμικά εξαρτημένα. Η γραμμική εξάρτηση τριών διανυσμάτων μπορεί να ελεγχθεί χρησιμοποιώντας τον προσδιοριστή των διανυσμάτων αυτών:

Τα εφαπτόμενα επίπεδα κατά μήκος της ευθείας \mathbf x(u_0,v) = \mathbf c(u_0) + v \mathbf r(u_0) είναι ίσα, αν 
:: \det(\mathbf \dot c(u_0), \mathbf \dot r(u_0), \mathbf r(u_0)) = 0.

Μια λεία επιφάνεια με μηδενική γκαουσιανή καμπυλότητα ονομάζεται *αναπτύξιμη σε επίπεδο*, ή απλά *αναπτύξιμη*. Η προσδιοριστική συνθήκη μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη της ακόλουθης δήλωσης:

:Μια ευθειογενής επιφάνεια \mathbf x(u,v) = \mathbf c(u) + v \mathbf r(u) είναι αναπτύξιμη εάν και μόνο εάν 
::\det(\mathbf \dot c, \mathbf \dot r, \mathbf r) = 0 
:σε κάθε σημείο.

Οι γεννήτριες μιας οποιασδήποτε ευθειογενούς επιφάνειας συμπίπτουν με μια οικογένεια των ασυμπτωτικών γραμμών της. Για αναπτυσσόμενες επιφάνειες σχηματίζουν επίσης μια οικογένεια των γραμμών καμπυλότητας της. Μπορεί να αποδειχθεί ότι κάθε αναπτύξιμη επιφάνεια είναι ένας κώνος, ένας κύλινδρος ή μια επιφάνεια που σχηματίζεται από όλες τις εφαπτόμενες μιας καμπύλης χώρου.

Η καθοριστική συνθήκη για αναπτυσσόμενες επιφάνειες χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό αριθμητικά αναπτυσσόμενων συνδέσεων μεταξύ καμπυλών χώρου (ευθείες). Το διάγραμμα δείχνει μια αναπτυσσόμενη σύνδεση μεταξύ δύο ελλειψοειδών που περιέχονται σε διαφορετικά επίπεδα (το ένα οριζόντιο, το άλλο κατακόρυφο) και την ανάπτυξή της.

Μια εντύπωση της χρήσης των αναπτύξιμων επιφανειών στο *Computer Aided Design* (CAD) δίνεται στο *Interactive design of developable surfaces*.

Μια *ιστορική* έρευνα για τις αξιοποιήσιμες επιφάνειες μπορεί να βρεθεί στο * Αξιοποιήσιμες επιφάνειες: History and Application*.

## Ευθειογενείς επιφάνειες στην αλγεβρική γεωμετρία

Στην αλγεβρική γεωμετρία, οι **ευθειογενείς επιφάνειες** ορίστηκαν αρχικά ως προβολικές επιφάνειες στον προβολικό χώρο που περιέχουν μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από οποιοδήποτε σημείο. Αυτό συνεπάγεται αμέσως ότι υπάρχει μια προβολική ευθεία στην επιφάνεια μέσω οποιουδήποτε δεδομένου σημείου, και αυτή η συνθήκη χρησιμοποιείται τώρα συχνά ως ορισμός μιας ευθειογενούς επιφάνειας: οι ευθειογενείς επιφάνειες ορίζονται ως αφηρημένες προβολικές επιφάνειες που ικανοποιούν αυτή τη συνθήκη ότι υπάρχει μια προβολική ευθεία μέσω οποιουδήποτε σημείου. Με άλλα λόγια, είναι δίρρητες με το γινόμενο μιας καμπύλης και μιας προβολικής γραμμής. Μερικές φορές μια ευθειογενής επιφάνεια ορίζεται ως μια επιφάνεια που ικανοποιεί την ισχυρότερη συνθήκη ότι έχει μια ίνα πάνω σε μια καμπύλη με ίνες που είναι προβολικές γραμμές. Αυτό αποκλείει το προβολικό επίπεδο, το οποίο έχει μια προβολική γραμμή σε κάθε σημείο, αλλά δεν μπορεί να γραφτεί ως τέτοια νηματοποίηση. 

Οι ευθειογενείς επιφάνειες εμφανίζονται στην ταξινόμηση Ενρίκες των προβολικών μιγαδικών επιφανειών, επειδή κάθε αλγεβρική επιφάνεια διάστασης Κοντάιρα -\infty είναι ευθειογενής επιφάνεια (ή προβολικό επίπεδο, αν χρησιμοποιηθεί ο περιοριστικός ορισμός της ευθειογενούς επιφάνειας). Κάθε ελάχιστη προβολική ευθειογενής επιφάνεια εκτός από το προβολικό επίπεδο είναι η προβολική δέσμη μιας δισδιάστατης διανυσματικής δέσμης πάνω σε κάποια καμπύλη. Οι ευθειογενείς επιφάνειες με βασική καμπύλη γένους 0 είναι οι επιφάνειες Χίρζεμπρουχ.

## Ευθειογενείς επιφάνειες στην αρχιτεκτονική
Οι διπλά ευθειογενείς επιφάνειες αποτελούν έμπνευση για καμπύλες υπερβολοειδείς κατασκευές που μπορούν να κατασκευαστούν με ένα πλέγμα από ευθύγραμμα στοιχεία, δηλαδή:

*Υπερβολικο παραβολοειδές, όπως οι σέλες στέγη οροφής (saddle roofs).
*Υπερβολοειδή ενός φύλλου, όπως οι πύργοι ψύξης και ορισμένοι κάδοι απορριμμάτων.

Ο πυραυλοκινητήρας RM-81 Agena χρησιμοποιούσε ευθύγραμμα κανάλια ψύξης τα οποία ήταν τοποθετημένα σε μια ευθειογενής επιφάνεια για να σχηματίσουν το λαιμό του τμήματος του ακροφυσίου. 


File:Didcot power station cooling tower zootalures.jpg|Υπερβολικοί πύργοι ψύξης στο σταθμό παραγωγής ενέργειας Didcot, Ηνωμένο Βασίλειο- η επιφάνεια μπορεί να είναι διπλά ευθειογενής.
File:Ciechanow water tower.jpg|Πύργος νερού με διπλή διάταξη και τοροειδή δεξαμενή, του Γιαν Μπογκουσλάφσκι στο Τσιτσάνοφ της Πολωνίας.
File:Kobe port tower11s3200.jpg|Ο υπερβολοειδής πύργος του λιμανιού Κόμπε, Κόμπε, Ιαπωνία, με διπλή διάταξη.
File:First Shukhov Tower Nizhny Novgorod 1896.jpg|Υπερβολοειδής πύργος νερού, 1896 στο Νίζνι Νόβγκοροντ.
File:Shukhov tower shabolovka moscow 02.jpg|Το πλέγμα του πύργου Σουχόφ στη Μόσχα, τα τμήματα του οποίου είναι διπλά ευθειογενή. 
File:Cremona, torrazzo interno 02 scala a chiocciola.JPG|Η ευθειογενης ελικοειδής σπειροειδής σκάλα μέσα στο Torrazzo της Κρεμόνα.
File:Nagytotlak.JPG|Εκκλησία του χωριού στο Σέλο της Σλοβενίας: τόσο η οροφή (κωνική) όσο και ο τοίχος (κυλινδρικός) είναι ευθειογενείς επιφάνειες.
File:W-wa Ochota PKP-WKD.jpg|Μια υπερβολική παραβολοειδής οροφή του σιδηροδρομικού σταθμού της Βαρσοβίας Οχότα στη Βαρσοβία της Πολωνίας.
File:Aodai-nonla-crop.jpg|Κωνικό καπέλο ευθειογενές.
File:Corrugated-fibro-roofing.jpg|Κυματοειδή κεραμίδια στέγης που διέπονται από παράλληλες γραμμές προς μία κατεύθυνση και ημιτονοειδείς προς την κάθετη κατεύθυνση.


## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Τριγωνομετρική συνάρτηση
* Συνάρτηση γάμμα
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Ρητή συνάρτηση
* Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Ζαν-Μπατίστ Μαρί Μενιέ ντε Λα Πλας
* Τρισδιάστατος χώρος
* Κοχλίας του Αρχιμήδη
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Μιγαδικός αριθμός
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Ακέραιος αριθμός

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
*  
* 
* . Review: *[[:en:Bulletin of the American Mathematical Society|Bulletin of the American Mathematical Society]]* 37 (1931), 791-793, 
* .
* .
* .
* 
* . Review: Séquin, Carlo H. (2009), *Journal of Mathematics and the Arts* 3: 229–230, 
* 
*Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:Ολοκληρώματα
Κατηγορία:Εμβαδόν
Κατηγορία:Επιφάνειες
Κατηγορία:Γεωμετρικά σχήματα
Κατηγορία:Γεωμετρία