Συνάρτηση Όιλερ

Στην θεωρία αριθμών, η **συνάρτηση Όιλερ** είναι η συνάρτηση \phi : \N_{>0} \to \N, όπου για κάθε θετικό ακέραιο n το \phi(n) μας δίνει το πλήθος των φυσικών αριθμών μικρότερων του n οι οποίοι είναι σχετικά πρώτοι με τον n (δηλαδή έχουν με τον \,n, μέγιστο κοινό διαιρέτη τη μονάδα).

Για παράδειγμα ας θεωρήσουμε τον αριθμό 9. Το \phi(9) είναι ίσο με 6, αφού από τους φυσικούς αριθμούς από το 1 μέχρι το 9 ακριβώς έξι, οι 1, 2, 4, 5, 7 και 8, είναι πρώτοι ως προς το 9.

Η συνάρτηση του Όιλερ είναι πολύ χρήσιμη στην θεωρία αριθμών. Αρκεί και μόνο να παρατηρήσει κάποιος ότι το πλήθος των στοιχείων της πολλαπλασιαστικής ομάδας των ακεραίων modulo n είναι ακριβώς \phi(n). Αυτό το γεγονός, μαζί με το θεώρημα του Λαγκράνζ, μας δίνουν την απόδειξη για το θεώρημα του Όιλερ, που αποτελεί γενίκευση του μικρού θεωρήματος του Φερμά.

## Παραδείγματα

* Για n = 6, έχουμε ότι \phi(6) = 2, 1, 5 είναι πρώτοι με το 6.
* Για n = 7, έχουμε ότι \phi(7) = 6, καθώς 1, 2, 3, 4, 5, 6 είναι πρώτοι με το 7.
* Για n = 10, έχουμε ότι \phi(10) = 4, καθώς 1, 3, 7, 9 είναι πρώτοι με το 10.
* Για n = 12, έχουμε ότι \phi(12) = 4, καθώς 1, 5, 7, 11 είναι πρώτοι με το 12.

## Ιστορία, ορολογία, συμβολισμός
Ο Λέοναρντ Όιλερ εισήγαγε τη συνάρτηση το 1763, αλλά χωρίς να τη συμβολίσει. Το 1784 επέλεξε το ελληνικό γράμμα \pi για το συμβολισμό της: \pi D "*το πλήθος των αριθμών, μικρότερων του <math>D</math>, που δεν έχουν κοινό διαιρέτη με το D*"· ο ορισμός είναι ίδιος με αυτόν που χρησιμοποιούμε, εκτός από την περίπτωση D=1. To 1801 ο Γκάους χρησιμοποίησε τον συμβολισμό \phi D στη διατριβή του "*Disquisitiones Arithmeticae*". Ονομάστηκε "*η συνάρτηση <math>\phi</math> του Όιλερ*" ή "*η συνάρτηση <math>\phi</math>*" και γράφουμε \phi(D). 

Το 1879 ο Τζ. Συλβέστερ δημιούργησε τον όρο *totient*, έτσι τη λέμε "η συνάρτηση totient του Όιλερ". Γενίκευση της συνάρτησης είναι η totient του Τζόρνταν. Η "συνάρτηση \phi του Όιλερ" να μη συγχέεται με τη "συνάρτηση του Όιλερ", που είναι μία σειρά q στη συνδυαστική και τη μιγαδική ανάλυση. 

Οι αριθμοί που είναι μικρότεροι του n και πρώτοι με αυτόν ονομάζονται totatives του n, π.χ. οι 1, 5 είναι *totatives* του 6. Υπάρχουν \phi(6)=2 τέτοιοι. Οι υπόλοιποι, δηλ. 2, 3, 4, 6 είναι εκείνοι που έχουν τουλάχιστον έναν κοινό παράγοντα με τον n· υπάρχουν n-\phi(n) = 6-2 = 4 τέτοιοι και το πλήθος τους αυτό λέγεται *cototient*.

## Ιδιότητες
Η συνάρτηση \phi δεν ορίζεται στο n = 0 και επίσης θεωρούμε ότι \phi(1) = 1.

### 1η ιδιότητα
Η συνάρτηση του Όιλερ είναι πολλαπλασιαστική, που σημαίνει ότι για κάθε δύο φυσικούς m, n με \mathrm{gcd}(m, n) = 1 ισχύει \phi(mn) = \phi (m) \cdot \phi (n).

### 2η ιδιότητα
Είναι εύκολο να παρατηρήσει κάποιος ότι αν ο n είναι πρώτος αριθμός τότε όλοι οι φυσικοί που είναι μικρότεροι από αυτόν είναι πρώτοι ως προς τον n, οπότε \phi(n) = n-1.

Για παράδειγμα: \phi(101) = 101-1 = 100 επειδή το 101 είναι πρώτος.

### 3η ιδιότητα
Αν n = p^k για πρώτο αριθμό p και k \geq 1 τότε
:\phi(p^k) = p^{k-1} \cdot (p-1) = p^k \left( 1 - \frac{1}{p} \right).

Για παράδειγμα \phi(81) = \phi(3^4) = 3^{4-1} \cdot (3-1) = 3^3 \cdot 2 = 54 ή \phi(3^4) = 3^4\cdot (1 - 1/3) = 81 (3-1)/3 = 54.

### Ο τύπος του Όιλερ
Με χρήση των παραπάνω και του Κινεζικού Θεωρήματος Υπολοίπων η τιμή της \phi(n) μπορεί να υπολογιστεί με χρήση του θεμελιώδους θεωρήματος της αριθμητικής: 

Αν n = p_1^{k_1} \cdot \ldots \cdot p_r^{k_r}, όπου τα p_j είναι διακεκριμένοι πρώτοι αριθμοί, τότε
:\phi(n) = (p_{1}-1)p_{1}^{k_{1}-1} \cdot \ldots \cdot (p_{r}-1)p_{r}^{k_{r}-1}.

Για παράδειγμα \phi(72) = \phi(3^2 \cdot 2^3) = (3-1) \cdot 3^{2-1} \cdot (2-1) \cdot 2^{3-1} = 2 \cdot 3^1 \cdot 1 \cdot 2^2= 24.

Ο τελευταίος τύπος μπορεί να γραφτεί και ως εξής: 
:\phi(n)=p_1^{k_1} \cdot \left( 1 - \frac{1}{p_1} \right) \cdot \ldots \cdot p_r^{k_r} \cdot \left( 1 - \frac{1}{p_r} \right) = n \cdot \left( 1 - \frac{1}{p_1} \right) \cdot \ldots \cdot \left( 1 - \frac{1}{p_r} \right).

Για παράδειγμα \phi(36)=\phi(3^22^2)=36\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{2}\right)=36\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=12.

### 4η ιδιότητα
Πιο πάνω υπολογίσαμε το \phi(9). Οι διαιρέτες του 9 είναι οι 1, 3, 9 με \phi(1) = 1, \phi(3) = 2, \phi(9) = 6. Ο Γκάους παρατήρησε ότι \phi(1)+\phi(3)+\phi(9) = 1+2+6 = 9 και γενικότερα
:\sum_{d\mid n}\phi(d)=n,
όπου d είναι όλοι οι (θετικοί) διαιρέτες του n.

Για παράδειγμα τα κλάσματα 1/9, 2/9, 3/9, 4/9, 5/9, 6/9, 7/9, 8/9, 9/9 αν απλοποιηθούν δίνουν 1/9, 2/9, 1/3, 4/9, 5/9, 2/3, 7/9, 8/9, 1/1.

Οι παρονομαστές είναι όλοι οι διαιρέτες του 9: 9,3, 1. Πόσα έχουν παρονομαστή το 9; όσα ο αριθμητής τους δεν είχε κοινό διαιρέτη με το 9, δηλ. \phi(9). Πόσα έχουν παρονομαστή το 3; \phi(3). Πόσα το 1; \phi(1). Και αυτά είναι όλα τα κλάσματα. Συνολικά είναι 9, δηλ. \phi(9) + \phi(3) + \phi(1) = 9.

### Παρατήρηση
Μπορούμε να πάρουμε έναν άλλο τύπο για την \phi(n), χρησιμοποιώντας την αντιστροφή του Μέμπιους στο άθροισμα 
:n=\sum_{d\mid n} \phi(d) .
Ο τύπος αυτός είναι ο εξής:
:\phi(n)=\sum_{d\mid n}d \cdot \mu(n/d) , 
όπου με \mu συμβολίζουμε την συνάρτηση του Μέμπιους στους φυσικούς αριθμούς.

## Άλλοι τύποι για τη συνάρτηση φ
*a\mid b \implies \phi(a)\mid\phi(b).
*\phi(mn)\phi(d) = \phi(m)\phi(n)d, όπου d = μκδ(m, n)
:Ειδικές περιπτώσεις: 
:*Για m = 2, τότε έχουμε ότι
::\phi(2n) = \begin{cases}
  2\phi(n) & \text{αν }n \text{ άρτιος}, \\
  (n) & \text{αν }n\text{ περιττός}.
\end{cases}
:*Για m = n ο τύπος γίνεται 
:::\phi(n^2) = n \cdot \phi(n)
::και γενικότερα 
:::\phi(n^k) = n^{k-1} \cdot \phi(n).

*\phi(\mathrm{gcd}(m, n)) \cdot \phi(\mathrm{lcm}(m, n)) = \phi(m) \cdot \phi(n),
:που μοιάζει με τον τύπο \mathrm{gcd}(m, n) \cdot \mathrm{lcm}(m, n) = m \cdot n (δείτε Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο).
* Το \phi(n) είναι άρτιος για n \geq 3. Ακόμη, αν ο n έχει r διακριτούς περιττούς παράγοντες τότε 2^r \mid \phi(n).

## Μερικές τιμές της συνάρτησης
Οι πρώτες 143 τιμές  εμφανίζονται στο γράφημα και στον πιο κάτω πίνακα:

:

Στο διάγραμμα η ευθεία y = n-1 είναι ένα άνω όριο και είναι ακριβώς αυτό στις περιπτώσεις όπου n = πρώτος. Δεν υπάρχει ευθεία που να είναι κάτω όριο.

## Ασυμπτωτική τιμή

Για κάθε σύνθετο αριθμό n > 2 έχουμε ότι
:\phi(n) > \frac{n}{e^{\gamma} \cdot \log \log n + \frac{3}{\log \log n}},
και 
:\liminf_{n \to \infty} \frac{\phi(n)}{n/\log \log n} = e^{-\gamma},
όπου \gamma είναι η σταθερά Όιλερ. 

Επίσης, και για κάθε n \geq 5 ισχύει η απλουστευμένη ανισότητα
:\phi(n) > \frac{n}{6 \cdot \log \log n}.

## Εφαρμογές

### Εφαρμογή στο θεώρημα του Όιλερ
Το θεώρημα του Όιλερ λέει ότι αν a και n είναι σχετικά πρώτοι μεταξύ τους, τότε
:a^{\phi(n)} \equiv 1\mod n.
Το μικρό θεώρημα του Φερμά είναι η ειδική περίπτωση που το n είναι πρώτος και τότε  
: a^{n-1} \equiv 1\mod n,
καθώς \phi(n) = n-1.

### Εφαρμογή στην κρυπτογραφία RSA
Στην κρυπτογραφία RSA ξεκινάμε με δύο μεγάλους πρώτους p, q. Για χάριν ευκολίας ας υποθέσουμε ότι είναι p=5, q=11. Παίρνουμε το γινόμενό τους n = pq = 55 και το \phi(n) = \phi(55) = 40. Διαλέγουμε έναν αριθμό e  έτσι ώστε e και \phi(n) είναι σχετικά πρώτοι μεταξύ τους, ας είναι το e = 7. Υπολογίζουμε τον αντίστροφό του \mathrm{mod}\ \phi(n)) με τη βοήθεια του αλγορίθμου του Ευκλείδη, που είναι το d = 23. Πράγματι 7 \cdot 23 = 161 = 1 \pmod{40}. To *δημόσιο κλειδί* είναι το ζεύγος (e, n) = (7, 55) και το *ιδιωτικό κλειδί* είναι το (d, n) = (23, 55). Αν ξέρει κάποιος άλλος το (e, n) δεν μπορεί (εύκολα) να βρει το d αν δεν ξέρει το \phi(n), καθώς οι γνωστοί αλγόριθμοι στηρίζονται στην παραγοντοποίηση του n. Μέχρι στιγμής, δεν είναι γνωστός κάποιος αλγόριθμος που γρήγορα παραγοντποιεί αριθμούς (δηλαδή αλγόριθμος που τρέχει σε πολυωνυμικό χρόνο) και αυτό εγγυάται ότι δεν θα βρει κάποιος άλλος το *ιδιωτικό κλειδί*.

Τέλος για να κρυπτογραφήσουμε ένα μήνυμα (δηλαδή έναν αριθμό) m, τον υψώνουμε στην δύναμη e, δηλαδή στέλνουμε m^e (\mathrm{mod}\ m). Ο παραλήπτης υψώνει αυτό που έλαβε στη δύναμη d και λαμβάνει το (m^e)^d \equiv m^{ed} \equiv m^1 \equiv m \pmod{1}, δηλαδή το αρχικό μήνυμα.

### Εφαρμογή στην κυκλοτομία
Στο τελευταίο κεφάλαιο του έργου του *Disquisitiones* ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους αποδεικνύει ότι ένα κανονικό n-γωνο μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη αν το \phi(n) είναι δύναμη του 2. 

Αναλύουμε τον n σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Τότε:

# Αν n = 2^k τότε \phi(n) = 2^{k-1} είναι δύναμη του 2 και το πολύγωνο κατασκευάζεται: 2, 4, 8, 16, 32, \ldots 

# Αν n=p^k όπου p είναι πρώτος μεγαλύτερος του 2, τότε \phi(n) = p^{k-1} \cdot (p-1), που για να είναι δύναμη του 2 πρέπει k=1 και p-1 να είναι δύναμη του 2. Οι αριθμοί αυτοί p λέγονταιπρώτοι αριθμοί του Φερμά και είναι γνωστοί οι εξής: 3, 5, 17, 257, 65537. Δεν ξέρουμε αν υπάρχουν άλλοι. 

# Συνδυασμός των παραπάνω: 2 \cdot 3, 2 \cdot 5, 2^2 \cdot 3, 3 \cdot 5, 2^2 \cdot 5, 2^3 \cdot 3, 2 \cdot 3 \cdot 5, 2 \cdot 17, 2^3 \cdot 5, \ldots 

Τελικά τα κατασκευάσιμα κανονικά πολύγωνα είναι 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, ... .

## Περαιτέρω ανάγνωση

### Ελληνικά άρθρα
* 

### Ξενόγλωσσα άρθρα
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* Βλάμος Π., Ράππος Ε. «Η συνάρτηση φ του Euler », σελ.96-103, από Ελληνική Ψηφιακή Μαθηματική Βιβλιοθήκη . Αρχειοθετήθηκε 16/01/2019. Ανακτήθηκε 16/01/2019.

 

Κατηγορία:Θεωρία αριθμών