Τρίγωνο του Μπεζιέ

Το **τρίγωνο Μπεζιέ** είναι ένας ειδικός τύπος επιφάνειας Μπεζιέ που δημιουργείται με (γραμμική, τετραγωνική, κυβική ή υψηλότερου βαθμού) παρεμβολή σημείων ελέγχου.

## ''n''th-τάξης τρίγωνο Μπεζιέ

Ένα γενικό **τρίγωνο Μπεζιέ** n-th τάξης έχει (*n*&nbsp;+1)(*n*&nbsp;+&nbsp;2)/2 σημεία ελέγχου *α**i**β**j**γ**k* όπου *i*,&nbsp;*j*,&nbsp;*k* είναι μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί έτσι ώστε *i*&nbsp;+&nbsp;*j*&nbsp;+&nbsp;*k*&nbsp;=&nbsp;*n*.  Η επιφάνεια ορίζεται τότε ως εξής 

: (\alpha s + \beta t + \gamma u)^n 
= \sum_{\begin{smallmatrix} i+j+k\,=\,n \\ i,j,k \,\ge\, 0\end{smallmatrix}} {n \choose i\ j\ k } s^i t^j u^k \alpha^i \beta^j \gamma^k 
= \sum_{\begin{smallmatrix} i+j+k\,=\,n \\ i,j,k \,\ge\, 0\end{smallmatrix}} \frac{n!}{i!j!k!} s^i t^j u^k \alpha^i \beta^j \gamma^k

για όλους τους μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς *s*&nbsp;+&nbsp;*t*&nbsp;+&nbsp;*u*&nbsp;=&nbsp;1.

Με γραμμική διάταξη (n=1), το τρίγωνο Μπεζιέ που προκύπτει είναι στην πραγματικότητα ένα κανονικό επίπεδο τρίγωνο, με τις κορυφές του τριγώνου να ισούνται με τα τρία σημεία ελέγχου. Ένα τετραγωνικό (n=2)τρίγωνο Μπεζιέ διαθέτει 6 σημεία ελέγχου τα οποία βρίσκονται όλα στις ακμές. Το κυβικό (n=3)  τρίγωνο Μπεζιέ ορίζεται από 10 σημεία ελέγχου και είναι το τρίγωνο Μπεζιέ χαμηλότερης τάξης που έχει ένα εσωτερικό σημείο ελέγχου, το οποίο δεν βρίσκεται στις ακμές. Σε όλες τις περιπτώσεις, οι ακμές του τριγώνου θα είναι καμπύλες Μπεζιέ του ίδιου βαθμού.

## Κυβικό τρίγωνο Μπεζιέ

Ένα **κυβικό τρίγωνο Μπεζιέ** είναι μια επιφάνεια με την εξίσωση

:\begin{align}
p(s, t, u) = (\alpha s+\beta t+\gamma u)^3 =\; &
\beta^3\, t^3 + 3\, \alpha\beta^2\, st^2 + 3\, \beta^2\gamma\, t^2 u\; + \\
&3\, \alpha^2\beta\, s^2 t + 6\, \alpha\beta\gamma\, stu + 3\, \beta\gamma^2\, tu^2\, + \\
&\alpha^3\, s^3+ 3\, \alpha^2\gamma\, s^2 u + 3\, \alpha\gamma^2\, su^2 + \gamma^3\, u^3
\end{align}

όπου α3, β3, γ3, α2β, αβ2, β2γ, βγ2, αγ2, α2γ και αβγ είναι τα σημεία ελέγχου του τριγώνου και *s*, *t*, *u* (με 0 ≤ *s*, *t*, *u* ≤ 1 και *s* + *t* + *u* = 1) είναι οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες στο εσωτερικό του τριγώνου.

Εναλλακτικά, ένα κυβικό τρίγωνο Μπεζιέ μπορεί να εκφραστεί με μια πιο γενικευμένη διατύπωση ως εξής

:\begin{align}
p(s, t, u) &= \sum_{\begin{smallmatrix} i+j+k\,=\,3 \\ i,j,k \,\ge\, 0\end{smallmatrix}} {3 \choose i\ j\ k } s^i t^j u^k \alpha^i \beta^j \gamma^k 
= \sum_{\begin{smallmatrix} i+j+k\,=\,3 \\ i,j,k \,\ge\, 0\end{smallmatrix}} \frac{6}{i!j!k!} s^i t^j u^k \alpha^i \beta^j \gamma^k
\end{align}

σύμφωνα με τη διατύπωση του nth-τάξης τριγώνου Μπεζιέ

Οι γωνίες του τριγώνου είναι τα σημεία α3, β3  και γ3. Οι ακμές του τριγώνου είναι οι ίδιες καμπύλες Μπεζιέ, με τα ίδια σημεία ελέγχου με το τρίγωνο Μπεζιέ.

Αφαιρώντας τον όρο γ*u*, προκύπτει μια κανονική καμπύλη Μπεζιέ. Επίσης, αν και δεν είναι πολύ χρήσιμο για την απεικόνιση σε μια φυσική οθόνη υπολογιστή, προσθέτοντας επιπλέον όρους, προκύπτει ένα τετράεδρο Μπεζιέ ή ένα πολύτοπο Μπεζιέ.

Λόγω της φύσης της εξίσωσης, ολόκληρο το τρίγωνο θα περιέχεται στον όγκο που περιβάλλεται από τα σημεία ελέγχου και οι αφινικοί μετασχηματισμοί των σημείων ελέγχου θα μετασχηματίσουν σωστά ολόκληρο το τρίγωνο με τον ίδιο τρόπο.

### Λύση ενός κυβικού τριγώνου Μπεζιέ

Το πλεονέκτημα των τριγώνων Μπεζιέ στα γραφικά υπολογιστών είναι ότι η διαίρεση του τριγώνου Μπεζιέ σε δύο ξεχωριστά τρίγωνα Μπεζιέ απαιτεί μόνο πρόσθεση και διαίρεση με το δύο και όχι αριθμητική κινητής υποδιαστολής.  Αυτό σημαίνει ότι, ενώ τα τρίγωνα Μπεζιέ είναι ομαλά, μπορούν εύκολα να προσεγγιστούν με τη χρήση κανονικών τριγώνων, διαιρώντας αναδρομικά το τρίγωνο στα δύο μέχρι τα τρίγωνα που προκύπτουν να θεωρηθούν επαρκώς μικρά. 

Στη συνέχεια υπολογίζονται τα νέα σημεία ελέγχου για το μισό του πλήρους τριγώνου Μπεζιέ με τη γωνία α3, μια γωνία στη μέση της καμπύλης Μπεζιέ μεταξύ α3 και β3 και την τρίτη γωνία γ3. 

:
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{\alpha^3}{'}\\
\boldsymbol{\alpha^2\beta}{'}\\
\boldsymbol{\alpha\beta^2}{'}\\
\boldsymbol{\beta^3}{'}\\
\boldsymbol{\alpha^2\gamma}{'}\\
\boldsymbol{\alpha\beta\gamma}{'}\\
\boldsymbol{\beta^2\gamma}{'}\\
\boldsymbol{\alpha\gamma^2}{'}\\
\boldsymbol{\beta\gamma^2}{'}\\
\boldsymbol{\gamma^3}{'} 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\
{1\over 2}&{1\over 2}&0&0&0&0&0&0&0&0\\
{1\over 4}&{2\over 4}&{1\over 4}&0&0&0&0&0&0&0\\
{1\over 8}&{3\over 8}&{3\over 8}&{1\over 8}&0&0&0&0&0&0\\
0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\
0&0&0&0&{1\over 2}&{1\over 2}&0&0&0&0\\
0&0&0&0&{1\over 4}&{2\over 4}&{1\over 4}&0&0&0\\
0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\\
0&0&0&0&0&0&0&{1\over 2}&{1\over 2}&0\\
0&0&0&0&0&0&0&0&0&1
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
\boldsymbol{\alpha^3}\\
\boldsymbol{\alpha^2\beta}\\
\boldsymbol{\alpha\beta^2}\\
\boldsymbol{\beta^3}\\
\boldsymbol{\alpha^2\gamma}\\
\boldsymbol{\alpha\beta\gamma}\\
\boldsymbol{\beta^2\gamma}\\
\boldsymbol{\alpha\gamma^2}\\
\boldsymbol{\beta\gamma^2}\\
\boldsymbol{\gamma^3}
\end{pmatrix}
:ισοδύναμα, χρησιμοποιώντας μόνο την πρόσθεση και τη διαίρεση με το δύο,
:

:όπου := σημαίνει αντικατάσταση του διανύσματος στα αριστερά με το διάνυσμα στα δεξιά.
:Σημειώστε ότι η μείωση κατά το ήμισυ ενός τριγώνου Μπεζιέ είναι παρόμοια με τη μείωση κατά το ήμισυ των καμπυλών Μπεζιέ όλων των τάξεων μέχρι την τάξη του τριγώνου Μπεζιέ.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Τριγωνομετρική συνάρτηση
* Βαθμωτό πεδίο
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Καμπύλη Μπεζιέ
* Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Τρισδιάστατος χώρος
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Μιγαδικός αριθμός
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
*
*
*
*
* .
* 
* . Review: Séquin, Carlo H. (2009), *Journal of Mathematics and the Arts* 3: 229–230, 
* 
*Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:Εμβαδόν
Κατηγορία:Επιφάνειες 
Κατηγορία:Γεωμετρικά σχήματα 
Κατηγορία:Γεωμετρία