Ταξινομητής υποαντικειμένων

Στα μαθηματικά, ειδικά στην θεωρία κατηγοριών, ένας **ταξινομητής υποαντικειμένων** είναι ένα ειδικό αντικείμενο Ω μιας κατηγορίας, έτσι ώστε, διαισθητικά, τα υποαντικείμενα οποιουδήποτε αντικειμένου *X* στην κατηγορία να αντιστοιχούν στους μορφισμούς από το *X* στο Ω.  Σε τυπικά παραδείγματα, αυτός ο μορφισμός αναθέτει την τιμή "αληθές" στα στοιχεία του υποαντικειμένου και την τιμή "ψευδές" στα άλλα στοιχεία του *X.* Επομένως, ένας **ταξινομητής υποαντικειμένων** είναι επίσης γνωστός ως "αντικείμενο με τιμή αλήθειας" και η έννοια χρησιμοποιείται ευρέως στην κατηγορηματική περιγραφή της λογικής. Ας σημειωθεί, ωστόσο, ότι οι ταξινομητές υποαντικειμένων είναι συχνά πολύ πιο περίπλοκοι από τις απλές δυαδικές λογικές τιμές αλήθειας {true, false}.

## Εισαγωγικό παράδειγμα
Ως παράδειγμα, το σύνολο Ω = {0,1} είναι ένας **ταξινομητής υποαντικειμένων** στην κατηγορία των συνόλων και των συναρτήσεων: σε κάθε υποσύνολο *A* του *S* που ορίζεται από τη συνάρτηση εγκλεισμού  *j*  : *A* → *S* μπορούμε να αποδώσουμε τη συνάρτηση *χ<sub>A</sub>* από το *S* στο Ω που εκτελεί ακριβώς την απεικόνιση των στοιχείων του *A* στο 1,  και των στοιχείων εκτός του *A* στο 0 (με άλλα λόγια, η  *χ<sub>A</sub>* είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση του *A*). Αντίστροφα, κάθε συνάρτηση από το *S* στο Ω προκύπτει με αυτόν τον τρόπο από ένα και μόνο υποσύνολο *A*.

Για να γίνουμε πιο κατανοητοί, ας θεωρήσουμε ένα υποσύνολο *A* του *S* (*A* ⊆ *S*), όπου *S* είναι ένα σύνολο. Η έννοια του υποσυνόλου μπορεί να εκφραστεί μαθηματικά χρησιμοποιώντας τη λεγόμενη χαρακτηριστική συνάρτηση  χ*A* : S → {0,1}, η οποία ορίζεται ως εξής:

:\chi_A(x) = 
\begin{cases} 
  0, & \mbox{if }x\notin A \\
  1, & \mbox{if }x\in A
\end{cases}
(Εδώ ερμηνεύουμε το 1 ως αληθές και το 0 ως ψευδές.) Ο ρόλος της χαρακτηριστικής συνάρτησης είναι να καθορίσει ποια στοιχεία ανήκουν στο υποσύνολο *A*. Στην πραγματικότητα, το χ*A* είναι αληθές ακριβώς στα στοιχεία του *A*.

Με αυτόν τον τρόπο, η συλλογή όλων των υποσυνόλων του *S* και η συλλογή όλων των απεικόνισεων από το *S* στο Ω = {0,1} είναι ισομορφικές.

Για να κατηγοριοποιήσουμε αυτή την έννοια, ας θυμηθούμε ότι, στην θεωρία κατηγοριών, ένα υποαντικείμενο αντιπροσωπεύεται στην πραγματικότητα από ένα ζεύγος που αποτελείται από ένα αντικείμενο  *A* και ένα μονοικό βέλος *A → S* (που ερμηνεύεται ως έγκλειση σε ένα άλλο αντικείμενο *S*). Κατά συνέπεια, το αληθές αναφέρεται στο στοιχείο 1, το οποίο επιλέγεται από το βέλος: **αληθές**:: {0} → {0, 1} που αποτελεί την απεικόνιση του 0 στο 1.Το υποσύνολο *A* του *S* μπορεί τώρα να οριστεί ως ανάκρουση (pullback) του αληθούς κατά μήκος της χαρακτηριστικής συνάρτησης χ*A*, όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα:

Ορίζοντας το χ είναι ένας μορφισμός *Sub*C(*S*) →  HomC(S, Ω). Κατ' ορισμό, το Ω είναι ένας **ταξινομητής υποαντικειμένων** εάν αυτός ο μορφισμός χ είναι ένας ισομορφισμός.

## Ορισμός
Για τον γενικό ορισμό, ξεκινάμε με μια κατηγορία **C** που έχει ένα τελικό αντικείμενο, το οποίο συμβολίζουμε με 1. Το αντικείμενο Ω της **C** είναι ένας ταξινομητής υποαντικειμένων για την **C** αν υπάρχει ένας μορφισμός

:1 → Ω

με την ακόλουθη ιδιότητα:
:Για κάθε μονομορφισμό *j*: *U* → *X* υπάρχει ένας μοναδικός μορφισμός *χ<sub>j</sub>*: *X* → Ω έτσι ώστε το ακόλουθο αντιμεταθετικό διάγραμμα

:είναι ένα **[[Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)|νηµατικό γινόμενο]]*** *(pullback}—δηλαδή, το *U* είναι το όριο του διαγράμματος:

Ο μορφισμός  *χ<sub> j</sub>* ονομάζεται τότε ο **ταξινομικός μορφισμός** για το υποαντικείμενο που αντιπροσωπεύεται από το *j*.

## Περισσότερα παραδείγματα

### Δεμάτια συνόλων
Η κατηγορία των δεματίων συνόλων σε έναν τοπολογικό χώρο *X* διαθέτει έναν **ταξινομητή υποαντικειμένων** που μπορεί να περιγραφεί ως εξής: Για κάθε ανοιχτό σύνολο *U* του *X*, το Ω(*U*) είναι το σύνολο όλων των ανοιχτών υποσυνόλων του *U*.  Το τελικό αντικείμενο είναι το δεμάτιο 1 που αντιστοιχεί το μονοσύνολο {*} σε κάθε ανοιχτό σύνολο *U* του *X.* Ο μορφισμός η:1 → Ω δίνεται από την οικογένεια των απεικόνισεων η*U* : 1(*U*) → Ω(*U*) που ορίζεται από η*U*(*)=*U* f για κάθε ανοιχτό σύνολο *U* του *X*.  Δεδομένου ενός δεματίου *F* στο *X* και ενός υποδεματίου (sub-sheaf)  *j*: *G* → *F*, ο ταξινομικός μορφισμός *χ <sub>j</sub>* : *F* → Ω δίνεται από την οικογένεια των απεικόνισεων *χ <sub>j,U</sub>* : *F*(*U*) → Ω(*U*), όπου *χ <sub>j,U</sub>*(*x*)  είναι η ένωση όλων των ανοιχτών συνόλων *V* του *U* έτσι ώστε ο περιορισμός του *x* στο *V* (με την έννοια των δεμάτιων) να περιέχεται στο *j<sub>V</sub>*(*G*(*V*)).

Σε γενικές γραμμές, μια πρόταση μέσα σε αυτό το τόπο είναι αληθής ή ψευδής, και η αληθινή της αξία από την άποψη ενός ανοιχτού υποσυνόλου *U* είναι το ανοιχτό υποσύνολο του  *U* όπου η πρόταση είναι αληθής.

### Presheaves (προδεμάτια)

Δεδομένης μιας μικρής κατηγορίας C η κατηγορία των προ-δεματίων (presheaves) \mathrm{Set}^{C^{op}} (δηλαδή η κατηγορία των συναρτητών που αποτελείται από όλους τους ανταναλλοίωτους συναρτητές από το C στο \mathrm{Set}) έχει έναν ταξινομητή υποαντικειμένων που δίνεται από τον συναρτητή που στέλνει κάθε c \in C στο σύνολο των κόσκινων στο  c. Οι ταξινομικοί μορφισμοί κατασκευάζονται με τρόπο αρκετά παρόμοιο με αυτούς στο παραπάνω παράδειγμα των δεμάτιων συνόλων.

### Στοιχειώδη τοπολογικά θέματα

Και τα δύο παραπάνω παραδείγματα περιλαμβάνονται στο ακόλουθο γενικό γεγονός: κάθε στοιχειώδης τόπος, ο οποίος ορίζεται ως κατηγορία με πεπερασμένα όρια και αντικείμενα δύναμης, έχει αναγκαστικά έναν **ταξινομητή υποαντικειμένων**. Τα δύο παραπάνω παραδείγματα είναι τόποι του Γκρότεντικ, και κάθε τόπος του Γκρότεντικ είναι ένας στοιχειώδης τόπος.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


*Saunders Mac Lane: *[[:en:Categories for the Working Mathematician|Categories for the Working Mathematician]]*, Second Edition, 1978, p.&nbsp;64
*Emily Riehl: Category Theory in Context, Aurora Modern Math Originals, 2014, p. 82, p. 139 footnote 8.
* 
* 
* *This article is based in part on [http://www.planetmath.org PlanetMath]'s [http://planetmath.org/encyclopedia/TerminalObjectsAndZeroObjectsExamplesOfInitialObjects.html article on examples of initial and terminal objects].*
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
*
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα