Γραμμική απεικόνιση

Στην γραμμική άλγεβρα, μία **γραμμική απεικόνιση** (ή **γραμμικός μετασχηματισμός**) μεταξύ δύο διανυσματικών χώρων V και W επί του σώματος F είναι μία συνάρτηση T:V \to W η οποία ικανοποιεί
*T(u+v) = T(u)+T(v), για κάθε u, v \in V, και 
*T(\alpha u)=\alpha T(u), για κάθε u \in V και \alpha \in F.

Οι παραπάνω σχέσεις ονομάζονται **σχέσεις γραμμικότητας** και είναι ισοδύναμες με την σχέση
:T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u) + \beta T(v), για κάθε u, v \in V και \alpha, \beta \in F.
Αν οι διανυσματικοί χώροι V και W ταυτίζονται, τότε η γραμμική απεικόνιση ονομάζεται **γραμμικός τελεστής** ή αλλιώς **ενδομορφισμός**.

## Ιδιότητες
Οι παρακάτω ιδιότητες ισχύουν για όποια απεικόνιση T : U \to W:
* T(0_U) = 0_W.

* Για οποιαδήποτε n διανύσματα u_1, u_2, \ldots , u_n \in V και σταθερές \alpha_1, \alpha_2, \ldots ,\alpha_n \in F, ισχύει ότι
::T(\alpha_1 u_1 + \ldots + \alpha_n u_n) = \alpha_1 T(u_1) + \ldots + \alpha_n T(u_n).

## Παραδείγματα

* Η συνάρτηση T(u) = c \cdot u για u \in F είναι γραμμική. 
* Η μηδενική συνάρτηση T(u) = 0_W είναι γραμμική. 
* Για κάθε πίνακα A \in R^{n \times n} η συνάρτηση T(u) = Au είναι γραμμική (για U = W = \R^n).
* Στον διανυσματικό χώρο των ολοκληρώσιμων πραγματικών συναρτήσεων, η συνάρτηση 
::T(f) = \int_a^b f(t)\,dt
:είναι γραμμική.

* Στον διανυσματικό χώρο των πραγματικών συνεχών συναρτήσεων C(\R) η συνάρτηση 
::T(f) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} f(t)
:είναι γραμμική.
{\mathrm{dt}}(\alpha f + \beta g)
  = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(\alpha f) + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(\beta g)
  = \alpha \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{dt}} + \beta \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{dt}}
  = \alpha T(f) + \beta T(g).

}}
## Πίνακας μετασχηματισμού

Σε κάθε διανυσματικό χώρο U πεπερασμένης διάστασης έχουμε ότι κάθε απεικόνιση αντιστοιχεί σε έναν πίνακα. 

Έστω b_1, \ldots, b_n μία βάση του διανυσματικού χώρου U. Τότε κάθε διάνυσμα u \in U μπορεί να γραφτεί ως 
:u = u_1 b_1 + \ldots + u_n b_n, 
για κάποια b_1, \ldots, b_n \in F. Επομένως για έναν μετασχηματισμό T : U \to W έχουμε από τις παραπάνω ιδιότητες ότι 
:T(u) = T(u_1 b_1 + \ldots + u_n b_n) = u_1 T(b_1) + \ldots + u_n T(b_n).
Αυτό το άθροισμα μπορεί να γραφτεί ως το γινόμενο πινάκων
:
\begin{bmatrix}
\Big\uparrow & & \Big\uparrow \\
T(b_1) & \cdots & T(b_n) \\
\Big\downarrow & & \Big\downarrow
\end{bmatrix} \cdot \mathbf{u}.

Παρατηρήστε ότι τα διανύσματα T(b_1), \ldots , T(b_n) \in W δεν εξαρτώνται από το u, επομένως ο πίνακας περιγράφει τον μετασχηματισμό T. Αυτό μας δίνει και έναν τρόπο να υπολογίζουμε τον πίνακα που αντιστοιχεί στον γραμμικό μετασχηματισμό, υπολογίζοντας απλά τον μεταχηματισμό για τα διανύσματα μία βάσης του U. 

### Παράδειγμα 1ο: Περιστροφή

Για να υπολογίσουμε τον πίνακα περιστροφής κατά γωνία \theta από την αρχή των αξόνων, θα υπολογίσουμε τον μετασχηματισμό της βάσης
:
\left\lbrace \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\rbrace.

Με την βοήθεια των σχημάτων έχουμε ότι 
:
\begin{align}
T(0) & \mapsto (\cos \theta, \sin \theta), \\
T(1) & \mapsto (-\sin \theta, \cos \theta). \\
\end{align}

Επομένως, ο πίνακας περιστροφής δίνεται από 
:
R(\theta)
=
\begin{bmatrix}
\Big\uparrow & \Big\uparrow \\
T(e_1) & T(e_2) \\
\Big\downarrow & \Big\downarrow
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}.


Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα
Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Μετασχηματισμός (μαθηματικά)