Κανονική βάση

Στα μαθηματικά, η **κανονική βάση** ενός διανυσματικού χώρου συντεταγμένων (όπως \mathbb{R}^n ή \mathbb{C}^n) είναι το σύνολο διανυσμάτων, των οποίων οι συνιστώσες είναι όλες μηδενικές, εκτός από μία που είναι ίση με 1. Για παράδειγμα, στην περίπτωση τoυ Ευκλείδειου επιπέδου \mathbb{R}^2 που σχηματίζεται απο τα ζεύγη (x, y) πραγματικών αριθμών, η κανονική βάση αποτελείται απο τα διανύσματα
\mathbf{e}_x = (1,0),\quad \mathbf{e}_y=(0,1).
Παρόμοια, η κανονική βάση του τρισδιάστατου χώρου \mathbb{R}^3 αποτελείται απο τα διανύσματα
\mathbf{e}_x = (1,0,0),\quad \mathbf{e}_y=(0,1,0),\quad \mathbf{e}_z=(0,0,1)

Eδώ το διάνυσμα \mathbf{e}_x δείχνει προς την κατεύθυνση x, το διάνυσμα \mathbf{e}_y δείχνει προς την κατεύθυνση y  και το διάνυσμα \mathbf{e}_z δείχνει προς την κατεύθυνση z. Yπάρχουν αρκετές κοινές σημειογραφίες για τα διανύσματα της κανονικής βάσης, όπως  \{\mathbf{e}_x,\mathbf{e}_y,\mathbf{e}_z\}, \{\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\} ή \{\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\}. Αυτά τα διανύσματα ορισμένες φορές γράφονται με περισπωμένη (π.χ. \hat{\mathbb{i}}) για να τονιστεί ότι είναι μοναδιαία διανύσματα (κανονικά μοναδιαία διανύσματα).

Αυτά τα διανύσματα αποτελούν μια βάση διότι οποιοδήποτε άλλο διάνυσμα μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός τους. Για παράδειγμα κάθε διάνυσμα \mathbf{x} στον τρισδιάστατο χώρο μπορεί να γραφτεί μοναδικά ως
v_x\mathbf{e}_x+v_y\mathbf{e}_y+v_z\mathbf{e}_z\,
όπου τα βαθμωτά μεγέθη v_x,v_y,v_z είναι οι συνιστώσες (ή βαθμωτά στοιχεία) του διανύσματος \mathbf{v}.

Στον -δίαστατο Ευκλείδειο χώρο \mathbb{R}^n, η κανονική βάση αποτελείται από  διανύσματα
\{ \mathbf{e}_i : 1\leq i\leq n\},
όπου \mathbf{e}_i συμβολίζει το διάνυσμα όπου η -όστη συντεταγμένη είναι 1, ενώ όλες οι υπόλοιπες 0.

Κανονικές βάσεις μπορούν να οριστούν για άλλους διανυσματικούς χώρους, των οποίων ο ορισμός περιλαμβάνει διαφορετικούς συντελεστές, όπως για πολυωνυμικούς χώρους ή χώρους πινάκων. Και στις δύο περιπτώσεις, η κανονική βάση αποτελείται από στοιχεία αυτών των χώρο στα οποία όλοι οι συντελεστές, εκτός από έναν, είναι 0, και ο μη μηδενικός συντελεστής είναι ίσος με 1. Για τα πολυώνωμα, η κανονική βαση αποτελείται από μονώνυμα και συχνά αποκαλείται μονοωνυμική βάση. Για τους πίνακες \mathcal{M}_{m \times n}, η κανονική βαση αποτελείται από πίνακες m \times n ακριβώς ένα μη μηδενικό στοιχείο, το οποίο είναι 1. Για παράδειγμα, η κανονική βαση για πίνακες 2×2 αποτελείται απο τους εξής 4 πίνακες:
\begin{align}
\mathbf{e}_{11} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, &
\mathbf{e}_{12} &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \\
\mathbf{e}_{21} &= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, &
\mathbf{e}_{22} &= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
\end{align}

## Ιδιότητες
Κατά τον ορισμό τής, η κανονική βάση είναι μια ακολουθία από ορθογώνια μοναδιαία διανύσματα. Με άλλα λόγια, αποτελεί μια διατεταγμένη και ορθοκανονική βάση.

Ωστόσο, μια διατεταγμένη ορθοκανονική βάση δεν είναι απαραίτητα κανονική βάση. Για παράδειγμα, τα δύο διανύσματα που προκύπτουν από μια περιστροφή κατά 30° της δισδιάστατης κανονικής βάσης που περιγράφηκε παραπάνω, δηλαδή:
:\begin{align}
v_1 &= \left( {\sqrt 3 \over 2} ,  {1 \over 2} \right) \\
v_2 &= \left( {1 \over 2} , {-\sqrt 3 \over 2} \right)
\end{align}
είναι επίσης ορθογώνια μοναδιαία διανύσματα, όμως δεν είναι ευθυγραμμισμένα με τους άξονες του Καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων, επομένως η βάση που σχηματίζεται από αυτά τα διανύσματα δεν πληροί τον ορισμό της κανονικής βάσης

Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα