Εξωτερική διχοτόμος τριγώνου

right|thumb|350px|Η εξωτερική διχοτόμος <math>\mathrm{A\Delta'}</math> της κορυφής <math>\mathrm{A}</math>. 
Στην γεωμετρία, **εξωτερική διχοτόμος γωνίας** ενός τριγώνου λέγεται το τμήμα της διχοτόμου της εξωτερικής γωνίας τριγώνου που περιέχεται μεταξύ της κορυφής του τριγώνου και της απέναντι πλευράς. 

Ένα τρίγωνο \mathrm{AB\Gamma} έχει τρεις εξωτερικές διχοτόμους μία για κάθε κορυφή. Το διπλανό σχήμα  δείχνει την εξωτερική διχοτόμο που αντιστοιχεί στην κορυφή \mathrm{A}. Οι εξωτερικές διχοτόμοι συνήθως συμβολίζονται με \delta_{\rm A}', \delta_{\rm B}', \delta_{\rm \Gamma}' ή \delta_\alpha', \delta_\beta', \delta_\gamma' αντίστοιχα. Η εξωτερική διχοτόμος \delta_{\rm A}' είναι κάθετη στην εσωτερική διχοτόμο \delta_{\rm A}.

Οι φορείς των εσωτερικών και εξωτερικών διχοτόμων τέμνονται κάθετα.

## Θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου

Το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου λέει ότι σε ένα τρίγωνο \mathrm{AB\Gamma} η εξωτερική διχοτόμος \mathrm{A\Delta'} ενός τριγώνου \mathrm{AB\Gamma} με \mathrm{AB}  ικανοποιεί
:
    \frac{\mathrm{B\Delta'}}{\mathrm{\Gamma\Delta'}} = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A\Gamma}}.


## Παράκεντρα τριγώνου

center|thumb|350px|Το παράκεντρο <math>\mathrm{J}_{\Gamma}</math> του τριγώνου <math>\mathrm{AB\Gamma}</math>.
Σε ένα τρίγωνο \mathrm{AB\Gamma} οι εξωτερικές διχοτόμοι \delta_{\rm A}', \delta_{\rm B}' και η εσωτερική διχοτόμος \delta_{\rm \Gamma} διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται εξωτερικά στις τρεις πλευρές του τριγώνου. Ονομάζεται το **παράκεντρο** \mathrm{J}_\mathrm{\Gamma} του τριγώνου και ο κύκλος λέγεται **παρεγγεγραμμένος**. Αντίστοιχα, ορίζονται και τα παράκεντρα \rm J_B και \rm J_\Gamma.

## Μήκος εξωτερικής διχοτόμου
* Τα μήκη \rm \delta'_A, \rm \delta'_B, \rm \delta'_\Gamma, των εσωτερικών διχοτόμων ενός τριγώνου, συναρτήσει των πλευρών του, δίνονται από τους τύπους:
:\rm  {\rm \delta'_A}= \rm \frac{2}\cdot \sqrt {\beta \cdot \gamma\cdot(\tau-\beta)\cdot(\tau-\gamma)}, \rm  {\rm \delta'_B}= \rm \frac{2 }\cdot \sqrt {\alpha\cdot \gamma\cdot(\tau-\alpha)\cdot(\tau-\gamma)}, \rm  {\rm \delta'_\Gamma}= \rm \frac{2 }\cdot \sqrt {\alpha\cdot\beta \cdot (\tau-\alpha)\cdot(\tau-\beta)}

**Σημείωση**. Οι παραπάνω τύποι αποδεικνύονται και με τη χρήση του  θεωρήματος Στιούαρτ :
:
  (\delta_{\rm A}')^2 = \beta \gamma \cdot \left( \frac{\alpha^2}{(\beta - \gamma)^2} - 1 \right), \quad (\delta_{\rm B}')^2 = \gamma \alpha \cdot \left( \frac{\beta^2}{(\gamma - \alpha)^2} - 1 \right) \quad και (\delta_{\rm \Gamma}')^2 = \alpha \beta \cdot \left( \frac{\gamma^2}{(\alpha - \beta)^2} - 1 \right).

Άλλες τριγωνομετρικές μορφές για το μήκος των εξωτερικών διχοτόμων δίνονται από τις σχέσεις
:\delta_{\rm A}' = \frac{2\beta\gamma} \cdot \sin \frac{\rm A}{2}, \quad \delta_{\rm B}' = \frac{2\gamma\alpha} \cdot \sin \frac{\rm B}{2} \quad και \quad \delta_{\rm \Gamma}' = \frac{2\alpha\beta} \cdot \sin \frac{\rm \Gamma}{2}.
και επίσης
:\delta_{\rm A}' = \frac{\alpha \cdot \sin {\rm B} \cdot \sin {\rm \Gamma}}{\sin {\rm A} \cdot \sin \frac{2}}, \quad \delta_{\rm B}' = \frac{\beta \cdot \sin {\rm \Gamma} \cdot \sin {\rm A}}{\sin {\rm B} \cdot \sin \frac{2}}\quad και \quad \delta_{\rm \Gamma}' = \frac{\gamma \cdot \sin {\rm A} \cdot \sin {\rm B}}{\sin {\rm \Gamma} \cdot \sin \frac{2}}.

## Δείτε επίσης
* Διχοτόμος γωνίας
* Εσωτερική διχοτόμος τριγώνου

## Σημειώσεις

## Παραπομπές


Κατηγορία:Τρίγωνα
Κατηγορία:Σεβιανές
Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία