Λήμμα ζιγκ-ζαγκ

Στα μαθηματικά, ιδιαίτερα στην ομολογική άλγεβρα, το **λήμμα ζιγκ-ζαγκ** υποστηρίζει την ύπαρξη μιας συγκεκριμένης μακράς ακριβούς ακολουθίας στις ομάδες ομολογίας ορισμένων μιγαδικών αλυσίδων. Το αποτέλεσμα ισχύει σε κάθε αβελιανή κατηγορία.

## Δήλωση

Σε μια αβελιανή κατηγορία (όπως η κατηγορία των αβελιανών ομάδων ή η κατηγορία των διανυσματικών χώρων πάνω από ένα δεδομένο σώμα), έστω (\mathcal{A},\partial_{\bullet}), (\mathcal{B},\partial_{\bullet}') και (\mathcal{C},\partial_{\bullet}*)</math> είναι μιγαδικές αλυσίδες που ταιριάζουν στην παρακάτω σύντομη ακριβή [[Ακολουθία (μαθηματικά)|ακολουθία]]: 

: <math>0 \longrightarrow \mathcal{A} \mathrel{\stackrel{\alpha}{\longrightarrow}} \mathcal{B} \mathrel{\stackrel{\beta}{\longrightarrow}} \mathcal{C}\longrightarrow 0</math> 

Μια τέτοια [[Ακολουθία (μαθηματικά)|ακολουθία]] είναι η συντομογραφία του ακόλουθου [[Αντιμεταθετικό διάγραμμα|αντιμεταθετικού διαγράμματος]]:



όπου οι γραμμές είναι ακριβείς [[Ακολουθία (μαθηματικά)|ακολουθίες]] και κάθε στήλη είναι μια μιγαδική αλυσίδα. 

Το *'λήμμα ζιγκ-ζαγκ*' ισχυρίζεται ότι υπάρχει μια συλλογή από οριακές απεικονίσεις 

: <math> \delta_n : H_n(\mathcal{C}) \longrightarrow H_{n-1}(\mathcal{A}), </math>

που καθιστά την ακόλουθη [[Ακολουθία (μαθηματικά)|ακολουθία]] ακριβή:



Οι απεικονίσεις <math>\alpha_*^{ }</math> και <math>\beta_*^{ }</math> είναι οι συνηθισμένες απεικονίσεις που επάγονται από την [[Ομολογία (μαθηματικά)|ομολογία]]. Οι συνοριακές απεικονίσεις <math>\delta_n^{ }</math> περιγράφονται παρακάτω. Το όνομα του λήμματος προκύπτει από την "ζιγκ-ζαγκ" συμπεριφορά των απεικονίσεων στην [[Ακολουθία (μαθηματικά)|ακολουθία]]. Μια παραλλαγμένη εκδοχή του λήμματος ζιγκ-ζαγκ είναι ευρέως γνωστή ως το "λήμμα του φιδιού" (εξάγει την ουσία της απόδειξης του λήμματος ζιγκ-ζαγκ που δίνεται παρακάτω). .

==Κατασκευή των συνοριακών απεικονίσεων==

Οι απεικονίσεις <math>\delta_n^{ }</math> ορίζονται με τη χρήση ενός τυπικού διαγράμματος που επιδιώκει το επιχείρημα. Έστω ότι <math>c \in C_n</math> αντιπροσωπεύει μια κλάση στο <math>H_n(\mathcal{C})</math>, οπότε <math>\partial_n*(c) = 0.  Η ακρίβεια της γραμμής συνεπάγεται ότι το \beta_n^{ } είναι επιρριπτικό, οπότε πρέπει να υπάρχει κάποιο b \in B_n με \beta_n^{ }(b) = c.  Από την αντιμεταθετικότητα του διαγράμματος, 

: \beta_{n-1} \partial_n' (b) = \partial_n* \beta_n(b) = \partial_n*(c) = 0. 

Για την ακρίβεια, 

:\partial_n'(b) \in \ker \beta_{n-1} = \mathrm{im}\; \alpha_{n-1}.

Έτσι, αφού το  \alpha_{n-1}^{} είναι ερριπτικό, υπάρχει ένα μοναδικό στοιχείο  a \in A_{n-1}τέτοιο ώστε \alpha_{n-1}(a) = \partial_n'(b).  Αυτό είναι ένας κύκλος, αφού το  \alpha_{n-2}^{ } είναι ερριπτικό και

:\alpha_{n-2} \partial_{n-1}(a) = \partial_{n-1}' \alpha_{n-1}(a) = \partial_{n-1}' \partial_n'(b) = 0,

αφού  \partial^2 = 0.  Δηλαδή, \partial_{n-1}(a) \in \ker \alpha_{n-2} = \{0\}.  Αυτό σημαίνει ότι το a είναι κύκλος, οπότε αντιπροσωπεύει μια κλάση στο H_{n-1}(\mathcal{A}).   Μπορούμε τώρα να ορίσουμε

: \delta_{ }^{ }[c] = [a].

Με τις οριακές απεικονίσεις καθορισμένες, μπορεί κανείς να δείξει ότι είναι καλά καθορισμένες (δηλαδή, ανεξάρτητες από τις επιλογές των *c* και *b*).  Η απόδειξη χρησιμοποιεί επιχειρήματα για την αναζήτηση διαγραμμάτων παρόμοια με τα παραπάνω. Τέτοια επιχειρήματα χρησιμοποιούνται επίσης για να δείξουμε ότι η ακολουθία στην ομολογία είναι ακριβής σε κάθε ομάδα.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


*
*Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
* star-autonomous category at the nLab
* 
* *This article is based in part on [http://www.planetmath.org PlanetMath]'s [http://planetmath.org/encyclopedia/TerminalObjectsAndZeroObjectsExamplesOfInitialObjects.html article on examples of initial and terminal objects].*
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα