Δεκαεξάγωνο

Στη γεωμετρία, το **δεκαεξάγωνο** είναι ένα πολύγωνο με δεκαέξι κορυφές και δεκαέξι πλευρές.

Ένα δεκαεξάγωνο είναι **[[κανονικό πολύγωνο|κανονικό]]** αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

## Ιδιότητες
* Σε κάθε απλό δεκαεξάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα 2520^\circ (ή 14\pi ακτίνια).
* Κάθε δεκαεξάγωνο έχει 104 διαγωνίους.

## Κυρτό κανονικό δεκαεξάγωνο

### Ιδιότητες
Για το κανονικό δεκαεξάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
* Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με 157\frac{1}{2}^\circ (ή 14\pi/16 ακτίνια).
* Έχει δεκαέξι άξονες συμμετρίας.
* Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
* Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
* Έχει περιστροφική συμμετρία δεκάτης έκτης τάξεως.
* Το σύμβολο Schläfli του δεκαεξαγώνου είναι \{ 16 \}.

### Κεντρική γωνία
Η **κεντρική του γωνία**, δηλαδή η γωνία που βλέπει το κέντρο του, την κάθε πλευρά είναι ίση με \varphi = 22{,}5^\circ (ή \pi/8 ακτίνια). 

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της \varphi / 2 είναι πολύ χρήσιμοι στις μετρικές σχέσεις του κανονικού πενταγώνου, καθώς και στους τύπους για το εμβαδόν του. Αυτοί δίνονται από τους τύπους
:\sin \frac{\pi}{16} = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}}, \qquad \csc \frac{\pi}{16} = \sqrt{8 + 4\sqrt{2} + 2\sqrt{20 + 14\sqrt{2}}},
:\cos \frac{\pi}{16} = \frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}, \qquad \sec \frac{\pi}{16} = \sqrt{8 + 4\sqrt{2} - 2\sqrt{20 + 14\sqrt{2}}},
:\tan \frac{\pi}{16} = - 1 - \sqrt{2} + \sqrt{4 + 2\sqrt{2}}, \qquad \cot \frac{\pi}{16} = 1 + \sqrt{2} + \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} .
\qquad και \qquad \sin \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}},
καθώς και τους τριγωνομετρικούς τύπους των γωνιών \theta = \pi/8 (δείτε εδώ).
:
\sin \frac{\pi}{16} = \sqrt{\frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}} \right)} = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}},

:
\cos \frac{\pi}{16} = \sqrt{\frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}} \right)} = \frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}.

Χρησιμοποιώντας τους τύπους για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις καθώς και ρητοποίηση ριζών, λαμβάνουμε τους υπόλοιπους τύπους.
}}

### Μετρικές σχέσεις

* Η ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού δεκαεξαγώνου είναι ίση με
::\begin{align}R 
& = \frac{1}{2} \csc \frac{\pi}{16} \cdot \lambda \\
& = \sqrt{8 + 4\sqrt{2} + 2\sqrt{20 + 14\sqrt{2}}} \cdot \lambda \\
& \approx 2{,}562915 \cdot \lambda.
\end{align}
*Η ακτίνα r του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού δεκαεξαγώνου είναι ίση με
::\begin{align}
r 
& = \frac{1}{2} \cot \frac{\pi}{16} \cdot \lambda \\
& = \frac{1}{2} \left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \right) \cdot \lambda \\
& \approx 2{,}513670 \cdot \lambda.
\end{align}
right|thumb|200px|Τα επτά είδη διαγωνίων σε ένα κανονικό δεκαεξάγωνο.
* Τα μήκη των διαγωνίων ενός κανονικού δεκαεξαγώνου δίνονται από τις σχέσεις
::\begin{align}
d_k
 & = 2 \sin \frac{k\pi}{16} \cdot R .
\end{align}
*Το πλάτος του είναι ίσο με το μήκος της μεγάλης διαγωνίου 
::w = 2 \cdot R.
*Το ύψος του είναι 
::h = 2 \cdot r.

### Εμβαδόν
Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού δεκαεξαγώνου πλευράς \lambda και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου r είναι 
:{\rm E} = 8 \cdot  \lambda \cdot  r.
Το εμβαδό \rm E ενός κανονικού δεκαεξαγώνου πλευράς \lambda δίνεται από τη σχέση:
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = 4 \cot \frac{\pi}{16} \cdot \lambda^2 \\ 
 & = 4 \left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \right) \cdot \lambda^2 \\
 & \approx 20{,}109358 \cdot \lambda^2.
\end{align}
Αν R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδόν του δεκαεξαγώνου είναι
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = 8 \sin \frac{\pi}{8} \cdot R^2 \\
 & = 4 \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot R^2 \\
 & \approx 3{,}061467 \cdot R^2.
\end{align}
Aν r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = 16 \tan \frac{\pi}{16} \cdot r^2 \\
 & = 16 \left( \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} - \sqrt{2} - 1 \right) \cdot r^2 \\
 & \approx 3{,}182598 \cdot r^2
\end{align}.

### Περίμετρος
Η περίμετρος \Pi του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με
:\Pi = 16\cdot\lambda.

### Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Το κανονικό δεκαεξάγωνο είναι δυνατό να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη:

center|thumb|300px|Κατασκευή ενός κανονικού δεκαεξαγώνου.

## Αστεροειδές κανονικό δεκαεξάγωνο
Υπάρχουν τρία κανονικά αστεροειδή δεκαεξάγωνα, τα \{ 16/3 \}, \{ 16/5 \} και \{ 16/7 \}, που κατασκευάζονται από τις ίδιες 16 κορυφές ενός κανονικού δεκαεξαγώνου, ενώνοντας μεταξύ τους κάθε τρίτη ή ένατη κορυφή, αντιστοίχως.


  

## Σχετικά σχήματα

### Πολύγωνα Πέτρι
Το κανονικό δεκαεξάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι για πολλά πολύτοπα περισσότερων διαστάσεων, μερικά από τα οποία παρατίθενται παρακάτω σε ορθογώνιες προβολές:

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας π/16 στο MathWorld.
* Δεκαεξάγωνο, {16/3}, {16/5}, δεκαεξάγραμμα {16/7} στο PolytopeWiki.

## Σημειώσεις


## Παραπομπές


Δεκαεξαγωνο
Κατηγορία:Κατασκευές με κανόνα και διαβήτη