Περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου

Στην γεωμετρία, ο **περιγεγραμμένος κύκλος** ενός τριγώνου \mathrm{AB\Gamma} είναι ο κύκλος που διέρχεται και από τις τρεις κορυφές \mathrm{A}, \mathrm{B} και \mathrm{\Gamma}. Το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται το **περίκεντρο** και είναι το σημείο που διέρχονται οι τρεις μεσοκάθετοι των πλευρών του.

Το περίκεντρο ενός τριγώνου είναι: (α) εσωτερικό του σημείο αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, (β) συμπτίπτει με το μέσο της υποτείνουσας αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο  και (γ) εξωτερικό αν το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο.

Κάθε τρίγωνο έχει περιγεγραμμένο κύκλο, αλλά δεν ισχύει το ίδιο για κάθε πολύγωνο. Τα πολύγωνα με περιγεγραμμένο κύκλο λέγονται εγγεγραμμένα.

## Απόδειξη ύπαρξης

## Μετρικές σχέσεις

* (**[[Νόμος των ημιτόνων]]**) Σε ένα οποιοδήποτε τρίγωνο με μήκη πλευρών \alpha, \beta, \gamma και ακτίνα R περιγεγραμμένου κύκλου, ισχύει ότι 
::
  \frac{\alpha}{\sin \rm A} = \frac{\beta}{\sin \rm B} = \frac{\gamma}{\sin \rm \Gamma} = 2R.

* Χρησιμοποιώντας τον νόμο των ημιτόνων και τον τύπο για το εμβαδόν \mathrm{E} = \tfrac{1}{2} \beta \gamma \sin \rm A, έχουμε ότι 
::R = \frac{\alpha \beta \gamma}{4\mathrm{E}},
:και από τον τύπο του Ήρωνα
::R = \frac{\alpha \beta \gamma}{4\sqrt{\tau \cdot (\tau - \alpha) \cdot (\tau - \beta) \cdot (\tau - \gamma)}}.
:όπου \tau = \tfrac{1}{2} \cdot (\alpha + \beta + \gamma) η ημιπερίμετρος του τριγώνου.

* Οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες του περικέντρου δίνονται από
::
  \alpha^2\left(\beta^2 + \gamma^2 - \alpha^2\right):\;
  \beta^2\left(\gamma^2 + \alpha^2 - \beta^2\right):\;
  \gamma^2\left(\alpha^2 + \beta^2 - \gamma^2\right).

* Οι τριγραμμικές συντεταγμένες του περικέντρου δίνονται από 
::\cos \rm A : \; \cos \rm B : \; \cos \rm \Gamma.
* Αν R  η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου και \rho η ακτίνα του εγγεγραμμένου, τότε
::\rho \cdot R = \frac{\alpha \beta \gamma}{2 \cdot (\alpha + \beta + \gamma)}.

## Σχετικά θεωρήματα

* (**[[Ευθεία Όιλερ]]**) Το βαρύκεντρο \mathrm{G}, το ορθόκεντρο \mathrm{H} και το περίκεντρο \mathrm{O} είναι συγγραμμικά και \mathrm{HG} = 2 \cdot \mathrm{GO}.
* (**[[Θεώρημα του Όιλερ (γεωμετρία)|Θεώρημα του Όιλερ]]**) Αν (\mathrm{I}, \rho) είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου και (\mathrm{I_A}, \rho_\mathrm{A}), (\mathrm{I_B}, \rho_\mathrm{B}), (\mathrm{I_\Gamma}, \rho_\mathrm{\Gamma}) οι παρεγεγγραμμένοι κύκλοι, τότε 
::
\mathrm{OI}^2 = R^2 - 2R \rho, \quad 
 
\mathrm{OI_A}^2 = R^2 + 2R \rho_\mathrm{A}, \quad 
 
\mathrm{OI_B}^2 = R^2 + 2R \rho_\mathrm{B}, \quad 
 και 
\quad \mathrm{OI_\Gamma}^2 = R^2 + 2R \rho_\mathrm{\Gamma}. 

* Αν \mathrm{H} το ορθόκεντρο και \mathrm{O} το περίκεντρο, τότε 
::\mathrm{OH}^2 = 9R^2 - (\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2).
* (**[[Θεώρημα Καρνό (ακτίνες)|Θεώρημα Καρνό]]**) Αν \rho η ακτίνα του εγεγγραμμένου και R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, και \mathrm{OM_\mathrm{A}}, \mathrm{OM_\mathrm{B}} και \mathrm{OM_\mathrm{\Gamma}} οι προσημασμένες αποστάσεις του περίκεντρου από τις πλευρές του τριγώνου, τότε
::\mathrm{OM_A} + \mathrm{OM_B} + \mathrm{OM_\Gamma} = R + \rho.
* (**[[Θεώρημα Νάγκελ]]**) Αν \mathrm{AH_A}, \mathrm{BH_B}, \mathrm{\Gamma H_\Gamma} είναι τα ύψη του τριγώνου και \mathrm{O} το περίκεντρο, τότε
::\mathrm{H_A H_B} \perp \mathrm{O\Gamma}, \quad \mathrm{H_B H_\Gamma} \perp \mathrm{OA}, \quad και \quad \mathrm{H_\Gamma H_A} \perp \mathrm{OB}.
* Αν \rm M_\alpha, M_\beta, M_\gamma τα μέσα των αντίστοιχων πλευρών, τότε 
::\rm OM_\alpha = \frac{AH}{2}, \quad \rm OM_\beta = \frac{BH}{2} \quad  και \quad \rm OM_\gamma = \frac{\Gamma H}{2}.
* Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς κάθε μία από τις πλευρές είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.
* Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς το μέσο κάθε μίας από τις πλευρές του είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.
* (**[[Ευθεία Σίμσον]]**) Για οποιοδήποτε σημείο \mathrm{P} του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου ισχύει ότι οι προβολές του \mathrm{P_A}, \mathrm{P_B}, \mathrm{P_\Gamma} στις πλευρές του τριγώνου είναι συγγραμμικά σημεία.
* (**[[Ευθεία Στάινερ]]**) Για οποιοδήποτε σημείο \mathrm{P} του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου ισχύει ότι τα συμμετρικά του σημεία \mathrm{P_A}, \mathrm{P_B}, \mathrm{P_\Gamma} ως προς τις πλευρές του τριγώνου είναι συγγραμμικά σημεία.
* Το περίκεντρο είναι το σημείο \rm M του επιπέδου που ελαχιστοποιεί την μέγιστη απόσταση από τις κορυφές του τριγώνου, δηλαδή την συνάρτηση:
::f({\rm M}) = \max\left( {\rm MA}, {\rm MB}, {\rm M\Gamma}\right).
* (**[[Θεώρημα Νοτίου Πόλου]]**) Τα σημεία τομής της μεσοκαθέτου με την εσωτερική και εξωτερική διχοτόμου της αντίστοιχης κορυφής είναι σημεία του περιγεγραμμένου κύκλου.
* Αν \rm I το έγκεντρο και \rm I_\alpha, I_\beta, I_\gamma τα παράκεντρα του τριγώνου, τότε τα μέσα των \rm I_\alpha I, \rm I_\beta I και \rm I_\gamma I είναι σημεία του περιγεγραμμένου κύκλου.

### Τρίγωνα με ίσους περιγεγραμμένους κύκλους
* Δύο ίσα τρίγωνα έχουν ίσους περιγεγραμμένους κύκλους. 
* Δύο τρίγωνα \rm AB\Gamma και \rm A'B'\Gamma' με \alpha = \alpha' και \widehat{\rm A} = \widehat{\rm A'} ή \widehat{\rm A} = 180^\circ - \widehat{\rm A}, έχουν ίσους περιγεγραμμένους κύκλους.

## Ανισοτικές σχέσεις
* Σε ένα τρίγωνο \rm AB\Gamma με \rm A\Gamma > AB και περίκεντρο \rm O, ισχύει ότι \rm OM_\Gamma > OM_B.

## Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Η κατασκευή του περιγεγραμμένου κύκλου βασικά ακολουθεί την κατασκευή δύο μεσοκάθετων, η τομή των οποίων είναι το περίκεντρο. Αναλυτικότερα:
# Με τον διαβήτη χαράζουμε τρεις κύκλους με κέντρα τα \mathrm{A}, \mathrm{B} και \mathrm{\Gamma} και ακτίνα το μέγιστο από τα \mathrm{AB} και \mathrm{A\Gamma}.
# Βρίσκουμε τα σημεία τομής \mathrm{T}_1 και \mathrm{T}_2 των κύκλων με κέντρο το \mathrm{A} και το \mathrm{B}.
# Βρίσκουμε τα σημεία τομής \mathrm{T}_3 και \mathrm{T}_4 των κύκλων με κέντρο το \mathrm{A} και το \mathrm{\Gamma}.
# Χαράζουμε τις ευθείες που διέρχονται από τα \mathrm{T}_1 και \mathrm{T}_2, και τα \mathrm{T}_3 και \mathrm{T}_4 αντίστοιχα.
# Το σημείο τομής \rm O αυτών των δύο ευθειών είναι το περίκεντρο, και ο κύκλος \rm O, A είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου.

## Δείτε επίσης
* Μεσοκάθετη ευθύγραμμου τμήματος
* Βαρύκεντρο τριγώνου
* Ορθόκεντρο τριγώνου
* Εγγεγραμμένος κύκλος τριγώνου
* Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου
* Εγγεγραμμένο πολύγωνο

## Περαιτέρω ανάγνωση
### Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* Το περίκεντρο του τριγώνου στο Φωτόδεντρο.
* Περιγεγραμμένος κύκλος στο Geogebra.

## Παραπομπές


Κατηγορία:Τρίγωνα
Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία
Κατηγορία:Κατασκευές με κανόνα και διαβήτη