Mandelbulb

Το **φράκταλ Mandelbulb** είναι ένα τρισδιάστατο φράκταλ. Κατασκευάστηκε το 2009 από τους Ντάνιελ Γουάιτ και Πολ Νάιλαντερ. Για να το πετύχουν αυτό, υπέβαλαν ένα συμβατικό σύνολο Μάντελμπροτ σε έναν γεωμετρικό μετασχηματισμό σφαιρικών συντεταγμένων .

## Μαθηματικά

Ένα τρισδιάστατο σύνολο Μάντελμπροτ σε κανονική μορφή δεν υπάρχει με αυτόν τον τρόπο, επειδή δεν υπάρχει τρισδιάστατο ανάλογο του μιγαδικού επιπέδου (αλλά μόνο συστήματα αριθμών υψηλότερων διαστάσεων, όπως τα τετραδόνια  (quaternions) ή οι διαστάσεις άλλων υπερσυμπλεγματικών αριθμών).

Ο τύπος των Γουάιτ και Νάιλαντερ για την n-th δύναμη του διανύσματος {\mathbf v} = (x, y, z)^{\mathsf{T}} σε ένα καρτεσιανό σύστημα αναφορών (\mathbb{R}^3) είναι

:{\mathbf v}^n := r^n \begin{pmatrix} \sin(n\theta)\cos(n\phi) \\ \sin(n\theta)\sin(n\phi) \\ \cos(n\theta) \end{pmatrix}

με τη χρήση

:r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},
:\phi=\arctan(y/x)=\arg(x+y\mathrm{i}) und
:\theta=\arctan(\sqrt{x^2+y^2}/z)=\arccos(z/r).

Το φράκταλ Mandelbulb ορίζεται τότε ως το σύνολο των τιμών  \mathbf{c} \in \mathbb{R}^3 για το οποίο η τροχιά του (0, 0, 0)^{\mathsf{T}} είναι περιορισμένη υπό την επανάληψη {\mathbf v} \mapsto {\mathbf v}^n+{\mathbf c}. Για *n*&#8239;>&#8239;3 , το αποτέλεσμα είναι μια τρισδιάστατη δομή που μοιάζει με αχλάδι, με λεπτομέρεια επιφάνειας φράκταλ και έναν αριθμό "λοβών" που εξαρτάται από το *n*. Πολλές απεικονίσεις γραφικών παραστάσεων χρησιμοποιούν την τιμή 8 για το *n*. Οι εξισώσεις μπορούν να απλοποιηθούν σε ορθολογικά πολυώνυμα αν το n είναι περιττό. Για την περίπτωση *n*&#8239;=&#8239;3, το γράφημα {\mathbf v} \mapsto {\mathbf v}^3  μπορεί να μετατραπεί στην ακόλουθη απλοποιημένη μορφή:
:\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}^3 =
\begin{pmatrix}
\frac{(3z^2-x^2-y^2)x(x^2-3y^2)}{x^2+y^2}\\
\frac{(3z^2-x^2-y^2)y(3x^2-y^2)}{x^2+y^2}\\
z(z^2-3x^2-3y^2)
\end{pmatrix}.

Γενικότερα, αντίστοιχα φράκταλ (που εξαρτώνται όχι μόνο από το *n* αλλά και από τα *p* και *q*) μπορούν να υπολογιστούν για το σχήμα
:{\mathbf v}^n := r^n
\begin{pmatrix}
\sin(p\theta)\cos(q\phi)\\
\sin(p\theta)\sin(q\phi)\\
\cos(p\theta)
\end{pmatrix}

όπου τα *p* και *q* δεν χρειάζεται να είναι ίσα με *n* για να ισχύει η \Vert \mathbf{v}^n \Vert = \Vert \mathbf{v} \Vert^n. Ακόμη πιο γενικά φράκταλ μπορούν να δημιουργηθούν με την επανάληψη
:{\mathbf v}^n := r^n
\begin{pmatrix}
\sin(f(\theta,\phi))\cos(g(\theta,\phi))\\
\sin(f(\theta,\phi))\sin(g(\theta,\phi))\\
\cos(f(\theta,\phi))
\end{pmatrix}

μπορούν να βρεθούν.

## Ομοιότητα με το σύνολο Μάντελμπροτ

Με ορισμένους μετασχηματισμούς του φράκταλ Mandelbulb, μπορεί να μαντέψει κανείς μια ομοιότητα με το σύνολο Μάντελμπροτ. Αν κόψει κανείς το φράκταλ στη μέση στην περίπτωση *n*&#8239;=&#8239;2 , αναγνωρίζει το κλασικό σύνολο Μάντελμπροτ.

Το σύνολο Julia στο σημείο μηδέν του συνόλου Μάντελμπροτ αντιστοιχεί σε μια ιδανική κυκλική επιφάνεια. Αντίστοιχα, το σύνολο Julia στο σημείο μηδέν του φράκταλ Mandelbulb είναι μια ιδανική σφαίρα. Επομένως, αυτά τα σύνολα Julia διαφέρουν μεταξύ τους μόνο ως προς τον αριθμό των διαστάσεων.

## Πληροφορίες
*Στην ταινία κινουμένων σχεδίων Baymax του 2014, μια σκηνή λαμβάνει χώρα στο κέντρο μιας σκουληκότρυπας που μοιάζει με το στυλιζαρισμένο εσωτερικό ενός φράκταλ Mandelbulb
*Ένας εξωγήινος στην ταινία τρόμου επιστημονικής φαντασίας Extinction ως μέρος ενός φράκταλ Mandelbulb.
*Το πνευματικό βασίλειο του Κερτ στο διαδικτυακό κόμικ Unsounded απεικονίζεται ως ένα χρυσό Mandelbulb.

## Έκθεση
Η παρακάτω Έκθεση παρουσιάζει διάφορες απόψεις και ειδικά χαρακτηριστικά του φράκταλ Mandelbulb.

File:MandelbulbFront 20220114 RGBA8 höhere Tiefen.png|Γενική άποψη 
File:MandelbulbVogelperspektive 20220113 RGBA8.png|Άποψη από ψηλά 
File:Mandelbulb Knolle 20211229 RGBA8 höhere Tiefen.png|Ένας "κόνδυλος
File:MandelbulbObererTeil 20220112 RGBA8.png|Το πάνω μέρος
File:MandelbulbLamellen 20220112 RGBA8.png|Επισκόπηση των "ράβδων
File:Mandelbulb Lamelle 20211228 RGBA8 höhere Tiefen.png|Ένα "έλασμα" αναλυτικά
File:MandelbulbEinbuchtung 20220118 RGBA8.png|Μια εσοχή του Mandelbulb
File:Innenansicht Mandelbulb Durchgeschitten 004.tif|Άποψη ενός κομμένου κοίλου βολβού αμυγδάλου
File:MandelbulbXYZ Wiki color GANZ h265 CRF04 20210421.webm|Mandelbulb από τη σκοπιά τριών αξόνων περιστροφής
File:Mandelbulb Wiki CT 00400-07549 h265 CRF06 20210515-GANZ.webm|"Αξονική τομογραφία" του βολβού της αμυγδαλής που δείχνει διαφορετικά στρώματα
File:Mandelbulb20210810 CRF04 color x265 00000-08999 OHNE TON.webm|Επισκόπηση (πτήση πάνω από διάφορα μέρη)
BulbRotation CRF04 h265 20210827 4500p60 GANZ.webm|Σωλήνες από κοντά
File:MandelbulbPower 00000-10501 Quality0 VP9 4500p60 20210918.webm|Αύξηση της μεταβλητής του τύπου φράκταλ v^x ↦ v + c, γραμμική αύξηση της τιμής του x από 0 έως 21- μετωπική όψη
File:MandelbulbRot 00000-10501 VP9 slow lossless.webm|Αύξηση της μεταβλητής του τύπου φράκταλ v^x ↦ v + c, γραμμική αύξηση της τιμής του x από 0 έως 21- φράκταλ περιστραμμένο κατά 90° (άποψη από ψηλά)


## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* for the first use of the Mandelbulb formula on www.fractal.org website Jules Ruis
* Mandelbulb: The Unravelling of the Real 3D Mandelbrot Fractal, on Daniel White's website
* Several variants of the Mandelbulb, on Paul Nylander's website
* An opensource fractal renderer that can be used to create images of the Mandelbulb
* Formula for Mandelbulb/Juliabulb/Juliusbulb by Jules Ruis 
* Mandelbulb/Juliabulb/Juliusbulb with examples of real 3D objects 
* Video : View of the Mandelbulb  
* Video : Exploring Mandelbulb. 3D Fractal Animation 
* The discussion thread in Fractalforums.com that led to the Mandelbulb
* Video fly through of an animated Mandelbulb world

## Δείτε επίσης
*Αυτοομοιότητα
*Σύνολο Μάντελμπροτ
*Σύνολο Julia
*Οικοδομήσιμο Σύμπαν

## Παραπομπές


 

Κατηγορία:Φράκταλ