Σχέσεις διανυσματικής άλγεβρας

Οι ακόλουθες ταυτότητες είναι σημαντικές στη διανυσματική άλγεβρα. Ταυτότητες που αφορούν μόνο το μέγεθος ενός διανύσματος \|\mathbf A\| και το εσωτερικό γινόμενο (βαθμωτό γινόμενο) δύο διανυσμάτων **A**·**B** ισχύουν για διανύσματα σε οποιαδήποτε διάσταση, ενώ οι ταυτότητες που χρησιμοποιούν το σταυρωτό γινόμενο (διανυσματικό γινόμενο) Α×Β ισχύουν μόνο στις τρεις διαστάσεις, αφού το σταυρωτό γινόμενο ορίζεται μόνο εκεί Οι περισσότερες από αυτές τις σχέσεις μπορούν να χρονολογηθούν στον ιδρυτή του διανυσματικού λογισμού Τζόσια Γουίλαρντ Γκιμπς, αν όχι νωρίτερα
.

## Mέγεθος

Το μέγεθος ενός διανύσματος  **A** μπορεί να εκφραστεί με τη χρήση του τετραγωνικού γινομένου:

:\|\mathbf A \|^2 = \mathbf {A \cdot A} 

Στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο, το μέγεθος ενός διανύσματος προσδιορίζεται από τις τρεις συνιστώσες του χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα:

:\|\mathbf A \|^2 = A_1^2 + A_2^2 +A_3^2 

## Ανισότητες

*Η Ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς: \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \le \left\|\mathbf A \right\| \left\|\mathbf B \right\| 
*Η Τριγωνική ανισότητα: \|\mathbf{A + B}\| \le \| \mathbf{A}\| + \|\mathbf{B}\| 
*Η  αντίστροφη τριγωνική ανισότητα:: \|\mathbf{A - B}\| \ge \Bigl| \| \mathbf{A}\| - \|\mathbf{B}\| \Bigr| 

## Γωνίες

Το διανυσματικό γινόμενο και το βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων ορίζουν τη μεταξύ τους γωνία, ας πούμε *θ*:

:\sin \theta =\frac{\|\mathbf{A} \times \mathbf{B}\|}{\left\|\mathbf A \right\| \left\|\mathbf B \right\|} \quad ( -\pi 
Για να ικανοποιείται ο κανόνας του δεξιού χεριού, για θετικό *θ*, το διάνυσμα **B** είναι αριστερόστροφο από το **A**, και για αρνητικό *θ* είναι δεξιόστροφο.
:\cos \theta = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{\left\|\mathbf A \right\| \left\|\mathbf B \right\|} \quad ( -\pi 

Η Πυθαγόρεια τριγωνομετρική ταυτότητα παρέχει τότε:

:  \left\|\mathbf{A \times B}\right\|^2 +(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})^2 = \left\|\mathbf A \right\|^2  \left\|\mathbf B \right\|^2 

Αν ένα διάνυσμα **A** = (*A<sub>x</sub>, A<sub>y</sub>, A<sub>z</sub>*) σχηματίζει γωνίες *α*, *β*, *γ*  με ένα ορθογώνιο σύνολο αξόνων  *x-*, *y-* και *z-* τότε:

: \cos \alpha = \frac{ A_x }{ \sqrt {A_x^2 +A_y^2 +A_z^2} }  = \frac {A_x} {\| \mathbf A \|} \ , 
και κατ' αναλογία για τις γωνίες β, γ. Συνεπώς:
:\mathbf A = \left\|\mathbf A \right\|\left( \cos \alpha \  \hat{\mathbf  i}  +  \cos \beta\  \hat{\mathbf  j} +  \cos \gamma \ \hat{\mathbf  k}  \right) ,
με \hat{\mathbf  i}, \ \hat{\mathbf  j}, \ \hat{\mathbf  k} μοναδιαία διανύσματα κατά μήκος των κατευθύνσεων των αξόνων.

## Εμβαδά και όγκοι

Το εμβαδόν Σ ενός παραλληλογράμμου με πλευρές *A* και *B* που περιέχει τη γωνία *θ*είναι:
: \Sigma = AB \sin \theta , 
το οποίο θα αναγνωριστεί ως το μέγεθος του διανυσματικού σταυρωτού γινομένου των διανυσμάτων **A** και **B** που βρίσκονται κατά μήκος των πλευρών του παραλληλογράμμου. Δηλαδή:
:\Sigma = \left\|\mathbf{A} \times \mathbf{B} \right\| = \sqrt{ \left\|\mathbf A\right\|^2 \left\|\mathbf B\right\|^2 - \left(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \right)^2} \ . 

(Αν  **A**, **B** είναι δισδιάστατα διανύσματα, αυτό ισούται με τον προσδιοριστή του πίνακα 2 × 2 με γραμμές **A**, **B**.) Το τετράγωνο αυτής της έκφρασης είναι:
:\Sigma^2 = (\mathbf{A \cdot A })(\mathbf{B \cdot B })-(\mathbf{A \cdot B })(\mathbf{B \cdot A })=\Gamma(\mathbf A,\ \mathbf B ) \ , 
όπουΓ(**A**, **B**) είναι η ορίζουσα του Γκραμ των **A** και **B** που ορίζεται από:

:\Gamma(\mathbf A,\ \mathbf B )=\begin{vmatrix} \mathbf{A\cdot A} & \mathbf{A\cdot B} \\
 \mathbf{B\cdot A} & \mathbf{B\cdot B}  \end{vmatrix} \ . 

Με παρόμοιο τρόπο, ο τετραγωνικός όγκος *V*  ενός παραλληλεπιπέδου που εκτείνεται από τα τρία διανύσματα **A**, **B**, **C** δίνεται από την  ορίζουσα Γκραμ των τριών διανυσμάτων:
:V^2 =\Gamma ( \mathbf A ,\ \mathbf B ,\  \mathbf C ) = \begin{vmatrix} \mathbf{A\cdot A} & \mathbf{A\cdot B} & \mathbf{A\cdot C} \\\mathbf{B\cdot A} & \mathbf{B\cdot B} & \mathbf{B\cdot C}\\
 \mathbf{C\cdot A} & \mathbf{C\cdot B} & \mathbf{C\cdot C}  \end{vmatrix} 
\ , 

Εφόσον τα **A**, **B, C**είναι τρισδιάστατα διανύσματα, αυτό ισούται με το τετράγωνο του βαθμωτού τριπλού γινομένου
\det[\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}] = |\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}| παρακάτω.

Η διαδικασία αυτή μπορεί να επεκταθεί σε *n*-διαστάσεις.

## Πρόσθεση και πολλαπλασιασμός διανυσμάτων

* Αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης: \mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{B}+\mathbf{A}.
* Αντιμεταθετικότητα του βαθμωτού γινομένου: \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=\mathbf{B}\cdot\mathbf{A}.
* Αντί-αντιμεταθετικότητα του σταυρωτού γινομένου: \mathbf{A}\times\mathbf{B}=\mathbf{-}(\mathbf{B}\times\mathbf{A}).
* Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού με ένα βαθμωτό σε σχέση με την πρόσθεση:  c (\mathbf{A}+\mathbf{B}) = c\mathbf{A}+c\mathbf{B}. 
* Επιμεριστική ιδιότητα του βαθμωτού γινομένου επί της πρόσθεσης: \left(\mathbf{A}+\mathbf{B}\right)\cdot\mathbf{C}=\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}+\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}.
* Επιμεριστική ιδιότητα του διανυσματικού γινομένου επί της πρόσθεσης: (\mathbf{A}+\mathbf{B})\times\mathbf{C} = \mathbf{A}\times\mathbf{C}+\mathbf{B}\times\mathbf{C}.
* βαθμωτό Τριπλό γινόμενο:
: \mathbf{A}\cdot (\mathbf{B}\times\mathbf{C})=\mathbf{B}\cdot (\mathbf{C}\times\mathbf{A})=\mathbf{C}\cdot (\mathbf{A}\times\mathbf{B}) = |\mathbf{A}\, \mathbf{B}\,\mathbf{C}|= \begin{vmatrix}
A_{x} & B_{x} & C_{x}\\
A_{y} & B_{y} & C_{y}\\
A_{z} & B_{z} & C_{z}\end{vmatrix}.
* Διανυσματικό τριπλό γινόμενο: \mathbf{A}\times (\mathbf{B}\times\mathbf{C}) = (\mathbf{A}\cdot\mathbf{C} )\mathbf{B}- (\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})\mathbf{C}.
* Ταυτότητα Ιακόμπι: \mathbf{A}\times (\mathbf{B}\times\mathbf{C} )+\mathbf{C}\times (\mathbf{A}\times\mathbf{B} )+ \mathbf{B}\times (\mathbf{C}\times\mathbf{A} )= \mathbf 0 .
* Ταυτότητα Λαγκράνζ: |\mathbf{A} \times \mathbf{B}|^2  =   (\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}) (\mathbf{B} \cdot \mathbf{B})-(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})^2.

### Τετραπλό γινόμενο
Η ονομασία "τετραπλό γινόμενο" χρησιμοποιείται για δύο διαφορετικά γινόμενα, η βαθμωτή τιμή το **βαθμωτό τετραπλό γινόμενο** και το **διανυσματικό τετραπλό γινόμενο** ή **διανυσματικό γινόμενο τεσσάρων διανυσμάτων**.

#### Τετραπλό βαθμωτό γινόμενο
Το **Τετραπλό βαθμωτό γινόμενο**  ορίζεται ως το γινόμενο τελείας δύο σταυρωτών γινομένων:
: (\mathbf{a \times b})\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{d}) \ ,
όπου **a, b, c, d** είναι διανύσματα στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο. Μπορεί να εκτιμηθεί χρησιμοποιώντας την ταυτότητα Μπινέ-Κωσύ::
: (\mathbf{a \times b})\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{d}) = (\mathbf{a \cdot c})(\mathbf{b \cdot d}) - (\mathbf{a \cdot d})(\mathbf{b \cdot c}) \ . 
ή χρησιμοποιώντας την ορίζουσα:
:(\mathbf{a \times b})\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{d}) =\begin{vmatrix} \mathbf{a\cdot c} & \mathbf{a\cdot d} \\
 \mathbf{b\cdot c} & \mathbf{b\cdot d}  \end{vmatrix} \ . 

#### Διανυσματικό τετραπλό γινόμενο
Το **διανυσματικό τετραπλό γινόμενο** ορίζεται ως το Διανυσματικό γινόμενο δύο σταυρωτών γινομένων:
: (\mathbf{a \times b}) \mathbf{\times} (\mathbf{c}\times \mathbf{d}) \ ,
όπου **a, b, c, d** είναι διανύσματα στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο. Μπορεί να αξιολογηθεί χρησιμοποιώντας την ταυτότητα:
: (\mathbf{a \times b} )\mathbf{\times} (\mathbf{c}\times \mathbf{d}) = (\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{d})) \mathbf c - (\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})) \mathbf d \ .

Οι ισοδύναμες μορφές μπορούν να προκύψουν χρησιμοποιώντας την ταυτότητα:
:(\mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{d}))\mathbf a - (\mathbf{c} \cdot (\mathbf{d} \times \mathbf{a}))\mathbf b+(\mathbf{d} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}))\mathbf{c} -(\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}))\mathbf d = 0 \ . 

Αυτή η ταυτότητα μπορεί επίσης να γραφτεί χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό των τανυστών και τη σύμβαση άθροισης του Αϊνστάιν ως εξής:
:(\mathbf{a \times b} )\mathbf{\times} (\mathbf{c}\times \mathbf{d})=\varepsilon_{ijk} a^i c^j d^k b^l - \varepsilon_{ijk} b^i c^j d^k a^l=\varepsilon_{ijk} a^i b^j d^k c^l - \varepsilon_{ijk} a^i b^j c^k d^l
όπου  είναι το σύμβολο Λεβί-Σιβίτα.

Σχετικές σχέσεις:
* Συνέπεια της προηγούμενης εξίσωσης: 

|\mathbf{A}\, \mathbf{B}\,\mathbf{C}|\,\mathbf{D}= (\mathbf{A}\cdot\mathbf{D} )\left(\mathbf{B}\times\mathbf{C}\right)+\left(\mathbf{B}\cdot\mathbf{D}\right)\left(\mathbf{C}\times\mathbf{A}\right)+\left(\mathbf{C}\cdot\mathbf{D}\right)\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right).
*Σε 3 διαστάσεις, ένα διάνυσμα **D** μπορεί να εκφραστεί ως προς τα διανύσματα βάσης {**A**,**B**,**C**}  ως:\mathbf D \ =\ \frac{\mathbf{D} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C})}\ \mathbf A +\frac{\mathbf{D} \cdot (\mathbf{C} \times \mathbf{A})}\ \mathbf B + \frac{\mathbf{D} \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B})}\ \mathbf C.

## Εφαρμογές
Οι σχέσεις αυτές είναι χρήσιμες για την εξαγωγή διαφόρων τύπων στη σφαιρική και ευκλείδεια γεωμετρία. Επί παραδείγματι, αν επιλεγούν τέσσερα σημεία στη μοναδιαία σφαίρα, *A, B, C, D*, και σχεδιαστούν μοναδιαία διανύσματα από το κέντρο της σφαίρας προς τα τέσσερα σημεία, **a, b, c, d**  αντίστοιχα, η ταυτότητα:
:(\mathbf{a \times b})\mathbf{\cdot}(\mathbf{c \times d}) = (\mathbf {a\cdot c })(\mathbf {b\cdot d })-(\mathbf{ a\cdot d })(\mathbf {b\cdot c }) \ , 
σε συνδυασμό με τη σχέση για το μέγεθος του διασταυρούμενου γινομένου:
:\|\mathbf{a \times b}\| = a b \sin \theta_{ab} \ , 
και το γινόμενο τελείας:
:\mathbf{a \cdot b} = a b \cos \theta_{ab} \ , 
όπου *a = b* = 1 για τη μοναδιαία σφαίρα, οδηγεί στην ταυτότητα μεταξύ των γωνιών που αποδίδονται στον Γκάους:
:\sin \theta_{ab}\sin \theta_{cd}\cos x = \cos\theta_{ac}\cos\theta_{bd} - \cos\theta_{ad} \cos \theta_{bc} \ , 
όπου *x* είναι η γωνία μεταξύ  **a** × **b** and **c** × **d**, ή ισοδύναμα, μεταξύ των επιπέδων που ορίζονται από αυτά τα διανύσματα.

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Διδιάστατος χώρος
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Υπερβολική γεωμετρία
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Διάσταση Κρουλ
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
*
* 
* 
* 
*
*
*
* 
* 
* . Review: Séquin, Carlo H. (2009), *Journal of Mathematics and the Arts* 3: 229–230, 
* 
*Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία 
Κατηγορία:Θεωρήματα στην ανάλυση 
Κατηγορία:Μαθηματική ανάλυση
Κατηγορία:Επιφάνειες 
Κατηγορία:Διαφορική τοπολογία 
Κατηγορία:Διανύσματα 
Κατηγορία:Διανυσματικός λογισμός
Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις