Πυθαγόρειο σώμα

Στην άλγεβρα, ένα **Πυθαγόρειο σώμα ** είναι ένα σώμα στο οποίο κάθε άθροισμα δύο τετραγώνων είναι τετράγωνο: ισοδύναμα έχει έναν Πυθαγόρειο αριθμό ίσο με 1. Μια Πυθαγόρεια επέκταση ενός σώματος F  είναι μια επέκταση που προκύπτει από την προσάρτηση ενός στοιχείου \sqrt{1+\lambda^2} για κάποιο \lambda στο F. Έτσι, ένα πυθαγόρειο σώμα είναι ένα σώμα κλειστό κάτω από τη λήψη πυθαγόρειων επεκτάσεων. Για κάθε σώμα F υπάρχει ένα ελάχιστο πυθαγόρειο σώμα F^{\mathrm{py}} που το περιέχει, μοναδικό μέχρι τον ισομορφισμό, το οποίο ονομάζεται **πυθαγόρεια κλειστότητα** του.. Το σώμα Χίλμπερτ είναι το ελάχιστο διατεταγμένο πυθαγόρειο σώμα.

## Ιδιότητες

Κάθε ευκλείδειο σώμα (ένα διατεταγμένο σώμα στο οποίο όλα τα μη αρνητικά στοιχεία είναι τετράγωνα) είναι ένα διατεταγμένο πυθαγόρειο σώμα, αλλά δεν ισχύει το αντίστροφο.  Ένα τετραγωνικά κλειστό σώμα είναι πυθαγόρειο σώμα, αλλά όχι αντίστροφα (το \mathbf{R} είναι πυθαγόρειο), ωστόσο, ένα μη τυπικά πραγματικό πυθαγόρειο σώμα είναι τετραγωνικά κλειστό.

Ο δακτύλιος Βιτ ενός Πυθαγόρειου σώματος είναι της τάξεως 2 αν το σώμα δεν είναι τυπικά πραγματικό και αλλιώς ελεύθερο στρέψης. Για ένα σώμα F υπάρχει μια ακριβής ακολουθία που περιλαμβάνει τους δακτυλίους Βιτ (Witt).

: 0 \rightarrow \operatorname{Tor} I W(F) \rightarrow W(F) \rightarrow W(F^{\mathrm{py}}) 

όπου IW(F) είναι το θεμελιώδες ιδεώδες του δακτυλίου Βιτ του F και \operatorname{Tor} IW(F)δηλώνει την υποομάδα στρέψης του (η οποία είναι ακριβώς η μηδενική ρίζα του W(F)).

### Ισοδύναμες συνθήκες

Οι ακόλουθες συνθήκες σε ένα σώμα *F* είναι ισοδύναμες με το να είναι το *F* Πυθαγόρειο:
* Η γενική u-αναλλοίωτη  *u*(*F*) είναι 0 ή 1.
* Αν το *ab*  δεν είναι τετράγωνο στο *F* τότε υπάρχει μια τάξη στο *F* για την οποία τα *a*, *b* έχουν διαφορετικά πρόσημα.
* Το *F* είναι η τομή των ευκλείδειων κλειστότητών του.

## Πρότυπα της γεωμετρίας

Τα πυθαγόρεια σώματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την κατασκευή προτύπων για ορισμένα από τα αξιώματα του Χίλμπερτ στη γεωμετρία . Η γεωμετρία συντεταγμένων που δίνεται από το F^n για το F ένα πυθαγόρειο σώμα ικανοποιεί πολλά από τα αξιώματα του Χίλμπερτ, όπως τα αξιώματα της πρόσπτωσης, τα αξιώματα της σύμπτωσης και τα αξιώματα των παραλλήλων. Ωστόσο, γενικά αυτή η γεωμετρία δεν χρειάζεται να ικανοποιεί όλα τα αξιώματα του Χίλμπερτ, εκτός αν το σώμα *F* έχει επιπλέον ιδιότητες: για παράδειγμα, αν το σώμα είναι επίσης διατεταγμένο τότε η γεωμετρία θα ικανοποιεί τα αξιώματα διάταξης του Χίλμπερτ, και αν το σώμα είναι επίσης πλήρες η γεωμετρία θα ικανοποιεί το αξίωμα πληρότητας του Χίλμπερτ.

Η πυθαγόρεια κλειστότητα ενός μη-αρχιμήδειου διατεταγμένου σώματος, όπως η πυθαγόρεια κλειστότητα του σώματος των ρητών συναρτήσεων \mathbf{Q}(x) σε μία μεταβλητή πάνω στους ρητούς αριθμούς  \mathbf{Q}, cμπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή μη-αρχιμήδειων γεωμετριών που ικανοποιούν πολλά από τα αξιώματα του Χίλμπερτ αλλά όχι το αξίωμα της πληρότητας.  Ο Ντεν χρησιμοποίησε ένα τέτοιο σώμα για να κατασκευάσει δύο επίπεδα Ντεν, παραδείγματα μη-Λεγκενδριανής γεωμετρίας και ημιευκλείδειας γεωμετρίας αντίστοιχα, στα οποία υπάρχουν πολλές ευθείες αν και ένα σημείο δεν τέμνει μια δεδομένη ευθεία αλλά όπου το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι τουλάχιστον π.

## Θεώρημα Ντίλερ-Ντρες

Αυτό το θεώρημα δηλώνει ότι αν το *E*/*F* είναι μια πεπερασμένη επέκταση σώματος και το *E* είναι Πυθαγόρειο, τότε και το *F*. Κατά συνέπεια, κανένα αλγεβρικό σώμα αριθμών δεν είναι Πυθαγόρειο, αφού όλα αυτά τα σώματα είναι πεπερασμένα πάνω στο **Q**, το οποίο δεν είναι Πυθαγόρειο.

## Υπερπυθαγόρεια σώματα

Ένα **υπερπυθαγόρειο σώμα** *F* είναι ένα τυπικά πραγματικό σώμα με την ιδιότητα ότι αν η *S* είναι μια υποομάδα δείκτη 2 στο *F*∗ περιέχει το -1, τότε η *S* ορίζει μια διάταξη στο *F*.  Ένας ισοδύναμος ορισμός είναι ότι το *F* είναι ένα τυπικά πραγματικό σώμα στο οποίο το σύνολο των τετραγώνων σχηματίζει μια βεντάλια. Ένα υπερπυθαγόρειο σώμα είναι απαραίτητα πυθαγόρειο. 

Ισχύει το ανάλογο του θεωρήματος Ντίλερ-Ντρες: αν το *E*/*F* είναι μια πεπερασμένη επέκταση και το *E* είναι υπερπυθαγόρειο, τότε είναι και το *F*. Στην αντίθετη κατεύθυνση, αν το *F* είναι υπερπυθαγόρειο και το *E* είναι ένα τυπικά πραγματικό σώμα που περιέχει το *F* και περιέχεται στο τετραγωνικό κλείσιμο του *F*, τότε το *E* είναι υπερπυθαγόρειο.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* σώμα
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Υπερβολική γεωμετρία
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Ρητή συνάρτηση
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αξιώματα Χίλμπερτ
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Κλειστότητα
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
* 
*
*
*
*
*
* 
*
* 

## Πηγές
* Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
* NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
* Relational data set repository 
* Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
* StatLib–JASA Data Archive
* UCI – a machine learning repository
* UK Government Public Data
* World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
* 
* 
* 

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα