Συνέχεια συνάρτησης

Στα μαθηματικά, μία συνάρτηση λέγεται **συνεχής** όταν μια μικρή μεταβολή στο όρισμά της προκαλεί μικρή μόνο μεταβολή στην τιμή της. Για τις συναρτήσεις που ορίζονται στους πραγματικούς αριθμούς η γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα διάστημα (και όχι σε μία ένωση διαστημάτων) μπορεί να σχεδιαστεί χωρίς να χρειαστεί να σηκώσουμε το μολύβι από το χαρτί.

## Συνέχεια πραγματικών συναρτήσεων
### Ορισμός Κωσύ ([[Γαλλικά|γαλλ.]] ''Cauchy'') ή «έψιλον-δέλτα»
Αν f:A \rightarrow \mathbb{R} είναι μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού A \subseteq \mathbb{R} και το x_0 ανήκει στο πεδίο ορισμού της, τότε η f ονομάζεται **συνεχής στο <math>x_0</math>** αν
:\forall_{\epsilon>0}\exists_{\delta(x_0,\epsilon)>0}\forall_{x\in A} \left( |x-x_0|

Η έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης ορίζεται μόνο στα σημεία που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της. Η συνάρτηση ονομάζεται **συνεχής στο <math>A</math>** αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του A, δηλαδή αν
:\forall_{x_0\in A}\forall_{\epsilon>0}\exists_{\delta(x_0,\epsilon)>0}\forall_{x\in A} \left( |x-x_0|
Σε αντιδιαστολή με την ομοιόμορφη συνέχεια, η συνέχεια αυτού του είδους λέγεται **σημειακή συνέχεια**.

### Ορισμός μέσω ορίων
Ένας ορισμός που χρησιμοποιεί την έννοια του ορίου στις πραγματικές συναρτήσεις λέει ότι μία συνάρτηση είναι συνεχής σε κάποιο σημείο x_0 του πεδίου ορισμού της αν το όριο της συνάρτησης στο σημείο αυτό συμπίπτει με την τιμή της, δηλαδή αν:
:\lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)

Αυτός ο ορισμός όμως δεν είναι αρκετός γιατί το όριο \lim_{x \to x_0}f(x) έχει έννοια μόνο όταν το x_0 είναι σημείο συσσώρευσης της συνάρτησης f και επομένως με τον ορισμό αυτό μπορούμε να ελέγξουμε αν μία συνάρτηση είναι συνεχής μόνο στα σημεία συσσώρευσής της, (αν όμως το x_0 δεν είναι σημείο συσσώρευσης της f, τότε είναι μεμονωμένο σημείο και επομένως η f είναι έτσι και αλλιώς συνεχής σε αυτό).

### Αρχή της μεταφοράς - ορισμός [[Έντουαρντ Χάινε|Χάινε]] ([[Γερμανικά|γερμ.]] ''Heine'')
Μια πραγματική συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο x_0 του πεδίου ορισμού της Α αν και μόνο αν για κάθε ακολουθία (x_n)_{n = 1}^{\infty} στο Α, με:
:\lim\limits_{n\to\infty} x_n=x_0,
ισχύει:
:\lim\limits_{n\to\infty} f(x_n)=f(x_0)
Με άλλα λόγια μία πραγματική συνάρτηση είναι συνεχής κατά Χάινε αν διατηρεί τα όρια, δηλαδή αν το όριο των εικόνων ισούται με την εικόνα του ορίου.

## Συνέχεια σε τοπολογικούς χώρους
Μια συνάρτηση f ορισμένη στο X που λαμβάνει τιμές στο Y, όπου X και Y είναι τοπολογικοί χώροι, είναι **συνεχής στο <var>x</var>** όπου x \in X αν για κάθε γειτονιά V της f(x), υπάρχει μια γειτονιά U του x τέτοια ώστε f(U) \subseteq V. Με πιο απλά λόγια, αυτό σημαίνει ότι όσο μικρή κι αν γίνεται η V μπορούμε πάντα να βρούμε μια U του x που να απεικονίζεται στην V. Λέμε ότι η f είναι συνεχής αν είναι συνεχής σε κάθε x \in X.

## Συνέχεια σε διάστημα
### Ορισμός
Μία συνάρτηση  \textstyle f  ονομάζεται συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα  \;\textstyle [a, b], υποσύνολο του πεδίου ορισμού της , αν είναι συνεχής σε κάθε   x_0 \in (a,b)  και \;  \lim_{x \to a^+}f(x)=f(a)\; , \; \lim_{x \to b^-}f(x)=f(b) 

## Βασικά θεωρήματα συνεχών συναρτήσεων

### Θεώρημα Bolzano (Μπολτσάνο)
Αν μια συνάρτηση  \textstyle f  είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα  \;\textstyle [a, b] και ισχύει ότι f(a)\cdot f(b) , τότε υπάρχει ένα **τουλάχιστον** \; \xi\in (a,b) τέτοιο ώστε  \textstyle f(\xi) = 0 .

εναλλ.=|383x383εσ

Γραφικά, το θεώρημα Bolzano, σημαίνει ότι, αν η \textstyle f  είναι συνεχής στο  \;\textstyle [a, b] και \textstyle f(a) \; , f(b)  ετερόσημοι, τότε η γραφική παράσταση της \; f\; τέμνει τον άξονα \textstyle x'x σε ένα **τουλάχιστον** σημείο μεταξύ των \textstyle a, b .

Όπως φαίνεται και από το παραπάνω σχήμα, το \xi δεν είναι αναγκαστικά μοναδικό. Μπορεί να υπάρχουν περισσότερες από μία τιμές για τις οποίες είναι f(x)=0.

Εδώ είναι f(\xi)=f(\xi_1)=f(\xi_2)=0

Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει, δηλαδή : Αν υπάρχει \; \xi\in (a,b) τέτοιο ώστε f(\xi)=0 , τότε ούτε η f είναι υποχρεωτικά συνεχής στο [a,b] , ούτε οι \textstyle f(a) \; , f(b)  είναι οπωσδήποτε ετερόσημοι.

### Θεώρημα σταθερού σημείου
Αν \;\textstyle f\; συνάρτηση συνεχής στο  \;\textstyle [a, b] με  \;\textstyle f:[a, b]\rightarrow [a,b] , τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον \; \;\textstyle \xi \in [a, b] , τέτοιο ώστε  \;\textstyle f(\xi)=\xi.

### Θεώρημα ενδιάμεσης τιμής
Το **θεώρημα ενδιάμεσης τιμής** βασίζεται στην αρχή της πληρότητας και διατυπώνεται ως εξής:
:Αν μια συνάρτηση  \textstyle f  είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα  \;\textstyle [a, b] με f(a)\neq f(b) , τότε για οποιοδήποτε \textstyle  \rho  μεταξύ των  \textstyle f(a) , f(b)  υπάρχει ένα τουλάχιστον \; \xi\in (a,b) τέτοιο ώστε  \textstyle f(\xi) = \rho .

εναλλ.=|387x387εσ

Το αντίστροφο και αυτού του θεωρήματος δεν ισχύει. Ακόμη, από το παραπάνω θεώρημα, δεν προκύπτει ότι οι τιμές της συνάρτησης f ανήκουν υποχρεωτικά στο  \textstyle [f(a) , f(b)],γιατί όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα, υπάρχουν τιμές του \; \;\textstyle x \in [a, b] , τέτοιες ώστε f(x)=\mu , αν και το \mu δεν είναι μεταξύ των  \textstyle f(a) , f(b) .

### Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής.
Το **θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής** διατυπώνεται ως εξής:
: Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [a,b], τότε υπάρχουν x_1 , x_2 \in [a,b] τέτοια ώστε
: f(x_1)\leq f(x)\leq f(x_2),\forall x \in [a,b]

Δηλαδή , οι τιμές f(x_1)=m και f(x_2)=M είναι αντιστοίχως, η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της f στο [a,b].

Το πιο πάνω δεν ισχύει αν η συνάρτηση είναι ορισμένη σε ανοικτό διάστημα. Για παράδειγμα η συνάρτηση f:(0, 1) \rightarrow \mathbb{R} με τύπο f(x) = \frac{1}{x} είναι συνεχής στο (0, 1) αλλά δεν έχει μέγιστο.

## Ομοιόμορφη συνέχεια
Η έννοια της ομοιόμορφης συνέχειας είναι πιο ισχυρή από αυτή της (σημειακής) συνέχειας. Επιπλέον, ενώ η συνέχεια μιας συνάρτησης είναι τοπική έννοια, δηλαδή αναφέρεται σε συγκεκριμένα σημεία του πεδίου ορισμού της, η έννοια της ομοιόμορφης συνέχειας αναφέρεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού της.

Λέμε ότι μια συνάρτηση f: A \rightarrow \mathbb{R} είναι **ομοιόμορφα συνεχής** αν
:\forall_{\epsilon>0}\exists_{\delta(\epsilon)>0}\forall_{x_0\in A}\forall_{x\in A} \left( |x-x_0|
Η θεμελιώδης διαφορά της ομοιόμορφης συνέχειας από τη σημειακή έγκειται στο ότι η ακτίνα δ δεν εξαρτάται από το κέντρο x0 κάθε φορά, παρά μόνο από την ακτίνα ε.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* 

## Παραπομπές


Συνεχεια
Κατηγορία:Λογισμός