Τριγωνική ανισότητα

Στα μαθηματικά, η **τριγωνική ανισότητα** είναι μία ανισότητα που εκφράζει σε γενικές γραμμές ότι «μεταξύ δύο σημείων, συντομότερη οδός η ευθεία». 

Στην γεωμετρία, λέει ότι σε ένα τρίγωνο, το μήκος κάθε πλευράς είναι μικρότερο από το άθροισμα των μηκών των άλλων δύο πλευρών, καθώς και μεγαλύτερο από τη διαφορά τους. Δηλαδή σε ένα τρίγωνο \rm AB\Gamma με μήκη πλευρών \alpha = {\rm B\Gamma}, \beta = {\rm \Gamma A}, \gamma = {\rm AB} ισχύει ότι 
:|\beta - \gamma| \leq \alpha \leq \beta + \gamma.

Ισοδύναμα, η τριγωνική ανισότητα διατυπώνεται με τη χρήση των Καρτεσιανών συντεταγμένων των κορυφών ενός τριγώνου στο επίπεδο, δηλαδή αν {\rm A} =(x_{\rm A}, y_{\rm A}), {\rm B} =(x_{\rm B}, y_{\rm B}) και {\rm \Gamma} =(x_{\rm \Gamma}, y_{\rm \Gamma}), τότε 
:d({\rm B}, {\rm \Gamma}) \leq d({\rm B}, {\rm A}) + d({\rm A}, {\rm \Gamma}),
όπου d({\rm A}, {\rm B}) = \sqrt{(x_{\rm A} - x_{\rm B})^2 + (y_{\rm A} - y_{\rm B})^2} είναι η Ευκλείδεια απόσταση μεταξύ των σημείων.

Πιο γενικά, σε έναν μετρικό χώρο με σύνολο σημείων X και «απόσταση» d η τριγωνική ανισότητα είναι αξίωμα. Δηλαδή, ο χώρος ικανοποιεί την τριγωνική ανισότητα αν για κάθε τρία σημεία x, y, z \in X ισχύει ότι 
:d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y).
Στους μετρικούς χώρους το αριστερό μέλος της ανισότητας είναι πόρισμα του αξιώματος, οπότε συχνά παραλείπεται.

Πιο πρακτικά, αυτό το σύνολο σημείων θα μπορούσε να είναι το σύνολο των διασταυρώσεων σε μία πόλη και η απόσταση μεταξύ τους στο πλήθος των βημάτων που χρειάζεται για να πάει κάποιος από μία διασταύρωση στην άλλη. Στα συστήματα αυτόματης πλοήγησης, αρκετοί αλγόριθμοι χρησιμοποιούν αυτή την ιδιότητα για να βρίσκουν γρήγορα μονοπάτια από ένα μέρος σε ένα άλλο. 

## Στους πραγματικούς αριθμούς

Ας είναι x και y δύο πραγματικοί αριθμοί. Η τριγωνική ανισότητα λέει ότι

:||x|-|y||\leq |x+y|\leq |x|+|y|,
όπου |x| είναι η  απόλυτη τιμή του αριθμού x.

## Στην ευκλείδεια γεωμετρία

Στην Ευκλείδεια επιπεδομετρία, η τριγωνική ανισότητα διατυπώνεται ως ένα κριτήριο τριγώνων, υπό την έννοια ότι τρεις πραγματικοί αριθμοί \alpha, \beta και \gamma είναι πλευρές τριγώνου αν και μόνο αν ικανοποιούν την τριγωνική ανισότητα.

thumbnail|Πολυγωνική ανισότητα|400px
Η τριγωνική ανισότητα γενικεύεται στην λεγόμενη πολυγωνική ανισότητα, που λέει ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία είναι μικρότερο από κάθε που ενώνει τα σημεία αυτά. 

## Σε Ευκλείδειους χώρους

Η τριγωνική ανισότητα στο Ευκλείδειο επίπεδο διατυπώνεται για τις Καρτεσιανές συντεταγμένες των τριών κορυφών ενός τριγώνου ως εξής:

Θέτοντας το ένα από τα τρία σημεία να είναι η αρχή των αξόνων η ανισότητα λαμβάνει την εξής μορφή:
 = (x_1, x_2) \in \R^2 και \vec{\mathbf{y}} = (y_1, y_2) \in \R^2, τότε 
:\left|\sqrt{x_1^2 + x_2^2} - \sqrt{y_1^2 + y_2^2} \right| \leq \sqrt{(x_1 + y_1)^2 + (x_2 + y_2)^2 } \leq \sqrt{x_1^2 + x_2^2} + \sqrt{y_1^2 + y_2^2}.
}}

Η ανισότητα γενικεύεται σε Ευκλείδειους χώρους μεγαλύτερων διαστάσεων ως εξής: 

, \vec{\mathbf{y}} \in \R^n ισχύει ότι 
:\left|\sqrt{x_1^2 + \ldots + x_n^2} - \sqrt{y_1^2 + \ldots + y_n^2} \right| \leq \sqrt{(x_1 + y_1)^2 + \ldots + (x_n + y_n)^2 } \leq \sqrt{x_1^2 + \ldots + x_n^2} + \sqrt{y_1^2 + \ldots + y_n^2}.
}}

Η ανισότητα στους πραγματικούς αριθμούς είναι ειδική περίπτωση για n = 1 ενώ η ανισότητα στα τρίγωνα είναι η περίπτωση για n = 2.

## Σε μετρικούς χώρους

Σε έναν μετρικό χώρο (X, d), όπου X ένα σύνολο και d : X \times X \to \R μία συνάρτηση, η τριγωνική ανισότητα είναι το αξίωμα που λέει ότι για κάθε x, y, z \in X
:d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y).

### Ιδιότητα
* Από το αξίωμα της τριγωνικής ανισότητας, προκύπτει η πλήρης τριγωνική ανισότητα, ότι για κάθε x, y, z \in X ισχύει ότι 
::|d(x, z) - d(z, y)| \leq d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y).

## Σε χώρους με νόρμα

Σε έναν χώρο με νόρμα (V, ||\cdot||), η τριγωνική ανισότητα είναι το αξίωμα που λέει ότι για κάθε διανύσματα x, y \in V ισχύει ότι
:||x+y||\leq ||x||+||y||.
Σε σύγκριση με τους μετρικούς χώρους, αναφέρεται σε δύο στοιχεία αντί για τρία, αλλά θέτοντας x = a - c και y = c - b, μπορούμε να λάβουμε την τριγωνική ανισότητα
:||a - b|| \leq ||a - c|| + ||c - b||.

### Σε χώρους με εσωτερικό γινόμενο

Σε χώρους με εσωτερικό γινόμενο \langle \cdot, \cdot \rangle, η νόρμα που ορίζει το εσωτερικό γινόμενο ||x|| = \langle x, x \rangle ικανοποιεί την τριγωνική ανισότητα, όπως προκύπτει από την Ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς. 

## Δείτε επίσης
* Τρίγωνο
* Αρχή του ελαχίστου χρόνου
* Μετρικός χώρος

## Σημειώσεις


## Παραπομπές


Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Μετρική γεωμετρία
Κατηγορία:Ανισότητες