Ομάδα Γκαλουά

Στα μαθηματικά, στον τομέα της αφηρημένης άλγεβρας που είναι γνωστός ως θεωρία Γκαλουά, η **ομάδα Γκαλουά** ενός συγκεκριμένου τύπου επέκτασης σώματος είναι μια ειδική ομάδα που σχετίζεται με την επέκταση του σώματος. Η μελέτη των επεκτάσεων σώματος και η σχέση τους με τα πολυώνυμα που τις δημιουργούν μέσω των ομάδων Γκαλουά ονομάζεται θεωρία Γκαλουά, η οποία ονομάστηκε έτσι προς τιμήν του Εβαρίστ Γκαλουά που τις ανακάλυψε πρώτος.

Για μια πιο στοιχειώδη συζήτηση των **ομάδων Γκαλουά** με όρους ομάδων μετατροπής, δείτε το άρθρο για τη θεωρία Γκαλουά.

## Ορισμός

Ας υποθέσουμε ότι το E είναι μια επέκταση του σώματος F (που γράφεται ως E/F και διαβάζεται "*E* πάνω από *F*"). Ένας αυτομορφισμός του E/F ορίζεται ως ένας αυτομορφισμός του E που καθορίζει το F σημειακά. Με άλλα λόγια, ένας αυτομορφισμός του E/F είναι ένας ισομορφισμός \alpha:E\to E τέτοιος ώστε \alpha(x) = x για κάθε x\in F. Το σύνολο όλων των αυτομορφισμών του E/F σχηματίζει μια ομάδα με την πράξη της σύνθεσης συναρτήσεων. Αυτή η ομάδα μερικές φορές συμβολίζεται με \operatorname{Aut}(E/F)..

Εάν η E/F είναι μια επέκταση Γκαλουά, τότε η \operatorname{Aut}(E/F) ονομάζεται **ομάδα Γκαλουά** της E/F και συνήθως συμβολίζεται με \operatorname{Gal}(E/F). 

Εάν η E/F δεν είναι επέκταση Γκαλουά, τότε η ομάδα Γκαλουά της E/F ορίζεται μερικές φορές ως \operatorname{Aut}(K/F), όπου K είναι η ομάδα κλεισίματος Γκαλουά της E.

### Ομάδα Γκαλουά ενός πολυωνύμου

Ένας άλλος ορισμός της ομάδας Γκαλουά προέρχεται από την ομάδα Γκαλουά ενός πολυωνύμου f \in F[x]. Αν υπάρχει ένα σώμα K/F τέτοιο ώστε το f να αναλύεται ως γινόμενο γραμμικών πολυωνύμων

:f(x) = (x-\alpha_1)\cdots (x - \alpha_k) \in K[x]

πάνω στο σώμα K, τότε η **ομάδα Γκαλουά του πολυωνύμου** f ορίζεται ως η ομάδα Γκαλουά του K/F όπου το K είναι ελάχιστο μεταξύ όλων αυτών των σωμάτων.

## Δομή των ομάδων Γκαλουά

### Θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας Γκαλουά

Ένα από τα σημαντικά θεωρήματα δομής της θεωρίας Γκαλουά προέρχεται από το θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας Γκαλουά. Αυτό δηλώνει ότι δεδομένης μιας πεπερασμένης επέκτασης Γκαλουά K/k, υπάρχει μια διχοτόμηση μεταξύ του συνόλου των υποσωμάτων k \subset E \subset K και των υποομάδων H \subset G. Τότε, το E δίνεται από το σύνολο των αναλλοίωτων του K υπό τη δράση του H, οπότε

:E = K^H = \{ a\in K : ga = a \text{ όπου } g \in H \}

Επιπλέον, αν η H είναι κανονική υποομάδα τότε G/H \cong \operatorname{Gal}(E/k). Και αντίστροφα, αν E/k είναι κανονική επέκταση σώματος, τότε η σχετική υποομάδα στο \operatorname{Gal}(K/k) είναι κανονική ομάδα.

### Δομή πλέγματος

Ας υποθέσουμε ότι οι K_1,K_2 είναι επεκτάσεις Γκαλουά του k με ομάδες Γκαλουά G_1,G_2.  Το σώμα K_1K_2 με ομάδα Γκαλουά G = \operatorname{Gal}(K_1K_2/k) έχει μια έρριψη G \to G_1 \times G_2 η οποία είναι ισομορφισμός όποτε K_1 \cap K_2 = k.

#### Επαγωγή

Ως επακόλουθο, αυτό μπορεί να επαχθεί πεπερασμένες φορές. Δεδομένων των επεκτάσεων Γκαλουά K_1,\ldots, K_n / k όπου K_{i+1} \cap (K_1\cdots K_i) = k, τότε υπάρχει ισομορφισμός των αντίστοιχων ομάδων Γκαλουά:

:\operatorname{Gal}(K_1\cdots K_n/k) \cong \operatorname{Gal}(K_1/k)\times \cdots \times \operatorname{Gal}(K_n/k).

## Παραδείγματα

Στα ακόλουθα παραδείγματα F είναι ένα σώμα, και \Complex, \R, \Q είναι τα σώματα των μιγαδικών, πραγματικών και ρητών αριθμών, αντίστοιχα. Ο συμβολισμός  υποδηλώνει την επέκταση του σώματος που προκύπτει από την πρόσθεση ενός στοιχείου  στο σώμα .

### Υπολογιστικά εργαλεία

#### πληθικότητα της ομάδας Γκαλουά και ο βαθμός της επέκτασης σώματος

Μια από τις βασικές προτάσεις που απαιτούνται για τον πλήρη προσδιορισμό της ομάδας Γκαλουά  μιας επέκτασης πεπερασμένου σώματος είναι η ακόλουθη: Δεδομένου ενός πολυωνύμου f(x) \in F[x], έστω E/F η επέκταση σώματος διάσπασης του. Τότε η τάξη της ομάδας Γκαλουά είναι ίση με τον βαθμό της επέκτασης του σώματος - δηλαδή, 

:\left|\operatorname{Gal}(E/F)\right| = [E:F]

#### Κριτήριο Αϊζενστάιν

Ένα χρήσιμο εργαλείο για τον προσδιορισμό της ομάδας Γκαλουά ενός πολυωνύμου προέρχεται από το κριτήριο του Αϊζενστάιν. Αν ένα πολυώνυμο f \in F[x] παραγοντοποιείται σε μη αναγώγιμα πολυώνυμα f = f_1\cdots f_k η ομάδα Γκαλουά του f μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας τις ομάδες Γκαλουά κάθε f_i αφού η ομάδα Γκαλουά του f περιέχει κάθε μία από τις ομάδες Γκαλουά των f_i.

### Τετριμμένη ομάδα

\operatorname{Gal}(F/F)  είναι η τετριμμένη ομάδα που έχει ένα μόνο στοιχείο, δηλαδή τον αυτομορφισμό ταυτότητας.

Ένα άλλο παράδειγμα μιας ομάδας Γκαλουά που είναι τετριμμένη είναι η \operatorname{Aut}(\R/\Q). .  Πράγματι, μπορεί να αποδειχθεί ότι οποιοσδήποτε αυτομορφισμός της \R πρέπει να διατηρεί τη διάταξη των πραγματικών αριθμών και επομένως πρέπει να είναι η ταυτότητα.

Ας θεωρήσουμε το σώμα K = \Q(\sqrt[3]{2}). Η ομάδα \operatorname{Aut}(K/\Q) περιέχει μόνο τον αυτομορφισμό ταυτότητας. Αυτό συμβαίνει επειδή η K δεν είναι κανονική επέκταση, αφού οι άλλες δύο κυβικές ρίζες του 2,

:\exp \left (\tfrac{2\pi i}{3} \right ) \sqrt[3]{2} and \exp \left (\tfrac{4\pi i}{3} \right ) \sqrt[3]{2},

λείπουν από την επέκταση - με άλλα λόγια το  δεν είναι σώμα διασπάσεως.

### Πεπερασμένες αβελιανές ομάδες

Η ομάδα Γκαλουά \operatorname{Gal}(\Complex/\R) έχει δύο στοιχεία, τον αυτομορφισμό ταυτότητας και τον αυτομορφισμό μιγαδικής συζυγίας.

#### Τετραγωνικές επεκτάσεις

Η επέκταση σώματος βαθμού δύο \Q(\sqrt{2})/\Q έχει την ομάδα Γκαλουά \operatorname{Gal}(\Q(\Q(\sqrt{2})/\Q) με δύο στοιχεία, τον αυτομορφισμό ταυτότητας και τον αυτομορφισμό \sigma που ανταλλάσσει τα \sqrt2 και -\sqrt2. Αυτό το παράδειγμα γενικεύεται για έναν πρώτο αριθμό p \in \N.

#### Γινόμενο τετραγωνικών επεκτάσεων

Χρησιμοποιώντας τη δομή πλέγματος των ομάδων Γκαλουά, για μη ίσους πρώτους αριθμούς p_1, \ldots, p_k η ομάδα Γκαλουά του \Q \left (\sqrt{p_1},\ldots, \sqrt{p_k} \right)/\Q είναι

:\operatorname{Gal} \left (\Q(\sqrt{p_1},\ldots, \sqrt{p_k})/\Q \right ) \cong \operatorname{Gal}\left (\Q(\sqrt{p_1})/\Q \right )\times \cdots \times \operatorname{Gal} \left (\Q(\sqrt{p_k})/\Q \right ) \cong (\Z/2\Z)^k

#### Κυκλοτομικές επεκτάσεις

Μια άλλη χρήσιμη κατηγορία παραδειγμάτων προέρχεται από τα σώματα διασπάσεως κυκλωματικών πολυωνύμων. Αυτά είναι πολυώνυμα \Phi_n που ορίζονται ως

:\Phi_n(x) = \prod_{\begin{matrix} 1 \leq k \leq n \\ \gcd(k,n) = 1\end{matrix}} \left(x-e^{\frac{2ik\pi}{n}} \right)

του οποίου ο βαθμός είναι \phi(n), η συνάρτηση του Όιλερ στο n. Τότε, το σώμα διασπάσεως πάνω από το \Q είναι \Q(\zeta_n) και έχει αυτομορφισμούς \sigma_a που στέλνουν \zeta_n \mapsto \zeta_n^a για 1 \leq a  σχετικά πρώτους ως προς n. Δεδομένου ότι ο βαθμός του σώματος είναι ίσος με τον βαθμό του πολυωνύμου, αυτοί οι αυτομορφισμοί δημιουργούν την ομάδα Γκαλουά. If n = p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}, τότε

:\operatorname{Gal}(\Q(\zeta_n)/\Q) \cong \prod_{a_i} \operatorname{Gal}\left (\Q(\zeta_{p_i^{a_i}})/\Q \right )

Αν n είναι ένας πρώτος αριθμός p , τότε ένα επακόλουθο αυτού είναι

:\operatorname{Gal}(\Q(\zeta_p)/\Q) \cong \Z/(p-1)\Z

Στην πραγματικότητα, κάθε πεπερασμένη αβελιανή ομάδα μπορεί να βρεθεί ως η ομάδα Γκαλουά κάποιου υποσώματος μιας επέκτασης κυκλοτομικού σώματος μέσω του θεωρήματος Κρόνεκερ-Βέμπερ.

#### Πεπερασμένα σώματα

Μια άλλη χρήσιμη κατηγορία παραδειγμάτων ομάδων Γκαλουά με πεπερασμένες αβελιανές ομάδες προέρχεται από πεπερασμένα σώματα. Αν  είναι μια πρώτη δύναμη, και αν F = \mathbb{F}_q και E=\mathbb{F}_{q^n} συμβολίζουν τα σώματα Γκαλουά τάξης q και q^n αντίστοιχα, τότε το \operatorname{Gal}(E/F) είναι κυκλικό τάξης  και παράγεται από τον ομομορφισμό του Φρομπένιους.

#### Παραδείγματα βαθμού 4

Η επέκταση σώματος \Q(\sqrt{2},\sqrt{3})/\Q είναι ένα παράδειγμα επέκτασης σώματος βαθμού 4. Αυτός έχει δύο αυτομορφισμούς \sigma, \tau όπου \sigma(\sqrt{2}) = -\sqrt{2} και \tau(\sqrt{3})=-\sqrt{3}.  Δεδομένου ότι αυτές οι δύο γεννήτριες ορίζουν μια ομάδα τάξης 4, την τετραμερή ομάδα Κλάιν, καθορίζουν ολόκληρη την ομάδα Γκαλουά.

Ένα άλλο παράδειγμα δίνεται από το σώμα διασπάσεως E/\Q του πολυωνύμου

:f(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1

Ας σημειωθεί ότι  (x-1)f(x)= x^5-1, οι ρίζες της f(x) are \exp \left (\tfrac{2k\pi i}{5} \right). Υπάρχουν αυτομορφισμοί

:\begin{cases}\sigma_l : E \to E \\ \sigma_2 : \exp \left (\frac{2\pi i}{5} \right) \mapsto \left (\exp \left (\frac{2\pi i}{5} \right ) \right )^l \end{cases}
δημιουργώντας μια ομάδα τάξης 4. Εφόσον η \sigma_2 παράγει αυτή την ομάδα, η ομάδα Γκαλουά είναι ισόμορφη με την \Z/4\Z.

### Πεπερασμένες μη-αβελιανές ομάδες

Ας θεωρήσουµε τώρα L = \Q(\sqrt[3]{2}, \omega), όπου \omega είναι µια πρωταρχική κυβική ρίζα της µονάδας. Η ομάδα \operatorname{Gal}(L/\Q) είναι ισόμορφη με την , τη διεδρική ομάδα τάξης 6, και η  είναι στην πραγματικότητα το σώμα διάσπασης του x^3-2 πάνω από το \Q.

#### ομάδα των τετράδων

Η ομάδα των τετράδων μπορεί να βρεθεί ως η ομάδα Γκαλουά μιας επέκτασης του σώματος \Q. Επί παραδείγματι, η επέκταση του σώματος

:\Q \left (\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{3})} \right )

έχει την προδιαγεγραμμένη ομάδα Γκαλουά.

#### Συμμετρική ομάδα πρώτης τάξης

Αν f είναι ένα μη αναγώγιμο πολυώνυμο πρώτου βαθμού p με ρητούς συντελεστές και ακριβώς δύο μη πραγματικές ρίζες, τότε η ομάδα Γκαλουά του f είναι η πλήρης συμμετρική ομάδα S_p.

Παραδείγματος χάριν, η f(x)=x^5-4x+2 \in \Q[x] είναι μη αναγώγιμη από το κριτήριο του Αϊζενστάιν. Η σχεδίαση της γραφικής παράστασης της f με λογισμικό γραφικών παραστάσεων ή απεικόνιση  δείχνει ότι έχει τρεις πραγματικές ρίζες, άρα δύο μιγαδικές ρίζες, δείχνοντας ότι η ομάδα Γκαλουά της είναι S_5.

### Σύγκριση ομάδων Γκαλουά επεκτάσεων σωμάτων ολικών σωμάτων

Δεδομένου μιας επέκτασης ολικού σώματος K/k (όπως \mathbb{Q}(\sqrt[5]{3},\zeta_5 )/\mathbb{Q}) και κλάσεις ισοδυναμίας των αποτιμήσεων w στο K (όπως η  p-adic αποτίμηση) και v στο k τέτοιες ώστε οι συμπληρώσεις τους να δίνουν μια επέκταση του σώματος ΓκαλουάK_w/k_vτων τοπικών σωμάτων, υπάρχει μια επαγόμενη δράση της ομάδας Γκαλουά G = \operatorname{Gal}(K/k) στο σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας των αποτιμήσεων, έτσι ώστε οι συμπληρώσεις των σωμάτων να είναι συμβατές. Αυτό σημαίνει ότι αν s \in G τότε υπάρχει ένας επαγόμενος ισομορφισμός των τοπικών σωμάτωνs_w:K_w \to K_{sw}Δεδομένου ότι έχουμε λάβει την υπόθεση ότι το w βρίσκεται πάνω από το v (δηλαδή υπάρχει μια επέκταση σώματος Γκαλουά K_w/k_v),ο μορφισμός σώματος s_w είναι στην πραγματικότητα ένας ισομορφισμός των k_v- αλγεβρών. Αν πάρουμε την υποομάδα ισοτροπίας της G για την κλάση αποτίμησης wG_w = \{s \in G : sw = w \}τότε υπάρχει μια υπερβολή της ολικής ομάδας Γκαλουά στην τοπική ομάδα Γκαλουά, έτσι ώστε να υπάρχει ισομορφισμός μεταξύ της τοπικής ομάδας Γκαλουά και της υποομάδας ισοτροπίας. Διαγραμματικά, αυτό σημαίνει\begin{matrix}
\operatorname{Gal}(K/v)& \twoheadrightarrow & \operatorname{Gal}(K_w/k_v) \\
\downarrow & & \downarrow \\
G & \twoheadrightarrow & G_w
\end{matrix}όπου τα κάθετα βέλη είναι ισομορφισμοί. Αυτό δίνει μια τεχνική για την κατασκευή ομάδων Γκαλουά τοπικών σωμάτων χρησιμοποιώντας ολικές ομάδες Γκαλουά.

### Άπειρες ομάδες

Ένα βασικό παράδειγμα επέκτασης σώματος με άπειρη ομάδα αυτομορφισμών είναι το \operatorname{Aut}(\Complex/\Q), καθώς περιέχει κάθε επέκταση αλγεβρικού σώματος E/\Q. Επί παραδείγματι, οι επεκτάσεις σώματος \Q(\sqrt{a})/\Q για ένα στοιχείο a \in \Q χωρίς τετράγωνα έχουν κάθε μία από αυτές έναν μοναδικό αυτομορφισμό βαθμού 2, που προκαλεί έναν αυτομορφισμό στο \operatorname{Aut}(\Complex/\Q).

Μια από τις πιο μελετημένες κατηγορίες άπειρων ομάδων Γκαλουά είναι η απόλυτη ομάδα Γκαλουά, η οποία είναι μια άπειρη, προπεπερασμένη ομάδα που ορίζεται ως το αντίστροφο όριο όλων των πεπερασμένων επεκτάσεων Γκαλουά E/F για ένα σταθερό σώμα. Το αντίστροφο όριο συμβολίζεται

:\operatorname{Gal}(\overline{F}/F) := \varprojlim_{E/F \text{ finite separable}}{\operatorname{Gal}(E/F)},

όπου \overline{F} είναι η διαχωρίσιμη κλειστότητα του σώματος F. Ας σημειωθεί ότι η ομάδα αυτή είναι μια τοπολογική ομάδα.. Μερικά βασικά παραδείγματα περιλαμβάνουν τις \operatorname{Gal}(\overline{\Q}/\Q) και 
:\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{F}}_q/\mathbb{F}_q) \cong \hat{\Z} \cong \prod_p \Z_p.

Ένα άλλο εύκολα υπολογίσιμο παράδειγμα προέρχεται από την επέκταση του σώματος \Q(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}, \ldots)/ \Q που περιέχει την τετραγωνική ρίζα κάθε θετικού πρώτου αριθμού. Έχει ομάδα Γκαλουά

:\operatorname{Gal}(\Q(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}, \ldots)/ \Q) \cong \prod_{p} \Z/2,

το οποίο μπορεί να συναχθεί από το προπεπερασμένο όριο

:\cdots \to \operatorname{Gal}(\Q(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})/\Q) \to \operatorname{Gal}(\Q(\sqrt{2},\sqrt{3})/\Q) \to \operatorname{Gal}(\Q(\sqrt{2})/\Q)

και χρησιμοποιώντας τον υπολογισμό των ομάδων Γκαλουά.

## Ιδιότητες

Η σημασία του ότι μια επέκταση είναι Γκαλουά είναι ότι υπακούει στο θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας Γκαλουά: οι κλειστές (ως προς την τοπολογία Κρουλ) υποομάδες της ομάδας Γκαλουά αντιστοιχούν στα ενδιάμεσα σώματα της επέκτασης του σώματος.

Αν η E/F είναι μια επέκταση Γκαλουά, τότε στην \operatorname{Gal}(E/F) μπορεί να δοθεί μια τοπολογία, που ονομάζεται τοπολογία Κρουλ, η οποία την μετατρέπει σε μια προπεπερασμένη ομάδα.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Υπερβολική γεωμετρία
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Σώμα διασπάσεως
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
* 
* J.W.S. Cassels, "Global fields", in J.W.S. Cassels and A. Frohlich| (eds), *Algebraic number theory*, :en:Academic Press, 1973.  Chap.II, pp.&nbsp;45–84.
* J.W.S. Cassels, "Local fields", Cambridge University Press, 1986, ISBN 0-521-31525-5.  P.56.
* Neukirch, Jürgen (1999). Algebraic Number Theory. Vol. 322. Translated by Schappacher, Norbert. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.
* 
*
* ISBN 978-1-4757-5673-9

*
*
*
*
*
*
*
*
*.   **English translation** (of 2nd revised edition):  *(Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)*
*

## Πηγές
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών