Εικασία του Πολινιάκ

Στη θεωρία των αριθμών, η **εικασία του Πολινιάκ** διατυπώθηκε από τον Aλφόνς ντε Πολινιάκ το 1849 και έχει ως εξής:

:Για κάθε θετικός Άρτιος αριθμός n, υπάρχουν άπειρα κενά πρώτων αριθμών μεγέθους *n*. Με άλλα λόγια, υπάρχουν άπειρες πολλές περιπτώσεις όπου δύο διαδοχικοί πρώτοι αριθμοί έχουν διαφορά *n*.

Αν και η εικασία δεν έχει ακόμη αποδειχθεί ή διαψευστεί για οποιαδήποτε δεδομένη τιμή του *n*, ο Γιτάνγκ Ζανγκ έκανε μια σημαντική ανακάλυψη το 2013 αποδεικνύοντας ότι υπάρχουν άπειρες πολλές διαφορές μεγέθους n για μια τιμή του *n* \pi_n(x) για άρτιο *n* ο αριθμός των πρώτων κενών μεγέθους *n* κάτω από το *x*.

Η πρώτη εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ λέει ότι η ασυμπτωτική πυκνότητα είναι της μορφής 

:\pi_n(x) \sim 2 C_n \frac{x}{(\ln x)^2} \sim 2 C_n \int_2^x {dt \over (\ln t)^2}

όπου *C**n* είναι μια συνάρτηση του *n*, και \sim σημαίνει ότι το πηλίκο δύο εκφράσεων τείνει στο 1 καθώς το *x* πλησιάζει στο άπειρο. 

*C*2 είναι η δίδυμη πρώτη σταθερά

:C_2 = \prod_{p\ge 3} \frac{p(p-2)}{(p-1)^2} \approx 0.66016 18158 46869 57392 78121 10014\dots

όπου το γινόμενο εκτείνεται σε όλους τους πρώτους αριθμούς *p* ≥ 3.

Το *C<sub>n</sub>* είναι το *C*2 πολλαπλασιασμένο με έναν αριθμό που εξαρτάται από τους περιττούς πρώτους παράγοντες *q* of *n*:  

:C_n = C_2 \prod_{q|n} \frac{q-1}{q-2}.

Παραδείγματος χάριν, C4 = C2 και C6 = 2C2. Οι δίδυμοι πρώτοι έχουν την ίδια εικαζόμενη πυκνότητα με τους πρώτους Κουσίν και τη μισή πυκνότητα των σέξι πρώτων.

Ας σημειωθεί ότι κάθε περιττός πρώτος παράγοντας *q* του *n* αυξάνει την εικαζόμενη πυκνότητα σε σύγκριση με τους δίδυμους πρώτους κατά έναν παράγοντα \tfrac{q-1}{q-2}. Ακολουθεί ένα ευρετικό επιχείρημα. Βασίζεται σε ορισμένες αναπόδεικτες υποθέσεις, οπότε το συμπέρασμα παραμένει εικασία. Η πιθανότητα ένας τυχαίος περιττός πρώτος *q* να διαιρεί είτε το *a* είτε το *a* + 2 σε ένα τυχαίο «δυνητικό» δίδυμο ζεύγος πρώτων αριθμών είναι \tfrac{2}{q}, αφού το *q* διαιρεί έναν από τους q αριθμούς από το a έως το *a*&nbsp;+&nbsp;*q*&nbsp;−&nbsp;1. Τώρα ας υποθέσουμε ότι το *q* διαιρεί το *n* και ας θεωρήσουμε ένα δυνητικό πρώτο ζεύγος (*a*,&nbsp;*a*&nbsp;+&nbsp;*n*). Το *q*&nbsp;διαιρεί το *a*&nbsp;+&nbsp;*n* αν και μόνο αν το *q* διαιρεί το *a*, και η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι \tfrac{1}{q}. Η πιθανότητα το (*a*,&nbsp;*a*&nbsp;+&nbsp;*n*) να είναι απαλλαγμένο από τον παράγοντα *q*, διαιρούμενη με την πιθανότητα το (*a*, *a*&nbsp;+&nbsp;*2*) να είναι απαλλαγμένο από τον q, γίνεται τότε \tfrac{q-1}{q} διαιρούμενη με \tfrac{q-2}{q}. Αυτό ισούται με\tfrac{q-1}{q-2} το οποίο μεταφέρεται στην εικαζόμενη πυκνότητα των πρώτων. Στην περίπτωση του *n*&nbsp;=&nbsp;6, το επιχείρημα απλοποιείται ως εξής: Αν το *a* είναι ένας τυχαίος αριθμός, τότε το 3 έχει πιθανότητα 2/3 να διαιρέσει το a ή το *a*&nbsp;+&nbsp;2 αλλά μόνο πιθανότητα 1/3 να διαιρέσει το *a* και το *a*&nbsp;+&nbsp;6, οπότε το τελευταίο ζεύγος εικάζεται διπλάσια πιθανότητα να είναι και τα δύο πρώτοι.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

## Δείτε επίσης
* Θεωρία αριθμών
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Φυσικός λογάριθμος
* Πρώτος αριθμός Μερσέν
* e (μαθηματική σταθερά)
* Πρώτος αριθμός
* Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
* Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
* Φυσικός αριθμός
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Αριθμητική πρόοδος
* Συνάρτηση Όιλερ
* Ευκλείδειος χώρος

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
* Reprinted by Chelsea Publishing, New York, 1971, ISBN 0-8284-0086-5.
* 
* 

## Πηγές
*Alphonse de Polignac, Recherches nouvelles sur les nombres premiers. *Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences* (1849)
*
*
* 
* 
* 
* 

Κατηγορία:Αναλυτική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Εικασίες για πρώτους αριθμούς
Κατηγορία:Πρώτοι αριθμοί
Κατηγορία:Ακέραιοι αριθμοί
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά