Θεωρία Κούμερ

Στην αφηρημένη άλγεβρα και τη θεωρία αριθμών, η **θεωρία Κούμερ** παρέχει μια περιγραφή ορισμένων τύπων επεκτάσεων σωμάτων που περιλαμβάνουν την πρόσθεση των n-th ριζών των στοιχείων του βασικού σώματος. Η θεωρία αναπτύχθηκε αρχικά από τον Έρνστ Έντουαρντ Κούμερ γύρω στη δεκαετία του 1840 στο πρωτοποριακό έργο του για το τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Οι βασικές προτάσεις δεν εξαρτώνται από τη φύση του σώματος - εκτός από τη χαρακτηριστική του, η οποία δεν πρέπει να διαιρεί τον ακέραιο n - και επομένως ανήκουν στην αφηρημένη άλγεβρα. Η θεωρία των κυκλικών επεκτάσεων του σώματος *K* όταν η χαρακτηριστική του *K* διαιρεί το *n* ονομάζεται θεωρία Αρτίν-Σράιερ.

Η **θεωρία Κούμερ** είναι βασική, όπως λόγου χάριν, στη Θεωρία κλάσεων σωμάτων και γενικότερα στην κατανόηση των αβελιανών επεκτάσεων- δηλώνει ότι με την παρουσία αρκετών ριζών της ενότητας, οι κυκλικές επεκτάσεις μπορούν να κατανοηθούν με όρους εξαγωγής ριζών. Το κύριο βάρος στη θεωρία κλάσεων σωμάτων είναι να απαλλαγούμε από τις επιπλέον ρίζες της ενότητας ("κατεβαίνοντας" πίσω σε μικρότερα σώματα)- κάτι που είναι κάτι πολύ πιο σοβαρό.

## Επεκτάσεις Κούμερ

Μια **Επεκτάση Κούμερ** είναι μια επέκταση του σώματος *L*/*K*, όπου για κάποιο δεδομένο ακέραιο *n* > 1 έχουμε

*Το *K* περιέχει *n* διαφορετικές *n*th  ρίζες της μονάδας (δηλαδή, ρίζες του *X**n* − 1)
*Το *L*/*K* έχει αβελιανή ομάδα Γκαλουά εκθέτη  *n*.

Παραδείγματος χάριν, όταν *n* = 2, η πρώτη συνθήκη είναι πάντα αληθής αν το *K* έχει χαρακτηριστική &ne; 2. Οι επεκτάσεις Κούμερ σε αυτή την περίπτωση περιλαμβάνουν **τετραγωνικές επεκτάσεις** L= K(\sqrt{a}) όπου *a* στο *K* είναι ένα μη τετραγωνικό στοιχείο. Με τη συνήθη λύση τετραγωνικών εξισώσεων, κάθε επέκταση βαθμού 2 του *K* έχει αυτή τη μορφή. Οι επεκτάσεις Κούμερ σε αυτή την περίπτωση περιλαμβάνουν επίσης τις **δι-τετραγωνικές επεκτάσεις** και τις γενικότερες **πολυ-τετραγωνικές επεκτάσεις**. Όταν η *K* έχει χαρακτηριστική 2, δεν υπάρχουν τέτοιες προεκτάσεις Κούμερ.

Θεωρώντας *n* = 3 δεν υπάρχουν επεκτάσεις Κούμερ 3ου βαθμού του σώματος ρητών αριθμών **Q**, αφού για τις τρεις κυβικές ρίζες του 1 απαιτούνται μιγαδικοί αριθμοί. Αν θεωρήσουμε ότι το L είναι το σώμα διασπάσεως του *X*3 - *a* πάνω από το **Q**, όπου το α δεν είναι κύβος στους ρητούς αριθμούς, τότε το *L* περιέχει ένα υποσώμα *K* με τρεις κυβικές ρίζες του 1. Αυτό συμβαίνει επειδή αν τα &alpha; και &beta; είναι ρίζες του κυβικού πολυωνύμου, θα έχουμε (&alpha;/&beta;)3 =1 και το κυβικό είναι διαχωρίσιμο πολυώνυμο. Τότε το *L*/*K* είναι μια επέκταση Κούμερ.

Γενικότερα, ισχύει ότι όταν το *K* περιέχει *n* διαφορετικές *n*-th ρίζες μονάδας, πράγμα που σημαίνει ότι η χαρακτηριστική του *K* δεν διαιρεί το *n*, τότε η προσάρτηση στο *K* της *n*-th ρίζας οποιουδήποτε στοιχείου *a* του *K* δημιουργεί μια επέκταση Κούμερ (βαθμού *m*, για κάποιο *m* που διαιρεί το *n*). Ως σώμα διασπάσεως του πολυωνύμου *X<sup>n</sup>* − *a* η επέκταση Κούμερ είναι αναγκαστικά Γκαλουά, με ομάδα Γκαλουά που είναι κυκλική τάξεως m. Είναι εύκολο να εντοπίσουμε τη δράση Γκαλουά μέσω της ρίζας της μονάδας μπροστά από το \sqrt[n]{a}.

Η **θεωρία Κούμερ** παρέχει αντίστροφες δηλώσεις. Όταν το *K* περιέχει n διαφορετικές *n*-th ρίζες μονάδας, δηλώνει ότι κάθε αβελιανή επέκταση του *K* με εκθέτη που διαιρεί το *n* σχηματίζεται από την εξαγωγή των ριζών των στοιχείων του *K*. Επιπλέον, αν το *K*× συμβολίζει την πολλαπλασιαστική ομάδα των μη μηδενικών στοιχείων του *K*, οι αβελιανές επεκτάσεις του *K* με εκθέτη **n** αντιστοιχούν διαιρετικά με υποομάδες του

:K^{\times}/(K^{\times})^n,

δηλαδή, στοιχεία του *K*× modulo *n*th δυνάμεις. Η αντιστοιχία μπορεί να περιγραφεί ρητά ως εξής. Δεδομένης μιας υποομάδας

:\Delta \subseteq K^{\times}/(K^{\times})^n,

η αντίστοιχη επέκταση δίνεται από τη σχέση

:K \left (\Delta^{\frac{1}{n}} \right),

όπου

:\Delta^{\frac{1}{n}} = \left \{ \sqrt[n]{a}:a\in K^{\times}, a \cdot \left (K^{\times} \right )^n \in \Delta \right \}.

Στην πραγματικότητα, αρκεί να προστεθεί η *n* ρίζα ενός αντιπροσώπου κάθε στοιχείου οποιουδήποτε συνόλου γεννητριών της ομάδας &Delta;. Αντίστροφα, αν η *L* είναι επέκταση Κούμερ της *K*, τότε η &Delta; ανακτάται από τον κανόνα

:\Delta = \left (K^\times \cap (L^\times)^n \right )/(K^{\times})^n.

Στην περίπτωση αυτή υπάρχει ισομορφισμός

:\Delta \cong \operatorname{Hom}_{\text{c}}(\operatorname{Gal}(L/K), \mu_n)

δίνεται από

:a \mapsto \left(\sigma \mapsto \frac{\sigma(\alpha)}{\alpha}\right),

όπου &alpha; είναι οποιαδήποτε *n*-η ρίζα του *a* στο *L*. Εδώ \mu_n συμβολίζει την πολλαπλασιαστική ομάδα των  *n*th ριζών της μονάδας (που ανήκουν στο *K*) και \operatorname{Hom}_{\text{c}}(\operatorname{Gal}(L/K), \mu_n)  είναι η ομάδα των συνεχών ομομορφισμών από το \operatorname{Gal}(L/K) εξοπλισμένο με τοπολογία Κρουλ στο \mu_n με διακριτή τοπολογία (με λειτουργία ομάδας που δίνεται από τον σημειακό πολλαπλασιασμό). Αυτή η ομάδα (με διακριτή τοπολογία) μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως δυαδικότητα Ποντριάγκιν (Pontryagin) της \operatorname{Gal}(L/K), υποθέτοντας ότι θεωρούμε την \mu_n ως υποομάδα της ομάδας κύκλου. Αν η επέκταση *L*/*K* είναι πεπερασμένη, τότε η \operatorname{Gal}(L/K) είναι μια πεπερασμένη διακριτή ομάδα και έχουμε

:\Delta \cong \operatorname{Hom}(\operatorname{Gal}(L/K), \mu_n) \cong \operatorname{Gal}(L/K),

ωστόσο ο τελευταίος ισομορφισμός δεν είναι φυσικός.

## Ανάκτηση  από ένα πρωταρχικό στοιχείο

Για p πρώτο, έστω  K ένα σώμα που περιέχει \zeta_p και K(\beta)/K βαθμό p επέκταση Γκαλουά. Ας σημειωθεί ότι η ομάδα Γκαλουά είναι κυκλική και παράγεται από το \sigma. Έστω

:\alpha= \sum_{l=0}^{p-1} \zeta_p^{l} \sigma^l(\beta) \in K(\beta)

Τότε

:\zeta_p \sigma(\alpha) = \sum_{l=0}^{p-1} \zeta_p^{l+1} \sigma^{l+1}(\beta) = \alpha.

Δεδομένου ότι \alpha\ne \sigma(\alpha), K(\alpha) = K(\beta) κσι

:\alpha^p = \pm \prod_{l=0}^{p-1} \zeta_p^{-l} \alpha = \pm \prod_{l=0}^{p-1} \sigma^l(\alpha) = \pm N_{K(\beta)/K}(\alpha) \in K,
όπου το πρόσημο \pm είναι + αν το p είναι μονό και - αν p=2.

Όταν το L/K είναι μια αβελιανή επέκταση βαθμού n= \prod_{j=1}^m p_j χωρίς τετράγωνα έτσι ώστε \zeta_n \in K, να εφαρμοστεί το ίδιο επιχείρημα στα υποσώματα K(\beta_j)/K Γκαλουά βαθμού p_j για να προκύψει

:L = K \left (a_1^{1/p_1},\ldots,a_m^{1/p_m} \right ) = K \left (A^{1/p_1},\ldots,A^{1/p_m} \right )= K \left (A^{1/n} \right )

όπου

:A = \prod_{j=1}^m a_j^{n/p_j} \in K.

## Απεικόνιση Κούμερ

Ένα από τα κύρια εργαλεία της **θεωρίας Κούμερ** είναι η Απεικόνιση Κούμερ. Έστω m ένας θετικός ακέραιος αριθμός και έστω K ένα σώμα, το οποίο δεν περιέχει απαραίτητα τις mth ρίζες της ενότητας. Έχοντας ως \overline{K} την αλγεβρική κλειστότητα τουK, πάρχει μια σύντομη ακριβής ακολουθία

0\xrightarrow{} \overline{K}^{\times}[m] \xrightarrow{} \overline{K}^{\times} \xrightarrow{z\mapsto z^m} \overline{K}^{\times}\xrightarrow{} 0

Επιλέγοντας μια επέκταση L/K και παίρνοντας την  \mathrm{Gal}(\overline{K}/L)-συνομολογία παίρνουμε την ακολουθία

0\xrightarrow{} L^{\times}/(L^{\times})^{m} \xrightarrow{} H^1\left(L, \overline{K}^{\times}[m]\right) \xrightarrow{} H^1\left(L,\overline{K}^{\times}\right)[m]\xrightarrow{}0

Σύμφωνα με το θεώρημα 90 του Χίλμπερτ H^1\left(L,\overline{K}^{\times}\right)=0, και επομένως έχουμε έναν ισομορφισμό \delta: L^{\times}/\left(L^{\times}\right)^m\xrightarrow{\sim}H^1\left(L,\overline{K}^{\times}[m]\right). Αυτό είναι η απεικόνιση Κούμερ. Μια εκδοχή αυτής της απεικόνισης υπάρχει επίσης όταν όλα τα m εξετάζονται ταυτόχρονα. Συγκεκριμένα, αφού L^{\times}/(L^{\times})^m=L^{\times}\otimes m^{-1} \mathbb{Z}/\mathbb{Z}, παίρνοντας το άμεσο όριο πάνω από m προκύπτει ένας ισομορφισμός

\delta: L^{\times} \otimes \mathbb{Q}/\mathbb{Z} \xrightarrow{\sim} H^1\left(L, \overline{K}_{tors}\right) ,

όπου *tors* δηλώνει την υποομάδα στρέψης των ριζών της μονάδας.

## Για ελλειπτικές καμπύλες

Η **θεωρία Κούμερ** χρησιμοποιείται συχνά στο πλαίσιο των ελλειπτικών καμπυλών. Έστω E/K μια ελλειπτική καμπύλη. Υπάρχει μια σύντομη ακριβής ακολουθία

0\xrightarrow{} E[m]\xrightarrow{} E \xrightarrow{P\mapsto m\cdot P} E \xrightarrow{} 0,

όπου η απεικόνιση του πολλαπλασιασμού με m είναι επιφανειακή, αφού η E είναι διαιρετή. Επιλέγοντας μια αλγεβρική επέκταση 
L/K και παίρνοντας τη συνομολογία, λαμβάνουμε την ακολουθία Κούμερ για την E:

0\xrightarrow{} E(L)/mE(L)\xrightarrow{} H^1(L, E[m])\xrightarrow{} H^1(L,E)[m]\xrightarrow{}0.

Ο υπολογισμός της ασθενούς ομάδας Μόρντελ-Βάιλ E(L)/mE(L) αποτελεί βασικό μέρος της απόδειξης του θεωρήματος Μόρντελ-Βάιλ.  Η μη εξαφάνιση της H^1(L,E) προσθέτει μια βασική πολυπλοκότητα στη θεωρία.

## Γενικεύσεις

Ας υποθέσουμε ότι η *G* είναι μια προπεπερασμένη ομάδα που ενεργεί σε ένα module *A* με έναν ερριπτικό ομομορφισμό π από την ενότητα *G*-module *A* προς τον εαυτό της. Ας υποθέσουμε επίσης ότι η *G* δρα τετριμμένα στον πυρήνα *C* του π και ότι η πρώτη ομάδα συνομολογίας H1(*G*,*A*) είναι τετριμμένη. Τότε η ακριβής ακολουθία της συνομολογίας ομάδων δείχνει ότι υπάρχει ισομορφισμός μεταξύ *A**G*/π(*A**G*) και Hom(*G*,*C*).

Η **θεωρία Κούμερ** είναι η ειδική περίπτωση αυτής όταν *Α* είναι η πολλαπλασιαστική ομάδα της διαχωρίσιμης κλειστότητας ενός σώματος *k*, *G* είναι η ομάδα Γκαλουά, π είναι η *n* απεικόνιση δύναμης και *C* η ομάδα των *n* ριζών μονάδας. Η θεωρία Αρτίν-Σρέιερ είναι η ειδική περίπτωση όταν *A* είναι η προσθετική ομάδα της διαχωρίσιμης κλειστότητας ενός σώματος *k* θετικής χαρακτηριστικής *p*, *G*  είναι η ομάδα Γκαλουά, π είναι η απεικόνιση Φρομπένιους μείον την ταυτότητα και *C* το πεπερασμένο σώμα τάξης *p*. Αν θεωρήσουμε ότι *A* είναι ένας δακτύλιος αποκομμένων διανυσμάτων Witt, προκύπτει η γενίκευση της θεωρίας Αρτίν-Σρέιερ από τον Witt για επεκτάσεις εκθέτη που διαιρεί το *p<sup>n</sup>*.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Υπερβολική γεωμετρία
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Σώμα διασπάσεως
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νοεροί υπολογισμοί

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*Şaban Alaca, Kenneth S. Williams, *Introductory algebraic number theory*, Cambridge University Press, 2004.
*
*
*
*
*
*
*
*

*
*
*
*
*
*
*
*.   **English translation** (of 2nd revised edition):  *(Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)*
*

## Πηγές
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα