Περιβάλλουσα

Στα μαθηματικά, **περιβάλλουσα** ονομάζεται η καμπύλη ή η επιφάνεια που *περιβάλλει* όλες τις καμπύλες ή επιφάνειες τις οποίες παριστάνει μια εξίσωση, όταν η παράμετρος που υπάρχει μέσα σ` αυτήν την εξίσωση, παίρνει όλες τις δυνατές τιμές.

Στη γεωμετρία, η περιβάλλουσα μιας οικογένειας καμπυλών στο επίπεδο είναι μια καμπύλη, η οποία είναι εφαπτόμενη σε κάθε μέλος της οικογένειας σε ένα σημείο. Κλασικά ένα σημείο πάνω στην περιβάλλουσα μπορεί να θεωρηθεί ως η τομή δύο  "γειτονικών" καμπυλών, εννοώντας το όριο των τομών των κοντινών καμπυλών. Αυτή η ιδέα γενικεύεται σε μια περιβάλλουσα των επιπέδων στο χώρο κοκ σε μεγαλύτερες διαστάσεις.

## Περιβάλλουσα οικογένειας καμπυλών

Έστω ότι κάθε καμπύλη *C**t* στην οικογένεια δίνεται από *f**t*(*x*,&nbsp;*y*)=0, όπου *t* είναι μία παράμετρος. Γράφουμε *F*(*t*,&nbsp;*x*,&nbsp;*y*)=*f**t*(*x*,&nbsp;*y*) και υποθέτουμε ότι η  *F* είναι παραγωγίσιμη.

Η περιβάλλουσα της οικογένειας  *C**t* ορίζεται τότε ως το σύνολο των σημείων για τα οποία
 
:F(t, x, y) = {\partial F \over \partial t}(t, x, y) = 0
για κάποια τιμή του  *t*,

όπου \partial F/\partial t είναι η μερική παράγωγος της *F* ως προς το *t*.

Να σημειωθεί ότι αν *t* και*u*, *t*≠*u* είναι δυο τιμές της παραμέτρου τότε η τομή των καμπυλών *C**t* και *C**u* δίνεται από

:F(t, x, y) = F(u, x, y) = 0\,

η  ισάξια 
:F(t, x, y) = \frac{F(u, x, y)-F(t, x, y)}{u-t} = 0.

Έχοντας u→t παίρνουμε τον παραπάνω ορισμό.
	
Μια σημαντική ειδική περίπτωση συμβαίνει όταν η *F*(*t*,&nbsp;*x*,&nbsp;*y*) είναι  ένα πολυώνυμο στο  *t*. Αυτό περιλαμβάνει με την απαλοιφή των παρονομαστών, την περίπτωση που *F*(*t*,&nbsp;*x*,&nbsp;*y*) είναι μια ρητή συνάρτηση στο *t*. Σε αυτή την περίπτωση ο ορισμός ισοδυναμεί με το  *t* να είναι η διπλή ρίζα της *F*(*t*,&nbsp;*x*,&nbsp;*y*), ώστε η εξίσωση της περιβάλλουσας μπορεί να βρεθεί θέτοντας τη διακρίνουσα της *F* στο 0.

Για παράδειγμα, έστω ότι  *C**t* είναι η ευθεία της οποίας οι τομές με  *x* και *y* είναι *t* και 1−*t*, αυτό φαίνεται από την εικόνα επάνω. Η εξίσωση της *C**t* είναι

:\frac{x}{t}+\frac{y}{1-t}=1

ή, απαλείφοντας τα κλάσματα

:x(1-t)+yt-t(1-t)=t^2+(-x+y-1)t+x=0.\,

Η εξίσωση της περιβάλλουσας είναι τότε
:(-x+y-1)^2-4x=(x-y)^2-2(x+y)+1=0.\,

Συχνά όταν η  *F* δεν είναι ρητή συνάρτηση της παραμέτρου μπορεί να περιοριστεί σε αυτή την περίπτωση από μία κατάλληλη αντικατάσταση. Για παράδειγμα αν η οικογένεια δίνεται από τον τύπο *C*θ με μια εξίσωση της μορφής 

*u*(*x*,&nbsp;*y*)cosθ+*v*(*x*,&nbsp;*y*)sinθ=*w*(*x*,&nbsp;*y*), 

μετά θέτοντας  *t*=*e**i*θ, cosθ=(*t*+1/*t*)/2, sinθ=(*t*-1/*t*)/2*i* αλλάζουμε την εξίσωση της καμπύλης σε 

:u{1 \over 2}(t+{1\over t})+v{1 \over 2i}(t-{1\over t})=w

ή 

:(u-iv)t^2-2wt+(u+iv)=0.\,

Η εξίσωση της περιβάλλουσας δίνεται τότε με το να θέσουμε τη διακρίνουσα ίση με 0:

:(u-iv)(u+iv)-w^2=0\,

ή 

:u^2+v^2=w^2.\,

## Βιβλιογραφία
* Richard Courant, Fritz John: *Introduction to Calculus and Analysis II/1*. Reprint of the 1989 Edition, Springer-Verlag Berlin, 1991, ISBN 3-540-66569-2.
* Michael Spivak: *A Comprehensive Introduction to Differential Geometry*. Vol. 3. 2. ed. Publish or Perish, Houston TX 1979, ISBN 0-914098-82-9.
* W. I. Smirnow: *Lehrgang der höheren Mathematik*, Teil II. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1990, ISBN 3-326-00029-4.

## Παραπομπές


 

Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία
Κατηγορία:Διαφορική γεωμετρία