Κατηγορία συναρτητών

Στην θεωρία κατηγοριών, έναν κλάδο των μαθηματικών, μια **κατηγορία συναρτητών** D^C είναι μια κατηγορία όπου τα αντικείμενα είναι οι συναρτητές F: C \to D και οι μορφισμοί είναι φυσικοί μετασχηματισμοί \eta: F \to G μεταξύ των συναρτητών (εδώ, G: C \to D Οι **κατηγορίες συναρτητών** παρουσιάζουν ενδιαφέρον για δύο βασικούς λόγους:  
* πολλές κοινές κατηγορίες είναι (μεταμφιεσμένες) **κατηγορίες συναρτητών**, οπότε κάθε πρόταση που αποδεικνύεται για γενικές κατηγορίες συναρτητών είναι ευρέως εφαρμόσιμη.
* κάθε κατηγορία ενσωματώνεται σε μια **κατηγορία συναρτητών** (μέσω της εμφύτευσης Γιονέντα). Η κατηγορία συναρτητών έχει συχνά καλύτερες ιδιότητες από την αρχική κατηγορία, επιτρέποντας ορισμένες πράξεις που δεν ήταν διαθέσιμες στο αρχικό πλαίσιο.

## Ορισμός

Ας υποθέσουμε C iείναι μια μικρή κατηγορία (δηλαδή τα αντικείμενα και οι μορφισμοί σχηματίζουν ένα σύνολο και όχι μια κατάλληλη κλάση) και D είναι μια αυθαίρετη κατηγορία. Η κατηγορία των συναρτητών από C στο D, που γράφεται ως Fun(C, D), Funct(C,D), [C,D], ή D ^C, έχει ως αντικείμενα τους συναλλοίωτους συναρτητές από C στο D, 
και ως μορφισμούς τους φυσικούς μετασχηματισμούς μεταξύ τέτοιων συναρτητών. Ας σημειώσουμε ότι οι φυσικοί μετασχηματισμοί μπορούν να συντεθούν: 
Αν \mu (X) : F(X) \to G(X) είναι ένας φυσικός μετασχηματισμός από τον συναρτητή F : C \to D στον συναρτητή G : C \to D, και 
\eta(X) : G(X) \to H(X) είναι ένας φυσικός μετασχηματισμός από τον συναρτητή G στον συναρτητή H, τότε η σύνθεση \eta(X)\mu(X) : F(X) \to H(X)  ορίζει έναν φυσικό μετασχηματισμό από το F στο H. Με αυτή τη σύνθεση φυσικών μετασχηματισμών (γνωστή ως κάθετη σύνθεση, βλ. φυσικός μετασχηματισμός), το, 
D^C ικανοποιεί τα αξιώματα μιας κατηγορίας. 

Με έναν εντελώς ανάλογο τρόπο, μπορεί κανείς να εξετάσει επίσης την κατηγορία όλων των *ανταλλοίωτων συναρτητών* από C στο D; αυτό γράφεται ως Funct(C^\text{op},D).

Εάν C και D aείναι και οι δύο προ-προσθετικές κατηγορίες (δηλαδή, τα σύνολα μορφισμών τους είναι αβελιανές ομάδες και η σύνθεση των μορφισμών είναι διγραμμική), τότε μπορούμε να θεωρήσουμε την κατηγορία όλων των προσθετικών συναρτητών από C στο  D, που συμβολίζεται με Add(C,D).

## Παραδείγματα

* Εάν I είναι μια μικρή διακριτή κατηγορία (δηλαδή οι μόνοι μορφισμοί της είναι οι ταυτοτικοί μορφισμοί), τότε ένας συναρτητής από I σε C αποτελείται ουσιαστικά από μια οικογένεια αντικειμένων του C, με δείκτη το I. η κατηγορία συναρτητών C ^I μπορεί να ταυτιστεί με την αντίστοιχη κατηγορία γινομένου: τα στοιχεία της είναι οικογένειες αντικειμένων στο C και οι μορφισμοί της είναι οικογένειες μορφισμών στο C.

* Μια κατηγορία βέλους \mathcal{C}^\rightarrow (τα αντικείμενα της οποίας είναι οι μορφισμοί του \mathcal{C}, και οι μορφισμοί της οποίας είναι τετράγωνα που αντιμετατίθενται στο \mathcal{C}) είναι απλώς το \mathcal{C}^\mathbf{2}, όπου το **2** είναι η κατηγορία με δύο αντικείμενα και τους ταυτοτικούς μορφισμούς τους, καθώς και ένα βέλος από το ένα αντικείμενο στο άλλο (αλλά όχι ένα άλλο βέλος προς την αντίθετη κατεύθυνση).
* Ένας κατευθυνόμενος γράφος αποτελείται από ένα σύνολο βελών και ένα σύνολο κορυφών, καθώς και δύο συναρτητές από το σύνολο των βελών στο σύνολο των κορυφών, που καθορίζουν την αρχική και τελική κορυφή κάθε βέλους. Η κατηγορία όλων των κατευθυνόμενων γράφων δεν είναι λοιπόν τίποτα άλλο από την κατηγορία συναρτητών \textbf{Set}^C, όπου  C είναι η κατηγορία με δύο αντικείμενα που συνδέονται με δύο παράλληλους μορφισμούς (πηγή και στόχος), και **Set** δηλώνει την κατηγορία των συνόλων.
* Οποιαδήποτε ομάδα G μπορεί να θεωρηθεί ως κατηγορία ενός αντικειμένου στην οποία κάθε μορφισμός είναι αντιστρέψιμος. Η κατηγορία όλων των  G-συνόλων είναι η ίδια με την κατηγορία των συναρτήσεων **Set**G.  Οι φυσικές μετασχηματισμοί είναι G-απεικονίσεις .

* Παρόμοια με το προηγούμενο παράδειγμα, η κατηγορία των of *K*-γραμμικών αναπαραστάσεων της ομάδας G  είναι η ίδια με την κατηγορία των συναρτητών **Vect***K*G (όπου **Vect***K* δηλώνει την κατηγορία όλων των διανυσματικών χώρων πάνω στο σώμα *K*).
* Κάθε δακτύλιος R μπορεί να θεωρηθεί ως μια προ-προσθετική κατηγορία ενός αντικειμένου. Η κατηγορία των αριστερών προτύπων πάνω στο Rείναι η ίδια με την προσθετική κατηγορία συναρτητών Add(R,\textbf{Ab}) (όπου \textbf{Ab} δηλώνει την κατηγορία των αβελιανών ομάδων), και η κατηγορία των δεξιών R-προτύπων είναι Add(R^\text{op},\textbf{Ab}). Λόγω αυτού του παραδείγματος, για οποιαδήποτε προ-προσθετική κατηγορία C, η κατηγορία Add(C,\textbf{Ab}) ονομάζεται μερικές φορές "κατηγορία αριστερών προτύπων πάνω στο C" και η Add(C^\text{op},\textbf{Ab}) είναι η "κατηγορία δεξιών προτύπων πάνω στο C".
* Η κατηγορία των presheaf (προδεματίων) σε έναν τοπολογικό χώρο X είναι μια κατηγορία συναρτητών: μετατρέπει τον τοπολογικό χώρο σε μια κατηγορία C που έχει τα ανοιχτά σύνολα στο X ως αντικείμενα και ένα μόνο μορφισμό από το U στο V αν και μόνο αν το Uπεριέχεται στο V.  Η κατηγορία των presheaf (προδεματίων) συνόλων (αβελιανές ομάδες, δακτύλιοι) στο X είναι τότε η ίδια με την κατηγορία των συναναλλοίωτων συναρτητών από το C στο \textbf{Set} (ή \textbf{Ab} ή \textbf{Ring}). Λόγω αυτού του παραδείγματος, η κατηγορία Funct(C^\text{op}, \textbf{Set}) ονομάζεται μερικές φορές "κατηγορία presheaf (προδεματίων) συνόλων στο C" ακόμη και για γενικές κατηγορίες C που δεν προκύπτουν από έναν τοπολογικό χώρο. Για να ορίσουμε δεμάτια σε μια γενική κατηγορία C, χρειαζόμαστε περισσότερη δομή: μια τοπολογία Γκρότενικ στο C. (Ορισμένοι συγγραφείς αναφέρονται σε κατηγορίες που είναι ισοδύναμες με το \textbf{Set}^C ως *κατηγορίες προδεματίων*.)

### Δεδομένα

Οι περισσότερες κατασκευές που μπορούν να διεξάγονται στο D μπορούν επίσης να γίνουν στο D^C εκτελώντας τις « κατά συνιστώσες», ξεχωριστά για 
κάθε αντικείμενο στο C. Παραδείγματος χάριν, αν δύο αντικείμενα X και Y στο D έχουν ένα γινόμενο X\times Y, 
τότε δύο συναρτητές F και G στο D^C έχουν ένα γινόμενο F\times G, που ορίζεται από (F \times G)(c) = F(c)\times G(c) 
για κάθε αντικείμενο c στο C. Ομοίως, αν η \eta_c : F(c) \to G(c) ένας φυσικός μετασχηματισμός και κάθε \eta_c έχει έναν πυρήνα K_c έχει έναν πυρήνα D, 
τότε ο πυρήνας του \eta στην κατηγορία συναρτητών D^C είναι συναρτητής K με K(c) = K_c για κάθε αντικείμενο c στο C.

Ως συνέπεια έχουμε τον γενικό κανόνα ότι η κατηγορία συναρτητών D^C μοιράζεται τις περισσότερες από τις "ωραίες" ιδιότητες της D:
* αν D είναι πλήρες (ή συν-πλήρες), τότε το ίδιο ισχύει και για το D^C
* αν D είναι μια αβελιανή κατηγορία, τότε το ίδιο ισχύει και για D^C

Έχουμε επίσης:
* αν C είναι οποιαδήποτε μικρή κατηγορία, τότε η κατηγορία \textbf{Set}^C των προδεματίων  είναι ένα τόπος.

Έτσι, από τα παραπάνω παραδείγματα, μπορούμε να συμπεράνουμε αμέσως ότι οι κατηγορίες των κατευθυνόμενων γράφων, των συνόλων G και των προδεματίων σε έναν τοπολογικό χώρο είναι όλες πλήρεις και συν-πλήρεις τόποι και ότι οι κατηγορίες των απεικονίσεων του G, των ενοτήτων πάνω στο δακτύλιο R 
και των προδεματίων των αβελιανών ομάδων σε έναν τοπολογικό χώρο X είναι όλες αβελιανές, πλήρεις και συν-πλήρεις.

Η εμφύτευση της κατηγορίας C σε μια κατηγορία διανυσμάτων που αναφέρθηκε προηγουμένως χρησιμοποιεί το λήμμα Γιονέντα ως κύριο εργαλείο. Για κάθε αντικείμενο X της C, 
έστω \text{Hom}(-,X) ο ανταλλοίωτος αναπαραστάσιμος συναρτηστής από την C στην \textbf{Set}. Το λήμμα Γιονέντα δηλώνει ότι η ανάθεση 
:X \mapsto \operatorname{Hom}(-,X)
είναι μια πλήρης εμφύτευση της κατηγορίας C στην κατηγορία Funct(C^\text{op},\textbf{Set}). Έτσι, η C βρίσκεται φυσικά μέσα σε έναν τόπο.

Το ίδιο μπορεί να γίνει για οποιαδήποτε προ-προσθετική κατηγορία C: ο Γιονέντα δίνει τότε μια πλήρη ενσωμάτωση της C στην κατηγορία συναρτητών Add(C^\text{op},\textbf{Ab}). 
Έτσι η C βρίσκεται φυσικά μέσα σε μια αβελιανή κατηγορία.

Η διαίσθηση που αναφέρθηκε παραπάνω (ότι οι κατασκευές που μπορούν να γίνουν στο D μπορούν να «ανυψωθούν» στο D^C) μπορεί να γίνει ακριβής με διάφορους τρόπους- η πιο συνοπτική διατύπωση χρησιμοποιεί τη γλώσσα των συζυγών συναρτητών. 
Κάθε συναρτητής F : D \to E επάγει έναν συναρτητή F^C : D^C \to E^C (μέσω σύνθεσης με τον F). Αν F και G είναι ένα ζεύγος συζυγών συναρτητών, τότε F^C και G^C είναι επίσης ένα ζεύγος συζυγών συναρτητών.

Η **κατηγορία συναρτητών** D^C έχει όλες τις τυπικές ιδιότητες ενός εκθετικού αντικειμένου, ειδικότερα οι φορείς από E \times C \to D 
βρίσκονται σε φυσική ένα προς ένα αντιστοιχία με τους συναρτητές από E σε D^C. Η κατηγορία \textbf{Cat} όλων των μικρών κατηγοριών με διανύσματα ως μορφισμούς 
είναι επομένως μια καρτεσιανή κλειστή κατηγορία.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
*
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


* 
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* star-autonomous category at the nLab
* 
* *This article is based in part on [http://www.planetmath.org PlanetMath]'s [http://planetmath.org/encyclopedia/TerminalObjectsAndZeroObjectsExamplesOfInitialObjects.html article on examples of initial and terminal objects].*
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
*
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα
Κατηγορία:Συναρτητές