Διακριτή ομοιόμορφη κατανομή

right|350px|thumb|Παραδείγματα ομοιόμορφης διακριτής κατανομής.
right|350px|thumb|Παραδείγματα αθροιστικής κατανομής.

Στην θεωρία πιθανοτήτων και στη στατιστική, η **διακριτή ομοιόμορφη κατανομή** \mathcal{U}\{a, b\} είναι μία διακριτή συνάρτηση κατανομής που περιγράφει το αποτέλεσμα της ομοιόμορφης δειγματοληψίας ενός τυχαίου αριθμού από το σύνολο \{ a, a+1, \ldots, b\}.

Για παράδειγμα, η ρίψη ενός αμερόληπτου ζαριού μοντελοποιείται ως \mathcal{U}\{1, 6\}, δηλαδή κάθε ένα από αποτελέσματα \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} έχουν ίση πιθανότητα (1/6) να βγουν. Αντίστοιχα, το στρίψιμο ενός νομίσματος μπορεί να μοντελοποιηθεί από την \mathcal{U}\{0, 1\} και ο νικητήριος αριθμός του λαχνού.

## Ορισμός

Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας της X \sim \mathcal{U}\{a, b\}, δίνεται από την
:
  p_X(x) = \begin{cases}
    \frac{1}{n} & \text{αν }a \leq x \leq b, \\
    0 & \text{διαφορετικά}.
  \end{cases}


## Μέση τιμή

Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής έχουμε ότι:
:
\begin{align}
\operatorname{E}[X] = \sum_{x = a}^b \frac{1}{n} \cdot x 
 & = \frac{1}{n} \cdot \left( \frac{b \cdot (b+1)}{2} - \frac{a \cdot (a - 1)}{2} \right) \\
 & = \frac{1}{n} \cdot \left( \frac{b^2 - a^2 + b + a}{2} \right) \\
 & = \frac{1}{n} \cdot \left( \frac{(b-a) \cdot (b + a + 1)}{2} \right) \\
 & = \frac{1}{n} \cdot \left( \frac{(b-a + 1) \cdot (b + a)}{2} \right) \\
 & = \frac{(b + a)}{2},
\end{align}

χρησιμοποιώντας ότι \sum_{i = 1}^n i = \frac{1}{2} n \cdot (n+1).

## Διακύμανση
Για να απλοποιήσουμε τον υπολογισμό της διακύμανσης, θα υπολογίσουμε την διακύμανση για την μεταβλητή Y = X - a + 1 και θα χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα,
:
  \operatorname{V}[Y] = \operatorname{V}[X - a + 1] = \operatorname{V}[X],

και τον ορισμό
:
  \operatorname{V}[Y] = \operatorname{E}[Y^2] - (\operatorname{E}[Y])^2.

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής, έχουμε ότι:
:
  \operatorname{E}[Y^2] = \sum_{y = 1}^n \frac{1}{n} \cdot y^2 = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{6} n \cdot (n+1) \cdot (2n+1) = \frac{1}{6} (n+1) \cdot (2n+1),

χρησιμοποιώντας ότι \sum_{i=1}^n i^2 = \frac{1}{6} n \cdot (n+1) \cdot (2n+1). Επομένως,
:
  \operatorname{V}[Y] = \frac{1}{6} (n+1) \cdot (2n+1) - \frac{1}{4} (n+1)^2 = \frac{n+1}{2} \cdot \frac{n-1}{4} = \frac{n^2 - 1}{12}. 


## Πιθανογεννήτρια συνάρτηση

Για t \neq 1, έχουμε ότι:
:
  \operatorname{E}[t^X] = \sum_{x = a}^b \frac{1}{n} \cdot t^x = \frac{1}{n} \cdot \frac{t^b - t^a}{t - 1},

χρησιμοποιώντας τον τύπο για το άθροισμα των όρων μίας γεωμετρικής προόδου.

## Χαρακτηριστική συνάρτηση

Για t \neq 0, έχουμε ότι:
:
  \operatorname{E}[e^{tx}] = \sum_{x = a}^b \frac{1}{n} \cdot e^{tx} = \frac{1}{n} \cdot \frac{e^{tb} - e^{ta}}{e^t - 1},

χρησιμοποιώντας τον τύπο για το άθροισμα των όρων μίας γεωμετρικής προόδου.

## Εντροπία

Από τον ορισμό της εντροπίας, έχουμε ότι:
:
\operatorname{E}[-\log_2 X] 
  = \sum_{x = a}^b - \frac{1}{n} \cdot \log_2 \left( \frac{1}{n} \right)
  = - n \cdot \frac{1}{n} \cdot \log_2 \left( \frac{1}{n} \right)
  = \log_2 n.

Αυτή η κατανομή μεγιστοποιεί την εντροπία σε σχέση με όλες τις διακριτές κατανομές σε n στοιχεία.

## Δείτε επίσης
* Κατανομή Μπερνούλλι — Ειδική περίπτωση της διακριτής ομοιόμορφης κατανομής με δύο στοιχεία
* Ομοιόμορφη κατανομή (συνεχής) — Συνεχής εκδοχή της ομοιόμορφης κατανομής

## Παραπομπές


Κατηγορία:Κατανομές
Κατηγορία:Θεωρία πιθανοτήτων