Ελεύθερη άλγεβρα

Στα μαθηματικά, ειδικά στον τομέα της αφηρημένης άλγεβρας, που είναι γνωστός ως θεωρία δακτυλίων, μια **ελεύθερη άλγεβρα** είναι το μη αντιμεταθετικό ανάλογο ενός πολυωνυμικού δακτυλίου, καθώς τα στοιχεία της μπορούν να περιγραφούν ως "πολυώνυμα" με μη αντιμεταθετικές μεταβλητές. Ομοίως, ο πολυωνυμικός δακτύλιος μπορεί να θεωρηθεί ως μια ελεύθερη αντιμεταθετική άλγεβρα.

## Ορισμός

Για  *R* έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο, η ελεύθερη (προσεταιριστική, μοναδιαία) άλγεβρα σε *n* απροσδιόριστα {*X*1,...,*X<sub>n</sub>*} είναι το ελεύθερο *R*-πρότυπο με βάση που αποτελείται από όλες τις λέξεις του αλφαβήτου {*X*1,...,*X<sub>n</sub>*} (συμπεριλαμβανομένης της κενής λέξης, που είναι η μονάδα της ελεύθερης άλγεβρας). Αυτό το *R*-πρότυπο γίνεται *R*-άλγεβρα ορίζοντας τον πολλαπλασιασμό ως εξής: το γινόμενο δύο στοιχείων της βάσης είναι η συνένωση των αντίστοιχων λέξεων:

:\left(X_{i_1}X_{i_2} \cdots X_{i_l}\right) \cdot \left(X_{j_1}X_{j_2} \cdots X_{j_m}\right) = X_{i_1}X_{i_2} \cdots X_{i_l}X_{j_1}X_{j_2} \cdots X_{j_m},

και το γινόμενο δυο αυθαίρετων στοιχείων του *R*-πρότυπο καθορίζεται έτσι με μοναδικό τρόπο (επειδή ο πολλαπλασιασμός σε μια *R*-άλγεβρα πρέπει να είναι *R*-διγραμμικός). Αυτή η *R*-άλγεβρα συμβολίζεται με  *R*⟨*X*1,...,*X<sub>n</sub>*⟩. Αυτή η κατασκευή μπορεί εύκολα να γενικευτεί σε ένα αυθαίρετο σύνολο *X* ακαθόριστων.

Εν ολίγοις, για ένα αυθαίρετο σύνολο X=\{X_i\,;\; i\in I\}, η **ελεύθερη (προσεταιριστική, μοναδιαία) R-άλγεβρα στο** ***X*** είναι 
:R\langle X\rangle:=\bigoplus_{w\in X^\ast}R w
με τον *R*-διγραμμικό πολλαπλασιασμό που είναι παράθεση λέξεων, όπου *X** δηλώνει το ελεύθερο μονοειδές στο *X* (δηλ. λέξεις με τα γράμματα *X*i), \oplus δηλώνει το εξωτερικό άμεσο άθροισμα και *Rw* δηλώνει το ελεύθερο  *R*-πρότυπο στο 1 στοιχείο, τη λέξη *w*.

Παραδείγματος χάριν, στο *R*⟨*X*1,*X*2,*X*3,*X*4⟩, για τα βαθμωτά *α, β, γ, δ* ∈ *R*, ένα συγκεκριμένο παράδειγμα γινομένου δύο στοιχείων είναι

:(\alpha X_1X_2^2 + \beta X_2X_3)\cdot(\gamma X_2X_1 + \delta X_1^4X_4) = \alpha\gamma X_1X_2^3X_1 + \alpha\delta X_1X_2^2X_1^4X_4 + \beta\gamma X_2X_3X_2X_1 + \beta\delta X_2X_3X_1^4X_4.

Ο μη- αντιμεταθετικός πολυωνυμικός δακτύλιος μπορεί να ταυτιστεί με τον μονοειδή δακτύλιο πάνω στο *R* του ελεύθερου μονοειδούς όλων των πεπερασμένων λέξεων στο *X**i*.

## Αντίθεση με πολυώνυμα

Δεδομένου ότι οι λέξεις του αλφαβήτου  {*X*1, ...,*X<sub>n</sub>*} αποτελούν βάση του *R*⟨*X*1,...,*X<sub>n</sub>*⟩, είναι σαφές ότι κάθε στοιχείο του *R*⟨*X*1, ...,*X<sub>n</sub>*⟩ μπορεί να γραφτεί με μοναδικό τρόπο με τη μορφή: 

:\sum\limits_{k = 0}^\infty \, \, \, \sum\limits_{i_1,i_2, \cdots ,i_k\in\left\lbrace 1,2, \cdots ,n\right\rbrace} a_{i_1,i_2, \cdots ,i_k} X_{i_1} X_{i_2} \cdots X_{i_k},

όπου a_{i_1,i_2,...,i_k}είναι στοιχεία του *R* και όλα εκτός από έναν πεπερασμένο αριθμό αυτών των στοιχείων είναι μηδέν. Αυτό εξηγεί γιατί τα στοιχεία του *R*⟨*X*1,...,*X<sub>n</sub>*⟩ συχνά αναφέρονται ως "μη αντιμεταθετικά πολυώνυμα" στις "μεταβλητές" (ή "απροσδιόριστα") *X*1,...,*X<sub>n</sub>*; Τα στοιχεία  a_{i_1,i_2,...,i_k} λέγονται "συντελεστές" αυτών των πολυωνύμων, και η *R*-άλγεβρα *R*⟨*X*1,...,*X<sub>n</sub>*⟩ ονομάζεται "μη- αντιμεταθετική πολυωνυμική άλγεβρα πάνω στο *R* σε *n* ακαθόριστα". Ας σημειώσουμε ότι, σε αντίθεση με έναν πραγματικό πολυωνυμικό δακτύλιο, οι μεταβλητές δεν είναι αντιμεταθετικές. Παραδείγματος χάριν, το, *X*1*X*2 δεν ισούται με το *X*2*X*1.

Γενικότερα, μπορεί κανείς να κατασκευάσει την ελεύθερη άλγεβρα *R*⟨*E*⟩ σε οποιοδήποτε σύνολο *E* γεννητόρων. Δεδομένου ότι οι δακτύλιοι μπορούν να θεωρηθούν ως **Z**-άλγεβρες, ένας **ελεύθερος δακτύλιος** στο *E* μπορεί να οριστεί ως η ελεύθερη άλγεβρα  **Z**⟨*E*⟩.

Σε ένα σώμα, η ελεύθερη άλγεβρα σε *n* αόριστες μεταβλητές μπορεί να κατασκευαστεί ως η τανυστική άλγεβρα σε έναν *n*-διάστατο διανυσματικό χώρο. Για έναν πιο γενικό δακτύλιο συντελεστών, η ίδια κατασκευή λειτουργεί αν πάρουμε το ελεύθερο πρότυπο σε *n* γεννήτορες. 

Η κατασκευή της ελεύθερης άλγεβρας στο *E*  είναι συναρματική στη φύση της και ικανοποιεί μια κατάλληλη καθολική ιδιότητα. O συναρτητής της ελεύθερης άλγεβρας είναι αριστερός συζυγής των επιλήσμων συναρτητών από την κατηγορία των *R*-άλγεβρων στην κατηγορία των συνόλων.

Οι ελεύθερες άλγεβρες πάνω σε δακτυλίους διαιρέσεως είναι ελεύθεροι ιδεώδεις δακτύλιοι.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
*
*
* 
*
* 
*
* 
* 
* 

## Παραπομπές


*
* 

*
*Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
* star-autonomous category at the nLab
* 
* *This article is based in part on [http://www.planetmath.org PlanetMath]'s [http://planetmath.org/encyclopedia/TerminalObjectsAndZeroObjectsExamplesOfInitialObjects.html article on examples of initial and terminal objects] .*
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Γενική τοπολογία
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα