Εικασία του Όιλερ

Στη θεωρία των αριθμών, η **εικασία του Όιλερ** είναι μια διαψευσμένη εικασία που σχετίζεται με το τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Προτάθηκε από τον Λέοναρντ Όιλερ το 1769. Δηλώνει ότι για όλους τους ακέραιους αριθμούς  και  μεγαλύτερους από 1, αν το άθροισμα  πολλών  δυνάμεων -th θετικών ακεραίων αριθμών είναι η ίδια μια -th δύναμη, τότε ο  είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον : 

a_1^k + a_2^k + \dots + a_n^k = b^k \implies n \ge k

Η εικασία αποτελεί μια προσπάθεια γενίκευσης του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά, το οποίο είναι η ειδική περίπτωση : αν a_1^k + a_2^k = b^k, τότε .

Αν και η εικασία ισχύει για την περίπτωση  (η οποία προκύπτει από το τελευταίο θεώρημα του Φερμά για τις τρίτες δυνάμεις), διαψεύστηκε για  και . Είναι άγνωστο αν η εικασία αποτυγχάνει ή αν ισχύει για οποιαδήποτε τιμή .

## Ιστορικό

Ο Όιλερ γνώριζε την ισότητα  που περιλαμβάνει αθροίσματα τεσσάρων τετάρτων δυνάμεων- αυτό, ωστόσο, δεν αποτελεί αντιπαράδειγμα επειδή κανένας όρος δεν απομονώνεται στη μία πλευρά της εξίσωσης. Παρέσχε επίσης μια πλήρη λύση στο πρόβλημα των τεσσάρων κύβων, όπως στον αριθμό του Πλάτωνα  ή στον αριθμό του ταξί 1729. Η γενική λύση της εξίσωσης  x_1^3+x_2^3=x_3^3+x_4^3
is

\begin{align}
  x_1 &=\lambda( 1-(a-3b)(a^2+3b^2)) \\[2pt]
  x_2 &=\lambda( (a+3b)(a^2+3b^2)-1 )\\[2pt]
  x_3 &=\lambda( (a+3b)-(a^2+3b^2)^2 )\\[2pt]
  x_4 &= \lambda( (a^2+3b^2)^2-(a-3b))
\end{align}

όπου ,  και {\lambda} είναι οποιοιδήποτε ρητοί αριθμοί.

## Αντιπαραδείγματα
Η εικασία του Όιλερ διαψεύστηκε από τους Λέον Τζ. Λάντερ (Leon J. Lander) και Τόμας Ρ. Πάρκιν (Thomas R. Parkin) το 1966 όταν, μέσω μιας άμεσης αναζήτησης σε υπολογιστή σε ένα CDC 6600, βρήκαν ένα αντιπαράδειγμα για . Αυτό δημοσιεύτηκε σε μια εργασία που περιλάμβανε μόλις δύο προτάσεις. Είναι γνωστά συνολικά τρία βασικά αντιπαραδείγματα  (δηλαδή στα οποία τα αθροίσματα δεν έχουν όλα κοινό παράγοντα) αντιπαραδείγματα:

\begin{align}
  144^5 &= 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 \\
  14132^5 &= (-220)^5 + 5027^5 + 6237^5 + 14068^5 \\
  85359^5 &= 55^5 + 3183^5 + 28969^5 + 85282^5
\end{align}

(Λάντερ & Πάρκιν, 1966)-( Σέρ & Σέιντλ, 1996)-( Φράι, 2004). 

Το 1988, ο Νόαμ Έλκις δημοσίευσε μια μέθοδο για την κατασκευή μιας άπειρης ακολουθίας αντιπαραδειγμάτων για την   Το μικρότερο αντιπαράδειγμά του ήταν

20615673^4 = 2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4.  

Μια ειδική περίπτωση των λύσεων του Έλκις μπορεί να αναχθεί στην ταυτότητα 
(85v^2 + 484v - 313)^4 + (68v^2 - 586v + 10)^4 + (2u)^4 = (357v^2 - 204v + 363)^4,
where
u^2 = 22030 + 28849v - 56158v^2 + 36941v^3 - 31790v^4.

Πρόκειται για μια ελλειπτική καμπύλη με ένα ρητό σημείο στο .  Από αυτό το αρχικό ρητό σημείο, μπορεί κανείς να υπολογίσει μια άπειρη συλλογή άλλων. Αντικαθιστώντας το  στην ταυτότητα και αφαιρώντας τους κοινούς παράγοντες προκύπτει το αριθμητικό παράδειγμα που αναφέρθηκε παραπάνω. 

Το 1988, ο Ρότζερ Φράι βρήκε το μικρότερο δυνατό αντιπαράδειγμα 

95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4 

για  με άμεση αναζήτηση σε υπολογιστή χρησιμοποιώντας τεχνικές που πρότεινε ο Έλκις. Αυτή η λύση είναι η μόνη με τιμές των μεταβλητών κάτω από 1.000.000.

## Γενικεύσεις

Το 1967, οι Λ. Τζ. Λάντερ, Τ. Ρ. Πάρκιν και Τζον Σέλφριτζ υπέθεσαν ότι  ότι εάν

:\sum_{i=1}^{n} a_i^k = \sum_{j=1}^{m} b_j^k,
όπου  είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί για όλα τα  και , τότε .   Στην ειδική περίπτωση , η εικασία δηλώνει ότι αν
:\sum_{i=1}^{n} a_i^k = b^k

(υπό τις συνθήκες που δόθηκαν παραπάνω) τότε .

Η ειδική περίπτωση μπορεί να περιγραφεί ως το πρόβλημα της κατανομής μιας τέλειας δύναμης σε λίγες ομοειδείς δυνάμεις.  Για

 και  ή  υπάρχουν πολλές γνωστές λύσεις.  Μερικές από αυτές παρατίθενται παρακάτω. 

Δείτε  για περισσότερα δεδομένα

###### 
:: (Αριθμός του Πλάτωνος 216)

:Αυτή είναι η περίπτωση ,  του τύπου του Σρινιβάσα Ραμανουτζάν 
(3a^2+5ab-5b^2)^3 + (4a^2-4ab+6b^2)^3 + (5a^2-5ab-3b^2)^3 = (6a^2-4ab+4b^2)^3

:Ένας κύβος ως άθροισμα τριών κύβων μπορεί επίσης να παραμετροποιηθεί με έναν από τους δύο τρόπους:
\begin{align}
a^3(a^3+b^3)^3	&=	b^3(a^3+b^3)^3+a^3(a^3-2b^3)^3+b^3(2a^3-b^3)^3 \\[6pt]
a^3(a^3+2b^3)^3	&=	a^3(a^3-b^3)^3+b^3(a^3-b^3)^3+b^3(2a^3+b^3)^3
\end{align}

:Ο αριθμός 2 100 0003 μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα τριών κύβων με εννέα διαφορετικούς τρόπους.

###### 
\begin{align}
  422481^4 &= 95800^4 + 217519^4 + 414560^4 \\[4pt]
  353^4 &= 30^4 + 120^4 + 272^4 + 315^4
\end{align}

(Ρ. Φράι, 1988); (Ρ. Νόρι, Σμαλεστ, 1911).

###### 
\begin{align}
  144^5  &= 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 \\[2pt]
  72^5 &= 19^5 + 43^5 + 46^5 + 47^5 + 67^5 \\[2pt]
  94^5 &= 21^5 + 23^5 + 37^5 + 79^5 + 84^5 \\[2pt] 
  107^5 &= 7^5 + 43^5 + 57^5 + 80^5 + 100^5
\end{align}

((Λάντερ & Πάρκιν, 1966)- (Λάντερ, Πάρκιν, Σέλφριτζ, μικρότερο, 1967)-  (Λάντερ, Πάρκιν, Σέλφριτζ, δεύτερο μικρότερο, 1967)-[8] (Σάστρι, 1934, τρίτο μικρότερο).

###### 
Είναι γνωστό από το 2002 ότι δεν υπάρχουν λύσεις για  των οποίων ο τελικός όρος είναι ≤ 730000.

###### 
568^7 = 127^7 + 258^7 + 266^7 + 413^7 + 430^7 + 439^7 + 525^7

(M. Ντόντριλ, 1999).

###### 
1409^8 = 90^8 + 223^8 + 478^8 + 524^8 + 748^8 + 1088^8 + 1190^8 + 1324^8 

(Σ. Τσέις, 2000).

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

## Δείτε επίσης
* Θεωρία αριθμών
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Φυσικός λογάριθμος
* Δεύτερη Εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ
* Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
* e (μαθηματική σταθερά)
* Πυθαγόρεια τετράδα
* Άρτιοι και περιττοί αριθμοί
* Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
* Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
* Προβλήματα του Λαντάου
* Αριθμοί των Ταξί
* Εικασία του Γκόλντμπαχ
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Υπόθεση H του Σίνζελ
* Συνάρτηση Όιλερ
* Ευκλείδειος χώρος

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* Tito Piezas III,  A Collection of Algebraic Identities 
* Jaroslaw Wroblewski,  Equal Sums of Like Powers
* Ed Pegg Jr.,  Math Games, Power Sums
* James Waldby, A Table of Fifth Powers equal to a Fifth Power (2009) 
* R. Gerbicz, J.-C. Meyrignac, U. Beckert, All solutions of the Diophantine equation ''a''<sup>6</sup> + ''b''<sup>6</sup> = ''c''<sup>6</sup> + ''d''<sup>6</sup> + ''e''<sup>6</sup> + ''f''<sup>6</sup> + ''g''<sup>6</sup> for ''a'',''b'',''c'',''d'',''e'',''f'',''g'' < 250000 found with a distributed Boinc project
* EulerNet: Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers
* 
* 
* 
* Euler's Conjecture at library.thinkquest.org
* A simple explanation of Euler's Conjecture at Maths Is Good For You!
* 

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

Κατηγορία:Διοφαντικές εξισώσεις 
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών 
Κατηγορία:Θεωρία αριθμών 
Κατηγορία:Εικασίες 
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά