Αβελιανή ομάδα

Στα μαθηματικά, **αβελιανή ομάδα** ή **αντιμεταθετική ομάδα** είναι μια ομάδα (A,\circ ) στην οποία, πέρα από τις συνήθεις ιδιότητες, η πράξη της ικανοποιεί και την αντιμεταθετική ιδιότητα, δηλαδή για κάθε στοιχεία a, b \in A, έχουμε a \circ b = b \circ a.

Οι αβελιανές ομάδες πήραν την ονομασία τους από τον Νορβηγό μαθηματικό Νιλς Χένρικ Άμπελ (Nils Henrik Abel) διότι ο Abel ήταν ο πρώτος που βρήκε ότι η μεταθετικότητα των στοιχείων μίας ομάδας ενός πολυωνύμου σχετίζεται με τον υπολογισμό των ριζών του. Η χρήση της λέξης «αβελιανή» έχει γίνει τόσο κοινή στα Μαθηματικά, ώστε καθιερώθηκε να γράφεται με μικρό «α».

Η έννοια των αβελιανών ομάδων είναι από τις πρώτες που εισάγονται στον τομέα της αφηρημένης άλγεβρας πάνω στην οποία βασίζονται βασικές έννοιες όπως τα πρότυπα, οι διανυσματικοί χώροι κ.ά.

## Ορισμός
Μια αβελιανή ομάδα (A, \circ) είναι μία ομάδα με σύνολο A και δυαδική πράξη \circ, η οποία ικανοποιεί την αντιμεταθετική ιδιότητα:
:Για κάθε a, b \in A, ισχύει ότι a \circ b = b \circ a.

Επομένως, συνολικά η αβελιανή ομάδα (A, \circ) ικανοποιεί τις εξής ιδιότητες:
* Κλειστότητα: Για κάθε a, b \in A, ισχύει ότι a \circ b \in A.
* Προσεταιριστική ιδιότητα: Για κάθε a, b, c \in A, ισχύει ότι a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c.
* Ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου: Υπάρχει ένα στοιχείο e \in A, ώστε για κάθε a \in A, a \circ e = e \circ a = a.
* Ύπαρξη αντιστρόφου στοιχείου: Για κάθε a \in A, υπάρχει b \in A ώστε a \circ b = b \circ a = e. 
* Αντιμεταθετική ιδιότητα: Για κάθε a, b \in A, ισχύει ότι a \circ b = b \circ a.

## Παραδείγματα
* Το σύνολο των πραγματικών αριθμών μαζί με την πρόσθεση (\R, +), καθώς a+b=b+a για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς a, b \in \R.
* Κάθε κυκλική ομάδα (G, \cdot) είναι αβελιανή.

Έστω x, y \in G, τότε αφού η (G, \cdot) είναι κυκλική ομάδα, x = a^n και y = a^m για κάποιο στοιχείο a \in G και ακεραίους αριθμούς n, m \in \Z. Συνεπώς,
:x \cdot y = a^n \cdot a^m = a^{n + m} = a^{m + n} = a^m \cdot a^n = y \cdot x.
Επομένως, ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα.

* Ως κυκλικές ομάδες, οι ακέραιοι \Z φτιάχνουν μια αβελιανή ομάδα με πράξη την πρόσθεση, και το ίδιο και οι ακέραιοι με υπόλοιπο n με πράξη την πρόσθεση, \Z_n.
* Κάθε δακτύλιος μαζί με την πρόσθεση.
* Κάθε ομάδα με 4 στοιχεία είναι αβελιανή.
* Κάθε ομάδα (G, \circ) με g^2 = e για κάθε g \in G, είναι αβελιανή.

Έστω a, b \in G. Τότε,
:
Αφού a^2 = e και b^2 = e, έχουμε ότι a = a^{-1} και b = b^{-1} και άρα από την (), έχουμε
:ba = ab.

## Ιδιότητες

* Ο πίνακας Cayley μίας αβελιανής ομάδας είναι συμμετρικός ως προς την διαγώνιο, καθώς a \circ b = b \circ a.
* Κάθε υποομάδα μία αβελιανής ομάδας είναι κανονική.
* Έστω \phi : G \to H ένας μονομορφισμός μεταξύ δύο ομάδων (G, \circ) και (H, \cdot). Αν η (H, \cdot) είναι αβελιανή, τότε είναι και η (G, \circ).

Θεωρούμε a, b \in G, τότε αφού η (H, \cdot) είναι αβελιανή,
:\phi(a \circ b) = \phi(a) \cdot \phi(b) = \phi(b) \cdot \phi(a) = \phi(b \circ a).
Αφού η συνάρτηση \phi είναι ένα-προς-ένα, έπεται ότι a \circ b = b \circ a και ότι η (G, \circ) είναι αβελιανή ομάδα.

## Δείτε επίσης
* Αβελιανή κατηγορία
* Πεπερασμένα παραγόμενες αβελιανές ομάδες
* Επιλύσιμες ομάδες

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*  Unabridged and unaltered republication of a work first published by the Cambridge University Press, Cambridge, England, in 1978.

* 

## Παραπομπές


Αβελιανη