Μετασχηματισμός του Τσιρνχάους

Στα μαθηματικά, ο **μετασχηματισμός Τσιρνχάους**, επίσης γνωστός ως **(Τσιρνχαουσιανός μετασχηματισμός)**, είναι ένας τύπος απεικόνισης σε  πολυώνυμα που αναπτύχθηκε από τον Έρενφριντ Βάλτερ φον Τσιρνχάους το 1683.

Απλά, είναι μια μέθοδος για τον μετασχηματισμό μιας πολυωνυμικής εξίσωσης βαθμού n\ge2 με κάποιους μη μηδενικούς ενδιάμεσους συντελεστές, a_1, ..., a_{n-1}, έτσι ώστε μερικοί ή όλοι οι μετασχηματισμένοι ενδιάμεσοι συντελεστές, a'_1, ..., a'_{n-1}, να είναι ακριβώς μηδενικοί.

Παραδείγματος χάριν, η εύρεση μιας αντικατάστασης

y(x)=k_1x^2 + k_2x+k_3

για μια κυβική εξίσωση βαθμού n=3 

f(x) = x^3+a_2x^2+a_1x+a_0

έτσι ώστε αντικαθιστώντας

x=x(y)

οδηγεί σε μια νέα εξίσωση

f'(y)=y^3+a'_2y^2+a'_1y+a'_0

έτσι ώστε
a'_1=0, a'_2=0, ή και τα δύο.

Γενικότερα, μπορεί να οριστεί με άνεση μέσω της θεωρίας σωμάτων, ως ο μετασχηματισμός στα ελάχιστα πολυώνυμα που συνεπάγεται μια διαφορετική επιλογή του πρωταρχικού στοιχείου. Αυτός είναι ο πιο γενικός μετασχηματισμός ενός μη αναγώγιμου πολυωνύμου που παίρνει μια ρίζα από κάποια ρητή συνάρτηση που εφαρμόζεται σε αυτή τη ρίζα.

## Ορισμός

Για μια γενική n^{th} αναγώγιμη μονική πολυωνυμική εξίσωση f(x)=0 βαθμού της μορφής f(x) = g(x) / h(x), όπου g(x) και h(x) είναι πολυώνυμα και h(x) δεν εξαλείφεται στο f(x) = 0,

f(x) = x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_n=0

ο μετασχηματισμός Τσιρνχάους είναι η συνάρτηση

:y=k_1x^{n-1} + k_2x^{n-2}+...+k_{n-1}x+k_n

Έτσι ώστε η νέα εξίσωση στο y, f'(y), να έχει ορισμένες ειδικές ιδιότητες, συνήθως τέτοιες ώστε ορισμένοι συντελεστές, a'_1,...,a'_{n-1}, να είναι ταυτόσημα μηδενικοί.

## Παράδειγμα: για κυβικές εξισώσεις του Τσιρνχάους

Στη δημοσίευση του Τσιρνχάους το 1683,  έλυσε την εξίσωση

f(x)=x^3-px^2+qx-r=0

με τη χρήση του μετασχηματισμού Τσιρνχάους

y(x;a)=x-a\longleftrightarrow x(y;a)=x=y+a.

Με αντικατάσταση προκύπτει η μετασχηματισμένη εξίσωση

f'(y;a)=y^3+(3a-p)y^2+(3a^2-2pa+q) y+(a^3-pa^2+qa-r)=0

ή

\begin{cases} a'_1=3a-p \\ a'_2=3a^2-2pa+q \\ a'_3=a^3-pa^2+qa-r \end{cases}.

Θέτοντας a'_1=0
δίνει,

3a-p=0\rightarrow a=\frac{p}{3}

και τέλος ο μετασχηματισμός του Τσιρνχάους

y=x-\frac{p}{3},

τα οποία μπορούν να αντικατασταθούν με

f'(y;a)

για να προκύψει μια εξίσωση της μορφής:

f'(y)=y^3-q'y-r'.

Ο Τσιρνχάους συνέχισε να περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο ένας μετασχηματισμός της μορφής του Τσιρνχάους:

x^2(y;a,b)=x^2=bx+y+a

μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εξάλειψη δύο συντελεστών με παρόμοιο τρόπο.

## Γενίκευση

Αναλυτικότερα, έστω K ένα σώμα και P(t) ένα πολυώνυμο πάνω από το K. Αν το P είναι μη αναγώγιμο, τότε το πηλίκο του πολυωνυμικού δακτυλίου K[t] από το κύριο ιδεώδες που παράγεται από το P,

:K[t]/(P(t)) = L,

είναι μια επέκταση σώματος του K. Έχουμε

:L = K(\alpha)

όπου \alpha είναι t modulo (P). Δηλαδή, κάθε στοιχείο του L είναι ένα πολυώνυμο στο \alpha, το οποίο επομένως είναι ένα πρωταρχικό στοιχείο του L. Θα υπάρχουν και άλλες επιλογές \beta πρωταρχικού στοιχείου στο L: για κάθε τέτοια επιλογή του \beta θα έχουμε εξ ορισμού:

:\beta = F(\alpha), \alpha = G(\beta),

με πολυώνυμα F και G πάνω από το K. Τώρα αν το Q είναι το ελάχιστο πολυώνυμο για το \beta πάνω από το K, μπορούμε να ονομάσουμε το Q **μετασχηματισμό Τσιρνχάους** του P.

Επομένως, το σύνολο όλων των μετασχηματισμών Τσιρνχάους ενός μη αναγώγιμου πολυωνύμου πρέπει να περιγραφεί ως ένα σύνολο όλων των τρόπων αλλαγής του P, αλλά αφήνοντας το L ίδιο. Αυτή η έννοια χρησιμοποιείται για παράδειγμα στην αναγωγή των πεμπτοβάθμιων στη μορφή Μπρινγκ-Τζέραρντ . Υπάρχει μια σύνδεση με τη θεωρία Γκαλουά, όταν η L είναι μια επέκταση Γκαλουά της K. Η ομάδα Γκαλουά μπορεί τότε να θεωρηθεί ως όλοι οι μετασχηματισμοί Τσιρνχάους της P προς τον εαυτό της.

## Ιστορία

Το 1683, ο Έρενφριντ Βάλτερ φον Τσιρνχάους (Ehrenfried Walther von Tschirnhaus) δημοσίευσε μια μέθοδο για την αναγραφή ενός πολυωνύμου βαθμού n>2 έτσι ώστε οι όροι x^{n-1} και x^{n-2} να έχουν μηδενικούς συντελεστές. Στην εργασία του, ο Τσιρνχάους αναφέρθηκε σε μια μέθοδο του Ρενέ Ντεκάρτ για την αναγωγή ενός τετραγωνικού πολυωνύμου (n=2) έτσι ώστε ο όρος x να έχει μηδενικό συντελεστή.

Το 1786, η εργασία αυτή επεκτάθηκε από τον Έρλαντ Σάμιουελ Μπρινγκ, ο οποίος έδειξε ότι οποιοδήποτε γενικό πεμπτοβάθμιο πολυώνυμο μπορεί να αναχθεί με παρόμοιο τρόπο.

Το 1834, ο Τζορτζ Τζέραρντ επέκτεινε περαιτέρω το έργο του Τσιρνχάουζ δείχνοντας ότι ένας μετασχηματισμός Τσιρνχάουζ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εξάλειψη του x^{n-1}, x^{n-2}, και x^{n-3} για ένα γενικό πολυώνυμο βαθμού n>3.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Διδιάστατος χώρος
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Υπερβολική γεωμετρία
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Σώμα διασπάσεως
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
*
*Lang, Serge (2004), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Corrected fourth printing, revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4
*

*
*
* *(Galois' original paper, with extensive background and commentary.)*
*
*
*  *(Chapter 4 gives an introduction to the field-theoretic approach to Galois theory.)*
* (This book introduces the reader to the Galois theory  of Grothendieck, and some generalisations, leading to Galois groupoids.)
*
*
*
*
*
*.   **English translation** (of 2nd revised edition):  *(Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)*
*

## Πηγές
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα