Κάμψη

μικρογραφία|Σχήμα 1.Kάμψη μιας δοκού που στηρίζεται στα άκρα της και εφαρμόζεται δύναμη στο κέντρο της.

**Κάμψη** είναι το αποτέλεσμα  κάθετων δυνάμεων ή ροπών που ασκούνται σε ένα μακρόστενο σώμα. Όπως το σώμα τείνει να καμπυλωθεί στη μία πλευρά του προκαλείται θλίψη (συμπίεση) και στην άλλη εφελκυσμός (τράβηγμα). Η κάμψη προκαλεί την παραμόρφωση ή ακόμα και την θραύση του σώματος.

## Εσωτερικές τάσεις
thumb|right|Σχήμα 2. Ορθές τάσεις σε διατομή που κάμπτεται λόγω συγκεντρωμένης ροπής.
thumb|right|Σχήμα 3. Παραμόρφωση και τάση στη διατομή.
thumb|right|Σχήμα 4. Πραγματική και απλοποιημένη καμπύλη τάσης-παραμόρφωσης όλκιμου υλικού.
Ο τρίτος νόμος του Νεύτωνα προβλέπει ότι για να υπάρχει ισορροπία σε ένα σώμα πρέπει οι δυνάμεις που του ασκούνται να εξουδετερώνουν η μία την άλλη. Πρέπει συνεπώς, σε κάθε σημείο του καμπτόμενου σώματος, οι εξωτερικές δυνάμεις να εξουδετερώνονται από άλλες που αναπτύσσονται στο εσωτερικό του. Σε ένα σώμα σε κάμψη λοιπόν εμφανίζονται εσωτερικές τάσεις. Οι τάσεις που είναι κάθετες στη διατομή του στοιχείου ονομάζονται ορθές. Οι εφελκυστικές θεωρούνται θετικές ενώ οι θλιπτικές αρνητικές. Η γραμμή όπου μηδενίζονται οι ορθές τάσεις ονομάζεται ουδέτερη γραμμή και χωρίζει τη διατομή στην εφελκυόμενη και τη θλιβόμενη περιοχή. Ο υπολογισμός των τάσεων είναι πολύ σημαντικός για τον έλεγχο της αντοχής του σώματος. 

### Θεωρία κάμψης Όιλερ-Μπερνούλι
Για τον υπολογισμό των ορθών τάσεων στη διατομή ενός στοιχείου πρέπει να ισχύουν οι εξής συνθήκες και παραδοχές:
*Οι διατομές που πριν την κάμψη ήταν επίπεδες και κάθετες στον άξονα του στοιχείου παραμένουν επίπεδες και κάθετες ως προς τον παραμορφωμένο λόγω κάμψης άξονά του (παραδοχή Μπερνούλι).
*Το υλικό είναι γραμμικά ελαστικό, ομογενές και ισότροπο. Γραμμικά ελαστικό ονομάζεται το υλικό που υπακούει στο νόμο του Χουκ, ενώ ισότροπο το υλικό που έχει την ίδια συμπεριφορά προς κάθε διεύθυνση.
*Το στοιχείο είναι αρχικά ευθύγραμμο και σταθερής διατομής. Ισχύει και στην περίπτωση που οι μεταβολές της διατομής είναι μικρές και ομαλές κατά το μήκος.

Οι ορθές τάσεις δίνονται από τη σχέση: {\sigma}= \frac{M_{(x)} z}{I_z}.

Όπου:	
*\ M_{(x)}: Η ροπή κάμψης στο σημείο \ x.
*\ I_z: Η ροπή αδράνειας ως προς τον κεντροβαρικό άξονα που είναι παράλληλος στον άξονα της κάμψης (σχήμα 6, άξονας y).
*\ z: απόσταση του σημείου με τάση σ από τον παραπάνω άξονα.

Απουσία αξονικών δυνάμεων ο άξονας της ροπής αδράνειας ταυτίζεται με τον ουδέτερο άξονα της διατομής.

Η μέγιστη ορθή τάση \ \sigma_{max}= \frac{M_{max} z_{max}}{I_z}.

Η \ \sigma_{max}  δεν μπορεί να ξεπερνά μια τιμή που είναι χαρακτηριστική για το υλικό. Στα ψαθυρά υλικά μιλάμε για τη θλιπτική ή εφελκυστική αντοχή του ενώ στα όλκιμα υλικά για το όριο διαρροής. Από αυτόν τον περιορισμό προκύπτει η μέγιστη ελαστική ροπή στο στοιχείο. Κατά το σχεδιασμό στοιχείων με επιτρεπόμενες τάσεις η χαρακτηριστική τάση του υλικού μειώνεται σε κάποιο ποσοστό που δίνεται από τον συντελεστή ασφαλείας. Στόχος είναι να καλυφθεί η αβεβαιότητα της πραγματικής αντοχής και να μειωθεί η πιθανότητα αστοχίας.

### Ελαστοπλαστική ανάλυση
Ροπή μεγαλύτερη από την μέγιστη ελαστική προκαλεί θραύση στα ψαθυρά υλικά. Στα όλκιμα υλικά όμως το όριο διαρροής δεν ταυτίζεται με το όριο θραύσης. Όπως φαίνεται στο σχήμα 3 σε μεγαλύτερη φόρτιση τα πιο απομακρυσμένα τμήματα της διατομής εμφανίζουν πλαστικές παραμορφώσεις, ενώ το κέντρο της διατομής παραμένει στην ελαστική περιοχή. Το εύρος του ελαστικού πυρήνα μειώνεται συνεχώς με την αύξηση της φόρτισης έως την πλήρη πλαστικοποίηση όλης της διατομής. Στην ελαστοπλαστική ανάλυση κατά προσέγγιση θεωρείται ότι το υλικό υπακούει στο νόμο του Χούκ μέχρι το όριο διαρροής του αλλά για επιπλέον παραμόρφωση η τάση παραμένει σταθερή (Σχήμα 4 απλοποιημένη καμπύλη τάσεων - παραμορφώσεων). Μετά την πλήρη πλαστικοποίηση οι παραμορφώσεις γίνονται πολύ μεγάλες και σχηματίζεται πλαστική άρθρωση.

## Ελαστική γραμμή
thumb|350px|right|Σχήμα 5. Παραμόρφωση λόγω κάμψης. Η μέγιστη υποχώρηση ή αλλιώς το μέγιστο βέλος κάμψης εμφανίζεται στο ελεύθερο (δεξιό) άκρο.
Κατά την κάμψη το σχήμα του σώματος είναι διαφορετικό από το αρχικό λόγω της παραμόρφωσης. Σε κάθε σημείο του σώματος αντιστοιχεί και μια μετατόπιση από την αρχική του θέση που ονομάζεται βέλος κάμψης. Το σχήμα του παραμορφωμένου άξονα του σώματος ονομάζεται ελαστική γραμμή και η συνάρτηση που δίνει τα βέλη κάμψης, δηλαδή την κατακόρυφη μετατόπιση ενός σημείου του άξονα σε σχέση με την αρχική του θέση, ονομάζεται εξίσωση της ελαστικής γραμμής. Ο υπολογισμός της ελαστικής γραμμής έχει μεγάλη σημασία στις τεχνικές κατασκευές. Πρέπει να εξασφαλίζεται ότι τα βέλη κάμψης δε δημιουργούν πρόβλημα ασφάλειας, λειτουργικότητας ή αισθητικής.

Η συνάρτηση της κλίσης φ του παραμοφωμένου στοιχείου σε κάθε θέση x είναι:
:{\phi}_{(x)} = \frac{1}{EI_z}\int -M_{(x)}\,dx +c_1

Η εξίσωση της ελαστικής γραμμής είναι:
:{w}_{(x)} = \frac{1}{EI_z}\iint -M_{(x)}\,dx +c_1x + c_2
:**ή**
:{w}_{(x)} = \int {\phi}_{(x)}\,dx + c_2 

όπου:
*\ E: Το μέτρο ελαστικότητας του υλικού.
*\ I_z: Η ροπή αδράνειας.
*\ M_{(x)}: Η ροπή κάμψης σε συνάρτηση με την απόσταση x.
*\ c_1, c_2: Σταθερές ολοκλήρωσης που προκύπτουν από τις συνθήκες στήριξης. Θα πρέπει οι \ w_{(x)} και \ {\phi}_{(x)} να μηδενίζουν στις θέσεις που υπάρχει εμπόδιο κατακόρυφης μετατόπισης και στροφής αντίστοιχα .

## Παράδειγμα υπολογισμού τάσεων και παραμορφώσεων

thumb|480px|right|Σχήμα 6. Διάγραμμα τέμνουσας δύναμης <math>Q</math> και ροπής κάμψης <math>M</math> σε πρόβολο δοκό.
Στο σχήμα 6 μια δοκός πρόβολος ορθογωνικής διατομής φορτίζεται στο ελεύθερο άκρο της από μια δύναμη P. Το σχήμα 5 δείχνει μια παρόμοια παραμορφωμένη κατάσταση όπου μπορούμε να διακρίνουμε πως οι πάνω ίνες της δοκού εφελκύονται ενώ οι κάτω θλίβονται.

:I_z = \int_A z^2\,dA = \frac{bh^3}{12} , η ροπή αδράνειας της διατομής, με A το χωρίο που ορίζει η διατομή, b το πλάτος της διατομής, και h το υψος της.

:\ M_{(x)}= -Px η συνάρτηση της ροπή κάμψης σε απόσταση x από το ελεύθερο άκρο.

Το διάγραμμα που δείχνει τη ροπή κάμψης Μ σε κάθε θέση παρουσιάζεται στο σχήμα 2 και έχει τη μέγιστη τιμή -PL στο πακτωμένο άκρο. Η μέγιστη ορθή τάση εμφανίζεται στις ίνες που έχουν τη μεγαλύτερη απόσταση από τον άξονα y. Λόγω της συμμετρίας της διατομής η απόσταση αυτή είναι h/2 για την άνω εφελκυόμενη και την κάτω θλιβόμενη ίνα και οι αντίστοιχες τάσεις έχουν την ίδια αριθμητική τιμή.

:\ \sigma_{max}= \frac{M_{max} z_{max}}{I_z} = \pm\frac{6PL}{bh^2}

Κλίση:

:Η συνάρτηση της κλίσης είναι:
:{\phi}_{(x)} = \frac{1}{EI_z}\int {Px}\,dx +c_1 = \frac{Px^2}{2EI_z} +c_1 
:Στη θέση της πάκτωσης δεν μπορεί να υπάρξει στροφή, άρα η κλίση είναι μηδέν. Από αυτόν το περιορισμό προκύπτει η σταθερά ολοκλήρωσης c1:
:{\phi}_{(L)} = 0 => c_1 = -\frac{PL^2}{2EI_z} 
:Άρα, μετά από αντικατάσταση του c1, η συνάρτηση της κλίσης γίνεται:
:{\phi}_{(x)} = \frac{Px^2}{2EI_z} - \frac{PL^2}{2EI_z} 

Βέλος κάμψης:
:Η συνάρτηση του βέλους κάμψης είναι:
:w_{(x)} = \frac{1}{EI_z}\iint Px\,dx +c_1x + c_2 = \frac{Px^3}{6EI_z} - \frac{PL^2}{2EI_z}x +c_2 
:Στην πάκτωση δεν υπάρχει κατακόρυφη μετατόπιση, επομένως στη θέση x = L  το βέλος κάμψης είναι μηδέν.
:{w}_{(L)} = 0 => c_2 = \frac{PL^3}{3EI_z} 
:Άρα η εξίσωση της ελαστικής γραμμής μετά την αντικατάσταση της σταθεράς c2 είναι:
:w_{(x)} = \frac{Px^3}{6EI_z} - \frac{PL^2}{2EI_z}x +\frac{PL^3}{3EI_z} 

:Το μέγιστο βέλος κάμψης είναι στη θέση  x = 0  
:w_{max} = w_{(0)} = \frac{PL^3}{3EI_z} = \frac{4PL^3}{Ebh^3} 

## Σημειώσεις


## Πηγές
* Παναγιώτης Α. Βουθούνης Τεχνική μηχανική αντοχή των υλικών, Αθήνα, 1993
* Γ.Ι. Τσαμασφύρος Μηχανική παραμορφώσιμων σωμάτων Τόμος Ι και ΙΙ, 1990 Εκδόσεις Συμμετρία

Κατηγορία:Τεχνική μηχανική
Κατηγορία:Μηχανική συνεχούς μέσου
Κατηγορία:Ελαστικότητα (φυσική)
Κατηγορία:Παραμόρφωση