Οκτάγωνο

Στη γεωμετρία, το **οκτάγωνο** είναι ένα πολύγωνο με οκτώ κορυφές και οκτώ πλευρές.

Ένα οκτάγωνο είναι **[[κανονικό πολύγωνο|κανονικό]]** αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

## Ιδιότητες
* Σε κάθε απλό οκτάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα 1080^\circ (ή 6\pi ακτίνια).
* Κάθε οκτάγωνο έχει 20 διαγωνίους.

## Κυρτό κανονικό οκτάγωνο

 \cdot \lambda
|σχετικά επίπεδα σχήματα=οκτάγραμμα, τετράγωνο, δεκαεξάγωνο
|σχετικά στερεά σχήματα=
}}
### Ιδιότητες
Για το κανονικό οκτάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
* Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με 135^\circ (ή 3\pi/4 ακτίνια).
* Έχει οκτώ άξονες συμμετρίας.
* Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
* Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
* Έχει περιστροφική συμμετρία ογδόης τάξεως.
* Το σύμβολο Schläfli του οκταγώνου είναι \{8\}.

### Κεντρική γωνία
Η **κεντρική του γωνία**, δηλαδή η γωνία που βλέπει το κέντρο του, την κάθε πλευρά είναι ίση με \varphi = 45^\circ (ή \pi/4 ακτίνια). 

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της \varphi / 2 είναι πολύ χρήσιμοι στις μετρικές σχέσεις του κανονικού οκταγώνου, καθώς και στους τύπους για το εμβαδόν του. Αυτοί δίνονται από τους τύπους
:\sin \frac{\pi}{8} = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}}, \qquad \csc \frac{\pi}{8} = \sqrt{4 + 2\sqrt{2}},
:\cos \frac{\pi}{8} = \frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}}, \qquad \sec \frac{\pi}{8} = \sqrt{4 - 2\sqrt{2}},
:\tan \frac{\pi}{8} = \sqrt{2} - 1, \qquad \cot \frac{\pi}{8} = \sqrt{2} + 1.

.
Λύνοντας ως προς x έχουμε ότι 
:x = \frac{1}{1 + \sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1.
Αφού \rm B\Delta η διχοτόμος, έχουμε ότι \widehat{\rm AB\Delta} = \pi/8, και από το ορθογώνιο τρίγωνο \rm AB\Delta έχουμε ότι 
:\tan \frac{\pi}{8} = \frac{x}{1} = \sqrt{2} - 1.
Επιπλέον, η υποτείνουσα του {\rm B\Delta} = \sqrt{1 + x^2} = \sqrt{4 - 2 \sqrt{2}} και έτσι
:
\begin{align}
\cos \frac{\pi}{8} 
 & = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \\
 & = \frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2}}}{\sqrt{(4 - 2 \sqrt{2}) \cdot (4 - 2 \sqrt{2})}} \\
 & = \frac{\sqrt{4 + 2 \sqrt{2}}}{\sqrt{4^2 - (2\sqrt{2})^2}} \\
 & = \frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}}.
\end{align}
Αντίστοιχα, 
:
\begin{align}
\sin \frac{\pi}{8} 
 & = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \\
 & = (\sqrt{2} - 1) \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}} \\
 & = \frac{1}{2} \sqrt{(3 - 2 \sqrt{2}) \cdot (2 + \sqrt{2})} \\
 & = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}}.
\end{align}

Οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί τύποι προκύπτουν από τους παραπάνω με κατάλληλη ρητοποίηση του παρονομαστή
:\cot \frac{\pi}{8} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1) \cdot (\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}^2 - 1^2} = \sqrt{2} + 1.
:\csc \frac{\pi}{8} = \frac{1}{\sin \frac{\pi}{8}} = \frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}} = \frac{2\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \cdot (2 + \sqrt{2})}} = \frac{2\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^2 - \sqrt{2}^2}} = \sqrt{4 + 2\sqrt{2}}
:\sec \frac{\pi}{8} = \frac{1}{\cos \frac{\pi}{8}} = \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}} = \frac{2\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \cdot (2 - \sqrt{2})}} = \frac{2\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^2 - \sqrt{2}^2}} = \sqrt{4 - \sqrt{2}}.
}}
.
Για \theta = \pi/4, έχουμε ότι 
:\sin \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 - \sqrt{2}/2}{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}}.
Παρομοίως, έχουμε ότι
:\cos \theta = 2\cos^2 \frac{\theta}{2} - 1, 
και 
:\cos \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}.
Για \theta = \pi/4, έχουμε ότι 
:\cos \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}/2}{2}} = \sqrt{2 + \sqrt{2} }.
Συνδυάζοντας αυτές τις τριγωνομετρικές ισότητες, λαμβάνουμε τις υπόλοιπες.
}}
### Μετρικές σχέσεις

Η ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού οκταγώνου είναι ίση με
:\begin{align}R 
& = \frac{1}{2}\cdot   \csc \frac{\pi}{8} \cdot \lambda \\
& = \frac{1}{2} \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \cdot \lambda \\
& \approx1{,}306563 \cdot \lambda.
\end{align}.
Η ακτίνα r του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού οκταγώνου είναι ίση με
:\begin{align}
r 
& = \frac{1}{2}\cdot   \cot \frac{\pi}{8} \cdot \lambda \\
& = \frac{1}{2} (1 + \sqrt{2}) \cdot \lambda\\
& \approx1{,}207107 \cdot \lambda.
\end{align}.

right|thumb|250px|Τα τρία είδη διαγωνίων στο κανονικό οκτάγωνο.
Το κανονικό οκτάγωνο έχει 
* 8 μικρές διαγωνίους με μήκος
::\begin{align}
d_1 
 & = \sqrt{2} \cdot R \\
 & = \sqrt{2 + \sqrt{2}} \cdot \lambda \\
 & \approx1{,}847759 \cdot \lambda,
\end{align}
 \cdot \lambda, από την οποία προκύπτει και η δεύτερη ζητούμενη σχέση.
}}
* 8 μεσαίες διαγωνίους με μήκος
::
\begin{align}
d_2 
 & = \sqrt{2 + \sqrt{2}} \cdot R \\
 & = (1 + \sqrt{2}) \cdot \lambda \\
 &\approx 2{,}41421 \cdot \lambda,
\end{align}
 και R = \frac{1}{2} \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \cdot \lambda, από τις οποίες προκύπτουν και οι ζητούμενες σχέσεις.
}}
* και 4 μεγάλες διαγωνίους με μήκος
::
\begin{align}
d_3 
 & = 2 \cdot R \\
 & = \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \cdot \lambda \\
 & \approx2{,}613125 \cdot \lambda.
\end{align}

Το πλάτος του είναι
:w = 2\cdot R.
Το ύψος του είναι 
:h = 2\cdot r.

(**[[Θεώρημα Βιβιάνι]]**) Για κάθε εσωτερικό σημείο \rm P ενός κανονικού οκταγώνου ισχύει ότι το άθροισμα των αποστάσεων του d_1, d_2, \ldots, d_8 από τις πλευρές του οκταγώνου είναι σταθερό, δηλαδή
:d_1 + d_2 + \ldots + d_8 = 8 \cdot r, 
όπου r η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου.

### Εμβαδόν
Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού οκταγώνου πλευράς \lambda και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου r είναι 
:{\rm E} = 4\cdot \lambda\cdot  r.

Το εμβαδό \rm E ενός κανονικού οκταγώνου πλευράς \lambda δίνεται από τη σχέση:
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = 2\cdot   \cot \frac{\pi}{8} \cdot \lambda^2 \\
 & = 2(1+\sqrt{2}) \cdot \lambda^2 \\
 & \approx 4{,}828427125 \cdot \lambda^2.
\end{align}

Αν R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδό του οκταγώνου είναι
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = 4\cdot   \sin \frac{\pi}{4} \cdot R^2 \\
 & = 2\sqrt{2} \cdot R^2 \\
 & \approx 2{,}828427 \cdot R^2.
\end{align}
{4}\cdot   R^2.
Πολλαπλασιάζοντας επί 8, λαμβάνουμε τον ζητούμενο τύπο.
}}
Aν r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = 8\cdot   \tan \frac{\pi}{8}\cdot   r^2 \\
 & = 8(\sqrt{2}-1) \cdot r^2 \\
 & \approx 3{,}313708\cdot   r^2
\end{align}.

Αν d_2 το μήκος της μεσαίας διαγωνίου, τότε
:{\rm E} =d_2^2-\lambda^2.

* Επίσης, αν w είναι το πλάτος του, τότε
::{\rm E}=2\cdot  \lambda\cdot   w.

### Περίμετρος
Η περίμετρος \Pi του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με
:\Pi = 8\cdot  \lambda.

### Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Το κανονικό οκτάγωνο μπορεί να κατασκευαστεί από ένα τετράγωνο, ως εξής:
# Βρίσκουμε το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τετραγώνου ως την τομή των δύο διαγωνίων του.
# Βρίσκουμε τις μεσοκαθέτους δύο διαδοχικών πλευρών του. 
# Βρίσκουμε τις τομές τους με τον περιγεγραμμένο του κύκλου.
# Οι τέσσερις αυτές τομές και οι αρχικές κορυφές του τετραγώνου, ορίζουν ένα κανονικό οκτάγωνο. 

Η παρακάτω κατασκευή δίνει μία πλήρη κατασκευή του κανονικού οκταγώνου με κανόνα και διαβήτη. 

thumb|center|350px|Η κατασκευή ενός κανονικού δεκαγώνου με κανόνα και διαβήτη.

### Κατασκευή με δίπλωμα χαρτιού

### Κατασκευή με μπάρες meccano

### Καρτεσιανές συντεταγμένες
Οι Καρτεσιανές συντεταγμένες των κορυφών ενός κανονικού οκταγώνου το κέντρο του οποίου βρίσκεται στην αρχή των αξόνων και το οποίο έχει μήκος πλευράς 2, είναι:

* (\pm 1, \pm (1+\sqrt{2})) 
* (\pm(1+\sqrt{2}), \pm 1).

## Κανονικό αστεροειδές οκτάγωνο

Υπάρχει και ένα κανονικό αστεροειδές οκτάγωνο το οποίο προκύπτει από τις κορυφές ενός κυρτού κανονικού οκταγώνου και πλευρές μεταξύ κορυφών που απέχουν τρεις κορυφές στο αρχικό. 

Πιο συγκεκριμένα, το αστεροειδές οκτάγωνο που προκύπτει από το κυρτό κανονικό οκτάγωνο \rm AB\Gamma\Delta EZH\Theta είναι το \rm A\Delta HBE\Theta\Gamma Z και συμβολίζεται ως \{ 8/3 \}

## Εφαρμογές

### Μιγαδική ανάλυση
Οι όγδοες ρίζες της μονάδας είναι κορυφές ενός κανονικού οκταγώνου με κέντρο την αρχή των αξόνων. Πιο συγκεκριμένα, είναι οι λύσεις της μιγαδικής εξίσωσης z^8 = 1 που δίνονται από
:z_k = e^{2k\pi i/8} = \cos \frac{k\pi}{4} + i \sin \frac{k\pi}{4}\quad , για k = 0, 1, \ldots, 7.

### Χρήσεις στην καθημερινή ζωή

File:MUTCD_R1-1.svg|Το σήμα του STOP έχει οκταγωνικό περίγεγραμμα.
File:zont 8 ugolnik.jpg|Οι ομπρέλες έχουν συχνά οκταγωνικό περίγραμμα.
File:Afghancarpet1.jpg|Το περίφημο «κιλίμι της Μπουχάρα» περιλαμβάνει στο σχέδιό του ένα οκταγωνικό μοτίβο, το «πόδι του ελέφαντα».
File:Eixample.svg|Η ρυμοτομία του διαμερίσματος Eixample της Βαρκελώνης βασίζεται σε ακανόνιστα οκτάγωνα.
File:Janggipieces.jpg|Το Janggi χρησιμοποιεί οκταγωνικά κομμάτια.
File:Revolving lottery machine,kaitenshiki-cyusenki,japan.JPG|Οι ιαπωνικές μηχανές λοταρίας έχουν συχνά οκταγωνικό σχήμα.


## Σχετικά σχήματα

### Επιπεδομετρία


File:Regular octagon square el.svg|Το τετράπλευρο που σχηματίζεται από κάθε δεύτερη κορυφή ενός κανονικού οκταγώνου είναι ένα τετράγωνο.
File:Regular octagon isosceles dissection el.svg|Χωρισμός κανονικού οκταγώνου σε οκτώ ίσα ισοσκελή τρίγωνα.
File:Regular octagon isosceles trapezoids dissection el.svg|Χωρισμός κανονικού οκταγώνου σε δύο ισοσκελή τραπέζια και ένα ορθογώνιο.
File:Regular octagon rhombii dissection el.svg|Χωρισμός κανονικού οκταγώνου σε τέσσερις ίσους ρόμβους και δύο τετράγωνα.


### Στερεομετρία


File:Great dirhombicosidodecahedron vertfig.png|Το σχήμα που σχηματίζουν οι κορυφές του ομοιόμορφου πολυέδρου που ονομάζεται μέγα διρομβοεικοσιδωδεκάεδρο εμπεριέχεται σε ένα μη κανονικό οκτάπλευρο αστεροειδές πολύγωνο του οποίου 4 πλευρές περνούν από το κέντρο του.
File:Octagonal prism.png|Το οκταγωνικό πρίσμα περιλαμβάνει δύο οκτάγωνα.
File:Great rhombicuboctahedron.png|Το κόλουρο κυβοκτάεδρο περιλαμβάνει 6 οκτάγωνα.
File:Octagonal antiprism.png|Το οκταγωνικό αντιπρίσμα περιλαμβάνει δύο οκτάγωνα.


### Πλακοστρώσεις

File:Tiling Semiregular 4-8-8 Truncated Square.svg|Πλακόστρωση με οκτάγωνα και τετράγωνα.


### Πολύγωνα Πέτρι
Το κανονικό οκτάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι για τα παρακάτω 12 ομοιομορφικά πολύτοπα, που παρατίθενται σε ορθογώνιες προβολές σε επίπεδα Coxeter A7, B4 και D5:

## Περαιτέρω ανάγνωση
### Εξωτερικοί σύνδεσμοι

* 
* 
* Εγγραφή κανονικού οκταγώνου σε τετράγωνο στο φωτόδεντρο.
* Περιστροφική συμμετρία κανονικού οκταγώνου στο Geogebra.
* Κατασκευή κανονικού οκταγώνου στο Desmos.
* Κατασκευή κανονικού οκταγώνου στο Geogebra.

## Δείτε επίσης
* Οκτάγραμμα
* Οκταγωνικός αριθμός
* Τετράγωνο
* Δεκαεξάγωνο

## Σημειώσεις


## Παραπομπές


Κατηγορία:Πολύγωνα
Κατηγορία:Κατασκευές με κανόνα και διαβήτη