Κριτήρια σύγκλισης

Στα μαθηματικά, τα **κριτήρια σύγκλισης** είναι μέθοδοι για να ελέγξουμε τη σύγκλιση, τη σύγκλιση υπό συνθήκη, την απόλυτη σύγκλιση, το διάστημα σύγκλισης ή την απόκλιση μιας άπειρης σειράς \sum_{n=1}^\infty a_n.

## Κατάλογος κριτηρίων

### Όριο αθροίσματος
Αν το όριο του αθροίσματος είναι απροσδιόριστο ή μη μηδενικό, δηλαδή \lim_{n \to \infty}a_n \ne 0, τότε η σειρά αποκλίνει. Με αυτή την έννοια, τα επιμέρους αθροίσματα είναι Κωσύ αν και μόνο αν υπάρχει αυτό το όριο και είναι ίσο με μηδέν. Το τεστ είναι ασαφές εάν το όριο του αθροίσματος είναι μηδέν.

### Κριτήριο λόγου
Αυτό είναι επίσης γνωστό ως **κριτήριο του [[Ζαν λε Ρον Ντ'Αλαμπέρ|Ντ'Αλαμπέρ]]**.

: Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει r τέτοιο ώστε
:: \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = r.
: Αν *r*  1, τότε η σειρά αποκλίνει. Αν *r* = 1, το κριτήριο λόγου δεν μπορεί να αποφανθεί και η σειρά μπορεί να συγκλίνει ή να αποκλίνει.

### Κριτήριο ρίζας
Αυτό είναι επίσης γνωστό ως **κριτήριο του [[Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ|Κωσύ]]**.

: Έστω
:: r=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n], όπου για τον ορισμό του΄\limsup  δες   (μπορεί να είναι και \infty. Αν υπάρχει το όριο, είναι η ίδια τιμή).
: Αν *r*  1, τότε η σειρά αποκλίνει. Αν *r* = 1, το κριτήριο ρίζας δεν μπορεί να αποφανθεί και η σειρά μπορεί να συγκλίνει ή να αποκλίνει.

Το κριτήριο ρίζας είναι ισχυρότερο από το κριτήριο λόγου: όταν το κριτήριο λόγου καθορίζει τη σύγκλιση ή την απόκλιση μιας άπειρης σειράς, το κριτήριο ρίζας το κάνει επίσης, αλλά όχι το αντίστροφο.

### Κριτήριο ολοκληρώματος
Η σειρά μπορεί να συγκριθεί με ένα ολοκλήρωμα για να καθορίσουμε αν συγκλίνει ή αποκλίνει. Έστω f:[1,\infty)\to\R_+ μια μη-αρνητική και μονότονα φθίνουσα συνάρτηση τέτοια ώστε f(n) = a_n. Αν\int_1^\infty f(x) \, dx=\lim_{t\to\infty}\int_1^t f(x) \, dxτότε η σειρά συγκλίνει. Αλλά αν το ολοκλήρωμα αποκλίνει, τότε και η σειρά αποκλίνει. Με άλλα λόγια, η σειρά {a_n} συγκλίνει αν και μόνο αν το ολοκλήρωμα συγκλίνει.

### Κριτήριο σύγκρισης σειρών
Αν η σειρά \sum_{n=1}^\infty b_n συγκλίνει απολύτως και |a_n|\le |b_n| για κάθε  n>n_0, τότε η σειρά \sum_{n=1}^\infty a_n συγκλίνει απολύτως.

### Κριτήριο οριακής σύγκρισης
Αν \{a_n\},\{b_n\}>0, (δηλαδή κάθε στοιχείο των δύο ακολουθιών είναι θετικό) και το όριο \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} υπάρχει, είναι πεπερασμένο και μη-μηδενικό, τότε είτε συγκλίνουν και οι δύο σειρές είτε αποκλίνουν.

### Κριτήριο συμπύκνωσης του Κωσύ
Έστω \left \{ a_n \right \} μια μη-αρνητική και φθίνουσα ακολουθία. Τότε, η σειρά A = \sum_{n=1}^\infty a_n συγκλίνει αν και μόνο αν η σειρά A^* = \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n} συγκλίνει. Επιπλέον, αν οι δύο αυτές σειρές συγκλίνουν, τότε ισχύει ότι A \leq A^* \leq 2A.

### Κριτήριο του [[Νιλς Χένρικ Άμπελ|Άμπελ]]
Έστω ότι οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς:

# Η \sum a_n  είναι μια συγκλίνουσα σειρά,
# Η \left\{b_n\right\} είναι μια μονότονη ακολουθία και
# Η \left\{b_n\right\} είναι φραγμένη.

Τότε, η σειρά \sum a_nb_n  είναι επίσης συγκλίνουσα.

### Κριτήριο απόλυτης σύγκλισης
Κάθε σειρά που συγκλίνει απολύτως, συγκλίνει και απλά.

### Κριτήριο εναλλασσόμενης σειράς
Έστω ότι οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς:

* Τα  a_n  είναι όλα θετικά,
*  \lim_{n \to \infty} a_n = 0  και
* για κάθε *n*,  a_{n+1} \le a_n  (δηλαδή είναι φθίνουσα).

Τότε, οι σειρές  \sum_{n = 1}^\infty (-1)^{n} a_n  και  \sum_{n = 1}^\infty (-1)^{n+1} a_n  συγκλίνουν. Αυτό το κριτήριο είναι επίσης γνωστό ως **κριτήριο του [[Λάιμπνιτς]]**.

### Κριτήριο του [[Πέτερ Γκούσταφ Λεζέν Ντίριχλετ|Ντίριχλετ]]
Αν \{a_n\} είναι μια ακολουθία πραγματικών αριθμών και \{b_n\} μια ακολουθία μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τα ακόλουθα:

:* a_n \geq a_{n+1},

:* \lim_{n \rightarrow \infty}a_n = 0 και

:* \left|\sum^{N}_{n=1}b_n\right|\leq M για κάθε θετικό ακέραιο *N*,

όπου το *M* είναι κάποια σταθερά, τότε η σειρά

: \sum^{\infty}_{n=1}a_n b_n

συγκλίνει.

### Κριτήριο σύγκλισης Κωσύ
Μια σειρά \sum_{i=0}^\infty a_i είναι συγκλίνουσα αν και μόνο αν για κάθε \varepsilon>0 υπάρχει ένας φυσικός αριθμός N τέτοιος ώστε

: |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{n+p}|

για κάθε  και .

### Θεώρημα Stolz–Cesàro
Έστω (a_n)_{n \geq 1} και (b_n)_{n \geq 1} δύο ακολουθίες πραγματικών αριθμών. Υποθέτουμε ότι (b_n)_{n \geq 1} είναι μια γνησίως μονότονη και αποκλίνουσα ακολουθία και ότι υπάρχει το ακόλουθο όριο:

:  \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=l.\ 

Τότε, το όριο

:  \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=l.\ 

### Κριτήριο του [[Βάιερστρας]]
Ας υποθέσουμε ότι η (*f**n*) είναι μια ακολουθία πραγματικών ή μιγαδικών συναρτήσεων που ορίζονται σε ένα σύνολο *A* και ότι υπάρχει μια ακολουθία μη-αρνητικών αριθμών (*M**n*) που ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες:

* |f_n(x)|\leq M_n για κάθε n \geq 1 και x \in A, και
* Η σειρά \sum_{n=1}^{\infty} M_n  συγκλίνει.

Τότε, η σειρά

: \sum_{n=1}^{\infty} f_n (x)

συγκλίνει απολύτως και ομοιόμορφα στο *Α*.

### Επεκτάσεις στο κριτήριο λόγου
Το κριτήριο λόγου μπορεί να είναι ασαφές όταν το όριο του λόγου είναι 1. Ωστόσο, οι επεκτάσεις στο κριτήριο λόγου μάς επιτρέπουν μερικές φορές να αντιμετωπίσουμε αυτή την περίπτωση.

#### Κριτήριο του Raabe–Duhamel
Έστω {*a**n*} μια ακολουθία θετικών αριθμών.

Ορίζουμε

: b_n=n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1 \right).

Αν

: L=\lim_{n\to\infty}b_n

υπάρχουν τρεις πιθανότητες:

* αν *L* > 1, η σειρά συγκλίνει (αυτό περιλαμβάνει την περίπτωση *L* = ∞)
* αν *L* *n*} μια ακολουθία θετικών αριθμών. Αν \frac{a_n}{a_{n + 1}} = 1+ \frac{\alpha}{n} + O(1/n^\beta) για κάποιο β > 1, τότε η σειρά  \sum a_n συγκλίνει αν  και αποκλίνει αν .

#### Κριτήριο του Κούμερ
Έστω {*a**n*} μια ακολουθία θετικών αριθμών. Τότε:

(1) Η σειρά  \sum a_n συγκλίνει αν και μόνο αν υπάρχει ακολουθία b_{n} θετικών αριθμών τέτοια ώστε b_k (a_{k}/a_{k+1}) - b_{k+1} \ge c, με .

(2) Η σειρά  \sum a_n αποκλίνει αν και μόνο αν η σειρά  \sum 1/b_{n} αποκλίνει και υπάρχει ακολουθία b_{n} θετικών αριθμών τέτοια ώστε b_k (a_{k}/a_{k+1}) - b_{k+1} \le 0.

## Παράδειγμα
Έστω η σειράΤο κριτήριο συμπύκνωσης του Κωσύ υποδηλώνει ότι η (i) είναι συγκλίνουσα, αν η σειράείναι συγκλίνουσα. Αφού

: \sum_{n=1}^\infty 2^n \left( \frac 1 {2^n} \right)^\alpha = \sum_{n=1}^\infty 2^{n-n\alpha} = \sum_{n=1}^\infty 2^{(1-\alpha) n} 

η (ii) είναι μια γεωμετρική σειρά με λόγο  2^{(1-\alpha)} . Η (ii) είναι συγκλίνουσα αν ο λόγος της είναι μικρότερος από ένα (δηλαδή αν  Έτσι, η (i) είναι συγκλίνουσα αν και μόνο αν 

## Βιβλιογραφικές αναφορές


## Περαιτέρω ανάγνωση

* 
Κατηγορία:Σελίδες με μη επιθεωρημένες μεταφράσεις