Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής

Στην θεωρία αριθμών, το **θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής** είναι ένα από τα πιο σημαντικά θεωρήματα των μαθηματικών. Λέει ότι κάθε φυσικός αριθμός μεγαλύτερος της μονάδας αναλύεται σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κατά ένα και μοναδικό τρόπο, αν δεν λάβουμε υπόψιν μας την σειρά των παραγόντων στο γινόμενο.

Για παράδειγμα, το θεώρημα λέει ότι ο αριθμός 120 μπορεί να γραφτεί ως το γινόμενο 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 δηλαδή ως το γινόμενο των πρώτων αριθμών 2, 3, 5, και επιπλέον η παραγοντοποίηση αυτή είναι μοναδική (αν θεωρήσουμε ίδιες τις μορφές 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5=2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = \ldots).

## Η απόδειξη του Ευκλείδη

## Παρατηρήσεις
Το λήμμα του Ευκλείδη είναι απαραίτητο για την απόδειξη της μοναδικότητας. Το λήμμα ισχύει στο δακτύλιο των ακεραίων αριθμών αλλά δεν ισχύει γενικά σε οποιοδήποτε δακτύλιο αριθμών. Η παρατήρηση αυτή έγινε από τον Γερμανό μαθηματικό Ερνστ Κούμερ το 1843.

Για παράδειγμα, θεωρούμε το σύνολο των φυσικών αριθμών της μορφής 4k + 1. Σε αυτό το σύνολο οι "πρώτοι αριθμοί" είναι αυτοί που δεν μπορούν να γραφτούν σαν το γινόμενο δύο άλλων αριθμών από το σύνολο. Για παράδειγμα, το 9 είναι "πρώτος" καθώς δεν μπορεί να γραφτεί σαν το γινόμενο δύο τέτοιων αριθμών, ενώ το 45, δεν είναι καθώς 45 = 9 \cdot 5 = (4 \cdot 2 + 1) \cdot (4 \cdot 1 + 1).

Σε αυτό το σύνολο το 441, μπορεί να γραφτεί με δύο τρόπους ως το γινόμενων δύο πρώτων παραγόντων, 441 = 21 \cdot 21 = 49 \cdot 9.

## Κανονική μορφή φυσικών αριθμών

Από το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής, αν ομαδοποιήσουμε τους πρώτους παράγοντες που είναι ίσοι, έχουμε ότι κάθε φυσικός αριθμός n μπορεί να γραφτεί ως 
:n = p_1^{a_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}, 
όπου a_1, \ldots, a_k > 0 και p_1  είναι πρώτοι αριθμοί. 

Για παράδειγμα, 
:120 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5
:1200 = 2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^2
:385 = 5^1 \cdot 7^1 \cdot 11^1.

Αν επιτρέψουμε τα a_i να είναι μηδέν, τότε μπορούμε να εκφράσουμε τον αριθμό n ως το γινόμενο των απείρων όρων 
:n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots, 
όπου p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5, \ldots είναι οι πρώτοι αριθμοί. 

### Δυαδικές πράξεις
Η αναπαράσταση αριθμών στην κανονική τους μορφή επιτρέπει τον εύκολο υπολογισμό διαφόρων δυαδικών πράξεων. Για παράδειγμα, αν A = \prod_{i = 1}^\infty p_i^{a_i} και B = \prod_{i = 1}^\infty p_i^{b_i}, τότε
* Ο πολλαπλασιασμός τους είναι ίσος με
::A \cdot B = \prod_{i = 1}^\infty p_i^{a_i + b_i}.
* Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο τους είναι ίσο με
::\gcd(A, B) = \prod_{i = 1}^\infty p_i^{\min(a_i, b_i)}.
* Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους είναι ίσος με
::\operatorname{lcm}(A, B) = \prod_{i = 1}^\infty p_i^{\max(a_i, b_i)}.

### Πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις
Η κανονική μορφή χρησιμεύει στον υπολογισμό διαφόρων πολλαπλασιαστικών συναρτήσεων. Για παράδειγμα, για την συνάρτηση  του Όιλερ ισχύει ότι 
:\varphi(n) = \varphi(p_1^{a_1}) \cdot \varphi(p_2^{a_2})\cdot \ldots \cdot \varphi(p_k^{a_k}).

### Πλήθος διαιρετών
Το πλήθος των διαιρετών ενός αριθμού δίνεται από το γινόμενο:
:(a_1 + 1) \cdot (a_2 + 1) \cdot \ldots \cdot (a_k + 1).

## Δείτε επίσης
* Λήμμα του Ευκλείδη
* Πρώτος αριθμός

## Παραπομπές


Κατηγορία:Πρώτοι αριθμοί
Κατηγορία:Θεωρία αριθμών