Θεώρημα Στιούαρτ

right|thumb|Τρίγωνο <math>\mathrm{AB\Gamma}</math> και <math>\mathrm{\Delta}</math> σημείο της <math>\mathrm{B\Gamma}</math>.
Στην γεωμετρία, το **θεώρημα Στιούαρτ** ή **σχέση Στιούαρτ** (αναφέρεται και ως **θεώρημα Stewart** ή **σχέση Stewart**) είναι μία σχέση για το μήκος ενός ευθυγράμμου τμήματος από την μία κορυφή ενός τριγώνου προς την απέναντι πλευρά. Πιο συγκεκριμένα, έστω ένα τρίγωνο \mathrm{AB\Gamma} και ένα σημείο \mathrm{\Delta} της \mathrm{B\Gamma}. Τότε,
:
  \mathrm{AB}^2 \cdot \mathrm{\Gamma\Delta} + \mathrm{A\Gamma}^2 \cdot \mathrm{B\Delta} = \mathrm{B\Gamma} \cdot (\mathrm{A\Delta}^2 + \mathrm{\Gamma\Delta} \cdot \mathrm{B\Delta})
.

Το θεώρημα Στιούαρτ είναι μία γενίκευση του πρώτου θεωρήματος διαμέσων και επιτρέπει τον υπολογισμό του μήκους των υψών, των διαμέσων και των διχοτόμων ενός τριγώνου. 

Η **γενικευμένη σχέση Στιούαρτ** δίνει ότι για κάθε σημείο \mathrm{\Delta} της ευθείας \mathrm{B\Gamma} (όχι μόνο για το ευθύγραμμο τμήμα), ισχύει ότι 
:
  \mathrm{AB}^2 \cdot \overline{\mathrm{\Delta\Gamma}}  + \mathrm{A\Delta}^2 \cdot \overline{\mathrm{\Gamma B}} + \mathrm{A\Gamma}^2 \cdot \overline{\mathrm{B\Delta}} + \overline{\mathrm{\Delta \Gamma}} \cdot \overline{\mathrm{\Gamma B}} \cdot \overline{\mathrm{B\Delta}} = 0
.

Το θεώρημα ονομάζεται έτσι προς τιμήν του μαθηματικού Μάθιου Στιούαρτ που δημοσίευσε τη σχέση το 1746.

## Απόδειξη

## Εφαρμογές

### Υπολογισμός διαμέσου

Για τον υπολογισμό του μήκους της διαμέσου, έχουμε ότι \mathrm{\Delta} είναι το μέσο της διαμέσου δηλαδή \mathrm{B\Delta} = \mathrm{\Gamma\Delta} = \tfrac{\mathrm{B\Gamma}}{2}. Επομένως, η σχέση Στιούαρτ δίνει ότι
:
\mathrm{AB}^2 \cdot \tfrac{\mathrm{B\Gamma}}{2} + \mathrm{A\Gamma}^2 \cdot \tfrac{\mathrm{B\Gamma}}{2} = \mathrm{B\Gamma} \cdot (\mathrm{A\Delta}^2 + \tfrac{\mathrm{B\Gamma}^2}{4}).

Απλοποιώντας, λαμβάνουμε ότι 
:
\tfrac{\mathrm{AB}^2}{2} + \tfrac{\mathrm{A\Gamma}^2}{2} = \mathrm{A\Delta}^2 + \tfrac{\mathrm{B\Gamma}^2}{4},

και τελικώς ότι
:
\mathrm{A\Delta}= \sqrt{-\tfrac{\mathrm{B\Gamma}^2}{4} + \tfrac{\mathrm{AB}^2}{2}+\tfrac{\mathrm{A\Gamma}^2}{2}}
.

### Υπολογισμός εσωτερικής διχοτόμου

Για τον υπολογισμό του μήκους της εσωτερικής διχοτόμου, θα χρησιμοποιήσουμε ότι \mathrm{B\Delta} = \tfrac{\alpha \gamma}{\beta + \gamma} και \mathrm{\Gamma\Delta} = \tfrac{\alpha \beta}{\beta + \gamma} από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου. Εφαρμόζοντας την σχέση Στιούαρτ, λαμβάνουμε ότι 
:
  \gamma^2 \cdot \tfrac{\alpha \beta}{\beta + \gamma} + \beta^2 \cdot \tfrac{\alpha \gamma}{\beta + \gamma} = \alpha \cdot \left(\mathrm{A\Delta}^2 + \tfrac{\alpha^2 \beta \gamma}{(\beta + \gamma)^2} \right)
.
Αναδιατάσσοντας, λαμβάνουμε ότι 
:
  \delta_A^2 = \mathrm{A\Delta}^2 = \beta \gamma \cdot \left( 1 - \frac{\alpha^2}{(\beta + \gamma)^2} \right).


### Υπολογισμός εξωτερικής διχοτόμου

Θεωρούμε ένα τρίγωνο που δεν είναι ισοσκελές. Για τον υπολογισμό του μήκους της εξωτερικής διχοτόμου, θα χρησιμοποιήσουμε ότι \mathrm{B\Delta} = \tfrac{\alpha \gamma}{\beta - \gamma} και \mathrm{\Gamma\Delta} = \tfrac{\alpha \beta}{\beta - \gamma} από το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου. Εφαρμόζοντας την γενικευμένη σχέση Στιούαρτ, λαμβάνουμε ότι 
:
  \gamma^2 \cdot \tfrac{\alpha \beta}{\beta - \gamma} - \mathrm{A\Delta}^2 \cdot \alpha + \beta^2 \cdot \tfrac{\alpha \gamma}{\beta + \gamma} + \alpha \cdot \tfrac{\alpha^2 \beta \gamma}{(\beta + \gamma)^2} = 0
.
Αναδιατάσσοντας και απλοπλοιώντας, λαμβάνουμε ότι 
:
  (\delta_A')^2 = \mathrm{A\Delta}^2 = \beta \gamma \cdot \left( \frac{\alpha^2}{(\beta - \gamma)^2} - 1 \right).


## Γενικεύσεις

Υπάρχουν διάφορες γενικεύσεις του θεωρήματος  και αναδρομές στην ιστορία του θεωρήματος και των παραλλαγών του.

## Περαιτέρω ανάγνωση

### Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* Διάφορες αποδείξεις για το θεώρημα και εφαρμογές στο art of problem solving.
* Απόδειξη με διανύσματα
* Διαδραστική εφαρμογή για το θεώρημα Στιούαρτ στο Geogebra

### Ελληνικά άρθρα
* 

### Ξενόγλωσσα άρθρα
* 
* 

## Δείτε επίσης
* Πρώτο θεώρημα διαμέσων
* Νόμος των συνημιτόνων

## Παραπομπές


Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία
Κατηγορία:Τρίγωνα
Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία