Συνάρτηση Βαϊνγκάρτεν

Στα μαθηματικά, οι **συναρτήσεις Βαϊνγκάρτεν** είναι ρητές συναρτήσεις που αναγράφονται από κατατμήσεις ακεραίων αριθμών, οι οποίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων των γινομένων των συντελεστών πινάκων πάνω σε κλασικές ομάδες. Μελετήθηκαν για πρώτη φορά από τον Βαϊνγκάρτεν (), ο οποίος βρήκε την ασυμπτωτική τους συμπεριφορά, και ονομάστηκαν από τον Κόλινς (), ο οποίος τις αξιολόγησε ρητά για την μοναδιαία ομάδα.

## Μοναδιαίες ομάδες

Οι συναρτήσεις Βαϊνγκάρτεν χρησιμοποιούνται για την αξιολόγηση ολοκληρωμάτων πάνω από την μοναδιαία ομάδα *U**d*  των γινομένων των συντελεστών των πινάκων της μορφής 

:\int_{U_d} U_{i_1j_1}\cdots U_{i_qj_q}U^*_{i^\prime_1j^\prime_1}\cdots U^*_{i^\prime_qj^\prime_q}dU,

όπου * δηλώνει τη μιγαδική συζυγία. Ας σημειωθεί ότι U^*_{ji}=(U^\dagger)_{ij} όπου U^\dagger είναι η συζυγής μεταφορά του U, οπότε μπορεί κανείς να ερμηνεύσει την παραπάνω έκφραση ως για το στοιχείο του i_1j_1\ldots i_qj_qj'_1i'_1\ldots j'_qi'_q πίνακα του U\otimes\cdots\otimes U\otimes U^\dagger\otimes\cdots\otimes U^\dagger.

Αυτό το ολοκλήρωμα ισούται με

:\sum_{\sigma,\tau\in S_q}\delta_{i_1i^\prime_{\sigma(1)}}\cdots\delta_{i_qi^\prime_{\sigma(q)}} \delta_{j_1j^\prime_{\tau(1)}}\cdots\delta_{j_qj^\prime_{\tau(q)}}W\!g(\sigma\tau^{-1},d)

όπου *Wg* είναι η συνάρτηση Βαϊνγκάρτεν, που δίνεται από τη σχέση
:
W\!g(\sigma,d) = \frac{1}{q!^2}\sum_{\lambda}\frac{\chi^\lambda(1)^2\chi^\lambda(\sigma)}{s_{\lambda,d}(1)}


όπου το άθροισμα αφορά όλα τα τμήματα λ του *q* Κόλινς (). Εδώ χλ είναι ο χαρακτήρας του *S**q*  που αντιστοιχεί στο διαμέρισμα &lambda; και *s* είναι το πολυώνυμο Schur του &lambda;, έτσι ώστε *s*&lambda;*d*(1)) είναι η διάσταση της αναπαράστασης του *U**d* που αντιστοιχεί στο λ.

Οι συναρτήσεις Βαϊνγκάρτεν είναι ρητές συναρτήσεις στο *d*. Μπορούν να έχουν πόλους για μικρές τιμές του *d*, οι οποίοι ακυρώνονται στον παραπάνω τύπο. Υπάρχει ένας εναλλακτικός μη ισοδύναμος ορισμός των συναρτήσεων Βαϊνγκάρτεν, όπου αθροίζουμε μόνο πάνω σε διαμερίσεις με το πολύ *d* μέρη. Αυτό δεν είναι πλέον μια ρητή συνάρτηση του *d*, αλλά είναι πεπερασμένη για όλους τους θετικούς ακέραιους *d*. Τα δύο είδη συναρτήσεων Βαϊνγκάρτεν συμπίπτουν για *d* μεγαλύτερο από *q*, και οποιοδήποτε από τα δύο μπορεί να χρησιμοποιηθεί στον τύπο για το ολοκλήρωμα.

### Τιμές της συνάρτησης Βαϊνγκάρτεν για απλές μεταθέσεις

Οι πρώτες συναρτήσεις Βαϊνγκάρτεν *Wg*(σ, *d*) είναι

:\displaystyle W\!g(,d) = 1 (Η τετριμμένη περίπτωση όπου&nbsp;*q*&nbsp;=&nbsp;0)
:\displaystyle W\!g(1,d) = \frac{1}{d}
:\displaystyle W\!g(2,d) = \frac{-1}{d(d^2-1)}
:\displaystyle W\!g(1^2,d) = \frac{1}{d^2-1}
:\displaystyle W\!g(3,d) = \frac{2}{d(d^2-1)(d^2-4)}
:\displaystyle W\!g(21,d) = \frac{-1}{(d^2-1)(d^2-4)}
:\displaystyle W\!g(1^3,d) = \frac{d^2-2}{d(d^2-1)(d^2-4)}
:\displaystyle W\!g(4,d) = \frac{-5}{d(d^2-1)(d^2-4)(d^2-9)} 
:\displaystyle W\!g(31,d) = \frac{2d^2-3}{d^2(d^2-1)(d^2-4)(d^2-9)} 
:\displaystyle W\!g(2^2,d) = \frac{d^2+6}{d^2(d^2-1)(d^2-4)(d^2-9)} 
:\displaystyle W\!g(21^2,d) = \frac{-1}{d(d^2-1)(d^2-9)} 
:\displaystyle W\!g(1^4,d) = \frac{d^4-8d^2+6}{d^2(d^2-1)(d^2-4)(d^2-9)} 

όπου οι μεταθέσεις σ συμβολίζονται με τα σχήματα των κύκλων τους.

Υπάρχουν προγράμματα άλγεβρας υπολογιστών για την παραγωγή αυτών των εκφράσεων.

### Ρητές εκφράσεις για τα ολοκληρώματα στις πρώτες περιπτώσεις

Οι ρητές εκφράσεις για τα ολοκληρώματα πολυωνύμων πρώτου και δεύτερου βαθμού, που προκύπτουν μέσω του παραπάνω τύπου, είναι :\int_{U_d} dU U_{ij} \bar U_{k\ell}
= \delta_{ik}\delta_{j\ell} \operatorname{Wg}(1,d)
= \frac{\delta_{ik}\delta_{j\ell}}{d}.

\int_{U_d} dU U_{ij} U_{k\ell} \bar U_{mn}
\bar U_{pq}= (\delta_{im}\delta_{jn} \delta_{kp}\delta_{\ell q} + \delta_{ip}\delta_{jq} \delta_{km}\delta_{\ell n} ) \operatorname{Wg}(1^2,d) +
(\delta_{im} \delta_{jq} \delta_{kp}\delta_{\ell n}
+ \delta_{ip} \delta_{jn} \delta_{km}\delta_{\ell q}) \operatorname{Wg}(2,d).

### Ασυμπτωτική συμπεριφορά

Για μεγάλα *d*, η συνάρτηση Βαϊνγκάρτεν *Wg* έχει την ασυμπτωτική συμπεριφορά

:W\!g(\sigma,d) = d^{-n-|\sigma|}\prod_i(-1)^{|C_i|-1}c_{|C_i|-1} +O(d^{-n-|\sigma|-2})

όπου η μετάθεση σ είναι ένα γινόμενο κύκλων μήκους *C**i*, και *c**n* = (2*n*)!/*n*!(*n*&nbsp;+&nbsp;1)! είναι ένας καταλανικός αριθμός, και |&sigma;| είναι ο μικρότερος αριθμός μεταθέσεων που το σ είναι γινόμενο. Υπάρχει μια διαγραμματική μέθοδος  για τον συστηματικό υπολογισμό των ολοκληρωμάτων επί της μοναδιαίας ομάδας ως δυναμοσειρά στο *1/d*.

## Ορθογώνιες και συμπλεκτικές ομάδες

Για ορθογώνιες και συμλεκτικές ομάδες οι συναρτήσεις Βαϊνγκάρτεν αξιολογήθηκαν από τους Κόλινς & Σνάντι (). Η θεωρία τους είναι παρόμοια με την περίπτωση της μοναδιαίας ομάδας. Παραμετροποιούνται από κατατμήσεις τέτοιες ώστε όλα τα μέρη να έχουν άρτιο μέγεθος.

## Δημοσιεύσεις

* 
* 
* 
*
*
*Golub G. H., van Loan C. F. (1996), *Matrix Computations* (Johns Hopkins University Press) §4.7&mdash;Toeplitz and Related Systems
* )
* 
* 
* 

## Δείτε επίσης

* Field Arithmetic
* Πραγματικό προβολικό επίπεδο
* Πραγματικός αριθμός 
* Αντιερμιτιανός πίνακας
* Μέγιστος κοινός διαιρέτης
* Ταυτοτικός πίνακας
* Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
* Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
* Διανυσματικός χώρος
* Παραμετρικές εξισώσεις
* Πολλαπλασιασμός πινάκων
* Ρητή συνάρτηση
* Ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές
* Αντιστρέψιμος πίνακας
* High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*Matrix calculator
* Matrix Analysis
* Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
* Exercises of Matrices and Linear Algebra
* Fourier Transforms: Approach to Scientific Principles
* Sampling Theory: Beyond Bandlimited Systems.
* Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
* Random Tensors..
* A First Course in Random Matrix Theory: for Physicists, Engineers and Data .....
* Lectures on the Combinatorics of Free Probability, Τόμος 13

## Παραπομπές

*
*
*

 

Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα 
Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Θεωρήματα της γραμμικής άλγεβρας 
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά) 
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων 
Κατηγορία:Μαθηματική φυσική