Ιδεώδες δεμάτιο

Στην αλγεβρική γεωμετρία και σε άλλους τομείς των μαθηματικών, ένα  **Ιδεώδες δεμάτιο** είναι το καθολικό ανάλογο ενός ιδεώδους σε ένα δακτύλιο. Τα ιδεώδη δεμάτια σε ένα γεωμετρικό αντικείμενο συνδέονται στενά με τους υποχώρους του.

## Ορισμός

Έστω *X* ένας τοπολογικός χώρος και *A* ένα δεμάτιο δακτυλίων στο *X*. (Με άλλα λόγια  είναι ένας δακτυλιωτός χώρος.). Ένα Ιδεώδες δεμάτιο *J* στο *A* είναι ένα υποαντικείμενο του *A* στην κατηγορία των δεματίων των *A*-προτύπων, δηλαδή ένα υποδεμάτιο του *A* που θεωρείται ως ένα δεμάτιο αβελιανών ομάδων έτσι ώστε 
: 
για όλα τα ανοιχτά υποσύνολα *U* του *X*. Με άλλα λόγια, το *J* είναι ένα δεμάτιο των *A*-υποπροτύπων (submodules) του *A*.

## Γενικές ιδιότητες

* Εάν  *f*:&nbsp;*A*&nbsp;→&nbsp;*B* είναι ομομορφισμός μεταξύ δύο δεμάτια δακτυλίων στον ίδιο χώρο *X*, ο πυρήνας του *f* είναι ένα ιδεώδες δεμάτιο στο *A*.
* Αντίστροφα, για κάθε ιδεώδες δεμάτιο *J* σε ένα δεμάτιο δακτυλίων *A*, υπάρχει μια φυσική δομή ενός δεματίου δακτυλίων στο πηλίκο δεματίου *A*/*J*. Ας σημειωθεί ότι η κανονική απεικόνιση
:: Γ(*U*, *A*)/Γ(*U*, *J*) → Γ(*U*, *A*/*J*)
: για ανοιχτά υποσύνολα *U* είναι ερριπτική, αλλά γενικά δεν είναι επιρριπτική. (Βλ. συνομολογία δεματίου.)

## Αλγεβρική γεωμετρία

Στο πλαίσιο των σχημάτων, η σημασία των ιδεωδών δεματίων έγκειται κυρίως στην αντιστοιχία μεταξύ κλειστών υποσχημάτων και οιονεί συνεκτικών ιδεωδών δεματίων. Ας θεωρήσουμε ένα σχήμα *X* και ένα οιονεί συνεκτικό ιδεώδες δεμάτιο *J* στο O*X*. Τότε, η υποστήριξη *Z* του O*X*/*J* είναι ένας κλειστός υποχώρος του *X*, και  είναι ένα σχήμα (και οι δύο ισχυρισμοί μπορούν να ελεγχθούν τοπικά). Ονομάζεται κλειστό υποσχήμα του *X* που ορίζεται από *J*. Αντίστροφα, έστω  μια κλειστή εμβάπτιση, δηλαδή ένας μορφισμός που είναι ομοιομορφισμός σε έναν κλειστό υποχώρο έτσι ώστε η σχετική απεικόνιση
: 
είναι επιρριπτική στο στάχυ. Τότε, ο πυρήνας *J* του  είναι ένα σχεδόν συνεκτικό ιδεώδες δεμάτιο, και το *i* προκαλεί έναν ισομορφισμό από το *Z* στο κλειστό υποσχέδιο που ορίζεται από το *J*.

Μια ιδιαίτερη περίπτωση αυτής της αντιστοιχίας είναι το μοναδικό ελαττωμένο υποσχήμα *X*red του *X* που έχει τον ίδιο υποκείμενο χώρο, το οποίο ορίζεται από το μηδενοριζικό του O*X* (ορίζεται με βάση το στέλεχος ή σε ανοιχτά αφινικά διαγράμματα).

Για έναν μορφισμό  και ένα κλειστό υποσχήμα *Y′ ⊆ Y* που ορίζεται από ένα Ιδεώδες δεμάτιο *J*, η προ-εικόνα  ορίζεται από το Ιδεώδες δεμάτιο
: *f**(*J*)O*X* = im(*f***J* → O*X*).

το νηµατικό γινόµενο  ενός Ιδεώδους δεματίου *J* στο υποσχήμα *Z* που ορίζεται από το *J* περιέχει σημαντικές πληροφορίες και ονομάζεται συνκανονική δέσμη του *Z*. Παραδείγματος χάριν, το δεμάτιο των διαφορικών Κέλερ μπορεί να οριστεί ως το νηµατικό γινόμενο του ιδεώδους δεματίου που ορίζει τη διαγώνιο  στο *X*. (Για λόγους απλότητας, ας υποθέσουμε ότι το *X* είναι διαχωρισμένο έτσι ώστε η διαγώνιος να είναι κλειστή εμβάπτιση.)

## Αναλυτική γεωμετρία

Στη θεωρία των μιγαδικών-αναλυτικών χώρων, το θεώρημα Οκά-Καρτάν αναφέρει ότι ένα κλειστό υποσύνολο *A*  ενός μιγαδικού χώρου είναι αναλυτικό αν και μόνο αν το Ιδεώδες δεμάτιο των συναρτήσεων που εκμηδενίζονται στο *A* είναι συνεκτικό. Αυτό το Ιδεώδες δεμάτιο δίνει επίσης στο Α τη δομή ενός ελαττωμένου κλειστού μιγαδικού υποχώρου.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007/bf02684778. MR 0217083.
*
* Perspective. Information and Computation, 204 (2006) 637-678].

*
*Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
* star-autonomous category at the nLab
* 
* *This article is based in part on [http://www.planetmath.org PlanetMath]'s [http://planetmath.org/encyclopedia/TerminalObjectsAndZeroObjectsExamplesOfInitialObjects.html article on examples of initial and terminal objects] .*
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Γενική τοπολογία
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα