Γινόμενο Κωσύ

Στα μαθηματικά, και πιο συγκεκριμένα στη μαθηματική ανάλυση, το **γινόμενο Κωσύ** είναι η διακριτή συνέλιξη δύο άπειρων σειρών. Πήρε το όνομά του από τον Γάλλο μαθηματικό Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ.

## Ορισμοί

Το γινόμενο Κωσύ μπορεί να εφαρμοστεί σε άπειρες σειρές ή δυναμοσειρές.Όταν εφαρμόζεται σε πεπερασμένες ακολουθίες ή πεπερασμένες σειρές, αυτό μπορεί να θεωρηθεί απλώς ως μια ειδική περίπτωση ενός γινομένου σειρών με πεπερασμένο αριθμό μη μηδενικών συντελεστών (βλ. διακριτή συνέλιξη).

Τα ζητήματα σύγκλισης εξετάζονται στην επόμενη ενότητα.

### Γινόμενο Κωσύ δύο άπειρων σειρών

Έστω  \sum_{i=0}^\infty a_i και  \sum_{j=0}^\infty b_j δύο άπειρες σειρές με σύνθετους όρους. Το γινόμενο Κωσύ αυτών των δύο άπειρων σειρών ορίζεται από μια διακριτή συνέλιξη ως εξής:

:\left(\sum_{i=0}^\infty a_i\right) \cdot \left(\sum_{j=0}^\infty b_j\right) = \sum_{k=0}^\infty c_k &nbsp; &nbsp; όπου &nbsp; &nbsp; c_k=\sum_{l=0}^k a_l b_{k-l}.

### Γινόμενο Κωσύ δύο δυναμοσειρών

Θεωρήστε τις ακόλουθες δύο δυναμοσειρές

:\sum_{i=0}^\infty a_i x^i &nbsp; &nbsp; και &nbsp; &nbsp; \sum_{j=0}^\infty b_j x^j

με μιγαδικούς συντελεστές \{a_i\} και \{b_j\}. Το γινόμενο Κωσύ αυτών των δύο δυναμοσειρών ορίζεται από μια διακριτή συνέλιξη ως εξής:

:\left(\sum_{i=0}^\infty a_i x^i\right) \cdot \left(\sum_{j=0}^\infty b_j x^j\right) = \sum_{k=0}^\infty c_k x^k &nbsp; &nbsp; όπου &nbsp; &nbsp; c_k=\sum_{l=0}^k a_l b_{k-l}.

## Σύγκλιση και θεώρημα Μέρτενς

Έστω  και  πραγματικές ή μιγαδικές ακολουθίες. αποδείχθηκε από τον Φραντς Μέρτενς ότι, αν οι σειρές  \sum_{n=0}^\infty a_n συγκλίνουν στο  και  \sum_{n=0}^\infty b_n συγκλίνουν στο , και τουλάχιστον μία από αυτές συγκλίνει απόλυτα, τότε το γινόμενο Κωσύ τους συγκλίνει στο . Το θεώρημα εξακολουθεί να ισχύει σε μια άλγεβρα Μπάναχ (βλέπε πρώτη γραμμή της ακόλουθης απόδειξης). 

Δεν αρκεί και οι δύο σειρές να είναι συγκλίνουσες- αν και οι δύο σειρές είναι υπό συνθήκη συγκλίνουσες, το γινόμενο Κωσύ δεν χρειάζεται να συγκλίνει προς το γινόμενο των δύο σειρών, όπως δείχνει το ακόλουθο παράδειγμα:

### Παράδειγμα
Εξετάστε τις δύο εναλλασσόμενες σειρές με

a_n = b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\,,

οι οποίες συγκλίνουν μόνο υπό όρους (η απόκλιση της σειράς των απόλυτων τιμών προκύπτει από το τεστ άμεσης σύγκρισης και την απόκλιση της αρμονικής σειράς). Οι όροι του γινομένου Κωσύ τους δίνονται ως εξής

c_n = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} \cdot \frac{ (-1)^{n-k} }{ \sqrt{n-k+1} } = (-1)^n \sum_{k=0}^n \frac{1}{ \sqrt{(k+1)(n-k+1)} }

για κάθε ακέραιο . Αφού για κάθε  έχουμε τις ανισότητες  και , προκύπτει για την τετραγωνική ρίζα στον παρονομαστή ότι , επομένως, επειδή υπάρχουν  αθροίσματα,

|c_n| \ge \sum_{k=0}^n \frac{1}{n+1} = 1

για κάθε ακέραιο . Επομένως, το  δεν συγκλίνει στο μηδέν καθώς  επομένως η σειρά του  αποκλίνει με τον όρο test.

### Απόδειξη του θεωρήματος Μέρτενς

Για απλοποίηση, θα το αποδείξουμε για μιγαδικούς αριθμούς. Ωστόσο, η απόδειξη που πρόκειται να δώσουμε είναι τυπικά πανομοιότυπη για μια αυθαίρετη άλγεβρα Μπάναχ (δεν απαιτείται καν αντιμεταθετικότητα ή συσχετιστικότητα). 

Υποθέστε χωρίς απώλεια γενικότητας ότι η σειρά  \sum_{n=0}^\infty a_n συγκλίνει απόλυτα. Ορίζουμε τα μερικά αθροίσματα 

A_n = \sum_{i=0}^n a_i,\quad B_n = \sum_{i=0}^n b_i\quad\text{and}\quad C_n = \sum_{i=0}^n c_i

με
c_i=\sum_{k=0}^ia_kb_{i-k}\,.

τότε

C_n = \sum_{i=0}^n  a_{n-i}B_i

με αναδιάταξη, επομένως

Δεδομένου .  ότι το  \sum_{k \in \N} |a_k|  συγκλίνει απόλυτα και ότι το  συγκλίνει στο   καθώς το  υπάρχει ένας ακέραιος  τέτοιος ώστε, για όλους τους ακέραιους ,

(αυτό είναι το μόνο σημείο όπου χρησιμοποιείται η απόλυτη σύγκλιση). Εφόσον η σειρά του  συγκλίνει, το μεμονωμένο  πρέπει να συγκλίνει στο 0 με τον έλεγχο του όρου. Συνεπώς, υπάρχει ένας ακέραιος M τέτοιος ώστε, για όλους τους ακέραιους ,

Επίσης, δεδομένου ότι η  συγκλίνει στην  καθώς , υπάρχει ένας ακέραιος  τέτοιος ώστε, για όλους τους ακέραιους ,

Στη συνέχεια, για όλους τους ακέραιους , χρησιμοποιήστε την αναπαράσταση () για , χωρίστε το άθροισμα σε δύο μέρη, χρησιμοποιήστε την τριγωνική ανισότητα για την απόλυτη τιμή, και τέλος χρησιμοποιήστε τις τρεις εκτιμήσεις (), () και () για να δείξετε ότι

\begin{align}
|C_n - AB| &= \biggl|(A_n-A)B+\sum_{i=0}^n a_{n-i}(B_i-B)\biggr| \\
 &\le {}\underbrace_{\le\,\varepsilon/3\text{ by (4)}}+\sum_{i=0}^{N-1}\underbrace_{\le\,\varepsilon/3\text{ by (3)}}+{}\underbrace{\sum_{i=N}^n |a_{n-i}|\,|B_i-B|}_{\le\,\varepsilon/3\text{ by (2)}}\le\varepsilon\,. 
\end{align}

Σύμφωνα με τον ορισμό της συγκλίνουσας σειράς,  όπως απαιτείται.

## Θεώρημα του Σεζάρο

Σε περιπτώσεις όπου οι δύο ακολουθίες είναι συγκλίνουσες αλλά όχι απόλυτα συγκλίνουσες, το γινόμενο Κωσύ εξακολουθεί να είναι αθροιστικό του Σεζάρο: Ειδικότερα:

Αν  (a_n)_{n \geq 0},  (b_n)_{n \geq 0} είναι πραγματικές ακολουθίες με  \sum a_n\to A and  \sum b_n\to B τότε

\frac{1}{N}\left(\sum_{n=1}^N\sum_{i=1}^n\sum_{k=0}^i a_k b_{i-k}\right)\to AB.

Αυτό μπορεί να γενικευτεί στην περίπτωση που οι δύο ακολουθίες δεν είναι συγκλίνουσες αλλά απλώς αθροιστικές του Σεζάρο:

### Θεώρημα

Για  r>-1 και  s>-1, ας υποθέσουμε ότι η ακολουθία  (a_n)_{n \geq 0} είναι  (C,\, r) αθροιζόμενη με άθροισμα *A* και  (a_n)_{n \geq 0}  είναι  (C,\; s) αθροιζόμενη με άθροισμα *B*. Τότε το γινόμενό τους Κωσύ είναι  (C,\; r+s+1) αθροιζόμενο με άθροισμα *AB*.

## Παραδείγματα

* Για ορισμένα  x,y \in \Reals, let  a_n = x^n/n! και  b_n = y^n/n!. Τότε 

 c_n = \sum_{i=0}^n\frac{x^i}{i!}\frac{y^{n-i}}{(n-i)!} = \frac{1}{n!} \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} x^i y^{n-i} = \frac{(x+y)^n}{n!}από τον ορισμό και τον διωνυμικό τύπο. Δεδομένου ότι, τυπικά  \exp(x) = \sum a_n και  \exp(y) = \sum b_n δείξαμε ότι  \exp(x+y) = \sum c_n. Δεδομένου ότι το όριο του γινομένου Κωσύ δύο απολύτως συγκλίνουσας σειράς είναι ίσο με το γινόμενο των ορίων αυτών των σειρών, έχουμε αποδείξει τον τύπο  \exp(x+y) = \exp(x)\exp(y) for all  x,y \in \Reals.
* Ως δεύτερο παράδειγμα,  έστω  a_n = b_n = 1 για όλα τα  n \in \N. Τότε  c_n = n+1 για όλα τα n \in \N οπότε το γινόμενο Κωσύ  \sum c_n = (1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots) δεν συγκλίνει.

## Γενικεύσεις

Όλα τα παραπάνω ισχύουν για ακολουθίες στο  \Complex (μιγαδικοί αριθμοί).  Το **γινόμενο Κωσύ** μπορεί να οριστεί για σειρές στους χώρους  \R^n (Ευκλείδειοι χώροι) όπου ο πολλαπλασιασμός είναι το εσωτερικό γινόμενο.  Σε αυτή την περίπτωση, έχουμε το αποτέλεσμα ότι αν δύο σειρές συγκλίνουν απόλυτα, τότε το γινόμενο Κωσύ τους συγκλίνει απόλυτα στο εσωτερικό γινόμενο των ορίων.

### Γινόµενο πεπερασµένου αριθµού άπειρων σειρών

Έστω n \in \N τέτοιο ώστε n \ge 2 (στην πραγματικότητα τα παρακάτω ισχύουν και για n=1 αλλά η δήλωση γίνεται τετριμμένη σε αυτή την περίπτωση) και έστω \sum_{k_1 = 0}^\infty a_{1, k_1}, \ldots, \sum_{k_n = 0}^\infty a_{n, k_n} άπειρες σειρές με μιγαδικούς συντελεστές, από τις οποίες όλες εκτός από την nth συγκλίνουν απόλυτα, και η nth συγκλίνει. Τότε το όριο

\lim_{N\to\infty}\sum_{k_1+\ldots+k_n\leq N} a_{1,k_1}\cdots a_{n,k_n}

υπάρχει και έχουμε:

\prod_{j=1}^n \left( \sum_{k_j = 0}^\infty a_{j, k_j} \right)=\lim_{N\to\infty}\sum_{k_1+\ldots+k_n\leq N} a_{1,k_1}\cdots a_{n,k_n}

### Απόδειξη
Επειδή

\forall N\in\mathbb N:\sum_{k_1+\ldots+k_n\leq N}a_{1,k_1}\cdots a_{n,k_n}=\sum_{k_1 = 0}^N \sum_{k_2 = 0}^{k_1} \cdots \sum_{k_n = 0}^{k_{n-1}}a_{1, k_n} a_{2, k_{n-1} - k_n} \cdots a_{n, k_1 - k_2}

η δήλωση μπορεί να αποδειχθεί με επαγωγή επί του n: Η περίπτωση για n = 2 είναι πανομοιότυπη με τον ισχυρισμό για το γινόμενο Κωσύ. Αυτή είναι η επαγωγική μας βάση.

Το βήμα επαγωγής έχει ως εξής: Έστω ότι ο ισχυρισμός είναι αληθής για ένα n \in \N τέτοιο ώστεn \ge 2, και έστω \sum_{k_1 = 0}^\infty a_{1, k_1}, \ldots, \sum_{k_{n+1} = 0}^\infty a_{n+1, k_{n+1}}  να είναι άπειρες σειρές με μιγαδικούς συντελεστές, από τις οποίες όλες εκτός από την n+1-th συγκλίνουν απόλυτα και η n+1-οστή συγκλίνει. Εφαρμόζουμε πρώτα την υπόθεση επαγωγής στη σειρά \sum_{k_1 = 0}^\infty |a_{1, k_1}|, \ldots, \sum_{k_n = 0}^\infty |a_{n, k_n}|. Λαμβάνουμε ότι η σειρά

\sum_{k_1 = 0}^\infty \sum_{k_2 = 0}^{k_1} \cdots \sum_{k_n = 0}^{k_{n-1}} |a_{1, k_n} a_{2, k_{n-1} - k_n} \cdots a_{n, k_1 - k_2}|

συγκλίνει, και επομένως, σύμφωνα με την τριγωνική ανισότητα και το κριτήριο του σάντουιτς, η σειρά

\sum_{k_1 = 0}^\infty \left| \sum_{k_2 = 0}^{k_1} \cdots \sum_{k_n = 0}^{k_{n-1}} a_{1, k_n} a_{2, k_{n-1} - k_n} \cdots a_{n, k_1 - k_2} \right|

συγκλίνει, και ως εκ τούτου η σειρά

\sum_{k_1 = 0}^\infty \sum_{k_2 = 0}^{k_1} \cdots \sum_{k_n = 0}^{k_{n-1}} a_{1, k_n} a_{2, k_{n-1} - k_n} \cdots a_{n, k_1 - k_2}

συγκλίνει απόλυτα. Επομένως, με την υπόθεση της επαγωγής, με αυτό που απέδειξε ο Mertens και με τη μετονομασία των μεταβλητών, έχουμε:

\begin{align}
\prod_{j=1}^{n+1} \left( \sum_{k_j = 0}^\infty a_{j, k_j} \right) & = \left( \sum_{k_{n+1} = 0}^\infty \overbrace{a_{n+1, k_{n+1}}}^{=:a_{k_{n+1}}} \right) \left( \sum_{k_1 = 0}^\infty \overbrace{\sum_{k_2 = 0}^{k_1} \cdots \sum_{k_n = 0}^{k_{n-1}} a_{1, k_n} a_{2, k_{n-1} - k_n} \cdots a_{n, k_1 - k_2}}^{=:b_{k_1}} \right) \\

& =  \left( \sum_{k_1 = 0}^\infty \overbrace{\sum_{k_2 = 0}^{k_1} \sum_{k_3 = 0}^{k_2} \cdots \sum_{k_n = 0}^{k_{n-1}} a_{1, k_n} a_{2, k_{n-1} - k_n} \cdots a_{n, k_1 - k_2}}^{=:a_{k_1}} \right) \left ( \sum_{k_{n+1} = 0}^\infty \overbrace{a_{n+1, k_{n+1}}}^{=:b_{k_{n+1}}} \right)  \\

& =  \left( \sum_{k_1 = 0}^\infty \overbrace{\sum_{k_3 = 0}^{k_1} \sum_{k_4 = 0}^{k_3} \cdots \sum_{k_n+1 = 0}^{k_{n}} a_{1, k_{n+1}} a_{2, k_{n} - k_{n+1}} \cdots a_{n, k_1 - k_3}}^{=:a_{k_1}} \right) \left ( \sum_{k_{2} = 0}^\infty \overbrace{a_{n+1, k_{2}}}^{=:b_{n+1,k_{2}}=:b_{k_{2}}} \right)  \\

& =  \left( \sum_{k_1 = 0}^\infty a_{k_1} \right) \left ( \sum_{k_{2} = 0}^\infty b_{k_2} \right)  \\

& =  \left( \sum_{k_1 = 0}^\infty \sum_{k_{2} = 0}^{k_1} a_{k_2}b_{k_1 - k_2} \right)  \\

& =  \left( \sum_{k_1 = 0}^\infty \sum_{k_{2} = 0}^{k_1} \left ( \overbrace{\sum_{k_3 = 0}^{k_2} \cdots \sum_{k_n+1 = 0}^{k_{n}} a_{1, k_{n+1}} a_{2, k_{n} - k_{n+1}} \cdots a_{n, k_2 - k_3}}^{=:a_{k_2}} \right) \left ( \overbrace{a_{n+1, k_1 - k_2}}^{=:b_{k_1 - k_2}}  \right) \right)  \\

& =  \left( \sum_{k_1 = 0}^\infty \sum_{k_{2} = 0}^{k_1}  \overbrace{\sum_{k_3 = 0}^{k_2} \cdots \sum_{k_n+1 = 0}^{k_{n}} a_{1, k_{n+1}} a_{2, k_{n} - k_{n+1}} \cdots a_{n, k_2 - k_3}}^{=:a_{k_2}} \overbrace{a_{n+1, k_1 - k_2}}^{=:b_{k_1 - k_2}}   \right)  \\

& = \sum_{k_1 = 0}^\infty \sum_{k_2 = 0}^{k_1} a_{n+1, k_1 - k_2} \sum_{k_3 = 0}^{k_2} \cdots \sum_{k_{n+1} = 0}^{k_n} a_{1, k_{n+1}} a_{2, k_n - k_{n+1}} \cdots a_{n, k_2 - k_3}
\end{align}

Επομένως, ο τύπος ισχύει και για το n+1.

## Σχέση με τη συνέλιξη συναρτήσεων

Μια πεπερασμένη ακολουθία μπορεί να θεωρηθεί ως μια άπειρη ακολουθία με μόνο πεπερασμένους μη μηδενικούς όρους, ή με άλλα λόγια ως μια συνάρτηση f: \N \to \Complex με πεπερασμένη υποστήριξη. Για οποιεσδήποτε μιγαδικής αξίας συναρτήσεις *f*, *g* στο \N με πεπερασμένη υποστήριξη, μπορούμε να πάρουμε τη συνέλιξή τους:

(f * g)(n) = \sum_{i + j = n} f(i) g(j).

Τότε \sum (f *g)(n) είναι το ίδιο πράγμα με το γινόμενο Κωσύ του \sum f(n) και \sum g(n).

Γενικότερα, δεδομένου ενός μονοειδούς *S*, μπορεί κανείς να σχηματίσει την άλγεβρα ημι-ομάδων \Complex[S] του *S*, με τον πολλαπλασιασμό να δίνεται από τη συνέλιξη. Αν πάρουμε, επί παραδείγματι, S = \N^d, τότε ο πολλαπλασιασμός στο \Complex[S] είναι μια γενίκευση του γινομένου Κωσύ σε υψηλότερη διάσταση.

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Συγκλίνουσα σειρά
* Κανονική κατανομή
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Διαφορική γεωμετρία
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Θεωρία αναπαραστάσεων
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Ένα προς ένα
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Προβολικός χώρος
* Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Μιγαδικός αριθμός
* Τυχαία μεταβλητή
* Ακέραιος αριθμός

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*.

*.

*.

*.

*.

*.

*.

*.

*.

*.

*.

*.

*.
* 
* 
* Stevens, S. S. (1951). Mathematics, measurement and psychophysics. In S. S. Stevens (Ed.), *Handbook of experimental psychology * (pp.&nbsp;1–49). New York: Wiley.
*
* Ch. 1–6 of 2013 edition

Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Μιγαδική ανάλυση
Κατηγορία:Στατιστικοί Έλεγχοι
Κατηγορία:Μέθοδοι επιστημονικής έρευνας
Κατηγορία:Εφαρμοσμένα μαθηματικά
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών
Κατηγορία:Επιστημονική μέθοδος
Κατηγορία:Μαθηματική ανάλυση
Κατηγορία:Θεωρία αριθμών