Θεώρημα πρωταρχικού στοιχείου

Στη θεωρία των σωμάτων, το **θεώρημα του πρωταρχικού στοιχείου**δηλώνει ότι κάθε πεπερασμένη διαχωρίσιμη επέκταση σωμάτων είναι απλή, δηλαδή παράγεται από ένα μόνο στοιχείο. Αυτό το θεώρημα συνεπάγεται ειδικότερα ότι όλα τα αλγεβρικά αριθμητικά σώματα πάνω από τους ρητούς αριθμούς και όλες οι επεκτάσεις στις οποίες και τα δύο σώματα είναι πεπερασμένα, είναι απλά.

## Ορολογία

Έστω E/F μια *[[επέκταση σώματος]]*. Ένα στοιχείο \alpha\in E είναι ένα *πρωταρχικό στοιχείο* για το E/F αν E=F(\alpha), δηλαδή αν κάθε στοιχείο του E μπορεί να γραφεί ως ρητή συνάρτηση στο \alpha με συντελεστές στο F. Αν υπάρχει ένα τέτοιο πρωταρχικό στοιχείο, τότε η E/F αναφέρεται ως *απλή επέκταση*. 

Αν η επέκταση του σώματος E/F έχει πρωταρχικό στοιχείο \alpha και είναι πεπερασμένου βαθμού n = [E:F], τότε κάθε στοιχείο \gamma\in E μπορεί να γραφεί στη μορφή

:\gamma =a_0+a_1{\alpha}+\cdots+a_{n-1}{\alpha}^{n-1}, 

για μοναδικούς συντελεστές a_0,a_1,\ldots,a_{n-1}\in F. Δηλαδή, το σύνολο

:\{1,\alpha,\ldots,{\alpha}^{n-1}\}

είναι μια βάση για το *E* ως διανυσματικό χώρο πάνω στο *F*. Ο βαθμός *n* είναι ίσος με το βαθμό του ανάγωγου πολυωνύμου του *α* πάνω από το *F*, το μοναδικό μονοσήμαντο f(X)\in F[X]  ελάχιστου βαθμού με ρίζα το *α* (μια γραμμική εξάρτηση του \{1,\alpha,\ldots,\alpha^{n-1},\alpha^n\}   ).

Αν *L* είναι ένα σώμα διασπάσεως του f(X) που περιέχει τις *n* διακριτές ρίζες του \alpha_1,\ldots,\alpha_n , τότε υπάρχουν *n* ενσωματώσεις του σώματος \sigma_i : F(\alpha)\hookrightarrow L  που ορίζονται από \sigma_i(\alpha)=\alpha_i  και \sigma(a)=a  για a\in F , και αυτές επεκτείνονται σε αυτομορφισμούς του *L* στην ομάδα Γκαλουά, \sigma_1,\ldots,\sigma_n\in \mathrm{Gal}(L/F) . Πράγματι, για ένα σώμα επέκτασης με [E: F]=n , ένα στοιχείο \alpha είναι ένα πρωταρχικό στοιχείο αν και μόνο αν το \alpha έχει *n* διαφορετικές συζυγίες \sigma_1(\alpha),\ldots,\sigma_n(\alpha) σε κάποιο σώμα διασπάσεως L \supseteq E.

## Παράδειγμα

Αν στους ρητούς αριθμούς F = \mathbb{Q} προστεθούν οι δύο άρρητοι αριθμοί \sqrt{2} και \sqrt{3} για να πάρουμε το σώμα επέκτασης E=\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) βαθμού 4, μπορεί κανείς να δείξει ότι αυτή η επέκταση είναι απλή, δηλαδή E=\mathbb{Q}(\alpha) για ένα μόνο \alpha\in E. Λαμβάνοντας  \alpha = \sqrt{2} + \sqrt{3} , οι δυνάμεις  1, *α*, *α*2, *α*3  μπορούν να αναπτυχθούν ως γραμμικοί συνδυασμοί των 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6} με ακέραιους συντελεστές. Μπορεί κανείς να λύσει αυτό το σύστημα γραμμικών εξισώσεων για \sqrt{2} και \sqrt{3} πάνω από \mathbb{Q}(\alpha), για να λάβουμε   \sqrt{2} = \tfrac12(\alpha^3-9\alpha) and \sqrt{3} = -\tfrac12(\alpha^3-11\alpha). Αυτό δείχνει ότι το *α* είναι πράγματι ένα πρωταρχικό στοιχείο: 

:\mathbb{Q}(\sqrt 2, \sqrt 3)=\mathbb{Q}(\sqrt2 + \sqrt3).

Μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί το ακόλουθο γενικότερο επιχείρημα.  Το σώμα E=\Q(\sqrt 2,\sqrt 3)  έχει σαφώς τέσσερα αυτομορφικά σώματα \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3,\sigma_4: E\to E  που ορίζονται από \sigma_i(\sqrt 2)=\pm\sqrt 2  και \sigma_i(\sqrt 3)=\pm\sqrt 3  για κάθε επιλογή σημείων. Το ελάχιστο πολυώνυμο f(X)\in\Q[X]  του \alpha=\sqrt 2+\sqrt 3  πρέπει να έχει f(\sigma_i(\alpha)) = \sigma_i(f(\alpha)) = 0 , άρα η f(X)  πρέπει να έχει τουλάχιστον τέσσερις διαφορετικές ρίζες \sigma_i(\alpha)=\pm\sqrt 2 \pm\sqrt 3 . Έτσι, η f(X)  έχει βαθμό τουλάχιστον τέσσερα, και [\Q(\alpha):\Q]\geq 4 , αλλά αυτός είναι ο βαθμός ολόκληρου του πεδίου, [E:\Q]=4 , οπότε E = \Q(\alpha ) .

## Δήλωση θεωρήματος

Το θεώρημα του πρωταρχικού στοιχείου δηλώνει: 
:Κάθε διαχωρίσιμη επέκταση σώματος πεπερασμένου βαθμού είναι απλή.

Το θεώρημα αυτό ισχύει για αλγεβρικά σώματα αριθμών, δηλαδή για πεπερασμένες επεκτάσεις των ρητών αριθμών **Q**, αφού το **Q** έχει χαρακτηριστική 0 και επομένως κάθε πεπερασμένη επέκταση πάνω στο **Q** είναι διαχωρίσιμη.

Χρησιμοποιώντας το θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας Γκαλουά, το πρώτο θεώρημα προκύπτει αμέσως από το θεώρημα του Στάινιτζ.

## Χαρακτηριστικό ''p''

Για μια μη διαχωρίσιμη επέκταση E/F χαρακτηριστικής p, υπάρχει παρ' όλα αυτά ένα πρωταρχικό στοιχείο εφόσον ο βαθμός [*E*&nbsp;:&nbsp;*F*] είναι *p:* Πράγματι, δεν μπορεί να υπάρχουν μη τετριμμένα ενδιάμεσα υποπεδία αφού οι βαθμοί τους θα ήταν παράγοντες του πρώτου *p*.

Όταν [*E*&nbsp;:&nbsp;*F*] = *p*2, μπορεί να μην υπάρχει ένα πρωταρχικό στοιχείο (οπότε υπάρχουν άπειρα πολλά ενδιάμεσα σώματα σύμφωνα με το θεώρημα του Στάινιτζ). Το απλούστερο παράδειγμα είναι το E=\mathbb{F}_p(T,U), το σώμα των ρητών συναρτήσεων σε δύο απροσδιόριστα *T* και *U* πάνω από το πεπερασμένο σώμα με *p* στοιχεία, και το F=\mathbb{F}_p(T^p,U^p). Στην πραγματικότητα, για οποιοδήποτε \alpha=g(T,U)  στο E \setminus F, ο ενδομορφισμός του Φρομπένιους δείχνει ότι το στοιχείο \alpha^p βρίσκεται στο *F* , οπότε το *&alpha;* είναι ρίζα του f(X)=X^p-\alpha^p\in F[X], και *&alpha;*  δεν μπορεί να είναι ένα πρωταρχικό στοιχείο (βαθμού *p*2 πάνω από το *F*), αλλά αντίθετα το *F*(*&alpha;*) είναι ένα μη τετριμμένο ενδιάμεσο σώμα.

## Απόδειξη

Ας υποθέσουμε πρώτα ότι η F είναι άπειρη. Με επαγωγή, αρκεί να αποδείξουμε ότι οποιαδήποτε πεπερασμένη επέκταση E=F(\beta,\gamma)  είναι απλή. Για c\in F, ας υποθέσουμε ότι \alpha = \beta+ c\gamma  αποτυγχάνει να είναι πρωταρχικό στοιχείο, F(\alpha)\subsetneq F(\beta,\gamma). Τότε \gamma\notin F(\alpha), αφού διαφορετικά \beta = \alpha-c\gamma\in F(\alpha)=F(\beta,\gamma). Ας θεωρήσουμε τα ελάχιστα πολυώνυμα του \beta,\gamma  πάνω στο F(\alpha) , αντίστοιχα f(X), g(X) \in F(\alpha)[X], και ας πάρουμε ένα σώμα διασπάσεως L  που περιέχει όλες τις ρίζες \beta,\beta',\ldots της f(X)  και \gamma,\gamma',\ldots  της g(X) . Δεδομένου ότι \gamma\notin F(\alpha), υπάρχει μια άλλη ρίζα \gamma'\neq \gamma, και ένας αυτομορφισμός σώματος \sigma:L\to L  που καθορίζει F(\alpha)  και παίρνει \sigma(\gamma)=\gamma' . Τότε έχουμε \sigma(\alpha) =\alpha , και:

:\beta + c \gamma = \sigma(\beta + c \gamma) = \sigma(\beta) + c \, \sigma(\gamma) ,  και ως εκ τούτου  c = \frac{\sigma(\beta) - \beta}{\gamma - \sigma(\gamma)}.

Δεδομένου ότι υπάρχουν μόνο πεπερασμένα πολλά ενδεχόμενα για \sigma(\beta)=\beta' και \sigma(\gamma)=\gamma', μόνο πεπερασμένα πολλά c\in F αποτυγχάνουν να δώσουν ένα πρωταρχικό στοιχείο \alpha=\beta+c\gamma. Όλες οι άλλες τιμές δίνουν F(\alpha)=F(\beta,\gamma) .

Για την περίπτωση όπου το F είναι πεπερασμένο, απλά θεωρούμε ότι το \alpha είναι μια πρωταρχική ρίζα του πεπερασμένου σώματος επέκτασης E.

## Ιστορία

Στα Πρώτα Απομνημονεύματά του του 1831, που δημοσιεύτηκαν το 1846 ο Εβαρίστ Γκαλουά σχεδίασε μια απόδειξη του κλασικού πρωταρχικού στοιχείου στην περίπτωση ενός σώματος διάσπασης ενός πολυωνύμου πάνω από το ρητούς αριθμούς. Τα κενά στο σκίτσο του θα μπορούσαν εύκολα να συμπληρωθούν (όπως παρατήρησε ο Πουασόν) αξιοποιώντας ένα θεώρημα του Λαγκράνζ από το 1771, το οποίο ο Γκαλουά σίγουρα γνώριζε. Είναι πιθανό ότι Λαγκράνζ γνώριζε ήδη το θεώρημα του πρωταρχικού στοιχείου για τον διαχωρισμό σωμάτων. Ο Γκαλουά χρησιμοποίησε αυτό το θεώρημα σε μεγάλο βαθμό στην ανάπτυξη της ομάδας Γκαλουά. Έκτοτε χρησιμοποιήθηκε στην ανάπτυξη της θεωρίας Γκαλουά και του θεμελιώδους θεωρήματος της θεωρίας Γκαλουά.

Το θεώρημα των πρωταρχικών στοιχείων αποδείχθηκε στη σύγχρονη μορφή του από τον Έρνστ Στάινιτζ, σε ένα σημαντικό άρθρο για τη θεωρία σωμάτων το 1910, το οποίο περιέχει επίσης το θεώρημα του Στάινιτζ, Ο Στάινιτζ ονόμασε το «κλασικό» αποτέλεσμα *Θεώρημα πρωταρχικού στοιχείου * και τη σύγχρονη εκδοχή του *Θεώρημα των ενδιάμεσων σωμάτων*.

Ο Εμίλ Αρτίν αναδιατύπωσε τη θεωρία Γκαλουά τη δεκαετία του 1930 χωρίς να βασίζεται σε πρωταρχικά στοιχεία.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Σώμα διασπάσεως
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νοεροί υπολογισμοί

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 

* 
* 
* 

* Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
*
*
*
*
*
*
*
*.   **English translation** (of 2nd revised edition):  *(Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)*
*

## Πηγές
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα