Συμπυρήνας

*Ο *'συμπυρήνας**'' ''μιας γραμμικής απεικόνισης [[Διανυσματικός χώρος|διανυσματικών χώρων]]'' ''f : X → Y είναι ο πηλικόχωρος'' ''Y / im(f) της [[Πεδίο τιμών|ομοπεριοχής]] f από την εικόνα της f. Η διάσταση του συμπυρήνα ονομάζεται corank'' ''της f.'' 

Οι **συμπυρήνες** είναι δίδυμοι με τους [[Πυρήνας (γραμμική άλγεβρα)|πυρήνες]] της [[Θεωρία κατηγοριών|θεωρίας κατηγοριών]], εξ ου και το όνομά τους: ο [[Πυρήνας (γραμμική άλγεβρα)|πυρήνας]] είναι ένα υποαντικείμενο της περιοχής (αντιστοιχεί στην περιοχή), ενώ ο συμπυρήνας είναι ένα αντικείμενο πηλίκου της [[Πεδίο τιμών|συμπεριοχής]] ή ''ομοπεριοχής'' (απεικόνιση από την συμπεριοχή).  

''Διαισθητικά, δεδομένης μιας εξίσωσης f(x) = y που προσπαθούμε να λύσουμε, ο συμπυρήνας μετρά τους περιορισμούς που πρέπει να ικανοποιεί το y για να έχει αυτή η εξίσωση λύση – τα εμπόδια για μια λύση – ενώ ο συμπυρήνας μετρά τους [[Βαθμοί ελευθερίας|βαθμούς ελευθερίας]] σε μια λύση, αν υπάρχει. Αυτό αναλύεται λεπτομερώς στην ενότητα "Διαισθητική προσέγγιση" παρακάτω.''

Γενικότερα, ο συμπυρήνας ενός [[Μορφισμός|μορφισμού]] ''f'' : ''X'' → ''Y'' σε κάποια κατηγορία (π.χ. ένας [[ομομορφισμός]] μεταξύ ομάδων ή ένας περιορισμένος γραμμικός [[Τελεστής (μαθηματικά)|τελεστής]] μεταξύ [[Χώρος Χίλμπερτ|χώρων Χίλμπερτ]]) είναι ένα αντικείμενο ''Q'' και ένας [[μορφισμός]] ''q'' : ''Y'' → ''Q''  έτσι ώστε η σύνθεση ''q f'' να είναι ο μηδενικός μορφισμός της κατηγορίας, και επιπλέον το ''q'' να είναι καθολικό σε σχέση με αυτή την ιδιότητα. Συχνά η απεικόνιση q είναι κατανοητή και το ίδιο το ''Q'' ονομάζεται συμπυρήνα του ''f''.

Σε πολλές περιπτώσεις στην [[αφηρημένη άλγεβρα]], όπως για τις [[Αβελιανή ομάδα|αβελιανές ομάδες]], τους [[Διανυσματικός χώρος|διανυσματικούς χώρους]] ή τα [[Υποσύνολο|υποσύνολα]], τον συμπυρήνα ομομορφισμού ''f'' : ''X'' → ''Y'' είναι το πηλίκο του ''Y'' από την εικόνα του ''f''. Σε τοπολογικές ρυθμίσεις, όπως με περιορισμένους [[Γραμμικός τελεστής|γραμμικούς τελεστές]] μεταξύ [[Χώρος Χίλμπερτ|χώρων Χίλμπερτ]], συνήθως πρέπει να ληφθεί την κλειστότητα της εικόνας πριν περάσουμε στο πηλίκο.

== Επίσημος ορισμός ==
Μπορεί κανείς να ορίσει το **συμπυρήνα** στο γενικό πλαίσιο της [[Θεωρία κατηγοριών|θεωρίας κατηγοριών]]. Προκειμένου ο ορισμός να έχει νόημα, η εν λόγω κατηγορία πρέπει να έχει μηδενικούς μορφισμούς. Ο **συμπυρήνας** ενός μορφισμού ''f'' : ''X'' → ''Y'' ορίζεται ως ο συνεξισωτής του ''f'' και του μηδενικού μορφισμού 0<sub>''XY''</sub> : ''X'' → ''Y''.

Συγκεκριμένα, αυτό σημαίνει τα εξής. Ο συμπυρήνας του ''f'' : ''X'' → ''Y'' είναι ένα αντικείμενο ''Q'' μαζί με έναν [[Μορφισμός|μορφισμό]] ''q'' : ''Y'' → ''Q'' έτσι ώστε το διάγραμμα

<div style="text-align: center;"></div>

αντιμεταθετικό. Επιπλέον, ο [[μορφισμός]] ''q'' πρέπει να είναι καθολικός για αυτό το διάγραμμα, δηλαδή οποιοσδήποτε άλλος ''q''′ : ''Y'' → ''Q''′ μπορεί να παραχθεί συνθέτοντας το ''q'' με έναν μοναδικό [[Μορφισμός|μορφισμό]] ''u'' : ''Q'' → ''Q''′

<div style="text-align: center;"></div>

Όπως συμβαίνει με όλες τις καθολικές κατασκευές, ο συμπυρήνας, εάν υπάρχει, είναι μοναδικός μέχρι ενός μοναδικού [[Ισομορφισμός|ισομορφισμού]], ή πιο συγκεκριμένα: εάν ''q'' : ''Y'' → ''Q'' και ''q''′ : ''Y'' → ''Q''′  είναι δύο **συμπυρήνες** του''f'' : ''X'' → ''Y'', τότε υπάρχει ένας μοναδικός ισομορφισμός ''u'' : ''Q'' → ''Q''′ with ''q** = *u* *q*.

Όπως όλοι οι συνεξισωτές, ο συμπυρήνας *q* : *Y* → *Q* είναι αναγκαστικά ένας επιμορφισμός. Αντίστροφα, ένας επιμορφισμός ονομάζεται κανονικός (ή συν-κανονικός) αν είναι ο συμπυρήνας κάποιου μορφισμού. Μια κατηγορία ονομάζεται κανονική αν κάθε επιμορφισμός είναι κανονικός (π.χ. η κατηγορία των ομάδων είναι κανονική).

### Παραδείγματα

Στην κατηγορία των ομάδων, ο συμπυρήνας ενός ομομορφισμού ομάδων *f* : *G* → *H* είναι το πηλίκο του *H* με την κανονική κλειστότητα της εικόνας του *f*. Στην περίπτωση των αβελιανών ομάδων, δεδομένου ότι κάθε υποομάδα είναι κανονική, ο συμπυρήνας είναι απλώς το *H* modulo της εικόνας του *f*:

:\operatorname{coker}(f) =  H / \operatorname{im}(f).

### Ειδικές περιπτώσεις
Σε μια προ-προσθετική κατηγορία, έχει νόημα να προσθέτουμε και να αφαιρούμε μορφισμούς. Σε μια τέτοια κατηγορία, ο ισοσταθμιστής δύο μορφισμών  *f* και *g* (εάν υπάρχει) είναι απλώς ο **συμπυρήνας**   της διαφοράς τους:

:\operatorname{coeq}(f, g) = \operatorname{coker}(g - f).

Σε μια αβελιανή κατηγορία (ένα ειδικό είδος προ-προσθετικής κατηγορίας) η εικόνα και η συν-εικόνα ενός μορφισμού f δίνονται από
:\begin{align}
    \operatorname{im}(f) &= \ker(\operatorname{coker} f), \\
  \operatorname{coim}(f) &= \operatorname{coker}(\ker f).
\end{align}

Συγκεκριμένα, κάθε αβελιανή κατηγορία είναι κανονική (και επίσης συν-κανονική). Δηλαδή, κάθε μονομορφισμός *m* μπορεί να γραφτεί ως πυρήνας κάποιου μορφισμού. Συγκεκριμένα, το m είναι ο πυρήνας του δικού του συμπυρήνα:

:m = \ker(\operatorname{coker}(m))

## Διαίσθηση

Ο **συμπυρήνας**  μπορεί να θεωρηθεί ως ο χώρος των περιορισμών που πρέπει να ικανοποιεί μια εξίσωση, ως ο χώρος των εμποδίων, ακριβώς όπως ο πυρήνας είναι ο χώρος των λύσεων.

Τυπικά, μπορεί κανείς να συνδέσει τον πυρήνα και τον συμπύρηνα μιας απεικόνισης T: V → με την ακριβή ακολουθία 

:0 \to \ker T \to V \overset T \longrightarrow W \to \operatorname{coker} T \to 0.
Αυτά μπορούν να ερμηνευθούν ως εξής: δεδομένης μιας γραμμικής εξίσωσης *T*(*v*) = *w* που πρέπει να λυθεί,

* ο πυρήνας είναι ο χώρος των λύσεων της ομογενούς εξίσωσης *T*(*v*) = 0, και η διάστασή του είναι ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας στις λύσεις της *T*(*v*) = *w*, εάν υπάρχουν.
* Ο συμπυρήνας είναι ο χώρος των περιορισμών στο *w* που πρέπει να ικανοποιηθούν για να έχει η εξίσωση λύση, και η διάστασή του είναι ο αριθμός των ανεξάρτητων περιορισμών που πρέπει να ικανοποιηθούν για να έχει η εξίσωση λύση.

Η διάσταση του συμπυρήνα συν τη διάσταση της εικόνας (ο βαθμός) ισούνται με τη διάσταση του χώρου-στόχου, καθώς η διάσταση του χώρου πηλίκου *W* / *T*(*V*) είναι απλά η διάσταση του χώρου μείον τη διάσταση της εικόνας.

Ως απλό παράδειγμα, ας θεωρήσουμε την απεικόνιση *T*: **R**2 → **R**2, που δίνεται από *T*(*x*, *y*) = (0, *y*). Τότε, για να έχει μια εξίσωση *T*(*x*, *y*) = (*a*, *b*) λύση, πρέπει να έχουμε *a* = 0 (ένας περιορισμός) και, σε αυτή την περίπτωση, ο χώρος λύσεων είναι (*x*, *b*), ή, ισοδύναμα (0, *b*) + (*x*, 0), (ένας βαθμός ελευθερίας). Ο πυρήνας μπορεί να εκφραστεί ως ο υποχώρος (*x*, 0) ⊆ *V*: η τιμή του *x* είναι η ελευθερία σε μια λύση. Ο συμπυρήνας μπορεί να εκφραστεί μέσω της πραγματικής απεικόνισης *W*: (*a*, *b*) → (*a*): δεδομένου ενός διανύσματος (*a*, *b*), η τιμή του a είναι το εμπόδιο στην ύπαρξη λύσης.

Επιπλέον, ο συμπυρήνας μπορεί να θεωρηθεί ως κάτι που "ανιχνεύει" τις επίρριψεις με τον ίδιο τρόπο που ο πυρήνας "ανιχνεύει" τις έρριψεις. Μια απεικόνιση είναι ερριπτική αν και μόνο αν ο πυρήνας της είναι τετριμμένος, και μια απεικόνιση είναι επιρριπτική αν και μόνο αν ο συμπυρήνας της είναι τετριμμένος, ή με άλλα λόγια, αν *W* = im(*T*).

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


*Saunders Mac Lane: *[[:en:Categories for the Working Mathematician|Categories for the Working Mathematician]]*, Second Edition, 1978, p.&nbsp;64
*Emily Riehl: Category Theory in Context, Aurora Modern Math Originals, 2014, p. 82, p. 139 footnote 8.
* 
* 
* *This article is based in part on [http://www.planetmath.org PlanetMath]'s [http://planetmath.org/encyclopedia/TerminalObjectsAndZeroObjectsExamplesOfInitialObjects.html article on examples of initial and terminal objects].*
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
*
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα