Θεώρημα του Ευκλείδη

[μικρογραφία|389x389εσ|Άγαλμα του [Ευκλείδης|Ευκλείδη στο Μουσείο του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης.]]
Στην θεωρία αριθμών, το **θεώρημα του Ευκλείδη** είναι το θεμελειώδες θεώρημα που δηλώνει ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Αποδείχθηκε για πρώτη φορά από τον Ευκλείδη στο έργο του *[[Στοιχεία]]*. Έκτοτε έχουν δημοσιευθεί πολλές αποδείξεις για το θεώρημα.

## Η απόδειξη του Ευκλείδη

Ο Ευκλείδης έδωσε την παρακάτω απόδειξη στο έργο του *Στοιχεία* (Βιβλίο IX, Πρόταση 20),

Στην αρχική απόδειξη, καθώς ο Ευκλείδης δεν είχε κανένα τρόπο να γράφει μια αυθαίρετη λίστα των πρώτων, χρησιμοποίησε μια μέθοδο που εφάρμοζε συχνά, δηλαδή τη μέθοδο του γενικευμένου παραδείγματος. Δηλαδή, επιλέγει μόνο τρεις πρώτους και χρησιμοποιώντας τη γενική μέθοδο που περιγράφεται παραπάνω, αποδεικνύει ότι μπορεί πάντα να βρει ένα επιπλέον πρώτο. Ο Eυκλείδης υποθέτει πιθανώς, ότι οι αναγνώστες του είναι πεπεισμένοι, ότι μια παρόμοια απόδειξη θα λειτουργήσει, ανεξάρτητα από το πόσοι πρώτοι αρχικά επιλέγονται.

Για τον Ευκλείδη συχνά αναφέρεται εσφαλμένα, ότι έχει αποδείξει αυτό το αποτέλεσμα με απαγωγή σε άτοπο, ξεκινώντας από την υπόθεση, ότι το πεπερασμένο σύνολο που εξετάστηκε αρχικά, περιέχει όλους τους πρώτους αριθμούς, αν και στην πραγματικότητα είναι μια απόδειξη με περιπτώσεις, μια μέθοδος ευθείας απόδειξης. Ο φιλόσοφος Torkel Franzén σε ένα βιβλίο σχετικά με τη λογική δηλώνει, ότι "η απόδειξη του Eυκλείδη, ότι υπάρχουν άπειροι πολλοί πρώτοι, δεν αποτελεί έμμεση απόδειξη [...]. Το επιχείρημα μερικές φορές διατυπώνεται ως έμμεση απόδειξη, αντικαθιστώντας το με την υπόθεση «Ας υποθέσουμε ότι οι p_1, \ldots, p_n είναι όλοι οι πρώτοι». Ωστόσο, δεδομένου ότι αυτή η υπόθεση δεν χρησιμοποιείται καν στην απόδειξη, η αναδιατύπωση είναι άσκοπη." 

### Παραλλαγές
Υπάρχουν αρκετές παραλλαγές στην απόδειξη του Eυκλείδη, όπως είναι η εξής:

## Άλλες αποδείξεις
### Η απόδειξη του Όιλερ
Μια άλλη απόδειξη από τον Ελβετό μαθηματικό Λέοναρντ Όιλερ βασίζεται στο θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής: ότι κάθε ακέραιος έχει μία μοναδική ανάλυση σε πρώτους παράγοντες. 

=\prod_{p\in P} \sum_{k\geq 0} \frac{1}{p^k}=\sum_n\frac{1}{n}.

Η πρώτη ισότητα δίνεται από τον τύπο για το άθροισμα μίας γεωμετρικής σειρά για κάθε όρο του γινομένου. Η δεύτερη ισότητα είναι μια ειδική περίπτωση του τύπου γινομένου Όιλερ για τη συνάρτηση ζ του Ρήμαν. Για να το δείξουμε αυτό, αναλύουμε το παραπάνω γινόμενο ως εξής:
: 
\begin{align}
\prod_{p\in P} \sum_{k\geq 0} \frac{1}{p^k} & = \sum_{k\geq 0} \frac{1}{2^k} \times \sum_{k\geq 0} \frac{1}{3^k}\times\sum_{k\geq 0} \frac{1}{5^k}\times\sum_{k\geq 0} \frac{1}{7^k}\times\cdots \\[8pt]
& =\sum_{k,\ell,m,n,\ldots \geq 0} \frac{1}{2^k 3^\ell 5^m 7^n \cdots}=\sum_n\frac{1}{n}
\end{align}


Τελικά, κάθε γινόμενο των πρώτων εμφανίζεται ακριβώς μία φορά και έτσι από το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής το άθροισμα είναι ίσο με το άθροισμα σε όλους τους ακέραιους αριθμούς.

Το άθροισμα στα δεξιά είναι η αρμονική σειρά, η οποία αποκλίνει. Έτσι, το γινόμενο στα αριστερά πρέπει επίσης να αποκλίνει. Δεδομένου ότι κάθε όρος του γινομένου είναι πεπερασμένος, το πλήθος των όρων πρέπει να είναι άπειρος. Επομένως, υπάρχει ένας άπειρος αριθμός πρώτων.
}}
### Η απόδειξη των Μπέρτραντ – Τσεμπισιόφ
Στη θεωρία αριθμών, το αίτημα του Bertrand είναι ένα θεώρημα, που δηλώνει, ότι για οποιονδήποτε ακέραιο n > 1 υπάρχει πάντα τουλάχιστον ένας πρώτος αριθμός, έτσι ώστε

: n 

Το θεώρημα Μπέρτραντ-Τσεμπύσεφ μπορεί επίσης να δηλωθεί ως σχέση με \pi(x), όπου \pi(x) είναι η συνάρτηση μέτρησης πρώτων (πλήθος των πρώτων αριθμών μικρότερων ή ίσων με x \,):

: \pi(x) - \pi(\tfrac{x}{2}) \ge 1, για όλα x \ge 2.

Διατυπώθηκε ως εικασία για πρώτη φορά το 1845 από τον Γιόζεφ Μπέρτραντ (1822–1900). Ο ίδιος ο Μπέρτραντ επαλήθευσε τη δήλωσή του για όλους τους αριθμούς στο διάστημα  Η εικασία του αποδείχθηκε πλήρως από τον Τσεμπύσεφ (1821–1894) το 1852  και έτσι η πρόταση ονομάζεται **θεώρημα Μπέρτραντ–Τσεμπισιόφ** ή **θεώρημα Τσεμπισιόφ**.

### Η απόδειξη του Έρντος
Ο Πολ Έρντος έδωσε μια απόδειξη , που επίσης βασίζεται στο θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής. Κάθε θετικός ακέραιος έχει μια μοναδική ανάλυση ως το γινόμενο rs^2, όπου r ένας ακέραιος ελεύθερος τετραγώνου και s^2 ένα τετράγωνο . Για παράδειγμα, 75.600 = 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 7^1 = 21 \cdot 60^2 .

### Η απόδειξη του Furstenberg
Στη δεκαετία του 1950, ο Hillel Furstenberg εισήγαγε μια απόδειξη με απαγωγή σε άτοπο, χρησιμοποιώντας τοπολογία συνόλου σημείου.

 S(p, 0)
δεν μπορεί να είναι κλειστό, διότι το συμπλήρωμά του είναι πεπερασμένο, αλλά είναι κλειστό, αφού είναι μια πεπερασμένη ένωση κλειστών συνόλων.
}}

## Μερικές πρόσφατες αποδείξεις

### Απόδειξη με χρήση της αρχής συμπερίληψης-αποκλεισμού
Ο Χουάν Πάμπλο Πινάσκο (Juan Pablo Pinasco) δημοσίευσε το 2009 την παρακάτω απόδειξη.

### Απόδειξη χρησιμοποιώντας τον τύπο του de Polignac
Το 2010, ο Γιούνο Πέτερ Γουάνγκ (Junho Peter Whang) δημοσίευσε την ακόλουθη απόδειξη με απαγωγή σε άτοπο. 
 p^{f(p,N)} ,
όπου
:  f(p,N) = \left\lfloor \frac{N}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{N}{p^2} \right\rfloor + \cdots. 

:  f(p,N) .

Αλλά αν υπήρχε πεπερασμένο πλήθος πρώτων αριθμών, τότε

:  \lim_{N\to\infty} \frac{\left(\prod_p p\right)^N}{N!} = 0, 

καθώς ο αριθμητής του κλάσματος θα αυξανόταν εκθετικά, ενώ με τον τύπο του Στίρλινγκ ο παρονομαστής μεγαλώνει πιο γρήγορα από μεμονωμένα εκθετικά. Αυτό είναι σε αντίθεση με το γεγονός ότι για κάθε N ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή.
}}
### Κατασκευαστική απόδειξη
Ο Filip Saidak έδωσε την ακόλουθη κατασκευαστική απόδειξη, η οποία δεν χρησιμοποιεί απαγωγή σε άτοπο ή το Λήμμα του Ευκλείδη (ότι αν ένας πρώτος p διαιρεί το ab τότε πρέπει να διαιρεί το a ή το b).

### Απόδειξη με χρήση θεωρίας πληροφοριών
Ο Alexander Shen και άλλοι παρουσίασαν μια απόδειξη, που χρησιμοποιεί τη μη συμπίεση:

## Πιο ισχυρά αποτελέσματα
Τα θεωρήματα σε αυτή την ενότητα δίνουν ως πόρισμα το *θεώρημα του Ευκλείδη* καθώς και άλλα αποτελέσματα.

### Το ''θεώρημα του Ντίριχλετ'' για τις αριθμητικές προόδους
Το *θεώρημα του Ντίριχλετ* δηλώνει, ότι για οποιουσδήποτε δύο θετικούς, σχετικά πρώτους μεταξύ τους, ακέραιους αριθμούς a και d, υπάρχουν άπειροι πρώτοι της μορφής a + nd, όπου το n είναι θετικός ακέραιος. Δηλαδή υπάρχουν άπειροι πρώτοι, που είναι ισοϋπόλοιποι με a \bmod d.

### Το ''θεώρημα πρώτων αριθμών''
Έστω \pi(x) η συνάρτηση μέτρησης πρώτων, που δίνει τον αριθμό των πρώτων αριθμών μικρότερο ή ίσο του x, για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό x. Το θεώρημα των πρώτων αριθμών δηλώνει τότε, ότι το \pi(x) προσεγγίζει το x / \ln(x), δηλαδή

: \lim_{x\rightarrow\infty} \frac{\pi(x)}{x/\ln(x)}=1. 

Χρησιμοποιώντας ασυμπτωτικό συμβολισμό, αυτό το αποτέλεσμα μπορεί να επαναδιατυπωθεί ως

: \pi(x)\sim \frac{x}{\log x}.

Αυτό δίνει το θεώρημα του Ευκλείδη, αφού \lim_{x\rightarrow\infty} \frac{x}{\log x}=\infty. 

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* 
* Euclid's Elements, Book IX, Prop. 20 (Euclid's proof, on David Joyce's website at Clark University)

## Σημειώσεις


## Παραπομπές


Κατηγορία:Σελίδες με μη επιθεωρημένες μεταφράσεις
Κατηγορία:Θεωρήματα