Δείκτρια τυχαία μεταβλητή

Στην θεωρία πιθανοτήτων, **δείκτρια τυχαία μεταβλητή** ενός γεγονότος A \subseteq \Omega του δειγματοχώρου \Omega, είναι η τυχαία μεταβλητή \mathbf{1}_{A} \colon \Omega \to \R, η οποία ορίζεται ως
:
\mathbf{1}_A(\omega) = \begin{cases}
1 & \text{αν }\omega \in A,\\
0 & \text{διαφορετικά}.
\end{cases}

Συμβολίζεται και ως 𝟙A, \mathbf{1}(A).

## Ιδιότητες

Οι δείκτριες τυχαίες μεταβλητές έχουν τις εξής ιδιότητες:
* \operatorname{E}(\mathbf{1}_A) = \Pr(A).

Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής, 
\operatorname{E}(\mathbf{1}_A) = \Pr(A) \cdot 1 + (1 - \Pr(A)) \cdot 0 = \Pr(A).

* Για κάθε k \in \R, (\mathbf{1}_A)^k = \mathbf{1}_A, καθώς η τυχαία μεταβλητή λαμβάνει μόνο τιμές 0 και 1.
* \operatorname{Var}(\mathbf{1}_A) = \Pr(A) \cdot (1 - \Pr(A)).

Από τον ορισμό της διακύμανσης, 
:
\operatorname{Var}(\mathbf{1}_A) = \operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2.

Από την προηγούμενη ιδιότητα για k = 2, 
:
\operatorname{Var}(\mathbf{1}_A) = \operatorname{E}(\mathbf{1}_A^2) - (\operatorname{E}(\mathbf{1}_A))^2 =\operatorname{E}(\mathbf{1}_A) - (\operatorname{E}(\mathbf{1}_A))^2.

Χρησιμοποιώντας την πρώτη ιδιότητα, 
:
\operatorname{Var}(\mathbf{1}_A) = \Pr(A) - (\Pr(A))^2 = \Pr(A) \cdot (1 - \Pr(A)).


* \mathbf{1}_{A \cap B} = \mathbf{1}_{A} \cdot \mathbf{1}_B = \min(\mathbf{1}_A, \mathbf{1}_B).
* \mathbf{1}_{\neg A} = 1 - \mathbf{1}_A.
* \mathbf{1}_{A \cup B} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - \mathbf{1}_{A \cap B} = \max(\mathbf{1}_A, \mathbf{1}_B).

## Παραδείγματα

### Αναμενόμενη τιμή διωνυμικής κατανομής
Έχουμε ένα νόμισμα που με πιθανότητα p είναι κορώνα και με πιθανότητα 1 - p είναι γράμματα. Θα στρίψουμε το νόμισμα n φορές και θέλουμε να βρούμε το αναμενόμενο πλήθος κορωνών. 

Έστω K_i το ενδεχόμενο να είναι το i-οστό στρίψιμο κορώνα και \mathbf{1}_{K_i} η δείκτρια τυχαία μεταβλητή αυτού του γεγονότος. Τότε, το συνολικό πλήθος κορωνών δίνεται από
:K = \mathbf{1}_{K_1} + \ldots + \mathbf{1}_{K_n}.
Χρησιμοποιώντας την γραμμικότητα της αναμενόμενης τιμής και ότι \operatorname{E}(K_i) = \Pr(K_i) = p, έχουμε ότι 
:
\operatorname{E}(K) = \operatorname{E}\left( \sum_{i = 1}^n K_i \right) = \sum_{i = 1}^n \operatorname{E}(K_i) = \sum_{i = 1}^n \Pr(K_i) = \sum_{i = 1}^n p = n \cdot p,

που είναι και το αναμενόμενο πλήθος κορωνών.

### Πλήθος αντιστροφών σε μία τυχαία μετάθεση
Σε μία μετάθεση \sigma : [n] \to [n], ένα ζευγάρι δεικτών (i, j) με i  είναι αντιστροφή αν ισχύει ότι \sigma(i) > \sigma(j). Θέλουμε να υπολογίσουμε το αναμενόμενο πλήθος αντιστροφών σε μία τυχαία μετάθεση. 

Έστω ότι A_{ij} είναι το γεγονός ότι η (i, j) είναι αντιστροφή. Τότε, λόγω συμμετρίας στις μισές μεταθέσεις, η (i, j) είναι αντιστροφή και στις μισές όχι, άρα 
:\Pr(A_{ij}) = \frac{1}{2}.
Το συνολικό πλήθος των αντιστροφών δίνεται από 
:
A = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = i + 1}^n A_{ij}.

Από την γραμμικότητα της αναμενόμενης τιμής, έχουμε ότι
:
\operatorname{E}(A)
 = \operatorname{E}\left(\sum_{i = 1}^n \sum_{j = i + 1}^n A_{ij} \right)
 = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = i + 1}^n \operatorname{E}(A_{ij})
 = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = i + 1}^n \frac{1}{2}
 = \frac{n \cdot (n-1)}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n \cdot (n-1)}{4}.


## Εφαρμογές
Οι δείκτριες τυχαίες μεταβλητές χρησιμοποιούνται σε αρκετά στην θεωρία πιθανοτήτων. Ενδεικτικά αναφέρουμε τις εξής εφαρμογές:
* Στην απόδειξη της ανισότητας Μαρκόφ.
* Στην απόδειξη της μεθόδου δεύτερης ροπής.
* Στην ανάλυση της χρονικής πολυπλοκότητας του αλγόριθμου γρήγορης ταξινόμησης.

## Παραπομπές


Κατηγορία:Θεωρία πιθανοτήτων