Εγγεγραμμένος και παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου

right|thumb|Ο εγγεγραμμένος κύκλος και οι παρεγγεγραμμένοι κύκλοι του τριγώνου <math>\rm AB\Gamma</math>.
Στη γεωμετρία, σε ένα τρίγωνο ο **εγγεγραμμένος κύκλος** (\mathrm{I}, \rho) είναι ο κύκλος που εφάπτεται εσωτερικά στις τρεις πλευρές του. Το κέντρο του είναι το σημείο τομής των εσωτερικών διχοτόμων του και ονομάζεται **έγκεντρο του τριγώνου**.

Κάθε τρίγωνο έχει επίσης τρεις **παρεγγεγραμμένους κύκλους** (\mathrm{J_A}, \rho_\mathrm{A}), (\mathrm{J_B}, \rho_\mathrm{B}) και (\mathrm{J_\Gamma}, \rho_\mathrm{\Gamma}) που εφάπτονται στις τρεις πλευρές του τριγώνου εξωτερικά αυτού. Το κέντρο του (\mathrm{J_A}, \rho_\mathrm{A}) είναι το σημείο τομής της διχοτόμου της \hat{\rm A} και των εξωτερικών διχοτόμων των \hat{\rm B} και \hat{\rm \Gamma}, και ονομάζεται **παράκεντρο του τριγώνου**. Το τρίγωνο \rm J_A J_B J_\Gamma λέγεται **παρεγγεγραμμένο τρίγωνο** του \rm AB\Gamma. 

Τα παράκεντρα συμβολίζονται επίσης με {\rm I}_{\rm A}, {\rm I}_{\rm B}, {\rm I}_{\rm \Gamma} ή {\rm I}_\alpha, {\rm I}_\beta, {\rm I}_\gamma.

## Εγγεγραμμένος κύκλος

### Αποδείξεις

### Ιδιότητες
* Το έγκεντρο \rm I είναι σημείο εσωτερικό του τριγώνου.
* Η γωνία των διχοτόμων των \rm \hat{B} και \rm \hat{\Gamma} είναι ίση με 90^\circ + \tfrac{\hat{\rm A}}{2}.
{2} και \widehat{\rm I\Gamma B} =\tfrac{\hat{\Gamma}}{2}. Επομένως, αφού οι γωνίες του τριγώνου \rm BI\Gamma αθροίζουν στις 180^\circ
:\widehat{\rm AIB} = 180^\circ - \frac{\hat{B} + \hat{\Gamma}}{2} = 180^\circ - \frac{180^\circ - \hat{A}}{2} = 90^\circ + \tfrac{\hat{A}}{2}.
}}
* (**[[Σημείο Φόιερμπαχ]]**) Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται του κύκλου Όιλερ. Το σημείο επαφής λέγεται σημείο Φόιερμπαχ.
* Το τρίγωνο \rm I_A I_B I_\Gamma που σχηματίζουν οι προβολές του \rm I στις πλευρές του τριγώνου ονομάζεται το τρίγωνο Ζεργκόν.
* Οι γωνίες αυτού του τριγώνου είναι ίσες με
::\widehat{\rm I_BI_AI_\Gamma} = 90^\circ - \tfrac{\hat{\rm A}}{2}, \widehat{\rm I_\Gamma I_B I_A} = 90^\circ - \tfrac{\hat{\rm B}}{2} και \widehat{\rm I_A I_\Gamma I_B} = 90^\circ - \tfrac{\hat{\rm \Gamma}}{2}.
* (**[[Σημείο Ζεργκόν]]**) Τα ευθύγραμμα τμήματα \rm AI_A, BI_B, \Gamma I_\Gamma διέρχονται από το ίδιο σημείο.
* Οι ευθείες \rm IA, IB, I\Gamma είναι μεσοκάθετοι των πλευρών του \rm I_A I_B I_\Gamma.

### Μετρικές σχέσεις
* Έστω \rm I_A, I_B, I_\Gamma οι προβολές του \rm I στις πλευρές του τριγώνου, τότε 
::\rm BI_A = BI_\Gamma = \tau - \beta, \quad AI_B = AI_\Gamma = \tau - \alpha, \quad και \quad \rm \Gamma I_A = \Gamma I_B = \tau - \gamma,
:όπου \tau = \tfrac{1}{2} \cdot (\alpha + \beta + \gamma) είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου.
{2} και \rm \hat{I_B} = \hat{I_\Gamma} = 90^\circ (κριτήριο Γ-Π-Γ). Επομένως, \rm AI_B = AI_\Gamma = x. Αντίστοιχα, \rm BI_A = B_\Gamma = y και \rm \Gamma I_A = \Gamma I_B = z. 

Επίσης, έχουμε ότι
:
\begin{align}
y + z & = \alpha \\
x + z & = \beta \\
y + x & = \gamma
\end{align}

Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων βρίσκουμε ότι 
:
 x = \tau - \alpha, \quad y = \tau - \beta \quad  και z = \tau - \gamma,
όπου \tau = \tfrac{1}{2} \cdot (\alpha + \beta + \gamma).
}}
* Το εμβαδόν του τριγώνου \rm AB\Gamma δίνεται από τον τύπο 
::\mathrm{E} = \tau \cdot \rho.
* Από τον τύπο του Ήρωνα, προκύπτει ότι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου
::\rho = \sqrt{\frac{(\tau - \alpha) \cdot (\tau - \beta) \cdot (\tau - \gamma)}{\tau}}.
 = \tfrac{1}{2} \cdot \gamma \cdot \rho, \quad {\rm E_{B\Gamma I}} = \tfrac{1}{2} \cdot \alpha \cdot \rho, \quad και \quad {\rm E_{\Gamma AI} } = \tfrac{1}{2} \cdot \alpha \cdot \rho.
Επομένως, 
:\rm E_{AB\Gamma} = \tfrac{1}{2} \cdot \alpha \cdot \rho + \tfrac{1}{2} \cdot \beta \cdot \rho + \tfrac{1}{2} \cdot \gamma \cdot \rho = \tfrac{1}{2} \cdot (\alpha + \beta + \gamma) \cdot \rho = \tau \cdot \rho.
Από τον τύπο του Ήρωνα, προκύπτει ο πρώτος τύπος για το εμβαδόν.
}}
* Επίσης, η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, δίνεται από τις εξής τριγωνομετρικές σχέσεις
::\rho = \alpha \cdot \frac{\sin \frac{2} \cdot \sin \frac{2}}{\cos \frac{2}} = \beta \cdot \frac{\sin \frac{2} \cdot \sin \frac{2}}{\cos \frac{2}} = \gamma \cdot \frac{\sin \frac{2} \cdot \sin \frac{2}}{\cos \frac{2}},
:και από 
::\rho = (\tau - \alpha) \cdot \tan \frac{2} = (\tau - \beta) \cdot \tan \frac{2} = (\tau - \gamma) \cdot \tan \frac{2}.
* (**[[Θεώρημα του Όιλερ (γεωμετρία)|Θεώρημα Όιλερ]]**) Αν (\mathrm{O}, R) είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου, τότε 
::\mathrm{OI}^2 = R^2 - 2R\rho.
* (**[[Θεώρημα Καρνό (ακτίνες)|Θεώρημα Καρνό]]**) Αν \rm OM_A, OM_B, OM_\Gamma είναι οι προσημασμένες αποστάσεις του περίκεντρου από τις πλευρές του τριγώνου \rm AB\Gamma και R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε 
::{\rm OM_A + OM_B + OM_\Gamma } = R + \rho.

### Συντεταγμένες
* Οι τριγραμμικές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι 1:1:1.
* Οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι \alpha : \beta : \gamma.
*  Οι Καρτεσιανές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι 
::\left( \frac{\alpha \cdot x_{\rm A} + \beta \cdot x_{\rm B} + \gamma \cdot x_{\rm \Gamma}}{\alpha + \beta + \gamma}, \frac{\alpha \cdot y_{\rm A} + \beta \cdot y_{\rm B} + \gamma \cdot y_{\rm \Gamma}}{\alpha + \beta + \gamma}\right).

## Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι

Κάθε τρίγωνο \rm AB\Gamma έχει τρεις παρεγγεγραμμένους κύκλους ({\rm J_A}, \rho_{\rm A}), ({\rm J_B}, \rho_{\rm B}) και ({\rm J_\Gamma}, \rho_{\rm \Gamma}). Ο παρεγγεγραμμένος κύκλος ({\rm J_A}, \rho_{\rm A}) έχει κέντρο το σημείο τομής των εξωτερικών διχοτόμων της γωνίας \rm \hat{B} και της \rm \hat{\Gamma} και της εσωτερικής διχοτόμου της \rm \hat{A}. Τα σημεία που εφάπτεται ο κύκλος ({\rm J_A}, \rho_{\rm A}) με τις πλευρές \rm B\Gamma, AB, A\Gamma συμβολίζονται με \rm I_A', I_A*, I_A*' αντίστοιχα.

center|thumb|350px|Οι παρεγγεγραμμένοι κύκλοι του τριγώνου <math>\rm AB\Gamma</math>.

### Απόδειξη

### Ιδιότητες
* Τα παράκεντρα \rm J_A, J_B, J_\Gamma είναι σημεία εξωτερικά του τριγώνου.
* Τα σημεία \rm A, J_B, J_\Gamma είναι συνευθειακά, καθώς και τα \rm J_A, B, J_\Gamma και \rm J_A, J_B, \Gamma.
* Η γωνία των εξωτερικών διχοτόμων των \rm \hat{B} και \rm \hat{\Gamma} είναι ίση με 90^\circ - \tfrac{\hat{\rm A}}{2}.
{2}\quad και \quad \widehat{\rm J_A \Gamma B} = \tfrac{180^\circ - \hat{\rm \Gamma}}{2}.
Από το τρίγωνο \rm B\Gamma J_A έχουμε ότι 
:\widehat{\rm B J_A \Gamma} = 180^\circ - \tfrac{180^\circ - \hat{\rm B}}{2} - \tfrac{180^\circ - \hat{\rm \Gamma}}{2} = \tfrac{\hat{\rm B} + \hat{\rm \Gamma}}{2} = 90^\circ - \tfrac{\hat{\rm A}}{2}.
}}
* Η γωνία της εσωτερικής διχοτόμου της \rm \hat{B} και της εξωτερικής διχοτόμου της \rm \hat{\Gamma} είναι \tfrac{\hat{\rm A}}{2}.
{2} + \tfrac{180^\circ - \hat{\rm B}}{2}) - (90^\circ - \tfrac{\hat{\rm A}}{2}) = \tfrac{\hat{\rm A}}{2}.
}}
* (**[[Σημείο Ζεργκόν]]**) Τα ευθύγραμμα τμήματα \rm AI_A', BI_B', \Gamma I_\Gamma' διέρχονται από το ίδιο σημείο.
* (**[[Τρίγωνο Φόιερμπαχ]]**) Οι παρεγγεγραμμένοι κύκλοι εφάπτονται του κύκλου Όιλερ του τριγώνου. Τα τρία σημεία επαφής ορίζουν το τρίγωνο Φόιερμπαχ.
* Ισχύει ότι \rm AI_B' = AI_B* = BI_A' = BI_A* = \tau - \gamma, \rm AI_\Gamma' = AI_\Gamma* = \Gamma I_A' = \Gamma I_A* = \tau - \beta και \rm BI_\Gamma' = BI_\Gamma* = \Gamma I_B' = \Gamma I_B* = \tau - \gamma, όπου \tau = \tfrac{1}{2} \cdot (\alpha + \beta + \gamma) η ημιπερίμετρος.

* Αν \rm A' το σημείο τομής της προέκτασης της \rm AI με τον περιγεγραμμένο κύκλο, τότε
::\rm A'B = A'I = A'\Gamma = A'I_A.
* Τα \rm I, J_A, J_B, J_\Gamma ανά δύο ορίζουν ευθύγραμμα τμήματα των οποίων τα μέσα ανήκουν στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου.
* (**[[Σημείο Νάγκελ]]**) Αν \rm I_A', I_B', I_\Gamma' τα σημεία επαφής των παρεγγεγραμμένων κύκλων με κέντρα \rm J_A, J_B, J_\Gamma με τις πλευρές \rm A\Gamma, B\Gamma, AB του τριγώνου, τότε τα \rm AI_A', BI_B', \Gamma I_\Gamma' συντρέχουν στο σημείο Νάγκελ.
### Παρεγγεγραμμένο τρίγωνο
* Οι εσωτερικές διχοτόμοι του τριγώνου \rm AB\Gamma είναι ύψη του τριγώνου \rm J_AJ_BJ_\Gamma.
* Το ορθόκεντρο του παρεγγεγραμμένου τριγώνου είναι το έγκεντρο \rm I, δηλαδή τα \rm I, J_A, J_B, J_\Gamma σχηματίζουν μία ορθοκεντρική τετράδα.
### Μετρικές σχέσεις
* Από τον τύπο του Ήρωνα, οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων δίνεται από τους τύπους
::
  \rho_\mathrm{A} = \frac{\mathrm{E}}{\tau - \alpha} = \sqrt{\frac{\tau \cdot (\tau - \beta) \cdot (\tau - \gamma)}{\tau - \alpha}}, \quad \rho_\mathrm{B} = \frac{\mathrm{E}}{\tau - \beta} = \sqrt{\frac{\tau \cdot (\tau - \gamma) \cdot (\tau - \alpha)}{\tau - \beta}}\quad και \rho_\mathrm{\Gamma} = \frac{\mathrm{E}}{\tau - \gamma} = \sqrt{\frac{\tau \cdot (\tau - \alpha) \cdot (\tau - \beta)}{\tau - \gamma}}.
 = \rho_{\rm A} \cdot x.
Αντίστοιχα, 
:{\rm E_{J_AI_A'\Gamma I_A*} = 2 \cdot E_{\Gamma J_AI_A*'}} = \rho_{\rm A} \cdot y.
Συνδυάζοντας τα παραπάνω και αφού x + y = \alpha έχουμε ότι 
:
\begin{align}
  {\rm E_{AB\Gamma}} & = \tfrac{1}{2} \cdot (\gamma + x) \cdot \rho_{\rm A} + \tfrac{1}{2} \cdot (\beta + y) \cdot \rho_{\rm A} - \rho_{\rm A} \cdot x - \rho_{\rm A} \cdot y \\
  & =  \rho_{\rm A} \cdot (\tau - \alpha).
\end{align}
}}
* Επίσης, οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων δίνονται από τις τριγωνομετρικές σχέσεις
::\rho_{\rm A} = \alpha \cdot \frac{\cos \frac{\rm B}{2} \cdot \cos \frac{\rm \Gamma}{2}}{\cos \frac{\rm A}{2}}, \quad \rho_{\rm B} = \beta \cdot \frac{\cos \frac{\rm \Gamma}{2} \cdot \cos \frac{\rm A}{2}}{\cos \frac{2}}\quad και \quad \rho_{\rm \Gamma} = \gamma \cdot \frac{\cos \frac{\rm A}{2} \cdot \cos \frac{\rm B}{2}}{\cos \frac{\rm \Gamma}{2}}, 
:και επίσης
::\rho_{\rm A} = \tau \cdot \tan \frac{\rm A}{2}, \quad \rho_{\rm B} = \tau \cdot \tan \frac{\rm B}{2} \quad  και \quad \rho_{\rm \Gamma} = \tau \cdot \tan \frac{\rm \Gamma}{2}.
* (**[[Θεώρημα του Όιλερ (γεωμετρία)|Θεώρημα Όιλερ]]**) Αν (\mathrm{O}, R) είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου, τότε 
::\mathrm{OJ_A}^2 = R^2 + 2R\rho_\mathrm{A}, \quad \mathrm{OJ_B}^2 = R^2 + 2R\rho_\mathrm{B} \quad  και \quad \mathrm{OJ_\Gamma}^2 = R^2 + 2R\rho_\mathrm{\Gamma}.
* Το εμβαδόν του τριγώνου \rm AB\Gamma δίνεται από τους τύπους:
::
  \rm E = (\tau - \alpha) \cdot \rho_{\rm A} = (\tau - \beta) \cdot \rho_{\rm B} = (\tau - \gamma) \cdot \rho_{\rm \Gamma},

:και 
::\rm E = \sqrt{\rho \cdot \rho_{\rm A} \cdot \rho_{\rm B} \cdot \rho_{\rm \Gamma}}.
* Αν R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε ισχύει ότι \rho_{\rm A} + \rho_{\rm B} + \rho_{\rm \Gamma} = \rho + 4R.
* Το έγκεντρο και το παράκεντρο {\rm J}_{\rm A} είναι τα δύο σημεία που δίνουν τις ακραίες τιμές της \frac{\rm BX}{\rm \Gamma X} από όλα τα σημεία \rm X της διχοτόμου της γωνίας \hat{\rm A}.

### Συντεταγμένες
* Οι τριγραμμικές συντεταγμένες των παρακέντρων είναι -1:1:1, 1:-1:1 και 1:1:-1 αντίστοιχα.
* Οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες των παρακέντρων είναι 
::-\alpha : \phantom{-}\beta : \phantom{-}\gamma,
::\phantom{-}\alpha : -\beta : \phantom{-}\gamma 
:και
::\phantom{-}\alpha : \phantom{-}\beta : -\gamma.
*  Οι Καρτεσιανές συντεταγμένες των παρακέντρων είναι 
::\left( \frac{-\alpha \cdot x_{\rm A} + \beta \cdot x_{\rm B} + \gamma \cdot x_{\rm \Gamma}}{\alpha + \beta + \gamma}, \frac{-\alpha \cdot y_{\rm A} + \beta \cdot y_{\rm B} + \gamma \cdot y_{\rm \Gamma}}{\alpha + \beta + \gamma}\right),
::\left( \frac{\phantom{-}\alpha \cdot x_{\rm A} - \beta \cdot x_{\rm B} + \gamma \cdot x_{\rm \Gamma}}{\alpha + \beta + \gamma}, \frac{\phantom{-}\alpha \cdot y_{\rm A} - \beta \cdot y_{\rm B} + \gamma \cdot y_{\rm \Gamma}}{\alpha + \beta + \gamma}\right),
:και
::\left( \frac{\phantom{-}\alpha \cdot x_{\rm A} + \beta \cdot x_{\rm B} - \gamma \cdot x_{\rm \Gamma}}{\alpha + \beta + \gamma}, \frac{\phantom{-}\alpha \cdot y_{\rm A} + \beta \cdot y_{\rm B} - \gamma \cdot y_{\rm \Gamma}}{\alpha + \beta + \gamma}\right).

## Δείτε επίσης
* Εσωτερική διχοτόμος τριγώνου
* Εξωτερική διχοτόμος τριγώνου
* Περιγεγραμμένος κύκλος
* Βαρύκεντρο τριγώνου
* Ορθόκεντρο τριγώνου

## Παραπομπές


Κατηγορία:Τρίγωνα
Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία
Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία