Ερριπτικό αντικείμενο

Στα μαθηματικά, ειδικά στον τομέα της θεωρίας κατηγοριών, η έννοια του **ερριπτικού αντικειμένου** είναι μια γενίκευση της έννοιας του ερριπτικού  module. Αυτή η έννοια είναι σημαντική στην ομολογία, στην ομοτοπική θεωρία και στη θεωρία των κατηγοριών προτύπων. Η δυϊκή έννοια είναι αυτή του προβολικού αντικειμένου.

## Ορισμός

Ένα αντικείμενο Q σε μια κατηγορία \mathbf{C} λέγεται **[[Ένα προς ένα|ερριπτικό]]**  αν για κάθε μονομορφισμό f: X \to Y και κάθε μορφισμό g: X \to Q υπάρχει ένας μορφισμός h: Y \to Q που επεκτείνει το g στο Y, δηλαδή έτσι ώστε  h \circ f = g.

Δηλαδή, κάθε μορφισμός X \to Q παραγοντοποιείται μέσω κάθε μονομορφισμού X \hookrightarrow Y.

Ο μορφισμός h στον παραπάνω ορισμό δεν απαιτείται να προσδιορίζεται μοναδικά από τα f και g.

Σε μια τοπικά μικρή κατηγορία, είναι ισοδύναμο να απαιτείται ότι ο hom συναρτητής \operatorname{Hom}_{\mathbf{C}}(-,Q) μεταφέρει μονομορφισμούς στο \mathbf{C} σε επιρριπτικές απεικονίσεις συνόλων.

## Σε αβελιανές κατηγορίες

Η έννοια της ερριπτικής συνάρτησης διατυπώθηκε για πρώτη φορά για τις αβελιανές κατηγορίες, και εξακολουθεί να αποτελεί έναν από τους κύριους τομείς εφαρμογής της. Όταν \mathbf{C} είναι μια αβελιανή κατηγορία, ένα αντικείμενο *Q* του \mathbf{C} είναι ερριπτικό αν και μόνο αν και μόνο αν ο συναρτητής της Hom**C**(&ndash;,*Q*) είναι ακριβής.

Εάν 0 \to Q \to U \to V \to 0 είναι μια ακριβής ακολουθία στο \mathbf{C} έτσι ώστε το *Q*  να είναι ενιαίο, τότε η ακολουθία διαχωρίζεται.

## Αρκετά ερριπτικές και ερριπτικές με καλύμματα

Η κατηγορία \mathbf{C} λέγεται ότι *είναι αρκετα ερριπτικές*  αν για κάθε αντικείμενο *X* του \mathbf{C} υπάρχει ένας μονομορφισμός από το *X*  σε ένα ερριπτικό αντικείμενο.

Ένας μονομορφισμός *g* στο \mathbf{C} ονομάζεται ουσιαστικός μονομορφισμός αν για κάθε μορφισμό *f*, το σύνθετο *fg* είναι μονομορφισμός μόνο αν το *f* είναι μονομορφισμός.

Εάν το *g* είναι ένας ουσιαστικός μονομορφισμός με πεδίο *X* και ένα ερριπτικό πεδίο τιμών *G*, τότε το *G* ονομάζεται **ερριπτικό καλύμμα** του *X*. Το ενιαίο καλύμμα καθορίζεται τότε μοναδικά από το *X* μέχρι ένα μη κανονικό ισομορφισμό.

## Παραδείγματα

*Στην κατηγορία των αβελιανών ομάδων και των ομομορφισμών ομάδων, το **Ab**, ένα **ερριπτικό αντικείμενο**, είναι αναγκαστικά μια διαιρέσιμη ομάδα. Υποθέτοντας το αξίωμα της επιλογής, οι έννοιες είναι ισοδύναμες.
*Στην κατηγορία των (αριστερών) modules  και ομομορφισμών modules, *R*-**Mod**, ένα ενιαίο αντικείμενο είναι μια ενιαία ενότητα. Το *R*-**Mod** διαθέτει ερριπτικό περιβλήμα (ως συνέπεια, το *R*-**Mod** διαθέτει αρκετά ενιαία στοιχεία).
*Στην κατηγορία των μετρικών χώρων, **Met**, ένα ερριπτικό  αντικείμενο είναι ένας ερριπτικός μετρικός χώρος, και το ερριπτικό περίβλημα ενός μετρικού χώρου είναι το στενό του εύρος.
*Στην κατηγορία των χώρων T0 και των συνεχών απεικονίσεων, ένα ερριπτικό  αντικείμενο είναι πάντα μια τοπολογία Scott σε ένα συνεχές πλέγμα και, ως εκ τούτου, είναι πάντα λιτό και τοπικά συμπαγές.

## Χρήσεις

Εάν μια αβελιανή κατηγορία έχει αρκετές ερριπτικές, μπορούμε να σχηματίσουμε ερριπτικές αναλύσεις, δηλαδή για ένα δεδομένο αντικείμενο *X*  μπορούμε να δημιουργήσουμε μια μακρά ακριβή ακολουθία  
:0\to X \to Q^0 \to Q^1 \to Q^2 \to \cdots
και μπορεί κανείς να ορίσει τους παράγωγους συναρτήτες ενός δεδομένου συναρτήτη *F* εφαρμόζοντας το *F* σε αυτή την ακολουθία και υπολογίζοντας την ομολογία της προκύπτουσας (όχι απαραίτητα ακριβούς) ακολουθίας. Αυτή η προσέγγιση χρησιμοποιείται για τον ορισμό των συναρτητών Ext και Tor, καθώς και των διαφόρων θεωριών ομολογίας στην θεωρία ομάδων, την αλγεβρική τοπολογία και την αλγεβρική γεωμετρία. Οι κατηγορίες που χρησιμοποιούνται είναι συνήθως κατηγορίες συναρτητών ή κατηγορίες από δεμάτια του *O**X* modules πάνω σε κάποιο δακτυλιοειδές χώρο (*X*, *O**X*) ή, γενικότερα, οποιαδήποτε κατηγορία Γκρότεντικ.

## Γενίκευση

Έστω \mathbf{C} μια κατηγορία και έστω \mathcal{H} μια κλάση μορφισμών του \mathbf{C}.
Ένα αντικείμενο Q του \mathbf{C} λέγεται ***<math>\mathcal{H}</math>''-ερριπτικό''' αν για κάθε μορφισμό <math>f: A \to Q</math> και κάθε μορφισμό <math>h: A \to B</math> στο <math>\mathcal{H}</math> υπάρχει ένας μορφισμός <math>g: B \to Q</math> με <math> g \circ h = f</math>.

Εάν <math>\mathcal{H}</math> είναι η κλάση των [[Μονομορφισμός|μονομορφισμών]], επιστρέφουμε στα '''ερριπτικά αντικείμενα''' που εξετάσαμε παραπάνω.

Η κατηγορία <math>\mathbf{C}</math> λέγεται ότι ''έχει αρκετά <math>\mathcal{H}</math> -ερριπτικές'' αν για κάθε αντικείμενο ''X'' του <math>\mathbf{C}</math>, υπάρχει ένα ''<math>\mathcal{H}</math>''-[[μορφισμός]] από το ''X''' σε ένα ''<math>\mathcal{H}</math>''-ερριπτικό αντικείμενο.

Ένας [[μορφισμός]] ''g''  του ''<math>\mathcal{H}</math>'' στο <math>\mathbf{C}</math> ονομάζεται ***\mathcal{H}*-ουσιώδης*' αν για κάθε μορφισμό *f*, το σύνθετο *fg* βρίσκεται στο *<math>\mathcal{H}</math>* μόνο αν το *f*  βρίσκεται στο *<math>\mathcal{H}</math>*.

Εάν το *g* είναι ένας *<math>\mathcal{H}</math>*-ουσιώδης μορφισμός με πεδίο *X* και ένα *<math>\mathcal{H}</math>*-ερριπτικό  πεδίο *G*, τότε το *G* ονομάζεται **<math>\mathcal{H}</math> -ερριπτικό κάλυμμα** του *X*.

### Παραδείγματα <math>\mathcal{H}</math>-ερριπτικά αντικείμενα

*Στην κατηγορία των απλών συνόλων, τα ερριπτικά αντικείμενα σε σχέση με την κλάση *<math>\mathcal{H}</math>* των ανώδυνων επεκτάσεων είναι σύμπλοκα Καν.
*Στην κατηγορία των μερικώς διατεταγμένων συνόλων και των μονοτονικών απεικονίσεων, τα πλήρη πλέγματα αποτελούν τα ερριπτικά αντικείμενα για την κλάση *<math>\mathcal{H}</math>*  των ενσωματώσεων τάξης, και η ολοκλήρωση Ντεντεκίντ–ΜακΝέιλ ενός μερικώς διατεταγμένου συνόλου είναι το *<math>\mathcal{H}</math>*-ερριπτικό κάλυμμά του.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Αβελιανή ομάδα

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*  
* 
*.
* .
*.
*.
*
* Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα