Σημειακός-επιρριπτικός μορφισμός

:*Δεν πρέπει να συγχέεται με την παρόμοια έννοια του [[Επιμορφισμός|επιμορφισμού]].*

Στη θεωρία κατηγοριών, ένας **σημειακός-επιθετικός μορφισμός** είναι ένας μορφισμός f : X \rightarrow Y που «συμπεριφέρεται» όπως οι επιρριπτικές κινήσεις στην κατηγορία των συνόλων.

Η έννοια του **σημειακού-επιρριπτικού** είναι μια σημαντική έννοια στο θεώρημα σταθερού σημείου του Λόουβερ, και εισήχθη για πρώτη φορά από τον Γουίλιαμ Λόουβερ στο αρχικό του άρθρο.

## Ορισμός

### Σημειακός-επιρριπτικός

Σε μια κατηγορία \mathbf{C} με τελικό αντικείμενο 1, ένας μορφισμός f : X \rightarrow Y λέγεται ότι είναι σημειακός-επιρριπτικός αν για κάθε μορφισμό y : 1 \rightarrow Y, υπάρχει ένας μορφισμός x : 1 \rightarrow X τέτοιος ώστε f \circ x = y.

### Ασθενής σημειακή-ερριπτικότητα

Αν το Y είναι ένα εκθετικό αντικείμενο της μορφής B^A για κάποια αντικείμενα A, B στο \mathbf{C}, μπορεί να οριστεί μια ασθενέστερη (αλλά τεχνικά πιο δυσκίνητη) έννοια της σημειακής ερριπτικότητας.

Ένας μορφισμός f : X \rightarrow B^A λέγεται ότι είναι *ασθενής*  σημειακός-επιρριπτικός αν για κάθε μορφισμό g : A \rightarrow B υπάρχει ένας μορφισμός x : 1 \rightarrow X τέτοιος ώστε, για κάθε μορφισμό a : 1 \rightarrow A, έχουμε

: \epsilon \circ \langle f \circ x, a \rangle = g \circ a

όπου  \langle -, - \rangle : A \rightarrow B \times C δηλώνει το γινόμενο δύο μορφισμών (A \rightarrow B και A \rightarrow C) και  \epsilon : B^A \times A \rightarrow B  είναι η απεικόνιση της αξιολόγησης στην κατηγορία των μορφισμών του \mathbf{C}.

Ισοδύναμα, θα μπορούσε κανείς να θεωρήσει τον μορφισμό f: X \rightarrow B^A ως την αντιμετάθεση κάποιου άλλου μορφισμού \tilde{f}: X \times A \rightarrow B. Τότε ο ισομορφισμός μεταξύ των ομο-συνόλων \mathrm{Hom}(X\times A,B) \cong \mathrm{Hom}(X,B^A) μας επιτρέπουν να πούμε ότι η f είναι ασθενής σημειακή-επιρριπτική  αν και μόνο αν η \tilde{f} είναι ασθενής σημειακή-επιρριπτική.

## Σχέση με τις επιρριπτικές συναρτήσεις στο σύνολο

### Στοιχεία συνόλου ως μορφισμοί από τελικά αντικείμενα

Στην κατηγορία των συνόλων, οι μορφισμοί είναι συναρτήσεις και τα τελικά αντικείμενα είναι μονοσύνολα. Επομένως, ένας μορφισμός a : 1 \rightarrow A είναι μια συνάρτηση από ένα μονοσύνολο \{x\} στο σύνολο A: αφού μια συνάρτηση πρέπει να προσδιορίζει ένα *μοναδικό* στοιχείο στην ομοπεριοχή για κάθε στοιχείο στην περιοχή, έχουμε ότι a(x) \in A είναι ένα συγκεκριμένο στοιχείο του A. Επομένως, κάθε μορφισμός a : 1 \rightarrow A μπορεί να θεωρηθεί ως ένα συγκεκριμένο στοιχείο του ίδιου του  A.

Για το λόγο αυτό, οι μορφισμοί a : 1 \rightarrow A μπορούν να χρησιμεύσουν ως "γενίκευση" των στοιχείων ενός συνόλου και μερικές φορές ονομάζονται ολικά στοιχεία.

### Επιρριπτικές συναρτήσεις και σημειακή ερριπτικότητα

Με αυτή την αντιστοιχία, ο ορισμός των σημειακών-επιρριπτικών μορφισμών μοιάζει πολύ με αυτόν των επιρριπτικών συναρτήσεων. Μια συνάρτηση (μορφισμός) f : X \rightarrow Y  λέγεται ότι είναι επιρριπτική (point-surjective) αν, για κάθε στοιχείο y \in Y (για κάθε μορφισμό y : 1 \rightarrow Y), υπάρχει ένα στοιχείο x \in X (υπάρχει ένας μορφισμός x: 1 \rightarrow X) τέτοιος ώστε f(x) = y  (  f \circ x = y).

Η έννοια της ασθενής σημειακής  ερριπτικότητας μοιάζει επίσης με αυτή την αντιστοιχία, αρκεί να παρατηρήσει κανείς ότι το εκθετικό αντικείμενο B^A στην κατηγορία των συνόλων δεν είναι παρά το σύνολο όλων των συναρτήσεων f : A \rightarrow B.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Αβελιανή ομάδα

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
*
* 
* 
* 
*
*J. S. Milne (2008). *[http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/LEC.pdf Lectures on Etale Cohomology]*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Μορφισμοί
Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα