Τριγωνικός πίνακας

Στην γραμμική άλγεβρα, **άνω τριγωνικός πίνακας** είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας που έχει μόνο μηδενικά στοιχεία κάτω από την κύρια διαγώνιο. Πιο συγκεκριμένα, είναι κάθε πίνακας U διαστάσεων n \times n όπου τα στοιχεία U_{ij} = 0 για κάθε 1 \leq j . Για n = 2, 3, 4 η γενική τους μορφή είναι:
:
\underbrace{\begin{bmatrix}
U_{11} & U_{12} \\
0 & U_{22}
\end{bmatrix}}_{2 \times 2 }
\quad
\underbrace{
\begin{bmatrix}
U_{11} & U_{12} & U_{13} \\
0 & U_{22} & U_{23} \\
0 & 0 & U_{33}
\end{bmatrix}}_{3 \times 3}
\quad 
\underbrace{
\begin{bmatrix}
U_{11} & U_{12} & U_{13} & U_{14} \\
0 & U_{22} & U_{23} & U_{24} \\
0 & 0 & U_{33} & U_{34} \\
0 & 0 & 0 & U_{44}
\end{bmatrix}}_{4 \times 4}.

Αντίστοιχα, **κάτω τριγωνικός πίνακας** είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας που έχει μόνο μηδενικά στοιχεία πάνω από την κύρια διαγώνιο. Πιο συγκεκριμένα, είναι κάθε πίνακας L διαστάσεων n \times n όπου τα στοιχεία L_{ij} = 0 για κάθε 1 \leq i . Για n = 2, 3, 4 η γενική τους μορφή είναι:
:
\underbrace{\begin{bmatrix}
L_{11} & 0 \\
L_{21} & L_{22}
\end{bmatrix}}_{2 \times 2 }
\quad
\underbrace{
\begin{bmatrix}
L_{11} & 0 & 0 \\
L_{21} & L_{22} & 0 \\
L_{31} & L_{32} & L_{33}
\end{bmatrix}}_{3 \times 3}
\quad 
\underbrace{
\begin{bmatrix}
L_{11} & 0 & 0 & 0 \\
L_{21} & L_{22} & 0 & 0 \\
L_{31} & L_{32} & L_{33} & 0 \\
L_{41} & L_{42} & L_{43} & L_{44}
\end{bmatrix}}_{4 \times 4}.

Ένας πίνακας λέγεται **τριγωνικός** αν είναι άνω ή κάτω τριγωνικός.

## Παραδείγματα

* Οι παρακάτω πίνακες είναι άνω τριγωνικοί:
::
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
0 & 3
\end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 4 & 5 \\
0 & 0 & 6
\end{bmatrix}, \quad
C = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 5 & 6 & 7 \\
0 & 0 & 8 & 9 \\
0 & 0 & 0 & 10
\end{bmatrix}.
* Οι παρακάτω πίνακες είναι κάτω τριγωνικοί:
::
A = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
2 & 3
\end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
2 & 3 & 0 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}, \quad
C = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
2 & 3 & 0 & 0 \\
4 & 5 & 6 & 0 \\
7 & 8 & 9 & 10
\end{bmatrix}.
* Κάθε διαγώνιος πίνακας είναι κάτω και άνω τριγωνικός. Επομένως, ο ταυτοτικός πίνακας και ο μηδενικός πίνακας είναι τριγωνικοί.
::
  A = \begin{bmatrix}
    3 & 0 & 0 \\
    0 & 7 & 0 \\
    0 & 0 & -1
  \end{bmatrix}, \quad 
  I_2 = \begin{bmatrix}
    1 & 0 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix}, \quad 
  I_3 = \begin{bmatrix}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 1
  \end{bmatrix}, \quad 
  0_3 = \begin{bmatrix}
    0 & 0 & 0 \\ 
    0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0
  \end{bmatrix}.

* Οι κορυφές ενός Κατευθυνόμενου άκυκλου γράφου μπορούν να μετατεθούν ώστε ο πίνακας γειτνίασης του γράφου είναι τριγωνικός.

## Ιδιότητες

Οι τριγωνικοί πίνακες έχουν τις εξής ιδιότητες:
* Ο ανάστροφος πίνακας ενός κάτω (άνω) τριγωνικού πίνακα είναι άνω (κάτω) τριγωνικός.
* Το άθροισμα δύο κάτω (άνω) τριγωνικών πινάκων είναι κάτω (άνω) τριγωνικός πίνακας.
* Το γινόμενο δύο κάτω (άνω) τριγωνικών πινάκων είναι κάτω (άνω) τριγωνικός πίνακας.
* Ο αντίθετος ενός κάτω (άνω) τριγωνικού πίνακα είναι κάτω (άνω) τριγωνικός.
* Η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου.
* Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός κάτω (άνω) τριγωνικού πίνακα δίνεται από τον τύπο
::p_L(x) = \mathrm{det}(xI - L) = (x - L_{11}) \cdot \ldots \cdot (x - L_{nn}).
:Επομένως, οι ιδιοτιμές του πίνακα L είναι τα στοιχεία της διαγωνίου του.
* Ένας συμμετρικός τριγωνικός πίνακας είναι διαγώνιος.

## Εφαρμογές

### Επίλυση γραμμικών εξισώσεων

Έστω ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων που μπορεί να γραφτεί με την μορφή L \mathbf{x} = \mathbf{b} με αγνώστους \mathbf{x}. Τότε μπορούμε να βρούμε την λύση του ξεκινώντας βρίσκοντας το x_1, μετά το x_2 κ.ο.κ., χρησιμοποιώντας τους εξής τύπους:
:x_1 = \frac{b_1}{L_{11}},
:x_2 = \frac{1}{L_{22}} \cdot \left( b_2 - L_{21} x_1 \right),
:\quad \vdots 
:x_n = \frac{1}{L_{nn}} \cdot \left( b_n - L_{n1} x_1 - \ldots - L_{n(n-1)} x_{n-1} \right).
Παρατηρήστε ότι στο i-οστό βήμα βρίσκουμε την τιμή του x_i χρησιμοποιώντας τις τιμές των x_1, \ldots , x_{i-1} (που έχουμε υπολογίσει στα προηγούμενα βήματα). Ο αλγόριθμος αυτός χρειάζεται συνολικά \mathcal{O}(n^2) πράξεις.

## Αυστηρά τριγωνικός

Ένας άνω τριγωνικός πίνακας λέγεται **αυστηρά άνω τριγωνικός**, αν τα στοιχεία της διαγωνίου του είναι μηδέν. Αντίστοιχα, για έναν **αυστηρά κάτω τριγωνικό** πίνακα. 

## Δείτε επίσης
* Αποσύνθεση LU

## Παραπομπές


Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)