Μορφοκλασματική ακολουθία

Στα μαθηματικά, μια "**μορφοκλασματική ακολουθία**" είναι μια ακολουθία που περιέχει τον εαυτό της ως υποακολουθία.  Εδώ είναι ένα παράδειγμα

::1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Εάν η πρώτη εμφάνιση κάθε *n* διαγραφεί, η εναπομένουσα ακολουθία είναι πανομοιότυπη με την αρχική.  Η διαδικασία μπορεί να επαναλαμβάνεται επ' άπειρον, έτσι ώστε στην πραγματικότητα η αρχική ακολουθία να μην περιέχει μόνο ένα αντίγραφο του εαυτού της, αλλά έναν άπειρο αριθμό.

## Ορισμός
Ο ακριβής ορισμός της μορφοκλασματικής ακολουθίας εξαρτάται από έναν προκαταρκτικό ορισμό: μια ακολουθία *x = (x<sub>n</sub>)*) είναι μια **απειροστική ακολουθία** αν για κάθε *i*,

::(F1)   *x<sub>n</sub> = i* για άπειρα πολλά *n*.

Έστω *a(i,j)* ο *jth* δείκτης *n* για τον οποίο *x<sub>n</sub> = i*. Μια άπειρη ακολουθία **x** είναι **μορφοκλασματική ακολουθία** αν ισχύουν δύο πρόσθετες συνθήκες:

::(F2)   έαν *i+1 = x<sub>n</sub>*, τότε υπάρχει *m < n* τέτοιο ώστε 
:::i=x_m

::(F3)   έαν *h < i* τότε για κάθε *j* υπάρχει ακριβώς ένα *k* τέτοιο ώστε

:::a(i,j) 

Σύμφωνα με το (F2), η πρώτη εμφάνιση κάθε *i > 1* στο *x* πρέπει να προηγείται τουλάχιστον μία φορά από κάθε έναν από τους αριθμούς 1, 2, ..., i-1, και σύμφωνα με το (F3), μεταξύ διαδοχικών εμφανίσεων του *i* στο *x*, κάθε *h* μικρότερο από το *i* εμφανίζεται ακριβώς μία φορά.

## Παράδειγμα
Ας υποθέσουμε ότι ο θ είναι ένας θετικός άρρητος αριθμός.  Έστω

::S(θ) = το σύνολο των αριθμών c + dθ, όπου c και d είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί

και έστω

::cn(θ) + θdn(θ)

είναι η ακολουθία που προκύπτει από την τοποθέτηση των αριθμών στο S(θ) σε αύξουσα σειρά. Η ακολουθία cn(θ) είναι *η υπογραφή του θ* και είναι μια μορφοκλασματική ακολουθία.

Παραδείγματος χάριν, η υπογραφή της χρυσής τομής (δηλαδή, θ = (1 + sqrt(5))/2) αρχίζει με

::1, 2, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 5, 2, 4, 1, 6, 3, 5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 8, 5, ...

και η υπόδειξη του 1/θ = θ - 1 αρχίζει με

::1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 5, ...

Πρόκειται για τις ακολουθίες OEIS: A084531 και OEIS: A084532 στην On-Line Εγκυκλοπαίδεια Ακέραιων Ακολουθιών, όπου δίνονται περαιτέρω παραδείγματα από διάφορα αριθμοθεωρητικά και συνδυαστικά περιβάλλοντα.

## Βιβιογραφία
*C* - Algebras and Numerical Analysis
*Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning
*Advanced Computational and Communication Paradigms
*Algorithm Engineering: 5th International Workshop, WAE 2001 Aarhus T.5
*The Oxford Handbook of Algorithmic Music

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* Η online Εγκυκλοπαίδεια των ακεραίων ακολουθιών:
**Ακολουθία OEIS A002260 
**Ακολουθία OEIS A004736 
**Ακολουθία OEIS A003603 
**Ακολουθία OEIS A112382 
**Ακολουθία OEIS A122196 
**Ακολουθία OEIS A022446 
**Ακολουθία OEIS A022447 
**Ακολουθία OEIS A125158 
**Ακολουθία OEIS A125159 
**Ακολουθία OEIS A108712 

*Kimberling, Clark (1997). "Fractal sequences and interspersions". Ars Combinatoria. 45: 157–168. Zbl 0932.11016.

## Δείτε επίσης
*Αλγόριθμος διαμαντιού τετραγώνου
*Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
*Νιφάδα του Κοχ 
*Καμπύλη Χίλμπερτ
*Καμπύλη του δράκου
*Σπόγγος του Μένγκερ
*Χαλί του Σιερπίνσκι
*Σύνολο Μάντελμπροτ
*Σύνολο Julia
*Σύνολο Κάντορ
*Οικοδομήσιμο Σύμπαν
*Σύστημα-L

## Παραπομπές

 
 
Κατηγορία:Φράκταλ
Κατηγορία:Ακολουθίες ακεραίων