Δυναμοσειρές

Στα μαθηματικά, η **δυναμοσειρά** είναι μια άπειρη σειρά της μορφής:\sum_{n=0}^\infty a_n \left(x - c\right)^n = a_0 + a_1 (x - c) + a_2 (x - c)^2 + \dots,όπου το *α<sub>n</sub>* αντιπροσωπεύει τον συντελεστή του *n*-οστού όρου και το *c* είναι μια σταθερά. Οι δυναμοσειρές είναι χρήσιμες στη μαθηματική ανάλυση, όπου προκύπτουν ως σειρές Τέιλορ σε απείρως παραγωγίσιμες συναρτήσεις.

Σε πολλές περιπτώσεις, το *c* (δηλαδή το *κέντρο* της σειράς) είναι ίσο με μηδέν, για παράδειγμα όταν εξετάζουμε μια σειρά Μακλόριν. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η δυναμοσειρά παίρνει την απλούστερη μορφή:\sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dotsΗ γνωστή δεκαδική αναπαράσταση για τους πραγματικούς αριθμούς μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως παράδειγμα δυναμοσειράς με ακέραιους συντελεστές. Στη θεωρία αριθμών, η έννοια των ''p''-αδικών αριθμών σχετίζεται επίσης στενά με αυτή της δυναμοσειράς.

## Παραδείγματα
[δεξιά|μικρογραφία| Η [εκθετική συνάρτηση (με μπλε χρώμα) και η προσέγγισή της με το άθροισμα των πρώτων *n* +&#x2009;1 όρων της σειράς Μακλόριν (με κόκκινο χρώμα). Έτσι:Για n=0, παίρνουμε f(x) = 1,Για n=1, f(x) = 1 + x,Για n=2, f(x)= 1 + x + x^2/2,Για n=3, f(x)= 1 + x + x^2/2 + x^3/6 κ.ο.κ.]]
Οποιοδήποτε πολυώνυμο μπορεί εύκολα να εκφραστεί ως μια δυναμοσειρά γύρω από ένα κέντρο *c*, παρόλο που όλοι, εκτός από πεπερασμένο πλήθος, από τους συντελεστές θα είναι μηδέν αφού μια δυναμοσειρά έχει άπειρους όρους εξ ορισμού. Για παράδειγμα, το πολυώνυμο f(x) = x^2 + 2x + 3 μπορεί να γραφτεί ως μια δυναμοσειρά γύρω από το κέντρο c = 0 ως εξής:f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \cdots ή γύρω από το κέντρο c = 1 ως εξής:f(x) = 6 + 4(x - 1) + 1(x - 1)^2 + 0(x - 1)^3 + 0(x - 1)^4 + \cdots  Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι η επέκταση της σειράς Τέιλορ της f(x) με κέντρο το x = 1, είναι:f(x) = f(1)+\frac {f'(1)}{1!} (x-1)+ \frac{f*(1)}{2!} (x-1)^2+\frac{f*'(1)}{3!}(x-1)^3+ \cdots,  αφού f(x=1) = 1 + 2 +3 = 6  και η παράγωγος είναι f'(x) = 2x + 2. Έτσι, f'(1) = 4 και f*(x) = 2</math>, που είναι μια σταθερά.

Η επέκταση μπορεί να γίνει γύρω από οποιοδήποτε κέντρο *c*. Μπορούμε να δούμε τις δυναμοσειρές σαν "πολυώνυμα άπειρου βαθμού", αν και δεν είναι κανονικά πολυώνυμα.

=== Γεωμετρικές σειρές, εκθετική συνάρτηση και ημίτονο ===
Ο τύπος της γεωμετρικής [[Σειρά|σειράς]]<math display="block">\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, </math>που ισχύει για <math display="inline">|x| < 1</math>, είναι ένα από τα πιο σημαντικά παραδείγματα δυναμοσειρών, όπως και ο τύπος της εκθετικής συνάρτησης<math display="block">e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots</math>και ο τύπος του ημιτόνου<math display="block">\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n + 1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots, </math>που ισχύουν για κάθε πραγματικό αριθμό *x*.

Αυτές οι δυναμοσειρές είναι επίσης παραδείγματα σειρών Τέιλορ.

=== Στο σύνολο των δυνάμεων ===
Οι αρνητικές δυνάμεις δεν επιτρέπονται σε μια δυναμοσειρά. Για παράδειγμα, η σειρά<math display="inline">1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots</math> δεν θεωρείται δυναμοσειρά (αν και είναι [[σειρά Laurent]]). Ομοίως, οι κλασματικές δυνάμεις, όπως το <math display="inline">x^\frac{1}{2}</math>, δεν επιτρέπονται. Επίσης, οι συντελεστές <math display="inline"> a_n</math> δεν πρέπει να εξαρτώνται από το . Έτσι, για παράδειγμα, η σειρά<math display="block">\sin(x) x + \sin(2x) x^2 + \sin(3x) x^3 + \cdots  </math>δεν είναι δυναμοσειρά.

== Ακτίνα σύγκλισης ==
Μια δυναμοσειρά της μορφής <math display="inline"> \sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n</math> είναι [[Συγκλίνουσα σειρά|συγκλίνουσα]] για ορισμένες τιμές της μεταβλητής , όμως συγκλίνει πάντα για την τιμή . Η σειρά μπορεί να [[Διαφορετικές σειρές|αποκλίνει]] για άλλες τιμές του . Εάν το  δεν είναι το μόνο σημείο σύγκλισης, τότε υπάρχει πάντα ένας αριθμός , με , τέτοιος ώστε η σειρά να συγκλίνει όταν  και να αποκλίνει όταν . Ο αριθμός  ονομάζεται [[ακτίνα σύγκλισης]] της δυναμοσειράς και ο τύπος της είναι:<math display="block">r = \liminf_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{-\frac{1}{n}} </math>ή, ισοδύναμα:<math display="block">r^{-1} = \limsup_{n\to\infty} \left|a_n\right|^\frac{1}{n}. </math>Η σχέση<math display="block">r^{-1} = \lim_{n\to\infty}\left|{a_{n+1}\over a_n}\right| </math>ικανοποιείται επίσης, εάν υπάρχει αυτό το όριο (κριτήριο λόγου).

Το σύνολο των [[Μιγαδικός αριθμός|μιγαδικών αριθμών]], τέτοιο ώστε , ονομάζεται [[δίσκος σύγκλισης]] της δυναμοσειράς. Η σειρά [[Απόλυτη σύγκριση|συγκλίνει απολύτως]] μέσα στο δίσκο σύγκλισης και [[Ομοιόμορφη σύγκλιση|συγκλίνει ομοιόμορφα]] σε κάθε [[Συμπαγής χώρος|συμπαγές]] [[υποσύνολο]] του δίσκου σύγκλισης.

Για , δεν μπορούμε να αποφανθούμε αν συγκλίνει ή όχι η σειρά.

== Πράξεις σε δυναμοσειρές ==

=== Πρόσθεση και αφαίρεση ===
Όταν δύο συναρτήσεις *f* και *g* γράφονται ως δυναμοσειρές γύρω από το ίδιο κέντρο *c*, η δυναμοσειρά του αθροίσματος ή της διαφοράς των συναρτήσεων είναι η πρόσθεση ή η αφαίρεσή τους κατά όρους. Αν δηλαδή<math display="block">f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x - c)^n </math>και<math display="block">g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x - c)^n,  </math>τότε<math display="block">f(x) \pm g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n \pm b_n) (x - c)^n. </math>Αν δύο δυναμοσειρές <math display="inline">\sum_{n=0}^\infty a_n x^n</math> και <math display="inline">\sum_{n=0}^\infty b_n x^n</math> έχουν την ίδια ακτίνα σύγκλισης, τότε δεν ισχύει ότι και η δυναμοσειρά <math display="inline">\sum_{n=0}^\infty \left(a_n + b_n\right) x^n</math> έχει την ίδια ακτίνα σύγκλισης. Για παράδειγμα, αν <math display="inline">a_n = (-1)^n</math> και <math display="inline">b_n = (-1)^{n+1} \left(1 - \frac{1}{3^n}\right)</math>, τότε και οι δύο σειρές έχουν ακτίνα σύγκλισης 1, αλλά η σειρά <math display="inline">\sum_{n=0}^\infty \left(a_n + b_n\right) x^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{3^n} x^n</math> έχει ακτίνα σύγκλισης 3.

=== Πολλαπλασιασμός και διαίρεση ===
Με τους ίδιους ορισμούς για την <math>f(x)</math> και την <math>g(x)</math>, οι δυναμοσειρές του γινομένου και του πηλίκου των συναρτήσεων είναι οι εξής:<math display="block">\begin{align}
 f(x)g(x) &= \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x - c)^n\right) \\
      &= \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j (x - c)^{i+j} \\
      &= \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x - c)^n. 
\end{align}</math>Η ακολουθία <math display="inline">m_n = \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}</math> είναι γνωστή ως [[συνέλιξη]] των ακολουθιών <math>a_n</math> και .

Για το πηλίκο, αν ορίσουμε την ακολουθία <math>d_n</math> ως:<math display="block">\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\sum_{n=0}^\infty a_n (x - c)^n}{\sum_{n=0}^\infty b_n (x - c)^n} = \sum_{n=0}^\infty d_n (x - c)^n,</math>τότε<math display="block">f(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x - c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty d_n (x - c)^n\right) </math>και μπορούμε να λύσουμε αναδρομικά για τους όρους <math>d_n</math> συγκρίνοντας συντελεστές.

Η επίλυση των αντίστοιχων εξισώσεων δίνει τύπους που βασίζονται σε [[Ορίζουσα|ορίζουσες]] ορισμένων πινάκων που περιέχουν τους συντελεστές της <math>f(x)</math> και της <math>g(x)</math>:<math display="block">d_0=\frac {a_0}{b_0}</math><math display="block">d_n=\frac{1}{b_0^{n+1}} \begin{vmatrix}
a_n  &b_1  &b_2  &\cdots&b_n  \\
a_{n-1}&b_0  &b_1  &\cdots&b_{n-1}\\
a_{n-2}&0   &b_0  &\cdots&b_{n-2}\\
\vdots &\vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\
a_0  &0   &0  &\cdots&b_0\end{vmatrix}</math>

=== Παραγώγιση και ολοκλήρωση ===
Αν μια συνάρτηση <math>f(x)</math> γράφεται ως δυναμοσειρά, είναι [[Παράγωγος|παραγωγίσιμη]] σε κάθε [[εσωτερικό]] σημείο του πεδίου ορισμού της που συγκλίνει. Μπορεί να [[Παράγωγος|παραγωγιστεί]] και να [[Ολοκλήρωμα|ολοκληρωθεί]] αρκετά εύκολα, υπολογίζοντας κάθε όρο ξεχωριστά:<math display="block">\begin{align}
  f'(x) &= \sum_{n=1}^\infty a_n n (x - c)^{n-1} = \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} (n + 1) (x - c)^n, \\
 \int f(x)\,dx &= \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n (x - c)^{n+1}}{n + 1} + k = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} (x - c)^n}{n} +k.
\end{align}</math>Και οι δύο αυτές σειρές έχουν την ίδια ακτίνα σύγκλισης με την αρχική.

== Αναλυτικές συναρτήσεις ==
Μια συνάρτηση *f* που ορίζεται σε κάποιο [[Ανοικτό σύνολο|ανοιχτό υποσύνολο]] *U* του *'R** ή του **C** ονομάζεται [[Αναλυτική συνάρτηση|αναλυτική]], εάν δίνεται τοπικά από μια συγκλίνουσα δυναμοσειρά. Αυτό σημαίνει ότι κάθε α ∈ ''U'' έχει μια [[Γειτονιά (μαθηματικά)|γειτονιά]] (ή ανοιχτή περιοχή) ''V'' ⊆ ''U'', τέτοια ώστε να υπάρχει μια δυναμοσειρά με κέντρο α που συγκλίνει στην ''f''(''x'') για κάθε ''x'' ∈ ''V''.

Κάθε δυναμοσειρά με θετική ακτίνα σύγκλισης είναι αναλυτική στο [[εσωτερικό]] της περιοχής σύγκλισης. Όλες οι [[Ολόμορφη συνάρτηση|ολόμορφες συναρτήσεις]] είναι μιγαδικές-αναλυτικές. Τα αθροίσματα και τα γινόμενα των αναλυτικών συναρτήσεων είναι αναλυτικά, όπως και τα πηλίκα, εφόσον ο παρονομαστής δεν είναι μηδέν.

Αν μια συνάρτηση είναι αναλυτική, τότε είναι απείρως παραγωγίσιμη, αλλά στους πραγματικούς αριθμούς το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα. Σε μια αναλυτική συνάρτηση, οι συντελεστές ''a''<sub>''n''</sub> μπορούν να υπολογιστούν ως εξής:<math display="block">a_n = \frac{f^{\left( n \right)} \left( c \right)}{n!}, </math>όπου <math>f^{(n)}(c)</math> δηλώνει την ''n''-οστή παράγωγο της ''f'' στο ''c'', και <math>f^{(0)}(c) = f(c)</math>. Αυτό σημαίνει ότι κάθε αναλυτική συνάρτηση δίνεται τοπικά από τη δική της [[σειρά Τέιλορ]].

Η μορφή μιας αναλυτικής συνάρτησης καθορίζεται πλήρως από τη δική της συμπεριφορά με την ακόλουθη έννοια: αν ''f'' και ''g'' είναι δύο αναλυτικές συναρτήσεις που ορίζονται στο ίδιο ανοιχτό σύνολο ''U'', και αν υπάρχει ένα στοιχείο , τέτοιο ώστε  για κάθε , τότε ισχύει ότι  για κάθε .

Εάν δοθεί μια δυναμοσειρά με ακτίνα σύγκλισης ''r'', μπορούμε να εξετάσουμε αναλυτικές συναρτήσεις της ''f'' που ορίζονται και σε μεγαλύτερα σύνολα από το .

Η επέκταση της δυναμοσειράς της [[Αντίστροφη συνάρτηση|αντίστροφης συνάρτησης]] μιας αναλυτικής συνάρτησης μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας το [[Θεώρημα αντιστροφής Lagrange|θεώρημα αντιστροφής του Λαγκράνζ]].

=== Συμπεριφορά κοντά στα όρια ===
Το άθροισμα μιας δυναμοσειράς με θετική ακτίνα σύγκλισης είναι μια αναλυτική συνάρτηση σε κάθε σημείο στο εσωτερικό του δίσκου σύγκλισής της. Ωστόσο, μπορεί να παρουσιαστεί διαφορετική συμπεριφορά σε σημεία κοντά στα όρια αυτού του δίσκου. Για παράδειγμα:

# ''Αποκλίνουσα, ενώ το άθροισμα εκτείνεται σε μια αναλυτική συνάρτηση'': Η σειρά <math display="inline">\sum_{n=0}^{\infty}z^n</math> έχει ακτίνα σύγκλισης ίση με <math>1</math> και αποκλίνει σε κάθε σημείο για <math>|z|=1</math>. Παρόλα αυτά, το άθροισμα για <math>|z|<1</math> είναι <math display="inline">\frac{1}{1-z}</math>, το οποίο είναι αναλυτικό σε κάθε σημείο του επιπέδου εκτός από την τιμή <math>z=1</math>.
# ''Συγκλίνουσα σε ορισμένα σημεία και αποκλίνουσα σε άλλα'': Η σειρά <math display="inline">\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n}</math> έχει ακτίνα σύγκλισης <math>1</math>. Όμως, συγκλίνει για <math>z=-1</math>, ενώ αποκλίνει για <math>z=1</math>.
# ''Απόλυτη σύγκλιση σε κάθε σημείο του ορίου'': Η σειρά <math display="inline">\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^n}{n^2}</math> έχει ακτίνα σύγκλισης <math>1</math>, ενώ συγκλίνει απόλυτα, και ομοιόμορφα, σε κάθε σημείο για <math>|z|=1</math>.
# ''Συγκλίνουσα στο δίσκο σύγκλισης, αλλά δεν έχει συνεχές άθροισμα'': Ο [[Βάτσουαφ Σιερπίνσκι|Σιερπίνσκι]] έδωσε ένα παράδειγμα μιας δυναμοσειράς με ακτίνα σύγκλισης <math>1</math>, η οποία είναι συγκλίνουσα σε όλα τα σημεία για <math>|z|=1</math>, αλλά το άθροισμά της είναι μια [[ασυνεχής συνάρτηση]].

== Δυναμοσειρές με πολλές μεταβλητές ==
Η επέκταση της θεωρίας είναι απαραίτητη για τους σκοπούς του [[πολυμεταβλητός λογισμός|πολυμεταβλητού λογισμού]]. Μια **δυναμοσειρά*' ορίζεται εδώ ως μια άπειρη σειρά της μορφής<math display="block">f(x_1, \dots, x_n) = \sum_{j_1, \dots, j_n = 0}^\infty a_{j_1, \dots, j_n} \prod_{k=1}^n (x_k - c_k)^{j_k}, </math>όπου  είναι ένα διάνυσμα φυσικών αριθμών, οι συντελεστές  είναι πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί και το κέντρο  είναι ένα πραγματικό ή μιγαδικό διάνυσμα. Το σύμβολο <math>\Pi</math> είναι το σύμβολο του [[Πολλαπλασιασμός|γινομένου]], που δηλώνει τον πολλαπλασιασμό. Ο παραπάνω τύπος μπορεί να γραφτεί και ως<math display="block">f(x) = \sum_{\alpha \in \N^n} a_\alpha (x - c)^\alpha, </math>όπου <math>\N</math> είναι το σύνολο των [[Φυσικός αριθμός|φυσικών αριθμών]] και <math>\N^n</math> είναι το σύνολο των διατεταγμένων *n*-[[Πλειάδα (μαθηματικά)|πλειάδων]] (ή *n''-άδων) των φυσικών αριθμών.

Η θεωρία τέτοιων σειρών είναι πιο δύσκολη απ' ότι για σειρές μιας μεταβλητής, καθώς έχουν πιο περίπλοκες περιοχές σύγκλισης. Για παράδειγμα, η δυναμοσειρά \sum_{n=0}^\infty x_1^n x_2^n είναι απολύτως συγκλίνουσα στο σύνολο \{ (x_1, x_2): |x_1 x_2|  ανάμεσα σε δύο υπερβολές. Από την άλλη πλευρά, στο εσωτερικό αυτής της περιοχής σύγκλισης μπορούμε να παραγωγίσουμε και να ολοκληρώσουμε ως προς το πρόσημο της σειράς, ακριβώς όπως μπορούμε και με τις συνηθισμένες δυναμοσειρές.

## Σημειώσεις
 

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

* 
* Powers of Complex Numbers από τον Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project.
Κατηγορία:Σειρές (μαθηματικά)
Κατηγορία:Πολυμεταβλητός λογισμός
Κατηγορία:Μιγαδική ανάλυση
Κατηγορία:Πραγματική ανάλυση