Αλγεβρική κλειστότητα

Στα μαθηματικά, ιδιαίτερα στην αφηρημένη άλγεβρα, μια **αλγεβρική κλειστότητα** ενός σώματος *Κ* είναι μια αλγεβρική επέκταση του *Κ* που είναι αλγεβρικά κλειστή. Είναι μία από τις πολλές κλειστότητες στα μαθηματικά.

Χρησιμοποιώντας το Λήμμα του Τσορν ή το ασθενέστερο λήμμα υπερφίλτρου, μπορεί να αποδειχθεί ότι κάθε σώμα έχει μια αλγεβρική κλειστότητα και ότι η αλγεβρική κλειστότητα ενός σώματος *Κ* είναι μοναδική μέχρι έναν ισομορφισμό που καθορίζει κάθε μέλος του *Κ*. Λόγω αυτής της ουσιαστικής μοναδικότητας, συχνά 
μιλάμε για την αλγεβρική κλειστότητα του *Κ* και όχι για αλγεβρική κλειστότητα του *Κ*.

Η **αλγεβρική κλειστότητα** ενός σώματος *K* μπορεί να θεωρηθεί ως η μεγαλύτερη αλγεβρική επέκταση του *K*. Για να το δούμε αυτό, σημειώστε ότι αν το *L* είναι οποιαδήποτε αλγεβρική επέκταση του *K*, τότε η αλγεβρική κλειστότητα του *L* είναι επίσης μια αλγεβρική κλειστότητα του *K*, και έτσι το *L* περιέχεται στην αλγεβρική κλειστότητα του *K*. Η αλγεβρική κλειστότητα του *Κ* είναι επίσης το μικρότερο αλγεβρικά κλειστό σώμα που περιέχει το *Κ*, διότι αν το Μ είναι οποιοδήποτε αλγεβρικά κλειστό σώμα που περιέχει το **Κ**, τότε τα στοιχεία του *Μ* που είναι αλγεβρικά πάνω στο Κ σχηματίζουν μια αλγεβρική κλειστότητα του *Κ*.

Η αλγεβρική κλειστότητα ενός σώματος *Κ* έχει την ίδια πληθικότητα με το *Κ* αν το *Κ* είναι άπειρο, και είναι μετρήσιμα άπειρο αν το *Κ* είναι πεπερασμένο.

## Παραδείγματα
*Το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας δηλώνει ότι η αλγεβρική κλειστότητα του σώματος των πραγματικών αριθμών είναι το σώμα των μιγαδικών αριθμών.
*Η **αλγεβρική κλειστότητα** του σώματος των ρητών αριθμών είναι το σώμα των αλγεβρικών αριθμών.
* Υπάρχουν πολλές μετρήσιμες αλγεβρικές κλειστότητες εντός των μιγαδικών αριθμών, οι οποίες περιέχουν αυστηρά το σώμα των αλγεβρικών αριθμών- αυτές είναι οι αλγεβρικές κλειστότητες των υπερβατικών επεκτάσεων των ρητών αριθμών, π.χ. η αλγεβρική κλειστότητα του **Q**(π).
*Για ένα πεπερασμένο σώμα πρώτης δύναμης τάξεως *q*, η αλγεβρική κλειστότητα είναι ένα μετρήσιμο άπειρο σώμα που περιέχει ένα αντίγραφο του σώματος τάξεως *q**n* για κάθε θετικό ακέραιο *n* (και είναι στην πραγματικότητα η ένωση αυτών των αντιγράφων).

## Ύπαρξη αλγεβρικής κλειστότητας και σώματα διασπάσεως

Έστω S = \{ f_{\lambda} | \lambda \in \Lambda\} το σύνολο όλων των μονικών μη αναγώγιμων πολυωνύμων στο  *K*[*x*].
Για κάθε f_{\lambda} \in S, εισάγετε νέες μεταβλητές  u_{\lambda,1},\ldots,u_{\lambda,d} όπου d = {\rm degree}(f_{\lambda}).
Έστω *R* ο πολυωνυμικός δακτύλιος πάνω από *K* που παράγεται από  u_{\lambda,i} για όλα τα \lambda \in \Lambda και όλα τα i \leq {\rm degree}(f_{\lambda}). Write
: f_{\lambda} - \prod_{i=1}^d (x-u_{\lambda,i}) = \sum_{j=0}^{d-1} r_{\lambda,j} \cdot x^j \in R[x]

με r_{\lambda,j} \in R.
Έστω *I* το ιδεώδες στο *R* που παράγεται από το  r_{\lambda,j}. Δεδομένου ότι το *I* είναι αυστηρά μικρότερο από το *R*,

Το λήμμα του Τσορν συνεπάγεται ότι υπάρχει ένα μέγιστο ιδεώδες *M* στο *R* που περιέχει το *I*.
Το σώμα *K*1=*R*/*M* έχει την ιδιότητα ότι κάθε πολυώνυμο f_{\lambda} με συντελεστές στο *K* διασπάται ως το γινόμενο x-(u_{\lambda,i} + M),και συνεπώς έχει όλες τις ρίζες στο *K*1. Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να κατασκευαστεί μια επέκταση *K*2 του *K*1 κ.λπ. Η ένωση όλων αυτών των επεκτάσεων είναι η **αλγεβρική κλειστότητα** του *K*, επειδή κάθε πολυώνυμο με συντελεστές σε αυτό το νέο σώμα έχει τους συντελεστές του σε κάποιο *K**n* με αρκετά μεγάλο *n*, και τότε οι ρίζες του βρίσκονται στο *K**n*+1,  και επομένως στην ίδια την ένωση.

## Διαχωρίσιμη κλειστότητα

Μια **αλγεβρική κλειστότητα** *K<sup>alg</sup>* του *K* περιέχει μια μοναδική διαχωρίσιμη επέκταση *K<sup>sep</sup>* του *K* που περιέχει όλες τις (αλγεβρικές) διαχωρίσιμες επεκτάσεις του *K* μέσα στο *K<sup>alg</sup>*.  Αυτή η υποεπέκταση ονομάζεται **διαχωρίσιμη κλειστότητα** του *K*. Επειδή μια διαχωρίσιμη επέκταση μιας διαχωρίσιμης επέκτασης είναι πάλι διαχωρίσιμη, δεν υπάρχουν πεπερασμένες διαχωρίσιμες επεκτάσεις του *K<sup>sep</sup>*, βαθμού  > 1. Για να το πούμε αλλιώς, το *K* περιέχεται σε μία διαχωρίσιμη-κλειστή αλγεβρική επέκταση σώματος. Είναι μοναδικό (μέχρι τον ισομορφισμό)..

Η διαχωρίσιμη κλειστότητα είναι η πλήρης αλγεβρική κλειστότητα αν και μόνο αν το *K* είναι τέλειο σώμα. Παραδείγματος χάριν, αν το  *K* είναι ένα σώμα χαρακτηριστικού *p* και αν το *X* είναι υπερβατικό πάνω στο *K*, K(X)(\sqrt[p]{X}) \supset K(X) είναι μια μη διαχωρίσιμη επέκταση αλγεβρικού σώματος.

Γενικά, η απόλυτη ομάδα Γκαλουά του *Κ* είναι η ομάδα Γκαλουά του *K<sup>sep</sup>* πάνω από το *K*.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Υπερβολική γεωμετρία
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Σώμα διασπάσεως
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νοεροί υπολογισμοί

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*Şaban Alaca, Kenneth S. Williams, *Introductory algebraic number theory*, Cambridge University Press, 2004.
*
*
*
*
*
*
*
*

*
*
*
*
*
*
*
*.   **English translation** (of 2nd revised edition):  *(Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)*
*

## Πηγές
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα