Προβολικό αντικείμενο

Στην θεωρία κατηγοριών, η έννοια του **προβολικού αντικειμένου** γενικεύει την έννοια του προβολικού προτύπου. Τα προβολικά αντικείμενα στις αβελιανές κατηγορίες χρησιμοποιούνται στην ομολογική άλγεβρα. Η διπλή έννοια του **προβολικού αντικειμένου** είναι αυτή του ερριπτικου αντικειμένου.

## Ορισμός

Ένα αντικείμενο P σε μια κατηγορία \mathcal{C} είναι *προβολικό*  αν για κάθε επιμορφισμό e:E\twoheadrightarrow X και μορφισμό f:P\to X, υπάρχει ένας μορφισμός \overline{f}:P\to E τέτοιος ώστε e\circ \overline{f}=f, δηλαδή το ακόλουθο διάγραμμα είναι αντιμεταθετικό:

Δηλαδή, κάθε μορφισμός P\to X παραγοντοποιείται μέσω κάθε επιμορφισμού E\twoheadrightarrow X.

Εάν το *C* είναι τοπικά μικρό, δηλαδή, συγκεκριμένα, το \operatorname{Hom}_C(P, X) είναι ένα σύνολο για οποιοδήποτε αντικείμενο *X* στο *C*, ο ορισμός αυτός είναι ισοδύναμος με την προϋπόθεση ότι ο συναρτητής hom (γνωστός και ως συναρτητής συν-αναπαραστάσιμος )
: \operatorname{Hom}(P,-)\colon\mathcal{C}\to\mathbf{Set}
διατηρεί τους επιμορφισμούς.

### Προβολικά αντικείμενα σε αβελιανές κατηγορίες

Εάν η κατηγορία *C* είναι μια αβελιανή κατηγορία, όπως παραδείγματος χάριν η κατηγορία των αβελιανών ομάδων, τότε το *P* είναι προβολικό αν και μόνο αν

: \operatorname{Hom}(P,-)\colon\mathcal{C}\to\mathbf{Ab}

είναι ένας *ακριβής συναρτητής*, όπου **Ab** είναι η κατηγορία των αβελιανών ομάδων. 

Μια αβελιανή κατηγορία \mathcal{A} λέγεται ότι είναι «αρκετά προβολική» αν, για κάθε αντικείμενο A της  \mathcal{A}, υπάρχει ένα προβολικό αντικείμενο P του  \mathcal{A} και ένας επιμορφισμός από το *P* στο *A*  ή, ισοδύναμα, μια σύντομη ακριβής ακολουθία

:0 \to K \to P \to A \to 0.

Ο σκοπός αυτού του ορισμού είναι να διασφαλιστεί ότι κάθε αντικείμενο *A* δέχεται μια **προβολική ανάλυση**, δηλαδή μια (μακρά) ακριβή ακολουθία

:\dots P_2 \to P_1 \to P_0 \to A \to 0

όπου τα αντικείμενα P_0, P_1, \dots είναι προβολικά.

### Προβολικότητα σε σχέση με περιορισμένες κατηγορίες

Ο Σεμαντένι ( συζητά την έννοια των προβολικών (και δυαδικά ερριπτικών) αντικειμένων σε σχέση με μια λεγόμενη δικατηγορία, η οποία αποτελείται από ένα ζεύγος υποκατηγοριών από "έρριψεις" και "επίρριψεις" στην δεδομένη κατηγορία *C* . Αυτές οι υποκατηγορίες υπόκεινται σε ορισμένες τυπικές ιδιότητες, συμπεριλαμβανομένης της απαίτησης ότι κάθε επικάλυψη είναι επιμορφισμός. Ένα προβολικό αντικείμενο (σε σχέση με τη σταθερή κατηγορία των επικαλύψεων) είναι τότε ένα αντικείμενο *P*, έτσι ώστε το Hom(*P*, &minus;) μετατρέπει τη σταθερή κλάση από επίρριψεις (σε αντίθεση με όλους τους επιμορφισμούς) σε επίρριψεις συνόλων (με τη συνήθη έννοια).

## Ιδιότητες
* Το συνγινόμενο δύο προβολικών αντικειμένων είναι προβολικό.
* Η συστολή ενός προβολικού αντικειμένου είναι προβολική.

## Παραδείγματα
Η δήλωση ότι όλα τα σύνολα είναι προβολικά είναι ισοδύναμη με το αξίωμα της επιλογής. 

Τα προβολικά αντικείμενα στην κατηγορία των αβελιανών ομάδων είναι οι ελεύθερες αβελιανές ομάδες.

Έστω R ένας δακτύλιος με ταυτότητα. Ας θεωρήσουμε την (αβελιανή) κατηγορία R-**Mod** των αριστερών R-προτύπων. Τα προβολικά αντικείμενα στο R-**Mod** είναι ακριβώς τα προβολικά αριστερά R-πρὀτυπα. Συνεπώς, το R είναι το ίδιο ένα προβολικό αντικείμενο στο R-**Mod**. Αντίστοιχα, τα ερριπτικά αντικείμενα στο   R-**Mod** είναι ακριβώς τα ερριπτικά αριστερά R-πρότυπα.

Η κατηγορία των αριστερών (δεξιών) R-προτύπων έχει επίσης αρκετές προβολικές. Αυτό ισχύει επειδή, για κάθε αριστερό (δεξί) R-πρότυπο M, μπορούμε να θεωρήσουμε το F ως το ελεύθερο (και επομένως προβολικό) R -πρότυπο που δημιουργείται από ένα σύνολο παραγόντων X για το M ( παραδείγματος χάριν, μπορούμε να θεωρήσουμε το X ως M). Τότε η κανονική προβολή \pi\colon F\to M είναι η απαιτούμενη επίρριψη .

Τα προβολικά αντικείμενα στην κατηγορία των συμπαγών χώρων Χάουσντορφ είναι ακριβώς οι ακραία αποσυνδεδεμένοι χώροι. Αυτό το αποτέλεσμα οφείλεται στον Γκλίσον (, με μια απλοποιημένη απόδειξη που δόθηκε από τον Ρέινγουοτερ (.

Στην κατηγορία των χώρων Μπάναχ και των συστολών (δηλαδή, των συναρτήσεων των οποίων η νόρμα είναι το πολύ 1), οι επιμορφισμοί είναι ακριβώς οι απεικονίσεις με πυκνή εικόνα. Ο  Βίβεγκερ ( δείχνει ότι ο μηδενικός χώρος είναι το μόνο προβολικό αντικείμενο σε αυτή την κατηγορία. Υπάρχουν όμως μη-τετριμμένοι χώροι, οι οποίοι είναι προβολικοί σε σχέση με την κατηγορία των επίκαιρων συστολών. Στην κατηγορία των κανονικών διανυσματικών χώρων με συστολές (και επιρριπτικές απεικονίσεις ως "επίρριψεις"), τα προβολικά αντικείμενα είναι ακριβώς οι l^1-χώροι.
:l^1(S) = \{(x_s)_{s \in S}, \sum_{s \in S} ||x_s|| 

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
*
*
*

*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) 
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα