Πλήρες σώμα

Στα μαθηματικά, ένα **πλήρες σώμα** είναι ένα σώμα εξοπλισμένο με μια μετρική και πλήρες ως προς αυτή τη μετρική. Βασικά παραδείγματα περιλαμβάνουν τους πραγματικούς αριθμούς, τους μιγαδικούς αριθμούς και τα **πλήρη σώματα** τιμών (όπως οι  p-adic αριθμοί).

## Κατασκευές

### Πραγματικοί και μιγαδικοί αριθμοί

Οι πραγματικοί αριθμοί είναι το σώμα με την τυπική ευκλείδεια μετρική |x-y|.  Δεδομένου ότι κατασκευάζεται από την ολοκλήρωση του \Q ως προς αυτή τη μετρική, είναι ένα **πλήρες σώμα**. Η επέκταση των πραγματικών με την αλγεβρική του κλειστότητα δίνει το σώμα \Complex (αφού η απόλυτη ομάδα Γκαλουά του είναι \Z/2). Στην περίπτωση αυτή, το \Complex είναι επίσης ένα **πλήρες σώμα**, αλλά αυτό δεν συμβαίνει σε πολλές περιπτώσεις.

### p-adic

Οι p-adic  αριθμοί κατασκευάζονται από το \Q χρησιμοποιώντας την p-adic  απόλυτη τιμή v_p(a/b) = v_p(a) - v_p(b) όπου a,b \in \Z. Τότε χρησιμοποιώντας την παραγοντοποίηση a = p^nc όπου p δεν διαιρεί το  c,  η αποτίμησή του είναι ο ακέραιος n. Η συμπλήρωση του \Q by v_p είναι το πλήρες σώμα \Q_p που ονομάζεται p-adic αριθμοί. Πρόκειται για μια περίπτωση όπου το σώμα  δεν είναι αλγεβρικά κλειστή. Συνήθως, η διαδικασία είναι να πάρουμε τη διαχωρίσιμη κλειστότητα και στη συνέχεια να την ολοκληρώσουμε ξανά. Αυτό το σώμα συμβολίζεται συνήθως ως \Complex_p.

### Σώμα συνάρτησης μιας καμπύλης

Για το σώμα συνάρτησης k(X) μιας καμπύλης X/k, κάθε σημείο p \in X αντιστοιχεί σε μια απόλυτη τιμή, ή τόπο, v_p. Δεδομένου ενός στοιχείου f \in k(X) που εκφράζεται με ένα κλάσμα g/h, ο τόπος v_p μετρά την τάξη εξαφάνισης του g στο p μείον την τάξη εξαφάνισης του h στο p.Τότε, η ολοκλήρωση του k(X) στο p δίνει ένα νέο σώμα. Παραδείγματος χάριν, αν X = \mathbb{P}^1 στο p = [0:1], η αρχή στο αφινικό διάγραμμα x_1 \neq 0, τότε η ολοκλήρωση του k(X) στο p είναι ισόμορφη με τον δακτύλιο των δυναμοσειρών k((x)).

## Εξηγήσεις

Ένα σώμα με αποτίμηση είναι ένα σώμα (K,+,\cdot) με μια αποτίμηση, δηλαδή μια απεικόνιση στους πραγματικούς αριθμούς, δηλ. μια απεικόνιση στους πραγματικούς αριθμούς

:\phi\colon K\to \R_{\geq 0},
που ικανοποιεί τις συνθήκες
:\phi(a)>0 για  a\not=0, και \phi(0)=0
:\phi(a\cdot b)=\phi(a) \cdot_{\R} \phi(b) για όλα τα a,b
:\phi(a+b)\le \phi(a)+_{\R} \phi(b) για όλα τα a,b
ικανοποιείται.

Η αξιολόγηση επάγει μια μετρική d στο K μέσω του
:d(x,y):=\phi(x-y).

Ένα αξιολογημένο σώμα ονομάζεται πλήρες αν κάθε ακολουθία Κωσύ συγκλίνει στο K με την επαγόμενη μετρική.

## Γενικεύσεις

Η έκφραση «πλήρες σώμα» υποδηλώνει ότι δεν πρέπει να εξετάζουμε μόνο τα αξιολογημένα σώματα, αλλά γενικότερα τα σώματα με μετρική. Το nLab ορίζει ένα πλήρες σώμα ως έναν πλήρη χώρο και απαιτεί επίσης τη συνέχεια των πράξεων επί των σωμάτων, δηλαδή ότι οι εικόνες

#+\colon K\times K\to K
#\cdot\colon K\times K\to K

είναι συνεχείς ως προς την τοπολογία που δημιουργείται από τη μετρική. Αυτή η συνέχεια προκύπτει αυτόματα από τις προαναφερθείσες ιδιότητες μιας αποτίμησης.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Σώμα διασπάσεως
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νοεροί υπολογισμοί

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
* 
*
* J. S. Milne, Class Field Theory (Course notes available at http://www.jmilne.org/math/).  See the Introduction chapter of the notes, especially p.&nbsp;4.
*
* 
* Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 323, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196, Zbl 0948.11001
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα