Ακέραιος του Αϊζενστάιν

Στα μαθηματικά, οι **ακέραιοι αριθμοί Αϊζενστάιν** (που πήραν το όνομά τους από τον Γκότχολντ Αϊζενστάιν), που περιστασιακά είναι γνωστοί και ως **ακέραιοι αριθμοί του Όιλερ** (από τον Λέοναρντ Όιλερ), είναι οι μιγαδικοί αριθμοί της μορφής
: z = a + b\omega ,
όπου  και  είναι ακέραιοι αριθμοί και
: \omega = \frac{-1 + i\sqrt 3}{2} = e^{i2\pi/3}
είναι μια πρωταρχική (άρα μη πραγματική) κυβική ρίζα της μονάδας.

Οι **ακέραιοι αριθμοί Αϊζενστάιν** σχηματίζουν ένα τριγωνικό πλέγμα στο μιγαδικό επίπεδο, σε αντίθεση με τους Γκαουσιανούς ακέραιους αριθμούς, οι οποίοι σχηματίζουν ένα τετραγωνικό πλέγμα στο μιγαδικό επίπεδο. Οι ακέραιοι Αϊζενστάιν είναι ένα μετρήσιμο άπειρο σύνολο.

## Ιδιότητες

Οι **ακέραιοι αριθμοί Αϊζενστάιν** σχηματίζουν έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο αλγεβρικών ακεραίων αριθμών στο αλγεβρικό σώμα αριθμών  - το τρίτο κυκλοτομικό σώμα. Για να δούμε ότι οι ακέραιοι του Αϊζενστάιν είναι αλγεβρικοί ακέραιοι ας σημειώσουμε ότι κάθε } είναι ρίζα του μοναδιαίου πολυωνύμου
: z^2 - (2a - b)\;\!z + \left(a^2 - ab + b^2\right)~.
Ειδικότερα, η  ικανοποιεί την εξίσωση
: \omega^2 + \omega + 1 = 0~.

Το γινόμενο δύο ακεραίων Αϊζενστάιν  και  δίνεται ρητά από τη σχέση
: (a + b\;\!\omega) \;\! (c + d\;\!\omega)=(ac - bd) + (bc + ad - bd)\;\!\omega~.

Η 2-νόρμα ενός ακέραιου αριθμού Αϊζενστάιν είναι απλώς το τετραγωνικό του modulus και δίνεται από τη σχέση 
: {\left|a + b\;\!\omega\right|}^2 \,= \, {(a - \tfrac{1}{2} b)}^2 + \tfrac{3}{4} b^2 \, = \, a^2 - ab + b^2~,
που είναι σαφώς ένας θετικός συνηθισμένος (ρητός) ακέραιος αριθμός.

Επίσης, ο συζυγής μιγαδικός της  ικανοποιεί
: \bar\omega = \omega^2~.
Η ομάδα των μονάδων αυτού του δακτυλίου είναι η κυκλική ομάδα που σχηματίζεται από τις έκτες ρίζες της μονάδας στο μιγαδικό επίπεδο: , οι **ακέραιοι αριθμοί Αϊζενστάιν** της νόρμας&nbsp;.

## Ευκλείδειος χώρος

Ο δακτύλιος των **ακεραίων αριθμών Αϊζενστάιν** σχηματίζει ένα ευκλείδειο χώρο του οποίου η νόρμα  δίνεται από το τετραγωνικό modulus, όπως παραπάνω:
: N(a+b\,\omega) = a^2 - a b + b^2. 

Ένας αλγόριθμος διαίρεσης, που εφαρμόζεται σε οποιοδήποτε διαιρετέο  και διαιρέτη , δίνει ένα πηλίκο  και ένα υπόλοιπο  μικρότερο από το διαιρέτη, που ικανοποιεί:
: \alpha = \kappa \beta +\rho \ \ \text{  with  }\ \ N(\rho) 

Εδώ, , , ,  είναι όλοι οι ακέραιοι Αϊζενστάιν. Αυτός ο αλγόριθμος συνεπάγεται τον ευκλείδειο αλγόριθμο, ο οποίος αποδεικνύει το λήμμα του Ευκλείδη και τη μοναδική παραγοντοποίηση των ακεραίων Αϊζενστάιν σε πρώτους Αϊζενστάιν.

Ένας αλγόριθμος διαίρεσης έχει ως εξής.  Πρώτα εκτελούμε τη διαίρεση στο σώμα των μιγαδικών αριθμών και γράφουμε το πηλίκο ως προς }:
:  \frac{\alpha}{\beta}\ =\ \tfrac{1}{\ |\beta|^2}\alpha\overline{\beta} \ =\ a+bi \ =\  a+\tfrac{1}{\sqrt3}b+\tfrac{2}{\sqrt3}b\omega,
για ρητές }. Στη συνέχεια, προκύπτει το ακέραιο πηλίκο Αϊζενστάιν στρογγυλοποιώντας τους ρητούς συντελεστές στον πλησιέστερο ακέραιο:
: \kappa = \left\lfloor a+\tfrac{1}{\sqrt3}b\right\rceil + \left\lfloor \tfrac{2}{\sqrt3}b\right\rceil\omega \ \ \text{ and }\ \ \rho = {\alpha} - \kappa\beta.
Εδώ \lfloor x\rceil μπορεί να δηλώνει οποιαδήποτε από τις συνήθεις συναρτήσεις με στρογγυλοποίηση σε ακέραιο αριθμό.

Ο λόγος που αυτό ικανοποιεί , ενώ η ανάλογη διαδικασία αποτυγχάνει για τους περισσότερους άλλους τετραγωνικούς ακέραιους δακτυλίους, είναι ο εξής. Ένας θεμελιώδης τομέας για τον ιδεώδη , που ενεργεί με μετατοπίσεις στο μιγαδικό επίπεδο, είναι ο ρόμβος 60°-120° με κορυφές , , , . Κάθε ακέραιος αριθμός Αϊζενστάιν  βρίσκεται μέσα σε μία από τις μεταθέσεις αυτού του παραλληλογράμμου και το πηλίκο  είναι μία από τις κορυφές του. Το υπόλοιπο είναι η τετραγωνική απόσταση από την κορυφή αυτή, αλλά η μέγιστη δυνατή απόσταση στον αλγόριθμό μας είναι μόνο \tfrac{\sqrt3}2 |\beta|, οπότε |\rho| \leq \tfrac{\sqrt3}2 |\beta|. (Το μέγεθος του  θα μπορούσε να μειωθεί ελαφρώς, λαμβάνοντας  ως την πλησιέστερη γωνία).

## Πρώτοι αριθμοί Αϊζενστάιν

Αν  και  είναι ακέραιοι Αϊζενστάιν, λέμε ότι  διαιρεί  αν υπάρχει κάποιος ακέραιος Αϊζενστάιν  τέτοιος ώστε . Ένας μη μοναδιαίος ακέραιος Αϊζενστάιν  λέγεται πρώτος Αϊζενστάιν αν οι μόνοι μη μοναδιαίοι διαιρέτες του είναι της μορφής , όπου  είναι οποιαδήποτε από τις έξι μονάδες. Πρόκειται για την αντίστοιχη έννοια των γκαουσιανών πρώτων αριθμών στους ακέραιους αριθμούς του Γκάους.

Υπάρχουν δύο τύποι πρώτων αριθμών Αϊζενστάιν.
* Ένας συνηθισμένος πρώτος αριθμός (ή *ρητός πρώτος*) που είναι σύμφωνος με τον  είναι επίσης ένας πρώτος αριθμός Αϊζενστάιν.
*  και κάθε ρητός πρώτος που είναι όμοιος με το  είναι ίσοι με την νόρμα  ενός ακέραιου αριθμού Αϊζενστάιν . Έτσι, ένας τέτοιος πρώτος μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως , και αυτοί οι παράγοντες είναι πρώτοι Αϊζενστάιν : είναι ακριβώς οι ακέραιοι Αϊζενστάιν των οποίων η νόρμα είναι ένας ορθολογικός πρώτος.

Στον δεύτερο τύπο, οι παράγοντες , 1-\omega και 1-\omega^2 είναι συσχετιζόμενοι: 1-\omega=(-\omega)(1-\omega^2), έτσι θεωρείται ως ειδικός τύπος σε ορισμένα βιβλία. 

Οι πρώτοι πρώτοι αριθμοί του Αϊζενστάιν της μορφής  είναι:
: 2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101, ... .

Οι φυσικοί πρώτοι αριθμοί που είναι σύμφωνοι με  ή  modulo  δεν είναι *μη* πρώτοι αριθμοί Αϊζενστάιν: δέχονται μη τετριμμένες παραγοντοποιήσεις στο . Παραδείγματος χάριν:
: 
: .

Γενικά, αν ένας φυσικός πρώτος  είναι  modulo  και επομένως μπορεί να γραφεί ως εξής ,τότε παραγοντοποιείται στο  ως εξής 
: .

Ορισμένοι μη πραγματικοί πρώτοι του Αϊζενστάιν είναι
: , , , , , , .

Μέχρι τη συζυγία και τα μοναδιαία πολλαπλάσια, οι προαναφερόμενοι πρώτοι αριθμοί, μαζί με τους  και , είναι όλοι οι πρώτοι αριθμοί Αϊζενστάιν με απόλυτη τιμή που δεν υπερβαίνει το .

Από τον Οκτώβριο του 2023, ο μεγαλύτερος γνωστός πραγματικός πρώτος αριθμός Αϊζενστάιν είναι ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός  , -ανακαλύφθηκε από τον Πέτερ Σάμπολτς και την PrimeGrid. Με μία εξαίρεση, όλοι οι μεγαλύτεροι γνωστοί πρώτοι αριθμοί είναι οι πρώτοι αριθμοί Μερσέν, που ανακαλύφθηκαν από το GIMPS. Οι πραγματικοί πρώτοι αριθμοί Αϊζενστάιν είναι σύμφωνοι με , και όλοι οι πρώτοι αριθμοί Μερσέν μεγαλύτεροι από  είναι σύμφωνοι με - επομένως κανένας πρώτος αριθμός Μερσέν δεν είναι πρώτος αριθμός Αϊζενστάιν.

## Σειρές Αϊζενστάιν
Το άθροισμα των αντίστροφων όλων των ακεραίων του Αϊζενστάιν, εκτός του , ανυψωμένο στην τέταρτη δύναμη είναι :
\sum_{z\in\mathbf{E}\setminus\{0\}}\frac{1}{z^4}=G_4\left(e^{\frac{2\pi i}{3}}\right)=0

οπότε e^{2\pi i/3} είναι μια ρίζα του j-αναλλοίωτου.
Γενικά G_k\left(e^{\frac{2\pi i}{3}}\right)=0 αν και μόνο αν k\not\equiv 0 \pmod 6.

Το άθροισμα των αντίστροφων όλων των ακεραίων του Αϊζενστάιν εκτός του  που υψώνεται στην έκτη δύναμη μπορεί να εκφραστεί με τη συνάρτηση γάμμα:
\sum_{z\in\mathbf{E}\setminus\{0\}}\frac{1}{z^6}=G_6\left(e^{\frac{2\pi i}{3}}\right)=\frac{\Gamma (1/3)^{18}}{8960\pi^6}

όπου  είναι οι ακέραιοι αριθμοί Αϊζενστάιν και  είναι η σειρά Αϊζενστάιν βάρους 6.

## Πηλίκο του  με τους ακέραιους αριθμούς Αϊζενστάιν

Το πηλίκο του μιγαδικού επιπέδου  με το πλέγμα που περιέχει όλους τους ακέραιους αριθμούς Αϊζενστάιν είναι ένας μιγαδικός τόρος πραγματικής διάστασης&nbsp;. Αυτός είναι ένας από τους δύο τόρους με μέγιστη συμμετρία μεταξύ όλων αυτών των μιγαδικών τόρων. Αυτός ο τόρος μπορεί να προκύψει με την αναγνώριση κάθε ενός από τα τρία ζεύγη αντίθετων ακμών ενός κανονικού εξαγώνου.

Ο άλλος μέγιστα συμμετρικός δακτύλιος είναι το πηλίκο του μιγαδικού επιπέδου με το προσθετικό πλέγμα των ακεραίων αριθμών Γκάους και μπορεί να προκύψει από την ταύτιση κάθε ενός από τα δύο ζεύγη αντίθετων πλευρών ενός τετραγωνικού θεμελιώδους σώματος, όπως το }.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Σώμα διασπάσεως
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νοεροί υπολογισμοί

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 

* 
* 
* 

* Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
*
*
*
*
*
*
*
*.   **English translation** (of 2nd revised edition):  *(Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)*
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία 
Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα