Ευθεία Σίμσον

right|thumb|Η ευθεία Σίμσον του σημείου <math>\rm P</math> του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου <math>\mathrm{AB\Gamma}</math>.

Στην γεωμετρία, η **ευθεία Σίμσον** ή αλλιώς **ευθεία Σίμσον-Γουάλας** (αναφέρεται και ως **ευθεία Simson** ή **ευθεία Simson-Wallace**) ενός σημείου \rm P του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου \rm AB\Gamma είναι η ευθεία που διέρχεται απο τις προβολές \rm P_A, P_B, P_\Gamma του \rm P στις πλευρές του τριγώνου.

Ισχύει και το αντίστροφο του θεωρήματος, δηλαδή αν οι προβολές ενός σημείου \rm P στις πλευρές ενός τριγώνου είναι συνευθειακά σημεία, τότε το \rm P είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

Η ευθεία παίρνει το όνομά της από τους μαθηματικούς Ρόμπερτ Σίμσον και Γουίλιαμ Γουάλας.

## Απόδειξη
 = \varphi, καθώς οι γωνίες βαίνουν στο ίδιο τόξο.

Αντίστοιχα, το τετράπλευρο \rm PP_BP_A\Gamma είναι εγγράψιμο και \widehat {\rm \Gamma PP_A} = \widehat {\rm \Gamma P_BP_A} = \omega.

Επίσης, το τετράπλευρο \rm PP_\Gamma BP_A είναι εγγράψιμο και άρα 
:

Τέλος, το \rm P ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του \rm AB\Gamma ανν το τετράπλευρο \rm AB\Gamma είναι εγγράψιμο, αν και μόνο αν
:\widehat {\rm APP_\Gamma } = 180^\circ - \hat{\rm B} = \hat{\rm A} + \hat{\Gamma} = \widehat {\rm AP\Gamma} + \omega, 
δηλαδή ανν \varphi = \omega (χρησιμοποιώντας την ()).
}}

## Ιδιότητες

* Η ευθεία Σίμσον ενός σημείου \rm P είναι παράλληλη της ευθείας Στάινερ του σημείου (η οποία διέρχεται από συμμετρικά σημεία του \rm P ως προς τις πλευρές του τριγώνου).
* Οι ευθείες Σίμσον που αντιστοιχούν σε αντιδιαμετρικά σημεία του περιγεγραμμένου κύκλου είναι κάθετες.
* Η γωνία μεταξύ των ευθειών Σίμσον δύο σημείων \rm P, Q του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου είναι ίση με το μισό του τόξου \overset{\frown}{\rm PQ}.
* Η ευθεία Σίμσον ενός σημείου \rm P διχοτομεί το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει το \rm P με το \rm H.
* Η ευθεία Σίμσον ενός σημείου \rm P είναι κάθετη στην ισογώνιο της \rm AP ως προς τις πλευρές \rm AB και \rm A\Gamma.

## Ειδικές περιπτώσεις
* Οι ευθείες Σίμσον των κορυφών του τριγώνου είναι οι ευθείες των υψών του τριγώνου.
* Οι ευθείες Σίμσον των ανδιαμετρικών σημείων των κορυφών του τριγώνου ως προς τον περιγεγραμμένο κύκλο είναι οι πλευρές του τριγώνου.

## Εφαρμογές
Η ευθεία Σίμσον χρησιμοποιείτε στην απόδειξη αρκετών θεωρημάτων στην γεωμετρία, συμπεριλαμβανομένου και του θεωρήματος Σάλμον.

## Γενικεύσεις
* Έστω ένα τρίγωνο \rm AB\Gamma και \rm P ένα σημείο του περιγεγραμμένου του κύκλου. Αν \rm \Delta, E, Z τρία σημεία στις πλευρές \rm AB, B\Gamma, \Gamma A του τριγώνου, για τα οποία τα ευθύγραμμα τμήματα \rm P\Delta, PE, PZ σχηματίζουν ίσες γωνίες με τις πλευρές του τριγώνου (θεωρώντας την ίδια φορά), τότε είναι συνευθειακά.
:**Σημείωση:** Το θεώρημα της ευθείας Σίμσον είναι η ειδική περίπτωση που οι γωνίες είναι ορθές.
* Έστω ένας κύκλος ομόκεντρος του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου και ένα σημείο \rm P του κύκλου αυτού. Τότε, το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από τις προβολές του σημείου στις πλευρές του τριγώνου είναι σταθερό.
:**Σημείωση:** Το θεώρημα της ευθείας Σίμσον είναι η ειδική περίπτωση όπου το εμβαδόν είναι ίσο με το μηδέν.
Για περαιτέρω γενικεύσεις δείτε την βιβλιογραφία.

## Γεωμετρικοί τόποι

* Η περιβάλλουσα των ευθειών Σίμσον των σημείων του περιγεγραμμένου κύκλου δίνει το δελτοειδές Στέινερ, μία καμπύλη που εφάπτεται του κύκλου Όιλερ και έχουν το ίδιο κέντρο. 
* Για κάθε σημείο \rm P του επιπέδου, υπάρχουν τρία σημεία των οποίων οι ευθεία Σίμσον διέρχεται από το \rm P.

## Ιστορία

Ο Γουάλας δημοσίευσε το θεώρημα στο *Mathematical Repository* του Leybourn το 1799. Ο Servois στην δημοσίευσή του στο *Annales de Mathématiques pures et appliquées* (1814), αποδίδει το θεώρημα στον Σίμσον. Μετέπειτα μελέτες θεωρούν αυτήν την απόδοση λανθασμένη (αλλά το θεώρημα ήταν ήδη διαδεδομένο με αυτή την ονομασία.

## Δείτε επίσης
* Περιγεγραμμένος κύκλος
* Συνευθειακά σημεία (γεωμετρία)
* Ευθεία Στάινερ

## Σημειώσεις


## Περαιτέρω ανάγνωση
### Διαδραστικές εφαρμογές
* Διαδραστική εφαρμογή για την ευθεία Σίμσον στο Φωτόδεντρο
* Ευθεία Σίμσον στο Cut The Knot
* Ευθεία Σίμσον στο Geogebra
* Ευθεία Simson, Ευθείες Simson δύο αντιδιαμετρικών πόλων - Κύκλος Euler, Ευθεία Simson - Κύκλος Euler, Παράλληλες τής Ευθείας Simson στό Διαδραστική Γεωμετρία

### Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* Ευθείες Σίμσον ενός τριγώνου, Παράλληλος της ευθείας Σίμσον, Γενικευμένη ευθεία Σίμσον, Γεωμετρικός τόπος ευθειών Σίμσον, Σχετικά με την ευθεία Σίμσον στην Πινακοθήκη Γεωμετρικών Θεμάτων
* Ευθεία Σίμσον στο Art of Problem Solving

### Ελληνικά άρθρα
* 

### Ξενόγλωσσα άρθρα
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


Κατηγορία:Τρίγωνα
Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία
Κατηγορία:Ευθείες