Πίνακας Χούρβιτς

Στα μαθηματικά, ένας **πίνακας Χούρβιτς**, ή πίνακας Ρουθ-Χούρβιτς, στη μηχανική πίνακας σταθερότητας, είναι ένας δομημένος πραγματικός τετραγωνικός πίνακας που κατασκευάζεται με τους συντελεστές ενός πραγματικού πολυωνύμου.

## Πίνακας Χούρβιτς και το κριτήριο ευστάθειας Χούρβιτς
Δηλαδή, δεδομένου ενός πραγματικού πολυωνύμου

:p(z)=a_{0}z^n+a_{1}z^{n-1}+\cdots+a_{n-1}z+a_n
ο n\times n τετραγωνικός πίνακας
:
H=
\begin{pmatrix}
a_1 & a_3 & a_5 & \dots & \dots & \dots & 0 & 0 & 0 \\
a_0 & a_2 & a_4 & & & & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & a_1 & a_3 & & & & \vdots & \vdots & \vdots \\
\vdots & a_0 & a_2 & \ddots & & & 0 & \vdots & \vdots \\
\vdots & 0 & a_1 & & \ddots & & a_n & \vdots & \vdots \\
\vdots & \vdots  & a_0 & & & \ddots &  a_{n-1} & 0 & \vdots \\
\vdots & \vdots  & 0 & & & & a_{n-2} & a_n & \vdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & & & & a_{n-3} & a_{n-1} & 0 \\
0 & 0 & 0 & \dots & \dots & \dots & a_{n-4} & a_{n-2} & a_n
\end{pmatrix}.


ονομάζεται πίνακας Χούρβιτς που αντιστοιχεί στο πολυώνυμο p. Το 1895 ο Άντολφ Χούρβιτς διαπίστωσε ότι ένα πραγματικό πολυώνυμο με a_0 > 0 είναι ευσταθές (δηλαδή όλες οι ρίζες του έχουν αυστηρά αρνητικό πραγματικό μέρος) αν και μόνο αν όλα τα κύρια ελάσσονα του πίνακα H(p) είναι θετικά: 

:
\begin{align}
\Delta_1(p) &= \begin{vmatrix} a_{1} \end{vmatrix} &&=a_{1} > 0 \\[2mm]
\Delta_2(p) &= \begin{vmatrix}
   a_{1} & a_{3} \\
   a_{0} & a_{2} \\
   \end{vmatrix} &&= a_2 a_1 - a_0 a_3 > 0\\[2mm]
\Delta_3(p) &= \begin{vmatrix}
   a_{1} & a_{3} & a_{5} \\
   a_{0} & a_{2} & a_{4} \\
   0     & a_{1} & a_{3} \\
\end{vmatrix} &&= a_3 \Delta_2 - a_1 (a_1 a_4 - a_0 a_5 ) > 0
\end{align}


και ούτω καθεξής. Οι ελάσσονες \Delta_k(p) ονομάζονται ορίζουσες Χούρβιτς. Αντίστοιχα, αν a_0  τότε το πολυώνυμο είναι ευσταθές αν και μόνο αν οι κύριοι ελάσσονες έχουν εναλλασσόμενα πρόσημα ξεκινώντας με αρνητικό.

## Σταθεροί πίνακες Χούρβιτς

Στη μηχανική και τη θεωρία ευστάθειας, ένας τετραγωνικός πίνακας A ονομάζεται πίνακας Χούρβιτς αν κάθε ιδιοτιμή του A  έχει αυστηρά αρνητικό πραγματικό μέρος, δηλαδή, 

:\operatorname{Re}[\lambda_i] 

για κάθε ιδιοτιμή \lambda_i. Ο A ονομάζεται επίσης **σταθερός πίνακας**, διότι τότε η διαφορική εξίσωση

:\dot x = A x

είναι ασυμπτωτικά σταθερό, δηλαδή x(t)\to 0 καθώς t\to\infty.

Αν G(s) είναι μια συνάρτηση μεταφοράς (με τιμές πίνακα), τότε η G ονομάζεται ** Χούρβιτς ** αν οι πόλοι όλων των στοιχείων της G έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος. Ας σημειωθεί ότι δεν είναι απαραίτητο ο G(s), για ένα συγκεκριμένο όρισμα s, να είναι πίνακας Χούρβιτς - δεν χρειάζεται καν να είναι τετραγωνικός. Η σύνδεση είναι ότι αν ο A είναι ένας πίνακας  Χούρβιτς , τότε το δυναμικό σύστημα

:\dot x(t)=A x(t) + B u(t) 	
:y(t)=C x(t) + D u(t)\,

διαθέτει συνάρτηση μεταφοράς Χούρβιτς.

Κάθε υπερβολικό σταθερό σημείο (ή σημείο ισορροπίας) ενός συνεχούς δυναμικού συστήματος είναι τοπικά ασυμπτωτικά ευσταθές αν και μόνο αν η Ιακωβιανή του δυναμικού συστήματος είναι ευσταθής κατά Χούρβιτς στο σταθερό σημείο.

Ο πίνακας ευστάθειας Χούρβιτς είναι ένα κρίσιμο μέρος της θεωρίας ελέγχου. Ένα σύστημα είναι ευσταθές αν ο πίνακας ελέγχου του είναι πίνακας Χούρβιτς. Οι αρνητικές πραγματικές συνιστώσες των ιδιοτιμών του πίνακα αντιπροσωπεύουν την αρνητική ανατροφοδότηση. Αντίστοιχα, ένα σύστημα είναι εγγενώς ασταθές εάν οποιαδήποτε από τις ιδιοτιμές έχει θετικές πραγματικές συνιστώσες, που αντιπροσωπεύουν θετική ανατροφοδότηση.

## Δείτε επίσης

* Field Arithmetic
* Πραγματικό προβολικό επίπεδο
* Εσωτερικό γινόμενο 
* Αντιερμιτιανός πίνακας
* Πίνακας (μαθηματικά)
* Τριγωνικός πίνακας
* Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
* Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
* Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
* Δυναμικό σύστημα
* Διωνυμικός συντελεστής
* High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
* Algorithm overview

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*Matrix calculator
* Matrix Analysis
* Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
* Integral Matrices
* An Introduction to Computational Physics
* Control Theory Methods in Economics
* Mathematical Demoeconomy: Integrating Demographic and Economic Approaches
* Compositions of Quadratic Forms, Τόμος 33
* Stability of Dynamical Systems
* Stability Theory: Hurwitz Centenary Conference Centro Stefano Franscini ...

## Δημοσιεύσεις

* 
* 
* 
* 
*
* 
* 
*
* 
* 
* 

## Παραπομπές


* Robert Stawell Ball (1871) Experimental Mechanics from Google books.
* 
* 
* 

 

Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα 
Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα 
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά) 
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων 
Κατηγορία:Διαφορικές εξισώσεις