Όνειρο του δευτεροετούς

Στα μαθηματικά, το **όνειρο του δευτεροετούς** είναι το ζεύγος των ταυτοτήτων (ειδικά η πρώτη) 

\begin{alignat}{2}
  & \int_0^1 x^{-x}\,dx &&= \sum_{n=1}^\infty n^{-n} \\
  & \int_0^1 x^x   \,dx &&= \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}n^{-n} = - \sum_{n=1}^\infty (-n)^{-n}
\end{alignat}

ανακαλύφθηκε το 1697 από τον Γιόχαν Μπερνούλι.

Οι αριθμητικές τιμές αυτών των σταθερών είναι περίπου 1,291285997... και 0,7834305107..., αντίστοιχα.

Η ονομασία «όνειρο του δευτεροετούς» έρχεται σε αντίθεση με την ονομασία «όνειρο του πρωτοετούς » που δίνεται στην εσφαλμένη ταυτότητα  Το όνειρο του δευτεροετούς έχει μια παρόμοια αίσθηση του υπερβολικά καλό για να είναι αληθινό, αλλά είναι αληθινό.

## Απόδειξη
Οι αποδείξεις των δύο ταυτοτήτων είναι εντελώς ανάλογες, οπότε παρουσιάζεται εδώ μόνο η απόδειξη της δεύτερης.
Τα βασικά συστατικά της απόδειξης είναι τα εξής:

* για να γράψουμε x^x = \exp(x\ln x) (χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό  για τον φυσικό λογάριθμο και  για την εκθετική συνάρτηση),
* για να αναπτύξετε \exp(x\ln x) χρησιμοποιώντας τη δυνάμοσειρά για - και
* για να ολοκληρωθεί κατά όρους, χρησιμοποιώντας την ολοκλήρωση με αντικατάσταση.

Αναλυτικά,  μπορεί να αναπτυχθεί ως εξής

x^x = \exp(x \log  x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n(\log  x)^n}{n!}.

Ως εκ τούτου,

\int_0^1 x^x\,dx =  \int_0^1 \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n(\log  x)^n}{n!} \,dx. 

Με την ομοιόμορφη σύγκλιση της δυναμοσειράς, μπορεί κανείς να εναλλάξει την άθροιση και την ολοκλήρωση για να προκύψει

\int_0^1 x^x\,dx = \sum_{n=0}^\infty \int_0^1 \frac{x^n(\log  x)^n}{n!} \,dx. 

Για την αξιολόγηση των παραπάνω ολοκληρωμάτων, μπορούμε να αλλάξουμε τη μεταβλητή στο ολοκλήρωμα μέσω της αντικατάστασης x=\exp(-\frac{u}{n+1}).  Με αυτή την αντικατάσταση, τα όρια ολοκλήρωσης μετατρέπονται σε 0  δίνοντας την ταυτότητα

\int_0^1 x^n(\log x)^n\,dx = (-1)^n (n+1)^{-(n+1)}  \int_0^\infty u^n  e^{-u}\,du.

Με την ολοκλήρωση της ταυτότητας του Όιλερ για τη συνάρτηση Γάμμα, έχουμε  

\int_0^\infty u^n e^{-u}\,du=n!,

έτσι ώστε

\int_0^1 \frac{x^n (\log  x)^n}{n!}\,dx
= (-1)^n (n+1)^{-(n+1)}.

Αθροίζοντας αυτά (και αλλάζοντας την ευρετηρίαση ώστε να ξεκινά από  αντί για ) προκύπτει ο τύπος.

## Ιστορική απόδειξη

Η αρχική απόδειξη, που δόθηκε στο Μπερνούλι, και παρουσιάστηκε σε εκσυγχρονισμένη μορφή στο Ντάνχαμ, διαφέρει από την παραπάνω στο πώς υπολογίζεται το κατά όρους ολοκλήρωμα \int_0^1 x^n(\log x)^n\,dx αλλά κατά τα άλλα είναι η ίδια, παραλείποντας τεχνικές λεπτομέρειες για την αιτιολόγηση των βημάτων (όπως η ολοκλήρωση κατά όρους). Αντί να ολοκληρώσει με αντικατάσταση, που δίνει τη συνάρτηση Γάμμα (η οποία δεν ήταν ακόμη γνωστή), ο Μπερνούλι χρησιμοποίησε την ολοκλήρωση κατά μέρη για τον επαναληπτικό υπολογισμό αυτών των όρων. 

Η ολοκλήρωση κατά μέρη προχωρά ως εξής, μεταβάλλοντας τους δύο εκθέτες ανεξάρτητα για να προκύψει μια αναδρομή. Αρχικά υπολογίζεται ένα απροσδιόριστο ολοκλήρωμα, παραλείποντας τη σταθερά ολοκληρώσεως + C τόσο επειδή αυτό γινόταν ιστορικά, όσο και επειδή πέφτει έξω κατά τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος. 

Ολοκληρώνοντας \int x^m (\log x)^n\,dx με αντικατάσταση u = (\log x)^n and dv=x^m\,dx προκύπτει: 

\begin{align}
\int x^m (\log x)^n\,dx
& = \frac{x^{m+1}(\log x)^n}{m+1} - \frac{n}{m+1}\int x^{m+1} \frac{(\log x)^{n-1}}{x}\,dx  \qquad\text{(for }m\neq -1\text{)}\\
& = \frac{x^{m+1}}{m+1}(\log x)^n - \frac{n}{m+1}\int x^m (\log x)^{n-1}\,dx  \qquad\text{(for }m\neq -1\text{)}
\end{align}


(επίσης στον κατάλογο των ολοκληρωμάτων λογαριθμικών συναρτήσεων). Αυτό μειώνει τη δύναμη του λογαρίθμου στο ολοκλήρωμα κατά 1 (από n σε n-1) και έτσι μπορεί κανείς να υπολογίσει το ολοκλήρωμα επαγωγικά, ως εξής


\int x^m (\log x)^n\,dx
= \frac{x^{m+1}}{m+1}
 \cdot \sum_{i=0}^n (-1)^i \frac{(n)_i}{(m+1)^i} (\log x)^{n-i}

όπου (n)_i υποδηλώνει το φθίνον παραγοντικό- υπάρχει πεπερασμένο άθροισμα επειδή η επαγωγή σταματά στο 0, αφού  είναι ακέραιος.

Στην περίπτωση αυτή m=n και είναι ακέραιοι, οπότε

\int x^n (\log x)^n\,dx
= \frac{x^{n+1}}{n+1}
 \cdot \sum_{i=0}^n (-1)^i \frac{(n)_i}{(n+1)^i} (\log x)^{n-i}.

Ολοκληρώνοντας από το 0 έως το 1, όλοι οι όροι εξαφανίζονται εκτός από τον τελευταίο όρο στο 1, ο οποίος δίνει:

\int_0^1 \frac{x^n (\log x)^n}{n!}\,dx
= \frac{1}{n!}\frac{1^{n+1}}{n+1}
 (-1)^n \frac{(n)_n}{(n+1)^n} = (-1)^n (n+1)^{-(n+1)}.

Αυτό είναι ισοδύναμο με τον υπολογισμό της ολοκληρωτικής ταυτότητας του Euler \Gamma(n+1) = n! για τη συνάρτηση Γάμμα σε ένα διαφορετικό πεδίο (που αντιστοιχεί στην αλλαγή των μεταβλητών με αντικατάσταση), καθώς η ίδια η ταυτότητα του Όιλερ μπορεί επίσης να υπολογιστεί μέσω μιας ανάλογης ολοκλήρωσης κατά μέρη.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Τριγωνομετρική συνάρτηση
* Συνάρτηση γάμμα
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Διαφορική γεωμετρία
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Ανρί Λεόν Λεμπέσγκ
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Προβολικός χώρος
* Δυναμοσειρές
* Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Μιγαδικός αριθμός
* Τυχαία μεταβλητή
* Ακέραιος αριθμός

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές



* 
* 
* 
* OEIS,  and 
* 
* 
* Max R. P. Grossmann (2017): Sophomore's dream. 1,000,000 digits of the first constant

* .
* .
*

*  Literature for x^x and Sophomore's Dream, Tetration Forum,  03/02/2010
* *[http://eretrandre.org/rb/files/JayFantini1998_203.pdf The Coupled Exponential],* Jay A. Fantini, Gilbert C. Kloepfer, 1998
* Sophomore's Dream Function, Jean Jacquelin, 2010, 13 pp.
* 
* 

*
* Ch. 1–6 of 2013 edition

Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Μιγαδική ανάλυση
Κατηγορία:Ολοκληρώματα
Κατηγορία:Μέθοδοι επιστημονικής έρευνας
Κατηγορία:Εφαρμοσμένα μαθηματικά
Κατηγορία:Ειδικές συναρτήσεις
Κατηγορία:Ολοκληρωτικός λογισμός
Κατηγορία:Μαθηματικές σταθερές
Κατηγορία:Θεωρία αριθμών