Εικασία του Λεζάντρ

Η **εικασία του Λεζάντρ**, που προτάθηκε από τον Αντριέν-Μαρί Λεζάντρ, δηλώνει ότι υπάρχει ένας πρώτος αριθμός μεταξύ n^2 και (n+1)^2 για κάθε θετικος ακέραιος. n.
Η εικασία είναι ένα από τα προβλήματα του Λαντάου (1912) σχετικά με τους πρώτους αριθμούς και ένα από τα πολλά ανοικτά προβλήματα σχετικά με την απόσταση των πρώτων αριθμών.

## Απόστασεις
Αν η εικασία του Λεζάντρ είναι αληθής, η απόσταση μεταξύ οποιουδήποτε πρώτου αριθμού *p* και του αμέσως μεγαλύτερου πρώτου αριθμού θα είναι O(\sqrt{p}\,), όπως εκφράζεται με τον συμβολισμό big O. Είναι ένα από μια οικογένεια αποτελεσμάτων και εικασιών που σχετίζονται με τις αποστάσεις των πρώτων αριθμών, δηλαδή με την απόσταση μεταξύ των πρώτων αριθμών. Άλλοι περιλαμβάνουν το αξίωμα του Μπερτράν σχετικά με την ύπαρξη ενός πρώτου αριθμού μεταξύ n και 2n, την εικασία του Όπερμαν σχετικά με την ύπαρξη πρώτων αριθμών μεταξύ n^2, n(n+1) και (n+1)^2, την εικασία του Αντρίκα και την εικασία του Μπροκάρντ για την ύπαρξη πρώτων αριθμών μεταξύ τετραγώνων διαδοχικών πρώτων αριθμών, και την εικασία του Κράμερ ότι οι αποστάσεις είναι πάντα πολύ μικρότερες, της τάξης (\log p)^2. Αν η εικασία του Κράμερ είναι αληθής, η εικασία του Λεζάντρ θα ακολουθούσε για όλα τα επαρκώς μεγάλα *n*.  Ο Χάραλντ Κράμερ απέδειξε επίσης ότι η υπόθεση Ρίμαν συνεπάγεται ένα ασθενέστερο όριο O(\sqrt p\log p) για το μέγεθος των μεγαλύτερων πρώτων αποστάσεων.

Σύμφωνα με το θεώρημα των πρώτων αριθμών, ο αναμενόμενος αριθμός των πρώτων αριθμών μεταξύ n^2 και (n+1)^2 είναι περίπου n/\ln n, και είναι επιπλέον γνωστό ότι για σχεδόν όλες τις αποστάσεις αυτής της μορφής ο πραγματικός αριθμός των πρώτων αριθμών () είναι ασυμπτωτικά προς αυτόν τον αναμενόμενο αριθμό. Δεδομένου ότι ο αριθμός αυτός είναι μεγάλος για μεγάλο n, αυτό προσδίδει αξιοπιστία στην εικασία του Λεζάντρ.Είναι γνωστό ότι το θεώρημα των πρώτων αριθμών δίνει μια ακριβή καταμέτρηση των πρώτων αριθμών μέσα σε μικρά διαστήματα, είτε άνευ όρων  ή με βάση την υπόθεση Ρίμαν,  αλλά τα μήκη των αποστάσεων για τις οποίες αυτό έχει αποδειχθεί είναι μεγαλύτερα τις αποστάσεις μεταξύ διαδοχικών τετραγώνων, πολύ μεγάλα για να αποδειχθεί η εικασία του Λεζάντρ.

## Μερικά αποτελέσματα

Από ένα αποτέλεσμα του Άλμπερτ Ίνγκαμ προκύπτει ότι για για όλους τους αρκετά μεγάλους n, υπάρχει ένας πρώτος μεταξύ των διαδοχικών κύβων * <math>n^3</math> και <math>(n+1)^3</math>.. *Ο Ντούντεκ απέδειξε ότι αυτό ισχύει για όλους τους* <math>n \ge e^{e^{33.3}}</math>.

Ο Ντούντεκ απέδειξε επίσης ότι για <math>m = 4.971\times10^9</math> και κάθε θετικό ακέραιο <math>n</math>, υπάρχει ένας πρώτος αριθμός μεταξύ <math>n^m</math> και <math>(n+1)^m</math>. Ο Μάτνερ το μείωσε σε <math>m = 1438989</math>  το οποίο μειώθηκε περαιτέρω σε <math>m = 155</math> από τον Κούλι-Χούγκιλ.

Οι Μπέικερ, Χάρμαν και Πιντζ απέδειξαν ότι υπάρχει ένας πρώτος αριθμός στο διάστημα <math>[x-x^{21/40},\,x]</math> για όλους τους μεγάλους <math>x</math>.

Ένας πίνακας μέγιστων αποστάσεων [[Πρώτος αριθμός|πρώτων]] δείχνει ότι η εικασία ισχύει για τουλάχιστον <math>n^2=4\cdot10^{18}</math>, δηλαδή <math>n=2\cdot10^9</math>.

== Σύνδεση με την εικασία Ρίμαν ==
Η αλήθεια ως προς την [[υπόθεση Ρίμαν]] προϋποθέτει μια ελαφρώς ασθενέστερη μορφή της εικασίας του Λεζάντρ:

Έστω *pm* ο [[Πρώτος αριθμός|πρώτος]] της τάξεως *m* και *n* η τιμή  [<nowiki/>[[Συναρτήσεις δαπέδου και οροφής|√*pm*]]] + 1. Σύμφωνα με την εικασία του Λεζάντρ, θα υπήρχε ένας πρώτος *p* μεταξύ  *n*<sup>2</sup> και (*n* + 1)<sup>2</sup>. Τότε θα είχαμε τις ανισότητες (αυστηρές επειδή το [[Τετράγωνο (άλγεβρα)|τετράγωνο]] ενός [[Ακέραιος αριθμός|ακεραίου]] δεν μπορεί να είναι [[πρώτος αριθμός]])

:<math>(n-1)^2<p_m<n^2<p<(n+1)^2</math>

από το οποίο μπορούμε να συμπεράνουμε ότι

:<math>p_{m+1}\le p\le((n-1)+2)^2-1<(\sqrt{p_m}+2)^2-1=p_m+4\sqrt{p_m}+3.
</math>

Αυτό θα μας έδινε

:<math>p_{m+1}-p_m<4\sqrt{p_m}+3.</math>

Επομένως, η [[Υπόθεση Ρίμαν|υπόθεση του Ρίμαν]] της μορφής <math>|\pi(x) - \text{Li}(x)|= \mathcal{O}(x^{1/2} \ln x)</math> συνεπάγεται, για μια ορισμένη σταθερά *C'' προσαρμοσμένη

:p_{m+1}-p_m \le C\sqrt{p_m} \ln p_m.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

## Δείτε επίσης
* Θεωρία αριθμών
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Φυσικός λογάριθμος
* Υπόθεση Ρίμαν
* Συνάρτηση ζήτα Ρίμαν
* Πρώτος αριθμός
* Τέρενς Τάο
* Σταθερά του Λεζάντρ
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Χώρος Χίλμπερτ
* Ντάβιντ Χίλμπερτ
* Ευκλείδειος χώρος

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


* 
* American institute of mathematics, Riemann hypothesis
*  Poem about the Riemann hypothesis, sung by John Derbyshire.
* 
* 

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
* 

Κατηγορία:Αναλυτική θεωρία αριθμών 
Κατηγορία:Εικασίες για πρώτους αριθμούς 
Κατηγορία:Πρώτοι αριθμοί 
Κατηγορία:Ακέραιοι αριθμοί 
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά