Λήμμα του Σβαρτς

Στα μαθηματικά, το **λήμμα του Σβαρτς**, που πήρε το όνομά του από τον Χέρμαν Αμάντους Σβαρτς, είναι αποτέλεσμα της μιγαδικής ανάλυσης σχετικά με τις ολόμορφες συναρτήσεις από τον ανοικτό μοναδιαίο δίσκο προς τον εαυτό του. Το λήμμα είναι λιγότερο διάσημο από βαθύτερα θεωρήματα, όπως το θεώρημα απεικόνισης του Ρίμαν, στο οποίο συμβάλλει στην απόδειξη. Είναι, ωστόσο, ένα από τα απλούστερα αποτελέσματα που αποτυπώνουν την ακαμψία των ολόμορφων συναρτήσεων.

## Δήλωση
Έστω \mathbf{D} = \{z : |z|  είναι ο ανοικτός μοναδιαίος δίσκος στο μιγαδικό επίπεδο \mathbb{C}

με κέντρο την αρχή, και έστω f : \mathbf{D}\rightarrow \mathbb{C} και έστω μια ολόμορφη απεικόνιση τέτοια ώστε f(0) = 0 και |f(z)|\leq 1 στο \mathbf{D}.

Τότε |f(z)| \leq |z| για όλους τους z \in \mathbf{D}, και |f'(0)| \leq 1.

Επιπλέον, αν |f(z)| = |z| για κάποιο μη μηδενικό z ή |f'(0)| = 1, τότε f(z) = az για κάποιο a \in \mathbb{C} με |a| = 1.

## Απόδειξη

Η απόδειξη είναι μια απλή εφαρμογή της αρχής του μέγιστου συντελεστή ελαστικότητας

:g(z) = \begin{cases}
  \frac{f(z)}{z}\, & \mbox{if } z \neq 0 \\
  f'(0) & \mbox{if } z = 0,
\end{cases}

η οποία είναι ολόμορφη στο σύνολο του D, συμπεριλαμβανομένης της αρχής (επειδή f είναι διαφορίσιμη στην αρχή και σταθεροποιεί το μηδέν). Τώρα αν D_r = \{z : |z| \le r\} συμβολίζει τον κλειστό δίσκο ακτίνας r με κέντρο την αρχή, τότε η αρχή του μέγιστου συντελεστή συνεπάγεται ότι, για r , δεδομένου οποιουδήποτε z \in D_r, υπάρχει z_r στο όριο του D_r τέτοιο ώστε

: |g(z)| \le |g(z_r)| = \frac \le \frac{1}{r}.

Καθώς r \rightarrow 1 έχουμε |g(z)| \leq 1.

Επιπλέον, ας υποθέσουμε ότι |f(z)| = |z| για κάποιο μη μηδενικό z \in D, ή |f'(0)| = 1. Τότε, |g(z)| = 1 σε κάποιο σημείο του D. Έτσι, σύμφωνα με την αρχή του μέγιστου συντελεστή, το g(z) είναι ίσο με μια σταθερά a τέτοια ώστε |a| = 1. Επομένως, f(z) = az, όπως είναι επιθυμητό.

## Θεώρημα Σβαρτς-Πικ
Μια παραλλαγή του λήμματος Σβαρτς, γνωστή ως θεώρημα Σβαρτς-Πικ (από τον Τζορτζ Πικ), χαρακτηρίζει τους αναλυτικούς αυτομορφισμούς του μοναδιαίου δίσκου, δηλαδή τις διμερείς ολόμορφες απεικονίσεις του μοναδιαίου δίσκου στον εαυτό του:

Έστω f: \mathbf{D}\to\mathbf{D} να είναι ολόμορφη. Τότε, για όλα τα z_1,z_2\in\mathbf{D},

:\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{1-\overline{f(z_1)}f(z_2)}\right| \le \left|\frac{z_1-z_2}{1-\overline{z_1}z_2}\right|

και, για όλα τα z\in\mathbf{D},

:\frac{\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^2} \le \frac{1}{1-\left|z\right|^2}.

Η έκφραση

: d(z_1,z_2)=\tanh^{-1} \left|\frac{z_1-z_2}{1-\overline{z_1}z_2}\right| 

είναι η απόσταση των σημείων z_1, z_2 στη μετρική Πουανκαρέ, δηλαδή τη μετρική στο μοντέλο του δίσκου Πουανκαρέ για την υπερβολική γεωμετρία σε διάσταση δύο. Το θεώρημα Σβαρτς-Πικ δηλώνει ουσιαστικά ότι μία ολόμορφη απεικόνιση του μοναδιαίου δίσκου στον εαυτό της “'μειώνει”' την απόσταση των σημείων στη μετρική Πουανκαρέ. Αν ισχύει η ισότητα σε όλη τη διάρκεια σε μία από τις δύο παραπάνω ανισότητες (το οποίο είναι ισοδύναμο με το να πούμε ότι η ολόμορφη απεικόνιση διατηρεί την απόσταση στη μετρική Πουανκαρέ), τότε ο f πρέπει να είναι ένας αναλυτικός αυτομορφισμός του μοναδιαίου δίσκου, που δίνεται από έναν μετασχηματισμό Μέμπιους που απεικονίζει τον μοναδιαίο δίσκο στον εαυτό του.

Μια ανάλογη δήλωση για το άνω ημιεπίπεδο \mathbf{H} μπορεί να γίνει ως εξής:

Έστω ότι f:\mathbf{H}\to\mathbf{H} είναι ολόμορφη. Τότε, για όλα τα

:\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{\overline{f(z_1)}-f(z_2)}\right|\le \frac{\left|z_1-z_2\right|}{\left|\overline{z_1}-z_2\right|}.


Αυτό είναι μια εύκολη συνέπεια του θεωρήματος Σβαρτς-Πικ  που αναφέρθηκε παραπάνω: Αρκεί να θυμηθούμε ότι ο μετασχηματισμός Κέιλεϊ W(z) = (z-i)/(z+i) απεικονίζει το άνω ημιεπίπεδο \mathbf{H} συμμορφούμενα στον μοναδιαίο δίσκο \mathbf{D}. Τότε, η απεικόνιση W\circ f\circ W^{-1} είναι μία ολόμορφη απεικόνιση από το \mathbf{D} στο \mathbf{D}. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα Σβαρτς-Πικ  σε αυτήν την απεικόνιση και απλοποιώντας τελικά τα αποτελέσματα χρησιμοποιώντας τον τύπο για το W παίρνουμε το επιθυμητό αποτέλεσμα. Επίσης, για όλα τα z\in\mathbf{H},

:\frac{\left|f'(z)\right|}{\text{Im}(f(z))} \le \frac{1}{\text{Im}(z)}. 

Εάν ισχύει η ισότητα είτε για τη μία είτε για την άλλη έκφραση, τότε ο f πρέπει να είναι ένας μετασχηματισμός Μέμπιους με πραγματικούς συντελεστές. Δηλαδή, αν ισχύει η ισότητα, τότε

:f(z)=\frac{az+b}{cz+d}

με a,b,c,d\in\mathbb{R} και ad-bc>0.

## Απόδειξη του θεωρήματος Σβαρτς-Πικ

Η απόδειξη του θεωρήματος Σβαρτς-Πικ προκύπτει από το λήμμα του Σβαρτς και το γεγονός ότι ένας μετασχηματισμός Μέμπιους της μορφής

:\frac{z-z_0}{\overline{z_0}z-1}, \qquad |z_0| 

απεικονίζει τον μοναδιαίο κύκλο στον εαυτό του. Καθορίστε το z_1 και ορίστε τους μετασχηματισμούς Μέμπιους

: M(z)=\frac{z_1-z}{1-\overline{z_1}z}, \qquad \varphi(z)=\frac{f(z_1)-z}{1-\overline{f(z_1)}z}.

Εφόσον M(z_1)=0 και ο μετασχηματισμός Μπέμπιους είναι αντιστρέψιμος, η σύνθεση \varphi(f(M^{-1}(z))) απεικονίζει το 0 στο 0 και ο μοναδιαίος δίσκος απεικονίζεται στον εαυτό του. Έτσι, μπορούμε να εφαρμόσουμε το λήμμα του Σβαρτς, το οποίο σημαίνει ότι

:\left |\varphi\left(f(M^{-1}(z))\right) \right|=\left|\frac{f(z_1)-f(M^{-1}(z))}{1-\overline{f(z_1)}f(M^{-1}(z))}\right| \le |z|.

Τώρα καλώντας z_2=M^{-1}(z) (το οποίο θα εξακολουθεί να βρίσκεται στον μοναδιαίο δίσκο) προκύπτει το επιθυμητό συμπέρασμα

:\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{1-\overline{f(z_1)}f(z_2)}\right| \le \left|\frac{z_1-z_2}{1-\overline{z_1}z_2}\right|.

Για να αποδείξουμε το δεύτερο μέρος του θεωρήματος, αναδιατάσσουμε την αριστερή πλευρά στο πηλίκο διαφοράς και αφήνουμε το z_2 να τείνει προς το z_1.

## Περαιτέρω γενικεύσεις και συναφή αποτελέσματα

Το θεώρημα Σβαρτς-Άλφορς-Πικ παρέχει ένα ανάλογο θεώρημα για υπερβολικές πολλαπλότητες.

Το θεώρημα του Ντε Μπράνγκε, παλαιότερα γνωστό ως εικασία του Μπίμπερμπαχ, είναι μια σημαντική επέκταση του λήμματος, δίνοντας περιορισμούς στις ανώτερες παραγώγους της f στο 0 στην περίπτωση που η f είναι εγχυτική, δηλαδή μονοσήμαντη.

Το θεώρημα 1/4 του Κοέμπε παρέχει μια σχετική εκτίμηση στην περίπτωση που η f είναι μονοσήμαντη.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Τριγωνομετρική συνάρτηση
* Βαθμωτό πεδίο
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Υπερβολική γεωμετρία
* Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Μιγαδικός αριθμός
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* Joe Harris, Algebraic Geometry, A First Course, (1992) Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 0-387-97716-3
* Ballico, Edoardo (1989). «A characterization of the Veronese surface». Proceedings of the American Mathematical Society (Num. 105): 531-534. ISSN 1088-6826. doi:10.1090/S0002-9939-1989-0953737-5.
* Harris, Joe (1992). Algebraic Geometry Springer. ISBN 978-1-4419-3099-6.
* Albrecht, Gudrun (2002). «The Veronese surface revisited». Journal of Geometry. Vol. 73 (Num. 1-2): 22-38. ISSN 0047-2468. doi:10.1007/s00022-002-8583-7.
*
*
*
* .
* 
* . Review: Séquin, Carlo H. (2009), *Journal of Mathematics and the Arts* 3: 229–230, 
* 
*Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:Θεωρήματα στην ανάλυση
Κατηγορία:Θεωρήματα της μιγαδικής ανάλυσης