Ελλειπτική συνάρτηση Βάιερστρας

:"℘" ανακατευθύνεται εδώ- το σύμβολο μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να δηλώσει ένα Δυναμοσύνολο.

Στα μαθηματικά, οι **ελλειπτικές συναρτήσεις Βάιερστρας** είναι ελλειπτικές συναρτήσεις που έχουν μια ιδιαίτερα απλή μορφή. Πήραν το όνομά τους από τον Καρλ Βάιερστρας. Αυτή η κατηγορία συναρτήσεων αναφέρεται επίσης ως **℘-συναρτήσεις** και συνήθως συμβολίζονται με το σύμβολο **℘**, μια μοναδική p-γραφή. Παίζουν σημαντικό ρόλο στη θεωρία των ελλειπτικών συναρτήσεων, δηλαδή των μερομορφικών συναρτήσεων που είναι διπλά περιοδικές. Μια **℘-συνάρτηση** μαζί με την παράγωγό της μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την παραμετροποίηση ελλειπτικών καμπυλών και δημιουργούν το πεδίο των ελλειπτικών συναρτήσεων ως προς ένα δεδομένο πλέγμα περιόδων.



Σύμβολο της συνάρτησης Βάιερστρας \wp-function




## Κίνητρα
Ένα κυβικό σχήματος C_{g_2,g_3}^\mathbb{C}=\{(x,y)\in\mathbb{C}^2:y^2=4x^3-g_2x-g_3\} , όπου g_2,g_3\in\mathbb{C} είναι μιγαδικοί αριθμοί με g_2^3-27g_3^2\neq0, δεν μπορεί να παραμετρηθεί με ρητό τρόπο . Ωστόσο, επιθυμούμε να βρούμε έναν τρόπο διαμόρφωσης.

Για το τετράγωνο K=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2=1\right\};- ο μοναδιαίος κύκλος, υπάρχει μια (μη ρητή) παραμετροποίηση χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση ημιτόνου και την παράγωγό της τη συνάρτηση συνημιτόνου:

\psi:\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}\to K, \quad t\mapsto(\sin t,\cos t).

Λόγω της περιοδικότητας του ημιτόνου και του συνημιτόνου επιλέγεται το \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z} ως πεδίο ορισμού, οπότε η συνάρτηση είναι διμερής.

Με παρόμοιο τρόπο μπορεί κανείς να πάρει μια παραμετροποίηση της C_{g_2,g_3}^\mathbb{C}  μέσω της διπλά περιοδικής \wp -συνάρτησης (βλέπε στην ενότητα "Σχέση με ελλειπτικές καμπύλες"). Αυτή η παραμετροποίηση διαθέτει το πεδίο \mathbb{C}/\Lambda , το οποίο είναι τοπολογικά ισοδύναμο με έναν Τόρο.

Υπάρχει μια άλλη αναλογία με τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Ας εξετάσουμε την ακεραία συνάρτηση 

a(x)=\int_0^x\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} .

Μπορεί να απλουστευθεί αντικαθιστώντας y=\sin t  και s=\arcsin x :

a(x)=\int_0^s dt = s = \arcsin x .

Αυτό σημαίνει a^{-1}(x) = \sin x . Έτσι, η συνάρτηση του ημιτόνου είναι μια αντίστροφη συνάρτηση μιας ακεραίας συνάρτησης.

Οι ελλειπτικές συναρτήσεις είναι οι αντίστροφες συναρτήσεις των ελλειπτικών ολοκληρωμάτων. Πιο συγκεκριμένα: 

u(z)=-\int_z^\infin\frac{ds}{\sqrt{4s^3-g_2s-g_3}} .

Τότε η επέκταση του u^{-1}  στο μιγαδικό επίπεδο ισούται με τη συνάρτηση \wp . Αυτή η αντιστρεψιμότητα χρησιμοποιείται στην μιγαδική ανάλυση για να δώσει λύση σε ορισμένες μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις που ικανοποιούν την ιδιότητα Painlevé, δηλαδή σε εκείνες τις εξισώσεις που δέχονται πόλους ως τις μόνες κινητές ιδιομορφίες τους.

## Ορισμός

Έστω \omega_1,\omega_2\in\mathbb{C} δύο μιγαδικοί αριθμοίοι οποίοι είναι γραμμικά ανεξάρτητοι πάνω στο \mathbb{R} και έστω \Lambda:=\mathbb{Z}\omega_1+\mathbb{Z}\omega_2:=\{m\omega_1+n\omega_2: m,n\in\mathbb{Z}\} είναι το περιοδικό πλέγμα που δημιουργείται από αυτούς τους αριθμούς. Τότε η συνάρτηση \wp ορίζεται ως εξής:

:\weierp(z,\omega_1,\omega_2):=\wp(z) = \frac{1}{z^2} + \sum_{\lambda\in\Lambda\setminus\{0\}}\left(\frac 1 {(z-\lambda)^2} - \frac 1 {\lambda^2}\right).
Αυτή η σειρά συγκλίνει τοπικά ομοιόμορφα απόλυτα στον μιγαδικό τόρο \mathbb{C}\setminus\Lambda.

Είναι συνηθισμένο να χρησιμοποιείται το 1 και \tau στο άνω ημιεπίπεδο \mathbb{H}:=\{z\in\mathbb{C}:\operatorname{Im}(z) > 0\} ως γεννήτορες του πλέγματος. Η διαίρεση με \omega_1 απεικονίζει το πλέγμα \mathbb{Z}\omega_1+\mathbb{Z}\omega_2 ισομορφικά στο πλέγμα \mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau με \tau=\tfrac{\omega_2}{\omega_1}. Επειδή το -\tau μπορεί να αντικαταστήσει το \tau, χωρίς απώλεια της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε  \tau\in\mathbb{H}, και στη συνέχεια να ορίσουμε \wp(z,\tau) := \wp(z, 1,\tau).

## Ιδιότητες
* Η \wp είναι μια μερομορφική συνάρτηση με πόλο τάξης 2 σε κάθε περίοδο \lambda στην \Lambda.
* Η \wp είναι άρτια συνάρτηση. Αυτό σημαίνει \wp(z)=\wp(-z) for all z \in \mathbb{C} \setminus \Lambda, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί με τον ακόλουθο τρόπο:

::\begin{align}
\wp(-z) & =\frac{1}{(-z)^2} + \sum_{\lambda\in\Lambda\setminus\{0\}}\left(\frac{1}{(-z-\lambda)^2}-\frac{1}{\lambda^2}\right) \\
& =\frac{1}{z^2}+\sum_{\lambda\in\Lambda\setminus\{0\}}\left(\frac{1}{(z+\lambda)^2}-\frac{1}{\lambda^2}\right) \\
& =\frac{1}{z^2}+\sum_{\lambda\in\Lambda\setminus\{0\}}\left(\frac{1}{(z-\lambda)^2}-\frac{1}{\lambda^2}\right)=\wp(z).
\end{align}

:Η προτελευταία ισότητα ισχύει επειδή \{-\lambda:\lambda \in \Lambda\}=\Lambda. Δεδομένου ότι το άθροισμα συγκλίνει απόλυτα, αυτή η αναδιάταξη δεν αλλάζει το όριο.
* Η παράγωγος του \wp δίνεται από: \wp'(z)=-2\sum_{\lambda \in \Lambda}\frac1{(z-\lambda)^3}.
* \wp και \wp' είναι διπλά περιοδικές με περιόδους \omega_1  και \omega_2.  Αυτό σημαίνει:
\begin{aligned}
\wp(z+\omega_1) &= \wp(z) = \wp(z+\omega_2),\ \textrm{and} \\[3mu]
\wp'(z+\omega_1) &= \wp'(z) = \wp'(z+\omega_2).
\end{aligned}

Προκύπτει ότι \wp(z+\lambda)=\wp(z) and \wp'(z+\lambda)=\wp'(z) για κάθε \lambda \in \Lambda.

## Διαφορική εξίσωση

Έστω g_2=60G_4 and g_3=140G_6. Τότε η συνάρτηση \wp ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση.

 \wp'^2(z) = 4\wp ^3(z)-g_2\wp(z)-g_3.

Η σχέση αυτή μπορεί να επαληθευτεί με το σχηματισμό ενός γραμμικού συνδυασμού δυνάμεων των \wp και \wp' για την εξάλειψη του πόλου στο z=0. Αυτό δίνει μια ολόκληρη ελλειπτική συνάρτηση που πρέπει να είναι σταθερή σύμφωνα με το θεώρημα του Λιούβιλ.

## Aμετάβλητο

Οι συντελεστές της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης *g*2 και *g*3 είναι γνωστοί ως αμετάβλητοι. Επειδή εξαρτώνται από το πλέγμα \Lambda μπορούν να θεωρηθούν ως συναρτήσεις στο \omega_1 και \omega_2.

Το ανάπτυγμα της σειράς δείχνει ότι οι  *g*2 και *g*3 είναι ομογενείς συναρτήσεις βαθμού -4 και -6. Δηλαδή

g_2(\lambda \omega_1, \lambda \omega_2) = \lambda^{-4} g_2(\omega_1, \omega_2)

g_3(\lambda \omega_1, \lambda \omega_2) = \lambda^{-6} g_3(\omega_1, \omega_2)

για  \lambda \neq 0.

Εάν ω\omega_1 και ω \omega_2 επιλέγονται με τέτοιο τρόπο ώστε \operatorname{Im}\left( \tfrac{\omega_2}{\omega_1} \right)>0 , *g*2, τα *g*2 και  *g*3 μπορούν να ερμηνευθούν ως συναρτήσεις στο άνω ημιεπίπεδο \mathbb{H}:=\{z\in\mathbb{C}:\operatorname{Im}(z)>0\}.

Έστω \tau=\tfrac{\omega_2}{\omega_1}. Έχουμε: 

g_2(1,\tau)=\omega_1^4g_2(\omega_1,\omega_2),

g_3(1,\tau)=\omega_1^6 g_3(\omega_1,\omega_2).

Αυτό σημαίνει ότι τα *g*2 και *g*3 κλιμακώνονται μόνο με αυτό τον τρόπο. Ορισμός 

g_2(\tau):=g_2(1,\tau)  

και  

g_3(\tau):=g_3(1,\tau).

Ως συναρτήσεις των \tau\in\mathbb{H} g_2,g_3 είναι οι λεγόμενες δομοστοιχειωτές μορφές.

Οι σειρές Φουριέ για g_2 και g_3 δίνονται ως εξής:

g_2(\tau)=\frac43\pi^4 \left[ 1+ 240\sum_{k=1}^\infty \sigma_3(k) q^{2k} \right] 

g_3(\tau)=\frac{8}{27}\pi^6 \left[ 1- 504\sum_{k=1}^\infty \sigma_5(k) q^{2k} \right] 

όταν

\sigma_a(k):=\sum_{d\mid{k}}d^\alpha

είναι η συνάρτηση του διαιρέτη και q=e^{\pi i\tau} είναι το nome.

### Διακρίνουσα συνάρτηση

Η *διακρίνουσα συνάρτηση* Δ ορίζεται ως η διακρίνουσα του πολυωνύμου στη δεξιά πλευρά της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης: 

 \Delta=g_2^3-27g_3^2. 

Η διακρίνουσα είναι μια δομοστοιχειωτή μορφή βάρους 12. Δηλαδή, υπό τη δράση της modular ομάδας, μετασχηματίζεται σε

\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) = \left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau) 

όταν a,b,d,c\in\mathbb{Z}  με  *ad*&nbsp;−&nbsp;*bc* = 1.

Ας σημειωθεί ότι \Delta=(2\pi)^{12}\eta^{24} όπου \eta είναι η συνάρτηση ήτα του Ντεντέκιντ.

Για τους συντελεστές Φουριέ του \Delta, δείτε συνάρτηση ράμανουτζαν ταυ.

### Οι σταθερές e1, e2 και e3
Οι σταθερές e_1, e_2 και e_3 χρησιμοποιούνται συνήθως για να δηλώσουν τις τιμές της συνάρτησης \wp στις ημιπεριόδους.

e_1\equiv\wp\left(\frac{\omega_1}{2}\right)

e_2\equiv\wp\left(\frac{\omega_2}{2}\right)

e_3\equiv\wp\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}\right)

Είναι κατά ζεύγη διακριτά και εξαρτώνται μόνο από το πλέγμα \Lambda και όχι από τις γεννήτριές του.

e_1, e_2 και e_3 είναι οι ρίζες του κυβικού πολυωνύμου 4\wp(z)^3-g_2\wp(z)-g_3 και συνδέονται με την εξίσωση:

e_1+e_2+e_3=0.

Επειδή αυτές οι ρίζες είναι διαφορετικές, η διακρίνουσα \Delta δεν εξαφανίζεται στο άνω ημιεπίπεδο. Τώρα μπορούμε να ξαναγράψουμε τη διαφορική εξίσωση: 

\wp'^2(z)=4(\wp(z)-e_1)(\wp(z)-e_2)(\wp(z)-e_3).

Αυτό σημαίνει ότι οι μισές περίοδοι είναι μηδενικές του \wp'.

Οι αναλλοίωτες g_2 και g_3 μπορούν να εκφραστούν ως προς αυτές τις σταθερές με τον ακόλουθο τρόπο:

g_2 = -4 (e_1 e_2 + e_1 e_3 + e_2 e_3)

g_3 = 4 e_1 e_2 e_3

e_1, e_2 και  e_3 σχετίζονται με τη διακρίνουσα συνάρτηση λάμδα:

\lambda (\tau)=\frac{e_3-e_2}{e_1-e_2},\quad \tau=\frac{\omega_2}{\omega_1}.

## Σχέση με τις συναρτήσεις θήτα του Ιακόμπι
Η συνάρτηση \wp (z,\tau)=\wp (z,1,\omega_2/\omega_1) μπορεί να παρασταθεί με τις συναρτήσεις θήτα του Ιακόμπι:

\wp (z,\tau)=\left(\pi \theta_2(0,q)\theta_3(0,q)\frac{\theta_4(\pi z,q)}{\theta_1(\pi z,q)}\right)^2-\frac{\pi^2}{3}\left(\theta_2^4(0,q)+\theta_3^4(0,q)\right)

όπου q=e^{\pi i\tau} είναι ο νομός και \tau είναι αναλογία περιόδων (\tau\in\mathbb{H}). Αυτό παρέχει επίσης έναν πολύ γρήγορο αλγόριθμο για τον υπολογισμό του \wp (z,\tau).

## Σχέση με ελλειπτικές καμπύλες
Ας εξετάσουμε την ενσωμάτωση της κυβικής καμπύλης στο μιγαδικό προβολικό επίπεδο

:\bar C_{g_2,g_3}^\mathbb{C} = \{(x,y)\in\mathbb{C}^2:y^2=4x^3-g_2x-g_3\}\cup\{\infin\}\subset \mathbb{C}^{2} \cup \{\infty\} =  \mathbb{P}_2(\mathbb{C}).

Για αυτό το κυβικό δεν υπάρχει ρητή παραμετροποίηση, αν \Delta \neq 0.. Στην περίπτωση αυτή ονομάζεται επίσης ελλειπτική καμπύλη. Παρ' όλα αυτά υπάρχει μια παραμετροποίηση σε ομογενείς συντεταγμένες που χρησιμοποιεί τη συνάρτηση \wp και την παράγωγο της \wp':

: \varphi(\wp,\wp'): \mathbb{C}/\Lambda\to\bar C_{g_2,g_3}^\mathbb{C}, \quad
z \mapsto \begin{cases}
\left[\wp(z):\wp'(z):1\right] & z \notin \Lambda \\
\left[0:1:0\right] \quad & z \in \Lambda 
\end{cases} 

Τώρα ο χάρτης \varphi είναι διμερής και παραμετροποιεί την ελλειπτική καμπύλη \bar C_{g_2,g_3}^\mathbb{C}.

\mathbb{C}/\Lambda  είναι μια αβελιανή ομάδα και ένας τοπολογικός χώρος, εφοδιασμένος με την τοπολογία του πηλίκου.

Μπορεί να αποδειχθεί ότι κάθε κυβικό Βάιερστρας δίνεται με αυτόν τον τρόπο. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε ζεύγος g_2,g_3\in\mathbb{C} με  \Delta = g_2^3 - 27g_3^2 \neq 0  υπάρχει ένα πλέγμα \mathbb{Z}\omega_1+\mathbb{Z}\omega_2,  έτσι ώστε 

g_2=g_2(\omega_1,\omega_2)  and g_3=g_3(\omega_1,\omega_2) .

Ο ισχυρισμός ότι οι ελλειπτικές καμπύλες πάνω από το \mathbb{Q} μπορεί να παραμετροποιηθούν πάνω στο \mathbb{Q}, ονομάζεται θεωρία των δομοστοιχειωτών. Πρόκειται για ένα σημαντικό θεώρημα στη θεωρία αριθμών. Αποτελούσε μέρος της απόδειξης (1995) του Άντριου Γουάιλς για το τελευταίο θεώρημα του Φερμά.

## Θεωρήματα πρόσθεσης

Έστω z,w\in\mathbb{C}, έτσι ώστε z,w,z+w,z-w\notin\Lambda .  Τότε έχουμε:

\wp(z+w)=\frac14 \left[\frac{\wp'(z)-\wp'(w)}{\wp(z)-\wp(w)}\right]^2-\wp(z)-\wp(w).

Καθώς και η φόρμουλα διπλασιασμού:

\wp(2z)=\frac14\left[\frac{\wp*(z)}{\wp'(z)}\right]^2-2\wp(z).</math>

Αυτοί οι τύποι έχουν επίσης μια γεωμετρική ερμηνεία, αν εξετάσουμε την ελλειπτική καμπύλη  <math>\bar C_{g_2,g_3}^\mathbb{C} </math>μαζί με την αντιστοίχηση <math>{\varphi}:\mathbb{C}/\Lambda\to\bar C_{g_2,g_3}^\mathbb{C} </math>  όπως στην προηγούμενη ενότητα.

Η δομή της ομάδας<math>(\mathbb{C}/\Lambda,+)</math> μεταφράζεται σε καμπύλη <math>\bar C_{g_2,g_3}^\mathbb{C} </math> και δύναται να ερμηνευθεί γεωμετρικά :

Το άθροισμα τριών κατά ζεύγη διαφορετικών σημείων <math>a,b,c\in\bar C_{g_2,g_3}^\mathbb{C}</math> είναι μηδέν [[αν και μόνο αν]] βρίσκονται στην ίδια ευθεία στο <math>\mathbb{P}_\mathbb{C}^2 </math>. 

Αυτό είναι ισοδύναμο με:

<math >\det\left(\begin{array}{rrr}
1&\wp(u+v)&-\wp'(u+v)\\
1&\wp(v)&\wp'(v)\\
1&\wp(u)&\wp'(u)\\
\end{array}\right) =0 ,</math>
όταν <math>\wp(u) = a </math>, 

<math>\wp(v)=b </math> και <math>u,v\notin\Lambda</math>.

==Τυπογραφία==

Η ελλειπτική συνάρτηση του Βάιερστρας γράφεται συνήθως με ένα μάλλον ιδιαίτερο, πεζό γράμμα ℘, το οποίο ήταν ο ίδιος ο Βάιερστρας που το εισήγαγε στις διαλέξεις του 1862-1863.

Στην πληροφορική, το γράμμα ℘ είναι διαθέσιμο ως  <code>\wp</code>  στο TeX. Στο Unicode το σημείο κωδικοποίησης είναι  U+2118 ℘ SCRIPT CAPITAL P (&amp;weierp;, &amp;wp;), με το ορθότερο επίθετο  "ελλειπτική συνάρτηση Βάιερστρας". Στην HTML, μπορεί να διαχωριστεί ως &weierp;.

==Βιβλιογραφία ==
* [[:en:Naum Akhiezer|N. I. Akhiezer]], *Elements of the Theory of Elliptic Functions*, (1970) Moscow, translated into English as *AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79* (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
* [[:en:Tom M. Apostol|Tom M. Apostol]], *Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition* (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 (See chapter 1.)
* K. Chandrasekharan, *Elliptic functions* (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
* [[:en:Konrad Knopp|Konrad Knopp]], *Funktionentheorie II* (1947), Dover Publications; Republished in English translation as *Theory of Functions* (1996), Dover Publications ISBN 0-486-69219-1
* [[:en:Serge Lang|Serge Lang]], *Elliptic Functions* (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6
* [[:en:E. T. Whittaker|E. T. Whittaker]] and [[:en:G. N. Watson|G. N. Watson]],  *A Course of Modern Analysis'', Cambridge University Press, 1952, chapters 20 and 21

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* 
* Weierstrass's elliptic functions on Mathworld.
* Chapter 23, Weierstrass Elliptic and Modular Functions in DLMF (Digital Library of Mathematical Functions) by W. P. Reinhardt and P. L. Walker.
* Weierstrass P function and its derivative implemented in C by David Dumas

## Παραπομπές


 

Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία 
Κατηγορία:Αλγεβρικές καμπύλες 
Κατηγορία:Μιγαδική ανάλυση