Μικτή πρόοδος

right|thumb|400px|Παράδειγμα μικτής προόδου.
Στα μαθηματικά, **μικτή πρόοδος** είναι η ακολουθία \beta_1, \beta_2, \ldots, της οποίας ο \nu-οστός όρος δίνεται από την σχέση
:\beta_\nu = \alpha_\nu \cdot \gamma_\nu, 
όπου \alpha_1, \alpha_2, \ldots μία αριθμητική πρόοδος και \gamma_1, \gamma_2, \ldots μία γεωμετρική πρόοδος. 

Ισοδύναμα, είναι η ακολουθία της οποίας ο \nu-οστός όρος είναι ίσος με
:\beta_\nu = (\alpha_1 + (\nu - 1) \cdot \omega) \cdot \gamma_1 \cdot \lambda^{\nu - 1}, 
όπου \alpha_1, \omega, \gamma_1, \lambda είναι σταθερές, δηλαδή αριθμοί ανεξάρτητοι του \nu.

Για παράδειγμα, όταν \alpha_1 = 1, \omega = 1, \gamma_1 = 1, \lambda = 1/3 έχουμε ότι 
:\beta_1 = 1, \beta_2 = \frac{2}{3}, \beta_3 = \frac{3}{3^2}, \beta_4 = \frac{4}{3^4}, \beta_5 = \frac{5}{3^5}, \ldots.
και όταν \alpha_1 = 2, \omega = 3, \gamma_1 = 1, \lambda = 2 έχουμε ότι 
:\beta_1 = 2, \beta_2 = 10, \beta_3 = 32, \beta_4 = 88, \beta_5 = 224, \ldots.

Στην ειδική περίπτωση που \lambda = 1 η πρόοδος είναι αριθμητική και όταν \omega = 0 η πρόοδος είναι γεωμετρική.

## Άθροισμα πρώτων όρων

Το άθροισμα των \nu πρώτων όρων της ακολουθίας δίνονται από τον τύπο
:S_\nu = \sum_{k = 1}^\nu \beta_k = \alpha_1 \gamma_1 \cdot \frac{\lambda^{\nu} - 1}{\lambda - 1} + \omega \gamma_1 \cdot \frac{\lambda^\nu \cdot ((\nu-1)\lambda - \nu) + r}{(\lambda-1)^2}.

Ισοδύναμοι τύποι είναι οι ακόλουθοι
:
\begin{align}
S_\nu 
 & =  \frac{(\alpha_1 - \omega (\nu - 1)) \cdot \gamma_1 \lambda^{\nu} + \alpha_1 \gamma_1 }{\lambda - 1} + \omega \gamma_1 \lambda \cdot \frac{1 - \lambda^\nu}{(\lambda-1)^2} \\
 & = \frac{\beta_{\nu+1} - \beta_1}{\lambda -1} + \omega \lambda \cdot \frac{\gamma_1 - \gamma_{\nu + 1}}{(\lambda - 1)^2}.
\end{align}
### Σειρά
Όταν |\lambda| , παίρνοντας το \nu \to \infty έχουμε ότι 
:\lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^\nu \beta_k = \frac{\alpha_1 \gamma_1}{1 - \lambda} +  \frac{\omega \gamma_1 \lambda}{(\lambda-1)^2}, 
καθώς \lim_{\nu \to \infty} \lambda^\nu = 0 και \lim_{\nu \to \infty} \nu \cdot \lambda^\nu = 0.

## Εφαρμογές

### Γεωμετρική κατανομή
Tο πλήθος X των ανεξάρτητων πειραμάτων με δυο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία - αποτυχία) και πιθανότητα επιτυχίας p, έως ότου να υπάρξει η πρώτη επιτυχία, ακολουθεί την γεωμετρική κατανομή X \sim \mathsf{Geom}(p). Ισχύει ότι 
:\Pr(X = x) = p \cdot (1-p)^{x-1},
και η αναμενόμενή της τιμή δίνεται από την σχέση 
:\operatorname{E}[X] = \sum_{x = 1}^\infty x \cdot p \cdot (1-p)^{x-1},
που είναι η σειρά μίας μικτής προόδου με  \alpha_1 = 1, \omega = 1, \gamma_1 = p και r = (1-p). Ο παραπάνω τύπος δίνει ότι 
:\operatorname{E}[X] = \frac{p}{1 - (1-p)} + \frac{p(1-p)}{(1 - (1-p))^2} = 1 + \frac{1-p}{p}
= \frac{1}{p}.

## Υπολογισμός

Ο παρακάτω κώδικας στην γλώσσα προγραμματισμού C++ υπολογίζει τους πρώτους όρους της μικτής προόδου. 

```c++
#include <iostream>

int main() {
   double a1 = 2.0;
   double omega = 3.0;
   double c1 = 1.0;
   double lambda = 2.0;
   
   double lambda_n = 1.0;
   for (int n = 1; n <= 5; ++n) {
     double cur = (a1 + (n-1) * omega) * c1 * lambda_n;
     lambda_n *= lambda;
     std::cout << "b_" << n << " = " << cur << ", ";
   }
   return 0;
}
/* Τυπώνει: b_1 = 2, b_2 = 10, b_3 = 32, b_4 = 88, b_5 = 224, ... */
```


## Περαιτέρω ανάγνωση

### Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* Μικτή πρόοδος στο art-of-problem-solving

### Ξενόγλωσσα άρθρα
* 
* 

## Δείτε επίσης
* Αριθμητική πρόοδος
* Γεωμετρική πρόοδος
* Γραμμική αναδρομική ακολουθία πρώτης τάξης

## Σημειώσεις


## Παραπομπές


Κατηγορία:Ακολουθίες