Σταθερά του Λεζάντρ

thumb|right|250px|Τα πρώτα 100.000 στοιχεία της ακολουθίας ''a<sub>n</sub>'' =&nbsp;log(''n'')&nbsp;&minus;&nbsp;''n''/(''n'') (κόκκινη γραμμή) φαίνεται να συγκλίνουν σε μια τιμή γύρω στο 1,08366 (μπλε γραμμή).
thumb|right|250px|Τα μεταγενέστερα στοιχεία έως και 10.000.000 της ίδιας ακολουθίας ''a<sub>n</sub>'' =&nbsp;log(''n'')&nbsp;&minus;&nbsp;''n''/(''n'') (κόκκινη γραμμή) φαίνεται να είναι σταθερά μικρότερα από 1,08366 (μπλε γραμμή).

Η **σταθερά του Λεζάντρ** είναι μαθηματική σταθερά που εμφανίζεται σε έναν τύπο που κατασκευάστηκε από τον Αντριέν-Μαρί Λεζάντρ για να προσεγγίσει τη συμπεριφορά καταμέτρησης πρώτων αριθμών \pi(x). Η τιμή που αντιστοιχεί ακριβώς στην ασυμπτωτική της συμπεριφορά είναι πλέον γνωστό ότι είναι 1.

Η εξέταση των διαθέσιμων αριθμητικών δεδομένων για γνωστές τιμές της \pi(x) οδήγησε τον Λεζάντρ σε έναν προσεγγιστικό τύπο.

Ο Λεζάντρ πρότεινε το 1808 τον τύπο 

y=\frac{x}{\log(x) - 1.08366}, (), ως μια προσέγγιση του y=\pi(x) με "πολύ ικανοποιητική ακρίβεια".

Σήμερα, η πραγματική σταθερά B ορίζεται ως εξής

\pi(x)\sim\frac{x}{\log(x) - B},

η οποία επιλύεται θέτοντας

B = \lim_{n \to \infty } \left( \log(n) - {n \over \pi(n)} \right),

υπό την προϋπόθεση ότι υπάρχει αυτό το όριο.

Όχι μόνο είναι πλέον γνωστό ότι το όριο υπάρχει, αλλά και ότι η τιμή του είναι ίση με 1, κάπως μικρότερη από το 1,08366 του Λεζάντρ. Ανεξάρτητα από την ακριβή τιμή του, η ύπαρξη του ορίου B υποδηλώνει το θεώρημα των πρώτων αριθμών.

Ο Παφνούτι Τσεμπίσοφ απέδειξε το 1849 ότι αν το όριο B υπάρχει, πρέπει να είναι ίσο με 1. Μια ευκολότερη απόδειξη δόθηκε από τον Πιντζ το 1980.

Είναι άμεση συνέπεια του θεωρήματος των πρώτων αριθμών, υπό την ακριβή μορφή με ρητή εκτίμηση του όρου σφάλματος 

 \pi(x) = \operatorname{Li} (x) + O \left(x e^{-a\sqrt{\log x}}\right) \quad\text{as } x \to \infty

(για κάποια θετική σταθερά *a*, όπου *O*(...) είναι ο συμβολισμός big O), όπως αποδείχθηκε το 1899 από τον Σαρλ ντε Λα Βαλέ Πουσέν, ότι ο Β είναι πράγματι ίσος με 1. (Το θεώρημα των πρώτων αριθμών είχε αποδειχθεί το 1896, ανεξάρτητα από τον Ζακ Ανταμάρ  και τον Λα Βαλέ Πουσέν,: αλλά χωρίς καμία εκτίμηση του σχετικού όρου σφάλματος).

Η αξιολόγηση σε έναν τόσο απλό αριθμό έχει καταστήσει τον όρο σταθερά του Λεζάντρ ως επί το πλείστον μόνο ιστορικής αξίας, με τον όρο να χρησιμοποιείται συχνά (τεχνικά λανθασμένα) για να αναφέρεται στην πρώτη εικασία του Λεζάντρ 1,08366... αντί αυτού.

## Αριθμητικές τιμές
Χρησιμοποιώντας την Συνάρτηση καταμέτρησης πρώτων αριθμών \pi(x) μπορούμε να υπολογίσουμε B(x) = \log x - \frac{x}{\pi(x)} για τιμές του x πολύ πέρα από αυτές που ήταν διαθέσιμες στον Λεζάντρ:

Οι τιμές μέχρι \pi(10^{29}) (οι δύο πρώτες στήλες) είναι ακριβώς γνωστές- οι τιμές στην τρίτη και τέταρτη στήλη εκτιμώνται με τη χρήση της συνάρτησης   καταμέτρησης πρώτων αριθμών Ρίμαν .

## Δείτε επίσης
* Θεωρία αριθμών
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Φυσικός λογάριθμος
* Υπόθεση Ρίμαν
* Συνάρτηση ζήτα Ρίμαν
* Πρώτος αριθμός
* Εικασία του Λεζάντρ
* Ευρετική
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Χώρος Χίλμπερτ
* Ντάβιντ Χίλμπερτ
* Ευκλείδειος χώρος

## Παραπομπές


## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 

Κατηγορία:Αναλυτική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Εικασίες για πρώτους αριθμούς
Κατηγορία:Πρώτοι αριθμοί
Κατηγορία:Ακέραιοι αριθμοί
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά