Ελεύθερη κατηγορία

Στα μαθηματικά, η **ελεύθερη κατηγορία** που παράγεται από ένα κατευθυνόμενο γράφο ή μια φαρέτρα είναι η κατηγορία που προκύπτει από την ελεύθερη συνένωση βελών μεταξύ τους, κάθε φορά που ο στόχος του ενός βέλους είναι η πηγή του επόμενου.

Πιο συγκεκριμένα, τα αντικείμενα της κατηγορίας είναι οι κορυφές της φαρέτρας και οι μορφισμοί είναι μονοπάτια μεταξύ των αντικειμένων. Εδώ, ένα **μονοπάτι** ορίζεται ως μια πεπερασμένη ακολουθία
:V_0\xrightarrow{\;\;E_0\;\;} V_1\xrightarrow{\;\;E_1\;\;} 
 \cdots \xrightarrow{E_{n-1}} V_n 
όπου V_k είναι μια κορυφή της φαρέτρας, E_k είναι μια ακμή της φαρέτρας και το *n* εκτείνεται στους μη αρνητικούς ακέραιους αριθμούς. Για κάθε κορυφή V της φαρέτρας, υπάρχει ένα *κενό μονοπάτι* το οποίο αποτελεί τους ταυτοτικούς μορφισμούς της κατηγορίας.

Η πράξη σύνθεσης είναι η συνένωση των μονοπατιών. Δεδομένων των μονοπατιών
:V_0\xrightarrow{E_0}\cdots\xrightarrow{E_{n-1}} V_n,\quad V_n\xrightarrow{F_0}W_0\xrightarrow{F_1}\cdots\xrightarrow{F_{m}} W_m,
η σύνθεσή τους είναι
:\left(V_n\xrightarrow{F_0}W_0\xrightarrow{F_1}\cdots\xrightarrow{F_{m}} W_m \right) \circ \left(V_0\xrightarrow{E_0}\cdots\xrightarrow{E_{n-1}} V_n \right) := V_0\xrightarrow{E_0}\cdots\xrightarrow{E_{n-1}} V_n\xrightarrow{F_0}W_0\xrightarrow{F_1}\cdots\xrightarrow{F_{m}} W_m.

Να σημειωθεί ότι το αποτέλεσμα της σύνθεσης αρχίζει με τον δεξιό τελεστέο (operand) της σύνθεσης και τελειώνει με τον αριστερό τελεστέο της.

## Παραδείγματα

* Αν  είναι η φαρέτρα με μία κορυφή και μία ακμή  από το αντικείμενο αυτό προς τον εαυτό της, τότε η ελεύθερη κατηγορία στο  έχει ως βέλη , , ∘,∘∘, κλπ. 
* Έστω  η φαρέτρα με δύο κορυφές ,  και δύο ακμές ,  από  προς  και  προς , αντίστοιχα. Τότε η ελεύθερη κατηγορία στο  έχει δύο ταυτοτικά βέλη και ένα βέλος για κάθε πεπερασμένη ακολουθία εναλλασσόμενων s και s, συμπεριλαμβανομένων: , , ∘, ∘, ∘∘, ∘∘, κλπ.
* Αν  είναι η φαρέτρα a\xrightarrow{f}b\xrightarrow{g}c, τότε η ελεύθερη κατηγορία στο  έχει (εκτός από τρία βέλη ταυτότητας), τα βέλη , , και ∘.
* Αν μια φαρέτρα  έχει μόνο μία κορυφή, τότε η ελεύθερη κατηγορία στην  έχει μόνο ένα αντικείμενο και αντιστοιχεί στο ελεύθερο μονοειδές στις ακμές της .

## Ιδιότητες

Η κατηγορία των μικρών κατηγοριών **Cat** έχει έναν επιλήσμων συναρτητή  στην κατηγορία **Quiv** της φαρέτρας:

: : **Cat** → **Quiv**

που παίρνει τα αντικείμενα στις κορυφές και τους μορφισμούς στα βέλη. Διαισθητικά,  "λησμονεί ποια βέλη είναι σύνθετα και ποια είναι ταυτότητες". Αυτός ο επιλήσμων συναρτητή είναι δεξιός συζυγής με τον συναρτητή που στέλνει μια φαρέτρα στην αντίστοιχη **ελεύθερη κατηγορία**.

### Καθολική ιδιότητα

Η ελεύθερη κατηγορία σε μια φαρέτρα μπορεί να περιγραφεί μέχρι τον ισομορφισμό με μια καθολική ιδιότητα. Έστω  : **Quiv** → **Cat**  ο τελεστής που μεταφέρει μια φαρέτρα στην ελεύθερη κατηγορία πάνω σε αυτή την φαρέτρα (όπως περιγράφηκε παραπάνω), έστω  ο επιλήσμων συναρτητής  που ορίστηκε παραπάνω, και έστω  οποιαδήποτε φαρέτρα. Τότε υπάρχει ένας ομομορφισμός γραφημάτων   :  → (()) και δεδομένης οποιασδήποτε κατηγορίας **D** και οποιουδήποτε ομομορφισμού γράφων  :  → , υπάρχει ένας μοναδικός συναρτητής  : () → **D** τέτοιος ώστε ()∘=, δηλαδή το ακόλουθο διάγραμμα αντιμετατίθεται:

Ο συναρτητής  είναι αριστερός συζυγής με τον επιλήσμων συναρτητή .

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) 
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα