Ταυτότητες του Γκριν

Στα μαθηματικά, οι **ταυτότητες Γκριν** είναι ένα σύνολο τριών ταυτοτήτων στο διανυσματικό λογισμό που αφορούν τον όγκο με το όριο μιας περιοχής στην οποία δρουν διαφορικοί τελεστές. Πήραν το όνομά τους από τον μαθηματικό Τζόρτζ Γκριν (George Green), ο οποίος ανακάλυψε το θεώρημα του Γκριν.

## Πρώτη ταυτότητα του Γκριν

Η ταυτότητα αυτή προκύπτει από το θεώρημα της απόκλισης που εφαρμόζεται στο διανυσματικό πεδίο  ενώ χρησιμοποιείται μια επέκταση του κανόνα του γινομένου ότι : Έστω  και  κλιμακωτές συναρτήσεις που ορίζονται σε κάποια περιοχή  και έστω ότι η  είναι δύο φορές συνεχώς διαφορίσιμη, και η  είναι μία φορά συνεχώς διαφορίσιμη. Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω κανόνα του γινομένου, αλλά αφήνοντας  ολοκληρώστε  πάνω στο . Τότε 

\int_U \left( \psi \, \Delta \varphi + \nabla \psi \cdot \nabla \varphi \right)\, dV  = \oint_{\partial U} \psi \left( \nabla \varphi \cdot \mathbf{n} \right)\, dS=\oint_{\partial U}\psi\,\nabla\varphi\cdot d\mathbf{S} 

όπου  είναι ο τελεστής Λαπλάς,  είναι το όριο της περιοχής ,  είναι η προς τα έξω στρεφόμενη μοναδιαία κάθετη στο στοιχείο της επιφάνειας   και  είναι το προσανατολισμένο στοιχείο της επιφάνειας.

Αυτό το θεώρημα είναι μια ειδική περίπτωση του θεωρήματος της απόκλισης και είναι ουσιαστικά το ισοδύναμο σε υψηλότερη διάσταση της ολοκλήρωσης κατά μέρη με  και την κλίση του  να αντικαθιστούν τα  και .

Ας σημειωθεί ότι η πρώτη ταυτότητα του Γκριν παραπάνω είναι μια ειδική περίπτωση της γενικότερης ταυτότητας που προκύπτει από το θεώρημα απόκλισης με την αντικατάσταση ,
\int_U \left( \psi \, \nabla \cdot \mathbf{\Gamma} + \mathbf{\Gamma} \cdot \nabla \psi\right)\, dV  = \oint_{\partial U} \psi \left( \mathbf{\Gamma} \cdot \mathbf{n} \right)\, dS=\oint_{\partial U}\psi\mathbf{\Gamma}\cdot d\mathbf{S} ~. 

## Δεύτερη ταυτότητα του Γκριν
Αν  και  είναι και οι δύο δύο φορές συνεχώς διαφορίσιμες στο  και  είναι μία φορά συνεχώς διαφορίσιμη, μπορούμε να επιλέξουμε   για να λάβουμε

 \int_U \left[ \psi \, \nabla \cdot \left( \varepsilon \, \nabla \varphi \right) - \varphi \, \nabla \cdot \left( \varepsilon \, \nabla \psi \right) \right]\, dV = \oint_{\partial U} \varepsilon \left( \psi {\partial \varphi \over \partial \mathbf{n}} - \varphi {\partial \psi \over \partial \mathbf{n}}\right)\, dS. 

Για την ειδική περίπτωση  σε όλο το , τότε,

 \int_U \left( \psi \, \nabla^2 \varphi - \varphi \, \nabla^2 \psi\right)\, dV = \oint_{\partial U} \left( \psi {\partial \varphi \over \partial \mathbf{n}} - \varphi {\partial \psi \over \partial \mathbf{n}}\right)\, dS. 

Στην παραπάνω εξίσωση,   είναι η κατευθυνόμενη παράγωγος του  στην κατεύθυνση της επιφανειακής κανονικής   του επιφανειακού στοιχείου ,

 {\partial \varphi \over \partial \mathbf{n}} = \nabla \varphi \cdot \mathbf{n} = \nabla_\mathbf{n}\varphi.

Η ρητή ενσωμάτωση αυτού του ορισμού στη δεύτερη ταυτότητα του Γκριν με καταλήγει σε

 \int_U \left( \psi \, \nabla^2 \varphi - \varphi \, \nabla^2 \psi\right)\, dV = \oint_{\partial U} \left( \psi \nabla \varphi - \varphi \nabla \psi\right)\cdot d\mathbf{S}. 

Συγκεκριμένα, αυτό αποδεικνύει ότι Λαπλασιάν είναι ένας αυτοσυνδυασμένος τελεστής στο εσωτερικό γινόμενο   για συναρτήσεις που εξαφανίζονται στο σύνορο, έτσι ώστε η δεξιά πλευρά της παραπάνω ταυτότητας να είναι μηδέν.

## Τρίτη ταυτότητα του Γκριν

Η τρίτη ταυτότητα του Γκριν προκύπτει από τη δεύτερη ταυτότητα επιλέγοντας  όπου η συνάρτηση του Γκριν  θεωρείται ότι είναι μια θεμελιώδης λύση του τελεστή Λαπλάς ∆.  Αυτό σημαίνει ότι:

 \Delta G(\mathbf{x},\boldsymbol{\eta}) = \delta(\mathbf{x} - \boldsymbol{\eta}) ~.

Επί παραδείγματι, στο  μια λύση έχει τη μορφή

G(\mathbf{x},\boldsymbol{\eta})= \frac{-1}{4 \pi \|\mathbf{x} - \boldsymbol{\eta} \|} ~.

Η τρίτη ταυτότητα του Γκριν δηλώνει ότι αν  είναι μια συνάρτηση που είναι δύο φορές συνεχώς διαφορίσιμη στο , τότε

 \int_U \left[ G(\mathbf{y},\boldsymbol{\eta}) \, \Delta \psi(\mathbf{y}) \right] \, dV_\mathbf{y} - \psi(\boldsymbol{\eta})=  \oint_{\partial U} \left[ G(\mathbf{y},\boldsymbol{\eta}) {\partial \psi \over \partial \mathbf{n}} (\mathbf{y}) - \psi(\mathbf{y}) {\partial G(\mathbf{y},\boldsymbol{\eta}) \over \partial \mathbf{n}} \right]\, dS_\mathbf{y}.

Μια απλούστευση προκύπτει εάν η  είναι η ίδια μια αρμονική συνάρτηση, δηλαδή μια λύση της εξίσωσης Λαπλάς. Τότε  και η ταυτότητα απλοποιείται ως εξής

\psi(\boldsymbol{\eta})= \oint_{\partial U} \left[\psi(\mathbf{y}) \frac{\partial G(\mathbf{y},\boldsymbol{\eta})}{\partial \mathbf{n}} - G(\mathbf{y},\boldsymbol{\eta}) \frac{\partial \psi}{\partial \mathbf{n}} (\mathbf{y}) \right]\, dS_\mathbf{y}.

Ο δεύτερος όρος στο παραπάνω ολοκλήρωμα μπορεί να εξαλειφθεί εάν  επιλεγεί να είναι η συνάρτηση του Γκριν που εξαφανίζεται στο όριο της  (συνοριακή συνθήκη Ντίριχλετ),

\psi(\boldsymbol{\eta}) = \oint_{\partial U} \psi(\mathbf{y}) \frac{\partial G(\mathbf{y},\boldsymbol{\eta})}{\partial \mathbf{n}} \, dS_\mathbf{y} ~.

Αυτή η μορφή χρησιμοποιείται για την κατασκευή λύσεων σε προβλήματα συνοριακών συνθηκών Ντίριχλετ. Οι λύσεις για προβλήματα οριακών συνθηκών Νόιμαν μπορούν επίσης να απλοποιηθούν, αν και το θεώρημα της απόκλισης που εφαρμόζεται στη διαφορική εξίσωση που ορίζει τις συναρτήσεις Γκριν δείχνει ότι η συνάρτηση Γκριν δεν μπορεί να ολοκληρωθεί στο μηδέν στο σύνορο, και επομένως δεν μπορεί να εξαφανιστεί στο σύνορο. Δείτε τις συναρτήσεις του Γκριν για τη Λαπλασιανή ή  για ένα λεπτομερές επιχείρημα, με μια εναλλακτική λύση.

Μπορεί να επαληθευτεί περαιτέρω ότι η παραπάνω ταυτότητα ισχύει επίσης όταν η  είναι λύση της εξίσωσης Χέλμχολτς ή της κυματικής εξίσωσης και η  είναι η κατάλληλη συνάρτηση του Γκριν. Σε ένα τέτοιο πλαίσιο, η ταυτότητα αυτή είναι η μαθηματική έκφραση της αρχής Χόυχενς και οδηγεί στον τύπο περίθλασης του Κίρχοφ και σε άλλες προσεγγίσεις.

## Σε πολλαπλότητες
Οι ταυτότητες του Γκριν ισχύουν σε μια πολλαπλή του Ριμάν. Σε αυτό το περιβάλλον, οι δύο πρώτες είναι

\begin{align}
\int_M u \,\Delta v\, dV + \int_M \langle\nabla u, \nabla v\rangle\, dV &= \int_{\partial M} u N v \, d\widetilde{V} \\
\int_M \left (u \, \Delta v - v \, \Delta u \right )\, dV &= \int_{\partial M}(u N v - v N u) \, d \widetilde{V}
\end{align}

όπου  και  είναι λείες συναρτήσεις πραγματικών τιμών στο ,  είναι η μορφή όγκου συμβατή με τη μετρική, d\widetilde{V} είναι η επαγόμενη μορφή όγκου στο σύνορο του ,  είναι το προς τα έξω προσανατολισμένο μοναδιαίο διανυσματικό πεδίο κάθετο στο σύνορο, και  είναι η Λαπλασιανή.

## Διανυσματική ταυτότητα του Γκριν

Η δεύτερη ταυτότητα του Γκριν καθορίζει μια σχέση μεταξύ της δεύτερης και (της απόκλισης της) πρώτης τάξης παραγώγων δύο βαθμωτών συναρτήσεων. Σε διαφορική μορφή

p_m \, \Delta q_m-q_m \, \Delta p_m = \nabla\cdot\left(p_m\nabla q_m-q_m \, \nabla p_m\right),

όπου  και  είναι δύο αυθαίρετα δύο φορές συνεχώς διαφοροποιήσιμα πεδία. Αυτή η ταυτότητα έχει μεγάλη σημασία στη φυσική, επειδή έτσι μπορούν να δημιουργηθούν εξισώσεις συνέχειας για πεδία με κλίμακες όπως η μάζα ή η ενέργεια[3].

Στη διανυσματική θεωρία περίθλασης εισάγονται δύο εκδοχές της δεύτερης ταυτότητας του Γκριν.

Η μία παραλλαγή επικαλείται την απόκλιση ενός διασταυρούμενου γινομένου  και δηλώνει μια σχέση ως προς την περιστροφή του πεδίου

\mathbf{P}\cdot\left(\nabla\times\nabla\times\mathbf{Q}\right)-\mathbf{Q}\cdot\left(\nabla\times\nabla\times \mathbf{P}\right) = \nabla\cdot\left(\mathbf{Q}\times\left(\nabla\times\mathbf{P}\right)-\mathbf{P}\times\left(\nabla\times\mathbf{Q}\right)\right).

Η εξίσωση αυτή μπορεί να γραφεί ως προς τους Λαπλασιανούς,

\mathbf{P}\cdot\Delta \mathbf{Q}-\mathbf{Q}\cdot\Delta \mathbf{P} + \mathbf{Q} \cdot \left[\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{P}\right)\right]-\mathbf{P} \cdot \left[ \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf{Q}\right)\right] = \nabla \cdot \left( \mathbf{P}\times \left(\nabla\times\mathbf{Q}\right) - \mathbf{Q}\times\left(\nabla\times\mathbf{P}\right)\right).

Ωστόσο, οι όροι

\mathbf{Q}\cdot\left[\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{P}\right)\right]-\mathbf{P} \cdot \left[\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{Q}\right)\right],

δεν μπορούσαν εύκολα να γραφούν σε όρους απόκλισης.

Η άλλη προσέγγιση εισάγει δι-διανύσματα, αυτή η διατύπωση απαιτεί μια δυαδική συνάρτηση Γκριν. Η παραγώγιση που παρουσιάζεται εδώ αποφεύγει αυτά τα προβλήματα.

Ας θεωρήσουμε ότι τα βαθμωτά πεδία στη δεύτερη ταυτότητα του Γκριν είναι οι καρτεσιανές συνιστώσες των διανυσματικών πεδίων, δηλαδή,

\mathbf{P}=\sum_m p_{m}\hat{\mathbf{e}}_m, \qquad \mathbf{Q}=\sum_m q_m \hat{\mathbf{e}}_m.

Αθροίζοντας την εξίσωση για κάθε συνιστώσα, λαμβάνουμε

\sum_m \left[p_m\Delta q_m - q_m\Delta p_m\right]=\sum_m \nabla \cdot \left( p_m \nabla q_m-q_m\nabla p_m \right).

Το LHS σύμφωνα με τον ορισμό του γινομένου τελείας μπορεί να γραφεί σε διανυσματική μορφή ως εξής

\sum_m \left[p_m \, \Delta q_m-q_m \, \Delta p_m\right] = \mathbf{P} \cdot \Delta\mathbf{Q}-\mathbf{Q}\cdot\Delta\mathbf{P}.

Το RHS είναι λίγο πιο δύσκολο να εκφραστεί με όρους διανυσματικών τελεστών. Λόγω της διανεμητικότητας του τελεστή απόκλισης επί της πρόσθεσης, το άθροισμα της απόκλισης είναι ίσο με την απόκλιση του αθροίσματος, δηλ,

\sum_m \nabla\cdot\left(p_m \nabla q_m-q_m\nabla p_m\right)= \nabla \cdot \left(\sum_m p_m \nabla q_m - \sum_m q_m \nabla p_m \right).

Ας θυμηθούμε τη διανυσματική ταυτότητα για την κλίση ενός γινομένου τελείας,

\nabla \left(\mathbf{P} \cdot \mathbf{Q} \right) = \left( \mathbf{P} \cdot \nabla \right) \mathbf{Q} + \left( \mathbf{Q} \cdot \nabla \right) \mathbf{P} + \mathbf{P}\times \left(\nabla\times\mathbf{Q}\right)+\mathbf{Q}\times \left(\nabla\times\mathbf{P}\right),

η οποία, γραμμένη σε διανυσματικές συνιστώσες, δίνεται από τη σχέση

\nabla\left(\mathbf{P}\cdot\mathbf{Q}\right)=\nabla\sum_m p_m q_m = \sum_m p_m \nabla q_m + \sum_m q_m \nabla p_m. 

Αυτό το αποτέλεσμα είναι παρόμοιο με αυτό που θέλουμε να δείξουμε σε διανυσματικούς όρους, «εκτός» από το μείον πρόσημο. Εφόσον οι διαφορικοί τελεστές σε κάθε όρο δρουν είτε πάνω στο ένα διάνυσμα (π.χ. p_m's) είτε στο άλλο (q_m's), η συνεισφορά σε κάθε όρο πρέπει να είναι

\sum_m p_m \nabla q_m = \left(\mathbf{P} \cdot \nabla\right) \mathbf{Q} + \mathbf{P} \times \left(\nabla \times \mathbf{Q}\right),

\sum_m q_m \nabla p_m = \left(\mathbf{Q} \cdot \nabla\right) \mathbf{P} + \mathbf{Q} \times \left(\nabla \times \mathbf{P}\right).

Τα αποτελέσματα αυτά μπορούν να αποδειχθούν αυστηρά ότι είναι σωστά μέσω της  αξιολόγησης των διανυσματικών συνιστωσών. Επομένως, το RHS μπορεί να γραφεί σε διανυσματική μορφή ως εξής

 \sum_m p_m \nabla q_m - \sum_m q_m \nabla p_m = \left(\mathbf{P} \cdot \nabla\right) \mathbf{Q} +  \mathbf{P}\times \left(\nabla\times\mathbf{Q}\right)-\left( \mathbf{Q} \cdot \nabla\right) \mathbf{P} -  \mathbf{Q}\times \left(\nabla\times\mathbf{P}\right).

Συνδυάζοντας αυτά τα δύο αποτελέσματα, προκύπτει ένα αποτέλεσμα ανάλογο με το θεώρημα του Γκριν για τα κλιμακωτά πεδία,**Θεώρημα για διανυσματικά πεδία:**

\color{OliveGreen}\mathbf{P} \cdot \Delta \mathbf{Q} - \mathbf{Q} \cdot \Delta \mathbf{P} = \left[ \left(\mathbf{P} \cdot \nabla\right) \mathbf{Q} +  \mathbf{P}\times \left(\nabla\times\mathbf{Q}\right)-\left( \mathbf{Q} \cdot \nabla\right) \mathbf{P} -  \mathbf{Q}\times \left(\nabla\times\mathbf{P}\right)\right].

Ο στροβιλισμός ενός διασταυρούμενου γινομένου μπορεί να γραφεί ως εξής

\nabla\times\left(\mathbf{P}\times\mathbf{Q}\right)=\left(\mathbf{Q}\cdot\nabla\right)\mathbf{P}-\left(\mathbf{P}\cdot\nabla\right)\mathbf{Q}+\mathbf{P}\left(\nabla\cdot\mathbf{Q}\right)-\mathbf{Q}\left(\nabla\cdot\mathbf{P}\right);

Η διανυσματική ταυτότητα του Γκριν μπορεί στη συνέχεια να ξαναγραφεί ως εξής

\mathbf{P}\cdot\Delta \mathbf{Q}-\mathbf{Q}\cdot\Delta \mathbf{P}= \nabla \cdot \left[\mathbf{P} \left(\nabla\cdot\mathbf{Q}\right)-\mathbf{Q} \left( \nabla \cdot \mathbf{P}\right)-\nabla \times \left( \mathbf{P} \times \mathbf{Q} \right) +\mathbf{P}\times\left(\nabla\times\mathbf{Q}\right) - \mathbf{Q}\times \left(\nabla\times\mathbf{P}\right)\right].

Δεδομένου ότι η απόκλιση του στροβιλισμού είναι μηδέν, ο τρίτος όρος εξαφανίζεται για να προκύψει η **διανυσματική ταυτότητα του Γκριν**.

\color{OliveGreen}\mathbf{P}\cdot\Delta\mathbf{Q}-\mathbf{Q} \cdot \Delta \mathbf{P} =\nabla\cdot\left[\mathbf{P}\left(\nabla\cdot\mathbf{Q}\right)-\mathbf{Q} \left( \nabla \cdot \mathbf{P} \right) + \mathbf{P}\times \left(\nabla\times\mathbf{Q}\right) - \mathbf{Q}\times\left(\nabla\times\mathbf{P}\right)\right].

Με μια παρόμοια διαδικασία, η Λαπλασιανή του τετραγωνικού γινομένου μπορεί να εκφραστεί ως προς τις Λαπλασιανές των παραγόντων

 \Delta \left( \mathbf{P} \cdot \mathbf{Q} \right) = \mathbf{P} \cdot \Delta \mathbf{Q}-\mathbf{Q}\cdot\Delta \mathbf{P} + 2\nabla \cdot \left[ \left( \mathbf{Q} \cdot \nabla \right) \mathbf{P} + \mathbf{Q} \times \nabla \times \mathbf{P} \right].

Ως επακόλουθο, οι δύσκολοι όροι μπορούν τώρα να γραφούν σε όρους απόκλισης σε σύγκριση με τη διανυσματική εξίσωση Γκριν,

\mathbf{P}\cdot \left[ \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf{Q} \right) \right] - \mathbf{Q} \cdot \left[ \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{P} \right) \right] = \nabla \cdot\left[\mathbf{P}\left(\nabla\cdot\mathbf{Q}\right)-\mathbf{Q} \left( \nabla \cdot \mathbf{P} \right) \right].

Αυτό το αποτέλεσμα μπορεί να επαληθευτεί με την επέκταση της απόκλισης ενός βαθμωτού μέτρου επί ένα διάνυσμα στο RHS.

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Διδιάστατος χώρος
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Υπερβολική γεωμετρία
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Διάσταση Κρουλ
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* 
* 
* . Review: Séquin, Carlo H. (2009), *Journal of Mathematics and the Arts* 3: 229–230, 
* 
*Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:Θεωρήματα στην ανάλυση
Κατηγορία:Μαθηματική ανάλυση
Κατηγορία:Επιφάνειες
Κατηγορία:Διαφορική τοπολογία
Κατηγορία:Διανύσματα
Κατηγορία:Διανυσματικός λογισμός
Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις
Κατηγορία:Μαθηματικές ταυτότητες