Υπεργεωμετρική κατανομή

450px|thumb|Παράδειγμα δείγματος από την υπεργεωμετρική κατανομή με <math>N = 22</math>, <math>K = 11</math> και <math>n = 3</math>. Παρατηρήστε ότι η δειγματοληψία γίνεται χωρίς επανατοποθέτηση.

400px|thumb|Συνάρτηση μάζας πιθανότητας για τηυ υπεργεωμετρική κατανομή με <math>N = 100</math>, <math>n = 25</math> και <math>K = 10, 30, 60</math>.

400px|thumb|Αθροιστική συνάρτηση κατανομής για τη υπεργεωμετρική κατανομή με <math>N = 100</math>, <math>n = 25</math> και <math>K = 10, 30, 60</math>..

Η **υπεργεωμετρική κατανομή** είναι μια διακριτή συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής που δίνει το πλήθος των επιτυχιών σε n δείγματα (χωρίς επανάληψη) σε έναν πεπερασμένο πληθυσμό μεγέθους N, εκ των οποίων τα K είναι επιτυχίες. 

Η κατανομή γίνεται εύκολα κατανοητή με την περιγραφή της μέσω ενός μοντέλου με κάλπες.
Θεωρούμε μια κάλπη με K πράσινες μπάλες (επιτυχίες) και N - K κόκκινες (αποτυχίες). Από την κάλπη παίρνουμε χωρίς επανατοποθέτηση n μπάλες. Η υπεργεωμετρική κατανομή μας δίνει την πιθανότητα k από αυτές να είναι πράσινες.

## Ορισμός

Η πιθανότητα να υπάρχουν k\in\{ \max(0, n + K - N), \ldots, \min(n, k) \} επιτυχίες είναι:
:\operatorname{P}(X=k) = \frac{\binom{K}{k} \cdot \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}},
όπου \tbinom{x}{y} είναι ο διωνυμικός συντελεστής. 

Από την ταυτότητα Βαντερμόντ προκύπτει ότι ο παραπάνω ορισμός δίνει μία έγκυρη συνάρτηση πιθανότητας.

## Παραδείγματα

### Παράδειγμα 1ο

Αν έχουμε N = 6 μπάλες εκ των οποίων οι K = 2 είναι πράσινες, τότε οι πιθανότητες να διαλέξουμε k = 0, 1, 2 πράσινες σε δύο δείγματα δίνονται ως εξής:
:

### Παράδειγμα 2ο

Για X \sim \mathsf{H}(22, 11, 3) έχουμε ότι
:
\operatorname{P}(X = 2) = \frac{\binom{11}{2} \cdot \binom{11}{1}}{\binom{22}{2}} = \frac{11}{84}.


## Μέση τιμή

Έστω X \sim \mathsf{H}(N, K, n), τότε μπορούμε να γράψουμε X = \sum_{i = 1}^n X_i, όπου X_i είναι η δείκτρια τυχαία μεταβλητή για το γεγονός 
:\mathcal{E}_i = \{  Το i-οστό δείγμα ήταν επιτυχία\}. 
Αφού υπάρχουν K επιτυχίες συνολικά, έχουμε ότι
:
  \operatorname{P}(\mathcal{E}_i) = \frac{K}{N}.

Από την γραμμικότητα της αναμενόμενης τιμής, έχουμε ότι
:
  \operatorname{E}[X] = \operatorname{E}\left[ \sum_{i = 1}^n X_i \right] = \sum_{i = 1}^n \operatorname{E}[X_i] = n \cdot \frac{K}{N}.


## Διακύμανση
Όπως και για την μέση τιμή, γράφουμε X = \sum_{i = 1}^n X_i. Τότε από την ταυτότητα Bienaymé, έχουμε για την διακύμανση ότι 

Για την διακύμανση, από την κατανομή Μπερνούλλι, έχουμε ότι
:
Για την συνδιακύμανση, έχουμε ότι
:
  \operatorname{Cov}[X_i, X_j] = \operatorname{E}[X_i X_j] - \operatorname{E}[X_i] \cdot \operatorname{E}[X_j].

Για τον πρώτο όρο, έχουμε
:
  \operatorname{E}[X_i X_j] = \operatorname{E}[X_i | X_j = 1] \cdot \operatorname{P}(X_j = 1) = \frac{K - 1}{N - 1} \cdot \frac{k}{N}.

Επομένως, 
:
\operatorname{Cov}[X_i, X_j] = \frac{K}{N} \cdot \frac{K}{N} - \frac{K-1}{N-1} \cdot \frac{K}{N} = \frac{K}{N} \cdot \left( \frac{K}{N} - \frac{K-1}{N-1} \right) = \frac{K \cdot (N - K)}{N^2 \cdot (N-1)}.

Επιστρέφοντας στην (), λαμβάνουμε ότι
:
\begin{align}
\operatorname{Var}[X] 
 & = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left( 1 - \frac{K}{N} \right) + n \cdot (n-1) \cdot \frac{K \cdot (N - K)}{N^2 \cdot (N-1)} \\
 & = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{N - K}{N} \cdot \frac{N - n}{N - 1}.
\end{align}


## Επικρατούσα τιμή

Η επικρατούσα τιμή της κατανομής δίνεται από το \lfloor v \rfloor ή \lceil v \rceil - 1, όπου
:
  v = \frac{(n+1) \cdot (K + 1)}{N + 2}.

Ο λόγος είναι ότι \operatorname{P}(X = k) > \operatorname{P}(X = k - 1) αν και μόνο αν k , καθώς
:
\begin{align}
\frac{\operatorname{P}(X = k)}{\operatorname{P}(X = k - 1)} > 1 
 & \Leftrightarrow 
 \frac{\frac{K!}{k!(K-k)!} \cdot \frac{(N- K)!}{(N-k)! (N-K-n+k)!}}{\frac{K!}{(k-1)!(K-k+1)!} \cdot \frac{(N-K)!}{(n-k+1)! \cdot (N - K - n + k - 1)!}} > 1\\
 & \Leftrightarrow 
 \frac{K - k + 1}{k} \cdot \frac{n - k + 1}{N - K - n + k}  > 1 \\
 & \Leftrightarrow k 

## Ανισότητες

Για X \sim \mathsf{H}(N, K, n) έχουμε ότι για p = \frac{K}{N} και κάθε t \geq 0,
:
 \operatorname{P}\left(X \geq ( p + t ) \cdot n \right) 
   \leq \left( \left( \frac{p}{p + t} \right) \cdot \left( \frac{1-p}{1-p-t} \right)^{1-p-t} \right)^n \leq e^{-2t^2n}.


## Δείτε επίσης

* Διωνυμική κατανομή
* Πολυωνυμική κατανομή
* Διωνυμικός συντελεστής

## Παραπομπές


Κατηγορία:Κατανομές