Πολύγωνο

Στην γεωμετρία, **πολύγωνο** είναι κάθε απλή κλειστή τεθλασμένη γραμμή. Τα ευθύγραμμα τμήματα της τεθλασμένης γραμμής λέγονται **πλευρές** του πολυγώνου και τα άκρα τους **κορυφές** του πολυγώνου. Ένα πολύγωνο με \nu πλευρές (και 
nu κορυφές) λέγεται και \nu-**γωνο** (προφέρεται *νι*-γωνο) ή \nu-**πλευρο**.

Ειδικές περιπτώσεις είναι το τρίγωνο (\nu = 3), το τετράγωνο (\nu = 4), το πεντάγωνο (\nu = 5), το εξάγωνο (\nu = 6), το επτάγωνο (\nu = 7), κ.ο.κ.

## Ορισμοί
Το γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από ένα πολύγωνο και τα εσωτερικά του σημεία λέγεται **πολυγωνικό χωρίο**.

**Εσωτερική γωνία** ενός πολυγώνου λέγεται κάθε κυρτή γωνία που ορίζεται από δύο διαδοχικές πλευρές του πολυγώνου. **[[Εξωτερική γωνία]]** λέγεται κάθε εφεξής και παραπληρωματική μίας εσωτερικής του γωνίας. Ένα \nu-γωνο έχει \nu εσωτερικές γωνίες και 2\nu εξωτερικές γωνίες. 

Ένα ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο μη διαδοχικές κορυφές πολυγώνου ονομάζεται **διαγώνιος** του πολυγώνου.

## Είδη πολυγώνου
* Ένα πολύγωνο θα λέγεται **[[κυρτό πολύγωνο|κυρτό]]** αν το πολυγωνικό χωρίο του είναι κυρτό σύνολο και **[[κοίλο πολύγωνο|μη κυρτό]]** ή **κοίλο** στην αντίθετη περίπτωση.

* Ένα πολύγωνο το οποίο εγγράφεται σε κύκλο λέγεται **[[εγγράψιμο πολύγωνο|εγγράψιμο]]**.

* Ένα πολύγωνο στο οποίο εγγράφεται κύκλος λέγεται **[[Περιγεγραμμένο πολύγωνο|περιγράψιμο]]**.

* Ένα πολύγωνο του οποίου όλες οι εσωτερικές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους λέγεται **[[ισογώνιο πολύγωνο|ισογώνιο]]**.

* Ένα πολύγωνο του οποίου όλες οι πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους λέγεται **[[ισόπλευρο πολύγωνο|ισόπλευρο]]**.

* Ένα πολύγωνο που είναι ισόπλευρο και ισογώνιο λέγεται **[[κανονικό πολύγωνο|κανονικό]]**.

## Ιδιότητες
* Το πλήθος των διαγωνίων ενός \nu-γώνου ισούται με \frac{\nu(\nu-3)}{2}.

* Το άθροισμα των γωνιών ενός απλού \nu-γώνου είναι (\nu - 2) \cdot 180^\circ.

* Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κάθε κυρτού πολυγώνου είναι ίσο με 360^\circ.

## Μετρικές σχέσεις

* Έστω ένα πολύγωνο {\rm P}_1 \ldots {\rm P}_n με n πλευρές. Θεωρούμε τα σημεία τομής {\rm Q}_1, \ldots, {\rm Q}_n των προεκτάσεων των πλευρών του \rm P_nP_1 και \rm P_2 P_3, \rm P_1P_2 και \rm P_3 P_4, \ldots. Τότε, ισχύει ότι
::{\rm P_1Q_1 \cdot P_2Q_2} \cdot \ldots \cdot {\rm P}_n{\rm Q}_n = {\rm P_1Q}_n \cdot {\rm P}_2{\rm Q}_1 \cdot \ldots \cdot {\rm P}_n{\rm Q}_{n}.
{\sin \varphi_2} = \frac{\rm \color{red}{P_2Q_1}}{\sin \varphi_1}.
Αντίστοιχα, 
:\frac{\rm \color{blue}{P_2Q_2}}{\sin \varphi_3} = \frac{\rm \color{red}{P_3Q_2}}{\sin \varphi_2}
:\qquad \vdots
:\frac{\color{blue}{\sin \varphi_1} = \frac{ \color{red}}{\sin \varphi_n}.
Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη αυτές τις ισότητες λαμβάνουμε ότι
:\frac{\color{blue}{ {\rm P}_1{\rm Q}_1 \cdot {\rm P}_2{\rm Q}_2 \ldots \cdot {\rm P}_1{\rm Q}_1 } }{\sin \varphi_1 \cdot \ldots \cdot \sin \varphi_n} = \frac{\color{red}}{\sin \varphi_1 \cdot \ldots \cdot \sin \varphi_n}. 
Απαλείφοντας τους παρονομαστές, λαμβάνουμε την ζητούμενη ισότητα.
}}

## Εμβαδόν
Το εμβαδόν ενός απλού πολυγώνου {\rm P}_1 \ldots {\rm P}_n, όπου οι συντεταγμένες της κορυφής {\rm P}_i = (x_i, y_i) δίνεται από τον εξής τύπο
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = \frac{1}{2} \cdot \left( 
       \begin{vmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{vmatrix} + 
       \ldots + 
       \begin{vmatrix} x_{n-1} & x_n \\ y_{n-1} & y_n \end{vmatrix} + 
       \begin{vmatrix} x_n & x_1 \\ y_n & y_1 \end{vmatrix}
     \right) \\
 & = \frac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & \ldots & x_{n-1} & x_n & x_1 \\ y_1 & y_2 & \ldots & y_{n-1} & y_n & y_1 \end{vmatrix},
\end{align}

ο οποίος είναι ισοδύναμος με
:
\begin{align}
{\rm E} 
  & = \frac{1}{2} \cdot \left( x_1 y_2 - x_2 y_1 + x_2 y_3 - x_3 y_2 + \ldots + x_n y_1 - x_1 y_n \right).
\end{align}

Σε ειδικές περιπτώσεις πολυγώνων, υπάρχουν πιο ειδικοί τύποι για το εμβαδόν, όπως στα τρίγωνα, στα τετράπλευρα, στα κανονικά πολύγωνα.

## Περίμετρος
Η περίμετρος ενός πολυγώνου {\rm P}_1 \ldots {\rm P}_n, όπου οι συντεταγμένες της κορυφής {\rm P}_i = (x_i, y_i) δίνεται από το άθροισμα των μηκών των πλευρών του, δηλαδή
:
\begin{align}
\Pi 
 & = {\rm P}_1{\rm P}_2 + {\rm P}_2{\rm P}_3 + \ldots + {\rm P}_{n-1}{\rm P}_n + {\rm P}_n{\rm P}_1 \\
 & = \sum_{i = 1}^{n} {\rm P}_i{\rm P}_{i+1} \\
 & = \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{(x_i - x_{i+1})^2 + (y_i - y_{i+1})^2},
\end{align}
όπου ορίζουμε {\rm P}_{n+1} = {\rm P}_1 για χάριν ευκολίας.

Σε ειδικές περιπτώσεις πολυγώνων, υπάρχουν πιο ειδικοί τύποι για την περίμετρο, όπως στα κανονικά πολύγωνα.

## Δείτε επίσης
* Τρίγωνο
* Τετράπλευρο

## Παραπομπές


## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* 
*