Μιγαδικό τετραγωνικό πολυώνυμο

Ένα **μιγαδικό τετραγωνικό πολυώνυμο** είναι ένα τετραγωνικό πολυώνυμο του οποίου οι συντελεστές και η μεταβλητή είναι μιγαδικοί αριθμοί.

## Ιδιότητες
Τα τετραγωνικά πολυώνυμα έχουν τις ακόλουθες ιδιότητες, ανεξάρτητα από τη μορφή τους:

* Είναι μονοκρίσιμο πολυώνυμο, δηλαδή έχει ένα μόνο πεπερασμένο κρίσιμο σημείο στο μιγαδικό επίπεδο. Το δυναμικό επίπεδο αποτελείται από 2 το πολύ λεκάνες: τη λεκάνη του απείρου και τη λεκάνη του πεπερασμένου κρίσιμου σημείου (αν το πεπερασμένο κρίσιμο σημείο δεν διαφεύγει).
* Μπορεί να είναι μετα-κριτικά πεπερασμένο, δηλαδή η τροχιά του κρίσιμου σημείου μπορεί να είναι πεπερασμένη, επειδή το κρίσιμο σημείο είναι περιοδικό ή προ-περιοδικό.
* Είναι μονότροπη συνάρτηση,
* Είναι Ρητή συνάρτηση,
* Είναι ολοκληρωμένη συνάρτηση.

## Τύποι
Όταν το τετραγωνικό πολυώνυμο έχει μόνο μία μεταβλητή (μονομεταβλητό), υπάρχουν τέσσερις κύριες μορφές:

* Η γενική μορφή:  f(x) =  a_2 x^2 + a_1 x + a_0  όπου  a_2  \ne 0
* Η παραγοντική μορφή που χρησιμοποιείται για τον λογιστικό χάρτη: f_r(x) = r x (1-x)
* f_{\theta}(x) = x^2 +\lambda x που έχει αδιάφορο σταθερό σημείο με πολλαπλασιαστή \lambda = e^{2 \pi \theta i} στην αφετηρία 
* Το μονικό πολυώνυμο και η κεντροποιημένη μορφή, f_c(x) = x^2 +c

Η **μονική και κεντραρισμένη μορφή** έχει μελετηθεί εκτενώς και έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

* Είναι η απλούστερη μορφή μιας μη γραμμικής συνάρτησης με έναν συντελεστή (παράμετρος),
* Είναι ένα κεντραρισμένο πολυώνυμο (το άθροισμα των κρίσιμων σημείων του είναι μηδέν).
* Είναι διωνυμικό (πολυώνυμο)

Η μορφή λάμδα  f_{\lambda}(z) = z^2 +\lambda z είναι:
* η απλούστερη μη τετριμμένη διαταραχή του αδιατάρακτου συστήματος  z \mapsto \lambda z
* "η πρώτη οικογένεια δυναμικών συστημάτων στην οποία είναι γνωστές ρητές αναγκαίες και ικανές συνθήκες για το πότε ένα πρόβλημα μικρού διαιρέτη είναι σταθερό"

## Συζυγία
### Μεταξύ σχημάτων
Δεδομένου ότι το f_c(x) είναι συζυγές με τη γενική μορφή του τετραγωνικού πολυωνύμου χρησιμοποιείται συχνά για τη μελέτη της σύνθετης δυναμικής και για τη δημιουργία εικόνων των συνόλων Μάντελμπροτ, Julia και Φατού.

Εάν επιθυμούμε αλλαγή από \theta σε c:

:c = c(\theta) = \frac {e^{2 \pi \theta i}}{2} \left(1 - \frac {e^{2 \pi \theta i}}{2}\right). 

Όταν θέλουμε να μεταβούμε από το r στο c, ο μετασχηματισμός των παραμέτρων είναι
:
c = c(r) = \frac{1- (r-1)^2}{4} = -\frac{r}{2} \left(\frac{r-2}{2}\right)


και ο μετασχηματισμός μεταξύ των μεταβλητών στο z_{t+1}=z_t^2+c και x_{t+1}=rx_t(1-x_t) είναι

:z=r\left(\frac{1}{2}-x\right).

## Με διπλασιασμό χάρτη
Υπάρχει ημι-συζυγία μεταξύ του δυαδικού μετασχηματισμού (του χάρτη διπλασιασμού) και της τετραγωνικής πολυωνυμικής περίπτωσης του *c* = –2.

## Συμβολισμός
### Επανάληψη
Εδώ  f^n δηλώνει την *n*-th επαναλαμβανόμενη τιμή της συνάρτησης f:

:f_c^n(z) = f_c^1(f_c^{n-1}(z))

οπότε

:z_n = f_c^n(z_0).

Λόγω πιθανής σύγχυσης με την εκθετικοποίηση, ορισμένοι συντάκτες γράφουν f^{\circ n} για την *n*th επαναλαμβανόμενη επανάληψη της f.

### Παράμετρος
Η μονική και κεντροποιημένη μορφή f_c(x) = x^2 +c μπορεί να σημειωθεί με:
* την παράμετρο c
* την εξωτερική γωνία \theta της ακτίνας που προσγειώνεται:
** στο *c* στο σύνολο Μάντελμπροτ του επιπέδου παραμέτρων
** στην κρίσιμη τιμή: *z* = *c* στο σύνολο Julia του δυναμικού επιπέδου

οπότε :

:f_c = f_{\theta}

:c = c({\theta})

Παραδείγματα:
* Το c είναι το σημείο προσγείωσης της 1/6 εξωτερικής ακτίνας του συνόλου Μάντελμπροτ και είναι  z \to z^2+i (όπου i^2=-1)
* c είναι το σημείο προσγείωσης της 5/14 εξωτερικής ακτίνας και είναι  z \to z^2+ c με c = -1.23922555538957 + 0.412602181602004*i


Paritition of dynamic plane of quadratic polynomial for 1 4.svg|1/4
Paritition of dynamic plane of quadratic polynomial for 1 6.svg|1/6
Paritition of dynamic plane of quadratic polynomial for 9 56.svg|9/56
Paritition of dynamic plane of quadratic polynomial for 129 over 16256.svg|129/16256


### Χάρτης
Η μονική και κεντραρισμένη μορφή, που μερικές φορές ονομάζεται οικογένεια τετραγωνικών πολυωνύμων Ντουάντι-Χάμπαρντ, χρησιμοποιείται συνήθως με μεταβλητή z και παράμετρο c:

:f_c(z) = z^2 +c.

Όταν χρησιμοποιείται ως συνάρτηση εξέλιξης του διακριτού μη γραμμικού δυναμικού συστήματος

: z_{n+1} = f_c(z_n)

ονομάζεται τετραγωνικός χάρτης:

:f_c : z \to z^2 + c.

Το σύνολο Μάντελμπροτ είναι το σύνολο των τιμών της παραμέτρου *c* για τις οποίες η αρχική συνθήκη *z*0 = 0 δεν προκαλεί απόκλιση των επαναλήψεων στο άπειρο.

## Κρίσιμα στοιχεία
### Κρίσιμα σημεία
#### Σύνθετο επίπεδο
Κρίσιμο σημείο της f_c είναι ένα σημείο z_{cr} στο δυναμικό επίπεδο τέτοιο ώστε η παράγωγος να εξαφανίζεται:

: f_c'(z_{cr}) = 0.

Από το

: f_c'(z) = \frac{d}{dz}f_c(z) = 2z

υποδηλώνει

: z_{cr} = 0,

διαπιστώνουμε ότι το μοναδικό (πεπερασμένο) κρίσιμο σημείο του f_c είναι το σημείο  z_{cr} = 0.

z_0 είναι ένα αρχικό σημείο για την επανάληψη του συνόλου Μάντελμπροτ

Για την τετραγωνική οικογένεια f_c(z)=z^2+c το κρίσιμο σημείο z=0 είναι το κέντρο συμμετρίας του σύνολο Julia Jc, οπότε είναι ένας κυρτός συνδυασμός δύο σημείων στο Jc.

### Εκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο
Στη Σφαίρα του Ρίμαν το πολυώνυμο έχει 2d-2 κρίσιμα σημεία. Εδώ το μηδέν και το άπειρο είναι κρίσιμα σημεία.

### Κρίσιμη αξία
Μια **κρίσιμη τιμή** z_{cv}  της f_c είναι η εικόνα ενός κρίσιμου σημείου:

: z_{cv} = f_c(z_{cr})

Από το

: z_{cr} = 0

έχουμε

: z_{cv} = c

Έτσι, η παράμετρος c είναι η κρίσιμη τιμή της f_c(z).

### Καμπύλες κρίσιμου επιπέδου
Μια καμπύλη κρίσιμης στάθμης είναι η καμπύλη στάθμης που περιέχει κρίσιμο σημείο. Λειτουργεί ως ένα είδος σκελετού του δυναμικού επιπέδου.

Παράδειγμα : οι καμπύλες επιπέδων διασταυρώνονται στο σημείο σέλας, το οποίο είναι ένας ειδικός τύπος κρίσιμου σημείου.


Julia set for z^2+0.7i*z.png|προσέλκυση
IntLSM_J.jpg| προσέλκυση
ILSMJ.png| προσέλκυση
Level sets of attraction time to parabolic fixed point in the fat basilica Julia set.png|παραβολική
Quadratic Julia set with Internal level sets for internal ray 0.ogv| Βίντεο για το c κατά μήκος της εσωτερικής ακτίνας 0



### Ορισμός κρίσιμου ορίου
Το κρίσιμο οριακό σύνολο είναι το σύνολο της εμπρόσθιας τροχιάς όλων των κρίσιμων σημείων

### Κρίσιμη τροχιά
μικρογραφία|δεξιά|Δυναμικό επίπεδο με κρίσιμη τροχιά που εμπίπτει σε κύκλο 3 περιόδων
[μικρογραφία|δεξιά|Δυναμικό επίπεδο με [σύνολο Julia και κρίσιμη τροχιά.]]
μικρογραφία|δεξιά|Δυναμικό επίπεδο : μεταβολές της κρίσιμης τροχιάς κατά μήκος της εσωτερικής ακτίνας της κύριας καρδιοειδούς για γωνία 1/6
δεξιά|μικρογραφία|Κρίσιμη τροχιά που τείνει σε ασθενώς ελκυστικό σταθερό σημείο με abs(πολλαπλασιαστής) = 0,99993612384259
Η εμπρόσθια τροχιά ενός κρίσιμου σημείου ονομάζεται **κρίσιμη τροχιά**. Οι κρίσιμες τροχιές είναι πολύ σημαντικές επειδή κάθε ελκτική περιοδική τροχιά έλκει ένα κρίσιμο σημείο, οπότε η μελέτη των κρίσιμων τροχιών μας βοηθά να κατανοήσουμε τη δυναμική στο σύνολο Φατού.

:z_0 = z_{cr} = 0

:z_1 = f_c(z_0) = c

:z_2 = f_c(z_1) = c^2 +c

:z_3 = f_c(z_2) = (c^2 + c)^2 + c

::\ \vdots

Αυτή η τροχιά εμπίπτει σε έναν ελκτικό περιοδικό κύκλο, αν υπάρχει.

### Κρίσιμος τομέας
Ο κρίσιμος τομέας είναι ένας τομέας του δυναμικού επιπέδου που περιέχει το κρίσιμο σημείο.

### Κρίσιμο σύνολο
Το κρίσιμο σύνολο είναι ένα σύνολο κρίσιμων σημείων

### Κριτικό πολυώνυμο
:P_n(c) = f_c^n(z_{cr}) = f_c^n(0)

οπότε

:P_0(c)= 0

:P_1(c) = c

:P_2(c) = c^2 + c

:P_3(c) = (c^2 + c)^2 + c

Αυτά τα πολυώνυμα χρησιμοποιούνται για:
* εύρεση των κέντρων αυτών των συνιστωσών του συνόλου Μάντελμπροτ περιόδου *n*. Τα κέντρα είναι οι ρίζες των *n*-th κρίσιμων πολυωνύμων
::\text{centers} = \{ c : P_n(c) = 0 \}

* εύρεση ριζών των συνιστωσών του συνόλου Mandelbrot περιόδου *n* (τοπικό ελάχιστο του P_n(c))
* Σημείο Μισιουρέβιτς
::M_{n,k} = \{ c : P_k(c) = P_{k+n}(c) \}

### Κρίσιμες καμπύλες
μικρογραφία|δεξιά|Κρίσιμες καμπύλες
Τα διαγράμματα των κρίσιμων πολυωνύμων ονομάζονται **κρίσιμες καμπύλες**.

Αυτές οι καμπύλες δημιουργούν τον σκελετό (οι σκούρες γραμμές) ενός διάγραμμα διακλάδωσης.

## Χώροι, επίπεδα

### 4Δ χώροι
Μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει τον τετραδιάστατο (4D) χώρο Julia-Μάντελμπροτ για μια σφαιρική ανάλυση αυτού του δυναμικού συστήματος.
δεξιά|μικρογραφία|''w''-plane and ''c''-plane
Στο χώρο αυτό υπάρχουν δύο βασικοί τύποι 2D επιπέδων:
* το δυναμικό (δυναμικό) επίπεδο, f_c-επίπεδο ή ***c'''-επίπεδο'''
* το επίπεδο παραμέτρων ή ***z*-επίπεδο*

Υπάρχει επίσης ένα άλλο επίπεδο που χρησιμοποιείται για την ανάλυση τέτοιων δυναμικών συστημάτων **''w''-επίπεδο**:
* το επίπεδο σύζευξης 
* πρότυπο επίπεδο. 

### 2Δ Επίπεδο παραμέτρων


MandelbrotLambda.jpg|επίπεδο παραμέτρων r (λογιστικός χάρτης)
MandelbrotMuDouadyRabbit.jpg| c επίπεδο παραμέτρων


Ο χώρος φάσεων ενός τετραγωνικού χάρτη ονομάζεται **επίπεδο παραμέτρων**. Εδώ:

z_0 = z_{cr} είναι σταθερός καιc μεταβλητός.

Δεν υπάρχει δυναμική εδώ. Είναι μόνο ένα σύνολο τιμών παραμέτρων. Δεν υπάρχουν τροχιές στο επίπεδο των παραμέτρων.

Το επίπεδο παραμέτρων αποτελείται από:
* Το σύνολο Μάντελμπροτ
** Ο τόπος διακλάδωσης = το όριο του συνόλου Μάντελμπροτ με
*** σημεία ρίζας
** Περιορισμένες υπερβολικές συνιστώσες του συνόλου Μάντελμπροτ = εσωτερικό του συνόλου Μάντελμπροτ
με εσωτερικές ακτίνες
* εξωτερικό του συνόλου Μάντελμπροτ με
** εξωτερικές ακτίνες
** ισοδυναμικές γραμμές

Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί υπότυποι του επιπέδου παραμέτρων.
μικρογραφία|δεξιά|Χάρτης πολλαπλασιαστών

Δείτε επίσης :
* Χάρτης Μπότσερ που απεικονίζει το εξωτερικό του συνόλου Μάντελμπροτ στο εξωτερικό του μοναδιαίου δίσκου
* πολλαπλασιαστικός χάρτης που αντιστοιχίζει το εσωτερικό της υπερβολικής συνιστώσας του συνόλου Μάντελμπροτ στο εσωτερικό του μοναδιαίου δίσκου

#### 2Δ Δυναμικό επίπεδο
"Το πολυώνυμο Pc απεικονίζει κάθε δυναμική ακτίνα σε μια άλλη ακτίνα που διπλασιάζει τη γωνία (την οποία μετράμε σε πλήρεις στροφές, δηλαδή 0 = 1 = 2π rad = 360°), και οι δυναμικές ακτίνες οποιουδήποτε πολυωνύμου "μοιάζουν με ευθείες ακτίνες" κοντά στο άπειρο. Αυτό μας επιτρέπει να μελετήσουμε συνδυαστικά τα σύνολα Μάντελμπροτ και Julia, αντικαθιστώντας το δυναμικό επίπεδο με τον μοναδιαίο κύκλο, τις ακτίνες με γωνίες και το τετραγωνικό πολυώνυμο με τον χάρτη διπλασιασμού modulo one". Virpi Kauko Στο δυναμικό επίπεδο μπορεί κανείς να βρει:
* Το σύνολο Julia
* Το Γεμισμένο σύνολο Julia
* Το σύνολο Φατού
* Τροχιές

Το δυναμικό επίπεδο αποτελείται από:
* σύνολο Φατού
* Σύνολο Julia

Εδώ, c είναι μια σταθερά και z είναι μια μεταβλητή.

Το δισδιάστατο δυναμικό επίπεδο μπορεί να αντιμετωπιστεί ως τομή Πουανκαρέ του τρισδιάστατου χώρου του συνεχούς δυναμικού συστήματος.

Τα δυναμικά *z*-επίπεδα μπορούν να χωριστούν σε δύο ομάδες:
* f_0 επίπεδο για c = 0 (βλ. μιγαδικός χάρτης τετραγωνισμού)
* f_c επίπεδα (όλα τα άλλα επίπεδα για c \ne 0)

### Σφαίρα Ρίμαν
Το εκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο συν ένα σημείο στο άπειρο
* η σφαίρα Ρίμαν

## Παράγωγα

### Πρώτη παράγωγος ως προς ''c''
Στο επίπεδο των παραμέτρων:
* c είναι μια μεταβλητή
* z_0 = 0  είναι σταθερά

Η πρώτη παράγωγος του f_c^n(z_0) ως προς *c* είναι

: z_n' = \frac{d}{dc} f_c^n(z_0).

Αυτή η παράγωγος μπορεί να βρεθεί με επανάληψη ξεκινώντας με

: z_0' = \frac{d}{dc} f_c^0(z_0) = 1

και στη συνέχεια αντικαθιστώντας σε κάθε διαδοχικό βήμα

: z_{n+1}' = \frac{d}{dc} f_c^{n+1}(z_0) = 2\cdot{}f_c^n(z)\cdot\frac{d}{dc} f_c^n(z_0) + 1 = 2 \cdot z_n \cdot z_n' +1.

Αυτό μπορεί εύκολα να επαληθευτεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα της αλυσίδας για την παράγωγο.

Αυτή η παράγωγος χρησιμοποιείται στη μέθοδο εκτίμησης απόστασης για τη σχεδίαση ενός συνόλου Μάντελμπροτ.

### Πρώτη παράγωγος ως προς ''z''
Στο δυναμικό επίπεδο:
* z είναι μια μεταβλητή,
* c  είναι μια σταθερά.

Σε ένα **σταθερό σημείο** z_0,

: f_c'(z_0) = \frac{d}{dz}f_c(z_0) = 2z_0 .

Σε ένα**' περιοδικό σημείο** *z*0 περιόδου *p* η πρώτη παράγωγος μιας συνάρτησης

: (f_c^p)'(z_0) = \frac{d}{dz}f_c^p(z_0) =  \prod_{i=0}^{p-1} f_c'(z_i) = 2^p \prod_{i=0}^{p-1} z_i = \lambda 

συχνά παριστάνεται με \lambda και αναφέρεται ως πολλαπλασιαστής ή χαρακτηριστικός αριθμός Lyapunov. Ο λογάριθμός του είναι γνωστός ως εκθέτης Λιαπουνόφ. Η απόλυτη τιμή του πολλαπλασιαστή χρησιμοποιείται για τον έλεγχο της σταθερότητας των περιοδικών (επίσης σταθερών) σημείων.

Σε ένα **μη περιοδικό σημείο**, η παράγωγος, που συμβολίζεται με z'_n, μπορεί να βρεθεί με επανάληψη ξεκινώντας με

: z'_0 = 1,

και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας

:z'_n= 2*z_{n-1}*z'_{n-1}.

Αυτή η παράγωγος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της εξωτερικής απόστασης από το σύνολο Julia.

### Παράγωγος Σβάρτζιαν
Η παράγωγος Σβάρτζιαν (SD για συντομία) της *f* είναι:

: (Sf)(z) = \frac{f*'(z)}{f'(z)} - \frac{3}{2} \left ( \frac{f*(z)}{f'(z)}\right ) ^2 . 

## Δημοσιεύσεις
* Monica Nevins and Thomas D. Rogers, "Quadratic maps as dynamical systems on the p-adic numbers"
* Wolf Jung : Homeomorphisms on Edges of the Mandelbrot Set. Ph.D. thesis of 2002
* More about Quadratic Maps : Quadratic Map

## Δείτε επίσης
* Αλγόριθμος διαμαντιού τετραγώνου
* Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
* Νιφάδα του Κοχ
* Καμπύλη Χίλμπερτ
* Καμπύλη του δράκου
* Σπόγγος του Μένγκερ

* Σύνολο Μάντελμπροτ
* Σύνολο Julia
* Σύνολο Κάντορ
* Οικοδομήσιμο Σύμπαν

## Παραπομπές


Κατηγορία:Φράκταλ
Κατηγορία:Δυναμικά συστήματα
Κατηγορία:Πολυώνυμα