Εξάγωνο

Στη γεωμετρία, το **εξάγωνο** είναι ένα πολύγωνο με έξι κορυφές και έξι πλευρές.

Ένα εξάγωνο είναι **[[κανονικό πολύγωνο|κανονικό]]** αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

## Ιδιότητες
* Σε κάθε απλό εξάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα 720^\circ (ή 4\pi ακτίνια).
* Κάθε εξάγωνο έχει 12 διαγωνίους.

## Κυρτό κανονικό εξάγωνο

{2} \cdot \lambda^2
|περίμετρος={\rm \Pi} = 6 \cdot \lambda
|ακτίνα εγγεγραμμένου=r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \lambda
|ακτίνα περιγεγραμμένου=R = \lambda
|σχετικά επίπεδα σχήματα=ισόπλευρο τρίγωνο, κανονικό δωδεκάγωνο
|σχετικά στερεά σχήματα=κόλουρο τετράεδρο, κόλουρο οκτάεδρο, κόλουρο εικοσάεδρο
}}
### Ιδιότητες
Για το κανονικό εξάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
* Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με 120^\circ (ή 2\pi/3 ακτίνια).
* Έχει έξι άξονες συμμετρίας.
* Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
* Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
* Έχει περιστροφική συμμετρία έκτης τάξεως.
* Το σύμβολο Schläfli του εξαγώνου είναι \{ 6 \}.

### Μετρικές σχέσεις

Η ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού εξαγώνου είναι ίση με την πλευρά του εξαγώνου
:\begin{align}R 
& = \lambda.
\end{align}
Η ακτίνα r του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού εξαγώνου είναι ίση με
:\begin{align}
r 
& = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \lambda \approx0{,}866025 \cdot \lambda.
\end{align}.
{2} \cdot \lambda..
}}
right|thumb|250px|Τα δύο είδη διαγωνίων στο κανονικό εξάγωνο.
Το κανονικό εξάγωνο έχει 
* 6 μικρές διαγωνίους με μήκος
::\begin{align}
d_1 
 & = 2 \cdot r \\
 & = \sqrt{3} \cdot \lambda \\
 & \approx1{,}732051 \cdot \lambda,
\end{align}
* 3 μεγάλες διαγωνίους με μήκος
::
\begin{align}
d_2 
 & = 2 \cdot R = 2 \cdot \lambda.
\end{align}

Το πλάτος του είναι
:w = 2\cdot r.
Το ύψος του είναι 
:h = 2\cdot R.

(**[[Θεώρημα Βιβιάνι]]**) Για κάθε εσωτερικό σημείο \rm P ενός κανονικού εξαγώνου ισχύει ότι το άθροισμα των αποστάσεων του d_1, d_2, \ldots, d_6 από τις πλευρές του εξαγώνου είναι σταθερό, δηλαδή
:d_1 + d_2 + \ldots + d_6 = 6 \cdot r, 
όπου r η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου.

### Εμβαδόν
Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού εξαγώνου πλευράς \lambda και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου r είναι 
:{\rm E} = 3\cdot \lambda\cdot  r.

Το εμβαδό \rm E ενός κανονικού εξαγώνου πλευράς \lambda δίνεται από τη σχέση:
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \lambda^2 \approx 2{,}598076 \cdot \lambda^2.
\end{align}
{2} \cdot\lambda^2.
}}
Aν r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = 2 \sqrt{3} \cdot r^2 
   \approx 3{,}464102\cdot   r^2
\end{align}.

### Περίμετρος
Η περίμετρος \Pi του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με
:\Pi = 6 \cdot  \lambda.

### Θεωρήματα
250px|thumb|Το άθροισμα των πράσινων αποστάσεων ισούται με αυτό των μπλε.
Έστω ένα κανονικό εξάγωνο \rm AB\Gamma\Delta EZ και \rm P είναι οποιοδήποτε σημείο του περιγεγραμμένου σε αυτό κύκλου μεταξύ των \rm B και \rm \Gamma, τότε ισχύει
:\rm PE + PZ = PA + PB + P\Gamma + P\Delta.

### Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Στην Πρόταση 15 του 4ου Βιβλίου στα *[[Στοιχεία]]*, ο Ευκλείδης περιγράφει την εξής κατασκευή ενός κανονικού πολυγώνου με κανόνα και διαβήτη.

## Κυκλικό εξάγωνο
**Κυκλικό εξάγωνο** ονομάζεται οποιοδήποτε εξάγωνο είναι εγγράψιμο σε κύκλο, δηλαδή υπάρχει κύκλος στον οποίο ανήκουν όλες του οι κορυφές. 

* Αν οι διαδοχικές πλευρές ενός τέτοιου εξαγώνου έχουν μήκη *α*, *β*, *γ*, *δ*, *ε*, *ζ*, τότε οι τρεις κύριες διαγώνιοί του περνούν από το ίδιο σημείο στο εσωτερικό του αν και μόνο αν .
* (**[[Εξάγωνο Τάκερ]]**) Σε ένα τρίγωνο τα έξι σημεία τομής τριών αντιπαράλληλων ευθυγράμμων τμημάτων προς τις πλευρές του τριγώνου τα οποία έχουν ίσο μήκος, δημιουργούν ένα κυκλικό εξάγωνο, το εξάγωνο Τάκερ. Ο κύκλος που διέρχεται από αυτά τα σημεία λέγεται κύκλος Τάκερ. 
** Ειδικές περιπτώσεις κύκλων Τάκερ είναι πρώτος κύκλος Λεμουάν, ο δεύτερος κύκλος Λεμουάν και ο κύκλος Τέιλορ.

## Εξάγωνο εγγεγραμμένο σε κωνική τομή
(**[[Θεώρημα του Πασκάλ]]**) Έστω ένα εξάγωνο εγγεγραμμένο σε κωνική τομή (έλλειψη, παραβολή, υπερβολή) και προεκτείνουμε τα ζεύγη των απέναντι πλευρών του μέχρι που να συναντηθούν. Τότε, τα τρία αυτά σημεία τομής θα βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία, η λεγόμενη «γραμμή Πασκάλ» του εξαγώνου.
** Ειδική περίπτωση του θεωρήματος του Πασκάλ είναι το θεώρημα εξαγώνου του Πάππου όπου τα σημεία του εξαγώνου χωρίζονται σε δύο ομάδες συγγραμμικών σημείων.  

## Εξάγωνο εφαπτόμενο σε κωνική τομή
(**[[Θεώρημα του Brianchon]]**) Έστω ένα εξάγωνο \rm AB\Gamma\Delta EZ που σχηματίζεται από έξι ευθείες εφαπτόμενες σε μία κωνική τομή, τότε οι τρεις κύριες διαγώνιοί του \rm A\Delta, \rm BE και \rm \Gamma Z διέρχονται από το ίδιο σημείο.

## Σχετικά σχήματα

### Επιπεδομετρία


Regular hexagon inside dodecagon el.svg|Κανονικό εξάγωνο σε ένα κανονικό δωδεκάγωνο.
Regular hexagon bissection 6 equilateral triangles el.svg|Ένα κανονικό εξάγωνο μπορεί να χωριστεί σε 6 ισόπλευρα τρίγωνα.
Regular hexagon bissection 3 isosceles triangles el.svg|Ένα κανονικό εξάγωνο μπορεί να χωριστεί σε 1 ισόπλευρο τρίγωνο και 3 ισοσκελή.
Regular hexagon bissection 3 rhombii el.svg|Ένα κανονικό εξάγωνο μπορεί να χωριστεί σε τρεις ρόμβους.
|Ένα κανονικό εξάγωνο προκύπτει από ένα κανονικό δωδεκάγωνο ενώνοντας κάθε δεύτερη κορυφή.
Regular hexagon bissection 2 isosceles trapezoids el.svg|Χωρισμός κανονικού εξαγώνου σε δύο ισοσκελή τραπέζια.
Euclid Elements Book 13 Proposition 10.svg|Σχέση πλευρών ενός κανονικού πενταγώνου, εξαγώνου και δεκαγώνου που εγγράφονται σε κύκλο ίσης ακτίνας.


### Πολύγωνα Πέτρι
Το κανονικό εξάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι για τα παρακάτω κανονικά και ομοιομορφικά πολύτοπα, που παρατίθενται σε ορθογώνιες προβολές:

### Πολύεδρα με εξαγωνικές έδρες
Δεν υπάρχει πλατωνικό στερεό με έδρες κανονικά εξάγωνα, επειδή ακριβώς τα εξάγωνα καλύπτουν πλήρως το επίπεδο, μην αφήνοντας «χώρο» για το «δίπλωμά» τους. Τα αρχιμήδεια στερεά με κάποιες έδρες τους εξαγωνικές είναι το κόλουρο τετράεδρο, το κόλουρο οκτάεδρο, το κόλουρο εικοσάεδρο (γνωστό από τη μπάλα του ποδοσφαίρου), το κόλουρο κυβοκτάεδρο και το κόλουρο εικοσιδωδεκάεδρο.

Υπάρχουν επίσης 9 στερεά Τζόνσον:
* τριγωνικός θόλος, επιμηκυμένος τριγωνικός θόλος, γυροεπιμηκυμένος τριγωνικός θόλος, προσαυξημένο εξαγωνικό πρίσμα, παραδιπροσαυξημένο εξαγωνικό πρίσμα, μεταδιπροσαυξημένο εξαγωνικό πρίσμα, τριπροσαυξημένο εξαγωνικό πρίσμα, προσαυξημένο κόλουρο τετράεδρο και τριγωνική σφηνοροτόντα

### Πλακοστρώσεις με εξάγωνα

## Εξάγωνα στη φύση

Image:Honey_comb.jpg|Κερήθρα από κυψέλη μελισσών
Image:Carapax.svg|Τα σχήματα στο καύκαλο μιας χελώνας
Image:Saturn_hexagonal_north_pole_feature.jpg|Εξαγωνικός σχηματισμός νεφών στη βόρεια πολική περιοχή του πλανήτη Κρόνου, που ανακαλύφθηκε από το *[[Voyager 1]]* και επιβεβαιώθηκε το 2006 από την αποστολή *[[Cassini-Huygens|Cassini]]*
http://www.nasa.gov/mission_pages/cassini/multimedia/pia09188.html  http://www.nasa.gov/mission_pages/cassini/media/cassini-20070327.html  http://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-bib_query?bibcode=1988Icar...76..335G&db_key=AST&data_type=HTML&format=
File:Benzene-aromatic-3D-balls.png|Μόριο βενζολίου, το απλούστερο μόριο με εξαγωνικό σχήμα.
Image:Hexa-peri-hexabenzocoronene ChemEurJ 2000 1834 commons.jpg|Κρυσταλλική δομή ενός μοριακού εξαγώνου που αποτελείται από εξαγωνικούς (αρωματικούς) δακτυλίους.
Image:Giants causeway closeup.jpg|Φυσικά σχηματισμένες στήλες βασάλτη από το μονοπάτι του γίγαντα στην Ιρλανδία
Image:Snowflake 300um LTSEM, 13368.jpg|Μικρογραφία μιας νιφάδας χιονιού
Image:Hanksite.JPG|Εξαγωνικός κρύσταλλος χανκσίτη, ενός από τα πολλά ορυκτά που κρυσταλλώνονται στο εξαγωνικό κρύσταλλικό σύστημα


## Τεχνητά εξάγωνα

Image:Assembled E-ELT mirror segments undergoing testing.jpg|Συναρμολογημένα τμήματα του κατόπτρου του τηλεσκοπίου E-ELT
Image:Fort-Jefferson Dry-Tortugas.jpg|Εναέρια άποψη του Φορτ Τζέφερσον στο Εθνικό Πάρκο Dry Tortugas
Image:Jwst front view.jpg|Το κύριο κάτοπτρο του νέου διαστημικού τηλεσκοπίου *[[Διαστημικό Τηλεσκόπιο Τζέιμς Γουέμπ|James Webb]]* αποτελείται από 18 εξαγωνικά τμήματα.
File:564X573-Carte France geo verte.png|Η ηπειρωτική Γαλλία έχει ένα χονδρικά εξαγωνικό σχήμα. Στη γαλλική γλώσσα η έκφραση *l'Hexagone* αναφέρεται στο ευρωπαϊκό έδαφος της Γαλλίας ("metropole") σε αντιδιαστολή με τα υπερπόντια εδάφη της, όπως η Γουαδελούπη, η Μαρτινίκα και η Γαλλική Γουιάνα.
File:HexagonalBarnKewauneeCountyWisconsinWIS42.jpg|Εξαγωνικός αχυρώνας
Image:Reading the Hexagon Theatre.jpg|Το *Hexagon*, ένα εξαγωνικό θέατρο στο Ρέντινγκ της Αγγλίας


## Δείτε επίσης
* Εξάγραμμα
* Εξαγωνικός αριθμός
* Ισόπλευρο τρίγωνο
* Δωδεκάγωνο

## Περαιτέρω ανάγνωση

### Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* 
* Ορισμός και ιδιότητες του εξαγώνου με διαδραστική animation και κατασκευή με κανόνα και διαβήτη.
* Διαδραστική εφαρμογή για το άθροισμα γωνιών ενός εξαγώνου στο Geogebra.
* Διαδραστική εφαρμογή για την κατασκευή κανονικού εξαγώνου στο Desmos.

### Ελληνικά άρθρα
* 

### Ξενόγλωσσα άρθρα
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


Εξαγωνο
Κατηγορία:Γεωμετρικά σχήματα
Κατηγορία:Κατασκευές με κανόνα και διαβήτη