Χιλιάγωνο

Στη γεωμετρία, το **χιλιάγωνο** είναι ένα πολύγωνο με χίλιες κορυφές και χίλιες πλευρές. Αρκετοί φιλόσοφοι το έχουν χρησιμοποιήσει για να τονίσουν θέματα που αφορούν τη σκέψη.

Ένα χιλιάγωνο είναι **[[κανονικό πολύγωνο|κανονικό]]** αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

## Ιδιότητες
* Σε κάθε απλό χιλιάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα 179.640^\circ (ή 998\pi ακτίνια).
* Κάθε χιλιάγωνο έχει 498.500 διαγωνίους.

## Κυρτό κανονικό χιλιάγωνο

### Ιδιότητες
Για το κανονικό χιλιάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
* Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με 179.64^\circ (ή 998\pi/1000 ακτίνια).
* Έχει χίλιους άξονες συμμετρίας.
* Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
* Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
* Έχει περιστροφική συμμετρία χίλιας τάξεως.
* Το σύμβολο Schläfli του χιλιαγώνου είναι \{ 1000 \}.

### Μετρικές σχέσεις

* Η ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού χιλιαγώνου είναι ίση με
::\begin{align}R 
& = \frac{1}{2} \csc \frac{\pi}{1000} \cdot \lambda \approx 159{,}155209 \cdot \lambda.
\end{align}
*Η ακτίνα r του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού χιλιαγώνου είναι ίση με
::\begin{align}
r 
& = \frac{1}{2} \cot \frac{\pi}{1000} \cdot \lambda \approx 159{,}154419 \cdot \lambda.
\end{align}
* Τα μήκη των διαγωνίων ενός κανονικού χιλιαγώνου δίνονται από τις σχέσεις
::\begin{align}
d_k
 & = 2 \sin \frac{k\pi}{1000} \cdot R .
\end{align}
*Το πλάτος του είναι ίσο με το μήκος της μεγάλης διαγωνίου 
::w = 2 \cdot R.
*Το ύψος του είναι 
::h = 2 \cdot r.

### Εμβαδόν
Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού χιλιαγώνου πλευράς \lambda και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου r είναι 
:{\rm E} = 500 \cdot  \lambda \cdot  r.
Το εμβαδό \rm E ενός κανονικού χιλιαγώνου πλευράς \lambda δίνεται από τη σχέση:
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = 250 \cot \frac{\pi}{1000} \cdot \lambda^2
 \approx 79577{,}209746 \cdot \lambda^2.
\end{align}
Αν R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδόν του χιλιαγώνου είναι
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = 500 \sin \frac{2\pi}{1000} \cdot R^2
   \approx 3{,}141571 \cdot R^2.
\end{align}
Aν r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = 1000 \tan \frac{\pi}{1000} \cdot r^2 \approx 3{,}141602 \cdot r^2
\end{align}.

### Περίμετρος
Η περίμετρος \Pi του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με
:\Pi = 1000\cdot\lambda.

### Κατασκευή κανονικού χιλιαγώνου
Το κανονικό χιλιάγωνο δεν είναι κατασκευάσιμο, διότι ο αριθμός των πλευρών του, 1000 = 2^3 \cdot  5^3, δεν είναι ούτε δύναμη του δύο, ούτε γινόμενο διακριτών πρώτων αριθμών Φερμά (δείτε Θεώρημα Γκάους-Βαντσέλ).

## Χιλιάγραμμα
Το χιλιάγραμμα είναι ένα αστεροειδές πολύγωνο 1000 πλευρών. Υπάρχουν 199 κανονικές μορφές του:
:*500 περιπτώσεις -1 (το κυρτό) -100 (τα πολλαπλάσια του 5) -250 (τα πολλαπλάσια του 2) +50 (τα πολλαπλάσια των 2 και 5) = 199 περιπτώσεις*

Οι περιπτώσεις αυτές δίνονται από σύμβολα Schläfli της μορφή {1000/*ν*}, όπου *ν* είναι ένας φυσικός αριθμός μεταξύ του 2 και του 500, που είναι πρωταρχικός έως το 1000. Υπάρχουν επίσης 300 κανονικά αστεροειδή σχήματα στις υπόλοιπες περιπτώσεις.

Για παράδειγμα, το αστεροειδές κανονικό πολύγωνο {1000/499} κατασκευάζεται με σχεδόν 1000 ακτινικές ακμές. Κάθε κορυφή του άστρου διαθέτει μια εσωτερική γωνία 0,36 μοιρών:
:*180 (1 - 2/(1000/499)) = 180 (1 - 998/1000) = 180 (2/1000) = 180/500 = 0,36*

## Δείτε επίσης
* Μυριάγωνο
* Μεγάγωνο

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* Χιλιάγωνο στο PolytopeWiki.

## Σημειώσεις


## Παραπομπές


Κατηγορία:Πολύγωνα