Διχοτόμος γωνίας

Στη γεωμετρία, **διχοτόμος** μιας γωνίας λέγεται η ημιευθεία η οποία έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και χωρίζει την γωνία σε δύο ίσες γωνίες.

## Το θεώρημα της διχοτόμου μιας γωνίας
thumbnail|Η διχοτόμος αποτελείται από τα σημεία που ισαπέχουν από τις πλευρές και βρίσκονται στο εσωτερικό της γωνίας.|200px

 = \widehat{\mathrm{BO\Sigma}}, άρα είναι ίσα ως ορθογώνια με την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία ίσες. Συνεπώς \mathrm{\Sigma A} = \mathrm{\Sigma B}.

Αντίστροφα, έστω \widehat{x\mathrm{O}y} μία γωνία και \mathrm{\Sigma} εσωτερικό της σημείο τέτοιο ώστε να ισαπέχει από τις \mathrm{O}x και \mathrm{O}y, δηλαδή \mathrm{\Sigma A} = \mathrm{\Sigma B}. Θα αποδείξουμε ότι το σημείο \mathrm{\Sigma} είναι σημείο της διχοτόμου της γωνίας \widehat{x\mathrm{O}y}.  Ενώνουμε το σημείο \mathrm{\Sigma} με την κορυφή \mathrm{O} και τότε τα ορθογώνια τρίγωνα \mathrm{A\Sigma O} και \mathrm{B\Sigma O} έχουν κοινή την υποτείνουσα και τις κάθετες πλευρές \mathrm{\Sigma A} = \mathrm{\Sigma B} άρα είναι ίσα ως ορθογώνια με κοινή υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά ίση. Συνεπώς, \widehat{\mathrm{AO\Sigma}} = \widehat{\mathrm{BO\Sigma}}. Δηλαδή το σημείο \mathrm{\Sigma} ανήκει στη διχοτόμο \mathrm{O\delta} της γωνίας \widehat{x\mathrm{O}y}. \square 
}}**Σημείωση:** Άμεση συνέπεια του παραπάνω θεωρήματος είναι ότι η διχοτόμος μίας γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων της που ισαπέχουν από τις πλευρές της.

## Ιδιότητες
* Κάθε γωνία έχει μία και μόνο διχοτόμο.
=\widehat{\mathrm{BO \Delta}} συνεπώς η \rm O \Delta  είναι διχοτόμος της γωνίας \widehat{x\mathrm{O}y}.

Υποθέτουμε ότι υπάρχει και δεύτερη διχοτόμος της γωνίας \widehat{x\mathrm{O}y} και έστω  \rm \Delta'  το σημείο τομής της με την \rm AB. Από τα ίσα τρίγωνα \rm AO \Delta'  και \rm BO \Delta'  προκύπτει ότι \rm A \Delta'=B \Delta' δηλαδή το σημείο \rm \Delta'  είναι μέσο του ευθυγράμμου τμήματος \rm AB. Αυτό είναι άτοπο διότι το ευθύγραμμο τμήμα έχει ένα μόνο μέσο.

}}

* Η διχοτόμος μίας γωνίας είναι και άξονας συμμετρίας της γωνίας.
*  Η γωνία των διχοτόμων δύο εφεξής γωνιών ισούται με το ημιάθροισμα των δύο αυτών γωνιών.
{2} .
Είναι, 
+\widehat{ \mathrm{zO \varepsilon}}=\frac{\widehat{x\mathrm{O}z}}{2}+\frac{+\widehat{z\mathrm{O}y}}{2}=\frac{\widehat{x\mathrm{O}z}+\widehat{z\mathrm{O}y}}{2}.}}
}}
* Οι διχοτόμοι δύο εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών είναι κάθετες.
+2\cdot\widehat{ \mathrm{zO \varepsilon}}=180^{\circ}, καθώς {\rm O}\delta και {\rm O}\varepsilon διχοτόμοι των \widehat{x\mathrm{O}z} και \widehat{z\mathrm{O}y}
:\widehat{\delta\mathrm{O}z}+\widehat{z\mathrm{O}\varepsilon}=90^{\circ}
:\widehat{\delta\mathrm{O}\varepsilon}=90^{\circ}.

}}
* Οι διχοτόμοι δύο κατακορυφήν γωνιών είναι αντικείμενες ημιευθείες.

* Αν δύο γωνίες έχουν τις πλευρές τους παράλληλες, τότε οι διχοτόμοι τους είναι παράλληλες ή κάθετες.

* Αν δύο γωνίες έχουν τις πλευρές τους κάθετες, τότε οι διχοτόμοι τους είναι παράλληλες ή κάθετες.

## Γεωμετρική κατασκευή

Η διχοτόμος μίας γωνίας \widehat{x{\rm O}y} μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη ως εξής:
# Διαγράφουμε έναν κύκλο με κέντρο το σημείο τομής \mathrm{O} των δύο πλευρών της γωνίας.
# Θεωρούμε \mathrm{T}_1 και \mathrm{T}_2 τα δύο σημεία τομής του κύκλου με τις δύο πλευρές της γωνίας. 
# Διαγράψουμε δύο κύκλους με κέντρα τα \mathrm{T}_1 και \mathrm{T}_2 και ακτίνα ίση με τον αρχικό. Οι δύο αυτοί κύκλοι τέμονται σε δύο σημεία εκ των οποίων το ένα είναι το \mathrm{O}.
# Η ημιευθεία που ενώνει τα δύο αυτά σημεία είναι η διχοτόμος.

## Αναλυτική γεωμετρία
Έστω δύο ευθείες με εξισώσεις:
:
  A_1 x + B_1 y + {\mathit{\Gamma}}_1 = 0, \quad \text{ και } \quad A_2 x + B_2 y + {\mathit{\Gamma}}_2 = 0.

Οι διχοτόμοι της οξείας και της αμβλείας γωνίας μεταξύ των δύο ευθειών έχουν εξισώσεις 
:
\frac{A_1 x + B_1 y + {\mathit{\Gamma}}_1}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = \frac{A_2 x + B_2 y + {\mathit{\Gamma}}_2}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}},
 
και 
:
\frac{A_1 x + B_1 y + {\mathit{\Gamma}}_1}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = - \frac{A_2 x + B_2 y + {\mathit{\Gamma}}_2}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}.


Ο τύπος αυτός προκύπτει από τον τύπο για την απόσταση σημείου από ευθεία.

## Περαιτέρω ανάγνωση
### Ελληνικά άρθρα
* 

### Ξενόγλωσσα άρθρα
* 
* 
* 
* 

## Δείτε επίσης
* Γωνία
* Εσωτερική διχοτόμος τριγώνου
* Εξωτερική διχοτόμος τριγώνου
* Θεώρημα διχοτόμου
* Έγκεντρο τριγώνου

## Παραπομπές


Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία
Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία
Κατηγορία:Γωνία
Κατηγορία:Ευθείες
Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία
Κατηγορία:Γεωμετρικοί τόποι
Κατηγορία:Γεωμετρικές κατασκευές