Πίνακας τζάκετ

Στα μαθηματικά, ένας **πίνακας τζάκετ** είναι ένας τετραγωνικός συμμετρικός πίνακας.  A= (a_{ij}) τάξης *n* αν οι καταχωρήσεις του είναι μη μηδενικές και πραγματικός, μιγαδικός, ή από ένα πεπερασμένο σώμα, και 

:\  AB=BA=I_n 

όπου *I**n* είναι ο ταυτοτικός πίνακας, και 

:\ B ={1 \over n}(a_{ij}^{-1})^T.

όπου *T* δηλώνει την ανάστροφη του πίνακα.

Με άλλα λόγια, ο αντίστροφος ενός πίνακα τζάκετ καθορίζεται από τον αντίστροφο κατά στοιχείο ή κατά μπλοκ.  Ο παραπάνω ορισμός μπορεί επίσης να εκφραστεί ως εξής:

:\forall u,v \in \{1,2,\dots,n\}:~a_{iu},a_{iv} \neq 0, ~~~~ \sum_{i=1}^n a_{iu}^{-1}\,a_{iv} = 
  \begin{cases}
      n, & u = v\\
      0, & u \neq v
      
  \end{cases}


Ο πίνακας τζάκετ είναι μια γενίκευση του πίνακα Ανταμάρ - είναι ένας διαγώνιος αντίστροφος πίνακας κατά μπλοκ.

## Κίνητρα

Όπως φαίνεται στον πίνακα, δηλαδή στη σειρά, όπως παραδείγματος χάριν με *n*=2, προς τα εμπρός: 2^2 = 4 , αντίστροφη : (2^2)^{-1}={1 \over 4} , τότε,  4*{1\over 4}=1.  Δηλαδή, υπάρχει ένα αντίστροφο ανά στοιχείο.

## Παράδειγμα 1.

:
 A = \left[   \begin{array}{rrrr}   1 & 1 & 1 & 1 \\   1 & -2 & 2 & -1 \\   1 & 2 & -2 & -1 \\   1 & -1 & -1 & 1 \\  \end{array} \right],:B ={1 \over 4} \left[ 
  \begin{array}{rrrr}   1 & 1 & 1 & 1 \\[6pt]   1 & -{1 \over 2} & {1 \over 2} & -1 \\[6pt]
   1 & {1 \over 2} & -{1 \over 2} & -1 \\[6pt]     1 & -1 & -1 & 1\\[6pt]  \end{array}
 \right].

ή γενικότερα
:
 A = \left[   \begin{array}{rrrr}   a & b & b & a \\   b & -c & c & -b \\   b & c & -c & -b \\
   a & -b & -b & a  \end{array} \right], : B = {1 \over 4} \left[   \begin{array}{rrrr}   {1 \over a} & {1 \over b} & {1 \over b} & {1 \over a} \\[6pt]   {1 \over b} & -{1 \over c} & {1 \over c} & -{1 \over b} \\[6pt]   {1 \over b} & {1 \over c} & -{1 \over c} & -{1 \over b} \\[6pt]   {1 \over a} & -{1 \over b} & -{1 \over b} & {1 \over a}  \end{array} \right],

## Παράδειγμα 2.
Για πίνακες m x m, 
\mathbf {A_j}, 

\mathbf {A_j}=\mathrm{diag}(A_1, A_2,.. A_n )
συμβολίζει έναν διαγώνιο πίνακα Τζάκετ mn x mn με διαγώνιο σύνθετο.
:
 J_4 = \left[   \begin{array}{rrrr}   I_2 & 0 & 0 & 0 \\  0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\  0 & \sin\theta & \cos\theta & 0 \\
  0 & 0 & 0 & I_2  \end{array} \right],  \ J^T_4 J_4 =J_4 J^T_4=I_4.

## Παράδειγμα 3.
Τύπος του Όιλερ:

:e^{i \pi} + 1 = 0, e^{i \pi} =\cos{ \pi} +i\sin{\pi}=-1  and  e^{-i \pi} =\cos{ \pi} - i\sin{\pi}=-1.
Ως εκ τούτου,
:e^{i \pi}e^{-i \pi}=(-1)(\frac{1}{-1})=1.

Επιπλέον,
:y=e^{x}
:\frac{dy}{dx}=e^{x},\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dy}=e^{x}\frac{1}{e^{x}}=1.

Τέλος,

**A**·**B** = **B**·**A** = **I**

## Παράδειγμα 4.

 Ας θεωρήσουμε ότι [\mathbf {A}]_N είναι 2x2 πίνακες μπλοκ τάξης N=2p. 
:
[\mathbf {A}]_N= \left[   \begin{array}{rrrr}   \mathbf {A}_0  &  \mathbf {A}_1 \\   \mathbf {A}_1 &   \mathbf {A}_0 \\  \end{array} \right],.

Αν [\mathbf {A}_0]_p και [\mathbf {A}_1]_p είναι πίνακες pxp Τζάκετ, τότε ο [A]_N είναι κυκλικοτερής σύνθετος πίνακας  αν και μόνο αν \mathbf {A}_0 \mathbf {A}_1^{rt}+\mathbf {A}_1^{rt}\mathbf {A}_0, όπου rt συμβολίζει την ανάστροφη μεταφορά.

## Παράδειγμα 5.
Έστω \mathbf {A}_0= \left[   \begin{array}{rrrr} -1 & 1 \\ 1 & 1\\ \end{array} \right], και \mathbf {A}_1= \left[   \begin{array}{rrrr} -1 & -1 \\ -1 & 1\\ \end{array} \right],, τότε ο πίνακας [\mathbf {A}]_N δίνεται από τη σχέση

:
 [\mathbf {A}]_4= \left[   \begin{array}{rrrr}   \mathbf {A}_0 &   \mathbf {A}_1 \\   \mathbf {A}_0 &  \mathbf {A}_1 \\  \end{array} \right]
=\left[   \begin{array}{rrrr}   -1 & 1 & -1 & -1\\   1 & 1 & -1 & 1 \\   -1 & 1 & -1 & -1 \\   1 & 1 & -1 & 1 \\  \end{array} \right],,
:[\mathbf {A}]_4 ⇒
\left[ \begin{array}{rrrr} U & C & A & G\\ \end{array} \right]^T\otimes\left[ \begin{array}{rrrr} U & C & A & G\\ \end{array} \right]\otimes\left[ \begin{array}{rrrr} U & C & A & G\\ \end{array} \right]^T, 

όπου *U*, *C*, *A*, *G* δηλώνει την ποσότητα των νουκλεοβασών του DNA και ο πίνακας [\mathbf {A}]_4  είναι ο κυκλικοτερής σύνθετος πίνακας Τζάκετ που οδηγεί στην αρχή του Ανταγωνισμού με τον πίνακα του Γενετικού Κώδικα Νίρενμπεργκ.

## Δημοσιεύσεις

* 
* 
* 
* 
* Bressoud, David M., *Proofs and Confirmations: The Story of the Alternating Sign Matrix Conjecture*, MAA Spectrum, Mathematical Associations of America, Washington, D.C., 1999.
* Bressoud, David M. and Propp, James, How the alternating sign matrix conjecture was solved, *Notices of the American Mathematical Society*, 46 (1999), 637–646.
* 
* 
*
* 
* 
* 

## Δείτε επίσης

* Field Arithmetic
* Πραγματικό προβολικό επίπεδο
* Πραγματικός αριθμός 
* Αντιερμιτιανός πίνακας
* Δέλτα του Κρόνεκερ
* Ταυτοτικός πίνακας
* Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
* Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
* Πεπερασμένο σώμα
* Αντιμεταθέσιμοι πίνακες
* Πολλαπλασιασμός πινάκων
* Ζακ Ανταμάρ
* Τύπος του Όιλερ
* High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*Matrix calculator
* Matrix Analysis
* Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
* Mathematical Methods For Physicists
* Fourier Transforms: Approach to Scientific Principles
* Information Security and Privacy: 13th Australasian Conference, ACISP 2008 ...
* Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
* Representation of Rings Over Skew Fields
* Multimedia Content Representation, Classification and Security ...
* Generalized Sylvester Equations: Unified Parametric Solutions

## Παραπομπές


* 
* Technical report: Linear-fractional Function, Elliptic Curves, and Parameterized Jacket Matrices
* Jacket Matrix and Its Fast Algorithms for Cooperative Wireless Signal Processing
* Jacket Matrices: Constructions and Its Applications for Fast Cooperative Wireless Signal Processing

 

Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων
Κατηγορία:Συνδυαστική