Τυπικός πίνακας

Στη γραμμική άλγεβρα, ο **τυπικός πίνακας** χρησιμοποιείται στη διαδικασία διαγωνοποίησης που περιλαμβάνει ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα.

Συγκεκριμένα, ο τυπικός πίνακας M για τον πίνακα A είναι ο *n* × *n* πίνακας που σχηματίζεται με τα ιδιοδιανύσματα του A ως στήλες στον M.  Χρησιμοποιείται στο μετασχηματισμό ομοιότητας

:  D = M^{-1}AM, 

όπου D είναι ένας *n* × *n* διαγώνιος πίνακας με τις ιδιοτιμές του A στην κύρια διαγώνιο του D και μηδενικά αλλού.  Ο πίνακας D ονομάζεται **φασματικός πίνακας** για τον A.  Οι ιδιοτιμές πρέπει να εμφανίζονται από αριστερά προς τα δεξιά, από πάνω προς τα κάτω με την ίδια σειρά που τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι τοποθετημένα από αριστερά προς τα δεξιά στο M.

## Παράδειγμα
Ο πίνακας

:A = \begin{pmatrix} 
3 & 2 & 0 \\
2 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 2
\end{pmatrix}

έχει ιδιοτιμές και αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα

: \lambda_1 = -1, \quad \, \mathbf b_1 = \left( -3, 6, 1 \right) ,
: \lambda_2 = 2, \qquad \mathbf b_2 = \left( 0, 0, 1 \right) ,
: \lambda_3 = 4, \qquad \mathbf b_3 = \left( 2, 1, 1 \right) .

Ένας διαγώνιος πίνακας D, παρόμοιος με τον A είναι

:D = \begin{pmatrix} 
-1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 4
\end{pmatrix}.

Μια πιθανή επιλογή για έναν αντιστρέψιμο πίνακα M τέτοιος ώστε  D = M^{-1}AM,  είναι

:M = \begin{pmatrix} 
-3 & 0 & 2 \\
6 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}.

Ας σημειωθεί ότι εφόσον τα ίδια τα ιδιοδιανύσματα δεν είναι μοναδικά και εφόσον οι στήλες τόσο του M όσο και του D μπορούν να εναλλάσσονται, προκύπτει ότι τόσο το M όσο και το D δεν είναι μοναδικά.

## Γενικευμένος τυπικός πίνακας
Έστω A ένας *n* × *n* πίνακας.  Ένας **γενικευμένος τυπικός πίνακας** M για τον A είναι ένας *n* × *n* πίνακας του οποίου οι στήλες, θεωρούμενες ως διανύσματα, σχηματίζουν μια κανονική βάση για τον A και εμφανίζονται στον M σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:

* Όλες οι αλυσίδες Ζορντάν που αποτελούνται από ένα διάνυσμα (δηλαδή ένα διάνυσμα σε μήκος) εμφανίζονται στις πρώτες στήλες του M.
* Όλα τα διανύσματα μιας αλυσίδας εμφανίζονται μαζί σε γειτονικές στήλες του M.
* Κάθε αλυσίδα εμφανίζεται στο M κατά σειρά αυξανόμενου βαθμού (δηλαδή, το γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα βαθμού 1 εμφανίζεται πριν από το γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα βαθμού 2 της ίδιας αλυσίδας, το οποίο εμφανίζεται πριν από το γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα βαθμού 3 της ίδιας αλυσίδας κ.λπ.)

Μπορεί κανείς να δείξει ότι

όπου J είναι ένας πίνακας σε κανονική μορφή Ζορντάν.  Προπολλαπλασιάζοντας με  M^{-1} , έχουμε

Ας σημειωθεί ότι κατά τον υπολογισμό αυτών των πινάκων, η εξίσωση () είναι η ευκολότερη από τις δύο εξισώσεις για επαλήθευση, δεδομένου ότι δεν απαιτεί την αντιστροφή ενός πίνακα.

### Παράδειγμα
Αυτό το παράδειγμα απεικονίζει έναν γενικευμένο τυπικό πίνακα με τέσσερις αλυσίδες Ζορντάν.  Δυστυχώς, είναι λίγο δύσκολο να κατασκευαστεί ένα ενδιαφέρον παράδειγμα χαμηλής τάξης.
Ο πίνακας

:A = \begin{pmatrix} 
-1 &  0 & -1 &  1 &  1 &  3 &  0 \\
 0 &  1 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\
 2 &  1 &  2 & -1 & -1 & -6 &  0 \\
-2 &  0 & -1 &  2 &  1 &  3 &  0 \\
 0 &  0 &  0 &  0 &  1 &  0 &  0 \\
 0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  1 &  0 \\
-1 & -1 &  0 &  1 &  2 &  4 &  1
\end{pmatrix}

έχει μία μόνο ιδιοτιμή  \lambda_1 = 1  με αλγεβρική πολλαπλότητα  \mu_1 = 7 .  Μια κανονική βάση για την A θα αποτελείται από ένα γραμμικά ανεξάρτητο γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα τάξης 3 (γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα τάξης, βλέπε γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα), δύο τάξης 2 και τέσσερα τάξης 1 ή ισοδύναμα, μια αλυσίδα τριών διανυσμάτων  \left\{ \mathbf x_3, \mathbf x_2, \mathbf x_1 \right\} , μια αλυσίδα δύο διανυσμάτων  \left\{ \mathbf y_2, \mathbf y_1 \right\} , και δύο αλυσίδες ενός διανύσματος  \left\{ \mathbf z_1 \right\} ,  \left\{ \mathbf w_1 \right\} .

Ένας "σχεδόν διαγώνιος" πίνακας J σε *κανονική μορφή Ζορντάν*, παρόμοιος με τον A προκύπτει ως εξής:

:
M =
\begin{pmatrix} \mathbf z_1 & \mathbf w_1 & \mathbf x_1 & \mathbf x_2 & \mathbf x_3 & \mathbf y_1 & \mathbf y_2 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
 0 &  1 & -1 &  0 &  0 & -2 &  1 \\
 0 &  3 &  0 &  0 &  1 &  0 &  0 \\
-1 &  1 &  1 &  1 &  0 &  2 &  0 \\
-2 &  0 & -1 &  0 &  0 & -2 &  0 \\
 1 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\
 0 &  1 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\
 0 &  0 &  0 & -1 &  0 & -1 &  0
\end{pmatrix},

:J = \begin{pmatrix}
 1 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\
 0 &  1 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\
 0 &  0 &  1 &  1 &  0 &  0 &  0 \\
 0 &  0 &  0 &  1 &  1 &  0 &  0 \\
 0 &  0 &  0 &  0 &  1 &  0 &  0 \\
 0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  1 &  1 \\
 0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 &  1
\end{pmatrix},


όπου M είναι ένας γενικευμένος τυπικός πίνακας για το A, οι στήλες του M είναι μια κανονική βάση για το A και AM = MJ. Ας σημειωθεί ότι αφού τα ίδια τα γενικευμένα ιδιοδιανύσματα δεν είναι μοναδικά, και αφού μερικές από τις στήλες τόσο της M όσο και της J μπορούν να εναλλάσσονται, προκύπτει ότι τόσο η M όσο και η J δεν είναι μοναδικές.

## Δείτε επίσης

* Field Arithmetic
* Πραγματικό προβολικό επίπεδο
* Εσωτερικό γινόμενο 
* Αντιερμιτιανός πίνακας
* Πίνακας (μαθηματικά)
* Τριγωνικός πίνακας
* Ερμιτιανός πίνακας
* Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
* Συζυγής ανάστροφος πίνακας
* Θεώρημα Κέιλι-Χάμιλτον
* Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα
* High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
* Algorithm overview

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Matrix Analysis
* Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
* Integral Matrices
* An Introduction to Computational Physics
* Computer Analysis of Images and Patterns: 9th International Conference, CAIP ...
* Introduction to Aircraft Aeroelasticity and Loads
* Differential Equations
* Rotor Dynamics

## Δημοσιεύσεις

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


* 
* 
* 

 

Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων
Κατηγορία:Άλγεβρα