Διωνυμικό θεώρημα

Το **διωνυμικό θεώρημα** είναι ένα θεώρημα στην άλγεβρα, για το ανάπτυγμα του αθροίσματος δύο όρων υψωμένο στην \nu-οστή δύναμη. Πιο συγκεκριμένα, για οποιοδήποτε φυσικό αριθμό \nu \in \N και οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x, y \in \R, ισχύει ότι
:(x+y)^{\nu} = \binom{\nu}{0} x^{\nu} + \binom{\nu}{1} x^{\nu - 1}y + \ldots + \binom{\nu}{\nu - 1} x y^{\nu - 1} + \binom{\nu}{\nu} y^{\nu} = \sum_{\kappa = 0}^{\nu} \binom{\nu}{\kappa} x^{\kappa} y^{\nu - \kappa},
όπου \tbinom{\nu}{\kappa} = \tfrac{\nu!}{\kappa! (\nu - \kappa)!} είναι οι διωνυμικοί συντελεστές.  

Για παράδειγμα, για \nu = 2, 3, 4 παίρνουμε
:(x+y)^2 = \binom{2}{0} x^2 + \binom{2}{1} xy + \binom{2}{2} y^2 = x^2 + 2xy + y^2,
:(x+y)^3 = \binom{3}{0} x^3 + \binom{3}{1} x^2y + \binom{3}{2} xy^2 + \binom{3}{3} y^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3,
:(x+y)^4 = \binom{4}{0} x^4 + \binom{4}{1} x^3y + \binom{4}{2} x^2y^2 + \binom{4}{3} xy^3 + \binom{4}{4} y^4 = x^4+ 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4.

## Αποδείξεις

 & = \sum_{\kappa = 1}^{\lambda + 1} \binom{\lambda}{\kappa - 1} x^{\kappa} y^{\lambda - \kappa + 1} + \sum_{\kappa = 0}^{\lambda} \binom{\lambda}{\kappa} x^{\kappa} y^{\lambda - \kappa + 1}
\end{align}

Μετακινώντας εκτός αθροίσματος τον τελευταίο όρο του πρώτου αθροίσματος και τον πρώτο όρο του δεύτερου αθροίσματος,
:
\begin{align}
\phantom{(x + y)^{\lambda + 1}}
 & = \binom{\lambda}{\lambda} x^{\lambda + 1} y^{0} + \sum_{\kappa = 1}^{\lambda} \binom{\lambda}{\kappa - 1} x^{\kappa} y^{\lambda - \kappa + 1} + \sum_{\kappa = 1}^{\lambda} \binom{\lambda}{\kappa} x^{\kappa} y^{\lambda - \kappa + 1} + \binom{\lambda}{0} x^{0} y^{\lambda - 0 + 1}
\end{align}

Χρησιμοποιώντας ότι \tbinom{\lambda}{\lambda} = \tbinom{\lambda}{0} = 1,
:
\begin{align}
\phantom{(x + y)^{\lambda + 1}}
 & = x^{\lambda + 1} + \sum_{\kappa = 1}^{\lambda} \binom{\lambda}{\kappa - 1} x^{\kappa} y^{\lambda - \kappa + 1} + \sum_{\kappa = 1}^{\lambda} \binom{\lambda}{\kappa} x^{\kappa} y^{\lambda - \kappa + 1} + y^{\lambda + 1}
\end{align}

Ενώνοντας τα δύο αθροίσματα,
:
\begin{align}
\phantom{(x + y)^{\lambda + 1}}
 & = x^{\lambda + 1} + \sum_{\kappa = 1}^{\lambda} \left( \binom{\lambda}{\kappa - 1} + \binom{\lambda}{\kappa} \right) \cdot x^{\kappa} y^{\lambda - \kappa + 1} + y^{\lambda + 1}
\end{align}

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό των διωνυμικών συντελεστών \tbinom{\lambda+1}{\kappa} = \tbinom{\lambda}{\kappa - 1} + \tbinom{\lambda}{\kappa},
:
\begin{align}
\phantom{(x + y)^{\lambda + 1}}
 & = x^{\lambda + 1} + \sum_{\kappa = 1}^{\lambda} \binom{\lambda + 1}{\kappa} \cdot x^{\kappa} y^{(\lambda+ 1) - \kappa} + y^{\lambda + 1}
\end{align}

Τέλος, χρησιμοποιώντας ότι \tbinom{\lambda+1}{\lambda+1} = \tbinom{\lambda+1}{0} = 1,
:
\begin{align}
\phantom{(x + y)^{\lambda + 1}}
 & = \sum_{\kappa = 0}^{\lambda + 1} \binom{\lambda + 1}{\kappa} \cdot x^{\kappa} y^{(\lambda+ 1) - \kappa}
\end{align}

Συνεπώς, ισχύει και για \nu = \lambda + 1 και από την μαθηματική επαγωγή, για όλους τους φυσικούς αριθμούς \nu.
}}

## Εφαρμογές

### Απόδειξη διωνυμικών ταυτοτήτων

Το διωνυμικό θεώρημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην απόδειξη ταυτοτήτων.

#### Παράδειγμα 1ο
Για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό \nu \in \N, ισχύει ότι
:\sum_{\kappa = 0}^{\nu} \binom{\nu}{\kappa} = 2^{\nu}

#### Παράδειγμα 2ο
Για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό \nu \in \N, ισχύει ότι
:\sum_{\begin{array}{c} 0 \leq \kappa \leq \nu \\ \kappa \colon \text{μονός} \end{array}} \binom{\nu}{\kappa} = \sum_{\begin{array}{c} 0 \leq \kappa \leq \nu \\ \kappa \colon \text{ζυγός} \end{array}} \binom{\nu}{\kappa}

 \binom{\nu}{\kappa} - \sum_{\kappa \colon \text{μονός}} \binom{\nu}{\kappa}.
Αναδιατάσσοντας, λαμβάνουμε το ζητούμενο.
}}
#### Παράδειγμα 3ο: Ταυτότητα Βαντερμόντ

Για οποιοσδήποτε φυσικούς αριθμούς  \nu, \mu \in \N και 0 \leq \kappa \leq \min(\nu, \mu), έχουμε ότι
:\binom{\nu + \mu}{\kappa} = \sum_{\lambda = 0}^{\kappa} \binom{\nu}{\lambda} \binom{\mu}{\kappa - \lambda}.

### Τριγωνομετρικοί τύποι

Το διωνυμικό θεώρημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ώστε να γραφτεί το \sin (\nu \theta) και \cos (\nu \theta), για \nu φυσικό αριθμό, ως πολυώνυμο των \sin \theta και \cos \theta. Πιο παράδειγμα,
:\cos(3\theta) = \cos^3 \theta - 3\cos \theta \cdot \sin^2 \theta \quad  και \quad \sin(3\theta) = -\sin^3 \theta + 3\cos^2 \theta \cdot \sin \theta.

Πιο γενικά, για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό \nu και οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό \theta,
:\cos(\nu \theta) = \sum_{\kappa \colon \text{ζυγός}}^{\nu} \binom{\nu}{\kappa} (-1)^{\kappa/2} \cdot(\cos \theta)^{\nu - \kappa} \cdot (\sin \theta)^{\kappa }\quad  και \quad \sin (\nu \theta) = \sum_{\kappa \colon \text{μονός}}^{\nu} \binom{\nu}{\kappa} (-1)^{(\kappa - 1)/2} \cdot(\cos \theta)^{\nu - \kappa} \cdot (\sin \theta)^{\kappa}.

^{\nu} \binom{\nu}{\kappa} (-1)^{\kappa/2} \cdot(\cos \theta)^{\nu - \kappa} \cdot (\sin \theta)^{\kappa } + i \cdot \sum_{\kappa \colon \text{μονός}}^{\nu} \binom{\nu}{\kappa} (-1)^{(\kappa - 1)/2} \cdot(\cos \theta)^{\nu - \kappa} \cdot (\sin \theta)^{\kappa}

Εξισώνοντας τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη στην () λαμβάνουμε τις ταυτότητες.
}}
### Διωνυμική κατανομή

Στην διωνυμική κατανομή, το διωνυμικό θεώρημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δείξουμε ότι η f(\kappa) = \tbinom{\nu}{\kappa} p^{\kappa} \cdot (1-p)^{
\nu - \kappa} για 0 \leq \kappa \leq \nu είναι συνάρτηση πιθανότητας. Πιο συγκεκριμένα, θέτοντας x = p και y = 1 - p, έχουμε ότι
:1 = 1^{\nu} = (p + (1-p))^{\nu} = \sum_{\kappa = 0}^{\nu} \binom{\nu}{\kappa} p^{\kappa} \cdot (1-p)^{\nu - \kappa} = \sum_{\kappa = 0}^{\nu} f(\kappa).
### Άλλες εφαρμογές
* Στην απόδειξη της ειδική περίπτωσης της ανισότητας Μπερνούλι.
* Στον ορισμό της μαθηματικής σταθεράς e.
* Στην απόδειξη του μικρού θεωρήματος του Φερμά.

## Επεκτάσεις

### Αντιμεταθετικός δακτύλιος

Στις παραπάνω αποδείξεις χρησιμοποιήσαμε μόνο την αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού και την επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση. Επομένως, το διωνυμικό θεώρημα ισχύει για κάθε αντιμεταθετικό δακτύλιο (π.χ. για τους μιγαδικούς αριθμούς).

### Πολυωνυμικό θεώρημα

Το πολυωνυμικό θεώρημα γενικεύει το διωνυμικό θεώρημα, θεωρώντας πάνω από δύο όρους στην βάση, π.χ. (x+y+z)^{\nu}.

Για οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς \nu, \mu και πραγματικούς αριθμούς x_1, \ldots, x_{\mu}, έχουμε ότι
:(x_1 + \ldots + x_{\mu})^{\nu} = \sum_{\begin{array}{c}0 \leq \kappa_1, \ldots, \kappa_{\mu} \leq \nu \\  \kappa_1 + \ldots + \kappa_{\mu} = \nu \end{array}} \binom{\nu}{\kappa_1, \ldots , \kappa_{\mu}} \cdot x_1^{\kappa_1} \cdot \ldots \cdot x_{\mu}^{\kappa_{\mu}},
όπου \tbinom{\nu}{\kappa_1, \ldots , \kappa_{\mu}} = \tfrac{\nu!}{\kappa_1! \cdot \ldots \cdot \kappa_{\mu}!} είναι οι πολυωνυμικοί συντελεστές.

Η ιδέα της παραπάνω συνδυαστικής απόδειξης μπορεί να εφαρμοστεί και εδώ, αυτή την φορά μετρώντας όρους της μορφής x_1^{\kappa_1} \cdot \ldots \cdot x_{\mu}^{\kappa_{\mu}}, με x_{\kappa_1} + \ldots + x_{\kappa_{\mu}} = \nu. Για παράδειγμα, 
:
\begin{align}
({\color{red} x} + {\color{blue} y} + {\color{green} z}) \cdot ({\color{red} x} + {\color{blue}y} + {\color{green} z}) & = 
{\color{red} x}{\color{red} x} +
{\color{red} x}{\color{blue} y} +
{\color{red} x}{\color{green} z} +
{\color{blue} y}{\color{red} x} +
{\color{blue} y}{\color{blue} y} +
{\color{blue} y}{\color{green} z} +
{\color{green} z}{\color{red} x} +
{\color{green} z}{\color{blue} y} +
{\color{green} z}{\color{green} z} \\
 &  = \tbinom{2}{2, 0, 0} \cdot {\color{red} x^2} + \tbinom{2}{0, 2, 0} \cdot {\color{blue} y^2} + \tbinom{2}{0, 0, 2} \cdot {\color{green} z^2} +
 \tbinom{2}{1, 1, 0} \cdot {\color{red} x}{\color{blue} y} + \tbinom{2}{1, 0, 1} \cdot {\color{red} x}{\color{green} z} + \tbinom{2}{0, 1, 1}  \cdot {\color{blue} y}{\color{green} z}.
 \end{align}

### Διωνυμική σειρά

Η διωνυμική σειρά δίνει ότι για κάθε μιγαδικό αριθμό \alpha \in \C και x \in \C με |x| ,
:(1+x)^{\alpha} = \sum_{\nu = 0}^{\infty} \binom{\alpha}{\nu} x^{\nu},
με τους γενικευμένους διωνυμικούς συντελεστές
:\binom{\alpha}{\nu} := \prod_{\kappa = 1}^{\nu} \frac{\alpha - \kappa + 1}{\kappa}.

## Περαιτέρω ανάγνωση

### Εξωτερικοί συνδεσμοι
* Διωνυμικό θεώρημα: Αποδείξεις και Εφαρμογές
* Ταμπλό Galton

### Ελληνικά άρθρα
* 

### Ξενόγλωσσα άρθρα
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Δείτε επίσης
* Διωνυμικός συντελεστής
* Διωνυμική κατανομή
* Διωνυμική σειρά
* Διωνυμικός σωρός

## Παραπομπές


Κατηγορία:Άλγεβρα
Κατηγορία:Μαθηματικά θεωρήματα