Λογισμός Σούμπερτ

[μικρογραφία|332x332εσ|Ένα πρότυπο της επιφάνειας Κλεμπς που δείχνει τις [#Γραμμές σε κυβική επιφάνεια|27 πραγματικές ευθείες γραμμές της.]]
Στα μαθηματικά, ο **λογισμός Σούμπερτ**  είναι ένας κλάδος της αλγεβρικής γεωμετρίας που εισήχθη τον δέκατο ένατο αιώνα από τον Χέρμαν Σούμπερτ προκειμένου να επιλύσει διάφορα προβλήματα καταμέτρησης της προβολικής γεωμετρίας και, ως τέτοιος, θεωρείται μέρος της απαριθμητικής γεωμετρίας. Το να της δοθεί μια πιο αυστηρή βάση ήταν ο στόχος του 15ου προβλήματος του Χίλμπερτ. Σχετίζεται με διάφορες πιο σύγχρονες έννοιες, όπως οι χαρακτηριστικές κλάσεις, και τόσο οι αλγοριθμικές πτυχές όσο και οι εφαρμογές του εξακολουθούν να παρουσιάζουν σημερινό ενδιαφέρον. Ο όρος υπολογισμός Σούμπερτ χρησιμοποιείται μερικές φορές για να δηλώσει την απαριθμητική γεωμετρία των γραμμικών υποδιαστημάτων ενός διανυσματικού χώρου, η οποία είναι περίπου ισοδύναμη με την περιγραφή του δακτυλίου συνομολογίας των Γκρασμανιανών. Μερικές φορές χρησιμοποιείται για να εννοήσει τη γενικότερη απαριθμητική γεωμετρία αλγεβρικών ποικιλιών που είναι ομογενείς χώροι απλών ομάδων Lie. Ακόμα πιο γενικά, ο λογισμός Σούμπερτ ενίοτε γίνεται αντιληπτός ότι περιλαμβάνει τη μελέτη ανάλογων ζητημάτων σε θεωρίες γενικευμένης συνομολογίας.

Τα αντικείμενα που εισήγαγε ο Σούμπερτ είναι τα κύτταρα Σούμπερτ, τα οποία είναι τοπικά κλειστά σύνολα σε μια Γκρασμανιανή που ορίζονται από τις συνθήκες πρόσπτωσης ενός γραμμικού υποχώρου στον προβολικό χώρο με μια δεδομένη σημαία. Για περισσότερες λεπτομέρειες βλέπε ποικιλία Σούμπερτ.

Η θεωρία των τομώναυτών των κελιών, η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως η δομή του γινομένου στον δακτύλιο συνομολογίας της Γκρασμανιανής, αποτελούμενη από συσχετιζόμενες κλάσεις συνομολογίας, επιτρέπει ειδικότερα τον προσδιορισμό των περιπτώσεων στις οποίες οι τομές των κελιών καταλήγουν σε ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων. Ένα βασικό αποτέλεσμα είναι ότι τα κελιά Σούμπερτ (ή μάλλον, οι κλάσεις των κλεισιμάτων τους κατά Ζαρίσκι, οι κύκλοι Σούμπερτ ή οι ποικιλίες Σούμπερτ) καλύπτουν ολόκληρο τον δακτύλιο συνομολογίας.

Οι συνδυαστικές πτυχές προκύπτουν κυρίως σε σχέση με τον υπολογισμό των τομών των κύκλων Σούμπερτ. Ανυψώνοντας από την Γκρασμανιανή, η οποία είναι ένας ομογενής χώρος, στη γενική γραμμική ομάδα που δρα σε αυτήν, παρόμοια ζητήματα εμπλέκονται στην αποσύνθεση Μπράχατ και στην ταξινόμηση των παραβολικών υποομάδων (ως τριγωνικοί πίνακες μπλοκ).

## Κατασκευή

Ο λογισμός Σούμπερτ μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας τον δακτύλιο Τσάου της Γκρασμανιανής, όπου οι παραγωγικοί κύκλοι αναπαρίστανται με γεωμετρικά καθορισμένα δεδομένα. Συμβολίζουμε την Γκρασμανιανή των k-επιπέδων σε έναν σταθερό n-διάστατο διανυσματικό χώρο V ως \mathbf{Gr}(k,V), και τον δακτύλιο Τσάου  της ως A^*(\mathbf{Gr}(k,V)). (Σημειώστε ότι η Γκρασμανιανή μερικές φορές συμβολίζεται ως \mathbf{Gr}(k,n) εάν ο διανυσματικός χώρος δεν δίνεται ρητά ή ως \mathbb{G}(k-1,n-1) εάν ο περιβάλλων χώρος V και οι k-διάστατοι υποχώροι του αντικαθίστανται από τις προβολές τους). Επιλέγοντας μια (αυθαίρετη) πλήρη σημαία 

::\mathcal{V} = (V_1 \subset \cdots \subset V_{n-1} \subset V_n = V), \quad \dim{V}_i = i, \quad i=1 , \dots , n, 

σε κάθε ασθενή φθίνουσα k-δυάδα ακεραίων αριθμών \mathbf{a} = (a_1,\ldots, a_k), όπου
::n-k \geq a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_k \geq 0,

δηλ. σε κάθε κατανομή βάρους
:: |\mathbf{a}| = \sum_{i=1}^k a_i, 

του οποίου το διάγραμμα Γιουνγκ ταιριάζει στο k \times (n-k) ορθογώνιο για το διαχωρισμό (n-k)^k, συνδέεται μια **ποικιλία Σούμπερτ** (ή κύκλο Σούμπερτ) \Sigma_{\mathbf{a}}(\mathcal{V}) \subset \mathbf{Gr}(k,V), που ορίζεται ως
::\Sigma_{\mathbf{a}}(\mathcal{V}) = \{ w \in \mathbf{Gr}(k,V) : \dim (V_{n-k +i - a_i} \cap w) \geq i \text{ for } i = 1, \dots, k \}.

Αυτό είναι το κλείσιμο, στην τοπολογία Ζαρίσκι, του **κελιού Σούμπερτ**. 
::X_{\mathbf{a}}(\mathcal{V}) := \{ w \in \mathbf{Gr}(k,V) : \dim (V_j \cap w) = i \text{ for all } n-k-a_i +i \leq j \leq n-k-a_{i+1} +i, \quad 1\le j \le n \} \subset \Sigma_{\mathbf{a}}(\mathcal{V}), 
το οποίο χρησιμοποιείται όταν εξετάζεται η κυτταρική ομολογία αντί του δακτυλίου Τσάου. Οι τελευταίοι είναι ασύνδετοι αφινικοί χώροι, διάστασης |\mathbf{a}|, των οποίων η ένωση είναι  \mathbf{Gr}(k,V).

Ένας ισοδύναμος χαρακτηρισμός του κελιού Σούμπερτ X_\mathbf{a}(\mathcal{V}) μπορεί να δοθεί με όρους της δυϊκής πλήρους σημαίας

: \tilde{\mathcal{V}}= (\tilde{V}_1 \subset \tilde{V}_2  \cdots \subset \tilde{V}_n = V),

όπου
: \tilde{V}_i := V_n\backslash V_{n-i}, \quad i=1, \dots, n \quad (V_0:= \emptyset).  

Τότε X_{\mathbf{a}}(\mathcal{V}) \subset \mathbf{Gr}(k,V)  αποτελείται από εκείνους τους k-διάστατους υποχώρους w \subset V που έχουν βάση (\tilde{W}_1, \dots, \tilde{W}_k)
που αποτελείται από στοιχεία

:: \tilde{W}_i \in \tilde{V}_{k+a_i -i +1 }, \quad i=1, \dots, k 

των υποχώρων \{\tilde{V}_{k+a_i -i +1}\}_{i=1, \dots, k}. 

Δεδομένου ότι η κλάση ομολογίας [\Sigma_{\mathbf{a}}(\mathcal{V})] \in A^*(\mathbf{Gr}(k,V)), που ονομάζεται **κλάση Σούμπερτ**, δεν εξαρτάται από την επιλογή της πλήρους σημαίας \mathcal{V}, μπορεί να γραφεί ως εξής
::\sigma_{\mathbf{a}} := [\Sigma_{\mathbf{a}}] \in A^*(\mathbf{Gr}(k,V)). 
Είναι δυνατόν να αποδειχτεί ότι αυτές οι κλάσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες και δημιουργούν τον δακτύλιο Τσόου ως το γραμμικό τους εύρος. Η σχετική θεωρία τομής ονομάζεται **λογισμός Σούμπερτ**. Για μια δεδομένη ακολουθία \mathbf{a} = (a_1,\ldots, a_j, 0, \ldots, 0) with a_j>0 η τάξη Σούμπερτ \sigma_{(a_1,\ldots, a_j,0,\ldots,0)} συνήθως συμβολίζεται απλώς ως \sigma_{(a_1,\ldots, a_j)}. Οι κλάσεις Σούμπερτ που δίνονται από έναν ενιαίο ακέραιο \sigma_{a_1}, (δηλαδή, ένα οριζόντιο διαμέρισμα), ονομάζονται **ειδικές κλάσεις**. Χρησιμοποιώντας τον παρακάτω τύπο του Τζιαμπέλι, όλες οι κλάσεις Σούμπερτ μπορούν να δημιουργηθούν από αυτές τις ειδικές κλάσεις.

### Άλλες συμβολιστικές συμβάσεις
Σε ορισμένες πηγές, τα κύτταρα Σούμπερτ X_\mathbf{a} και οι ποικιλίες Σούμπερτ \Sigma_\mathbf{a} επισημαίνονται διαφορετικά, ως S_\lambda  και \bar{S}_\lambda, αντίστοιχα, όπου \lambda είναι η *συμπληρωματική διαμέριση* της \mathbf{a} με μέρη

:: \lambda_i := n-k-a_{k-i+1} ,

του οποίου το διάγραμμα Γιουνγκ είναι το συμπλήρωμα του διαγράμματος για το \mathbf{a} εντός του ορθογώνιου k \times (n-k) (αντίστροφα, τόσο οριζόντια όσο και κάθετα).

Μια άλλη σύμβαση επισήμανσης για τα X_\mathbf{a} και \Sigma_\mathbf{a} είναι C_L και  \bar{C}_L, αντιστοίχως, όπου
L= (L_1, \dots, L_k) \subset (1, \dots, n)
είναι ο πολυδείκτης που ορίζεται από 
::  L_i := n-k - a_i +i=\lambda_{k-i+1} +i. 

Οι ακέραιοι (L_1, \dots, L_k) είναι οι θέσεις ***άξονα*** των απεικονίσεων των στοιχείων του X_{\mathbf{a}} σε μορφή μειωμένου μητρικού κλιμάκιου.

### Διευκρίνιση
Για να εξηγήσουμε τον ορισμό, θεωρούμε ένα γενικό k-επίπεδο w \subset V. Θα έχει μόνο μηδενική τομή με το V_j για j \leq n-k, ενώ
:: \dim(V_{j} \cap w) = i for j = n-k +i \geq n-k.  

Παραδείγματος χάριν, στο \mathbf{Gr}(4,9), ένα 4-επίπεδο w είναι ο χώρος λύσης ενός συστήματος πέντε ανεξάρτητων ομογενών γραμμικών εξισώσεων. Αυτές οι εξισώσεις θα εκτείνονται γενικά όταν περιορίζονται σε έναν υποχώρο V_j με  j=\dim V_j \leq 5=9-4, οπότε ο χώρος λύσης (η τομή του V_j με το w) θα αποτελείται μόνο από το μηδενικό διάνυσμα. Ωστόσο, αν \dim(V_j) + \dim(w) > n=9, τα V_j και w θα έχουν αναγκαστικά μη μηδενική τομή. Ενδεικτικά, η αναμενόμενη διάσταση της τομής των V_6 και w είναι 1, η τομή των V_7 και w έχει αναμενόμενη διάσταση 2, και ούτω καθεξής.

Ο ορισμός μιας ποικιλίας Σούμπερτ ορίζει ότι η πρώτη τιμή του j με \dim(V_{j} \cap w) \geq i είναι γενικά μικρότερη από την αναμενόμενη τιμή n-k +i  κατά την παράμετρο  a_i . Τα k-επίπεδα w \subset V που δίνονται από αυτούς τους περιορισμούς ορίζουν τότε ειδικές υποποικιλίες του \mathbf{Gr}(k,n).

### Ιδιότητες

#### Εισαγωγή
Υπάρχει μια μερική διάταξη σε όλα τα k-σύνολα όπου \mathbf{a} \geq \mathbf{b} αν a_i \geq b_i για κάθε i. Αυτό δίνει την ενσωμάτωση των ποικιλιών Σούμπερτ

:: \Sigma_{\mathbf{a}} \subset \Sigma_{\mathbf{b}} \iff \mathbf{a} \geq \mathbf{b},

η αύξηση των δεικτών αντιστοιχεί σε ακόμη μεγαλύτερη εξειδίκευση των υποποικιλιών.

#### Τύπος διάστασης
Μια ποικιλία Σούμπερτ \Sigma_{\mathbf{a}} έχει διάσταση ίση με το βάρος 

::|\mathbf{a}|=\sum a_i

του διαμερισμού \mathbf{a}.
Εναλλακτικά, στη συμβολική σύμβαση S_\lambda που αναφέρεται παραπάνω, η συνδιάστασή του στο \mathbf{Gr}(k,n) είναι το βάρος 
:: |\lambda|= \sum_{i=1}^k\lambda_i = k(n-k)-|\mathbf{a}|.

του συμπληρωματικού διαχωρισμού \lambda \subset (n-k)^k στο  k \times (n-k) διαστάσεων ορθογώνιο διάγραμμα Γιουνγκ.

Αυτό είναι σταθερό κάτω από εγκλείσματα Γκρασμανιανών. 
Δηλαδή, η συμπερίληψη 
::  i_{(k, n)}:\mathbf{Gr}(k, \mathbf{C}^n)  \hookrightarrow \mathbf{Gr}(k, \mathbf{C}^{n+1}), \quad \mathbf{C}^n =\text{span}\{e_1, \dots, e_n\} 
ορίζεται, για w\in\mathbf{Gr}(k, \mathbf{C}^n) , από
::i_{(k, n)}: w \subset \mathbf{C}^n \mapsto w  \subset \mathbf{C}^n\oplus \mathbf {C} e_{n+1}  =\mathbf{C}^{n+1}


έχει την ιδιότητα 
::i^*_{(k, n)}(\sigma_{\mathbf{a}}) = \sigma_{\mathbf{a}},
και τη συμπερίληψη
:: \tilde{i}_{(k,n)}: \mathbf{Gr}(k,n) \hookrightarrow \mathbf{Gr}(k+1,n+1)

το ίδιο κάνει και το
::\tilde{i}_{(k,n)}^*(\sigma_{\mathbf{a}}) = \sigma_{\mathbf{a}}.

Έτσι, αν X_{\mathbf{a}} \subset \mathbf{Gr}_k(n) και \Sigma_{\mathbf{a}} \subset \mathbf{Gr}_k(n) είναι ένα κελί και ένα υποσύνολο στην Γκρασμανιανή \mathbf{Gr}_k(n), μπορούν επίσης να θεωρηθούν ως ένα κελί X_{\mathbf{a}} \subset \mathbf{Gr}_\tilde{k}(\tilde{n}) και ένα υποσύνολο \Sigma_{\mathbf{a}} \subset \mathbf{Gr}_\tilde{k}(\tilde{n}) εντός της Γκρασμανιανής \mathbf{Gr}_\tilde{k}(\tilde{n}) για
οποιοδήποτε ζεύγος (\tilde{k}, \tilde{n}) with  \tilde{k} \geq k και 
 \tilde{n}-\tilde{k}  \geq n-k.
### Γινόμενο διατομής
Το γινόμενο διατομής καθιερώθηκε για πρώτη φορά με τη χρήση των τύπων Πιερί και Τζιαμπέλι.

#### Τύπος Πιέρι
Στην ειδική περίπτωση \mathbf{b} = (b,0,\ldots, 0), υπάρχει ένας ρητός τύπος για το γινόμενο του \sigma_b με μια αυθαίρετη κλάση Σούμπερτ \sigma_{a_1,\ldots, a_k} που δίνεται ως εξής

::\sigma_b\cdot\sigma_{a_1,\ldots, a_k} = \sum_{
\begin{matrix}|c| = |a| + b \\
a_i \leq c_i \leq a_{i-1}
\end{matrix} } \sigma_{\mathbf{c}},

όπου |\mathbf{a}| = a_1 + \cdots + a_k, |\mathbf{c}| = c_1 + \cdots + c_k είναι τα βάρη των διαμερισμάτων. Αυτό ονομάζεται **τύπος Πιέρι**, και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό του γινομένου τομής οποιωνδήποτε δύο κλάσεων Σούμπερτ, όταν συνδυάζεται με τον **τύπο Τζιαμπέλι**. Παραδείγματος χάριν,

::\sigma_1 \cdot \sigma_{4,2,1} = \sigma_{5,2,1} + \sigma_{4,3,1} + \sigma_{4,2,1,1}. 

και
::\sigma_2 \cdot \sigma_{4,3} = \sigma_{4,3,2} + \sigma_{4,4,1} + \sigma_{5,3,1} + \sigma_{5,4} + \sigma_{6,3} 

#### τύπος του Τζιαμπέλι
Οι κλάσεις Σούμπερτ \sigma_{\mathbf{a}} για διαμερίσεις οποιουδήποτε μήκους \ell(\mathbf{a})\leq k μπορούν να εκφραστούν ως ο προσδιοριστής ενός (k \times k) πίνακα που έχει τις ειδικές κλάσεις ως εισόδους. 

:: \sigma_{(a_1,\ldots, a_k)} = \begin{vmatrix}
\sigma_{a_1} & \sigma_{a_1 + 1} & \sigma_{a_1 + 2} & \cdots & \sigma_{a_1 + k - 1} \\
\sigma_{a_2 - 1} & \sigma_{a_2} & \sigma_{a_2 + 1} & \cdots & \sigma_{a_2 + k - 2} \\
\sigma_{a_3 - 2} & \sigma_{a_3 - 1} & \sigma_{a_3} & \cdots & \sigma_{a_3 + k - 3} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\sigma_{a_k - k + 1} & \sigma_{a_k - k + 2} & \sigma_{a_k - k + 3} & \cdots & \sigma_{a_k}
\end{vmatrix}

Αυτό είναι γνωστό ως τύπος Τζιαμπέλι. Έχει την ίδια μορφή με την πρώτη **ταυτότητα Ιακόμπι-Τρούντι**, εκφράζοντας αυθαίρετες **συναρτήσεις Σουρ**  s_{\mathbf{a}} ως προσδιοριστές ως προς τις **πλήρεις συμμετρικές συναρτήσει**ς \{h_j := s_{(j)}\}.

Παραδείγματος χάριν,
::\sigma_{2,2} = \begin{vmatrix}
\sigma_2 & \sigma_3 \\
\sigma_1 & \sigma_2
\end{vmatrix} = \sigma_2^2 - \sigma_1\cdot\sigma_3

και
::\sigma_{2,1,1} = \begin{vmatrix}
\sigma_2 & \sigma_3 & \sigma_4 \\
\sigma_0 & \sigma_1 & \sigma_2 \\
0 & \sigma_0 & \sigma_1
\end{vmatrix}.

#### Γενική περίπτωση

Το γινόμενο τομής μεταξύ οποιουδήποτε ζεύγους κλάσεων Σούμπερτ
 \sigma_{\mathbf{a}}, \sigma_{\mathbf{b}} δίνεται από
:: \sigma_{\mathbf{a}} \sigma_{\mathbf{b}} =\sum_{\mathbf{c}}c^\mathbf{c}_{\mathbf{a} \mathbf{b}}\sigma_{\mathbf{c}}, 

όπου \{c^\mathbf{c}_{\mathbf{a} \mathbf{b}}\} είναι οι συντελεστές Λίτλγουντ-Ρίτσαρντσον.  Ο **τύπος Πιέρι** είναι μια ειδική περίπτωση αυτού, όταν \mathbf{b}=(b,0, \dots, 0) έχει μήκος \ell(\mathbf{b})=1.

## Σχέση με τις τάξεις Τσερν
Υπάρχει μια εύκολη περιγραφή του δακτυλίου συνομολογίας ή του δακτυλίου Τσάου της Γκρασμανιανής \mathbf{Gr}(k,V) χρησιμοποιώντας τις κλάσεις Τσερν δύο φυσικών διανυσματικών δεσμίδων πάνω από την \mathbf{Gr}(k,V). Έχουμε την ακριβή ακολουθία διανυσματικών δεσμών πάνω από την \mathbf{Gr}(k,V)

::0 \to T \to \underline{V} \to Q \to 0

όπου T είναι η **ταυτολογική δέσμη** της οποίας η ίνα, πάνω σε κάθε στοιχείο w \in \mathbf{Gr}(k, V)  είναι ο ίδιος ο υποχώρος  w \subset V,  \, \underline{V}:= \mathbf{Gr}(k,V) \times V είναι η τετριμμένη διανυσματική δέσμη βαθμού n, με ίνα το V και Q είναι η πηλίκο διανυσματική δέσμη βαθμού n-k, με ίνα το V/w. Οι κλάσεις Τσερν των δεσμίδων T και Q είναι
::c_i(T) = (-1)^i\sigma_{(1)^i},

όπου (1)^i είναι η κατάτμηση της οποίας το διάγραμμα Γιουνγκ αποτελείται από μία μόνο στήλη μήκους i και
::c_i(Q) = \sigma_i.

Η ταυτολογική ακολουθία δίνει τότε την παρουσίαση του δακτυλίου Τσάου ως εξής
::A^*(\mathbf{Gr}(k,V)) = \frac{\mathbb{Z}[c_1(T), \ldots, c_k(T), c_1(Q),\ldots, c_{n-k}(Q)] }{(c(T)c(Q) - 1)}.

## <math>\mathbf{Gr}(2,4)</math>
Ένα από τα κλασικά παραδείγματα που αναλύονται είναι η Γκρασμανιανή \mathbf{Gr}(2,4), καθώς παραμετροποιεί γραμμές στο \mathbb{P}^3. Χρησιμοποιώντας τον δακτύλιο Chow A^*(\mathbf{Gr}(2,4)), ο λογισμός Σούμπερτ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του αριθμού των γραμμών σε μια κυβική επιφάνεια.

### Δακτύλιος Τσάου
Ο δακτύλιος του Τσάου έχει την εξής παρουσίαση
::A^*(\mathbf{Gr}(2,4)) = \frac{\mathbb{Z}[\sigma_1,\sigma_{1,1}, \sigma_2]}{((1 - \sigma_1 + \sigma_{1,1})(1 + \sigma_1 +  \sigma_2)-1)}

και ως διαβαθμισμένη αβελιανή ομάδα  δίνεται από τη σχέση
:: \begin{align}
A^0(\mathbf{Gr}(2,4)) &= \mathbb{Z}\cdot 1 \\
A^2(\mathbf{Gr}(2,4)) &= \mathbb{Z}\cdot \sigma_1 \\
A^4(\mathbf{Gr}(2,4)) &= \mathbb{Z}\cdot \sigma_2 \oplus \mathbb{Z} \cdot \sigma_{1,1}\\
A^6(\mathbf{Gr}(2,4)) &= \mathbb{Z}\cdot\sigma_{2,1} \\
A^8(\mathbf{Gr}(2,4)) &= \mathbb{Z}\cdot\sigma_{2,2} \\
\end{align}

### Γραμμές σε κυβική επιφάνεια
Υπενθυμίζουμε ότι μια γραμμή στο \mathbb{P}^3 δίνει έναν υποχώρο διάστασης 2 του \mathbb{A}^4, άρα ένα στοιχείο του \mathbb{G}(1,3) \cong \mathbf{Gr}(2,4). Επίσης, η εξίσωση μιας ευθείας μπορεί να δοθεί ως τμήμα της \Gamma(\mathbb{G}(1,3), T^*). Δεδομένου ότι μια κυβική επιφάνεια X δίνεται ως ένα γενικό ομογενές κυβικό πολυώνυμο, αυτό δίνεται ως ένα γενικό τμήμα s \in \Gamma(\mathbb{G}(1,3),\text{Sym}^3(T^*)). Μια γραμμή  L \subset \mathbb{P}^3 είναι ένα υποσύνολο της X αν και μόνο αν η τομή εξαφανίζεται στο [L] \in \mathbb{G}(1,3). Επομένως, η κλάση Όιλερ του \text{Sym}^3(T^*) μπορεί να ολοκληρωθεί πάνω στο \mathbb{G}(1,3) για να πάρουμε τον αριθμό των σημείων όπου η γενική τομή εξαφανίζεται στο \mathbb{G}(1,3). Για να πάρουμε την κλάση Όιλερ, πρέπει να υπολογιστεί η συνολική κλάση Τσερν του T^*, η οποία δίνεται ως εξής ::c(T^*) = 1 + \sigma_1 + \sigma_{1,1}

Ο τύπος διάσπασης διαβάζεται τότε ως η τυπική εξίσωση
::\begin{align}
c(T^*) &= (1 + \alpha)(1 + \beta) \\
&= 1 + \alpha + \beta + \alpha\cdot\beta
\end{align},

όπου c(\mathcal{L}) = 1+\alpha και c(\mathcal{M}) = 1 + \beta για τυπικές δέσμες γραμμών \mathcal{L},\mathcal{M}. Η εξίσωση διάσπασης δίνει τις σχέσεις 
::\sigma_1 = \alpha + \beta and \sigma_{1,1} = \alpha\cdot\beta.

Δεδομένου ότι το \text{Sym}^3(T^*) μπορεί να θεωρηθεί ως το άμεσο άθροισμα των τυπικών γραμμοδεσμών
::\text{Sym}^{3}(T^{*}) = \mathcal{L}^{\otimes 3} \oplus (\mathcal{L}^{\otimes 2} \otimes \mathcal{M})
\oplus(\mathcal{L}\otimes\mathcal{M}^{\otimes 2})\oplus \mathcal{M}^{\otimes 3}

του οποίου η συνολική κλάση Τσερν είναι
::c(\text{Sym}^3(T^*)) = (1 + 3\alpha)(1 + 2\alpha + \beta)(1 + \alpha  + 2\beta)(1 + 3\beta),

προκύπτει ότι
::\begin{align}
c_4(\text{Sym}^3(T^*)) &= 3\alpha (2\alpha + \beta) (\alpha + 2\beta) 3\beta \\
&=9\alpha\beta(2(\alpha + \beta)^2 + \alpha\beta) \\
&= 9\sigma_{1,1}(2\sigma_1^2 + \sigma_{1,1}) \\
&= 27\sigma_{2,2}\, ,
\end{align}

με βάση το γεγονός ότι
::\sigma_{1,1}\cdot \sigma_1^2 = \sigma_{2,1}\sigma_1 = \sigma_{2,2} and \sigma_{1,1}\cdot \sigma_{1,1} = \sigma_{2,2}.

Δεδομένου ότι \sigma_{2,2} είναι η ανώτερη τάξη, το ολοκλήρωμα είναι τότε
::\int_{\mathbb{G}(1,3)}27\sigma_{2,2} = 27.

Επομένως, υπάρχουν 27 γραμμές σε μια κυβική επιφάνεια.

## Δείτε επίσης

* Field Arithmetic
* Αλγεβρική ποικιλία
*Τοπολογία
* Πίνακας (μαθηματικά)
* Κλάσεις Τσερν

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Andreas Gathmann - Algebraic Geometry (SS 2014)
* Enumerative Geometry and Classical Algebraic Geometry
* Encyclopaedia of Mathematics, Supplement III
* Affine Insertion and Pieri Rules for the Affine Grassmannian
* k-Schur Functions and Affine Schubert Calculus
*Schubert Calculus and Its Applications in Combinatorics and Representation ...

## Παραπομπές

* Summer school notes http://homepages.math.uic.edu/~coskun/poland.html
*Phillip Griffiths and Joseph Harris (1978), *Principles of Algebraic Geometry*, Chapter 1.5
* 
*
*Sottile, Frank (2001) [1994], "Schubert calculus", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
*:en:David Eisenbud and Joseph Harris (2016), "3264 and All That: A Second Course in Algebraic Geometry".
* 
* 

 

Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία 
Κατηγορία:Αλγεβρική τοπολογία 
Κατηγορία:Τοπολογικοί χώροι 
Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα