Κατάλογος ορισμένων ολοκληρωμάτων

Αυτή η σελίδα περιέχει έναν **κατάλογο ορισμένων ολοκληρωμάτων**. Για τα λοιπά ολοκληρώματα δείτε τους αντίστοιχους καταλόγους ολοκληρωμάτων. 

Στα μαθηματικά, το ορισμένο ολοκλήρωμα

:\int_a^b f(x)\, dx

είναι το εμβαδόν της περιοχής στο επίπεδο *xy* που οριοθετείται από τη γραφική παράσταση της *f*, τον άξονα *x* και τις ευθείες *x* = *a* και *x* = *b*, έτσι ώστε το εμβαδόν πάνω από τον άξονα *x* να προστίθεται στο σύνολο και το εμβαδόν κάτω από τον άξονα *x* να αφαιρείται από το σύνολο.

Το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού καθορίζει τη σχέση μεταξύ αόριστων και ορισμένων ολοκληρωμάτων και εισάγει μια τεχνική για την αξιολόγηση ορισμένων ολοκληρωμάτων.

Εάν το διάστημα είναι άπειρο, το ορισμένο ολοκλήρωμα ονομάζεται ακατάλληλο ολοκλήρωμα και ορίζεται με τη χρήση κατάλληλων διαδικασιών περιορισμού. για παράδειγμα: 

:\int_a^\infty f(x)\, dx=\lim_{b\to\infty}\left[\int_a^b f(x)\, dx\right]

Μια σταθερά, όπως το π, που μπορεί να οριστεί από το ολοκλήρωμα μιας αλγεβρικής συνάρτησης σε ένα αλγεβρικό πεδίο, είναι γνωστή ως περίοδος.

Ακολουθεί ένας κατάλογος μερικών από τα πιο συνηθισμένα ή ενδιαφέροντα ορισμένα ολοκληρώματα. Για έναν κατάλογο των αόριστων ολοκληρωμάτων βλέπε Κατάλογος αόριστων ολοκληρωμάτων.

## Ορισμένα ολοκληρώματα που περιλαμβάνουν ρητές ή άρρητες εκφράσεις

:\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^p}=\frac{\pi/p}{\sin(\pi/p)}\quad \text{for } \Re(p)>1
:\int_0^\infty \frac{x^{p-1}dx}{1+x}=\frac{\pi}{\sin(p\pi)}\quad \text{for } 0
:\int_0^\infty \frac{x^{m}dx}{x^{n}+a^{n}}=\frac{\pi a^{m-n+1}}{n\sin\left(\dfrac{m+1}{n}\pi\right)}\quad \text{for } 0
:\int_0^\infty \frac{x^m dx}{1+2x\cos\beta+x^{2}}=\frac{\pi}{\sin(m\pi)}\cdot\frac{\sin(m\beta)}{\sin(\beta)}
:\int_0^a \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\frac{\pi}{2} 
:\int_0^a \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{\pi a^2}{4}
:\int_0^a x^m (a^n-x^n)^p\,dx=\frac{a^{m+1+np}\Gamma\left(\dfrac{m+1}{n}\right)\Gamma(p+1)}{n\Gamma \left(\dfrac{m+1}{n}+p+1\right)}
:\int_0^\infty \frac{x^m dx}{({x^n+a^n)}^r}=\frac{(-1)^{r-1}\pi a^{m+1-nr}\Gamma\left(\dfrac{m+1}{n}\right)}{n\sin\left(\dfrac{m+1}{n}\pi\right)(r-1)!\,\Gamma \left(\dfrac{m+1}{n}-r+1\right)}\quad \text{for } n(r-2)

## Ορισμένα ολοκληρώματα που περιλαμβάνουν [[Τριγωνομετρική συνάρτηση|τριγωνομετρικές συναρτήσεις]]

:\int_0^\pi \sin(mx)\sin(nx)dx=\begin{cases}
0 & \text{if } m\ne n \\ \\
\dfrac{\pi}{2} & \text{if } m=n 
\end{cases}
\quad\text{for } m,n \text{ positive integers}
:\int_0^\pi \cos(mx)\cos(nx)dx=\begin{cases}
0 & \text{if } m\ne n \\ \\
\dfrac{\pi}{2} & \text{if } m=n 
\end{cases}
\quad\text{for } m,n \text{ positive integers}
:\int_0^\pi \sin(mx)\cos(nx)dx=\begin{cases}
0 & \text{if } m+n \text{ even} \\ \\
\dfrac{2m}{m^{2}-n^{2}} & \text{if } m+n \text{ odd} 
\end{cases}
\quad\text{for } m,n \text{ integers}.
:\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2(x)dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2(x)dx=\frac{\pi}{4}
:\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2m}(x)dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2m}(x)dx = \frac{1\times3\times5\times\cdots\times(2m-1)}{2\times4\times6\times\cdots\times2m}\cdot\frac{\pi}{2}\quad\text{for }m=1,2,3\ldots
:\int_0^{x}\sin^{2m}(t)dt=\frac{(2m-1)!!}{(2m)!!}\Biggl(x-\sin(x)\cos(x)\Biggl(1+\sum_{k=1}^\infty\frac{\sin^{2k}(x)(2k)!!}{(2k+1)!!}\Biggr)\Biggr)\quad\text{for }m=1,2,3\ldots
:\int_0^{x}\cos^{2m}(t)dt=\frac{(2m-1)!!}{(2m)!!}\Biggl(x-\sin(x)\cos(x)\Biggl(1+\sum_{k=1}^\infty\frac{\cos^{2k}(x)(2k)!!}{(2k+1)!!}\Biggr)\Biggr)\quad\text{for }m=1,2,3\ldots
:\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2m+1}(x)dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2m+1}(x)dx = \frac{2\times4\times6\times\cdots\times2m}{1\times3\times5\times\cdots\times(2m+1)}\quad\text{for }m=1,2,3\ldots
:\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2p-1}(x)\cos^{2q-1}(x)dx = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{2\Gamma(p+q)}=\frac{1}{2} \text{B}(p,q)
:\int_0^\infty \frac{\sin(px)}{x}dx=\begin{cases}
\dfrac{\pi}{2} & \text{if } p>0 \\
\\
0 & \text{if } p=0 \\
\\
 -\dfrac{\pi}{2} & \text {if } p     (βλ. ολοκλήρωμα Ντίριχλετ)
: \int_{0}^{\infty }\frac{\sin px\cos qx}{x}\ dx=\begin{cases}
0 & \text{ if } q>p>0 \\
\\
\dfrac{\pi}{2}& \text{ if } 00 
\end{cases}
: \int_{0}^{\infty }\frac{\sin px \sin qx}{x^{2}}\ dx=\begin{cases}
\dfrac{\pi p}{2}& \text{ if } 0
: \int_{0}^{\infty} \frac{\sin ^{2}px}{x^{2}}\ dx=\frac{\pi p}{2}
: \int_{0}^{\infty} \frac{1-\cos px}{x^{2}}\ dx=\frac{\pi p}{2}
: \int_{0}^{\infty} \frac{\cos px - \cos qx}{x}\ dx= \ln \frac {q}{p}
: \int_{0}^{\infty} \frac{\cos px - \cos qx}{x^{2}}\ dx=\frac{\pi (q-p)}{2}
: \int_{0}^{\infty} \frac{\cos mx}{x^{2}+a^{2}}\ dx=\frac{\pi}{2a}e^{-ma}
: \int_0^\infty \frac{x \sin mx}{x^2+a^2}\ dx=\frac{\pi}{2}e^{-ma}
: \int_0^\infty \frac{ \sin mx}{x(x^2+a^2)}\ dx=\frac{\pi}{2a^2}\left(1-e^{-ma}\right)
: \int_0^{2\pi} \frac{dx}{a+b\sin x}=\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-b^2}}
: \int_0^{2\pi} \frac{dx}{a+b\cos x}=\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-b^2}}
: \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{a+b\cos x}=\frac{\cos^{-1} \left(\dfrac{b}{a}\right) }{\sqrt{a^2-b^2}}
: \int_0^{2\pi} \frac{dx}{(a+b\sin x)^2}=\int_0^{2\pi} \frac{dx}{(a+b\cos x)^2}=\frac{2\pi a}{(a^2-b^2)^{3/2}}
: \int_0^{2\pi} \frac{dx}{1-2a\cos x +a^2}=\frac{2\pi}{1-a^2} \quad \text{for } 0
: \int_0^{\pi} \frac{x \sin x\ dx}{1-2a\cos x +a^2}=\begin{cases}
\dfrac{\pi}{a}\ln\left|1+a\right| & \text{if } |a|1 
\end{cases}
: \int_0^{\pi} \frac{\cos mx\ dx}{1-2a\cos x +a^2}=\frac{\pi a^m}{1-a^2} \quad \text{for } a^2
: \int_0^\infty \sin ax^2\ dx=\int_0^\infty \cos ax^2= \frac{1}{2}\sqrt \frac{\pi}{2a}
: \int_0^\infty \sin ax^n=\frac{1}{na^{1/n}}\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)\sin\frac{\pi}{2n} \quad \text{for } n>1
: \int_0^\infty \cos ax^n=\frac{1}{na^{1/n}}\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)\cos\frac{\pi}{2n} \quad \text{for } n>1
: \int_0^\infty \frac{\sin x}{\sqrt x}\ dx=\int_0^\infty \frac{\cos x}{\sqrt x}\ dx=\sqrt{\frac{\pi}{2}}
: \int_0^\infty \frac{\sin x}{x^p}\ dx= \frac{\pi}{2\Gamma(p)\sin \left(\dfrac{p\pi}{2}\right)} \quad \text{for } 0 
: \int_0^\infty \frac{\cos x}{x^p}\ dx= \frac{\pi}{2\Gamma(p)\cos \left(\dfrac{p\pi}{2}\right)} \quad \text{for } 0 
: \int_0^\infty \sin ax^2\cos 2bx\ dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2a}}\left(\cos \frac{b^2}{a}-\sin\frac{b^2}{a}\right)
: \int_0^\infty \cos ax^2\cos 2bx\ dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2a}}\left(\cos \frac{b^2}{a}+\sin\frac{b^2}{a}\right)

## Ορισμένα ολοκληρώματα που περιλαμβάνουν [[Εκθετική συνάρτηση|εκθετικές συναρτήσεις]]

: \int_0^\infty \sqrt{x}\,e^{-x}\,dx = \frac{1}{2}\sqrt \pi  (βλ. επίσης Συνάρτηση Γάμμα)
: \int_0^\infty e^{-ax}\cos bx \, dx=\frac{a}{a^2+b^2}
: \int_0^\infty e^{-ax}\sin bx \, dx=\frac{b}{a^{2}+b^{2}}
: \int_0^\infty \frac {x} \, dx=\ln \frac{b}{a}
: \int_0^\infty \frac {e^{-ax}-\cos(bx)}{x} \, dx=\ln \frac{b}{a}
: \int_0^\infty e^{-a x^2}\,dx = \frac{1}{2} \sqrt \frac {\pi} {a} \quad \text{for } a>0 (το γκαουσιανό ολοκλήρωμα)
: \int_0^\infty {e^{-ax^{2}}}\cos bx\, dx=\frac {1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}}e^\left(\frac{-b^2}{4a}\right)
: \int_0^\infty e^{-(ax^{2}+bx+c)}\, dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^\left(\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\cdot \operatorname{erfc} \frac{b}{2\sqrt{a}},\text{ where }\operatorname{erfc}(p)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_p^\infty  e^{-x^{2}}\, dx 
: \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(ax^{2}+bx+c)}\ dx=\sqrt {\frac{\pi}{a}}e^\left(\frac{b^2-4ac}{4a}\right)
: \int_0^\infty x^{n}e^{-ax}\ dx=\frac{\Gamma (n+1)}{a^{n+1}}
: \int_0^\infty{x^2 e^{-a x^2}\,dx} = \frac{1}{4} \sqrt \frac {\pi} {a^3} \quad \text{for } a>0
: \int_0^\infty x^{2n} e^{-a x^2}\,dx
= \frac{2n-1}{2a} \int_0^\infty x^{2(n-1)} e^{-a x^2}\,dx
= \frac{(2n-1)!!}{2^{n+1}} \sqrt{\frac{\pi}{a^{2n+1}}}
= \frac{(2n)!}{n! 2^{2n+1}} \sqrt{\frac{\pi}{a^{2n+1}}} \quad \text{for } a>0\ ,\ n=1,2,3\ldots  (όπου !! είναι το διπλό παραγοντικό)
: \int_0^\infty{x^3 e^{-a x^2}\,dx} = \frac{1}{2 a^2} \quad \text{for } a>0
: \int_0^\infty x^{2n+1} e^{-a x^2}\,dx
= \frac {n} {a} \int_0^\infty x^{2n-1} e^{-a x^2}\,dx
= \frac{n!}{2 a^{n+1}} \quad \text{for } a>0\ ,\ n=0,1,2\ldots 
: \int_0^\infty x^m e^{-ax^2}\ dx=\frac{\Gamma\left(\dfrac{m+1}{2}\right)}{2a^\left(\frac{m+1}{2}\right)}
: \int_0^\infty e^{\left(-ax^2-\frac{b}{x^2}\right)}\ dx=\frac{1}{2} \sqrt \frac{\pi}{a}e^{-2 \sqrt{ab}}
: \int_0^\infty \frac {x}{e^x-1}\ dx=\zeta (2)= \frac {\pi^2}{6}
: \int_0^\infty \frac {x^{n-1}}{e^x-1}\ dx=\Gamma (n)\zeta (n)
: \int_0^\infty \frac {x}{e^x+1}\ dx=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+\dots=\frac{\pi^2}{12}
: \int_0^\infty \frac {x^n}{e^x+1}\ dx= n! \cdot \left( \frac{2^n-1}{2^n} \right) \zeta(n+1) 
: \int_0^\infty \frac {\sin mx}{e^{2\pi x}-1}\ dx=\frac{1}{4} \coth\frac{m}{2}- \frac{1}{2m}
: \int_0^\infty \left(\frac {1}{1+x}- e^{-x}\right)\ \frac{dx}{x}=\gamma (όπου \gamma είναι η σταθερά Όιλερ-Μαστσερόνι)
: \int_0^\infty \frac {e^{-x^2}-e^{-x}}{x}\ dx=\frac{\gamma}{2}
: \int_0^\infty \left(\frac {1}{e^x-1}-\frac{e^{-x}}{x}\right)\ dx=\gamma
: \int_0^\infty \frac {e^{-ax}-e^{-bx}}{x \sec px}\ dx=\frac{1}{2} \ln\frac{b^2+p^2}{a^2+p^2}
: \int_0^\infty \frac {e^{-ax}-e^{-bx}}{x \csc px}\ dx=\tan^{-1}\frac{b}{p}-\tan^{-1}\frac{a}{p}
: \int_0^\infty \frac {e^{-ax}(1-\cos x)}{x^2}\ dx=\cot^{-1} a-\frac{a}{2}\ln\left|\frac{a^2+1}{a^2}\right|
: \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}
: \int_{-\infty}^\infty x^{2(n+1)}e^{-\frac12 x^2}\,dx=\frac{(2n+1)!}{2^n n!}\sqrt{2 \pi} \quad\text{for } n=0,1,2,\ldots 

## Ορισμένα ολοκληρώματα που περιλαμβάνουν λογαριθμικές συναρτήσεις

: \int_0^1 x^m (\ln x)^n \, dx=\frac{(-1)^n n!}{(m+1)^{n+1}} \quad\text{for } m>-1, n=0,1,2,\ldots
: \int_1^\infty x^m (\ln x)^n \, dx=\frac{(-1)^{n + 1} n!}{(m+1)^{n+1}} \quad\text{for } m
: \int_0^1 \frac{\ln x}{1+x}\, dx= -\frac{\pi^2}{12}
: \int_0^1 \frac{\ln x}{1-x}\, dx= -\frac{\pi^2}{6}
: \int_0^1 \frac{\ln (1+x)}{x}\, dx= \frac{\pi^2}{12}
: \int_0^1 \frac{\ln (1-x)}{x}\, dx= -\frac{\pi^2}{6}
: \int_0^\infty \frac{\ln(a^{2}+x^{2})}{b^{2}+x^{2}}\ dx = \frac{\pi}{b} \ln (a+b)\quad\text{for } a,b>0
: \int_0^\infty\frac{\ln x}{x^2+a^2}\ dx = \frac{\pi \ln a}{2a}\quad\text{for } a>0

## Ορισμένα ολοκληρώματα που περιλαμβάνουν [[υπερβολικές συναρτήσεις]]

\int_0^\infty \frac{\sin ax}{\sinh bx}\ dx=\frac {\pi}{2b}\tanh \frac{a \pi}{2b}

\int_0^\infty \frac{\cos ax}{\cosh bx}\ dx=\frac {\pi}{2b}\cdot\frac{1}{\cosh \frac{a \pi}{2b}}

\int_0^\infty \frac{x}{\sinh ax}\ dx=\frac{\pi^2}{4a^2}

\int_0^\infty \frac{x^{2n+1}}{\sinh ax}\ dx= c_{2n+1} \left( \frac{\pi}{a} \right)^{2(n+1)}, \quad c_{2n+1} = \frac{(-1)^n}{2} \left(\frac{1}{2}- \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k {2n+1 \choose 2k+1} c_{2k+1} \right), \quad c_1 = \frac{1}{4} 

\int_{0}^\infty \frac{1}{\cosh ax}\ dx = \frac{\pi}{2a}

\int_0^\infty \frac{x^{2n}}{\cosh ax}\ dx= d_{2n} \left( \frac{\pi}{a} \right)^{2n+1}, \quad d_{2n} = \frac{(-1)^n}{2} \left(\frac{1}{4^n}- \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k {2n \choose 2k} d_{2k} \right), \quad d_0 = \frac{1}{2} 

## Ολοκληρώματα Φρουλάνι

\int_{0}^{\infty }\frac{f(ax)-f(bx)}{x}\ dx=\left(\lim_{x \to 0}f(x)-\lim_{x \to \infty}f(x)\right) \ln \left(\frac{b}{a} \right) ισχύει εάν το ολοκλήρωμα υπάρχει και το f'(x) είναι συνεχές.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Τριγωνομετρική συνάρτηση
* Συνάρτηση γάμμα
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Ρητή συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπερβολικές συναρτήσεις
* Κατάλογος ολοκληρωμάτων των υπερβολικών συναρτήσεων
* Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Μιγαδικός αριθμός
* Πολυώνυμο
* Ακέραιος αριθμός

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
* 
* 
* 
*
*
*
*Toyesh Prakash Sharma, https://www.isroset.org/pdf_paper_view.php?paper_id=2214&7-ISROSET-IJSRMSS-05130.pdf
* 
* 

## Πηγές

Κατηγορία:Κατάλογοι ολοκληρωμάτων 
Κατηγορία:Ολοκληρώματα