Φρακτάλ της λέξης Fibonacci

Το **φράκταλ της λέξης [[Fibonacci]]** είναι μια φρακταλική καμπύλη που ορίζεται στο επίπεδο της λέξης Fibonacci.

## Ορισμός

Αυτή η καμπύλη κατασκευάζεται επαναληπτικά εφαρμόζοντας τον κανόνα σχεδίασης μονών-ζυγών στη λέξη Fibonacci 0100101001001...:

Για κάθε ψηφίο στη θέση *k*:
# Σχεδιάστε ένα τμήμα προς τα εμπρός
# Εάν το ψηφίο είναι 0:
#* Στρίψτε 90° προς τα αριστερά αν το *k* είναι ζυγός
#* Στρίψτε κατά 90° προς τα δεξιά αν το *k* είναι απόκλιση
Σε μια λέξη Fibonacci μήκους F_n (ο *n*'th αριθμός Fibonacci συνδέεται μια καμπύλη \mathcal{F}_n που αποτελείται από τμήματα F_n. Η καμπύλη εμφανίζει τρεις διαφορετικές όψεις αν ο *n* είναι της μορφής 3*k*, 3*k*&nbsp;+&thinsp;1, ή 3*k*&nbsp;+&nbsp;2.

## Ιδιότητες

Μερικές από τις ιδιότητες του φράκταλ της λέξης Fibonacci περιλαμβάνουν:
* Η καμπύλη \mathcal{F_n} περιέχει F_n τμήματα, F_{n-1} ορθές γωνίες και F_{n-2} επίπεδες γωνίες.
* Η καμπύλη δεν τέμνει ποτέ τον εαυτό της και δεν περιέχει διπλά σημεία. Στο όριο, περιέχει άπειρα σημεία ασυμπτωτικά κοντά.
* Η καμπύλη παρουσιάζει αυτο-ομοιότητες σε όλες τις κλίμακες. Ο λόγος αναγωγής είναι 1+\sqrt{2}. Αυτός ο αριθμός, που ονομάζεται επίσης λόγος αργύρου, είναι παρών σε μεγάλο αριθμό ιδιοτήτων που αναφέρονται παρακάτω.
* Ο αριθμός των αυτο-ομοιώσεων στο επίπεδο *n* είναι ένας αριθμός Fibonacci \&nbsp;-1. (ακριβέστερα: F_{3n+3}-1).
* Η καμπύλη περικλείει μια απειρία τετραγωνικών δομών φθίνοντος μεγέθους σε αναλογία 1+\sqrt{2} (βλ. σχήμα). Ο αριθμός αυτών των τετραγωνικών δομών είναι ένας αριθμός Φιμπονάτσι.
* Η καμπύλη \mathcal{F}_n μπορεί επίσης να κατασκευαστεί με διάφορους τρόπους (βλ. γκαλερί παρακάτω):
** Επαναληπτικό σύστημα συναρτήσεων των 4 και 1 ομοιοθεσιών του λόγου 1/(1+\sqrt2) και 1/(1+\sqrt2)^2
** Συνδέοντας τις καμπύλες \mathcal{F}_{n-1} και \mathcal{F}_{n-2}
** Σύστημα Λιντενμάγιερ
** Με μια επαναληπτική κατασκευή 8 τετραγωνικών μοτίβων γύρω από κάθε τετραγωνικό μοτίβο.
** Με μια επαναληπτική κατασκευή οκτάγωνοων 
*  H διάσταση Χάουσντορφ (Hausdorff) του φράκταλ της λέξης Fibonacci είναι 3\,\frac{\log\varphi}{\log(1+\sqrt 2)}\approx 1.6379, με \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} τη χρυσή τομή.
* Γενικεύοντας σε μια γωνία \alpha μεταξύ 0 και \pi/2, η διάσταση Hausdorff της είναι 3\,\frac{\log\varphi}{\log(1+a+\sqrt{(1+a)^2+1})}, με a=\cos\alpha.
* Η διάσταση Hausdorff του συνόρου του είναι \frac{\log 3} επαναλήψεις.
File:Fibonacci fractal self-similarities.png|Αυτο-ομοιότητες σε διαφορετικές κλίμακες.
File:FWF Dimensions.png|Διαστάσεις.
File:Fibonacci fractal F21 & F20.png|Κατασκευή με αντιπαράθεση (1)
File:Fibonacci Fractal F22 & F21.png|Κατασκευή με αντιπαράθεση (2)
File:Fibonacci word fractal, order 18.svg|Τάξη 18, με μερικά υποορθογώνια χρωματισμένα.
File:Fibonacci word fractalX.jpg
File:FWF alternative construction.png|Κατασκευή με επαναλαμβανόμενη καταστολή τετραγωνικών μοτίβων.
File:FWF octogons.png|Κατασκευή με επαναληπτικά οκτάγωνα.
File:Fibonacci word gaskett.png|Κατασκευή με επαναληπτική συλλογή 8 τετραγωνικών μοτίβων γύρω από κάθε τετραγωνικό μοτίβο.
File:Fibo 60deg F18.png|Με γωνία 60°.
File:Inverted Fibonacci fractal.png|Αντιστροφή του "0" και του "1".
File:Fibonacci word fractal variants.png|Παραλλαγές που παράγονται από την πυκνή λέξη Fibonacci.
File:Fibonacci word fractal compact variant.jpg|Η "συμπαγής παραλλαγή"
File:Fibonacci word fractal svastika variant.jpg|Η "παραλλαγή svastika"
File:Fibonacci word fractal diagonal variant.jpg|Η "διαγώνια παραλλαγή"
File:FWF PI8.png|Η παραλλαγή "&pi;/8"
File:FWF Samuel Monnier.jpg|Δημιουργία του καλλιτέχνη (Σαμουέλ Μονιέ).


## Το πλακίδιο Fibonacci

Η παράθεση τεσσάρων καμπυλών F_{3k} επιτρέπει την κατασκευή μιας κλειστής καμπύλης που περικλείει μια επιφάνεια της οποίας το εμβαδόν δεν είναι μηδενικό. Η καμπύλη αυτή ονομάζεται "πλακίδιο Φιμπονάτσι".
* Το πλακίδιο Fibonacci σχεδόν καλύπτει το επίπεδο. Η παράθεση 4 πλακιδίων (βλέπε εικόνα) αφήνει στο κέντρο ένα ελεύθερο τετράγωνο του οποίου το εμβαδόν τείνει στο μηδέν καθώς το *k* τείνει στο άπειρο. Στο όριο, το άπειρο κεραμίδι Fibonacci καλύπτει το επίπεδο.
* Αν το πλακίδιο περικλείεται σε ένα τετράγωνο πλευράς 1, τότε το εμβαδόν του τείνει στο 2-\sqrt{2} = 0.5857.

### Χιονονιφάδα Φιμπονάτσι

Η **χιονονιφάδα Fibonacci** είναι ένα πλακίδιο Fibonacci που ορίζεται από:
* q_n = q_{n-1}q_{n-2} if n \equiv 2 \pmod 3
* q_n = q_{n-1}\overline{q}_{n-2} otherwise.
with q_0=\epsilon and q_1=R, L = "turn left" and R = "turn right", and \overline{R} = L.

Ορισμένες αξιοσημείωτες ιδιότητες:
Πρόκειται για το πλακίδιο Fibonacci που σχετίζεται με την "διαγώνια παραλλαγή" που ορίστηκε προηγουμένως.
*Επικαλύπτει το επίπεδο σε οποιαδήποτε σειρά.
*Καλύπτει το επίπεδο με μετατόπιση με δύο διαφορετικούς τρόπους.
*Η περίμετρός του σε τάξη n ισούται με 4F(3n+1), όπου F(n) είναι *n*'ιοστός αριθμός Fibonacci.
*το εμβαδόν του στην τάξη n ακολουθεί τους διαδοχικούς δείκτες της μονής σειράς της ακολουθίας Pell (ορίζεται από τη σχέση P(n)=2P(n-1)+P(n-2))

## Δείτε επίσης
*Σύνολο Μάντελμπροτ
*Χρυσή τομή
*Οικοδομήσιμο Σύμπαν

## Παραπομπές


 
 

Κατηγορία:Φράκταλ
Κατηγορία:Μαθηματική λογική
Κατηγορία:Φιλοσοφία των μαθηματικών
Κατηγορία:Ιστορία των Μαθηματικών