Σφαίρα Μπλοχ

thumb|256px|Σφαίρα Μπλοχ

Στην κβαντική μηχανική, η **σφαίρα Μπλοχ** είναι μια γεωμετρική αναπαράσταση του χώρου καθαρής κατάστασης ενός κβαντομηχανικού συστήματος δύο επιπέδων που πήρε το όνομά της από τον φυσικό Φέλιξ Μπλοχ. Εναλλακτικά, είναι ο χώρος καθαρής κατάστασης ενός κβαντικού καταχωρητή 1 qubit. Η σφαίρα Μπλοχ είναι και γεωμετρικά μια σφαίρα και η αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων της σφαίρας και των καθαρών καταστάσεων μπορεί να δοθεί σαφώς. Σε γενικευμένη μορφή, η σφαίρα Μπλοχ μπορεί επίσης να αναφέρεται στο ανάλογο χώρο ενός κβαντικού συστήματος *n* επιπέδων.

Η κβαντική μηχανική είναι μαθηματικά διατυπωμένη σε ένα χώρο Χίλμπερτ ή προβαλλόμενο χώρο Χίλμπερτ. Ο χώρος των καθαρών καταστάσεων ενός κβαντικού συστήματος δίνεται από τις ακτίνες στον χώρο Χίλμπερτ (τα *σημεία* του προβαλλόμενου χώρου Χίλμπερτ). Ο χώρος των ακτινών σε οποιοδήποτε διανυσματικό χώρο είναι ένας προβαλλόμενος χώρος, και συγκεκριμένα, ο χώρος των ακτίνων σε ένα δισδιάστατο χώρο Χίλμπερτ είναι η μιγαδική προβολική γραμμή, η οποία είναι ισομορφική προς τη σφαίρα.

Η φυσική μετρική στην σφαίρα Μπλοχ είναι η μετρική Fubini-Study.

## To qubit

Για να δειχθεί αυτή η αντιστοιχία σαφώς, θεωρήστε την περιγραφή qubit της σφαίρας Μπλοχ˙ οποιοδήποτε κβαντομηχανική κατάσταση \psi μπορεί να γραφεί ως μια μιγαδική υπέρθεση των διανυσμάτων ket  |0 \rangle και |1 \rangle ˙ επιπλέον, αφού οι παράγοντες φάσης δεν επηρεάζουν την φυσική κατάσταση, μπορούμε να πάρουμε την αναπαράσταση ώστε ο συντελεστής του  |0 \rangle να είναι πραγματικός και μη αρνητικός. Έτσι το \psi έχει μια αναπαράσταση ως

: |\psi \rangle = \cos \theta \, |0 \rangle +  e^{i \phi}  \sin \theta  \,|1 \rangle  \quad = \quad \cos \theta \, |0 \rangle \, + \, ( \cos \phi + i \sin \phi ) \, \sin \theta  \,|1 \rangle  

με 

: 0 \leq \theta 

Εκτός από την περίπτωση όπου \psi είναι ένα από τα διανύσματα ket  |0 \rangle ή  |1 \rangle, η αναπαράσταση είναι μοναδική, με άλλα λόγια οι παράμετροι \phi \, και \theta \, προσδιορίζουν μοναδικά ένα σημείο στην μοναδιαία σφαίρα του Ευκλείδειου χώρου \mathbb{R}^{3}, δηλαδή το σημείο του οποίου οι συντεταγμένες (x,y,z) είναι

: \begin{matrix} x & = & \sin 2 \theta \times \cos \phi \\ y & = & \sin 2 \theta \times \sin \phi \\ z & = & \cos 2 \theta .\end{matrix}

Σε αυτή την αναπαράσταση το  |0 \rangle είναι χαρτογραφημένο μέσα στο (0,0,1) και  το  |1 \rangle είναι χαρτογραφημένο μέσα στο (0,0,-1).

## Γενίκευση

Θεωρήστε ένα κβαντομηχανικό σύστημα *n* επιπέδων. Αυτό το σύστημα περιγράφεται από ένα n-διάστατο χώρο Χίλμπερτ *H**n*. Ο χώρος της καθαρής κατάστασης είναι εξ ορισμού το σύνολο των μονοδιάστατων ακτίνων του *H**n*.

**Θεώρημα**. Θέτουμε το U(''n'') να είναι η ομάδα Λι των μοναδιαίων πινάκων μεγέθους *n*. Τότε ο χώρος καθαρής κατάστασης του *H**n* μπορεί να αναγνωριστεί με το συμπαγή σύμπλοκο χώρο

: \operatorname{U}(n) /(\operatorname{U}(n-1) \times \operatorname{U}(1)). 

Για να αποδείξουμε αυτό το γεγονός, σημειώνουμε ότι υπάρχει μια φυσική ομαδική πράξη του U(*n*) στο σύνολο των καταστάσεων του *H**n*. Αυτή η πράξη είναι συνεχής και μεταβατική στις καθαρές καταστάσεις. Για οποιαδήποτε κατάσταση ψ, το σύνολο σταθερών σημείων  του ψ, (ορισμένο ως το σύνολο των στοιχείων *g* του U(*n*) τέτοια ώστε *g* ψ = ψ) είναι ισομορφικό προς την ομάδα γινομένων

: \operatorname{U}(n-1) \times \operatorname{U}(1). 

Από αυτό το σημείο ο ισχυρισμός του θεωρήματος ακολουθεί βασικά αξιώματα για τις μεταβατικές πράξεις ομάδων σε συμπαγείς ομάδες.

Το σημαντικό γεγονός που πρέπει να σημειωθεί στα παραπάνω είναι ότι η *μοναδιαία ομάδα δρα μεταβατικά* σε καθαρές καταστάσεις.

Τώρα η (πραγματική) διάσταση του U(*n*) είναι *n*2. Αυτό είνα εύκολο να το δούμε αφού ο εκθετικός χάρτης

: A \mapsto e^{i A} 

είναι ένας τοπικός ομοιομορφισμός από το χώρο των αυτοσυζυγών μιγαδικών πινάκων στο U(*n*). Ο χώρος των αυτοσυζυγών μιγαδικών πινάκων έχει πραγματική διάσταση *n*2.

**Συνέπεια**. Η πραγματική διάσταση του χώρου καθαρής κατάστασης του *H**n* είναι 2*n* &minus; 2.

Ουσιαστικά,

: n^2 - ((n-1)^2 +1) = 2 n - 2. \quad 

Ας εφαρμόσουμε αυτό για να εξετάσουμε την πραγματική διάσταση ενός κβαντικού καταχωρητή *m* qubit. Ο αντίστοιχος χώρος Χίλμπερτ έχει διάσταση 2*m*.

**Συνέπεια**. Η πραγματική διάσταση του χώρου καθαρής κατάστασης ενός κβαντικού καταχωρητή *m* qubit  είναι 2*m*+1 &minus; 2.

## Η γεωμετρία των  τελεστών πυκνότητας

Οι διατυπώσεις της κβαντικής μηχανικής με όρους καθαρών καταστάσεων είναι επαρκείς για απομονωμένα συστήματα˙ γενικά κβαντομηχανικά συστήματα πρέπει να περιγράφονται με όρους τελεστών πυκνότητας. Η τοπολογική περιγραφή περιπλέκεται από το γεγονός ότι η μοναδιαία ομάδα δεν ενεργεί μεταβατικά σε τελεστές πυκνότητας. Επιπλέον οι τροχιές παρουσιάζουν μεγάλη διαφοροποίηση, όπως προκύπτει από την ακόλουθη παρατήρηση:

**Θεώρημα**. Υποθέστε ότι *A* είναι ένας τελεστής πυκνότητας σε ένα κβαντομηχανικό σύστημα *n* επιπέδων του οποίου οι διακριτές ιδιοτιμές είναι μ1, ..., μ*k* με πολλαπλότητες *n*1, ...,*n**k*. Τότε η ομάδα των μοναδιαίων τελεστών *V* ώστε *V A V** = *A* είναι ισομορφική (ως μια ομάδα Λι) προς

:\operatorname{U}(n_1) \times \cdots \times \operatorname{U}(n_k).

Συγκεκριμένα η τροχιά του *A* είναι ισομορφική προς 

:\operatorname{U}(n)/(\operatorname{U}(n_1) \times \cdots \times \operatorname{U}(n_k)).

## Παραπομπές

* Darius Chrusinski, "Geometric Aspect of Quantum Mechanics and Quantum Entanglement", *Journal of Physics Conference Series*, **39** (2006) σελ.9-16. 
* Alain Michaud, "Rabi Flopping Oscillations" (2006). *(Ένα μικρό animation ενός διανύσματος Μπλοχ υποβαλλόμενο σε μια αντηχητική διέγερση.)* (Ανακτήθηκε 27 Απριλίου 2011)

Κατηγορία:Κβαντική μηχανική
Κατηγορία:Προβολική γεωμετρία