Εικασία του Μπορσούκ

[δεξιά|μικρογραφία|200x200εσ|Παράδειγμα: ένα [εξάγωνο κομμένο σε τρία κομμάτια μικρότερης διαμέτρου.]]
Το **πρόβλημα του Μπορσούκ στη γεωμετρία**, για ιστορικούς λόγους, ονομάζεται λανθασμένα ως εικασία του Μπορσούκ, είναι ερώτημα στη διακριτή γεωμετρία.

## Το πρόβλημα
Το 1932 ο Κάρολ Μπορσούκ έδειξε ότι μια συνηθισμένη μπάλα 3 διαστάσεων στον Ευκλείδειο χώρο μπορεί εύκολα να χωρισθεί σε 4 στερεά, καθένα από τα οποία έχει μια μικρότερη διάμετρο από την μπάλα, και γενικά η *d*-διάστατη μπάλα μπορεί να καλυφθεί με *d* + 1 συμπαγή σύνολα διαμέτρων μικρότερες από την μπάλα. Ταυτόχρονα απέδειξε ότι τα υποσύνολα *d* δεν είναι αρκετά σε γενικές γραμμές. Η απόδειξη βασίζεται στο θεώρημα Μπορσούκ–Ούλαμ. Αυτό οδήγησε τον Μπορσούκ σε μια τόσο γενική ερώτηση:

: *Die folgende Frage bleibt offen: Lässt sich jede beschränkte Teilmenge E des Raumes <math>(n + 1)</math> Mengen zerlegen, von denen jede einen kleineren Durchmesser als E hat;*

Αυτό μπορεί να μεταφραστεί ως:

: *Το ακόλουθο ερώτημα παραμένει ανοιχτό: κάθε [[Πεπερασμένο σύνολο|φραγμένο]] υποσύνολο Ε του χώρου είναι [[Διαμερισμός συνόλου|χωρισμένο]] σε σύνολα <math>(n + 1)</math>, καθένα από τα οποία έχει μια μικρότερη διάμετρο από τον Ε;*

Το ερώτημα έχει θετική απάντηση στις ακόλουθες περιπτώσεις:

* *d* = 2 — το οποίο είναι το αρχικό αποτέλεσμα από τον Κάρολ Μπορσούκ (1932).
* *d* = 3 — εμφανίστηκε από τον Γιούλιαν Πέρκαλ (1947), και ανεξάρτητα, 8 χρόνια αργότερα, από τον Χ. Γ. Έγκλστον (1955). Αργότερα, οι Μπράνκο Γκρηνμπάουμ και Αλαντάρ Χέππες βρήκαν μια απλή απόδειξη.
* Για όλα τα *d* σε ομαλούς κυρτούς φορείς — αποδείχθηκε από τον Χούγκο Χαντβίγκερ (1946).
* Για όλα τα *d* σε κεντρικά-συμμετρικούς φορείς — αποδείχθηκε από τον Α. Σ. Ρίσλινγκ (1971).
* Για όλα τα *d* σε σώματα εκ περιστροφής — αποδείχθηκε από τον Μπόρις Ντέκστερ (1995).

Το πρόβλημα τελικά λύθηκε το 1993 από τους Τζεφ Καχν και Γκιλ Καλάι, οι οποίοι έδειξαν ότι η γενική απάντηση στο ερώτημα του Μπορσούκ είναι *όχι*. Η αναπαράστασή τους δείχνει ότι τα *d* + 1 κομμάτια που δεν επαρκούν για *d* = 1.325 και για κάθε *d* > 2.014.

Το αποτέλεσμα τους βελτιώθηκε το 2003 από τους Χίνριχς και Ρίχτερ, που αναπαράστησαν πεπερασμένα σύνολα για το *d* ≥ 298, το οποίο δεν μπορεί να χωριστεί σε *d*+11 τμήματα με μικρότερη διάμετρο.

Αφότου ο Αντρέι Β. Μπονταρένκο έδειξε το 2013 ότι η εικασία του Μπορσούκ είναι ψευδής για όλα τα *d* ≥ 65,  το τρέχων καλύτερο όριο, λόγω του Τόμας Γιένριχ, είναι το 64.

Εκτός από την εύρεση του ελάχιστου αριθμού *δ*  τέτοιων διαστάσεων, εκτός από τον αριθμό τεμαχίων \alpha(d) > d+1 οι μαθηματικοί ενδιαφέρονται να βρουν την γενική συμπεριφορά της συνάρτησης \alpha(d). Οι Καχν και Καλάι δείχνουν ότι σε γενικές γραμμές (για το *d* αυτό είναι αρκετά μεγάλο) ένας χρειάζεται αριθμό τεμαχίων \alpha(d) \ge (1.2)^\sqrt{d}. Αναφέρουν επίσης το άνω όριο από τον Οντέντ Σραμ, ο οποίος έδειξε ότι για κάθε *ε*, αν το *d* είναι αρκετά μεγάλο, προκύπτει \alpha(d) \le \left(\sqrt{3/2} + \varepsilon\right)^d. Η σωστή τάξη μεγέθους του *α*(d) είναι ακόμα άγνωστη. Ωστόσο, εικάζεται ότι υπάρχει μια σταθερά  τέτοια ώστε να προκύπτει \alpha(d) > c^d για όλα τα .

## Δείτε επίσης
* Η Εικασία του Χάντβιγκερ καλύπτει κυρτά σώματα με μικρότερα αντίγραφα του εαυτού τους.

## Παραπομπές


## Περαιτέρω ανάγνωση

* Oleg Pikhurko, *[https://web.archive.org/web/20160304000819/http://www.math.cmu.edu/~pikhurko/AlgMet.ps Algebraic Methods in Combinatorics]*, course notes.
* Andrei M. Raigorodskii, The Borsuk partition problem: the seventieth anniversary, *Mathematical Intelligencer* **26** (2004), no. 3, 4&#x2013;12.
* 

## Εξωτερικές συνδέσεις

* Weisstein, Eric W. "Εικασία Μπορσούκ". *[[MathWorld]]*.

Κατηγορία:Διακριτή γεωμετρία