Νιοστή ρίζα

Στα μαθηματικά η **<math>\nu</math>-οστή ρίζα** ενός πραγματικού αριθμού \alpha, όταν το \nu είναι φυσικός αριθμός >1, είναι ο πραγματικός αριθμός \beta, αν \beta^\nu=\alpha. Η \nu-οστή ρίζα του αριθμού \alpha συμβολίζεται με \sqrt[\nu]{\alpha}, το σύμβολο \sqrt{\;\;\;\;} λέγεται *ριζικό*, το *<math>\nu</math>* *δείκτης* του ριζικού, ο αριθμός \alpha *υπόρριζο* και γράφεται \sqrt[\nu]{\alpha}=\beta εάν \beta^\nu=\alpha. Αν ο δείκτης *<math>\nu</math>* είναι άρτιος, ή ρίζα λέγεται *άρτια* ή *άρτιας τάξεως* και εάν είναι περιττός, η ρίζα λέγεται *περιττή* ή *περιττής τάξεως*. Ένας πραγματικός αριθμός έχει 0, 1 ή 2 \nu-οστές ρίζες, το οποίο εξαρτάται από το \nu και το πρόσημο του* <math>\alpha</math>*.

Όταν \nu=2, η  \nu-οστή ρίζα του \alpha συμβολίζεται \sqrt{\alpha} και διαβάζεται ''τετραγωνική'' ή ''δευτέρα'' ρίζα του \alpha. Όταν \nu=3 συμβολίζεται \sqrt[3]{\alpha} και διαβάζεται *κυβική* ή *τρίτη* ρίζα του \alpha. Όταν \nu=4, 5, 6, ... συμβολίζεται \sqrt[4]{\alpha}, \sqrt[5]{\alpha}, \sqrt[6]{\alpha}, ... και διαβάζεται *τέταρτη*, *πέμπτη*, *έκτη*, ... ρίζα του \alpha.

## Όροι των ριζών
Σε μία \nu-οστή ρίζα που γράφεται \sqrt[\nu]{\alpha} έχουμε:

* Τον πραγματικό αριθμό \alpha πού λέγεται υπόρριζο.**

* Το σύμβολο \sqrt{\;\;\;\;}, που λέγεται *ριζικό* και η οριζόντια γραμμή του πρέπει να καλύπτει πλήρως το υπόρριζο. Παράδειγμα: \sqrt{\alpha\gamma}\neq\sqrt{\alpha}\gamma=\gamma\sqrt{\alpha}
* Τον φυσικό αριθμό \nu, που λέγεται δείκτης του ριζικού ή βαθμός της ρίζας.
* Αν ο δείκτης \nu είναι άρτιος, ή ρίζα λέγεται *άρτια* ή *άρτιας τάξεως* και εάν είναι περιττός, η ρίζα λέγεται *περιττή* ή *περιττής τάξεως.*
* Αν \nu=2 συμβολίζεται \sqrt{\alpha} και διαβάζεται *τετραγωνική* ή *δευτέρα* ρίζα του \alpha. Συνηθίζεται να μην γράφεται ο δείκτης 2 του ριζικού (δηλ. \sqrt[2]{\;}).
* Αν \nu=3 συμβολίζεται \sqrt[3]{\alpha} και διαβάζεται *κυβική* ή *τρίτη* ρίζα του \alpha.
* Δύο ρίζες λέγονται *ισοδύναμες* ή *ισοβάθμιοι*, όταν οι δείκτες του ριζικού τους ή αλλιώς οι βαθμοί τους είναι ίσοι. Για παράδειγμα οι ρίζες \sqrt[\nu]{\alpha},\;\sqrt[\mu]{\beta},\;\sqrt[\rho]{\gamma} λέγονται ισοδύναμες όταν \nu=\mu=\rho.
**Συντελεστής* μιάς ρίζας είναι οι παράγοντες που βρίσκονται εκτός του ριζικού. Παράδειγμα: στην ισότητα \sqrt{\alpha}\beta\gamma=\beta\gamma\sqrt{\alpha}, το \beta\gamma, είναι ο συντελεστής της ρίζας.
**Όμοιες* λέγονται δύο ρίζες που έχουν τον ίδιο δείκτη (ή βαθμό) και το ίδιο υπόρριζο.

## Ιδιότητες και ταυτότητες
Λόγω του ότι ο ορισμός της  \nu-οστής ρίζας βασίζεται στην εξίσωση \beta^\nu=\alpha , οι ιδιότητες των ριζών απορρέουν από τις ιδιότητες των δυνάμεων.

### Γενικά

* Πάντα ισχύει \sqrt[\nu]{\alpha}=\beta\Longleftrightarrow\beta^\nu=\alpha, λόγω τού ορισμού της \nu-οστής ρίζας.

*(\sqrt[\nu]{\alpha})^\nu=\alpha, διότι ισχύει \sqrt[\nu]{\alpha}=\beta\Longleftrightarrow\beta^\nu=\alpha, τότε  (\sqrt[\nu]{\alpha})^\nu=\beta^\nu=\alpha
*\sqrt[\nu]{0}=0, διότι 0^\nu=0 για κάθε φυσικό αριθμό \nu.
*\sqrt[\nu]{a^\mu}=\sqrt[\nu\cdot\rho]{a^{\mu\cdot\rho}}, αν \alpha πραγματικός και θετικός αριθμός (δηλ. \alpha\in\Rκαι \alpha\geq0) και οι \nu, \mu, \rho φυσικοί αριθμοί (δηλ.  \nu, \mu, \rho\in\Z). Οι εφαρμογές της ιδιότητας αυτής είναι οι εξής:
*#Απλοποίηση ριζών, παραδείγματα: \sqrt[6]{\alpha^3}=\sqrt[2\cdot3]{\alpha^3}=\sqrt[]{\alpha} και  \sqrt[6]{\alpha^6\cdot\beta^{2\cdot\lambda}}=\sqrt[2\cdot3]{\alpha^{2\cdot3}\cdot\beta^{2\cdot\lambda}}=\sqrt[2\cdot3]{(\alpha^{3}\cdot\beta^{\lambda})^2}=\sqrt[3]{\alpha^{3}\cdot\beta^{\lambda}}
*#Μετατροπή ριζών σε ισοδύναμους (ισόβαθμους), απαραίτητο όταν θέλουμε να κάνουμε πράξεις μεταξύ τους. Παράδειγμα: η ρίζα 3ου βαθμού \sqrt[3]{a^2}=\sqrt[3\cdot2]{a^{2\cdot2}}=\sqrt[6]{a^4} μετατρέπεται σε 6ου βαθμού.
* \sqrt[\nu]{\alpha\cdot\beta\cdot\gamma}=\sqrt[\nu]{\alpha}\cdot\sqrt[\nu]{\beta}\cdot
\sqrt[\nu]{\gamma}  ή αλλιώς  
\sqrt[\nu]{\alpha}\cdot\sqrt[\nu]{\beta}\cdot\sqrt[\nu]{\gamma}=
\sqrt[\nu]{\alpha\cdot\beta\cdot\gamma}. Σε τέτοιες πράξεις χρειάζεται οι ρίζες να μετατρέπονται σε ισόβαθμους ή και να απλοποιούνται οπότε χρησιμοποιούμε την ιδιότητα \sqrt[\nu]{a^\mu}=\sqrt[\nu\cdot\rho]{a^{\mu\cdot\rho}}.
* \frac{\sqrt[\nu]{\alpha}}{\sqrt[\nu]{\beta}}=
\sqrt[\nu]{\frac{\alpha}{\beta}}μοιάζει και χρησιμοποιείται όπως η 
\sqrt[\nu]{\alpha}\cdot\sqrt[\nu]{\beta}\cdot\sqrt[\nu]{\gamma}=
\sqrt[\nu]{\alpha\cdot\beta\cdot\gamma}.
* (\sqrt[\mu]{\alpha})^\nu=\sqrt[\mu]{\alpha^\nu}, δεν ισχύει πάντα (ή ισότητα δεν είναι πάντα *πλήρης*) όταν \alpha>0 και \mu και \nu άρτιοι. Παράδειγμα: δεν ισχύει πάντα η ισότητα (\sqrt{4})^2=
\sqrt{4^2}, διότι αν πάρουμε το πρώτο μέλος της έχουμε: (\sqrt{4})^2=(\pm2)^2=4, ενώ από το δεύτερο έχουμε:\sqrt{4^2}=\sqrt{16}=\pm4. Σε αυτή την περίπτωση λαμβάνουμε υπόψη μόνο τη θετική ρίζα.
*\sqrt[\nu]{\sqrt[\mu]{a}}=\sqrt[\nu\cdot\mu]{a}
*\sqrt[\nu]{\alpha^\mu}=\alpha^\tfrac{\mu}{\nu}

### Ρίζες άρτιας τάξης

#### Έχουμε 2 ρίζες
Εάν \nu άρτιος και \alpha>0, τότε \sqrt[\nu]{\alpha}=\pm\beta, δηλαδή έχει δύο ρίζες τον πραγματικό αριθμό \beta και τον αντίθετό του -\beta επειδή \beta^\nu=\alpha και (-\beta)^\nu=\alpha. Γιαυτό το λόγο, η ισότητα (\sqrt[\mu]{\alpha})^\nu=\sqrt[\mu]{\alpha^\nu}, δεν είναι πάντα πλήρης.

:: Παράδειγμα: η \sqrt[4]{16} έχει ρίζες τον αριθμό 2 και τον αντίθετό του -2, διότι 2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2=16 και (-2)^4=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=16
::Σε πρακτικές εφαρμογές δεν έχουν έννοια και οι δύο ρίζες, οπότε λαμβάνουμε υπόψη μας μία από τις δύο. Συνήθως την θετική που ονομάζεται *κύρια  <math>\nu</math>-οστή ρίζα* (principal root).

#### Έχουμε 0 ρίζες

Εάν \nu άρτιος και \alpha, τότε η \sqrt[\nu]{\alpha} δεν έχει ρίζα (δεν έχει έννοια), διότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός \beta, τέτοιος ώστε \beta^\nuνα έχει αποτέλεσμα το \alpha. Όπως στο προηγούμενο παράδειγμα 2^4=16> 0και (-2)^4=16>0, σε καμιά περίπτωση δεν έχουμε αποτέλεσμα -16 , ώστε η \sqrt[4]{-16} να έχει ρίζα. Η ρίζα αυτή δεν έχει έννοια στο σύνολο τον πραγματικών αριθμών και γιαυτό λέγεται *φανταστική παράσταση* και αντιμετωπίζεται με την χρήση των φανταστικών αριθμών. Είναι *σημαντικό* όταν χρησιμοποιούμε το σύνολο των πραγματικών αριθμών να *εξασφαλίζεται* το θετικό υπόρριζο.

### Ρίζες περιττής τάξης

#### Έχουμε 1 ρίζα
Κάθε πραγματικός αριθμός έχει μόνο μία ρίζα περιττής τάξης. Συγκεκριμένα:

*Εάν \nu περιττός και \alpha>0, τότε η \sqrt[\nu]{\alpha} έχει ρίζα ένα πραγματικό αριθμό. Παράδειγμα: η \sqrt[3]{8} έχει ρίζα τον αριθμό 2 διότι 2^3=2\cdot2\cdot2=8.
*Εάν \nu περιττός και \alpha, τότε η \sqrt[\nu]{\alpha} έχει ρίζα ένα πραγματικό αριθμό. Παράδειγμα: η \sqrt[3]{-8} έχει ρίζα τον αριθμό -2 διότι -2^3=-2\cdot-2\cdot-2=-8.
*Παραδόξως στα βιβλία των μαθηματικών της Β Βάθμιας εκπαίδευσης ο περιορισμός το α ΝΑ ΜΗΝ ΕΙΝΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟ ΥΠΑΡΧΕΙ και απαγορεύεται η χρήση αρνητικών υπορρίζων ακόμα κι αν ν περιττός

## Δείτε επίσης
* Ρίζα (μαθηματικά)
* Τετραγωνική ρίζα του 2
* Τετραγωνική ρίζα του 5

## Περαιτέρω ανάγνωση

### Ελληνικά άρθρα
* 
* 
* 
* 
* 
* 

### Ξενόγλωσσα άρθρα
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


## Βιβλιογραφία

* Τόγκας Πέτρος Γ. (Αθήνα 1959). «Άλγεβρα και Συμπλήρωμα άλγεβρας», έκδοση 26η, τόμος Α'.

Κατηγορία:Αριθμητική
Κατηγορία:Στοιχειώδης άλγεβρα
Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις
Κατηγορία:Μιγαδική ανάλυση