Βαθμωτός πολλαπλασιασμός

Στα μαθηματικά, ο **βαθμωτός πολλαπλασιασμός** είναι μια από τις βασικές πράξεις που ορίζουν έναν διανυσματικό χώρο στη γραμμική άλγεβρα (ή γενικότερα, μια ενότητα στην αφηρημένη άλγεβρα). Σε κοινά γεωμετρικά πλαίσια, ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός ενός πραγματικού ευκλείδειου διανύσματος με έναν θετικό πραγματικό αριθμό πολλαπλασιάζει το μέγεθος του διανύσματος χωρίς να αλλάζει η κατεύθυνσή του. Ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός είναι ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με ένα κλιμάκιο (όπου το γινόμενο είναι ένα διάνυσμα) και πρέπει να διακρίνεται από το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων (όπου το γινόμενο είναι ένας βαθμωτός).

## Ορισμός
Γενικά, αν το *K* είναι ένα πεδίο και το *V* είναι ένας διανυσματικός χώρος πάνω από το *K*, τότε ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός είναι μια συνάρτηση από το *K* &times; *V* στο *V*.
Το αποτέλεσμα της εφαρμογής αυτής της συνάρτησης στο *k* στο *K* και στο **v** στο *V* συμβολίζεται *k***v**.

### Ιδιότητες
Ο πολλαπλασιασμός βαθμωτών υπακούει στους ακόλουθους κανόνες *(διάνυσμα με έντονη γραφή)*:
* Προσθετικότητα στο  βαθμωτό: (*c* + *d*)**v** = *c***v** + *d***v**;
* Προσθετικότητα στο διάνυσμα: *c*(**v** + **w**) = *c***v** + *c***w**;
* Συμβατότητα του γινομένου βαθμωτών με τον πολλαπλασιασμό βαθμωτών: (*cd*)**v** = *c*(*d***v**);
* Ο πολλαπλασιασμός με το 1 δεν αλλάζει ένα διάνυσμα: 1**v** = **v**;
* Ο πολλαπλασιασμός με το 0 δίνει το μηδενικό διάνυσμα: 0**v** = **0**;
* Ο πολλαπλασιασμός με -1 δίνει το προσθετικό αντίστροφο: (−1)**v** = −**v**.

Εδώ, το + είναι η πρόσθεση είτε στο πεδίο είτε στο διανυσματικό χώρο, ανάλογα με την περίπτωση- και το 0 είναι η προσθετική ταυτότητα σε κάθε περίπτωση.
Η παράθεση δηλώνει είτε τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό είτε την πράξη πολλαπλασιασμού στο πεδίο.

## Ερμηνεία

Ο χώρος των διανυσμάτων μπορεί να θεωρηθεί χώρος συντεταγμένων όπου τα στοιχεία συνδέονται με έναν κατάλογο στοιχείων από το *Κ*. Οι μονάδες του πεδίου σχηματίζουν μια ομάδα *K* ×  και ο πολλαπλασιασμός βαθμωτών διανυσμάτων είναι μια ομάδα δράσης στο χώρο συντεταγμένων από το Κ ×. Το μηδέν του πεδίου ενεργεί στο χώρο συντεταγμένων για να τον καταρρίψει στο μηδενικό διάνυσμα.

Όταν το Κ είναι το πεδίο των πραγματικών αριθμών, υπάρχει μια γεωμετρική ερμηνεία του πολλαπλασιασμού των βαθμωτών: τεντώνει ή συστέλλει τα διανύσματα κατά ένα σταθερό παράγοντα. Ως αποτέλεσμα, παράγει ένα διάνυσμα με την ίδια ή αντίθετη κατεύθυνση από το αρχικό διάνυσμα αλλά με διαφορετικό μήκος.

Ως ειδική περίπτωση, το *V* μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι το ίδιο το *K* και ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός μπορεί τότε να θεωρηθεί ότι είναι απλώς ο πολλαπλασιασμός στο πεδίο.

Όταν το *V* είναι *K**n*, ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός είναι ισοδύναμος με τον πολλαπλασιασμό κάθε συνιστώσας με το βαθμωτό και μπορεί να οριστεί ως τέτοιος.

Η ίδια ιδέα ισχύει αν το *K* είναι αντιμεταθετικός δακτύλιος και το *V* είναι ένα module πάνω στο *K*. Το *K* μπορεί ακόμη και να είναι rig, αλλά τότε δεν υπάρχει προσθετικό αντίστροφο. Αν ο *K* δεν είναι αντιμεταθετικός, μπορούν να οριστούν οι διακριτές πράξεις αριστερός βαθμωτός πολλαπλασιασμός * *c***v''' και δεξιός βαθμωτός πολλαπλασιασμός '''v***c*.

==Bαθμωτός πολλαπλασιασμός πινάκων==
Κύριο άρθρο: [[Πίνακας (μαθηματικά)]]

Ο *'αριστερός Bαθμωτός πολλαπλασιασμός*' ενός πίνακα  με ένα βαθμωτό  δίνει έναν άλλο πίνακα του ίδιου μεγέθους με τον . Συμβολίζεται με , του οποίου οι καταχωρήσεις του   ορίζονται ως εξής 

:<math> (\lambda \mathbf{A})_{ij} = \lambda\left(\mathbf{A}\right)_{ij}\,,</math>

ρητά:

:<math> \lambda \mathbf{A} = \lambda \begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1m} \\
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nm} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\lambda A_{11} & \lambda A_{12} & \cdots & \lambda A_{1m} \\
\lambda A_{21} & \lambda A_{22} & \cdots & \lambda A_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\lambda A_{n1} & \lambda A_{n2} & \cdots & \lambda A_{nm} \\
\end{pmatrix}\,.</math>

Ομοίως, παρόλο που δεν υπάρχει ένας ευρέως αποδεκτός ορισμός, ο *δεξιός βαθμωτός πολλαπλασιασμός* ενός πίνακα  με ένα βαθμωτό  θα μπορούσε να οριστεί ως εξής

:<math> (\mathbf{A}\lambda)_{ij} = \left(\mathbf{A}\right)_{ij} \lambda\,, </math>

ρητά:

:<math> \mathbf{A}\lambda = \begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1m} \\
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nm} \\
\end{pmatrix}\lambda = \begin{pmatrix}
A_{11} \lambda & A_{12} \lambda & \cdots & A_{1m} \lambda \\
 A_{21} \lambda & A_{22} \lambda & \cdots & A_{2m} \lambda \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{n1} \lambda & A_{n2} \lambda & \cdots & A_{nm} \lambda \\
\end{pmatrix}\,.</math>

Όταν οι καταχωρήσεις του πίνακα και τα βαθμωτά είναι από το ίδιο αντιμεταθετικό πεδίο, παραδείγματος χάριν, το πεδίο των πραγματικών αριθμών ή το πεδίο των μιγαδικών αριθμών, αυτοί οι δύο πολλαπλασιασμοί είναι οι ίδιοι και μπορούν απλά να ονομάζονται *πολλαπλασιασμός βαθμωτών*. Για πίνακες πάνω σε ένα γενικότερο πεδίο που δεν είναι *μη'' αντιμεταθετικό, μπορεί να μην είναι ίσοι.

Για ένα πραγματικό βαθμωτό και πίνακα:

: \lambda = 2, \quad \mathbf{A} =\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix} 

: 2 \mathbf{A} = 2 \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 \!\cdot\! a & 2 \!\cdot\! b \\
2 \!\cdot\! c & 2 \!\cdot\! d \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a \!\cdot\! 2 & b \!\cdot\! 2 \\
c \!\cdot\! 2 & d \!\cdot\! 2 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}2= \mathbf{A}2.

Για βαθμωτά τετραγωνικά και πίνακες:

: \lambda = i, \quad \mathbf{A} = \begin{pmatrix}
    i & 0 \\
    0 & j \\
  \end{pmatrix} 

:
  i\begin{pmatrix}
    i & 0 \\
    0 & j \\
  \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
    i^2 & 0 \\
    0 & ij \\
  \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
    -1 & 0 \\
     0 & k \\
  \end{pmatrix}
\ne \begin{pmatrix}
    -1 & 0 \\
    0 & -k \\
  \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
    i^2 & 0 \\
    0 & ji \\
  \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
    i & 0 \\
    0 & j \\
  \end{pmatrix}i\,,


όπου  είναι οι τετραγωνικές μονάδες. Η μη αντιμεταθετικότητα του πολλαπλασιασμού των τετραδίων εμποδίζει τη μετάβαση της αλλαγής  σε .

## Δείτε επίσης

* Field Arithmetic
* Πραγματικό προβολικό επίπεδο
* Εσωτερικό γινόμενο 
* Μιγαδικός αριθμός
* Πίνακας (μαθηματικά)
* Τετραγωνικός πίνακας
* Αντιστρέψιμος πίνακας
* Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Matrix Analysis
* The Concise Oxford Dictionary of Mathematics
* Mathematical Analysis: A Concise Introduction
* A Modern Introduction to Linear Algebra
* Solutions to Abstract Algebra

## Δημοσιεύσεις

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


 

Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα 
Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα 
Κατηγορία:Διανύσματα 
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων 
Κατηγορία:Δυαδικές πράξεις