Τάξη ισομορφισμού

Στο μαθηματικό τομέα της θεωρίας διατάξης, η **τάξη ισομορφισμού** είναι ένα ειδικό είδος μονότονης συνάρτησης που αποτελεί μια κατάλληλη έννοια ισομορφισμού για μερικώς διατεταγμένα σύνολα (posets). Όποτε δύο σύνολα που είναι ισομορφικά, μπορούν να θεωρηθούν "ουσιαστικά ίδια" με την έννοια ότι οποιαδήποτε από τις δύο τάξεις μπορεί να προκύψει από την άλλη απλά με τη μετονομασία στοιχείων. Δύο αυστηρά ασθενέστερες έννοιες που σχετίζονται με τις τάξεις ισομορφισμού είναι οι ενσωματώσεις τάξεων και οι συνδέσεις Γκαλουά.

Η ιδέα του ισομορφισμού μπορεί να γίνει κατανοητή για πεπερασμένες τάξεις από την άποψη των διαγραμμάτων Χάσε. Δύο πεπερασμένες τάξεις είναι ισόμορφες ακριβώς όταν ένα ενιαίο διάγραμμα Χάσε (μέχρι την επανασημασιοδότηση των στοιχείων του) τις εκφράζει και τις δύο, με άλλα λόγια όταν κάθε διάγραμμα Χάσε μιας από τις δύο μπορεί να μετατραπεί σε διάγραμμα Χάσε της άλλης με απλή επανασημασιοδότηση των κορυφών.

## Ορισμός

Τυπικά, με δεδομένα δύο σύνολα (S,\le_S) και (T,\le_T), μία **τάξη ισομορφισμού** από το  (S,\le_S) στο (T,\le_T) είναι μια αμφιρριπτική συνάρτηση f από το S στο T με την ιδιότητα ότι, για κάθε x και y στο S, x \le_S y  αν και μόνο αν f(x)\le_T f(y). Δηλαδή, πρόκειται για μια αμφιρριπτική ταξη εμβύθισης (order-embedding).

Είναι επίσης δυνατό να ορίσουμε μια τάξη ισομορφισμού ως μια επιφανειακή ενσωμάτωση τάξης. Οι δύο υποθέσεις ότι η f καλύπτει όλα τα στοιχεία του T αι ότι διατηρεί τις τάξεις, αρκούν για να εξασφαλίσουν ότι η f είναι επίσης ένα προς ένα, διότι αν f(x)=f(y) τότε (με την υπόθεση ότι η f διατηρεί την τάξη) θα προέκυπτε ότι x\le y και y\le x, πράγμα που συνεπάγεται από τον ορισμό μιας μερικής τάξης ότι x=y.

Ακόμη μια άλλη χαρακτηριστική της τάξης των ισομορφισμών είναι ότι είναι ακριβώς οι μονότονες αμφίρριψεις που έχουν μονότονο αντίστροφο.

Η τάξη ισομορφισμού από ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο προς τον εαυτό του καλείται ** τάξη αυτομορφισμού** 

Όταν μια πρόσθετη αλγεβρική δομή επιβάλλεται στα σύνολα (S,\le_S) and (T,\le_T), μια συνάρτηση από την  (S,\le_S) στην (T,\le_T)  πρέπει να ικανοποιεί πρόσθετες ιδιότητες για να θεωρηθεί ισομορφισμός. Παραδείγματος χάριν, δεδομένων δύο μερικώς διατεταγμένων ομάδων (po-groups) (G, \le_G) και (H, \le_H), ένας **ισομορφισμός των po-groups** από την (G,\leq_G) προς (H,\le_H) είναι μια τάξη ισομορφισμού που είναι επίσης ένας ισομορφισμός ομάδων, και όχι απλώς μια αμφίρριψη που είναι μια ενσωμάτωση τάξης.

## Παραδείγματα

* Η ταυτοτική συνάρτηση σε οποιοδήποτε μερικώς διατεταγμένο σύνολο είναι πάντα μια **τάξη αυτομορφισμού**.
* Η άρνηση αποτελεί τάξη ισομορφισμού από το (\mathbb{R},\leq) στο (\mathbb{R},\geq) (όπου \mathbb{R}  είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών και \le συμβολίζει τη συνήθη αριθμητική σύγκριση), αφού −*x* ≥ −*y* αν και μόνο αν *x* ≤ *y*.
* Το ανοικτό διάστημα (0,1) (και πάλι, ταξινομημένο αριθμητικά) δεν έχει **τάξη ισομορφισμού** προς ή από το κλειστό διάστημα [0,1]: το κλειστό διάστημα έχει ένα ελάχιστο στοιχείο, αλλά το ανοικτό διάστημα όχι, και οι τάξεις ισομορφισμού πρέπει να διατηρούν την ύπαρξη ελάχιστων στοιχείων.
*Σύμφωνα με το θεώρημα ισομορφισμού του Κάντορ, κάθε απεριόριστη μετρήσιμη πυκνή γραμμική τάξη είναι ισομορφική με την τάξη των ρητών αριθμών.  Ξεκάθαρη **τάξη ισομορφισμού** μεταξύ των τετραγωνικών αλγεβρικών αριθμών, των ρητών αριθμών και των δυαδικών ρητών αριθμών παρέχονται από την ερωτηματική συνάρτηση του Μινκόφσκι.

## Τύποι τάξεων

Αν η f είναι **τάξη ισομορφισμού**, τότε το ίδιο ισχύει και για την αντίστροφη συνάρτησή της. Επίσης, αν f είναι τάξη ισομορφισμού από (S,\le_S) προς (T,\le_T) και g είναι τάξη ισομορφισμού από (T,\le_T) προς (U,\le_U), τότε η συναρτησιακή σύνθεση των f και gείναι η ίδια μια τάξη ισομορφισμού, από (S,\le_S) προς (U,\le_U).

Δύο μερικώς διατεταγμένα σύνολα λέγεται ότι είναι ισομορφικά όταν υπάρχει τάξη ισομορφισμού από το ένα στο άλλο. Οι ταυτότικές συναρτήσεις, οι αντίστροφες συναρτήσεις και οι συνθέσεις συναρτήσεων αντιστοιχούν, αντίστοιχα, στα τρία καθοριστικά χαρακτηριστικά μιας σχέσης ισοδυναμίας: ανακλαστικότητα, συμμετρία και μεταβατικότητα. Επομένως, η **τάξη ισομορφισμού** είναι μια σχέση ισοδυναμίας. Η κλάση των μερικώς διατεταγμένων συνόλων μπορεί να διαμεριστεί από αυτήν σε κλάσεις ισοδυναμίας, οικογένειες μερικώς διατεταγμένων συνόλων που είναι όλες ισομορφικές μεταξύ τους. Αυτές οι κλάσεις ισοδυναμίας ονομάζονται τύποι τάξης.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Αβελιανή ομάδα

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*.
*.
*.
*.
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Μορφισμοί
Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα