Διγινόμενο

Στην θεωρία κατηγοριών και τις εφαρμογές της στα μαθηματικά, ένα **διγινόμενο** μιας πεπερασμένης συλλογής αντικειμένων, σε μια κατηγορία με μηδέν αντικείμενα, είναι ταυτόχρονα ένα γινόμενο και ένα συνγινόμενο. Σε μια προαθροιστική κατηγορία, οι έννοιες του γινομένου και του συνγινομένου συμπίπτουν για πεπερασμένες συλλογές αντικειμένων. Το **διγινόμενο** είναι μια γενίκευση των πεπερασμένων άμεσων αθροισμάτων των προτύπων.

## Ορισμός

Έστω **C** μια κατηγορία με μηδενικούς μορφισμούς. Δεδομένης μιας πεπερασμένης (ενδεχομένως κενής) συλλογής αντικειμένων *A*1, ..., *A**n* στο **C**,  το *διγινόμενο* τους είναι ένα αντικείμενο A_1 \oplus \dots \oplus A_n στο **C** μαζί με μορφισμούς 

*p_k \!: A_1 \oplus \dots \oplus A_n \to A_k στο **C** (οι μορφισμοί προβολής)
*i_k \!: A_k \to A_1 \oplus \dots \oplus A_n (οι μορφισμοί εμφύτευσης)
που ικανοποιούν
*p_k \circ i_k = 1_{A_k}, ο ταυτοτικός μορφισμός του  A_k, και
*p_l \circ i_k = 0, ο μηδενικός μορφισμός A_k \to A_l, for k \neq l,
και έτσι ώστε
*\left( A_1 \oplus \dots \oplus A_n, p_k \right) είναι ένα γινόμενο για το A_k, και
*\left( A_1 \oplus \dots \oplus A_n, i_k \right)είναι ένα συνγινόμενο για το A_k.

Εάν **C** είναι προ-προσθετικό και ισχύουν οι δύο πρώτες συνθήκες, τότε καθεμία από τις δύο τελευταίες συνθήκες είναι ισοδύναμη με i_1 \circ p_1 + \dots + i_n\circ p_n  = 1_{A_1 \oplus \dots \oplus A_n} όταν *n* > 0. Ένα κενό ή μηδενικό γινόμενο είναι πάντα ένα τελικό αντικείμενο στην κατηγορία, και το κενό συνγινόμενο είναι πάντα ένα αρχικό αντικείμενο στην κατηγορία. Έτσι, ένα κενό ή μηδενικό διγινόμενο είναι πάντα ένα μηδενικό αντικείμενο.

## Παραδείγματα

Στην κατηγορία των αβελιανών ομάδων, τα **διγινόμενα** υπάρχουν πάντα και δίνονται από το άμεσο άθροισμα. Το μηδενικό αντικείμενο είναι η τετριμμένη ομάδα.

Ομοίως, τα διγινόμενα υπάρχουν στην κατηγορία των διανυσματικών χώρων πάνω σε ένα σώμα. Το διγινόμενο είναι και πάλι η άμεση άθροιση, και το μηδενικό αντικείμενο είναι ο ασήμαντος διανυσματικός χώρος.

Γενικότερα, τα **διγινόμενα** υπάρχουν στην κατηγορία των προτύπων πάνω σε ένα δακτύλιο.

Από την άλλη πλευρά, τα **διγινόμενα** δεν υπάρχουν στην κατηγορία των ομάδων. Εδώ, το γινόμενο είναι το άμεσο γινόμενο, αλλά το συνγινόμενο είναι το ελεύθερο γινόμενο.

Επίσης, τα διγινόμενα δεν υπάρχουν στην κατηγορία των συνόλων. Διότι, το γινόμενο δίνεται από το καρτεσιανό γινόμενο, ενώ το συνγινόμενο δίνεται από την ξένη ή ασύνδετη ένωση. Αυτή η κατηγορία δεν έχει μηδενικό αντικείμενο.

Η άλγεβρα των σύνθετων πινάκων βασίζεται σε **διγινόμενα** στις κατηγορίες των πινάκων.

## Ιδιότητες

Εάν το διγινόμενο A \oplus B υπάρχει για όλα τα ζεύγη αντικειμένων *A* και *B* στην κατηγορία **C**, και η **C** έχει ένα μηδενικό αντικείμενο, τότε όλα τα πεπερασμένα διγινόμενα υπάρχουν, καθιστώντας την **C** τόσο μια καρτεσιανή μονοειδή κατηγορία όσο και μια συν-καρτεσιανή μονοειδή κατηγορία.

Εάν το γινόμενο A_1 \times A_2  και το συγινόμενο   A_1 \coprod A_2 υπάρχουν και τα δύο για κάποιο ζεύγος αντικειμένων  *A*1, *A*2, τότε υπάρχει ένας μοναδικός μορφισμός f: A_1 \coprod A_2 \to A_1 \times A_2 έτσι ώστε

*p_k \circ f \circ i_k = 1_{A_k},\ (k = 1, 2)
*p_l \circ f \circ i_k = 0  for k \neq l.

Από αυτό προκύπτει ότι το **διγινόμενο** A_1 \oplus A_2 υπάρχει αν και μόνο αν η *f*  είναι ισομορφισμός.

Εάν η **C** είναι μια προ-προσθετική κατηγορία, τότε κάθε πεπερασμένο διγινόμενο είναι ένα **διγινόμενο** και κάθε πεπερασμένο συνγινόμενο είναι ένα διγινόμενο. Παραδείγματος χάριν, αν A_1 \times A_2 υπάρχει, τότε υπάρχουν μοναδικοί μορφισμοί i_k: A_k \to A_1 \times A_2 έτσι ώστε

*p_k \circ i_k = 1_{A_k},\ (k = 1, 2)
*p_l \circ i_k = 0  for k \neq l.

Για να δούμε ότι A_1 \times A_2 είναι τώρα επίσης ένα συνγινόμενο και, ως εκ τούτου, ένα διγινόμενο, ας υποθέσουμε ότι έχουμε μορφισμούς  f_k: A_k \to X,\ k=1,2 για κάποιο αντικείμενο X. Ορίζουμε f := f_1 \circ p_1 + f_2 \circ p_2. Τότε το f  είναι ένας μορφισμός από το A_1 \times A_2 to X, και f \circ i_k = f_k for k = 1, 2.

Σε αυτή την περίπτωση έχουμε πάντα
*i_1 \circ p_1 + i_2 \circ p_2 = 1_{A_1 \times A_2}.

Μια πρόσθετη κατηγορία είναι μια προ-προσθετική κατηγορία στην οποία υπάρχουν όλα τα πεπερασμένα **διγινόμενα**. Συγκεκριμένα, τα **διγινόμενα** υπάρχουν πάντα στις αβελιανές κατηγορίες.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


*
*
* 
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
*
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα