Εικόνα (θεωρία κατηγοριών)

Στη θεωρία κατηγοριών, έναν κλάδο των μαθηματικών, η **εικόνα** ενός μορφισμού είναι μια γενίκευση της εικόνας μιας συνάρτησης.

## Γενικός ορισμός

Έστω μια κατηγορία  C και ένας μορφισμός f\colon X\to Y στην  C , η **εικόνα**
του  f είναι ένας μονομορφισμός m\colon I\to Y που ικανοποιεί την ακόλουθη καθολική ιδιότητα:
#Υπάρχει ένας μορφισμός e\colon X\to I τέτοιος ώστε f = m\, e.
#Για κάθε αντικείμενο  I'  με έναν μορφισμό e'\colon X\to I' και έναν μονομορφισμό m'\colon I'\to Y τέτοιο ώστε f = m'\, e', υπάρχει ένας μοναδικός μορφισμός v\colon I\to I' τέτοιος ώστε m = m'\, v.

**Παρατηρήσεις:**
# μια τέτοια παραγοντοποίηση δεν υπάρχει απαραίτητα.
# Το  e είναι μοναδικό από τον ορισμό του  m μονικού.
# Το  e είναι μοναδικό από τον ορισμό του  m μονικού.
#  v είναι μονικό.
# m = m'\, v συνεπάγεται ήδη ότι  v είναι μοναδικό.

    

Η εικόνα   f συμβολίζεται συχνά με \text{Im} f ή \text{Im} (f).

**Πρόταση:** Αν   C έχει όλους τους εξισωτές τότε το  e στην παραγοντοποίηση  f= m\, e της (1) είναι ένας επιμορφισμός.

**Μαθηματική απόδειξη**

Έστω  \alpha,\, \beta τέτοιο ώστε  \alpha\, e =\beta\, e, πρέπει να δείξουμε ότι  \alpha=\beta. Εφόσον ο εξισωτής του  (\alpha, \beta) υπάρχει, το  e παραγοντοποιείται ως  e= q\, e' με  q μονικό. Αλλά τότε η  f= (m\, q)\, e' είναι παραγοντοποίηση της  f με  (m\, q) μονομορφισμό. Επομένως, από την καθολική ιδιότητα της εικόνας υπάρχει ένα μοναδικό βέλος  v: I \to Eq_{\alpha,\beta} τέτοιο ώστε  m = m\,q\, v και αφού  m είναι μονικό  \text{id}_I = q\, v. Επιπλέον, έχουμε  m\, q = (m q v)\,q  και από την ιδιότητα μονομορφισμού του  mq προκύπτει  \text{id}_{Eq_{\alpha,\beta}}= v\, q.

Αυτό σημαίνει ότι  I \equiv Equ_{\alpha,\beta} και συνεπώς ότι  \text{id}_I = q\, v εξισώνει  (\alpha, \beta), οπότε  \alpha = \beta.

## Δεύτερος ορισμός

Σε μια κατηγορία  C με όλα τα πεπερασμένα όρια και συν-όρια (colimits), η **εικόνα** ορίζεται ως ο εξισωτής (Im,m) του λεγόμενου **ζεύγους συμπυρήνων**  (Y \sqcup_X Y, i_1, i_2), το οποίο είναι συνκαρτεσιανό(cocartesian) ενός μορφισμού με τον εαυτό του πάνω στο πεδίο ορισμού του, που θα προκύψει από ένα ζεύγος μορφισμών i_1,i_2: Y\to Y\sqcup_X Y, επί των οποίων λαμβάνεται ο εξισωτής, i. δηλ. το πρώτο από τα παρακάτω διαγράμματα είναι συνκαρτεσιανό, ενώ το δεύτερο εξισορροπιστή.

**Παρατηρήσεις:**
# Η πεπερασμένη διπληρότητα της κατηγορίας εξασφαλίζει ότι υπάρχουν pushouts και εξισωτές.
# Το (Im,m) μπορεί να ονομαστεί **κανονική εικόνα** καθώς το m είναι ένας κανονικός μονομορφισμός, δηλαδή ο εξισωτής ενός ζεύγους μορφισμών. (Υπενθυμίζουμε επίσης ότι ένας εξισωτής είναι αυτόματα ένας μονομορφισμός).
# Σε μια αβελιανή κατηγορία, η ιδιότητα του ζεύγους συμπυρήνων μπορεί να γραφεί i_1\, f = i_2\, f\ \Leftrightarrow\ (i_1 - i_2)\, f = 0 = 0\, f  και η συνθήκη εξισωτή  i_1\, m = i_2\, m\ \Leftrightarrow\ (i_1 - i_2)\, m = 0 \, m. Επιπλέον, όλοι οι μονομορφισμοί είναι κανονικοί.

 ** θεώρημα**
 Αν η f παραγοντοποιείται πάντα μέσω κανονικών μονομορφισμών, τότε οι δύο ορισμοί συμπίπτουν.

**Απόδειξη**

**Ο πρώτος ορισμός συνεπάγεται τον δεύτερο:**  Έστω ότι ισχύει η *(1)* με m κανονικό μονομορφισμό.
   
* **Εξισορρόπηση:** πρέπει να δείξουμε ότι  i_1\, m= i_2\, m . Ως το ζεύγος συμπυρήνων του f,\ i_1\, f= i_2\, f και από την προηγούμενη πρόταση, αφού το C έχει όλους τους εξισωτές, το βέλος  e  στην παραγοντοποίηση  f= m\, e είναι επιμορφισμός, άρα  i_1\, f= i_2\, f\ \Rightarrow \ i_1\, m= i_2\, m.
* **Καθολικότητα****:** σε μια κατηγορία με όλα τα συν-όρια (colimits) (ή τουλάχιστον όλα τα "pushouts" (ώθηση προς τα έξω)) m η ίδια δέχεται ένα ζεύγος συμπυρήνων  (Y \sqcup_{I}Y, c_1, c_2) 

:Επιπλέον, ως κανονικός μονομορφισμός, ο (I,m) είναι ο εξισωτής ενός ζεύγους μορφισμών  b_1, b_2: Y \longrightarrow B αλλά ισχυριζόμαστε εδώ ότι είναι επίσης ο εξισωτής του  c_1, c_2: Y \longrightarrow Y \sqcup_{I}Y.
:Πράγματι, από την κατασκευή  b_1\, m = b_2\, m έτσι το διάγραμμα «ζεύγος πυρήνων» για  m δίνει ένα μοναδικό μορφισμό  u': Y \sqcup_{I}Y \longrightarrow B  τέτοιος ώστε  b_1 = u'\, c_1,\ b_2 = u'\, c_2. Τώρα, μια απεικόνιση  m': I'\longrightarrow Y που εξισώνει το  (c_1, c_2) ικανοποιεί επίσης το  b_1\, m'= u'\, c_1 \, m'= u'\, c_2\, m'= b_2\, m', άρα από το διάγραμμα εξισωτή για το  (b_1, b_2), υπάρχει μια μοναδική απεικόνιση  h': I'\to I  ώστε να ισχύει  m'= m\, h'.
:Τέλος, χρησιμοποιούμε το διάγραμμα ζεύγους πυρήνων (του f) με j_1 := c_1,\ j_2 := c_2,\ Z:= Y\sqcup_I Y : υπάρχει ένα μοναδικό  u: Y \sqcup_{X}Y \longrightarrow Y\sqcup_I Y  τέτοιο ώστε  c_1 = u\, i_1,\ c_2 = u\, i_2. Επομένως, οποιαδήποτε απεικόνιση g η οποία εξισώνει την  (i_1, i_2) εξισώνει επίσης την  (c_1, c_2) και συνεπώς παραγοντοποιείται μοναδικά ως g= m\, h' . Αυτό σημαίνει ακριβώς ότι το  (I,m)  είναι ο εξισωτής του  (i_1, i_2).

**Ο δεύτερος ορισμός συνεπάγεται τον πρώτο:**
    
* **Παραγοντοποίηση:** λαμβάνοντας  m' := f στο διάγραμμα εξισωτή (το  m'  αντιστοιχεί στο  g ), προκύπτει η παραγοντοποίηση  f = m\, h .
* **Καθολικότητα:** έστω  f = m'\, e'  μια παραγοντοποίηση με m'  κανονικό μονομορφισμό, δηλαδή ο εξισωτής κάποιου ζεύγους  (d_1, d_2) .

:Τότε  d_1\, m'= d_2\, m'\ \Rightarrow \ d_1\, f=d_1\, m'\, e= d_2\, m'\, e= d_2\, f οπότε από το διάγραμμα "ζεύγος συμπυρήνων" (του f), με j_1 := d_1,\ j_2 := d_2,\ Z:= D, υπάρχει ένα μοναδικό  u*: Y \sqcup_{X}Y \longrightarrow D </math> τέτοιο ώστε <math> d_1 = u*\, i_1,\ d_2 = u*\, i_2</math>.
:Επομένως, από <math> i_1\, m= i_2\, m</math> (*m* από τον εξισωτή του διαγράμματος (*i1, i2*),  προκύπτει <math> d_1\, m= u*\, i_1\, m = u*\, i_2\, m = d_2\, m</math>, άρα από την καθολικότητα στο (εξισωτής του διαγράμματος (*d1, d2*) με την αντικατάσταση του *f* από το *m*), υπάρχει ένα μοναδικό <math> v: Im \longrightarrow I'</math> έτσι ώστε <math> m = m'\, v</math>.

== Παραδείγματα ==

Στην [[Σύνολο|κατηγορία των συνόλων]] η εικόνα ενός μορφισμού <math>f\colon X \to Y</math> είναι ο εγκλεισμός από τη συνηθισμένη εικόνα <math>\{f(x) ~|~ x \in X\}</math> στο <math>Y</math>. Σε πολλές συγκεκριμένες κατηγορίες, όπως ομάδες, [[Αβελιανή ομάδα|αβελιανές ομάδες]] και (αριστερά ή δεξιά) [[Πρότυπο (άλγεβρα)|πρότυπα]], η εικόνα ενός [[Μορφισμός|μορφισμού]] είναι η εικόνα του αντίστοιχου μορφισμού στην κατηγορία των συνόλων.

Σε οποιαδήποτε κανονική κατηγορία με μηδενικό αντικείμενο και [[Πυρήνας (θεωρία κατηγοριών)|πυρήνες]] και συμπυρήνες για κάθε [[Μορφισμός|μορφισμό]], η εικόνα ενός μορφισμού <math>f</math> μπορεί να εκφραστεί ως εξής:

:im *f* = ker coker *f*

Σε μια αβελιανή κατηγορία (η οποία είναι ειδικότερα δικανονική), αν το *f*  είναι [[μονομορφισμός]] τότε *f*  = ker coker *f* , και έτσι *f* = im *f*.

== Ουσιώδης εικόνα ==

Μια συναφής έννοια με την εικόνα είναι η *ουσιώδης εικόνα*.*

Μια υποκατηγορία C \subset B μιας (αυστηρής) κατηγορίας λέγεται **πλήρης** αν για κάθε x \in C, και για κάθε ισομορφισμό \iota: x \to y, τόσο η \iota  όσο και η y ανήκουν στην C.

Δεδομένου ενός τελεστή F \colon A \to B μεταξύ κατηγοριών, η μικρότερη πλήρης υποκατηγορία της n-κατηγορίας-στόχου B που περιέχει την εικόνα της A υπό F.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Αβελιανή ομάδα

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


* Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E. (1990). ''Abstract and Concrete Categories''. Originally published by John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free on-line edition)
* Robert Goldblatt (1984). *Topoi, the Categorial Analysis of Logic* (Studies in logic and the foundations of mathematics, 98). North-Holland. Reprinted 2006 by Dover Publications.
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research

*
* Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία
Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα