Θεώρημα Σεβαλέ-Γουόρνινγκ

Στη θεωρία αριθμών, το **Θεώρημα Σεβαλέ-Γουόρνινγκ** υποδηλώνει ότι ορισμένες πολυωνυμικές εξισώσεις σε επαρκώς πολλές μεταβλητές πάνω σε ένα πεπερασμένο σώμα έχουν λύσεις. Αποδείχθηκε από τον Έβαλντ Γουόρνινγκ (1935) και μια ελαφρώς ασθενέστερη μορφή του θεωρήματος, γνωστή ως θεώρημα Σεβαλέ, αποδείχθηκε από τον Σεβαλέ (1935). Το θεώρημα του Σεβαλέ συνεπάγεται την εικασία των Αρτίν και Ντίκσον ότι τα πεπερασμένα σώματα είναι οιονεί αλγεβρικά κλειστά σώματα ( Αρτίν 1982, ).

## Δήλωση των θεωρημάτων

Έστω \mathbb{F} ένα πεπερασμένο σώμα και \{f_j\}_{j=1}^r\subseteq\mathbb{F}[X_1,\ldots,X_n] ένα σύνολο πολυωνύμων έτσι ώστε ο αριθμός των μεταβλητών να ικανοποιεί

:n>\sum_{j=1}^r d_j

όπου d_j είναι ο ολικός βαθμός του f_j. Τα θεωρήματα είναι δηλώσεις σχετικά με τις λύσεις του ακόλουθου συστήματος πολυωνυμικών εξισώσεων

:f_j(x_1,\dots,x_n)=0\quad\text{for}\, j=1,\ldots, r.

* Το *Θεώρημα Σεβαλέ-Γουόρνινγκ* δηλώνει ότι ο αριθμός των κοινών λύσεων (a_1,\dots,a_n) \in \mathbb{F}^n διαιρείται με το χαρακτηριστικό p του \mathbb{F}. Ή με άλλα λόγια, η πληθικότητα του συνόλου που χάνεται του \{f_j\}_{j=1}^r είναι 0 modulo p.
* Το *θεώρημα Σεβαλέ*' *δηλώνει ότι αν το σύστημα έχει την τετριμμένη λύση <math>(0,\dots,0) \in \mathbb{F}^n</math>, δηλαδή, αν τα πολυώνυμα δεν έχουν σταθερούς όρους, τότε το σύστημα έχει επίσης μια μη τετριμμένη λύση <math>(a_1,\dots,a_n) \in \mathbb{F}^n \backslash \{(0,\dots,0)\}</math>.*

Το θεώρημα Σεβαλέ είναι άμεση συνέπεια του θεωρήματος Σεβαλέ-Γουόρνινγκ, αφού το p είναι τουλάχιστον 2.

Και τα δύο θεωρήματα είναι τα καλύτερα δυνατά με την έννοια ότι, δεδομένου οποιουδήποτε n, η λίστα f_j = x_j, j=1,\dots,n έχει ολικό βαθμό n και μόνο την τετριμμένη λύση. Εναλλακτικά, χρησιμοποιώντας μόνο ένα πολυώνυμο, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το *f*1 είναι το πολυώνυμο βαθμού *n* που δίνεται από τη νόρμα του *x*1*a*1 + ... + *x**n**a**n* όπου τα στοιχεία *a* αποτελούν βάση του πεπερασμένου σώματος τάξης  *p**n*.

Ο Γουόρνινγκ απέδειξε ένα άλλο θεώρημα, γνωστό ως δεύτερο θεώρημα του Γουόρνινγκ, το οποίο δηλώνει ότι αν το σύστημα πολυωνυμικών εξισώσεων έχει την τετριμμένη λύση, τότε έχει τουλάχιστον q^{n-d} λύσεις όπου q είναι το μέγεθος του πεπερασμένου σώματος και d := d_1 + \dots + d_r. Το θεώρημα του Σεβαλέ προκύπτει επίσης άμεσα από αυτό.

## Απόδειξη του θεωρήματος του Γουόρνινγκ

*Παρατήρηση:* Εάν i τότε 
:\sum_{x\in\mathbb{F}}x^i=0
οπότε το άθροισμα πάνω από το \mathbb{F}^n οποιουδήποτε πολυωνύμου στο x_1,\ldots,x_n βαθμού μικρότερου από n(q-1) επίσης μηδενίζεται .

Ο ολικός αριθμός των κοινών λύσεων modulo p των f_1, \ldots, f_r = 0 είναι ίσος με
:\sum_{x\in\mathbb{F}^n}(1-f_1^{q-1}(x))\cdot\ldots\cdot(1-f_r^{q-1}(x)) 
επειδή κάθε όρος είναι 1 για μια λύση και 0 σε αντίθετη περίπτωση.
Αν το άθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων f_i είναι μικρότερο από *n* τότε αυτό μηδενίζεται σύμφωνα με την παραπάνω παρατήρηση.

## Η εικασία του Αρτίν

Είναι συνέπεια του θεωρήματος του Σεβαλέ ότι τα πεπερασμένα σώματα είναι οιονεί αλγεβρικά κλειστά. Αυτό το είχε εικάσει ο Εμίλ Άρτιν το 1935. Το κίνητρο πίσω από την εικασία του Αρτίν ήταν η παρατήρησή του ότι τα οιονεί αλγεβρικά κλειστά σώματα έχουν τετριμμένη ομάδα Μπράουερ, σε συνδυασμό με το γεγονός ότι τα πεπερασμένα σώματα έχουν τετριμμένη ομάδα Μπράουερ από το θεώρημα του Γουέντερμπερν.

## Το θεώρημα Αξ-Κατζ

Το **θεώρημα Αξ-Κατζ**, που πήρε το όνομά του από τους Τζέιμς Αξ και Νίκολας Κατζ, προσδιορίζει με μεγαλύτερη ακρίβεια μια δύναμη q^b της πληθικότητας q της \mathbb{F} που διαιρεί τον αριθμό των λύσεων- εδώ, αν d είναι η μεγαλύτερη από τις d_j, τότε ο εκθέτης b μπορεί να ληφθεί ως η συνάρτηση οροφής του

: \frac{n - \sum_j d_j}{d}.

Το αποτέλεσμα των Αξ-Κατζ έχει μια ερμηνεία στην étale συνομολογία ως ένα αποτέλεσμα διαιρετότητας για τα (αμοιβαία) μηδενικά και τους πόλους της τοπικής συνάρτησης ζήτα. Δηλαδή, η ίδια δύναμη του q διαιρεί κάθε έναν από αυτούς τους αλγεβρικούς ακέραιους.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Σώμα διασπάσεως
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νοεροί υπολογισμοί

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
* 
* Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
*
*
*
*
*
*
*
*.   **English translation** (of 2nd revised edition):  *(Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)*
*

## Πηγές
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα