Θεωρία πινάκων (οπτική)

Η **θεωρία πινάκων** στη διάδοση οπτικών ακτινών είναι μια αλγεβρική παραξονική τεχνική που χρησιμοποιείται στον σχεδιασμό οπτικών συστημάτων. Στην ουσία βασίζεται στην περιγραφή των ακτίνων ως διανύσματα που αλγεβρικά εκφράζονται ως πίνακες (2x1). Έτσι ο μετασχηματισμός μιας ακτίνας από την είσοδο στην έξοδο ενός συστήματος μπορεί να περιγραφεί ως ο πολλαπλασιασμός του πίνακα (2x1) της ακτίνας στην είσοδο με ένα πίνακα (2x2) που περιγράφει το οπτικό σύστημα. 

## Διάνυσμα ακτίνας
Σύμφωνα με την παραξονική προσέγγιση, θεωρούμε ότι οι ακτίνες σχηματίζουν μικρή γωνία \theta με τον οπτικό άξονα του συστήματος έτσι ισχύει ότι: 

\tan \theta  \approx \sin \theta  \approx \theta 

Ο πίνακας διάνυσμα που περιγράφει μια οπτική ακτίνα που βρίσκεται σε ύψος y από τον οπτικό άξονα και σχηματίζει γωνία \theta  με αυτόν είναι:

 \mathbf{Y} =  \left( \begin{matrix}  y \\ n \theta  \end{matrix}  \right)  

όπου    n  \theta \approx  n \sin \theta το αριθμητικό άνοιγμα της ακτίνας.

## Πίνακας μεταφοράς

Αν μια ακτίνα  \mathbf{Y_i}  εισέλθει σε ένα οπτικό σύστημα εξέρχεται από αυτό έχοντας αλλάξει είτε ύψος y_{i+1} ή και κλίση \theta_{i+1} και περιγράφεται από ένα νέο διάνυσμα ακτίνας  \mathbf{Y_{i+1}} : 

 \mathbf{Y_{i+1}} =  \left( \begin{matrix}  y_{i+1} \\ n_{i+1} \theta_{i+1}  \end{matrix}  \right)  

όπου  n_{i+1}  είναι ο δείκτης διάθλασης στην έξοδο.

Η ακτίνα  \mathbf{Y_{i+1}}  στην έξοδο του οπτικού συστήματος συνδέεται με την ακτίνα στην είσοδο  \mathbf{Y_i}  μέσω ενός πίνακα  \mathbf{M}   (2x2) που ονομάζεται πίνακας μεταφοράς του οπτικού συστήματος μέσω της σχέσης:

 \mathbf{Y_{i+1}} = \mathbf{M} \cdot  \mathbf{Y_i}  

σε αναλυτική μορφή η παραπάνω σχέση γράφεται:


\left( \begin{matrix}  y_{i+1} \\ n_{i+1} \theta_{i+1}  \end{matrix}  \right)=
 \left( \begin{matrix} M_{11} & M_{12}\\  M_{21} & M_{22} \end{matrix} \right ) \cdot 
\left( \begin{matrix}  y_i \\ n_i \theta_i  \end{matrix}  \right)


Αν η ακτίνα διαδοθεί από  N  διαδοχικά οπτικά συστήματα που το καθ' ένα περιγράφεται από ένα πίνακα μεταφοράς 
 \mathbf{M_{i}}   η ακτίνα στην έξοδο του ενός θα αποτελεί είσοδο για το επόμενο και έτσι η τελική ακτίνα στην έξοδο θα δίνεται από την σχέση:

 \mathbf{Y_{N+1}} = \left( \mathbf{M_N} \cdots \mathbf{M_1} \right) \cdot \mathbf{Y_1}= \mathbf{M_{tot}} \cdot \mathbf{Y_1} 

όπου  \mathbf{M_{tot}}  ο συνολικός πίνακας μεταφοράς του σύνθετου οπτικού συστήματος:

  \mathbf{M_{tot}} =  \mathbf{M_N} \cdots \mathbf{M_1}  

Μια ενδιαφέρουσα ιδιότητα των πινάκων μεταφοράς σε οπτικά συστήματα είναι ότι η ορίζουσα τους είναι πάντα ίση με την μονάδα.

 \left | \mathbf{M_{tot}} \right | =  1 

Η παραπάνω ιδιότητα οφείλεται στο ότι οι πίνακες μεταφοράς που περιγράφουν τις βασικές διαδικασίες της μετατόπισης και της διάθλασης έχουν ορίζουσα ίση μονάδα.

### Τυπικοί πίνακες μεταφοράς

#### Πίνακας μετατόπισης
Στην περίπτωση που ακτίνα απλώς διαδίδεται από την θέση  z_i  στην θέση  z_{i+1}   σε ένα μέσο με δείκτη διάθλασης  n_i  o πίνακας μεταφοράς ονομάζεται **πίνακας μετατόπισης** και περιγράφεται από:


\mathbf{M_D} =
 \left( \begin{matrix} 1 & Z_{i(i+1)} \\  0 & 1 \end{matrix} \right )


όπου  Z_{i(i+1)}= - {z_i}} \over } \  είναι το **ανηγμένο μήκος**.

Στην περίπτωση που η ακτίνα διαδίδεται πρός τα πίσω (αρνητικά  z ) μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον ίδιο πίνακα μετατόπισης αρκεί να θεωρήσουμε ότι ο δείκτης διάθλασης είναι αρνητικός.

#### Πίνακας διάθλασης
Στην περίπτωση που η ακτίνα διαθλάται από σφαιρικό δίοπτρο ακτίνας καμπυλότητας  R_i  ενώ οι δείκτες διάθλασης πρίν και μετά το δίοπτρο είναι αντίστοιχα   n_i  και  n_{i+1}  o πίνακας μεταφοράς ονομάζεται **πίνακας διάθλασης** και περιγράφεται από:


\mathbf{M_R} =
 \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\  -P_i & 1 \end{matrix} \right )


όπου  P_i= - {n_i}} \over } \  είναι η **οπτική ισχύς** του διόπτρου.

Στην παραπάνω σχέση η τιμή της  ακτίνας καμπυλότητας R_i είναι θετική εάν η επιφάνεια του διόπτρου, για διάδοση από αριστερά πρός τα δεξιά, είναι κυρτή, και αρνητική αν είναι κοίλη.  Να σημειωθεί ότι οι όσον αφορά τις ακτίνες καμπυλότητας οι συμβάσεις των προσήμων ποικίλλουν μεταξύ διαφόρων συγγραφέων έτσι συναντάμε διαφορετικές μορφές των παραπάνω εξισώσεων, ανάλογα με τη σύμβαση που χρησιμοποιεί ο κάθε συγγραφέας.

Στην περίπτωση που η ακτίνα διαδίδεται πρός τα πίσω (αρνητικά  z ) μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον ίδιο πίνακα διάθλασης αρκεί να θεωρήσουμε ότι ο δείκτης διάθλασης είναι αρνητικός. Σε αυτή την περίπτωση ως πρόσημο της ακτίνας καμπυλότητας του διόπτρου κρατάμε αυτό που ισχύει για διάδοση από αριστερά πρός τα δεξιά.

#### Πίνακας ανάκλασης

Στην περίπτωση που η ακτίνα ανακλάται από σφαιρικό κάτοπτρο ακτίνας καμπυλότητας  R_i  ο δείκτης διάθλασης του μέσου είναι   n_i  o πίνακας μεταφοράς ονομάζεται **πίνακας ανάκλασης** και περιγράφεται από:


\mathbf{M_{Rf}} =
 \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\  -P_i & 1 \end{matrix} \right )


όπου  P_i=-  \over }  είναι η **οπτική ισχύς** του κατόπτρου.

Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι ο πίνακας ανάκλασης μπορεί να προκύψει από τον πίνακα διάθλασης αν θεωρήσουμε ότι μετά την ανάκλαση ο δείκτης διάθλασης γίνεται αρνητικός:


 \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\  - \over }  & 1 \end{matrix} \right )
=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\   \over } & 1 \end{matrix} \right )


## Παραπομπές


Κατηγορία:Γεωμετρική οπτική
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων