Τόξο (γεωμετρία)

Στην γεωμετρία, **τόξο** ενός κύκλου λέγεται το γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από τα κοινά σημεία του κύκλου και μιας επίκεντρης γωνίας του. 

Το τόξο αυτό λέγεται το **αντίστοιχο τόξο** της επίκεντρης γωνίας, και λέμε ότι η επίκεντρη γωνία *βαίνει* σε αυτό.  

Δύο σημεία του κύκλου ορίζουν πάνω στον κύκλο δύο τόξα, το  **ελάσσον τόξο**, που αντιστοιχεί στην κυρτή επίκεντρη γωνία, και το **μείζον τόξο** που αντιστοιχεί στην μη-κυρτή επίκεντρη γωνία.

## Μήκος τόξου
Σε έναν κύκλο ακτίνας \rho, ένα τόξο με αντίστοιχη επίκεντρη γωνία  

* \theta ακτινίων έχει μήκος {\ell } = \rho \cdot \theta και

* \mu μοιρών έχει μήκος {\ell } = 2\pi\rho \cdot \frac{\mu}{360}.

## Ιδιότητες

* Στον ίδιο κύκλο ή σε ίσους κύκλους, ίσες επίκεντρες γωνίες βαίνουν σε ίσα τόξα. Αντίστροφα, στον ίδιο κύκλο ή σε ίσους κύκλους, ίσα τόξα φαίνονται υπό ίσες επίκεντρες γωνίες.

* *Μέσο* ενός τόξου \overset{\frown}{\rm AB} είναι ένα σημείο \rm N στο εσωτερικό του τέτοιο ώστε τα τόξα \overset{\frown}{\rm AN} και \overset{\frown}{\rm NB} να είναι ίσα. Κάθε τόξο έχει ένα μόνο μέσο.

* Ο φορέας του αποστήματος μίας χορδής, διχοτομεί τη χορδή και το αντίστοιχο τόξο.

* Σε έναν κύκλο τα τόξα που περιέχονται μεταξύ παραλλήλων χορδών του κύκλου είναι ίσα, και αντιστρόφως.

## Ανισοτικές σχέσεις
* Στον ίδιο κύκλο ή σε ίσους κύκλους, σε άνισα τόξα αντιστοιχούν άνισες χορδές και στο μεγαλύτερο τόξο αντιστοιχεί η μεγαλύτερη χορδή, εφ' όσον το τόξο δεν είναι μεγαλύτερο από το ημικύκλιο και αντιστρόφως.

## Γωνία με κορυφή εντός κύκλου

**Παρατήρηση.** Επειδή κάθε εγγεγραμμένη γωνία έχει μέτρο ίσο με το μισό του μέτρου του τόξου στο οποίο βαίνει, από το παραπάνω θεώρημα προκύπτει ότι 
:\rm \widehat{BA\Gamma}=\frac{\overset{\frown}{\rm B\Gamma}+\overset{\frown}{\rm E\Delta}}{2} .
**Πόρισμα:**
Κάθε γωνία η οποία έχει την κορυφή της εντός κύκλου, είναι μεγαλύτερη από την εγγεγραμμένη που βαίνει στο ίδιο τόξο. Είναι δηλαδή \rm \widehat{BA\Gamma}>\widehat{BE\Gamma}.

## Γωνία με κορυφή εκτός κύκλου

**Παρατήρηση.** Επειδή κάθε εγγεγραμμένη γωνία έχει μέτρο ίσο με το μισό του μέτρου του τόξου στο οποίο βαίνει, από το παραπάνω θεώρημα προκύπτει ότι 
:\rm \widehat{BA\Gamma}=\frac{\overset{\frown}{\rm B\Gamma}-\overset{\frown}{\rm \Delta E}}{2} .

**Πόρισμα:**
Κάθε γωνία η οποία έχει την κορυφή της εκτός κύκλου, και οι πλευρές της τέμνουν τον κύκλο, είναι μικρότερη από την εγγεγραμμένη που βαίνει στο μεγαλύτερο από τα δύο τόξα που περιλαμβάνονται μεταξύ των πλευρών της.  Είναι δηλαδή \rm \widehat{BA\Gamma}>\widehat{BE\Gamma}.
## Σύγκριση τόξων και πράξεις
* Σε έναν κύκλο, θα λέμε ότι ένα τόξο είναι *μεγαλύτερο* ή *ίσο* ή *μικρότερο* από ένα άλλο όταν η επίκεντρη γωνία του πρώτου είναι μεγαλύτερη ή ίση ή μικρότερη από την επίκεντρη γωνία του άλλου.
* Οι πράξεις στα τόξα (προσθαφαίρεση τόξου με τόξο και πολλαπλασιασμός - διαίρεση τόξου με αριθμό) ορίζονται με βάση τις επίκεντρες γωνίες όπου αντιστοιχούν. Σε κάθε περίπτωση, το τόξο-αποτέλεσμα της πράξης είναι το τόξο που αντιστοιχεί στην επίκεντρη γωνία-αποτέλεσμα της αντίστοιχης πράξης.
* Επειδή, σύμφωνα με το θεώρημα αντιστοιχίας, ίσα τόξα αντιστοιχούν σε ίσες επίκεντρες γωνίες, μπορούμε να αναγάγουμε τη μέτρηση των γωνιών στη μέτρηση των τόξων. Έτσι όταν λέμε *άνοιγμα γωνίας* μπορούμε εναλλακτικά να εννοούμε το μήκος του αντίστοιχου τόξου της, αν αυτή θεωρηθεί ως επίκεντρη. Στη μέτρηση σε μοίρες λοιπόν, το άνοιγμα της μοναδιαίας γωνίας θα ισούται με 1°, της πλήρους γωνίας με 360°, της ευθείας γωνίας με 180°, και της ορθής με 90°.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* Διαδραστική εφαρμογή για το μήκος τόξου στο Φωτόδεντρο.
* Διαδραστική εφαρμογή για την γωνία και το μήκος τόξου στο Φωτόδεντρο.
* Υπολογίζοντας τα μέτρα τόξων στο Φωτόδεντρο. 
* Διαδραστική εφαρμογή για την σύγκριση τόξων στο Φωτόδεντρο.

## Δείτε επίσης
* Κύκλος
* Χορδή (γεωμετρία)
* Κυκλικός δίσκος

## Παραπομπές


Κατηγορία:Κύκλος