Πίνακας Χάσε-Βιτ

Στα μαθηματικά, ο **πίνακας Χάσε-Βιτ** *H* μιας *μη*-*ιδιάζουσας* αλγεβρικής καμπύλης *C*  πάνω από ένα πεπερασμένο σώμα *F* είναι ο πίνακας της απεικόνισης Φρομπένιους (απεικόνιση της p-th δύναμης όπου το *F* έχει q στοιχεία, q μια δύναμη του πρώτου αριθμού *p*) ως προς μια βάση για τη διαφορική του πρώτου είδους. Είναι ένας πίνακας *g* × *g* όπου το *C* έχει γένος *g*. Ο βαθμός του πίνακα Χάσε-Βιτ είναι το αναλλοίωτο Χάσε ή Χάσε-Βιτ (Hasse–Witt).

## Προσέγγιση του ορισμού

Αυτός ο ορισμός, όπως δίνεται στην εισαγωγή, είναι φυσικός με κλασικούς όρους και οφείλεται στους Χέλμουτ Χάσε και Ερνστ Βιτ (1936). Παρέχει μια λύση στο ερώτημα της *p*-τάξης της Ιακωβιανής ποικιλίας *J*  της *C* . Η  *p*-τάξη περιορίζεται από τον βαθμό του *H* συγκεκριμέναείναι ο βαθμός  της απεικόνισης Φρομπένιους που συντίθεται με τον εαυτό της *g* φορές. Είναι επίσης ένας ορισμός που είναι κατ' αρχήν αλγοριθμικός. Το ζήτημα αυτό προσέλκυσε πρόσφατα σημαντικό ενδιαφέρον ως πρακτική εφαρμογή στην κρυπτογραφία, στην περίπτωση της *C*  μιας υπερελιπτικής καμπύλης. Η καμπύλη *C* είναι **υπερειδικής** αν *H* = 0.

Αυτός ο ορισμός απαιτεί τουλάχιστον μερικές επιφυλάξεις. Πρώτον, υπάρχει μια σύμβαση σχετικά με τις απεικονίσεις Φρομπένιους, και σύμφωνα με τη σύγχρονη αντίληψη αυτό που απαιτείται για το *H* είναι η *μεταφορά* του Φρομπένιους (βλέπε αριθμητικό και γεωμετρικό Φρομπένιους για περισσότερη ανάλυση). Δεύτερον, η απεικόνιση Φρομπένιους δεν είναι *F*-γραμμική- είναι γραμμική πάνω στο πρώτο σώμα  **Z**/*p***Z**  στο *F*.  Επομένως, ο πίνακας μπορεί να γραφτεί, αλλά δεν αντιπροσωπεύει μια γραμμική απεικόνιση με την απλή έννοια.

## Συνομολογία
Η ερμηνεία για τη συνομολογία των τμημάτων είναι η εξής: η απής: η απεικόνιση *p*-δύναμης ενεργεί στο

:*H*1(*C*,*O**C*),

ή με άλλα λόγια η πρώτη συνομολογία του *C* με συντελεστές στη δομή του. Αυτό ονομάζεται τώρα **τελεστής Καρτιέ - Μανίν**  (μερικές φορές απλά **τελεστής Καρτιέ**), από τους Πιερ Καρτιέ και Γιούρι Μανίν. Η σύνδεση με τον ορισμό Χάσε-Βιτ γίνεται μέσω της δυαδικότητας Σερ, η οποία για μια καμπύλη συσχετίζει την ομάδα αυτή με την ομάδα

:*H*0(*C*, Ω*C*)

όπου Ω*C* = Ω1*C* είναι η δέσμη των διαφορικών Κέλερ στο *C*.

## Αβελιανές ποικιλίες και ο p-βαθμός τους

Το *p*-rank μιας αβελιανής ποικιλίας *A* σε ένα σώμα *K* χαρακτηριστικής p είναι ο ακέραιος*k* για τον οποίο ο πυρήνας *A*[*p*] του πολλαπλασιασμού με  *p* έχει *p**k* σημεία. Μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή από το 0 έως το  *d*, διάσταση του *A*; Αντίθετα, για οποιονδήποτε άλλο πρώτο αριθμό *l* υπάρχουν *l*2*d* σημεία στο *A*[*l*].  Ο λόγος για τον οποίο η τάξη *p*-rank είναι ότι ο πολλαπλασιασμός με *p* στο *A* είναι μια αδιαχώριστη ισογένεια: το διαφορικό είναι *p* που είναι 0 στο *K*. Εξετάζοντας τον πυρήνα ως ομαδικό σχήμα μπορεί κανείς να πάρει την πληρέστερη δομή (αναφορά Ντέιβιντ Μάμφορντ Αβελιανές ποικιλίες σελ.&nbsp;146–7); αλλά αν για παράδειγμα εξετάσει κανείς την αναγωγή mod p μιας εξίσωσης διαίρεσης, ο αριθμός των λύσεων πρέπει να μειωθεί.

Ο βαθμός του τελεστή Καρτιέ - Μανίν, ή του πίνακα Χάσε-Βιτ, δίνει επομένως ένα ανώτερο όριο για τον  *p*-βαθμό. Ο *p*-βαθμός είναι ο βαθμός του τελεστή Φρομπένιους που συντίθεται με τον εαυτό του *g* φορές. Στην αρχική εργασία των Χάσε και Βιτ το πρόβλημα διατυπώνεται με όρους εγγενείς στο “'C”', χωρίς να βασίζεται στο *J*. Εκεί πρόκειται για την ταξινόμηση των πιθανών επεκτάσεων Αρτίν-Σράιερ του συναρτησιακού σώματος *F*(*C*) (το ανάλογο σε αυτή την περίπτωση της θεωρίας Κούμερ).

## Περίπτωση του γένους 1

Η περίπτωση των ελλειπτικών καμπυλών εκπονήθηκε από τον Χάσε το 1934.  Εφόσον το γένος είναι 1, οι μόνες δυνατότητες για τον πίνακα *H* είναι:  Ο *H* είναι μηδέν, αναλλοίωτος Χάσε 0, *p*-βαθμός 0, η “'υπερσυνεχής”' περίπτωση- ή *H* μη μηδέν, αναλλοίωτος Χάσε 1, *p*-βαθμός 1, η “'συνηθισμένη”' περίπτωση.  Εδώ υπάρχει ένας τύπος συγγραμμικότητας που λέει ότι η *H* είναι συγγραμμική modulo “'p”' με τον αριθμό “'N”' των σημείων στο *C* πάνω στο *F* τουλάχιστον όταν *q* = *p*.  Λόγω του θεωρήματος του Χάσε για τις ελλειπτικές καμπύλες, η γνώση του *N* modulo *p* καθορίζει το *N* για *p* ≥ 5. Αυτή η σύνδεση με τις τοπικές ζ-συναρτήσεις έχει διερευνηθεί σε βάθος.

Για μια επίπεδη καμπύλη που ορίζεται από ένα κυβικό *f*(*X*,*Y*,*Z*) = 0, το αναλλοίωτο Χάσε είναι μηδενικό εάν και μόνο εάν ο συντελεστής του (*XYZ*)*p*−1 στο *f**p*−1  είναι μηδενικός.|

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Σώμα διασπάσεως
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νοεροί υπολογισμοί

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
*
* (English translation of a Russian original)
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα