Εξωτερική ακτίνα

μικρογραφία|317x317εσ|Χώρος παραμέτρων της μιγαδικής εκθετικής οικογένειας f(z)=exp(z)+c. Οκτώ ακτίνες παραμέτρων που προσγειώνονται σε αυτή την παράμετρο σχεδιάζονται με μαύρο χρώμα.
Μια **εξωτερική ακτίνα** είναι μια καμπύλη που εκτείνεται από το άπειρο προς ένα σύνολο Julia ή Μάντελμπροτ. Αν και αυτή η καμπύλη είναι μόνο σπάνια μια ημιευθεία (ακτίνα), ονομάζεται ακτίνα επειδή αποτελεί εικόνα μιας ακτίνας.

Οι εξωτερικές ακτίνες χρησιμοποιούνται στη μιγαδική ανάλυση, ιδιαίτερα στη μιγαδική δυναμική και στη θεωρία γεωμετρικών συναρτήσεων.

## Ιστορία
Οι εξωτερικές ακτίνες εισήχθησαν στη μελέτη των Ντουαντί και Χάμπαρντ για το σύνολο Μάντελμπροτ.

Στις αρχές της δεκαετίας του 1980, ο Αντριέν Ντουαντί (1935- ) και ο Τζον Χάμπαρντ (1945- ) συνεργάστηκαν  για να μελετήσουν τη δομή του συνόλου Μάντελμπροτ. Για τον σκοπό αυτό χρησιμοποίησαν τότε εργαλεία από την πολύπλοκη ανάλυση και τα δυναμικά συστήματα, και κατάφεραν να αποδείξουν ότι, παρά τα φαινόμενα, το σύνολο αυτό είναι συνδεδεμένο. Επιπλέον, χρησιμοποιώντας την περίφημη τεχνική τους που περιλαμβάνει "εξωτερικές ακτίνες", κατάφεραν να περιγράψουν τη δυναμική σημασία των διακοσμήσεων που συνδέονται με το σύνολο Μάντελμπροτ, καθώς και τη δυναμική στα αντίστοιχα σύνολα Julia.

## Τύποι
Κριτήρια ταξινόμησης :
* Επίπεδο : παράμετρος ή δυναμική
* Χάρτης
* Διακλάδωση δυναμικών ακτίνων
* Τέντωμα
* Προσγείωση 

### Επίπεδο
Οι εξωτερικές ακτίνες των (συνδεδεμένων) συνόλων Julia στο δυναμικό επίπεδο συχνά ονομάζονται δυναμικές ακτίνες.

Οι εξωτερικές ακτίνες του συνόλου Μάντελμπροτ (και παρόμοιων μονοδιάστατων τόπων συνδεσιμότητας) στο επίπεδο παραμέτρων ονομάζονται ακτίνες παραμέτρων.

### Διακλάδωση
Η δυναμική ακτίνα μπορεί να είναι:

*διακλάδωση =διακλαδισμένη =σπασμένη   
*ομαλή = μη διακλαδισμένη = αδιάσπαστη

Όταν το γεμάτο σύνολο Julia είναι συνδεδεμένο, δεν υπάρχουν διακλαδισμένες εξωτερικές ακτίνες. Όταν το σύνολο Julia δεν είναι συνδεδεμένο, τότε κάποιες εξωτερικές ακτίνες διακλαδίζονται.

### Τέντωμα
Οι τεντωμένες ακτίνες εισήχθησαν από τους Μπράνερ και Χάμπαρντ:

"Η έννοια των τεντωμένων ακτίνων είναι μια γενίκευση αυτής των εξωτερικών ακτίνων για το σύνολο Μάντελμπροτ σε πολυώνυμα υψηλότερου βαθμού".

### Προσγείωση
Κάθε ακτίνα ορθολογικής παραμέτρου του συνόλου Μάντελμπροτ προσγειώνεται σε μία μόνο παράμετρο.

## Χάρτες
### Πολυνώνυμα

#### Δυναμικό επίπεδο = z-επίπεδο
Οι **εξωτερικές ακτίνες** συνδέονται με ένα συμπαγές, πλήρες, συνδεδεμένο υποσύνολο  K\, του μιγαδικού επιπέδου ως:
* οι εικόνες των ακτινικών ακτίνων υπό τον χάρτη Ρίμαν του συμπληρώματος του K\,
* οι γραμμές κλίσης της συνάρτησης Γκριν του K\,,
*γραμμές πεδίου του δυναμικού Ντουαντί-Χούμπαρντ.

Οι εξωτερικές ακτίνες μαζί με τις ισοδυναμικές γραμμές του δυναμικού Ντουαντί-Χούμπαρντ ( σύνολα επιπέδων) σχηματίζουν ένα νέο πολικό σύστημα συντεταγμένων για το εξωτερικό ( συμπλήρωμα ) του K\,.

Με άλλα λόγια, οι εξωτερικές ακτίνες ορίζουν την κατακόρυφη φολίωση η οποία είναι ορθογώνια προς την οριζόντια φολίωση που ορίζεται από τα σύνολα επιπέδων του δυναμικού.

#### Ομογενοποίηση
Έστω \Psi_c\, ο σύμμορφος ισομορφισμός από το συμπλήρωμα (εξωτερικό) του κλειστού μοναδιαίου δίσκου \overline{\mathbb{D}} στο συμπλήρωμα του συμπληρωμένου συνόλου Julia \ K_c .

:\Psi_c: \hat{\Complex} \setminus \overline{\mathbb{D}} \to \hat{\Complex} \setminus K_c

όπου \hat{\Complex} συμβολίζει το εκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο.
Έστω \Phi_c = \Psi_c^{-1}\, που συμβολίζει τον χάρτη Μπότσερ. Ο \Phi_c\,, είναι ένας ομογενοποιητικός χάρτης της λεκάνης έλξης του απείρου, διότι συζεύγει την f_c στο συμπλήρωμα του γεμισμένου συνόλου Julia K_c  με την f_0(z)=z^2 στο συμπλήρωμα του μοναδιαίου δίσκου:

:\begin{align}
\Phi_c: \hat{\Complex} \setminus K_c &\to \hat{\Complex} \setminus \overline{\mathbb{D}}\\
 z & \mapsto \lim_{n\to \infty} (f_c^n(z))^{2^{-n}}
\end{align}

και

: \Phi_c \circ f_c \circ \Phi_c^{-1} = f_0 

Η τιμή w = \Phi_c(z) ονομάζεται **συντεταγμένη Μπότσερ** για ένα σημείο  z \in \hat{\Complex}\setminus K_c.

#### Τυπικός ορισμός της δυναμικής ακτίνας

Η **εξωτερική ακτίνα** γωνίας \theta\,  που σημειώνεται ως \mathcal{R}^K  _{\theta} είναι:
* η εικόνα υπό  \Psi_c\, των ευθύγραμμων \mathcal{R}_{\theta} = \{\left(r\cdot e^{2\pi i \theta}\right) :  \ r > 1 \}

:\mathcal{R}^K  _{\theta} = \Psi_c(\mathcal{R}_{\theta})

*σύνολο σημείων της εξωτερικής πλευράς του συμπληρωμένου συνόλου Julia με την ίδια εξωτερική γωνία \theta

:\mathcal{R}^K _{\theta} = \{ z\in \hat{\Complex} \setminus K_c : \arg(\Phi_c(z)) = \theta \}

#### Ιδιότητες
Η εξωτερική ακτίνα για μια περιοδική γωνία \theta\, ικανοποιεί:

:f(\mathcal{R}^K  _{\theta}) =  \mathcal{R}^K  _{2 \theta}

και το σημείο προσγείωσής του \gamma_f(\theta)  ικανοποιεί:

:f(\gamma_f(\theta)) = \gamma_f(2\theta) 

#### Επίπεδο παραμέτρων = επίπεδο c
"Οι ακτίνες παραμέτρων είναι απλώς οι καμπύλες που είναι κάθετες στις ισοδυναμικές καμπύλες του συνόλου Μ".

##### Ομογενοποίηση

Έστω \Psi_M\, η απεικόνιση από το συμπλήρωμα (εξωτερικό) του κλειστού μοναδιαίου δίσκου \overline{\mathbb{D}} στο συμπλήρωμα του σύνολο Μάντελμπροτ  \ M .

:\Psi_M:\mathbb{\hat{C}}\setminus \overline{\mathbb{D}}\to\mathbb{\hat{C}}\setminus M

και ο χάρτης (συνάρτηση) του Μπότσερ \Phi_M\,, ο οποίος είναι ομογενοποιητικός χάρτης του συμπληρώματος του συνόλου Μάντελμπροτ, επειδή συζεύγει το συμπλήρωμα του συνόλου Μάντελμπροτ  \ M  και το συμπλήρωμα (εξωτερικό) του κλειστού μοναδιαίου δίσκου.

:\Phi_M: \mathbb{\hat{C}}\setminus M \to   \mathbb{\hat{C}}\setminus \overline{\mathbb{D}}

μπορεί να εξομαλυνθεί έτσι ώστε :

\frac{\Phi_M(c)}{c} \to 1 \ as\ c \to \infty \,

όταν :
:\mathbb{\hat{C}} συμβολίζει το εκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο

Η συνάρτηση Γιουνγκράις \Psi_M\, είναι η αντίστροφη του ομοιόμορφου χάρτη :

:\Psi_M = \Phi_{M}^{-1} \,

Στην περίπτωση του μιγαδικού τετραγωνικού πολυωνύμου μπορεί κανείς να υπολογίσει αυτόν τον χάρτη χρησιμοποιώντας σειρές Λοράν γύρω από το άπειρο

:c = \Psi_M (w)  =  w + \sum_{m=0}^{\infty} b_m w^{-m} = w -\frac{1}{2} + \frac{1}{8w} - \frac{1}{4w^2} + \frac{15}{128w^3} + ...\,

όταν

:c \in \mathbb{\hat{C}}\setminus M

:w \in \mathbb{\hat{C}}\setminus \overline{\mathbb{D}}

##### Επίσημος ορισμός της παραμέτρου ακτίνα

Η **εξωτερική ακτίνα** της γωνίας \theta\, είναι:
*η εικόνα κάτω από \Psi_c\, των ευθειών \mathcal{R}_{\theta} = \{\left(r*e^{2\pi i \theta}\right) :  \ r > 1 \}

:\mathcal{R}^M  _{\theta} = \Psi_M(\mathcal{R}_{\theta})

*σύνολο σημείων του εξωτερικού του συνόλου Μάντελμπροτ με την ίδια εξωτερική γωνία \theta

:\mathcal{R}^M  _{\theta} = \{ c\in \mathbb{\hat{C}}\setminus M  : \arg(\Phi_M(c)) =  \theta \}

##### Ορισμός του χάρτη Μπότσερ

Ορισμός των Ντουαντί και Χάμπαρντ:

\Phi_M(c) \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \ \Phi_c(z=c)\,

οπότε η εξωτερική γωνία του σημείου c\, του παραμετρικού επιπέδου είναι ίση με την εξωτερική γωνία του σημείου z=c\, του δυναμικού επιπέδου

#### Εξωτερική γωνία

2015-03-04 exray binary.gif|συλλογή κομματιών προς τα έξω
Binary decomposition.png|Δυαδική διάσπαση του επιπέδου κύκλου χωρίς κύλιση
Binary decomposition of dynamic plane for f0(z) = z^2.png|δυαδική διάσπαση του δυναμικού επιπέδου για f(z) = z^2

Η γωνία  ονομάζεται **εξωτερική γωνία**. ( επιχείρημα ).

Η κύρια τιμή των εξωτερικών γωνιών μετριέται σε στροφές modulo 1

:1 στροφή = 360 μοίρες = 2 &times;   ακτίνια

Συγκρίνετε διαφορετικούς τύπους γωνιών :
Σύγκριση διαφορετικών τύπων γωνιών :
* εξωτερικές ( σημείο της εξωτερικής πλευράς του συνόλου )
* εσωτερική ( σημείο του εσωτερικού του στοιχείου )
* απλή ( όρισμα μιγαδικού αριθμού )

##### Υπολογισμός του εξωτερικού επιχειρήματος
* επιχείρημα της συντεταγμένης Μπότσερ ως εξωτερικό επιχείρημα 
**  \arg_M(c) = \arg(\Phi_M(c)) 
**  \arg_c(z) = \arg(\Phi_c(z)) 
* Ακολουθία ζύμωσης ως δυαδική επέκταση του εξωτερικού επιχειρήματος 

##### Υπερβατικοί χάρτες
Για υπερβατικούς χάρτες ( παραδείγματος χάριν εκθετικούς ) το άπειρο δεν είναι σταθερό σημείο αλλά μια ουσιαστική ιδιομορφία και δεν υπάρχει ισομορφισμός Boettcher.

Εδώ η δυναμική ακτίνα ορίζεται ως μια καμπύλη :
* που συνδέει ένα σημείο σε ένα σύνολο διαφυγής και το άπειρο
* που βρίσκεται σε ένα σύνολο διαφυγής

## Εικόνες
### Δυναμικές ακτίνες

JuliaRay 1 3.png|Σύνολο Julia για f_c(z) = z^2 -1 με 2 εξωτερικές ακτίνες να προσγειώνονται στο απωθητικό σταθερό σημείο άλφα
JuliaRay3.png|Σύνολο Julia και 3 ακτίνες προσγείωσης στο σταθερό σημείο \alpha_c\,
Dynamic internal and external rays .svg|Δυναμικές εξωτερικές ακτίνες προσγείωσης στην περίοδο απώθησης 3 κύκλων και 3 εσωτερικές ακτίνες προσγείωσης στο σταθερό σημείο \alpha_c\,
Julia-p9.png|Σύνολο Julia με εξωτερικές ακτίνες που προσγειώνονται σε τροχιά περιόδου 3
Parabolic rays landing on fixed point.ogv|Προσγείωση ακτίνων σε παραβολικό σταθερό σημείο για περιόδους 2-40



Dynamical plane with branched periodic external ray 0 for map f(z) = z*z + 0.35.png| Διακλαδισμένη δυναμική ακτίνα


### Παράμετροι ακτίνων

Σύνολο Μάντελμπροτ για σύνθετο τετραγωνικό πολυώνυμο με ακτίνες παραμέτρων των σημείων της ρίζας

File:Mandelbrot set for complex quadratic polynomial with parameter rays of root points.jpg|Εξωτερικές ακτίνες για γωνίες της μορφής : n / ( 21 - 1) (0/1; 1/1) που προσγειώνονται στο σημείο c= 1/4, το οποίο είναι κορυφή της κύριας καρδιοειδούς ( συνιστώσα περιόδου 1)|εναλλ.=Εξωτερικές ακτίνες για γωνίες της μορφής : n / ( 21 - 1) (0/1; 1/1) που προσγειώνονται στο σημείο c= 1/4, το οποίο είναι κορυφή της κύριας καρδιοειδούς ( συνιστώσα περιόδου 1)
Image:Man2period.jpg|Οι εξωτερικές ακτίνες για γωνίες της μορφής : n / ( 22 - 1) (1/3, 2/3) προσγειώνονται στο σημείο c= - 3/4, το οποίο είναι σημείο ρίζας της συνιστώσας περιόδου 2|εναλλ.=Οι εξωτερικές ακτίνες για γωνίες της μορφής : n / ( 22 - 1) (1/3, 2/3) προσγειώνονται στο σημείο c= - 3/4, το οποίο είναι σημείο ρίζας της συνιστώσας περιόδου 2
Image:Man3period.jpg|Εξωτερικές ακτίνες για γωνίες της μορφής : n / ( 23 - 1) (1/7,2/7) (3/7,4/7) προσγειώνονται στο σημείο c= -1,75 = -7/4 (5/7,6/7) προσγειώνονται στα σημεία ρίζας των συνιστωσών της περιόδου 3.|εναλλ.=Εξωτερικές ακτίνες για γωνίες της μορφής : n / ( 23 - 1) (1/7,2/7) (3/7,4/7) προσγειώνονται στο σημείο c= -1,75 = -7/4 (5/7,6/7) προσγειώνονται στα σημεία ρίζας των συνιστωσών της περιόδου 3.
Image:Man4period.jpg|Εξωτερικές ακτίνες για γωνίες της μορφής : n / ( 24 - 1) (1/15,2/15) (3/15, 4/15) (6/15, 9/15) που προσγειώνονται στο σημείο ρίζας c= -5/4 (7/15, 8/15) (11/15,12/15) (13/15, 14/15) που προσγειώνονται στα σημεία ρίζας των συνιστωσών της περιόδου 4.|εναλλ.=Εξωτερικές ακτίνες για γωνίες της μορφής : n / ( 24 - 1) (1/15,2/15) (3/15, 4/15) (6/15, 9/15) που προσγειώνονται στο σημείο ρίζας c= -5/4 (7/15, 8/15) (11/15,12/15) (13/15, 14/15) που προσγειώνονται στα σημεία ρίζας των συνιστωσών της περιόδου 4.
Image:Man5period.jpg| Εξωτερικές ακτίνες για γωνίες της μορφής : n / ( 25 - 1) που προσγειώνονται στα σημεία ρίζας των συνιστωσών περιόδου 5|εναλλ.=Εξωτερικές ακτίνες για γωνίες της μορφής : n / ( 25 - 1) που προσγειώνονται στα σημεία ρίζας των συνιστωσών περιόδου 5


Image:Mandel ie 1 3.jpg|εσωτερική ακτίνα της κύριας καρδιοειδούς γωνίας 1/3: ξεκινά από το κέντρο της κύριας καρδιοειδούς γ=0, καταλήγει στο σημείο ρίζας της συνιστώσας περιόδου 3, το οποίο είναι το σημείο προσγείωσης των (εξωτερικών) ακτίνων της παραμέτρου των γωνιών 1/7 και 2/7
Image:Iray.png|Εσωτερική ακτίνα για γωνία 1/3 της κύριας καρδιοειδούς που κατασκευάζεται με σύμμορφο χάρτη από τον μοναδιαίο κύκλο



File:Smiley mini Mandelbrot set with external rays.png| Μίνι σύνολο Μάντελμπροτ με περίοδο 134 και 2 εξωτερικές ακτίνες
File:Part of parameter plane with external 5 rays landing on the Mandelbrot set.png
File:One arm spiral - part of Mandelbrot set.png
File:Mini Mandelbrot set period=68 with external rays.png
File:Wakes near the period 3 island in the Mandelbrot set.png|Ξύπνημα κοντά στο νησί στην περίοδο 3
File:Wakes along the main antenna in the Mandelbrot set.png|Κύματα κατά μήκος της κύριας κεραίας


## Προγράμματα που μπορούν να σχεδιάσουν εξωτερικές ακτίνες
*Mandel  - program by Wolf Jung written in C++  using Qt  with source code available under the GNU General Public License
**Java applets by Evgeny Demidov ( code of mndlbrot::turn function by Wolf Jung has been ported to Java ) with free source code
** ezfract by Michael Sargent, uses the code by Wolf Jung
*OTIS  by Tomoki KAWAHIRA  - Java applet  without source code
*Spider XView program by Yuval Fisher 
*YABMP by Prof. Eugene Zaustinsky  for DOS without source code
*DH_Drawer  by Arnaud Chéritat written for Windows 95 without source code
*Linas Vepstas C programs   for Linux console with source code
*Program Julia by Curtis T. McMullen written in C and Linux commands for C shell console  with source codesource code
*mjwinq program by Matjaz Erat   written in delphi/windows without source code ( For the external rays it uses the methods from quad.c in julia.tar by  Curtis T McMullen)
*RatioField by Gert Buschmann, for windows with Pascal source code for Dev-Pascal 1.9.2 (with  Free Pascal compiler )
*Mandelbrot program by Milan Va, written in Delphi with source code
* Power MANDELZOOM by Robert Munafo
* ruff by Claude Heiland-Allen

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*Intertwined Internal Rays in Julia Sets of Rational Maps by Robert L. Devaney
*Extending External Rays Throughout the Julia Sets of Rational Maps by Robert L. Devaney With Figen Cilingir and Elizabeth D. Russell
*John Hubbard's presentation, The Beauty and Complexity of the Mandelbrot Set, part 3.1  
*videos by ImpoliteFruit
*

## Δείτε επίσης
*Αλγόριθμος διαμαντιού τετραγώνου
*Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
*Νιφάδα του Κοχ 
*Καμπύλη Χίλμπερτ
*Καμπύλη του δράκου
*Σπόγγος του Μένγκερ

*Σύνολο Μάντελμπροτ
*Σύνολο Julia
*Σύνολο Κάντορ
*Οικοδομήσιμο Σύμπαν
*Σύστημα-L

## Παραπομπές

 
 
Κατηγορία:Φράκταλ
Κατηγορία:Μιγαδικοί αριθμοί
Κατηγορία:Πολυώνυμα