Θεώρημα του Λιουβίλ (διαφορική άλγεβρα)

Στα μαθηματικά, το **θεώρημα του Λιουβίλ**, το οποίο διατυπώθηκε αρχικά από τον Γάλλο μαθηματικό Ζοζέφ Λιουβίλ το 1833 έως το 1841, θέτει έναν σημαντικό περιορισμό στις αντιπαραγωγές που μπορούν να εκφραστούν ως στοιχειώδεις συναρτήσεις.

Τα αντιπαράγωγα ορισμένων στοιχειωδών συναρτήσεων δεν μπορούν να εκφραστούν οι ίδιες ως στοιχειώδεις συναρτήσεις. Αυτές ονομάζονται μη στοιχειώδεις αντιπαραγωγές. Ένα τυπικό παράδειγμα μιας τέτοιας συνάρτησης είναι η e^{-x^2}, της οποίας το αντιπαράγωγο είναι (με πολλαπλασιαστή μια σταθερά) η συνάρτηση σφάλματος, γνωστή από τη στατιστική. Άλλα παραδείγματα περιλαμβάνουν τις συναρτήσεις
\frac{\sin (x)}{x} και x^x.

Το **θεώρημα του Λιουβίλ** δηλώνει ότι οι στοιχειώδεις αντιπαράγωγοι, αν υπάρχουν, βρίσκονται στο ίδιο διαφορικό σώμα με τη συνάρτηση, συν ενδεχομένως έναν πεπερασμένο αριθμό εφαρμογών της συνάρτησης του λογαρίθμου.

## Ορισμός

Για κάθε διαφορικό σώμα F, οι **σταθερές** του F είναι το υποσώμα

\operatorname{Con}(F) = \{ f \in F : D f = 0\}.

Δεδομένων δύο διαφορικών σωμάτων F και G, το G ονομάζεται ***' του <math>F</math> αν το <math>G</math> είναι μια απλή υπερβατική επέκταση του <math>F</math> (δηλαδή <math>G = F(t)</math> για κάποιο [[Υπερβατικός αριθμός|υπερβατικό]] <math>t</math>) τέτοια ώστε

<math >D t = \frac{D s}{s} \quad \text{ για κάποια } s \in F.</math>

Αυτό έχει τη μορφή λογαριθμικής παραγώγου. Διαισθητικά, μπορεί κανείς να σκεφτεί το <math>t</math> ως τον [[Λογάριθμος|λογάριθμο]] κάποιου στοιχείου <math>s</math> του <math>F,</math> οπότε, η συνθήκη αυτή είναι ανάλογη με τον συνηθισμένο κανόνα της αλυσίδας.  Ωστόσο, η <math>F</math> δεν είναι αναγκαστικά εξοπλισμένη με έναν μοναδικό [[Λογάριθμος|λογάριθμο]]- θα μπορούσε κανείς να προσαρτήσει πολλές "σαν λογάριθμο" επεκτάσεις στην <math>F.</math> Ομοίως, μια ***' είναι μια απλή υπερβατική επέκταση που ικανοποιεί την εξής συνθήκη

 \frac{D t}{t} = D s \quad \text{ για κάποια } s \in F.

Με την παραπάνω προειδοποίηση κατά νου, το στοιχείο αυτό μπορεί να θεωρηθεί ως εκθετικό ενός στοιχείου s του F.  Τέλος, το G ονομάζεται **** του F αν υπάρχει μια πεπερασμένη αλυσίδα υποσωμάτων από το F στο G όπου κάθε επέκταση στην αλυσίδα είναι είτε αλγεβρική, είτε λογαριθμική, είτε εκθετική.

## Βασικό θεώρημα

Έστω ότι F και G είναι διαφορικά σώματα με \operatorname{Con}(F) = \operatorname{Con}(G), και ότι G είναι μια στοιχειώδης διαφορική επέκταση του F.  Ας υποθέσουμε ότι f \in F και g \in G ικανοποιούν την D g = f (με άλλα λόγια, ας υποθέσουμε ότι G περιέχει ένα αντιπαράγωγο του f). 
Τότε υπάρχουν c_1, \ldots, c_n \in \operatorname{Con}(F) και f_1, \ldots, f_n, s \in F έτσι ώστε

f = c_1 \frac{D f_1}{f_1} + \dotsb + c_n \frac{D f_n}{f_n} + D s.

Με άλλα λόγια, οι μόνες συναρτήσεις που έχουν "στοιχειώδη αντιπαράγωγα" (δηλαδή αντιπαράγωγα που ζουν, στη χειρότερη περίπτωση, σε μια στοιχειώδη διαφορική επέκταση της F) είναι εκείνες με αυτή τη μορφή.  Έτσι, σε ένα διαισθητικό επίπεδο, το θεώρημα δηλώνει ότι τα μόνα στοιχειώδη αντιπαράγωγα είναι οι "απλές" συναρτήσεις συν ένας πεπερασμένος αριθμός λογαρίθμων των "απλών" συναρτήσεων.

Μια απόδειξη του θεωρήματος του Λιουβίλ μπορεί να βρεθεί στην ενότητα 12.4  του "Γκέντες" κ.λπ. Δείτε την επιστημονική βιβλιογραφία του Λύτσεν για ένα σκαρίφημα της αρχικής απόδειξης του Λιουβίλ  (Κεφάλαιο IX. Ολοκλήρωση με πεπερασμένους όρους), η σύγχρονη έκθεση και η αλγεβρική της επεξεργασία (ibid. §61).

## Παραδείγματα

Ως παράδειγμα, το σώμα F := \Complex(x) των ρητών συναρτήσεων σε μία μόνο μεταβλητή έχει μια παραγώγιση που δίνεται από την τυπική παράγωγος ως προς τη μεταβλητή αυτή. Οι σταθερές αυτού του σώματος είναι απλά οι μιγαδικοί αριθμοί \Complex; δηλαδή, \operatorname{Con}(\Complex(x)) = \Complex,

Η συνάρτηση f := \tfrac{1}{x}, που υπάρχει στο \Complex(x), δεν έχει αντιπαράγωγο στο \Complex(x). Τα αντιπαράγωγά της \ln x + C υπάρχουν, ωστόσο, στη λογαριθμική επέκταση

\Complex(x, \ln x).

Ομοίως, η συνάρτηση \tfrac{1}{x^2+1} δεν έχει αντιπαράγωγο στο \Complex(x). Τα αντιπαράγωγά της \tan^{-1}(x) + C δεν φαίνεται να ικανοποιούν τις απαιτήσεις του θεωρήματος, αφού δεν είναι (προφανώς) αθροίσματα ρητών συναρτήσεων και λογάριθμοι ρητών συναρτήσεων.  Ωστόσο, ένας υπολογισμός με τον τύπο του Όιλερ e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta δείχνει ότι στην πραγματικότητα τα αντιπαράγωγα μπορούν να γραφούν με τον απαιτούμενο τρόπο (ως λογάριθμοι ρητών συναρτήσεων).

\begin{align}
e^{2i \theta} & 
= \frac{e^{i \theta}}{e^{-i \theta}} 
= \frac{\cos \theta + i \sin \theta}{\cos \theta - i \sin \theta} 
= \frac{1 + i \tan \theta}{1 - i \tan \theta} \\
\theta & 
= \frac{1}{2i} \ln \left(\frac{1 + i \tan \theta}{1 - i \tan \theta}\right) \\
\tan^{-1} x & 
= \frac{1}{2i} \ln \left(\frac{1+ix}{1-ix}\right)
\end{align}

## Σχέση με τη διαφορική θεωρία Γκαλουά

Το **θεώρημα του Λιουβίλ** παρουσιάζεται μερικές φορές ως θεώρημα της διαφορικής θεωρίας Γκαλουά, αλλά αυτό δεν ανταποκρίνεται στην πραγματικότητα. Το θεώρημα μπορεί να αποδειχθεί χωρίς καμία χρήση της θεωρίας Γκαλουά. Επιπλέον, η ομάδα Γκαλουά ενός απλού αντιπαραγωγικού είναι είτε τετριμμένη (αν δεν απαιτείται επέκταση σώματος για να εκφραστεί), είτε είναι απλώς η προσθετική ομάδα των σταθερών (που αντιστοιχεί στη σταθερά ολοκλήρωσης). Ως εκ τούτου, η διαφορική ομάδα Γκαλουά μιας αντιπαραγωγού δεν κωδικοποιεί αρκετές πληροφορίες για να καθοριστεί αν μπορεί να εκφραστεί με τη χρήση στοιχειωδών συναρτήσεων, τη βασική προϋπόθεση του θεωρήματος του Λιουβίλ.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Σώμα διασπάσεως
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νοεροί υπολογισμοί

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

*
*
*
*
*
*
*
*
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα