Λογάριθμος του Τσεχ

Οι **λογάριθμοι Τσεχ** χρησιμοποιούνται για την υλοποίηση της πρόσθεσης σε πεπερασμένα σώματα όταν τα στοιχεία αναπαρίστανται ως δυνάμεις μιας γεννήτριας \alpha.

Οι λογάριθμοι Τσεχ πήραν το όνομά τους από τον Ιούλιους Τσεχ, και ονομάζονται επίσης λογάριθμοι Τσακόμπι, από τον Καρλ Γιάκομπ Γιακόμπι που τους χρησιμοποίησε για τις έρευνες σχετικά με τη θεωρία των αριθμών.

## Ορισμός
Δεδομένου ενός πρωταρχικού στοιχείου \alpha ενός πεπερασμένου σώματος, ο λογάριθμος Τσεχ σε σχέση με τη βάση \alpha ορίζεται από την εξίσωση
:\alpha^{Z_\alpha(n)} = 1 + \alpha^n,
η οποία συχνά αναδιατυπώνεται ως εξής
:Z_\alpha(n) = \log_\alpha(1 + \alpha^n).
Η επιλογή της βάσης \alpha συνήθως αποσύρεται από τον συμβολισμό όταν είναι σαφής από τα συμφραζόμενα.

Για την ακρίβεια, η Z_\alpha είναι μια συνάρτηση στους ακέραιους αριθμούς modulo την πολλαπλασιαστική τάξη της \alpha και παίρνει τιμές στο ίδιο σύνολο. Για την περιγραφή κάθε στοιχείου, είναι βολικό να προσθέσουμε επίσημα ένα νέο σύμβολο -\infty, μαζί με τους ορισμούς
:\alpha^{-\infty} = 0
:n + (-\infty) = -\infty 
:Z_\alpha(-\infty) = 0
:Z_\alpha(e) = -\infty
όπου e είναι ένας ακέραιος που ικανοποιεί \alpha^e = -1, δηλαδή e=0 για ένα σώμα χαρακτηριστικής 2, και e = \frac{q-1}{2} για ένα σώμα περιττής χαρακτηριστικής με q στοιχεία.

Χρησιμοποιώντας τον λογάριθμο Τσεχ, η αριθμητική των πεπερασμένων σωμάτων μπορεί να γίνει στην εκθετική αναπαράσταση:
:\alpha^m + \alpha^n = \alpha^m \cdot (1 + \alpha^{n-m}) = \alpha^m \cdot \alpha^{Z(n-m)} = \alpha^{m + Z(n-m)} 
:-\alpha^n = (-1) \cdot \alpha^n = \alpha^e \cdot \alpha^n = \alpha^{e+n}
:\alpha^m - \alpha^n = \alpha^m + (-\alpha^n) = \alpha^{m + Z(e+n-m)} 
:\alpha^m \cdot \alpha^n = \alpha^{m+n}
:\left( \alpha^m \right)^{-1} = \alpha^{-m}
:\alpha^m / \alpha^n = \alpha^m \cdot \left( \alpha^n \right)^{-1} = \alpha^{m - n}
Αυτοί οι τύποι παραμένουν αληθείς με τις συμβάσεις με το σύμβολο -\infty, με την επιφύλαξη ότι η αφαίρεση του -\infty είναι απροσδιόριστη. Ειδικότερα, οι τύποι πρόσθεσης και αφαίρεσης πρέπει να αντιμετωπίζουν το m = -\infty ως ειδική περίπτωση.

Αυτό μπορεί να επεκταθεί στην αριθμητική της προβολικής γραμμής με την εισαγωγή ενός άλλου συμβόλου +\infty που ικανοποιεί το \alpha^{+\infty} = \infty και άλλους κανόνες ανάλογα με την περίπτωση.

Για σώματα χαρακτηριστικής 2,
:Z_\alpha(n) = m \iff Z_\alpha(m) = n.

## Εφαρμογές

Για επαρκώς μικρά πεπερασμένα σώματα, ένας πίνακας λογαρίθμων Τσεχ επιτρέπει μια ιδιαίτερα αποδοτική υλοποίηση όλων των αριθμητικών πράξεων πεπερασμένων σωμάτων με βάση ένα μικρό αριθμό ακεραίων προσθέσεων/αφαιρέσεων και αναζητήσεων στον πίνακα.

Η χρησιμότητα αυτής της μεθόδου μειώνεται για μεγάλα σώματα, όπου δεν μπορεί κανείς να αποθηκεύσει αποτελεσματικά τον πίνακα. Η μέθοδος αυτή είναι επίσης αναποτελεσματική όταν εκτελούνται πολύ λίγες πράξεις στο πεπερασμένο σώμα, επειδή δαπανάται περισσότερος χρόνος για τον υπολογισμό του πίνακα από ό,τι για τον πραγματικό υπολογισμό.

## Παραδείγματα

Έστω  μια ρίζα του πρωταρχικού πολυωνύμου .  Η συνήθης αναπαράσταση των στοιχείων αυτού του σώματος είναι ως πολυώνυμα στο α βαθμού 2 ή μικρότερου.

Ένας πίνακας των λογαρίθμων Τσεχ για αυτό το σώμα είναι , , , , , , , και . Η πολλαπλασιαστική τάξη του  *α* είναι 7, sοπότε η εκθετική αναπαράσταση λειτουργεί με ακέραιους αριθμούς modulo 7.

Αφού το *α* είναι ρίζα του  τότε αυτό σημαίνει , ή αν θυμηθούμε ότι αφού όλοι οι συντελεστές είναι στο in&nbsp;GF(2),  η αφαίρεση είναι η ίδια με την πρόσθεση, έχουμε .

Η μετατροπή από εκθετική σε πολυωνυμική αναπαράσταση δίνεται από τη σχέση
:\alpha^3 = \alpha^2 + 1 (όπως φαίνεται παραπάνω)
:\alpha^4 = \alpha^3 \alpha = (\alpha^2 + 1)\alpha = \alpha^3 + \alpha = \alpha^2 + \alpha + 1
:\alpha^5 = \alpha^4 \alpha = (\alpha^2 + \alpha + 1)\alpha = \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha = \alpha^2 + 1 + \alpha^2 + \alpha = \alpha + 1
:\alpha^6 = \alpha^5 \alpha = (\alpha + 1)\alpha = \alpha^2 + \alpha

Χρησιμοποιώντας λογαρίθμους Τσεχ για τον υπολογισμό *α<sup> 6</sup> + α<sup> 3</sup>:*
:\alpha^6 + \alpha^3 = \alpha^{6 + Z(-3)} = \alpha^{6 + Z(4)} = \alpha^{6 + 6} = \alpha^{12} = \alpha^5,
ή, πιο αποτελεσματικά,
:\alpha^6 + \alpha^3 = \alpha^{3 + Z(3)} = \alpha^{3 + 2} = \alpha^5,
και την επαλήθευση στην πολυωνυμική αναπαράσταση:
:\alpha^6 + \alpha^3 = (\alpha^2 + \alpha) + (\alpha^2 + 1) = \alpha + 1 = \alpha^5.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Σώμα διασπάσεως
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νοεροί υπολογισμοί

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα