Αντίθετη κατηγορία

Στην θεωρία κατηγοριών, έναν κλάδο των μαθηματικών, η **αντίθετη κατηγορία** ή **δυϊκή κατηγορία** C^{\text{op}} μιας δεδομένης κατηγορίας C σχηματίζεται με την αντιστροφή των μορφισμών, δηλαδή με την ανταλλαγή της πηγής και του στόχου κάθε μορφισμού. Η διπλή αντιστροφή δίνει την αρχική κατηγορία, οπότε η αντίθετη της αντίθετης κατηγορίας είναι η ίδια η αρχική κατηγορία. Σε σύμβολα, (C^{\text{op}})^{\text{op}} = C. Η κατασκευή μπορεί να γενικευτεί σε ∞-κατηγορίες χρησιμοποιώντας το αντίθετο απλοϊκό σύνολο.

## Παραδείγμα
* Ένα παράδειγμα προέρχεται από την αντιστροφή της κατεύθυνσης των ανισοτήτων σε μια μερική διάταξη. Έτσι, αν *X* είναι ένα σύνολο και ≤  μια μερική διάταξη, μπορούμε να ορίσουμε μια νέα μερική διάταξη ≤op ως εξής

:: *x* ≤op *y*  αν και μόνο αν *y* ≤ *x*.

: Η νέα διάταξη ονομάζεται συνήθως διπλή διάταξη του  of ≤, και συνήθως συμβολίζεται με το ≥. Επομένως, η δυϊκότητα διαδραματίζει σημαντικό ρόλο στη θεωρία των διατάξεων και κάθε καθαρά θεωρητική έννοια διάταξης έχει μια δυική. Παραδείγματος χάριν, υπάρχουν αντίθετα ζεύγη όπως παιδί/γονέας, απόγονος/πρόγονος, Μέγιστο κάτω φράγμα, κάτω σύνολο/άνω σύνολο, ιδανικό/φίλτρο κ.λπ. Αυτή η δυϊκότητα της θεωρίας διάταξης είναι με τη σειρά της μια ειδική περίπτωση της κατασκευής αντίθετων κατηγοριών, καθώς κάθε ταξινομημένο σύνολο μπορεί να θεωρηθεί ως κατηγορία.
* Δεδομένου μιας ημι-ομάδας (*S*, ·), συνήθως ορίζεται η αντίθετη ημι-ομάδα ως (*S*, ·)op = (*S*, *) όπου *x***y* ≔ *y*·*x* για όλα τα *x*,*y* στο *S*. Έτσι, και για τις ημι-ομάδες υπάρχει μια ισχυρή αρχή δυϊκότητας. Προφανώς, η ίδια κατασκευή ισχύει και για τις ομάδες, και είναι γνωστή και στη θεωρία δακτυλίων, όπου εφαρμόζεται στο πολλαπλασιαστικό ημισύνολο του δακτυλίου για να δώσει τον αντίθετο δακτύλιο. Και πάλι, αυτή η διαδικασία μπορεί να περιγραφεί με την ολοκλήρωση μιας ημι-ομάδας σε ένα μονοειδές, λαμβάνοντας την αντίστοιχη αντίθετη κατηγορία και, στη συνέχεια, αφαιρώντας ενδεχομένως τη μονάδα από αυτό το μονοειδές.
* Η κατηγορία της άλγεβρας Μπουλ και των ομομορφισμών Μπουλ είναι ισοδύναμη με την **αντίθετη κατηγορία** των χώρων Στόουν και των συνεχών συναρτήσεων.
* Η κατηγορία των αφινικών σχημάτων είναι ισοδύναμη με την **αντίθετη κατηγορία** των αντιμεταθετικών δακτυλίων.

* Η δυϊκότητα του Ποντριάγκιν περιορίζεται σε μια ισοδυναμία μεταξύ της κατηγορίας των συμπαγών αβελιανών τοπολογικών ομάδων Χάουσντορφ και της αντίθετης κατηγορίας των (διακριτών) αβελιανών ομάδων.
* Σύμφωνα με το θεώρημα Γκέλφαντ-Νάιμαρκ, η κατηγορία των εντοπίσιμων μετρήσιμων χώρων (με μετρήσιμες απεικονίσεις) είναι ισοδύναμη με την κατηγορία των αντιμεταθετικών αλγεβρών Φον Νεύμαν (με κανονικές ομομορφισμούς *-αλγεβρών).

## Ιδιότητες
Αντίθετα, τα παράγωγα  που διατηρούνται:
:(C\times D)^{\text{op}} \cong C^{\text{op}}\times D^{\text{op}} (βλ. κατηγορία παραγώγων)

Αντίθετα διατηρεί τους συναρτητές:
:(\mathrm{Funct}(C,D))^{\text{op}} \cong \mathrm{Funct}(C^{\text{op}},D^{\text{op}}) (Βλ. κατηγορία συναρτητών, αντίθετος συναρτητής.)

Αντίθετα, διατηρεί τα τεμάχια:
:(F\downarrow G)^{\text{op}} \cong (G^{\text{op}}\downarrow F^{\text{op}}) (Βλ. κατηγορία κόμμα)

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
*
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


* 
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* star-autonomous category at the nLab
* 
* *This article is based in part on [http://www.planetmath.org PlanetMath]'s [http://planetmath.org/encyclopedia/TerminalObjectsAndZeroObjectsExamplesOfInitialObjects.html article on examples of initial and terminal objects].*
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
*
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα