Υποσυναρτητής

Στη θεωρία κατηγοριών, έναν κλάδο των μαθηματικών, ένας **υποσυναρτητής** είναι ένας ειδικός τύπος συναρτητής που είναι ανάλογος ενός υποσυνόλου.

## Ορισμός

Έστω **C** μια κατηγορία, και έστω *F* ένας ισαλλοίωτος συναρτητής από την **C** στην κατηγορία των συνόλων **Set**.  Ένας ισαλλοίωτος συναρτηστής *G* από τη **C** στο **Set** είναι **υποσυναρτηστής** του *F* αν
# Για όλα τα αντικείμενα **C**, *G*(*c*) ⊆ *F*(*c*), και
# Για όλα τα βέλη *f*:&nbsp;*c' *&nbsp;→&nbsp;*c* του **C**, *G*(*f*)  είναι ο περιορισμός του *F*(*f*) στο *G*(*c*).
Η σχέση αυτή γράφεται συχνά ως *G* ⊆ *F*.

Παραδείγματος χάριν, έστω **1** η κατηγορία με ένα μόνο αντικείμενο και με ένα μόνο βέλος. Ο συναρτηστής *F*:&nbsp;**1**&nbsp;→&nbsp;**Set**  απεικονίζει το μοναδικό αντικείμενο του **1** σε κάποιο σύνολο *S* και το μοναδικό ταυτοτικό βέλος του **1** στην ταυτοτική συνάρτηση 1*S* στο *S*.  Ένας υποσυναρτητής *G* του *F*  απεικονίζει το μοναδικό αντικείμενο του **1** σε ένα υποσύνολο *T* του *S* και απεικονίζει το μοναδικό ταυτοτικό βέλος στην ταυτοτική συνάρτηση 1*T* στο *T*.  Προσέξτε ότι 1*T* είναι ο περιορισμός του 1*S* στο *T*.  Συνεπώς, οι υποσυναρτητές του *F* αντιστοιχούν σε υποσύνολα του *S*.

## Παρατηρήσεις

Οι υποσυναρτητές γενικά είναι σαν τις συνολικές εκδοχές των υποσυνόλων. Επί παραδείγματι, αν κάποιος φανταστεί ότι τα αντικείμενα κάποιας κατηγορίας **C** είναι ανάλογα με τα ανοικτά σύνολα ενός τοπολογικού χώρου, τότε ένας ισαλλοίωτος συναρτητής από την **C** στην κατηγορία των συνόλων δίνει ένα σύνολο τιµών προδεματίου στην **C**, δηλαδή συσχετίζει σύνολα με τα αντικείμενα της **C** με τρόπο συμβατό με τα βέλη της **C**.  Ένας υποσυναρτητής στη συνέχεια  συσχετίζει ένα υποσύνολο με κάθε σύνολο, και πάλι με συμβατό τρόπο. 

Τα πιο σημαντικά παραδείγματα υποσυναρτητών είναι οι υποσυναρτητές του συναρτητή Hom. Έστω *c* ένα αντικείμενο της κατηγορίας **C**, αι ας εξετάσουμε τον συναρτητή .  Αυτός ο συναρτητής παίρνει ένα αντικείμενο *c' * της **C** και επιστρέφει όλους τους μορφισμούς *c' *&nbsp;→&nbsp;*c*.  Ένας υποσυναρτητής του  επιστρέφει μόνο μερικούς από τους μορφισμούς. Ένας τέτοιος υποσυναρτητής ονομάζεται κόσκινο και χρησιμοποιείται συνήθως κατά τον ορισμό των τοπολογιών Γκρότεντικ. 

## Ανοικτοί υποσυναρτητές

Οι **υποσυναρτητές** χρησιμοποιούνται επίσης στην κατασκευή αναπαραστάσιμων συναρτητών στην κατηγορία των δακτυλιωτών χώρων. Έστω *F* ένας ισαλλοίωτος συναρτητής από την κατηγορία των δακτυλιωτών χώρων στην κατηγορία των συνόλων, και έστω *G* ⊆ *F*. Ας υποθέσουμε ότι αυτός ο μορφισμός εγκλεισμού *G*&nbsp;→&nbsp;*F* είναι αναπαραστάσιμος από ανοικτές εμβαπτίσεις, δηλ, για κάθε αναπαραστάσιμο συναρτητή   και κάθε μορφισμό , το ινώδες γινόμενο  είναι ένας αναπαραστάσιμος συναρτητής  και ο μορφισμός *Y*&nbsp;→&nbsp;*X* που ορίζεται από το λήμμα Γιονέντα είναι μια ανοικτή εμβάπτιση.   Τότε ο *G* ονομάζεται **ανοικτός υποσυναρτητής** του *F*.  Αν ο *F* καλύπτεται από αναπαραστάσιμους ανοικτούς υποσυναρτητές, τότε, υπό ορισμένες προϋποθέσεις, μπορεί να αποδειχθεί ότι ο *F* είναι αναπαραστάσιμος. Αυτή είναι μια χρήσιμη τεχνική για την κατασκευή δακτυλιωτών χώρων. Ανακαλύφθηκε και αξιοποιήθηκε σε μεγάλο βαθμό από τον Άλεξαντερ Γκρότεντικ, ο οποίος την εφάρμοσε ειδικά στην περίπτωση των σχημάτων. Για μια επίσημη δήλωση και απόδειξη, βλέπε Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique (Γκρότεντικ, Στοιχεία αλγεβρικής γεωμετρίας), τόμος 1, 2η έκδοση, κεφάλαιο 0, ενότητα 4.5. 

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή κατηγορία
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
*
*
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
* 

*The standard reference is the fourth volume of the Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie.
*Francis, J.  Derived Algebraic Geometry Over <math>\mathcal{E}_n</math>-Rings
*Grothendieck Duality for Derived Stacks
*
*
* 
*

*
*Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
*
*
*
* 
* 
* Categorical programming with inductive and coinductive types () by Varmo Vene
* Philip Wadler: Recursive types for free! () University of Glasgow, June 1990. Draft.
* Algebra and coalgebra () from CLiki
* B. Jacobs, J. Rutten: A Tutorial on (Co) Algebras and (Co) Induction. Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, vol. 62, 1997, 
* Understanding F-Algebras () by Bartosz Milewski
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Γενική τοπολογία 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών 
Κατηγορία:Συναρτητές 
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα