Κατάλογος ολοκληρωμάτων των λογαριθμικών συναρτήσεων

Ακολουθεί o **Κατάλογος ολοκληρωμάτων (αντιπαράγωγων ολοκληρωμάτων) των λογαριθμικών συναρτήσεων**. Για έναν πλήρη κατάλογο ολοκληρωτικών συναρτήσεων, δείτε τον κατάλογο ολοκληρωτικών. 

*Σημείωση:* *x* &gt; 0 υποτίθεται σε όλο το παρόν άρθρο, και η σταθερά ολοκλήρωσης παραλείπεται για λόγους απλότητας.

## Ολοκληρώματα που περιλαμβάνουν μόνο λογαριθμικές συναρτήσεις
: \int\log_a x\,dx = x\log_a x - \frac{x}{\ln a} = \frac{x}{\ln a}(\ln x - 1)

: \int\ln(ax)\,dx = x\ln(ax) - x = x(\ln(ax) - 1)

: \int\ln (ax + b)\,dx = \frac{ax+b}{a}(\ln(ax+b) - 1)

: \int (\ln x)^2\,dx = x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x

: \int (\ln x)^n\,dx = (-1)^n n! x \sum^{n}_{k=0} \frac{(-\ln x)^k}{k!}

: \int \frac{dx}{\ln x} = \ln|\ln x| + \ln x + \sum^\infty_{k=2}\frac{(\ln x)^k}{k\cdot k!}

: \int \frac{dx}{\ln x} = \operatorname{li}(x), το λογαριθμικό ολοκλήρωμα.

: \int \frac{dx}{(\ln x)^n} = -\frac{x}{(n-1)(\ln x)^{n-1}} + \frac{1}{n-1}\int\frac{dx}{(\ln x)^{n-1}} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}

: \int \ln f(x)\,dx = x\ln f(x) - \int x\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx \qquad\mbox{(for differentiable } f(x) > 0\mbox{)}

## Ολοκληρώματα που περιλαμβάνουν λογαριθμικές και δυναμικές συναρτήσεις

: \int x^m\ln x\,dx = x^{m+1}\left(\frac{\ln x}{m+1}-\frac{1}{(m+1)^2}\right) \qquad\mbox{(for }m\neq -1\mbox{)}

: \int x^m (\ln x)^n\,dx = \frac{x^{m+1}(\ln x)^n}{m+1} - \frac{n}{m+1}\int x^m (\ln x)^{n-1} dx  \qquad\mbox{(for }m\neq -1\mbox{)}

: \int \frac{(\ln x)^n\,dx}{x} = \frac{(\ln x)^{n+1}}{n+1}  \qquad\mbox{(for }n\neq -1\mbox{)}

: \int \frac{\ln x\,dx}{x^m} = -\frac{\ln x}{(m-1)x^{m-1}}-\frac{1}{(m-1)^2 x^{m-1}} \qquad\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)}

: \int \frac{(\ln x)^n\,dx}{x^m} = -\frac{(\ln x)^n}{(m-1)x^{m-1}} + \frac{n}{m-1}\int\frac{(\ln x)^{n-1} dx}{x^m} \qquad\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)}

: \int \frac{x^m\,dx}{(\ln x)^n} = -\frac{x^{m+1}}{(n-1)(\ln x)^{n-1}} + \frac{m+1}{n-1}\int\frac{x^m dx}{(\ln x)^{n-1}}  \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}

: \int \frac{dx}{x \ln x} = \ln \left|\ln x\right|

: \int \frac{dx}{x \ln x \ln \ln x} = \ln \left|\ln \left|\ln x\right| \right|, etc.

: \int \frac{dx}{x\ln \ln x} = \operatorname{li}(\ln x)

: \int \frac{dx}{x^n\ln x} = \ln \left|\ln x\right| + \sum^\infty_{k=1} (-1)^k\frac{(n-1)^k(\ln x)^k}{k\cdot k!}

: \int \frac{dx}{x(\ln x)^n} = -\frac{1}{(n-1)(\ln x)^{n-1}} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}

: \int \ln(x^2+a^2)\,dx = x\ln(x^2+a^2)-2x+2a\tan^{-1} \frac{x}{a}

: \int \frac{x}{x^2+a^2}\ln(x^2+a^2)\,dx = \frac{1}{4} \ln^2(x^2+a^2)

## Ολοκληρώματα που περιλαμβάνουν λογαριθμικές και τριγωνομετρικές συναρτήσεις

: \int \sin (\ln x)\,dx = \frac{x}{2}(\sin (\ln x) - \cos (\ln x))

: \int \cos (\ln x)\,dx = \frac{x}{2}(\sin (\ln x) + \cos (\ln x))

## Ολοκληρώματα που περιλαμβάνουν λογαριθμικές και εκθετικές συναρτήσεις

: \int e^x \left(x \ln x - x - \frac{1}{x}\right)\,dx = e^x (x \ln x - x - \ln x) 

: \int \frac{1}{e^x} \left( \frac{1}{x}-\ln x \right)\,dx = \frac{\ln x}{e^x} 

: \int e^x \left( \frac{1}{\ln x}- \frac{1}{x(\ln x)^2} \right)\,dx = \frac{e^x}{\ln x} 

## ''n'' διαδοχικά ολοκληρώματα

Για n διαδοχικά ολοκληρώματα, ο τύπος

: \int\ln x\,dx = x(\ln x - 1) +C_{0} 

γενικεύεται ως εξής

: \int\dotsi\int\ln x\,dx\dotsm dx    =   \frac{x^{n}}{n!}\left(\ln\,x-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\right)+ \sum_{k=0}^{n-1} C_{k} \frac{x^{k}}{k!} 

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Τριγωνομετρική συνάρτηση
* Συνάρτηση γάμμα
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Ρητή συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπερβολικές συναρτήσεις
* Κατάλογος ολοκληρωμάτων των υπερβολικών συναρτήσεων
* Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Μιγαδικός αριθμός
* Πολυώνυμο
* Ακέραιος αριθμός

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
*
*Toyesh Prakash Sharma, https://www.isroset.org/pdf_paper_view.php?paper_id=2214&7-ISROSET-IJSRMSS-05130.pdf
* 
* 

Κατηγορία:Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
Κατηγορία:Ολοκληρώματα