Τετράπλευρο

Στην γεωμετρία, το **τετράπλευρο** είναι ένα πολύγωνο με τέσσερις κορυφές και τέσσερις πλευρές. Ένα τετράπλευρο με κυρτό χωρίο λέγεται **κυρτό τετράπλευρο**. Ένα τετράπλευρο του οποίου οι μη-διαδοχικές πλευρές δεν τέμνονται, λέγεται **απλό**.

## Ταξινόμηση

Τα τετράπλευρα μπορούν να ταξινομηθούν βάσει διαφόρων κριτηρίων όπως την κυρτότητα του χωρίου, την παραλληλία των πλευρών και την ισότητα γωνιών ή πλευρών, την καθετότητα των διαγωνίων του, κ.ά.

Σημαντικές ειδικές περιπτώσεις είναι συγκεκριμένα οι παρακάτω:

* Τραπέζιο: ένα κυρτό τετράπλευρο όπου δύο απέναντι πλευρές είναι παράλληλες.
* Ισοσκελές τραπέζιο: ένα τραπέζιο όπου οι μη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.
* Ορθογώνιο τραπέζιο: ένα τραπέζιο με δύο ορθές γωνίες προσκείμενες σε μία μη-παράλληλη πλευρά.
* Παραλληλόγραμμο: ένα κυρτό τετράπλευρο όπου οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες (και ίσες).
* Ορθογώνιο: ένα παραλληλόγραμμο με τέσσερις ορθές γωνίες.
* Ρόμβος: ένα παραλληλόγραμμο όπου όλες του οι πλευρές είναι ίσες.
* Τετράγωνο: ένα παραλληλόγραμμο που είναι ταυτόχρονα ορθογώνιο και ρόμβος. Είναι το κανονικό τετράπλευρο, καθώς έχει όλες του τις πλευρές και τις γωνίες ίσες.
* Ορθοδιαγώνιο: ένα τετράπλευρο όπου οι διαγώνιοι του τέμνονται κάθετα.
* δελτοειδές: ένα τετράπλευρο με τις γειτονικές πλευρές ίσες ανά δύο.
* Εγγράψιμο: ένα τετράπλευρο του οποίου οι κορυφές ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
* Περιγράψιμο: ένα τετράπλευρο για το οποίο υπάρχει κύκλος που εφάπτεται σε όλες του τις πλευρές. Αν ο κύκλος είναι εξωτερικός, τότε λέγεται περιγεγραμμένο.

## Βασικές ιδιότητες
* Σε κάθε απλό τετράπλευρο το άθροισμα των γωνιών του είναι 360^\circ.

* Κάθε τετράπλευρο έχει δύο διαγωνίους. 
* Σε ένα κυρτό τετράπλευρο οι δύο διαγώνιοι τέμνονται σε εσωτερικό σημείο του τετραπλεύρου.

## Εμβαδόν
Έστω ένα τετράπλευρο \rm AB\Gamma\Delta με πλευρές \alpha, \beta, \gamma, \delta. Υπάρχουν οι εξής τύποι για το εμβαδόν του:
* (**[[Τύπος Bretschneider]]**) Το εμβαδόν του τετραπλεύρου ισούται με
::
  \mathrm{E} = \sqrt{(\tau - \alpha) \cdot (\tau - \beta) \cdot (\tau - \gamma) \cdot (\tau - \delta) - \frac{1}{2} \alpha \beta \gamma \delta \cdot (1 + \cos({\rm A} + {\rm \Gamma}))}
,
:όπου \tau = \tfrac{1}{2} \cdot (\alpha + \beta + \gamma + \delta) η ημιπερίμετρος του τετράπλευρου.
:* (**[[Τύπος Βραχμαγκούπτα]]**) Στην ειδική περίπτωση που το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο (και \hat{\rm A} + \hat{\rm \Gamma} = 180^\circ), ο τύπος απλοποείται σε
:::{\rm E} = \sqrt{(\tau - \alpha) \cdot (\tau - \beta) \cdot (\tau - \gamma) \cdot (\tau - \delta)}.
* Αν \delta_1 = {\rm A\Gamma} και \delta_2 = {\rm B\Delta} τα μήκη των διαγωνίων του και \varphi η μεταξύ τους γωνία, τότε
::{\rm E} = \frac{1}{2} \delta_1\cdot\delta_2 \sin \varphi.
:* Στην ειδική περίπτωση των ορθοδιαγώνιων τετραπλεύρων (όπου \varphi = 90^\circ), ο τύπος απλοποιείται σε
:::{\rm E} = \frac{1}{2}  \delta_1\cdot\delta_2 .
* Αν \delta_1 = {\rm A\Gamma} και \delta_2 = {\rm B\Delta} τα μήκη των διαγωνίων του και \mu_1, \mu_2 τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων που συνδέουν τα μέσα των απέναντι πλευρών του τότε
::{\rm E} =\frac{1}{2}\cdot\sqrt{\delta_1^2 \cdot \delta_2^2-(\mu_1^2 - \mu_2^2)^2}.
* Έστω \vec{p} και \vec{q} τα διανύσματα των διαγωνίων του τετράπλευρου, τότε το εμβαδόν του ισούται με το μέτρο του εξωτερικού γινομένου τους,
::{\rm E} = \frac{1}{2} \cdot |\vec{p} \times \vec{q}|.
* Από τον παραπάνω τύπο προκύπτει ότι αν {\rm A} = (x_1, y_1), {\rm B} = (x_2, y_2), {\rm \Gamma} = (x_3, y_3) και {\rm \Delta} = (x_4, y_4), τότε 
::{\rm E} = \frac{1}{2} |(x_3 - x_1) \cdot (y_4 - y_2) - (x_4 - x_2) \cdot (y_3 - y_1)|.
* Από όλα τα τετράπλευρα με την ίδια περίμετρο, το τετράγωνο είναι το τετράπλευρο με το μέγιστο εμβαδόν.

## Διαγώνιοι
Για τις διαγώνιους \delta_1 = \rm A\Gamma και \delta_2 = \rm B\Delta του τετράπλευρου \rm AB\Gamma\Delta, ισχύουν οι εξής ιδιότητες:
* Από τον νόμο των συνημιτόνων, σε ένα κυρτό πολύγωνο, ισχύει ότι 
::\delta_1=\sqrt{\alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta\cos{\rm B}} = \sqrt{\gamma^2+\delta^2-2\gamma\delta\cos{\rm \Delta}},
:και
::\delta_2=\sqrt{\alpha^2+\delta^2-2\alpha\delta\cos{\rm A}} = \sqrt{\beta^2+\gamma^2-2\beta\gamma\cos{\rm \Gamma}}.
* Το γινόμενο των διαγωνίων δίνεται από τον τύπο
::\delta_1^2\delta_2^2 = \alpha^2\gamma^2 + \beta^2\delta^2-2\alpha\beta\gamma\delta\cos{({\rm A} + {\rm \Gamma})}.
* (**[[Θεώρημα του Όιλερ (τετράπλευρα)|Θεώρημα Όιλερ]]**) Σε ένα  τετράπλευρο \rm AB\Gamma\Delta, ισχύει ότι
::\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + \delta^2 = \delta_1^2 + \delta_2^2 + 4 \cdot {\rm MN}^2,
:όπου \rm M, N τα μέσα των διαγωνίων του  \delta_1 και \delta_2 αντίστοιχα.
* Η γωνία \varphi μεταξύ των διαγωνίων ικανοποιεί
::\cos \varphi = \frac{\alpha^2 + \gamma^2 - \beta^2 - \delta^2}{2 \delta_1\delta_2}.
* Η τομή των διαγωνίων είναι το σημείο που ελαχιστοποιεί την απόσταση προς τις κορυφές του τετράπλευρου, και επομένως είναι το σημείο Φερμά του τετράπλευρου.

* (**[[Ευθεία Νεύτωνα]]**) Η ευθεία Νεύτωνα ενός τετράπλευρου (που δεν είναι παραλληλόγραμμο) είναι η ευθεία που περιέχει τα μέσα των διαγωνίων της, και επίσης περιέχει το σημείο τομής των ευθυγράμμων τμημάτων που συνδέει τα μέσα των απέναντι πλευρών της.

* (**[[Θεώρημα Αν]]**) Η ευθεία Νεύτωνα ενός τετραπλεύρου \rm AB\Gamma\Delta είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων \rm P που ικανοποιούν την εξής σχέση
::{\rm E}_{\rm PAB} + {\rm E}_{\rm P\Gamma\Delta} = {\rm E}_{\rm PB\Gamma} + {\rm E}_{\rm P\Delta A}.

* (**[[Θεώρημα Μπρούνε]]**) Έστω \rm M και \rm N τα μέσα των διαγωνίων του \rm A\Gamma και \rm B\Delta αντίστοιχα, και \rm O το σημείο που τέμνεται η παράλληλη από το \rm M στην \rm B\Delta και από την \rm N στην \rm A\Gamma. Τότε, τα τετάπλευρα που σχηματίζονται ενώνοντας το \rm O με τα μέσα \rm M_1, M_2, M_3, M_4 των πλευρών του τετραπλεύρου έχουν ίσα εμβαδά, δηλαδή
::\rm E_{M_4AM_1O} = E_{M_1BM_2O} = E_{M_2\Gamma M_3O} = E_{M_3\Delta M_1O} = \frac{1}{4} E_{AB\Gamma\Delta}.

## Ανισοτικές σχέσεις
* (**[[Ανισότητα Πτολεμαίου]]**) Σε κάθε μη εγγράψιμο τετράπλευρο \rm AB\Gamma\Delta το γινόμενο των διαγωνίων του είναι μικρότερο από το άθροισμα των γινομένων των ζευγών των απέναντι πλευρών του
::\rm A\Gamma \cdot B\Delta .
* Για οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο \rm P ενός κυρτού τετραπλεύρου \rm AB\Gamma\Delta, ισχύει ότι
::\rm A\Gamma + B\Delta \leq AP+BP+\Gamma P + \Delta P.
:**Σημείωση:** Αυτό αποδεικνύει ότι το σημείο τομής των διαγωνίων του τετραπλεύρου είναι το σημείο που ελαχιστοποιεί τις αποστάσεις από τις κορυφές του.
* Από το θεώρημα του Όιλερ, έπεται ότι 
::\rm AB^2 + B\Gamma^2 + \Gamma\Delta^2 + \Delta A^2 \geq A\Gamma^2 + B\Delta^2.
* Σε κάθε τετράπλευρο \rm AB\Gamma\Delta,
::\rm A\Gamma + B\Delta > AB + A\Gamma και \tau , 
:όπου \tau η ημιπερίμετρος του τετραπλεύρου.

## Διχοτόμοι

* Οι διχοτόμοι των γωνιών ενός τετράπλευρου δημιουργούν ένα εγγράψιμο τετράπλευρο ή συντρέχουν (όταν το τετράπλευρο είναι περιγεγραμμένο).

## Κύκλοι Όιλερ

(**[[Σημείο Πονσελέ]]**) Οι κύκλοι Όιλερ που ορίζουν τα τρίγωνα \rm AB\Gamma, \rm B\Gamma\Delta, \rm \Gamma\Delta A και \rm \Delta AB συντρέχουν.

## Βαρύκεντρο τετραπλεύρου
* (**[[Θεώρημα Βαρινιόν]]**) Σε ένα τετράπλευρο \mathrm{AB\Gamma\Delta} τα μέσα \mathrm{M}_1, \mathrm{M}_2, \mathrm{M}_3, \mathrm{M}_4 των πλευρών του, δημιουργούν ένα παραλληλόγραμμο. Το παραλληλόγραμμο αυτό είναι γνωστό ως το **παραλληλόγραμμο Βαρινιόν** και έχει
** εμβαδόν ίσο με το μισό του τετραπλεύρου, και
** περίμετρο ίση με το ημιάθροισμα των διαγωνίων του.
* Τα ευθύγραμμα τμήματα που ενώνουν τα απέναντι μέσα διχοτομούνται. Το σημείο που διχοτομούνται είναι το κέντρο του παραλληλογράμμου Βαρινιόν και το **βαρύκεντρο** του τετραπλεύρου.

### Ιδιότητες
* Το βαρύκεντρο είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος που ενώνει τα μέσα των διαγωνίων του τετραπλεύρου.
* Οι τέσσερις ευθείες που ενώνουν τις κορυφές του τετραπλεύρου με τα βαρύκεντρα των τριγώνων που σχηματίζονται από υπόλοιπες τρεις κορυφές συντρέχουν στο βαρύκεντρο του τετραπλεύρου.

## Περαιτέρω ανάγνωση

### Ελληνικά άρθρα
*
* 

### Ξενόγλωσσα άρθρα
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Δείτε επίσης
* Τρίγωνο
* Τετράγωνο
* Πολύγωνο

## Σημειώσεις

## Παραπομπές


*