Υπερβολικές συναρτήσεις

256px|thumb|Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων <span style="color:#b30000;">sinh</span>, <span style="color:#00b300;">cosh</span> και <span style="color:#0000b3;">tanh</span>
256px|thumb|Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων <span style="color:#b30000;">csch</span>, <span style="color:#00b300;">sech</span> και <span style="color:#0000b3;">coth</span>

Στα μαθηματικά, οι **υπερβολικές συναρτήσεις** είναι ανάλογες των συμβατικών τριγωνομετρικών ή κυκλικών συναρτήσεων. Οι βασικές υπερβολικές συναρτήσεις είναι το **υπερβολικό ημίτονο** (συμβολίζεται *sinh*) και το **υπερβολικό συνημίτονο** (*cosh*), από τις οποίες προκύπτουν η **υπερβολική εφαπτομένη** (*tanh*) και οι υπόλοιπες υπερβολικές, κατ' αναλογία των παράγωγων τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Οι συναρτήσεις αυτές ονομάστηκαν έτσι επειδή η γεωμετρική σχέση τους με μία υπερβολή είναι σχεδόν ίδια με την σχέση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων με την περιφέρεια.

## Αλγεβρικές εκφράσεις
* Υπερβολικό ημίτονο
:\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = -i \sin ix \!
* Υπερβολικό συνημίτονο
:\cosh x =  \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} = \cos ix \!
* Υπερβολική εφαπτομένη
:\tanh x =  \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1} = -i \tan ix \!
* Υπερβολική συνεφαπτομένη
:\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i  \cot ix \!
* Υπερβολική τέμνουσα
:\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} = \sec {ix} \!
* υπερβολική συντέμνουσα
:\operatorname{cosech} x = \frac{1}{\sinh x} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} = i\,\csc\,ix \!

Όπου i  είναι η φανταστική μονάδα που ορίζεται ως i ^2=-1.

## Χρήσιμες σχέσεις
:\sinh(-x) = -\sinh x\,\!
:\cosh(-x) =  \cosh x\,\!

Οπότε:

:\tanh(-x) = -\tanh x\,\!
:\coth(-x) = -\coth x\,\!
:\operatorname{sech}(-x) =  \operatorname{sech}\, x\,\!
:\operatorname{cosech}(-x) = -\operatorname{cosech}\, x\,\!

Προκύπτει δηλαδή ότι οι cosh *x* και sech *x* είναι άρτιες συναρτήσεις, ενώ οι υπόλοιπες είναι περιττές συναρτήσεις.

:\operatorname{sech}^{-1}x=\cosh ^{-1}\left( \frac{1}{x} \right)

:\operatorname{cosech}^{-1}x=\sinh ^{-1}\left( \frac{1}{x} \right)

:\coth ^{-1}x=\tanh ^{-1}\left( \frac{1}{x} \right)

Τα υπερβολικά ημίτονα και συνημίτονα ικανοποιούν τη σχέση:
:\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\,
η οποία είναι αντίστοιχη της συμβατικής τριγωνομετρικής σχέσης:
:\sin^2 x + \cos^2 x = 1\,

Η υπερβολική εφαπτομένη είναι λύση του μη γραμμικού προβλήματος οριακών τιμών.:

:\frac 1 2 f* = f^3 - f \qquad ; \qquad f(0) = f'(\infty) = 0</math>

== Αντίστροφες υπερβολικές εκφρασμένες με [[λογάριθμος|λογάριθμους]] ==
:<math>\sinh ^{-1}x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}+1} \right)</math>

:<math>\cosh ^{-1}x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}-1} \right);x\ge 1</math>

:<math>\tanh ^{-1}x=\frac{1}{2}\ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right);\left| x \right|<1</math>

:<math>\operatorname{sech}^{-1}x=\ln \left( \frac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x} \right);0<x\le 1</math>

:<math>\operatorname{cosech}^{-1}x=\ln \left( \frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{\left| x \right|} \right)</math>

:<math>\coth ^{-1}x=\frac{1}{2}\ln \left( \frac{x+1}{x-1} \right);\left| x \right|>1</math>

== [[Παράγωγος|Παράγωγοι]] ==
:<math> \frac{d}{dx}\sinh(x) = \cosh(x) \,</math>

:<math> \frac{d}{dx}\cosh(x) = \sinh(x) \,</math>

:<math> \frac{d}{dx}\tanh(x) = 1 - \tanh^2(x) = \hbox{sech}^2(x) = 1/\cosh^2(x) \,</math> 

:<math> \frac{d}{dx}\coth(x) = 1 - \coth^2(x) = -\hbox{csch}^2(x) = -1/\sinh^2(x) \,</math>

:<math> \frac{d}{dx}\ \hbox{csch(x)} = - \coth(x)\ \hbox{csch(x)}\,</math>

:<math> \frac{d}{dx}\ \hbox{sech(x)} = - \tanh(x)\ \hbox{sech(x)}\,</math>

:<math>\frac{d}{dx}\left( \sinh ^{-1}x \right)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}</math>

:<math>\frac{d}{dx}\left( \cosh ^{-1}x \right)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}</math>

:<math>\frac{d}{dx}\left( \tanh ^{-1}x \right)=\frac{1}{1-x^{2}}</math>

:<math>\frac{d}{dx}\left( \operatorname{csch}^{-1}x \right)=-\frac{1}{\left| x \right|\sqrt{1+x^{2}}}</math>

:<math>\frac{d}{dx}\left( \operatorname{sech}^{-1}x \right)=-\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}}</math>

:<math>\frac{d}{dx}\left( \coth ^{-1}x \right)=\frac{1}{1-x^{2}}</math>

== Συνήθη [[ολοκλήρωμα|ολοκληρώματα]] ==

:<math>\int\sinh ax\,dx = \frac{1}{a}\cosh ax + C</math>

:<math>\int\cosh ax\,dx = \frac{1}{a}\sinh ax + C</math>

:<math>\int \tanh ax\,dx = \frac{1}{a}\ln(\cosh ax) + C</math>

:<math>\int \coth ax\,dx = \frac{1}{a}\ln(\sinh ax) + C</math>

:<math>\int{\frac{du}{\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C</math>

:<math>\int{\frac{du}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C</math>

:<math>\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=\frac{1}{a}\tanh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C; u^{2}<a^{2}</math>

:<math>\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=\frac{1}{a}\coth ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C; u^{2}>a^{2}</math>

:<math>\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}-u^{2}}}}=-\frac{1}{a}\operatorname{sech}^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C</math>

:<math>\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=-\frac{1}{a}\operatorname{csch}^{-1}\left| \frac{u}{a} \right|+C</math>

Στις πιο πάνω σχέσεις, *C'' καλούμε την σταθερά ολοκλήρωσης.

## Σχέσεις με σειρά Τέιλορ
Είναι δυνατόν να εκφράσουμε τις υπερβολικές συναρτήσεις με χρήση σειράς Taylor:

:\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

:\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}

:\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | 

:\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0  (Σειρά Laurent)

:\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | 

:\operatorname {csch}\, x = \frac {1} {x} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , 0  (Σειρά Laurent)

όπου

:B_n \, είναι ο νιοστός αριθμός Μπερνούλι
:E_n \, είναι ο νιοστός αριθμός Όιλερ

## Αναφορές


## Δείτε επίσης
* Τριγωνομετρικές συναρτήσεις
* Υπερβολή (γεωμετρία)

Κατηγορία:Τριγωνομετρία
Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις