Πίνακας περιστροφής

right|thumb|350px|Περιστροφή του σημείου <math>\mathbf{p}</math> αριστερόστροφα ως προς την αρχή των αξόνων <math>(0, 0)</math> κατά γωνία <math>\theta</math>.

Στη γραμμική άλγεβρα ο **πίνακας περιστροφής** είναι ο πίνακας που αντιστοιχεί στην γραμμική απεικόνιση της περιστροφής ενός σημείου αριστερόστροφα ως προς την αρχή των αξόνων. Στις δύο διαστάσεις για γωνία \theta, ο πίνακας της περιστροφής είναι ίσος με
:
R(\theta) = \begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix} 
,
όπου \sin \theta είναι το ημίτονο και \cos \theta το συνημίτονο της γωνίας \theta.

Οι πίνακες αυτοί χρησιμοποιούνται στα γραφικά υπολογιστών, την ρομποτική, την μηχανική και σε άλλες επιστήμες.

## Στις δύο διαστάσεις
### Τύπος
right|thumb|350px|Περιστροφή του σημείου <math>\mathbf{p} = (x, y)</math> αριστερόστροφα ως προς την αρχή των αξόνων <math>(0, 0)</math> κατά γωνία <math>\theta</math>, ώστε να πάρουμε το <math>\mathbf{p}' = (x', y')</math>. Η γωνία <math>\phi</math> είναι η γωνία του <math>\mathbf{p}</math> με την αρχή των αξόνων και <math>\ell</math> είναι το μήκος του <math>\mathbf{p}</math> (και του <math>\mathbf{p}'</math>).

Στις δύο διαστάσεις ο πίνακας περιστροφής κατά γωνία \theta αριστερόστροφα γύρω από την αρχή των αξόνων δίνεται ως εξής
:
R(\theta) = \begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}.


#### Απόδειξη
Θεωρούμε ένα σημείο \mathbf{p} = (x, y) στο επίπεδο. Έστω \ell = |\mathbf{p}| = \textstyle \sqrt{x^2 + y^2} η απόσταση του από την αρχή των αξόνων και \phi η γωνία μεταξύ του \mathbf{p} και του άξονα xx'. Τότε x = \ell \cdot \cos \phi και y = \ell \cdot \sin \phi.

Έστω \mathbf{p}' = (x', y') το σημείο \mathbf{p} περιεστρεμμένο κατά γωνία \theta αριστερόστροφα της αρχής των αξόνων. Τότε η γωνία του \mathbf{p}' με τον xx' είναι \phi + \theta και το μήκος του είναι |\mathbf{p}'| = |\mathbf{p}| = \ell. Επομένως, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις για το άθροισμα γωνιών, ισχύει ότι
:
\begin{align}
x' 
 & = \ell \cdot \cos (\phi + \theta) \\
 & = \ell \cdot \cos \phi \cos \theta - \ell \cdot \sin \phi \sin \theta \\
 & = (\ell \cdot \cos \phi) \cos \theta - (\ell \cdot \sin \phi) \sin \theta \\
 & = x \cdot \cos \theta - y \cdot \sin \theta,
\end{align}
και 
:
\begin{align}
y' & = \ell \cdot \sin (\phi + \theta) \\
 & = \ell \cdot \sin \phi \cos \theta + \ell \cdot \cos \phi \sin \theta \\
 & = (\ell \cdot \sin \phi) \cos \theta + (\ell \cdot \cos \phi) \sin \theta \\
 & = y \cdot \cos \theta + x \cdot \sin \theta.
\end{align}
Συνεπώς, ισχύει ότι
:
\mathbf{p}' =
\begin{bmatrix}
x' \\
y'
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
x \cdot \cos \theta - y \cdot \sin \theta \\
x \cdot \sin \theta + y \cdot \cos \theta
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x \\ y
\end{bmatrix}
=R(\theta) \cdot \mathbf{p}.


### Παραδείγματα
* Περιστροφή του (1, 0) κατά γωνία \theta μας δίνει το σημείο (\cos \theta, \sin \theta), που είναι σημείο του μοναδιαίου κύκλου. Αυτό δίνεται και από τον τύπο
::
R(\theta) \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}
\cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{bmatrix}.

* Η περιστροφή κατά 90^o αντιστοιχεί στην
::
R(90^o) \cdot \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
\cos (90^o) & - \sin (90^o) \\
\sin (90^o) & \cos (90^o)
\end{bmatrix}
\cdot \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
0 & - 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
\cdot \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} -y \\ x\end{bmatrix}.

* Η περιστροφή του σημείου (0.3, 1.1) κατά γωνία 53^o δίνεται από τον τύπο
::
R(53^o) \cdot \begin{bmatrix} 0.3 \\ 1.1\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
\cos (53^o) & - \sin (53^o) \\
\sin (53^o) & \cos (53^o)
\end{bmatrix}
\cdot \begin{bmatrix} 0.3 \\ 1.1\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
0.601.. & -0.798.. \\
0.798.. & 0.601..
\end{bmatrix}
\cdot \begin{bmatrix} 0.3 \\ 1.1\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0.601.. \cdot 0.3 - 0.798.. \cdot 1.1 \\
0.798.. \cdot 0.3 + 0.601.. \cdot 1.1
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
-0.69.. \\
\phantom{-}0.90..
\end{bmatrix}
.

### Ιδιότητες
* Ο πίνακας R(\theta) είναι αντιστρέψιμος, με αντίστροφο τον R(-\theta). Αυτό προκύπτει και από την γεωμετρική ερμηνεία.

* Η Ορίζουσα του πίνακα |R(\theta)| = 1.

* Το γινόμενο δύο πινάκων περιστροφής με γωνίες \theta και \phi είναι ο πίνακας περιστροφής για την γωνία \theta + \phi, δηλαδή R(\theta) \cdot R(\phi) = R(\theta + \phi).

## Στις τρεις διαστάσεις
### Περιστροφή γύρω από τους άξονες
Όταν θέλουμε να περιστρέψουμε ένα σημείο γύρω από έναν από τους άξονες xx', yy' ή zz', τότε η συντεταγμένη που αντιστοιχεί στον άξονα περιστροφής δεν αλλάζει και οι άλλες δύο συντεταγμένες αλλάζουν κατά τον πίνακα περιστροφής στις δύο διαστάσεις.

Επομένως, ο πίνακας για την αριστερόστροφη περιστροφή κατά γωνία \theta γύρω από τον άξονα zz' δίνεται από τον πίνακα:
:
R_z(\theta) = 
\begin{bmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta & 0 \\
\sin \theta & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}.

Αντίστοιχα ο πίνακας για την αριστερόστροφη περιστροφή γύρω από τους άξονες xx' και yy' δίνεται από τους πίνακες:
:
R_x(\theta) = 
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \theta & - \sin \theta\\
0 & \sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix} \quad
 και \quad
R_y(\theta) = 
\begin{bmatrix}
\cos \theta & 0 & - \sin \theta \\
0 & 1 & 0 \\
\sin \theta & 0 & \cos \theta
\end{bmatrix}.


## Παραπομπές


 

Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)
Κατηγορία:Μετασχηματισμός (μαθηματικά)
Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία
Κατηγορία:Μαθηματική φυσική