Εικασία Αγκόχ-Γκιούγκα

Στη θεωρία των αριθμών η **εικασία Αγκόχ-Γκιούγκα** για τους αριθμούς Μπερνούλι *B**k* υποστηρίζει ότι ο *p* είναι πρώτος αριθμός αν και μόνο αν

:pB_{p-1} \equiv -1 \pmod p. 

Η εικασία πήρε το όνομά της από τους Τακάσι Αγκόχ και Τζουζέπε Γκιούγκα.

## Ισοδύναμη διατύπωση

Η εικασία όπως διατυπώθηκε παραπάνω οφείλεται στον Τακάσι Αγκόχ (1990)- μια ισοδύναμη διατύπωση οφείλεται στον Τζουζέπε Γκιούγκα, από το 1950, σύμφωνα με την οποία το p είναι πρώτος αριθμός αν και μόνο αν 

:1^{p-1}+2^{p-1}+ \cdots +(p-1)^{p-1} \equiv -1 \pmod p

το οποίο μπορεί επίσης να γραφτεί ως

:\sum_{i=1}^{p-1} i^{p-1} \equiv -1 \pmod p.

Είναι τετριμμένο να δείξουμε ότι το να είναι το *p* πρώτος αριθμός αρκεί για να ισχύει η δεύτερη ισοδυναμία, αφού αν το *p* είναι πρώτος αριθμός, το μικρό θεώρημα του Φερμά δηλώνει ότι

:a^{p-1} \equiv 1 \pmod p

για a = 1,2,\dots,p-1, και η ισοδυναμία προκύπτει, αφού p-1 \equiv -1 \pmod p.

## Κατάσταση

Η δήλωση εξακολουθεί να αποτελεί εικασία, καθώς δεν αποδείχθηκε ακόμη ότι αν ένας αριθμός *n* δεν είναι πρώτος (δηλαδή ο *n* είναι σύνθετος), τότε ο τύπος δεν ισχύει. Έγινε αποδεκτό ότι ένας σύνθετος αριθμός *n* ικανοποιεί τον τύπο αν και μόνο αν είναι και αριθμός Καρμάικλ και αριθμός Γκιούγκα, και ότι αν υπάρχει τέτοιος αριθμός, έχει τουλάχιστον 13.800 ψηφία  (Borwein, Borwein, Borwein, Girgensohn 1996). Ο Λαέρτ Σορίνι, τέλος, σε μια εργασία του 2001 έδειξε ότι ένα πιθανό αντιπαράδειγμα θα πρέπει να είναι ένας αριθμός n μεγαλύτερος από &nbsp;&nbsp;1036067, ο οποίος αντιπροσωπεύει το όριο που πρότεινε ο Μπεντόκι για την τεχνική επίδειξης που προσδιόρισε ο Γκιούγκα στη δική του εικασία.

## Σχέση με το θεώρημα του Γουίλσον

Η εικασία Αγκόχ-Γκιούγκα παρουσιάζει ομοιότητα με το θεώρημα του Γουίλσον, το οποίο έχει αποδειχθεί αληθές. Το θεώρημα του Γουίλσον δηλώνει ότι ένας αριθμός p είναι πρώτος αν και μόνο αν 

το οποίο μπορεί επίσης να γραφτεί ως

:\prod_{i=1}^{p-1} i \equiv -1 \pmod p.

Για έναν περιττό πρώτο αριθμό p έχουμε

:\prod_{i=1}^{p-1} i^{p-1} \equiv (-1)^{p-1} \equiv 1 \pmod p,

και για p=2 έχουμε

:\prod_{i=1}^{p-1} i^{p-1} \equiv (-1)^{p-1} \equiv 1 \pmod p.

Έτσι, η αλήθεια της εικασίας Αγκόχ-Γκιούγκα σε συνδυασμό με το θεώρημα του Γουίλσον θα έδινε: ένας αριθμός *p* είναι πρώτος αν και μόνο αν

:\sum_{i=1}^{p-1} i^{p-1} \equiv -1 \pmod p

και

:\prod_{i=1}^{p-1} i^{p-1} \equiv 1 \pmod p.

## Παραδείγματα
**Παράδειγμα 1:**

Έστω n:=30.

Τότε το n dέχει τους πρώτους διαιρέτες p=2, 3 και 5. Ισχύουν τα ακόλουθα::
:
\begin{align}
p=2 & \quad \text{διαιρεί το} & \frac{n}{p}-1=\frac{30}{2}-1 & = & 15-1 & = & 14 \\
p=3 & \quad \text{διαιρεί το} & \frac{n}{p}-1=\frac{30}{3}-1 & = & 10-1 & = & 9 \\
p=5 & \quad \text{διαιρεί το} & \frac{n}{p}-1=\frac{30}{5}-1 & = & 6-1 & = & 5
\end{align}

Επομένως, n=30 είναι ένας αριθμός Γκιούγκα.

**Παράδειγμα 2:**

Οι πρώτοι επτά αριθμοί Γκιούγκα είναι οι εξής:

30, 858, 1722, 66198, 2214408306, 24423128562, 432749205173838 … ()

## Τα στοιχεία της Γκιούγκα που είναι γνωστά μέχρι σήμερα

* 3 παράγοντες:
** 30 = 2 · 3 · 5
* 4 παράγοντες:
** 858 = 2 · 3 · 11 · 13
** 1722 = 2 · 3 · 7 · 41
* 5 παράγοντες:
** 66.198 = 2 · 3 · 11 · 17 · 59
* 6 παράγοντες:
** 2.214.408.306 = 2 · 3 · 11 · 23 · 31 · 47.057
** 24.423.128.562 = 2 · 3 · 7 · 43 · 3041 · 4447
* 7 παράγοντες:
** 432.749.205.173.838 = 2 · 3 · 7 · 59 · 163 · 1381 · 775.807
** 14.737.133.470.010.574 = 2 · 3 · 7 · 71 · 103 · 67.213 · 713.863
** 550.843.391.309.130.318 = 2 · 3 · 7 · 71 · 103 · 61.559 · 29.133.437
* 8 παράγοντες:
** 244.197.000.982.499.715.087.866.346 = 2 · 3 · 11 · 23 · 31 · 47.137 · 28.282.147 · 3.892.535.183
** 554.079.914.617.070.801.288.578.559.178 = 2 · 3 · 11 · 23 · 31 · 47.059 · 2.259.696.349 · 110.725.121.051
** 1.910.667.181.420.507.984.555.759.916.338.506 = 2 · 3 · 7 · 43 · 1831 · 138.683 · 2.861.051 · 1.456.230.512.169.437
* 10 παράγοντες:
** 4.200.017.949.707.747.062.038.711.509.670.656.632.404.195.753.751.630.609.228.764.416.142.557.211.582.098.432.545.190.323.474.818 = 2 · 3 · 11 · 23 · 31 · 47.059 · 2.217.342.227 · 1.729.101.023.519 · 8.491.659.218.261.819.498.490.029.296.021 · 58.254.480.569.119.734.123.541.298.976.556.403

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

## Δείτε επίσης
* Θεωρία αριθμών
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Φυσικός λογάριθμος
* Πρώτος αριθμός Μερσέν
* e (μαθηματική σταθερά)
* Πρώτος αριθμός
* Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
* Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
* Φυσικός αριθμός
* Εικασία του Λεζάντρ
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Αριθμητική πρόοδος
* Συνάρτηση Όιλερ
* Ευκλείδειος χώρος

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
* 
*  *Giuga, Giuseppe (1951). "Su una presumibile proprietà caratteristica dei numeri primi". Ist.Lombardo Sci. Lett., Rend., Cl. Sci. Mat. Natur. (in Italian). *'83**: 511–518.  [https://zbmath.org/?format=complete&q=an:0045.01801 Zbl 0045.01801.]''
*   ''Agoh, Takashi (1995). "On Giuga's conjecture". Manuscripta Mathematica. **87** (4): 501–510. [https://link.springer.com/article/10.1007/BF02570490 doi:10.1007/bf02570490]. [https://zbmath.org/?format=complete&q=an:0845.11004 Zbl 0845.11004.]''
*  ''Borwein, D.; Borwein, J. M.; Borwein, P. B.; Girgensohn, R. (1996). "[https://web.archive.org/web/20050531164907/http://www.math.uwo.ca/~dborwein/cv/giuga.pdf Giuga's Conjecture on Primality"] (PDF). [[American Mathematical Monthly]]. **103** (1): 40–50. [https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.586.1424 CiteSeerX 10.1.1.586.1424.] [https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00029890.1996.12004697 doi:10.2307/2975213]. [https://www.jstor.org/stable/2975213 JSTOR 2975213]. [https://zbmath.org/?format=complete&q=an:0860.11003 Zbl 0860.11003]. Archived from the original (PDF) on 2005-05-31. Retrieved 2005-05-29.''
* ''Sorini, Laerte (2001). "Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga". Quaderni di Economia, Matematica e Statistica, DESP, Università di Urbino Carlo Bo (in Italian). **68*'. *

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

Κατηγορία:Αναλυτική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Εικασίες για πρώτους αριθμούς
Κατηγορία:Πρώτοι αριθμοί
Κατηγορία:Ακέραιοι αριθμοί
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά