Συζυγής πίνακας

Στην γραμμική άλγεβρα, ο **συζυγής πίνακας** ενός μιγαδικού πίνακα είναι ο πίνακας που αποτελείται από τους συζυγείς μιγαδικούς των στοιχείων του. Πιο συγκεκριμένα, για έναν μιγαδικό πίνακα A διαστάσεων n \times m, ο συζυγής του είναι ο πίνακας \overline{A} διαστάσεων n \times m με (\overline{A})_{ij} = \overline{A_{ij}} για κάθε 1 \leq i \leq n και 1 \leq j \leq m. Δηλαδή,
:
\overline{A} = 
\begin{bmatrix}
\overline{A_{11}} & \overline{A_{12}} & \ldots & \overline{A_{1m}} \\
\overline{A_{21}} & \overline{A_{22}} & \ldots & \overline{A_{2m}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\overline{A_{n1}} & \overline{A_{n2}} & \ldots & \overline{A_{nm}}
\end{bmatrix}


Για παράδειγμα, ο συζυγής του A = \begin{bmatrix}(3 + 2i) & 5 \\(1-4i) & (7 + 2i)\end{bmatrix} είναι ο \overline{A} = \begin{bmatrix}(3 - 2i) & 5 \\(1+4i) & (7 - 2i)\end{bmatrix}.

## Παραδείγματα

* Παρακάτω δίνονται μερικά συγκεκριμένα παραδείγματα μιγαδικών πινάκων και ο συζυγής τους:
::
A = 
\begin{bmatrix}
(3 + 2i) & (7 - 3i) & 5i \\
(9 - 2i) & 10 & (6 - 5i)
\end{bmatrix}
\qquad
\overline{A} = 
\begin{bmatrix}
(3 - 2i) & (7 + 3i) & -5i \\
(9 + 2i) & 10 & (6 + 5i)
\end{bmatrix}

::
B = 
\begin{bmatrix}
(-5 + 2i) & (3 - 4i) \\
(4 - 8i) & (5 + 3i) \\
(1 + 3i) & (7 - 2i)
\end{bmatrix}
\qquad
\overline{B} = 
\begin{bmatrix}
(-5 - 2i) & (3 + 4i) \\
(4 + 8i) & (5 - 3i) \\
(1 - 3i) & (7 + 2i)
\end{bmatrix}

::
C = 
\begin{bmatrix}
(-5 + 7i) & (8 + 2i) & (1 - i)
\end{bmatrix}
\qquad
\overline{C} = 
\begin{bmatrix}
(-5 - 7i) & (8 - 2i) & (1 + i)
\end{bmatrix}

* Ο συζυγής πίνακας ενός πραγματικού πίνακα A είναι ο ίδιος ο πίνακας A, δηλαδή \overline{A} = A. Για παράδειγμα, για τον μηδενικό πίνακα \mathbf{0}_{n \times m} και τον ταυτοτικό πίνακα I, ισχύει \overline{\mathbf{0}_{n \times m}} = \mathbf{0}_{n \times m} και \overline{I} = I.
* Ο συζυγής πίνακας ενός φανταστικού πίνακα A είναι ο αντίθετός του -A, δηλαδή \overline{A} = -A. Για παράδειγμα, 
::
A = \begin{bmatrix}
3i & -6i\\
7i & 4i
\end{bmatrix}
\qquad
\overline{A} = \begin{bmatrix}
-3i & 6i\\
-7i & -4i
\end{bmatrix}


## Ιδιότητες

* Ο συζυγής πίνακας του αθροίσματος δύο πινάκων A και B είναι το άθροισμα των συζυγών, \overline{A + B} = \overline{A} + \overline{B}.
 = \overline{A_{ij} + B_{ij}} = \overline{A_{ij}} + \overline{B_{ij}} = (\overline{A})_{ij} + (\overline{B})_{ij}.
}}
* Για τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό ενός μιγαδικού πίνακα A με έναν μιγαδικό αριθμό c \in \Complex, \overline{cA} = \overline{c} \overline{A}.
 = \overline{c A_{ij}} = \overline{c} \overline{A_{ij}} = \overline{c} \overline{A}_{ij}.
Επομένως, \overline{cA} = \overline{c} \overline{A}.
}}
* Ο συζυγής πίνακας του γινομένου δύο πινάκων A και B είναι το γινόμενο των συζυγών, \overline{AB} = \overline{A} \overline{B}.
 = \sum_{\ell = 1}^k \overline{A_{i\ell} B_{\ell j}} = \sum_{\ell = 1}^k \overline{A_{i\ell}} \overline{B_{\ell j}} = \sum_{\ell = 1}^k (\overline{A})_{i\ell} (\overline{B})_{\ell j} = (\overline{A} \overline{B})_{ij}.
}}
* Ο συζυγής πίνακας του συζυγούς πίνακα είναι ο αρχικός πίνακας, \overline{\overline{A}} = A.
)_{ij} = \overline{(\overline{A})_{ij}} = \overline{\overline{A_{ij}}} = A_{ij}.
}}
* Ο συζυγής πίνακας του αναστρόφου είναι ο ανάστροφος του συζυγή, \overline{A^T} = (\overline{A})^T.
 = \overline{A_{ji}} = (\overline{A})_{ji} = ((\overline{A})^T)_{ij}.
Επομένως, \overline{A^T} = (\overline{A})^T.
}}
* Το ίχνος του συζυγή ενός πίνακα είναι \operatorname{tr}(\overline{A}) = \overline{\operatorname{tr}(A)}.
 = \overline{\sum_{i = 1}^n A_{ii}} = \overline{\operatorname{tr}(A)}.
}}
* Ο συζυγής του αντίστροφου είναι ο αντίστροφος του συζυγή, \overline{A^{-1}} = (\overline{A})^{-1}.
 = \overline{I} = I.
Επομένως, εξ'ορισμού ο \overline{A^{-1}} είναι ο αντίστροφος του \overline{A}, δηλαδή \overline{A^{-1}} = (\overline{A})^{-1}.
}}
* Η ορίζουσα του συζυγή πίνακα είναι ο συζυγής της ορίζουσας, δηλαδή \operatorname{det}(\overline{A}) = \overline{\operatorname{det}(A)}.
 = \overline{\operatorname{det}(A)},
χρησιμοποιώντας ότι ο συζυγής του γινομένου (αθροίσματος) μιγαδικών αριθμών είναι το γινόμενο (άθροισμα) των συζυγών μιγαδικών αριθμών.
}}
## Δείτε επίσης

* Συζυγής μιγαδικός αριθμός
* Συζυγής ανάστροφος πίνακας

## Παραπομπές


Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα