Πρόβλημα του Χούρβιτς

Στα μαθηματικά, το **πρόβλημα του Χούρβιτς** (που πήρε το όνομά του από τον Άντολφ Χούρβιτς) είναι το πρόβλημα της εύρεσης πολλαπλασιαστικών σχέσεων μεταξύ τετραγωνικών μορφών που γενικεύουν εκείνες που είναι γνωστό ότι υπάρχουν μεταξύ αθροισμάτων τετραγώνων σε ορισμένους αριθμούς μεταβλητών.

## Περιγραφή

Υπάρχουν γνωστές πολλαπλασιαστικές σχέσεις μεταξύ των αθροισμάτων τετραγώνων σε δύο μεταβλητές

: (x^2+y^2)(u^2+v^2) = (xu-yv)^2 + (xv+yu)^2 \ , 

(γνωστή ως ταυτότητα Μπραμαγκούπτα-Φιμπονάτσι), καθώς και η ταυτότητα τεσσάρων τετραγώνων του Όιλερ και η ταυτότητα οκτώ τετραγώνων του Ντεγκέν. Αυτές μπορούν να ερμηνευθούν ως πολλαπλασιαστικές για τις νόρμες στους μιγαδικούς αριθμούς (\mathbb{C}), στα τετραδόνια (\mathbb{H}) και στα οκτόνια (\mathbb{O}), αντίστοιχα.

Το πρόβλημα Χούρβιτς για το σώμα  συνίσταται στην εύρεση γενικών σχέσεων της μορφής

: (x_1^2+\cdots+x_r^2) \cdot (y_1^2+\cdots+y_s^2) = (z_1^2 + \cdots + z_n^2) \ , 

με τα  να είναι διγραμμικές μορφές στα  και : δηλαδή, κάθε  είναι ένας -γραμμικός συνδυασμός όρων της μορφής y}}.

Ονομάζουμε μια τριπλή \; (r, s, n) \; *αποδεκτή* για  αν υπάρχει μια τέτοια ταυτότητα. Οι τετριμμένες περιπτώσεις των παραδεκτών τριπλών περιλαμβάνουν \; (r, s, rs) \;. Το πρόβλημα είναι αδιάφορο για  με χαρακτηριστική&nbsp;2, αφού σε τέτοια σώματα κάθε άθροισμα τετραγώνων είναι τετράγωνο, και αποκλείουμε αυτή την περίπτωση. Πιστεύεται ότι σε αντίθετη περίπτωση το παραδεκτό είναι ανεξάρτητο από το σώμα ορισμού.

## Το θεώρημα Χούρβιτς-Ράντον

Ο Χούρβιτς έθεσε το πρόβλημα το 1898 στην ειδική περίπτωση \; r = s = n \; και έδειξε ότι, όταν οι συντελεστές λαμβάνονται στο \mathbb{C}, οι μόνες αποδεκτές τιμές \, (n, n, n) \, ήταν  \; n \in \{ 1, 2, 4, 8 \} \;. Η απόδειξή του επεκτείνεται σε ένα σώμα οποιασδήποτε χαρακτηριστικής “'εκτός”'&nbsp;2.

Το πρόβλημα "Χούρβιτς-Ράντον" είναι το πρόβλημα της εύρεσης παραδεκτών τριπλών της μορφής  \, (r, n, n) \;. Προφανώς το \; (1, n, n) \; είναι παραδεκτό. Το **θεώρημα Χούρβιτς-Ράντον** δηλώνει ότι το \; \left( \rho(n), n, n \right) \; είναι παραδεκτό σε οποιοδήποτε σώμα όπου \, \rho(n) \, είναι η συνάρτηση που ορίζεται για το \; n = 2^u v\;,  περιττό, \; u = 4 a + b \;, με \; 0 \le b \le 3 \;, και \; \rho(n) = 8 a + 2^b\;..

Άλλες αποδεκτές τριπλές περιλαμβάνουν τις  \, (3, 5, 7) \, και \, (10, 10, 16) \;.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Σώμα διασπάσεως
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νοεροί υπολογισμοί

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
* 
*
* Max Koecher & Reinhold Remmert (1990) "Composition Algebras. Hurwitz's Theorem — Vector-Product Algebras", chapter 10 of *Numbers* by Heinz-Dieter Ebbinghau et al., Springer, 
*
* (English translation of a Russian original)
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα
Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών