Κατηγορία του Κλάισλι

Στην θεωρία κατηγοριών, μια **κατηγορία του Κλάισλι** είναι μια κατηγορία που συνδέεται φυσικά με οποιαδήποτε μονάδα *Τ*. Είναι ισοδύναμη με την κατηγορία των ελεύθερων *Τ*-άλγεβρων. Η **κατηγορία του Κλάισλι** είναι μία από τις δύο ακραίες λύσεις στο ερώτημα: "Μήπως κάθε μονάδα προκύπτει από μια σύζευξη ; " Η άλλη ακραία λύση είναι η **κατηγορία Εϊλενμπεργκ-Μουρ**. Οι κατηγορίες Κλάισλι πήραν το όνομά τους από τον μαθηματικό Χάινριχ Κλάισλι.

## Επίσημος ορισμός

Έστω &lang;*T*, *η*, *μ*&rang; μια μονάδα πάνω σε μια κατηγορία *C*. Η **κατηγορία Κλάισλι** του *C* είναι η κατηγορία *C**T* της οποίας τα αντικείμενα και οι μορφισμοί δίνονται από
:\begin{align}\mathrm{Obj}({\mathcal{C}_T}) &= \mathrm{Obj}({\mathcal{C}}), \\
\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_T}(X,Y) &= \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X,TY).\end{align}
Δηλαδή, κάθε μορφισμός *f: X &rarr; T Y* στο *C* (με ομοπεροιοχή *TY*) μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως μορφισμός στο  *C**T* (αλλά με ομοπεριοχή  *Y*). Η σύνθεση των μορφισμών στο *C**T* δίνεται από
:g\circ_T f = \mu_Z \circ Tg \circ f : X \to T Y \to T^2 Z \to T Z
όπου *f: X &rarr; T Y* και *g: Y &rarr; T Z*. Ο ταυτοτικός μορφισμός δίνεται από τη μονάδα *&eta;*:
:\mathrm{id}_X = \eta_X.

Ένας εναλλακτικός τρόπος γραφής αυτού, ο οποίος διευκρινίζει την κατηγορία στην οποία ανήκει κάθε αντικείμενο, χρησιμοποιείται από τον Μακ Λέιν..  Χρησιμοποιούμε μια ελαφρώς διαφορετική σημειογραφία για αυτήν την παρουσίαση. Δεδομένης της ίδιας μονάδας και κατηγορίας C όπως παραπάνω, συσχετίζουμε με κάθε αντικείμενο X στο&nbsp;C ένα νέο αντικείμενο X_T, και για κάθε μορφισμό f\colon X\to TY στο &nbsp;C έναν μορφισμό f^*\colon X_T\to Y_T.  Μαζί, αυτά τα αντικείμενα και οι μορφισμοί σχηματίζουν την κατηγορία μας  C_T, όπου ορίζουμε τη σύνθεση, που ονομάζεται επίσης **σύνθεση Κλάισλι**, με 
:g^*\circ_T f^* = (\mu_Z \circ Tg \circ f)^*.
Τότε ο ταυτοτικός μορφισμός στο C_T, η **ταυτότητα** **του Κλάισλι**, είναι
:\mathrm{id}_{X_T} = (\eta_X)^*.

## Τελεστές επέκτασης και τριπλές Κλάισλι

Η σύνθεση των βελών Κλάισλι μπορεί να εκφραστεί συνοπτικά με τη βοήθεια του *τελεστή επέκτασης* (–)# : Hom(*X*, *TY*) &rarr; Hom(*TX*, *TY*). Δεδομένης μιας μονάδας &lang;*T*, *η*, *μ*&rang; πάνω σε μια κατηγορία *C* και ενός μορφισμού *f* : *X* &rarr; *TY* ας θέσουμε
:f^\sharp = \mu_Y\circ Tf.
Η σύνθεση στην κατηγορία Κλάισλι *C**T* μπορεί τότε να γραφτεί
:g\circ_T f = g^\sharp \circ f.
Ο τελεστής επέκτασης ικανοποιεί τις ταυτότητες :
:\begin{align}\eta_X^\sharp &= \mathrm{id}_{TX}\\
f^\sharp\circ\eta_X &= f\\
(g^\sharp\circ f)^\sharp &= g^\sharp \circ f^\sharp\end{align}
όπου *f* : *X* &rarr; *TY* και *g* : *Y* &rarr; *TZ*. Από αυτές τις τετριμένες ιδιότητες προκύπτει προφανώς ότι η σύνθεση Κλάισλι είναι προσεταιριστική και ότι η *&eta;**X* είναι η ταυτότητα.

Στην πραγματικότητα, το να δίνει μια μονάδα σημαίνει ότι δίνει ένα *τριπλό Κλάισλι* &lang;*T*, *&eta;*, (–)#&rang;, i.e. 
* Μια συνάρτηση T\colon \mathrm{ob}(C)\to \mathrm{ob}(C);
* Για κάθε αντικείμενο A στο C,  ένας μορφισμός  \eta_A\colon A\to T(A);
* Για κάθε μορφισμό  f\colon A\to T(B) στο C,  ένας μορφισμός  f^\sharp\colon T(A)\to T(B)
έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι τρεις παραπάνω εξισώσεις για τους τελεστές επεκτασης.

## Σύζευξη Κλάισλι

Οι κατηγορίες Κλάισλι ορίστηκαν αρχικά για να δείξουν ότι κάθε μονάδα προκύπτει από μια σύζευξη. Η κατασκευή αυτή έχει ως εξής.

Έστω &lang;*T*, *η*, *μ*&rang; μια μονάδα πάνω σε μια κατηγορία *C* και έστω *C**T* η προσεταιριστική κατηγορία Κλάισλι. Χρησιμοποιώντας τη σημειογραφία του Mακ Λέιν που αναφέρθηκε στην ενότητα “Τυπικός ορισμός“  παραπάνω, ορίζουμε έναν συναρτητή *F*:&nbsp;*C*&nbsp;&rarr;&nbsp;*C**T* by
:FX = X_T\;
:F(f\colon X \to Y) = (\eta_Y \circ f)^*
και έναν συναρτητή *G* : *C**T* &rarr; *C* από
:GY_T = TY\;
:G(f^*\colon X_T \to Y_T) = \mu_Y \circ Tf\;
Μπορεί να αποδειχθεί ότι τα t *F* και *G* είναι πράγματι συναρτητές και ότι το *F* είναι αριστερό συζυγές του *G*. Η συν-μονάδα της σύζευξης δίνεται από
:\varepsilon_{Y_T} = (\mathrm{id}_{TY})^* : (TY)_T \to Y_T.
Τέλος, μπορεί κανείς να δείξει ότι *T* = *GF* και *&mu;* = *G&epsilon;F*  έτσι ώστε &lang;*T*, *η*, *μ*&rang; να είναι η μονάδα που σχετίζεται με την σύζευξη &lang;*F*, *G*, *η*, *ε*&rang;.

### Απόδειξη ότι ''GF'' = ''T''

Για κάθε αντικείμενο *X* στην κατηγορία *C*:
: \begin{align}
(G \circ F)(X) &= G(F(X)) \\
&= G(X_T) \\
&= TX.
\end{align}

Για κάθε f : X \to Y στην κατηγορία *C*:
: \begin{align}
(G \circ F)(f) &= G(F(f)) \\
&= G((\eta_Y \circ f)^*) \\
&= \mu_Y \circ T(\eta_Y \circ f) \\
&= \mu_Y \circ T\eta_Y \circ Tf \\
&= \text{id}_{TY} \circ Tf \\
&= Tf.
\end{align}
Δεδομένου ότι (G \circ F)(X) = TX αληθεύει για κάθε αντικείμενο  *X* στο *C* και (G \circ F)(f) = Tf αληθεύει για κάθε μορφισμό *f* στο *C*, τότε G \circ F = T. Q.E.D.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


* 
* 
* 
* 
* 
* star-autonomous category at the nLab
* 
* *This article is based in part on [http://www.planetmath.org PlanetMath]'s [http://planetmath.org/encyclopedia/TerminalObjectsAndZeroObjectsExamplesOfInitialObjects.html article on examples of initial and terminal objects].*
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
*
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Συναρτητές
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα