Τετραδική Ομάδα Κλάιν

Στα μαθηματικά, η **τετραδική Ομάδα Κλάιν** είναι μια αβελιανή ομάδα με τέσσερα στοιχεία, στην οποία κάθε στοιχείο είναι αυτοαντίστροφο (η σύνθεσή του με τον εαυτό του παράγει την ταυτότητα) και στην οποία η σύνθεση οποιωνδήποτε δύο από τα τρία στοιχεία που δεν είναι ταυτότητα παράγει το τρίτο. ίτο. Μπορεί να περιγραφεί ως η ομάδα συμμετρίας ενός μη τετραγωνικού ορθογωνίου (με τα τρία στοιχεία που δεν είναι ταυτότητα να είναι οριζόντια αντανάκλαση, κάθετη αντανάκλαση και περιστροφή 180 μοιρών), ως η δυφιακή(bitwise) ομάδα αποκλειστική διάζευξη πράξεων σε δυαδικές τιμές δύο μπιτ, ή πιο αφηρημένα ως \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2, το άμεσο γινόμενο δύο αντιγράφων της κυκλικής ομάδας τάξης 2 σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα των πεπερασμένα παραγόμενων αβελιανών ομάδων. Ονομάστηκε Vierergruppe (γερμανικά: [ˈfiːʁɐˌɡʁʊpə] , που σημαίνει τετραδική ) από τον Φέλιξ Κλάιν το 1884.   Ονομάζεται επίσης ομάδα Κλάιν και συχνά συμβολίζεται με το γράμμα V ή ως K_4.

Η **τετραδική ομάδα Κλάιν**, με τέσσερα στοιχεία, είναι η μικρότερη ομάδα που δεν είναι κυκλική. Μέχρι τον ισομορφισμό, υπάρχει μόνο μία άλλη ομάδα τάξης τέσσερα: η κυκλική ομάδα τάξης 4. Και οι δύο ομάδες είναι αβελιανές.

## Παρουσιάσεις
Ο πίνακας Κέιλυ της **ομάδας Κλάιν** δίνεται από τη σχέση:

Η **τετραδική ομάδα Κλάιν** ορίζεται επίσης από την παρουσίαση της ομάδας
: V = \left\langle a,b \mid a^2 = b^2 = (ab)^2 = e \right\rangle.

Όλα τα μη-ταυτοτικά στοιχεία της ομάδας Κλάιν έχουν τάξη 2, οπότε οποιαδήποτε δύο μη-ταυτοτικά στοιχεία μπορούν να χρησιμεύσουν ως γεννήτριες στην παραπάνω παρουσίαση. Η Τετραδική ομάδα Κλάιν είναι η μικρότερη μη-κυκλική ομάδα. Είναι, ωστόσο, αβελιανή ομάδα και ισομορφική με τη διεδρική ομάδα τάξης (πληθικότητας) 4, που συμβολίζεται με D_4 (ή D_2, χρησιμοποιώντας τη γεωμετρική σύμβαση)- εκτός από την ομάδα τάξης 2, είναι η μόνη διεδρική ομάδα που είναι αβελιανή.

Η Τετραδική ομάδα Κλάιν είναι επίσης ισόμορφη με το άμεσο άθροισμα \mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2, έτσι ώστε να μπορεί να αναπαρασταθεί ως τα ζεύγη  υπό συνιστώτική-πρόσθεση modulo 2 (ή ισοδύναμα οι συμβολοσειρές μπιτ  υπό bitwise XOR), με το (0,0) να είναι το στοιχείο ταυτότητας της ομάδας. Η Τετραδική ομάδα Κλάιν είναι έτσι ένα παράδειγμα στοιχειώδους αβελιανής 2-ομάδας, η οποία ονομάζεται επίσης ομάδα Μπουλ. Η Τετραδική ομάδα Κλάιν είναι επομένως επίσης η ομάδα που παράγεται από τη συμμετρική διαφορά ως δυαδική πράξη στα υποσύνολα ενός συνόλου δυνάμεων ενός συνόλου με δύο στοιχεία - δηλαδή, πάνω σε ένα σώμα συνόλων με τέσσερα στοιχεία, όπως το \{\emptyset,\{\alpha\},\{\beta\},\{\alpha,\beta\}\}- το κενό σύνολο είναι το στοιχείο ταυτότητας της ομάδας σε αυτή την περίπτωση.

Μια άλλη αριθμητική κατασκευή της τετραδικής ομάδας Κλάιν είναι το σύνολο ,με την πράξη να είναι ο πολλαπλασιασμός modulo 8. Εδώ το *a* είναι 3, το *b* είναι 5, και  είναι .

Η τετραδική ομάδα Κλάιν έχει επίσης μια αναπαράσταση ως  πραγματικοί πίνακες με την πράξη να είναι ο πολλαπλασιασμός πινάκων:
: 
  e =\begin{pmatrix}
      1 & 0\\
      0 & 1
    \end{pmatrix},\quad
  a = \begin{pmatrix}
      1 &  0\\
      0 & -1
    \end{pmatrix},\quad

: 
  b = \begin{pmatrix}
      -1 & 0\\
       0 & 1
    \end{pmatrix},\quad
  c = \begin{pmatrix}
      -1 &  0\\
       0 & -1
    \end{pmatrix}


Σε έναν κύβο του Ρούμπικ, το μοτίβο «4 κουκκίδες» μπορεί να δημιουργηθεί με τρεις τρόπους (παραδείγματος χάριν, M2 U2 M2 U2 F2 M2 F2), ανάλογα με το ζεύγος των όψεων που παραμένουν κενές- αυτές οι τρεις θέσεις μαζί με τη λυμένη θέση αποτελούν ένα παράδειγμα της ομάδας Κλάιν, με τη λυμένη θέση να χρησιμεύει ως ταυτότητα.

## Γεωμετρία

Στις δύο διαστάσεις, η τετραδική ομάδα Κλάιν είναι η ομάδα συμμετρίας του ρόμβου και των ορθογωνίων που δεν είναι τετράγωνα, με τέσσερα στοιχεία την ταυτότητα, την κάθετη αντανάκλαση, την οριζόντια αντανάκλαση και την περιστροφή κατά 180°.

Στις τρεις διαστάσεις, υπάρχουν τρεις διαφορετικές ομάδες συμμετρίας που είναι αλγεβρικά η τετραδική ομάδα Κλάιν:
* μία με τρεις κάθετους 2-fold άξονες περιστροφής: η δίεδρη ομάδα D_2
* ένα με άξονα 2-fold περιστροφής και ένα κάθετο επίπεδο ανάκλασης: C_{2\mathrm{h}}=D_{1\mathrm{d}}
* ένα με άξονα 2-fold περιστροφής σε ένα επίπεδο ανάκλασης (και επομένως και σε ένα κάθετο επίπεδο ανάκλασης): C_{2\mathrm{v}}=D_{1\mathrm{h}}.

## Αναπαράσταση μεταβολής

Τα τρία στοιχεία τάξης δύο της τετραδικής ομάδας Κλάιν είναι εναλλάξιμα: η ομάδα αυτομορφισμού της *V* είναι επομένως η ομάδα των μεταθέσεων αυτών των τριών στοιχείων, δηλαδή η συμμετρική ομάδα S_3.

Οι μεταθέσεις των στοιχείων της τετραδικής ομάδας Κλάιν μπορούν να θεωρηθούν αφηρημένα ως η αναπαράσταση μεταθέσεών της σε τέσσερα σημεία:
:V={}{(), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)}

Σε αυτή την αναπαράσταση, η V είναι μια κανονική υποομάδα της εναλλασσόμενης ομάδας A_4 (και επίσης της συμμετρικής ομάδας S_4) σε τέσσερα γράμματα. Είναι επίσης μια μεταβατική υποομάδα της S_4 που εμφανίζεται ως ομάδα Γκαλουά. Στην πραγματικότητα, είναι ο πυρήνας ενός επιφανειακού ομοιομορφισμού ομάδων από την S_4 to S_3.

Άλλες παραστάσεις εντός του *S*4 είναι:
: 
: 
: 

Δεν είναι κανονικές υποομάδες του *S*4.


File:Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,7,16,23).svg|Η ταυτότητα και οι διπλές μεταθέσεις τεσσάρων αντικειμένων σχηματίζουν το *V*.
File:Klein four-group; Cayley table; subgroup of S4 (elements 0,1,6,7).svg|Άλλες μεταθέσεις τεσσάρων αντικειμένων μπορούν επίσης να σχηματίσουν το *V* 


## Άλγεβρα

Σύμφωνα με τη θεωρία Γκαλουά, η ύπαρξη της τετραδικής ομάδας Κλάιν (και ειδικότερα, η αναπαράσταση μετατροπής της) εξηγεί την ύπαρξη του τύπου για τον υπολογισμό των ριζών των τεταρτοβάθμιων εξισώσεων σε όρους ριζών, όπως καθιερώθηκε από τον Λοντοβίκο Φεράρι: η απεικόνιση S_4\to S_3 αντιστοιχεί στον κυβικό επιλύτη, σε όρους επιλύτη Λαγκράνζ.

Στην κατασκευή των πεπερασμένων δακτυλίων, οκτώ από τους έντεκα δακτυλίους με τέσσερα στοιχεία έχουν την τετραδική ομάδα Κλάιν ως προσθετική υποδομή τους.

Εάν \mathbb{R}^{\times} δηλώνει την πολλαπλασιαστική ομάδα των μη μηδενικών πραγματικών αριθμών και \mathbb{R}^+ την πολλαπλασιαστική ομάδα των θετικών πραγματικών αριθμών, τότε \mathbb{R}^{\times}\times\mathbb{R}^{\times} είναι η ομάδα των μονάδων του δακτυλίου \mathbb{R}\times\mathbb{R}, και  \mathbb{R}^+\times\mathbb{R}^+ είναι μια υποομάδα του  \mathbb{R}^{\times}\times\mathbb{R}^{\times}(στην πραγματικότητα είναι η συνιστώσα της ταυτότητας του  \mathbb{R}^{\times}\times\mathbb{R}^{\times}).  Η πηλίκο ομάδα (\mathbb{R}^{\times}\times\mathbb{R}^{\times})/(\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}^+) είναι ισόμορφη με την τετραδική ομάδα Κλάιν. Με παρόμοιο τρόπο, η ομάδα των μονάδων του δακτυλίου υπερβολικών μιγαδικών αριθμών (Split Complex ), όταν διαιρείται με τη συνιστώσα ταυτότητάς του, οδηγεί επίσης στην τετραδική ομάδα Κλάιν.

## Θεωρία γραφημάτων
Μεταξύ των απλών συνδεδεμένων γραφημάτων, το απλούστερο (με την έννοια ότι έχει τις λιγότερες οντότητες) που δέχεται την τετραδική ομάδα Κλάιν ως ομάδα αυτομορφισμών του είναι το γράφημα διαμαντιού που φαίνεται παρακάτω.  Είναι επίσης η ομάδα αυτομορφισμών ορισμένων άλλων γραφημάτων που είναι απλούστερα από την άποψη ότι έχουν λιγότερες οντότητες.  Αυτά περιλαμβάνουν το γράφημα με τέσσερις κορυφές και μία ακμή, το οποίο παραμένει απλό αλλά χάνει τη συνδεσιμότητα, και το γράφημα με δύο κορυφές που συνδέονται μεταξύ τους με δύο ακμές, το οποίο παραμένει συνδεδεμένο αλλά χάνει την απλότητά του.

## Μουσική
Στη μουσική σύνθεση, η τετραδική  είναι η βασική ομάδα μεταθέσεων στην τεχνική των Δωδεκαφθογγισμών. Στην περίπτωση αυτή, ο πίνακας Κέιλυ γράφεται ως εξής

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Επιμορφισμός
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Αβελιανή ομάδα

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
* 
* 
*
*
* 
*
* Max Koecher & Reinhold Remmert (1990) "Composition Algebras. Hurwitz's Theorem — Vector-Product Algebras", chapter 10 of *Numbers* by Heinz-Dieter Ebbinghau et al., Springer, 
*
* (English translation of a Russian original)
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Μορφισμοί
Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα