Επιφάνεια Βερονέζ

Στα μαθηματικά, η **επιφάνεια Βερονέζ** είναι μια αλγεβρική επιφάνεια στον πενταδιάστατο προβολικό χώρο και υλοποιείται από την εμφύτευση Βερονέζ, την εμφύτευση του προβολικού επιπέδου που δίνεται από το πλήρες γραμμικό σύστημα των κωνικών. Έλαβε το όνομά της από τον ιταλό μαθηματικό Τζουζέπε Βερονέζ (1854-1917). Η γενίκευσή της σε υψηλότερες διαστάσεις είναι γνωστή ως ποικιλία Βερονέζ.

Η επιφάνεια δέχεται μια εμφύτευση στον τετραδιάστατο προβολικό χώρο που ορίζεται από την προβολή από ένα γενικό σημείο στον πενταδιάστατο χώρο. Η γενική προβολή της στον τρισδιάστατο προβολικό χώρο ονομάζεται επιφάνεια Στάινερ.

## Ορισμός

Η επιφάνεια Βερονέζ είναι η εικόνα της απεικόνισης

:\nu:\mathbb{P}^2\to \mathbb{P}^5

που δίνεται από τη σχέση

:\nu: [x:y:z] \mapsto [x^2:y^2:z^2:yz:xz:xy]

όπου [x:\cdots] δηλώνει τις ομογενείς συντεταγμένες. Η απεικόνιση  \nu είναι γνωστή ως εμφύτευση Βερονέζ.

## Κίνητρο
Η επιφάνεια Βερονέζ προκύπτει με φυσικό τρόπο κατά τη μελέτη των κωνικών. Μια κωνική είναι μια επίπεδη καμπύλη 2ου βαθμού, η οποία ορίζεται από μια εξίσωση:

:Ax^2 + Bxy + Cy^2 +Dxz + Eyz + Fz^2 = 0.

Η αντιστοίχιση μεταξύ των συντελεστών (A, B, C, D, E, F) και των μεταβλητών (x,y,z) είναι γραμμική στους συντελεστές και τετραγωνική στις μεταβλητές- η απεικόνιση Βερονέζ την καθιστά γραμμική στους συντελεστές και γραμμική στα μονοώνυμα. Έτσι για ένα σταθερό σημείο [x:y:z], η συνθήκη ότι μια κωνική περιέχει το σημείο είναι μια γραμμική εξίσωση στους συντελεστές, η οποία τυποποιεί τη δήλωση ότι «η διέλευση από ένα σημείο επιβάλλει μια γραμμική συνθήκη στις κωνικές».

## Απεικόνιση  Βερονέζ

Η απεικόνιση Βερονέζ ή η ποικιλία Βερονέζ γενικεύει αυτή την ιδέα σε απεικονίσεις γενικού βαθμού *d* σε *n*+1  μεταβλητές. Δηλαδή, η  απεικόνιση Βερονέζ βαθμού *d*  είναι η  απεικόνιση 

:\nu_d\colon \mathbb{P}^n \to \mathbb{P}^m

με το *m* να δίνεται από τον συντελεστή πολλαπλών συνόλων, ή πιο γνωστό τον διωνυμικό συντελεστή, ως:

:m= \left(\!\!{n + 1 \choose d}\!\!\right) - 1 = {n+d \choose d} - 1.

Η  απεικόνιση  στέλνει το [x_0:\ldots:x_n] σε όλα τα δυνατά μονοώνυμα συνολικού βαθμού *d* (από τα οποία υπάρχουν m+1),  έχουμε n+1 επειδή υπάρχουν  n+1 μεταβλητές x_0, \ldots, x_n για να επιλέξουμε- και αφαιρούμε το 1 επειδή ο προβολικός χώρος \mathbb{P}^m έχει m+1 συντεταγμένες. Η δεύτερη ισότητα δείχνει ότι για σταθερή διάσταση πηγής *n*, η διάσταση στόχου είναι ένα πολυώνυμο ως προς *d* βαθμού *n* και κύριου συντελεστή 1/n!.

Για χαμηλό βαθμό, το d=0 είναι η τετριμμένη σταθερή  απεικόνιση στο \mathbf{P}^0, και το d=1 είναι η  απεικόνιση ταυτότητας στο \mathbf{P}^n,  οπότε το *d* γενικά λαμβάνεται ίσο ή μεγαλύτερο του 2. 

Μπορεί να οριστεί η απεικόνιση  Βερονέζ με τρόπο χωρίς συντεταγμένες, ως εξής

:\nu_d: \mathbb{P}(V) \ni [v] \mapsto [v^d] \in \mathbb{P}(\rm{Sym}^d V)

όπου *V* είναι οποιοσδήποτε διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασης, και \rm{Sym}^d V είναι οι συμμετρικές δυνάμεις του βαθμού *d*.  Αυτό είναι ομογενές βαθμού *d*  υπό βαθμωτό πολλαπλασιασμό στον *V*, και επομένως περνάει σε μια απεικόνιση στους υποκείμενους προβολικούς χώρους.

Εάν ο διανυσματικός χώρος *V* ορίζεται πάνω σε ένα πεδίο *K* που δεν έχει χαρακτηριστικό μηδέν, τότε ο ορισμός πρέπει να τροποποιηθεί ώστε να νοηθεί ως απεικόνιση στο διπλό χώρο των πολυωνύμων στον *V*.  Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι για πεδία με πεπερασμένη χαρακτηριστική  *p*, οι  *p*th  δυνάμεις των στοιχείων του *V* δεν είναι ρητές κανονικές καμπύλες, αλλά είναι φυσικά μια γραμμή. (Βλέπε, για παράδειγμα, το προσθετικό πολυώνυμο για την αντιμετώπιση των πολυωνύμων πάνω σε ένα πεδίο πεπερασμένης χαρακτηριστικής).

### Ρητή κανονική καμπύλη

Για n=1, η ποικιλία Βερονέζ είναι γνωστή ως ρητή κανονική καμπύλη, της οποίας τα παραδείγματα χαμηλότερου βαθμού είναι γνωστά.

* Για n=1, d=1 η  απεικόνιση  Βερονέζ είναι απλά η απεικόνιση ταυτότητας της προβολικής γραμμής.
* Για n=1, d=2, η ποικιλία Βερονέζ είναι η τυπική παραβολή [x^2:xy:y^2], σε αφινικές συντεταγμένες (x,x^2). 
* Για n=1, d=3, η ποικιλία Βερονέζ είναι η στριμμένη κυβική, [x^3:x^2y:xy^2:y^3], σε αφινικές συντεταγμένες (x,x^2,x^3).

## Άλλες ιδιότητες

Η εικόνα μιας ποικιλίας κάτω από την απεικόνιση Βερονέζ είναι και πάλι μια ποικιλία και όχι απλώς ένα κατασκευάσιμο σύνολο- επιπλέον, αυτές είναι ισόμορφες με την έννοια ότι η αντίστροφή  απεικόνιση υπάρχει και είναι κανονική - η απεικόνιση Βερονέζ είναι δικανονική. Πιο συγκεκριμένα, οι εικόνες των ανοικτών συνόλων στην τοπολογία Ζαρίσκι είναι και πάλι ανοικτές.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Τριγωνομετρική συνάρτηση
* Βαθμωτό πεδίο
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Υπερβολική γεωμετρία
* Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Μιγαδικός αριθμός
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* Joe Harris, Algebraic Geometry, A First Course, (1992) Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 0-387-97716-3
* Ballico, Edoardo (1989). «A characterization of the Veronese surface». Proceedings of the American Mathematical Society (Num. 105): 531-534. ISSN 1088-6826. doi:10.1090/S0002-9939-1989-0953737-5.
* Harris, Joe (1992). Algebraic Geometry Springer. ISBN 978-1-4419-3099-6.
* Albrecht, Gudrun (2002). «The Veronese surface revisited». Journal of Geometry. Vol. 73 (Num. 1-2): 22-38. ISSN 0047-2468. doi:10.1007/s00022-002-8583-7.
*
*
*
* .
* 
* . Review: Séquin, Carlo H. (2009), *Journal of Mathematics and the Arts* 3: 229–230, 
* 
*Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:Διαφορική τοπολογία
Κατηγορία:Επιφάνειες
Κατηγορία:Υπερβολική γεωμετρία
Κατηγορία:Τανυστές