Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος

Η **Περί μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος** που αναφέρεται επίσης ως **Μέθοδος**, είναι ένα από τα σημαντικότερα σωζόμενα έργα του αρχαίου Έλληνα πολυμήχανου Αρχιμήδη. Η Μέθοδος έχει τη μορφή επιστολής του Αρχιμήδη προς τον Ερατοσθένη, τον επικεφαλής βιβλιοθηκάριο της Βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας, και περιέχει την πρώτη μαρτυρημένη ρητή χρήση των αδιαιρέτων (τα αδιαίρετα είναι γεωμετρικές εκδοχές των απειροστών). Το έργο θεωρήθηκε αρχικά χαμένο, αλλά το 1906 ανακαλύφθηκε ξανά στο περίφημο παλίμψηστο του Αρχιμήδη. Το παλίμψηστο περιλαμβάνει την περιγραφή του Αρχιμήδη για τη «μηχανική μέθοδο», η οποία ονομάζεται έτσι επειδή βασίζεται στο κέντρο βάρους των σχημάτων (κεντροειδές) και στο νόμο του μοχλού, τα οποία αποδείχθηκαν από τον Αρχιμήδη στο Περί επιπέδων ισορροπιών.

Ο Αρχιμήδης δεν αποδέχθηκε τη μέθοδο των αδιαίρετων ως μέρος των αυστηρών μαθηματικών και, ως εκ τούτου, δεν δημοσίευσε τη μέθοδό του στις επίσημες πραγματείες που περιέχουν τα αποτελέσματα. Σε αυτές τις πραγματείες, αποδεικνύει τα ίδια θεωρήματα με εξάντληση, βρίσκοντας αυστηρά ανώτερα και κατώτερα όρια τα οποία συγκλίνουν αμφότερα στην απαιτούμενη απάντηση. Παρ' όλα αυτά, η μηχανική μέθοδος ήταν αυτή που χρησιμοποίησε για να ανακαλύψει τις σχέσεις για τις οποίες αργότερα έδωσε αυστηρές αποδείξεις.

## Εμβαδόν μιας παραβολής

Η ιδέα του Αρχιμήδη είναι να χρησιμοποιήσει το νόμο του μοχλού για να προσδιορίσει τα εμβαδά των σχημάτων από το γνωστό κέντρο μάζας άλλων σχημάτων. Το απλούστερο παράδειγμα στη σύγχρονη γλώσσα είναι το εμβαδόν της παραβολής. Μια σύγχρονη προσέγγιση θα ήταν να βρούμε αυτό το εμβαδόν υπολογίζοντας το ολοκλήρωμα

 \int_0^1 x^2 \, dx  = \frac{1}{3},

το οποίο είναι ένα στοιχειώδες αποτέλεσμα του ολοκληρωτικού λογισμού. Αντ' αυτού, η μέθοδος του Αρχιμήδη εξισορροπεί μηχανικά την παραβολή (την καμπύλη περιοχή που ολοκληρώνεται παραπάνω) με ένα συγκεκριμένο τρίγωνο που είναι κατασκευασμένο από το ίδιο υλικό. Η παραβολή είναι η περιοχή στο επίπεδο (x,y) μεταξύ του άξονα x και της καμπύλης y=x^2 καθώς το x μεταβάλλεται από 0 έως&nbsp;1.  Το τρίγωνο είναι η περιοχή στο ίδιο επίπεδο μεταξύ του άξονα x και της ευθείας y=x, επίσης καθώς το x μεταβάλλεται από 0 έως&nbsp;1.

Τεμαχίστε την παραβολή και το τρίγωνο σε κάθετα τεμάχια, ένα για κάθε τιμή του x. Φανταστείτε ότι ο άξονας x είναι ένας μοχλός, με σημείο στήριξης στο x=0. Ο νόμος του μοχλού ορίζει ότι δύο αντικείμενα σε αντίθετες πλευρές του σημείου στήριξης θα ισορροπήσουν αν το καθένα έχει την ίδια ροπή, όπου η ροπή ενός αντικειμένου ισούται με το βάρος του επί την απόστασή του από το σημείο στήριξης. Για κάθε τιμή του x, το τεμάχιο του τριγώνου στη θέση x έχει μάζα ίση με το ύψος του x, και βρίσκεται σε απόσταση x από το σημείο στήριξης- έτσι θα ισορροπήσει το αντίστοιχο τεμάχιο της παραβολής, ύψους x^2, αν το τελευταίο μετακινηθεί στη θέση x=-1, σε απόσταση 1 από την άλλη πλευρά του σημείου στήριξης.

Δεδομένου ότι κάθε ζεύγος τεμαχίων ισορροπεί, η μετακίνηση ολόκληρης της παραβολής στο x=-1 θα εξισορροπούσε ολόκληρο το τρίγωνο. Αυτό σημαίνει ότι αν η αρχική άκοπη παραβολή κρεμαστεί με ένα γάντζο από το σημείο x=-1 (έτσι ώστε όλη η μάζα της παραβολής να είναι προσκολλημένη σε αυτό το σημείο), θα ισορροπήσει το τρίγωνο που κάθεται μεταξύ x=0 και x=1.

Το κέντρο μάζας ενός τριγώνου μπορεί εύκολα να βρεθεί με την ακόλουθη μέθοδο, που επίσης οφείλεται στον Αρχιμήδη. Αν τραβήξουμε μια μέση γραμμή από οποιαδήποτε από τις κορυφές ενός τριγώνου προς την απέναντι ακμή E, το τρίγωνο θα ισορροπήσει πάνω στη μέση, που θεωρείται ως σημείο στήριξης. Ο λόγος είναι ότι αν το τρίγωνο διαιρεθεί σε απειροελάχιστα ευθύγραμμα τμήματα παράλληλα προς την E, κάθε τμήμα έχει ίσο μήκος στις απέναντι πλευρές της διαμέσου, οπότε η ισορροπία προκύπτει από τη συμμετρία. Αυτό το επιχείρημα μπορεί εύκολα να γίνει αυστηρό με εξάντληση χρησιμοποιώντας μικρά ορθογώνια αντί για απειροστές γραμμές, και αυτό κάνει ο Αρχιμήδης στο «Περί επιπέδων ισορροπιών».

Κατά συνέπεια, το κέντρο μάζας ενός τριγώνου πρέπει να βρίσκεται στο σημείο τομής των διαμέσων. Για το εν λόγω τρίγωνο, μια διάμεσος είναι η ευθεία y=x/2, ενώ μια δεύτερη διάμεσος είναι η ευθεία y=1-x. Λύνοντας αυτές τις εξισώσεις, βλέπουμε ότι το σημείο τομής αυτών των δύο διαμέσων βρίσκεται πάνω από το σημείο x=2/3, έτσι ώστε η συνολική επίδραση του τριγώνου στο μοχλό είναι σαν η συνολική μάζα του τριγώνου να πιέζει προς τα κάτω (ή να κρέμεται από αυτό το σημείο).  Η συνολική ροπή που ασκεί το τρίγωνο είναι το εμβαδόν του, 1/2, επί την απόσταση 2/3 του κέντρου μάζας του από το σημείο στήριξης στο x=0.  Αυτή η ροπή του 1/3 εξισορροπεί την παραβολή, η οποία βρίσκεται σε απόσταση 1 από το σημείο στήριξης.  Επομένως, το εμβαδόν της παραβολής πρέπει να είναι&nbsp;1/3 για να της δώσει την αντίθετη ροπή.

Αυτός ο τύπος μεθόδου μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρεθεί το εμβαδόν ενός αυθαίρετου τμήματος μιας παραβολής και παρόμοια επιχειρήματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να βρεθεί το ολοκλήρωμα οποιασδήποτε δύναμης του x, αν και οι μεγαλύτερες δυνάμεις γίνονται περίπλοκες χωρίς άλγεβρα. Ο Αρχιμήδης έφτασε μόνο μέχρι το ολοκλήρωμα του x^3, το οποίο χρησιμοποίησε για να βρει το κέντρο μάζας ενός ημισφαιρίου, και σε άλλες εργασίες, το κέντρο μάζας μιας παραβολής.

## Πρώτη πρόταση στο παλίμψηστο
Ας εξετάσουμε την παραβολή στο σχήμα στα δεξιά. Επιλέγουμε δύο σημεία της παραβολής και τα ονομάζουμε *Α* και *Β*.

Ας υποθέσουμε ότι το ευθύγραμμο τμήμα *AC* είναι παράλληλο με τον άξονα συμμετρίας της παραβολής. Έστω ακόμη ότι το ευθύγραμμο τμήμα *BC* βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία που είναι εφαπτομένη στην παραβολή στο σημείο *B*.
Η πρώτη πρόταση δηλώνει:

:Το εμβαδόν του τριγώνου *ABC* είναι ακριβώς τριπλάσιο του εμβαδού που οριοθετείται από την παραβολή και την τέμνουσα *AB*.

:*Απόδειξη*:

Έστω *D* το μέσο του *AC*. Κατασκευάζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα *JB* που διέρχεται από το *D*, όπου η απόσταση από το *J* στο *D* είναι ίση με την απόσταση από το *B* στο *D*.  Θα θεωρήσουμε το τμήμα *JB* ως «μοχλό» με σημείο στήριξης το *D*. Όπως απέδειξε προηγουμένως ο Αρχιμήδης, το κέντρο μάζας του τριγώνου βρίσκεται στο σημείο *I* του «μοχλού» όπου *DI* :*DB*&nbsp;=&nbsp;1:3. Επομένως, αρκεί να δείξουμε ότι αν όλο το βάρος του εσωτερικού του τριγώνου στηρίζεται στο *Ι* και όλο το βάρος του τμήματος της παραβολής στο *J*, ο μοχλός βρίσκεται σε ισορροπία.

Έστω μια απείρως μικρή τομή του τριγώνου που δίνεται από το τμήμα *HE*, όπου το σημείο *H* βρίσκεται στο *BC*, το σημείο *E* βρίσκεται στο *AB* και το *HE* είναι παράλληλο με τον άξονα συμμετρίας της παραβολής. Να ονομάσουμε το σημείο τομής του *HE* με την παραβολή *F* και το σημείο τομής του *HE* με το μοχλό *G*. Αν το βάρος όλων αυτών των τμημάτων *HE* στηρίζεται στα σημεία *G* όπου τέμνουν το μοχλό, τότε ασκούν την ίδια ροπή στο μοχλό με το συνολικό βάρος του τριγώνου που στηρίζεται στο σημείο&nbsp;*I*. Έτσι, θέλουμε να δείξουμε ότι αν το βάρος της διατομής *HE* στηρίζεται στο *G* και το βάρος της διατομής *EF* της τομής της παραβολής στηρίζεται στο *J*, τότε ο μοχλός βρίσκεται σε ισορροπία.  Με άλλα λόγια, αρκεί να δείξουμε ότι *EF* :*GD*&nbsp;=&nbsp;*EH* :*JD*.  Αλλά αυτό είναι μια συνήθης συνέπεια της εξίσωσης της παραβολής.&nbsp;Όπερ έδει δείξαι

## Όγκος σφαίρας
[μικρογραφία|328x328εσ|Η μέθοδος του [Αρχιμήδης|Αρχιμήδη για τον προσδιορισμό του όγκου μιας σφαίρας]]
Και πάλι, για να διαφωτίσουμε τη μηχανική μέθοδο, είναι βολικό να χρησιμοποιήσουμε λίγη γεωμετρία συντεταγμένων. Αν μια σφαίρα ακτίνας 1 τοποθετηθεί με το κέντρο της στο *x*&nbsp;=&nbsp;1, η κατακόρυφη ακτίνα διατομής \rho_S σε οποιοδήποτε *x* μεταξύ 0 και 2 δίνεται από τον ακόλουθο τύπο: 

\rho_S(x) = \sqrt{x(2-x)}.

Η μάζα αυτής της διατομής, για σκοπούς εξισορρόπησης σε μοχλό, είναι ανάλογη του εμβαδού:

 \pi \rho_S(x)^2 = 2\pi x - \pi x^2.

Στη συνέχεια ο Αρχιμήδης εξέτασε την περιστροφή της τριγωνικής περιοχής μεταξύ *y*&nbsp;=&nbsp;0 και *y*&nbsp;=&nbsp;*x* και *x* =&nbsp;2 στο επίπεδο *x*-*y* γύρω από τον άξονα *x*, ώστε να σχηματιστεί ένας κώνος. Η διατομή αυτού του κώνου είναι ένας κύκλος ακτίνας \rho_C

\rho_C(x) = x 

και το εμβαδόν αυτής της διατομής είναι

\pi \rho_C^2 = \pi x^2. 

Έτσι, αν τα τεμάχια του κώνου και της σφαίρας *και τα δύο* πρέπει να ζυγιστούν μαζί, το συνδυασμένο εμβαδόν διατομής είναι:

 M(x) = 2\pi x. 

Αν τα δύο τεμάχια τοποθετηθούν μαζί σε απόσταση 1 από το σημείο στήριξης, το συνολικό τους βάρος θα εξισορροπηθεί ακριβώς από έναν κύκλο εμβαδού 2\pi σε απόσταση *x* από το σημείο στήριξης στην άλλη πλευρά. Αυτό σημαίνει ότι ο κώνος και η σφαίρα μαζί, αν όλο το υλικό τους μετακινούνταν στο *x* = 1, θα εξισορροπούσαν έναν κύλινδρο ακτίνας βάσης 1 και μήκους 2 στην άλλη πλευρά.

Ο όγκος του κυλίνδρου είναι το εμβαδόν της διατομής, 2\pi επί το ύψος, το οποίο είναι 2, ή 4\pi. Ο Αρχιμήδης μπορούσε επίσης να βρει τον όγκο του κώνου χρησιμοποιώντας τη μηχανική μέθοδο, αφού, με σύγχρονους όρους, το σχετικό ολοκλήρωμα είναι ακριβώς το ίδιο με εκείνο για το εμβαδόν της παραβολής. Ο όγκος του κώνου είναι το 1/3 του εμβαδού της βάσης του επί το ύψος. Η βάση του κώνου είναι ένας κύκλος ακτίνας 2, με εμβαδόν 4\pi, ενώ το ύψος είναι 2, οπότε το εμβαδόν είναι 8\pi/3. Αφαιρώντας τον όγκο του κώνου από τον όγκο του κυλίνδρου προκύπτει ο όγκος της σφαίρας:

 V_S = 4\pi - {8\over 3}\pi = {4\over 3}\pi.

Η εξάρτηση του όγκου της σφαίρας από την ακτίνα είναι προφανής από την κλιμάκωση, αν και αυτό επίσης δεν ήταν τετριμμένο να γίνει αυστηρό τότε. Η μέθοδος δίνει στη συνέχεια τον γνωστό τύπο για τον όγκο μιας σφαίρας. Με τη γραμμική κλιμάκωση των διαστάσεων ο Αρχιμήδης επέκτεινε εύκολα το αποτέλεσμα του όγκου στα σφαιροειδή.

Το επιχείρημα του Αρχιμήδη είναι σχεδόν πανομοιότυπο με το παραπάνω επιχείρημα, αλλά ο κύλινδρός του είχε μεγαλύτερη ακτίνα, έτσι ώστε ο κώνος και ο κύλινδρος να κρέμονται σε μεγαλύτερη απόσταση από το σημείο στήριξης. Θεωρούσε το επιχείρημα αυτό ως το μεγαλύτερο επίτευγμά του, και ζήτησε να χαραχθεί στην ταφόπλακά του το συνοδευτικό σχήμα της ισορροπημένης σφαίρας, του κώνου και του κυλίνδρου.

## Επιφάνεια σφαίρας

Για να βρεθεί το εμβαδόν της επιφάνειας της σφαίρας, ο Αρχιμήδης υποστήριξε ότι όπως ακριβώς το εμβαδόν του κύκλου μπορεί να θεωρηθεί ως άπειρα άπειρα απειροστά ορθογώνια τρίγωνα που περνούν γύρω από την περιφέρεια (βλ. *[[Κύκλου μέτρησις]]*), έτσι και ο όγκος της σφαίρας μπορεί να θεωρηθεί ότι χωρίζεται σε πολλούς κώνους με ύψος ίσο με την ακτίνα και βάση στην επιφάνεια. Όλοι οι κώνοι έχουν το ίδιο ύψος, οπότε ο όγκος τους είναι το 1/3 του εμβαδού της βάσης επί το ύψος.

Ο Αρχιμήδης αναφέρει ότι ο συνολικός όγκος της σφαίρας είναι ίσος με τον όγκο ενός κώνου του οποίου η βάση έχει την ίδια επιφάνεια με τη σφαίρα και το ύψος του είναι η ακτίνα. Δεν δίνονται λεπτομέρειες για το επιχείρημα, αλλά ο προφανής λόγος είναι ότι ο κώνος μπορεί να διαιρεθεί σε απειροστούς κώνους με τον διαχωρισμό του εμβαδού της βάσης του, και τότε κάθε κώνος συνεισφέρει ανάλογα με το εμβαδόν της βάσης του, όπως ακριβώς και στη σφαίρα.

Έστω ότι η επιφάνεια της σφαίρας είναι&nbsp;*S*. Ο όγκος του κώνου με εμβαδόν βάσης *S* και ύψος *r* είναι Sr/3, ο οποίος πρέπει να είναι ίσος με τον όγκο της σφαίρας: 4\pi r^3/3. Επομένως, η επιφάνεια της σφαίρας πρέπει να είναι  4\pi r^2, ή «τέσσερις φορές τον μεγαλύτερο κύκλο της». Ο Αρχιμήδης το αποδεικνύει αυτό με αυστηρότητα στο *[[Περί σφαίρας και κυλίνδρου]]*.

## Καμπυλόγραμμα σχήματα με όγκους

Ένα από τα αξιοσημείωτα πράγματα σχετικά με τη *Μέθοδο* είναι ότι ο Αρχιμήδης βρίσκει δύο σχήματα που ορίζονται από τμήματα κυλίνδρων, των οποίων ο όγκος δεν περιλαμβάνει \pi, παρά το γεγονός ότι τα σχήματα έχουν καμπυλόγραμμα όρια. Αυτό είναι ένα κεντρικό σημείο της έρευνας&mdash;ορισμένα καμπυλόγραμμα σχήματα θα μπορούσαν να διορθωθούν με χάρακα και διαβήτη, έτσι ώστε να υπάρχουν μη τετριμμένες ρητές σχέσεις μεταξύ των όγκων που ορίζονται από τις τομές των γεωμετρικών στερεών.

Ο Αρχιμήδης το τονίζει αυτό στην αρχή της πραγματείας και καλεί τον αναγνώστη να προσπαθήσει να αναπαράγει τα αποτελέσματα με κάποια άλλη μέθοδο. Σε αντίθεση με τα άλλα παραδείγματα, ο όγκος αυτών των σχημάτων δεν υπολογίζεται αυστηρά σε κανένα άλλο έργο του. Από θραύσματα στο παλίμψηστο, φαίνεται ότι ο Αρχιμήδης όντως έγραφε και περιέγραφε σχήματα για να αποδείξει αυστηρά όρια για τον όγκο, αν και οι λεπτομέρειες δεν έχουν διασωθεί.

Τα δύο σχήματα που εξετάζει είναι η τομή δύο κυλίνδρων σε ορθή γωνία (ο δικύλινδρος), η οποία είναι η περιοχή (*x*,&nbsp;*y*,&nbsp;*z*) που υπακούει:
 x^2 + y^2 

και το κυκλικό πρίσμα, το οποίο είναι η περιοχή που υπακούει:

 x^2 + y^2

Και τα δύο προβλήματα έχουν ένα τεμαχισμό που παράγει ένα εύκολο ολοκλήρωμα για τη μηχανική μέθοδο. Για το κυκλικό πρίσμα, κόψτε τον άξονα *x* σε τεμάχια. Η περιοχή στο επίπεδο *y*-*z* σε κάθε *x* είναι το εσωτερικό ενός ορθογωνίου τριγώνου με μήκος πλευράς \sqrt{1-x^2} του οποίου το εμβαδόν είναι {1\over 2} (1-x^2), οπότε ο συνολικός όγκος είναι:

\displaystyle\int_{-1}^1 {1\over 2} (1-x^2) \, dx 

το οποίο μπορεί εύκολα να διορθωθεί με τη χρήση της μηχανικής μεθόδου. Προσθέτοντας σε κάθε τριγωνική τομή ένα τμήμα μιας τριγωνικής πυραμίδας με εμβαδόν x^2/2 ισορροπεί ένα πρίσμα του οποίου η διατομή είναι σταθερή.

Για την τομή δύο κυλίνδρων, ο τεμαχισμός έχει χαθεί στο χειρόγραφο, αλλά μπορεί να ανακατασκευαστεί με προφανή τρόπο παράλληλα με το υπόλοιπο έγγραφο: αν το επίπεδο x-z είναι η κατεύθυνση της τομής, οι εξισώσεις για τον κύλινδρο δίνουν ότι x^2  ενώ z^2 , που ορίζει μια περιοχή η οποία είναι ένα τετράγωνο στο επίπεδο *x*-*z* με μήκος πλευράς 2\sqrt{1-y^2}, έτσι ώστε ο συνολικός όγκος να είναι:

\displaystyle\int_{-1}^1 4(1-y^2) \, dy. 

Και αυτό είναι το ίδιο ολοκλήρωμα με το προηγούμενο παράδειγμα. Ο Γιαν Χογκεντάικ υποστηρίζει ότι, εκτός από τον όγκο του δικύλινδρου, ο Αρχιμήδης γνώριζε και την επιφάνεια του, η οποία είναι επίσης ρητή.

## Άλλες προτάσεις στο παλίμψηστο

Μια σειρά από προτάσεις της γεωμετρίας αποδεικνύονται στο παλίμψηστο με παρόμοια επιχειρήματα. Ένα θεώρημα είναι ότι η θέση του κέντρου μάζας ενός ημισφαιρίου βρίσκεται στα 5/8 της διαδρομής από τον πόλο προς το κέντρο της σφαίρας. Το πρόβλημα αυτό είναι αξιοσημείωτο, επειδή αξιολογεί ένα κυβικό ολοκλήρωμα.

## Δημοσιεύσεις

* 
*  On-line text at archive.org
* 
* 
* 

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*Pickover, Clifford A. 2008. *Archimedes to Hawking: Laws of Science and the Great Minds Behind Them*. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-533611-5.

## Δείτε επίσης
* Πραγματικό προβολικό επίπεδο
* Στοιχεία του Ευκλείδη
* Ευκλείδειος χώρος
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Μιγαδικός αριθμός
* τοπολογικος ισομορφισμός
* Παραβολή (γεωμετρία)
* Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
* Πάππος ο Αλεξανδρεύς
* Κέντρο μάζας
* Τετραγωνισμός παραβολής
* Διαβήτης (όργανο)
* Περί σφαίρας και κυλίνδρου
* Αρχή του Αρχιμήδη
* Κέντρο βάρους
* Εγγεγραμμένος και Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου
* Κωνική τομή
* Παραλληλόγραμμο
* Περί επιπέδων ισορροπιών

## Παραπομπές

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
*  Τα οπτικά του Ευκλείδη Διδακτορική Διατριβή - ΕΑΔΔ
* “Αρχιμήδους Βιβλίο Λημμάτων” – Πραγματεία του Νικολάου Λ. Κεχρή   Ανοιχτή βιβλιοθήκη 
* Virtual book about Archimedes Chris Rorres - Drexel University
* A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
* A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
* Advanced Euclidean Geometry
* Methods for Euclidean Geometry.
* The Works of Archimedes
* World's Greatest Scientists Kit by Nandini Saraf (7 Scientists Who Change ...,  Archimedes
* Archimedes to Hawking: Laws of Science and the Great Minds Behind Them - Method of Mechanical Theorems..., page 48
* Pappus of Alexandria: Book 4 of the Collection: Edited With Translation and ... page 231" 
* Method of Mechanical Theorems, Archimedes. page 118...
* Mechanical Method Theorem, : ..page 47
* Archimedes in the 21st Century: Proceedings of a World Conference at the.. -  The Method of Mechanical Theorems,  page 83....
* Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

## Πηγές
* 
* 
* 
* http://planetmath.org/ArchimedesCalculus

Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία 
Κατηγορία:Κλασική γεωμετρία 
Κατηγορία:Ιστορία των Μαθηματικών 
Κατηγορία:Μαθηματικά θεωρήματα 
Κατηγορία:Γεωμετρικά σχήματα 
Κατηγορία:Αρχιμήδης 
Κατηγορία:Στοιχειώδης γεωμετρία