Κατάλογος ολοκληρωμάτων των εκθετικών συναρτήσεων

Ακολουθεί o **κατάλογος ολοκληρωμάτων των [[Εκθετική συνάρτηση|εκθετικών συναρτήσεων]]**. Για έναν πλήρη κατάλογο των ολοκληρωτικών συναρτήσεων, ανατρέξτε στον κατάλογο των ολοκληρωμάτων.

## Αόριστο ολοκλήρωμα

Τα αόριστα ολοκληρώματα είναι αντιπαραγωγικές συναρτήσεις. Μια σταθερά (η σταθερά της ολοκλήρωσης) μπορεί να προστεθεί στο δεξί μέρος οποιουδήποτε από αυτούς τους τύπους, αλλά έχει αποσιωπηθεί εδώ για λόγους συντομίας. 

### Ολοκληρώματα πολυωνύμων

* 
\int xe^{cx}\,dx = e^{cx}\left(\frac{cx-1}{c^{2}}\right) \qquad \text{ for } c \neq 0;

* \int x^2 e^{cx}\,dx = e^{cx}\left(\frac{x^2}{c}-\frac{2x}{c^2}+\frac{2}{c^3}\right)
* \begin{align}
  \int x^n e^{cx}\,dx &= \frac{1}{c} x^n e^{cx} - \frac{n}{c}\int x^{n-1} e^{cx} \,dx \\
  &= \left( \frac{\partial}{\partial c} \right)^n \frac{e^{cx}}{c} \\
  &= e^{cx}\sum_{i=0}^n (-1)^i\frac{n!}{(n-i)!c^{i+1}}x^{n-i} \\
  &= e^{cx}\sum_{i=0}^n (-1)^{n-i}\frac{n!}{i!c^{n-i+1}}x^i
  \end{align}
* \int\frac{e^{cx}}{x}\,dx = \ln|x| +\sum_{n=1}^\infty\frac{(cx)^n}{n\cdot n!}
* \int\frac{e^{cx}}{x^n}\,dx = \frac{1}{n-1}\left(-\frac{e^{cx}}{x^{n-1}}+c\int\frac{e^{cx} }{x^{n-1}}\,dx\right) \qquad\text{(for }n\neq 1\text{)}

### Ολοκληρώματα που περιλαμβάνουν μόνο εκθετικές συναρτήσεις

* \int  f'(x)e^{f(x)}\,dx = e^{f(x)}
* \int e^{cx}\,dx = \frac{1}{c} e^{cx}
* \int a^{x}\,dx = \frac{a^x}{\ln a}\qquad\text{ για }a > 0,\ a \ne 1

### Ολοκλήρωση που περιλαμβάνει τη συνάρτηση σφάλματος

Στους ακόλουθους τύπους,  είναι η συνάρτηση σφάλματος και  είναι το εκθετικό ολοκλήρωμα. 

* \int e^{cx}\ln x\,dx = \frac{1}{c}\left(e^{cx}\ln|x|-\operatorname{Ei}(cx)\right)
* \int x e^{c x^2 }\,dx= \frac{1}{2c} e^{c x^2}
* \int e^{-c x^2 }\,dx= \sqrt{\frac{\pi}{4c}} \operatorname{erf}(\sqrt{c} x)
* \int xe^{-c x^2 }\,dx=-\frac{1}{2c}e^{-cx^2} 
* \int\frac{e^{-x^2}}{x^2}\,dx = -\frac{e^{-x^2}}{x} - \sqrt{\pi} \operatorname{erf} (x) 
* \int {\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2 }}\,dx= \frac{1}{2}\operatorname{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sigma \sqrt{2}}\right)

### Άλλα ολοκληρώματα

* \int e^{x^2}\,dx = e^{x^2}\left( \sum_{j=0}^{n-1}c_{2j}\frac{1}{x^{2j+1}} \right )+(2n-1)c_{2n-2} \int \frac{e^{x^2}}{x^{2n}}\,dx  \quad \text{valid for any } n > 0,
  where  c_{2j}=\frac{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2j-1)}{2^{j+1}}=\frac{(2j)!}{j!2^{2j+1}} \ . 
  ( Επισημαίνουμε ότι η τιμή της έκφρασης είναι *ανεξάρτητη* από την τιμή του , γι' αυτό και δεν εμφανίζεται στο ολοκλήρωμα.)
*  {\int \underbrace{x^{x^{\cdot^{\cdot^{x}}}}}_mdx= \sum_{n=0}^m\frac{(-1)^n(n+1)^{n-1}}{n!}\Gamma(n+1,- \ln x) + \sum_{n=m+1}^\infty(-1)^na_{mn}\Gamma(n+1,-\ln x)  \qquad\text{(for }x> 0\text{)}}
  οπου a_{mn}=\begin{cases}1   &\text{if } n = 0, \\ \\ \dfrac{1}{n!} &\text{if } m=1, \\ \\ \dfrac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}ja_{m,n-j}a_{m-1,j-1}  &\text{otherwise} \end{cases}
  και  είναι η ανώτερη ατελής συνάρτηση γάμμα.
* \int \frac{1}{ae^{\lambda x} + b} \,dx = \frac{x}{b} - \frac{1}{b \lambda} \ln\left(a e^{\lambda x} + b \right)  όταν b \neq 0, \lambda \neq 0, και ae^{\lambda x} + b > 0.
* \int \frac{e^{2\lambda x}}{ae^{\lambda x} + b} \,dx = \frac{1}{a^2 \lambda} \left[a e^{\lambda x} + b - b \ln\left(a e^{\lambda x} + b \right) \right]   όταν a \neq 0, \lambda \neq 0, και ae^{\lambda x} + b > 0.
* \int \frac{ae^{cx}-1}{be^{cx}-1}\,dx=\frac{(a-b)\log(1-be^{cx})}{bc}+x.
* \int{e^{x}\left( f\left( x \right) + f'\left( x \right) \right)\text{dx}} = e^{x}f\left( x \right) + C

* \int {e^{x}\left( f\left( x \right) - \left( - 1 \right)^{n}\frac{d^{n}f\left( x \right)}{dx^{n}} \right)\,dx} = e^{x}\sum_{k = 1}^{n}{\left( - 1 \right)^{k - 1}\frac{d^{k - 1}f\left( x \right)}{dx^{k - 1}}} + C
* \int {e^{- x}\left( f\left( x \right) - \frac{d^{n}f\left( x \right)}{dx^{n}} \right)\, dx} = - e^{- x}\sum_{k = 1}^{n}\frac{d^{k - 1}f\left( x \right)}{dx^{k - 1}} + C

* \int {e^{ax}\left( \left( a\right)^{n}f\left( x \right) - \left( - 1 \right)^{n}\frac{d^{n}f\left( x \right)}{dx^{n}} \right)\,dx} = e^{ax}\sum_{k = 1}^{n}{\left(a\right)^{n-k}\left( - 1 \right)^{k - 1}\frac{d^{k - 1}f\left( x \right)}{dx^{k - 1}}} + C

## Ορισμένα ολοκληρώματα
* \begin{align}
\int_0^1 e^{x\cdot \ln a + (1-x)\cdot \ln b}\,dx
&= \int_0^1 \left(\frac{a}{b}\right)^{x}\cdot b\,dx \\
&= \int_0^1 a^{x}\cdot b^{1-x}\,dx \\
&= \frac{a-b}{\ln a - \ln b} \qquad\text{for } a > 0,\ b > 0,\ a \neq b
\end{align}
Η τελευταία έκφραση είναι ο λογαριθμικός μέσος όρος.
* \int_0^{\infty} e^{-ax}\,dx=\frac{1}{a} \quad (\operatorname{Re}(a)>0)
* \int_0^{\infty} e^{-ax^2}\,dx=\frac{1}{2} \sqrt{\pi \over a} \quad  (a>0) (το ολοκλήρωµα του Γκάους)
* \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}\,dx=\sqrt{\pi \over a} \quad (a>0)
* \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} e^{-\frac{b}{x^2}}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{-2\sqrt{ab}} \quad (a,b>0) 
* \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(ax^2 + bx)}\,dx= \sqrt{\pi \over a}e^{\tfrac{b^2}{4a}} \quad(a > 0)
* \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(ax^2 + bx+c)}\,dx= \sqrt{\pi \over a}e^{\tfrac{b^2}{4a}-c} \quad(a > 0)
* \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} e^{-2bx}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{a}} \quad (a>0) (βλ. Ολοκλήρωμα γκαουσιανής συνάρτησης)
* \int_{-\infty}^{\infty} x e^{-a(x-b)^2}\,dx= b \sqrt{\frac{\pi}{a}} \quad (\operatorname{Re}(a)>0)
* \int_{-\infty}^{\infty} x e^{-ax^2+bx}\,dx= \frac{ \sqrt{\pi} b }{2a^{3/2}} e^{\frac{b^2}{4a}} \quad (\operatorname{Re}(a)>0)
* \int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-ax^2}\,dx=\frac{1}{2} \sqrt{\pi \over a^3} \quad (a>0)
* \int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-(ax^2+bx)}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}(2a+b^2)}{4a^{5/2}} e^{\frac{b^2}{4a}} \quad (\operatorname{Re}(a)>0)
* \int_{-\infty}^{\infty} x^3 e^{-(ax^2+bx)}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}(6a+b^2)b}{8a^{7/2}} e^{\frac{b^2}{4a}} \quad (\operatorname{Re}(a)>0)
* \int_0^{\infty} x^{n} e^{-ax^2}\,dx = 
  \begin{cases}
       \dfrac{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{2\left(a^\frac{n+1}{2}\right) } & (n>-1,\ a>0) \\
       \dfrac{(2k-1)!!}{2^{k+1}a^k}\sqrt{\dfrac{\pi}{a}} & (n=2k,\ k \text{ integer},\ a>0) \\
       \dfrac{k!}{2(a^{k+1})} & (n=2k+1,\ k \text{ integer},\ a>0)
  \end{cases}
  (ο τελεστής !! είναι το Διπλό παραγοντικό)
* \int_0^{\infty} x^n e^{-ax}\,dx = 
  \begin{cases}
       \dfrac{\Gamma(n+1)}{a^{n+1}} & (n>-1,\ \operatorname{Re}(a)>0) \\ \\
       \dfrac{n!}{a^{n+1}} & (n=0,1,2,\ldots,\ \operatorname{Re}(a)>0)
  \end{cases}
* \int_0^{1} x^n e^{-ax}\,dx = 
  \frac{n!}{a^{n+1}}\left[1-e^{-a}\sum_{i=0}^{n} \frac{a^i}{i!}\right]
* \int_0^{b} x^n e^{-ax}\,dx =
  \frac{n!}{a^{n+1}}\left[1-e^{-ab}\sum_{i=0}^{n} \frac{(ab)^i}{i!}\right]
* \int_0^\infty e^{-ax^b} dx =  \frac{1}{b}\ a^{-\frac{1}{b}}\Gamma\left(\frac{1}{b}\right)
* \int_0^\infty x^n e^{-ax^b} dx = \frac{1}{b}\ a^{-\frac{n+1}{b}}\Gamma\left(\frac{n+1}{b}\right)
* \int_0^{\infty} e^{-ax}\sin bx\,dx = \frac{b}{a^2+b^2} \quad (a>0)
* \int_0^{\infty} e^{-ax}\cos bx\,dx = \frac{a}{a^2+b^2} \quad (a>0)
* \int_0^{\infty} xe^{-ax}\sin bx\,dx = \frac{2ab}{(a^2+b^2)^2} \quad (a>0)
* \int_0^{\infty} xe^{-ax}\cos bx\,dx = \frac{a^2-b^2}{(a^2+b^2)^2} \quad (a>0)
* \int_0^{\infty} \frac{e^{-ax}\sin bx}{x}\,dx=\arctan \frac{b}{a}
* \int_0^{\infty} \frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}\,dx=\ln \frac{b}{a}
* \int_0^{\infty} \frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x} \sin px \, dx=\arctan \frac{b}{p} - \arctan \frac{a}{p}
* \int_0^{\infty} \frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x} \cos px \, dx=\frac{1}{2} \ln \frac{b^2+p^2}{a^2+p^2}
* \int_0^{\infty} \frac{e^{-ax} (1-\cos x)}{x^2}\,dx=\arccot a - \frac{a}{2}\ln \Big(\frac{1}{a^2}+1\Big) 
*  \int_{-\infty}^\infty e^{a x^4+b x^3+c x^2+d x+f} \, dx
= e^f \sum_{n,m,p=0}^\infty \frac{ b^{4n}}{(4n)!} \frac{c^{2m}}{(2m)!} \frac{d^{4p}}{(4p)!} \frac{ \Gamma(3n+m+p+\frac14) }{a^{3n+m+p+\frac14} }  (εμφανίζεται σε διάφορα μοντέλα της εκτεταμένης θεωρίας υπερχορδών σε υψηλότερες διαστάσεις)
* \int_0^{2 \pi} e^{x \cos \theta} d \theta = 2 \pi I_0(x) ( είναι η τροποποιημένη συνάρτηση Μπέσελ πρώτου είδους)
* \int_0^{2 \pi} e^{x \cos \theta + y \sin \theta} d \theta = 2 \pi I_0 \left( \sqrt{x^2 + y^2} \right)
* \int_0^\infty\frac{x^{s-1}}{e^x/z-1} \,dx = \operatorname{Li}_{s}(z)\Gamma(s), 
  όπου \operatorname{Li}_{s}(z) είναι ο Πολυλογάριθμος.
* \int_0^\infty\frac{\sin mx}{e^{2 \pi x}-1} \,dx = \frac{1}{4} \coth \frac{m}{2} - \frac{1}{2m} 
* \int_0^\infty  e^{-x} \ln x\, dx = - \gamma, 
  όπου \gamma είναι η σταθερά Όιλερ-Μαστσερόνι, η οποία ισούται με την τιμή ενός αριθμού οριστικών ολοκληρωμάτων.

Τέλος, ένα γνωστό αποτέλεσμα,
\int_0^{2 \pi} e^{i(m-n)\phi} d\phi = 2 \pi \delta_{m,n} \qquad\text{for }m,n\in\mathbb{Z}

όπου \delta_{m,n} είναι το δέλτα Κρόνεκερ.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Τριγωνομετρική συνάρτηση
* Συνάρτηση γάμμα
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Ρητή συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπερβολικές συναρτήσεις
* Κατάλογος ολοκληρωμάτων των υπερβολικών συναρτήσεων
* Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Μιγαδικός αριθμός
* Πολυώνυμο
* Ακέραιος αριθμός

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
*
*Toyesh Prakash Sharma, https://www.isroset.org/pdf_paper_view.php?paper_id=2214&7-ISROSET-IJSRMSS-05130.pdf
* 
* 

Κατηγορία:Κατάλογοι ολοκληρωμάτων 
Κατηγορία:Ολοκληρώματα