Πολλαπλότητα

[μικρογραφία|Το [:en:Real projective plane|πραγματικό προβολικό επίπεδο είναι μία δισδιάστατη πολλαπλότητα που δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί σε τρεις διαστάσεις χωρίς να αυτο-διασταυρωθεί, δείχνεται εδώ ως Boy's surface.|248x248px]]
Στα μαθηματικά μια **πολλαπλότητα** ή πολύπτυχο είναι ένας Τοπολογικός χώρος που τοπικά μοιάζει με Ευκλείδειο χώρο κοντά σε κάθε σημείο. Πιο συγκεκριμένα, κάθε σημείο μίας n-διάστατης πολλαπλοτήτας έχει μια γειτονία που είναι ομοιομορφική με ένα ανοιχτό υποσύνολο του n-διάστατου Ευκλείδειου χώρου.

Μονοδιάστατες πολλαπλότητες περιλαμβάνουν γραμμές και κύκλους αλλά όχι οχτάρια (επειδή έχουν σημείο διασταύρωσης που δεν είναι τοπικός ομοιομορφισμός του Ευκλείδειου 1-χώρου). Οι δισδιάστατες πολλαπλότητες ονομάζονται επίσης και επιφάνειες. Παραδείγματα περιλαμβάνουν το επίπεδο, τη σφαίρα και τον τόρο, τα οποία μπορούν να ενσωματωθούν (χωρίς αυτο-διασταυρώσεις) στον τρισδιάστατο πραγματικό χώρο, αλλά επίσης και τη Φιάλη του Κλάιν και το Πραγματικό προβολικό επίπεδο τα οποία θα έχουν πάντα αυτο-διασταυρώσεις όταν θα εμβυθίζονται στον πραγματικό χώρο.

Αν και μια πολλαπλότητα μοιάζει τοπικά με Ευκλείδειο χώρο, παγκόσμια μπορεί και να μην ισχύει. Για παράδειγμα η επιφάνεια της σφαίρας δεν είναι ένας Ευκλείδειος χώρος αλλά σε μια περιοχή μπορεί να χαρτογραφηθεί με τη βοήθεια της χαρτογραφικής προβολής της περιοχής του Ευκλείδειου χώρου (στο πλαίσιο της πολλαπλότητας ονομάζονται διαγράμματα). Όταν μια περιοχή εμφανίζεται σε δύο γειτονικά διαγράμματα, οι δύο παραστάσεις δεν συμπίπτουν ακριβώς και ένας μετασχηματισμός χρειάζεται για να περάσει από τη μία στην άλλη, που ονομάζεται μεταβατικός χάρτης.
[μικρογραφία|248x248εσ|Η επιφάνεια της γης απαιτεί (τουλάχιστον) δύο διαγράμματα που περιλαμβάνουν κάθε σημείο. Εδώ η [:en:Globe|υδρόγειος αποσυντίθεται γύρω από τον Βόρειο και Νότιο πόλο.]]
Η έννοια της πολλαπλότητας έχει κεντρική σημασία για πολλούς τομείς της γεωμετρίας και της σύγχρονης μαθηματικής φυσικής επειδή επιτρέπει σε πιο περίπλοκες δομές να περιγραφούν και να κατανοηθούν σε σχέση με τις σχετικά καλά κατανοητές ιδιότητες του Ευκλείδειου χώρου. Οι πολλαπλότητες προκύπτουν φυσικά ως λύσεις συνόλων από τα συστήματα των εξισώσεων και των γραφικών λειτουργιών. Οι πολλαπλότητες μπορεί να έχουν επιπλέον χαρακτηριστικά. Μια σημαντική κατηγορία πολλαπλοτήτων είναι των διαφορικών πολλαπλοτήτων. Αυτή διαφορική δομή επιτρέπει στον λογισμό να γίνει με πολλαπλότητα. Ένα Riemannian μέτρο σε μια πολλαπλότητα επιτρέπει αποστάσεις και γωνίες να μετρηθούν. Η συμπλεκτική πολλαπλότητα χρησιμεύει ως η φάση του χώρου στον Χαμιλτονιανό φορμαλισμό της κλασικής μηχανικής, ενώ των τεσσάρων διαστάσεων μοντέλο του χωροχρόνου της γενικής σχετικότητας στην πολλαπλότητα Lorenzian.

## Κινητήρια παραδείγματα

### Κύκλος
Κύριο άρθρο: κύκλος
μικρογραφία|Σχήμα 1: Τα τέσσερα διαγράμματα κάθε τμήματος του χάρτη του κύκλου ενωμένα μας δίνουν τον κύκλο.
Μετά από τη γραμμή, ο κύκλος είναι το απλούστερο παράδειγμα μιας τοπολογικής πολλαπλότητας. Η τοπολογία αγνοεί την κάμψη, έτσι ώστε ένα μικρό κομμάτι ενός κύκλου αντιμετωπίζεται ακριβώς σαν ένα μικρό κομμάτι από μια γραμμή. Θεωρήστε, για παράδειγμα, το άνω τμήμα του μοναδιαίου κύκλου, x2+y2=1, όπου οι y-συντεταγμένες είναι θετικές (δείχνονται από την κίτρινη γραμμή στο *Σχήμα 1*). Οποιοδήποτε σημείο αυτού του τόξου μπορεί να περιγραφεί μοναδικά από τους x-συντελεστές. Έτσι η προβολή πάνω στην πρώτη συντεταγμένη είναι μια συνεχής και αναστρέψιμη χαρτογράφηση από το άνω τόξο του ανοικτού διαστήματος (-1,1):

:  \chi_{\mathrm{top}}(x,y) = x . \,

Τέτοιες λειτουργίες μαζί με τις ανοικτές περιοχές του χάρτη καλούνται διαγράμματα. Ομοίως υπάρχουν διαγράμματα για το κάτω μέρος (κόκκινο), το αριστερό (μπλε) και το δεξιό (πράσινο) του κύκλου:

:  \chi_{\mathrm{bottom}}(x,y) = x 
:  \chi_{\mathrm{left}}(x,y) = y 
:  \chi_{\mathrm{right}}(x,y) = y.

Μαζί, αυτά τα μέρη καλύπτουν όλο τον κύκλο και τα τέσσερα διαγράμματα από έναν Άτλαντα από έναν κύκλο.

Το πάνω και το δεξιό διάγραμμα επικαλύπτονται: η τομή βρίσκεται στο τεταρτοκύκλιο όπου τόσο οι x και y συντεταγμένες είναι θετικές. Τα δύο διαγράμματα xtop και yright κάθε χάρτη ανήκουν στο διάστημα (0,1). Έτσι μια λειτουργία Τ από το (0,1) στον εαυτό του, μπορεί να κατασκευαστεί, η οποία χρησιμοποιεί πρώτα το αντίγραφο του άνω διαγράμματος για να φτάσει στον κύκλο και στη συνέχεια να ακολουθήσει το δεξιό διάγραμμα πίσω στο διάστημα. Έστω ένας τυχαίος αριθμός από το διάστημα (0,1) τότε :
: \begin{align}
 T(a) &= \chi_{\mathrm{right}}\left(\chi_{\mathrm{top}}^{-1}\left[a\right]\right) \\
      &= \chi_{\mathrm{right}}\left(a, \sqrt{1-a^2}\right) \\
      &= \sqrt{1-a^2}
\end{align}μικρογραφία|Σχήμα 2: Ένα διάγραμμα πολλαπλότητας κύκλου βασίζεται στην κλίση που καλύπτει όλα εκτός από ένα σημείο του κύκλου.|221x221εσΜια τέτοια λειτουργία ονομάζεται χάρτης μετάβασης.
: Τα πάνω, κάτω, δεξιά και αριστερά διαγράμματα δείχνουν ότι ο κύκλος είναι μια πολλαπλότητα αλλά δεν αποτελούν τον μόνο δυνατό άτλαντα. Τα διαγράμματα δεν χρειάζεται να είναι γεωμετρικές προβολές και ο αριθμός των διαγραμμάτων είναι θέμα κάποιας επιλογής. Θεωρήστε τα διαγράμματα 
: \chi_{\mathrm{minus}}(x,y) = s = \frac{y}{1+x}
: και
: \chi_{\mathrm{plus}}(x,y) = t = \frac{y}{1-x}{}
: Εδώ το s είναι η κλίση της γραμμής από το σημείο με συντεταγμένες (x,y) και τον σταθερό άξονα περιστροφής (-1,0) : το t έχει τις ίδιες ιδιότητες με το s αλλά το σημείο περιστροφής του είναι το (+1,0). Η αντίστροφη χαρτογράφηση από το s στο (x,y) δίνεται από
: \begin{align}
 x &= \frac{1-s^2}{1+s^2} \\
 y &= \frac{2s}{1+s^2}
\end{align}
: Μπορεί εύκολα να επιβεβαιωθεί ότι x2+y2=1 για όλες τις τιμές της κλίσης s. Αυτά τα δύο διαγράμματα παρέχουν έναν δεύτερο άτλαντα για τον κύκλο με
: t = \frac{1}{s}
: Κάθε γράφημα παραλείπει ένα σημείο είτε στο (-1,0) για το s είτε στο (+1,0) για το t, έτσι ώστε ούτε το διάγραμμα μόνο του είναι αρκετό για να καλύψει το σύνολο του κύκλου. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί. Για παράδειγμα, αν και είναι δυνατόν να κατασκευαστεί ένας κύκλος από μια γραμμή με επικάλυψη και το "κόλλημα" των άκρων, αυτό δεν παράγει ένα διάγραμμα: ένα τμήμα του κύκλου θα αντιστοιχούσε σε δύο άκρα ταυτόχρονα, με αποτέλεσμα να χάσει την αντιστρεψιμότητα.

### Εμπλουτισμένος Κύκλος
Εμφανίζεται χρησιμοποιώντας λογισμό, η λειτουργία μετάβασης του κύκλου Τ είναι απλά μα συνάρτηση μεταξύ ανοικτών διαστημάτων, που δίνει νόημα στο ότι το Τ είναι παραγωγίσιμο. Ο χάρτης μετάβασης Τ, και όλοι οι άλλοι είναι παραγωγίσιμοι στο διάστημα (0,1): ως εκ τούτου με αυτόν τον άτλαντα ο κύκλος είναι μια διαφορική πολλαπλότητα. Είναι επίσης ομαλή και αναλυτική επειδή η λειτουργία μετάβασης έχει και αυτή αυτές τις ιδιότητες.

Άλλες ιδιότητες του κύκλου του επέτρεψαν να ανταποκριθεί στις απαιτήσεις των πιο εξειδικευμένων τύπων πολλαπλότητας. Για παράδειγμα,ο κύκλος έχει την έννοια της απόστασης μεταξύ δύο σημείων, το τόξο μήκους δύο σημείων: ως εκ τούτου είναι μια Riemannian πολλαπλότητα.

### Σφαίρα
Η σφαίρα είναι ένα παράδειγμα μιας πολλαπλότητας διάστασης 2. Η μοναδιαία σφαίρα των σιωπηρών εξισώσεων είναι

μπορεί να καλυφθεί από έναν άτλαντα των έξι διαγραμμάτων: το επίπεδο  διαιρεί τη σφαίρα σε μισές σφαίρες ( και ) τα οποία μπορούν και τα δύο χα χαρτογραφηθούν στον δίσκο  με την προβολή στο επίπεδο των συντεταγμένων . Αυτό παρέχει δύο διαγράμματα: τα τέσσερα άλλα διαγράμματα παρέχονται από μια παρόμοια κατασκευή με τις άλλες δύο συντεταγμένες του επιπέδου.

Όσο για τον κύκλο, μπορεί κανείς να καθορίσει ένα διάγραμμα που να καλύπτει το σύνολο της σφαίρας εκτός από ένα σημείο. Έτσι τα δύο διαγράμματα είναι επαρκή, αλλά η σφαίρα δεν μπορεί να καλυφθεί από ένα ενιαίο διάγραμμα.

Αυτό το παράδειγμα ιστορικά σημαντικό, καθώς ήταν το κίνητρο για την ορολογία: έγινε φανερό ότι το σύνολο της επιφάνειας της Γης δεν μπορεί να έχει επίπεδη αναπαράσταση αποτελούμενη από έναν μόνο χάρτη (που ονομάζεται επίσης "γράφημα", δείτε ναυτικό χάρτη), και ως αποτέλεσμα χρειάζονται άτλαντες για την κάλυψη όλης της επιφάνειας της Γης.

### Άλλες Καμπύλες
μικρογραφία|Τέσσερις πολλαπλότητες από τις αλγεβρικές καμπύλες::<br/><span style="color:#bc1e47">■</span>&nbsp;κύκλος, <span style="color:#fec200">■</span>&nbsp;παραβολή, <span style="color:#0081cd">■</span>&nbsp;υπερβολή, <span style="color:#009246">■</span>&nbsp;κύβος.
Οι πολλαπλότητες δεν χρειάζεται να συνδέονται (όλα σε ένα "κομμάτι"): ένα παράδειγμα είναι ένα ζεύγος χωριστών κύκλων.

Οι πολλαπλότητες δεν χρειάζεται να είναι κλειστές: έτσι ένα ευθύγραμμο τμήμα είναι μια πολλαπλότητα. Και δεν είναι ποτέ μετρήσιμα, εκτός εάν η διάσταση της πολλαπλότητας είναι 0. Βάζοντας αυτές τις ελευθερίες μαζί, άλλα παραδείγματα πολλαπλοτήτων είναι η παραβολή, η υπερβολή ( δύο ανοικτά, άπειρα τεμάχια) και ο γεωμετρικός τόπος των σημείων σε μια κυβική καμπύλη *y*2&nbsp;=&nbsp;*x*3−*x* (ένα κλειστό κομμάτι βρόχου και ένα ανοικτό, άπειρα τεμάχια).

Πάντως, εξαιρούνται τα παραδείγματα όπως δύο κύκλους που εφάπτονται μοιράζονται ένα κοινό σημείο και με αποτέλεσμα να σχηματίζουν μια φιγούρα-8: στο κοινό σημείο ένα ικανοποιητικό διάγραμμα δεν μπορεί να δημιουργηθεί. Ακόμα και με την κάμψη που επιτρέπει η τοπολογία, η περιοχή του κοινού σημείου μοιάζει με ένα "+" και όχι με μια γραμμή. Ένα "+" δεν είναι ομοιομορφισμός σε ένα κλειστό διάστημα (ευθύγραμμο τμήμα) εφόσον διαγράφοντας το κεντρικό σημείο από το "+" παράγεται ένας χώρος με τέσσερις συνιστώσες (δηλαδή κομμάτια) λαμβάνοντας υπόψιν ότι η διαγραφή ενός σημείου από ένα κλειστό διάστημα δίνει έναν χώρο με το πολύ δύο κομμάτια: η τοπολογική λειτουργία πάντα διατηρεί των αριθμό των κομματιών.

Η μελέτη των πολλαπλοτήτων συνδυάζει πολλούς σημαντικούς τομείς των μαθηματικών: γενικεύει έννοιες όπως καμπύλες και επιφάνειες, καθώς και ιδέες από τη γραμμική άλγεβρα και την τοπολογία.

## Πρόωρη ανάπτυξη
Πριν από τη σύγχρονη έννοια της πολλαπλότητας υπήρχαν πολλά σημαντικά αποτελέσματα.

Η μη Ευκλείδεια Γεωμετρία εξετάζει χώρους όπου το αίτημα της παραλληλίας του Ευκλείδη αποτυγχάνει. Ο Σακέρι μελέτησε πρώτος τέτοιες γεωμετρίες το 1733, αλλά επιζητούσε μόνο να τις διαψεύσει. Οι Γκάους, Μπόιγιαϊ και Λομπατσέφσκι ανέπτυξαν περαιτέρω το αντικείμενο 100 χρόνια αργότερα. Η έρευνά τους αποκάλυψε δύο είδη χώρων των οποίων οι γεωμετρικές δομές διαφέρουν από εκείνες του κλασικού Ευκλείδειου χώρου. Οι χώροι αυτοί ονομάστηκαν υπερβολική γεωμετρία και ελλειπτική γεωμετρία. Στη σύγχρονη θεωρία των πολλαπλοτήτων, οι έννοιες αυτές αντιστοιχούν σε πολλαπλότητες Riemann με σταθερή αρνητική και θετική καμπυλότητα, αντίστοιχα.

Ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους μπορεί να ήταν ο πρώτος που θεώρησε αφηρημένους χώρους ως μαθηματικά αντικείμενα με δικές τους ιδιότητες. Το θεώρημά του δίνει μια μέθοδο για τον υπολογισμό της καμπυλότητας μιας επιφάνειας χωρίς να ληφθεί υπόψη ο περιβάλλων χώρος στον οποίο βρίσκεται η επιφάνεια. Μια τέτοια επιφάνεια, στη σύγχρονη ορολογία, θα μπορούσε να ονομαστεί πολλαπλότητα και, στη σύγχρονη άποψη, το θεώρημα απέδειξε ότι η καμπυλότητα της επιφάνειας είναι μια εγγενής ιδιότητα. Η θεωρία των πολλαπλοτήτων επικεντρώνεται αποκλειστικά σε αυτές τις εγγενείς ιδιότητες (ή σταθερές), ενώ σε μεγάλο βαθμό αγνοεί τις εξωγενείς ιδιότητες του χώρου περιβάλλοντος.

Ένα άλλο, πιο τοπολογικό παράδειγμα μιας εγγενούς ιδιότητας μιας πολλαπλότητας είναι η Χαρακτηριστική Όιλερ. Ο Λέοναρντ Όιλερ έδειξε ότι για ένα κυρτό γεωμετρικό πολύτοπο στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο με V κορυφές (ή γωνίες), ακμές Ε, και F πλευρές,

V-E + F = 2

Ο ίδιος τύπος θα προκύψει αν προβάλουμε τις κορυφές και τα άκρα του πολύτοπου επάνω σε μια σφαίρα, δημιουργώντας έναν τοπολογικό χάρτη με V κορυφές, ακμές Ε, και ΣΤ πλευρές, και στην πραγματικότητα, θα εξακολουθήσει να ισχύει για κάθε σφαιρικό χάρτη, ακόμα και αν αυτός δεν προκύπτει από κάποιο κυρτό πολύτοπο. Αν και το 2 είναι ένα τοπολογικό αναλλοίωτο της σφαίρας, που ονομάζεται **χαρακτηριστική του Euler**, ένας τόρος μπορεί να τεμαχιστεί από τους «παράλληλους» και «μεσημβρινούς» κύκλους του, δημιουργώντας ένα χάρτη με V = 1 κορυφή, Ε = 2 άκρες, και F = 1 πλευρά. Έτσι η χαρακτηριστική Όιλερ του τόρου είναι η 1 - 2 + 1 = 0. Η χαρακτηριστική του Όιλερ των άλλων επιφανειών είναι ένα χρήσιμο τοπολογικό αναλλοίωτο, ο οποίος μπορεί να επεκταθεί σε υψηλότερες διαστάσεις χρησιμοποιώντας τους αριθμούς Betti. Στα μέσα του δέκατου ένατου αιώνα, το θεώρημα Gauss-Bonnet συνέδεσε τη χαρακτηριστική του Όιλερ με την καμπυλότητα του Gaussian.

### Σύνθεση
Έρευνες του Νιλς Χένρικ Άμπελ και του Καρλ Γκούσταβ Τζακόμπι στην αναστροφή των ελλειπτικών ολοκληρωμάτων κατά το πρώτο μισό του 19ου αιώνα, τους οδήγησε να εξετάσουν ειδικούς τύπους μιγαδικής πολλαπλοτήτα, γνωστή σήμερα ως Ιακωβιανοί. Ο Μπέρνχαρντ Ρίμαν συνέβαλε περαιτέρω στη θεωρία τους, διευκρινίζοντας τη γεωμετρική σημασία της ανέλιξης της αναλυτικής συνέχειας των συναρτήσεων με σύνθετες μεταβλητές.

Μια άλλη σημαντική πηγή πολλαπλοτήτων στα μαθηματικά του 19ου αιώνα, ήταν η αναλυτική μηχανική, όπως αναπτύχθηκε από τον Συμεών Πουασόν, Jacobi, και William Rowan Hamilton. Οι πιθανές καταστάσεις ενός μηχανικού συστήματος πιστεύεται ότι είναι σημεία ενός αφηρημένου χώρου, φασικών χώρων στους λαγκραγκιανούς και χαμιλτονιανούς φορμαλισμούς της κλασικής μηχανικής. Αυτός ο χώρος είναι, στην πραγματικότητα, μιας πολυδιάστατης πολλαπλότητας, της οποίας η διάσταση αντιστοιχεί στους βαθμούς ελευθερίας του συστήματος και όπου τα σημεία της καθορίζονται από τις γενικευμένες συντεταγμένες τους. Για μια αβίαστη κίνηση των ελεύθερων σωματιδίων η πολλαπλότητα είναι ισοδύναμη με την Ευκλείδειο χώρο, αλλά διάφοροι νόμοι διατήρησης την περιορίζουν το σε πιο περίπλοκες συνθέσεις, π.χ. Liouville tori. Η θεωρία ενός περιστρεφόμενου στερεού σώματος, που αναπτύχθηκε τον 18ο αιώνα από τον Λέοναρντ Όιλερ και Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ, δίνει άλλο ένα παράδειγμα όπου η πολλαπλότητα είναι τετριμμένη. Γεωμετρικές και τοπολογικές πτυχές της κλασικής μηχανικής τονίστηκαν από τον Ανρί Πουανκαρέ, ένας από τους ιδρυτές της τοπολογίας.

Ο Riemann ήταν ο πρώτος που έκανε εκτεταμένες εργασίες γενικεύοντας την ιδέα μιας επιφάνειας σε υψηλότερες διαστάσεις. Η ονομασία «πολλαπλότητα» προέρχεται από τον αρχικό γερμανικό όρο του Riemann Mannigfaltigkeit, το οποίο μετέφρασε ο Γουίλιαμ Κίνγκτον Κλίφορντ ως "πολλαπλότητα". Στην εναρκτήρια διάλεξη του στο Γκέτινγκεν ο Ρίμαν περιγράφει το σύνολο όλων των δυνατών τιμών μιας μεταβλητής με ορισμένους περιορισμούς ως Mannigfaltigkeit, επειδή η μεταβλητή μπορεί να έχει πολλές τιμές. Ο ίδιος διακρίνει stetige Mannigfaltigkeit και diskrete Mannigfaltigkeit (συνεχής πολλαπλότητα και ασυνεχή πολλαπλότητα), ανάλογα με το αν οι τιμές αλλάζουν συνεχώς ή όχι. Ως συνεχή παραδείγματα, ο Ρίμαν αναφέρεται όχι μόνο στα χρώματα και τις θέσεις των αντικειμένων στο χώρο, αλλά και τα πιθανά σχήματα μιας χωρικής φιγούρας. Χρησιμοποιώντας επαγωγή, ο Riemann κατασκευάζει ένα Ν-FACH ausgedehnte Mannigfaltigkeit (n φορές παρατείνεται πολλαπλότητα ή η-διαστάσεων πολλαπλότητα) ως συνεχή στοίβα πολλαπλοτήτων (n-1) διαστάσεων. Η ενστικτώδης έννοια του Ρίμαν για μια Mannigfaltigkeit εξελίχθηκε σε αυτό που είναι σήμερα επισημοποιημένο ως πολλαπλότητα. Οι Πολλαπλότητες και επιφάνειες Riemann ονομάστηκαν έτσι προς τιμήν του Ρίμαν.

### Ο ορισμός του Poincaré
Στην πολύ ισχυρή του εργασία, «Ανάλυση πράγματος»,ο Ανρί Πουανκαρέ έδωσε έναν ορισμό μίας (διαφορίσιμης) πολλαπλότητας (variété), ο οποίος χρησίμευσε ως πρόδρομος στη σύγχρονη έννοια της πολλαπλότητας.

Στην πρώτη ενότητα της ανάλυσης πράγματος, ο Πουανκαρέ καθορίζει μια πολλαπλότητα ως το επίπεδο που έχει οριστεί από μία συνεχώς διαφορίσιμη συνάρτηση μεταξύ Ευκλείδειων χώρων που ικανοποιεί την υπόθεση του θεωρήματος της « Πεπλεγμένης συνάρτησης», χωρίς βλάβη της γενικότητας. Στην τρίτη ενότητα, αρχίζει με την παρατήρηση ότι η γραφική παράσταση μιας συνεχώς διαφορίσιμης συνάρτησης είναι μια πολλαπλότητα στην τελευταία αυτή έννοια. Στη συνέχεια προτείνει ένα νέο, πιο γενικό, ορισμό της πολλαπλότητας που βασίζεται σε μια «αλυσίδα των Πολλαπλοτήτων» (une Chaîne des Variétés).

Η έννοια του Poincaré για μια «αλυσίδα των Πολλαπλοτήτων» είναι ένας πρόδρομος στη σύγχρονη έννοια του άτλαντα. Ειδικότερα, θεωρεί δύο πολλαπλότητες που ορίζονται αντίστοιχα ως γραφήματα των λειτουργιών  \theta(y)  και  \theta'(y') . Αν αυτές οι πολλαπλότητες επικαλύπτονται (a une partie commune), τότε αυτός προϋποθέτει ότι οι συντεταγμένες  y εξαρτώνται συνεχώς διαφορίσιμα στις συντεταγμένες  y' και το αντίστροφο («... les  y  sont fonctions analytiques des y' et inversement »). Με τον τρόπο αυτό εισάγει ένα πρόδρομο στην έννοια ενός διαγράμματος και ενός χάρτη μετάβασης χ. Σημειώστε ότι υπονοείται στην ανάλυση πράγματος ότι μια πολλαπλότητα που λαμβάνεται ως «αλυσίδα» είναι ένα υποσύνολο του Ευκλείδειου χώρου.

Για παράδειγμα, ο μοναδιαίος κύκλος στο επίπεδο μπορεί να θεωρηθεί ως η γραφική παράσταση της συνάρτησης  y=\sqrt{1-x^2}  ή αλλιώς η συνάρτηση  y=-\sqrt{1-x^2}  σε μια γειτονική περιοχή κάθε σημείου εκτός των σημείων (1,0) και (-1,0)? και σε μια γειτονική περιοχή από αυτά τα σημεία, μπορεί να θεωρηθεί ως το γράφημα του, αντίστοιχα, x=\sqrt{1-y^2}  και  x=-\sqrt{1-y^2} . Ο λόγος που ο κύκλος μπορεί να αντιπροσωπεύεται από ένα γράφημα στη περιοχή του κάθε σημείου είναι επειδή η αριστερή πλευρά της εξίσωσης καθορισμού της  x^2+y^2-1=0  έχει μη μηδενική κλίση σε κάθε σημείο του κύκλου.Με το θεώρημα της «πεπλεγμένης συνάρτησης», κάθε υποπολλαπλότητα του Ευκλείδειου χώρου είναι τοπικά η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης.

Ο Hermann Weyl έδωσε έναν εγγενή ορισμό για τις διαφορίσιμες πολλαπλότητες στη διάλεξη του για τις επιφάνειες Riemann το 1911-1912, ανοίγοντας το δρόμο προς τη γενική έννοια του τοπολογικού χώρου που ακολούθησε σύντομα. Κατά τη διάρκεια της δεκαετίας του 1930 ο Hassler Whitney και άλλοι διευκρίνισαν τις θεμελιώδεις πτυχές του θέματος, και ως εκ τούτου εικασίες που χρονολογούνται από το δεύτερο μισό του 19ου αιώνα έγιναν ακριβείς, και αναπτύχθηκε μέσω αυτών η «Διαφορική Γεωμετρία» και η «Θεωρία των ομάδων Lie». Αξίζει να σημειωθεί ότι η ενσωμάτωση του θεωρήματος Whitney [4] έδειξε ότι ο εγγενής ορισμός από την άποψη των διαγραμμάτων ήταν ισοδύναμος με τον ορισμό Πουανκαρέ με όρους των υποσυνόλων του Ευκλείδειου χώρου.

### Τοπολογία των Πολλαπλοτήτων: Οι σημαντικότερες εκφάνσεις
Δισδιάστατες Πολλαπλότητες, επίσης γνωστές ως 2D επιφάνειες ενσωματωμένες στον κοινό 3D μας χώρο, θεωρήθηκαν από τον Riemann υπό το πρόσχημα των Ρίμαν επιφανειών και αυστηρά κατατάχθηκαν στις αρχές του 20ού αιώνα από τους Poul Heegaard και Max Dehn. Ο Ανρί Πουανκαρέ πρωτοπόρησε στη μελέτη των τρισδιάστατων πολλαπλοτήτων και έθεσε ένα θεμελιώδες ερώτημα γι' αυτούς, σήμερα γνωστό ως η εικασία Poincaré. Μετά από σχεδόν έναν αιώνα της προσπάθειας από πολλούς μαθηματικούς, ξεκινώντας με τον ίδιο τον Πουανκαρέ, μια συναίνεση μεταξύ των ειδικών (από το 2006) είναι ότι ο Gregory Perelman απέδειξε την εικασία Πουανκαρέ (δείτε Solution of the Poincaré conjecture). Το Πρόγραμμα γεωμετρικοποίησης του Γουίλιαμ Θέρστον, που διατυπώθηκε στη δεκαετία του 1970, απέδωσε μια εκτεταμένη επέκταση της εικασίας του Poincaré στις γενικές τρισιδιάστατες Πολλαπλότητες. Οι τετραδιάστατες Πολλαπλότητες ήρθαν στην πρώτη γραμμή της μαθηματικής έρευνας στη δεκαετία του 1980 από τον Michael Freedman και σε μια διαφορετική προσέγγιση, από τον Σάιμον Ντόναλντσον, ο οποίος είχε ως κίνητρο την τότε πρόσφατη πρόοδο στη θεωρητική φυσική (θεωρία Yang-Mills), όπου χρησιμεύουν ως ένα υποκατάστατο για τον συνηθισμένο-δεδομένο «επίπεδο» χωροχρόνο. Ο Andrey Markov Jr. έδειξε το 1960 ότι δεν υπάρχει αλγόριθμος για την κατάταξη των τετραδιάστατων πολλαπλοτήτων. Σημαντικό έργο για τις πολυδιάστατες πολλαπλότητες, συμπεριλαμβανομένων των αναλόγων της εικασίας του Πουανκαρέ είχε γίνει νωρίτερα από τους Ρενέ Τομ, Τζον Μίλνορ, Στίβεν Σμέιλ και Σεργκέι Novikov. Μία από τις πιο διεισδυτικές και ευέλικτες τεχνικές που υποδεικνύουν πολλή δουλειά για την τοπολογία των πολλαπλοτήτων είναι η θεωρία Morse.

## Μαθηματικός ορισμός
Για περισσότερες λεπτομέρειες σχετικά με αυτό το θέμα, δείτε Κατηγορίες πολλαπλοτήτων.

Άτυπα, μια πολλαπλότητα είναι ένας χώρος που είναι "πρότυπο" Ευκλείδειου χώρου.

Υπάρχουν πολλά διαφορετικά είδη πολλαπλοτήτων και γενικεύσειεων. Στη γεωμετρία και την τοπολογία, όλες οι πολλαπλότητες είναι τοπολογικές πολλαπλότητες, ενδεχομένως με πρόσθετη δομή, τις περισσότερες φορές μια διαφορίσιμη δομή. Για την κατασκευή πολλαπλοτήτων μέσω τμημάτων, μια πολλαπλότητα έχει μία επιπλέον δομή, αν οι απεικονίσεις μεταβίβασης μεταξύ διαφορετικών τμημάτων ικανοποιούν τα αξιώματα της πέρα ​​από τα όρια της συνέχειας. Για παράδειγμα, διαφορίσιμες πολλαπλότητες έχουν ομοιομορφισμούς σε επικαλυπτόμενες περιοχές διαφορομορφικούς ο ένας με τον άλλον, έτσι ώστε η πολλαπλότητα να διαθέτει ένα καλά καθορισμένο σύνολο των συναρτήσεων που είναι διαφορίσιμες σε κάθε περιοχή, και ούτω διαφορίσιμη ως πολλαπλότητα στο σύνολό της.

Τυπικά, μια τοπολογική πολλαπλότητα [5] είναι ένας διυκός αριθμήσιμος χώρος Χάουσντορφ (Hausdorff) που είναι τοπικά ομομορφικός στον Ευκλείδειο χώρο.

Δεύτερα μετρήσιμος και Hausdorff είναι συνθήκες: ο διυκά μετρήσιμος εξαιρεί χώρους που είναι κατά κάποιον τρόπο «πολύ μεγάλοι», όπως η μακρά σειρά, ενώ η Hausdorff αποκλείει χώρους όπως "η γραμμή με δύο προελεύσεις» (αυτές οι γενικεύσεις πολλαπλοτήτων συγκαταλέγονται στις μη-Hausdorff πολλαπλότητες).

Τοπικά ομομορφικός σε Ευκλείδειο χώρο [6] σημαίνει ότι κάθε σημείο έχει μια ομομορφική περιοχή σε μια ανοικτή Ευκλείδειο n-μπάλα,

:\mathbf{B}^n = \{ (x_1, x_2, \dots, x_n)\in\mathbb{R}^n \mid x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 

Γενικά, οι πολλαπλότητες λαμβάνονται να έχουν σταθερή διάσταση (ο χώρος πρέπει να είναι τοπικά ομομορφικός σε μία σταθερή Ν-μπάλα), και ένας τέτοιος χώρο ονομάζεται n-πολλαπλότητα. Ωστόσο, ορισμένοι συγγραφείς θεωρούν πολλαπλότητες, όπου διαφορετικά σημεία μπορεί να έχουν διαφορετικές διαστάσεις. [7] Αν μια πολλαπλότητα έχει μια σταθερή διάσταση, αυτή ονομάζεται απλή πολλαπλότητα. Για παράδειγμα, η σφαίρα έχει μια σταθερή διάσταση του 2 και είναι ως εκ τούτου μια καθαρή πολλαπλότητα ενώ η ασυνεχής ένωση μιας σφαίρας και μιας γραμμής σε τρισδιάστατο χώρο δεν είναι μια απλή πολλαπλότητα. Δεδομένου ότι η διάσταση είναι ένα τοπικό αναλλοίωτο (δηλαδή ο χάρτης που στέλνει κάθε σημείο στη διάσταση της περιοχής του πάνω από την οποία ορίζεται ένα διάγραμμα, είναι τοπικά σταθερό), η κάθε συνδεδεμένη συνιστώσα έχει σταθερή διάσταση.

Σχεδιαστικά, μια πολλαπλότητα είναι ένας τοπικός δακτυλιος χώρος, του οποίου η δομή σε επίπεδο δεσμών είναι τοπικά ισόμορφη με τη δέσμη συνεχούς (ή διαφορίσιμη, ή σύνθετα-αναλυτική, κλπ) των συναρτήσεων του Ευκλείδειου χώρου. Ο ορισμός αυτός χρησιμοποιείται κυρίως κατά τη συζήτηση αναλυτικών πολλαπλοτήτων στην αλγεβρική γεωμετρία.

### Ευρύς ορισμός
Ο ευρύτερα κοινός ορισμός της πολλαπλότητας είναι ένας τοπολογικός χώρος τοπικά ομομορφικός σε έναν τοπολογικό χώρο φορέα πάνω από τους πραγματικούς αριθμούς. Αυτό παραλείπει τα αξιώματα των σημειακών συνόλων, επιτρέποντας υψηλότερες πληθυκότητες και μη-Hausdorff Πολλαπλότητες, και παραλείπει την πεπερασμένη διάσταση, επιτρέποντας σε δομές όπως οι πολλαπλότητες Hilbert να διαμορφωθούν σε χώρους Hilbert, οι πολλαπλότητες Banach να διαμορφωθούν σε χώρους Μπάναχ, και οι πολλαπλότητες Fréchet πρέπει να διαμορφωθούν σε χώρους Fréchet. Συνήθως η μία χαλαρώνει τη μία ή την άλλη προϋπόθεση: Οι πολλαπλότητες με τα αξιώματα των σημειακών συνόλων μελετώνται στη γενική τοπολογία, ενώ οι απείρων διαστάσεων Πολλαπλότητες μελετώνται στη Συναρτησιακή Ανάλυση.

## Διαγράμματα, άτλαντες και χάρτες μετάβασης
*Κύριο άρθρο:* Άτλας (τοπολογία)

Στη σφαιρική γη μπορούμε να πλοηγηθούμε χρησιμοποιώντας επίπεδους χάρτες και διαγράμματα, τα οποία έχουν συλλεχθεί σε έναν Άτλαντα. Ομοίως μια διαφορίσιμη πολλαπλότητα μπορεί να περιγραφεί με τη χρήση μαθηματικών χαρτών, που ονομάζονται διαγράμματα συντεταγμένων, και συλλέγονται σε έναν μαθηματικό άτλαντα. Γενικά, δεν είναι δυνατόν να περιγραφεί μια πολλαπλότητα με μόνο ένα διάγραμμα, γιατί η συνολική δομή της πολλαπλότητας είναι διαφορετική από την απλή δομή των διαγραμμάτων. Για παράδειγμα, κανένας επίπεδος χάρτης δεν μπορεί να αντιπροσωπεύσει ολόκληρη τη Γη χωρίς διαχωρισμό των παρακείμενων λειτουργιών πέρα από τα όρια του χάρτη ή της επικάλυψης της κάλυψης. Όταν μια πολλαπλότητα κατασκευάζεται από πολλαπλά επικαλυπτόμενα διαγράμματα η περιοχή η οποία επικαλύπτεται κουβαλάει πληροφορίες που είναι απαραίτητες για την κατανόηση της συνολικής δομής.

### Διαγράμματα

Ένας **χάρτης συντεταγμένων**, ένα **διάγραμμα συντεταγμένων**, ή απλά ένα **διάγραμμα** μιας πολλαπλότητας είναι ένας αντιστρέψιμος χάρτης μεταξύ ενός υποσυνόλου της πολλαπλότητας και ενός απλού χώρου τέτοια ώστε ο χάρτης και ο αντίστροφός του να διατηρούν την επιθυμητή δομή. Για μια τοπολογική πολλαπλότητα, ο απλός χώρος είναι κάποιος Ευκλείδειος χώρος Rn και επικεντρώνεται στην τοπολογική δομή. Αυτή η δομή διατηρείται με ομοιομορφισμό, αντιστρέψιμους χάρτες που είναι συνεχής και προς τις δύο κατευθύνσεις.

Σε κάθε περίπτωση μιας διαφορικής πολλαπλότητας, ένα σύνολο **διαγραμμάτων** που ονομάζονται **άτλαντας** μας επιτρέπει να κάνουμε λογισμούς στην πολλαπλότητα. Οι πολικές συντεταγμένες, για παράδειγμα, σχηματίζουν ένα διάγραμμα για το επίπεδο R2 μείον του θετικού x-άξονα της προέλευσης. Ένα άλλο παράδειγμα ενός διαγράμματος του χάρτη xtop που αναφέρεται στην παραπάνω ενότητα, ένα διάγραμμα για τον κύκλο.

### Άτλαντας

Η περιγραφή των περισσότερων πολλαπλοτήτων απαιτεί περισσότερα από ένα διάγραμμα (ένα διάγραμμα είναι αρκετό μόνο για τις απλές πολλαπλότητες). Μια συγκεκριμένη συλλογή από διαγράμματα που καλύπτει μια πολλαπλότητα ονομάζεται άτλαντας. Ένας άτλαντας δεν είναι μοναδικός, όπως όλες οι πολλαπλότητες μπορούν να καλυφθούν με πολλούς τρόπους χρησιμοποιώντας συνδυασμό διαφορετικών διαγραμμάτων. Δύο άτλαντες λέγετε ότι είναι Ck-ισοδύναμοι αν η ένωσή τους είναι και αυτή ένας Ck άτλαντας.

Ο άτλαντας που περιέχει όλα τα δυνατά διαγράμματα οδηγεί σε ένα δοσμένο άτλαντα που ονομάζεται **μέγιστος άτλαντας** (δηλαδή μια κλάση ισοδυναμίας που περιέχει τον δοσμένο άτλαντα (κάτω από την ήδη ορισμένη ισοδύναμη σχέση που δόθηκε στην προηγούμενη παράγραφο)). Σε αντίθεση με έναν συνηθισμένο άτλαντα, οι μέγιστοι άτλαντες μιας δεδομένης πολλαπλότητας είναι μοναδικοί. Αν και είναι χρήσιμο για τους ορισμούς, είναι ένα αφηρημένο αντικείμενο και δεν χρησιμοποιείται άμεσα (π.χ. στους υπολογισμούς).

### Χάρτες μετάβασης
Διάγραμμα είναι ένας άτλαντας που μπορεί να επικαλύπτεται και ένα μόνο σημείο μιας πολλαπλότητας μπορεί να αντιπροσωπεύεται σε πολλά διαγράμματα. Αν δύο διαγράμματα επικαλύπτονται, τμήματα αυτών αντιπροσωπεύουν την ίδια περιοχή της πολλαπλότητας, όπως ένας χάρτης της Ευρώπης και ένας χάρτης της Ασίας μπορεί να περιέχει τη Μόσχα. Δεδομένων δύο επικαλυπτόμενων διαγραμμάτων, μια **συνάρτηση μετάβασης** μπορεί να οριστεί σε μια ανοικτή μπάλα στην **R<sup>n</sup>** πολλαπλότητα και πηγαίνει πίσω σε μια άλλη (ή ίσως και στην ίδια) ανοικτή μπάλα στην **R<sup>n</sup>**. Ο χάρτης που προκύπτει, όπως και ο χάρτης Τ στο παράδειγμα με τον κύκλο παραπάνω, ονομάζεται **αλλαγή συντεταγμένων**, μια **μεταβατική συνάρτηση**, ή **χάρτης μετάβασης**.

### Πρόσθετες δομές
Ένας άτλαντας μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να καθορίσει πρόσθετες δομές πάνω στην πολλαπλότητα. Η δομή ορίζεται πρώτα σε κάθε διάγραμμα ξεχωριστά. Αν όλοι οι χάρτες μετάβασης είναι συμβατοί με με αυτή τη δομή, η δομή μεταφέρεται στην πολλαπλότητα.

Αυτός είναι ο τυπικός τρόπος που οι διαφορίσιμες πολλαπλότητες ορίζονται. Αν οι μεταβατικές συναρτήσεις ενός άτλαντα για μια τοπολογική πολλαπλότητα διατηρούν τις φυσικές διαφορικές δομές της **R**n (δηλαδή, αν είναι αμφιδιαφόριση) οι διαφορικές δομές μεταφέρονται στην πολλαπλότητα και μετατρέπονται σε μια διαφορική πολλαπλότητα. Οι πολύπλοκες πολλαπλότητες εισάγονται με έναν ανάλογο τρόπο με την προϋπόθεση ότι οι μεταβατικές συναρτήσεις ενός άτλαντα είναι ολομορφικές συναρτήσεις. Για τις συμπλεκτικές πολλαπλότητες, οι μεταβατικές συναρτήσεις πρέπει να είναι συμπλεκτομορφικές.

Η δομή στην πολλαπλότητα εξαρτάται από τον άτλαντα, αλλά μερικές φορές διαφορετικοί άτλαντες λέγετε ότι μπορούν να δώσουν την ίδια δομή. Αυτοί οι άτλαντες ονομάζονται **συμβατοί**.

Αυτές οι έννοιες γίνονται ακριβής με τη χρήση των ψευδοομάδων.

## Πολλαπλότητα με σύνορο
Δείτε επίσης: Τοπολογική πολλαπλότητα και πολλαπλότητα με σύνορο

Μια **πολλαπλότητα με σύνορο** είναι μία πολλαπλότητα με μια άκρη. Για παράδειγμα, ένα φύλλο χαρτί είναι μια 2-πολλαπλότητα με όριο 1-διάστασης. Το όριο μίας n-πολλαπλότητας με σύνορο είναι μία (n - 1) -πολλαπλότητα. Ένας δίσκος (κύκλος συν εσωτερικό) είναι μια 2-πολλαπλότητα με σύνορο. Σύνορό του είναι ένας κύκλος, μία 1-πολλαπλότητα. Ένα τετράγωνο με εσωτερικό είναι επίσης μία 2-πολλαπλότητα με σύνορο. Μια μπάλα (σφαίρα συν εσωτερικό) είναι μία 3-πολλαπλότητα με σύνορο. Σύνορό του είναι μια σφαίρα, μία 2-πολλαπλότητα. (Βλέπε επίσης Οριακά (τοπολογία)).

Στην τεχνική γλώσσα, μια πολλαπλότητα με σύνορο είναι ένας χώρος που περιέχει τόσο εσωτερικά σημεία όσο και οριακά σημεία. Κάθε εσωτερικό σημείο έχει μία ομομορφική περιοχή στην ανοικτή n-σφαίρα {(*x*1,&nbsp;*x*2,&nbsp;…,&nbsp;*x**n*) | Σ *x**i*2&nbsp;1,&nbsp;*x*2,&nbsp;…,&nbsp;*x**n*) | Σ *x**i*2&nbsp;1&nbsp;≥&nbsp;0}. Ο ομοιομορφισμός οφείλει να διαβιβάζει κάθε οριακό σημείο σε σημείο με x1 = 0.

### Οριακά και το εσωτερικό
Έστω M είναι μια πολλαπλότητα με σύνορο. Το **εσωτερικό** του Μ, συμβολίζεται με Int Μ, είναι το σύνολο των σημείων Μ που έχουν ομομορφικές περιοχές σε ένα ανοικτό υποσύνολο του R^n. Το **σύνορο** της M, συμβολίζεται ∂M, είναι το συμπλήρωμα του Int Μ στη Μ. Τα οριακά σημεία μπορούν να χαρακτηριστούν ως τα σημεία τα οποία προσγειώνονται στο οριακό υπερεπίπεδο (xn = 0) του {R_+}^n σε ένα σύστημα συντεταγμένων.

Εάν Μ είναι μία πολλαπλότητα με σύνορο διάστασης n, τότε Int Μ είναι μία πολλαπλότητα (χωρίς όρια) της διάστασης n και ∂M είναι μια πολλαπλότητα (χωρίς όρια) της διάστασης n - 1.

## Βιβλιογραφία
* Freedman, Michael H., and Quinn, Frank (1990) *Topology of 4-Manifolds*. Princeton University Press. ISBN 0-691-08577-3.
* Guillemin, Victor and Pollack, Alan (1974) *Differential Topology*. Prentice-Hall. ISBN 0-13-212605-2. Advanced undergraduate / first-year graduate text inspired by Milnor.
* Hempel, John (1976) *3-Manifolds*. Princeton University Press. ISBN 0-8218-3695-1.
* Hirsch, Morris, (1997) *Differential Topology*. Springer Verlag. ISBN 0-387-90148-5. The most complete account, with historical insights and excellent, but difficult, problems. The standard reference for those wishing to have a deep understanding of the subject.
* Kirby, Robion C. and Siebenmann, Laurence C. (1977) *Foundational Essays on Topological Manifolds. Smoothings, and Triangulations*. Princeton University Press. ISBN 0-691-08190-5. A detailed study of the category of topological manifolds.
* Lee, John M. (2000) *Introduction to Topological Manifolds*. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98759-2. Detailed and comprehensive first-year graduate text.
* Lee, John M. (2003) *[https://archive.org/details/GraduateTextsInMathematics218LeeJ.M.IntroductionToSmoothManifoldsSpringer2012 Introduction to Smooth Manifolds]*. Springer-Verlag. ISBN 0-387-95495-3. Detailed and comprehensive first-year graduate text; sequel to *Introduction to Topological Manifolds*.
* Massey, William S. (1977) *Algebraic Topology: An Introduction*. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90271-6.
* Milnor, John (1997) *Topology from the Differentiable Viewpoint*. Princeton University Press. ISBN 0-691-04833-9. Classic brief introduction to differential topology.
* Munkres, James R. (1991) *[https://archive.org/details/MunkresJ.R.AnalysisOnManifolds Analysis on Manifolds]*.  Addison-Wesley (reprinted by Westview Press) ISBN 0-201-51035-9. Undergraduate text treating manifolds in \R^n.
* Munkres, James R. (2000) *Topology*. Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
* Neuwirth, L. P., ed. (1975) *Knots, Groups, and 3-Manifolds. Papers Dedicated to the Memory of R. H. Fox*. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08170-0.
* Riemann, Bernhard, *Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass*, Sändig Reprint. ISBN 3-253-03059-8.
** *[http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Grund/ Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse.]* The 1851 doctoral thesis in which "manifold" (*Mannigfaltigkeit*) first appears.
** *[http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Geom/ Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen.]* The 1854 Göttingen inaugural lecture (*Habilitationsschrift*).
* Spivak, Michael (1965) *[https://archive.org/details/SpivakM.CalculusOnManifoldsPerseus2006Reprint Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus]*. W.A. Benjamin Inc. (reprinted by Addison-Wesley and Westview Press). ISBN 0-8053-9021-9. Famously terse advanced undergraduate / first-year graduate text.
* Spivak, Michael (1999) *A Comprehensive Introduction to Differential Geometry* (3rd edition) Publish or Perish Inc.  Encyclopedic five-volume series presenting a systematic treatment of the theory of manifolds, Riemannian geometry, classical differential geometry, and numerous other topics at the first- and second-year graduate levels.
* . Concise first-year graduate text.

## Παραπομπές