Ανεξαρτησία (θεωρία πιθανοτήτων)

Στην θεωρία πιθανοτήτων, δύο γεγονότα A και B λέγονται **ανεξάρτητα** όταν γνωρίζοντας αν έγινε το ένα από τα δύο, *δεν* λαμβάνουμε πληροφορίες για το αν έγινε το άλλο. Διαφορετικά, λέγονται **εξαρτημένα**.

Για παράδειγμα, αν ρίξουμε ένα (δίκαιο) ζάρι δύο φορές και τα αποτελέσματα είναι X_1 και X_2, τα γεγονότα \{ X_1 = 6 \} και \{ X_2 = 3 \} είναι ανεξάρτητα, δηλαδή η γνώση ότι το πρώτο ζάρι ήταν 6 δεν μας δίνει (παραπάνω) πληροφορία για το αν το άλλο ζάρι ήταν 3. 

Αντίθετα, αν διαλέξουμε δύο φύλλα από μία τράπουλα X_1 και X_2 το ένα κατόπιν του άλλου, τότε τα γεγονότα \{ X_1 = \text{3♣} \} και \{ X_2 = { \color{red}\text{5♥}} \} *δεν* είναι ανεξάρτητα, καθώς αν γνωρίζουμε ότι το πρώτο φύλλο είναι το \text{3♣}, τότε αυξάνονται οι πιθανότητες το δεύτερο φύλλο να είναι το {\color{red} \text{5♥}}. Αν επιστρέφαμε το πρώτο φύλλο στην τράπουλα προτού διαλέξουμε το δεύτερο φύλλο, τότε τα δύο γεγονότα θα ήταν ανεξάρτητα. 

## Ορισμός

Δύο γεγονότα A, B \subseteq \Omega λέγονται ανεξάρτητα αν ισχύει ότι:
:\operatorname{P}(A \cap B) = \operatorname{P}(A) \cdot \operatorname{P}(B).

Πιο γενικά, n γεγονότα A_1, A_2, \ldots, A_n είναι ανεξάρτητα αν για κάθε k \in [1, n] και κάθε i_1  έχουμε ότι:
:
  \operatorname{P}(A_{i_1} \cap \ldots \cap A_{i_k}) = \operatorname{P}(A_{i_1}) \cdot \ldots \cdot \operatorname{P}( A_{i_k}).


Αντίστοιχα, δύο τυχαίες μεταβλητές X και Y είναι ανεξάρτητες αν για κάθε x, y \in \R, τα γεγονότα \{ X \leq x \} και \{ Y \leq y\} είναι ανεξάρτητα. ή ισοδύναμα:
:
 F_{X,Y}(x, y) = F_X(x) \cdot F_Y(y).


Αντίστοιχα, n τυχαίες μεταβλητές X_1, \ldots , X_n είναι ανεξάρτητες αν για κάθε x_1, \ldots , x_n \in \R:
:
 F_{X_1, \ldots , X_n}(x_1, \ldots , x_n) = F_{X_1}(x_1) \cdot \ldots \cdot F_{X_n}(x_n).


## Ιδιότητες

* Το γεγονός A είναι ανεξάρτητο του εαυτού του, αν και μόνο αν A = \Omega ή A = \emptyset.
* Αν οι τυχαίες μεταβλητές X και Y είναι ανεξάρτητες, τότε και οι f(X) και g(Y) είναι ανεξάρτητες, για οποιεσδήποτε συναρτήσεις f και g.
* Έστω X και Y ανεξάρτητες μεταβλητές. Τότε,
::
  \operatorname{E}[XY] = \operatorname{E}[X] \cdot \operatorname{E}[Y],

 \sum_{y \in \mathcal{Y}} p_{X, Y}(x,y) \cdot xy   \\
   & = \sum_{x \in \mathcal{X}} \sum_{y \in \mathcal{Y}} p_X(x) \cdot p_Y(y) \cdot xy   \\
   & = \sum_{x \in \mathcal{X}} p_X(x) \cdot x \cdot \sum_{y \in \mathcal{Y}} p_Y(y) \cdot y \\
   & = \sum_{x \in \mathcal{X}} p_X(x) \cdot x \cdot \operatorname{E}[Y] \\
   & = \operatorname{E}[Y] \cdot \sum_{x \in \mathcal{X}} p_X(x) \cdot x \\
   & = \operatorname{E}[X] \cdot \operatorname{E}[Y].
\end{align}

Αντίστοιχα, για συνεχείς διακριτές μεταβλητές, έχουμε ότι
:

\begin{align}
\operatorname{E}[XY]
   & = \int_{x} \int_{y} p_{X, Y}(x,y) \cdot xy \,dy\,dx  \\
   & = \int_{x} \int_{y} p_X(x) \cdot p_Y(y) \cdot xy \,dy\,dx  \\
   & = \int_{x} p_X(x) \cdot x \cdot \int_{y} p_Y(y) \cdot y \,dy \,dx \\
   & = \int_{x} p_X(x) \cdot x \cdot \operatorname{E}[Y] \,dx \\
   & = \operatorname{E}[Y] \cdot \int_{x} p_X(x) \cdot x \,dx \\
   & = \operatorname{E}[X] \cdot \operatorname{E}[Y].
\end{align}

}}
:και για την συνδιακύμανσή τους, ισχύει ότι
::
  \operatorname{Cov}(X, Y) = 0.


* (**[[Ταυτότητα Bienaymé]]**) Έστω n ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές X_1, \ldots, X_n, τότε η διακύμανση του αθροίσματος τους είναι ίση με το άθροισμα των διακύμανσεών τους:
::
 \operatorname{Var}\left( \sum_{i = 1}^n X_i\right) = \sum_{i = 1}^n \operatorname{Var}(X_i).


## Δείτε επίσης
* Ασυσχετισία

## Παραπομπές


Κατηγορία:Θεωρία πιθανοτήτων