Δευτεροβάθμια εξίσωση

Στα μαθηματικά, **δευτεροβάθμια εξίσωση** (ή **τετραγωνική εξίσωση** ή **εξίσωση δεύτερου βαθμού**) ονομάζεται κάθε πολυωνυμική εξίσωση με βαθμό δύο. Η γενική μορφή μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι:
: \alpha x^2+ \beta x+ \gamma =0,
όπου τα γράμματα *α*, *β* και *γ* παριστάνουν σταθερούς αριθμούς, με
:\alpha\ne 0.

Οι σταθερές *α*, *β* και *γ* ονομάζονται συντελεστές, με το *α* να είναι ο συντελεστής του *x*2, το *β* να είναι ο συντελεστής του *x* και *γ* ο σταθερός όρος. Οι συντελεστές μπορεί να είναι πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί.

## Απόδειξη με συμπλήρωση τετραγώνου
Θέλουμε να φέρουμε την εξίσωση \alpha x^2+ \beta x+ \gamma =0\quad στη μορφή (a x +b)^2=c ώστε να είναι πιο εύκολο να λυθεί.

Αρχικά εξετάζουμε τους όρους με *x<sup>2</sup>* και *x* και τους χωρίζουμε από τη σταθερά *γ*:
:\alpha x^2+ \beta x+ \gamma =0
\quad \iff\quad \alpha \left(x^2 +\frac{\beta}{\alpha} x\right)=-\gamma\qquad (1)

Κατόπιν προσθαφαιρούμε στο αριστερό μέλος της εξίσωσης κατάλληλη σταθερά, ώστε να «συμπληρωθεί» το τετράγωνο:
:(1)
\quad \iff\quad \alpha \left(x^2 +2\frac{\beta}{2\alpha}x+\frac{\beta^2}{4\alpha^2}-\frac{\beta^2}{4\alpha^2}\right)=-\gamma
\quad \iff\quad \alpha \left(x +\frac{\beta}{2\alpha}\right)^2-\,\alpha\left(\frac{\beta^2}{4\alpha^2}\right)=-\gamma\qquad (2)

και φέρνουμε τη σταθερά στο δεξί μέρος:
:(2)
\quad \iff\quad \alpha \left(x +\frac{\beta}{2\alpha}\right)^2=\frac{\beta^2}{4\alpha}-\gamma
\quad \iff\quad \alpha \left(x +\frac{\beta}{2\alpha}\right)^2=\frac{\beta^2-4\alpha\gamma}{4\alpha}\qquad (3)

Φέρνουμε στο αριστερό μέρος όλα τα μεγέθη που μπορούν να γραφούν ως τετράγωνο:
:(3)
\quad \iff\quad  (2\alpha)^2 \left(x +\frac{\beta}{2\alpha}\right)^2=\beta^2-4\alpha\gamma
\quad \iff\quad \left(2\alpha x +\beta\right)^2=\beta^2-4\alpha\gamma\qquad (4)

Το δεξί μέρος της εξίσωσης ονομάζεται διακρίνουσα: \Delta=\beta^2-4\alpha\gamma\qquad (5)

Οπότε έχουμε φέρει την εξίσωση στη μορφή που θέλουμε και συγκεκριμένα:
:(4),(5)\quad \iff\quad \left( 2\alpha x +\beta\right)^2=\Delta\qquad (6)

Αποτετραγωνίζοντας και τα δύο μέλη, έχουμε:
:(6)
\quad \iff\quad 2\alpha x +\beta=\pm \sqrt{\Delta}
\quad \iff\quad x=\frac{-\beta\pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha}\qquad (7)

Από την (7) προκύπτει ότι η εξίσωση έχει πάντα δύο ρίζες, μία που περιέχει το +\sqrt{\Delta} και μία που περιέχει το -\sqrt{\Delta}. Ανάλογα με την τιμή της διακρίνουσας \Delta, διακρίνονται τρεις περιπτώσεις:

*Αν \Delta>0, τότε προκύπτουν δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες:  
:: x_+ =\frac{-\beta+ \sqrt{\Delta}}{2\alpha}
:: x_- =\frac{-\beta- \sqrt{\Delta}}{2\alpha}

*Αν \Delta=0, τότε προκύπτουν δύο ρίζες, που εκφυλίζονται σε μια διπλή πραγματική ρίζα:
:: x_\pm =\frac{-\beta}{2\alpha}

*Αν \Delta, τότε η διακρίνουσα μπορεί να γραφεί ως \Delta= i^2|\Delta|, όπου i η φανταστική μονάδα με i^2:=-1 και |\Delta| η απόλυτη τιμή της διακρίνουσας. Τώρα η υπόριζη ποσότητα είναι μη αρνητική και επομένως ορίζεται στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών. Επομένως, σε αυτή τη περίπτωση προκύπτουν δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες:
:: x_+ =\frac{-\beta+i \sqrt}{2\alpha}
:: x_- =\frac{-\beta-i \sqrt}{2\alpha}

Από τα παραπάνω συνάγεται ότι για να έχει η εξίσωση πραγματικές λύσεις, πρέπει να ισχύει \Delta\geq 0, επειδή κάθε πραγματικός αριθμός υψωμένος στο τετράγωνο είναι μη αρνητικός (αριστερό μέρος της εξίσωσης 6), η διακρίνουσα \Delta (δεξί μέρος της εξίσωσης 6) πρέπει να είναι και αυτή μη αρνητικός αριθμός.

## Οι τύποι του Βιετά
Οι τύποι του Βιετά δίνουν απλές σχέσεις μεταξύ των ριζών ενός πολυωνύμου και των συντελεστών του. Στην περίπτωση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων παίρνουν την ακόλουθη μορφή:

: x_+ + x_- = -\frac{\beta}{\alpha} 

και

: x_+ \cdot x_- = \frac{\gamma}{\alpha} 

Αν συμβολίσουμε με S το άθροισμα των ριζών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης και με P το γινόμενό τους τότε κάθε δευτεροβάθμια εξίσωση γράφεται και ως εξής:

: x^2-Sx+P=0 \ 

όπου 

: S = x_+ + x_- = -\frac{\beta}{\alpha} 

και

: P = x_+ \cdot x_- = \frac{\gamma}{\alpha}

## Δείτε επίσης
* Τριώνυμο
* Παραβολή (γεωμετρία)
* Εξίσωση

## Περαιτέρω ανάγνωση

### Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* 
* Διαδραστική εφαρμογή για την λύση εξισώσεων δευτέρου βαθμού από το γράφημα
* Διαδραστική εφαρμογή για την αραβική μέθοδο επίλυσης εξισώσεων 2ου βαθμού
* Γεωμετρική επίλυση εξισώσεων 2ου βαθμού

### Ελληνικά άρθρα
* 

## Παραπομπές


Κατηγορία:Εξισώσεις
Κατηγορία:Στοιχειώδης άλγεβρα