Τύπος του Γιακόμπι

Στον υπολογισμό πινάκων, ο **τύπος του Γιακόμπι** εκφράζει την παράγωγο της ορίζουσας ενός πίνακα *Α* ως προς την συζυγή του *Α* και την παράγωγο του *Α*.

Εάν ο  είναι ένας διαφορίσιμος χάρτης από τους πραγματικούς αριθμούς σε πίνακες , τότε 

: \frac{d}{dt} \det A(t)
= \operatorname{tr} \left (\operatorname{adj}(A(t)) \, \frac{dA(t)}{dt}\right )
= \left(\det A(t) \right) \cdot \operatorname{tr} \left (A(t)^{-1} \cdot \, \frac{dA(t)}{dt}\right )

όπου  είναι το ίχνος του πίνακα . (Η τελευταία ισότητα ισχύει μόνο αν ο *A*'(*t*) είναι αντιστρέψιμος).

Ως ειδική περίπτωση, 

:{\partial \det(A) \over \partial A_{ij}} = \operatorname{adj}(A)_{ji}.

Ισοδύναμα, αν  συμβολίζει το διαφορικό του , ο γενικός τύπος είναι
: d \det (A) = \operatorname{tr} (\operatorname{adj}(A) \, dA).

Ο τύπος πήρε το όνομά του από τον μαθηματικό Καρλ Γκούσταβ Γιάκομπ Γιάκομπι.

## Παραγωγίση
### Μέσω υπολογισμού πινάκων
Αποδεικνύουμε πρώτα ένα προκαταρκτικό λήμμα:

**Λήμμα.**  Έστω *Α* και *Β* ένα ζεύγος τετραγωνικών πινάκων της ίδιας διάστασης *n*. Τότε

:\sum_i \sum_j A_{ij} B_{ij} = \operatorname{tr} (A^{\rm T} B).

*Απόδειξη.* Το γινόμενο *ΑΒ* του ζεύγους πινάκων έχει συνιστώσες

:(AB)_{jk} = \sum_i A_{ji} B_{ik}.

Η αντικατάσταση του πίνακα *A* από την αντιμετάθεσή του *A*T είναι ισοδύναμη με την αντιμετάθεση των δεικτών των συνιστωσών του:

:(A^{\rm T} B)_{jk} = \sum_i A_{ij} B_{ik}.

Το αποτέλεσμα προκύπτει λαμβάνοντας το ίχνος και των δύο πλευρών:

:\operatorname{tr} (A^{\rm T} B) = \sum_j (A^{\rm T} B)_{jj} = \sum_j \sum_i A_{ij} B_{ij} = \sum_i \sum_j A_{ij} B_{ij}.\ \square

**Θεώρημα.** (τύπος Γιακόμπι) Για κάθε διαφορίσιμο χάρτη *A* από τους πραγματικούς αριθμούς σε *n*&nbsp;×&nbsp;*n* πίνακες,

: d \det (A) = \operatorname{tr} (\operatorname{adj}(A) \, dA).

*Απόδειξη.* Ο τύπος του Λαπλάς για την ορίζουσα ενός πίνακα *Α* μπορεί να διατυπωθεί ως εξής

:\det(A) = \sum_j A_{ij} \operatorname{adj}^{\rm T} (A)_{ij}.

Σημειώστε ότι το άθροισμα γίνεται σε κάποια αυθαίρετη γραμμή *i* του πίνακα.

Η ορίζουσα του *A* μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι μια συνάρτηση των στοιχείων του *A*:

:\det(A) = F\,(A_{11}, A_{12}, \ldots , A_{21}, A_{22}, \ldots , A_{nn})

έτσι ώστε, σύμφωνα με τον κανόνα της αλυσίδας, το διαφορικό του είναι

:d \det(A) = \sum_i \sum_j {\partial F \over \partial A_{ij}} \,dA_{ij}.

Αυτό το άθροισμα πραγματοποιείται σε όλα τα *n*×*n* στοιχεία του πίνακα.

Για να βρούμε το ∂*F*/∂*A**ij* ας θεωρήσουμε ότι στη δεξιά πλευρά του τύπου Λαπλάς, ο δείκτης *i* μπορεί να επιλεγεί κατά βούληση. (Προκειμένου να βελτιστοποιηθούν οι υπολογισμοί: Οποιαδήποτε άλλη επιλογή θα έδινε τελικά το ίδιο αποτέλεσμα, αλλά θα μπορούσε να είναι πολύ πιο δύσκολη). Συγκεκριμένα, μπορεί να επιλεγεί ώστε να ταιριάζει με τον πρώτο δείκτη του ∂&nbsp;/&nbsp;∂*A**ij*:

:{\partial \det(A) \over \partial A_{ij}} = {\partial \sum_k A_{ik} \operatorname{adj}^{\rm T}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}} = \sum_k {\partial (A_{ik} \operatorname{adj}^{\rm T}(A)_{ik}) \over \partial A_{ij}}

Έτσι, σύμφωνα με τον κανόνα του γινομένου,

:{\partial \det(A) \over \partial A_{ij}} = \sum_k {\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}} \operatorname{adj}^{\rm T}(A)_{ik} + \sum_k A_{ik} {\partial \operatorname{adj}^{\rm T}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}.

Τώρα, αν ένα στοιχείο ενός πίνακα *A**ij*  και ένας συντελεστής adjT(*A*)*ik* του στοιχείου *A**ik* βρίσκονται στην ίδια γραμμή (ή στήλη), τότε ο συντελεστής δεν θα είναι συνάρτηση του *A<sub>ij</sub>*, επειδή ο συντελεστής του *A**ik*εκφράζεται σε όρους στοιχείων που δεν βρίσκονται στη δική του γραμμή (ούτε στήλη). Συνεπώς, 

:{\partial \operatorname{adj}^{\rm T}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}} = 0,

οπότε

:{\partial \det(A) \over \partial A_{ij}} = \sum_k \operatorname{adj}^{\rm T}(A)_{ik} {\partial  A_{ik} \over \partial A_{ij}}.

Όλα τα στοιχεία του *Α* είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους, δηλ.

:{\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}} = \delta_{jk},

όπου *δ* είναι το δέλτα Κρόνεκερ, οπότε

:{\partial \det(A) \over \partial A_{ij}} = \sum_k \operatorname{adj}^{\rm T}(A)_{ik} \delta_{jk} = \operatorname{adj}^{\rm T}(A)_{ij}.

Ως εκ τούτου,

:d(\det(A)) = \sum_i \sum_j \operatorname{adj}^{\rm T}(A)_{ij} \,d A_{ij},

και εφαρμόζοντας το Λήμμα προκύπτει

:d(\det(A)) = \operatorname{tr}(\operatorname{adj}(A) \,dA).\ \square

### Διαγώνια διαγωνοποίηση

Και οι δύο πλευρές του τύπου Γιακόμπι  είναι πολυώνυμα του πίνακα
συντελεστές των  και .  Επομένως, είναι
αρκεί να επαληθεύσουμε την πολυωνυμική ταυτότητα στο πυκνό υποσύνολο
όπου οι ιδιοτιμές του  είναι διακριτές και μη μηδενικές.

Εάν η  είναι διαφοροποιήσιμη ως A=BC, τότε

:
\mathrm{tr}(A^{-1}A')=
\mathrm{tr}((BC)^{-1}(BC)')=
\mathrm{tr}(B^{-1}B')+
\mathrm{tr}(C^{-1}C').


Ειδικότερα, αν  είναι αντιστρέψιμη, τότε I=L^{-1}L και

:
0=\mathrm{tr}(I^{-1}I')=
\mathrm{tr}(L(L^{-1})')+
\mathrm{tr}(L^{-1}L').


Δεδομένου ότι η  έχει διακριτές ιδιοτιμές,
υπάρχει ένας διαφορίσιμος μιγαδικός αντιστρέψιμος πίνακας  τέτοιος ώστε
A = L^{-1}DL και  είναι διαγώνιος.
Τότε

:
\mathrm{tr}(A^{-1}A')=
\mathrm{tr}(L(L^{-1})')+
\mathrm{tr}(D^{-1}D')+
\mathrm{tr}(L^{-1}L')=
\mathrm{tr}(D^{-1}D').


Έστω \lambda_i, i=1,\ldots,n 
είναι οι ιδιοτιμές της .
Τότε

:
\frac{\det(A)'}{\det(A)} = \sum_{i=1}^n \lambda_i'/\lambda_i = 
\mathrm{tr}(D^{-1}D')=
\mathrm{tr}(A^{-1}A'),


ο οποίος είναι ο τύπος Γιακόμπι για πίνακες  με ξεχωριστές μη μηδενικές
ιδιοτιμές.

## Συμπεράσματα
Η ακόλουθη είναι μια χρήσιμη σχέση που συνδέει το ίχνος με τον προσδιοριστή του εκθετικού του σχετικού πίνακα:


	
		
		
		&nbsp; \det e^{B}  =  e^{\operatorname{tr} \left(B\right)}
		
	

Η δήλωση αυτή είναι σαφής για διαγώνιους πίνακες και ακολουθεί η απόδειξη του γενικού ισχυρισμού.

Για οποιονδήποτε αντιστρέψιμο πίνακα A(t), στην προηγούμενη ενότητα "Μέσω του κανόνα της αλυσίδας", δείξαμε ότι

:\frac{d}{dt} \det A(t) = \det A(t) \; \operatorname{tr} \left(A(t)^{-1} \, \frac{d}{dt} A(t)\right)

Θεωρώντας A(t) = \exp(tB) σε αυτή την εξίσωση προκύπτει:

: \frac{d}{dt}  \det  e^{tB} =\operatorname{tr}(B) \det e^{tB}

Το επιθυμητό αποτέλεσμα προκύπτει ως λύση αυτής της συνήθους διαφορικής εξίσωσης.

## Εφαρμογές
Διάφορες μορφές του τύπου βρίσκονται πίσω από τον αλγόριθμο Φαντέεφ-Λεβεριέ για τον υπολογισμό του χαρακτηριστικού πολυωνύμου, καθώς και ρητές εφαρμογές του θεωρήματος Κέιλι-Χάμιλτον. Παραδείγματος χάριν, ξεκινώντας από την ακόλουθη εξίσωση, η οποία αποδείχθηκε παραπάνω:

:\frac{d}{dt} \det A(t) = \det A(t) \ \operatorname{tr} \left(A(t)^{-1} \, \frac{d}{dt} A(t)\right)

και χρησιμοποιώντας A(t) = t I - B, έχουμε:

:\frac{d}{dt} \det (tI-B) = \det (tI-B) \operatorname{tr}[(tI-B)^{-1}] = \operatorname{tr}[\operatorname{adj} (tI-B)]

όπου adj συμβολίζει τον προσαρτημένο  πίνακα.

## Δείτε επίσης

* Field Arithmetic
* Πραγματικό προβολικό επίπεδο
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Μιγαδικός αριθμός
* Θεωρία αναπαραστάσεων
* Ορίζουσα
* Αντιστρέψιμος πίνακας
* Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Matrix Analysis
* The Concise Oxford Dictionary of Mathematics
* A Treatise on the Theory of Bessel Functions
* The Jacobi-Perron Algorithm: Its Theory and Application
* Jacobi's Lectures on Dynamics: Delivered at the University of Konigsberg in ...

## Δημοσιεύσεις

* 
* 
* 
*
*
*
*

## Παραπομπές


 

Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα
Κατηγορία:Ορίζουσες
Κατηγορία:Μετασχηματισμός (μαθηματικά)
Κατηγορία:Θεωρία πινάκων
Κατηγορία:Μηχανική συνεχούς μέσου
Κατηγορία:Μαθηματική ανάλυση
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών