Ολοκληρώματα του Γουάλις

Στα μαθηματικά, και πιο συγκεκριμένα στην ανάλυση, τα **[[Ολοκλήρωμα|ολοκληρώματα]] του Γουάλις** αποτελούν μια οικογένεια ολοκληρωμάτων που εισήγαγε ο Τζον Γουάλις.

## Ορισμός, βασικές ιδιότητες

Τα *ολοκληρώματα του Γουάλις * είναι οι όροι της ακολουθίας (W_n)_{n \geq 0} που ορίζεται από τη σχέση

: W_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \,dx, 

ή ισοδύναμα,

: W_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \,dx.

Οι πρώτοι όροι αυτής της ακολουθίας είναι:

Η ακολουθία (W_n) είναι φθίνουσα και έχει θετικούς όρους.  Στην πραγματικότητα, για όλα τα n \geq 0:

*W_n > 0, επειδή είναι ένα ολοκλήρωμα μιας μη αρνητικής συνεχούς συνάρτησης που δεν είναι πανομοιότυπα μηδέν,

*W_n - W_{n+1} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x\,dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1} x\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^n x)(1 - \sin x )\,dx > 0,  και πάλι επειδή το τελευταίο ολοκλήρωμα είναι μια μη αρνητική συνεχής συνάρτηση.

Δεδομένου ότι η ακολουθία (W_n) είναι φθίνουσα και περιορίζεται κάτω από το 0, συγκλίνει σε ένα μη αρνητικό όριο. Πράγματι, το όριο είναι μηδέν (βλέπε παρακάτω).

## Σχέση επανάληψης
Μέσω της ολοκλήρωσης κατά μέρη, μπορεί να προκύψει ένας τύπος αναγωγής.  Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα

\sin^2 x = 1 - \cos^2 x, έχουμε για όλα τα  n \geq 2,

:\begin{align}
  \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \,dx &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^{n-2} x) (1-\cos^2 x) \,dx \\
  &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} x \,dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} x \cos^2 x \,dx.  \qquad\text{Equation (1)}
\end{align}

Ολοκληρώνοντας το δεύτερο ολοκλήρωμα κατά μέρη, με:

:* v'(x)=\cos (x) \sin^{n-2}(x), του οποίου η αντιπαράγωγος είνα v(x) = \frac{1}{n-1} \sin^{n-1}(x)

:* u(x)=\cos (x), του οποίου η παράγωγος είναι  u'(x) =  - \sin(x),

έχουμε

:\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} x \cos^2 x \,dx = \left[ \frac{\sin^{n-1} x}{n-1} \cos x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} + \frac{1}{n-1}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1} x \sin x \,dx = 0 + \frac{1}{n-1} W_n. 

Αντικαθιστώντας αυτό το αποτέλεσμα στην εξίσωση (1) προκύπτει

:W_n = W_{n-2} - \frac{1}{n-1} W_n,

και ως εκ τούτου

:W_n = \frac{n-1}{n} W_{n-2}, \qquad\text{Equation (2)}

για όλα τα n \geq 2.

Πρόκειται για μια αναδρομική σχέση που δίνει το W_n ως προς το W_{n-2}.  Αυτό, μαζί με τις τιμές των W_0 και W_1, μας δίνουν δύο σύνολα τύπων για τους όρους της ακολουθίας (W_n), ανάλογα με το αν το n είναι μονό ή ζυγό:

* W_{2p}=\frac{2p-1}{2p} \cdot \frac{2p-3}{2p-2} \cdots \frac{1}{2} W_0 = \frac{(2p-1)!!}{(2p)!!} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{(2p)!}{2^{2p} (p!)^2} \cdot \frac{\pi}{2},

* W_{2p+1}=\frac{2p}{2p+1} \cdot \frac{2p-2}{2p-1} \cdots \frac{2}{3} W_1 = \frac{(2p)!!}{(2p+1)!!} = \frac{2^{2p}(p!)^2}{(2p+1)!}.

## Μια άλλη σχέση για την αξιολόγηση των ολοκληρωμάτων του Γουόλις
Τα ολοκληρώματα του Γουάλις μπορούν να αξιολογηθούν με τη χρήση ολοκληρωμάτων Όιλερ:

#*Το ολοκλήρωμα Όιλερ πρώτου είδους*: η συνάρτηση βήτα: 
#:\Beta(x,y)= \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt =\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} για 
#*Ολοκλήρωμα Όιλερ του δεύτερου είδους*: η συνάρτηση Γάμμα: 
#:\Gamma(z) = \int_0^\infty  t^{z-1} e^{-t}\,dt για .
Αν κάνουμε την ακόλουθη αντικατάσταση μέσα στη συνάρτηση βήτα:
\quad \left\{\begin{matrix}  t = \sin^2 u \\ 1-t = \cos^2 u \\ dt = 2\sin u\cos u du\end{matrix}\right.,
παίρνουμε:
:\Beta(a,b)= 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2a-1} u\cos^{2b-1} u\,du,

έτσι αυτό μας δίνει την ακόλουθη σχέση για την αξιολόγηση των ολοκληρωμάτων Γουόλις:

: W_n = \frac{1}{2} \Beta\left(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2}\right)=\frac{\Gamma\left(\tfrac{n+1}{2}\right)\Gamma\left(\tfrac{1}{2}\right)}{2\,\Gamma\left(\tfrac{n}{2}+1\right)}.

Έτσι, για περιττά n, γράφοντας n = 2p+1, έχουμε:
:
W_{2p+1}
    =             \frac{\Gamma \left( p+1 \right)
                        \Gamma \left( \frac{1}{2} \right)
                  }{
                    2 \, \Gamma \left( p+1 + \frac{1}{2} \right)
                  }
    =             \frac{p!
                        \Gamma \left( \frac{1}{2} \right)
                  }{
                    (2p+1) \, \Gamma \left( p + \frac{1}{2} \right)
                  }
    =             \frac{2^p \; p! 
                  }{
                    (2p+1)!!
                  }
    =             \frac{2^{2\,p} \; (p!)^2
                  }{
                    (2p+1)!
                  },


ενώ για άρτιο n, γράφοντας n = 2p και γνωρίζοντας ότι \Gamma\left(\tfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}, έχουμε :

:
W_{2p}
    =             \frac{\Gamma \left( p + \frac{1}{2} \right)
                        \Gamma \left( \frac{1}{2} \right)
                  }{
                    2 \, \Gamma \left( p+1 \right)
                  }
    =             \frac{(2p-1)!! \; \pi
                  }{
                    2^{p+1} \; p!
                  }
    =             \frac{(2p)!
                  }{
                    2^{2\,p} \; (p!)^2
                  }
		  \cdot
		  \frac{\pi}{2}.


## Ισοδυναμία

* Από τον παραπάνω τύπο αναδρομής \mathbf{(2)}, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι

:\ W_{n + 1} \sim W_n (ισοδυναμία δύο ακολουθιών).

:Πράγματι, για όλα τα n \in\, \mathbb{N} :
:\ W_{n + 2} \leqslant W_{n + 1} \leqslant W_n (αφού η ακολουθία είναι φθίνουσα)
:\frac{W_{n + 2}}{W_n} \leqslant \frac{W_{n + 1}}{W_n} \leqslant 1 (από το  \ W_n > 0)
:\frac{n + 1}{n + 2} \leqslant \frac{W_{n + 1}}{W_n} \leqslant 1 (με την εξίσωση \mathbf{(2)}).
:Από το Κριτήριο παρεμβολής, συμπεραίνουμε ότι \frac{W_{n + 1}}{W_n} \to 1, και επομένως \ W_{n + 1} \sim W_n.

*Εξετάζοντας το W_nW_{n+1}, προκύπτει η ακόλουθη ισοδυναμία:

:W_n \sim \sqrt{\frac{\pi}{2\, n}}\quad (και κατά συνέπεια \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt n\,W_n=\sqrt{\pi /2}  ).

**Απόδειξη**

Για όλα τα n \in\, \mathbb{N}, έστω u_n = (n + 1)\, W_n\, W_{n + 1}.

Αποδεικνύεται ότι, \forall n\in \N,\, u_{n + 1} = u_n λόγω της εξίσωσης \mathbf{(2)}.
Με άλλα λόγια \ (u_n)  είναι μια σταθερά.

Προκύπτει ότι για όλα τα n \in\, \mathbb{N},
u_n = u_0 = W_0\, W_1 = \frac{\pi}{2}.

Τώρα, αφού \ n + 1 \sim n and \ W_{n + 1} \sim W_n, έχουμε, σύμφωνα με τους κανόνες του γινομένου των ισοδυνάμων,
\ u_n \sim n\, W_n^2.

Κατά συνέπεια, \ n\, W_n^2 \sim \frac{\pi}{2},
από το οποίο προκύπτει το επιθυμητό αποτέλεσμα
(επισημαίνοντας ότι \ W_n > 0).

## Εξαγωγή του τύπου του Στίρλινγκ
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε την ακόλουθη ισοδυναμία (γνωστή ως τύπος Στίρλινγκ):

:n! \sim C \sqrt{n}\left(\frac{n}{e}\right)^n,

για κάποια σταθερά C που θέλουμε να προσδιορίσουμε.  Από τα παραπάνω, έχουμε

:W_{2p} \sim \sqrt{\frac{\pi}{4p}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{p}} (equation (3))

Αναπτύσσοντας το W_{2p} και χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο για τα παραγοντικά, έχουμε

:\begin{align}
  W_{2p} &= \frac{(2p)!}{2^{2p}(p!)^2}\cdot\frac{\pi}{2} \\
  &\sim \frac{C \left(\frac{2p}{e}\right)^{2p} \sqrt{2p}}{2^{2p}C^2\left(\frac{p}{e}\right)^{2p}\left(\sqrt{p}\right)^2}\cdot\frac{\pi}{2} \\
  &= \frac{\pi}{C\sqrt{2p}}. \text{ (equation (4))}
 \end{align}

Από τα (3) και (4), προκύπτει από τη μεταβατικότητα:
:\frac{\pi}{C\sqrt{2p}} \sim \frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{p}}.

Λύνοντας για το C προκύπτει C = \sqrt{2\pi}. Με άλλα λόγια,

:n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n.

## Αφαίρεση του διπλού παραγοντικού λόγου
Ομοίως, από τα παραπάνω, έχουμε:

Αντίστοιχα, από τα παραπάνω, έχουμε:
:W_{2p} \sim \sqrt{\frac{\pi}{4p}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{p}}.

Αναπτύσσοντας το W_{2p} και χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο για τα διπλά παραγοντικά, παίρνουμε:

:
 W_{2p} = \frac{(2p-1)!!}{(2p)!!} \cdot \frac{\pi}{2}  \sim \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{p}}.


Απλοποιώντας, προκύπτει:
:\frac{(2p-1)!!}{(2p)!!}  \sim \frac{1}{\sqrt{\pi \, p}},
ή
:\frac{(2p)!!}{(2p-1)!!}  \sim \sqrt{\pi\, p}. 

## Εκτίμηση του ολοκληρώματος Γκάους

Το Γκαουσιανό ολοκλήρωμα μπορεί να εκτιμηθεί μέσω της χρήσης των ολοκληρωμάτων του Γουάλις.

Αποδεικνύουμε πρώτα τις ακόλουθες ανισότητες:

*\forall n\in \mathbb N^* \quad \forall u\in\mathbb R_+ \quad u\leqslant n\quad\Rightarrow\quad (1-u/n)^n\leqslant e^{-u}
*\forall n\in \mathbb N^* \quad \forall u \in\mathbb R_+ \qquad e^{-u} \leqslant  (1+u/n)^{-n} 

Στην πραγματικότητα, αφήνοντας u/n=t,
η πρώτη ανισότητα (στην οποία t \in [0,1]) είναι
ισοδύναμη με 1-t\leqslant e^{-t},
ενώ η δεύτερη ανισότητα ανάγεται στη σχέση
e^{-t}\leqslant (1+t)^{-1},

η οποία γίνεται e^t\geqslant 1+t .
Αυτές οι 2 τελευταίες ανισότητες προκύπτουν από την κυρτότητα της
εκθετικής συνάρτησης
(ή από την ανάλυση της συνάρτησης t \mapsto e^t -1 -t).

Αφήνοντας u=x^2 και
κάνοντας χρήση των βασικών ιδιοτήτων των ακατάλληλων ολοκληρωμάτων
(η σύγκλιση των ολοκληρωμάτων είναι προφανής),
λαμβάνουμε τις ανισότητες:

 \int_0^{\sqrt n}(1-x^2/n)^n dx \leqslant \int_0^{\sqrt n} e^{-x^2} dx \leqslant \int_0^{+\infty} e^{-x^2} dx \leqslant \int_0^{+\infty} (1+x^2/n)^{-n} dx
για χρήση με το κριτήριο παρεμβολής (ως n \to \infty).

Το πρώτο και το τελευταίο ολοκλήρωμα μπορούν να αξιολογηθούν εύκολα χρησιμοποιώντας
ολοκληρώματα του Γουάλις.
Για το πρώτο, έστω  x=\sqrt n\, \sin\,t 
(t που κυμαίνεται από 0 έως \pi /2).
Τότε, το ολοκλήρωμα γίνεται  \sqrt n \,W_{2n+1}.
Για το τελευταίο ολοκλήρωμα, έστω  x=\sqrt n\, \tan\,  t
(το t κυμαίνεται από 0 to \pi /2).
Τότε, γίνεται \sqrt n \,W_{2n-2}.

Όπως έχουμε δείξει προηγουμένως,
 \lim_{n\rightarrow +\infty} \sqrt n\;W_n=\sqrt{\pi /2}. Έτσι, προκύπτει ότι
\int_0^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} /2

Παρατήρηση: Υπάρχουν και άλλες μέθοδοι για την αξιολόγηση του γκαουσιανού ολοκληρώματος.
Ορισμένες από αυτές είναι πιο άμεσες.

## Σημείωση

Οι ίδιες ιδιότητες οδηγούν στο γινόμενο Γουάλις,
το οποίο εκφράζει \frac{\pi}{2}\,
(βλ. <math>\pi</math>)
με τη μορφή ενός άπειρου γινομένου.

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Τριγωνομετρική συνάρτηση
* Συνάρτηση γάμμα
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Ρητή συνάρτηση
* Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Κατάλογος ολοκληρωμάτων των Γκαουσιανών συναρτήσεων
* Κατάλογος ολοκληρωμάτων των υπερβολικών συναρτήσεων
* Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Μιγαδικός αριθμός
* Πολυώνυμο
* Ακέραιος αριθμός

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*  
* 
* . In particular chapters III and IV.
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:Κατάλογοι ολοκληρωμάτων 
Κατηγορία:Ολοκληρώματα 
Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις 
Κατηγορία:Θεωρήματα στην ανάλυση 
Κατηγορία:Καμπύλες 
Κατηγορία:Ειδικές συναρτήσεις