Θεωρία Άρτιν-Σράιερ

Στα μαθηματικά, η **θεωρία Άρτιν-Σράιερ** είναι ένας κλάδος της θεωρίας Γκαλουά, συγκεκριμένα μια θετική χαρακτηριστική αναλογία της θεωρίας Κούμερ, για επεκτάσεις Γκαλουά βαθμού ίσου με τη χαρακτηριστική p. Ο Άρτιν και Σράιερ () εισήγαγε τη θεωρία Άρτιν-Σράιερ για επεκτάσεις πρώτου βαθμού *p*, και ο Βιτ () τη γενίκευσε σε επεκτάσεις πρώτου βαθμού δύναμης *p**n*.

Αν *K* είναι ένα σώμα με χαρακτηριστική *p* ενός πρώτου αριθμού, κάθε πολυώνυμο της μορφής

:X^p - X - \alpha,\,

για \alpha στο *K*, ονομάζεται *πολυώνυμο Άρτιν-Σράιερ*. Όταν \alpha\neq \beta^p-\beta για όλα τα \beta \in K, αυτό το πολυώνυμο είναι μη αναγώγιμο στο *K*[*X*] και το σώμα διάσπασής του πάνω από το *K*' είναι μια κυκλική επέκταση του *K* βαθμού *p*. Αυτό προκύπτει αφού για κάθε ρίζα *β*, οι αριθμοί *β* + *i*, για 1\le i\le p, σχηματίζουν όλες τις ρίζες -από το μικρό θεώρημα του Φερμά- οπότε το σώμα διασπάσεως είναι  K(\beta) .

Αντίστροφα, κάθε επέκταση Γκαλουά του *Κ* βαθμού *p* ίσου με τη χαρακτηριστική του *Κ* είναι το σώμα διάσπασης ενός πολυωνύμου Άρτιν-Σράιερ. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας προσθετικά αντίστοιχα των μεθόδων που εμπλέκονται στη θεωρία Κούμερ, όπως το θεώρημα 90 του Χίλμπερτ και την προσθετική συνομολογία Γκαλουά.  Αυτές οι επεκτάσεις ονομάζονται *επεκτάσεις Άρτιν-Σράιερ*.

Οι **επεκτάσεις Άρτιν-Σράιερ** παίζουν ρόλο στη θεωρία της επιλυσιμότητας με ρίζες, σε χαρακτηριστική *p*, που αντιπροσωπεύουν μια από τις πιθανές κατηγορίες επεκτάσεων σε μια επιλύσιμη αλυσίδα.

Παίζουν επίσης ρόλο στη θεωρία των αβελιανών ποικιλιών και των ισογενειών τους. Σε χαρακτηριστική *p*, μια ισογένεια βαθμού *p* αβελιανών ποικιλιών πρέπει, για τα σώματα συναρτήσεων τους, να δίνει είτε μια επέκταση Άρτιν-Σράιερ είτε μια καθαρά αδιαχώριστη επέκταση.

## Επεκτάσεις Άρτιν-Σράιερ-Βιτ
Υπάρχει ένα ανάλογο της θεωρίας Άρτιν-Σράιερ που περιγράφει τις κυκλικές επεκτάσεις με χαρακτηριστική *p* του *p*-δυνατού βαθμού (όχι μόνο του ίδιου του βαθμού *p*), χρησιμοποιώντας 
διανύσματα Βιτ, που αναπτύχθηκε από τον Έρνστ Βιτ. ().

## Ιστορική αναφορά
Πολυώνυμα του τύπου Άρτιν-Σράιερ μπορούν ήδη να βρεθούν στο κεφάλαιο για τα πεπερασμένα σώματα της τρίτης έκδοσης του *Cours d'algèbre supérieure* (Μάθημα ανώτερης άλγεβρας) του Ζοζέφ-Αλφρέντ Σερέ, που δημοσιεύτηκε το 1866: Ο Σερέ δείχνει ότι αν ο ακέραιος *g* δεν διαιρείται από τον πρώτο αριθμό *p*, τότε το πολυώνυμο *X* είναι μη αναγώγιμο modulo *p*. - X - g είναι μη αναγώγιμο modulo *p*. Με σύγχρονους όρους, για κάθε g* στο *'F**<sub>p</sub>*, ''X – X – gείναι μη αναγώγιμη, δηλαδή το αποτέλεσμα που παρουσιάστηκε παραπάνω για οποιοδήποτε [[Σώμα (άλγεβρα)|σώμα]] [[Χαρακτηριστική (Άλγεβρα)|χαρακτηριστικής]] p, εξειδικεύεται στο ***F*'p.*

== Εξωτερικοί σύνδεσμοι ==
*[https://www.itia.ntua.gr/en/docinfo/1318/ English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics] Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*[https://www.mas.ucy.ac.cy/georgios/bookfiles/dict1.pdf Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου]
*[https://mathbooksgr.wordpress.com/wp-content/uploads/2012/02/mlexiko2012.pdf ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ] Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* [https://mtzoumas.mysch.gr/mtz/docs_and_apps/Didaskalia/bibl_kath_geom.pdf Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο]
* [https://www.didaktorika.gr/eadd/handle/10442/20405 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών]
* [https://repository.kallipos.gr/bitstream/11419/107/5/NumberTheory30Sep.pdf Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές]
* [https://repository.kallipos.gr/handle/11419/1045 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών]
* [https://thesis.ekt.gr/thesisBookReader/id/15362?lang=el#page/1/mode/2up Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες] Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* [https://www.didaktorika.gr/eadd/handle/10442/58427 Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας] Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* [http://users.uoi.gr/brapt/stat/notes_chap_1.pdf  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή]
* [http://www.wolframalpha.com/calculators/integral-calculator/ Wolfram Mathematica Online Integrator]
* [https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/jres/73B/jresv73Bn1p1_A1b.pdf  A Table of Integrals of the Error Functions]

== Δείτε επίσης ==
* [[Απαγορευτική αρχή του Πάουλι]]
* [[Μορφοκλασματική διάσταση]]
* [[Ομοπαραλληλική γεωμετρία]]
* [[Αλγεβρική θεωρία αριθμών]]
* [[Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον]]
* [[Μοναδιαία βηματική συνάρτηση]]
* [[Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ]]
* [[Ευκλείδειος χώρος]]
* [[Αρχιμήδεια ιδιότητα]]
* [[Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)]]
* [[Εφαρμοσμένα μαθηματικά]]
* [[Υπολογιστική ρευστοδυναμική]]
* [[Καμπυλότητα Γκάους]]
* [[Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων]]
* [[Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής]]
* [[Αλγεβρική γεωμετρία]]
* [[Σώμα διασπάσεως]]
* [[Συνήθης διαφορική εξίσωση]]
* [[Γραμμική απεικόνιση]]
* [[Νοεροί υπολογισμοί]]

== Βιβλιογραφία==
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

== Παραπομπές ==
<references />

*
* Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, [https://mathscinet.ams.org/mathscinet/relay-station?mr=1878556 MR 1878556], [https://zbmath.org/?format=complete&q=an:0984.00001 Zbl 0984.00001] Section VI.6 Section 
* Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 323, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, [https://mathscinet.ams.org/mathscinet/relay-station?mr=1737196 MR 1737196], [https://zbmath.org/?format=complete&q=an:0948.11001 Zbl 0948.11001] Section VI.1
* 
* *Finite Groups of Lie Type: Conjugacy Classes and Complex Characters* (Wiley Classics Library) by Roger W. Carter, John Wiley & Sons Inc; New Ed edition (August 1993) ISBN 0-471-94109-3
* ISBN 978-0-8218-1426-0
*
*
*
*
*
*
*
*R. Steinberg,   *Collected Papers*, Amer. Math. Soc.  (1997) ISBN 0-8218-0576-2  pp.&nbsp;580–586
*

*
*
*
*

== Πηγές ==
* 
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* [[:en:Hans Freudenthal|Hans Freudenthal]]: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.'' Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα