Ευκλείδειο σώμα

Στα μαθηματικά, ένα **ευκλείδειο σώμα** είναι ένα διατεταγμένο σώμα  για το οποίο κάθε μη αρνητικό στοιχείο είναι τετράγωνο: δηλαδή,  στο  συνεπάγεται   για κάποιο  στο. 

Οι κατασκευάσιμοι αριθμοί σχηματίζουν ένα ευκλείδειο σώμα. Είναι το μικρότερο ευκλείδειο σώμα, καθώς κάθε ευκλείδειο σώμα το περιέχει ως διατεταγμένο υποσώμα. Με άλλα λόγια, οι κατασκευάσιμοι αριθμοί αποτελούν την Ευκλείδεια Κλειστότητα των ρητών αριθμών.

## Ιδιότητες

* Κάθε Ευκλείδειο σώμα είναι ένα διατεταγμένο Πυθαγόρειο σώμα, αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει.
* Αν το *E*/*F* είναι μια πεπερασμένη επέκταση, και το *E* είναι ευκλείδειο, τότε και το *F* είναι.  Αυτό το «θεώρημα του going-down» είναι συνέπεια του θεωρήματος των Ντίλερ-Ντρες.

## Παραδείγματα
* Οι πραγματικοί κατασκευάσιμοι αριθμοί, δηλαδή τα (προσημασμένα) μήκη που μπορούν να κατασκευαστούν από ένα ρητό ευθύγραμμο τμήμα με κανόνα και διαβήτη, σχηματίζουν ένα ευκλείδειο σώμα.

Κάθε πραγματικό κλειστό σώμα είναι ευκλείδειο σώμα. Τα ακόλουθα παραδείγματα είναι επίσης πραγματικά κλειστά σώματα.
* Οι πραγματικοί αριθμοί \mathbb{R} με τις συνήθεις πράξεις και την ταξινόμηση σχηματίζουν ένα ευκλείδειο σώμα.
* Το σώμα των πραγματικών αλγεβρικών αριθμών \mathbb{R}\cap\mathbb{\overline Q} είναι ένα Ευκλείδειο σώμα.
* Το σώμα των υπερπραγματικών αριθμών είναι ευκλείδειο σώμα.

## Αντιπαραδείγματα
* Οι ρητοί αριθμοί \mathbb Q με τις συνήθεις πράξεις και τη διάταξη δεν σχηματίζουν ένα ευκλείδειο σώμα. Επί παραδείγματι, το 2 δεν είναι τετράγωνο στο \mathbb Q αφού η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι άρρητη.  Σύμφωνα με το παραπάνω αποτέλεσμα του θεωρήματος going-down, κανένα αλγεβρικό σώμα αριθμών δεν μπορεί να είναι ευκλείδειο.
* Οι μιγαδικοί αριθμοί \mathbb C δεν αποτελούν ένα ευκλείδειο σώμα αφού δεν μπορεί να τους δοθεί η δομή ενός διατεταγμένου σώματος.

## Ευκλείδεια κλειστότητα
Η **Ευκλείδεια [[Κλειστότητα]]** ενός διατεταγμένου σώματος  είναι μια επέκταση του  στη τετραγωνική κλειστότητα του  η οποία είναι μέγιστη ως προς το να είναι ένα διατεταγμένο σώμα με τάξη που επεκτείνει αυτή του .  Είναι επίσης το μικρότερο υποσώμα της αλγεβρικής κλειστότητας του  που είναι **ευκλείδειο σώμα** και είναι διατεταγμένη επέκταση του .

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Διδιάστατος χώρος
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Υπερβολική γεωμετρία
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Διάσταση Κρουλ
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.
* Theodor Schneider: *Einführung in die transzendenten Zahlen* (= *Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen.* Bd. 81, ). Springer, Berlin u. a. 1957.
* Bartel Leendert van der Waerden: *Algebra* (= *Heidelberger Taschenbücher.* Bd. 12) Band 1. 8. Auflage. Springer, Berlin u. a. 1971, ISBN 3-540-03561-3.
*
* 

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών 
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα