Τετραγωνικός αριθμός

μικρογραφία|Ο τετραγωνικός αριθμός 16, εκφρασμένος ως το άθροισμα γνωμόνων.
Στα μαθηματικά, **τετραγωνικός αριθμός** ή **τέλειο τετράγωνο** είναι ένας ακέραιος που είναι το τετράγωνο ενός άλλου ακέραιου αριθμού. Με άλλα λόγια, είναι το γινόμενο κάποιου ακέραιου με τον εαυτό του. Για παράδειγμα, το 9 είναι ένας τετραγωνικός αριθμός, αφού ισούται με 3^2, δηλαδή με 3 \times 3.

Συνήθως το τετράγωνο ενός αριθμού n δεν συμβολίζεται ως το γινόμενο n \times n, αλλά ως η δύναμη n^2, που προφέρεται ως "n τετράγωνο". Το όνομα *τετραγωνικός* αριθμός προέρχεται από το όνομα του τετράγωνου σχήματος. Το μοναδιαίο εμβαδόν ορίζεται ως το εμβαδόν ενός μοναδιαίου τετραγώνου (1 \times 1). Επομένως, ένα τετράγωνο με μήκος πλευράς n έχει εμβαδόν n^2. Οπτικά ένας αριθμός είναι τετραγωνικός αν μπορούμε να τον αναπαραστήσουμε με n σημεία, τα οποία είναι ταξινομημένα σε σειρές, ώστε κάθε πλευρά του τετραγώνου να έχει τον ίδιο αριθμό σημείων με την τετραγωνική ρίζα του n.

Στους πραγματικούς αριθμούς, οι τετραγωνικοί αριθμοί είναι μη αρνητικοί. Ένας μη αρνητικός ακέραιος είναι τετραγωνικός αριθμός, όταν η τετραγωνική του ρίζα είναι επίσης ακέραιος. Για παράδειγμα, \sqrt{9} = 3, οπότε το 9 είναι ένας τετραγωνικός αριθμός.

Για έναν μη αρνητικό ακέραιο n, ο -οστός τετραγωνικός αριθμός είναι το n^2, με το 0^2 = 0 να είναι ο μηδενικός τετραγωνικός αριθμός. Η έννοια του τετραγώνου μπορεί να επεκταθεί και σε άλλα σύνολα αριθμών. Για παράδειγμα, στους ρητούς αριθμούς, ένας τετραγωνικός αριθμός είναι ο λόγος δύο τετραγωνικών ακεραίων και, αντιστρόφως, ο λόγος δύο τετραγωνικών ακεραίων είναι ένας τετραγωνικός αριθμός, για παράδειγμα: \frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2.

Ξεκινώντας από το 1, υπάρχουν \lfloor \sqrt{m} \rfloor τετραγωνικοί αριθμοί μικρότεροι ή ίσοι του m, όπου το \lfloor x \rfloor στρογγυλλοποιεί τον πραγματικό αριθμό x προς τα κάτω (συνάρτηση δαπέδου).

## Παραδείγματα
Οι τετραγωνικοί αριθμοί  που είναι μικρότεροι από το 602=3600 είναι:
: 02 = 0
: 12 = 1
: 22 = 4
: 32 = 9
: 42 = 16
: 52 = 25
: 62 = 36
: 72 = 49
: 82 = 64
: 92 = 81

: 102 = 100
: 112 = 121
: 122 = 144
: 132 = 169
: 142 = 196
: 152 = 225
: 162 = 256
: 172 = 289
: 182 = 324
: 192 = 361

: 202 = 400
: 212 = 441
: 222 = 484
: 232 = 529
: 242 = 576
: 252 = 625
: 262 = 676
: 272 = 729
: 282 = 784
: 292 = 841

: 302 = 900
: 312 = 961
: 322 = 1024
: 332 = 1089
: 342 = 1156
: 352 = 1225
: 362 = 1296
: 372 = 1369
: 382 = 1444
: 392 = 1521

: 402 = 1600
: 412 = 1681
: 422 = 1764
: 432 = 1849
: 442 = 1936
: 452 = 2025
: 462 = 2116
: 472 = 2209
: 482 = 2304
: 492 = 2401

: 502 = 2500
: 512 = 2601
: 522 = 2704
: 532 = 2809
: 542 = 2916
: 552 = 3025
: 562 = 3136
: 572 = 3249
: 582 = 3364
: 592 = 3481


Η διαφορά μεταξύ οποιουδήποτε τέλειου τετραγώνου από το προηγούμενό του είναι ίση με . Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να απαριθμήσουμε τους τετραγωνικούς αριθμούς προσθέτοντας στο τελευταίο τετράγωνο, τη ρίζα του τελευταίου τετραγώνου και την τρέχουσα ρίζα, δηλαδή
:n^2 = (n-1)^2 + (n-1) + n.

Υπάρχουν άπειροι τετραγωνικοί αριθμοί, όπως υπάρχουν και άπειροι φυσικοί αριθμοί.

## Ιδιότητες

### Βασικές ιδιότητες
* Ο αριθμός m είναι ένας τετραγωνικός αριθμός αν και μόνο αν μπορούμε να φτιάξουμε ένα τετράγωνο από n σημεία:
::
* Ο n-οστός τετραγωνικός αριθμός A_n δίνεται από τον τύπο 
::A_n = n^2.
* Οι τετραγωνικοί αριθμοί ικανοποιούν την αναδρομική σχέση
::A_n = A_{n-1} + 2(n-1),
:με A_0 = 0.
200px|thumb|Το άθροισμα των πρώτων ''n'' περιττών ακεραίων είναι .
* Ο n-οστός τετραγωνικός αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των πρώτων n περιττών αριθμών, δηλαδή
::n^2 = 1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1) = \sum_{k=1}^n(2k-1).
:Για παράδειγμα, 5^2 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9. Δείτε επίσης την παραπάνω εικόνα, όπου ένα τετράγωνο προκύπτει από το προηγούμενο με την προσθήκη ενός περιττού αριθμού σημείων (με χρώμα ροζ).
* Το τετράγωνο ενός αριθμού m μείον ένα ίσο με το γινόμενο του m - 1 και του m + 1, δηλαδή
::m^2-1=(m-1)(m+1).
:Για παράδειγμα, αφού , ισχύει ότι 6 \times 8 = 48.
* (**[[Διαφορά τετραγώνων]]**)  Γενικότερα, η διαφορά των τετραγώνων δύο αριθμών είναι το γινόμενο του αθροίσματος και της διαφοράς τους, δηλαδή
::n^2-m^2=(n+m)(n-m).
:Αυτός ο τύπος χρησιμοποιείται καμιά φορά στη νοητική αριθμητική: για παράδειγμα, η πράξη 47 \times 53 μπορεί γρήγορα να υπολογιστεί ως εξής 50^2 - 3^2 = 2500 - 9 = 2491.
* Όλες οι τέταρτες δυνάμεις, οι έκτες δυνάμεις, οι όγδοες δυνάμεις κ.ο.κ. είναι τέλεια τετράγωνα.

### Θεωρία αριθμών

* Κάθε τετραγωνικός αριθμός (εκτός από το 0) έχει περιττό αριθμό θετικών διαιρετών, ενώ οι άλλοι φυσικοί αριθμοί έχουν άρτιο αριθμό θετικών διαιρετών. 

* (**[[Θεώρημα τεσσάρων τετραγώνων του Λαγκράνζ]]**) Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφτεί ως το άθροισμα τεσσάρων ή λιγότερων τέλειων τετραγώνων.

* Ένας φυσικός αριθμός είναι τετραγωνικός αν και μόνο αν, στην κανονική του αναπαράσταση, όλοι οι εκθέτες είναι άρτιοι. Δηλαδή αν n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k} (στην κανονική του μορφή), ο n είναι τετραγωνικός ανν οι a_1, \ldots, a_k είναι άρτιοι.

* Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως το γινόμενο ενός τέλειου τετραγώνου και ενός αριθμού ελεύθερου τετραγώνων, δηλαδή ενός αριθμού που δεν διαιρείται τέλεια από κανένα τετράγωνο πέρα της μονάδας.
* Τα τετράγωνα άρτιων αριθμών είναι άρτια και διαιρούνται με το 4, καθώς (2n)^2 - 4n^2.
* Τα τετράγωνα των περιττών αριθμών είναι περιττά, και έχουν υπόλοιπο 1 mod 8. Επίσης, η διαφορά μεταξύ δύο περιττών τέλειων τετραγώνων είναι πολλαπλάσιο του 8.

### Ψηφία τέλειων τετραγώνων

#### Δεκαδικό σύστημα
Στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης:
* Ένας τετραγωνικός αριθμός μπορεί να τελειώνει μόνο με τα ψηφία 0, 1, 4, 5, 6 ή 9.

* Αν ο αριθμός είναι της μορφής m5 όπου το m αντιπροσωπεύει τα προηγούμενα ψηφία, το τετράγωνό του είναι n25 με n = m(m + 1) και αντιπροσωπεύει τα ψηφία πριν από το 25. Για παράδειγμα, το τετράγωνο του 65 μπορεί να υπολογιστεί ως εξής: n = 6 \cdot (6 + 1) = 42, οπότε το τετράγωνό του είναι ίσο με 4225.
* Αν ο αριθμός είναι της μορφής m0 όπου το m αντιπροσωπεύει τα προηγούμενα ψηφία, το τετράγωνό του είναι n00 όπου n = m^2. Για παράδειγμα, το τετράγωνο του 70 είναι το 4900.
* Αν ο αριθμός έχει δύο ψηφία και είναι της μορφής 5m όπου το m αντιπροσωπεύει το ψηφίο των μονάδων, το τετράγωνό του είναι aabb όπου aa = 25 + m και bb = m^2. Για παράδειγμα, για να υπολογίσουμε το τετράγωνο του 57 έχουμε: m = 7, 25 + 7 = 32 και 7^2 = 49, οπότε 57^2 = 3249.
* Αν ο αριθμός τελειώνει σε 5, το τετράγωνό του θα τελειώνει επίσης σε 5. Το ίδιο ισχύει όταν ο αριθμός τελειώνει και σε 25, 625, 0625, 90625, \ldots, 8212890625. 
* Αν ο αριθμός τελειώνει σε 6, το τετράγωνό του θα τελειώνει επίσης σε 6 και το ίδιο ισχύει όταν ο αριθμός τελειώνει σε 76, 376, 9376, 09376, \ldots, 1787109376. Για παράδειγμα, το τετράγωνο του 55376 είναι το 3066501376, οπότε και τα δύο τελειώνουν σε 376.
* Τα δύο τελευταία ψηφία των τετραγωνικών αριθμών ακολουθούν ένα επαναλαμβανόμενο μοτίβο που αντικατοπτρίζεται συμμετρικά γύρω από τα πολλαπλάσια του 25. Για παράδειγμα το 24 και το 26, που είναι ένα λιγότερο και ένα περισσότερο αντίστοιχα από το 25, 24^2 = 576 και 26^2 = 676, οπότε και τα δύο τελειώνουν σε 76. Γενικότερα, (25n+x)^2-(25n-x)^2=100nx. Ένα ανάλογο μοτίβο ισχύει και για τα τελευταία τρία ψηφία γύρω από τα πολλαπλάσια του 250 και ούτω καθεξής. Κατά συνέπεια, από τα 100 πιθανά τελευταία διψήφια νούμερα, μόνο τα 22 από αυτά εμφανίζονται μεταξύ των τετραγωνικών αριθμών (καθώς το 00 και το 25 επαναλαμβάνονται).

#### Δωδεκαδικό σύστημα
Στο δωδεκαδικό σύστημα αρίθμησης:
* Ένας τετραγωνικός αριθμός μπορεί να τελειώνει μόνο με τετραγωνικά ψηφία, δηλαδή 0, 1, 4 ή 9.

#### Άλλα συστήματα αρίθμησης
* Παρόμοιοι κανόνες μπορούν να δοθούν και για άλλες βάσεις ή και για προηγούμενα ψηφία (για παράδειγμα, για τις δεκάδες αντί για τις μονάδες). Όλοι αυτοί οι κανόνες μπορούν να αποδειχθούν ελέγχοντας έναν σταθερό αριθμό περιπτώσεων και χρησιμοποιώντας την αριθμητική υπολοίπων.

### Σχέσεις με άλλους αριθμούς
* Το άθροισμα των πρώτων N τετραγωνικών αριθμών είναι ίσο με
::\sum_{n=0}^N n^2 = 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \cdots + N^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}.
:Οι αριθμοί αυτοί είναι οι τετραγωνικοί πυραμιδικοί αριθμοί .
* Ένας τετραγωνικός αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα δύο διαδοχικών τριγωνικών αριθμών, δηλαδή
::A_n = T_{n-1} + T_n = \tfrac{1}{2} n \cdot (n-1) + \tfrac{1}{2} (n+1) n = \tfrac{1}{2} n \cdot ( (n-1) + (n+1) ) = n^2.
* (**[[Θεώρημα Νικόμαχου]]**) Το άθροισμα των πρώτων n κύβων ισούται με το τετράγωνο του αθροίσματος των πρώτων n θετικών ακεραίων, δηλαδή
::1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = (1^2 + 2^2 + \ldots + n^2)^2.
* Η διαφορά μεταξύ του 1 και οποιουδήποτε υψηλότερου περιττού τέλειου τετραγώνου είναι οκτώ φορές ενός τριγωνικού αριθμού, δηλαδή
::(2n + 1)^2 - 1^2 = (2n + 1 - 1) (2n + 1 + 1) = 4n \cdot (n + 1) = 8 T_n.
* Μια μοναδική σχέση με τους τριγωνικούς αριθμούς T_n είναι:
::(T_n)^2 + (T_{n+1})^2= T_{(n+1)^2}.

## Εφαρμογές

### Αλγόριθμος παραγοντοποίησης Φερμά
Ο έλεγχος ενός τέλειου τετραγώνου μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την παραγοντοποίηση μεγάλων αριθμών. Αντί να ελέγξουμε τη διαιρετότητα, μπορούμε να δοκιμάσουμε το τετράγωνο: για δεδομένο αριθμό m και κάποιον αριθμό k, αν το k^2 - m είναι το τετράγωνο ενός ακέραιου αριθμού n, τότε το k - n διαιρεί το m (αυτή είναι μια εφαρμογή της διαφοράς τετραγώνων). Για παράδειγμα, το 100^2 - 9991 είναι το τετράγωνο του 3, επομένως το 100 - 3 διαιρεί το 9991. Αυτό το τεστ είναι ντετερμινιστικό για περιττούς διαιρέτες στο διάστημα από k - n έως k + n, όπου το k καλύπτει κάποιο εύρος φυσικών αριθμών k \geq \sqrt{m}.

## Δείτε επίσης

* Κύβος (άλγεβρα)
* Τρίγωνος αριθμός
* Πυθαγόρεια τριάδα

## Σημειώσεις


## Παραπομπές


Κατηγορία:Τετράπλευρα
Κατηγορία:Θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Ακέραιοι αριθμοί
Κατηγορία:Ακολουθίες ακεραίων
Κατηγορία:Στοιχειώδης αριθμητική