Κατάλογος ολοκληρωμάτων των τριγωνομετρικών συναρτήσεων

μικρογραφία|270x270εσ|Η συνάρτηση ημιτόνου και συνημιτόνου στον μοναδιαίο κύκλο.
Η συνάρτηση ημιτόνου και συνημιτόνου στον μοναδιαίο κύκλο.Ακολουθεί ο **κατάλογος των ολοκληρωμάτων (αντιπαράγωγων ολοκληρωμάτων) των τριγωνομετρικών συναρτήσεων**. Για τα αντιπαραγωγικά που περιλαμβάνουν τόσο εκθετικές όσο και τριγωνομετρικές συναρτήσεις, ανατρέξτε στην ενότητα Κατάλογος ολοκληρωμάτων εκθετικών συναρτήσεων. Για έναν πλήρη κατάλογο αντιπαραγωγικών συναρτήσεων, ανατρέξτε στην ενότητα Λίστες ολοκληρωμάτων. Για τα ειδικά αντιπαραγωγικά που περιλαμβάνουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις, βλέπε Τριγωνομετρικό ολοκλήρωμα.

Γενικά, αν η συνάρτηση \sin x είναι οποιαδήποτε τριγωνομετρική συνάρτηση και \cos x είναι η παράγωγός της,

\int a\cos nx\,dx = \frac{a}{n}\sin nx+C

Σε όλους τους τύπους η σταθερά *a* θεωρείται μη μηδενική και *C* δηλώνει τη σταθερά ολοκλήρωσης.

## Ολοκληρωτέα που περιλαμβάνει μόνο το [[ημίτονο]]

* \int\sin ax\,dx = -\frac{1}{a}\cos ax+C
* \int\sin^2 {ax}\,dx = \frac{x}{2} - \frac{1}{4a} \sin 2ax +C= \frac{x}{2} - \frac{1}{2a} \sin ax\cos ax +C
* \int\sin^3 {ax}\,dx = \frac{\cos 3ax}{12a} - \frac{3 \cos ax}{4a} +C
* \int x\sin^2 {ax}\,dx = \frac{x^2}{4} - \frac{x}{4a} \sin 2ax - \frac{1}{8a^2} \cos 2ax +C
* \int x^2\sin^2 {ax}\,dx = \frac{x^3}{6} - \left( \frac {x^2}{4a} - \frac{1}{8a^3} \right) \sin 2ax - \frac{x}{4a^2} \cos 2ax +C
* \int x\sin ax\,dx = \frac{\sin ax}{a^2}-\frac{x\cos ax}{a}+C
* \int(\sin b_1x)(\sin b_2x)\,dx = \frac{\sin((b_2-b_1)x)}{2(b_2-b_1)}-\frac{\sin((b_1+b_2)x)}{2(b_1+b_2)}+C \qquad\mbox{(for }|b_1|\neq|b_2|\mbox{)}
* \int\sin^n {ax}\,dx = -\frac{\sin^{n-1} ax\cos ax}{na} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}
* \int\frac{dx}{\sin ax} = -\frac{1}{a}\ln{\left| \csc{ax}+\cot{ax}\right|}+C
* \int\frac{dx}{\sin^n ax} = \frac{\cos ax}{a(1-n) \sin^{n-1} ax}+\frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\sin^{n-2}ax} \qquad\mbox{(for }n>1\mbox{)}
* \begin{align}
\int x^n\sin ax\,dx &= -\frac{x^n}{a}\cos ax+\frac{n}{a}\int x^{n-1}\cos ax\,dx \\
&= \sum_{k=0}^{2k\leq n} (-1)^{k+1} \frac{x^{n-2k}}{a^{1+2k}}\frac{n!}{(n-2k)!} \cos ax +\sum_{k=0}^{2k+1\leq n}(-1)^k \frac{x^{n-1-2k}}{a^{2+2k}}\frac{n!}{(n-2k-1)!} \sin ax \\
&= - \sum_{k=0}^n \frac{x^{n-k}}{a^{1+k}}\frac{n!}{(n-k)!}\cos\left(ax+k\frac{\pi}{2}\right)  \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}
\end{align}
* \int\frac{\sin ax}{x}\,dx = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(ax)^{2n+1}}{(2n+1)\cdot (2n+1)!} +C
* \int\frac{\sin ax}{x^n}\,dx = -\frac{\sin ax}{(n-1)x^{n-1}} + \frac{a}{n-1}\int\frac{\cos ax}{x^{n-1}}\,dx
* 
\int{\sin{\mathrm{(}}{ax}^{2}\mathrm{bx}\mathrm{c}{\mathrm{)}}{dx}}\mathrm\left\{2}}\cos\left({\frac{4a}}\right){S}\left({\frac{\sqrt}}\right)\mathrm\sqrt{a}\sqrt{\frac{\mathit{\pi}}{2}}\sin\left({\frac{4a}}\right){C}\left({\frac{\sqrt}}\right)\;{to}\;{b}^{2}\mathrm{4}{ac}\;{\mathrm{>}}\;{0}}\\
& {\sqrt{a}\sqrt{\frac{\mathit{\pi}}{2}}\cos\left({\frac{4a}}\right){S}\left({\frac{\sqrt}}\right)\mathrm\sqrt{a}\sqrt{\frac{\mathit{\pi}}{2}}\sin\left({\frac{4a}}\right){C}\left({\frac{\sqrt}}\right)\;{to}\;{b}^{2}\mathrm{4}{ac}\;{\mathrm{}}{0}

* \int\frac{dx}{1\pm\sin ax} = \frac{1}{a}\tan\left(\frac{ax}{2}\mp\frac{\pi}{4}\right)+C
* \int\frac{x\,dx}{1+\sin ax} = \frac{x}{a}\tan\left(\frac{ax}{2} - \frac{\pi}{4}\right)+\frac{2}{a^2}\ln\left|\cos\left(\frac{ax}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\right|+C
* \int\frac{x\,dx}{1-\sin ax} = \frac{x}{a}\cot\left(\frac{\pi}{4} - \frac{ax}{2}\right)+\frac{2}{a^2}\ln\left|\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{ax}{2}\right)\right|+C
* \int\frac{\sin ax\,dx}{1\pm\sin ax} = \pm x+\frac{1}{a}\tan\left(\frac{\pi}{4}\mp\frac{ax}{2}\right)+C

## Ολοκληρωτέα που περιλαμβάνουν μόνο [[συνημίτονο]]
* \int\cos ax\,dx = \frac{1}{a}\sin ax+C
* \int\cos^2 {ax}\,dx = \frac{x}{2} + \frac{1}{4a} \sin 2ax +C = \frac{x}{2} + \frac{1}{2a} \sin ax\cos ax +C
* \int\cos^n ax\,dx = \frac{\cos^{n-1} ax\sin ax}{na} + \frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}
* \int x\cos ax\,dx = \frac{\cos ax}{a^2} + \frac{x\sin ax}{a}+C
* \int x^2\cos^2 {ax}\,dx = \frac{x^3}{6} + \left( \frac {x^2}{4a} - \frac{1}{8a^3} \right) \sin 2ax + \frac{x}{4a^2} \cos 2ax +C
* \begin{align}
\int x^n\cos ax\,dx &= \frac{x^n\sin ax}{a} - \frac{n}{a}\int x^{n-1}\sin ax\,dx \\
&= \sum_{k=0}^{2k+1\leq n} (-1)^{k} \frac{x^{n-2k-1}}{a^{2+2k}}\frac{n!}{(n-2k-1)!} \cos ax +\sum_{k=0}^{2k\leq n}(-1)^{k} \frac{x^{n-2k}}{a^{1+2k}}\frac{n!}{(n-2k)!} \sin ax \\
&=\sum_{k=0}^n (-1)^{\lfloor k/2 \rfloor} \frac{x^{n-k}}{a^{1+k}}\frac{n!}{(n-k)!}\cos\left(ax -\frac{(-1)^k+1}{2}\frac{\pi}{2}\right) \\
&=\sum_{k=0}^n \frac{x^{n-k}}{a^{1+k}}\frac{n!}{(n-k)!}\sin\left(ax+k\frac{\pi}{2}\right)  \qquad\mbox{(for }n>0\mbox{)}
\end{align}
* \int\frac{\cos ax}{x}\,dx = \ln|ax|+\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\frac{(ax)^{2k}}{2k\cdot(2k)!}+C
* \int\frac{\cos ax}{x^n}\,dx = -\frac{\cos ax}{(n-1)x^{n-1}}-\frac{a}{n-1}\int\frac{\sin ax}{x^{n-1}}\,dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}
* \int\frac{dx}{\cos ax} = \frac{1}{a}\ln\left|\tan\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C
* \int\frac{dx}{\cos^n ax} = \frac{\sin ax}{a(n-1) \cos^{n-1} ax} + \frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\cos^{n-2} ax} \qquad\mbox{(for }n>1\mbox{)}
* \int\frac{dx}{1+\cos ax} = \frac{1}{a}\tan\frac{ax}{2}+C
* \int\frac{dx}{1-\cos ax} = -\frac{1}{a}\cot\frac{ax}{2}+C
* \int\frac{x\,dx}{1+\cos ax} = \frac{x}{a}\tan\frac{ax}{2} + \frac{2}{a^2}\ln\left|\cos\frac{ax}{2}\right|+C
* \int\frac{x\,dx}{1-\cos ax} = -\frac{x}{a}\cot\frac{ax}{2}+\frac{2}{a^2}\ln\left|\sin\frac{ax}{2}\right|+C
* \int\frac{\cos ax\,dx}{1+\cos ax} = x - \frac{1}{a}\tan\frac{ax}{2}+C
* \int\frac{\cos ax\,dx}{1-\cos ax} = -x-\frac{1}{a}\cot\frac{ax}{2}+C
* \int(\cos a_1x)(\cos a_2x)\,dx = \frac{\sin((a_2-a_1)x)}{2(a_2-a_1)}+\frac{\sin((a_2+a_1)x)}{2(a_2+a_1)}+C \qquad\mbox{(for }|a_1|\neq|a_2|\mbox{)}

## Ολοκληρωτέα  που περιλαμβάνει μόνο [[εφαπτομένη]]

* \int\tan ax\,dx = -\frac{1}{a}\ln|\cos ax|+C = \frac{1}{a}\ln|\sec ax|+C
* \int \tan^2{x} \, dx = \tan{x} - x +C
* \int\tan^n ax\,dx = \frac{1}{a(n-1)}\tan^{n-1} ax-\int\tan^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}
* \int\frac{dx}{q \tan ax + p} = \frac{1}{p^2 + q^2}(px + \frac{q}{a}\ln|q\sin ax + p\cos ax|)+C \qquad\mbox{(for }p^2 + q^2\neq 0\mbox{)}
* \int\frac{dx}{\tan ax \pm 1} = \pm \frac{x}{2} + \frac{1}{2a}\ln|\sin ax \pm \cos ax|+C
* \int\frac{\tan ax\,dx}{\tan ax \pm 1} = \frac{x}{2} \mp \frac{1}{2a}\ln|\sin ax \pm \cos ax|+C

## Ολοκληρωτέα που περιλαμβάνει μόνο [[Τριγωνομετρική συνάρτηση#Χρήσιμες τριγωνομετρικές ταυτότητες|τέμνουσα]]
* \int \sec{ax} \, dx = \frac{1}{a}\ln{\left| \sec{ax} + \tan{ax}\right|}+C= \frac{1}{a}\ln{\left| \tan{\left(\frac{ax}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\right|}+C = \frac{1}{a}\operatorname{artanh}{\left(\sin{ax}\right)}+C
* \int \sec^2{x} \, dx = \tan{x}+C
* \int \sec^3{x} \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C.
* \int \sec^n{ax} \, dx = \frac{\sec^{n-2}{ax} \tan {ax}}{a(n-1)} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}{ax} \, dx \qquad \mbox{ (for }n \ne 1\mbox{)}
* \int \frac{dx}{\sec{x} + 1} = x - \tan{\frac{x}{2}}+C
* \int \frac{dx}{\sec{x} - 1} = - x - \cot{\frac{x}{2}}+C
*  \int \frac{\sin{x} }{\cos{x}} = \int \tan{x} 

## Ολοκληρωτέα που περιλαμβάνει [[ημίτονο]] και [[συνημίτονο]]
Ένα ολοκλήρωμα που είναι ρητή συνάρτηση του ημιτόνου και του συνημιτόνου μπορεί να αξιολογηθεί χρησιμοποιώντας τους κανόνες του Βιοσέ.

* \int\frac{dx}{\cos ax\pm\sin ax} = \frac{1}{a\sqrt{2}}\ln\left|\tan\left(\frac{ax}{2}\pm\frac{\pi}{8}\right)\right|+C
* \int\frac{dx}{(\cos ax\pm\sin ax)^2} = \frac{1}{2a}\tan\left(ax\mp\frac{\pi}{4}\right)+C
* \int\frac{dx}{(\cos x + \sin x)^n} = \frac{1}{2(n-1)}\left(\frac{\sin x - \cos x}{(\cos x + \sin x)^{n - 1}} + (n - 2)\int\frac{dx}{(\cos x + \sin x)^{n-2}} \right)
* \int\frac{\cos ax\,dx}{\cos ax + \sin ax} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2a}\ln\left|\sin ax + \cos ax\right|+C
* \int\frac{\cos ax\,dx}{\cos ax - \sin ax} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2a}\ln\left|\sin ax - \cos ax\right|+C
* \int\frac{\sin ax\,dx}{\cos ax + \sin ax} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2a}\ln\left|\sin ax + \cos ax\right|+C
* \int\frac{\sin ax\,dx}{\cos ax - \sin ax} = -\frac{x}{2} - \frac{1}{2a}\ln\left|\sin ax - \cos ax\right|+C
* \int\frac{\cos ax\,dx}{(\sin ax)(1+\cos ax)} = -\frac{1}{4a}\tan^2\frac{ax}{2}+\frac{1}{2a}\ln\left|\tan\frac{ax}{2}\right|+C
* \int\frac{\cos ax\,dx}{(\sin ax)(1-\cos ax)} = -\frac{1}{4a}\cot^2\frac{ax}{2}-\frac{1}{2a}\ln\left|\tan\frac{ax}{2}\right|+C
* \int\frac{\sin ax\,dx}{(\cos ax)(1+\sin ax)} = \frac{1}{4a}\cot^2\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{1}{2a}\ln\left|\tan\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C
* \int\frac{\sin ax\,dx}{(\cos ax)(1-\sin ax)} = \frac{1}{4a}\tan^2\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{1}{2a}\ln\left|\tan\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C
* \int(\sin ax)(\cos ax)\,dx = \frac{1}{2a}\sin^2 ax +C
* \int(\sin a_1x)(\cos a_2x)\,dx = -\frac{\cos((a_1-a_2)x)}{2(a_1-a_2)} -\frac{\cos((a_1+a_2)x)}{2(a_1+a_2)} +C\qquad\mbox{(for }|a_1|\neq|a_2|\mbox{)}
* \int(\sin^n ax)(\cos ax)\,dx = \frac{1}{a(n+1)}\sin^{n+1} ax +C\qquad\mbox{(for }n\neq -1\mbox{)}
* \int(\sin ax)(\cos^n ax)\,dx = -\frac{1}{a(n+1)}\cos^{n+1} ax +C\qquad\mbox{(for }n\neq -1\mbox{)}
* \begin{align}
\int(\sin^n ax)(\cos^m ax)\,dx &= -\frac{(\sin^{n-1} ax)(\cos^{m+1} ax)}{a(n+m)}+\frac{n-1}{n+m}\int(\sin^{n-2} ax)(\cos^m ax)\,dx  \qquad\mbox{(for }m,n>0\mbox{)} \\
&= \frac{(\sin^{n+1} ax)(\cos^{m-1} ax)}{a(n+m)} + \frac{m-1}{n+m}\int(\sin^n ax)(\cos^{m-2} ax)\,dx \qquad\mbox{(for }m,n>0\mbox{)}
\end{align}
* \int\frac{dx}{(\sin ax)(\cos ax)} = \frac{1}{a}\ln\left|\tan ax\right|+C
* \int\frac{dx}{(\sin ax)(\cos^n ax)} = \frac{1}{a(n-1)\cos^{n-1} ax}+\int\frac{dx}{(\sin ax)(\cos^{n-2} ax)} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}
* \int\frac{dx}{(\sin^n ax)(\cos ax)} = -\frac{1}{a(n-1)\sin^{n-1} ax}+\int\frac{dx}{(\sin^{n-2} ax)(\cos ax)} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}
* \int\frac{\sin ax\,dx}{\cos^n ax} = \frac{1}{a(n-1)\cos^{n-1} ax} +C\qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}
* \int\frac{\sin^2 ax\,dx}{\cos ax} = -\frac{1}{a}\sin ax+\frac{1}{a}\ln\left|\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{ax}{2}\right)\right|+C
* \int\frac{\sin^2 ax\,dx}{\cos^n ax} = \frac{\sin ax}{a(n-1)\cos^{n-1}ax}-\frac{1}{n-1}\int\frac{dx}{\cos^{n-2}ax} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}
* \begin{align}
\int \frac{\sin^2 x}{1 + \cos^2 x} \, dx &= \sqrt{2}\operatorname{arctangant}\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right) - x \qquad\mbox{(for x in}] - \frac{\pi}{2} ; + \frac{\pi}{2} [\mbox{)} \\
&= \sqrt{2}\operatorname{arctangant}\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)-\operatorname{arctangant}\left(\tan x\right) \qquad\mbox{(this time x being any real number }\mbox{)}
\end{align}
* \int\frac{\sin^n ax\,dx}{\cos ax} = -\frac{\sin^{n-1} ax}{a(n-1)} + \int\frac{\sin^{n-2} ax\,dx}{\cos ax} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}
* \int\frac{\sin^n ax\,dx}{\cos^m ax} = \begin{cases}
\frac{\sin^{n+1} ax}{a(m-1)\cos^{m-1} ax}-\frac{n-m+2}{m-1}\int\frac{\sin^n ax\,dx}{\cos^{m-2} ax} &\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)} \\
\frac{\sin^{n-1} ax}{a(m-1)\cos^{m-1} ax}-\frac{n-1}{m-1}\int\frac{\sin^{n-2} ax\,dx}{\cos^{m-2} ax} &\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)} \\
-\frac{\sin^{n-1} ax}{a(n-m)\cos^{m-1} ax}+\frac{n-1}{n-m}\int\frac{\sin^{n-2} ax\,dx}{\cos^m ax} &\mbox{(for }m\neq n\mbox{)}
\end{cases}
* \int\frac{\cos ax\,dx}{\sin^n ax} = -\frac{1}{a(n-1)\sin^{n-1} ax} +C\qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}
* \int\frac{\cos^2 ax\,dx}{\sin ax} = \frac{1}{a}\left(\cos ax+\ln\left|\tan\frac{ax}{2}\right|\right) +C
* \int\frac{\cos^2 ax\,dx}{\sin^n ax} = -\frac{1}{n-1}\left(\frac{\cos ax}{a\sin^{n-1} ax}+\int\frac{dx}{\sin^{n-2} ax}\right) \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}
* \int\frac{\cos^n ax\,dx}{\sin^m ax} = \begin{cases}
-\frac{\cos^{n+1} ax}{a(m-1)\sin^{m-1} ax} - \frac{n-m+2}{m-1}\int\frac{\cos^n ax\,dx}{\sin^{m-2} ax} &\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)} \\
-\frac{\cos^{n-1} ax}{a(m-1)\sin^{m-1} ax} - \frac{n-1}{m-1}\int\frac{\cos^{n-2} ax\,dx}{\sin^{m-2} ax} &\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)} \\
\frac{\cos^{n-1} ax}{a(n-m)\sin^{m-1} ax} + \frac{n-1}{n-m}\int\frac{\cos^{n-2} ax\,dx}{\sin^m ax} &\mbox{(for }m\neq n\mbox{)}
\end{cases}

## Ολοκληρωτέα που περιλαμβάνει [[ημίτονο]] και [[εφαπτομένη]]

* \int (\sin ax)(\tan ax)\,dx = \frac{1}{a}(\ln|\sec ax + \tan ax| - \sin ax)+C
* \int\frac{\tan^n ax\,dx}{\sin^2 ax} = \frac{1}{a(n-1)}\tan^{n-1} (ax) +C\qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}

## Ολοκληρωτέα που περιλαμβάνει και [[συνημίτονο]] και [[εφαπτομένη]]

* \int\frac{\tan^n ax\,dx}{\cos^2 ax} = \frac{1}{a(n+1)}\tan^{n+1} ax +C\qquad\mbox{(for }n\neq -1\mbox{)}

## Ολοκληρωτέα που περιλαμβάνει και [[ημίτονο]] και συνεφαπτομένη

* \int\frac{\cot^n ax\,dx}{\sin^2 ax} = -\frac{1}{a(n+1)}\cot^{n+1} ax  +C\qquad\mbox{(for }n\neq -1\mbox{)}

## Ολοκληρωτέα που περιλαμβάνει και [[συνημίτονο]] και συνεφαπτομένη

* \int\frac{\cot^n ax\,dx}{\cos^2 ax} = \frac{1}{a(1-n)}\tan^{1-n} ax +C\qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}

## Ολοκληρωτέα που περιλαμβάνει και τέμνουσα και [[εφαπτομένη]]

*  \int(\sec x)(\tan x)\,dx= \sec x + C

## Ολοκληρωτέα που περιλαμβάνει και συντεμνούσα και συνεφαπτομένη

*  \int(\csc x)(\cot x)\,dx= -\csc x + C

## Ολοκληρώματα τρίμηνης περιόδου
Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση βήτα B(a,b) μπορούμε να γράψουμε

* \int_^} \sin^n x \, dx = \int_^} \cos^n x \, dx = \frac{1}{2} B\left( \frac{n+1}{2}, \frac{1}{2}\right) = \begin{cases}
\frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, & \text{if } n\text{ is even} \\
\frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3}, & \text{if } n\text{ is odd and more than 1} \\
1, & \text{if } n=1
\end{cases}

Χρησιμοποιώντας τις τροποποιημένες συναρτήσεις Στρουβ L_{\alpha}(x) και τις τροποποιημένες συναρτήσεις Μπέσελ I_{\alpha}(x) μπορούμε να γράψουμε

* \int_^} \exp(k \cdot \sin(x)) \, dx = \frac{\pi}{2} \left(I_0(k) + L_0(k) \right)


## Ολοκληρώματα με συμμετρικά όρια

* \int_^\sin{x}\,dx = 0 
* \int_^\cos {x}\,dx = 2\int_^\cos {x}\,dx = 2\int_^\cos {x}\,dx = 2\sin {c} 
* \int_^\tan {x}\,dx = 0 
* \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^2\cos^2 {\frac{n\pi x}{a}}\,dx = \frac{a^3(n^2\pi^2-6)}{24n^2\pi^2}   \qquad\mbox{(for }n=1,3,5...\mbox{)}
* \int_{\frac{-a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^2\sin^2 {\frac{n\pi x}{a}}\,dx = \frac{a^3(n^2\pi^2-6(-1)^n)}{24n^2\pi^2} = \frac{a^3}{24} (1-6\frac{(-1)^n}{n^2\pi^2})  \qquad\mbox{(for }n=1,2,3,...\mbox{)}

## Ολοκλήρωμα πάνω από έναν πλήρη κύκλο

* \int_^\sin^{2m+1}{x}\cos^{n}{x}\,dx = 0 \! \qquad n,m \in \mathbb{Z}
* \int_^\sin^{m}{x}\cos^{2n+1}{x}\,dx = 0 \! \qquad n,m \in \mathbb{Z}

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Τριγωνομετρική συνάρτηση
* Συνάρτηση γάμμα
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Ρητή συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Προβολικός χώρος
* Δυναμοσειρές
* Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Μιγαδικός αριθμός
* Πολυώνυμο
* Ακέραιος αριθμός

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
* 
* 
* 
* 

Κατηγορία:Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
Κατηγορία:Ολοκληρώματα