Λείος μορφισμός

Στην αλγεβρική γεωμετρία, ένας μορφισμός f:X \to S μεταξύ σχημάτων λέγεται **λείος** αν
*(i) είναι τοπικά πεπερασμένης παρουσίασης
*(ii) είναι επίπεδος, και
*(iii) για κάθε γεωμετρικό σημείο \overline{s} \to S η ίνα X_{\overline{s}} = X \times_S {\overline{s}} είναι κανονική.
(iii) σημαίνει ότι κάθε γεωμετρική ίνα της *f* είναι μια μη-ιδιάζουσα ποικιλία (αν είναι διαχωρισμένη). Κατά συνέπεια,  ένας **λείος μορφισμός** δίνει μια επίπεδη οικογένεια μη-ιδιαζουσών ποικιλιών.

Αν *S* είναι το φάσμα  ενός αλγεβρικά κλειστού σώματος και *f* είναι πεπερασμένου τύπου, τότε προκύπτει ο ορισμός μιας μη-ιδιάζουσας ποικιλίας.

Μια ιδιάζουσα ποικιλία ονομάζεται λεία αν μπορεί να τοποθετηθεί σε μια επίπεδη οικογένεια έτσι ώστε οι κοντινές ίνες να είναι όλες λείες. Μια τέτοια οικογένεια ονομάζεται λείανση της ποικιλίας.

## Ισοδύναμοι ορισμοί

Υπάρχουν πολλοί ισοδύναμοι ορισμοί για τον λείο μορφισμό. Έστω f: X \to S να είναι τοπικά πεπερασμένης παρουσίασης. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα.
# Η *f* είναι λεία.
# Η *f* είναι τυπικά λεία (βλ. παρακάτω).
# Η *f* είναι επίπεδη και η δέσμη των σχετικών διαφορικών \Omega_{X/S} είναι τοπικά ελεύθερη με βαθμό ίσο με τη σχετική διάσταση του X/S.
# Για κάθε x \in X, υπάρχει μια γειτονιά \operatorname{Spec}B του x και μια γειτονιά \operatorname{Spec}A του f(x) τέτοια ώστε B = A[t_1, \dots, t_n]/(P_1, \dots, P_m) και το ιδεώδες που παράγεται από τα *m*-προς-*m*' ελάσσονες του (\partial P_i/\partial t_j) είναι το *B*.
# Τοπικά, η *f* αποτελεί παράγοντα του X \overset{g}\to \mathbb{A}^n_S \to S όπου η *g* είναι étale.

Ένας μορφισμός πεπερασμένου τύπου είναι étale αν και μόνο αν είναι λείος και οιονεί πεπερασμένος.

Ένας λείος μορφισμός είναι σταθερός κάτω από αλλαγή βάσης και σύνθεση.

Ένας λείος μορφισμός είναι καθολικά τοπικά άκυκλος.

## Παραδείγματα

Οι **λείοι μορφισμοί** υποτίθεται ότι γεωμετρικά αντιστοιχούν σε λείες καταδύσεις στη διαφορική γεωμετρία, δηλαδή είναι λείες τοπικά τετριμμένες ίνες πάνω σε κάποιο βασικό χώρο (σύμφωνα με το θεώρημα του Έρεσμαν).

### Λείος μορφισμός σε σημείο

Έστω f ο μορφισμός των σχημάτων
:\operatorname{Spec}_{\mathbb{C}}\left( \frac{\mathbb{C}[x,y]}{(f=y^2 - x^3 - x - 1)}\right) \to \operatorname{Spec}(\mathbb{C})
Είναι λείο λόγω της συνθήκης Ιακωβιανού: ο Ιακωβιανός πίνακας
:
[ 3x^2 - 1, y ]

εκμηδενίζεται στα σημεία (1/\sqrt{3}, 0), (-1/\sqrt{3}, 0) τα οποία έχουν κενή τομή με το πολυώνυμο, αφού
:
\begin{align}
f(1/\sqrt{3},0) &= 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{3\sqrt{3}} \\
f(-1/\sqrt{3},0) &= \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3\sqrt{3}} - 1
\end{align}

που είναι και οι δύο μη μηδενικές.

### Τετριμμένες ίνες

Δεδομένου ενός λείου σχήματος Y ο μορφισμός προβολής
:Y\times X \to X
είναι λείο.

### Διανυσματικές δέσμες

Κάθε διανυσματική δέσμη E \to X πάνω από ένα σχήμα είναι ένας λείος μορφισμός. Λόγου χάριν, μπορεί να δειχθεί ότι η σχετική διανυσματική δέσμη του \mathcal{O}(k) επί του \mathbb{P}^n είναι ο σταθμισμένος προβολικός χώρος μείον ένα σημείο
: O(k) = \mathbb{P}(1,\ldots,1,k) - \{[0:\cdots:0:1] \} \to \mathbb{P}^n 
στέλνοντας
:[x_0:\cdots:x_n:x_{n+1}] \to [x_0:\cdots:x_n]
Ας σημειωθεί ότι οι δέσμες άμεσου αθροίσματος O(k)\oplus O(l) μπορούν να κατασκευαστούν χρησιμοποιώντας το γινόμενο ινών
:O(k)\oplus O(l) = O(k)\times_X O(l)

### Διαχωρίσιμες επεκτάσεις σώματος

Ας θυμηθούμε ότι μια επέκταση σώματος K \to L λέγεται διαχωρίσιμη αν δεδομένης μιας παρουσίασης

:L = \frac{K[x]}{(f(x))}
προκύπτει ότι gcd(f(x),f'(x)) = 1. Μπορούμε να επανερμηνεύσουμε αυτόν τον ορισμό σε όρους διαφορικών Κέλερ ως εξής: η επέκταση του σώματος είναι διαχωρίσιμη αν
:\Omega_{L/K} = 0.
Ας σημειωθεί ότι αυτό περιλαμβάνει κάθε τέλειο σώμα: πεπερασμένα σώματα και σώματα χαρακτηριστικής 0.

## Αντιπαραδείγματα

### Ιδιάζουσες ποικιλίες

Αν θεωρήσουμε το \operatorname{Spec} της υποκείμενης άλγεβρας R για μια προβολική ποικιλία X, που ονομάζεται αφινικός κώνος της X, τότε το σημείο στην αρχή είναι πάντα ιδιάζον. Επί παραδείγματι, ας θεωρήσουμε τον **αφινικό κώνο** μιας πεμπτοβάθμιας 3-πτυχής που δίνεται από τη σχέση
:x_0^5 + x_1^5 + x_2^5 + x_3^5 + x_4^5
Τότε ο Ιακωβιανός πίνακας ορίζεται ως εξής
:
\begin{bmatrix}
5x_0^4 & 5x_1^4 & 5x_2^4 & 5x_3^4 & 5x_4^4 
\end{bmatrix}

η οποία εκμηδενίζεται στην αρχή, επομένως ο κώνος είναι μοναδικός. Οι αφινικές υπερεπιφάνειες όπως αυτές είναι δημοφιλείς στη θεωρία ιδιομορφίας λόγω της σχετικά απλής άλγεβρας αλλά των πλούσιων υποκείμενων δομών τους.

Ένα άλλο παράδειγμα ιδιάζουσας ποικιλίας είναι ο **προβολικός κώνος** μιας λείας ποικιλίας: δεδομένης μιας λείας προβολικής ποικιλίας X\subset\mathbb{P}^n ο προβολικός κώνος της είναι η ένωση όλων των ευθειών της \mathbb{P}^{n+1} που τέμνουν την X. Επί παραδείγματι, ο προβολικός κώνος των σημείων
: \text{Proj}\left( \frac{\mathbb{C}[x,y]}{(x^4 + y^4)} \right)
είναι το σχήμα
: \text{Proj}\left( \frac{\mathbb{C}[x,y,z]}{(x^4 + y^4)} \right)
Αν εξετάσουμε το διάγραμμα z\neq 0 αυτό είναι το σχήμα
:\operatorname{Spec}\left( \frac{\mathbb{C}[X,Y]}{(X^4 + Y^4)} \right)
και το προβάλλουμε στην αφινική ευθεία \mathbb{A}^1_Y, αυτό είναι μια οικογένεια τεσσάρων σημείων που εκφυλίζονται στην αρχή. Η μη μοναδικότητα αυτού του σχήματος μπορεί επίσης να ελεγχθεί χρησιμοποιώντας την συνθήκη Ιακωβιανού.

### Εκφυλισμένες οικογένειες
Ας εξετάσουμε την επίπεδη οικογένεια
: \operatorname{Spec}\left( \frac{\mathbb{C}[t,x,y]}{(xy - t)} \right) \to \mathbb{A}^1_t 
Τότε όλες οι ίνες είναι λείες εκτός από το σημείο στην αρχή. Δεδομένου ότι η λειότητα είναι σταθερή υπό αλλαγή βάσης, αυτή η οικογένεια δεν είναι λεία.

### Μη διαχωρίσιμες επεκτάσεις σώματος
Παραδείγματος χάριν, το σώμα \mathbb{F}_p(t^p) \to \mathbb{F}_p(t) είναι μη διαχωρίσιμο, επομένως ο σχετικός μορφισμός των σχημάτων δεν είναι λείος. Αν εξετάσουμε το ελάχιστο πολυώνυμο της επέκτασης σώματος,
:f(x) = x^p - t^p 
τότε df = 0, επομένως οι διαφορές Κάλερ θα είναι μη μηδενικές.

## Τυπικά λείος μορφισμός

Μπορεί κανείς να ορίσει την λείανση χωρίς αναφορά στη γεωμετρία. Λέμε ότι ένα *S*-σχήμα  *X* είναι **τυπικά λείο** αν για κάθε αφινικό *S*-σχήμα *T* και ένα υποσχήμα T_0 του *T* που δίνεται από ένα μηδενοδύναμο ιδεώδες, X(T) \to X(T_0) είναι επιρριπτική όπου γράψαμε X(T) = \operatorname{Hom}_S(T, X). Τότε ένας μορφισμός τοπικά πεπερασμένης παρουσίασης είναι λείος αν και μόνο αν είναι τυπικά λείος.

Στον ορισμό του "τυπικά λείου", αν αντικαταστήσουμε το "επιρριπτική" με "αμφιρριπτική" (αντίστοιχα «ερριπτική»), τότε έχουμε τον ορισμό του τυπικά étale (αντίστοιχα "τυπικά μη διακλαδισμένο").

## Λεία αλλαγή βάσης

Ας είναι *S* ένα σχήμα και \operatorname{char}(S) να δηλώνει την εικόνα της δομής απεικόνισης S \to \operatorname{Spec}\mathbb{Z}. Το **θεώρημα της λείας αλλαγής βάσης** δηλώνει τα εξής: ας είναι f: X \to S ένας σχεδόν συμπαγής μορφισμός, g: S' \to S ένας λείος μορφισμός και \mathcal{F} ένα στρώμα στρέψης στο X_\text{et}. Αν για κάθε 0 \ne p στο \operatorname{char}(S), p:\mathcal{F} \to \mathcal{F}είναι ερριπτική, τότε ο μορφισμός αλλαγής βάσης g^*(R^if_*\mathcal{F}) \to R^if'_*(g'^*\mathcal{F}) είναι ισομορφισμός..

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Αβελιανή ομάδα

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
*
* 
* 
* 
*
*J. S. Milne (2008). *[http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/LEC.pdf Lectures on Etale Cohomology]*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Μορφισμοί
Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα