Πολυπολικό ανάπτυγμα

Ένα **πολυπολικό ανάπτυγμα** είναι μια μαθηματική σειρά που αναπαριστά μια συνάρτηση που εξαρτάται από γωνίες - συνήθως τις δύο γωνίες που χρησιμοποιούνται στο σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων (η πολική και η αζιμουθιακή γωνία) για τον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο, \R^3. Τα πολυπολικά αναπτύγματα είναι χρήσιμα επειδή, παρόμοια με τις σειρές Τέιλορ, συχνά απαιτούνται μόνο οι πρώτοι όροι για να παρέχουν μια καλή προσέγγιση της αρχικής συνάρτησης. Η συνάρτηση που αναπτύσσεται μπορεί να έχει πραγματική ή μιγαδική τιμή και ορίζεται είτε στο \R^3, είτε σπανιότερα στο \R^n για κάποιο άλλο 

Τα πολυπολικά αναπτύγματα χρησιμοποιούνται συχνά στη μελέτη των ηλεκτρομαγνητικών και βαρυτικών πεδίων, όπου τα πεδία σε μακρινά σημεία δίνονται ως προς τις πηγές σε μια μικρή περιοχή. Το πολυπολικό ανάπτυγμα με γωνίες συνδυάζεται συχνά με ένα ανάπτυγμα σε ακτίνα. Ένας τέτοιος συνδυασμός δίνει ένα ανάπτυγμα που περιγράφει μια συνάρτηση σε όλο τον τρισδιάστατο χώρο .

Το **πολυπολικό ανάπτυγμα** εκφράζεται ως άθροισμα όρων με προοδευτικά λεπτότερα γωνιακά χαρακτηριστικά (ροπές). Ο πρώτος (μηδενικής τάξης) όρος ονομάζεται μονοπολική ροπή, ο δεύτερος (πρώτης τάξης) όρος ονομάζεται διπολική ροπή, ο τρίτος (δεύτερης τάξης) ονομάζεται τετραπολική ροπή, ο τέταρτος (τρίτης τάξης) όρος ονομάζεται οκταπολική ροπή κ.ο.κ. Δεδομένου του περιορισμού του ελληνικού συστήματος αρίθμησης, οι όροι υψηλότερης τάξης ονομάζονται συμβατικά προσθέτοντας "-πόλο" στον αριθμό των πόλων - π.χ. 32-πόλο (σπάνια ντοτριανταπόλο ή τριανταδιπόλο) και 64-πόλο (σπάνια τετραεξακονταπόλο ή εξακοντατετραπόλο) . Μια πολυπολική ροπή περιλαμβάνει συνήθως δυνάμεις (ή αντίστροφες δυνάμεις) της απόστασης από την αρχή, καθώς και κάποια γωνιακή εξάρτηση. 

Κατά κανόνα, ένα πολυπολικό ανάπτυγμα παρέχει μια ακριβή περιγραφή του δυναμικού και γενικά συγκλίνει υπό δύο συνθήκες: (1) εάν οι πηγές (π.χ. φορτία) εντοπίζονται κοντά στην αρχή και το σημείο στο οποίο παρατηρείται το δυναμικό είναι μακριά από την αρχή- ή (2) το αντίστροφο, δηλαδή εάν οι πηγές βρίσκονται μακριά από την αρχή και το δυναμικό παρατηρείται κοντά στην αρχή. Στην πρώτη (συνηθέστερη) περίπτωση, οι συντελεστές του αναπτύγματος της σειράς ονομάζονται εξωτερικές πολυπολικές ροπές ή απλώς πολυπολικές ροπές ενώ, στη δεύτερη περίπτωση, ονομάζονται εσωτερικές πολυπολικές ροπές.

## Επέκταση σε σφαιρικές αρμονικές

Συνήθως, η σειρά γράφεται ως άθροισμα σφαιρικών αρμονικών. Έτσι, θα μπορούσαμε να γράψουμε μια συνάρτηση f(\theta,\varphi) ως το άθροισμα

f(\theta,\varphi) = \sum_{\ell=0}^\infty\, \sum_{m=-\ell}^\ell\, C^m_\ell\, Y^m_\ell(\theta,\varphi)

όπου Y^m_\ell(\theta,\varphi) είναι οι τυπικές σφαιρικές αρμονικές και C^m_\ell είναι σταθεροί συντελεστές που εξαρτώνται από τη συνάρτηση. Ο όρος C^0_0 αναπαριστά το μονόπολο, C^{-1}_1,C^0_1,C^1_1 αναπαριστά το δίπολο κ.ο.κ. Ισοδύναμα, η σειρά γράφεται επίσης συχνά   ως

f(\theta,\varphi) = C + C_i n^i + C_{ij}n^i n^j + C_{ijk}n^i n^j n^k + C_{ijk\ell}n^i n^j n^k n^\ell + \cdots

όπου τα n^i αντιπροσωπεύουν τις συνιστώσες ενός μοναδιαίου διανύσματος  στην κατεύθυνση που δίνεται από τις γωνίες \theta και \varphi, και οι δείκτες αθροίζονται σιωπηρά. Εδώ, ο όρος C είναι το μονόπολο- C_i είναι ένα σύνολο τριών αριθμών που αντιπροσωπεύουν το δίπολο- και ούτω καθεξής.

Στα παραπάνω αναπτύγματα, οι συντελεστές μπορεί να είναι πραγματικοί ή μιγαδικοί. Εάν η συνάρτηση που εκφράζεται ως πολυπολικό ανάπτυγμα είναι πραγματική, ωστόσο, οι συντελεστές πρέπει να ικανοποιούν ορισμένες ιδιότητες. Στο σφαιρικό αρμονικό ανάπτυγμα, πρέπει να έχουμε

C_\ell^{-m} = (-1)^m C^{m\ast}_\ell \, .

Στο πολυδιανυσματικό ανάπτυγμα, κάθε συντελεστής πρέπει να είναι πραγματικός:

C = C^\ast;\ C_i = C_i^\ast;\ C_{ij} = C_{ij}^\ast;\ C_{ijk} = C_{ijk}^\ast;\ \ldots

Αν και οι επεκτάσεις των βαθμωτών συναρτήσεων είναι μακράν η πιο συνηθισμένη εφαρμογή των πολυπολικών επεκτάσεων, μπορούν επίσης να γενικευτούν για να περιγράψουν τανυστές αυθαίρετου βαθμού  Αυτό βρίσκει χρήση στις πολυπολικές επεκτάσεις του διανυσματικού δυναμικού στον ηλεκτρομαγνητισμό ή στη μετρική διαταραχή στην περιγραφή των βαρυτικών κυμάτων.

Για την περιγραφή συναρτήσεων τριών διαστάσεων, μακριά από την αρχή των συντεταγμένων, οι συντελεστές του πολυπολικού αναπτύγματος μπορούν να γραφούν ως συναρτήσεις της απόστασης από την αρχή, r- πιο συχνά, ως σειρά Λοράν σε δυνάμεις του r. Επί παραδείγματι, για την περιγραφή του ηλεκτρομαγνητικού δυναμικού, V από μια πηγή σε μια μικρή περιοχή κοντά στην αρχή, οι συντελεστές μπορούν να γραφούν ως εξής:

V(r,\theta,\varphi) = \sum_{\ell=0}^\infty\, \sum_{m=-\ell}^\ell C^m_\ell(r)\, Y^m_\ell(\theta,\varphi)= \sum_{j=1}^\infty\, \sum_{\ell=0}^\infty\, \sum_{m=-\ell}^\ell \frac{D^m_{\ell,j}}{r^j}\, Y^m_\ell(\theta,\varphi) .

## Εφαρμογές

Τα **πολυπολικά αναπτύγματα** χρησιμοποιούνται ευρέως σε προβλήματα που αφορούν τα βαρυτικά πεδία συστημάτων μαζών, τα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία κατανομών φορτίου και ρεύματος και τη διάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. Ένα κλασικό παράδειγμα είναι ο υπολογισμός των εξωτερικών πολυπολικών ροπών των ατομικών πυρήνων από τις ενέργειες αλληλεπίδρασής τους με τα εσωτερικά πολυπόλα των ηλεκτρονικών τροχιακών. Οι πολυπολικές ροπές των πυρήνων αναφέρουν την κατανομή των φορτίων στο εσωτερικό του πυρήνα και, επομένως, το σχήμα του πυρήνα. Η αποκοπή του αναπτύγματος πολλαπλών πόλων στον πρώτο μη μηδενικό όρο του είναι συχνά χρήσιμη για θεωρητικούς υπολογισμούς.

Τα πολυπολικά αναπτύγματα είναι επίσης χρήσιμα σε αριθμητικές προσομοιώσεις και αποτελούν τη βάση της γρήγορης πολυπολικής μεθόδου των Γκρένγκαρντ και Ρόχλιν, μιας γενικής τεχνικής για τον αποτελεσματικό υπολογισμό ενεργειών και δυνάμεων σε συστήματα αλληλεπιδρώντων σωματιδίων. Η βασική ιδέα είναι η διάσπαση των σωματιδίων σε ομάδες- τα σωματίδια εντός μιας ομάδας αλληλεπιδρούν κανονικά (δηλαδή με το πλήρες δυναμικό), ενώ οι ενέργειες και οι δυνάμεις μεταξύ ομάδων σωματιδίων υπολογίζονται από τις πολυπολικές ροπές τους. Η αποτελεσματικότητα της μεθόδου γρήγορων πολλαπλών πόλων είναι γενικά παρόμοια με εκείνη της άθροισης του Εβαλντ, αλλά υπερτερεί αν τα σωματίδια είναι συγκεντρωμένα, δηλαδή αν το σύστημα έχει μεγάλες διακυμάνσεις πυκνότητας.

## Πολυπολικό ανάπτυγμα ενός δυναμικού έξω από μια ηλεκτροστατική κατανομή φορτίου

Ας θεωρήσουμε μια διακριτή κατανομή φορτίου που αποτελείται από  σημειακά φορτία  με διανύσματα θέσης . Υποθέτουμε ότι τα φορτία είναι συγκεντρωμένα γύρω από την αρχή, έτσι ώστε για όλα τα *i*: , όπου το  έχει κάποια πεπερασμένη τιμή. Το δυναμικό , λόγω της κατανομής φορτίων, σε ένα σημείο  εκτός της κατανομής φορτίων, δηλαδή , μπορεί να αναπτυχθεί σε δυνάμεις του . Στη βιβλιογραφία υπάρχουν δύο τρόποι για να γίνει αυτό το ανάπτυγμα: Ο πρώτος είναι μια σειρά Τέιλορ στις καρτεσιανές συντεταγμένες ,  και , ενώ ο δεύτερος είναι σε όρους σφαιρικών αρμονικών που εξαρτώνται από τις σφαιρικές πολικές συντεταγμένες. Η καρτεσιανή προσέγγιση έχει το πλεονέκτημα ότι δεν απαιτείται προηγούμενη γνώση των συναρτήσεων Λεζάντρ, των σφαιρικών αρμονικών κ.λπ. Το μειονέκτημά της είναι ότι οι παραγώγοι είναι αρκετά δυσκίνητοι (στην πραγματικότητα, ένα μεγάλο μέρος τους είναι η σιωπηρή αναγωγή του αναπτύγματος Λεζάντρ του   η οποία έγινε μια για πάντα από τον Λεζάντρ τη δεκαετία του 1780). Επίσης, είναι δύσκολο να δοθεί μια κλειστή έκφραση για έναν γενικό όρο του πολυπολικού αναπτύγματος - συνήθως δίνονται μόνο οι πρώτοι όροι που ακολουθούνται από μια έλλειψη.

### Επέκταση σε καρτεσιανές συντεταγμένες

Ας υποθέσουμε ότι  για ευκολία. Το ανάπτυγμα Τέιλορ του  γύρω από την αρχή μπορεί να γραφεί ως εξής

\begin{align}
v(\mathbf{r}- \mathbf{R}) &= v(\mathbf{-R}) + \sum_{\alpha=x,y,z} r_\alpha v_\alpha(\mathbf{-R}) +\frac{1}{2} \sum_{\alpha=x,y,z}\sum_{\beta=x,y,z} r_\alpha r_\beta v_{\alpha\beta}(\mathbf{-R})
+ \cdots + \cdots\\
&=v(\mathbf{R}) - \sum_{\alpha=x,y,z} r_\alpha v_\alpha(\mathbf{R}) +\frac{1}{2} \sum_{\alpha=x,y,z}\sum_{\beta=x,y,z} r_\alpha r_\beta v_{\alpha\beta}(\mathbf{R})
- \cdots + \cdots
\end{align}

με συντελεστές Τέιλορ

v_\alpha(\mathbf{R}) \equiv\left( \frac{\partial v(\mathbf{r}-\mathbf{R}) }{\partial r_\alpha}\right)_{\mathbf{r} = \mathbf 0} \quad\text{and} \quad
v_{\alpha\beta}(\mathbf{R}) \equiv\left( \frac{\partial^2 v(\mathbf{r}-\mathbf{R}) }{\partial r_{\alpha}\partial r_{\beta}}\right)_{\mathbf{r}= \mathbf0} .

Αν  ικανοποιεί την εξίσωση Λαπλάς, τότε από το παραπάνω ανάπτυγμα έχουμε

\left(\nabla^2 v(\mathbf{r}- \mathbf{R})\right)_{\mathbf{r}=\mathbf0} = \sum_{\alpha=x,y,z} v_{\alpha\alpha}(\mathbf{R}) = 0,

και το ανάπτυγμα μπορεί να ξαναγραφεί ως προς τις συνιστώσες ενός καρτεσιανού τανυστή δεύτερης τάξης χωρίς ίχνη:

\sum_{\alpha=x,y,z}\sum_{\beta=x,y,z} r_\alpha r_\beta v_{\alpha\beta}(\mathbf{R})
= \frac{1}{3} \sum_{\alpha=x,y,z}\sum_{\beta=x,y,z} \left(3r_\alpha r_\beta - \delta_{\alpha\beta} r^2\right) v_{\alpha\beta}(\mathbf{R}) ,

όπου  είναι το δέλτα Κρόνεκερ και . Η αφαίρεση του ίχνους είναι συνηθισμένη, επειδή αφαιρεί το περιστροφικά αναλλοίωτο  από τον τανυστή δεύτερης τάξης.

#### Παράδειγμα

Ας εξετάσουμε τώρα την ακόλουθη μορφή της :

v(\mathbf{r}- \mathbf{R}) \equiv \frac{1} .

Τότε με άμεση διαφόριση προκύπτει ότι

v(\mathbf{R}) = \frac{1}{R},\quad v_\alpha(\mathbf{R})= -\frac{R_\alpha}{R^3},\quad \hbox{and}\quad v_{\alpha\beta}(\mathbf{R}) = \frac{3R_\alpha R_\beta- \delta_{\alpha\beta}R^2}{R^5} .

Ορίζουμε ένα μονόπολο, ένα δίπολο και ένα (χωρίς ίχνη) τετράπολο με, αντίστοιχα,

q_\mathrm{tot} \equiv \sum_{i=1}^N q_i , \quad P_\alpha \equiv\sum_{i=1}^N q_i r_{i\alpha} , \quad \text{and}\quad Q_{\alpha\beta} \equiv \sum_{i=1}^N q_i (3r_{i\alpha} r_{i\beta} - \delta_{\alpha\beta} r_i^2) ,

aκαι λαμβάνουμε τελικά τους πρώτους όρους του **πολυπολικού αναπτύγματος** του συνολικού δυναμικού, το οποίο είναι το άθροισμα των δυναμικών Κουλόμπ των ξεχωριστών φορτίων:

\begin{align}
4\pi\varepsilon_0 V(\mathbf{R}) &\equiv \sum_{i=1}^N q_i v(\mathbf{r}_i-\mathbf{R}) \\
&= \frac{q_\mathrm{tot}}{R} + \frac{1}{R^3}\sum_{\alpha=x,y,z} P_\alpha R_\alpha +
\frac{1}{2 R^5}\sum_{\alpha,\beta=x,y,z} Q_{\alpha\beta} R_\alpha R_\beta + \cdots
\end{align}

Αυτό το ανάπτυγμα του δυναμικού μιας διακριτής κατανομής φορτίου είναι πολύ παρόμοιο με αυτό των πραγματικών στερεών αρμονικών που δίνεται παρακάτω. Η κύρια διαφορά είναι ότι η παρούσα είναι σε όρους γραμμικά εξαρτώμενων μεγεθών, για

\sum_{\alpha} v_{\alpha\alpha} = 0 \quad \hbox{and} \quad \sum_{\alpha} Q_{\alpha\alpha} = 0 .

**Σημείωση:**'
Αν η κατανομή φορτίου αποτελείται από δύο φορτία με αντίθετο πρόσημο τα οποία απέχουν απειροελάχιστη απόσταση  μεταξύ τους, έτσι ώστε , αποδεικνύεται εύκολα ότι ο κυρίαρχος όρος στο ανάπτυγμα είναι

V(\mathbf{R}) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 R^3} (\mathbf{P}\cdot\mathbf{R}) ,

το ηλεκτρικό διπολικό δυναμικό πεδίο.

### Σφαιρική μορφή

Το δυναμικό  σε ένα σημείο  εκτός της κατανομής φορτίου, δηλαδή , μπορεί να αναπτυχθεί με το ανάπτυγμα Λαπλάς:

V(\mathbf{R}) \equiv \sum_{i=1}^N \frac{q_i}{4\pi \varepsilon_0 |\mathbf{r}_i - \mathbf{R}|}
=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^{\ell}
(-1)^m I^{-m}_\ell(\mathbf{R}) \sum_{i=1}^N q_i R^m_\ell(\mathbf{r}_i),

όπου I^{-m}_{\ell}(\mathbf{R}) είναι μια ακανόνιστη στερεά αρμονική (ορίζεται παρακάτω ως μια σφαιρική αρμονική συνάρτηση διαιρεμένη με R^{\ell+1}) και R^m_{\ell}(\mathbf{r}) είναι μια κανονική στερεά αρμονική (μια σφαιρική αρμονική επί ). Ορίζουμε τη *σφαιρική πολυπολική ροπή* της κατανομής φορτίου ως εξής

Q^m_\ell \equiv \sum_{i=1}^N q_i R^m_\ell(\mathbf{r}_i),\quad\ -\ell \le m \le \ell.

Ας σημειωθεί ότι μια πολυπολική ροπή καθορίζεται αποκλειστικά από την κατανομή των φορτίων (τις θέσεις και τα μεγέθη των φορτίων *N*).

Μια σφαιρική αρμονική εξαρτάται από το μοναδιαίο διάνυσμα \hat{R}. (Ένα μοναδιαίο διάνυσμα καθορίζεται από δύο σφαιρικές πολικές γωνίες.) Έτσι, εξ ορισμού, οι ακανόνιστες στερεές αρμονικές μπορούν να γραφούν ως εξής

I^m_{\ell}(\mathbf{R}) \equiv \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}} \frac{Y^m_{\ell}(\hat{R})}{R^{\ell+1}}

έτσι ώστε το *πολυπολικό ανάπτυγμα* του πεδίου  στο σημείο  εκτός της κατανομής φορτίου να δίνεται από τη σχέση

\begin{align}
V(\mathbf{R})
& = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\sum_{\ell=0}^{\infty}
\sum_{m=-\ell}^{\ell}(-1)^{m} I^{-m}_{\ell}(\mathbf{R}) Q^{m}_{\ell}\\
& = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\sum_{\ell=0}^{\infty}\left[\frac{4\pi}{2\ell + 1}\right]^{1/2}\;\frac{1}{R^{\ell + 1}}
\sum_{m=-\ell}^{\ell}(-1)^{m} Y^{-m}_{\ell}(\hat{R}) Q^{m}_{\ell}, \qquad R > r_{\mathrm{max}}
\end{align}

Αυτό το ανάπτυγμα είναι εντελώς γενικό, δεδομένου ότι δίνει μια κλειστή μορφή για όλους τους όρους, όχι μόνο για τους πρώτους λίγους. Δείχνει ότι οι σφαιρικές πολυπολικές ροπές εμφανίζονται ως συντελεστές στο  ανάπτυγμα του δυναμικού.

Έχει ενδιαφέρον να εξετάσουμε τους πρώτους όρους σε πραγματική μορφή, οι οποίοι είναι οι μόνοι όροι που συναντώνται συνήθως στα εγχειρίδια για προπτυχιακούς φοιτητές.
Δεδομένου ότι το άθροισμα του αθροίσματος “'m”' είναι αναλλοίωτο κάτω από έναν μοναδιαίο μετασχηματισμό και των δύο παραγόντων ταυτόχρονα και δεδομένου ότι ο μετασχηματισμός των μιγαδικών σφαιρικών αρμονικών σε πραγματική μορφή γίνεται με μοναδιαίο μετασχηματισμό, μπορούμε απλά να αντικαταστήσουμε τις πραγματικές ακανόνιστες στερεές αρμονικές και τις πραγματικές πολυπολικές ροπές. Ο όρος γίνεται

V_{\ell=0}(\mathbf{R}) =
\frac{q_\mathrm{tot}}{4\pi \varepsilon_0 R} \quad\hbox{with}\quad q_\mathrm{tot}\equiv\sum_{i=1}^N q_i.

Στην πραγματικότητα πρόκειται και πάλι για τον νόμο του Κουλόμπ. Για τον όρο  εισάγουμε

\mathbf{R} = (R_x, R_y, R_z),\quad \mathbf{P} = (P_x, P_y, P_z)\quad
\hbox{with}\quad P_\alpha \equiv \sum_{i=1}^N q_i r_{i\alpha}, \quad \alpha=x,y,z.

Τότε

V_{\ell=1}(\mathbf{R}) =
\frac{1}{4\pi \varepsilon_0 R^3} (R_x P_x +R_y P_y + R_z P_z) = \frac{\mathbf{R} \cdot \mathbf{P} }{4\pi \varepsilon_0 R^3} =
\frac{\hat\mathbf{R} \cdot \mathbf{P} }{4\pi \varepsilon_0 R^2}.

Ο όρος αυτός είναι πανομοιότυπος με αυτόν που συναντάμε στην καρτεσιανή μορφή.

Για να γράψουμε τον όρο , πρέπει να εισάγουμε συντομογραφικούς συμβολισμούς για τις πέντε πραγματικές συνιστώσες της τετραπολικής ροπής και τις πραγματικές σφαιρικές αρμονικές. Συμβολισμοί του τύπου

Q_{z^2} \equiv \sum_{i=1}^N q_i\; \frac{1}{2}(3z_i^2 - r_i^2),

μπορούν να βρεθούν στη βιβλιογραφία. Είναι σαφές ότι η πραγματική σημειογραφία καθίσταται πολύ σύντομα αμήχανη, γεγονός που δείχνει τη χρησιμότητα της μιγαδικής σημειογραφίας.

## Αλληλεπίδραση δύο μη επικαλυπτόμενων κατανομών φορτίου

Ας θεωρήσουμε δύο σύνολα σημειακών φορτίων, ένα σύνολο  συγκεντρωμένο γύρω από ένα σημείο  και ένα σύνολο  συγκεντρωμένο γύρω από ένα σημείο . Σκεφτείτε λόγου χάρη δύο μόρια και θυμηθείτε ότι ένα μόριο εξ ορισμού αποτελείται από ηλεκτρόνια (αρνητικά σημειακά φορτία) και πυρήνες (θετικά σημειακά φορτία). Η συνολική ενέργεια ηλεκτροστατικής αλληλεπίδρασης  μεταξύ των δύο κατανομών είναι 

U_{AB} = \sum_{i\in A} \sum_{j\in B} \frac{q_i q_j}{4\pi\varepsilon_0 r_{ij}}.

Αυτή η ενέργεια μπορεί να αναπτυχθεί σε μια σειρά δυνάμεων στην αντίστροφη απόσταση του  και .
Το ανάπτυγμα αυτό είναι γνωστό ως **πολυπολικό ανάπτυγμα** του *U**AB*.

Για να εξάγουμε αυτό το πολυπολικό ανάπτυγμα, γράφουμε , το οποίο είναι ένα διάνυσμα που δείχνει από  προς . Να σημειωθεί ότι

\mathbf{R}_{AB}+\mathbf{r}_{Bj}+\mathbf{r}_{ji}+\mathbf{r}_{iA} = 0
\quad \iff \quad
\mathbf{r}_{ij} = \mathbf{R}_{AB}-\mathbf{r}_{Ai}+\mathbf{r}_{Bj} .

Ας υποθέσουμε ότι οι δύο κατανομές δεν επικαλύπτονται:

 |\mathbf{R}_{AB}| > |\mathbf{r}_{Bj}-\mathbf{r}_{Ai}| \text{ for all } i,j.

Υπό αυτή τη συνθήκη μπορούμε να εφαρμόσουμε το ανάπτυγμα Λαπλάς με την ακόλουθη μορφή

\frac{1} = \frac{1}{|\mathbf{R}_{AB} - (\mathbf{r}_{Ai}- \mathbf{r}_{Bj})| } =
\sum_{L=0}^\infty \sum_{M=-L}^L \, (-1)^M I_L^{-M}(\mathbf{R}_{AB})\;
R^M_L( \mathbf{r}_{Ai} - \mathbf{r}_{Bj}),

όπου I^M_L και R^M_L είναι ακανόνιστες και κανονικές στερεές αρμονικές, αντίστοιχα. η μετάφραση της κανονικής στερεάς αρμονικής δίνει πεπερασμένο ανάπτυγμα,

R^M_L(\mathbf{r}_{Ai}-\mathbf{r}_{Bj}) = \sum_{\ell_A=0}^L (-1)^{L-\ell_A} \binom{2L}{2\ell_A}^{1/2}
\times \sum_{m_A=-\ell_A}^{\ell_A} R^{m_A}_{\ell_A}(\mathbf{r}_{Ai})
R^{M-m_A}_{L-\ell_A}(\mathbf{r}_{Bj})\;
\langle \ell_A, m_A; L-\ell_A, M-m_A\mid L M \rangle,


όπου η ποσότητα μεταξύ των αγκυλών είναι ένας συντελεστής Κλεμπς-Γκορντάν. Περαιτέρω χρησιμοποιήσαμε 

R^{m}_{\ell}(-\mathbf{r}) = (-1)^{\ell} R^{m}_{\ell}(\mathbf{r}) .

Χρήση του ορισμού των σφαιρικών πολυπόλων
 και κάλυψη των περιοχών άθροισης με κάπως διαφορετική σειρά (η οποία επιτρέπεται μόνο για άπειρο εύρος ) δίνει τελικά

\begin{align}
U_{AB} = {} & \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum_{\ell_A=0}^\infty \sum_{\ell_B=0}^\infty (-1)^{\ell_B} \binom{2\ell_A+2\ell_B}{2\ell_A}^{1/2} \\[5pt]
& \times \sum_{m_A=-\ell_A}^{\ell_A} \sum_{m_B=-\ell_B}^{\ell_B}(-1)^{m_A+m_B} I_{\ell_A+\ell_B}^{-m_A-m_B}(\mathbf{R}_{AB})\;
Q^{m_A}_{\ell_A} Q^{m_B}_{\ell_B}\;
\langle \ell_A, m_A; \ell_B, m_B\mid \ell_A+\ell_B, m_A+m_B \rangle.
\end{align}

Πρόκειται για το **πολυπολικό ανάπτυγμα** της ενέργειας αλληλεπίδρασης δύο μη επικαλυπτόμενων κατανομών φορτίου που απέχουν μεταξύ τους απόσταση *R**AB*. Δεδομένου ότι

I_{\ell_A+\ell_B}^{-(m_A+m_B)}(\mathbf{R}_{AB}) \equiv \left[\frac{4\pi}{2\ell_A+2\ell_B+1}\right]^{1/2}\;
\frac{Y^{-(m_A+m_B)}_{\ell_A+\ell_B}\left(\widehat{\mathbf{R}}_{AB}\right)}{R^{\ell_A+\ell_B+1}_{AB}},

αυτή η επέκταση είναι προφανώς σε δυνάμεις του . Η συνάρτηση  είναι μια κανονικοποιημένη σφαιρική αρμονική.

### Μοριακές ροπές

Όλα τα άτομα και τα μόρια (εκτός από τα άτομα σε κατάσταση ''S'') έχουν μία ή περισσότερες μη μεταβαλλόμενες μόνιμες πολυπολικές ροπές. Διαφορετικοί ορισμοί μπορούν να βρεθούν στη βιβλιογραφία, αλλά ο ακόλουθος ορισμός σε σφαιρική μορφή έχει το πλεονέκτημα ότι περιέχεται σε μία γενική εξίσωση. Επειδή είναι σε μιγαδική μορφή, έχει το επιπλέον πλεονέκτημα ότι είναι ευκολότερος ο χειρισμός του στους υπολογισμούς από ό,τι ο αντίστοιχος πραγματικός.

Θεωρούμε ένα μόριο που αποτελείται από *N* σωματίδια (ηλεκτρόνια και πυρήνες) με φορτία *eZ**i*. (Τα ηλεκτρόνια έχουν τιμή *Ζ* -1, ενώ για τους πυρήνες είναι ο ατομικός αριθμός). Το σωματίδιο *i* έχει σφαιρικές πολικές συντεταγμένες *r**i*, *θ**i*,και  φ*i* και καρτεσιανές συντεταγμένες*x**i*, *y**i*, and *z**i*.

Ο (μιγαδικός) ηλεκτροστατικός πολυπολικός τελεστής είναι

Q^m_\ell \equiv \sum_{i=1}^N e Z_i \; R^m_{\ell}(\mathbf{r}_i),

όπου R^m_{\ell}(\mathbf{r}_i) είναι μια κανονική στερεά αρμονική συνάρτηση στην κανονικοποίηση του Racah (επίσης γνωστή ως ημι-κανονικοποίηση του Σμιντ).

Εάν το μόριο έχει συνολική κανονικοποιημένη κυματοσυνάρτηση Ψ (ανάλογα με τις συντεταγμένες των ηλεκτρονίων και των πυρήνων), τότε η πολυπολική ροπή τάξης \ell του μορίου δίνεται από την αναμενόμενη τιμή:

M^m_\ell \equiv \langle \Psi \mid Q^m_\ell \mid \Psi \rangle.

Εάν το μόριο έχει ορισμένη συμμετρία σημειακής ομάδας, τότε αυτό αντικατοπτρίζεται στην κυματοσυνάρτηση: η Ψ μετασχηματίζεται σύμφωνα με μια ορισμένη μη αναγώγιμη αναπαράσταση λ της ομάδας ("η Ψ έχει τύπο συμμετρίας λ"). Αυτό έχει ως συνέπεια να ισχύουν κανόνες επιλογής για την τιμή προσδοκίας του πολυπολικού τελεστή, ή με άλλα λόγια, η τιμή προσδοκίας μπορεί να εξαφανιστεί λόγω συμμετρίας. Ένα γνωστό παράδειγμα αυτού είναι το γεγονός ότι τα μόρια με κέντρο αναστροφής δεν φέρουν δίπολο (οι τιμές προσδοκίας του  Q^m_1  εξαφανίζονται για . Για ένα μόριο χωρίς συμμετρία, δεν ισχύουν κανόνες επιλογής και ένα τέτοιο μόριο θα έχει μη μεταβαλλόμενα πολύπολα οποιασδήποτε τάξης (θα φέρει ένα δίπολο και ταυτόχρονα ένα τετράπολο, οκτάπολο, δεκαεξάπολο κ.λπ.).

Οι χαμηλότερες ρητές μορφές των κανονικών στερεών αρμονικών (με τη φάση Condon-Shortley) δίνουν: 

 M^0_0 = \sum_{i=1}^N e Z_i, 

(το συνολικό φορτίο του μορίου). Οι συνιστώσες του (σύνθετου) διπόλου είναι:

 M^1_1 = - \tfrac{1}{\sqrt 2} \sum_{i=1}^N e Z_i \langle \Psi | x_i+iy_i | \Psi \rangle\quad \hbox{and} \quad
M^{-1}_{1} = \tfrac{1}{\sqrt 2} \sum_{i=1}^N e Z_i \langle \Psi | x_i - iy_i | \Psi \rangle. 

 M^0_1 = \sum_{i=1}^N e Z_i \langle \Psi | z_i | \Psi \rangle.

Ας σημειωθεί ότι με έναν απλό γραμμικό συνδυασμό μπορεί κανείς να μετατρέψει τους μιγαδικούς πολυπολικούς τελεστές σε πραγματικούς. Οι πραγματικοί πολυπολικοί τελεστές είναι τύπου συνημιτόνου  C^m_\ell  ή τύπου ημιτόνου S^m_\ell. Μερικά από τα χαμηλότερα είναι τα εξής: 

\begin{align}
C^0_1 &= \sum_{i=1}^N eZ_i \; z_i, \\
C^1_1 &= \sum_{i=1}^N eZ_i \;x_i, &
S^1_1 &= \sum_{i=1}^N eZ_i \;y_i, \\
C^0_2 &= \frac{1}{2}\sum_{i=1}^N eZ_i\; \left(3z_i^2-r_i^2\right), \\
C^1_2 &= \sqrt{3}\sum_{i=1}^N eZ_i\; z_i x_i, &
S^1_2 &= \sqrt{3}\sum_{i=1}^N eZ_i\; z_i y_i, \\
C^2_2 &= \frac{1}{3}\sqrt{3}\sum_{i=1}^N eZ_i\; \left(x_i^2-y_i^2\right), &
S^2_2 &= \frac{2}{3}\sqrt{3}\sum_{i=1}^N eZ_i\; x_i y_i,
\end{align}

#### Σημείωση για τις συμβάσεις

Ο ορισμός της μιγαδικής μοριακής πολυπολικής ροπής που δόθηκε παραπάνω είναι ο μιγαδικός συζυγής του ορισμού που δίνεται σε αυτό το άρθρο, ο οποίος ακολουθεί τον ορισμό του βασικού εγχειριδίου κλασικής ηλεκτροδυναμικής του Τζάκσον, εκτός από την κανονικοποίηση. Επιπλέον, στον κλασικό ορισμό του Τζάκσον το ισοδύναμο της κβαντομηχανικής τιμής προσδοκίας *Ν*-σωματιδίων είναι ένα ολοκλήρωμα πάνω σε μια κατανομή φορτίου ενός σωματιδίου. Να θυμάστε ότι στην περίπτωση ενός μονοσωματιδιακού κβαντομηχανικού συστήματος η τιμή προσδοκίας δεν είναι παρά ένα ολοκλήρωμα πάνω στην κατανομή φορτίου (μέτρο κυματοσυνάρτησης στο τετράγωνο), οπότε ο ορισμός αυτού του άρθρου είναι μια κβαντομηχανική γενίκευση του ορισμού του Τζάκσον για Ν-σωματίδια.

Ο ορισμός αυτού του άρθρου συμφωνεί, μεταξύ άλλων, με τον ορισμό των Φάνο και Ράκα
 και των Μπρινκ και Σάτσλερ.

## Παραδείγματα

Υπάρχουν πολλοί τύποι πολυπολικών ροπών, καθώς υπάρχουν πολλοί τύποι δυναμικού και πολλοί τρόποι προσέγγισης ενός δυναμικού με ανάπτυγμα σειράς, ανάλογα με τις συντεταγμένες και τη συμμετρία της κατανομής φορτίου. Τα πιο συνηθισμένα αναπτύγματα περιλαμβάνουν:

*Αξονικές πολυπολικές ροπές ενός δυναμικού 
*Σφαιρικές πολυπολικές ροπές ενός δυναμικού  - και
*Κυλινδρικές πολυπολικές ροπές ενός δυναμικού 

Παραδείγματα δυναμικών  περιλαμβάνουν το ηλεκτρικό δυναμικό, το μαγνητικό δυναμικό και το βαρυτικό δυναμικό σημειακών πηγών. Παράδειγμα δυναμικού  είναι το ηλεκτρικό δυναμικό ενός άπειρου γραμμικού φορτίου.

## Γενικές μαθηματικές ιδιότητες

Οι πολυπολικές ροπές στα μαθηματικά και τη μαθηματική φυσική αποτελούν μια ορθογώνια βάση για την αποσύνθεση μιας συνάρτησης, με βάση την απόκριση ενός πεδίου σε σημειακές πηγές που πλησιάζουν απείρως η μία την άλλη. Αυτές μπορούν να θεωρηθούν ως διατεταγμένες σε διάφορα γεωμετρικά σχήματα, ή, με την έννοια της θεωρίας κατανομής, ως παράγωγα κατεύθυνσης.

Τα πολυπολικά αναπτύγματα σχετίζονται με την υποκείμενη περιστροφική συμμετρία των φυσικών νόμων και των σχετικών διαφορικών εξισώσεων. Παρόλο που οι πηγαίοι όροι (όπως οι μάζες, τα φορτία ή τα ρεύματα) μπορεί να μην είναι συμμετρικοί, μπορεί κανείς να τους αναπτύξει σε όρους μη αναγώγιμων αναπαραστάσεων ομάδας συμμετρίας περιστροφής, γεγονός που οδηγεί σε σφαιρικές αρμονικές και συναφή σύνολα ορθογώνιων συναρτήσεων. Με την τεχνική του διαχωρισμού των μεταβλητών εξάγονται οι αντίστοιχες λύσεις για τις ακτινικές εξαρτήσεις.

Στην πράξη, πολλά πεδία μπορούν να προσεγγιστούν καλά με πεπερασμένο αριθμό πολυπολικών ροπών (αν και μπορεί να απαιτείται άπειρος αριθμός για την ακριβή ανακατασκευή ενός πεδίου). Μια τυπική εφαρμογή είναι η προσέγγιση του πεδίου μιας τοπικής κατανομής φορτίου με τους μονοπολικούς και διπολικούς όρους του. Προβλήματα που επιλύονται μία φορά για μια δεδομένη τάξη πολυπολικής ροπής μπορούν να συνδυαστούν γραμμικά για να δημιουργήσουν μια τελική προσεγγιστική λύση για μια δεδομένη πηγή.

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Διδιάστατος χώρος
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Υπερβολική γεωμετρία
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Διάσταση Κρουλ
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
*
* 
* 
* 
*
*
*
* 
* 
* . Review: Séquin, Carlo H. (2009), *Journal of Mathematics and the Arts* 3: 229–230, 
* 
*Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:Θεωρήματα στην ανάλυση 
Κατηγορία:Μαθηματική ανάλυση
Κατηγορία:Επιφάνειες
Κατηγορία:Διαφορική τοπολογία 
Κατηγορία:Διανύσματα 
Κατηγορία:Διανυσματικός λογισμός
Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις