Εικασία του Γκρίνμπεργκ

Η **εικασία του Γκρίνμπεργκ** είναι μία από τις δύο εικασίες στην αλγεβρική θεωρία αριθμών που προτάθηκαν από τον Ραλφ Γκρίνμπεργκ. Και οι δύο είναι ακόμη άλυτες.

## Εικασία των αναλλοίωτων
Η πρώτη εικασία προτάθηκε το 1976 και αφορά τις αναλλοίωτες Ιβασάουα. Αυτή η εικασία σχετίζεται με την εικασία του Βαντίβερ, την εικασία του Λέοπολντ, την εικασία του Μπιρτς-Τέιτ, οι οποίες είναι επίσης άλυτες.

Η εικασία, που αναφέρεται επίσης ως **εικασία των αναλλοίωτων του Γκρίνμπεργκ**, εμφανίστηκε για πρώτη φορά στη διατριβή του Γκρίνμπεργκ στο Πανεπιστήμιο Πρίνστον το 1971 και αρχικά ανέφερε ότι, υποθέτοντας ότι το F είναι ένα ολικά πραγματικό σώμα αριθμών και ότι το F_\infty/F είναι η κυκλοτομική \mathbb{Z}_p-επέκταση, \lambda(F_\infty/F) = \mu(F_\infty/F) = 0, i. δηλ. η δύναμη του p που διαιρεί τον αριθμό τάξης του F_n περιορίζεται ως n \rightarrow \infty. Ας σημειωθεί ότι αν ισχύει η εικασία του Λεοπόλντ για την F και την p, η μόνη \mathbb{Z}_p-επέκταση της F είναι η κυκλωματική (αφού είναιολικά πραγματική).

Το 1976, ο Γκρίνμπεργκ επέκτεινε την εικασία παρέχοντας περισσότερα παραδείγματα για αυτήν και την αναδιατύπωσε ελαφρώς ως εξής: δεδομένου ότι k είναι μια πεπερασμένη επέκταση του \mathbf{Q} και ότι \ell είναι ένας σταθερός πρώτος, με την εξέταση των υποσωμάτων των κυκλωματικών επεκτάσεων του k, μπορεί κανείς να ορίσει έναν πύργο αριθμητικών σωμάτων
k = k_0 \subset k_1 \subset k_2 \subset \cdots \subset k_n \subset \cdots έτσι ώστε k_n να είναι κυκλική επέκταση του k βαθμού \ell^n. Αν το k είναι ολικά πραγματικό, η δύναμη του l που διαιρεί τον αριθμό τάξης του k_n περιορίζεται ως n \rightarrow \infty; Τώρα, αν το k είναι ένα αυθαίρετο αριθμητικό σώμα, τότε υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί \lambda, \mu και \nu τέτοιοι ώστε η δύναμη του \ell που διαιρεί τον αριθμό τάξης του k_n να είναι \ell^{e_n}, όπου e_n = {\lambda}n + \mu^{\ell_n} + \nu για όλα τα επαρκώς μεγάλα n. Οι ακέραιοι \lambda, \mu, \nu εξαρτώνται μόνο από τα k και \ell. Τότε, ρωτάμε: είναι \lambda = \mu = 0 για k ολικά πραγματικό;

Με απλά λόγια, η εικασία ρωτάει αν έχουμε \mu_\ell(k) = \lambda_\ell(k) = 0 για οποιοδήποτε σώμα απόλυτα πραγματικών αριθμών k και οποιοδήποτε πρώτο αριθμό \ell, ή η εικασία μπορεί επίσης να αναδιατυπωθεί ως ερώτημα αν και οι δύο αναλλοίωτες *λ* και *μ* που συνδέονται με την κυκλωματική Z_p-επέκταση ενός σώματος ολικά πραγματικών αριθμών εκμηδενίζεται.

Το 2001, ο Γκρίνμπεργκ γενίκευσε την εικασία (κάνοντάς την έτσι γνωστή ως **ψευδο-μηδενική εικασία του Γκρίνμπεργκ** ή, μερικές φορές, ως **γενικευμένη εικασία του Γκρίνμπεργκ**):

Υποθέτοντας ότι το F είναι ένα σώμα ολικά πραγματικών αριθμών και ότι το p είναι ένας πρώτος αριθμός, έστω \tilde{F} που συμβολίζει το σύνολο όλων των \mathbb{Z}_p-επεκτάσεων του F. (Υπενθυμίζουμε ότι αν ισχύει η εικασία του Λεοπόλντ για F και p, τότε \tilde F=F). Έστω \tilde{L} το σώμα κλάσης Χίλμπερτ pro-p του \tilde{F} και έστω \tilde{X} = \operatorname{Gal}(\tilde{L}/\tilde{F}), θεωρούμενη ως ενότητα πάνω από τον δακτύλιο \tilde{\Lambda} = {\mathbb{Z}_p}\operatorname{Gal}(\tilde{F}/F). Τότε το \tilde{X} είναι ένα ψευδο-μηδενικό \tilde{\Lambda}-module.

Μια πιθανή αναδιατύπωση: Έστω \tilde{k} το σύνολο όλων των \mathbb{Z}_p-επεκτάσεων του k και έστω \operatorname{Gal}(\tilde{k}/k) \simeq \mathbb{Z}^n_p, τότε το Y_\tilde{k} είναι ένα ψευδο-μηδενικό \Lambda_n-module.

Μια άλλη σχετική εικασία (επίσης άλυτη μέχρι στιγμής) υπάρχει:

Έχουμε \mu_\ell(k) = 0 για κάθε αριθμητικό σώμα k και κάθε πρώτο αριθμό \ell.

Αυτή η σχετική εικασία δικαιολογήθηκε από τους Μπρους Φερέρο και Λάρι Γουάσινγκτον, οι οποίοι απέδειξαν (βλ.: Θεώρημα Φερέρο-Γουάσινγκτον) ότι \mu_\ell(k) = 0 για οποιαδήποτε αβελιανή επέκταση k του ρητού αριθμητικού σώματος \mathbb{Q} και οποιοδήποτε πρώτο αριθμό \ell.

## Εικασία της ''p''-ρητότητας
Μια άλλη εικασία, η οποία μπορεί να αναφέρεται ως **εικασία του Γκρίνμπεργκ**, προτάθηκε από τον Γκρίνμπεργκ το 2016 και είναι γνωστή ως **εικασία της <math>p</math>-ορθολογικότητας του Γκρίνμπεργκ**. Δηλώνει ότι για κάθε περιττό πρώτο p και για κάθε t, υπάρχει ένα p-ορθολογικό πεδίο K τέτοιο ώστε \operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q}) \cong (\mathbb{Z}/\mathbb{2Z})^t. Αυτή η εικασία σχετίζεται με το Αντίστροφο πρόβλημα Γκαλουά.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

## Δείτε επίσης
* Θεωρία αριθμών
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Συζυγής μιγαδικός αριθμός
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Ελλειπτική καμπύλη
* e (μαθηματική σταθερά)
* Πυθαγόρεια τετράδα
* Άρτιοι και περιττοί αριθμοί
* Τετραγωνικός αριθμός
* Κρυπτογραφία ελλειπτικών καμπυλών
* Προβλήματα του Λαντάου
* Εικασία του Κράμερ
* Εικασία του Γκόλντμπαχ
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Υπόθεση H του Σίνζελ
* Κλάση συζυγίας
* Ευκλείδειος χώρος

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*  
* 
* <

## Παραπομπές

* 
* 
* 
* 
* 
*I. Jiménez Calvo, J. Herranz and G. Sáez Moreno, "A new algorithm to search for small nonzero |'x3&nbsp;-&nbsp;y2'| values", 'Math. Comp.' *78* (2009), pp. 2435-2444.
*S. Aanderaa, L. Kristiansen and H. K. Ruud, "Search for good examples of Hall's conjecture", 'Math. Comp.' *87* (2018), 2903-2914.

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

Κατηγορία:Διοφαντικές εξισώσεις 
Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών 
Κατηγορία:Θεωρία αριθμών 
Κατηγορία:Εικασίες 
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά