Λογαριθμική συνάρτηση

**Λογαριθμική συνάρτηση** καλείται οποιαδήποτε συνάρτηση της μορφής logαx, όπου α πραγματική σταθερά, α>0 και α≠1. Δηλαδή η τιμή εκθετικής συνάρτησης ισούται με το λογάριθμο που έχει σαν βάση τη σταθερά α και σαν λογαριθμιζόμενο μέρος x μία ανεξάρτητη μεταβλητή (όρισμα).

Οι πιο ευρέως χρησιμοποιούμενες λογαριθμικές συναρτήσεις είναι η λογαριθμική συνάρτηση με βάση το 2 (στους υπολογιστές), με βάση το 10 (συνήθως συμβολίζεται με logx), και με βάση το e (αριθμός Όιλερ ίσος περίπου με 2,718). Στην τελευταία περίπτωση συμβολίζεται με lnx και ονομάζεται *φυσικός λογάριθμος* ενώ αναφέρεται σπανιότερα ως *νεπέριος λογάριθμος* (παρόλο που ο Napier έζησε 100 χρόνια πριν τον Euler που ανακάλυψε το e).

## Χαρακτηριστικά της λογαριθμικής συνάρτησης
[right|280px|thumb|Γραφικές παραστάσεις λογαριθμικών συναρτήσεων <br />
<small> [Αρχείο:purple.svg|10px Λογάριθμος με βάση το 1,7
10px Λογάριθμος με βάση το e
10px Λογάριθμος με βάση το 10
]]
### Πεδίο ορισμού

Με βάση τον ορισμό του λογαρίθμου πεδίο ορισμού είναι το ανοιχτό σύνολο από μηδέν στο συν άπειρο (0,+\infty), δηλαδή οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί.

### Συνέχεια-Παραγωγισιμότητα

Η λογαριθμική συνάρτηση είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της, όπως και παραγωγίσιμη. Επιπλέον, κάθε της παράγωγος είναι παραγωγίσιμη. Ισχύει (logαx)'=1/(lnα x), ενώ για τη νιοστή παράγωγο (logαx)ν=(-1)ν-1/(lnα xν).

Ειδικότερα στην lnx ισχύει (lnx)'=1/x μία ιδιότητα πολύ σημαντική, γιατί η παράγωγος μιας λογαριθμικής συνάρτησης είναι μια αμιγώς ρητή συνάρτηση.

### Μονοτονία

Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις μία για α>1 και μία για 01:

Οι λογαριθμικές συναρτήσεις με βάση α>1 είναι γνησίως αύξουσες σε όλο το πεδίου ορισμού τους, γιατί lnα>0 και 1/x>0, άρα (logαx)'>0.

* Αν 1>α>0:

Οι λογαριθμικές συναρτήσεις με βάση 00, άρα (logαx)'1:

Το όριο της λογαριθμικής στο συν άπειρο είναι συν άπειρο, ενώ το όριο της λογαριθμικής στο 0 είναι μείον άπειρο. Η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα. Ασύμπτωτη της συνάρτησης είναι η ευθεία x=0, δηλαδή ο άξονας y'y. Το σύνολο τιμών της λογαριθμικής συνάρτησης είναι οι πραγματικοί αριθμοί.

* Αν 0αx=0  x=1.

### Κοιλοκυρτότητα

* Αν α>1 τότε:

Είναι (logαx)=-1/(lnα x2)α>0 τότε:

Είναι (logαx)=-1/(lnα x2)>0, άρα η λογαριθμική συνάρτηση είναι κυρτή, δηλαδή *στρέφει τα κοίλα άνω*.

Σε κάθε περίπτωση δεν υπάρχουν σημεία καμπής.

### Συμμετρίες

Η λογαριθμική συνάρτηση logαx είναι συμμετρική με την log1/αx ως προς τον άξονα x'x. Παρατηρείται ότι οι δύο βάσεις είναι αντίστροφες μεταξύ τους. Η ιδιότητα αυτή είναι ανάλογη με την αντίστοιχη ιδιότητα στην εκθετική συνάρτηση.

## Αντίστροφη συνάρτηση της λογαριθμικής
μικρογραφία|Μία φυσική λογαριθμική συνάρτηση, η εκθετική και μία λογαριθμική με βάση 1/e.

Αντίστροφη συνάρτηση της λογαριθμικής εξ ορισμού είναι η εκθετική συνάρτηση.

## Μετασχηματισμοί

Η λογαριθμική συνάρτηση μπορεί να μετασχηματιστεί μέσω του φυσικού λογαρίθμου. Ισχύει ότι logαx=y  x=αy  x=ey⋅lnα  lnx=y⋅lnα  y=\frac{lnx}{ln\alpha}. Επομένως, αρκεί να μελετηθεί η συνάρτηση του φυσικού λογαρίθμου και μπορούν αναλόγως να επεκταθούν τα συμπεράσματα και σε άλλες λογαριθμικές συναρτήσεις. Η συγκεκριμένη ιδιότητα ισχύει αναλόγως και με άλλες βάσεις εκτός από το e, όπως το 10 και το 2. Έτσι, logαx=\frac{logx}{log\alpha}.

## Σχέσεις με τη λογαριθμική συνάρτηση
### Ανισοτικές

Για κάθε θετικούς πραγματικούς αριθμούς x, x0, y ισχύει:

* ex>lnx

Για α>1:

* logαx>logαy  x>y
** logαx>0  x>1
** logαx xαx0)x+(logαx0-1/lnα), το ίσον ισχύει μόνο για x=x0

Για 0αx>logαy  xαx>0  xαx x>1
* logαx>=1/(lnα x0)x+(logαx0-1/lnα), το ίσον ισχύει μόνο για x=x0

### Ταυτότητες

Για κάθε πραγματικό αριθμό κ, για κάθε θετικούς πραγματικούς αριθμούς x, y, και με α>0 και διάφορο του ενός, ισχύει:

* logαx=logαy  x=y
* logαx=0  x=1
* logαx=-log1/αx
* logαx+logαy=logα(xy)
* logαx-logαy=logα(x/y)
* logαxκ=κlogαx
* logα(αx)=x
** logαα=1

## Λογαριθμική συνάρτηση και απειροστικός λογισμός

Η λογαριθμική συνάρτηση lnx έχει τη σημαντική ιδιότητα ότι (lnx)'=1/x. Έτσι, αποδεικνύεται ότι (logαx)'=(lnx/lnα)'=1/lnαx.

Επίσης ισχύoυν οι εξή σχέσεις για τα ολοκληρώματα:
:\int lnx\,dx=xlnx-x+c
:\int log_{\alpha}x\,dx=xlog_{\alpha}x+c
:\int \frac{1}{x}\,dx=lnx+c
:\int \frac{1}{ln\alpha x}\,dx=log_{\alpha}x+c

## Δείτε επίσης

* εκθετική συνάρτηση
* λογαριθμικός κανόνας

*Το άρθρο βασίστηκε στη διαδικασία της μαθηματικής ανάλυσης συνάρτησης που αναγράφεται στο βιβλίο *Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης*, ISBN 960-06-0703-6 ΟΕΔΒ εκδόσεις 2008, παράγραφος 2.10, σελίδα 287*

Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις