Οιονεί σώμα

Στα μαθηματικά, ένα **οιονεί σώμα** είναι μια αλγεβρική δομή (Q,+,\cdot) όπου + και \cdot είναι δυαδικές πράξεις στο Q, όπως ένας δακτύλιος διαίρεσης, αλλά με κάποιες ασθενέστερες συνθήκες. Όλοι οι δακτύλιοι διαίρεσης, και συνεπώς όλα τα σώματα, είναι **οιονεί σώματα**.

## Ορισμός

Ένα οιονεί σώμα (Q,+,\cdot) είναι μια δομή, όπου + και \cdot είναι δυαδικές πράξεις πάνω στο Q, που ικανοποιούν αυτά τα αξιώματα:

* (Q,+)  είναι ομάδα
* (Q_{0},\cdot) είναι ένας βρόχος, όπου Q_{0} = Q \setminus \{0\} \,
* a \cdot (b+c)=a \cdot b+a \cdot c \quad\forall a,b,c \in Q (αριστερή επιμεριστική ιδιότητα)
* a \cdot x=b \cdot x+c έχει ακριβώς μία λύση για x, \forall a,b,c \in Q, a\neq b

Για την ακρίβεια, αυτός είναι ο ορισμός ενός *αριστερού* οιονεί σώμα. Ένα *δεξιό* **οιονεί σώμα** ορίζεται με παρόμοιο τρόπο, αλλά ικανοποιεί τη δεξιά επιμεριστική ιδιότητα. Ένα οιονεί σώμα που ικανοποιεί και τους δύο επιμεριστικούς νόμους ονομάζεται **ημισώμα**, με την έννοια που χρησιμοποιείται ο όρος στην προβολική γεωμετρία.

Αν και δεν έχει υποτεθεί, μπορεί κανείς να αποδείξει ότι τα αξιώματα προϋποθέτουν ότι η προσθετική ομάδα (Q,+) είναι αβελιανή. Έτσι, όταν αναφερόμαστε σε ένα *αβελιανό οιονεί σώμα*, εννοούμε ότι η (Q_0, \cdot) είναι αβελιανή.

## Πυρήνας

Ο πυρήνας K ενός οιονεί σώματος Q είναι το σύνολο όλων των στοιχείων c που είναι τέτοια ώστε:
* a \cdot(b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c\quad \forall a,b\in Q
* (a+b) \cdot c=(a \cdot c)+(b \cdot c)\quad \forall a,b\in Q

Περιορίζοντας τις δυαδικές πράξεις + και \cdot στον K, μπορεί κανείς να δείξει ότι (K,+,\cdot) είναι ένας δακτύλιος διαίρεσης.

Τώρα μπορεί κανείς να φτιάξει έναν διανυσματικό χώρο του Q πάνω στον K, με τον ακόλουθο Βαθμωτό πολλαπλασιασμό :
v \otimes l = v \cdot l\quad \forall v\in Q,l\in K

Καθώς ένας πεπερασμένος δακτύλιος διαίρεσης είναι πεπερασμένο σώμα σύμφωνα με το θεώρημα του Γουέντερμπερν, η τάξη του πυρήνα ενός πεπερασμένου οιονεί σώματος είναι μια πρώτη δύναμη. Η κατασκευή του διανυσματικού χώρου συνεπάγεται ότι η τάξη οποιουδήποτε πεπερασμένου οιονεί σώματος πρέπει επίσης να είναι μια πρώτη δύναμη.

## Παραδείγματα
Όλοι οι δακτύλιοι διαίρεσης, και συνεπώς όλα τα σώματα, είναι οιονεί σώματα.

Ένα (δεξιό) κοντινό σώμα που είναι ένα (δεξιό) οιονεί σώμα ονομάζεται "επίπεδο κοντινό σώμα".

Τα μικρότερα οιονεί σώματα είναι αβελιανά και μοναδικά. Είναι τα πεπερασμένα σώματα τάξεων μέχρι και οκτώ. Τα μικρότερα οιονεί σώματα που δεν είναι δακτύλιοι διαίρεσης είναι τα τέσσερα μη αβελιανά οιονεί σώματα τάξης εννέα. παρουσιάζονται από  και .

## Προβολικά επίπεδα

Δεδομένου ενός οιονεί σώματος Q, ορίζουμε μια τριμερή απεικόνιση T\colon Q\times Q\times Q\to Q ως εξής

: T(a,b,c)=a \cdot b+c \quad \forall a,b,c\in Q

Στη συνέχεια μπορεί κανείς να επαληθεύσει ότι το (Q,T) ικανοποιεί τα αξιώματα ενός επιπέδου τριαδικού δακτυλίου. Το (Q,T) συνδέεται κανονικά με ένα προβολικό επίπεδο που κατασκευάζεται από αυτό. Τα προβολικά επίπεδα που κατασκευάζονται με αυτόν τον τρόπο χαρακτηρίζονται ως εξής-οι λεπτομέρειες αυτής της σχέσης δίνονται στο Χολλ (). 
Ένα προβολικό επίπεδο είναι ένα μεταφορικό επίπεδο ως προς την ευθεία στο άπειρο αν και μόνο αν οποιοσδήποτε (ή όλοι) από τους σχετιζόμενους επίπεδους τριαδικούς δακτυλίους του είναι δεξιός τεταρτοβάθμιος δακτύλιος. Ονομάζεται *διατμητικό επίπεδο* αν οποιοσδήποτε (ή όλοι) οι τριαδικοί δακτύλιοι του είναι αριστερά οιονεί σώματα.

Το επίπεδο δεν προσδιορίζει μονοσήμαντα τον δακτύλιο- και τα 4 μη-αβελιανά οιονεί σώματα της τάξης 9 είναι τριαδικοί δακτύλιοι για το μοναδικό μη-Ντεσαργκειανό επίπεδο μεταφοράς της τάξης 9. Αυτά διαφέρουν ως προς το θεμελιώδες τετράπλευρο που χρησιμοποιείται για την κατασκευή του επιπέδου (βλ. Βέιμπελ (Weibel 2007).

## Ιστορία

Τα **οιονεί σώματα** ονομάζονταν "συστήματα Βέμπλεν-Βέντερμπερν" στη βιβλιογραφία πριν από το 1975, δεδομένου ότι μελετήθηκαν για πρώτη φορά στην εργασία του 1907 ("Βέμπλεν-Βέντερμπερν 1907") των Ο. Βέμπλεν και Τ. Βέντερμπερν. Επισκοπήσεις των οιονεί σωμάτων και των εφαρμογών τους στα προβολικά επίπεδα μπορούν να βρεθούν στα έργα των Χολ (Hall (1959)) και Βέιμπελ (Weibel (2007)).

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Σώμα διασπάσεως
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νοεροί υπολογισμοί

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* . 
* 
* 
*
*
*Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 323, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196, Zbl 0948.11001
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα