Εκθετικό αντικείμενο

Στα μαθηματικά, συγκεκριμένα στην θεωρία κατηγοριών, ένα **εκθετικό αντικείμενο** είναι η κατηγορηματική γενίκευση ενός συναρτησιακού χώρου στην θεωρία συνόλων. Οι κατηγορίες με όλα τα πεπερασμένα γινόμενα και τα εκθετικά αντικείμενα ονομάζονται *καρτεσιανές κλειστές κατηγορίες*. Οι κατηγορίες (όπως οι υποκατηγορίες του **Top**) χωρίς συζυγή γινόμενα μπορεί να έχουν ακόμα έναν εκθετικό νόμο.

## Ορισμός

Έστω  \mathbf{C} μια κατηγορία, ας υποθέσουμε ότι Z και Y είναι αντικείμενα του \mathbf{C}, και ότι το \mathbf{C} έχει όλα τα δυαδικά γινόμενα με το Y. Ένα αντικείμενο Z^Y με έναν μορφισμό \mathrm{eval}\colon (Z^Y \times Y) \to Z είναι ένα εκθετικό αντικείμενο αν για κάθε αντικείμενο X και μορφισμό g \colon X\times Y \to Z υπάρχει ένας μοναδικός μορφισμός \lambda g\colon X\to Z^Y (που ονομάζεται μεταφορά του g) έτσι ώστε το ακόλουθο διάγραμμα να είναι αντιμεταθετό:

Αυτή η αντιστοίχιση ενός μοναδικού \lambda g σε κάθε  g δημιουργεί έναν ισομορφισμό (**αμφίρριψη**) των συνόλων hom-sets, \mathrm{Hom}(X\times Y,Z) \cong \mathrm{Hom}(X,Z^Y).

Εάν Z^Yυπάρχει για όλα τα αντικείμενα Z, Y στο \mathbf{C}, τότε ο συναρτητής (-)^Y \colon \mathbf{C}\to  \mathbf{C} ορίζεται στα αντικείμενα από το Z \mapsto Z^Y και στα βέλη από το  (f\colon X\to Z) \mapsto (f^Y\colon X^Y \to Z^Y), είναι ένα δεξί συζυγές του γινομένου συναρτητή -\times Y. Για το λόγο αυτό, οι μορφισμοί \lambda g και g ονομάζονται μερικές φορές εκθετικοί συζυγείς ο ένας του άλλου.

### Ορισμός εξίσωσης

Εναλλακτικά, το εκθετικό αντικείμενο μπορεί να οριστεί μέσω εξισώσεων:
* Η ύπαρξη του \lambda g  εγγυάται την ύπαρξη της πράξης \lambda - . 
* Η αντιμεταθετικότητα των παραπάνω διαγραμμάτων εξασφαλίζεται από την ισότητα \forall g \colon X \times Y \to Z,\ \mathrm{eval} \circ (\lambda g \times \mathrm{id}_Y) = g.
* Η μοναδικότητα του \lambda g εγγυάται από την ισότητα \forall h \colon X \to Z^Y, \ \lambda (\mathrm{eval} \circ (h \times \mathrm{id}_Y)) = h.

### Καθολική ιδιότητα

Ο εκθετικός Z^Y δίνεται από έναν καθολικό μορφισμό δηλαδή από το γινόμενο συναρτητή - \times Y στο αντικείμενο Z. Αυτός ο καθολικός μορφισμός αποτελείται από ένα αντικείμενο Z^Y και έναν μορφισμό \mathrm{eval}\colon (Z^Y \times Y) \to Z.

## Παραδείγματα

Στην κατηγορία των συνόλων, ένα **εκθετικό αντικείμενο** Z^Y  είναι το σύνολο όλων των συναρτήσεων Y \to Z.. Η απεικόνιση \mathrm{eval}\colon (Z^Y \times Y) \to Z είναι απλώς η απεικόνιση αξιολόγησης, η οποία αποστέλλει το ζεύγος (f, y) στο f(y). Για κάθε απεικόνιση g\colon X \times Y \to Z η απεικόνιση \lambda g\colon X \to Z^Y είναι η μορφή curried του g:
:\lambda g(x)(y) = g(x,y).\,

Μια άλγεβρα Χέιτινγκ H είναι απλώς ένα περιορισμένο πλέγμα που έχει όλα τα εκθετικά αντικείμενα. Η συνέπεια Χέιτινγκ, Y \Rightarrow Z, είναι μια εναλλακτική σημειογραφία για το Z^Y. Τα παραπάνω αποτελέσματα της συνάρτησης μετατρέπονται σε προκύπτουσα πρόταση (\Rightarrow : H \times H \to H) που είναι δεξιος συζυγής που συναντά (\wedge : H \times H \to H). Αυτή η **σύζευξη** μπορεί να γραφτεί ως (- \wedge Y) \dashv (Y \Rightarrow -), ή πιο ολοκληρωμένα ως:
(- \wedge Y): H \stackrel {\longrightarrow} {\underset {\longleftarrow}{\top}} H: (Y \Rightarrow -)

Στην κατηγορία των τοπολογικών χώρων, το **εκθετικό αντικείμενο** Z^Y υπάρχει υπό την προϋπόθεση ότι το Y είναι ένας τοπικά συμπαγής χώρος Χάουσντορφ. Σε αυτή την περίπτωση, ο χώρος Z^Y είναι το σύνολο όλων των συνεχών συναρτήσεων από το Y στο Z μαζί με την συμπαγή-ανοιχτή τοπολογία. Η απεικόνιση αξιολόγησης είναι η ίδια με αυτήν της κατηγορίας των συνόλων, είναι συνεχής με την παραπάνω τοπολογία. Εάν Y δεν είναι τοπικά συμπαγής Χάουσντορφ, το εκθετικό αντικείμενο μπορεί να μην υπάρχει (ο χώρος Z^Y εξακολουθεί να υπάρχει, αλλά μπορεί να μην είναι εκθετικό αντικείμενο, καθώς η συνάρτηση αξιολόγησης δεν χρειάζεται να είναι συνεχής). Για το λόγο αυτό, η κατηγορία των τοπολογικών χώρων δεν είναι καρτεσιανή κλειστή.
Ωστόσο, η κατηγορία των τοπικά συμπαγών τοπολογικών χώρων δεν είναι ούτε καρτεσιανή κλειστή, καθώς το Z^Y δεν χρειάζεται να είναι τοπικά συμπαγές για τους τοπικά συμπαγείς χώρους Z και Y. Μια καρτεσιανή κλειστή κατηγορία χώρων δίνεται, λόγου χάριν από την πλήρη υποκατηγορία που καλύπτεται από τους συμπαγώς παραγόμενους χώρους Χάουσντορφ.

Στις συναρτησιακές γλώσσες προγραμματισμού, ο μορφισμός \operatorname{eval} ονομάζεται συχνά \operatorname{apply}, και η σύνταξη \lambda g γράφεται συχνά \operatorname{curry}(g). Ο μορφισμός \operatorname{eval} δεν πρέπει να συγχέεται με τη συνάρτηση <code>eval</code> σε ορισμένες γλώσσες προγραμματισμού, η οποία αξιολογεί τις εκφράσεις που βρίσκονται σε εισαγωγικά.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


*
*
* 
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
*
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα