Μεγάγωνο

Στη γεωμετρία, το **μεγάγωνο** είναι ένα πολύγωνο με ένα εκατομμύριο κορυφές και ένα εκατομμύριο πλευρές.

Ένα μεγάγωνο είναι **[[κανονικό πολύγωνο|κανονικό]]** αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

Όπως και το παράδειγμα του χιλιαγώνου του Ρενέ Ντεκάρτ, το ενός εκατομμυρίου πλευρών πολύγωνο έχει επίσης χρησιμοποιηθεί ως η απεικόνιση μιας καλά καθορισμένης έννοιας που δεν μπορεί να γίνει ορατή.

Το μεγάγωνο χρησιμοποιείται επίσης ως απεικόνιση της σύγκλισης των κανονικών πολυγώνων σε ένα κύκλο. Αν ορίσουμε έναν κύκλο στο μέγεθος του ισημερινού της Γης, με περιφέρεια 40.075 χιλιόμετρα, τότε μια ακμή μεγαγώνου σε ένα τέτοιο εγγεγραμμένο κύκλο θα είναι στην πραγματικότητα μήκους περίπου 40 μέτρων. Η διαφορά μεταξύ της περιμέτρου του εγγεγραμμένου μεγαγώνου και της περιφέρειας του κύκλου αυτού, ανέρχεται σε μέγεθος μικρότερο από το 1/16 του χιλιοστού.

## Ιδιότητες
* Σε κάθε απλό μεγάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα 179.999.640^\circ (ή 999.998\pi ακτίνια).
* Κάθε μεγάγωνο έχει 499.998.500.000 διαγωνίους.

## Κυρτό κανονικό μεγάγωνο

### Ιδιότητες
Για το κανονικό μεγάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
* Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με 179{,}99964^\circ (ή 999.998\pi/1.000.000 ακτίνια).
* Έχει ένα εκατομμύριο άξονες συμμετρίας.
* Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
* Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
* Έχει περιστροφική συμμετρία τάξεως ενός εκατομμυρίου.
* Το σύμβολο Schläfli του μεγάγωνο είναι \{ 1.000.000 \}.

### Μετρικές σχέσεις

* Η ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού μεγαγώνου είναι ίση με
::\begin{align}R 
& = \frac{1}{2} \csc \frac{\pi}{1.000.000} \cdot \lambda \approx 159.154{,}943092 \cdot \lambda.
\end{align}
*Η ακτίνα r του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού μεγαγώνου είναι ίση με
::\begin{align}
r 
& = \frac{1}{2} \cot \frac{\pi}{1.000.000} \cdot \lambda \approx 159.154{,}943091 \cdot \lambda.
\end{align}
* Τα μήκη των διαγωνίων ενός κανονικού μεγαγώνου δίνονται από τις σχέσεις
::\begin{align}
d_k
 & = 2 \sin \frac{k\pi}{1.000.000} \cdot R .
\end{align}
*Το πλάτος του είναι ίσο με το μήκος της μεγάλης διαγωνίου 
::w = 2 \cdot R.
*Το ύψος του είναι 
::h = 2 \cdot r.

### Εμβαδόν
Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού μεγαγώνου πλευράς \lambda και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου r είναι 
:{\rm E} = 500.000 \cdot  \lambda \cdot  r.
Το εμβαδό \rm E ενός κανονικού μεγαγώνου πλευράς \lambda δίνεται από τη σχέση:
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = 250.000 \cot \frac{\pi}{1.000.000} \cdot \lambda^2
 \approx 79577471545 \cdot \lambda^2.
\end{align}
Αν R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδόν του χιλιαγώνου είναι
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = 500.000 \sin \frac{2\pi}{1.000.000} \cdot R^2
   \approx 3.14159265356 \cdot R^2.
\end{align}
Aν r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = 1.000.000 \tan \frac{\pi}{1.000.000} \cdot r^2 \approx 3{,}14159265358 \cdot r^2
\end{align}.

### Περίμετρος
Η περίμετρος \Pi του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με
:\Pi = 1.000.000 \cdot\lambda.

### Κατασκευή κανονικού μεγαγώνου
Το κανονικό μεγάγωνο δεν είναι κατασκευάσιμο, διότι ο αριθμός των πλευρών του, 1.000.000 = 2^6 \cdot  5^6, δεν είναι ούτε δύναμη του δύο, ούτε γινόμενο διακριτών πρώτων αριθμών Φερμά (δείτε το θεώρημα Γκάους-Βαντσέλ).

## Μεγάγραμμα
Ένα μεγάγραμμα είναι ένα αστεροειδές πολύγωνο με ένα εκατομμυρίο πλευρές. Υπάρχουν 199,999 κανονικές μορφές του:
:*500,000 περιπτώσεις -1 (το κυρτό) -100.000 (τα πολλαπλάσια του 5) -250.000 (τα πολλαπλάσια του 2) +50.000 (τα πολλαπλάσια των 2 και 5) = 199,999 περιπτώσεις*

Οι περιπτώσεις αυτές δίνονται από σύμβολα Schläfli της μορφής {1000000/*ν*}, όπου *ν* είναι ένας φυσικός αριθμός μεταξύ του 2 και του 500.000 που είναι πρωταρχικός έως το 1.000.000. Υπάρχουν επίσης 300.000 κανονικά αστεροειδή σχήματα στις υπόλοιπες περιπτώσεις.

## Δείτε επίσης
* Χιλιάγωνο
* Μυριάγωνο

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* Μεγάγωνο στο PolytopeWiki.

## Σημειώσεις


## Παραπομπές


Κατηγορία:Κανονικά πολύγωνα