Φθίνουσα ταλάντωση

**Φθίνουσα** ή **αποσβεννύμενη ταλάντωση** ονομάζεται η ταλάντωση κατά την οποία μειώνεται το πλάτος της ταλάντωσης. Η μείωση του πλάτους ονομάζεται **απόσβεση**.

Το φαινόμενο οφείλεται στην απώλεια ενέργειας από το ταλαντευόμενο σύστημα προς το περιβάλλον. Αυτό φαίνεται και από τον τύπο E=(1/2)kA2 που ισχύει σε κάθε ταλάντωση, όπου Ε η ενέργεια του ταλαντευόμενου συστήματος, k μία σταθερά και Α το πλάτος της ταλάντωσης. Έτσι, όταν μειώνεται η ενέργεια μειώνεται και το πλάτος.

Η απώλεια της ενέργειας συνήθως οφείλεται σε δυνάμεις οι οποίες αντιστέκονται στην κίνηση. Αυτές οι δυνάμεις συνήθως είναι τριβές. Όσο μεγαλύτερες κατά μέτρο είναι αυτές οι δυνάμεις, τόσο μεγαλύτερη είναι η απόσβεση.

Η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης, στην περίπτωση οριζόντιας ταλάντωσης με τριβές ολίσθησης σταθερού μέτρου, είναι ίδια με την περίοδο της αμείωτης ταλάντωσης (χωρίς τριβή ολίσθησης). Αντίθετα, στην περίπτωση που η δύναμη της αντίστασης είναι ανάλογη με την ταχύτητα του σώματος τότε η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης αυξάνεται και η αύξηση αυτή μπορεί να είναι ανεπαίσθητη ή ακόμη να γίνει υπερβολικά μεγάλη, ώστε η κίνηση να μην είναι πλέον ταλάντωση.

Σημαντικό παράδειγμα αποσβεννύμενης ταλάντωσης είναι ένα σύστημα απλής αρμονικής ταλάντωσης στο οποίο ενεργεί δύναμη της μορφής **F**=-b**v**, όπου b μία σταθερά και **v** η ταχύτητα. Η σταθερά b ονομάζεται **σταθερά απόσβεσης**. Βάσει του παραπάνω μοντέλου δύναμης τριβής, η ενέργεια μειώνεται εκθετικά με το χρόνο. Συγκεκριμένα αποδεικνύεται ότι,

:  E(t)=E_0 e^{-t/\tau}\ , 

όπου Ε(t) η ενέργεια τη χρονική στιγμή t, Ε0 η αρχική ενέργεια (η ενέργεια τη στιγμή t=0) και τ ο λεγόμενος *χαρακτηριστικός χρόνος απόσβεσης* που εξαρτάται από τη σταθερά b, τη μάζα m του σώματος και τη σταθερά ελατηρίου k. Αποδεικνύεται ότι τα διαδοχικά χρονικώς μέγιστα που λαμβάνει αυτή η ταλάντωση είναι όροι φθίνουσας γεωμετρικής προόδου. Η εξίσωση αυτής της φθίνουσας ταλάντωσης με το παραπάνω μοντέλο δύναμης τριβής στη περίπτωση όπου ω0>γ (ω02=k/m η φυσική συχνότητα του συστήματος) είναι της γενικής μορφής:

:  x(t)=A_0\ e^{-t/\tau}\sin{(\omega t+\varphi_0)}\ , 

όπου ω0 η κυκλική συχνότητα ταλάντωσης (η οποία εξαρτάται τόσο από τη φυσική συχνότητα όσο και από τη σταθερά απόσβεσης), A0 η απομάκρυνση του σώματος τη χρονική στιγμή t=0 και φ0 η αρχική φάση.

Η φθίνουσα ταλάντωση εφαρμόζεται στις αναρτήσεις των αυτοκινήτων.

## Επίλυση της εξίσωσης του Νεύτωνα
500px|thumb|Παράδειγμα φθίνουσας ταλάντωσης για τις τρεις βασικές περιπτώσεις - υποκρίσιμη, κρίσιμη και υπερκρίσιμη απόσβεση.|right

Δεδομένης της μορφής της δύναμης τριβής που δόθηκε παραπάνω, η μονοδιάστατη εξίσωση του Νεύτωνα καταλήγει στην παρακάτω διαφορική εξίσωση:

:  m\ddot{x}=-kx-b\dot{x}\Leftrightarrow \ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega_0^2x=0 

όπου θέσαμε \omega_0^2=k/m, την κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης αν δεν υπήρχε απόσβεση, και 2\gamma = b/m. Υποθέτωντας εκθετικές λύσεις της μορφής x(t)\propto e^{\rho{t}} και αντικαθιστώντας στην παραπάνω εξίσωση, βρίσκουμε ότι οι δυνατές τιμές της σταθεράς \rho είναι:

:  \rho_{1,2}=-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2} 

Μπορεί λοιπόν κανείς να διακρίνει τις παρακάτω βασικές περιπτώσεις:

**α) Υποκρίσιμη απόσβεση (γ<ω<sub>0</sub>)**

Στη παραπάνω περίπτωση,

:  \rho_{1,2}=-\gamma\pm i\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2} 

Η γενική λύση της εξίσωσης του Νεύτωνα για την απομάκρυνση θα είναι λοιπόν

:  x(t)=A_0\ e^{-\gamma t}\sin{(\omega t+\varphi_0)}\ , 

όπου

:  A_0=\sqrt{c_1^2+c^2_2}, \ \ \ \varphi_0=\tan^{-1}(c_1/c_2), \ \ \ \omega=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2} 

:  c_1=x_0, \ \ \ c_2=\frac{\gamma x_0+v_0}{\omega} 

Οι ποσότητες x0 και v0 αντιστοιχούν στην αρχική θέση και ταχύτητα του σώματος. Η γωνία φ ονομάζεται αρχική φάση

Είναι χρήσιμο να εισαγάγουμε τον *χαρακτηριστικό χρόνο απόσβεσης*, τ, του συστήματος ο οποίος ορίζεται ως 1/γ έτσι ώστε

:  x(t)=A_0\ e^{-t/\tau}\sin{(\omega t+\varphi_0)} 

Η φυσική σημασία του χαρακτηριστικού χρόνου απόσβεσης είναι ο εξής: Σε χρόνο τ, το πλάτος ταλάντωσης μειώνεται στο 1/e του αρχικού πλάτους Α0.

Το σώμα θα εκτελεί λοιπόν μία φθίνουσα ταλάντωση με περίοδο

:  T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{\omega_0}{\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}}\ T_0\ , 

όπου Τ0 η περίοδος που θα είχε το σώμα αν δεν υπήρχε η δύναμη τριβής. Από την παραπάνω σχέση είναι φανερό ότι Τ>Τ0, δηλαδή η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης είναι *μεγαλύτερη* από την περίοδο της απλής αρμονικής ταλάντωσης.

**β) Κρίσιμη απόσβεση (γ=ω<sub>0</sub>)**

Σε αυτή τη περίπτωση,

:  \rho_{1,2}=-\gamma \ \ \ 

Η γενική λύση της εξίσωσης του Νεύτωνα στη περίπτωση αυτή είναι

:  x(t)=(c_1+c_2t)e^{-t/\tau}\ , 

όπου

:  c_1=x_0, \ \ \ c_2=v_0+\gamma x_0 

**γ) Υπερκρίσιμη απόσβεση (γ>ω<sub>0</sub>)**

Στη περίπτωση αυτή,

:  \rho_{1,2}=-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2} 

Η γενική λύση της εξίσωσης του Νεύτωνα θα είναι λοιπόν:

:  x(t)=c_1e^{\gamma_{+}t}+c_2e^{\gamma_{-}t}\ , 

όπου

:  \gamma_{+}=-\gamma+\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}, \ \ \ \gamma_{-}=-\gamma-\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2} 

:  c_1=\frac{v_0-\gamma_{-}x_0}{\gamma_{+}-\gamma{-}}, \ \ \ c_2=\frac{\gamma_{+}x_0-v_0}{\gamma_{+}-\gamma_{-}} 

## Παραπομπές


## Πηγές
**Φυσική Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ΄ Τάξης Γενικού Λυκείου*, ΟΕΔΒ, έκδοση Η΄,Αθήνα 2008, ISBN 960-06-1154-8

## Βιβλιογραφία
* Τραχανάς Σ. (2005), *Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις*. Πανεπστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο.
* Τσίγκανος Κ. (2004), *Εισαγωγή στη Θεωρητική Μηχανική*. Εκδόσεις Σταμούλη ΑΕ.

Κατηγορία:Δυναμική