Θεώρημα Κέισι

Στα μαθηματικά, το **θεώρημα του Κέισι**, επίσης γνωστό ως **γενικευμένο θεώρημα** του Πτολεμαίου, είναι ένα θεώρημα της Ευκλείδειας γεωμετρίας που πήρε το όνομά του από τον Ιρλανδό μαθηματικό Τζον Κέισι.

## Διατύπωση του θεωρήματος

Έστω \,O ένας κύκλος ακτίνας \,R. Έστω \,O_1, O_2, O_3, O_4 τέσσερις μη τεμνόμενοι κύκλοι που βρίσκονται μέσα στον \,O και εφάπτονται σε αυτόν. Συμβολίζουμε με \,t_{ij} το μήκος της εξωτερικής κοινής διπλής εφαπτομένης  των κύκλων \,O_i, O_j. Τότε:

:\,t_{12} \cdot t_{34}+t_{14} \cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.

Σηµειώστε ότι στην εκφυλισµένη περίπτωση, όπου και οι τέσσερις κύκλοι ανάγονται σε σηµεία, αυτό αντιστοιχεί ακριβώς στο θεώρηµα του Πτολεµαίου.

## Απόδειξη

Η ακόλουθη απόδειξη οφείλεται στον Ζαχαρία. Συμβολίζουμε την ακτίνα του κύκλου \,O_i με \,R_i και το σημείο εφαπτομένης του με τον κύκλο \,O με \,K_i. Θα χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό \,O, O_i για τα κέντρα των κύκλων.
Να σημειωθεί ότι από το Πυθαγόρειο θεώρημα,

:\,t_{ij}^2=\overline{O_iO_j}^2-(R_i-R_j)^2.

Θα προσπαθήσουμε να εκφράσουμε αυτό το μήκος σε όρους των σημείων \,K_i,K_j. Σύμφωνα με τον νόμο των συνημίτονων στο τρίγωνο \,O_iOO_j,

:\overline{O_iO_j}^2=\overline{OO_i}^2+\overline{OO_j}^2-2\overline{OO_i}\cdot \overline{OO_j}\cdot \cos\angle O_iOO_j

Δεδομένου ότι οι κύκλοι \,O,O_i εφάπτονται μεταξύ τους:

:\overline{OO_i} = R - R_i,\, \angle O_iOO_j = \angle K_iOK_j

Έστω \,C ένα σημείο του κύκλου \,O. Σύμφωνα με τον νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο \,K_iCK_j:

:\overline{K_iK_j} = 2R\cdot \sin\angle K_iCK_j = 2R\cdot \sin\frac{\angle K_iOK_j}{2}

Επομένως,

:\cos\angle K_iOK_j = 1-2\sin^2\frac{\angle K_iOK_j}{2}=1-2\cdot \left(\frac{\overline{K_iK_j}}{2R}\right)^2 = 1 - \frac{\overline{K_iK_j}^2}{2R^2}

Και τέλος, το μήκος που ζητάμε είναι

:t_{ij}=\sqrt{\overline{O_iO_j}^2-(R_i-R_j)^2}=\frac{\sqrt{R-R_i}\cdot \sqrt{R-R_j}\cdot \overline{K_iK_j}}{R}

Μπορούμε τώρα να εκτιμήσουμε την αριστερή πλευρά, με τη βοήθεια του αρχικού θεώρημα του Πτολεμαίου που εφαρμόζεται στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο \,K_1K_2K_3K_4:

:
\begin{align}
& t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23} \\[4pt]
= {} & \frac{1}{R^2}\cdot \sqrt{R-R_1}\sqrt{R-R_2}\sqrt{R-R_3}\sqrt{R-R_4} \left(\overline{K_1K_2} \cdot \overline{K_3K_4}+\overline{K_1K_4}\cdot \overline{K_2K_3}\right) \\[4pt]
= {} & \frac{1}{R^2}\cdot \sqrt{R-R_1}\sqrt{R-R_2}\sqrt{R-R_3}\sqrt{R-R_4}\left(\overline{K_1K_3}\cdot \overline{K_2K_4}\right) \\[4pt]
= {} & t_{13}t_{24}
\end{align}


## Περαιτέρω γενικεύσεις

Μπορεί να φανεί ότι οι τέσσερις κύκλοι δεν χρειάζεται να βρίσκονται μέσα στον μεγάλο κύκλο. Στην πραγματικότητα, μπορούν να εφάπτονται σε αυτόν και από το εξωτερικό. Στην περίπτωση αυτή, θα πρέπει να γίνει η ακόλουθη αλλαγή:
:
Αν \,O_i, O_j εφάπτονται και οι δύο από την ίδια πλευρά του \,O (και οι δύο μέσα ή και οι δύο έξω), \,t_{ij} είναι το μήκος της εξωτερικής κοινής εφαπτομένης.
:
Αν \,O_i, O_j εφάπτονται από διαφορετικές πλευρές του \,O (μία μέσα και μία έξω), \,t_{ij} είναι το μήκος της εσωτερικής κοινής εφαπτομένης.
:
Ισχύει και το αντίστροφο του θεωρήματος του Casey. Δηλαδή, αν ισχύει η ισότητα, οι κύκλοι εφάπτονται σε έναν κοινό κύκλο.

## Εφαρμογές

Το θεώρημα του Κέισι και το αντίστροφό του μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την απόδειξη μιας σειράς δηλώσεων στην Ευκλείδεια γεωμετρία. Παραδείγματος χάριν, η συντομότερη γνωστή απόδειξη του θεωρήματος του Φόιερμπαχ χρησιμοποιεί το αντίστροφο θεώρημα.

## Δημοσιεύσεις

* 
* Wilhelm Killing: *Lehrbuch Der Analytischen Geometrie.* Teil 2, Outlook Verlagsgesellschaft, Bremen 2011, ISBN 978-3-86403-540-1.
* 

* 

*.
* 

* 
* 
*.
* 
* 
* 
* 

## Δείτε επίσης

* Field Arithmetic
* Βικιπαίδεια:Εγχειρίδιο μορφής/Μαθηματικά (Περιέχει και τα αγγλοελληνικά Λεξικά Μαθηματικής Ορολογίας)
* Πραγματικό προβολικό επίπεδο
* Στοιχεία του Ευκλείδη
* Ευκλείδειος χώρος
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Ομογενές πολυώνυμο
* Παραμετρικές εξισώσεις
* Παραβολή (γεωμετρία)
* Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
* Σπείρα του Αρχιμήδη
* Συνέχεια συνάρτησης
* Διπλή εφαπτομένη
* Πυθαγόρειο θεώρημα
* Θεώρημα του Πτολεμαίου
* Τετραγωνισμός του κύκλου
* Συνημίτονο
* Μονοδύναμο στοιχείο
* High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι

* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
* A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
* A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
* Advanced Euclidean Geometry
* Methods for Euclidean Geometry.
* Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra.
* Methods for Euclidean Geometry
* Redefining Geometrical Exactness: Descartes’ Transformation of the Early ...
* Essentials of Mathematica: With Applications to Mathematics and Physics
* Exploring Classical Greek Construction Problems with Interactive Geometry ....
* Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

## Παραπομπές

*.
*.
*.

Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία 
Κατηγορία:Κλασική γεωμετρία 
Κατηγορία:Καμπύλες 
Κατηγορία:Διαφορική γεωμετρία 
Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία 
Κατηγορία:Γεωμετρικά σχήματα 
Κατηγορία:Κύκλος