Σύνθετο σώμα (μαθηματικά)

Το **σύνθετο σώμα **  είναι ένα αντικείμενο μελέτης στη θεωρία των σωμάτων. Έστω *K* ένα σώμα, και έστω E_1, E_2

του *K*. Τότε το (εσωτερικό) σύνθετο των E_1 και E_2 είναι το σώμα που ορίζεται ως η τομή όλων των υποσωμάτων του *Κ* που εμπεριέχονται τόσο το E_1 όσο και το E_2. Το σύνθετο συμβολίζεται συνήθως ως E_1E_2.

## Ιδιότητες

Ισοδύναμα με τις τομές μπορούμε να ορίσουμε το σύνθετο E_1E_2 ως το *μικρότερο* *υπόσωμα*  του *K* που περιέχει τόσο το E_1 όσο και το E_2. Ενώ για τον ορισμό μέσω της τομής, η ευκρίνεια εξαρτάται μόνο από την ιδιότητα ότι οι τομές των σωμάτων είναι τα ίδια σωμάτα, εδώ περιλαμβάνονται δύο βοηθητικοί ισχυρισμοί. Πρώτον, ότι υπάρχουν *ελάχιστα* υποσώματα του *K* που περιλαμβάνουν τα E_1 και E_2 και δεύτερον, ότι ένα τέτοιο *ελάχιστο* υπόσωμα είναι μοναδικό και επομένως δίκαια ονομάζεται *το μικρότερο*.

Μπορεί επίσης να οριστεί χρησιμοποιώντας το σώμα των κλασμάτων
:E_1E_2=E_1(E_2)=E_2(E_1),
όπου F(S) είναι το σύνολο όλων των F-ρητών εκφράσεων σε πεπερασμένα πολλά στοιχεία του S.

Έστω L\subseteq E_1\cap E_2 ένα κοινό υπόσωμα και E_1/L μια επέκταση Γκαλουά τότε E_1E_2/E_2 και E_1/(E_1\cap E_2) είναι και τα δύο επίσης Γκαλουά και υπάρχει ένας ισομορφισμός που δίνεται από τον περιορισμό

:\text{Gal}(E_1E_2/E_2)\rightarrow\text{Gal}(E_1/(E_1\cap E_2)), \sigma\mapsto\sigma|_{E_1}.

Για τις πεπερασμένες επεκτάσεις σωμάτων αυτό μπορεί να βρεθεί ρητά στον Μιλν  και για τις άπειρες επεκτάσεις αυτό προκύπτει αφού οι άπειρες επεκτάσεις Γκαλουά είναι ακριβώς εκείνες οι επεκτάσεις που είναι ενώσεις ενός (άπειρου) συνόλου πεπερασμένων επεκτάσεων Γκαλουά.

Αν επιπλέον η E_2/L είναι μια επέκταση Γκαλουά τότε οι E_1E_2/L και (E_1\cap E_2)/L είναι επίσης Γκαλουά και η απεικόνιση

:\psi:\text{Gal}(E_1E_2/L)\rightarrow\text{Gal}(E_1/L)\times\text{Gal}(E_2/L), \sigma\mapsto(\sigma|_{E_1},\sigma|_{E_2})

είναι ένας ομοιομορφισμός ομάδας που είναι ισομορφισμός στην υποομάδα

:H=\{(\sigma_1,\sigma_2):\sigma_1|_{E_1\cap E_2}=\sigma_2|_{E_1\cap E_2}\}=\text{Gal}(E_1/L)\times_{\text{Gal}((E_1\cap E_2)/L)}\text{Gal}(E_2/L)\subseteq\text{Gal}(E_1/L)\times\text{Gal}(E_2/L).

Βλ.. Milne.

Και οι δύο ιδιότητες είναι ιδιαίτερα χρήσιμες για L=E_1\cap E_2 και οι δηλώσεις τους απλοποιούνται ανάλογα σε αυτή την ειδική περίπτωση. Ειδικότερα, το \psi είναι πάντα ισομορφισμός σε αυτή την περίπτωση.

## Εξωτερικό σύνθετο

Όταν τα E_1 και E_2 δεν θεωρούνται υποσώματα ενός κοινού σώματος, τότε το (εξωτερικό) σύνθετο ορίζεται χρησιμοποιώντας το τανυστικό γινόμενο των σωμάτων. Ας σημειωθεί ότι πρέπει να δοθεί κάποια προσοχή στην επιλογή του κοινού υποσώματος πάνω στο οποίο εκτελείται αυτό το τανυστικό γινόμενο, διαφορετικά το τανυστικό γινόμενο μπορεί να καταλήξει να είναι μόνο μια άλγεβρα που δεν είναι σώμα.

## Γενικεύσεις

Αν \mathcal{E}=\left\{E_i:i\in I\right\} είναι ένα σύνολο από υποσώματα ενός σταθερού σώματος *K* που δεικτοδοτείται από το σύνολο *I*, το γενικευμένο σύνθετο σώμα μπορεί να οριστεί μέσω της τομής

: \bigvee_{i\in I}E_i = \bigcap_{F\subseteq K\text{ s.t. }\forall i \in I: E_i\subseteq F}F.

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Διδιάστατος χώρος
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Υπερβολική γεωμετρία
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Διάσταση Κρουλ
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* , especially chapter 2
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.
* Theodor Schneider: *Einführung in die transzendenten Zahlen* (= *Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen.* Bd. 81, ). Springer, Berlin u. a. 1957.
* Bartel Leendert van der Waerden: *Algebra* (= *Heidelberger Taschenbücher.* Bd. 12) Band 1. 8. Auflage. Springer, Berlin u. a. 1971, ISBN 3-540-03561-3.
*
* 

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα