Ορθογώνιο τρίγωνο

thumb|170px|Ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή γωνία την Α. Η πλευρά <math>\alpha</math> ονομάζεται ''υποτείνουσα'' και οι πλευρές <math>\beta</math> και <math>\gamma</math> είναι οι δύο ''κάθετες''.

Στην γεωμετρία, **ορθογώνιο τρίγωνο** είναι το τρίγωνο του οποίου μία γωνία είναι ορθή. Οι πλευρές που περιέχουν την ορθή γωνία λέγονται **κάθετες πλευρές** και η απέναντί της λέγεται **υποτείνουσα** του ορθογώνιου τριγώνου.

## Ιδιότητες

* Οι οξείες γωνίες ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές.
* Το ορθόκεντρο του τριγώνου ταυτίζεται με την κορυφή της ορθής γωνίας του.
* Η διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου που άγεται από την κορυφή της ορθής γωνίας ισούται με το μισό της υποτείνουσας και αντίστροφα.
 ορθή και \mathrm{M} το μέσο της υποτείνουσας. Αν \mathrm{\Delta} είναι το συμμετρικό του \mathrm{A} ως προς το \mathrm{M}, τότε το τετράπλευρο \mathrm{AB\Delta\Gamma} έχει την γωνία \hat{\mathrm{A}} ορθή και τις διαγωνίους του να διχοτομούνται, άρα είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Συνεπώς, έχουμε \mathrm{A\Delta} = \mathrm{B\Gamma}, άρα 2\mathrm{AM} = \mathrm{B\Gamma}, και τελικά \mathrm{AM} = \mathrm{B\Gamma}/2.

(\Leftarrow) Έστω ένα τρίγωνο \mathrm{AB\Gamma}  με διάμεσο \mathrm{AM} τέτοια ώστε \mathrm{AM} = \mathrm{B\Gamma}/2. Θα αποδείξουμε ότι η γωνία \hat{\mathrm{A}} είναι ορθή. Αν \mathrm{\Delta} είναι το συμμετρικό του \mathrm{A} ως προς το \mathrm{M}, τότε στο τετράπλευρο \mathrm{AB\Delta\Gamma} οι διαγώνιοί του διχοτομούνται και είναι ίσες. Συνεπώς το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και άρα η γωνία \hat{\mathrm{A}} είναι ορθή.
}}

* Από την προηγούμενη ιδιότητα προκύπτει ότι το μέσο της υποτείνουσας \mathrm{B\Gamma} του ορθογωνίου τριγώνου \mathrm{AB\Gamma} είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου, ο οποίος έχει ακίνα R = \tfrac{1}{2} \mathrm{B\Gamma}.

## Μετρικές σχέσεις

* Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο \mathrm{AB\Gamma}  με την γωνία \hat{\mathrm{A}} ορθή ο  εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου έχει ακτίνα \rho = \tfrac{\beta \cdot \gamma}{\alpha + \beta + \gamma}   και το έγκεντρο του τριγώνου έχει συντεταγμένες (\rho, \rho) στο ορθοκανονικό σύστημα με αρχή το \mathrm{A} και άξονες τις ευθείες των πλευρών \mathrm{AB} και \mathrm{A\Gamma}.
 ορθή και \mathrm{I} το έγκεντρο του τριγώνου. Το σημείο \mathrm{I} απέχει από τις τρείς πλευρές του τριγώνου απόσταση ίση με \mathrm{\rho}. Ενώνουμε το   \mathrm{I} με τις τρεις κορυφές του τριγώνου και έτσι το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων \mathrm{ABI}, \mathrm{B\Gamma I} και \mathrm{A\Gamma I}.
Επομένως
:::\mathrm{E_{A\Beta\Gamma}}=\mathrm{E_{A\Beta I}}+\mathrm{E_{\Beta\Gamma I}}+\mathrm{E_{A\Gamma I}}
:
\begin{align}
\frac{1}{2} \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{A\Gamma} 
    & = \frac{1}{2} \cdot \mathrm{AB} \cdot \rho + \frac{1}{2} \cdot \mathrm{B\Gamma} \cdot \rho + \frac{1}{2} \cdot \mathrm{\Gamma A} \cdot \rho \\
    & = \frac{1}{2} \cdot (\mathrm{AB} + \mathrm{B\Gamma} + \mathrm{\Gamma A}) \cdot \rho.
\end{align}

Αναδιατάσσοντας τα δύο μέλη, λαμβάνουμε ότι
:
  \rho = \frac{\mathrm{AB} \cdot \mathrm{A\Gamma}}{\mathrm{AB} + \mathrm{B\Gamma} + \mathrm{\Gamma A}}
    = \frac{\beta \cdot \gamma}{\alpha + \beta + \gamma}.


}}

* Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο \mathrm{AB\Gamma}  με την γωνία \hat{\mathrm{A}} ορθή το άθροισμα των δύο καθέτων πλευρών του ισούται με την υποτείνουσα αυξημένη κατά την διάμετρο του  εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Δηλαδή \beta + \gamma = {\alpha +2\rho}.
 ορθή και \mathrm{\Delta, E, Z} τα σημεία επαφής των πλευρών \mathrm{AB}, \mathrm{B\Gamma}, \mathrm{A\Gamma} με την περιφέρεια του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

Θα αποδείξουμε ότι \Alpha\Gamma+\Alpha\Beta= {\Beta\Gamma+2\rho}  , όπου \mathrm{\rho} η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.
Το σημείο \mathrm{I} είναι το έγκεντρο του τριγώνου άρα ισαπέχει από τις τρείς πλευρές του τριγώνου απόσταση ίση με \mathrm{\rho}. Ενώνουμε το   \mathrm{I} με τα σημεία επαφής \mathrm{\Delta, Z}. Παρατηρούμε ότι \mathrm{B\Delta=BE} και \mathrm{\Gamma Z=\Gamma E} ως εφαπτόμενα τμήματα που άγονται σε περιφέρεια από τα σημεία \mathrm{B, \Gamma}. Επίσης το τετράπλευρο \mathrm{A\Delta I Z} έχει τις γωνίες του \hat{\mathrm{A}}, \hat{\mathrm{\Delta}}, \hat{\mathrm{Z}} ορθές, άρα είναι τετράγωνο και έτσι προκύπτει ότι \mathrm{I\Delta=IZ=A\Delta=AZ=\rho}.

Επομένως,
:
\begin{align}
\rm A\Gamma+A\Beta
 & = \mathrm{A\Delta+\Delta\Gamma+AZ+Z\Beta} \\  
 & = \mathrm{\rho+E\Gamma+EB+\rho} \\
 & = \mathrm{E\Gamma+EB+2\rho} \\
 & = \mathrm{B\Gamma+2\rho}.
\end{align}


}}

Θεωρούμε το ορθογώνιο τρίγωνο \mathrm{AB\Gamma} με την γωνία \mathrm\hat{A}  ορθή και το ύψος \mathrm{A\Delta}.
300px|center
Τότε, ισχύουν οι εξής μετρικές σχέσεις:
* \mathrm{AB}^2=\mathrm{\Delta B}\cdot\mathrm{B\Gamma} και \mathrm{A\Gamma}^2=\mathrm{\Delta\Gamma} \cdot \mathrm{B\Gamma}.
{\mathrm{\Delta B}} = \frac{\mathrm{B\Gamma}}{\mathrm{AB}}.
Εφαρμόζοντας χιαστί γινόμενα, έχουμε ότι
:\mathrm{AB}^2=\mathrm{\Delta B}\cdot\mathrm{B\Gamma}.

Αντίστοιχα, τα τρίγωνα \mathrm{AB\Gamma} και \mathrm{\Delta\Gamma A} είναι όμοια.
Επομένως, 
:
  \frac{\mathrm{A\Gamma}}{\mathrm{\Delta\Gamma}} = \frac{\mathrm{B\Gamma}}{\mathrm{A\Gamma}}.
Εφαρμόζοντας χιαστί γινόμενα, έχουμε ότι
:\mathrm{A\Gamma}^2=\mathrm{\Delta\Gamma}\cdot\mathrm{B\Gamma}.

}}
* (**[[Πυθαγόρειο Θεώρημα]]**) \mathrm{B\Gamma}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{A\Gamma}^2 (ή αντίστοιχα \alpha^2 = \beta^2 + \gamma^2). Ισχύει και το αντίστροφο.

* \mathrm{AB}^2\cdot\mathrm{\Delta\Gamma} = \mathrm{A\Gamma}^2\cdot\mathrm{\Delta B}. 
{\mathrm{\Delta\Gamma}\cdot\mathrm{B\Gamma}}
:\frac{\mathrm{A\Beta}^2}{\mathrm{A\Gamma}^2} = \frac{\mathrm{\Delta B}}{\mathrm{\Delta\Gamma}}
Πολλαπλασιάζοντας χιαστί, καταλήγουμε ότι:
:\mathrm{AB}^2\cdot\mathrm{\Delta\Gamma} = \mathrm{A\Gamma}^2\cdot\mathrm{\Delta B}. 
}}
* {\upsilon}_a^2 = \mathrm{A\Delta}^2= \mathrm{B\Delta} \cdot \mathrm{\Gamma \Delta}. 
{\mathrm{B\Delta}} = \frac{\mathrm{\Gamma \Delta}}{\mathrm{A\Delta}}
Πολλαπλασιάζοντας χιαστί, καταλήγουμε ότι
:\mathrm{A\Delta}^2= \mathrm{B\Delta} \cdot \mathrm{\Gamma \Delta}.

}}
* \mathrm{AB} \cdot \mathrm{A\Gamma} = \mathrm{A\Delta} \cdot \mathrm{B\Gamma}.

* \frac{1}{\Alpha\Beta^2}+\frac{1}{\Alpha\Gamma^2}=\frac{1}{\mathrm{A\Delta}^2}.

## Εμβαδόν
Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινομένου των κάθετων πλευρών, δηλαδή
::\mathrm{E} = \frac{1}{2} \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{A\Gamma}.

## Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων

Ακολουθούν τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων:

* **Κριτήριο πλευράς-πλευράς**: Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές τους ίσες μία προς μία τότε είναι ίσα.

 = \hat{\mathrm{\Delta}} = 90^\circ, \mathrm{AB} = \mathrm{\Delta E} και \mathrm{B\Gamma} = \mathrm{EZ} (η ορθή γωνία σε κάθε τρίγωνο δεν μπορεί να είναι περιεχόμενη της κάθετης και της υποτείνουσας). Αρκεί να δείξουμε ότι \rm\hat{B} = \hat{E} (ισότητα γωνιών). Στις προεκτάσεις των \mathrm{AB} και \mathrm{\Delta E} προς τα \mathrm{A} και \mathrm{\Delta}, παίρνουμε σημεία \rm K και \Lambda τέτοια ώστε \mathrm{AK} = \mathrm{AB} και \mathrm{\Delta \Lambda} = \mathrm{\Delta E} αντίστοιχα. Από το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς έχουμε τις ισότητες του \mathrm{AB\Gamma} με το \mathrm{AK\Gamma} και του \mathrm{\Delta E Z} με το \mathrm{\Delta \Lambda Z}. Συνεπώς έχουμε \mathrm{K\Gamma} = \mathrm{B\Gamma} = \mathrm{EZ} = \mathrm{\Lambda Z}. Από το κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς τότε τα τρίγωνα \mathrm{\Gamma K B} και \mathrm{Z\Lambda E} είναι ίσα, από όπου έχουμε \rm \hat{B} = \hat{E} (ισότητα γωνιών).
}}
* **Κριτήριο πλευράς-προσκείμενης οξείας**: Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μία αντίστοιχη πλευρά ίση και μία αντίστοιχη οξεία γωνία ίση τότε είναι ίσα.

## Ειδικά ορθογώνια τρίγωνα

### Με γωνίες 30°-60°-90°

Το ορθογώνιο τρίγωνο με οξείες γωνίες 30° και 60°, έχει τις εξής ιδιότητες:
* Η κάθετη πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την γωνία 30° είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.
* Το τρίγωνο \mathrm{AM \Gamma} είναι ισόπλευρο.

* Τα μήκη των πλευρών είναι ανάλογα στα 1, \sqrt{3} και 2.

### Ορθογώνιο και ισοσκελές
right|thumb|150px|Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ.
Το ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο έχει τις εξής ιδιότητες:
* Οι οξείες γωνίες του είναι 45°.
* Αν x είναι το μήκος των δύο κάθετων πλευρών τότε η υποτείνουσα έχει μήκος x \sqrt{2}. 
* Το εμβαδόν του είναι \Epsilon = \tfrac{1}{2} x^2.
* Προκύπτει ως το μισό ενός τετραγώνου (το \mathrm{AB\Delta\Gamma} στο σχήμα).

### Με γωνίες 15°-75°-90°

Το ορθογώνιο τρίγωνο με οξείες γωνίες 15° και 75°, έχει τις εξής ιδιότητες:
* Το ύψος που αντιστοιχεί στην ορθή γωνία είναι ίσο με το ένα τέταρτο της υποτείνουσας.

### Τρίγωνο Κέπλερ
right|thumb|200px|Τρίγωνο Κέπλερ με τα τετράγωνα των πλευρών του.

Το τρίγωνο του Κέπλερ είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου τα μήκη των πλευρών είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου. Προκύπτει ότι τα μήκη των πλευρών του είναι ανάλογα ως προς τα 1, \sqrt{\varphi} και \varphi, όπου \varphi είναι ο χρυσός λόγος.

## Περαιτέρω θέματα

### Τριγωνομετρία
right|thumb|200px|Ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία <math>\varphi</math>.
Το ορθογώνιο τρίγωνο χρησιμοποιείται στον ορισμό των τριγωνομετρικών συναρτήσεων της γωνίας \varphi. Πιο συγκεκριμένα, για την γωνία \varphi \in (0, 90^\circ), ισχύει ότι 
:\sin \varphi = \frac{\text{απέναντι κάθετη}}{\text{υποτείνουσα}} 
:\cos \varphi = \frac{\text{προσκείμενη κάθετη}}{\text{υποτείνουσα}}
:\tan \varphi = \frac{\text{απέναντι κάθετη}}{\text{προσκείμενη κάθετη}}.

### Πυθαγόρειες τριάδες
Πυθαγόρειες τριάδες ονομάζονται οι τριάδες ακεραίων αριθμών (a, b, c) τέτοιες ώστε c^2 = a^2 + b^2. Για παράδειγμα η τριάδα (3, 4, 5) είναι Πυθαγόρεια τριάδα διότι: {3^2+4^2=9+16=25=5^2}. 
Αλλά η τριάδα (7, 8, 9) δεν είναι Πυθαγόρεια τριάδα διότι: \mathrm{7^2+8^2=49+64=113} ≠ {9^2=81}.

### Σχέση με το ψευδο-ορθογώνιο τρίγωνο
right|thumb|300px|Το ψεύδο-ορθογώνιο τρίγωνο <math>\mathrm{AB\Gamma}</math> και το σχετικό του ορθογώνιο <math>\rm AB\Gamma'</math>. Έχουν <math>\rm AB = AB'</math>, την <math>\rm A\Gamma</math> κοινή και το ύψος <math>\rm A\Delta</math> κοινό.
Ένα τρίγωνο λέγεται ψευδοορθογώνιο αν η διαφορά δύο γωνιών του είναι μία ορθή γωνία, για παράδειγμα αν \hat{\mathrm{B}} - \hat{\mathrm{\Gamma}} = 90^\circ. Παίρνει αυτή την ονομασία, καθώς υπάρχει ένα ορθογώνιο \rm AB'\Gamma με το οποίο έχει δύο πλευρές ίσες (\rm AB = AB' και την \rm A\Gamma κοινή) και κοινό ύψος (το \rm A\Delta). Το ψευδοορθογώνιο και το ορθογώνιο είναι τα μόνα τρίγωνα που ικανοποιούν τις παρακάτω μετρικές σχέσεις:
* \mathrm{A\Delta}^2= \mathrm{B\Delta} \cdot \mathrm{\Gamma \Delta},
* \mathrm{AB}^2 \cdot \mathrm{\Gamma \Delta} = \mathrm{A\Gamma}^2 \cdot \mathrm{B\Delta}, και
* \frac{1}{\Alpha\Beta^2}+\frac{1}{\Alpha\Gamma^2}=\frac{1}{\mathrm{A\Delta}^2}.

### Σπείρα Θεόδωρου

Η σπείρα του Θεοδώρου είναι μία σπείρα που κατασκευάζεται από ορθογώνια τρίγωνα. Το πρώτο τρίγωνο είναι ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο με κάθετη πλευρά μήκους 1 (και υποτείνουσας μήκους \sqrt{2}). Το επόμενο τρίγωνο έχει μία κάθετη πλευρά την υποτείνουσα του πρώτου τριγώνου και άλλη κάθετη πλευρά μήκους 1. Επομένως, έχει υποτεινουσα μήκους \sqrt{3}. Στην γενική περίπτωση, το (n+1)-οστό τρίγωνο έχει μία κάθετη πλευρά την υποτείνουσα του προηγούμενου τριγώνου και μία άλλη μήκους 1. Επαγωγικά προκύπτει ότι το μήκος της υποτείνουσάς του είναι
:\sqrt{ \sqrt{n}^2 + 1^2} = \sqrt{n + 1}.

### Πλακοστρώσεις

Τα ορθογώνια τρίγωνα μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε πλακοστρώσεις του επιπέδου. Για παράδειγμα, η πλακόστρωση pinwheel δίνει έναν μη-περιοδικό τρόπο να πλακοστρωθεί το επίπεδο.

## Περαιτέρω ανάγνωση

### Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* Διαδραστική εφαρμογή για την επίλυση ορθογωνίου τριγώνου
* Διαδραστική εφαρμογή για τις μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο

### Ελληνικά άρθρα
* 

### Ξενόγλωσσα άρθρα
* 
* 
* 
* 
* 

## Δείτε επίσης
* Τρίγωνο
* Τριγωνομετρία
* Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο
* Πυθαγόρεια τριάδα
* Ψεύδο-ορθογώνιο τρίγωνο

## Παραπομπές


Ορθογωνιο