Εικασία Μπέιτμαν-Χορν

Στη θεωρία των αριθμών, η **εικασία των Μπέιτμαν-Χορν** είναι μια δήλωση σχετικά με τη συχνότητα των πρώτων αριθμών μεταξύ των τιμών ενός συστήματος πολυωνύμων, η οποία πήρε το όνομά της από τους μαθηματικούς Πολ Τ. Μπέιτμαν και Ρότζερ Α. Χορν που την πρότειναν το 1962. Παρέχει μια τεράστια γενίκευση εικασιών όπως η εικασία των Χάρντι και Λίτλγουντ για την πυκνότητα των δίδυμων πρώτων αριθμών ή η εικασία τους για τους πρώτους αριθμούς της μορφής *n*2&nbsp;+&nbsp;1; Αποτελεί επίσης μια ενίσχυση της υπόθεσης H του Σίνζελ.

## Ορισμός

Η εικασία Μπέιτμαν-Χορν παρέχει μια εικαστική πυκνότητα για θετικούς ακέραιους αριθμούς για τους οποίους ένα δεδομένο σύνολο πολυωνύμων έχει όλες τις πρώτες τιμές. Για ένα σύνολο *m* διαφορετικών μη αναγώγιμων πολυωνύμων *ƒ*1,&nbsp;...,&nbsp;*ƒ**m* με ακέραιους συντελεστές, μια προφανής αναγκαία συνθήκη για να παράγουν τα πολυώνυμα ταυτόχρονα απείρως συχνά πρώτες τιμές είναι ότι ικανοποιούν την ιδιότητα του Μπουνιακόφσκι, ότι δηλαδή δεν υπάρχει ένας πρώτος αριθμός *p* που να διαιρεί το γινόμενό τους *f*(*n*)  για κάθε θετικό ακέραιο *n*. Διότι, αν υπήρχε ένας τέτοιος πρώτος *p*, το να έχουμε όλες τις τιμές των πολυωνύμων ταυτόχρονα πρώτες για ένα δεδομένο *n* θα σήμαινε ότι τουλάχιστον μία από αυτές πρέπει να είναι ίση με το *p*, πράγμα που μπορεί να συμβεί μόνο για πεπερασμένες πολλές τιμές του *n*, αλλιώς θα υπήρχε ένα πολυώνυμο με άπειρες πολλές ρίζες, ενώ η εικασία είναι πώς να δώσουμε συνθήκες όπου οι τιμές είναι ταυτόχρονα πρώτες για άπειρα πολλά *n*.

Ένας ακέραιος *n* είναι πρωτογενής για το δεδομένο σύστημα πολυωνύμων αν κάθε πολυώνυμο *ƒ<sub>i</sub>*(*n*) παράγει έναν πρώτο αριθμό όταν του δίνεται *n* ως όρισμα. Αν *P*(*x*) είναι ο αριθμός των πρώτων ακεραίων που παράγουν πρώτους αριθμούς μεταξύ των θετικών ακεραίων μικρότερων του *x*, τότε η εικασία Μπέιτμαν-Χορν δηλώνει ότι

:P(x) \sim \frac{C}{D} \int_2^x \frac{dt}{(\log t)^m},\,

όπου *D* είναι το γινόμενο των βαθμών των πολυωνύμων και όπου *C* είναι το γινόμενο επί των πρώτων *p*

:C = \prod_p \frac{1-N(p)/p}{(1-1/p)^m}\ 

με N(p) τον αριθμό των λύσεων του

:f(n) \equiv 0 \pmod p.\ 

Η ιδιότητα Μπουνιακόφσκι συνεπάγεται N(p)  για όλους τους πρώτους αριθμούς *p*,
οπότε κάθε παράγοντας στο άπειρο γινόμενο *C* είναι θετικός.
Διαισθητικά αναμένει κανείς τότε φυσικά ότι η σταθερά *C* είναι η ίδια θετική, και με λίγη δουλειά αυτό μπορεί να αποδειχθεί.
(Χρειάζεται δουλειά διότι ορισμένα άπειρα γινόμενα θετικών αριθμών είναι ίσα με το μηδέν).

## Αρνητικοί αριθμοί

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η εικασία δεν είναι αληθής: το απλό πολυώνυμο *ƒ*1(*x*)&nbsp;=&nbsp;&minus;*x* παράγει μόνο αρνητικούς αριθμούς όταν του δίνεται θετικό όρισμα, οπότε το κλάσμα των πρώτων αριθμών μεταξύ των τιμών του είναι πάντα μηδέν. Υπάρχουν δύο εξίσου έγκυροι τρόποι να βελτιώσουμε την εικασία για να αποφύγουμε αυτή τη δυσκολία:

*Μπορεί κανείς να απαιτήσει όλα τα πολυώνυμα να έχουν θετικούς αρχικούς συντελεστές, έτσι ώστε μόνο ένας σταθερός αριθμός των τιμών τους να είναι αρνητικός.
*Είναι επίσης δυνατό να επιτρέπονται αρνητικοί αρχικοί συντελεστές, αλλά να θεωρηθεί ένας αρνητικός αριθμός ως πρώτος όταν η απόλυτη τιμή του είναι πρώτος.

Είναι λογικό να επιτρέπουμε στους αρνητικούς αριθμούς να λογίζονται ως πρώτοι αριθμοί ως ένα βήμα προς τη διατύπωση γενικότερων εικασιών που ισχύουν και για άλλα συστήματα αριθμών εκτός των ακεραίων, αλλά ταυτόχρονα είναι εύκολο απλά να αναιρέσουμε τα πολυώνυμα αν χρειαστεί για να αναφερθούμε στην περίπτωση όπου οι κορυφαίοι συντελεστές είναι θετικοί.

## Παραδείγματα

Αν το σύστημα των πολυωνύμων αποτελείται μόνο από το πολυώνυμο  *ƒ*1(*x*)&nbsp;=&nbsp;*x* τότε οι τιμές *n* για τις οποίες το *ƒ*1(*n*) είναι πρώτος αριθμός είναι οι ίδιοι οι πρώτοι αριθμοί, και η εικασία γίνεται μια επαναδιατύπωση του θεωρήματος των πρώτων αριθμών.

Αν το σύστημα των πολυωνύμων αποτελείται από τα δύο πολυώνυμα *ƒ*1(*x*)&nbsp;=&nbsp;*x* και *ƒ*2(*x*)&nbsp;=&nbsp;*x*&nbsp;+&nbsp;2, τότε οι τιμές του *n* για τις οποίες τόσο το *ƒ*1(*n*) όσο και το *ƒ*2(*n*) είναι πρώτοι αριθμοί είναι απλώς οι μικρότεροι από τους δύο πρώτους αριθμούς σε κάθε ζεύγος δίδυμων πρώτων αριθμών. Σε αυτή την περίπτωση, η εικασία Μπέιτμαν-Χορν ανάγεται στην εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ για την πυκνότητα των δίδυμων πρώτων αριθμών, σύμφωνα με την οποία ο αριθμός των ζευγών δίδυμων πρώτων αριθμών μικρότερων από *x* είναι

:\pi_2(x) \sim 2  \prod_{p\ge 3} \frac{p(p-2)}{(p-1)^2}\frac{x}{(\log x)^2 } \approx 1.32 \frac {x}{(\log x)^2}.

## Αναλογία για πολυώνυμα σε πεπερασμένο σώμα

Όταν οι ακέραιοι αντικαθίστανται από τον πολυωνυμικό δακτύλιο *F*[*u*] για ένα πεπερασμένο σώμα *F*, μπορεί κανείς να ρωτήσει πόσο συχνά ένα πεπερασμένο σύνολο πολυωνύμων *f**i*(*x*) στο *F*[*u*][*x*] παίρνει ταυτόχρονα μη αναγώγιμες τιμές στο F[u] όταν αντικαθιστούμε τα *x* με στοιχεία του *F*[*u*]. Οι γνωστές αναλογίες μεταξύ των ακεραίων και του *F*[*u*] υποδηλώνουν ένα ανάλογο της εικασίας Μπέιτμαν-Χορν πάνω στον *F*[*u*], αλλά το ανάλογο είναι λάθος. Παραδείγματος χάριν, τα δεδομένα υποδηλώνουν ότι το πολυώνυμο 

::x^3 + u\,

στο *F*3[*u*][*x*] παίρνει (ασυμπτωτικά) τον αναμενόμενο αριθμό μη αναγώγιμων τιμών όταν το *x* τρέχει πάνω σε πολυώνυμα στο *F*3[*u*]  περιττού βαθμού, αλλά φαίνεται να παίρνει (ασυμπτωτικά) διπλάσιες μη αναγώγιμες τιμές από τις αναμενόμενες όταν το x τρέχει πάνω σε πολυώνυμα με βαθμό 2 mod 4, ενώ (αποδεδειγμένα) δεν παίρνει καθόλου μη αναγώγιμες τιμές όταν το *x* τρέχει πάνω σε μη σταθερά πολυώνυμα με βαθμό πολλαπλάσιο του 4. Μία ανάλογη εικασία των Μπέιτμαν-Χορν πάνω στο *F*[*u*] που ταιριάζει σε αριθμητικά δεδομένα χρησιμοποιεί έναν πρόσθετο παράγοντα στην ασυμπτωτική που εξαρτάται από την τιμή του *d* mod 4, όπου d είναι ο βαθμός των πολυωνύμων στο *F*[*u*] πάνω στα οποία γίνεται δειγματοληψία του *x*.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

## Δείτε επίσης
* Θεωρία αριθμών
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Φυσικός λογάριθμος
* Πρώτος αριθμός Μερσέν
* Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
* e (μαθηματική σταθερά)
* Πρώτος αριθμός
* Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
* Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
* Φυσικός αριθμός
* Εικασία του Λεζάντρ
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Αριθμητική πρόοδος
* Συνάρτηση Όιλερ
* Ευκλείδειος χώρος

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
* 
* .
* 
* *Sorini, Laerte (2001). "Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga". Quaderni di Economia, Matematica e Statistica, DESP, Università di Urbino Carlo Bo (in Italian). *'68*'. .*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

Κατηγορία:Αναλυτική θεωρία αριθμών 
Κατηγορία:Εικασίες για πρώτους αριθμούς
Κατηγορία:Πρώτοι αριθμοί 
Κατηγορία:Ακέραιοι αριθμοί 
Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά