Τετραγωνική ρίζα του 3

}}}
|decimal=
}}
Η **τετραγωνική ρίζα του 3** είναι ο θετικός πραγματικός αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει τον αριθμό 3. Συμβολίζεται με **<math display="inline">\sqrt {3}</math>** ή **<math>3^{1/2}</math>**. Ονομάζεται ακριβέστερα η **κύρια τετραγωνική ρίζα του 3** για να διακρίνεται από τον αρνητικό αριθμό με την ίδια ιδιότητα. Η τετραγωνική ρίζα του 3 είναι ένας άρρητος αριθμός. Είναι επίσης γνωστή ως η **σταθερά του Θεοδώρου**, από τον Θεόδωρο τον Κυρηναίο που απέδειξε την αρρητότητά της.

, η αριθμητική της τιμή είχε υπολογιστεί σε τουλάχιστον 3 τρισεκατομμύρια ψηφία. Η δεκαδική της επέκταση, γραμμένη εδώ σε 60 δεκαδικά ψηφία, δίνεται από την ακολουθία:

:  

Το κλάσμα \tfrac{97}{56} (...) μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως καλή προσέγγιση. Παρόλο που έχει παρονομαστή μόνο 56, διαφέρει από τη σωστή τιμή κατά λιγότερο από \frac {1}{10,000} (περίπου 9.2\times 10^{-5}, με σχετικό σφάλμα 5\times 10^{-5}). Η στρογγυλοποιημένη τιμή του, , έχει σχετικό σφάλμα μόλις 0,01%.

Το κλάσμα \frac {716,035}{413,403} ( ...) έχει σχετικό σφάλμα 1\times 10^{-11}.

Ο Αρχιμήδης ανέφερε ένα εύρος για την τιμή της: (\frac{1351}{780})^{2}>3>(\frac{265}{153})^{2}
.

Το κατώτερο όριο \frac {1351}{780} είναι μια ακριβής προσέγγιση για το \sqrt{3} που διαφέρει από τη σωστή τιμή κατά λιγότερο από \frac {1}{608,400} (έξι δεκαδικά ψηφία, σχετικό σφάλμα 3 \times 10^{-7}) και το ανώτατο όριο **<math display="inline">\frac {265}{153}</math>** διαφέρει από τη σωστή τιμή κατά λιγότερο από \frac {2}{23,409} (τέσσερα δεκαδικά ψηφία, σχετικό σφάλμα 1\times 10^{-5}).

## Σχέσεις
Το \sqrt{3} μπορεί να εκφραστεί ως το συνεχές κλάσμα  .

Επόμενως, για τον πίνακα
:\begin{bmatrix}1 & 2 \\1 & 3 \end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{bmatrix},
ισχύει ότι, καθώς n\to\infty
: \sqrt{3} = 2 \cdot \frac{a_{22}}{a_{12}} -1 .

Επίσης μπορεί να αναπαρασταθεί με το γενικευμένο συνεχές κλάσμα όπως το
: [2; -4, -4, -4, ...] = 2 - \cfrac{1}{4 - \cfrac{1}{4 - \cfrac{1}{4 - \ddots}}},
που είναι το  όπου υπολογίζεται σε κάθε δεύτερο όρο.

## Γεωμετρία και τριγωνομετρία
200px|right|thumb|Το ύψος ενός ισόπλευρου τριγώνου με μήκος πλευράς 2 είναι ίσο με . Επίσης, η πλευρά αυτή είναι η υποτείνουσα ενός τριγώνου 30-60-90 με μήκος 2.

200px|thumb|right|Το ύψος ενός κανονικού εξαγώνου με πλευρές μήκους 1 είναι ίσο με .

[μικρογραφία| Η διαγώνιος του [μοναδιαίος κύβος|μοναδιαίου κύβου είναι .]]
Η τετραγωνική ρίζα του 3 μπορεί να βρεθεί ως το μήκος του ύψους ενός ισόπλευρου τριγώνου με πλευρά μήκους 2.

Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρές μήκους 1 κοπεί σε δύο ίσα μισά, διχοτομώντας μια εσωτερική γωνία για να σχηματιστεί μια ορθή γωνία στη μία πλευρά, η υποτείνουσα του τριγώνου της ορθής γωνίας έχει μήκος ένα και οι πλευρές του έχουν μήκος \frac{1}{2} και \frac{\sqrt{3}}{2}. Από αυτό, προκύπτουν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί
:\tan{60^\circ}=\sqrt{3}, \sin{60^\circ}=\frac {\sqrt{3}}{2} και \cos{30^\circ}=\frac {\sqrt{3}}{2}.

Η τετραγωνική ρίζα του 3 εμφανίζεται επίσης σε αλγεβρικές σχέσεις για διάφορες άλλες τριγωνομετρικές σταθερές, συμπεριλαμβανομένων των ημιτόνων των 3°, 12°, 15°, 21°, 24°, 33°, 39°, 48°, 51°, 57°, 66°, 69°, 75°, 78°, 84° και 87°.

Επίσης σε ένα κανονικό εξάγωνο με πλευρές μήκους 1, η απόσταση μεταξύ παράλληλων πλευρών είναι \sqrt{3}.

Στον μοναδιαίο κύβο το μήκος της διαγωνίου είναι ίσο με \sqrt{3}.

## Άλλες χρήσεις και εμφανίσεις

### Δυναμική μηχανική
Στην δυναμική μηχανική, η τάση μεταξύ δύο φάσεων σε ένα τριφασικό σύστημα είναι ίση με **<math display="inline">\sqrt {3}</math>** φορές τη γραμμή προς την ουδέτερη τάση. Αυτό συμβαίνει επειδή οποιεσδήποτε δύο φάσεις απέχουν 120° μεταξύ τους και δύο σημεία σε έναν κύκλο με απόσταση 120 μοιρών χωρίζονται μεταξύ τους με **<math display="inline">\sqrt {3}</math>** φορές την ακτίνα (δείτε παραδείγματα γεωμετρίας παραπάνω).

### Ειδικές συναρτήσεις
Είναι γνωστό ότι οι περισσότερες ρίζες της *ν*-οστής παραγώγου της J_\nu^{(n)}(x) (όπου n  και J_\nu(x) είναι η συνάρτηση Μπέσελ πρώτου τύπου τάξης \nu) είναι υπερβατικές. Οι μόνες εξαιρέσεις είναι οι αριθμοί \pm\sqrt{3}, που είναι οι αλγεβρικές ρίζες της J_1^{(3)}(x) και της J_0^{(4)}(x).

## Δείτε επίσης
* Τετραγωνική ρίζα του 2
* Τετραγωνική ρίζα του 5

## Παραπομπές

Κατηγορία:Μαθηματικές σταθερές
Κατηγορία:Άρρητοι_αριθμοί