Αναλλοίωτος Χάσε μιας άλγεβρας

Στα μαθηματικά, ο **αναλλοίωτος Χάσε μιας άλγεβρας** είναι ένας αναλλοίωτος που συνδέεται με μια κλάση Μπράουερ των αλγεβρών πάνω από ένα σώμα. Η έννοια πήρε το όνομά της από τον Χέλμουτ Χάσε. Ο αναλλοίωτος αυτός παίζει ρόλο στη θεωρία σωμάτων τοπικών κλάσεων.

## Τοπικά σώματα

Έστω *K* ένα τοπικό σώμα με αποτίμηση  *v* και *D* μια *K*-άλγεβρα.  Μπορούμε να υποθέσουμε ότι η *D* είναι μια άλγεβρα διαίρεσης με κέντρο *K* βαθμού  *n*. Η αποτίμηση *v*  μπορεί να επεκταθεί στην *D* όπως για παράδειγμα επεκτείνοντάς την συμβατά σε κάθε αντιμεταθετικό υποσώμα της *D*:  η ομάδα τιμών αυτής της αποτίμησης είναι (1/*n*)**Z**.

Υπάρχει ένα αντιμεταθετικό υποσώμα  *L* του *D* το οποίο είναι αδιαμόρφωτο πάνω στο *K*, και το *D* χωρίζεται πάνω στο *L*.   Το σώμα *L*  δεν είναι μοναδικό, αλλά όλες αυτές οι επεκτάσεις είναι συζυγείς σύμφωνα με το θεώρημα Σκόλεμ - Νέτερ, το οποίο επιπλέον δείχνει ότι κάθε αυτομορφισμός του *L*  επάγεται από μια συζυγή στο *D* .  Ας πάρουμε γ στο *D*  τέτοιο ώστε η σύζευξη με γ να επάγει τον αυτομορφισμό Φρομπένιους του *L*/*K* και έστω  *v*(γ) = *k*/*n*.  Τότε το *k*/*n*  modulo 1 είναι ο αναλλοίωτος Χάσε του  *D*.  Εξαρτάται μόνο από την τάξη Μπράουερ του  *D*.

Ο **αναλλοίωτος Χάσε** είναι επομένως μια απεικόνιση που ορίζεται στην ομάδα Μπράουερ ενός τοπικού σώματος *K*  προς την διαιρετή ομάδα **Q**/**Z**.   Κάθε κλάση στην ομάδα Μπράουερ αντιπροσωπεύεται από μια κλάση στην ομάδα Μπράουερ μιας μη ενοποιημένης επέκτασης του *L*/*K* βαθμού *n*, την οποία, σύμφωνα με το θεώρημα Γκρούνβαλντ-Γουάνγκ και το θεώρημα Άλμπερτ-Μπράουερ-Χάσε-Νέτερ, μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι μια κυκλική άλγεβρα (*L*,φ,π*k*)  για κάποιο *k* mod *n*, όπου φ είναι η απεικόνιση Φρομπένιους και π είναι ένας ομοιόμορφος. Ο αναλλοίωτος χάρτης συνδέει το στοιχείο *k*/*n*  mod 1 με την κλάση.  Αυτό παρουσιάζει τον αναλλοίωτο χάρτη ως ομομορφισμό

: \underset{L/K}{\operatorname{inv}} : \operatorname{Br}(L/K) \rightarrow \mathbb{Q}/\mathbb{Z} . 

Η απεικόνηση του αναλλοίωτου επεκτείνεται στο Br(*K*) αναπαριστώντας κάθε κλάση με κάποιο στοιχείο του Br(*L*/*K*)  όπως παραπάνω.

Για ένα μη-αρχιμήδειο τοπικό σώμα, η απεικόνηση του αναλλοίωτου είναι ένας ισομορφισμός ομάδας.

Στην περίπτωση του σώματος **R**  των πραγματικών αριθμών, υπάρχουν δύο κλάσεις Μπράουερ, οι οποίες αντιπροσωπεύονται από την ίδια την άλγεβρα **R**  και την άλγεβρα των τετραδόνιων **H**. Είναι βολικό να αναθέσουμε το αναλλοίωτο μηδέν στην τάξη του **R** και το αναλλοίωτο 1/2 modulo 1 στην τάξη των τετραδόνιων.

Στην περίπτωση του σώματος **C**  των μιγαδικών αριθμών, η μόνη κλάση Μπράουερ είναι η τετριμμένη, με αναλλοίωτο το μηδέν.

## Ολικά σώματα

Για ένα ολικό σώμα K, δεδομένης μιας κεντρικής απλής άλγεβρας D πάνω στο K, τότε για κάθε αποτίμηση v του K μπορούμε να εξετάσουμε την επέκταση των βαθμωτών Dv = D ⊗ Kv  Η επέκταση Dv διασπάται για όλα εκτός από πεπερασμένα πολλά v, έτσι ώστε το τοπικό αναλλοίωτο του Dv να είναι σχεδόν πάντα μηδέν. Η ομάδα Μπράουερ Br(K) εντάσσεται σε μια ακριβή ακολουθία

: 0\rightarrow \textrm{Br}(K)\rightarrow \bigoplus_{v\in S} \textrm{Br}(K_v)\rightarrow \mathbf{Q}/\mathbf{Z} \rightarrow 0,

όπου *S* είναι το σύνολο όλων των αποτιμήσεων του *K*  και το δεξιό βέλος είναι το άθροισμα των τοπικών αναλλοίωτων.  Η εγχυσιμότητα του αριστερού βέλους είναι το περιεχόμενο του θεωρήματος  Άλμπερτ-Μπράουερ-Χάσε-Νέτερ. Η ακρίβεια στον μεσαίο όρο είναι ένα βαθύ γεγονός από τη θεωρία ολικής κλάσης σωμάτων.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Σώμα διασπάσεως
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νοεροί υπολογισμοί

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 
* 
*  
* 
*
* Max Koecher & Reinhold Remmert (1990) "Composition Algebras. Hurwitz's Theorem — Vector-Product Algebras", chapter 10 of *Numbers* by Heinz-Dieter Ebbinghau et al., Springer, 
*
* (English translation of a Russian original)
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα