Σημεία Μπροκάρ

Στην γεωμετρία, τα **σημεία Μπροκάρ** (αναφέρονται και ως σημεία **σημεία Brocard**) ενός τριγώνου είναι σημεία για τα οποία τα ευθύγραμμα τμήματα που τα συνδέουν με τις κορυφές του τριγώνου σχηματίζουν ίσες γωνίες. Κάθε τρίγωνο έχει δύο τέτοια σημεία, τα οποία ταυτίζονται μόνο στο ισόπλευρο τρίγωνο, 

Συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο \rm AB\Gamma το **πρώτο σημείο Μπροκάρ** \Omega (αναφέρεται και ως **πρώτο σημείο Brocard**) είναι το σημείο για το οποίο οι γωνίες \widehat{\rm \Omega AB}, \widehat{\rm \Omega B\Gamma}, \widehat{\rm \Omega \Gamma A} είναι ίσες. 

Το **δεύτερο σημείο Μπροκάρ** \Omega' (αναφέρεται και ως **δεύτερο σημείο Brocard**) είναι το σημείο για το οποίο οι γωνίες 
\widehat{\rm \Omega' BA}, \widehat{\rm \Omega' \Gamma B}, \widehat{\rm \Omega' A\Gamma} είναι ίσες.

Και στις δύο περιπτώσεις οι γωνίες που σχηματίσουν τα σημεία είναι ίσες και το μέτρο τους ονομάζεται **γωνία Μπροκάρ** (αναφέρεται και ως **γωνία Brocard**). Τα δύο σημεία Μπροκάρ, το σημείο Λεμουάν και το περίκεντρο ανήκουν στον ίδιο κύκλο, που ονομάζεται **κύκλος Μπροκάρ** (αναφέρεται και ως **κύκλος Brocard**).

Τα σημεία, η γωνία και ο κύκλος παίρνουν το όνομά τους από τον Ανρί Μπροκάρ που έγραψε για αυτά στην δημοσίευσή του *Étude d'un nouveau cercle du plan du triangle* [*Μελέτη ενός κύκλου στο επίπεδο του τριγώνου*] (1881).

## Ιδιότητες
* Θεωρούμε τον κύκλο C_A που διέρχεται από τα \rm \Gamma, A και εφάπτεται στην \rm AB στο \rm A, C_B που διέρχεται από τα \rm A, B και εφάπτεται στην \rm B\Gamma στο \rm B και τον C_\Gamma που διέρχεται από τα \rm B, \Gamma και εφάπτεται στην \rm \Gamma A στο \rm \Gamma. Οι τρεις αυτοί κύκλοι διέρχονται από το \rm \Omega.
* Θεωρούμε τον κύκλο C_A' που διέρχεται από τα \rm A, B και εφάπτεται στην \rm A\Gamma στο \rm A, και αντίστοιχα τους C_B', C_\Gamma'. Οι κύκλοι αυτοί διέρχονται από το σημείο \rm \Omega'.
* Ισχύει ότι \rm \widehat{A\Omega B} = 180^\circ - \hat{B}, \rm \widehat{B\Omega \Gamma} = 180^\circ - \hat{\Gamma} και \rm \widehat{\Gamma\Omega A} = 180^\circ - \hat{A}.
* Ισχύει ότι \rm \widehat{A\Omega' B} = 180^\circ - \hat{A}, \rm \widehat{B\Omega' \Gamma} = 180^\circ - \hat{B} και \rm \widehat{\Gamma\Omega' A} = 180^\circ - \hat{\Gamma}.
* Έστω \alpha, \beta, \gamma οι πλευρές του τριγώνου. Τότε ισχύει ότι τα ευθύγραμμα τμήματα \rm A\Omega, B\Omega, \Gamma\Omega είναι ανάλογα των
::\frac{\beta}{\alpha}, \frac{\gamma}{\beta}, \frac{\alpha}{\gamma}.

* Έστω \rm \Omega_\alpha, \Omega_\beta, \Omega_\gamma οι προβολές του \rm \Omega στις πλευρές \alpha, \beta, \gamma του τριγώνου. Τότε ισχύει ότι τα ευθύγραμμα τμήματα \rm \Omega\Omega_\alpha, \Omega\Omega_\beta, \Omega\Omega_\gamma είναι ανάλογα των
::\frac{\beta}{\alpha}, \frac{\gamma}{\beta}, \frac{\alpha}{\gamma}.

* Έστω \rm \Omega_\alpha', \Omega_\beta', \Omega_\gamma' οι προβολές του \rm \Omega' στις πλευρές \alpha, \beta, \gamma του τριγώνου. Τότε ισχύει ότι τα ευθύγραμμα τμήματα \rm A\Omega', B\Omega', \Gamma\Omega' είναι ανάλογα των \rm \Omega'\Omega_\alpha', \Omega'\Omega_\beta', \Omega'\Omega_\gamma' και ανάλογα των
::\frac{\beta}{\alpha}, \frac{\gamma}{\beta}, \frac{\alpha}{\gamma}.
* Το κυκλοσεβιανό τρίγωνο του τριγώνου \rm AB\Gamma ως προς το σημείο \rm \Omega είναι ίσο με το αρχικό τρίγωνο. 
* Τα σημεία \rm \Omega, \Omega' είναι ισογώνια συζυγή σημεία του τριγώνου \rm AB\Gamma.

## Μέτρο γωνίας Μπροκάρ
* Η γωνία Μπροκάρ \omega του \rm AB\Gamma ικανοποιεί την σχέση
::\cot \omega = \cot {\rm A} + \cot{\rm B} + \cot {\rm \Gamma}.
:και 
::\cot \omega = \frac{\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2}{\rm E}, 
:όπου \rm E το εμβαδόν του τριγώνου.

## Κύκλος Μπροκάρ
Τα δύο σημεία Μπροκάρ, το σημείο Λεμουάν και το περίκεντρο του τριγώνου ανήκουν στον ίδιο κύκλο. Ο κύκλος αυτός λέγεται **κύκλος Μπροκάρ**.

## Δείτε επίσης
* Ευθεία Μπροκάρ
* Πρώτο τρίγωνο Μπροκάρ
* Δεύτερο τρίγωνο Μπροκάρ

## Περαιτέρω ανάγνωση
### Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* Τα σημεία Μπροκάρ στο Γεωμετρικόν.
* Σχέση ακτινών των περιγεγραμμένων κύκλων των <math>\rm \Omega AB, \Omega B\Gamma, \Omega \Gamma A</math> στο Cut The Knot.
* Διαδραστική εφαρμογή για τα σημεία Μπροκάρ στο Desmos.
* Διαδραστική εφαρμογή για τα σημεία Μπροκάρ στο Geogebra.
* Διαδραστική εφαρμογή για τα σημεία Μπροκάρ στο Geogebra.
* Σημεία Μπροκάρ στο MathWorld.

### Ελληνικά άρθρα
* 

### Ξενόγλωσσα άρθρα
* 
*  
* 
* 

## Παραπομπές


Κατηγορία:Τρίγωνα
Κατηγορία:Γωνία
Κατηγορία:Κύκλος