Εξισωτής (μαθηματικά)

Στα μαθηματικά, ένας **εξισωτής** είναι ένα σύνολο παραμέτρων όπου δύο ή περισσότερες συναρτήσεις έχουν ίσες τιμές. Ένας **εξισωτής** είναι το σύνολο λύσεων μιας εξίσωσης. Σε ορισμένα πλαίσια, ένας πυρήνας διαφοράς είναι ο εξισωτής ακριβείας δύο συναρτήσεων.

## Ορισμοί

Ας υποθέσουμε ότι *X* και *Y* είναι σύνολα.
Ας υποθέσουμε ότι *f* και *g* είναι συναρτήσεις, και οι δύο από το *X* στο *Y*.
Τότε ο **εξισωτής** των *f* και *g* είναι το σύνολο των στοιχείων *x* του *X* έτσι ώστε *f*(*x*) να ισούται με  *g*(*x*) in *Y*.
Συμβολικά:
:  \operatorname{Eq}(f, g) := \{x \in X \mid f(x) = g(x)\}. 
Ο **εξισωτής** μπορεί να συμβολίζεται με Eq(*f*, *g*)  ή με μια παραλλαγή αυτού (όπως με μικρά γράμματα "eq").
Σε ανεπίσημα πλαίσια, είναι συνηθισμένη η σημειογραφία {*f* = *g*}.

Ο παραπάνω ορισμός χρησιμοποίησε δύο συναρτήσεις *f* και *g*, αλλά δεν υπάρχει λόγος να περιοριστούμε μόνο σε δύο συναρτήσεις, ή ακόμα και σε πεπερασμένο αριθμό συναρτήσεων.
Γενικά, αν **F** είναι ένα σύνολο συναρτήσεων από το *X* στο *Y*, τότε ο *εξισωτής* των μελών του **F** είναι το σύνολο των στοιχείων *x* του *X* έτσι ώστε, για οποιαδήποτε δύο μέλη *f* και *g*  του  **F**, *f*(*x*) ισούται με  *g*(*x*) στο *Y*.
Συμβολικά:
:  \operatorname{Eq}(\mathcal{F}) := \{x \in X \mid \forall f,g \in \mathcal{F}, \; f(x) = g(x)\}. 
Αυτός ο εξισωτής μπορεί να γραφτεί ως Eq(f, g, h, ...) όταν το F είναι το σύνολο *f*, *g*, *h*, ...}.
Στην τελευταία περίπτωση, μπορεί επίσης να βρεθεί {*f* = *g* = *h* = ···} σε ανεπίσημα πλαίσια.

Ως εκφυλισμένη περίπτωση του γενικού ορισμού, ας υποθέσουμε ότι το **F** είναι ένα μονοσύνολο {*f*}.
Δεδομένου ότι για κάθε x ∈ X ισχύει f(x) = f(x), ο εξισωτής πρέπει να είναι ολόκληρος ο χώρος ορισμού *X*.
Για μια ακόμη πιο εκφυλισμένη περίπτωση, έχουμε το **F** ως το κενό σύνολο. Τότε ο εξισωτής είναι και πάλι ολόκληρη η περιοχή *X* αφούη καθολική ποσοτικοποίηση στον ορισμό είναι τυπικά αληθής.

## Πυρήνες διαφοράς

Ένας δυαδικός εξισωτής (δηλαδή, ένας **εξισωτής** με μόνο δύο συναρτήσεις) ονομάζεται επίσης *πυρήνας διαφοράς*. Αυτό μπορεί επίσης να συμβολίζεται ως DiffKer(*f*, *g*) ή Ker(*f* &minus; *g*). Η τελευταία σημειογραφία δείχνει από πού προέρχεται αυτή η ορολογία και για ποιο λόγο είναι πιο συνηθισμένη στο πλαίσιο της αφηρημένης άλγεβρας: Ο πυρήνας διαφοράς των *f*  και *g* είναι απλά ο πυρήνας της διαφοράς *f*  &minus; *g*. Επιπλέον, ο πυρήνας μιας μεμονωμένης συνάρτησης f μπορεί να ανακατασκευαστεί ως ο πυρήνας διαφοράς Eq(*f*, 0), όπου 0 είναι η σταθερή συνάρτηση με τιμή μηδέν.

Φυσικά, όλα αυτά προϋποθέτουν ένα αλγεβρικό πλαίσιο όπου ο πυρήνας μιας συνάρτησης είναι η προ-εικόνα του μηδενός κάτω από αυτή τη συνάρτηση, κάτι που δεν ισχύει σε όλες τις κατηγορίες.
Ωστόσο, ο όρος "πυρήνας διαφοράς" δεν έχει άλλη σημασία.

## Θεωρία κατηγοριών

Οι **εξισωτές** μπορούν να οριστούν από μια καθολική ιδιότητα, η οποία επιτρέπει τη γενίκευση της έννοιας από την κατηγορία των συνόλων σε οποιεσδήποτε κατηγορίες.

Σε αυτό το γενικό πλαίσιο, τα X και Y είναι αντικείμενα, ενώ τα *f* και *g* είναι μορφισμοί από το  *X* στο *Y*.
Αυτά τα αντικείμενα και οι μορφισμοί σχηματίζουν ένα διάγραμμα στην εν λόγω κατηγορία, και ο εξισωτής είναι απλώς το όριο αυτού του διαγράμματος.
Με πιο σαφή όρους, ο εξισωτής αποτελείται από ένα αντικείμενο *E* και ένα μορφισμό *eq* : *E* → *X* που ικανοποιεί f \circ eq = g \circ eq,
και έτσι ώστε, δεδομένου οποιουδήποτε αντικειμένου *O* και μορφισμού *m* : *O* → *X*, αν f \circ m = g \circ m, τότε υπάρχει ένας μοναδικός μορφισμός *u* : *O* → *E*  έτσι ώστε eq \circ u = m.



Ένας μορφισμός m:O \rightarrow X λέγεται ότι **εξισώνει** f και g αν f \circ m = g \circ m.

Σε οποιαδήποτε καθολική αλγεβρική κατηγορία, συμπεριλαμβανομένων των κατηγοριών όπου χρησιμοποιούνται πυρήνες διαφοράς, καθώς και στην ίδια την κατηγορία των συνόλων, το αντικείμενο *E* μπορεί πάντα να θεωρηθεί ως η συνήθης έννοια του εξισωτή, και ο μορφισμός *eq* μπορεί σε αυτή την περίπτωση να θεωρηθεί ως η συνάρτηση συμπερίληψης του *E* ως υποσύνολο του *X*.

Η γενίκευση αυτού σε περισσότερους από δύο μορφισμούς είναι απλή: απλά χρησιμοποιούμε ένα μεγαλύτερο διάγραμμα με περισσότερους μορφισμούς.

Η εκφυλισμένη περίπτωση ενός μόνο μορφισμού είναι επίσης απλή: τότε το *eq* μπορεί να είναι οποιοσδήποτε ισομορφισμός από ένα αντικείμενο *E* στο *X*.

Το σωστό διάγραμμα για την εκφυλισμένη περίπτωση με *καθόλου* μορφισμούς είναι ελαφρώς περίπλοκο: αρχικά θα μπορούσε κανείς να σχεδιάσει το διάγραμμα ως αποτελούμενο από τα αντικείμενα *X* και *Y* και καθόλου μορφισμούς. Αυτό όμως είναι λανθασμένο, καθώς το όριο ενός τέτοιου διαγράμματος είναι το γινόμενο των *X* και *Y*, και όχι ο εξισωτής. (Και πράγματι, τα γινόμενα και οι εξισωτές είναι διαφορετικές έννοιες: ο ορισμός του γινομένου στη θεωρία συνόλων δεν συμφωνεί με τον ορισμό του εξισωτή στη θεωρία συνόλων που αναφέρθηκε παραπάνω, επομένως είναι στην πραγματικότητα διαφορετικά.) Αντ' αυτού, η σωστή αντίληψη είναι ότι κάθε διάγραμμα εξισωτή αφορά βασικά το *X*, συμπεριλαμβάνοντας το *Y* μόνο επειδή το *Y* είναι ο κωδικός χώρος των μορφισμών που εμφανίζονται στο διάγραμμα. Με αυτή την άποψη, βλέπουμε ότι αν δεν υπάρχουν μορφισμοί, το *Y* δεν εμφανίζεται και το διάγραμμα εξισωτή αποτελείται μόνο από το *X*. Το όριο αυτού του διαγράμματος είναι τότε οποιοσδήποτε ισομορφισμός μεταξύ *E* και *X*.

Μπορεί να αποδειχθεί ότι κάθε εξισωτής σε οποιαδήποτε κατηγορία είναι μονομορφισμός.
Εάν το αντίστροφο ισχύει σε μια δεδομένη κατηγορία, τότε η κατηγορία αυτή λέγεται *κανονική* (με την έννοια των μονομορφισμών).
Γενικότερα, ένας κανονικός μονομορφισμός σε οποιαδήποτε κατηγορία είναι οποιοσδήποτε μορφισμός *m* που είναι εξισωτής κάποιου συνόλου μορφισμών. Ορισμένοι συγγραφείς απαιτούν πιο αυστηρά το *m* να είναι *δυαδικός* εξισωτής, δηλαδή εξισωτής ακριβώς δύο μορφισμών.
Ωστόσο, εάν η εν λόγω κατηγορία είναι πλήρης, τότε και οι δύο ορισμοί συμφωνούν.

Η έννοια του πυρήνα διαφοράς έχει επίσης νόημα σε ένα πλαίσιο θεωρίας κατηγοριών.
Ο όρος "πυρήνας διαφοράς" είναι κοινός σε όλη τη θεωρία κατηγοριών για οποιονδήποτε δυαδικό εξισωτή.
Στην περίπτωση μιας προ-αθροιστικής κατηγορίας (μια κατηγορία εμπλουτισμένη πάνω στην κατηγορία των αβελιανών ομάδων), ο όρος "πυρήνας διαφοράς" μπορεί να ερμηνευθεί κυριολεκτικά, καθώς η αφαίρεση των μορφισμών έχει νόημα.
Δηλαδή, Eq(*f*, *g*) = Ker(*f* - *g*), όπου Ker δηλώνει τον πυρήνα της θεωρίας κατηγοριών.

Κάθε κατηγορία με νηµατικό γινόµενο (pullbacks) και γινόμενο διαθέτει εξισωτές.

### Κατηγορία τοπολογικών χώρων (''Top'')

Στην **Top** όπου τα αντικείμενα είναι τοπολογικοί χώροι και οι μορφισμοί είναι συνεχείς απεικονίσεις, ο εξισωτής δύο συνεχών απεικονίσεων f, g : X \rightarrow Y διατηρεί το υποκείμενο σύνολο E = \{x \in X | f(x) = g(x)\}, αλλά του προσδίδει την υποτοπολογία που κληρονομεί από το X. Η έγκλιση e : E \rightarrow X είναι συνεχής και η καθολική ιδιότητα διατηρείται: κάθε συνεχής απεικόνιση h : Z \rightarrow X  που συνενώνεται με f και g παραγοντοποιείται μοναδικά μέσω e. Αυτό αποτελεί παράδειγμα της αρχής ότι η τοπολογική δομή, όταν υποτάσσεται στην καθοριστική συνθήκη του εξισωτή, κληρονομείται χωρίς αντίφαση.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


* Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E. (1990). ''Abstract and Concrete Categories''. Originally published by John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free on-line edition)
* Robert Goldblatt (1984). *Topoi, the Categorial Analysis of Logic* (Studies in logic and the foundations of mathematics, 98). North-Holland. Reprinted 2006 by Dover Publications.
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research

*
* Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα