Μεταβατικό σύνολο

Στην θεωρία συνόλων, ένας κλάδος των μαθηματικών, ένα **[[σύνολο]]** A ονομάζεται **μεταβατικό** αν ισχύει μία από τις ακόλουθες ισοδύναμες συνθήκες:
* όποτε x \in A και y \in x, τότε y \in A.
* όποτε x \in A και x δεν είναι *αρχέγονο στοιχείο*, τότε x είναι υποσύνολο του A.
Ομοίως, μια τάξη M είναι μεταβατική αν κάθε στοιχείο του M είναι υποσύνολο του M.

## Παραδείγματα

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό των τακτικών αριθμών που πρότεινε ο Τζον φον Νόιμαν, οι τακτικοί αριθμοί ορίζονται ως κληρονομικά **μεταβατικά σύνολα**: ένας τακτικός αριθμός είναι ένα **μεταβατικό σύνολο** του οποίου τα μέλη είναι επίσης μεταβατικά (και επομένως τακτικοί αριθμοί). Η κλάση όλων των τακτικών αριθμών είναι μια μεταβατική κλάση.

Οποιοδήποτε από τα στάδια V_\alpha και L_\alpha που οδηγούν στην οικοδόμηση του *σύμπαντος  φον Νεύμαν* V και του οικοδομήσιμου σύμπαντος του Γκέντελ L είναι μεταβατικά σύνολα. Τα σύμπαντα V και L είναι τα ίδια μεταβατικές τάξεις.

Αυτός είναι ένας πλήρης κατάλογος όλων των πεπερασμένων μεταβατικών συνόλων με έως και 20 αγκύλες:
* \{\},
* \{\{\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\{\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}, \{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}, \{\{\{\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}, \{\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\{\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\}, \{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\{\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\{\{\}\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}, \{\{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}, \{\{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}, \{\{\{\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\}, \{\{\{\}\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\{\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}, \{\{\{\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\{\}\}\}\}, \{\{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}, \{\{\{\}\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\{\}, \{\{\}\}\}\}\}, \{\{\{\}, \{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}, \{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}\}\}, \{\{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\{\}\}\}\}, \{\{\{\}\}, \{\{\}, \{\{\{\}\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}, \{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\{\}, \{\{\}\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}, \{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}, \{\{\{\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}, \{\{\{\{\{\}\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}, \{\{\{\}, \{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}\},
* \{\{\}, \{\{\}\}, \{\{\{\}\}\}, \{\{\{\{\}\}\}\}, \{\{\}, \{\{\}\}\}, \{\{\}, \{\{\{\}\}\}\}\}.

## Ιδιότητες

Ένα σύνολο X είναι μεταβατικό αν και μόνο αν \bigcup X \subseteq X, όπου \bigcup X είναι η ένωση όλων των στοιχείων του X  που είναι σύνολα, \bigcup X = \{y \mid \exists x \in X: y \in x\}.

Εάν X είναι μεταβατικό, τότε \bigcup X είναι μεταβατικό.

Εάν X και Y είναι μεταβατικά, τότε X\cup Y και X \cup Y \cup \{X,Y\} είναι μεταβατικά. Γενικά, αν Z είναι μια κλάση της οποίας όλα τα στοιχεία είναι μεταβατικά σύνολα, τότε \bigcup Z και Z\cup\bigcup Z είναι μεταβατικά. (Η πρώτη πρόταση σε αυτήν την παράγραφο είναι η περίπτωση Z=\{X,Y\}.)

Ένα σύνολο X που δεν περιέχει *αρχέγονα στοιχεία* είναι μεταβατικό αν και μόνο αν είναι υποσύνολο του δικού του συνόλου δυνάμεων, X \subseteq \mathcal{P}(X). Το σύνολο δυνάμεων ενός μεταβατικού συνόλου χωρίς *αρχέγονα στοιχεία* είναι μεταβατικό.

## Μεταβατική κλειστότητα

Η **μεταβατική κλειστότητα** ενός συνόλου X είναι το μικρότερο (σε σχέση με τον εγκλεισμό) μεταβατικό σύνολο που περιλαμβάνειX (δηλ. X \subseteq \operatorname{TC}(X)). Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται ένα σύνολο  X, τότε η μεταβατική κλειστότητα του X είναι

\operatorname{TC}(X) = \bigcup \left\{ X,\; \bigcup X,\; \bigcup\bigcup X,\; \bigcup\bigcup\bigcup X,\; \bigcup\bigcup\bigcup\bigcup X, \ldots\right\}.

Απόδειξη. Ας σημειωθεί X_0 = X και X_{n+1} = \bigcup X_n. Τότε ισχυριζόμαστε ότι το σύνολο

T = \operatorname{TC}(X) = \bigcup_{n=0}^\infty X_n

είναι μεταβατικό, και όποτε T_1 είναι ένα μεταβατικό σύνολο που περιλαμβάνει το X τότε T \subseteq T_1.

Ας υποθέσουμε ότι y \in x \in T. Τότε x \in X_n για κάποιο n και έτσι y \in \bigcup X_n = X_{n+1}. Δεδομένου ότι X_{n+1} \subseteq T, y \in T. Επομένως, το T είναι μεταβατικό.

Τώρα ας πάρουμε T_1 όπως παραπάνω. Αποδεικνύουμε με επαγωγή ότι X_n \subseteq T_1 για όλα τα n, αποδεικνύοντας έτσι ότι T \subseteq T_1: Η βασική περίπτωση ισχύει, καθώς X_0 = X \subseteq T_1. Τώρα ας υποθέσουμε ότι X_n \subseteq T_1. Τότε X_{n+1} = \bigcup X_n \subseteq \bigcup T_1. Αλλά T_1 είναι μεταβατικό, οπότε \bigcup T_1 \subseteq T_1, επομένως X_{n+1} \subseteq T_1. Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη.

Να σημειωθεί ότι αυτό είναι το σύνολο όλων των αντικειμένων που σχετίζονται με το X μέσω της μεταβατικής κλειστότητας της σχέσης ιδιότητας μέλους, δεδομένου ότι η ένωση ενός συνόλου μπορεί να εκφραστεί με όρους του σχετικού γινομένου της σχέσης ιδιότητας μέλους με τον εαυτό της.

Η μεταβατική κλειστότητα ενός συνόλου μπορεί να εκφραστεί με έναν τύπο πρώτης τάξης: x είναι μεταβατική κλειστότητα του y αν και μόνο αν x είναι η τομή όλων των μεταβατικών υπερσυνόλων του y (δηλαδή, κάθε μεταβατικό υπερσύνολο του y περιέχει το x ως υποσύνολο).

## Μεταβατικά μοντέλα της θεωρίας συνόλων

Οι μεταβατικές κλάσεις χρησιμοποιούνται συχνά για την κατασκευή ερμηνειών της θεωρίας συνόλων, που συνήθως ονομάζονται εσωτερικά πρότυπα. Ο λόγος είναι ότι οι ιδιότητες που ορίζονται από περιορισμένες φόρμουλες είναι απόλυτες για τις μεταβατικές κλάσεις.

Ένα μεταβατικό σύνολο (ή κλάση) που αποτελεί πρότυπο ενός τυπικού συστήματος της θεωρίας συνόλων ονομάζεται *μεταβατικό πρότυπο* του συστήματος (υπό την προϋπόθεση ότι η σχέση στοιχείων του προτύπου είναι ο περιορισμός της πραγματικής σχέσης στοιχείων στο σύμπαν του προτύπου). Η μεταβατικότητα είναι ένας σημαντικός παράγοντας για τον προσδιορισμό της απόλυτης ισχύος των τύπων.

Στην προσέγγιση της υπερδομής της μη τυπικής ανάλυσης, τα μη τυπικά σύμπαντα ικανοποιούν την *ισχυρή μεταβατικότητα*. Εδώ, μια κλάση \mathcal{C} ορίζεται ως ισχυρά μεταβατική εάν, για κάθε σύνολο S\in\mathcal{C}, υπάρχει ένα μεταβατικό υπερσύνολο T με S\subseteq T\subseteq\mathcal{C}. Μια ισχυρά μεταβατική κλάση είναι αυτόματα μεταβατική. Αυτή η ενισχυμένη υπόθεση μεταβατικότητας επιτρέπει να συμπεράνουμε, επί παραδείγματι, ότι η \mathcal{C} περιέχει τον τομέα κάθε δυαδικής σχέσης στην \mathcal{C}.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) 
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα