Μικρό θεώρημα του Γουέντερμπερν

Στα μαθηματικά, το **μικρό θεώρημα του Γουέντερμπερν** δηλώνει ότι κάθε πεπερασμένος δακτύλιος διαίρεσης είναι σώμα - επομένως, κάθε πεπερασμένος τομέας είναι σώμα. Με άλλα λόγια, για τους πεπερασμένους δακτυλίους, δεν υπάρχει διάκριση μεταξύ περιοχών, δακτυλίων διαίρεσης και σωμάτων.

Το θεώρημα Αρτίν-Ζορν γενικεύει το θεώρημα σε εναλλακτικούς δακτυλίους: κάθε πεπερασμένος εναλλακτικός δακτύλιος διαίρεσης είναι σώμα.

## Ιστορία

Η αρχική απόδειξη δόθηκε από τον Τζόζεφ Γουέντερμπερν το 1905,  ο οποίος στη συνέχεια απέδειξε το θεώρημα με δύο άλλους τρόπους. Μια άλλη απόδειξη δόθηκε από τον Λέοναρντ Γιουτζίν Ντίκσον λίγο μετά την αρχική απόδειξη του Γουέντερμπερν και ο Ντίκσον αναγνώρισε την πρωτιά του Γουέντερμπερν. Ωστόσο, όπως σημειώνεται από την Πάρσαλ, Κ. Χ.. (1983) , η πρώτη απόδειξη του Γουέντερμπερν ήταν λανθασμένη - είχε κενό - και οι επόμενες αποδείξεις του εμφανίστηκαν μόνο αφού είχε διαβάσει τη σωστή απόδειξη του Ντίξον. Βάσει αυτού, ο Πάρσαλ υποστήριξε  ότι ο Ντίκσον πρέπει να πιστωθεί με την πρώτη σωστή απόδειξη.

Μια απλοποιημένη εκδοχή της απόδειξης δόθηκε αργότερα από τον Έρνστ Βιτ. Μια απλοποιημένη εκδοχή της απόδειξης δόθηκε αργότερα από τον Έρνστ Βι. Η απόδειξη του Βιτ διατυπώνεται παρακάτω. Εναλλακτικά, το θεώρημα είναι συνέπεια του θεωρήματος Σκόλεμ-Νέτερ με το ακόλουθο επιχείρημα. Έστω D μια πεπερασμένη άλγεβρα διαίρεσης με κέντρο k. Έστω [D:k]=n^{2} και q να συμβολίζει την πληθικότητα του k. Κάθε μέγιστο υποσώμα του D έχει q^{n} στοιχεία- έτσι είναι ισόμορφα και συνεπώς είναι συζυγή κατά Σκόλεμ-Νέτερ. Αλλά μια πεπερασμένη ομάδα (η πολλαπλασιαστική ομάδα της D στην περίπτωσή μας) δεν μπορεί να είναι ένωση συζυγών μιας κατάλληλης υποομάδας- επομένως, n = 1.

Μια μεταγενέστερη «ομαδο-θεωρητική» απόδειξη δόθηκε από τον Τεντ Καζίνσκι το 1964. . Αυτή η απόδειξη, το πρώτο δημοσιευμένο μαθηματικό κείμενο του Καζίνσκι, ήταν ένα σύντομο δισέλιδο σημείωμα που αναγνώριζε επίσης τις προηγούμενες ιστορικές αποδείξεις.

## Σχέση με την ομάδα Μπράουερ ενός πεπερασμένου σώματος

Το θεώρημα είναι ουσιαστικά ισοδύναμο με το να πούμε ότι η ομάδα Μπράουερ ενός πεπερασμένου σώματος είναι τετριμμένη. Στην πραγματικότητα, αυτός ο χαρακτηρισμός δίνει αμέσως μια απόδειξη του θεωρήματος ως εξής: έστω *K* ένα πεπερασμένο σώμα. Αφού το πηλίκο Χέρμπραντ εκμηδενίζεται λόγω της πεπερασμένης κατάστασης, \operatorname{Br}(K) = H^2(K^{\text{al}}/K) συμπίπτει με το H^1(K^{\text{al}}/K), το οποίο με τη σειρά του εξαφανίζεται κατά Χίλμπερτ (Θεώρημα 90 ).

Η τετριμμένη ιδιότητα της ομάδας Μπράουερ μπορεί επίσης να προκύψει με άμεσο υπολογισμό, ως εξής.  Έστω |K| = q, και έστω L/K μια πεπερασμένη επέκταση βαθμού n, έτσι ώστε |L|=q^n. Τότε \mathrm{Gal}(L/K) είναι μια κυκλική ομάδα τάξης n, και η τυπική μέθοδος υπολογισμού της συνομολογίας πεπερασμένων κυκλικών ομάδων δείχνει ότι
 H^2(L/K) = K^{\times}/N_{L/K}(L^{\times}),
όπου η νόρμα απεικόνισης  N_{L/K}:L^{\times} \to K^{\times}  δίνεται από 
 N_{L/K}(\alpha) = \prod_{\sigma \in \mathrm{Gal}(L/K)} \sigma(\alpha) = \alpha \cdot \alpha^{q} \cdot \alpha^{q^2} \cdots \alpha^{q^{n-1}} = \alpha^{\frac{q^n-1}{q-1}}.
Θεωρώντας ότι η \alpha είναι γεννήτορας της κυκλικής ομάδας L^{\times}, βρίσκουμε ότι η N_{L/K}(\alpha) έχει τάξη q-1, και επομένως πρέπει να είναι γεννήτορας της K^{\times}.  Αυτό συνεπάγεται ότι η N_{L/K} είναι επιφανειακή, και επομένως η H^{2}(L/K) είναι τετριμμένη.

## Απόδειξη

Έστω *A* ένα πεπερασμένο σώμα. Για κάθε μη μηδενικό *x* στο *A*, οι δύο απεικονίσεις
:a \mapsto ax, a \mapsto xa: A \to A
είναι ερριπτικές μέσω της ιδιότητας ακύρωσης, και συνεπώς, επιφανειακές μέσω της καταμέτρησης. Από τη στοιχειώδη θεωρία ομάδων προκύπτει  ότι τα μη μηδενικά στοιχεία του A σχηματίζουν ομάδα υπό πολλαπλασιασμό. Συνεπώς, το A είναι δακτύλιος διαίρεσης.

Δεδομένου ότι το κέντρο Z(A) του A είναι ένα σώμα, το A είναι ένας διανυσματικός χώρος πάνω στο Z(A) με πεπερασμένη διάσταση n.  Ο στόχος μας λοιπόν είναι να δείξουμε ότι n = 1. Αν q είναι η τάξη του Z(A), τότε ο A έχει τάξη {q}^{n}. Ας σημειωθεί ότι επειδή η Z(A) περιέχει τα διακριτά στοιχεία 0 και 1, q>1. Για κάθε x στο A που δεν είναι στο κέντρο, ο συγκεντρωτής {Z}_{x} του x είναι ένας διανυσματικός χώρος πάνω από το Z(A), επομένως έχει τάξη {q}^{d} όπου d είναι μικρότερο από n. Θεωρώντας τις {Z(A)}^{*}, A^{*} και {Z}^{*}_{x} ως ομάδες υπό πολλαπλασιασμό, μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση κλάσης

:q^n - 1 = q - 1 + \sum {q^n - 1 \over q^d - 1}

όπου το άθροισμα λαμβάνεται επί των κλάσεων συζυγίας που δεν περιέχονται στην {Z(A)}^{*}, και τα d ορίζονται έτσι ώστε για κάθε κλάση συζυγίας, η τάξη της {Z}^{*}_{x} για κάθε x στην κλάση είναι {q}^{d} - 1. Συγκεκριμένα, το γεγονός ότι η {Z}^{*}_{x} είναι υποομάδα της A^{*} συνεπάγεται ότι η q^d-1 διαιρεί την q^n-1, οπότε η d διαιρεί την n από τη στοιχειώδη άλγεβρα.

{q}^{n} - 1 και q^{d} - 1 και τα δύο επιδέχονται πολυωνυμική παραγοντοποίηση σε όρους κυκλοτομικών πολυωνύμων \Phi_f(q). Τα κυκλοτομικά πολυώνυμα στο \Q είναι στο  \Z[X], και ικανοποιούν τις ταυτότητες 
:x^n-1 = \prod_{m\mid n} \Phi_m(x) και x^d-1 = \prod_{m\mid d} \Phi_m(x).

:x^n-1 = \prod_{m\mid n} \Phi_m(x) και  x^d-1 = \prod_{m\mid d} \Phi_m(x).

Δεδομένου ότι κάθε d είναι κατάλληλος διαιρέτης του n,
:\Phi_n(x) διαιρεί τόσο το  {x}^{n} - 1 όσο και κάθε  {x^n - 1 \over x^d - 1} in \Z[X],

επομένως από την εξίσωση της τάξης παραπάνω, η \Phi_n(q) πρέπει να διαιρεί την q - 1, και επομένως λαμβάνοντας τις νόρμες,
:|\Phi_n(q)| \leq q-1.

Για να δούμε ότι αυτό αναγκάζει το n να είναι 1, θα δείξουμε
:|\Phi_n(q)| > q-1

για n>1 χρησιμοποιώντας παραγοντοποίηση στους μιγαδικούς αριθμούς. Στην πολυωνυμική ταυτότητα
:\Phi_n(x) = \prod (x - \zeta),

όπου η \zeta τρέχει πάνω από τις πρωταρχικές n-th ρίζες της μονάδας, θέτουμε x ίσο με q και στη συνέχεια παίρνουμε τις απόλυτες τιμές
:|\Phi_n(q)| = \prod |q - \zeta|.

Για n>1, βλέπουμε ότι για κάθε πρωταρχική n-th ρίζα της ενότητας \zeta,
:|q-\zeta| > |q-1|

λόγω της θέσης των q, 1 και \zeta στο μιγαδικό επίπεδο. Έτσι, το
:|\Phi_n(q)| > q-1.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Σώμα διασπάσεως
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νοεροί υπολογισμοί

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

* 

* 
* 
* 

* Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
*
*
*
*
*
*
*
*.   **English translation** (of 2nd revised edition):  *(Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)*
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα