Εννεάγωνο

Στη γεωμετρία, το **εννεάγωνο** (ή **εννιάγωνο**) είναι ένα πολύγωνο με εννέα κορυφές και εννέα πλευρές.

Ένα εννεάγωνο είναι **[[κανονικό πολύγωνο|κανονικό]]** αν όλες οι πλευρές του είναι ίσες μεταξύ τους και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

## Ιδιότητες
* Σε κάθε απλό εννεάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα 1260^\circ (ή 7\pi ακτίνια).
* Κάθε εννεάγωνο έχει 27 διαγωνίους.

## Κυρτό κανονικό εννεάγωνο

### Ιδιότητες
Για το κανονικό εννεάγωνο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
* Όλες οι γωνίες του είναι ίσες με 140^\circ (ή 7\pi/9 ακτίνια).
* Έχει εννιά άξονες συμμετρίας.
* Είναι εγγράψιμο σε κύκλο και περιγράψιμο σε κύκλο. Οι κύκλοι αυτοί είναι ομόκεντροι.
* Το κοινό κέντρο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται κέντρο του πολυγώνου και είναι το κέντρο συμμετρίας του.
* Έχει περιστροφική συμμετρία ένατης τάξεως.
* Το σύμβολο Schläfli του εννεαγώνου είναι \{ 9 \}.

### Μετρικές σχέσεις

* Η ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου του κανονικού εννεαγώνου είναι ίση με
::\begin{align}R 
& = \frac{1}{2} \csc \frac{\pi}{9} \cdot \lambda \approx 1{,}461902 \cdot \lambda.
\end{align}
*Η ακτίνα r του εγγεγραμμένου κύκλου του κανονικού εννεαγώνου είναι ίση με
::\begin{align}
r 
& = \frac{1}{2} \cot \frac{\pi}{9} \cdot \lambda \approx1{,}373739 \cdot \lambda.
\end{align}
right|thumb|200px|Τα τρία είδη διαγωνίων σε ένα κανονικό εννεάγωνο.
* Το κανονικό εννεάγωνο έχει 
** εννιά μικρές διαγωνίους με μήκος
::\begin{align}
d_1
 & = 2 \sin \frac{\pi}{9} \cdot R \approx 0{,}684040 \cdot R,
\end{align}
:* εννιά μεσαίες διαγωνίους με μήκος
::\begin{align}
d_1
 & = 2 \sin \frac{2\pi}{9} \cdot R \approx 1{,}285575 \cdot R,
\end{align}
:* και εννιά μεγάλες διαγωνίους με μήκος
::\begin{align}
d_2
 & = 2 \sin \frac{3\pi}{9} \cdot R \approx 1{,}928363 \cdot R.
\end{align}
*Το πλάτος του είναι ίσο με το μήκος της μεγάλης διαγωνίου 
::w = d_3.
*Το ύψος του είναι 
::h = R + r.

### Εμβαδόν
Από τον γενικό τύπο για το εμβαδόν κανονικού πολυγώνου, το εμβαδόν ενός κανονικού εννεαγώνου πλευράς \lambda και με ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου r είναι 
:{\rm E} = \frac{9}{2} \cdot  \lambda \cdot  r.
Το εμβαδό \rm E ενός κανονικού εννεαγώνου πλευράς \lambda δίνεται από τη σχέση:
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = \frac{9}{4} \cot \frac{\pi}{9} \cdot \lambda^2 \approx 6.181824 \cdot \lambda^2.
\end{align}
Αν R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το εμβαδό του εννεαγώνου είναι
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = \frac{9}{2} \sin \frac{2\pi}{9} \cdot R^2 \approx 2{,}892544 \cdot R^2.
\end{align}
Aν r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε
:
\begin{align}
{\rm E} 
 & = 9 \tan \frac{\pi}{9} \cdot r^2 \approx 3{,}275732 \cdot r^2
\end{align}.

### Περίμετρος
Η περίμετρος \Pi του κανονικού πολυγώνου είναι ίση με
:\Pi = 9\cdot\lambda.

### Κατασκευή
Το κανονικό εννεάγωνο δεν είναι δυνατό να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη, αλλά υπάρχουν μέθοδοι κατασκευής που δίνουν πολύ καλές προσεγγίσεις, όπως η παρακάτω η οποία κατασκευάζει κεντρική γωνία 39.99906^\circ (που είναι πολύ κοντά στις 40^\circ:

Επίσης μπορεί να κατασκευαστεί με την χρήση νεύσης ή ενός τριχοτομητή γωνίας.

### Λοιπές μετρικές σχέσεις
* Ισχύει ότι d_3 = d_1 + \lambda.
* Ισχύει ότι
::\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_3}.
* Οι εξής τριγωνομετρικές ταυτότητες μπορούν να αποδειχθούν θεωρώντας το κανονικό εννεάγωνο:
::\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \frac{1}{8}, (**[[Νόμος του Morrie]]**)
::\tan 80^\circ = \tan 70^\circ + \tan 60^\circ + \tan 50^\circ,
::\tan 20^\circ \cdot \tan 40^\circ \cdot \tan 80^\circ = \tan 60^\circ.

## Αστεροειδές κανονικό εννεάγωνο

Υπάρχουν δύο είδη από αστεροειδή κανονικά εννεάγωνα, τα οποία προκύπτουν από τις κορυφές ενός κυρτού κανονικού εννεαγώνου και ως πλευρές κάποιες από τις διαγωνίους του. Πιο συγκεκριμένα το \{ 9/2 \} συνδέει την κάθε κορυφή με την κάθε δεύτερη γειτονική της και το \{ 9/4 \} με κάθε τέταρτη. 


 


## Εφαρμογές
Στην αρχιτεκτονική, αρκετά κτήρια έχουν κάτοψη εννεαγώνου.

## Δείτε επίσης
* Εννεάγραμμα

## Περαιτέρω ανάγνωση
### Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* Ιδιότητες του κανονικού εννεαγώνου (με διαδραστικό animation)
* Διαδραστική εφαρμογή για το άθροισμα γωνιών ενός εννεαγώνου στο Geogebra.
* Διαδραστική εφαρμογή με τις διαγωνίους ενός κανονικού εννεαγώνου στο Desmos.
* Διαδραστική εφαρμογή για το εννεάγραμμα {9/2} και το {9/4} στο Geogebra.

### Ξενόγλωσσα άρθρα
* 
* 
* 

## Σημειώσεις


## Παραπομπές


Εννεαγωνο