Συνάρτηση Τσαντρασεκάρ-Κένταλ

Οι συναρτήσεις Τσαντρασεκάρ-Κέντελ είναι οι ιδιοσυναρτήσεις του τελεστή περιστροφής που προέκυψαν από τους Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ και Π.Κ. Κένταλ το 1957, ενώ προσπαθούσαν να λύσουν τα μαγνητικά πεδία χωρίς δυνάμεις.

Αν η εξίσωση του μαγνητικού πεδίου χωρίς δυνάμεις γραφεί ως \nabla\times\mathbf{H}=\lambda\mathbf{H} όπου \mathbf{H} είναι το μαγνητικό πεδίο και \lambda είναι η παράμετρος χωρίς δύναμη, με την παραδοχή της απόκλισης του ελεύθερου πεδίου, \nabla\cdot\mathbf{H}=0 τότε η πιο γενική λύση για την αξονοσυμμετρική περίπτωση είναι.

:\mathbf{H} = \frac{1}{\lambda}\nabla\times(\nabla\times\psi\mathbf{\hat n}) + \nabla \times \psi \mathbf{\hat n} 
όπου \mathbf{\hat n} είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα και η βαθμωτή συνάρτηση \psi ικανοποιεί την εξίσωση Χέλμχολτς, δηλαδή,

:\nabla^2\psi + \lambda^2\psi=0.

Η ίδια εξίσωση εμφανίζεται επίσης στις ροές Μπελτράμι από τη ρευστοδυναμική, όπου το διάνυσμα στροβιλότητας είναι παράλληλο με το διάνυσμα της ταχύτητας, δηλαδή,\nabla\times\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}.

## Εξαγωγή

Λαμβάνοντας την εξίσωση στροβιλισμού \nabla\times\mathbf{H}=\lambda\mathbf{H} και χρησιμοποιώντας την ίδια εξίσωση, έχουμε

:\nabla\times(\nabla\times\mathbf{H}) = \lambda^2\mathbf{H}.

Στη διανυσματική ταυτότητα  \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{H} \right) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{H}) - \nabla^{2}\mathbf{H}, μπορούμε να θέσουμε \nabla\cdot\mathbf{H}=0  αφού είναι σωληνοειδής, γεγονός που οδηγεί σε μια διανυσματική εξίσωση Χέλμχολτς,

:\nabla^2\mathbf{H}+\lambda^2\mathbf{H}=0.

Κάθε λύση της παραπάνω εξίσωσης δεν είναι η λύση της αρχικής εξίσωσης, αλλά ισχύει και το αντίστροφο.  Αν  \psi είναι μια βαθμωτή συνάρτηση που ικανοποιεί την εξίσωση
\nabla^2\psi + \lambda^2\psi=0, τότε οι τρεις γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της διανυσματικής εξίσωσης Χέλμχολτς δίνονται από τις εξής σχέσεις

:\mathbf{L} = \nabla\psi,\quad \mathbf{T} = \nabla\times\psi\mathbf{\hat n}, \quad \mathbf{S} = \frac{1}{\lambda}\nabla\times\mathbf{T}

όπου \mathbf{\hat n} είναι ένα σταθερό μοναδιαίο διάνυσμα. Αφού \nabla\times\mathbf{S} =\lambda\mathbf{T}, μπορεί να βρεθεί ότι \nabla\times(\mathbf{S}+\mathbf{T})=\lambda(\mathbf{S}+\mathbf{T}). Αλλά αυτό είναι το ίδιο με την αρχική εξίσωση, επομένως \mathbf{H}=\mathbf{S}+\mathbf{T}, όπου  \mathbf{S} είναι το πολωτικό πεδίο και \mathbf{T} είναι το τοροειδές πεδίο. Έτσι, αντικαθιστώντας το \mathbf{T} στο  \mathbf{S}, παίρνουμε την πιο γενική λύση ως εξής

:\mathbf{H} = \frac{1}{\lambda}\nabla\times(\nabla\times\psi\mathbf{\hat n}) + \nabla \times \psi \mathbf{\hat n}. 

## Κυλινδρικές πολικές συντεταγμένες

Λαμβάνοντας το μοναδιαίο διάνυσμα στη κατεύθυνση z, δηλαδή, \mathbf{\hat n}=\mathbf{e}_z με περιοδικότητα L στη κατεύθυνση z με οριακές συνθήκες εξαφάνισης στο r=a, η λύση δίνεται από τη σχέση 

:\psi = J_m(\mu_jr)e^{im\theta+ikz}, \quad \lambda =\pm(\mu_j^2+k^2)^{1/2}

όπου J_m είναι η συνάρτηση Μπέσελ, k=\pm 2\pi n/L, \ n = 0,1,2,\ldots, οι ακέραιοι m =0,\pm 1,\pm 2, \ldots και \mu_j καθορίζεται από τη συνοριακή συνθήκη a k\mu_j J_m'(\mu_j a)+m \lambda J_m(\mu_j a) =0.  Οι ιδιοτιμές για m=n=0 πρέπει να αντιμετωπιστούν χωριστά.
Δεδομένου ότι εδώ \mathbf{\hat n}=\mathbf{e}_z, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η κατεύθυνση z είναι τοροειδής και η κατεύθυνση \theta είναι πολυειδής, σύμφωνα με τη σύμβαση.

## Ιστορικό
**Κυριο αρθρο:**  Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ

Ο Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ ήταν Ινδοαμερικανός αστροφυσικός, το έργο του οποίου επηρέασε βαθιά την αστεροφυσική και τη δυναμική των ρευστών. Γεννήθηκε το 1910 και τιμήθηκε με το βραβείο Νόμπελ Φυσικής το 1983 για τις μελέτες του σχετικά με τις φυσικές διεργασίες που είναι σημαντικές για τη δομή και την εξέλιξη των άστρων.

**Ο  Π.Σ. Κένταλ:** 

Ο Π.Σ. Κένταλ ήταν επιστήμονας του οποίου η έρευνα επικεντρώθηκε κυρίως στα εφαρμοσμένα μαθηματικά και τη θεωρητική φυσική. Αν και είναι λιγότερο γνωστός από τον Τσαντρασεκάρ, οι συνεισφορές του στη συνάρτηση που φέρει το όνομά του είναι καθοριστικές για την κατανόηση των πολύπλοκων μαγνητικών δομών.

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Διδιάστατος χώρος
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Υπερβολική γεωμετρία
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Διάσταση Κρουλ
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
*
* 
* 
* 
*
*
*
* 
* 
* . Review: Séquin, Carlo H. (2009), *Journal of Mathematics and the Arts* 3: 229–230, 
* 
*Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Κατηγορία:Θεωρήματα στην ανάλυση
Κατηγορία:Μαθηματική ανάλυση
Κατηγορία:Επιφάνειες
Κατηγορία:Διαφορική τοπολογία
Κατηγορία:Διανύσματα
Κατηγορία:Διανυσματικός λογισμός
Κατηγορία:Μαθηματικές συναρτήσεις