Περί επιπέδων ισορροπιών

Το έργο ***Περί επιπέδων ισορροπιών*** είναι μια πραγματεία του Αρχιμήδη σε δύο βιβλία. Το πρώτο βιβλίο περιέχει την απόδειξη του νόμου του μοχλού και κορυφώνεται με προτάσεις για το κέντρο βάρους του τριγώνου και του τραπεζίου  Το δεύτερο βιβλίο, που περιέχει δέκα προτάσεις, εξετάζει τα κέντρα βάρους των παραβολικών τμημάτων. 

Σύμφωνα με τον Πάππο της Αλεξάνδρειας, η εργασία του Αρχιμήδη πάνω στους μοχλούς και η κατανόηση του μηχανικού πλεονεκτήματος τον οδήγησαν να πει: «Δώστε μου ένα σημείο στήριξης και θα κινήσω τη Γη» (Δωρική φωνή Συρακουσία: Πᾷ βῶ καὶ χαριστίωνι τὰν γᾶν κινήσω πᾶσαν), αν και άλλες αρχαίες μαρτυρίες δεν είναι ξεκάθαρες ως προς το περιεχόμενο της ρήσης.

## Γενικά

Ο μοχλός και οι ιδιότητές του ήταν ήδη γνωστά πριν από την εποχή του Αρχιμήδη, και δεν ήταν ο πρώτος που παρείχε μια ανάλυση της σχετικής αρχής .Τα παλαιότερα Μηχανικά Προβλήματα, που κάποτε αποδόθηκαν στον Αριστοτέλη, αλλά πιθανότατα γράφτηκαν από έναν από τους διαδόχους του, περιέχουν μια πρόχειρη απόδειξη του νόμου του μοχλού χωρίς να χρησιμοποιούν την έννοια του κέντρου μάζας. Υπάρχει ένα άλλο σύντομο έργο που αποδίδεται στον Ευκλείδη με τίτλο Περί ισορροπίας, το οποίο επίσης περιέχει μια μαθηματική απόδειξη του νόμου, και πάλι χωρίς προσφυγή στο Κέντρο μάζας . 

Αντίθετα, στο έργο του Αρχιμήδη η έννοια του κέντρου μάζας παίζει καθοριστικό ρόλο . Το *βιβλίο Περί επιπέδων ισορροπιών Ι*, το οποίο περιέχει επτά αξιώματα και δεκαπέντε προτάσεις, χρησιμοποιεί το κέντρο μάζας τόσο για τα συγκρίσιμα όσο και για τα ασυμβίβαστα μεγέθη για να δικαιολογήσει το νόμο του μοχλού, αν και ορισμένοι υποστηρίζουν ότι δεν είναι ικανοποιητικό. ο Αρχιμήδης στη συνέχεια προχωρά στον εντοπισμό του κέντρου μάζας του παραλληλογράμμου και του τριγώνου, και τελειώνει το πρώτο βιβλίο με μια απόδειξη για το κέντρο μάζας του τραπεζίου.

Το *Περί επιπέδων ισορροπιών ΙΙ* έχει το ίδιο θέμα με το πρώτο βιβλίο, αλλά πιθανότατα γράφτηκε μετέπειτα. Περιέχει δέκα προτάσεις σχετικά με το κέντρο μάζας που αφορούν αποκλειστικά τα παραβολικά τμήματα και εξετάζει τα τμήματα αυτά αντικαθιστώντας τα με ορθογώνια ίσου εμβαδού. Η ανταλλαγή αυτή καθίσταται δυνατή χάρη στα αποτελέσματα που προέκυψαν από το τετραγωνισμό της παραβολής, μια πραγματεία που πιστεύεται ότι δημοσιεύθηκε μετά το πρώτο βιβλίο του Περί επιπέδων ισορροπιών .

## Περιεχόμενο
### Πρώτο βιβλίο

Το πρώτο μισό του πρώτου βιβλίου ασχολείται με τις ιδιότητες της ζυγαριάς και τον νόμο του μοχλού, ενώ το δεύτερο μισό επικεντρώνεται στο κέντρο μάζας των βασικών επίπεδων σχημάτων. Το επιχείρημα που επιτρέπει στον Αρχιμήδη να θεμελιώσει το νόμο του μοχλού και να εντοπίσει το κέντρο μάζας πολλών σχημάτων είναι το έκτο αξίωμα, δηλαδή, «εάν τα μεγέθη σε ορισμένες αποστάσεις βρίσκονται σε ισορροπία, άλλα (μεγέθη) ίσα με αυτά θα βρίσκονται επίσης σε ισορροπία στις ίδιες αποστάσεις. Στις προτάσεις 4 και 5, ο Αρχιμήδης αποδεικνύει ότι το κέντρο μάζας οποιουδήποτε συστήματος που αποτελείται από άρτιο αριθμό ίσων βαρών, ισομερώς κατανεμημένων, θα βρίσκεται στο μέσο μεταξύ των δύο κεντρικών βαρών. Στη συνέχεια, ο Αρχιμήδης χρησιμοποιεί αυτά τα θεωρήματα για να αποδείξει το νόμο του μοχλού στην Πρόταση 6 (για τις ανάλογες περιπτώσεις) και στην Πρόταση 7

**Θεώρημα**

Με σύγχρονους όρους, δεδομένων δύο άνισων, αλλά συγκρίσιμων, βαρών και ενός μοχλοβραχίονα χωρισμένου σε δύο άνισα, αλλά συγκρίσιμα, τμήματα (βλέπε διπλανό σκίτσο), αν τα μεγέθη *Α* και *Β* εφαρμοστούν στα σημεία *Ε* και *D*, αντίστοιχα, το σύστημα θα βρίσκεται σε ισορροπία στο σημείο *C* αν τα βάρη είναι αντιστρόφως ανάλογα των μηκών:

:A : B = CD : EC\,

### Δεύτερο βιβλίο

Ο κύριος στόχος του δεύτερου βιβλίου του βιβλίου Περί επιπέδων ισορροπιών είναι ο προσδιορισμός του κέντρου μάζας οποιουδήποτε τμήματος ενός παραβολικού τμήματος, όπως φαίνεται στην Πρόταση 8.

Το βιβλίο αρχίζει με μια απλούστερη απόδειξη του νόμου του μοχλού στην Πρόταση 1, κάνοντας αναφορά σε αποτελέσματα που βρέθηκαν στο Τετραγωνισμό της Παραβολής. Ο Αρχιμήδης αποδεικνύει τις επόμενες επτά προτάσεις συνδυάζοντας την έννοια του κέντρου βάρους και τις ιδιότητες της παραβολής με τα αποτελέσματα που βρέθηκαν προηγουμένως στο Περί επιπέδων ισορροπιών Ι. Συγκεκριμένα, συμπεραίνει ότι δύο παραβολές που έχουν ίσο εμβαδόν έχουν το κέντρο μάζας τους σε ίση απόσταση από κάποιο σημείο και αργότερα αντικαθιστά τα εμβαδά τους με ορθογώνια ίσου εμβαδού.

Οι δύο τελευταίες προτάσεις, οι προτάσεις 9 και 10, είναι μάλλον αόριστες, αλλά επικεντρώνονται στον προσδιορισμό του κέντρου μάζας ενός σχήματος που αποκόπτεται από οποιοδήποτε παραβολικό τμήμα με ένα κόλουρο κώνο .

## Κληρονομιά

Τα μηχανολογικά έργα του Αρχιμήδη, μεταξύ των οποίων και το Περί επιπέδων ισορροπιών, ήταν γνωστά αλλά ελάχιστα διαβασμένα στην αρχαιότητα. Τόσο ο Ήρων ο Αλεξανδρεύς όσο και ο Πάππος κάνουν αναφορές στον Αρχιμήδη στο έργο τους για τη μηχανική, κυρίως στις συζητήσεις τους σχετικά με το κέντρο βάρους και το μηχανικό πλεονέκτημα. Λίγοι Ρωμαίοι συγγραφείς, όπως ο Βιτρούβιος, προφανώς είχαν επίσης κάποια γνώση του έργου του Αρχιμήδη. 

Κατά τον Μεσαίωνα, ορισμένοι Άραβες συγγραφείς γνώριζαν και επέκτειναν το έργο του Αρχιμήδη σχετικά με τις ισορροπίες και το κέντρο μάζας - στη Λατινική Δύση, ωστόσο, οι ιδέες αυτές ήταν ουσιαστικά άγνωστες, εκτός από μια χούφτα περιορισμένων περιπτώσεων. μόνο κατά την ύστερη Αναγέννηση τα αποτελέσματα που βρέθηκαν στο Περί επιπέδων ισορροπιών άρχισαν να διαδίδονται ευρέως. Ειδικά η μαθηματική προσέγγιση του Αρχιμήδη στη φυσική έγινε πρότυπο για μεταγενέστερους επιστήμονες όπως ο Γκουιντομπάλντο ντελ Μόντε, ο Μπερναρντίνο Μπάλντι, ο Σιμόν Στέβιν και ο Γαλιλαίος Γαλιλέι.

Η έννοια του κέντρου μάζας έφτασε σε υψηλό επίπεδο εξειδίκευσης στο πρώτο μισό του 17ου αιώνα, ιδιαίτερα στα έργα του Ευαγγελίστα Τοριτσέλι και του Κρίστιαν Χόιγκενς, και έπαιξε καθοριστικό ρόλο στην ανάπτυξη της ορθολογικής μηχανικής.

### Κριτική

Πολλοί ερευνητές υπογράμμισαν ασυνέπειες στο πρώτο βιβλίο του Περί επιπέδων ισορροπιών Ο Μπέργκρεν αμφισβητεί τη γνησιότητα σχεδόν του μισού πρώτου βιβλίου, για παράδειγμα τον περιττό χαρακτήρα των προτάσεων 1-3 και 11-12. Ωστόσο, ακολουθεί τον Ντίκστερχουις στην απόρριψη της κριτικής του Μαχ για την Πρόταση 6, η οποία πράγματι αποδεικνύει ότι «αν ένα σύστημα βαρών που αναρτώνται σε μια δοκό ισορροπίας βρίσκεται σε ισορροπία όταν στηρίζεται σε ένα συγκεκριμένο σημείο, τότε οποιαδήποτε ανακατανομή αυτών των βαρών, που διατηρεί το κοινό κέντρο μάζας τους, διατηρεί επίσης την ισορροπία» .

Επιπλέον, η Πρόταση 7 του πρώτου βιβλίου εμφανίζεται ελλιπής στην τρέχουσα μορφή της, έτσι ώστε, για την ακρίβεια, ο Αρχιμήδης στο πρώτο βιβλίο καταδεικνύει το νόμο του μοχλού μόνο για συγκρίσιμα μεγέθη. Το δεύτερο βιβλίο του Περί επιπέδων ισορροπιών δεν επηρεάζεται από αυτές τις παραλείψεις, διότι, με εξαίρεση την πρώτη πρόταση, ο μοχλός δεν εξετάζεται καθόλου. Δεν υπάρχει επίσης κανένας ορισμός του κέντρου μάζας πουθενά στα σωζόμενα έργα του Αρχιμήδη, γεγονός που, σύμφωνα με ορισμένους μελετητές, καθιστά δύσκολη την παρακολούθηση (ή την αιτιολόγηση) της λογικής δομής ορισμένων επιχειρημάτων του στο Περί επιπέδων ισορροπιών.

## Δημοσιεύσεις

* 
* 
* 

* 
*Pickover, Clifford A. 2008. *Archimedes to Hawking: Laws of Science and the Great Minds Behind Them*. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-533611-5.
* 
* 
* 

## Δείτε επίσης
* Κέντρο μάζας
* Παραβολή (γεωμετρία)

## Παραπομπές


## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
* Virtual book about Archimedes Chris Rorres - Drexel University
* A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
* The Works of Archimedes
* The Mathematical Career of Pierre de Fermat,  Archimedes, page 222.
* the method of archimedes recently discovered by heiberg a supplement to the ..., page 6
* Pioneers of Progress , Men of Science-  Archimedes" 
* Illustrated Encylopedia of World History... .."Work" Archimedess. page 73...
* Essential Classical Mechanics ......
* The Great Physicists from Galileo to Einstein .."The Law of lever" Archimedes...  page 10....

Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία 
Κατηγορία:Κλασική γεωμετρία 
Κατηγορία:Ιστορία των Μαθηματικών 
Κατηγορία:Μαθηματικά θεωρήματα 
Κατηγορία:Γεωμετρικά σχήματα 
Κατηγορία:Αρχιμήδης 
Κατηγορία:Στοιχειώδης γεωμετρία