Συνεστραμμένος πολυωνυμικός δακτύλιος

Στα μαθηματικά, ένα **συνεστραμμένο πολυώνυμο**  είναι ένα πολυώνυμο πάνω από ένα σώμα χαρακτηριστικής p στη μεταβλητή \tau που αντιπροσωπεύει την απεικόνιση Φρομπένιος x\mapsto x^p. Σε αντίθεση με τα κανονικά πολυώνυμα, ο πολλαπλασιασμός αυτών των πολυωνύμων δεν είναι αντιμεταθετικός, αλλά ικανοποιεί τον κανόνα της αντιμεταθετικής ιδιότητας

: \tau x=x^p \tau 

Πάνω σε ένα άπειρο σώμα, ο δακτύλιος των συνεστραμμένων πολυωνύμων είναι ισόμορφος με τον δακτύλιο των προσθετικών πολυωνύμων, αλλά όπου ο πολλαπλασιασμός στον τελευταίο δίνεται από τη σύνθεση αντί του συνήθους πολλαπλασιασμού. Ωστόσο, είναι συχνά ευκολότερος ο υπολογισμός στον δακτύλιο των συνεστριμμένων πολυωνύμων - αυτό μπορεί να εφαρμοστεί ιδιαίτερα στη θεωρία των ενοτήτων του Ντρίνφελντ.
για όλα τα x στο βασικό σώμα.

## Ορισμός

Έστω k ένα σώμα χαρακτηριστικού p. Ο συνεστραμμένος πολυωνυμικός δακτύλιος k\{\tau\} ορίζεται ως το σύνολο των πολυωνύμων στη μεταβλητή \tau και συντελεστές στο k. Είναι προικισμένο με μια δομή δακτυλίου με τη συνήθη πρόσθεση, αλλά με έναν μη αντιμεταθετικό πολλαπλασιασμό που μπορεί να συνοψιστεί με τη σχέση \tau x=x^p\tau για x\in k. Η επαναλαμβανόμενη εφαρμογή αυτής της σχέσης δίνει έναν τύπο για τον πολλαπλασιασμό δύο οποιωνδήποτε συνεστραμμένων πολυωνύμων.

Ως παράδειγμα, εκτελούμε έναν τέτοιο πολλαπλασιασμό

: (a+b\tau)(c+d\tau)=a(c+d\tau)+b\tau(c+d\tau)=ac+ad\tau+bc^p\tau+bd^p\tau^2

## Ιδιότητες

Ο μορφισμός

: k\{\tau\}\to k[x],\quad a_0+a_1\tau+\cdots+a_n\tau^n\mapsto a_0x+a_1x^p+\cdots+a_nx^{p^n}

ορίζει έναν ομομορφισμό δακτυλίου που στέλνει ένα συνεστραμμένο πολυώνυμο σε ένα προσθετικό πολυώνυμο. Εδώ, ο πολλαπλασιασμός στη δεξιά πλευρά δίνεται από τη σύνθεση πολυωνύμων. Παραδείγματος χάριν

:(ax+bx^p)\circ (cx+dx^p)=a(cx+dx^p)+b(cx+dx^p)^p=acx+adx^p+bc^px^p+bd^px^{p^2},

χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι στο χαρακτηριστικό p έχουμε το όνειρο του πρωτοετή (x+y)^p=x^p+y^p.

Ο ομοιομορφισμός είναι σαφώς  ερριπτικός, αλλά είναι επιφανειακός αν και μόνο αν το k είναι άπειρο. Η αποτυχία της ερριπτικότητας όταν το k είναι πεπερασμένο οφείλεται στην ύπαρξη μη μηδενικών πολυωνύμων που επάγουν τη μηδενική συνάρτηση στο k (π.χ. x^q-x πάνω στο πεπερασμένο σώμα με q στοιχεία).

Παρόλο που αυτός ο δακτύλιος δεν είναι αντιμεταθετικός, διαθέτει αλγόριθμους διαίρεσης (αριστερά και δεξιά).

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης
* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Καμπυλότητα Γκάους
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Σώμα διασπάσεως
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νοεροί υπολογισμοί

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
* 
* Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
*
*
*
*
*
*
*
*.   **English translation** (of 2nd revised edition):  *(Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)*
*

## Πηγές
* 
* 
* 
*
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία σωμάτων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα