Πολυκατηγορία

Στα μαθηματικά (ειδικά στην θεωρία κατηγοριών), μια **πολυκατηγορία** είναι μια γενίκευση της έννοιας της κατηγορίας που επιτρέπει μορφισμούς πολλαπλής "αδικότης"  (arity).  Αν οι μορφισμοί σε μια κατηγορία θεωρούνται ανάλογοι με τις συναρτήσεις, τότε οι μορφισμοί σε μια πολυκατηγορία είναι ανάλογοι με συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Οι **πολυκατηγορίες** ονομάζονται επίσης μερικές φορές **"operads"** (πράξη μονάδας) ή έγχρωμες "operads".

## Ορισμός

Μια (μη συμμετρική) **πολυκατηγορία** αποτελείται από
* μια συλλογή (συχνά μια κατάλληλη κλάση) από *αντικείμενα*
* για κάθε πεπερασμένη ακολουθία (X_i)_{i \in [n]} αντικειμένων ([n] = \{0,1,2,...,n\} ) και κάθε αντικείμενο *Y*, ένα σύνολο *[[Μορφισμός|μορφισμών]]* από (X_i)_{i \in n} προς *Y* και
* για κάθε αντικείμενο *X* ένας ειδικός ταυτοτικός μορφισμός (με *n* = 1) από το *X* στο *X*.
Επιπρόσθετα, υπάρχουν πράξεις σύνθεσης: Δεδομένης μιας ακολουθίας ακολουθιών ((X_{ij})_{i \in n_j})_{j \in m} αντικειμένων, μια ακολουθία (Y_j)_{j \in m} αντικειμένων και ένα αντικείμενο  *Z*: έαν
* για κάθε j \in m, το *f**j* είναι ένας μορφισμός από το (X_{ij})_{i \in n_j} to *Y**j*; και
* *g* είναι ένας μορφισμός από (Y_j)_{j \in m} προς *Z*:
τότε υπάρχει ένας σύνθετος μορφισμός g(f_j)_{j \in m} από (X_{ij})_{i \in n_j, j \in m} στο *Z*. και πρεπει να ικανοποιεί ορισμένα αξιώματα:
* Εάν *m* = 1, *Z* = *Y*0, και *g* είναι ο ταυτοτικός μορφισμός για το *Y*0, τότε *g*(*f*0) = *f*0;
* αν για κάθε j \in m, *n**j* = 1, X_{0j} = Y_j, και *f**j* είναι ο ταυτοτικός μορφισμός για το *Y**j*, τότε g(f_j)_{j \in m} = g; και
* μια συνθήκη προσεταιριστικότητα: αν για κάθε j \in m και i \in n_j, e_{ij} είναι ένας μορφισμός από (W_{hij})_{h \in o_{ij}} προς X_{ij}, τότε g\left(f_j(e_{ij})_{i \in n_j}\right)_{j \in m} = g(f_j)_{j \in m}(e_{ij})_{i \in n_j, j \in m} είναι ταυτοτικοί μορφισμοί από (W_{hij})_{h \in o_{ij}, i \in n_j, j \in m} στο *Z*.

## Συν-πολυ-κατηγορίες

Μια *comcategory* (συν-πολυ-κατηγορία) είναι ένα πλήρως διατεταγμένο σύνολο *O* αντικειμένων, ένα σύνολο *A* *πολυβέλων* με δύο συναρτήσεις

\mathrm{head}:A\rightarrow O,

\mathrm{ground}:A\rightarrow O^\%,

όπου *O*% είναι το σύνολο όλων των πεπερασμένων ταξινομημένων ακολουθιών στοιχείων του *O*. Η διπλή εικόνα ενός πολυβέλους *f* μπορεί να συνοψίζεται ως εξής

f:\mathrm{head}(f) \Leftarrow \mathrm{ground}(f).

Η "comcategory" (συν-πολυ-κατηγορία) **C** έχει επίσης ένα *multiproduct* (πολυγινόμενο) με το συνηθισμένο χαρακτήρα μιας πράξης σύνθεσης. Η **C** λέγεται ότι είναι προσεταιριστική αν ισχύει ένα *αξίωμα *multiproduct* σε σχέση με αυτόν τον [[Τελεστής (μαθηματικά)|τελεστή]].*

Οποιαδήποτε πολυκατηγορία, συμμετρική ή ασύμμετρη, μαζί με μια συνολική ταξινόμηση του συνόλου των αντικειμένων, μπορεί να μετατραπεί σε μια ισοδύναμη comcategory.

Μια *πολυτάξη* είναι μια comcategory (συν-πολυ-κατηγορία) που ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες.

* Υπάρχει το πολύ ένα πολυβέλος με δεδομένη κεφαλή και βάση.
* Κάθε αντικείμενο *x* έχει ένα πολυβέλος μονάδας.
* Ένα πολυβέλος είναι μονάδα αν το έδαφός του έχει μία είσοδο.

Οι πολυδιατάξεις είναι μια γενίκευση των "μερικών διατεταγμένων συνόλων" (posets) και εισήχθησαν για πρώτη φορά (εν παρόδω) από τον Τομ Λέινστερ.

## Παραδείγματα

Υπάρχει μια πολυκατηγορία της οποίας τα αντικείμενα είναι (μικρά) σύνολα, όπου ένας μορφισμός από τα σύνολα*X*1, *X*2, ..., και *X**n* στο σύνολο *Y* είναι μια *n*-ary συνάρτηση, δηλαδή μια συνάρτηση από το καρτεσιανό γινόμενο
*X*1 × *X*2 × ... × *X**n* to *Y*.

Υπάρχει μια πολυκατηγορία της οποίας τα αντικείμενα είναι διανυσματικοί χώροι (πάνω στους ρητούς αριθμούς, παραδείγματος χάριν), όπου ένας μορφισμός από τους διανυσματικούς χώρους
*X*1, *X*2, ..., και *X**n* στον διανυσματικό χώρο *Y* είναι ένας πολυγραμμικός τελεστής, δηλαδή ένας γραμμικός μετασχηματισμός από το τανυστικό γινόμενο *X*1 ⊗ *X*2 ⊗ ... ⊗ *X**n* στο *Y*.

Γενικότερα, δεδομένης οποιασδήποτε μονοειδούς κατηγορίας **C**,υπάρχει μια πολυκατηγορία της οποίας τα αντικείμενα είναι αντικείμενα της **C**, όπου ένας μορφισμός από τα αντικείμενα-**C** το *X*1, *X*2, ..., και *X**n* προς το αντικείμενο **C**. το *Y* είναι ένας μορφισμός **C** από το μονοειδές γινόμενο των *X*1, *X*2, ..., και *X**n* to *Y*.

Μια operad είναι μια πολυκατηγορία με ένα μοναδικό αντικείμενο. Εκτός από τις εξαιρέσεις, μια τέτοια πολυκατηγορία δεν προέρχεται από μια μονοειδή κατηγορία.

Παραδείγματα πολυτάξεων περιλαμβάνουν τα *αιχμηρά πολυσύνολα* , τα *ακέραια μερίσματα*  και οι *συνδυαστικοί διαχωρισμοί* . Τα τρίγωνα (ή συνθέσεις) οποιασδήποτε πολυτάξης είναι μορφισμοί μιας (όχι απαραίτητα προσεταιριστική) κατηγορίας *συστολών* και μιας comcategory  *παραγοντοποίησης*. Η κατηγορία συστολών για την πολυτάξη των *πολυελάχιστων μερισμάτων *  είναι η απλούστερη γνωστή κατηγορία πολυσυνόλων.

## Εφαρμογές

Οι **πολυκατηγορίες** συχνά θεωρούνται εσφαλμένα ότι ανήκουν στην ανώτερη θεωρία κατηγοριών, καθώς η αρχική τους εφαρμογή ήταν η παρατήρηση ότι οι τελεστές και οι ταυτότητες που ικανοποιούνται από τις ανώτερες κατηγορίες είναι τα αντικείμενα και οι πολυβέλη μιας πολυκατηγορίας. Η μελέτη των *n*-κατηγοριών με τη σειρά της προκλήθηκε από εφαρμογές στην αλγεβρική τοπολογία και από προσπάθειες να περιγραφεί η ομοτοπική θεωρία των πολυδιάστατων πολλαπλοτήτων. Ωστόσο, αναπτύχθηκε κυρίως από αυτή την πρόθεση και τώρα θεωρείται επίσης μέρος των καθαρών μαθηματικών.https://www.quora.com/What-does-Tom-Leinster-mean-by-Higher-category-theory-has-its-own-existence

Η αντιστοιχία μεταξύ συστολών και παραγοντοποιήσης τριγώνων σε μια πολυτάξη επιτρέπει την κατασκευή μιας προσεταιριστικής άλγεβρας που ονομάζεται άλγεβρα πρόσπτωσης. Κάθε στοιχείο που είναι μη μηδενικό σε όλα τα βέλη μονάδας έχει ένα σύνθετο αντίστροφο, και η συνάρτηση Μόμπιους μιας πολυτάξης ορίζεται ως το σύνθετο αντίστροφο της συνάρτησης ζήτα (σταθερά ένα) στην άλγεβρα πρόσπτωσης.

## Ιστορία

Οι πολυκατηγορίες εισήχθησαν για πρώτη φορά με αυτό το όνομα από τον Τζιμ Λάμπεκ στο έργο "Deductive systems and categories II" (1969) (Επαγωγικά συστήματα και κατηγορίες). Αναφέρει (σ. 108) ότι "του είπαν ότι οι πολυκατηγορίες μελετήθηκαν επίσης από τους [Ζαν] Μπενάμπου και [Πιερ] Καρτιέ", και πράγματι ο Λέινστερ υποστηρίζει ότι "η ιδέα θα μπορούσε να είχε προκύψει σε οποιονδήποτε γνώριζε τι είναι μια κατηγορία και μια πολυγραμμική απεικόνιση".

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


*
* 
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
*
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα