G-πρότυπο

Στα μαθηματικά, δεδομένης μιας ομάδας *G*, ένα ***G''-[[Πρότυπο (άλγεβρα)|πρότυπο]]''' είναι μια [[αβελιανή ομάδα]] ''M'' στην οποία η ''G'' δρα συμβατά με την αβελιανή δομή της [[Ομάδα (μαθηματικά)|ομάδας]] ''M''. Αυτή η ευρέως εφαρμόσιμη έννοια γενικεύει εκείνη της αναπαράστασης της ''G''. Η ομάδα (συν)ομολογίας παρέχει ένα σημαντικό σύνολο εργαλείων για τη μελέτη γενικών ''G''-[[Πρότυπο (άλγεβρα)|προτύπων.]]

Ο όρος ***G*-[[Πρότυπο (άλγεβρα)|πρότυπο]]*' χρησιμοποιείται επίσης για την πιο γενική έννοια ενός *R*-προτύπου στο οποίο το *G* δρα γραμμικά (δηλ. ως ομάδα αυτομορφισμών *R*-προτύπων).

## Ορισμός και βασικές έννοιες

Έστω G μια ομάδα. Ένα **αριστερό** **<math>G</math>-[[Πρότυπο (άλγεβρα)|πρότυπο]]** αποτελείται από  μια αβελιανή ομάδα  M μαζί με μια αριστερή ομάδα δράσης \rho:G\times M\to M έτσι ώστε
:g\cdot(a_1+a_2)=g\cdot a_1+g\cdot a_2
για όλα τα a_1 και a_2 στο M και όλα τα  g στο G, όπου g\cdot a δηλώνει \rho(g,a). Ένα **δεξί** **<math>G</math>-[[Πρότυπο (άλγεβρα)|πρότυπο]]** ορίζεται με παρόμοιο τρόπο. Δεδομένου ενός αριστερού G-προτύπου M, μπορεί να μετατραπεί σε δεξί G-πρότυπο ορίζοντας a\cdot g=g^{-1}\cdot a.

Η συνάρτηση f:M\rightarrow N ονομάζεται **μορφισμός** των **<math>G</math>-προτύπων** (ή **<math>G</math>-γραμμική απεικόνιση**, η **<math>G</math>-ομομορφισμός**) αν  f είναι ταυτόχρονα ομομορφισμός ομάδας και G-ισαλλοίωτη. 

Η συλλογή των αριστερών (αντίστοιχα δεξιών) G-'''προτύπων''' και των μορφισμών τους σχηματίζουν μια αβελιανή κατηγορία G\textbf{-Mod} (αντίστοιχα. \textbf{Mod-}G). Η κατηγορία G\text{-Mod} (αντίστοιχα. \text{Mod-}G) μπορεί να ταυτιστεί με την κατηγορία των αριστερών (αντίστοιχα δεξιών) **<math>\mathbb{Z}G</math>-[[Πρότυπο (άλγεβρα)|προτύπων]]**, δηλαδή με τα πρότυπα πάνω στον δακτύλιο της ομάδας \mathbb{Z}[G].

Ένα **υποπρότυπο** ενός G-module M είναι μια υποομάδα A\subseteq M που είναι σταθερή υπό τη δράση του G, δηλαδή. g\cdot a\in A για όλα τα g\in G καιa\in A. Δεδομένου ενός υποπροτύπουA του M, το '''πρότυπο πηλίκου''' M/A είναι η ομάδα πηλίκου με δράση g\cdot (m+A)=g\cdot m+A.

## Παραδείγμα

*Δεδομένης μιας ομάδας G, η αβελιανή ομάδα \mathbb{Z} είναι ένα G-πρότυπο με την ασήμαντη δράση g\cdot a=a.
*Έστω M το σύνολο των δυαδικών τετραγωνικών μορφών f(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2 με a,b,c  ακέραιους αριθμούς, και έστω G=\text{SL}(2,\mathbb{Z}) (η ειδική γραμμική ομάδα  2×2 πάνω στο \mathbb{Z}).  Ορίζει
::(g\cdot f)(x,y)=f((x,y)g^t)=f\left((x,y)\cdot\begin{bmatrix}
     \alpha & \gamma \\
     \beta & \delta
  \end{bmatrix}\right)=f(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y),
:όπου
::g=\begin{bmatrix}
     \alpha & \beta \\
     \gamma & \delta
  \end{bmatrix}
:και (x,y)g  είναι πολλαπλασιασμός πινάκων. Τότε M είναι ένα G-πρότυπο που μελετήθηκε από τον Γκάους.  Πράγματι, έχουμε

:: g(h(f(x,y))) = gf((x,y)h^t)=f((x,y)h^tg^t)=f((x,y)(gh)^t)=(gh)f(x,y).

*Εάν Vείναι μια αναπαράσταση του G πάνω σε ένα σώμα K, τότε V είναι ένα G-**[[Πρότυπο (άλγεβρα)|πρότυπο]]** (είναι μια αβελιανή ομάδα υπό πρόσθεση).

## Τοπολογικές ομάδες

Εάν G  είναι μια τοπολογική ομάδα και M  είναι μια αβελιανή τοπολογική ομάδα, τότε ένα **τοπολογικό** **''G''-[[Πρότυπο (άλγεβρα)|πρότυπο]]** είναι ένα *G*-**[[Πρότυπο (άλγεβρα)|πρότυπο]]** όπου η δράση απεικόνιση  G\times M\rightarrow M είναι συνεχής (όπου η τοπολογία του γινομένου λαμβάνεται στο G\times M).

Με άλλα λόγια, ένα τοπολογικό G-πρότυπο είναι μια αβελιανή τοπολογική ομάδα M μαζί με μια συνεχή απεικόνιση G\times M\rightarrow M που ικανοποιεί τις συνήθεις σχέσεις g(a+a')=ga+ga', (gg')a=g(g'a), και 1a=a.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές

*
* 
* 
* 
* 
*
*
*

*
*Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
*
*
*
* 
* 
* Categorical programming with inductive and coinductive types () by Varmo Vene
* Philip Wadler: Recursive types for free! () University of Glasgow, June 1990. Draft.
* Algebra and coalgebra () from CLiki
* B. Jacobs, J. Rutten: A Tutorial on (Co) Algebras and (Co) Induction. Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science, vol. 62, 1997, 
* Understanding F-Algebras () by Bartosz Milewski
* star-autonomous category at the nLab
* 
* *This article is based in part on [http://www.planetmath.org PlanetMath]'s [http://planetmath.org/encyclopedia/TerminalObjectsAndZeroObjectsExamplesOfInitialObjects.html article on examples of initial and terminal objects].*
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Γενική τοπολογία 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα