Κατηγορία αβελιανών ομάδων

Στα μαθηματικά, η κατηγορία **Ab** έχει ως αντικείμενα τις αβελιανές ομάδες και ως μορφισμούς τους ομομορφισμούς ομάδων. Αυτή είναι η πρωτότυπη αβελιανή κατηγορία: πράγματι, κάθε μικρή αβελιανή κατηγορία μπορεί να ενσωματωθεί στην **Ab**.

## Ορισμός
### Κατηγορία των αβελιανών ομάδων

Η κατηγορία των αβελιανών ομάδων είναι η κατηγορία **Ab**  που ορίζεται ως εξής:
* Τα αντικείμενα είναι οι αβελιανές ομάδες.
* Οι μορφισμοί μεταξύ των αντικειμένων είναι οι μορφισμοί των ομάδων.
Είναι λοιπόν μια πλήρης υποκατηγορία της κατηγορίας **Grp** των ομάδων.

Η κατηγορία των αβελιανών ομάδων ταυτίζεται με την κατηγορία των δομοστοιχείων επί \mathbb Z:
:\mathrm{Ab} \simeq \mathbb{Z}\text{-}\mathrm{Mod}.

### Εμπλουτισμένες κατηγορίες στο Ab

Η κατηγορία **Ab** είναι μονοειδής και επιτρέπει επομένως τον ορισμό μιας εμπλουτισμένης δομής. Οι εμπλουτισμένες κατηγορίες στο **Ab** ονομάζονται προπροσθετικές .

## Ιδιότητες

Το μηδενικό αντικείμενο του **Ab** είναι η τετριμμένη ομάδα {0} που αποτελείται μόνο από το ουδέτερο στοιχείο της.

Οι μονομορφισμοί στο **Ab** είναι οι ερριπτικοί ομομορφισμοί ομάδων, οι επιμορφισμοί είναι οι επιρριπτικοι ομομορφισμοί ομάδων και οι ισομορφισμοί είναι οι αμφιρριπτικοι ομομορφισμοί ομάδων.

Το **Ab** είναι μια πλήρης υποκατηγορία του **Grp**, της κατηγορίας *όλων* των ομάδων. Η κύρια διαφορά μεταξύ του **Ab** και του **Grp** είναι ότι το άθροισμα δύο ομομορφισμών  *f* και *g* μεταξύ αβελιανών ομάδων είναι και πάλι ένας ομομορφισμός ομάδας:

:(*f*+*g*)(*x*+*y*) = *f*(*x*+*y*) + *g*(*x*+*y*) = *f*(*x*) + *f*(*y*) + *g*(*x*) + *g*(*y*) 
:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;= *f*(*x*) + *g*(*x*) + *f*(*y*) + *g*(*y*) = (*f*+*g*)(*x*) + (*f*+*g*)(*y*)

Η τρίτη ισότητα απαιτεί η ομάδα να είναι αβελιανή. Αυτή η προσθήκη μορφισμού μετατρέπει την **Ab** σε προπροσθετική κατηγορία, και επειδή το άμεσο άθροισμα, πεπερασμένου αριθμού αβελιανών ομάδων δίνει ένα διγινόμενο, έχουμε πράγματι μία προσθετική κατηγορία.

Στην **Ab**, η έννοια του πυρήνα με την κατηγορία της θεωρίας των κατηγοριών συμπίπτει με τον πυρήνα στην αλγεβρική έννοια, δηλαδή ο κατηγορικός πυρήνας του μορφισμού *f* : *A* → *B*   είναι η υποομάδα *K* του *A* που ορίζεται από *K* = {*x* ∈ *A* : *f*(*x*) = 0}, μαζί με τον ομομορφισμό συμπερίληψης *i* : *K* → *A*. Το ίδιο ισχύει και για τους συμπυρήνες. Ο συμπυρήνας του *f* είναι η ομάδα πηλίκου *C* = *B* / *f*(*A*) μαζί με τη φυσική προβολή *p* : *B* → *C*. (Αξίζει να σημειωθεί μια άλλη σημαντική διαφορά μεταξύ  **Ab** και **Grp**: Στο **Grp** μπορεί να συμβεί το *f*(*A*) iνα μην είναι κανονική υποομάδα του *B*, και ότι επομένως η ομάδα πηλίκου  *B* / *f*(*A*) δεν μπορεί να σχηματιστεί.) Με αυτές τις συγκεκριμένες περιγραφές των πυρήνων και των συμπυρήνων, είναι αρκετά εύκολο να επαληθευτεί ότι η  **Ab** είναι πράγματι μια αβελιανή κατηγορία.

Ο ξεχασιάρης συναρτήτης από το \mathbb{Z}**Mod**  στο **Ab** που στέλνει ένα \mathbb{Z} -πρότυπο (M,+,\cdot) στην υποκείμενη αβελιανή ομάδα (M,+) και ο συναρτητής από το **Ab** στο \mathbb{Z} που στέλνει μια αβελιανή ομάδα (G,+) στο \mathbb{Z} -πρότυπο (G,+,\cdot) που λαμβάνεται ορίζοντας k \cdot g := g^{k} ορίζουν έναν ισομορφισμό κατηγοριών.

Το γινόμενο στο **Ab** δίνεται από το γινόμενο των ομάδων, που σχηματίζεται λαμβάνοντας το καρτεσιανό γινόμενο των υποκείμενων συνόλων και εκτελώντας την πράξη της ομάδας κατά συνιστώσες. Επειδή το **Ab** έχει πυρήνες, μπορεί κανείς να δείξει ότι το **Ab** είναι μια πλήρης κατηγορία. Το συνγινόμενο (coproduct) στο **Ab** δίνεται από το άμεσο άθροισμα. Δεδομένου ότι το **Ab** έχει κοπυρήτες, προκύπτει ότι το **Ab** είναι επίσης συν-πλήρες.

Έχουμε ένα ξεχασιάρικο συναρτητή  **Ab** → **Set** που αντιστοιχεί σε κάθε αβελιανή ομάδα το υποκείμενο σύνολο και σε κάθε ομομορφισμό ομάδων την υποκείμενη συνάρτηση. Αυτός ο συναρτητής είναι πιστός και, επομένως, το **Ab** είναι μια συγκεκριμένη κατηγορία. Ο ξεχασιάρης συναρτητής έχει έναν αριστερό συζυγή (ο οποίος αντιστοιχεί σε ένα δεδομένο σύνολο την ελεύθερη αβελιανή ομάδα με αυτό το σύνολο ως βάση), αλλά δεν έχει δεξιό συζυγή.

Η λήψη άμεσων ορίων στο **Ab** είναι ένας ακριβής συναρτητής. Δεδομένου ότι η ομάδα των ακεραίων **Z** χρησιμεύει ως γεννήτρια, η κατηγορία **Ab** είναι επομένως μια κατηγορία  Γκρότεντικ. Πράγματι, είναι το πρωτότυπο παράδειγμα μιας κατηγορίας  Γκρότεντικ.

Ένα αντικείμενο στο **Ab** είναι ερριπτικό αν και μόνο αν είναι μια διαιρέσιμη ομάδα· είναι προβολικό αν και μόνο αν είναι μια ελεύθερη αβελιανή ομάδα. Η κατηγορία έχει έναν προβολικό γεννήτορα (**Z**) και έναν ερριπτικό συν-γεννήτορα (**Q**/**Z**)

Δεδομένων δύο αβελιανών ομάδων *A* και *B*, το τανυστικό τους γινόμενο *A*⊗*B* ορίζεται ως μια αβελιανή ομάδα. Με αυτή την έννοια του γινομένου, η **Ab** είναι μια κλειστή συμμετρική μονοειδής κατηγορία.

Το **Ab** δεν είναι τόπος, καθώς, μεταξύ άλλων, έχει αντικείμενο μηδέν.

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* Murray Bremner and  Sara Madariaga. (2014) 
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών 
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων 
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων 
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα