Πρότυπο πηλίκο

Στην άλγεβρα, δεδομένου ενός προτύπου και ενός υποπροτύπου, μπορεί κανείς να κατασκευάσει το **[[Πρότυπο (άλγεβρα)|πρότυπο]] πηλίκο** τους.  Αυτή η κατασκευή, που περιγράφεται παρακάτω, είναι πολύ παρόμοια με εκείνη ενός πηλίκου διανυσματικού χώρου.  Διαφέρει από τις ανάλογες κατασκευές πηλίκου δακτυλίων και ομάδων από το γεγονός ότι στις τελευταίες περιπτώσεις, ο υποχώρος που χρησιμοποιείται για τον ορισμό του πηλίκου δεν είναι της ίδιας φύσης με τον περιβάλλοντα χώρο (δηλαδή, ένας πηλίκο δακτύλιος είναι το πηλίκο ενός δακτυλίου από ένα ιδεώδες, όχι από έναν υποχώρο, και μια ομάδα πηλίκου είναι το πηλίκο μιας ομάδας από μια κανονική υποομάδα, όχι από μια γενική υποομάδα). 

Δεδομένου ενός προτύπου  πάνω από έναν δακτύλιο , και ενός υποπροτύπου  του , ο χώρος πηλίκο   ορίζεται από τη σχέση ισοδυναμίας

: a \sim b αν και μόνο αν b - a \in B,

για κάθε  στο . Τα στοιχεία του  είναι οι κλάσεις ισοδυναμίας  [a] = a+B = \{a+b:b \in B\}.  Ο συναρτητής \pi: A \to A/B  που στέλνει το  στο  στην κλάση ισοδυναμίας του  ονομάζεται πηλίκο ή απεικόνιση προβολής και είναι ομομορφισμός προτύπων.

Η πράξη της πρόσθεσης στην  ορίζεται για δύο κλάσεις ισοδυναμίας ως η κλάση ισοδυναμίας του αθροίσματος δύο εκπροσώπων από τις κλάσεις αυτές- και ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός των στοιχείων της  με στοιχεία της  ορίζεται ομοίως. Σημειώστε ότι πρέπει να αποδειχθεί ότι αυτές οι πράξεις είναι καλά ορισμένες. Τότε η  γίνεται η ίδια ένα -πρότυπο, το οποίο ονομάζεται **[[Πρότυπο (άλγεβρα)|πρότυπο]] πηλίκο**. Σε σύμβολα, για όλα τα   στο  και  στο :
:\begin{align}
& (a+B)+(b+B) := (a+b)+B, \\
& r \cdot (a+B) := (r \cdot a)+B.
\end{align}

## Παραδείγματα

Ας θεωρήσουμε τον πολυωνυμικό δακτύλιο,  με πραγματικούς συντελεστές, και το -πρότυπο A=\R[X], Ας λάβουμε υπόψιν το υποπρότυπο

:B = (X^2+1) \R[X]

του , δηλαδή το υποπρότυπο όλων των πολυωνύμων που διαιρούνται με . Προκύπτει ότι η σχέση ισοδυναμίας που καθορίζεται από αυτό το πρότυπο θα είναι 

: αν και μόνο αν   και  δίνουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρούνται με .

Επομένως, στον '''πρότυπο''' **πηλίκο** , το  είναι το ίδιο με το 0; έτσι μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το  προκύπτει από το   θέτοντας . Αυτό το '''πρότυπο''' **πηλίκο** είναι ισομορφικό με τους μιγαδικούς αριθμούς, θεωρούμενο ως πρότυπο πάνω στους πραγματικούς αριθμούς 

## Εξωτερικοί σύνδεσμοι
*English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
*ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου. 
*Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών  Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
* Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
* Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
* Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
* Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
* Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
* Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
* Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
*  Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
* Wolfram Mathematica Online Integrator
*  A Table of Integrals of the Error Functions

## Δείτε επίσης

* Προσεταιριστική ιδιότητα
* Αντιμεταθετική ιδιότητα
* Μορφοκλασματική διάσταση
* Ομοπαραλληλική γεωμετρία
* Αλγεβρική θεωρία αριθμών
* Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
* Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
* Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
* Ευκλείδειος χώρος
* Αρχιμήδεια ιδιότητα
* Τοπολογικός χώρος
* Κατηγορία αβελιανών ομάδων
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Υπολογιστική ρευστοδυναμική
* Αβελιανή ομάδα
* Σύνθεση συνάρτησης
* Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
* Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
* Αλγεβρική γεωμετρία
* Ένα προς ένα
* Συναρτητής Hom
* Συνήθης διαφορική εξίσωση
* Γραμμική απεικόνιση
* Νηµατικό γινόµενο (θεωρία κατηγοριών)

## Βιβλιογραφία
* 
*
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Παραπομπές


* 
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* star-autonomous category at the nLab
* 
* *This article is based in part on [http://www.planetmath.org PlanetMath]'s [http://planetmath.org/encyclopedia/TerminalObjectsAndZeroObjectsExamplesOfInitialObjects.html article on examples of initial and terminal objects] .*
* 
*
*
*
*
*Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
*
*
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
*  A handbook for study and research
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*

## Πηγές
* 
* 
* 
* 
* 
*
*
*
* Wendelin Degen, Lothar Profke: *Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.* Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
* Hans Freudenthal: *Mathematik als pädagogische Aufgabe.* Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
* Thomas W. Hungerford: *Algebra* (= *Graduate Texts in Mathematics.* Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Κατηγορία:Θεωρία κατηγοριών
Κατηγορία:Θεωρία ομάδων
Κατηγορία:Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων
Κατηγορία:Αφηρημένη άλγεβρα